에이급 수학 중학 3 - 1 답지 (2019)

Speed 정답체크     Ⅰ. 제곱근과 실수     Ⅱ. 인수분해     Ⅲ. 이차방정식     Ⅳ. 이차함수       02   06   20   33   54 (01~05)-에이급(3-1)-스정-OK.indd 1 2017. 7. 21. 오후 3:18 26 36 27 P 1-15 28 ⑤ Q 29 1+15 11-415 22 21 6/5 0.866 23 본문 P. 12 ~ 25 STEP B 내신만점문제 본문 P. 26 ~ 39 STEP A 최고수준문제 본문 P. 40 ~ 51 01 ④ 02 ④ 03 04 ㄱ, ㄹ 01 ③ 02 03 04 01 Speed 정답체크 Ⅰ 제곱근과 실수 STEP C 필수체크문제 05 06 6 07 -21 09 -1/2 13 10 ①, ⑤ 11 ④ 0 13 16 -2x+4 17 6 20 21 52 14 1 18 22 14 08 5/3 12 -2/3 a 15 0 19 ① 23 ③ 1 24 44 개 25 점 ： 15 , 점 ： 10 31 ② 32 ⑤ 1 33 ③ 30 20 = 34 ④ 35 615 cm 36 37 38 512 2 cm 39 40 -3 42 513 9 15 43 7rt10 +5.2 16 -13 b (x+1)^2(x-1)(x-2) 34 a=112 b=15 36 417 -4 -78+13213 35 17 3 37 0 189 ⑶ 0 b^2 -2ac a^2 -2b 32 23 (1+a)(1+a^2)(1+a4)(1+a^8) 33 (a+b+c+1)(a-b+c-1) 이 짝수일 때： 6 이 홀수일 때： , 24 (x+y)(x+y-1)(x-y+1) 25 n 34 35 4 n 36 개 -4 26 (a+b+3c)(a+b-c) 23 2 25 4 21 22 3/7 37 3 24 38 (x-y)(x4 +x^3 y+x^2 y^2 +xy^3 +y4) 5 -1 27 (a+b)(b+c)(c+a) 28 3(x-y+3)(y-z+7)(z-x-10) 29 1 30 14 31 (x-a)(x+2)(x-1) 32 몫： -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) , 나머지： 33 3 34 510 개 35 ： ： 36 2016 13 4 2 3 (x^2 -xy+y^2)(x^6 -x^3 y^3 +y^6) 2/3<a<1 a b 또는 04 a>1 ab 05 x= + 06 x= 07 또는 0 08 2 09 -3 5 10 x^2 -3x+2=0 11 11 b+c=2a , , , , 12 (a b)=(-1 또는 -6) (-2 -3) 13 ⑴ x=6 또는 x=12 ⑵ , 14 -1 , 1 15 A=-7 B=7 , 16 a=-2 i b=-2 또는 2p=q+1 i x=1 -3/2 17 ⑴ x<-1/2 ⑵ 7/2 , x<9/2 18 -a-1 또는 a=-1 b=0 19 ⑶ ^9^9 ^9^9=-1 , ^104 21 ^104=1 , x4 +x^3 a=55 , 22 b=34 , x=3 y=1 c=4 x=1/4 , , y=1/8 23 a=1 24 b=7 , c=3 , 중근 25 a=3/2 b=1 x=3/2( ) 9 26 또는 또는 x=0 , 27 x=1/2 28 x=3/2 , Ⅲ 이차방정식 STEP C 필수체크문제 본문 P. 96 ~107 STEP B 내신만점문제 본문 P. 108 ~120 STEP A 최고수준문제 본문 P. 121~133 01 ⑤ 02 ④ 03 04 이고 02 03 또는 02 05 06 1 07 08 -4 05 21 06 15 x=-3 x=3 또는 -1 01 L a 04 -2 , L 4 a 01 03 09 -21 10 x=4 11 -10 4 12 07 a=-6 b=3 08 , -2 09 18 2 13 9 14 5 4 -3 10 ⑴ a-b=1 또는 ab=6 z z 4 k<1 또는 x=-9/5 15 x=3 16 ⑴ x=5 또는 x=0 x=9/11 ⑵ 또는 x=-1 x=5/4 ⑶ 또는 ⑷ z 2 13 x= 19 ② 2 23 -7 17 x=-3/4 z 21 ① 13 20 x=-1 x=4 18 i k 22 4 24 a>9 25 2 2 26 1 27 2x^2 -10x+10=0 , 28 x=1 x=5 34 36 -3 -1 32 x=-6 z 33 x=3 rt14 35 2+rt11 또는 37 x=0 x=3/20 38 39 -1<a<0 또는 412 x=-2 40 x=3 41 -5 7117 36 60 x= ⑵ 1 또는 x= 2 11 x=1/4 또는 x=1/2 12 x=-4 13 x=-1 또는 4 15 또는 -24 24 x=1 17 ⑴ p-2 3 18 ⑴ x=5 ⑵ 또는 2 ⑵ 11 ⑶ 19 ⑴ x=-12 0 ⑵ -35 14 7 16 13 ⑶ x^2 +6x-15=0 x^2 -22x+25=0 20 4x^2 +8x-2=0 21 ⑸ -4/3 26 22 -103 27 100/9 28 217 2 29 , x^2 -12x+31=0 4 30 일 때 a=2 개 b=-1 중근 , a=1/2 L 이고 1 L ( ) 일 때 개 a 31 1/2 a 32 0 2 33 ⑴ 29 m=3 n=2 30 또는 x^2 -4x-1=0 31 13 2 또는 -2 또는 x=-2 또는 또는 z x=-4 16 4 6 215 8 23 81 25 ⑴ 12 24 2+rt10 3 ⑶ ⑵ ⑷ -1 22 ⑴ 또는 ⑵ -1 또는 z x=-1 b 20 ⑴ a x=5/2 , a b ⑵ -7 ⑵ x=0 y=1 z 29 p=2 30 q=-2 4 -2 101 13 3 x= rt57 4 1 Speed 정답체크 3 2 (01~05)-에이급(3-1)-스정-OK.indd 3 2017. 7. 21. 오후 3:18  STEP C 필수체크문제 42 43 (8+2rt19 초 후, cm 초 후 ) 44 개 7 45 가로： 9 , 세로： 46 ② 14 24 cm 16 cm STEP B 내신만점문제 34 35 3 36 x= 37 1/3 39 z 4 20 , rt16+2pq 2 p=-5 , 38 , 12 13 14 40 (34-8rt15 ) 41 ⑴ m ⑵ 5 42 43 216 44 a-a^2 분 16 40 % 30 g 18 STEP A 최고수준문제 31 중근 32 33 ⑴ x=1( ) ⑵ ⑶ 1984 34 35 x=1 1 -1 414 4k^2 +2(1+22k^2 36 -1x )k-22k^2 -1x -2 37 10 38 40 -3+2rt15 6 531/760 39 또는 0 41 -1/2 원 5-rt15 42 우영： /시, 태연： 430 /시 43 초 후, 16.5 km 초 후 6.6 km 5 (5+rt10 ) Ⅳ 이차함수 STEP C 필수체크문제 03 ③ 06 ③ 09 3 12 12 02 -3 05 ㄹ, ㄴ, ㄷ, ㄱ 6 01 L k 04 ④ 07 08 y=-2x+4 10 11 y=(x+3)^2 +1 13 , 14 (2 -4) , , 1/3 7/2 15 제 a>0 p>0 사분면, 제 q>0 사분면 16 1 , 17 2 , 18 , (3 19 4) , 0) (2 a=3 20 b=-2 21 (3/2 22 ⑴ -1/3) ⑵ 4 ⑶ 4 ⑷ a<0 b>0 c>0 23 ③ a+2b+4c>0 24 25 26 -9 9 27 28 29 y=-x^2 +9 30 8 32 8 33 1 31 i i 7 -1 y 3 34 44 72 y=x^2 35 -8x+13 36 37 38 216 40 9/4 41 27 , 42 1/4 39 3 43 4 46 ⑴ 1 44 4 45 12/5 , ⑵ m^2 72 D(3/2 9/4) 47 25/8 48 -2/3 49 ⑴ ⑵ 1/2 t^2 2 , 초 후 225 m 15/2 4 본문 P. 145 ~158 STEP B 내신만점문제 본문 P. 159 ~173 STEP A 최고수준문제 본문 P. 174 ~187 01 제 사분면 02 2 , , , , (a>0 , b<0) , (a<0 b>0) , (a<0 03 b=0) 04 (a<0 b<0) 05 3/4 06 , k<-2 07 3 C(5 0) , 08 , k>9/16 (-3/2 09 1/2) 10 x=-3/2 11 제 , 사분면 2 12 ⑴ 13 ⑵ 13 1 3 14 , 15 k>0 , 16 -2 3 17 18 -10 2 (1 1) 19 2 , , -20 6 01 , 02 03 a=-5/2 05 04 b=7/3 -4 10+2rt10 , 3 일 때 일 때 j 3 a 06 1/108 3 07 i a 08 2 2 i i , 1 a -1 10 1 09 a>2 일 때 a^2 -4a+5 , 일 때 a<-1 , -2a-1 일 때 a^2 a>1 16 2a-1 a=1 11 b=4 12 4/9 13 -5 14 -4 15 3 -1+rt17 2 y 8 2 1 O 1 2 x a=-1 , 20 b=3 c=29/4 , , , 17 ⑴ a=3 21 b=-1 , , c=17 , d=-2 e=-12 ⑵ a am^2 -bm+c>m a+p b P(-1 , 22 5/2) Q(2 , 4) 23 a=1 , b=-6 m=6 24 25 26 a=3 b=2 27 2 28 -48 29 0.0^.9^. 56 30 50 cm^2 -2<x<4 32 31 9c-3b+a>0 , 33 (3 36 ⑴ 9) ⑵ k>1 y=1/4 x^2 y=-x+8 ⑶ 37 y=-1/2 x+6 38 54 39 ⑴ ⑵ 16 m ⑶ 40 ⑴ -1/2 ： t^2 ⑵ +t+4 ： 2 ⑶ 3/2 , 1 41 ⑴ 1 ： 1 ⑵ 3 ： (1 2) i i m 7/3 3 2 1 4 <x< b + = ⑶ a , ab 18 m-b a , = c-p a 19 P( 20 3-rt21 , 2 15-3rt21 ) 21 ⑴ 2 ⑵ 0 22 P(2 2) 23 a 8 b 12 -1 8 24 , d< 일 때 <a<b< 개, 5/4 일 때 1 개, a=1 a=5/4 일 때 2 개 1<a<5/4 25 3 5/4 27 ⑴ 26 21/2 ⑵ 3/2(a+2)(a-1) ⑶ , ⑷ 15 D(4 16) y=13/7 x+24/7 2 3 -2/3 , 34 2/3 D(-2 35 3) (01~05)-에이급(3-1)-스정-OK.indd 4 2017. 7. 21. 오후 3:18 Speed 정답체크 5  STEP C 필수체크문제 STEP B 내신만점문제 STEP A 최고수준문제 42 ⑴ , P(-1/3 t 1/18 , t^2) 또는 ⑵ , 43 ⑴ Q(-213 6) ⑵ Q(213 , 6) ⑶ y=-4/3 ⑷ x+4 D(9 12) 44 ⑴ 180 , 64 ⑵ C(-2 2) , , D(1+rt13 7+rt13 , ) D(1-rt13 7-rt13 ) 28 ⑴ ⑵ ⑶ -3/4 9/4 29 ⑴ , 3213 27 , ⑵ ⑶ a=1/2 m=-1 n=4 9/2 -1-12 30 ⑴ ⑵ -2<t<4 -3/2 t^2 +3t+12 ⑶ z 3 rt21 3 ⑵ 31 ⑴ , 9/4 ⑶ A(3/2 , 9/4) y=2/3 x+5/4 ⑵ 32 ⑴ y=3/2 x 33 ⑴ 1/4 n^2 12 ⑵ , a+1 S_1=(a-1)(a+2)^2 ⑶ S_2=1/2 34 ⑴ a(a+1)(2a+1) ⑵ , , 1+rt97 6 , ⑶ 35 ⑴ C(6 6) , a=1/6 ⑵ 11 , P(6 12) Q(-2 ⑶ P(2 4) 8) , 9/2) Q(-3/2 37 π/2 -1 -2/11<m<0 40 3<x<6 3 cm 36 39 38 - 1 4m 사고력의 날개 1 2 rt26 , 3 4 36 15876 i i C B A 58 Ⅰ 제곱근과 실수 본문 P. 52 ~ 53 Ⅱ 인수분해 본문 P. 88 ~ 89 Ⅲ 이차방정식 본문 P. 134 ~135 Ⅳ 이차함수 본문 P. 188 ~189 0.4 m 1 2 4 212 3 최댓값 , 최솟값 25/9 b -21/4 b=a@-4 2-2Â2 -2 O -2+2Â2 a 2 8-8Â2 -4 b=4a b=-4a 1 3 4 30 g 또는 x=1 바퀴 x= -3 rt21 z 2 413 1 a^2 -12b^2 -c^2 -4ab+8bc 72 =a^2 -4ab+4b^2 -(16b^2 -8bc+c^2) =(a-2b)^2 -(4b-c)^2 =(a-2b+4b-c) \(a-2b-4b+c) =(a+2b-c)(a-6b+c) =0 , , 는 삼각형 의 각 a 변 의 길 이 이 므 로 b c ABC 에 서 a + b > c 이 므 로 a + b - c > 0 이다. 따라서 a + 2 b - c > 0 이므로 a-6b+c=0 이다. a+c=6b 2 개 3 ㄱ, ㄴ, ㄷ 1 4 Speed 정답체크 5 (01~05)-에이급(3-1)-스정-OK.indd 5 2017. 7. 21. 오후 3:18 Ⅰ 제곱근과 실수 STEP C 필수체크문제 본문 P. 12~25 01 ④ 02 ④ 03 04 ㄱ, ㄹ 05 06 07 6 08 -1/2 11 ④ 13 12 5/3 13 09 0 15 0 20 16 -2/3 a 17 -2x+4 18 6 21 22 52 14 23 ③ 24 개 1 25 점 ： 44 , 점 ： 15 27 P 1-15 28 ⑤ Q 29 1+15 30 10 32 ⑤ 33 ③ 1 34 ④ 35 = -21 10 ①, ⑤ 14 1 19 ① 26 36 20 31 ② 37 15 41 2 -16 36 cm 512 2 513 9 0 rt144+9 , -2a^2w L =rt153 의 제곱근은 rt144+9 이다. 12+3 0 ⑤ 0 02 ① ( 03 의 제곱근은 으로 한 개이다. ② 0 의 음의 제곱근은 0 이다. ③ 음수의 제곱근은 없다. =2 14 -12 ④ 의 양의 제곱근은 이다. 0.36 ∴ rt0.36 rt0.36 제곱근 =rt9/25r =rt36/100r ⑤ 16)=rt16 =4 의 제곱근은 z 이므로 49 7 의 제곱근은 z a=7 이므로 1/2 b=-1/2 rt1/16r ∴ =1/4 a+2b=7-1=6 6 04 ㄴ. ㄷ. ㅁ. 05 06 07 08 rt36/49r 09 10 ① 11 ① )^2=-5 -(15 @(-3)^2s (18)^2 =8 =3 이므로 (-rt0.49 이므로 )^2=0.49 a=0.7 ∴ rt81 =9 b=-3 10ab=10\0.7\(-3)=-21 -$(-3/2)^2 $(-2/5)^2 \@(0.6)^2w =2/5-3/2\6/10=-1/2 , , 이므로 rt144 =rt12^2w +rt(-4)^2w rt144 =12 rt(-4)^2w =4 (-13 )^2=12+4-3=13 )^2=3 -(-13 A-solution 제곱인 수 @( )x (1 ) 는 근호 를 사용하지 않고 나타낼 수 있다. ÷rt144/196r ÷rt9/25r =6/7÷12/14÷3/5=6/7\14/12\5/3=5/3  ㄱ, ㄹ  -21  -1/2  13  5/3  0 , 32.7^. ∴ =4 27-2 9 f=5/3 30.1^. =rt1/9 =1/3 32.7^. -30.1^. \rt(-5)^2w =5/3-1/3\5=0 이면 또는 이다. ⑤ a^2>0 이므로 a>0 이다. a<0 x<3 x-3<0  ①, ⑤  ④ rt(x-3)^2w =-(x-3)=-x+3 이므로 ② a-3<0 이므로 ③ a+5<0 이므로 ④ a-5<0 ⑤ =-a 이므로 2a^2w -a>0 rt(a-3)^2w =-(a-3)=3-a rt(a+5)^2w =-(a+5)=-a-5 rt(a-5)^2w =-(a-5)=5-a rt(-3a)^2w =-3a  ④  6 (06~19)-에이급(3-1)-1(정)-OK.indd 6 2017. 7. 21. 오후 3:19 Ⅰ. 제곱근과 실수 7 정답과 풀이r r d d d d 본문 P. 12~19 12 13 14 15 16 21 22 x 23 ③ 4 24 25 정사각형 1+15 26 k=20 27 , 이므로 , , ∴ a<0 b>0 -a>0 -ab>0 -3b<0 -(@-abw rt(-a)^2w =-a-(-ab)÷3b )^2 ÷rt(-3b)^2w 에서 <6.7 ∴ 6.6<1xq 이때 는 정수이므로 43.56<x<44.89 (6.6)^2<(1xq 이다. )^2<(6.7)^2 x=44 =-a-(-ab)\1/3b =-a+a/3=-2/3 a 일 때 ,  -2/3 a , rt225 =15 rt256 =16 따라서 rt225 0 rt(x-2)^2w +rt(2-x)^2w =-(x-2)+(2-x)  =-2x+4 -2x+4 일 때 , 이다. ∴ 2<x<3 x-2>0 x-3<0  rt(x-2)^2w +rt(x-3)^2w =(x-2)-(x-3)=1 일 때 , ∴ a>b a-b>0 b-a<0  rt(a-b)^2w -rt(b-a)^2w =(a-b)+(b-a)=0 가 자연수가 되려면 는 제곱수이어야 한다. rt24a 이므로 24a 이다.  \3 24=2^3 17 a=2\3=6 는 양의 유리수이지만 는 유리수이다. 14 =2 에서 <8 가 제곱수인 경우 5<1xq 따라서 구하는 무리수는 x 1xq 25<x<64 는 유리수이므로 , 는 제외한다. 36 개 49 이다. 63-25-2=36( )  개 36 의 넓이는 이므로 한 변의 길이는 이다. ∴ ABCD , 5 15 에 대응하는 수는 ^-BC^-=^-BQ^-=15 이고, 점 에 대응하는 수 따라서 점 ^-AB^-=^-PB^-=15 이다. P 는  점 1-15 ： Q , 점 ： P 1-15 Q 1+15 이 유리수이고 가 짝수이려면 2^2 4 486 x r=5 이다. x=13\2^2=52 \3^2 , x \13 b x , , … ∴ rt800 =@20^2 \2s =2012 x=13\2^4=208 x=13\2^2 \3^2=468 따라서 가장 작은 짝수 는 이다. x 52 18 , , , … ∴ 50+x=64 81 100 x=14 19 20 !0.09q 따라서 가장 큰 수는 ① =0.3<0.3^.=3/9=1/3 1/3<0.5=!0.25q 이다. <!0.75q  ① , !0.75q 이므로 , <2 ∴ 1<13 @(2-13 )^2x 2-13 +@(1-13 >0 <0 1-13 =(2-13 )^2x )-(1-13 )=1  28 ⑤ 에서 , rt128 =@8^2 \2w =812 a=8 !0.48q ∴ =rt48/100r =5 4^2 \3 t= 10^2 413 10 = 213 5 에서 b=2/5 a+5b=8+5\2/5=10 212 ÷(-16 ) =212 \rt2/3 \ 12 13 ) \(-rt1/6 =-2$2\2/3\1/6f =-24 =- 212 3 2 3^2  ⑤ Ⅰ. 제곱근과 실수 7 1 0 6 1  52  14  44  15  ③  20  10 6 (06~19)-에이급(3-1)-1(정)-OK.indd 7 2017. 7. 21. 오후 3:19 Ⅰ제곱근과 실수r  1  =  ② 37 38 39 40 41 에서 rt13-x =213 =rt12 을 에 대입하면 y=-x^2 +13 x ^2 ) 1 13 1 13 y=-( +13 \ =-1/3+1=2/3 29 rt13-x 13 =2 ∴ 13-x=12 x=1 30 x= 1 13 0.6^.=6/9=2/3 ∴ y=0.6^. 31 rt357 =!100\3.57z =10rt3.57 =10a rt0.357 ∴ =4 35.7 100 rt35.7 10 r= =b/10 rt357 -rt0.357 =10a-1/10 b 32 33 ③ 34 ① 8 rt225 =@3^2 \5^2s =23^2w \25^2w =(13 )^2 \(15 )^2=a^2 b^2  ⑤ = 1aq 1b 1b = 1a 1b 1b = 1abq b rta/b , 이므로 ② -8p<0 6p>0 의 제곱근은 z @(-8p)^2s 는 근호를 사용하여 나타낸 수이지만 유리수이다. ③ 7 )^2=8p-6p+2p=4p 이다. +(-rt2p -@36p^2w 17 배이다. 의 ⑤ 은 14 rt30 13 rt10 35 정사각형의 한 변의 길이를 라 하면 ∴ ∵ x cm 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 x=615 x^2=12\15 x>0) ( 이다. 615 cm  615 cm 36 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 라 하면 x cm (x>0) ∴ 5 x^2=1/2\5^2=25/2 12 따라서 구하는 한 변의 길이는 x= = 512 2 이다.  512 2 cm 512 2 cm rt20/9r +30.5^. e=rt20/9r +rt5/9 = + 15 3 215 3 =15 =1 = 1aq 6 - 1aq 3 1aq 2 ∴ 1aq =6=rt36 a=36 이므로 , , rt50 =512 (-13 )^2 =3 10 12 = 1012 2 =512 rt50 -(-13 )^2 - =512 -3-512 =-3 10 12 10 rt75 - 4 313 13 3 +  ③ = 13 3 + - 2 13 4 313 = 13 3 + 213 3 - 413 9 =(1/3+2/3-4/9)13 = 513 9 513 9  13 a+a =(13 +1)a =(13 =3-1=2 +1)(13 -1)  ④ 42 , 에서 , =rt9/2 , =rt98 ( 15 3 12 9.8=rt96.04 , (712 -5.2=-rt27.04 , =-rt48 15 에서 )=15 , 에서 9.8)=712 -5.2)=-5.2 , , , 15 )\(712 9.8)-(-413 -5.2) 3 12 712 -413 (-413 ∴ ( 3 12 =15 \712 -(-5.2)=7rt10 +5.2  7rt10 +5.2  15  36  -3  2 (06~19)-에이급(3-1)-1(정)-OK.indd 8 2017. 7. 21. 오후 3:19 Ⅰ. 제곱근과 실수 9 정답과 풀이q 43 이므로 =213 rt12 -13 (16 ∴ )-(rt12 ) -16 =16 =rt24 -13 -rt27 -213  <0( ∵ +16 -313 =216 0  ④ 이라 하면 x=1/2 이때 ∴ 1xq -x= 12 2 1xq >x 1xq =rt1/2 = 12 2 -1/2= 12 -1 2 50 ab=25 8b a4 a 이고 , 이므로 r+b4 b 2a b b>0 a>0 r =4 8a^2 a =!8\25a =1512 r+4 2ab^2 b r=rt8ab +rt2ab +!2\25a =1012 +512  51 3/2=( rta rtb )^2=a/b 에서 , a=3 b=2 에서 rt3 rt2 3/2\ = c16 4 에서 313 212 316 4 = = 912 =9/4=9/d 412 \ rt3 rt2 316 ∴ 4 a+b+c+d=3+2+3+4=12 = c=3 d=4 본문 P. 19~26  12 STEP B 내신만점문제 본문 P. 26~39 01 ③ 02 03 04 05 4q^2 09 12 ab/5 06 5 07 -4 08 ⑤ 10 95 , , 80/3 14 14 15 16 212 17 11 5 15 13 3 7 18 5/2 x 13 z 16 13 13 19 1-512 배 20 +2rt10 +215 21 22 11-415 6/5 23 0.866 9 24 t+212 -1 25 -16 26 27 30 7-12 , , 4/9 7 33 8 9 -2 312 2 36 39 212 -2 - 516 6 28 29 , 312 2 32 x=3 y=-1 31 1/a 2 34 x=1 37 40 -212 0 35 1 38 - 16 2 41 42 108 cm^2 43 , 44 315 cm 45 20 46 13 6 47 24 4(rt10 +rt14 ) 3 48 , 33 49 z (217 +5rt14 50 ) cm 9 13 316 01 ① (-2p^2w ③ 1/5 ② 음수의 제곱근은 없다. )-@(-2p)^2x =p-(-2p)=3p -(rta+b )^2 )^2 +1b (1aq ∵ =(a+b+2rtab , )-(a+b) 이므로 ∴ =2rtab >0( a>0 b>0 ab>0) ④ ⑤ 1aq rt100x i >rta+b +1b 이므로 =rt100\xa =101xq -4<-a i 0 1512 0 a<4  ③ Ⅰ. 제곱근과 실수 9 8 (06~19)-에이급(3-1)-1(정)-OK.indd 9 2017. 7. 21. 오후 3:19 Ⅰ제곱근과 실수02 a=rt64 =8 이므로 양의 제곱근 (-5)^2=25 의 음의 제곱근 b=5 0.4^.=4/9 ∴ c=-2/3 a-b-3c=8-5+2=5 =@9^2 \2^2s =18 03 \(-2)^2x rt(-3)^4 =rt25^2w 주어진 식 =25 ∴ rt(-5)^4w ( 04 ∵ @(-q)^2 \(4q)^2x =rt(4q^2)^2w =4q^2( q^2>0) 05 -x @25x^2w 4 -@16x^2w = )=15-12+18-25=-4  -4  5 이므로 , i j x 16 x+3 17 이때 ∴ ∴ 14 11 160 b>0 1aq 이므로 =21b a=1b , a^2=b -(-4x)( x<0)  = +4x=10/4 x=5/2 x 5/2 x -5x-x 4 -6x 4 s =19 ∴ 2rt81 따라서 x=3( =3 ∵ 의 제곱근은 z x>0) x 2x^2w =3 x^2=3^2=9 이다.  z 13 06 는 자연수이고 보다 작은 제곱수이어야 하므로 a rt25-a 25-a 0 25 가 정수가 되려면 는 이거나 , , , , ∴ 25-a=16 , , 9 , 4 1 , 0 ∴ a=9 16 21 24 25 9+16+21+24+25=95 , , =8 384-12A=64 12A=320 rt384-12A ∴ A=80/3 rt300 =rt900/3r = 30 13 = b^2 a  95  80/3  ⑤ 213 rt30 10 = 13 rt30 5 rt3.6 =rt36/10r =rt360/100r = =ab/5  10 가 자연수이므로 에서 ∴ x^2<257<(x+3)^2 0 212 @(212 =(212 212 +@(212 +1)^2x +1)-(212 -3<0 4-212 >0 -@(4-212)^2x -3)^2x -3)-(4-212 )=212 6 -rt27 = +513 413 6 -313 +513 = 6 613 = h=%rt27/3r =219 w =13 14 15 2rt12 16 ^ 41/3 41/27r 17  212 1 13 = 13 3  13 3  13 ab/5 A-solution 제곱근을 문자처럼 생각하여 곱셈 공식을 이용하여 계산한다. (13 -12 )(13 +12 )-15 (rt10 -215 ) =(3-2)-(512 -2rt10 +215 =1-512 +2rt10 -18 -2)  1-512 +2rt10 +215 (06~19)-에이급(3-1)-1(정)-OK.indd 10 2017. 7. 21. 오후 3:19 Ⅰ. 제곱근과 실수 11 정답과 풀이w 18 19 이므로 2<15 <3 x^2 -(15 +2)x+3 x=15 -2 -(15 +2)(15 -2)+3 =(15 -2)^2 =5-415 +4-(5-4)+3 =11-415  11-415 =15 + 15 5 1 15 = 615 5 =6/5 a  배 6/5  = 13 2 = 1.732 2 =0.866 0.866 b=a+1/a=15 + 20 16 =rt6/8 18 21 좌변을 정리하면 =rt3/4 - 3rt12 -2rt18 6 = 6(16 +12 6 =16 +12 ) 이므로 이다. -1+12 =t+212  -1 216 +rt12 2 16 +12 , = a=3 22 312 +16 이므로 13 b=6 a+b=9 이다. 이므로 , C 에 대응하는 수는 점 ^-CA^-=^-CE^-=^-BD^-=^-BF^-=12 에 대응하는 수는 점 t+12 t+12 -1 t+12 에 대응하는 수는 점 B F , 23 A-solution 일 때 , b>0 a>0 c +1b 1aq = c(1aq (1aq +1b -1b )(1aq ) -1b ) = c(1aq -1b ) a-b (x-3) 13 (13 ∴ (x-2)=12 -12 )x=213 -312 213 13 -12 =6+216 = x -316 = -312 -312 (213 )(13 (13 -12 )(13 -6=-16 +12 ) +12 ) )^2=2 (a-1)^2=(12 -2a=1 a^2 ∴ a^2 -2a+2 a-1 = 3 12 = 312 2 26 에서 이므로 +5<7 이다. <2 , 1<12 ∴ x=6 6<12 +5-6=12 y=12 x-y=6-(12 -1)=7-12 -1 27 +1=21xq 81xq , +5 =4 61xq ∴ 1xq =2/3 x=4/9 \ 1aq -1 a-1aq = 1aq +1 a+1aq (1aq -1) +1)(1aq (a+1aq )(a-1aq ) ∵ = = a-1 a(a-1) =1/a( a>1) a-1 -a a^2  9 28 29 이므로 a=12 -1 에서 (12 -1)x+y 2-12 -1)(2-12 ) =12 -1 -1)x+y=(12 가 유리수이므로 (12 , (x-3)12 ∴ , x y -x+y+4=0 , 이다. x-3=0 -x+y+4=0  , t+212 -1 x=3 y=-1 x=3 y=-1 i 이므로 i i 100 16a 144 30 i 10 rt16a i i 12 25/4 ∴ a 9 , , a=7 8 9 31  -16 <10 7<@20x^2w 49<20x^2<100 2.45<x^2<5 ∵ rt2.45 는 자연수이므로 <x<15 ( x>0) 이다. 24 25 y/x+x/y= - 13 12 -12 13 =- =- 5 16 516 6  - 516 6 x 32 x=2 일 때, 이므로 a=12 +1 a-1=12 ∴ ab=(1+12 b^5 a^5 )(1-12 )=-1 +1=(ab)^5 +1=(-1)^5 +1=0 Ⅰ. 