1. 유리수와 순환소수
P. 8~10
개념+ 문제 확인하기
대표
1 ④
2 ③
5 a=25, b=75, c=0.075
7 132
8 3, 6, 9 9 ②
12 ④, ⑤
3 -3.241, -3.24^1^ 4 8
6 ㄱ, ㄴ, ㄷ
1
9
10
11 0.05^
(정수)
( 0이 아닌 정수)
의 꼴로 나타낼 수
1 ① 3.14=
314
100 와 같이
있으므로 유리수이다.
30
6
=5는 정수이다.
②
③ 0.151515y는 무한소수이다.
3
11
된다.
④
=0.272727y이므로 소수로 나타내면 무한소수가
⑤ 0.020020002y는 순환소수가 아닌 무한소수이다.
따라서 옳은 것은 ④이다.
2 ① 1.45333y=1.453^
④ 0.101010y=0.1^0^
② 0.123123123y=0.1^23^
⑤ 1.321321321y=1.3^21^
따라서 옳은 것은 ③이다.
3 3.241=3.2410, 3.241^=3.24111y, 3.24^1^=3.2414141y,
3.2^41^=3.241241241y, 3.2^410^=3.241024102410y
이므로 3.24^1^>3.2^41^>3.241^>3.2^410^>3.241이다.
따라서 -3.24^1^<-3.2^41^<-3.241^<-3.2^410^<-3.241
이므로 가장 큰 수는 -3.241, 가장 작은 수는 -3.24^1^이다.
7
5
=
=
5
66
20
2\3\11 를 유한소수로 나타내려면 분모의
264
소인수가 2 또는 5뿐이어야 하므로 3과 11의 공배수, 즉 33
의 배수를 곱해야 한다.
따라서 곱할 수 있는 가장 작은 세 자리의 자연수는
132{=33\4}이다.
8
=
7
5@\x
이 순환소수가 되려면 분모에 2 또는 5
28
2@\5@\x
이외의 소인수가 있어야 하므로 10 이하의 자연수 중 x의
값이 될 수 있는 수는 3, 6, 7, 9이다.
그런데 x=7이면
=
이므로 구하는 자연수 x의 값
7
5@\7
1
5@
은 3, 6, 9이다.
9
순환소수 x=35.2101010y을 분수로 나타내려면 소수점
아래의 부분이 같은 두 식을 만들어야 한다.
-
R
1000x=35210.101010y
10x= 352.101010y
990x=34858 ∴ x=
17429
495
따라서 가장 편리한 식은 ② 1000x-10x이다.
34858
990
=
10 0.2^5^=2.5\a에서
25
99
=
25
10
\a ∴ a=
0.8^3^=83\b에서
=83\b ∴ b=
\
=
83
99
25
99
\
=
10
25
10
99
83
99
1
83
1
99
∴ a+b=
+
=
=
10
99
1
99
11
99
1
9
22
11 x+0.43^=
45 에서 x+
39
44
39
90
90
90
22
45
x=
-
=
-
43-4
90
=
22
45 이므로
=
=0.05^
5
90
=0.2^85714^에서 순환마디는 285714이고, 순환마디를 이
2
7
루는 숫자의 개수는 6개이다.
이때 50=6\8+2이므로 소수점 아래 50번째 자리의 숫자
는 순환마디 285714의 2번째 숫자인 8이다.
12 ① 순환소수가 아닌 무한소수는 유리수가 아니다.
② 모든 순환소수는 분수로 나타낼 수 있다.
③ 순환소수는 모두 유리수이다.
따라서 옳은 것은 ④, ⑤이다.
3
40
=
3
2#\5
=
3\5@
2#\5\5@
=
3\25
10#
=
75
1000
=0.075
∴ a=25, b=75, c=0.075
6 ㄱ. -
3
75
ㄷ.
3
8
=-
3
2#
=
=
1
25
1
5@
ㄴ.
9
20
=
3@
2@\5
ㄹ.
21
3@\5\7
=
1
3\5
ㅁ.
11
990
=
=
1
90
1
2\3@\5
따라서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은 분모의 소인수가 2
또는 5뿐인 것이므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
P. 11~15 내신 따라잡기
5%
2 18
1 ④
6 정칠각형, 정십팔각형
3 24
4 276
7 16개
9 19개
10 5, 8
11 30
12 882
5 6
8 7개
2
11
13
14 ③
15
17 0.52^
18 ㄱ, ㄴ
19 0.5^6^ 20 91
24 ⑤
25 ①, ④ 26 ㄷ
22 8
27 22개 28 8
23 22
655
3333 16 12
21 5
1. 유리수와 순환소수 1
4
5
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 1
2018-11-14 오후 12:08:53
정답과 해설T
1
주권이의 방어율은
=0.8, 세영이의 방어율은
=0.4^,
7
4
9
일 월 화 수 목
금 토
8
10
5
6
현우의 방어율은
=0.83^이다.
④ 방어율이 가장 높은 선수는 현우이다.
①
③
②
④
2 주어진 분수의 분모는 222, 111, 259의 공약수이다.
이때 222=2\3\37, 111=3\37, 259=7\37이므로 주
어진 분수의 분모는 37이다.
∴
236
37
=6.378378378y=6.3^78^
따라서 순환마디를 이루는 숫자는 3, 7, 8이므로
구하는 합은 3+7+8=18
3
순환소수 0.a^bc^의 순환마디는 abc이고, 순환마디를 이루는
숫자의 개수는 3개이다.
이때 20=3\6+2이므로 순환마디의 2번째 숫자인 b는 소
수점 아래 20번째 자리의 숫자와 같은 1이다.
∴ b=1
또 60=3\20이므로 순환마디의 3번째 숫자인 c는 소수점
아래 60번째 자리의 숫자와 같은 6이다.
∴ c=6
또 70=3\23+1이므로 순환마디의 1번째 숫자인 a는 소
수점 아래 70번째 자리의 숫자와 같은 4이다.
∴ a=4
∴ a+2b+3c=4+2\1+3\6=24
4
=7.6^92307^이므로 순환마디는 692307이고, 순환마디
100
13
를 이루는 숫자의 개수는 6개이다.
따라서 61=6\10+1이므로 소수점 아래 첫째 자리의 숫
자부터 소수점 아래 61번째 자리의 숫자까지의 합은
{6+9+2+3+0+7}\10+6=276
5
=0.61^이므로 a1=6, a2=a3=a4=y=a30=1
11
18
∴ a1 a2 a3ya30=6\1\1\y\1=6
6 각 도형의 둘레의 길이는
=15{ m}이므로
정육각형의 한 변의 길이는
=
{ m}
5
2
정칠각형의 한 변의 길이는
m
29개
75
5
15
6
15
7
정십이각형의 한 변의 길이는
=
=
{ m}
정십육각형의 한 변의 길이는
=
{ m}
15
12
15
16
15
18
5
4
15
2$
5
6
5
2@
5
2\3
정십팔각형의 한 변의 길이는
=
=
{ m}
따라서 한 변의 길이를 유한소수로 나타낼 수 없는 것은 정칠
각형, 정십팔각형이다.
2 정답과 해설
②에서 7개의 분수 중
①에서 7개의 분수 중
위의 그림에서 소수로 나타내면 순환소수가 되는 분수는
4
11 ,
10
17 ,
16
23 ,
23
30 의 2개이다.
2
9 ,
8
15 ,
15
22 ,
22
29 ,
따라서 구하는 분수의 개수는 4+5+5+2=16(개)
6
13 의 4개,
14
12
21 의 5개,
19 ,
20
19
27 의 5개,
26 ,
5
12 ,
11
18 ,
17
24 ,
③에서 7개의 분수 중
④에서 2개의 분수 중
8
=
<
<
1
9
9
10
4
30 이고
3
30
모가 30인 분수는 분자가 4 이상 27 미만이어야 한다.
이 분수를 유한소수로 나타낼 수 있으려면 분자가 3의 배수
9
10 사이에 있는 분
27
30 이므로
1
9 과
이어야 하므로 구하는 분수는
6
30 ,
9
30 ,
12
30 ,
15
30 ,
18
30 ,
21
30 ,
24
30 의 7개이다.
9
\a=
27
560
수로 나타낼 수 있으려면 a는 3과 7의 공배수, 즉 21의 배수
3#\a
2$\5\7
2%\a
3\5@\7
를 모두 유한소
32
525
\a=
,
이어야 한다.
따라서 500보다 작은 21의 배수는 23개, 100보다 작은 21의
배수는 4개이므로 500보다 작은 세 자리의 자연수 a의 개수
는 23-4=19(개)
10
=
36
x
2@\3@
1044
x 을 유한소수로 나타낼 수 있으려면 x는
29x
소인수가 2나 5뿐인 수 또는 9의 약수 또는 이들의 곱으로
=
이루어진 수이어야 한다.
이를 만족시키는 한 자리의 자연수 x의 값은 1, 2, 3, 4, 5,
6, 8, 9이다.
이때 x가 1, 2, 3, 4, 6, 9이면 주어진 수는 자연수가 된다.
따라서 구하는 x의 값은 5, 8이다.
11
a
175
=
a
5@\7
를 유한소수로 나타낼 수 있으려면 a는 7의 배
! a=21일 때,
=
=
1
b
3
25
수이어야 한다.
이때 200), b=4, c=2, d=8
∴ a+b+c-d=3+4+2-8=1
4 4X+4X+4X+4X =4\4X=4!"X={2@}!"X=22{x+1}=22x+2
즉, 22x+2=2^에서 2x+2=6 ∴ x=2
5 8a=2X"$=2X\2$=2X\16 ∴ 2X=
8a
16
=
a
2
∴ 16X={2$}X={2X}$=
[
a
2 ]$=
a$
16
6 각 항의 지수를 10으로 같게 하면
{2@}!)_[-3x$y$]
={3x$y}#\{-2xy#}$_{-3x$y$}#
=27x!@y#\16x$y!@\
=-16x$y#
1
-27x!@y!@
23 (원기둥의 부피) =p\
[
\4xy@
]@\36x$y#
1
2
(원뿔의 부피) =
=p\4x@y$\36x$y#=144px^y&
1
3
]@\3xy@
\p\
[
\12x@y%
1
2
=
\p\36x$y!)\3xy@=36px%y!@
1
3
따라서 원기둥의 부피는 원뿔의 부피의
144px^y&_36px%y!@=
(배)이다.
4x
y%
24 직각삼각형 ABC에서 x축을 회전축으로 하여 1회전 시킬 때
생기는 회전체의 부피 V1은
V1 =
\p\{4a@b}@\2ab@
=
\p\16a$b@\2ab@=
pa%b$
32
3
y축을 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 회전체의 부피
V2는
V2 =
\p\{2ab@}@\4a@b
=
\p\4a@b$\4a@b=
pa$b%
∴ V2_V1 =
pa$b%_
pa%b$
16
3
16
3
=
pa$b%\
3
32pa%b$
=
b
2a
16
3
32
3
1
3
1
3
1
3
1
3
25 만들 수 있는 가장 작은 정사각형의 한 변의 길이는 ab^, a#b@
의 최소공배수이다.
이때 a, b는 서로소인 자연수이므로 (최소공배수)=a#b^
따라서 a#b^_ab^=a@, a#b^_a#b@=b$이므로 필요한 직사
각형의 개수는 a@\b$=a@b$(개)이다.
a,b가서로소이면aN,bN (n은자연수)도서로소이다.
8 정답과 해설
26 P=VI=IR\I=I @R이므로
Pa=a@\b$=a@b$, Pb={b@}@\a@=a@b$
∴
Pa
Pb
=
a@b$
a@b$
=1
27 (좌변) =x-92x-{x@-x-A+3x}0
=x-{2x-x@-2x+A}=x@+x-A
따라서 x@+x-A=2x@-x+2이므로
A=x@+x-{2x@-x+2}=-x@+2x-2
28 X ◎ Y =2X-Y=2{4x@+7x-4}-{5x@+20x-13}
=8x@+14x-8-5x@-20x+13=3x@-6x+5
즉, {3x@-6x+5}✽
=7x@-4x+11이므로
3x@-6x+5+2\
=7x@-4x+11
=7x@-4x+11-{3x@-6x+5}=4x@+2x+6
2\
∴
=2x@+x+3
29 {2x@-x-4}+A=x@-3x+2에서
A=x@-3x+2-{2x@-x-4}=-x@-2x+6
{4x@-3x-1}-2B=2x@+x-5에서
2B=4x@-3x-1-{2x@+x-5}=2x@-4x+4
∴ B=x@-2x+2
B
3 =
A
2
∴
+
-x@-2x+6
2
+
x@-2x+2
3
=
3{-x@-2x+6}+2{x@-2x+2}
6
=
-3x@-6x+18+2x@-4x+4
6
=
-x@-10x+22
6
30 {3x-5}\3x-{12x$y@-4x#y@+8x@y@}_{-2xy}@
=9x@-15x-{12x$y@-4x#y@+8x@y@}_4x@y@
=9x@-15x-3x@+x-2=6x@-14x-2
31 어떤 다항식을 A라 하면 A\
a@b#=a^b&+
a%b^-2a$b&
3
2
∴ A =
a^b&+
a%b^-2a$b&
_
a@b#
[
3
2
[
=
a^b&+
3
2
=2a$b$+3a#b#-4a@b$
a%b^-2a$b&
\
]
2
a@b#
따라서 바르게 계산한 식은
1
2
{2a$b$+3a#b#-4a@b$}_
1
2
]
1
2
a@b#
2
a@b#
={2a$b$+3a#b#-4a@b$}\
=4a@b+6a-8b
∴
32 a-b-c=0에서 a=b+c, b=a-c, c=a-b
c
2c
1
2
a-b
2c =
=1+{-1}+
c-a
b
b+c
a
-b
b
a
a
=
+
+
+
+
1
2
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 8
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=2이므로
39 길잡이 [그림1]을보고[그림2]의가로,세로,대각선에있는세단항식
의곱이모두같도록하는a또는b의지수의합을생각한다.
33 x`:`y=2`:`3에서
4y #z@+7y@z#+3xy @z@_
y
x
=
3
2 , x`:`z=2`:`4에서
1
2
xy @z@
z
x
={4y #z@+7y@z#+3xy @z@}\
2
xy @z@
=
8y
x
+
14z
x
+6=8\
+14\2+6=12+28+6=46
34 (사다리꼴의 넓이) =
\{x@y+2x@y@}\xy@
(삼각형의 넓이) =
\xy@\x@y=
x#y#
∴ [
1
2
x#y#+x#y$
_
x#y# =
x#y#+x#y$
\
2
x#y#
]
=
x#y#+x#y$
1
2
1
2
]
1
2
[
1
2
=1+2y(배)
3
2
1
2
1
2
35 (삼각형 AEF의 넓이)
=5a\2b
-
-
1
2
\{5a-6}\2b+
\6\4+
\5a\{2b-4}
=
1
2
1
2
=10ab-9{5ab-6b}+12+{5ab-10a}0
=10ab-{10ab-6b+12-10a}=10a+6b-12
36 주어진 도형의 둘레의 길이는
가로의 길이가 2a@+5a-9, 세로의 길이가
{4a+1}+{6a-4}+{a+2}=11a-1인 직사각형의 둘레
의 길이보다 2{a@-7a+2}만큼 더 길다.
따라서 둘레의 길이는
2{2a@+5a-9}+2{11a-1}+2{a@-7a+2}
=4a@+10a-18+22a-2+2a@-14a+4
=6a@+18a-16
37 (큰 원기둥의 밑넓이)=p\{3x}@=9px@이므로
(큰 원기둥의 높이) =(부피)_(밑넓이)
={36px#+9px@y}_9px@=4x+y
따라서 주어진 입체도형의 겉넓이는
(큰 원기둥의 겉넓이)+(작은 원기둥의 옆넓이)
=99px@\2+2p\3x\{4x+y}0+2px\{x+2y}
=18px@+24px@+6pxy+2px@+4pxy
=44px@+10pxy
38 길잡이 만들수있는가장큰수와가장작은수를구하기위해어떤수
와연산이필요한지생각한다.
거듭제곱 꼴의 수에서 지수가 클수록 그 값은 커지므로 4, 8
을 뽑는 경우에 가장 큰 수를 만들 수 있다.
∴ (만들 수 있는 가장 큰 수)=4*={2@}*=2!^
나누어지는 수는 작을수록, 나누는 수는 클수록 그 값은 작
아지므로 1, 8을 뽑는 경우에 가장 작은 수를 만들 수 있다.
∴ (만들 수 있는 가장 작은 수) =1_8=1_2#=
1
2#
따라서 구하는 두 수의 곱은 2!^\
=2!#
1
2#
[그림 1]의 가로, 세로, 대각선에 있는 세 수의 합은 15로 일
정하므로 [그림 2]의 가로, 세로, 대각선에 있는 세 단항식의
곱이 모두 같으려면 가로, 세로, 대각선에 있는 a 또는 b의
지수의 합이 각각 15가 되어야 한다.
즉, 가로, 세로, 대각선에 있는 세 단항식의 곱이 모두 a!%b!%
이 되도록 각 칸에 식을 쓰면 다음 [그림 2]와 같다.
6
7
2
1
5
9
8
3
4
[그림 1]
a^
a&
a@
a
a%
a(
a*
a#
a$
a^b$
ab(
a*b@
a&b#
a%b%
a#b&
a@b* a(b
a$b^
[그림 2]
40 길잡이 원뿔,원뿔대,원기둥모양각각의용기의부피를구한다.
원뿔 모양의 용기의 밑면의 반지름의 길이를 r, 높이를 h라
하면 소형 컵과 대형 컵 용기는 다음 그림과 같다.
r
r
2
h
2
1
원뿔 모양의 용기의 부피는
3
\pr@\h=
pr@h
원뿔대 모양의 소형 컵 용기의 부피는
1
1
3
3
r
2 ]@\
\pr@\h-
\p\
[
h
2 =
1
3
pr@h-
pr@h
1
24
h
2
2r
1
3
=
7
24
pr@h
원기둥 모양의 대형 컵 용기의 부피는
p\{2r}@\
=2pr@h
h
2
이때 원뿔 모양의 용기에 담긴 아이스크림의 가격은 1600원
이고, 소형 컵 용기의 부피는 원뿔 모양의 용기의 부피의
7
24
pr@h_
pr@h=
pr@h\
7
24
3
pr@h
1
3
=
7
8 (배)이므로 소형
7
8
=1400(원),
컵에 담긴 아이스크림의 가격은 1600\
대형 컵 용기의 부피는 원뿔 모양의 용기의 부피의
2pr@h_
1
3 pr@h=2pr@h\
3
pr@h
=6(배)이므로 대형 컵에
담긴 아이스크림의 가격은 1600\6=9600(원)이다.
