(01~17)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:34 AM 페이지1 MAC3
2
2
(주어진 식)=æ≠{- }2 -"√1.2¤ ÷{-Æ…
3
6
25
}2 +"√(2‹ )¤ _("√0.5¤ )¤
소수이므로 무리수
I
실수와 그 연산
1 제곱근과 실수
STEP 1
7 ㄴ, ㅁ, ㅂ
11 ②, ⑤
13 ㄷ, ㄹ
16 2-'2
1 8
2 -
;3&;
3 -a+2b
4 6
9 ③
8 ㄴ, ㅁ
12 P(1-'5), Q(1+'5)
15 b0
이다.
이때 2a<0, -3b<0이고 a-b<0이므로
"ç4a¤ +"√(-3b)¤ -"√(a-b)¤ ="√(2a)¤ +"√(-3b)¤ -"√(a-b)¤
=-2a+{-(-3b)}-{-(a-b)}
=-2a+3b+a-b
=-a+2b
4
600
n
Æ…
=æ≠
2‹ _3_5¤
n
이 자연수가 되도록 하는 자연수 n의 값은
2_3, 2‹ _3, 2_3_5¤ , 2‹ _3_5¤ 이다.
'ƒ24n="√2‹ _3_n이 자연수가 되려면
n=2_3_k¤ (k는 자연수)의 꼴이어야 한다.
따라서 ㉠, ㉡에서 구하는 가장 작은 자연수 n의 값은
2_3=6
y`㉠
y`㉡
7
35
7
3
=2.333y<3(='9)<'1å0이므로
-'1å0<0, '1å0-3>0
7
∴ (주어진 식)=-{ -'1å0}-('1å0-3)
3
=- +'1å0-'1å0+3=
7
3
2
3
6
5<Æ <6에서 각 변을 제곱하면
a
2
a
5¤ <{Æ }2 <6¤ , 25< <36 ∴ 50n)이 정수일 때,
⑴ n0
∴ 2-'6>-1
② (4-'1å7)-(4-'1å5)=-'1å7+'1å5<0
∴ 4-'1å7<4-'1å5
③ ('7-2)-('1å1-2)='7-'1å1<0
④ ('1å0-'5)-(3-'5)='1å0-3='1å0-'9>0
∴ '7-2<'1å1-2
∴ '1å0-'5>3-'5
⑤ ('1å0-3)-('1å0-'1å3)=-3+'1å3=-'9+'1å3>0
∴ '1å0-3>'1å0-'1å3
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
④ '1å0>3이므로 양변에서 '5를 빼면
'1å0-'5>3-'5
⑤ 3<'1å3에서 -3>-'1å3이므로 양변에 '1å0을 더하면
'1å0-3>'1å0-'1å3
15
y`㉠
a-c=(8-'6)-(8-'5)=-'6+'5<0
∴ a0
∴ a>b
따라서 ㉠, ㉡에서 b0, x>0)
따라서 원 O'의 반지름의 길이는 원 O의 반지름의 길이의 2배
4
5
이다.
xy<0이므로 x, y의 부호는 서로 다르고
x+y<0, |x|>|y|이므로 x<0, y>0
∴ (주어진 식)="√(3x)¤ -"√(2y)¤ +"√(-y)¤ -|5x|
=-3x-2y+{-(-y)}-(-5x)
=-3x-2y+y+5x
=2x-y
6
㈎ b0, b-a<0
㈏ c(b-a)<0에서 b-a<0이므로 c>0
이때 ㈎에서 c0
㈐ ac+b=0에서 b=-ac<0 (∵ a>0, c>0)
∴ (주어진 식)="√(c-b)¤ -"√(2b)¤ -"√(-a)¤ +"√(b-a)¤
=c-b-(-2b)-{-(-a)}+{-(b-a)}
=c-b+2b-a-b+a=c
7
-10이므로
1
x
1
x
1
(주어진 식)="√(2x)¤ -æ≠{x+ }2 +æ≠{x- }2
x
1
x
1
=-2x-[-{x+ }]+{x- }
x
1
x
1
=-2x+x+ +x- =0
x
1
x
8
1_2_3_y_8_9_10
=1_2_3_2¤ _5_(2_3)_7_2‹ _3¤ _(2_5)
=2° _3› _5¤ _7=(2› _3¤ _5)¤ _7
따라서 æ≠
(2› _3¤ _5)¤ _7
n
자연수 n의 값은 7이다.
이 자연수가 되도록 하는 가장 작은
9
y`㉠
a : b=4 : 5이므로 a=4n, b=5n (n은 자연수)이라 하면
10…a<100이므로 10…4n<100
∴ 2.5…n<25
100…b<1000이므로 100…5n<1000
∴ 20…n<200
㉠, ㉡에서 20…n<25
따라서 'ƒ2b-a='ƒ10n-4n='ƒ6n='ƒ2_3_n이 자연수가 되
려면 n=2_3_k¤ (k는 자연수)의 꼴이어야 하고,
20…n<25이므로 n=2_3_2¤ =24
∴ a=4n=4_24=96, b=5n=5_24=120
y`㉡
10
'ƒ200+a-'ƒ150-b의 값이 최소의 정수가 되려면 'ƒ200+a는
가장 작은 정수이고, 'ƒ150-b는 가장 큰 정수이어야 한다.
이때 a는 자연수이므로 'ƒ200+a 가 가장 작은 정수가 되려면
200+a의 값이 200보다 큰 제곱인 수 중에서 가장 작은 수이어야
한다.
즉, 200+a=225 ∴ a=25
또 b는 자연수이므로 'ƒ150-b가 가장 큰 정수가 되려면 150-b
의 값이 150보다 작은 제곱인 수 중에서 가장 큰 수이어야 한다.
즉, 150-b=144 ∴ b=6
∴ a-b=25-6=19
11
p는 소수이므로 'ßpa가 양의 정수가 되려면
a=p_k¤ (k는 자연수) 꼴이어야 한다.
⁄ p=2일 때, 0<2k¤ <200에서 00, b-1>0, a-b<0이므로
b
b-1
-
a
a-1
=
b(a-1)-a(b-1)
(b-1)(a-1)
01
a, b, c의 부호에 따라 식의 값을 구해 본다.
세 실수 a, b, c의 부호를 각각 따져 보면
⁄ a, b, c가 모두 음수일 때,
(주어진 식)=(-1)+(-1)+(-1)+1+1+1+(-1)
¤ a, b, c 중 2개가 음수, 1개가 양수일 때,
c만 양수라 하면
(주어진 식)=(-1)+(-1)+1+1+(-1)+(-1)+1
‹ a, b, c 중 1개가 음수, 2개가 양수일 때,
a만 음수라 하면
(주어진 식)=(-1)+1+1+(-1)+1+(-1)+(-1)
=-1
=-1
=-1
› a, b, c 모두 양수일 때,
(주어진 식)=1+1+1+1+1+1+1=7
따라서 주어진 식의 값이 될 수 있는 수는 -1, 7이다.
02
근호 안의 수의 규칙을 찾는다.
'ƒ1+3='4="≈2¤ =2
‚‘º
2개
'ƒ1+3+5='9="≈3¤ =3
‚}º
'ƒ1+3+5+7='1å6="≈4¤ =4
)}0
'ƒ1+3+5+7+9='2å5="≈5¤ =5
)|}|0
3개
4개
5개
⋮
'ƒ1+3+5+7+9+yƒ+51+53='∂729="≈27¤ =27
)||}||0
27개
x는 3보다 큰 자연수이므로
'ƒx+218>0, 'ƒx-3>0
'ƒx+218+'ƒx-3의 값이 자연수가 되려면 'ƒx+218, 'ƒx-3이
모두 자연수이어야 한다.
'ƒx+218=A, 'ƒx-3=B라 하면
x+218=A¤ , x-3=B¤ 이므로
A¤ -B¤ =(A+B)(A-B)=221
이때 221=221_1=17_13이므로
A+B=221, A-B=1 또는 A+B=17, A-B=13
즉, (A, B)는 (111, 110) 또는 (15, 2)
따라서 'ƒx+218=111 또는 'ƒx+218=15에서
x=12103 또는 x=7
04
"≈A¤ =|A|=
g
A (Aæ0)
-A (A<0)
임을 이용하여 주어진 식을 간
단히 한다.
6 정답과 해설
=
a-b
(b-1)(a-1)
<0
또
1
1-a
1
a-1
=-
<0,
>0이므로
1
b-1
(주어진 식)=-{
b
b-1
-
a
a-1
}-{-
1
1-a
}+
1
b-1
=
a
a-1
-
b
b-1
+
1
1-a
+
1
b-1
={
a
a-1
-
1
a-1
}-{
b
b-1
-
1
b-1
}
=
a-1
a-1
-
b-1
b-1
=1-1=0
05
Æ 를 주어진 조건에 따라 부등식으로 나타내고, x-y의 부
Æ 를 소수로 나타내었을 때, 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림
y
x
호를 알아본다.
y
x
한 값이 5이므로
4.5…Æ <5.5, …Æ <
y
x
11
2
y
x
9
2
각 변을 제곱하면
9
2
y
}2 …{Æ }2 <{
x
11
2
}2
{
∴ … <
y
x
121
4
81
4
y`㉠
이때 >1이므로 y>x에서 x-y<0
y
x
"√(x-y)¤ =70에서
-(x-y)=70, -x+y=70
∴ y=x+70
y=x+70을 ㉠에 대입하면
4
117
< … , 에서 'ƒn+1>'ßn+
1
9
1
9
1
양변을 제곱하면 ('ƒn+1 )¤ >{'ßn+ }2
9
n+1>n+ _'ßn+ (∵ n+1>0)
2
9
1
81
2
9
80
_'ßn< , 'ßn<
81
40
9
06
을 간단히 한다.
주어진 부등식의 양변을 제곱한 다음 곱셈 공식을 이용하여 식
03
근호를 사용하여 나타낸 두 식을 각각 한 문자로 놓고, 주어진
조건을 이용하여 x의 값을 구한다.
81
4
…
x+70
x
< , …1+ <
121
4
81
4
70
x
121
4
(01~17)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:34 AM 페이지7 MAC3
양변을 제곱하면 n<
=19.7y
1600
81
따라서 주어진 식을 만족하는 자연수 n은 1, 2, 3, y, 19의 19
개이다.
③ -"√a› b¤ =-"√a› _"√b¤ =-"√(a¤ )¤ _"√b¤ =-a¤ _b=-a¤ b
'b
a
b
④ æ≠ =
a¤
'b
-a
=-
=
'b
"√a¤
07
'ß7a+'b=11을 만족하는 a, b의 값을 먼저 찾는다.
'ß7a+'b=11에서 'ß7a와 'b는 모두 자연수이어야 하므로 7a와
b는 모두 제곱인 수이고, 7a는 11¤ =121보다 작은 제곱인 수이어
야 하므로 a=7
'ƒ7_7+'b=11에서 'b=11-7=4 ∴ b=16
따라서 a=7, b=16이므로
"√2a¤ -b="√2_7¤ -16='8å2
이때 '8å1<'8å2<'ƒ100, 9<'8å2<10이므로
x=9, y='8å2-9
∴ y-x=('8å2-9)-9='8å2-18
08
n이 자연수일 때, "≈n¤ <"√n¤ +1<"√(n+1)¤ 임을 이용한다.
2015¤ <2015¤ +1<(2015+1)¤ 에서
2015<"√2015¤ +1<2016
즉, "√2015¤ +1의 정수 부분은 2015이므로
A™º¡∞="√2015¤ +1-2015
∴ (A™º¡∞+2015)¤ =("√2015¤ +1-2015+2015)¤
=("√2015¤ +1 )¤ =2015¤ +1
따라서 2015¤ 의 일의 자리의 숫자는 5이므로
2015¤ +1의 일의 자리의 숫자는 6이다.
4
5
6
7
a¤
⑤ -æ≠ =-
b¤
=-
-a
b
=
a
b
"√a¤
"√b¤
따라서 옳은 것은 ④이다.
80
10000
=
'8å0
"√100¤
=
"√4¤ _5
100
=
4'5
100
1
= '5
25
3
'ƒ0.008=Æ…
∴ k=
1
25
'∂108="√2¤ _3‹ ="√2¤ _"√3‹ =('2)¤ _('3)‹ =a¤ b‹
4'2
'1å2
4'6
'1å8
1
6
2
12
=4Æ… =4Æ = =
4
'6
4
=4Æ… =4Æ = = '3이므로 b=
'3
6
18
4'6
6
4
3
1
3
2
3
4
3
= '6이므로 a=
2
3
2
∴ a+b= + =2
3
4
3
(직사각형의 넓이)=5'2_3'5=15'ß10
1
(삼각형의 넓이)= _6'3_x=3'3x
2
이때 두 도형의 넓이가 같으므로
3'3x=15'ß10, x=
15'1å0
3'3
10
=5Æ… =
3
5'3å0
3
'ƒ40200='ƒ4.02_10000
=100'ƒ4.02
=100_2.005=200.5
'ƒ0.00042=Æ…
4.2
10000
=
=
'ƒ4.2
100
2.049
100
=0.02049
2.236
5
=0.4472
2 근호를 포함한 식의 계산
STEP 1
P. 18~21
6
5'3å0
3
8
'5
= =
5
①
1
'5
② 'ƒ0.05=Æ…
1 3
2 ④
3 ②
5 2
4 ④
9 ④
7 200.5, 0.02049 8 ③
10 ④ 11 2.6122
12
;6%;
13
7'6
12
+2'5
14
5'2å1
3
-3'7
15 -10+'5
16 ③ 17 - , -
;2!;
20 ② 21 30
;2(;
22 10
18 12+'6
23 3'5+4
19 ④
50
100
5
100
=0.2236
2.236
10
③ 'ƒ0.5=Æ…
'5
= =
10
'5å0
10
④ 'ƒ125="√5¤ _5=5'5=5_2.236=11.18
⑤ 'ƒ500="√10¤ _5=10'5=10_2.236=22.36
따라서 그 값을 구할 수 없는 것은 ③이다.
=
1
'2_'5_2'3_'ß2a=12'5에서
2'ƒ2_3_2a_'5=12'5, 'ß12a=6
12a=36 ∴ a=3
2
① -a>0이므로
"√(-a)¤ b="√(-a)¤ _'b=(-a)_'b=-a'b
② "√a¤ b¤ ="√a¤ _"√b¤ =(-a)_b=-ab
9
① 'ƒ7000='ƒ70_100=10'7å0=10_8.367=83.67
② 'ƒ700='ƒ7_100=10'7=10_2.646=26.46
③ '2å8=2'7=2_2.646=5.292
④ 'ƒ0.007=Æ…
70
10000
=
⑤ 'ƒ0.0028=Æ…
28
10000
=
'7å0
100
2'7
100
=
8.367
100
'7
= =
50
=0.08367
2.646
50
=0.05292
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
Ⅰ. 실수와 그 연산 7
(01~17)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:34 AM 페이지8 MAC3
10
'ƒ7.77=2.787이므로 양변에 100을 곱하면
100'ƒ7.77=278.7, "√100¤ _7.77=278.7
따라서 'a="√100¤ _7.77이므로 a=77700이다.
11
'1å8
6
+'∂3.63=
121_3
100
'2
= +
2
11'3
10
+Æ…
3'2
6
5'2+11'3
10
=
=
26.122
10
=2.6122
=
5_1.414+11_1.732
10
12
'8å0
3
-a'5+
'4å5
2
=
4'5
3
-a'5+
3'5
2
={ -a+ }'5
4
3
3
2
이므로 -a+ =2, 17-6a=12 ∴ a=
5
6
3
2
5
'1å0
4
3
1
'3
1
"≈2‹
13
A='2 { -
5
}= - = -'5
'5
'6
3
'6
+3'5= +3'5
4
7'6
12
+2'5
'2
'3
'3
2'2
'6
4
B='3 {
+'1å5}=
∴ A+B= -'5+ +3'5=
'6
3
14
(주어진 식)=
+'7-4'7+
6'7
2'3
2'7
'3
2'2å1
3
5'2å1
3
=
=
-3'7+'2å1
-3'7
15
(정사각형 PQRS의 넓이)=3¤ -4_{ _2_1}=5
1
2
이므로 AR”=QR”='5, BR”=SR”='5
∴ a=-2-'5, b=-2+'5
∴ 2a+3b=2(-2-'5)+3(-2+'5)
=-4-2'5-6+3'5
=-10+'5
16
① (2+'1å1)-6='1å1-4='1å1-'1å6<0
② ('2å4+1)-'5å4=2'6+1-3'6=1-'6<0
∴ 2+'1å1<6
∴ '2å4+1<'5å4
③ (2+'5)-('4å5-1)=2+'5-3'5+1
(2+'5)-('4å5-1)=3-2'5='9-'2å0<0
∴ 2+'5<'4å5-1
④ (5-'6å3)-(3-2'7)=5-3'7-3+2'7
=2-'7='4-'7<0
⑤ ∴ 5-'6å3<3-2'7
'3
⑤ { -1}-{ -1}= -
'2
2
'3
2
'3
4
3
'3
'2
3
2
=Æ -Æ =Æ -Æ <0
8
6
9
6
8 정답과 해설
⑤ ∴
2
'3
'3
-1< -1
'2
따라서 옳은 것은 ③이다.
17
(주어진 식)='6+a-4+2a'6
=(a-4)+(2a+1)'6
y`㉠
이 수가 유리수가 되어야 하므로
2a+1=0 ∴ a=-
;2!;
a=- 을 ㉠의 식에 대입하면
;2!;
{- -4}+(-1+1)'6=-
;2!;
;2(;
개념 더하기 다시 보기
a, b가 유리수이고 '∂m이 무리수일 때,
a+b'∂m이 유리수이면 ˙k
b=0
18
(주어진 식)=(4+4'6+6)-('2+2'3)(2'2-'3)
=4+4'6+6-(4+3'6-6)
=10+4'6-3'6+2
=12+'6
19
x+y=2'1å5, xy=6이므로
x¤ +xy+y¤ =(x+y)¤ -xy
=(2'1å5)¤ -6
=60-6=54
20
x='3+1에서 x-1='3
양변을 제곱하면 (x-1)¤ =('3)¤
x¤ -2x+1=3, x¤ -2x=2
∴ x¤ -2x+5=2+5=7
21
(4'3+2'6-3'2)(4'3-2'6+3'2)
={4'3+(2'6-3'2)}{4'3-(2'6-3'2)}
이때 2'6-3'2=A로 놓으면
(4'3+A)(4'3-A)=(4'3)¤ -A¤
=(4'3)¤ -(2'6-3'2)¤
=48-(24-24'3+18)
=6+24'3
∴ a=6, b=24 ∴ a+b=30
22
x+y=
+
'3-'2
'3+'2
'3+'2
'3-'2
3+2'6+2+3-2'6+2
3-2
=
=
=10
('3+'2)¤ +('3-'2)¤
('3-'2)('3+'2)
23
=
4(3+'5)
4
(3-'5)(3+'5)
3-'5
2<'5<3에서 5<3+'5<6
따라서 a=5, b=(3+'5)-5='5-2이므로
4(3+'5)
9-5
=
=3+'5
(01~17)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:34 AM 페이지9 MAC3
2
'a+ ='5+
b
='5+
2
'5-2
2('5+2)
5-4
='5+
2('5+2)
('5-2)('5+2)
='5+2'5+4=3'5+4
STEP 2
1 6
2 ③
3 4
4 2ab+4a+2b-3 5
6 7.875
7 ①, ⑤ 8 4
12
23
20
11 a=- , b=
17
9
13 38+6'ß70
17 ②, ⑤
21 (21-7'6)cm 22 10, 4>0이므로
10 정답과 해설
('3+'5)¤ -4¤ =(3+2'1å5+5)-16=2'1å5-8
='6å0-'6å4<0
② ∴ '3+'5<4
②
a>0, b>0일 때,
⁄ a¤ -b¤ >0이면 a>b
¤ a¤ -b¤ =0이면 a=b
‹ a¤ -b¤ <0이면 a0
② ∴ -2-5'6>-2-6'5
따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다.
18
(주어진 식)=
=
(주어진 식)
(주어진 식)=
=1
1
111111111111111
1
'2-
1111111111112
1
'2-
1111111111
'2+1
'2-
11111112
('2-1)('2+1)
=-1
=
1
11111111114
'2-1
'2-
11111112
('2+1)('2-1)
1
1111111
'2-
111
'2+1
1
'2-('2-1)
=
=
=
(1+'2)+'3
{(1+'2)-'3 } {(1+'2)+'3 }
1+'2+'3
2'2
2+'2+'6
4
1+'2+'3
(1+'2)¤ -('3)¤
(1+'2+'3)_'2
2'2_'2
=
=
이므로 a=2, b=1, c=1
∴ a+b+c=2+1+1=4
20
(주어진 식)=æ≠{
_≠
}2 _≠
5-2'6
'6+2
(5'2+1)('2-1)
'8+1
10+4'6
5-2'6
9+4'2
9-4'2
2(5+2'6)(5-2'6)
(9+4'2)(9-4'2)
2(25-24)
81-32
'2
7
=æ≠
=æ≠
=æ≠
2
=Æ… =
49
'2
7
1
이때 1<'2<2에서 0< < < < 이므로
7
'2
7
에 가장 가까운 정수 a는 a=0이다.
2
7
1
2
1
7-5'2
}
⁄ =-
1
(7-5'2)⁄
=-
1
A
19
1
1+'2-'3
⁄
⁄
⁄
⁄
≠
(01~17)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:34 AM 페이지11 MAC3
21
두 정삼각형은 서로 닮음이고, 넓이의 비가 2 : 3이므로 두 정삼
각형의 한 변의 길이의 비는 '2 : '3이다.
이때 큰 정삼각형의 한 변의 길이와 작은 정삼각형의 한 변의 길이
25
1<'3<2이므로 a='3-1
2
a
2('3+1)
('3-1)('3+1)
2
'3-1
=
=
='3+1에서
의 합은 21_ =7 (cm)이므로
1
3
(큰 정삼각형의 한 변의 길이)
=7_
=7_
'3
'3+'2
'3('3-'2)
('3+'2)('3-'2)
=7_(3-'6)=21-7'6 (cm)
22
'3x+2æ2x+1에서 ('3-2)xæ-1
'3-2='3-'4<0이므로 양변을 '3-2로 나누면
'3+2
('3-2)('3+2)
-1
'3-2
=2+'3
=-
x…
y`㉠
2(x-1)>'3(x-1)에서 2x-2>'3x-'3
(2-'3)x>2-'3
2-'3='4-'3>0이므로 양변을 2-'3으로 나누면
x>1
따라서 ㉠, ㉡에서 주어진 연립부등식의 해는 10, 1-x>0이므로
1+x
1-x
Æ…
-Æ…
1-x
1+x
=
=2에서 3a-b=2a+2b
=1에 대입하면
3
'a+'ß2b
=1, 3='ß3b+'ß2b, 3=('3+'2)'b
23
3a-b
a+b
∴ a=3b
a=3b를
3
'ß3b+'ß2b
3
'b=
'3+'2
양변을 제곱하면
b=
9
5+2'6
=
9(5-2'6)
(5+2'6)(5-2'6)
=9(5-2'6)=45-18'6
∴ a=3b=3_(45-18'6)=135-54'6
24
주어진 식에서 좌변을 정리하면
(좌변)=
x('3-1)
('3+1)('3-1)
x'3-x
2
+y-2y'3
=
+y-2y'3
={- +y}+{ -2y}'3
x
2
x
2
x
2
즉, {- +y}+{ -2y} '3=3+4'3이므로
x
2
x
2
- +y=3 y`㉠, -2y=4 y`㉡
x
2
따라서 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면
x=-20, y=-7
개념 더하기 다시 보기
a, b, c, d가 유리수이고 '∂m이 무리수일 때,
① a+b'∂m이 유리수이면 ˙k
② a+b'∂m=c+d'∂m이면 ˙k
a=c, b=d
b=0
-
'ƒ1-x
'ƒ1+x
'ƒ1+x
'ƒ1-x
('ƒ1+x)¤ -('ƒ1-x)¤
'ƒ1-x 'ƒ1+x
1+x-(1-x)
"√(1-x )(1+x)
1
12
'2
111112
1
æ≠1-{12}2
'2
2_
=
=
=
=
=
2x
"√1-x¤
'2
Æ…1-;2!;
=
=2
'2
1
:;;:
'2
27
<1, 3>+<2, 6>+<3, 9>+y+<10, 30>
=
=
'1+'3
'1-'3
'1+'3
'1-'3
+
+
+
'2+'6
'2-'6
'2('1+'3)
'2('1-'3)
'3+'9
'3-'9
+y+
'1å0+'3å0
'1å0-'3å0
+
'3('1+'3)
'3('1-'3)
+y+
'1å0('1+'3)
'1å0('1-'3)
=
'1+'3
'1-'3
+
'1+'3
'1-'3
+
'1+'3
'1-'3
+y+
'1+'3
'1-'3
=10_
=10_
('1+'3)¤
('1-'3)('1+'3)
=10_
=10_(-2-'3)
'1+'3
'1-'3
4+2'3
-2
=-20-10'3
28
a=
2
3'2-4
=
2(3'2+4)
(3'2-4)(3'2+4)
=3'2+4에서
4<3'2(='1å8)<5이므로 8<3'2+4<9
∴ f(a)=8, g(a)=(3'2+4)-8=3'2-4
b="√('8-3)¤ =3-'8 (∵ '8-3<0)에서
-3<-'8<-2이므로 0<3-'8<1
∴ f(b)=0, g(b)=3-'8=3-2'2
Ⅰ. 실수와 그 연산 11
1
(01~17)151개뿔중등수학탑3-1답 2014.8.20 5:43 PM 페이지12 MAC6
∴
g(a)-f(b)
g(b)-f(a)
4-3'2
5+2'2
=
=
=
(3'2-4)-0
(3-2'2)-8
(4-3'2)(5-2'2)
(5+2'2)(5-2'2)
=
32-23'2
17
29
=
='5+2
'5+2
('5-2)('5+2)
1
'5-2
2<'5<3에서 4<'5+2<5이므로
'5+2의 정수 부분은 4이고, 소수 부분은
x=('5+2)-4='5-2이다.
