제곱근의 뜻과 성질
01
제곱근의 뜻과 표현
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
8~10쪽
1
13 ③
17 ③
23 ⑤
27 ②
31 ④
34
"Ã
41 ⑤
45 ②
49 ③
53 3개
57 6
61 ③
65 22
69 ③
73 18
77 7
81 ⑤
85 ①, ④
89 ③
93 ⑤
97 ④
101 26
105 ②
01 ②, ④
02 ④
03 -2
05 ②
09 ①, ④
06 ④
10 ②
07 ⑤
11 13
04 -
®Â;;ª1ª6°;;
08 ④
12 ②, ⑤
14
'¶
30 cm
15 5 cm
16 ②, ④
18 ⑴
⑵ -7
;3!;
20 ⑴ a ⑵ a
21 a+6b
22 ②
24 ②
28 -6
32 -
;8A;
25 ④
29 ⑤
33 ㄷ, ㄹ
(-5a)Û`, -
(-6a)Û`
35 ②
"Ã
37 2a+9b
38 -7a+8b 39 ④
36 ④
40 x+3
19 0
26 8
30 5
44 ③
48 7
52 ②
56 18
60 ④
64 ④
68 -1
72 ②
76 -8
80 4개
84 ②
88 ⑤
92 ④
96 ③
100 ⑤
104 ④
108 ②
42 9
46 ②
50 ②
54 ④
58 3
62 17
66 8
70 3
74 ④
78 7
82 ①
86 ④
90 ⑤
98 0
102 ③
106 3
43 3a
47 5
51 6
55 ①
59 ⑤
63 ②
67 ⑤
71 ⑤
75 ③
79 ③
83 5개
87 9 cm
91 ③
99 ③
103 ②
107 9
94 -3x+2y 95 ③
06 답 ④
음수의 제곱근은 없다.
⑤ 제곱근 10은
10이고, 10의 제곱근은 Ñ
10이므로 같지 않다.
'¶
'¶
따라서 옳은 것은 ④이다.
01 답 ②, ④
x가 a의 제곱근이므로 xÛ`=a 또는 x=Ñ
a
'§
따라서 옳은 것은 ②, ④이다.
02 답 ④
① 제곱근 11은
11이다.
'¶
② 0의 제곱근은 0이다.
③ -5는 음수이므로 제곱근이 없다.
④
81=9의 제곱근은 Ñ3이다.
'¶
03 답 -2
(-6)Û`=36의 음의 제곱근은 -6이므로 A=-6
256=16의 양의 제곱근은 4이므로 B=4
'¶
∴ A+B=-6+4=-2
04 답 -
®Â;;ª1ª6°;;
;;ª1ª6°;;={;;Á4°;;}
-®Â;;ª1ª6°;;=-;;Á4°;;
Û`이므로
05 답 ②
x는 7의 제곱근이므로 xÛ`=7 또는 x=Ñ
7
'
따라서 바르게 나타낸 것은 ②이다.
07 답 ⑤
AÛ`=16, BÛ`=8이므로 AÛ`-BÛ`=16-8=8
08 답 ④
ㄷ. 6의 제곱근은 Ñ
6이다.
'
ㅁ. 양수의 제곱근은 양수와 음수의 2개이다.
09 답 ①, ④
② 양수의 제곱근은 2개이지만 0의 제곱근은 1개, 음수의 제곱근은
없다.
③ 0.H4=
의 제곱근은 Ñ
이다.
;9$;
;3@;
④
16=4의 제곱근은 Ñ2이다.
'¶
⑤ 제곱하여 0.3이 되는 수는 Ñ
0.3의 2개이다.
'¶
⑥ 15의 제곱근은 Ñ
15의 2개이고, 두 제곱근의 합은 0이다.
따라서 옳은 것은 ①, ④이다.
'¶
1. 제곱근의 뜻과 성질 1
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 1
18. 8. 30. 오전 11:23
10 답 ②
①, ③, ④, ⑤ Ñ2 ②
4=2
'
따라서 그 값이 나머지 넷과 다른 하나는 ②이다.
11 답 13
(-10)Û`=100의 양의 제곱근은 10이므로 A=10
81=9의 음의 제곱근은 -3이므로 B=-3
'¶
∴ A-B=10-(-3)=13
12 답 ②, ⑤
①
'¶
64=8의 제곱근 ⇨ Ñ
8
'
③ 0.36의 제곱근 ⇨ Ñ0.6
④
=
이므로 제곱근
⇨
®Â;2!5^;
;5$;
;5$;
®;5$;
따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다.
13 답 ③
144의 제곱근은 Ñ12이고 a>b이므로 a=12, b=-12
∴
'Ä
"Ã
a-2b=
12-2_(-12)=
36=6
'¶
따라서 제곱근 6은
6이다.
14 답
30 cm
'§
'
;2!;
02
제곱근의 성질 ⑴
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
11~14쪽
18 답 ⑴
;3!;
⑵ -7
⑴
{
-
®;3!;
}
Û`=
;3!;
⑵ -
7Û`=-7
"½
19 답 0
100-
'¶
"Ã
(-15)Û`+(-
5 )Û`=10-15+5=0
'
20 답 ⑴ a ⑵ a
a)Û`=a
⑴ (-
'
⑵
(-a)Û` =-(-a)=a
"Ã
21 답 a+6b
a>0, b<0일 때, -3a<0, 6b<0이므로
(-3a)Û`-
36bÛ`-2
aÛ` =
"Ã
"Ã
"
(-3a)Û`-
(6b)Û`-2
aÛ`
"Ã
"Ã
=-(-3a)-(-6b)-2a
"
=3a+6b-2a=a+6b
(삼각형의 넓이)=
_10_6=30(cmÛ`)
y`Ú
정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 xÛ`=30
이때 x>0이므로 x=
30
'¶
따라서 정사각형의 한 변의 길이는
30 cm이다.
y`Û
'¶
22 답 ②
10, a-2<0이므로
(a-1)Û`+
(a-2)Û` =a-1+{-(a-2)}
"Ã
"Ã
=a-1-a+2=1
채점 기준
Ú 삼각형의 넓이 구하기
Û 정사각형의 한 변의 길이 구하기
15 답 5 cm
새로운 색종이의 넓이는 3Û`+4Û`=25(cmÛ`)
새로운 색종이의 한 변의 길이를 x cm라 하면 xÛ`=25
이때 x>0이므로 x=5
따라서 새로운 색종이의 한 변의 길이는 5 cm이다.
50%
50%
23 답 ⑤
Û`=
①
¾¨{;2!;}
이므로 -
;2!;
¾¨{;2!;}
Û`=-
;2!;
②
"Ã
③ (-
④ (
(-10)Û`=10
0.3)Û`=0.3
'¶
4)Û`=4
⑤
'
(-5)Û`=5이므로 -
"Ã
"Ã
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
(-5)Û`=-5
16 답 ②, ④
① 121=11Û`이므로
121=11
'¶
Û`이므로
③
=
;3Á6;
{;6!;}
=
®Â;3Á6;
;6!;
⑤ 64=8Û`이므로 -
64=-8
'¶
따라서 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 없는 수는 ②, ④이다.
17 답 ③
27-2
2.H7
=
9 =:ª9°:
의 제곱근 ⇨ Ñ
®Â:ª9°:
=Ñ
;3%;
81=9의 제곱근 ⇨ Ñ
9=Ñ3
'
의 제곱근 ⇨ Ñ
®Â;3$6(;
=Ñ
;6&;
'¶
;3$6(;
따라서 근호를 사용하지 않고 제곱근을 나타낼 수 있는 수는
2.H7,
81,
의 3개이다.
'¶
;3$6(;
2 정답과 해설
24 답 ②
① -
③ (
'
④ (-
'
36=-6
'¶
6)Û`=6이므로 -(
6 )Û`=-6
'
②
(-6)Û`=6
"Ã
6 )Û`=6이므로 -(-
6)Û`=-6
⑤
6Û`=6이므로 -
"
'
6Û`=-6
"
따라서 그 값이 나머지 넷과 다른 하나는 ②이다.
25 답 ④
Û`=
①
{;2!;}
;4!;
②
{
-
®;4!;`}
;4!;
Û`=
③
0.01=0.1=
'Ä
;1Á0;
④
(-0.5)Û`=0.5=
"Ã
;2!;
⑤
-
¾¨{
;9!;}
Û`=
;9!;
이므로 -
-
¾¨{
;9!;}
Û`=-
;9!;
따라서 가장 큰 수는 ④이다.
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 2
18. 8. 30. 오전 11:23
26 답 8
(-25)Û`=25의 양의 제곱근은
'¶
9)Û`=9의 음의 제곱근은 -
"Ã
(-
'
'
∴ a-b=5-(-3)=8
채점 기준
Ú a의 값 구하기
Û b의 값 구하기
Ü a-b의 값 구하기
25=5이므로 a=5
y`Ú
9=-3이므로 b=-3 y`Û
-5a<0이므로
(-5a)Û`, -
34 답
"Ã
-6a<0이므로 -
"Ã
(-6a)Û`
(-6a)Û`=-{-(-6a)}=-6a
"Ã
(-5a)Û`=-(-5a)=5a
y`Ü
40%
40%
20%
"Ã
81aÛ`
>0이므로
:»2:
¾¨
4 =¾¨{:»2:}
=:»2:
4a>0이므로 - "Ã
16aÛ``
3 =-
"Ã
(4a)Û``
이때 a>0이므로 가장 큰 수는
3 =-:¢3:
(-5a)Û`, 가장 작은 수는
-
(-6a)Û` 이다.
"Ã
Û`
"Ã
27 답 ②
(-5)Û`_
"Ã
"
28 답 -6
3Û`-(-
11 )Û`=5_3-11=4
'¶
9-(-
13)Û`+(
7)Û`_
'
'¶
'
-
¾¨{
;7$;}
Û`=3-13+7_
=-6
;7$;
29 답 ⑤
A=
"Ã
(-11)Û`-(-
2)Û`=11-2=9
'
B=
¾¨{;2!;}
'¶
'
;2!;
16-(
3)Û`=
_4-3=-1
Û`_
∴ A+B=9+(-1)=8
30 답 5
A=
(-21)Û`_
"Ã
+
®Â;4@9%;
¾¨{;3@;}
Û`Ö
-
{
®Â;1Á5; }
Û`
A=21_
+
;7%;
;3@;
Ö
;1Á5;
A=21_
+
_15
;7%;
;3@;
A=15+10=25
따라서 제곱근 A는
25=5이다.
'¶
31 답 ④
a<0일 때, -a>0이므로
ㄱ.
"Ã
ㄷ. -
(-a)Û` =-a
'¶
(-a)Û` =-(-a)=a ㄹ. (-
ㄴ. (
-a )Û`=-a
-a )Û`=-a
'¶
ㅁ. -
aÛ`=-(-a)=a
"Ã
"
따라서 같은 값을 갖는 것끼리 바르게 짝 지은 것은 ④이다.
32 답 -
;8A;
a<0일 때,
<0이므로
;8A;
aÛ`
64
¾¨
=
Û`=-
;8A;
¾¨{;8A;}
33 답 ㄷ, ㄹ
ㄱ. 4a<0이므로 -
ㄴ. -3a>0이므로
"Ã
ㄷ. -7a>0이므로 -
16aÛ`=-
(4a)Û`=-(-4a)=4a
"Ã
(-3a)Û`=-3a
(-7a)Û`=-(-7a)=7a
"Ã
"
"Ã
9aÛ`=-
"
ㄹ. 3a<0이므로 -
(3a)Û`=-(-3a)=3a
따라서 옳지 않은 것은 ㄷ, ㄹ이다.
35 답 ②
a<0, b>0일 때, 2a<0, -2b<0이므로
4aÛ`+
bÛ`-
"
(-2b)Û` ="Ã(2a)Û`+
"Ã
"
"
bÛ`-
(-2b)Û`
"Ã
=-2a+b-{-(-2b)}
=-2a+b-2b=-2a-b
36 답 ④
a<0일 때, -5a>0, 3a<0이므로
aÛ`-
(-5a)Û`+
9aÛ` =
aÛ`-
(-5a)Û`+
(3a)Û`
"
"
"
"
"
"
=-a-(-5a)+(-3a)
=-a+5a-3a=a
37 답 2a+9b
a>0, b<0일 때, -7a<0, 9b<0, -5a<0이므로
(-7)Û`aÛ`-
81bÛ`-
25(-a)Û` =
(-7a)Û`-
(9b)Û`-
(-5a)Û`
"Ã
"Ã
"Ã
"
"Ã
"
=-(-7a)-(-9b)-{-(-5a)}
=7a+9b-5a=2a+9b
38 답 -7a+8b
a-b<0에서 a0이다.
즉, 7a<0, -9b<0이므로
49aÛ`+
(-9b)Û`-
bÛ` =
(7a)Û`+
(-9b)Û`-
bÛ`
"Ã
"Ã
"
"Ã
"Ã
"
=-7a+{-(-9b)}-b
=-7a+9b-b=-7a+8b
39 답 ④
-20이므로
(x-5)Û`-
(x+2)Û` =-(x-5)-(x+2)
"Ã
"Ã
=-x+5-x-2=-2x+3
40 답 x+3
00, x-3<0, -x-3<0이므로
(3-x)Û`-
(x-3)Û`+
"Ã
=3-x-{-(x-3)}+{-(-x-3)}
"Ã
"Ã
(-x-3)Û`
=3-x+x-3+x+3=x+3
41 답 ⑤
a>0, b<0일 때, a-b>0, b-1<0이므로
(a-b)Û`+
(b-1)Û` =a-b+{-(b-1)}
"Ã
"Ã
=a-b-b+1=a-2b+1
1. 제곱근의 뜻과 성질 3
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 3
18. 8. 30. 오전 11:23
42 답 9
x>4일 때, x-2>0, 4-x<0이므로
(x-2)Û`+
(4-x)Û` =x-2+{-(4-x)}
"Ã
"Ã
=x-2-4+x
=2x-6
즉, 2x-6=12이므로
2x=18 ∴ x=9
채점 기준
Ú x-2, 4-x의 부호 정하기
Û 식을 간단히 하기
Ü x의 값 구하기
43 답 3a
a>b, ab<0이므로 a>0, b<0
즉, -2a<0, a-b>0이므로
(-2a)Û`-|b|+
(a-b)Û` =-(-2a)-(-b)+a-b
"Ã
"Ã
=2a+b+a-b
=3a
44 답 ③
a>b>c>0일 때, a-b>0, b-c>0, c-a<0이므로
03
제곱근의 성질 ⑵
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
15~17쪽
2Û`_3Û`_5_a 가 자연수가 되려면 a=5_(자연수)Û`의 꼴
따라서 가장 작은 자연수 a의 값은 5이다.
y`Ú
y`Û
y`Ü
30%
50%
20%
47 답 5
180a=
'Ä
이어야 한다.
"Ã
48 답 7
"®É:ª[¥:
=¾¨
2Û`_7
x
이 자연수가 되려면 x는 28의 약수이면서
7_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다.
따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 7이다.
49 답 ③
13+a 가 자연수가 되려면 13+a의 값이 13보다 큰 제곱인 수이어
'Ä
야 하므로
13+a=16, 25, 36, y
∴ a=3, 12, 23, y
따라서 가장 작은 자연수 a의 값은 3이다.
50 답 ②
16-n이 정수가 되려면 16-n의 값이 0 또는 16보다 작은 제곱인
ㄴ. -10, 1-x>0이므로
가 자연수가 되려면 x=2_3_(자연수)Û`의
따라서 가장 작은 자연수 n의 값은 7이다.
'Ä
수이어야 하므로
16-n=0, 1, 4, 9
∴ n=16, 15, 12, 7
51 답 6
®É:;!2$:&;
x=¾¨
3_7Û`_x
2
꼴이어야 한다.
따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 2_3=6이다.
52 답 ②
2Û`_3Ü`_5Ý`_a 가 자연수가 되려면 a=3_(자연수)Û`의 꼴이어야
② 9=3_3
④ 27=3_3Û`
따라서 자연수 a의 값으로 옳지 않은 것은 ②이다.
"Ã
한다.
① 3=3_1Û`
③ 12=3_2Û`
⑤ 48=3_4Û`
53 답 3개
60n=
'¶
꼴이어야 한다.
"Ã
2Û`_3_5_n이 자연수가 되려면 n=3_5_(자연수)Û`의
45 답 ②
ㄱ. x<-1이면 x+1<0, 1-x>0이므로
(a-b)Û`-
(b-c)Û`+
(c-a)Û`
"Ã
=a-b-(b-c)+{-(c-a)}
"Ã
"Ã
=a-b-b+c-c+a
=2a-2b
A =
(x+1)Û`-
(1-x)Û`
=-(x+1)-(1-x)
=-x-1-1+x=-2
A =
(x+1)Û`-
(1-x)Û`
=x+1-(1-x)
=x+1-1+x=2x
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
A =
(x+1)Û`-
(1-x)Û`
=x+1-{-(1-x)}
=x+1+1-x=2
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
ㄷ. x>1이면 x+1>0, 1-x<0이므로
46 답 ②
01이므로 a<
이다.
;a!;
;a!;
즉, a+
>0, a-
<0이므로
;a!;
;a!;
a+
¾¨{
;a!;}
¾¨{
a-
;a!;}
Û`-
Û`=a+
-
-
a-
[
{
;a!;
;a!;}]
4 정답과 해설
=a+
+a-
;a!;
;a!;
=2a
따라서 10Én<150인 자연수 n은
3_5_1Û`=15, 3_5_2Û`=60, 3_5_3Û`=135의 3개이다.
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 4
18. 8. 30. 오전 11:23
54 답 ④
y=
12.8x=¾¨
'Ä
8Û`_x
5
어야 한다.
따라서 두 자리의 자연수 x는
5_2Û`=20, 5_3Û`=45, 5_4Û`=80
이므로 x의 값 중 가장 큰 수는 80이다.
가 자연수가 되려면 x=5_(자연수)Û`의 꼴이
'Ä
야 하므로
60 답 ④
27+a 가 자연수가 되려면 27+a의 값이 27보다 큰 제곱인 수이어
27+a=36, 49, 64, 81, 100, y
∴ a=9, 22, 37, 54, 73, y
따라서 자연수 a의 값이 아닌 것은 ④이다.
55 답 ①
®É:¢[°:
된다.
61 답 ③
50+n이 자연수가 되려면 50+n의 값이 50보다 큰 제곱인 수이어
가 가장 큰 자연수가 되려면 가장 작은 자연수 x의 값을 구하면
'Ä
야 하므로
가 자연수가 되려면 x는 45의 약수이면서
∴ n=14, 31, 50, 71, 94, 119, y
50+n=64, 81, 100, 121, 144, 169, y
따라서 100 이하의 자연수 n은 14, 31, 50, 71, 94의 5개이다.
이때
®É:¢[°:
=¾¨
3Û`_5
x
5_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다.
따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 5이다.
56 답 18
®É:¦aª:
=¾¨
2Ü`_3Û`
a
이 자연수가 되려면 a는 72의 약수이면서
2_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다.
따라서 가장 작은 두 자리의 자연수 a의 값은 2_3Û`=18이다.
57 답 6
넓이가
인 정사각형 모양의 색종이의 한 변의 길이는
:;@[!:^;
이
®É:;@[!:^;
므로
®É:;@[!:^;
=¾¨
2Ü`_3Ü`
x
2_3_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다.
이 자연수가 되려면 x는 216의 약수이면서
따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 2_3=6이다.
58 답 3
®É:;!a):*;
=¾¨
2Û`_3Ü`
a
3_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다.
∴ a=3, 3_2Û`, 3Ü`, 3Ü`_2Û`
이 자연수가 되려면 a는 108의 약수이면서
2Û`_3_a가 자연수가 되려면 a=3_(자연수)Û`의 꼴이어야
12a=
'Ä
한다.
"Ã
채점 기준
Ú
®É:;!a):*;
'Ä
따라서 구하는 가장 작은 자연수 a의 값은 3이다.
이 자연수가 되도록 하는 자연수 a의 값 구하기
Û
12a가 자연수가 되도록 하는 자연수 a의 조건 구하기
Ü 가장 작은 자연수 a의 값 구하기
y`Ú
y`Û
y`Ü
40%
40%
20%
16+x 가 자연수가 되려면 16+x의 값이 16보다 큰 제
59 답 ⑤
4Û`+x=
"Ã
'Ä
곱인 수이어야 하므로
16+x=25, 36, 49, y
∴ x=9, 20, 33, y
따라서 자연수 x의 값 중 최솟값은 9이다.
62 답 17
115+a 가 자연수가 되려면 115+a의 값이 115보다 큰 제곱인 수
'Ä
이어야 하므로
115+a=121, 144, 169, y
∴ a=6, 29, 54, y
따라서 가장 작은 자연수 a=6
115+6=
이때 b=
'Ä
a+b=6+11=17
'¶
121=11이므로
63 답 ②
19-x 가 정수가 되려면 19-x의 값이 0 또는 19보다 작은 제곱인
'Ä
수이어야 하므로
19-x=0, 1, 4, 9, 16
∴ x=19, 18, 15, 10, 3
따라서 자연수 x의 값이 아닌 것은 ②이다.
64 답 ④
50-a 가 자연수가 되려면 50-a의 값이 50보다 작은 제곱인 수이
'Ä
어야 하므로
50-a=1, 4, 9, 16, 25, 36, 49
∴ a=49, 46, 41, 34, 25, 14, 1
따라서 자연수 a의 개수는 7개이다.
65 답 22
30-2x 가 정수가 되려면 30-2x의 값이 0 또는 30보다 작은 제
'Ä
곱인 수이어야 하므로
30-2x=0, 1, 4, 9, 16, 25
∴ x=15,
, 13,
, 7,
;2%;
:ª2Á:
:ª2»:
이때 x는 자연수이므로 x=15, 13, 7
따라서 A=15, B=7이므로
A+B=15+7=22
1. 제곱근의 뜻과 성질 5
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 5
18. 8. 30. 오전 11:23
66 답 8
두 정사각형 A, C의 한 변의 길이는 각각
x,
14-x이다.
®Â:Á5¥:
'Ä
이때
®Â
Â:Á5¥:
x=¾¨
2_3Û`_x
5
의 꼴이어야 하므로 x의 값은
가 자연수가 되려면 x=2_5_(자연수)Û`
2_5_1Û`=10, 2_5_2Û`=40, 2_5_3Û`=90, y
y`㉠
또
14-x 가 자연수가 되려면 14-x의 값이 14보다 작은 제곱인
'Ä
수이어야 하므로
㉠, ㉡에서 x=10이므로
14-x=1, 4, 9이이∴ x=13, 10, 5
y`㉡
(정사각형 A의 한 변의 길이)=
x=
®Â:Á5¥:
®É:Á5¥:
_10=
36=6
'¶
(정사각형 C의 한 변의 길이)=
14-x=
14-10=
4=2
'Ä
'Ä
'
따라서 직사각형 B의 넓이는 2_(6-2)=8
70 답 3
64=8,
'¶
∴ f(75)=(
'¶
81=9이므로 8<
75 <9
'¶
75 이하의 자연수의 개수)=8
'¶
25=5,
'¶
∴ f(30)=(
'¶
36=6이므로 5<
30 <6
'¶
30 이하의 자연수의 개수)=5
'¶
∴ f(75)-f(30)=8-5=3
71 답 ⑤
① 7<8이므로
7<
8
'
'
②
'Ä
③ 4=
'¶
0.09=0.3이므로 0.25<0.3 ∴ 0.25<
0.09
16이고 18>16이므로
18>
'¶
'¶
'Ä
16 ∴
18>4
'§
④
=
;6!;
\®Â;3Á6;
이고
<
;3Á6;
;1Á2;
이므로
<
®Â;3Á6;
®Â;1Á2;
∴
<
;6!;
\®Â;1Á2;
⑤
=
2.5이고 2.4<2.5에서
2.4<
2.5이므로
'¶
'¶
\®;2%;
'¶
-
2.4>-
2.5 ∴ -
2.4>-
'¶
'¶
'¶
®;2%;
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
04
제곱근의 대소 관계
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
67 답 ⑤
① 5<6이므로
'Ä
0.3 >
'Ä
'¶
③ 5=
'¶
5 <
'
'
6 ∴ -
5 >-
6
'
'
② 0.3=
0.09이고 0.3>0.09이므로
0.09 ∴
0.3 >0.3
'¶
25이고 25>24이므로
25 >
24 ∴ 5>
24
'¶
'¶
'¶
④
=
;3!;
®;9!;
이고
;9!;>;1Á0;
이므로
®É;9!;`>®É;1Á0;
∴
>
;3!;
®É;1Á0;
⑤ 2<3이므로
2<
'
2
3 ∴ '
2
3
< '
2
'
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
68 답 -1
4, 3=
2=
'
"Ã(2-
'
2 )Û`-"Ã(
'
'
9에서 2-
2>0,
2-3<0이므로
'
2-3)Û` =2-
'
2-{-(
2-3)}
'
'
'
=2-
2+
2-3=-1
'
3a<5에서 3Û`<(
3a)Û`<5Û`, 9<3a<25
'¶
따라서 자연수 a는 4, 5, 6, 7, 8의 5개이다.
3<
3a<5에서 3=
9, 5=
25이므로
'
'¶
'¶
9<
3a<
25, 9<3a<25이이∴ 3-
'
8 ∴ -2>-
'
-
'
'
8 y`㉠
'
양수끼리 대소를 비교하면
(-3)Û`=
9이고
<9<10이므로
'
;2!;
"Ã
<
(-3)Û`<
10
®;2!
~;
"Ã
'¶
y`㉡
y`Ú
y`Û
y`Ü
y`Ý
30 %
30 %
20 %
20 %
㉠, ㉡에서 -
8<-2<0<
<
(-3)Û`<
10
'
®;2!
~;
"Ã
따라서 가장 작은 수 a=-
8, 가장 큰 수 b=
10이므로
'
aÛ`+bÛ`=(-
8)Û`+(
10)Û`=8+10=18
'
'¶
'¶
'¶
채점 기준
Ú 음수끼리 대소 비교하기
Û 양수끼리 대소 비교하기
Ü 주어진 수의 대소 비교하기
Ý aÛ`+bÛ`의 값 구하기
먼저 음수와 양수로 구분한 후, 각각의 대소를 비교한다.
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 6
18. 8. 30. 오전 11:23
¶
\
74 답 ④
01
;a!;
⑤
>1
®;a!;
이때
>
;a!;
®;a!;
;a!;
이므로
의 값이 가장 크다.
② aÛ`=
{;4!;}
;1Á6;
③
a=
'
®;4!;
=
;2!;
Û`=
⑤
=
4=2
®;a!;
'
따라서 그 값이 가장 큰 것은 ④이다.
3-4<0,
3-1>0이므로
'
3-1)Û` =-(
3-4)+(
3-1)
'
'
3+4+
3-1=3
'
=-
'
76 답 -8
x+y=4+(-2-
10 )=2-
10
이때 2=
4이므로 2-
'
x-y=4-(-2-
'¶
10<0
10 )=6+
10>0
'¶
'¶
'¶
'¶
∴
(x+y)Û`-
(x-y)Û` =-(2-
10)-(6+
"Ã
"Ã
'¶
10-6-
'¶
10)
'¶
10=-8
=-2+
'¶
9에서 3-
10<0,
10-3>0이므로
'¶
(
'¶
10-3)Û`-
(-3)Û`+(-
10)Û`
'¶
"Ã
10-3)-3+10
=-3+
10+3-3+10=7
77 답 7
3=
'
(3-
10)Û`-
'¶
¿¹
=-(3-
'¶
¿¹
10 )-(
'¶
'¶
10-
'¶
'¶
78 답 7
8<
'¶
∴
:¤5¢:
0이므로 r=9
따라서 큰 원의 반지름의 길이는 9 cm이다.
참고 닮음비가 m : n인 두 닮은 도형의 넓이의 비는 mÛ` : nÛ`이다.
따라서 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 있는 수는 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.
88 답 ⑤
ㄴ. 제곱근 16은
16=4이다.
'¶
'¶
ㄷ. 225=15Û`이므로 -
225=-15이다.
ㄹ. 3Û`=9의 음의 제곱근은 -3이다.
ㅁ.
®É;8@1%;=;9%;
의 양의 제곱근은
이다.
®;9%;
89 답 ③
주어진 수들의 규칙성을 찾아보면
1Û`=1
1=
'
1개
"
1+3=
â}0
2개
'Ä
'
4=
2Û`=2
"
1+3+5=
9=
3Û`=3
'
"
)}0
'Ä
3개
1+3+5+7=
)M}M0
'Ä
'¶
16=
4Û`=4
"
4개
⋮
다른 풀이
)MMM}MMM0
1+3+5+7+9+y+19=
10개
'Ä
"
10Û`=10
1+3+5+7+y+19=S로 놓고 다음과 같이 덧셈을 하면
S= 1 + 3 + 5 + 7 +y+17+19
+
>³
S=19+17+15+13+y+ 3 + 1
2S=20+20+20+20+y+20+20=20_10
)MMM}MMM0
10개
즉, S=
_20_10=10Û`이므로
S=
10Û`=10
'¶
"
;2!;
(-0.7)Û`=-0.7
90 답 ⑤
⑤ -
"Ã
8 정답과 해설
91 답 ③
A =
'¶
16_(-
24)Û`Ö
(-8)Û`
'¶
"Ã
=4_24Ö8=4_24_
=12
;8!;
B =-(-
5 )Û`_(
0.6 )Û`-
1.44
'
'¶
'Ä
=-5_0.6-1.2=-4.2
∴ A+B=12+(-4.2)=7.8
92 답 ④
a>0일 때
③ -2a<0이므로
"Ã
④ -9a<0이므로 -
⑤ 8a>0이므로 -
"Ã
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
"Ã
"Ã
64aÛ`=-
(-2a)Û`=-(-2a)=2a
(-9a)Û` =-{-(-9a)}=-9a
(8a)Û`=-8a
93 답 ⑤
aÛ`=a에서 a>0
"
"Ã
(-b)Û`=-b에서 -b>0이므로 b<0
"Ã
따라서 -5a<0, 4b<0이므로
(-5a)Û`-
16bÛ` =
"Ã
(-5a)Û`-
(4b)Û`
"Ã
"Ã
=-(-5a)-(-4b)=5a+4b
94 답 -3x+2y
xy>0에서 x>0, y>0 또는 x<0, y<0
그런데 x+y<0이므로 x<0, y<0이다.
y`Ú
즉, 4x<0, -y>0, x+y<0이므로
16xÛ`-
(-y)Û`-
(x+y)Û` =
(4x)Û`-
(-y)Û`-
(x+y)Û`
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
=-4x-(-y)-{-(x+y)}
=-4x+y+x+y
=-3x+2y
채점 기준
Ú x, y의 부호 정하기
Û 식을 간단히 하기
y`Û
50%
50%
95 답 ③
00, x-2<0, 2-x>0이므로
xÛ`+
(x-2)Û`-
(2-x)Û` =x+{-(x-2)}-(2-x)
"
"Ã
"Ã
=x-x+2-2+x=x
96 답 ③
y0, x-y>0이므로
x
(y-z)Û`-y
(z-x)Û`-z
(x-y)Û`
"Ã
"Ã
"Ã
=x{-(y-z)}-y(z-x)-z(x-y)
=-xy+xz-yz+xy-xz+yz=0
97 답 ④
168xy=
2Ü`_3_7_xy가 자연수가 되려면
'Ä
xy=2_3_7_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다.
"Ã
따라서 xy의 최솟값은 2_3_7=42이다.
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 8
18. 8. 30. 오전 11:23
98 답 0
48a=
"Ã
'¶
한다.
2Ý`_3_a가 자연수가 되려면 a=3_(자연수)Û`의 꼴이어야
따라서 가장 작은 자연수 a의 값은 3이다.
48
b =¾Ð
2Ý`_3
b
®É
이 자연수가 되려면 b는 48의 약수이면서
3_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다.
따라서 가장 작은 자연수 b의 값은 3이다.
∴ a-b=3-3=0
aÛ`>a에서
aÛ`>
a이므로 a>
"
'
a
'
103 답 ②
a>1이므로 aÛ`>a
∴
a0이므로
'
'
5-3)+(
'
5+3+
'
=-
'
5-2=1
'
5-2)
5-2)Û` =-(
(
¿¹
'
105 답 ②
3<
'Ä
3x-1<4에서 3Û`<(
3x-1)Û`<4Û`
'Ä
9<3x-1<16, 10<3x<17
100 답 ⑤
42-x 가 정수가 되려면 42-x의 값이 0 또는 42보다 작은 제곱인
∴
:Á3¼:
-
10∴∴∴ -
'¶
'
(-3)Û`>-
'¶
10
'¶
"Ã
9<
10이므로
④
<
;3!;
;2!;
이므로
<
®;3!;
®;2!;
⑤ 6=
36이고 37>36에서
36이므로
'¶
37<-
36∴∴∴ -
-'¶
'¶
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
'¶
37>
'¶
'¶
37<-6
∴ N(1)+N(3)+N(5)+N(7)+N(9)
=1+1+2+2+3=9
108 답 ②
f(x)=7인 자연수 x는 7É
x <8이므로
'§
7Û`É(
x )Û`<8Û` ∴ 49Éx<64
'§
따라서 자연수 x는 49, 50, 51, y, 63의 15개이다.
1. 제곱근의 뜻과 성질 9
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 9
18. 8. 30. 오전 11:23
§
무리수와 실수
01
무리수와 실수
2
01 3개
04 ㄴ
07 ⑤
11 ⑤
15 ③
'¶
22 ㄷ, ㄹ
26 ④
30 ②
34 ③
40 8개
44 ②
2+
48
'¶
'
51 ②, ④
55 ④
59 ④
18 2+
10
19 ㄱ, ㄹ ㅁ 20 1+2p
02 ②
05 ②
08 34개
12 ③
16 ⑤
23 ⑤
27 ③
31 ④
35 ②
03 P: 4-
2, Q: 4+
2
'
06 -p,
'¶
09 ㄴ, ㄷ
2-2
'
10 ①, ⑤
'
0.4,
13 ③
14 ④
17 P: -3-
'
2, Q: -3+
'
21 ①, ④, ⑤
2
25 c0 ∴ 3>
3+1
'
'
4-
'
6=-
'
② 2-(5-
6 )=-3+
9+
6<0 ∴ 2<5-
'
'
2<0 ∴ 7<6+
'
2
'
8 >0
'
8=
16-
'
'¶
6
'
③ 7-(6+
2 )=1-
'
3 )-(
'
8 )=4-
3+
④ (4+
'
∴ 4+
'
3+
3 >
'
'
7-3)-(
'
5-3)=
'
8
'
⑤ (
'
따라서 옳은 것은 ④이다.
7-
5 >0 ∴
7-3>
5-3
'
'
'
'
다른 풀이
'
7>
'
⑤
'
④ 4>
8이므로 양변에
3을 더하면 4+
'
5이므로 양변에서 3을 빼면
3+
3 >
'
'
5-3
'
7-3>
8
'
'
참고 양변에 동일한 수가 있는 경우에는 부등식의 성질을 이용하여 대소
30 답 ②
를 비교할 수 있다.
25 답 c0이므로 a>c
'
2+0.01=1.414+0.01=1.424
2+0.3=1.414+0.3=1.714
3-0.4=1.732-0.4=1.332
④
3-
=1.732-0.1=1.632
27 답 ③
①
②
③
'
'
'
'
⑤ '
2+
2
따라서
;1Á0;
3
'
=
2와
'
'
28 답 ⑤
① 3-(
'
'
1.414+1.732
2
3.146
2
3 사이에 있는 수가 아닌 것은 ③이다.
=1.573
=
3+2)=1-
3<0 ∴ 3<
3+2
'
② (5-
2 )-(-
2+2)=3>0 ∴ 5-
2 >-
2+2
'
'
'
'
③
{
6-
-
6-
®;2!;` }
{
®;3!;` }
=-
+
®;2!;
®;3!;
<0
∴ 6-
®;2!;
<6-
®;3!;
④ (
2+4)-(
'
∴
'
∴
⑤ (
2+
'
2+
'
5
2+4>
'
8-5)-(-
'
8-5<-
'
'
7+
'
7+
'
8
'
'
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
5 )=4-
5=
16-
5 >0
'
'¶
'
8 )=-5+
7=-
25+
7<0
'
'¶
'
29 답 ④
① (1-
② (1-
'
∴ 1-
5+
③ (
'
④ (3+
'
∴ 3+
3 <-0.3
'
3 )-(
'
5 )-(
'
5+
5 >
'
'
'
7
'
5 )=-
6 )-(1-
'
'
3 )-(-0.3)=1.3-
6+
5<0 ∴ 1-
6 <1-
5
'
3=
'
'¶
1.69-
3<0
'
'
'
8+
'
5+
3 )=
'
'
7 )=3-
5-
8<0 ∴
5+
'
7=
'
9-
'
'
'
7 >0
3 <
'
'
8+
3
'
⑤ (
13+2)-6=
'¶
13-
16 <0 ∴
13+2<6
'¶
'¶
'¶
따라서 부등호 방향이 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다.
'
13-4=
'¶
ㄱ.
{®;6!;
+
'
3
}
-
{®;5!;
+
'
3
}
=
®;6!;
-
®;5!;
<0
∴
®;6!;
+
'
3<
®;5!;
+
'
3
ㄴ. (6-
3 )-4=2-
3=
4-
3 >0
'
'
'
'
∴ 6-
3 >4
'
11-1)-(
ㄷ. (
'¶
13-1
11-1<
'¶
28-3)-(-3+
'¶
28-3>-3+
'¶
∴
'¶
∴
'¶
'¶
24
'¶
ㄹ. (
13-1)=
11-
13 <0
'¶
'¶
24 )=
28-
24 >0
'¶
'¶
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 12
18. 8. 30. 오전 11:23
ㅁ. (-3-
5 )-(-5)=2-
5=
4-
5 <0
'
'
'
ㅂ. 10-(
98+1)=9-
98=
81-
98 <0
'¶
'¶
'¶
'
∴ -3-
5 <-5
'
'¶
∴ 10<
98+1
'¶
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ의 3개이다.
2+1)-2=
2-1>0 ∴ a>c
'
b-c=(1-
3 )-2=-1-
3<0 ∴ b0 ∴ a>c
'
'
'
'
'
'
'
'
7은 음수이고
3+
7, 3+
7, 6은 양수이다.
'
'
'
33 답 3+
-1-
7
'
'
양수끼리 대소를 비교하면
7 <3+
'
7
'
'
3+
'
(
'
∴
'
(3+
'
∴ 3+
7 <6
'
3+
7 )-(3+
7 )=
3-3=
3-
9<0
'
'
'
7 )-6=-3+
7=-
9+
7<0
'
'
'
따라서 크기가 큰 것부터 차례로 나열하면 6, 3+
7,
3+
7,
'
'
'
-1-
7이므로 두 번째에 오는 수는 3+
7이다.
'
9에서 2<
6<3이므로
'
'
6-3<3-3 ∴ -1<
6-3<0
'
'
따라서 수직선 위의 점 중에서
6-3에 대응하는 점은 점 C이다.
35 답 ②
46<
36<
'¶
'¶
따라서 수직선에서
'¶
'¶
49에서 6<
46<7
'¶
46에 대응하는 점이 존재하는 구간은 ②이다.
36 답 ④
④
16<
'¶
'¶
4-1<
'¶
17<
25에서 4<
17<5이므로
'¶
'¶
17-1<5-1 ∴ 3<
17-1<4
'¶
37 답 점 D, 점 A, 점 C, 점 B
9<
16에서 3<
10<
10<4 ⇨ 점 D
'¶
9에서 2<
'¶
6<3이므로
'
6<-2 ⇨ 점 A
'
4에서 1<
3<2이므로
'
'
3+1<2+1 ∴ 2<
'
'¶
6<
4<
'
'
-3<-
'
3<
1<
'
1+1<
'
-3<-
'
6<-2에서 -3+1<-
6+1<-2+1
3+1<3 ⇨ 점 C
'
'
∴ -2<-
6+1<-1 ⇨ 점 B
'
10, -
따라서
6,
3+1, -
6+1에 대응하는 점은 차례로
'¶
'
점 D, 점 A, 점 C, 점 B이다.
'
'
5+0.2=2.236+0.2=2.436
7-0.04=2.646-0.04=2.606
7
'
=
2.236+2.646
2
=
4.882
2
=2.441
7
=
3+2.646
2
=
5.646
2
=2.823
5와
7 사이에 있는 수가 아닌 것은 ⑤이다.
'
'
3=1.732,
5=2.236이므로
3과
5 사이에 있는 정수는 2의
'
'
'
④
3+
=1.732+0.5=2.232 ∴
3<
3+
'
'
<
5
'
;2!;
;2!;
⑤
5-1=2.236-1=1.236 ∴
5-1<
3
'
'
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
38 답 ⑤
①
=
=2.5
®Â:ª4°:
;2%;
②
③
'
'
④ '
5+
2
3+
'
2
따라서
⑤
39 답 ⑤
①
'
1개이다.
'
'
40 답 8개
10<
9<
'¶
'
-4<-
'¶
'¶
13<
16에서 3<
10<4이므로
'¶
10<-3
9<
16에서 3<
13<4이므로
'¶
'
1+3<1+
'¶
'¶
13<1+4 ∴ 4<1+
'¶
10과 1+
따라서 -
'¶
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4의 8개이다.
'¶
13 사이에 있는 정수는
13<5
'¶
채점 기준
Ú -
'¶
Û 1+
10의 범위 구하기
13의 범위 구하기
'¶
10과 1+
'¶
Ü -
'¶
13 사이에 있는 정수의 개수 구하기
y`Ú
y`Û
y`Ü
30%
30%
40%
33~35쪽
핵심 유형
최종 점검 하기
41 답 ③
0.888…=0.H8=
⇨ 유리수
;9*;
=
⇨ 유리수
®Â;3Á6;
;6!;
-
9-3=-3-3=-6 ⇨ 유리수
'
3.5H2H1=
3521-35
990
=
=
:£9¢9¥0¤:
;1%6*5!;
⇨ 유리수
따라서 무리수는 p+1,
8-2,
의 3개이다.
