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T
o
p
o
f
t
h
e
T
o
p
정답과 풀이
미적분
1
수열의 극한
STEP 1
1등급 준비하기
p. 6 ~7
01 1
05 1
09 ⑤
02 110
06 3
10 4
03 ③
07 4
11 ④
04 2
08 ②
01 ^ 1
GUIDE
logc a+logc b=logc ab를 이용해 정리한다.
n d M[log {1+;n!;}+log™ {1+
lim
1
n+1 }
+y+log™ {1+
1
n+n }]
= lim
n d M[log™
n+1
n
+log™
+y+log™
n+2
n+1
2n+1
2n ]
= lim
n d M
log™ {
n+1
n
_
n+2
n+1
_
n+3
n+2
_y_
2n+1
2n }
= lim
n d M
log™
2n+1
n
=log™ 2=1
02 ^ 110
GUIDE
근호가 있는 M-M 꼴이므로 유리화를 이용한다.
lim
n d M
("ƒan€+4n-bn)= lim
n d M
= lim
n d M
(an€+4n)-b€n€
"ƒan€+4n+bn
(a-b€)n+4
=;5!;
æça+;n$;+b
에서 a=b€이므로 lim
n d M
4
=
4
|b|+b
=;5!;에서
æçb€+;n$;+b
b>0이고 b=10
∴ a=100
따라서 a+b=110
03 ^ ③
GUIDE
근호가 있는 M-M 꼴이므로 유리화를 이용한다.
= lim
n d M'ßn+1
lim
n d M'ßn+1('ßan+1-'ßbn )
(a-b)n+1
'ßan+1+'ßbn
(a-b)"ƒn€+n+ 'ßn+1
'n
= lim
n d M
æ√a+
+'b
1
n
=1
=1에서 a=;4!;
∴ a+b=;2!;
에서 a=b이므로
1
=
'a+'b
1
2'a
2 정답과 풀이
04 ^ 2
GUIDE
2an-3
an+1
=2+lim
n d${-
5
an+1 }
lim
n d$
lim
n d M
2an-3
an+1
=2+ lim
n d M{-
an+1 }=;3!;에서
5
5
n d M{-
lim
∴ lim
n d M
an+1 }=-;3%;이므로 lim
an=2
n d M
(an+1)=3
1등급 NOTE
lim
n d$
an의 값을 구하라고 했으므로 lim
n d$
an=a로 놓고
lim
n d$
2an-3
an+1
=
2lim
n d$an-3
lim
n d$an+1
=
2a-3
a+1
=;3!;에서 a=2
05 ^ 1
GUIDE
2
an-bn
다른 풀이
의 분자와 분모에 an+bn을 곱해 an€-bn€ 꼴을 만든다.
lim
n d M
2
an-bn
= lim
n d M
2(an+bn)
an€-bn€ = lim
n d M
an
n
2{
+
bn
n }
=1
4+
1
n
an=n+p, bn=n+q (p, q는 상수)로 놓고 주어진 조건에서
p-q=2를 구할 수 있다.
이때 lim
n d M
2
an-bn
=
2
p-q
=1
06 ^ 3
GUIDE
에
3n-1
n€
n
an
을 곱하면
3n-1
nan
이 된다.
n+1<
<n+2의 각 변에 3n-1
을 곱하면
n
an
n€
(n+1)(3n-1)
n€
<
3n-1
nan
<
(n+2)(3n-1)
n€
이고,
lim
n d M
(n+1)(3n-1)
n€
= lim
n d M
(n+2)(3n-1)
n€
=3이므로
lim
n d M
3n-1
nan
=3
07 ^ 4
GUIDE
an=rn-1이고, Sn=
rn-1
r-1
첫째항이 1, 공비가 r인 등비수열 {an}의 일반항 an은
다른 풀이
an=rn-1이고, Sn=
ak=
n
Ú
k=1
rn-1
r-1
lim
n d M
an
Sn
= lim
n d M
= lim
n d M
rn-rn-1
rn-1
rn-1
rn-1
r-1
r-1
1
r }
r-{
= lim
n d M
n-1 =1-
1
r
=;4#;
∴ r=4
08 ^ ②
GUIDE
xn+1+xn=(x-2)(x-3)Q(x)+anx+bn으로 놓고 an, bn을 구한다.
xn+1+xn=(x-2)(x-3)Q(x)+anx+bn이라 하면
2n+1+2n=3_2˜=2an+bn
3n+1+3n=4_3˜=3an+bn
㉠, ㉡을 연립해서 풀면
an=4_3n-3_2n, bn=-8_3n+9_2n
yy ㉡
yy ㉠
∴ lim
n d M
= lim
n d M
bn
an
˜
2
-8+9_{
3 }
2
3 }
4-3_
{
=-2
09 ^ ⑤
GUIDE
an=3n-1, Sn=
3n€+n
2
수열 {an}은 a¡=2, d=3인 등차수열이므로
an=3n-1, an+1=3n+2
첫째항부터 제n항까지의 합 Sn은
Sn=
n(2+3n-1)
2
=
3n€+n
2
lim
n d M
Sn
anan+1
= lim
n d M
3n€+n
2
(3n-1)(3n+2)
= lim
n d M
3+
1
n
18+
-
6
n
4
n€
=;6!;
10 ^ 4
GUIDE
an=;4!;an-1+1에서 an-;3$;=;4!; {an-1-;3$;}이므로
n-1
an=;3$;+{;4!;}
(a¡-4)
4 lim
n d $
an=;3$;
11 ^ ④
GUIDE
직선 y=2nx와 수직인 직선의 기울기가 -
임을 이용한다.
직선 y=2nx와 수직인 직선의 기울기는 -
이므로
점 P(n, 2n€)을 지나고 기울기가 -
인 직선의 방정식은
1
2n
1
2n
1
2n
y-2n€=-
(x-n)이다.
1
2n
이때 x절편은 x=4n‹+n이므로 ln=4n‹+n
따라서 lim
n d M
ln
n‹
= lim
n d M
4n‹+n
n‹
=4
STEP 2
1등급 굳히기
p. 8~12
02 9
06 ⑤
10 ②
14 ③
18 10
03 8
07 ③
11 6
15 ③
19 50
04 2
08 ⑤
12 24
16 2
01 2
05 ③
09 2
13 36
17 1
01 ^ 2
GUIDE
an+2bn=cn으로 치환하고 lim
n d $
cn=1, lim
n d $
an=$임을 이용한다.
n번 반복 뒤 남은 물의 양을 an이라 할 때, an+1과 an의 관계식을 구한다.
an+2bn=cn이라 하면 bn=
cn-an
2
이므로
n번 반복한 뒤 남아 있는 물의 양을 an이라 하면
a0=4이고, an=;4!;an-1+1
n d Man=x라 하면 lim
이때 lim
n d Man-1=x이므로
x=;4!;x+1에서 x=;3$;
∴ 3x=4
lim
n d M{
an
bn
-
8bn
an }= lim
n d M{
2an
cn-an
-8_
cn-an
}
2an
= lim
n d M[
2
cn
an
-1
-4{
cn
an
-1}]
=-2+4=2
1. 수열의 극한 3
N
02 ^ 9
GUIDE
An=
10n(10n+1)
2
, Bn=An-
2n
Ú
k=1
5k
An=
10n(10n+1)
2
=50n€+5n
Bn=An-
5k=50n€-5n-5(2n€+n)=40n€
2n
Úk=1
4 lim
n d $
An
Bn
= lim
n d $
50n€+5n
40n€
=;4%;
따라서 p+q=9
03 ^ 8
GUIDE
➊ 두 교점의 x좌표를 구해 두 교점 사이의 거리를 구한다.
➋ an을 n에 대한 식으로 나타낸다.
곡선 y=x€과 직선 y=-x+n이 만나서 생기는 두 교점의 x좌
표를 an, bn(an>bn)이라 하면
x€+x-n=0의 두 근이 an, bn이고,
두 교점의 좌표가 (an, -an+n), (bn, -bn+n)이므로
an="ƒ(an-bn)€+{-an+n-(-bn+n)}€
="2 (an-bn)
an€=2{(an+bn)€-4an bn}=2{1-4(-n)}=8n+2
즉 an='ß8n+2 이므로 lim
n d $
= lim
n d $
an
'n
'ß8n+2
'n
=2'2
이때 ln="ƒn€+1 이므로
(ln+1-ln)= lim
lim
n d $
n d $
= lim
n d $
("ƒ(n+1)€+1-"ƒn€+1)
n€+2n+2-(n€+1)
"ƒn€+2n+2+"ƒn€+1
2+ 1
n
æ√1+
2
n
+
2
n€
+æ√1+
1
n€
= lim
n d $
=1
1등급 NOTE
직선 y=-;nX;+3의 기울기의 절댓값
;n!; 을 이용해 그림처럼 ln="ƒn€+1을
바로 구할 수 있다.
1
n€+1
n
을 각각 치환하고
에 대입하여 정리한다.
an
bn
an
3n
=2에서 cn=
이라 하면 an=3n_cn
또한 lim
n d$
2n+3
bn
=6에서 dn=
이라 하면
2n+3
bn
따라서 lim
n d$
= lim
n d$
an
bn
3n_cn_dn
2n+3
=;2#;_2_6=18
직선 y=-x+n에서 기울기의 절댓값이 1이므로
두 교점 사이의 거리를 '2 (an-bn)으로 바로 구할 수 있다.
an=6n+a, bn=;3!; n+b(a, b는 상수)라 생각하면
06 ^ ⑤
GUIDE
an
3n
2n+3
bn
과
lim
n d$
an
3n
bn=
2n+3
dn
다른 풀이
lim
n d M
an
bn
=18
07 ^ ③
GUIDE
근의 공식을 이용해 x를 n에 대한 식으로 나타낸다.
x€+2nx-4n=0에서 x=-n\"ƒn€+4n이고
an="ƒn€+4n-n이므로
lim
n d$
("ƒn€+4n-n)= lim
n d$
4n
"ƒn€+4n+n
=
4
1+1
=2
=-
+3에서 두 점의 x좌표를 구해 두 점 An, Bn의 좌표를 구한다.
=-
+3에서(x-n)(x-2n)=0
∴ An(n, 2), Bn(2n, 1)
ㄱ. 귀류법을 이용한다.
ㄴ. 반례를 찾는다.
ㄱ. lim
n d $
|bn|+M이면
lim
n d $
anbn=0이므로 lim
n d $
anbn+a이다.
따라서 lim
n d $
|bn|=M ( ◯ )
ㄴ. [반례] an=n+1, bn=;n!;이라 하면 a=1이고
lim
n d $
{an-
ㄷ. lim
n d $
1
anbn
=
n d $
a
bn }= lim
1
lim
n d $anbn
=
( ◯ )
1
a
(n+1-n)=1 ( _ )
따라서 p€=8
1등급 NOTE
04 ^ 2
GUIDE
05 ^ ③
GUIDE
2n
x
2n
x
x
n
x
n
4 정답과 풀이
08 ^ ⑤
GUIDE
두 판별식에서 an의 범위를 n으로 나타낸다.
이차방정식 x€-(n+1)x+an=0의 판별식을 D¡이라 하면
D¡=(n+1)€-4an>0에서 an<
(n+1)€
4
또 이차방정식 x€-nx+an=0의 판별식을 D™라 하면
D™=n€-4an<0에서 an>
n€
4
∴
n€
4
<an<
(n+1)€
4
10 ^ ②
GUIDE
an=a¡_3n-1이고, Sn=
a¡(3n-1)
3-1
Sn=
a¡(3n-1)
3-1
=
a¡
2
(3n-1)이므로
lim
n d$
Sn
3n
= lim
n d$
a¡
2
(3n-1)
3n
따라서
=5에서 a¡=10
a¡
2
= lim
n d$
a¡
2
{1-
1
3n }=
a¡
2
이때
<an<
n€
4
(n+1)€
4
에서
n€
4n€
<
an
n€
<
(n+1)€
4n€
lim
n d$
n€
4n€
= lim
n d$
(n+1)€
4n€
=;4!; 이므로
11 ^ 6
GUIDE
lim
n d$
an
n€
=;4!;
09 ^ 2
GUIDE
➊ ;5N;-1<“;5N;‘<;5N;
➋ 유리화를 하고 ;2N;-1<“;2N;‘<;2N; 을 이용한다.
lim
n d $
;n!; {;5N;-1}< lim
n d $;n!;“;5N;‘< lim
n d $
;n!; {;5N;}이므로
lim
n d $;n!;“;5N;‘=;5!;
∴ a=;5!;
또 Ƙn€+
-1-n<Ƙn€+“
n
2
n
2 ‘-n<Ƙn€+
n
2
-n에서
n€+
-1-n€
Ƙn€+
-1+n
n
2
n
2
-1
n
2
n
2
Ƙn€+
-1+n
lim
n d ${Ƙn€+
-1-n}= lim
n d $
n
2
= lim
n d $
=;4!;
이고, 마찬가지로
lim
n d $Ƙn€+
n
2 -n=;4!;
이므로 lim
n d $
{æçn€+“
n
2 ‘-n}=;4!;
∴ b=;4!;
따라서 5a+4b=2
➊ -2<x<0에서 x€+2x+;3A;=(x+1)€+;3A;-1의 값의 범위를 a로
나타낸다.
➋ -1<x€+2x+;3A;<1임을 이용한다.
-2<x<0에서
;3A;-1<x€+2x+;3A;<;3A;이고
;3A;-1>-1이고 ;3A;<1이어야
하므로 0<a<3
따라서 모든 정수 a값의 합은
1+2+3=6
y=x€+2x+
y
a
-
3
-1
-2
a
-
3
O
a
-
3
x
-1
12 ^ 24
GUIDE
각한다.
등비수열 {an}의 공비가 3보다 클 때, 3보다 작을 때, 3일 때로 나누어 생
{an}의 공비가 3보다 크면 lim
n d $
3n+an
3n+1+2an
=;2!;이고
공비가 3보다 작으면 lim
n d $
=;3!;이므로
등비수열 {an}의 공비는 3이다. 즉 an=a¡_3n-1
3n+an
3n+1+2an
이때 lim
n d $
3n+an
3n+1+2an
=
3+a¡
9+2a¡
=;7#;에서
a¡=6이고 a™=18
∴ a¡+a™=24
13 ^ 36
GUIDE
1<x<4, x=4, x>4일 때의 f(x)를 각각 구한다.
1<x<4일 때, f(x)= lim
n d $
xn+1+4n+1
2xn+2_4n
=;2$;=2
1. 수열의 극한 5
x=4일 때, f(x)= lim
n d $
x>4일 때, f(x)= lim
n d $
=
4+4
2+2
=2
4n+1+4n+1
2_4n+22n+1
xn+1+4n+1
2xn+2_4n
=;2X;
∴
11
Ú
k=1
f(k)=
2+
4
Ú
k=1
11
k=5;2K;=8+(33-5)=36
Ú
14 ^ 3
GUIDE
12n=22n_3n이므로 모든 양의 약수의 총합은
(1+2+y+22n-1+22n)(1+3+y+3n)
an=(1+2+y+22n-1+22n)(1+3+y+3n)
3n+1-1
3-1 }
=(22n+1-1) {
=
6_12n-2_4n-3n+1-1
2
이므로 lim
n d $
an
12n
=3
15 ^ ③
GUIDE
인한다.
➊ 직선 y=g(x)는 원점과 점 (3, 3)을 지나므로 y=x이다.
➋ h(2), h(3)의 값을 구해야 하므로 f(2), g(2), f(3), g(3)의 값을 확
직선 y=g(x)는 y=x이고, f(2)=4, g(2)=2이다. 이때
4n+1+5_2n
4n+2n
{ f(2)}n+1+5{g(2)}n
{ f(2)}n+{g(2)}n = lim
h(2)= lim
n d $
n d $
= lim
n d $
2
n
4 }
n =4
4+5_{
2
4 }
1+{
또 f(3)=3, g(3)=3이므로
h(3)= lim
n d $
{ f(3)}n+1+5{g(3)}n
{ f(3)}n+{g(3)}n = lim
8_3n
2_3n =4
따라서 h(2)+h(3)=8
= lim
n d $
n d $
3n+1+5_3n
3n+3n
16 ^ 2
GUIDE
an과 n, an-1과 (n-1)이 같은 항에 있도록
(n-1)€an=n€an-1+n(n-1)의 양변을 n€(n-1)€으로 나눈다.
(n-1)€an=n€an-1+n(n-1)의 양변을
n€(n-1)€으로 나누면
an
n2 =
an-1
(n-1)2 +
1
n(n-1)
6 정답과 풀이
이때
bn=
an
n2 =bn이라 하면 bn=bn-1+
an
2n-1
2n-1
n
n
n€
이므로
=
1
n-1
-;n!;에서
에서 an=2n€-n
따라서 lim
n d $
an
n€+1
= lim
n d $
2n€-n
n€+1
=2
참고
bn=bn-1+
1
n-1
-
에서
1
n
b2=b1+1-
bn=bn-1+
1
2
, b3=b2+;2!;-;3!;, y,
1
n-1
1
n
-
을 변끼리 더하면 bn=b1+1-
=2-
=
1
n
1
n
2n-1
n
17 ^ 1
GUIDE
Pn+1Qn+1’
QnQn+1’
=2를 이용해 xn+1과 xn의 관계식을 구한다.
직선 Qn Pn+1의 기울기가 2이므로
Pn+1Qn+1’
QnQn+1’
=2에서 'ßxn+1
xn+1-xn
=2이고
xn+1-xn=;2!; 'ßxn+1 의 양변을 xn+1로 나누면
1-
xn
xn+1
=
1
2'ßxn+1
이때 lim
n d $
xn=M이므로 lim
n d $
1
2'ßxn+1
=0
따라서 lim
n d $
xn
xn+1
=1
an과 bn의 관계, bn과 cn의 관계, cn과 an의 관계를 구해서 bn+1과 bn에
18 ^ 10
GUIDE
대한 식을 구한다.
삼각형 AH3n-2 H3n-1에서
cos 60^=
an
1-bn
=;2!;
4
1-bn
2
=an
마찬가지로 생각하면
1-cn
2
1-an
2
1-cn
2
an, cn을 bn+1=
에 대입하여 정리하면
8bn+1=-bn+3
이므로
=bn+1,
=cn
1-bn
60^
H3n-1
A
an
H3n-2
bn
bn+1
H3n+1
1-an
B
1-cn
H3n
cn
C
bn+1-;3!;=-;8!; {bn-;3!;}
에서 bn=;3!;+{-;8!;}
{b1-;3!;}
n-1
∴ lim
n d $
bn=;3!;=k
따라서 30k=10
19 ^ 50
GUIDE
있음을 이용한다.
1 n이 짝수일 때
➊ a™, a£를 직접 구해보면서 n이 짝수일 때는 영역 B와 겹치지 않으면
서 정사각형을 배열할 수 있고, n이 홀수일 때는 B와 겹치는 부분이
➋ n이 짝수일 때와 홀수일 때로 나누어 a2n, a2n+1 (또는 a2n-1)을 구한다.
B
R
B
R
a™=4€-2€=12 a¢=8€-4€=48
같은 방법으로 생각하면 a2n=(4n)€-(2n)€=12n€
2 n이 홀수일 때
R
R
a£=6€-4€=20 a∞=10€-6€=64
같은 방법으로 생각하면
a2n+1={2(2n+1)}€-(2n+2)€=12n€+8n
이때 a2n-1=12(n-1)€+8(n-1)=12n€-16n+4
∫
a2n+1-a2n
a2n-a2n-1
=
8n
16n-4
따라서 lim
n d$
a2n+1-a2n
a2n-a2n-1
= lim
n d$
8n
16n-4
=;2!;=c
이므로 100c=50
참고
a2n+1=(4n+2)€-(2n+2)€
=(16n€+16n+4)-(4n€+8n+4)
=12n€+8n
이므로 a2n+1-a2n=(12n€+8n)-12n€=8n이고
a2n-a2n-1=12n€-12(n-1)€-8(n-1)
=12n€-(12n€-24n+12)-(8n-8)
=16n-4
STEP 3
1등급 뛰어넘기
p. 13~15
02 ②
06 3
03 50
07 ⑴ 18 ⑵ 9
01 ⑴ 10 ⑵ 5
04 61
05 54
08 ⑴ 2 ⑵ 0
01 ^ ⑴ 10 ⑵ 5
GUIDE
인한다.
⑴ xn>2임을 확인한다.
⑵ 절댓값 기호를 없애는 것을 생각해야 하므로 an>3이 되는 n값을 확
⑴ f(x)=x+4-;2!;|x-2|에서 xº=3이므로
x¡=f(xº)=f(3)=;;¡2£;;
x™=f(x¡)=f {;;¡2£;;}=;;£4£;;
모든 자연수 n에서 xn>2
즉 f(x)=x+4-;2!; (x-2)=;2!; x+5
4 xn+1=f(xn)=;2!; xn+5
이때 xn+1-10=;2!;(xn-10)이므로
xn-10=-7_{;2!;}
에서 xn=10-7_{;2!;}
n
n
4 lim
n d $
xn= lim
n d $[10-7_{;2!;}
]=10
n
⑵ a1=2에서 a2=2+1-;2!;=;2%;이고,
이때 an>3이면 an+1=;2!; an+;2%;>3에서
n>3일 때 an>3이고, n값이 커질수록 an값도 커진다.
n>3일 때 an+1=;2!; an+;2%; 를 정리하면
n-3
an=5+{;2!;}
(a3-5)
∴ lim
n d $
an=5
02 ^ ②
GUIDE
x=2np+
;2!; p일 때와 아닐 때로 나누어 생각한다.
ㄱ. x=2np-;2!; p(n은 정수)일 때 sin x=-1이고
(-1)n은 존재하지 않는다. ( × )
lim
n d $
an= lim
n d $
ㄴ. x=a에서 연속이면 a+2np+
;2!;p (n은 정수)이고, 이때
-1<sin a<1이므로 f(a)=0이다. ( ◯ )
1. 수열의 극한 7
B
B
a3=;2%;+1-;4!;>3
ㄷ. a=2np+;2!;p (n은 정수)일 때 sin x=1이므로 f(a)=1이
참고
고 lim
x d a
f(x)=0이므로 x=a에서 연속이 아니다. ( × )
lim
n d$
(3mn);n!;= lim
n d$
(3;n!;_m)=m
03 ^ 50
GUIDE
➊ 직선 ln이 x축과 만나는 점을 Xn이라 하면
OQn’= OXn’+XnQn’= OXn’+XnPn’
➋ YnRn’=YnPn’
y
y=x€
ln
Cn
C'n
Pn
Rn
O
Yn
Qn
x
직선 ln의 방정식은 y=2nx-n€이므로
Yn(0,-n€)이고 ln이 x축과 만나는 점을 Xn이라 하면
Xn{;2!; n, 0}에서 OXn’=;2!; n
또 Xn Qn’=XnPn’=æ√n›+;4!; n€
YnRn’=YnPn’="∂4n›+n€이므로
a= lim
n d $
OQn’
YnRn’
= lim
n d $
OXn’+XnQn’
YnRn’
1
4
n€
1
2
n+æ√n›+
"ƒ4n›+n€
= lim
n d $
= lim
n d $
1
2n
1
4n€
+æ√1+
1
n€
æ√4+
=;2!;
따라서 100a=50
04 ^ 61
GUIDE
a, b, c 중 가장 큰 값이 5가 되는 경우의 수를 구한다.
a, b, c 중 가장 큰 값을 m이라 할 때
mn<an+bn+cn<3mn이므로
m< lim
n d $
(an+bn+cn);n!;< lim
n d $
(3mn);n!;=m
∴ lim
n d $
(an+bn+cn);n!;=m
5‹-4‹=125-64=61
즉 m=5이므로 a, b, c 중 가장 큰 값이 5가 되는 경우의 수는
8 정답과 풀이
05 ^ 54
GUIDE
xn+1=
2xn-1+xn
3
에서
n-1
➊ xn+1-xn={-;3@;}
(x2-x1)
➋ xn+1+;3@; xn=xn+;3@; xn-1=y=x2+;3@; x1
선분 Pn-1 Pn을 1：2로 내분한 점이 Pn+1이므로
xn+1=
2xn-1+xn
3
즉 xn+1-xn=-;3@;(xn-xn-1)
yy ㉠
xn+1-xn={-;3@;}
(x2-x1)
yy ㉡
n-1
한편 ㉠에서 xn+1+;3@; xn=xn+;3@; xn-1이므로
xn+1+;3@; xn=x2+;3@; x1
yy ㉢
㉢-㉡에서 ;3%; xn=x2+;3@; x1-{-;3@;}
(x2-x1)
n-1
xn=;5#; {x2+;3@; x1}-;5#; {-;3@;}
(x™-x¡)
n-1
4 lim
n d $
xn=;5#; {x2+;3@; x1}=;5#; (90+0)=54
참고
➊ xn+1=
한다.