즉, x+2='5이므로 양변을 제곱하면
(x+2)¤ =('5)¤ , x¤ +4x+4=5 ∴ x¤ +4x=1
∴ x¤ +4x+3=1+3=4
30
3<'1å1<4이므로
6<3+'1å1<7 ∴ [x]=6
2x=6+2'1å1=6+'4å4이고 6<'4å4<7이므로
12<6+'4å4<13 ∴ [2x]=12
∴ (주어진 식)=
+
(3+'1å1)-12
3+'1å1
3+'1å1
(3+'1å1)-6
'1å1+3
'1å1-9
'1å1-3
'1å1+3
('1å1+3)¤ +('1å1-9)('1å1-3)
('1å1-3)('1å1+3)
+
=
=
=
(20+6'1å1)+(38-12'1å1)
2
=
58-6'1å1
2
=29-3'1å1
31
x¤ -'6x+1=0에서 x+0이므로 양변을 x로 나누면
x-'6+ =0 ∴ x+ ='6
1
x
1
x
1
이때 x¤ + ={x+ }2 -2=('6)¤ -2=4,
x
1
x¤
1
x› + ={x¤ + }2 -2=4¤ -2=14
x¤
1
x›
1
1
∴ (주어진 식)={x› + }+{x¤ + }+{x+ }
x
x›
1
x¤
=14+4+'6=18+'6
_
(좌변)=
2
3-2'2
이고, ac=bd=1이므로
4=1-3(ad-bc)-9, 3(ad-bc)=-12
4
(3-2'2)(3+2'2)
2
3+2'2
=
=4
∴ ad-bc=-4
33
ab=(-4-'1å7)(4-'1å7)
=('1å7+4)('1å7-4)=17-16=1
« =A, b‹
이때 a‹
(주어진 식)=(A+B)¤ -(A-B)¤
« =B라 하면
=A¤ +2AB+B¤ -(A¤ -2AB+B¤ )
=4AB=4a‹
« b‹
« =4(ab)‹
« =4_1=4
12 정답과 해설
34
``f(n)=
(-1)« ('ƒn+1+'n)
('ƒn+1-'n)('ƒn+1+'n)
∴ f(1)+f(2)+f(3)+y+f(100)
=(-1)« ('n+'ƒn+1)
=-('1+'2)+('2+'3)-('3+'4)
+y-('ß99+'∂100)+('∂100+'∂101)
=-'1-'2+'2+'3-'3-'4
+y-'ß99-'∂100+'∂100+'∂101
='∂101-1
35
``솔이의 자의 눈금 7에서부터 63까지의 거리와 민이의 자의 눈금
0에서부터 A까지의 거리가 같으므로 민이의 자의 눈금 0에서부
터 A까지의 거리를 x라 하면
'ß63-'7=x, 3'7-'7=x ∴ x=2'7
이때 A=x¤ +2이므로 이 식에 x=2'7을 대입하면
A=(2'7)¤ +2=28+2=30
36
``오른쪽 그림과 같이 ㈏, ㈐, ㈒, ㈔ (또는 ㈏, ㈐,
㈒, ㈓) 4개의 조각을 이용하면 정사각형을 만들
수 있다. 따라서 이 정사각형의 넓이는
(4개의 조각을 이용하여 만든 정사각형의 넓이)
1
={ _4_2}+2_{ _2_1}+{ _2_2}
2
1
2
1
2
=4+2+2=8
이므로 이 정사각형의 한 변의 길이는
a='8=2'2
또 오른쪽 그림과 같이 ㈐, ㈑, ㈒, ㈓, ㈔ 5개의
조각을 이용하면 정사각형을 만들 수 있다. 따라
서 이 정사각형의 넓이는
(5개의 조각을 이용하여 만든 정사각형의 넓이)
=2_{ _2_1}+[2_2-4_{ _1_1}]
1
2
1
2
㈏
㈔
㈐ ㈒
㈏
㈓
㈐
㈒
㈑㈐
㈔
㈓ ㈒
+(2_1)+{ _2_2}
1
2
=2+2+2+2=8
이므로 이 정사각형의 한 변의 길이는
b='8=2'2
∴ a+b=2'2+2'2=4'2
1
2
1
2
1
2
길이는 '2이고, 둘레의 길이는 4_'2=4'2
정사각형 A™의 넓이는 4¤ -4_{ _2_2}=8이므로 한 변의
길이는 '8=2'2이고, 둘레의 길이는 4_2'2=8'2
정사각형 A£의 넓이는 6¤ -4_{ _3_3}=18이므로 한 변의
길이는 'ß18=3'2이고, 둘레의 길이는 4_3'2=12'2
⋮
즉, 정사각형 A«의 넓이는 (2n)¤ -4_{ _n_n}=2n¤ 이므로
1
2
한 변의 길이는 "√2n¤ =n'2이고, 둘레의 길이는
4_n'2=4n'2이다.
32
(a+3b)(c-3d)=ac-3ad+3bc-9bd에서
37
``정사각형 A¡의 넓이는 2¤ -4_{ _1_1}=2이므로 한 변의
(01~17)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:34 AM 페이지13 MAC3
이때 두 정사각형 A«과 A«≠¡이 겹쳐지는 부분의 둘레의 길이는
2n'2이다.
따라서 구하는 도형의 둘레의 길이는
(정사각형 A¡, A™, A£, y, A¶의 둘레의 길이의 합)
-(정사각형 A¡과 A™, A™와 A£, y, A§와 A¶이 겹치는 부분의
둘레의 길이의 합)
=(4'2+8'2+12'2+16'2+20'2+24'2+28'2)
-(2'2+4'2+6'2+8'2+10'2+12'2)
=112'2-42'2=70'2
] 임을 이용한다.
03
2‹
≈ _2‹
≈ ±¥
¥ =2‹
¥ =2‹
≈ _2‹
2‹
≈ ±‹
¥ =(12-4'5)(12+4'5)
=12¤ -(4'5)¤
=144-80
=64=2fl
≈ _2‹
이고, 2‹
3(x+y)=6 ∴ x+y=2
¥ =2‹
¥ =2‹
≈ ±¥
≈ ±‹
] 이므로
STEP 3
P. 28~29
01 (6, 54), (24, 24), (54, 6)
02 -1
05
137
30
06 '1å0+2'6-'1å5-4
03 2
04 1
07 2
08
2+'2
2
01
근호 안의 수 96을 소인수분해한다.
y`㉠
'ß96="√4¤ _6=4'6이므로
'ßx+'y=4'6에서 'ßx=4'6-'y
양변을 제곱하면
x=96-8'ƒ6y+y, 8'ƒ6y=96-x+y
이 식의 우변이 정수이므로 6y는 제곱인 수이어야 한다.
y=6k¤ (k는 자연수)이라 하면 ㉠에서
'ßx=4'6-'y=4'6-"√6k¤
=4'6-k'6=(4-k)'6
이때 'ßx>0이므로 k의 값이 될 수 있는 수는 1, 2, 3이다.
⁄ k=1일 때, 'ßx=3'6='ß54 ∴ x=54
¤ k=2일 때, 'ßx=2'6='ß24 ∴ x=24
y=6_1¤ =6
y=6_2¤ =24
‹ k=3일 때, 'ßx='6 ∴ x=6
y=6_3¤ =54
따라서 ⁄ ~‹에서 구하는 순서쌍 (x, y)는
(6, 54), (24, 24), (54, 6)이다.
02
한다.
1
'a+1
+
1
'b+1
=1에서 분모를 통분하여 'ßab의 값을 구
+
1
'a+1
'a+'b+2='ßab+'a+'b+1 ∴ 'ßab=1
'a+'b+2
('a+1)('b+1)
1
'b+1
=1에서
=
∴
1
'a-1
+
1
'b-1
=
=
=
=
'a+'b-2
('a-1)('b-1)
'a+'b-2
'ßab-'a-'b+1
'a+'b-2
1-'a-'b+1
'a+'b-2
-('a+'b-2)
=-1
04
00이므로 B='2
1
2-'2
2+'2
2
1
A-B
=
=
∴
=
2+'2
(2-'2)(2+'2)
14 정답과 해설
P. 30~31
1
6
1 a¤ +bc `2
'1å5
6
5 -6'2 6 ⑴ 3 ⑵ 4-2'3 ⑶ x=-16, y=10
7 풀이 참조
cm `4 8
`3
1
a<0, c<0이므로 -ac<0
∴ "√(-ac)¤ =-(-ac)=ac
a0이고, b<0이므로
b(c-a)<0
∴ "√b¤ (c-a)¤ ="√{b(c-a)}¤ =-b(c-a)
b0이고, -a>0이므로
c-b-a=(c-b)+(-a)>0
∴ "√(c-b-a)¤ =c-b-a
∴ (주어진 식)
=ac-{-b(c-a)}-a(c-b-a)
=ac+bc-ab-ac+ab+a¤
=a¤ +bc
채점 기준
⁄ "√(-ac)¤ =ac임을 알기
¤ "√b¤ (c-a)¤ =-b(c-a)임을 알기
‹ "√(c-b-a)¤ =c-b-a임을 알기
› 주어진 식을 간단히 하기
2
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나오는 모든 경우의 수는
y`⁄
6_6=36(가지)
'ƒ72-2ab가 정수가 되려면 72-2ab가 0 또는 72보다 작은 제
곱인 수이어야 한다.
즉, 72-2ab=0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64이므로
ab=36,
, 34,
, 28,
, 18,
, 4
71
2
63
2
47
2
23
2
이때 a, b는 1…a…6, 1…b…6인 자연수이므로
ab=36, 18, 4
따라서 이를 만족하는 (a, b)의 순서쌍은
(6, 6), (3, 6), (6, 3), (1, 4), (2, 2), (4, 1)의 6가지이
므로 구하는 확률은 = 이다.
6
36
1
6
채점 기준
⁄ 모든 경우의 수 구하기
¤ "√72-2ab가 정수가 되는 조건을 찾아 ab의 값 구하기
‹ 확률 구하기
3
정사각형 A, B, C, D의 넓이를 각각 SÅ, Sı, SÇ, SÎ라 하면
SÅ=4Sı, Sı=3SÇ, SÇ=2SÎ
이때 SÅ=10 cm¤ 이므로
Sı= SÅ= _10= (cm¤ )
SÇ= Sı= _ = (cm¤ )
1
4
1
3
1
2
1
4
1
3
1
2
5
2
5
6
5
12
5
2
5
6
SÎ= SÇ= _ = (cm¤ )
y`⁄
y`¤
y`‹
y`›
배점
30 %
30 %
30 %
10 %
y`¤
y`‹
배점
30 %
40 %
30 %
y`⁄
y`¤
y`‹
(01~17)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:34 AM 페이지15 MAC3
따라서 정사각형 D의 한 변의 길이는
'5
2'3
5
Æ… =
12
'5
'1å2
'1å5
6
=
=
(cm)
채점 기준
⁄ 정사각형 B의 넓이 구하기
¤ 정사각형 C의 넓이 구하기
‹ 정사각형 D의 넓이 구하기
› 정사각형 D의 한 변의 길이 구하기
4
(5-a'2)+(b+3'2)=(5+b)+(3-a)'2
에서 이 식의 값이 유리수가 되어야 하므로
3-a=0 ∴ a=3
(5-a'2)(b+3'2)=(5-3'2)(b+3'2)
=(5b-18)+(15-3b)'2
에서 이 식의 값이 유리수가 되어야 하므로
15-3b=0 ∴ b=5
∴ a+b=8
채점 기준
⁄ 두 수의 합이 유리수가 되도록 하는 a의 값 구하기
¤ 두 수의 곱이 유리수가 되도록 하는 b의 값 구하기
‹ a+b의 값 구하기
y`›
배점
20 %
20 %
20 %
40 %
y`⁄
y`¤
y`‹
배점
40 %
40 %
20 %
5
다음 그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정사각형의 대각선을 한 변
으로 하는 두 정사각형을 각각 A, B라 하면
A
B
-5-6 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
P
Q
(한 변의 길이가 2인 정사각형의 대각선의 길이)
=(정사각형 A의 한 변의 길이)이고,
(정사각형 A의 넓이)=4¤ -4_{ _2_2}=8
1
2
따라서 정사각형 A, B의 한 변의 길이, 즉 한 변의 길이가 2인
y`⁄
정사각형의 대각선의 길이는 '8=2'2이므로
a=-4+2'2, b=3-2'2
y`¤
1
∴ '2a+ =a {'2+ }
b
a
b
}
=(-4+2'2){'2+
1
3-2'2
=(-4+2'2)('2+3+2'2)
=(-4+2'2)(3+3'2)
=-12-12'2+6'2+12
=-6'2
채점 기준
⁄ 한 변의 길이가 2인 정사각형의 대각선의 길이 구하기
¤ a, b의 값 구하기
‹ '2a+
;bA;의 값 구하기
6
⑴
'6+'2
'6-'2
=
=
('6+'2)¤
('6-'2)('6+'2)
8+2'1å2
8+4'3
6-2
4
=
=2+'3
1<'3<2에서 3<2+'3<4이므로
A=3
⑵ ('3-1)¤ =4-2'3=4-'1å2
3<'1å2<4에서 0<4-'1å2<1이므로
4-'1å2의 정수 부분은 0이고, 소수 부분은
B=(4-'1å2)-0=4-2'3이다.
⑶ B(A-B)=(4-2'3){3-(4-2'3)}
=(4-2'3)(-1+2'3)
=-4+8'3+2'3-12
=-16+10'3
∴ x=-16, y=10
채점 기준
⁄ A의 값 구하기
¤ B의 값 구하기
‹ x, y의 값 구하기
y`⁄
y`¤
y`‹
배점
30 %
30 %
각 20 %
7
|예시 답안|
조리개를 F/2, 셔터속도를
초로 맞추고 사진을 찍었을 때,
렌즈를 통해 들어오는 빛의 양을 a라 하자.
조리개를 F/5.6으로 맞추면 조리개의 지름의 길이는 조리개를
F/2로 맞추었을 때의
배가 되므로 조리개의 넓이는
1
60
1
2'2
1
2'2
{
}2 배가 된다.
1
15
의 4배가 된다.
y`⁄
y`¤
1
60
1
15
또 셔터속도를 초로 맞추면 셔터속도는 초로 맞추었을 때
따라서 사진기의 조리개를 F/5.6, 셔터속도를
초로 맞추고
사진을 찍었을 때, 렌즈를 통해 들어오는 빛의 양은
a_{
1
2'2
}2 _4= a이므로 조리개를 F/2, 셔터속도를 초
y`‹
로 맞추어 찍은 사진이 더 밝다.
1
60
1
2
채점 기준
⁄ 조리개의 크기 비교하기
¤ 셔터속도 비교하기
‹ 두 사진 중 더 밝은 사진 말하기
배점
30 %
30 %
40 %
P. 32~34
y`‹
배점
20 %
각 20 %
40 %
2 ③
3 9개
4 13, 14
6 ③
8 ②
10 ④ 11 8-'1å3-'5, 과정은 풀이 참조
1 ②
5 3, 과정은 풀이 참조
9 ③
12 ③ 13 ④ 14 ② 15 ⑤ 16 2'5-1
17 ④ 18 (48+96'2) cm‹ 19 102, 과정은 풀이 참조
20
7 ④
8
13
1
ㄱ. '∂1.69="ç(1.3)¤ =1.3이고 제곱근 1.3은 '∂1.3이다.
ㄴ. "√(-5)¤ =5이고 5의 음의 제곱근은 -'5이다.
ㄷ. (-'1å1)¤ =11이고 11의 제곱근은 —'1å1이다.
Ⅰ. 실수와 그 연산 15
(01~17)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:34 AM 페이지16 MAC3
ㄹ. 1.H7= 이고 제곱하여
이 되는 수는 — 이다.
16
9
16
9
4
3
7
① (반례) 유리수 a= 이면 æ≠|
|= 은 유리수이다.
1
4
1
4
1
2
ㅁ. 'ƒ0.567=æ≠
81_7
1000
7
= æ– =0.9æ–
10
9
10
7
10
ㅂ. 0.2="ç(0.2)¤ ='ƒ0.04<'∂0.2이므로 -0.2>-'∂0.2이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅂ이다.
2
a-b>0에서 a>b이고, ab<0이므로
a>0, b<0, b-2a<0
∴ (-'a)¤ -"√(b-2a)¤ +"≈b¤ =a-{-(b-2a)}-b
=a+b-2a-b=-a
3
'∂3n이 2의 배수가 되어야 하므로 '∂3n=2k(k는 자연수)라 하고
양변을 제곱하면
3n=4k¤ ∴ n=
4k¤
3
이때 n이 자연수이므로 k는 3의 배수이어야 한다.
k=3m`(m은 자연수)이라 하면
8
4k¤
n= =
3
4_(3m)¤
3
=12m¤
n은 1000 이하의 자연수이므로
1…n…1000에서 1…12m¤ …1000
1
12
1000
12
…m¤ …
=83.3y ∴ m=1, 2, 3, y, 9
따라서 n=12_1¤ , 12_2¤ , 12_3¤ , y, 12_9¤ 의 9개이다.
4
'1å5< <3'6에서 2'1å5='1å8-4
따라서 ㉠, ㉡에서
(주어진 식)=3-2('1å8-4)=3-6'2+8=11-6'2
y`㉡
9
'ƒ7230-'ƒ0.000723='ƒ72.3_100-Æ…
'∂7.23
100
=10'ƒ72.3-
7.23
10000
=10b-
a
100
10
'∂540='ƒ100_5.4=10'∂5.4=10'ƒ4_1.35
=20'∂1.35=20_1.162=23.24
y`⁄
11
(cid:8772)ABCD=3_3-4_{ _1_2}=5이므로
AB”=AP”='5
이때 점 P에 대응하는 수는 -6+'5이다.
(cid:8772)EFGH=5_5-4_{ _2_3}=13이므로
1
2
1
2
EH”=EQ”='1å3
이때 점 Q에 대응하는 수는 2-'1å3이다.
따라서 두 점 P, Q 사이의 거리는
(2-'1å3)-(-6+'5)=8-'1å3-'5
채점 기준
⁄ 정사각형 ABCD의 한 변의 길이 구하기
¤ 점 P에 대응하는 수 구하기
‹ 정사각형 EFGH의 한 변의 길이 구하기
› 점 Q에 대응하는 수 구하기
fi 두 점 P, Q 사이의 거리 구하기
y`⁄
y`¤
y`‹
y`›
y`fi
배점
20 %
20 %
20 %
20 %
20 %
(01~17)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:34 AM 페이지17 MAC3
② ('1å0-3)-('1å0-'8)=-3+'8=-'9+'8<0
18
(각뿔대의 부피)=(큰 사각뿔의 부피)-(작은 사각뿔의 부피)
12
∴ (주어진 식)="≈b¤ æ– -
a>0, b>0이므로 a="≈a¤ , b="≈b¤
'ß3a
"≈a¤ 'b
3a
a¤ b
=æ≠ -æ≠ +'∂8ab
ab¤
3b
a
3b
+'∂8ab
=æ– -æ– +'∂8ab
ab
3
3
ab
3
2
2
3
'6
3
=æ -æ +'1å6
'6
= - +4=4-
2
'6
6
13
① ('3+'5)¤ -4¤ =(8+2'1å5)-16
=2'1å5-8='6å0-'6å4<0
∴ '3+'5<4
∴ '1å0-3<'1å0-'8
③ 2<'5<3이므로 2<5-'5<3
1<'3<2이므로 1<3-'3<2
∴ 5-'5>3-'3
④
=-(1+'2),
1
1-'2
1+'2<2+'5이므로 -(1+'2)>-(2+'5)
1
2-'5
=-(2+'5)이고,
∴
1
1-'2
>
1
2-'5
⑤ ('2å7+'2)-('3å2+'3)=3'3+'2-4'2-'3
=2'3-3'2='1å2-'1å8<0
⑤ ∴ '2å7+'2<'3å2+'3
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
14
(3'2+4)(2-a'2)=6'2-6a+8-4a'2
=(-6a+8)+(6-4a)'2
이 수가 유리수가 되려면 6-4a=0이어야 하므로
4a=6 ∴ a=
3
2
15
(x+'5)(y-'5)=xy-x'5+y'5-5
=(xy-5)+(-x+y)'5
=7-4'5
따라서 xy-5=7이므로 xy=12, -x+y=-4이므로
x-y=4
∴ x¤ +y¤ =(x-y)¤ +2xy=4¤ +2_12=40
17
a+b=
a-b=
=
'6-'3+'2
2
'6-'3+'2
2
-2'3+2'2
2
+
-
'6+'3-'2
2
'6+'3-'2
2
='6
='2-'3
∴ (주어진 식)=('6)¤ -('2-'3)¤
=6-(5-2'6)=1+2'6
(a+b)¤ -(a-b)¤ =4ab이므로
(주어진 식)=4ab=4_
'6+'3-'2
2
_
'6-'3+'2
2
={'6-('3-'2)}_{ '6+('3-'2)}
=('6)¤ -('3-'2)¤
=6-(5-2'6)=1+2'6
1
3
1
3
1
3
= _(3+'1å8)¤ _{8(2-'2)+16('2-1)}
1
3
- _3¤ _8(2-'2)
= _(27+18'2)_8'2-24(2-'2)
= _9(3+2'2)_8'2-24(2-'2)
=24'2(3+2'2)-24(2-'2)
=72'2+96-48+24'2
=48+96'2 (cm‹ )
19
x=
'5+'6
'5-'6
=
('5+'6)¤
('5-'6)('5+'6)
=-11-2'3å0
이므로 x+11=-2'3å0
양변을 제곱하면 (x+11)¤ =(-2'3å0)¤
x¤ +22x+121=120
∴ x¤ +22x=-1
∴ (주어진 식)=100-2(x¤ +22x)
=100-2_(-1)=102
채점 기준
을 간단히 하기
⁄ x=
'5+'6
'5-'6
¤ x¤ +22x의 값 구하기
‹ 주어진 식의 값 구하기
y`⁄
y`¤
y`‹
배점
30 %
40 %
30 %
16
1
1+'2
+
1
'2+'3
+
1
'3+'4
+y+
1
'1å9+'2å0
=
+
1-'2
(1+'2)(1-'2)
'3-'4
('3+'4)('3-'4)
+
'2-'3
('2+'3)('2-'3)
+y+
'1å9-'2å0
('1å9+'2å0)('1å9-'2å0)
=-(1-'2)-('2-'3)-('3-'4)-y-('1å9-'2å0)
=-{(1-'2)+('2-'3)+('3-'4)+y+('1å9-'2å0)}
=-(1-'2å0)='2å0-1=2'5-1
20
=
6(3+'3)
(3-'3)(3+'3)
6
3-'3
1<'3<2이므로 4<3+'3<5
∴ a=4, b=(3+'3)-4='3-1
=3+'3이고
∴ (주어진 식)=
1
4+('3-1)+1
1
4-'3
8
13
1
4+'3
8
16-3
=
+
=
=
+
=
1
4-('3-1)-1
(4-'3)+(4+'3)
(4+'3)(4-'3)
Ⅰ. 실수와 그 연산 17
(18~39)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지18 MAC3
Ⅱ
인수분해와 이차방정식
1 인수분해
STEP 1
P. 36~38
3 -2a-2
6 (x-2y+3z)¤
4 (6, 4), (8, 2)
7 ④
9 (x¤ -2x-2)(x¤ -2x-9)
2 13
1 ④
5 (x+4)(3x-1)
8 (a+2b+3)(a+2b-5)
10 4
12 (k¤ +k+4)(k¤ -k+4)
15 225
16 -10'3-5
11 (x-y-5)(x-y+2)
13 ㄱ, 8100
17 1
18 3x-1
14 1
④ -2a¤ -3ab+9b¤ =(-2a+3b)(a+3b)
4x¤ +ax+1이 완전제곱식이 되려면
a=—2_2_1 ∴ a=4 (∵ a>0)
x¤ -6x+b가 완전제곱식이 되려면
b={
-6
2
}2 =(-3)¤ =9 ∴ a+b=13
-40이므로
"√a¤ -4a+4-"√a¤ +8a+16="√(a-2)¤ -"√(a+4)¤
=-(a-2)-(a+4)
=-2a-2
9
(주어진 식)=(x+1)(x-3)(x+2)(x-4)-6
=(x¤ -2x-3)(x¤ -2x-8)-6
이때 x¤ -2x=X로 놓으면
(X-3)(X-8)-6=X¤ -11X+18
=(X-2)(X-9)
=(x¤ -2x-2)(x¤ -2x-9)
10
25-4x¤ -y¤ +4xy=25-(4x¤ -4xy+y¤ )
=5¤ -(2x-y)¤
=(5+2x-y)(5-2x+y)
따라서 a=2, b=-1, c=5, d=-2이므로
a+b+c+d=2+(-1)+5+(-2)=4
11
주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해하면
x¤ +y¤ -3x+3y-2xy-10=x¤ -(2y+3)x+y¤ +3y-10
=x¤ -(2y+3)x+(y+5)(y-2)
=(x-y-5)(x-y+2)
12
13
k› +7k¤ +16=k› +8k¤ +16-k¤ =(k¤ +4)¤ -k¤
=(k¤ +k+4)(k¤ -k+4)
81.5¤ +17_81.5+8.5¤ =81.5¤ +2_81.5_8.5+8.5¤
=(81.5+8.5)¤
=90¤ =8100
따라서 주어진 수를 계산하는 데 가장 알맞은 인수분해 공식은 ㄱ
이고, 그 값은 8100이다.
xy-x-5y+5=x(y-1)-5(y-1)=(x-5)(y-1)
즉, (x-5)(y-1)=3이고 x, y는 양의 정수이므로
x-5=1, y-1=3 또는 x-5=3, y-1=1
따라서 주어진 식을 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (6, 4), (8, 2)
이다.