제곱근과 실수 본문 P. 26~34  312 2  7-12  4/9  1/a  , , 7 8 9  2  0 11 10 (06~19)-에이급(3-1)-1(정)-OK.indd 11 2017. 7. 21. 오후 3:19 Ⅰ제곱근과 실수33 1<12 ∴ <2 a 12 34 , 이므로 이다. a=1 b=12 -1 +b= +(12 -1)= 1 12 -2 312 2 A-solution 각각의 일차부등식을 풀어 공통인 해를 구한다. j j )x (2-13 { ∴ -2)x (13 2-13 -2 13 ⇨ ∵ j x 1 i ( ∵ { x 1 ( 2-13 13 >0) -2<0)   -2 312 2 에서 이므로 , 1nq <4.5 i 16 n<20.25 a=16 b=20 $b/a\cr =$20/16\cr =4 가 양의 정수가 되기 위해서는 4 5c 4 따라서 최소의 양의 정수 c=5\4 5\4\2^2 , , 5c 4 , , … 5\4\3^2 5\4\4^2 이다. c=5\4=20 41 i 4 ∴ 42 x=1 에서 이므로 =2 =1 1aq a=1 이때 3a+2b=212 즉, 정수 부분이 <3 2<212 +15 이므로 이다. 이므로 소수 부분은 17<212 이다. +15<18 17 +15-17=212 -2 1 +1 1 -1 + 12 -rt32 -1+12 +1 = 12 (12 -1) +1)(12 =-212 -412 =212 -rt32   20  13 x=1  1 이므로 f(x)= rtx+1 -1xq … -1xq )(rtx+1 +1xq (rtx+1 +f(198)+f(199) f(1)+f(2)+f(3)+ ) =rtx+1 -1xq … = )+(13 -11 -12 (12 )+(rt200 -rt198 +(rt199 )+(14 -13 ) -rt199 )+ 따라서 가장 가까운 정수는 -1=1012 =rt200 -1=13.14 이다. 13 43 rt54 1xq 또, >1 rt54 1xq  212 -2 , ∴ rt54 >1xq 0<x<54 이 유리수가 되기 위해서는 근호 안이 유리수의 제곱이어야 하므로 =3rt6/x 는 의 배수와 제곱수의 곱으로 나타난다. 단, L 인 정수 x 6 이라 하면 ∴ x=6k^2( , 즉 k 0 , ) 6k^2<54 ∴ , k^2<9 k^2=1 4 -212 x=6 24  , 6 24 B=(13 \ )+(-12 \13 -16 1 12 )= 16 2 =- 16 2  39 직사각형의 가로의 길이는 직사각형의 세로의 길이는 rt162 ∴ 직사각형의 넓이 rt72 =912 =612 (cm) (cm) ( )=912 \612 =108 (cm^2)  - 16 2 108 cm^2 40 반지름의 길이를 라 하면 p p p p ∴ x cm ∵ x^2 =9 +36 =45 따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 x^2=45 x>0) x=315 ( 이다. 44 A-solution , , =A +17 15 =B 로 치환하여 계산한다. 로 놓으면 12 =A 15 +17 (15 +12 =(A+B)^2 +17 12 =B )^2 -(15 -(A-B)^2 -12 +17 )^2 =4AB +17 +rt14 )\12 ) =4(15 =4(rt10 45  4(rt10 +rt14 ) 에서 (x+y)^2=x^2 +2xy+y^2 x^2 +xy+y^2=(x+y)^2 -xy =x^2 +xy+y^2=(x+y)^2 -xy 3^z =( 5+rt33 2 + 5-rt33 2 ^2- ) 5+rt33 2 \ 5-rt33 2 315 cm  ∴ =25-(-2)=27=3^3 315 cm z=3  3 35 21aq a>0 36 212 37 12 38 * A 12 (06~19)-에이급(3-1)-1(정)-OK.indd 12 2017. 7. 21. 오후 3:19 Ⅰ. 제곱근과 실수 13 정답과 풀이r r 46 , 47 ( 48 49 50 가 자연수이므로 을 성립시키는 것은 a b , 일 때뿐이다. rt7a +1b =11 rt7a =7 rt7a =7 =4 에서 1b 에서 , 7a=49 a=7 ∴ 1b =4 b=16 a^2 -b=49-16=33 ㉠ ㉡ 에서 )+ +(13 +12 \(13 +12 {(13 )^2 (13 =13 ∴ +12 )+12 ) -12 \(13 -12 )^2}x (13 -12 ) x= 216 +1 10 의 값을 ㉠에 대입하여 풀면 y= 1-216 10  33 x ∴ x+y=1/5 본문 P. 35~40  1/5 의 넓이가 이므로 의 넓이는 , 의 넓이는 A 14 cm^2 이다. B 7 cm^2 C 의 한 변의 길이는 , 의 한 변의 길이는 , 7/2 즉, cm^2 A 의 한 변의 길이는 rt14 2 도형의 둘레의 길이 C ∴ cm rt14 cm B 이다. 17 cm rt14 2 ) ) =2(rt14 +rt14 +17 + =2\(17 + =217 +5rt14 ) 5rt14 2  (cm) (217 +5rt14 ) cm A-solution 를 만족하려면 와 가 무리수가 아니어야 한다. rt27-x -2=rty+2 rt27-x rty+2 는 자연수이므로 y 에서 rty+2 >1 이고 는 자연수이므로 rt27-x , -2>1 rt27-x >3 x ∴ 27-x=25 , 16 x=2 일 때, 즉 11 , 이므로 x=2 r1par 일 때, 즉 rty+2 =3 , y=7 이므로 x+y=9 r2par , x=11 에서 의 값이 될 수 있는 수는 rty+2 y=2 =2 이다. , x+y=13 r1par r2par x+y 9 13  , 최고수준문제 본문 P. 40~51 STEP A 01 02 z , 3 03 , 04 12 -1 05 x=0 y=-2 06 7 07 a=-1 , , , b=-2 08 1215 +74/25 3 09 4 5 6 i i -1 a 1 10 215 , -3 , , , , , , , 11 (x y)=(1 30) (2 15) (3 10) 12 (5 6) 13 ⑴ -4+113q ⑵ +15 7 14 ⑴ ⑵ 15 2 1917 16 ⑴ +49 ⑵ 17 416 18 11 19 447 2 20 ⑴ ⑵ 37 개 -16 4 21 212 , , 4 , , 13 , 22 23 (3 75) (12 48) (27 24 ⑴ 27) 개 ⑵ 12 개 ⑶ 개 25 12 -1 , 283 26 10 27 273 28 86 x_3<x_1<x_2<x_40) )(26-1513 )=676-675=1 ∴ (x+y)^2=x^2 z +2xy+y^2=52+2\1=54 z x+y= rt54 = 316  z 316 { )y=13 -12 )x+(13 +12 (13 )y=12 +12 )x-(13 -12 (13 ……㉠ ……㉡ = 12 - 1 1 12 - 1 -1 12 12 1 -1 - 12 12 (12 -1)-1 = 12 1 - 12 -1 1-12  1 +1 = 12 =12 -1 02 z a= ∴ a1b = 213 z a1b = 213 z 3 z z s \@rt27 = @rt81 = 3 Ⅰ. 제곱근과 실수 12 -1  z 3 13 12 (06~19)-에이급(3-1)-1(정)-OK.indd 13 2017. 7. 21. 오후 3:19 Ⅰ제곱근과 실수w  을 정리하면 가 최소의 정수가 되기 위해서는 03 +2x+y=-x12 3-212 가 유리수이므로 , 이때 (x-y-2)12 x +y12 +(2x+y+2)=0 ……㉠ y +1 x-y-2=0 ㉠, ㉡에서 2x+y+2=0 ……㉡ , x=0 y=-2  , x=0 y=-2 04 1<13 소수 부분이 6-13 ∴ 에서 , 이므로 의 정수 부분이 <2 이므로 <-1 -2<-13 4 , 4<6-13 이므로 <5 a=4 (6-13 )-4=2-13 )^2=7 +(2-13 13 a+b^2=413 b=2-13  7 05 , , 에서 이므로 a>-2 2b>+1= 3< 17 C 3 -2 D=C ] =4 +2 17 17 D =C [ = 2 3(17 -2)(17 +2) +2) D (17 -16 17 -2  4 rtx/y +rty/x + 1y = 1xq 1xq 1y = x+y rtxy = 4 rt2  =212 212 18 19 20 ⑴ 본문 P. 40~46 에서 이고 이므로 i rt108 +1y 1xq +rt75 =613 =13 +513 13 =rt12 +413 213 +rt48 +313 313 =rt27 +rt27 r1par r2par r3par , 에서 =613 에서 (x , 00) p =2 \4\ =2 p p =2 \412 \ 90* 360* =212 p 90* 360* 90* 360* 일 때, 에서 r4par x=12 TQ 따라서 순서쌍의 개수는 a=46 조건을 만족하지 않는다. 3(a+2)=144 과 의 개이다. r1par r3par 2 31 32 ⑴ ⑵ 33 가 양의 정수가 되기 위해서는 단, 은 자연수 이어야 한다. rt2x i ⑴ 1 i 이 m^2 x=2m^2( m ) 이므로 i i 의 배수이면 500 1 도 m 의 배수가 되므로 rt500 =23 0 1xq , 이라 하면 rtx+253 , 이므로 rtx+253 =l 1xq m^2 -l^2=253 x=l^2 x+253=m^2 에서 , >0 1xq 1xq 이다. =m m^2 -l^2=(m+l)(m-l)=253=253\1=23\11 또는 , , , , 이다. (m+l m-l)=(253 1) (m+l m-l)=(23 11) ∴ , , 또는 , ∴ (l 또는 m)=(126 127) (6 17) x=36 15876  , 는 음이 아닌 정수, 라 하면 i 0 q<1) ] [ s d =p+q(p 321x C= p+q =p 21x s =(p+q)^2=p^2 +2pq+q^2 ] [ B =3 p^2 +2pcq+q^2 j ] [ ……㉠ + 2pcq+q^2 3p^2e =p=C ∴ =3p^2 j C B 는 음이 아닌 정수, 라 하면 i [ ]이므로 0 s<1) [ , ] s =r+s(r 21x ] [ [ A^2=2 B^2= 1x s 21x = B^2= s [ =(r+s)^2=r^2 1x A^2 =3 r^2 ] 21x s =r r+s +2rs+s^2 ] +2rs+s^2 ]j [ 2rs+s^2 3r^2e + =3r^2 =r=B^2 j A^2 j 이고 B^2 j ㉠, ㉡에서 A 0 B 이므로 ……㉡ j A B 0 i i C B A 3 4 단, j a 1) < 1 rta+1 +rta 1 < rta+1 +rta 1 +rta < rta 1 2rta 2(rta+1 대신에 -rta , , )< 1 , …, rta < 1 rta 1 +rta-1 ( rta +rta-1 <2(rta -rta-1 ) 을 차례로 대입해 본다. a 2 3 4 일 때, 900 a=2 -12 2(13 )< 일 때, a=3 2(14 -13 )< 일 때, , <2(12 -1) 1 rt2 1 <2(13 rt3 -12 ) , … a=899 2(rt900 -rt899 )< <2(rt899 ) -rt898 1 rt899  i i C B A 18 Ⅰ. 제곱근과 실수 19 (06~19)-에이급(3-1)-1(정)-OK.indd 19 2017. 7. 21. 오후 3:19 Ⅰ제곱근과 실수c c c c Ⅱ 인수분해 STEP C 필수체크문제 01 ④ 04 ③ 07 -2a 1/6(2x-3)(3x+2) 09 3/4(x+6)(x-2) 13 12 14 -25/3 21 (x+y-z)(x-y-z) 22 (a-4)(x+1)(x-1) 23 -(3x-4)(x-10) 24 (x-y+2)(x+y+1) 02 ㄴ, ㅁ, ㅂ 03 또는 05 -1 06 ③ 1 08 -18 10 ② 11 ③ 17 ③ 20 ② 15 ①, ⑤ 16 ④ (x-10)(x+2) 18 (x+6)(x-3) 19 ③ 25 (x+3)(x-1)(x-3)(x+1) 27 (4x+3y+4)(6x-y-5) 28 ① 29 26 ① 30 -64000 31 , 32 x^2(x-2)^2 33 8 34 a=112 b=15 35 36 17 189 37 417 -4 3 -78+13213 ② 3x^2 +6x=3x(x+2) ③ 2xy-8x=2x(y-4) ⑤ -2x^2 -10x=-2x(x+5) 9a^2 -a=a(9a-1) ㅁ. x^2 -4xy+4y^2=(x-2y)^2 ㅂ. 9x^2 -6x+1=(3x-1)^2 0 1 ① 2 ㄴ. z 3 1/4 ∴ ∴ 20 x^2 +Axy+y^2=(1/2 +Axy+y^2 x)^2 z A= (2\1/2\1)= 또는 1 A=-1 A=1 본문 P. 58~67 ∴ (a+b)(a-b)=x(a-b) ∵  ③ a^2 -b^2=x(a-b) x=a+b( a-b>0)  -2a  ③ 1/6(2x-3)(3x+2) 4 5 7 8 9 3/4 이므로 , 이다. b<a<0 a+b<0 a-b>0 -2ab+b^2 +2ab+b^2 @a^2 =@(a+b)^2 =-(a+b)-(a-b) -@a^2 -@(a-b)^2 =-a-b-a+b =-2a 6 에서 x+y=x^2 ∵ -y^2 x+y=(x+y)(x-y) L ∴ 1=x-y( x+y 0) x-y-1=0 x^2 -5/6 x-1 =1/6(6x^2 -5x-6) =1/6(2x-3)(3x+2)  으로 놓으면 x^2 -3x+k=(x+3)(x+m) (x+3)(x+m)=x^2 , +(3+m)x+3m x^2 +3x-9 =3/4(x^2 +4x-12) 10 ① ② -5x+6=(x-2)(x-3) x^2 x^2 -8=(x+18 ③ )(x-18 ) 4x^2 -1/4=(2x+1/2)(2x-1/2) ④  ④ , ∴ 3+m=-3 3m=k m=-6 k=-18  -18  또는 ⑤ 3x^2 -6x+3=3(x^2 -2x+1)=3(x-1)^2  ② -1 1 x^2 -4x-32=(x-8)(x+4) 따라서 완전제곱식으로 인수분해되는 것은 ㄴ, ㅁ, ㅂ이다. -6a+9)=-3(a-3)^2 +18a-27=-3(a^2 -3a^2  ㄴ, ㅁ, ㅂ =3/4(x+6)(x-2)  3/4(x+6)(x-2) (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 20 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅱ. 인수분해 21 정답과 풀이x x s s 본문 P. 58~63  ③ 11 5x^2 -5=5(x^2 -1)=5(x+1)(x-1) x+1 따라서 두 다항식의 공통인수는 -x-2=(x-2)(x+1) x^2 이다.  ③ =(A-5)(A+3) (x+4)^2 -2(x+4)-15 =A^2 -2A-15 =(x+4-5)(x+4+3) =(x-1)(x+7) 의 계수와 상수항을 제대로 본 것이므로 x^2 -y^2 -4x+4 =(x^2 -4x+4)-y^2 ② xy-x-(1-y)=x(y-1)+(y-1)=(x+1)(y-1) , 를 각각 인수분해하여 주어진 식에 넣어 본다. A=x^2 -3x-10=(x-5)(x+2) B=x^2 +5x+6=(x+2)(x+3) 이므로 2A=5B 2(x+2)(x-5)=5(x+2)(x+3) ∵ L 2(x-5)=5(x+3)( B 0) 12 A-solution A B 3x=-25 ∴ x=-25/3 13 시경이는 에서 (x+5)(x-4)=x^2 의 계수는 , 상수항은 +x-20 수현이는 x^2 의 계수를 제대로 본 것이므로 -20 1 x^2 x 에서 의 계수는 ∴ (x-3)(x-5)=x^2 -8x+15 x -8 x^2 -8x-20=(x-10)(x+2)  (x+4)(x-3)+2(x-3) =(x+4+2)(x-3) =(x+6)(x-3)  x^2 -2xz+z^2 -y^2 =(x^2 -2xz+z^2 )-y^2 =(x-z)^2 -y^2 =(x+y-z)(x-y-z)  (x+y-z)(x-y-z)  -25/3 =(x-2)^2 -y^2 ③ 라 놓으면 =(x+y-2)(x-y-2) x+y=t (x+y-1)(x+y)-2 =(t-1)t-2 =t^2 -t-2 =(t+1)(t-2) x^2 y+2xy-3y =y(x^2 +2x-3) =y(x+3)(x-1) x^2 -2x+2y-y^2 =x^2 -y^2 -2(x-y) (x-10)(x+2) =(x+y+1)(x+y-2) (x+6)(x-3) =(x-y)(x+y)-2(x-y) =(x-y)(x+y-2)  ③ a^3 -a^2 -a+1 =(a^3 -a^2 )-(a-1) =a^2 (a-1)-(a-1) =(a-1)(a^2 -1) =(a-1)^2 (a+1)  ①, ⑤ x(y-1)-y+1 =x(y-1)-(y-1)  ④ =(x-1)(y-1) 로 치환하면 x+4=A (x-2)^2 -9 =(x-2)^2 -3^2 =(x-2+3)(x-2-3) ② =(x+1)(x-5) ③ (x+3)^2 -4(x+3)+4=(x+3-2)^2 =(x+1)^2 (2x+1)^2 -(x-2)^2 =(2x+1+x-2)(2x+1-x+2) ④ =(3x-1)(x+3) ⑤ x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1) 2(x+2)^2 +2(x+2) =2(x+2){(x+2)+1} =2(x+2)(x+3)  ② Ⅱ. 인수분해 21 18 19 ① ④ ⑤ 20 ① 14 15 16 17 20 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 21 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅱ인수분해 (a-4)x^2 -a+4 =(a-4)x^2 -(a-4) =(a-4)(x^2 -1) =(a-4)(x+1)(x-1)  80\35^2 -80\45^2 =80(35^2 -45^2 ) =80(35+45)(35-45) =80\80\(-10)  (a-4)(x+1)(x-1) =-64000 -64000 21 22 -(3x-4)(x-10)  ① 27 28 29 30 31 ∴ 32 1 a-3 + a 9-a^2 = 1 a-3 - a a^2 -9 = = (a+3)-a (a-3)(a+3) 3 (a-3)(a+3) 로 치환하면 x-1=A (x-1)^2 + 1 (x-1)^2 -2 + =( =A^2 1 -2 A^2 1 A )^2 =(A- A^2 -1 A )^2 x^2 -2x x-1 )^2 x^2 (x-2)^2 (x-1)^2 =( = +y^2 )-xy = x^2 -2xy+y^2 2 1/2(x^2 = = (x-y)^2 2 (-4)^2 2 =8  x^2(x-2)^2  8 @113^2 -112^2 =rt(113+112)(113-112) =rt113+112 , =rt225 =15 a=112 b=15  , a=112 b=15 1 , +15 x= 17 x+y=17 ∴ = 17 xy=1/2 , -15 2 y= 1 -15 17 에서 = 17 +15 2  2x^2 y+2xy^2 =2xy(x+y)=2\1/2\17 =17 17 (x+3)^2 -(2x-7)^2 =(x+3+2x-7)(x+3-2x+7) =(3x-4)(-x+10)  =-(3x-4)(x-10) 23 x^2 -y^2 +3x+y+2 =x^2 +3x-(y^2 -y-2) =x^2 +3x-(y-2)(y+1)  =(x-y+2)(x+y+1) 24 로 치환하면 x^2 -3=A (x^2 -x-3)(x^2 +x-3)-3x^2 =(A-x)(A+x)-3x^2 =(A^2 -x^2 )-3x^2 =A^2 -4x^2 =(A+2x)(A-2x) =(x^2 +2x-3)(x^2 -2x-3) =(x+3)(x-1)(x-3)(x+1)  (x-y+2)(x+y+1) (x+3)(x-1)(x-3)(x+1) 25 , 로 치환하면 2x-1=A y+2=B 6(2x-1)^2 +7(y+2)(2x-1)-3(y+2)^2 +7AB-3B^2 =6A^2 TQ 2A TQ 3B 3A -B -2AB 9AB (+ 7AB =(2A+3B)(3A-B) ={2(2x-1)+3(y+2)}{3(2x-1)-(y+2)} =(4x-2+3y+6)(6x-3-y-2) =(4x+3y+4)(6x-y-5)  (4x+3y+4)(6x-y-5)  ① 100^2 -99^2 =(100+99)(100-99)=100+99 26 ① 22 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 22 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅱ. 인수분해 23 정답과 풀이x 33 a^2 -4a^2 b-4ab^2 +2ab+b^2 =(a^2 +2ab+b^2 )-4ab(a+b) =(a+b)^2 -4ab(a+b) =(a+b)(a+b-4ab) =7(7+20)=189 34 x^2 -y^2 -2x+1 =(x^2 -2x+1)-y^2 =(x-1)^2 -y^2 =(x+y-1)(x-y-1) =(5-1)(17 =417 -4 -1) 35 ab+bc+cd+da =(a+c)b+(a+c)d 이므로 =(a+c)(b+d)=15 ∴ 5(a+c)=15 a+c=3 36 (3a+2b)(3a-2b)-4(a+2b)(3a+4b)+ab -4(3a^2 -4b^2 =9a^2 +10ab+8b^2 )+ab =9a^2 -4b^2 -12a^2 -40ab-32b^2 +ab =-3a^2 -39ab-36b^2 =-3(a^2 +13ab+12b^2 ) +1-213 ){1+213 ) =-3(1+213 =-3\2\(13-2213 =-78+13213 37 , 로 치환하면 3x+2=A 3y+2=B 에서 AB A^2 +B^2 =1/2 (3x+2)(3y+2) (3x+2)^2 +(3y+2)^2 2AB=A^2 +B^2 =1/2 A^2 -2AB+B^2 =0 (A-B)^2 =0 {(3x+2)-(3y+2)}^2 =0 ∴ 9(x-y)^2 =0 (x-y)^2 =0 본문 P. 63~68 STEP B 내신만점문제 본문 P. 68~77 01 02 03 04 또는 05 2x+3 -2 6 06 07 -20 20 08 ③ 09 2a+1 12 10 13  189 11 (2x-y-6)(2x-y+5) 12 -2 13 a(a-b)(a-c) (b-c)(a-b+c) 14 (x-2)(x-y+1) 15 (x-y-1)(x-y-2) 16 (x^2 +x+2)(x^2 -x+2) 17 , , , 18 ⑴ (x-4y+2)(x-y-1) , (4 6) , (8 2)  417 -4 (6x+1)(2x-5) , (6x-1)(2x+5) ⑵ (6x+5)(2x-1) 가지 ⑶ (6x-5)(2x+1) 19 3 20 59  3 21 19 (x+3)(x-2)(x^2 22 +x-8) 23 -16 24 -(x-y-3)(x-y+1) 25 2 26 (a+b-1)(a+b-2) 27 (x^2 -5x+12)(x^2 -10x+12) 28 29 30 31 ⑴ (n-1)a+b ⑵ ab a>b ⑶ b^2 -2ac a^2 -2b 4 0 32 (a+b+c+1)(a-b+c-1) 이 짝수일 때： 33 , 이 홀수일 때： 6 34 35 4 n 36 -4 개 3/7 37 3 (x-y)(x^4 +x^3 y+x^2 y^2 +xy^3 +y^4) 24 38 5 n 1 2 1/2 x^2 x-1 x+4 -4x+6 =1/2(x^2 -8x+12) =1/2(x-2)(x-6) x^2 -x-2=(x-2)(x+1) x^2 -2x+xy-2y =x(x-2)+y(x-2) 따라서 , =(x-2)(x+y) 이므로 a=1 b=-2 ab=-2  -2  0 3 으로 놓으면 2x^2 +ax-5=(x+5)(2x+m) ∴ , , 10+m=a 5m=-5 m=-1 으로 놓으면 a=9 bx^2 +16x+5=(x+5)(bx+n) Ⅱ. 인수분해 23 =-3(a+b)(a+12b) 따라서 두 일차식은 (x+6)(x-3)+14=x^2 , +3x-4=(x-1)(x+4) 이므로 +12(1-213 )}  (x-1)+(x+4)=2x+3 -78+13213  2x+3 22 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 23 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅱ인수분해4 x^2 ∴ cx^2 ∴ ∴ 5 6 7 , , ∴ 5b+n=16 ∴ n=1 b=3 5n=5 a-b=9-3=6 (x^2 +x+6)(x^2 +x-16)+120  6 =(A+6)(A-16)+120 =A^2 -10A-96+120 -3x+a=x^2 +2\x\(-3/2)+a a=(-3/2)^2=9/4 z ∴ 4x^2 -bx+25=(2x z 5)^2 z b=2\2\( 5)= 20 +3/4 x+1/16=(1c x)^2 +2\3/2 x\1/4+(1/4)^2 =A^2 -10A+24 =(A-6)(A-4) =(x^2 +x-6)(x^2 +x-4) =(x+3)(x-2)(x^2 9 +x-4) 로 치환하면 2x-y=A (2x-y)^2 +(y-2x)-30 =A^2 -A-30  ③ c=(3/2)^2=9/4 또는 bc/a=-20 bc/a=20 =(A-6)(A+5)   또는 -20 20 =(2x-y-6)(2x-y+5) 10 (2x-y-6)(2x-y+5) A-solution 안을 를 사용한 완전제곱식으로 바꿔 본다. 1 a 에서 이므로 -2a+1 1x =a-1 +6a+9=(a+3)^2 x+8a+8=a^2 -2a+1+8a+8=a^2 x=(a-1)^2 =a^2 이므로 x-2a+3=a^2 -2a+1-2a+3=a^2 ∴ -3<a<2 a+3>0 -rtx-2a+3 rtx+8a+8 a-2<0 , -4a+4=(a-2)^2 =@(a+3)^2 =(a+3)+(a-2) -@(a-2)^2 =2a+1  2a+1 xy-24-6x+4y =xy+4y-6x-24 =y(x+4)-6(x+4) =(x+4)(y-6) 에서 , =(x+a)(y+b) ∴ a=4 b=-6 a+b=4-6=-2  -2 a^3 -(b+c)a^2 +abc =a{a^2 -(b+c)a+bc} =a(a-b)(a-c)  a(a-b)(a-c) 1 -8/x+a=(1/x)^2 x^2 1 -8/x+16=(1/x-4)^2 ∴ x^2 -2\4\1/x+a 에서 b=-4 a+b=16+(-4)=12 에서 a=4^2 =16  12 ab-ac-b^2 +2bc-c^2 =a(b-c)-(b^2 -2bc+c^2 ) =a(b-c)-(b-c)^2  =(b-c)(a-b+c) (b-c)(a-b+c) 중에 하나는 이 되어야 한다. n+4 n 은 없으므로 n-8 1 ∴ n-8=1 n=9  (9+4)\(9-8)=13 13 A-solution 가 소수인 경우 둘 중 하나는 이다. a\b 1 이것이 소수가 되려면 n^2 -4n-32=(n+4)(n-8) 이 되는 자연수 , ∴ n+4=1 8 +x=A x^2 24 로 치환하면 x^2 -xy-x+2y-2 =(x^2 -x-2)-y(x-2) =(x-2)(x+1)-y(x-2) =(x-2)(x-y+1)  (x-2)(x-y+1) x^2 -2xy+y^2 -3x+3y+2 =(x-y)^2 -3(x-y)+2  =(x-y-1)(x-y-2) (x-y-1)(x-y-2) 11 12 13 14 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 24 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅱ. 인수분해 25 정답과 풀이s s 본문 P. 69~73 15 x^4 +3x^2 +4 =x^4 +3x^2 +4+x^2 -x^2 +4)-x^2 +4x^2 =(x^4 =(x^2 +2)^2 -x^2 =(x^2 +x+2)(x^2  -x+2) (x^2 +x+2)(x^2 -x+2) , 이므로 a+b=215 ab=1 -ab+b/a+a/b+2 = a^2 +2ab+b^2 ab -a^2 (a+b)^2 b^2 b^2 -a^2 = ab 16 x^2 -5xy+4y^2 +x+2y-2 =x^2 -(5y-1)x+4y^2 +2y-2 =x^2 -(5y-1)x+(4y-2)(y+1) ={x-(4y-2)}{x-(y+1)} =(x-4y+2)(x-y-1)  xy-x-3y+3=5 x(y-1)-3(y-1)=5 (x-3)(y-1)=5 는 양의 정수이므로 , , ^{ x-3=1 x-3=5 , y-1=5 , y-1=1 , , (x y)=(4 6) (8 2) = (a+b-ab)(a+b+ab) ab (215 = -1)(215 1 +1) =19  19 A-solution 공통 부분이 생기도록 곱하는 순서를 바꾸어 두 개씩 곱해본다. (x-1)(x-3)(x+2)(x+4)+24 (x-4y+2)(x-y-1) ⇦ =(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24 로 치환 =(x^2 +x-2)(x^2 +x-12)+24( x^2 +x=A )  , , , (4 6) (8 2) 21 에서 (x-1)(y-1)=1 이므로 =(A-2)(A-12)+24 =A^2 -14A+48 =(A-6)(A-8) =(x^2 +x-6)(x^2 +x-8) =(x+3)(x-2)(x^2 +x-8)  (x+3)(x-2)(x^2 +x-8) xy-(x+y)+1=1 x+y=xy=-2 ∴ x^2 +y^2 -2xy=(-2)^2 =(x+y)^2 -2\(-2)=8 x^3 +x^2 y+xy^2 +y^3 =x^2 (x+y)+y^2 (x+y) =(x^2 +y^2 )(x+y)  =8\(-2)=-16 -16 12x^2 +ax-5 =(px+q)(rx+s) 에서 , , =prx^2 +(ps+qr)x+qs 이다. pr=12 ps+qr=a , 단, qs=-5 , , , 는 정수, , ⑴ 이면 ( a p q r s p>0 p>r) p=6 , r=2 복부호동순 r1par q= , 1 s= 5( 복부호동순 ) z z y y ∴ r2par q= 5 s= 1( , ) , (6x+1)(2x-5) (6x-1)(2x+5) (6x+5)(2x-1) ⑵ (6x-5)(2x+1) 이면 이고 이므로 다음 가지이다. q=-5 s=1 , p>r , 3 a ∴ (12x-1)(x+5)=12x^2 +59x-5 a=59  ⑴ , , , 로 치환하면 x-y=A (-x+y-13 =(-A-13 =-A^2 +3+2A =-(A-3)(A+1) )(x-y-13 )(A-13 )+2A )+2x-2y ⑶ 정수 가 최대일 때 (4x-5)(3x+1) (6x-5)(2x+1) (12x-5)(x+1) =-(x-y-3)(x-y+1)  -(x-y-3)(x-y+1) (6x+1)(2x-5) , (6x-1)(2x+5) ⑵ 가지 ⑶ (6x+5)(2x-1) (6x-5)(2x+1) 3 59 , , a(a-1)-(a^2 ∴ -b)=-2 a^2 -a-a^2 a^2 +b^2 2 -ab= (a-b)^2 2 =4/2=2 +b=-2 a-b=2  2 Ⅱ. 