Speed 정답체크 Ⅰ. 통계 Ⅱ. 피타고라스 정리 15 Ⅲ. 삼각비 Ⅳ. 원의 성질 02 07 39 56 지도서1권1대단원.indb 1 18. 2. 9. 오후 1:34 사고력의 날개 Speed 정답체크는 P. 6에 본문 P. 11~18 STEP B 내신만점문제 본문 P. 19~24 STEP A 최고수준문제 본문 P. 25~29 01 02 평균： 건, 중앙값： 건, 최 01 평균： 분, 중앙값： 분 01 02 가지 03 점 90 빈값： 건, 건 10 10 02 60 55 04 x->10 10 05 ③ 06 2rt479 03 평균： 7 10 편, 중앙값： 편, 최빈값： 편 x=7, y=5 03 ⑴ 중앙값： 최빈값： 3.3 05 06 3 07 ⑤ 3 ⑵ 중앙값： 7, 최빈값： 7 07 11 1 09 08 거인, 독수리 rt42`kg 분 10 11 12 09 51`kg 5 표준편차： 마리 04 ⑴ 평균： 5, 점, 중앙값： 7 점, 최빈값： 점 260 rt34 242 2 Speed 정답체크 Ⅰ 통계 STEP C 필수체크문제 04 2 08 ③ 17 20 2 10 회 11 ② x=5, 12 ③ 4 rt5 13 분산： 표준편차： 14 분산： 11, 표준편차： rt11 점 15 ㄱ 96, 16 윤희： 4rt6 성준： 9, 18 4 19 ⑤ a=1, b=5, c=4 40 6.4 7 ⑵ 명 27 05 예⃝ 자료는 줄기 를 중심으로 대칭으로 분포하므로 평균과 중앙값은 모두 줄기 에 A 5 속해 있을 것으로 예상된다. 5 5 평균 중앙값 5 평균 중앙값 ( )=758/14=54.14… ( =55 자료는 비대칭으로 분포하므로 평균은 줄 )= 53+57 2 B 기 에, 중앙값은 에 있을 것으로 예상된다. 6 ( )=823/14=58.78… ( 06 ⑴ )= 61+64 2 ⑵ =62.5 07 ㄴ, ㄹ 08 45MB 588MB-<x-<590MB 09 ④, ⑤ 10 평균： 표준편차： 4 11 ② 12 0, 13 1 14 15 ㄱ, ㄷ 5 rt2`m 140 본문 P. 41~53 STEP B 내신만점문제 본문 P. 54~65 STEP A 최고수준문제 본문 P. 66~77 01 02 03 01 04 32`cm 3rt13`cm 인 이등변삼각형 2rt3`cm 02 ⑴ rt41`cm ⑵ 03 2rt2`cm (1+rt3 )cm 2rt2`cm 10rt13`cm^2 06 ⑴ 04 ⑴ 2rt110`cm^2 ⑵ 05 ⑵ 128rt17 3 `cm^3 07 5rt5 2 `cm 08 133/12`cm^2 3`cm 15/4`cm 09 ⑴ ⑵ 10 6rt2 2rt21 12 ⑴ 15/2`cm ⑵ 01 32(rt3&-pai/3&^)`cm^2 ⑵ 02 ⑴ 9rt3 4 `cm^2 03 ⑴ rt7`cm , ^-AC^-=4rt2`cm ⑵ ⑵ 10rt2 9 `cm^2 8rt11`cm^3 07 ⑴ 06 4rt3 ^-AD^-=14/3`cm 04 ⑴ 4rt3`cm 05 145rt11 648 `cm^2 , ^-KL^-=(rt2&-1)a ⑵ 2-rt2 2 a^2&pai ⑶ 11 13 16 2rt53`cm 9/2`cm^2 3rt5`cm 15 14 ^-LM^-=(rt2&-1)a 08 ⑴ ⑵ 12rt3`cm^2 84/25`cm^2 9/10`cm ⑷ 18rt2`cm^2 3rt7`cm 09 4rt2`cm 17 228/5`m^2 20rt3 10 ⑴ 32rt7`cm^3 ⑵ ⑶ ： (40+8rt2&)cm 6rt3 rt3 3 2 Ⅱ 피타고라스 정리 STEP C 필수체크문제 ^-AB^-=^-CA^- 06 ⑴ 05 1`cm^2 07 ⑴ 2rt5 5 ⑵ ⑵ `cm 2/5`cm^2 08 rt3`cm 09 ⑴ rt3`cm ⑵ 10 6rt2`cm 11 2`cm (3-rt3 )cm^2 rt3`cm rt111`cm 13 50(rt3~~+1)cm^2 (8/3&pai-2rt3^)cm^2 15 16 13/6`cm 3/2`cm 64/3`cm^3 12 14 17 18 150rt3`cm^2 의 넓이： 삼각뿔 semoBFD － 의 부피： 6rt5`cm^2, 19 B DEF 20 16`cm^3 21 rt5 49/2 27rt3`cm^2 2 지도서1권1대단원.indb 2 18. 2. 9. 오후 1:34 Speed 정답체크 3 STEP C 필수체크문제 STEP B 내신만점문제 STEP A 최고수준문제 23 24 18 ⑴ ⑵ 11 ⑴ ⑵ ⑶ 22 25 5rt2 2 `cm 26 3.6`cm 27 ⑴ 3rt2`cm ⑵ 2rt5 28 3`cm 12rt3`cm^2 ⑵ 29 ⑴ 3rt2 30 ⑴ 32 15 35 rt97 2 ⑵ 2 9rt3`cm^2 33 45rt3`cm^2 9rt2`cm^2 36 18rt3`cm^2 rt7`cm ⑵ ⑶ 37 ⑴ 2rt6`cm 16rt2`cm^2 19 ⑴ ⑵ ⑶ 8rt6 3 `cm 6rt34 5 ⑵ `cm rt34`cm y= 4rt2 3 x 16/5`cm 0-<x-<4rt2 21 20 ⑴ ⑶ 4rt5 5 22 ⑴ `cm 10(rt2&-1)cm ⑵ 31 ② 34 6rt7 7 `cm 5`cm 2rt21`cm^2 ⑵ 1/3&a^3`cm^3 6 ⑵ ⑶ 12 ⑴ 13 ⑴ 16rt2`cm^2 14 ⑴ ⑵ rt15 4 a^2 15 ⑴ 4rt2`cm ⑶ 64/3`cm^3` rt14 4 , a rt6 a 2 의 넓이： 13/2`cm 23 5rt3`cm (5pai+10)cm 24 ⑴ ⑵ ⑵ ^-AH^-=12`cm ⑶ semoABC 16 84`cm^2 25 (3+rt5 )cm 26 12`cm 1, 5 4`cm 17 ⑴ 8`cm ⑵ rt2`cm ⑶ 38 ⑴ 8rt2`cm 72`cm^2 ⑵ ① 448/3`cm^3 ② 개 2+4rt3 (n-1)rt3&+2 57 29 5(rt6&-rt2 )cm 28 ⑴ 27 2rt39`cm ⑵ 5`cm 6`cm 30 25/4`cm (12-4rt3 31 )cm 8, 33 ⑴ 16, 24 ⑵ 7rt2 6 32 ② a^3 ⑶ 34 ⑴ 4`cm ⑵ 64/9`cm^2 15 8+rt97 35 ⑴ 900^(1-rt3&+pai/3^)`cm^2 ⑵ 900(2-rt3 )cm^2 1664 81 pai`cm^3 12`cm^2 18 24/5`cm , 120/49`cm ^-AQ^-=10rt14`cm 20 19 ^-PR^-=10rt6`cm 6rt2 21 ⑴ 4/9(4pai+3rt3~~) ⑵ 22 3rt5`cm 23 ⑴ 12(2-rt3~~)cm : ⑵ 2rt7 24 ⑴ 3 2 ⑵ 24`km 500rt3 `cm^3 3 26 ⑴ 625rt3 6 ⑵ rt85 28 ⑴ R^(4 ° ⑵ `cm^3 , 4/3^) 25 27 29 4rt34 6rt2&-rt6 11 135 @5+2rt2~~x rt15 30 ⑴ ∠ °일 때 , ∠ x=60 °일 때 y=8+4rt3 , ∠ x=135 °일 때 y=10+6rt2 ⑵ 개 x=180 y=12 105 Ⅲ 삼각비 STEP C 필수체크문제 본문 P. 88~98 STEP B 내신만점문제 본문 P. 99~109 STEP A 최고수준문제 본문 P. 110~119 01 02 ⑴ ⑵ 14/13 03 2rt7 3rt7 7 sin`theta=5/13, 04 ⑴ ⑵ tan`theta=5/12 05 06 3/5 2rt5 08 ⑴ 119/169 ⑵ 3/4 8/3 07 10 27/20 ^-AH^-=rt3, 13 ^-BC^-=1+rt3 14 ` 12 09 11 rt6 3 ° 50/3 3rt3 2 0 15 °, 8rt3 ` °, 1.6384 °, °, ° 16 tan`60 cos`0 17 cos`28 sin`45 18 sin`25 19 2-sin`A 20 rt2&-1 21 27rt3 22 10.634 23 15.095`m 25`m 24 100`m ^-AC^-=2rt3, 25 ^-BC^-=3+rt3 26 4(rt3&+1)m 3(rt3&-1) 27 ⑴ 6(3+rt3~~)m ` ⑵ 10rt19 100rt19&+375rt3` 01 02 03 47/63 3rt10~ 10 , t, rt5~~ 3 tan`A= 2rt5~ 5 ° cos`A= 05 인 직각삼각형을 그리면 gakC=90 gakB=gak 오른쪽 그림과 같다. sin`A=2/3, 04 rt3&+1~ 3 A 90æ-Ω ⑴ t 이고 sin` = ^-AC^- ° ^-AB^- t이므로 Ω B C )= t ^-AC^- ^-AB^- =cos(90 t ° t 이다. - ) gakA=90 -gak t ° cos(90 따라서 - t sin` sin^2` +cos^2` ⑵ ^)^^2 =^( = ^)^^2+^( ^-BC^- ^-AB^- ^-AC^- ^-AB^- ^-AC^-~^2+^-BC^-~^2 ^-AB^-~^2 = ^-AB^-~^2 ^-AB^-~^2 =1 01 02 ⑴ ⑵ 03 4/5 9/25 18rt34 04 05 06 24/25 07 27rt3~ 2 `m 08 6rt3 09 10 c`cos^3`theta+c`sin^3`theta 11 6303 625 1/24(5pai-6rt3~~) rt3&+1 `cm^2 3rt5~ 5 12 a=- , 14 rt6~~ 2 , 45 rt6 17 20 21 196rt3~~ 11 4rt5~~ 5 23 25 1460`m 15rt57~~ 19 `m rt5 , 1/4`cm ` 13 x^2&-4x+1=0 2+3rt7 15 16 rt21~ 14 18 2/9 22 5 19 7/8 rt6&+rt2~~ 4 3rt6&+3rt2~~ 2 24 26 76rt3~ &+12rt19~ 57 72+36rt3` Speed 정답체크 3 2 지도서1권1대단원.indb 3 18. 2. 9. 오후 1:34 STEP C 필수체크문제 STEP B 내신만점문제 STEP A 최고수준문제 28 ° 29 30 06 ⑴ ⑵ 26rt3 rt3~ x 2 ⑵ (96rt2&+72rt3~~)cm^2 100rt3`cm^2 45 31 ⑴ 32 15rt3~ 2 27 ° , ° cos`36 = `sin`18 = 1+rt5~~ 4 rt5~ &-1 4 3`sin`theta 08 2 a^2&-1 09 07 1/2 rt13 10 ⑴ ③ ⑵ 12 ° 2rt10~~ 5 13 11 ⑴ 14 30 30 ` 15 6rt3`cm 16 ③, ⑤ 17 4rt3 3rt2&+rt3~ 2 ° ⑵ `cm^2 3rt7~ 8 174`cm^2 9rt3`N rt15~~ 8 19 ⑴ 18 수평 분력： , 수직 분력： 9`N ⑵ bc rt3~~~ 4 21 15rt6`m rtb^2+c^2-bc~ ` ` ` ` tan^2 tan^2 beta alpha a^2 tan^2`beta-tan^2`alpha 2.1`cm ` ` alpha+tan beta) a(tan tan`beta(1-tan`alpha) 27 20 22 24 26 rt3~ b 23 25 28 (50rt3&+51.5)m 3+rt3 ° 29 40/41 30 3/4(5pai-3)cm^2` 45 112`cm^2 Ⅳ 원의 성질 STEP C 필수체크문제 본문 P. 131~145 STEP B 내신만점문제 본문 P. 146~158 STEP A 최고수준문제 본문 P. 159~169 01 R 01 배 02 ⑴ 배 ⑵ ° 01 3 03 ⑴ 5/3 72 ° ⑵ ° 04 105 05 75 °, (8/3&pai+4rt3~~^)~cm^2 ° ° 06 07 gakGBD=105 °, gakDFE=65 ° 63 gakBAD=46 ⑵ 08 ⑴ gakADC=78 09 ⑴ y^2 x ° ⑵ 39 ⑶ semoCQD , 10 2(90 ° -gak&a) 11 ^-AP^-=5.5, 12 ^-AQ^-=3.5 83 13 ⑴ 4r^2 ⑵ 6 ⑶ gak&a+gak&b 2 14 ⑴ ⑵ 48~ x+6 ⑶ 5x-10 8 x(x+12) 16 ⑴ 64/5 ⑵ 6rt3~~ ⑶ 15 3gak&x 17 ⑴ 9/2 ⑵ 3rt7~~ 2 81rt3~~ 40 ⑶ 18 ⑴ 2(pai-rt3~~) , gakBAD=gakCAD=gak&a 라 하면 gakABE=gakEBC=gak&b ∵ 이다. 의 원주각 gakEAC=gak&b `( EC^\ ) A Q D C B P 에서 이므로 semoABP ^-AB^-=^-AP^- 이다. gakABP=gakAPB 또, 이므로 ^-AD^-//^-BC^- 이다. gakAPB=gakPAQ gakABP=gakRAQ 따라서 이다. ∴ gakPAQ=gakRAQ PQ^\=RQ^\ 03 04 02 4 05 rt65~ 2 ° 06 4rt7`cm 135 07 ⑴ 30`cm ⑵ x=3, y=12 x=6, y=8 08 ⑴ ⑵ 09 gak&b-1/2gak&a °, 5pai`cm °, ° 10 gak&x=72 gak&y=108 °, gak&z=36 ° gakBAC=20 gakACD=60 4 A B O M C N P D 원의 중심 에서부터 현 와 에 내린 수선의 발을 각각 O , AB 이라 하면 CD M N ^-CP^--^-DP^- =(^-CN^-+^-NP^-)-(^-ND^--^-NP^-) =^-CN^--^-ND^-+2^-NP^-=2^-NP^-=2^-OM^-` 따라서 는 항상 일정하다. 02 ^-CP^--^-DP^- 배 03 ⑴ ° ⑵ ° 04 ° 1/3 05 ⑴ 40 110 ⑵ ° ⑶ 33 6`cm (8-4rt3~~)`cm 07 ⑴ ① ° ② ⑵ 08 ⑴ 90 50`cm^2 °, 5/3&pai`cm ° ⑵ gakPOQ=72 ： gakRPQ=54 a^2& (100-a^2) ⑷ A(2rt3, 0) C(rt3, 1) 2 06 ⑴ 7rt3`cm ⑵ 60 7rt7`cm 지도서1권1대단원.indb 4 18. 2. 9. 오후 1:34 Speed 정답체크 5 STEP C 필수체크문제 STEP B 내신만점문제 STEP A 최고수준문제 11 ： ： 12 에서 이고, 13 11& ° 12& `7 14 4pai`cm °, ° semoEAI gakEAI=gak&a+gak&b ∵ 의 한 외각 09 ⑵ 6 10 ⑴ ° 와 90 에서 40 15 ⑴ ° ⑵ gakA=30 ° gakC=150 gakEIA=gak&a+gak&b 이므로 ( semoABI 이다. ) semoATD semoDCE °, 16 ⑴ 60 30 D 따라서 gakEAI=gakEIA 는 이등변삼각형이다. A P B ∴ ⑵ semoEAI ^-AE^-=^-EI^- 19 ° Q C 13/6&pai`cm 108 21 ⑴ 20 : ⑵ ° ⑶ ° 22 ⑴ 7`cm^2 ° ⑵ 5` ° ⑶ `4 75 인 이등변삼 9 대각선 를 그으면 이므로 각형 40 60 ^-AB^-=^-AC^- 23 24 25 24/5`cm 26 ⑴ ⑵ 3rt2`cm 58pai 27 ⑴ 4`cm ° ⑵ 6(3rt3&-pai)cm^2 ⑶ ⑷ 배 120 rt2~~~ 2 28 29 rt2~~+rt6~~ 2 1+rt3~ 2 30 24`cm 31 ⑴ 5/2`cm ⑵ rt22~` 32 ⑴ B(4rt3, 2) ⑵ y=-rt3&x+18 ° 33 ⑴ ⑵ 25`cm^2 의 내접원이 75 4 와 접하는 점을 라 하면 semoABC ^-BC^- E ^-BE^-=1/2(^-AB^-+^-BC^--^-CA^-) =1/2(9+7-8)=4 따라서 이므로 점 와 점 는 일치 P R O B S C Q 한다. ^-BD^-=^-BE^- D E 34 35 4rt5`cm 16rt5~~ 5 `cm AC ……㉠ ^-PQ^-//^-AC^- gakBQP=gakACB 는 의 원주각이므로 gakACB AB^\ ……㉡ gakADB=gakACB ㉠, ㉡에서 ⑵ ° 36 19 ⑴ gakBQP=gakBDA 17 18 ° 68 °, 10`cm ° ⑵ gak&x=75 °, gak&y=105 ° ⑶ gak&x=110 °, gak&y=20 ° ⑷ ° gak&x=50 gak&y=22 20 ⑴ ° ⑵ ⑶ gak&x=115 ⑷ 30 20/3&pai`cm ⑸ 30`cm 10rt3`cm 22 21 75rt3`cm^2 23 12rt2 ° 24 2 25 ⑴ 27rt7~~ 4 `cm^2 ° ° ⑶ ° ⑵ 56 26 ⑴ ° ⑵ ： 110 27 125 65 28 ② 120 ° 7& 5 30 4`cm ° ` 31 2/3(180 -gak&a) °, 20 330/49 ° 29 32 33 gakBAD=110 34 gakFED=55 °, ° 35 4rt13`cm °, gak&x=70 ° gak&y=60 gak&x=30 gak&y=100 38 37 36 4pai`cm 39 1/4&pai`cm^2 4 40 3rt7&+9rt3~~ 2 `cm 2(rt3&-1)cm 42 ° 41 12`cm 35 gakATD=gakDCE=90 에서 r semoABE semoATE , ^-AT^-=^-AB^-=^-DC^- ° 이므로 gakTAD=90 -gakADT=gakCDE 합동 r semoATD ∴ semoDCE(ASA` ) ⑶ ① ^-TD^-=^-CE^- ° ② 11 15 5(2-rt3~~)cm , ^-DE^-=10`cm 12 ⑴ ⑵ ^-AE^-=5rt10`cm ⑶ ⑷ 13 rt3~ 2 14 ⑴ rt3 ⑵ rt7~ 3 2/3 36/25`cm 15 y=36/x 16 ⑴ ⑵ 6(rt2&-1) ⑶ 9/2 21/5`cm ⑵ 18 25/2`cm +3/2&pai 2 3/2 9`cm 17 ⑴ 19 ⑴ 9rt3~~ 4 ° ⑵ 65 A ° gakABC=gakACB=gakAQB=45 gakBAP=gakBQP ∴ gakARC =gakBAR+gakABC =gakBQP+gakAQB=gakAQP ⑶ ⑷ 배 5/2`cm 20 ⑴ 8/9 , ⑵ ⑶ 5rt5~~ 2 BE =3 AE =4 21 rt2`cm 22 ⑴ ⑵ 6 , 2rt2 23 ⑴ ° ⑵ = BC 배 18rt2~ 7 24 BD = 6rt2~ 7 25 ⑴ 70 7 ° ⑵ ⑶ 2rt3&-3 26 ⑴ 30 6rt2`cm 3(rt2&+rt6~~)cm , 이므로 gakBCE=gakEDA gakBCE=gakEAB 이다. 또, gakEDA=gakEAB ∴ gakEAD=gakEBA Z 닮음 semoEDA semoEAB(AA` ) ⑵ 80/9&pai`cm^2 ： 27 ⑴ ⑵ , 1& 28 ⑴ 2 ⑵ ^-NR^-=1.5`cm ⑶ ^-KQ^-=9`cm 29 4.1`cm 30 ° 8.2`cm 1.8`cm 20 4`cm Speed 정답체크 5 4 지도서1권1대단원.indb 5 18. 2. 9. 오후 1:34 5 4 5 4 5 4 5 4 사고력의 날개 Ⅰ 통계 1 예⃝ 중앙값, 135`mg 2 예⃝ 라희의 퀴즈테스트의 평균은 본문 P. 30~31 Ⅲ 삼각비 1 ° 2 15 점 3 12rt3-<ab-<3rt57 A (6\2+7\3+8\1+9\1+10\3)÷10=8( 번이고, 승하가 퀴즈테스트를 치른 총 횟수는 ) 점과 점을 획득한 횟 B 수가 각각 번 이상이므로 승하는 10 점을 번, 6 점을 번 획득하였거나 8 점을 번, 1 점을 번 획득하였다. 6 1 8 2 6 2 8 승하가 1 점을 번, 점을 번 획득한 경우 r1par 1 승하의 퀴즈테스트의 평균은 6 2 8 점 C b ② c ① a F f I ④ ⑤ e Ω G x ⑥ z Ω ⑦ y H ③ E d D 본문 P. 120~121 (6\1+7\2+8\2+9\4+10\1)÷10=8.2( 따라서 퀴즈테스트의 평균이 승하가 라희보다 높으므로 승하를 퀴즈 ) 위의 그림과 같이 세 대각선 , , 가 각각 육각형 의 대회에 참가시키는 것이 타당하다. 승하가 점을 번, 점을 번 획득한 경우 r2par 승하의 퀴즈테스트의 평균은 1 2 6 8 넓이를 이등분하면서 한 점에서 만나지 않는다고 하면 AD BE CF ABCDEF nemoABEF=nemoADEF=1/2\( ⑦ ④ ① ⑥ ⑤ ⑤ ⑥ ① + ④ + + ⑦ ∴ = + + 육각형 의 넓이 ABCDEF ) 점 a b (6\2+7\2+8\1+9\4+10\1)÷10=8( 으로 라희와 같다. ) 승하와 라희의 퀴즈테스트의 표준편차를 각각 점, 점이라 하면 = + semoABG=semoGDE a^2= {(6-8)^2&\2+(7-8)^2&\2+(8-8)^2&\1+(9-8)^2&\4 ⇨ +(10-8)^2&\1}÷10=9/5 a=rt9/5= 3rt5 5 b^2={(6-8)^2&\2+(7-8)^2&\3+(8-8)^2&\1+(9-8)^2&\1 ⇨ +(10-8)^2&\3}÷10=12/5 b=412/5& r= 이므로 승하의 퀴즈테스트의 결과가 더 고르다. 2rt15 5 1/2&ab`sin`theta=1/2(d+x)(e+z)sin`theta ㉠ ∴ ab=(d+x)(e+z)->de 마찬가지 방법으로 생각하면 …… ㉡ cd=(a+x)(f+y)->af …… ㉢ ef=(b+z)(c+y)->bc ㉠, ㉡, ㉢에서 …… 이다. ab a=1 b=-4 a-b=1-(-4)=5 ∴ 07 를 제외한 각 변량을 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 5 x , , , , , , 이다. 변량의 개수가 12 25 13 14 개이므로 중앙값은 29 47 38 번째의 값이고, 의 값에 따라 중앙값은 다음과 같다. 9 5 x , 8 앙값이므로 10 12 11 15 16 5 6 중앙값 ( 또, )= 건과 10+10 =10( 건의 도수는 2 ) 건 이다. 이므로 최빈값은 10 7 건, 건이다. 2 이고, 그 이외의 자료의 값의 도수는 이면 번째의 값은 1 평균： 7 10 건, 중앙값： 건, 최빈값： 건, 건 r1par x-<14 이면 5 번째의 값은 14 r2par 이면 14<x-<25 번째의 값은 5 x 10 10 7 10 따라서 그래프로 알맞은 것은 ⑤이다. r3par x>25 25 5 ⑤ 03 평균 ⇨ =3.26 편 15 ( ) =(1\4+2\5+3\8+4\7+5\4+6\2)÷30 … 중앙값은 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열할 때, 3.3 ` 번 째와 번째 값의 평균이므로 16 최빈값은 도수가 가장 큰 자료의 값이므로 편 이다. ) 편이다. =3( 3+3 2 편, 중앙값： 3 평균： 편, 최빈값： 편 3.3 3 3 04 주어진 자료에서 변량은 영화의 장르를 번호로 나타낸 것일 뿐 수치로서의 의미가 없으므로 대푯값으로 평균이나 중앙값은 적 당하지 않다. 08 ③ 변량들이 평균 가까이에 분포되어 있을수록 표준편차는 작아 진다. ③ 09 편차의 합은 항상 이므로 0 -7+(-4)+(-1)+1+2+x+4=0 편차 ∴ x=5 의 총합은 ( )^2 (-7)^2&+(-4)^2&+(-1)^2&+1^2&+2^2&+5^2&+4^2=112 , 표준편차 분산 마리 ∴ ( )=112/7=16 ( )=rt16=4( , 표준편차： 마리 ) x=5 4 Ⅰ. 통계 7 지도서1권1대단원.indb 7 18. 2. 9. 오후 1:34 ) =6+5+4+6+2+6+7+9+1+4 회 ( ) ( ) ( ) ( )^2&\( ) 계급값 점 도수 명 편차 점 편차 도수 10 총 턱걸이 횟수 ( 평균 =50( 회 ) ( 각 변량에 대한 편차가 각각 )=50/10=5( ) 회, 회, 회, 회, 회, 회, 회, 회, 회, 회이므로 1 편차 0 의 총합은 -1 1 -3 1 2 2 1 4 -4 2 +0+(-1) +1 -1 2 +(-3) ( 2 2 +1 )^2 2 +2 +4 2 +(-4) 2 +(-1) 2 =50 분산 , 표준편차 회 ∴ ( )=50/10=5 =rt5 ( ) 회 rt5 5\1+6\2+7\4+8\2+9\1 )= 10 2 {(5-7) )= \1+(6-7) 2 2 2 \2+(7-7) 2 \1}÷10 \4 +(8-7) \2+(9-7) 점 =70/10=7( ) ② 14 85 95 105 115 합계 125 평균 ( ) = = 분산 )= ( 표준편차 ( 15 2 5 9 3 1 20 -18 -8 2 12 22 648 320 36 432 484 1920 85\2+95\5+105\9+115\3+125\1 20 점 ) =103( 2060 20 1920 20 )=rt96=4rt6 =96 점 ( ) 분산： , 표준편차： 점 96 4rt6 =12/10=1.2 12 다섯 자료는 모두 변량이 으로 표준편차가 가장 작다. 50 은 모두 이다. 이 중 평균 주위에 가장 밀집되어 있는 것은 ③ 50 을 중심으로 좌우 대칭이므로 평균 parR1 parR2 ③ 16 윤희는 의 그래프가 의 그래프보다 폭이 좁으므로 변량들이 평균 주위에 많이 모여 있는 것을 알 수 있다. parR1 parR2 따라서 이 보다 표준편차가 작다. ㄱ 11 평균 분산 ( ( 13 -2+a+(-2)+3+b+6 이고 6 , ay x=7 y=5 x=7 y=5 03 전체 자료의 수는 개이고, , , 를 제외한 자료를 작은 값에 서부터 크기순으로 나열하면 x 13 , y , z , , , , , , , 이다. ⑴ 이면 번째 자료의 값이 7 3 2 4 5 이므로 중앙값은 9 7 10 7 8 이 다. 이때 x>y>z>4 의 도수가 7 또는 로 가장 크므로 최빈값은 7 7 이 다. 7 3 4 7 Ⅰ. 통계 9 지도서1권1대단원.indb 9 18. 2. 9. 오후 1:34 b ⑵ 이면 번째 자료의 값이 이므로 중앙값은 이 을 때 중앙값은 다음과 같다. 일 때, 중앙값은 이다. r1par 588-<a<590 일 때, 중앙값은 aMB 이다. 따라서 예상할 수 있는 중앙값 r2par a->590 590MB 의 범위는 이다. x 588MB-<x-<590MB ⑴ ⑵ 45MB 588MB-<x-<590MB 07 ㄱ. 상대도수가 가장 큰 값이 도수가 가장 크므로 , , 동아 리의 최빈값은 각각 점, 점, 점이므로 동아리가 활쏘 A B C 기 점수의 최빈값이 가장 높다. 7 7 8 C ㄴ. 동아리는 , 이므로 중앙값은 A 점, 동아리는 0.1+0.18=0.28 0.28+0.26=0.54 , 6 B 이므로 중앙값은 0.08+0.22=0.3 점, 0.3+0.32=0.62 동아리는 , 7 므로 중앙값은 C 0.06+0.1+0.2=0.36 점이다. 0.36+0.26=0.62 따라서 중앙값이 가장 낮은 동아리는 7 이다. ㄷ. 각 동아리의 전체 도수를 알지 못하므로 각 계급의 도수를 A 정확히 알지 못한다. 즉, 세 동아리 전체의 활쏘기 점수의 최빈값은 알 수 없다. ㄹ. 동아리의 평균 ) ) ) (A (B (C =4\0.1+5\0.18+6\0.26+7\0.3+8\0.12+9\0.04 점 =6.28( 동아리의 평균 ) =5\0.08+6\0.22+7\0.32+8\0.24+9\0.1+10\0.04 점 =4\0.06+5\0.1+6\0.2+7\0.26+8\0.28 +9\0.08+10\0.02 점 따라서 평균이 가장 높은 동아리는 =6.92( ) 이다. ㄴ, ㄹ 이 08 도수의 총합이 이므로 20 B 에서 1+1+3+a+1+b+2+1+1=20 ……㉠ 평균 a+b=10 ( )= (2\1+3\1+4\3+5\a+6\1+7\b 에서 +8\2+9\1+10\1)÷20=6 ……㉡ 다. 이때 x<y<z<5 의 도수가 7 으로 가장 크므로 최빈값은 5 이다. 5 ⑴ 중앙값： 3 7 , 최빈값： ⑵ 중앙값： , 최빈값： 7 7 7 5 7 04 ⑴ 총 학생 수 ( ) ( 점수의 총합 )=2+3+13+10+6+6=40( ) 명 =2\2+3\3+5\13+7\10+8\6+10\6 점 =256( 평균 ) 점 ∴ 작은 값에서부터 크기순으로 나열할 때, )=256/40=6.4( ( ) 번째와 번째 자 료의 값의 평균이 중앙값이므로 20 , 21 에서 중앙값은 점이다. 2+3+13=18 또 도수가 가장 큰 자료의 값이 최빈값이므로 18+10=28 7 점이다. ⑵ 5 1번 2 6 6 x 3 10 2번 y 3번 번 문제의 정답자는 명이므로 3 24 점수가 6+6+10+y=24 점인 학생 수는 ∴ 명이므로 y=2 5 에서 13 따라서 두 문제만 맞힌 학생 수는 ∴ x+2=13 x+y=13 x=11 명 이다. 05 예⃝ 자료는 줄기 를 중심으로 대칭으로 분포하므로 평균 과 중앙값은 모두 줄기 A 5 에 속해 있을 것으로 예상된다. 평균 53+57 자료는 비대칭으로 분포하므로 평균은 줄기 2 )=758/14=54.14 )= ( ( =55 에, 중앙 5 …, 중앙값 값은 B 에 있을 것으로 예상된다. 5 6 평균 …, 중앙값 ( )=823/14=58.78 ( )= =62.5 61+64 2 06 ⑴ 9 10 ⑵ 처음 595\15-592\15=45(MB) 개의 동영상을 크기가 작은 것부터 순서대로 나열했 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 5a+7b=62 , 을 때, 15 번째 자료의 크기가 중앙값이므로 는 번째 분산 자료의 크기였음을 알 수 있다. 8 588MB 8 번째 자료의 크기를 라 하면 지운 동영상의 크기는 이므로 새로 aMB 의 동영상을 넣었 590-45=545(MB) 590MB a=4 b=6 2 2 ∴ ( )={(2-6) \1+(3-6) 2 \1 2 +(4-6) \3+(5-6) \4 +(6-6) \1+(7-6) \6 +(8-6) \2+(9-6) \1 2 2 2 2 ⑴ 평균： 11+6+10=27( 점, 중앙값： ) 점, 최빈값： 점 ⑵ 명 =7.18( 동아리의 평균 ) 6.4 7 5 27 지도서1권1대단원.indb 10 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 본문 P. 20~24 2 +(10-6) \1}÷20 =80/20=4 4 분산 ( ) =^{^( a1-15 2 … a2-15 2 ^)^^2&+^( ^)^^2&+ +^( ^)^^2&^}÷n an-15 2 2 ={(a1-15) +(a2-15) +(an-15) }÷4n … 2 + 09 Ⅰ：자료를작은수부터크기순으로나열하면 , , , , , , , , , , , 이다. 다른풀이 평균 -9 -6 -6 -2 0 0 1 2 3 4 5 8 1 =4n\ 따라서표준편차는 4n =1 이다. 2 1 =(-9-6-6-2+0+0+1+2+3+4+5+8)÷12 ( ) =0 최빈값은 분산 -6 0 2 과 의 개이고,중앙값은 이다. am+b 평균 |a|s , 표준편차 0+1 2 =1/2 )=1/2\15-15/2=0 ( )=1/2\2=1 개의변량 , , ,…, 의평균이 이고표준편차가 일 때,변량 n x3 x2 , ax2+b 이고표준편차는 x1 ax1+b , xn ax3+b 이다. ,…, m axn+b 의평균은 s 평균： ,표준편차： 0 1 계 통 Ⅰ ( ) 2 ={(-9) 2 +0 +0 +(-6) 2 2 2 +1 +2 2 2 +(-6) 2 2 +4 +3 +(-2) 2 2 +5 +8 }÷12 2 Ⅱ：자료를작은수부터크기순으로나열하면 =276÷12=23 , , , , , , , , , , , 이다. 평균 -9 -5 -4 -4 0 1 3 3 3 7 8 9 ( ) =12÷12=1 최빈값은 으로 분산 3 1 ( ) 2 =(-9-5-4-4+0+1+3+3+3+7+8+9)÷12 개이고,중앙값은 이다. 1+3 2 =2 12 2 = {(-9-1) 2 +(-5-1) +(0-1) +(1-1) 2 +(7-1) +(8-1) 2 +(3-1) 2 +(9-1) 2 }÷12 2 +(-4-1) 2 2 +(-4-1) 2 2 +(3-1) +(3-1) ①자료Ⅰ의평균은자료Ⅱ의평균보다작다. =348÷12=29 ②자료Ⅰ의최빈값은 과 의 개이다. ③자료Ⅱ의최빈값은 의 -6 개이다. 0 2 ④,⑤ 분산 7`kg 12`kg 3 1 10 =15 +an … … a1+a2+ n a1+a2+ 2 +(a2-15) 2 (a1-15) , +an=15n + 2 +(a2-15) ,…, 2 … ∴ {(a1-15) ∴ a1-15 2 a1-15 2 a1+a2+ + ^( =^( … a2-15 2 a2-15 … 2 +an-15n 2 + + an-15 2 an-15 2 + ^)÷n =^( 15n-15n 2 ^)÷n=0 2 +(an-15) … }÷n=4 2 +(an-15) 의평균은 =4n ^)÷n ∴ ( 11 ： , , ,…, X ： 1 , 2 3 , 100 ,…, Y ： , 101 , ,…, 102 103 200 세자료 4 2 Z , 6 , 의각각의편차를 200 , Z , ,…, 라하면 X Y zi`(i=1 이므로 이므로 , , xi yi xi=yi zi=2xi 따라서 이다. 100) 2 3 Xs=Ys Zs=2Xs 이다. 