승재는 x의 계수를 잘못 보았으므로
(x+2)(3x-2)=3x¤ +4x-4에서 처음 이차식의 상수항은
-4이다.
보아는 상수항을 잘못 보았으므로
(x+3)(3x+2)=3x¤ +11x+6에서 처음 이차식의 x의 계수는
11이다.
따라서 처음 이차식은 3x¤ +11x-4이므로 이 식을 인수분해하면
3x¤ +11x-4=(x+4)(3x-1)
14
(주어진 식)=
96¤ -16+35¤ -65¤
81¤ -19¤
=
96¤ -4¤ +35¤ -65¤
81¤ -19¤
=
=
(96+4)(96-4)+(35+65)(35-65)
(81+19)(81-19)
100_92+100_(-30)
100_62
62
= =1
62
15
225=x로 놓으면
(주어진 식)=æ≠{x-2+ }≠{x+2+ }+
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
=æ≠[{x+ }-2]≠[{x+ }+2] +
=æ≠{x+ }2 -2¤ + =æ≠{x- }2 +
1
x
1
x
1
x
1
={x- }+ {∵ x- >0}
x
1
x
1
x
(주어진 식)=x¤ +(-2y)¤ +(3z)¤ +2_x_(-2y)
=x=225
+2_(-2y)_3z+2_x_3z
=(x-2y+3z)¤
6x‹ y¤ -15x¤ y‹ -9xy› =3xy¤ (2x¤ -5xy-3y¤ )
=3xy¤ (x-3y)(2x+y)
따라서 주어진 식의 인수가 아닌 것은 ④ 2x-y이다.
a+2b=A로 놓으면
(a+2b)(a+2b-2)-15=A(A-2)-15=A¤ -2A-15
=(A+3)(A-5)
=(a+2b+3)(a+2b-5)
16
x=
y=
1
2+'3
1
2-'3
=
=
2-'3
(2+'3)(2-'3)
2+'3
(2-'3)(2+'3)
x+y=4, x-y=-2'3
∴ (주어진 식)=x¤ -(y¤ +2y+1)
=2-'3,
=2+'3 이므로
=x¤ -(y+1)¤
=(x+y+1)(x-y-1)
=(4+1)(-2'3-1)
=-10'3-5
18 정답과 해설
1
2
3
4
5
6
7
8
(18~39)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지19 MAC3
17
x-2=X로 놓으면
(주어진 식)=X¤ +10X+21=(X+3)(X+7)
=(x+1)(x+5)=('5-3+1)('5-3+5)
=('5-2)('5+2)=5-4=1
3
a>1에서 0< <1이므로 a+ >0
01이므로 b- <0
1
a
1
b
1
a
1
b
18
도형 ㈎의 넓이는
(3x+2)¤ -3¤ =(3x+2+3)(3x+2-3)=(3x+5)(3x-1)
이때 도형 ㈎, ㈏의 넓이는 서로 같고, 도형 ㈏의 가로의 길이가
3x+5이므로 세로의 길이는 3x-1이다.
STEP 2
P. 39~43
1 ④
2
;6!;
3 ①
4 ②
5 (18, 5), (-22, -5)
8 8, 18, 30, 44
13 16
9 -19
14 ① 15 ④ 16 0
19 -200 20 900p cm‹
24 ④ 25 63
30 32 cm
33 A™∞(337, -312)
26 48
31 2x+3y
21
;2!0)0!;
27 -2
6 2(a+c)(a-c)
7 ②
10 ② 11 ③ 12 2
17 ② 18 4x
22 16
23 ⑤
29 ③
28 7
32 149, 151
1
① x¤ y-2xy¤ =xy(x-2y)
② a(3a-2b)-(2b-3a)=a(3a-2b)+(3a-2b)
=(a+1)(3a-2b)
③ ax-bx-by+ay=x(a-b)+y(a-b)
=(x+y)(a-b)
④ (3a+5b)(2x-1)-3a-5b
=(3a+5b)(2x-1)-(3a+5b)
=(3a+5b)(2x-2)
=2(3a+5b)(x-1)
⑤ ab-bc-b¤ +ca=ab+ca-bc-b¤
=a(b+c)-b(b+c)=(a-b)(b+c)
따라서 인수분해를 바르게 한 것은 ④이다.
2
xy-2x-y+2=x(y-2)-(y-2)=(x-1)(y-2)이므로
"√(x-1)(y-2)가 자연수가 되려면 (x-1)(y-2)가 제곱인 수
이어야 한다. (단, 1…x-1…5, 1…y-2…4)
⁄ x-1=1, y-2=1일 때, x=2, y=3
¤ x-1=1, y-2=4일 때, x=2, y=6
‹ x-1=2, y-2=2일 때, x=3, y=4
› x-1=4, y-2=1일 때, x=5, y=3
fi x-1=3, y-2=3일 때, x=4, y=5
fl x-1=4, y-2=4일 때, x=5, y=6
따라서 A, B 두 개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우
의 수는 6_6=36(가지)이고, ⁄~fl에서 'ƒxy-2x-y+2가
자연수가 되는 경우의 수는 6가지이므로 구하는 확률은
6
36
=
1
6
1
∴ (주어진 식)=Æ…a¤ +2+ -Æ…b¤ -2+ - +æ≠{
a¤
1
b¤
1
b
}2
1
"ça¤
1
a
1
"ça¤
1
=a+ -[-{b- }]- +
b
=æ≠{a+ }2 -æ≠{b- }2 - +æ≠{
1
b
1
a
1
a
1
b
1
b
}2
=a+ +b- - + =a+b
1
b
1
a
1
b
1
a
4
'ßx=a+3이므로 양변을 제곱하면
x=(a+3)¤ =a¤ +6a+9
이때 -20, a-4<0이므로
(주어진 식)="√a¤ +6a+9-2a-5+"√a¤ +6a+9-14a+7
="√a¤ +4a+4+"√a¤ -8a+16
="√(a+2)¤ +"√(a-4)¤
=(a+2)-(a-4)=6
5
4x¤ +(m+2)xy+25y¤ 이 완전제곱식이 되려면
m+2=—2_2_5 ∴ m=18 또는 m=-22
⁄ m=18일 때,
4x¤ +20xy+25y¤ =(2x+5y)¤ 이므로 n=5
¤ m=-22일 때,
4x¤ -20xy+25y¤ =(2x-5y)¤ 이므로 n=-5
따라서 ⁄, ¤에서 구하는 순서쌍 (m, n)은
(18, 5), (-22, -5)
6
7
(주어진 식)
=(a¤ -c¤ +2abc)-(b¤ -a¤ +4abc)-(c¤ -b¤ -2abc)
=a¤ -c¤ +2abc-b¤ +a¤ -4abc-c¤ +b¤ +2abc
=2a¤ -2c¤ =2(a¤ -c¤ )=2(a+c)(a-c)
8n‹ -2n=2n(4n¤ -1)=(2n-1)_2n_(2n+1)
즉, 8n‹ -2n은 연속하는 세 자연수의 곱의 꼴로 나타낼 수 있다.
이때 2n-1æ10이면 (2n-1)_2n_(2n+1)>10‹ 이므로
네 자리 이상의 자연수가 되고,
2n+1…4이면 (2n-1)_2n_(2n+1)<4‹ 이므로
두 자리 이하의 자연수가 된다.
따라서 2n-1<10, 2n+1>4에서 b라 하면 a와 b는 서로 다른 부호이므로 a>0, b<0
따라서 합이 7이고, -50…ab…-1을 만족하는 두 정수 a, b의
순서쌍 (a, b)는 (8, -1), (9, -2), (10, -3), (11, -4)
따라서 자연수 k(=-ab)의 값은 8, 18, 30, 44이다.
9
3x¤ +ax+10=(x-5)(3x+m)이라 하면
(우변)=3x¤ +(m-15)x-5m이므로
m-15=a, -5m=10 ∴ m=-2, a=-17
bx¤ +13x-15=(x-5)(bx+n)이라 하면
(우변)=bx¤ +(n-5b)x-5n이므로
n-5b=13, -5n=-15 ∴ n=3, b=-2
∴ a+b=-17+(-2)=-19
10
(주어진 식)=x(yz-y-z+1)-(yz-y-z+1)
=(x-1)(yz-y-z+1)
=(x-1){y(z-1)-(z-1)}
=(x-1)(y-1)(z-1)
11
P(x)=(≥x-3)¤ -4(≥x-3)+4
A
P(x)={(≥x-3)-2}¤ =(x-5)¤
A
A
∴ P(x)_P(x+10)=(x-5)¤ {(x+10)-5}¤
=(x-5)¤ (x+5)¤
={(x-5)(x+5)}¤
=(x¤ -25)¤
따라서 P(x)_P(x+10)의 인수가 아닌 것은 ③이다.
12
3x› +2x‹ -3x-2=x‹ (3x+2)-(3x+2)
=(3x+2)(x‹ -1)
=(3x+2)(x-1)(x¤ +x+1)
∴ a=2, b=-1, c=1 ∴ a+b+c=2
개념 더하기 다시 보기
a‹ +b‹ =(a+b)(a¤ -ab+b¤ )
a‹ -b‹ =(a-b)(a¤ +ab+b¤ )
13
(주어진 식)=x(x+6)(x+2)(x+4)+k
=(x¤ +6x)(x¤ +6x+8)+k
x¤ +6x=X로 놓으면
X(X+8)+k=X¤ +8X+k
따라서 이 식이 완전제곱식이 되도록 하는 k의 값은
k={
}2 =4¤ =16
8
2
14
x, y는 연속하는 두 자연수이므로 y=x+1이라 하면
X="√x¤ +y¤ +x¤ y¤ ="√x¤ +(x+1)¤
√+{x(x+1)}¤
="√2x¤ +2x+1√+(x¤ +x)¤ ="√(x¤ +x)¤ +2√(x¤ +x)+1
이때 x¤ +x=A로 놓으면
X="√A¤ +2A+1="√(A+1)¤
="√(x¤ +x+1)¤ =x¤ +x+1 (∵ x는 자연수)
=x(x+1)+1
따라서 연속하는 두 자연수의 곱 x(x+1)은 항상 짝수이므로
X=x(x+1)+1은 항상 홀수이다.
20 정답과 해설
15
x+y=X로 놓으면
(x+y)¤ -6(x+y)-55=X¤ -6X-55
=(X+5)(X-11)
=(x+y+5)(x+y-11)
이 식의 값이 소수가 되어야 하므로
x+y+5=1 또는 x+y-11=1
이때 x, y는 자연수이므로 x+y-11=1
∴ x+y=12
따라서 x+y=12이면 x+y+5=17은 소수이므로
x+y=12를 만족하는 두 자연수 x, y의 순서쌍 (x, y)는
(1, 11), (2, 10), (3, 9), y, (11, 1)의 11개이다.
1
x16
1
y
1
z
+ + =k라 하면
㈐에서 x¤ {k- }+y¤ {k- }+z¤ {k- }=5이므로
1
x
1
y
1
z
x¤ k-x+y¤ k-y+z¤ k-z=5, k(x¤ +y¤ +z¤ )-(x+y+z)=5
이때 ㈏에서 x+y+z=-5이므로
k(x¤ +y¤ +z¤ )+5=5
1
x
1
+ + =0이다.
z
1
y
따라서 k(x¤ +y¤ +z¤ )=0에서 k=0(∵ x¤ +y¤ +z¤ >0)이므로
17
주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해하면
(1-x¤ )(1-y¤ )-4xy
=1-x¤ -y¤ +x¤ y¤ -4xy
=(y¤ -1)x¤ -4yx-(y¤ -1)
=(y+1)(y-1)x¤ -4yx-(y+1)(y-1)
={(y-1)x-(y+1)} {(y+1)x+(y-1)}
=(xy-x-y-1)(xy+x+y-1)
따라서 a=-1, b=-1, c=-1, d=1, e=-1이므로
a+b+c+d+e=-3
(1-x¤ )(1-y¤ )-4xy
=1-x¤ -y¤ +x¤ y¤ -4xy
=(1-2xy+x¤ y¤ )-(x¤ +2xy+y¤ )
=(xy-1)¤ -(x+y)¤
=(xy-x-y-1)(xy+x+y-1)
따라서 a=-1, b=-1, c=-1, d=1, e=-1이므로
a+b+c+d+e=-3
18
x› -5x¤ +4에서 x¤ =X로 놓으면
x› -5x¤ +4=(x¤ )¤ -5x¤ +4=X¤ -5X+4
=(X-1)(X-4)=(x¤ -1)(x¤ -4)
=(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)
∴ (x+1)+(x-1)+(x+2)+(x-2)=4x
개념 더하기 다시 보기
x› +ax¤ +b의 꼴의 인수분해
① x¤ =X로 놓고 인수분해 공식을 이용한다.
② ①의 방법으로 인수분해되지 않으면 A¤ -B¤ 의 꼴로 변
형하여 인수분해한다.
(18~39)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지21 MAC3
19
(주어진 식)
=(1¤ -3¤ )+(5¤ -7¤ )+(9¤ -11¤ )+(13¤ -15¤ )+(17¤ -19¤ )
=(1-3)(1+3)+(5-7)(5+7)+(9-11)(9+11)
+(13-15)(13+15)+(17-19)(17+19)
=-2_(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)
=-2_(20_5)=-200
˙k 합이 20인 것이 5쌍
20
(입체도형의 부피)=(큰 원기둥의 부피)-(작은 원기둥의 부피)
=p_16.5¤ _10-p_13.5¤ _10
=10p(16.5¤ -13.5¤ )
=10p(16.5+13.5)(16.5-13.5)
=10p_30_3=900p (cm‹ )
21
(주어진 식)
={1- }_{1- }_y_{1- }_{1-
1
100¤
}
={1- }_{1+ }_{1- }_{1+ }_
1
3
1
99¤
1
3
1
y_{1- }_{1+ }_{1- }_{1+ }
100
1
100
1
99
1
99
= _ _ _ _y_ _ _ _
98
99
100
99
99
100
101
100
2
3
1
2
1
2
= _ =
101
100
101
200
1
2¤
1
2
3
2
1
3¤
1
2
4
3
22
2›
° -1=(2¤
› +1)(2¤
› -1)
=(2¤
› +1)(2⁄
¤ +1)(2⁄
¤ -1)
=(2¤
› +1)(2⁄
¤ +1)(2fl +1)(2fl -1)
=(2¤
› +1)(2⁄
¤ +1)(2fl +1)(2‹ +1)(2‹ -1)
이때 2‹ +1=9, 2‹ -1=7이므로 2›
° -1은 7, 9로 나누어떨어
진다.
따라서 이 두 자연수의 합은 7+9=16이다.
23
2014=A, 2⁄
‚ =B로 놓으면
(주어진 식)=
2‹ B+B-2‹ -1
B-1
+
A‹ -1
(A+1)A+1
(A-1)(A¤ +A+1)
A¤ +A+1
=
+
(2‹ +1)B-(2‹ +1)
B-1
=A-1+
(2‹ +1)(B-1)
B-1
(∵ A¤ +A+1+0)
=A-1+2‹ +1 (∵ B-1+0)
=2014+2‹ =2022
24
a(a-1)-b(b+1)=a¤ -a-b¤ -b=a¤ -b¤ -a-b
=(a+b)(a-b)-(a+b)
=(a+b)(a-b-1)
이때 a+b=-3이므로 -3_(a-b-1)=-7
a-b-1=
∴ a-b=
7
3
10
3
25
2x+2y+xy=3
x+y-xy=6
y`㉠
y`㉡
㉠+㉡을 하면 3x+3y=9이므로
3(x+y)=9 ∴ x+y=3
x+y=3을 ㉡에 대입하면
3-xy=6 ∴ xy=-3
x‹ -x¤ y-xy¤ +y‹ =x¤ (x-y)-y¤ (x-y)
=(x-y)(x¤ -y¤ )
=(x-y)¤ (x+y)
이때 (x-y)¤ =(x+y)¤ -4xy=3¤ -4_(-3)=21이므로
x‹ -x¤ y-xy¤ +y‹ =(x-y)¤ (x+y)=21_3=63
26
x¤ y-xy¤ -3x+3y=xy(x-y)-3(x-y)
=(xy-3)(x-y)
xy=12이므로
(xy-3)(x-y)=36에서 9(x-y)=36
∴ x-y=4
이때 (x+y)¤ =(x-y)¤ +4xy이므로
(x+y)¤ =4¤ +4_12, (x+y)¤ =64
∴ x+y=8 (∵ x+y>0)
∴ "√6xy(x¤ -y¤ )="√6xy(x+y)(x-y)
='ƒ6_12_8_4
="√(2› _3)¤ =48
27
주어진 식에서 분자를 x에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분
해하면
3x¤ +4xy+y¤ +6x+2y=3x¤ +(4y+6)x+y¤ +2y
=3x¤ +(4y+6)x+y(y+2)
=(3x+y)(x+y+2)
∴ (주어진 식)=
(3x+y)(x+y+2)
x+y+2
=3x+y (∵ x+y+2+0)
=3('5-2)+(4-3'5)
=3'5-6+4-3'5=-2
28
(주어진 식)
= (2x¤ +2y¤ +2z¤ -2xy-2yz-2zx)
1
2
1
2
1
2
= {(x¤ -2xy+y¤ )+(y¤ -2yz+z¤ )+(z¤ -2zx+x¤ )}
= {(x-y)¤ +(y-z)¤ +(z-x)¤ }
이때 y-z=1, z-x=2이므로 두 식을 변끼리 더하면
-x+y=3, x-y=-3
∴ (주어진 식)= _{(-3)¤ +1¤ +2¤ }= _14=7
1
2
1
2
29
2<'7<3에서 '7의 정수 부분이 2이므로 a='7-2
또 3<2'3(='∂12)<4에서 1<5-2'3<2이므로 b=1
∴ (주어진 식)=
a‹ +a¤ b-b‹ -ab¤
a-b
=
a¤ (a+b)-b¤ (a+b)
a-b
=
(a¤ -b¤ )(a+b)
a-b
=
(a+b)¤ (a-b)
a-b
=(a+b)¤ (∵ a-b+0)
=('7-2+1)¤ =8-2'7
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 21
‚
(18~39)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지22 MAC3
30
AC”를 지름으로 하는 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2pr=36p ∴ r=18
즉, AC”=2r=2_18=36 (cm)이므로 BC”=a cm라 하면
STEP 3
(색칠한 부분의 넓이)
=(AD”를 지름으로 하는 원의 넓이)
-(AB”를 지름으로 하는 원의 넓이)
=p {
36+a
2
}2 -p {
36-a
2
36+a
2
}2 -{
36-a
2
}2 ]
}2 =p[{
36+a
2
-
36-a
2
}
36-a
2
}{
+
36+a
2
=p {
=p_36_a
=144p (cm¤ )
따라서 BC”=a=4 (cm)이므로
AB”=AC”-BC”=36-4=32 (cm)
31
(색종이 A의 넓이)
=(색종이 C의 넓이)
-(색종이 C에서 색종이 B와 겹치지 않은 부분의 넓이)
-(색종이 B에서 색종이 A와 겹치지 않은 부분의 넓이)
=(3x+4y)¤ -(4x¤ +11xy+5y¤ )-(x¤ +xy+2y¤ )
=(9x¤ +24xy+16y¤ )-(4x¤ +11xy+5y¤ )-(x¤ +xy+2y¤ )
=4x¤ +12xy+9y¤
=(2x+3y)¤
따라서 색종이 A의 한 변의 길이는 2x+3y이다.
32
22499는 두 소수의 곱으로 나타내어지므로 두 소수의 곱이
22499가 되는 수를 찾으면
22499=22500-1=150¤ -1¤ =(150+1)(150-1)=151_149
따라서 22499는 두 소수 149와 151의 곱으로 나타낼 수 있으므
로 복호 키는 149와 151이다.
33
n이 홀수일 때는 A«–¡의 x좌표가, n이 짝수일 때는 y좌표가 변하
므로 원점에서 출발하여 1번째의 좌표는 A¡(1¤ , 0), 2번째의 좌표
는 A™(1¤ , 2¤ ), 3번째의 좌표는 A£(1¤ -3¤ , 2¤ ), 4번째의 좌표는
A¢(1¤ -3¤ , 2¤ -4¤ ), y
점 A™∞는 점 A™¢에서 x축의 방향으로 25¤ 만큼 이동하므로 점
A™∞의 x좌표는
1¤ -3¤ +5¤ -7¤ +y+21¤ -23¤ +25¤
=(1-3)(1+3)+(5-7)(5+7)
+y+(21-23)(21+23)+25¤
=-2_(1+3+5+7+y+21+23)+25¤
=-2_(24_6)+625
=-288+625
=337
점 A™∞의 y좌표는
2¤ -4¤ +6¤ -8¤ +y+22¤ -24¤
=(2-4)(2+4)+(6-8)(6+8)+y+(22-24)(22+24)
=-2_(2+4+6+8+y+22+24)
=-2_(26_6)
=-312
22 정답과 해설
03 13개 04 정삼각형
01 ⑤ 02 2a
06 (b-a)(b-c)(c-a)(a+b+c)
08 k=7n+1
07 72
09 9-'3
P. 44~45
05 28
두 자연수 x, y에 대하여 식의 값이 자연수이므로 9xy-6x와
01
x
y
가 자연수이어야 함을 이용한다.
x, y가 자연수이므로 9xy-6x=3x(3y-2)는 자연수이고, 주
x
어진 식을 만족하려면 도 자연수이어야 한다.
y
따라서 x=ky (k는 자연수)라 하고 주어진 식의 좌변에 대입하면
9ky¤ -6ky+k=k(9y¤ -6y+1)
=k(3y-1)¤
이때 k(3y-1)¤ =242이고 242=2_11¤ =242_1¤ 이므로
k=2 또는 k=242
⁄ k=2일 때, 3y-1=11 ∴ y=4, x=8
¤ k=242일 때, 3y-1=1, 즉 y= 이므로 자연수가 아니다.
2
3
따라서 ⁄, ¤에서 x=8, y=4이므로
x+y=8+4=12
02
연립방정식의 해를 구하여 주어진 식에 대입한다.
9x-ay=81
g
ax-y=a‹
y`㉠
y`㉡
㉠-㉡_a를 하면
(9-a¤ )x=81-a› , (9-a¤ )x=(9+a¤ )(9-a¤ )
이때 01이므로 a=8
10
x¤ +ax-2(a-1)=0에 x=-4를 대입하면
(-4)¤ -4a-2(a-1)=0, 16-4a-2a+2=0
-6a=-18 ∴ a=3
따라서 주어진 이차방정식은 x¤ +3x-4=0이므로
(x+4)(x-1)=0 ∴ x=-4 또는 ≥x=1
11
ㄱ. 2x¤ -2x-4=0, 2(x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=2
ㄴ. x¤ -6x+9=0, (x-3)¤ =0 ∴ x=3 (중근)
1
ㄷ. x¤ - x+ =0, {x- }2 =0 ∴ x= (중근)
3
1
9
2
3
1
3
ㄹ. x¤ -10x+24=0, (x-4)(x-6)=0
∴ x=4 또는 x=6
ㅁ. 3(x¤ +4x+4)=0, 3(x+2)¤ =0 ∴ x=-2 (중근)
ㅂ. x¤ -8x-20=-36, x¤ -8x+16=0
(x-4)¤ =0 ∴ x=4 (중근)
따라서 중근을 갖는 이차방정식은 ㄴ, ㄷ, ㅁ, ㅂ이다.
12
x¤ +2ax-4a+12=0이 중근을 가지므로
-4a+12={
}2 , a¤ +4a-12=0
2a
2
(a+6)(a-2)=0 ∴ a=-6 또는 a=2
이때 a>0이므로 a=2
13
3(x-2)¤ -21=0에서 (x-2)¤ =7
x-2=—'7 ∴ x=2—'7
따라서 a=2, b=7이므로 a+b=9이다.
14
(x-p)¤ =q-3에서 q-3>0이면 서로 다른 두 근을 갖고,
q-3=0이면 중근을 갖고, q-3<0이면 근을 갖지 않는다.
따라서 주어진 이차방정식이 해를 가질 조건은 qæ3이다.
7
(x+3)(x-1)=-2-2x¤ 에서
x¤ +2x-3=-2-2x¤ , 3x¤ +2x-1=0
15
4x¤ +8x-1=0에서 x¤ +2x- =0
;4!;
(x+1)(3x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x=
x¤ +2x= , x¤ +2x+1= +1 ∴ (x+1)¤ =
;4!;
;4!;
;4%;
따라서 a= , b=-1이므로 3a+b=3_ +(-1)=0이다.
∴ a=1, b=
;4%;
1
3
1
3
1
3
8
5x(x+7)=3(x-4)에서
5x¤ +35x=3x-12, 5x¤ +32x+12=0
(x+6)(5x+2)=0 ∴ x=-6 또는 x=-
2
5
또 (x-5)(2x+1)=(x-5)¤ 에서
24 정답과 해설
16
① 5x¤ =3, x¤ =
3
5
∴ x=—Æ =—
3
5
'1å5
5
② (x+3)¤ =2, x+3=—'2 ∴ x=-3—'2
③ 6x¤ +5x-4=0, (3x+4)(2x-1)=0
∴ x=- 또는 x= ;2!;
;3$;
(18~39)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지25 MAC3
④ x¤ -2x- =0, x¤ -2x= , x¤ -2x+1= +1
2
3
∴ x=
-5—"√5¤ -4_5_(-6)
10
=
-5—'ß145
10
2
3
5
3
5
(x-1)¤ = , x-1=—Æ
3
3—'1å5
'1å5
3
3
∴ x=1—
=
2
3
1
3
⑤ 9x¤ -6x+1=0, (3x-1)¤ =0 ∴ x= (중근)
따라서 해를 바르게 구한 것은 ④이다.