P. 30~31 내신 뛰어넘기
1%
01 24
06 1
02 9가지 03 ①
04 11
05 24
2. 식의 계산 9
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 9
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01 길잡이 d$={abc}@$에서a,b를각각d를사용하여나타낸후c,d에
대한식으로만든다.
이때 x는 한 자리의 짝수이므로 x의 값이 될 수 있는 수는
2, 4, 6, 8이다.
d={abc}^에서
d$={abc}@$=a@$b@$c@$={a!@}@b@$c@$=d@dc@$=d#c@$
즉, d$=d#c@$이므로 d=c@$
∴ x=24 (∵ c=1)
02 길잡이 2^=4#=8@=64!에서지수인6,3,2,1사이의관계를파악한다.
2^을 {2!}^={2@}#={2#}@={2^}!과 같이 나타내면
1\6=2\3=3\2=6\1이므로
서로 다른 aN의 꼴의 개수는 밑이 소수일 때, 2^의 지수인 6
의 약수의 개수와 같다.
9!*={3@}!*=3#^에서 36=2@\3@이므로 3#^의 지수인 36의
약수의 개수는 {2+1}\{2+1}=9(개)이다. 따라서 9!*은
모두 9가지의 서로 다른 aN의 꼴로 나타낼 수 있다.
03 길잡이 복사본의글자크기와처음종이의글자크기사이의관계에서
규칙을찾는다.
7번째 복사본의 글자 크기는 처음 종이의 글자 크기의 2배,
{7\2}번째 복사본의 글자 크기는 처음 종이의 글자 크기의
2\2=2@(배),
{7\3}번째 복사본의 글자 크기는 처음 종이의 글자 크기의
2@\2=2#(배),
⋮
7n번째 복사본의 글자 크기는 처음 종이의 글자 크기의 2N
배가 된다.
따라서 84{=7\12}번째 복사본의 글자 크기는 처음 종이
의 글자 크기의 2!@배이고, 49{=7\7}번째 복사본의 글자
크기는 처음 종이의 글자 크기의 2&배이므로
2!@_2&=2%(배)
04 길잡이 세로의길이가같은두직사각형의넓이가오른쪽
그림과같을때,a`:`b=x`:`y임을이용한다.
a
x
오른쪽 그림에서
`:`
=2X`:`3Y이
256
x
1
y
므로
256
x
1
y
\3Y=
\2X, 3Y\y=
\x
256
x
x
2
b
y
1
y
y
3
이때 x와 y는 서로소이므로 x=3Y, y=
2X
2*
또 xy=18이므로 xy=3Y\
=2\3@에서 x-8=1, y=2
따라서 x=9, y=2이므로 x+y=11
2X
2*
2X
2*
05 길잡이 우변의계수가양수임을이용하여구한x의각값에따른y,z의
값을구한다.
우변의 계수가 양수이므로 x는 짝수이다.
(좌변)=
\
\
b@X
aX
9b@X_@
aX"#Y_$
b^
a#Y
9bZ
a#
즉,
=
에서
9a$
b*
=
9b@X_@
aX"#Y_$
x+3y-4=3 y`㉠, 2x-2=z y`㉡
10 정답과 해설
! x=2이면 ㉠에서 y=
모순이다.
5
3 이므로 y가 자연수라는 조건에
@ x=4이면 ㉠에서 y=1, ㉡에서 z=6이므로 조건을 만
족시킨다.
# x=6이면 ㉠에서 y=
모순이다.
$ x=8이면 ㉠에서 y=-
에 모순이다.
1
3 이므로 y가 자연수라는 조건에
1
3 이므로 y가 자연수라는 조건
따라서 !~$에 의해 x=4, y=1, z=6이므로
xyz=4\1\6=24
06 길잡이 {-x}N={-1}NxN임을이용한다.
{-x}N\{-x}N"!_xN+x\{x@N\x+xN}_xN"!
=
{-x}@N"!
xN
+
홀수
x@N"@+xN"!
xN"!
=
{-1}@N"!x@N"!
xN
=-1\xN"!+xN"!+1
=-xN"!+xN"!+1=1
+
x@N"@
xN"!
+
xN"!
xN"!
P. 32~33
21 ~
서술형 완성하기
1 -96
6 x@-2y 7 0.0^9^
2 63
3 38개
8 4
[과정은풀이참조]
4 27
5 3
1
=0.1^90476^이므로 순환마디는 190476이고,
4
21
y`!
순환마디를 이루는 숫자의 개수는 6개이다.
이때 50=6\8+2이므로 소수점 아래 첫째 자리부터 소수
점 아래 48번째 자리까지 순환마디가 8번 반복된다. y`@
∴ a1-a2+a3-a4+y+a49-a50
={1-9+0-4+7-6}\8+{1-9}
=-11\8-8=-96
의순환마디와순환마디를이루는숫자의개수구하기 30%
채점기준
4
21
!
@순환마디가반복되는횟수알기
#답구하기
y`#
비율
30%
40%
2
=
=
7
b 을 유한소수로 나타낼 수 있으므로 분
a
2\3@\5
a
90
모에 2 또는 5 이외의 소인수가 없어야 한다.
∴ a=3@\7\m ( m은 자연수)
y`!
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a는 100b이므로
a=9, b=8
∴ 0.a^b^-0.b^a^ =0.9^8^-0.8^9^
9
99
=0.0^9^
98
99
89
99
=
-
=
채점기준
!a+b의값구하기
@a,b의값구하기
#두순환소수의차를순환소수로나타내기
8 25N\{0.4}# ={5@}N\
[
2
5 ]#=5@N\
1
5#
\2#
=
5@N
5#
\2#
y`㉠
10\2M={2\5}\2M=5\2M"! y`㉡
y`!
㉠, ㉡에서
\2#=5\2M"!
5@N
5#
=5에서 2n-3=1이므로 2n=4 ∴ n=2
5@N
5#
2#=2M"!에서 3=m+1이므로 m=2
∴ m+n=2+2=4
채점기준
!주어진식의양변을정리하기
@m,n의값구하기
#m+n의값구하기
1~2. 서술형 완성하기 11
비율
40%
30%
30%
y`!
y`#
비율
30%
30%
40%
y`!
y`@
y`#
비율
30%
30%
40%
y`@
y`#
비율
50%
40%
10%
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3. 일차부등식
P. 36~40
개념+ 문제 확인하기
대표
1 ⑤
2 3개
3 ㄴ, ㄷ
4 ⑴ -11<2x-5<13 ⑵ -2<-
+1<2
x
3
6 x>-6, 그림은 풀이 참조
5 2
8 -29 9 2
11 a=1, b>1
14 75점 15 9개
18 3 cm 19 12 cm 20 36 L 21 14개 22 560원
23 20 % 24 1 km 25 2 km 26 10분 27 5 g
28 100 g 29 260 g
10 -410000
2 |x|<2이므로 x=-2, -1, 0, 1, 2
이를 6x-10<-2{x+4}에 각각 대입하면
x=-2일 때, 6\{-2}-10<-2\9{-2}+40
x=-1일 때, 6\{-1}-10<-2\9{-1}+40
-22<-4 (참)
-16<-6 (참)
x=0일 때, 6\0-10<-2\{0+4}
-10<-8 (참)
x=1일 때, 6\1-10<-2\{1+4}
-4<-10 (거짓)
x=2일 때, 6\2-10<-2\{2+4}
2<-12 (거짓)
따라서 주어진 부등식의 해는 -2, -1, 0의 3개이다.
3 ㄱ. a>b에서 4a>4b이므로
4a+1>4b+1
ㄴ. a>b에서
a>
b이므로
1
3
1
3
1
3
1
3
a-4>
b-4
ㄷ. a>b에서 -3a<-3b이므로
-3a+7<-3b+7
1
2
1
2
1
2
-
a-2<-
b-2
1
2
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
ㄹ. a>b에서 -
a<-
b이므로
4 ⑴ -3-6
이 해를 수직선 위에 나타내면 오른쪽
그림과 같다.
-6
2{x-1}
7 0.3x-0.2>
-x>-2 ∴ x<2
3x-2>4{x-1}, 3x-2>4x-4
5 의 양변에 10을 곱하면
따라서 구하는 가장 큰 정수 x의 값은 1이다.
8 4{x-1}+3>8x+a에서 4x-4+3>8x+a
-4x>a+1 ∴ x<-
a+1
4
이 해가 x<-7이므로 -
a+1
4
a+1=-28 ∴ a=-29
=7
9 2-
-
3
2
2
3
x>
x
6 의 양변에 6을 곱하면
12-4x>9-x, -3x>-3 ∴ x<1 y`㉠
6x-50일 때
① |X|a이면 X<-a 또는 X>a
11 ax+1>x+b에서 {a-1}x>b-1
이 부등식의 해가 없으므로
a-1=0, b-1>0 ∴ a=1, b>1
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개념 더하기 자세히 보기
⑴부등식의해가없는경우
ax>b의 꼴에서 a=0으로 만든 후 0\x>b가 참이 되지 않도
록 b의 값을 정한다.
0\x>b, 즉 0>b가 참이 되지 않으려면 b>0이어야 하고,
ax>b의 꼴에서 0\x>b, 즉 0>b가 참이 되지 않으려면
b>0이어야 한다.
⑵부등식의해가무수히많은경우
ax>b의 꼴에서 a=0으로 만든 후 0\x>b가 참이 되도록 하
는 b의 값을 정한다.
0\x>b, 즉 0>b가 참이 되려면 b<0이어야 하고, ax>b의
꼴에서 0\x>b, 즉 0>b가 참이 되려면 b<0이어야 한다.
12 연속하는 세 홀수를 x-2, x, x+2라 하면
{x-2}+x+{x+2}>38, 3x>38
∴ x>
38
3 [
2
=12
3 ]
이를 만족시키는 가장 작은 홀수는 13이므로 구하는 세 수는
11, 13, 15이다.
13 주사위를 던져 나온 눈의 수를 x라 하면
3x-2>x+6, 2x>8 ∴ x>4
이때 주사위의 눈은 1, 2, y, 6의 6개이므로 x>4를 만족
시키는 눈의 수는 5, 6이다.
따라서 구하는 눈의 수의 합은 5+6=11
14 다섯 번째 쪽지 시험에서 x점을 받는다고 하면
>80, 325+x>400
84+86+81+74+x
5
∴ x>75
따라서 다섯 번째 쪽지 시험에서 최소 75점을 받아야 한다.
15 식품을 x개 주문한다고 하면
2100x+2500<22000, 2100x<19500
∴ x<
65
7 [
2
=9
7 ]
이때 x는 자연수이므로 식품을 최대 9개까지 주문할 수 있다.
16 400원짜리 볼펜을 x자루 산다고 하면 200원짜리 볼펜은
{15-x}자루를 사야 하므로
400x+200{15-x}<4000, 400x+3000-200x<4000
200x<1000 ∴ x<5
이때 x는 자연수이므로 400원짜리 볼펜은 최대 4자루까지
살 수 있다.
17 x개월 후부터 도현이의 예금액이 다현이의 예금액보다 많아
진다고 하면 x개월 후 도현이의 예금액은 {5000+3000x}원,
다현이의 예금액은 {25000+2000x}원이므로
5000+3000x>25000+2000x
1000x>20000 ∴ x>20
이때 x는 자연수이므로 도현이의 예금액이 다현이의 예금
액보다 많아지는 것은 21개월 후부터이다.
18 사다리꼴의 윗변의 길이를 x cm라 하면
\{x+12}\8
1
2
=
cm@이므로
\{x+12}\8>60, 4{x+12}>60
사다리꼴의 넓이는 -
1
2
4x+48>60, 4x>12 ∴ x>3
따라서 사다리꼴의 윗변의 길이는 3 cm 이상이어야 한다.
19 직사각형 ABCD를 A
B
를 축으로 하여 1
A
D
회전 시킬 때 생기는 입체도형은 오른쪽
그림과 같이 반지름의 길이가 5 cm인 원
기둥이다.
A
B
=x cm라 하면
p\5@\x>300p ∴ x>12
따라서 A
의 길이는 최소 12 cm이다.
B
B
C
5 cm
20 처음 페인트 통에 들어 있던 페인트의 양을 x L라 하면
{x-6}>10, x-6>30 ∴ x>36
1
3
따라서 처음 페인트 통에 들어 있던 페인트의 양은 최소
36 L이다.
21 오렌지를 x개 산다고 하면
800x>{800-150}x+2000, 800x>650x+2000
40
3 [
150x>2000 ∴ x>
1
=13
3 ]
따라서 할인 매장에서 사는 것이 유리하려면 오렌지를 14개
이상 사야 한다.
22 스티커의 정가를 x원이라 하면
x-300>
1-
\300,
25
100 ]
40
100
[
75
100
x-300>120
x>420 ∴ x>560
75
100
따라서 스티커의 정가는 최소 560원으로 정해야 한다.
23 가공식품 한 개의 생산 가격을 a원이라 하고, 가공식품 한
개에 생산 가격의 x %의 이익을 붙여서 판다고 하면
x
100 ]
{3000-500}\a\
>3000\a
1+
[
2500+25x>3000 (∵ a>0)
25x>500 ∴ x>20
따라서 최소 20 %의 이익을 붙여서 팔아야 한다.
24 걸어간 거리를 x m라 하면 전체 거리는 2.5 km, 즉 2500 m
이므로 뛰어간 거리는 {2500-x} m이다.
이때 전체 걸린 시간이 30분 이내여야 지각하지 않으므로
x
50
3x+2500-x<4500, 2x<2000 ∴ x<1000
따라서 걸어간 거리는 최대 1000 m, 즉 최대 1 km이다.
2500-x
150
<30
+
각각의단위가다른경우에는식을세우기전에단위를통일
해야한다.
3. 일차부등식 13
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 13
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X
Z
X
Z
X
Z
1
26 형과동생이출발한지x분이지났다고하면형과동생은
ㅂ.abc
-
x
80
25 집과우체국사이의거리를x m라하면
<15,8x-5x<6000,3x<6000
x
50
∴x<2000
따라서집과우체국사이의거리는2000 m,즉2km이하
이다.
서로반대방향으로가고있으므로
200x+50x>2500,250x>2500 ∴x>10
따라서출발한지최소10분이지나야한다.
27 설탕을x g더넣는다고하면
\100+x<
\{100+x}
10
5.5
100
100
55+10x<100+x,9x<45 ∴x<5
따라서설탕을최대5 g까지더넣을수있다.
28 10%의소금물을x g섞는다고하면5%의소금물은
\x+
\{500-x}>
{500-x} g을섞어야하므로
5
10
100
100
10x+5{500-x}>3000,10x+2500-5x>3000
5x>500 ∴x>100
따라서10%의소금물은100 g이상섞어야한다.
6
100
\500
29 식품B를x g섭취한다고하면
\x>640
\440+
104
100
84
100
36960+104x>64000,104x>27040 ∴x>260
따라서식품B를260 g이상섭취해야한다.
P. 41~47 내신 따라잡기
5%
1 ㄴ,ㄷ,ㅁ
5 ②
2 ③,④ 3 ③
6 6.65-1
5
6
11
15
4
14
-
4
15
15 222
12 ④
21 65점
25 ①
28 88명 29 25% 30 25%
33 시속72km
34 21 g 35
1000
13
g
36 60 g 37 ⑨
38 149표 39 360MB
14 정답과 해설
1 주어진그림에서cc의양변에-1을곱하면-a<-c
ㄷ.b>c이고a<0이므로abab
ㅁ.a0이므로
a
|c|
<
b
|c|
∴ac+b>bc+b
따라서옳은것은ㄴ,ㄷ,ㅁ이다.
2 ①a=-2,b=1이면-2<1이지만|-2|>|1|이다.
②a=-2,b=1이면-2<1이지만{-2}@>1@이다.
④-3a<-3b에서a>b
∴2a-3>2b-3
⑤-5a+2<-5b+2에서-5a<-5b
∴a>b
이때a=3,b=2이면3>2이지만
<
1
3
1
2 이다.
따라서옳은것은③,④이다.
3 -2<3x-8<4에서6<3x<12 ∴23{0.5x-1.2}에서
24
10
양변에 30을 곱하면 10x+72>45x-108
x+
1
3
>
x-
15
10
36
10
-35x>-180 ∴ x<
36
7 [
1
=5
7 ]
이를 만족시키는 자연수 x는 1, 2, 3, 4, 5의 5개이다.