'
®Â:ª8°:
8은 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수이다.
42 답 ④
①, ③, ④
'
8<
'
'
'
'
②
4<
9이므로 2<
8<3
'
(정수)
(0이 아닌 정수)
따라서 옳은 것은 ④이다.
⑤
8은 무리수이므로
의 꼴로 나타낼 수 없다.
2. 무리수와 실수 13
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 13
18. 8. 30. 오전 11:23
43 답 ③
ㄱ. (유리수)+(유리수)=(유리수)이므로 a+2는 유리수이다.
ㄴ. (유리수)+(무리수)=(무리수)이므로 a+
5는 무리수이다.
ㄷ. a=0인 경우
2a=0으로 유리수이다.
'
ㄹ. (유리수)-(무리수)=(무리수)이므로 a-
11 은 무리수이다.
'
'¶
ㅁ. (유리수)_(유리수)=(유리수)이므로 4a는 유리수이다.
따라서 항상 무리수인 것은 ㄴ, ㄹ이다.
44 답 ②
Ú
3n이 유리수인 경우는 n=3kÛ` (k는 자연수)일 때이므로
'¶
3kÛ`É100 ∴ kÛ`É
=33.×××
:;!3):);
따라서 k는 1, 2, 3, 4, 5의 5개이다.
'¶
5lÛ`É100 ∴ lÛ`É20
따라서 l은 1, 2, 3, 4의 4개이다.
Û
5n이 유리수인 경우는 n=5lÛ` (l은 자연수)일 때이므로
④ 점 D는 0에 대응하는 점을 기준점으로 하여 오른쪽으로
2만큼
이동한 점이다. ⇨ D:
2
'
⑤ 점 E는 2에 대응하는 점을 기준점으로 하여 오른쪽으로
2만큼
'
'
이동한 점이다. ⇨ E: 2+
2
'
따라서 각 점에 대응하는 수가 옳지 않은 것은 ①이다.
48 답
2+
10
'¶
'
작은 정사각형의 넓이는 2_2-4_
_1_1
=4-2=2
즉, 작은 정사각형의 한 변의 길이는
2이다.
∴ OPÓ=OAÓ=
2
'
큰 정사각형의 넓이는 4_4-4_
_3_1
=16-6=10
}
}
{;2!;
'
{;2!;
'¶
즉, 큰 정사각형의 한 변의 길이는
10이다.
∴ OQÓ=OBÓ=
10
'¶
따라서 두 점 P, Q 사이의 거리는
PQÓ=OPÓ+OQÓ=
2+
10
'
'¶
y`Ú
y`Û
y`Ü
40%
40%
20%
자연수 k, l에 대하여 3kÛ`과 5lÛ`이 일치하는 경우는 없으므로 Ú, Û
에 의해
3n,
5n이 모두 무리수가 되도록 하는 n의 개수는
'¶
'¶
100-(5+4)=91(개)
채점 기준
Ú OPÓ의 길이 구하기
Û OQÓ의 길이 구하기
먼저
3n,
'¶
'¶
5n 이 각각 유리수가 되도록 하는 n의 개수를 구한다.
Ü 두 점 P, Q 사이의 거리 구하기
45 답 ①, ④
② 무한소수 중 순환소수는 유리수이고, 순환하지 않는 무한소수는
49 답 -2-
13
'¶
무리수이다.
PQRS=5_5-4_
_3_2
=25-12=13
{;2!;
}
③ 유리수는 유한소수 또는 순환소수로 나타낼 수 있다.
즉, 정사각형 PQRS의 한 변의 길이는
13이다.
⑤ 유리수인 동시에 무리수인 실수는 없다.
따라서 옳은 것은 ①, ④이다.
46 답 ⑤
∴ PAÓ=PSÓ=
13, PBÓ=PQÓ=
13
'¶
이때 점 B에 대응하는 수가
13-2이므로 점 P에 대응하는 수는 -2
'¶
'¶
'¶
이다.
따라서 점 A에 대응하는 수는 -2-
13이다.
'¶
9-2=3-2=1,
1.69=
(1.3)Û`=1.3, -
'¶
"Ã
'
=-
16=-4
®Â:¢3¥:
'¶
① 순환하지 않는 무한소수는 7p의 1개이다.
② 자연수는
9-2의 1개이다.
③ 정수는
9-2, -
의 2개이다.
'
®Â:¢3¥:
'
'
④ 유리수는
9-2,
,
1.69, -5.25, -
의 5개이다.
;6%;
'¶
®Â:¢3¥:
50 답 ①
ㄱ. 1<
3<
'
9<
'
11<
'
'¶
따라서
'¶
3과
'
'¶
한다.
4에서 1<
3<2
'
16에서 3<
11<4
'¶
11 사이에는 2, 3의 2개의 정수가 있다.
ㄴ. 모든 양의 유리수는 양의 제곱근, 음의 제곱근 2개가 항상 존재
⑤ 정수가 아닌 유리수는
,
1.69, -5.25의 3개이다.
;6%;
'¶
ㄹ. 1에 가장 가까운 무리수는 정할 수 없다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
2, -
ㅁ.
'
'
으로 유리수이다.
2는 서로 다른 무리수이지만 그 합은
2+(-
2 )=0
'
'
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
47 답 ①
각 정사각형은 한 변의 길이가 1이므로 대각선의 길이는
'
① 점 A는 0에 대응하는 점을 기준점으로 하여 왼쪽으로
2이다.
2만큼 이
동한 점이다. ⇨ A: -
2
'
② 점 B는 1에 대응하는 점을 기준점으로 하여 왼쪽으로
2만큼 이
1<
2<
4에서 1<
2<2
동한 점이다. ⇨ B: 1-
2
'
③ 점 C는 2에 대응하는 점을 기준점으로 하여 왼쪽으로
① 정수 x는 -1, 0, 1의 3개이다.
2만큼 이
② 유리수 x는 무수히 많다.
④ 실수 x는 무수히 많다.
동한 점이다. ⇨ C: 2-
2
'
14 정답과 해설
'
'
'
51 답 ②, ④
3<
1<
'
'
'
'
'
'
4에서 1<
3<2이므로 -2<-
3<-1
'
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18. 8. 30. 오전 11:23
4<
⑤
'
'
2-2<
'
이때 -
6<
9에서 2<
6<3이므로
'
'
6-2<3-2 ∴ 0<
6-2<1
'
3<0, 1<
2이므로
-
3<
6-2<
2
'
'
'
'
'
따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다.
3 )=4-
14 =
16-
14 >0
'¶
'¶
'¶
52 답 ③
㈎ (
'
∴
'
㈏ (4-
'
∴ 4-
8-1)-2=
8-3=
8-
9<0
'
'
'
8-1<2
3 )-(
14-
'
3
'¶
14-
3 >
'¶
9에서 2<
'
5<
'
4<
㈐
'
또
'
4<
'
7<
'
'
-2+2<-2+
'
5<3 y`㉠
'
'
9에서 2<
7<3이므로
7<-2+3
'
7<1
y`㉡
∴ 0<-2+
'
㉠, ㉡에 의해
'
따라서 바르게 나타낸 것은 ③이다.
'
5>-2+
7
4에서 1<
'
2<-1 ⇨ 점 A
'
2<2이므로
56 답 ⑤
2<
1<
'
-2<-
'
'
∴ 2<1+
1<
3<
'
'
'
∴ 3<2+
1<
2<2에서 1+1<1+
2<1+2
2<3 ⇨ 점 D
'
4에서 1<
'
3<2 ⇨ 점 C
1<
3<2에서 2+1<2+
3<2+2
'
'
3<4 ⇨ 점 E
'
1<
3<2에서 -2+1<-2+
3<-2+2
'
'
∴ -1<-2+
3<0 ⇨ 점 B
'
따라서 점의 좌표가 옳은 것은 ⑤이다.
57 답 ③
무리수에 대응하는 점의 개수는
1과 2 사이에는 2개
2와 3 사이에는 4개
3과 4 사이에는 6개
2_1
2_2
2_3
2_1001=2002(개)
다른 풀이
이므로 n과 n+1 사이에는 2n개이다.
따라서 1001과 1002 사이에 있는 무리수에 대응하는 점의 개수는
1001=
1001Û`=
1002001, 1002=
"Ã
"Ã
∴ 1004004-1002001-1=2002(개)
'Ä
1002Û`=
1004004
'Ä
먼저 두 자연수 n과 n+1 사이에 있는 무리수에 대응하는 점의
개수를 n에 대한 식으로 나타낸다.
53 답
3,
4-
10-
'¶
10-
'
'¶
'
3
'
3은 양수이고 -
'¶
양수끼리 대소를 비교하면
(4-
'
∴ 4-
3 )-(
3>
'¶
'
10-
'¶
10-
'
3
'
또 음수끼리 대소를 비교하면
10-2, -4는 음수이다.
3 )=4-
10=
16-
10>0
'¶
'¶
'¶
10-2)-(-4)=-
10+2=-
10+
4<0
'¶
'¶
'
(-
'¶
∴ -
'¶
10-2<-4
따라서 크기가 작은 것부터 차례로 나열하면
-
10-2, -4, 0,
'¶
'
이므로 네 번째에 오는 수는
'¶
10-
3, 4-
3
'
10-
'¶
3이다.
'
채점 기준
Ú 양수끼리 대소 비교하기
Û 음수끼리 대소 비교하기
Ü 작은 것부터 차례로 나열할 때, 네 번째에 오는 수 구하기
y`Ú
y`Û
40%
40%
20%
54 답 원 C
넓이가 가장 작은 원은 반지름의 길이가 가장 짧은 원이다.
(
2+1)-2=
2-1>0 ∴
2+1>2
'
'
'
2-(
'
따라서
5-1)=3-
'
5-1<2<
'
5-1인 원 C이다.
'
길이가
'
5=
9-
5>0 ∴ 2>
5-1
'
'
'
2+1이므로 넓이가 가장 작은 원은 반지름의
55 답 ④
13<
9<
'
'¶
2+3<2+
16에서 3<
13<4이므로
'¶
'¶
13<2+4 ∴ 5<2+
13<6
'¶
'¶
따라서 수직선에서 2+
58 답 ⑤
①
7-
'
'
'
'
'
②
③
④ '
⑤ '
6+
2
따라서
'
㈐
"Ã
①
'¶
'¶
'¶
④
'¶
2+
⑤
'¶
6=2.646-2.449=0.197
6+
7=2.449+2.646=5.095
y`Ü
7-0.2=2.646-0.2=2.446
6
'
7-
2
=
2.646-2.449
2
=
0.197
2
=0.0985
7
'
=
2.449+2.646
2
=
5.095
2
=2.5475
6과
7 사이에 있는 수는 ⑤이다.
'
'
59 답 ④
㈏
(-6)Û`=6
5=2.236이므로 2+
5=2+2.236=4.236
'
15 는 무리수이지만
15<
16에서
15<4이므로
'¶
'¶
'¶
15<2+
5
'
②
16=4는 무리수가 아니다.
③ 5는 무리수가 아니다.
30 은 무리수이고,
25<
30<
36에서 5<
30<6이므로
'¶
'¶
'¶
5<
30<
'
'¶
"Ã
'¶
(-6)Û`
42 는 무리수이지만
42 >
36에서
42 >6이므로
'¶
'¶
'¶
42>
(-6)Û`
'¶
"Ã
13에 대응하는 점이 존재하는 구간은 ④이다.
'¶
따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 수는 ④이다.
2. 무리수와 실수 15
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 15
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3
근호를 포함한 식의 계산
3
136 '
3
137 ③
138 ④
139
cm
4
5
'
5
140 ②
141 6
142
;2!;
143 4
144 1
145 9
3 cm
'
146 ④
147 ③
148 ④
149
:Á2°:
, -35
150 -1-
6
'
152 2
153 -8
154 ③
155 ③
151 ④
156 8
5
'
157 6
01 ⑤
02 ④
03 ④
06 ⑤
07 6
08 2
11 21
12 3배
13 ③
16 ④
17 ③
18 ④
21 ⑴ 14.14 ⑵ 0.04472
04 ③
09 ①
14 ③
19
;5@;
22 2ab
05 ②
10 -2
15 22
20 12
23 2
24
5
12
'
5
25 3
26 ④
27 ③
28 ②
29 ②
30 ④
31 ④
32 ②
33 ④
34
;2Á1;
35 ③
36 7
39 ③
40 8
41 '¶
10
12
44 2
'
48 ④
47 ③
52
'
3-3 53 3
43 10
'
46 ③
51 ③
6
7
37 '
'
42 ②
'
49 ①
54 ⑤
2 cmÛ`
2 cm 45 20
2p cm
55
7
2
'
6
-
3
7
'
10
56 ②
57 -4+2
6
'
58 ①
59 ④
60 -
2
7
'
10
+
6
'
62 ④
63 1
64 ④
67 2-2
5 68 -8
69 ⑤
'
72 ⑤
73 -1-2
6
'
65 ①
70 ①
74 ④
76 2
2
5- '
2
'
79 ③
80 1
82 30
6 km
'
85 60
5 cmÜ`
77 2
15+3
'¶
2 cm
81 15
'
83 15+
'
'
6 84 (14+6
10)cmÛ`
'¶
86 2+2
2 87 3
2-2
'
5+10 89 -1+3
5
'
93 6
94 ②
88
'
92 ①
96 30-10
2
'
97 6
2
'
99 4+4
2
'
100 -
101 4
102 ⑴ -7 ⑵ 62
103 ⑤
;3*;
104 -4
105 ①
106 27+14
2
108 ③
109 -7
15-28
'¶
111 6개
112 ①
113 34
114 7
107 ④
110
'
115 ⑤
3-1
116 ⑤
117 3
118 ①
120 ⑤
121 ③
122 ④
2+2
119 2
'
123 59
124 ④
125 ⑤
126 Ñ
5 127 ②
128 ③
129 2
'
130 3
131 ㄱ, ㄷ 132 2
133 x=56.04, y=0.1792
134 ④
135 ④
'
90 ⑤
95 ③
98 5
'
61 32
66 ②
71 ②
75 ①
78 2
91 ④
16 정답과 해설
38
4
3
'
15
01
제곱근의 곱셈과 나눗셈
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
38~40쪽
50 ②
01 답 ⑤
2
3_
-
'
{
®;7%;` }
_(-3
7 )=6
3_
_7=6
15
'
®É
;7%;
'¶
02 답 ④
4
2
'
2= '
'
=
®;2$;
=
'
2
=-
®;3^;
=-
'
2
①
4Ö
'
6
3
② - '
'
③
Ö
®;5$;
=
®;5*;
_
®;4%;
=
®É;5*;
_
=
'
2
;4%;
®;5*;
④ -
44Ö
'¶
®Â;1¢1;
=-
'¶
44_
®Â:Á4Á:
=-
®É
44_
:Á4Á:
=-
:Á2ª:®Â:£3¼:
=-6
10
'¶
=-
11Û`=-11
"
⑤ 12
30Ö(-2
30
'¶
3
'
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
3 )=-
12
2
'¶
'
03 답 ④
① -
'¶
3=
② -
③ 3
'
④ -3
'¶
12=-
"Ã
810=-
2Û`_3=-2
'
9Û`_10=-9
3
"Ã
10
'¶
3Û`_3=
27
'¶
"Ã
7=-
3Û`_7=-
63
'¶
'
98=
"Ã
7Û`_2=7
"Ã
2
'
⑤
'¶
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
0.72=
®Â;1¦0ª0;
=¾¨
'¶
6Û`_2
10Û`
=
6
2
'
10
=
3
2
'
5
∴ k=
;5#;
04 답 ③
05 답 ②
4
5_3
6_
-
'
{
'
®;3!;
`
}
=-12
5_6_
=-12
10
®É
;3!;
'¶
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 16
18. 8. 30. 오전 11:23
06 답 ⑤
①
7=
2
'
'
'Ä
2_7=
14
'¶
②
_3
6=3
®;3!;
'
®É;3!;
_6=3
2
'
'¶
'¶
③ (-
35 )_
®;5!;
=-
®É
35_
=-
7
;5!;
'
④ (-
14 )_
-
{
®;7!;` }
'
®É
;7!;
_
5=
14_
_5=
10
'¶
⑤
®Â:Á5¤:
_5
®;8#;
_
-
{
®;6%;` }
=-5
®É:Á5¤:
_
_
=-5
;8#;
;6%;
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
07 답 6
_
®;5^;
®Â:Á2°:
=
®É;5^;
_
=
'
:Á2°:
9=3 ∴ a=3
b
®;7!;
_4
®Â:Á3¢:
=4b
_
®É;7!;
Â:Á3¢:
=4b
®;3@;
즉, 4b
=-12
이므로
®;3@;
®;3@;
4b=-12
∴ b=-3
∴ a-b=3-(-3)=6
08 답 2
5_
2_
'
'
'
a_
20_
2a =
2_5_a_20_2a
'¶
'¶
'Ä
"Ã
"Ã
=
20Û`_aÛ`
=
(20a)Û`
이때 a>0이므로
(20a)Û`=20a
"Ã
따라서 20a=40이므로 a=2
09 답 ①
21
7 =®Â:ª7Á:
='
3
3
3 =;4&;=®Â;1$6(;
① '¶
'
7
4
②
'
'
③
Ö
®;3@;
=
®;3*;
_
®;2#;
=
®É;3*;
_
=
4
;2#;
'
®;3*;
④
40Ö
'¶
8
'
=
=®Â:¢8¼:
='
5
40
8
'¶
'
15
5 =
4
'¶
2
'
2
⑤ 4
15Ö2
'¶
5
'
=
®Â:Á5°:
2
=
'
3
='¶
12
따라서
3<
'
®Â;1$6(;
<
'
'
'¶
4<
5<
12이므로 가장 작은 수는 ①이다.
10 답 -2
2
Ö
-
{
15
14
'¶
2
'¶
3
'
56 }
'¶
Ö '¶
'¶
10
32
15
14
= '¶
2
'¶
_
{
56
3 }
- '¶
2
'
_ '¶
'¶
32
10
=-
_
_
;4!;®É;1!4%;
:°3¤:
;1#0@;
64
=- '¶
4
=-
=-2
;4*;
=
_
=
®É;5A;
:Á7¼:
®Â:ª7:
11 답 21
a
5
'
'
7
10
Ö '
'¶
= '
'
a
5
10
7
_ '¶
'
즉,
=
6이므로
®Â:ª7:
'
=6, 2a=42
∴ a=21
:ª7:
12 답 3배
'¶
15Ö '
'
=
'¶
15_ '
'
5
3
3
5
따라서
의 3배이다.
'¶
15 는 '
'
5
3
=
15_
=
9=3
;5#;
'
®É
13 답 ③
①
40=
"Ã
'¶
2Û`_10=2
10
② 5
2=
5Û`_2=
50
'¶
2
'
'
"Ã
"Ã
④ 4
3=
4Û`_3=
48
'¶
'¶
③
'¶
⑤ -
32=
4Û`_2=4
"Ã
28=-
'
2Û`_7=-2
'¶
"Ã
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
'
7
14 답 ③
2=
3
'
"Ã
또 b+1이므로
3Û`_2=
18
'¶
∴ a=18
56=
2Û`_14=2
"Ã
'¶
∴ a+b+c=18+2+14=34
'¶
14 ∴ b=2, c=14
15 답 22
3=
4
4Û`_3=
48이므로
"Ã
'
'¶
따라서 26+x=48이므로 x=22
'Ä
26+x=
48
'¶
16 답 ④
h=25일 때,
17 답 ③
v=
9.8_25=
245=
7Û`_5=7
'¶
"Ã
'Ä
5
'
18 답 ④
①
®Â;10#0;
=
®Â
3
10Û`
3
= '
10
②
0.13=
'¶
®Â;1Á0£0;
=
®Â
13
10Û`
= '¶
13
10
3
③ '
7
3
7Û`
= '
"Å
④
®Â;1°6;
=
®Â
=
®Â;4£9;
5
4Û`
5
= '
4
6
⑤ - '
2
=- '
"Å
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
=-
®;4^;
6
2Û`
=-
®;2#;
0.6=
'¶
®É;1¤0¼0;
=¾¨
2Û`_15
10Û`
=
2
15
'¶
10
15
= '¶
5
∴ k=
;5!;
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 17
18. 8. 30. 오전 11:23
3. 근호를 포함한 식의 계산 17
19 답
;5@;
0.18=
®Â;1Á0¥0;
=¾¨
'¶
3Û`_2
10Û`
3
2
'
=
10
∴ a=
;1£0;
®Â:¢9¥:
=¾¨
4Û`_3
3Û`
=
4
3
'
3
∴ b=
;3$;
∴ ab=
_
=
;3$;
;5@;
;1£0;
20 답 12
a>1, b>1이므로
10
3
'
15
= "Ã
10Û`_3
15
=¾¨
10Û`_3
15
'¶
∴ a=2, b=5
'¶
또 c>1, d>1이므로
6Û`
3
=
6
3 =
"
'
'
∴ c=2, d=3
®Â:£3¤:
=
'¶
12=
2Û`_3=2
"Ã
3
'
∴ a+b+c+d=2+5+2+3=12
채점 기준
Ú a, b의 값 구하기
Û c, d의 값 구하기
Ü a+b+c+d의 값 구하기
=
20=
2Û`_5=2
5
'¶
"Ã
'
25 답 3
삼각형의 넓이는
_
18_
10=
'¶
;2!;
'¶
직사각형의 넓이는 x_
;2!;
_3
'
'
2_
10=3
5
'
5=
5x
'¶
'
3
5
'
5
'
따라서
5x=3
5이므로 x=
=3
'
'
26 답 ④
①
300=
'Ä
3000=
'Ä
30000=
3_100=
"Ã
30_100=
"Ã
3_10000=
'Ä
②
③
3_10Û`=10
3=17.32
'
30_10Û`=10
30=54.77
3_100Û`=100
3=173.2
'¶
'
④
0.3=
®Â;1£0¼0;
=
®Â
=0.5477
"Ã
30
10Û`
= '¶
30
10
⑤
0.003=
®Â;10£0¼00;
=
®Â
30
100Û`
= '¶
30
100
=0.05477
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
27 답 ③
①
0.02=
®Â;10@0;
=
®Â
2
10Û`
2
= '
10
=0.1414
②
0.08=
®Â;10*0;
=¾¨
2Û`_2
10Û`
2
2
'
=
10
2
= '
5
=0.2828
y`Ú
y`Û
y`Ü
40%
40%
20%
02
제곱근의 값과 분모의 유리화
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
41~45쪽
21 답 ⑴ 14.14 ⑵ 0.04472
⑴
2_100=
200=
2_10Û`=10
'Ä
"Ã
⑵
0.002 =
®Â;10ª0¼00;
=
®Â
20
100Û`
='¶
=
=0.04472
4.472
100
2=10_1.414=14.14
'
20
100
'¶
'Ä
22 답 2ab
140=
'¶
"Ã
23 답 2
3
=
3
'
2
'
20
5
3
'
=
3
3_
'
2_
'
20_
'
5_
3
'
2
'
2
'
5
5
'
∴ ab=
_
=2
;3$;
;2#;
24 답
5
12
'
5
3
6
'
10
'¶
3
5
Ö '
2
'
_ '¶
'¶
12
15
18 정답과 해설
2Û`_5_7=2_
5_
7=2ab
'
'
=
3
6
'
2
∴ a=
;2#;
=
20
5
'
15
=
4
5
'
3
∴ b=
;3$;
=
_
_
=
3
6
'
10
'¶
12_
5_
'
=
2
5
'
3
'
2
3
'
15
'¶
5
12
5
'
=
12
'
5
5
5
'
'
③
0.2=
®Â;1ª0¼0;
=
®Â
이므로
20의 값이 주어져야 한다.
'¶
20
10Û`
= '¶
20
10
2=4.242
④
⑤
18=
"Ã
200=
3Û`_2=3
'
2_100=
'Ä
"Ã
2_10Û`=10
2=14.14
'
따라서 그 값을 구할 수 없는 것은 ③이다.
28 답 ②
①
0.302=
②
0.416=
30.2
100
®É
=
®É
41.6
100
®É
=
®É
30.2
10Û`
41.6
10Û`
= '¶
= '¶
30.2
10
41.6
10
=
5.495
10
=0.5495
이므로 주어진 제곱근표에서
41.6의 값이 주어져야 한다.
③
423 =
4.23_100=
'¶
4.23_10Û`
"Ã
4.23=10_2.057=20.57
'Ä
=10
'¶
④
0.0415=
4.15
100
®É
=
®É
4.15
10Û`
= '¶
4.15
10
=
2.037
10
=0.2037
⑤
314000 =
31.4_10000=
31.4_100Û`
'Ä
=100
"Ã
31.4=100_5.604=560.4
'¶
따라서 그 값을 구할 수 없는 것은 ②이다.
2.45_400=
2.45_20Û`=20
2.45=31.3
"Ã
'¶
29 답 ②
980 =
'Ä
'¶
30 답 ④
0.24=
®Â;1ª0¢0;
=¾¨
'¶
2Û`_6
10Û`
=
2
6
'
10
=
_
2_3
;5!;
'Ä
=
_
2_
3=
ab
;5!;
'
'
;5!;
'¶
'Ä
'Ä
'¶
'Ä
'¶
'¶
'¶
'¶
'¶
'Ä
'Ä
'¶
'Ä
'Ä
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 18
18. 8. 30. 오전 11:23
31 답 ④
①
75=
"Ã
147=
'¶
'¶
②
③
®;5#;
"Ã
3
5
='
'
=
;]{;
3_5Û`=
3_(
5 )Û`=xyÛ`
'
3_7Û`=7_
'
3=7x
'
④
®Â:¥5Á:
(
9
5
3 )Ý`
5
=
=
'
=
'
'
2Û`_3Û`_5=2_(
xÝ`
y
⑤
180=
'¶
'
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
"Ã
3 )Û`_
5=2xÛ`y
'
32 답 ②
0.019+
1900=
+
19_100
0.019+
1900=
+
19_10Û`
1.9
100
®É
1.9
10Û`
®Â
'Ä
"Ã
0.019+
1900=
_
1.9+10_
19
;1Á0;
'¶
'¶
'Ä
'Ä
'Ä
'Ä
'Ä
'Ä
'Ä
'Ä
0.019+
1900=
a+10b
;1Á0;
따라서 x=
, y=10이므로
;1Á0;
xyÛ`=
_10Û`=10
;1Á0;
3+7="Ã(
'Ä
'
3 )Û`+(
7 )Û`=
pÛ`+qÛ`
'
"Ã
33 답 ④
10=
'¶
34 답
;2Á1;
1
63
'¶
=
=
1
'
3
7
1_
7
'
7_
3
'
7
'
7
= '
21
∴ k=
;2Á1;
'
=
35 답 ③
① 8
5
'
② 4
3
'
③ 10
2
'
6
=
=
2
④
=
5
5
8_
'
5_
'
4_
'
2_
3
'
10_
2_
'
6
'
'
3_
'
2_
'
2
2
'
2
2
=
2
'
2
'
3
'
2
'
6
20
=
8
5
'
5
'
6
2
4
2
=
=
2
2
'
3
10
'
2
=5
2
'
=
6
6
'
2
=3
6
'
⑤ '
'¶
= '
2
'
6
5
= '
2
'
6_
'
5_
'
5
5
= '¶
30
10
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
=
3
6a
'¶
24
6a
= '¶
8
36 답 7
3
a
3
'
'
4
6
4
'
'
=
6a
즉, '¶
8
a_
6_
6
'
6
'
42
= '¶
8
이므로
6a=42 ∴ a=7
6
7
37 답 '
'
1_
'
7_
'
1
7
=
'
7
7
'
7
'
7
7
7=
'
7
= '
7
6
7
, '
'
= '
'
36
= '¶
7
;7^;
= 'Ä
343
7
,
6_
7_
7
7
'
'
42
= '¶
7
따라서 크기가 큰 것부터 차례로 나열하면
'
7, '
'
6
7
,
;7^;
, 1
7
'
6
, '
7
이므로 두 번째에 오는 수는 '
'
6
7
이다.
채점 기준
Ú 주어진 수를 분모가 7인 분수로 나타내기
Û 크기가 큰 것부터 차례로 나열하기
Ü 두 번째에 오는 수 말하기
38 답
3
4
'
15
_
4
'
50
'¶
2
2
'
5
'
Ö
®;5#;
=
5
=
4
'
5
3
_
2
2
'
4_
'
3_
2
2
'
5
'
=
3
3
'
5
3
_ '
'
3
4
'
15
5
'
=
y`Ú
y`Û
y`Ü
40%
40%
20%
39 답 ③
'¶
'
① 2
10Ö
2_
5=2
10_
_
5=10
'
'
'
1
2
'
'
'¶
'
② 8
2_(-3
6 )Ö4
3=8
2_(-3
6 )_
=-12
'
'
8
18
③ - '
'¶
15
2
④ '¶
2
'
Ö
_
®Â;1£0;
®;5^;
2
=-
3
Ö
10_4
'¶
15
2
3= '¶
2
'
'
_
'¶
2
2
'
'
1
10
10
3
_ '¶
'
_ '
'
_4
3=3
'
⑤
®Â;1°2;
_
-
{
Ö(-
'
2
6
'
5 }
'
3 ) = '
2
'
2
3
= '
'
5
3
_
-
{
2_
3_
= '
'
_
-
{
2
6
'
5 }
'
3
3
'
'
6
= '
3
1
3 }
'
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
1
4
3
'
6
=-;3$;
5
40 답 8
32_
18Ö
6_
2 =4
2_3
2_
'¶
'
'
'
'
'¶
1
6
_
2
'
'
3
3
=
=
24
3
'
24
'
3
3
24_
3_
'
'
'
=8
3
'
=
∴ a=8
41 답 '¶
10
12
15
A= '¶
3
_
5Ö2
'
15
30 = '¶
3
'¶
_
5_
''
1
30
2
'¶
= '
6
'
5
2
= '
6
'
5_
'
2_
'
2
2
= '¶
10
12
3. 근호를 포함한 식의 계산 19
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 19
18. 8. 30. 오전 11:23
42 답 ②
평행사변형의 넓이는
삼각형의 넓이는
32_x=4
2x
'
'¶
_
48_
18=
_4
3_3
2=6
6
;2!;
'¶
'¶
;2!;
'
'
따라서 4
2x=6
6이므로 x=
'
'
'
6
4
6
2
'
'
=
3
3
'
2
43 답 10'2 cmÛ`
BCÓ=
10 cm, CDÓ=
'¶
∴ ABCD =BCÓ_CDÓ=
20=2
5 (cm)
'¶
'
10_2
2
'
5
'
=2
'¶
=10
'¶
50=2_5
2 (cmÛ`)
'
44 답 2'2 cm
직육면체의 높이를 h cm라 하면 직육면체의 부피는
15_
6_h=12
'¶
즉,
'
90 h=12
5
'
5에서 3
'
'¶
∴ h=
'¶
4_
'
2_
'
따라서 직육면체의 높이는 2
5
'
10
'¶
12
3
4
2
=
=
'
'
2
2
10 h=12
5
'
2
4
'
2
=
=2
2
'
2 cm이다.
'
채점 기준
Ú 직육면체의 부피를 높이에 대한 식으로 나타내기
Û 직육면체의 높이 구하기
y`Ú
y`Û
40%
60%
45 답 20'2p cm
주어진 두 원의 넓이의 합과 넓이가 같은 원의 반지름의 길이를 r cm
라 하면
prÛ` =p_(5
3 )Û`+p_(5
5 )Û`
'
'
=75p+125p=200p
∴ rÛ`=200
이때 r>0이므로 r=
200=10
2
'¶
'
따라서 구하는 원의 둘레의 길이는
2_p_10
2=20
2p(cm)
'
'
r cm라 하면
2pr=4
2p ∴ r=2
'
2
'
따라서 구하는 원기둥의 부피는
p_(2
2 )Û`_3
3=24
3p (cmÜ`)
'
'
'
47 답 ③
정사각형 A의 넓이가 1 cmÛ`이므로
46 답 ③
주어진 전개도로 만들어지는 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를
정사각형 B의 넓이는
_(A의 넓이)=
_1=
(cmÛ`)
;2!;
;2!;
정사각형 C의 넓이는
_(B의 넓이)=
정사각형 D의 넓이는
_(C의 넓이)=
_
=
;2!;
;4!;
;2!;
(cmÛ`)
_
=
;4!;
;8!;
;2!;
(cmÛ`)
;2!;
;2!;
;2!;
20 정답과 해설
정사각형 D의 한 변의 길이를 x cm라 하면 넓이는 xÛ` cmÛ`이므로
따라서 정사각형 D의 한 변의 길이는
1
8
'
=
=
1
'
2
2
1_
2
'
2_
2
'
2
'
2
= '
4
(cm)
=
®;8!;
다른 풀이
정사각형 C의 넓이는 2_xÛ`=2xÛ`(cmÛ`)
정사각형 B의 넓이는 2_2xÛ`=4xÛ`(cmÛ`)
정사각형 A의 넓이는 2_4xÛ`=8xÛ`(cmÛ`)
즉, 8xÛ`=1에서 xÛ`=
;8!;
이때 x>0이므로
=
x=®;8!;
1
8
=
1
2
2
=
1_
2
'
2_
2
2
2
= '
4
'
'
2
따라서 정사각형 D의 한 변의 길이는 '
4
'
'
cm이다.
03
제곱근의 덧셈과 뺄셈
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
46~50쪽
48 답 ④
①
7+
'
② 5
'
7-2
③ 3
2+2
④ 2
6-7
⑤ 3
5+
'
'
'
'
'
'
3+
10
'¶
7=(5-2)
5
3+5
'
6 +4
'
'
7-
'
'
따라서 옳은 것은 ④이다.
7=3
7
'
'
6=(2-7+4)
6=-
6
'
5+
'
7=2
'
7
'
5=(3-1)
5+
'
'
49 답 ①
20-
5-
'
'¶
'¶
72+
32 =
5-2
5-6
2+4
'¶
'
'
'
2
'
=(-6+4)
2+(1-2)
5
'
=-2
2-
'
'
5
'
따라서 a=-2, b=-1이므로
a+b=-2+(-1)=-3
50 답 ②
6
8
12
'¶
2
- '
'
+
=
1
48
'¶
2
3
'
2
6
2
- '
2
'
+
1
'
4
3
=
3
3- '
2
3
+ '
12
'
=
1-
+
{
;2!;
;1Á2;}'
3=
3
7
'
12
51 답 ③
2(
'
'
3-2)-(
24-
32 ) =
'¶
'¶
2(
'
6-2
'
'
=
3-2)-(2
6-4
2 )
'
'
6+4
2
'
2-2
'
=(-2+4)
2+(1-2)
6
'
'
'
'
=2
2-
6
'
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 20
18. 8. 30. 오전 11:23
52 답 '3-3
2
3-3
'
3
- '¶
18-2
2
'
'
3
'
=
(3-3
2 )_
3
'
3_
3
'
(3
2-2
'
-
'
2_
2
'
3 )_
2
'
'
58 답 ①
3+
7
'
'¶
96+3
6-
'
'
6
'
-
6
'
6-2
2
6-3+
6
'
'
'
3-3
3
3-
'
3-3
3
=
=
=
'
'
53 답 3
5(
5-2)+ '¶
'
'
3
'
60-2
3
'
=5-2
5+
=5-2
5+
=5-2
5+
2
'¶
15-2
3
3
'
'
15-2
'
3_
'
(2
'¶
6
'
'
5-6
3
=5-2
5+2
5-2=3
'
'
'
'
'
3
'
3 )_
3
54 답 ⑤
2+4
A=2
'
3-
B=4
'
∴ AB=3
'
'
2-3
'
3+5
2=(2+4-3)
'
3=(4-1+5)
2=3
'
3=8
'
3
2
'
'
'
'
2_8
3=24
6
'
55 답
7
2
'
6
3
7
'
-
10
3
2
'
2
7
+ '
5
2
- '
3
7
- '
2
=
-
{;2#;
;3!;}'
2+
-
{;5!;
;2!;}'
7
=
7
2
'
6
-
3
7
'
10
56 답 ②
2+
2
2+
a+b= '
(
'
=
'
a-b= '
=
2
2
'
2
=
2
'
5
'
'
2+
2
2+
(
'
=
=
2
5
'
2
=
5
'
5
'
5
'
+ '
2-
2
5 )+(
2
'
2-
5 )
'
5
'
- '
2-
2
5 )-(
2
'
2-
5 )
'
∴ (a+b)(a-b)=
2_
5=
10
'
'
'¶
57 답 -4+2
16에서 4-
4=
6
'
'¶
6=
3
'
∴
54, 8=
'¶
(4-
'¶
6 )Û`-
"Ã
'
"Ã
'
6>0
'
64에서 3
(3
6-8)Û` =4-
6-{-(3
6-8)}
6-8<0
'
'
'
=4-
6+3
=-4+2
6
'
6-8
'
'
6-8의 부호를 각각 조사한 후, 근호를 없앤다.
4-
6, 3
'
'
'¶
27 =7
3+4
6+3
'
=(7-3)
'
'
3+(4+3)
6-3
3
'
6
'
'
3+7
6
'
=4
'
따라서 a=4, b=7이므로
a-b=4-7=-3
59 답 ④
5+3
4
'
'¶
20-
45 =4
5+6
5-3
'
'
'¶
=(4+6-3)
5
'
5=7
5
'
'
60 답 -
32
'¶
5
54
- '¶
3
7
2
'
10
+'6
18
- '¶
2
+
24 =
4
2
'
5
-
3
6
'
3
-
3
2
'
2
+2
6
'
+
24 =
-
{;5$;
;2#;}'
2+(-1+2)
6
'
+
24 =-
7
2
'
10
+
6
'
'¶
'¶
'¶
2이므로
'
61 답 32
x-
18=
'¶
3
'
∴
2=
x-
'
x=3
'
∴ x=32
'
'
2
'
2+
2=4
2=
32
'
'¶
'
62 답 ④
18
2
1
'¶
3
32
-
'¶
3
24
+ '
'¶
=
6
2
'
3
-
1
4
2
3
6
+ '
2
'
'
2
2- '
8
2
+ '
4
=2
'
=
2-
+
{
;8!;
;4!;}'
2=
2
17
'
8
=3
10-
10=(3-1)
10=2
10
'¶
'¶
'¶
'¶
=
+2
6-
12
6
3
'
2
6
'
3
'
'
=
+2
6-
5
2
'
3
'
5
6
'
3
=
{;3@;
+2-
;3%;}'
6=
6
'
63 답 1
10
10
90-
'¶
'¶
∴ a=2
12
54
'¶
+
24-
'¶
5
2
'
3
'
∴ b=1
∴ a-b=2-1=1
채점 기준
Ú a의 값 구하기
Û b의 값 구하기
Ü a-b의 값 구하기
y`Ú
y`Û
y`Ü
40%
40%
20%
3. 근호를 포함한 식의 계산 21
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 21
18. 8. 30. 오전 11:23
64 답 ④
x=
7이므로
'
x+
=
7+
;[!;
'
따라서 x+
;[!;
65 답 ①
ab=9이므로
a
b
'
a
'
+
2b
a
'
b
'
다른 풀이
a
b
'
a
'
+
2b
a
'
b
'
66 답 ②
8-
2(
'
'¶
=
1
7
=
7
7+ '
7
'
'
의 값은 x의 값의
8
7
'
7
배이다.
;7*;
=
a
ab
'¶
a
+
2b
ab
'¶
b
ab+2
ab=3
ab
'¶
'¶
=
'¶
=3
9=9
'
=
¾Ð
aÛ`_b
a
+2
bÛ`_a
b
¾Ð
ab+2
ab=3
ab
'¶
'¶
=
'¶
=3
9=9
'
24 )-
6(
12-4) =2(2
2-2
6 )-
6(2
3-4)
'
'¶
=4
'
2-4
'
6-6
'
2+4
'
6
'
=(4-6)
'
'
'
2+(-4+4)
'
6
'
=-2
2
'
5
67 답 2-2
10
4
15 }
6
3
{
-
'
'
'
'¶
-
8+
(-2)Û`=
'
"Ã
-
-2
2+2
5-2
2+2
4
2
10
5
'
=2
'
2-2
'
=2-2
5
'
'
'
'
3(
5-
3 )-
'
'
=
15-3-5-
'¶
'
'¶
3 )
5(
5+
'
'
15=-8
'
68 답 -8
5b =
3a-
'
'
69 답 ⑤
3+3
2(
'
'
'
70 답 ①
10+
'¶
5
10
-
'
2 )-(2
3-
'
2 )
'
'
3 =
6+6-(6-
6 )
6+6-6+
'
=
'
=2
'
=2_
6=2_
2_
'
'
'
6
'
2_3
'Ä
3=2ab
6
6+
'
3
'
=
(10+
10 )_
5
'¶
5_
5
'
-
(6+
6 )_
3
'
3_
3
'
'
6
'
-
'
2
'
3+3
3
2
'
2-2
3-
'
'
2
'
'
'
5+5
5
5+
'
5-2
3
'
10
=
=2
=2
'
'
따라서 a=2, b=-2이므로
ab=2_(-2)=-4
22 정답과 해설
(2
6-9)_
3
3_
3
'
'
'
'
=
6
'
3
'
2-9
3
=2
2-3
3
'
'
71 답 ②
24-9
3
=
'¶
'
72 답 ⑤
7+
'¶
2
A= '
'
7-
'¶
2
'
18
(
7+3
=
'
2 )_
2
'
2 )_
2
'
2_
'
7-3
'
2_
'
2
'
= '¶
14+6
2
2
'
= '¶
14-6
2
B= '
18
(
'
=
∴ A+B= '¶
+ '¶
=
2
14
'¶
2
=
14
'¶
14+6
2
14+6
2
'
14-6
2
14-6
2
A-B= '¶
- '¶
=
:Á2ª:
=6
∴ A-B
A+B
=
6
14
'¶
=
6
14
'¶
14
=
3
14
'¶
7
73 답 -1-2
6
'
8
50
'
3-
'¶
2
'
12(
2-
3 )-
'
'
'¶
=2
3(
2-
3 )-
'
'
(8
3-5
'
'
2_
2
'
2 )_
2
'
'
'
8
=2
6-6-
'
'
6-10
2
=2
6-6-4
6+5
'
=-1-2
6
'
'
74 답 ④
① (
96+
24 )Ö
3=
'¶
'¶
'
② 4
2
'
(
2-
'
'
3 )+ '¶
'
27
3
6
'
=
4
'
6+2
3
'
6
6
'
3
'
=6
2
'
+
9
'
4
=4-
3
'
2
'
=4-2
'
6+3=7-2
6
'
③
27-
-
+
72 =3
3-4
3-
2+6
2
'
'
4
8
'
'¶
'¶
'
'
'
3
'
③
27-
+
72 =5
2-
'¶
'¶
12
3
'
6
3
④ 2
8+
+
2(
6-3) =4
2+2
3+2
3-3
2
'
'
'
'
'
8+ +
'
3(2+4
'
'
'
'
④ 2
⑤
'
2 )-3(2
3-
'
'
'
2(
6-3) =
'
3
2+4
'
6 ) =2
'
3+4
'
=-4
'
3+7
'
6
'
6-6
3+3
6
'
'
따라서 옳은 것은 ④이다.
