1. 소인수분해
P. 8~10
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대표
1 ③
6 ②
11 12
15 242
2 ②
7 ⑤
12 880
16 30
3 56
4 ①
9 8개
8 ⑤
13 오전 9시 24분
5 3
10 12
14 48
1 ① 1은 소수도 합성수도 아니다.
② 2는 소수이지만 짝수이다.
③ 5의 배수 중 소수는 5 하나뿐이다.
④ 3, 7은 모두 소수이지만 3+7=10은 소수가 아니다.
⑤ 2는 짝수이지만 소수이다.
따라서 옳은 것은 ③이다.
2 ① 12=2@\3이므로 소인수는 2, 3의 2개이다.
② 42=2\3\7이므로 소인수는 2, 3, 7의 3개이다.
③ 75=3\5@이므로 소인수는 3, 5의 2개이다.
④ 88=2#\11이므로 소인수는 2, 11의 2개이다.
⑤ 125=5#이므로 소인수는 5의 1개이다.
따라서 서로 다른 소인수의 개수가 가장 많은 것은 ②이다.
3 126\a=2\3@\7\a이므로
a=2\7=14
b@ =2\3@\7\{2\7}={2\3\7}\{2\3\7}
={2\3\7}@
이므로 b=2\3\7=42
∴ a+b=14+42=56
4 360=2#\3@\5이므로 360의 약수의 개수는
{3+1}\{2+1}\{1+1}=24(개)
즉, 32\3A\7B=2%\3A\7B의 약수의 개수가 24개이므로
{5+1}\{a+1}\{b+1}=24
{a+1}\{b+1}=4
이때 a, b는 자연수이므로 a+1=2, b+1=2
따라서 a=1, b=1이므로 ab=1\1=1
5 45=3@\5이므로
2@\3A\5@
3#\5B\7
6
2#\3@
2@\3@\5
(최대공약수)= 2@\3@ =36
즉, 공약수는 최대공약수의 약수이므로 36의 약수인
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36이다.
따라서 공약수가 아닌 것은 ②이다.
7 주어진 두 수의 최대공약수를 각각 구하면
① 3 ② 7 ③ 13 ④ 7 ⑤ 1
따라서 두 수가 서로소인 것은 ⑤이다.
8
타일은 가능한 한 큰 정사각형 모양이어야 하 2`
므로 타일의 한 변의 길이는 64와 80의 최대
공약수인 2$=16{cm}이다.
2`
2`
즉, 가로, 세로에 필요한 타일의 개수는
가로: 64_16=4(개)
세로: 80_16=5(개)
따라서 필요한 타일의 개수는 4\5=20(개)
R
R
R
R
64 80
32 40
16 20
8 10
5
4
2`
9
n은 48과 72의 공약수이고, 48과 72의 최대 2`
공약수는 2#\3=24이므로 n의 값은 1, 2, 3,
2`
4, 6, 8, 12, 24이다.
따라서 자연수 n의 개수는 8개이다.
48 72
24 36
12 18
9
6
3
2
n은 48과 72의 최대공약수인 2#\3의 약수이다.
R
R
R
R
2`
3`
따라서 자연수 n의 개수는
{3+1}\{1+1}=8(개)
10 구하는 수는
39-3=36, 63-3=60, 87-3=84
의 최대공약수이므로
2@\3=12이다.
2`
2`
3`
R
R
R
36 60 84
18 30 42
9 15 21
7
5
3
11
2A\5
2@\5B\c
(최소공배수)= 2#\5@\7
따라서 a=3, b=2, c=7이므로
a+b+c=3+2+7=12
12 세 수 8, 16, 20의 최소공배수는
2$\5=80
따라서 80\11=880, 80\12=960에서
900에 가장 가까운 수는 880이다.
2`
2`
2`
8 16 20
R
8 10
4
R
5
4
2
R
5
2
1
2`
3`
R
R
42 12
6
21
2
7
즉, 기차와 전철은 오전 8시 이후에
84분{=1시간 24분)마다 동시에 출발한다.
따라서 처음으로 다시 동시에 출발하는 시각은
오전 9시 24분이다.
1. 소인수분해 1
(최대공약수)=
3@\5
따라서 a=2, b=1이므로 a+b=2+1=3
13 42와 12의 최소공배수는
2@\3\7=84
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정답과 해설T
T
T
T
T
T
T
T
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
14 구하는 수는 12=2@\3과 16=2$의 최소공배수이므로
@ B=2, D=5 또는 B=5, D=2일 때
2$\3=48이다.
15 조건을 만족시키는 수는 6, 15, 24의 공 3`
배수보다 2만큼 큰 수이고, 세 수의 최소
2`
공배수가 3\2\5\4=120이므로
120+2, 240+2, 360+2, y이다.
따라서 두 번째로 작은 수는 242이다.
6 15 24
R
8
5
2
R
4
5
1
16 (두 수의 곱)=(최대공약수)\(최소공배수)이므로
2$\3#\5@\7=(최대공약수)\{2#\3@\5\7}
∴ (최대공약수)=2\3\5=30
P. 11~14 내신 따라잡기
5%
2 8개
7 260
12 4개
1 4개
6 ③
11 12
16 9300원
20 11
25 ④
29 65
3 9
8 ④
13 6개
17 ③
22 5바퀴 23 ④
4 30, 70 5 ⑤
10 126
9 ④
15 ⑤
14 ⑤
18 38개 19 ②
21 ③
26 178명 27 60, 120, 180, 360 28 14, 42
30 ③
31 ①, ③
24 20일
1 소수를 작은 것부터 나열하면
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, y
따라서 a의 값이 될 수 있는 수는 13, 14, 15, 16의 4개이다.
2 n의 모든 약수의 합이 1+n이므로 n의 약수는 1, n이다.
따라서 n은 20보다 작은 소수이므로
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19의 8개이다.
3
3!= 3, 3@= 9, 3#=27, 3$=81, 3%=243, y이므로 3의 거
듭제곱의 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1의 순서로 반복된다.
이때 2018=4\504+2이므로 3@)!*의 일의 자리의 숫자는
3@의 일의 자리의 숫자와 같은 9이다.
4 10보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7이고 E=B+D이므로
! B=2, D=3 또는 B=3, D=2일 때
E=2+3=5이므로
3
2
C
A
∴ A=2\3\5=30
5
또는
A
3
C
2
5
2 정답과 해설
E=2+5=7이므로
5
2
C
A
∴ A=2\5\7=70
7
또는
A
5
C
2
7
따라서 !, @에 의해 A의 값은 30 또는 70이다.
5
두 사람이 뽑은 카드에 적힌 수의 곱이 될 수 있는 수는 2,
3, 7 중에서 소인수를 가지며 모든 소인수의 지수가 4 이하
② 48=2$\3
⑤ 96=2%\3
③ 56=2#\7
따라서 두 사람이 뽑은 카드에 적힌 수의 곱이 될 수 없는
인 수이다.
① 12=2@\3
④ 63=3@\7
수는 ⑤이다.
6
135=3#\5이므로 곱해야 하는 자연수는 3\5\(자연수)@
의 꼴인 수이다.
즉, 3\5\1@, 3\5\2@, 3\5\3@, y이므로
a=3\5\1@=15
b=3\5\2@=60
∴ b-a=60-15=45
200
a
=
2#\5@
a 이므로
7
a=2, 2#{=8}, 2\5@{=50}, 2#\5@{=200}
따라서 모든 a의 값의 합은
2+8+50+200=260
8
225
n 가 자연수가 되려면 n은 225의 약수이어야 한다.
따라서 225=3@\5@이므로 225의
\ 1
약수의 총합은 오른쪽 표에서
1+3+5+9+15+25
+45+75+225=403
3
3
15
75
3@
9
45
225
1
5
5@
1
5
25
9 ① ☐=18일 때, 2@\18=2#\3@의 약수의 개수는
{3+1}\{2+1}=12(개)
② ☐=27일 때, 2@\27=2@\3#의 약수의 개수는
{2+1}\{3+1}=12(개)
③ ☐=77일 때, 2@\77=2@\7\11의 약수의 개수는
{2+1}\{1+1}\{1+1}=12(개)
④ ☐=196일 때, 2@\196=2$\7@의 약수의 개수는
{4+1}\{2+1}=15(개)
⑤ ☐=512일 때, 2@\512=2!!의 약수의 개수는
11+1=12(개)
따라서 ☐ 안에 들어갈 수 없는 수는 ④이다.
10 ㈎에서 N=2A\3B\7C ( a, b, c는 자연수)이라 하면
㈏에서 12={a+1}\{b+1}\{c+1}
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Y
Y
! 12=3\2\2일 때
N=2@\3\7=84
@ 12=2\3\2일 때
N=2\3@\7=126
# 12=2\2\3일 때
N=2\3\7@=294
따라서 !~#에 의해 ㈐를 만족시키는 자연수 N의 값은
84, 126이므로 가장 큰 수는 126이다.
11 약수가 6개인 자연수는 다음의 두 가지 꼴이다.
! a% ( a는 소수)의 꼴
이 중 가장 작은 자연수는 2%=32
@ b@\c ( b, c는 서로 다른 소수)의 꼴
이 중 가장 작은 자연수는 2@\3=12
따라서 !, @에 의해 가장 작은 수는 12이다.
12 약수가 3개인 수는 (소수)@의 꼴인 수이다.
이때 100=10@이므로 구하는 수는 10보다 작은 소수의 제
곱인 수이다.
따라서 100 이하의 자연수 중에서 약수가 3개인 수는
2@, 3@, 5@, 7@, 즉 4, 9, 25, 49의 4개이다.
13 72=6\12, 126=6\21이고 세 자연수의 최대공약수가 6
이므로 구하는 수는 6의 배수이면서 18의 배수는 아니다.
6의 배수 중에서 50 이하의 자연수를 모두 구하면
6, 12{=6\2}, 18{=6\3}, 24{=6\4},
30{=6\5}, 36{=6\6}, 42{=6\7},
48{=6\8}
따라서 a의 값이 될 수 있는 수는 6, 12, 24, 30, 42, 48의
6개이다.
14 두 자연수 24와 a의 공약수가 1개이므로 24와 a는 서로소
이다.
24=2#\3이므로 a는 2와 3을 소인수로 갖지 않는 수이다.
즉, a는 2의 배수도 아니고 3의 배수도 아닌 수이다.
따라서 1보다 크고 100 이하인 자연수 중에서 2의 배수는
50개, 3의 배수는 33개이고 이 중에서 공통인 수는 6의 배수
16개이므로 a의 값이 될 수 있는 수의 개수는
99-{50+33-16}=32(개)
16 세트를 가능한 한 많이 만들려고 하므 2`
로 세트의 개수는 72, 54, 126의 최대
3`
공약수인 2\3@=18(개)이다.
3`
즉, 한 세트에 들어가는 칫솔, 치약,
R
R
R
72 54 126
63
36 27
21
9
1 2
7
3
4
비누의 개수는
칫솔: 72_18=4(개)
치약: 54_18=3(개)
비누: 126_18=7(개)
따라서 한 세트의 가격은
700\4+1000\3+500\7=9300(원)
17 가장 큰 정사각형의 한 변의 길이는 54와 90
의 최대공약수인 2\3@=18{cm}이다.
2`
3`
R
R
54 90
27 45
9 15
5
3
따라서 만들어질 수 있는 정사각형의 한 변의
길이는 18의 약수이므로
1 cm, 2 cm, 3 cm, 6 cm, 9 cm, 18 cm
이 중에서 넓이가 50 cm@ 이상 100 cm@ 이하인 정사각형의
한 변의 길이는 9 cm이다.
R
3`
즉, 가로, 세로에 만들어지는 정사각형의 개수는
가로: 54_9=6(개), 세로: 90_9=10(개)
따라서 만들어지는 정사각형의 개수는 6\10=60(개)
18 가로등을 가능한 한 적게 세우려면 가로등 2`
2`
사이의 간격이 최대가 되어야 하므로 가로
등 사이의 간격은 384와 224의 최대공약
2`
수이다.
384와 224의 최대공약수는 2%=32이므로
32 m 간격으로 가로등을 설치해야 한다.
R
R
R
R
384 224
192 112
56
96
28
48
14
24
7
12
R
2`
2`
즉, 가로, 세로에 필요한 가로등의 개수는
가로: 384_32+1=13(개), 세로: 224_32+1=8(개)
이때 공원의 네 모퉁이에서 가로등이 두 번씩 겹치므로 필
요한 가로등의 개수는
{13+8}\2-4=38(개)
19 되도록 많은 학생들에게 똑같이 나누어 2`
2`
주려고 하므로 구하는 학생 수는
19+5=24, 86-2=84, 45+3=48의
3`
최대공약수이다.
따라서 최대공약수는 2@\3=12이므로
학생 수는 12명이다.
R
R
R
24 84 48
12 42 24
6 21 12
4
7
2
15 세 수의 최대공약수가 2@\3@\7이므로 2@\3@\7은 A의
20
약수이어야 한다.
① {2@\3@\7}\7
② {2@\3@\7}\2\3@
③ {2@\3@\7}\5
④ {2@\3@\7}\3\5
⑤ 2@\3@\7은 2#\3\7의 약수가 아니다.
따라서 A의 값이 될 수 없는 것은 ⑤이다.
2A`\`3#`\`5#
2#`\`3$`\`b
2@`\`3C`\`5@
(최대공약수)=2@`\`3@`\`5
(최소공배수)=2$`\`3$`\`5#
⇩ ⇩ ⇩
a=4 c=2 b=5
∴ a+b+c=4+5+2=11
1. 소인수분해 3
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Y
Y
Y
Y
Y
Y
T
T
T
T
T
Y
Y
Y
k`
R
21 세 자연수를 각각 2\k, 3\k,
6\k ( k는 자연수)라 하면
(최소공배수)=108=k\2\3
∴ k=18
따라서 세 자연수는 36, 54, 108이므로 두 번째로 큰 수는
54이다.
2\k 3\k 6\k
6
3
3
3
1
1
2
1
R
1
R
3`
2`
22 12와 20의 최소공배수는
2@\3\5=60
따라서 두 톱니바퀴가 같은 톱니에서 처음으
로 다시 맞물리려면 톱니의 수가 12개인 톱니바퀴는
60_12=5(바퀴)를 회전해야 한다.
2`
2`
R
R
12 20
6 10
5
3
23 4일마다 조깅을, 6일마다 줄넘기를 하고, 토요일은 7일마다
돌아오므로 조깅과 줄넘기를 함께 하는 토요일 사이의 간격
은 4, 6, 7의 공배수이다.
따라서 4, 6, 7의 최소공배수는
2@\3\7=84이므로 두 가지 운동을 다시
처음으로 함께 하게 되는 토요일은 84일 후
4 6 7
2 3 7
R
2`
이다.
24 4와 7의 최소공배수인 28일 동안 희진이는 4일째, 8일째,
12일째, 16일째, 20일째, 24일째, 28일째에 쉬고, 나윤이는
6일째, 7일째, 13일째, 14일째, 20일째, 21일째, 27일째,
28일째에 쉰다.
즉, 28일 동안 함께 쉬는 날은 20일째, 28일째의 이틀이다.
따라서 290일 동안 두 사람이 함께 쉬는 날은
290=28\10+10이므로 10\2=20(일)이다.
2`
25 정육면체의 한 모서리의 길이는 6, 8, 12
의 공배수이고, 6, 8, 12의 최소공배수는
2#\3=24이므로 정육면체의 한 모서리의
길이는 24 cm, 48 cm, 72 cm, y이다.
6 8 12
6
3 4
3
3 2
R
1
1 2
! 한 모서리의 길이가 24 cm인 정육면체를 만들 때 필요
R
R
3`
2`
한 블록의 개수는
가로: 24_6=4(개)
세로: 24_8=3(개)
높이: 24_12=2(개)
∴ 4\3\2=24(개)
한 블록의 개수는
가로: 48_6=8(개)
세로: 48_8=6(개)
높이: 48_12=4(개)
∴ 8\6\4=192(개)
한 블록의 개수는
가로: 72_6=12(개)
세로: 72_8=9(개)
4 정답과 해설
@ 한 모서리의 길이가 48 cm인 정육면체를 만들 때 필요
# 한 모서리의 길이가 72 cm인 정육면체를 만들 때 필요
높이: 72_12=6(개)
∴ 12\9\6=648(개)
따라서 !~#에 의해 300개의 블록으로 정육면체를 만들
때, 최대로 사용 가능한 블록의 개수는 192개이다.
26 4명씩 배정하면 2명이 남고, 6명씩 배정하면 4명이 남는다
는 것은 각각 2명이 부족하다는 것을 의미한다.