2xn-1+xn
3
과 xn+1-xn=p(xn-xn-1)을 비교해 p값을 구
➋ xn+1+;3@; xn=xn+;3@; xn-1, xn+;3@; xn-1=xn-1+;3@; xn-2, y
x£+;3@; x™=x™+;3@; x¡에서 각 등식을 변끼리 더하면
xn+1+;3@; xn=x™+;3@; x¡
06 ^ 3
GUIDE
xn=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+fn(x)에서 x-1=t로 놓고 구한 식
도 이용한다.
xn=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+fn(x)
라 하고 x-1=t로 치환하면
(t+1)n=t(t-1)(t-2)Q(t+1)+fn(t+1)이고
나머지는 이차 이하의 다항함수이므로
yy ㉠
fn(t+1)=an t€+bn t+cn
으로 놓으면 ㉠에서 fn(1)=1, fn(2)=2n, fn(3)=3n
yy ㉡
㉡에 0, 1, 2를 각각 대입하면
cn=1, an+bn+cn=2n, 4an+2bn+cn=3n
이고, ㉡에 -1을 대입하면 fn(0)=an-bn+cn
이때 an+bn=2n-1, 4an+2bn=3n-1에서
an=
3n-1-(2n+1-2)
2
이고 lim
n d $
cn
an
=0
lim
n d $
4an+2bn+cn
an
=2이므로 lim
n d $
=-1
4 lim
n d $
fn(-1)
fn(0)
= lim
n d $
4an-2bn+cn
an-bn+cn
bn
an
cn
an
cn
an
4-2
+
1-
+
bn
an
bn
an
= lim
n d $
=3
07 ^ ⑴ 18 ⑵ 9
GUIDE
an을 an+1을 이용한 식으로 나타낸다.
⑴ 첫번째 과정에서
a¡
100
b¡
100
an
100
300_
=200_;1¡0™0;+100_;10^0;
4 a¡=10
300_
=200_;10^0;+100_;1¡0™0;
4 b¡=8
n번째 과정에서 소금물의 농도가 각각 an %, bn %이므로
300_
=200_
+100_
에서
an-1
100
bn-1
100
3an=2an-1+bn-1
yy ㉠
또 300_
=200_
+100_
에서
bn
100
bn-1
100
an-1
100
3bn=2bn-1+an-1
yy ㉡
㉠+㉡에서
3(an+bn)=3(an-1+bn-1)=y=3(a¡+b¡)
4 an+bn=a¡+b¡=18
⑵ an-1+bn-1=18에서 bn-1=18-an-1
yy ㉢
㉢을 ㉠에 대입하면 3an=2an-1+(18-an-1)
4 an=;3!;(an-1)+6
이때 an-9=;3!;(an-1-9)이므로 an-9=1_{;3!;}
n-1
n-1
즉 an={;3!;}
+9에서 lim
n d$
an=9
1등급 NOTE
7쪽 1단계 10번 풀이처럼
an=;3!; an-1+6에서 lim
lim
n d$
an-1= lim
n d$
n d$
an=x이므로
an=x라 하면
x=;3!;x+6에서 x=9
08 ^ ⑴ 2 ⑵ 0
GUIDE
⑴ 3'ßn+2-2'ßn+1-'n을
2'ßn+2-2'ßn+1+'ßn+2-'n 으로 놓고 유리화 한다.
⑵ a1+a2+ y +am=k로 놓고
am=k-a1-a2- y -am-1을 이용한다.
⑴ lim
n d$
'n(3'ßn+2-2'ßn+1-'n )
= lim
n d$
'n(2'ßn+2-2'ßn+1+'ßn+2-'n )
= lim
n d $
'n {
=2
2
'ßn+2+'ßn+1
+
2
'ßn+2+'n }
⑵ a1+a2+y+am=k로 놓으면
am=k-a1-a2-y-am-1이므로
lim
n d$
'n(a1 'ßn+1+a2 'ßn+2+y+am 'ßn+m )
= lim
n d$
'n(a1 'ßn+1+a2 'ßn+2+y
+(k-a1-a2-y-am-1)'ßn+m )
= lim
n d$
'n {a1('ßn+1-'ßn+m)+a2('ßn+2-'ßn+m )
+y+am-1('ßn+m-1-'ßn+m )+k'ßn+m }
= lim
n d $'n {-a1
m-1
'ßn+m+'ßn+1
-a2
m-2
'ßn+m+'ßn+2
-y-am-1
+k 'ßn+m }
1
'ßn+m+'ßn+m-1
am-1
+(m-2)
+y+
2 ]
a2
2
=-[(m-1)
a1
2
+ lim
n d$
k'n 'ßn+m
n d$ 'n(a¡'ßn+1+a™'ßn+2+yam 'ßm+n )이 수
k 'n 'ßn+m 에서 k=0이어야 하므로
따라서 lim
렴하려면 lim
n d$
a¡+a™+y+am=0
1. 수열의 극한 9
급수2
01 ^
;4#;
GUIDE
+
STEP 1
1등급 준비하기
p. 18 ~19
01 ;4#;
05 9
09 ③
02 ①
06 2
10 ②
03 -1
04 26
07 ②
11 ③
08 -15
1
1€+2
1
2€+4
+
1
3€+6
+y+
+y =
1
n€+2n
$
Ú
n=1
1
n€+2n
1
1€+2
+
1
2€+4
+
1
3€+6
+y+
1
n€+2n
+y
=
$
Ú
n=1
1
n€+2n
=
$
n=1;2!; {
Ú
1
n
-
1
n+2 }
=;2!; {;1!;-;3!;+;2!;-;4!;+;3!;-;5!;+y}=;4#;
02 ^ ①
GUIDE
(4n€-1)x€-4nx+1={(2n-1)x-1}{(2n+1)x-1}
(4n€-1)x€-4nx+1={(2n-1)x-1}{(2n+1)x-1}=0
에서 x=
또는 x=
이므로
1
2n-1
1
2n+1
an=
1
2n-1
, bn=
1
2n+1
(5 an>bn)
4
n
Ú
n=1
(an-bn)= lim
n d $
n
Ú
k=1
{
1
2k-1
-
1
2k+1 }
= lim
n d ${1-
2n+1 }=1
1
03 ^ -1
GUIDE
log™ {1-
=log™ {
1
2€ }+log™ {1-
2€-1
2€
}+log™ {
1
3€ }+y+log™ {1-
3€-1
3€
}+y+log™ {
1
n€ }+y
n€-1
n€
}+y
log™ {1-
=log™ {
1
2€ }+log™ {1-
2€-1
2€
}+log™ {
1
3€ }+y+log™ {1-
3€-1
3€
}+y+log™ {
1
n€ }+y
n€-1
n€
}+y
=log™ [
1_3
2€
_
2_4
3€
_y_
(n-1)_(n+1)
n€
_y]
=log™ {;2!;_ lim
n d $
n+1
n }=-1
10 정답과 풀이
04 ^ 26
GUIDE
➊ an=an+b로 놓고 an을 구한다.
1
an+1 }=
8
an+1-an
8
anan+1
1
an
➋
=
-
{
8
a
{
1
an
-
1
an+1 }
an=an+b라 하면
lim
n d$
2n+1
an
= lim
n d$
2n+1
an+b
=;2!; 에서 a=4
$
Ú
n=1
8
an an+1
=
$
Ú
n=1
8
{
an+1-an
1
an
-
$
Ú
n=1
=
1
an+1 }=
즉 a¡=2이고 4+b=2에서 b=-2
1
an
2 {
-
1
an+1 }
2
a1
=1
따라서 an=4n-2이므로 a¶=26
05 ^ 9
GUIDE
an
$
n
Ú
n=1
이 수렴하므로 lim
n d $
an
n
=0
$
Ú
n=1
an
n
이 수렴하므로 lim
n d$
an
n
=0
따라서 lim
n d$
an+9n
n
= lim
n d$
an
n
+9=9
06 ^ 2
GUIDE
$
Ú
n = 1
{an-
n-2
2n+3 }이 수렴하므로 lim
n d $
{an-
n-2
2n+3 }=0
$
n=1{an-
Ú
n-2
2n+3 }이 수렴하므로 lim
n d${an-
n-2
2n+3 }=0
이때 lim
n d$
n-2
2n+3
=;2!; 이므로 lim
n d$
an=;2!;
4 lim
n d$
2an+1
4an-1
=
1+1
2-1
=2
07 ^ ②
GUIDE
ㄴ. cn=n€an으로 놓는 치환을 이용한다.
n(an+1-an)을 전개해 본다.
an이 수렴하므로 lim
n d$
an=0 ( ◯ )
ㄴ. lim
n d $
n€an=1에서 cn=n€an이라 하면
an=
, an+1=
cn
n€
cn+1
(n+1)€
$
Ú
n=1
ㄷ.
ㄱ.
$
Ú
n=1
4 lim
n d$
nan+1= lim
n d$
ncn+1
(n+1)€
= lim
n d$
cn+1
n+2+
1
n
=0 ( ◯ )
(-a¡+a™-2a™+2a£-3a£+3a¢-y-nan+nan+1)
C¡의 넓이는 p이고, 둘레 길이는 2p이다.
(-a¡-a™-a£-y-an+nan+1)
이때 Cn과 Cn+1의 닮음비가 2：1이므로
ㄷ.
n(an+1-an)
$
Ú
n=1
= lim
n d$
n
Ú
k=1
k(ak+1-ak)
= lim
n d$
= lim
n d$
=-
$
Ú
n=1
an+ lim
n d$
nan+1
=-2+0=-2 ( _ )
1등급 NOTE
$
Ú
n=1
n(an+1-an)과 같은 꼴은 부분합을 이용해 본다.
08 ^ -15
GUIDE
$
Ú
k=1
$
Ú
k=1
➊
➋
$
Ú
k=1
(-x)k이 수렴하므로
(-x)k=
$
Ú
k=1
x2k-1=x+x‹+xfi+y+x2n-1+y=
-x
1+x
x
1-x€
(-x)k=
-x
1+x
=;2!; 에서 x=-;3!; 이므로
4
$
Ú
k=1
x2k-1=
x
1-x€
=
-;3!;
1-;9!;
=-;8#;
따라서 40a=-15
09 ^ ③
GUIDE
➊ 수열 {an}의 공비를 r로 놓고
an=3에서 r=;3@; 를 구한다.
$
Ú
n=1
➋ 수열 {a3n-2}과 수열 {a3n-1}의 공비는 r‹이다.
수열 {an}의 공비를 r 라 하면
an=
$
Ú
n=1
1
1-r
=3에서 r=;3@;
이때 수열 {a3n-2}는 첫째항이 1, 공비가 ;2•7; 이고
수열 {a3n-1}은 첫째항이 ;3@;, 공비가 ;2•7; 이므로
$
Ú
n=1
(a3n-2-a3n-1)=
1
1-;2•7;
-
;3@;
1-;2•7;
=;1ª9;
1등급 NOTE
n-1
n-1
a3n-2={;2•7;}
, a3n-1=;3@; {;2•7;}
에서
$
Ú
n=1
(a3n-2-a3n-1)=
$
Ú
n=1
;3!; {;2•7;}
n-1
=
1
3
1-
8
27
=;1ª9;
10 ^ ②
GUIDE
Cn과 Cn+1의 닮음비를 구해 넓이 비와 둘레 길이의 비를 구한다.
원 Cn의 넓이는 공비가 ;4!; 인 등비수열이고 둘레 길이는 공비가
;2!; 이 등비수열이다.
즉 a=
=;3$; p, b=
=4p이므로 ;bA;=;3!;
p
1-;4!
2p
1-;2!
11 ^ ③
GUIDE
좌표평면에 그래프를 그려 사다리꼴의 넓이를 구한다.
Sn은 그림에서 색칠한 부분과 같
y
y=2x
으므로 큰 사다리꼴에서 작은 사
2n+2
다리꼴을 뺀 것으로 생각할 수 있
y=x
다. 즉
Sn=
n(n+2)
2
$
Ú
n=1
1
Sn
=
$
Ú
n=1
2
n(n+2)
= lim
n d$
n
Ú
k=1{
1
k
-
1
k+2 }
n+1
2
1
= lim
n d$
{1+;2!;-
1
n+1
1
-
n+2 }=;2#;
O
x=1 x=n+1
x
p. 20~24
03 ;2!;
07 ③
11 6
04 9
08 1
12 3
15 375
16 35
STEP 2
1등급 굳히기
01 -1
02 1
06 ;2&;
10 ③
14 ;3!;
18 15
05 ②
09 12
13 ③
17 ②
01 ^ -1
GUIDE
an=log™(n+2)-2 log™(n+1)+log™ n
an=log™
+log™ n
n+2
(n+1)€
=log™(n+2)-2 log™(n+1)+log™ n
1. 급수 11
1
"ƒn€+4n-"ƒn€+1
에서
an+an+1=6 {
-
n+2 } (n>1)
을 이용해도 된다.
n
Ú
k=1
ak=
n
Ú
k=1
log™(k+2)-2
log™(k+1)+
log™ k
n
Ú
k=1
n
Ú
k=1
4
$
Ú
n=1
(an+an+1)=6
$
Ú
n=1
{
1
n
-
1
n+2 }
=6 lim
n d $
{1+;2!;-
1
n+1
1
-
n+2 }=9
=log™(n+2)-log™(n+1)-log™ 1+log™ 2
4
$
Ú
n=1
an= lim
n d$
{log™(n+2)-log™(n+1)-log™2+log™1}
= lim
n d$
log™ n+2
n+1
-1=-1
다른 풀이
① lim
n d $
Sn= lim
n d $
Sn+1=6이므로
$
Ú
n=1
(an+an+1)= lim
n d $
(ak+ak+1)
n
Ú
k=1
= lim
n d $
{
n
Ú
k=1
ak+
n
Ú
k=1
ak+1}
= lim
n d $
(Sn+Sn+1-a¡)
=6+6-3=9
② an+an+1=(Sn-Sn-1)+(Sn+1-Sn)
=Sn+1-Sn-1
=
6(n+1)
n+2
-
6(n-1)
n
=6 {
-
n+2 } (n>2)
이고, a¡+a™=S™=4이므로
1
1
1
n
1
n
05 ^ ②
GUIDE
Sn-Sn-1을 이용해 구한
an
n
의 식에서 an을 구한다.
an
n
=
n
Ú
k=1
ak
k
-
n-1
Ú
k=1
ak
k
=2n+2 (n>2)이고,
a¡=4이므로 an=2n€+2n (n>1)
따라서
$
Ú
n=1
1
an
=;2!;
$
Ú
n=1
{
1
n
1
-
n+1 }=;2!;
06 ^
;2&;
GUIDE
(2a¡+2€a™+2‹a£+y+2nan)-(2a¡+2€a™+2‹a£+y+2n-1an-1)
에서 2nan을 구한다.
(2a¡+2€a™+2‹a£+y+2nan)
-(2a¡+2€a™+2‹a£+y+2n-1an-1)=3
에서 2nan=3이므로 an=
3
2n (n>2)이고,
n=1일 때 2a¡=4에서 a¡=2이므로
$
Ú
n=1
an=2+
$
Ú
n=2
3
2n =2+
;4#;
1-;2!;
=2+;2#;=;2&;
02 ^ 1
GUIDE
n>2일 때 an=Sn-Sn-1=n‹-(n-1)‹
n>2일 때 an=Sn-Sn-1=3n€-3n+1이므로
$
Ú
n=2
3
an-1
=
$
Ú
n=2
1
n€-n
=
$
Ú
n=2{
1
n-1
-
1
n }=1
03 ^
;2!;
GUIDE
➊ Sn=a¡+a™+a£+y+an-1+an=an+
Sn-1=a¡+a™+y+an-1=
Sn-1= lim
n d $
Sn
➋ lim
n d $
1
"ƒn€+4n-"ƒn€+1
Sn=an+
1
"ƒn€+4n-"ƒn€+1
에서
Sn-1=a¡+a™+y+an-1=
$
Ú
n=1
an= lim
n d $
Sn= lim
n d $
Sn-1
= lim
n d $
= lim
n d $
1
"ƒn€+4n-"ƒn€+1
"ƒn€+4n+"ƒn€+1
4n-1
=;2!;
1
"ƒn€+4n-"ƒn€+1
이므로
04 ^ 9
GUIDE
an=Sn-Sn-1 (단, n>2)
an=Sn-Sn-1=
6n
n+1
-
6(n-1)
n
=
6
n(n+1)
(n>2)
이고, a¡=S¡=3이므로 an=
6
n(n+1)
(n>1)
4 an+an+1=
6
n(n+1)
+
6
(n+1)(n+2)
=6 {
1
1
n
-
n+2 }
12 정답과 풀이
07 ^ ③
GUIDE
$
Ú
n=1
bn
n
08 ^ 1
GUIDE
$
n=1 {nan-
Ú
lim
n d $
bn
n
=0이고, lim
n d $
an+4n
bn+3n-2
= lim
n d $
bn
n
+4
+3-
bn
n
2
n
=2로 수렴하므로 lim
n d$
=0
bn
n
an
n
+4
bn
n
+3-
2
n
따라서 lim
n d$
an+4n
bn+3n-2
=
=
1+4
0+3-0
=;3%;
11 ^ 6
GUIDE
두 수열 {3a2n-8n}과 {23-an}의 공비가 -1 보다 크고 1 보다 작아야 한다.
즉 a2n-8n<0이고 3-an<0
$
Ú
n=1
$
Ú
n=1
3a2n-8n과
23-an이 수렴하려면
a2n-8n=a¡-d+(2d-8)n에서 2d-8<0
3-an=3-a¡+d-dn에서 -d<0이어야 하므로
0<d<4에서 가능한 정수 d 의 값은 1, 2, 3
따라서 합은 6
n€-1
n+2 } 이 수렴하므로 lim
n d $ {nan-
n€-1
n+2 }=0
$
n=1{nan-
Ú
n€-1
n+2 }=3에서 lim
n d${nan-
이므로 cn=nan-
이라 하면 an=
n€-1
n+2
4 lim
n d$
an= lim
n d$
1
n-
n
n+2 }=1
cn
n
{
+
n€-1
n+2 }=0
1
n
n+2
cn
n
n-
+
09 ^ 12
GUIDE
(2x€-x+1)n=(x€-3x+2)Q(x)+anx+bn으로 놓는다.
나머지정리에서 (2x€-x+1)n=(x€-3x+2)Q(x)+an x+bn
이라 하고, 이 항등식에 x=1, x=2를 각각 대입하면
2n=an+bn, 7˜=2an+bn에서
an=7˜-2˜, bn=2n+1-7n이므로
$
Ú
n=1
an+7bn-1
3n =
$
Ú
n=1
6_2n
3n =
=12
4
1-;3@;
10 ^ ③
GUIDE
sin {;2π; log™ x}의 값이 1 또는 -1이 되도록 하는 ;2π; log™ x의 값을 생각
한다. 이때 x<1임을 주의한다.
|sin {;2π; log™ x}|=1이려면 정수 m에 대하여
;2π; log™ x=;2π; (2m+1)이면 되므로 x=22m+1
이때 x<1에서 2m+1<0이므로 an=2-2n+1
4
$
Ú
n=1
an=
$
Ú
n=1
2-2n+1=
;2!;
1-;4!;
=;3@;
12 ^ 3
GUIDE
[x]=n이면 n<x<n+1
[ log£k ]=n에서 n<log£k<n+1
즉 3n<k<3n+1을 만족시키는 자연수 k의 개수는
3n+1-3n=2_3n 4 an=2_3n
따라서
$
Ú
n=1
an
5n =
$
Ú
n=1
2 {;5#;}
n
=
;5^;
=3
1-;5#;
13 ^ ③
GUIDE
{an}의 첫째항과 공비를 이용해 A, B를 나타낸다.
{an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
an=ar n-1, (-1)n-1 an=(-1)n-1_ar n-1=a(-r)n-1에서
$
Ú
n=1
an=
a
1-r
$
Ú
n=1
=A,
(-1)n-1an=
a
1+r
=B
이므로
(an)€=
$
Ú
n=1
a€
1-r€
=
a
1-r
_
a
1+r
=AB
14 ^
;3!;
GUIDE
$
Ú
n=1
a2n=a2+a4+a6+y,
a3n=a3+a6+a9+y 임을 이용해 {an}
$
Ú
n=1
의 첫째항과 공비에 대한 방정식을 만들어 첫째항과 공비를 구한다.
{an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
$
Ú
n=1
a2n=
ar
1-r€
=7,
a3n=
$
Ú
n=1
ar€
1-r‹
=3
ar=7(1-r€), ar€=3(1-r‹)
이때 7r(1-r€)=3(1-r‹)이고, r+1이므로
7r(1+r)=3(1+r+r€)에서
1. 급수 13
{a2n}, {a3n}이 수렴하므로 -1<r€<1, -1<r‹<1에서 r=;2!;
4r€+4r-3=(2r-1)(2r+3)=0
4 r=;2!; 또는 r=-;2#;
이때 ar
1-r€
=7에서 a=;;™2¡;;
∫
a6n=
$
Ú
n=1
arfi
1-rfl
=
;;™2¡;;_;3¡2;
1-;6¡4;
=;3!;
15 ^ 375
GUIDE
➊ 두 삼각형 ABnCn과 ABn+1Cn+1의 닮음비에서 등비수열 {Sn}의 공
17 ^ ②
GUIDE
비를 구한다.
➋ 3D¡MD™의 크기를 구한다.
B™C™’=3_;3@;=2이고, 그림과 같이 B™C™’의 중점을
M, B¡C¡’과 호 B™C™가 만나는 점을 D¡, D™라 하면
사각형 B¡B™MD¡은 한 변의 길이가 1인 평행사변형(마름모)이
므로 삼각형 MD¡D™는 한 변의 길이가 1인 정삼각형이다.
A
매 회 a mg의 약을 투여하면 12시간 후 ;1¡6; 으로 줄어들므로 12n시간 후
a
16
+
a
16€
+y+
a
16n 만큼의 약이 남는다.
a+
매 회 a mg의 약을 투여한다고 하면 12시간 후 a+
만큼의
a
16
C™
1
60^
1
M
60^
B™
1
60^
B¡
1
D¡
D™
C¡
약이 남아 있고 12_2시간 후 a+
+
만큼의 약이 남아
이때 1ABnCn과 1ABn+1Cn+1의 닮음비가 3：2이므로
a
16
a
16€
즉 12n시간 후 a+
+
+y+
a
16€
a
16n 만큼의 약이 남아 있
으므로 a+
+
+y<400이면 된다.
있다.
a
16
a
16€
a
16
4
a
1-;1¡6;
=
16a
15
<400
따라서 a<375이므로 매회 최대 투여량은 375 mg
_1€=;6π;- '3
넓이 비는 9：4, 즉 수열 {Sn}의 공비는 ;9$;
S¡=p_;6!;- '3
- '3
4
4
9
6p-9'3
20
$
Ú
n=1
이므로
Sn=
1-
p
6
=
4
4
12시간 후
a
16
a
cd
cd
24시간 후
a
16€
a
16
a
cd
cd
cd
36시간 후
a
16‹
a
16€
a
16
a
y
y
y
y
참고
처음
a
cd
16 ^ 35
GUIDE
Sn+1={1-;3!;} {1-;4!;} Sn 이때 Sº=35임을 주의한다.
Sº=35이고 S¡=;3@;_;4#;_Sº=;;£2∞;; 이므로
Sn(n>1)은 첫째항이 ;;£2∞;; 이고 공비가 ;2!; 인 등비수열이다.
4
$
Ú
n=1
Sn=
;;£2∞;;
1-;2!;
=35
14 정답과 풀이
18 ^ 15
GUIDE
➊ OC≥ 가 3P¡OQ¡의 이등분선임을 이용해 각 원의 반지름 길이를 차례
대로 구해 본다.
➋ 닮음비를 이용한다.
A
C3
...
P3
A™
C2
P2
A¡
P1
C1
60^
O
B¡
B™
Q1
Q2
Q3
B
점 C¡을 중심으로 하는 원의 반지름 길이를 r¡이라 하면
3C¡OQ¡=30^이고, OC’¡=1이므로 r=;2!;
이때 C¡Q¡’=C¡A¡’=C¡B¡’=;2!; 이다.
점 C™를 중심으로 하는 원의 반지름 길이를 r™이라 하면
참고
이므로 사각형 B¡C¡A¡C™의 넓이
1C™OQ™에서 2r™=1+r™이므로 r™=1
이때 C¡C™’=C™A¡’=C™B™’=1이다.