이다. Xs=Ys10 06 10 07 2rt479 08 거인, 독수리 11 09 분 10 rt42`kg 11 1 12 260 rt34 242 2 01 이면 , , 1-<x-<6 이면 , a=6 , b=7 c=6 x=7 이면 a=7 , b=7 , c=7 x=8 이면 a=8 , b=8 , c=8 x=9 이면 a=8 , b=9 , c=9 12 x->10 권이므로 권을 읽은 학생을 제외한 나머지 명이 읽은 권수를 작은 값에서부터 25 25 권, 권, 권, 권이라 하자. 4 최빈값이 권이므로 작은 값에서부터 나열하면 a d b c 권, 권, 권, 권, 25 권 또는 권, 권, 권, 권, 권의 가지로 나타 a 25 b 낼 수 있다. d 25 a 25 25 c d 권, 권, 권, 권, 권인 경우 2 r1par a b 25 25 에서 d ……㉠ (a-<b-<25) a+b+20=25+d d=a+b-5 ……㉡ a+b+25+25+d ㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 5 =23 , , , , , , , a+b=35 , , d=30 , (a b)= (10 , 25) , (11 , 24) , (12 , 23) , (13 , 22) ⇨ 가지 (14 21) (15 20) (16 19) (17 18) 권, 8 권, 권, 권, 권인 경우 r2par a 25 25 c 에서 d (a-<25-<c-<d) a+25+20=c+d ……㉢ c+d=a+45 a+25+25+c+d ㉢을 ㉣에 대입하여 정리하면 5 =23 , 이므로 ……㉣ , a=10 , c+d=55 , , , , ⇨ (c 가지 d)=(25 30) (26 29) (27 28) 의 3 , , 인 경우와 의 , , 인 경 우는 같은 경우이므로 r1par 25) b)=(10 (a , 에서 구하는 경우의 수는 (c d)=(25 r2par 30) 가지 이다. r1par r2par 8+3-1=10( ) 가지 10 의 볼링 점수를 점이라 하면 , , , 의 볼링 점수 는 각각 E 점, x 점, A B 점, C D 점이므 로 명의 볼링 점수의 평균은 (x-70) (x+10) (x-20) (x+65) 03 학생 5 (x-70)+(x+10)+(x-20)+(x+65)+x 5 점 5x-15 = 따라서 분산은 5 =x-3( ) 2 1/5{(x-70-x+3) 2 2 +(x-x+3) +(x+65-x+3) } 2 2 +(x-20-x+3) +(x+10-x+3) ∴ ( )=rt1916=2rt479( ) 2rt479 점 점 = 9580 표준편차 5 =1916 04 총 연습 시간이 따라서 x->10 a=8 를 만족시키는 c=10 b=9 의 값의 범위는 이다. 시간 많게 나왔으므로 잘못 a<b10 10\8-9\8=8( ) 지도서1권1대단원.indb 12 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 1 본문 P. 24~28 12-8=4( my= 두 자료 y\2+2y\4+3y\6 의 분산을 각각 2+4+6 , X Y 이라 하면 =7/3&y , 2 2 sx sy 11 2 sx =^{^(x-7/3&x^)^^2&\1+^(2x-7/3&x^)^^2&\2+^(3x-7/3&x^)^^2&\3^}÷6 =^(16/9&x^2&+2/9&x^2&+12/9&x^2&^)÷6=5/9&x^2& 2 sy =^{^(y-7/3&y^)^^2&\2+^(2y-7/3&y^)^^2&\4+^(3y-7/3&y^)^^2&\6^}÷12 계 통 Ⅰ 기록된 명의 선수의 일주일 동안의 연습 시간은 시 나머지 ) 명의 각 변량의 제곱의 합을 라 하면 A -10^2=8 ∴ A=720 2 720+4 8 2 -9 =92-81=11 ∴ ( )= 간 이다. 1 7 2 A+12 8 분산 05 2 -13x 2 3 -2x x 2 (x-2)-13x(x-2)+40(x-2)=0 x +26x+40x-80=0 2 (x-2)(x -13x+40)=0 (x-2)(x-5)(x-8)=0 또는 또는 x=2 ∴ 세 근의 평균은 x=5 x=8 이므로 표준편차는 2+5+8 3 =5 2 +(5-5) % b b b 3 2 +(8-5) (2-5) 2 이다. =% 9+0+9 3 b=rt6 ③ 06 남학생의 수를 ……㉠ a a+b=55 b ……㉡ 명, 여학생의 수를 명이라고 하면 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 62a+51b=57\55=3135 , 남학생의 몸무게를 각각 무게를 각각 , , a=30 x1`kg , …, 남학생의 몸무게의 분산 x31`kg x32`kg x1 2 2 +x2 + ∴ 여학생의 몸무게의 분산 +x30 … 2 x30`kg 이라 하면 , …, b=25 x2`kg x55`kg … 2 +x2 + ……㉢ 30 2 2 +x30 2 -62 =17 x1 )= … =115830 2 +x32 x31 + ……㉣ 25 )= 2 2 +x55 2 -51 =6 ( ( ( +x55 2 ) ⇦ ㉢, ㉣을 대입 2 -57 … 2 +x32 x31 2 전체 학생의 몸무게의 분산 + ∴ … 2 +x55 =65175 2 2 +x2 x1 = + 55 = 115830+65175 55 표준편차 =3291-3249=42 -3249 ∴ ( )=rt42 (kg) 07 두 자료 , 의 평균을 각각 , 라 하면 X Y mx my mx= x\1+2x\2+3x\3 1+2+3 =7/3&x rt42`kg , 여학생의 몸 모든 팀의 점수 분포는 7 1 2 3 5 6 점을 중심으로 좌우 대칭이므로 평균은 9 10 11 2 =^(&32/9&y 2 2 +24/9&y +4/9&y 두 자료의 분산이 같으므로 2 ^)÷12=5/9&y 에서 2 5/9&x 2 =5/9&y , x=y`(∵ x>0 y>0) ∴ x/y=1 1 08 각 팀이 얻은 점수를 작은 값부터 크기순으로 나열해 보면 호랑이： , , , , , , , , 사자： , 3 , 4 , 5 , 5 , 6 , 7 , 7 , 8 9 독수리： 3 , 4 , 4 , 6 , 6 , 6 , 8 , 8 , 9 비룡： , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 6 , 7 , 7 8 영웅： 3 , 4 , 5 , 6 , 6 , 6 , 7 , 8 , 9 쌍둥이： 2 , 3 , 4 , 4 , 6 , 8 , 8 , 9 , 10 곰： , , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 9 10 거인： 2 , 3 , 4 , 6 , 6 , 6 , 8 , 9 , 10 모두 점이다. 이 중 평균을 중심으로 가장 넓게 퍼져 있는 것은 6 거인팀이므로 표준편차가 가장 크고, 평균을 중심으로 가장 밀 6 집되어 있는 것은 독수리팀이므로 표준편차가 가장 작다. 거인, 독수리 09 운동부 선수들의 수를 명, 개개인이 하루 동안 한 운동 시간을 각각 분, 분, …, 분이라 하면 n a_1 평균은 … a_n +an a_2 a1+a2+ n 2 분산은 (a1-200) 바뀐 운동 시간은 +(a2-200) 분, n 이므로 바뀐 운동 시간의 평균은 (xa1+y) =200( ) 분 … 2 + … (xa1+y)+(xa2+y)+ +(xan+y) x(a1+a2+ +an)+ny = … n n 2 +(an-200) 분, …, =25 분 (xa2+y) (xan+y) Ⅰ. 통계 13 3-2에이급수학정답(01-15)ok.indd 13 19. 2. 13. 오전 9:17 … =x\ a1+a2+ n 또, 바뀐 운동 시간의 분산은 =200x+y=420( +an 분 +y ……㉠ ) … 2 2 {(xa1+y-200x-y) +(xa2+y-200x-y) 2 +(xan+y-200x-y) }÷n 2 (a2-200) (a1-200) 2 +x 2 x + … 2 2 (an-200) +x + 2 = 2 ^{ =x (a1-200) +(a2-200) + 2 ……㉡ … 2 2 +(an-200) ^} n n 2 ㉡에서 =25x =100 2 x ㉠에서 =4 , x=2`(∵ , x>0) 따라서 분 운동을 하던 학생은 400+y=420 y=20 분 운동을 하게 된다. b (2b+20) 240\2+20=500 분 운동을 하던 학생이 분 하게 된 것이므로 운동 시간은 240 분 증가했다. 500 260 10 직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를 각각 하면 분 260 , , 라 x y z 에서 4x+4y+4z 12 =5 x+y+z=15 에서 2xy+2yz+2zx 모서리의 길이에 대한 분산을 구하면 6 =8 xy+yz+zx=24 2 2 4x 2 2 +4z +4y 12 2 2 이므로 -2(xy+yz+zx) =(x+y+z) +z -5 -5 = 2 2 +y x 2 2 +z 2 +y x 3 이다. 2 2 표준편차 =15 -2\24=177 2 f=rt34 )=$177/3-5 rt34 ( 11 평균 ) ( = = 분산 5n-20 n ) ( 1\1+2\2+3\3+4\4+5(n-10) n 2 \1+2 2 \2+3 2 1 2 \4+5 2 \(n-10) 평균 2 ) -( \3+4 n 5n-20 n ^)^^2 50n-400 n^2 -<1/5 = = 25n-150 n 50n-400 n^2 = 분산 ( )-<0.2 -^( 에서 14 242 2 n 2 n 2 n ->250n-2000 -250n+2000->0 에서 -250n+2000=0 이므로 z n=125 rt13625 또는 n-<125-rt13625 이고 n->125+rt13625 이므로 11610 n->125+rt13625 따라서 ∴ n>241 의 최솟값은 이다. n 242 집단의 평균을 이라 하면 A m x1`f1+x2`f2+x3`f3+x4`f4 N 집단의 평균 m= ) ) ) 3x1`f1+3x2`f2+3x3`f3+3x4`f4 집단의 평균 3N =m 4x1`f1+4x2`f2+4x3`f3+4x4`f4 집단의 평균 2N =2m 2(x1`f1+x2`f2+x3`f3+x4`f4)+( N f1+f2+f3+f4) (x1-m) 2 2 `f1+(x2-m) `f2+(x3-m) 2 2 `f4 `f3+(x4-m) 2 3{(x1-m) 2 `f1+(x2-m) 2 `f3+(x4-m) `f4} 2 8{(x1-m) 2 `f1+(x2-m) 2 `f3+(x4-m) `f4} N 2 `f2+(x3-m) 3N 2 `f2+(x3-m) 2N 2 4{(x1-m) 2 `f1+(x2-m) 2 `f2+(x3-m) 2 `f3+(x4-m) `f4} , , , , c=2a d=2a (∵ b>0 c>0 d>0) N a>0 2 ∴ c+d a+b = 2a+2a a+a = =2 4a 2a 사고력의 날개 본문 P. 30~31 1 예⃝ 주어진 자료를 살펴보면 그 값이 나 과 같이 극단적으 로 작거나 큰 값이 있다. 2 1380 평균은 이처럼 극단적으로 크거나 작은 값의 영향을 받으므 12 (B = (C = (D = =2m+1 2 a = 2 b = 2 =a 2 c = 2 =4a 2 d = 2 =4a , ∴ b=a 지도서1권1대단원.indb 14 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 로 이와 같은 자료의 대푯값으로 적절하지 않다. 따라서 주어진 자료의 대푯값으로는 중앙값이 적절하다. 자료의 중앙값을 구하기 위해서 자료의 값을 작은 값에서부 Ⅱ 피타고라스 정리 터 차례로 나열하면 다음과 같다. STEP C 필수체크문제 본문 P. 41~53 본문 P. 28~41 , , , , , , , , , , , 자료의 수가 2 75 53 60 개이므로 중앙값은 115 150 140 130 번째와 190 300 번째 수의 평균인 1380 380 12 130+140 따라서 중앙값은 2 =135(mg) 이다. 6 7 이다. 예⃝ 중앙값, 135`mg 135`mg 2 예⃝ 라희의 퀴즈테스트의 평균은 점 번이고, 승하가 퀴즈테스트를 치른 총 횟수는 (6\2+7\3+8\1+9\1+10\3)÷10=8( 점과 ) 점을 획득한 횟수가 각각 번 이상이므로 승하는 10 점을 6 번, 8 점 을 번 획득하였거나 1 점을 번, 점을 번 획득하였다. 6 1 8 승하가 2 점을 번, 6 점을 2 번 획득한 경우 1 8 r1par 승하의 퀴즈테스트의 평균은 1 2 6 8 따라서 퀴즈테스트의 평균이 승하가 라희보다 높으므로 (6\1+7\2+8\2+9\4+10\1)÷10=8.2( ) 승하를 퀴즈대회에 참가시키는 것이 타당하다. 승하가 점을 번, 점을 번 획득한 경우 r2par 승하의 퀴즈테스트의 평균은 2 1 8 6 로 라희와 같다. (6\2+7\2+8\1+9\4+10\1)÷10=8( ) 승하와 라희의 퀴즈테스트의 표준편차를 각각 점, 점이 라 하면 2 2 ={(6-8) a 2 \2+(7-8) 2 2 \2+(8-8) +(9-8) \4+(10-8) \1}÷10 b a 2 \1 3rt5~ 5 = 2 \2+(7-8) 2 \1+(10-8) 2 2 a=rt9/5 ∴ 2 ={(6-8) b +(9-8) 2 \3+(8-8) \1 \3}÷10 9 5 = 12 5 = ∴ b=412/5r= 이므로 승하의 퀴즈테스트의 결과가 더 고르다. 2rt15~ 5 따라서 승하를 퀴즈대회에 참가시키는 것이 타당하다. a0) , 세로의 길이는 이므로 카드 의 둘레의 길이는 6`cm 이다. 10`cm (6+10)\2=32(cm) 32`cm 에서 02 03 semoABC ^-BC^-=rt15^2-9^2~~=12(cm) 이므로 ^-BD^- 에서 &=^-CD^-=6(cm) semoABD ^-AD^-=rt9^2+6^2~~=3rt13~(cm) 3rt13`cm , 라 하면 ^-AB^-=2a`cm ^-BH^-=a`cm ^-AH^-=rt(2a)^2-a^2~~=rt3&a(cm) Ⅱ. 피타고라스 정리 15 지도서1권1대단원.indb 15 18. 2. 9. 오후 1:34 ∴ semoECD=1/2\2\2/5=2/5(cm^2) ⑴ ⑵ 2rt5 5 `cm 2/5`cm^2 이므로 semoABC=1/2\2a\rt3&a=rt3&a^2=9rt3~~(cm^2) 따라서 점 a^2=9 ∴ 는 무게중심이고 a>0) a=3(∵ 이므로 G ^-AH^-=3rt3`cm 이다. ^-AG^-=2/3\3rt3=2rt3~~(cm) 2rt3`cm ^-EC^-~^2=^-CF^-\^-CB^- 4/5=^-CF^-\2 ∴ ^-CF^-=2/5(cm) , , , , , 에서 2 2) B(-2 A(2 ^2=(-2-2) ^-AB^- ^2=(0+2) ^2=(2-0) semoABC 따라서 ^-CA^- ^-BC^- 0) C(0 -2) 2 =20 +(0-2) 2 =8 2 +(-2-0) 2 는 +(2+2) =20 2 인 이등변삼각형이다. ^-AB^-=^-CA^- 인 이등변삼각형 ^-AB^-=^-CA^- r r r 합동 semoABE semoBCF semoCDG semoDAH(RHS` ) 는 정사각형이다. 따라서 ^-EF^-=^-FG^-=^-GH^-=^-HE^-=^-BF^--^-BE^- 에서 nemoEFGH semoABE ^2c~=rt5^2-4^2~=rt9=3(cm) ^2-^-AE^- =#~^-AB^- 이므로 07 ⑴ A 2`cm 3`cm 1`cm D 1`cm B 2`cm E C I 에서 °이고 ： semoDBE ： gakB=60 이므로 ° ^-BE^- ∴ ^-DE^- 1 ^-BD^-=2 gakD=90 =#~^-BE^-~^2-^-BD^-~^2c~=rt2^2-1^2~~ 는 이등변삼각형이므로 =rt3~~(cm) ⑵ 1`cm^2 semoCEI 이고, 라 하면 에서 ^-EC^-=^-CI^-=1`cm ^-EI^-=x`cm semoADI (rt3&+x)^2+2^2=4^2 ∴ x=rt3`(∵ x>0) ⑴ ⑵ rt3`cm rt3`cm 08 ( ^-BH^- = 아랫변의 길이 윗변의 길이 ) )-( 2 = 16-10 2 =3(cm) 가 직각삼각형이므로 ^-AH^-=6rt2~~(cm)(∵ ^-AH^-~>0) 6rt2`cm ^-EF^-=4-3=1(cm) ∴ nemoEFGH=1`cm^2 D C 2`cm Â5`cm E H B 1`cm FM ⑴ 과 가 만나는 점을 라 하면 ^-AM^- ^-BE^- 에서 H semoABM 는 두 점 ^-AM^-=rt2^2+1^2~~=rt5~~(cm) 에 대하여 대칭인 점이므로 , B E °, ^-AM^- 이다. ^-BH^-=^-HE^- gakBHA=90 ^-BM^-~^2=^-MH^-\^-MA^- 1=^-MH^-\rt5 ∴ ^-MH^-= Z semoBHM (cm) rt5 5 semoBEC(SAS` 닮음 이므로 ) ^-EC^-=2^-HM^-= 는 ⑵ (cm) °인 직각삼각형이고 점 에서 에 내 ^-BE^- ^-BC^-=2 rt3 린 수선의 발을 semoEBC E ^-BC^- ⑵ ∴ ： ： ^-BE^-=2(cm) 에서 2rt5 5 라 하면 gakE=90 F °, °, °이므로 ： semoBCE ： gakB=30 gakC=90 gakE=60 semoABH ^-AH^-~^2=9^2-3^2=72 ∴ 09 ⑴ F A D E C 60æ 30æ 30æ B Â3`cm 에서 ^-BC^- ^-CE^-=rt3 1 04 05 ^-BE^- 06 A 16 지도서1권1대단원.indb 16 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 본문 P. 41~45 ^2c~=rt4^2-2^2~~ ^2-^-OC^- =#~^-OD^- ^-DC^- 색칠한 부분의 넓이 =rt12=2rt3~~(cm) ∴ ( 부채꼴 의 넓이 ) =( )-semoOCD ° DOA ° 60 360 =8/3&pai-2rt3~~(cm^2) (8/3&pai-2rt3&^) cm^2 리 정 스 라 고 타 피 Ⅱ (∵ semoABF semoCBE(SAS` ⑴ )) ⑵ =pai\4^2\ -1/2\2rt3\2 =3-rt3~~(cm^2) 2`cm (3-rt3 )cm^2 ^-OE^-=^-OF^-=#(rt2~~)^2+1^2c~=rt3~~(cm) ∴ ^-OF^-=rt3~~(cm) rt3`cm gakFBD=gakDBC=gakADB 라 하면 ^-BF^-=^-FD^- 이므로 이다. 이므로 ^-CE^-=1(cm) nemoBEDF =nemoABCD-(semoABF+semoBCE) =3-(1/2\rt3\1\2^) 합동 r 10 에서 nemoOABC nemoODEC ^-OB^-=^-OD^-=rt1^2+1^2~~=rt2~~(cm) 에서 11 정사각형의 한 변의 길이를 라 하면 , x`cm 정사각형의 넓이 ^-AB^-=x`cm ^-BC^-=6x`cm )=x\6x=6x^2=18 x>0) x=rt3`(∵ ^2c~ ^2+^-AD^- =#~^-AB^- =rtx^2+(6x)^2~~=xrt37 =rt3\rt37=rt111~(cm) ： ： 에서 , ^-AH^- ： ^-BH^-=1 ： 에서 rt3 ^-BH^-=10rt3`cm 이므로 ^-AH^- ^-CH^-=1 1 ^-CH^-=10`cm ^-BC^-=(10+10rt3 )cm ∴ semoABC=1/2\(10+10rt3 )\10 ( ∴ ^-BD^- 12 13 B 4`cm D C ° 60æ O A gakDOC=60 ^-OB^-=^-OD^-=^-OA^-=4`cm ^-OC^-=^-CA^-=2`cm rt111`cm =50+50rt3 =50(rt3~ &+1)(cm^2) 50(rt3&+1)cm^2 C' F 14 A B 에서 semoFBD D C ^-BF^-=^-FD^-=x`cm 에서 ^-AF^-=(3-x)cm ^2 ^2=^-BF^- ^2+^-AF^- semoABF ^-AB^- 2^2+(3-x)^2=x^2 x=13/6따라서 ∴ 이다. ^-FD^-=13/6~(cm) 15 라 하면 ^-DQ^-=x`cm ^-FQ^-=^-QE^-=(4-x)cm 에서 ^2=^-FQ^- ^2+^-DQ^- ^2 semoFQD ^-FD^- 2^2+x^2=(4-x)^2 따라서 ∴ 이다. x=3/2 ^-DQ^-=3/2`cm 16 4`cm B F A I C E G D P H ^-AC^- ^2+^-BC^-~^2c~=rt4^2+4^2~~ =#~^-AB^- =4rt2~(cm) ^-CG^-=4(cm) ∴ nemoACGE=4\4rt2=16rt2~~(cm^2) Ⅱ . 피타고라스 정리 17 13/6`cm 3/2`cm 지도서1권1대단원.indb 17 18. 2. 9. 오후 1:34 의 그래프와 의 그래프가 만나는 점 의 좌표 는 y=x^2 에서 y=2x-1 P x =1/3\16rt2\2rt2=64/3(cm^3) 64/3`cm^3 점 ∴ , x=1 이고, 의 절편이 이므로 , 이다. P(1 1) y=2x-1 y -1 Q(0 -1) ^-PQ^-=rt(1-0)^2+(1+1)^2~~=rt5 rt5 =semoABC\6=1/2\10\5rt3\6 21 다른풀이 =150rt3~(cm^2) 150rt3`cm^2 는 한 변의 길이가 인 정삼각형이므로 사각뿔 － 의 높이는 의 길이와 같으므로 P ACGE ^-DI^- ^-AC^-=^-BD^-=4rt2~(cm) ∴ ^-DI^-=1/2& 사각뿔 － ^-BD^-=1/2\4rt2=2rt2~~(cm) 의 부피 ∴ ( P ACGE ) 10`cm 17 B M 60æ C A 10`cm 정육각형이므로 °이고 이므로 gakBAC=60 는 정삼각형이다. 의 중점을 ^-AB^-=^-AC^-=10`cm 이라 하면 semoABC ^-BC^- ⊥ 이고, M 은 직각삼각형이다. ^-AM^-~ ~^-BC^- semoABM ∴ 정육각형의 넓이 ^-AM^-=rt10^2-5^2~=5rt3~(cm) ( ∴ ) semoABC\6 = \10^2\6 rt3 4 =150rt3~(cm^2) 18 에서 semoDEF ^2c~=rt5^2-4^2~~ ^2-^-ED^- =#~^-EF^- 에서 =rt9=3(cm) ^-DF^- semoBED ^2c~=rt4^2+8^2~~ ^2+^-BE^- =#~^-ED^- 는 수직이므로 와 =rt80=4rt5~(cm) ^-BD^- 면 ABED ^-DF^- 이다. ^-BD^-jgak^-DF^- ∴ semoBFD=1/2\3\4rt5=6rt5~(cm^2) 삼각뿔 의 부피 － B DEF ) =1/3\(1/2\3\4^)\8=16(cm^3) 의 넓이： , semoBFD 삼각뿔 － 6rt5`cm^2 의 부피： B DEF 16`cm^3 ∴ ( 18 x^2=2x-1 x^2-2x+1=0 (x-1)^2=0 19 ∴ 20 라 하면 ^-OA^-=^-AB^-=x ^-OB^-=rtx^2+x^2~~=rt2&x ^-OC^-=#(rt2&x)^2c+x^2c~=rt3&x ^-OD^-=#(rt3&x)^2c+x^2c~=2x ^-OE^-=@(2x)^2x+x^2x~=rt5&x ^-OF^-=#(rt5&x)^2c+x^2c~=rt6&x=7rt6 ∴ x=7 ∴ semoOAB=1/2&x^2=49/2 semoAOB 6`cm rt3 4 semoAOB= r r 색칠한 부분의 넓이 semoAOB semoCOD \6^2=9rt3~~(cm^2) 이므로 ( 22 직육면체에서 ^-AG^-=rt3^2+4^2+5^2~~=rt50=5rt2~~(cm) ^-EG^-=rt3^2+4^2~~=5(cm) semoAEG=1/2\^-EG^-\^-AE^- 에서 =1/2\^-EI^-\^-AG^- 5\5=^-EI^-\5rt2 ∴ ^-EI^-= (cm) 5rt2 2 23 &^2=^-AF^-\^-AD^- &^2-^-DE^- &^2=^-AD^- 10^2-8^2=^-AF^-\10 ^-AE^- ∴ ^-AF^-=3.6(cm) 49/2 5rt2 2 `cm 3.6`cm semoEOF ) =9rt3\3 =27rt3~~(cm^2) 27rt3`cm^2 지도서1권1대단원.indb 18 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 24 에서 semoABC ^-AC^-=#3^2-(rt5~)^2~c=2(cm) ^-AO^-=1/2\^-AC^-=1(cm) &^2c~ &^2+^-AO^- =#~^-AB^- =@(rt5~)^2+1^2x~=rt6~~(cm) ^-BD^-=2^-BO^-=2rt6~~(cm) ^-BO^- ∴ 25 라 하면 ^-CD^-=x`cm &^2=^-AD^- &^2 &^2+^-BC^- &^2+^-CD^- , x^2=18 4^2+x^2=3^2+5^2 ^-AB^- 따라서 ∴ x=3rt2 (∵ x>0) 이다. ^-CD^-=3rt2`cm 26 직선 의 절편이 , 절편이 이므로 l , x 5 이다. y 10 A(0, 10) 에서 B(5, 0) semoAOB ^-AB^-=rt10^2+5^2~~=5rt5 10\5=^-OH^-\5rt5 ∴ ^-OH^-=2rt5 27 ⑴ 정삼각형 높이는 B 의 한 변의 길이가 이므로 rt3 이것은 정삼각형 2 \4=2rt3~~(cm) 의 한 변의 길이이므로 4`cm 이다. 높이는 A 이다. ⑵ 가로의 길이 \2rt3~=3(cm) rt3 2 ( 직사각형의 넓이 )=3+1+2=6(cm) ∴ ( )=6\2rt3=12rt3~~(cm^2) ⑴ ⑵ 3`cm 12rt3`cm^2 28 의 그래프와 의 그래프가 만나는 두 점의 좌표 는 y=x^2 에서 y=x+2 x x^2=x+2 x^2-x-2=0 (x+1)(x-2)=0 또는 ∴ , x=-1 , , x=2 A(-1 1) B(2 4) ∴ ^-AB^- =rt(-1-2)^2+(1-4)^2~~ =rt18~=3rt2 3rt2 본문 P. 46~51 29 ⑴ A F 5 E B 3 D H C 리 정 스 라 고 타 피 Ⅱ 2rt6`cm [ 그림 ]에서 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 `1 E 이고, ^-BC^- H ^-BH^-=3+3/2=9/2 에서 이다. 따라서 ^-AD^-=rt5^2-3^2~~=4 가 가장 짧은 경로이므로 ^-EH^-=2 ^-BE^- 이다. rt97 ^-BE^-=%(9/2^)^^2+2^2~g= ⑵ 오른쪽 그림에서 삼각뿔 2 3rt2`cm 라 하면 높이는 ⑴의 점 BEF 에서 A 에 semoABF 내린 수선의 길이로 ^-AD^- E 의 길이와 같으므로 － 의 밑면을 A 3/2 F D E C B 이다. ^-DH^- 이므로 ^-AF^-=2/3\^-AD^-=8/3 semoABF=1/2\3\8/3=4 삼각뿔 － 의 부피 2rt5 ∴ ( A BEF )=1/3\4\3/2=2 ⑴ ⑵ rt97 2 2 30 A B E P H D C 3Â3`cm F Q a`cm R G ⑴ 의 한 변의 길이를 라 하면 semoPQR a`cm rt3 2 a=3rt3 ∴ a=6 semoPQR=1/2\6\3rt3=9rt3~~(cm^2) 가 겹치고 , , ⑵ semoPQR 와 semoPQE 가 겹친다. semoPHR semoEFQ 구하는 넓이 semoRGH ∴ ( ) =3rt3\24-9rt3\3 =45rt3~~(cm^2) ⑴ ⑵ 9rt3`cm^2 45rt3`cm^2 31 &^2=3^2+4^2=25 ^-AB^- &^2=3^2+3^2=18 ^-AC^- &^2=49 ^-BC^- Ⅱ . 피타고라스 정리 19 지도서1권1대단원.indb 19 18. 2. 9. 오후 1:34 이므로 49>18+25=43 &^2+^-AC^- &^2 &^2>^-AB^- ° gak&x>90 ^-BC^- ∴ 32 A D E B H' C H ② ^-BD^-=^-BF^- =rt9^2+6^2~~ 점 에서 에 내린 =3rt13~(cm) 수선의 발을 ^-DF^- B 이라 하면 M ^-BM^- =#(3rt13~)^2-3^2c =6rt3~(cm) semoBDF=1/2\6\6rt3=18rt3~(cm^2) B 3Â13Ê`cm D F M 3`cm 18rt3`cm^2 35 ∴ 36 에서 semoACD ^-AC^-=#(2rt3~~)^2+2^2~c=4(cm) 2\2rt3=4\^-DE^- ∴ ^-DC^- ^-DE^-=rt3~(cm) ^2=^-CE^-\^-CA^- 에서 2^2=^-CE^-\4 ∴ ^-CE^-=1(cm) ∴ 는 직사각형이므로 ^-AE^-=^-AC^--^-CE^-=3(cm) ^-AE^- nemoABCD ^2=^-BE^- ^2 ^2+^-DE^- ^2+^-CE^- ^2+3 9+1=^-BE^- ^-BE^-=rt7~(cm)(∵ ∴ ^-BE^->0) 37 E B F 4`cm A M P 8`cm D C N 8`cm H 8`cm I 8`cm G ⑴ 에서 두 점 , 에서 에 내린 수선의 발을 각각 , 라 하면 H H' ^-CE^- ^-BC^- E D &^2+^-EH^- &^2=^-BH^- &^2 ^-BE^- &^2+^-EH^- &^2=^-CH^- &^2 &^2=^-BH^- &^2=(^-BH^-+^-CH^-)(^-BH^--^-CH^-) &^2-^-CH^- &^2-^-CE^- 가 이등변삼각형이므로 ^-BE^- =^-CH^- semoABC BH' &^2 &^2-^-CE^- =(^-BH^-+^-CH^-)(^-BH^--^-CH^-) =^-BC^-\^-DE^-=5\3=15 이때 ∴ 이다. ^-BE^- ∴ 15 ^-AE^-=^-ED^-= 는 이등변삼각형이므로 \6=3rt3~~(cm) rt3 2 semoAED 높이 )=#(3rt3~)^2-3^2c~=3rt2~~(cm) semoAED=1/2\6\3rt2=9rt2~~(cm^2) 9rt2`cm^2 33 ( ∴ 34 E O cm5 2 G H' 5`cm 에서 점 semoEFG 에서 에 내린 수선의 발을 ^-EG^-=rt3^2+4^2~~=5(cm) 이라 하면 O ^-EG^- H' 에서 semoOEG=1/2\5\ OH' =15(cm^2) ∴ ^-OG^-=%6^2+(5/2^)^^2b=rt169/4~~ =6(cm) OH' =13/2(cm) 20 semoEFG ^2c~ ^2+^-GH^- =#~^-EH^- =rt8^2+8^2~~=8rt2~~(cm) 에서 ^-EG^- ⑵ semoMND ^2+^-ND^- ^2c~ =#~^-MD^- 에 내린 수선의 발을 에서 =rt4^2+4^2~~=4rt2~~(cm) ^-MN^- 점 N ^-EG^- 이므로 I 라 하면 ^-EG^-=^-MN^-+2^-GI^- 13/2`cm ^-GI^-=1/2(8rt2&-4rt2~~)=2rt2~~(cm) rt7`cm 지도서1권1대단원.indb 20 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이5 4 5 4 5 4 에서 semoCGN ^2c~ ^2+^-CG^- =#~^-NC^- 에서 =rt4^2+8^2~~=4rt5~~(cm) ^-GN^- 이므로 ^-NI^- semoNIG ^2c~ ^2-^-GI^- =#~^-GN^- =#(4rt5~~)^2-c(2rt2~~)^2c~=6rt2~~(cm) ∴ nemoMEGN=1/2\(4rt2&+8rt2~~)\6rt2 ⑶ =72(cm^2) semoMND=1/2\4\4=8(cm^2) =( P EGH )-( P MND ) 16/5`cm semoEGH=1/2\8\8=32(cm^2) 의 연장선이 만나는 점을 , , 라 하면 ^-ME^- ^-NG^- 와 ^-DH^- 의 닮음비가 ： 이므로 P semoPND 구하는 부피 semoPGH 1 2 ^-PD^-=8(cm) ∴ ( 삼각뿔 － ) 의 부피 삼각뿔 － 의 부피 =1/3\32\16-1/3\8\8 =448/3(cm^3) ⑴ ⑵ ⑶ 8rt2`cm 72`cm^2 448/3`cm^3 38 ⑴ 각 원의 중심을 왼쪽부터 , , , , 라 하면 O_1 O_2 이므로 O_3 O_4 O_5 ^-O_1^-O_2=^-O_2^-O_3=^-O_3^-O_4=^-O_4^-O_5=2 ^-O_1^-O_3=^-O_3^-O_5=2rt3 ⑵ ① 원이 l=1+2rt3&+2rt3&+1=2+4rt3 개일 때 ∴ n =1+(n-1)rt3&+1 l ② =(n-1)rt3&+2 이므로 l=(n-1)rt3&+2 (n-1)rt3&+2-<100<rt3&n+2 <n-< 98rt3 3 따라서 최대 56.5 … +1 … 98rt3 3 개 들어갈 수 있다. <n-<57.5 리 정 스 라 고 타 피 Ⅱ 본문 P. 51~54 STEP B 내신만점문제 본문 P. 54~65 02 ⑴ ⑵ 03 rt41`cm 04 ⑴ 2rt2`cm ⑵ (1+rt3~~)cm 2rt110`cm^2 06 ⑴ 2rt2`cm 10rt13`cm^2 ⑵ 128rt17 3 `cm^3 08 5rt5 2 `cm 09 ⑴ 133/12`cm^2 ⑵ 3`cm 15/4`cm 6rt2 2rt21 01 05 07 10 ⑵ 3rt5`cm 15/2`cm 12 ⑴ 9/2`cm^2 14 84/25`cm^2 16 228/5`m^2 18 ⑴ 11 13 2rt53`cm 12rt3`cm^2 15 9/10`cm 17 20rt3 ⑵ 8rt6 3 6rt34 5 ⑵ 16rt2`cm^2 19 ⑴ ⑵ `cm ⑶ 20 ⑴ 21 0-<x-<4rt2 y= `cm rt34`cm ⑶ 4rt2 3 x 4rt5 5 `cm 22 ⑴ ⑵ 10(rt2&-1)cm 23 24 ⑴ 5rt3`cm ⑵ (5pai+10)cm 25 (3+rt5~~)cm 26 12`cm 1, 5 27 5(rt6&-rt2~~)cm 2rt39`cm 28 ⑴ ⑵ 5`cm ` 29 25/4`cm (12-4rt3~~)cm 31 32 ② 6`cm 30 7rt2 6 33 ⑴ a^3 ⑵ 34 ⑴ 4`cm ⑵ 64/9`cm^2 pai`cm^3 15 35 ⑴ 8+rt97 16, 24 8, ⑶ 1664 81 ⑵ 900^(1-rt3&+pai/3^)`cm^2 900(2-rt3~~)cm^2 01 A 3`cm B 2`cm E D C F P 4`cm 리는 의 길이와 같다. ^-AF^- ∴ ^-AF^-=rt5^2+4^2~~=rt41~(cm) 02 ⑴ 정삼각형 rt41`cm 의 한 변의 길이를 라 하면 AEF x`cm Ⅱ . 피타고라스 정리 21 ⑴ 57 ⑵ ① ② 개 2+4rt3 (n-1)rt3&+2 57 선이 지나는 부분의 전개도는 위의 그림과 같고 구하는 최단 거 지도서1권1대단원.indb 21 18. 2. 9. 