인수분해 25 19 20 22 23 17 x y ^{ ∴ 18 24 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 25 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅱ인수분해로 치환하면 a+b=A (a+b)(a+b-3)+2 =A(A-3)+2 =A^2 -3A+2 =(A-1)(A-2) =(a+b-1)(a+b-2)  (a+b-1)(a+b-2) 29 a^2 -ab-2a+b+1 =(a^2 -2a+1)-b(a-1) =(a-1)^2 -b(a-1) 이므로 =(a-b-1)(a-1)=0 L 따라서 a 1 이므로 a-b-1=0 이다. a=b+1 a>b  a>b 24 25 30 A-solution 을 완전제곱식으로 나타내어 본다. 4+213 x =@4+213 , +1)^2 =@(13 ∴ x-1=13 -x^2 x^3 에서 +1x =@3+213 , =13 +1 (x-1)^2 =3 x^2  4 -2x=2 -4x-2 =x^3 +x^2 -2x^2 -2x-2x-2 4x^2 +12x+a=(bx+c)^2 (2x)^2 +2\2x\3+a=(bx+c)^2 a=3^2 ∵ =9 b=2( c=3∴ b>0) a-(b+c)=9-(2+3)=4 26 로 치환하면 x^2 +12=A (x^2 -8x+12)(x^2 -7x+12)-6x^2 =(A-8x)(A-7x)-6x^2 =A^2 -15Ax+50x^2 =(A-5x)(A-10x) =(x^2 -5x+12)(x^2 -10x+12)  27 A-solution 순서대로 원기둥의 겉넓이를 구하여 규칙을 찾아내 본다. 의 겉넓이 p p (S_1 의 겉넓이 )= p a^2 \2+2 p ab=2 p a(a+b) ⇨ (S_2 의 높이 )= a^2 \2+2 a(a+b)=2 a(2a+b) 의 겉넓이 (S_2 p )=a+b p ⇨ (S_3 의 높이 )= a^2 \2+2 a(2a+b)=2 a(3a+b) p p ⋮ (S_3 )=2a+b 의 겉넓이 p p ⇨ (S_n 의 높이 )= a^2 \2+2 a{(n-1)a+b}=2 a(na+b) (S_n )=(n-1)a+b p  (n-1)a+b y^2 z+yz^2 +z^2 x+zx^2 +x^2 y+xy^2 +3xyz =(y^2 z+yz^2 +xyz)+(z^2 x+zx^2 +xyz)+(x^2 y+xy^2 +xyz) =yz(x+y+z)+zx(x+y+z)+xy(x+y+z) 28 26 =x^2 (x+1)-2x(x+1)-2(x+1) =(x+1)(x^2 -2x-2) =(13 +1+1)(2-2)=0  0 31 ⑴ a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc+2c a=(a+b+c)^2 x^2 y^2 +y^2 z^2 +z^2 x^2 =(xy+yz+zx)^2 -2(xy^2 z+xyz^2 +x^2 yz) 을 이용하면 ⑵ =b^2 -2ac ⑶ x^2 +y^2 +z^2 =(x+y+z)^2 -2(xy+yz+zx)=a^2 -2b (x^2 -1)(y^2 -1)(z^2 -1) =(xyz)^2 -(x^2 y^2 +y^2 z^2 +z^2 x^2 )+(x^2 +y^2 +z^2 )-1 =c^2 -(b^2 -2ac)+(a^2 -2b)-1 =a^2 +2ac+c^2 -(b^2 +2b+1) =(a+c)^2 -(b+1)^2 =(a+b+c+1)(a-b+c-1)  ⑴ ⑵ ⑶ b^2 -2ac a^2 -2b (a+b+c+1)(a-b+c-1) 32 , 의 최대공약수를 라 하면 x y , 단, , G 는 서로소 x=Ga y=Gb( ……㉠ b a ) Gab=45 ……㉡ ^{ ㉠ 3Ga-2Gb=27 ㉡에서 ab 을 빼면 3a-2b 양변에서 ÷ , =5/3 3ab-15a+10b=0 (x^2 -5x+12)(x^2 -10x+12) =(xy+yz+zx)^2 -2xyz(x+y+z) =(x+y+z)(xy+yz+zx)=ab  50 ab 3ab-15a+10b-50=-50 Ⅱ. 인수분해 27 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 26 2017. 7. 21. 오후 3:20 정답과 풀이s x 본문 P. 74~77  3 b(3a+10)-5(3a+10)=-50 (3a+10)(b-5)=-50 여기서 는 정수이고 , 이므로 3a+10 , b-5 또는 3a+10>10 , 3a+10=25 그런데 b-5=-2 을 만족하는 자연수 3a+10=50 가 존재하지 않으므로 b-5=-1 3a+10=50 , 이다. a 3a+10=25 ∴ , b-5=-2 b=3 이것을 ㉠에 대입하면 a=5 ∴ = a+b ab \ 3ab a+b =3 36 A-solution 를 이용한다. x^2 -y^2 =(x+y)(x-y) 4^6 -1 +1)(4^3 =(4^3 -1) =(4^3 +1)(2^3 +1)(2^3 -1) G\5\3=45 G=3 x-y=Ga-Gb=G(a-b)=3(5-3)=6  6 =65\9\7 =5\13\3^2 \7 (x^3n +y^3n)^2 -(x^3n -y^3n)^2 =(x^3n +y^3n +x^3n -y^3n)(x^3n +y^3n -x^3n +y^3n) ( 37 (x^3n +y^3n)^2 -(x^3n  -y^3n)^2=-4 이 짝수일 때： , 이 홀수일 때： xn -yn =(x-y)(xn-1 +xn-^2 y+ +xyn-^2 +yn-1) n 4 n -4 ∴ 약수의 개수 \5\7\13 =3^2 개 )=3\2\2\2=24( )  개 24 x^2 -y^2 =(x-y)(x+y) x^3 -y^3 +xy+y^2 =(x-y)(x^2 ) ∴ x^4 -y^4 =(x-y)(x^3 +x^2 y+xy^2 +y^3 ) x^5 -y^5=(x-y)(x^4  +x^3 y+x^2 y^2 +xy^3 +y^4) 참고 … (x-y)(x^4 +x^3 y+x^2 y^2 +xy^3 +y^4) 38 x^2 +4xy-5x+3y^2 -5y=6 (x^2 +4xy+3y^2)-5(x+y)=6 (x+y)(x+3y)-5(x+y)=6 (x+y)(x+3y-5)=6 에서 x+3y-5=3 x+3y=8 x^2 -9y^2 -x+15y-6 x-3y+2 = -x-(9y^2 x^2 x-3y+2 -15y+6) = x^2 -x-(3y-2)(3y-3) x-3y+2 = (x-3y+2)(x+3y-3) x-3y+2 =x+3y-3=8-3=5  5 ∴ 33 34 =2x^3n \2y^3n =4\(xy)^3n=4\(-1)^3n 이 짝수일 때 r1par n r2par n (x^3n +y^3n)^2 이 홀수일 때 -(x^3n -y^3n)^2=4 1 x 1 x^3 1 x b^2 ax 에서 이고 4x+1/x=5 z z 4x^2 +1=5x y 을 이용하면 ab+b^2) a^3 =(a b)(a^2 8+ 2- b^3 1 x^3 \ 2+1/x 8- )(4-2/x+ (2+ 1 x = ) 1 x^2 \ 2+ = 4x^2 -2x+1 4x^2 +2x+1 = 5x-2x 5x+2x (2- =3/7 2- 1 x 1 x )(4+2/x+ ) 1 x^2  3/7 35 f(x) =x/a- +x/b- =x(1/a+1/b)-1/x( a^2 bx b^2 a + a^2 b ) =x\ a+b ab -1/x\ (a+b)(a^2 ab -ab+b^2) = a^2 -ab+b^2 x a+b ab (x- a+b ab {(a+b)- = a^2 ) f(a+b) -ab+b^2 a+b } 26 Ⅱ. 인수분해 27 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 27 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅱ인수분해 STEP A 최고수준문제 본문 P. 78~87 3 15 -(a+b)(b+c)(c-a) 16 17 (a^2 +3)(a+1) 가 소수가 되려면 , 중 하나는 이어야 한다. 01 1/3 03 02 -3 04 개 05 (x^2 +3xy+y^2)(x^2 06 -3xy+y^2) 07 4 08 14 16 (a+b)(b+c)(c+a) 09 -(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(z+x) 10 (x+1)(a+x+1)(a+x-1) 11 (a-x+1)(a-x^2 -x-1) 12 (2x-3y-1)(4x^2 +9y^2 +1+6xy-3y+2x) 13 (ax-1)(cx^2 +ax-1) 14 18 10000 인 이등변삼각형 9 19 a=b 0 20 21 (x+y)(x+y+1)^2 (x-1)^2 (x+2) 22 (x+1)^2(x-1)(x-2) 23 (1+a)(1+a^2)(1+a^4)(1+a^8) 24 (x+y)(x+y-1)(x-y+1) 25 26 (a+b+3c)(a+b-c) -1 27 (a+b)(b+c)(c+a) 28 3(x-y+3)(y-z+7)(z-x-10) 29 30 1 31 14 (x-a)(x+2)(x-1) 32 몫： -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) , 나머지： 33 34 3 개 510 36 13 35 2016 ： ： 4 2 3 (x^2 -xy+y^2)(x^6 -x^3 y^3 +y^6) 완전제곱식이 되려면 x^2 -(2a+1)x+4a^2 =x^2 -(2a+1)x+(2a)^2 이므로 또는 2a+1=2\1\2a 또는 이므로 2a+1=-2\1\2a 2a+1=4a 또는 2a+1=-4a a=1/2 따라서 모든 상수 a=-1/6 의 값의 합은 1 2 ∴ 28 A-solution 인수분해가 가능하도록 적당한 항을 더하거나 빼준다. y^2 x^4 =x^4 +y^4 -7x^2 y^2 -7x^2 +y^4 =(x^4 y^2 +2x^2 +y^2 =(x^2 =(x^2 +3xy+y^2 )^2 y^2 -2x^2 y^2 +2x^2 +y^4)-9x^2 y^2 -(3xy)^2 4 A-solution )(x^2 -3xy+y^2  ) (x^2 +3xy+y^2 )(x^2 -3xy+y^2 ) a\b 로 치환하면 a b 1 x+y=A 이 수가 소수이므로 A^2 -2A-63=(A+7)(A-9)=(x+y+7)(x+y-9) , 는 자연수이고 이므로 에서 x+y-9=1 , , x>y , , x+y=10 의 , 개이다. 는 , , y) (9 1) (8 2) (7 3) (6 4) 4  개 4 , y x (x 5 A-solution 주어진 식의 양변을 제곱하여 생각한다. 의 양변을 제곱하면 @x^2 x^2 , -28s =y -28=y^2 , x^2 또는 28=1\28=2\14=4\7 =28 -y^2 이고 (x+y)(x-y)=28 또는 x+y>x-y 이므로 인 경우가 있다. x+y=28 r1par ^{ x+y=28 x-y=1 r2par ^{ x+y=14 x-y=2 x+y=14 을 풀면 x+y=7 , 를 풀면 y=27/2 x=29/2 , x=8 y=6 , 를 풀면 x+y=7 r3par ^{ 는 자연수이므로 , x-y=4 ∴ y x x+y=14 x=11/2 , , y=3/2 에서 , r1par r2par r3par x=8 y=6 (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+a =(x+1)(x+7)(x+3)(x+5)+a ⇦ 로 치환 +8x+15)+a( x^2 +8x=A ) +8x+7)(x^2 =(x^2 =(A+7)(A+15)+a +22A+105+a 에서 =A^2 =(A+11)^2 -16+a ∴ -16+a (x^2 +8x+11)^2 가 완전제곱식이 되려면  14  16 a 1/2+(-1/6)=1/3 6  1/3 x^4 -3x^3 -x+3 =(x^4 -3x^3)-(x-3) =x^3(x-3)-(x-3) =(x^3 -1)(x-3) =(x-1)(x-3)(x^2 +x+1)  a+b+c=-1-3+1=-3 -3 -16+a=0 a=16 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 28 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅱ. 인수분해 29 정답과 풀이본문 P. 78~82 =(ax-1)(cx^2 +ax-1)  (ax-1)(cx^2 +ax-1) (a+b)(b+c)(c+a) ab(a+b)-c a(c-a)-bc(b+c) +(b^2 =(b+c)a^2 -c^2 )a-bc(b+c) +(b-c)a-bc} =(b+c){a^2 =(b+c)(a+b)(a-c) =-(a+b)(b+c)(c-a)  -(a+b)(b+c)(c-a) a(b^2 +c^2 )+b(c^2 +a^2 )+c(a^2 +b^2 )+2abc =(b+c)a^2 +(b^2 +2bc+c^2 )a+bc(b+c) =(b+c){a^2 +(b+c)a+bc} =(b+c)(a+b)(a+c) =(a+b)(b+c)(c+a)  x^4 (y^2 -z^2 )+y^4 (z^2 -x^2 )+z^4(x^2 -y^2 ) =(y^2 -z^2 )x^4 -(y^4 -z^4 )x^2 +y^2 z^2 (y^2 -z^2 ) -(y^2 ){x^4 -z^2 =(y^2 +z^2)x^2 +y^2 z^2} =(y^2 -z^2 )(x^2 -y^2 )(x^2 -z^2 ) 7 8 9 =(x+y)(x-y)(y+z)(y-z)(x+z)(x-z) =-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(z+x)  -(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(z+x) x^3 +(2a+1)x^2 +(a^2 +2a-1)x+a^2 -1 =(x+1)a^2 +2(x^2 +x)a+x^3 +x^2 -x-1 =(x+1)a^2 +2x(x+1)a+(x+1)^2 (x-1) =(x+1){a^2 +2xa+(x+1)(x-1)} =(x+1)(a+x+1)(a+x-1)  10 x^3 -ax^2 -2ax+a^2 -1 (x+1)(a+x+1)(a+x-1) -(x^2 +2x)a+x^3 =a^2 -1 =a^2 -(x^2 +2x)a+(x-1)(x^2 +x+1) =(a-x+1)(a-x^2 -x-1)  (a-x+1)(a-x^2 -x-1) 11 a^3 +b^3 +c^3 -3abc 이므로 =(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-c a) 8x^3 -27y^3 -18xy-1 =(2x)^3 +(-3y)^3 +(-1)^3 -3\2x\(-3y)\(-1) =(2x-3y-1)(4x^2  +9y^2 +1+6xy-3y+2x) (2x-3y-1)(4x^2 +9y^2 +1+6xy-3y+2x) 12 acx^3 -(c-a^2 )x^2 -2ax+1 =acx^3 -cx^2 +a^2 x^2 -2ax+1 =(ax-1)cx^2 +(ax-1)^2 13 14 15 ∴ 16 A-solution 주어진 식을 로 나누어 생각한다. x 에서 x^3 + x-1/x=a -ax-1=0 x^2 1 - +x^2 x^2 =(x-1/x)^3 +3(x-1/x)+(x-1/x)^2 +1 1 x^3 +2+1 =a^3 =a^2 +3a+3 +a^2 (a+1)+3(a+1) =(a^2 +3)(a+1) A-solution 적당한 수를 미지수로 놓고 생각해 본다. 로 놓으면 100=x +1 100^3 99\100+1 = = x^3 +1 (x-1)x+1 (x+1)(x^2 x^2 -x+1 -x+1) =x+1=101 ∴ a=101  (a^2 +3)(a+1) a^2 -2a+1=(a-1)^2 =(101-1)^2=10000  10000 (ax+by+1)(cx+dy-7) +(7y-11)x-(5y^2 =6x^2 +(7y-11)x-(5y-7)(y-1) =6x^2 2x -12y+7) -(y-1) 3x (5y-7) , ∴ =(2x-y+1)(3x+5y-7) ∴ b=-1 c=3 a=2 d=5 , , a+b+c+d=9  9 Ⅱ. 인수분해 29 28 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 29 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅱ인수분해17 a^201^5 -a^201^6 -a^2017 +a^201^8 -a^2019 -a^20^20 +a^20^21 -a^20^2^2 -a^20^2^3 =-a^201^5(-1+a+a^2 -a^3 +a^4 +a^5 -a^6 +a7 +a^8) = -a^201^5{(-1+a+a^2)+a^3(-1+a+a^2) +a^6(-1+a+a^2)} =-a^201^5(-1+a+a^2)(1+a^3 ∵ +a^6) a^2 +a-1=0) =0( 18 A-solution 삼각형의 변의 길이는 모두 양수이다. a^3 c-a^2 bc+ab^2 c+ac^3 -b^3 c-bc^3 =0 (a-b)c^3 -abc(a-b)+(a^3 -b^3)c=0 (a-b)(c^2 -ab+a^2 +ab+b^2 )c=0 , (a-b)(a^2 +b^2 +c^2)c=0 이므로 인 이등변삼각형이다. c>0 a^2 +b^2 +c^2 >0 a=b  인 이등변삼각형 a=b 19 … 1+a+a^2 + +a1^4 +a1^5 … =(1+a)+(a^2 +a^3 )+ … +(a1^2 +a1^3)+(a1^4 +a1^5) =(1+a)+a^2 (1+a)+ … +a1^2 (1+a)+a1^4(1+a) =(1+a)(1+a^2 +a^4 + +a1^4) +a1^2 =(1+a){(1+a^2 )+a^4 (1+a^2 )+a^8 (1+a^2 )+a1^2 (1+a^2 )}  0 =(1+a)(1+a^2 )(1+a^4 +a^8 +a1^2) =(1+a)(1+a^2 ){(1+a^4)+a^8(1+a^4)} =(1+a)(1+a^2)(1+a^4)(1+a^8)  (1+a)(1+a^2)(1+a^4)(1+a^8) x^3 +x^2 y-xy^2 +2xy-y^3 -x+2y^2 -y +yx^2 -(y^2 =x^3 -2y+1)x-(y^3 -2y^2 +y) +yx^2 =x^3 -(y-1)^2 x-y(y-1)^2 =x^2 (x+y)-(y-1)^2 (x+y) =(x+y){x^2 -(y-1)^2 } =(x+y)(x+y-1)(x-y+1)  (x+y)(x+y-1)(x-y+1) x^3 +2x^2 y+3xy^2 +3x^2 +y^3 +2y^2 +4xy+x+y =(x^3 +3x^2 y+3xy^2 +y^3 )+2(x^2 +2xy+y^2 )+(x+y) =(x+y)^3 +2(x+y)^2 +(x+y) =(x+y){(x+y)^2 +2(x+y)+1}  a^2 +b^2 -3c^2 +2bc+2c a+2ab =a^2 +2(b+c)a+(b^2 +2bc-3c^2 ) =a^2 +2(b+c)a+(b+3c)(b-c) (x+y)(x+y+1)^2 =(a+b+3c)(a+b-c)  (a+b+3c)(a+b-c) 23 24 25 =(x+y)(x+y+1)^2 20 x^3 -3x+2 =x^3 -x-2x+2 =x(x^2 -1)-2(x-1) =x(x-1)(x+1)-2(x-1) =(x-1)(x^2 +x-2) =(x-1)(x+2)(x-1)  =(x-1)^2(x+2) (x-1)^2(x+2) x^4 -x^3 -3x^2 +x+2 =(x^4 -3x^2 +2)-x(x^2 -1) b^2 -(c-a)^2 a^2 -(b+c)^2 + c^2 -(a-b)^2 b^2 -(c+a)^2 = (b+c-a)(b-c+a) (a+b+c)(a-b-c) + + a^2 -(b-c)^2 c^2 -(a+b)^2 (c+a-b)(c-a+b) (b+c+a)(b-c-a) + (a+b-c)(a-b+c) (c+a+b)(c-a-b) = -(b-c+a) a+b+c + -(c-a+b) a+b+c + -(a-b+c) a+b+c = -b+c-a-c+a-b-a+b-c a+b+c -1)(x^2 =(x^2 -2)-x(x^2 -1) =(x^2 -1)(x^2 -x-2) =(x+1)(x-1)(x-2)(x+1) =(x+1)^2 (x-1)(x-2)  -(a+b+c) a+b+c =-1 = 26 (x+1)^2 (x-1)(x-2) (a+b+c)(bc+c a+ab)-abc  -1 A-solution 두 개의 항씩 묶어 생각해 본다. =c a^2 +a^2 b+b^2 c+ab^2 +bc^2 +c^2 a+2abc =(b+c)a^2 +(b+c)^2 a+bc(b+c) =(b+c){a^2 +(b+c)a+bc}  =(a+b)(b+c)(c+a) (a+b)(b+c)(c+a) 21 22 30 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 30 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅱ. 인수분해 31 정답과 풀이3(x-y+3)(y-z+7)(z-x-10) 27 이므로 x-y+3+y-z+7+z-x-10=0 (x-y+3)^3 +(y-z+7)^3 +(z-x-10)^3 =3(x-y+3)(y-z+7)(z-x-10)  4+rt15 2 =$ = 25+2srt15 2 +3x )^2 13 +(13 +215 2 = 15 )^2x +13 2 =$2+ rt15 2 =$ 8+2rt15 4 = @(15 )^2 = @(15 , +13 2 28 rt2+x ∴ ∴ 29 a=1/2 b=1/2 a+b=1 2x^2 +2y^2 +2z^2 -2xy-2yz-2zx 이때 =(x-y)^2 +(y-z)^2 ……㉠, +(z-x)^2 ……㉡ ㉠ ㉡에서 y-z=1 ∴ z-x=2 ∴ + -x+y=3 x-y=-3 (x-y)^2 +(y-z)^2 +(z-x)^2 =(-3)^2 +1^2 +2^2 =14 30 x^3 +(1-a)x^2 -(a+2)x+2a =(x^3 +x^2 -2x)-(x^2 +x-2)a =x(x^2 +x-2)-a(x^2 +x-2) =(x-a)(x^2 +x-2) =(x-a)(x+2)(x-1)  31 , [ , ] [ , , ] [ , , ] a b c - b a c + c a b (b-c)-b^3 =a^3 (a-c)+c^3 (a-b) =a^3 b-a^3 c-ab^3 +b^3 c+ac^3 -bc^3 =(b-c)a^3 -(b^3 -c^3 )a+bc(b^2 -c^2 ) 본문 P. 82~87 =(b-c)(c-a){b^2 +bc-a(c+a)} =(b-c)(c-a)(b^2 +bc-ac-a^2 =(b-c)(c-a){(b^2 -a^2 )+c(b-a)} ) =(b-c)(c-a)(b-a)(a+b+c) =-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)  -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) … S =100^2 -98^2 +96^2 -94^2 + +8^2 -6^2 +4^2 -2^2 … = (100+98)(100-98)+(96+94)(96-94)+ +(8+6)(8-6)+(4+2)(4-2) … =2\(100+98+96+ +6+4+2) =2\(100+2)\50\1/2 =5100 ∴ … =1530\3+510 S÷1530=3 510  1  몫： , 나머지： 3 510  14 A-solution 적당한 수를 미지수로 놓아 식을 간단히 한다. 라 하면 2015=x -3x-2 -2x^2 x^4 x^3 -x^2 -x-2 -x-2 -x-2) = x^4 -x^3 x(x^3 -x^2 -x^2 -x^2 -2x+x^3 x^3 -x^2 -x-2 -x-2)+(x^3 x^3 -x^2 -x-2 -x^2 -x-2) x^3 -x^2 -x-2 -x^2 (x+1)(x^3 =x+1=2015+1=2016 32 33 = = 34 a b 2\1=2 3\2=6 ⋮ 4\3=12 (x-a)(x+2)(x-1) 에서 이고, x^2 +x-n=(x+a)(x-b) , 는 자연수이므로 a=b+1 a-b=1 에서 이다. ab=n 1<ab<200  2016 =(b-c)a^3 -(b-c)(b^2 +bc+c^2 )a+bc(b+c)(b-c) -(b^2 =(b-c){a^3 +bc+c^2 )a+bc(b+c)} -ab^2 =(b-c)(a^3 -abc-ac^2 +b^2 c+bc^2 ) =(b-c){b^2 (c-a)+bc(c-a)-a(c-a)(c+a)} 14\13=182 따라서 구하는 정수 15\14=210 은 개이다. n 13  개 13 Ⅱ. 인수분해 31 30 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 31 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅱ인수분해r r r x x  14(a^2 +b^2 +4c^2 )=(2a+b+6c)^2 +56c^2 +14b^2 14a^2 =4a^2 +b^2 +36c^2 +4ab+12bc+24c a 10a^2 +13b^2 +20c^2 -4ab-12bc-24c a=0 a^2 -4ab+4b^2 +9b^2 -12bc+4c^2 +16c^2 이므로 -24c a+9a^2 =0 (a-2b)^2 +(3b-2c)^2 +(4c-3a)^2 =0 a-2b=0 에서 , 3b-2c=0 a=2b c=3/2 b 4c-3a=0 ： ： ∴ ： ： ： ： a b c=2b b 3/2 b=4 2 3 35 ^^{ 36 인 경우 r1par a+b=2 이므로 a=b=1 a^2 +14ab+b^2 a^3 +b^3 , a+b=3 인 경우 또는 r2par =16/2=8 , 이므로 a=1 b=2 a=2 b=1 =33/9=11/3 ∴ 조건을 만족하지 않는다. a^2 +14ab+b^2 a^3 +b^3 인 경우 r3par a+b=4 , 또는 , 이므로  ： ： 4 2 3 a=1 b=3 a=3 b=1 =52/28=13/7 ∴ 조건을 만족하지 않는다. a^2 +14ab+b^2 a^3 +b^3 x^8 -x7 y+x^6 y^2 -x^5 y^3 +x^4 y^4 -x^3 y^5 +x^2 y^6 -xy7 +y^8 =x^6(x^2 -xy+y^2)-x^3 y^3(x^2 -xy+y^2)+y^6(x^2 -xy+y^2) 인 경우 a+b=6 r4par a^2 +14ab+b^2 a^3 +b^3 = 이므로 분모는 (a+b)^2 +12ab 의 배수이다. (a+b){(a+b)^2 -3ab} 에서 =(x^2 -xy+y^2)(x^6 -x^3 y^3  +y^6) 분모가 a+b=6 의 배수이면 분자도 18 의 배수이어야 하므로 (x^2 -xy+y^2)(x^6 -x^3 y^3 +y^6) 는 의 배수이다. 즉, 18 는 의 배수이어야 한다. 18 12ab 와 18 는 서로소이므로 이것은 모순이다. 3 ab ∴ 조건을 만족하지 않는다. a+b ab 인 경우 r5par 분모는 a+b=12 의 배수, 는 의 배수이어야 하므로 와 마찬가 지로 모순이다. 36 ab 3 r4par 본문 P. 88~89 ∴ 조건을 만족하지 않는다. 따라서 자연수 는 개이다.  개 1 사고력의 날개 1 a^2 -12b^2 -c^2 -4ab+8bc =a^2 -4ab+4b^2 -(16b^2 -8bc+c^2) =(a-2b)^2 -(4b-c)^2 =(a-2b+4b-c)(a-2b-4b+c) =(a+2b-c)(a-6b+c)=0 는 삼각형 의 각 변의 길이이므로 , , a b c 에서 ABC 이므로 이다. 따라서 a+b>c a+b-c>0 이므로 이다. a+2b-c>0 a-6b+c=0 a+c=6b  풀이 참조 2 에서 a^2 +14ab+b^2 a^3 +b^3 는 (a+b)^2 +12ab = 는 (a+b)^2 +12ab (a+b)(a^2 -ab+b^2) 로 나누어떨어져야 한다. (a+b) 로 나누어떨어져야 하므로 이고, a b 와 도 서로소이다. a a+b b a+b 따라서 ab 는 a+b 로 나누어떨어진다. 