17
3x¤ -4x-1=0, x¤ - x=
4
3
1
3
1
x¤ - x+ = + , {x- }2 =
3
4
9
4
3
4
9
2
3
7
9
7
x- =—Æ , x= —
9
2
3
2
3
'7
3
∴ x=
2—'7
3
따라서 p=2, q=7이므로 p+q=9이다.
1
4
1—'2
2
18
1
4x¤ -4x-1=0, x¤ -x- =0, x¤ -x+ = +
4
1
4
1
4
{x- }2 = , x- =—Æ
1
2
1
2
1
2
∴ x=
1
2
1-'2
2
a<0이므로 a=
∴ 4a¤ -2a-2=4_{
1-'2
2
}2 -2_{
1-'2
2
}-2
=(1-'2)¤ -(1-'2)-2=-'2
19
x¤ +3x-a=0에서
x=
-3—"√3¤ -4_1_(-a)
2
=
-3—'ƒ9+4a
2
이므로 9+4a=17, 4a=8
∴ a=2, b=-3
∴ a+b=-1
20
① x=
-(-1)—"√(-1)¤ -4_1_(-≈4)
2
=
1—'1å7
2
② x=
-3—"√3¤ -4_1_(-3)
2
=
-3—'2å
2
å1
③ x=
④ x=
-2—"√2¤ -1_2
1
-3—"√3¤ -1_4
1
=-2—'2
=-3—'5
⑤ x=
-(-4)—"√(-4)¤ -1_(-3)
1
=4—'1å9
따라서 이차방정식의 해가 옳은 것은 ⑤이다.
21
x¤ -x+3k=0에 x=k를 대입하면 k¤ -k+3k=0
k¤ +2k=0, k(k+2)=0 ∴ k=-2 (∵ k+0)
따라서 이차방정식 4x¤ +2x-1=0의 해는
x=
-1—"√1¤ -4_(-1)
4
=
-1—'5
4
22
주어진 이차방정식의 양변에 10을 곱하면
5x¤ -3x=2x+10x¤ -6, 5x¤ +5x-6=0
따라서 A=-5, B=145이므로
A+B=140
23
3(x+2)¤ -2x=(2x-3)(2x-1)에서
3(x¤ +4x+4)-2x=4x¤ -8x+3
3x¤ +12x+12-2x=4x¤ -8x+3
따라서 x¤ -18x-9=0이므로
x=
-(-9)—"√(-9)¤ -1_(-9)
1
=9—'ß90=9—3'ß10
24
x¤ -6xy+9y¤ -10x+30y+25=0에서
(x-3y)¤ -10(x-3y)+25=0
이때 x-3y=A로 놓으면
A¤ -10A+25=0, (A-5)¤ =0 ∴ A=5 (중근)
∴ 2x-6y=2(x-3y)=2_5=10
STEP 2
1 ③
2 ①
6 x=-
5
8
11 00)
이때 2a는 자연수이므로 b는 제곱인 수이어야 한다.
⁄ b=1일 때, 2a=3 ∴ a=
;2#;
그런데 a가 자연수가 아니므로 조건을 만족하지 않는다.
¤ b=4일 때, 2a=3'4, 2a=6 ∴ a=3
‹ b=9일 때, 2a=3'9, 2a=9 ∴ a=
;2(;
그런데 a가 자연수가 아니므로 조건을 만족하지 않는다.
따라서 ⁄~‹ 에서 구하는 두 자연수 a, b의 순서쌍은 (3, 4)
이다.
5
일차항의 계수와 상수항을 바꾸어 풀었으므로
x¤ +(k-1)x-k=0에 x=-7을 대입하면
(-7)¤ -7(k-1)-k=0
49-7k+7-k=0 ∴ k=7
따라서 처음 이차방정식은 x¤ -7x+6=0이므로
(x-1)(x-6)=0 ∴ x=1 또는 x=6
6
(a-1)x¤ -a(a+4)x-10=0에 x=-2를 대입하면
4(a-1)+2a(a+4)-10=0, 2a¤ +12a-14=0
a¤ +6a-7=0, (a+7)(a-1)=0
∴ a=-7 또는 a=1
이때 a-1+0에서 a+1이므로 a=-7
따라서 주어진 이차방정식은 8x¤ +21x+10=0이므로
(x+2)(8x+5)=0 ∴ x=-2 또는
x=-
;8%;
(a¤ -4)x¤ -(4-a)x-2(a-1)=0에 x=1을 대입하면
a¤ -4-(4-a)-2(a-1)=0, a¤ -a-6=0
(a+2)(a-3)=0 ∴ a=-2 또는 a=3
이때 a¤ -4+0에서 a+-2 그리고 a+2이므로 a=3
따라서 약수가 3개인 자연수는 소수의 제곱인 수이고, 50보다 작
은 소수의 제곱인 수는 4, 9, 25, 49이므로 그 합은
4+9+25+49=87
7
8
x¤ +ax+a-1=0에서 (x+1)(x+a-1)=0
∴ x=-1 또는 x=-a+1
x¤ -(a+3)x+3a=0에서 (x-3)(x-a)=0
∴ x=3 또는 x=a
⁄ 공통인 해가 x=-1일 때, a=-1
¤ 공통인 해가 x=3일 때, -a+1=3 ∴ a=-2
‹ 공통인 해가 x=-a+1과 x=a일 때,
-a+1=a ∴ a=
;2!;
따라서 ⁄~‹에서 모든 상수 a의 값의 곱은
-1_(-2)_ =1
;2!;
9
x¤ +2(a+2)x+a¤ +4a+3=0에서
x¤ +2(a+2)x+(a+1)(a+3)=0
26 정답과 해설
(x+a+1)(x+a+3)=0
∴ x=-a-1 또는 x=-a-3
이때 두 근 중 큰 근은 x=-a-1이다.
또 x¤ -2x-8=0에서
(x+2)(x-4)=0 ∴ x=-2 또는 x=4
따라서 두 근 중 큰 근은 x=4이므로
-a-1=4 ∴ a=-5
10
직선 2ax+3y=3이 점 (a-1, a¤ )을 지나므로
2a(a-1)+3a¤ =3, 5a¤ -2a-3=0
(5a+3)(a-1)=0 ∴ a=- 또는 a=1
y`㉠ㅇ
;5#;
이때 직선이 제4사분면을 지나지 않으므로 y=- ax+1에서
;3@;
(기울기)=- a>0 ∴ a<0
;3@;
y`㉡ㅇ
따라서 ㉠, ㉡에서 a=- 이다.
;5#;
11
x¤ -2ax+a¤ =-x+a에서
x¤ -(2a-1)x+a(a-1)=0, (x-a){x-(a-1)}=0
∴ x=a 또는 x=a-1
(x-1)¤ =x+5에서
x¤ -2x+1=x+5, x¤ -3x-4=0
(x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4
즉, a, a-1이 -1과 4 사이에 있으므로
-10)
14
¤ +2-8=0에서 (+4)(-2)=0
∴ =-4 또는 =2
이때 는 자연수이므로 =2
따라서 약수가 2개인 자연수는 소수이므로 15 이하의 자연수 중
소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13의 6개이다.
15
4[ x] ¤ -22[x]+28=0에서 2[x]¤ -11[x]+14=0
([x]-2)(2[ x]-7)=0 ∴ [ x ]=2 또는 [ x]= ;2&;
≥
(18~39)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지27 MAC3
이때 [x]는 정수이므로 [x]=2
따라서 2…x<3이므로 주어진 식을 만족하는 x의 값이 될 수 없
는 것은 ⑤이다.
20
x¤ +ax+8b=0이 중근을 가지므로
a
2
{
}2 =8b, a¤ =32b ∴ a=4'∂2b (∵ a>0)
따라서 ⁄, ¤ 에서 x=3 또는 x=-'3이므로 모든 근의 곱은
3_(-'3)=-3'3
이다.
실수 x를 넘지 않는 최대의 정수를 [x]라 할 때,
[x]=a(a는 정수)이면 a…x0)
4
3
2
3
k
2
x-2=—
∴ x= 또는 x=
따라서 b= 이므로 ab=4_ = 이다.
2
3
8
3
24
(x-5)¤ = +25에서 x=5—æ≠ +25
이때 k는 두 자리의 자연수이므로
10…k<100 ∴ 30… +25<75
16
9
10
3
k
2
k
2
10
3
2
3
k
2
므로
k
2
k
2
k
2
⁄ +25=36일 때, =11 ∴ k=22
¤ +25=49일 때, =24 ∴ k=48
‹ +25=64일 때, =39 ∴ k=78
k
2
k
2
k
2
이때 두 근이 모두 정수가 되려면 +25가 제곱인 수이어야 하
따라서 ⁄~‹ 에서 두 자리의 자연수 k는 22, 48, 78의 3개
이다.
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 27
+y+('ß24-'ß23)+('ß25-'ß24)
즉, 9(x-2)¤ =16이므로 (x-2)¤ =
‚
⁄
‚
⁄
fi
(18~39)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지28 MAC3
25
x¤ -4x+2=0에서 x=
2—"√(-2)¤ -1_2
1
=2—'2
∴ 2-'20)
즉, n¤ +3n=108이므로
n¤ +3n-108=0, (n+12)(n-9)=0
∴ n=-12 또는 n=9
따라서 n은 자연수이므로 n=9이다.
이때 세로에 있는 네 수의 합은
4+(2x¤ -3x)+5+16
=4+(2_3¤ -3_3)+5+16=34
따라서 마방진을 완성하면 오른쪽 그림과 같다.
1 15 14 4
12 6
7
9
8 10 11 5
13 3
2 16
31
한 변의 길이가 x cm인 정사각형과 한 변의 길이가 1 cm인 정사
각형 모양의 타일이 각각 한 개씩 더 있으면 직사각형 모양의 벽면
을 모두 채울 수 있다. 이때 주어진 타일의 넓이의 합은
(5x¤ +7x+7) cm¤ 이고, 벽면의 넓이는 132 cm¤ 이므로
(5x¤ +7x+7)+x¤ +1=132에서 6x¤ +7x-124=0
(x-4)(6x+31)=0 ∴ x=4 (∵ x>0)
32
주어진 이차방정식에서 x¤ 의 계수가 1이고, x의 계수가 짝수이
므로 x=1—"√1+(cid:8641)에서 해가 자연수가 되려면 1+(cid:8641)가 제곱
인 수이어야 한다.
⁄ 1+(cid:8641)=4, 즉 (cid:8641)=3일 때,
x¤ -2x-3=0에서 x=1—'ƒ1+3 ∴ x=3 (∵ x>0)
¤ 1+(cid:8641)=9, 즉 (cid:8641)=8일 때,
x¤ -2x-8=0에서 x=1—'ƒ1+8 ∴ x=4 (∵ x>0)
‹ 1+(cid:8641)=16, 즉 (cid:8641)=15일 때,
x¤ -2x-15=0에서 x=1—'ƒ1+15 ∴ x=5 (∵ x>0)
이때 정미와 미경이가 받은 사은품의 개수의 합이 8개 이상인 경
우의 두 사람이 구한 해를 순서쌍으로 나타내면 (3, 5), (4, 4),
(4, 5), (5, 3), (5, 4), (5, 5)의 6가지이므로 사은품을 받는
주사위의 눈이 나오는 경우의 수도 6가지이다.
따라서 모든 경우의 수는 20_20=400(가지)이므로
구하는 확률은
6
400
=
3
200
이다.
STEP 3
P. 55~56
01 2 02 8m¤ +4 03 x=2 또는 x=4 04 3
13
2
5
05 1 06 ③ 07 - …x<- 또는 …x<
2
11
2
3
2
08
5+3'5
2
01
주어진 이차방정식에 한 근을 대입하고, 이를 이용할 수 있도
록 주어진 식을 변형한다.
x¤ -4x+1=0에 x=a를 대입하면 a¤ -4a+1=0
∴ (주어진 식)
=afi -4a› -2a› +a‹ +8a‹ -2a¤ +a¤ -4a+3
=afi -4a› +a‹ -2a› +8a‹ -2a¤ +a¤ -4a+3
=a‹ (a¤ -4a+1)-2a¤ (a¤ -4a+1)+(a¤ -4a+1)+2
=a‹ _0-2a¤ _0+0+2=2
02
x¤ -2mx-1=0에 x=a와 x=b를 대입해 본다.
x¤ -2mx-1=0에 x=a를 대입하면 a¤ -2ma-1=0
30
오른쪽 그림에서 대각선과 가로에 있는
15
14
4
네 수의 합이 서로 같으므로
12+(x+3)+㉠+(2x¤ -3x)
=4+㉠+(x+7)+13에서
2x¤ -3x-9=0, (x-3)(2x+3)=0
마방진은 자연수로 이루어졌으므로
x=3
12 x+3 ㉠ 2x¤ -3x
이때 a+0이므로 양변을 a로 나누면 a- =2m
1
a
x+7
13
5
16
{a+ }2 ={a- }2 +4=4m¤ +4이므로
1
a
a+ =2"√m¤ +1 (∵ a>0)
1
a
1
a
28 정답과 해설
(18~39)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지29 MAC3
1
∴ a¤ +a+ + ={a¤ + }+{a+ }
a
1
a
1
a¤
1
a¤
1
=[{a- }2 +2]+{a+ }
a
1
a
=4m¤ +2+2"√m¤ +1
x¤ -2mx-1=0에 x=b를 대입하면 b¤ -2mb-1=0
이때 b+0이므로 양변을 b로 나누면 b- =2m
1
b
1
b
1
b
{b+ }2 ={b- }2 +4=4m¤ +4이므로
1
b
b+ =-2"√m¤ +1 (∵ b<0)
1
∴ b¤ +b+ + ={b¤ + }+{b+ }
b
1
b
1
b¤
1
b¤
1
=[{b- }2 +2]+{b+ }
b
1
b
=4m¤ +2-2"√m¤ +1
∴ (주어진 식)=(4m¤ +2+2"√m¤ +1)+(4m¤ +2-2"√m¤ +1)
=8m¤ +4
03
P(x)=ax¤ +bx+c로 놓은 후, 주어진 조건을 이용하여
a, b, c의 값을 구한다.
P(x)=ax¤ +bx+c (a, b, c는 상수, a+0)라 하면
P(0)=2이므로 c=2
P(x+2)-P(x)=4x이므로
a(x+2)¤ +b(x+2)+2-(ax¤ +bx+2)=4x
∴ 4ax+4a+2b=4x
즉, 4a=4, 4a+2b=0이므로 a=1, b=-2
∴ P(x)=x¤ -2x+2
따라서 P(x-1)=2x-3에서
(x-1)¤ -2(x-1)+2=2x-3이므로 x¤ -6x+8=0
(x-2)(x-4)=0 ∴ x=2 또는 x=4
04
주어진 식에서 반복되는 부분을 다시 x로 놓는다.
x=
2+
3
11111113
2+
111113
2+
1112+y
=x
x¤ =2x+3, x¤ -2x-3=0
에서 x=2+
;[#;이므로
(x+1)(x-3)=0 ∴ x=3 (∵ x>0)
두 이차방정식에 x=p를 대입하면
2p¤ -ap+b=0 y`㉠, 2p¤ -bp+a=0 y`㉡
㉡-㉠을 하면
(a-b)p+(a-b)=0, (a-b)(p+1)=0
이때 a=b이면 두 이차방정식이 같으므로 조건을 만족하지 않는다.
따라서 p=-1이므로 ㉠에 대입하면 2+a+b=0
즉, 2x¤ -ax+b=0에 b=-(a+2)를 대입하면
2x¤ -ax-(a+2)=0, (x+1){2x-(a+2)}=0
∴ x=-1 또는 x=
a+2
2
2x¤ -bx+a=0에 a=-(b+2)를 대입하면
2x¤ -bx-(b+2)=0, (x+1){2x-(b+2)}=0
∴ x=-1 또는 x=
b+2
2
따라서 나머지 두 근의 합은
a+2
2
+
b+2
2
=
a+b+4
2
=
-2+4
2
=1
06
해한다.
a, c가 소수임을 이용하여 x¤ -2cx+a=0의 좌변을 인수분
a, c가 소수이므로 x¤ -2cx+a=0에서
(x-a)(x-1)=0 ∴ x=a 또는 x=1
공통인 근을 x=a라 하고, x¤ -ax+2b=0에 x=a를 대입하면
a¤ -a¤ +2b=0 ∴ b=0
이때 b는 소수가 아니므로 공통인 근은 x=1이다.
x¤ -ax+2b=0에 x=1을 대입하면 a=2b+1
x¤ -2cx+a=0에 x=1을 대입하면 a=2c-1
㉠, ㉡에서 2b+1=2c-1 ∴ c=b+1
따라서 b와 c는 소수이면서 연속하는 두 자연수이므로
b=2, c=3이고 a=2_2+1=5 (∵ ㉠)이다.
y`㉠
y`㉡
07
[x+ ]=n (n은 정수)으로 놓고, [x- ]을 n에 관한 식
1
2
1
2
으로 나타낸다.
[x+ ]=n(n은 정수)이라 하면
;2!;
;2!;
;2!;
[x- ]=[x+ -1]=[x+ ]-1=n-1
따라서 주어진 방정식은 n¤ -4(n-1)-16=0이므로
n¤ -4n-12=0, (n+2)(n-6)=0 ∴ n=-2 또는 n=6
;2!;
⁄
[x+ ]=-2일 때, -2…x+ <-1
;2!;
;2!;
∴ - …x<-
;2%;
;2#;
¤
[x+ ]=6일 때, 6…x+ <7 ∴
따라서 ⁄, ¤ 에서 구하는 x의 값의 범위는
;2!;
;2!;
…x<
:¡2¡:
:¡2£:
- …x<- 또는
;2#;
;2%;
:¡2¡:
…x<
:¡2£:
실수 x를 넘지 않는 최대의 정수를 [x]라 할 때,
① a가 정수이면 [x+a ]=[ x]+a, [x-a ]=[ x]-a
② [x]=b(b는 정수)이면 b…x0)
따라서 x의 정수 부분은 5이므로 소수 부분은 y=x-5
x¤ +y¤ =35에 y=x-5를 대입하면
x¤ +(x-5)¤ =35, x¤ -5x-5=0
5—"√(-5)¤ -4_1_(-≈5)
2
5—3'5
2
∴ x=
=
이때 x>0이므로 x=
5+3'5
2
이다.
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 29
05
값을 구한다.
두 이차방정식에 x=p를 각각 대입하여 조건을 만족하는 p의
08
부분을 구한다.
y는 x의 소수 부분이므로 0…y<1임을 이용하여 x의 정수
(18~39)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지30 MAC3
3 이차방정식의 활용
STEP 1
P. 57~59
1 2
2 10
3 ④
4 -1, -
;3@;
5 ⑴ 6 ⑵ -2'2 6 11
8 x=-6—'ß35
9 ①
13 ④ 14 21
12 x¤ +4x+1=0
17 4초 18 7 cm
7 a=3, b=-6
10 ⑤ 11 7
15 4
16 15명
주어진 이차방정식이 중근을 가지려면
(-2m)¤ -4_1_(2m+3)=0이어야 하므로
4m¤ -8m-12=0, m¤ -2m-3=0
(m+1)(m-3)=0 ∴ m=-1 또는 m=3
따라서 모든 상수 m의 값의 합은 (-1)+3=2이다.
1
2
2x¤ +8x+k-3=0이 서로 다른 두 근을 가지므로
8¤ -4_2_(k-3)>0, 8k<88 ∴ k<11
또 x¤ -4x+k-5=0이 근을 갖지 않으므로
y`㉡
(-4)¤ -4_1_(k-5)<0, 4k>36 ∴ k>9
따라서 ㉠, ㉡에서 9b, 즉 a-b>0이므로 a-b='2
∴ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)=-2_'2=-2'2
6
2x¤ +12x+k-1=0의 한 근을 a라 하면
다른 한 근은 a+4이므로 근과 계수의 관계에 의해
a+(a+4)=- =-6, 2a+4=-6 ∴ a=-5
12
2
30 정답과 해설
즉, 주어진 이차방정식의 두 근이 -5, -1이므로
(-5)_(-1)=
, 10=k-1 ∴ k=11
k-1
2
7
x¤ 의 계수가 a이고, 두 근이 -3, 5인 이차방정식은
a(x+3)(x-5)=0, a(x¤ -2x-15)=0
즉, ax¤ -2ax-15a=0이므로
-2a=b, -15a=-45 ∴ a=3, b=-6
x¤ 의 계수가 1이고, 두 근이 -4, 3인 이차방정식은
(x+4)(x-3)=0 ∴ x¤ +x-12=0
∴ p=1, q=-12
따라서 이차방정식 x¤ +12x+1=0의 근은
x=-6—"√6¤ -1_1=-6—'ß35
8
9
x¤ 의 계수가 3이고, x=2를 중근으로 갖는 이차방정식은
3(x-2)¤ =0 ∴ 3x¤ -12x+12=0
이차방정식 3(x-1)(x-a)=b에서
3x¤ -3(a+1)x+3a-b=0
y`㉠
y`㉡
따라서 ㉠, ㉡에서 -3(a+1)=-12, 3a-b=12이므로
a=3, b=-3 ∴ a+b=3+(-3)=0
10
2x¤ -3x-2=0에서 a+b= , ab=-1이므로
;2#;
(a-3)+(b-3)=a+b-6= -6=- ,
;2(;
;2#;
(a-3)(b-3)=ab-3(a+b)+9=-1- +9=
;2(;
;2&;
따라서 x¤ 의 계수가 2이고, a-3, b-3을 두 근으로 하는 이차
방정식은
2{x¤ + x+ }=0 ∴ 2x¤ +9x+7=0
;2&;
;2(;
이차방정식 2x¤ -3x-2=0에서
(2x+1)(x-2)=0 ∴ x=- 또는 x=2
;2!;
이때 a=- , b=2라 하면 a-3=- , b-3=-1
;2!;
;2&;
따라서 x¤ 의 계수가 2이고 - , -1을 두 근으로 하는 이차방정
;2&;
식은 2{x+ } (x+1)=0 ∴ 2x¤ +9x+7=0
;2&;
11
x¤ -10x+k=0에서 x의 계수와 상수항이 모두 유리수이고 한
근이 5-3'2이므로 다른 한 근은 5+3'2이다. 이때 두 근의 곱
이 k이므로
k=(5-3'2)(5+3'2)=25-18=7
x=5-3'2가이차방정식 x¤ -10x+k=0의근이므로
(5-3'2)¤ -10(5-3'2)+k=0
43-30'2-50+30'2+k=0 ∴ k=7
12
㈎에서 x¤ 의 계수가 1이므로 구하는 이차방정식을 x¤ +ax+b=0
이라 하면 ㈎, ㈏에서 x의 계수와 상수항이 모두 유리수이고, ㈐에
서 한 근이 -2-'3이므로 다른 한 근은 -2+'3이다. 즉,
(-2-'3)+(-2+'3)=-4 ∴ a=4
(-2-'3)(-2+'3)=4-3=1 ∴ b=1
따라서 구하는 이차방정식은 x¤ +4x+1=0이다.
(18~39)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지31 MAC3
13
구하는 다각형을 n각형이라 하면
n(n-3)
2
=44에서 n(n-3)=88, n¤ -3n-88=0
(n+8)(n-11)=0 ∴ n=11 (∵ næ3)
따라서 구하는 다각형은 십일각형이다.
14
연속하는 세 홀수를 x-2, x, x+2(xæ3인 홀수)라 하면
(x-2)¤ +x¤ +(x+2)¤ =155에서
3x¤ =147, x¤ =49 ∴ x=7 (∵ xæ3)
따라서 세 홀수는 5, 7, 9이므로 합은 5+7+9=21이다.
15
어떤 자연수를 x라 하면 3(x+3)=(x¤ +1)+4에서
3x+9=x¤ +5, x¤ -3x-4=0
(x+1)(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ x>0)
이때 k¤ -1+0이므로 k+-1 그리고 k+1
∴ k=3
2
주어진 이차방정식이 서로 다른 두 근을 가지려면
(-5)¤ -4pq>0 ∴ pq<
:™4∞:
따라서 pq< 를 만족하는 순서쌍 (p, q)는
:™4∞:
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1),
(2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (5, 1), (6, 1)
의 14가지이고, 모든 경우의 수는 36가지이므로 구하는 확률은
14
36
=
7
18
16
학생 수를 x명이라 하면 한 사람이 받는 연필의 수는 (x-3)자루
이므로
x(x-3)=180, x¤ -3x-180=0
(x-15)(x+12)=0 ∴ x=15 (∵ x>3)
따라서 학생 수는 15명이다.
17
50+70t-5t¤ =250에서 5t¤ -70t+200=0
t¤ -14t+40=0, (t-4)(t-10)=0
∴ t=4 또는 t=10
따라서 쏘아 올린 지 4초 후에 높이 250 m인 지점을 처음으로 완
4
전히 통과한다.
18
직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는
(12-x) cm이므로 x(12-x)=35에서
x¤ -12x+35=0, (x-5)(x-7)=0
∴ x=5 또는 x=7
이때 (가로의 길이)>(세로의 길이)이므로 60)
b
a
30
a
1
주어진 이차방정식이 중근을 가지므로
{-2(k+1)}¤ -4_(k¤ -1)_2=0
k¤ +2k+1-2k¤ +2=0, k¤ -2k-3=0
(k+1)(k-3)=0 ∴ k=-1 또는 k=3
이때 이차방정식의 두 근이 모두 소수이므로
30
a
=
2_3_5
a
가
두 소수의 곱이 되어야 한다.