1C¡C™A¡의 넓이가 'ß15
16
S¡= 'ß15
8
이고 r¡ : r™=1 : 2이므로
Sn은 공비가 4인 등비수열이다.
$
Ú
n=1
Sn
5n =
$
Ú
n=1
'ß15
8
4n-1
5n =
= 'ß15
8
=p
'ß15
40
4
5
1-
∫ 64p€=64_;6!4%;=15
참고
➊ 1C¡C™A¡에서 C¡C™’=1, C™A¡’=1, C¡A¡’=;2!; 이므로
s=
1+1+;2!;
2
=;4%; 라 하면 헤론의 공식에서
1C¡C™A¡=Ƙ;4%; {;4%;-1}{;4%;-1}{;4%;-;2!;}= 'ß15
16
➋
$
Ún=1
4n-1
5n =
$
Ún=1 ;5!;_{;5$;}
n-1
=;5!; {
1
1-
4
5
}=1
STEP 3
1등급 뛰어넘기
p. 25~26
01 0
05 ③
02 4
06 ③
03 8
04 17
01 ^ 0
GUIDE
1
2n
-
Sn=
1
2(n+1)
+
1
2(n+1)€
임을 구한다.
;n!;
Sn=…
1
n+1
nxdx=“
;n!;
nx€
2 ‘
1
n+1
=
-
n
2(n+1)€
=
-
1
2(n+1)
+
1
2(n+1)€
1
2n
1
2n
4 Sn-
1
2n€
=
1
2n
-
1
2(n+1)
-
1
2n€
+
1
2(n+1)€
n
Ú
k=1
{Sk-
4
$
Ú
n=1
{Sn-
1
2(n+1)€
1
2k€ }=
1
2n€ }= lim
n d $[
-
1
2(n+1)
1
2(n+1)€
1
-
2(n+1) ]=0
➊ 부분분수의 성질에서
n
(n+1)€
=
1
n+1
-
1
(n+1)€
➋
n
Úk=1[
1
2n
-
1
2(n+1) ]=;2!;-
1
2(n+1)
n
Úk=1
-[
1
2n€
-
1
2(n+1)€ ]=-;2!;+
1
2(n+1)€
n
Ú
k=1
|
(ak+2)-1|<
1
2n 와 |
n
Ú
k=1
(bk-1)-3|<
1
3n 가 n cd $일 때를
02 ^ 4
GUIDE
살펴본다.
lim
n d $|
n
Ú
k=1
(ak+2)-1|=0, lim
n d $|
(bk-1)-3|=0
n
Ú
k=1
이므로
(ak+2)=1,
(bk-1)=3
$
Ú
k=1
$
Ú
k=1
4 lim
n d $
an=-2, lim
n d $
bn=1
따라서 lim
n d $
an-2bn
2an+bn
=
-4
-3
=;3$;=p
4 3p=4
03 ^ 8
GUIDE
(x-1)(x-a¡)(x-a™)y(x-a2n)=x2n+1-1임을 이용한다.
x2n+1-1=(x-1)(x2n+x2n-1+y+x+1)
=(x-1)(x-a¡)(x-a™)y(x-a2n)
=(x-1)fn(x)
에서 (x-1)fn(x)=x2n+1-1의 양변에
x=3, x=2를 각각 대입하면
2fn(3)=32n+1-1, fn(2)=22n+1-1
$
Ú
n=1
2fn(3)-fn(2)
12n
=
n
$
n=1[3 {;4#;}
Ú
n
-2 {;3!;}
]
=
;4(;
-
;3@;
=8
1-;4#;
1-;3!;
04 ^ 17
GUIDE
A를 통과한 빛이 B를 통과하는 것과 함께 B에서 반사된 빛이 다시 A에
서 반사되고 B를 통과하는 경우도 생각한다.
처음에 A를 통과한 빛은 ;6!; a이다. 이중에서 B를 바로 통과한
빛은 ;6!; a_;5@; 이고, B에 반사되었다가 다시 A에서 반사되어
B를 통과한 빛은 ;6!; a_;5#;_;6%;_;5@; 이다.
1. 급수 15
An
2an
Dn
an
An+1
an+1
Dn+1
Bn
Bn+1
an+1
Cn+1
2an+1
Cn
2an-3an+1
직사각형 AnBnCnDn의 세로 길이를 an,
직사각형 An+1Bn+1Cn+1Dn+1의 세로 길이를 an+1이라 하면
BnBn+1’=An+1Bn+1’이므로 Cn+1Cn’=2an-3an+1
또한 점 Dn을 좌표평면 위의 원점에 놓고 직사각형 AnBnCnDn
의 가로와 세로를 x축, y축에 평행하게 놓으면 점
Dn+1(-2an+3an+1, an+1-an)은
원 x€+y€=an€ 위의 점이 된다.
(-2an+3an+1)€+(an+1-an)€=an€
(5an+1-2an)(an+1-an)=0
4 an+1=;5@; an (5 an+1<an)
따라서 닮음비가 ;5@; 이므로 넓이 비는 ;2¢5; 이고
S¡=2 {;4π;-;2!;_1_1}=;2π;-1
4 lim
n d $
Sn=
=;2@1%; {;2π;-1}
;2π;-1
1-;;2¢5;
1등급 NOTE
A1
M
1
A2
a
D2
B1
a
B2
2a
C2
2-3a
D1
1-a
E1
C1
B¡B™’=a라 하면 å A™B™’：A™D™’=1：2이므로
A™B™’=a, å A™D™’=B™C™’=2a
이때 C™C¡’=2-3a
변 A™D™의 연장선이 C¡D¡’ 과 만나는 점을 E¡이라 하면
D™E¡’=C™C¡’=2-3a, D¡E¡’=1-a
피타고라스 정리에서 (1-a)€+(2-3a)€=1€
정리하면 5a€-7a+2=0
∫ a=;5@;
즉, 닮음비가 1：
;5@; 이므로 넓이 비는 1：
;2¢5; 임을 이용할 수 있다.
순서대로 B와 A에 n번 반사된 후 B를 통과한 빛은
n
n
;6!; a_{;5#;_;6%;}
_;5@;=;6!; a_{;2!;}
_;5@; 이므로
충분히 시간이 흐른 후 B를 통과한 빛의 양은
;6!; a_;5@;+;6!; a_;2!;_;5@;+;6!; a_{;2!;}
€_;5@;+y
a
15
=
1-;2!;
=;1™5; a
따라서 m=15, n=2이므로 m+n=17
05 ^ ③
GUIDE
(원 O¡의 반지름 길이) : (원 O™의 반지름 길이)를 구한다.
원 O¡의 중심을 O¡이라 하면
3O¡B¡D¡=30^이고, 원 O¡의
반지름의 길이가 2이므로
A¡D¡’=2+1=3
정삼각형 A¡B¡C¡의 한 변의 길이를
a라 하면
A¡
O¡
30^
E
O¡
2
30^
B¡
D¡
C¡
a=3에서 a=2'3 이고, 정삼각형 A¡B¡C¡의 넓이는
_(2'3 )€=3'3
4 S¡=3'3_;2!;_;3@;+;3$; p-'3=;3$; p
또 A¡B¡D¡에 내접하는 원의 반지름 길이를 r라 하면
'3
2
'3
4
r
2
(2'3+'3+3)=;2!;_3_'3
4 r= '3
'3+1
즉 R¡과 R™의 닮음비가
3-'3
2
=
2 :
3-'3
2
=1 :
이므로
3-'3
4
S™=S¡+{
3-'3
4
€
S¡
}
Sn=S¡+{
3-'3
4
€
S¡+y+[{
}
3-'3
4
€
}
]
n-1
S¡
lim
n d $
Sn=
;3$; p
3-'3
4
€
}
1-{
=
32p
3(3'3+2)
=
32(3'3-2)p
69
좌표평면 위에서 큰 직사각형과 작은 직사각형의 닮음비를 찾는다.
06 ^ ③
GUIDE
16 정답과 풀이
STEP 1
1등급 준비하기
p. 30 ~31
꼴을 만든다.
3
지수함수와 로그함수의 미분
01 9
05 3
09 ⑤
02 ⑤
06 ③
10 1
03 ①
07 ④
11 ③
04 ③
08 ③
12 ④
04 ^ ③
GUIDE
e◼-1
◼
lim
◼ d 0
2_8x+3_9x+5_5x
;2!;_8x+;3!;_9x+;5!;_5x
lim
x d 0
f(x)
x€+1
=;2#;
lim
x d 0
e2x€+3-1
f(x)
=lim
x d 0
(e2x€+3-1)(2x€+3)
(2x€+3)f(x)
=2
에서 lim
x d 0
e2x€+3-1
2x€+3
=1이므로 lim
x d 0
2x€+3
f(x)
=2
이때 lim
x d 0
f(x)
x€+1
=lim
x d 0
f(x)(2x€+3)
(2x€+3)(x€+1)
에서
lim
x d 0
f(x)
2x€+3
=;2!;, lim
x d 0
2x€+3
x€+1
=3이므로
05 ^ 3
GUIDE
◼
ln(1+◼)
lim
◼ d 0
꼴을 만든다.
lim
x d 2
x€-x-2
ln(x-1)
=lim
x d 2
(x+1)(x-2)
ln(x-1)
에서
x-2=t로 치환하면 lim
t d 0
t(t+3)
ln(1+t)
=1_3=3
01 ^ 9
GUIDE
가장 큰 항으로 분모와 분자를 나눈다.
lim
x d$
23x+1+32x+1+5x+1
23x-1+32x-1+5x-1 =lim
x d$
에서 분모, 분자를 9x으로 나누면
lim
x d$
2_{;9*;}
+3+5_{;9%;}
x
x
x
;2!;_{;9*;}
+;3!;+;5!;_{;9%;}
x =
=9
3
;3!;
02 ^ ⑤
GUIDE
lim
x d 0
lim
x d 0
=lim
x d 0
=lim
x d 0
(1+ax);x!;= lim
x d 0
(1+ax);a¡x;_a=ea
{(1+x)(1+3x)(1+5x) y (1+19)};x!;
{(1+x);x!;(1+3x);x!;(1+5x);x!;
y (1+19x);;x!;}
{(1+x);x! ;(1+3x);3¡x;_3
(1+5x);5¡x;_5
=e_e‹_efi_ y _e19=e 1+3+5++19=e 100
1등급 NOTE
(2k-1)=1+3=2€
(2k-1)=1+3+5=3€
2
Ú
k =1
3
Ú
k =1
n
Ú
k =1
⋮
(2k-1)=n€
03 ^ ①
GUIDE
lim
◼ d 0
(1+◼)
1
◼ 꼴을 만든다.
lim
x d -1
(x€)
1
x+1= lim
x d -1
{1+(x€-1)}
1
x+1
= lim
x d -1
{1+(x€-1)}
1
x€-1
_(x-1)=e-2
06 ^ ③
GUIDE
y (1+19x)
1
19x
_19}
lim
x d 0
x>0일 때와 x<0일 때로 나누고
ln(1+x)
x
=1, lim
x d 0
e2x-1
2x
=1을 이용한다.
x>0일 때
ln(1+x)
x
<
f(x)
x
<
e2x-1
2x
x<0일 때
e2x-1
2x
<
f(x)
x
<
ln(1+x)
x
그런데 lim
x d 0
ln(1+x)
x
=1, lim
x d 0
e2x-1
2x
=1이므로
함수의 극한의 대소 관계에서
lim
x d 0+
f(x)
x
= lim
x d 0-
f(x)
x
=lim
x d 0
f(x)
x
=1
따라서 lim
x d 0
f(3x)
x
=lim
x d 0
f(3x)
3x
_3=1_3=3
2n-1
å
n
7
5
n
3
1
07 ^ ④
GUIDE
f(1+h)-f(1-h)
h
lim
h d 0
=2f '(1)을 이용한다.
함수 f(x)는 미분가능하므로
lim
h d 0
f(1+h)-f(1-h)
h
=2f '(1)
3. 지수함수와 로그함수의 미분 17
f(x)=(x€+x)ex에서
f '(x)=(2x+1)ex+(x€+x)ex=(x€+3x+1)ex
이때 f '(1)=5e이므로 2f '(1)=2_5e=10e
08 ^ ③
GUIDE
f(◼)-f(▲)
◼-▲
lim
◼ d ▲
=f '(▲)임을 이용한다.
f(2x)-f(1)
x
lim
x d 0
=lim
x d 0
{ f(2x)-f(1)}(2x-1)
(2x-1)x
=lim
x d 0 [
f(2x)-f(1)
2x-1
_
2x-1
x ]
=f '(1)_ln 2
=3 ln 2=ln 8
09 ^ ⑤
GUIDE
f(x)=(x€+ax)ln a에서 f '(x)=(2x+a)ln x+x+a를 이용한다.
f(x)=(x€+ax)ln a에서
f '(x)=(2x+a)ln x+(x€+ax)_;x!;
=(2x+a)ln x+x+a
이고 f '(a)=5a이므로 f '(a)=3a ln a+2a=5a에서
ln a=1
4 a=e
따라서 f(a)=f(e)=(e€+e€)ln e=2e€
10 ^ 1
GUIDE
3n+4
3n+2
=1+
2
3n+2
,
3n-2
3n+2
=1-
4
3n+2
lim
n d$
n[ f {
3n+4
3n+2 }-f {
3n-2
3n+2 }]
= lim
n d$
n[ f {1+
3n+2 }-f {1-
3n+2 }]
2
4
= lim
n d$
6n
3n+2
[
f {1+
2
3n+2 }-f {1-
6
3n+2
4
3n+2 }
]
=2f '(1)
f(x)=aex+b에서 f '(x)=aex,
즉 2f '(1)=2ae=6e에서 a=3이고
f(0)=a+b=5에서 b=2
∫ a-b=1
18 정답과 풀이
11 ^ ③
GUIDE
➊ lim
x d 0
f(x)=f(0)
g(x)
h(x)
➋ lim
x d a
=b에서 h(a)=0이면 g(a)=0
x=0에서 연속이어야 하므로
ex+3x+a
x
=b에서
lim
x d 0
lim
x d 0
(ex+3x+a)=0
∫ a= -1
=1+3=4
∫ b=4
lim
x d 0
ex-1+3x
x
따라서 a+b=3
12 ^ ④
GUIDE
x값에 관계없이 (x+b)'=1이므로 f '(a)=1을 이용한다.
(ex+1)'=ex이고, ea=1이어야 하므로 a=0
연속이어야 하므로 e0+1=0+b에서 b=2
∫ a+b=2
STEP 2
1등급 굳히기
p. 32~36
03 2
07 1
11 ⑤
15 -55
19 ④
04 2
08 2
16 2
20 ③
12 ㄱ, ㄴ, ㄷ
02 ③
06 48
10 2
14 4
18 8
22 -2
01 ④
05 ②
09 ③
13 8
17 ③
21 50
01 ^ ④
GUIDE
{1+
1
2n }{1+
1
2n+1 }{1+
2n+2 } y {1+
1
1
an }
2n+1
2n
_
2n+2
2n+1
_
2n+3
2n+2
_ y _ an+1
an
=
lim
n d$[{1+
1
2n }{1+
1
2n+1 }{1+
2n+2 } y {1+
1
n
1
an }-1]
= lim
n d${
2n+1
2n
_
2n+2
2n+1
_
2n+3
2n+2
_ y _
n
an+1
an
-1}
= lim
n d${;2A;-1+
n
1
2n }
극한값이 존재하려면 ;2A;-1=1이어야 하므로 a=4
n
1
2n }
lim
n d${1+
따라서 ba=e€
= lim
n d${1+
2n_;2!;
1
2n }
=e
;2!; ∫ b=e
;2!;
02 ^ ③
GUIDE
{
x
x
x-1 }
={
x-1+1
x-1
x
={1+
}
1
x-1 }
(x-1)_
x
x-1
ㄱ. lim
x d$
{
f(x)= lim
x d$
x
x
x-1 }
= lim
x d$
{1+
x
1
x-1 }
= lim
x d$
[{1+
1
x-1 }
x-1
]
x
x-1
=e (◯)
ㄴ. x-1=t÷라 하면 lim
x d$
x+1=t÷라 하면 lim
x d$
f(x-1)=lim
t d$
f(x+1)=lim
t d$
f(t)=e
f(t)=e
4 lim
x d$
f(x-1) f(x+1)=e_e=e€ ( ◯ )
ㄷ. lim
x d$
f(nx)= lim
x d${
nx
nx
nx-1 }
= lim
x d${1+
nx
1
nx-1 }
4 lim
n d$
n[ f {
2n+3
n-1 }-f {
2n-1
n-1 }]
= lim
n d$
4n
n-1 [
f {2+
1
n-1 }
5
n-1 }-f {2+
4
n-1
]=4f '(2)
이때 f '(x)=;x!;이므로
lim
n d$
n[ f {
2n+3
n-1 }-f {
2n-1
n-1 }]=4f '(2)=4_;2!;=2
05 ^ ②
GUIDE
f(x)
█_ln(1+█)
1
█
lim
x d 0
lim
x d 0
f(x)
ln(1+2x+3x€)
꼴을 만든다.
=lim
x d 0
f(x)
2x+3x€
=2
이때 lim
x d 0
ax+bx€
f(x)
=lim
x d 0
(2x+3x€)(ax+bx€)
f(x)(2x+3x€)
=1에서
lim
x d 0
2x+3x€
f(x)
=;2!;이므로 lim
x d 0
ax+bx€
2x+3x€
=lim
x d 0
a+bx
2+3x
=2
=d에서 h(c)=0이면 g(c)=0
06 ^ 48
GUIDE
➊ lim
x d c
g(x)
h(x)
➋ t=x-1로 치환한다.
t=x-1이라 하면
lim
x d 1
{"ƒx€+3x-2}=0에서 lim
x d 1
(ex-1-a)=0 ∫ a=1
lim
x d 1
ex-1-1
"ƒx€+3x-2
=lim
t d 0
=lim
t d 0
e t-1
"ƒt €+5t+4-2
(et-1)("ƒt€+5t+4+2)
t€+5t
=lim
t d 0
(et-1)("ƒt€+5t+4+2)
t(t+5)
=;5$;
따라서 b=;5$;이므로 60ab=48
07 ^ 1
GUIDE
A(0, 1), P(t, et )에서 중점 조건과 수직 조건을 이용해 AP’의 수직이등
3. 지수함수와 로그함수의 미분 19
= lim
x d$[{1+
1
nx-1 }
nx-1
nx
nx-1
]
=e ( _ )
=lim
x d 0
(2x+3x€)ln(1+2x+3x€)
1
2x+3x€
f(x)
03 ^ 2
GUIDE
1
▲ 꼴을 만든다.
ln(1+▲)
y=ex-1에서 x와 y를 바꿔 정리하면 x=e÷y-1, e÷y=1+x에
따라서 b값에 관계없이 a=4
서 y=ln(1+x), 즉 g(x)=ln(1+x)이므로
g(x+1)-g(x)=ln(2+x)-ln(1+x)=ln{1+
1
1+x }
4 lim
x d $
2x{g(x+1)-g(x)}
x+1
2x
x+1
1
x+1 }
]
= lim
x d $
[ ln{1+
=ln e€=2
04 ^ 2
GUIDE
➋ f {
➊ t=x;n!;-1로 치환하여 정리한다.
2n+3
n-1 }-f {
2n-1
n-1 }=f {2+
5
n-1 }-f {2+
1
n-1 }
t=x;n!;-1이라 하면 x;n!;=1+t, x=(1+t)n에서
lnx=nln(1+t)
∫ n=
ln x
ln(1+t)
n → $일 때, t → 0이므로
n d$n{x;n!;-1}
f(x)= lim
=lim
t d 0
ln x
ln(1+t)
_t=lim
t d 0
t
ln(1+t)
_ln x=ln x
분선의 방정식을 구한다.
A(0, 1), P(t, et)에서 AP’의 중점의 좌표는 {
t
2
,
et+1
2
}이고
기울기는
이므로 수직이등분선의 방정식은
et-1
t
y=-
t
et-1
{x-
t
2 }+
et+1
2
x절편은 0=-
t
et-1
{x-
t
2 }+
et+1
2
에서
x=;2T;+
e2t-1
2t
, 즉 f(t)=;2T;+
e2t-1
2t
4 lim
t d 0
{
f(t)=lim
t d 0
t
2
+
e2t-1
2t
}=1
가 x=t에서 미분가능하면
10 ^ 2
GUIDE
함수 g(x)=[
f(x) (x>t)
h(x) (x<t)
f(t)=h(t), f '(t)=h '(t)
f(t)=e t+1+1=mt
f '(t)=e t+1=m
yy ㉡
yy ㉠
㉡에서 t+1=ln m, 즉 t=ln m-1이므로
㉠에 et+1=m과 t=ln m-1을 대입하면
m+1=m(ln m-1), ln m-1=1+
1
m
08 ^ 2
GUIDE
➊ x<0일 때 y=-ex+1이고 x>0일 때 y=ex-1이다.
➋ 두 점 A, B의 x좌표를 구해 f(k)를 로그의 극한을 이용할 수 있는 꼴
로 바꾼다.
A의 x좌표는 -ex+1=k에서 x=ln(1-k)
B의 x좌표는 ex-1=k에서 x=ln(1+k)
f(k)=ln(1+k)-ln(1-k)
=ln
1+k
1-k
=ln {1+
2k
1-k }
=ln[{1+
2k
1-k }
1-k
2k
2k
1-k
]
4 lim
k d 0+
f(k)
k
= lim
k d 0+
2k
k(1-k)
ln {1+
2k
1-k }
1-k
2k =2
09 ^ ③
GUIDE
ㄱ. lim
x d 0
ㄴ. lim
x d 0
ex‹-1
x‹
ex-1
f(x)
ex-1
x
ㄷ. lim
x d 0+
ef(x)-1
x
= lim
x d 0-
ef(x)-1
x
인지 확인한다.
_x€=1_0=0 ( ◯ )
=lim
x d 0
ex-1
x
_
x
f(x)
=1에서
lim
x d 0
=1이므로 lim
x d 0
x
f(x)
=1
4 lim
x d 0
2x-1
f(x)
=lim
x d 0
2x-1
x
_
x
f(x)
=ln2 ( ◯ )
ㄷ. (반례) f(x)=|x|라 하면
lim
x d 0+
e|x|-1
x
= lim
x d 0+
e|x|-1
|x|
_
|x|
x
=1
lim
x d 0-
e|x|-1
x
= lim
x d 0-
e|x|-1
|x|
_
|x|
x
=-1
따라서 lim
x d 0
e|x|-1
x
은 존재하지 않는다. ( _ )
20 정답과 풀이
∫ ln m-
=2
1
m
11 ^ ⑤
GUIDE
f(x)가 x=0에서 연속이므로 f(0)= lim
x d 0
f(x)임을 이용한다.
f(x)가 모든 실수에서 연속이므로 x=0일 때도 연속이다.
즉 f(0)=lim
x d 0
f(x)이 성립한다.
(ax-1)f(x)=b-x-1에서 f(x)=
이고
{
x
-1
1
b }
ax-1
f(0)=lim
x d 0
f(x)=lim
x d 0
{
x
-1
1
b }
ax-1
=lim
x d 0
x
-1
{;b!;}
x
ax-1
x
1
ln {
b }
ln a
=
=
-ln b
ln a
=-loga b
12 ^ ㄱ, ㄴ, ㄷ
GUIDE
y=2x의 그래프에서 생각한다.
ㄱ. y=2x가 x값이 커지면 y값도 커
지는 함수이므로 점 A와 곡선
위의 임의의 점에 대하여 기울기
는 항상 양수이다. ( ◯ )
ㄴ. 그림과 같이 점 P의 위치가
P¡ bd P™ bd P£ bd P¢ bd y
y
O
P™
P¡
A
y=2˛
P¢
x
P£
의 순서대로 변할 때 직선 APn (n=1, 2, 3, y)의 기울기는
점점 커진다. ( ◯ )
ㄷ. y=2x-1, y=x가 각각 연속이므로 f(x)도 연속이다.
또 x=0일 때 f(x)가 정의되지 않지만
lim
x d 0
f(x)=lim
x d 0
2x-1
x
=ln 2이므로 f(0)=ln2이면
f(x)가 실수 전체에서 연속이 된다. ( ◯ )
13 ^ 8
GUIDE
x<1, x>1일 때로 나누어 생각한다.