12 a+b 32 3 k 1 =2(1+a+b) c =2{1+t^2 +(t+1)^2} =2(1+t^2 +t^2 +2t+1) =2(2t^2 +2t+2) ㄱ. =4(t^2 +t+1) ab+c =t^2(t+1)^2 +4(t^2 +t+1) =t^2 (t^2 +2t+1)+4t^2 +4t+4 +2t^3 =t^4 +t^2 +4t^2 +4t+4 +2t^3 =t^4 +5t^2 +4t+4 =t^4 +4t^2 +4+2t^3 +4t+t^2 = +2)^2 +2t(t^2 로 치환 +2)+t^2 (t^2 PU ( =A^2 +2tA+t^2 =(A+t)^2 =(t^2 +t+2)^2 제곱수 TQ 와 12ab 는 서로소이므로 (a+b) 와 는 서로소, 와 는 서로소 t^2 +2=A ) (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 32 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅲ. 이차방정식 33 정답과 풀이ㄴ. bc+b+c = (t+1)^2 \4(t^2 +t+1)+(t+1)^2 +4(t^2 +t+1) = 4(t^2 +2t+1)(t^2 +t+1)+t^2 +2t+1+4t^2 +4t+4 = 4(t^4 +t^3 +t^2 +2t^3 +2t^2 +2t+t^2 +t+1)+5t^2 +6t+5 Ⅲ 이차방정식 +12t^3 =4t^4 +21t^2 +18t+9 =4t^4 +12t^2 +9+12t^3 +18t+9t^2 +6t(2t^2 로 치환 +3)+9t^2 ) = +3)^2 (2t^2 PU 2t^2 ( +3=A =A^2 +6tA+9t^2 =(A+3t)^2 제곱수 TQ ㄷ. =(2t^2 +3t+3)^2 c a+c+a =4(t^2 +t+1)\t^2 +4(t^2 +t+1)+t^2 +4t^2 +4t^3 =4t^4 +4t^2 +4t+4+t^2 +4t^3 =4t^4 +9t^2 +4t+4 =4t^4 +8t^2 +4+2t^3 +2t+2t^3 +t^2 +2t =(2t^2 +2)^2 +t(2t^2 +2)+t(2t^2 +t+2) =(2t^2 +2)(2t^2 +t+2)+t(2t^2 +t+2) +t+2)(2t^2 =(2t^2 TQ 제곱수 +t+2) ㄹ. =(2t^2 +t+2)^2 c a+b+c-1a =4(t^2 +t+1)\t^2 +(t+1)^2 +4(t^2 +t+1)-2t^2w = (t^2 4t^2 +t+1)+t^2 +2t+1+4t^2 +4t+4-t (t^2 =4t^2 +t+1)+5t^2 +5t+5 =4t^2 (t^2 +t+1)+5(t^2 +t+1) 제곱수가 아니다. +t+1)(4t^2 +5) =(t^2 TQ ~ 따라서 제곱수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.  ㄱ, ㄴ, ㄷ 은 방정식이 아니다. 본문 P. 87~96 STEP C 필수체크문제 본문 P. 96~107 01 ⑤ 02 ④ 03 04 05 06 07 1 08 09 -4 10 -21 11 x=4 12 -10 4 13 2 14 9 5 15 또는 4 x=3 16 ⑴ x=5 또는 k<1 x=-9/5 ⑵ 또는 x=0 x=9/11 x=-1 ⑶ 또는 ⑷ x=5/4 z 17 x=-3/4 z 13 22 21 ① x=-1 x=4 18 i 13 2 x= 19 ② 2 20 k 23 4 24 25 a>9 26 2 -7 2 27 , 1 28 2x^2 -10x+10=0 29 30 m=3 또는 n=2 31 x^2 -4x-1=0 또는 13 또는 32 x=-6 z 또는 x=-2 또는 2 z x=-4 16 -2 x=3 33 rt14 x=1 34 x=5 35 또는 36 2+rt11 37 -3 38 x=0 x=3/20 -1 39 -1<a<0 또는 412 40 x=-2 41 42 x=3 43 44 60 개 45 가로： (8+2rt19 ) cm , 세로： -5 7117 초 후, 36 9 46 ② 초 후 7 24 cm 16 cm 14 01 ① 02 이다. 03 ② x^2 -x-3 은 에 대한 일차방정식이다. ③ 4-5x=0 은 방정식이 아니다. x ④ x^2 -3<0 은 에 대한 일차방정식이다. ⑤ -x-4=0 x 은 에 대한 이차방정식이다. -6x^2 +5x+3=0 x  ⑤ 에서 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하면 2x^2 +ax-5=bx^2 -3x+1 이차방정식이 되려면 (2-b)x^2 +(a+3)x-6=0 의 계수가 이 아니어야 하므로 x^2 0 L  ④ b 2 의 한 근이 이므로 x^2 -x-1=0 에서 a ∴ a^2 -a-1=0 a^2 -a=1  2a^2 -2a-1=2(a^2 -a)-1=1 1 Ⅲ. 이차방정식 33 32 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 33 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅲ이차방정식에 을 대입하면 x^2 +4x+1=0 이면 식이 성립하지 않으므로 x=m +4m+1=0 이다. m^2 L m 0 b=2/3-8/3=-2 ab=5\(-2)=-10  -10 04 05 양변을 m=0 으로 나누면 m m+4+#1/m$=0 ∴ m+#1/m$=-4 에서 (x+2)(x+5)=4x^2 -6x x^2 +7x+10=4x^2 -6x 3x^2 -13x-10=0 (3x+2)(x-5)=0 ∴ 또는 x=-2/3 b이므로 a a x=5 , b 06 의 한 근이 이므로 x^2 -9x+a=0 ∴ 5 즉, 25-45+a=0 에서 a=20 x^2 -9x+20=0 ∴ (x-5)(x-4)=0 또는 ∴ ∴ 08  -4 에서 x^2 +10=7x x^2 -7x+10=0 ∴ (x-2)(x-5)=0 또는 x=2 의 한 근이 x=5 이므로 x^2 -ax+a=0 ∴ x=2 이 중근을 가지려면 a=4 4-2a+a=0 09 x^2 +6x+11-a=0 에서 11-a=(6/2)^2 다른풀이 a=2 중근을 가지려면 ∴ a=2 9-(11-a)=0 10 에서 x^2 +6x+3=0 x^2 +6x=-3 ∴ x^2 +6x+9=-3+9 (x+3)^2 에서 =6 , ∴ (x+a)^2 =b a=3 b=6 a+b=9 11 < ∴ a b 9 ^2 - ^2 =-2/3 =5 =9\(-2/3)^2  -5^2 =4-25=-21 -21 따라서 다른 한 근은 x=4 x=5 이다.  에서 이므로 z 다른풀이 x=4 x=4 (x-1)^2 또는 =4 x-1= 2 한 근이 , 다른 한 근을 a라 하면 근과 계수의 관계에서 a ∴ a 5 +5=9 =4 07 x=2/3 3x^2 3\(2/3)^2 를 에 대입하면 +(a-1)x-4=0 +(a-1)\2/3-4=0 4/3+2/3 a-2/3-4=0 a=10/3 2/3 ∴ a=5 , 를 x=2/3 a=5 6\(2/3)^2 34 -2/3+b=0 에 대입하면 (a+1)x^2 -x+b=0 x=-1 =3+(-1)=2 ab =3\(-1)=-3 b + - =2-(-3)=5 b a x=3 ab + ∴ a 12 에서 x^2 -4x+2=0 x^2 -4x=-2 x^2 -4x+4=-2+4 ∴ (x-2)^2 따라서 x=2 =2 z , 12 p=2 13 (x+2)^2 1-k = ∴ 4 1-k>0 k<1 이므로 이다. q=2 p+q=4  4 가 두 근을 가지려면 이어야 한다. 1-k 4 >0  k<1   4 2  9  5 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 34 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅲ. 이차방정식 35 정답과 풀이14 의 한 근이 이므로 (2m-3)x^2 +3(m^2 +1)x+27=0 3 즉, 9(2m-3)+9(m^2 +1)+27=0 9(m^2 +2m+1)=0 ∴ 9(m+1)^2 =0 을 m=-1 에 대입하여 정 리하면 m=-1 (2m-3)x^2 +3(m^2 +1)x+27=0 (4x+3)(x-4)=0 또는 ∴ ⑷ x=-3/4 x=4 (2x-1)^2 -(x+1)=3x-1 4x^2 -4x+1-x-1=3x-1 4x^2 ∴ -8x+1=0 z z x= 4 rt12 4  ⑴ = 2 13 2 또는 x=0 ⑶ x=9/11 또는 ⑷ x=-1 x=5/4 x=-3/4 x=4 ⑵ 또는 z 2 x= 13 2 5x^2 -6x-27=0 (x-3)(5x+9)=0 또는 ∴ x=3 x=-9/5 따라서 다른 한 근은 이다. -9/5 15 에서 , y=ax+b 을 대입하면 , x=1 , y=7 을 대입하면 a+b=7 두 식을 연립하여 풀면 x=-1 y=23 -a+b=23 이므로 , 에서 a=-8 b=15 x^2 +ax+b=0 x^2 -8x+15=0  x=-9/5  또는 x=3 x=5 ∴ (x-3)(x-5)=0 또는 x=3 x=5 16 ⑴ 5x^2 양변에 -3x 2 2x^2 -3 - 을 곱하면 3 =1 6 3(5x^2 -3x)-2(2x^2 -3)=6 15x^2 -9x-4x^2 +6=6 11x^2 -9x=0 x(11x-9)=0 또는 ∴ ⑵ x=0 x=9/11 양변에 0.04x^2 -0.3=0.01x-0.25 을 곱하면 100 4x^2 -30=x-25 4x^2 -x-5=0 (x+1)(4x-5)=0 또는 ∴ x=-1 ⑶ x=5/4 (x+1)(x-4)=1/3 을 곱하면 양변에 x(4-x) 3 3(x+1)(x-4)=x(4-x) (3x+3)(x-4)+x(x-4)=0 =(x-2)(2x+1)-(-x)\5 -3x-2+5x =2x^2 이므로 17 M x-2 5 -x 2x+1M =2x^2 +2x-2=x^2 ∴ x^2 +2x-2=0 z x=-1 13 18 에서 x^2 +4x+k=0 , 이 이차방정식이 해를 가지려면 x^2 +4x+4=4-k (x+2)^2 =4-k 이어야 하므로 i k 4 j 0 4-k 19 A-solution 이차방정식 ① ax^2 +bx+c=0 TQ TQ ② 1+20=21>0 해가 없다. ③ 1-20=-19<0 서로 다른 두 근 ④ 1+1=2>0 서로 다른 두 근 ⑤ 25+4=29>0 TQ 1-1=0 TQ TQ 중근 에서 ∴ x^2 -6x+a=0 9-a<0 20 a>9 21 본문 P. 96~101  z x=-1 13  i k 4  ②  a>9 의 두 근을 a , b 이라 하면 a b px^2 +qx+r=0 _1 , b 의 두 근을 a _1 라 하면 a _1 b rx^2 따라서 +px+q=0 와 는 서로 같은 부호이고, 와 _2 _2 _2 , _2 <0 는 서로 다른 p q p q r Ⅲ. 이차방정식 35 _1 = <0 r p q = 와 r r 의 근의 개수는 서로 다른 두 근 b^2 -4ac 의 부호에 따라 결정된다. 34 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 35 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅲ이차방정식부호이다. 의 두 근을 a , b 라 하면 a b 이므로 +rx+p=0 qx^2 두 근의 부호는 서로 같고, a _3 _3 b p q _3 = >0 _3 이므로 두 근은 모두 양수이다. _3 + _3 =- >0 r q 또는 이므로 b a x=2 , ab x=3 또는 a b , ab + =2 =3 의 두 근이 a, b이므로 a =2 =3 + b , ab 이다. x^2 이므로 -mx+n=0 , 이다. + =m =n  ① m>n m=3 n=2  , m=3 n=2 의 두 근이 , 이므로 x^2 +2px+q=0 , 3 -2 3+(-2)=-2p ∴ , 3\(-2)=q p=-1/2 q=-6 따라서 이다. 2p+q=2\(-1/2)-6=-7  -7 에서 x^2 +ax+6x+6a=0 x^2 +(a+6)x+6a=0 또는 ∴ (x+a)(x+6)=0 a, 두 근을 x=-a a라 하면 x=-6 의 두 근이 a, b이므로 a x^2 , ab -x-1=0 b 이고 구하고자 하는 이차방정식은 + a =1 b =-1 a b 이다. a x^2 -(2 +1+2 b +1)x+(2 b a +1)(2 +1)=0 2 a +1+2 b +1=2( ab + b a +1)=4 (2 +1)(2 +1) =4 +2( + )+1 따라서 구하는 이차방정식은 =-4+2+1=-1 이다.  2 x^2 -4x-1=0  x^2 -4x-1=0 28 29  2  1 a , 2 a 3 또는 a , a ∴ a 2 =-a , 3 =-6 또는 a 2 , =-6 3 =-a 따라서 =-2 의 값은 a=4 , 이므로 그 합은 =-3 a=9 이다. a 4 9 4+9=13 30 두 근의 차가 이므로 두 근을 a, a 라 하면 두 근의 합은 a 2 a , +2  13 a + +2=-2m 두 근의 곱은 a m=- -1 a , a a , ( +2)=3 a ^2 +2 -3=0 a ∴ a ( +3)( 또는 a -1)=0 a =-3 일 때 =1 r1par a =-3 일 때 m=-(-3)-1=2 따라서 =1 r2par 의 값은 m=-1-1=-2 또는 이다.  또는 m 2 -2 2 -2 , ab 이므로 =-2 a a =4 1 +1 + b 1 +1 b b = = = +1+ +1 b a +1)( ( +1) b a ab +2 + + + 4+2 -2+4+1 +1 =2 22 a b + a 23 24 에서 두 근의 합 x^2 -2x-2=0 에 ( 를 대입하면 )=2 ∴ x^2 -3x+k=0 x=2 4-6+k=0 k=2 25 에서 2x^2 두 근의 곱 +3x-4=0 ( )=-4/2=-2 에 를 대입하면 x^2 +mx-2=0 ∴ x=-2 4-2m-2=0 26 a , a b m=1 b 에서 + ab =5 ^2 + b a ^2 =15 a b =1/2{( )^2 두 근이 a, b이고, + -( ^2 + 의 계수가 )}=5 ^2 인 이차방정식은 a b ab x^2 2 2{x^2 -( + )x+ }=0 ∴ 2(x^2 -5x+5)=0 2x^2 -10x+10=0 27 x^2 36 에서  31 2x^2 -10x+10=0 (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=0 (x+1)(x+7)(x+3)(x+5)+15=0 (x^2 +8x+7)(x^2 로 치환하면 +8x+15)+15=0 -5x+6=0 (x-2)(x-3)=0 x^2 +8x=A (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 36 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅲ. 이차방정식 37 정답과 풀이x=-6 x=-4 16 x^2 -4x+4=4-x , 또는 16 x=-2 z (x-2)^2 =4-x (A+7)(A+15)+15=0 A^2 +22A+120=0 (A+12)(A+10)=0 +8x+12)(x^2 (x^2 ∴ (x+6)(x+2)(x^2 x=-6 또는 +8x+10)=0 또는 +8x+10)=0  x=-2 또는 x=-4 z 32 A-solution 를 , 로 나누어 구한다. 일 때 x^2 -6x=-5 z rt9+5 일 때 =3 rt14 |x|=a x=a 에서 x=-a 또는 |x^2 -6x|=5 -6x=5 x^2 -6x=5 x^2 r1par ∴ x^2 -6x-5=0 z x=3 -6x=-5 x^2 r2par x^2 ∴ -6x+5=0 또는 (x-1)(x-5)=0 , 에서 x=1 x=5 z 본문 P. 101~106  -1 이므로 , a=2 b=-3 a b ab a + b + ab =-a e ∴ ( + ) =b a+b=-1 37 에서 ∴ x^2 -3x=0 또는 x(x-3)=0 x=0 x=3 에서 +3ax-x=a-2a^2 x^2 x^2 +(3a-1)x+a(2a-1)=0 ∴ (x+a)(x+2a-1)=0 또는 x=-a 에서 x=-2a+1 ……㉠ 0<-a<3 -3<a<0 에서 ……㉡ 0<-2a+1<3 ㉠, ㉡에서 -1<a<1/2  -1<a<0 -1<a<0 38 을 정리하면 2x^2 b =(x-1)(x-3)+1 에서 a , ab 이므로 a a +4x-4=0 x^2 b b + ab =-4 =-4  412 | 다른풀이 - |=rt32 =412 에서 +4x-4=0 x^2 a b |=24^2 +4\4x =rt32 =412 | - 39 @ (x+1) (x-2)=0 (x+1)(x-2)-(x+1)+(x-2)-1=0  또는 x=-2 x=3 또는 또는 r1par r2par x=3 rt14  x=1 또는 x=5 또는 z x=3 rt14 x=1 x=5 ∴ ( a - b )^2 =( + )^2 -4 =32 (x-y)(x-y-4)-7=0 x-y=A 에서 로 치환하면 A(A-4)-7=0 ∴ A^2 -4A-7=0 z 이므로 A=2 rt11 x-y=2+rt11 x>y 34 (k+3)x^2 -4x+k=0 -k(k+3)=0 (-2)^2 따라서 모든 상수 +3k-4=0 k^2 이 중근을 가지려면 의 값의 합은 이다. k 에서 -3  2+rt11 x^2 -x-6=0 ∴ (x+2)(x-3)=0 또는 x=-2 x=3  -3 40 x^2 -417 ∴ (x-217 x+28=0 중근 =0 )^2 33 35 @ 36 x 4=20x^2 , x(4-1)=20x^2 20x^2 ∴ -3x=0 또는 x(20x-3)=0  또는 x=0 x=3/20 x=0 x=3/20 의 두 근이 a, b이므로 a b , ab + =-3 =1 x^2 +3x+1=0 에서 x^2 +ax+b=0 x=217 에서 ( ) 이므로 , a=217 ∴ 5<217 <6 b=5 c=217 -5 1 b-c a- =217 - =217 - 1 5-(217 -5) 10+217 72 = -5 7117 36  -5 7117 36 Ⅲ. 이차방정식 37 36 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 37 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅲ이차방정식41 연속하는 세 자연수를 , , 단, 이라 하면 x-1 에서 x x+1( x>1) ∴ 또는 x=-14/3 이므로 x=8 , =(x+1)^2 x^2 -(x-1)^2 ∴ x^2 -4x=0 ∵ x(x-4)=0 따라서 세 자연수는 x>1) x=4( , , 이므로 이다.  3 4 5 3\4\5=60 60 42 처음 정사각형의 한 변의 길이를 라 하면 x cm 따라서 처음 직사각형의 가로의 길이는 x>0 x=8 , 세로의 길이는 이다. 3\8=24 (cm) 2\8=16 (cm)  가로： , 세로： 24 cm 16 cm 46 Z 닮음 이므로 ： semoDEC ： semoACD(AA 에서 ) ^-EC^- ^-CD^-=^-DC^- ： ： ^-AD^- (x-4) 4=4 x ∴ x^2 -4x-16=0 z 따라서 x=2 215 이므로 x>0 x=2+215 이다.  ② STEP B 내신만점문제 01 L a 04 -2 , L 4 a 이고 02 03 05 06 21 07 15 본문 P. 108~120 08 a=-6 b=3 , -2 09 18 10 ⑴ a-b=1 z ab=6 또는 ⑵ z 4 또는 11 x= 1 또는 x= 2 x=1/4 12 x=1/2 13 x=-4 또는 x=-1 4 15 또는 16 -24 24 17 ⑴ 또는 x=1 x=5 14 7 ⑵ -3 13 18 ⑴ ⑶ 2 11 19 ⑴ x=-12 ⑵ -35 p-2 ⑵ 3 0 ⑶ x^2 +6x-15=0 x^2 -22x+25=0 20 4x^2 +8x-2=0 21 -1 22 ⑴ 또는 ⑵ 또는 -1 z 23 8 12 24 4 6 215 2+rt10 3 ⑶ ⑵ -4/3 22 -103 27 100/9 217 29 x^2 -12x+31=0 , ⑷ ⑸ 일 때 개 중근 a=2 , L b=-1 이고 L 일 때 개 31 a=1/2 32 1 ( ) a 33 ⑴ 1/2 ⑵ a 0 2 -2 35 36 20 38 , , x= 101 z 4 13 , rt16+2pq 39 2 p=-5 12 41 ⑴ 13 14 ⑵ (34-8rt15 42 ) m 5 43 216 a-a^2 44 분 16 40 % 30 g 18 81 25 ⑴ 26 2 28 4 30 4 34 3 37 40 1/3 x=8 이므로 처음 정사각형의 한 변의 길이는 2rt19  (8+2rt19 ) cm (8+2rt19 ) cm (x+3)(x+1)=x^2 양변에 를 곱하면 \125/100 4 4x^2 +16x+12=5x^2 ∴ x^2 -16x-12=0 z 이다. x>0 43 이므로 -5t^2 +80t+25=340 -5t^2 +80t-315=0 t^2 -16t+63=0 ∴ (t-7)(t-9)=0 또는 따라서 공이 높이가 t=9 t=7 인 지점을 지나는 것은 던져 올린 지 초 후와 초 후이다. 340 m  초 후, 초 후 7 9 개라 하면 한 상자에 담은 사과의 개수는 7 9 44 상자의 개수를 개이다. x (x-2) x(x-2)=168 x^2 -2x-168=0 ∴ (x+12)(x-14)=0 또는 x=-12 이므로 상자는 x=14 개이다. x>0 14 45 처음 직사각형의 가로, 세로의 길이를 각각  개 14 , 라 3x cm 2x cm 하면 (3x-8)(2x+2)=3x^2 +96 6x^2 -10x-16=3x^2 +96 3x^2 -10x-112=0 (3x+14)(x-8)=0 38 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 38 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅲ. 이차방정식 39 정답과 풀이 에서 (a^2 -2a)x^2 +ax=8x^2 -x+1 (a^2 에 대한 이차방정식이 되려면 +(a+1)x-1=0 -2a-8)x^2 L 이고 ∴ (a+2)(a-4) L 0 L a -2 a 4 이어야 한다. L a^2 -2a-8 0 06 한 근이 다른 근의 두 배이므로 두 근을 a, a라 하면 2 a a ∴ a a +2 a =9 =3 ∴ \2 a =a a=2 ^2 =18  L 이고 L a -2 a 4 07 모든 계수가 유리수인 이차방정식의 한 근이 01 x 02 03 05 의 한 근이 a이므로 2x^2 -6x+3=0 a a 에서 a a 2 ^2 -6 +3=0 -3 의 한 근이 b이므로 =-3/2 ^2 b x^2 -2x-8=0 b 에서 b b ∴ ^2 a -2 a -8=0 b ^2 b -2 =8 ( ^2 -3 +5)( ^2 -2 -2) =(-3/2+5)(8-2) =7/2\6=21 의 한 근이 a이므로 a x^2 -15 -15 ^2 a x+1=0 +1=0 양변을 a로 나누면 a a 1 -15 + =0 ∴ a a 1 + =15 04 ∴ (x-1)(x+b)=0 또는 x=1 x=-b 의 한 근이 이므로 2x^2 +4x+a=0 에서 x=1 2+4+a=0 , a=-6 2x^2 +4x-6=0 또는 ∴ 2(x-1)(x+3)=0 따라서 x=1 , x=-3 이다. a=-6 b=3 에서 ∴ x^2 -x-6=0 또는 (x+2)(x-3)=0 ……㉠ x=-2 , x=3 L 이고 ∴ x^2 -4x+3 L 0 L ……㉡ (x-1)(x-3) 0 L 본문 P. 106~110 이므로 다른 2+13  18  -3 한 근은 이다. 2-13 )+(2-13 (2+13 , ∴ )=q )(2-13 (2+13 따라서 q=1 p=-4 이다. )=-p p+q=-3 08 의 두 근이 , 이므로 abx^2 +(a-b)x-1=0 -1/2 1/3  21 , (x+1/2)(x-1/3)=0 x^2 +1/6 상수항이 x-1/6=0 이 되도록 양변에 을 곱하면 따라서 -1 과 6 6x^2 +x-1=0 을 비교하면 , 6x^2 이다. +x-1=0 abx^2 +(a-b)x-1=0  , ab=6 09 a-b=1  15 a-b=1 ab=6 에 을 대입하면 (a-1)x^2 , -(a^2 -1)x+2(a-1)=0 x=1 a^2 -3a+2=0 ∴ (a-1)(a-2)=0 ∵ L a=2( a 에서 1) x^2 -3x+2=0 ∴ 또는 따라서 (x-1)(x-2)=0 이고 다른 한 근은 x=1 이므로 더한 값은 x=2 이다. a=2 다른풀이 x=2 2+2=4  4 다른 한 근을 a라 하면 a 1+ ∴ a = a^2 -1 a-1 = (a+1)(a-1) a-1 ∵ L =a+1( a 1) ∵ L ∴ a , =2( a 1) =2 a=2 =a a 1\ ∴ 2(a-1) = a a-1 a+ =4 10 ⑴ Ⅲ. 이차방정식 39  , a=-6 b=3 따라서 ㉠과 ㉡을 동시에 만족시키는 3 x x 1 의 값은 이다. 에서 x -2  x^4 -5x^2 +4=0 -2 (x^2 -1)(x^2 -4)=0 38 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 39 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅲ이차방정식 12 13 하면 14 ∴ (x+1)(x-1)(x+2)(x-2)=0 또는 z 1 x= ⑵ z 2 x= 에서 ^2 1 - x^2 1 x ) 1 x ( ( 6 x +8=0 , -6( 1 x )+8=0 , 1 x 또는 -2)=0 -4)( 1 x ∴ =4 1 x 또는 =2 11 @ @ (x x)+(2 x)+2=0 x=1/4  ⑴ x=1/2 z x= 1 또는 ⑵ z 또는 x= 2 x=1/4 x=1/2 {(x+1)(x+1)-1}+{3(x+1)-1}+2=0 (x+1)^2 +3(x+1)=0 ∴ (x+4)(x+1)=0 또는  또는 x=-4 x=-1 x=-4 x=-1 이 중근을 가지려면 x^2 -2(m-1)x+2m^2 -6m+4=0 이어야 하므로 (m-1)^2 , -(2m^2 -6m+4)=0 m^2 -4m+3=0 ∴ (m-1)(m-3)=0 또는 따라서 모든 상수 m=1 m=3 의 값의 합은 이다. m 1+3=4  4 15 에서 (x+5)(x+1)=0 이므로 x^2 +6x+5=0 에서 b=5 (x-2)(x-4)=0 이므로 주어진 이차방정식은 x^2 -6x+8=0 a=-6 이다. x^2 -6x+5=0 ∴ (x-1)(x-5)=0 또는 x=1 x=5  또는 x=1 x=5 16 한 근이 이므로 1+13 -2m(1+13 )^2 )=6+213 (1+13 2m(1+13 ∴ )+2=0 , m= 2(3+13 ) 2(1+13 ) = -213 -2 참고 계수가 유리수인 이차방정식에서만 한 근이 =13 한 근은 이다. 단, , , 은 유리수 p+q1mq p-q1mq ( p q m )  13 이면 다른 p-2 3 a b = + = 에서 aL 0 a 이므로 양변을 a로 나누면 에서 두 근의 곱이 양수이므로 두 근은 같은 부호이고, 두 근의 절댓값의 비가 x^2 +mx+135=0 ： 이므로 두 근을 a, a라 5 3 5 3 ^2 + ^2 =( + )^2 -2 =( p-2 3 ) ^2 +2=p 이므로 a a a 5 a +3 a =8 a =-m 에서 a ∴ a 5 \3 =15 또는 a ^2 =135 ^2 =9 ∴ a =-3 일 때 =3 , a 일 때  ⑴ ⑵ 또는 p-2 3 2 11 =3 m=-24 =-3 m=24  또는 에서 a b , ab -24 24 18 ⑴ 을 에 대입하면 x=3 x^2 에서 +ax-36=0 ∴ x^2 b -3x-5=0 a + ab =3 a b =-5 3^2 +3a-36=0 를 a=9 에 대입하면 ( ^2 -1)( ^2 -1) =( ab )^2 -( a ^2 + b ^2 )+1 ab a=9 x^2 , +ax-36=0 =( )^2 -{( + )^2 -2 }+1 x^2 +9x-36=0 =(-5)^2 -(9+10)+1 따라서 다른 한 근은 (x-3)(x+12)=0 이다.  7 -12 40 =7 17 a b = + ⑴ b =- 다른풀이 a , ab p-2 3 이므로 a a 1 =-1 a 1 - 3 ^2 -(p-2) a 3 -(p-2)- a -3=0 , a 3 =0 - 3( ∴ a a 1 )=p-2 a 1 p-2 3 b = a - b ⑵ a ab (p-2)^2 -9(p-2)=0 ∴ 또는 (p-2)(p-11)=0 p=2 p=11 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 40 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅲ. 