즉, 학생 수로 가능한 수는
( 4, 5, 6의 공배수)-2
4, 5, 6의 최소공배수는
2@\5\3=60이므로 공배수는
60, 120, 180, 240, y
이때 학생 수는 150명 이상 200명 미만이므로
180-2=178(명)
2`
R
4 5 6
2 5 3
27 N을 12로 나눈 몫을 n이라 하면
360=12\{2\3\5}이므로 n의 값은
5, 2\5, 3\5, 2\3\5
따라서 N의 값은
12\5=60, 12\10=120,
12\15=180, 12\30=360
12`
R
24 36 N
3 n
2
28 =2이므로 a는 2의 배수이면서 4의 배수는 아니다.
[a, 12]=84=12\7이므로 a는 84의 약수이면서 7의 배수
이다.
따라서 84의 약수 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84
중에서 위의 두 조건을 모두 만족시키는 자연수 a의 값은
14, 42이다.
29
b
a
=
( 12, 18, 24의 최소공배수)
( 7, 35, 49의 최대공약수)
=
72
7
따라서 a=7, b=72이므로
b-a=72-7=65
30 두 자연수를 12\a, 12\b{a, b는 서로소)라 하면
12\a\b=180 ∴ a\b=15
! a=1, b=15 또는 a=15, b=1이면
두 수는 12와 180이므로 두 수의 합은
12+180=192
@ a=3, b=5 또는 a=5, b=3이면
두 수는 36과 60이므로 두 수의 합은
36+60=96
따라서 !, @에 의해 두 자연수의 합 중에서 가장 작은 수는
96이다.
31 A=6\a, B=6\b{a, b는 서로소, a>b}라 하면
A+B=6\a+6\b=6\{a+b}이므로
6\{a+b}=30
∴ a+b=5
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Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
=
=
3
60
3
45
점 C가 한 바퀴 도는 데는
점 B가 한 바퀴 도는 데는
점 A가 한 바퀴 도는 데는
04 길잡이 세점A,B,C가한바퀴도는데걸리는시간을각각구한다.
1
15 (분), 즉 4초가 걸리고,
1
20 (분), 즉 3초가 걸리며,
1
30 (분), 즉 2초가 걸린다.
4 3 2
2 3 1
그러므로 세 점 A, B, C가 점 P에서 동시 2`
에 출발한 후 처음으로 다시 점 P를 동시에
통과하는 데는 4, 3, 2의 최소공배수인
2@\3=12(초)가 걸린다.
따라서 세 점 A, B, C가 1시간, 즉 3600초 동안 점 P를 동
3
90
=
R
시에 통과하는 횟수는
3600_12=300(회)
05 길잡이 두자연수A,B의최대공약수를G라할때,A=G\a,
B=G\b{a,b는서로소,a>b}라한후주어진조건을이용하여A,B
의값을구한다.
두 자연수 A, B의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라 할
때, A=G\a, B=G\b ( a, b는 서로소, a>b}라 하자.
L=G\a\b이므로
G\a\b
L
G
G
이때 a, b는 서로소이고 a>b이므로 a=3, b=2 또는
a=6, b=1이다.
! a=3, b=2일 때
=a\b=6
=
A=3\G, B=2\G
A+B=3\G+2\G={3+2}\G=5\G=15
이므로 G=3
∴ A=9, B=6
@ a=6, b=1일 때
A=6\G, B=G
A+B=6\G+G={6+1}\G=7\G=15
그런데 이를 만족시키는 자연수 G는 존재하지 않는다.
! a=4, b=1일 때
A=24, B=6이므로 최소공배수는 24
@ a=3, b=2일 때
A=18, B=12이므로 최소공배수는 36
따라서 !, @에 의해 A, B의 최소공배수가 될 수 있는 것
은 24, 36이다.
1%
P. 15 내신 뛰어넘기
01 6개
02 2
03 45
04 300회 05 3
01 길잡이 N을소인수분해한형태로나타낸후N<100인수를찾는다.
=3이므로
N=2#\k (단, k는 2와 서로소인 자연수)
이때 N=2#\k<100이므로
k=1, 3, 5, 7, 9, 11
따라서 자연수 N은 8, 24, 40, 56, 72, 88의 6개이다.
02 길잡이 네자리의자연수6a34가3의배수임을이용하여a의값이될
수있는수를찾는다.
6a34가 3의 배수이려면 6+a+3+4=13+a가 3의 배수
2@\3#\2=2#\3#이므로 약수의 개수는
{3+1}\{3+1}=16(개)
이어야 한다.
∴ a=2, 5, 8
! a=2일 때
@ a=5일 때
# a=8일 때
2@\3#\8=2%\3#이므로 약수의 개수는
{5+1}\{3+1}=24(개)
따라서 !~#에 의해 조건을 만족시키는 a의 값은 2이다.
3의배수는각자리의숫자의합이3의배수이다.
03 길잡이 두자연수A,B의최대공약수가G이면A=G\a,B=G\b
(a,b는서로소)임을이용한다.
㈏에서 120=15\8, N=15\n ( 8과 n은 서로소)이라 하면
㈐에서 120+N=15\8+15\n=15\{8+n}이 11의 배수
이므로 8+n이 11의 배수이어야 한다.
즉, 8+n=11, 22, 33, y이고 n은 8과 서로소이므로
n=3, 25, y
이때 ㈎에서 N은 두 자리의 자연수이므로 n=3
∴ N=15\3=45
2@\3#\5이므로 약수의 개수는
{2+1}\{3+1}\{1+1}=24(개)
따라서 !, @에 의해 A=9, B=6이므로
A-B=9-6=3
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 5
2017-10-30 오후 4:36:50
1. 소인수분해 5
Y
2. 정수와 유리수
대표
P. 18~21
1 ③
개념+ 문제 확인하기
4
3 , +1.9 4 ③
9 7개
8 ②
11 ④
5 -7, 1 6 11
10 ㉠ 덧셈의 교환법칙, ㉡ 덧셈의 결합법칙
3 -4.1, -
7 ⑤
2 7
12 4
1
2
17
13 -
3
28 14 ②
18 ⑤
19 ④
20
29
6
15 0
16 -2
1 ① 10 kg 감량 ⇨ -10 kg
⇨ -5분
⇨ +15 !C
② 5분 전
③ 영상 15 !C
④ 9000원을 썼다. ⇨ -9000원
⑤ 5점을 실점 ⇨ -5점
따라서 부호가 나머지 넷과 다른 하나는 ③이다.
2 자연수는 +6,
21
3
음의 정수는 -4의 1개이므로 b=1
{=7}의 2개이므로 a=2
정수는 -4, 0, +6,
{=7}의 4개이므로 c=4
21
3
∴ a+b+c=2+1+4=7
3
주어진 수 중에서 정수는 0,
{=4}, +5, -2이므로 정수
8
2
가 아닌 유리수는 -4.1, -
4
3 , +1.9이다.
4 ① 음의 유리수는 0보다 작다.
② 유리수는 양의 유리수, 0, 음의 유리수로 이루어져 있다.
④ 정수는 모두 유리수이다.
⑤ -1과 1 사이에는 무수히 많은 유리수가 존재한다.
5
두 점 사이의 거리가 8이므로 -3에 대응하는 점에서 거리
가 4인 점에 대응하는 두 수는 각각 -7, 1이다.
4
4
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
6
a, b의 절댓값이 같고 두 수에 대응하는 두 점 사이의 거리가
22이므로 a와 b는 절댓값이 22\
1
2 =11인 수이다.
이때 a가 b보다 작으므로 b=11이다.
7 ① (음수)<0이므로 -5<0
② |-3|=3이고 (양수)>0이므로 |-3|>0
③ 2
=2.8이므로 3.5>2
4
5
④ (음수)<(양수)이므로 -
<
4
5
1
2
1
3
6 정답과 해설
⑤ -
=-
2
3
8
12 , -
3
4
=-
9
12 이고 두 음수에서는 절댓값이
큰 수가 작으므로 -
>-
2
3
3
4
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
8 ㈎에서 정수 y는 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3이다.
㈏에서 정수 y는 1, 2, 3이다.
㈏, ㈐에서 정수 x는 -12, -8, -4이다.
따라서 x의 값이 될 수 있는 것은 ② -4이다.
9
=5.166y이므로 -1보다 크거나 같고 5.166y보다 작
31
6
은 정수는 -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5의 7개이다.
11 ① {-6}+{-11}+{+1}-{-4}
={-6}+{-11}+{+1}+{+4}
=9{-6}+{-11}0+9{+1}+{+4}0
={-17}+{+5}
=-12
② {-2}+{-5}-{-13}-{+8}
③ [
[
[
-
+
-
-
+
={-2}+{-5}+{+13}+{-8}
=9{-2}+{-5}+{-8}0+{+13}
={-15}+{+13}
=-2
2
3 ]
2
3 ]
2
3 ]
2
3 ]
8
12 ]
1
2 ]
1
2 ]
2
4 ]
1
4 ]
3
12 ]
1
4 ]
1
4 ]
1
4 ]=
=
=
=
=
-[
+
+
+
+
+
-
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
[
[
[
[
[
[
[
[
[
=+
11
12
④ 4.2-{-9.5}-10 =4.2+9.5-10
=13.7-10=3.7
15
30
1
30
1
2 =
3
10
9
30
5
30
14
30
15
30
=-
⑤
=
1
6
-
+
-
+
-
따라서 계산 결과가 가장 큰 것은 ④이다.
12 a =-3.7+
3
2
=-
+
37
10
15
10
=-
=-
22
10
11
5
b =
-{-1.2}=
+1.2
3
5
3
5
=
6
10
+
=
=
18
10
9
5
12
10
9
5
∴ b-a =
-
-
[
11
5 ]
=
+
9
5
11
5 =
20
5
=4
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 6
2017-10-30 오후 4:23:42
13 어떤 유리수를 ☐라 하면
3
☐+
=
4
3
7
∴ ☐=
-
=
3
4
3
7
21
28
-
=
12
28
9
28
따라서 바르게 계산하면
9
9
28
28
12
28
3
7
-
=
-
=-
3
28
14 |a|=3이므로
a=3 또는 a=-3
|b|=6이므로
b=6 또는 b=-6
! a=3, b=6이면
a-b=3-6=-3
@ a=3, b=-6이면
# a=-3, b=6이면
a-b=-3-6=-9
$ a=-3, b=-6이면
a-b=3-{-6}=9
a-b=-3-{-6}=3
따라서 !~$에 의해 a-b의 값이 될 수 없는 것은 ②이다.
15 {-1}(&-{-1}(*-{-1}((+{-1}!))
={-1}-{+1}-{-1}+{+1}
=-1-1+1+1=0
{-1}(홀수)=-1,{-1}(짝수)=+1
16 a\{b-c} =a\b-a\c
=3-5=-2
17 -
3
11 의 역수는 -
24
100
=
0.24=
11
3 ∴ a=-
11
3
6
25 이므로 0.24의 역수는
25
6
∴ b=
25
6
∴ a+b =-
+
11
3
22
6
25
6
25
6
3
6
1
2
=-
+
=
=
18 ① 절댓값이 큰 쪽의 부호를 따르므로 부호는 알 수 없다.
② -a+b={-a}+b이고 -a<0, b<0이므로
-a+b<0
③ a>0, b<0이므로
④ a>0, b<0이므로
a\b<0
a_b<0
⑤ -a<0, b<0이므로
b_{-a}>0
따라서 항상 양수인 것은 ⑤이다.
19 ① {+12}_{-4}\{-2} ={+12}\
[
1
4
=+
12\
[
-
1
4 ]
\{-2}
\2
=+6
]
-
② [
5
6 ]
+
_
[
4
3 ]
-
\{-12} =
[
+
\
[
3
4 ]
\{-12}
=+
[
\
\12
3
4
=+
]
15
2
-
③ [
3
2 ]
\
+
[
1
3 ]
_
+
[
1
4 ] =
[
-
\
+
[
1
3 ]
\{+4}
+
④ [
4
9 ]
_
-
[
1
3 ]
\
+
[
1
2 ] =
[
+
\{-3}\
+
[
=-
[
\
\4
=-2
]
1
3
=-
[
\3\
=-
1
2 ]
1
2 ]
2
3
5
6 ]
5
6
3
2 ]
3
2
4
9 ]
4
9
[
[
+
_
+
_
-
-
=
⑤ [
2
5 ]
5
2 ]
3
7 ]
3
7 ]
3
7
3
14 ]
14
3 ]
5
2 ]
따라서 계산 결과가 옳지 않은 것은 ④이다.
=-5
=-
14
3
\
+
\
+
\
\
[
[
[
[
5
6 ]@_
25
36
[
[
17
18
20 2-
-[
1
2
-
-
[
2
3 ]@ =
\{-3}
=2-
\2-
\{-3}
4
9 ]
=2-
25
18
-
8
18 ]
\{-3}
=2-
\{-3}=2+
17
6
=
12
6
+
=
17
6
29
6
P. 22~27 내신 따라잡기
5%
2 ③
1 ③
5 a=-10, b=5
3 ⑤
6 C
4 6개
7 a=2, b=-4
8 ②
9 ③
13 ④
14 ①
16 3권
17 4
18 ㉠
10 -
7
8 11 38
15 ㉠ +, ㉡ -, ㉢ -
12 ③
19
12 , ㉡
7
3
19 ②
5
6
20
24 ⑤
22 ④
1
9
21
1
500 26 ①
31 ②
25
23 M=2, m=-9
27 ③
28 -
15
8
32 ④
33 ①
36 0
37 ①
38 -13
29 ③
7
6 35
30 ①
1
24
34 -
39 2
1 ③ 0.3인치 더 크고 ⇨ +0.3인치
2. 정수와 유리수 7
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 7
2017-10-30 오후 4:23:43
2 ① 양수는
9
2 , 11, +
② 음수는 -5, -4.7, -
6
3 의 3개이다.
3
7 의 3개이다.
6
3
④ 주어진 수는 모두 유리수이므로 유리수는 7개이다.
9
2 , -4.7, -
3
7 의 3개이다.
③ 정수는 -5, 0, 11, +
⑤ 정수가 아닌 유리수는
{=+2}의 4개이다.
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
3 ① 가장 작은 양의 정수는 1이다.
② 유리수는 양수, 0, 음수로 나눌 수 있다.
③ 두 음수에서는 절댓값이 큰 수가 더 작다.
④ 0은 유리수이다.
⑤ 절댓값이 3 이하인 정수는 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3의
8
1
3
=
5
15 ,
4
5
=
12
15 이므로
12
15 사이에 있는 유리수 중
에서 분모가 15인 기약분수는
8
15 ,
11
15 의 3개이다.
5
15 와
7
15 ,
9 ㈑에서 두 점 A, D는 0을 나타내는 점의 오른쪽에 있으므로
a>0, d>0
이때 ㈏에서 점 A는 점 D보다 왼쪽에 있으므로
0
1
5 |
1
5 △[
1
12
=-
13 [3.2]=3, [-4.6]=-5, [-5]=-5이므로
[3.2]-[-4.6]+[-5] =3-{-5}+{-5}=3
7
2<|x|<6이면 |x|=2, 3, 4, 5이므로 이를 만족시키는 정
수 x는 -5, -4, -3, -2, 2, 3, 4, 5이다.
또 -50이다.
즉, a\|b-a|=-4를 만족시키는 a는 4의 약수에 음의
-
\
=-
2
3
1
4
1
6
부호를 붙인 수이므로
a=-1 또는 a=-2 또는 a=-4
! a=-1일 때, {-1}\|b-{-1}|=-4에서
|b-{-1}|=4이므로
b+1=-4 또는 b+1=4
∴ b=-5 또는 b=3
|b-{-2}|=2이므로
b+2=-2 또는 b+2=2
∴ b=-4 또는 b=0
|b-{-4}|=1이므로
b+4=-1 또는 b+4=1
∴ b=-5 또는 b=-3
# a=-4일 때, {-4}\|b-{-4}|=-4에서
따라서 !~#에 의해 a+b의 값이 가장 큰 경우는
a=-1, b=3일 때이므로
M=-1+3=2
또 a+b의 값이 가장 작은 경우는
a=-4, b=-5일 때이므로
m=-4+{-5}=-9
24 m이 홀수이면 m+1은 짝수, 2m은 짝수, 2m+3은 홀수
이므로 {-1}M"!=1, {-1}@M=1, {-1}@M"#=-1
∴ {-1}M"!+{-1}@M-{-1}@M"#
=1+1-{-1}=3
25
468
1756\234-756\234 =
468
{1756-756}\234
=
468
1000\234
=
1
500
28 주어진 네 유리수 중에서 세 수를 뽑아 곱한 값이 가장 크려
면 양수 1개, 음수 2개를 곱해야 하고 음수의 절댓값이 클수
록 큰 수가 된다.