∴ a=2 또는 a=3 또는 a=5
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 31
(18~39)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지32 MAC3
⁄ a=2일 때, 이차방정식의 두 근이 3, 5이므로
3+5=
∴ b=16
¤ a=3일 때, 이차방정식의 두 근이 2, 5이므로
2+5=
∴ b=21
‹ a=5일 때, 이차방정식의 두 근이 2, 3이므로
b
2
b
3
b
5
2+3=
∴ b=25
따라서 ⁄ ~‹ 에서 b의 값의 합은
16+21+25=62
7
p+q=3-2a
g
pq=a¤ -2a
에서 p, q는 이차방정식
x¤ -(3-2a)x+(a¤ -2a)=0의 두 근이므로
(3-2a)¤ -4(a¤ -2a)>0, 9-12a+4a¤ -4a¤ +8a>0
9-4a>0
∴ a<
9
4
x¤ -x-4=0의 두 근이 a, b이므로
a¤ -a-4=0, b¤ -b-4=0
∴ a¤ =a+4, b¤ =b+4
a‹ =a_a¤ =a(a+4)=a¤ +4a,
b‹ =b_b¤ =b(b+4)=b¤ +4b
이때 a+b=1, ab=-4이므로
(a‹ -a¤ +a+1)(b‹ -b¤ +b+1)
=(a¤ +4a-a¤ +a+1)(b¤ +4b-b¤ +b+1)
=(5a+1)(5b+1)
=25ab+5(a+b)+1
=25_(-4)+5_1+1
=-100+5+1=-94
8
9
주어진 이차방정식의 두 근이 절댓값은 같고, 부호가 반대이므로
두 근을 k, -k(k>0)라 하면
k+(-k)=a¤ -3a-18=0에서
(a+3)(a-6)=0 ∴ a=-3 또는 a=6
이때 k_(-k)=-a+2에서
⁄ a=-3일 때, -k¤ =5 ∴ k¤ =-5
양수의 제곱은 음수가 될 수 없으므로 이를 만족하는 k의 값은
없다.
10
주어진 이차방정식에서 (두 근의 곱)=-32<0이므로
두 근은 서로 다른 부호이고, 절댓값의 비가 2 : 1이므로 두 근을
a, -2a라 하면
a_(-2a)=-32에서
a¤ =16 ∴ a=—4
a+(-2a)=-m+5에서 m=a+5
이때 a=4이면 m=9, a=-4이면 m=1이므로
모든 상수 m의 값의 합은 9+1=10이다.
32 정답과 해설
11
주어진 이차방정식의 두 근의 최대공약수가 3이므로
두 근을 a=3m, b=3n(m, n은 서로소)이라 하면
3m+3n=-
=15이므로 m+n=5
-30
2
이때 a>b>3, 즉 3m>3n>3에서 m>n>1이므로
m=3, n=2 ∴ a=9, b=6
ab= 에서 54=
∴ k=108
k
2
k
2
∴ a-b+k=9-6+108=111
12
㈏에서 주어진 이차방정식 x¤ -ax+b=0의 두 근의 차가 5이므
로 두 근을 n, n+5(n은 자연수)라 하면
n+(n+5)=a에서 a=2n+5
n_(n+5)=b에서 b=n(n+5)
이때 a=2n+5가 20 이하의 3의 배수이므로
n=2 또는 n=5
⁄ n=2일 때, a=2_2+5=9, b=2_(2+5)=14
¤ n=5일 때, a=2_5+5=15, b=5_(5+5)=50
그런데 b는 7의 배수가 아니므로 n+5
따라서 ⁄ , ¤ 에서 a=9, b=14이므로
a+b=23
13
두 근이 연속하는 홀수이고, 두 근의 제곱의 차가 16이므로 두 근
을 a, a+2(a는 홀수)라 하면
(a+2)¤ -a¤ =16, a¤ +4a+4-a¤ =16
4a=12 ∴ a=3
즉, 두 근이 3, 5이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은
(x-3)(x-5)=0 ∴ x¤ -8x+15=0
따라서 a=-8, b=15이므로 두 근이 -8, 15이고, x¤ 의 계수
가 1인 이차방정식은
(x+8)(x-15)=0 ∴ x¤ -7x-120=0
14
x¤ +ax+b=0의 두 근이 a, b이므로
a+b=-a, ab=b
x¤ -8x+4=0의 두 근이 a¤ , b¤ 이므로
a¤ +b¤ =8, a¤ b¤ =4 ∴ ab=—2
⁄ ab=2일 때,
a¤ =(a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab=8+2_2=12
∴ a=2'3, b=2 (∵ a>b)
이때 a가 정수가 아니므로 주어진 조건을 만족하지 않는다.
a¤ =(a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab=8+2_(-2)=4
∴ a=2, b=-2 (∵ a>b)
따라서 ⁄, ¤ 에서 a=2, b=-2를 두 근으로 하고, x¤ 의 계수
가 1인 이차방정식은
(x-2)(x+2)=0 ∴ x¤ -4=0
15
x¤ -5x+2=0의 두 근이 a, b이므로
a+b=5, ab=2
이차방정식 2x¤ +ax+b=0의 두 근이 a¤ + , b¤ + 이므로
1
b
1
a
¤ a=6일 때, -k¤ =-4, k¤ =4 ∴ k=2 (∵ k>0)
따라서 ⁄, ¤ 에서 상수 a의 값은 a=6이다.
¤ ab=-2일 때,
(18~39)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지33 MAC3
1
{a¤ + }+{b¤ + }=a¤ +b¤ + +
a
1
b
1
a
1
b
=(a+b)¤ -2ab+
a+b
ab
=5¤ -2_2+ =
5
2
47
2
1
{a¤ + }{b¤ + }=a¤ b¤ +a+b+
a
1
b
1
ab
=2¤ +5+ =
1
2
19
2
1
따라서 두 근이 a¤ + , b¤ + 이고, x¤ 의 계수가 2인 이차방정
a
1
b
식은
2{x¤ - x+ }=0 ∴ 2x¤ -47x+19=0
47
2
19
2
따라서 a=-47, b=19이므로 b-a=19-(-47)=66이다.
16
2x¤ +ax+b=0에서 a, b가 유리수이고, 한 근이
2-'2
2
이므로
다른 한 근은
이다.
2+'2
2
2+'2
2
2+'2
2
=
b
2
=-
a
2
2-'2
2
2-'2
2
+
_
∴ a=-4
∴ b=1
∴ a+b=-3, ab=-4
이때 두 근이 -3, -4이고, x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은
(x+3)(x+4)=0 ∴ x¤ +7x+12=0
따라서 p=7, q=12이므로 pq=7_12=84이다.
17
꿀벌의 수를 x마리라 하면
7
8
1
2
1
æ– x+ x=x, æ– x= x, x= x¤
2
x¤ -32x=0, x(x-32)=0 ∴ x=32 (∵ xæ1)
따라서 처음에 있던 꿀벌은 모두 32마리이다.
1
64
1
8
1
2
18
쏘아 올린 지 t초 후의 높이를 50 m라 하면
35t-5t¤ =50, 5t¤ -35t+50=0
t¤ -7t+10=0, (t-2)(t-5)=0 ∴ t=2 또는 t=5
따라서 물체의 높이가 50 m 이상일 때는 쏘아 올린 지 2초부터 5
초까지이므로 3초 동안이다.
19
늘어난 원의 반지름의 길이는 x+5이므로
p_(x+5)¤ =4_(p_5¤ ), x¤ +10x+25=100
x¤ +10x-75=0, (x+15)(x-5)=0
∴ x=5 (∵ x>0)
20
AC”=x cm라 하면 CB”=(8-x) cm이므로
x¤ = (8-x)¤ , x¤ +8x-32=0
1
3
∴ x=
-4—"√4¤ -1_(-32)
1
이때 00)
∴ BC”=2x+3=2_5+3=13 (cm)
22
점 P의 x좌표를 p라 하면
P{p, - p+9}이고
;2!;
(cid:8772)OAPB=OA”_OB”이므로
1
y=-;:;x+9
2
P
y
B
O
A
x
;2!;
p{- p+9}=40
p¤ -18p+80=0, (p-8)(p-10)=0
∴ p=8 또는 p=10
따라서 x=8일 때 y=5, x=10일 때 y=4이므로
P(8, 5) 또는 P(10, 4)이다.
23
x
A
(cid:8772)ABCD가 황금직사각형이고,
(cid:8772)ABCD와 (cid:8772)DEFC가 닮음이므로
(cid:8772)ABFE는 정사각형이다.
이때 AD”=a, AB”=x라 하면
(cid:8772)ABCDª(cid:8772)DEFC이므로
AB” : DE”=AD” : DC”에서
x : (a-x)=a : x, x¤ =a(a-x), x¤ +ax-a¤ =0
B
x
a
E
D
a-x
x
F
C
∴ x=
-a—"√a¤ -4_1_(-a¤ )
2
=
-a—"ç5a¤
2
=
-a—'5a
2
(∵ a>0)
이때 x>0이므로 x=
-a+'5a
2
따라서 (cid:8772)ABCD와 (cid:8772)DEFC의 닮음비는
AD” : DC”=a : x=a :
-a+'5a
2
=1 :
-1+'5
2
=2 : ('5-1)
24
점 P는 초속 1 cm로 움직이므로 t초 후에 AP”=t cm
∴ BP”=(9-t) cm
또 점 Q는 초속 2 cm로 움직이므로 t초 후에 BQ”=2t cm
따라서 t초 후에 △PBQ의 넓이가 18 cm¤ 가 된다고 하면
_(9-t)_2t=18, 9t-t¤ =18, t¤ -9t+18=0
;2!;
(t-3)(t-6)=0 ∴ t=3 또는 t=6
이때 0<2t<10이므로 0x이므로 00)
5
3
4
3
5
3
따라서 은교의 속력은 시속 10 km이고, 두 사람이 만날 때까지
걸린 시간은 시간, 즉 1시간 40분이다.
5
3
28
경희가 봉사 활동을 하는 3일의 날의 수를 차례로 x-7, x, x+7
이라 하면
(x-7)¤ +2x+(x+7)=266, x¤ -11x-210=0
(x+10)(x-21)=0 ∴ x=21 (∵ x>7)
따라서 경희가 봉사 활동을 하는 3일은 14, 21, 28일이다.
34 정답과 해설
29
학생이 받은 계산식의 규칙을 찾으면 번호가 n번인 학생이 받은
계산식은 2_n_(n+2)-3_n+5이므로 간단히 하면
2_n_(n+2)-3_n+5=2n¤ +4n-3n+5
=2n¤ +n+5
이때 n번 학생이 받은 계산식의 식의 값이 671이므로
2n¤ +n+5=671, 2n¤ +n-666=0
(n-18)(2n+37)=0 ∴ n=18 (∵ n>0)
따라서 이 반 학생은 모두 18명이다.
30
1번째에 놓이는 검은색 바둑돌의 개수는 1개이고, 흰색 바둑돌의
개수는 0개
2번째에 놓이는 검은색 바둑돌의 개수는 1+2=3(개)이고, 흰색
바둑돌의 개수는 1개
3번째에 놓이는 검은색 바둑돌의 개수는 1+2+3=6(개)이고,
흰색 바둑돌의 개수는 1+2=3(개)
4번째에 놓이는 검은색 바둑돌의 개수는 1+2+3+4=10(개)이
고, 흰색 바둑돌의 개수는 1+2+3=6(개)
⋮
n번째에 놓이는 검은색 바둑돌의 개수는
1+2+3+4+y+n=
(개)이고, 흰색 바둑돌의 개수
n(n+1)
2
는 1+2+3+y+(n-1)=
n(n-1)
2
(개)
⑴
n(n+1)
2
에 n=21을 대입하면
21_(21+1)
2
=21_11=231
따라서 21번째에 놓이는 바둑돌에서 검은색 바둑돌은 231개
이다.
n(n-1)
2
⑵
=45에서 n¤ -n=90, n¤ -n-90=0
(n+9)(n-10)=0 ∴ n=10 (∵ n>0)
따라서 흰색 바둑돌이 45개가 놓이는 것은 10번째이다.
STEP 3
01 2
05 87
P. 65~66
02 'ß15
06
03 2
-5+5'5
2
04 x¤ -2014x-2015=0
cm 07 12
08 P(6, 9)
어야 함을 이용한다.
x¤ -ax+b+1=0이 근을 가지므로
(-a)¤ -4(b+1)æ0 ∴ b… -1
a¤
4
즉, b의 최댓값은 M= -1
a¤
4
이때 -2…a…4이므로
0…a¤ …16, -1… -1…3 ∴ -1…M…3
a¤
4
따라서 p=-1, q=3이므로 p+q=-1+3=2이다.
x= 를 ㉠에 대입하면 a=10
01
이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 근을 가지려면 b¤ -4acæ0이
(18~39)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지35 MAC3
02
("√a¤ +1+"√b¤ +1)¤ 의 값을 먼저 구한다.
(x-3)¤ =7-x¤ 에서 x¤ -3x+1=0
x¤ -3x+1=0의 두 근이 a, b이므로
a+b=3, ab=1
이때 a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=3¤ -2_1=7이므로
("√a¤ +1+"√b¤ +1)¤ =a¤ +1+2"√a¤ +1"√b¤ +1+b¤ +1
=a¤ +b¤ +2+2"√(a¤ +1)(b¤ +1)
=7+2+2"√(ab)¤ +a¤ +b¤ +1
=9+2"√1¤ +7+1
=9+2_3=15
따라서 "√a¤ +1+"√b¤ +1>0이므로
"√a¤ +1+"√b¤ +1='ß15
03
이차방정식 x¤ +2kx-6k=0의 양의 정수인 근을 a, 음의 정
수인 근을 b라 하고, 근과 계수의 관계를 이용하여 a+b와 ab의 관계
식을 구한다.
x¤ +2kx-6k=0의 양의 정수인 근을 a, 음의 정수인 근을 b라
하면
a+b=-2k, ab=-6k
이때 ab=-6k에 k=-
를 대입하면
a+b
2
ab=3(a+b), ab-3a-3b=0
ab-3a-3b+9=9 ∴ (a-3)(b-3)=9
이때 a>0, b<0에서 a-3>-3, b-3<-3이므로
(a-3)(b-3)=9를 만족하는 순서쌍 (a-3, b-3)은
(-1, -9)이다.
따라서 a=2, b=-6이므로 k=-
2+(-6)
2
=2이다.
04
이차방정식 x¤ -ax+b=0의 두 근이 연속하는 자연수이므로
두 근을 a, a+1로 놓는다.
x¤ -ax+b=0의 두 근이 연속하는 자연수이고, 두 근의 제곱의
차가 5이므로 두 근을 a, a+1(a는 자연수)이라 하면
(a+1)¤ -a¤ =5, a¤ +2a+1-a¤ =5
2a=4 ∴ a=2
즉, 두 근은 2, 3이므로
a=2+3=5, b=2_3=6이고 a-b=-1, b-a=1
∴ A=(a-b)+(a-b)¤ +y+(a-b)¤
=(-1)+(-1)¤ +y+(-1)¤
∴ B=(b-a)+(b-a)¤ +y+(b-a)¤
fi =-1
=1+1¤ +y+1¤
fi =2015
따라서 두 근이 -1, 2015이고, x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은
(x+1)(x-2015)=0 ∴ x¤ -2014x-2015=0
05
1-'5
2
구한다.
이차방정식 x¤ +ax+b=0(a, b는 유리수)의 한 근이
이면 다른 한 근은
임을 이용하여 a, b의 값을 먼저
1+'5
2
이차방정식 x¤ +ax+b=0에서 a, b가 유리수이고 한 근이
1-'5
2
1-'5
2
=-a ∴ a=-1
이므로 다른 한 근은
1+'5
2
1+'5
2
이다.
+
1-'5
2
_
1+'5
2
=b ∴ b=-1
따라서 x¤ -x-1=0에서 x¤ =x+1이므로
xfi =x‹ _x¤ =x‹ (x+1)=x› +x‹
=(x+1)¤ +x(x+1)=2x¤ +3x+1
=2(x+1)+3x+1=5x+3
∴ x⁄
‚ =(xfi )¤ =(5x+3)¤ =25x¤ +30x+9
=25(x+1)+30x+9=55x+34
따라서 p=55, q=34이므로
a+b+p+q=(-1)+(-1)+55+34=87
06
∠B의 이등분선과 AC”의 교점을 D라 하고, BD”를 그어서
△ABCª△BDC(AA 닮음)임을 이용한다.
△ABC에서 AB”=AC”이고 ∠A=36˘이므로
∠ABC=∠ACB= _(180˘-36˘)=72˘
;2!;
오른쪽 그림에서 ∠B의 이등분선과 AC”의
교점을 D라 하면
∠ABD=∠CBD= _72˘=36˘이므로
5 cm
;2!;
AD”=BD”
또 △ABD에서
∠BDC=∠BAD+∠ABD=72˘
이고, ∠BDC=∠BCD이므로
BD”=BC”
A
36˘
5 cm
D
72˘
72˘
C
36˘
36˘
B
x cm
△ABC와 △BDC에서
∠A=∠CBD=36˘이고, ∠C는 공통이므로
△ABCª△BDC(AA 닮음)
∴ AB” : BD”=BC” : DC”
이때 BC”=BD”=x cm라 하면 DC”=(5-x) cm이므로
5 : x=x : (5-x), x¤ =5(5-x), x¤ +5x-25=0
∴ x=
-5—"√5¤ -4_1_(-25)
2
=
-5—5'5
2
따라서 x>0이므로 BC”=x=
(cm)이다.
-5+5'5
2
07
도형을 그려 본다.
원이 삼각형의 세 변을 따라 움직일 때, 원의 중심 P가 만드는
오른쪽 그림에서 원 P가 삼각형 ABC의
세 변을 따라 움직일 때, 원의 중심 P가
그리는 도형을 △DEF라 하면
△DEFª△ABC이므로 DE”, EF”,
FD”의 길이를 각각 4x, 3x, 5x라 하자.
이때 (cid:8772)DABE, (cid:8772)EBCF, (cid:8772)FCAD는 모두 높이가 1인 사다
10
A
D
E
B
C
F
P
8
6
리꼴이므로
△ABC=(cid:8772)DABE+(cid:8772)EBCF+(cid:8772)FCAD+△DEF
= _(4x+8)_1+ _(3x+6)_1
;2!;
+ _(5x+10)_1+ _4x_3x
;2!;
=6x¤ +6x+12
;2!;
;2!;
1
2
△ABC= _8_6=24이므로 6x¤ +6x+12=24
x¤ +x-2=0, (x+2)(x-1)=0 ∴ x=1 (∵ x>0)
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 35
‚
⁄
fi
‚
⁄
‚
⁄
fi
‚
⁄
(18~39)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지36 MAC3
08
직선 y=x+3 위의 점 P의 좌표를 P(a, a+3)으로 놓는다.
=20¤ +3_20-50¤ -3_50
따라서 점 P가 그리는 △DEF의 둘레의 길이는
3x+4x+5x=12x=12
직선 y=x+3 위의 점 P의 좌표를
P(a, a+3)(a>0)이라 하면
OQ”=a, PQ”=a+3
∴ △POQ= a(a+3) y`㉠
점 P에서 y축에 내린 수선의 발을
H라 하면 PH”=OQ”=a
직선 y=x+3의 y절편은 3이므로 OR”=3
O
∴ △PRO= _3_a= a y`㉡
3
2
1
2
△POQ : △PRO=3 : 1이므로 ㉠, ㉡에서
1
2
a(a+3) :
a=3 : 1,
a(a+3)= a
a¤ -6a=0, a(a-6)=0 ∴ a=6 (∵ a>0)
따라서 점 P의 좌표는 P(6, 9)이다.
y
H
3
R
9
2
1
2
1
2
3
2
y=x+3
P(a, a+3)
Q
x
2 -2190
1 -6
6 (4+4'2) cm
4 15
3 4'2
7 풀이 참조
P. 67~68
5 x=4 또는 x=6
1
주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해하면
x¤ +4xy+3y¤ -10x-14y+16
=x¤ +(4y-10)x+3y¤ -14y+16
=x¤ +(4y-10)x+(3y-8)(y-2)
=(x+3y-8)(x+y-2)
따라서 a=3, b=-8, c=1, d=-2 또는
a=1, b=-2, c=3, d=-8이므로
a+b+c+d=-6
채점 기준
⁄ 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하기
¤ 주어진 식을 인수분해하기
‹ a, b, c, d의 값 구하기
› a+b+c+d의 값 구하기
y`⁄
y`¤
y`‹
y`›
배점
30 %
30 %
20 %
20 %
2
20=x, 50=y로 놓으면
(주어진 식)
="√x(x+1)(x+2)√(x+3)+1-"√y(y+1)(y+2)√(y+3)+1
y`⁄
n에 대한 다항식 n(n+1)(n+2)(n+3)+1을 인수분해하면
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)(n+2)+1
=(≥n¤ +3n)(≥n¤ +3n+2)+1
A
A
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=A(A+2)+1=A¤ +2A+1
=(A+1)¤ =(n¤ +3n+1)¤
36 정답과 해설
∴ (주어진 식)="√(x¤ +3x+1)¤ -"√(y¤ +3y+1)¤
=x¤ +3x+1-(y¤ +3y+1) (∵ x>0, y>0)
=x¤ +3x-y¤ -3y
y`¤
=400+60-2500-150=-2190
y`‹
채점 기준
⁄ 20=x, 50=y로 놓고 주어진 식을 x, y에 관한 식으로
나타내기
¤ 근호 안의 식을 인수분해하여 주어진 식을 간단히 정리하기
‹ x=20, y=50을 대입하여 주어진 식의 값 구하기
배점
30 %
50 %
20 %
3
이때 2x-y=
주어진 식을 인수분해하면
3x¤ -8xy-3y¤ =(3x+y)(x-3y)
'2+1
('2-1)('2+1)
'2-1
('2+1)('2-1)
1
'2-1
=
1
'2+1
x+2y=
=
y`⁄
='2+1 y`㉠ㅇ
='2-1
y`㉡ㅇ
이므로 ㉠+㉡에서 3x+y=2'2, ㉠-㉡에서 x-3y=2 y`¤
y`‹
∴ (주어진 식)=(3x+y)(x-3y)=2'2_2=4'2
채점 기준
⁄ 3x¤ -8xy-3y¤ 을 인수분해하기
¤ 주어진 조건을 이용하여 3x+y, x-3y의 값 구하기
‹ ¤에서 구한 값을 이용하여 3x¤ -8xy-3y¤ 의 값 구하기
배점
30 %
각 20 %
30 %
4
x(x-3)=18에서 x¤ -3x-18=0
(x+3)(x-6)=0 ∴ x=-3 또는 x=6
따라서 2x¤ +(a+1)x+2a=0에 x=-3을 대입하면
18-3(a+1)+2a=0
18-3a-3+2a=0 ∴ a=15
채점 기준
⁄ 이차방정식 x(x-3)=18의 두 근 구하기
¤ ⁄의 두 근 중 작은 근을 2x¤ +(a+1)x+2a=0에 대입하기
‹ 상수 a의 값 구하기
y`⁄
y`¤
y`‹
배점
40 %
30 %
30 %
5
혜림이는 5를 중근으로 구하였으므로 혜림이가 푼 이차방정식은
(x-5)¤ =0 ∴ x¤ -10x+25=0
이때 혜림이는 x의 계수를 바르게 보았으므로
x의 계수는 -10이다.
현우는 -2, -12를 두 근으로 구하였으므로 현우가 푼 이차방
y`¤
y`⁄
정식은
(x+2)(x+12)=0 ∴ x¤ +14x+24=0
이때 현우는 상수항을 바르게 보았으므로 상수항은 24이다.y`›
y`fi
따라서 처음 이차방정식은 x¤ -10x+24=0이므로
(x-4)(x-6)=0 ∴ x=4 또는 x=6
y`‹
y`fl
채점 기준
⁄ 혜림이가 푼 이차방정식 구하기
¤ 처음 이차방정식의 x의 계수 구하기
‹ 현우가 푼 이차방정식 구하기
› 처음 이차방정식의 상수항 구하기
fi 처음 이차방정식 구하기
fl 처음 이차방정식의 해 구하기
배점
20 %
10 %
20 %
10 %
10 %
30 %
6
처음 색종이의 한 변의 길이를 x cm라 하면
상자의 밑면의 가로와 세로의 길이가 각각 (x-4) cm이고,
(18~39)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지37 MAC3
y`⁄
높이는 2 cm이다.
상자의 부피가 64 cm‹ 이므로
(x-4)_(x-4)_2=64
(x-4)¤ =32, x-4=—4'2
∴ x=4-4'2 또는 x=4+4'2
이때 x>4이므로 x=4+4'2
따라서 처음 색종이의 한 변의 길이는 (4+4'2) cm이다. y`›
y`¤
y`‹
채점 기준
⁄ 미지수 정하기
¤ 주어진 조건에 맞게 이차방정식 세우기
‹ 이차방정식의 해 구하기
› 처음 색종이의 한 변의 길이 구하기
배점
20 %
30 %
30 %
20 %
7
|예시 답안|
한 자리의 자연수 x와 0 또는 한 자리의 자연수 y에 대하여 두 자
y`⁄
리의 카프리카 수를 10x+y라 하자.
카프리카 수의 성질에 의해
(x+y)¤ =10x+y, x¤ +2(y-5)x+(y¤ -y)=0
이므로
x=-(y-5)—"√(y-5)¤ -(y¤ -y)
=(5-y)—'ƒ25-9y
이때 근호 안의 수 25-9y는 양수이어야 하므로 이를 만족하는
y`‹
자연수 y는 y=0, 1, 2뿐이다.
㉠ y=0일 때, x=5—'ß25 ∴ x=10 또는 x=0
y`¤
이때 x는 조건을 만족하지 않는다.
㉡ y=1일 때, x=4—'ß16 ∴ x=8 또는 x=0
이때 x는 자연수이므로 x=8
㉢ y=2일 때, x=3—'7
이때 x는 조건을 만족하지 않는다.
따라서 ㉠~㉢에서 두 자리의 카프리카 수는
81(8+1=9, 9¤ =81)의 한 개뿐이다.