75 답 ①
'
'
'
'
2
3A-4
2B =2
3
3
{
'
'
2-
-4
2
'
{'
2+ '
3
2 }
1
3 }
'
2
3A-4
2B =6
6-2-8-2
6
'
'
=-10+4
6
'
76 답 2
2
5- '
2
'
A=
Ö
®;2%;
®Â:Á3¼:
®;3*;
®;2%;
®Â;1£0;
_
=
_
_
®;3*;
=
2
'
y`Ú
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 22
18. 8. 30. 오전 11:23
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
51~53쪽
2_(10
6+5
6 )=2_15
6=30
6(km)
'
'
'
'
B=
5
'
{'
2-
+(
18+2
5 )Ö
'¶
2
'
4
5 }
'
4
5 }
'
'
5
'
3
'
+
2+2
2
'
2
5
'
2
'
'¶
B=
10-4+3+
=
10-4+3+
10
'¶
'¶
B=
5
'
{'
2-
B=2
10-1
'¶
2
'¶
=
∴
;aB;
채점 기준
Ú A의 값 구하기
Û B의 값 구하기
Ü
;aB;
의 값 구하기
10-1
2
'
=
(2
'¶
10-1)_
2_
2
2
'
'
'
=2
2
5- '
2
'
y`Û
y`Ü
30%
40%
30%
04
제곱근의 덧셈과 뺄셈의 활용
15+3
77 답 2
사다리꼴 ABCD의 넓이는
'¶
_{
10+(
10+
6 )}_
'¶
'
;2!;
'¶
(2
10+
6 )
'¶
'
'
6
6= '
2
=2
'¶
15+3
78 답 2
ABCD=3_3-4_
_1_2
=9-4=5
{;2!;
}
즉, 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는
5이다.
'
APÓ=ADÓ=
5이므로 점 P에 대응하는 수 a=1-
5
5이므로 점 Q에 대응하는 수 b=1+
5
'
AQÓ=ABÓ=
'
∴ a+b=1-
5+1+
5 =2
'
'
12이고
12>
8이므로 2
3>
8
'¶
2=
'
5-2
'
2=
'
'
'
5-
'
8<0
'
79 답 ③
① 2
3=
'
'¶
② (
5+
2 )-3
'
∴
'
5+
'
'
2<3
2
'
'
6 )-(5-
③ (5-2
'
'¶
∴ 5-2
④ (5
3-
'
'
26
6>5-
'
7 )-(3
'¶
'
26 ) =5-2
6-5+
26
'
24+
'¶
26>0
'¶
=-
'¶
5-
7 ) =5
'
3-
'
75-
'
'¶
7-3
'
45>0
=
'¶
5+
7
'
∴ 5
3-
'
3-
'
'¶
7>3
'
'
18 )-(
5-
'
2+
7
'
'¶
⑤ (5
∴ 5
3-
18<
2+
12
'
'¶
'
'¶
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
12 ) =5
3-3
2-
2-2
3
'
'
'
'
'
'¶
'
'¶
=3
3-4
2=
27-
32<0
'
'
80 답 1
삼각형의 넓이는
_(2
2+a
3 )_
12=
_(2
2+a
3 )_2
3
'
'
'
;2!;
'
'
;2!;
'
'¶
'
즉, 2
6+3a=3+2
6이므로
'
3a=3 ∴ a=1
=
3(2
2+a
3 )=2
6+3a
'
'
'
81 답 15
ABÓ=
8+
'
5
2 cm
BCÓ=
'
5
'
0+
'
'
∴ ABÓ+BCÓ=7
0=2
'
8=5
1
2+5
'
2+3
2=7
'
2=8
'
2+8
'
2=15
'
'
'
2(cm)
2(cm)
'
2(cm)
82 답 30'6 km
목장의 세로의 길이를 x km라 하면
10
6 x=300
'
∴ x=
=
=
300
6
10
'
30
6
'
6
30
'
6
=5
6
'
따라서 목장의 둘레의 길이는
채점 기준
Ú 목장의 세로의 길이 구하기
Û 목장의 둘레의 길이 구하기
y`Ú
y`Û
50%
50%
83 답 15+
오른쪽 그림과 같이 주어진 도형에 보조선을
'
6
그어 도형의 넓이를 구하면
5(
1
'
=3
3+
5)-
1
'
'
5+15-3
'
2+
'
6-3
'
'
'
2
'
5+3
'
2(3-
3 )-3(
5-
2 )
'
(cid:17)(cid:22)
(cid:17)(cid:20)
(cid:17)(cid:19)
'
=15+
6
'
(cid:17)(cid:20)(cid:12)(cid:17)(cid:19)(cid:18)(cid:22)
(cid:20)
(cid:17)(cid:19)(cid:18)(cid:22)
84 답 (14+6
직육면체의 가로의 길이를 x cm라 하면
0)cmÛ`
'
1
2x=2+
1
0
'
'
2+
0
1
(2+
∴ x=
10 )_
'¶
'
2
2_
2
'
'
∴ (직육면체의 겉넓이)
=
'
2
'
=
2+
5
'
'
=2_{(2+
1
0)+
'
1
0+
'
'
0(cmÛ`)
1
=2_(2+
=14+6
'
2+
5 )+
2_
5 }
'
'
5_(
'
'
0+5+
1
'
0)
1
'
85 답 60'5 cmÜ`
(상자의 밑면의 가로의 길이) =
(상자의 밑면의 세로의 길이) =
5=5
5-2
5
'¶
=4
'¶
=3
180-2
'
5(cm)
'
125-2
'
5(cm)
'
5=6
5-2
5
'
'
'
'
(상자의 높이)=
5 cm
'
∴ (상자의 부피)=4
5_3
5_
5=60
5(cmÜ`)
'
'
'
'
3. 근호를 포함한 식의 계산 23
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 23
18. 8. 30. 오전 11:23
86 답 2+2'2
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는
2이다.
APÓ=ACÓ=
BQÓ=BDÓ=
'
∴ PQÓ =2+
'
2이므로 점 P에 대응하는 수는 -
'
'
2이므로 점 Q에 대응하는 수는 2+
2-(-
2 )=2+
2+
2=2+2
'
'
'
'
2
'
2
2
'
2-2
87 답 3
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는
'
BPÓ=BCÓ=
'
AQÓ=ADÓ=
'
∴ BQÓ=(1+
2이므로 점 P에 대응하는 수는 2-
'
2이므로 점 Q에 대응하는 수는 1+
2-1
'
2 )-2=
'
2 )-(2-
PQÓ=(1+
'
∴ BQÓ+PQÓ=(
'
2 )=2
2-1
'
2-1)=3
'
2-2
'
2-1)+(2
'
2이다.
'
2
2
'
채점 기준
Ú 두 점 P, Q에 대응하는 수 구하기
Û BQÓ, PQÓ의 길이 구하기
Ü BQÓ+PQÓ의 값 구하기
88 답 '5+10
큰 정사각형의 넓이는 4_4-4_
_1_3
=16-6=10
{;2!;
}
즉, 큰 정사각형의 한 변의 길이는
10이다.
APÓ=ACÓ=
10이므로 p=1-
'¶
'¶
10
'¶
각형의 한 변의 길이는
2이다.
'
BQÓ=BDÓ=
2이므로 q=2+
2
'
5p+5q =
5(1-
∴
'
'
10 )+5(2+
'¶
2+10+5
2
'
2 )
'
'
'
'
=
=
5-5
'
5+10
'
5이고, 점 D는 다음 그림과 같이 이동
89 답 -1+3
ABCD의 한 변의 길이는
'
5
한다.
'
(cid:35)
(cid:37)
(cid:36)
(cid:34)
(cid:34)
(cid:14)(cid:18)
(cid:35)
(cid:34)
(cid:17)(cid:22)
(cid:17)(cid:22)
(cid:36)
(cid:17)(cid:22)
(cid:37)
따라서 점 D가 수직선과 처음으로 만나는 점에 대응하는 수는
-1+
'
5+
5+
5=-1+3
5
'
'
정사각형 ABCD가 이동하는 경로를 그린다.
'
12, 3
2=
18이고
12<
18이므로
'
'¶
'¶
'¶
②
=
;2!;
®;4!;
이고
<
®;4!;
®;2!;
이므로
<
®;2!;
;2!;
90 답 ⑤
① 2
3=
'
2
'¶
3<3
'
2
'
24 정답과 해설
③ 6-(
3+
27 ) =6-(
3+3
'
'¶
'
'
3 )
'
36-
'¶
=6-4
3=
48<0
'¶
∴ 6<
3+
27
'¶
'
3+2)-(2
'
④ (
'
∴
3+2>2
'
'
3+3)-(5
3-1
⑤ (3
'
3-1) =
3+2-2
3+1
'
3+3=-
3+
9>0
'
'
'
'
=-
3-2) =3
3+3-5
3+2
'
=-2
'
'
'¶
'¶
3+5=-
12+
25>0
'
'
∴ 3
3+3>5
3-2
'
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
y`Ú
y`Û
y`Ü
40%
40%
20%
5-1)-6
'
5-7=
45-
49<0
'¶
'¶
a-c =(3
5-1)-(2
5-2)
'
5-1-2
'
5+2=
'
=3
'
5+1>0
'
91 답 ④
a-b =(3
=3
'
∴ ac
∴ c1이므로 x+
>0
;[!;
∴ x+
=
11
'¶
;[!;
126 답 Ñ
xÛ`-3x+1=0에서 x+0이므로 양변을 x로 나누면
'
5
x-3+
=0 ∴ x+
=3
;[!;
즉,
{
x-
;[!;}
x+
{
;[!;}
Û` =
;[!;
Û`-4=3Û`-4
=9-4=5
∴ x-
=Ñ
;[!;
5
'
127 답 ②
x=3+
'
양변을 제곱하면
2에서 x-3=
2
'
(x-3)Û`=(
2 )Û`, xÛ`-6x+9=2
'
∴ xÛ`-6x=-7
∴ xÛ`-6x+2=-7+2=-5
다른 풀이
xÛ`-6x+2 =(3+
2 )+2
2 )Û`-6(3+
'
2+2-18-6
'
'
=9+6
2+2=-5
'
3. 근호를 포함한 식의 계산 27
119 답 2'2+2
2-1이므로
a=
'
=
;a!;
'
∴ a+
1
2-1
=
2+1
'
2-1)(
(
'
=(
2-1)+(
2+1)
'
2+1)=2
2
'
= '
2+1
2-1
=
2+1
'
;a!;
;a!;
'
'
'
'
∴ a-
=(
2-1)-(
2+1)=-2
∴ ¾¨{
a+
;a!;}
Û`+¾¨{
a-
;a!;}
2 )Û`+
(-2)Û`
"Ã
Û`="Ã(2
=2
'
'
2+2
120 답 ⑤
3+
x+y=(
'
3+
'
2 )(
2 )+(
'
3-
'
2 )
3-
2 )=2
3
'
xy =(
=(
'
'
3 )Û`-(
'
'
2 )Û`=3-2=1
'
'
∴ xÛ`+xy+yÛ` =(x+y)Û`-xy
=(2
3 )Û`-1
'
=12-1=11
121 답 ③
(x-y)Û` =(x+y)Û`-4xy=(2
=8-4=4
∴ x-y=Ñ
4=Ñ2
'
2 )Û`-4_1
'
=
2
6+5
'
24-25
=
6-5
2
'
24-25
=-2
6-5
=-2
6+5
'
'
6+5)=-4
6
'
122 답 ④
1
6-5
x=
2
'
=
(2
'
1
6+5
=
(2
y=
2
'
∴ x+y=(-2
2
6+5
'
6-5)(2
'
6-5
2
'
6+5)(2
'
6-5)+(-2
'
6+5)
6-5)
xy =(-2
'
6-5)(-2
'
6+5)
'
'
6 )Û`-5Û`=24-25=-1
=(-2
'
∴ xÛ`+yÛ` =(x+y)Û`-2xy
=(-4
6 )Û`-2_(-1)
'
=96+2=98
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 27
18. 8. 30. 오전 11:23
(
6+
6-
'
5 )(
'
'
'
5 )Û`
6-
'
5 )
=11-2
30
'¶
30이므로 양변을 제곱하면
30 )Û`, xÛ`-22x+121=120
128 답 ③
5
6-
5
6+
x= '
'
6-2
'
'
'
30+5
=
(
=
'¶
6-5
즉, x-11=-2
'¶
(x-11)Û`=(-2
'¶
∴ xÛ`-22x=-1
129 답 2
x=-4-2
'
양변을 제곱하면
(x+4)Û`=(-2
'
∴ xÛ`+8x=-8
2에서 x+4=-2
2
'
2 )Û`, xÛ`+8x+16=8
∴
2xÛ`+16x+20 =
2(xÛ`+8x)+20
"Ã
=
2_(-8)+20
"Ã
"Ã
'
=
4=2
채점 기준
Ú xÛ`+8x의 값 구하기
Û 식의 값 구하기
130 답 3
1
3-2
=
2
(3-2
2
3+2
'
2 )(3+2
=
2 )
2
3+2
'
9-8
'
2<3에서 5<3+2
'
'
2<6이므로
=3+2
2
'
2<2
'
x=(3+2
'
즉, x+2=2
'
(x+2)Û`=(2
'
∴ xÛ`+4x=4
2 )-5=2
'
2-2
'
2이므로 양변을 제곱하면
2 )Û`, xÛ`+4x+4=8
∴ xÛ`+4x-1=4-1=3
133 답 x=56.04, y=0.1792
31.4_10Û`
3140 =
31.4_100=
"Ã
31.4=10_5.604=56.04
'Ä
'Ä
=10
'¶
∴ x=56.04
0.0321=
'Ä
3.21
100
®É
=
®É
3.21
10Û`
= '¶
3.21
10
=
1.792
10
=0.1792
∴ y=0.1792
134 답 ④
212.1=100_2.121=100
4.5
'¶
=
4.5_100Û`=
4.5_10000
'Ä
"Ã
'Ä
=
45000
∴ a=45000
y`Ú
135 답 ④
60%
40%
3
136 답 '
3
y`Û
1200=
2Ý`_3_5Û`=2Û`_
3_(
5)Û`=4abÛ`
`
'Ä
"Ã
'
'
3
'¶
15
2
12
2
'
10
'¶
=
=
=
2
3
6
'
15
=
2_
'
10_
'¶
1
3
3
'
10
'¶
10
'¶
3
'
30
5
'
10
1_
3
'
3_
3
'
3
= '
9
=
=3
5 ∴ b=3
'
∴ a=
;9!;
∴
ab=
'¶
®É;9!;
_3 =
®;3!;
=
1
3 =
'
1_
'
3_
'
3
3
'
3
= '
3
137 답 ③
한 대각선에 있는 세 수의 곱은
6
3_ '
3
3
'
_
=
;6!;
'
1
2
2
= '
2_
'
2
_A= '
2
2
= '
2
2
'
이므로
6
5_ '
3
'
Ö
6
5 Ö'
3
'
_
1
5
'
3_
15
'¶
15_
_
=
3
6
'
=
3
15
2
'¶
15
= '¶
3
'¶
30
15
10
15
'¶
따라서
2
A= '
2
2
= '
2
=
2
'¶
138 답 ④
1
'
1
2 }
3
'
2
'
20
'
20
7
6
'
14
① 4
12Ö(-2
3 )=8
3_
-
=-4
'
'
{
2
3 }
'¶
② 2
'
③ 5
2
'
③
6Ö(-
2 )=2
6_
-
'
'
{
=-2
3
'
Ö 7
4
'
3
=
_
4
3
'
7
=
5
2
'
20
7
=
3_
'
2_
'
2
'
2
'
=
=
6
10
'
7
④ 2
12Ö
6_
2=4
3_
'¶
'
'
'¶
'
'
'
'
⑤ 5
2_
27Ö
3=5
2_3
3_
1
6
'
'
_
2=4
'
1
3
'
=15
2
'
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
핵심 유형
최종 점검 하기
60~63쪽
131 답 ㄱ, ㄷ
ㄱ. 2
3×
5=2
'
'
'¶
15=
2Û`_15=
60
"Ã
'¶
ㄴ.
_
=
®Â:Á8°:
®;5$;
®É:Á8°:
_
=
;5$;
®;2#;
ㄷ.
5Ö
'
®;2!;
=
'
5_
2=
5_2=
10
'
'Ä
'¶
ㄹ.
Ö
®;3%;
=
®;5!;
_
®;5#;
=
_
®É;5!;
;5#;
®;5!;
3
= '
5
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
132 답 2
800=
"Ã
'¶
'Ä
20Û`_2=20
2이므로 a=20
'
0.002=
®Â;10ª0¼00;
=¾¨
2Û`_5
100Û`
=
2
5
'
100
5
= '
50
이므로 b=
;5Á0;
∴ 5ab=5_20_
=2
;5Á0;
28 정답과 해설
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 28
18. 8. 30. 오전 11:23
Â
Â
원기둥의 높이를 x cm라 하면 원기둥의 부피는
139 답
4
5
'
5
cm
p_(
5 )Û`_x=5xp(cmÜ`)
'
원뿔의 부피는
_p_(
6 )Û`_
20=
p_6_2
5=4
5p(cmÜ`)
;3!;
'
'¶
;3!;
'
'
즉, 5xp=4
5 p이므로 x=
'
따라서 원기둥의 높이는
cm이다.
4
5
'
5
4
5
'
5
140 답 ②
㈎에서 a=
2
'
2+
2=(1+1)
2=2
2
'
'
㈏에서 b=
'
㈐에서 c=2
'
㈑에서 d=2
'
2+2
'
2_3
2-
'
2=12
2=(2+2-1)
2=3
2
'
'
㈒에서 e=3
2+3
2Ö
2=3
2+3
2_
=3
2+3
'
'
'
㈓에서 f=(3
2+3)-12=3
2-9
1
2
'
'
'
'
'
'
'
'
141 답 6
24-
32+
'¶
'¶
6+
'
'¶
18 =4
2+2
6-
6+3
'
=(4+3)
'
'
'
2+(2-1)
2
6
'
=7
2+
'
'
6
'
따라서 a=7, b=1이므로 a-b=7-1=6
142 답
;2!;
3
3
'
4.32-
+
0.27=
-
3
3
'
3
+
®Â;1ª0¦0;
®Â;1$0#0@;
4.32- +
0.27=
12
3
'
10
-
3+
'
3
3
'
10
4.32- +
0.27=
-1+
{;1!0@;
;1£0;}'
3
3= '
2
'¶
'¶
'¶
∴ a=
;2!;
143 답 4
6
7+
'
3
x= '
(
7+
'
=
'
7-
'
3_
'
3_
6 )_
3
'
6 )_
3
'
3
'
= '¶
21+3
3
2
'
3
'
= '¶
21-3
3
2
'
y= '
6
(
'
=
'
7-
'
3
'
즉, x-y= '§
'
21+3
3
'
2
2(x-y)=
2_2
2=4
'
'
'
- '§
21-3
3
2
'
=
6
2
'
3
=2
2이므로
'
144 답 1
3(4-
6 )+
=4
3-3
2+
6
2-
'
2
'
'
'
'
'
(2-
6 )_
2
'
2_
2
'
2
'
'
3
'
'
2-2
2
3(4-
6)+
=4
3-3
2+
3(4-
6)+
3-3
2+
2-
3
'
=4
'
=-2
'
2+3
'
3
'
'
'
'
'
'¶
'¶
'¶
'
'
'
따라서 a=-2, b=3이므로
a+b=-2+3=1
채점 기준
Ú 주어진 등식의 좌변을 간단히 하기
Û a, b의 값 구하기
Ü a+b의 값 구하기
y`Û
y`Ü
70%
20%
10%
145 답 9'3 cm
세 정사각형 ㈎, ㈏, ㈐의 넓이가 각각 12 cmÛ`, 27 cmÛ`, 48 cmÛ`이므
로 한 변의 길이는 각각
12 cm,
27 cm,
48 cm이다.
∴ ABÓ=
12=2
3(cm), BCÓ=
27=3
'¶
'¶
'¶
3(cm),
'
CDÓ=
48=4
'¶
'¶
'¶
'
3(cm)
'
∴ ABÓ+BCÓ+CDÓ=2
3+3
3+4
3=9
3(cm)
'
'
'
'
146 답 ④
정사각형 ABCD의 넓이가 7이므로 한 변의 길이는
APÓ=ADÓ=
AQÓ=ABÓ=
'
7이므로 점 P에 대응하는 수는 2-
'
7이므로 점 Q에 대응하는 수는 2+
7
7
'
∴ (2-
'
'
7 )+(2+
7 )=4
'
7이다.
'
147 답 ③
ㄱ.
24-(2
'¶
∴
'
24<2
'¶
ㄴ. (1+3
6+1
'
3 )-(2
'
'
∴ 1+3
3>2
6+1
'
'
6+1)=
24-
24-1=-1<0
'¶
'¶
6+1) =1+3
3-2
6-1
'
3-2
'
6=
'
'¶
=3
'
27-
24>0
'¶
ㄷ. (4
10+2)-(2+3
17 ) =4
10+2-2-3
'¶
'¶
'¶
'¶
=4
10-3
17=
'¶
'¶
153>0
'¶
17
'¶
160-
∴ 4
10+2>2+3
17
'¶
3+5)-(3
'
ㄹ. (2
'
'¶
∴ 2
3+5<3
2+5
'
'
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
2+5) =2
3+5-3
2-5
'
'
=2
3-3
'
2=
'
'¶
12-
18<0
'¶
148 답 ④
① (5
3+
'
'
2 )(4
3-
2 ) =20_(
3 )Û`+(-5+4)
6-(
2 )Û`
'
'
'
'
'
6-2
=60-
'
6
=58-
'
7 )Û`+(-3+4)
7-12
② (
7+4)(
7-3) =(
'
'
7-12
'
'
=7+
'
=-5+
'
8 )Û`-2_
7
'
6+12
6
'
3 )Û`+2_2
'
=8-8
'
=20-8
=21+12
3
'
'
③ (
8-
12 )Û` =(
'
'¶
8_
12+(
12 )Û`
'¶
'¶
④ (2
3+3)Û` =(2
'
'
=12+12
3+9
3_3+3Û`
'
⑤ (
11+3)(
11-3) =(
11 )Û`-3Û`=11-9=2
'¶
'¶
'¶
y`Ú
따라서 옳은 것은 ④이다.
3. 근호를 포함한 식의 계산 29
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 29
18. 8. 30. 오전 11:23
149 답
, -35
:Á2°:
(2-3
2 )(5+a
2 ) =10+(2a-15)
2-6a
'
'
'
이 식이 유리수가 되려면 2a-15=0이어야 하므로
=10-6a+(2a-15)
2
'
y`Ú
153 답 -8
(x+y+5)(x-y+5)-5(2x-1)
={(x+5)+y}{(x+5)-y}-10x+5
=(x+5)Û`-yÛ`-10x+5
=xÛ`+10x+25-yÛ`-10x+5
y`Û
=xÛ`-yÛ`+30
=(2
3 )Û`-(5
2 )Û`+30
'
'
=12-50+30=-8
공통부분을 한 문자로 생각하고, 곱셈 공식을 이용한다.
2a=15 ∴ a=
:Á2°:
따라서 a=
일 때, 주어진 식의 값은
:Á2°:
10-6a=10-6_
=10-45=-35
:Á2°:
채점 기준
Ú 주어진 식을 m+n
Û a의 값 구하기
Ü 그때의 식의 값 구하기
x 의 꼴로 간단히 하기
'
y`Ü
30%
40%
30%
1
3-2
-
'
-
2 )
(
2-
'
5
1
2-
'
2+
'
3 )(
'
+
5 )
(
5-
'
2+
'
3 )-(
+
1
5-
'
3 )
'
3
2+
'
'
5+
'
'
6 )(
'
'
'
3+2)+(2+
6
5+
6
'
+
6 )
'
2
'
1+
'
2 )(1+
'
5
2+
'
5 )(2+
'
2 )+(
'
2+
'
2+
'
3-
'
3-2+2+
'
'
'
5-
'
'
'
5-
6
'
3+2
'
3-2)(
'
(
'
3+2)
5 )-(
5+
6 )
'
'
150 답 -1-'6
+
-
1
2-
3
1
1-
2
'
=
(1-
'
-
(2-
=-(1+
=-1-
=-1-
6
'
'
151 답 ④
22
5+
3
=
22(5-
3 )
'
3 )(5-
(5+
=
3 )
22(5-
3 )
'
25-3
'
3<2에서 3<5-
'
'
3<4이므로 a=3
1<
'
=5-
3
'
3 )-3=2-
3
'
∴ b=(5-
∴ 1
-
a-b
1
b-1
=
'
'
1
1
3 )-1
'
3-(2-
3 )
(2-
'
-
1
1-
-
3
'
=
1
1+
3
'
=
=
3
1-
'
3 )(1-
(1+
'
3
1-
'
1-3
-
'
3
1+
'
1-3
= '
3-1
2
+
3
1+
'
2
=
2
3
'
2
=
3
'
-
3 )
(1-
3
1+
'
3 )(1+
'
3 )
'
152 답 2
x=
(
'
∴ x-1
x+1
2-1
'
2+1)(
'
x+1
x-1
-
=
2-1
'
2-1)
=
(x-1)Û`-(x+1)Û`
(x+1)(x-1)
=
xÛ`-2x+1-(xÛ`+2x+1)
xÛ`-1
=
-4x
xÛ`-1
=
-4(
(
2-1)
2-1)Û`-1
'
=
-4(
'
2-2
'
2-1)
2
'
=
-4(
-2(
2-1)
2-1)
'
'
=2
30 정답과 해설
154 답 ③
1
3-2
x=
=
'
'
y=
1
3+2
=
(
∴ x+y=(-
xy =(-
=(-
'
'
= '
3+2
3-4
= '
3-2
3-4
(
'
3+2
'
3-2)(
'
3-2
3+2)
'
3+2)(
'
3-2)+(-
'
3-2)
'
3-2)(-
'
3+2)
'
3 )Û`-2Û`=3-4=-1
∴ xÛ`+yÛ`+3xy =(x+y)Û`+xy
=-
3-2
=-
3+2
'
'
3+2)=-2
3
'
=(-2
3 )Û`-1=12-1=11
'
155 답 ③
aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab에서
14=(2
2 )Û`-2ab, 14=8-2ab
'
2ab=-6 ∴ ab=-3
∴ (a-b)Û` =aÛ`-2ab+bÛ`
=14-2_(-3)=14+6=20
156 답 8'5
x-
Û` =
;[!;}
{
x+
{
;[!;}
Û`-4=(2
5 )Û`-4
'
=20-4=16
이때 x>1이므로 x
>0
-;[!;
∴ x
=4
-;[!;
1
xÛ`
∴ xÛ`-
157 답 6
2
1+
2
1-
a=
'
'
=
(1+
2 )Û`
'
2 )(1+
(1-
'
2 )
'
=
1+2
2+2
'
1-2
=-3-2
2
'
즉, a+3=-2
'
(a+3)Û`=(-2
'
∴ aÛ`+6a=-1
2이므로 양변을 제곱하면
2 )Û`, aÛ`+6a+9=8
∴ aÛ`+6a+7=-1+7=6
=
x
{
x
=2
5_4=8
5
+;[!;}{
-;[!;}
'
'
191만렙PM3해설1~3(001~030).indd 30
18. 8. 30. 오전 11:23
다항식의 인수분해
01
다항식의 인수분해 ⑴
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
66~70쪽
02 ⑤
03 ④
04 84
06 ⑴ (a+2)(a-2) ⑵ (4x+3)(4x-3)
01 답 ④
07 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅁ
4
01 ④
05 ②
10 ④
14 ④
18 4
22 a-6
26 ③
30 8
34 ④
38 4개
11 ④
15 ②
19 ②
23 ①
27 2
31 ⑤
35 5
39 6
08 ⑤
12 ③
16 11
20 1
24 ⑤
28 ④
32 ①
36 ②
40 ②, ③
44 3
48 ④
09 ④
13 2x-3
17 8
21 -2x+6
25 ①, ⑤
29 ④
33 9
37 ②
41 ⑤
45 ③
49 -1
55 ⑤
42 ②, ⑤
43 ①
46 ㄱ, ㄷ, ㅁ 47 ⑤
50 ⑴ -3 ⑵ -2 ⑶ (x+1)(x-3)
51 3x+4`
52 8a+20
53 x+3, 12 54 ②
56 -9
57 (x+5)(x-2)
58 2(x+1)(x-2)
59 (4x+1)(2x-1)
60 2x+6
61 ③
64 8a+20b 65 ②
69 ①, ⑤
73 4
77 20
81 ②
76 2x-4
68 ③
72 ⑤
80 ⑤
84 36
87 ④
62 ②
66 8x
70 ②
74 ㄱ, ㄴ
63 10x+6
67 ⑤
71 18
75 ④
78 ①, ⑤
79 7
82 x-5y
83 -5
85 (x+1)(x-6)
86 8x+10
88 ④
89 x+4
02 답 ⑤
xÜ`-5xÛ`y=xÛ`(x-5y)이므로 인수가 아닌 것은 ⑤이다.
03 답 ④
④ 16xÛ`-24xy+9yÛ` =(4x)Û`-2_4x_3y+(3y)Û`
=(4x-3y)Û`
04 답 84
xÛ`-12x+a가 완전제곱식으로 인수분해되려면
a=
-12
{
2 }
=36
또 9xÛ`+bx+64=(3x)Û`+bx+8은 (3xÑ8)Û`으로 인수분해된다.
2`
즉, b=2_3_8=48 또는 b=2_3_(-8)=-48
이때 b>0이므로 b=48
∴ a+b=36+48=84
05 답 ②
10이므로
aÛ`-6a+9-
aÛ`-2a+1 =
(a-3)Û`-
(a-1)Û`
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
=-(a-3)-(a-1)
=-a+3-a+1
=-2a+4
06 답 ⑴ (a+2)(a-2) ⑵ (4x+3)(4x-3)
⑴ aÛ`-4=aÛ`-2Û`=(a+2)(a-2)
⑵ 16xÛ`-9=(4x)Û`-3Û`=(4x+3)(4x-3)
07 답 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅁ
aÛ`(a+3)의 인수는 1, a, aÛ`, a+3, a(a+3), aÛ`(a+3)이다.
08 답 ⑤
④, ⑤ xÛ`+3x+2의 인수는 1, x+1, x+2, (x+1)(x+2)이다.
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
09 답 ④
④ (a+6)+2=a+8이므로 a+6을 인수로 갖지 않는다.
10 답 ④
-2aÜ`x+10aÛ`y=-2aÛ`(ax-5y)이므로 인수가 아닌 것은 ④이다.
4. 다항식의 인수분해 31
191만렙PM3해설4~5(031~048).indd 31
18. 8. 30. 오전 11:23
11 답 ④
① 4xy+yÛ
Û`=y(4x+y)
② 2xÛ`-6x=2x(x-3)
③ 4xÜ`-2xÛ`y=2xÛ`(2x-y)
⑤ (x+1)y-x(x+1)=(x+1)(y-x)
따라서 인수분해를 바르게 한 것은 ④이다.
12 답 ③
a(x-2y)-b(2y-x) =a(x-2y)+b(x-2y)
=(a+b)(x-2y)
13 답 2x-3
(x-2)(x+4)-5(x-2) =(x-2){(x+4)-5}
따라서 두 일차식의 합은
(x-2)+(x-1)=2x-3
14 답 ④
① 4xÛ`-20x+25 =(2x)Û`-2_2x_5+5Û`=(2x-5)Û`
② 18aÛ`+12a+2 =2(9aÛ`+6a+1)
=2{(3a)Û`+2_3a_1+1Û``}
=2(3a+1)Û`
③ aÛ`-
a+
=aÛ`-2_a_
+
;3@;
;9!;
;3!;
{;3!;}
Û`=
Û`
a-
{
;3!;}
⑤ xÛ`-12xy+36yÛ` =xÛ`-2_x_6y+(6y)Û`=(x-6y)Û`
따라서 완전제곱식으로 인수분해할 수 없는 것은 ④이다.
15 답 ②
xÛ`-3x+9=
;4!;
x
}
{;2!;
Û`-2_
;2!;
x_3+3Û`=
x-3
{;2!;
Û`
}
따라서 주어진 식의 인수는 ②이다.
16 답 11
axÛ`-30x+b=(3x+c)Û`에서
axÛ`-30x+b=9xÛ`+6cx+cÛ`
따라서 a=9, -30=6c, b=cÛ`이므로
a=9, c=-5, b=(-5)Û`=25
∴ -a+b+c=-9+25+(-5)=11
채점 기준
Ú 주어진 식을 전개하기
Û a, b, c의 값 구하기
Ü -a+b+c의 값 구하기
즉, b=2_2_
=2 또는 b=2_2_
-
=-2
{
;2!;}
;2!;
이때 b>0이므로 b=2
∴ ab=4_2=8
18 답 4
axÛ`-12x+9=axÛ`-2_2x_3+3Û`은 (2x-3)Û`으로 인수분해된다.
∴ a=2Û`=4
제곱
19 답 ②
① aÛ`-3a+ 가 완전제곱식으로 인수분해되려면
① =
-3
2 }
Û`=
{
;4(;
⇨ 절댓값은
;4(;
=(x-2)(x-1)
② aÛ`-4a+1= aÛ`-2_2a_1+1Û`은 (2a-1)Û`으로 인수분해되
므로
제곱
=2Û`=4 ⇨ 절댓값은 4
③ aÛ`+ab+ bÛ`이 완전제곱식으로 인수분해되려면
① =
Û`=
{;2!;}
;4!;
⇨ 절댓값은
;4!;
④ aÛ`+ a+1이 완전제곱식으로 인수분해되려면
=Ñ2
1=Ñ2 ⇨ 절댓값은 2
⑤ aÛ`+ a+
이 완전제곱식으로 인수분해되려면
'
;4!;
① =Ñ2
=Ñ2_
=Ñ1 ⇨ 절댓값은 1
¾;4!;
;2!;
따라서 절댓값이 가장 큰 것은 ②이다.
20 답 1
(2x+1)(2x+3)+k =4xÛ`+8x+3+k
=(2x)Û`+2_2x_2+3+k
즉, 이 식은 (2x+2)Û`으로 인수분해되므로
제곱
3+k=2Û` ∴ k=1
21 답 -2x+6
20이므로
xÛ`-8x+16-
xÛ`-4x+4 =
(x-4)Û`-
(x-2)Û`
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
=-(x-4)-(x-2)
=-x+4-x+2
=-2x+6
y`Ú
y`Û
y`Ü
30%
50%
20%
17 답 8
25xÛ`+20x+a=(5x)Û`+2_5x_2+a는 (5x+2)Û`으로 인수분해
00, 2a-1<0
;2!;
제곱
또 4xÛ`+bxy+
yÛ`=(2x)Û`+bxy+
;4!;
Û`은
y
{;2!;
}
2xÑ
y
;2!;
}
{
Û`으로 인
된다.
∴ a=2Û`=4
수분해된다.
32 정답과 해설
22 답 a-6
-
"Ã
=-
"Ã
aÛ`+10a+25-
4aÛ`-4a+1
"Ã
(2a-1)Û`
(a+5)Û`-
"Ã
=-(a+5)-{-(2a-1)}
=-a-5+2a-1
=a-6
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18. 8. 30. 오전 11:23
23 답 ①
b0이므로
aÛ`+2ab+bÛ`-
aÛ`-2ab+bÛ` =
(a+b)Û`-
(a-b)Û`
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
=-(a+b)-(a-b)
=-a-b-a+b
=-2a
24 답 ⑤
01이므로 a-
<0, a+
>0
;a!;
;a!;
∴
a+
¾¨{
;a!;}
Û`-4+
a-
¾¨{
;a!;}
;a!;
Û`+4
=
aÛ`+2+
-4+
aÛ`-2+
+4
®É
®É
1
aÛ`
1
aÛ`
Û`+
=
¾¨{
a-
;a!;}
a+
¾¨{
;a!;}
Û`
=-
a-
{
+
a+
;a!;}
{
;a!;}
=-a+
+a+
=
;a!;
;a!;
;a@;
25 답 ①, ⑤
① xÛ`-49=xÛ`-7Û`=(x+7)(x-7)
② 64xÛ`-9=(8x)Û`-3Û`=(8x+3)(8x-3)
③ 4xÛ`-36=4(xÛ`-3Û`)=4(x+3)(x-3)
④
xÛ`-
yÛ`=
;4!;
;9!;
{;2!;
-{;3!;
}
x+
y
;3!;
{;2!;
}{;2!;
x-
y
;3!;
}
x
Û`
}
Û`=
y
⑤ 25xÛ`-16yÛ` =(5x)Û`-(4y)Û`=(5x+4y)(5x-4y)
따라서 인수분해를 바르게 한 것은 ①, ⑤이다.
26 답 ③
49xÛ`-9=(7x)Û`-3Û`=(7x+3)(7x-3)
따라서 두 일차식의 합은
(7x+3)+(7x-3)=14x
27 답 2
-12xÛ`+27yÛ` =-3(4xÛ`-9yÛ`)
=-3{(2x)Û`-(3y)Û`}
=-3(2x+3y)(2x-3y)
따라서 a=-3, b=2, c=3이므로
a+b+c=-3+2+3=2
채점 기준
Ú 주어진 식을 인수분해하기
Û a, b, c의 값 구하기
Ü a+b+c의 값 구하기
28 답 ④
x¡`-1 =(xÝ`+1)(xÝ`-1)
=(xÝ`+1)(xÛ`+1)(xÛ`-1)
=(xÝ`+1)(xÛ`+1)(x+1)(x-1)
따라서 인수가 아닌 것은 ④이다.
02
다항식의 인수분해 ⑵
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
71~73쪽
29 답 ④
xÛ`+3xy-18yÛ`=(x-3y)(x+6y)
30 답 8
3xÛ`-x-4=(x+1)(3x-4)
1
x
555555
3x -4
555555 Ú
Ú
3x
Ú
³-4x`(+
Ú
-x
따라서 a=1, b=3, c=-4이므로
a+b-c=1+3-(-4)=8
31 답 ⑤
① 4xÛ`-4xy+yÛ`=(2x)Û`-2_2x_y+yÛ`=(2x-y)Û`
② -xÛ`+yÛ`=-(xÛ`-yÛ`)=-(x+y)(x-y)
③ xÛ`-5x-6=(x-6)(x+1)
④ 3xÛ`+7x-6=(3x-2)(x+3)
3x
55555555 Ú
55555555Ú
x
-2
3
-2x
Ú
Ú
9x`(+
7x
따라서 인수분해를 바르게 한 것은 ⑤이다.
32 답 ①
xÛ`-4x+3=(x-1)(x-3)
2xÛ`-3x-9=(2x+3)(x-3)
따라서 두 다항식의 공통인 인수는 ①이다.
33 답 9
xÛ`+x-20=(x-4)(x+5)
따라서 a=-4, b=5 또는 a=5, b=-4이므로
|a-b|=9
y`Ú
y`Û
y`Ü
50%
30%
20%
34 답 ④
④ xÛ`-10xy+24yÛ`=(x-6y)(x-4y)
35 답 5
xÛ`-7x+a=(x-2)(x-b)에서
xÛ`-7x+a=xÛ`-(b+2)x+2b
따라서 -7=-(b+2), a=2b이므로
b=5, a=10
∴ a-b=10-5=5
36 답 ②
xÛ`+3x-28=(x-4)(x+7)
따라서 두 일차식의 합은
(x-4)+(x+7)=2x+3
4. 다항식의 인수분해 33
191만렙PM3해설4~5(031~048).indd 33
18. 8. 30. 오전 11:23
³
37 답 ②
(x+2)(x-5)-8 =xÛ`-3x-10-8
=xÛ`-3x-18
=(x+3)(x-6)
⑤ 6xÛ`-11x+3=(2x-3)(3x-1)
2x
3x
5555555555Ú5555555555 Ú
-3
-1
-9x
Ú
³ -2x`(+
Ú
-11x
따라서 3x-1을 인수로 갖는 것은 ②, ⑤이다.
38 답 4개
xÛ`+Ax-8이 x의 계수가 1인 두 일차식의 곱으로 인수분해되려면
A는 곱이 -8인 두 정수의 합이어야 한다.