5
4
∴ M=
\{-4}\
-
[
8
3 ]
=
40
3
세 수를 뽑아 곱한 값이 가장 작으려면 음수 3개를 곱해야
∴ N={-4}\
-
8
3 ]
\
-
[
2
3 ]
=-
64
9
[
∴ M_N =
_
-
[
40
3
40
3
=
\
-
[
64
9 ]
9
64 ]
=-
15
8
29 {-1}_{+2}_
-
[
+
_
[
4
3 ]
-
_y_
[
+
_
[
10
9 ]
3
2 ]
2
\
]
3
={-1}\
\
1
2
-
3
[
[
4
곱해진 음수의 개수: 5개
\y\
-
8
\
]
9
9
8 ]
9
10
=-
1
10
30 1-
2-
2-
1
1
1
2-
1
2
=1-
2-
1
1
2-
1
1
2-
1
3
2
2
3
=1-
=1-
1
2-
1
4
3
2-
1
2-
3
4
1
5
=1-
=
4
5
=1-
=1-
1
5
4
26 0.5와 마주 보는 면에 적힌 수는 0.5=
1
2 의 역수인 2이다.
2
9 와 마주 보는 면에 적힌 수는
2
9 의 역수인
9
2 이다.
=
_
=
\
=
A
B
C
D
A
B
D
C
A\D
B\C
A
B
C
D
10 정답과 해설
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 10
2017-10-30 오후 4:23:45
31 a\c>0, a+c<0에서 a<0, c<0
<0에서 c<0이므로 b>0
c
b
∴ a<0, b>0, c<0
①
<0
b
a
③ c-b<0
④ b-c>0, a<0이므로
b-c
a
<0
⑤ a\b\c>0
32 ① a>0, b<0이므로 a-b>0
② a>0, b<0이므로
>
1
a
1
b
③ a=
1
2 이라 하면 a@=
[
1
2 ]@=
1
4 이므로
a@0, b<0이므로
1
b
b
a
b
a
<0, a-b>0 ∴
1
b
33 어떤 정수를 ☐라 하면
{☐+3}\{-2}=4
☐+3=-2 ∴ ☐=-5
따라서 바르게 계산하면
9-5+{-2}0\3={-7}\3=-21
\A=
3
2
\
-
[
4
3 ]
=-2
34 -
3
4
_
=
∴ A=
_
[
D+
-
[
5
3 ]
=-
=
-
3
2
3
4
3
2 에서 -
3
4 ]
10
9 에서
5
3 ]
5
9
15
9
-
=
[
D =-
-
=-
+
C_
=D에서 C\
3
10
10
3
=
5
9
∴ C=
_
=
\
=
10
3
5
9
3
10
1
6
3
2
\B=C에서
\B=
3
2
1
6
3
2
2
3
∴ B=
_
=
\
=
1
A
3
2
10
9
10
9
5
9
1
6
1
6
1
9
1
9
36
18
21
18
2
18
1
6
7
6
=-
=-
∴ A+B+C+D =-2+
+
+
5
9
3
18
10
18
=-
+
+
+
[
35 {-2}#_
4
9
{-8}_
-
2
3 ]@\ -
1
2
_
[
\ -
1
2
_
-
[
\
21
4
=1에서
-
\
=1
3
2 ]
21
4
21
4
3
2 ]
2
3 ]
{-8}\
\ -
\
=1
9
4
1
2
\
-
[
{-18}\ +
=1
7
4
{-18}\ =1-
{-18}\ =-
7
4
3
4
∴
=-
_{-18}
=-
\
-
[
1
18 ]
=
1
24
3
4
3
4
36 A=6\
3
10
B =
5
9 ]
9
4
+
9
25
\
-
[
=-
6
5
\
[
\
[
1
2
1
2
+
3
2
3
2
+
+
\
2
9 ]
1
2 ]
=
=
3
10
3
10
\
=
5
2
3
4
따라서 A+B =-
+
=-
+
=-
24
20
15
20
9
20 이므로
= -
6
5
3
4
9
20 =0
37 민주는 5번 이기고 2번 비기고 3번 졌으므로 민주의 위치는
5\{+3}+2\{-1}+3\{-2} =15-2-6=7
재영이는 3번 이기고 2번 비기고 5번 졌으므로 재영이의 위
치는
3\{+3}+2\{-1}+5\{-2} =9-2-10=-3
따라서 민주는 처음 위치보다 7칸 위에 있고, 재영이는 3칸
아래에 있으므로 민주는 재영이보다 10칸 위에 있다.
38 ㉯에서 A\{-2}-4=8
A\{-2}=12 ∴ A=-6
㉰에서 {5+1}_3=C
6_3=C ∴ C=2
㉱에서 B+1+9-4=-3
B+6=-3 ∴ B=-9
∴ A+B+C=-6+{-9}+2=-13
39 A: {-7}_
2
3
+
1
2 ={-7}\
21
2
=-
+
3
2
1
2
+
1
2
=-
=-10
20
2
3
10
3
2
B: 9{-10}-{-5}0\
={-5}\
=-
3
2 ]
5
4
-
+4
C: -[
따라서 프로그램에 -7을 입력하여 나온 결과는 2이다.
_
=
=2
\
=
4
5
3
10
5
2
2. 정수와 유리수 11
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 11
2017-10-30 오후 4:23:46
01 길잡이 분모가1에서6까지의자연수일때,기약분수가될수있는분자
를직접찾아본다.
0과 1 사이의 기약분수가 되려면 분모와 분자가 서로소이어
찾아본다.
P. 28~29 내신 뛰어넘기
1%
01 ④
9
02 -4 03
5
04 2
05 ③
06 A=1, B=-
1
2 07 36
08
1
|b|
,
1
|a|
,
1
|c|
야 하고, 분모가 분자보다 커야 한다.
즉,
b
a 가 0과 1 사이의 기약분수인 경우는
! a=1일 때, b는 없다.
@ a=2일 때, b=1의 1가지
# a=3일 때, b=1, 2의 2가지
$ a=4일 때, b=1, 3의 2가지
% a=5일 때, b=1, 2, 3, 4의 4가지
^ a=6일 때, b=1, 5의 2가지
따라서 !~^에 의해
0+1+2+2+4+2=11(가지)
b
a 가 기약분수인 경우는 모두
02 길잡이 주어진조건에맞는두정수a,b를수직선위에나타내어본다.
a는 b보다 12만큼 크고, b의 절댓값은 a의 절댓값보다 4만
큼 크므로 a>0, b<0이다.
이를 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다.
4
b
-a
12
8
0
a
따라서 a=4, b=-8이므로
a+b=4+{-8}=-4
03 길잡이
a
14
값을모두구한다.
의값의범위를구한후
가기약분수임을이용하여a의
a
14
a
14 }
=1에서
a
14 는 1
14
14 ]보다 크거나 같고 2
{
보다 작으므로 140}
➋|A|=
-
-A{A<0}
㈎에서 a<0, b>0, c<0이고
㈐에서 |a|<|b|<|c|이므로
a+c<0, a+b>0, b-c>0
12 정답과 해설
∴ |a|-|b|+|c|-|a+c|-|a+b|+|b-c|
=-a-b-c+{a+c}-{a+b}+{b-c}
=-a-b-c+a+c-a-b+b-c
=-a-b-c=-{a+b+c}
=-{-2} (∵ ㈏)
=2
05 길잡이 홀수번째에오는수와짝수번째에오는수를구분하여규칙을
홀수 번째에 오는 수는 -7, -3, 1, 5, y이므로
-7부터 4씩 커지도록 나열한 것이고
짝수 번째에 오는 수는 -4, -2, 0, 2, y이므로
-4부터 2씩 커지도록 나열한 것이다.
23번째에 오는 수는 -7, -3, 1, 5, y에서 12번째 수이므로
-7+4\11=37 ∴ a=37
50번째에 오는 수는 -4, -2, 0, 2, y에서 25번째 수이므로
-4+2\24=44 ∴ b=44
∴ a+b=37+44=81
06 길잡이 가로,세로,대각선에있는세수의합은주어진표에들어가는
9개의수의합의
1
3 이다.
주어진 표에 들어가는 9개의 수의 합은
1
4 ]
+{-1}+
1
2 ]
3
4 ]
1
4
-
+
-
+
-
[
[
[
+0+
+
+1
1
2
3
4
=0
즉, 가로, 세로, 대각선에 있는 세 수의 합은 각각 0\
=0
1
3
으로 모두 같다.
따라서 가로, 세로, 대각선에 있는 세
수의 합이 각각 0이 되도록 빈칸에 알
맞은 수를 쓰면 오른쪽 표와 같다.
∴ A=1, B=-
1
2
-
4#
2!
4!
1
0
-
4!
-
2!
-1
4#
07 길잡이 a,b,c,d가서로다른네정수이면9-a,9-b,9-c,9-d도
서로다른네정수이다.
a, b, c, d가 서로 다른 네 정수이므로 9-a, 9-b, 9-c,
9-d도 서로 다른 네 정수이다.
{9-a}\{9-b}\{9-c}\{9-d}=4가 성립하려면
9-a, 9-b, 9-c, 9-d의 값은 순서에 상관없이 -2, -1,
1, 2 중에 하나이므로
{9-a}+{9-b}+{9-c}+{9-d}=-2+{-1}+1+2
36-{a+b+c+d}=0
∴ a+b+c+d=36
대소를비교한다.
a
b
a>0, b<0, c<0
임을이용하여주어진식의값을구한다.
08 길잡이 주어진조건을이용하여a,b,c의부호를정한후|a|,|b|,|c|의
<0에서 a와 b는 부호가 반대이고 a>b>c이므로
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 12
2017-10-30 오후 4:23:47
이때 a+b>0이므로 |a|>|b|
a+c<0이므로 |c|>|a|
따라서 |b|<|a|<|c|이므로
1
|b|
1
|a|
1
|c|
<
<
P. 30~31
21 ~
서술형 완성하기
[과정은풀이참조]
1 72000원 2 48 3 ⑴ a=-10, b=10 ⑵ -20
4 -
5 a<0, b>0, c<0
6 ⑴ {-
-2-
-
[
3
2 ]=
_
-
[
2
3 ]@+3
\
}
[
-
1
12 ]
1
2
1
6
⑵ -
3
16
7 231
8 8
1
3`
2`
R
R
부분이 없이 같은 크기로 잘라야 하므로
가능한 한 큰 정육면체 모양으로 남는 2`
정육면체 모양의 빵의 한 모서리의 길이
는 72, 48, 36의 최대공약수인
2@\3=12{cm}이다.
72 48 36
36 24 18
9
18 12
4
3
6
y`!
즉, 가로, 세로, 높이에 놓이는 정육면체 모양의 빵의 개수는
가로: 72_12=6(개)
세로: 48_12=4(개)
높이: 36_12=3(개)
R
y`@
따라서 정육면체 모양의 빵의 총 개수는
6\4\3=72(개)
이므로 총 판매 금액은
72\1000=72000(원)
채점기준
!정육면체모양의빵의한모서리의길이구하기
@가로,세로,높이에놓이는정육면체모양의빵의개수
구하기
#총판매금액구하기
2 두 자연수 A, B의 최대공약수가 24이므로 두 수를 각각
A=24\a, B=24\b{a, b는 서로소, a0
따라서 a, b는 원점으로부터 거리가 각각 20\
큼 떨어진 점에 대응하는 수이므로
a=-10, b=10
⑵ a=-10, b=10이므로
3\a+b =3\{-10}+10=-20
3 ⑴ ㈎에서 두 수 a, b의 절댓값이 같고 ㈏에서 a는 b보다 작
채점기준
!a,b의부호결정하기
@a,b의값구하기
#3\a+b의값구하기
4 두 점 A, D 사이의 거리는
9
4 ]
16
4
=4
7
4
-
-
=
[
두 점 A, B 사이의 거리는 두 점 A, D 사이의 거리의
므로
1
3
4\
=
4
3
따라서 점 B는 점 A에서
4
3 만큼 오른쪽에 있으므로
p =-
+
9
4
27
12
4
3
16
12
=-
+
=-
11
12
점 C는 점 D에서
q=
-
=
-
7
4
4
3
4
3 만큼 왼쪽에 있으므로
16
12
5
12
=
21
12
11
12
6
12
∴ p+q =-
+
=-
=-
5
12
1
2
채점기준
!두점A,D사이의거리구하기
@두점A,B사이의거리구하기
#p의값구하기
$q의값구하기
%p+q의값구하기
2. 정수와 유리수 13
y`#
y`$
비율
30%
30%
30%
10%
y`!
=10만
1
2
y`@
y`#
비율
40%
40%
20%
y`!
1
3 이
y`@
y`#
y`$
y`%
비율
20%
20%
20%
20%
20%
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 13
2017-10-30 오후 4:23:47
Y
Y
Y
이때 |x|-|y|=1을 만족시키는 |x|, |y|의 값을
{|x|, |y|}로 나타내면
{2, 1}, {3, 2}, {4, 3}
y`!
주어진 조건을 만족시키는 x, y의 값을 {x, y}로 나타내면
{2, 1}, {2, -1}, {-2, 1}, {-2, -1},
{3, 2}, {3, -2}, {-3, 2}, {-3, -2},
{4, 3}, {4, -3}, {-4, 3}, {-4, -3}
y`@
따라서 |x+y|의 값 중 가장 큰 수는 7이고 가장 작은 수는
1이므로
M=7, m=1
∴ M+m=7+1=8
채점기준
!|x|,|y|의값모두구하기
@x,y의값모두구하기
#M,m의값구하기
$M+m의값구하기
y`#
y`$
비율
30%
30%
30%
10%
y`!
y`@
y`#
비율
40%
30%
30%
y`@
비율
40%
60%
5 a\b<0, a\b\c>0이므로
c<0
이때 a0
∴ a<0, b>0, c<0
!c의부호결정하기
@a의부호결정하기
#b의부호결정하기
채점기준
6 ⑴ {-
-2-
-
⑵ {-
-2-
-
1
6
1
6
_
-
[
_
-
[
\
}
[
-
\
}
[
-
1
12 ] y`!
1
12 ]
2
3 ]@+3
2
3 ]@+3
1
12 ]
1
12 ]
3
2 ]=
3
2 ]=
4
9
+3
9
4
[
[
1
3 ]
1
3 ]
3
4
=
-[
-
_
\
=
[
-
=
-[
-
\
+3
\
=
[
-
=
-
[
+3
\
]
[
-
1
12 ]
=
9
4
\
-
[
1
12 ]
=-
3
16
!식세우기
@답구하기
채점기준
7 54\a=84\b=c@에서
54=2\3#, 84=2@\3\7이므로
2\3#\a=2@\3\7\b=c@
y`!
어떤 자연수의 제곱이 되려면 소인수의 지수가 모두 짝수가
되어야 하므로 가장 작은 두 자연수 a, b는
a=2\3\7@=294, b=3#\7=189
y`@
즉, 2\3#\{2\3\7@}=2@\3\7\{3#\7}=c@이므로
c@={2\3@\7}@
∴ c=2\3@\7=126
∴ a-b+c =294-189+126
=231
채점기준
!54와84를소인수분해하여주어진식을나타내기
@a,b의값구하기
#c의값구하기
$a-b+c의값구하기
y`#
y`$
비율
20%
40%
20%
20%
8 1<|y|<3이고 y는 정수이므로
|y|=1 또는 |y|=2 또는 |y|=3
14 정답과 해설
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 14
2017-10-30 오후 4:23:48
3. 문자의 사용과 식의 계산
P. 34~36
개념+ 문제 확인하기
대표
1 ②, ⑤ 2 ④
3 ④
4 -13
5 ⑴ 2{4a+4b+ab} ⑵ 148
6 ㄱ, ㄴ, ㅁ 7
14
5
8 ⑤
12 ②
9 ⑤
13 ②
10 ①
14 -4x+14y
11 ④
15 -24x+15
16 5x-
13
2
1 ① 0.1\y\y=0.1y@
③ {-1}_{b_c} ={-1}_
b\
[
1
c ]
④ x+{-5}_y =x+{-5}\
={-1}_
={-1}\
=-
c
b
b
c
c
b
1
y
=x-
5
y
2 ② (거리)=(시간)\(속력)=a\300=300a{ m}
③ (할인된 공책 한 권의 가격)=x-0.3x=0.7x(원)
∴ (거스름돈)
=(지불한 금액)-(할인된 공책 y권의 가격)
=8000-0.7xy(원)
x
100
x(명)
3
10
=
④ (남학생 수)=30\
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
3 ①
=-
1
x
1
2
② -
=-
1
{-2}@
=-
1
4
③ x@={-2}@=4
④ x#={-2}#=-8
⑤ -
=-
1
{-2}#
=
1
8
1
x@
1
x#
4
1
a
+
-
1
b
2
c =1_a+1_b-2_c
1
6
=1_
+1_
-
-2_
1
3
1
4 ]
[
=1\3+1\{-4}-2\6
=3-4-12
=-13
1
b
=-4,
=6이므로
=3,
1
c
1
a
2
c
1
a
1
b
+
-
=3+{-4}-2\6=-13
5 ⑴ (겉넓이) =2\{a\4+4\b+a\b}
=2{4a+4b+ab} y`㉠
⑵ ㉠에 a=6, b=5를 대입하면
(겉넓이) =2\{4\6+4\5+6\5}=2\74=148
6 ㄱ. 항은 -3x@, 4x, -1의 3개이다.