채점 기준
⁄ 두 자리의 수를 문자를 사용하여 나타내기
¤ 근의 공식을 이용하기
‹ 근호 안이 양수가 되도록 하는 y의 값 구하기
› 조건을 만족하는 x, y의 값 구하기
fi 두 자리의 카프리카 수 구하기
y`›
y`fi
배점
10 %
20 %
10 %
각 20 %
20 %
P. 69~72
2 ④
7 101
1 ②
6 ⑤
11 4, 과정은 풀이 참조
3 ③
8 ③
5 0
4 x=6, y=4
9 7개
10 ②
12 ④ 13 ⑤ 14 ④
16 4
17 5, 6
18 ④ 19 7
20 ④
15
21
20
7
5+'ß57
4
24 20
25 2
26 ③
22 11, 과정은 풀이 참조
23 ④
1
A="√4(x-1)¤ -æ≠{x+ }2 이므로
1
2
① x<- 일 때, A=-2(x-1)-{-x- }=-x+
② - …x<1일 때, A=-2(x-1)-{x+ }=-3x+
1
2
1
2
③ 00이므로 x-y>0에서 x>y
⁄ x+y=20, x-y=1일때, 만족하는자연수 x, y의값은없다.
¤ x+y=10, x-y=2일 때, x=6, y=4
‹ x+y=5, x-y=4일 때, 만족하는 자연수 x, y의 값은 없다.
따라서 ⁄~‹ 에서 주어진 식을 만족하는 x, y의 값은
x=6, y=4
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)=k에서 a+b=1이므로 a-b=k
(a-b)‹ =a‹ -b‹ -3ab(a-b)이므로 a-b=k를 대입하면
k‹ =k‹ -3abk ∴ 3abk=0
따라서 ab+0이므로 k=0이다.
x› -y› =(x¤ +y¤ )(x¤ -y¤ )=(x¤ +y¤ )(x+y)(x-y)
(x+y)¤ +(x-y)¤ =(x¤ +2xy+y¤ )+(x¤ -2xy+y¤ )
=2(x¤ +y¤ )
에서 x+y='3, x-y='2 이므로
('3)¤ +('2)¤ =2(x¤ +y¤ ) ∴ x¤ +y¤ =
∴ x› -y› =(x¤ +y¤ )(x+y)(x-y)= _'3_'2=
5'6
2
5
2
5
2
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 37
2
3
5
6
(18~39)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지38 MAC3
7
(1+x-y)¤ -(x+y)¤
={(1+x-y)+(x+y)}{(1+x-y)-(x+y)}
=(1+2x)(1-2y)=-21
∴ (2x+1)(2y-1)=21
이때 x, y가 자연수이므로 2x+1, 2y-1도 자연수이다.
⁄ 2x+1=1, 2y-1=21일 때, x=0, y=11
이때 x가 자연수가 아니므로 조건을 만족하지 않는다.
¤ 2x+1=3, 2y-1=7일 때, x=1, y=4이므로
‹ 2x+1=7, 2y-1=3일 때, x=3, y=2이므로
x¤ +y¤ =1+16=17
x¤ +y¤ =9+4=13
› 2x+1=21, 2y-1=1일 때, x=10, y=1이므로
x¤ +y¤ =100+1=101
따라서 ⁄~›에서 x¤ +y¤ 의 최댓값은 101이다.
8
(주어진 식)=(x¤ +x-6)(x¤ +x-4)-8
이때 x¤ +x=A로 놓으면
(A-6)(A-4)-8=A¤ -10A+16
=(A-2)(A-8)
=(x¤ +x-2)(x¤ +x-8)
=(x-1)(x+2)(x¤ +x-8)
따라서 주어진 식의 인수가 아닌 것은 ③이다.
9
3⁄
° -1
=(3fl
› +1)(3fl
› -1)=(3fl
› +1)(3‹
¤ +1)(3‹
¤ -1)
=(3fl
› +1)(3‹
¤ +1)(3⁄
fl +1)(3⁄
fl -1)
=(3fl
› +1)(3‹
¤ +1)(3⁄
fl +1)(3° +1)(3° -1)
=(3fl
› +1)(3‹
¤ +1)(3⁄
fl +1)(3° +1)(3› +1)(3› -1)
=(3fl
› +1)(3‹
¤ +1)(3⁄
fl +1)(3° +1)(3› +1)(3¤ +1)(3¤ -1)
=(3fl
› +1)(3‹
¤ +1)(3⁄
fl +1)(3° +1)(3› +1)(3¤ +1)(3+1)(3-1)
따라서 3« +1의 꼴의 약수는 3fl
3› +1, 3¤ +1, 3+1의 7개이다.
› +1, 3‹
¤ +1, 3⁄
fl +1, 3° +1,
10
주어진 식을 a에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해하면
(주어진 식)=(b-c)a¤ -(b¤ -c¤ )a+bc(b-c)
=(b-c)a¤ -(b+c)(b-c)a+bc(b-c)
=(b-c){a¤ -(b+c)a+bc}
=(b-c)(a-b)(a-c)
=-(a-b)(b-c)(c-a)
11
'6+x=a, '6-x=b로 놓으면
(주어진 식)=(a« +b« )¤ -(a« -b« )¤
={(a« +b« )+(a« -b« )}{(a« +b« )-(a« -b« )}
=2a« _2b« =4(ab)« =4{('6+x)('6-x)}« y`¤
이때 x='5이므로
4{('6+x)('6-x)}« =4{('6+'5)('6-'5)}«
=4(6-5)« =4_1« =4
채점 기준
⁄ '6+x=a, '6-x=b로 놓고 주어진 식을 a, b에 관한
식으로 나타내기
¤ 주어진 식을 인수분해하기
‹ x='5 를 대입하여 식의 값 구하기
y`‹
배점
20 %
60 %
20 %
38 정답과 해설
12
㈎ (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1
=(≥x¤ +5x+4)(≥x¤ +5x+6)+1
A
A
(cid:100) =(A+4)(A+6)+1=A¤ +10A+25
=(A+5)¤ =(x¤ +5x+5)¤
(cid:100) ∴ a=5, b=5
㈏ ㈎에서 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x¤ +5x+5)¤
이므로 x=30을 대입하면
31_32_33_34+1=(30¤ +5_30+5)¤ =1055¤
∴ 'ƒ31_32_33_34+1="√1055¤ =1055=c
따라서 a=5, b=5, c=1055이므로 a+b+c=1065이다.
13
x¤ +ax-3=0에 x=-3을 대입하면
9-3a-3=0 ∴ a=2
따라서 3x¤ -8x+b=0에 x=2를 대입하면
12-16+b=0 ∴ b=4
∴ a+b=2+4=6
14
x¤ -4x+2=0에 x=a를 대입하면
a¤ -4a+2=0
∴ a¤ -4a=-2
a+0이므로 ㉠의 양변을 a로 나누면
y`㉠
a-4+ =0 ∴ a+ =4
2
a
2
a
2
∴ (a¤ -4a+3){a+ }=(-2+3)_4=4
a
15
(a-1)x¤ -2a(a+1)x-4=0에 x=-1을 대입하면
(a-1)+2a(a+1)-4=0, 2a¤ +3a-5=0
(2a+5)(a-1)=0 ∴ a=- 또는 a=1
5
2
5
2
8
7
이때 a-1+0, 즉 a+1이므로 a=-
따라서 주어진 이차방정식은 7x¤ +15x+8=0이므로
(7x+8)(x+1)=0 ∴ x=- 또는 x=-1
즉, b=- 이므로 ab=- _{- }=
5
2
8
7
20
7
8
7
y`⁄
16
x¤ +3x-18=0, (x+6)(x-3)=0
∴ x=-6 또는 x=3
x¤ +13x=-42, x¤ +13x+42=0
(x+7)(x+6)=0 ∴ x=-7 또는 x=-6
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-6이므로
3x¤ +(k+8)x-9k=0에 x=-6을 대입하면
3_(-6)¤ +(k+8)_(-6)-9k=0, 108-6k-48-9k=0
15k=60 ∴ k=4
17
¤ +5-24=0에서 (+8)(-3)=0
∴ =-8 또는 =3
¤
(18~39)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지39 MAC3
이때 는 0 또는 자연수이므로 =3
따라서 자연수 x의 값이 될 수 있는 것은 5, 6이다.
18
직선 ax+2y=6이 점 (a-5, a¤ -3)을 지나므로
ax+2y=6에 x=a-5, y=a¤ -3을 대입하면
a(a-5)+2(a¤ -3)=6, 3a¤ -5a-12=0
(3a+4)(a-3)=0 ∴ a=- 또는 a=3
4
3
이때 점 (a-5, a¤ -3)이 제 2사분면 위의 점이므로
a-5<0, a¤ -3>0
a=- 일 때, a¤ -3= -3=- <0이므로 a+-
16
9
11
9
4
3
4
3
따라서 상수 a의 값은 a=3이다.
19
x¤ -ax+b=0의 한 근을 n(n은 자연수)이라 하면
다른 한 근은 3n이므로
n+3n=a ∴ a=4n
n_3n=b ∴ b=3n¤
이때 두 근의 합이 7 이하이므로
a…7, 즉 4n…7 ∴ n=1 (∵ n은 자연수)
따라서 a=4_1=4, b=3_1¤ =3이므로
a+b=4+3=7
20
x¤ +ax+b=0에서 a, b가 유리수이고 한 근이 1+'2이므로
다른 한 근은 1-'2이다.
(1+'2)+(1-'2)=-a ∴ a=-2
(1+'2)(1-'2)=b ∴ b=-1
따라서 이차방정식 -x¤ -2x+1=0에서
a+b=-2, ab=-1
∴ + =
1
a
1
b
a+b
ab
=
-2
-1
=2
21
x¤ -2(2k+3)x+4k¤ +10k+3=0이 중근을 가지므로
{-(2k+3)}¤ -(4k¤ +10k+3)=0
4k¤ +12k+9-4k¤ -10k-3=0, 2k=-6
∴ k=-3
(k+5)x¤ +(k-2)x-4=0에 k=-3을 대입하면
2x¤ -5x-4=0
∴ x=
5—"√(-5)¤ -4_2_(-≈4)
4
=
5—'ß57
4
따라서 두 근 중 큰 근은
5+'ß57
4
이다.
채점 기준
⁄ 연속하는 세 홀수 a, b, c를 미지수로 나타내기
¤ a, b, c를 ac=8b+5에 대입하여 이차방정식 세우기
‹ 이차방정식의 해 구하기
› c의 값 구하기
배점
20 %
30 %
30 %
20 %
23
전체 학생 수를 x명이라 하면 한 사람이 가진 사탕의 수는
(x-5)개이므로
x(x-5)=150, x¤ -5x-150=0
(x+10)(x-15)=0 ∴ x=-10 또는 x=15
이때 x는 x>5인 자연수이므로 x=15
따라서 이 반의 전체 학생 수는 15명이다.
24
(정가)=5000+5000_
=5000+50x(원)
x
100
(판매 금액)=5000+50x-(5000+50x)_
x
100
=5000+50x-50x- x¤
=5000- x¤ (원)
1
2
이때 원가의 4 %의 손해를 보았으므로
1
2
4
100
{5000- x¤ }-5000=-200
1
2
x¤ =400 ∴ x=20 (∵ x>0)
(판매 금액)-(원가)=-{5000_
}=-200(원)에서
25
18 m
(18-2x)m
2x m
10 m
x m
x m
x m
(10-x)m
x m
도로를 제외한 땅의 넓이가 112 m¤ 이므로
(18-2x)(10-x)=112, 2x¤ -38x+180=112
x¤ -19x+34=0, (x-2)(x-17)=0
∴ x=2 또는 x=17
이때 0<2x<18에서 0BC”에서 x>40-x이므로
200, q<0
19 ③
20 ②
21
;4#;
22 4
ㄱ. y=2000x (일차함수)
ㄴ. y=80x (일차함수)
ㄷ. y=x(5-x)=-x¤ +5x (이차함수)
ㄹ. y=x‹ (이차함수가 아니다.)
ㅁ. y=4px¤ (이차함수)
따라서 이차함수인 것은 ㄷ, ㅁ이다.
1
2
y=(3x-1)¤ -ax(2-x)=(9+a)x¤ -2(3+a)x+1
이므로 이차함수가 되려면 x¤ 의 계수가 0이 아니어야 한다.
9+a+0 ∴ a+-9
3
1
f(3)=2이므로 - _3¤ +a_3-1=2
3
3a=6 ∴ a=2
f(x)=- x¤ +2x-1에서 f(b)=- 이므로
10
3
1
3
- _b¤ +2_b-1=- , b¤ -6b-7=0
10
3
(b+1)(b-7)=0 ∴ b=7 (∵ b는 자연수)
∴ a+b=2+7=9
4
y=ax¤ 의 그래프가 점 (2, 2)를 지나므로
2=4a ∴ a=
1
2
또 점 (-6, b)를 지나므로
b= _(-6)¤ =18 ∴ ab= _18=9
1
2
1
3
1
2
5
ㄱ. 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)이다.
ㄴ. 축의 방정식은 x=0이다.
ㄷ. y=ax¤ 에서 a<0이므로 위로 볼록한 포물선이다.
ㄹ. 제3사분면과 제4사분면을 지난다.
1
ㅁ. |- |>|
2
1
4
|이므로 이차함수 y=- x¤ 의 그래프는
1
2
y= x¤ 의 그래프보다 폭이 좁다.
1
4
따라서 옳은 것은 ㄹ, ㅁ이다.
40 정답과 해설
6
2
y=ax¤ 의 그래프의 폭이 y=- x¤ 의 그래프보다 좁고, y=-2x¤
3
의 그래프보다 넓으므로
|- |<|a|<|-2|, <|a|<2
2
3
2
3
이때 a<0이므로 -20 ∴ p>0, q<0
일차함수의 그래프가 오른쪽 아래로 향하므로 a<0이고, y절편
이 양수이므로 b>0이다.
따라서 y=a(x-b)¤ 의 그래프는 a<0이므로 위로 볼록한 포물
선이고, 꼭짓점의 좌표 (b, 0)에서 b>0이므로 꼭짓점은 x축
위의 점이며 y축의 오른쪽에 있으므로 그래프로 적당한 것은 ③
18
19
이다.
20
(1, 2)：제1사분면
각 그래프의 꼭짓점을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로
-2만큼 평행이동시켜 꼭짓점이 위치하는 사분면을 구하면
① (0, 4)
˙k
② (-2, 0)
③ (0, 3)
④ (1, 0)
˙k
⑤ (-3, 4)
˙k
(1, 1)：제1사분면
(2, -2)：제4사분면
(-1, -2)：제3사분면
(-2, 2)：제2사분면
˙k
21
이차함수의 그래프를 평행이동할 때 그래프의 모양과 폭은 변하지
˙k
3
4
않으므로 a=
꼭짓점이 (2, 1)에서 (5, -2)로 이동했으므로
2+m=5, 1+n=-2 ∴ m=3, n=-3
3
∴ a+m+n= +3+(-3)=
4
3
4
STEP 2
P. 78~82
1 ④
2 ②, ⑤ 3 ③
4 12
5 P(2, 1)
6 ⑤
7 B{
;3$;
,
;9@;
}
`8 y=- x¤
;3!;
`9 ③
10 18
11 12 m 12
;2™5;
0)라 하면
y=ax¤ 의 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로
B(-k, ak¤ ), C(k, ak¤ )
점 D의 x좌표는 k+2k=3k이므로 D(3k, 6k¤ )
점 C와 점 D의 y좌표는 서로 같으므로
ak¤ =6k¤ ∴ a=6 (∵ k>0)
라 하면 점 C의 y좌표는 점 D의 y좌표와 같고, 점 C는
y= x¤ 의 그래프 위의 점이므로 y=2k¤ 을 대입하면
2k¤ = x¤ , x¤ =4k¤ ∴ x=2k (∵ x>0)
1
2
1
2
∴ C(2k, 2k¤ )
1
2
3
2
2
3
(cid:8772)ABCD가 정사각형이므로 AD”=DC”에서
3
2
k¤ =k ∴ k= (∵ k>0)
따라서 B{2k,
k¤ }이므로 B{
1
2
4
3
,
2
9
}이다.
8
점 A의 좌표를 A{k,
k¤ } (k>0)이라 하면 B(k, -k¤ )
이때 [ k¤ +(-k¤ )]_ =- k¤ 이므로 M{k, - k¤ }
1
3
따라서 구하는 이차함수의 식을 y=ax¤ 이라 하면 이 이차함수의
1
3
1
2
1
3
1
3
그래프가 점 M을 지나므로 - k¤ =ak¤
∴ a=- (∵ k>0) ∴ y=- x¤
1
3
1
3
1
3
42 정답과 해설
9
y=ax¤ +3의 그래프의 축은 y축이므
로 점 A와 점 B는 y축에 대하여 서로
A
대칭이다.
이때 AB”=4'3이고, y좌표는 7로 같
으므로 오른쪽 그림에서
A(-2'3, 7), B(2'3, 7)
따라서 점 B는 y=ax¤ +3의 그래프 위의 점이므로
-2'3
O
7=a_(2'3)¤ +3, 12a=4 ∴ a=
™
y=ax
+3
y=7
B
y
7
3
x
2'3
10
두 이차함수의 그래프가 모두 점 C(2, 0)을 지나므로
0= _2¤ +m에서 m=-5, 0=-2¤ +n에서 n=4
5
4
따라서 점 B, D는 각각 두 이차함수 y= x¤ -5, y=-x¤ +4
1
3
5
4
의 그래프의 꼭짓점이므로 B(0, -5), D(0, 4)
∴ (cid:8772)ABCD=△ACD+△ABC
= _4_4+ _4_5=8+10=18
1
2
1
2
11
오른쪽 그림과 같이 지면 위의 O지점
y
을 원점으로 하는 좌표평면에서 포물
선의 꼭짓점의 좌표가 P(0, 3)이므
로 이 포물선을 그래프로 하는 이차함
수의 식을 y=ax¤ +3이라 하자.
이 그래프가 점 R(6, 7)을 지나므로
7=a_6¤ +3, 36a=4 ∴ a=
;9!;
T
R
7 m
P
3 m
O
6 m
3 m
S
Q
x
이때 점 T의 좌표를 T(9, h)라 하면 y= x¤ +3의 그래프가
;9!;
h= _9¤ +3=12 ∴ T(9, 12)
;9!;
따라서 S지점에서 T지점까지의 높이는 12 m이다.
12
y=ax¤ -1의 그래프가 직사각형 ABCD의 둘레 위의 서로 다른
두 점에서 만나려면 y=ax¤ -1의 그래프가 점 A와 점 C 사이
를 지나야 한다.
점 C(5, 1)을 지날 때, 1=25a-1 ∴ a=
따라서 구하는 a의 값의 범위는
2
25
5
0
y=- x¤ +3의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, 3)이고, 점
(p, 0)을 지나므로
1
2
1
2
0=- p¤ +3, p¤ =6 ∴ p='6 (∵ p>0)
이때 y=a(x-'6)¤ 의 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로
∴ ap= _'6= '6
1
2
3=a(-'6)¤ ∴ a=
1
2
2
7
두 점 A, D의 좌표를 각각 A{k,
k¤ }, D(k, 2k¤ )(k>0)이
1
2
점 T를 지나므로
AD”=2k¤ - k¤ = k¤ , DC”=2k-k=k이고
점 A(3, 4)를 지날 때, 4=9a-1 ∴ a=
(40~56)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지43 MAC3
14
y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만
큼 평행이동한 그래프의 식은 y=a(x-3)¤ +2
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (3, 2)
y
2
이고, 이 그래프가 모든 사분면을 지나
y=(x-p)¤ -2p의 그래프가 점 (1, 2)를 지나므로
2=(1-p)¤ -2p, p¤ -4p-1=0 ∴ p=2+'5 (∵ p>0)
∴ p+q=p+(-2p)=-p=-2-'5
O
3
x
19
BC”=6이므로 △ABC=12에서
려면
⁄ 그래프의 모양이 위로 볼록해야 하
므로 a<0
¤ (y축과 만나는 점의 y좌표)>0이어야 하므로
y=a(x-3)¤ +2에 x=0을 대입하면
y=9a+2>0 ∴ a>-
2
9
따라서 ⁄, ¤에서 a의 값의 범위는 - 0, q<0
직선 px+qy+a=0에서 q+0이므로 y=- x-
따라서 (기울기)=- >0,
p
q
(y절편)=- <0이므로 오른쪽 그림과 같
a
q
이 직선 px+qy+a=0은 제2사분면을 지
나지 않는다.
p
q
a
q
y
O
x
22
ap<0, aq>0이므로 a와 p는 부호가 서로 다르고, a와 q는 부
호가 서로 같으므로
⁄ a>0, p<0, q>0일 때,
a>0이므로 아래로 볼록한 포물선이고,
p<0, q>0이므로 꼭짓점 (p, q)는 제2사분면 위에 있다.
¤ a<0, p>0, q<0일 때,
a<0이므로 위로 볼록한 포물선이고,
p>0, q<0이므로 꼭짓점 (p, q)는 제4사분면 위에 있다.
따라서 y=a(x-p)¤ +q의 그래프가 될 수 있는 것은 ②, ④이다.
23
y=(x-2)¤ 의 그래프는 y=(x+4)¤ 의 그래프를 x축의 방향으
로 6만큼 평행이동한 그래프이므로 AB”=6
△ACB= _AB”_AC”= _6_AC”=12에서 AC”=4
;2!;
;2!;
Ⅲ. 이차함수 43
(40~56)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지44 MAC3
따라서 그래프의 식은 y=-2x¤ +2이고 꼭짓점의 좌표가 (0, 2)
이므로 분수의 물을 맞지 않고 분수 사이의 한가운데를 지나가려
면 키가 2 m, 즉 200 cm 미만이어야 한다.
29
ㄱ. n=2일 때, 점 B의 좌표는 ('2, 2)이므로 A¡{
'2
2
'3
3
, 2}
, 3}
ㄴ. n=3일 때, 점 B의 좌표는 ('3, 3)이므로 A¡{
원점과 점 A¡을 지나는 일차함수의 그래프의 식을 y=ax라
하면 3=a_ , '3a=9 ∴ a=3'3
'3
3
따라서 원점과 점 A¡을 지나는 일차함수의 그래프의 식은
y=3'3x이다.
ㄷ. 직선 y=n과 이차함수 y=x¤ 의 그래프가 만나는 점 B의 좌
표는 ('n, n)이고, AB”='n이므로 AB”를 n등분하면
A¡의 x좌표는
이다.
'n
n
따라서 원점을 꼭짓점으로 하고, 점 A¡{
, n}을 지나는
'n
n
이차함수의 그래프의 식은 y=n¤ x¤ 이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
STEP 3
01 4
02
;4(;
03 3p
06 3개
07 2…x…8
08 f(3« ), f(2« ), f {
1
153«
}, f {
1
152«
}, f(1)
04
-1+'1ß7`
1111445
2
P. 83~84
05 5001
01
직선 AB의 기울기를 이용하여 상수 a의 값을 먼저 구한다.
A{a,
a¤ }, B{a+4,
(a+4)¤ }이고 직선 AB의 기울기가
2
3
2
3
4
3
이므로
;3@; (a+4)¤ -;3@; a¤
(a+4)-a
4
= 에서
3
;3@; (8a+16)
4
=
4
3
2(8a+16)=16, 16a=-16 ∴ a=-1
따라서 A{-1,
}, B(3, 6)이므로
2
3
오른쪽 그림과 같이 두 점 A, B에서 x축
에 내린 수선의 발을 각각 C, D라 하면
△AOB
=(cid:8772)ACDB-△OAC-△OBD
1
= _{ +6}_4- _1_ - _3_6
2
1
2
1
2
2
3
2
3
y
6
2
;:;3
A
C
-1
B
3
D
x
O
따라서 y=(x+4)¤ +q의 그래프는 y=(x+4)¤ 의 그래프를 y
축의 방향으로 -4만큼 평행이동한 그래프이므로 q=-4이다.
24
y=a(x-p)¤ +q의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하면
-y=a(x-p)¤ +q ∴ y=-a(x-p)¤ -q
이 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-3, -1)이므로
p=-3, -q=-1에서 q=1
따라서 y=a(x+3)¤ +1의 그래프가 점 (-1, -7)을 지나므로
-7=a(-1+3)¤ +1, 4a=-8 ∴ a=-2
∴ apq=(-2)_(-3)_1=6
25
오른쪽 그림에서 이차함수
y= (x+3)¤ -1의 그래프를 직선
;2!;
y=2에 대하여 대칭이동한 그래프의 꼭
짓점의 좌표는 (-3, 5)이다.
y=2
또 대칭이동한 그래프는 대칭이동하기
-3
-1
y=;:;(x+3)
1
2
™
-1
y
5
2
O
x
전의 그래프와 폭은 같고, 위로 볼록한 포
물선이므로 이차항의 계수는 - 이다.
;2!;
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=- (x+3)¤ +5이다.
;2!;
26
꼭짓점의 좌표가 (2, 3)인 이차함수의 그래프를 x축의 방향으로
-6만큼 평행이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-4, 3)이고,
이 그래프가 처음 이차함수의 그래프를 직선 x=a에 대하여 대칭
이동한 그래프와 완전히 포개어지므로
두 점 (2, 3)과 (-4, 3)이 직선
x=a에 대하여 대칭이어야 한다.
∴ a=
-4+2
2
=-1
(-4, 3)
(2, 3)
6
x=a
27
제동거리는 자동차의 속력의 제곱에 비례하므로 제동거리를 y m,
자동차의 속력을 시속 x km라 하면 y=kx¤ (k는 상수)
시속 50 km의 속력으로 달리는 자동차의 제동거리가 20 m이므로
20=k_50¤ ∴ k=
;12!5;
즉, y=
;12!5;
x¤ 이므로 시속 80 km의 속력으로 달리는 자동차의
제동거리는 y=
_80¤ =51.2 (m)
;12!5;
따라서 빗길에서 이 자동차의 제동거리는
51.2+51.2_0.3=66.56 (m)
28
오른쪽 그림과 같이 분수의 바닥의
중앙을 원점 O로 하는 좌표평면에
서 분수에서 나온 물이 포물선 모양
으로 떨어지므로 이 포물선을 그래프
로 하는 이차함수의 식을
y=ax¤ +q라 하자.