곱이 -8인 두 정수는
1, -8 또는 2, -4 또는 4, -2 또는 8, -1
이때 A는 두 정수의 합이므로 -7, -2, 2, 7의 4개이다.
y`Ú
y`Û
y`Ü
40%
40%
20%
43 답 ①
3xÛ`+Ax-20=(3x-4)(x+B)에서
3xÛ`+Ax-20=3xÛ`+(3B-4)x-4B
따라서 A=3B-4, -20=-4B이므로
B=5, A=11
∴ A-B=11-5=6
44 답 3
5xÛ`+(3a-5)x-24=(x-4)(5x+b)에서
5xÛ`+(3a-5)x-24=5xÛ`+(b-20)x-4b
따라서 3a-5=b-20, -24=-4b이므로 b=6
3a-5=-14, 3a=-9 ∴ a=-3
∴ a+b=-3+6=3
채점 기준
Ú 주어진 식을 전개하기
Û a, b의 값 구하기
Ü a+b의 값 구하기
45 답 ③
③ xÛ`+x-30=(x-5)(x+6)
46 답 ㄱ, ㄷ, ㅁ
ㄱ. 3xÛ`+6x=3x(x+2)
ㄴ. 3xÛ`-12x+12=3(xÛ`-4x+4)=3(x-2)Û`
ㄷ. xÛ`-4=(x+2)(x-2)
ㄹ. xÛ`+8x-20=(x-2)(x+10)
ㅁ. 3xÛ`+10x+8=(x+2)(3x+4)
따라서 x+2를 인수로 갖는 것은 ㄱ, ㄷ, ㅁ이다.
47 답 ⑤
9xÛ`-49=(3x+7)(3x-7)
3xÛ`+4x-7=(3x+7)(x-1)
따라서 두 다항식의 공통인 인수는 ⑤이다.
48 답 ④
① 2xÛ`-2=2(xÛ`-1)=2(x+1)(x-1)
② xÛ`+2x+1=(x+1)Û`
③ xÛ`-2x-3=(x+1)(x-3)
④ 3xÛ`-2x-1=(3x+1)(x-1)
⑤ 7xÛ`+3x-4=(7x-4)(x+1)
따라서 나머지 넷과 일차 이상의 공통인 인수를 갖지 않는 것은 ④
이다.
39 답 6
2xÛ`+5xy-3yÛ`=(x+3y)(2x-y)
x
2x
555555555555Ú555555555555 Ú
3y
-y
6xy
Ú
-xy`(+
Ú
5xy
따라서 a=1, b=3, c=2이므로
a+b+c=1+3+2=6
40 답 ②, ③
6xÛ`-7xy+2yÛ`=(2x-y)(3x-2y)
2x
3x
5555555555Ú5555555555 Ú
-y
-2y
-3xy
Ú
-4xy`(+
Ú
-7xy
따라서 주어진 식의 인수는 ②, ③이다.
41 답 ⑤
2xÛ`-7x-15=(2x+3)(x-5)
2x
x
5555555555Ú5555555555 Ú
3
-5
3x
Ú
-10x`(+
Ú
-7x
따라서 두 일차식의 합은
(2x+3)+(x-5)=3x-2
42 답 ②, ⑤
① 2xÛ`+5x+2=(2x+1)(x+2)
2x
x
555555555555Ú555555555555 Ú
1
2
` x
Ú
³`4x`(+
Ú
5x
② 3xÛ`-7x+2=(3x-1)(x-2)
3x
55555555 Ú
55555555Ú
x
-1
-2
-x
Ú
³-6x`(+
Ú
-7x
③ 4xÛ`-4x-15=(2x+3)(2x-5)
2x
2x
5555555555Ú5555555555 Ú
3
-5
6x
Ú
³-10x`(+
Ú
-4x
④ 6xÛ`+5x-4=(2x-1)(3x+4)
2x
55555555 Ú
55555555Ú
3x
-1
4
-3x
Ú
Ú
8x`(+
5x
34 정답과 해설
191만렙PM3해설4~5(031~048).indd 34
18. 8. 30. 오전 11:23
³
³
³
³
03
다항식의 인수분해의 활용
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
74~76쪽
49 답 -1
xÛ`-ax-6=(x-2)(x+m) (m은 상수)으로 놓으면
xÛ`-ax-6=xÛ`+(m-2)x-2m
따라서 m-2=-a, -2m=-6이므로
m=3, a=-1
50 답 ⑴ -3 ⑵ -2 ⑶ (x+1)(x-3)
⑴ 동욱이는 상수항을 제대로 보았으므로
(x-1)(x+3)=xÛ`+2x-3
에서 처음 이차식의 상수항은 -3이다.
⑵ 민아는 x의 계수를 제대로 보았으므로
(x+3)(x-5)=xÛ`-2x-15
에서 처음 이차식의 x의 계수는 -2이다.
55 답 ⑤
x+3이 두 다항식의 인수이므로
xÛ`+4x+a=(x+3)(x+m) (m은 상수)으로 놓으면
xÛ`+4x+a=xÛ`+(m+3)x+3m
즉, m+3=4, 3m=a이므로 m=1, a=3
또 2xÛ`+bx-9=(x+3)(2x+n) (n은 상수)으로 놓으면
2xÛ`+bx-9=2xÛ`+(n+6)x+3n
즉, n+6=b, 3n=-9이므로 n=-3, b=3
∴ a+b=3+3=6
56 답 -9
처음 두 다항식을 인수분해하면
4xÛ`-1=(2x+1)(2x-1)
6xÛ`-x-2=(2x+1)(3x-2)
즉, 두 다항식의 공통인 인수는 2x+1이므로 2xÛ`+ax-5도 2x+1
을 인수로 갖는다.
2xÛ`+ax-5=(2x+1)(x+m) (m은 상수)으로 놓으면
2xÛ`+ax-5=2xÛ`+(2m+1)x+m
⑶ 처음 이차식은 xÛ`-2x-3이므로 바르게 인수분해하면
따라서 2m+1=a, m=-5이므로
xÛ`-2x-3=(x+1)(x-3)
a=-9
51 답 3x+4
주어진 모든 직사각형의 넓이의 합은
2xÛ`+5x+3=(2x+3)(x+1)
따라서 큰 직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이의 합은
(2x+3)+(x+1)=3x+4
52 답 8a+20
4aÛ`+20a+25=(2a+5)Û`
4_(2a+5)=8a+20
따라서 정사각형의 한 변의 길이는 2a+5이므로 둘레의 길이는
53 답 x+3, 12
xÛ`+7x+a=(x+4)(x+m) (m은 상수)으로 놓으면
xÛ`+7x+a=xÛ`+(m+4)x+4m
즉, m+4=7, 4m=a이므로
m=3, a=12
따라서 다른 한 인수는 x+3이고, 상수 a의 값은 12이다.
54 답 ②
2xÛ`+ax-6이 x-3으로 나누어떨어지므로
2xÛ`+ax-6=(x-3)(2x+m) (m은 상수)으로 놓으면
2xÛ`+ax-6=2xÛ`+(m-6)x-3m
따라서 m-6=a, -3m=-6이므로
m=2, a=-4
참고 다항식이 ax+b로 나누어떨어지면 그 다항식은 ax+b를 인수로
갖는다.
57 답 (x+5)(x-2)
윤아는 상수항을 제대로 보았으므로
(x-10)(x+1)=xÛ`-9x-10
에서 처음 이차식의 상수항은 -10이다. ∴ B=-10
신영이는 x의 계수를 제대로 보았으므로
(x-3)(x+6)=xÛ`+3x-18
에서 처음 이차식의 x의 계수는 3이다. ∴ A=3
따라서 처음 이차식은 xÛ`+3x-10이므로 바르게 인수분해하면
xÛ`+3x-10=(x+5)(x-2)
에서 처음 이차식의 x의 계수는 -2이다.
y`Ú
58 답 2(x+1)(x-2)
수현이는 x의 계수를 제대로 보았으므로
2(x+3)(x-4) =2(xÛ`-x-12)
=2xÛ`-2x-24
인성이는 상수항을 제대로 보았으므로
2(x-1)(x+2) =2(xÛ`+x-2)
=2xÛ`+2x-4
에서 처음 이차식의 상수항은 -4이다.
따라서 처음 이차식은 2xÛ`-2x-4이므로
바르게 인수분해하면
2xÛ`-2x-4 =2(xÛ`-x-2)
=2(x+1)(x-2)
채점 기준
Ú 처음 이차식의 x의 계수 구하기
Û 처음 이차식의 상수항 구하기
Ü 처음 이차식 구하기
Ý 처음 이차식을 인수분해하기
y`Û
y`Ü
y`Ý
30%
30%
10%
30%
4. 다항식의 인수분해 35
191만렙PM3해설4~5(031~048).indd 35
18. 8. 30. 오전 11:23
59 답 (4x+1)(2x-1)
슬이는 x의 계수와 상수항을 제대로 보았으므로
65 답 ②
색종이 B의 넓이는
(6x+1)(4x-1)=24xÛ`-2x-1
(9xÛ`+12x+4)+(7xÛ`+28x+21) =16xÛ`+40x+25
에서 처음 이차식의 x의 계수는 -2, 상수항은 -1이다.
=(4x+5)Û`
원찬이는 xÛ`의 계수와 x의 계수를 제대로 보았으므로
따라서 색종이 B의 한 변의 길이는 4x+5이다.
(2x+1)(4x-3)=8xÛ`-2x-3
에서 처음 이차식의 xÛ`의 계수는 8, x의 계수는 -2이다.
따라서 처음 이차식은 8xÛ`-2x-1이므로 바르게 인수분해하면
66 답 8x
3xÛ`+2x-1=(3x-1)(x+1)
8xÛ`-2x-1=(4x+1)(2x-1)
60 답 2x+6
주어진 모든 직사각형의 넓이의 합은
xÛ`+6x+8=(x+2)(x+4)
따라서 큰 직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이의 합은
(x+2)+(x+4)=2x+6
61 답 ③
[그림 1]의 도형의 넓이는 aÛ`-bÛ`
[그림 2]의 도형의 넓이는 (a+b)(a-b)
따라서 두 도형의 넓이가 같으므로
aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)
62 답 ②
다항식이 정사각형의 넓이를 나타내려면 x에 대한 완전제곱식의 꼴
② xÛ`+3x+9는 완전제곱식으로 인수분해할 수 없다.
이어야 한다.
① xÛ`+2x+1=(x+1)Û`
③ xÛ`+4x+4=(x+2)Û`
④ xÛ`+10x+25=(x+5)Û`
⑤ xÛ`+12x+36=(x+6)Û`
따라서 주어진 막대들로 만든 정사각형의 넓이가 아닌 것은 ②이다.
따라서 이 직사각형의 가로, 세로의 길이는 3x-1, x+1이다.
이때 색칠한 부분의 둘레의 길이는 이 직사각형의 둘레의 길이와 같
으므로
2_{(3x-1)+(x+1)}=8x
핵심 유형
최종 점검 하기
77~79쪽
67 답 ⑤
③ (x+1)+x=2x+1이므로 x-2를 인수로 갖지 않는다.
따라서 x-2를 인수로 갖는 것은 ⑤이다.
68 답 ③
① 9aÛ`b-6abÛ`=3ab(3a-2b)
② aÜ`bÛ`c+2aÛ`bc=aÛ`bc(ab+2)
④ aÛ`-abc=a(a-bc)
⑤ xÛ`-2x=x(x-2)
따라서 인수분해를 바르게 한 것은 ③이다.
69 답 ①, ⑤
a(x-3)+b(3-x)-c(3x-9)
=a(x-3)-b(x-3)-3c(x-3)
=(x-3)(a-b-3c)
따라서 주어진 식의 인수는 ①, ⑤이다.
63 답 10x+6
2x+5는 6xÛ`+ax-10의 인수이므로
6xÛ`+ax-10=(2x+5)(3x+m) (m은 상수)으로 놓으면
6xÛ`+ax-10=6xÛ`+(2m+15)x+5m
따라서 5m=-10이므로 m=-2
70 답 ②
① xÛ`+6x+9=xÛ`+2_x_3+3Û`=(x+3)Û`
② 2xÛ`-3x+1=(2x-1)(x-1)
③ 4aÛ`+4a+1 =(2a)Û`+2_2a_1+1Û`
=(2a+1)Û`
즉, 6xÛ`+ax-10=(2x+5)(3x-2)이므로 이 직사각형의 세로의
④ 9aÛ`-24ab+16bÛ` =(3a)Û`-2_3a_4b+(4b)Û`
길이는 3x-2이다.
따라서 직사각형의 둘레의 길이는
2_{(2x+5)+(3x-2)}=10x+6
64 답 8a+20b
3aÛ`b+6abÛ`=3ab(a+2b)=a_3b_(a+2b)이므로
직육면체의 높이는 a+2b이다.
∴ (모든 모서리의 길이의 합) =4_{a+3b+(a+2b)}
=8a+20b
36 정답과 해설
⑤
;2Á5;
xÛ`+
xy+yÛ` =
;5@;
x
}
{;5!;
Û`+2_
;5!;
x_y+yÛ`
=(3a-4b)Û`
=
{;5!;
x+y
Û`
}
따라서 완전제곱식으로 인수분해할 수 없는 것은 ②이다.
71 답 18
x(x+a)+36=(x+b)Û`에서
xÛ`+ax+36=xÛ`+2bx+bÛ`
y`Ú
191만렙PM3해설4~5(031~048).indd 36
18. 8. 30. 오전 11:23
⑤ xÛ`+5x+25에서 25+
{;2%;}
Û`이므로 완전제곱식으로 인수분해되지
78 답 ①, ⑤
9+(7x+2)(2x-3) =9+14xÛ`-17x-6
xÛ`+(k-2)x+81=
;4!;
Û`+(k-2)x+9Û`은
x
}
{;2!;
Û`으로 인
xÑ9
}
{;2!;
따라서 a=2b, 36=bÛ`이므로
b=6, a=12 또는 b=-6, a=-12
이때 a>0이므로 a=12, b=6
∴ a+b=12+6=18
채점 기준
Ú 주어진 식을 전개하기
Û a, b의 값 구하기
Ü a+b의 값 구하기
72 답 ⑤
않는다.
73 답 4
수분해된다.
즉, k-2=2_
_9=9
;2!;
;2!;
또는 k-2=2_
_(-9)=-9
∴ k=11 또는 k=-7
따라서 모든 k의 값의 합은
11+(-7)=4
74 답 ㄱ, ㄴ
A =
xÛ`+4x+4+
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
=
(x+2)Û`+
(x-3)Û`
xÛ`-6x+9
ㄱ. x<-2에서 x+2<0, x-3<0이므로
A =-(x+2)-(x-3)
=-x-2-x+3=-2x+1
A =(x+2)-(x-3)
=x+2-x+3=5
ㄷ. x>3에서 x+2>0, x+3>0이므로
A =(x+2)+(x-3)
=2x-1
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
75 답 ④
xÜ`-x =x(xÛ`-1)
=x(x+1)(x-1)
따라서 인수가 아닌 것은 ④이다.
76 답 2x-4
xÛ`-4x-12=(x+2)(x-6)
따라서 두 일차식의 합은
(x+2)+(x-6)=2x-4
y`Û
y`Ü
30%
50%
20%
77 답 20
xÛ`-11x+k=(x-a)(x-b)에서 a+b=11을 만족시키는 자연수
a, b는 다음과 같다.
a
b
1
10
2
9
3
8
4
7
5
6
6
5
7
4
8
3
9
2
10
1
이때 ab=k이므로 k의 값이 될 수 있는 수는
10, 18, 24, 28, 30
차는 30-10=20
따라서 k의 값 중 가장 큰 값은 30, 가장 작은 값은 10이므로 구하는
=14xÛ`-17x+3
=(14x-3)(x-1)
따라서 주어진 식의 인수는 ①, ⑤이다.
79 답 7
3xÛ`-axy+8yÛ`=(3x+by)(cx-2y)에서
3xÛ`-axy+8yÛ`=3cxÛ`+(-6+bc)xy-2byÛ`
즉, 3=3c, -a=-6+bc, 8=-2b이므로 c=1, b=-4
-a=-6+(-4)_1=-10 ∴ a=10
∴ a+b+c=10+(-4)+1=7
80 답 ⑤
⑤ -3xÛ`+12yÛ` =-3(xÛ`-4yÛ`)=-3(x+2y)(x-2y)
81 답 ②
xÛ`+
x+
=
x+
;9!;
{
;3@;
;3!;}
Û`이므로 a=
;3!;
6xÛ`-11x+4=(3x-4)(2x-1)이므로
b=-4, c=-1
82 답 x-5y
2xy-10yÛ`=2y(x-5y)
4xÛ`-17xy-15yÛ`=(4x+3y)(x-5y)
따라서 두 다항식의 1이 아닌 공통인 인수는 x-5y이다.
83 답 -5
xÛ`+2x-3=(x+3)(x-1)이므로 xÛ`+ax+4는 x+3 또는 x-1
을 인수로 갖는다.
Ú xÛ`+ax+4=(x+3)(x+m)(m은 상수)으로 놓으면
xÛ`+ax+4=xÛ`+(m+3)x+3m
즉, m+3=a, 3m=4이므로 m=;3$;
, a=
;;Á3£;;
Û xÛ`+ax+4=(x-1)(x+n)(n은 상수)으로 놓으면
xÛ`+ax+4=xÛ`+(n-1)x-n
즉, n-1=a, -n=4이므로 n=-4, a=-5
이때 a는 정수이므로 a=-5
4. 다항식의 인수분해 37
ㄴ. -2Éx<3에서 x+2¾0, x-3<0이므로
∴ 3a+b+c=3_
+(-4)+(-1)=-4
;3!;
191만렙PM3해설4~5(031~048).indd 37
18. 8. 30. 오전 11:23
xÛ`+8x+a=(x+6)(x+m)(m은 상수)으로 놓으면
xÛ`+8x+a=xÛ`+(m+6)x+6m
따라서 m+6=8, 6m=a이므로
m=2, a=12
즉, xÛ`+8x+12=(x+6)(x+2)이므로 ㈎의 둘레의 길이는
2_{(x+6)+(x+2)} =4x+16
=4(x+4)
이때 두 사각형 ㈎, ㈏의 둘레의 길이가 서로 같고, ㈏는 정사각형이
므로 ㈏의 한 변의 길이는 x+4이다.
채점 기준
Ú a의 값 구하기
Û ㈎의 둘레의 길이 구하기
Ü ㈏의 한 변의 길이 구하기
y`Ú
y`Û
y`Ü
40%
40%
20%
84 답 36
axÛ`-3x-5b가 x+2와 2x-5로 나누어떨어지므로
axÛ`-3x-5b=c(x+2)(2x-5)(c는 상수)로 놓으면
axÛ`-3x-5b =c(2xÛ`-x-10)
=2cxÛ`-cx-10c
즉, a=2c, -3=-c, -5b=-10c이므로
c=3, a=6, b=6
∴ ab=6_6=36
85 답 (x+1)(x-6)
민혁이는 상수항을 제대로 보았으므로
(x-2)(x+3)=xÛ`+x-6
에서 처음 이차식의 상수항은 -6이다.
준호는 x의 계수를 제대로 보았으므로
(x-2)(x-3)=xÛ`-5x+6
에서 처음 이차식의 x의 계수는 -5이다.
따라서 처음 이차식은 xÛ`-5x-6이므로 바르게 인수분해하면
xÛ`-5x-6=(x+1)(x-6)
86 답 8x+10
주어진 모든 직사각형의 넓이의 합은
3xÛ`+7x+4=(3x+4)(x+1)
따라서 큰 직사각형의 둘레의 길이는
2_{(3x+4)+(x+1)}=8x+10
87 답 ④
(x+2)(x-4)-16 =xÛ`-2x-8-16
=xÛ`-2x-24
=(x+4)(x-6)
따라서 넓이가 (x+2)(x-4)-16인 직사각형의 한 변의 길이가 될
수 있는 것은 ④이다.
88 답 ④
주어진 사다리꼴의 높이를 h라 하면 사다리꼴의 넓이는
_{(x+2)+2x}_h=
(3x+2)h
;2!;
이때 3xÛ`+5x+2=(3x+2)(x+1)이므로
(3x+2)h=(3x+2)(x+1)
;2!;
;2!;
즉,
h=x+1에서 h=2(x+1)=2x+2
;2!;
89 답 x+4
(직사각형의 넓이)=(가로의 길이)_(세로의 길이)이고 ㈎의 가로의
길이가 x+6이므로 xÛ`+8x+a는 x+6을 인수로 갖는다.
38 정답과 해설
191만렙PM3해설4~5(031~048).indd 38
18. 8. 30. 오전 11:23
40 10000
41 -55
44 x+8
2
42 -4
'
46 ㉠, 6740
03 답 ②
2x+y=A로 놓으면
47 ①, ②
48 ④
(2x+y)(2x+y-1)-6 =A(A-1)-6
5
여러 가지 인수분해
01 (x-y)(a+b)(a-b)
02 ②
03 ②
04 ⑤
07 ②, ④
11 -2
14 ④
05 ③
08 ①
12 ⑤
15 12
06 3ab(a-b)Û`
09 2x-6
10 ④
13 (a+b+6)(a+b-1)
16 (2x-1)(x+1)(2x-5)(x+3)
17 (3x+2y+1)(3x-2y-3)
18 ㉢, -7x(3x+10)
19 -4(x-7)
21 (x-2)(x+3)(xÛ`+x-8)
20 10
22 ④
23 1
26 ②, ④
27 36
29 (x+y)Û` (x-y)
25 -10
31 2개
32 ①
33 ①, ④
34 2x+6y
35 -1
36 x-1
37 ②, ⑤
38 (2x+y+1)(x+y-1)
39 ⑤
43 6
51 ④
55 ①
2
59 2
'
63 -3
75 8
78 ④
85 ③
89 ①
93 49
52 -128
53 ③
56 ①
60 42
64 ④
57 5
61 -24
3
'
65 24
68 4
50 ①
54
;4@0!;
58 44
'
62 ②
6
66 3x-2
69 500p cmÜ`
67 4x+4y-2
70 ab
71 (-72, -84)
72 (a+b)(x+2)(x-6)
73 ④
74 x+y-3
82 (x+y-5)(x-y+3)
83 ③
84 ①, ④
76 (2x+7)(3x-2)
79 ③
80 ②
86 1
90 ③
94 60 cm
87 460
3
91 7+4
'
95 3 cm
77 ④
81 ⑤
88 4개
92 51
24 ③
28 ②
30 ③
45 ③
49 ⑤
01
복잡한 식의 인수분해 ⑴
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
82~84쪽
01 답 (x-y)(a+b)(a-b)
aÛ`(x-y)+bÛ`(y-x) =aÛ`(x-y)-bÛ`(x-y)
=(x-y)(aÛ`-bÛ`)
=(x-y)(a+b)(a-b)
02 답 ②
x-4=A로 놓으면
(x-4)Û`+3(x-4)-10 =AÛ`+3A-10
=(A+5)(A-2)
=(x-4+5)(x-4-2)
=(x+1)(x-6)
따라서 a=1, b=-6이므로
a+b=1+(-6)=-5
=AÛ`-A-6
=(A+2)(A-3)
=(2x+y+2)(2x+y-3)
04 답 ⑤
a-1=A, b-1=B로 놓으면
(a-1)Û`-(b-1)Û` =AÛ`-BÛ``
=(A+B)(A-B)
={(a-1)+(b-1)}{(a-1)-(b-1)}
=(a+b-2)(a-b)
05 답 ③
xÜ`+xÛ`-9(x+1) =xÛ`(x+1)-9(x+1)
=(x+1)(xÛ`-9)
=(x+1)(x+3)(x-3)
06 답 3ab(a-b)Û`
3aÜ`b-6aÛ`bÛ`+3abÜ` =3ab(aÛ`-2ab+bÛ`)
=3ab(a-b)Û`
07 답 ②, ④
(y-3)xÛ`+(-y+3)x-2y+6
=(y-3)xÛ`-(y-3)x-2(y-3)
=(y-3)(xÛ`-x-2)
=(y-3)(x+1)(x-2)
따라서 주어진 식의 인수는 ②, ④이다.
5. 여러 가지 인수분해 39
191만렙PM3해설4~5(031~048).indd 39
18. 8. 30. 오전 11:23
08 답 ①
A =3aÛ`(a-2b)+4ab(2b-a)+bÛ`(a-2b)
13 답 (a+b+6)(a+b-1)
a+b=A로 놓으면
=3aÛ`(a-2b)-4ab(a-2b)+bÛ`(a-2b)
(a+b)(a+b+5)-6 =A(A+5)-6
=(a-2b)(3aÛ`-4ab+bÛ`)
=(a-2b)(a-b)(3a-b)
B =a(a-b)-b(a-b)-a+b
=a(a-b)-b(a-b)-(a-b)
=(a-b)(a-b-1)
따라서 두 다항식 A, B의 공통인 인수는 ①이다.
09 답 2x-6
x-2=A로 놓으면
(x-2)Û`-2(x-2)-24 =AÛ`-2A-24
=(A+4)(A-6)
=(x-2+4)(x-2-6)
=(x+2)(x-8)
따라서 두 일차식의 합은
(x+2)+(x-8)=2x-6
10 답 ④
x-y=A로 놓으면
1-(x-y)Û` =1Û`-AÛ`
=AÛ`+5A-6
=(A+6)(A-1)
=(a+b+6)(a+b-1)
14 답 ④
3a+b=A로 놓으면
(3a+b)Û`+4(3a+b-2)+12 =AÛ`+4(A-2)+12
=AÛ`+4A+4
=(A+2)Û`
=(3a+b+2)Û`
따라서 주어진 식의 인수는 ④이다.
15 답 12
2x-5y=A로 놓으면
(2x-5y)(2x-5y+6)-27 =A(A+6)-27
y`Ú
=AÛ`+6A-27
=(A-3)(A+9)
y`Û
=(2x-5y-3)(2x-5y+9) y`Ü
채점 기준
Ú 공통부분 치환하기
Û 인수분해하기
Ü 치환한 식을 대입하여 정리하기
Ý |p-q|의 값 구하기
y`Ý
20 %
30 %
20 %
30 %
=(1+A)(1-A)
따라서 p=-3, q=9 또는 p=9, q=-3이므로
={1+(x-y)}{1-(x-y)}
|p-q|=12
=(1+x-y)(1-x+y)
11 답 -2
2(x-4y)Û`+12x-48y+18=2(x-4y)Û`+12(x-4y)+18에서
x-4y=A로 놓으면
2(x-4y)Û`+12(x-4y)+18 =2AÛ`+12A+18
y`Ú
=2(AÛ`+6A+9)
=2(A+3)Û`
=2(x-4y+3)Û`
따라서 a=2, b=-4이므로
a+b=2+(-4)=-2
채점 기준
Ú 공통부분 치환하기
Û 인수분해하기
Ü 치환한 식을 대입하여 정리하기
Ý a+b의 값 구하기
12 답 ⑤
xÛ`-2x=A로 놓으면
(xÛ`-2x)Û`-11(xÛ`-2x)+24 =AÛ`-11A+24
=(A-3)(A-8)
y`Û
y`Ü
y`Ý
40 %
30 %
10 %
20 %
16 답 (2x-1)(x+1)(2x-5)(x+3)
2xÛ`+x=A로 놓으면
(2xÛ`+x-3)(2xÛ`+x-13)-24
=(A-3)(A-13)-24
=AÛ`-16A+15
=(A-1)(A-15)
=(2xÛ`+x-1)(2xÛ`+x-15)
=(2x-1)(x+1)(2x-5)(x+3)
17 답 (3x+2y+1)(3x-2y-3)
3x-1=A, y+1=B로 놓으면
(3x-1)Û`-4(y+1)Û`
=AÛ`-4BÛ`
=AÛ`-(2B)Û`
=(xÛ`-2x-3)(xÛ`-2x-8)
=(A+2B)(A-2B)
=(x+1)(x-3)(x+2)(x-4)
={(3x-1)+2(y+1)}{(3x-1)-2(y+1)}
따라서 인수가 아닌 것은 ⑤이다.
=(3x+2y+1)(3x-2y-3)
40 정답과 해설
191만렙PM3해설4~5(031~048).indd 40
18. 8. 30. 오전 11:23
따라서 처음으로 잘못된 부분은 ㉢이고, 바르게 인수분해하면
18 답 ㉢, -7x(3x+10)
5x-2=A, x+1=B로 놓으면
(5x-2)Û`-6(5x-2)(x+1)-16(x+1)Û`
={(5x-2)+2(x+1)}{(5x-2)-8(x+1)}
=AÛ`-6AB-16BÛ`
=(A+2B)(A-8B)
=7x(-3x-10)
=-7x(3x+10)
-7x(3x+10)이다.
19 답 -4(x-7)
x+1=A, x-3=B로 놓으면
(x+1)Û`-3(x+1)(x-3)+2(x-3)Û`
=AÛ`-3AB+2BÛ`
=(A-B)(A-2B)
=4(-x+7)
=-4(x-7)
={(x+1)-(x-3)}{(x+1)-2(x-3)}
20 답 10
3x+y=A, x-y=B로 놓으면
2(3x+y)Û`+(3x+y)(x-y)-3(x-y)Û`
=2AÛ`+AB-3BÛ`
=(2A+3B)(A-B)
={2(3x+y)+3(x-y)}{(3x+y)-(x-y)}
=(9x-y)(2x+2y)
=2(9x-y)(x+y)
따라서 a=2, b=9, c=1이므로
a+b-c=2+9-1=10
02
복잡한 식의 인수분해 ⑵
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
85~87쪽
21 답 (x-2)(x+3)(xÛ`+x-8)
(x-1)(x-3)(x+2)(x+4)+24
={(x-1)(x+2)}{(x-3)(x+4)}+24
=(xÛ`+x-2)(xÛ`+x-12)+24
A
A
=(A-2)(A-12)+24
=AÛ`-14A+48
=(A-6)(A-8)
=(xÛ`+x-6)(xÛ`+x-8)
=(x-2)(x+3)(xÛ`+x-8)
22 답 ④
xÛ`yÛ`-xÛ`-yÛ`+1 =xÛ`(yÛ`-1)-(yÛ`-1)
=(xÛ`-1)(yÛ`-1)
=(x+1)(x-1)(y+1)(y-1)
따라서 인수가 아닌 것은 ④이다.
23 답 1
xÛ`+2xy+yÛ`-16 =(xÛ`+2xy+yÛ`)-16
=(x+y)Û`-4Û`
=(x+y+4)(x+y-4)
따라서 a=1, b=4, c=-4이므로
a+b+c=1+4+(-4)=1
24 답 ③
x, y 중 차수가 낮은 y에 대하여 내림차순으로 정리하면
xÛ`-xy-4x+2y+4 =y(-x+2)+(xÛ`-4x+4)
=-y(x-2)+(x-2)Û`
=(x-2)(x-y-2)
25 답 -10
(x+1)(x+2)(x-4)(x-5)+9
={(x+1)(x-4)}{(x+2)(x-5)}+9
=(xÛ`-3x-4)(xÛ`-3x-10)+9
A
A
=(A-4)(A-10)+9
=AÛ`-14A+49=(A-7)Û`
=(xÛ`-3x-7)Û`
따라서 a=-3, b=-7이므로
a+b=-3+(-7)=-10
26 답 ②, ④
(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)-40
={(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}-40
=(xÛ`-1)(xÛ`-4)-40
A
A
=(A-1)(A-4)-40
=AÛ`-5A-36=(A-9)(A+4)
=(xÛ`-9)(xÛ`+4)
=(x+3)(x-3)(xÛ`+4)
따라서 인수가 아닌 것은 ②, ④이다.
27 답 36
(x+1)(x+3)(x-3)(x-5)+k
={(x+1)(x-3)}{(x+3)(x-5)}+k
=(xÛ`-2x-3)(xÛ`-2x-15)+k
A
A
=(A-3)(A-15)+k
=AÛ`-18A+45+k
이 식이 완전제곱식으로 인수분해되려면
45+k=
, 45+k=81 ∴ k=36
-18
{
2 }
2`
5. 여러 가지 인수분해 41
191만렙PM3해설4~5(031~048).indd 41
18. 8. 30. 오전 11:23
28 답 ②
aÛ`b-aÛ`-9b+9 =aÛ`(b-1)-9(b-1)
=(aÛ`-9)(b-1)
=(a+3)(a-3)(b-1)
따라서 인수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ이다.
29 답 (x+y)Û` (x-y)
xÜ`+xÛ`y-xyÛ`-yÜ` =xÛ`(x+y)-yÛ`(x+y)
=(x+y)(xÛ`-yÛ`)
=(x+y)(x+y)(x-y)
=(x+y)Û`(x-y)
채점 기준
Ú 공통부분이 생기도록 두 항씩 묶기
Û 공통인 인수로 묶어 내기
Ü 인수분해하여 정리하기
30 답 ③
ab-a-b+1 =a(b-1)-(b-1)
=(a-1)(b-1)
aÛ`-ab-a+b =a(a-b)-(a-b)
=(a-1)(a-b)
따라서 두 다항식의 공통인 인수는 ③이다.
따라서 두 일차식의 합은
(x+3y+5)+(x+3y-5)=2x+6y
채점 기준
Ú (3항)+(1항)으로 묶어 AÛ`-BÛ`의 꼴로 만들기
Û 인수분해하기
Ü 두 일차식의 합 구하기
y`Ü
40 %
30 %
30 %
y`Ú
y`Û
y`Ü
40 %
30 %
30 %
35 답 -1
xÛ`+4yÛ`-1-4xy =(xÛ`-4xy+4yÛ`)-1
=(x-2y)Û`-1Û`
=(x-2y+1)(x-2y-1)
(x-2y)Û`+(2y-x)-2 =(x-2y)Û`-(x-2y)-2
A
=AÛ`-A-2
A
=(A+1)(A-2)
=(x-2y+1)(x-2y-2)
따라서 두 다항식의 공통인 인수는 x-2y+1이므로
a=-2, b=1
∴ a+b=-2+1=-1
31 답 2개
6xy-3x+2y-1=5에서 3x(2y-1)+(2y-1)=5
∴ (3x+1)(2y-1)=5
x, y가 정수이므로 3x+1, 2y-1도 정수이다.
3x+1
2y-1
1
5
5 -1 -5
1 -5 -1
⇨
x
y
0
3
;3$; -;3@;
-2
1 -2
0
따라서 정수 x, y의 순서쌍 (x, y)는 (0, 3), (-2, 0)의 2개이다.
32 답 ①
xÛ`+4x-9yÛ`+4 =(xÛ`+4x+4)-9yÛ`
=(x+2)Û`-(3y)Û`
=(x+2+3y)(x+2-3y)
=(x+3y+2)(x-3y+2)
33 답 ①, ④
xÛ`-yÛ`+12y-36 =xÛ`-(yÛ`-12y+36)
=xÛ`-(y-6)Û`
=(x+y-6)(x-y+6)
따라서 주어진 식의 인수는 ①, ④이다.
34 답 2x+6y
xÛ`-25+6xy+9yÛ` =(xÛ`+6xy+9yÛ`)-25
=(x+3y)Û`-5Û`
=(x+3y+5)(x+3y-5)
y`Ú
y`Û
42 정답과 해설
36 답 x-1
x, y 중 차수가 낮은 y에 대하여 내림차순으로 정리하면
xÛ`+5xy+2x-5y-3
=y(5x-5)+(xÛ`+2x-3)
=5y(x-1)+(x-1)(x+3)
=(x-1)(x+5y+3)
따라서 다항식 A는 x-1이다.
37 답 ②, ⑤
a, b, c 중 차수가 가장 낮은 c에 대하여 내림차순으로 정리하면
aÛ`-2bÛ`+ab+3bc-3ca
=c(3b-3a)+(aÛ`+ab-2bÛ`)
=-3c(a-b)+(a+2b)(a-b)
=(a-b)(a+2b-3c)
따라서 주어진 식의 인수는 ②, ⑤이다.
38 답 (2x+y+1)(x+y-1)
x에 대하여 내림차순으로 정리하면
2xÛ`+3xy-x+yÛ`-1
=2xÛ`+(3y-1)x+(yÛ`-1)
=2xÛ`+(3y-1)x+(y+1)(y-1)
2x
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Ú
555555555555555555555555555Ú
x
y+1
y-1
(y+1)x
Ú
³ 2(y-1)x`(+
Ú
(3y-1)x
=(2x+y+1)(x+y-1)
191만렙PM3해설4~5(031~048).indd 42
18. 8. 30. 오전 11:23
43 답 6
xÛ`-yÛ`+2x-2y =(xÛ`-yÛ`)+2(x-y)
=(x+y)(x-y)+2(x-y)
=(x-y)(x+y+2)
=1_(4+2)=6
44 답 x+8
주어진 도형의 넓이는
(x+6)Û`-2Û` =(x+6+2)(x+6-2)
=(x+8)(x+4)
이때 주어진 도형과 넓이가 같은 직사각형의 세로의 길이가 x+4이
므로 가로의 길이는 x+8이다.
x
y
1
3
2
2
3
1
45 답 ③
64Û`-48_64+24Û` =64Û`-2_64_24+24Û`
=(64-24)Û`
=40Û`=1600
46 답 ㉠, 6740
342Û`-332Û` =(342+332)(342-332)
=674_10=6740
따라서 처음으로 잘못된 부분은 ㉠이고, 바르게 계산한 값은 6740이
88~92쪽
47 답 ①, ②
3_29Û`+6_29+3 =3_29Û`+2_3_29+3
=3_(29Û`+2_29+1)
ma+mb=m(a+b)
=3_(29Û`+2_29_1+1Û`)
=3_(29+1)Û`
aÛ`+2ab+bÛ`=(a+b)Û`
=3_30Û`=2700
따라서 주어진 식을 계산하는 데 가장 알맞은 인수분해 공식은 ①, ②
다.
이다.
이 식의 값이 소수가 되려면 x+y+1, x+y-3의 값 중 하나는 1이
39 답 ⑤
x에 대하여 내림차순으로 정리하면
xÛ`-2x+2xy+yÛ`-2y-3
=xÛ`+(2y-2)x+(yÛ`-2y-3)
=xÛ`+(2y-2)x+(y+1)(y-3)
x
x
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Ú
555555555555555555555555555Ú
y+1
y-3
Ú
(y+1)x
Ú ³
(y-3)x`(+
(2y-2)x
=(x+y+1)(x+y-3)
어야 한다.
그런데 x+y-3b이므로 a=1, b=-6
∴ 2a+b=2_1+(-6)=-4
33 답 x=2
xÛ`-7x+12=x에서 xÛ`-8x+12=0
(x-2)(x-6)=0 ∴ x=2 또는 x=6
34 답 ③
6xÛ`-5x-56=0에서 (3x+8)(2x-7)=0
따라서 이차방정식의 해가 x=-
또는 x=3인 것은 ②이다.
;2!;
이때 xÉ4이므로 x=2
② (1+2x)(1-3x)=0에서 1+2x=0 또는 1-3x=0
∴ x=-
또는 x=
;3*;
;2&;
따라서 두 근 사이에 있는 정수는 -2, -1, 0, 1, 2, 3이므로
③
{;2!;
+x
2x-
}{
;3@;}
;2!;
=0에서
+x=0 또는 2x-
=0
;3@;
모든 정수의 합은
-2+(-1)+0+1+2+3=3
;2!;
;3@;
;3!;
;3!;
;3!;
;3!;
② (2x+1)(x-3)=0에서 2x+1=0 또는 x-3=0
∴ x=-
또는 x=3
;2!;
③ x(2x-1)=0에서 x=0 또는 2x-1=0
④ (x+5)(2x-1)=0에서 x+5=0 또는 2x-1=0
⑤ (x+4)(3x-2)=0에서 x+4=0 또는 3x-2=0
∴ x=0 또는 x=
;2!;
∴ x=-5 또는 x=
∴ x=-4 또는 x=
29 답 ①
① (5x+10)(3x-6)=0에서 5x+10=0 또는 3x-6=0
∴ x=-2 또는 x=2
∴ x=-
또는 x=
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
∴ x=-
또는 x=
∴ x=-
또는 x=
∴ x=-
또는 x=
④ (2x+1)(3x-1)=0에서 2x+1=0 또는 3x-1=0
⑤
{
x+
;2!;}{
x-
;3!;}
=0에서 x+
=0 또는 x-
=0
;2!;
;3!;
따라서 이차방정식의 해가 나머지 넷과 다른 하나는 ①이다.
30 답 ④
① x(x-3)=0에서 x=0 또는 x-3=0
∴ x=0 또는 x=3 ∴ (두 근의 합)=3
② (x+1)(x-3)=0에서 x+1=0 또는 x-3=0
∴ x=-1 또는 x=3 ∴ (두 근의 합)=2
③ 2x(x-1)=0에서 2x=0 또는 x-1=0
∴ x=0 또는 x=1 ∴ (두 근의 합)=1
④ (x-1)(x+4)=0에서 x-1=0 또는 x+4=0
∴ x=1 또는 x=-4 ∴ (두 근의 합)=-3
⑤ (x+2)(x+5)=0에서 x+2=0 또는 x+5=0
∴ x=-2 또는 x=-5 ∴ (두 근의 합)=-7
따라서 이차방정식의 두 근의 합이 -3인 것은 ④이다.