ㄴ. 차수가 가장 큰 항은 -3x@이므로 다항식의 차수는 2이다.
ㄷ. 상수항은 -1이다.
ㄹ. x@의 계수는 -3이다.
ㅁ. x의 계수는 4이고 상수항은 -1이므로 그 곱은 -4이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ이다.
7 a=-
1
5 , b=6, c=-3
∴ a+b+c=-
+6+{-3}=
1
5
14
5
8 ① 상수항은 차수가 1이 아니므로 일차식이 아니다.
② 분모에 문자가 있는 식은 다항식이 아니므로 일차식이 아
니다.
③ 0\y+2=2이므로 일차식이 아니다.
④ 차수가 2이므로 일차식이 아니다.
1
4
9 ①
{4x-12} =
1
4
② -5{2x+7} ={-5}\2x+{-5}\7=-10x-35
\12=x-3
\4x-
1
4
③ {14x+35}_{-7} ={14x+35}\
-
1
7 ]
[
=14x\
-
+35\
-
1
7 ]
1
7 ]
[
=-2x-5
[
4
3
=x\{-6}-
y\{-6}
4
3
④ [
x-
y
_
]
[
-
4
3
1
6 ] =
[
x-
y
\{-6}
]
⑤ [
-8x+4y-
=-6x+8y
3
3
4 =-8x\
4
8
9 ]
\
+4y\
-
\
3
4
8
9
3
4
=-6x+3y-
2
3
2
3
y
_
]
[
-
2
3
y
\
]
[
4\
-
[
2
9 ]
9
2 ]
2
3
9
2 ]
-
-
y\
-
[
9
2 ]=
3
10
4
{8x-16}-
4-
[
3
4
=
{8x-16}-
4-
[
3
4
=
\8x-
\16-
-
3
4
=6x-12-{-18+3y}
=6x-12+18-3y
=6x-3y+6
따라서 a=6, b=-3, c=6이므로
-a+b+c=-6+{-3}+6=-3
3. 문자의 사용과 식의 계산 15
따라서 식의 값이 가장 작은 것은 ④이다.
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 15
2017-10-30 오후 4:23:48
11 ①, ② 문자는 같지만 차수가 다르므로 동류항이 아니다.
5
x 는 분모에 문자가 있으므로 다항식이 아니다.
③
④ 문자가 같고, 차수도 같으므로 동류항이다.
⑤ 문자가 다르므로 동류항이 아니다.
따라서 동류항끼리 짝 지어진 것은 ④이다.
12 a{3x-1}-{ax-5} =3ax-a-ax+5
=2ax-a+5
따라서 2a=-1이므로 a=-
1
2 이고
1
2 ]
+5=
11
2
-a+5=b이므로 b=-
-
∴ a-b =-
-
=-
=-6
1
2
11
2
[
12
2
13
-
2x-1
5x-2
6
3
2{5x-2}
12
-
=
+
7-3x
4
4{2x-1}
12
+
3{7-3x}
12
=
10x-4-8x+4+21-9x
12
=
-7x+21
12
=-
x+
7
12
7
4
14 -6x-2[x-4y-95x+2y-{3x-y}0]
=-6x-29x-4y-{5x+2y-3x+y}0
=-6x-29x-4y-{2x+3y}0
=-6x-2{x-4y-2x-3y}
=-6x-2{-x-7y}
=-6x+2x+14y
=-4x+14y
15 -3{A-2B} =-3A+6B
=-3{4x-3}+6{-2x+1}
=-12x+9-12x+6
=-24x+15
16 어떤 다항식을
+{-3x+4}=2x-
라 하면
5
2
∴
=2x-
-{-3x+4}
5
2
5
2
13
2
=2x-
+3x-4
=5x-
따라서 구하는 어떤 다항식은 5x-
13
2 이다.
16 정답과 해설
P. 37~39 내신 따라잡기
5%
1 ㄴ, ㄹ, ㅁ
5 ⑤
9 ④
13 -3x-4y
2 ③
3 ④
4 8
6 1372 m 7 -16 8 {2x+2y-12} m
10 ③
11 10
14 ④
12 ②
15 7x+30
7
12
19
22 -6x+10
20 -
5
2
23 x+2
16 63
17 ④
18 ①
21 17x-24
24 33
1
ㄱ. a\2_b-c =a\2\
-c
1
b
=
2a
b
-c
ㄴ. {a+b}_c\
-
1
3 ] ={a+b}\
1
c
\
-
[
1
3 ]
[
=-
a+b
3c
ㄷ. {-0.1}\c+a\
=-0.1c+
1
b
a
b
ㄹ. {-1}\x_{y_3} ={-1}\x_
[
y
3
3
y
={-1}\x\
={-1}\x_
y\
1
3 ]
=-
3x
y
ㅁ. {x-1}_y+{z+2}\{-2}
1
y
={x-1}\
+{z+2}\{-2}
=
x-1
y
-2{z+2}
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ, ㅁ이다.
2 a_b_c=a\
1
b
\
=
1
c
① a\{b_c}=a\
=
a
bc
ab
c
b
c
b
c
② a_{b_c} =a_
=a\
=
③ a_{b\c} =a_bc=a\
=
c
b
1
bc
ac
b
a
bc
④ a_b\c=a\
\c=
⑤ {a_b}\c=
\c=
1
b
a
b
ac
b
ac
b
따라서 a_b_c와 계산 결과가 같은 식은 ③이다.
3 정가가 15000원인 CD를 a % 할인한 가격은
\15000=15000-150a(원)
15000-
a
100
따라서 지불한 금액은 {15000-150a}x원이다.
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 16
2017-10-30 오후 4:23:49
4 a=-
8
a
∴
2
3 , b@=4, c#=
2
c#
+b@-
-
[
1
2 ]#=-
1
8
=8_a+b@-2_c#
1
8 ]
=8_
-
+4-2_
-
[
=8\
-
+4-2\{-8}
2
3 ]
3
2 ]
[
[
=-12+4+16=8
5 2a=-1이므로
-4a@+2a+5 =-{2a}@+2a+5
8
9
=-{-1}@+{-1}+5
=-1-1+5=3
2a=-1이므로 a=-
1
2
∴ -4a@+2a+5 =-4\
-
1
2 ]@+2\
[
-
1
2 ]
+5
[
1
4
=-4\
-1+5=3
6 기온이 20 !C일 때, 소리의 속력은
초속 331+0.6\20=331+12=343{ m}
따라서 번개가 친 곳까지의 거리는
343\4=1372{ m}
7
x의 계수가 -2인 x에 대한 일차식을 -2x+k ( k는 상수)
라 하면
x=3일 때, -2x+k=-2\3+k=-6+k
∴ a=-6+k
x=-5일 때, -2x+k=-2\{-5}+k=10+k
∴ b=10+k
∴ a-b ={-6+k}-{10+k}
=-6+k-10-k=-16
화단의 가로의 길이는 {x-4} m, 세로의 길이는 {y-2} m
이므로 화단의 둘레의 길이는
2{x-4}+2{y-2} =2x-8+2y-4
=2x+2y-12{ m}
(주어진 식)={4+a}x@+{2+a+b}x-6
이 식이 x에 대한 일차식이 되려면
4+a=0, 2+a+b=0
4+a=0에서 a=-4
2+a+b=0에서 -2+b=0 ∴ b=2
따라서 상수 a, b의 조건으로 알맞은 것은 ④이다.
10
ax+b
3
-
ax-b
2
=
2{ax+b}
6
-
3{ax-b}
6
=
2ax+2b-3ax+3b
6
=
-ax+5b
6
=-
x+
a
6
5b
6
따라서 -
5b
a
6
6
∴ b-a=12-12=0
=-2,
=10이므로 a=12, b=12
11 2x-
{
4x-295-{3x-y}0-
-4y+
x
3
2 [
8
3
]}
=2x-94x-2{5-3x+y}+6y-4x0
=2x-{4x-10+6x-2y+6y-4x}
=2x-{6x+4y-10}
=2x-6x-4y+10
=-4x-4y+10
따라서 a=-4, b=-4, c=10이므로
a-b+c =-4-{-4}+10=10
12 n이 짝수이면 n+2는 짝수, n+1은 홀수이므로
{-1}N"@=1, {-1}N"!=-1
∴ {-1}N"@{3a-2b}-{-1}N"!{-a+5b}
=1\{3a-2b}-{-1}\{-a+5b}
=3a-2b-a+5b
=2a+3b
13 2x {6x y} =2x [
]
\6x-4\y
1
2
=2x {3x-4y}
=-3\2x+3x-4y
=-6x+3x-4y
=-3x-4y
14 10점인 학생 a명의 총점은 10a점, 9점인 학생 b명의 총점
은 9b점, 8점인 나머지 학생 {20-a-b}명의 총점은
8{20-a-b}점이므로
(평균) =
10a+9b+8{20-a-b}
20
=
10a+9b+160-8a-8b
20
=
2a+b+160
20
(점)
15 직사각형의 가로의 길이는 10,
세로의 길이는
x+{x+6}=2x+6이므로
오른쪽 그림에서
(색칠한 부분의 넓이)
1
2
=10\{2x+6}-
-
\6\{2x+6}
1
2
㉢
x
㉠
x+6
㉡
4
10
2x+6
㉢
6
\10\x-
\4\{x+6}
㉠
㉡
1
2
=20x+60-5x-2{x+6}-3{2x+6}
=20x+60-5x-2x-12-6x-18
=7x+30
3. 문자의 사용과 식의 계산 17
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 17
2017-10-30 오후 4:23:49
16 오른쪽 그림과 같이 도형을
3
㉠, ㉡, ㉢으로 나누면 ㉡의
㉠
2a+1
21 {4x-1}-A=-x+5
가로의 길이는
12-5=7
㉡의 세로의 길이는
{8a-3}-{2a+1}-{3a-2}
=8a-3-2a-1-3a+2
=3a-2
8a-3
㉡
3a-2
5
3a-2
㉢
12
도형의 넓이는
3\{2a+1}+7\{3a-2}+12\{3a-2}
㉡
㉢
㉠
=6a+3+21a-14+36a-24
=63a-35
따라서 a의 계수는 63이다.
17
3A-B
2
-
6A-4B
3
=
3{3A-B}
6
-
2{6A-4B}
6
=
9A-3B-12A+8B
6
=
-3A+5B
6
=-
A+
B
5
6
=-
2x-
+
{5x+2}
1
2 [
1
6
1
3 ]
25
6
=-x+
+
x+
1
2
5
6
5
3
=
19
6
x+
11
6
18 A+B-C ={a-b}+{-b-c}-{c-a}
=a-b-b-c-c+a
=2a-2b-2c
=2{a-b-c}
이때 a-b-c=-5이므로
A+B-C =2{a-b-c}=2\{-5}=-10
∴
19 x`:`y=5`:`1에서 x=5y
5y
-
5y+y
5y
6y
y
x-y =
x
x+y
=
-
-
y
5y-y
y
4y
1
4
=
7
12
=
-
5
6
20
1
a
1
b
a+b
ab
+
=4에서
=4이므로 a+b=4ab
∴
2a-3ab+2b
-2ab
=
2{a+b}-3ab
-2ab
=
2\4ab-3ab
-2ab
=
=
8ab-3ab
-2ab
5ab
-2ab
=-
5
2
18 정답과 해설
∴ A =4x-1-{-x+5}=4x-1+x-5=5x-6
B+{-5x+3}=4x-9
∴ B =4x-9-{-5x+3}=4x-9+5x-3=9x-12
∴ -2A+3B =-2{5x-6}+3{9x-12}
=-10x+12+27x-36
=17x-24
22 첫 번째 세로줄에 놓인 세 일차식의 합은
{2x-2}+{-7x+2}+{2x+6}=-3x+6
가운데 가로줄에 놓인 세 일차식의 합도 -3x+6이므로
{-7x+2}+A+{5x+2}=-3x+6에서
A+{-2x+4}=-3x+6
∴ A={-3x+6}-{-2x+4}=-x+2
왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선에 놓인 세 일차
식의 합도 -3x+6이므로
{2x-2}+A+B =-3x+6에서
{2x-2}+{-x+2}+B=-3x+6, x+B=-3x+6
∴ B={-3x+6}-x=-4x+6
∴ 2A+B =2{-x+2}+{-4x+6}
=-2x+4-4x+6=-6x+10
3
23 ㈎, ㈏에서 A=-3x+a, B=bx-
2 {a, b는 상수, b=0}
13
2 이므로
이라 하면 ㈐에서 A-B=-5x+
A-B =-3x+a-
[
bx-
3
2 ]
=-3x+a-bx+
={-3-b}x+a+
3
2
3
2
즉, {-3-b}x+a+
=-5x+
3
2
13
2 이므로
-3-b=-5, a+
=
3
2
13
2 ∴ a=5, b=2
따라서 A=-3x+5, B=2x-
3
2 이므로
3
2 ]
=-3x+5+4x-3=x+2
2x-
[
A+2B ={-3x+5}+2
24 어떤 다항식을
라 하면
+{-5x+3y-2}=2x-7y+4
∴
=2x-7y+4-{-5x+3y-2}
=2x-7y+4+5x-3y+2
=7x-10y+6
따라서 바르게 계산한 식은
7x-10y+6-{-5x+3y-2} =7x-10y+6+5x-3y+2
=12x-13y+8
∴ a=12, b=-13, c=8
∴ a-b+c =12-{-13}+8=33
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 18
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P. 40~41 내신 뛰어넘기
1%
∴ {a▲2b}-{8a▼3b} =
02 길잡이 주어진식을정리한후문자가약분되도록a+b+c=0을변형
01 -1
02 -6 03
a+
b 04 {3n+1}개
11
6
31
12
06 ①
05
n장
13
24
08 15`:`7
07 A 그릇:
x %, B 그릇: [
5
7
1
5
x+
4
5
y
] %
01 길잡이 y와z를모두x를사용한식으로변형하여식의값을구한다.
1
x ∴ y=
+y=1에서 y=1-
x-1
x
1
x
x+
=1에서
=1-x ∴ z=
1
z
1
z
1
1-x
x-1
x
x-1
x
\
\
1
1-x
1
-{x-1}
∴ xyz =x\
=x\
=-1
+c
[
2
a
+
2
b ]
[
a
+
2
b
하여식에대입한다.
2
c ]
2a
c
+b
=
+
[
2b
c
2
c
+
2
a ]
2b
a
+
2a
b
2b+2c
a
2{b+c}
a
=
=
+
+
+
2c
a
2c
b
+
2a+2c
b
+
+
2{a+c}
b
2a+2b
c
2{a+b}
c
+
이때 a+b+c=0에서
b+c=-a, a+c=-b, a+b=-c이므로
(주어진 식) =
-2a
a
+
-2b
b
+
-2c
c
=-2+{-2}+{-2}
=-6
규칙을적용한다.
3a-b
2
a▲b =
-
=
3{3a-b}
6
a-2b
3
2{a-2b}
6
-
=
9a-3b-2a+4b
6
=
7a+b
6
a▼b =
-2a+3b
6
+
=
2{-2a+3b}
12
a-5b
4
3{a-5b}
12
+
=
-4a+6b+3a-15b
12
=
-a-9b
12
03 길잡이 먼저a▲b,a▼b를간단히한후{a▲2b},{8a▼3b}에정해진
7a+2b
6
-
-8a-27b
12
=
2{7a+2b}-{-8a-27b}
12
=
14a+4b+8a+27b
12
=
22a+31b
12
=
11
6
a+
31
12
b
04 길잡이 나열된검은색바둑돌의규칙을찾은후구하는바둑돌의개수를
식으로세운다.
각 단계마다 첫 번째와 세 번째 줄에 나열되는 바둑돌의 개
수는 각각
1개, 2개, 3개, 4개, y
각 단계마다 두 번째 줄에 나열되는 바둑돌의 개수는 각각
2개, 3개, 4개, 5개, y
따라서 [ n단계]에 나열되는 바둑돌의 개수는 첫 번째 줄에
n개, 두 번째 줄에 {n+1}개, 세 번째 줄에 n개이므로
n+{n+1}+n=3n+1(개)
05 길잡이 빨간색봉투와파란색봉투에넣은카드의수를각각n을사용한
식으로나타낸다.