;2!;<x<1일 때 [2x]=1, [ex-1]=0이므로
f(x)=ex, f '(x)=ex
1<x<;2#;일 때 [2x]=2, [ex-1]=1이므로
f(x)=2ex+ax+b, f '(x)=2ex+a
함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하려면
연속이고 좌우미분계수가 같아야 하므로
e=2e+a+b, e=2e+a에서 a=-e, b=0
즉 f(x)=ex[2x]-ex [ex-1]이고
f(2)=e2[4]-2e [e]=4e€-4e에서 p=4, q=-4
∫ p-q=8
14 ^ 4
GUIDE
f(0)g(0)= lim
x d 0
f(x)g(x)임을 이용한다.
g(x)=x€+ax+b라 하면
f(x)g(x)=
[
x€+ax+b
2x-1
(x+0)
2b
(x=0)
가 x=0에서 연속이어야 한다.
lim
x d 0
x€+ax+b
2x-1
에서 (분모) → 0 이므로
(분자) → 0에서 b=0
lim
x d 0
f(x)g(x)=lim
x d 0
x€+ax
2x-1
=lim
x d 0
=
a
ln 2
x€+ax
x
2x-1
x
에서 f(0)g(0)=2b=0이므로 a=0
따라서 g(x)=x€이고, 이때 g(2)=4
15 ^ -55
GUIDE
lim
h d 0
f(ah)-f(0)
h
f(0+ah)-f(0)
ah
=lim
h d 0
_a=af '(0)임을 이용한다.
lim
h d 0
1
h [
10
k=1 f(kh)-10f(0)]
Ú
=lim
h d 0
1
h
[{ f(h)-f(0)}+{ f(2h)-f(0)}
16 ^ 2
GUIDE
f(x+h)=f [x {1+;xH;}]=f(x)+f {1+;xH;}-a임을 이용한다.
f(xy)=f(x)+f(y)-a에 x=1, y=1을 대입하면
a=f(1)=ln 2이고,
f '(x)=lim
h d 0
f(x+h)-f(x)
h
=lim
h d 0
f [x{1+
h
x }]-f(x)
h
=lim
h d 0
f(x)+f {1+
h
x }-ln2-f(x)
h
=lim
h d 0
f {1+
h
x }-ln2
h
=lim
h d 0 ;x!;_
f {1+
h
x }-f(1)
h
x
=lim
h d 0
;x!; f '(1)=;x@;
∫ f '(2)=1
따라서 f '(2)_ea=1_eln 2=2
17 ^ ③
GUIDE
f(x)=ex, f '(x)=ex이므로
f(kx)-1
x
=lim
x d 0
f(kx)-f(0)
kx-0
_k=kf '(0)=k
f(x)=ex에서 f '(x)=ex, f(0)=1
lim
x d 0
lim
x d 0
gn(x)
=lim
x d 0
{ f(x)-1}{ f(2x)-1} y { f(nx)-1}
xn
=lim
x d 0 [
f(x)-f(0)
x
_
f(2x)-f(0)
x
_ y
f(nx)-f(0)
x
]
=1_2_ y _n=n!
이므로 an=n!
$
Ú
n =1
n
an+1
=
$
Ú
n =1
n
(n+1)!
=
$
Ú
n =1
(n+1)-1
(n+1)!
=
$
Ú
n =1{
1
n!
1
-
(n+1)! }=1
+y+{ f(10h)-f(0)}]
=f '(0)+2f '(0)+y+10f '(0)=55f '(0)
f(x)=(x-1)e2x+1에서 f '(x)=(2x-1)e2x+1이고,
이때 f '(0)=-e이므로 55f '(0)=-55e=ke에서 k=-55
18 ^ 8
GUIDE
f(x)=2x, g(x)=lnx로 놓고 f '(2), g '(2)를 이용한다.
3. 지수함수와 로그함수의 미분 21
f(x)=2x, g(x)=lnx라 하면
lim
x d 2
2x ln 2-4 ln x
x-2
=lim
x d 2
f(x)g(2)-f(2)g(2)+f(2)g(2)-f(2)g(x)
x-2
=lim
x d 2 [
f(x)-f(2)
x-2
_g(2)-
g(x)-g(2)
x-2
_f(2)]
=f '(2)g(2)-f(2)g '(2)
이때 f '(x)=2x ln 2, g '(x)=;x!;이므로
f '(2)g(2)-f(2)g '(2)=4ln 2_ln 2-4_;2!;
=4(ln 2)€-2
따라서 a=4, b=2이므로 ab=8
19 ^ ④
GUIDE
f(x)=eax+1에서 f '(x)=aeax+1
f(x)=eax+1에서 f '(x)=aeax+1이므로 f '(0)=ae=2e
즉 a=2이고, 이때 f '(1)=2e2_1+1=2e‹
또 f(x+y)=bf(x)f(y)에 x=0, y=0을 대입하면 b=;e!;
다른 풀이
f(x+y)=eax+ay+1, bf(x)f(y)=beax+1_eay+1
즉 eax+ay+1=beax+ay+2에서 b=;e!;
f '(0)=lim
h d 0
f(h)-f(0)
h
=lim
h d 0
eah+1-e
h
=lim
h d 0
eah-1
h
_e=lim
h d 0
eah-1
ah
_ae=ae=2e
에서 a=2
f '(1)=lim
h d 0
f(1+h)-f(1)
h
=lim
h d 0
e3+2h-e‹
h
=lim
h d 0
e2h-1
h
_e‹=lim
h d 0
e2h-1
2h
_2e‹=2e‹
4 abf '(1)=2_;e!;_2e‹=4e€
20 ^ ③
GUIDE
y=ex에서 y '=ex이므로 곡선 위의 점 An(n, en)에서 그은 접선의 기울
기는 en이다.
An(n, en)에서 x축에 내린 수선의 발은 Bn(n, 0)이고
An에서의 접선의 방정식은
y=en(x-n)+en이므로 Cn(n-1, 0)
22 정답과 풀이
y
1
O
y=e˛ y=e˜(x-n)+e˜
An(n, e˜)
Cn
Bn
n-1 n
x
이때 Sn=;2!;_1_en=;2!;en이므로
S1+S2+S3+ y +Sn=
;2!; e(en-1)
e-1
∫ lim
n d $
S1+S2+S3+ y +Sn
Sn
= lim
n d $
=
e
e-1
e(en-1)
2(e-1)
1
2
en
21 ^ 50
GUIDE
f(e)=-e, g(e)=-4e이고 f '(e)_g '(e)=-1
점 (e, -e)는 곡선 y=f(x) 위의 점이므로 f(e)=-e
곡선 y=f(x) 위의 점 (e, -e)에서의 접선의 기울기를
f '(e)=a라 하고 y=g(x)를 미분하면
g '(x)=f '(x)_ln x4+f(x)_;x$; 이므로
곡선 y=g(x) 위의 점 (e, -4e)에서의 접선의 기울기는
g '(e)=f '(e)_lne4+f(e)_;e$;=4a-4
두 접선이 수직이므로
f '(e)_g '(e)=-1에서 (2a-1)2=0
∫ a=;2!;
따라서 100f '(e)=100a=50
22 ^ ②
GUIDE
◼
1
◼ }
lim
◼ d $ {1+
꼴을 만든다.
fn(x)=x‹-2x€+n에서 fn'(x)=3x€-4x이고, 이때 곡선
y=f(x) 위의 점 (n, fn(n))에서 그은 접선의 방정식은
y=fn'(n)(x-n)+fn(n)
=(3n€-4n)(x-n)+n‹-2n€+n
=(3n€-4n)x-2n‹+2n€+n
이 접선의 y절편을 yn이라 했으므로 yn=-2n‹+2n€+n
4 {
n‹
yn+k
yn-k }
={
yn-k+2k
yn-k
n‹
={1+
}
n‹
2k
yn-k }
={1+
2k
yn-k }
yn-k
2k
_
2kn‹
yn-k
그런데 lim
n d$
2k
yn-k
= lim
n d$
2k
-2n‹+2n€+n-k
=0이므로
lim
n d${1+
2k
yn-k }
yn-k
2k
=e이고
lim
n d$
2kn‹
yn-k
= lim
n d$
2kn‹
-2n‹+2n€+n-k
=-k에서
즉 lim
n d${
yn+k
yn-k }
n‹
=e-k=e€에서 k=-2
2 0<x<1일 때
xn<xn+x2n+x3n<xn+xn+xn이므로
(xn);n!;<(xn+x2n+x3n);n!;<(3xn);n!;,
x<(xn+x2n+x3n);n!;<3;n!;_x
4 lim
n d $
x< lim
n d $
(xn+x2n+x3n);n!;< lim
n d $
(3;n!;_x)
이때 lim
n d $
x=x, lim
n d $
(3;n!;_x)=x에서
f(x)= lim
n d $
(xn+x2n+x3n);n!;=x ∫ f {;3!;}=;3!;
1, 2에서 f(2)+3f {;3!;}=9
STEP 3
1등급 뛰어넘기
03 ^ ②
GUIDE
p. 37
01 1
02 9
03 ②
04 2
직선 x=k 위에서 조건을 만족시키는 점이 몇 개인지 확인한다.
05 ⑴ 2 ⑵ 50
01 ^ 1
GUIDE
로 치환한다.
t-1=a라 하면
f(x)= lim
t d 1
et+x-e1+x
t-1
= lim
t d 1
e1+x(et-1-1)
t-1
이고 t-1을 다른 문자
f(x)=lim
t d 1
et+x-e1+x
t-1
=lim
t d 1
e1+x(et-1-1)
t-1
lim
t d 1
e1+x(et-1-1)
t-1
=lim
a d 0
e1+x(ea-1)
a
=e1+x
즉 f(x)=e1+x, ln f(x)=1+x이므로
$
Ú
n = 1
2
ln f(n)_ln f(n+1)
=
$
Ú
n = 1
2
(n+1)(n+2)
=
$
Ú
n = 1{
2
n+1
2
-
n+2 }=1
02 ^ 9
GUIDE
x>1, 0<x<1일 때로 나누어 생각한다.
1 x>1일 때
x3n<xn+x2n+x3n<x3n+x3n+x3n이므로
(x3n);n!;<(xn+x2n+x3n);n!;<(3x3n);n!;
,
x3<(xn+x2n+x3n);n!;<3;n!;_x3
y
1
O
y=2˛
(k, 2˚-1)
å
(k, 2)
(k, 1)
k
t
x
0<k<t인 자연수 k에 대하여 직선 x=k 위에서
조건을 만족시키는 점은 (k, 1), (k, 2), y, (k, 2k-1)로
(2k-1)개이므로 f(t)=
(2k-1)=2t-t-1
t-1
Ú
k = 1
4 lim
t d$[
f(t)
2t ]
f(t)
t =lim
t d${
2t-t-1
2t
}
2t-t-1
t
2t-t-1
t
t+1
2t }
t+1
2t }
2t
t+1 }_[-
(t+1)(2t-t-1)
t_2t
]
{-
=lim
t d${1-
=lim
t d${1-
이때 lim
t d${1-
-
t+1
2t }
2t
t+1 =e이고
lim
t d$[-
(t+1)(2t-t-1)
t_2t
]=-1이므로
lim
t d$[
f(t)
2t ]
f(t)
t =e-1=;e!;
4 lim
n d $
x3< lim
n d $
(xn+x2n+x3n);n!;< lim
n d $
{3;n!;_x3
}
이때 lim
n d $
x3=x3, lim
n d $
(3;n!;_x3)=x3에서
f(x)= lim
n d $
(xn+x2n+x3n);n!;=x‹ ∫ f(2)=8
04 ^ 2
GUIDE
치환을 이용해 lim
◼ d 0
(1+◼)
1
◼ 꼴을 만든다.
3. 지수함수와 로그함수의 미분 23
A(t)=;2!; ln t+t-1, B(t)=2ln t+t-1이고
4
삼각함수의 미분
t=1+x라 하면
lim
t d 1
B(t)
A(t)
=lim
t d 1
=lim
x d 0
2lnt+t-1
1
2 lnt+t-1
2ln(1+x)+x
1
2 ln(1+x)+x
=lim
x d 0
4ln(1+x);x!;+2
ln(1+x);x!;+2
=
4+2
1+2
=2
STEP 1
1등급 준비하기
p. 40 ~41
01 ④
05 49
09 3
02 0
06 2
10 ①
03 ②
07 3
11 4
04 ②
08 9
01 ^ ④
GUIDE
※ 코사인법칙
c€=a€+b€-2ab cos h
cos h=
a€+b€-c€
2ab
a
h
b
c
좌표평면 위의 세 점 A(a¡, a™), B(b¡, b™), C(c¡, c™)가 꼭짓점인 삼각형
a¡ b¡ c¡ a¡
a™ b™ c™ d™|=;2!;|(a¡b™+b¡c™+c¡a™)-(b¡a™+c¡b™+a¡c™)|
;2!;|
1등급 NOTE
의 넓이는
임을 이용할 수 있다.
d
b
b
b
b
1 0 t 1
0 2 ln t 0|=;2!; ln t+t-1
A(t)=;2!;|
※ |2-2t-ln t|=ln t+2t-2 (5 t>1이므로 2-2t-ln t<0)
b
b
d
d
d
d
d
B(t)=;2!;|
b
b
1 5 t 1
0 -2 ln t 0|=2 ln t+t-1
b
b
b
b
d
d
d
d
d
d
A의 좌표는 ( ① cos a , sin a),
B의 좌표는 (cos b, ② sin b )이고
3AOB= ③ a-b 이다.
이때 1AOB에서 코사인법칙에 의하여
AB’ €=OA’ €+OB’ €- ④ 2 _OA’_OB’_ ⑤ cos (a-b)
( ① cos a -cos b)€+(sin a- ② sin b )€
=1+1- ④ 2 _1_1_ ⑤ cos (a-b)
따라서 cos (a-b)=cos a cos b+sin a sin b
05 ^ ⑴ 2 ⑵ 50
GUIDE
fn(x)의 공비
1+e-x 의 범위가 0<
1+e-x <1임을 이용한다.
1
1
⑴ 함수 fn(x)는 초항이 1이고 공비가
등비급수이고, 1+e-x>1이므로 0<
1
1+e-x 인
1
1+e-x <1
∫ g(x)=
=ex+1
1
1-
1
1+e-x
따라서 a=1, b=1이므로 a+b=2
⑵ g'(x)=ex이므로
lng'(k)=
ln ek=
n
Ú
k = 1
n
Ú
k = 1
n
Ú
k = 1
4 lim
n d$
n
Ú
k =1
lng '(k)
h(n)
= lim
n d$
= lim
n d$
이때
=i(n)이라 하면
n(n+1)
2h(n)
k=
n(n+1)
2
n(n+1)
2
h(n)
n(n+1)
2h(n)
=1
h(n)=
n(n+1)
2i(n)
이고, lim
n d$
i(n)=1이므로
100 lim
n d$
=100 lim
n d$
h(n)
n€
n(n+1)
2n€i(n)
=50
24 정답과 풀이
02 ^ 0
GUIDE
➊ sin a cos b+cos a sin b=sin (a+b)
➋ cos a cos b+sin a sin b=cos (a-b)
a=142.5^, b=7.5^라 하면 주어진 식은
(sin a+cos a)(sin b+cos b)
=sin(a+b)+cos(a-b)
=sin 150^+cos 135^=;2!;- '2
2
따라서 a=;2!;, b=-;2!; 이므로 a+b=0
=sin a sin b+sin a cos b+cos a sin b+cos a cos b
03 ^ ②
GUIDE
이차방정식의 근과 계수의 관계에서
tan a+tan b, tan a tan b의 값 또는 식을 찾는다.
이차방정식 x€-2x+cos h=0의 두 근이 tan a, tan b이므로
근과 계수의 관계에서
tan a+tan b=2, tan a tan b=cos h
tan(a+b)=
tan a+tan b
1-tan a tan b
=
2
1-cos h
=3이므로
cos h=;3!;이고, 이때 sin h=-
{
5 ;2#;p<h<2p}
2'2
3
{단, 등호는 h+;3π;=;2π; 즉, h=;6π;일 때 성립한다.}
lim
h d0
sec 3h-1
sec h-1
=lim
h d0
04 ^ ②
GUIDE
OA'’, OB'’을 각각 삼각함수로 나타내고 삼각함수의 합성을 이용한다.
y
A
2
B'
A'
h
O 2'3
l
B
x
직선 l이 x축의 양의 방향과 이루는
각의 크기는 h이므로 그림에서
OA'’=OA’ cos {;2π;-h}=2 sin h
OB'’=OB’ cos h=2'3 cos h
4 OA'’+OB'’=2 sin h+2'3 cos h
=4 {;2!; sin h+ '3
2
cos h}
=4 sin {h+;3π;}<4
따라서 OA'’+OB'’이 최대가 되는 h의 값은 ;6π;
05 ^ 49
GUIDE
tan(a-b)=
tan a-tan b
1+tan a tan b
직선 x-y-3=0의 기울기는 1,
직선 ax-y+2=0의 기울기는 a이므로
tan h=|
1-a
1+1_a |=
에서 6a-6=a+1이므로 35a=49
a-1
a+1
=;6!; (5 a>1)
06 ^ 2
GUIDE
주어진 식을 변형해서 lim
x d 0
sin x
x
=1, lim
x d 0
tan x
x
=1을 이용한다.
an=lim
x d0
tan(4n+5)x-sin(4n-5)x
sin 5nx
tan(4n+5)x
(4n+5)x
_(4n+5)x-
_(4n-5)x
sin(4n-5)x
(4n-5)x
=lim
x d0
sin 5nx
5nx
_5nx
=
(4n+5)-(4n-5)
5n
=
2
n
4
$
Ú
n=1
an
n+1
=
$
Ú
n=1
2
n(n+1)
=2
$
Ú
n=1{
1
n
1
-
n+1 }=2
=2에서 (분자) bd 0이므로
lim
x d 0
sin 2x
'ßax+b-1
'b-1=0
4 b=1
=lim
x d 0 [
lim
x d 0
sin 2x
'ßax+1-1
즉 ;a$;=2이므로 a=2
sin 2x
2x
_
2x('ßax+1+1)
ax
]=2
4 a+b=2+1=3
08 ^ 9
GUIDE
1-cos h=
(1-cos h)(1+cos h)
1+cos h
=
sin€ h
1+cos h
1
cos 3h
1
cos h
-1
-1
=lim
h d0
cos h(1-cos 3h)
cos 3h(1-cos h)
=lim
h d0
=lim
h d0
cos h sin€3h(1+cos h)
cos 3h sin€h(1+cos 3h)
cos h(1+cos h) sin€3h
(3h)€
_9h€
cos 3h(1+cos 3h)
=9
sin€h
h€
_h€
A
h
3
3
B
C
09 ^ 3
GUIDE
➊ 오른쪽 그림에서
BC’ €=3€+3€-18 cos h
➋
1-cos h
2
=sin€ h
2
BC’ €=3€+3€-2_3_3_cos h
=
36(1-cos h)
2
=36 sin€ h
2
4 BC’=6 sin h
2
5 sin h
2
{
>0}
1ABC의 외접원의 반지름 길이를 R라 하면
사인법칙
=2R에서 f(h)=2R=
a
sin A
4 lim
h d0
f(h)=lim
h d0
=6_
=3
6 sin
h
2
sin h
1
2
1
6 sin
h
2
sin h
1등급 NOTE
07 ^ 3
GUIDE
f(x)
g(x)
lim
x d a
=b (b+0)일 때 f(a)=0이면 g(a)=0
원주각 크기는 중심각 크기의 절반이고, 지름
에 대한 원주각 크기가 90^이므로 그림처럼
특별한 경우를 생각해 BC’=6 sin h
2
로 구
할 수 있다.
h-2
3
A
h
3
P
C
B
4. 삼각함수의 미분 25
10 ^ ①
GUIDE
f(p+h)-f(p)
h
+h}-f {
h
p
2
p
2 }
f {
f (p+h)-f(p)
h
+h}-f {
h
p
2
p
2 }
f {
➊ lim
h d 0
f(p+h)-f(p)
p
+h}-f {
2 }
p
2
f {
= lim
h d 0
➋ (sin x)'=cos x
lim
h d0
f(p+h)-f(p)
p
2 }
+h}-f {
p
2
f
{
=lim
h d0
=
f '(p)
p
2 }
f '
{
이때 f '(x)=sin x+xcos x이므로
f '(p)=-p, f '{
따라서 lim
h d0
p
2 }=1
f(p+h)-f(p)
p
2 }
+h}-f {
p
2
f
{
=
f '(p)
p
2 }
f '
{
=-p
11 ^ 4
GUIDE
f '(0)= lim
x d 0
f(x)-f(0)
x
을 이용한다.
f '(0)=lim
x d 0
f(x)-f(0)
x
=lim
x d 0
=lim
x d 0
2x sin x cos x
1-cos x
x€sin 2x
1-cos x
x
=lim
x d 0
2x sin x cos x(1+cos x)
sin€x
=lim
x d 0 [2 cos x(1+cos x)
x
sin x ]=4
STEP 2
1등급 굳히기
p. 42~46
01 9
05 ①
09 ①
13 ④
17 24
21 1
02 1
06 9
10 ①
14 3
18 ③
22 3
03 ⑤
07 ④
11 ①
15 -2
19 ①
23 ③
04 ①
08 5개
12 ⑤
16 9
20 ③
26 정답과 풀이
01 ^ 9
GUIDE
f -1
{;5#;}=a, g-1
{;1!3@;}=b로 놓으면 f(a)=;5#;, g(b)=;1!3@; 임을 이용해
sin a, cos a, sin b, cos b의 값을 각각 구한다.
f -1
{;5#;}=a, g-1
{;1!3@;}=b라 하면
f(a)=sin a=;5#;이므로 이때 cos a=;5$;
마찬가지로 g(b)=cos b=;1!3@; 이므로 sin b=;1∞3;
4 f { f -1
{;5#;}+g-1
{;1!3@;}}=sin (a+b)
=sin a cos b+cos a sin b=;6%5^;
따라서 p=56, q=65이므로 q-p=9
02 ^ 1
GUIDE
➊ f(tan h)=
=tan 4h
tan h-1
tan h+1
tan a-tan h
1+tan a tan h
=tan(a-b)
➋
tan h-1
tan h+1
=tan 4h에서
1+tan 4h tan h=-(tan 4h-tan h)
즉
tan4h-tan h
1+tan4h tan h
=tan(4h-h)=tan 3h=-1이므로
3h=;4#; p {
5 0<3h<;2#;p}
4 h=;4π;
따라서 tan ;4π;=1
03 ^ ⑤
GUIDE
[
에서 ㉠, ㉡의 양변을 각각 제곱하여
sin x-sin y=1 yy ㉠
cos x+cos y='3 yy ㉡
더하고 sin€h+cos€h=1을 이용한다.
sin x-sin y=1과 cos x+cos y='3 의 양변을 각각 제곱하면
sin€x+sin€y-2 sin xsin y=1
cos€x+cos€y+2 cos xcos y=3
두 식을 변끼리 더하여 정리하면
2(cos x cos y-sin x sin y)=2에서
cos (x+y)=1이므로 x+y=0 또는 x+y=2p
이때 x+y=0이면 x=y=0이므로 해가 아니다.
x+y=2p에서 y=2p-x이므로
sin x-sin y=2 sin x=1에서 sin x=;2!;
cos x+cos y=2 cos x='3 에서 cos x= '3
2
11
11
6
6
따라서 x=;6!; p, y=
p이므로 b-a=
p-;6!; p=;3%; p
참고
삼각형의 한 내각의 크기가 h일 때 0<h<p이므로 sin h+0
04 ^ ①
GUIDE
사인법칙에 의해
사인법칙을 이용해 BD’, BE’를 각각 h 를 이용해 나타낸다.
BD’
sin(3BAD)
=
BE’
sin(3BAE)
=2이므로
BD’=2sin(h-45^), BE’=2sin(h+45^)
따라서
BD’_BE’=2sin(h-45^)_2sin(h+45^)
=2(sin h-cos h)(sin h+cos h)
=2(sin€h-cos€h)
=-2cos 2 h
참고
sin(h-45^)=sin hcos 45^-cos hsin 45^= '2
2
sin(h+45^)=sin hcos 45^+cos hsin 45^= '2
2
(sin h-cos h)
(sin h+cos h)
2sin(h-45^)_2sin(h+45^)=2(sin h-cos h)(sin h+cos h)
이므로
다른 풀이
BD’=2 sin {h-;4π;}, BE’=2 cos {h-;4π;}에서
BD’_BE’=4 sin{h-;4π;} cos {h-;4π;}
=2 sin {2h-;2π;}=-2 sin {;2π;-2h}
=-2 cos 2h
05 ^ ①
GUIDE
➊ A+B+C=p
➋ sin (p-h)=sin h
C=p-(A+B)이므로
sin(A+B)sin(A-B)=sin€ C
sin(p-C)sin (A-B)=sin C sin(p-(A+B))
sin C sin(A-B)=sin C sin(p-(A+B))
이때 sin C+0이므로 sin(A-B)=sin(A+B)
sin A cos B-cos Asin B=sin A cos B+cos A sin B
즉 cos A sin B=0이고 sin B+0이므로 cos A=0
따라서 A=90^인 직각삼각형이다.