31 답 ④
2xÛ`+13x-24=0에서 (x+8)(2x-3)=0
∴ x=-8 또는 x=
이때 a>b이므로 a=
, b=-8
;2#;
;2#;
∴ a-b=
-(-8)=
;2#;
:Á2»:
52 정답과 해설
35 답 ②
(x+2)(x+5)=-x(x+2)에서
xÛ`+7x+10=-xÛ`-2x, 2xÛ`+9x+10=0
(2x+5)(x+2)=0 ∴ x=-
또는 x=-2
;2%;
이때 두 근 중 큰 근이 x=-2이므로 a=-2
∴ (2a-1)Û`={2_(-2)-1}Û`=(-5)Û`=25
36 답 x=-3 또는 x=1
(x+1)(x-2)=-2x+4에서
xÛ`-x-2=-2x+4, xÛ`+x-6=0
(x+3)(x-2)=0 ∴ x=-3 또는 x=2
이때 a>b이므로 a=2, b=-3
따라서 이차방정식 xÛ`+ax+b=0은 xÛ`+2x-3=0이므로
(x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1
채점 기준
Ú (x+1)(x-2)=-2x+4의 해 구하기
Û a, b의 값 구하기
Ü xÛ`+ax+b=0의 해 구하기
y`Ú
y`Û
y`Ü
40%
20%
40%
37 답 2
마방진의 가운데의 수를 A라 하면
(2xÛ`+1)+A+(x-1)=(2x+2)+A+xÛ`에서
xÛ`-x-2=0, (x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=2
이때 x-1>0에서 x>1이므로 x=2
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18. 8. 30. 오전 11:26
38 답 6, x=-3
xÛ`-ax-4a-3=0에 x=9를 대입하면
9Û`-a_9-4a-3=0
78-13a=0 ∴ a=6
43 답 2
xÛ`+10x=7x에서
xÛ`+3x=0, x(x+3)=0 ∴ x=0 또는 x=-3
(x-2)(2x+1)=(x-2)Û`에서
즉, 주어진 이차방정식은 xÛ`-6x-27=0이므로
2xÛ`-3x-2=xÛ`-4x+4, xÛ`+x-6=0
(x+3)(x-9)=0 ∴ x=-3 또는 x=9
(x+3)(x-2)=0 ∴ x=-3 또는 x=2
따라서 다른 한 근은 x=-3이다.
따라서 두 이차방정식의 공통인 근이 x=-3이므로 공통이 아닌 두
40 답 ④
(a-1)xÛ`-(aÛ`+1)x+2(a+1)=0에 x=2를 대입하면
45 답 -
;3*;
39 답
;2#;
(a+1)xÛ`-3x+a=0에 x=1을 대입하면
a+1-3+a=0, 2a-2=0 ∴ a=1
즉, 주어진 이차방정식은 2xÛ`-3x+1=0이므로
(2x-1)(x-1)=0 ∴ x=
또는 x=1
;2!;
따라서 a=1, b=
이므로
;2!;
a+b=1+
=
;2!;
;2#;
이때 주어진 이차방정식의 xÛ`의 계수가 0이 아니어야 하므로
(a-1)_2Û`-(aÛ`+1)_2+2(a+1)=0
4a-4-2aÛ`-2+2a+2=0
2aÛ`-6a+4=0, aÛ`-3a+2=0
(a-1)(a-2)=0
∴ a=1 또는 a=2
a-1+0에서 a+1
∴ a=2
즉, 주어진 이차방정식은 xÛ`-5x+6=0이므로
(x-2)(x-3)=0 ∴ x=2 또는 x=3
따라서 다른 한 근은 x=3이다.
41 답 x=-5 또는 x=-1
주어진 이차방정식의 일차항의 계수와 상수항을 바꾸면
xÛ`+(k-1)x+k=0
이 이차방정식에 x=-2를 대입하면
(-2)Û`+(k-1)_(-2)+k=0
4-2k+2+k=0, 6-k=0 ∴ k=6
즉, 처음 이차방정식은 xÛ`+6x+5=0이므로
(x+5)(x+1)=0 ∴ x=-5 또는 x=-1
42 답 x=1
xÛ`-7x+6=0에서 (x-1)(x-6)=0
∴ x=1 또는 x=6
3xÛ`-4x+1=0에서 (3x-1)(x-1)=0
∴ x=
또는 x=1
;3!;
근의 합은 0+2=2
44 답
;4%;
xÛ`-3x+ab=0에 x=-2를 대입하면
(-2)Û`-3_(-2)+ab=0
10+ab=0 ∴ ab=-10
xÛ`+bx-20=0에 x=-2를 대입하면
(-2)Û`+b_(-2)-20=0
-16-2b=0 ∴ b=-8
따라서 ab=-10에서
-8a=-10 ∴ a=
;4%;
xÛ`+2ax+2a-1=0에서 (x+1)(x+2a-1)=0
∴ x=-1 또는 x=-2a+1
xÛ`-(a+5)x+5a=0에서 (x-5)(x-a)=0
∴ x=5 또는 x=a
Ú 공통인 근이 x=-1일 때, a=-1
Û 공통인 근이 x=5일 때,
-2a+1=5, -2a=4 ∴ a=-2
Ü 공통인 근이 x=-2a+1 또는 x=a일 때,
-2a+1=a, 3a=1 ∴ a=
;3!;
따라서 Ú ~ Ü에 의해 모든 a의 값의 합은
-1+(-2)+
=-
;3!;
;3*;
46 답 ④
xÛ`+6=5x에서 xÛ`-5x+6=0
(x-2)(x-3)=0 ∴ x=2 또는 x=3
이때 두 근 중 큰 근은 x=3이므로
xÛ`-ax-6a=0에 x=3을 대입하면
3Û`-a_3-6a=0, 9-9a=0 ∴ a=1
47 답 3
3xÛ`-5x-2=0에서 (3x+1)(x-2)=0
∴ x=-
또는 x=2
;3!;
이때 x>1을 만족시키는 근은 x=2이므로
3xÛ`+(a-5)x-8=0에 x=2를 대입하면
3_2Û`+(a-5)_2-8=0
따라서 두 이차방정식을 동시에 만족시키는 해는 x=1이다.
2a-6=0 ∴ a=3
6. 이차방정식의 뜻과 풀이 53
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48 답 ④
xÛ`-4x=0에서 x(x-4)=0
∴ x=0 또는 x=4
52 답 ①
(x+a)(x-1)=b에서
xÛ`+(a-1)x-a-b=0
xÛ`-5x+4=0에서 (x-1)(x-4)=0
이때 x=2를 중근으로 갖고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은
∴ x=1 또는 x=4
(x-2)Û`=0, 즉 xÛ`-4x+4=0이므로
즉, 두 이차방정식의 공통인 근은 x=4이므로
a-1=-4, -a-b=4 ∴ a=-3, b=-1
xÛ`-2ax-5=0에 x=4를 대입하면
∴ 2a+b=2_(-3)+(-1)=-7
즉, 이차방정식 xÛ`+ax-4=0은 xÛ`-3x-4=0이므로
(x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4
따라서 다른 한 근이 x=-1이다.
y`Û
4Û`-2a_4-5=0
11-8a=0 ∴ a=
:Á8Á:
49 답 -12
xÛ`+ax-4=0에 x=4를 대입하면
4Û`+a_4-4=0
4a+12=0 ∴ a=-3
2xÛ`-7x+b=0에 x=-1을 대입하면
2_(-1)Û`-7_(-1)+b=0
9+b=0 ∴ b=-9
∴ a+b=-3+(-9)=-12
Û xÛ`+ax-4=0의 다른 한 근 구하기
채점 기준
Ú a의 값 구하기
Ü b의 값 구하기
Ý a+b의 값 구하기
53 답 -9
-3
Û`=
2 }
a=
{
;4(;
-b=
{;2$;}
Û`=4 ∴ b=-4
∴ ab=
_(-4)=-9
;4(;
54 답 68
-x(x+8)+1-m=0에서
-xÛ`-8x+1-m=0
즉, xÛ`+8x+m-1=0에서
또 xÛ`+8x+16=0에서
(x+4)Û`=0 ∴ n=4
∴ mn=17_4=68
채점 기준
Ú m의 값 구하기
Û n의 값 구하기
Ü mn의 값 구하기
m-1=
{;2*;}
Û`=16 ∴ m=17
y`Ú
y`Ü
y`Ý
30%
30%
30%
10%
y`Ú
y`Û
y`Ü
50%
30%
20%
50 답 ①, ⑤
① xÛ`=1에서 xÛ`-1=0, (x+1)(x-1)=0
∴ x=-1 또는 x=1
② 4xÛ`+4x+1=0에서 (2x+1)Û`=0 ∴ x=-
(중근)
;2!;
③ xÛ`=
x-
에서
;5@;
;2Á5;
xÛ`-
x+
=0,
{
;2Á5;
x-
;5!;}
;5@;
Û`=0 ∴ x=
(중근)
;5!;
④ x(x-3)=-5x-1에서
xÛ`-3x=-5x-1, xÛ`+2x+1=0
(x+1)Û`=0 ∴ x=-1 (중근)
⑤ (x+1)Û`=5xÛ`+7x+2에서
xÛ`+2x+1=5xÛ`+7x+2, 4xÛ`+5x+1=0
(x+1)(4x+1)=0 ∴ x=-1 또는 x=-
51 답 ④
x=5를 중근으로 갖고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은
(x-5)Û`=0, 즉 xÛ`-10x+25=0
따라서 a=-10, b=25이므로
b-a=25-(-10)=35
54 정답과 해설
55 답 ④
(x+2)(x-2)=2(k-1)x-8에서
xÛ`-4=2(k-1)x-8
즉, xÛ`-2(k-1)x+4=0이 중근을 가지므로
4
=[
-2(k-1)
2
]
Û`, 4=kÛ`-2k+1
kÛ`-2k-3=0, (k+1)(k-3)=0 ∴ k=-1 또는 k=3
이때 k<0이므로 k=-1
56 답 -4
주어진 이차방정식이 중근을 가지므로
2aÛ`-5a-3=
-(3a-2)
2
]
[
Û`, 2aÛ`-5a-3=
9aÛ`-12a+4
4
다른 풀이
xÛ`-(3a-2)x+2aÛ`-5a-3=0에서
xÛ`-(3a-2)x+(2a+1)(a-3)=0
{x-(2a+1)}{x-(a-3)}=0
이때 두 근이 서로 같아야 하므로
2a+1=a-3 ∴ a=-4
따라서 중근을 갖지 않는 것은 ①, ⑤이다.
aÛ`+8a+16=0, (a+4)Û`=0 ∴ a=-4
;4!;
8aÛ`-20a-12=9aÛ`-12a+4
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03
이차방정식의 풀이 ⑵
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
107~109쪽
ㄷ. n<0일 때, (x-m)Û`=n에서 (x-m)Û`¾0, n<0이므로 근을
57 답 ⑤
3(x-2)Û`=15에서 (x-2)Û`=5
x-2=Ñ
5 ∴ x=2Ñ
'
5
'
58 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ
ㄱ. n>0일 때, (x-m)Û`=n에서
x-m=Ñ
n ∴ x=mÑ
n
'§
'§
따라서 n>0이면 서로 다른 두 근을 갖는다.
ㄴ. n=0일 때, (x-m)Û`=0에서
x-m=0 ∴ x=m (중근)
따라서 n=0이면 중근을 갖는다.
갖지 않는다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
59 답 A=16, B=4, C=10
xÛ`-8x+6=0에서 xÛ`-8x=-6
xÛ`-8x+16=-6+16
(x-4)Û`=10
∴ A=16, B=4, C=10
60 답 x=
5
-3Ñ
2
'
xÛ`+3x+1=0에서 xÛ`+3x=-1
Û`=-1+
Û`, xÛ`+3x+
{;2#;}
=
;4%;
;4(;
, x+
5
=Ñ '
2
;2#;
xÛ`+3x+
{;2#;}
Û`=
;4%;
-3Ñ
2
5
'
x+
{
;2#;}
∴ x=
61 답 ④
2(x-3)Û`=20에서 (x-3)Û`=10
x-3=Ñ
10 ∴ x=3Ñ
10
'¶
'¶
따라서 a=3, b=10이므로
a+b=3+10=13
62 답 ③
5(x+a)Û`=b에서 (x+a)Û`=
;5B;
x+a=Ñ
¾;5B;
∴ x=-aÑ
¾¶;5B;
즉, -aÑ
=4Ñ
3 이므로
¾¶;5B;
'
-a=4,
;5B;=3 ∴ a=-4, b=15
63 답 2
2(x-1)Û`=6에서 (x-1)Û`=3
x-1=Ñ
3 ∴ x=1Ñ
'
3
'
따라서 두 근 중 작은 근은 x=1-
axÛ`-2ax+2a-8=0에 x=1-
a(1-
'
a(4-2
3 )Û`-2a(1-
'
3 )-2a(1-
'
3a-2a+2
'
'
4a-2
'
4a-8=0 ∴ a=2
3 )+2a-8=0
3 )+2a-8=0
3a+2a-8=0
3이므로
'
3 을 대입하면
'
다른 풀이
2(x-1)Û`=6에서 (x-1)Û`=3
xÛ`-2x+1=3 ∴ xÛ`-2x=2
axÛ`-2ax+2a-8=0에서
a(xÛ`-2x)+2a-8=0
2a+2a-8=0, 4a-8=0 ∴ a=2
64 답 15
(x-4)Û`=15k에서
x-4=Ñ
x=4Ñ
'¶
15k ∴ x=4Ñ
'¶
'¶
15k 가 정수가 되려면
15k
'¶
즉, k=15_(제곱인 수)의 꼴이어야 하므로
15k 가 정수이어야 한다.
k=15_1Û`, 15_2Û`, 15_3Û`, y
따라서 자연수 k의 최솟값은 15이다.
65 답 ⑤
xÛ`=k에서
① k=0일 때, xÛ`=0이므로 x=0 (중근)
즉, 중근을 갖는다.
② k=1일 때, xÛ`=1이므로 x=Ñ1이다.
즉, 서로 다른 두 근을 갖는다.
③, ⑤ k>0일 때, x=Ñ
k이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.
'
이때 두 근의 절댓값은 같다.
④ k<0이면 근을 갖지 않는다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
66 답 -2
(x-3)Û`=k+2가 중근을 가지려면
k+2=0 ∴ k=-2
67 답 ⑤
k>0이면 서로 다른 두 근을 갖고, k=0이면 중근을 갖는다.
따라서 근을 가질 조건은 k¾0
68 답 k<1
(x+2)Û`=
가 근을 갖지 않으려면
4k-4
3
4k-4
3
<0, 4k-4<0, 4k<4 ∴ k<1
6. 이차방정식의 뜻과 풀이 55
191만렙PM3해설6~7(049~074).indd 55
18. 8. 30. 오전 11:26
69 답 ⑤
(x-1)(x-3)=8에서
xÛ`-4x+3=8, xÛ`-4x=5
xÛ`-4x+(-2)Û`=5+(-2)Û`
∴ (x-2)Û`=9
따라서 p=2, q=9이므로 p+q=2+9=11
⑤
xÛ`-x=5에서 xÛ`-
x=
;2%;
:ª2°:
;5@;
xÛ`-
x+
;2%;
Û`=
+
{-;4%;}
:ª2°:
{-;4%;}
Û`
x-
{
;4%;}
:ª1ª6°:
, x-
=Ñ
;4%;
:Á4°:
∴ x=-
또는 x=5
Û`=
;2%;
따라서 이차방정식과 그 해가 잘못 짝 지어진 것은 ④이다.
따라서 a=2, b=
이므로 a-b=2-
=
;2#;
;2#;
;2!;
70 답 ②
4xÛ`+12x-12=0에서
xÛ`+3x-3=0, xÛ`+3x=3
xÛ`+3x+
Û`=3+
Û`
{;2#;}
{;2#;}
Û`=
∴
{
x+
;2#;}
:ª4Á:
∴ k=
:ª4Á:
71 답
;2!;
2xÛ`-8x+5=0에서
xÛ`-4x+
=0, xÛ`-4x=-
;2%;
;2%;
xÛ`-4x+(-2)Û`=-
+(-2)Û`
;2%;
∴ (x-2)Û`=
;2#;
72 답 ④
① (x+4)Û`=7에서
x+4=Ñ
7 ∴ x=-4Ñ
'
7
'
② xÛ`+x-3=0에서 xÛ`+x=3
xÛ`+x+
Û`=3+
Û`
{;2!;}
{;2!;}
x+
{
;2!;}
, x+
:Á4£:
Û`=
13
=Ñ '¶
2
;2!;
∴ x=
13
-1Ñ
2
'¶
③ 2xÛ`-7x+4=0에서
xÛ`-
x+2=0, xÛ`-
x=-2
;2&;
;2&;
Û`=-2+
Û`
{-;4&;}
xÛ`-
x+
;2&;
{-;4&;}
x-
{
;4&;}
Û`=
, x-
;1!6&;
17
=Ñ '¶
4
;4&;
∴ x=
17
7Ñ
'¶
4
④ 3xÛ`=5x+1에서 3xÛ`-5x-1=0
xÛ`-
x-
=0, xÛ`-
x=
;3%;
;3!;
;3%;
;3!;
xÛ`-
x+
;3%;
Û`=
+
Û`
{-;6%;}
;3!;
{-;6%;}
x-
{
;6%;}
, x-
;3#6&;
Û`=
37
=Ñ '¶
6
;6%;
∴ x=
37
5Ñ
'¶
6
56 정답과 해설
따라서 풀이 순서대로 나열하면 ㈓, ㈏, ㈎, ㈑, ㈒, ㈐이다.
73 답 ㈓, ㈏, ㈎, ㈑, ㈒, ㈐
2xÛ`-12x-4=0에서
xÛ`-6x-2=0
xÛ`-6x=2
xÛ`-6x+9=2+9
(x-3)Û`=11
x-3=Ñ
'¶
∴ x=3Ñ
11
11
'¶
74 답 2
xÛ`-5x+a=0에서 xÛ`-5x=-a
xÛ`-5x+
-
{
;2%;}
Û`=-a+
Û`
-
{
;2%;}
x-
{
;2%;}
Û`=
25-4a
4
, x-
=Ñ 'Ä
;2%;
25-4a`
2
∴ x=
5Ñ
'Ä
25-4a`
2
이 이차방정식의 해가 x=
이므로
17`
5Ñ
'¶
2
25-4a=17 ∴ a=2
다른 풀이
x=
17`
5Ñ
'¶
2
에서
2x=5Ñ
17, 2x-5=Ñ
17
'¶
'¶
양변을 제곱하면
(2x-5)Û`=17, 4xÛ`-20x+25=17
4xÛ`-20x+8=0
∴ xÛ`-5x+2=0
∴ a=2
110~111쪽
핵심 유형
최종 점검 하기
75 답 ②
ㄱ. xÛ`=3(x+1)에서
xÛ`=3x+3 ∴ xÛ`-3x-3=0 (이차방정식)
ㄴ. (2x-1)Û`=4xÛ`+3x+1에서
4xÛ`-4x+1=4xÛ`+3x+1
∴ -7x=0 (일차방정식)
ㄷ. xÛ`+2x=-xÛ`+3에서
2xÛ`+2x-3=0 (이차방정식)
191만렙PM3해설6~7(049~074).indd 56
18. 8. 30. 오전 11:26
ㄹ. x(x+2)=(x+1)(x-1)에서
xÛ`+2x=xÛ`-1 ∴ 2x+1=0 (일차방정식)
80 답 ⑤
① (x-3)(x+2)=0에서 x-3=0 또는 x+2=0
ㅁ. xÛ`-4x-2는 등식이 아니므로 이차방정식이 아니다.
∴ x=3 또는 x=-2
ㅂ.
+2xÛ`+3=-4x는 분모에 미지수가 있으므로 이차방정식이
② 3x(5x-3)=0에서 3x=0 또는 5x-3=0
;[!;
아니다.
따라서 x에 대한 이차방정식은 ㄱ, ㄷ의 2개이다.
③ (3x-5)(2x+7)=0에서 3x-5=0 또는 2x+7=0
∴ x=0 또는 x=
;5#;
∴ x=
또는 x=-
;3%;
;4!;
;2&;
;6!;
∴ x=
또는 x=-
④ (4x-1)(6x+1)=0에서 4x-1=0 또는 6x+1=0
⑤ (x-7)(3x+5)=0에서 x-7=0 또는 3x+5=0
∴ x=7 또는 x=-
;3%;
따라서 이차방정식을 바르게 푼 것은 ⑤이다.
76 답 ①, ④
주어진 식을 x에 대하여 정리하면
(aÛ`+3a-4)xÛ`+(a-1)x-1=0
이때 이차항의 계수가 0이 아니어야 하므로
aÛ`+3a-4+0, (a+4)(a-1)+0
∴ a+-4 그리고 a+1
77 답 x=-2
x의 값이 -2, -1, 0, 1, 2이므로 이를 이차방정식 xÛ`-2x-8=0
에 대입하여 등식이 성립하는 것을 찾는다.
x=-2일 때, (-2)Û`-2_(-2)-8=0
x=-1일 때, (-1)Û`-2_(-1)-8=-5+0
x=0일 때, 0Û`-2_0-8=-8+0
x=1일 때, 1Û`-2_1-8=-9+0
x=2일 때, 2Û`-2_2-8=-8+0
따라서 주어진 이차방정식의 해는 x=-2이다.
y`Ú
y`Û
y`Ü
40%
40%
20%
78 답 -12
6xÛ`-4x-a=0에 x=1을 대입하면
6-4-a=0 ∴ a=2
3xÛ`-11x-b=0에 x=3을 대입하면
3_3Û`-11_3-b=0
-6-b=0 ∴ b=-6
∴ ab=2_(-6)=-12
채점 기준
Ú a의 값 구하기
Û b의 값 구하기
Ü ab의 값 구하기
79 답 7
xÛ`-x-3=0에 x=a를 대입하면
aÛ`-a-3=0 y`㉠
이때 a=0이면 등식이 성립하지 않으므로 a+0
㉠의 양변을 a로 나누면
a-1-
=0 ∴ a-
=1
;a#;
∴ aÛ`+
=aÛ`+
Û`=
a-
{
;a#;}
Û`+6
{;a#;}
;a#;
9
aÛ`
=1Û`+6=7
81 답 x=-
;2!;
또는 x=
;4!;
x(x-2)-(3x+1)(3x-1)=0에서
xÛ`-2x-(9xÛ`-1)=0, 8xÛ`+2x-1=0
(2x+1)(4x-1)=0
∴ x=-
또는 x=
;2!;
;4!;
;2!;
;2%;
;2!;
;2!;
82 답 ③
axÛ`-
bx+a-b=0에 x=3을 대입하면
a_3Û`-
b_3+a-b=0
;2!;
10a-
b=0 ∴ b=4a
axÛ`-
bx+a-b=0에 b=4a를 대입하면
axÛ`-
_4a_x+a-4a=0
axÛ`-2ax-3a=0, a(xÛ`-2x-3)=0
a(x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
따라서 다른 한 근은 x=-1이다.
83 답 16
-3xÛ`+2x+16=0에서
3xÛ`-2x-16=0, (x+2)(3x-8)=0
∴ x=-2 또는 x=
;3*;
xÛ`-4x-12=0에서 (x+2)(x-6)=0
∴ x=-2 또는 x=6
근의 곱은
_6=16
;3*;
방정식에 x=3을 대입하여 a, b 사이의 관계를 식으로 나타낸다.
따라서 두 이차방정식의 공통인 근이 x=-2이므로 공통이 아닌 두
6. 이차방정식의 뜻과 풀이 57
191만렙PM3해설6~7(049~074).indd 57
18. 8. 30. 오전 11:26
이 식이 서로 다른 두 근을 가지려면
-a+11
12
>0, -a+11>0 ∴ a<11
따라서 정수 a의 최댓값은 10이다.
완전제곱식을 이용하여 주어진 이차방정식의 해를 구한다.
89 답 27
xÛ`+10x+3=0에서 xÛ`+10x=-3
xÛ`+10x+5Û`=-3+5Û`
∴ (x+5)Û`=22
따라서 a=5, b=22이므로
a+b=5+22=27
90 답 3, 8, 11, 12
xÛ`-6x+a-3=0에서
xÛ`-6x=-a+3
xÛ`-6x+(-3)Û`=-a+3+(-3)Û`
(x-3)Û`=12-a, x-3=Ñ
12-a
'Ä
∴ x=3Ñ
12-a
'Ä
12보다 작은 제곱인 수이어야 하므로
12-a=0, 1, 4, 9 ∴ a=3, 8, 11, 12
주어진 이차방정식의 해가 유리수가 되려면 12-a의 값이 0 또는
③ xÛ`-6x+8=0에서 (x-2)(x-4)=0
84 답 ②
(x+1)(x-8)=-18에서
xÛ`-7x-8=-18, xÛ`-7x+10=0
(x-2)(x-5)=0 ∴ x=2 또는 x=5
이때 x>2를 만족시키는 근은 x=5이므로
xÛ`-3x+a=0에 x=5를 대입하면
5Û`-3_5+a=0, 10+a=0 ∴ a=-10
85 답 ②
① xÛ`+x-42=0에서 (x+7)(x-6)=0
∴ x=-7 또는 x=6
② (4x+1)(x+3)=x-6에서
4xÛ`+13x+3=x-6, 4xÛ`+12x+9=0
(2x+3)Û`=0 ∴ x=-
(중근)
;2#;
∴ x=2 또는 x=4
④ xÛ`-10x-25=0에서 xÛ`-10x=25
xÛ`-10x+(-5)Û`=25+(-5)Û`
(x-5)Û`=50, x-5=Ñ5
2
'
∴ x=5Ñ5
2
'
⑤ 5x(x-1)=25-5x에서
5xÛ`-5x=25-5x, 5xÛ`=25
xÛ`=5 ∴ x=Ñ
5
'
따라서 중근을 갖는 것은 ②이다.
86 답 ①, ⑤
xÛ`-kx+
=0이 중근을 가지므로
;9$;
=
;9$;
-k
{
2 }
Û`, kÛ`=
:Á9¤:
∴ k=Ñ
;3$;
87 답 -30
4(x+a)Û`=24에서 (x+a)Û`=6
x+a=Ñ
6 ∴ x=-aÑ
6`
'
즉, -aÑ
b이므로
'
6=5Ñ
'
'
a=-5, b=6
∴ ab=(-5)_6=-30
채점 기준
Ú 주어진 이차방정식의 해 구하기
Û a, b의 값 구하기
Ü ab의 값 구하기
88 답 10
4xÛ`+8x+
=0에서
a+1
3
a+1
12
xÛ`+2x+
=0, xÛ`+2x=-
a+1
12
xÛ`+2x+1=-
a+1
12
+1
∴ (x+1)Û`=
-a+11
12
58 정답과 해설
y`Ú
y`Û
y`Ü
50%
30%
20%
191만렙PM3해설6~7(049~074).indd 58
18. 8. 30. 오전 11:26
이차방정식의 근의 공식과 활용
01
이차방정식의 근의 공식
7
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
114~119쪽
01 -6
02 ⑴ x=
또는 x=4 ⑵ x=-1 또는 x=
;2!;
;3$;
03 x=
또는 x=
04 ⑤
;2%;
;3&;
05
;4!;
06 ④
07 27
08 2
09 x=
11 x=4 또는 x=6
12 ①
'¶
21
-3Ñ
6
13 20
15 ③
16 x=-
또는 x=-1
;3@;
10 5개
14 ⑤
17 4
18 x=-5 또는 x=6 19 ④
20 x=3, y=2
21 -2
'
26 ③
2 22 ③
23 ②
24 ④
25 4
27 -3
28 2
29 x=-4 또는 x=2
30 ②
31 ①
32 ⑤
33 ⑤
35 ⑤
36
;2ª5;
37 ④
38 ③
40 ⑤
41 2xÛ`+2x-14=0 42 6
34 3
39 ④
43 3
:Á3¢: 45 17
50 ①
44 -
49 -3
54 ⑤
55
;3!;
58
xÛ`+
;2!;
;2!;
61 4xÛ`-2x-4=0
51 32
52 0
53 1
56 -90
57 1
x-3=0 59 2
60 x=-6 또는 x=4
62 ③
63 -10
64 ④
65 ⑴ xÛ`+x-30=0 ⑵ 5
66 72
67 9살
68 ②
69 9팀
70 ⑴ (nÛ`+2n)개 ⑵ 12단계
71 ③
76 18
72 ④
77 ①
73 76
74 ③
75 ②
78 15명
79 12줄
80 민제: 7월 8일, 경미: 7월 15일 81 ②
82 6 cm
83 30 cm 84 4 cm 85 4 m
86 9 cm 87 3초 후
88 5초
89 ④
90 11초
91 6 cm
92 12 m
93 2 cm 94 18 m 95 1 cm 또는 3 cm
96 -2+2
5
'
97 3 m
98 (2+
2 ) cm
'
01 답 -6
3xÛ`-7x+3=0에서
-(-7)Ñ
x=
"Ã
(-7)Û`-4_3_3
2_3
=
13
7Ñ
'¶
6
따라서 A=7, B=13이므로
A-B=7-13=-6
02 답 ⑴ x=
;2!;
또는 x=4 ⑵ x=-1 또는 x=
;3$;
⑴ 주어진 이차방정식의 양변에 10을 곱하면
2xÛ`=9x-4, 2xÛ`-9x+4=0
(2x-1)(x-4)=0
∴ x=
또는 x=4
;2!;
3x(x+1)=2(2x-1)+6
3xÛ`+3x=4x-2+6, 3xÛ`-x-4=0
(x+1)(3x-4)=0
∴ x=-1 또는 x=
;3$;
03 답 x=
;2%;
또는 x=
;3&;
x-2=A로 놓으면
6AÛ`-5A+1=0, (2A-1)(3A-1)=0
∴ A=
또는 A=
;2!;
;3!;
즉, x-2=
또는 x-2=
이므로
;2!;
;3!;
x=
또는 x=
;2%;
;3&;
46 10
47 ③
48 -4
⑵ 주어진 이차방정식의 양변에 6을 곱하면
04 답 ⑤
주어진 이차방정식을 axÛ`+bx+c=0 또는 axÛ`+2b'x+c=0이라
99 3초 후 100 4 cm 101 1 cm 102 6
103 1+
'
2
106 2 m
104 15 cmÛ`
108 2 m
107 3
5
105 5 m
하면
109 19 cm 110 1 cm
111 5 cm 112 ③
113 -
17 114 x=
또는 x=6
'¶
;2#;
115 58
116 x=
, y=
;2(;
;2!;
117 ㄱ, ㄴ
118 -12, x=6
119 x=6 120 ③
121 -3
① xÛ`+x+
=0에서
;4!;
bÛ`-4ac=1Û`-4_1_
=0 ⇨ 중근
;4!;
② 9xÛ`-12x+4=0에서
b'Û`-ac=(-6)Û`-9_4=0 ⇨ 중근
122 x=
126 ②
2Ñ
15
'¶
11
127 ①
123 ②
124 ③
125 2
③ 4xÛ`+x+4=0에서
128 10명 129 9
130 ④
bÛ`-4ac=1Û`-4_4_4=-63<0 ⇨ 근이 없다.
131 ②
132 ③
133 P(6, 3)
134 8 cmÛ`
④ 3xÛ`-2x+1=0에서
135 (10-5
2) cm
136 5 cm 137 26 cm
'
b'Û`-ac=(-1)Û`-3_1=-2<0 ⇨ 근이 없다.
⑤ xÛ`+3x-5=0에서
bÛ`-4ac=3Û`-4_1_(-5)=29>0 ⇨ 서로 다른 두 근
따라서 서로 다른 두 근을 갖는 것은 ⑤이다.
7. 이차방정식의 근의 공식과 활용 59
191만렙PM3해설6~7(049~074).indd 59
18. 8. 30. 오전 11:26
05 답
;4!;
xÛ`+5x+a+6=0이 중근을 가지므로
5Û`-4_1_(a+6)=0, 25-4a-24=0
1-4a=0 ∴ a=
;4!;
06 답 ④
2xÛ`+4x-1+m=0이 서로 다른 두 근을 갖고 일차항의 계수가 짝수
이므로
2Û`-2_(-1+m)>0, 4+2-2m>0
6-2m>0 ∴ m<3
10 답 5개
xÛ`-4x-1=0에서 일차항의 계수가 짝수이므로
-(-2)Ñ
(-2)Û`-1_(-1)
x=
"Ã
1
=2Ñ
5
'
이때 ab이므로 a=1, b=-
;5$;
∴ a+5b=1+5_
-
=-3
{
;5$;}
13 답 20
주어진 이차방정식의 양변에 6을 곱하면
6x-2(xÛ`+1)=3(x-1)
6x-2xÛ`-2=3x-3
즉, 2xÛ`-3x-1=0에서
-(-3)Ñ
(-3)Û`-4_2_(-1)
x=
"Ã
2_2
=
3Ñ
'¶
4
17
따라서 p=3, q=17이므로
p+q=3+17=20
채점 기준
Ú 이차방정식을 정리하기
Û 근의 공식을 이용하여 이차방정식 풀기
Ü p+q의 값 구하기
y`Ú
y`Û
y`Ü
40%
40%
20%
14 답 ⑤
주어진 이차방정식의 양변에 12를 곱하면
3xÛ`-24x-20=7, 3xÛ`-24x-27=0
xÛ`-8x-9=0, (x+1)(x-9)=0
∴ x=-1 또는 x=9
따라서 -1과 9 사이에 있는 정수는 0, 1, 2, y, 8의 9개이다.
즉, 3xÛ`+12x+1=0에서 일차항의 계수가 짝수이므로
07 답 27
xÛ`-16x=(2x-1)Û`에서
xÛ`-16x=4xÛ`-4x+1
-6Ñ
x=
"Ã
6Û`-3_1
3
=
33
-6Ñ
3
'¶
따라서 p=-6, q=33이므로
p+q=-6+33=27
08 답 2
xÛ`+7x+4k+1=0에서
-7Ñ
7Û`-4_1_(4k+1)
-7Ñ
x=
"Ã
2_1
=
45-16k
'Ä
2
-7Ñ
즉,
45-16k
'Ä
2
=
13
-7Ñ
2
'¶
이므로
45-16k=13 ∴ k=2
다른 풀이
x=
13
-7Ñ
2
'¶
에서
2x=-7Ñ
13, 2x+7=Ñ
13
'¶
'¶
양변을 제곱하면
(2x+7)Û`=13, 4xÛ`+28x+49=13
4xÛ`+28x+36=0 ∴ xÛ`+7x+9=0
즉, 4k+1=9이므로
4k=8 ∴ k=2
09 답 x=
21
-3Ñ
6
'¶
xÛ`-x+5k=0에 x=k를 대입하면
kÛ`-k+5k=0, kÛ`+4k=0
k(k+4)=0 ∴ k=0 또는 k=-4
이때 k+0이므로 k=-4
따라서 이차방정식 3xÛ`-(k+1)x-1=0은 3xÛ`+3x-1=0이므로
-3Ñ
3Û`-4_3_(-1)
x=
"Ã
2_3
=
21
-3Ñ
6
'¶
60 정답과 해설
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18. 8. 30. 오전 11:26
즉, xÛ`-2x-1=0에서 일차항의 계수가 짝수이므로
㈐에서 x+y=5이므로 ㉠과 연립하여 풀면
-(-1)Ñ
(-1)Û`-1_(-1)
x=
"Ã
1
=1Ñ
2
'
x=3, y=2
따라서 이차방정식 xÛ`+ax+
b=0은 xÛ`+
x+
=0이므로
이때 x0 ⇨ 서로 다른 두 근 ⇨ 근이 2개
② xÛ`-5x-6=0에서
bÛ`-4ac=(-5)Û`-4_1_(-6)=49>0
⇨ 서로 다른 두 근 ⇨ 근이 2개
③ xÛ`+5x+10=0에서
bÛ`-4ac=5Û`-4_1_10=-15<0 ⇨ 근이 없다. ⇨ 근이 0개
④ 4xÛ`+9x+2=0에서
bÛ`-4ac=9Û`-4_4_2=49>0
⇨ 서로 다른 두 근 ⇨ 근이 2개
⑤ 4xÛ`+12x+5=0에서
b'Û`-ac=6Û`-4_5=16>0 ⇨ 서로 다른 두 근 ⇨ 근이 2개
따라서 근의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는 ③이다.
23 답 ②
주어진 이차방정식을 axÛ`+bx+c=0 또는 axÛ`+2b'x+c=0이라
하면
ㄱ. xÛ`+4=0에서
ㄴ. 3xÛ`-2x+
=0에서
;3!;
bÛ`-4ac=0Û`-4_1_4=-16<0 ⇨ 근이 없다. ⇨ 근이 0개
b'Û`-ac=(-1)Û`-3_
=0 ⇨ 중근 ⇨ 근이 1개
;3!;
ㄷ. xÛ`-8x+12=0에서
b'Û`-ac=(-4)Û`-1_12=4>0 ⇨ 서로 다른 두 근 ⇨ 근이 2개
7. 이차방정식의 근의 공식과 활용 61
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ㄹ. 2xÛ`-x+7=0에서
bÛ`-4ac=(-1)Û`-4_2_7=-55<0
⇨ 근이 없다. ⇨ 근이 0개
ㅁ. (x-1)(x-7)=0 ∴ x=1 또는 x=7
⇨ 서로 다른 두 근 ⇨ 근이 2개
ㅂ. 2xÛ`-5x-3=0에서
bÛ`-4ac=(-5)Û`-4_2_(-3)=49>0
⇨ 서로 다른 두 근 ⇨ 근이 2개
따라서 근이 존재하지 않는 것은 ㄱ, ㄹ의 2개이다.
24 답 ④
① a=16이면 xÛ`-8x+16=0에서 일차항의 계수가 짝수이므로
(-4)Û`-1_16=0
따라서 중근을 갖는다.
② a=8이면 xÛ`-8x+8=0에서 일차항의 계수가 짝수이므로
(-4)Û`-1_8=8>0
따라서 서로 다른 두 근을 갖는다.
③ a=12이면 xÛ`-8x+12=0에서
(x-2)(x-6)=0 ∴ x=2 또는 x=6
따라서 서로 다른 양수인 두 근을 갖는다.
④ a=-9이면 xÛ`-8x-9=0에서
(x+1)(x-9)=0 ∴ x=-1 또는 x=9
따라서 한 근은 음수, 다른 한 근은 양수인 두 근을 갖는다.
⑤ a=-20이면 xÛ`-8x-20=0에서
(x+2)(x-10)=0 ∴ x=-2 또는 x=10
따라서 서로 다른 정수인 두 근을 갖는다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
따라서 a=-
, b=
이므로
;4!;
;2#;
8ab=8_
-
_
=-3
{
;4!;}
;2#;
28 답 2
(kÛ`-1)xÛ`-2(k+1)x+3=0이 중근을 갖고 일차항의 계수가 짝수
이므로
{-(k+1)}Û`-(kÛ`-1)_3=0
kÛ`+2k+1-3kÛ`+3=0, 2kÛ`-2k-4=0
kÛ`-k-2=0, (k+1)(k-2)=0
∴ k=-1 또는 k=2
그런데 k=-1이면 주어진 방정식이 이차방정식이 아니므로
k+-1이다.
∴ k=2
채점 기준
Ú 중근을 가질 조건 알기
Û k에 대한 이차방정식 풀기
Ü k의 값 구하기
y`Ú
y`Û
y`Ü
40%
30%
30%
29 답 x=-4 또는 x=2
xÛ`+2kx+2k-1=0이 중근을 갖고 일차항의 계수가 짝수이므로
kÛ`-1_(2k-1)=0
kÛ`-2k+1=0, (k-1)Û`=0 ∴ k=1
따라서 이차방정식 xÛ`+2kx-8=0은 xÛ`+2x-8=0이므로
(x+4)(x-2)=0 ∴ x=-4 또는 x=2
25 답 4
3xÛ`+12x+8=2k-12에서 3xÛ`+12x+20-2k=0
30 답 ②
(k-1)xÛ`-2(k+1)x+k+1=0이 중근을 갖고 일차항의 계수가
이 이차방정식이 중근을 갖고 일차항의 계수가 짝수이므로
짝수이므로
6Û`-3_(20-2k)=0, 36-60+6k=0
-24+6k=0 ∴ k=4
{-(k+1)}Û`-(k-1)(k+1)=0
kÛ`+2k+1-kÛ`+1=0, 2k+2=0 ∴ k=-1
xÛ`-4x+a=0에 x=-1을 대입하면
26 답 ③
xÛ`+2(k-2)x+k=0이 중근을 갖고 일차항의 계수가 짝수이므로
(-1)Û`-4_(-1)+a=0
1+4+a=0 ∴ a=-5
(k-2)Û`-1_k=0, kÛ`-4k+4-k=0
kÛ`-5k+4=0, (k-1)(k-4)=0 ∴ k=1 또는 k=4
따라서 모든 k의 값의 합은 1+4=5
27 답 -3
(x-1)(x-2)=a에서 xÛ`-3x+2-a=0
이 이차방정식이 중근을 가지므로
(-3)Û`-4_1_(2-a)=0
9-8+4a=0, 1+4a=0 ∴ a=-
;4!;
xÛ`-3x+2-a=0에 a=-
xÛ`-3x+;4(;=0,
{
x-;2#;}
을 대입하면
;4!;
Û`=0 ∴ x=;2#; (중근)
62 정답과 해설
31 답 ①
xÛ`-(k+4)x+1=0이 중근을 가지므로
{-(k+4)}Û`-4_1_1=0
kÛ`+8k+16-4=0, kÛ`+8k+12=0
(k+6)(k+2)=0
∴ k=-6 또는 k=-2
이때 k의 값 중 큰 값은 -2이므로
-xÛ`-ax+aÛ`+1=0에 x=-2를 대입하면
-(-2)Û`-a_(-2)+aÛ`+1=0
-4+2a+aÛ`+1=0, aÛ`+2a-3=0
(a+3)(a-1)=0 ∴ a=-3 또는 a=1
이때 a>0이므로 a=1
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32 답 ⑤
2xÛ`+3x+
=0이 근을 갖지 않으므로
k+1
8
3Û`-4_2_
k+1
8
<0
9-(k+1)<0, 8-k<0 ∴ k>8
33 답 ⑤
2xÛ`-5x+k-2=0이 근을 가지려면
(-5)Û`-4_2_(k-2)¾0
25-8k+16¾0, 41-8k¾0 ∴ kÉ
(=5.125)
:¢8Á:
따라서 가장 큰 정수 k의 값은 5이다.