빨간색 봉투에 넣은 카드의 수는
3
4
{n-4} =4+
n-3=
4+
3
4
3
4
파란색 봉투에 넣은 카드의 수는
3
4
-11
]
5
6 -
n+1
11+
n-
[
n+1(장)
5
6 [
1
4
n-12
]
= =11+
5
24
=
n+1(장)
따라서 빨간색 봉투에 넣은 카드의 수와 파란색 봉투에 넣은
카드의 수의 차는
5
24
-
]
n+1
3
4
[
[
n+1
=
]
13
24
n(장)
06 길잡이 처음사다리꼴의윗변,아랫변의길이와높이를각각문자로놓
고,처음사다리꼴의넓이와변형된사다리꼴의넓이를각각구한다.
처음 사다리꼴의 윗변의 길이를 a, 아랫변의 길이를 b, 높이
를 c라 하면
윗변의 길이는 10 %가 늘어났으므로 변형된 사다리꼴의 윗
변의 길이는
a+0.1a=1.1a
아랫변의 길이는
b+0.1b=1.1b
아랫변의 길이도 10 %가 늘어났으므로 변형된 사다리꼴의
높이는 20 % 줄어들었으므로 변형된 사다리꼴의 높이는
c-0.2c=0.8c
(처음 사다리꼴의 넓이)=
{a+b}c,
1
2
3. 문자의 사용과 식의 계산 19
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 19
2017-10-30 오후 4:23:50
(변형된 사다리꼴의 넓이)
=
{1.1a+1.1b}\0.8c=
1
2 [
11
10
11
10
a+
\
b
]
8
10
c
11
10
1
2
8
10
8
10
=
\
{a+b}\
c=
\
\
{a+b}c
1
2
1
2
11
10
=
88
100
1
2
\
{a+b}c
감소하였다.
따라서 처음 사다리꼴의 넓이보다 1-
88
100
=
12
100 , 즉 12 %
07 길잡이 A,B두그릇의설탕물에들어있는설탕의양을각각구한후
농도를구하는식을세운다.
처음 A 그릇의 설탕물에 들어 있는 설탕의 양은
\300=3x{ g}
x
100
처음 B 그릇의 설탕물에 들어 있는 설탕의 양은
\200=2y{ g}
y
100
또 A 그릇에서 덜어 낸 설탕물 50 g에 들어 있는 설탕의 양은
\50=
x
100
따라서 나중 A 그릇의 설탕물의 농도는
{ g}
x
2
3x-
x
2
300-50+100
5x
2
350
\100 =
\100
=
5x
2\350
\100
=
x{%}
5
7
나중 B 그릇의 설탕물의 농도는
2y+
x
2
200+50
4y+x
2
250
\100 =
\100
\100
=
4y+x
2\250
=
x+4y
5
=
x+
y{%}
1
5
4
5
으로변형한다.
,
, 의 무게를 각각 a, b, c라 하면
첫 번째 저울에서 2a+2b=5a이므로
3
2
2b=3a ∴ b=
a
두 번째 저울에서 3b=a+5c이므로
9
2
a=a+5c,
a=a+5c
3\
3
2
7
2
a=5c ∴ c=
7
10
a
따라서 와 의 무게의 비는
7
10
a=15`:`7
b`:`c=
a`:`
3
2
20 정답과 해설
4. 일차방정식
P. 44~48
개념+ 문제 확인하기
대표
1 2{x-3}=4x+13 2 ③
5 ③
6 ㄷ, ㄹ, ㅂ
3 ⑤
7 ②
4 ④
8 ④
9 x=
7
5 10 ④
11 ②
12 ④
13 ③
14 12
15 x=-
5
2
20 12세 21 38개
19 84
17 ③
22 14 cm 23 5시간 24 4 km 25 5분 후 26 45 g
27 100 g 28 264명 29 3200원
16 x=2 또는 x=10
18 ③
1 어떤 수 x에서 3을 뺀 수의 2배는 x의 4배보다 13이 크다.
2{x-3}
=
4x+13
∴ 2{x-3}=4x+13
2 [ ] 안의 수를 주어진 방정식의 x의 값에 대입하면
① -1-3=2\{-1-2}
② 2\1-9=7\1
③ 12\0+1=1
④ 5\{-3-1}-3=7
⑤
\{6-1}=3-6
1
2
따라서 [ ] 안의 수가 주어진 방정식의 해인 것은 ③이다.
3 x의 값에 관계없이 항상 참이 되는 등식은 항등식이다.
⑤ (좌변)=6-12x, (우변)=-12x+6에서 (좌변)=(우변)
이므로 항등식이다.
4 ① a=b의 양변에 5를 곱하면 5a=5b
② c=0이면 성립하지 않는다.
③
=
a
2
b
3 의 양변에 6을 곱하면 3a=2b
④ 3a-1=2b-3의 양변을 6으로 나누면
a
2
⑤ a=2b의 양변에서 2를 빼면 a-2=2b-2
즉, a-2=2{b-1}
-
=
-
b
3
1
2
1
6
5
그림에서 알 수 있는 등식의 성질은 ‘등식의 양변에서 같은
수를 빼어도 등식은 성립한다.’이다.
①
x=2의 양변에 3을 곱하면 x=6
1
3
② 3x=-15의 양변을 3으로 나누면 x=-5
③ x+7=3의 양변에서 7을 빼면 x=-4
④ 0.2x=0.8의 양변에 10을 곱하면 2x=8
2x=8의 양변을 2로 나누면 x=4
⑤ 4x-2=8의 양변에 2를 더하면 4x=10
4x=10의 양변을 4로 나누면 x=
5
2
따라서 주어진 그림에서 알 수 있는 등식의 성질을 이용한
것은 ③이다.
08 길잡이 저울의평형을이용하여식을세운후하나의문자를사용한식
따라서 옳은 것은 ④이다.
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6
등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한 식이
(일차식)=0의 꼴로 나타나는 것을 찾는다.
ㄱ. 정리하면 3=0이므로 일차방정식이 아니다.
x+3
5
13
`:`2={x-4}`:`3에서
=2{x-4}
3{x+3}
5
양변에 5를 곱하면 3{x+3}=10{x-4}
3x+9=10x-40, -7x=-49
∴ x=7
ㄴ, ㅁ. 등식이 아니므로 일차방정식이 아니다.
ㄷ. 정리하면 -10x+4=0 (일차방정식)
ㄹ. -6x=0 (일차방정식)
ㅂ. 정리하면 3x-4=0 (일차방정식)
따라서 일차방정식인 것은 ㄷ, ㄹ, ㅂ이다.
7 등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하면
{a-3}x-{4+b}=0
이 식이 x에 대한 일차방정식이 되려면 (일차식)=0의 꼴이
어야 하므로
a-3=0 ∴ a=3
8 ① 2x+x=-4-5, 3x=-9 ∴ x=-3
② x-2x=10-7, -x=3 ∴ x=-3
③ 4x-2+x=-17, 5x=-15 ∴ x=-3
④ 3x-12=x-6, 2x=6 ∴ x=3
⑤ 5x+5=-4+2x, 3x=-9 ∴ x=-3
따라서 해가 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다.
9 7-94-{3x+2}0=2{6-x}에서
7-{4-3x-2}=12-2x
7-{2-3x}=12-2x
7-2+3x=12-2x
7
5
5x=7 ∴ x=
10 5-ax=3{2x-1}에 x=2를 대입하면
5-2a=9, -2a=4 ∴ a=-2
∴ a@-2a+4={-2}@-2\{-2}+4=12
11 4x-{x-a}=12에서 4x-x+a=12
3x=12-a ∴ x=
12-a
3
12-a
이때
3 가 자연수가 되려면 12-a는 3의 배수이어야
한다.
12-a=3일 때, a=9
12-a=6일 때, a=6
12-a=9일 때, a=3
12-a=12일 때, a=0
따라서 자연수 a는 3, 6, 9의 3개이다.
12 0.5x=
2x+1
3
-1에서
x=
1
2
2x+1
3
-1
양변에 6을 곱하면 3x=2{2x+1}-6
3x=4x+2-6, -x=-4
∴ x=4
14 5{x-3}=2x-18에서 5x-15=2x-18
3x=-3 ∴ x=-1
a{x+2}
1
2 에 x=-1을 대입하면
3
2-ax
4
=
-
-
=
1
2
2+a
4
a
3
양변에 12를 곱하면 4a-3{2+a}=6
4a-6-3a=6
∴ a=12
15 상수 a의 부호를 반대로 보았으므로
=1.5{-ax-4.8}
0.3-
x-5
2
양변에 10을 곱하면 3-5{x-5}=15{-ax-4.8}
3-5x+25=-15ax-72
이 식에 x=2를 대입하면
3-10+25=-30a-72, 30a=-90
∴ a=-3
따라서 처음 일차방정식은
0.3-
=1.5{-3x-4.8}
x-5
2
양변에 10을 곱하면 3-5{x-5}=15{-3x-4.8}
3-5x+25=-45x-72, 40x=-100
∴ x=-
5
2
16 ! x>6일 때
x-6=4 ∴ x=10
@ x<6일 때
-{x-6}=4, -x+6=4
-x=-2 ∴ x=2
따라서 !, @에 의해 x=2 또는 x=10
개념 더하기 자세히 보기
절댓값기호를포함하는방정식
절댓값 기호를 포함하는 방정식은 범위를 나누어 푼다.
|x-a|=b{b>0}이면 x=a+b 또는 x=a-b
설명 ! x>a일 때, |x-a|=x-a이므로
x-a=b에서 x=a+b
@ x1, 즉 a>
1
2 일 때
|2a-1|=2a-1이므로
2a-1=3, 2a=4 ∴ a=2
1
2 일 때
@ 2a<1, 즉 a<
|2a-1|=-{2a-1}이므로
-{2a-1}=3, -2a+1=3
-2a=2 ∴ a=-1
따라서 !, @에 의해
a=-1 또는 a=2
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17 ax-8={5-b}x-4b를 만족시키는 x의 값이 무수히 많
23 A 통에 들어 있던 페인트의 양을 x g이라 하면 B 통에 들어
으므로
{a+b-5}x=-4b+8에서 a+b-5=0, -4b+8=0
-4b+8=0에서 -4b=-8 ∴ b=2
a+b-5=0에서 a+2-5=0 ∴ a=3
따라서 3x-
=b에 a=3, b=2를 대입하면
x+2
a
3x-
x+2
3
=2
양변에 3을 곱하면 9x-x-2=6
8x=8 ∴ x=1
18 0.3{4x+6}=0.2{-ax+b}의 양변에 10을 곱하면
3{4x+6}=2{-ax+b}
12x+18=-2ax+2b
즉, {12+2a}x=2b-18을 만족시키는 x의 값이 없으므로
12+2a=0, 2b-18=0
따라서 a=-6, b=9이어야 하므로 a+b의 값이 될 수 없
는 것은 3이다.
19 오른쪽 그림에서 십자가 모양의 5개의
수 중 가운데 있는 수를 x라 하면
{x-7}+{x-1}+x
x-1
x+1
x-7
x
x+7
5x=120 ∴ x=24
+{x+1}+{x+7}=120
따라서 가장 큰 수는
x+7=24+7=31
20 8분인 곡의 수를 x곡이라 하면 6분인 곡의 수는
7-1-x=6-x(곡)이다.
10
60
6{6-x}+7\1+8x+
\6=52이므로
36-6x+7+8x+1=52, 2x=8 ∴ x=4
따라서 8분인 것은 4곡이다.
1
7
x+
x+
1
12
x+5+
21 디오판토스가 사망한 나이를 x세라 하면
1
6
양변에 84를 곱하면
14x+7x+12x+420+42x+336=84x
-9x=-756 ∴ x=84
x+4=x
1
2
따라서 디오판토스는 84세에 사망하였다.
22 의자의 개수를 x개라 하면 한 의자에 8명씩 앉을 때 빈자리가
남아 있는 의자가 3개이므로
6x+10=8{x-3}+6, 6x+10=8x-24+6
-2x=-28 ∴ x=14
따라서 의자의 개수는 14개이므로 전체 학생 수는
6\14+10=94(명)
있던 페인트의 양은 {250-x} g이다.
5
7
3
7
이때 노란색 페인트가 A 통에는
x g, B 통에는
1
7
{250-x} g, C 통에는 [
\250
g이 들어 있으므로
]
3
7
1
7
x+
{250-x}=
5
7
4x=500 ∴ x=125
따라서 A 통에 들어 있던 페인트의 양은 125 g이다.
\250, 5x+250-x=750
24 오른쪽 그림과 같이 작은
직사각형 모양의 종이 한
x cm
{x-2}cm
장의 긴 변의 길이를
x cm라 하면 짧은 변의
길이는 {x-2} cm이다.
큰 직사각형의 윗변의 길이는 x\3=3x{cm},
아랫변의 길이는 {x-2}\5=5{x-2}{cm}이고,
{x-2}cm
x cm
두 변의 길이는 같으므로
3x=5{x-2}, 3x=5x-10
-2x=-10 ∴ x=5
따라서 큰 직사각형의 가로의 길이는
3x=3\5=15{cm}이고, 세로의 길이는
{x-2}+x=2x-2=2\5-2=8{cm}
이므로 구하는 둘레의 길이는
2\{15+8}=46{cm}
25 물탱크에 물을 가득 채우는 데 필요한 물의 양을 1이라 하면
A, B 호스로 1시간 동안 각각
1
5 ,
1
8 의 물을 채울 수 있다.
A 호스만 사용한 시간을 x시간이라 하면 A 호스와 B 호스를
함께 사용한 시간은 {4-x}시간이므로
1
5
{4-x}=1
1
8 ]
x+
1
5
+
[
x+
13
40
{4-x}=1
1
5
양변에 40을 곱하면 8x+52-13x=40
-5x=-12 ∴ x=
12
5
따라서 A 호스만 사용한 시간은
12
5 시간이다.
26 처음 양초 A의 길이를 x cm라 하면 처음 양초 B의 길이는
{x+6} cm이고 1분 동안 양초 A, B는 각각
1
50
따라서 10분 후에 양초 A가 타고 남은 길이는
{x+6} cm씩 탄다.
x cm,
1
20
x-
x\10=
x{cm},
1
50
4
5
양초 B가 타고 남은 길이는
{x+6}-
{x+6}\10=
{x+6}{cm}이다.
1
20
1
2
4. 일차방정식 25
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1
2
x=
{x+6}
이때 두 양초의 남은 길이가 같으므로
4
5
양변에 10을 곱하면 8x=5{x+6}
8x=5x+30, 3x=30 ∴ x=10
따라서 처음 양초 A의 길이는 10 cm이다.
27 7시 x분에 시침과 분침이 서로 반대 방향으로 일직선이 된다
고 하면 7시로부터 x분 동안 분침이 이동한 각도는 6x!이고
12시로부터 시침이 이동한 각도는 {7\30+0.5x}!이므로
7\30+0.5x-6x=180, -5.5x=-30
양변에 -10을 곱하면 55x=300
5
11
∴ x=
60
11
=5
따라서 영화가 끝난 시각은 7시
60
11 분[또는 7시 5
5
11 분]이다.
분침은1시간,즉60분동안360!를움직이므로1분에
시침은1시간,즉60분동안
=30!를움직이므로1분에
360!
12
360!
60
30!
60
=6!를움직인다.
=0.5!를움직인다.
28 두 사람이 출발한 지 x분 후에 처음 만난다고 하면
90x+60x=3000, 150x=3000 ∴ x=20
따라서 두 사람은 20분마다 서로 만나므로 1시간 30분, 즉
90분 동안 4번 만날 수 있다.
29 배의 속력을 시속 x km라 하면
{x+3}\2=36, x+3=18 ∴ x=15
따라서 배의 속력은 시속 15 km이므로 같은 속력의 배로
강을 24 km 거슬러 올라가는 데 걸리는 시간은
24
15-3
=
24
12
=2(시간)이다.
30 기차의 길이를 x m라 하면 기차의 속력은 일정하므로
=
1800+x
60
500+x
20
양변에 60을 곱하면 1800+x=3{500+x}
1800+x=1500+3x, -2x=-300
∴ x=150
따라서 기차의 길이는 150 m이다.