오후 1:34 ∴ y=1±rt3 이므로 직사각형의 한 변의 길이는 이다. 2<y<2rt2 ⑴ ⑵ (1+rt3~~)cm 2rt2`cm (1+rt3~~)cm 128rt17 3 `cm^3 에서 semoLFG ^-LF^-=rt6^2+4^2~~=2rt13~~(cm) ∴ nemoMEFL=1/2\(4+6)\2rt13 =10rt13~~(cm^2) ⑴ ⑵ 2rt2`cm 10rt13`cm^2 x^2=2rt3 rt3 4 ∴ ⑵ x=2rt2`(∵ r x>0) 합동 semoABE 이고 semoADF(RHS` 이므로 ) ^-BE^-=^-DF^- ^-BC^-=^-DC^- 정사각형 ^-EC^-=^-FC^-=2(cm)(∵ 의 한 변의 길이를 ^-EF^-=2rt2`cm) 라 하면 , ABCD y`cm 에서 ^-AB^-=y`cm ^-BE^-=(y-2)cm semoABE 이므로 ^2 ^2+^-BE^- ^2=^-AB^- ^-AE^- (2rt2~~)^2=y^2+(y-2)^2 8=y^2+y^2-4y+4 y^2-2y-2=0 03 A 7`cm 6`cm B x`cm C {9-x}`cm H 7^2-x^2=6^2-(9-x)^2 ∴ x=47/9 에서 semoABH =%7^2-(47/9^)^^2~b=5 ^-AH^- = 4rt110 9 ~(cm) ∴ semoABC =1/2\9\ 4rt110 9 =2rt110~(cm^2) 04 ⑴ 에서 semoDGC 1760 81 t ^-DG^-=rt6^2+6^2~~=6rt2`(cm) ∴ ^-NG^-=1/3~^-DG^-=1/3\6rt2 ⑵ =2rt2~~(cm) , 이므로 ^-ML^-=2/3~^-DC^- ^-LG^-=2/3~^-CG^- ^-ML^-=^-LG^-=2/3\6=4(cm) 22 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하고, 라 하 면 A ^-BC^- H ^-BH^-=x`cm 2rt110`cm^2 05 이므로 에서 ^-AC^-=8rt2`cm ^-HC^-=4rt2`cm semoOHC ^-OC^-~^2=^-HC^-~^2+^-OH^-~^2 정사각뿔 － ^-OH^-=#10^2-(4rt2~~)^2c~=2rt17~~(cm) ) ∴ ABCD 의 부피 O ( =1/3\8^2\2rt17 = 128rt17 3 (cm^3) 06 ⑴ 에서 이므로 semoDFC ^-FD^-=5`cm ^-FC^-=rt5^2-4^2~~=3(cm) ∴ ^-BF^-=5-3=2(cm) 라 하면 ^-BE^-=x`cm Z 이므로 semoEBF ： semoFCD ： x 2=3 4 ∴ x=3/2 ^-AE^-=4-3/2=5/2(cm) 에서 semoAED ⑵ ^-DE^-=%(5/2^)^^2+5^2~g= Z semoFGH 라 하면 semoFDC 5rt5 이므로 2 (cm) ^-FG^-=y`cm ^-HG^-=^-CG^-=(3-y)cm ： ： y 5=(3-y) 4 ∴ y=5/3 ^-GC^-=3-5/3=4/3(cm) semoAED+semoDGC =1/2\5\5/2+1/2\4\4/3 =25/4+8/3=107/12(cm^2) ∴ nemoEBGD =nemoABCD-(semoADE+semoDGC) =5\4-107/12=133/12(cm^2) ⑴ ⑵ 5rt5 2 `cm 133/12`cm^2 지도서1권1대단원.indb 22 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 점 를 지나고 에 평행한 선을 그어 와 만나는 점을 라 하고, 점 B 에서 ^-PE^- 에 내린 수선의 발을 ^-AC^- 라 하면 H 07 A 5`cm 5`cm H E C Q D B P Â10Ê`cm P r ^-BH^- 합동 이므로 Q semoDBP semoQPB(RHA` ) ^-DP^-+^-EP^-=^-BQ^-+^-QH^-=^-BH^- 라 하면 ^-CH^-=x`cm 에서 semoABH 에서 semoBCH ^-AH^-=5-x(cm) ^2=5^2-(5-x)^2 ^-BH^- ^2=(rt10~)^2-x^2 ^-BH^- 5^2-(5-x)^2=(rt10~)^2-x^2 25-25+10x-x^2=10-x^2 ∴ ^-BH^- x=1 ^2=(rt10~)^2-1^2=9 ^-BH^-=3(cm)(∵ 따라서 ∴ 다른풀이 ^-DP^-+^-EP^-=3`cm 이다. ^-BH^->0) semoABC=1/2\rt10\%5^2-^( rt10 2 ^)^^2b =15/2(cm^2) semoABC=semoABP+semoACP =1/2\5\^-DP^-+1/2\5\^-EP^- =5/2(^-DP^-+^-EP^-) 5/2(^-DP^-+^-EP^-)=15/2 ∴ ^-DP^-+^-EP^-=3(cm) 08 A B 3x 9-4x 3x 8-4x O D x x O' x 3x C 본문 P. 54~57 16x^2-136x+145=0 (4x-29)(4x-5)=0 또는 ∴ x=29/4 이므로 x=5/4 x<2 원 x=5/4` 의 반지름의 길이 ( ∴ O )=3x=3\5/4=15/4(cm) 15/4`cm H 리 정 스 라 고 타 피 Ⅱ ⑵ 전개도를 이용하여 점 ^-AF^-=6rt2 에서 에 내린 수선의 발을 라 09 ⑴ nemoAEFC 는 정사각형이므로 하면 Â3 F E Â3 H Q Â3 6 B P ^-EQ^- 9 A 3 3 D P C 3`cm ^-PH^-=6+3=9 ^-EH^-=^-HQ^-=1/3\ ^-EF^-=rt3 rt3 2 ∴ ^-PQ^-=#9^2+(rt3~~)^2~c=rt84=2rt21 ⑴ ⑵ 6rt2 2rt21 10 이므로 gakEBD=gakDBC=gakEDB 는 이등변삼각형이다. semoEBD 라 하면 ^-AE^-=a`cm 이고 직각삼각형 ^-EB^-=^-ED^-=(16-a)cm 에서 ABE (16-a)^2=12^2+a^2 256-32a+a^2=144+a^2 32a=112 ∴ a=7/2 ∴ ^-EB^-=16-7/2=25/2(cm) 이므로 ^-BD^-=rt12^2+16^2~~=20(cm) 이고, ^-BF^-=1/2~^-BD^-=10(cm) 직각삼각형 에서 BEF ^-EF^-=%(25/2^)^^2-10^2~b=15/2(cm) 다른풀이 원 , 의 반지름의 길이를 각각 , 라고 하면 O O' 3x`cm x`cm (9-4x)^2+(8-4x)^2=(3x+x)^2 15/2`cm Ⅱ . 피타고라스 정리 23 지도서1권1대단원.indb 23 18. 2. 9. 오후 1:34 에서 이므로 는 둔각이고, 평행사변형 semoABC=1/2\4rt3\6=12rt3~~(cm^2) 12rt3`cm^2 semoABC 를 그리면 위의 그림과 같다. 20^2>15^2+9^2 gakB 점 ABCD 에서 의 연장선 위에 내린 수선의 발을 라 하고 C ^-AD^- 라 하면 E Z 이므로 ： semoEBF ： semoDBC ^-BF^- ： ： ^-BC^-=^-EF^- ^-DC^- 10 16=^-EF^- 12 ∴ ^-EF^-=15/2(cm) 11 A D E 20`cm 15`cm O B F 9`cm C ^-DE^-=x`cm , 이므로 ^-AD^-=9`cm , ^-CD^-=15`cm 20^2-(9+x)^2=15^2-x^2 -18x=-94 x=47/9점 ∴ 에서 에서 ^-BC^- D F semoDFC ^2=15^2-(47/9^)^^2= ^-DF^- 에서 16016 81 semoDBF ^2= ^-BD^- 16016 81 +(9-47/9^)^^2= =212 17172 81 ^-BD^->0) ∴ ^-BD^-=2rt53~~(cm)(∵ S D R C 이고, E Q 12 A P E' B ⑴ 24 ^-PE^-=^-AP^-=3`cm r 이므로 이다. semoAPS 이 되도록 semoBQP 위에 점 ^-BQ^-=3`cm 을 잡으면 ^-PE^-= PE' ^-PB^- E' r 이므로 semoEPQ semoE'PQ semoEPQ=semoE'PQ =1/2\3\3=9/2~(cm^2) ⑵ ^-EQ^-= E'Q =rt6^2+3^2~~=3rt5~~(cm) ⑴ ⑵ 9/2`cm^2 3rt5`cm 의 한 변의 길이를 라 하면 ABC 이므로 a`cm ^-AM^-= a=6(cm) rt3 2 = 12rt3 3 =4rt3 13 정삼각형 12 rt3~~ a= ∴ 14 이므로 ^-AB^-=rt8^2+6^2~~=10(cm) ^-AM^-=^-MC^-=5(cm) 에서 10\^-CD^-=8\6 `^-CD^-=24/5(cm) semoCDM=1/2\7/5\24/5=84/25(cm^2) 84/25`cm^2 ∴ 15 에서 semoABQ ^-AQ^-=rt5^2-4^2~~=3(cm) 2rt53`cm 또, ∴ 에서 ^-DQ^-=2(cm) 라 하면 semoDPQ ^-DP^-=x`cm 이므로 ^-PQ^-=^-PC^-=(4-x)cm x^2+2^2=(4-x)^2 ∴ x=3/2 ^-PQ^-=4-3/2=5/2(cm) ^2=^-PH^-\^-PQ^- ^-DP^- (3/2^)^^2=^-PH^-\5/2 ∴ ^-PH^-=9/10(cm) 16 9/10`cm 에 내린 수선의 발을 라 하면 ^-DM^-=%5^2-(24/5^)^^2g~=7/5(cm) 지도서1권1대단원.indb 24 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이5 4 5 4 D 9`m 18 ⑴ °이고 2Â34Ê`m 9`m D A 6`m E B 8`m C 에서 semoABE E 6`m 10`m B 8`m C{A} ^-BE^-=#(2rt34~)^2-6^2c~=10(m) 에서 semoBCE ° ° ^-CE^-=rt10^2-8^2~~=6(m) ° °이고, 이 므로 gakAED+gakBEC=360 가 맞붙도록 와 -90 -90 를 움직이면 다음과 같다. =180 ^-AE^-=^-CE^- D semoAED A 6`m E 2Â34Ê`m 9`m D ^-AE^- ^-CE^- 9`m E 6`m 10`m B 8`m C B 8`m C{A} 본문 P. 57~60 gakPDR=60 ： ： ： 이므로 ^-DP^- 는 ^-DR^-=8 4=2 °인 직각삼각형이다. 1 semoPRD gakR=90 ∴ ^-PR^-=4rt3~~(cm) 이고 와 의 닮음비가 semoDAB semoDPQ semoDAB Z 이므로 ： semoDPQ 2 3 ^-PQ^-=12\2/3=8(cm) 점 에서 에 내린 수선의 발을 이라 하면 이 M ^-PR^-=^-RQ^- 므로 R ^-PQ^- ^-PM^-=4`cm ^-RM^-=#(4rt3~~)^2-4^2c~=4rt2~~(cm) ∴ semoPQR=1/2\^-PQ^-\^-RM^- =1/2\8\4rt2 ⑵ 를 밑면으로 하는 사면체 =16rt2~~(cm^2) 의 높이는 semoQRD ： ： 에서 정사면체 의 높이의 이다. PQRD ^-PD^- ∴ ( ^-AD^-=2 3 사면체 의 높이 ABCD 2/3 PQRD )=2/3\( \12^) rt6 3 = 8rt6 3 ⑴ (cm) 16rt2`cm^2 ⑵ 8rt6 3 `cm 리 정 스 라 고 타 피 Ⅱ semoEBC=1/2\8\6=24(m^2) ∴ semoDBC=19/10semoEBC =19/10\24=228/5(m^2) 따라서 꽃밭이 될 부분의 넓이는 이다. 228/5`m^2 228/5`m^2 17 B A P Q E C D ^-BP^-=^-QE^- gakBCP=30 , ^-BP^-=1/2& ^-BC^-=2 ^-PC^-= ^-BC^-=2rt3 rt3 2 ∴ ^-BE^-=^-BP^-+^-PQ^-+^-QE^-=2+4+2=8 에서 semoABE 오각형 의 넓이 ^-AE^-=rt8^2-4^2~~=4rt3 ∴ ( ABCDE ) =semoABE+ nemoBCDE =1/2\4rt3\4+1/2\(8+4)\2rt3 =8rt3&+12rt3=20rt3 20rt3 19 ⑴ A 6`cm D' {10-x}cm x`cm E {10-x}cm H D C 10`cm 라 하면 x`cm F B ∴ gakAFE=gakAEF ^-AE^-=^-AF^-=10-x(cm) ^-FC^-=^-AF^-=10-x(cm) 에서 ^-BF^-=x`cm semoABF , (10-x)^2=6^2+x^2 20x=64 x=16/5 ∴ 따라서 이다. ^-DE^-=16/5`cm , 이므로 는 등변사다리꼴이다. , 두 점 ^-BC^-=^-ED^- 에서 gakC=gakD 에 내린 수선의 발을 각각 nemoBCDE , 라 하면 C , D ^-BE^- °이므로 P Q ^-DE^-=x`cm , 엇각 gakAFE=gakEFC gakAEF=gakEFC`(∵ ) Ⅱ . 피타고라스 정리 25 지도서1권1대단원.indb 25 18. 2. 9. 오후 1:34 ⑵ cm16 5 E D F C I cm34 5 ^-FC^-=10-16/5=34/5~(cm) 에 내린 수선의 발을 에서 점 라 하면 E ^-FC^- I ^-FI^-=34/5-16/5=18/5~(cm) 에서 ^-EI^-=6(cm) semoEFI ^-EF^-=%6^2+(18/5^)^^2b~= 6rt34 는 마름모이므로 5 ⑶ (cm) 이고 이다. nemoAFCE ^-AC^-jgak^-EF^- ^-AH^-=^-CH^- ^-CH^-=1/2^-AC^-=1/2\rt6^2+10^2~ =rt34~(cm) ⑴ ⑵ ⑶ 16/5`cm `cm rt34`cm 6rt34 5 20 ⑴ ^-GB^-=rt4^2+4^2~~=4rt2~~(cm) ⑵ ∴ 0-<x-<4rt2 D 4`cm A B C G P K 4`cm H E 4`cm F semoEFH=1/2\4\4=8(cm^2) 에 내린 수선의 발을 에서 점 라 하면 ^-FG^- 에서 P ^-PK^-\rt2=x y=1/3\8\ ∴ 삼각뿔 － ⑶ ^-PK^-= rt2 2 4rt2 rt2 x= 2 3 의 부피 x K x(cm) ( P 의 점 EFH 에서 )=1/3\8\2=16/3~(cm^3) 에 내린 수선의 길이는 semoPEH P ^-EH^- 이다. rt4^2+2^2~~=2rt5~~(cm) semoPEH=1/2\4\2rt5=4rt5~~(cm^2) 구하는 높이를 라 하면 h`cm 1/3\4rt5\h=16/3 26 ⑶ 4rt2 3 x 4rt5 5 `cm 4rt5 5 따라서 구하는 높이는 h= ∴ 4rt5 5 `cm 이다. ⑵ ⑴ 0-<x-<4rt2 y= 21 `cm A 10-x 2 10-x 2 `cm C x`cm B x`cm 10`cm 10`cm 정팔각형의 한 변의 길이를 라 하면 에서 이므로 semoABC ^-BA^-=^-CA^-= `cm x`cm 10-x 2 rt2\ 10-x 2 =x (rt2&+1)x=10 ∴ 따라서 정팔각형의 한 변의 길이는 =10(rt2&-1) x= 10 rt2&+1 이다. 10(rt2&-1)cm 10(rt2&-1)cm C D A 22 B O ⑴ ⑵ 23 는 , , semoCOD ^-OD^-=5`cm °인 직각삼각형이다. ^-OC^-=10`cm gakCDO=90 ∴ ^-CD^-=rt10^2-5^2~=5rt3~~(cm) BC+ CO= AB=1/4\2pai\10 색칠한 부분의 둘레의 길이 =5pai(cm) ∴ ( ) = AB+^-OB^-=5pai+10(cm) ⑴ ⑵ 5rt3`cm (5pai+10)cm 라 하면 ^-BE^-=x`cm ^-AB^-=#~^-AE^- ^2+^-BE^- ^2c~=@4+x^2w~ semoABE+semoBCF+semoCDG+semoDAH=2/3&nemoABCD 지도서1권1대단원.indb 26 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이Y Y Y Y 본문 P. 60~63 semoABE=semoBCF=semoCDG=semoDAH 이므로 =1/2\2\x=x(cm^2) 4x=(@4+x^2w~)^2\2/3 z x^2-6x+4=0 이므로 ∴ x=3 이다. rt5~~ x>2 ^-BE^-=(3+rt5~~)cm (3+rt5~~)cm 5rt2~~= ∴ x x+1/2&x rt3 2 10rt2 rt3&+1 =5(rt6&-rt2~~) = = 10rt6&-10rt2~~ 2 5(rt6&-rt2~~)cm 24 ⑴ t=2 이므로 ^-AP^-=2\2=4(cm) ^-PC^-=12-4=8(cm) 이므로 Z ： semoABC ： semoPSC ： ^-AC^- ： ^-AB^-=^-PC^- ^-PS^- 12 18=8 ^-PS^- ⑵ ∴ ^-PS^-=12(cm) 이므로 에서 ^-AP^-=2t`cm 이다. gakA=30° ： ^-PQ^-=t`cm ： ^-PC^- ： ^-AC^-=^-PS^- ： ^-AB^- 12=^-PS^- 18 (12-2t) ∴ ^-PS^-= nemoPQRS 36(6-t) 12 =^-PQ^-\^-PS^- =18-3t(cm) =t(18-3t)=15(cm^2) 3t^2-18t+15=0 3(t^2-6t+5)=0 (t-5)(t-1)=0 또는 ∴ t=1 t=5 25 A 30æ 5`cm M 60æ E B D F C 와 가 만나는 점을 이라 하고 정삼각형 ^-AC^- ^-EF^- 의 한 변의 길이를 M 라 하면 에서 AEF x`cm semoAEM , ^-AM^-= rt3 ^-EM^-=1/2&x(cm) 는 직각이등변삼각형이므로 2 semoEMC x(cm) ^-EM^-=^-MC^-=1/2&x(cm) 에서 ^-AC^-=^-AM^-+^-MC^- 이므로 ^-AC^-=5rt2~~(cm) ⑴ ⑵ , 12`cm 1 5 26 A 4`cm B E 30æ 5`cm 60æ D C °, 에서 °이므로 ： semoBCD gakD=90 ： gakC=60 ^-BD^- ： ： ^-CD^-=rt3 1 ^-BD^- 5=rt3 1 리 정 스 라 고 타 피 Ⅱ ∴ ^-BD^-=5rt3~~(cm) 가 직사각형이 되도록 그리면 nemoBECD ^-AC^-=#(4+5)^2+c(5rt3~~)^2c~=2rt39~(cm) 2rt39`cm 27 semoCDF 에서 이므로 ^-CF^-=rt15^2-9^2~~=12(cm) 이다. ^-BF^-=15-12=3(cm) 라 하면 ^-EF^-=x`cm , 에서 ^-EA^-=^-EF^-=x`cm ^-BE^-=(9-x)cm semoBEF 따라서 x^2=3^2+(9-x)^2 이다. ∴ x=5 ^-EF^-=5`cm 28 ⑴ 29 ⑵ 이므로 ^-BC^-=rt10^2-8^2~~=6(cm) Z ： semoABC ： semoAED ： ^-AB^- ： ^-AE^-=^-AC^- ^-AD^- 8 5=10 ^-AD^- ∴ ^-AD^-=25/4~(cm) semoAEP=1/2\^-AE^-\^-EP^- 의 넓이가 이상이려면 semoAEP 24`cm^2 1/2\6\^-EP^-->24 ∴ ^-EP^-->8(cm) 5`cm ⑴ ⑵ 6`cm 25/4`cm Ⅱ . 피타고라스 정리 27 지도서1권1대단원.indb 27 18. 2. 9. 오후 1:34 이상이어야 하므로 점 ^-FP^-->0) 의 자취의 길 P 점 가 위에 있을 때 r1par 4^2+^-FP^- P ^-FG^- ^2->8^2 의 길이는 ^-FP^-->4rt3~~(cm)(∵ ∴ 이는 ^-FP^- 4rt3`cm 이다. 점 가 (8-4rt3~~)cm 위에 있을 때 r2par P ^-GH^- ^-EP^-->^-EH^-=8 의 길이는 항상 이상이므로 점 ^-EP^- 의 자취의 길이는 8`cm 이다. 점 P 의 자취의 길이 ^-HG^-=4`cm ∴ ( P ) =8-4rt3~ &+4=12-4rt3~~(cm) (12-4rt3~~)cm ⇨ 만족하는 자연수 (x-y)(x+y)=2 , 가 없다. 일 때 x y ^-AB^-=x ^-BC^-=y`(x>y) ^-AD^-=a , 라 하면 31 B x y , A C a a D x^2-y^2=2a^2 일 때 (x-y)(x+y)=2a^2 r1par a=1 r2par a=2 (x-y)(x+y)=8 , , (x 일 때 y)=(3 1) r3par a=3 ⇨ 만족하는 자연수 (x-y)(x+y)=18 , 가 없다. 일 때 x y r4par a=4 , (x-y)(x+y)=32 , , , (x 일 때 y)=(9 7) (6 2) 의 둘레의 길이 x y ∴ (nemoABCD ) 또는 =x+y+2a 또는 =8 32 24 6 6 B D 6 K 16 A r O H C V J H 30 E a a A 60æ G F D I C a 60æ B ^-VE^-=^-VF^-=a 에서 정사각형 ^-AB^-=^-VB^-=^-VA^-=2a ABCD 점 ^-AC^-=rt(2a)^2+(2a)^2~~=2rt2&a 에 내린 수선의 발을 에서 라 하면 와 가 수직으로 만나는 점을 ^-EG^-=rt2&a EFGH 라 하면 I J V ^-AC^- 사각뿔 － ^-VI^-=#(2a)^2-(rt2&a)^2c~=rt2&a ∴ ABCD V 의 부피 V_1) ( =1/3\2a\2a\rt2&a a^3` 또, 정사각형 = 4rt2 3 에서 ^-VI^- ^-EG^- ^-VJ^-= rt2 사각뿔 2 a － 의 부피 ( ∴ V EFGH V_2) rt2 =1/3\a\a\ 사각뿔대의 부피 2 ) ∴ ( a= rt2 6 a^3 =V_1-V_2 4rt2 3 a^3- a^3= rt2 6 7rt2 6 a^3 = 28 정사각뿔 － 에서 와 는 각각 정삼각 r5par a=5 형이므로 V ABCD semoVEF semoVAB ⇨ 만족하는 자연수 (x-y)(x+y)=50 , 가 없다. , , 8 16 24 위의 그림과 같이 구의 중심 는 점 에서 에 내린 수 선 위에 있다. O A semoBCD 또, 점 AH 는 의 무게중심이므로 H semoBCD ^-DH^-=2/3~^-DK^-=2/3\ 는 직각삼각형이므로 \6=2rt3 rt3 2 semoAHD 정사면체가 구에 내접하므로 ^-AH^-=#6^2-(2rt3~~)^2c~=2rt6 7rt2 6 a^3 지도서1권1대단원.indb 28 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 이다. ② H F H F 라 하면 ^-OA^-=^-OD^-=r 는 직각삼각형이므로 semoOHD ^2 ^2=^-OD^- ^2+^-DH^- ^-OH^- (^-AH^--r)^2+^-DH^-~^2=r^2 (2rt6&-r)^2+(2rt3~~)^2=r^2 24-4rt6&r+r^2+12=r^2 4rt6&r=36 r= ∴ 따라서 구의 반지름의 길이는 3rt6 2 3rt6 2 33 ⑴ 라 하면 ^-AO^-=x`cm 에서 ^-BO^-=(x+2)cm x^2+(x+2)^2=(2rt5~~)^2 semoABO ∴ x=2 ⑵ ∴ ^-AC^-=2x=4(cm) 축, 를 를 축, 대각선의 교점 를 원점이라 하면 ^-AC^- 직선 y ^-BD^- 의 식은 x , O 직선 AB 의 식은 y=1/2&x+2 이므로 EG , y=-x E(-4/3 4/3^) ∴ nemoEFGH=8/3\8/3=64/9(cm^2) ⑶ ^{1/3&pai\4^2\2-1/3&pai\(4/3^)^^2\2/3^}\2 = 1664 81 pai(cm^3) ⑴ ⑵ 4`cm 64/9`cm^2 A ⑶ 1664 81 34 ⑴ 4A B 8 9 E P F C G 위의 그림에서 와 가 일직선일 때 최소이므로 ^-AP^- ^-PG^- ^-AG^- =rt9^2+(4+8)^2~~ ⑵ 점 =rt81+144~=rt225~=15 에 있을 때 가 점 r1par P B ^-AP^-+^-PG^- =^-AB^-+^-BG^- 점 가 점 =4+rt9^2+8^2~~=4+rt145~ 에 있을 때 r2par P F 본문 P. 63~65 ^-AP^-+^-PG^- =^-AF^-+^-FG^- 따라서 =rt4^2+9^2~+8=8+rt97~ 의 최댓값은 이다. ^-AP^-+^-PG^- 8+rt97~ ⑴ ⑵ 15 8+rt97 P G E Q D C 35 ⑴ A D A G E B C B 는 정삼각형이므로 semoGBC semoGBC= \30^2=225rt3~~(cm^2) 이므로 rt3 4 gakABG=30° ⌔ 의 넓이 ABG 의 넓이 ~AGD )=pai\30^2\ 30° 360° )=nemoABCD-semoGBC-2\ =75pai(cm^2) ⌔ ABG ( ( =900-225rt3&-2\75pai 색칠한 부분의 넓이 =900-225rt3~ &-150pai(cm^2) ∴ ( ) ⌔ =nemoABCD-4(nemoABCD- ABC- ~AGD) =900-4(900-225pai-900+225rt3&+150pai) 리 정 스 라 고 타 피 Ⅱ =900-4(225rt3&-75pai) =900-900rt3&+300pai ⑵ A D =900(1-rt3&+pai/3^)(cm^2) pai`cm^3 G H F E B C B H F P G E Q D C ^-GQ^-= \30=15rt3~~(cm) rt3 2 ^-PG^-=30-15rt3~~(cm) ^-GE^- =30-2(30-15rt3~~) 정사각형 =30rt3&-30(cm) 의 대각선의 길이는 EFGH 이므로 (30rt3~~-30)cm nemoEFGH=(30rt3~~-30)^2\1/2 =900(2-rt3~~)(cm^2) ⑴ ⑵ 900(1-rt3&+pai/3^)`cm^2 900(2-rt3~~)cm^2 Ⅱ . 피타고라스 정리 29 지도서1권1대단원.indb 29 18. 2. 9. 오후 1:34 본문 P. 66~77 사분원 이때 =2{ 는 반지름의 길이가 -2(S+semoEBC)+semoEBC} 이고, 중심각의 크기 02 ⑴ ⑵ 가 인 부채꼴의 넓이이다. S+semoEBC 8`cm 84`cm^2 4`cm H B ⑴ 이므로 12`cm^2 24/5`cm , 120/49`cm 19 HC' =4`cm 와 , ^-BC^-=1/2\(2+4)=3(cm) 의 교점을 각각 이라 하면 , STEP A 최고수준문제 01 03 ⑴ 32(rt3&-pai/3^)`cm^2 , 9rt3 4 `cm^2 rt7`cm ⑵ AC =4rt2`cm ⑵ AD =14/3`cm 05 04 ⑴ 06 4rt3`cm 07 ⑴ 8rt11`cm^3 , KL =(rt2~~-1)a LM `cm^2 10rt2 9 145rt11 648 =(rt2~~-1)a `cm^2 4rt3 ⑵ a^2pai 2-rt2 08 ⑴ 2 18rt2`cm^2 09 ⑵ ⑶ ⑷ 10 ⑴ 3rt7`cm ⑵ 4rt2`cm ⑶ : 32rt7`cm^3 (40+8rt2~~)cm ⑵ 11 ⑴ 6rt3 ⑶ rt3 3 2 5`cm 12 ⑴ 2rt21`cm^2 ⑵ 6rt7 7 `cm 1/3&a^3`cm^3 6 ⑵ 13 ⑴ ⑶ 16rt2`cm^2 ⑵ 4rt2`cm ⑶ a^2 rt15 4 16 ^-AH^-=12`cm rt14 , 4 a semoABC 14 ⑴ 15 ⑴ ⑶ 8`cm 17 ⑴ rt2`cm ⑵ ⑶ 64/3`cm^3` rt6 a 의 넓이： 2 ⑵ 18 20 25 27 29 ^-AQ^-=10rt14`cm ^-PR^-=10rt6`cm 21 ⑴ ⑵ 6rt2 ` 22 4/9(4pai+3rt3~~) 23 ⑴ : ⑵ 3rt5`cm 12(2-rt3~~)cm 2rt7 24 ⑴ 3 2 ⑵ 24`km 500rt3 `cm^3 3 26 ⑴ 625rt3 6 ⑵ `cm^3 4rt34 rt85 R^(4, 28 ⑴ 4/3^) ° ⑵ 6rt2~~-rt6~~ 11 30 ⑴ ∠ 135 일 때 @5+2rt2~~x ∠ rt15 일 때 x=60° ∠ y=8+4rt3, 일 때 ⑵ x=135° 개 y=10+6rt2, x=180° y=12 105 E 01 A 8`cm S S 60æ B 4`cm H D C 와 가 만나는 점을 라 하면 AC^\ 색칠한 부분의 넓이 BD^\ E ( 사분원 ) -2S-semoEBC)} =2{( 30 60° 는 한 변의 길이가 인 정삼각형이므로 semoEBC 8`cm semoEBC= \8^2=16rt3~~(cm^2) rt3~~ 4 S+semoEBC =pai\8^2\ 색칠한 부분의 넓이 ° ° 60 360 = pai(cm^2) 32 3 )=2(16pai-2\ pai+16rt3~~^) 32 3 =32(rt3&~- pai 3 ^)(cm^2) 32(rt3&~- ^)`cm^2 pai 3 ∴ ( 02 A 2`cm C' N C G M 2`cm 은 이등변삼각형이고 ^-AG^- C'H ^-BC^- N 이므로 M semoAGC' gakC'AG=30° , ^-AG^-=2^-AN^-=2rt3~~(cm) ^-AM^-=3/4~^-AG^-= (cm) 3rt3~~ 2 ∴ semoABC=1/2\^-BC^-\^-AM^- ⑵ =1/2\3\ , 3rt3~~ 2 = 9rt3~~ 4 이고 (cm^2) ^-AM^-= 3rt3~~ 는 직각삼각형이다. 2 ^-CM^-=1/2`cm `cm semoAMC ∴ ^-AC^-=%^( ^)^^2+(1/2^)^^2b~=rt28/4~~=rt7~~(cm) 3rt3~~ 2 ⑴ ⑵ 9rt3 4 `cm^2 rt7`cm gakD'AC=gakDAC=gakACM 에서 이므로 이다. semoMCA A ^-MC^-=^-AM^-=^-BM^- D gakBAC=90° 03 ⑴ 2`cm B H 6`cm M D' C ∴ ^-AC^-=rt6^2-2^2~~=4rt2~~(cm) 지도서1권1대단원.indb 30 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하고, 라 하면 A ^-BC^- H ^-BH^-=x`cm 이므로 ^-HM^-=(3-x)cm 2^2-x^2=3^2-(3-x)^2 6x=4 ∴ x=2/3 ∴ ^-AD^-=^-BC^--2^-BH^- ⑵ =6-4/3=14/3(cm) 에서 semoABH ^-AH^-=%2&^2-^(& ^)^^2b~= 2 3 4rt2~~ 3 ~(cm) ……㉡ (1+x)^2+y^2=(5/3^)^^2 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 , x=7/18 y= 5rt11~ 18 =1- PD' =1-7/18=11/18(cm) ∴ nemoA'BCP =1/2\(11/18+1^)\ = 145rt11~ 648 (cm^2) 5rt11~ 18 본문 P. 66~68 145rt11 648 `cm^2 이므로 리 정 스 라 고 타 피 Ⅱ MD' =14/3-3=5/3(cm) 에서 을 밑변이라 하면 높이는 의 길이와 같으므로 semoMD'C MD' ^-AH^- semoMD'C =1/2\5/3\ 4rt2~~ 3 10rt2~~ 9 = ⑴ (cm^2) , AC =4rt2`cm AD =14/3`cm ⑵ 10rt2 9 `cm^2 ^-DH^-=rt7^2-1^2~~=4rt3 ^-BC^-=^-DH^-=4rt3 와 에서 semoFCD , semoFED 는 공통, ^-CF^-=^-EF^- r ^-DF^- gakFCD=gakFED=90° 이다. 합동 semoFCD semoFED(RHS` ) 같은 방법으로 ∴ ^-DE^-=^-DC^-=3 점 에서 r 에 내린 수선의 발을 semoAEF semoABF 이므로 이다. 라 하면 ^-AE^-=^-AB^-=4 D ^-AB^- , H 이므로 ^-DA^-=^-DE^-+^-EA^-=7 ^-AH^-=^-AB^--^-BH^-=1 A'P 06 ∴ 07 ⑴ 04 ⑴ , , 라 하면 ^-AB^-=x`cm 에서 , ^-AC^-=y`cm ^-AD^-=z`cm semoABC 에서 , x^2+y^2=7^2 semoACD 에서 y^2+z^2=8^2 이것을 풀면 semoABD z^2+x^2=9^2 , , x=rt33 y=4 z=4rt3 ∴ 구하는 부피 ^-AD^-=4rt3~~(cm) ⑵ ( )=1/3\semoABC\^-AD^- =1/3\1/2\rt33\4\4rt3 05 점 E A B 라 하자. D' ^-BC^- D P A' 1`cm D' y`cm E 1`cm x`cm C , 라 하면 ^-CE^-=x`cm ……㉠ D'E =y`cm x^2+y^2=1 a a= rt2~~ 2 ^-AK^-=a- ^-AO^-= 2-rt2~~ 2 rt2~~ 2 2-rt2~~ 2 ⑵ 구하고자 하는 도형의 넓이를 =a-2^-AK^-=a-(2-rt2~~)a=(rt2~~-1)a =rt2`^-AK^-=rt2\ a=(rt2&-1)a 라 하면 ^-KL^- ^-LM^- ∴ ∴ a S , ^2 S =pai\^-KO^- =pai\^{( a^)^^2+(a/2^)^^2^} =pai\( ⑴ ^)a^2= 2-rt2~~ 2 , a^2pai rt2~~-1~~ 2 4-2rt2~~ 4 4rt3 ⑵ 2-rt2 2 a^2pai D P A J H C I B 의 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 semoOAB ⑴ O ^-AB^- I ^-OI^-=rt9^2-3^2~~=6rt2`(cm) Ⅱ . 피타고라스 정리 31 =8rt11~~(cm^3) ⑴ ⑵ KL =(rt2~~-1)a LM =(rt2~~-1)a 4rt3`cm 8rt11`cm^3 08 O 에서 의 연장선에 수선을 내려 두 직선이 만나는 점을 지도서1권1대단원.indb 31 18. 2. 9. 오후 1:34 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 ⑴ =32rt7~~(cm^3) ⑵ ⑶ ⑷ 18rt2`cm^2 3rt7`cm 4rt2`cm 32rt7`cm^3 ∴ ^-BP^- ^-PC^- =^-AB^- ^-AC^-=6 4=3 ⑴ 2 ⑵ ⑶ : 6rt3 rt3 3 2 10 6 H A 60æ 4 Q K C B P ⑴ 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 Q B 에서 ^-AC^- semoABQ ： ： , 6 ^-BQ^-=2 rt3 ^-BQ^-=3rt3 ∴ semoABC=1/2\^-AC^-\^-BQ^- ⑵ =1/2\4\3rt3=6rt3 이고, Z ： semoCPK ： semoCBQ 이므로 ^-BP^- ^-PC^-=2 1 ^-PK^-=1/3~^-BQ^-=1/3\3rt3=rt3 ⑶ 이면 ^-PH^-=^-PK^- r 합동 이다. 