이 그래프가 점 (1, 0)을 지나므로
0=a+q
y`㉠
y
P
1.5m
0.5m
O
1 m
44 정답과 해설
바닥
A
1 m
x
B
= - -9=13-9=4
40
3
1
3
또 점 {
1
2
,
3
2
3
}을 지나므로 = a+q
2
1
4
y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, q=2
A(0, b), B(2b, 0)
02
점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 C라 하면 △AOB와
△PCB는 닮음이므로 AP” : PB”=OC” : CB”=1 : 3이다.
직선 y=- x+b에서 (x절편)=2b, (y절편)=b이므로
;2!;
(40~56)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지45 MAC3
y
D
y=x¤
A
1
y=-;:;x+b
2
P
O
C
B
x
오른쪽 그림과 같이 점 P에서 x축,
y축에 내린 수선의 발을 각각 C, D
라 하면 △AOBª△PCB이므로
AP”：PB”=1：3에서
OC”：CB”=1：3
∴ OC”= OB”= _2b=
;4!;
;4!;
b
2
,
;2B;
b¤
4
b¤
4
따라서 점 P의 좌표는 {
}이고, 점 P는 직선
y=- x+b 위의 점이므로 =- _ +b
;2!;
1
2
b
2
b¤ -3b=0, b(b-3)=0 ∴ b=3 (∵ b>0)
∴ △AOP= _AO”_DP”= _b_ = =
1
2
b
2
b¤
4
9
4
1
2
03
A(2, 2)이므로 점 A에서 x축, y축에 내린 수선의 발을 각각
B, C라 하면 (cid:8772)OBAC는 정사각형이고, 선분 OA는 대각선이므로
∠AOB=45˘이다.
오른쪽 그림과 같이 O’A”를 그으면 빗금
y
친 부분의 넓이는 서로 같으므로 색칠한
부분의 넓이는 부채꼴 A'OA의 넓이와
같다. 이때 점 A에서 x축, y축에 내린
수선의 발을 각각 B, C라 하면
A(2, 2)이므로 (cid:8772)OBAC는 한 변의
길이가 2인 정사각형이고 ∠AOB=45˘이다.
따라서 부채꼴 A'OA의 반지름의 길이는 OA”=OA'”=2'2이
고, 중심각의 크기가 ∠A'OA=180˘-45˘=135˘이므로
(색칠한 부분의 넓이)=(부채꼴 A'OA의 넓이)
A'
-2'2
B
2
A
O
C
x
04
△ABC에서 OA”=OB”이므로
△ABC=2△CAO=2△COB이다. 이때 △APC= △ABC이면
;2!;
△APC=△CAO=△COB임을 알 수 있다.
OA”=OB”이므로 △CAO=△COB= △ABC이고,
;2!;
△APC= △ABC이므로 △APC=△CAO
;2!;
이때 두 삼각형의 밑변의 길이가 AC”로 같으므로 AC”// OP”이고
직선 AC의 기울기는
=1이므로 직선 OP의 식은
3-0
1-(-2)
y=x
따라서 점 P의 좌표를 P(a, -a¤ +4)(a>0)라 하면 점 P가
직선 y=x 위의 점이므로
-a¤ +4=a, a¤ +a-4=0 ∴ a=
(∵ a>0)
-1+'1ß7
2
05
두 이차함수 f(x), g(x) 사이의 관계에서 g(x)의 그래프는
f(x)의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것임을 이용한다.
이차함수 g(x)=(x-1)¤ +2
의 그래프는 오른쪽 그림과 같
이 이차함수 f(x)=x¤ +2의
그래프를 x축의 방향으로 1만
큼 평행이동한 것이다. 따라서
f(x)=g(x+1)이 성립한다.
f(x)=g(x+1)
y=f(x)
y=g(x)
y
2
O
∴ (주어진 식)=
g(2)_g(3)_g(4)_y_g(101)
g(1)_g(2)_g(3)_y_g(100)
g(101)
g(1)
100¤ +2
0¤ +2
=5001
=
=
(1¤ +2)_(2¤ +2)_(3¤ +2)_y_(100¤ +2)
(0¤ +2)_(1¤ +2)_(2¤ +2)_y_(99¤ +2)
(주어진 식)
=
=
100¤ +2
0¤ +2
=
10002
2
=5001
06
한다.
f(x)=A로 놓고 주어진 방정식을 풀어 f(x)의 값을 먼저 구
{ f(x)}¤ -3f(x)+2=0에서 f(x)=A로 놓으면
A¤ -3A+2=0, (A-1)(A-2)=0
∴ A=1 또는 A=2
∴ f(x)=1 또는 f(x)=2
⁄ f(x)=1일 때,
오른쪽 그림과 같이 f(x)=1을 만족하
는 서로 다른 실수 x의 값은 a, b의 2개
이다. (단, a<1, b>1)
¤ f(x)=2일 때,
y
2
1
y=1
O
a b
1
x
f(x)=2를 만족하는 실수 x의 값은 1뿐이므로 1개이다.
따라서 ⁄, ¤에서 주어진 방정식을 만족하는 서로 다른 실수 x
의 값은 a, b, 1의 3개이다.
f(8)과 f(2)의 함숫값은 같음을 이용한다.
이차함수 f(x)=(x-5)¤ +k의 그
래프의 축의 방정식이 x=5이므로
3
3
y=f(8)
오른쪽 그림과 같이 그래프가 직선
x=5에 대하여 대칭이다.
따라서 f(2)=f(8)이므로
f(x)… f(8)을 만족하는 x의 값의 범위는 2…x…8이다.
x=2 x=5 x=8
08
이차함수 y=f(x)가 모든 실수 x에 대하여
f(a+x)=f(a-x)가 성립한다. ˙k 이차함수 y=f(x)의 그래프가
직선 x=a에 대하여 대칭이다.
f(1+x)=f(1-x)가 성립하므로 주어진 이차함수의 그래프는
직선 x=1에 대하여 대칭이다. 즉, 축의 방정식이 x=1이다.
또 이차항의 계수가 음수이므로 그래프의 모양은 위로 볼록하다.
1
이때 자연수 n에 대하여 0< < <1<2…2« <3« 이므로
3«
오른쪽 그림에서 A(0, f(0)),
1
2«
B{
1
3«
1
3«
, f {
}}, C{
, f {
}},
1
2«
1
2«
D(1, f(1)), E(2, f(2)), F(2« , f(2« )),
G(3« , f(3« ))
C D
B
A
E
F
G
따라서 위의 점들의 y좌표의 값을 비교하면
x=0
x=1 x=2
=p_(2'2)¤ _
;3!6#0%;
=p_8_ =3p
;8#;
07
주어진 이차함수의 그래프의 축의 방정식이 x=5이므로
1
x x+1
x
f(3« )0 4 ①, ⑤ 5 10
8 a>0, b<0, c>0 9 ⑤
10 (-1, 2), (5, -4)
11 2
12
:¢8∞:
13 48
14 (0, 24)
18 3
15
;4%;
18 15, 450 20 1
16 16
17 -4, 4
21 5 cm 22 3초
이차함수의 그래프의 식을 y=ax¤ +bx+c라 하면
점 (0, 3)을 지나므로 c=3
즉, y=ax¤ +bx+3의 그래프가
점 (-1, 1)을 지나므로 1=a-b+3
∴ a-b=-2
점 (1, 9)를 지나므로 9=a+b+3
∴ a+b=6
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=4
따라서 y=2x¤ +4x+3=2(x+1)¤ +1이므로 이 그래프의 축의
방정식은 x=-1이고, 꼭짓점의 좌표는 (-1, 1)이다.
y`㉠
y`㉡
7
y=ax¤ +bx+c의 그래프가 x축과 두 점 (-2, 0), (4, 0)에서
만나므로 y=a(x+2)(x-4)라 하면 점 (0, 4)를 지나므로
4=a_2_(-4), -8a=4 ∴ a=-
1
2
즉, y=- (x+2)(x-4)=- x¤ +x+4이므로
1
2
b=1, c=4 ∴ abc={- }_1_4=-2
1
2
1
2
그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 ∴ b<0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
8
9
y=ax+b의 그래프에서 (기울기)=a>0, (y절편)=b<0
y=-x¤ +ax+b에서
⁄ (이차항의 계수)=-1<0이므로 위로 볼록하다.
¤ (이차항의 계수)<0, a>0이므로 축은 y축의 오른쪽에 위치
‹ b<0이므로 y축과의 교점은 x축보다 아래쪽에 있다.
따라서 ⁄~‹에서 그래프로 알맞은 것은 ⑤이다.
10
이차함수 y=x¤ -5x-4의 그래프와 직선 y=-x+1의 교점의
x좌표는 이차방정식 x¤ -5x-4=-x+1의 두 근이므로
x¤ -4x-5=0, (x+1)(x-5)=0
∴ x=-1 또는 x=5
y=-x+1에 x=-1을 대입하면 y=2
x=5를 대입하면 y=-4
따라서 두 교점의 좌표는 (-1, 2), (5, -4)이다.
11
y=2x¤ -3의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으
로 5만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=2(x+1)¤ +2이므로 최
솟값은 2이다.
1
2
9
2
12
y= x¤ -3x+k= (x-3)¤ - +k
1
2
9
2
이므로 최솟값은 - +k이다.
y=-3x¤ +9x-k=-3 {x- }2 + -k
3
2
27
4
이므로 최댓값은
-k이다.
27
4
O 2
x
한다.
1
2
3
4
y=-2x¤ -24x-40=-2(x+6)¤ +32의 그래프를 x축의 방향
으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-2(x+6-m)¤ +32+n
이때 y=-2x¤ +4x-7=-2(x-1)¤ -5이므로
6-m=-1, 32+n=-5 ∴ m=7, n=-37
∴ m+n=7+(-37)=-30
y=2x¤ -16x+k+3=2(x-4)¤ +k-29의 그래프가 x축과 한
점에서 만나므로 꼭짓점이 x축 위에 있다. 이때 꼭짓점의 좌표는
(4, k-29)이고, 꼭짓점의 y좌표가 0이므로
k-29=0 ∴ k=29
이차함수의 그래프가 x축과 한 점에서 만나므로
(-16)¤ -4_2_(k+3)=0, 256-8(k+3)=0
8k=232 ∴ k=29
y=-x¤ +4x+k=-(x-2)¤ +4+k의
그래프의 꼭짓점의 좌표는 (2, 4+k),
y축과 만나는 점의 좌표는 (0, k)이다.
따라서 그래프가 모든 사분면을 지나기 위해
서는 오른쪽 그림과 같이 y축과 만나는 점의
y좌표가 0보다 커야 하므로 k>0
k+4
y
k
y=-2x¤ +8x-6=-2(x-2)¤ +2의 그래프에서
① 꼭짓점의 좌표는 (2, 2)이다.
② 축의 방정식은 x=2이다.
③ 위로 볼록하고, y축과의 교점의 y좌표가 0보다 작으므로 제2
사분면을 지나지 않는다.
④ y=-2x¤ +8x-6에 y=0을 대입하면
-2x¤ +8x-6=0, x¤ -4x+3=0
(x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3
즉, x축과 두 점 (1, 0), (3, 0)에서 만난다.
⑤ 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x>2일
때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
따라서 옳은 것은 ①, ⑤이다.
y
2
O
-6
2
x
5
y=-x¤ +3x+4에 y=0을 대입하면
x¤ -3x-4=0, (x+1)(x-4)=0
∴ x=-1 또는 x=4 ∴ B(-1, 0), C(4, 0)
x=0을 대입하면 y=4 ∴ A(0, 4)
46 정답과 해설
(40~56)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지47 MAC3
27
따라서 - +k= -k이므로 2k=
4
9
2
45
4
∴ k=
45
8
13
14
y=ax¤ +bx+c는 x=3일 때, 최댓값이 1이므로 꼭짓점의 좌표
는 (3, 1)이다.
즉, y=a(x-3)¤ +1의 그래프가 점 (1, -3)을 지나므로
-3=a(1-3)¤ +1, 4a=-4 ∴ a=-1
따라서 y=-(x-3)¤ +1=-x¤ +6x-8이므로
b=6, c=-8 ∴ abc=(-1)_6_(-8)=48
그래프가 x축과 두 점 (-2, 0), (6, 0)에서 만나므로 구하는
이차함수의 식은 y=a(x+2)(x-6)=a(x-2)¤ -16a
이때 최댓값이 32이므로 a<0이고
-16a=32 ∴ a=-2
y=-2(x-2)¤ +32에 x=0을 대입하면
y=-2_(-2)¤ +32=24 ∴ (0, 24)
15
y=-x¤ +2kx-k+1=-(x-k)¤ +k¤ -k+1
∴ M=k¤ -k+1={k- }2 +
1
2
3
4
따라서 M은 k= 일 때 최솟값이 이므로 그 합은
;2!;
;4#;
+ =
;2!;
;4%;
;4#;
16
y=-2x¤ -4x+7=-2(x+1)¤ +9
0…x…2에서 주어진 이차함수의 그래프는 오른쪽
그림과 같으므로
x=0일 때 최댓값은 M=7
x=2일 때 최솟값은 m=-2_3¤ +9=-9
∴ M-m=7-(-9)=16
y
9
7
2
x
-1
O
-9
17
두 수를 x, y(x>y)라 하면 x-y=8에서 y=x-8
xy=x(x-8)=(x¤ -8x+16)-16=(x-4)¤ -16
따라서 x=4일 때 두 수의 곱이 최소가 된다.
∴ x=4, y=4-8=-4
18
새로 만든 직사각형의 가로의 길이는 (8+2x)cm이고, 세로의
길이는 (10-x)cm이므로
y=(8+2x)(10-x)=-2x¤ +12x+80
=-2(x-3)¤ +98 (단, 00 ∴ k<
:¡2¡:
또 그래프가 제2사분면을 지나지 않으므로
-k+1…0 ∴ kæ1 ∴ 1…k<
:¡2¡:
3
y=x¤ -4x+7=(x-2)¤ +3의 그래프의
꼭짓점의 좌표는 (2, 3)이고,
y=-x¤ +4x-5=-(x-2)¤ -1의 그래
프의 꼭짓점의 좌표는 (2, -1)이다.
따라서 두 그래프가 직선 y=p에 대하여
서로 대칭이므로 두 그래프의 꼭짓점도 직
선 y=p에 대하여 대칭이다.
y
3
O
-1
y=p
x
2
Ⅲ. 이차함수 47
(40~56)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지48 MAC3
∴ p=
3+(-1)
2
=1
4
y=2x¤ -4x+1=2(x-1)¤ -1의 그래프를
꼭짓점을 중심으로 하여 180˘ 회전시킨 그래
y
1
1
O
-1
x
-3
프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 이 그래프의 식은 y=-2(x-1)¤ -1
이고, 다시 y축의 방향으로 h만큼 평행이동
한 그래프의 식은 y=-2(x-1)¤ -1+h
이때 이 그래프가 점 (3, 0)을 지나므로
0=-2(3-1)¤ -1+h ∴ h=9
y=-2(x-1)¤ +8에 y=0을 대입하면
0=-2(x-1)¤ +8, (x-1)¤ =4
x-1=—2 ∴ x=-1 또는 x=3
따라서 y=-2(x-1)¤ +8의 그래프가 x축과 만나는 두 점이
(-1, 0), (3, 0)이므로 k=-1
∴ h+k=9+(-1)=8
5
y=-x¤ -2x+3=-(x+1)¤ +4이므로
A(-1, 4), D(0, 3)
y=-x¤ -2x+3에 y=0을 대입하면
-x¤ -2x+3=0, (x+3)(x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=1
따라서 B(-3, 0), C(1, 0)이므로
(cid:8772)ABCD
=△ABO+△AOD+△DOC
= _3_4+ _3_1+ _1_3=9
1
2
1
2
1
2
6
y=x¤ -4x-12에 y=0을 대입하면
x¤ -4x-12=0, (x+2)(x-6)=0
y
A
4
D
3
B
-3
-1
O
x
C
1
넓이를 이등분하는 직선
y=ax+b가 x축과 만나는 점을
D라 하면 점 D는 AB”의 중점이
므로
D(2, 0)
A
BD
x
y
O
C
따라서 직선 y=ax+b는 두 점
C, D를 지나므로
y=ax+b
a=(기울기)=
=6, b=(y절편)=-12
0-(-12)
2-0
∴ a+b=6+(-12)=-6
7
y=2x¤ -6x+k에 x=0을 대입하면 y=k
∴ C(0, k) (k<0)
y=2x¤ -6x+k=2{x- }2 +k-
9
2
, k- } {k- <0}
∴ D {
3
2
9
2
3
2
9
2
이때 △ACB와 △ADB는 밑변의 길이가 AB”로 같으므로 두 삼
각형의 높이의 비는 넓이의 비와 같다.
48 정답과 해설
9
2
1
4
|k|：|k- |=16：25, -k：{-k+ }=16：25
9
2
-25k=-16k+72, -9k=72 ∴ k=-8
따라서 y=2x¤ -6x-8에 y=0을 대입하면
2x¤ -6x-8=0, x¤ -3x-4=0
(x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4
∴ A(-1, 0), B(4, 0)
8
y=ax¤ +bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-2, -4)이므로
y=a(x+2)¤ -4라 하면 이 그래프가 점 (0, -3)을 지나므로
-3=4a-4 ∴ a=
1
4
1
4
즉, y= (x+2)¤ -4= x¤ +x-3이므로 b=1, c=-3
1
4
따라서 y=-bx¤ +cx+a=-x¤ -3x+ =-{x+ }2 +
이므로 이 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 {- ,
}이다.
5
2
3
2
5
2
3
2
9
y=ax¤ +bx+c의 그래프가 x축과 두 점 (-5, 0), (3, 0)에서
만나므로 y=a(x+5)(x-3)이라 하면
y=a(x¤ +2x-15)=a(x+1)¤ -16a
이때 이 그래프의 꼭짓점이 직선 y=-3x+1 위에 있으므로
따라서 y=- (x+1)¤ -16_{- }=- x¤ - x+
1
4
1
2
15
4
1
4
-16a=3+1 ∴ a=-
1
4
1
4
1
2
이므로 b=- , c=
15
4
1
∴ =[{- }_{- }]÷ = _ =
2
ab
c
15
4
4
15
1
8
1
4
1
30
11
y=-x¤ +ax+b의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의
y=a(x+2)¤ -3에 x=-5, y=0을 대입하면 a=
1
3
따라서 y= (x+2)¤ -3= x¤ + x- 이므로
1
3
4
3
5
3
a+b-c= + -{- }=
5
3
10
3
4
3
1
3
1
3
식은
-y=-x¤ +ax+b ∴ y=x¤ -ax-b
이 그래프가 y=x¤ -cx+d의 그래프와 일치하므로
a=c, -b=d
y`㉠
y=-x¤ +ax+b의 그래프가 점 (1, 3)을 지나므로
3=-1+a+b ∴ a+b=4
y=x¤ -ax-b의 그래프가 점 (-2, 9)를 지나므로
9=4+2a-b ∴ 2a-b=5
따라서 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=1
∴ c=a=3, d=-b=-1
∴ a+b+c+d=3+1+3+(-1)=6
y`㉡
∴ x=-2 또는 x=6 ∴ A(-2, 0), B(6, 0)
x=0을 대입하면 y=-12 ∴ C(0, -12)
이때 점 C를 지나고 △ACB의
™
-4x-12
y=x
10
그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-2, -3)이므로 y=a(x+2)¤ -3
라 하면 이 그래프의 축의 방정식은 x=-2이고, AB”=6이므로
A(-5, 0), B(1, 0)
(40~56)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지49 MAC3
1
2
1
2
12
y=- x¤ -2x+3=- (x+2)¤ +5의 그래프의 꼭짓점의 좌
표는 (-2, 5)이고, 오른쪽 그림
에서 빗금 친 부분의 넓이는 서로
y
5P
™
1
2
y=-;:;x
Q
+bx+c
같으므로
(색칠한 부분의 넓이)
=(cid:8772)PABQ=5_AB”=30
∴ PQ”=AB”=6
A
O-2
B
4
x
y=-;:;x¤ -2x+3
1
2
따라서 이차함수 y=- x¤ +bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌표
는 (4, 5)이므로
y=- (x-4)¤ +5=- x¤ +4x-3
∴ b=4, c=-3 ∴ b-c=4-(-3)=7
1
2
1
2
1
2
13
그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0 ∴ b>0
y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c<0
따라서 y=cx¤ +bx+a의 그래프는 c<0이므로 위로 볼록한 포
물선이고, cb<0이므로 축이 y축의 오른쪽에 있고, a>0이므로
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있다.
따라서 그래프로 알맞은 것은 ③이다.
14
y=ax¤ +bx+c=a{x+ }2 -
ㄱ. 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
b
2a
b¤ -4ac
4a
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 ∴ b>0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
∴ abc<0
ㄴ. 축의 방정식이 x=- 이고, 축이 y축의 오른쪽에 있으므로
b
2a
b
2a
b
2a
1
2
1
4
- >0 ∴
<0
ㄷ. x=1일 때 y>0이므로 y=a+b+c>0
ㄹ. x= 일 때 y>0이므로
y= a+ b+c= (a+2b+4c)>0
1
2
1
4
∴ a+2b+4c>0
ㅁ. (꼭짓점의 y좌표)=-
>0이므로
b¤ -4ac
4a
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
15
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 모든 사분면을 지나는 경우
는 다음 그림과 같다. 이때 원점 O는 항상 포물선의 안쪽에 있다.
⁄
¤
y
O
x
y
O
⁄ a>0일 때, (y축과의 교점의 y좌표)=c<0
¤ a<0일 때, (y축과의 교점의 y좌표)=c>0
따라서 ⁄, ¤에서 항상 옳은 것은 ③ ac<0이다.
16
㈎, ㈏를 모두 만족하는 이차함수
y=ax¤ +bx+c의 그래프는 오른쪽 그림과
y
같다.
그래프가 위로 볼록하므로 a<0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0
∴ b>0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
O
p
x
x=p
17
이차함수 y=ax¤ +bx+1의 그래프는 y=2x¤ -3x+2의 그래
프와 직선 y=4x-1의 교점을 지난다.
2x¤ -3x+2=4x-1에서 2x¤ -7x+3=0
(2x-1)(x-3)=0 ∴ x= 또는 x=3
1
y=4x-1에 x= 을 대입하면 y=1,
2
x=3을 대입하면 y=11이므로
두 교점의 좌표는 {
, 1}, (3, 11)이다.
1
2
y=ax¤ +bx+1의 그래프가 점 {
, 1}을 지나므로
1
4
1
2
a+ b+1=1 ∴ a+2b=0
y`㉠
1
2
1
2
점 (3, 11)을 지나므로
9a+3b+1=11 ∴ 9a+3b=10
따라서 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a= , b=-
4
3
2
3
∴ a+b=
2
3
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y`㉡
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프와 직선 y=mx+n의
교점의 좌표
˙k 이차함수 ax¤ +bx+c=mx+n의 해 x=a, x=b가 교
점의 x좌표이고, x=a, x=b를 주어진 식에 대입하여
구한 y의 값이 교점의 y좌표이다.
18
이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근이 -3, 5이므로
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 x축과 만나는 두 점은
(-3, 0), (5, 0)이다.
주어진 이차함수를 y=a(x+3)(x-5)라 하면
y=a(x+3)(x-5)=a(x¤ -2x-15)=a(x-1)¤ -16a
-16a=8 ∴ a=-
1
2
따라서 y=- (x¤ -2x-15)=- x¤ +x+ 이므로
1
2
15
2
1
2
b=1, c=
15
2
1
∴ abc={- }_1_ =-
2
15
2
15
4
x
19
1
4
y= x¤ -2kx+k¤ -6k+2= (x-4k)¤ -3k¤ -6k+2
1
4
이 함수의 최솟값이 -7이므로 -3k¤ -6k+2=-7
k¤ +2k-3=0, (k+3)(k-1)=0
∴ k=-3 또는 k=1
Ⅲ. 이차함수 49
양변에 -4a를 곱하면 b¤ -4ac>0 (∵ -4a>0)
이 이차함수의 최댓값이 8이므로 a<0이고
(40~56)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지50 MAC3
21
m¤ -4(x-2)m+x¤ -10x+1-y=0이 중근을 가지므로
{-2(x-2)}¤ -(x¤ -10x+1-y)=0
이는 최대가 된다.
이때 꼭짓점 (4k, -7)이 제3사분면 위에 있으므로
4k<0 ∴ k=-3
20
y=ax¤ +bx+c는 x=2일 때 최솟값이 -1이므로
y=a(x-2)¤ -1라 하면
최솟값을 가지므로 a>0
y`㉠
또 이 그래프가 모든 사분면을 지나므로
오른쪽 그림과 같이 y축과 만나는 점이 x
-1
O
y
2
x
축보다 아래에 있어야 한다.
즉, y=a(x-2)¤ -1에 x=0을 대입하면
y=4a-1<0 ∴ a<
y`㉡
따라서 ㉠, ㉡에서 0n이면 f(m), f(n)
중 가장 큰 값이 최댓
g
값, 가장 작은 값이 최솟값이다.