31 처음에 덜어 낸 10 %의 소금물 한 컵의 양을 x g이라 하면
6
100
10
100
양변에 100을 곱하면 5000-10x+600=4800
\500-
\100=
10
100
8
100
\x+
\600
-10x=-800 ∴ x=80
8
100
\{200-x}+
\x
12
100
200
\100
12
100
=
\{150-x}+
\x
8
100
\100
150
1600+4x
200
=
1800-4x
150
양변에 600을 곱하면 4800+12x=7200-16x
28x=2400 ∴ x=
600
7
따라서 각각
g씩을 덜어 내었다.
600
7
33 작년의 남자 신입생 수를 x명이라 하면 작년의 여자 신입생
25
100 ]
6
5
수는 {x-10}명이므로
1-
[
\x+
1+
[
20
100 ]
\{x-10}=300
x+
{x-10}=300
3
4
양변에 20을 곱하면 15x+24{x-10}=6000
39x=6240 ∴ x=160
따라서 올해의 남자 신입생 수는 160\
=120(명)이다.
3
4
34 정가를 x원이라 하면 (판매 가격)=x-
이때 (판매 가격)-(원가)=(실제 이익)이므로
3
4
x-15000=
\15000
15
100
25
100
x=
x(원)
3
4
x=17250 ∴ x=23000
3
4
따라서 원가에 23000-15000=8000(원)의 이익을 붙여 정
가를 매겨야 한다.
P. 54~55 내신 뛰어넘기
1%
01 x=
2
5 02 x=-
1
2
04 x=-
2
3
08 57점
03 -5
2
3
05
06 C
07 5일
01 길잡이 x에대한일차방정식5{3x+k}-11=6{2x-1}+3k의해를
k를사용한식으로먼저나타내고,그해가자연수가되도록하는자연수k
의값을구한다.
5{3x+k}-11=6{2x-1}+3k에서
15x+5k-11=12x-6+3k
-2k+5
3
따라서 처음에 덜어 낸 10 %의 소금물 한 컵의 양은 80 g이다.
3x=-2k+5 ∴ x=
32 소금물 x g을 각각 덜어 내어 서로 바꾸었다고 하면
A, B 그릇에 들어 있는 소금물의 농도가 같아졌으므로
-2k+5
이때
야 한다.
3 가 자연수가 되려면 -2k+5는 3의 배수이어
26 정답과 해설
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-2k+5=3일 때, k=1
-2k+5=6일 때, k=-
1
2
따라서 자연수 k의 값은 1이다.
1
k-4
2 에 k=1을 대입하면
6
{2x-1}=
{x-k}+
2
3
-
{2x-1}=
{x-1}+
2
3
1
2
1
2
양변에 6을 곱하면 -3{2x-1}=4{x-1}+3
2
5
-6x+3=4x-1, -10x=-4 ∴ x=
02 길잡이
=
A\D
B\C
임을 이용하여 주어진 식을 정리한 후 해를 구
A
B
C
D
한다.
주어진 방정식에서
2
(좌변) =x-
1-
x
x-1
=x-
2
x-1-x
x-1
=x-
=x+2{x-1}=3x-2
2
-1
x-1
4
x
x+1
1-
4
1
x+1
(우변) =3x-
=3x-
4
x+1-x
x+1
=3x-
=3x-4{x+1}=-x-4
즉, 주어진 방정식은 3x-2=-x-4이므로
4x=-2 ∴ x=-
1
2
03 길잡이 ➊주어진비례식에서x,y를z를사용한식으로변형한다.
➋p,q의값을구하여3p-2k-q=13에각각대입한다.
{x+z}`:`z=3`:`1에서 x+z=3z이므로
x=2z y`㉠
x`:`y=1`:`3에서 y=3x이므로 ㉠을 대입하면
y=3\2z=6z
p =
3x-2y+10z
-4x+3y+2z
=
3\2z-2\6z+10z
-4\2z+3\6z+2z
=
4z
12z
=
1
3
q =
x-y+6z
3x-2y+5z
=
2z-6z+6z
3\2z-2\6z+5z
=
2z
-z
=-2
따라서 3p-2k-q=13에 p=
1
3 , q=-2를 대입하면
1-2k+2=13, -2k=10 ∴ k=-5
04 길잡이 a>0일때|a|=a,a<0일때|a|=-a임을이용하여x의값
의범위를나누어푼다.
! x<-3일 때, -2{x+3}=5x+8이므로
-7x=14 ∴ x=-2
그런데 -2>-3이므로 해가 아니다.
@ x>-3일 때, 2{x+3}=5x+8이므로
-3x=2 ∴ x=-
따라서 !, @에 의해 x=-
2
3
2
3
05 길잡이 주어진연산기호에따라좌변의식을정리한후등식을만족
시키는x의값이존재하지않을조건을이용하여k의값을구한다.
-
[
3
2
2
3 ] [
2
3 ]
-
[
x-1
]
\
[
3
2
=3\
x-1
-2
]
[
x-1
]
3
2
=-3x+2-3x+2=-6x+4
2
3 ] [
이므로 k -[
k {-6x+4}=10
3k{-6x+4}-2{-6x+4}=10
x-1
]=
3
2
-
-18kx+12k+12x-8=10
=10에서
{12-18k}x=18-12k y`㉠
따라서 등식 ㉠을 만족시키는 x의 값이 존재하지 않으려면
12-18k=0, 18-12k=0이어야 한다.
12-18k=0에서 -18k=-12 ∴ k=
k=
2
3 일 때, 18-12k=10=0이므로 k=
2
3 이다.
06 길잡이 ➊주어진자료에서세운식을한문자를사용한식으로변형한다.
➋5명의후보자의득표수의합은전체학생수135명과같음을이용한다.
A, B, C, D, E의 득표수를 각각 a, b, c, d, e라 하면
㈎에서 a=
c+8
1
3
㈏에서 c=2e+6
㈐에서 a+d=3e
㈑에서 b=e+3
1
3
㉠, ㉡에서 a=
{2e+6}+8=
e+10 y`㉣
2
3
2
3
㉢, ㉣에서 d=3e-a=3e-
[
5명의 후보자의 득표수의 합은 전체 학생 수 135명과 같으
e+10
e-10
=
]
므로
a+b+c+d+e=135
2
3
e+10
+{e+3}+{2e+6}+
]
[
7e+9=135, 7e=126
∴ e=18
따라서 5명의 후보자의 득표수는 각각
[
a=
\18+10=22, b=18+3=21,
2
3
7
3
e-10
+e=135
]
c=2\18+6=42, d=
\18-10=32, e=18
7
3
이므로 득표수가 가장 많은 C가 회장으로 선출되었다.
2
3
7
3
y`㉠
y`㉡
y`㉢
07 길잡이 A,B가혼자서일할때와함께일할때하루동안하는일의양
을각각구한후B가혼자서일한기간을x일로놓고식을세운다.
안 하는 일의 양은 각각
전체 일의 양을 1이라 하면 A, B가 혼자서 일할 때 하루 동
1
12 이다.
1
16 ,
또 A, B가 함께 일할 때 하루 동안 하는 일의 양은 각각
1
1
18 이다.
16
1
24 ,
1
12
2
3
2
3
\
\
=
=
4. 일차방정식 27
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 27
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1
12
1
18
\6+
\6+
x=1,
B가 혼자서 일한 기간을 x일이라 하면
1
24
양변에 12를 곱하면 3+4+x=12
∴ x=5
따라서 B는 5일 동안 혼자서 일해야 한다.
1
3
1
4
1
12
+
+
x=1
08 길잡이 (전체학생100명의총점)
=(수상자16명의총점)+(수상하지못한84명의총점)
민지의 점수를 x점이라 하면
전체 학생 100명의 평균 점수는 {x-30}점, 수상자 16명의
평균 점수는 {x+12}점, 수상하지 못한 84명의 평균 점수는
x
3 점이다.
16\(수상자의 평균 점수)
+84\(수상하지 못한 학생들의 평균 점수)
=100\(전체 학생들의 평균 점수)
이므로
16{x+12}+84\
=100{x-30}
x
3
16x+192+28x=100x-3000
-56x=-3192 ∴ x=57
따라서 민지의 점수는 57점이다.
P. 56~57
43 ~
서술형 완성하기
1 4
2 2x+18 3 x=3 4 ⑴ x=4 ⑵
5 11일 후 6 2
7 3
[과정은풀이참조]
2
5
8 ⑴ 5명 ⑵ 50명
1
x+y
x-y
2
=
3 에서 3{x-y}=2{x+y}
3x-3y=2x+2y ∴ x=5y
x@-5y@
따라서
xy 에 x=5y를 대입하면
{5y}@-5y@
5y\y
=
25y@-5y@
5y@
=
20y@
5y@
=4
채점기준
x-y
2
!
=
x+y
3
를간단히하기
x @-5y @
xy
@
의값구하기
2 A+{4x+3}=-2x+5이므로
A =-2x+5-{4x+3}
=-2x+5-4x-3
=-6x+2
28 정답과 해설
y`!
y`@
비율
50%
50%
y`!
B-{-3x+2}=x-6이므로
B =x-6+{-3x+2}
=x-6-3x+2
=-2x-4
∴ A-4B ={-6x+2}-4{-2x-4}
=-6x+2+8x+16
=2x+18
채점기준
!다항식A구하기
@다항식B구하기
#A-4B를간단히하기
3
x
2
-
x+a
3
1
2
=-
{x-2}에 x=2를 대입하면
1-
=-1
=0, -
2+a
3
2+a
3
2+a=3 ∴ a=1
5x-1=2{2x+a}에 a=1을 대입하면
5x-1=2{2x+1}, 5x-1=4x+2
∴ x=3
채점기준
!a의값구하기
@5x-1=2{2x+a}의해구하기
4 ⑴
7-x
5
+0.4x=2에서
+
x=2
7-x
5
2
5
양변에 5를 곱하면
7-x+2x=10 ∴ x=3
이때 두 일차방정식의 해의 비가 3`:`4이므로
0.4{x-1}=
+a의 해는 x=4이다.
x
5
x
5
4
5
⑵ 0.4{x-1}=
+a에 x=4를 대입하면
0.4\{4-1}=
+a, 1.2=
+a
4
5
=
+a ∴ a=
6
5
4
5
2
5
채점기준
7-x
5
!
+0.4x=2의해구하기
x
5
@0.4{x-1}=
#a의값구하기
+a의해구하기
y`@
y`#
비율
40%
40%
20%
y`!
y`@
비율
50%
50%
y`!
y`@
y`#
비율
40%
20%
40%
5
x일 후에 희애의 저금통에 들어 있는 금액은
{5800+500x}원, 미애의 저금통에 들어 있는 금액은
{9100+200x}원이므로
5800+500x=9100+200x
300x=3300 ∴ x=11
y`!
y`@
따라서 희애와 미애의 저금통에 들어 있는 금액이 같아지는
y`#
것은 11일 후이다.
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 28
2017-10-30 오후 4:23:54
채점기준
!일차방정식세우기
@일차방정식의해구하기
#금액이같아지는것은며칠후인지구하기
비율
50%
40%
10%
6 길을 제외한 화단의 넓이가 처음 화단의 넓이의 75 %이므로
y`!
{20-x}\{12-2}=20\12\
75
100
10{20-x}=180, 200-10x=180
-10x=-20 ∴ x=2
채점기준
!일차방정식세우기
@x의값구하기
2
3
7 x-
{x+5a}=-8의 양변에 3을 곱하면
y`!
3x-2{x+5a}=-24, 3x-2x-10a=-24
x-10a=-24 ∴ x=-24+10a
a=1일 때, x=-24+10\1=-24+10=-14
a=2일 때, x=-24+10\2=-24+20=-4
a=3일 때, x=-24+10\3=-24+30=6
따라서 해가 음의 정수가 되도록 하는 자연수 a의 값은 1, 2
y`@
y`#
이다.
∴ 1+2=3
채점기준
!주어진일차방정식의해구하기
@a의값모두구하기
#a의값의합구하기
비율
40%
50%
10%
8 ⑴ 합격한 남학생 수는 35\
=10(명),
2
7
5
7
=25(명)이다.
합격한 여학생 수는 35\
y`!
불합격한 여학생 수를 x명이라 하면 불합격한 남학생 수
는 2x명, 지원한 남학생 수는 {10+2x}명, 지원한 여학
생 수는 {25+x}명이다.
y`@
이때 지원자의 남학생과 여학생의 비가 2`:`3이므로
{10+2x}`:`{25+x}=2`:`3에서
3{10+2x}=2{25+x}, 30+6x=50+2x
4x=20 ∴ x=5
따라서 불합격한 여학생 수는 5명이다.
y`#
⑵ 지원한 남학생 수는 20명, 지원한 여학생 수는 30명이므
y`$
로 전체 지원자 수는 50명이다.
채점기준
!합격한남학생과여학생수구하기
@지원한남학생과여학생수를x를사용한식으로나
타내기
#불합격한여학생수구하기
$전체지원자수구하기
비율
20%
20%
30%
30%
5. 좌표와 그래프
P. 60~61
개념+ 문제 확인하기
대표
2 -8
6 ㄷ
1 ⑤
5 1
8 ⑴ 1시간 후 ⑵ 90분
3 24
4 제3사분면
7 A －ㄴ, B －ㄱ, C －ㄷ
9 ㄱ, ㄷ
y`@
비율
50%
50%
1 ⑤ 점 E의 좌표는 E{1, 0}이다.
2 점 A{a+3, b-2}는 x축 위의 점이므로 y좌표가 0이다.
즉, b-2=0 ∴ b=2
점 B{a+2b, 3a-b}는 y축 위의 점이므로 x좌표가 0이다.
즉, a+2b=0에서 a+4=0 ∴ a=-4
∴ ab=-4\2=-8
3
5
6
7
좌표평면 위에 세 점을 나타내면 오
른쪽 그림과 같다.
∴ (삼각형 ABC의 넓이)
y
2
O
-3
A
5
x
=
\8\6=24
1
2
B
-4
C
4 점 A{a, b}가 제4사분면 위의 점이므로 a>0, b<0
이때 b-a<0, 2ab<0이므로 점 B{b-a, 2ab}는 제3사
분면 위의 점이다.
원점에 대하여 대칭이므로 x좌표, y좌표의 부호가 모두 반
대이다.
즉, -2a=a+3에서 -3a=3 ∴ a=-1
2b=b-2에서 b=-2
∴ a-b =-1-{-2}=1
윤희가 이동한 거리는 자동차가 움직이는 동안에 일정하게
증가하고, 휴게소에 머문 동안에는 변화가 없다.
따라서 그래프로 알맞은 것은 ㄷ이다.
그릇 B, C의 단면의 넓이는 일정하므로 물의 높이가 일정
하게 높아진다. 이때 단면의 넓이가 작을수록 물의 높이는
빠르게 높아진다.
따라서 그릇 B의 그래프는 ㄱ, 그릇 C의 그래프는 ㄷ이다.
그릇 A의 단면의 넓이는 위로 갈수록 커지므로 물의 높이
는 점점 느리게 높아진다.
따라서 그릇 A의 그래프는 ㄴ이다.
8 ⑵ 자전거가 일정한 속력으로 움직인 시간은 출발한 지 1시
간 후부터 1시간 30분 후까지, 2시간 후부터 3시간 후까
지이므로 모두 1시간 30분, 즉 90분이다.
9 ㄴ. 동생이 출발한 지 1분 후에 형과 동생 사이의 거리는
300-200=100{ m}이다.
ㄹ. 집과 서점 사이의 거리는 900 m이다.
5. 좌표와 그래프 29
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 29
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P. 62~63 내신 따라잡기
5%
2 17
1 10개
4 제2사분면
8 A －ㄱ, B －ㄷ, C －ㄴ
9 ⑴ 4초 ⑵ 초속 10 m
125
2 cm@
11 ⑴ 3초 ⑵
3 a=-1, b=-4
5 ②
6 ④
10 ③
7 ②
점이다.
a
③
b
점이다.
② -2a<0, 2b<0이므로 점 {-2a, 2b}는 제3사분면 위의
<0, a+b<0이므로 점 [
, a+b
]는 제3사분면 위의
a
b
④ -3b>0,
a+b
2
<0이므로 점 [
-3b,
a+b
2
]는 제4사
분면 위의 점이다.
⑤ a+2b={a+b}+b<0, ab+b<0이므로
점 {a+2b, ab+b}는 제3사분면 위의 점이다.
따라서 나머지 넷과 다른 사분면 위에 있는 점은 ④이다.