이차방정식 41 정답과 풀이⑵ 두 근을 a, b라 하면 단, a b i a b 을 만족하는 순서쌍은 | |) | | ( 주어진 식과 비교하면 ……㉠ | , a |\| b |=36 , , , , , , , , , ab=a+3b ……㉡ 두 근의 절댓값의 합이 36) |)=(1 (| | | (2 이므로 18) (3 , 12) 일 때뿐이다. (6 9) (4 6) -ab=a+b ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면 본문 P. 110~114 , a=1 b=-1/2  -1 ∴ a, b , , 12 , (6 6) 따라서 ( a )=(-6 b 6) (6 이다. -6) ⑶ 두 근을 a, b라 하면 ab a=-( )=0 + 이므로 a, b , , , =-36 일 때 는 최솟값을 갖는다. ∴ ( )=(36 a b -1) (-1 36) a a=-( + )=-35  ⑴ ⑵ ⑶ x=-12 0 -35 19 이차방정식 에서 a b , ab 이므로 ⑴ a b x^2 +4x-2=0 a b + =-4 =-2 2 a +1+2 b +1=2( ab + a +1)=-6 b (2 +1)(2 +1) =4 +2( + )+1 따라서 구하는 이차방정식은 =-8-8+1=-15 이다. ⑵ a b a b ab x^2 +6x-15=0 ^2 +1+ ^2 +1 =( + )^2 -2 +2 a b b =16+4+2=22 a a b ( ^2 +1)( ^2 +1) = ^2 ^2 +( ^2 + ^2 )+1 따라서 구하는 이차방정식은 =4+20+1=25 이다. ⑶ a b a b + + + = + + x^2 -22x+25=0 b a ab + a 1 a 1 b b 1 =-4+2=-2 ab ab 1 + )( + ) = + +2 =-2-1/2+2=-1/2 4(x^2 +2x-1/2)=0 따라서 구하는 이차방정식은 이다. b 1 a (  ⑴ 4x^2 ⑵ +8x-2=0 ⑶ x^2 +6x-15=0 x^2 -22x+25=0 4x^2 +8x-2=0 20 의 두 근을 a, b라 하면 a 2x^2 -4x-5=0 , b 를 두 근으로 하는 이차방정식은 일차항이 없는 식 이 되므로 a +k +k b 이다. a b 이므로 + +2k=0 + =2 ∴ 2+2k=0 2k=-2 21 k=-1 의 계수가 이고 두 근의 합이 , 곱이 인 이차방정식은 x^2 ab 이므로 1 -1 L ab(x^2 -x-1)=0(ab 0) 2ab=2\1\(-1/2)=-1 ∴ 22 ⑴ (a+b)^2 -20(a+b)+96=0 ∴ 또는 (a+b-8)(a+b-12)=0 ⑵ a+b=8 이면 a+b=12 에서 r1par a+b=8 , b=8-a a(8-a)=16 , a^2 -8a+16=0 ∴ (a-4)^2 중근 =0 a=4( 이면 ) 에서 r2par a+b=12 , b=12-a a(12-a)=16 ∴ a^2 -12a+16=0 z 또는 a=6 ∴ z 215 a=6 a=4 215  ⑴ 또는 ⑵ 또는 8 12 4 z 6 215 23 중근을 가지려면 이어야 하므로 ∴ ∵ a^2 -4\9b=0 a^2 =36b 는 자연수이므로 a=61b a>0) ( 는 제곱수이다. 따라서 a 가 최대가 되는 두 자리의 자연수 b 는 이다. b 81  81 a 24 3x^2 ∴ -4x-2=0 z ……㉠ 2 x= rt10 3 , 6x-4>2(x+1) 6x-2x>2+4 ∴ ……㉡ x>3/2 x= 2+rt10 3 25 a b , ab 이므로 + =4 =-3  -1 2-rt10 3 -2/3< ㉠, ㉡에서 <-1/3 5/3< 2+rt10 3 <2 , 이므로  2+rt10 3 Ⅲ. 이차방정식 41 40 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 41 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅲ이차방정식⑴ a 1 ⑵ a b 1 b + = a b ab + a =-4/3 ab b ⑶ a ^2 + b ^2 =( b + )^2 a -2 =22 ( a -3 b b +1)( -3 a b +1) a =( + b -4 +1)( a + -4 +1) =(4-4 b +1)(4-4 a +1) =(5-4 b a )(5-4 ) ab =25-20( + )+16 a b a =25-20\4+16\(-3)=-103 b a b ^3 ^2 b b a ^3 + ^2 a = + ab b a ^2 ^2 ⑷ ⑸ a b ( + = ab )^3 -3 ( ( )^2 + ) =100/9 일 때, 에서 이므로 조건을 만족하지 z 않는다. b=1 a^2 -2b=6 a= 212 일 때, 에서 따라서 b=-1 이므로 a^2 -2b=6 , a= z 이다. 2 a>b a=2 b=-1  , a=2 b=-1 30 에서 ax^2 -2(a+1)x-3a+6=0 (a+1)^2 -a(-3a+6) =4a^2 j -4a+1 0 이므로 근이 =(2a-1)^2 일 때, 개 중근 이다. a=1/2 L 1/2 a 이고 =0 (2a-1)^2 일 때, L 1 ) ( 이므로 근이 개이다. a  0 (2a-1)^2 중근 개 >0 , 일 때 이고 일 때 개 L 2 L a=1/2 1 ( ) a 1/2 a 0 2 | - |=rt16+12  ⑴ =rt28 ⑵ =217 ⑶ ⑷ ⑸ -4/3 22 -103 100/9 217 이어야 하므로 j -4a+20) 0 26 근을 가지려면 a^2 j -4a+4 i 이므로 0 ∴ (2a+4)^2 i -2(5a^2 이다. 0 (a-2)^2 0 a=2 (a-2)^2 27 모든 계수가 유리수이므로 한 근이 31 한 근을 a라 하면 다른 한 근은 a이므로  2 a 에서 a 3 ……㉠ 4 =-2k 에서 a =-k/2 a ……㉡ ^2 =3k 3 ^2 ㉠을 ㉡에 대입하면 k= , ^2 k=1/4 k^2 이면 다른 한 근은 양변에 를 곱하면 k=(-1/2 k) 이다. 6-15 ∴ x^2 -(6+15 x^2 다른풀이 +6-15 -12x+31=0 6+15 )x+(6+15  )(6-15 )=0 가 근이므로 의 양변을 제곱하면 x=6+15 6+15 x-6=15 ∴ (x-6)^2=5 x^2 28 a b , ab a + b =-a 이므로 =b -12x+31=0 a + b =2 a b ab a=-2 에서 + ^2 ^2 =( ∴ + )^2 -2 =8 ∴ 2^2 -2b=8 b=-2 ab=4 29 a b , ab 이고 x^2 -12x+31=0 32 의 두 근이 a, b이므로 4 , k^2 =4k ∴ k^2 -4k=0 ∵ k(k-4)=0 L k=4( k 0) 2x^2 a +3x-2=0 , ab b 이다. + a =-3/2 b =-1 ( +1)+( b a +1)=-3/2+2=1/2 a ab b ( +1)( +1) = + + +1 두 근의 합이 =-1-3/2+1=-3/2 이고 곱이 인 이차방정식은 1/2 이다. -3/2 x^2 -1/2 따라서 x-3/2=0 , 이므로 b=-1/2 c=-3/2 b+c=-1/2-3/2=-2   4 33  4 이다. -2 + b a =-a a =b b 과 을 비교하면 b a -( x^2 ^2 + ^2 )x+ ^2 ^2 =0 x^2 -6x+1=0 b a + ^2 ^2 =6=a^2 에서 -2b 이다. z =1=b^2 b= 1 ^2 ^2 42 ⑴ a_x=x(x+1)+x+2 ⑵ a_9 =9\10+11=101 에서 k(k+1)+k+2=197 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 42 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅲ. 이차방정식 43 정답과 풀이본문 P. 114~118 인 경우：없다. r1par a=1 인 경우, r2par a=2 일 때 x^2 -2x+b=0  ⑴ ⑵ ∴ b=1 중근 (x-1)^2=0 101 13 x=1( 인 경우, ) r3par a=3 일 때 x^2 -3x+b=0 ∴ b=2 또는 (x-1)(x-2)=0 x=1 인 경우, x=2 r4par a=4 일 때 x^2 -4x+b=0 ∴ b=3 또는 (x-1)(x-3)=0 x=1 인 경우, x=3 r5par a=5 일 때 x^2 -5x+b=0 ∴ b=4 또는 (x-1)(x-4)=0 x=1 인 경우, x=4 r6par a=6 일 때 x^2 -6x+b=0 ∴ b=5 또는 (x-1)(x-5)=0 x=5 따라서 구하는 확률은 x=1 이다. 5/15=1/3 38 세 자연수를 , , 이라 하면 x-1 x x+1 (x-1)(x+1)=5(x-1+x+x+1)-27  3  1/3  20 -1=15x-27 x^2 x^2 -15x+26=0 또는 ∴ (x-2)(x-13)=0 x=2 이므로 x=13 따라서 세 자연수는 x=13 x>10 , , 이다. 12 13 14 39 x`m {34-x}`m  , , 12 13 14 k^2 +2k-195=0 ∴ (k+15)(k-13)=0 ∵ k=13( k>0) 34 2+ 라 하면 =x (x>0) 3 3 2+ … 3 2+ 점선으로 둘러싸인 부분도 2+ 이므로 x 2+3/x=x 양변에 를 곱하여 정리하면 x x^2 -2x-3=0 ∴ (x-3)(x+1)=0 ∵ x=3( x>0) 35 를 에 대입하면 x=-5 x^2 에서 +ax-15=0 a=2 ∴ x^2 또는 +2x-15=0 (x+5)(x-3)=0 을 x=-5 x=3 에 대입하면 x=3 2x^2 에서 +bx+c=0 ∴ 18+3b+c=0 3b+c=-18 a-3b-c=a-(3b+c)=2-(-18)=20 +x)-(-8)\(-x)=2x^3 +p 이므로 36 에서 M a b M=ad-bc c d 2x(x^2 2x^3 +2x^2 -8x=2x^3 +p 2x^2 ∴ -8x-p=0 z 4 rt16+2p x= 2 두 근의 곱이 이므로 5/2 p=-5 ∴ 37 6 이다. -p/2=5/2 2x`m {68-2x}`m  z , 길의 폭을 라 하면 4 rt16+2p x= p=-5 2 x m (68-2x)(34-x)=320\6 2x^2 -136x+2312=1920 ∴ x^2 -68x+196=0 z 이므로 8rt15 x=34 A-solution 사건 가 일어날 확률 는 사건 가 일어날 경우의 수 일어날 수 있는 모든 경우의 수 ( ) A A p 장의 카드에서 두 장을 뽑는 경우의 수는 p= ( ) 가지 이다. 6\5 2\1 =15( ) 따라서 길의 폭은 0<x<34 x=34-8rt15 이다. (34-8rt15 ) m  m (34-8rt15 Ⅲ. 이차방정식 43 ) 42 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 43 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅲ이차방정식개씩 담았으므로 한 바구니에 담긴 초콜릿 ∴ -5x(x-40)=0 또는 40 한 상자에 초콜릿을 은 n 개 이다. (2n+1)n=2n^2 +n( , ) 3(2n^2 +n)+2n+1=176 6n^2 +5n-175=0 (6n+35)(n-5)=0 ∴ 또는 n=-35/6 이므로 n=5 이다. n=5 n>0 41 ⑴ , 이라 하면 Z 이므로 P(m ： n) ： semoBRP 에서 semoBOA m^2 =64/24 a^2 에 y=-3/4 x+6 을 대입하면 a^2 ∴ 24=m^2 64 m= 직선 216 a 3 의 식 , AB 216 3 a x= n=6- 16 2 a ∴ y=n 이므로 a , 216 6- 16 P( 3 2 a\(6- 16 2 216 3 a) 참고 닮은 두 도형의 넓이의 비는 닮음비의 제곱의 비와 같다. a)=216 a-a^2 semoPOQ=1/2\ ⑵ 에서 a-a^2 =6 , 216 a^2 -216 (a-16 ∴ a+6=0 중근 =0 )^2 a=16 ( ) 42 A-solution 케이블카의 요금을 놓고 푼다. A 케이블카의 요금을  5 따라서 x=0 이므로 요금을 x=40 인상하였다.  x>0 40 % 40 % 43 처음 퍼낸 소금물의 양을 이라 하면 처음 의 소금물을 퍼 낸 후의 소금의 양은 x g x g (100-x)\20/100=20-1/5 다시 의 소금물을 퍼낸 후의 소금의 양은 x(g) x g (100-x)\ 두 번 시행 후 소금물의 농도가 20-1/5 x 100 = (100-x)^2 500 (g) 가 되었으므로 9.8 % 9.8 100 =100\ (100-x)^2 500 (100-x)^2 ∴ 100-x= =4900 z 또는 70 x=30 이므로 x=170 따라서 처음에 퍼낸 소금물의 양은 0<x<100 x=30 이다. 30 g  30 g  ⑴ ⑵ 216 a-a^2 16 44 유경이가 집에서 서점까지 가는 데 걸린 시간을 분이라 하면 같 은 길을 가는 데 현수는 분이 걸렸다. t 유경이와 현수가 서점에서 헤어져 소방서에서 만날 때까지 걸린 16 시간이 분 이므로 서점에서 현수네 집을 지나 소 방서까지 가는 데 걸린 시간이 유경이는 16+24=40( ) 분, 현수는 분이다. 40 (t+12) 원, 이 케이블카를 하루 동안 이용하는 사람 수를 명으로 ： ： 에서 B t 16=40 (t+12) 원, 이 케이블카를 하루 동안 이용하는 사 람 수를 명이라 하면 이 케이블카의 A 일 수입은 원이다. B 케이블카의 요금을 인상하면 요금은 1 AB 원이고, x 이용하는 사람 수는 % A(1+x/100) 명이므로 B(1-5/700 x) 케이블카의 일 수입은 원이다. 1 A(1+x/100)\B(1-5/700 x) t(t+12)=640 t^2 +12t-640=0 ∴ (t+32)(t-20)=0 또는 이므로 t=-32 t=20 유경이네 집에서 소방서까지 가는 데 현수가 t>0 t=20 분 걸리므로 유경이는 분 걸린다. 24 따라서 유경이는 현수보다 24\20/16=30( ) 분 더 뛴다. 30-12=18( )  분 18 A(1+x/100)\B(1-5/700 x)=AB (1+x/100)(1-5/700 x)-1=0 -5x^2 44 +200x=0 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 44 2017. 7. 21. 오후 3:20 Ⅲ. 이차방정식 45 정답과 풀이 STEP A 최고수준문제 본문 P. 121~133 02 의 근이 존재하므로 01 03 또는 02 x=-3 x=3 또는 -1 04 2/3<a<1 a b 또는 a>1 ab 05 06 07 x= + 또는 x= 08 0 2 09 10 -3 5 x^2 -3x+2=0 11 11 b+c=2a , , , , 12 (a b)=(-1 또는 -6) (-2 -3) 13 ⑴ x=6 또는 x=12 ⑵ , 14 -1 , 1 A=-7 B=7 15 , 16 a=-2 i b=-2 또는 i 2p=q+1 x=1 -3/2 17 ⑴ x<-1/2 ⑵ 7/2 , x<9/2 18 -a-1 또는 a=-1 b=0 19 20 ⑴ a x=-1 b x=5/2 , a b ⑵ -7 ⑶ 99 99=-1 , 10^4 10^4=1 x^4 +x^3 21 a=55 , b=34 22 , , 23 x=3 y=1 , , c=4 x=1/4 y=1/8 a=1 24 b=7 , c=3 , 중근 a=3/2 b=1 x=3/2( ) 26 또는 또는 25 9 27 x=0 , x=1/2 28 x=3/2 , x=0 y=1 z 29 p=2 30 q=-2 31 중근 rt57 3 4 x= 32 34 1984 35 414 1 33 ⑴ ⑵ x=1( ⑶ ) x=1 1 -1 36 4k^2 +2(1+22k^2 -1x )k-22k^2 37 -1x -2 10 38 40 -3+2rt15 6 5-rt15 42 우영： 531/760 또는 39 0 41 -1/2 원 430 /시, 태연： /시 43 초 후, 16.5 km 초 후 6.6 km 5 (5+rt10 ) 01 ∵ -2|x|-3=0 x^2 -2|x|-3=0( |x|^2 ∴ (|x|+1)(|x|-3)=0 이므로 |x|=-1 또는 |x|=3 x^2 =|x|^2 ) ∴ |x|>0 x=-3 또는 |x|=3 x=3 본문 P. 119~122  -1 {1+(a+b)^2 }x^2 -2(1-a-b)x+2=0 j (1-a-b)^2 -2{1+(a+b)^2 } 0 i 0 ∴ (a+b)^2 i +2(a+b)+1 이므로 0 j (a+b+1)^2 0 ∴ (a+b+1)^2 a+b=-1 03 서로 다른 두 근을 가지므로 a+b+1=0 1-(a-1)\(-3)>0 3a-2>0 ∴ a>2/3이차방정식이므로 ∴ a-1 또는 에서 L 0 L a 1  또는 2/3<a<1 a>1 2/3<a<1 a>1 04 a b , ab ……㉠ + =-b/a =c/a a^2 x^2 +a(b-c)x-bc=0 (ax+b)(ax-c)=0 ∴ 또는 ……㉡ x=-b/a x=c/a 의 해는 ㉠, ㉡에서 a^2 b 또는 a +a(b-c)x-bc=0 x^2 ab x= + x=  a b 또는 ab x= + x= 05 a b , ab 이므로 의 두 근 a , b 에 대하여 =-a + =b x^2 -ax-b=0 -1 -1 a b a b 에서 ( -1)+( ∴ -1)= + -2=a b -a-2=a a a ab a=-1 b 에서 ( -1)( -1)= ∴ - - +1=-b ∴ b+a+1=-b b=0 06 두 근의 절댓값이 같고 부호가 반대이므로 ab=0 mx^2 -8x+4mx-5=0 에서 mx^2 두 근의 합 -(8-4m)x-5=0 ……㉠ 두 근의 곱 ( ( )= )= 8-4m m -5 m <0 =0 ……㉡  0 44  또는 x=-3 x=3 Ⅲ. 이차방정식 45 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 45 2017. 7. 21. 오후 3:21 Ⅲ이차방정식㉠에서 이므로 양변에 을 곱하면 L m ∴ 0 m ㉡에서 8-4m=0 m=2 따라서 m>0 이다. m=2 07 두 근을 a, b라 하면 a b , a b , ab 이므로 a ^2 + b a =25 ^2 b + ab =m-2 =-(m+3) ^2 + ^2 =( + )^2 -2 에서 =(m-2)^2 +2(m+3)=25 m^2 -2m-15=0 ∴ (m+3)(m-5)=0 또는 m=-3 m=5  또는 -3 5 08 다. 09 의 두 근이 , a이므로 x^2 , a +ax+b=0 a ……㉠ 1 1+ =-a 의 두 근이 =b , b이므로 x^2 , +bx+a=0 b b ……㉡ -3 ㉠, ㉡에서 a -3+ =-b b -3 , b =a a 두 식을 연립하여 풀면 a 3 =3 + - , b =1 따라서 a, b를 두 근으로 하는 이차방정식은 =2 =1 이  x^2 -3x+2=0 x^2 -3x+2=0 이 중근을 가지려면 (m-3)x^2 -(m-3)x+2=0 이어야 한다. (m-3)^2 -4\(m-3)\2=0 이것을 만족하는 음의 정수 , 는 없다. 이 공통인 근일 때 a b r2par x=3 에서  2 x^2 +ax+b=0 를 만족하는 음의 정수 9+3a+b=0 , 의 순서쌍은 3a+b=-9 , , , , a b , (a , 에서 b)=(-1 -6) , (-2 , -3) , 이다. r1par r2par (a b)=(-1  , -6) (-2 , -3) , , (a b)=(-1 -6) (-2 -3)  또는 x=6 x=12 12 의 한 근이 이므로 x^2 -17x+b=0 ∴ 8 옳은 방정식은 8^2 -17\8+b=0 b=72 ……㉠ 옳은 해를 , x^2 이라 하면 +ax+72=0 n 2n , (x-n)(x-2n)=0 ……㉡ ㉠, ㉡은 같은 이차방정식이므로 x^2 =0 -3nx+2n^2 , 이므로 ∵ 은 자연수 72=2n^2 ∴ n^2 =36 또는 n=6( n ) x=6 x=12 13 ⑴ , 이 두 식의 양변을 곱하면 +ap=-b +cp=-d p^2 p^2 , (p^2 +ap)(p^2 +cp)=bd 따라서 p^2 (p+a)(p+c)=-6 의 약수이므로 은 이다. z ⑵ p^2 6 ……㉠ p= 1 p^2 +ap+b=0 ……㉡ ㉠ p^2 ㉡을 하면 +cp+d=0 m^2 -14m+33=0 ∴ (m-3)(m-11)=0 ∵ L m=11( m 3) 10 중근을 가지려면 (b-c)^2 -4(a-b)(c-a) =4a^2 +b^2 +c^2 -4ab+2bc-4ac =4a^2 -4(b+c)a+(b+c)^2 ∴ =(2a-b-c)^2 =0 b+c=2a 11 x^2 46 에서 ∴ x^2 또는 -4x+3=0 (x-1)(x-3)=0 x=1 이 공통인 근일 때 x=3 r1par x=1 에서 +ax+b=0 1+a+b=0  11 + a+c= 따라서 bd=-6 ) -(b+d+2p^2 이므로 p b+d=-5 의 최솟값 = z -(b+d+2) , , , 1 , 최댓값 1 5 -1 이다. a+c  ⑴ A=-7 또는 ⑵ B=7 , -1 1 A=-7 B=7 14 a b , ab 이므로 a b ab 에서  + =ab =a+b + + =0 b+c=2a ab+a+b=0 (a+1)(b+1)=1 또는 ∴ a+1=1 a+1=-1 e e , , , , b+1=-1 b+1=1 aLb이므로 만족하는 (a (-2 a b)=(0 , -2) 0) b 의 값은 , 이다. a=-2  b=-2 , a=-2 b=-2 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 46 2017. 7. 21. 오후 3:21 Ⅲ. 이차방정식 47 정답과 풀이주어진 이차방정식이 x^2 -x-q(x-1)=0 의 값에 관계없이 가지는 해는 이 c/a=1\(-5/2)=-5/2 q  , x=1 ㉡에서 2p=q+1 x=1 - b a' = 3+rt29 2 + 3-rt29 2 =3 다. 16 이므로 i 19 x+1/2<0 -3/2 x<-1/2 이므로 i A-solution Cx+1/2D=4 따라서 만족하는 4 x+1/2<5 의 값의 범위는 7/2 x<9/2 x 또는 이다. x<-1/2 7/2 x<9/2 i  i 또는 i a^3 -b^3 =(a-b)^3 의 두 근이 a, b이므로 +3ab(a-b) a x^2 -ax+b=0 , ab b ……㉠ + =a =b 의 두 근이 a b, ab이므로 a x^2 a -(2a+1)x+2=0 ab , b b ab ……㉡ + -3/2 x<-1/2 7/2 x<9/2 ㉠, ㉡에서 + + =2a+1 ( , + ) =2 15 두 근을 a, b라 하면 a b , ab 이므로 a, b는 자연수이다. 는 소수이므로 + =2p =q 의 약수는 , 이고, a q b 이다. q 1 q ∴ + =1+q 2p=q+1 에서 -(q+1)x+q=0 x^2 은 정수 이라 하면 Cx+1/2D=n(n ) 이므로 Cx-1/2D=Cx+1/2-1D=n-1 주어진 방정식은 , n^2 -3(n-1)-7=0 , n^2 -3n-4=0 ∴ (n+1)(n-4)=0 또는 n=-1 n=4 에서 i Cx+1/2D=-1 에서 -1 i i -3/2 17 ⑴ 의 해를 a, b라 하고 x^2 +2ax+b=0 의 해를 r, d라 하면 r a +2bx+a=0 x^2 , b d , a b r d , a | - b |=d ab | - d r |=d ( rd - )^2 =( - )^2 근과 계수의 관계에서 =( -4 + )^2 ( + )^2 -4 ∴ 4a^2 -4b=4b^2 -4a (a-b)(a+b+1)=0 이므로 ∴ ⑵ a0 , 는 한 자리의 자연수이므로 6a<b<8a , 이다. 따라서 ab a b 이다. a=1 b=7 따라서 을 =55x+34 의 꼴로 나타내면 , 이다. ab =3c 이므로 이고, 는 한 자리의 자연수이므 x10 ax+b  ⑴ a b a=55 b , a b=34 로 5< 또는 <12 이다. 5<3c<12 c ⑵ 99 99 ⑶ =-1 10^4 , 10^4 =1 c=2 , , c=3 일 때 x^4 +x^3 a=55 b=34 r1par a=1 b=7 , c=2 21 A-solution 또는 에 대한 내림차순으로 정리하여 근의 공식을 이용하여 구한다. x y 에서 근의 공식을 이용하면 -6yx+10y^2 x^2 z -2y+1=0 +2y-1x -10yx^2 29y^2 ……㉠ -1x +x2y 2-y^2 는 실수이므로 2-(y-1)^2 y x 을 ㉠에 대입하면 x =3y z =3y 이때 =3y z , ∴ y=1 따라서 y=1 , 이다. x=3 x=3 y=1 22 j 이어야 한다. -(y-1)^2 0  , x=3 y=1 에서 ……㉠ 2x-1+cy=0 에 를 곱하면 cy=1-2x x^2 +2xy-y=0 c ㉠을 ㉡에 대입하면 cx^2 +2x\cy-cy=0 ……㉡ ∴ cx^2 +2x(1-2x)-(1-2x)=0 (c-4)x^2 일 때, +4x-1=0 , 이므로 조건을 만족한다. r1par c=4 L c r2par 4 일 때, 근의 공식을 이용하면 x=1/4 y=1/8 z -2 22^2 x= = 유리수인 근을 가지려면 c-4 +c-4x 곱수이어야 한다. z -2 1c 1c 이므로 제곱수가 되는 i i , L c 2 따라서 8 , c 4 에서 , , c 이다. r1par r2par c=4 x=1/4 y=1/8 48 x^2 -7x+6=0 (x-1)(x-6)=0 또는 이 되어 조건을 만족하지 않는다. x=1 , , x=6 일 때 r2par a=1 b=7 c=3 ∴ z x^2 -7x+9=0 에서 30 이다. m 4 31 m=1 L 에서 0) 라 하면 에서 ……㉠ f(x)=ax^2 +bx+c(a f(0)=1 c=1 f(x+1)-f(x)=2x ∴ a(x+1)^2 +b(x+1)+1-(ax^2 +bx+1)=2x 이 식이 (2a-2)x+a+b=0 의 값에 관계없이 항상 성립하므로 x , 에서 , ……㉡이다. ㉠, ㉡에서 2a-2=0 a+b=0 a=1 b=-1 이므로 f(x)=x^2 -x+1 에서 f(x)=x , x^2 -x+1=x  중근 x=1( ) b, ab는 양의 + x^2 -2x+1=0 ∴ (x-1)^2 중근 =0 x=1( ) 32 두 근을 a, b라 하면 a, b는 양의 정수이므로 a 정수이다. a b + , ab p k-1 = 가 양의 정수이려면 = k k-1 (k L 1) 이다. k-1=1 k ∴ k-1 b a k=2 , ab , ab =2 에서 a , b 또는 a , b a + b =p 이므로 =2 =1 =2 =2 =1 두 근을 a, b라 하면 a b , ab a, b가 소수이고 자연수이므로 ab 는 자연수 + =q/p = 1985 p 1985 p = 이다. = 397\5 p 이고 와 은 소수이므로 두 근이 5 , 397 이므로 p=1 ∴ 5 397 q=402 12p^2 +q=414  414 a , b b 을 각각 a, b로 양변을 나누 35 a ( a a 1 + 또, a a - a a ^2 - 면 ^2 -2k ∵ ab +1=0 ^2 -2k +1=0 =1) , b =2k , ab + b 1 =2k 이므로 b 0< <1 >1 a 1 =4( a =1 a 1 + ^2 ) a 1 1a ^2 -4f =22k^2 a a -1x a 1 a a 1 + - =( + )( - )-( - ) a 1 a 1 a a a 1 - )( =( + -1) b b b 1 ^2 + + + =22k^2 b =( + 1b ^2 -1x b 1 (2k-1) b ^2 -2+( ) b 1 + ) ∴ a a a 1 - +2k-2 =4k^2 b b b 1a 1 ^2 + + + ^2 + 1b ^2 ^2 - + ∴ + =3 p=3 k^kp(pp +k^k )=2^6 (3^3 +2^2 )=1984  1984 =4k^2 +2(1+22k^2  -1x )k-22k^2 -1x +2(1+22k^2 4k^2 -2 -1x )k-22k^2 -1x -2 33 ⑴ 공통인 근을 a a x= a라 하면 a ^2 +p a +q=0 ^2 +q +p=0 a -* 만족하지 않는다. p-q=0 p=q a ∴ a , 즉 (p-q)( -1)=0 이면 두 이차방정식이 같아지므로 조건을 따라서 공통인 근은 =1 -1=0 이다. ⑵ 에 x=1 을 대입하면 ∴ x^2 +px+q=0 x=1 p+q=-1 ⑶ 공통인 근이 아닌 근을 각각 b =1 (p+q)^20 , b 라 하면 b , b 이므로 _1 _2 b b _1=q _2=p ∵ ⑴ _1 + _2=p+q=-1( )  ⑴ ⑵ ⑶ x=1 1 -1 50 a b 1nq = _n a a n+1n(n-1)z b b )+( + + _2 a + a _100 … _1 = b 1n … + _1 + _n ∴ a ( 1 b +rtn-1 … =1nq -rtn-1 b _2 a + + b _100) =( _1 + _1)+( _2 + _2)+ +( … _100 + _100) -10 +12 -11 +13 -12 + +rt99 -rt98 +rt100  -rt99 10 =11 =rt100 =10 37 a b + _n a b 1 _n +1)( ( _n=-(2n+1) _n +1) , a b 이므로 = = _n b a _n=n^2 a 1 _n + b _n _n + 1 n^2 -2n _n +1 1 n(n-2) = =1/2( 1 n-2 - 1 n ) 36 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 50 2017. 7. 21. 오후 3:21 Ⅲ. 