8 -
2a+10
3
2
3
=3a-
x에서 2a+10=-9a+2x
-2x=-11a-10 ∴ x=
11a+10
2
이 해가 16보다 크므로
11a+10
2
>16
11a+10>32, 11a>22 ∴ a>2
9 -2x+42{a+2} y`㉠
이때 a<-2, 즉 a+2<0이므로
㉠에서 x<
2{a+2}
a+2 ∴ x<2
10 bc>0이고 abc<0이므로 a<0
bc>0이고 b+c<0이므로 b<0, c<0
ax+a+bx+b+cx+c<0에서
{a+b+c}x<-{a+b+c} y`㉠
이때 a+b+c<0이므로
㉠에서 x>-
a+b+c
a+b+c ∴ x>-1
11 {6a-5}x0
1
6
b
6a-5
즉, {6a-5}x0에서 ax>-2a+3b y`㉠
이 부등식의 해가 x<3이므로 a<0
즉, ㉠에서 x<
-2a+3b
a
따라서
-2a+3b
a
=3이므로
3
5
7
5
-2a+3b=3a, -5a=-3b ∴ a=
b
a=
b를 a-2b=7에 대입하면
b-2b=7
3
5
3
5
-
b=7 ∴ b=-5
b=-5를 a=
b에 대입하면 a=-3
3
5
∴ ab=-3\{-5}=15
13 a{x-1}-2b<0에서 ax
2
3 이므로 a<0
즉, ㉠에서 x>
a+2b
a 이므로
a+2b
a
=
2
3 , 3a+6b=2a ∴ a=-6b
이때 a<0이므로 b>0
따라서 a=-6b를 {2a-3b}x+a+2b<0에 대입하면
{-12b-3b}x-6b+2b<0, -15bx<4b
y`㉡
그런데 -15b<0 (∵ ㉡)이므로 x>-
4
15
4
5
2a-
7
2
6
7
k-4
3
0 1
2
543
a+12
6
14
2x-5
4
>a-3에서 2x-5>4a-12
2x>4a-7 ∴ x>2a-
7
2
이를 만족시키는 x의 값 중 가장 작은
정수가 5이려면 오른쪽 그림에서
4<2a-
<5, 8<4a-7<10
7
2
15<4a<17 ∴
31k에서
{2x+1}-{5x+2}+1>3-k+1
2x+1-5x-2+1>-k+4
-3x>-k+4 ∴ x<
k-4
3
이를 만족시키는 최대의 정수 x가 6이
므로 오른쪽 그림에서
6<
k-4
3
∴ 22bx+2에서ax-bx>2-b,{a-b}x>2-b
ㄱ.a>b,즉a-b>0인경우x>
ㄴ.a2,즉a-b=0,2-b<0인경우
0\x>(음수)의꼴이므로해는무수히많다.
ㄹ.a=b,b<2,즉a-b=0,2-b>0인경우
0\x>(양수)의꼴이므로해는없다.
따라서옳은것은ㄱ,ㄷ,ㄹ이다.
개념 더하기 다시 보기
x에대한부등식ax>b에서
⑴a=0,b>0이면해가없다.
⑵a=0,b<0이면해가무수히많다.
19 처음수의십의자리의숫자를x라하면
㈎에서일의자리의숫자는10-x이므로처음수는
10x+10-x이고,십의자리의숫자와일의자리의숫자를
바꾼수는10{10-x}+x이다.
즉,㈏에서10{10-x}+x<2{10x+10-x}-136
100-10x+x<2{9x+10}-136
100-9x<18x-116,-27x<-216 ∴x>8
이때x는한자리의자연수이므로x=9
따라서일의자리의숫자는10-9=1이므로처음수는91
십의 자리의 숫자가 a, 일의 자리의 숫자가 b인 두 자리의 자
이다.
연수에 대하여
① 처음 수: 10a+b
② 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 수: 10b+a
20 여학생수를x명이라하면남학생수는{20-x}명이므로
165{20-x}+158x
20
>162,3300-165x+158x>3240
-7x>-60 ∴x<
60
7 [
4
=8
7 ]
따라서여학생은최대8명이다.
21 전체학생의중간고사수학성적의평균을x점이라하면중
간고사수학성적의총점이120x점이고,기말고사수학성
적의총점이{120x+45\8}점이므로
120x+45\8
120
>68,120x+360>8160
120x>7800 ∴x>65
따라서중간고사수학성적의평균은65점이상이다.
22 감자를x개산다고하면양파는2x개사야하므로
600x+400\2x+100<8500,1400x<8400 ∴x<6
따라서감자는최대6개까지살수있다.
400x<10600 ∴x<
1100+400x-1200<10500
53
2 [
1
=26
2 ]
따라서최대26일까지대여할수있다.
24 두사람이기부하는금액을바꾼지x개월후부터승환이의
기부액이진아의기부액보다적어진다고하면
승환이가작년12달동안기부한금액은
2500\12=30000(원),
진아가작년12달동안기부한금액은
1500\12=18000(원)이므로
30000+3000x<18000+4000x
-1000x<-12000 ∴x>12
따라서두사람이기부하는금액을바꾼지13개월후부터
승환이의기부액이진아의기부액보다적어진다.
25 (삼각형의가장긴변의길이)<(나머지두변의길이의합)
이므로
a+9<{a+1}+{a+2},a+9<2a+3 ∴a>6
따라서a의값이될수없는것은①6이다.
26 (사다리꼴ABCD의넓이)=
=x cm라하면BP
A
P
1
2
={16-x} cm이므로
\{8+10}\16=144{cm@}
(삼각형DPC의넓이)
1
1
2
2
\x\8-
=144-
\{16-x}\10
=144-4x-80+5x=x+64{cm@}
(삼각형DPC의넓이)=
\(사다리꼴ABCD의넓이)
1
2
이므로
x+64>
1
2
P
따라서A
\144,x+64>72 ∴x>8
의길이의최솟값은8 cm이다.
27 처음에넣은기름의양을x L라하면공원까지24km를가
는데24_12=2{ L}의기름을사용했으므로공원에서출
발할때차에남아있던기름의양은{x-2} L이다.
돌아오면서나머지기름의
1
8 만큼사용했고,336km를갈
수있는기름의양은336_12=28{ L}이므로
7
8
따라서처음에넣은기름의양의최댓값은34 L이다.
{x-2}<28,x-2<32 ∴x<34
28 50명이상100명미만인x명이입장한다고하면
\x>4000\
4000\
1-
1-
\100
30
100 ]
[
20
100 ]
[
80
100
4000\
\x>4000\
\100
70
100
80x>7000 ∴x>
175
2 [
1
=87
2 ]
23 책한권을x일동안대여한다고하면
1100+400{x-3}<10500
따라서88명이상이어야100명의단체입장권을사는것이
유리하다.
16 정답과 해설
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 16
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X
Z
Z
X
Z
1
29 화분 한 개의 구입 가격을 a원이라 하고, 화분 한 개에 구입
가격의 x %의 이익을 붙여서 판다고 하면
{500-20}\a\
1+
-500a>500a\
x
100 ]
[
20
100
480
1+
[
x
100 ]
-500>100 (∵ a>0)
480+
x>600,
x>120 ∴ x>25
24
5
24
5
따라서 화분 한 개에 25 % 이상의 이익을 붙여서 팔아야 한다.
30 원가를 a원이라 하면 정가는 2a원이므로 세일 기간 중의 판
매 가격이 원래 정가에서 x % 할인한 가격이라 하면
1-
[
\2a-a>
\a
1
2
x
100 ]
x
100 ]
2
1-
x
[
50
100-x>75, -x>-25 ∴ x<25
1
2 (∵ a>0), 2-
-1>
>
3
2
따라서 세일 기간 중의 판매 가격은 원래 정가에서 최대
25 % 할인한 가격이다.
31 지민이가 출발한 후 x분 동안 지민이가 이동한 거리는
60x m, 석진이가 이동한 거리는 {300+30x} m이므로
{300+30x}-60x<150, -30x<-150 ∴ x>5
따라서 둘 사이의 거리가 처음으로 150 m 이하가 되는 것은
지민이가 출발한 지 최소 5분 후이다.
+
32 터미널에서 상점까지의 거리를 x km라 하면
<1,
x
x
4.8
4.8
30x+60+40x<144, 70x<84 ∴ x<1.2
따라서 터미널에서의 거리가 1.2 km, 즉 1200 m 이하인 서
x
3.6
x
3.6
25
60
5
12
<1
+
+
+
점, 편의점, 카페 중 한 곳에 갔다 올 수 있다.
33 시속 60 km로 120 km의 거리를 계속 가면
=2(시간)
120
60
이 걸리므로 지연되는 시간이 10분 이하가 되도록 하려면 C
역에 가는 데 걸리는 시간은 최대 1시간 40분이어야 한다.
기차가 B역에서부터 시속 x km로 달린다고 하면 1시간 40
분 동안 120 km 이상의 거리를 달려야 하므로
1
40
60
5
3
x>120,
x>120 ∴ x>72
따라서 시속 72 km 이상으로 달려야 한다.
34 x g의 물을 증발시키고 x g의 소금을 더 넣었다고 하면
\300
\300+x>
12
100
5
100
15+x>36 ∴ x>21
따라서 최소 21 g의 물을 증발시켜야 한다.
35 x g의 물을 증발시키고
x g만큼의 설탕을 더 넣은 후,
1
2
x g만큼의 물을 증발시켰다고 하면
1
4
10
100
5000+50x>10000-15x
65x>5000 ∴ x>
1000
13
따라서 처음에 증발시켜야 하는 물의 양의 최솟값은
1000
13
g이다.
36 쌍별이를 x g 넣으면 꽃벵이는 {80-x} g을 넣어야 하므로
\{80-x}<50
\x+
58
64
100
100
64x+58{80-x}<5000
64x+4640-58x<5000
6x<360 ∴ x<60
따라서 쿠키 1개를 만드는 데 쌍별이는 최대 60 g까지 넣을
수 있다.
37 길잡이 ㈎,㈏,㈐에서각각부등호의방향을보고진짜금화를찾는다.
㈎ (①, ②, ③, ④의 무게의 합)<(⑥, ⑦, ⑧, ⑨의 무게의 합)
에서 ⑤, ⑩, ⑪, ⑫는 진짜 금화이다.
㈏ (①, ②, ⑨, ⑪의 무게의 합)>(③, ④, ⑤, ⑫의 무게의 합)
에서 ⑥, ⑦, ⑧, ⑩은 진짜 금화이다.
㈐ (③의 무게)=(④의 무게)에서 ③, ④는 진짜 금화이다.
즉, ①, ②, ⑨ 중 하나가 가짜 금화이다.
그런데 ㈏에서 가짜 금화의 무게는 진짜 금화보다 무거움을
알 수 있으므로 ㈎에서 ①, ②는 가짜 금화일 수 없다.
따라서 가짜 금화는 ⑨이다.
38 길잡이 득표수가많은두명이얻을수있는최대득표수를먼저구한다.
A가 가장 많이 득표하고, B가 그 다음으로 많이 득표했다
고 하면 두 사람이 얻을 수 있는 표는 최대
300-3=297(표)이다.
이때 A의 득표수를 x표라 하면 B의 득표수는 {297-x}표
이므로
x>297-x, 2x>297 ∴ x>148.5
즉, A가 149표를 먼저 얻으면 B는 최대 148표를 얻을 수
있으므로 남은 개표 결과에 관계없이 A의 당선이 확정된다.
따라서 개표가 모두 끝나기 전에 당선이 확정되려면 최소한
149표를 먼저 얻어야 한다.
39 길잡이 한달사용데이터를미지수로놓고,두요금제에대한휴대전화
사용요금을각각구한다.
한 달 동안 데이터를 200 MB 초과 800 MB 미만인 x MB만
큼 사용했다고 하면
A 요금제의 휴대 전화 사용 요금은
12000+600\18+{x-200}\20=20x+18800(원)
B 요금제의 휴대 전화 사용 요금은
20000+600\10=26000(원)
이때 B 요금제의 요금이 A 요금제의 요금보다 적게 나와야
하므로
20x+18800>26000, 20x>7200 ∴ x>360
따라서 데이터를 최소 360 MB 초과하여 사용해야 B 요금제
3. 일차부등식 17
\500+
x>
\
500-x+
x-
1
2
20
100
[
1
2
1
4
x
]
가 유리하다.
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 17
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P. 48~49 내신 뛰어넘기
1%
01 2
06 75분 07 40 kcal
02 -2 03 1
04 8번
08 10월 17일
05 3개
-2>x-4인경우와
-2x-4, 즉 x<3인 경우
x
3
-2, x-4
=x-4이므로
}
{
x-4=-x, 2x=4
∴ x=2
이때 x=2는 x<3인 조건을 만족시킨다.
x
@
3
-23인 경우
-2, x-4
-2이므로
-2=-x,
x=2
x
3
=
}
4
3
x
3
{
x
3
∴ x=
3
2
x
3
그런데 x=
3
2 은 x>3인 조건을 만족시키지 않는다.
따라서 !, @에 의해 x=2이다.
02 길잡이 일차항은좌변으로,상수항은우변으로이항하여정리한후,해가
없을조건을생각한다.
{a+1}x+1>3x+4a에서 {a-2}x>4a-1
이 부등식의 해가 없으므로 a-2=0이고 4a-1>0이어야
한다.
이때 a=2이면 4a-1>0이 성립하므로 a=2이다.
a=2를 -2ax-7a-3
따라서 이를 참이 되게 하는 정수 x의 최솟값은 -2이다.
03 길잡이 a의값의범위를a>0,a=0,a<0인경우로나누어생각한다.
|ax-3|<5에서 -50일 때, ㉠에서 -
650, 50x>400 ∴ x>8
따라서 겉넓이의 총합이 650 cm@ 이상이 되려면 최소 8번
을 잘라야 한다.
05 길잡이 1개의창구에서1분동안수속할수있는사람수를먼저구한다.
1개의 창구에서 1분 동안 수속할 수 있는 사람 수를 a명이
라 하면
3\a\15=300+15\10, 45a=450
∴ a=10
기다리는 사람들이 모두 8분 이내에 x개의 창구에서 모두
탑승 수속을 마친다고 하면
x\10\8>450, 80x>450
∴ x>
45
8 [
5
=5
8 ]
따라서 탑승 수속 창구는 6개 이상 있어야 하므로
6-3=3(개) 이상 추가되어야 한다.
06 길잡이 물탱크를가득채우는물의양을1이라하고먼저A,B수도관
으로1시간동안채울수있는물의양을각각구한다.
물탱크를 가득 채우는 물의 양을 1이라 하면 A, B 수도관
으로 1시간 동안 채울 수 있는 물의 양은 각각
1
3 ,
2
5 이고,
1
12 이다.
구멍으로 1시간 동안 빠져나가는 물의 양은
두 수도관을 동시에 사용하여 물을 채우는 시간을 x시간이
라 하면 A 수도관만으로 물을 채우는 시간은 {2-x}시간
{2-x}+
+
x-
\2>1
1
12
이므로
1
3
2
3
1
3
1
3
[
11
15
2
5 ]
1
6
5
4
12x>15 ∴ x>
-
x+
x-
>1, 20-10x+22x-5>30
따라서 두 수도관을 동시에 사용한 시간은
5
4 [
=
75
60 ]시간,
즉 75분 이상이어야 한다.
07 길잡이 구입한식품A의양을x g이라하고구입한식품B의양을x를
사용한식으로나타낸다.
\x=3x(원)
식품 A를 x g 구입했다고 하면 구입한 가격은
300
100
이때 두 식품 A, B를 구입한 가격의 비가 3`:`1이므로 식품
B를 구입한 양은
1
2
100
200
x{ g}
3x\
1
3
=
\
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 18
2018-11-14 오후 12:09:03
두 식품 A, B를 모두 섭취했을 때 얻게 되는 탄수화물의 양
이 18 g 이상이므로
1
15
100
2
15x+3x>1800
6
100
x>18
\x+
\
x>50
18x>1800 ∴ x>100,
1
2
이때 두 식품 A, B를 모두 섭취했을 때 얻게 되는 열량을
P kcal라 하면
25
100
30
100
따라서 구하는 열량은 최소 40 kcal이다.
\50 ∴ P>40
\100+
P>
08 길잡이 기웅이의생일을x월y일이라하면x,y는자연수이고
1ax+
a의 양변에 6을 곱하면
2
3
3x+3>6ax+4a, {3-6a}x>4a-3 y`㉠
이 부등식의 해가 x<2이므로 3-6a<0
즉, ㉠에서 x<
4a-3
3-6a
따라서
=2이므로
4a-3
3-6a
4a-3=6-12a, 16a=9
∴ a=
9
16
채점기준
!일차부등식의해를a를사용하여나타내기
@a에대한방정식세우기
#a의값구하기
3
2x-1
4
-
x-2
3
<
a
2 의 양변에 12를 곱하면
3{2x-1}-4{x-2}<6a, 6x-3-4x+8<6a
2x<6a-5 ∴ x<
6a-5
2
이를 만족시키는 자연수 x가 3개이므
로 그 자연수는 1, 2, 3이다.
즉, 오른쪽 그림에서 3<
6a-5
2
<4
2
3
4
6a-5
2
이므로
6<6a-5<8 ∴ 11<6a<13 y`㉠
2y+6a=3에서 6a=3-2y이므로 이를 ㉠에 대입하면
11<3-2y<13, 8<-2y<10
∴ -525
15
x
15x>25 ∴ x>
5
3
직육면체의 밑면의 둘레의 길이는 4x이므로
4x>4\
=
5
3
20
3
따라서 직육면체의 밑면의 둘레의 길이의 최솟값은
y`@
y`#
비율
60%
30%
10%
채점기준
!일차부등식세우기
@일차부등식풀기
#밑면의둘레의길이의최솟값구하기
3. 서술형 완성하기 19
y`!
y`@
y`#
비율
40%
30%
30%
y`!
y`#
비율
30%
40%
30%
y`!
y`@
20
3 이다.
y`#
비율
40%
30%
30%
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 19
2018-11-14 오후 12:09:03
5
삼각김밥을 x개 산다고 하면
15
100 ]
800\
1-
[
\x<800\{x-1}
680x<800x-800, -120x<-800
20
3 [
2
=6
3 ]
∴ x>
y`@
따라서 삼각김밥을 7개 이상 사야 A 마트에서 사는 것이 유
y`#
리하다.
채점기준
!일차부등식세우기
@일차부등식풀기
#삼각김밥을몇개이상사야A마트에서사는것이유리
한지구하기
6
합금 A의 양을 x g이라 하면 합금 B의 양은 {200-x} g이
\x+
15
100
\{200-x}>45
므로
40
100
40x+15{200-x}>4500, 40x+3000-15x>4500
25x>1500 ∴ x>60
따라서 합금 A는 최소 60 g이 필요하다.
채점기준
!일차부등식세우기
@일차부등식풀기
#합금A는최소몇 g필요한지구하기
7 -2<2x-1<4에서 -1<2x<5
5
2
y}라 하면
x-y=14
-
x=5y+2
∴ x=17, y=3
따라서 두 수는 17, 3이므로 구하는 합은 17+3=20이다.
20 어른의 입장료를 x원, 어린이의 입장료를 y원이라 하면
2x+2y=6200
x+y=3100
-
x+3y=5300
⇨ -
x+3y=5300
∴ x=2000, y=1100
따라서 어른의 입장료는 2000원, 어린이의 입장료는 1100원
이다.