따라서 semoAPH semoAPK(RHS` 이므로 ) 는 gakHAP=gakKAP 의 이등분선이다. ^-AP^- ： gakA ： ： ： ⑵ ⑶ ∴ semoOAB=1/2\6\6rt2=18rt2~~(cm^2) ^-OH^-=#(6rt2~~)^2-3^2c~=rt63~=3rt7~~(cm) semoOAB=1/2\^-BP^-\9=18rt2 ⑷ ∴ ^-BP^-=4rt2~~(cm) ^-AP^-=#6^2-(4rt2~~)^2c~=2(cm) 이고 semoABD=1/2\6\6=18(cm^2) 점 에서 면 에 내린 수선의 발을 라 하면 J P Z ABD 이므로 ： semoAPJ ： semoAOH ： ^-PJ^- ^-OH^-=^-AP^- ^-AO^-=2 9 이다. ^-PJ^-=2/9~~^-OH^- － 삼각뿔 의 부피 ( P ABD ) =1/3\18\2/9\3rt7=4rt7~~(cm^3) 육면체 의 부피 ∴ ( 사각뿔 － OPBCD 의 부피 ) =( 삼각뿔 O － ABCD 의 부피 ) -( P ABD ) =(1/3\36\3rt7~~^)-4rt7 09 A E D N L B H 12`cm C G M K 9`cm F , 잘린 면이 와 만나는 점을 각각 , 이라 하면 , ^-BC^- ^-DC^- 이므로 M N ： ^-LN^-//^-EK^- ： ^-KM^-//^-EL^- ： 에서 ^-DN^- ^-DL^-=^-EF^- 이므로 ^-FK^-=4 3 이고, ： ^-DL^-=3`cm ： ^-DN^-=4`cm ： 에서 ^-BM^- ^-BK^-=^-EH^- 이므로 ^-HL^-=4 3 이다. ^-BK^-=3`cm r semoEHL semoEFK , ^-BM^-=4`cm r 이다. semoDLN semoBKM 이므로 ^-NC^-=^-MC^-=12-4=8(cm) ^-EK^-=^-EL^-=rt12^2+9^2~~=15(cm) ^-MK^-=^-LN^-=rt4^2+3^2~~=5(cm) ^-MN^-=rt8^2+8^2~~=8rt2~~(cm) ∴ ^-EK^-+^-KM^-+^-MN^-+^-LN^-+^-EL^- =15+5+8rt2&+5+15 =40+8rt2~~(cm) 32 11 ⑴ ⑶ 12 ⑴ ⑵ 점 ^-CE^-=rt4^2+3^2~~=5(cm) 에 내린 수선의 발을 에서 라 하면 는 C 인 이등변삼각형이므로 ^-DE^- G semoCDE ^-CD^-=^-CE^- ^-CG^-=rt5^2-2^2~~=rt21~~(cm) ∴ semoCDE=1/2\4\rt21~=2rt21~~(cm^2) semoDEF= rt3~~ 4 삼각뿔 \4^2=4rt3~~(cm^2) － 의 부피 ∴ ( 삼각뿔 C － DEF 의 꼭짓점 )=1/3\4rt3\3=4rt3~~(cm^3) 에서 밑면 에 내린 수선의 길이를 F CDE 라 하면 F CDE h`cm 1/3\2rt21\h=4rt3 따라서 구하는 길이는 ∴ h= 6rt7~~ 7 이다. 6rt7~~ 7 ⑴ `cm ⑵ 5`cm 2rt21`cm^2 ⑶ 6rt7 7 `cm (40+8rt2~~)cm semoABC=1/2\a\a=1/2&a^2(cm^2) 지도서1권1대단원.indb 32 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 본문 P. 68~71 사면체 의 부피 ( ABCF 사면체 의 부피 )=1/3\1/2&a^2\a=1/6&a^3(cm^3) ∴ ( 정육면체의 부피 CAFH ) 사면체 의 부피 =( )-4\( ABCF ) ⑵ =a^3-4\1/6&a^3=1/3&a^3(cm^3) 는 한 변의 길이가 인 정삼각형이므로 ⑵ A N D B M C [ 그림 ]에서 ⑴ ⑵ 1/3&a^3`cm^3 6 semoAFH= \(rt2&a)^2= a^2(cm^2) rt2&a`cm rt3~~ 2 a^2\4rt3=1/3&a^3 rt3~~ 4 semoAFH 1/3\ rt3~~ 2 a=6 ∴ A 6`cm 6`cm P C E I K 4`cm J G 13 8`cm B F D H ⑴ 가 밑면 와 수직으로 만날 때, 의 넓이가 최소가 된다. semoPIJ EFGH semoPIJ I J=rt4^2+4^2~~=4rt2~~(cm) 이므로 semoPIJ=1/2\8\4rt2=16rt2~~(cm^2) 가 밑면과 수직으로 만났을 때 점 ⑵ 의 위치를 , 와 semoPIJ 의 교점을 라 하면 P P' ^-FH^- I J 일 때 두 삼각형의 넓이가 같게 된다. K BP' = PP' ∴ BP' =^-FK^- ^-FK^-=#4^2-(2rt2~~)^2c~=2rt2~~(cm) ⑶ 삼각뿔 ∴ ^-BP^-= － BP' + 에서 점 PP' 는 =4rt2~~(cm) 위를 움직이는 점이므로 삼 각뿔의 높이는 점 P FIJ 의 위치에 관계없이 일정하다. ^-BD^- P P semoFIJ=1/2\4\4=8(cm^2) － 삼각뿔 의 부피 ∴ ( P FIJ )=1/3\8\8=64/3(cm^3`) ⑴ ⑵ ⑶ 16rt2`cm^2 4rt2`cm 64/3`cm^3` semoACH 14 ⑴ 는 의 수직이등분선이므로 A'D AA" A'D =%(2a)^2-(a/2^)^^2b~= 사면체 ∴ ( ABCD rt15~~ 의 겉넓이 2 ) a =semoAA'A"=1/2\a\ a= rt15~ 2 rt15~ 4 a^2 리 정 스 라 고 타 피 Ⅱ `1 r r r 합동 이므로 semoABD semoBA'C semoDCA" semoBDC`(SSS` ) a^)^^2-(a/4^)^^2=14/16&a^2 ^-BN^-=^-CN^-=1/2&~ = A'D ^2=^( ^2-^-CM^- ^2=^-CN^- ^-MN^- a rt15~ 4 rt15~ 4 ∴ ^-MN^-= ⑶ a`(∵ ^-MN^->0) D' rt14~ 4 B P C A D D" 의 길이는 위의 사면체 의 전개도에서 와 ^-BP^-+^-PD^- 가 일직선일 때, 최소가 된다. ABCD ^-BP^- 이때 ^-PD^- 는 평행사변형이므로 점 는 , 의 중 점이다. nemoABCD P ^-AC^- ^-BD^- Â15Ê 4 a P B C a 4 A a 2 D ∴ ^-BP^-+^-PD^-=^-BD^-=%^( a^)^^2+(3/4&a^)^^2b rt15~ 4 rt6~~ a 2 ⑴ =46/4&a^2r~= ⑵ ⑶ rt15 4 a^2 rt14 4 a rt6 2 a 15 ⑴ 라 하면 ^-BH^-=x`cm 에서 semoABH 에서 ^-CH^-=(14-x)cm , ^2=13^2-x^2 ^-AH^- ^2=15^2-(14-x)^2 ^-AH^- 이므로 13^2-x^2=15^2-(14-x)^2 ∴ x=5 ∴ ^-AH^-=rt13^2-5^2~=12(cm) ∴ ⑵ semoABC=1/2\14\12=84(cm^2) , 내접원의 반지름의 길이를 의 내심을 라 하면 semoABC I r`cm ⑴에서 semoABC =semoIAB+semoIBC+semoICA=21r(cm^2) 따라서 내접원의 반지름의 길이는 21r=84 r=4 ∴ 이다. 4`cm Ⅱ . 피타고라스 정리 33 지도서1권1대단원.indb 33 18. 2. 9. 오후 1:34 6 6 6 6 6 6 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 ⑶ 판 의 면에서 구의 중심 까지의 거리는 18 이다. O 따라서 구의 가장 높은 점까지의 거리는 rt5^2-4^2~=3(cm) 이다. ⑴ , 의 넓이： 5+3=8(cm) ⑵ ⑶ ^-AH^-=12`cm semoABC 84`cm^2 {30-x}`cm 4`cm 8`cm G H E F Q R x`cm D C P B A 의 중점을 이라 하면 ^-AB^- M , , ^-PM^-= \2rt3=3(cm) ^-MQ^-=rt3`cm 는 또한, 점 ^-PQ^-=#3^2-(rt3~~)^2c~=rt6~~(cm) ^-PM^- 위에 있으므로 R ⊥ 이다. ^-PM^- ^-QR^- rt3\rt6=3\^-QR^- ∴ ^-QR^-=rt2~~(cm) rt2`cm 또, ^-AQ^-=rt10^2+20^2+30^2~=10rt14~~(cm) 라 하면 는 마름모이므로 에서 ^-RD^-=x`cm ^-RA^-=^-RQ^- nemoAPQR x^2+20^2=10^2+(30-x)^2 ∴ ^2=500 ^2+^-DA^- ^2=^-DR^- ^2=^-AR^- 따라서 마름모의 성질에 의해 ^-AP^-=^-AR^-=^-QR^-=^-QP^-=10rt5~~(cm) ∴ x=10 ^-AP^- (∵ ^-AP^->0) ^2-(1/2& ^-PR^-=2%^-PQ^- ^-AQ^-^)^^2b =2rt500-350~=2rt150~=10rt6~~(cm) , 이다. ^-AQ^-=10rt14`cm ^-PR^-=10rt6`cm P 16 A R M P D Q B rt3~~ 2 C 17 5`cm P A S H Q I 6`cm R C 점 를 , 에 대하여 대칭이동한 점을 각각 , 이라 하면 A ^-OY^> , ^-OX^> A' A" ^-AP^-= A'P 의 최단 거리는 세 선분이 일직선일 때이므 ^-AQ^-= A"Q 로 ^-AP^-+^-PQ^-+^-QA^- 의 길이이다. A'A" 구하는 길이 )= A'A" =6rt2 6rt2 19 A' Y 6 P 45æ O 6 A A" Q X ∴ ( 20 B H C 면 A I O 4Â3 3 2 ⑴ 의 점 에서 변 에 내린 수선의 발을 라 하면 semoABC A BC I ^-AI^-=rt5^2-3^2~=4(cm) ∴ semoABC=1/2\6\4=12(cm^2) ⑵ 1/2\5\^-BH^-=12 ⑶ 정사각형 의 한 변의 길이를 ^-BH^-=24/5(cm) ∴ 라 하면 PQRS Z 이므로 x`cm ： semoHBC ： semoRQC ^-BC^- ： ^-QC^-=^-BH^- ： ^-QR^- 6 또, ^-QC^-=24/5 Z x ∴ 이므로 ^-QC^-=5/4&x(cm) ： semoBAC semoBPQ ： ^-BC^- ： ^-BQ^-=^-AC^- ^-PQ^- ： 6 (6-5/4&x^)=5 따라서 정사각형 x ∴ x=120/49 의 한 변의 길이는 B 34 이다. ABCO O 이므로 PQRS ⑴ ⑵ 120/49`cm ⑶ 12`cm^2 24/5`cm 120/49`cm ^-CH^-=%^( ： 4rt3~~ 3 ： ^)^^2-2^2b~= ： ： 2rt3~~ 3 ^-CH^- ^-HO^- ^-OC^-=1 2 rt3 에서 점 를 중심으로 하는 원기둥의 밑면을 생각하면 지도서1권1대단원.indb 34 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이5 4 5 4 5 4 5 4 본문 P. 71~74 점 를 중심으로 하여 를 시계 방향으로 회전시켜 C 의 위치에 오게 하면 semoCBP 이고 60° 이 므로 semoCAP' 은 정삼각형이다. ^-CP^-= CP' gakPCP'=60° 또, semoCPP' , 에서 ： AP' =^-BP^-=2rt3 ： ： ： PP' 이므로 =^-PC^-=4 ^-AP^- PP' 은 직각삼각형이다. rt3 =1 P'A 2 semoAPP' , , ∴ 에서 gakA=90° gakP=60° gakP'=30° )=(8/9&pai+ ^)\2 =4/9(4pai+3rt3~~) 2rt3~~ 3 semoACP' 이므로 gakAP'C =gakAP'P+gakPP'C=30°+60°=90° 4/9(4pai+3rt3~~) 따라서 ^-AC^-=#(2rt3~~)^2+4^2~c=2rt7 의 한 변의 길이는 이다. semoABC 2rt7 2rt7 리 정 스 라 고 타 피 Ⅱ 따라서 구하는 반죽의 밑넓이는 ∴ gakHOC=30° 부채꼴 의 넓이 )+semoHCO ^)^^2\ 60°~ 360° +1/2\2\ 2rt3~~ 3 OHI 4rt3~~ 3 2rt3~~ 3 =pai\^( =8/9&pai+ ∴ (^-OC^- 를 포함하는 반죽의 부피 21 A' C D a`cm E 6`cm M b`cm B 3`cm F 30æ O A 는 의 길이이다. ^-AM^- 각각 , 라 하고 D ^-OA^- OA' E F , 라 하면 ^-DE^-=a`cm Z ^-OE^-=b`cm 이므로 ： semoAMO ： semoADE ： ^-MO^- ^-DE^-=^-AO^- ： ^-AE^- 3 a=6 (6-b) ……㉠ ( 22 A P P' B 60æ C ⑴ 전개도를 이용해 보면 위의 그림과 같아지므로 구하는 거리 ⑵ 전개도의 점 에서 ^-AM^-=rt6^2+3^2~~=3rt5~~(cm) ∴ , 에 수선을 내려 만나는 점을 ∴ , x=2`(∵ x>0) 이므로 ^-CQ^-=4`km ^-BP^-=6`km ^-AB^-+^-BC^-+^-CA^- ⑴ =(2+6)+(6+4)+(4+2) : ⑵ =24(km) 3 2 24`km 또, ∴ 2a+b=6 에서 , 이므로 ： semoDOE ： ： gakODE=60° gakDOE=30° ^-OE^- ^-DE^-=rt3 ……㉡ 1=b a ㉡을 ㉠에 대입하면 b=rt3&a ∴ ： ： a=6(2-rt3~~) ^-OD^- ^-DE^-=2 1 ∴ ^-OD^-=12(2-rt3~~)(cm) ⑴ ⑵ ^-OE^- ： ^-OA^-=1 2 ： 이다. 3rt5`cm 12(2-rt3~~)cm 23 ⑴ 4^-QC^-=^-PB^-+^-BC^-=2^-BP^-+^-QC^- 3^-QC^-=2^-BP^- ： ： ⑵ ∴ ^-BP^- ^-QC^-=3 라 하면 2 이므로 에서 ^-CQ^-=2x`km ^-BP^-=3x`km semoABC (2x+2)^2+(3x+2)^2=(5x)^2 12x^2-20x-8=0 3x^2-5x-2=0 (3x+1)(x-2)=0 24 ⑴ 높이 ( 정사각뿔 =#(5rt5~~)^2-c(5rt2~~)^2c~=5rt3~~(cm) 의 부피 － ) ∴ ( O ABCD ) ⑵ ⑴의 부피를 =1/3\10^2\5rt3= 라 하면 500rt3~~ 3 (cm^3) 삼각뿔 － V 의 부피 ( O Z ABD 이고 )=1/2&V ： semoOEF ： semoOAB 이므로 semoOEF semoOAB=1 4 이므로 nemoABFE=3/4semoOAB － 사각뿔 의 부피 ( D 삼각뿔 ABFE － ) 의 부피 =( O ABD )\3/4 =1/2&V\3/4=3/8&V 삼각뿔 － 의 부피 ( D BCF ) Ⅱ . 피타고라스 정리 35 지도서1권1대단원.indb 35 18. 2. 9. 오후 1:34 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 25 l D B ∴ 26 y C {0,`3} 삼각뿔 － 의 부피 =( 입체도형 O BCD － )\1/2=1/4&V 의 부피 ∴ ( EF ABCD ) =3/8&V+1/4&V=5/8&V =5/8\ 500rt3~~ 3 = 625rt3~~ 6 ⑴ (cm^3) ⑵ 500rt3 3 `cm^3 625rt3~~ 6 `cm^3 직선 의 기울기는 이다. 직선 의 식은 -7/6 SP_2 SP_2 y=-7/6(x-6)-1 ……㉠ ∴ 점 y=-7/6&x+6 좌표는 의 이므로 를 ㉠에 대입하면 R x 4 x=4 y=-7/6\4+6=4/3 따라서 점 , 이다. ⑴ ⑵ , R^(4 4/3^) rt85 R^(4 4/3^) 27 B C A I 30æ S D O' O A 3 å 5 C 구의 중심을 이라 하면 , O' 이므로 OO' 는 원 =3 O'C 의 지름이므로 =5 , ^-OC^-=rt5^2-3^2~~=4 ^-BC^- O 이므로 ^-BC^-=2^-OC^-=8 gakBAC=90° , , ^-AB^-=^-AC^-=4rt2 이므로 , 세 점 ^-CO^-=^-OB^- , ^-BD^-// 는 일직선상에 있고 O'D CO' OO' = C D O' Z 에서 semoCOO' semoCBD(AA` ) ^-DB^-=2 OO' =6 닮음 이므로 이다. semoDBA 는 ^-AD^-=#(4rt2~~)^2+6^2c~=2rt17 인 직각삼각형이다. semoACD gakCAD=90° semoACD=1/2\4rt2\2rt17=4rt34 P£{6,`7} S B{4,`3} {6,`3} P{2,`1} R O P' Q A {4,`0} P™ P¡ U{6,`0} x 위의 그림과 같이 점 를 축에 대하여 대칭이동한 점이 , , 점 P 을 직선 x 에 대하여 대칭이동한 점이 P_1(2 -1) , , 점 P_1 를 직선 x=4 에 대하여 대칭이동한 점이 P_2(6 , -1) 이다. ⑴ P_2 y=3 P_3(6 7) ^-PQ^-+^-QR^-+^-RS^-+^-SO^-= OP_3 ∴ OP_3 =rt6^2+7^2~~=rt85 ⑵ 이고 직선 의 기울기가 이므로 gakP_3SB=gakP_2SB OP_3 7/6 36 정사각형의 한 변의 길이를 라 놓으면 이므로 x ^-SD^-=rt2&x ^-IS=1-rt2&x 이므로 ^-BS^-=rt3&(1-rt2&x) 에서 semoIBS , ^-BC^-=^-SD^- 2rt3&(1-rt2&x)=rt2&x 2rt3&-2rt6&x=rt2&x (rt2&+2rt6&)x=2rt3& 4rt34 x= 따라서 정사각형의 한 변의 길이는 12rt2~~~-2rt6~~~ 22 2rt3~~ rt2&~+2rt6~~ = = 6rt2~~-rt6~~ 11 6rt2~~-rt6~~ 11 이다. 6rt2~~-rt6~~ 11 28 ⑴ 를 점 를 중심으로 하여 시계 방향으로 회전시 켜 합동인 semoAPB B 를 그린다. 90° 점 와 점 semoCQB 를 이으면 P Q , 이므로 gakPBQ=90° ^-PB^-=^-BQ^- 에서 gakPQB=gakQPB=45° 이다. 에서 ^-PQ^-=rt2^2+2^2~~=2rt2~~ 이므로 ^-CQ^-=^-PA^-=1 semoPQC 이다. ^2=^-CQ^- ^2 ^2+^-PQ^- 3^2=1^2+(2rt2~~)^2) (∵ ^-PC^- ∴ gakPQC=90° ⑵ ∴ gakCQB =90°+45°=135°=gakAPB 이므로 세 점 gakAPB+gakBPQ=135°+45°=180° 는 한 직선 위에 있다. , , A P Q 지도서1권1대단원.indb 36 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 본문 P. 75~77 리 정 스 라 고 타 피 Ⅱ , 직각삼각형 gakAQC=90° ∴ 에서 ^-AQ^-=2rt2~~+1 AQC C 이다. 2+Â3 =#1^2+(1+c2rt2~~)^2c~=@10+4rt2~~x~ ∴ ^-AB^-= 따라서 정사각형 1 rt2~~ ~^-AC^-= @10+4rt2~~x~ 60æ 4 O™ C O£ 이다. 6 O™ =@5+2rt2~~x~ 1 rt2~~ 의 한 변의 길이는 O£ 1 ⑴ O¡ 1 Â3 ABCD B @5+2rt2~~x~ ⑵ 135° A O¡ @5+2rt2~~x B 2 ^-AC^- 29 꼭짓점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 A 에서 semoABH 에서 ^-AH^- semoACH ^2 ^2+^-CH^- ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 ^-AH^- =^-AH^- H ……㉠ ^-BC^- ^2=4^2 ^2+^-BH^- ^2+(8-^-BH^-)^2=6^2 ……㉡ C 4 B 2+Â3 O™ 60æ 1 O¡ 1 1 O£ Â3 , ^-BH^-=11/4 ^-AH^-= 3rt15~ 4 ∴ semoABC=1/2\^-BC^-\^-AH^- =1/2\8\ =3rt15 에서 3rt15~ 4 semoABC=semoABP+semoBCP+semoCAP y=4(2+rt3~~)=8+4rt3~~ 일 때 r2par gak&x=135° C 2+Â2 4+Â2 45æ O™ 1 O£ Â2 Â2 O¡ 1 A B A y=(4+rt2~~)\(2+rt2~~)=10+6rt2~~ 일 때 r3par gak&x=180° C C 2+Â2 1 O£ Â2 45æ O™ 4+Â2 Â2 O¡ 1 A B A O£ 6 O™ O¡ B 2 A ⑵ y=2\6=12 A 30æ C 30æ 2 Â3 Â3 B 첫째 줄 둘째 줄 ⋮ 1/2(4^-PK^-+8^-PL^-+6^-PM^-)=3rt15~ ……㉢ 2^-PK^-+4^-PL^-+3^-PM^-=3rt15~ 에서 semoABD=semoABP+semoBDP 1/2(4^-PK^-+2^-PL^-)=1/4\3rt15~ ……㉣ 2^-PK^-+^-PL^-= 3rt15~ 4 에서 semoABE=semoABP+semoAEP 1/2(4^-PK^-+2^-PM^-)=1/3\3rt15~ ……㉤ ㉢, ㉣, ㉤을 연립하여 풀면 2^-PK^-+^-PM^-=rt15~ , ^-PK^-=^-PL^-= rt15~ 4 ^-PK^-+^-PL^-+^-PM^-=rt15~ ^-PM^-= rt15~ 2 ∴ 30 ⑴ 일 때 r1par gak&x=60° C 2+Â3 4 O™ 60æ 1 O¡ 1 1 O£ Â3 C O£ 6 O™ O¡ B 2 홀수째 줄에 그릴 수 있는 원은 개 , 짝수째 줄에 그릴 수 있는 원은 개 20÷2=10( 이다. ) 그릴 수 있는 줄의 수를 줄이라 하면 한 줄씩 늘어날 때마다 10-1=9( ) 세로의 길이가 씩 늘어나므로 n rt3~~ 2+(n-1)rt3~~-<20 이므로 ∴ n-<6rt3~~+1 이다. 따라서 홀수째 줄은 11<6rt3~~+1<12 줄, 짝수째 줄은 n=11 줄 그려지므로 그릴 수 있는 원은 6 개 이다. 5 10\6+9\5=105( ⑴ ∠ ) 일 때 , ∠ x=60° 일 때 y=8+4rt3 , ∠ x=135° 일 때 y=10+6rt2 ⑵ x=180° 개 y=12 105 rt15 C 2+Â2 1 O£ Â2 45æ O™ 4+Â2 Â2 O¡ 1 B A A B A Ⅱ . 피타고라스 정리 37 지도서1권1대단원.indb 37 18. 2. 9. 오후 1:34 사고력의 날개 본문 P. 78~79 1 B -9 y{km} 9 A 6 O -3 C -9 6Â2 3 D 6 x{km} 슈퍼를 원점 라 하고 건호네 집, 학교, 악기점, 승범이네 집을 각각 , , , O 라 하자. A B C 이므로 D 이고 각 지점의 위치 를 좌표평면에 나타내면 위의 그림과 같다. ^-AD^-=6rt2`km ^-OA^-=^-OD^-=6`km 건호의 위치를 , 승범이의 위치를 라 하면 건호가 를 갈 때, 승범이는 P 를 가므로 , Q , , t`km 이다. 2t`km P(0 6-t) Q(-9+2t 0) , gakLAF=gakLFA=75°-30°=45° , ^-LA^-=^-LF^- gakGAL=gakKFL=60° 이므로 gakALG=gakFLK=90° r ㉠, ㉡과 같은 방법으로 ∴ semoALG semoFLK(ASA` 합동 ㉡ , ) …… , , , 는 합동인 직각삼각형이다. semoALG semoBHI semoCJK semoDHG semoEJI 에서 semoFLK , , 므로 semoALG 라 하면 gakGAL=60° , gakAGL=30° 이다. gakALG=90° ^-AL^-=x ^-AG^-=2x ^-GL^-=rt3&x , 이 ^-AB^- =^-AG^-+^-GH^-+^-HB^- =^-AG^-+^-GL^-+^-LA^- =2x+rt3&x+x=3x+rt3&x=6 ∴ x=3-rt3 semoALG=1/2\^-AL^-\^-GL^- = 육각형 x^2= rt3~~ rt3~~ 의 넓이 2 2 GHIJKL ∴ ( (3-rt3~~)^2=6rt3&-9 )=semoABC-3semoALG \6^2-3(6rt3&-9) = rt3~~ 4 =27-9rt3 27-9rt3 ^-PQ^-=rt(2t-9)^2+(t-6)^2~~=%5(&t-24/5^)^^2+9/5b~(km) 따라서 둘이 가장 가까울 때의 거리는 건호가 갔을 때, 3 팔각형의 각 변을 외접원의 현으로 보았을 때, 다음 그림과 같이 24~ 5 `km 3rt5~ 5 `km 그려진다. 4 a a 5 bb b b a a 2Â2 45æ 2Â2 45æ 4 135æ 5 길이가 인 현의 중심각의 크기를 , 길이가 인 현의 중심각 의 크기를 5 라 하면 gak&a 4 gak&b 4gak&a+4gak&b=360° 이를 이용하여 길이가 ∴ gak&a+gak&b=90° 와 인 현을 번갈아 붙이면 다음 그림과 같은 팔각형이 된다. 4 5 2Â2 45æ 2Â2 45æ 4 135æ 5 이다. 3rt5~ 5 `km 2 A 60æ 30æ L G D H B O I C F K J E 에서 이므로 semoOAD ^-OA^-=^-OD^- gakOAD=gakODA=45° gakOAG=gakODG=30° , gakGAD=gakGDA=45°-30°=15° , ^-AG^-=^-DG^- gakGAL=gakGDH=60° gakALG=gakDHG=90° r 에서 semoALG semoDHG(RHA` ∴ , 합동 ㉠ ) … semoOAF ^-OA^-=^-OF^-=^-OD^- 이므로 gakDOF=120° gakAOF=30° 4 5 이므로 a a bb a a b b ∴ 38 gakOAF =gakOFA=(180°-30°)÷2=75° =32+40rt2&+25-16 팔각형의 넓이 ∴ ( )=(2rt2\2+5)^2-1/2\(2rt2~~)^2\4 지도서1권1대단원.indb 38 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 =40rt2&+41 40rt2&+41 Ⅲ 삼각비 호점으로 가는 길을 직선 , 본점에서 호점으로 가 STEP C 필수체크문제 본문 P. 88~98 는 길을 직선 1 이라 하고, 본점, 호점, l 호점, 호점, 2 호점을 각각 , , , m , 라 하자. 1 2 3 4 본문 P. 78~88 4 본점에서 A B C D E m l' B' A F 4`km D 2Â2`km C 4`km B 6`km G E l 2Â2`km E' 직선 에 대하여 직선 을 대칭이동한 직선을 , 직선 에 대 하여 점 m 를 대칭이동한 점을 l 이라 하고, 위 그림과 같이 m l' B , 이 되도록 점 B' 을 잡고 점 에서 직선 , ^-CD^-// 에 내린 수선의 발을 각각 ^-CD^-= EE' EE' , 라 한다. E' l l' G F E' ^-AB^-+^-BC^-+^-CD^-+^-DE^- = AB' +B' C +^-CD^-+^-DE^- = AB' +B' C + EE' + CE' 이므로 -> AB' + B'E' + EE' gakGEE'=45° 에서 ^-GE^-= GE' =^-AF^-=2(km) semoB'FE' B'E' =rt6^2+8^2~=10(km) 의 최솟값은 ^-AB^-+^-BC^-+^-CD^-+^-DE^- 이다. 따라서 가능한 최단 거리는 AB' + =14+2rt2~~(km) B'E' EE' + 이다. (14+2rt2~~)km (14+2rt2~~)km 비 각 삼 Ⅲ 01 02 ⑴ ⑵ 14/13 03 2rt7 , 3rt7~ 7 07 10 27/20 sin`theta=5/13 04 ⑴ ⑵ tan`theta=5/12 05 06 3/5 2rt5 08 ⑴ 119/169 ⑵ rt6~ 3 ° 09 3/4 , 8/3 11 50/3 12 13 ^-AH^-=rt3 ^-BC^-=1+rt3 . 14 ` 3rt3~ 2 0 15 8rt3 ` °, 6384 °, °, ° 16 tan`60 cos`28 sin`25 19 ` . 20 2-sin`A . rt2&-1 10 634 18 sin`45 22 27rt3 °, 1 17 cos`0 21 23 15 095`m , 25`m 100`m 24 ^-AC^-=2rt3 ^-BC^-=3+rt3 25 26 4(rt3&+1)m 27 ⑴ ⑵ 6(3+rt3~~)m ` 3(rt3&-1) 28 10rt19 ° 29 100rt19&+375rt3` 30 26rt3 rt3~ 2 x ⑵ (96rt2&+72rt3~~)cm^2 100rt3`cm^2 45 31 ⑴ 32 15rt3~ 2 01 ∴ 02 ⑴ 03 에서 , 에서 semoAHC ` sin`A= ^-CH^- 14 semoCHB sin`B= ^-CH^- 13 sin B sin`A = ^-CH^- 13 \ 14 ^-CH^- =14/13 14/13 에서 sin`B= ^-CA^- ^-BC^- =3/4 ^-CA^- 8 =3/4 에서 ∴ ^-CA^-=6(cm) semoABC ⑵ ^-AB^-=rt8^2-6^2~~=2rt7 ⑴ ⑵ tan`B= ^-CA^- ^-AB^- = 6 2rt7~~ = 3rt7~ 7 2rt7 3rt7~ 7 t 인 직각삼각형을 그리면 cos` =12/13 오른쪽 그림과 같다. 이므로 ^-AC^-=rt13^2-12^2~~=5 13 Ω 12 B A C Ⅲ. 삼각비 39 지도서1권1대단원.indb 39 18. 2. 9. 오후 1:34 5 4 5 4 5 4 4 4 5 4 4 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 t , t , , 이므로 sin` =5/13 tan` =5/12 sin`theta=5/13 tan`theta=5/12 gakBAH=gakBCA=gak&x 직각삼각형 에서 gakCAH=gakCBA=gak&y ABC ^-AB^-=rt15^2-9^2~~=12 이므로 오른쪽 C cos`x=cos`C=9/15=3/5 그림과 같이 tan`A=2(0°<gakA<90°) , , 인 직각삼각형 gakB=90° 를 그릴 수 있다. ^-AB^-=1 ^-BC^-=2 Â5 2 tan`y=tan`B=9/12=3/4 ∴ cos`x+tan`y=3/5+3/4=27/20 27/20 04 ⑵ 05 이때 ABC 이므로 ^-AC^-=rt1^2+2^2~~=rt5 , sin`A= ⑴ 2 rt5~~ cos`A= 1 rt5~~ 2 rt5~~ sin^2`A-cos^2`A=^( ^)^^2-^( ^)^^2=3/5 1 rt5~~ 1+sin`A cos`A 2 rt5~~ 1 rt5~~ 1+ = + + cos`A 1+sin`A 1 rt5~~ 2 rt5~~ 1+ = =rt5&+2+rt5&-2=2rt5 rt5&+2 1 + 1 rt5&+2~~ , , , 이므로 A(-5/2 B(0 6) 0^) , ^-OA^-=5/2 ^-OB^-=6 ^-AB^-=$(5/2^)^^2+6^2v~=13/2 ∴ , sin`alpha=6÷13/2=12/13 cos`alpha=5/2÷13/2=5/13 sin^2`alpha-cos^2`alpha=(12/13^)^^2-(5/13^)^^2 ∴ =119/169 06 에서 A 1 B y B å A O x 119/169 ⑴ ⑵ 3/5 2rt5 semoEBD 에서 semoABC 이므로 ^-AB^-=#3^2+(rt7~~)^2c~=4 ^-AE^-=^-BE^-=2 이므로 gakABD=90°-gak&x gakBAC=90°-(90°-gak&x)=gak&x ∴ sin`x=sin(gakBAC)= ⑵ 에서 ^-BC^- ^-AB^- =3/4 이므로 sin`x= ^-BE^- ^-BD^- =3/4 =3/4 ∴ ^-BD^-=8/3 2 ^-BD^- 09 이므로 sin`60°= rt3~~ 2 3gak&x=50° ∴ 3gak&x+10°=60° gak&x=50/3° ⑴ ⑵ 3/4 8/3 50/3° 에서 이므로 semoABH 또 sin`60°= ^-AH^- 2 = 이므로 rt3~~ 2 cos`60°= 에서 ^-BH^- 2 =1/2 ^-BH^-=1 이므로 ^-AH^-=rt3 semoAHC tan`45°= ^-AH^- =1 ^-HC^- ^-BC^-=^-BH^-+^-HC^-=1+rt3~~ ^-HC^-=^-AH^-=rt3~~ , ^-AH^-=rt3 ^-BC^-=1+rt3 08 ⑴ 10 ∴ 11 B semoBHF , 이므로 ^-HF^-=rtx^2+x^2~=rt2&x ^-BH^-=rtx^2+x^2+x^2~=rt3&x 이다. cos`alpha= ^-HF^- ^-BH^- = rt2~~ rt3~~ = rt6~~ 3 rt6~ 3 3 30æ A H Â3 C 07 y B 40 A x y H 15 9 x C 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 A 에서 ^-BC^- semoABH H ^-AH^-=3`sin`30°=3\1/2=3/2 ^-BH^-=3`cos`30°=3\ rt3~~ 2 = 3rt3~~ 2 지도서1권1대단원.indb 40 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 에서 semoAHC ^-HC^-=%(rt3~~)^2-(3/2^)^^2b~= ^-BC^-= 3rt3~~ 2 + rt3~~ 2 =2rt3 rt3~~ 2 이므로 semoABC=1/2\2rt3\3/2= 3rt3~~ 2 12 이므로 ^-BH^-=18`cm 이고, tan`B=1 gakB=45° gakA=180°-45°-45°=90° ∴ cos`A=cos`90°=0 13 이므로 sin`30°=1/2 1/2gak&x+15°=30° ∴ gak&x=30° 이므로 cos`30°= rt3~~ 2 ∴ ^-OB^-=6rt3~~ 1/2gak&x=15° 에서 semoOAB 9 ^-OB^- = rt3~~ 2 에서 semoOBC semoOCD 에서 6rt3~~ ^-OC^- 12 ^-OD^- = = rt3~~ 2 rt3~~ 2 ∴ ^-OC^-=12 ∴ ^-OD^-=8rt3~~ 8rt3 14 15 이므로 gakOAB=180°-(90°+55°)=35° sin`55°+cos`35° = ^-AB^- ^-OA^- + ^-AB^- ^-OA^- =2^-AB^- =2\0.8192=1.6384 1.6384 가 예각일 때 의 크기가 클수록 의 값은 커지고, gak&x 의 값은 작아진다. gak&x sin`x cos`x 일 때 이고, 0°<gak&x<45° 일 때 sin`x<cos`x 이다. 45°<gak&x<90° sin`x>cos`x 이므로 크기가 큰 순서대로 나열하면 tan`60°>cos`0°=sin`90°>cos`28°>sin`45°=cos`45° , >sin`25° , , , 이다. tan`60° cos`0° cos`28° , sin`45° , sin`25° , , tan`60° cos`0° cos`28° sin`45° sin`25° 16 이므로 0°<gakA<45° , cos`A>sin`A 2-cos`A>0 본문 P. 89~94 2-sin`A ∴ @(sin`A-xcos`A)^2x~+|2-cos`A| =-sin`A+cos`A+2-cos`A =2-sin`A 17 3rt3~ 2 이므로 gakBDC=45° gakABD=45°-22.5°=22.5° 0 ^-BC^- ^-AC^- = x rt2&x+x = 1 rt2&+1 =rt2&-1 rt2&-1 ∴ ^-AD^-=^-BD^- 라 하면 ^-BC^-=^-CD^-=x 이므로 ^-BD^-=^-AD^-=rt2&x tan`22.5° = 18 A 6 B 60æ H D C 12 비 각 삼 Ⅲ 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 에서 A ^-BC^- H semoABH ^-AH^-=6`sin`60°=6\ =3rt3~~ rt3~~ 2 ^-BH^-=6`cos`60°=6\1/2=3 이므로 ^-AD^-=12-3-3=6 nemoABCD=1/2\(6+12)\3rt3=27rt3 27rt3 19 gakA=90°-62°=28° 이므로 =0.5317 ^-BC^-=20\0.5317=10.634 tan`28°= ^-BC^- 20 ∴ 20 깃대의 높이를 라 하면 x`m 에서 tan`15°= x-1.7 50 x =50`tan`15°+1.7 10.634 따라서 깃대의 높이는 =50\0.2679+1.7=15.095 이다. 15.095`m 15.095`m 21 탑의 높이 의 길이를 라 하면 직각삼각형 ^-PQ^- h`m 에서 이므로 PQA tan`30°= h ^-AQ^- ^-AQ^-= h tan`30° =rt3&h(m) Ⅲ. 