1
2
1
2
26
두 점 P, Q가 동시에 출발한 지 x초 후의 △PBQ의 넓이를
y cm¤ 라 하면
PB”=(20-2x) cm, BQ”=3x cm이므로
y= _3x_(20-2x)=-3x¤ +30x
=-3(x-5)¤ +75 (단, 00)이라 하면
1
4
1
4
y=- x¤ +ax+b=- (x+k)(x-2k)
1
4
=- (x¤ -kx-2k¤ )=- {x- }2 + k¤
이 그래프의 꼭짓점의 y좌표가 9이므로
k
2
9
16
1
4
9
16
k¤ =9, k¤ =16 ∴ k=4 (∵ k>0)
따라서 y=- (x¤ -4x-32)=- x¤ +x+8이므로
1
4
1
4
a=1, b=8
02
이차항의 계수가 1이고, x축과 만나는 두 점의 x좌표가 각각
y=(x-a)(x-b)
a, b인 이차함수의 그래프의 식 ˙k
이차함수 y=f(x)의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 x좌표는
각각 a, b이고, 이차항의 계수가 1이므로
f(x)=(x-a)(x-b)
이차함수 y=g(x)의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 x좌표는
각각 b, c이고, 이차항의 계수가 1이므로
g(x)=(x-b)(x-c)
이차방정식 f(x)+g(x)=0에서
(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=0
(x-b)(2x-a-c)=0 ∴ x=b 또는 x=
a+c
2
03
① 직선 y=a(5-x)가 점 A, B를 지날 때의 a의 값의 범
위를 구한 후, 자연수 a의 값을 모두 구한다.
② ①에서 구한 자연수 a의 값을 만족하는 경우의 수를 모두 구한다.
이차방정식 - (x-4)¤ +3=x-1에서
1
2
-(x¤ -8x+16)+6=2x-2, x¤ -6x+8=0
(x-2)(x-4)=0 ∴ x=2 또는 x=4
y=x-1에 x=2를 대입하면 y=1
x=4를 대입하면 y=3 ∴ A(2, 1), B(4, 3)
직선 y=a(5-x)는 x=5일 때, y=0이므로 항상 점 (5, 0)을
지난다.
따라서 직선 y=a(5-x)가 점 A(2, 1)
y
O
A
B
5
x
Ⅲ. 이차함수 51
따라서 x=500일 때 여름철 하루 평균 판매 금액이 최대가 되
므로 아이스크림 100 mg을 1000+500=1500(원)에 판매해
야 한다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
을 지날 때,
1=a(5-2) ∴ a=
1
3
점 B(4, 3)을 지날 때,
3=a(5-4) ∴ a=3
(40~56)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지52 MAC3
즉, 직선 y=a(5-x)와 선분 AB가 만나려면 …a…3이어
1
3
야 하고, 주사위의 눈의 수의 차는 자연수이므로 a=1, 2, 3
⁄ a=1일 때, 즉 눈의 수의 차가 1인 경우를 순서쌍으로 나타내면
(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 5),
(5, 4), (4, 3), (3, 2), (2, 1)의 10가지
¤ a=2일 때, 즉 눈의 수의 차가 2인 경우를 순서쌍으로 나타내면
(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (6, 4), (5, 3),
(4, 2), (3, 1)의 8가지
‹ a=3일 때, 즉 눈의 수의 차가 3인 경우를 순서쌍으로 나타내면
(1, 4), (2, 5), (3, 6), (6, 3), (5, 2), (4, 1)의 6가지
따라서 모든 경우의 수는 6_6=36(가지)이므로 구하는 확률은
10+8+6
36
24
= =
36
2
3
04
f(x)와 f(3-x)가 나오도록 주어진 식에 x 대신 3-x를
대입한 후 두 식을 연립하여 f(x)를 구한다.
2f(x)-f(3-x)=x¤
㉠에 x 대신 3-x를 대입하면
2f(3-x)-f(x)=(3-x)¤
y`㉠
y`㉡
㉠_2+㉡을 하면
3f(x)=2x¤ +(3-x)¤ , 3f(x)=3x¤ -6x+9
∴ f(x)=x¤ -2x+3=(x-1)¤ +2
따라서 이차함수 y=f(x)는 x=1일 때 최솟값이 2이고, 최댓값
은 없다.
05
(점 A의 x좌표)…a…(점 B의 x좌표)일 때, a+b의 값의 최
댓값과 최솟값을 구한다.
y=x¤ -6x+8에서 x=0일 때, y=8이므로 A(0, 8)
y=0일 때, 0=x¤ -6x+8이므로 (x-2)(x-4)=0
∴ x=2 또는 x=4 ∴ B(4, 0)
점 P(a, b)가 점 A에서 점 B까지 이차함수 y=x¤ -6x+8의
그래프 위를 움직이므로 P(a, a¤ -6a+8) (단, 0…a…4)
∴ a+b=a+(a¤ -6a+8)=a¤ -5a+8
a+b
7
={a- }2 + (단, 0…a…4)
4
따라서 이 이차함수의 그래프는 오른쪽 그림과
5
2
같으므로 a+b는 a= 일 때 최솟값이
5
2
7
4
이고, a=0일 때 최댓값이 8이다.
8
4
7
;:;4
O
06
두 점 A, D는 축에 대하여 대칭임을 이용하여 두 점 A, D
의 x좌표를 정한 후, 두 점 C, D의 좌표를 구해 본다.
y=-x¤ +2bx=-(x-b)¤ +b¤ ,
y=x¤ -2bx=(x-b)¤ -b¤ 이므로
두 그래프의 축의 방정식은 x=b
이때 두 점 A, D는 직선 x=b에
대하여 대칭이므로 x좌표를 각각
b-k, b+k (01)
1
2
07
수리 센터와 B공장 사이의 거리를 x km, A, B, C 세 공장
에서의 총 수송비를 y원이라 하고 y를 a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타낸다.
A, B, C 세 부품 공장에서 수리 센터까지의 수송비는 각각
k(50-x)¤ , kx¤ , k(20+x)¤ (k>0)이므로 총 수송비를 y원이
라 하면
y=k{(50-x)¤ +x¤ +(20+x)¤ }
=k(3x¤ -60x+2900)
=k{3(x-10)¤ +2600}
따라서 x=10일 때 최솟값을 가지므로 수리 센터는 B공장에서
A공장 쪽으로 10 km 떨어진 지점에 지어야 한다.
08
주어진 그래프의 식을 구한 후,
(하루 매출액)=(판매가)_(하루 판매량)임을 이용한다.
판매가를 x원, 하루 판매량을 y개라 하고 주어진 그래프의 식을
y=ax+b라 하면 이 그래프가 두 점 (250, 1100), (300, 1000)
을 지나므로
1100=250a+b y`㉠, 1000=300a+b y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=1600
∴ y=-2x+1600
하루 매출액을 S원이라 하면
S=xy=x(-2x+1600)=-2x¤ +1600x
=-2(x-400)¤ +320000
따라서 판매가를 400원으로 할 때, 하루 매출액이 최대가 된다.
4
a
5
;:;2
™
y=x
-2bx
y
A
D
b
kk
O
B
C
x=b
y=-x
+2bx
™
P. 97~98
1 a=-5, b=68
2
3 제3, 4사분면
5'5
114
4 ⑴ -6 ⑵ 최댓값 : 없다, 최솟값 : -23
6 2
7 풀이 참조
5 3초
1
이차함수 y=-2(x-1)¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼,
y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-2(x-a-1)¤ +4
y`⁄
x
다시 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은
-y=-2(x-a-1)¤ +4 ∴ y=2(x-a-1)¤ -4 y`¤
이 그래프가 점 (-1, 14)를 지나므로
14=2(-a-2)¤ -4, a¤ +4a-5=0
(40~56)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지53 MAC3
(a+5)(a-1)=0 ∴ a=-5 (∵ a<0)
따라서 y=2(x+4)¤ -4의 그래프가 점 (2, b)를 지나므로
b=2_(2+4)¤ -4=68
y`‹
y`›
채점 기준
⁄ 평행이동한 그래프의 식 구하기
¤ 대칭이동한 그래프의 식 구하기
‹ a의 값 구하기
› b의 값 구하기
배점
30 %
30 %
20 %
20 %
4
⑴ y= x¤ -kx+k+1= (x-k)¤ - k¤ +k+1 y`⁄
1
2
1
2
(cid:100) 꼭짓점이 직선 3x-y=5 위에 있으므로
3k-{- k¤ +k+1}=5, k¤ +4k-12=0
1
2
(k+6)(k-2)=0 ∴ k=-6 또는 k=2
㈎ k=-6일 때, y= (x+6)¤ -23이므로 이 그래프는 모든
2
축의 방정식이 x=-1이므로 그래프의 식을 y=a(x+1)¤ +q라
⑵ ㈏ k=2일 때, y= (x-2)¤ +1이므로 이 그래프는 제1, 2
1
2
1
2
1
2
1
2
사분면을 지난다.
사분면을 지난다.
하면 이 그래프가
점 (0, 1)을 지나므로 1=a+q
점 (2, -1)을 지나므로 -1=9a+q
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=- , q=
1
4
5
4
y`㉠
y`㉡
즉, y=- (x+1)¤ + 이므로
5
4
1
4
5
4
}
A{-1,
(x+1)¤ =5 ∴ x=-1—'5
∴ B(-1-'5, 0),
C(-1+'5, 0)
(또는 B(-1+'5, 0),
C(-1-'5, 0))
이때 x축과의 교점의 x좌표는 0=- (x+1)¤ +
1
4
5
4
y
A
5
;:;4
-1-'5
B -1
O
-1+'5
x
C
∴ △ABC= _{(-1+'5)-(-1-'5)}_
1
2
1
2
= _2'5_ =
5
4
5'5
4
채점 기준
⁄ 이차함수의 식 구하기
¤ 점 A의 좌표 구하기
‹ 두 점 B, C의 좌표 구하기
› △ABC의 넓이 구하기
⑵ 따라서 ㈎, ㈏에서 k=-6이다.
y`¤
⑵ y= (x+6)¤ -23에서
x=-6일 때 최솟값은 -23이고 최댓값은 없다.
y`‹
y`⁄
y`¤
채점 기준
⁄ 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
¤ 그래프가 모든 사분면을 지날 때의 k의 값 구하기
‹ 최댓값과 최솟값 각각 구하기
배점
20 %
40 %
각 20 %
5
출발한 지 x초 후의
△APQ의 넓이를 y cm¤
라 하면 BP”=x cm,
PC”=(20-x) cm,
A
20 cm
12 cm
D
(12-2x)cm
Q
2x cm
B
x cm
P
(20-x)cm
C
QD”=(12-2x) cm이고,
△APQ=(cid:8772)ABCD-△ABP-△PCQ-△AQD이므로
y`‹
CQ”=2x cm,
y`›
y=20_12- _x_12- _(20-x)_2x
1
2
1
2
- _20_(12-2x)
1
2
=240-6x-20x+x¤ -120+20x
=x¤ -6x+120
=(x-3)¤ +111 (단, 00
∴ bc<0
(y축과 만나는 점의 y좌표)=abc>0
㉠, ㉢에서 c<0, ㉡에서 b>0, ㉠에서 a<0
이때 이차함수 y=a(x+c)¤ -b의 그래프는
a<0이므로 위로 볼록하고,
-c>0, -b<0에서 꼭짓점 (-c, -b)는
제4사분면 위에 있으므로 오른쪽 그림과 같다.
y`¤
따라서 이 그래프가 지나는 사분면은 제3, 4사
y`‹
분면이다.
x
6
y= x¤ 에 x=-1, x=2를 각각 대입하면 y= , y=2
1
2
1
2
∴ A{-1,
}, B(2, 2)
1
2
점 P의 좌표를 P{k,
k¤ } (k>0)이라 하면
AB”//OP”이므로 (직선 AB의 기울기)=(직선 OP의 기울기)에서
1
2
1
2
채점 기준
⁄ a, b, c의 부호 구하기
¤ 이차함수 y=a(x+c)¤ -b의 그래프 그리기
‹ 그래프가 지나는 사분면 구하기
배점
각 10 %
40 %
30 %
2-;2!;
2-(-1)
;2!;k¤
k
=
, = k ∴ k=1
1
2
∴ P{1,
1
2
}
y`⁄
y`¤
y`‹
배점
40 %
30 %
30 %
y`⁄
y`¤
Ⅲ. 이차함수 53
(40~56)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지54 MAC3
오른쪽 그림과 같이 세 점 A, P, B에서
x축에 내린 수선의 발을 각각 G, H, I
라 하면
(cid:8772)AOPB
=(cid:8772)AGIB-△AGO-△POH-(cid:8772)PHIB
y
B
A
-1
G
O
P
21
I
H
x
1
= _{ +2}_3- _1_ - _1_ - _{ +2}_1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
= - - - =2
1
4
1
4
5
4
15
4
채점 기준
⁄ 두 점 A, B의 좌표 구하기
¤ 점 P의 좌표 구하기
‹ (cid:8772)AOPB의 넓이 구하기
7
|예시 답안|
y= gx¤ 에서 x¤ = 이므로
2y
g
1
2
x=æ≠
2y
g
(∵ x>0)
이때 각 행성에서 같은 물체를 같은 높이에서 떨어뜨렸으므로 물
체가 떨어진 거리 y의 값이 같다고 하면 중력가속도 g의 값이 클
y`¤
수록 시간 x의 값은 작아진다.
따라서 주어진 5개의 행성 중 중력가속도 g의 값이 가장 큰 토성
에서 물체가 가장 빨리 떨어지고, 중력가속도 g의 값이 가장 작은
y`‹
수성에서 물체가 가장 늦게 떨어진다.
채점 기준
⁄ 주어진 x, y 사이의 관계식을 x에 관한 식으로 나타내기
¤ 물체가 떨어지는 시간 x초와 중력가속도 g가 서로 반비례함
‹ 물체가 가장 빨리 떨어지는 행성과 가장 늦게 떨어지는 행성
을 알기
을 각각 구하기
배점
30 %
30 %
각 20 %
④ 축이 제1, 4사분면을 지나려면 축이 y축의 오른쪽에 있어야
한다. 즉, 축의 방정식이 x=(양수)인 것을 찾으면 ㄷ, ㅁ이다.
⑤ y=2x¤ -1과 y=-2x¤ +1은 x축에 대하여 서로 대칭이다.
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
2
f(x)=ax¤ 이므로 f(x+2)-f(x-2)=6x에서
a(x+2)¤ -a(x-2)¤ =6x, 8ax=6x ∴ a=
;4#;
따라서 f(x)= x¤ 이므로
;4#;
f(-3)= _(-3)¤ =
;4#;
:™4¶:
y`‹
배점
각 10 %
40 %
40 %
3
점 A의 x좌표를 k`(k>0)라 하면
A(k, 3k¤ ), B(-k, 3k¤ ), C{-k, - k¤ }, D{k, - k¤ }
;5!;
;5!;
y`⁄
이때 AB”=k-(-k)=2k, AD”=3k¤ -{- k¤ }= k¤ 이고,
(cid:8772)ABCD는 정사각형이므로 AB”=AD”에서
:¡5§:
;5!;
2k= k¤ , 5=8k (∵ k>0) ∴ k=
:¡5§:
;8%;
∴ ((cid:8772)ABCD의 둘레의 길이)
=4AB”=4_2k=4_2_ =5
;8%;
y=x¤ 에 y=4를 대입하면 4=x¤
∴ x=—2 ∴ A(-2, 4), B(2, 4)
이때 AB”=4이고, AB”와 y축과의 교점을
E라 하면 (cid:8772)ADCB=4_EC”=32에서
EC”=8 ∴ C(0, -4)
(cid:8772)ADCB가 평행사변형이므로
DC”=AB”=4 ∴ D(-4, -4)
따라서 y=ax¤ 의 그래프가 점 D를 지나
므로
-4=16a ∴ a=-
;4!;
y=x¤
A
BE
y
4
O
D
C-4
x
y=ax¤
P. 99~102
1 ③
2 ④
3 ②
4 -
;4!;
5 ②
6 ①, ⑤
7 ②
8 (4, -2), (12, -18)
;2#;
11 ⑤ 12 ④ 13 ④ 14 ① 15 12
9
10 27
16 ②
17 ③ 18 ② 19 ② 20
, 과정은 풀이 참조
;3$;
21 ② 22 ④ 23 29, 과정은 풀이 참조
1
ㄷ. y=3(1-x)¤ =3(x-1)¤
ㅁ. y=x(2-x)=-x¤ +2x=-(x-1)¤ +1
직선 ax+by+6=0이 두 점 (6, 0), (0, 2)를 지나므로
6a+6=0에서 a=-1이고 2b+6=0에서 b=-3
따라서 이차함수 y=-(x+3)¤ 의 그래프는 꼭짓점의 좌표가
(-3, 0)인 위로 볼록한 포물선이고, y축과의 교점의 좌표는
(0, -9)이므로 그래프로 알맞은 것은 ②이다.
① |-3|>|2|이므로 그래프의 폭이 더 좁다.
② 꼭짓점의 좌표가 (-1, -4)이므로 제3사분면에 속한다.
③ 축의 방정식은 x=-1이므로 점 (-1, -4)를 지나고 y축
에 평행하다.
① 이차함수의 그래프에서 이차항의 계수의 절댓값이 작을수록
④ 이차함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로
그래프의 폭이 넓으므로 폭이 가장 넓은 그래프는 ㄹ이다.
제1, 2사분면을 지나지 않는다.
② 이차항의 계수가 양수일 때, 아래로 볼록하므로 ㄴ, ㄷ이다.
③ 제2사분면을 지나지 않으려면 그래프가 위로 볼록한 포물선이
어야 하므로 ㄱ, ㄹ, ㅁ, ㅂ이고 이 중에서 제2사분면을 지나지
않는 것은 ㄱ, ㅁ이다.
⑤ x축의 방향으로 -2만큼 평행이동하면
y=-3(x+2+1)¤ -4=-3x¤ -18x-31
의 그래프와 완전히 포개어진다.
따라서 옳지 않은 것은 ①, ⑤이다.
y
-1
O
x
-4
-7
54 정답과 해설
4
5
6
(40~56)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지55 MAC3
7
주어진 이차함수의 그래프는 꼭짓점의 좌
표가 (p, q)이고, 직선 x=p에 대하여
대칭이므로 △AOB는 직각이등변삼각형
y
q
A
H
p
O
이다.
이때 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 x축
에 내린 수선의 발을 H라 하면 △AOH도 직각이등변삼각형이
다. (∵ ∠AOH=∠OAH=45˘)
∴ p=q
B
x
y=- (x-p)¤ +p의 그래프가 원점을 지나므로
;4!;
;4!;
0=- (0-p)¤ +p, p¤ -4p=0
p(p-4)=0 ∴ p=4 (∵ p>0)
∴ △AOB= _OB”_AH”= _8_4=16
;2!;
;2!;
8
y=-2x¤ +ax+b의 그래프가 점 (2, -2)를 지나므로
-2=-8+2a+b ∴ b=-2a+6
y=-2x¤ +ax+b=-2x¤ +ax-2a+6
=-2{x- }2 + -2a+6
a
4
a¤
8
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 {
, -2a+6}이고, x축과 한
a
4
a¤
8
점에서 만나므로 꼭짓점의 y좌표가 0이다.
즉, -2a+6=0이므로 a¤ -16a+48=0
a¤
8
(a-4)(a-12)=0 ∴ a=4 또는 a=12
따라서 a=4일 때 b=-2_4+6=-2,
a=12일 때 b=-2_12+6=-18이므로 구하는 순서쌍
(a, b)는 (4, -2), (12, -18)이다.
9
㈎ 주어진 그래프의 식을 y=a'(x+2)¤ -3라 하면 이 그래프가
점 (0, -2)를 지나므로
-2=4a'-3 ∴ a=a'=
;4!;
㈏ 꼭짓점이 직선 y=x-3 위의 점이므로 꼭짓점의 좌표를
(t, t-3)이라 하면 구하는 이차함수의 식은
y= (x-t)¤ +t-3
;4!;
㈐ 이차함수의 그래프가 점 (3, -1)을 지나므로
-1= (3-t)¤ +t-3, -4=t¤ -6t+9+4t-12
;4!;
t¤ -2t+1=0, (t-1)¤ =0 ∴ t=1 (중근)
따라서 이차함수의 식은
y= (x-1)¤ -2= x¤ - x- 이므로
;4!;
;2!;
;4&;
;4!;
b=- , c=-
;2!;
;4&;
∴ a+b-c= +{- }-{- }=
;4&;
;2!;
;4!;
;2#;
∴ B{- , 0}, C{
;2!;
:¡2¡:
, 0}
y=-x¤ +5x+k의 그래프가 점 B {- , 0}을 지나므로
;2!;
0=- - +k ∴ k=
;4!;
;2%;
:¡4¡:
따라서 A{
;2%;
, 9}이므로 △ABC= _6_9=27
;2!;
11
① y=-2x¤ +20x-5=-2(x-5)¤ +45
② y= x¤ +2x= (x+2)¤ -2
;2!;
;2!;
③ y=-x¤ +4x-1=-(x-2)¤ +3
④ y=2x¤ +4x+5=2(x+1)¤ +3
⑤ y=3x¤ -6x-2=3(x-1)¤ -5
위의 이차함수의 그래프를 그리면 다음 그림과 같다.
①
y
45
(cid:100)②
y
(cid:100)③
④
(cid:100)⑤
O
5-5
x
y
5
3
-1
O
x
-2
O
x
-2
y
1
O
-2
-5
x
따라서 모든 사분면을 지나는 것은 ⑤이다.
y
3
O
-1
2
x
12
y=2x¤ -3x+4a=2{x- }2 - +4a
이 그래프가 아래로 볼록하고 x축과 만나지 않으므로
;4#;
;8(;
(꼭짓점의 y좌표)=- +4a>0, 4a>
;8(;
;8(;
∴ a>
;3ª2;
또 이 그래프가 점 (a, a¤ +6)을 지나므로
a¤ +6=2a¤ -3a+4a, a¤ +a-6=0
(a+3)(a-2)=0 ∴ a=2 {∵ a> }
;3ª2;
13
y=ax¤ +2ax+a-2=a(x+1)¤ -2
이 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표가
(-1, -2)로 일정하므로 그래프는 오
른쪽 그림과 같다.
점 A(2, 3)을 지날 때,
3=a(2+1)¤ -2 ∴ a=
;9%;
y
3
1
O
-1
A
-2
B
2
4
x
점 B(4, 1)을 지날 때, 1=a(4+1)¤ -2 ∴ a=
;2£5;
따라서 이 이차함수의 그래프가 AB”와 만나기 위한 a의 값의 범
위는
;2£5;
…a… 이다.
;9%;
10
y=-x¤ +5x+k=-{x- }2 + +k이므로
:™4∞:
;2%;
이 그래프의 축의 방정식은 x= 이고, BC”=6이므로 그래프의
;2%;
축에서 두 점 B, C까지의 거리는 각각 3이다.
14
y=ax¤ +bx+c의 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로 c=3
즉, y=ax¤ +bx+3의 그래프가 점 (2, 3)을 지나므로
4a+2b+3=3 ∴ 2a+b=0
점 (4, -5)를 지나므로
16a+4b+3=-5 ∴ 4a+b=-2
y`㉠
y`㉡
Ⅲ. 이차함수 55
(40~56)151개뿔중등수학탑3-1.ps 2014.8.20 02:35 AM 페이지56 MAC3
이때 4a>0이므로 부등식의 양변에 4a를 곱하면 b¤ -4ac>0
= (x-6)¤ +108 (단, 00
축이 y축의 왼쪽에 있으므로
ab>0 ∴ b>0
y축과의 교점이 원점이거나 x축보다 위쪽에 있으므로 cæ0
꼭짓점의 y좌표가 음수이어야 하므로
-
b¤ -4ac
4a
<0에서
b¤ -4ac
4a
>0
17
PQ”=5이므로 P(k, 0), Q(k+5, 0)이라 하면 k, k+5는 이
차함수의 그래프와 직선의 교점의 x좌표와 같으므로 이차방정식
(x-3)¤ =x+b, 즉 x¤ -7x+9-b=0의 두 근이다. 따라서
x¤ -7x+9-b=(x-k)(x-k-5)
=x¤ -(2k+5)x+k(k+5)=0
이므로 2k+5=7에서 2k=2 ∴ k=1
9-b=k(k+5)에서 9-b=1_(1+5) ∴ b=3
18
이차함수의 그래프의 최댓값이 9이므로
(꼭짓점의 y좌표)=q=9
또 두 점 (-3, 1), (5, 1)은 y좌표가 같으므로 직선 x=p에
대하여 대칭이다.
∴ p=
-3+5
2
=1
따라서 y=a(x-1)¤ +9의 그래프가 점 (5, 1)을 지나므로
1=a(5-1)¤ +9, 16a=-8 ∴ a=-
;2!;
∴ apq={- }_1_9=-
;2!;
;2(;
19
y=- x¤ +2kx-4k+5
;2!;
;2!;
;2!;
=- (x¤ -4kx+4k¤ -4k¤ )-4k+5
=- (x-2k)¤ +2k¤ -4k+5
∴ M=2k¤ -4k+5=2(k-1)¤ +3
따라서 k=1일 때 M의 최솟값은 3이다.
56 정답과 해설
20
f(x)=ax¤ +3으로 놓으면 점 Q(3, 0)을 지나므로
0=9a+3 ∴ a=-
;3!;
∴ f(x)=- x¤ +3
;3!;
3=b(0-3)¤ ∴ b=
;3!;
B
∴ g(x)= (x-3)¤
;3!;
두 점 A, B의 x좌표가 1이므로
f(1)=- _1¤ +3= , g(1)= (1-3)¤ =
;3*;
;3!;
;3!;
;3$;
따라서 A{1,
}, B{1,
}이므로
;3$;
;3*;
AB”= - =
;3*;
;3$;
;3$;
채점 기준
⁄ y=f(x)의 식 구하기
¤ y=g(x)의 식 구하기
‹ AB”의 길이 구하기
21
AP”=x cm라 하면 PB”=(18-x)cm
두 도형의 넓이의 합을 y cm¤ 라 하면
y=x¤ + _(18-x)¤ = x¤ -18x+162
;2!;
;2#;
y`⁄
y`¤
y`‹
배점
40 %
40 %
20 %
따라서 x=AP”=6 cm일 때 두 도형의 넓이의 합이 최소가 된다.
22
점 P의 좌표를 P(k, -3k+18)이라 하면
(cid:8772)ROQP=k_(-3k+18)=-3k¤ +18k
=-3(k-3)¤ +27 (단, 0