21 정원이 28명인 반을 x개, 29명인 반을 y개라 하면
x+y=8
-
28x+29y=230
∴ x=2, y=6
따라서 정원이 28명인 반은 2개이다.
22 현재 어머니의 나이를 x세, 딸의 나이를 y세라 하면
x+y=46
x+y=46
-
x+13=2{y+13}+3
x-2y=16
⇨ -
∴ x=36, y=10
따라서 현재 어머니의 나이는 36세, 딸의 나이는 10세이다.
23 처음 직사각형의 가로, 세로의 길이를 각각 x, y라 하면
29{x+6}+{y+4}0=52
x+y=16
-
2{3x+2y}=84
⇨ -
3x+2y=42
∴ x=10, y=6
따라서 처음 직사각형의 넓이는 10\6=60이다.
24 작년의 남학생 수를 x명, 작년의 여학생 수를 y명이라 하면
x+y=500
2
100
(
-
9
∴ x=300, y=200
8
100
x-
y=20
⇨ -
x+y=500
4x-y=1000
따라서 올해의 남학생 수는 [
2
100 ]
올해의 여학생 수는 [
1-
1+
8
100 ]
\300=324(명)이고,
\200=196(명)이다.
25 A, B 두 상품을 산 가격을 각각 x원, y원이라 하면
x+y=3400
6x+5y=18400
x+
x+y=3400
25
30
100
100
(
-
9
∴ x=1400, y=2000
따라서 A 상품의 판매 가격은
⇨ -
y=920
1+
[
30
100 ]
\1400=1820(원)
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2018-11-14 오후 12:09:04
26 전체 일의 양을 1이라 하고, A, B가 1일 동안 할 수 있는
일의 양을 각각 x, y라 하면
6x+5y=1
-
10x+3y=1
∴ x=
1
16 , y=
1
8
따라서 B가 혼자서 이 일을 마치려면 8일이 걸린다.
27 물탱크에 물을 가득 채웠을 때의 물의 양을 1이라 하고, A,
B 두 호스로 1분 동안 채울 수 있는 물의 양을 각각 x, y라
하면
20x+30y=1
-
24{x+y}=1
∴ x=
1
40 , y=
1
60
따라서 A 호스로만 물을 가득 채우려면 40분이 걸린다.
28 올라간 거리를 x km, 내려온 거리를 y km라 하면
x+y=10
∴ x=6, y=4
x+y=10
y
x
4
3
(
-
9
따라서 내려온 거리는 4 km이다.
4x+3y=36
⇨ -
=3
+
29 우철이가 뛴 거리를 x km, 연희가 자전거를 타고 달린 거리
를 y km라 하면
x+y=15
x
8
x+y=15
⇨ -
(
-
9
따라서 우철이가 뛴 거리는 6 km이다.
3x=2y
y
12
=
∴ x=6, y=9
30 기차의 길이를 x m, 기차의 속력을 분속 y m라 하면
(
x+1600=
-
x+3200=
50
60 y
90
60 y
⇨ -
6x+9600=5y
2x+6400=3y
9
∴ x=400, y=2400
따라서 기차의 길이는 400 m이다.
31 3 %의 소금물의 양을 x g, 6 %의 소금물의 양을 y g이라 하
면
x+
3
100
x+y=600
x+y=600
6
100
(
-
9
∴ x=400, y=200
따라서 3 %의 소금물은 400 g, 6 %의 소금물은 200 g을 섞
x+2y=800
⇨ -
4
100
\600
y=
어야 한다.
32 필요한 합금 A의 양을 x g, 합금 B의 양을 y g이라 하면
(구리의 양)=
y=390\
y`㉠
x+
1
2
3
4
2
3
1
2
x+
y=390\
(아연의 양)=
1
4
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=130, y=260
따라서 합금 A는 130 g, 합금 B는 260 g이 필요하다.
y`㉡
1
3
P. 60~67 내신 따라잡기
5%
1 ②, ④ 2 a=2, b=
3 ④
4 4개
3
2
10 10
11 x=
5
3
6
5 1
9 6
13 ①
18 55
14 20
19 4
22 3
23 4
7 4`:`9 8 x=2, y=4
6
17
5 12 10
5 , y=-
16 12
17 ②
21 x=-3, y=5
15 -2
20 ②
2
9 25 54
24 -
27 ①, ⑤ 28 78세
32 600명
35 50개
37 8시간 38 1 km
26 재희: 10자루, 민정: 6자루
29 28 cm 30 CA=111!, CB=30!
31 남자: 54명, 여자: 42명
33 공장 A: 13200개, 공장 B: 7600개
34 라켓: 220000원, 운동복: 140000원
36 12960원, 10710원
39 연우: 분속 95 m, 지현: 분속 45 m
40 강물: 시속 3 km, 배: 시속 9 km
41 A: 100 g, B: 200 g
42 달걀: 100 g, 우유: 200 g
44 75개 45 0.8
43 x=12, y=10
1 ① x@+x-y+2=0
③ 분모에 미지수가 있으면 일차방정식이 아니다.
④ 3x+y=0
⑤ 7y-1=0
따라서 미지수가 2개인 일차방정식인 것은 ②, ④이다.
2 ax+by+2=2x-{b-3}y+3에서
{a-2}x+{2b-3}y-1=0
이 식이 미지수가 2개인 일차방정식이 되려면
a-2=0, 2b-3=0 ∴ a=2, b=
3
2
3 6x+5y=240에서 x=40-
5
6
y y`㉠
이때 x가 자연수이므로 y는 6의 배수이어야 한다.
y=6, 12, 18, y을 ㉠에 차례로 대입하여 x의 값이 자연수
인 순서쌍 {x, y}를 구하면 {35, 6}, {30, 12}, {25, 18},
{20, 24}, {15, 30}, {10, 36}, {5, 42}의 7개이다.
4 {3x-8}2y=3{3x-8}-4y=9x-4y-24,
{1-2y}{-3x}=3{1-2y}+6x=6x-6y+3이므로
9x-4y-24=6x-6y+3 ∴ 3x+2y=27 y`㉠
x=1, 2, 3, y을 ㉠에 차례로 대입하면 다음 표와 같다.
x
y
1
12
2
21
2
3
9
4
15
2
5
6
6
9
2
7
3
8
3
2
9 y
0 y
따라서 x, y의 값이 자연수인 순서쌍 {x, y}는 {1, 12},
{3, 9}, {5, 6}, {7, 3}의 4개이다.
4. 연립일차방정식 23
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5 x=1, y=2를 {a+b}x+{2a-3b}y=0에 대입하면
a+b+2{2a-3b}=0
10 -
5x+2y=17 y`㉠
ax+y=5
y`㉡
a-b=0 ∴ a=b
a=b를 ax+2b-3a=4by에 대입하면
bx+2b-3b=4by, bx-4by=b
∴ x-4y=1 (∵ b=0)
9
6 0.x^y^-0.y^x^=0.2^7^이므로
27
99 , 10x+y-{10y+x}=27
-
10y+x
99
10x+y
99
=
9x-9y=27 ∴ x-y=3 y`㉠
y=1, 2, 3, y, 9를 ㉠에 차례로 대입하여 x의 값이 한 자
리의 자연수인 순서쌍 {x, y}를 구하면 {4, 1}, {5, 2},
{6, 3}, {7, 4}, {8, 5}, {9, 6}이다.
따라서 0.x^y^+0.y^x^의 최댓값은 x, y의 값이 최대일 때, 즉
x=9, y=6일 때이므로
0.x^y^+0.y^x^ =0.9^6^+0.6^9^=
+
96
99
69
99
=
165
99
=
5
3
7 -
6x+4y=3x+4a
12x-7y=5y-5a
⇨ -
3x+4y=4a
y`㉠
12x-12y=-5a y`㉡
a
3
㉠\3+㉡을 하면 21x=7a ∴ x=
x=
a
3 를 ㉠에 대입하면 a+4y=4a ∴ y=
3a
4
∴ x`:`y=
`:`
=
`:`
=4`:`9
a
3
3a
4
4a
12
9a
12
8 x와 y의 값의 비가 1`:`2이므로 y=2x y`㉠
㉠을 주어진 연립방정식에 대입하면
3x-4x+5=a
x+a=5
-
x+8x-5a=3
⇨ -
9x-5a=3
y`㉡
y`㉢
㉡\5+㉢을 하면 14x=28 ∴ x=2
x=2를 ㉠에 대입하면 y=4
따라서 주어진 연립방정식의 해는 x=2, y=4이다.
x=2를㉡또는㉢에대입해도a=3이다.
주어진 연립방정식의 해는 네 방정식을 모두 만족시키므로
연립방정식 -
3x-2y=5
y`㉠
2x+7y=-5 y`㉡
㉠\2-㉡\3을 하면 -25y=25 ∴ y=-1
y=-1을 ㉠에 대입하면 3x+2=5 ∴ x=1
의 해와 같다.
x=1, y=-1을 -
ax+2by=-1
3ax-by=11
에 대입하면
a-2b=-1 y`㉢
3a+b=11
y`㉣
-
㉢+㉣\2를 하면 7a=21 ∴ a=3
a=3을 ㉣에 대입하면 9+b=11 ∴ b=2
∴ ab=3\2=6
24 정답과 해설
㉠-㉡\2를 하면 {5-2a}x=7 ∴ x=
7
5-2a
이때 x가 정수이려면 5-2a는 -7, -1, 1, 7이어야 한다.
5-2a=-7일 때 a=6, 5-2a=-1일 때 a=3,
5-2a=1일 때 a=2, 5-2a=7일 때 a=-1
따라서 모든 정수 a의 값의 합은
6+3+2+{-1}=10
11 a와 b를 서로 바꾸어 놓은 연립방정식 -
bx+ay=1
by-ax=-8
의
해가 x=2, y=-3이므로
2b-3a=1
-
-3b-2a=-8
, 즉 -
-3a+2b=1 y`㉠
2a+3b=8
y`㉡
㉠\2+㉡\3을 하면 13b=26 ∴ b=2
b=2를 ㉡에 대입하면 2a+6=8 ∴ a=1
따라서 처음 연립방정식은 -
x+2y=1
y`㉢
-2x+y=-8 y`㉣
이므로
㉢\2+㉣을 하면 5y=-6 ∴ y=-
6
5
y=-
6
5 을 ㉢에 대입하면 x-
12
5
=1 ∴ x=
17
5
에 x=2, y=3을 대입하면
12 -
ax+by=7
cx-3y=1
2a+3b=7
-
2c-9=1
y`㉠
y`㉡
㉡에서 2c=10 ∴ c=5
또 x=11, y=-15를 ax+by=7에 대입하면
11a-15b=7 y`㉢
㉠\5+㉢을 하면 21a=42 ∴ a=2
a=2를 ㉢에 대입하면 22-15b=7 ∴ b=1
∴ abc=2\1\5=10
13 주어진 연립방정식에서 순환소수를 분수로 나타내면
(
-
2
9
3
90
x+
y=
1
9
7
9
x-
y=
2
90
7
90
⇨ -
2x+y=7
y`㉠
3x-2y=7 y`㉡
9
㉠\2+㉡을 하면 7x=21 ∴ x=3
x=3을 ㉠에 대입하면 6+y=7 ∴ y=1
따라서 a=3, b=1이므로 a+b=3+1=4
14 {x+7} : {3y-2}=3`:`4에서 3{3y-2}=4{x+7}
9y-6=4x+28 ∴ 4x-9y=-34 y`㉠
{x+3y} : {y-x}=1`:`3에서 y-x=3{x+3y}
y-x=3x+9y ∴ x=-2y
y`㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 -8y-9y=-34 ∴ y=2
y=2를 ㉡에 대입하면 x=-4
∴ x@+y@={-4}@+2@=16+4=20
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2018-11-14 오후 12:09:05
2{x+y-3}+y=-2
15 -
2x-7{y+3}=23
⇨ -
2x+3y=4
y`㉠
2x-7y=44 y`㉡
㉠-㉡을 하면 10y=-40 ∴ y=-4
y=-4를 ㉠에 대입하면 2x-12=4 ∴ x=8
x=8, y=-4를 2x-ay=8에 대입하면
16+4a=8 ∴ a=-2
16 x-y>0에서 x>y이고, xy<0이므로 x>0, y<0
즉, |x|=x, |y|=-y이므로 주어진 연립방정식은
4x+2y=6
-
x-3y=5
⇨ -
2x+y=3 y`㉠
x-3y=5 y`㉡
㉠-㉡\2를 하면 7y=-7 ∴ y=-1
y=-1을 ㉡에 대입하면 x+3=5 ∴ x=2
따라서 a=2, b=-1이므로 a-10b=2+10=12
17
(
-
x+y=6
1
4
3x-2y
6
-
2x+4y
3
=a
y`㉠
y`㉡
9
x의 값이 y의 값의 4배이므로 x=4y y`㉢
㉢을 ㉠에 대입하면 y+y=6 ∴ y=3
y=3을 ㉢에 대입하면 x=12
따라서 x=12, y=3을 ㉡에 대입하면
36-6
6
=a ∴ a=-7
24+12
3
-
+
=-5
⇨ -
0.4x+0.3y=5
2y
x
5
5
4x+3y=50
y`㉠
x+2y=-25 y`㉡
(
-
9
㉠-㉡\4를 하면 -5y=150 ∴ y=-30
y=-30을 ㉡에 대입하면 x-60=-25 ∴ x=35
x=35, y=-30을 {2x+y} : {x+a+y}=2`:`3에 대입하면
40`: {5+a}=2`:`3, 10+2a=120 ∴ a=55
18
19 2&X"@_4Y_@=16X"@에서
2&X"@_22{Y_@}=24{x+2}, 27x+2-2{Y_@}=24{x+2}
7x+2-2{y-2}=4{x+2} ∴ 3x-2y=2 y`㉠
3%X_9Y_!=27X_@에서
3%X_32{Y_!}=33{x-2}, 35x-2{Y_!}=33{x-2}
5x-2{y-1}=3{x-2} ∴ x-y=-4
㉠-㉡\2를 하면 x=10
x=10을 ㉡에 대입하면 10-y=-4 ∴ y=14
따라서 x=10, y=14를 {k+2}x-ky=4에 대입하면
10{k+2}-14k=4 ∴ k=4
y`㉡
20 x=4, y=3을 주어진 방정식에 대입하면
4a+3b=3{4a-3b}-12=15
4a+3b=15
즉, -
3{4a-3b}-12=15
⇨ -
4a+3b=15 y`㉠
4a-3b=9
y`㉡
㉠+㉡을 하면 8a=24 ∴ a=3
a=3을 ㉠에 대입하면 12+3b=15 ∴ b=1
∴ ab=3\1=3
21 주어진 방정식을 연립방정식으로 나타내면
=x-y+6
1.5x+
(
y
2
-
3x-y
7
=x-y+6
9
㉠\10을 하면 15x+5y=10x-10y+60
5x+15y=60 ∴ x+3y=12
㉡\7을 하면 3x-y=7x-7y+42
-4x+6y=42 ∴ -2x+3y=21 y`㉣
y`㉢
y`㉠
y`㉡
㉢-㉣을 하면 3x=-9 ∴ x=-3
x=-3을 ㉢에 대입하면 -3+3y=12 ∴ y=5
22 주어진 방정식을 각각 연립방정식으로 나타내면
ax-2by=-2
x+y=-1
{a+1}x-2by=x-2
3x+2y=x-2
⇨ -
-
y`㉠
y`㉡
-3ax+by=16 y`㉢
-2x+y=8
y`㉣
⇨ -
-3ax+{b-1}y=16-y
-
-4x+y=16-y
㉡-㉣을 하면 3x=-9 ∴ x=-3
x=-3을 ㉡에 대입하면 -3+y=-1 ∴ y=2
따라서 x=-3, y=2를 ㉠, ㉢에 각각 대입하면
-3a-4b=-2 y`㉤
9a+2b=16
y`㉥
-
㉤+㉥\2를 하면 15a=30 ∴ a=2
a=2를 ㉥에 대입하면 18+2b=16 ∴ b=-1
∴ a-b=2-{-1}=3
23 -
ax+y=x+1
x+by=y+1
⇨ -
{a-1}x+y=1 y`㉠
x+{b-1}y=1 y`㉡
이때 ㉠과 ㉡이 일치해야 하므로
a-1=1, b-1=1에서 a=2, b=2
∴ a+b=2+2=4
24
1
2x
=A,
1
3y
=B라 하면 -
3A+5B=2 y`㉠
3A-7B=8 y`㉡
㉠-㉡을 하면 12B=-6 ∴ B=-
1
2
B=-
1
2 을 ㉠에 대입하면 3A-
5
2
=2 ∴ A=
3
2
A=
=
3
2 에서 6x=2 ∴ x=
1
3
B=
=-
1
2 에서 3y=-2 ∴ y=-
2
3
1
2x
1
3y
따라서 a=
1
3 , b=-
2
3 이므로 ab=
1
3
\
-
[
2
3 ]
=-
2
9
25 처음 수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자를 y라
하면
-
10x+y=6{x+y}
4x=5y
10y+x={10x+y}-9
x-y=1
⇨ -
∴ x=5, y=4
따라서 처음 수는 54이다.
4. 연립일차방정식 25
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26 재희와 민정이가 가진 볼펜의 개수를 각각 x자루, y자루라
하면
-
x-2=y+2
x-y=4
⇨ -
x+2=3{y-2}
x-3y=-8
따라서 재희가 가진 볼펜의 개수는 10자루, 민정이가 가진
볼펜의 개수는 6자루이다.
∴ x=10, y=6
27 ①, ④ 오렌지 주스를 x병, 물을 y병 샀다고 하면
x+2+4+y=12
-
1500x+3600+4000+950y=14950
x+y=6
⇨ -
30x+19y=147
∴ x=3, y=3
즉, 오렌지 주스를 3병, 물을 3병 샀다.
② 오렌지 주스 3병의 값은 1500\3=4500(원)
③ 자몽 주스의 단가는 3600_2=1800(원)
⑤ 물 3병의 값은 950\3=2850(원)
따라서 옳지 않은 것은 ①, ⑤이다.