06 ^ 9
GUIDE
3OP¡Q¡, 3OP™Q™가 직각임을 이용하여 두 삼각형 P¡OQ¡, P™OQ™의
넓이를 탄젠트를 이용해 나타낸다.
3P¡OQ¡=h라 하면 tan h=
=P¡Q¡’이므로
P¡Q¡’
OP¡’
1P¡OQ¡=;2!;_1_tan h
즉 tan h
2
=;4!; 에서 tan h=;2!;
3P™OQ™=h+;3π; 에서 tan {h+;3π;}=
=P™Q™’이므로
P™Q™’
OP™’
1P™OQ™=;2!;_1_tan {h+;3π;}
=
tan h+tan ;3π;
2 {1-tan h tan ;3π;}
=
;2!;+'3
2 {1-;2!;_'3 }
=4+;2%; '3
따라서 a=4, b=;2%; 이므로 a+2b=9
07 ^ ④
GUIDE
3CBE=90^-3ABD=b
ㄱ. AB’=cos a이고
AD’=AB’ cos b=cos a cos b
이때 a=30^, b=45^이면
AD’=cos 30^cos 45^
= '3
2
_ '2
2
= '6
4
( _ )
A
b
a
D
B
EC
l
m
ㄴ. DB’=AB’sin b=cos asin b, 3CBE=b, BC’=sin a에서
BE’=BC’ cos b=sin a cos b
4 DE’=DB’+BE’=cos a sin b+sin a cos b ( ◯ )
;2!; (AD’+CE’)_DE’
=;2!;(cos a cos b+sin a sin b)(cos a sin b+sin a cos b)
=;2!; cos(a-b)sin(a+b)
이때 0<cos(a-b)<1, 0<sin(a+b)<1이므로
cos (a-b)=1, sin (a+b)=1일 때 최대이다.
즉 a=b=;4π; 일 때 최댓값은 ;2!; ( ◯ )
4. 삼각함수의 미분 27
A+B+C=p에서 A+B=p-C이고
ㄷ. 사다리꼴 ACED의 넓이는
참고
➊ BC’=sin a, CE’=BC’ sin b=sin a sin b
➋ -;2π;<a-b<;2π;, 0<a+b<p이므로
0<cos(a-b)<1, 0<sin(a+b)<1
08 ^ 5
GUIDE
➊ 2 sin x cos x=sin 2x
➋ cos 2x+sin 2x='2 sin {2x+;4π;}
f(x)='2 cos 2x+2'2 sin x cos x
='2 (cos 2x+sin 2x)
=2 sin {2x+;4π;}
0<x<p에서 ;4π;<2x+;4π;<;4(; p이므로
함수 y=f(x)의 그래프와 y='2 는 다음과 같이 그릴 수 있다.
y
'2
p-
y=2sin( )
4
2x+
y='2
x
2p
9
-
4
p
p-
O-
4
p-
2
p
따라서 y=f(x)의 그래프가 직선 y='2 와 만나는 점은 5개
-1OCD
09 ^ ①
GUIDE
tan (h¡+h™)='3 에서 h¡+h™=;3π; 이므로 h¡=;3π;-h™
그림에서 tan (h¡+h™)='3
y
즉 h¡+h™=;3π; 이므로
3sin h¡+4sin h™
=3sin h¡+4sin {;3π;-h¡}
=3sin h¡+4{
cos h¡-;2!; sin h¡}
'3
2
=sin h¡+2'3 cos h¡
y='3x
y=mx
h™
h¡
O
x
='ß13 sin (h¡+a) {단, cos a=
, sin a=
1
'ß13
2'3
'ß13 }
이때 최대가 되는 h¡은 h¡=;2π;-a이므로
m=tan h¡=tan {;2π;-a}=cot a=
cos a
sin a
=
= '3
6
1
2'3
28 정답과 풀이
10 ^ ①
GUIDE
sin 2x=2sin x cos x이므로 sin x-cos x=t 로 놓고 양변을 제곱해
2sin x cos x를 t 로 나타낸다.
f(x)=2sin 2x+4sin x-4cos x+1
=4sin x cos x+4(sin x-cos x)+1
이때 sin x-cos x=t 라 두면 sin x cos x=
이고
1-t €
2
sin x-cos x='2 sin {x-;4π;}에서 -'2<t<'2
이차함수 y=4 {
}+4t+1=-2(t-1)€+5에서
1-t €
2
최댓값은 t=1일 때 5이고, 최솟값은 t=-'2 일 때 -1-4'2
4 5+(-1-4'2 )=4-4'2
11 ^ ①
GUIDE
2CPQD+1OCD=1OQD+1OPQ+1OPC
오른쪽 그림에서
2CPQD+1OCD
=1OQD+1OPQ+1OPC
이므로
2CPQD
=1OQD+1OPQ+1OPC
B
D
O
Q
C
p-
6
h
P
A
PQµ=p이므로 3QOP=;6π; 이고 3POC=h 라 하면
3QOD=;2π;-{;6π;+h}=;3π;-h
1OQD=;2!;_OD’_OQ’_sin {;3π;-h}=6sin {;3π;-h}
1OPQ=;2!;_OP’_OQ’_sin ;6π;=9
1OPC=;2!;_OC’
’_OP’_sin h=9sin h
1OCD=;2!;_OC’_OD’=3
4 2CPQD=6sin {;3π;-h}+9+9sin h-3
=6 {sin ;3π; cos h-cos ;3π; sin h}+9 sin h+6
=6sin h+3'3 cos h+6
=3'7 sin(h+a)+6
{단, sin a= '3
'7
, cos a=
2
'7 }
이때 0<sin(h+a)<1이므로 2CPQD 넓이의 최댓값은
6+3'7 이다.
12 ^ ⑤
GUIDE
x cd 0이면 x+0이므로 cos x cd 1이지만 cos x+1이다.
x bd 0에서 x+0이므로 |cos x|<1, 이때
1+cos x+cos€x+cos‹x+y=
1
1-cos x
이므로
lim
x d 0 [
x‹
sin x
(1+cos x+cos€x+cos‹x+y)]
=lim
x d 0 {
x‹
sin x
_
1
1-cos x }
=lim
x d 0 {
x‹
sin x
_
=lim
x d 0 [{
x
sin x }
1+cos x
sin€ x }
‹_(1+cos x)]=2
13 ^ ④
GUIDE
➊ sin x-cos x='2 sin {x-;4π;}
➋ x-;4π;=t 로 치환한다.
sin x-cos x='2 sin {x-;4π;}이므로
p
-2x}
ln {1+
2
sin x-cos x
lim
x d
;4π;
= lim
x d
;4π;
ln {1+
p
2
'2 sin {x-
-2x}
p
4 }
이때 x-;4π;=t 라 하면
lim
t d 0
ln(1-2t)
'2 sin t
=lim
t d 0 [
ln(1-2t)
t
_
t
'2 sin t ]
=(-2)_
1
'2
=-'2
참고
lim
t d 0
ln(1-2t)
t
= lim
t d 0 [(-2)_
ln(1-2t)]
1
-2t
= lim
t d 0 {-2 ln(1-2t)
-2t }=-2
1
14 ^ 3
GUIDE
;x!;=t 로 치환하고, lim
t d 0
sin t
t
=1을 이용한다.
lim
x d$
2
x€ {a-cos
x }=b에서 1
x
=t 라 하면
(a-cos 2t)
t €
=b에서
(a-cos 2t)=0이므로 a=1
lim
t d 0
lim
t d 0
lim
t d 0
1-cos 2t
t €
=lim
t d 0
2sin€t
t €
=2
4 b=2
따라서 a+b=3
다른 풀이
lim
t d 0
1-cos 2t
t €
=lim
t d 0
1-cos€2t
t €(1+cos2t)
=lim
t d 0
sin€2t
t €(1+cos2t)
=lim
t d 0
4sin€2t
(2t)€(1+cos2t)
=2
15 ^ -2
GUIDE
➊ t=;2π;-x로 치환한다.
➋ tan {;2π;-t}=
1
tan t
lim
x d
;2π;
lim
x d
;2π;
(ax+b)tan 3x=4에서 t=;2π;-x라 하면
(ax+b)tan 3x=lim
t d 0 [a {
-t}+b] tan 3 {;2π;-t}
p
2
=lim
t d 0
-at+b+
tan 3t
ap
2
=4
이때 -at+b+;2A; p=12t 이어야 하므로
a=-12, b=6p
4 ;bA; p=-2
로 바꾸고 식을 정리한다.
16 ^ 9
GUIDE
sinn x
cosn x
tannx를
lim
x d 0
tannx-sinnx
x°
sinn x
cosn x
-sinnx
=lim
x d 0
x°
=lim
x d 0
sinnx(1-cosnx)
x°cosnx
=lim
x d 0
sinnx(1-cos x)(1+cos x+y+cosn-1x)
x°cosnx
=lim
x d 0
sinn+2x(1+cos x+y+cosn-1x)
x°cosnx(1+cos x)
이 값이 존재하려면 n은 6 이상이어야 한다.
n=6일 때
lim
x d 0
sin8x(1+cos x+y+cos5x)
x°cos6x(1+cos x)
=;2^;=3이고
n>7일 때는 0이므로
n=6, a=3
4 n+a=9
4. 삼각함수의 미분 29
17 ^ 24
GUIDE
sin
을 구해 본다.
hn
2
그림과 같이 한 접선의 접점을 P라 하자.
OO¡’=1-
=
이므로
1
n
n-1
n
sin hn
2
=
O¡P’
OO¡’
=
1
n-1
4 lim
n d${
36n€+6n+1
3n-4
_hn}
1
O¡
;n!;
P
O
hn-
2
36n€+6n+1
3n-4
_
= lim
n d${
_2sin hn
2 }
36n€+6n+1
3n-4
_
= lim
n d${
_
2
n-1 }
=24
hn
2
sin hn
2
hn
2
sin hn
2
A
2p-n
B
O
å
Q
B
18 ^ ③
GUIDE
정n각형의 넓이는
오른쪽 그림과 같이
n_1AOB로 구한다.
라 하면
정n각형의 한 변을 PQ’, 내접하는
원의 중심을 O, PQ’의 중점을 T
P
A
3POQ=
2p
, 3POT= p
n
n
1OPQ=2_;2!;_1_tan p
n
=tan p
n
4 Sn=n tan p
n
T
1
p-
n
O
Tn=n sin p
n
cos p
n
이때 Sn
Tn
=
1
cos€
p
n
=1+tan€ p
n
에서
lim
n d${n€ln
Sn
Tn }= lim
n d$[n€ln{1+tan€ p
n }]
= lim
= lim
n d$[n€tan€ p
n
tan€ p
n
€
p€
p
n }
{
n d$[
_ln{1+tan€ p
n }
1
tan€;nπ;
]
_ln{1+tan€ p
n }
1
tan€;nπ;
]
30 정답과 풀이
n bd $일 때 p
n
bd 0, tan p
n
bd 0이므로
lim
n d${n€ln
Sn
Tn }=p €
19 ^ ①
GUIDE
➊ BC’를 h를 이용해 나타낸다.
➋ CD’=BD’-BC’ 임을 이용해 S를 구한다.
1ABC에서 코사인법칙을 이용하면
BC’ €-2 BC’ cos h-8=0이고, BC’>0이므로
근의 공식을 써서 BC’ 를 구하면
BC’=cos h+"ƒcos€h+8
4 CD’=4-cos h-"ƒcos€h+8
이때 CD’를 밑변으로 생각하면 ACD의 높이는 sin h이므로
S=;2!; (4-cos h-"ƒcos€h+8 )sin h
4 lim
h d 0
=lim
h d 0
S
h‹
=lim
h d 0
1
2
(4-cos h-"ƒcos€ h+8 )sin h
h‹
(1-cos h+3-"ƒcos€ h+8 )sin h
2h ‹
=lim
h d 0
sin€ h
1+cos h
{
+
sin€ h
3+"ƒcos€ h+8 } sin h
2h‹
=lim
h d 0 [
sin‹h
2h ‹(1+cos h)
+
sin‹h
2h ‹(3+"ƒcos€ h+8 ) ]
=;4!;+;1¡2;=;3!;
다른 풀이
1ACD=1ABD-1ABC에서
S=;2!;_1_4_sin h-;2!;_1_BC’_sin h
20 ^ ③
GUIDE
함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면
➊ f(a)= lim
x d a-
f(x)= lim
x d a+
f(x)
➋ lim
x d a-
f '(x)= lim
x d a+
f '(x)
함수 f(x)가 x=;2π;에서 연속이어야 하므로
f {;2π;}= lim
;2π;-
x d
f(x)= lim
;2π;+
x d
f(x)에서 a=b
또 1AOB=;2!;_1_1_sin
2p
n
=sin p
n
cos p
n
이므로
=;2!; (4-cos h-"ƒcos€ h+8 )sin h
를 3f '(0)-2f '(0) 꼴로 바꾼다.
인 등비수열이다. ( _ )
또 함수 f(x)가 x=;2π; 에서 미분가능하려면
a cos x-cos x+xsin x {x<;2π;}
f '(x)=[
bex-;2π;
에서
{x>;2π;}
lim
x d
;2π;-
f '(x)= lim
;2π;+
x d
f '(x)이어야 하므로 ;2π;=b
따라서 a=b=;2π; 이므로 a+b=p
21 ^ 1
GUIDE
lim
h d 0
f(sin 3x)-f(tan 2x)
x
f(0)=0이므로
lim
x d 0
f(sin 3x)-f(tan 2x)
x
=lim
x d 0
{ f(sin 3x)-f(0)}-{ f(tan 2x)-f(0)}
x
=lim
x d 0 [
f(sin 3x)-f(0)
sin 3x-0
_
sin 3x
3x
_3]
-lim
x d 0 [
f(tan 2x)-f(0)
tan 2x-0
_
tan 2x
2x
_2]
=f '(0)_1_3-f '(0)_1_2=f '(0)
이때 f(x)=exsin x에서
f '(x)=exsin x+excos x이므로 f '(0)=1
22 ^ 3
GUIDE
형태로 만든다.
f(x)=lim
t d x
t sin x-x sin t
t-x
=lim
t d x
t sin x-x sin x-x sin t+x sin x
t-x
=lim
t d x
(t-x)sin x-x(sin t-sin x)
t-x
=sin x-xlim
t d x
sin t-sin x
t-x
=sin x-x(sin x)'
=sin x-xcos x
23 ^ ③
GUIDE
f '(x)=excos x-ex sin x=0에서 cos x=sin x
f '(x)=excos x-exsin x=0에서 cos x=sin x,
즉 tan x=1이므로
x=;4π;+(n-1)p (단, n은 자연수)
ㄱ. a™=;4π;+p=;4%;p ( ◯ )
ㄴ. f(a¡)= '2
2
e;4π;, f(a™)=- '2
2
e;4%;p, f(a£)= '2
2
e;4(;p, y
이므로 수열 { f(an)}은 첫째항이 '2
2
e;4π;이고, 공비가 -ep
ㄷ. 수열 [
f(a¡)
f(an) ]은 첫째항이 1, 공비가 -
1
ep 인 등비수열이다.
이때 |-
1
ep |<1이므로
n
Ú
n=1
f(a¡)
f(an)
=
1
1+
1
ep
=
ep
ep+1
( ◯ )
STEP 3
1등급 뛰어넘기
p. 48~50
01 ⑤
05 8
09 ②
02 ③
06 5
10 2
03 16
07 3
04 36
08 5
01 ^ ⑤
GUIDE
lim
█ d 0
e█-1
█
lim
x d 0
e1+tan 3x-e1+sin 7x
tan x-sin 3x
=lim
x d 0
e1+sin 7x(etan 3x-sin 7x-1)
tan x-sin 3x
etan 3x-sin 7x-1
tan 3x-sin 7x
_
tan 3x
x
tan x
x
- sin 7x
x
sin 3x
x
-
]
=lim
e1+sin 7x_
x d 0[
=e_1_
=2e
3-7
1-3
cos 2x=2cos€x-1로 바꾸고 cos x=t 로 치환한다.
4. 삼각함수의 미분 31
따라서 f '(x)=cos x-cos x+xsin x=xsin x이므로
f ' {;2π;}=;2π; 이고 m=2, n=1
4 m+n=3
02 ^ ③
GUIDE
f(x)= lim
t d x
tsin x-xsin t
t-x
를 변형하여 lim
t d x
sin t-sin x
t-x
꼴이 있는
=1 꼴을 이용할 수 있도록 식을 변형한다.
2cos 2x-4cos x+2=a에서
4cos€x-4cos x=a
cos x=t 라 하면 -1<t<1이고
주어진 방정식은 4t €-4t=a이다.
y=4t€-4t
y
8
다른 풀이
프와 직선 y=a의 교점이 존재하지 않으므로 실근이 존재하
위 그림처럼 각의 크기를 생각해 보자.
2(p-3h)
-
3
C
p-3h
-
3
h
A
2p-3h
-
3
2h
B
D
1
이때 1ABC에서 사인법칙에 따라
1
sin (p-3h)
=
BC’
sin h
, 즉
1
sin 3h
=
BC’
sin h
이고
1BCD에서 사인법칙에 따라
BC’
sin {;3@; p-h}
=
CD’
sin 2h
이므로
CD’=
sin 2h
sin {;3@; p-h}
_BC’=
sin 2h
sin {;3@; p-h}
_
sin h
sin 3h
따라서
lim
h d 0+
CD’
h
=
1
sin {;3@; p-h}
[
_
sin 2h
h
_
sin h
sin 3h ]
=
_2_;3!;=
4
3'3
1
'3
2
04 ^ 36
GUIDE
주어진 식을 ●€+█€=1 꼴로 바꾸고 sin , cos을 이용한다.
17x€-2xy+y€=16에서
16x€+x€-2xy+y€=16, 즉 x€+{
x-y
4
€
}
=1이다.
이때 x=cos h, x-y
=sin h로 치환하면
4
y=cos h-4sin h이므로
x€+xy+2y€
=cos€h+cos h(cos h-4sin h)+2(cos h-4sin h)€
=4 cos€h-20cos h sin h+32sin€h
=-20 cos h sin h+32-28cos€ h
=-10(2 sin h cos h)-14(2 cos€ h-1)+18
=-10 sin 2h-14 cos 2h+18
=-2'ß74 sin (2h+a)+18
따라서 최댓값은 2'ß74 +18, 최솟값은 -2'ß74 +18이므로
합은 36
이때 함수 f(t)=4t €-4t 의 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
ㄱ. a<-1, a>8일 때 y=f(t)의 그래
-1
O
-1
1
t
지 않는다. ( ◯ )
ㄴ. -1<a<0일 때 y=f(t)의 그래프와 직선 y=a는 두 점에
서 만난다. 만나는 두 점의 t 값을 각각 t¡, t™(t¡<t™)라 하면
0<t¡<t™<1이므로 0<x<2p에서 cos x=t¡, cos x=t™
의 근은 그림과 같이 생각할 수 있다. 즉 서로 다른 네 실근을
갖는다. ( _ )
y
1
O
-1
y=t™
y=t¡
t
2p
p
y=cos t
ㄷ. a=0일 때 t=0, 1이므로
cos x=0에서 x=;2π;, ;2#;p, cos x=1에서 x=0
따라서 서로 다른 세 실근을 갖는다. ( ◯ )
03 ^ 16
GUIDE
3BCD=a라 하면
CD’
sin h
=
AD’
sin 2a
,
CD’
sin 2h
=
BD’
sin a
사인법칙을 이용해 CD’와 AD’의 관계, CD’와 BD’의 관계를 찾는다.
C
2a a
1
h
A
2h
B
D
AD’=
CD’, BD’=
sin 2a
sin h
sin a
sin 2h
CD’
AD’+BD’=1이므로 CD’=
1
+
sin 2a
sin h
sin a
sin 2h
이때 3h+3a=p이므로 a=;3π;-h
4 lim
h d 0+
CD’
h
= lim
h d 0+
1
sin 2a
sin h
_h+
sin a
sin 2h
_h
= lim
;3π;-
a d
1
sin 2a+;2!; sin a
=
1
+ '3
4
'3
2
=
4
3'3
4 27a€=27_;2!7^;=16
32 정답과 풀이
y
1
-
2
y= a€+b€ sin(2x+a)
x
O
-
1
-
2
05 ^ 8
GUIDE
➊ sin x+cos x=t 로 치환하면 sin xcos x=;2!; (t €-1)
➋ sin x+cos x='2 sin {x+;4π;}에서 t 값의 범위를 구한다.
sin x+cos x=t 라 하면 t='2 sin {x+;4π;}이고
0<x<;2π; 에서 1<t<'2 이다.
또 sin x cos x=;2!; (t €-1)이므로
sin x+cos x-a sin xcos x=0은
t-;2A; (t €-1)=0과 같고, 1<t<'2 에서 실근을 가지면 된다.
t=;2A; (t €-1)로 놓으면 그림에서
'2<;2A; {('2 )€-1}
4 a>2'2
따라서 m=2'2 이므로
m€=8
1등급 NOTE
"ƒa€+b€ sin (2x+a)+-;2#; 이려면 "ƒa€+b€ <;2#;
yy㉡
㉠, ㉡에서 a€+b€<;4!; 이므로
p=4, q=1
4 p+q=5
y
'2
y=f(t)
y=t
참고
O
1
'2
t
0 (0<|x|<1)
;2!; (|x|=1)
1 (|x|>1)
[
함수 g(x)=
이므로 |x|=1일 때 불연속이다.
07 ^ 3
GUIDE
두 직선이 서로 만나지 않는다. ⇨ 두 직선이 서로 평행하다. ⇨ 두 직선
의 기울기가 서로 같다. ⇨ 기울기는 미분계수와 같다.
점 A에서 접하는 접선의 기울기는 sec€a이고
점 B에서 접하는 접선의 기울기는 -sin b이다.
➊ f(t)=;2A; (t÷€-1)이라 할 때 왼쪽 그림처럼 f('2 )>'2이면 y=t와
y=f(t)의 교점이 존재하고, 오른쪽 그림처럼 f('2 )<'2 이면 y=t
와 y=f(t)의 교점은 없다.
y
f('2 )
'2
-1
y=f(t)
y=t
y=t
이때 sec€a=-sin b에서 cos€a_sin b=-1이므로
cos€a=1, sin b=-1, 즉 cos a=-1, sin b=-1에서
a=p, b=;2#; p
4
=3
2b
a
O
'2
t
O
'2
t
1등급 NOTE
y
'2
f('2 )
-1
0<cos€a<1, -1<sin b<1이므로 cos€a_sin b=-1에서 가능한
경우는 cos€a=1, sin b=-1뿐이다.
이때 0<a<2p에서 cos a+1이므로 cos a=-1
➋
=t÷€-1처럼 포물선을 고정해 놓고 생각해도 된다.
2t
a
06 ^ ①
GUIDE
함수 g(x)는 |x|=1에서 불연속이다.
➊ AH’+5`m일 때와 AH’=5`m일 때로 나누어 생각한다.
➋ AH’+5`m일 때 h=b-a로 생각할 수 있는 두 각 a, b를 두 직각삼
08 ^ 5
GUIDE
각형에서 잡는다.
간단한 문제이다.
함수 g( f(x))가 실수 전체의 집합에서 연속이려면
※ 점 A가 어떤 위치에 있을 때 h가 최대가 되는지 생각해 보면 의외로
모든 실수 x에 대하여 | f(x)|+1이어야 한다. 이때
f(x)=asin 2x+b cos 2x+;2!;="ƒa€+b€ sin (2x+a)+;2!;
{단, sin a=
, cos a=
b
"ƒa€+b€
a
"ƒa€+b€ }
이므로 모든 실수 x에 대하여
1 AH’+5 m일 때 그림과 같이
3BAH=b, 3DAH=a라
하면 h=b-a이다.