삼각비 41 지도서1권1대단원.indb 41 18. 2. 9. 오후 1:34 직각삼각형 에서 이므로 PQB tan`45°= h ^-BQ^- ^-BQ^-= h tan`45° 에서 =h(m) semoABQ ^-AQ^- 이므로 ^2+^-BQ^- ^2 ^2=^-AB^- , (rt3&h)^2+h^2=50^2 h^2=625 따라서 탑의 높이는 h>0) ∴ h=25`(∵ 이다. 25`m ∴ 26 h=3(rt3&-1) 45æ A 30æ H 25`m 120æ 45æ 12`m C B 3(rt3&-1) ^-BQ^- =100`tan`30°=100\ 에서 rt3~~ 3 = 100rt3~~ 3 (m) 이므로 `tan`60°= \rt3=100(m) 100`m 100rt3~~ 3 6(3+rt3~~)m 6(3+rt3~~)m h=12 ∴ h- 따라서 나무의 높이는 h=6(3+rt3~~) 이다. 22 semoABQ 에서 semoPBQ ^-PQ^- = 100rt3~~ 3 23 A 3Â2 45æ B 나무의 높이를 라 하면 , ^-AH^-=h`m ^-BH^-=h`tan`45°=h ^-CH^-=h`tan`30°= rt3~~ 3 h rt3~~ 3 27 A 40 30æ D 30 60æ C H 50 ⑴ 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 D 에서 ^-BC^- semoDHC H , ^-DH^-=30`sin`60°=15rt3 에서 ^-CH^-=30`cos`60°=15 semoDBH nemoABCD =semoABD+semoBCD ^-AC^-=2rt3 ^-BC^-=3+rt3 ⑵ ^-BD^- =#(15rt3~~)^2+35^2c~=rt1900~=10rt19 60æ C H 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 , H , A 에서 ^-BC^- semoABH ^-AH^-=^-AB^-`sin`45°=3 ^-BH^-=^-AB^-`cos`45°=3 에서 semoAHC ^-AC^-= =2rt3 ^-AH^- sin`60° ^-AC^-=2rt3~ ^-BC^-=3+rt3~~ ∴ 24 관측지점에서 건물까지의 거리를 라 하면 x`m ^-CH^-=^-AC^-`cos`60°=rt3~~ , , 4 x= 건물의 높이를 tan`30° =4rt3~~ 라 하면 h`m h =x`tan`45°+4~ 따라서 건물의 높이는 =4rt3\1+4=4(rt3&+1) 이다. 4(rt3&+1)m 4(rt3&+1)m 25 라 하면 ^-AH^-=h , 이므로 gakBAH=45° , gakCAH=60° ^-BH^-=^-AH^-`tan`45°=h , ^-CH^-=^-AH^-`tan`60°=rt3&h h+rt3&h=6 42 (1+rt3~~)h=6 B 28 29 =1/2\40\10rt19\sin`30°+1/2\50\30\sin`60° =100rt19&+375rt3 ⑴ ⑵ 10rt19 100rt19&+375rt3` ~ 에서 semoABC=1/2\4\3rt2\sin`A=6 sin`A= ∴ gakA=45° 1 rt2~~ semoABC=1/2\8\13\sin(180°-120°) =1/2\8\13\sin`60°=26rt3 45° 26rt3 지도서1권1대단원.indb 42 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 본문 P. 95~99 STEP B 내신만점문제 본문 P. 99~109 01 02 03 47/63 sin`A=2/3, cos`A= , rt5~~ 3 3rt10~~ 10 tan`A= 05 풀이 참조 2rt5~~ 5 04 rt3&+1~~ 3 06 ⑴ ⑵ 3`sin`theta 2 a^2-1 07 08 09 1/2 rt13 10 ⑴ ③ ⑵ 11 ⑴ 3rt2&+rt3~~ 2 ⑵ `cm^2 12 2rt10~~ 5 13 6rt3`cm 16 ③, ⑤ 30° 14 4rt3 17 15 3rt7~~ 8 rt15~~ 8 30°` 18 수평 분력： , 수직 분력： 174`cm^2 19 ⑴ 9`N ⑵ 9rt3`N 20 rt3~~ 22 4 bc a^2`tan^2`alpha`tan^2`beta tan^2`beta-tan^2`alpha 21 rtb^2+c^2-bc~ 15rt6`m 23 24 rt3~~ b 25 28 2.1`cm a(tan`alpha+tan`beta) tan`beta(1-tan`alpha) 26 (50rt3&+51.5)m 3+rt3 29 30 3/4(5pai-3)cm^2` 45° 112`cm^2 27 40/41 비 각 삼 Ⅲ rt3~ 2 x 는 한 변의 길이가 인 정삼각형이므로 semoABC x semoABC=1/2\x\x\sin`60°= rt3~~ 4 x^2 에서 semoABC=semoPBC+semoPCA+semoPAB x^2=1/2&x(a+b+c) ∴ a+b+c= rt3~~ 2 x 에서 semoBCD ^-BD^-= 12 cos`60° ∴ nemoABCD =24(cm) =semoABD+semoBCD =1/2\16\24\sin`45°+1/2\24\12\sin`60° ⑵ =96rt2&+72rt3~~(cm^2) 는 등변사다리꼴이므로 nemoABCD ^-AC^-=^-BD^-=20`cm ∴ nemoABCD=1/2\20\20\sin(180°-120°) 30 rt3~~ 4 31 ⑴ 32 ⑴ =100rt3~~(cm^2) ⑵ 01 (96rt2&+72rt3~~)cm^2 100rt3`cm^2 A , 이므로 는 평행사변형이다. ^-AB^-=^-CD^- ^-BC^-=^-AD^- nemoABCD ∴ nemoABCD =^-AB^-\^-BC^-\sin`60° =3\5\ rt3~~ 2 = 15rt3~~ 2 7 6 B x H 9-x C 15rt3~~ 2 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하고, 라 하 면 A ^-BC^- 이다. H ^-BH^-=x ^-HC^-=9-x 에서 7^2-x^2=6^2-(9-x)^2 x=47/9 cos`B=x/7=47/63 47/63 ∴ 02 y B O 2x+6y=15 å A x 를 에 관하여 풀면 2x+6y=15 y y=-1/3&x+5/2 이 일차함수의 절편은 , 절편은 이므로 x 15/2 y 5/2 ^-AB^-=$(15/2^)^^2+(5/2^)^^2v~= 5rt10~ 2 Ⅲ. 삼각비 43 지도서1권1대단원.indb 43 18. 2. 9. 오후 1:34 이므로 gakABO=90°-gakalpha sin(90°-alpha) = =15/2\ ^-AO^- ^-AB^- 2 5rt10~ = 3rt10~ 10 03 에서 , 이므로 c=3/2&a ^-AB^-=3/2&a ^-BC^-=a 3rt10~~ 10 A Â5 2 a 3 2 a t cos(90°- 따라서 ⑵ t sin` )= t ^-AC^- ^-AB^- =cos(90°- t ) t 이다. sin^2` +cos^2` =^( ^)^^2+^( ^-AC^- ^-AB^- ^-AC^-~^2+^-BC^-~^2 ^-AB^-~^2 ^)^^2 ^-BC^- ^-AB^- = ^-AB^-~^2 ^-AB^-~^2 = =1 B a C t 에서 t t 06 ⑴ 풀이 참조 t t )+(sin` +cos` ) t ⑵ 3`sin` 2 a^2-1 1/2 또한 45°0) ^-AE^-=2a ^2=^-AE^-\^-BE^-=2a\3a=6a^2 ^-DE^- 에서 ^-DE^-=rt6&a ^-AD^-=@(2a)^2+x(rt6&a)^2x~=rt10&a ∴ cos`x+sin`y = 2a rt10&a + 2a rt10&a = 4 rt10~ = 2rt10~ 5 ⑴ ③ ⑵ rt13 2rt10~ 5 점 에서 에 수선을 그어 만나는 점을 라 하면 H ^-BH^-=6`cos`B=6\4/5=24/5 ^-AH^-=%6^2-(24/5^)^^2g~=18/5 에서 semoAHM 이므로 ^-HM^-=5-24/5=1/5 ^-AM^-=%(1/5^)^^2g+(18/5^)^^2b=rt13 09 C H 2`cm A C 에서 ^-AB^- semoAHC B ^-CH^-=^-AC^-`sin`A=2\ =rt3~~(cm) rt3~~ 2 에서 ^-AH^-=#2^2-(rt3~~)^2~c=1 semoCHB ^-BC^-= ^-CH^- sin`B = =3(cm) rt3~~ rt3~~ 3 ^-BH^-=@3^2-(rt3~~)^2x~=rt6 ^-AB^-=^-AH^-+^-BH^-=1+rt6~~(cm) ∴ semoABC=1/2\(rt6~~+1)\rt3~~ A x y E x y y y x F D x C 에 대하여 gakBAD tan`x= gakACB tan`x= ^-BD^- 에 대하여 ^-AD^- ^-ED^- ^-AE^- = ^-AB^- ^-AC^- 에 대하여 ^-AD^- ^-CD^- = 10 B ⑴ gakBEF tan`x= 에 대하여 ^-BF^- ^-EF^- gakEDB tan`x= ^-BE^- ^-DE^- = ^-EF^- ^-DF^- = 3rt2&+rt3~~ 2 (cm^2) 3rt2&+rt3~~ 2 `cm^2 비 각 삼 Ⅲ ⑴ ⑵ 30° 3rt7~~ 8 에서 11 ⑴ 2`sin`x+1 sin`x 3 =81 =3 4`sin`x 2`sin`x+1=4`sin`x ∴ sin`x=1/2 ∴ gak&x=30° ⑵ 에서 cos`x #222rt2~~s~d=128 , 2`cos`x 이므로 8rt2~~=128 , 4`cos`x 8`cos`x=1 222rt2~~s~=128 8`cos`x 128=128 ∴ cos`x=1/8 ∴ sin`x=@1-cos^2`xx~=rt63/64~= 3rt7~~ 8 12 4x^2-2(rt3&+1)x+rt3=0 (2x-rt3~~)(2x-1)=0 또는 ∴ x= rt3~~ 2 x=1/2 에서 sin`alpha>sin`beta , sin`alpha= rt3~~ , 2 gakalpha=60° 이므로 sin`beta=1/2 gakbeta=30° ∴ gakalpha-gakbeta=60°-30°=30° 30°` t라 하면 gak 13 원뿔의 전개도에서 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기를 t 이다. gak 따라서 줄의 길이는 중심각의 크기가 =360°\2/6=120° 이고 반지름의 길이 가 인 부채꼴의 현의 길이와 같다. 120° 6`cm 6`cm 30æ B A 120æ P 6`cm 30æ B' Ⅲ. 삼각비 45 지도서1권1대단원.indb 45 18. 2. 9. 오후 1:34 따라서 구하는 줄의 길이는 ∴ ^-BP^-=6`cos`30°=3rt3~~(cm) 이다. 6rt3`cm 6rt3`cm semoABC=1/2\18\19.3005 ⇨ =173.7045(cm^2) 174`cm^2 174`cm^2 이므로 gakABC=60° , ^-AB^-=12`cos`60°=6 ^-AC^-=12`sin`60°=6rt3 의 이등분선이므로 는 ^-BD^- ： gakB ： ： ： 에서 ^-AD^- ^-CD^-=^-AB^- ^-BC^-=6 12=1 2 ^-CD^-=2/3~^-AC^-=4rt3 이므로 45°<gakA<90° sin`A>cos`A>0 @(sin`A-scos`A)^2x~+@(sin`A+scos`A)^2x~ =sin`A-cos`A+(sin`A+cos`A) 인 직각삼각형을 그리면 오른쪽 =2`sin`A=7/4 ∴ sin`A=7/8 sin`A=7/8 그림과 같다. 이므로 ^-AC^-=rt8^2-7^2~~=rt15~ cos`A= rt15~ 8 16 점 , 라 하면 P(x y) , x=^-OP^-`cos`alpha=a`cos`alpha 14 15 ∴ 17 점 46 18 A O P 30æ Q B R C 4rt3 는 무게이고, 는 수평 분력, 는 수직 분력이다. ^-OQ^- ^-OP^- 이므로 gakABC=gakOQP=gakQOR=30° ^-OQ^-=18`N 이고 ^-OR^- , ^-OP^-=^-OQ^-`sin`30°=18\1/2=9(N) ^-OR^-=^-OQ^-`cos`30°=18\ =9rt3~~(N) 수평 분력： , 수직 분력： rt3~~ 2 9`N 9rt3`N 19 ⑴ 꼭짓점 B 에서 변 에 내린 수선의 발을 라 하면 H B 7 C 8 A rt15~~ 8 AC , rt3~~ 2 c 이므로 ^-BH^-=c`sin`60°= ^-AH^-=c`cos`60°=c/2 ^-CH^-=b-1/2&c ∴ ^-BC^-=#~^-BH^- ^2c~ ^2+^-CH^- =%^( c^)^^2+(b-1/2&c^)^^2b~ rt3~~ 2 =rtb^2+c^2-bc~ semoABC=1/2&bc`sin`60°= rt3~~ 4 bc ⑴ ⑵ 20 는 , 에 각각 수직이므로 , ^-PQ^- ^-AQ^- 에서 ^-BQ^- semoPAQ ^-AQ^-= 에서 semoPBQ ^-BQ^-= Q x~ tan`alpha x~ tan`beta x tan`å x tan`∫ rtb^2+c^2-bc~ ⑵ rt3~~ 4 bc 점 y=^-OP^-`sin`alpha=a`sin`alpha 좌표는 이므로 점 의 의 좌표는 Q x b Q y ^-QB^-=^-OB^-`tan`alpha=b`tan`alpha 이므로 점 의 좌표는 이다. ^-OC^-=^-OQ^-= b cos`alpha , x C , - , , P(a`cos`alpha a`sin`alpha) Q(b b`tan`alpha) C^(- b cos`alpha b cos`alpha , 0^) ③, ⑤ 는 의 중점이므로 H 에서 ^-BC^- semoABH ^-BH^-=9`cm ^-AH^- =^-BH^-`tan`65°=9`tan`65° =9\2.1445=19.3005(cm) A a B 에서 semoABQ ^( x~ tan`alpha ^)^^2=a^2+( x~ tan`beta ^)^^2 지도서1권1대단원.indb 46 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 본문 P. 103~108 이 식을 전개하여 에 관하여 풀면 25 x^2 x^2= a^2`tan^2`alpha`tan^2`beta tan^2`beta-tan^2`alpha a^2`tan^2`alpha`tan^2`beta tan^2`beta-tan^2`alpha 에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 A H 21 점 C 에서 ^-AB^- semoBCH semoAHC ` ^-AC^-= 15rt3~~ cos`45° ^-CH^- =30`sin`60°=15rt3~~(m) 에서 =15rt6~~(m) H 60æ B 45æ 30æ C 30`m 15rt6`m {h+1.5}`m 1.5`m 30æ 45æ A 100`m B h`m 안테나 탑의 높이를 라 하면 (h+1.5)m =tan`30° h 100+h 즉, h = 안테나 탑의 높이 100+h ( 1 rt3~~ ∴ 에서 h= 100 rt3~~-1 ) =h+1.5 =50(rt3&+1) semoOXY+semoOYZ=semoOXZ 에서 gakA=180°\3/12=45° 이고, semoABC=semoABD+semoACD 의 길이를 라 하면 ^-AD^- x`cm 1/2\7\3\sin(180°-120°) =1/2\7\x\sin`60°+1/2\3\x\sin`60° 따라서 21=7x+3x ∴ 이다. x=2.1 ^-AD^-=2.1`cm 22 23 이므로 1/2&ab`sin`30°+1/2&bc`sin`30°=1/2&ac`sin`60° 양변을 ab+bc=rt3&ac 로 나누어 정리하면 abc rt3~~ b 1/a+1/c= 24 눈의 위치에서 탑까지의 거리를 라 하면 x`m ^{ x= h-a tan`alpha x-h= a tan`beta a tan`beta -h= h-a tan`alpha h-a-h`tan`alpha tan`alpha h-h`tan`alpha-a= = a tan`beta a`tan`alpha tan`beta a`tan`alpha tan`beta +a h-h`tan`alpha= ∴ h= a(tan`alpha+tan`beta) tan`beta(1-tan`alpha) =50(rt3&+1)+1.5 =50rt3&+51.5(m) (50rt3&+51.5)m ~ 비 각 삼 Ⅲ 안테나 탑의 높이 ) 다른풀이 ( = = 100 rt3~~-1 100 tan(90°-30°)-tan(90°-45°) +1.5 2.1`cm +1.5=50rt3&+51.5(m) 26 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 이므로 180° , , rt3~~ b gakB=180°\4/12=60° gakC=180°\5/12=75° gakBOC=2gakA=90° gakCOA=2gakB=120° gakAOB=2gakC=150° ∴ semoABC =semoOBC+semoOCA+semoOAB =1/2\2^2\{1+sin(180°-120°)+sin(180°-150°)} 3+rt3 =3+rt3 27 ^-AC^-=^-BD^-=rt10^2+8^2~~=2rt41 nemoABCD=1/2\^-AC^-\^-BD^-\sin` 에서 t t =1/2\2rt41\2rt41\sin` a(tan`alpha+tan`beta) tan`beta(1-tan`alpha) t =10\8=80 ∴ sin` =40/41 40/41 Ⅲ. 삼각비 47 지도서1권1대단원.indb 47 18. 2. 9. 오후 1:34 28 A 150æ 15æ 3`cm O P B 구하고자 하는 넓이를 라 하면 부채꼴 의 넓이 S S=( )-semoOAP ° AOP 150 360° =pai\3^2\ -1/2\3^2\sin(180°-150°) =15/4&pai-9/4 =3/4(5pai-3)(cm^2) 3/4(5pai-3)cm^2 nemoABCD=1/2\6\9\sin`x= 27rt2~~ 2 라 하면 29 gakAOB=gak&x ∴ sin`x= 1~ rt2~~ 0°<gak&x<90° 30 라 하면 gakAOD=gak&x 인 경우 r1par 0°<gak&x-<90° nemoABCD=1/2\16\14\sin`x 이다. 0<sin`x-<1 nemoABCD 인 경우 r2par 90°<gak&x<180° 이므로 =112`sin`x 의 넓이의 최댓값은 nemoABCD=1/2\16\14\sin(180°-x) =112`sin(180°-x) 이므로 0<sin(180°-x)<1 이다. , nemoABCD<112`cm^2 에서 의 넓이의 최댓값은 이다. r1par r2par nemoABCD 112`cm^2 이므로 gak&x=45° 45° 01 05 08 12 17 21 24 26 27 02 ⑴ 48 STEP A 최고수준문제 본문 P. 110~119 01 02 ⑴ ⑵ 03 04 6303 625 4/5 9/25 18rt34 06 27rt3~~ 2 `m t c`cos^3` +c`sin^3` , 1/24(5pai-6rt3~~) 10 t 09 3rt5~~ 5 rt5 13 24/25 6rt3 07 11 1/4`cm ` a=- 14 rt6~~ 2 x^2-4x+1=0 2+3rt7 15 16 20 23 4rt5~~ 5 1460`m rt21~ 14 18 22 2/9 5 19 7/8 25 3rt6&+3rt2~~ 2 15rt57~~ 19 `m 45, rt6, rt3&+1 `cm^2 196rt3~~ 11 rt6&+rt2~~ 4 76rt3~ &+12rt19~ 57 72+36rt3` cos`36°= sin`18°= rt5~ &-1~ 4 , 1+rt5~~ 4 에서 ^-AC^-=^-AB^-+^-BM^- 에서 b=c+a/2 b^2=a^2+c^2 (c+a/2^)^^2=a^2+c^2 a^2 4 ac+ =a^2 ∴ c=3/4&a`(∵ anot=0) 112`cm^2 b=3/4&a+a/2=5/4&a ∴ sin`A=a/b= =4/5 a 5/4&a 4/5 , 은 서로 평행하고 길이가 같으므로 은 평행사변형이다. BB' CC' nemoBCC'B' ∴ ^-BC^-= B'C' =@12^2\2s~=12rt2 112`cm^2 점 ^-AB^-=^-AC^-=rt12^2+9^2~~=15 에 내린 수선의 발을 에서 라 하고 라 하면 B ^-CA^- H ^-AH^-=a`cm (12rt2~~)^2-(15-a)^2=15^2-a^2 ∴ a=27/5 ∴ cos`x=27/5\1/15=9/25 이므로 ⑵ cos`x=9/25 sin`x=%1-(9/25^)^^2g~= 4rt34~ 25 지도서1권1대단원.indb 48 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이5 4 5 4 5 4 ∴ semoABC=1/2\15\15\ 4rt34~ 25 =18rt34 ⑴ ⑵ 9/25 18rt34 ^-AC^-`sin`13° =60rt3\0.2250= 이다. 27rt3~~ 2 (m) 본문 P. 108~112 27rt3~~ 2 `m 03 y 3 P¡ 3 y= x 4 P£ P∞ Ω Ω Ω Ω Ω O P§ P¢ P™ 4 x t라 하면 에서 gakP_1OP_2=gak 이므로 semoP_1OP_2 t OP_1 =rt4^2+3^2~~=5 cos` =4/5 P_1P_2 =3 P_2P_3 = P_1P_2 `cos` =3\4/5=12/5 t t t t P_3P_4 = P_2P_3 `cos` =48/25 P_4P_5 = P_3P_4 `cos` =192/125 = P_4P_5 `cos` =768/625 + P_2P_3 + P_3P_4 + P_4P_5 + P_5P_6 =3+12/5+48/25+192/125+768/625 P_5P_6 ∴ P_1P_2 = 6303 625 04 ^-AC^-=rt24^2+7^2~~=25 sin`A=24/25 05 L C B 120`m 30æ A 13æ 구하는 넓이를 라 하면 부채꼴 S 의 넓이 ` S= ( 부채꼴 AOD 의 넓이 )-semoAOD +( AO'D ° )-semoAO'D =pai\( rt3~~ 2 ^)^^2\ -1/2\( ° ^)^^2\sin`60° rt3~~ 2 60 360° 120 360° +pai\(1/2^)^^2\ -1/2\(1/2^)^^2\sin(180°-120°) 비 각 삼 Ⅲ 1/24(5pai-6rt3~~) 06 Â3 2 60æ A 1 2 S O' 60æ D C O 30æ B 120æ =pai/8- 3rt3~~ 16 + - pai 12 rt3~~ 16 =1/24(5pai-6rt3~~) 07 sin^3`x=4(1-sin^2`x)-2`sin`x 로 놓으면 sin`x=t t^3=4(1-t^2)-2t t^3+4t^2+2t-4=0 t(t+2)^2-2(t+2)=0 (t+2)(t^2+2t-2)=0 =6rt3 D G C 08 A Ω B c E F 6303 625 ： ： 을 만족하는 직각삼각형을 C 그리면 오른쪽 그림과 같다. sin`A cos`A=24 7 이므로 24 24/25 A B 7 ∴ t=-1+rt3`(∵ 0-<t-<1) ∴ sin^3`x+10 =t^3+10=(-1+rt3~~)^3+10 6rt3 지점에서 똑바로 오르는 방향을 , 보다 오른쪽으로 A 되는 방향으로 올라간 지점을 ^-AL^- ^-AL^- 라 하고, 지점에 서 30° 에 내린 수선의 발을 120`m 라 하면 B B gakABD =gakDAE=gakBDC=gakBEF=gak t, t t ^-AL^- ^-AC^- =^-AB^-`cos`30°=120\ C rt3~~ 2 는 수평면과 이루는 각도가 =60rt3`(m) 이므로 지점의 높이는 ^-AC^- 13° C ^-AB^-=c`cos` t t ^-AD^-=c`sin` ^-BE^-=^-AB^-`cos` =c`cos^2` t t 같은 방법으로 ∴ ^-EF^-=^-BE^-`cos` =c`cos^3` t t ^-DE^-=^-AD^-`sin` =c`sin^2` Ⅲ. 삼각비 49 지도서1권1대단원.indb 49 18. 2. 9. 오후 1:34 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 가 = 9rt3~~ 4 nemoABCD ^-AE^- 7rt3~~ - 의 넓이를 이등분하므로 4 (cm^2) rt3~~ 2 = semoAED= ： 7rt3~~ 8 `cm^2 ： ^-DF^- ^-DE^- =semoAFD ： semoAED ： 이므로 = rt3~~ 2 7rt3~~ 8 =4 7 ^-DE^-=7/4(cm) ∴ ^-CE^-=^-CD^--^-DE^-=2-7/4=1/4(cm) 1/4`cm 12 근과 계수의 관계에서 t t ……㉠ sin` +cos` t t =-a ……㉡ sin` ㉠의 양변을 제곱하면 =1/4 `cos` t t 1+2`sin` =a^2 여기에 ㉡을 대입하면 `cos` a^2=3/2 , t t >0 sin` 을 두 근으로 하며 cos` >0) 의 계수가 인 이차방정 t 1 tan` t t sin` cos` + 1 이다. x^2 t t 1 tan` ^)x+tan` \ =0 t t cos` sin` = sin` =4 t t` 1 cos` , rt6~~ 2 a=- x^2-4x+1=0 a=- ∴ 또, rt6~~ 2 t, tan` 식은 `(∵ t 1 tan` t x^2-(tan` + 여기에서 t + 1 tan` tan` t = ∴ x^2-4x+1=0 13 ∴ ^-EG^-=^-DE^-`sin`theta=c`sin^3`theta ∴ ^-EF^-+^-EG^-=c`cos^3`theta+c`sin^3`theta t t c`cos^3` +c`sin^3` D sinx c o s x E H b I C 두 점 , 에서 , 에 내린 수선의 발을 각각 , , , 라 하고 D E ^-AB^- ^-BC^- F G H I , 라 하면 에서 ^-AF^-=^-FG^-=^-GB^-=a semoDBH ……㉠ (2a)^2+b^2=^-BD^- 이므로 ^-BH^-=^-HI^-=^-IC^-=b ^2 4a^2+b^2=sin^2`x 에서 semoEBI ……㉡ a^2+(2b)^2=^-BE^- ㉡을 하면 ㉠ a^2+4b^2=cos^2`x 이므로 ^2 5(a^2+b^2)=sin^2`x+cos^2`x=1 + ∴ a^2+b^2=1/5 ∴ ^-AC^-=rt(3a)^2+(3b)^2~=rt9(a^2+b^2)~ =rt9/5~= 3rt5~~ 5 3rt5~~ 5 10 r1par 일 때 gakB<90° semoABC=1/2\1\2\sin`B=sin`B<1 일 때 r2par gakB=90° r3par gakB>90° semoABC=1/2\1\2=1 일 때 semoABC=1/2\1\2\sin(180°-B) 따라서 일 때 최대이므로 =sin(A+C)<1`(∵ gakA+gakC<90°) 이다. gakB=90° x=rt1^2+2^2~~=rt5~~ 09 A F a G B 11 50 이므로 는 정삼각형이고 , gakBFC=60° 이다. semoFBC ^-AF^-=2`cm ^-FD^-=1`cm nemoABCD=semoFBC-semoFAD =1/2\3\3\sin`60°-1/2\2\1\sin`60° ^-AE^- gakA 이므로 semoABD+semoACD=semoABC 1/2\6\x\sin`60°+1/2\3\x\sin`60° =1/2\6\3\sin(180°-120°) 에서 점 9x=18 에서 에 내린 수선의 발을 x=2 라 하면 rt5 C ^-AF^- , H 이므로 ^-AH^-=3`cos`60°=3/2(cm) ^-CH^-=3`sin`60°= 에서 3rt3~~ 2 (cm) semoBCH ^-BC^-=%(15/2^)^^2+^( 는 의 외각의 이등분선이므로 ^)^^2b~=rt63~=3rt7~~ 3rt3~~ 2 지도서1권1대단원.indb 50 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 의 꼭짓점 에서 변 에 내린 수선의 발을 라 하 ∴ y =cos^2` +a`sin` t t -2 고, semoABC 라 하면 C AB H =1-sin^2` +a`sin` -2 ： ： 에서 ： ^-AB^- ^-AC^-=^-BE^- ： ^-CE^- 6 3=(3rt7~ , &+y) y 9rt7~ &+3y=6y 3y=9rt7~~ ∴ y=3rt7~~ ∴ x+y=2+3rt7~~ 2+3rt7 14 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 이므로 180° 에서 gakA+4/3gakA+5/3gakA=180° , gakA=45° gakB=60° A gakC=75° , 45æ H 60æ B 45æ 30æ C 에서 ^-AH^-=a semoAHC , 이므로 gakAHC=90° gakACH=45° , ^-HC^-=a`tan`45°=a ^-AC^-= =rt2&a a 에서 cos`45° , semoBCH gakBHC=90° gakBCH=30° , a a ： rt3~~ 3 2rt3~~ 3 ： ^-BH^-=a`tan`30°= ^-BC^-= ∴ ^-BC^- a ： ： cos`30° ^-CA^- = 15 A a D E 30æ 30æ F B a 2 C Ω semoBCD rt3~~ a 2 이므로 ^-BD^-=a`sin`60°= ^-BE^-=^-ED^-= rt3~~ 4 a 정삼각형 의 한 변의 길이를 라 하면 이고, ABC 는 직각삼각형이므로 a ^-CD^-=a/2 본문 P. 112~115 rt21~ 14 비 각 삼 Ⅲ semoCDE 에서 rt3~~ 4 rt7~~ = 에서 4 a` 점 E ^-BC^- 에서 ^-CE^-=%^( a^)^^2+(a/2^)^^2b~=47/16&a^2r~ 에 내린 수선의 발을 라 하면 semoBFE ^-EF^-= a`sin`30°= 에서 rt3~~ 4 F rt3~~ 8 a semoCEF t sin` = ^-EF^- ^-CE^- = 16 = rt21~ 14 rt3~~ 8 rt7~~ 4 a a t 에서 t 이므로 t 0°-1 는 a>2 에서 최대이므로 y `t=1 , -1+a-1=3 에서 이다. ∴ a=5 가 의 이등분선이므로 ^-AD^- ： gakA ： ： ： ^-AB^- ^-AC^-=^-BD^- ^-CD^-=14 8=7 4 semoABD=7/11semoABC =7/11\1/2\14\8\sin`60° = 196rt3~~ 11 (cm^2) 196rt3~~ 11 `cm^2 18 x B A E D C Ⅲ. 삼각비 51 이므로 -1=3` ⇨ 이것은 ∴ a=±4 라는 조건을 만족하지 않는다. ^-AB^-=2 rt6 (rt3~ &+1) , , 45 rt6 rt3&+1 r2par r1par 17 a=5 5 지도서1권1대단원.indb 51 18. 2. 9. 