28 현재 할머니의 나이를 x세, 손자의 나이를 y세라 하면
x-10=15{y-10}
x-15y=-140
-
{x+8}+{y+8}=100
x+y=84
⇨ -
∴ x=70, y=14
따라서 현재 할머니의 나이는 70세이므로 8년 후의 할머니
의 나이는 70+8=78(세)이다.
29 오른쪽 그림과 같이 작은 직사각형 한 개의 가
로, 세로의 길이를 각각 x cm, y cm라 하면
y cm
x cm
3x=4y
-
293x+{x+2y}0=88
3x=4y
⇨ -
2x+y=22
∴ x=8, y=6
따라서 작은 직사각형 한 개의 가로, 세로의 길이는 각각
8 cm, 6 cm이므로 둘레의 길이는 2{8+6}=28{cm}이다.
30 CA=x!, CB=y!라 하면
x=3y+21
-
x+y=141
∴ x=111, y=30
따라서 CA, CB의 크기는 각각 111!, 30!이다.
31 남자 회원 수를 x명, 여자 회원 수를 y명이라 하면
x+y=96
1
9
(
-
9
따라서 남자 회원 수는 54명, 여자 회원 수는 42명이다.
7x+9y=756
⇨ -
x+y=96
\96
x+
y=
1
7
1
8
∴ x=54, y=42
32 합격자 중 남자는 400\
=250(명),
합격자 중 여자는 400\
=150(명)
5
5+3
3
5+3
입사 지원자 중 남자의 수를 x명, 여자의 수를 y명이라 하면
x`:`y=2`:`1
-
{x-250} : {y-150}=3`:`1
x-3y=-200
x=2y
⇨ -
∴ x=400, y=200
26 정답과 해설
따라서 입사 지원자 중 남자의 수는 400명, 여자의 수는
200명이므로 전체 입사 지원자는 400+200=600(명)이다.
33 작년에 두 공장 A, B에서 만든 USB 메모리의 개수를 각각
x개, y개라 하면
x+y=20000
10
100
x-
y=
x+y=20000
(
5
4
-
100
100
9
∴ x=12000, y=8000
따라서 올해 공장 A에서 생산한 USB 메모리의 개수는
2x-y=16000
⇨ -
\20000
10
100 ]
1+
\12000=13200(개),
[
공장 B에서 생산한 USB 메모리의 개수는
1-
[
5
100 ]
\8000=7600(개)이다.
34 작년의 배드민턴 라켓 한 세트의 가격을 x원, 운동복 한 벌
의 가격을 y원이라 하면
10
100 ]
20
100 ]
1+
1+
[
[
(
-
9
x+
1+
[
40
100 ]
y=360000
{x+y}=360000
11x+14y=3600000
⇨ -
x+y=300000
\200000=220000(원),
1+
[
10
100 ]
1+
[
40
100 ]
운동복 한 벌의 가격은
\100000=140000(원)이다.
∴ x=200000, y=100000
따라서 올해 구입한 배드민턴 라켓 한 세트의 가격은
35 물건 A를 x개, 물건 B를 y개 샀다고 하면
(물건 A 1개의 이익)=500\0.1=50(원)
(물건 B 1개의 이익)=600\0.15=90(원)
5x+6y=500
500x+600y=50000
-
50x+90y=6500
⇨ -
5x+9y=650
∴ x=40, y=50
따라서 물건 A는 40개, 물건 B는 50개를 샀으므로 더 많이
산 물건의 개수는 50개이다.
36 두 종류의 음악 CD의 정가를 각각 x원, y원이라 하면
(단, x>y}
1-
x-y=2500
10
100 ]
(
-
[
9
∴ x=14400, y=11900
따라서 두 종류의 음악 CD의 판매 가격은 각각
10
100 ]
y=23670
⇨ -
x+
1-
[
x-y=2500
x+y=26300
14400\
1-
=12960(원),
11900\
1-
=10710(원)이다.
10
100 ]
10
100 ]
[
[
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 26
2018-11-14 오후 12:09:07
37 전체 일의 양을 1이라 하고, 민아와 솔지가 1시간 동안 할
42 섭취해야 하는 달걀, 우유의 양을 각각 x g, y g이라 하면
수 있는 일의 양을 각각 x, y라 하면
4x+10y=1
-
6{x+y}+3y=1
⇨ -
4x+10y=1
6x+9y=1
∴ x=
1
24 , y=
1
12
따라서 민아와 솔지가 함께 하면
1_
[
1
24
+
1
12 ]
1
8
=1_
=8(시간)이 걸린다.
38 재경이가 걸어간 거리를 x km, 뛰어간 거리를 y km라 하면
출발한 지 1시간 6분 만에 도서관에 도착했으므로
+
+
x+y=3
x+y=3
(
30
x
y
-
60
4
10
9
∴ x=2, y=1
따라서 재경이가 뛰어간 거리는 1 km이다.
5x+2y=12
⇨ -
66
60
=
39 연우의 속력을 분속 x m, 지현이의 속력을 분속 y m라 하면
(단, x>y)
70x-70y=3500
x-y=50
-
20x+20y=3500-700
x+y=140
⇨ -
∴ x=95, y=45
따라서 연우의 속력은 분속 95 m, 지현이의 속력은 분속
45 m이다.
40 강물의 속력을 시속 x km, 정지한 물에서의 배의 속력을 시
-
(
=8
⇨ -
{y-x}\
{x+y}\
x-y=-6
속 y km라 하면
80
60
40
60
9
∴ x=3, y=9
따라서 강물의 속력은 시속 3 km, 정지한 물에서의 배의 속
력은 시속 9 km이다.
x+y=12
=8
강물의속력을x,정지한물에서의배의속력을y,강을거슬
러올라갈때걸린시간을a,강을따라내려올때걸린시간을b라
하면
①(강을거슬러올라갈때의배의속력)=y-x
②(강을따라내려올때의배의속력)=x+y
③(강의길이)={y-x}\a={x+y}\b
41 소금물 A의 처음의 양을 x g, 소금물 B의 처음의 양을 y g
이라 하면 더 부은 물의 양은 2x g이므로
x+y+2x=500
y=
x+
3x+y=500
\500
4
100
3
100
2
100
⇨ -
(
-
9
∴ x=100, y=200
따라서 소금물 A의 처음의 양은 100 g, 소금물 B의 처음의
양은 200 g이다.
4x+3y=1000
x+
y=280
(
-
160
100
12
100
60
100
3
100
x+
y=18
8x+3y=1400
⇨ -
4x+y=600
9
∴ x=100, y=200
따라서 섭취해야 하는 달걀, 우유의 양은 각각 100 g, 200 g
이다.
43 길잡이 먼저주어진그림을주어진연산에따라식으로나타낸다.
1
3
x_3+0.7\y=11에서
y=11 y`㉠
7
10
x+
5x_4-2y_5=11에서
x-
y=11
5
4
2
5
㉠\30을 하면 10x+21y=330
㉡\20을 하면 25x-8y=220
㉢, ㉣을 연립하여 풀면 x=12, y=10
y`㉡
y`㉢
y`㉣
44 길잡이 선준,재신,용하의동전의개수와동전의총금액에대한식을
각각세운다.
12000원을 세 명이 똑같이 나누었으므로 각각 4000원씩 가
졌다.
선준이가 가진 100원짜리와 500원짜리 동전의 개수를 각각
a개, b개라 하면
a+b=16
-
100a+500b=4000
∴ a=10, b=6
재신이가 가진 동전의 개수는 선준이가 가진 동전의 개수의
2배이므로 재신이가 가진 100원짜리와 500원짜리 동전의
개수를 각각 c개, d개라 하면
c+d=32
-
100c+500d=4000
∴ c=30, d=2
용하가 가진 100원짜리 동전과 500원짜리 동전의 개수를 각
각 x개, y개라 하면
100x+500y=4000 y`㉠
x, y의 값이 자연수이므로 ㉠의 해를 구하면 {5, 7},
{10, 6}, {15, 5}, {20, 4}, {25, 3}, {30, 2}, {35, 1}이다.
이때 용하의 동전의 개수가 가장 많으므로
x=35, y=1
따라서 저금통에 들어 있던 100원짜리 동전의 개수는
10+30+35=75(개)이다.
45 길잡이 승수를x,무승부수를y로놓고주어진승률계산방법을이용
하여식을세운다.
이 팀이 x승 y무 8패를 하였다고 하면
x+y+8=50에서 x+y=42
1997년 방식으로 계산한 승률은
x+0.5y
50
=0.74에서 2x+y=74 y`㉡
y`㉠
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=32, y=10
따라서 이 팀은 32승을 하였으므로 2018년 방식으로 계산한
승률은
32
32+8
32
40
=
=0.8
4. 연립일차방정식 27
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 27
2018-11-14 오후 12:09:07
1
P. 68~71 내신 뛰어넘기
1%
02 17
01 -6
05 2
06 1`:`2`:`1
09 9km 10 3분48초
03 {1,1},{2,2}
07 6일
11 1.8% 12 13 g
04 -10
08 60만원
04 길잡이
푼다.
1
x-2y
02 길잡이 y=mx-5를다른한식에대입한후m이자연수가되기위한
05 길잡이 a+b=A,ab=B로놓고A,B에대한연립방정식을푼다.
1
x-2y
=A,
1
x+2y
=B로놓고A,B에대한연립방정식을
=A,
1
x+2y
=B라하면
5
2
(
-
A-B=4
7A-
B=13
5
2
⇨-
5A-2B=8
y`㉠
14A-5B=26 y`㉡
9
㉠\5-㉡\2를하면-3A=-12 ∴A=4
A=4를㉠에대입하면20-2B=8 ∴B=6
즉,A=
=4,B=
=6이므로
1
x-2y
1
x+2y
(
x-2y=
-
9
x+2y=
1
4 y`㉢
1
6 y`㉣
5
12 ∴x=
5
24
+2y=
5
24
㉢+㉣을하면2x=
x=
a
b
=
5
24 를㉣에대입하면
1
48 이므로
5
24
5
24 ,b=-
1
48 ]
5
24
_
-
=
[
따라서a=
\{-48}=-10
1
6 ∴y=-
1
48
5ab-4a-4b=-6
-4{a+b}+5ab=-6
-
5a+4ab+5b=28
⇨-
5{a+b}+4ab=28
a+b=A,ab=B라하면-
-4A+5B=-6 y`㉠
5A+4B=28
y`㉡
㉠\5+㉡\4를하면41B=82 ∴B=2
B=2를㉡에대입하면5A+8=28 ∴A=4
따라서a+b=4,ab=2이므로
+
=
1
a
1
b
a+b
ab
=
=2
4
2
06 길잡이 계단을올라가는것은+,계단을내려가는것은-로생각하여
연립방정식을세운다.
수빈이가이긴횟수를x번,주하가이긴횟수를y번이라하
면비긴횟수는920-{x+y}0번이므로
3x-2y-920-{x+y}0=-10
-
-2x+3y-920-{x+y}0=15
4x-y=10
⇨-
-x+4y=35
∴x=5,y=10
∴x`:`y`:`920-{x+y}0=5`:`10`:`5=1`:`2`:`1
07 길잡이
-
(연주한시간의합에대한식)
(피아노를친날수에대한식)
으로연립방정식을세운다.
피아노를친시간의합이1680분이고,하루평균이210분이
므로피아노를친날수는
=8(일)이다.
1680
210
학교에간날수를x일,가지않은날수를y일이라하면
180x+300y=1680
3x+5y=28
-
x+y=8
x+y=8
따라서학교에간날수는총6일이다.
⇨-
∴x=6,y=2
01 길잡이 주어진연립방정식의해를x=p,y=q라하면해x,y에서각
각1을뺀것을해로갖는연립방정식의해는x=p-1,y=q-1이다.
의해를x=p,y=q라하면
5x+8y=1
-
7x+ay=41
-
5p+8q=1
y`㉠
7p+aq=41 y`㉡
bx-4y=28
이때-
6x+7y=-4
의해는x=p-1,y=q-1이므로
b{p-1}-4{q-1}=28
-
6{p-1}+7{q-1}=-4
,즉-
bp-4q=24+b y`㉢
6p+7q=9
y`㉣
㉠\6-㉣\5를하면13q=-39 ∴q=-3
q=-3을㉠에대입하면5p-24=1 ∴p=5
p=5,q=-3을㉡에대입하면35-3a=41 ∴a=-2
p=5,q=-3을㉢에대입하면5b+12=24+b ∴b=3
∴ab={-2}\3=-6
조건을생각한다.
y=mx-5를4x+3y=40에대입하면
4x+3{mx-5}=40,{4+3m}x=55
이때m은자연수이므로4+3m>7이고4+3m은55의약
수이므로4+3m=11또는4+3m=55
7
3 이므로자연수가아니다.
!4+3m=11일때,m=
@4+3m=55일때,m=17
따라서!,@에의해m=17
03 길잡이 xy=1인경우와xy=1인경우로나누어생각한다.
xX"Y=y$ y`㉠
yX"Y=x$ y`㉡
-
에서㉠\㉡을하면{xy}X"Y={xy}$
!xy=1일때,즉x=1,y=1일때-
이므로등식
1!"!=1$
1!"!=1$
이모두성립한다.
@xy=1일때,x+y=4
이때x+y=4를만족시키는자연수x,y의순서쌍
{x,y}는{1,3},{2,2},{3,1}이다.
x=1,y=3이면-
이므로모순이다.
x=2,y=2이면-
이므로등식이모두성립한다.
x=3,y=1이면-
이므로모순이다.
따라서!,@에의해구하는순서쌍{x,y}는{1,1},
{2,2}이다.
1$=3$
3$=1$
2$=2$
2$=2$
3$=1$
1$=3$
28 정답과 해설
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 28
2018-11-16 오전 10:28:20
08 길잡이 (부족한금액)=(1인당더부담하는비용)\(남은인원수)임을이
용하여연립방정식을세운다.
처음 축구 동아리의 학생 수를 x명, 처음의 1인당 부담해야
할 비용을 y만 원이라 하면
5명이 나간 후 부족한 금액은 5y만 원이므로
5y=1\{x-5} y`㉠
3명이 더 나간 후 부족한 금액은 8y만 원이므로
8y=2\{x-8} y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=20, y=3
따라서 축구 장비의 가격은 20\3=60(만 원)이다.
09 길잡이 형진이의속력을분속x m라하면처음진서의속력은분속
2x m,1.5배로올린속력은분속2x\1.5=3x{ m}임을이용하여연립
방정식을세운다.
형진이의 속력을 분속 x m, 호수의 둘레의 길이를 y m라
하면
45\x+45\2x=y
-
30\x+30\3x=y-1000
135x=y
⇨ -
120x-y=-1000
∴ x=
200
3 , y=9000
따라서 호수의 둘레의 길이는 9000 m, 즉 9 km이다.
10 길잡이 (기차가보이지않는동안움직인거리)
=(터널의길이)-(기차의길이)
임을이용하여연립방정식을세운다.
기차의 길이를 x m, 기차의 속력을 분속 y m라 하면
∴ x=850, y=750
따라서 이 기차가 길이 2 km인 터널을 완전히 통과하는 데
1400+x=3y
-
4600-x=5y
걸리는 시간은
2000+850
750
=3
48
60 (분), 즉 3분 48초이다.
11 길잡이 농도가다른두소금물을a`:`b의비율로섞는경우는각각ak g,
bk g을섞는것으로생각한다.
소금물 A의 농도를 x %, 소금물 B의 농도를 y %라 하자.
A와 B를 1`:`1의 비율로 각각 a g씩 섞으면
\a+
3
x
100
100
A와 B를 1`:`3의 비율로 각각 b g, 3b g 섞으면
y
100
\a=
y`㉠
\2a
x
100
y
100
2
100
\b+
\3b=
\4b y`㉡
㉠, ㉡에서 -
x+y=6
x+3y=8
∴ x=5, y=1
A와 B를 1`:`4의 비율로 각각 c g, 4c g 섞으면 농도는
5
100
\c+
\4c
1
100
5c
\100=1.8{%}
따라서 구하는 농도는 1.8 %이다.
12 길잡이 소금물을옮겨담은후에비커A,B에들어있는소금의양을
각각방정식으로나타내어연립방정식을세운다.
두 비커 A, B에 들어 있던 처음 소금물의 농도를 각각 x %,
y %라 하면
⇨ -
2x+y=26
x+2y=28
\100+
\50+
\50=15
(
-
x
100
y
100
y
100
x
100
4
100
4
100
\100+
\50+
\50=16
9
∴ x=8, y=10
따라서 소금물을 옮겨 담은 후 비커 C에 들어 있는 소금의
양은
\100+
\50+
\50=13{ g}이다.
4
100
8
100
10
100
P. 72~73
4
서술형 완성하기
1 x=2, y=5
2 x=3, y=-1
4 a=96, b=10
7 70초
8 318 g
5 쿠키, 152개
[과정은풀이참조]
3
1
36
6 4.5 g
1 x=8, y=3을 2x+ay=31에 대입하면
16+3a=31 ∴ a=5
x=8, y=3을 y=2x+b-15에 대입하면
3=16+b-15 ∴ b=2
a=5, b=2를 ax+by=20에 대입하면 5x+2y=20
y`!
y`@
2
5
즉, x=4-
y이고, x, y는 자연수이므로 y는 5의 배수이
어야 한다.
따라서 y=5, 10, 15, y를 차례로 대입하여 x의 값이 자연
y`#
수인 해를 구하면 x=2, y=5뿐이다.
채점기준
!a의값구하기
@b의값구하기
#일차방정식ax+by=20의해구하기
2 {2, x}◎{y, 5}=2y+5x-2=5x+2y-2
{4, x-6}◎{y+4, -1} =4{y+4}-{x-6}-4
=-x+4y+18
{1, 2}◎{2, 5}=2+10-1=11
따라서 주어진 방정식은
5x+2y-2=-x+4y+18=11이므로
5x+2y-2=11
-
-x+4y+18=11
⇨ -
5x+2y=13 y`㉠
x-4y=7
y`㉡
y`@
㉠\2+㉡을 하면 11x=33 ∴ x=3
x=3을 ㉡에 대입하면 3-4y=7 ∴ y=-1 y`#
채점기준
!주어진식의각변을간단히하기
@주어진식을연립방정식으로나타내기
#연립방정식풀기
4. 서술형 완성하기 29
비율
30%
30%
40%
y`!