이때 AH’=x m라 하면
"ƒa€+b€ sin (2x+a)+;2!; 이려면 "ƒa€+b€ <;2!;
yy㉠
tan a=
, tan b=
5
x
10
x-5
B
5'2 m
10 m
E
b
a
A
5 m
C
x
45^
5 m
D
5 m
H
4. 삼각함수의 미분 33
tan h=tan (b-a)=
tan b-tan a
1+tan b tan a
=
5
x
-
10
x-5
10
x-5
_
5
x
1+
=
5x+25
x€-5x+50
=
5
x€-5x+50
x+5
=
5
x-10+
100
x+5
에서
x-10+
100
x+5
=(x+5)+
100
x+5
>2'ß100-15=5
-15
이다. 등호는 x=5일 때 성립하므로 tan h<1
즉 h<45^
2 AH’=5 m일 때 h=90^-45^=45^
따라서 h=45^일 때 최대이고
이때 AH’=5 m이므로 a=5
참고
그림과 같이 AH’<5 m인 경우에
AH’=x m라 하면 1BCA에서
tan (p-b)=
따라서 tan b=
10
5-x
10
x-5
다른 풀이
B
10 m
45^
D
5 m
b a
C
A
5 m
H
B
45^
D
h¡
A¡
h™
h£
A™
A£ H
또한 lim
x d 0
f¡(x)
x
=lim
x d 0
x
1
sin
2
x
=;2!; 이고
lim
x d 0
fk(x)
x
=
lim
x d 0
fk+1(x)
x
1
2k 이라 하면
1
sin
2
x
=lim
x d 0
fk(x)
=lim
1
sin
2
fk(x)
x d 0[
1
2
fk(x)
1
2
fk(x)
x
]
_
=
따라서 lim
x d 0
fn(x)
x
1
2k+1
1
2n ( ◯ )
gk(x)=0이라 하면
=
ㄴ. lim
x d 0
g¡(x)=0이고 lim
x d 0
lim
x d 0
gk+1(x)=lim
x d 0
tan 3gk(x)=0이므로
lim
x d 0
gn(x)=0
또한 lim
x d 0
g¡(x)
x
=lim
x d 0
tan 3x
x
=3이고
lim
x d 0
gk(x)
x
=3k이라 하면
lim
x d 0
gk+1(x)
x
=lim
x d 0
tan 3gk(x)
x
=lim
x d 0 [
tan 3gk(x)
3gk(x)
_
3gk(x)
x
]=3k+1
따라서 lim
x d 0
gn(x)
x
=3n ( ◯ )
=
$
Ú
n=1
1
6n =;5!; ( _ )
ㄷ.
$
Ú
n=1
{lim
x d 0
=
$
Ú
n=1[
lim
x d 0
fn(x)
gn(x) }
fn(x)
x
gn(x)
x
]
10 ^ 2
GUIDE
기가 h인 각을 찾아본다.
반원의 중심을 O, 큰 내접원의 중심을 C, C에서 PB’에 내린 수
선의 발을 H, AQ’와 PB’의 교점을 R라 하자.
그림에서 1BA™D의 외접원의 반지름 길이가 가장 작다.
따라서 h™가 h의 최댓값이므로 h=45^일 때 최대이고, 이때
AH’=5 m이므로 a=5
반원의 중심과 두 내접원의 중심은 같은 선분 위에 있음을 생각한다. 이
때 내접하는 각 원의 중심에서 PB’ 또는 AQ’에 수선의 발을 내리고 크
수학적 귀납법을 이용하여 lim
x d 0
fn(x)
x
, lim
x d 0
gn(x)
x
을 각각 구한다.
ㄱ. lim
x d 0
f¡(x)=0이고 lim
x d 0
fk(x)=0이라 하면
lim
x d 0
fk+1(x)=lim
x d 0
sin ;2!; fk(x)=0이므로
P
r(h)
C
h
R
H
tan h
h
A
1
O
Q
h
B
09 ^ ②
GUIDE
lim
x d 0
fn(x)=0
34 정답과 풀이
3HRC=3BRO이므로 3HCR=h이다.
큰 내접원의 반지름 길이를 r(h)라 하면
5
여러 가지 미분법
OC’=1-r(h), OR’=tan h에서 CR’=1-r(h)-tan h
STEP 1
1등급 준비하기
p. 54 ~55
r(h)=CH’=CR’ cos h, 즉
r(h)={1-r(h)-tan(h)}cos h
=cos h-r(h) cos h-sin h
에서 r(h)=
cos h-sin h
1+cos h
=
-'2 sin {h-
1+cos h
p
4 }
4 lim
h d
;4π;-
r(h)
;4π;-h
= lim
h d
;4π;-
-'2 sin {h-
p
4
(1+cos h){
p
4 }
-h}
= lim
;4π;-
h d
p
4 }
sin {h-
p
4
h-
_ '2
1+cos h
= '2
1+ '2
2
=2'2-2
마찬가지 방법으로 생각하면
x(h)={ OR’-x(h)} cos h에서 x(h)=
sin h
1+cos h
lim
h d 0+
x(h)
h
=;2!;
lim
h d
;4π;-
r(h)
;4π;-h
_ lim
h d 0+
r(h)
h
='2-1
따라서 p-q=1-(-1)=2
01 ③
05 ⑤
09 ①
02 ⑤
06 3
10 ④
03 ⑤
07 ②
04 6
08 ③
01 ^ ③
GUIDE
f(x)
g(x) ]
=
'
[
f '(x)g(x)-f(x)g'(x)
{g(x)}€
f '(x)=
2ax(x€+1)-(ax€+1)2x
(x€+1)€
=
(2a-2)x
(x€+1)€
이고 f '(1)=
2a-2
4
=
a-1
2
=;2!; 이므로 a=2
따라서 f '(x)=
2x
(x€+1)€
에서 f '(2)=;2¢5;
02 ^ ⑤
GUIDE
logc b
logc a
loga b=
에서 log™|ln x|=
ln|ln x|
ln 2
f(x)=log™|ln x|=
ln|ln x|
ln 2
이므로
f '(x)=
1
ln 2
_
(ln x)'
ln x
=
1
ln 2
_
1
x ln x
에서
f '(2)=
1
2(ln 2)€
03 ^ ⑤
GUIDE
2+sin x
2-sin x
ln æ√
=;2!; {ln(2+sin x)-ln(2-sin x)}
f(x)=ln æ√
2+sin x
2-sin x
=;2!; {ln(2+sin x)-ln(2-sin x)}
에서 f '(x)=;2!; {
cos x
2+sin x
+
cos x
2-sin x } 이므로
f ' {;6π;}==;2!;
{
2+
1
2
+
'3
2
'3
2
2 }
1
2-
=
4'3
15
04 ^ 6
GUIDE
dy
dt
dx
dt
,
를 구해
를 정한다.
dy
dx
5. 여러 가지 미분법 35
x=t €+1의 양변을 t 에 대하여 미분하면 dx
dt
=2t
1
n
=h라 하면 n bd $일 때 h bd 0이므로
y=;3@; t ‹+10t-1의 양변을 t 에 대하여 미분하면
dy
dt
=2t`€+10
4
dy
dx
=
2t`€+10
2t
따라서 t=1일 때
=
=6
dy
dx
12
2
다른 풀이
x=t`€+1에서 dx=2tdt,
dy
dx
=
2t`€+10
2t
05 ^ ⑤
GUIDE
y=;3@; t`‹+10t-1에서 dy=(2t`€+10)dt 이므로
주어진 식을 x, y에 대해 미분하여 y를 구한다.
y‹=ln(5-x€)+xy+4의 양변을 x, y에 대하여 미분하면
3y€dy=
dx+ydx+xdy
-2x
5-x€
즉 (3y€-x)dy={
+y}dx이고,
-2x
5-x€
(2, 2)를 대입하여 정리하면
10dy=-2dx
4
dy
dx
=-;5!;
06 ^ 3
GUIDE
➊ f(a)=b이면 g(b)=a
➋ g'(x)=
1
f '(g(x))
f(2)=-1이므로 g(-1)=2이고 f '(2)=;3!;에서
lim
x d -1
g(x)-2
x+1
= lim
x d -1
g(x)-g(-1)
x-(-1)
=g'(-1)
4 g'(-1)=
1
f '(g (-1))
=
1
f '(2)
=3
=h로 치환하여 lim
h d 0
{g(3+h)-g(3)}-{g(3-h)-g(3)}
h
꼴을
07 ^ ②
GUIDE
1
n
만든다.
36 정답과 풀이
lim
n d $
n [g {3+
1
n }-g {3-
1
n }]
=lim
h d 0
{g(3+h)-g(3)}-{g(3-h)-g(3)}
h
=lim
h d 0
g(3+h)-g(3)
h
+lim
h d 0
g(3-h)-g(3)
-h
=g'(3)+g'(3)=2g'(3)
이때 g(3)=a라 하면 f(a)=3이므로
f(a)=a‹-2a€+3a-3=3에서 a=2
f '(x)=3x€-4x+3에서 f '(2)=7이고
g'(x)=
1
f '(g(x))
이므로
2g'(3)=
2
f '(g(3))
=
2
f '(2)
=;7@;
08 ^ ③
GUIDE
f(x)=x sin x의 양변에 자연로그를 취하고 미분하여 f(x)를 구한다.
sin ;2π;
=;2π;
yy ㉠
f {;2π;}={;2π;}
또한 x>0에서 xsin x>0이고
f(x)=xsin x의 양변에 자연로그를 취하면
ln f(x)=ln xsin x=sin x ln x
위 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '(x)
f (x)
=cos xln x+
sin x
x
f '(x)=xsin x {cos x ln x+
sin x
x }
4 f ' {;2π;}={;2π;}
sin ;2π;
cos ;2π;_ln ;2π;+
{
sin ;2π;
}
;2π;
=1 yy ㉡
㉠, ㉡에서 f {;2π;}_f ' {;2π;}=;2π;
09 ^ ①
GUIDE
f(x)=
(x-3)'ßx+2
(x€+1)›
f '(x)를 구한다.
의 양변에 절댓값을 취하고 자연로그를 이용해
양변에 절댓값을 취하면 | f(x)|=|
(x-3)'ßx+2
(x€+1)›
|
양변에 자연로그를 취하면
ln| f(x)|=ln|
(x-3)'ßx+2
(x€+1)›
|
=ln |x-3|+;2!; ln|x+2|-4 ln|x€+1|
양변을 x에 대하여 미분하면
f '(x)
f (x)
=
1
x-3
+
1
2(x+2)
-
8x
x€+1
f(x)=
에서 f '(x)=
x+b
x€+a
-x€-2bx+a
(x€+a)€
이때 f '(x)>0이려면 (x€+a)€>0이므로 -x€-2bx+a>0
4 f '(x)=
따라서 f '(0)=
(x-3)'ßx+2
(x€+1)›
-3_'2
1›
+
1
x-3
1
2(x+2)
[
_{-;3!;+;4!;-0}= '2
4
-
8x
x€+1 ]
즉 x€+2bx-a<0의 해가 -2<x<6
x€+2bx-a=(x+2)(x-6)=x€-4x-12
따라서 a=12, b=-2이다.
4 a+b=10
10 ^ ④
GUIDE
{g(x)h(x)}'=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)
f(x)=e3x sin 2x에서
f '(x)=e3x(3 sin 2x+2 cos 2x)
f "(x)=e3x(5 sin 2x+12 cos 2x)이므로
f ' {;4π;}=e
{3sin ;2π;+2 cos ;2π;}=3e
f " {;4π;}=e
{5 sin ;2π;+12 cos ;2π;}=5e
3p
4
3p
4
3p
4
3p
4
4
f ' {;4π;}
f " {;4π;}
=;5#;
다른 풀이
{ln| f '(x)|}'=
이므로
f "(x)
f '(x)
ln|e3x(3 sin 2x+2 cos 2x)|, 즉
3x+ln|3 sin 2x+2 cos 2x|를 미분하면
3+
6 cos 2x-4 sin 2x
3 sin 2x+2 cos 2x
=
f "(x)
f '(x)
따라서
=;3%; 이므로
f " {;4π;}
f ' {;4π;}
f ' {;4π;}
f " {;4π;}
=;5#;
STEP 2
1등급 굳히기
p. 56~59
02 ④
06 ③
10 ⑤
14 2
03 4
07 ㄱ, ㄷ
11 3
15 ①
04 6
08 2개
12 15
16 ④
f '(x)=
1_(x€+a)-(x+b)_2x
(x€+a)€
에서 항상 (x€+a)€>0임을 이용
01 10
05 ②
09 66
13 9
17 ⑤
01 ^ 10
GUIDE
한다.
02 ^ ④
GUIDE
t cd $일 때
$
$
꼴이므로 분모와 분자를 2t 로 나눈다.
f(x)=lim
t d$
1+2t|4x€-8x|
(x+2)"ƒ4t €-3x
에서 분모와 분자를 2t 로 나누면
1
2t
lim
t d$
+|4x€-8x|
(x+2)æ√1-
3x
4t €
4 f(x)=
[
-4x€+8x
x+2
4x€-8x
x+2
=
|4x€-8x|
x+2
(0<x<2)
(x+-2, x<0, x>2)
0<x<2일 때 f '(x)=
-4x€-16x+16
(x+2)€
이므로
f '(1)=-;9$;
03 ^ 4
GUIDE
{ f¡(x)f™(x)yfn(x)}'=f '¡(x)f™(x)yfn(x)+f¡(x)f '™(x)yfn(x)
⋮
+f¡(x)f™(x)yf 'n(x)
f '(x)=ex(e2x+a)(e3x+a)y(e10x+a)
+2e2x(ex+a)(e3x+a)y(e10x+a)
+3e3x(ex+a)(e2x+a)y(e10x+a)
⋮
+10e10x(ex+a)(e2x+a)y(e9x+a)
에서
f '(0)=(e0+a)(e0+a)y(e0+a)
+2(e0+a)(e0+a)y(e0+a)
+3(e0+a)(e0+a)y(e0+a)
⋮
+10(e0+a)(e0+a)y(e0+a)
=(1+2+3+y10)(1+a)9=55(1+a)9
f(0)=(e0+a)(e0+a)(e0+a)y(e0+a)=(1+a)10
즉
f '(0)
f(0)
=
55(1+a)·
(1+a)10 =
55
1+a
=11에서 a=4
5. 여러 가지 미분법 37
다른 풀이
f(x)=(ex+a)(e2x+a)(e3x+a)y(e10x+a)의 양변에 절댓값
과 자연로그를 취하면
ln| f(x)|=ln|ex+a|+ln|e2x+a|+y+ln|e10x+a|
06 ^ ③
GUIDE
x=g(t), y=h(t)에서 각각의 양변을 미분해 dx, dy를 구한다.
x=
2t
1+t÷€
, y=
에서
1-t÷€
1+t÷€
dx=
2(1+t÷€)-2t_2t
(1+t÷€)€
dt=
2(1-t÷€)
(1+t÷€)€
dt
dy=
-2t(1+t €)-2t(1-t €)
(1+t €)€
dt=
-4t
(1+t÷€)€
dt 이므로
= 2t
t÷€-1
이고
f(t)
t
= 2
t÷€-1
-4t
(1+t÷€)€
2(1-t€)
(1+t÷€)€
dt
dt
f(t)=
=
dy
dx
따라서
n
Ú
t=2
f(t)
t
= lim
n d$
n
Ú
t=2
2
t÷€-1
= lim
n d$
n
Ú
t=2{
1
t-1
-
1
t+1 }
= lim
n d$[{1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}
+y+{
1
n-1
-
1
n+1 }]
= lim
n d${1+;2!;-
1
n
1
-
n+1 }=;2#;
에서 e2t=X 로 치환하고 그래프를 그려본다.
07 ^ ㄱ, ㄷ
GUIDE
et+e-t
et-e-t =
ㄷ.
e2t+1
e2t-1
x=
et+e-t
2
, y=
et-e-t
2
에서
dx=
et-e-t
2
dt, dy=
et+e-t
2
dt
ㄱ. dx
dt
=
et-e-t
2
=y ( ◯ )
ㄴ.
dy
dx
=
ㄷ. F(t)=
et+e-t
et-e-t ( _ )
et+e-t
dy
et-e-t 이므로
dx
=
분자와 분모에 et을 곱하면 F(t)=
e2t+1
e2t-1
이때 e2t=X (X>0), F(t)=G(X)라 하면
F(t)=G(X)=
(X>0)에서
X+1
X-1
G(X)=
X-1+2
X-1
=
2
X-1
+1
이때 G(0)=-1이므로 그래프 개형은 다음과 같다.
위 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '(x)
f(x)
=
ex
ex+a
+
2e2x
e2x+a
+y+
10e10x
e10x+a
f '(0)
f(0)
=
1
1+a
+
2
1+a
+y+
10
1+a
=
=11
55
1+a
4 a=4
04 ^ 6
GUIDE
{g( f(x))}'=g'( f(x))f '(x)
h(x)=g( f(x))라 하면 h'(x)=g'( f(x))f '(x)
f(x)={
x+1
x€+1 }
‹에서 f(1)=1이고
f '(x)=3 {
€
x+1
x€+1 }
{
x+1
x€+1 }
'=3 {
x+1
x€+1 }
€_
1-2x-x€
(x€+1)€
에서 f '(1)=-;2#; 이므로
lim
x d 1
g( f(x))-g(1)
x-1
=lim
x d 1
g( f(x))-g( f(1))
x-1
=h'(1)
=g'( f(1))f '(1)=g'(1)_f '(1)
=(-4)_{-;2#;}=6
05 ^ ②
GUIDE
2f(x)-1
x-2
➋ lim
x d 2
➊ h'(x)=f '( f(g(x))*f '(g(x))*g'(x)
=2에서 f(2), f(2) 값을 구한다.
h(x)=( f@f@g)(x)=f( f(g(x)))의 양변을 미분하면
h'(x)=f '( f(g(x)))f '(g(x))g'(x)
yy ㉠
㈏ lim
x d 2
2f(x)-1
x-2
lim
x d 2
2{ f(x)-f(2)}
x-2
4 f '(2)=1
yy ㉡
=2에서 2f(2)=1이므로
=2에서 2f '(2)=2
g(x)=2x‹에서 g'(x)=6x€
yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢에서
h'(1)=f '( f(g(1)))f '(g(1))g'(1)
=f '( f(2))f '(2)_6
=f ' {;2!;}_1_6
=3_1_6=18
38 정답과 풀이
G(X)
1
O
-1
G(X)=
x+1
-
x-1
1
X
G(X)<-1 또는 G(X)>1이므로 |G(X)|>1
4 |F(t)|>1 ( ◯ )
08 ^ 2개
GUIDE
➊ (xy)'=ydx+xdy임을 이용한다.
➋ f(x, y)=0의 양변을 미분해 접선의 기울기
를 구한다.
dy
dx
(x€+1)y‹+x€+4x+4=0의 양변을 x, y에 대하여 미분하면
2xy‹dx+3y€(x€+1)dy+2xdx+4dx=0에서
(2xy‹+2x+4)dx=-3y€(x€+1)dy
4
dy
dx
=-
2xy‹+2x+4
3(x€+1)y€
<0
이때 3(x€+1)y€>0이므로 2xy‹+2x+4>0
yy ㉠
한편 (x€+1)y‹+x€+4x+4=0에서
y‹=-
x€+4x+4
x€+1
이므로 ㉠에 대입하면
2x_{-
x€+4x+4
x€+1
}+2x+4>0
x‹+4x€+4x
x€+1
-x-2<0
위 식의 양변에 (x€+1)을 곱하면
x‹+4x€+4x-x‹-2x€-x-2<0
(x+2)(2x-1)<0
4 -2<x<;2!;
따라서 조건에 맞는 정수 x는 -1, 0으로 2개다.
09 ^ 66
GUIDE
f(n)=
임을 이용한다.
dy
dx
x€+nyex+y€=n+1의 양변을 x, y에 대하여 미분하면
2xdx+nyexdx+nexdy+2ydy=0
즉 (2x+nyex)dx=-(2y+nex)dy에서
dy
dx
=
-2x-nyex
2y+nex
(단, 2y+-nex)
점 (0, 1)에서의 접선의 기울기는
에 x=0, y=1을 대입한
dy
dx
-
n
n+2
이므로 f(n)=-
에서
n
n+2
| f(n)|=
(5 n은 자연수)
n
n+2
4
10
Ú
n=1
ln| f(n)|=
ln
10
Ú
n=1
n
n+2
=ln ;3!;+ln ;4@;+ln ;5#;+y+ln ;1ª1;+ln ;1!2);
=ln {;3!;_;4@;_;5#;_;6$;_y_;1ª1;_;1!2);}
=ln {;1¡1;_;1™2;}=ln ;6¡6;=-ln 66
4 P=66
10 ^ ⑤
GUIDE
PA’ 와 PB’ 를 각각 x, y에 대하여 나타낸다.
PA’="ƒx€+4, PB’="ƒy€+4 이고 PA’+PB’=10이므로
"ƒx€+4+"ƒy€+4=10
yy ㉠
㉠에 x=2'3 을 대입하면 'ß12+4+"ƒy€+4=10
y€=32
4 y=4'2 (5 y>0)
㉠의 양변을 x, y에 대하여 미분하면
dx+
dy=0
2x
2"ƒx€+4
x
"ƒx€+4
즉
2y
2"ƒy€+4
y
"ƒy€+4
dx=-
dy에서
=-
yy ㉡
x"ƒy€+4
y"ƒx€+4
dy
dx
따라서 ㉡에 x=2'3 , y=4'2 를 대입하면
dy
dx
3'6
8
=-
=-
2'3_6
4"2_1
11 ^ 3
GUIDE
lim
x d 2p
f(x)-f(2p)
g(x)-g(2p)
= lim
x d 2p
f(x)-f(2p)
x-2p
g(x)-g(2p)
x-2p
lim
x d 2p
f(x)-f(2p)
g(x)-g(2p)
=
f(x)-f(2p)
x-2p
g(x)-g(2p)
x-2p
=
f '(2p)
g '(2p)
이때 f '(x)=2-cos x에서
f '(2p)=2-cos 2p=2-1=1이고
g(2p)=a라 하면 f(a)=2p
즉, f(a)=2a+sin a=2p에서 a=p
4 g(2p)=p
5. 여러 가지 미분법 39
g'(2p)=
1
f '(g(2p))
=
1
f '(p)
=
1
2-(-1)
=;3!;
따라서
=
=3
f '(2p)
g '(2p)
1
;3!;
12 ^ 15
GUIDE
f(2x)의 역함수가 g(x)이므로
g( f(2x))=x ⇨ 2g'( f(2x))f '(2x)=1
f(2)=1, f '(2)=1이고
f(2x)의 역함수가 g(x)이므로 g( f(2x))=x
yy ㉠
㉠의 양변에 x=1을 대입하면 g( f(2))=1
4 a=g(1)=1
㉠의 양변을 x에 대해 미분하면
g '( f(2x))_2_f '(2x)=1
yy ㉡
㉡의 양변에 x=1을 대입하면
g '( f(2))_2_f '(2)=1
4 2g'(1)=1
이때 b=g '(1)=;2!; 이므로
10(a+b)=10 {1+;2!;}=15
13 ^ 9
GUIDE
f(g(x))=x이면 g(x)=f -1(x)이고, g( f(x))의 양변을 미분해 정리한
1
f '(g(x))
을 이용한다.
f '(x)=
f {xg(x)-
x€-x
x+1 }=x에서 xg(x)-
x€-x
x+1
=g(x)
이므로 (x-1)g(x)=
x€-x
x+1
=
x(x-1)
x+1
➊ g(ln 2)=a에서 f(a)=ln 2임을 안다.
14 ^ 2
GUIDE
➋ g'(x)=
1
f '(g(x))
lim
x d ln 2
g(x)-a
x-ln 2
=b에서 g(ln 2)=a이고
f(a)=ln 2이므로 ln (a+"ƒa€+1 )=ln 2
"ƒa€+1 =2-a의 양변을 제곱하면
a€+1=4-4a+a€에서 a=;4#;
f(x)=ln (x+"ƒx€+1 )에서
f '(x)=
b= lim
x d ln 2
=
(x+"ƒx€+1 )'
x+"ƒx€+1
g(x)-a
x-ln 2
= lim
x d ln 2
1+
x
"ƒx€+1
x+"ƒx€+1
g(x)-g(ln 2)
x-ln 2
=g'(ln 2)=
1
f '(g(ln 2))
=
1
f ' {;4#;}
=;4%;
4 a+b=;4#;+;4%;=2
다른 풀이
f(x)의 역함수를 직접 구한다.
y=ln (x+"ƒx€+1 )에서 e y-x="ƒx€+1
양변을 제곱하면 e2y-2xey+x€=x€+1
e2y-1=2xey
4 x=
ey-e-y
2
a=g(ln 2)=
eln 2-e-ln 2
2
=
2-;2!;
2
=;4#;
또한 g'(x)=
이므로
ex+e-x
2
b=g'(ln 2)=
eln 2+e-ln 2
2
=
2+;2!;
2
=;4%;
x와 y 를 바꾸면 y=
, 즉 g(x)=
이므로
ex-e-x
2
ex-e-x
2
4 g(x)=
x
x+1
이때 f {;3@;}=a라 하면 g(a)=;3@; 이므로
g(a)=
a
a+1
=;3@; 에서 a=2
4 g(2)=;3@; , f {;3@;}=2
g'(x)=
1
(x+1)€
이므로 g '(2)=;9!;
따라서 f '(x)=
1
g'( f (x))
에서
f ' {;3@;}=
1
g' { f {;3@;}}
=
1
g'(2)
=9
40 정답과 풀이
15 ^ ①
GUIDE
ㄷ. f(x)=(1+x);x@;의 양변에 자연로그를 취하고 미분한다.