오후 1:34 점 에서 의 연장선에 내린 수선의 발을 라 하자. A ^-BD^- 라 하면 이므로 E ^-AD^-=^-CD^-=a ^-BC^-=4a ^-BD^-=rt(4a)^2+a^2~~=rt17&a 닮음 이므로 Z ： semoBCD ： semoAED(AA` 에서 ) ^-BD^- ^-AD^-=^-CD^- ： ： ^-ED^- rt17&a ： a=a ^-ED^- ： ∴ 에서 ^-ED^-= rt17~ 17 a ^-BC^- ： ^-AE^-=^-CD^- ： ^-ED^- 4a ^-AE^-=a 에서 semoABE rt17~ 17 a ∴ ^-AE^-= 4rt17~ 17 a 이므로 ^-BE^-=rt17&a+ a= rt17~ 17 18rt17~ 17 a tan`x= 4rt17~ 17 a\ 17 18rt17&a =2/9 19 점 , , , , , 은 호 를 등분하는 점이므로 C_1 C_2 C_3 C_4 C_5 C_6 AB 6 gakAOC_1 =gakC_1OC_2=gakC_2OC_3=gakC_3OC_4=gakC_4OC_5 =gakC_5OC_6=15° ∴ S_1&^2+S_2&^2+S_3&^2+S_4&^2+S_5&^2+S_6&^2 =(1/2\1\1\sin`15°^)^^2+(1/2\1\1\sin`30°^)^^2 +(1/2\1\1\sin`45°^)^^2+(1/2\1\1\sin`60°^)^^2 ∴ 22 21 A 15æ 15æ 30æ C 60æ x B 이고 2x D Â3x gakCAB=90°-75°=15° 가 되도록 점 를 위에 잡으면 gakACD=15° D ^-AB^- 라 하면 gakDCB=75°-15°=60° 에서 2/9 ^-BC^-=x , semoDBC ^-DB^-=x`tan`60°=rt3&x ^-DC^-= x cos`60° ^-AD^-=^-DC^-=2x =2x 이므로 에서 ^-AB^-=^-AD^-+^-DB^- 1=2x+rt3&x ∴ x= =2-rt3 1 에서 2+rt3~~ semoABC ^-AC^-=@1^2+(2-xrt3~~)^2x~=@8-4rt3~~s~ =@8-2rt12~x=@(rt6&-rt2~~)^2x~ =rt6&-rt2~ cos`15°= ^-AB^- ^-AC^- = 1 rt6&-rt2~~ = rt6&+rt2~~ 4 rt6&+rt2~~ 4 +(1/2\1\1\sin`75°^)^^2+(1/2\1\1\sin`90°^)^^2 에서 =1/4(sin^2`15°+sin^2`30°+sin^2`45°+sin^2`60°+sin^2`75° 점 semoACE , 에서 ^-AC^-=^-CE^-=3rt2`cos`45°=3 에 내린 수선의 발을 각각 , 이라 하면 A E 는 정삼각형이므로 ^-BD^- H H' +sin^2`90°) +sin^2`90°) =1/4(sin^2`15°+sin^2`30°+sin^2`45°+cos^2`30°+cos^2`15° (∵ sin`A=cos(90°-A)) =1/4^{1\2+( ^)^^2+1^2^}=7/8 rt2~~ 2 7/8 20 이므로 ^-BC^-=^-CD^-=4 , ^-AC^-=rt4^2+4^2~~=4rt2 ^-CE^-=rt4^2+8^2~~=4rt5 이므로 sin`x=3/5 ^-CF^-=4rt5`sin`x= ^-AF^-=%(4rt2~~)^2-( 12rt5~~ 5 ^)^^2b~= 4rt5~~ 5 12rt5~~ 5 ∴ 52 semoABC ^-AH^-=3`sin`60°= , 3rt3~~ 2 ^-HC^-=3`cos`60°=3/2 이므로 gakECH'=180°-60°-90°=30° 에서 semoECH' 라 하면 EH' =3`sin`30°=3/2 닮음 이므로 ) 에서 ^-ED^-=x Z semoAHD semoEH'D(AA` sin(gakADH)= ^-AH^- ^-AD^- = , EH' ^-ED^- ^-AH^-\^-ED^-=^-AD^-\ EH' 3rt3~~ 2 \x=(3rt2&+x)\3/2 4rt5~~ 5 (rt3&-1)x=3rt2 ∴ x= 3rt6&+3rt2~~ 2 3rt6&+3rt2~~ 2 지도서1권1대단원.indb 52 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이5 4 5 4 5 4 500+1600`sin`x=500+1600\3/5=1460(m) B {5-x}`m {10-2x}`m {4x-5}`m {10-2x}`m C B {5-x}`m 60æ HQ 3x`m 3x`m 1460`m {5-4x}`m C 한 바퀴를 도는데 분이 걸리므로 분 동안에는 3 1 =120° H 에서 ° 360 3 , 이고 점 에서 에 내린 수선의 발 라 하면 을 ^-AP^-=2x`m ^-BQ^-=3x`m P ^-BC^- 비 각 삼 Ⅲ 23 경사도가 인 길의 경사각을 라 하면 75`% 수직 이동 거리 수평 이동 거리 ) ) ( ( =tan`x gak&x 이므로 tan`x\100=75 ∴ tan`x=3/4 인 직각삼각형을 그리면 오른쪽 tan`x=3/4 그림과 같고 따라서 민호의 현재 위치는 해발 ^-AB^-=rt4^2+3^2~~=5 A 3 C A 2x`m x 4 P B 이다. 60æ H Q 24 회전한다. C D 80`cm 30æ O x A B E gakCOD=30° 에서 semoCDO 따라서 분 후에는 위의 그림과 같이 지점에 도달한다. 8 이므로 C ^-CD^-=80`sin`30°=40(cm) ^-OD^-=80`cos`30°=40rt3~~(cm) 에서 semoCEB ^-CE^-=^-CD^-+^-DE^-=40+120=160(cm) ^-BE^-=^-OD^-=40rt3~~(cm) ^-BC^-=@160^2+(4x0rt3~~)^2x~=40rt19~(cm) ∴ sin`x+tan`x 160 40rt19~ + 160 40rt3~~ = = ^-CE^- ^-BC^- 76rt3~ + = ^-CE^- ^-BE^- &+12rt19~ 57 25 민정이의 위치를 점 r1par gakPQB , 보리의 위치를 점 라 하자. 가 예각일 때 P Q 76rt3~ &+12rt19~ 57 본문 P. 116~119 2x`m A P {10-2x}`m {4x-5}`m {10-2x}`m C B {5-x}`m 60æ HQ 3x`m {5-4x}`m C 2x`m A P 60æ B {5-x}`m H Q 3x`m 가 둔각일 때 r2par gakPQB 2x`m A P semoPBH 이고 이므로 ^-PB^-=(10-2x)m gakPBC=60° ^-BH^-=(10-2x)cos`60°=5-x(m) ^-PH^-=(10-2x)sin`60°=rt3~(5-x)(m) ^-PQ^-=#~^-PH^- ^2+^-HQ^-~^2c =@3(5-x)^2+(x4x-5)^2x =%19(x-35/19^)^^2b+675/19b 따라서 민정이와 보리 사이의 거리의 최솟값은 rt675/19~~= 15rt57~ 19 (m) 26 A E D G B 60æ C 6 F H 이다. 15rt57~~ 19 `m 위 그림과 같이 를 점 를 중심으로 시계 방향으로 회전이동하면 semoCDE C 60° 가 되고 는 정삼각형이 된다. semoCFG semoCGE 따라서 ∴ 의 값이다. ^-BE^-+^-CE^-+^-DE^-=^-BE^-+^-EG^-+^-GF^-->^-BF^- ^2 의 연장선에 내린 수선의 발을 ^-BF^- (^-BE^-+^-CE^-+^-DE^-)^2 의 최솟값은 라 하면 에서 점 F ^-BC^- , ^-CF^-=^-CD^-=6 H 이므로 gakBCF =gakBCD+gakDCF=90°+60°=150° gakFCH=180°-150°=30° 에서 , semoFCH ^-FH^-=6`sin`30°=3 Ⅲ. 삼각비 53 지도서1권1대단원.indb 53 18. 2. 9. 오후 1:34 ^-CH^-=6`cos`30°=3rt3~~ ^2 =(^-BC^-+^-CH^-)^2+(^-FH^-)^2 ^-BF^- ∴ =(6+3rt3~~)^2+3^2=72+36rt3 라 하면 A 27 semoBCD gakABD =gakDBC=gak&a gakABC 에서 =gakBCD=gakBDC=2gak&a gak&a+2gak&a+2gak&a=180° ∴ gak&a=36° Z 라 하면 semoABC semoBCD(AA` ) 닮음 이므로 ^-BC^-=x ： 에서 ： ^-AD^-=^-BD^-=x ： ^-AB^- ： ^-BC^-=^-BC^- ^-CD^- 1 x=x (1-x) x^2+x-1=0 x= ∴ 점 -1+rt5~~ 2 삼각형이므로 ^-AB^- 에서 D 72+36rt3` x 1 D 2a 2a C E 1 a a B F x x>0) 에 내린 수선의 발을 (∵ 라 하면 는 이등변 E semoDAB ^-AE^-=^-BE^-=1/2 ∴ cos`36° = 점 에서 A = ^-BC^- =1/2÷ -1+rt5~~ 2 ^-AE^- ^-AD^- 1+rt5~~ 에 내린 수선의 발을 4 이므로 F 라 하면 gakBAF=36°÷2=18° 에서 semoABF sin`18°= ^-BF^- ^-AB^- = -1+rt5~~ 4 cos`36°= sin`18°= -1+rt5~ 4 &~ , 1+rt5~~ 4 사고력의 날개 본문 P. 120~121 1 A B å E ∫ O D F C 변형의 대각선은 서로를 이등분하므로 ^-EO^-=^-FO^-=1/2~^-EF^-=1/2~^-AE^- 점 에 내린 수선의 발을 에서 라 하자. E ^-AO^- , 라고 하면 H gakEAO=gakalpha gakAOE=gakbeta 에서 ^-EH^-=^-AE^-`sin`alpha=^-EO^-`sin`beta sin`alpha= 는 sin`beta 이고, ^-EO^- ^-AE^- gakbeta=90° sin`beta=1/2`sin`beta 일 때 최댓값 을 가지므로 의 최댓값은 일 때 최대이다. 1 sin`alpha 1/2 따라서 gakalpha=30° 의 크기의 최솟값은 이다. gakBAE 45°-30°=15° 15° 점 r2par E 에서 에 내린 수선의 발을 , 라 하면 D ^-BC^- 이므로 H gakADB=gak&y 2 {E}A 3 B Â3 y x D{E} x H 4Â3 C 에서 라 하면 점 semoEBC 가 점 에 있을 때 gakBEC=gak&x r1par E A sin`x= 점 = 가 점 = 4rt3~~ rt57~ 4rt3~~ @3^2+(4rt3~~)^2x~ 4rt19~ 19 D 에 있을 때 tan`y= =rt3~~ 3 , rt3~~ gak&y=60° gakBDH=30° 이므로 4rt3~ , &-rt3~~ 3 gak&x=90° =rt3~~ tan(x-30°)= gak&x-30°=60° ∴ , sin`x=1 에서 r1par r2par -<sin`x-<1 4rt19~ 19 semoEBC=1/2&ab`sin`x=1/2&\4rt3\3 12rt3~~ ab 12rt3~~ ab -<1 ∴ sin`x= -< 4rt19~ 19 rt57~ -< 따라서 171 -< 1 1 ab 12rt3~~ 12rt3-<ab-<3rt57~ 이므로 의 크기가 최대일 때, 이다. 12rt3-<ab-<3rt57~ gakBAE=45°-gakEAC 의 크기가 최소가 된다. gakEAC gakBAE 는 평행사변형 ∵ , 이고 평행사 nemoAECF 54 ( ^-AE^-=^-FC^- ^-AE^-//^-FC^-) 지도서1권1대단원.indb 54 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 3 A B ① a b ② c F f I ④ ⑤ e Ω G x ⑥ z Ω ⑦ y H ③ E d D C 본문 P. 119~121 인 자연수 라 하면 b+c=k`(k>1 이므로 bc= , k^2-169 3 는 이차방정식 ) b c x^2-kx+ 이므로 k^2-169 3 =0 의 두 근이다. D->0 k^2-4\ , k^2-169 3 ->0 , 3k^2-4k^2+676->0 ∵ -k^2+676->0 ㉠ k^2-<676 위의 그림과 같이 세 대각선 , , 가 각각 육각형 의 넓이를 이등분하면서 한 점에서 만나지 않는다고 AD BE CF 하면 ABCDEF 육각형 의 넓이 ㉠, ㉡에서 k>13 …… ㉡ nemoABEF=nemoADEF=1/2\( ⑦ ④ ① ⑤ ⑤ ⑥ ⑥ ABCDEF ) , 13<k-<26 , , 을 이차방정식 삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 길므로 ∴ 1<k-<26( k>1) …… ① + ④ + ⑦ = + + + = + ∴ semoABG=semoGDE t 1/2&ab`sin` =1/2(d+x)(e+z)sin` 마찬가지 방법으로 생각하면 ab=(d+x)(e+z)->de ∴ …… ㉡ cd=(a+x)(f+y)->af …… ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에서 ef=(b+z)(c+y)->bc …… 이다. t ㉠ 따라서 세 대각선 , x=y=z=0 , 는 모두 한 점에서 만난다. AD BE CF c 2 H 60æ A c Â3` 2 c b- b c 2 13 C B C k=14 … 입하여 두 근이 자연수인 26 15 의 값을 찾는다. x^2-kx+ , , , , , k 일 때, 조건을 만족하지 않는다. 에 대 k^2-169 3 =0 k=14 일 때, 15 … 21 24 25 k=22 k=23 k=26 x^2-22x+105=0 또는 (x-15)(x-7)=0 ∴ x=15 일 때, x=7 x^2-23x+120=0 또는 (x-15)(x-8)=0 ∴ x=15 일 때, x=8 , , , 따라서 만들 수 있는 삼각형 x^2-26x+169=0 (x-13)^2=0 의 둘레의 길이는 x=13 ∴ , , ABC 이다. 22+13=35 23+13=36 26+13=39 , , 35 36 39 비 각 삼 Ⅲ 4 가 예각일 때 r1par gakB A 60æ c 2 H b b- c 2 13 c Â3` 2 c B 가 둔각일 때 r2par gakB A c 2 H 60æ c Â3` 2 c b- b c 2 13 H 13&^2=( rt3~~ 2 13^2=c^2+b^2-bc c^)^^2+(b-c/2^)^^2 ∴ (b+c)^2-3bc=169 A 60æ c 2 H b b- c 2 13 c Â3` 2 c B C B C 에서 , 라 하고, 점 에서 에 내린 수선의 발을 semoABC 라 하면 ^-AB^-=c ^-AC^-=b B ^-AC^- 지도서1권1대단원.indb 55 18. 2. 9. 오후 1:34 Ⅲ. 삼각비 55 Ⅳ 원의 성질 STEP C 필수체크문제 본문 P. 131~145 ⑵ ⑵ 01 풀이 참조 04 07 ⑴ 4rt7`cm , 02 4 05 , 135° 03 06 rt65~ 2 30`cm x=3 y=12 x=6 y=8 08 ⑴ 09 gak&b-1/2gak&a , 5pai`cm , 10 gak&x=72° gak&y=108° , gak&z=36° 12 11 gakBAC=20° ： ： gakACD=60° 13 14 11 12 16 ⑴ 풀이 참조 ⑵ gakA=30° , `7 15 ⑴ 4pai`cm ⑵ 40° gakC=150° 17 60° 18 30° 19 ⑴ , 36° ⑵ 68° , 10`cm ⑶ gak&x=75° , ⑷ gak&y=105° gak&x=110° gak&y=20° gak&x=50° ⑵ 20 ⑴ gak&y=22° ⑶ gak&x=115° ⑷ 30° 20/3&pai`cm 30`cm 10rt3`cm ⑸ 75rt3`cm^2 21 22 23 24 12rt2 2 25 ⑴ ⑵ 27rt7~~ ⑶ 4 `cm^2 26 ⑴ 56° ⑵ ： 110° 27 125° 65° 28 ② 120° 29 7 5 30 4`cm ` 31 32 2/3(180°-gak&a) , 20° 330/49 33 34 gakBAD=110° , gakFED=55° 35 , 4rt13`cm 36 gak&x=70° gak&y=60° 37 gak&x=30° gak&y=100° 38 40 1/4&pai`cm^2 3rt7&+9rt3~~ 2 `cm 4pai`cm 39 4 41 2(rt3&-1)cm 42 12`cm 35° 01 R A Q D C B P 에서 이므로 semoABP 이다. ^-AB^-=^-AP^- 또, gakABP=gakAPB 이므로 ^-AD^-//^-BC^- 이다. gakAPB=gakPAQ 따라서 gakABP=gakRAQ 이다. gakPAQ=gakRAQ PQ^\=RQ^\ ∴ 56 O B H P A 원의 중심 에서 현 에 내린 수선의 발을 라 하면 O AB 이므로 H ^-AH^-=^-BH^-=5/2 ^-PH^-=3/2 에서 ^2=3^2-(5/2^)^^2=11/4 에서 semoOAH ^-OH^- ^2=11/4+(3/2^)^^2=5 semoOPH ^-OP^- ^2=3^2-5=4 ^2-^-OP^- ^-OA^- 4 에서 , 에 내린 수선의 발을 각각 , 이라 하면 M N O 에서 ^-AB^- ^-CD^- semoOAM , ^-AM^-=^-BM^-=7/2 ^-OM^-=^-NP^-=^-DN^--^-DP^-=4-2=2 ^-OA^-=%^(& ∴ 따라서 원 7 2 ^)^^2+2^2g~= rt65~ 2 의 반지름의 길이는 이다. O rt65~ 2 rt65~ 2 , 작은 원의 반지름의 길이를 04 큰 원의 반지름의 길이를 라 하면 R`cm r`cm paiR^2-pair^2=pai(R^2-r^2)=28pai 점 ∴ R^2-r^2=28 에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 O ^-AB^- H ^-AH^-=rtR^2-r^2~~=rt28~~=2rt7~~(cm) ^-AB^-=2^-AH^-=4rt7~~(cm) 4rt7`cm 02 ∴ 03 점 ∴ 05 A D E O C B , gakOAD=gakODA=gak&b 이므로 gakDOC=2gak&b 90°+2gak&a+2gak&b=180° ∴ gak&a+gak&b=45° , gakECA=gakECD=gak&a 라 하면 지도서1권1대단원.indb 56 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 또, 에서 semoAEC gakAEC =180°-(gak&a+gak&b) =180°-45°=135° 135° 10 A x 80æ B 40æ y P y C Q x D 본문 P. 131~134 , 라 하면 gakBAC=gak&x gakACD=gak&y , 이다. gakBDC=gakBAC=gak&x 에서 gakABD=gakACD=gak&y 30`cm semoPCD ……㉠ ……㉡ gakPDC+gakPCD=gak&x+gak&y=80° 에서 semoAQC ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 gakACD-gakQAC=gak&y-gak&x=40° , 이다. gak&x=20° gak&y=60° , ∴ gakBAC=20° gakACD=60° , gakBAC=20° gakACD=60° 06 07 ⑴ 08 ⑴ 의 둘레의 길이 (semoDPE ) =^-PD^-+(^-DC^-+^-CE^-)+^-EP^- =(^-PD^-+^-DA^-)+(^-PE^-+^-EB^-) =^-PA^-+^-PB^-=2^-PA^-=30(cm) 이므로 또한, ^-AF^-=^-AE^-=3`cm , x=3 이므로 ^-BF^-=^-BD^-=7`cm ^-CD^-=^-CE^-=5`cm ⑵ y=7+5=12 , 이므로 ^-AE^-=^-AH^-=3`cm ^-BE^-=^-BF^-=x`cm x=9-3=6 이므로 ^-AB^-+^-DC^-=^-AD^-+^-BC^- 9+y=7+10 ∴ y=8 ⑴ , ⑵ , x=3 y=12 x=6 y=8 이므로 gakAPB=1/2gak&a gak&a+gakOBP=gak&b+1/2gak&a ∴ gakOBP=gak&b-1/2gak&a ⑵ 이므로 gakAOB=2gakAPB=2\37.5°=75° ° AB^\=2pai\12\ =5pai(cm) 75 360° ⑴ ⑵ gak&b-1/2gak&a 5pai`cm 09 중심각의 크기는 호의 길이에 정비례한다. 의 중심각의 크기는 BE^\ 이므로 360°\2/5=144° gak&x=1/2\144°=72° 원주각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로 gak&z=1/2gak&x=1/2\72°=36° 이므로 gakCBD=gakCED 질 성 의 원 Ⅳ ： ： 11 12 `7 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 gakFID=180°-96°=84° 11 gakC=180°-96°-48°=36° gakDIE=180°-48°=132° gakEIF=180°-36°=144° ： ： DE^\ EF^\ ： FD^\ ： ： =gakDIE ： gakEIF gakFID ： =132° ： 144° 84° =11 12 7 12 A 60æ O E C B D F 이므로 gakBDC=gakDBF 에서 BC^\=DF^\ 이다. AF^\ ^-CD^-//^-BF^- gakABF=gakAED=60° 이므로 에 대한 원주각의 크기는 AD^\+BC^\=AD^\+DF^\=AF^\ 이므로 중심각의 크기는 60° ° 120 360° 120° 4pai`cm Ⅳ. 원의 성질 57 gak&y=gak&x+gak&z=72°+36°=108° , , ∴ AD^\+BC^\ =AF^\=2pai\6\ gak&x=72° gak&y=108° gak&z=36° =4pai(cm) 지도서1권1대단원.indb 57 18. 2. 9. 오후 1:34 17 는 이므로 정삼각형이다. gakBAD=gakADC=1/2gakAOC 다른풀이 =1/2\(180°-50°-50°)=40° 40° gakECD=gakACD=98°-30°=68° 68° 13 ^-AB^-//^-CD^- 이므로 A B E 50æ O C D semoOBC ^-OB^-=^-OC^-=^-BC^- 이므로 gakBOC=60° gakBDC=1/2gakBOC=30° 에서 semoECD 18 A E B O F P D C Q , 는 직각삼각형이므로 ^-OP^-=x`cm(12.5<x<25) semoOPF ^-OP^-~^2=^-PF^-~^2+^-OF^-~^2 x^2=(x-8)^2+(25-x)^2 x^2-66x+689=0 (x-13)(x-53)=0 따라서 ∴ x=13 ^-PQ^- 점 에서 에 내린 수선의 발을 각각 , 라 하자. O 는 한 변의 길이가 ^-AB^- ^-BC^- 인 정사각형이고, E F 는 직사각형이다. nemoABCD nemoOEBF 25`cm 라 하면 =2\^-PF^-=2\(13-8)=10(cm) 이다. 10`cm 19 ⑴ gakABE=gakADE=15° gak&x=180°-(90°+15°)=75° ⑵ gak&y=180°-75°=105° gak&x=110° ⑶ gak&y=110°-90°=20° 이므로 gakBOC=180°-(40°+40°)=100° gak&x=100°\1/2=50° 또, , gakBCD=180°-112°=68° gakDBC=180°-(50°+68°)=62° ⑷ ∴ gak&y=62°-40°=22° 이므로 gakBAF=180°-(10°+60°)=110° gakBDF=180°-110°=70° gakFCE=gakFDE=45° 이므로 gakCAE=90° gakBAD =gakADC=gakAEC =180°-(90°+50°)=40° 는 이므로 semoOBD ^-OB^-=^-OD^-=^-BD^- gakBOD=60° gakA=1/2gakBOD=1/2\60°=30° gakC=180°-gakA=150° , gakA=30° gakC=150° 이므로 BC^\=1/3`AB^\ gakCOB=180°\1/3=60° 는 정삼각형이므로 ⑵ semoCOB gakOBC=60° ⑴ ⑵ ∴ gakCBD=90°-60°=30° 60° 30° D Q C 대각선 를 그으면 이므로 AC ……㉠ ^-PQ^-//^-AC^- 는 gakBQP=gakACB 의 원주각이므로 gakACB AB^\ ……㉡ ㉠, ㉡에서 gakADB=gakACB ⑵ gakBQP=gakBDA gakBQP=gakBDA=180°\1/5=36° 14 15 ⑴ 16 ⑴ A P B 58 ⑴ 풀이 참조 ⑵ ⑶ gak&x=75° , gak&y=105° ⑷ gak&x=110° gak&y=20° ∴ ⑴ gak&x =gakBDF+gakFDE=70°+45°=115° ⑵ , , 36° gak&x=50° gak&y=22° gak&x=115° 지도서1권1대단원.indb 58 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 ⑵ =30° 이고, 원 의 반지름의 길이는 이므로 ∴ x=4`(∵ 와 x>0) 에서 O 10`cm semoPCD 는 공통, semoPAB 이므로 20 ⑴ , 이므로 gakPCO=90° gakOCA=30° gakCPA =180°-(90°+30°+30°) 이다. 이므로 의 길이는 호 gakAOC=120° ° AC ⑶ 2pai\10\ r semoABC =20/3&pai(cm) 합동 120 360° semoPOC(ASA` ) ^-PO^-=^-AB^-=20(cm) ⑷ ^-AP^-=^-PO^-+^-OA^-=30(cm) ∴ ^-PC^-~^2 =^-PB^-~·~^-PA^- =(30-20)\30=300 ⑸ ∴ ^-PC^-=10rt3~~(cm)(∵ ^-PC^->0) A H 30æ O C B P A Z PC 이므로 ： semoPOC ： semoPAH ： ^-PO^- ： ^-PA^-=^-OC^- ^-AH^- 20 30=10 ^-AH^- ∴ ^-AH^-=15(cm) 점 에서 직선 에 내린 수선의 발을 라 하면 H ∴ 다른풀이 semoAPC=1/2&\15\10rt3~~=75rt3~~(cm^2) semoAPC=3/2semoOPC =3/2\1/2\10rt3\10 ⑴ =75rt3~~(cm^2) ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 30° 20/3&pai`cm 30`cm 10rt3`cm 75rt3`cm^2 21 , 라 하면 ^-PC^-=3x ^-PD^-=x 에서 ^-PA^-~·~^-PB^-=^-PC^-~·~^-PD^- , 9\6=3x\x x^2=18 x=3rt2~~(∵ ∴ x>0) 22 라 하면 ^-PD^-=x 에서 ^-PD^-~·~^-PA^-=^-PC^-~·~^-PB^- ∴ ^-CD^-=^-CP^-+^-PD^-=9rt2&+3rt2=12rt2 12rt2 본문 P. 135~139 x(x+6)=5(5+3) x^2+6x-40=0 (x-4)(x+10)=0 gakP Z gakPCD=gakPAB 닮음 이다. ： semoPCD ： semoPAB(AA` 에서 ： ^-PD^- ^-PB^-=^-CD^- ： ^-AB^- 4 8=^-CD^- 4 ∴ ^-CD^-=2 ) 2 23 라 하면 이므로 ^-PA^-=x`cm ^-PT^-~^2=^-PA^-~·~^-PB^- x^2+5x-36=0 , (x+9)(x-4)=0 ∴ , x=4`(∵ x>0) 6^2=x(x+5) 는 ^-PA^-=4`cm ^-PB^-=9`cm 이므로 semoPTB 이다. gakBPT=gakPBT ^-BT^-=6`cm B 5`cm A H 4`cm P 6`cm T 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 H T ^-PB^- ^-TH^-=#~^-PT^-~^2-^-PH^-~^2c~ =%6^2-^( ^)^^2g~= 9 2 ∴ semoPTB =1/2\9\ ~(cm) 3rt7~~ 2 3rt7~~ 2 = 27rt7~~ 4 (cm^2) 24 gakDEF=gakABD=62° 이므로 에서 ^-ED^-//^-AC^- AE^\=CD^\ 이고 gakACD=gakCAE gakFCA=gakFDE=62° ∴ gakDFE =180°-(62°+62°) =56° 27rt7~~ 4 `cm^2 56° Ⅳ. 원의 성질 59 질 성 의 원 Ⅳ 지도서1권1대단원.indb 59 18. 2. 9. 오후 1:34 gakAOC=2gakABC=2\55°=110° gakADC=180°-gakABC=125° gakOAC=(180°-110°)÷2=35° gakBDC=gakBAC=30°+35°=65° ⑴ ⑵ ⑶ 110° 125° 65° T ⑵ gakACB=180°-gakAPB=120° 이고 gakCAB=gakBCY=35° gakCBA=180°-35°-120°=25° ： ： ： ∴ gakCAB gakCBA =35° 25°=7 ⑴ 5 ⑵ ： A 30æ O 55æ D C 25 B ⑴ ⑵ ⑶ 26 ⑴ 27 와 에서 semoABD , semoCTB gakDAB=gakBCT gakADB=gakBDC=gakCBT 닮음 Z ∴ ： semoABD 에서 semoCTB(AA` ： ) ^-AB^- 이므로 ^-CT^-=^-AD^- ： ^-CB^- ： ^-AB^-=^-BC^- 6 ^-CT^-=9 6 ^-CT^-=4(cm) ∴ 28 A D E B F C 직각삼각형 에서 ADB ……㉡ ㉠, ㉡에서 gakADE=gakABD 즉, gakAFE=gakABD 따라서 gakAFE=gakEBC 는 원에 내접하므로 네 점 , , , 는 한 원 위에 있다. nemoEBCF E B C F ② 29 D x C a B 2x a A 에서 라 하면 semoABD 이므로 gakADB=gak&x BD^\=2AB^\ 또, gakBAD=2gakADB=2gak&x gak&x+2gak&x+gak&a=180° ° gak&x= 180 -gak&a 3 gakBAD=2gak&x=2/3(180°-gak&a) ∴ 30 =3 4 , 2 gakA=180°\4/9=80° , gakB=180°\2/9=40° gakC=180°\3/9=60° 이므로 ^-AC^-//^-BE^- ^-BD^- O gakABD=gakTAD=gak&a 의 내각의 크기의 합은 이므로 120° 7 5 semoABD 180° 2/3(180°-gak&a) 4`cm ： ： ： ： AB^\ BC^\ CA^\ ： =gakC ： gakA 이므로 gakB ①, ⑤ 모든 삼각형은 원에 내접하므로 세 점 , , 와 세 점 의 접선이므로 gakACB=gakCBE=60° 는 원 , , 는 각각 한 원 위에 있다. A B C ② D E 는 대각의 크기의 합이 F 가 아니므로 원에 내접 gakCAB=gakCBD=80° 하지 않는다. 즉, 네 점 nemoABDF , , , 180° 는 한 원 위에 있지 않다. ∴ gakEBD =gakCBD-gakCBE ③ 에서 A B D F =80°-60°=20° 20° 따라서 nemoAEDF gakAED+gakDFA=180° 는 원에 내접하므로 네 점 , , , 는 31 한 원 위에 있다. nemoAEDF A E D F 와 에서 ④ 는 원에 내접하므로 semoPBD semoPTC , 이므로 nemoAEDF ……㉠ gakAFE=gakADE 60 gakBPD=gakTPC Z gakPBD=gakPTC 이다. 닮음 semoPBD semoPTC(AA` ) 지도서1권1대단원.indb 60 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 ∴ ^-AB^-=10-160/49=330/49 330/49 두 점 와 를 이으면 gakCBA=gakCTA=70°-20°=50° ∴ gak&y=180°-50°-70°=60° , gak&x=70° gak&y=60° gakAED=(180°-30°)÷2=75° ∴ gakFED=75°-20°=55° , gakBAD=110° gakFED=55° A 질 성 의 원 Ⅳ 본문 P. 139~143 34 B C y O x A 20æ T T' C A , gakTCA=gakATT'=20° 이므로 gakBCA=90° gakBCT=gak&x=90°-20°=70° 이므로 ^-BC^-// TT' 에서 gakCTT'=gakBCT=70° 35 C x H O y B D E 이므로 AD^\=DE^\=EB^\ gakAOD=gakDOE=gakEOB =180°\1/3=60° ∴ 호 gak&x=1/2gakDOE=1/2\60°=30° 는 반원의 이므로 AC 5/9 이고 gakAOC=180°\5/9=100° ： ： 이므로 ^-PB^- ： ^-PT^-=^-PD^- ： ^-PC^- 10 ^-PT^-=7 4 ∴ 이므로 ^-PT^-=40/7 ^-PT^-~^2=^-PA^-~·~^-PB^- 에서 (40/7^)^^2=^-PA^-\10 ^-PA^-=160/49 32 가 원에 내접하므로 또, gakBAD=180°-70°=110° 는 이등변삼각형이므로 nemoABCD semoABE gakAEB=20° gakBAE=180°-20°\2=140° ∴ 는 이등변삼각형이므로 gakEAD=140°-110°=30° semoADE 33 D 13`cm H A C E B 4`cm O , 이므로 ^-AD^-=^-CD^- ^-BE^-=^-CE^- 점 ^-DE^-=^-DC^-+^-CE^-=^-AD^-+^-EB^-=17(cm) 에 내린 수선의 발을 에서 라 하면 에서 E ^-AD^- 이므로 H semoDHE ^-DH^-=13-4=9(cm) =#~^-DE^-~^2-^-DH^-~^2c~=rt17^2-9^2~~ =rt208~=4rt13~(cm) ^-HE^- ∴ 다른풀이 ^-AB^-=^-HE^-=4rt13~(cm) , r 이므로 semoDAO semoDCO semoECO semoEBO r Z ： semoAOD ： semoBEO ^-AO^- ： ^-BE^-=^-AD^- ： ^-BO^- ^-AO^- 4=13 ^-AO^- , ^-AO^-=2rt13~(cm)`(∵ ^-AO^->0) ∴ ^-AB^-=2^-AO^-=4rt13~(cm) semoAHE , 4rt13`cm gak&x=30° gak&y=100° gakAEC=100°\1/2=50° 이므로 gakBAE=gakDCE=30° 에서 gak&y=180°-(30°+50°)=100° 36 이므로 gakBAD+gakBCD=180° 이다. gakQAD+gakDCR=90° 에 대한 원주각 , gakRBD=gakDCR`(∵ RD^\ 에 대한 원주각 ) 이므로 gakQBD=gakDAQ`(∵ DQ^\ 이다. ) gakRBQ=gakRBD+gakQBD=90° Ⅳ. 