이차방정식 51 정답과 풀이k v ∴ 주어진 식 ( ) =1/2{(1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+ +(1/18-1/20)}  =1/2(1+1/2-1/19-1/20)=531/760 531/760 … 에서 a b , ab , a a +(p-2)x-8=0 x^2 b b ab + =2-p 이므로 =-8 39 본문 P. 129~132 ^2 + a ^2 =( b + b )^2 -2 b =p^2 a a -4p+20 {1+ a (2- b )- b }\{1+ a (2- )- } =(9+2 a - a b )\(9+2 b - ) ab =81+9( + )-2( + ^2 ^2 )+5 =81+9(2-p)-2(p^2 -4p+20)-40 , =19 =19-p-2p^2 -2p^2 ∴ -p=0 또는 -p(2p+1)=0 p=0 p=-1/2  또는 0 -1/2 38 y 3 - 5 k 6 - 5 k+ y=2x-3 y= x+k 1 - 3 A B -3k -3 O C 3 - 2 x 3 - 5 k+ 9 - 5 40 {10-2x}`m , 을 연립하여 풀면 , y=1/3 x+k y=2x-3 이므로 x=3/5 k+9/5 , 이다. k+3/5 y=6/5 , A(3/5 에 k+9/5 6/5 k+3/5) 을 대입하면 각각 y=1/3 x+k 이므로 y=2x-3 , y=0 , , 이다. x=3/2 B(-3k 0) C(3/2 0) semoABC=1/2\{3/2-(-3k)}\(6/5 k+3/5)=3 , , x=-3k {5-x}`m 산책로의 폭은 일정하고, 산책로에 의해 네 부분으로 나누어진 꽃밭의 넓이도 모두 같다. 산책로와 꽃밭의 넓이의 비는 ： 이므로 2 3 1/2\(10-2x)\(5-x)\4=10\10\ , 3 2+3 이다.  -3+2rt15 6 2x^2 -20x+20=0 ∴ x^2 -10x+10=0 z 이므로 rt15 x=5 0<x<5 x=5-rt15  5-rt15 9/10(2k+1)^2=6 12k^2 ∴ +12k-17=0 z k= -3 2rt15 6 이므로 k>0 다른풀이 k= -3+2rt15 6 y=2x-3 A 1 - y= x+k 3 y 5t B 2t C O t D x 점 에서 축에 내린 수선의 발을 라 하고 라 하면 A , x 이다. D ^-CD^-=t ^-AD^-=2t ^-BC^-=5t , 1/2\5t\2t=5t^2=3 ∴ ∵ t^2=3/5 rt15 5 ( t= t>0) 이므로 6/5 k+3/5=2t 6/5 k+3/5= 2rt15 5 6k=-3+2rt15 ∴ k= -3+2rt15 6 41 엽서 한 장의 가격을 장 x 이다. 원 인상하였다고 하면 어제 남은 엽서는 x/10\30=3x( 준수가 엽서 ) 장을 판매한 금액을 생각하여 식을 세우면 500 , (500-3x)(380+x)+3x\300=380\500+5500 , 3x^2 -260x+5500=0 (x-50)(3x-110)=0 또는 ∴ x=50 는 자연수이므로 x=110/3 따라서 준수는 어제 엽서 한 장을 x x=50 원 에 팔았다. 380+50=430( )  원 430 Ⅲ. 이차방정식 51 50 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 51 2017. 7. 21. 오후 3:21 Ⅲ이차방정식42 B A A 도시와 도시 사이의 거리를 라 하자. C 37.5`km 우영 태연 km x {x-8}`km 37.5`km {x-3}`km B 8`km 태연 x`km C 우영 B x`km C 3`km i i r3par 6 t 10 2`cm 2`cm 10`cm {2t-10}`cm 2`cm 2t`cm 두 사람은 각각 일정한 속력으로 이동하므로 속력의 비는 같은 시간 동안에 이동한 거리의 비와 같다. 우영이와 태연이의 속력의 비는 =1/2\2t\(20-2t)+20 =-2t^2 i i +20t+20 r4par 10 t 11 =1/2{(2t-10)+10}\{12-(2t-10)-2}+2\10 S {2t-12}`cm 2t`cm S ={10-(2t-12)}\10 =(22-2t)\10 각 범위에서 =-20t+220 이 되는 의 값을 구한다. , S=50 ∴ 이므로 t^2 =25 r1par 2t^2 i 0 =50 i t 5 t=5 r2par -2t^2 +40t-100=50 , t z t= 5 ∴ t^2 -20t+75=0 또는 (t-5)(t-15)=0 i t=5 i t 6 5 이므로 t=15 t=5 r3par -2t^2 ∴ +20t+20=50 이므로 -10t+15=0 t^2 i i z t=5 rt10 6 t 10 , t=5+rt10 ∴ r4par -20t+220=50 이므로 만족하지 않는다. 20t=170 t=8.5 i 따라서 두 도형 t 10 i 11 , 가 겹치는 부분의 넓이가 가 되는 것은 두 도형이 겹치기 시작하고부터 A B 초 후와 50 cm^2 초 후 이다. 5 (5+rt10 )  초 후, 초 후 5 (5+rt10 ) ： 8 ： (x-8)=(x-3) 37.5 , -11x+24=300 x^2 , x^2 ∴ (x+12)(x-23)=0 -11x-276=0 또는 이므로 x=-12 x=23 x>0 우영이의 속력 x=23 /시 ( 우영이와 태연이의 속력의 비는 )=(37.5+23)÷11/3=16.5 ： (km ： ) 이므로 태연이의 속력 (23-3) 8=5 2 이다. /시 ( )=16.5\2/5=6.6  우영： (km ) /시, 태연： /시 43 두 도형이 겹치기 시작하고부터 i i r1par 0 t 5 16.5 km 6.6 km 초 후의 넓이를 라 하면 t S cm^2 2t`cm 2t`cm \2t\2t=2t^2 S=1/2 i i r2par 5 t 6 10`cm {2t-10}`cm 2t`cm S 52 =1/2\{(2t-10)+10}\{10-(2t-10)} +10\(2t-10) =1/2\2t\(20-2t)+10\(2t-10) =20t-2t^2 +20t-100 =-2t^2 +40t-100 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 52 2017. 7. 21. 오후 3:21 Ⅲ. 이차방정식 53 정답과 풀이사고력의 날개 본문 P. 134~135 일 때 r1par k=1 , 1 라 하면 x=^3 x^3 = 256-s1915 x +^3 256+s1915 x (56+1915 ) )+(56-1915 +3x\^3 2(56+1915 )x(56-1915 )x =112+3x\11 -33x-112=0 x^3 x^3 -7x^2 +7x^2 -33x-112=0 x^2(x-7)+(7x+16)(x-7)=0 ∴ (x-7)(x^2 또는 +7x+16)=0  7 x=7 x^2 에서 +7x+16=0 이므로 해가 없다. ∴ x^2 +7x+16=0 49-4\16<0 ^3 256+s1915 x +^3 256-s1915 x =7 2 처음 퍼낸 소금물의 양을 이라 하면 처음 소금물을 퍼내어 옮긴 후의 소금의 양 x g r1par ： ： r2par ： A x+10 (g) A (100-x)\10/100+x\20/100=1/10 (300-x)\20/100+x\10/100=-1/10 B 두 번째로 소금물을 퍼내어 옮긴 후의 소금의 양 x+60 (g) (100-2x)\ +2x\ -0.1x+60 300 ……㉠ 0.1x+10 100 본문 P. 133~135 b=8-a-a-1=7-2a , 이므로 , b>0 는 짝수이므로 7-2a>0 이고, -2a>-7 a<7/2 이다. a 2 , b=7-4=3 +2x^2 x^3 -6x+3=0 , x^3 -x^2 +3x^2 -3x-3x+3=0 , x^2 (x-1)+3x(x-1)-3(x-1)=0 (x-1)(x^2 또는 +3x-3)=0 x-1=0 ∴ 또는 x^2 +3x-3=0 z x=1 일 때 x= r2par k=b -3 rt21 2 , b=b(8-a-ab-b^2 ) , 8-a-ab-b^2 =1 , 이므로 +ab+a-7=0 b^2 j j 따라서 a 이다. 2 b 2 L k b r1par r2par 이다. b^2 +ab+a-7>0 , 에서 주어진 방정식의 근은 또는 x=1  -3 x= 또는 x=1 x= z 이다. rt21 z 2 -3 2 rt21 4 예원이와 여준이의 속도를 각각 , 이라 하고, 운동 장 한 바퀴의 길이를 이라 하자. m n(m<n) 같은 방향으로 달릴 때 여준이가 예원이보다 한 바퀴 더 돌아 l r1par 야 만날 수 있다. ∴ 같은 방향으로 달린 시간 )= 반대 방향으로 달릴 때 두 사람이 달린 거리의 합은 한 바퀴 ( +900x+30000) (g) -0.1x+60 300 +2x\ 0.1x+10 100 ……㉡ -900x+180000) (g) 더 많으므로 r2par 이다. (-8x^2 = 1 3000 ： B 가 (300-2x)\ = (8x^2 보다 소금의 양이 1 3000 ㉠ B A ㉡을 정리하면 36.8 g +36.8= 16x^2 -1800x+39600=0 2x^2 -225x+4950=0 ∴ (2x-165)(x-30)=0 또는 x=82.5 i 에서 x=30 i 이므로 따라서 처음에 퍼낸 소금물의 양은 0<2x 00 예원이가 달린 거리를 n( n>0) 이라 하면 두 사람이 달린 거리는 속도 m= 13 2  바퀴 413 Ⅲ. 이차방정식 53 52 (20~53)-에이급(3-1)-2, 3(정)-OK.indd 53 2017. 7. 21. 오후 3:21 Ⅲ이차방정식Ⅳ 이차함수 STEP C 필수체크문제 01 L   -3 05ㄹ,ㄴ,ㄷ,ㄱ k 02  6 06③ 03③ 04④ 07    08 1/3 11 7/2 14 09  10 y=-2x+4   3 12  y=(x+3)^2 +1 13 , , 12 , (2 15제 -4) 사분면,제 사분면 16 a>0 , p>0   q>0 17 1 , 18 2 , (3 19 4) ,  (2  20 0) a=3  21 b=-2 (3/2 22⑴ -1/3)  ⑵ 4  ⑶ 4  ⑷  23③ a<0 24 b>0  25 c>0  26 a+2b+4c>0   28 -9  9 29  30 y=-x^2  +9 i i 7  8 32  8 33  -1 34 y  3  35 44  72 36  37  38 y=x^2  -8x+13 39  40 1/4  41 216  42 9/4 ,  3   1 44   4  2 45 3  ,  ⑵ 12/5  D(3/2 ,  9/4) 25/8  초후  48 225 m 15/2 72 m^2 47  -2/3 49⑴   ⑵ 1/2 t^2 2 27  1 31 27  43 4 46⑴ 의그래프는 이므로위로볼록한포물선이 본문 P. 145~158 또, 의절댓값이 보다작으므로 의그래프보다폭이 다. y=ax^2 TQ ③,④ -1<a<0 y=-x^2  ④ 04 넓다. a ④ TQ 1 05 A-solution ㄱ. y=ax^2 a ㄴ. |-0.3|=0.3 ㄷ. |4|=4 ㄹ. |0.5|=0.5  에서  의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다. 따라서ㄹ,ㄴ,ㄷ,ㄱ이다. |-5|=5   ㄹ,ㄴ,ㄷ,ㄱ 06 ①축의방정식은 이다. ②꼭짓점의좌표는 , x=1 이다. ④ 의그래프를 (1 0) 축의방향으로 만큼평행이동한것 이다. y=-x^2 x 1 ⑤위로볼록한포물선이다.  ③ 07 두점 , , , 가 의그래프위의점이므로 , A(p 8) 에서 B(1 q) ∵ y=2x^2 , 따라서두점 8=2p^2 q=2 p=-2( , , , p<0) 를지나는직선의방정식은 q=2  A(-2 8) B(1 2) A-solution   y=ax^2 +bx+c x  가  에 대한 이차함수이려면  L  0 a  y =(x+1)(6x-1)-kx(3-2x)  이함수가이차함수가되려면 =(6+2k)x^2 +(5-3k)x-1 L  ∴ L  6+2k 0 k -3 에서  f(4)=16-4a+6=6  에서 a=4 f(b)=b^2  , -4b+6=2   ∴ ∴ b^2  -4b+4=0 (b-2)^2 =0 b=2 a+b=6 01 02  03 ③  y 54 y= 2-8 1-(-2) 이다. =-2(x-1)+2 (x-1)+2  =-2x+4  y=-2x+4  L k -3 08 직선 의그래프는두점 , , , 를지나고,이 차함수 y=2x-3 의그래프는두점 , (2 1) , (4 , 5) 를지난다. y=ax^2 ,   (2 4a) (4 16a) 5-1=16a-4a ∴  12a=4 a=1/3 09  6  의그래프는 의그래프를 축의방 향으로 y=-(x+1)^2 만큼, +4 축의방향으로 y=-x^2 만큼평행이동한것이므로 x  1/3  3 의값의범위는 이므로최솟값은 이고,최댓값은없다. a ,b -1 이다. y 4 j 0 y 0  ③ ∴a b =-1  =4 + =3 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 54 2017. 7. 21. 오후 3:22 정답과 풀이본문 P. 145~150  , (2 0)  , a=3 b=-2 10 11 4 12 13 A-solution 함수    대신  y= x-p 축의방향으로 ,  f(x) y 의 그래프를   대신  축,  를 대입한다. x y y-q 만큼평행이동하면 축의 방향으로 각각  ,  만큼 평행이동하면     y =x^2  -6x+13   p q  x  -6x+9)-9+13 =(x^2 따라서꼭짓점의좌표는 =(x-3)^2 +4   축에대하여대칭이동하면 x  y 3 y=(x-3)^2   +1 y=(x+3)^2 +1   , 이다. (3 4)  , (3 4) y=(x+3)^2 +1 의그래프가점 , 을지나므로 16  17    의그래프를 축의방향으로 만큼, 축의방향으로 y=-1/2 만큼평행이동한그래프의식은 x^2 x 3 y  ∴ -4x+a  y=x^2 ∴ 1=1-4+a a=4 따라서꼭짓점의좌표는 y=x^2 , -4x+4=(x-2)^2  (1 1) 이다.  y=-1/2(x-3)^2 여기에 , +4 를대입하면 x=4 y=k   k=-1/2\(4-3)^2 +4=7/2  7/2  의그래프를 축의방향으로 만큼, 축의 y=2/3(x-1)^2 방향으로 +2 만큼평행이동한그래프의식은 x m y n  y=2/3(x-m-1)^2 +2+n , , 이므로  a=2/3 m=-6 n=-3 amn=12  12  의그래프를 축의방향으로 만큼, 축의방향으 로 y=-x^2 만큼평행이동한그래프의식은 +1 2 y m  , 을지나므로 x 이고점  +1+m y=-(x-2)^2 따라서평행이동한그래프의꼭짓점의좌표는 -8=-(4-2)^2  +1+m m=-5 -8)  ∴ (4 , 이다. (2  -4) , (2 -4) 14 그래프가아래로볼록한포물선이므로 꼭짓점 , 가제 사분면위에있으므로 a>0  , (p -q)  ∴ 4 ,  , , -q<0 p>0 q>0 a>0 p>0 q>0 p>0 15 의그래프를 축의방향으로 만큼 y 평행이동한그래프의식은 y=2x^2 므로그래프는오른쪽그림과같다. x y=2(x-3)^2 3 이 따라서그래프가제 사분면,제 사분면을 지난다.  1 2 O 3 x  제 사분면,제 사분면 1 2 (2 0) 18   y =2x^2 ,      -4ax+2a^2 -4b -b^2 , -4b  4)  =2(x-a)^2 -b^2 ,  -b^2 -4b)=(3 , -4b=4  a=3 b=-2 (a ∴ -b^2  (b+2)^2 =0   =1/2 x^2 -x+5/6  19  y   =1/2(x^2 -2x+1)-1/2+5/6  에서 =1/2(x-1)^2 꼭짓점 , +1/3 을 축의방향으로 만큼, 축의방향으로 (1 1/3) x 1/2 y 만큼평행이동한점의좌표가구하는꼭짓점의좌표이므로 , 이다. 1/3-2/3)=(3/2 -1/3)  , (3/2 -1/3) -2/3 , (1+1/2  20  y=-x^2 +ax+b    -ax+ =-(x^2 a^2 4 )+  a^2 =-(x- 4 이그래프의꼭짓점 a 2 ) +b , +  ^2 a^2 4  +b 를 축의방향으로 만큼, a 2 a^2 4 +b) ( 만큼평행이동한점이 x , 2 이므로  -3 , , 이다.  (4 1) +b-3)=(4  1) 축의방향으로 y a ( ∴ 2 ∴ +2 a=4 a^2 , 4  b=0 a+b=4  ④ Ⅳ. 이차함수 55 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 55 2017. 7. 21. 오후 3:22 Ⅳ이차함수다른풀이 이그래프가점 , 을지나므로  ∴  의그래프를 축의방향으로 만큼, 축의 (0 8)  8=-8a 이므로 , a=-1 방향으로 y=-(x-4)^2 만큼평행이동한그래프가 +1 x  -2 의그래 y ∴ y=-(x+2)(x-4)=-x^2  +2x+8 b=2 c=8  프이다. 3 y=-x^2 +ax+b a+b+c=-1+2+8=9 9 의 그래프가  축과 만나는 점의  좌표는  을 대 ∴ 9=-9a a=-1  입하여 구한다. y=ax^2 +bx+c x x y=0  에 을대입하면  y=-(x-3)(x+3)=-x^2 +9   y=-x^2 +9   y=-{(x+2)-4}^2 이므로 , +1+3=-x^2 +4x b=0 a+b=4 a=4 21 A-solution 이차함수     y=x^2 -2x-3 y=0 x^2 -2x-3=0 ∴ (x-3)(x+1)=0 또는 따라서두점은 x=3 , x=-1 , , 이므로 (3 이다. 0) (-1 0) ^-AB^-=3-(-1)=4 22 ⑴그래프가위로볼록하므로 ⑵축이 축의오른쪽에있으므로 a<0  이므로 y ab<0 ⑶ 축과의교점이원점보다위쪽에있으므로 a<0 b>0 y ⑷  ∴  c>0 a/4+b/2+c>0  ⑴  a+2b+4c>0  ⑶  ⑵  ⑷ 26 두점 , , , 을지나므로 (3 0) (-3 이라하고 0) 이식에 y=a(x-3)(x+3) , 를대입하면  ∴ x=0 y=9 27 A-solution 이차함수  이면  에서 최솟값  +q y=a(x-p)^2 x=p    a>0    에서 ,  y =-2x^2  +4x+a   =-2(x^2 -2x+1)+2+a  =-2(x-1)^2 일때최댓값 +a+2 을가지므로 x=1  ∴ 3  a+2=3 28 a=1  4 이면  에서 최댓값  를 가진다. q a<0 x=p q  의그래프가점 , 을지나므로 y=a(x-1)^2  -11  ∴ (-2 7) 따라서 7=a(-2-1)^2 -11  a=2  이므로 이다. , y=2(x-1)^2 -11=2x^2 -4x-9 a<0 b>0 c>0 a+2b+4c>0  의그래프가제  y 사분면만지나지않으려면오른쪽그림과같 4 +bx+c y=ax^2 23 이차함수 이그려진다. , , j ,    a>0 b>0 c 0 b^2 -4ac>0  ③ ∴ b=-4  c=-9 a+b-c=7 29 O x  24 A-solution 주어진 그래프의 꼭짓점의 좌표가  ,  임을 이용하여 식을 세운다.  의그래프가점 (2 -5) , 을지나므로 y=a(x-2)^2 , -5  ∴ (0 3) 3=4a-5  4a=8  a=2 이므로 y=2(x-2)^2 , -5=2x^2 -8x+3 ∴ b=-8 c=3  a+b-c=2-8-3=-9 y=-2x^2  +ax  =-2(x^2 -  a 2 x+  =-2(x- + 일때최댓값 ^2 a 4 )   a^2 8 a^2 16 )+  a^2 8  을가지므로 a^2 8 이므로  a^2 8 =8 에서 a>0 a=8 x= a 4 >0 a 4 30   ∴ z a= 8   의그래프를 축에대하여대칭이동하면 -9 y=x^2 +2x+c  x 이그래프를 y=-x^2 -2x-c 축의방향으로 만큼평행이동하면 , , , 을지나므로 이다.  y 이다. 2 (-2 0) (4 0) y=a(x+2)(x-4) y=-x^2 -2x-c+2 25 두점 56  1  7  8 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 56 2017. 7. 21. 오후 3:22 정답과 풀이   y =-x^2  -2x-c+2   =-(x^2 +2x+1)+1-c+2 에서   =-(x+1)^2 일때최댓값 -c+3 을가지므로 x=-1  ∴  -c+3 -c+3=-5 31 c=8  i i 에서축의방정식이 이고, 위로볼록한포물선이다. y=-(x-1)^2 +3(-1 x 2) x=1 이 의값의범위에포함되므로 일때최댓값 , 에서가장 먼수 1 x 일때최솟값 을갖는다. 1 3 1  i i -1 y 3 ∴ -1 i i  -1 y 3 -1 32     y =x^2  -2px+q     =(x^2   -2px+p^2 )-p^2 +q =(x-p)^2 일때최솟값을가지므로 +q -p^2 ,  x=6 에서 이다. p=6 ∴ -p^2 +q=2  q=38 p+q=6+38=44 33  34 므로  의그래프를 축에대하여대칭이동하면 y=x^2 -4x-5  의그래프이므로두그래프가각각 x 축으로 둘러싸인부분의넓이는서로같다. y=-x^2 +4x+5 x 따라서두그래프로둘러싸인부분의넓이는 이다. 36+36=72  72 의그래프를 축의음의방향으로 y y=x@-a y=x^2 만큼평행이동하면 y  오른쪽그림에서삼각형의넓이가 a(a>0) y=x^2 -a 이 -Âa O x Âa   ∴ 1/2\21a \a=313  ∴ a=3 이함수를축의방정식이 y=x^2 -3 가되도록 축의방향으로평행 이동하면   x=4  x   -3=x^2 -8x+13 y=x^2 -8x+13 y=(x-4)^2 35 에 를대입하면  에서 이므로 z y=x^2 , , y=9 , x^2 =9 x= 3 B(-3 9) D(3 이므로 9) , ^-AC^-=^-BD^-=6 A(-6 9) 의그래프가점 , 를지나므로 (-6 9) 9=36a 본문 P. 150~155  1/4  8  에 를대입하면 , , , 이다. A(2-16   2)  B(2+16 2) ^-AB^-=2+16 -(2-16 )=216   216 y=ax^2 ∴  a=1/4 36  y=x^2 -4x y=2  2=x^2 -4x ∴ x^2 -4x-2=0 z 즉,두교점은 16 x=2 ∴ 37  y=-x^2 +3x+4  -3x+9/4)+9/4+4 i i =-(x^2  =-(x-3/2)^2 축의방정식이 +25/4(0 x 2) 일때,최솟값  ∴ x=3/2 x=0 4 일때,최댓값 b=4  ∴ 이고포물선이위로볼록하므로 25/4  a=25/4 a-b=25/4-4=9/4  9/4  44 x=3/2 ∴ 38     y =-x^2  +2x+8   =-(x^2 -2x+1)+1+8  , ∴ =-(x-1)^2 +9  A(1 9) 에서  -x^2 +2x+8=0 x^2 -2x-8=0 ∴ (x-4)(x+2)=0 또는 , x=4 , , x=-2 이므로 semoABC=1/2\9\(2+4)=27 39  의그래프가점  y=x^2 -ax-2  ∴ (-1 0) 즉, 0=1+a-2  에서 a=1 일때  y=x^2 -x-2 y=0 x^2 -x-2=0 ∴ (x-2)(x+1)=0 또는 , x=-1 , , x=2 이므로 이다.  A(-1 0) B(2 0) ^-AB^-=2-(-1)=3  3 Ⅳ. 이차함수 57 313 -a B(-2 0) C(4 0)   27 , 을지나므로 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 57 2017. 7. 21. 오후 3:22 Ⅳ이차함수40  y=-2x^2 +3x+a   =-2(x^2 -3/2 x+9/16)+9/8+a  i i =-2(x-3/4)^2 축의방정식이 +a+9/8(1 3) 이고,포물선이위로볼록하므로 x 45 토끼우리의세로의길이가  이다. x m  넓이를 (24-2x) m 라고하면  y m^2   y =x(24-2x)    =-2(x^2 -12x+36)+72   이므로가로의길이는 의그래프와 의그래프의교점을구하면 y=5x-6  점 x=3/2 의 좌표가 x=-1/2 이므로점 의 좌표는 이다. -1/2 D x 3/2 따라서분모가최솟값 =(x-1)^2 +a-1 일때주어진함수의최댓값이 a-1 이 일때최댓값을갖는다. x=3/4 x=1  ∴  2=-2+3+a 41 분모   a=1  ( ) =x^2  -2x+a  =(x^2 -2x+1)-1+a  j   a-1 이다. 므로 ∴ 6  a-1 =2 a=4 42  y=x^2  x^2 =5x-6 -5x+6=0 또는 x^2 ∴ (x-2)(x-3)=0 따라서두그래프의교점의 x=3 x=2 43 44 (-1)+2=-(a-3) 그러므로 (-1)\2=-b-4 ∴ a=2 b=-2 , 이다.  a-b=2-(-2)=4 ,  , ,  이므로 P(m 3/4 m^2) 가정사각형이되려면 Q(m m^2) 1/3 nemoPQRS    이어야한다. 3/4 m^2  -1/3 m^2=m 5/12 m^2=m 이므로 이다. m>0 58 m=12/5 좌표는 , 이다. x 2 3  , 2 3  의그래프와직선 의교점의 좌표는 +ax-4  y=x^2  +ax-4=3x+b x^2 의방정식의해이다. y=3x+b x 의두근이 , 이므로 x^2 +(a-3)x-b-4=0 -1 2 따라서토끼우리의최대넓이는 =-2(x-6)^2 +72  이다.    72 m^2 72 m^2  1 46  4-1 2-(-1) =1 ⑴ 의기울기는 이므로점 를지나고 에 ^<AC^>  평행한직선은 B 이다. ^<AC^>  따라서직선 y-1/4=x-(-1/2) 과이차함수 의그래프의교점을  구하면 y=x+3/4 y=x^2 2  4  x^2 =x+3/4     4x^2 -4x-3=0   (2x-3)(2x+1)=0 또는  ∴ B  ∴ x , D(3/2 9/4) ⑵ y=x@ y C D A B B'A' O D'C' x  네점 , , , 에서 축에내린수선의발을각각 , , A B 이라하면 C D , x , , , , , , A' B' C' D' A'(-1 0) B'(-1/2 0) C'(2 0)  4 , 이다. D'(3/2  ∴ 0) nemoABDC =nemoAA'C'C-(nemoAA'B'B+nemoBB'D'D+nemoDD'C'C)   =1/2{(1+4)\3-(1+1/4)\1/2-(1/4+9/4)\2 -(9/4+4)\1/2}      =25/8  12/5  ⑴ ,  ⑵ D(3/2 9/4) 25/8 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 58 2017. 7. 21. 오후 3:22 정답과 풀이, , , 이므로 의기울기는 A(-1 이다. 2) B(2 8) ^<AB^> 의식은 이므로 , ^<OC^> , y=2x 을 에대입하면 C(-3 -6) x=-3 y=-6  ∴ y=ax^2  -6=9a a=-2/3  8-2 2-(-1) =2  -2/3 47 49 ⑴ ⑵      48  y=-4x^2 +60x  =-4(x^2 -15x+225/4)+225  =-4(x-15/2)^2 따라서쏘아올린지 +225 15/2 ,  이므로 A(t 1/4 t^2)    semoAOC=1/2\4\1/4 t^2=1/2 t^2 semoABC=2semoAOC  즉, 1/2\4\(4-t)=2\1/2 t^2  t^2 +2t-8=0  ∴ (t+4)(t-2)=0 또는 t=2 t=-4 이므로 이다. 0<t<4 t=2 초후에최고높이  가된다. 225  m  , 초후 225 m 15/2  ⑴   ⑵ 1/2 t^2 2 본문 P. 155~159 본문 P. 159~173 STEP B 내신만점문제 01제 사분면 02 2 , , , , , , (a>0 , b<0) (a<0 b>0) (a<0 b=0) 03 (a<0  b<0) 04   05  06 ,  3/4 07 k<-2  08  3 , , 0) C(5  k>9/16  09 10  (-3/2 , 11제 1/2) 사분면 x=-3/2 2 12⑴ 13  ⑵    1 3 13  14 ,  15 k>0 , 16 -2  17 3   18 -10 2 (1 1) 19 , 2 , -20  6 20 a=-1 , b=3 c=29/4 , , ,  a=3 21 b=-1 , , c=17 ,  d=-2 e=-12 P(-1 , 22 5/2) Q(2 , 4)  23 ,  24 a=1  b=-6 25 m=6  26 27 a=3  b=2 28   2 29 -48  0.0^.9^. 30 56  31 50 cm^2  -2<x<4 33  32 9c-3b+a>0 ,  34 -2/3   35 , 2/3 36⑴ D(-2  ⑵  3) (3 9) k>1  ⑶  37 y=1/4   x^2  y=-x+8 38  y=-1/2 x+6 54 39⑴    ⑵ 16 m  ⑶ 40⑴ -1/2 ： t^2  ⑵ +t+4 ： 2  ⑶ , 3/2  1 41⑴ 1 ： 1  ⑵ 3 ：  (1 2) i i  m 7/3 3 42⑴ 2 1 ,  4   ⑵ P(-1/3 t 1/18 , t^2) 또는 , 43⑴ Q(-213  6)  ⑵ Q(213 , 6)  ⑶  ⑷  44⑴ y=-4/3 , x+4 D(9 12) 180  ⑵ C(-2 2) ,  , , 64   D(1+rt13 7+rt13 ) D(1-rt13 7-rt13 ) 01 이차방정식의근과계수의관계에의하여 ,  에서 이므로위로볼록 b>0 c>0 y=-cx^2 -x+b 이므로축이 -c<0 축의왼쪽에위치 축과의교점이원점보다위쪽에위치 y 이므로 (-c)\(-1)>0 따라서그래프는오른쪽그림과같으므로 y b>0 사분면에있다. 꼭짓점은제 2 x  y O 2  제 사분면 Ⅳ. 이차함수 59 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 59 2017. 7. 21. 