ㄱ. f(1)=(1+1);1@;=2€=4, f(2)=(1+2);2@;=3⁄=3
즉 f(1)>f(2) ( ◯ )
ㄴ. lim
x d 0+
(1+x);x@;= lim
x d 0+
{(1+x);x!;}€=e€ ( _ )
ㄷ. x>0에서 f(x)=(1+x);x@;>0이므로
양변에 자연로그를 취하면 ln f(x)=
2 ln (1+x)
x
위 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
가 성립하므로
2x
1+x
-2 ln(1+x)
f '(x)
f(x)
=
f '(x)=2f(x)_
x€
x
1+x
-ln(1+x)
x€
2
1+2
-ln(1+2)
x€
4 f '(2)=2f(2)_
=1-
( _ )
3ln 3
2
16 ^ ④
GUIDE
x에 2-x를 대입하고 원래 식과 연립하여 f(x)를 구한다.
2f(x)-f(2-x)=ex이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로
x에 2-x를 대입하면
2f(2-x)-f(x)=e2-x
2f(x)-f(2-x)=ex의 양변에 2를 곱하고 ㉠을 더하면
yy ㉠
3f(x)=2ex+e2-x 4 f(x)=
이때 f '(x)=
, f "(x)=
2ex-e2-x
3
2ex+e2-x
3
2ex+e2-x
3
2ex>0, e€-x>0이므로 (산술평균)>(기하평균)에서
2ex+e2-x>2"ƒ2ex_e€-x=2'2 e
(단, 등호는 2ex=e2-x일 때 성립한다.)
따라서 f "(x)의 최솟값은
2'2
3
e
17 ^ ⑤
GUIDE
f4k+1 {;2π;}+f4k+2 {;2π;}+f4k+3 {;2π;}+f4k+4 {;2π;} 를 구한다.
f¡(x)=sin x+cos x에서
f™(x)=(cos x-sin x)+(-sin x-cos x)=-2 sin x
f£(x)=(-2 cos x)+(2 sin x)=2(sin x-cos x)
f¢(x)=2(cos x+sin x)+2(-sin x+cos x)=4 cos x
f∞(x)=-4 sin x-4 cos x=-4(sin x+cos x)=-4f¡(x)
f§(x)=-4f™(x)
f¶(x)=-4f£(x)
f•(x)=-4f¢(x)
fª(x)=(-4)€f¡(x)
⋮
즉 자연수 k에 대하여
f4k+1(x)=(-4)k f¡(x), f4k+2(x)=(-4)k f™(x)
f4k+3(x)=(-4)k f£(x), f4k+4(x)=(-4)k f¢(x)
f∞(x)+f§(x)+f¶(x)+f•(x)
=-4{ f¡(x)+f™(x)+f£(x)+f¢(x)}
fª(x)+f10(x)+f11(x)+f12(x)
=(-4)€{ f¡(x)+f™(x)+f£(x)+f¢(x)}
⋮
f¡ {;2π;}=sin {;2π;}+cos {;2π;}=1
f™ {;2π;}=-2 sin {;2π;}=-2
f£ {;2π;}=2 {sin ;2π;-cos ;2π;}=2
f¢ {;2π;}=4 cos ;2π;=0
f¡ {;2π;}+f™ {;2π;}+f£ {;2π;}+f¢ {;2π;}=1+(-2)+2+0=1
f∞ {;2π;}+f§ {;2π;}+f¶ {;2π;}+f• {;2π;}=-4
fª {;2π;}+f¡º {;2π;}+f¡¡ {;2π;}+f¡™ {;2π;}=16
⋮
f4k+1 {;2π;}+f4k+2 {;2π;}+f4k+3 {;2π;}+f4k+4 {;2π;}=(-4)k
4
40
Ú
n=1
fn {;2π;}=1+(-4)+(-4)€+y+(-4)·
=
1-(-4)10
1-(-4)
=
1-220
5
STEP 3
1등급 뛰어넘기
p. 60~61
02 ③
06 ④
03 ⑤
07 ③
04 1
08 48
01 ①
05 3
09 71
01 ^ ①
GUIDE
제외한 것과 같다.
주어진 영역의 넓이는 부채꼴 AOB의 넓이에서 삼각형 AOB의 넓이를
g(h)=;2!;_1_2 h-;2!;_1_1_sin 2h=h-;2!; sin 2h
4 ㈎=h¡(h)=;2!; sin 2h
t=tan h이므로 g(h)=f(t)=f(tan h)에서
g '(h)=f '(tan h)(tan h)'=f '(tan h)sec€h
=f '(t)sec€h
5. 여러 가지 미분법 41
4 ㈏=h™(h)=sec€h
g(h)=h-;2!; sin 2h에서
g '(h)=1-cos 2h=2sin€h
tan h=2이면 sin h=
이므로 g '(h)=;5*;
2
'5
즉 ;5*;=f '(2)_5에서 f '(2)=;2•5;=a
따라서 a_h¡ {
p
4 }_h™ {
=;2•5;_;2!; sin p
2
p
4 }
_sec€ p
4
=;2•5;_;2!;_2=;2•5;
02 ^ ③
GUIDE
➊ 호 BE와 호 PE의 길이가 같다.
➋ 원 C의 중심의 좌표는 (2cos h, 2 sin h),
P의 좌표는 (2 cos h-cos 2h, 2 sin h-sin 2h)이다.
➌ 점 P의 x좌표와 y좌표를 h를 써서 나타낸다.
y
D
p-2h
A
H
h
E
h
B
1
P
2
h
-1
O
x
그림과 같이 원 C의 중심을 A, 두 원의 접점을 E, 점 A를 지나
고 x축에 평행한 직선이 원과 만나는 점 중 x좌표가 작은 점을
D, 점 P에서 그 직선에 내린 수선의 발을 H, 점 B를 (1, 0)이라
하자.
OA’=2이고 x축 양의 방향과 이루는 각이 h이므로
A의 좌표는 (2 cos h, 2 sin h)
또 호 BE와 호 PE의 길이가 같아야 하므로 3PAE=h
3EOB=3DAE=h (5 엇각)에서
3PAH=p-2h이므로
AH’=cos(p-2h)=-cos 2h
PH’=sin(p-2h)=sin 2h
이때 점 P(x, y)에서
x=2cos h-cos 2h, y=2 sin h-sin 2h
=-2 sin h+2 sin 2h,
=2 cos h-2 cos 2h
dy
dh
dx
dh
dy
dx
=
2 cos h-2 cos 2h
-2 sin h+2 sin 2h
42 정답과 풀이
따라서 h=;4π; 일 때
의 값은
dy
dx
2 cos ;4π;-2 cos ;2π;
-2sin ;4π;+2sin ;2π;
= '2
-'2+2
='2+1
03 ^ ⑤
GUIDE
fn(x)=;x!;+
1
x€
fn'(x)=-
2
x€
3
x‹
+
+y+
n
xn
-
-
-y-
2€
x‹
3€
x›
n€
xn+1
ㄱ. f™(x)=;x!;+
2
x€
ㄴ. fn(x)=
n
Ú
k=1
fn'(x)=-
이므로 f™(1)=1+2=3 ( ◯ )
2
x€
k
xk =;x!;+
2€
1
x‹
x€
-
-
3€
x›
+
+y+
3
x‹
n
xn 에서
-y-
n€
xn+1 이므로
fn'(-1)=-1+2€-3€+y-(-1)n+1n€
1 n이 짝수일 때
fn'(-1)=-1+2€-3€+y+n€
=(2€-1€)+(4€-3€)+y+{n€-(n-1)€}
=1+2+3+4+y+n-1+n=
n(n+1)
2
2 n이 홀수일 때
fn'(-1)
=-1+2€-3€+y-n€
=(2€-1€)+(4€-3€)+y+(n-1)€-(n-2)€-n€
=1+2+3+4+y+(n-2)+(n-1)-n€
=
(n-1)n
2
-n€=-
n(n+1)
2
따라서 | fn'(-1)|=
n(n+1)
2
이므로
| f10'(-1)|=55, | f11'(-1)|=66,
| f12'(-1)|=78, | f13'(-1)|=91에서
60<| fn'(-1)|<80인 자연수 n은 11 또는 12이다.
따라서 모든 n값의 합은 23이다. ( ◯ )
ㄷ. fn'(1)=-1-2€-3€-y-n€=-
n(n+1)(2n+1)
6
fn(1)=1+2+3 y+n=
n(n+1)
2
4
fn'(1)
fn(1)
=-
2n+1
3
10
Ú
n=1
fn'(1)
fn(1)
=-
10
Ú
n=1
2n+1
3
=-;3!;
10
Ú
n=1
(2n+1)
=-;3!;_
10(3+21)
2
=-40 ( ◯ )
1등급 NOTE
수 있다.
연속된 두 자연수의 제곱의 차이는 합차 공식에 의해 다음과 같이 나타낼
또한 f '(1)=a+6이고 f(x)의 역함수를 h(x)라 하면
㈎에서 lim
x=1
h(g(x))-h(g(1))
x-1
은 합성함수 h(g(x))의 x=1
➊ f(x‹)-f(x)=f(x‹)-f(1)+f(1)-f(x)임을 이용해 조건 ㈏에
f(b)=2이므로 2b‹+ab€-ab=2,
=lim
x=1
f(x‹)-f(1)
x‹-1
_(x€+x+1)-lim
x d 1
f(x)-f(1)
x-1
4 -;2#; <a<:¡2∞:
(k+1)€-k€=2k+1=k+(k+1)=(k+1)+k
예 4€-3€=4+3=3+4
04 ^ 1
GUIDE
서 f '(1)의 값을 구한다.
➋ g(f(2x‹+3))=x임을 이용한다.
조건 ㈏에서
lim
x d 1
f(x‹)-f(x)
x-1
=lim
x d 1
f(x‹)-f(1)+f(1)-f(x)
x-1
=lim
x d 1
f(x‹)-f(1)
x-1
-lim
x d 1
f(x)-f(1)
x-1
=3f '(1)-f '(1)=2f '(1)=;6!;
4 f '(1)=;1¡2;
함수 f(2x‹+3)의 역함수가 g(x)이므로
g( f(2x‹+3))=x
yy ㉠
㉠의 양변에 x=-1을 대입하면
g( f(1))=-1
4 g(2)=-1
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면
g'( f(2x‹+3))_f '(2x‹+3)_6x€=1
yy ㉡
㉡의 양변에 x=-1을 대입하면 g'( f(1))_f '(1)_6=1
f(1)=2, f '(1)=;1¡2; 이므로 g'(2)=
1
6f '(1)
=2
4 g(2)+g'(2)=-1+2=1
05 ^ 3
GUIDE
삼차함수 f(x)의 역함수가 존재할 조건을 찾는다.
삼차함수 f(x)의 역함수가 존재하려면
도함수인 f '(x)에서 f '(x)=6x€+2ax-a>0이
모든 실수 x에 대하여 항상 성립해야 하므로
;;4Î;;=a€+6a<0에서 -6<a<0 (5 a+-6)
yy ㉠
g(1)=
=2이고, g'(x)=
1+3
1€+1
-x€-6x+1
(x€+1)€
에서
g'(1)=
-6
4
=-;2#;
에서의 미분계수이다.
lim
x d 1
h(g(x))-h(g(1))
x-1
=h'((g(1))_g '(1)
=h'(2)_{-;2#;}
h(2)=b라 하면
(b-1){2b€+(a+2)b+2}=0에서 b=1
이때 h'(x)=
이므로 h'(2)=
1
f '(h(x))
1
f '(h(2))
=
1
f '(1)
즉 h'(2)_{-;2#;}=
_{-;2#;}=-
1
f '(1)
3
2(a+6)
이므로
-1<-
3
2(a+6)
<-;3!;
각 변에 -;3@; 를 곱하면 ;9@;<
3
a+6
<;3@;, ;2#;<
a+6
3
<;2(;
㉠에서 -6<a<0이므로 a의 최솟값은 -;2#;, 최댓값은 0이다.
4 M-2m=0-(-3)=3
h(t)=t{ f(t)-g(t)}를 미분한 결과에 t=5를 대입해서 구해야 하는
06 ^ ④
GUIDE
것이 무엇인지 확인한다.
h(t)=t{ f(t)-g(t)}이므로
h'(t)={ f(t)-g(t)}+t{ f '(t)-g'(t)}
h'(5)={ f(5)-g(5)}+5{ f '(5)-g'(5)}
yy ㉠
한편 y=x‹+2x€-15x+5와 직선 y=5가 만나는 점의 x좌표
는 x‹+2x€-15x+5=5, x(x+5)(x-3)=0에서
또 f(t), g(t)는 y=x‹+x€-15x+5와 y=t를 연립한 방정식
x좌표가 작은 것부터 차례로 -5, 0, 3
이때 f(5)=3, g(5)=-5
yy ㉡
의 근이므로
{ f(t)}‹+2{ f(t)}€-15f(t)+5=t
위 식의 양변을 미분해 f '(t)를 구하면
f '(t)=
1
3{ f(t)}€+4 f(t)-15
이므로
f '(5)=
1
3_3€+4_3-15
=;2¡4;
g(t)에 대해서도 마찬가지로 생각하면
g '(5)=
1
3_(-5)€+4_(-5)-15
=;4¡0;
yy ㉢
5. 여러 가지 미분법 43
t=5를 대입해 f '(5)를 구해도 된다.
h'(0)=6 f '(1)=-2 f '(1) 이므로 f '(1)=0
åå ㉠
변끼리 더하면 f(x)+g(x)=sin x+cos x
yy ㉠
f "(1)=0
åå ㉡
㉠의 양변을 미분하면 f '(x)+g'(x)=cos x-sin x
또 x>0에서 g(x)=0인 값 중 하나인 x=
에서도 h"(x)가
㉡과 ㉢을 ㉠에 대입하면
h(5)={3-(-5)}+5 {;2¡4;-;4¡0;}=8+;1¡2;=;1(2&;
1등급 NOTE
➊ y=x‹+2x€-15x+5에 ( f(5), 5), (g(5), 5)를 각각 대입해서
f(5), g(5)를 구해도 된다.
➋ { f(t)}‹+2{ f(t)}€-15f(t)+5=t의 양변을 미분한 결과에 바로
07 ^ ③
GUIDE
㈎, ㈏에서 f(x)+g(x)를 구한다.
㈎에서 f(x)+f "(x)+g"(x)=sin x
㈏에서 g(x)-f "(x)-g"(x)=cos x
다시 미분하면 f "(x)+g"(x)=-sin x-cos x
yy ㉡
㉡을 ㈎ 식에 대입하면 f(x)=2sin x+cos x
yy ㉢
㉢을 ㉠에 대입하면 g(x)=-sin x
f '(x)=2 cos x-sin x, g'(x)=-cos x이므로
f ' {;6π;}+g' {;3π;}=2 cos ;6π;-sin ;6π;-cos ;3π;
='3 -;2!;-;2!;='3 -1
08 ^ 48
GUIDE
h'(x)=f '(g(x))g '(x)가 존재해야 한다. 이때 g(x)가 절댓값 함수이
므로 그래프를 그려보면 첨점이 있음을 생각한다.
g(x)=|2sin(x+2|x|)+1|=[
|2sin 3x+1| (x>0)
|-2sin x+1| (x<0)
이므로 다음과 같은 4개의 함수로 나누어진다.
g(x)=
(x>0, 2sin 3x+1>0)
g¡(x)=2sin 3x+1
g™(x)=-2sin 3x-1 (x>0, 2sin 3x+1<0)
g£(x)=-2sin x+1 (x<0, -2sin x+1>0)
(x<0, -2sin x+1<0)
g¢(x)=2sin x-1
[
경곗값을 제외한 구간에서 g '(x), g "(x)는 다음과 같다.
g '(x)=
g¡'(x)=6cos 3x
(x>0, 2sin 3x+1>0)
g™'(x)=-6cos 3x (x>0, 2sin 3x+1<0)
g£'(x)=-2cos x (x<0, -2sin x+1>0)
(x<0, -2sin x+1<0)
g¢'(x)=2cos x
[
h(x)=f(g(x))에서 h'(x)=f '(g(x))g '(x)
h"(x)=f "(g(x)){g '(x)}€+f '(g(x))g "(x)
x d 0+ f '(g¡(x))g¡'(x)
=f '(1)g¡'(0)=6 f '(1)
x=0 에서 h"(x)가 연속이므로 h'(x)도 연속이다.
x d 0+h'(x)= lim
lim
lim
x d 0-h'(x)= lim
x d 0- f '(g£(x))g£'(x)
=f '(1)g£'(0)=-2 f '(1)
lim
x d 0+h"(x)
= lim
lim
x d 0-h"(x)
= lim
x d 0+{ f "(g¡(x)){g¡'(x)}€+ f '(g¡(x))g¡"(x)}
=f "(1){g¡'(0)}€+ f '(1)g¡"(0)=36 f "(1)
x d 0-{ f "(g£(x)){g£'(x)}€+ f '(g£(x))g£"(x)}
=f "(1){g£'(0)}€+ f '(1)g£"(0)=4 f "(1)
h"(0)=36 f "(1)=4 f "(1)이므로
7p
18
연속이므로 h'(x)도 연속이다.
h'(x)= lim
;1&8π;+
lim
;1&8π;+
x d
x d
f '(g™(x))g™'(x)
=f '(0)g™'{
h'(x)= lim
lim
;1&8π;-
;1&8π;-
x d
x d
7p
18 }=3'3 f '(0)
f '(g¡(x))g¡'(x)
=f '(0)g¡'{
7p
18 }=-3'3 f '(0)
즉 -3'3 f '(0)=3'3 f '(0) 이므로
åå ㉢
f '(0)=0
f(x)가 최고차항의 계수가 1인 사차함수이므로
f '(x)는 최고차항의 계수가 4인 삼차함수이다.
㉠, ㉡, ㉢에서 f '(x)=4x(x-1)€
4 f '(3)=4_3_2€=48
09 ^ 71
GUIDE
➊ t가 정해진 경우 대각선의 교점의 y좌표가 최소가 되려면 곡선과 정
사각형의 아래쪽 변이 적어도 한 점에서 만나야 한다.
➋ 정사각형이 곡선 y=|ex-2|와 두 점에서 만날 때와 한 점에서 만날
➌ 정사각형이 곡선과 두 점에서 만나는 크리티컬 포인트는 직선 y=1일
때로 나누어 생각한다.
때를 생각하면 된다.
g(x)=|ex-2|라 하면 함수 y=g(x)의 그래프와 직선 y=1의
교점의 좌표는 (0, 1), (ln 3, 1)
f(t)는 한 변의 길이가 t 인 정사각형의 꼭짓점이 g(x)의 그래프
0<t<ln 3이면 두 점에서 만나고, t>ln 3이면 한 점에서 만날
g "(x)=
g¡"(x)=-18sin 3x (x>0, 2sin 3x+1>0)
(x>0, 2sin 3x+1<0)
g™"(x)=18sin 3x
(x<0, -2sin x+1>0)
g£"(x)=2sin x
(x<0, -2sin x+1<0)
g¢"(x)=-2sin x
[
와 만날 때 정해진다.
때이다.
44 정답과 풀이
1 0<t<ln 3일 때
y
y=|e˛-2|
06
도함수의 활용
1
t
-
2
t
O
a
a+t
a
정사각형과 y=g(x)의 두 교점의 x좌표를 a와 a+t 라 하면
두 교점의 좌표는 (a, 2-ea), (a+t, ea+t-2)
두 교점의 y좌표가 같으므로 ea=
4
et+1
즉 f(t)=2-ea+
에서 f(t)=2-
4
et+1
+
t
2
2 t>ln 3일 때
y=|e˛-2|
t
-
2
t
t
a
t
2
y
1
O
t
2
t
2
정사각형과 y=g(x)의 교점의 좌표는 (t, e t-2)
4 f(t)=e t-2+
1, 2에서 함수 f(t)는
2-
+
(0<t<ln 3)
f(t)=
[
et-2+
(t>ln 3)
4
et+1
t
2
함수 f(t)의 도함수 f '(t)는
4et
(et+1)€
1
2
f '(t)=
[
et+
1
2
+
(t>ln 3)
(0<t<ln 3)
f '(ln 2)+f '(ln 5)=;1@8%;+
11
2
=
62
9
따라서 p=9, q=62이고 p+q=71
STEP 1
1등급 준비하기
p. 66 ~68
01 ②
05 ③
09 ⑤
13 ②
02 50
06 ②
10 ④
14 4
03 ④
07 ③
11 240
15 ⑤
04 ⑤
08 G, H
12 ④
01 ^ ②
GUIDE
x=;3π; 일 때 cos ;3π;=;2!; 임을 이용한다.
x=;3π; 일 때 cos ;3π;=;2!; 이므로
f {;2!;}=f {cos ;3π;}=sin ;3@; p+tan ;3π;= '3
2
+'3=
3'3
2
이고, f(cos x)=sin 2x+tan x의 양변을 미분하면
-sin xf '(cos x)=2 cos 2x+sec€x에서
x=;3π; 일 때 - '3
2
f ' {;2!;}=2{-;2!;}+4 4 f ' {;2!;}=-2'3
즉 y=-2'3 {x-;2!;}+
을 정리하면
3'3
2
y=-2'3 x+
5'3
2
02 ^ 50
GUIDE
f '(e)=a로 놓고 f '(e)_g'(e)=-1임을 이용한다.
점 (e, -e)는 y=f(x) 위의 점이므로 f(e)=-e
이때 y=f(x) 위의 점 (e, -e)에서 접선의 기울기를
f '(e)=a라 하고, y=g(x)를 미분하면
g'(x)=f '(x)ln x›+f(x)_;x$;
y=g(x) 위의 점 (e, -4e)에서의 접선의 기울기는
g'(e)=f '(e)ln e›+f(e)_;e$;=4a-4
x=e에서 f(x)의 접선과 g(x)의 접선이 서로 수직이므로
f '(e)_g'(e)=-1, a(4a-4)=-1
(2a-1)€=0
4 a=;2!;
따라서 100f '(e)=100a=50
03 ^ ④
GUIDE
dy
dx
=1일 때 x, y의 관계를 구한다.
6. 도함수의 활용 45
06
도함수의 활용
x€-xy+y€=12
yy ㉠
㉠의 양변을 x, y에 대하여 미분하면
2x dx-(ydx+x dy)+2ydy=0에서
dy
dx
=
2x-y
x-2y
(단, x+2y)
이때
dy
dx
=
2x-y
x-2y
=1에서 y=-x
yy ㉡
접선의 기울기가 1인 접선의 접점은 ㉠, ㉡의 교점이므로
㉡을 ㉠에 대입하면 x€-x(-x)+(-x)€=12, x€=4
∫ x=-2 또는 x=2
즉 두 접점의 좌표는 (-2, 2), (2, -2)이다. (5 ㉡)
기울기가 1이고 접점 (-2, 2)를 지나는 직선은 y=x+4,
기울기가 1이고 접점 (2, -2)를 지나는 직선은 y=x-4
이므로 두 직선 사이의 거리는
|4-(-4)|
'2
=
8
'2
=4'2
참고
➊ x€+xy+y€=12가 나타내는 그래
프는 그림의 도형과 같고, 이 그래
프 위의 점에서의 접선의 기울기가
1인 두 점은 직선 y=-x 위의 점
이다.
➋ 기울기가 같은 두 직선
ax+by+c=0, ax+by+c'=0
의 거리 d 는 d=
|c-c'|
"ƒa€+b€
y
y=x+4
2
2
y=x-4
x
O-2
-2
04 ^ ⑤
GUIDE
곡선 위의 점 A의 좌표를 (t, 3et-1)로 놓고 이 점에서의 접선의 방정식
따라서 a>'6
참고
을 t 로 나타낸다.
곡선 y=3ex-1 위의 점 A의 좌표를(t, 3et-1)으로 놓으면
y'=3ex-1에서 접선의 기울기는 3et-1
이때 접선의 방정식은 y=3et-1(x-t)+3et-1
이고, 이 접선이 원점 O(0, 0)을 지나므로
0=3et-1(-t)+3et-1
따라서 A(1, 3)이므로 OA’="ƒ1€+3€='ß10
4 t=1
05 ^ ③
GUIDE
f(x)에 대하여 구간 {ex+;x#;, ex+3}에서 평균값 정리를 이용한다.
x bd $에서 ex+3>ex+;x#; 이고, 함수 f(x)가 모든 실수에서
증가함수이다. ( ◯ )
미분가능하므로 f(x)는 닫힌구간 “ex+;x#;, ex+3‘에서 연속이고
이므로 h'(x)<0
46 정답과 풀이
열린구간 {ex+;x#;, ex+3}에서 미분가능하다.