비율
30%
40%
30%
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 29
2018-11-14 오후 12:09:08
따라서 6 %의 소금물 75 g에 들어 있던 소금의 양은
6
100
\75=4.5{ g}이다.
채점기준
!연립방정식세우기
@연립방정식풀기
#6%의소금물에들어있던소금의양구하기
y`#
비율
40%
30%
30%
7
빨간색 블록의 개수를 x개, 파란색 블록의 개수를 y개라 하면
빨간색 블록과 파란색 블록은 총 600개이므로
x+y=600
y`㉠
빨간색 블록 1개는
1
4 초, 파란색 블록 1개는
1
5 초 만에 쓰러
1
5
x+
y=134 y`㉡
지고 모두 2분 14초, 즉 134초 만에 쓰러지므로
1
4
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=280, y=320
즉, 빨간색 블록은 280개, 파란색 블록은 320개가 있다.
y!
y`@
따라서 빨간색 블록만 세운 도미노에서 모든 블록이 쓰러지
는 데 걸리는 시간은
1
4
\280=70(초)
채점기준
!빨간색블록과파란색블록의개수를구하는연립방정식
세우기
@빨간색블록과파란색블록의개수구하기
#빨간색블록만세운도미노에서모든블록이쓰러지는
데걸리는시간구하기
y`#
비율
50%
30%
20%
8 두 식품 A, B를 각각 x g, y g 구입했다고 하면
6x`:`2y=2`:`3
x+
y=35
4
100
3
100
⇨ -
9x-2y=0
y`㉠
4x+3y=3500 y`㉡
(
-
9
㉠\3+㉡\2를 하면 35x=7000 ∴ x=200
x=200을 ㉠에 대입하면 1800-2y=0 ∴ y=900
y`!
y`@
따라서 식품 A는 200 g, 식품 B는 900 g을 섭취하였으므로
두 식품으로부터 섭취할 수 있는 단백질의 양은
15
100
\900=318{ g}
\200+
32
100
채점기준
!연립방정식세우기
@연립방정식풀기
#두식품으로부터섭취할수있는단백질의양구하기
y`#
비율
40%
30%
30%
3
1
2x-y
=A,
1
2x+y
=B라 하면
A-2B=2
y`㉠
2A+3B=18 y`㉡
-
㉠\2-㉡을 하면 -7B=-14 ∴ B=2
B=2를 ㉠에 대입하면 A-4=2 ∴ A=6
1
6
1
2
(
=2이므로
-
1
2x+y
1
2x-y
2x-y=
2x+y=
=6,
즉,
9
1
6
2
3 ∴ x=
1
6 ∴ y=
-y=
1
3
1
6
㉢+㉣을 하면 4x=
x=
1
6 을 ㉢에 대입하면
1
6
1
36
1
6
=
\
∴ xy=
채점기준
=B로놓기
1
2x-y
1
2x+y
=A,
!
@A,B에대한연립방정식풀기
#xy의값구하기
4 -
a=9b+6
y`㉠
3a-1=28b+7 y`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
3{9b+6}-1=28b+7 ∴ b=10
b=10을 ㉠에 대입하면
a=90+6=96
채점기준
!연립방정식세우기
@a의값구하기
#b의값구하기
5
(초콜릿 1개의 이익)=600\0.5=300(원)
(쿠키 1개의 이익)=300\0.3=90(원)
초콜릿을 x개, 쿠키를 y개 팔았다고 하면
x+y=164
x+y=164
-
300x+90y=16020
10x+3y=534
⇨ -
∴ x=6, y=158
따라서 쿠키를 초콜릿보다 158-6=152(개) 더 팔았다.
채점기준
!초콜릿과쿠키의1개당이익구하기
@연립방정식세우기
#어떤상품을몇개더팔았는지구하기
6
5 %의 소금물의 양을 x g, 6 %의 소금물의 양을 y g이라 하면
x+y+45=150
5
100
(
-
9
∴ x=30, y=75
6
100
x+
y=
⇨ -
\150
4
100
x+y=105
5x+6y=600
y`!
30 정답과 해설
y`!
y`@
y`㉢
y`㉣
y`#
비율
30%
30%
40%
y`!
y`@
y`#
비율
60%
20%
20%
y`!
y`@
y`#
비율
30%
30%
40%
y`@
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 30
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5. 일차함수와 그 그래프
P. 76~81
개념+ 문제 확인하기
대표
1 ③
2 62, y=
5 17
4
3
9 -
6 15
1
2
10
300
x
7 ㄱ, ㄷ 8 a=0, b=3
3 -24 4 174 cm
11 a=-3, b=1
12 0
13 1
14 -3
15 1
16 -4
17 -
5
3
18 ③
0 ∴ m<0
19 ㄱ. y=
b
a
x-b에 y=0을 대입하면 x=a
즉, x절편은 a이다.
ㄴ. a>0, b<0이면 (기울기)=
<0이고
b
a
( y절편)=-b>0이므로 제1, 2, 4사분면을 지난다.
ㄷ. b>0이면 ( y절편)=-b<0이므로 y축과 음의 부분에
서 만난다.
ㄹ. a와 b의 부호가 같으면 (기울기)=
>0이므로 오른쪽
같다.
b
a
위로 향하는 직선이다.
따라서 옳지 않은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
32 정답과 해설
따라서 !, @에 의해 상수 a의 값의 범위는
0}
-x+1 {x<0}
즉, x의 값 하나에 y의 값이 오직 하나씩 대응하므로 y는
x의 함수이다.
③ x=2일 때, 자연수 2와 서로소인 수는 1, 3, 5, 7, y로
무수히 많다. 즉, x의 값 하나에 y의 값이 2개 이상 대응
하므로 y는 x의 함수가 아니다.
2 cm
3 cm
④ 오른쪽 그림과 같이 둘레의 길
이가 12 cm인 두 사각형의 넓
이는 9 cm@와 8 cm@로 서로 다
르다. 즉, x의 값 하나에 y의
값이 오직 하나씩 대응하지 않으므로 y는 x의 함수가 아
4 cm
3 cm
니다.
x
100
⑤ y=
\200 ∴ y=2x
⇨ 정비례 관계이므로 y는 x의 함수이다.
따라서 함수가 아닌 것은 ③, ④이다.
6
f{1}= f{2}= f{3}=0
f{4}= f{5}= f{6}=1
f{7}= f{8}= f{9}=2
⋮
f{16}= f{17}= f{18}=5
f{19}= f{20}=6
∴ f{1}+ f{2}+ f{3}+y+ f{20}
=3\0+3\1+y+3\5+2\6
=3\{0+1+2+3+4+5}+2\6
=45+12=57
7
f
-
[
+3
]에서 -
+3=5일 때
x
5
-
=2 ∴ x=-10
x
5
x
5
f{x}=6ax에서 f{-2}=4이므로
2
-12a=4 ∴ a=-
1
3
g{x}=
3
b
=-
3
x 에서 g{b}=a이므로 g{b}=-
1
3 ∴ b=-9
1
3
3
f{2p}=
+3, f{p}=
+3, f{-p}=
a
2p
a
p
a
-p
+3
∴ f{2p}+ f{p}+
f{-p}
=
a
2p
[
+3
+
]
[
+3
+
]
a
p
-
+3
]
3
2
a
p
=
+3+
+3-
+
a
2p
2a
2p
3a
2p
=3+3+
=
9
2
21
2
3
2 [
9
2
4 y가 x에 정비례하므로 y=ax라 하면
f{5}=5a=-2 ∴ a=-
2
5
따라서 f{x}=-
x이므로
2
5
3 f{2}- f{5}+4 f{1}
=3\
-
\2
-
-
\5
+4\
-
\1
]
[
]
]
[
2
5
2
5
2
5
[
12
5
8
5
=-
+2-
=-2
5
f{x}=-
x
4 에서 f
[
a
2
-3
=-2a이므로
-
-3
=-2a, -
+
=-2a
1
4 [
a
2
]
]
a
8
3
4
-a+6=-16a, 15a=-6 ∴ a=-
2
5
34 정답과 해설
따라서 f
-
+3
=x-5에 x=-10을 대입하면
x
5
[
]
f
-
[
-10
5
]
+3
=-10-5 ∴ f{5}=-15
8
y=3{a-2b}x+4와 y={a+b-6}x+5b가 x에 대한 일
차함수가 되지 않으려면 x의 계수가 각각 0이어야 하므로
3{a-2b}=0, a+b-6=0
이 두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=2
9
f{x}=-
x+5에서
1
2
=-
\
+5=
1
2
1
4
39
8 ,
=-
1
2
\
-
[
1
4 ]
+5=
41
8 이므로
f
f
f
[
[
[
1
4 ]
1
4 ]
-
1
4 ]
3-a
2
- f
-
[
즉,
=-
=
-
1
4
=-
39
8
41
8
1
4 ]
1
4 이므로 2{3-a}=-1
7
2
6-2a=-1, -2a=-7 ∴ a=
∴ f{a}= f
=-
\
+5=
7
2 ]
[
1
2
7
2
13
4
10 f{x}={a-1}x+2b-a에서 f{3}=-1이므로
3{a-1}+2b-a=-1
3a-3+2b-a=-1, 2a+2b=2 ∴ a+b=1
f{2}=2{a-1}+2b-a=a+2b-2
f{4}=4{a-1}+2b-a=3a+2b-4
∴ f{2}+ f{4} =a+2b-2+3a+2b-4
=4a+4b-6
=4{a+b}-6
=4\1-6=-2
11 점 C의 좌표를 C{t, 0}{t>0}이라 하면
점 D가 y=-x+5의 그래프 위에 있으므로 D{t, -t+5},
B
=2`:`1이므로 B{-2t, 0},
`:`C
O
O
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X
Z
X
Z
2
3
4
3
점 A가 y=
x+6의 그래프 위에 있으므로
t+6
A
-2t, -
[
]
이때 점 A와 점 D의 y좌표가 같으므로
-
4
3
t+6=-t+5, -
1
3
=t-{-2t}=3t=9, C
따라서 BC
(직사각형 ABCD의 넓이)=9\2=18
D
t=-1 ∴ t=3
=-t+5=2이므로
12 점 P{-4, 1}과 x축에 대하여 대칭인 점 Q의 좌표는
Q{-4, -1}
y=-3x+a의 그래프를 y축의 방향으로 -7만큼 평행이동
하면 y=-3x+a-7
따라서 이 그래프가 점 Q{-4, -1}을 지나므로
-1=12+a-7 ∴ a=-6
13 y=2x+5의 그래프가 점 {2a, -a}를 지나므로
-a=4a+5, -5a=5 ∴ a=-1
y=2x+5의 그래프를 y축의 방향으로 a-3만큼, 즉 -4만
큼 평행이동하면
y=2x+5-4 ∴ y=2x+1
x좌표와 y좌표가 같은 점의 좌표를 {b, b}라 하면
y=2x+1의 그래프가 점 {b, b}를 지나므로
b=2b+1, -b=1 ∴ b=-1
따라서 구하는 점의 좌표는 {-1, -1}이다.
14 y=7x-2a의 그래프를 y축의 방향으로 6만큼 평행이동하면
y=7x-2a+6
이 식에 y=0을 대입하면 0=7x-2a+6 ∴ x=
2a-6
7
즉, y=7x-2a+6의 그래프의 x절편은
, y절편은
2a-6
7
-2a+6이고, 그 합은 6이므로
2a-6
7
+{-2a+6}=6, 2a-6-14a+42=42
-12a=6 ∴ a=-
1
2
15 y=-
2
3
x+4의 그래프의 x절편은 6이므로 P{6, 0}
y=3x-
a
2 의 그래프의 x절편은
a
6 이므로 Q
[
a
6 , 0
]
6-
=8에서
a
6 |
이때 PQ
=8이므로 |
a
6
=8 또는 6-
6-
=-8
따라서 6-
=8에서 a=-12이고
a
6
6-
=-8에서 a=84이다.
a
6
a
6
16 (속력)=
(거리)
(시간)
이므로 주어진 그래프에서 기울기가 나타내
는 것이 속력이다. 즉, 각 그래프의 기울기를 구하면
버스 A:
=1250, 버스 B:
=1000,
+2500
+2
+2000
+2
버스 C:
+3300
+3
=1100, 버스 D:
+2100
+2
ㄱ. 버스 A의 속력은 분속 1000 m이다.
ㄴ. 두 버스 A, B의 그래프의 기울기가 다르므로 속력이 다
=1050
르다.
ㄷ. 버스 C의 그래프의 기울기가 버스 A의 그래프의 기울
기보다 작으므로 버스 C는 버스 A보다 느리다.
ㄹ. 그래프의 기울기가 가장 큰 버스 A가 가장 빠르다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
17 y= f{x}의 그래프가 x의 값이 3만큼 증가할 때, y의 값이
p만큼 감소하므로 기울기는 -
또 2 f{a}+3b=2 f{b}+3a에서
p
3 이다.
29 f{a}- f{b}0=3{a-b},
f{a}- f{b}
a-b
=
3
2
f{a}- f{b}
이때
a-b 는 y= f{x}의 그래프의 기울기이므로
-
=
p
3
3
2 ∴ 2p=-9
두점{a,f{a}},{b,f{b}}를지나는직선의기울기는
f{b}- f{a}
b-a
이다.(단,a=b)
18 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 직선
BD에 내린 수선의 발을 E라 하고
=b라 하면
A
E
E
=a, C
E
=A
O
D
이므로 BC
=a이고 BC
=3a
: OD
=3 : 1
따라서 직선 l의 기울기는
3a+b
a
,
y
L
B
3a
C
b
A
a
O
E
D
m
x
직선 m의 기울기는
b
a 이므로 구하는 기울기의 차는
3a+b
a
-
=
=3
b
a
3a
a
19 y=ax-2의 그래프의 x절편은
2
a 이므로 y=-3ax+b의
그래프의 x절편도
y=-3ax+b에 x=
2
a 이다.
2
a , y=0을 대입하면
0=-3a\
+b ∴ b=6
2
a
따라서 두 그래프와 y축으로 둘러싸
인 도형은 오른쪽 그림과 같은 삼각
형이고, 그 넓이가 16이므로
1
2
\96-{-2}0\
=16에서
2
a
8
a
=16 ∴ a=
1
2 ∴ ab=
1
2
\6=3
y
6
O
-2
y=ax-2
2
a
x
y=-3ax+b
5. 일차함수와 그 그래프 35
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X
Z
X
Z
X
Z
X
Z
Z
Z
Z
Z
X
Z
Z
20 ① 주어진 그림에서 그래프가 오른쪽 아래로 향하므로 a<0,
y축과 양의 부분에서 만나므로 b>0이다.
② 기울기가 a로 같으므로 평행하다.
③ y=ax+b에서 y=0일 때, x=-
y=-ax-b에서 y=0일 때, x=-
b
a
b
a
즉, 두 그래프의 x절편이 같으므로 x축 위에서 만난다.
④ a<0, -b<0이므로 y=ax-b의 그래프는 제1사분면을
지나지 않는다.
⑤ -a>0, b>0이므로 y=-ax+b의 그래프는 제1, 2, 3
사분면을 지난다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
21 y=
a
2
a
2
x+b와 y=-
x-b의 그래프는 기울기의 부호가
반대이고, y절편의 부호도 반대이므로
ㄱ－m, ㄴ－n 또는 ㄱ－n, ㄴ－m ∴ ㄷ－l
x-b와 y=ax-b-1의 그래프는 기울기의
이때 y=-
a
2
부호가 반대이므로 ㄴ－n
따라서 ㄱ－m, ㄴ－n, ㄷ－l이다.
22 y={a-4}x+3b에서 a<4, 즉 a-4<0이므로 x의 값이
증가할 때, y의 값은 감소한다.
즉, x=-2일 때 y=7이고, x=1일 때 y=1이므로 주어진
일차함수의 그래프는 두 점 {-2, 7}, {1, 1}을 지난다.
(기울기)=
=-2이므로
1-7
1-{-2}
a-4=-2 ∴ a=2
따라서 y=-2x+3b에 x=1, y=1을 대입하면
1=-2+3b, -3b=-3 ∴ b=1
∴ ab=2\1=2
23 ㄱ. y=cx+d의 그래프의 기울기가 y=ax+b-1의 그래
프의 기울기보다 크므로 a0, 2a+b-1>0이므로
c+d+2a+b-1>0 ∴ 2a+b+c+d>1
ㅁ. y=cx+d의 그래프는 x=1일 때 y의 값이 양수이고,
y=ax+b-1의 그래프는 x=1일 때 y의 값이 음수이다.
즉, c+d>0, a+b-1<0이므로
{a+b-1}{c+d}<0
b
c
즉,
>0,
<0에서
c
a
b
c
c
a
c
a
(기울기)=-
<0, ( y절편)=-
>0
이므로 y=-
x-
b
c 의 그래프는 오
른쪽 그림과 같이 제3사분면을 지나지 않는다.
c
y=- x-
a
b
c
y
O
25 ! y=ax+b의 그래프가 점
{-1, 3}과 점 A{4, 5}를 지날 때
3=-a+b, 5=4a+b
∴ a=
2
5 , b=
@ y=ax+b의 그래프가 점
17
5
y
8
5
3
B
@
A
!
-1
O
4
{-1, 3}과 점 B{4, 8}을 지날 때
3=-a+b, 8=4a+b ∴ a=1, b=4
따라서 !, @에 의해 b의 값의 범위는
0에서 a와 c의 부호는 같고 ab<0에서 a와 b의 부호
는 반대이므로 b와 c의 부호는 반대이다.
이때 두 직선이 서로 평행하므로 기울기가 같아야 한다.
즉, -
=
3
2
3-b
8-a 에서 3a+2b=30
y`㉠
36 정답과 해설
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 36
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(직선 AD의 기울기)=
(직선 BC의 기울기)=
b-4
a-1
3-1
8-3
=
2
5
이때 두 직선이 서로 평행하므로 기울기가 같아야 한다.