7 점 P{a, b}는 제1사분면 위의 점이므로 a>0, b>0
점 Q는 점 P와 y축에 대하여 대칭인 점이므로 Q{-a, b}
점 R는 점 P와 원점에 대하여 대칭인 점이므로
R{-a, -b}
좌표평면 위에 세 점을 나타내면 오
른쪽 그림과 같다. 이때 삼각형 PQR
의 넓이가 30이므로
1
2
∴ ab=15
\2a\2b=30, 2ab=30
y
Q{-a, b}
P{a, b}
O
x
R{-a,`-b}
8
그릇 A의 단면의 넓이는 일정하다가 a 지
점에서 b 지점까지 점점 작아진 후 다시 일
b
a
정하므로 물의 높이는 일정하게 높아지다
AA
가 점점 빠르게 높아진 후 다시 일정하게
높아진다.
따라서 그릇 A의 그래프는 ㄱ이다.
그릇 B의 단면의 넓이는 일정하다가 a 지
점에서 한 번 작아진 후 계속 일정하므로
물의 높이는 일정하게 높아지다가 a 지점
a
B
부터 전보다 빠르고 일정하게 높아진다.
따라서 그릇 B의 그래프는 ㄷ이다.
그릇 C의 단면의 넓이는 일정하다가 점점 넓어지므로 물의
높이가 일정하게 높아지다가 점점 느리게 높아진다.
따라서 그릇 C의 그래프는 ㄴ이다.
9
⑴ 놀이 기구가 공중에서 멈추는 시간은 출발한 지 6초 후부
터 8초 후까지, 12초 후부터 14초 후까지이므로 모두 4초
이다.
⑵ 놀이 기구는 출발한 지 6초 후까지 60 m 상승, 8초 후부
터 10초 후까지 20 m 하강, 10초 후부터 12초 후까지
30 m 상승, 14초 후부터 16초 후까지 50 m 하강, 16초
후부터 18초 후까지 10 m 상승, 18초 후부터 20초 후까
지 30 m 하강하였다.
즉, 지면에 도착할 때까지 이동한 거리는
60+20+30+50+10+30=200{ m}
이때 놀이 기구가 지면에 도착할 때까지 걸린 시간은 20초
이므로
1
|a|<2이므로 a=-2, -1, 0, 1, 2
|b|=3이므로 b=-3, 3
따라서 순서쌍 {a, b}로 좌표평면 위에 나타낼 수 있는 점은
{-2, -3}, {-2, 3}, {-1, -3}, {-1, 3}, {0, -3},
{0, 3}, {1, -3}, {1, 3}, {2, -3}, {2, 3}의 10개이다.
2
좌표평면 위에 세 점을 나타내면
오른쪽 그림과 같다.
∴ (삼각형 ABC의 넓이)
=(사각형 DECF의 넓이)
-9(삼각형 ADB의 넓이)
+(삼각형 BEC의 넓이)
+(삼각형 ACF의 넓이)0
y
4A
F
O
-1 -1
3
x
-3
C
]
D
-3
B
E
1
2
=6\7-
\2\5+
\6\2+
\4\7
1
2
[
1
2
=42-{5+6+14}=17
3
a+b의 값이 최소가 될 때는 a, b가 모두 최소일 때이므로
점 P가 점 B를 지날 때이다.
이때 선분 AB의 길이는 6이므로 B{-1, -4}
따라서 P{-1, -4}일 때이므로 a=-1, b=-4
4 점 A{2a, b+3}은 x축 위의 점이므로 y좌표가 0이다.
즉, b+3=0 ∴ b=-3
점 B{2a-1, b-2}는 y축 위의 점이므로 x좌표가 0이다.
즉, 2a-1=0 ∴ a=
1
2
1
3
[
b+3
점 C
4a-1+c,
], 즉 점 C{1+c, 2}는 어느 사분
면에도 속하지 않으면서 y좌표가 2이므로 y축 위의 점이다.
즉, x좌표가 0이므로 1+c=0 ∴ c=-1
따라서 점 {a+b, -c}는 점 [
위의 점이다.
-
5
2 , 1
]이므로 제2사분면
5 점 P{a-b, ab}가 제4사분면 위의 점이므로
a-b>0, ab<0 ∴ a>0, b<0
따라서 b-a<0, ab@>0이므로 점 Q{b-a, ab@}은 제2사
분면 위의 점이다.
6 a+b<0, ab<0, |a|<|b|이므로 a>0, b<0
① ab<0, b-a<0이므로 점 {ab, b-a}는 제3사분면 위의
점이다.
30 정답과 해설
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 30
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(평균 속력)=
(전체 이동한 거리)
(전체 걸린 시간)
따라서 놀이 기구의 평균 속력은 초속 10 m이다.
200
20
=
=10{m/s}
이와 같은 시행을 반복하면 점 D, E, F, y의 좌표는
D{a, -b}, E{a, b}, F{-a, -b}, y
따라서 점 A와 처음으로 겹쳐지는 점은 점 E이다.
10 ① A, B는 출발 신호가 울릴 때, C는 출발 신호가 울리고
10초 후에 출발하였으므로 A, B가 출발한 지 10초 후에
C가 출발하였다.
② A와 B는 150 m 지점에서 만나므로 A는 150 m 지점 이
후부터 B를 앞서기 시작하였다.
④ C가 출발한 지 10초 후에 처음으로 B와 만난다.
⑤ B는 출발한 지 60초 후에 다시 C를 앞서기 시작하였다.
11 ⑴ 칸막이 왼쪽에 물이 다 찬 후 오른쪽에 물이 차기 시작하
므로 양쪽의 물의 높이가 같아질 때까지 물통에 있는 물
의 최대 높이는 일정하다.
따라서 칸막이 오른쪽에 물이 차기 시작한 후부터 칸막
이 양쪽의 물의 높이가 같아질 때까지 걸린 시간은
10-7=3(초)이다.
⑵ 높이가 16 cm인 물통에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시
간은 20초이므로 물통의 부피는 20\50=1000{cm#}
따라서 물통 전체의 밑넓이는
1000_16=
{cm@}
125
2
P. 64~65 내신 뛰어넘기
1%
01 P40{6, 4} 02 ① 03 60초 04 ④ 05 30분
01 길잡이 x좌표와y좌표의합이같은점의개수를이용하여점의위치를
찾는다.
P1{1, 1}
P2{2, 1}, P3{1, 2}
P4{3, 1}, P5{2, 2}, P6{1, 3}
P7{4, 1}, P8{3, 2}, P9{2, 3}, P10{1, 4}
⋮
즉, x좌표와 y좌표의 합이 2, 3, 4, 5, y일 때, x좌표와 y좌
표가 모두 정수인 점의 개수는 각각 1개, 2개, 3개, 4개, y
이다.
이때 40={1+2+3+y+8}+4=36+4이므로 x좌표와
y좌표의 합이 10이면서 아래에서 왼쪽 대각선 방향으로 4번
째 올라간 점의 좌표가 P40이다.
따라서 P37{9, 1}, P38{8, 2}, P39{7, 3}이므로 P40{6, 4}
02 길잡이 점{a,b}와원점에대하여대칭인점의좌표는{-a,-b}이
고,x축에대하여대칭인점의좌표는{a,-b}이다.
점 B는 점 A{a, b}와 원점에 대하여 대칭인 점이므로
B{-a, -b}
점 C는 점 B와 x축에 대하여 대칭인 점이므로 C{-a, b}
03 길잡이 점P,Q가각각원점O에되돌아오는시간을구한후두점P,
Q가첫번째로원점O에서다시만나는시간을구한다.
y
6
D
A
정사각형 ABCD는 한 변의 길이가 6
이므로 둘레의 길이는 6\4=24이다.
따라서 점 P는 4초마다 원점 O에 되
돌아오고 점 Q는 6초마다 원점 O에
되돌아오므로 두 점 P, Q가 첫 번째
로 원점 O에서 다시 만나는 것은 원
점 O를 출발한 지 12초 후이다.
즉, 두 점 P, Q가 5번째로 원점에서 다시 만나는 것은 원점
O를 출발한 지 12\5=60(초) 후이다.
B
-4
OP
C
2
Q
x
04 길잡이 점P가A`
!
`B,B`
`C,C`
`D로움직일때,삼각형APD의
!
!
넓이를구하는식에서변화하는길이를생각한다.
! 점 P가 꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 움직일 때
(삼각형 APD의 넓이)
=
\(선분 AD의 길이)\(선분 AP의 길이)
에서 선분 AD의 길이는 일정하고 선분 AP의 길이는
일정하게 길어지므로 삼각형 APD의 넓이는 일정하게
커진다.
@ 점 P가 꼭짓점 B에서 꼭짓점 C까지 움직일 때
(삼각형 APD의 넓이)
=
\(선분 AD의 길이)\(선분 AB의 길이)
에서 선분 AD의 길이와 선분 AB의 길이는 각각 일정하
므로 삼각형 APD의 넓이는 시간에 관계없이 일정하다.
# 점 P가 꼭짓점 C에서 꼭짓점 D까지 움직일 때
(삼각형 APD의 넓이)
=
\(선분 AD의 길이)\(선분 DP의 길이)
1
2
1
2
1
2
에서 선분 AD의 길이는 일정하고 선분 DP의 길이는
일정하게 짧아지므로 삼각형 APD의 넓이는 일정하게
작아진다.
따라서 !~#에 의해 그래프로 알맞은 것은 ④이다.
05 길잡이 두수도꼭지A,B로물을넣을때와수도꼭지B로물을넣을
때의물의양을각각구하여수도꼭지A로1분동안넣을수있는물의
양을구한다.
주어진 그래프에서 두 수도꼭지 A, B로 5분 동안 60 L의
물을 넣고, 수도꼭지 B로 10-5=5(분) 동안
100-60=40{L}의 물을 넣었다.
따라서 수도꼭지 A만을 이용하여 물을 넣는다면 5분 동안
60-40=20{L}의 물을 넣을 수 있다. 즉, 수도꼭지 A로 1분
동안
=4{L}의 물을 넣을 수 있으므로 수도꼭지 A만을
20
5
이용하여 용량이 120 L인 수족관에 물을 가득 채우는 데 걸
리는 시간은 120_4=30(분)이다.
5. 좌표와 그래프 31
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 31
2017-10-30 오후 4:23:55
6. 정비례와 반비례
P. 68~70
개념+ 문제 확인하기
대표
1 -10
5 ④, ⑤ 6 -2
10 y=3x, 15분
13 ⑤
4 풀이 참조
2 ③, ④ 3 ③
8 -2
7 ④
11 y=24x, 32 L
9 ③
12 ③
6 y가 x에 반비례하므로 y=
이 식에 x=-4, y=2를 대입하면
a
x 로 놓는다.
2=
a
-4 ∴ a=-8
y=-
4=-
8
x 에 y=4를 대입하면
8
x ∴ x=-2
8
9
y의 값은
1
2 배,
7 ① x의 값이 2배, 3배, 4배, y로 변함에 따라
1
1
4 배, y로 변한다.
3 배,
② a의 절댓값이 클수록 원점에서 멀어진다.
③ a>0이면 제1사분면과 제3사분면을 지난다.
a
x
⑤ 반비례 관계 y=-
{a=0}의 그래프와 만나지 않는다.
그래프가 원점에 대칭인 한 쌍의 곡선이므로 y=
a
x 로 놓는다.
이 식에 x=3, y=4를 대입하면
4=
a
3 ∴ a=12
즉, y=
12
x 에 x=-6, y=k를 대입하면
k=
=-2
12
-6
1
2
3
4
삼각형 ABP의 밑변의 길이가 x cm, 높이가 10 cm이므로
y=
\x\10 ∴ y=5x
10 매분 3 L씩 물을 넣으므로 x와 y 사이의 관계식은 y=3x
3
4 만큼 채우면 물의 양은
이 물통에 물을 전체의
60\
=45{L}이므로 y=3x에 y=45를 대입하면
45=3x ∴ x=15
따라서 걸리는 시간은 15분이다.
11 5 L의 휘발유로 120 km를 갈 수 있으므로 1 L의 휘발유로
24 km를 갈 수 있다.
즉, x와 y 사이의 관계식은 y=24x
y=24x에 y=768을 대입하면
768=24x ∴ x=32
따라서 32 L의 휘발유가 필요하다.
같다고 하면
240
x
6\40=x\y ∴ y=
이 식에 y=15를 대입하면
15=
240
x ∴ x=16
12 6명이 40분 동안 한 일의 양과 x명이 y분 동안 한 일의 양이
따라서 15분 만에 청소를 끝내려면 16명의 학생이 필요하다.
1
y가 x에 정비례하므로 y=kx로 놓는다.
이 식에 x=-4, y=12를 대입하면
12=k\{-4} ∴ k=-3
y=-3x에 x=a, y=-3을 대입하면
-3=-3\a ∴ a=1
y=-3x에 x=3, y=b를 대입하면
b=-3\3=-9
∴ b-a=-9-1=-10
2 ③ 점 {-5, 25}를 지난다.
④ 제2사분면과 제4사분면을 지난다.
3 y=ax에 x=3, y=-2를 대입하면
-2=3a ∴ a=-
2
3
즉, y=-
x에 x=-2, y=b를 대입하면
2
3
2
3
b=-
\{-2}=
4
3
∴ a+b =-
+
=
2
3
4
3
2
3
4 y=2|x|에서
x>0이면 |x|=x이므로 y=2x
x<0이면 |x|=-x이므로 y=-2x
따라서 y=2|x|의 그래프는 다음 그림과 같다.
y
4
2
-2
-4
-4
-2
O
2
x
4
5 ① y=3x ⇨ 정비례
② y=24-x
③ y=5x ⇨ 정비례
④ xy=9000이므로 y=
9000
x ⇨ 반비례
⑤ (속력)=
20
x ⇨ 반비례
따라서 y가 x에 반비례하는 것은 ④, ⑤이다.
(거리)
(시간)
이므로 y=
32 정답과 해설
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 32
2017-10-30 오후 4:23:55
1차
13 ① A가 2바퀴 회전할 때, 회전한 톱니의 수는
15\2=30(개)
② B가 y바퀴 회전할 때, 회전한 톱니의 수는
x\y=xy(개)
③, ④ A와 B가 회전하는 동안 맞물린 톱니의 수는 같으므로
3 ! a>0일 때
정비례 관계 y=ax의 그래프
가 오른쪽 그림과 같이 제1사
분면과 제3사분면의 색칠한 부
분에 있으려면 a의 값의 범위
y=-
x
4!
y=
x
3%
y=ax
O
x
30=xy ∴ y=
30
x ⇨ 반비례
⑤ y=
y=
30
x 에 x=10을 대입하면
30
10
=3
즉, B는 1분에 3바퀴 회전한다.
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
P. 71~75 내신 따라잡기
5%
0이고, ㉠, ㉡의 그래프는 제2사분면과 제4사분면을 지
나므로 a<0이다.
a>0이면 a의 값이 클수록 y축에 가까워지고, a<0이면 a
의 값이 작을수록 y축에 가까워지므로 a의 값이 큰 순서대
로 나열하면 ㉢, ㉣, ㉠, ㉡이다.
2
점 A{-m+3, m-3}이 정비례 관계 y=ax의 그래프 위의
점이므로
m-3=a{-m+3}, m-3=-a{m-3}
∴ a=-1
즉, 점 B{13n, 8}이 정비례 관계 y=-x의 그래프 위의 점
이므로
8=-13n ∴ n=-
8
13
∴ a+n=-1+
-
=-
8
13 ]
[
21
13
y
y
는 00이어야 한다.
y
㉠
y=ax
㉡
x
-2-4
O
C
-1
-3
B
㉠과 같이 점 B{-2, -3}을 지날 때, a의 값이 가장 크
-3=-2a ∴ a=
또 ㉡과 같이 점 C{-4, -1}을 지날 때, a의 값이 가장 작
므로
으므로
3
2
1
4
-1=-4a ∴ a=
따라서 구하는 a의 값의 범위는
0}라 하면 점 C는 정비례 관계
1
3 a
]
a,
y=
1
3 x의 그래프 위의 점이므로 C
[
점 D는 y좌표가 12이므로 D{a, 12}
이때 사각형 ABCD는 정사각형이므로
(선분 AD의 길이)=(선분 CD의 길이)
4
3
따라서 점 D의 좌표는 {12, 12}이다.
a-4=12-
a=16 ∴ a=12
a,
1
3
7
다음 그림과 같이 사다리꼴 OABC의 넓이를 이등분하는
정비례 관계 y=ax의 그래프와 선분 AB가 만나는 점을
D{6, 6a}라 하자.
y
4
C
B
y=ax
D{6, 6a}
A
6
x
O
3
(사다리꼴 OABC의 넓이)=
\{3+6}\4=18에서
(삼각형 OAD의 넓이)=
\18=9이므로
1
2
\6\6a=9 ∴ a=
1
2
1
2
1
2
8 점 P의 x좌표를 p{p<0}라 하면 P{p, -4}
(삼각형 OPQ의 넓이)
=
\(선분 PQ의 길이)\(선분 OQ의 길이)
1
2
1
2
=
\{-p}\4=-2p
-2p=9에서 p=-
9
2
지나므로
9
2
-4=-
a ∴ a=
8
9
10 점 {a, b}가 제3사분면 위의 점이므로 a<0, b<0
따라서
① -a>0 ②
>0 ③ a+b<0 ④ b<0 ⑤ ab>0
b
a
이므로
①, ②, ⑤의 그래프는 제1사분면과 제3사분면을 지나고,
③, ④의 그래프는 제2사분면과 제4사분면을 지난다.