34 답 3
xÛ`+(a-1)x+1=0이 중근을 가지므로
(a-1)Û`-4_1_1=0
aÛ`-2a+1-4=0, aÛ`-2a-3=0
(a+1)(a-3)=0 ∴ a=-1 또는 a=3
y`Ú
xÛ`-2x+a=0이 근을 갖지 않고 일차항의 계수가 짝수이므로
(-1)Û`-1_a<0, 1-a<0 ∴ a>1
Ú, Û에 의해 a=3
채점 기준
Ú 중근을 가질 조건 구하기
Û 근을 갖지 않을 조건 구하기
Ü a의 값 구하기
y`Û
y`Ü
40%
40%
20%
35 답 ⑤
mxÛ`-2x-1=0이 서로 다른 두 근을 갖고 일차항의 계수가 짝수이
(-1)Û`-m_(-1)>0, 1+m>0 ∴ m>-1
그런데 m=0이면 주어진 방정식이 이차방정식이 아니므로 m+0
므로
이다.
따라서 구하는 m의 값의 범위는 -10이다.
37 답 ④
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
a+b=4, ab=-
이므로
;2#;
aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab=4Û`-2_
-
=19
{
;2#;}
38 답 ③
두 근을 a, a+3으로 놓으면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
a+(a+3)=5, 2a=2 ∴ a=1
따라서 두 근이 1, 4이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
두 근을 a, b(a>b)로 놓으면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
k=1_4=4
다른 풀이
a+b=5, ab=k
a-b=3이므로 (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab에서
3Û`=5Û`-4k, 4k=16
∴ k=4
39 답 ④
xÛ`-8x+k=0의 한 근이 x=4-2
한 근은 x=4+2
3이다.
'
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
k=(4-2
3 )(4+2
3 )=16-12=4
'
'
다른 풀이
xÛ`-8x+k=0에 x=4-2
3을 대입하면
(4-2
'
16-16
3 )Û`-8_(4-2
'
3+12-32+16
'
-4+k=0 ∴ k=4
'
3 )+k=0
3+k=0
'
40 답 ⑤
3(x+4)(x-2)=0, 3(xÛ`+2x-8)=0
∴ 3xÛ`+6x-24=0
3이고 k는 유리수이므로 다른
'
41 답 2xÛ`+2x-14=0
xÛ`+3x-5=0의 두 근이 a, b이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계
에 의해
a+b=-3, ab=-5
이때 (a+1)+(b+1)=a+b+2=-3+2=-1,
(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=-5-3+1=-7
따라서 a+1, b+1을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 2인 이차방정식은
42 답 6
(x-2)Û`-3=0에서 xÛ`-4x+4-3=0
(두 근의 합)=a=4, (두 근의 곱)=b=1
∴ a+2b=4+2_1=6
즉, xÛ`-4x+1=0이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
7. 이차방정식의 근의 공식과 활용 63
02
이차방정식의 근과 계수의 관계
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
120~124쪽
2(xÛ`+x-7)=0
∴ 2xÛ`+2x-14=0
36 답
;2ª5;
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
(두 근의 합)=a=-
, (두 근의 곱)=b=-
;5@;
;5!;
∴ ab=
-
_
-
{
;5!;}
=
;5@;}
;2ª5;
{
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다른 풀이
(x-2)Û`-3=0에서
(x-2)Û`=3, x-2=Ñ
3 ∴ x=2Ñ
3
(두 근의 합)=a=(2+
(두 근의 곱)=b=(2+
'
∴ a+2b=4+2_1=6
3 )(2-
'
'
3 )+(2-
'
3 )=4
'
'
3 )=1
43 답 3
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
(두 근의 합)=-n=-7 ∴ n=7
(두 근의 곱)=3m-2=-14, 3m=-12 ∴ m=-4
∴ m+n=-4+7=3
48 답 -4
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
a+b=-3, ab=1이므로
aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab
=(-3)Û`-2_1=7
∴
b
a+1
+
a
b+1
=
b(b+1)+a(a+1)
(a+1)(b+1)
=
=
=
=
bÛ`+b+aÛ`+a
ab+a+b+1
(aÛ`+bÛ`)+(a+b)
ab+(a+b)+1
7+(-3)
1+(-3)+1
4
-1
=-4
44 답 -
:Á3¢:
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
(두 근의 합)=-3
xÛ`-kx+5=0에 x=-3을 대입하면
(-3)Û`-k_(-3)+5=0
9+3k+5=0, 3k=-14 ∴ k=-
:Á3¢:
45 답 17
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
(두 근의 곱)=
=5b ∴ b=
;3!;
;3%;
;3A;
(두 근의 합)=
=5+b,
=
∴ a=16
;3A;
:Á3¤:
∴ a+3b=16+3_
=17
;3!;
46 답 10
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
a+b=3, ab=-
이므로
;3!;
aÛ`-ab+bÛ` =(a+b)Û`-3ab
=3Û`-3_
-;3!;}
{
=10
47 답 ③
주어진 이차방정식의 양변에 10을 곱하면
xÛ`+4x-6=0
①, ② 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
a+b=-4, ab=-6
③ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab
=(-4)Û`-2_(-6)=28
④ (a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab
=(-4)Û`-4_(-6)=40
⑤ 1
aÛ`
+
=
1
bÛ`
aÛ`+bÛ`
(ab)Û`
=
28
(-6)Û`
=
=
;3@6*;
;9&;
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
64 정답과 해설
49 답 -3
일차함수의 그래프가 두 점 (-2, 0)과 (0, 4)를 지나므로
a=(기울기)=
=
=2, b=(y절편)=4
y`Ú
4-0
0-(-2)
;2$;
즉, 이차방정식 xÛ`+ax-b=0은 xÛ`+2x-4=0이므로
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
a+b=-2, ab=-4
∴
+
;©;
;ºÄ;
=
=
aÛ`+bÛ`
ab
(a+b)Û`-2ab
ab
(-2)Û`-2_(-4)
-4
=
=
12
-4
=-3
채점 기준
Ú a, b의 값 구하기
Û a+b, ab의 값 구하기
Ü
+
의 값 구하기
b
a
a
b
y`Û
y`Ü
40%
30%
30%
50 답 ①
두 근을 a, a+6으로 놓으면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
a+(a+6)=2, 2a=-4 ∴ a=-2
따라서 두 근이 -2, 4이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
(-2)_4=;3K;
∴ k=-24
51 답 32
두 근을 k, 4k로 놓으면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
k+4k=10, 5k=10 ∴ k=2
따라서 두 근이 2, 8이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
2_8=
;2A;
∴ a=32
52 답 0
두 근을 k, 2k(k>0)로 놓으면
2k-k=3 ∴ k=3
따라서 두 근이 3, 6이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
3+6=-a, 3_6=b ∴ a=-9, b=18
∴ 2a+b=2_(-9)+18=0
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따라서 두 근이 3, 6이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
12
x-
{
;3!;}{
x+
;4!;}
=0, 12
xÛ`-
x-
{
;1Á2;
;1Á2;}
=0
57 답 1
두 근이
, -
이고 xÛ`의 계수가 12인 이차방정식은
;3!;
;4!;
∴ 12xÛ`-x-1=0
따라서 a=-1, b=-1이므로
=
;aB;
-1
-1
=1
다른 풀이
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
-
;12;
=
+
;3!;
{-;4!;}
, -
;12;=;1Á2;
∴ a=-1
;1õ2;
=
_
;3!;
,
=-
{-;4!;}
;1õ2;
;1Á2;
∴ b=-1
∴
=
;aB;
-1
-1
=1
58 답
xÛ`+
x-3=0
;2!;
;2!;
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
-a=-3+1 ∴ a=2
b=(-3)_1=-3
따라서 두 근이 2, -3이고 xÛ`의 계수가
인 이차방정식은
;2!;
(x-2)(x+3)=0,
(xÛ`+x-6)=0
;2!;
;2!;
∴
xÛ`+
x-3=0
;2!;
;2!;
y`Ú
y`Û
y`Ü
30%
20%
50%
59 답 2
중근이 1이고 xÛ`의 계수가 3인 이차방정식은
3(x-1)Û`=0, 3(xÛ`-2x+1)=0
∴ 3xÛ`-6x+3=0
∴ p=-6, q=3
관계에 의해
(두 근의 합)=-
=-
=2
p
q
-6
3
따라서 이차방정식 qxÛ`+px+1=0에서 이차방정식의 근과 계수의
다른 풀이
두 근 중 작은 근을 k라 하면 큰 근은 k+3이므로
k+3=2k ∴ k=3
3+6=-a, 3_6=b ∴ a=-9, b=18
∴ 2a+b=2_(-9)+18=0
53 답 1
두 근의 비가 1 : 3이므로 두 근을 a, 3a(a+0)로 놓으면 이차방정
식의 근과 계수의 관계에 의해
a+3a=4(m+1) ∴ a=m+1 y`㉠
a_3a=12m ∴ aÛ`=4m
y`㉡
㉡에 ㉠을 대입하면
(m+1)Û`=4m, mÛ`+2m+1=4m
mÛ`-2m+1=0, (m-1)Û`=0 ∴ m=1
54 답 ⑤
xÛ`+ax+b=0의 한 근이 x=
3-1, 즉 x=-1+
3이고 a, b는
'
'
유리수이므로 다른 한 근은 x=-1-
'
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
3이다.
-a=(-1+
3 )+(-1-
3 )=-2 ∴ a=2
'
3 )(-1-
b=(-1+
'
'
∴ a-b=2-(-2)=4
'
3 )=1-3=-2
55 답
;3!;
2<
7<3에서 -3<-
7<-2 ∴ 1<4-
7<2
'
따라서 4-
'
7의 소수 부분은 (4-
'
7 )-1=3-
'
'
이때 xÛ`-6x+3a+1=0의 한 근이 x=3-
7이고 a는 유리수이므
7
'
'
로 다른 한 근은 x=3+
7이다.
'
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
3a+1=(3-
7 )(3+
7 )=9-7=2
'
'
3a=1 ∴ a=
;3!;
7의 소수 부분 구하기
채점 기준
Ú 4-
'
Û 다른 한 근 구하기
Ü a의 값 구하기
56 답 -90
xÛ`-(a+1)x+b=0의 한 근이 3+
다른 한 근은 3-
5이다.
'
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
a+1=(3-
5 )+(3+
5 )=6 ∴ a=5
b=(3-
'
'
5 )(3+
'
'
5 )=9-5=4
5이고, a, b는 유리수이므로
'
60 답 x=-6 또는 x=4
혜리가 푼 이차방정식은
(x+3)(x-8)=0 ∴ xÛ`-5x-24=0
그런데 혜리는 상수항을 바르게 보았으므로 처음 이차방정식의 상수항
은 -24이다.
또 미혜가 푼 이차방정식은
따라서 a-b=1, a+b=9가 이차방정식 xÛ`+px+q=0의 두 근이
(x+5)(x-3)=0 ∴ xÛ`+2x-15=0
므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
그런데 미혜는 x의 계수를 바르게 보았으므로 처음 이차방정식의 x의
-p=1+9=10 ∴ p=-10
q=1_9=9
∴ pq=(-10)_9=-90
계수는 2이다.
따라서 처음 이차방정식은 xÛ`+2x-24=0이므로
(x+6)(x-4)=0 ∴ x=-6 또는 x=4
7. 이차방정식의 근의 공식과 활용 65
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18. 8. 30. 오전 11:26
61 답 4xÛ`-2x-4=0
2xÛ`-5x+1=0의 두 근이 p, q이므로 이차방정식의 근과 계수의
65 답 ⑴ xÛ`+x-30=0 ⑵ 5
⑴ x+xÛ`=30에서 xÛ`+x-30=0
관계에 의해
p+q=
, pq=
;2%;
;2!;
이때 (p-1)+(q-1)=p+q-2=
-2=
;2%;
;2!;,
(p-1)(q-1)=pq-(p+q)+1=
-
+1=-1
;2!;
;2%;
따라서 p-1, q-1을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 4인 x에 대
한 이차방정식은
xÛ`-
x-1
=0 ∴ 4xÛ`-2x-4=0
4
{
;2!;
}
⑵ xÛ`+x-30=0에서
(x+6)(x-5)=0
∴ x=-6 또는 x=5
이때 x는 자연수이므로 x=5
66 답 72
연속하는 두 자연수를 x, x+1이라 하면
xÛ`+(x+1)Û`=145, xÛ`+xÛ`+2x+1=145
2xÛ`+2x-144=0, xÛ`+x-72=0
(x+9)(x-8)=0 ∴ x=-9 또는 x=8
이때 x는 자연수이므로 x=8
따라서 연속하는 두 자연수는 8, 9이므로 그 곱은
62 답 ③
xÛ`-2x+3=0의 두 근이 a, b이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계
8_9=72
에 의해
a+b=2, ab=3
이때
+
=
;º!;
;!;
b+a
ab
=
,
;3@;
;!;
_
;º!;
=
;Áº;
=
;3!;
따라서
,
을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 3인 이차방정식은
;!;
;º!;
3
{
xÛ`-
x+
;3@;
;3!;}
=0 ∴ 3xÛ`-2x+1=0
67 답 9살
동생의 나이를 x살이라 하면 누나의 나이는 (x+6)살이므로
(x+6)Û`=3xÛ`-18, xÛ`+12x+36=3xÛ`-18
2xÛ`-12x-54=0, xÛ`-6x-27=0
(x+3)(x-9)=0 ∴ x=-3 또는 x=9
63 답 -10
xÛ`+3x-10=0의 두 근이 a+1, b+1이므로 이차방정식의 근과
계수의 관계에 의해
(a+1)+(b+1)=-3 ∴ a+b=-5
(a+1)(b+1)=-10, ab+a+b+1=-10
ab-5+1=-10 ∴ ab=-6
관계에 의해
a+b=-a, -5=-a ∴ a=5
ab=3b, -6=3b ∴ b=-2
∴ ab=5_(-2)=-10
이때 x는 자연수이므로 x=9
따라서 동생의 나이는 9살이다.
68 답 ②
n(n+1)
2
=136에서
nÛ`+n=272, nÛ`+n-272=0
xÛ`+ax+3b=0의 두 근이 a, b이므로 이차방정식의 근과 계수의
(n+17)(n-16)=0 ∴ n=-17 또는 n=16
이때 n은 자연수이므로 n=16
따라서 합이 136이 되려면 1부터 16까지의 수를 더해야 한다.
69 답 9팀
n(n-1)
2
=36에서
nÛ`-n=72, nÛ`-n-72=0
(n+8)(n-9)=0 ∴ n=-8 또는 n=9
이때 n은 자연수이므로 n=9
따라서 경기에 참가한 배구 팀의 수는 9팀이다.
70 답 ⑴ (nÛ`+2n)개 ⑵ 12단계
⑴ 사용된 바둑돌의 개수는
1단계에는 (1_3)개
2단계에는 (2_4)개
3단계에는 (3_5)개
4단계에는 (4_6)개
⋮
이므로 n단계에는 n(n+2)개, 즉 (nÛ`+2n)개이다.
03
이차방정식의 활용 ⑴
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
125~127쪽
64 답 ④
n(n-3)
2
=54에서
nÛ`-3n=108, nÛ`-3n-108=0
(n+9)(n-12)=0 ∴ n=-9 또는 n=12
이때 n>3이므로 n=12
따라서 구하는 다각형은 십이각형이다.
66 정답과 해설
191만렙PM3해설6~7(049~074).indd 66
18. 8. 30. 오전 11:26
⑵ nÛ`+2n=168에서
nÛ`+2n=168, nÛ`+2n-168=0
75 답 ②
택견 캠프가 시작되는 날을 8월 x일이라 하면 택견 캠프는 8월 x일,
(n+14)(n-12)=0 ∴ n=-14 또는 n=12
8월 (x+1)일, 8월 (x+2)일의 3일 동안 진행된다.
이때 n은 자연수이므로 n=12
따라서 168개의 바둑돌로 만든 직사각형 모양은 12단계이다.
71 답 ③
어떤 자연수를 x라 하면
2x=xÛ`-24, xÛ`-2x-24=0
(x+4)(x-6)=0 ∴ x=-4 또는 x=6
이때 x는 자연수이므로 x=6
72 답 ④
두 자연수 중 큰 수를 x라 하면 나머지 수는 x-7이므로
xÛ`+(x-7)Û`=205, xÛ`+xÛ`-14x+49=205
2xÛ`-14x-156=0, xÛ`-7x-78=0
(x+6)(x-13)=0 ∴ x=-6 또는 x=13
이때 x는 자연수이므로 x=13
따라서 두 자연수 중 큰 수는 13이다.
73 답 76
십의 자리 숫자를 x라 하면 일의 자리 숫자는 13-x이므로
따라서 십의 자리 숫자는 7, 일의 자리 숫자는 13-7=6이므로 구하
일의 자리 숫자를 x라 하면 십의 자리 숫자는 13-x이므로
10x+13-x=x(13-x)+34
10x+13-x=13x-xÛ`+34
xÛ`-4x-21=0, (x+3)(x-7)=0
∴ x=-3 또는 x=7
이때 1ÉxÉ9이므로 x=7
는 자연수는 76이다.
다른 풀이
10(13-x)+x=x(13-x)+34
130-10x+x=13x-xÛ`+34
xÛ`-22x+96=0, (x-6)(x-16)=0
∴ x=6 또는 x=16
이때 0ÉxÉ9이므로 x=6
따라서 일의 자리 숫자는 6, 십의 자리 숫자는 13-6=7이므로 구하
는 자연수는 76이다.
참고 십의 자리 숫자가 a, 일의 자리 숫자가 b인 두 자리의 자연수는
10a+b이다. (단, 1ÉaÉ9, 0ÉbÉ9)
74 답 ③
연속하는 두 홀수를 x, x+2라 하면
x(x+2)=195, xÛ`+2x-195=0
이 사흘의 날짜의 제곱의 합이 245이므로
xÛ`+(x+1)Û`+(x+2)Û`=245
xÛ`+xÛ`+2x+1+xÛ`+4x+4=245
3xÛ`+6x-240=0, xÛ`+2x-80=0
(x+10)(x-8)=0 ∴ x=-10 또는 x=8
이때 x는 자연수이므로 x=8
따라서 택견 캠프가 시작되는 날은 8월 8일이다.
76 답 18
연속하는 세 짝수를 x-2, x, x+2라 하면
(x+2)(x-2)=5x+2
xÛ`-4=5x+2, xÛ`-5x-6=0
(x+1)(x-6)=0
∴ x=-1 또는 x=6
이때 x는 자연수이므로 x=6
따라서 연속하는 세 짝수는 4, 6, 8이므로 그 합은
4+6+8=18
채점 기준
Ú 이차방정식 세우기
Û 이차방정식 풀기
Ü 세 짝수의 합 구하기
y`Ú
y`Û
y`Ü
40%
30%
30%
77 답 ①
x년 후에 아버지의 나이의 3배와 아들의 나이의 제곱이 같아진다면
3(46+x)=(10+x)Û`, 138+3x=100+20x+xÛ`
xÛ`+17x-38=0, (x+19)(x-2)=0
∴ x=-19 또는 x=2
이때 x는 자연수이므로 x=2
따라서 2년 후이다.
78 답 15명
학생 수를 x명이라 하면 사과를 한 학생에게 (x-3)개씩 나누어 주
었으므로
x(x-3)=180, xÛ`-3x-180=0
(x+12)(x-15)=0 ∴ x=-12 또는 x=15
이때 x는 자연수이므로 x=15
따라서 학생 수는 15명이다.
79 답 12줄
가로줄 수를 x줄이라 하면 세로줄 수는 (22-x)줄이므로
(x+15)(x-13)=0 ∴ x=-15 또는 x=13
x(22-x)=120, xÛ`-22x+120=0
이때 x는 자연수이므로 x=13
(x-10)(x-12)=0 ∴ x=10 또는 x=12
따라서 연속하는 두 홀수는 13, 15이므로 두 홀수 중 작은 수는 13
이때 x>22-x에서 x>11이므로 x=12
이다.
따라서 가로줄 수는 12줄이다.
7. 이차방정식의 근의 공식과 활용 67
191만렙PM3해설6~7(049~074).indd 67
18. 8. 30. 오전 11:26
80 답 민제: 7월 8일, 경미: 7월 15일
민제의 생일을 7월 x일이라 하면 경미의 생일은 7월 (x+7)일이므로
85 답 4 m
30`m
(30-x)`m
x(x+7)=120, xÛ`+7x-120=0
(x+15)(x-8)=0
∴ x=-15 또는 x=8
이때 x는 자연수이므로 x=8
따라서 민제의 생일은 7월 8일이고, 경미의 생일은 7월 15일이다.
24`m
x`m
➞
(24-x)`m
x`m
도로의 폭을 x m라 하면 도로를 제외한 땅의 넓이가 520 mÛ`이므로
(30-x)(24-x)=520, 720-54x+xÛ`=520
xÛ`-54x+200=0, (x-4)(x-50)=0
∴ x=4 또는 x=50
이때 00이므로 x=6
83 답 30 cm
처음 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
(x+1)(x-2)=868, xÛ`-x-2=868
xÛ`-x-870=0, (x+29)(x-30)=0
∴ x=-29 또는 x=30
이때 x>2이므로 x=30
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 30 cm이다.
84 답 4 cm
작은 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
큰 정사각형의 한 변의 길이는 (12-x) cm이므로
xÛ`+(12-x)Û`=80, xÛ`+144-24x+xÛ`=80
2xÛ`-24x+64=0, xÛ`-12x+32=0
(x-4)(x-8)=0
∴ x=4 또는 x=8
68 정답과 해설
높이는 2 cm이므로
2(x-4)Û`=50, (x-4)Û`=25
xÛ`-8x+16=25, xÛ`-8x-9=0
(x+1)(x-9)=0
∴ x=-1 또는 x=9
이때 x>4이므로 x=9
87 답 3초 후
물체를 던져 올린 지 x초 후의 높이가 45 m이므로
30x-5xÛ`=45, 5xÛ`-30x+45=0
xÛ`-6x+9=0, (x-3)Û`=0
∴ x=3 (중근)
이다.
88 답 5초
공이 지면에 떨어질 때의 높이는 0 m이므로
-5tÛ`+24t+5=0, 5tÛ`-24t-5=0
(5t+1)(t-5)=0 ∴ t=-
또는 t=5
;5!;
이때 t>0이므로 t=5
따라서 공이 지면에 떨어질 때까지 걸린 시간은 5초이다.
89 답 ④
물체를 쏘아 올린 지 x초 후의 높이가 20 m이므로
25x-5xÛ`=20, 5xÛ`-25x+20=0
xÛ`-5x+4=0, (x-1)(x-4)=0
∴ x=1 또는 x=4
따라서 직사각형의 가로의 길이는 6 cm이다.
따라서 물체의 높이가 45 m가 되는 것은 물체를 던져 올린 지 3초 후
이때 x>0이고 12-x>x이므로 00이므로 x=6
따라서 ADÓ의 길이는 6 cm이다.
92 답 12 m
작은 정사각형의 한 변의 길이를 x m라 하면 큰 정사각형의 한 변의
길이는 (x+6) m이므로
xÛ`+(x+6)Û`=468, xÛ`+xÛ`+12x+36=468
2xÛ`+12x-432=0, xÛ`+6x-216=0
(x+18)(x-12)=0
∴ x=-18 또는 x=12
이때 x>0이므로 x=12
따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 12 m이다.
93 답 2 cm
ABÓ=x cm라 하면 OAÓ=(x+1) cm, OBÓ=(2x+1) cm이므로
p(2x+1)Û`-p(x+1)Û`=16p
4xÛ`+4x+1-(xÛ`+2x+1)=16
3xÛ`+2x-16=0, (3x+8)(x-2)=0
∴ x=-
또는 x=2
;3*;
이때 x>0이므로 x=2
따라서 ABÓ의 길이는 2 cm이다.
94 답 18 m
전시관의 한 변의 길이를 x m라 하면 전시관의 넓이는 xÛ` mÛ`
세 전시 부스 A, B, C의 넓이의 합은
2_
x_
x
+
}
;3!;
;3!;
{;3!;
x_
;3@;
x=
;9$;
xÛ` (mÛ`)
전시 부스를 제외한 통로의 넓이가 180 mÛ`이므로
xÛ`-
xÛ`=180, xÛ`=324
;9$;
∴ x=Ñ18
이때 x>0이므로 x=18
따라서 전시관의 한 변의 길이는 18 m이다.
95 답 1 cm 또는 3 cm
△EFC는 직각이등변삼각형이므로
BFÓ=x cm라 하면
EFÓ=CFÓ=(4-x) cm
DBFE의 넓이가 3 cmÛ`이므로
(4-x)`cm
A
D
E
45ù
45ù
C
(4-x)`cm
B
x`cm
F
A
36ù
4
36ù
x
B
72ù
4-x
36ù
x
C
72ù
D
4
(x-1)(x-3)=0
∴ x=1 또는 x=3
따라서 BFÓ의 길이는 1 cm 또는 3 cm이다.
96 답 -2+2
ABÓ=x라 하면 △ABD, △ADC가
'
5
모두 이등변삼각형이므로
CDÓ=ADÓ=ABÓ=x
BDÓ=BCÓ-CDÓ=4-x
△ABC에서 ∠BAD=∠CAD이므로
ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ에서
삼각형의 내각의 이등분선의 성질
x : 4=(4-x) : x, xÛ`=4(4-x)
xÛ`=16-4x, xÛ`+4x-16=0
-2Ñ
2Û`-1_(-16)
∴ x=
"Ã
1
=-2Ñ2
5
'
이때 00이므로 x=3
따라서 처음 정사각형 모양의 꽃밭의 한 변의 길이는 3 m이다.
98 답 (2+
처음 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면
2 ) cm
'
p(x-1)Û`=
pxÛ`, 2xÛ`-4x+2=xÛ`
;2!;
xÛ`-4x+2=0
-(-2)Ñ
∴ x=
"Ã
(-2)Û`-1_2
1
=2Ñ
2
'
이때 x>1이므로 x=2+
2
'
따라서 처음 원의 반지름의 길이는 (2+
2 ) cm이다.
'
99 답 3초 후
두 점 P, Q가 출발한 지 x초 후에 △PBQ의 넓이가 27 cmÛ`가 된다
고 하면 점 P는 매초 3 cm씩 움직이므로
APÓ=3x cm ∴ PBÓ=18-3x(cm)
7. 이차방정식의 근의 공식과 활용 69
191만렙PM3해설6~7(049~074).indd 69
18. 8. 30. 오전 11:26
점 Q는 매초 2 cm씩 움직이므로
BQÓ=2x cm
△PBQ의 넓이가 27 cmÛ`이므로
_(18-3x)_2x=27
;2!;
3xÛ`-18x+27=0, xÛ`-6x+9=0
(x-3)Û`=0 ∴ x=3 (중근)
채점 기준
Ú PBÓ, BQÓ를 x에 대한 식으로 나타내기
Û 이차방정식 세우기
따라서 △PBQ의 넓이가 27 cmÛ`가 되는 것은 출발한 지 3초 후이다.
103 답
5
1+
'
2
BCÓ=x라 하면 DEÓ=CFÓ=x-1
ABCD»DEFC이므로 ABÓ : DEÓ=BCÓ : EFÓ에서
1 : (x-1)=x : 1
x(x-1)=1, xÛ`-x-1=0
-(-1)Ñ
(-1)Û`-4_1_(-1)
∴ x=
"Ã
=
5
1Ñ
'
2
이때 x>1이므로 x=
따라서 BCÓ의 길이는
이다.
2_1
5
1+
'
2
5
1+
'
2
y`Ú
y`Û
y`Ü
y`Ý
30%
20%
30%
20%
Ü 이차방정식 풀기
Ý △PBQ의 넓이가 27 cmÛ`가 되는 것은 출발한 지 몇 초 후인지
구하기
104 답 15 cmÛ`
색칠한 한 장의 짧은 변의 길이를 x cm라 하면 긴 변의 길이는
(4x-2)=2x-1(cm)
;2!;
판의 넓이가 96 cmÛ`이므로
4x(2x-1+x)=96, 12xÛ`-4x-96=0
3xÛ`-x-24=0, (3x+8)(x-3)=0
B
∴ x=-
또는 x=3
;3*;
(10-x)`cm
x`cm
A
P
10`cm
이때 2x-1>0에서 x>
이므로 x=3
;2!;
따라서 색종이 한 장의 짧은 변의 길이는 3 cm, 긴 변의 길이는
2_3-1=5(cm)이므로 색종이 한 장의 넓이는
3_5=15(cmÛ`)
2 cm만큼 짧음을 이용한다.
색종이의 긴 변 2개의 길이의 합은 짧은 변 4개의 길이의 합보다
(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:9)(cid:23)(cid:14)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)
105 답 5 m
40`m
30`m
P
Q
x`m
(40-x)`m
x`m
(30-x)`m
➞
길의 폭을 x m라 하면 꽃밭 P, Q의 넓이의 합이 875 mÛ`이므로
(40-x)(30-x)=875, 1200-70x+xÛ`=875
xÛ`-70x+325=0, (x-5)(x-65)=0
∴ x=5 또는 x=65
이때 00이고 6-x>x이므로 0BCÓ에서 x>8-x이고 8-x>0이므로 40이므로 x=2
따라서 산책로의 폭은 2 m이다.
109 답 19 cm
처음 직사각형 모양의 종이의 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의
길이는 (x-5) cm이다.
네 귀퉁이를 잘라 만든 직육면체의 밑면의 가로의 길이는 (x-4) cm,
세로의 길이는 (x-5)-4=x-9(cm), 높이는 2 cm이므로
2(x-4)(x-9)=300, xÛ`-13x+36=150
xÛ`-13x-114=0, (x+6)(x-19)=0
∴ x=-6 또는 x=19
이때 x>9이므로 x=19
따라서 가로의 길이는 19 cm이다.
110 답 1 cm
잘라 내는 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 네 귀퉁이를 잘
라 만든 직육면체의 가로, 세로의 길이는 모두 (6-2x) cm이므로
(6-2x)Û`=16, 36-24x+4xÛ`=16
4xÛ`-24x+20=0, xÛ`-6x+5=0
(x-1)(x-5)=0
∴ x=1 또는 x=5
이때 0x, 3x<80 ∴ x<
:¥3¼:
따라서 00
따라서 서로 다른 두 근을 갖는다.
(-2)Û`-1_4=0
따라서 중근을 갖는다.
(-2)Û`-1_0=4>0
따라서 서로 다른 두 근을 갖는다.
ㄷ. k=0이면 xÛ`-4x=0에서 일차항의 계수가 짝수이므로
ㄹ. k=-5이면 xÛ`-4x-5=0에서
(x+1)(x-5)=0 ∴ x=-1 또는 x=5
따라서 한 근은 음수, 다른 한 근은 양수인 두 근을 갖는다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
118 답 -12, x=6
xÛ`+mx+36=0이 중근을 가지려면
Ú m=12일 때,
Û m=-12일 때,
은 x=6이다.
xÛ`+12x+36=0, (x+6)Û`=0 ∴ x=-6 (중근)
119 답 x=6
xÛ`-6x+k=0이 중근을 갖고 일차항의 계수가 짝수이므로
(-3)Û`-1_k=0, 9-k=0 ∴ k=9
xÛ`+(k-10)x-30=0에서 k=9를 대입하면
xÛ`-x-30=0, (x+5)(x-6)=0
∴ x=-5 또는 x=6
3xÛ`-(2k+1)x+6=0에 k=9를 대입하면
3xÛ`-19x+6=0, (3x-1)(x-6)=0
∴ x=
또는 x=6
;3!;
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=6이다.
72 정답과 해설
y`Ú
y`Û
y`Ü
60%
20%
20%
-
=-
;4A;
;4#;
+2, -
=
;4A;
;4%;
∴ a=-5
-
=
-
{
;4B;
;4#;}
_2, -
=-
;4B;
;2#;
∴ b=6
(a+1)xÛ`+5x+2b=0에 a=-5, b=6을 대입하면
-4xÛ`+5x+12=0
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
(두 근의 곱)=
=-3
12
-4
채점 기준
Ú a, b의 값 구하기
Û 이차방정식 구하기
Ü 두 근의 곱 구하기
122 답 x=
2Ñ
15
'¶
11
axÛ`+bx-c=0에서 a+0이다.
-
;aB;
-c
a
=11 ∴ b=-11a
=-4 ∴ c=4a
즉, 11xÛ`-4x-1=0에서 일차항의 계수가 짝수이므로
-(-2)Ñ
(-2)Û`-11_(-1)
2Ñ
15`
x=
"Ã
11
=
'¶
11
이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 a, b, c 사이의 관계
를 식으로 나타낸다.
다른 풀이
두 근의 합이 11, 곱이 -4이고 xÛ`의 계수가 a인 이차방정식은
a(xÛ`-11x-4)=0, axÛ`-11ax-4a=0
이므로 b=-11a, c=4a
bxÛ`+cx+a=0에 b=-11a, c=4a를 대입하면
-11axÛ`+4ax+a=0
즉, 11xÛ`-4x-1=0에서 일차항의 계수가 짝수이므로
(-2)Û`-11_(-1)
-(-2)Ñ
2Ñ
15
x=
"Ã
11
=
'¶
11
mÛ`-4_1_36=0, mÛ`=144 ∴ m=Ñ12
axÛ`+bx-c=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
xÛ`-12x+36=0, (x-6)Û`=0 ∴ x=6 (중근)
bxÛ`+cx+a=0에 b=-11a, c=4a를 대입하면
따라서 양수인 중근을 갖도록 하는 m의 값은 -12이고 이때의 중근
-11axÛ`+4ax+a=0
191만렙PM3해설6~7(049~074).indd 72
18. 8. 30. 오전 11:26
y`Ú
y`Û
y`Ü
30%
40%
30%
따라서 p-2, q-2를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 3인 이차방정식은
3(xÛ`-2)=0 ∴ 3xÛ`-6=0
123 답 ②
xÛ`-x-1=0의 두 근이 a, b이므로
aÛ`-a-1=0, bÛ`-b-1=0
또 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 ab=-1
∴ (aÛ`-2a-1)(bÛ`-2b-1) =(aÛ`-a-1-a)(bÛ`-b-1-b)
=(-a)_(-b)
=ab=-1
124 답 ③
두 근을 a, a+1 로 놓으면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
a+(a+1)=25, 2a=24 ∴ a=12
따라서 두 근이 12, 13이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
n=12_13=156
125 답 2
3<
'¶
정수 부분은 a=1
13<4에서 1<-2+
13<2이므로
'¶
'¶
'¶
소수 부분은 b=(-2+
13 )-1=-3+
13
'¶
이차방정식 axÛ`+px+q=0은 xÛ`+px+q=0이고 이 이차방정식
의 한 근은 x=-3+
13이다.
이때 p, q는 유리수이므로 다른 한 근은 x=-3-
13이다.
'¶
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
-p=(-3+
13 )+(-3-
13 )=-6 ∴ p=6
'¶
13 )(-3-
q=(-3+
'¶
∴ p+q=6+(-4)=2
'¶
'¶
13 )=9-13=-4
126 답 ②
두 근이 -2, 3이고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은
(x+2)(x-3)=0, xÛ`-x-6=0
∴ a=-1, b=-6
따라서 이차방정식 bxÛ`+ax+1=0은
-6xÛ`-x+1=0, 6xÛ`+x-1=0
(2x+1)(3x-1)=0 ∴ x=-
또는 x=
;2!;
;3!;
다른 풀이
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
-a=-2+3=1 ∴ a=-1
b=(-2)_3=-6
따라서 이차방정식 bxÛ`+ax+1=0은
-6xÛ`-x+1=0, 6xÛ`+x-1=0
(2x+1)(3x-1)=0 ∴ x=-
또는 x=
;2!;
;3!;
128 답 10명
n(n-1)
2
=45에서
nÛ`-n=90, nÛ`-n-90=0
(n+9)(n-10)=0 ∴ n=-9 또는 n=10
이때 n은 자연수이므로 n=10
따라서 모임에 참가한 학생 수는 10명이다.
채점 기준
Ú 이차방정식을 세워 정리하기
Û 이차방정식 풀기
Ü 모임에 참가한 학생 수 구하기
129 답 9
어떤 자연수를 x라 하면
(x-3)Û`=3(x+3), xÛ`-6x+9=3x+9
xÛ`-9x=0, x(x-9)=0 ∴ x=0 또는 x=9
이때 x는 자연수이므로 x=9
따라서 어떤 자연수는 9이다.
130 답 ④
연속하는 두 짝수를 x, x+2라 하면
xÛ`+(x+2)Û`=x(x+2)+52
xÛ`+xÛ`+4x+4=xÛ`+2x+52
xÛ`+2x-48=0, (x+8)(x-6)=0
∴ x=-8 또는 x=6
이때 x는 자연수이므로 x=6
따라서 연속하는 두 짝수는 6, 8이므로 그 합은
6+8=14
131 답 ②
원숭이의 수를 x마리라 하면
Û`=12, x-
x-
x
{;8!;
}
xÛ`=12
;6Á4;
xÛ`-64x+768=0, (x-16)(x-48)=0
∴ x=16`또는 x=48
이때 00이므로 t=3
이때 (p-2)+(q-2)=p+q-4=4-4=0,
따라서 야구공이 지면에 떨어지는 것은 야구공을 던져 올린 지 3초
(p-2)(q-2)=pq-2(p+q)+4=2-8+4=-2
후이다.
7. 이차방정식의 근의 공식과 활용 73
191만렙PM3해설6~7(049~074).indd 73
18. 8. 30. 오전 11:26
133 답 P(6, 3)
점 P(a, b)가 일차함수 y=-2x+15의 그래프 위에 있으므로
137 답 26 cm
처음 정사각형 모양의 색종이의 한 변의 길이를 x cm라 하면 네 귀
퉁이를 잘라 만든 직육면체의 밑면의 가로, 세로의 길이는 모두
2aÛ`-15a+18=0, (2a-3)(a-6)=0
xÛ`-12x+36=400, xÛ`-12x-364=0
(x-6) cm, 높이는 3 cm이므로
3(x-6)Û`=1200, (x-6)Û`=400
(x+14)(x-26)=0
∴ x=-14 또는 x=26
이때 x>6이므로 x=26
따라서 처음 정사각형 모양의 색종이의 한 변의 길이는 26 cm이다.
참고 만든 직육면체의 높이가 3 cm이므로 네 귀퉁이에서 잘라 낸 정사각
형 한 변의 길이는 3 cm이다.
b=-2a+15
OQPR의 넓이가 18이므로
a(-2a+15)=18
∴ a=
또는 a=6
;2#;
이때 a, b는 정수이므로 a=6
b=-2a+15에 a=6을 대입하면
b=(-2)_6+15=3
따라서 점 P의 좌표는 P(6, 3)이다.
134 답 8 cmÛ`
처음 삼각형의 밑면의 길이를 x cm라 하면 높이는 x cm이므로
_(x+4)_(x+2)=3_
_x_x
{;2!;
}
;2!;
xÛ`+6x+8=3xÛ`, 2xÛ`-6x-8=0
xÛ`-3x-4=0, (x+1)(x-4)=0
∴ x=-1 또는 x=4
이때 x>0이므로 x=4
따라서 처음 삼각형의 넓이는
_4_4=8(cmÛ`)
;2!;
135 답 (10-5
'
ACÓ=x cm라 하면
2 ) cm
BCÓ=(5-x) cm이므로
xÛ`=2(5-x)Û`
xÛ`=50-20x+2xÛ`
(5-x)`cm
A
x`cm
C
5`cm
B
즉, xÛ`-20x+50=0에서 일차항의 계수가 짝수이므로
-(-10)Ñ
x=
"Ã
(-10)Û`-1_50
1
=10Ñ5
2
'
이때 x>5-x이고 5-x>0이므로
0, q>0
03 답 ㄹ
ㄹ. a<0이면 x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
이차함수와 그 그래프
01
이차함수 y=axÛ` 의 그래프 ⑴
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
140~142쪽
8
01 ①
05 ②
09 2
13 ③
21 6
25
;2#;
29 ③
-
32 A
{
35 ③
39 1
43 y=
;2#;
46 ③, ⑤
49 4
17 ②, ⑤
18 ④
19 y=-xÛ` 20
;4!;
02 10
03 ㄹ
06 ④, ⑦
07 k+-1
10 4
14 ①
11 ④, ⑤
15 ①
22 ③
23 -
;4#;
26 y=
xÛ`
27 6
;9$;
30
;3$;
;4#;, ;1»6;}
36 11
31 18
33
;3$;
37 -4
40 ②, ④, ⑥ 41 (0, -6) 42 0
(x+1)Û`
44 ①
45 -9
47 -3
50 ②
48 y=2(x-3)Û`
52 ㄴ, ㄷ
51 10
55 ⑤
59 ③
66 -7
70
;3@;
72 ③
76 ②
82 ④
86 9
90 3
53 -
, 3
;2!;
57 ③
54 1
58 ①
64 ②
68 -3
65 ⑤
69 ①
71 제1사분면, 제2사분면
74 ②
75 -1
80 -4
81 ③
84 ②
88 ①
92 ③
85 -5
89 2
95 (0, 4)
96 ①
77 ㉢, ㉣, ㉡, ㉠
78 ②, ③
93 제1사분면, 제2사분면
04
;3@;
08 ②
12 ③
16 ①
24 3
28 -2
34 ③
38 ①
56 ①
60 ①
63 ⑤
67 1
73 ③
79 1
83
;4!;
87 15
91 ④
94 ③
01 답 ①
① y =x(2x+3)-5
=2xÛ`+3x-5 (이차함수)
② 이차방정식
③ 일차함수
④ y =xÛ`-x(x+4)
=xÛ`-xÛ`-4x
=-4x (일차함수)
⑤ y =(2x+4)(xÛ`-2)
=2xÜ`+4xÛ`-4x-8
x에 대한 이차식이 아니다.
따라서 y가 x에 대한 이차함수인 것은 ①이다.
02 답 10
f(x)=2xÛ`-5x-3에서
f(-1) =2_(-1)Û`-5_(-1)-3=4
f(1) =2_1Û`-5_1-3=-6
∴ f(-1)-f(1)=4-(-6)=10
y=-
xÛ`의 그래프와 x축에 대칭인 그래프의 식은 y=
xÛ`
;3@;
04 답
;3@;
;3@;
∴ a=
;3@;
05 답 ②
ㄱ. 일차함수
ㄴ. y =x(10-x)
=-xÛ`+10x (이차함수)
ㄷ. 이차항이 없으므로 이차함수가 아니다.