즉,
b-4
a-1
=
2
5 에서 2a-5b=-18 y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=6, b=6
따라서 점 D의 좌표는 D{6, 6}이다.
29 f{x}=
x+b, g{x}=ax-2라 하면
f{2}=
+b=4, g{2}=2a-2=4
3
4
3
2
∴ a=3, b=
따라서 f{x}=
x+
5
2
3
4
4 f{1}-g{3}=4\
-7=6
5
2 , g{x}=3x-2이므로
3
4
-{9-2}=4\
5
2 ]
+
[
13
4
30 y=-
a
2
x+2의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행이동
하면 y=-
x+2+b y`㉠
a
2
두 점 {-3, 2}, {1, 3}을 지나는 직선의 기울기는
3-2
1-{-3}
=
1
4 이므로 y=
1
4
x+q로 놓고
이 식에 x=1, y=3을 대입하면 3=
+q ∴ q=
1
4
11
4
∴ y=
x+
1
4
11
4
y`㉡
이때 ㉠, ㉡의 그래프가 일치하므로
-
=
a
2
1
4 , 2+b=
3
1
4
2
+
=
1
4
∴ a+b=-
11
4 ∴ a=-
1
2 , b=
3
4
31 보검이는 y절편을 바르게 보았으므로 b=-2
수지는 기울기를 바르게 보았으므로 a=
-1-{-5}
2-{-2}
=1
따라서 y=x-2의 그래프의 x절편은 2이다.
32 세 점 {-3, -7}, {k-2, 5}, {3k-5, 14}가 한 직선 위
에 있으면 세 점 중 어떤 두 점을 택해도 기울기는 모두 같
으므로
=
14-{-7}
3k-5-{-3}
5-{-7}
12
k+1
k-2-{-3}
36k-24=21k+21, 15k=45 ∴ k=3
즉, 두 점 {-3, -7}, {1, 5}를 지나는 직선의 기울기는
21
3k-2
에서
=
=3이므로 a=3
5-{-7}
1-{-3}
따라서 y=3x+b에 x=1, y=5를 대입하면
5=3+b ∴ b=2
∴ ab=3\2=6
33 직선 m은 두 점 {2, 0}, {1, 2}를 지나므로
(직선 m의 기울기)=
=-2
2-0
1-2
직선 m을 그래프로 하는 일차함수의 식을 y=-2x+p로
놓으면 이 그래프가 점 {2, 0}을 지나므로 p=4
∴ m: y=-2x+4
y=-2x+4의 그래프가 점 {2-k, k-1}을 지나므로
k-1=-2{2-k}+4, k-1=-4+2k+4
∴ k=-1, 즉 {3, -2}
직선 n을 그래프로 하는 일차함수의 식을 y=qx-8로 놓
으면 이 그래프가 점 {3, -2}를 지나므로
-2=3q-8 ∴ q=2
따라서 직선 n의 기울기는 2이다.
34 y=3x+6의 그래프의 x절편은 -2이므로
점 {-2, 0}과 y축에 대하여 대칭인 점 A의 좌표는 A{2, 0}
y=x+5의 그래프의 y절편은 5이므로
점 {0, 5}와 x축에 대하여 대칭인 점 B의 좌표는 B{0, -5}
즉, 두 점 A{2, 0}, B{0, -5}를 지나는 직선의 기울기는
-5-0
0-2
5
2 이고 y절편은 -5이다.
=
∴ y=
x-5
5
2
35 두 점 [
1
2 , 0
(기울기)=
=4이고, y절편은 -2이므로
], {0, -2}를 지나므로
-2-0
1
2
0-
일차함수의 식은 y=4x-2 y`㉠
ㄱ. ㉠에서 x의 계수가 4이므로 기울기는 4이다.
ㄴ. ㉠에 x=3, y=10을 대입하면 10=4\3-2
등식이 성립하므로 점 {3, 10}을 지난다.
ㄷ. (기울기)=4>0, ( y절편)=-2<0이므
로 그래프는 오른쪽 그림과 같이 제1, 3,
4사분면을 지난다.
y
O
ㄹ. 이 일차함수의 그래프와 x축, y축으로 둘러싸인 도형
1
2 이다.
\|-2|=
넓이는
1
2
1
2
\
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.
36 x절편을 m{m=0}이라 하면 y절편이 x절편의 4배이므로
y절편은 4m이다. 즉, 두 점 {m, 0}, {0, 4m}을 지나므로
(기울기)=
4m-0
0-m
=-4
즉, y=-4x+4m의 그래프가 두 점 {a, 2a-3},
{a+1, -a-4}를 지나므로
2a-3=-4a+4m에서 6a-4m=3
y`㉠
-a-4=-4{a+1}+4m에서 3a=4m y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, m=
3
4
∴ y=-4x+3
5. 일차함수와 그 그래프 37
x
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 37
2018-11-14 오후 12:09:13
37 세 점 {3, 0}, {0, p}, {q, 9}를 지나
는 직선을 l이라 하면 p<0이므로 직선
l 은 오른쪽 그림과 같다.
\3\{-p}=12이므로
이때
1
2
p=-8
L
q
3
x
y
9
O
p
직선 l 을 그래프로 하는 일차함수의 식을 y=ax-8로 놓으면
이 그래프가 점 {3, 0}을 지나므로
0=3a-8 ∴ a=
8
3
두 수도꼭지 A, B를 동시에 열면 매분 18 L의 물이 채워지
고 12 L의 물이 빠져 나가므로 매분 18-12=6{L}의 물이
채워진다.
수도꼭지 B를 연 지 x분 후 수조 안의 물의 양을 y L라 하면
y=6x+114
이 식에 y=360을 대입하면 360=6x+114
-6x=-246 ∴ x=41
따라서 수도꼭지 B를 연 지 41분 후에 수조에 물이 가득 찬다.
따라서 y=
x-8의 그래프가 점 {q, 9}를 지나므로
8
3
42 두 점 P, Q가 동시에 출발한 지 x초 후 사각형 PBQD의
=2x cm이
넓이를 y cm@라 하면 PB
={22-2x} cm, B
Q
9=
q-8, 8q=51 ∴ q=
8
3
51
8
∴ pq=-8\
=-51
51
8
38 1 L의 연료로 20 km를 달리므로 60 km를 달리는 데
60_20=3{ L}의 연료가 사용된다.
이때 60 km를 달린 후 남아 있는 연료의 양은 5-3=2{ L},
x km를 달리는 데 사용되는 연료의 양은
x L이므로
1
20
y를 x에 대한 식으로 나타내면
1
1
20
20
x, 즉 y=-
y=2+15-
x+17
39 ㄱ. 택시가 4 km를 달렸을 때 1 km 초과에 대한 추가 요금
은 200\10=2000(원)이므로 기본요금은
5000-2000=3000(원)
ㄴ. x km를 달렸을 때, 3 km까지는 기본요금 3000원이고
{x-3} km는 1 km당 2000원의 추가 요금을 내야 하
므로
y=2000{x-3}+3000, y=2000x-6000+3000
∴ y=2000x-3000
ㄷ. y=2000x-3000에 x=5를 대입하면
y=10000-3000=7000
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
40 매일 4개씩 주고 다시 6개를 통 안에 넣으므로 통 안에 들어
있는 사탕의 개수는 하루에 2개씩 늘어난다.
x일 후에 통 안에 남아 있는 사탕의 수를 y개라 하면
y=2x+48
a일 후에 지용이가 태양이에게 준 사탕의 수가 통 안에 남아
있는 사탕의 수의 절반이 된다고 하면 x=a일 때, y=8a이
므로
8a=2a+48 ∴ a=8
따라서 8일이 걸린다.
41 처음 5분 동안 수도꼭지 A만 열었으므로 수도꼭지 A를 연
지 5분 후 수조에 들어 있는 물의 양은
24+5\18=114{L}
38 정답과 해설
므로
(사각형 PBQD의 넓이)
PBD+
BQD
=
1
s
2
=
\{22-2x}\30+
s
\2x\22
1
2
=330-30x+22x=-8x+330{cm@}
∴ y=-8x+330
이 식에 y=274를 대입하면 274=-8x+330
8x=56 ∴ x=7
∴ QC
=30-2x=30-14=16{cm}
43 두 사람이 동시에 출발한 지 x초 후 두 사람의 거리의 차를
y m라 하면 출발점에서 중기의 위치까지의 거리는 6x m,
출발점에서 혜교의 위치까지의 거리는 {4x+10} m이므로
y=6x-{4x+10} ∴ y=2x-10
이 식에 y=24를 대입하면 24=2x-10
-2x=-34 ∴ x=17
따라서 중기가 혜교보다 24 m 앞선 지점에 있게 되는 것은
출발한 지 17초 후이다.
44 길잡이 일차함수y=ax+1의그래프가항상지나는점을먼저찾는다.
!
A
y
C
2
3
-2
-4
-5
1
O
-4
B
E
@
7
x
y=ax+1
3
D
위의 그림과 같이 y=ax+1의 그래프는 항상 점 {0, 1}을
지나는 직선이므로 y=ax+1의 그래프가 두 점 A{-5, 3},
E{7, 2}를 각각 지날 때 W 모양의 도형과의 교점의 개수
는 4개로 최대가 된다.
! y=ax+1의 그래프가 점 A{-5, 3}을 지날 때
3=-5a+1, 5a=-2 ∴ a=-
@ y=ax+1의 그래프가 점 E{7, 2}를 지날 때
2=7a+1, -7a=-1 ∴ a=
2
5
1
7
따라서 !, @에 의해 상수 a의 값의 범위는
-
A
'B
P
+BP
이므로 A
도록 하는 점 P는 직선 A'B와 x축의 교점이다.
의 값이 최소가 되
A'{-1, -3}
A{-1, 3}
y
B{3, 2}
O
P
x
40 정답과 해설
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 40
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X
Z
Z
X
Z
Z
X
Z
Z
X
Z
Z
X
Z
X
Z
Z
6. 일차함수와 일차방정식
P. 94~95
개념+ 문제 확인하기
대표
1 ㄱ, ㄴ, ㄷ
2 a=1, b=
2
3
3 ⑴ ㄷ, ㅂ ⑵ ㄹ
4 a=0, b<0
6 -
1
2
7 x=3 8 -2
9 27
10 ⑴ a=-4, b=2 ⑵ b=2
3
11
2
따라서 구하는 넓이는
3
2
-
-{-3}
\93-{-2}0=
\5=
=
9
2
45
2
5
45
2
6
두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표가 {1, 2}이므로
각 일차방정식에 x=1, y=2를 대입하면
a+4=3, 1+2b=2 ∴ a=-1, b=
∴ ab=-1\
=-
1
2
1
2
1
2
y
1
O
7 연립방정식 -
6x-5y-13=0
4x-7y-5=0
을 풀면
x=3, y=1
따라서 점 {3, 1}을 지나고 직선
2y+5=0, 즉 y=-
선의 방정식은 x=3이다.
5
2 에 수직인 직
-
5
2
3
x
y=-
5
2
8
연립방정식 -
x+2y=1
-2x+y=8
을 풀면 x=-3, y=2이므로
두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표는 {-3, 2}이다.
따라서 ax-2y=2의 그래프가 점 {-3, 2}를 지나므로
-3a-4=2, -3a=6 ∴ a=-2
9
두 직선 x+y-4=0, 2x-y+1=0의 교점은 {1, 3}이고,
두 직선 2x-y+1=0, y+3=0의 교점은 {-2, -3}이고,
두 직선 y+3=0, x+y-4=0의 교점은 {7, -3}이다.
따라서 주어진 세 직선으로 둘
y
2x-y+1=0
러싸인 부분은 오른쪽 그림의
3
색칠한 부분과 같은 삼각형이
므로 구하는 넓이는
1
2
\97-{-2}0\93-{-3}0
-2
O
1
x+y-4=0
7
x
-3
y+3=0
1 ㄱ, ㄴ. 3x-4y+6=0에서 y를 x에 대한 식으로 나타내면
y=
x+
3
4
3
2 이고, y절편은
3
2 이다.
3
4
y=
ㄷ. -6x+8y+3=0에서 y를 x에 대한 식으로 나타내면
3
4
3
2 의 그래프와 평행하다.
3
8 이므로 y=
3
2 의 그래프는 제4사분면을 지나지 않는다.
ㄹ. y=
x+
x+
x-
3
4
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
2
ax+by-2=0에 두 점 {2, 0}, {0, 3}의 좌표를 각각 대
입하면 2a-2=0, 3b-2=0 ∴ a=1, b=
2
3
x절편이 2이고, y절편이 3인 직선의 방정식은
x+3, 즉 y=-
x+3, 2y=-3x+6
3
2
y=
3-0
0-2
2
3
∴ x+
y-2=0 ∴ a=1, b=
2
3
3 ㄱ, ㄴ, ㅁ. 미지수가 2개인 일차방정식
4
3 ㄹ. x=-
3
2 ㅂ. y=-1
ㄷ. y=
⑴ x축에 평행한 직선의 방정식은 y=n{n=0}의 꼴이므로
ㄷ, ㅂ이다.
⑵ x축에 수직인 직선의 방정식은 x=m의 꼴이므로 ㄹ이다.
=
\9\6=27
4
ax+by+5=0의 그래프가 x축에 평행하려면 y=n{n=0}
의 꼴이어야 하므로 a=0
이때 by+5=0, 즉 y=-
5
b 의 그래프가 제1, 2사분면을 지
10 -4x+2y-a=0에서 2y=4x+a ∴ y=2x+
bx-y-2=0에서 y=bx-2
a
2
⑴ 두 그래프가 교점이 존재하지 않으려면 서로 평행해야 하
나려면
5
b
-
>0 ∴ b<0
5 2x-3=0에서 x=
3
2
y+2=0에서 y=-2
2=b,
=-2 ∴ a=-4, b=2
⑵ 두 그래프가 한 점에서 만나려면 기울기가 달라야 하므로
네 직선 x=-3, x=
3
2 , y=-2,
-3
y=3으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그
림의 색칠한 부분과 같은 직사각형이다.
y
3
O
-2
x
3
2
⑴ 두 그래프가 서로 평행하면
-4
b
=
2
-1
=
-a
-2 ∴ a=-4, b=2
⑵ 두 그래프가 한 점에서 만나면
-4
b
=
2
-1 ∴ b=2
1
2
므로
a
2
b=2
6. 일차함수와 일차방정식 41
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 41
2018-11-14 오후 12:09:15
a
b , bc
]가 제2사분면 위의 점이므로
3 점 [
a
b
bc>0에서 b와 c의 부호는 같으므로 a와 c의 부호는 반대
<0에서 a와 b의 부호는 반대이고
이다.
a@x+aby-bc=0, 즉 y=-
x+
a
b
c
a 의 그래프에서
(기울기)=-
>0, ( y절편)=
<0이
a
b
c
a
므로 그 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
x
⑤ 기울기가 1이면 -
=1에서 a=-b
a
b
y
O
4
두 점을 지나는 직선이 y축에 평행하면 두 점의 x좌표가 같
2b-1
6 에서 3a-4b=7
y`㉠
두 점을 지나는 직선이 y축에 수직이면 두 점의 y좌표가 같
이다.
으므로
a-3
4
=
으므로
3a-1
2
-b+3
=
4 에서 6a+b=5 y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-1
∴ a+b=1+{-1}=0
5 주어진 그래프는 y=4의 그래프이다.
b
ax+6y+2b=0에서 y=-
3
x-
a
6
즉, -
=0, -
=4이므로 a=0, b=-12
a
6
b
3
bx-ay+8=0에서 -12x+8=0 ∴ x=
따라서 x=
2
3 의 그래프는 오른쪽 그
림과 같으므로 지나지 않는 사분면은
제2사분면과 제3사분면이다.
2
3
y
O
x
3@
6 2x-8=0에서 x=4, 3x+6=0에서 x=-2
2y+10a=0에서 y=-5a, 4y-16a=0에서 y=4a
a>0이므로 네 직선 x=4, x=-2,
y=-5a, y=4a로 둘러싸인 도형은
y
4a
오른쪽 그림의 색칠한 부분과 같은 직
사각형이다.
이때 이 직사각형의 넓이가 72이므로
94-{-2}0\94a-{-5a}0=72
6\9a=72 ∴ a=
4
3
-2
O
4
x
-5a
11 ax-2y=-5에서 -2y=-ax-5 ∴ y=
x+
4x+by=10에서 by=-4x+10 ∴ y=-
x+
연립방정식의 해가 무수히 많으려면 두 일차방정식의 그래
a
2
4
b
5
2
10
b
프가 일치해야 하므로
5
a
10
b ∴ a=-2, b=4
2
2
즉, -2x+4y+3=0에 y=0을 대입하면
4
b ,
=-
=
-2x+3=0 ∴ x=
따라서 구하는 x절편은
a, b의값구하기
3
2
3
2 이다.
주어진 연립방정식의 해가 무수히 많으므로
a
4
-5
10 ∴ a=-2, b=4
-2
b
=
=
P. 96~99 내신 따라잡기
5%
1 18
2 ②
3 ⑤
5 제2사분면과 제3사분면
4 0
4
3
6
7 A
[
10 -
24
5 ]
23
5 ,
15
2 11 10
8 a=-1, b=-9
9 3
12
15
2
13 1
14 ③
15 y=-x+
16 ③
17 -
1
9 18 ①, ④
19 -
0, ( y절편)=
>0
a
b
c
b
이므로
>0,
<0
b
c
a
c
42 정답과 해설
따라서 bx-cy-a=0, 즉 y=
x-
a
c 의 그래프는
(기울기)=
>0, ( y절편)=-
>0이므로 그 그래프로 알
b
c
맞은 것은 제1, 2, 3사분면을 지나는 직선인 ②이다.
b
c
a
c
=
7 두 점 P{3, 0}, Q{5, 6}을 지나는 직선의 기울기는
6-0
5-3
이 식에 x=3, y=0을 대입하면 0=9+a ∴ a=-9
∴ y=3x-9
=3이므로 y=3x+a로 놓고
6
2
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 42
2018-11-14 오후 12:09:16
=
6
-3
=-2이므로 y=-2x+b로 놓고
두 점 P{7, 0}, Q{4, 6}을 지나는 직선의 기울기는
6-0
4-7
이 식에 x=7, y=0을 대입하면 0=-14+b ∴ b=14
∴ y=-2x+14
즉, 점 A는 두 직선 y=3x-9와 y=-2x+14의 교점이므로
연립방정식 -
y=3x-9
y=-2x+14
를 풀면 x=
23
5 , y=
24
5
따라서 점 A의 좌표는 A
[
23
5 ,
24
5 ]이다.