11 정비례 관계 y=ax의 그래프가 x<0에서 제2사분면을 지
나므로 a<0, 즉 -a>0
따라서 반비례 관계 y=-
a
x 의 그래프는 x<0에서 제3사
분면을 지난다.
12 y=
a
x 에 x=3, x=5를 각각 대입하면 y=
a
5 ]
a
3 ], Q
[
5,
3,
[
∴ P
a
3 , y=
a
5
이때 점 Q의 y좌표가 점 P의 y좌표보다 크고, 두 점 P, Q
의 y좌표의 차가 4이므로
a
5
=4, 3a-5a=60
a
3
-
-2a=60 ∴ a=-30
따라서 y=-
30
x 에 x=5를 대입하면
y=-
=-6
30
5
따라서 점 Q의 좌표는 {5, -6}이다.
a
x 의 그래프가 점 {12, 3}을 지나므로
13 반비례 관계 y=
a
12 ∴ a=36
3=
점 P의 x좌표를 p{p<0}라 하면 사각형 OAPB가 정사각
형이므로 점 P의 y좌표도 p이다.
∴ P{p, p}
즉, 반비례 관계 y=
36
x 의 그래프는 점 P{p, p}를 지나므로
이때 p@=6\6 또는 p@=-6\{-6}
그런데 p<0이므로 p=-6
따라서 점 P의 좌표는 {-6, -6}이다.
따라서 정비례 관계 y=ax의 그래프는 점 P
[
-
9
2 , -4
]를
p=
36
p , p@=36
9
점 D는 x좌표가 9이고 정비례 관계 y=
x의 그래프 위의
점이므로 D{9, 3}
점 A는 y좌표가 3이고 정비례 관계 y=x의 그래프 위의 점
이므로 A{3, 3}
또 점 B는 x좌표가 3이고 정비례 관계 y=
x의 그래프 위의
1
3
1
3
점이므로 B{3, 1}
∴ (직사각형 ABCD의 넓이)
=(선분 BC의 길이)\(선분 AB의 길이)
=6\2=12
14 반비례 관계 y=-
8
x 의 그래프에
서 x<0인 부분은 오른쪽 그림과
같고, x좌표와 y좌표가 모두 정수
인 점의 개수는
x=-1일 때, 7개
x=-2일 때, 3개
x=-3일 때, 2개
x=-4, -5, -6, -7일 때, 각 1개씩
∴ 7+3+2+1+1+1+1=16(개)
y=-
x*
y
8
6
4
2
O-2-4-6-8
x
34 정답과 해설
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 34
2017-10-30 오후 4:23:56
1차
x>0인 부분도 같은 방법으로 구하면 모두 16개이므로
구하는 점의 개수는 2\16=32(개)
a
x 의 그래프가 점 Q{-2, 3}을 지나므로
15 반비례 관계 y=
a
-2 ∴ a=-6
3=
점 P의 x좌표를 p{p<0}라 하면
[
P
p, -
6
p ], A{p, 0}
따라서 직각삼각형 PAO의 넓이는
6
1
p ]
2
\{-p}\
=3
-
[
16 반비례 관계 y=
a
x 의 그래프가 점 P
[
1
2 , 10
]을 지나므로
10=a_
즉, y=
1
2 , 10=2a ∴ a=5
5
x 이므로 xy=5
따라서 반비례 관계 y=
5
x 의 그래프 위의 점들의 x좌표와
y좌표의 곱은 5로 일정하므로 직사각형 1개의 넓이는 5이다.
즉, 직사각형 10개의 넓이의 합은
5\10=50
17 점 P의 x좌표를 p{p>0}라 하면 P
[
p,
a
p ]
따라서 (선분 OA의 길이)=p, (선분 OB의 길이)=
a
p 이므로
(직사각형 OAPB의 넓이)
=(선분 OA의 길이)\(선분 OB의 길이)
=p\
=18
a
p
∴ a=18
18 정비례 관계 y=-
x의 그래프가 점 A{-3, a}를 지나
4
3
므로
a=-
\{-3}=4
또 점 B{b, -4}를 지나므로
-4=-
\b ∴ b=3
4
3
4
3
반비례 관계 y=
k
x 의 그래프가 점 A{-3, 4}를 지나므로
4=
k
-3 ∴ k=-12
∴ a+b+k=4+3+{-12}=-5
19 점 B는 정비례 관계 y=ax의 그래프 위의 점이므로
B{-2, -2a}
점 D는 반비례 관계 y=-
6a
x 의 그래프 위의 점이므로
D{2, -3a}
직사각형 ABCD에서
선분 DC의 길이는 -3a-{-2a}=-a이고
(선분 BC의 길이)`:`(선분 DC의 길이)=2`:`1이므로
4`:`{-a}=2`:`1, -2a=4 ∴ a=-2
16
x 의 그래프가 점 A{4, a}를 지나므로
20 반비례 관계 y=
16
4
a=
=4 ∴ A{4, 4}
또 점 B{b, 2}를 지나므로
2=
16
b 에서 b=8 ∴ B{8, 2}
다음 그림과 같이 정비례 관계 y=mx의 그래프가 선분 AB
와 만나려면 m>0이어야 한다.
y=
16
x
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
A
㉠
y=mx
B
8
㉡
x
O
4
y
4
2
1
4
㉠과 같이 점 A{4, 4}를 지날 때, m의 값이 가장 크므로
4=4m ∴ m=1
또 ㉡과 같이 점 B{8, 2}를 지날 때, m의 값이 가장 작으
므로
2=8m ∴ m=
따라서 구하는 m의 값의 범위는
1
4
0}이라 하면 점 A는 정비례 관계
y=x의 그래프 위의 점이므로
A{m, m}
이때 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 선분 AB의 길이
와 같으므로 m이다.
즉, 점 D의 x좌표는 m+m=2m이므로
D{2m, m}
점 D{2m, m}은 정비례 관계 y=ax의 그래프 위의 점이
므로
m=2am ∴ a=
1
2
02 길잡이 절댓값의의미를알고삼각형POQ의넓이를이용하여선분PQ의
길이를구한다.
점 Q의 x좌표를 p{p>0}라 하면 두 점 P, Q의 y좌표가 4
이므로 P{-p, 4}, Q{p, 4}
(삼각형 POQ의 넓이) =
\2p\4
1
2
=4p=10
∴ p=
5
2
점 Q
[
5
2 , 4
4=
a ∴ a=
5
2
8
5
]는 y=a|x|의 그래프 위의 점이므로
a
03 길잡이 반비례관계y=
x
모두정수인점을찾아본다.
의그래프위의점중에서x좌표와y좌표가
반비례 관계 y=
a
x 의 그래프가 점 [
1
3 , -9
]를 지나므로
-9=a_
1
3 , -9=3a
∴ a=-3
y
3
1
㉠
-1
㉡
-3
㉡
㉠
-1
O
1
-3
3
x
∴ (사각형의 넓이)
=6\6-
\2\2
1
2
[
㉠
\2-
]
[
\4\4
\2
]
1
2
㉡
=36-4-16=16
04 길잡이 점P는정비례관계y=ax의그래프와반비례관계y=
8ab
x
의
그래프의교점이고,점Q는정비례관계y=bx의그래프와반비례관계
y=
8ab
x
의그래프의교점임을이용하여a,b의값을구한다.
점 P의 x좌표가 2이고 점 P는 정비례 관계 y=ax의 그래
프 위의 점이므로 P{2, 2a}
또 점 P{2, 2a}는 반비례 관계 y=
8ab
x 의 그래프 위의 점
점 Q의 y좌표가 2이고 점 Q는 정비례 관계 y=
x의 그래프
1
2
이므로
2a=
8ab
2 , 2a=4ab ∴ b=
1
2
위의 점이므로
2=
x, x=4 ∴ Q{4, 2}
1
2
또 점 Q{4, 2}는 반비례 관계 y=
4a
x 의 그래프 위의 점이
므로
2=
4a
4 ∴ a=2
따라서 좌표평면 위에 두 점
P{2, 4}, Q{4, 2}를 나타내면 오른
그림과 같다.
∴ (삼각형 POQ의 넓이)
=4\4-
\4\2
\2
]
1
2
[
㉠
-
\2\2
1
2
㉡
=16-8-2=6
y
4
2
O
P
㉠
㉡
㉠
Q
2
4
x
05 길잡이 ( A의톱니수)\(회전수)=( B의톱니수)\(회전수),
( C의톱니수)\(회전수)=( D의톱니수)\(회전수)임을이용한다.
톱니바퀴 A가 x바퀴 회전할 때, 톱니바퀴 B는 k바퀴 회전
한다고 하면
6. 정비례와 반비례 37
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 37
2017-10-31 오후 3:19:28
36\x=48\k ∴ k=
x y`㉠
톱니바퀴 B가 k바퀴 회전할 때, 톱니바퀴 C도 k바퀴 회전
하므로
16\k=18\y ∴ k=
y
y`㉡
㉠, ㉡에서
x=
y ∴ y=
x
3
4
9
8
2
3
3
4
9
8
06 길잡이 방정식을세워기차의길이를구한후기차의속력을구한다.
기차의 길이를 a m라 하면 기차의 속력은 일정하므로
400+a
2
900+a
3
=
1200+3a=1800+2a ∴ a=600
따라서 기차의 길이는 600 m이므로 기차의 속력은
400+600
2
=500, 즉 분속 500 m이다.
이 기차가 x분 동안 이동한 거리를 y m라 하면 이 기차는 1분
동안 500 m씩 이동하므로 x와 y 사이의 관계식은
y=500x
한편 1시간은 60분이므로 y=500x에 x=60을 대입하면
y=500\60=30000
따라서 이 기차가 1시간 동안 이동한 거리는 30000 m,
즉 30 km이다.
P. 78~79
65 ~
서술형 완성하기
[과정은풀이참조]
1 제4사분면
2 ⑴ A{5, -2}, B{-5, 2}, C{-5, -2} ⑵ 20
5 6
3 ⑴ 140톤 ⑵ 4시간
36
x
4 2
5
7
2
⑵ 3 cm#
6 ⑴ y=
8 ⑴
12
5
⑵ [
5
3
, 4
]
1 점 A{a, -b}가 제1사분면 위의 점이므로
a>0, -b>0에서 a>0, b<0
점 B{-c, d}가 제2사분면 위의 점이므로
-c<0, d>0에서 c>0, d>0
따라서
a+c
2
>0,
b-d
2
<0이므로
점 C
[
a+c
2 ,
b-d
2
]는 제4사분면 위의 점이다. y`$
채점기준
!a,b의부호결정하기
@c,d의부호결정하기
a+c
2
b-d
2
,
의부호결정하기
#
$점C가제몇사분면위의점인지구하기
38 정답과 해설
y`!
y`@
y`#
비율
20%
20%
30%
30%
2 ⑴ 점 P{5, 2}와 x축에 대하여 대칭인 점 A의 좌표는
A{5, -2}
점 P{5, 2}와 y축에 대하여 대칭인 점 B의 좌표는
B{-5, 2}
점 P{5, 2}와 원점에 대하여 대칭인 점 C의 좌표는
C{-5, -2}
⑵ 좌표평면 위에 세 점 A, B, C를
y
y`!
y`@
y`#
나타내면 오른쪽 그림과 같다.
∴ (삼각형 ABC의 넓이)
\10\4
=
1
2
=20
B
C
-5
2
O
-2
채점기준
!점A의좌표구하기
@점B의좌표구하기
#점C의좌표구하기
$삼각형ABC의넓이구하기
3 ⑴ 처음 저수지에 있는 물의 양은 200톤이고 물을 뺀 후에
저수지에 있는 물의 양은 60톤이므로 저수지에서 뺀 물의
y`!
양은 모두 200-60=140(톤)이다.
⑵ 저수지의 수문을 연 시간은 물을 빼기 시작한 후부터 1시
간 후까지, 2시간 후부터 4시간 후까지, 5시간 후부터 6
y`@
시간 후까지 모두 4시간이다.
채점기준
!저수지에서뺀물의양구하기
@저수지의수문을연시간구하기
4 정비례 관계 y=ax의 그래프가 점 [
4, -
1
2 ]을 지나므로
-
=4a ∴ a=-
1
2
1
8
∴ y=-
x
1
8
정비례 관계 y=-
x의 그래프가 점 {b, 2}를 지나므로
1
8
2=-
b ∴ b=-16
∴ ab=-
\{-16}=2
1
8
1
8
채점기준
!a의값구하기
@정비례관계식구하기
#b의값구하기
$ab의값구하기
1
2
5 정비례 관계 y=
1
2
k=
\{-4}=-2
x의 그래프가 점 P{-4, k}를 지나므로
x
5
A
y`$
비율
20%
20%
20%
40%
비율
50%
50%
y`!
y`@
y`#
y`$
비율
30%
20%
30%
20%
y`!
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 38
2017-10-30 오후 4:23:58
8 ⑴ 점 P의 x좌표를 p{p>0}라 하면 점 P는 정비례 관계
y=ax의 그래프 위의 점이므로
P{p, ap}
(삼각형 AOB의 넓이) =
\5\6=15
(삼각형 AOP의 넓이) =
\6\p=3p
(삼각형 POB의 넓이) =
\5\ap=
ap
5
2
이때 삼각형 AOP의 넓이는 삼각형 AOB의 넓이의
1
2
1
2
1
2
3p=
\15, 3p=5
므로
1
3
∴ p=
5
3
므로
5
2
a\
5
3
=15\
2
3
∴ a=
12
5
⑵ 점 P의 좌표는
[
5
3 ,
12
5
\
5
3 ], 즉 [
5
3 , 4
]
또 삼각형 POB의 넓이는 삼각형 AOB의 넓이의
채점기준
!삼각형AOB,삼각형AOP,삼각형POB의넓이
구하기
@p의값구하기
#a의값구하기
$점P의좌표구하기
y`!
1
3 이
y`@
2
3 이
y`#
y`$
비율
30%
30%
30%
10%
∴ P{-4, -2}
반비례 관계 y=
a
x 의 그래프가 점 P{-4, -2}를 지나므로
-2=
a
-4 ∴ a=8
∴ a+k=8+{-2}=6
채점기준
!k의값구하기
@a의값구하기
#a+k의값구하기
y`@
y`#
비율
40%
40%
20%
y`!
비율
40%
20%
20%
20%
비율
20%
20%
30%
30%
6 ⑴ y가 x에 반비례하므로 y=
a
x 로 놓는다.
어떤 기체의 부피가 72 cm#일 때, 압력이 0.5기압이므로
72=
a
0.5 ∴ a=36
따라서 x와 y 사이의 관계식은
y=
36
x
36
x 에 x=4를 대입하면 y=
36
4
⑵ y=
=9이므로
압력이 4기압일 때의 기체의 부피는 9 cm#
y=
36
x 에 x=6을 대입하면 y=
36
6
=6이므로
y`@
압력이 6기압일 때의 기체의 부피는 6 cm#
y`#
따라서 압력이 4기압일 때와 6기압일 때의 부피의 차는
y`$
9-6=3{cm#}
채점기준
!x와y사이의관계식구하기
@압력이4기압일때의부피구하기
#압력이6기압일때의부피구하기
$부피의차구하기
7 점 A{a-2, 4a-1}은 x축 위의 점이므로 y좌표가 0이다.
y`!
점 B{3-2b, b+1}은 y축 위의 점이므로 x좌표가 0이다.
4a-1=0에서 a=
1
4
3-2b=0에서 b=
3
2
y`@
-
따라서 A
5
2 ], C
[
좌표평면 위에 세 점 A, B, C를 나
7
4 , 0
], B
[
0,
[
2,
5
2 ]이므로 y`#
y
타내면 오른쪽 그림과 같다.
∴ (삼각형 ACB의 넓이)
=
\2\
=
5
2
5
2
1
2
y`$
B
C
2%
A
-
4&
O
2
x
채점기준
!a의값구하기
@b의값구하기
#세점A,B,C의좌표구하기
$삼각형ACB의넓이구하기
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 39
2017-10-30 오후 4:23:58
6. 정비례와 반비례 39
181-1 개뿔탑 해설(001~040) OK.indd 40
2017-10-30 오후 4:23:59