ㄹ. y =(x-2)(x+3)-xÛ`
=xÛ`+x-6-xÛ`
=x-6 (일차함수)
ㅁ. 이차함수
ㅂ. 분모에 이차항이 있으므로 이차함수가 아니다.
따라서 y가 x에 대한 이차함수인 것은 ㄴ, ㅁ이다.
06 답 ④, ⑦
① (거리)=(속력)_(시간)이므로 y=100x (일차함수)
② (정육면체의 부피) =(가로의 길이)_(세로의 길이)_(높이)
=(한 모서리의 길이)Ü`
이므로 y=xÜ`
x에 대한 이차식이 아니다.
8. 이차함수와 그 그래프 75
191만렙PM3해설8~10(075~104).indd 75
18. 8. 30. 오전 11:26
③ (정삼각형의 둘레의 길이)=3_(한 변의 길이)이므로
④ (원기둥의 부피)=p_(밑면의 반지름의 길이)Û`_(높이)이므로
y=3x (일차함수)
y=10pxÛ` (이차함수)
12 답 ③
① 각 그래프의 꼭짓점은 원점 (0, 0)으로 모두 같다.
③
|;5!;|
<
-
|
;4#;|
=
|;4#;|
<|2|=|-2|<|-5|이므로 그래프의 폭
이 가장 좁은 것은 이차항의 계수의 절댓값이 가장 큰 y=-5xÛ`
⑤ (직사각형의 둘레의 길이)=2_{(가로의 길이)+(세로의 길이)}
이므로
20=2(y+x), 10=y+x ∴ y=10-x (일차함수)
이다.
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
⑥ (밤의 길이)=24-(낮의 길이)이므로
y=24-x (일차함수)
⑦ (직사각형의 넓이)=(가로의 길이)_(세로의 길이)이므로
y=x(x+4)=xÛ`+4x (이차함수)
양수인
따라서 y가 x에 대한 이차함수인 것은 ④, ⑦이다.
이때 이차항의 계수가 0이 아니어야 하므로
k+1+0 ∴ k+-1
14 답 ①
y=axÛ`의 그래프의 폭이 y=-3xÛ`의 그래프보다 넓고 y=-
xÛ`의
;4#;
13 답 ③
주어진 이차함수의 그래프 중 아래로 볼록한 것은 이차항의 계수가
y=
xÛ`, y=
xÛ`, y=2xÛ`
;2!;
;6%;
이때
<
<2이므로 그래프의 폭이 가장 넓은 것은 이차항의 계수
;2!;
;6%;
의 절댓값이 가장 작은 y=
xÛ`이다.
;2!;
따라서 아래로 볼록하면서 폭이 가장 넓은 것은 ③이다.
그래프보다 좁으므로
-
|
;4#;|
<|a|<|-3|,
<|a|<3
∴
30인 경우
|a|<|4|, 즉 |a|<4이므로 -40이므로 00인 경우와 a<0인 경우로 나누어 a의 값의 범
위를 구한다.
⑤ x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
따라서 옳지 않은 것은 ④, ⑤이다.
17 답 ②, ⑤
x축에 서로 대칭인 그래프는 ㄱ과 ㅁ, ㄷ과 ㅂ이다.
2aÛ`-3a-2=0, (2a+1)(a-2)=0
y=axÛ`의 그래프의 폭이 y=4xÛ`의 그래프보다 넓어야 하므로
191만렙PM3해설8~10(075~104).indd 76
18. 8. 30. 오전 11:26
02
이차함수 y=axÛ`의 그래프 ⑵
23 답 -
;4#;
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
143~145쪽
3a=-4aÛ`, 4aÛ`+3a=0
18 답 ④
y=axÛ`에 x=2, y=-8을 대입하면
-8=a_2Û`, -8=4a
∴ a=-2
y=-2xÛ`에 x=1, y=b를 대입하면
b=(-2)_1Û`=-2
∴ a+b=-2+(-2)=-4
19 답 y=-xÛ`
그래프의 꼭짓점이 원점이므로 구하는 이차함수의 식을 y=axÛ`으로
놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (2, -4)를 지나므로
y=axÛ`에 x=2, y=-4를 대입하면
-4=a_2Û`, -4=4a ∴ a=-1
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-xÛ`이다.
20 답
;4!;
점 D의 y좌표가 9이므로 y=xÛ`에 y=9를 대입하면
9=xÛ` ∴ x=Ñ3
이때 점 D의 x좌표가 양수이므로 D(3, 9)
CDÓ=DEÓ=3이므로 CEÓ=6
∴ E(6, 9)
점 E(6, 9)는 y=axÛ`의 그래프 위의 점이므로
9=a_6Û`, 9=36a ∴ a=
;4!;
21 답 6
y=axÛ`에 x=3, y=6을 대입하면
6=a_3Û`, 6=9a
∴ a=
;3@;
y=
xÛ`에 x=b, y=24를 대입하면
;3@;
;3@;
24=
bÛ`, bÛ`=36
∴ b=Ñ6
이때 b>0이므로 b=6
22 답 ③
주어진 점의 좌표를 각각 대입하면
① 0=2_0Û`
② 2=2_1Û`
③ 1+2×
{
-
;4!;}
Û`
④ 8=2_2Û`
⑤
=2_
;2!;
{;2!;}
Û`
y=-4xÛ`에 x=a, y=3a를 대입하면
a(4a+3)=0 ∴ a=0 또는 a=-
;4#;
이때 a+0이므로 a=-
;4#;
24 답 3
y=axÛ`의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그래프의 식은 y=-axÛ`
이 그래프가 점 (3, -27)을 지나므로
y=-axÛ`에 x=3, y=-27을 대입하면
-27=-a_3Û`, 9a=27
∴ a=3
25 답
;2#;
y=2xÛ`
y=-2xÛ`의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그래프의 식은
이 그래프가 점 (p, p+3)을 지나므로
y=2xÛ`에 x=p, y=p+3을 대입하면
p+3=2pÛ`, 2pÛ`-p-3=0
(p+1)(2p-3)=0
∴ p=-1 또는 p=
;2#;
이때 p>0이므로 p=
;2#;
채점 기준
Ú x축에 서로 대칭인 그래프의 식 구하기
Û p의 값 구하기
26 답 y=
xÛ`
;9$;
그래프의 꼭짓점이 원점이므로 구하는 이차함수의 식을 y=axÛ`으로
놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (-3, 4)를 지나므로
y=axÛ`에 x=-3, y=4를 대입하면
4=a_(-3)Û`, 4=9a ∴ a=
;9$;
;9$;
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=
xÛ`이다.
27 답 6
이차함수 y=f(x)의 그래프는 꼭짓점이 원점이므로 이차함수의 식을
y=axÛ`으로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (2, 6)을 지나므로
y=axÛ`에 x=2, y=6을 대입하면
6=a_2Û`, 6=4a ∴ a=
;2#;
;2#;
따라서 y=
xÛ`, 즉 f(x)=
xÛ`이므로
;2#;
;2#;
f(-2)=
_(-2)Û`=6
채점 기준
Ú 이차함수의 식을 y=axÛ`으로 놓기
Û 이차함수의 식 구하기
Ü f(-2)의 값 구하기
y`Ú
y`Û
50%
50%
y`Ú
y`Û
y`Ü
20%
40%
40%
따라서 y=2xÛ`의 그래프 위의 점이 아닌 것은 ③이다.
8. 이차함수와 그 그래프 77
191만렙PM3해설8~10(075~104).indd 77
18. 8. 30. 오전 11:26
28 답 -2
그래프의 꼭짓점이 원점이므로 이차함수의 식을 y=axÛ`으로 놓을 수
32 답 A
-
{
,
;4#;
;1»6;}
점 B의 x좌표를 a라 하면 B(a, aÛ`)이고, y=xÛ`의 그래프는 y축에
대칭이므로 A(-a, aÛ`)
이때 점 C는 점 B와 x좌표가 같고, y=-
xÛ`의 그래프 위의 점이
;3!;
므로 C
a, -
{
aÛ`
}
;3!;
즉, ABÓ=a-(-a)=2a, BCÓ=aÛ`-
-
aÛ`
=
}
;3$;
;3!;
{
aÛ`이므로
2a :
aÛ`=2 : 1,
aÛ`=2a
;3$;
;3*;
4aÛ`-3a=0, a(4a-3)=0 ∴ a=0 또는 a=
;4#;
이때`a>0이므로 a=
∴ A
-
,
;4#;
{
;4#;
;1»6;}
점 A의 x좌표를 a, 점 B의 x좌표를 b라
y
y=4xÛ
y=xÛ
4aÛ
(=bÛ )
aÛ
O
D
A
a
C
B
b
x
ABÓ=b-a, ADÓ=4aÛ`-aÛ`=3aÛ`이고 ABÓ=ADÓ이므로
33 답
;3$;
하면
A(a, aÛ`), B(b, aÛ`),
C(b, bÛ`), D(a, 4aÛ`)
이때 두 점 C, D의 y좌표가 같으므로
bÛ`=4aÛ` ∴ b=Ñ2a
이때 a>0, b>0이므로 b=2a
b-a=3aÛ``
이 식에 b=2a를 대입하면
2a-a=3aÛ`, 3aÛ`-a=0
a(3a-1)=0 ∴ a=0 또는 a=
;3!;
이때 a>0이므로 a=
;3!;
∴ b=2a=2_
=
;3!;
;3@;
따라서 ABÓ=b-a=
-
=
;3!;
;3!;
;3@;
이므로 ABCD의 둘레의 길이는
4_
=
;3!;
;3$;
있다.
이 그래프가 점 (3, -18)을 지나므로
-18=a_3Û`, -18=9a ∴ a=-2
y=-2xÛ`의 그래프가 점 (p, -8)을 지나므로
-8=-2pÛ`, pÛ`=4 ∴ p=Ñ2
이때 p<0이므로 p=-2
29 답 ③
그래프의 꼭짓점이 원점이므로 이차함수의 식을 y=axÛ`으로 놓을 수
있다.
이 그래프가 점 (-6, 12)를 지나므로
12=a_(-6)Û`, 12=36a ∴ a=
;3!;
y=
xÛ`의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그래프의 식은
이 그래프가 점 (m, -27)을 지나므로
-27=-
mÛ`, mÛ`=81 ∴ m=Ñ9
;3!;
이때 m>0이므로 m=9
;3!;
y=-
xÛ
;3!;
30 답
;3$;
점 R의 y좌표가 3이므로 y=
xÛ`에 y=3을 대입하면
;3!;
3=
xÛ`, xÛ`=9 ∴ x=Ñ3
;3!;
이때 점 R의 x좌표가 양수이므로 R(3, 3)
PQÓ=QRÓ이므로 PQÓ=
PRÓ=
;2!;
;2#;
∴ Q
, 3
}
{;2#;
점 Q
, 3
은 y=axÛ`의 그래프 위의 점이므로
{;2#;
}
Û`, 3=
3=a_
{;2#;}
;4(;
a ∴ a=
;3$;
31 답 18
점 A(-2, -1)은 y=axÛ`의 그래프 위의 점이므로
-1=a_(-2)Û`, -1=4a ∴ a=-
;4!;
03
이차함수의 그래프의 성질 ⑴
이때 y=-
xÛ`의 그래프는 y축에 대칭이고, BCÓ=8이므로 점 C의
;4!;
x좌표는 4이다.
즉, 점 C의 y좌표는 y=
-
_4Û`=-4
{
;4!;}
따라서 사다리꼴 ABCD에서 ADÓ=4, BCÓ=8이고
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
146~149쪽
34 답 ③
y=2xÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 그래프의
식은 y=2xÛ`-1
이 그래프가 점 (-1, k)를 지나므로
k=2_(-1)Û`-1=1
높이가 |-1-(-4)|=3이므로
ABCD=
_(4+8)_3=18
;2!;
78 정답과 해설
191만렙PM3해설8~10(075~104).indd 78
18. 8. 30. 오전 11:26
35 답 ③
y=xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프의 식은
41 답 (0, -6)
y=3xÛ`+q의 그래프가 점 (2, 6)을 지나므로
y=(x-2)Û`
36 답 11
;2!;
37 답 -4
은 y=
xÛ`+k
;3@;
;3@;
;3@;
;3!;
;2!;
∴ k=-4
38 답 ①
39 답 1
y=-
(x-5)Û`-6의 그래프는 y=-
xÛ`의 그래프를 x축의 방
;2!;
향으로 5만큼, y축의 방향으로 -6만큼 평행이동한 것이다.
따라서 p=5, q=-6이므로
p-q=5-(-6)=11
y=
xÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 k만큼 평행이동한 그래프의 식
이 그래프가 점 (-3, 2)를 지나므로
2=
_(-3)Û`+k, 2=6+k
y=
xÛ`-1의 그래프는 아래로 볼록한 포물선이고, 꼭짓점의 좌표가
(0, -1)이므로 그래프로 적당한 것은 ①이다.
y=
xÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 식
또 y=
xÛ`+3의 그래프가 점 (-2, b)를 지나므로
은 y=
xÛ`+3
;2!;
이 그래프가 점 (a, 11)을 지나므로
11=
aÛ`+3, aÛ`=16 ∴ a=Ñ4
이때 a<0이므로 a=-4
;2!;
;2!;
b=
_(-2)Û`+3=5
;2!;
∴ aÛ`+2ab+bÛ` =(a+b)Û`
=(-4+5)Û`=1
40 답 ②, ④, ⑥
② 축의 방정식은 x=0이다.
6=3_2Û`+q, 6=12+q ∴ q=-6
∴ y=3xÛ`-6
따라서 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, -6)이다.
42 답 0
그래프의 꼭짓점의 좌표가 (0, 1)이므로 p=1
즉, y=axÛ`+1의 그래프가 점 (1, 2)를 지나므로
2=a_1Û`+1 ∴ a=1
∴ a-p=1-1=0
43 답 y=
;2#;
(x+1)Û`
그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-1, 0)이고, y=
xÛ`의 그래프를 x축의
;2#;
방향으로 평행이동한 것이므로 이차함수의 식은
y=
(x+1)Û`
;2#;
44 답 ①
y=3(x+1)Û`의 그래프는 아래로 볼록한 포물선이고, 꼭짓점의 좌표
가 (-1, 0)이므로 그래프로 적당한 것은 ①이다.
45 답 -9
y=-xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼 평행이동한 그래프의 식
은 y=-(x-a)Û`
이 그래프가 점 (2, -4)를 지나므로
-4=-(2-a)Û`, -4=-4+4a-aÛ`
aÛ`-4a=0, a(a-4)=0
∴ a=0 또는 a=4
이때 a>0이므로 a=4
k=-(1-4)Û`=-9
즉, y=-(x-4)Û`의 그래프가 점 (1, k)를 지나므로
46 답 ③, ⑤
;3!;
;2!;
;2!;
④ y=-
xÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
③ y=
(x-1)Û`의 그래프는 아래로 볼록한 포물
y
⑤ y=-
xÛ`+2의 그래프는 위로 볼록한 포물선
이고, 꼭짓점의 좌표가 (0, 2)이므로 오른쪽 그
림과 같다.
따라서 모든 사분면을 지난다.
y
2
O
x
선이고, 꼭짓점의 좌표가 (1, 0)이므로 오른쪽
그림과 같다.
O
1
x
따라서 제1사분면과 제2사분면을 지난다.
⑤ 이차함수 y=
xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동한
;3!;
⑥ x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
것이다.
따라서 옳지 않은 것은 ②, ④, ⑥이다.
따라서 옳지 않은 것은 ③, ⑤이다.
8. 이차함수와 그 그래프 79
191만렙PM3해설8~10(075~104).indd 79
18. 8. 30. 오전 11:26
47 답 -3
그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-2, 0)이므로 p=-2
즉, y=a(x+2)Û`의 그래프가 점 (0, -4)를 지나므로
-4=a_(0+2)Û`, -4=4a ∴ a=-1
∴ a+p=-1+(-2)=-3
53 답 -
, 3
;2!;
에 있으므로
2pÛ`=5p+3, 2pÛ`-5p-3=0
그래프의 꼭짓점의 좌표가 (p, 2pÛ`)이고, 이 점이 직선 y=5x+3 위
48 답 y=2(x-3)Û`
꼭짓점이 x축 위에 있고, 축의 방정식이 x=3이므로 이차함수의 식
을 y=a(x-3)Û`으로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (5, 8)을 지나므로
8=a_(5-3)Û`, 8=4a ∴ a=2
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=2(x-3)Û`이다.
49 답 4
y=a(x-3)Û`-1의 그래프는 y=2xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 3
만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.
따라서 a=2, b=3, c=-1이므로
a+b+c=2+3+(-1)=4
50 답 ②
y=-(x-2)Û`-1의 그래프는 위로 볼록한 포물선이고, 꼭짓점의
좌표가 (2, -1)이므로 그래프로 적당한 것은 ②이다.
51 답 10
y=2xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 a만큼
평행이동한 그래프의 식은
y=2(x+3)Û`+a
이 그래프가 점 (-4, -2)를 지나므로
-2=2_(-4+3)Û`+a, -2=2+a
∴ a=-4
즉, y=2(x+3)Û`-4의 그래프가 점 (0, b)를 지나므로
b=2_(0+3)Û`-4=14
∴ a+b=-4+14=10
채점 기준
Ú 평행이동한 그래프의 식 구하기
Û a의 값 구하기
Ü b의 값 구하기
Ý a+b의 값 구하기
52 답 ㄴ, ㄷ
ㄴ. 축의 방정식은 x=-2이다.
ㄷ. y의 값의 범위는 y¾-1이다.
y=
;3!;_
(0+2)Û`-1=
;3!;
따라서 점
{
0,
;3!;}
을 지난다.
따라서 옳지 않은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
80 정답과 해설
ㄹ. y=
(x+2)Û`-1에 x=0을 대입하면
;3!;
y`Ú
y`Û
y`Ü
y`Ý
30%
30%
30%
10%
(2p+1)(p-3)=0
∴ p=-
또는 p=3
;2!;
54 답 1
그래프의 꼭짓점의 좌표가 (2, 1)이므로 p=2, q=1
즉, y=a(x-2)Û`+1의 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로
3=a_(0-2)Û`+1, 3=4a+1 ∴ a=
;2!;
∴ apq=
_2_1=1
;2!;
55 답 ⑤
그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-1, 2)이므로 이차함수의 식을
y=a(x+1)Û`+2로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (3, 18)을 지나므로
18=a_(3+1)Û`+2, 18=16a+2 ∴ a=1
∴ y=(x+1)Û`+2
주어진 점의 좌표를 각각 대입하면
① 6=(-3+1)Û`+2
② 3=(-2+1)Û`+2
③ 3=(0+1)Û`+2
⑤ 23+(4+1)Û`+2
④ 6=(1+1)Û`+2
따라서 y=(x+1)Û`+2의 그래프 위의 점이 아닌 것은 ⑤이다.
04
이차함수의 그래프의 성질 ⑵
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
150~153쪽
56 답 ①
y=-3(x-4)Û`+7의 그래프는 오른쪽 그림과
같으므로 x>4일 때, x의 값이 증가하면 y의 값
은 감소한다.
y
7
감소
O
4
x
57 답 ③
그래프가 아래로 볼록한 포물선이므로 a>0
꼭짓점 (p, q)가 제3사분면 위에 있으므로 p<0, q<0
58 답 ①
y=-3(x-2)Û`+3의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향
으로 b만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-3(x-a-2)Û`+3+b
191만렙PM3해설8~10(075~104).indd 80
18. 8. 30. 오전 11:26
이 그래프가 y=-3xÛ`의 그래프와 일치하므로
-a-2=0, 3+b=0 ∴ a=-2, b=-3
∴ a+b=-2+(-3)=-5
다른 풀이
64 답 ②
y=ax+b의 그래프가 오른쪽 위로 향하므로
(기울기)>0 ∴ a>0
또 x축보다 아래쪽에서 y축과 만나므로
y=-3(x-2)Û`+3의 그래프에서 꼭짓점의 평행이동을 생각하면
( y절편)<0 ∴ b<0
(2, 3)
x축의 방향으로 a만큼
y축의 방향으로 b만큼
11111113Ú
(2+a, 3+b)
즉, 꼭짓점의 좌표 (2+a, 3+b)가`y=-3xÛ`의 그래프의 꼭짓점의
좌표 (0, 0)과 일치하므로
2+a=0, 3+b=0 ∴ a=-2, b=-3
∴ a+b=-2+(-3)=-5
59 답 ③
y=-2(x-2)Û`+5의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의
∴ aq<0, p>0
식은
-y=-2(x-2)Û`+5 ∴ y=2(x-2)Û`-5
증가
5
x
66 답 -7
y=(x+3)Û`-2의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향
즉, y=a(x-b)Û`의 그래프는 a>0이므로 아래로 볼록한 포물선이
고, 꼭짓점의 좌표 (b, 0)에서 b<0이므로 꼭짓점은 x축 위의 점이
며 y축보다 왼쪽에 있다.
따라서 y=a(x-b)Û`의 그래프로 적당한 것은 ②이다.
65 답 ⑤
y=a(x-p)Û`+q의 그래프가 아래로 볼록한 포물선이므로 a>0
꼭짓점 (p, q)가 제4사분면 위에 있으므로 p>0, q<0
즉, y=aqxÛ`+p의 그래프는 aq<0이므로 위로 볼록한 포물선이고,
꼭짓점의 좌표 (0, p)에서 p>0이므로 꼭짓점은 y축 위의 점이며 x
축보다 위쪽에 있다.
따라서 y=aqxÛ`+p의 그래프는 오른쪽 그림과 같으
므로 모든 사분면을 지난다.
y
O
x
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-5, 3)이므로 p=-5, q=3
으로 5만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=(x+2+3)Û`-2+5=(x+5)Û`+3
축의 방정식은 x=-5이므로 m=-5
∴ p+q+m=-5+3+(-5)=-7
다른 풀이
y=(x+3)Û`-2의 그래프에서 꼭짓점의 평행이동을 생각하면
(-3, -2)
x축의 방향으로 -2만큼
11111111!Ú
y축의 방향으로 5만큼
(-3+(-2), -2+5)
즉, 꼭짓점의 좌표가 (-5, 3)이므로 p=-5, q=3
또 축의 방정식은 x=-5이므로 m=-5
∴ p+q+m=-5+3+(-5)=-7
67 답 1
y=4xÛ`+1의 그래프를 x축의 방향으로 k만큼, y축의 방향으로 2만
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (k, 3)이고, 이 점이 직선
큼 평행이동한 그래프의 식은
y=4(x-k)Û`+1+2=4(x-k)Û`+3
y=-2x+5 위에 있으므로
3=-2k+5, 2k=2
∴ k=1
다른 풀이
y=4xÛ`+1의 그래프에서 꼭짓점의 평행이동을 생각하면
(0, 1)
x축의 방향으로 k만큼
11111113Ú
y축의 방향으로 2만큼
(0+k, 1+2)
즉, 꼭짓점 (k, 3)이 직선 y=-2x+5 위에 있으므로
3=-2k+5, 2k=2 ∴ k=1
8. 이차함수와 그 그래프 81
60 답 ①
y=2(x-5)Û`+3의 그래프는 오른쪽 그림과 같
으므로 x>5일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도
증가한다.
y
3
O
y=-
xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -2
61 답 x<3
;3@;
;3@;
만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-
(x-3)Û`-2
이 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x<3일 때,
x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
3
x
y
O
-2
증가
62 답 a<0, p>0, q>0
그래프가 위로 볼록한 포물선이므로 a<0
꼭짓점 (-p, q)가 제2사분면 위에 있으므로
-p<0, q>0 ∴ p>0, q>0
63 답 ⑤
① 그래프가 아래로 볼록한 포물선이므로 a>0
② 꼭짓점 (0, q)가 x축보다 아래쪽에 있으므로 q<0
③ a+q의 부호는 알 수 없다.
④ a>0, q<0이므로 aq<0
⑤ a>0, q<0이므로 a-q>0
따라서 항상 옳은 것은 ⑤이다.
191만렙PM3해설8~10(075~104).indd 81
18. 8. 30. 오전 11:26
68 답 -3
y=-3(x-2)Û`+5의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향
으로 -5만큼 평행이동한 그래프의 식은
ㄷ. (구의 겉넓이)=4p_(반지름의 길이)Û`이므로
y=4pxÛ` (이차함수)
ㄹ. y=x(x-50)=xÛ`-50x (이차함수)
y=-3(x-1-2)Û`+5-5
∴ y=-3(x-3)Û`
이 그래프가 점 (4, k)를 지나므로
k=(-3)_(4-3)Û`=-3
채점 기준
Ú 평행이동한 그래프의 식 구하기
Û k의 값 구하기
ㅁ. (사다리꼴의 넓이)
=
_{(윗변의 길이)+(아랫변의 길이)}_(높이)
;2!;
이므로 y=
{x+(x+2)}_4=4x+4 (일차함수)
;2!;_
따라서 y가 x에 대한 이차함수인 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.
y`Ú
y`Û
50%
50%
73 답 ③
y =(x+4)Û`-axÛ`-1=xÛ`+8x+16-axÛ`-1
69 답 ①
y=-3(x+2)Û`+1의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의
=(1-a)xÛ`+8x+15
이때 이차항의 계수가 0이 아니어야 하므로
y=-3(-x+2)Û`+1
∴ y=-3(x-2)Û`+1
식은
70 답
;3@;
식은
y=a(x-1)Û`-3의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의
-y=a(x-1)Û`-3 ∴ y=-a(x-1)Û`+3
이 그래프가 점
{
-1,
;3!;}
을 지나므로
=-a_(-1-1)Û`+3,
=-4a+3 ∴ a=
;3!;
;3!;
;3@;
71 답 제1사분면, 제2사분면
식은
;2!;
;2!;
;2!;
y=
(-x+2)Û`+3 ∴ y=
(x-2)Û`+3
;2!;
이 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행
이동한 그래프의 식은
y=
(x-1-2)Û`+3-2
∴ y=
(x-3)Û`+1
;2!;
이 그래프는 아래로 볼록한 포물선이고, 꼭짓점의
y
좌표가 (3, 1)이므로 오른쪽 그림과 같다.
따라서 제1사분면과 제2사분면을 지난다.
1
O
3
x
1-a+0 ∴ a+1
74 답 ②
f(x)=
xÛ`-2x+4에서 f(p)=p이므로
;2!;
pÛ`-2p+4=p,
pÛ`-3p+4=0
;2!;
pÛ`-6p+8=0, (p-2)(p-4)=0
;2!;
∴ p=2 또는 p=4
이때 p>2이므로 p=4
75 답 -1
f(x)=xÛ`+ax-b에서 f(-2)=-7이므로
(-2)Û`+a_(-2)-b=-7
2a+b=11 y ㉠
2Û`+a_2-b=5
2a-b=1 y ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=5
따라서 f(x)=xÛ`+3x-5이므로
f(1)=1Û`+3_1-5=-1
76 답 ②
ㄴ. y=4xÛ`에 x=-3을 대입하면
y=4_(-3)Û`=36
따라서 점 (-3, 36)을 지난다.
y=
(x+2)Û`+3의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의
f(x)=xÛ`+ax-b에서 f(2)=5이므로
ㄹ. x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
154~157쪽
77 답 ㉢, ㉣, ㉡, ㉠
y=axÛ`의 그래프는 a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
즉, a>0이면 a의 값이 클수록 그래프의 폭이 좁아지고 a<0이면
a의 값이 작을수록 그래프의 폭이 좁아진다.
또 y=axÛ`의 그래프는 a>0이면 아래로 볼록하고, a<0이면 위로
볼록하므로
㉠과 ㉡은 a>0, ㉢과 ㉣은 a<0
따라서 a의 값이 작은 것부터 차례로 나열하면 ㉢, ㉣, ㉡, ㉠이다.
핵심 유형
최종 점검 하기
72 답 ③
ㄱ. y=200x`(일차함수)
ㄴ. (소금의 양)=
_(소금물의 양)이므로
(소금물의 농도)
100
ㄴ. y=;10{0;(200+x)=
;10!0;
xÛ`+2x (이차함수)
82 정답과 해설
191만렙PM3해설8~10(075~104).indd 82
18. 8. 30. 오전 11:26
78 답 ②, ③
x축에 서로 대칭인 그래프는 ㄱ과 ㅂ, ㄴ과 ㄷ이다.
79 답 1
y=axÛ`에 x=-3, y=18을 대입하면
18=a_(-3)Û`, 18=9a
∴ a=2
y=2xÛ`에 x=
, y=b를 대입하면
;2!;
Û`=
b=2_
{;2!;}
;2!;
∴ ab=2_
=1
;2!;
80 답 -4
;2#;
y=-
xÛ`
;2#;
이 그래프가 점 (k, -6)을 지나므로
-6=-
kÛ`, kÛ`=4 ∴ k=Ñ2
;2#;
따라서 구하는 모든 k의 값의 곱은
(-2)_2=-4
채점 기준
Ú x축에 서로 대칭인 그래프의 식 구하기
Û k의 값 구하기
Ü 모든 k의 값의 곱 구하기
이때 y=axÛ`의 그래프는 y축에 대칭이므로
A(-4, 4), D(4, 4)
따라서 점 D(4, 4)가 y=axÛ`의 그래프 위의 점이므로
4=a_4Û`, 4=16a ∴ a=
;4!;
84 답 ②
y=-xÛ`+3의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 -3
만큼 평행이동하면 y=-(x-4)Û`의 그래프와 완전히 포개어진다.
따라서 평행이동하면 서로 포갤 수 있는 그래프는 ㄴ, ㅂ이다.
85 답 -5
그래프의 꼭짓점의 좌표가 (0, 3)이고, y=-2xÛ`의 그래프를 y축의
방향으로 평행이동한 것이므로 이차함수의 식은
y`Û
86 답 9
두 이차함수 y=
xÛ`+2와 y=
xÛ`-1의 xÛ`의 계수가 같으므로 두
;3!;
;3!;
y`Ü
그래프의 폭이 같다.
즉, 오른쪽 그림에서 빗금 친 두 부분의
넓이는 서로 같으므로 구하는 부분의
넓이는 직사각형 ABCD의 넓이와 같다.
40%
40%
20%
y
O
A
B
y=;3!;xÛ +2
y=;3!;xÛ -1
D
C
x
점 C의 x좌표는 2이고, y=
xÛ`-1의
;3!;
그래프 위의 점이므로
x=-1 x=2
y=
xÛ`의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그래프의 식은
y=-2xÛ`+3
이 그래프가 점 (2, k)를 지나므로
y`Ú
k=(-2)_2Û`+3=-5
81 답 ③
㈎에서 구하는 이차함수의 식을 y=axÛ`으로 놓을 수 있다.
㈏에서 그래프가 아래로 볼록하고 ㈐에서 y=-xÛ`의 그래프보다 폭
이 넓으므로 00이므로 아래로 볼록한 포물선이고,
꼭짓점의 좌표 (0, -a)에서 -a>0이므로 꼭짓점은 y축 위의 점
이며 x축보다 위쪽에 있다.
따라서 y=pxÛ`-a의 그래프는 오른쪽 그림과 같으
y
③ y=2xÛ`-3의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, -3),
므로 제1사분면과 제2사분면을 지난다.
y=-2(x-3)Û`의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (3, 0)
④ y=-2(x-3)Û`의 그래프는 위로 볼록한 포물선이다.
⑤ y=-2(x-3)Û`의 그래프는 y=-2xÛ`의 그래프를 x축의 방향으
로 3만큼 평행이동한 것이다.
따라서 공통된 설명으로 옳은 것은 ①이다.
94 답 ③
y=a(x+p)Û`+q의 그래프는 오른쪽 그림과 같이
(cid:90)
아래로 볼록하고 꼭짓점 (-p, q)가 제4사분면에
있어야 하므로
a>0, -p>0, q<0
∴ a>0, p<0, q<0
의 부호를 조사한다.
제1, 2, 4사분면을 지나는 이차함수의 그래프를 그린 후, a, p, q
95 답 (0, 4)
y=2(x-1)Û`+3의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향
으로 q만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=2(x+1-1)Û`+3+q
∴ y=2xÛ`+3+q
이 그래프가 점 (-1, 6)을 지나므로
6=2_(-1)Û`+3+q
6=5+q ∴ q=1
채점 기준
Ú 평행이동한 그래프의 식 구하기
Û q의 값 구하기
Ü 꼭짓점의 좌표 구하기
따라서 y=2xÛ`+4의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, 4)이다. y`Ü
O
x
(cid:48)
(cid:89)
y`Ú
y`Û
40%
30%
30%
89 답 2
y=a(x-b)Û`의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (b, 0)이고,
y=xÛ`-9의 그래프가 점 (b, 0)을 지나므로
0=bÛ`-9, bÛ`=9 ∴ b=Ñ3
이때 b>0이므로 b=3
y=xÛ`-9의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, -9)이고,
y=a(x-3)Û`의 그래프가 점 (0, -9)를 지나므로
-9=a_(0-3)Û`, -9=9a ∴ a=-1
∴ a+b=-1+3=2
90 답 3
y=3xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 7만
큼 평행이동한 그래프의 식은
y=3(x+2)Û`+7
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-2, 7)이므로
m=-2, n=7
축의 방정식은 x=-2이므로 k=-2
∴ m+n+k=-2+7+(-2)=3
92 답 ③
값도 증가한다.
y=-
(x-2)Û`-1의 그래프는 오른쪽 그림과
;3!;
같으므로 x<2일 때, x의 값이 증가하면 y의
2
x
y
O
-1
증가
93 답 제1사분면, 제2사분면
y=a(x-p)Û`의 그래프는 위로 볼록한 포물선이므로 a<0
꼭짓점 (p, 0)이 y축보다 오른쪽에 있으므로 p>0
84 정답과 해설
91 답 ④
y=3(x+1)Û`+2의 그래프는 아래로 볼록한 포물선이고, 꼭짓점
(-1, 2)는 제2사분면 위에 있다.
따라서 이 그래프는 제3사분면과 제4사분면을 지나지 않는다.
은
96 답 ①
y=5(x+7)Û`+3의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식
-y=5(x+7)Û`+3 ∴ y=-5(x+7)Û`-3
따라서 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-7, -3)이다.
191만렙PM3해설8~10(075~104).indd 84
18. 8. 30. 오전 11:26
이차함수 y=axÛ`+bx+c
의 그래프
9
01 이차함수 y=axÛ`+bx+c의
그래프 ⑴
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
160~162쪽
01 ①
05 ④
02 ④
06 ①
04 -12
08 ②
01 답 ①
09 (2, -5) 10 -3
12 (-1, 4)
y=-3xÛ`+2x+1=-3
xÛ`-
{
x
+1
;3@;
}
13 5
14 (1, -7) 15 4
17 풀이 참조 18 ④
19 4
16 5
20 ⑤
22 ⑴ A(2, 9) ⑵ C(5, 0) ⑶ 15
=-3
xÛ`-
x+
-
;9!;
;3@;
;9!;}
+1
{
{
=-3
x-
Û`+
;3!;}
;3$;
따라서 p=
, q=
이므로 p-q=
;3!;
;3$;
-
=-1
;3!;
;3$;
03 3
07 ②
11 ④
25 ⑤
29 ④
33 ④
37 ②
41 30
45 ④
49 ③
53 ⑤
60 ②
64 ④
68 ①
57 -
0이어야 한다.
7a+1>0에서 a>-
;7!;
26 답 x<3
y=
xÛ`-2x+5=
(x-3)Û`+2의 그래프는
;3!;
;3!;
y
감소
오른쪽 그림과 같으므로 x<3일 때, x의 값이
증가하면 y의 값은 감소한다.
2
O
3
x
27 답 ③
y=-xÛ`+kx+6의 그래프가 점 (4, -2)를 지나므로
-2=-4Û`+k_4+6
4k=8 ∴ k=2
즉, y=-xÛ`+2x+6=-(x-1)Û`+7의 그래프는
오른쪽 그림과 같으므로 x>1일 때, x의 값이 증
가하면 y의 값은 감소한다.
y
7
감소
O
1
x
28 답 ①
y=2xÛ`-4x+7=2(x-1)Û`+5의 그래프를 x축의 방향으로 k만큼
평행이동한 그래프의 식은
x
y=2(x-k-1)Û`+5 y`㉠
이 그래프가 x<-4이면 x의 값이 증가할 때 y의 값은 감소하고,
x>-4이면 x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가하므로 축의 방정식
은 x=-4이다.
㉠에서 그래프의 축의 방정식이 x=k+1이므로
k+1=-4 ∴ k=-5
이차함수 y=a(x-p)Û`+q의 그래프는 축 x=p를 기준으로 증
따라서 그래프는 제4사분면을 지나지 않는다.
가, 감소가 바뀜을 이용한다.
191만렙PM3해설8~10(075~104).indd 88
18. 8. 30. 오전 11:27
29 답 ④
;2!;
;2!;
y=
xÛ`-2x-6에 y=0을 대입하면
xÛ`-2x-6=0, xÛ`-4x-12=0
(x+2)(x-6)=0 ∴ x=-2 또는 x=6
∴ A(-2, 0), E(6, 0)
y=
xÛ`-2x-6에 x=0을 대입하면
;2!;
y=-6 ∴ B(0, -6)
또 y=
xÛ`-2x-6=
(x-2)Û`-8이므로
;2!;
;2!;
꼭짓점의 좌표는 C(2, -8)이다.
축의 방정식은 x=2이고, 그래프의 축에서 두 점 B, D까지의 거리
가 같으므로 점 D의 x좌표는 4이다.
이때 점 B의 y좌표와 점 D의 y좌표가 같으므로 D(4, -6)
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
30 답 7
y=-3xÛ`+ax+b의 그래프가 점 (-1, 0)을 지나므로
0=-3_(-1)Û`+a_(-1)+b
0=-3-a+b y ㉠
또 점 (2, 3)을 지나므로
3=(-3)_2Û`+a_2+b
3=-12+2a+b y ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=7
즉, y=-3xÛ`+4x+7에 x=0을 대입하면
y=7
31 답 8
y=xÛ`+2x-15에 y=0을 대입하면
xÛ`+2x-15=0, (x+5)(x-3)=0
∴ x=-5 또는 x=3
따라서 A(-5, 0), B(3, 0)이므로
ABÓ=3-(-5)=8
33 답 ④
한다.
y=-
xÛ`+2x-3=-
(x-2)Û`-1의 그래프
;2!;
;2!;
는 오른쪽 그림과 같다.
④ x>2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소
y
O
-1
-3
2
x
감소
34 답 ㄱ, ㄹ
y=-2xÛ`+4x-5=-2(x-1)Û`-3의 그래프를 x축의 방향으로
1만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-2(x-1-1)Û`-3-1=-2(x-2)Û`-4
ㄱ. y의 값의 범위는 yÉ-4이다.
ㄴ. y=-2(x-2)Û`-4에 x=0을 대입하면
y=(-2)_(-2)Û`-4=-12
따라서 y축과의 교점의 좌표는 (0, -12)이다.
ㄷ. 이 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 제3사분면
과 제4사분면을 지난다.
ㄹ. x>2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소
한다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.
y
2
O
-4
-12
x
감소
35 답 ④, ⑥
④ y=axÛ`+bx+c=a
xÛ`+
x+
[
;aB;
{;2õa;}
{;2õa;}
Û`-
Û`
]
+c
=a
x+
{
;2õa;}
Û`-
bÛ`-4ac
4a
따라서 꼭짓점의 좌표는
-
{
;2õa;
, -
bÛ`-4ac
4a
이다.
}
식은
-y=axÛ`+bx+c ∴ y=-axÛ`-bx-c
36 답 15
y=xÛ`-x-6에 y=0을 대입하면
xÛ`-x-6=0, (x+2)(x-3)=0
∴ x=-2 또는 x=3
y=xÛ`-x-6에 x=0을 대입하면
y=-6 ∴ C(0, -6)
따라서 A(-2, 0), B(3, 0)이므로 ABÓ=3-(-2)=5
32 답 3
y=-xÛ`+2x+k=-(x-1)Û`+k+1의 그래프의 축의 방정식은
x=1이다.
이다.
ABÓ=4이므로 그래프의 축에서 두 점 A, B까지의 거리는 각각 2
∴ A(-1, 0), B(3, 0)
y`Û
따라서 y=-xÛ`+2x+k에 x=-1, y=0을 대입하면
y`Ú
∴ △ABC=
_5_6=15
;2!;
37 답 ②
y=-2xÛ`+4x+4에 x=0을 대입하면
y=4 ∴ C(0, 4)
또 y=-2xÛ`+4x+4=-2(x-1)Û`+6이므로
0=-(-1)Û`+2_(-1)+k
0=-3+k ∴ k=3
채점 기준
Ú 축의 방정식 구하기
Û 두 점 A, B의 좌표 구하기
Ü k의 값 구하기
y`Ü
꼭짓점의 좌표는 P(1, 6)이다.
30 %
40 %
30 %
이때 △ABC와 △ABP의 밑변을 모두 ABÓ로 정하면 두 삼각형의
밑변의 길이가 같으므로 두 삼각형의 넓이의 비는 높이의 비와 같다.
따라서 두 삼각형의 높이의 비가 4 : 6=2 : 3이므로
△ABC : △ABP=2 : 3
9. 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프 89
따라서 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표는 7이다.