8 x+ay-1=0
3x-y-5=0
y`㉠
y`㉡
4x+y+b=0
y`㉢
2x+ay-3=0 y`㉣
㉠-㉣을 하면 -x+2=0 ∴ x=2
㉡에 x=2를 대입하면 6-y-5=0 ∴ y=1
따라서 네 직선의 교점의 좌표는 {2, 1}이므로
㉠에 x=2, y=1을 대입하면 2+a-1=0 ∴ a=-1
㉢에 x=2, y=1을 대입하면 8+1+b=0 ∴ b=-9
9
두 점 {-1, 1}, {0, 4}를 지나는 직선의 방정식은
y=
4-1
0-{-1}
x+4 ∴ y=3x+4
연립방정식 -
y=3x+4
x-y+1=0
을 풀면 x=-
3
2 , y=-
1
2 이므로
12 PQ
두 직선의 교점의 좌표는 [
-
3
2 , -
1
2 ]이다.
-
3
2 , -
1
2 ]이 직선 ax-y+4=0 위에 있으
따라서 점 [
므로
3
2
∴ a=3
a+
1
2
-
+4=0, -3a+1+8=0
10 삼각형의 두 꼭짓점 {-3, 4}, {5, 4}의 y좌표가 같으므로
세 직선 중 한 직선의 방정식은 y=4이다.
2x-y+c=0은 y=2x+c이므로 y=4일 수 없다.
dx-y-2=0은 y=dx-2이고, 이 직선의 y절편은 -2이
므로 y=4일 수 없다.
따라서 ax+by-2=0이 y=4이므로 a=0, b=
이때 나머지 한 꼭짓점이 제4사분면
위에 있으므로 세 직선은 오른쪽 그림
과 같다.
즉, 직선 y=dx-2가 점 {-3, 4}를
-3
O
-2
5
x
1
2
y
4
지나므로
4=-3d-2 ∴ d=-2
직선 y=2x+c가 점 {5, 4}를 지나므로
4=10+c ∴ c=-6
1
2
∴ a+b+c+d=0+
+{-6}+{-2}=-
15
2
11 주어진 세 일차방정식의 그래프가 삼각형을 이루지 않는 경
우는 다음과 같다.
a
2
x-
! y=
a
3 와 2x-y=0의 그래프가 서로 평행할 때
a
3
=0 ∴ a=4, a=0
y=2x
=2, -
@ y=
x-
a
3 와 x+y-4=0의 그래프가 서로 평행할 때
y=-x+4
=-1, -
=4 ∴ a=-2, a=-12
a
3
# y=
x-
a
3 , 2x-y=0, x+y-4=0의 그래프가 한 점
a
2
a
2
a
2
a
2
에서 만날 때
연립방정식 -
2x-y=0
x+y-4=0
을 풀면 x=
4
3 , y=
8
3
즉, y=
x-
a
2
8
3
=
\
-
a
2
4
3
a
3 의 그래프가 점 [
a
3 ∴ a=8
4
3 ,
8
3 ]을 지나므로
따라서 !~#에 의해 모든 a의 값의 합은
4+{-2}+8=10
서로다른세직선이삼각형을이루지않는경우
⑴어느두직선이서로평행하거나세직선이서로평행하다.
⑵세직선이한점에서만난다.
A
의 길이가 최대가 되려면 오른쪽
그림과 같이 x축에 평행한 직선이
점 C{4, 2}를 지나야 한다.
이때 x축에 평행한 직선의 방정식은
y=2이다.
두 점 A{-5, 5}, B{-1, -3}을
지나는 직선의 방정식은 y=-2x-5이다.
7
2 , 2
직선 y=-2x-5와 y=2의 교점은 [
따라서 PQ
-5
-
-
P
[
7
2 , 2
], Q{4, 2} 또는 P{4, 2}, Q
7
2 ]
15
2 이다.
-
=
[
구하는 최댓값은 4-
y
5
2
O
-1
-3
B
C
4
x
]이다.
-
[
7
2 , 2
]이므로
의 길이가 최대일 때의 두 점 P, Q의 좌표는
13 오른쪽 그림에서
A{0, -6},
B{0, -2}, C{4, 0}
이고, 점 D는 직선
3x-2y-12=0과
직선 x+2y+4=0
의 교점이므로 D{2, -3}이다.
1
2
\4\2=4
ADB=
T=
x-2y-4=0
-2
x+2y+4=0
y
O
B
S
T
C
4
x
D{2, -3}
-6
A
3x-2y-12=0
s
S=
CBD=
CBA-
ADB=
\4\4-4=4
1
2
∴
S
s
T
=
4
4
s
=1
s
6. 일차함수와 일차방정식 43
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 43
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Z
Z
1
y=-2
E
BA
ㄷ.x-2y=1에서y=
14 두점{-4,0},{0,4}를지나는직선의방정식은
x+4 ∴y=x+4
y=
4-0
0-{-4}
두점{-1,0},{0,-2}를지나는직선의방정식은
y=
-2-0
0-{-1}
x-2 ∴y=-2x-2
연립방정식-
y=x+4
y=-2x-2
를풀면x=-2,y=2이므로
두직선의교점P의좌표는P{-2,2}이다.
점P를지나면서오른쪽그림의색
17 ax+by+3=0에서y=-
1
3
x-3y-2=0에서y=
x-
2
3
a
b
x-
3
b
이두그래프가서로만나지않으면평행하므로
=-
=-3
1
3 ,
b
a
-
=
=-
a
b
a
b
3
b
1
3 ,-
b
a
a
b
2
3 ∴
1
3
따라서구하는기울기는-
1
9 이다.
즉,
x+
y=1에서-
x-3y=1 ∴y=-
x-
1
9
1
3
-4
x
18 ㄱ.3x-2y=6에서y=
x-3
3
2
ㄴ.3x-by=-6에서y=
ax+y=-3에서y=-ax-3
a=-
a=-
3
2 이면해가무수히많고
3
2 이면해가하나뿐이다.
6
b
2x+y=-4에서y=-2x-4
3
b
=-2,즉b=-
3
2 이면
x+
3
b
6
b
많고,b=-
3
2 이면해가하나뿐이다.
1
2
c
4
x-
x-
1
2
1
2
4y=2x-c에서y=
=-4이므로해가무수히
-
=-
1
2
c
4 ,즉c=2이면해가무수히많고
c=2이면해가없다.
19 길잡이 주어진연립방정식이x>0,y>0인해를가지면두일차방정식
연립방정식-
의그래프의교점은제1사분면위에있다.
2x-y=-4 y`㉠
3x-ay=6 y`㉡
이 x>0, y>0인 해를 가지므로
㉠과㉡의그래프의교점이제1사
y
2x-y=-4
4
-2
O
3x-ay=6
분면위에있다.
이때㉡의그래프의x절편이2이
므로a의값에관계없이항상점{2,0}을지난다.
즉,㉡의그래프는두점{0,4},{2,0}을지나는직선과점
{2,0}을지나면서㉠의그래프와평행한직선사이에존재
2
x
!㉡의그래프가점{0,4}를지날때
-4a=6 ∴a=-
3
2
@㉡의그래프가㉠의그래프와평행할때
3
2
4
-6 ∴a=
3
2 ,a=-
-1
-a
2
3
=
=
따라서!,@에의해상수a의값의범위는-
0이므로제3사분면을지나지않는다.
4
3
a,b의값구하기
x-3y=-4
연립방정식-
ax+y=b
의해가무수히많으므로
1
a
=
-3
1
=
4
-b ∴a=-
1
3 ,b=
4
3
44 정답과 해설
이때(사각형OEAD의넓이)=
\(사각형OEBC의넓이)
따라서항상옳은것은①,④이다.
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20 길잡이 사각형ABCD가사다리꼴이되기위한두직선의위치관계를
생각한다.
P. 100~101 내신 뛰어넘기
1%
사각형 ABCD는 사다리꼴이므로 직선 l: px+3y=q는 직
선 4x+3y=12와 평행해야 한다. ∴ p=4
즉, l: 4x+3y=q이다.
직선 l의 x절편이 양수이고,
(삼각형 AOB의 넓이)
D
y
L: 4x+3y=q
=
\3\4=6,
(사각형 ABCD의 넓이)
=
>6
1
2
85
6
4
A
O
3
B
C
x
4x+3y=12
이므로 두 점 C, D의 위치는 오른쪽 그림과 같다.
q
3 ]이므로
이때 두 점 C, D의 좌표는 각각 C
[
0,
], D
[
q
4 , 0
q
3
\
-6=
85
6
(사각형 ABCD의 넓이)=
q
4
q@=484 ∴ q=22 (∵ q>0)
∴ p+q=4+22=26
1
2
\
21 길잡이 토끼와거북의달리기경주에서의시간과거리사이의관계를나
타낸그래프를확인한후,보기의설명의참,거짓을확인한다.
ㄱ. 토끼의 그래프는 20분에서 60분까지 거리에 변함이 없
으므로 토끼는 60-20=40(분) 동안 쉬었다.
ㄴ. 주어진 그림에서 원점을 제외한 토끼의 그래프와 거북
의 그래프의 교점의 좌표는 {30, 50}이므로 토끼와 거
북은 출발한 지 30분 후에 다시 만난다.
ㄷ. 주어진 그림에서 토끼가 100 m를 이동하는 데 걸린 시
간은 80분이고, 거북이 100 m를 이동하는 데 걸린 시간
은 60분이다.
즉, 거북이 결승점에 도착한 지 80-60=20(분) 후에 토
끼가 결승점에 도착한다.
ㄹ. 토끼와 거북이 100 m 이후에도 일정한 속력으로 계속
달린다고 할 때 토끼와 거북이 각각 이동한 시간을 x분,
이동한 거리를 y m라 하자.
토끼의 그래프는 두 점 {60, 50}, {80, 100}을 지나므
로 직선의 방정식은 y=
x-100 y`㉠
5
2
거북의 그래프는 두 점 {0, 0}, {60, 100}을 지나므로
직선의 방정식은 y=
5
3
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=120, y=200
즉, 경주를 시작한 지 120분 후에 다시 만난다.
y`㉡
x
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
01 -1
02 4
05
2
13
A
>B
에서
A
D
D
C
이고 PB
D
+P
>A
P
A
+PB
+PC
C
+B
D
이므로
C
P
D
5
7
x
P
A
+PB
+PC
+P
D
의 값이 최소이려면 점 P가 A
C
와 B
D
의 교점이어야 한다.
두 점 {0, 0}, {5, 4}를 지나는 직선 AC의 방정식은
두 점 {1, 5}, {7, 2}를 지나는 직선 BD의 방정식은
y=
x
4
5
y`㉠
y=-
x+
y`㉡
1
2
11
2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=
두 직선의 교점 P의 좌표는 P
따라서 카페는 아파트 A에서 동쪽으로
44
13 km 떨어진 곳에 지어야 한다.
55
13 , y=
55
13 ,
[
44
13 이므로
44
13 ]이다.
55
13 km, 북쪽으로
P. 102~103
65 ~
서술형 완성하기
1 6
2 제3사분면
6 30초 후
5 -4
1
4
8 y=
x+2
[과정은풀이참조]
3
270
11
7 P{0, 3}
4 3
4-a
2
x
2a+6
3
x
1
f{x}=ax에서 f{2}=-6이므로
f{2}=2a=-6 ∴ a=-3
즉, f{x}=-3x이므로
2 f{-1}+ f{3}=
f{k}에서
1
6
2\{-3}\{-1}+{-3}\3=
\{-3k}
1
6
6-9=-
k, -3=-
k
1
2
1
2
∴ k=6
채점기준
!a의값구하기
@함수f{x}의식구하기
#k의값구하기
y`!
y`@
y`#
비율
30%
30%
40%
y`!
y`@
비율
70%
30%
2
1
2
1
2
y=-3x+6의 그래프의 x절편은 2이고
y=
x-4+a의 그래프의 x절편은 8-2a이므로
2=8-2a, 2a=6 ∴ a=3
y=-3x+6의 그래프의 y절편은 6이고
y`!
y=-
x+b의 그래프의 y절편은 b이므로 b=6 y`@
따라서 y=-18x+3의 그래프는 (기울기)=-18<0,
( y절편)=3>0이므로 제3사분면을 지나지 않는다. y`#
채점기준
!a의값구하기
@b의값구하기
#일차함수y=-3bx+a의그래프가지나지않는사분면
구하기
비율
30%
30%
40%
3 1분에 시침은 0.5!씩, 분침은 6!씩 움직이므로
시침이 12를 가리킬 때부터 4시간 30분 동안 움직인 각도는
30!\4+0.5!\30=120!+15!=135!
분침이 12를 가리킬 때부터 30분 동안 움직인 각도는
6!\30=180!
즉, y=180+6\x-{135+0.5\x}
∴ y=5.5x+45
이 식에 y=180을 대입하면 180=5.5x+45
5.5x=135 ∴ x=
270
11
채점기준
!y를x에대한식으로나타내기
@y=180일때,x의값구하기
시침과분침이움직인각도
①시침은1시간,즉60분동안
=30!만큼움직인다.
360!
12
⇨시침은1분에
=0.5!만큼움직인다.
②분침은1시간,즉60분동안360!만큼움직인다.
⇨분침은1분에
=6!만큼움직인다.
30!
60
360!
60
5~6. 서술형 완성하기 47
191-2 개뿔탑 해설(001~048) OK.indd 47
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X
Z
Z
X
Z
Z
X
Z
X
Z
X
Z
Z
Z
X
Z
X
Z
X
Z
X
Z
Z
Z
X
Z
X
Z
X
Z
4 ax-4y+8a=0에 y=0을 대입하면
ax+8a=0 ∴ x=-8 (∵ a=0)
즉, x절편은 -8이다.
ax-4y+8a=0에 x=0을 대입하면
-4y+8a=0 ∴ y=2a
즉, y절편은 2a이다.
이때 a>0에서 2a>0이므로
ax-4y+8a=0의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
따라서 이 그래프와 x축, y축으로 둘
러싸인 도형의 넓이가 24이므로
1
2
\8\2a=24, 8a=24 ∴ a=3
채점기준
!주어진일차방정식의그래프의x절편과y절편구하기
@양수a의값구하기
-8
O
x
5
{a+b}x+{a+1}y+4a-2b=0의 그래프가 점 {2, -4}
를 지나므로
2{a+b}-4{a+1}+4a-2b=0
2a+2b-4a-4+4a-2b=0
2a-4=0 ∴ a=2
또 직선 x=7에 수직이므로 a+b=0
즉, 2+b=0 ∴ b=-2
∴ ab=2\{-2}=-4
채점기준
!a의값구하기
@b의값구하기
#ab의값구하기
6
성범이에 대한 직선은 두 점 {0, 100}, {50, 0}을 지나므로
(기울기)=
=-2이고, y절편은 100이다.
0-100
50-0
따라서 성범이에 대한 직선의 방정식은
y=-2x+100 y`㉠
y`!
명일이에 대한 직선은 두 점 {0, 0}, {75, 100}을 지나므로
(기울기)=
4
3 이고, 원점을 지난다.
100-0
75-0
=
따라서 명일이에 대한 직선의 방정식은
㉠, ㉡에서 -2x+100=
x
y`㉡
4
3
-
x=-100 ∴ x=30
y=
x
4
3
10
3
4
3
y=
x에 x=30을 대입하면 y=40
따라서 성범이와 명일이는 출발한 지 30초 후에 만난다.
48 정답과 해설
y`!
y
2a
y`@
비율
50%
50%
y`!
y`@
y`#
비율
40%
40%
20%
y`@
y`#
채점기준
비율
!성범이에대한직선의방정식구하기
@명일이에대한직선의방정식구하기
#성범이와명일이가출발한지몇초후에만나는지구하기 40%
30%
30%
7 점 P의 좌표를 P{0, a}라 하자.
APC의 밑변을 AC
ABC와
A
라 하면 두 삼각형의 밑변의 길이
s
는 서로 같으므로 넓이가 같으려
s
면 높이가 같아야 한다.
두 직선 AC와 PB가 평행할 때,
1
B
4
C
9
x
ABC와
APC의 높이가 서로 같으므로
(직선 AC의 기울기)=(직선 PB의 기울기)이어야 한다.
s
s
P
y
6
a
2
1
O
즉,
1-6
9-4
=
a-2
0-1 , 1=a-2 ∴ a=3
따라서 점 P의 좌표는 P{0, 3}이다.
채점기준
!(직선AC의기울기)=(직선PB의기울기)임을알기
@a의값구하기
#점P의좌표구하기
ABC =
\96-{-2}0\98-{-4}0
8
s
1
2
1
2
=
\8\12=48
두 점 A{-4, 4}, B{8, -2}를 지나는 직선의 기울기는
-2-4
8-{-4}
=-
1
2 이므로 직선 AB의 방정식을
y=-
x+b로 놓고 이 식에 x=-4, y=4를 대입하면
1
2
4=2+b ∴ b=2
즉, 직선 AB의 방정식은 y=-
x+2이므로 점 D의 좌표
1
2
는 D{0, 2}이다.
점 E의 좌표를 {8, a}라 하면
DBE=
ABC에서
1
2
\48, 4{a+2}=24
s
\9a-{-2}0\{8-0}=
1
2
a+2=6 ∴ a=4 ∴ E{8, 4}
4-2
8-0
따라서 직선 DE의 방정식은 y=
1
s
2
x+2
y`!
y`@
y`#
비율
40%
50%
10%
y`!
y`@
y`#
y`$
비율
20%
30%
30%
20%
즉, y=
x+2이다.
1
4
채점기준
s
ABC의넓이구하기
!
@점D의좌표구하기
#점E의좌표구하기
$직선DE의방정식구하기
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Z