원의 성질 61 지도서1권1대단원.indb 61 18. 2. 9. 오후 1:34 5 4 ^-QR^- ∴ r =z=(x+y+z)-(x+y) 4pai`cm =(6+2rt3~~)-8 다른풀이 =2rt3~~-2=2(rt3~~-1)(cm) 2(rt3&-1)cm 이때 x(x+7)=2\15 는 한 변의 길이가 x=3 ∴ 인 정삼각형이므로 즉, 는 원의 지름이므로 QDR=2pai\4÷2=4pai(cm) 37 라 하면 ^-AH^-=x 에서 ^-AH^-~·~^-AI=^-AG^-~·~^-AF^- semoABC 16 또, ^-BI^-=16-3-7=6 , , 라 하면 ^-BD^-=a ^-DE^-=y ……㉠ ^-EC^-=b a(a+y)=6\13 ……㉡ b(b+y)=1\14 ……㉢ ㉠ a+b+y=16 ㉡에서 - a^2-b^2+(a-b)y=64 ……㉣ ㉢을 ㉣에 대입하면 (a-b)(a+b+y)=64 a-b=4 ^-BD^--^-EC^-=4 ∴ 38 D O E B 5`cm O" 10`cm A O' G F 5`cm C 원 의 넓이가 이므로 원 의 반지름의 길이는 이다. O pai`cm^2 O 1`cm O"E =5-2=3(cm) ^-BE^-=rt5^2-3^2~=4(cm) O"F =^-AE^-=^-BE^-=4(cm) ^-FG^-=5-4=1(cm) 원 의 지름의 길이가 이므로 반지름의 길이는 이 1`cm 1/2`cm 원 의 넓이 )=pai\(1/2^)^^2=1/4&pai(cm^2) 1/4&pai`cm^2 O' 다. ∴ ( O' 39 A x G z D x E y rO B y z F , , 에서 x+y=8 y+z=4 z+x=4rt3~~ x+y+z=6+2rt3~~ 62 ÷ 2r =^-AD^-+^-BD^--^-AB^-=4rt3~~+4-8=4rt3~~-4 r=2rt3~~-2=2(rt3~~-1)(cm) ∴ 40 원의 중심을 라 하면 는 정삼각형이므로 O semoABO gakACB=1/2gakAOB=1/2\60°=30° 점 에 내린 수선의 발을 에서 라 하면 A ^-BC^- 에서 H , semoAHC ^-AH^-=9`sin`30°=9/2(cm) 4 ^-CH^-=9`cos`30°= 에서 9rt3~~ 2 (cm) semoABH ^-BH^-=%6^2-(9/2^) g~= (cm) 2 3rt7~~ 2 ∴ ^-BC^-=^-BH^-+^-CH^-= 3rt7~~+9rt3~~ 2 (cm) 3rt7&+9rt3~~ 2 `cm 41 큰 원에서 ……㉠ 작은 원에서 ^-PE^-~·~^-PA^-=^-PF^-~·~^-PC^- ……㉡ ㉠ ㉡을 하면 ^-PE^-~·~^-PB^-=^-PF^-~·~^-PD^- , ^-PE^-~·~^-PA^- ^-PE^-~·~^-PB^- ^-PF^-~·~^-PC^- ^-PF^-~·~^-PD^- = ^-PA^- ^-PB^- ^-PC^- ^-PD^- = 9/3= 다른풀이 ^-PC^- 4 ∴ ^-PC^-=12(cm) 는 내접사각형이므로 nemoACFE ……㉠ 에 대하여 gakACF=gakBEF ……㉡ ㉠, ㉡에서 BF^\ gakBEF=gakBDF 이므로 gakACD=gakCDB ： ^-AC^-//^-DB^- ： 3=^-PC^- 4 ∴ ^-PC^-=12(cm) 9 42 12`cm 와 가 작은 원의 접선이므로 이다. 즉, ^-DB^- ^-DT^- 이다. ^-DB^-=^-DT^- gakDBT=gakDTB 이므로 gakATE=gakACT=65° gakBTE =gakATE+gakATB=65°+40°=105° 이다. 즉, gakDTB=gakDBT=180°-105°=75° gakBDT=180°-75°\2=30° ∴ gakCTD =gakBCT-gakBDT=65°-30°=35° 35° 지도서1권1대단원.indb 62 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이Z 5 4 5 4 STEP B 내신만점문제 본문 P. 146~158 AE^\ BD^\ 3 105° 05 75° , (8/3&pai+4rt3~~^)~cm^2 06 A B 다른풀이 A F E T B 65æB C 40æ T D 점 는 두 원의 접점이므로 는 작은 원의 접점이므로 점 gakACT=gakATE=gakFBT=65° gakABF=gakATB=40° ∴ gakCTD =gakCAT=180°-(40°+40°+65°)=35° 01 배 02 ⑴ 배 ⑵ 3 03 ⑴ ⑵ 04 5/3 72° gakGBD=105° , 07 gakDFE=65° 08 ⑴ ⑵ 63° 09 ⑴ gakBAD=46° ⑵ gakADC=78° ⑶ 10 11 semoCQD 12 2(90°-gak&a) y^2 x ^-AP^-=5.5, 39 ^-AQ^-=3.5 83° 13 ⑴ 14 ⑴ 4r^2 ⑵ 6 ⑶ gak&a+gak&b 2 ⑵ 48~ x+6 ⑶ 5x-10 8 x(x+12) 16 ⑴ 64/5 ⑵ 6rt3~~ ⑶ 15 3gak&x 17 ⑴ 9/2 ⑵ A(2rt3, 18 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 0) 3rt7~~ 2 C(rt3, ⑶ 81rt3~~ ⑷ 40 2 19 1) 2(pai-rt3~~) 20 21 ⑴ : ⑵ 13/6&pai`cm ⑶ 108° 7`cm^2 22 ⑴ 5` ⑵ `4 75° ⑶ 9° 인 이등변삼각형 23 40° 60° ^-AB^-=^-AC^- 24 24/5`cm 26 ⑴ ⑵ 3rt2`cm 25 58pai 27 ⑴ 4`cm 6(3rt3&-pai)cm^2 ⑵ ⑶ ⑷ 120° 28 rt2~~ 2 rt2~~+rt6~~ 2 29 1+rt3~~ 2 배 30 24`cm 31 ⑴ ⑵ 5/2`cm rt22~` 32 ⑴ B(4rt3, ⑵ 2) 33 ⑴ y=-rt3&x+18 ⑵ 풀이 참조 34 25`cm^2 75° 35 4 4rt5`cm 16rt5~~ 5 `cm 본문 P. 143~146 O a D B C 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 라 하면 는 의 한 외각이므로 gakBOD=gak&a gakOBA semoOBC 또한, gakOBA=gakBOC+gakBCO=2gak&a 는 이등변삼각형이므로 semoOAB 는 이때 gakOAB=2gak&a 의 한 외각이므로 gakAOE semoOAC gakAOE=gakOAC+gakOCA=3gak&a ： ： ： 따라서 BD^\ ∴ AE^\=gak&a 의 길이는 3gak&a=1 의 길이의 3 배이다. 배 3 D a 3a O C F E ⑴ 의 연장선과 원의 교점을 , 라 하면 ^-DO^- , F gakODC=gak&a ： gakFOE=2gak&a ： gakAOF=gakDOC=3gak&a ： AE^\ ∴ 따라서 BD^\=(3gak&a+2gak&a) 의 길이는 의 길이의 3gak&a=5 3 배이다. AE^\ BD^\ 5/3 gakAOE=360°\1/3=120° ⑴에서 5gak&a=120° ∴ gak&a=24° ∴ gakBOD=3gak&a=3\24°=72° 5/3 72° ⑴ 배 ⑵ P R A 45æ O' Q O 30æ B r 합동 이므로 semoAOO' semoBOO'(SSS` , ) gakAOB=60° gakAO'B=90° ∴ gakAPB=1/2gakAOB=gakAOO'=30° Ⅳ. 원의 성질 63 01 E A 02 ⑵ 03 ⑴ 질 성 의 원 Ⅳ 지도서1권1대단원.indb 63 18. 2. 9. 오후 1:34 gakAQB=1/2gakAO'B=gakAO'O=45° 에서 ⑵ , gakPBQ=180°-(30°+45°)=105° 에서 gakPBA=gakRPQ gakABQ=gakRQP gakRPQ+gakRQP=gakPBQ ⑴ ⑵ ∴ gakPRQ=180°-105°=75° 105° 75° 이므로 네 점 , , , 는 한 원 위에 있다. 따라서 gakCDA=gakABC 이다. A B C D gakDAC=gakDBC , 이므로 gakBAD=gakBCD ^-PQ^-//^-DC^- 이다. gakBCD=gakQPC=180°-(62°+76°)=42° ∴ gakBAC =gakBAD+gakDAC =gakBCD+gakDBC =42°+21°=63° 63° semoPBQ semoRPQ 04 P T A O B 이므로 gakTPB=gakTBP=gakBTO 이다. gakTOA=2gakTPO ∴ 3gakTPO=90° , gakTPO=30° 는 이등변삼각형이고, gakTOP=60° 는 정삼각형이므로 semoTPA semoTAO ^-PA^-=^-AT^-=^-AO^-=4(cm) 색칠한 부분의 넓이 ^-PT^-=4`tan`60°=4rt3~~(cm) ) =pai\4^2\1/6+1/2\4\4\sin(180°-120°) =8/3&pai+4rt3~~(cm^2) (8/3&pai+4rt3~~^)~cm^2 ∴ ( 05 A C 64 GB F O D E 40æ 는 의 한 외각이므로 gakBOE semoOCE 이다. 또한, gakBOE=90°+40°=130° 는 이등변삼각형이므로 semoOBE 이고, gakBEO=1/2(180°-130°)=25° 이다. 이때 gakBED=90°-25°=65° 에서 이다. semoBED gakEBD=50° ∴ gakGBD=180°-~(gakEBD+gakEBO) 가 원에 내접하므로 =105° nemoAEFB 이다. 06 07 x A F 32æ D y x C x y 56æ B , E 라 하면 gakBAD=gak&x 이므로 gakADC=gak&y 에서 gakDCF=gak&x ……㉠ semoDCF 또한, gak&y=gak&x+32° 이므로 에서 gakCBE=gak&y ……㉡ semoCBE , ㉠, ㉡에서 gak&x+gak&y+56°=180° gak&x=46° , gak&y=78° 08 ⑴ ^-PB^-~^2=^-PD^-~·~^-PA^- ∴ ^-PD^-= ⑵ semoABP y^2 와 x , semoADC 에서 gakBAP=gakDAC ∴ gakBAD=46° gakADC=78° , gakBAD=46° gakADC=78° 이므로 gakABP =gakABD+gakBAD=gakADC Z 이다. 닮음 ： semoABP ： semoADC(AA` 에서 ) ^-AB^- ^-AD^-=^-AP^- ^-AC^- ^-AB^-~·~^-AC^-=^-AD^-~·~^-AP^- =(8-25/8^)\8=39 ⑴ ⑵ y^2 x 39 09 ⑴ 와 에서 semoPBD semoCQD 이므로 ……㉠ gakPAD=gakCAD ^-PD^-=^-CD^- 이므로 gakBAD=gakQAD ……㉡ gakDFE=gakEAO=gakBED=65° , ^-BD^-=^-QD^- 는 원에 내접하므로 gakGBD=105° gakDFE=65° nemoAPDC 지도서1권1대단원.indb 64 18. 2. 9. 오후 1:34 정답과 풀이 본문 P. 147~150 점 를 지나는 지름 를 그으면 A , ⊥ ^-AE^- , ⊥ 이므로 gakACE=90° ^-EC^- ^-AC^- ^-BD^- ^-AC^- ^-BD^-//^-EC^- 크기가 같은 원주각에 대응하는 현의 길이는 같으므로 ∴ gakDBC=gakBCE 이때 ^-CD^-=^-BE^- 는 직각삼각형이므로 이다. semoABE ^-AB^-~^2+^-CD^-~^2=^-AE^-~^2=(2r)^2=4r^2 ^-AB^-~^2+^-BE^-~^2=^-AE^-~^2 4r^2 원의 반지름의 길이를 라 하면 에서 r 또, 원의 중심 semoBOE r^2=4^2+(r-2)^2 에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 r=5 ∴ ^-BD^-=2^-BE^-=8 ^-AD^-=#~^-AB^-~^2-^-BD^-~^2c~=rt100-64~=6 6 질 성 의 원 Ⅳ ……㉢ gakPDB=gakA 는 원에 내접하므로 nemoABDQ ……㉣ ㉢, ㉣에서 gakCDQ=gakA ……㉤ ㉠, ㉡, ㉤에서 gakPDB=gakCDQ r 합동 ⑵ semoPBD 이면 semoCQD(SAS` ) gakA=gak&a gakPDB=gakCDQ=gak&a ⑶ ∴ 는 gakPDQ 의 이등분선이므로 =180°-2gak&a=2(90°-gak&a) ^-AD^- ： gakA ： ： ： ^-BD^- 따라서 ^-CD^- =^-AB^- ^-AC^-=10 , 8=5 4 이다. ^-BD^-=9\5/9=5 라 하면 ^-CD^-=9\4/9=4 ^-AP^-=x 이므로 ^-BP^-=10-x ^-BP^-~·~^-BA^-=^-BD^-~·~^-BC^- (10-x)\10=5\9 ∴ 또, x=11/2=5.5 라 하면 ^-AQ^-=y 이므로 `^-CQ^-=8-y ^-CQ^-~·~^-AC^-=^-CD^-~·~^-BC^- (8-y)\8=4\9 ∴ ⑴ y=3.5 ⑵ 10 60æ O A D 37æ B C 점 가 점 와 만나므로 C O 즉, ^-BC^-=^-BO^-=^-CD^-=^-DO^- 와 는 정삼각형이다. semoOBC 이므로 semoODC gakBOD=120° gakBAD=60° ∴ gakADB =180°-(gakABD+gakBAD) =180°-(37°+60°)=83° 11 A D B C O E semoCQD 2(90°-gak&a) ^-AP^-=5.5 ^-AQ^-=3.5 ⑶ , D C E O B O C A I M D ∴ 12 A ∴ 13 B ⑴ gakDBI=gakIBM+gakMBD gakIBM=1/2gak&b gakMBD=gakCAM=1/2gak&a ⑵ ∴ gak&y=1/2gak&a+1/2gak&b= 의 이등분선이므로 은 gak&a+gak&b~ 2 83° ^-AM^- ： gakA ： ^-BM^- ： ^-MC^-=^-AB^- ： ^-AC^- ^-BM^- (8-^-BM^-)=6 x (x+6)^-BM^-=48 ⑶ ∴ ^-BM^-= 48 x+6 gakBID =gakBAI+gakABI 따라서 = gak&a+gak&b~ 는 2 =gak&y semoDBI ^-BD^-=^-DI^- ∴ ^-BD^-=5 인 이등변삼각형이다. Ⅳ. 원의 성질 65 지도서1권1대단원.indb 65 18. 2. 9. 오후 1:34 ⑵ ⑶ gak&a+gak&b 2 48~ x+6 5x-10 8 14 A ⑴ Z 이므로 ： semoABD ： semoBMD 에서 ^-AD^- ^-BD^-=^-AB^- ： ： ^-BM^- 48 x+6 5=6 ^-AD^- ∴ ^-AD^-= 5x+30 8 ∴ ^-AI^-=^-AD^--5= 5x-10 8 ⑴ D T O' 6 O y B x C 이므로 ^-CT^-~^2=^-CB^-~~·~^-CA^- y^2=x(x+12) 이므로 ⑴에서 ⑵ y=8 , 64=x(x+12) x^2+12x-64=0 (x-4)(x+16)=0 ∴ x=4`(∵ , x>0) ∴ ^-CO^-=6+4=10 이므로 ^-CA^-=4+12=16 Z ： semoCOT ： semoCAD ： ^-CT^- ^-CD^-=^-CO^- ： ^-CA^- 8 ^-CD^-=10 16 ∴ ^-CD^-= ⑶ 8\16 이므로 ⑴에서 10 이므로 =64/5 x=6 에서 y=^-CT^-=6rt3~~ ^-OC^-=12 , semoOTC 이다. 이때 gakTOC=60° 이므로 gakTCO=30° gakOAT=30° 는 이등변삼각형이다. semoATC ∴ ^-AT^-=^-CT^-=6rt3~~ 90æ-2x O P D C B x T 15 A x 66 ⑴ ⑵ ⑶ x(x+12) 64/5 6rt3~~ 여기서 gakDAP+gakCAB+gakABC+gakCBT=180° 는 지름이므로 는 원 의 접선이므로 ^-BT^> O 이므로 gakCAB=gakCBT=gak&x ^-AD^-//^-BT^- , gakDAB+gakABT=180° ^-AC^- 이고 gakABC=90° 이다. gakACB=90°-gak&x gakDAP+gak&x+90°+gak&x=180° 의 원주각으로 호 gakDAP=90°-2gak&x CD gakDBC=gakDAP=90°-2gak&x ∴ gakAPD =180°-(gakDBC+gakACB) =180°-(90°-2gak&x+90°-gak&x) =3gak&x 3gak&x 16 l C H 30æ 3 D O A B ⑴ 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 점 는 의 중점이다. O ^-AB^- H H ^-AB^- 는 , 인 직각삼각형이다. semoAOH 이므로 gakA=30° gakH=90° ^-OA^-=3 , 3rt3~~ 2 ^-AH^-=3`cos`30°= ^-AB^-= 또, \2=3rt3 , 3rt3~~ 2 gakOBC=90° gakOBA=30° gakABC=60° 이므로 ∴ ^-AC^-=3rt3`sin`60°=9/2 , ⑵ ^-BC^-=3rt3`cos`60°= 이므로 3rt3~~ 2 ^-OB^-=3 ^-OC^-~^2=^( 3rt3~~ 2 3rt7~~ 2 ⑶ ^)^^2+3^2=63/4 ∴ ^-OC^-= `(∵ ^-OC^->0) semoABC=1/2\9/2\ 이므로 ^-AC^-//^-OB^- ： 3rt3~~ 2 = Z 27rt3~~ 8 semoBDO ： ： semoADC ： ^-AD^- ^-BD^-=^-AC^- ^-BO^-=9/2 3=3 2 지도서1권1대단원.indb 66 18. 2. 9. 오후 1:35 정답과 풀이 ∴ semoACD=semoABC\3/5 = 27rt3~~ 8 \3/5= 81rt3~~ 40 ⑴ ⑵ ⑶ 9/2 3rt7~~ 2 81rt3~~ 40 17 y 2 B 60æ O ⑴ C H P 60æ A x 이므로 gakBOA=90° 는 원의 지름이고, ^-AB^- 이므로 gakOBA=gakOPA=60° , ^-OA^-=2`tan`60°=2rt3 ⑵ 점 ∴ A(2rt3 는 두 점 0) , 의 중점이므로 C A , B C^( ⑶ 원 2rt3~~+0 0+2 의 반지름은 2 2 ^-BC^-(=^-CA^-) ^)=C(rt3 C , 1) 이므로 ⑷ 색칠한 부분의 넓이 ^-BC^-=@(rt3~~)^2+1^2x~=2 ) ( 의 넓이 반원 =( C )-semoAOB =1/2\pai\2^2-1/2\2rt3\2 18 ⑴ , gakBAD=gakCAD=gak&a 라 하면 gakABE=gakEBC=gak&b 이다. 의 원주각 gakEAC=gak&b 에서 `(∵ EC^\ ) semoEAI 이고, gakEAI=gak&a+gak&b gakEIA=gak&a+gak&b 의 한 외각 이므로 (∵ semoABI 이다. ) 따라서 gakEAI=gakEIA 는 이등변삼각형이다. semoEAI ⑵ ∴ 에서 ^-AE^-=^-EI^- semoABC 2gak&a+2gak&b+50°=180° 또, ∴ gak&a+gak&b=65° 이므로 gakEAD=gak&a+gak&b=65° =2pai-2rt3=2(pai-rt3~~) ⑴ , ⑵ , ⑶ ⑷ A(2rt3 0) C(rt3 1) 2 2(pai-rt3~~) 21 ⑴ 본문 P. 150~153 gakEOD=130° 이다. ° 130 360° ∴ DE^\=2pai\3\ =13/6&pai(cm) ⑴ 풀이 참조 ⑵ 13/6&pai`cm 19 , , , gakBAC=13gak&a gakCAE=7gak&a 라 하면 gakEAD=5gak&a gakDBA=8gak&a gakDAB=13gak&a+7gak&a+5gak&a=25gak&a gakABC=7gak&a+5gak&a+8gak&a=20gak&a 이므로 ^-AD^-//^-BC^- 25gak&a+20gak&a=180° ∴ gak&a=4° gak&x =180°-(13gak&a+5gak&a) =180°-72°=108° 108° x`cm y`cm 20 두 점 , 에서 원 으로의 접선의 길이를 각각 , 라 하면 B C O' 는 원의 지름이므로 이때 ^-CB^- 의 넓이를 라 하면 x+y=6 semoABC S S=1/2\6\1+1/2\(y+1)\1+1/2\(x+1)\1 =1/2\(x+y+8) =1/2\(6+8)=14/2=7(cm^2) 7`cm^2 , , ： gakPOB=50° ： gakPOC=40° ： ⑵ ∴ BP^\ 는 이등변삼각형이므로 PC^\=50° 4 40°=5 gakPOC=60° 도 이등변삼각형이므로 gakPOB=30° semoOPC semoPOB ⑶ gakPBO=(180°-30°)\1/2=75° ： 이므로 ： gakPBO gakPCO=3 라 하면 2 , gakPBO=3gak&x gakBPO=3gak&x 라 하면 gakPCO=2gak&x 에서 gakCPO=2gak&x nemoOBPC 10gak&x+90°=360° ∴ gak&x=27° ∴ gakPAB=90°-3gak&x=9° ⑴ : ⑵ ⑶ 5` `4 9° Ⅳ. 원의 성질 67 75° 질 성 의 원 Ⅳ 지도서1권1대단원.indb 67 18. 2. 9. 오후 1:35 점 에서 에 수선을 내려 , 와의 교점을 각각 , O )=pair^2=58pai 라 하고, D ^-BE^- 라 하면 ^-FC^- ^-BE^- G H , ^-GC^-=x`cm , 이므로 ^-DC^-=^-AD^-=4`cm Z ： ： 에서 ^-CE^-=^-BE^-=6`cm ^-HE^-=2`cm semoDGC 10 2=4 x Z 이므로 라 하면 ： semoQBD ： semoPAD 에서 ^-BD^-=x`cm ： ^-QB^- ： ^-PA^-=^-BD^- ^-AD^- 2 6=x (x+8) ∴ x=4 ∴ ^-CF^-=^-FG^-+^-GC^-=4+4/5=24/5(cm) 24/5`cm 는 직각삼각형이므로 semoPAD APC ⑵ 색칠한 부분은 ^-BD^-=4`cm ∴ 에서 부채꼴 를 제외한 부분이다. 58pai ⑵ gakBAC=180°\2/9=40° 이므로 , ^-BE^-//^-CD^- , ED^\=BC^\ BE^\=EA^\ 따라서 AD^\=DC^\ 의 길이는 원주의 이다. BC^\ 1/3 ⑶ ∴ gakBAC=180°\1/3=60° , 이므로 이다. ^-BD^-=^-CE^- , BD^\=CE^\ CD^\=EB^\ 따라서 ∴ gakCBD=gakBCE 인 이등변삼각형이다. gakABC=gakBCA ⑴ ^-AB^-=^-AC^- ⑵ ⑶ 인 이등변삼각형 40° 60° ^-AB^-=^-AC^- 22 ⑴ 23 4`cm D A C G x`cm E H 6`cm F B semoDHE x=4/5 ∴ 24 4`cm B ： 2`cm A E 3`cm D C ^-BD^-=x`cm ^-DE^-=y`cm xy=3\2=6 Z 이므로 semoABE semoDBC 에서 ^-AB^-~·~^-BC^-=^-BD^-~·~^-BE^- , x^2+6=24 x^2=18 x=3rt2`(∵ x>0) ∴ 68 ： 이므로 ： ^-AB^- ： ^-BC^-=^-AD^- ^-CD^- 4 의 연장선이 원과 만나는 점을 ^-BC^-=2 ^-BC^-=6(cm) ∴ 3 라 하고, ^-BD^- , 라 하면 E 25 A x 14 45æ P B 4Â2 6 C O D 라 하면 ^-BP^-=x 14\20=x(x+4rt2~~) x^2+4rt2&x-280=0 (x+14rt2~~)(x-10rt2~~)=0 ∴ ： ： x=10rt2`(∵ , x>0) ^-AP^- ^-PC^-=rt2 1 gakAPC=45° 따라서 ∴ 가 원 gakACP=90° 의 지름이다. ^-AD^- 이므로 O ^-AC^-=14 에서 semoACD 4r^2=14^2+6^2=232 의 넓이 원 , ^-AD^-~^2=^-AC^-~^2+^-CD^-~^2 r^2=58 ( ∴ 26 ⑴ ( C semoPAD =#~^-AD^-~^2-^-PA^-~^2c 이므로 =rt12^2-6^2~~=6rt3`(cm) ^-PD^- 색칠한 부분의 넓이 gakPAC=60° =1/2\6rt3\6-pai\6^2\ ) ° 60 360° ⑴ 27 A 105æ F B E O D =18rt3&-6pai ⑵ =6(3rt3&-pai)(cm^2) 4`cm 6(3rt3&-pai)cm^2 4\6=x(x+y) , x^2+xy=24 ⑴ 와 는 semoOAB semoOBC 이므로 정삼각형이다. 3rt2`cm ^-OA^-=^-OB^-=^-OC^-=^-AB^-=^-BC^-=1 지도서1권1대단원.indb 68 18. 2. 9. 오후 1:35 정답과 풀이 1 본문 P. 153~156 위의 그림과 같이 원 , 의 접점들을 각각 , , , , , , 라 하고, 원 의 반지름의 길이를 O' O , 의 반지름의 길이 P T R Q S 29 A y Q y B y P E 4`cm V S 2-y x O' y O R T 6-y 6`cm D U C 2y 를 U 라 하면 V x O , y O' , ^-PE^-=^-ES^-=2-y , ^-RC^-=^-SC^-=6-y ^-EV^-=^-ET^-=4-x ^-UC^-=^-TC^-=2y-x ∴ ^-EC^-=^-ES^-+^-SC^-=^-ET^-+^-TC^- 2-y+6-y=4-x+2y-x ……㉠ 또, ∴ 4y-2x=4 에서 semoCED 1/2\^-ED^-\^-DC^- =1/2\x\(^-ED^-+^-DC^-+^-CE^-) =1/2\x\(^-ED^-+^-DC^-+^-ES^-+^-SC^-) 를 밑변으로 하므로 넓이의 비 ∴ gakABC=60°+60°=120° ⑵ 이므로 gakADB=gakBDC=1/2\60°=30° 에서 semoABD gakABD=180°-(105°+30°)=45° rt2~~ 2 rt6~~ 2 ⑶ ∴ ^-AE^-=1`sin`45°= 에서 이므로 semoAED gakDAE=60° ^-ED^-= 또한, rt2~~ 2 `tan`60°= ^-BE^-=^-AE^-= rt2~~ 2 ∴ ^-BD^-= ⑷ 는 높이인 semoBCD + rt6~~ rt2~~ 와 2 2 와 semoABD = 는 변 rt2&+rt6~~ 2 의 비와 같다. BD 에서 ^-CF^- ^-AE^- semoBCD , gakCDB=30° , gakBCD=180°-105°=75° 이므로 gakDBC=180°-(30°+75°)=75° 인 이등변삼각형이다. 는 semoBCD ^-BD^-=^-DC^- ∴ ^-CD^-= rt2&+rt6~~ 2 는 semoCDF gakCDF=30° 인 직각삼각형이므로 ^-CF^-= 따라서 \sin`30°= 의 넓이는 의 넓이의 rt2&+rt6~~ 2 semoBCD rt2&+rt6~~ 4 semoABD 배 이다. rt2&+rt6~~ 4 ÷ rt2~~ 2 = ⑴ 1&+rt3~~ ( 2 ⑵ ) rt2~~ 2 ⑶ ⑷ 배 rt2~~+rt6~~ 2 1+rt3~~ 2 120° 질 성 의 원 Ⅳ 의 반지름의 길이의 합은 이다. 5/2`cm 5/2`cm 1/2\4\2y=1/2\x\12 ……㉡ ∴ 4y=6x ㉠, ㉡에서 , x=1 y=3/2 x+y=5/2(cm) ∴ 따라서 두 원 , O O' A H D 3 2 O 6 C 3 B 30 E 28 ^-DE^- =^-DA^-+^-AE^-=^-AH^-+^-AI^- =^-AH^-+(^-AH^-+^-HI^-) =2^-AH^-+^-HI^- ^-GF^- =^-GB^-+^-BF^-=^-BI^-+^-BH^- =^-BI^-+(^-BI^-+^-IH^-) =2^-BI^-+^-IH^- 의 연장선과 원이 만나는 점을 라 하고, 점 에서 에 내린 수선의 발을 ^-BD^- 라 하면 O ^-EC^- H E ^-AB^-~^2=^-BC^-~·~^-BE^- 이므로 ^-DE^-=^-GF^-=rt26^2-(16-6)^2~~=24(cm) 2^-AH^-+^-HI^-=2^-BI^-+^-IH^- ∴ ^-AH^-=^-BI^- ∴ ^-AB^- =^-AI^-+^-IB^-=^-AE^-+^-DA^- 6^2=3\^-BE^- 이므로 ∴ ^-BE^-=12 에서 ^-HD^-=3/2 semoOHD ^-OH^-=$2^2&-(3/2)^^2f~= 에서 이다. rt7~~ 2 =^-DE^-=^-GF^-=24(cm) 24`cm semoOHC Ⅳ. 원의 성질 69 3-2에이급수학정답(56-80)ok.indd 69 19. 2. 13. 오전 9:18 ^-OC^-~^2=^-OH^-~^2+^-HC^-~^2=7/4+(3+3/2^)^^2=22 ∴ ^-OC^-=rt22`(∵ ^-OC^->0) rt22~ 33 A 31 y A 2 O P 8 x Q B CD x ⑴ 점 , 라 하면 B(x 2) , , x^2+4^2=8^2 x=4rt3`(∵ x>0) ⑵ 직선 ∴ B(4rt3 가 2) 축과 만나는 점을 라 하면 이므로 AB ： x ： , 2 , 6=^-CD^- (^-CD^-+4rt3~~) ^-CD^-=2rt3 ∴ ： C(6rt3 0) ： 이고 ^-AO^- ^-OC^-=1 이므로 rt3 gakAOC=90° 합동 gakACO=30° 이므로 직선 semoAPC 와 점 semoAOC(RHS` ) , 에서 만나고 r 는 직선 PQ 이다. AB C(6rt3 0) 따라서 직선 gakPCO=60° 의 방정식은 PQ 이다. y=-rt3&x+18 ⑴ , ⑵ 32 A C E O D B H 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 ⑴ D ^-AB^- , H ^-AB^-=10`cm ^-DH^-=^-OC^-=5(cm) ∴ semoABD=1/2\10\5=25(cm^2) ⑵ 에서 semoDAH 이므로 ^-AD^-=10`cm ^-DH^-=5(cm) 이다. C T D{E} 에서 에서 semoABD ^-AT^-=1/2(9+^-AD^--^-BD^-) semoACD ^-AT^-=1/2(8+^-AD^--^-CD^-) 에서 9+^-AD^--^-BD^-=8+^-AD^--^-CD^- ……㉠ 또한, ^-BD^--^-CD^-=1 ……㉡ 따라서 ㉠, ㉡에서 ^-BD^-+^-CD^-=7 이다. B ⑴ 34 A Z ⑵ 의 내접원이 ^-BD^-=4 와 접하는 점을 라 하면 C semoCBD semoCAO semoABC ^-BC^- E ^-BE^-=1/2(^-AB^-+^-BC^--^-CA^-) 따라서 =1/2(9+7-8)=4 이므로 점 와 점 는 일치한다. ^-BD^-=^-BE^- D E ⑴ ⑵ 풀이 참조 4 B(4rt3 2) y=-rt3&x+18 P Q H B PQ^\ PB^\ 을 semoPQB 라 하면 H , 와 에 대한 원주각의 크기가 같으므로 이다. PQ^\=PB^\ ∴ ^-PQ^-=^-PB^- 는 이등변삼각형이고, 점 에서 에 내린 수선의 발 P ^-QB^- 이므로 이다. ^-AQ^-=6`cm 는 직각삼각형이므로 ^-QB^-=4`cm ^-HB^-=^-HQ^-=2`cm 4rt5`cm 이다. semoPAB ^-AP^-~^2=^-AH^-~·~^-AB^-=8\10=80 ∴ 35 ^-AP^-=4rt5`(cm)~(∵ ^-AP^->0) Q O 8`cm C P O' 2`cm 즉, ： ^-AH^-=rt10^2-5^2~~=5rt3~(cm) ： ： ： 이므로 이다. 또, ^-AD^- ^-DH^- 는 직각이등변삼각형이므로 1 ^-AH^-=2 rt3 gakDAB=30° 이다. semoCOB gakCBO=45° ∴ gakBED =gakEAB+gakEBA ⑴ ⑵ A D B =30°+45°=75° 25`cm^2 75° 70 지도서1권1대단원.indb 70 18. 2. 9. 