⑥ y=axÛ`+bx+c의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의
191만렙PM3해설8~10(075~104).indd 89
18. 8. 30. 오전 11:27
38 답 27
y=xÛ`-ax-b의 그래프가 점 (0, -5)를 지나므로
-5=-b ∴ b=5
y=-
xÛ`+2x+6에 y=0을 대입하면
;2!;
;2!;
-
xÛ`+2x+6=0, xÛ`-4x-12=0, (x+2)(x-6)=0
y=xÛ`-ax-5의 그래프가 점 B(5, 0)을 지나므로
∴ x=-2 또는 x=6 ∴ C(6, 0)
y`Ú
∴ ABOC=△ABO+△AOC
=
_6_2+
_6_8
;2!;
;2!;
=6+24=30
y`Û
y`Ü
y`Ý
20%
30%
20%
30%
0=5Û`-a_5-5, 5a=20 ∴ a=4
즉, y=xÛ`-4x-5에 y=0을 대입하면
xÛ`-4x-5=0, (x+1)(x-5)=0
∴ x=-1 또는 x=5
따라서 A(-1, 0)이므로
ABÓ=5-(-1)=6
또 y=xÛ`-4x-5=(x-2)Û`-9이므로
꼭짓점의 좌표는 C(2, -9)이다.
∴ △ABC=
_6_9=27
;2!;
채점 기준
Ú a, b의 값 구하기
Û ABÓ의 길이 구하기
Ü 꼭짓점 C의 좌표 구하기
Ý △ABC의 넓이 구하기
39 답 3
y=-xÛ`+2x+3=-(x-1)Û`+4이므로
꼭짓점의 좌표는 A(1, 4)이다.
y=-xÛ`+2x+3에 x=0을 대입하면
y=3 ∴ B(0, 3)
y=-xÛ`+2x+3에 y=0을 대입하면
-xÛ`+2x+3=0, xÛ`-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3 ∴ C(3, 0)
∴ △ABC=△ABO+△AOC-△BOC
=
_3_1+
_3_4-
_3_3
;2!;
;2!;
;2!;
;2#;
=
+6-
=3
;2(;
40 답 4
y=
xÛ`-x-4에 x=0을 대입하면
;4!;
y=-4 ∴ A(0, -4)
또 y=
xÛ`-x-4=
(x-2)Û`-5이므로
;4!;
;4!;
꼭짓점의 좌표는 B(2, -5)이다.
∴ △OAB=
_4_2=4
;2!;
y=-
xÛ`+2x+6=-
(x-2)Û`+8이므로
;2!;
꼭짓점의 좌표는 A(2, 8)이다.
41 답 30
;2!;
;2!;
y=6 ∴ B(0, 6)
90 정답과 해설
03 이차함수 y=axÛ`+bx+c의
그래프 ⑶
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
168~170쪽
42 답 ①
y=-xÛ`+6x+a=-(x-3)Û`+a+9
있으려면 a+9=0이어야 한다.
∴ a=-9
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (3, a+9)이므로 꼭짓점이 x축 위에
43 답 ②
그래프의 모양이 아래로 볼록하므로 a>0
그래프의 축이 y축의 왼쪽에 있으므로
ab>0 ∴ b>0
y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c<0
44 답 -2
y=-2xÛ`+4x+a=-2(x-1)Û`+a+2
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, a+2)이므로 그래프가 x축과 한
점에서 만나려면 a+2=0이어야 한다.
① y=4xÛ`-4x+1=4
x-
{
;2!;}
Û`의 그래프는 x축과 한 점에서 만난다.
② y=xÛ`-3x+5=
x-
의 그래프는 x축과 만나지 않
Û`+
{
;2#;}
:Á4Á:
③ y=-
xÛ`+6x-28=-
(x-9)Û`-1의 그래프는 x축과 만나
;3!;
∴ a=-2
45 답 ④
는다.
;3!;
지 않는다.
서 만난다.
y=-
xÛ`+2x+6에 x=0을 대입하면
④ y=xÛ`+x=
x+
의 그래프는 x축과 서로 다른 두 점에
Û`-
{
;2!;}
;4!;
191만렙PM3해설8~10(075~104).indd 90
18. 8. 30. 오전 11:27
⑤ y=-5xÛ`+10x-7=-5(x-1)Û`-2의 그래프는 x축과 만나지
않는다.
따라서 x축과 서로 다른 두 점에서 만나는 것은 ④이다.
46 답 ④, ⑤
y=
xÛ`+2x+c=
(x+2)Û`+c-2
;2!;
;2!;
51 답 ③
그래프의 모양이 위로 볼록하므로 a<0
그래프의 축이 y축의 오른쪽에 있으므로
ab<0 ∴ b>0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
ax+by+c=0에서 y=-
x-
;bA;
;bC;
이 그래프는 아래로 볼록하고, 꼭짓점의 좌표가 (-2, c-2)이므로
따라서 (기울기)=-
>0, ( y절편)=-
<0
;bA;
;bC;
그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나려면 c-2<0이어야 한다.
이므로 ax+by+c=0의 그래프는 오른쪽 그림과
∴ c<2
같다.
y
O
x
47 답 a<-16
y=-xÛ`+8x+a=-(x-4)Û`+a+16
이 그래프는 위로 볼록하고, 꼭짓점의 좌표가 (4, a+16)이므로 그래
프가 x축과 만나지 않으려면 a+16<0이어야 한다.
∴ a<-16
52 답 ③
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
a<0, -b>0 ∴ a<0, b<0
y=axÛ`+x+b의 그래프는
48 답 ③
그래프의 모양이 위로 볼록하므로 a<0
그래프의 축이 y축의 오른쪽에 있으므로
ab<0 ∴ b>0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
49 답 ③
y=ax+b의 그래프에서 (기울기)>0, (y절편)<0이므로
a>0, b<0
y=xÛ`+ax+b의 그래프는
Ú 이차항의 계수가 1>0이므로 그래프의 모양이 아래로 볼록하다.
Û a>0이므로 그래프의 축은 y축의 왼쪽에 있다.
Ü b<0이므로 y축과의 교점은 x축보다 아래쪽에 있다.
Ú ~ Ü에 의해 y=xÛ`+ax+b의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
따라서 꼭짓점은 제3사분면 위에 있다.
y
O
x
50 답 ㄴ, ㄷ, ㅁ
ㄱ. x=1일 때, y<0이므로 a+b+c<0
ㄴ. x=-1일 때, y>0이므로 a-b+c>0
ㄷ. 그래프의 모양이 아래로 볼록하므로 a>0
그래프의 축이 y축의 오른쪽에 있으므로
ab<0 ∴ b<0
ㄹ. y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
ㅁ. x=-2일 때, y>0이므로 4a-2b+c>0
∴ a-b>0
∴ ac>0
ㅂ. abc<0
Ú a<0이므로 그래프의 모양이 위로 볼록하다.
Û 일차항의 계수가 1>0이므로 그래프의 축은 y축의 오른쪽에 있다.
Ü b<0이므로 y축과의 교점은 x축보다 아래쪽에 있다.
Ú~Ü에 의해 y=axÛ`+x+b의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
(cid:90)
(cid:48)
y
O
y
O
(cid:89)
x
x
y
O
-1
3
x
53 답 ⑤
y=axÛ`+bx+c의 그래프가 제3사분면만을 지나지
않으므로 오른쪽 그림과 같다.
그래프의 모양이 아래로 볼록하므로 a>0
그래프의 축이 y축의 오른쪽에 있으므로
ab<0 ∴ b<0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
∴ a>0, b<0, c>0
y=bxÛ`+cx+a의 그래프는
Ú b<0이므로 그래프의 모양이 위로 볼록하다.
Û bc<0이므로 그래프의 축은 y축의 오른쪽에 있다.
Ü a>0이므로 y축과의 교점은 x축보다 위쪽에 있다.
Ú ~ Ü에 의해 y=bxÛ`+cx+a의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
54 답 ④
y=axÛ`+bx+c의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
ㄱ. 그래프의 축이 y축의 왼쪽에 있으므로
-3
ab>0
ㄴ. y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로
c>0 ∴ abc>0
ㄱ에서 ab>0
ㄷ. x=1일 때, y<0이므로 a+b+c<0
ㄹ. x=-
일 때, y>0이므로
a-
b+c>0
;4!;
;2!;
;2!;
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
9. 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프 91
191만렙PM3해설8~10(075~104).indd 91
18. 8. 30. 오전 11:27
핵심 유형
최종 점검 하기
55 답 ①
y =3xÛ`+6x-2=3(xÛ`+2x)-2
=3(xÛ`+2x+1-1)-2
=3(x+1)Û`-5
따라서 a=3, p=-1, q=-5이므로
a+p+q=3+(-1)+(-5)=-3
56 답 ③
① y=-(x+4)(x-4)=-(xÛ`-16)=-xÛ`+16
이므로 축의 방정식은 x=0이다.
② y=xÛ`+4x+3=(xÛ`+4x+4-4)+3=(x+2)Û`-1
이므로 축의 방정식은 x=-2이다.
③ y=-3xÛ`+2x=-3
xÛ`-
{
x
}
;3@;
=-3
xÛ`-
{
x+
-
;9!;
;3@;
;9!;}
=-3
x-
{
;3!;}
;3!;
Û`+
이므로 축의 방정식은 x=
이다.
;3!;
171~173쪽
y=xÛ`-6x+11=(x-3)Û`+2이므로 이 그래프를 평행이동한 그래
프의 식은
y=(x+3-3)Û`+2-2=xÛ`
따라서 a=1, b=0, c=0이므로
a+b+c=1
60 답 ②
y=-xÛ`+4x-1=-(x-2)Û`+3
Ú 꼭짓점의 좌표: (2, 3)
Û 모양:
Ü y축과의 교점의 좌표: (0, -1)
따라서 그래프는 제2사분면을 지나지 않는다.
y
3
O
-1
2
x
61 답 (0, 3)
y =xÛ`+2kx+k=(xÛ`+2kx+kÛ`-kÛ`)+k
=(x+k)Û`-kÛ`+k y`㉠
이 그래프가 x<-3이면 x의 값이 증가할 때 y의 값은 감소하고,
x>-3이면 x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가하므로 축의 방정식
④ y=xÛ`+2x+1=(x+1)Û`이므로 축의 방정식은 x=-1이다.
은 x=-3이다.
⑤ y=xÛ`+x+2=
xÛ`+x+
{
-
;4!;
;4!;}
+2=
x+
{
;2!;}
;4&;
Û`+
이므로 축의 방정식은 x=-
이다.
;2!;
㉠에서 그래프의 축의 방정식이 x=-k이므로
-k=-3 ∴ k=3
즉, y=xÛ`+6x+3에 x=0을 대입하면 y=3
따라서 그래프의 축이 좌표평면에서 가장 오른쪽에 있는 것은 ③이다.
따라서 이 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 3)이다.
57 답 -
;3@;
-
;3@;
∴ -
2
일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하고,
모든 사분면을 지난다.
y
9
5
③ y=-xÛ`+4x+5에 y=0을 대입하면
-xÛ`+4x+5=0, xÛ`-4x-5=0
O
-1
2
5
x
(x+1)(x-5)=0 ∴ x=-1 또는 x=5
69 답 ⑤
그래프의 모양이 위로 볼록하므로 a<0
그래프의 축이 y축의 왼쪽에 있으므로
ab>0 ∴ b<0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로
감소
-c>0 ∴ c<0
70 답 ㄴ, ㄷ, ㅂ
그래프의 모양이 아래로 볼록하므로 a>0
즉, x축과의 교점의 좌표는 (-1, 0), (5, 0)이므로 두 점 사이
그래프의 축이 y축의 오른쪽에 있으므로
의 거리는 5-(-1)=6이다.
ab<0 ∴ b<0
④ y=-xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 9만
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
큼 평행이동한 것이다.
따라서 옳지 않는 것은 ④이다.
66 답 3
y=-xÛ`-x+2에 y=0을 대입하면
-xÛ`-x+2=0, xÛ`+x-2=0
(x+2)(x-1)=0 ∴ x=-2 또는 x=1
따라서 A(-2, 0), B(1, 0)이므로
ABÓ=1-(-2)=3
y=-xÛ`-x+2에 x=0을 대입하면
y=2 ∴ C(0, 2)
∴ △ABC=
_3_2=3
;2!;
ㄴ. x=1일 때, y<0이므로 a+b+c<0
ㄹ. x=-1일 때, y>0이므로 a-b+c>0
ㄱ. ac>0
ㄷ. abc<0
ㅁ. 2a-b>0
ㅂ. 축의 방정식이 x=-
이고, -
>1에서 a>0이므로
;2õa;
;2õa;
-b>2a ∴ 2a+b<0
따라서 그 값이 항상 음수인 것은 ㄴ, ㄷ, ㅂ이다.
71 답 ②
그래프의 모양이 아래로 볼록하므로 a>0
그래프의 축이 y축의 왼쪽에 있으므로
-ab>0 ∴ b<0
그래프가 원점을 지나므로 c=0
67 답 6
y=-xÛ`-bx+8의 그래프가 점 (-2, 0)을 지나므로
따라서 y=bxÛ`+cx+a=bxÛ`+a의 그래프는
b<0이므로 그래프의 모양이 위로 볼록하고, 꼭짓
0=-(-2)Û`-b_(-2)+8, 2b=-4 ∴ b=-2
점의 좌표가 (0, a)이다.
y
O
x
즉, y=-xÛ`+2x+8=-(x-1)Û`+9이므로
이때 꼭짓점의 y좌표 a>0이므로 그래프는 오른쪽
꼭짓점의 좌표는 A(1, 9)이다.
그림과 같다.
9. 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프 93
191만렙PM3해설8~10(075~104).indd 93
18. 8. 30. 오전 11:27
10
이차함수의 활용
01 ②
02 y=-xÛ`-4x-1
03 11
04 y=-xÛ`+2x+3
05 y=-3xÛ`+6x-5
06 (0, -2) 07 -
08 -5
:Á9¤:
10 -5
11 ③
14 y=4xÛ`+8x+3
17 6
18 ⑤
20 y=-xÛ`+6x-5
24 ③
23 1
27 ③
30 ④
36 4
40 ③
12 4
15 10
19 2
21 ⑤
25 ②
;3$;
32 ③
;2#;
38 -4
42 ④
44 5
47 ②
28 y=-
xÛ`-
;3!;
x-
;3!;
31 ④
:¤4Á:
37 -3
41 -10
43 y=xÛ`-8x+14
46 y=3xÛ`+6x+5
09 ①
13 ③
16 ②
22 ①
26 ①
29 ②
33 ⑤
39 9
45 ④
48 ①
34 ⑴ 3 ⑵ 최댓값:
, x=
35 -16
49 ⑤
50 9
51 225 cmÛ` 52 1
53 30 m
54 P(1, 2)
57 -16
58 -9
55
;2%;
59 ①
56 11, 11
60 56
61 ③
62 3 cm
63 50 mÛ`
64 4
65 300 cmÛ` 66 ④
67 49 cmÛ`
68 ⑴
;:#4^:!;
cmÛ` ⑵ 19 cm,
cm
:Á2»:
69 5초 후
72 15일
73 245000원
70 ①
74 ②
78 34
82 -3
86 ①
90 ⑤
94 ①
98 ①
71
;2%;
m
75 ④
79 ④
83 -7
87 (2, 3)
91 ③
95 ⑤
76
;8(;
80 ②
84 ⑤
88 ⑤
92 ④
96 ②
81 5
85 ④
89 ②
93 -3
97 ⑤
99 144 mÛ`
100 12 cm
101 ②
102 110 m
103 1100원 104 P(2, 4) 105 ③
01
이차함수의 식 구하기
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
176~180쪽
01 답 ②
꼭짓점의 좌표가 (-1, -9)이므로 이차함수의 식을
y=a(x+1)Û`-9로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (2, 9)를 지나므로
9=a(2+1)Û`-9, 9a=18 ∴ a=2
∴ y=2(x+1)Û`-9=2xÛ`+4x-7
따라서 a=2, b=4, c=-7이므로
a+b+c=2+4+(-7)=-1
02 답 y=-xÛ`-4x-1
축의 방정식이 x=-2이므로 구하는 이차함수의 식을
y=a(x+2)Û`+q로 놓을 수 있다.
이 그래프가 두 점 (1, -6), (-2, 3)을 지나므로
-6=9a+q, 3=q
위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, q=3
∴ y=-(x+2)Û`+3=-xÛ`-4x-1
03 답 11
y=axÛ`+bx+c에 x=0, y=-2를 대입하면
c=-2
즉, y=axÛ`+bx-2에
Ú x=-1, y=7을 대입하면
7=a-b-2
y`㉠
Û x=1, y=-5를 대입하면
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-6
따라서 a=3, b=-6, c=-2이므로
a-b+c=3-(-6)-(-2)=11
77 392 cmÛ`
-5=a+b-2 y`㉡
04 답 y=-xÛ`+2x+3
그래프가 x축과 두 점 (-1, 0), (3, 0)에서 만나므로 구하는 이차
함수의 식을 y=a(x+1)(x-3)으로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로
3=-3a ∴ a=-1
∴ y=-(x+1)(x-3)=-xÛ`+2x+3
05 답 y=-3xÛ`+6x-5
꼭짓점의 좌표가 (1, -2)이므로 구하는 이차함수의 식을
y=a(x-1)Û`-2로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (0,-5)를 지나므로
-5=a(0-1)Û`-2 ∴ a=-3
∴ y=-3(x-1)Û`-2=-3xÛ`+6x-5
94 정답과 해설
191만렙PM3해설8~10(075~104).indd 94
18. 8. 30. 오전 11:27
꼭짓점의 좌표가 (0, -4)이므로 이차함수의 식을 y=axÛ`-4로 놓
놓을 수 있다.
따라서 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -2)이다.
y`Û
06 답 (0, -2)
꼭짓점의 좌표가 (2, -3)이므로 이차함수의 식을
y=a(x-2)Û`-3으로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (-2, 1)을 지나므로
1=a(-2-2)Û`-3, 16a=4 ∴ a=
;4!;
∴ y=
(x-2)Û`-3
;4!;
이 식에 x=0을 대입하면
y=
_(0-2)Û`-3=-2
;4!;
채점 기준
Ú 이차함수의 식 구하기
Û y축과 만나는 점의 좌표 구하기
07 답 -
:Á9¤:
을 수 있다.
이 그래프가 (3, 0)을 지나므로
0=9a-4 ∴ a=
;9$;
∴ y=
xÛ`-4
;9$;
따라서 a=
, b=0, c=-4이므로
;9$;
ac+b=
_(-4)+0=-
;9$;
:Á9¤:
08 답 -5
꼭짓점의 좌표가 (2, 3)이므로 이차함수의 식을 y=a(x-2)Û`+3으
로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로
1=a(0-2)Û`+3, 4a=-2 ∴ a=-
;2!;
따라서 y=-
(x-2)Û`+3의 그래프가 점 (6, k)를 지나므로
;2!;
k=
-
{
;2!;}
_(6-2)Û`+3=-5
09 답 ①
y=3(x+2)Û`+4의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-2, 4)이므로 구
하는 이차함수의 식을 y=a(x+2)Û`+4로 놓을 수 있다.
위의 두 식을 연립하여 풀면 a=1, q=-5
따라서 y=(x-2)Û`-5의 꼭짓점의 좌표는 (2, -5)이므로 꼭짓점
의 y좌표는 -5이다.
11 답 ③
축의 방정식이 x=3이므로 이차함수의 식을
y=-2(x-3)Û`+q로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (1, -5)를 지나므로
-5=(-2)_(1-3)Û`+q, -5=-8+q
∴ q=3
∴ y=-2(x-3)Û`+3=-2xÛ`+12x-15
따라서 a=12, b=-15이므로
a-b=12-(-15)=27
y`Ú
60%
40%
12 답 4
축의 방정식이 x=2이므로 이차함수의 식을 y=a(x-2)Û`+q로
이 그래프가 두 점 (0, -1), (1, 2)를 지나므로
-1=4a+q, 2=a+q
위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, q=3
∴ y=-(x-2)Û`+3=-xÛ`+4x-1
따라서 a=-1, b=4, c=-1이므로
a+b-c=-1+4-(-1)=4
13 답 ③
평행이동하면 y=2xÛ`의 그래프와 완전히 포개어지고, 축의 방정식이
x=1이므로 이차함수의 식을 y=2(x-1)Û`+q로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (0, -1)을 지나므로
-1=2+q ∴ q=-3
따라서 y=2(x-1)Û`-3이므로 꼭짓점의 좌표는 (1, -3)이다.
14 답 y=4xÛ`+8x+3
㈏, ㈐에서 a=4이고, 축의 방정식은 x=-1이므로 구하는 이차함
수의 식을 y=4(x+1)Û`+q로 놓을 수 있다.
㈎에서 이 그래프가 점 (1, 15)를 지나므로
15=4_(1+1)Û`+q, 15=16+q ∴ q=-1
∴ y=4(x+1)Û`-1=4xÛ`+8x+3
y=
xÛ`-x-4의 그래프와 y축의 교점의 좌표는 (0, -4)
;2!;
즉, y=a(x+2)Û`+4의 그래프가 점 (0, -4)를 지나므로
15 답 10
y=axÛ`+bx+c에 x=0, y=1을 대입하면 c=1
-4=a(0+2)Û`+4, 4a=-8 ∴ a=-2
∴ y=-2(x+2)Û`+4=-2xÛ`-8x-4
10 답 -5
축의 방정식이 x=2이므로 이차함수의 식을 y=a(x-2)Û`+q로 놓을
수 있다.
이 그래프가 두 점 (1, -4), (-1, 4)를 지나므로
-4=a+q, 4=9a+q
즉, y=axÛ`+bx+1에
Ú x=-2, y=3을 대입하면
3=4a-2b+1 y`㉠
Û x=1, y=-6을 대입하면
-6=a+b+1 y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=-5
따라서 a=-2, b=-5, c=1이므로
abc=(-2)_(-5)_1=10
10. 이차함수의 활용 95
191만렙PM3해설8~10(075~104).indd 95
18. 8. 30. 오전 11:27
16 답 ②
y=axÛ`+bx+c에 x=0, y=-5를 대입하면 c=-5
21 답 ⑤
y=5xÛ`의 그래프를 평행이동하면 완전히 포개어지고, x축과 두 점
따라서 y=3xÛ`-2x+1의 그래프가 점 (1, c)를 지나므로
∴ y=-2(xÛ`+2x-3)=-2xÛ`-4x+6
즉, y=axÛ`+bx-5에
Ú x=2, y=3을 대입하면
3=4a+2b-5 y`㉠
Û x=6, y=1을 대입하면
1=36a+6b-5 y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-
, b=
;4#;
:Á2Á:
∴ 4a-2b-c=4_
-
-2_
-(-5)=-9
{
;4#;}
:Á2Á:
17 답 6
y=axÛ`-2x+b에 x=0, y=1을 대입하면 b=1
즉, y=axÛ`-2x+1에 x=-1, y=6을 대입하면
6=a+2+1 ∴ a=3
c=3-2+1=2
∴ a+b+c=3+1+2=6
18 답 ⑤
y=axÛ`+bx+c에 x=0, y=8을 대입하면 c=8
즉, y=axÛ`+bx+8에
Ú x=-3, y=5를 대입하면
5=9a-3b+8
y`㉠
Û x=4, y=-16을 대입하면
-16=16a+4b+8 y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=-2
따라서 y=bxÛ`+cx+a=-2xÛ`+8x-1=-2(x-2)Û`+7이므로
꼭짓점의 좌표는 (2, 7)이다.
19 답 2
이차함수의 식을 y=axÛ`+bx+c로 놓고 x=0, y=-3을 대입하면
c=-3
즉, y=axÛ`+bx-3에
Ú x=-4, y=-3을 대입하면
-3=16a-4b-3 y`㉠
Û x=1, y=-8을 대입하면
-8=a+b-3
y`㉡
(2, 0), (-4, 0)에서 만나므로 이차함수의 식은
y=5(x-2)(x+4)
따라서 y=5(x-2)(x+4)=5xÛ`+10x-40=5(x+1)Û`-45이므
로 꼭짓점의 좌표는 (-1, -45)이다.
22 답 ①
그래프가 x축과 두 점 (1, 0), (-3, 0)에서 만나므로 구하는 이차
함수의 식을 y=a(x-1)(x+3)으로 놓을 수 있다.
y =a(x-1)(x+3)=a(xÛ`+2x-3)
=a(x+1)Û`-4a
이때 꼭짓점의 y좌표가 8이므로
-4a=8 ∴ a=-2
축의 방정식이 x=
=-1이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는
1+(-3)
2
다른 풀이
(-1, 8)
즉, 구하는 이차함수의 식을 y=a(x+1)Û`+8로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (1, 0)을 지나므로
0=a(1+1)Û`+8, 4a=-8 ∴ a=-2
∴ y=-2(x+1)Û`+8=-2xÛ`-4x+6
참고 x축과 만나는 두 점의 좌표가 (m, 0), (n, 0)인 이차함수의 그래프
는 축에 대칭하므로 축의 방정식은 x=
m+n
2
이다.
23 답 1
그래프가 x축과 두 점 (2, 0), (4, 0)에서 만나므로 이차함수의 식
을 y=a(x-2)(x-4)로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (1, -3)을 지나므로
-3=3a ∴ a=-1
∴ y=-(x-2)(x-4)=-xÛ`+6x-8
이 그래프가 점 (k, -kÛ`-2)를 지나므로
-kÛ`-2=-kÛ`+6k-8, 6k=6
∴ k=1
채점 기준
Ú 이차함수의 식을 y=a(x-m)(x-n)의 꼴로 놓기
y`Ú
y`Û
y`Ü
y`Ý
20%
30%
20%
30%
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=-4
따라서 y=-xÛ`-4x-3=-(x+3)(x+1)이므로 이 그래프가
x축과 만나는 두 점은 (-3, 0), (-1, 0)이다.
∴ ABÓ=-1-(-3)=2
Û a의 값 구하기
Ü 이차함수의 식 구하기
Ý k의 값 구하기
20 답 y=-xÛ`+6x-5
그래프가 x축과 두 점 (1, 0), (5, 0)에서 만나므로 구하는 이차함
24 답 ③
y=xÛ`+ax+b의 그래프가 x축과 두 점 (-5, 0), (5, 0)에서 만나
수의 식을 y=a(x-1)(x-5)로 놓을 수 있다.
므로
이 그래프가 점 (4, 3)을 지나므로
3=-3a ∴ a=-1
∴ y =-(x-1)(x-5)=-xÛ`+6x-5
96 정답과 해설
y=(x+5)(x-5)=xÛ`-25
따라서 a=0, b=-25이므로
a-b=0-(-25)=25
191만렙PM3해설8~10(075~104).indd 96
18. 8. 30. 오전 11:27
02
이차함수의 최댓값과 최솟값
핵심 유형 & 핵심 유형 완성하기
181~185쪽
⑤ y=-3xÛ`+12x-6=-3(x-2)Û`+6
즉, x=2일 때 최댓값은 6이다.
따라서 최댓값이 가장 큰 것은 ④이다.
25 답 ②
y=
xÛ`-2x+3=
(x-2)Û`+1
;2!;
;2!;
따라서 x=2일 때, 최솟값은 1이다.
26 답 ①
y=-3xÛ`+12x+c=-3(x-2)Û`+c+12
이 함수의 최댓값이 8이므로
c+12=8 ∴ c=-4
27 답 ③
y=2xÛ`-ax+3은 x=2일 때, 최솟값이 b이므로
y=2(x-2)Û`+b=2xÛ`-8x+b+8
즉, -a=-8, 3=b+8이므로 a=8, b=-5
∴ a+b=8+(-5)=3
28 답 y=-
xÛ`-
x-
;3!;
;3$;
;3!;
x=-2일 때, 최댓값이 1이므로 구하는 이차함수의 식을
y=a(x+2)Û`+1로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (1, -2)를 지나므로
-2=a(1+2)Û`+1, 9a=-3 ∴ a=-
;3!;
∴ y=-
(x+2)Û`+1=-
xÛ`-
x-
;3!;
;3$;
;3!;
;3!;
29 답 ②
y =xÛ`-4px+4p-2=(x-2p)Û`-4pÛ`+4p-2
∴ m=-4pÛ`+4p-2=-4
p-
Û`-1
{
;2!;}
따라서 m은 p=
일 때, 최댓값이 -1이다.
;2!;
30 답 ④
y=-2xÛ`+4x-1=-2(x-1)Û`+1
따라서 x=1일 때, 최댓값은 1이므로 a=1
y=3xÛ`+2x+1=3
x+
Û`+
{
;3!;}
;3@;
따라서 x=-
일 때, 최솟값은
이므로 b=
;3@;
;3@;
;3!;
∴ a-b=1-
=
;3@;
;3!;
31 답 ④
① x=0일 때, 최댓값은 -6이다.
② x=-1일 때, 최댓값은 0이다.
③ x=6일 때, 최댓값은 1이다.
④ y=-xÛ`+x+6=-
x-
Û`+
{
;2!;}
:ª4°:
즉, x=
일 때 최댓값은
이다.
:ª4°:
;2!;
32 답 ③
y=xÛ`-3의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 3만
큼 평행이동한 그래프의 식은
y=(x-2)Û`-3+3=(x-2)Û`
따라서 x=2일 때, 최솟값은 0이다.
33 답 ⑤
y=xÛ`+ax+b의 그래프가 두 점 (0, -3), (1, 0)을 지나므로
-3=b, 0=1+a+b ∴ a=2, b=-3
따라서 y=xÛ`+2x-3=(x+1)Û`-4이므로
x=-1일 때, 최솟값은 -4이다.
34 답 ⑴ 3 ⑵ 최댓값:
, x=
;2#;
:¤4Á:
⑴ y=-xÛ`+kx+13의 그래프가 점 (k+1, kÛ`)을 지나므로
kÛ`=-(k+1)Û`+k(k+1)+13
kÛ`=-kÛ`-2k-1+kÛ`+k+13
kÛ`+k-12=0, (k+4)(k-3)=0
∴ k=-4 또는 k=3
이때 k>0이므로 k=3
⑵ y=-xÛ`+3x+13=-
x-
Û`+
{
;2#;}
:¤4Á:
따라서 x=
일 때, 최댓값은
이다.
;2#;
:¤4Á:
35 답 -16
y=3xÛ`+6x+4k-5=3(x+1)Û`+4k-8
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-1, 4k-8)이다.
y`Ú
2x-y=14에 x=-1, y=4k-8을 대입하면
2_(-1)-(4k-8)=14
4k=-8 ∴ k=-2
따라서 y=3(x+1)Û`-16이므로
x=-1일 때, 최솟값은 -16이다.
채점 기준
Ú 꼭짓점의 좌표 구하기
Û k의 값 구하기
Ü 이차함수의 최솟값 구하기
36 답 4
y=xÛ`-2ax=(x-a)Û`-aÛ`
이 함수의 최솟값이 -aÛ`이므로
-aÛ`=-16, aÛ`=16 ∴ a=Ñ4
이때 a>0이므로 a=4
y`Û
y`Ü
30%
40%
30%
10. 이차함수의 활용 97
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18. 8. 30. 오전 11:27
37 답 -3
y=-
xÛ`+3x-a-
=-
(x-3)Û`-a+4
;2!;
;2!;
;2!;
이므로 이 함수의 최댓값은 -a+4이다.
y=xÛ`-8x+23=(x-4)Û`+7
이므로 이 함수의 최솟값은 7이다.
따라서 -a+4=7이므로 a=-3
채점 기준
Ú y=-;2!;xÛ`+3x-a-;2!;
Û y=xÛ`-8x+23의 최솟값 구하기
의 최댓값 구하기
Ü a의 값 구하기
42 답 ④
y=axÛ`+bx+c가 x=-1일 때, 최솟값이 -2이므로
y=a(x+1)Û`-2=axÛ`+2ax+a-2
이 이차함수는 최솟값을 가지므로 a>0
이 함수의 그래프가 제4사분면을 지나지 않으려면 y축과의 교점의
y좌표가 0보다 크거나 같아야 하므로
a-2¾0 ∴ a¾2
따라서 구하는 a의 값의 범위는 a¾2이다.
이차함수 y=a(x-p)Û`+q에서 q의 값이 최댓값이면 a<0, q의
값이 최솟값이면 a>0임을 이용한다.
y`Ú
y`Û
y`Ü
40%
40%
20%
38 답 -4
y=-xÛ`+4ax-a=-(x-2a)Û`+4aÛ`-a
이 함수의 최댓값이 a+6이므로
4aÛ`-a=a+6, 4aÛ`-2a-6=0
2aÛ`-a-3=0, (a+1)(2a-3)=0
∴ a=-1 또는 a=
;2#;
이때 a<0이므로 a=-1
k=-1-4+1=-4
즉, y=-xÛ`-4x+1의 그래프가 점 (1, k)를 지나므로
39 답 9
y=2xÛ`-6x+a=2
x-
{
;2#;}
Û`+a-
;2(;
이 함수의 최솟값이 4 이상이므로
a-
¾4 ∴ a¾
(=8.5)
:Á2¦:
;2(;
따라서 정수 a의 최솟값은 9이다.
40 답 ③
y=-4
x-
{
;2!;}
Û`+k=-4xÛ`+4x+k-1
즉, 2(3-a)=4,-3=k-1이므로
a=1, k=-2
∴ a-k=1-(-2)=3
41 답 -10
y=xÛ`+2x+m=(x+1)Û`+m-1의 그래프를 x축의 방향으로 n
만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 식은
y =(x-n+1)Û`+m-1+3
=(x-n+1)Û`+m+2
이 함수가 x=-3일 때, 최솟값이 7이므로
n-1=-3, m+2=7
∴ n=-2, m=5
∴ mn=5_(-2)=-10
98 정답과 해설
43 답 y=xÛ`-8x+14
x=4일 때, 최솟값이 -2이므로 구하는 이차함수의 식을
y=a(x-4)Û`-2로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (2, 2)를 지나므로
2=a(2-4)Û`-2, 4a=4 ∴ a=1
∴ y=(x-4)Û`-2=xÛ`-8x+14
44 답 5
x=1일 때, 최솟값이 q이므로 f(x)=a(x-1)Û`+q로 놓을 수 있다.
f(-1)=13이므로 4a+q=13 y`㉠
f(2)=7이므로 a+q=7
y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, q=5
∴ f(x)=2(x-1)Û`+5=2xÛ`-4x+7
따라서 a=2, b=-4, c=7이므로
a+b+c=2+(-4)+7=5
45 답 ④
그래프가 x축과 두 점 (-3, 0), (5, 0)에서 만나므로 이차함수의
식을 y=a(x+3)(x-5)로 놓을 수 있다.
y =a(x+3)(x-5)=a(xÛ`-2x-15)=a(x-1)Û`-16a
-16a=-16 ∴ a=1
∴ y=xÛ`-2x-15
다른 풀이
축의 방정식이 x=
=1이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는
-3+5
2
(1, -16)
즉, 이차함수의 식을 y=a(x-1)Û`-16으로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (-3, 0)을 지나므로
0=a(-3-1)Û`-16, 16a=16 ∴ a=1
∴ y=(x-1)Û`-16=xÛ`-2x-15
46 답 y=3xÛ`+6x+5
㈎에서 a=3
c=5
㈐에서 y=3xÛ`+bx+c의 그래프가 점 (0, 5)를 지나므로
y=-4xÛ`+2(3-a)x-3은 x=
일 때, 최댓값이 k이므로
;2!;
이 함수의 최솟값이 -16이므로
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㈐에서 그래프의 꼭짓점이 제2사분면 위에 있고 꼭짓점의 좌표가
y =x(30-x)=-xÛ`+30x
∴ y=3xÛ`+bx+5=3
x+
Û`-
bÛ`
12
;6B;}
+5
{
㈏에서 함수의 최솟값이 2이므로
-
+5=2, bÛ`=36 ∴ b=Ñ6
bÛ`
12
-
{
;6B;
, -
+5
이므로
}
bÛ`
12
-
;6B;
<0, -
+5>0에서
bÛ`
12
b>0, bÛ`<60 ∴ b=6
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=3xÛ`+6x+5이다.
47 답 ②
y=-2xÛ`+2ax+a=-2
x-
Û`+
aÛ`
2
;2A;}
+a
{
∴ M=
+a=
(a+1)Û`-
;2!;
;2!;
aÛ`
2
따라서 M은 a=-1일 때, 최솟값이 -
이다.
;2!;
48 답 ①
y =-xÛ`-4tx+4t=-(x+2t)Û`+4tÛ`+4t
∴ f(t)=4tÛ`+4t=4
t+
Û`-1
{
;2!;}
따라서 f(t)는 t=-
일 때, 최솟값이 -1이므로
;2!;
p=-
, q=-1
;2!;
∴ p+q=-
+(-1)=-
;2!;
;2#;
49 답 ⑤
y =-2xÛ`-4ax+b=-2(x+a)Û`+2aÛ`+b
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-a, 2aÛ`+b)이므로
y=-3x+5에 x=-a, y=2aÛ`+b를 대입하면
2aÛ`+b=-3_(-a)+5
∴ b=-2aÛ`+3a+5=-2
a-
Û`+
{
;4#;}
:¢8»:
따라서 b는 a=
일 때, 최댓값이
이다.
;4#;
:¢8»:
51 답 225 cmÛ`
직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는
(30-x) cm이다.
직사각형의 넓이를 y cmÛ`라 하면
=-(x-15)Û`+225 (단, 00이므로 k=3
따라서 y=-xÛ`+3x+7=-
x-
Û`+
이므로
{
;2#;}
:£4¦:
x=
일 때, 최댓값은
이다.
:£4¦:
;2#;
92 답 ④
y=
xÛ`-2x+k-3=
(x-2)Û`+k-5
;2!;
;2!;
따라서 이 함수의 최솟값은 k-5이고, y의 값의 범위가 y¾5이므로
k-5=5 ∴ k=10
93 답 -3
y=-xÛ`+2kx+k=-(x-k)Û`+kÛ`+k
이 함수의 최댓값이 6이므로
kÛ`+k=6, kÛ`+k-6=0
(k+3)(k-2)=0 ∴ k=-3 또는 k=2
이때 꼭짓점의 좌표 (k, kÛ`+k)가 제2사분면 위에 있으려면
k<0, kÛ`+k>0이어야 하므로 k=-3
y`Û
y`Ü
y`Ý
20%
30%
20%
30%
87 답 (2, 3)
f(x)=axÛ`+bx+c로 놓으면 f(0)=5이므로 c=5
y`Ú
따라서 이차함수 y=f(x)의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (2, 3)이다.
y=(x+2)Û`+q로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (0, -2)를 지나므로
-2=(0+2)Û`+q ∴ q=-6
∴ y=(x+2)Û`-6=xÛ`+4x-2
따라서 a=4, b=-2이므로
a+b=4+(-2)=2
∴ f(x)=axÛ`+bx+5
이때 f(2)=3, f(4)=5이므로
4a+2b+5=3
16a+4b+5=5
y`㉠
y`㉡
;2!;
;2!;
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=
, b=-2
∴ f(x) =
xÛ`-2x+5=
(x-2)Û`+3
;2!;
채점 기준
Ú c의 값 구하기
Û a, b의 값 구하기
Ü 이차함수의 식 구하기
Ý 꼭짓점의 좌표 구하기
식을 y=a(x+4)(x-2)로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (0, -4)를 지나므로
-4=-8a ∴ a=
;2!;
∴ y=
(x+4)(x-2)=
xÛ`+x-4
;2!;
;2!;
따라서 a=
, b=1, c=-4이므로
;2!;
abc=
_1_(-4)=-2
;2!;
90 답 ⑤
y=
xÛ`-x+2=
(x-1)Û`+
;2!;
;2#;
;2!;
88 답 ⑤
y=2xÛ`의 그래프와 모양이 같고, x축과 두 점 (-3, 0), (1, 0)에서
94 답 ①
만나므로 구하는 이차함수의 식은
y=2(x+3)(x-1)=2xÛ`+4x-6
y=-
xÛ`-4ax+a+b는 x=-4일 때, 최댓값이 5이므로
;2!;
;2!;
y=-
(x+4)Û`+5=-
xÛ`-4x-3
;2!;
즉, -4a=-4, a+b=-3이므로
89 답 ②
그래프가 x축과 두 점 (-4, 0), (2, 0)에서 만나므로 이차함수의
a=1, b=-4
∴ ab=1_(-4)=-4
y=
xÛ`의 그래프와 폭이 같고, x=3일 때 최솟값이 -2인 이차함수
95 답 ⑤
;2!;
의 식은 y=
(x-3)Û`-2
;2!;
① x=-3을 대입하면 y=
_(-3-3)Û`-2=16
② x=-1을 대입하면 y=
_(-1-3)Û`-2=6
③ x=0을 대입하면 y=
_(0-3)Û`-2=
;2%;
④ x=1을 대입하면 y=
_(1-3)Û`-2=0
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
10. 이차함수의 활용 103
따라서 x=1일 때, 최솟값이
이므로 a=1, b=
;2#;
;2#;
⑤ x=2를 대입하면 y=
_(2-3)Û`-2=-
+
;2#;
-;2%;
∴ a+b=1+;2#;=;2%;
따라서 y=
(x-3)Û`-2의 그래프가 지나는 점이 아닌 것은 ⑤이다.
;2!;
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18. 8. 30. 오전 11:27
96 답 ②
y =xÛ`-2mx-8m-19
=(x-m)Û`-mÛ`-8m-19
102 답 110 m
y=-5xÛ`+40x+30=-5(x-4)Û`+110
따라서 x=4일 때, 최댓값이 110이므로 로켓이 가장 높이 올라갔을
∴ f(m)=-mÛ`-8m-19=-(m+4)Û`-3
때의 높이는 110 m이다.
따라서 f(m)은 m=-4일 때, 최댓값이 -3이다.
따라서 x=100일 때, 총 판매 금액이 최대가 되므로 그때의 떡 한 개
103 답 1100원
총 판매 금액을 y원이라 하면
y=(1000+x)
600-
{
x
}
;2!;
=-
xÛ`+100x+600000
=-
(x-100)Û`+605000
;2!;
;2!;
당 가격은
1000+100=1100(원)
104 답 P(2, 4)
점 P의 x좌표를 a라 하면 P(a, -2a+8)
OQPR의 넓이를 y라 하면
y =a(-2a+8)=-2aÛ`+8a
=-2(a-2)Û`+8 (단, 0