오후 3:22 Ⅳ이차함수  ,  ,  ,  ,  , 므로 점  는 두 꼭짓점의 중점이다. ,  ,  (a>0 (a<0 b<0) b<0) (a<0 b>0) (a<0 b=0)   ,  C(5 0) 02     03 ∴  ,  C    C(5 0) 07         의 축의 방정식이  이므로 y=x^2 -2x+k=(x-1)^2 축과 만나는 두 점은  +k-1 ,  ,  ,  이다. x=1 x ,  을  (1/2   0) 0) (3/2 에 대입하면 x=1/2 y=0 y=x^2 -2x+k    ∴  0=1/4-1+k   k=3/4 다른풀이   의 두 근을 a, b라 하면    의 그래 프와  x^2 -2x+k=0 축의 교점은  a,  ,  b,  이다. y=x^2 -2x+k a b x 이므로 ( 0) ( 0) +x+2k-1 y   =2x^2   =2(x+1/4)^2 그래프가  +2k-9/8 축과 만나지 않으려면  x    ∴    2k-9/8>0 이어야 하므로   k>9/16 2k>9/8 다른풀이 k>9/16   3/4 축과 만나지 않으려면    의 해가 없어야 하 므로 x 2x^2 +x+2k-1=0 1-4\2(2k-1)<0 -16k+9<0 16k>9∴  k>9/16 08 y=ax-b     y=-2/3 x^2 -2x-1   =-2/3(x+3/2)^2 +1/2 따라서 꼭짓점의 좌표는  의 그래프에서  ,  이므로 a=-2/3 b=-2 =-2(x+1)^2 일 때, 최댓값  +2+k 를 갖는다. 최댓값이 음수이므로  x=-1 2+k ∴     2+k<0     k<-2 이다.   09 ,  , 축의 방정식은  (-3/2 1/2)   ,  x=-3/2 ,    (-3/2 1/2) x=-3/2 이 그래프가  =-(x-1)(x-3) 축과 만나는 두 점  ,  ,  ,   사이의 거리는  이므로  x   의 그래프가  (3 (1 0) 축과 만나는 두 점 0) 은  2 ,  ,  y=-x^2 ,  이다. +4x-3+n x (0   0) (4 0) 에  ,  을 대입하면     의 그래프는 꼭짓점의 좌표가  ,  이므로  일  때 최댓값을 가진다. y=ax^2 (0 0) x=-2    ∴     a=2 4a=8 10 A-solution 주어진 이차함수는 일차함수와 축과 축 위에서 각각 만난다.   y=-x^2 +4x-3+n x=0 y=0 n=3     의 그래프가 두 점  x y ,  ,  ,  을 지나므로 3 y=x^2 ,  +ax+b (3 0) (0 -3) ∴  0=9+3a+b ,  b=-3 06   (3 1)   ,  y=x^2 -6x+10=(x-3)^2 +1   a^2 +b^2 =(-2)^2 +(-3)^2 =4+9=13   의 그래프의 꼭짓점의 좌표는  ∴     a=-2     b=-3       의 그래프의 꼭짓점의 좌 ,  표는  +14x-50=-(x-7)^2 y=-x^2 -1 11 이때 두 포물선이 점  -1) (7 에 대하여 대칭이면 두 꼭짓점도 대칭이   의 그래프가 원점을 지나므로  y=ax^2 +bx+c c=0 60 C   2   13 | - |=1   rt4-4\1\kz |1|   =1 rt4-4k =1 4-4k=1 ∴  k=3/4 04         y =-2x^2 -4x+k   k<-2 05         y =-x^2 +4x-3 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 60 2017. 8. 7. 오후 5:49 정답과 풀이본문 P. 159~163 포물선이아래로볼록하므로 축이 축의오른쪽에있으므로 a>0 에서 16   의그래프를 y 을 에관하여풀면 ab<0 b<0 y=x^2 축의방향으로 -2x-6=(x-1)^2 만큼평행이동하면 -7 ax+by+c=0 에서  y ∵ , 이므로 x  m y=-a/b , 제 -a/b>0( 사분면을지난다. x a>0 b<0)  제 , 사분면 1 3 이때 y=(x-m-1)^2  -7 의그래프와한점에서만나므로  y=-x^2 -2x  (x-m-1)^2  -7=-x^2  -2x 이중근을가지므로  2k+3=k+1 k=-2  ⑴  ⑵ k>0 -2 17 이차방정식  의두근이 , 이므로 1 12  3     y =x^2  -2kx+k^2 에서 +2k+3 ⑴꼭짓점 =(x-k)^2 +2k+3 , 이제 사분면위에있으므로 , (k 2k+3)  ∴ 1 ⑵꼭짓점이직선 2k+3>0 k>0 위에있으므로 k>0   ∴ y=x+1 13       f(x) =2x^2   -4mx+m^2 +6m+5 에서 일때,최솟값 =2(x-m)^2 -m^2 +6m+5  이다.  x=m   -m^2  +6m+5 g(m) =-m^2 +6m+5  은 =-(m-3)^2 일때,최댓값 +14 이다. m=3 14 g(m) 14  의그래프와 의그래프가한점에서만나 므로 y=x^2  -4x  에서 y=mx-9 이중근을가 진다. x^2 -4x=mx-9 x^2 -(m+4)x+9=0  , -10 2 A-solution 직선  의 접점이 구하는 점이다. y=x-3 에 평행한 직선  와 이차함수    의 그래프 y=x+k y=x^2 -x+1   (m+4)^2 -36=0 m^2 +8m-20=0 ∴ (m+10)(m-2)=0 또는  m=-10 m=2 15   x^2 -x+1=x+k 이중근을가지므로 x^2 -2x+1-k=0  ∴ 1-(1-k)=0  k=0  -x+1=x x^2 x^2    -2x+1=0 ∴ (x-1)^2 =0 x=1 일때 이므로구하는점은 , 이다.  , x=1 y=1 (1 1) (1 1)  2x^2 -2mx+m^2  +2m-6=0  m^2 -2(m^2 +2m-6)=0 m^2 +4m-12=0 ∴ (m+6)(m-2)=0 또는 m=-6 이므로 m=2 이다. m>0 m=2  2   ax^2  +bx+c=0  -1 5 y =ax^2 +bx+c    =a(x+1)(x-5)  =ax^2  -4ax-5a 최댓값이 =a(x-2)^2 이므로 -9a  ∴ 9 , -9a=9 a=-1  3 ∴ b=-4a=4 c=-5a=5  abc=(-1)\4\5=-20  -20 18     y =x^2 -2x+c  축의방정식이 =(x-1)^2 +c-1(0 최솟값은 일때, x=1 i i 이므로최댓값은 3) x 일때, x=1 에서 m=c-1 이므로 x=3 , M=c+3  ∴ c+3+c-1=6   c=2   M=5 m=1 2m^3 +Mx^2 +5cx =rt1+25+10 =6  6 19 A-solution 이차함수   대신     대신  y=ax^2 +bx+5  의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하면 ,  y=ax^2 y -x 를 대입한다. +bx+c -y 의그래프를원점에대하여대칭이동하면  x -y=a\(-x)^2  +b\(-x)+5 또, y=-ax^2 축의방향으로 +bx-5 만큼평행이동하면 y  c  ……㉠ y=-ax^2 그래프㉠의꼭짓점의좌표가 +bx-5+c , 이므로 (-3/2 0)  y=-a(x+3/2)^2 Ⅳ. 이차함수 61 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 61 2017. 7. 21. 오후 3:22 Ⅳ이차함수이그래프가점 , 를지나므로 에서 ∴ (1/2  y=(x+3/2)^2 4)  =x^2 ㉠과㉡은같은이차함수의식이므로 +3x+9/4  ……㉡ 4=-4a a=-1 , ,  a=-1  b=3 , c=29/4 , a=-1 b=3 c=29/4 의그래프를 축의방향으로 만큼, 축의방향으로 만 큼평행이동한그래프의식은 y=2x^2 x a y b     y  =2(x-a)^2 +b 이므로  =2x^2 -4ax+2a^2 와비교하면 +b y=2x^2  , -12x+c   ∴ 4a=12 , 2a^2  +b=c ……㉠ 또한, a=3  18+b=c 의그래프를원점에대하여대칭이동한 그래프의식은 y=2x^2 -12x+c    ∴ -y=2\(-x)^2  -12\(-x)+c y=-2x^2  와 -12x-c  을비교하면 , y=-2x^2 , -12x-c y=dx^2  ……㉡ +ex-17 ㉠,㉡에서 d=-2 , e=-12 , c=17 , ,   a=3  b=-1 , c=17 , d=-2 , e=-12 , a=3 b=-1 c=17 d=-2 e=-12 ㉠의그래프는점 , , , 을지나므로  ㉡의그래프의식은 (-6 0) (0 3) 이고점 y=1/2 , x+3 를지나 므로 y=a(x+2)(x-4) (0 4)  20  21  ∴ -8a=4 a=-1/2 y=-1/2(x+2)(x-4)   =-1/2 x^2 ㉠,㉡에서 +x+4    1/2 x+3=-1/2  x^2 +x+4 x^2 -x-2=0   ∴ (x+1)(x-2)=0 또는 x=-1 따라서 x=2 , , , 이다. P(-1 5/2) Q(2 4)  62 m=6  , ,  a=1 b=-6 m=6 22  x^2 a y=- -bx-3     =-1/a(x+1/2 ab) 일때최댓값 ^2 -3 ab^2 +1/4 을가지므로 x=3  에서 m  -1/2  ab=3  ab=-6 에서  ……㉠  ……㉡ 1/4 ab^2 -3=m 일때, ab^2 이므로 -12=4m ……㉢ x=1 ㉠,㉢을연립하여풀면 y=2 b=-1/a-5 , 이것을㉡에대입하면  a=1 b=-6  23  A-solution 이차함수와 일차함수가 접할 때 두 그래프의 교점은 한 개이다. 에서  x^2 +ax+b=3x+2 이중근을가지려면 x^2  +(a-3)x+b-2=0  (a-3)^2  -4(b-2)=0  ……㉠ 또한, a^2 -6a-4b+17=0  에서  x^2 +ax+b=-x-2 이중근을가지려면 x^2 +(a+1)x+b+2=0  (a+1)^2  -4(b+2)=0  ……㉡ ㉠ a^2 ㉡을하면 +2a-4b-7=0  ∴ ㉠에 - 을대입하면  -8a+24=0 a=3 ∴ , a=3  b=2 a=3 b=2 24   y =x^2  -4x+2k-9   , , , x=2 이다. ^-AB^-=6 x (-1 0) (5 0)  에서 y=(x+1)(x-5)=x^2 이므로  -4x-5 2k-9=-5 k=2 25 꼭짓점의좌표가 , 이므로    (2 16)  y  =a(x-2)^2 +16  ……㉠ 축의방정식이 =(x-2)^2 +2k-13 이고 이므로 축과의교점은  , a=3 b=2   2 8  , , , P(-1 5/2) Q(2 4) 므로 절편은 와 x=2 이다. x x -2 6 축의방정식이 =ax^2 -4ax+4a+16 이고, 축과의두교점사이의거리가 이 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 62 2017. 7. 21. 오후 3:22 정답과 풀이본문 P. 164~167    y =a(x+2)(x-6)   ……㉡ ㉠,㉡에서 =ax^2 -4ax-12a  ∴ 26 A-solution . ,  .  4a+16=-12a  이므로 a=-1 , 따라서직사각형의넓이의최댓값은 +50 =-2(x-5)^2  이다. ∴ y=-x^2 +4x+12=ax^2  +bx+c b=4 c=12  abc=(-1)\4\12=-48 -48 50 cm^2    50 cm^2 0 a^.b^.=ab/99  b^.a^.=ba/99 의그래프가점 0 , y y=ax@+b 을지나므로 y=ax^2 +b  ……㉠ (-1 3) {-1,`3}A B{1,`3} y=3 4+b=10   b=6  의그래프와직선 가점 , 을지나므로 y=x+b (4 10)    y =x(20-2x)   =-2x^2  +20x   29 y=ax^2 +2 에서 16a+2=10 에서 a=1/2 1/2 x^2  +2=x+6 x^2 -2x-8=0 ∴ (x-4)(x+2)=0 또는 ∴ x=4 , x=-2 B(-2 y=ax@+2 4) A{4,`10}  의그래프는 a+b=3 축에대하 여대칭이므로 y=ax^2 +b 과만나는점 y 의좌표는 , , y=3 , 이다. C{0,`b} O x (1 3) (-1 3)  ∴  ……㉡ semoABC=1/2\2\(3-b)=2 ㉡을㉠에대입하면 b=1 ∴ . . a=2 0 a^.b^.-0 b^.a^.=0.2^.1^.-0.1^.2^.=21/99-12/99=9/99=0.0^.9^.  27   +bx+c=a(x+b/2a)^2 에서 b^2 - 4a ……㉠ +c  y=ax^2 x=-b/2a=1 또한,  b=-2a 에서  ax^2 +bx+c=2x+1 의두근이 , 이므로 근과계수의관계에서 ax^2 +(b-2)x+c-1=0 4 -1   4+(-1)=- b-2  a  c-1 4\(-1)= ㉠,㉡,㉢에서 a a=2 ∴  , abc=56 ……㉡ ……㉢ , b=-4 c=-7 28 주어진그림은직각이등변삼각형이 므로 이고, 라하면 ^-BD^-=^-DG^-=^-EF^-=^-EC^-  ^-GD^-=x cm  이다. 직사각형 ^-DE^-=(20-2x) 의넓이를 cm   라하면 GDEF y cm^2  0.0^.9^. B{-2,`4} y=x+b   다른풀이 인것은  의그래프가 의그 래프보다아래쪽에있을때이므로 ax^2 +2 +2<x+b y=ax^2 이다. y=x+b -2<x<4  -2<x<4 , 이므로   에서  a=1/2  b=6 1/2 의그래프에서 x^2 +2<x+6 의값이 x^2 -2x-8<0 보다작은부분이다. -2x-8 y=x^2 y y=x@-2x-8 y 0 O-2 4 x   56 ∴  -2<x<4 30 이차함수 A 진조건에맞게그리면오른쪽그림과같다. +bx+c y=ax^2  의그래프를주어 y -9 O 2 x G 45æ D B F E 20`cm 일때 C x=-1/3 이므로   y>0 ∴ 1/9 a-1/3  b+c>0  a-3b+9c>0  9c-3b+a>0 Ⅳ. 이차함수 63 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 63 2017. 7. 21. 오후 3:22 Ⅳ이차함수는평행사변형이므로 이다.  이므로꼭짓점의좌표는 ∴ , nemoABCD ^-AD^-=^-BC^-=6 , 이다. y=-x^2 +6x=-(x-3)^2 +9 31 32 두점 , C(3 에 -6) , 을대입하면 y=ax^2 x=3  ∴ y=-6  -6=9a a=-2/3   -2/3 , 에서 축에내린수선의발을각각 이라 의좌표를 ,  y 6p@ y=bx B 라하고,점 A x B 하면오른쪽그림에서 C A D (p 2p^2 ) Z 이므로점 ,  2p@ A 는 점 semoAOC semoBOD 의그래프위의점이므로 6p^2 B(3p ) O C D x ∴ , 따라서 a=-6  b=0 9) (3 35 일때  x=1   y  =2a+a^2  +k    =a^2 +2a+k j =(a+1)^2  ∴ (a+1)^2 0 k>1 이므로항상양수이려면 +k-1 이어야한다. k-1>0  k>1  B y=ax^2  6p^2 ∴ =a\(3p)^2  a=2/3 33  x^2 +2x-3=0   ∴ (x+3)(x-1)=0 또는 ∴ , x=-3 , , x=1 , ,  점이같다. D(a b) nemoACBD   ,   = -3+1 ∴ 2 따라서 a=-2 0+a , 2 , b=3 = 0+0 2 이다. -3+b 2 D(-2 3) 34  2/3  , D(-2 3) 36 이차함수의그래프의식을  , 직선 을 라하고, y=ax^2 (a>0) 점 의 l 좌표를a라하면 y=bx+c , a 이므로 C x a A(0 2  ∴a ) a nemoABOC=1/2\2 , , ∴ , \2 =32 z = 4 A(0 8) C(4 4) 의그래프가점 ⑴ , 를지나므로 (4 4) a=1/4 y=ax^2  ∴   ⑵ y=1/4 x^2 에서 , y=bx+c 이점 , c=8 를지나므로 y=bx+8  ∴ (4 4) y y=-x+8   ⑶ l b=-1 D m E A B C O x , A(-3 라하면 0) B(1 0) 가평행사변형이므로두대각선의중 C(0 -3) 의값의범위가 y=-x^2 -ax+b 이므로두그래프가만나는점의좌표 x y=2x+3  구하는직선을 이라하면직선 은점 를지나고   의그래프가직선 의위쪽에있을 가 , , , 이다. 1<x<3 (1 5) (3 , 9) 를연립하여풀면 , 5=-1-a+b 9=-9-3a+b a=-6  b=0  이므로 꼭짓점의좌표는 y=-x^2 +6x=-(x-3)^2 이다. +9 , 다른풀이 (3 9) 부등식  즉,  -x^2 -ax+b>2x+3 에서  , (3 9) x^2  +(a+2)x+3-b<0 의그래프가 축 보다아랫부 분에있는 y=x^2 +(a+2)x+3-b 의값의범위는 이다. y=0(x ) 37 점 x 1<x<3 (x-1)(x-3)<0  x^2 -4x+3<0 , a+2=-4 64 3-b=3 의넓이를이등분하므로 m m 의중점 C 를지난다.  ∴ semoDOC ,  직선 E(-4 8) 의방정식은 m  ∴   y=-1/2 x+6  ⑴ ^-DO^-  E y= 4-8 4-(-4) (x-4)+4   ⑵  ⑶  y=1/4 x^2 y=-x+8 y=-1/2 x+6 가  의그래프위의점이고 좌표가 이므로 y 12 B y=1/3 x^2  ,   ∴ 12=1/3 ∴ x^2 , x^2 =36 ∵ B(6 12)( x>0) z x= 6 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 64 2017. 7. 21. 오후 3:22 정답과 풀이본문 P. 167~172 이고,  의그래프는 축에대하여대칭이  ,  , 이므로   ^-CD^-=^-AB^-=6 므로점 , 의 y=1/3 좌표는각각 x^2 y 이다. , ∴ C , D , x , -3 3 따라서밑변인 3) C(-3 D(3 ,높이는 3) 이다. ^-CD^-=6  12-3=9 nemoABCD=6\9=54 ∴ 38 A-solution 다리의 시작 지점을 원점으로 하고 좌표평면 위에 포물선을 놓는다.  54 8=1/2  ∴ x^2 , x^2 =16 x>0 x=4  ∴ C(4 ： 8) ： ： ： ⑵ ^-AB^- ^-BC^-=2 ,  (4-2)=2 2=1 1 , ^-PR^-=1/2 a^2  ^-PQ^-=2a^2     ^-RQ^-=2a^2 ：  ∴ -1/2 a^2 a^2 =3/2 ：    ： ^-PR^- ⑶직선 ^-RQ^-=1/2 의식은 a^2 3/2 a^2 =1 이므로 3 다리의시작지점을 , ,끝지점을 , 이라하면이다  OC , y=2x 리는포물선모양을이루므로식으로나타내면 0) (80 0) (0 이그래프가점 y=ax(x-80) , 을지나므로 (10 -7) ,  ∴ 10a(10-80)=-7 -700a=-7 a=1/100  y=1/100(x^2 -80x)  =1/100(x^2 -80x+1600-1600)  =1/100(x-40)^2 따라서중간지점인 -16  일때,다리높이는  낮아진다. 40 m 16 m   16 m 39 ㉠： ,㉡：   y=x+4 의 ⑴점 좌표는 y=1/2 x^2 ,점 Q y  ∴ t+4  의 좌표는  R y 1/2 t^2  2x^2 =2x , -x=0  x^2  ∴ 또는 x(x-1)=0 L x 0 41 점 , 이고 이므로 , 의방정식은 ^-OA^-=^-AB^- B(0 이므로 8) y=2x+8 따라서직선 A(2 4)  BC  x^2 =2x+8 x^2 -2x-8=0 이므로 (x+2)(x-4)=0 또한,직선 x>0 직선 x=4 의방정식은 AB  ∴ , 의방정식은 C(4 OC 에서 y=4x 4x=-2x+8 ∴ , x=4/3 16) 이므로 y=-2x+8 , ⑵ ^-QR^-=t+4-1/2 와 가평행하므로 t^2 이면 가평행사 변형이된다. ^-CO^- ^-QR^- ^-CO^-=^-QR^- nemoCORQ D(4/3 ⑴점 16/3) , ,점 , 이고, x=0 이므로구하는점의좌표는 x=1 , 이다.  ⑴ (1 ： 2)  ⑵ ：  ⑶ , 1 1 1 3 (1 2)   t+4-1/2 t^2 =4    ∴ ∵ t(t-2)=0 ⑶ t=2( , , 0<t<4) , 이므로 가점 와만날때의기울 Q(3  기는 7) R(3 9/2) y=mx ,점 와만날때의기울기는 Q 이다.   ∴ 7/3 i R i 3/2 m 7/3 3/2  ⑴    ⑵  ⑶ i i -1/2 t^2 +t+4 2 3/2 m 7/3 42 ⑴ 40 ⑴ ,  , 이므로    ∴ 8=2x^2 , x^2 =4 x>0 x=2 B(2 8) A(2 4) 와 D(4/3 16/3) 는밑변 를공유하므로  높이의비가넓이의비이다. semoOAB semoODB OB  ∴ ： ： ： ⑵ semoOAB Z ： semoAOD semoAOD semoODB=2 이므로 4/3=3 2 ：   semoBCD =^-AD^-^2 ^-BD^-^2  ： =(semoAOD)^2 semoBCD ：  =1 4  (semoBOD)^2  ⑴ ：  ⑵ ： 3 2 1 4 는공통이므로 와 의넓이의비는 와 점 ^-BC^- 의 좌표에의해얻어진다. semoABC semoPBC ^-AB^- P x 이므로점 에서 에내린수선의길이는  ^-AB^-=2t P ^-BC^- t 4/3 Ⅳ. 이차함수 65               (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 65 2017. 7. 21. 오후 3:22 Ⅳ이차함수semoPBC=1/2\8\18=72 에서 를밑변이라하고높이를 라하면 ^-AB^-  하는점 이다. y=1/2 x^2           , 1/2 x^2  =x+4 , x^2 -2x-8=0    ∴ (x-4)(x+2)=0 또는  점 x=-2 의 좌표가 x=4 이므로 좌표는    C  ∴ x , -2 y 1/2\(-2)^2 =2 ⑵ C(-2 2) 의수직이등분선이  의그래프와만나는점이구  의중점 D , 를지나고기울기가 인직선의방정식은 ^-AB^- (3 이므로 9)   1 y=x+6  x^2 =x+6 1/2    ∴ x^2 -2x-12=0 z x=1 z  ∴ y=1 z  ⑴ rt13 D(1  rt1-(-12)z z  , +6=7 rt13 z 7 , rt13 )( ,   z  =1 rt13 rt13 복부호동순 )  ,   ⑵ C(-2 2) , ,   D(1+rt13 7+rt13 ) D(1-rt13 7-rt13 )  이다.  따라서점 의 좌표는  좌표는 x P  y  ∴ \(-1/3 1/2  ,    , t  -1/3 =1/18 t^2   ^2 t) 이다.  ⑵ P(-1/3 , , t t^2 1/18 , ) , , 이므로 B(6 0) C(6 18) P(-2 2)             semoQCD ^-CD^-  ∴ h semoQCD=1/2\12\h=72 좌표가 의  점 이므로 h=12 Q y 좌표는 18-12=6  ∴  z x  ∴ 6=1/2 , x^2 또는 x= 213 , Q(-213   ⑴ 6) ,  Q(213  ⑵   6) , 또는 , P(-1/3 t 1/18 t^2 ) Q(-213 6) Q(213 6) 43 ⑴두점 , , , 을지나는직선은  A(-6 12) C(3  ∴ 0)  y= ⑵ -12 9 (x-3) y=-4/3 는평행사변형이므로 x+4 , 라하면 nemoABCD 에서  ∴ D(x   12)  ∴ , ^-BC^-=^-AD^- 15=x+6 x=9 ⑶ D(9 12) nemoABCD=12\15=180  , ,   ⑷ 이므로   L 1/3  ∴ x^2 =12 , x^2 =36 x -6 x=6 E(6   12)  에서 1/3 x^2  =-4/3 x+4 , x^2 +4x-12=0   (x+6)(x-2)=0  ∴ ∵  ∴ , x=2( x>0) 에서 , F(2 , 4/3) , , , 이므로 semoAFE A(-6 12) F(2 4/3) E(6 12) semoAFE=1/2\12\32/3=64  ⑴   ⑵ ,  ⑶  ⑷ y=-4/3 x+4 D(9 12) 180 64 의방정식은 이므로직선 에수직 인직선 AB 는점 , y=-x+12 을지나고,기울기가 인직선이다. AB  ∴ BC  (4 8) 1 44 ⑴직선 y=x+4 66 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 66 2017. 7. 21. 오후 3:22 정답과 풀이 STEP A 최고수준문제 본문 P. 174~187 01 01 ,    02  03 에서  두 근의 합 ,  두 근의 곱 A-solution   이차방정식   x^2 +ax+b=0 의두근이a,b이므로근과계수의관계 )=-a )=b ( ( 본문 P. 172~174  j a 3 -4 06  1/108  08  a=-5/2 b=7/3 04  05   3 07 a 09 일때 i 2 1 일때 10+2rt10 , 3 a>2 일때  , a^2 -4a+5 i i 일때 2 ,  a<-1 일때 -2a-1  -1 a 1 a^2 a>1 , 10 2a-1  11  12  13  a=1  14 b=4 15 3 17⑴  -1+rt17  2 4/9   -5 -4 16풀이참조  ⑵a b  ⑶a -bm+c>m am^2 ,ab b a+p <x< + = m-b a  , =  c-p a  19  18 P( 20 23 P(2 3-rt21   , 2 2) a 15-3rt21 ) 21⑴ 2  ⑵ 0   22  b  8 12 -1 8 d< 24 <a<b< , 5/4 일때 1 개  1<a<5/4   25  3 5/4 27⑴ 26  21/2  ⑵  ⑷ 3/2(a+2)(a-1)   y=13/7 x+24/7 28⑴  ⑵  ⑶  -3/4 9/4 29⑴ , 3213 27 ,  ⑶ ,  15 D(4 16)  ⑵  ⑶  a=1/2 m=-1  ⑵ n=4   30⑴ 9/2 -1-12  z  ⑶ -2<t<4  ⑵ 31⑴ -3/2 t^2  ⑶ +3t+12  , 3 , rt21 3   9/4  A(3/2   ⑵ 32⑴ 33⑴ 1/4 n^2 12  ⑵ ,  a+1  S_1=(a-1)(a+2)^2  ⑶  S_2=1/2 34⑴ a(a+1)(2a+1)  ⑵ , , 1+rt97 , 6  ⑶  C(6 6) , a=1/6  ⑵ 35⑴ 11 ,  ⑶ P(6 12) ,  36 39 Q(-2   37 8) P(2 4)  Q(-3/2  38 9/2) π/2 -1 -2/11<m<0 40     3<x<6 3 cm - 1 4m 에의하여 x^2 +(a-1)x-b=0 a b ,ab ∴ + a =1-a b, =-b ab   a=1- - b a b=- ab에서  f(x)=x^2 a b이므로 +3(1- - )x-5 f(  a )=4 a ab b ……㉠  b -2 ^2 +3 a이므로 -8 =4 f(  b )=4 b ab a ……㉡ ㉠ -2 ㉡에서 ^2 +3 -8 =4  a + b  a b ab ……㉢ ㉡ 2 ^2 +2 ㉠에서 ^2 + + +16 =0  a - b  a b , 2 b a -2 ^2 ^2 a =7( b - ) a b 2( ∴a + )( b - )=7( ∵aLb -  ) ……㉣ + 따라서 =7/2( a b ) 이다. 한편,㉢에서 a=1- - a =-5/2  a b b ab )^2 여기에㉣을대입하면 2( + + +( )=-12  2\(7/2)^2 +7/2=-12 ab  ∴ab =-28/12=-7/3 ,  ∴ a=-5/2 b=7/3  , a=-5/2 b=7/3 02      y =x^2 -4px+8p^2   -8p 에서최솟값이 이므로  =(x-2p)^2  +4p^2 -8p k  03 일때최솟값 을갖고이차항의계수가 이므로이 차함수의식은 x=-1 -3 a     y  =a(x+1)^2 -3 이때 =ax^2 +2ax+a-3  의그래프가제 사분면을지나지않 으므로 y=ax^2 이고 +2ax+a-3 이다. j ∴  a>0 a-3 0 4 j a 3  j 3 Ⅳ. 이차함수 67 a 9/4) y=2/3 x+5/4 y=3/2 x 따라서 k=4p^2 -8p=4(p^2 의최솟값은 -2p+1)-4=4(p-1)^2 이다. -4  k -4 -4 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 67 2017. 7. 21. 오후 3:22 Ⅳ이차함수04 y P x Q A O 1 5 B a@ x 5 semoPAB   ,  Q x , a^2 +1  2 ∴ a^2 =9 =5 , a^2 z +1=10 ∵ a= 3  a=3( a>1) 05 y=-   x^2 +x/a a^2   1 (x^2 a^2 1 a^2 에서 =- =- -ax+   (x-a/2)^2 a>2 는다. a/2>1  a^2 4 )+1/4 +1/4 이므로    +1/a=3/20 1  a^2  -20a+20=0 z - 3a^2 ∴ a= 이때 10 2rt10 3 이므로 A-solution 삼각형의 외심은 변의 수직이등분선의 교점이므로 점  의 중점의  좌표이다. 의  좌표는 두 점  ,  Q x A B , y=x^2 이다. -4x+5=(x-2)^2 +1 07  일때 (2  r1par a 1) i 2 y  의그래프의꼭짓점의좌표는  에서 이므로 , , , 이고, , y=(x-a^2 이다. )(x-1)  a>1 A(1 0) B(a^2 0) P(0 a^2 의외심 ) 의 좌표가 이므로 2a x 에서최솟값 을갖는다.  x=2 일때 1 r2par a>2 y 에서 일때최댓값을갖  x^2 -(a^2 -4a+4)x-a^2 =0 0 i i 0 x 1 x=1 5 1 O 5 1 O         3 2 a x 에서최솟값  를갖는다. , x=a 에서 일때 a^2 , -4a+5 일때  이다.  r1par r2par i a 2 1  a>2 i 일때 a^2 , -4a+5 일때  a 2 1 a>2 a^2 -4a+5 08 두교점이원점에대하여대칭이므로    에서두근의합은 이다.  2 이다. y=-x^2 +2ax=-(x-a)^2 +a^2 (a a^2 )  에서꼭짓점의좌표는 ,  a^2  -4a+4=0 ∴ (a-2)^2  =0 a=2 09   일때 r1par a<-1 y -1 O 1 x  꼭짓점이포함되지않으므로 일때최댓값 일때 -2a-1  x=-1 i a y -1 i 1 r2par  이다.   a>2 a= 10+2rt10 3 10+2rt10 3 06  의그래프가점 , 을지나므로 y=ax^2 +bx-c  ∴ ……㉠ (1 0) a+b=c a+b-c=0  또,  +bx-c=a(x+b/2a)^2  ……㉡  ∴ y=ax^2 - -c b^2 4a  에서 -b/2a=-1 ㉠,㉡에서 b=2a , , , (a b , , c)=(a 의두가지이다. 