오후 1:35 정답과 풀이 의 연장선과 원 가 만나는 점을 , 점 에서 에 내린 수선의 발을 ^-OA^- , 두 원 O , 에서 점 를 지나는 접선을 그어 직 Q ^-QA^- O' STEP A 최고수준문제 본문 P. 159~169 선 와 만나는 점을 O C 라 하면 O' P AB 에서 D semoOCO' 이므로 CO' =rt10^2-6^2~~=rt64~=8(cm) ^-AB^-=8(cm) , 라 하면 gakOAP=gak&a , gakO'BP=gak&b 이므로 gakOPA=gak&a gakO'PB=gak&b , 에서 gakPAB=90°-gak&a gakPBA=90°-gak&b semoPAB 이므로 gakAPB+gakPAB+gakPBA=180° 180°-gak&a-gak&b+90°-gak&a+90°-gak&b=180° ∴ gak&a+gak&b=90° gakAPB=90° 이므로 를 연장하면 점 와 만난다. gakQPA=90° 에서 ^-QP^- B semoABQ ^-BQ^-=rt16^2+8^2~=8rt5`(cm) semoABQ=1/2\^-AB^-\^-AQ^- 에서 =1/2\^-BQ^-\^-AP^- 8\16=8rt5\^-AP^- ∴ ^-AP^-= (cm) 16rt5~~ 5 16rt5~~ 5 `cm 본문 P.157~159 01 풀이 참조 02 배 03 ⑴ ⑵ 04 05 ⑴ 1/3 ⑵ ⑶ 40° 110° 06 ⑴ 33° ⑵ 7rt3`cm 60° 7rt7`cm 6`cm 07 ⑴ ① ② (8-4rt3~~)`cm ⑵ 08 ⑴ 90° 50`cm^2 , 5/3&pai`cm ⑵ ： 09 gakPOQ=72° 10 ⑴ ⑵ 풀이 참조 gakRPQ=54° a^2& (100-a^2) ⑶ ① 6 11 ② 90° 15° 5(2-rt3~~)cm , ^-DE^-=10`cm ⑵ 12 ⑴ ^-AE^-=5rt10`cm ⑶ ⑷ 13 rt3~~ 2 14 ⑴ rt3 ⑵ rt7~~ 3 2/3 36/25`cm 15 y=36/x 16 ⑴ ⑵ 6(rt2&-1) ⑶ 9/2 17 ⑴ 21/5`cm ⑵ 25/2`cm 18 +3/2&pai 2 19 ⑴ ⑵ 풀이 참조 ⑶ 3/2 ⑷ 배 9`cm 9rt3~ 4 65° 20 ⑴ BE =3, ⑵ 22 ⑴ AE =4 6 , 23 ⑴ 2rt2 ⑵ BC 배 = 25 ⑴ 70° ⑵ 7 18rt2~ 24 7 ⑶ BD = 2rt3&-3 5rt5~~ 2 6rt2~ 7 5/2`cm ⑶ ⑵ 8/9 21 26 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 6rt2`cm 30° 3(rt2&+rt6~~)cm 27 ⑴ ： ⑵ 80/9&pai`cm^2 , 28 ⑴ 1& 2 ⑵ ⑶ ^-NR^-=1.5`cm ^-KQ^-=9`cm 29 30 4.1`cm 8.2`cm 1.8`cm 20° 4`cm A B O M C N P D 01 원의 중심 에서부터 현 와 에 내린 수선의 발을 각 각 , 이라 하면 O AB CD M N ^-CP^--^-DP^- =(^-CN^-+^-NP^-)-(^-ND^--^-NP^-) =^-CN^--^-ND^-+2^-NP^- 따라서 =2^-NP^-=2^-OM^-` 는 항상 일정하다. ^-CP^--^-DP^- Ⅳ. 원의 성질 71 rt2`cm 질 성 의 원 Ⅳ 지도서1권1대단원.indb 71 18. 2. 9. 오후 1:35 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 이고 gakAOC=60° 이다. gakABC=1/2gakAOC=30° 에서 는 정삼각형이므로 semoABC semoAOC ^-AC^-=7`cm ⑵ ∴ ^-BC^-=rt14^2-7^2~~=7rt3~~(cm) 에서 semoBCP gakPBC=gakPCB=60° ⑶ ∴ gakBPC=60° 이므로 에서 ^-BC^-=^-BP^-=7rt3`cm semoABP ∴ ^-AP^- =@14^2+(7rt3~~)^2x~=rt343 =7rt7~~(cm)`(∵ ^-AP^->0) ⑴ ⑵ ⑶ 7rt3`cm 60° 7rt7`cm 배 1/3 gakBFC =gakBDF+gakDBF ⑴ ⑵ =90°+20°=110° 40° 110° D R P a a O C B 90æ-a S 라 하면 gakQOP=gakQPO=gak&a gakOQP=180°-2gak&a gakSOB=90°-gak&a gakROB =360°-4gak&a-(90°-gak&a) ： =270°-3gak&a ∴ BS^\ RB^\ ： =gakBOS ： gakROB =(90°-gak&a) ： 3(90°-gak&a) =1 따라서 3 이다. BS^\=1/3&RB^\ 이므로 gakBEC=90° gakABE=20° ⑵ ∴ gakDOE=2gakABE=40° 02 Q A 03 ⑴ 04 P Q 24æ A C O O' B 이므로 는 반원 gakAQO'=90° 의 접선이므로 gakCO'Q=66° ^-AQ^- O' gakAQC=gakQBC=1/2gakQO'C =1/2\66°=33° P B 05 C A 60æ O C AB^\ 3 72 06 A 2`cm E {4-r}`cm 2`cm D r`cm O' {2-r}`cm O 4`cm {2+r}`cm B F G 3`cm P x`cm C ⑴ 라 하면 ^-FP^-=^-GP^-=x`cm 에서 semoDPC 이므로 ^-DP^-=rt3^2+4^2~~=5(cm) 또, ^-DG^-=5-x(cm) ^-ED^-=^-FC^-=x+3(cm) 이므로 ^-ED^-=^-DG^- , x+3=5-x x=1 ⑵ 원 ∴ 라 하면 ^-AD^-=^-AE^-+^-ED^-=2+4=6(cm) 의 반지름의 길이를 O' r`cm (2+r)^2=(2-r)^2+(4-r)^2 r^2-16r+16=0 C 60æ P D R™ B R¡ R Q A 따라서 원 r=8-4rt3`(∵ 의 반지름의 길이는 0<r<2) ∴ 이다. O' ⑴ (8-4rt3~~)cm ⑵ 6`cm (8-4rt3~~)`cm 33° 07 ⑴ 점 는 의 등분점이므로 ⑴ ① 와 가 이루는 각 중 작은 각의 크기를 라 하면 ^-AP^- ^-BQ^- gak&x 지도서1권1대단원.indb 72 18. 2. 9. 오후 1:35 정답과 풀이 본문 P. 159~162 nemoABPQ=1/2\^-AP^-\^-BQ^-\sin`x 일 때 의 넓이가 최대가 되므로 따라서 gakOBP+gakODR=90° Z 닮음 이므로 다음 식이 성립한 다. semoOBP semoDOR(AA` ) sin`x=1 이다. nemoABPQ gak&x=90° ② ∴ gakARB=90° ⑵ nemoABPQ=1/2\10\10=50(cm^2) 인 경우 점 는 를 지름으로 하는 원 위에 ㉠, ㉡에서 y/r=r/w 이다. 이기 때문에 중심각의 크기가 R_1R_2 인 호이다. (70-x)y=(80-y)x 있다. 그림에서 gakARB=90° Z~ 의 길이를 구하는 것으로 ^-AB^- R gakCAD=30° 점 가 그리는 선의 길이 ∴ ( R ) =10pai\ ° 60° 60 360° 이다. ……㉠ x/r=r/z 같은 방법으로 ……㉡ wy=r&^2=zx 에서 70y-xy=80x-xy ……㉢ 70y=80x ……㉣ ㉢, ㉣에서 x+y=90 , 이다. 따라서 와 x=42 의 길이의 차는 y=48 ^-BP^- 이다. ^-PC^- 48-42=6 10 A T B E D C 08 ⑴ ⑴ ① =5/3&pai(cm) ② ⑵ 90° 50`cm^2 5/3&pai`cm gakPOQ=gakOPA=gakPAO 에서 2gakPOA=gakPOQ , ) ： ⑵ ∴ 에서 gakRPQ=180°-(72°+54°)=54° 와 semoPAO gakPAO=180°\2/5=72° ∴ gakPOQ=72° semoPQR semoBAR gakRPQ=gakRBA gakPRQ=gakBRA Z ： semoPQR semoBAR(AA` ： semoPQR =^-PQ^-~^2 ∴ semoPQR ： semoBAR ^-AB^-~^2=a^2 ： nemoPABQ ： 닮음 이므로 10^2=a^2 100 ： =semoPQR (semoBAR-semoPQR) =a^2 ⑴ (100-a^2) , ⑵ ： gakPOQ=72° gakRPQ=54° a^2& (100-a^2) 09 A w S x B w R z D r O r x P y z Q y C 내접원의 중심을 , 반지름의 길이를 , 또 다른 접점들을 O , , 라 하면 r 는 외접원이 존재하므로 R Q S nemoABCD 에서 gakABC+gakADC=180° ⑴ 는 지름이므로 ⑵ ^-AD^- 와 에서 gakATD=90° semoATD semoDCE , gakATD=gakDCE=90° 에서 r semoABE semoATE , ^-AT^-=^-AB^-=^-DC^- 이므로 gakTAD=90°-gakADT=gakCDE 합동 r semoATD semoDCE(ASA` ) ⑶ ① ∴ ^-TD^-=^-CE^- 에서 이고 ： semoATD ： ： gakBAD=90° ： 이므로 ^-AD^- ^-AT^- , ^-TD^-=2 1 rt3 gakDAT=60° gakBAT=30° ∴ gakBAE=1/2gakBAT=15° ^-DT^-=^-EC^-=rt10^2-5^2~~=5rt3~~(cm) ∴ ^-BE^- =10-5rt3 ② 11 ⊥ , 이므로 ^-OD^- ^-DE^- gakODC=45° gakCDE=45° 이므로 gakDCE=90° gakDEC=45° ⑴ =5(2-rt3~~)(cm) ⑵ 풀이 참조 ⑶ ① ② 90° 15° 5(2-rt3~~)cm Ⅳ. 원의 성질 73 6 질 성 의 원 Ⅳ 지도서1권1대단원.indb 73 18. 2. 9. 오후 1:35 는 직각이등변삼각형 ∴ ^-DE^-=^-BD^-=10(cm) (∵ semoDBE ) =4rtx~~(cm) 에서 ^-BE^-=rt10^2+10^2~~=10rt2~~(cm) 에서 이므로 semoAOB gakAOB=90° 따라서 ^-AB^-=rt5^2+5^2~=5rt2~~(cm) 에서 semoABE , ^-AE^-=@(5rt2~~)^2+(x10rt2~~)^2x~=rt250=5rt10~~(cm) ^-DE^-=10`cm ^-AE^-=5rt10`cm 이다. 의 반지름의 길이는 이다. C 36/25`cm 36/25`cm ^-PQ^-=^-PT^-+^-TQ^- , 12=6rtx~ &+4rtx~=10rtx~ rtx~=6/5 ∴ x=36/25 따라서 원 14 x P x A y O 12 Q y C B 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 P , ^-QB^- , C ^-PQ^-=x+y ⑴ ^-QC^-=y-x 에서 ^-PC^-=12 ^-PQ^-~^2=^-PC^-~^2+^-QC^-~^2 (x+y)^2=12^2+(y-x)^2 ∴ y=36/x⑵ ^-PC^-//^-AB^- 이므로 이다. ……㉠ gakQPC=45° y-x=12`tan`45°=12 ……㉡ x+y= 12 ㉠에서 cos`45° ㉡ =12rt2 - 2x=12rt2&-12 15 E 2Â3 A Q H 10 8 F M 6Â3 B O 18 C P 6 D 에서 ^-PD^-~·~^-PC^-=^-PB^-~·~^-PA^- 라 하면 ^-AQ^-=x , 이므로 ^-BP^-=2x ^-AP^-=6x 144=2x\6x ∴ x=2rt3~~(∵ x>0) , ^-EQ^-~·~^-QF^-=^-AQ^-~·~^-QB^-=2rt3\6rt3=36 이므로 ^-EQ^-+^-QF^-=12 로 놓으면 이다. ^-EQ^-=y y(12-y)=36 ⑴ 의 넓이와 의 넓이가 같고, A Â3 D 30æ 1 O' E 2O 2 C semoBDO , 이므로 semoDOC ^-BD^-=rt3 ^-DO^-=1 semoDOC=semoBDO=1/2\1\rt3= rt3~~ 2 semoADC=1/2\rt3\2=rt3 , 이므로 점 ^-AD^-=^-BD^-=rt3 는 의 무게중심이다. ^-BO^-=^-CO^-=2 E 에서 semoABC 이므로 semoACD ^-CD^-=rt7 ^-DE^-=rt7\1/3= 이므로 ⑷ rt7~~ 3 ^-AO^-=2 ^-OE^-=2\1/3=2/3 ⑴ 12 Â3 B ⑵ ⑶ 13 A P D 4`cm E 9`cm 4`cm B F Q C T 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하자. B ^-AP^- D ^-PQ^-=^-DB^-=rt(9+4)^2-(9-4)^2~ 점 , =rt13^2-5^2~~=12(cm) 에 내린 수선의 발을 각각 에서 , 라 하고, 원 의 반지름의 길이를 ^-AP^- ^-BQ^- C 라 하면 E F x`cm ^-PT^- =^-EC^-=rt(9+x)^2-(9-x)^2~~ =6rtx~~(cm) =^-CF^-=rt(4+x)^2-(4-x)^2~~ C ^-TQ^- 74 ⑵ ⑶ ⑷ rt3~~ 2 rt3 2/3 rt7~~ 3 ∴ x=6rt2&-6=6(rt2&-1) ⑴ ⑵ y=36/x 6(rt2&-1) 지도서1권1대단원.indb 74 18. 2. 9. 오후 1:35 정답과 풀이 ^-DO^-=4+12=16(cm) , 는 의 이등분선이 되므로 ^-DC^-=rt16^2+12^2~~=20(cm) ^-CA^- gakDCG B 9/2 17 A ⑴ P r H M OO' 이때 ∴ ^-EQ^-=^-QF^-=6`(∵ ⊥ , y>0) 에서 ^-OQ^- ^-EF^- ^-OE^-=10 의 중점을 또한, ^-OQ^-=rt10^2-6^2~~=8 이라 하면 ⊥ ^-AB^- , M 이다. 점 ^-O^-M^- 에서 ^-AB^- ^-QM^-=2rt3 에 내린 수선의 발을 라 하면 A 와 ^-EQ^- 에서 H semoQAH semoOQM 이고 gakAHQ=gakQMO=90° 이므로 gakAQH+gakOQM=90° gakAQH=gakQOM Z 닮음 ∴ ： semoQAH 이므로 semoOQM(AA` ： ) ^-AH^- ^-QM^-=^-AQ^- ： ^-QO^- 에서 ： 2rt3=2rt3 8 ^-AH^-=3/2 ∴ semoAEQ=1/2\6\3/2=9/2 ^-AH^- 16 ⑴ , 라 하면 ： ^-GO^-=x`cm ： 에서 ^-CD^- ： ^-CG^-=^-DA^- ^-AG^- ： 20 rt12^2+x^2~~=4 (12-x) x^2-25x+144=0 또는 (x-9)(x-16)=0 ∴ x=9 이므로 x=16 0<x<12 x=9 ⑵ ∴ ^-GO^-=9`cm ^-BG^-~·~^-GA^-=^-GF^-~·~^-GC^- 21\3=^-GF^-\15 ⑶ ∴ ^-FG^-=21/5(cm) O' H C O A G D 와 H 에서 semoCO'H semoCDO gakO'HC=gakDOC=90° gakCO'H=1/2gakCO'G=gakCDO 닮음 Z ∴ semoCO'H semoCDO(AA` ) 본문 P. 162~164 원 의 반지름의 길이를 라 하면 ： O' ： 에서 r`cm CO' ： ^-CD^-=^-CH^- ： ^-CO^- r 20=15/2 r=25/2 따라서 구하는 반지름의 길이는 12 ∴ 이다. 다른풀이 semoCDG 의 외접원의 반지름의 길이를 라 하면 25/2`cm r`cm semoCDG=1/2\7\12= 20\7\15 4r ∴ r=25/2 ⑴ ⑵ ⑶ 9`cm 21/5`cm 25/2`cm 질 성 의 원 Ⅳ 에서 , semoOPM ^-OP^-=3 이므로 ^-OM^-=3/2 gakPMO=90° ^-PM^-=#~^-OP^-~^2-^-MO^-~^2c~ =%3^2-(3/2^)^^2g~= ： ： ： 이므로 3rt3~~ ： 2 ^-OP^- ^-OM^- ^-PM^-=2 1 rt3 gakPOM=60° 색칠한 부분의 넓이 ∴ ( 부채꼴 ) 의 넓이 =semoPOB+( AOP =1/2\3\ +pai\3^2\ 3rt3~~ 2 ° ) 60 360° = +3/2&pai 9rt3~~ 4 에 내린 수선의 발을 O' 에서 ^-BP^- H 에서 이므로 ^-BH^-= r tan`30° (rt3&r)^2=(6-2r)\6 =rt3&r r^2+4r-12=0 (r-2)(r+6)=0 ∴ r=2`(∵ 0<r<3) ⑵ 구하는 반원의 중심을 , 반지름의 길이를 라 하고 점 라 하면 r O' ⑴ ⑵ 9rt3~ +3/2&pai 4 Ⅳ. 원의 성질 2 75 의 외접원의 중심을 , 점 에서 에 내린 수선 gakOBH=1/2\60°=30° 의 발을 semoCDG 라 하면 O' O' ^-CG^- 지도서1권1대단원.indb 75 18. 2. 9. 오후 1:35 5 4 원 의 반지름의 길이를 , 점 에서 에 내린 수선의 발을 x C O'O 18 B C x 3 3A O' H D 6 O 라 하면 C H O'C =^-CA^-+ O'A =3+x O'H = O'O -^-OH^-=3-x 에서 ^-CO^-=^-BO^--^-BC^-=6-x semoCO'H ^-CH^-~^2 = O'C ~^2- O'H ~^2 =(3+x)^2-(3-x)^2=12x 에서 semoCOH =^-CO^-~^2-^-OH^-~^2=(6-x)^2-x^2 ^-CH^-~^2 ㉡이므로 ㉠ =-12x+36 ……㉡ 12x=-12x+36 ……㉠ = ∴ x=3/2 19 ⑴ gakARC =gakBAR+gakRBA ⑵ A =20°+45°=65° S C R O B Q P gakABC=gakACB=gakAQB=45° gakBAP=gakBQP ∴ gakARC =gakBAR+gakABC =gakBQP+gakAQB ⑶ =gakAQP 이므로 Z ： semoAPQ ： semoASR ^-AQ^- ： ^-AR^-=^-AP^- ： ^-AS^- (8+^-SQ^-) 7=12 8 8(8+^-SQ^-)=84 64+8^-SQ^-=84 ∴ ^-SQ^-=5/2(cm) ⑷ , D 5 11 GO C 20 B A 5 E F 3/2 나는 원의 반지름의 길이는 이고 를 지름으로 하 2/3&r`cm ^-AB^- 는 원의 반지름의 길이는 이다. 세 점 , , r`cm 를 지나는 원의 넓이 rt2~~ 2 ： ( 를 지름으로 하는 원의 넓이 A R S ) (^-AB^- ： =pai\(2/3&r^)^^2 pai\( r^)^^2 ： rt2~~ 2 ： ) ： =4/9&pair^2 1/2&pair^2=4/9 1/2=8/9 1 따라서 구하는 것은 배이다. 8/9 ⑴ 65° ⑵ 풀이 참조 ⑶ ⑷ 배 5/2`cm 8/9 ⑴ 이므로 이다. 점 에서 gakFAD=90° 에 내린 수선의 발을 gakAEB=90° 라 하면 D ^-BC^- 에서 G ^-BC^-=^-BE^-+^-EG^-+^-GC^- 11=2^-BE^-+5 , (∵ ^-AD^-=^-EG^- ^-BE^-=^-GC^-) ⑵ ⑶ ∴ ^-BE^-=3 ^-AE^-=#~^-AB^-~^2-^-BE^-~^2c~=rt5^2-3^2~=4 ^-AE^-~·~^-EF^-=^-BE^-~·~^-EC^- ∴ 4\^-EF^-=3\8 ∴ ^-EF^-=6 =#~^-AD^-~^2+^-AF^-~^2c~=rt5^2+10^2~~ =rt125~=5rt5 ^-DF^- r=1/2^-DF^-=1/2\5rt5= 5rt5~~ 2 ⑴ 21 A x`cm P S O Q B 1`cm E R Â2`cm D C , ⑵ ⑶ ^-BE^-=3 ^-AE^-=4 6 5rt5~~ 2 gakPAQ=90°\2/3=60° 이므로 는 정삼각형이다. 의 반지름의 길이를 원 gakARS=gakASR=60° 라 하면 세 점 semoARS , , 를 지 O 76 r`cm A R S ^-ER^-=^-EQ^-=1-x/2(cm) 라 하고 원 와 의 접점을 , , , 라 하면 ^-AB^-=x`cm O nemoABED P Q R S 지도서1권1대단원.indb 76 18. 2. 9. 오후 1:35 정답과 풀이5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 ^-RD^-=^-SD^-=1+rt2&-x/2(cm) ∴ 또한, ^-ED^-=^-ER^-+^-RD^-=2+rt2&-x(cm) 에서 ^-ED^-~^2=^-EC^-~^2+^-CD^-~^2 (2+rt2&-x)^2=(rt2~~)^2+x^2 (4+2rt2~~)x=4+4rt2 ∴ x=rt2` 22 ⑴ ⑵ ^-AC^- =#~^-CE^-~^2-^-AE^-~^2c~ 에서 =rt3^2-1^2~~=rt8=2rt2 ^-ED^-~·~^-EC^-=^-EB^-~·~^-EA^- ^-ED^-\3=x\1 는 ^-ED^-=1/3&x 의 이등분선이므로 ∴ ^-CE^- ： gakACB ： 에서 ^-AC^- ： ： ^-BC^-=^-AE^- ^-BE^- 2rt2 ^-BC^-=1 x , ∴ ^-BC^-=2rt2&x gakECA=gakBCD 이므로 이다. gakEAC=gakBDC=90° Z ： semoAEC ： semoDBC 에서 ^-AC^- ^-DC^-=^-EC^- ： ^-BC^- ： 2rt2 (1/3&x+3^)=3 2rt2&x 8x=x+9 ∴ x=9/7 ∴ 또, ： ^-BC^-=2rt2&x=2rt2\9/7= ： 18rt2~~ 7 에서 ^-EA^- ： ^-BD^-=^-EC^- ： ^-BC^- 18rt2~~ 7 1 ^-BD^-=3 3^-BD^-= ∴ ^-BD^-= 18rt2~~ 7 6rt2~~ 7 23 ⑴ , gakABQ=20° gakAQB=90° 가 원 에 내접 ⑵ ∴ gakQAB=gakQPR=70° R (∵ nemoQABP O ) Q A 3`cm B 1`cm P O 4`cm r 합동 이므로 semoABQ , semoRBQ(ASA` ) ^-BR^-=^-BA^-=4`cm ^-RP^-=1`cm 본문 P. 164~167 에서 ^-RP^-~·~^-RB^-=^-RQ^-~·~^-RA^- 1\4=1/2^-RA^-~·~^-RA^- (∵ ^-RQ^-=1/2^-RA^-) ^-RA^-~^2=8 ∴ Z ： semoRPQ semoRPQ 이므로 semoRAB =^-RP^-~^2 ： 라 하면 =1 8 semoRAB ： `^-RA^-~^2 rt2`cm semoRPQ=k`cm^2 nemoQABP =semoRAB-semoRPQ 따라서 =8k-k=7k(cm^2) 의 넓이는 의 넓이의 배이다. nemoQABP semoRPQ ⑴ 7 ⑵ 배 70° 7 24 AG^\ 가 원주의 이므로 1/12 gakACG=180°\1/12=15° gakACB=(180°-30°)\1/2=75° 는 원의 지름이다. 즉, gakGCB=75°+15°=90° ^-GB^- 에서 , semoDBG gakBDG=90° 이므로 gakEBG=gakEGB=15° 또, gakDBE=60° 이고 ^-AG^-=^-DB^- , 이므로 gakEAG=gakEDB=90° gakAGE=gakDBE r semoEAG , semoEDB 이다. gakAGE=60° 라 하면 gakAEG=30° 이고 ： ^-AE^-=x 이므로 ： ^-EG^-=1-x ： ^-AE^- ^-EG^-=rt3 ： 2 , 이므로 ∴ x=2rt3&-3 25 B H O 15æ 45æ A D C ⑴ , gakBAC=gakBDC=75° gakOBA=gakBAO=45° ∴ gakOAC=75°-45°=30° 질 성 의 원 Ⅳ Ⅳ. 원의 성질 77 ⑴ ⑵ 2rt2 BC = BD = , 18rt2~ 7 6rt2~ 7 x (1-x)=rt3 2 (2+rt3~~)x=rt3 2rt3&-3 지도서1권1대단원.indb 77 18. 2. 9. 오후 1:35 5 4 5 4 30° 6rt2`cm 3(rt2&+rt6~~)cm ^-OP^- ⊥ 이다. gakAOC 또, ^-KR^-=^-MH^-=4.5(cm) 에서 중점 연결 정리에 의해 이다. 이다. 이므로 semoPKQ 2^-MH^-=^-KQ^- gakCOD=90° ∴ ^-KQ^-=9(cm) ⑴ ： ⑵ , 1& 2 ^-NR^-=1.5`cm ^-KQ^-=9`cm ⑵ gakOCA=gakOAC=30° 에서 semoOCD gakODC=gakOCD=30°+15°=45° ^-CD^-=#~^-OC^-~^2+^-OD^-~^2c~=6rt2~~(cm) ∴ ⑶ gakBCA=1/2gakBOA=45° 점 gakBCD=45°+15°=60° 에 내린 수선의 발을 에서 라 하면 D ^-BC^- , gakCDH=30° H gakBDH=gakDBH=45° ^-CH^-=6rt2`cos`60°=3rt2~~(cm) ^-BH^-=^-DH^-=6rt2`sin`60°=3rt6~~(cm) ∴ ^-BC^- =3rt2&+3rt6 =3(rt2&+rt6~~)(cm) ⑴ ⑵ ⑶ 26 ⑴ , 이므로 gakBCE=gakEDA 이다. gakBCE=gakEAB 또, gakEDA=gakEAB gakEAD=gakEBA Z 닮음 ⑵ ∴ semoEDA 는 오목사각형이다. semoEAB(AA` ) nemoADEB ∴ gakDAB+gakEBA+gakEDA=gakDEB gakDAB+gakEBA+gakEDA=100° ∴ 부채꼴 gakDAB=50° gakDAB=gakEBA+gakEDA) ∴ ( BAF 의 넓이 (∵ ° ) 50 360° =pai\8^2\ =80/9&pai(cm^2) ⑴ 풀이 참조 ⑵ 27 ⑴ 와 에서 semoPKR 는 공통, semoPQK gakP gakPKR=gakPQK (∵ 닮음 ^-PL^-=^-PK^-) 따라서 ∴ semoPKR semoPQK(AA` ： 에서 ) Z ： , ^-PR^- ^-PK^-=^-PK^- 이므로 ^-PQ^- ^-PK^-=^-PH^- ^-PQ^-=2^-PH^- 이다. ^-PR^-=1/2^-PH^- ： ： ⑵ ⑴에서 점 ^-PR^- ∴ 는 ^-PH^-=1 의 중점이므로 2 점 은 R 의 무게중심이다. ^-PH^- N semoPKH ∴ ^-NR^-=1/2& ^-KN^-=1.5(cm) 는 이등변삼각형이므로 semoPKH 78 28 Q A D P C B O ⑴ 이므로 ^-AD^-=^-CD^- 는 이등변삼각형이고, gakAOD=gakCOD 는 semoAOC 의 이등분선이므로 따라서 ^-OP^- ^-AC^- ⊥ 이다. ^-CP^- 라 하면 ^-OD^- 이므로 ^-PD^-=(5-x)cm 에서 ^-OP^-=x`cm ^-OC^-~^2-^-OP^-~^2=^-CD^-~^2-^-PD^-~^2 5^2-x^2=3^2-(5-x)^2 , x=4.1 ⑵ ∴ , ⊥ ^-OP^-=4.1(cm) ⊥ 이므로 ^-OP^- ^-AC^- , 점 ^-BA^- 는 ^-AC^- 의 중점이므로 중점 연결 정리에 의해 ^-BC^- ^-BA^-//^-OP^- O ⑶ 에서 ^-AB^-=2^-OP^-=8.2(cm) 와 이고 semoPCD 이므로 semoACQ ^-AQ^-//^-PD^- ^-CP^-=^-AP^- ^-AQ^-=2^-PD^- =2\(5-4.1) 80/9&pai`cm^2 =1.8(cm) ⑴ ⑵ ⑶ 4.1`cm 8.2`cm 1.8`cm 29 Q' P' O A D l 40æ Q P B T C 를 지나는 직선 은 이고, ^-OA^- 는 이등변삼각형이므로 l&//^-BC^- l semoABC 이다. 의 연장선과 원 gakABC=gakACB=70° 의 교점을 , 의 연장선과 원 의 교 점을 ^-PA^- 이라 하면 O P' ^-QA^- O Q' , gakP'AD=gakOAP=70° 지도서1권1대단원.indb 78 18. 2. 9. 오후 1:35 정답과 풀이 맞꼭지각 점 gakQAD=gakOAQ'=70° 에서 에 내린 수선의 발을 각각 (∵ , ) , 이라 하면 O PP' r QQ' 합동 이므로 M N semoOMA ……㉠ semoONA`(RHA` ) ^-MA^-=^-NA^- ……㉡ ㉠, ㉡에서 P'M =^-PM^-=^-QN^-= , Q'N 이므로 ^-QA^-= P'A ^-PA^-= 합동 , Q'A r semoQOA(SAS` 합동 ) 이다. semoP'OA r 따라서 점 semoQ'OA 이때 P 이고, gakPAQ=40° 이다. gakPAQ=gakAQ'P+gakAPQ' semoPOA(SAS` 은 직선 에 대하여 점 ) 와, 점 은 직선 에 대 하여 점 와 대칭임을 알 수 있다. P' l Q Q' l ∴ gakPAQ 에 대한 원주각 에 대한 원주각 Z~ =(~PQ^\ 에 대한 원주각 )+( Q'P' 에 대한 원주각 ) =(~PQ^\ 에 대한 원주각 )+(~PQ^\ ) 따라서 =2(~PQ^\ 의 원주각의 크기는 ) 이다. PQ^\ 20° 20° 30 I A C E G D O H B F 점 와 를 연결하면 ⊥ O C 에서 gakOCA=90° 이므로 를 접선으로 하고 세 점 ^-CG^- , ^-OA^- , 를 지나는 원을 그릴 수 있다. gakOCG=gakCAG ^-CO^- , , gakOEB=90° 이므로 를 접선으로 하고 세 점 ^-EH^- , ^-OB^- , 를 지나는 원을 그릴 수 있다. gakOEH=gakEBH ^-EO^- 의 반지름이므로 ㉠, ㉡에서 ……㉠ C G A ^-OC^-~^2=^-OG^-~·~^-OA^- 점 에서 E ⊥ O 와 를 연결하면 B E H ……㉡ , 는 원 ^-OE^-~^2=^-OH^-~·~^-OB^- O ^-OE^- ^-OC^- I ∴ ^-BI^-=^-AI^-=4`cm ^-BH^- 4`cm 본문 P. 167~170 사고력의 날개 본문 P. 170~171 1 Q M C a a P N A 25æ a B O D 라 하면 ∵ gakAPD=gak&a 에 대한 원주각 gakABD=gak&a 이고 ( ⊥ AD^\ 에서 ) 이므로 ^-AB^- ^-CD^- gakABD+gakCDB=90° 에서 이다. 에서 gakCDB=90°-gak&a 이므로 gakCOB=180°-2gak&a semoBOC ^-OC^-=^-OB^- 즉, gakOCB=gakOBC=gak&a 이므로 네 점 , , , 는 한 원 위 에 있다. gakMPN=gakMCN M N P C ∵ 에 대한 원주각 이고, gakPCN=gakPMN ∵ ( PN^\ 에 대한 원주각 이므로 ) gakPCN=gakPAB 이다. ( PB^\ ) gakPAB=gakPMN gakQMN=gakPAB=25° 25° 질 성 의 원 Ⅳ ∴ 2 ⑴ 10`m A B F 16Â3`m 무대 H 60æ 60æ O 120æ D C G ^-OB^-= =16(m) D 객석의 넓이는 색칠한 부분의 넓이이므로 ^-OH^-=16`cos`60°=8(m) 이다. 원의 중심을 2`m 라 하면 P O P' C C' 이므로 B 2`m gakBOC=60°\2=120° O O' , A 10`m B 16Â3`m 8rt3 sin`60° 무대 H 객석의 넓이 60æ 60æ O ) ( 120æ C Q Q' ° 120 360° =192rt3&+256/3&pai(m^2) 2`m ⑵ B 2`m P P' C C' O O' Q Q' Ⅳ. 원의 성질 79 , 따라서 네 점 ^-OG^-~·~^-OA^-=^-OH^-~·~^-OB^- , , 는 한 원 위에 있고 와 는 그 원의 두 현이므로 점 A G 는 원의 중심이다. H B ^-AG^- F =1/2\8rt3\8\6+pai\16^2\ G 지도서1권1대단원.indb 79 18. 2. 9. 오후 1:35 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 구하는 그림자의 넓이는 위의 그림에서 색칠한 부분의 넓이 P 이다. , , 로 이루어진 도형과 ^-PC^- ^-PQ^- , CQ^\ , Z~ 색칠한 부분의 넓이 C'Q' P'C' P'Q' 으로 이루어진 도형의 넓이는 같으므로 B H P C ( 도형 의 넓이 ) 도형 의 넓이 =( 도형 PQQ'C' 의 넓이 )-( 도형 PQC 의 넓이 ) B =( PQQ'C' )-( P'Q'C' ) 따라서 그림자의 넓이는 =nemoPQQ'P'=2\(16+8)=48(m^2) 이다. 48`m^2 ⑴ ⑵ (192rt3&+256/3&pai^)`m^2 48`m^2 위의 그림과 같이 점 를 정하면 A A 는 직각이등변삼각형이므로 P C C B semoPAC H gakPAC=45° H O A gakBAC=180°-45°=135° C ∴ B A H D O D 3 C 원의 중심을 , 반지름의 길이를 라 하면 O r gakBOC =2gakBDC=2\(180°-135°) 이므로 =90° ∵ 5rt2~~ `( 이므로 2 r^2+r^2=5^2 ∴ r= r>0) , 의 연장선이 원 과 만나는 점을 각각 , , ^-AH^-~·~^-HD^-=^-BH^-~·~^-HC^- 라 하면 ^-BD^- ^-CD^- ^-AD^- 이 원 의 지름이므로 O' P Q R 색칠한 부분의 넓이를 1\^-HD^-=2\3 ∴ 라 하면 ^-HD^-=6 S 의 넓이 S+semoABH+semoCHD 부채꼴 부채꼴 의 넓이 = ( AOC )+( BOD ) 이고, +semoOAB+semoOCD 의 중점을 이라 하면 gakBDO' =90°-gakCDB=90°-gakQDR=gakRDO' 이므로 ^-OM^-=#~^-OA^-~^2-^-AM^-~^2c~= 의 중점을 이라 하면 3rt5~~ 2 semoOAB=15/4 이므로 ^-AB^- ^-CD^- M N ^-CD^-=#~^-HC^-~^2+^-HD^-~^2c~=3rt5 에서 ^-CN^-= 3rt5~~ 2 이므로 ^-ON^-=#~^-OC^-~^2-^-CN^-~^2c~= rt5~~ 2 semoOCD=15/4 gakAOC+gakBOD =2(gakADC+gakBCD) 부채꼴 의 넓이 =2\90°=180° 부채꼴 의 넓이 ( AOC )+( BOD ) =1/2\pai\( , semoABH=1 ^)^^2=25/4&pai 5rt2~~ 2 semoCHD=9 이므로 S+1+9=25/4&pai+15/4+15/4 ∴ S=25/4&pai-5/2 25/4&pai-5/2 2rt15`cm P Q A D O' R E O B , CO' 에서 O AC^\=BC^\ 이다. gakCDB=gakADC=gakQDR 에서 gakCDO'=90° gakDBO'=gakDAO'=gakDRO' 이다. 또, gakDO'B=gakDO'R 은 공통이므로 DO' r 합동 이다. semoDO'B semoDO'R(ASA` ) 이때 ∴ 이므로 ^-BD^-=^-DR^-=12(cm) ⊥ 이고, 이다. ^-ED^-=^-QD^- ^-CQ^- DO' ^-AD^-~·~^-DR^-=^-ED^-~·~^-DQ^-=^-ED^-~^2 5\12=^-ED^-~^2 ∴ ^-ED^-=2rt15~(cm) ∵ ( ^-ED^->0) 4 라 하면 에서 ^-CH^-=5-x ^-BH^-=x ^-AB^-~^2-^-BH^-~^2=^-AC^-~^2-^-CH^-~^2 5-x^2=10-(5-x)^2 , 10x=20 x=2 ∴ ^-AH^-~^2=^-AB^-~^2-^-BH^-~^2=5-4=1 ∴ 80 ^-AH^-=1 지도서1권1대단원.indb 80 18. 2. 9. 오후 1:35 정답과 풀이5 4 5 4 5 4 5 4 5 4
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