3a) 2a 4 3) (1 따라서확률은 (2 2 6) 이다. 2 6\6\6 =1/108 68  1/108 따라서 , , c=3a , , 인순서쌍을찾으면 -1 O 1 x (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 68 2017. 7. 21. 오후 3:22 정답과 풀이본문 P. 174~176  꼭짓점이포함되므로  일때최댓값   x=a 일때 a^2 r3par a>1 y  -1 O 1 x  꼭짓점이포함되지않으므로  일때최댓값 이므로 이다.  ∴ b>2 , 조건을만족한다.  b=4 TQ 일때 b=4 i  a=1 y 0<a1 2a-1  일때 , 3/4 a^2 3/4  두이차방정식을풀면 -3b+4=a b^2 -3a+4=b 이고 이므로조건을만  족하지않는다. a=b=4/3 a1 2a-1 , , 에서 ,  r2par r3par a=1 b=4  , a=1 b=4 A-solution 주어진 함수의 그래프는 아래로 볼록하므로 꼭짓점의  만나지 않는다. 좌표가  보다 크면  축과  y 0 x 10  f(x)=3/4 x^2 i i  00 =(x- 여기서 ∴ 1-( +ab+1  +1 즉,두눈의차가 |a-b|<2 미만인경우이다.  ,즉 2 인경우  r1par , |a-b|=0 , , ,…, a=b , 의 가지  (1 1) (2 ,즉차가 2) (6 인경우 6) 6 , (4 에서 3) (5 가지이다. 4) (6 5) 10 r1par 16 따라서확률은 r2par 이다. 16/36=4/9 2^a(a-b+c)-2^a(a+b+c)=4  , 을대입하면  x=0  , f(-1)- f(1)=4 -2\2^a  \b=4  ……㉠ 2^a \b=-2 을대입하면 x=1  4/9 Ⅳ. 이차함수 69     r1par 11     12 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 69 2017. 7. 21. 오후 3:22 Ⅳ이차함수㉡,㉣에서  2+rt13 2 p> 에서  30  ……㉢ 따라서 e ㉠이최솟값을갖는다. D=-4p^2 +8p+9<0 의두식이모두만족되면  은  에서 의값이 보다 큰부분이다. 4p^2 -8p-9>0 f(p)=4p^2 -8p-9 f(p) 0 f{p} O p 2-Â13Ê - 2 2+Â13Ê - 2  ,  ……㉣ p< 2-rt13 2 p> 2+rt13 2 ∴ 70 점 , 과 축에대하여대칭인점 의좌표는 , 이 고,점 A(2 , 8) 와 y 축에대하여대칭인점 C 의좌표는 (-2 8) , B(a 이다. b) y D 이때 (-a b) 에서 를밑변,점 , 의 좌표의차를높이 라하면 semoABC ^-AC^- A B y semoABC=1/2\4\(8-b) 을대입하면 이식에 b=2a^2    semoBOD=1/2\2a\2a^2 =2a^3 의넓이의비가 와 ： 이므로 semoABC  ：  semoBOD ： ,   2  a^2 4(4-a^2 ) 2a^3 =2 에서 a^2 a^2 (4-a^2  z )=a^3  a^2 ∴  -1 rt17 2  a= ∵ ( 0<a<2) a= -1+rt17 2 이므로  16 [ x ] =e  0  (0<x<1) i 1 (1 [  x<2) ] )=e x^2 y=x^2  (1+ x (0<x<1) i 2x^2 (1 x<2)    -1+rt17 2 y 8 2 1 O 1 2 x 따라서 a=-2( a<1) 이다.  1/2\4\(8-2a^2 또한, 에서 )=4(4-a^2 ) 를밑변,점 의 좌표의값을높이라 a+b=-2-2=-4 -4 하면 semoBOD ^-DB^- B  y (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 70 2017. 7. 21. 오후 3:22 정답과 풀이17 ⑴         18 을  에대입하면 x=-m(-m>0)  y=ax^2 +bx+c am^2 -bm+c>0 를 에대입하면   ∴  x=a(a>0)  y=mx+p m a+p<0 ⑵  am^2 -bm+c>m a+p ,   ∴ ax^2 +(b-m)x+c-p<0  ax^2 +bx+c-(mx+p)<0  즉,포물선이직선보다아래에있는 +bx+c<mx+p ax^2 의값의범위이다.  ∴a b x ⑶a,b는포물선과직선의교점의 <x< 좌표이므로   에서 x  ax^2 +bx+c=mx+p 의두근이다. ax^2  ∴a b +(b-m)x+c-p=0   ,ab + = m-b a  ⑴ = c-p  a   ⑵a b -bm+c>m am^2 ,ab b ⑶a a+p <x< + = m-b a = c-p a 과 에서  y=x^2 이므로 y=2x+3 또는 ∴ x^2 , =2x+3 , x=-1 , x=3 점 A(-1 의좌표를 1) B(3 , 9)  이라하면직선 의식은 P (-a 이다. a^2 )(a>0) BP a^2 +3a-3=0 따라서 y=(3-a)x+3a , 이다. 와 D(0 3a) 의넓이가같으므로 semoDPO semoCDB 에서  1/2\3a\a=1/2(3-3a)\3  이므로 a=  -3+rt21 2 3-rt21  2 ,  3-rt21 2 P( -a= ∴ (a>0)   ,   a^2 = 15-3rt21  2 15-3rt21 2 )   a+1 - 2 1 x 19 y O-1 1-a - 2 j  x 0  r1par y=(x-1)|x|-ax(-1 일때  x 1) i i 에서    y =(x-1)x-ax  =x^2 -(a+1)x     =(x- a+1 2 ) ^2 - (a+1)^2 4 본문 P. 177~179  일때  r2par  x<0  y =(x-1)\(-x)-ax  =-x^2 +(1-a)x     1-a ^2 2 ) 이므로 + (1-a)^2 4 그런데 =-(x- i i  a i 1 3 , i a+1 1 2 이함수는 2 -1 따라서 x= i i 1-a 에서 2  i i 1-a 2  일때,최댓값 0  이다. 의최솟값은 M(a)= (1-a)^2 일때, 4 이다. 1 a 3 M(a) a=1 0  A D 0 l m y semoABC=semoDBC B C 20 A-solution   일 때,  t m l 1 y= x@ - 2 y=x B A P O x y=x+2 와 의넓이가같으면직선 와직선 는평 행하므로 semoAOB semoAPB 의기울기는 이고,직선 의방정식은 AB OP 이 다. ^-OP^- 1 OP y=x 따라서점 의좌표는  의그래프와 의그래프의 P 교점이므로 y=1/2 x^2   에서 , ∵ y=x L 이다. ∴ , 1/2  x^2 =x x=2 y=2( x 0)  , P(2 2) P(2 2) 21 ⑴점      점 P) 의 좌표 점 의 좌표 ( ⑵ y D D C{Â2a,`2a@} y )=( C y )=8 P{a,`a@} O A B Q x  점 의 좌표가 이면 ,   그런데⑴에서점 x a P 의 P(a 좌표와점 a^2 ) 의 좌표는 배관계이 므로점 의 좌표는 P y 이다. C y 2  ∴  C , y  ,  2a^2  C(12 a 2a^2 ) ^-BC^- =2a^2 Ⅳ. 이차함수 71   ,   3-rt21 2 P(  15-3rt21 2 ) 의 좌표가 이면, 좌표는 이므로 , 그런데점 P x 의 좌표는점 2 y 의 좌표의 4 배 P(2 ∵ 4) 의중점 이 이므로 D y P y 2 ( ^-BD^- (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 71 2017. 7. 21. 오후 3:22 Ⅳ이차함수 점 에서 축에수선을내려만나는점을 라하면 , 24  P  x ,  이므로  Q  Q(a 이다. 0) 가정사각형이되려면 a-a =^-BQ^- ^-AQ^-  ∴  ^-AB^- 이다. =2(12  ⑴ =^-BC^-   ^-AB^- a-a)  ⑵  2(12 a-a)=2a^2 a=12 -1 8 12 -1   y=1/2(1-x^2 +|1-x^2 일때, |)  |x|<1 j 일때, y=1-x^2 e 이함수의그래프는다음과같다. y=0 |x|    ^-BQ^- =12  nemoABCD 22 y 점 A(2 를지나고 1) B(6 축에평행한직선이 9) 과만나는점을 라한다. P y y=2x-3 Q 의넓이는 를밑변으로하는 와 의 넓이의합이므로 semoAPB ^-PQ^- semoAPQ semoBPQ 일때 개, , 일때 개, a=1 a=5/4 2 a<1 a>5/4 일때 1 개 1<a<5/4 3 이때직선 를 의값에따라평행이동하여교점의개수 1 y 5 - 4 1 O-1 1 x 를구한다. y=x+a a  , 일때, 개 a<1  , a>5/4 1 일때, 개 a=1  a=5/4 일때, 2 개 1<a<5/4 3 ,  v q w     25 m x=-a/2  ∴ m=- 또한, a^2 4 +b i 에서 i ∴ 2 a+2b i  m 따라서 - a^2 4 의최댓값은 m 5/4 26      y =x^2 +ax+b   =(x-2)^2   ∴ =x^2 , -4x+4   +ax+b=(x+a/2)^2 i i 에서 i y=x^2 이때 a^2 4 이므로 +b- i  -1 최솟값 a/2 은 0 0 1 -a/2 일때이다.  b -a/2+1  -a/2+1=-1/4(a+1)^2 +5/4 이다.  5/4 B{6,`9} Q 3  P{a,`a@-6a+9} A{2,`1} O x 에서 (x-3)^2  =2x-3 x^2 -8x+12=0 ∴ (x-2)(x-6)=0 또는 ∴ , x=2 , , x=6   semoAPB=1/2\^-PQ^- ,  \(6-2)=2 , 라하면 ^-PQ^- 이므로  P(a a^2 -6a+9)  Q(a 2a-3)  ^-PQ^-  =2a-3-(a^2 -6a+9)  =-a^2 +8a-12  일때, =-(a-4)^2 의최댓값은 +4 이다. 따라서 a=4 ^-PQ^- 의넓이의최댓값은 4 이다.  semoAPB 2\4=8 8 23  A-solution 이차함수    각해 본다. y= f(x) x=a x=b x=c x=d 에서 f(x)=(x-a)(x-c)+(x-b)(x-d) 이므로 에  ,  ,  ,  를 각각 대입하여 부호를 생  d<a<b0 f(d)=(d-a)(d-c)>0 위의결과를그림으로나타내면 오른쪽과같다. ∴ a b å a b ∫ c d 두포물선의축의방정식은 b=4 a=-4 이고점 의 좌표가 이므로   x=2 A x t    =2(2-t)=4-2t ^-AD^-    ^-AB^-  =(-t^2 +4t)-(t^2 -4t+4)  d< <a<b< 1) , D(4 16) C A 4 M B 1 O-2 1 3 x  ⑵  ⑶ , 15 D(4 16) 3/2(a+2)(a-1)  ⑷ y=13/7 x+24/7 C(3 9) M(-1/2 5/2) y-9= 9-5/2  (x-3) 3-(-1/2)  ∴   y=13/7 x+24/7  ⑴     28 A-solution 직선 ㉢의 기울기는  임을 이용하여  의 값을 구한다. ㉣ y=-Â3x+1 ^-P^-P' ^-S^-P' y ㉢ y=Â3x+1 ㉠ y=ax@ k P S' R' O P' S x R ㉡ y=bx@ ⑴ ： ： 이므로 ,  ^-S^-P'  ㉢에 ^-P^-P' =2 ^-P^-P' =1 이므로 , 13 을대입하면 P'(0 -1) k=13 y=-1   ∴ 13  점 x+1=-1 의좌표가 S S(-   ⑵ -1=b\(- t ： 213 3 ) 이므로 ： ^2  ^-SR^- ^-S'^-R'  여기서점 ^-S'^-R' 213 3 -1) x=- , 213 3  ∴ 이므로 b=-3/4 ： 일때, ： 이다. ^-P^-S' ^-PS^-=1 3 R y S 는 ^-SR^-=1 축에대하여점 3 와대칭이되므로 Ⅳ. 이차함수 73 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 73 2017. 7. 21. 오후 3:22 Ⅳ이차함수이다.   ^-SR^-=2^-S^-P'  ^-SR^- =2\  따라서점 213 3 의 = 413 3 좌표는  좌표는 y  ∴ x S'  13 \(- , 213 9 )+1=1/3 S'(- 213 9 1/3)  점 은포물선㉠위의점이므로 S'  ∴ a=9/4 ⑶ 이다.   ^-SR^- = 413 9 이므로 ^-S'^-R'=1/3 이므로 - 213 9 이다. 1/3=a\(-  ^2 213 9 )      =1/2^-PR^-\(^-QC^-+^-OQ^-) =1/2^-PR^-\^-OC^-   =1/2\(-1/2  t^2 -t+4)\4 , =-t^2 z -2t+8=7  ∴ t^2 +2t-1=0 ∵  t=-1 t=-1-12  ⑴ ( 12 -4<t<0) , ,  ⑵  ⑶ a=1/2 m=-1 n=4 9/2 -1-12 nemoS'SRR' =semoPSR-semoPS'R' =1/2\ \2-1/2\ \(1-1/3) 413 3 413 9 = 3213 27  ⑴  ⑵  ⑶ -3/4 9/4 3213 27 30 ㉡ y 8 F A 2 ㉠ P C G Q -2 B O 4 D x    29       l   (   74 y 8 A R 1 1 ㉠ y= x@ y= x@ - - 2 2 B P C Q -4 t O x 2 ㉡ y=-x+4 ⑴ 은점 , 을지나므로 y=ax^2 A(-4  ∴ 8) 8=a\(-4)^2  이때점 의 좌표는 a=1/2 이므로 , B y 은두점 y=1/2\2^2=2 , 를지나므로 B(2 2) y=mx+n , A B    ∴ , 8=-4m+n 2=2m+n ⑵ m=-1 ,  , n=4 , 이므로 P(t  t^2) 1/2  R(t -t+4)   =^-PR^- =-t+4-1/2 t^2  =-1/2(t^2 +2t+1)+1/2+4  =-1/2(t+1)^2 +9/2 의최댓값은  따라서 일때 이다. ⑶ 색칠한부분의넓이 l t=-1  9/2 ) =semoPRC+semoPRO  =1/2 ^-PR^-\^-QC^-+1/2^-PR^-\^-OQ^- ⑴점 는직선㉠의두점 , 를제외한 위를움직이므 로점 P 의 좌표의범위는점 C A 의 좌표와점 ^-AC^- 의 좌표 사이이다.두점 P x , 는㉠,㉡의교점이므로 A x C x A C  , x+4=1/2 x^2  x^2 -2x-8=0 , 또는 (x+2)(x-4)=0  ∴ x=-2 x=4 ⑵두점 -2<t<4 의 , 좌표는각각 ,  이므로 P Q y  t+4 1/2 t^2 semoPFG  =1/2\^-PQ^-\^-FG^-  =1/2\{(t+4)-1/2 t^2}\{4-(-2)}   =1/2\(-1/2   t^2 +t+4)\6 =-3/2 t^2 +3t+12   ⑶ nemoABDC=1/2\(8+2)\6=30  ：   ∴ semoPFG   nemoABDC=(-3/2 ,  t^2 +3t+12)  -3/2 t^2 +3t+12=10 z  ∴ 3t^2 -6t-4=0 ： ： 30=1 3 t= 3 rt21 3  ⑴  ⑵    ⑶ z -2<t<4 -3/2 t^2 +3t+12 3 rt21 3                 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 74 2017. 7. 21. 오후 3:22 정답과 풀이31 ⑴ ：  ： 이므로 ^-AB^- ： ^-AD^-  =^-PQ^-   ^-PS^-   ： (a^2 +1/3 a^2)=(p^2 +1/3 p^2) 2p 2a  ∴ ⑵ ap=9/4    L 에서   이므로 2a=a^2 a^2 (a +1/3  ∴ 0) ,  4/3 a^2 =2a a=3/2 9/4) ⑶오른쪽그림에서두직선 A(3/2 , 의식을 B A  구하면두직선은각각점 AE AF , 를 2k A(3/2 , 9/4) 의기울 2/3 ^<AF^> E k k C F 2k D  지나고, 의기울기는  기는 ^<AE^> 이다.  ∴ 3/2  ,   y=2/3 x+5/4 y=3/2 x 본문 P. 182~185  따라서 의길이는두점 , 의 좌표의차의 배이 A B x 12 다. ^-AB^-  ∴    마찬가지로 =12 ^-AB^- y y=x@ , (2a+1) 이므로 , 에서   l 1) C(-1 B D(2 4) ^-CD^- =312 E A G C O H D F x 에서 Z semoCFD ：  semoEGH ：  ： 이므로 ^-EH^- ^-GH^-  =^-CD^-   ^-FD^- =12  1 ^-GH^-  ∴ =  1 12 ^-EH^- = (a^2 1 12  +a-2)   S_1  =1/2\(212 a+12  +312 )\ (a^2 +a-2)  1 12   ⑴  ⑵ ,  ⑶  ,  9/4 A(3/2 9/4) y=2/3 x+5/4 y=3/2 x 32 ⑴각직사각형의왼쪽이 축에접할때까지왼쪽으로평행이동  =(a+2)(a^2  +a-2) =(a-1)(a+2)^2   S_2  =1/2\(a^2  +a)\(2a+1)  하여생각하면도형 y 는밑변의길이가 ,높이가  인  직사각형이된다. A 1 1/4 n^2 ⑶ =1/2 a(a+1)(2a+1)   , (a-1)(a+2)^2 =1/2 a(a+1)(2a+1)   ∴ 의넓이     ⑵ (A n^2 )=1\1/4 는밑변의길이가 =1/4 n^2 ,높이가  인직사각형이므로 3a^2  ∴ -a-8=0  a= 1+rt97  ⑴ 6 ∵  ( a>1) ,  S_1=(a-1)(a+2)^2 S_2=1/2 a(a+1)(2a+1) a+1 ⑵ ⑶  1+rt97 6 nemoOQPR  넓이는     n 1/4 n^2 n\1/4   n^2 =1/4 , n^3   1/4 n^3  -1/4  n^2 =396 ,  n^3 -n^2 =4\396   ∴ n^2 (n-1)=4\396=12^2 \11  n=12       , 라하면점 는직선 위의점이므로  ⑴   ⑵ 1/4 n^2 12  C(k k)  ∴ C 2x-3y+6=0  ∴ , 2k-3k+6=0 k=6  이때 C(6 6) 의그래프가점 를지나므로 33 ⑴직선 의식은  에서  이므로직선 과 l 의그래프의교점의 =x+a y-a^2 좌표는  y=x+a^2 +a  에서 l y=x^2 x x^2 =x+a^2 +a  ∴ (x+a)(x-a-1)=0 또는 따라서점 x=-a 의 좌표가 x=a+1 이므로점 의 좌표는 이 다. A x -a B x a+1 y=ax^2  ∴ 6=36a   ⑵ a=1/6 C , 1/6 b^2 -1/6\1^2=2(b-1)  , 1/6(b^2 -1^2)=2(b-1)  ∴ (b+1)(b-1)=12(b-1) L 이므로 ⑵직선 의기울기가 이므로두점 , 의 좌표의차와 좌 ⑶ b 1 의밑변을 b+1=12 라할때,입체도형의부피가최대가 b=11 표의차는같다. l 1 A B x y 되려면높이가최대이면된다. semoAOP ^-AO^- Ⅳ. 이차함수 75        34 ⑴                 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 75 2017. 7. 21. 오후 3:22 Ⅳ이차함수 따라서점 는직선 과원 의교점일때이다.  ∴ , P  x=6 C  P(6 12)  ⑴ , ,  ⑵  ⑶ , C(6 6) a=1/6 11 P(6 12) ∵ ∴ (a-2)(a-12)=0 이므로  a=2( 0<a<3) ^-QS^- 색칠한부분의넓이 =1 가점 에있을때, 는 축에평행하다.  즉,점 P 와 축에대하여대칭이다. x ^-AQ^- 35 ⑴점 는점 B ,  ∴ ⑵ Q , Q(-2 A 일때 8) y Q(-1 2) 의기울기 (^<QA^> )= 같은기울기로점 에서점 의 O 8-2 를지나는직선 2-(-1) 좌표는 이다. =2 의식은 이므로 OP y=2x  4  ∴ x=2 , P(2 ⑶ , y P 일때,직선 4) 점 P(2  ∴ A  직선 를지나는직선 2) OP 의식은 y=x AQ y-8=x-2 와포물선 의교점을구하면 y=x+6  AQ  2x^2 =x+6 2x^2 -x-6=0 y=2x^2 x=2 좌표는음수이므로   x=-3/2 ,  ⑵ ,  ⑶ , Q(-2 8) P(2 4) Q(-3/2 9/2)       (  37   38 의식은 이고여기에평행하며  ∴ m+(m+2)+9m>0  ∴ (2x+3)(x-2)=0 또는 x=-3/2 의  점 Q x  ∴ Q(-3/2 ,  9/2)  ⑴ 36 y O A Q B P D RS C x ∴ y=1/8 , x^2 -3/4 x , S(3 이라하면 0) Q(a 0) ,    이므로 A(a -1/8 +3/4 a^2   a)  3-a=-1/8 a^2 +3/4 a -14a+24=0  a^2 76 포물선의꼭짓점에서 축에내린수선의발을 라하면    x  에서 S y=1/8 x^2 포물선 x=1/8(x-3)^2 -3/4   -9/8 의꼭짓점의좌표는  , 이다. (3 -9/8) )=2\(π/4-1/2)=π/2-1  π/2-1 A-solution 일 때와   m>0 일때 m<0 일 때를 나누어 구한다. b에서 m<0  a r1par  ∴ <x< f(x)>0  즉, f(1)>0 -2/11<m<0 일때 b에서   a r2par  ∴ m>0 <x<  즉, f(1)<0 f(x)<0  ∴ m+(m+2)+9m<0 å ∫ 1 1 å ∫ m<-2/11  이므로조건을만족하지않는다. TQ 따라서 m>0 의값의범위는 m -2/11<m<0 이다.  -2/11<m<0 , 이면 , , 이다.  m) D(0  a\(-m)^2 A(-m , +b\(-m)+m=0 0) , c=m am^2 -bm+m=0 ∵ m(am-b+1)=0 ∴ am-b+1=0( L m 0) b=am+1 ab=a(am+1)=m 이므로 a^2 의최댓값은 m<0 ab 39 ㉠에서함숫값이 보다큰 의값의범위는 또는 0 ㉡에서함숫값이 x<-2 x>3  ……㉢ x 보다작은 의값의범위는  0 ……㉣ x ㉢과㉣에서 -1<x<6  3<x<6 이다.    1 +a=m(a+ ) 2m 이다.    ^2 - 1 4m - 1 4m   1 4m -  3<x<6 (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 76 2017. 7. 21. 오후 3:22 정답과 풀이40   라하면  ^-NP^- =x cm ^-PQ^-  ： =4-x(cm) ： , ^-PQ^- ： ^-BF^- =^-AQ^- ： , ^-AF^- (4-x)  1=^-AQ^- 2  ∴ ^-AQ^-=8-2x  (cm)    ^-MP^- =^-EQ^-  =^-EA^- +^-AQ^- =2+^-AQ^- =2+(8-2x)  ∴ =10-2x (cm)    nemoPNDM =x(10-2x)            =-2x^2 +10x =-2(x-5/2)^2   +25/2 (cm^2 ) 3 x 4 의최대넓이는 일때 x=3   이다. +25/2=-1/2+25/2=12 (cm^2 )  이다. i i 이므로 nemoPNDM  -2(3-5/2)^2 따라서 ^-NP^-=3 cm   3 cm 본문 P. 185~189 위그래프의식을  로놓고 , 을대입하면 y=ax^2 +4 x=0.4 y=3 에서 이므로   3=0.16a+4  a=-6.25  y =-6.25x^2 +4 이함수의 =-(2.5x+2)(2.5x-2) 절편은 과 이므로선아는담에서최소 x  초과하여떨어진곳에서문제집을던져야 -0.8 0.8 지훈이네집에들어갈수있다. 0.8-0.4=0.4 (m)   0.4 m 2 세점의좌표를포물선의식에대입하면 , , 이므로 연립하여풀면 a-b+c=1 a+b+c=3 , , 4a+2b+c=1 이다.  과 a=-1 b=1 가한점에서만나므로 c=3 이차방정식 y=-x^2 +x+3  y=-x+k 가중근을갖는다. 즉,  -x^2 +x+3=-x+k 의판별식 x^2 -2x+k-3=0 이므로 이다. #D/4=1-(k-3)=0 는이차함수 점 k=4  의그래프와 일차함수 A y=-x^2 의그래프의교점이므로 +x+3  y=-x+4 에서 ,   ∴ -x^2 +x+3=-x+4 , x=1 y=3 두점 A(1 와 3) 사이의거리가최소가될때는점 에서직선 A 에내린수선의발이 B 인경우이다. A 점 y=-x 를지나고 에수직인직선의방정식은 B A 에서 y=-x 이다. 는 점 y-3=x-1 와 y=x+2 의교점이므로 에서 따라서구하는거리는두점 x=-1 B(-1 y=1 1) , , , 사이의거리 이다. A(1 3) B(-1 1) 위그림과같이 를대각선으로하는정사각형을만들면  ^-AB^-^2=4 1/2 ^-AB^- 에서  이다. ^-AB^- =18 =212 3    x^2 -ax+(1+a)^2  -5=0  ……㉠에서 x^2 -ax+a^2 +2a-4=0     212 Ⅳ. 이차함수 77 사고력의 날개 본문 P. 188~189 B , y=-x  ∴ y=x+2 , -x=x+2 1 쌓여있는상자의높이가  이고, 너비는  이므로선아는높이가 0.3\10=3 (m)  이고 너비가 0.3\2=0.6  (m) 인장애물을넘도록문제집을던져 m 3 야한다. 0.6+0.2=0.8 (m) 던져진문제집은포물선을그리며이동하고,선아가최대로던 질수있는높이는  이므로점 , 를꼭짓점으로하는위 로볼록한모양의포물선을그리면다음그림과같은그래프가 4 m 4) (0 y 3 1 O B -1 A 1 x 나온다. y 4 3 O -0.4 0.4 x (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 77 2017. 7. 21. 오후 3:22 Ⅳ이차함수,  p+q=a pq=a^2  +2a-4  (1+p)(1+q) =1+(p+q)+pq   =1+a+a^2 +2a-4 =a^2 +3a-3  =(a^2 +3a+9/4)-9/4-3 =(a+3/2)^2-21/4  ……㉡이라놓는다.  f(a)=(a+3/2)^2-21/4 이때㉠은 이므로 j   D 0 j a^2  -4(a^2 +2a-4) j 0  -3a^2 -8a+16 i 0 3a^2 +8a-16 (3a-4)(a+4) ∴ i i 0 i 0 -4 a 4/3 일때최솟값 a=-3/2 f{a} 25 - 9 3 - - 2 -4 a O 4 - 3 - 21 - 4 -4 i a i 4/3 의범위에서㉡의최댓값과최솟값을각각구하면 , 일때최댓값 이다. -21/4 a=4/3 25/9  최댓값： ,최솟값： 25/9 -21/4      S(t) =-t^2  +2at-b    =-(t^2   -2at+a^2 )+a^2 -b =-(t-a)^2 의그래프는 +a^2 , -b  를꼭짓점으로하고위로볼록 한포물선이다. y=S(t) (a a^2 -b)  r1par a<-2 인경우 y 4 2 O-2 t -4 t=a , i S(-2) 4 j 이므로 에서 S(2) -4 i  ……㉠ 4  ∴ S(-2)=-4-4a-b j -b 4a+8 b -4a-8 j 에서    ∴ S(2)=-4+4a-b  ……㉡ -4 -b -4a i j i b 4a 78    4      ㉠,㉡에서 i i 이므로 , -4a-8 i b i 4a  ∴ -4a-8 j 4a -8a 8 이를만족하는영역은없다. a -1 TQ  r2par -2 i i 2 y a 4 인경우 -2 O 2 t -4 t=a , i S(a) 4 j S(2)  -4 j , S(-2) -4 에서 i i   ∴  S(a)=a^2 j -b 4 b a^2 -4 -b 4-a^2 j 에서 S(-2)=-4-4a-b , j -4 j  ∴ -4-4a-b i -4 -b 4a b -4a j 에서 , S(2)=-4+4a-b j -4 j  ∴ -4+4a-b i -4 -b -4a  b 4a 에서 z 다. 경계선포함 ( b b=a@-4 ) 2-2Â2 -2 O -2+2Â2 a 2 8-8Â2 -4 b=4a b=-4a  인경우 r3par y a>2 4 -2 O 2 -4 t=a , i t j                    S(2) 4 S(-2) -4 i 에서 i  ∴ ……㉢ S(2)=-4+4a-b 4 -b 8-4a b 4a-8 j 에서 j  ∴ S(-2)=-4-4a-b ……㉣ -4 -b 4a j i  ㉢,㉣에서 -4a b i i  ∴ i 4a-8 b -4a 이를만족하는영역은없다. a 1 TQ  풀이참조 에서  a^2 -4=-4a 212 이를만족하는영역은다음그림에서색칠한부분과같 -4=4a a=-2 z a=2 212 a^2 TQ (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 78 2017. 7. 21. 오후 3:22 정답과 풀이memo (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 79 2017. 7. 21. 오후 3:22 memo (54~80)-에이급(3-1)-4(정)-OK.indd 80 2017. 7. 21. 오후 3:22