평균값 정리에 따라
f(e˛+3)-f {ex+;x#;};
(e˛+3)-{ex+;x#;}
=
f(e˛+3)-f {e˛+;x#;};
=f '(c)
3-;x#;
를 만족시키는 상수 c가 구간 {ex+;x#;, ex+3}에 적어도 하나 존재
한다. 이때 x bd $이면 {3-;x#;} bd 3이고, c bd $이므로
lim
x d $
f '(x)=12에서 lim
c d $
f '(c)=12
∫ lim
x d $[ f(ex+3)-f {ex+;x#;}]=3 lim
c d $
f '(c)=3_12=36
06 ^ ②
GUIDE
f(x¡)-f(x¡)
x™-x¡
임의의 두 수 x¡, x™에 대하여
>0이면 함수 f(x)가 실수
f(x™)-f(x¡)
x™-x¡
전체에서 증가함수임을 이용한다.
>0에서 함수 f(x)는 증가함수이므로
모든 실수 x에 대하여 f '(x)>0이어야 한다.
f '(x)=ae3x€+(ax+2)(6x)e3x€=(6ax€+12x+a)e3x€
이때 e2x€>0이므로 6ax€+12x+a>0에서
a>0이고 이차방정식 6ax€+12x+a=0의 판별식을 D라 하면
;;4Î;;=6€-(6a)(a)=36-6a€<0
4 a€>6
함수 f(x)가 증가함수이면 f '(x)>0이다. 이때 f '(x)=0이 되는 점은
유한개임을 주의한다.
07 ^ ③
GUIDE
주의한다.
함수의 증가, 감소와 다르게 함숫값은 양수 또는 음수일 수 있다는 점을
ㄱ. [반례] f(x)=x, g(x)=2x이면 y=f(x)g(x)=2x€은
x<0일 때 증가함수가 아니다. ( × )
ㄴ. y=( f@g)(x)를 미분하면 y'=f '(g(x))g'(x)
이때 f(x)와 g(x)는 미분가능한 증가함수이므로
f '(g(x))>0이고 g' (x)>0
따라서 y'=f '(g(x))g'(x)>0이므로 y=( f@g)(x)는
ㄷ. y'=3{h(x)}€h'(x)이고, 함수 h(x)는 미분가능한 감소함수
따라서 y'=3{h(x)}€h'(x)<0이므로 y={h(x)}‹는
ㄴ. 함수 f(x)는 x=1에서 극댓값을 갖지만 이 값이 항상 최댓
값이라 할 수 없다. ( _ )
ㄷ. 변곡점은 y=f "(x)의 부호가 바뀌는 점이므로 y=f '(x)의
극점이다. 즉 x=-1과 x=0에서 변곡점이다. ( ◯ )
감소함수이다. ( ◯ )
08 ^ G, H
GUIDE
f '(x)에서 함수의 증가 또는 감소를 파악하고, f "(x)에서 함수의 그래
ㄴ. y=f '(x)의 그래프를 보면 구간 (-2, 1)에서 f '(x)>0이므로
f(x)는 증가함수이다. 또 함수 f(x)의 증감표를 작성해 봐도 된다.
프가 위로 볼록한지 아래로 볼록한지 파악한다.
f '(x)>0에서 함수는 증가 상태이고, f "(x)>0일 때 그래프는
아래로 볼록하다. 따라서 증가하면서 아래로 볼록인 미분가능한
점을 찾으면 G, H이다.
09 ^ ⑤
GUIDE
f ' {;;¡6¡;; p}=0에서 a, b 사이의 관계식을 찾고,
구간 [0, p]에서 f "(c)=0인 c값을 찾는다.
f ' (x)=-asin x+b이고 x=;;¡6¡;; p에서 극솟값을 가지므로
f ' {;;¡6¡;; p}=-a sin ;;¡6¡;; p+b=-{-;2!;} a+b=0
4 a+2b=0
yy ㉠
f "(x)=-a cos x이고, f "(c)=-a cos c=0에서 구간 [0, p]에
서 가능한 c는 ;2π; 뿐이다.
즉 변곡점의 좌표에서 f {;2π;}=;4π; 이므로 b=;2!;
yy ㉡
㉠, ㉡에서 a=-1이므로 abc=-;4π;
이때 f(x)=;2!; x-cos x이고
f(-abc)=f {;4π;}=;8π;- '2
2
10 ^ ④
GUIDE
ㄱ. F(x)=(x-1)f(x)에서 F'(1)이 존재하는지 확인한다.
ㄴ. f(1)과 함숫값이 같은 것이 있는지 확인한다.
ㄷ. 변곡점은 y=f '(x)의 극점이다.
ㄱ. F(x)=(x-1)f(x)라 하면 F(1)=0이므로
F '(1)=lim
x d 1
F(x)-F(1)
x-1
=lim
x d 1
(x-1)f(x)
x-1
=lim
x d 1
f(x)
함수 y=f(x)는 구간 (-2, 3)에서 연속이므로
lim
x d 1
f(x)이 존재한다.
참고
11 ^ 240
GUIDE
f '(x)=0이 되는 x의 값을 a로 놓고 sin a, cos a의 값을 구한다.
f '(x)= '3 sin x
cos€ x
-
1
cos€ x
= '3 sin x-1
cos€ x
=0
에서 '3 sin x-1=0
이때 sin a=
라 하면
= '3
3
1
'3
sin a=
일 때 f(x)는 구간
1
'3
{0, ;2π;}에서 극소이면서 최소이다.
x
y a y
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 극소 ↗
€=æ;3@;
1
'3 }
또 a {0<a<;2π;}에 대하여 cos a=Ƙ1-{
tan a=
=
이므로 최솟값 m은
sin a
cos a
1
'2
m=f(a)= '3
cos a
3
'2
따라서 120 m€=120_2=240
-tan a=
-
1
'2
='2
12 ^ 정답 ④
GUIDE
점 P가 원 x€+y€=1 위의 점이므로 P(cos h,sin h)로 놓을 수 있다.
정사각형 EFGH의 두 대각선의 교점을 P라 하자.
동경 OP가 나타내는 각을 h라 하면 h=;2π; 또는 h=-;2π; 일 때
공통부분은 선분 또는 점이다. 즉 넓이가 존재하는 공통부분이
생기는 h의 범위는 -;2π;<h<;2π; 이다.
y
H
D
P
O h A
E
G
F
C
x
B
따라서 함수 (x-1)f(x)는 x=1에서 미분가능하다. ( ◯ )
점 P(cos h, sin h), 점 G(cos h+1, sin h+1)에서
6. 도함수의 활용 47
공통부분인 직사각형의 가로 길이는 cos h, 세로 길이는
sin h+1이므로 공통부분의 넓이
S(h)=cos h(sin h+1)=;2!; sin 2h+cos h
g'(x)=
6(x€+1)-2x(6x-8)
(x€+1)€
=
-2(3x+1)(x-3)
(x€+1)€
g'(x)=0에서 x=-;3!; 또는 x=3
S'(h)=cos 2h-sin h=-(sin h+1)(2sin h-1)=0
또한 g {-;3!;}=
=-9, g(3)=;1!0);=1에서
에서 sin h=-1 또는 sin h=;2!;
4 h=;6π; {
5 -;2π;<h<;2π;}
x
S'(h)
{-;2π;} y
+
S(h)
↗
;6π;
0
3'3
4
y
-
↘
{;2π;}
즉 S(h)는 h=;6π; 에서 극대이면서 최댓값을 갖는다.
이때 최댓값은 S {;6π;}= '3
2
{1+;2!;}
3'3
4
=
-10
;9!;+1
y
-
↘
x
g'(x)
g(x)
-;3!;
0
극솟값
-9
y
+
3
0
y
-
↗ 극댓값 1 ↘
이때 lim
x d $
g(x)= lim
x d -$
g(x)=0이므로 y=g(x)의 그래프는
다음과 같다.
y
1
-;3!;
y=g(x)
O
3
x
y=k
-9
y
2
1
y=f(k)
k
즉 f(k)는 k=-9, 0, 1에서 불연속이므로 n=3, m=1
4 m+n=4
다른 풀이
6x-8
x€+1
방정식 6x-8
x€+1
=k에서 분모 x€+1+0이므로
=k의 실근의 개수와 방정식
k=0일 때 x=;3$; 로 한 개의 실근을 가지고
k+0일 때 판별식 D=-(k-1)(k+9)에서
-9<k<-1이면 근이 2개, k=-9 또는 k=1이면 1개,
15 ^ ⑤
GUIDE
두 점이 움직이는 방향이 서로 반대이려면 속도의 부호가 달라야 한다.
두 점 P, Q의 시각 t 에서의 속도를 각각 vP, vQ라 하면
vP=
=2t-a, vQ=
dxP
dt
dxQ
dt
=
2t-1
t €-t+1
+
=t로 놓고 t>k ln t에서 t 값의 범위를 이용해 k와
의 크
이때 함수 f(k)의 그래프는 다음과 같다.
t
ln t
+
=t 라 하면 x>0이므로 t>
>1
즉 t>
인 모든 실수 t 에 대하여 t>k ln t 이고
-9
O 1
3
e
t
ln t
t
y
f '(t) -
e
0
y
+
f(t) ↘ 극솟값 e ↗
t>
>1에서 극솟값이자 최솟값 e를 가지므로 k<
=f(t)
kx€-6x+(k+8)=0의 실근의 개수는 같다.
t
ln t
t>k ln t 에서
>
이므로 f(t)=
로 두고 풀 수도 있다.
k<-9 또는 k>1이면 근이 없음을 알 수 있다.
1
k
ln t
t
ln t
t
기 관계를 생각한다.
13 ^ ②
GUIDE
e
x
e
x
3
e
3
e
3
e
t>
>1에서 ln t>0이므로 k<
f(t)=
라 하면
t
ln t
f '(t)=
=0에서 t=e
ln t-1
(ln t )€
따라서 f(t)=
t
ln t
는
3
e
3
e
가 항상 성립하려면 k<e
1등급 NOTE
14 ^ 4
GUIDE
6x-8
x€+1
g(x)=
라 하면
6x-8
x€+1
48 정답과 풀이
g(x)=
로 놓고 y=g(x)의 그래프를 그려 생각한다.
곡선의 식을 x, y에 대해 미분하여
를 구한다.
따라서 a<b인 자연수의 순서쌍은 (2, 12), (3, 28)로 2개
두 점 P, Q가 움직이는 방향이 서로 반대 방향이 되려면
f '(t)=-
이므로 접선의 방정식은
vP_vQ<0이어야 한다.
즉 vP vQ=
(2t-a)(2t-1)
t €-t+1
<0
4 (2t-a)(2t-1)<0
yy ㉠ (5 t €-t+1>0)
㉠의 해가 ;2!;<t<2이므로 ;2A;=2
4 a=4
2
t €
2
t €
16
t €
y-
=-
(x-t)
4 y=-
x+
2
t €
4
t
2
t
즉 A(2t, 0), B {0, 4
4
t }
AB’=Ƙ(2t)€+{
t }에서
€=æ√4t €+
16
t €
이때 4t €+
>2'ß64=16이므로 AB’>'ß16
따라서 선분 AB 길이의 최솟값은 4
03 ^ ③
GUIDE
두 직선이 이루는 각의 크기는 tan (a-b)=
tan a-tan b
1+tan a tan b
를 이용한다.
f(x)=4ln x라 하면 f '(x)=;x$; 이고,
두 점 A, B의 x좌표 a, b는 진수 조건에서 0<a<b
이때 두 접선의 기울기는 각각 ;a$;, ;b$; 이고
0<;b$;<;a$; 이므로 tan ;4π;=
;a$;-;b$;
1+;a$;_;b$;
=1
ab+4a-4b+16=0
4 (a-4)(b+4)=-32
04 ^ ③
GUIDE
f(x)를 구한다.
2f(x)+f(4-x)=ln x에 x 대신 4-x를 대입하여 두 식을 연립해
2f(x)+f(4-x)=ln x yy ㉠에 x 대신 4-x를 대입하면
2f(4-x)+f(x)=ln (4-x) yy ㉡
㉠_2-㉡에서 f(x)=;3@; ln x-;3!; ln (4-x)
f '(x)=;3!; {;x@;+
4-x }이므로
1
f '(3)=;3!; {;3@;+
1
4-3 }=;9%;
f(3)=;3@; ln 3-;3!; ln (4-3)=;3@; ln 3
STEP 2
1등급 굳히기
p. 69~78
04 ③
08 ③
12 ③
16 ①
19 ①
23 101
27 25
31 ④
35 ③
17 a<-;2(; 또는 a>8
20 412
21 ④
02 ②
06 15
10 61
14 ①
25 ⑤
29 ⑤
33 ⑤
37 ①
01 ④
05 1
09 20
13 ②
24 ③
28 ④
32 ④
36 ⑤
01 ^ ④
GUIDE
03 ③
07 15
11 ⑤
15 ⑤
18 349
22 11
26 ②
30 ⑤
34 ③
38 ②
dy
dx
y‹=ln (5-x€)+xy+4의 양변을 x, y에 대하여 미분하면
3y€dy=
dx+y dx+xdy
-2x
5-x€
dy
dx
=
1
3y€-x
{
-2x
5-x€
+y} (단, x+3y€, x€<5)
이때 점 (2, 2)에서 접선의 기울기는
1
3_2€-2
{
-2_2
5-2€
+2}=-;5!;
따라서 점 (2, 2)를 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선은
y=5(x-2)+2=5x-8이므로 x절편은 ;5*;
02 ^ 4
GUIDE
곡선 위의 임의의 점 {t,
2
t } 에서 접선의 방정식을 구한다.
2
x€
f(x)=;x@; 라 하면 f '(x)=-
접점의 좌표를 {t, 2
t }라 하면
이 점에서 접선의 기울기는
y
B
O
따라서 접선의 방정식은 y=;9%; (x-3)+;3@; ln 3
y=;x@;
이때 x절편을 a라 하면
0=;9%; (a-3)+;3@; ln 3에서 a=3-;5^; ln 3이므로
A
x
p=3, q=-;5^;
∫ p+q=3+{-;5^;}=;5(;
6. 도함수의 활용 49
함수를 직접 구하지 않고 ㉠에 x=1과 x=3을 각각 대입하여 연립하면,
1등급 NOTE
f(3)=;3@; ln 3을 구할 수 있다.
또 ㉠의 양변을 미분하면 2f '(x)-f '(4-x)=;x!; yy ㉢이고,
㉢에 x=1과 x=3을 각각 대입하여 연립하면 f '(3)=;9%;
따라서 접선의 식은 y=;9%; (x-3)+;3@; ln 3
07 ^ 15
GUIDE
한다.
05 ^ 1
GUIDE
f(x)=xsin x (x>0)는 양변에 로그를 취하여 f '(x)를 구한다.
f(p)=p sin p=1이고,
f(x)=x sin x(x>0)의 양변에 자연로그를 취하면
ln f(x)=ln x sin x=sin x ln x
이 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '(x)
f(x)
=cos x ln x+
sin x
x
4 f '(x)=x sin x {cos x ln x+
4 f '(p)=p0_(-1_ln p+0)=-ln p
sin x
x }
따라서 x=p에서 접선의 방정식은
y=-ln p(x-p)+1=(-ln p)x+p ln p+1
즉 m=-ln p, n=p ln p+1이므로
mp+n=-p ln p+(p ln p+1)=1
06 ^ 15
GUIDE
dx=
t €-1
t €
dt
매개변수 t에 대하여 dx, dy를 구해
dy
dx
=-;2•5; 임을 이용한다.
dy=
2(1+t €)-2t(2t)
(1+t €)€
dt=
-2t €+2
(1+t €)€ dt
4
dy
dx
=
=
-2t €
(1+t €)€
2-2t €
(1+t €)€
t€-1
t €
이때 -2t €
(1+t €)€
=-;2•5; 에서 4t ›-17t €+4=0이므로
t €=;4!; 또는 t €=4이고, 조건에서 t>1이므로 t=2
따라서 접점의 좌표는 x=2+;2!;=;2%;, y=
2_2
1+2€
=;5$; 이므로
삼각형 ABP의 넓이를 구할 때, 고정된 값과 변하는 값이 무엇인지 생각
선분 AB를 밑변, 점 P와 직선 AB 사이의 거리 h를 높이로 하는
삼각형 ABP의 넓이는 ;2!;_AB’_h=;2!;_5'2 _h
삼각형 ABP의 넓이가 최소이려면 h가 최소여야 하므로 점 P에
서 접선의 기울기가 직선 AB의 기울기인 1과 같아야 한다.
점 P의 좌표를 P {t, ln t
1-ln t
t €
t }라 하면 y'=
1-ln x
x€
4 t=1
에서
=1
즉 P(1, 0)이고, 직선 AB의 방정식은 y=x+5이므로
h=
|1+5|
"ƒ1€+1€
=
6
'2
=3'2
따라서 넓이의 최솟값은 ;2!;_5'2 _3'2 =15
1등급 NOTE
방정식에서
1-1n t
t€
=1,
즉 1-ln t=t€을 푸는 것은 매우 까
다롭다. 이때 이 방정식을 다르게 나
타낸 1-t€=ln t 에서 좌변과 우변
각각은 그릴 수 있는 곡선이므로 교점
에서 해를 찾는다.
y
1
y=ln t
O-1
1
x
y=-t€+1
을 이용한다.
08 ^ ③
GUIDE
1
f '(g(0))
g'(0)=
f(x)=ln (tan x)에서
f '(x)=
sec€ x
tan x
이고
f {;4π;}=ln {tan ;4π;}=0에서
g(0)=;4π; (5 g(x)=f -1(x))
4 a=;4π;
또한 g'(0)=
1
f '{;4π;};
P(0, a)를 지나는 접선은 기울기가
=;2!; 에서
;2!; 이고, {0, ;4π;} 를 지나므로
y
p
;4;
y=g(x)
y=f(x)
O
p
;4;
x
y
p
;4;
O
p
;2;
-
x
접선의 방정식은 y=-;2•5; {x-;2%;}+;5$;=-;2•5; x+;5*;
y=;2!; x+;4π;
점 {a, -:¡5§:} 을 대입하면 -;;¡5§;;=-;2•5; a+;5*;
4 a=15
이때 x절편이 -;2π; 이므로
50 정답과 풀이
S=;2!;_;2π;_;4π;= p€
16
4 S
a€
=
=1
p€
16
p€
16
09 ^ 20
GUIDE
g {3f(x)-
g( f(x))=x이므로 3f(x)-
2
ex+e2x =f(x)
2
ex+e2x }=x에서
2
3f(x)-
f '(x)=
ex+e2x =f(x)이므로 f(x)=
-ex-2e2x
(ex+e2x)2
1
ex+e2x 이고
또 f(0)=;2!; 에서 g {;2!;}=0이므로
g' {;2!;}=
1
f '{g {;2!;}};
=
1
f '(0)
=-;3$;
따라서 {;2!;, g {;2!;}}에서의 접선은 y=-;3$; {x-;2!;}이므로
m=-;3$;, n=;3@;
4 9(m€+n€)=16+4=20
11 ^ ⑤
GUIDE
,
dy
dt
dx
dt
를 구해
를 구한다.
dy
dx
x=3cos t, y=2sin t에서
dx=-3 sin t dt, dy=2 cos t dt
4
dy
dx
=
2 cos t
-3 sin t
=-;3@; cot t
한 접점의 x, y좌표를 x=3 cos h¡, y=2 sin h¡이라 하면 접선의
방정식은 y=-;3@; cot h¡(x-3 cos h¡)+2 sin h¡이고,
A(6, 0)를 지나므로
0=-;3@; cot h¡(6-3 cos h¡)+2 sin h¡
양변에 3 sin h¡을 곱하여 정리하면
0=-2 cos h¡(6-3 cos h¡)+6 sin€h¡,
12 cos h¡=6 cos€ h¡+6sin€ h¡=6 4 cos h¡=;2!;
이때 sin h¡=Ƙ1-{;2!;}
€=+ '3
2
이므로
두 접점은 각각 {;2#;, '3 }, {;2#;, -'3 }이다.
따라서 사각형 OPAQ의 넓이는 2_;2!;_6_'3=6'3
10 ^ 61
GUIDE
함수 f(3x-2)의 역함수가 g(x)이므로 g( f(3x-2))=x를 이용한다.
f(4)=3, f '(4)=;4!; 이고, 함수 f(3x-2)의 역함수가 g(x)이
참고
x=3 cos t, y=2 sin t에서
=cos t,
=sin t이므로
y
2
x
3
x€
9
y€
4
그림과 같다.
+
=1이 나타내는 곡선은
-3
y
2
O
-2
( )
P ;2#;, '3
x
A
( )
Q ;2#; , -'3
므로 g( f(3x-2))=x
…… ㉠
㉠의 양변에 x=2를 대입하면
g( f(4))=g(3)=2
…… ㉡
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면
g'( f(3x-2))f '(3x-2)_3=1
…… ㉢
㉢의 양변에 x=2를 대입하면
g'( f(4))f '(4)_3=1, 즉 g'(3)_;4!;_3=1
4 g'(3)=;3$;
㉡, ㉣에서 곡선 y=g(x) 위의 점 (3, 2)에서 접선의 방정식은
…… ㉣
y=;3$;(x-3)+2=;3$; x-2
따라서 -4x+3y+6=0과 원점 사이의 거리는
|0+0+6|
"ƒ(-4)€+3€
=;5^;
4 p€+q€=25+36=61
12 ^ ③
GUIDE
ㄱ. 점 Pn(xn, sin 2 xn)에서의 접선의 방정식을 이용한다.
ㄱ. y'=2 cos 2x이므로 점 Pn(xn, sin 2xn)에서
접선의 기울기는 2 cos 2xn
따라서 접선의 방정식은
y=2 cos 2xn(x-xn)+sin 2xn이고, 원점을 지나므로
0=2 cos 2xn(0-xn)+sin 2xn, 2(cos 2xn)xn=sin 2xn
4
tan 2xn
2xn
=1 ( _ )
ㄴ. 2xn=tan 2xn에서 hn=2xn이라 하면 hn=tan hn
이때 y=h, y=tan h의 교점을 구하면
4p
3
4
3
>'3 이므로 그림에서
p<h¡<
p
3
2
4 2
3
p<x¡<
p ( _ )
3
4
6. 도함수의 활용 51
ㄱ. 접점 Pn(xn, sin 2xn)과 원점을 연결한 직선의 기울기가 접
y=2ln (-x)
=cos 2xn이고, |sin 2xn|<1이므로
㉢, ㉣에서 ;aB;=
=-2e
-;3$;
2
3e
y
;3$;p
'3
y=h
h
O
p
;2;
p
;2#;p
h¡
;3$;p
ㄷ.
sin 2xn
2xn
sin 2xn
2xn
|
|<
1
2xn
xn bd $일 때 lim
n d$
1
2xn
=0에서
lim
n d$
sin 2xn
2xn
= lim
n d$
cos 2xn=0 ( ◯ )
다른 풀이
선의 기울기인 2 cos 2xn이므로
sin 2xn-0
xn-0
=2 cos 2xn에서
tan 2xn
2xn
=1
ㄷ. 원점에서 함수 y=sin 2x의 그래프에 접선을 그려보면 다음
과 같이 생각할 수 있다.
y
O
P™
P¢
p
;2;
p
;2#;p
y=sin 2x
2p
x
P¡(x¡, sin 2x¡)
P£
을 알 수 있다.
13 ^ ②
GUIDE
두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 x=t 에서 공통 접선을 가지면
f(t)=g(t), f '(t)=g'(t)임을 이용해 접점의 좌표를 구한다.
두 함수 f(x), g(x)가 x=t 에서 공통 접선을 가진다고 하면
f(t)=g(t)이고, f '(t)=g'(t)이다.
이때 a>0이므로 t>0이다. 즉 ln t €=2 ln t
f(t)=g(t)에서 at ‹=2ln t yy ㉠
2
t
㉠을 ㉡에 대입하면 3(2 ln t)=2에서
ln t=;3!;
4 t=‹' e
52 정답과 풀이
2
t=‹' e 을 ㉡에 대입하면 3ae=2에서 a=
3e
즉 접점은 {‹' e , ;3@;}이고 접선의 기울기는 2
‹' e
2
‹' e
접선의 방정식은 y=
(x-‹' e )+;3@;
yy ㉢
이므로
4 b=
2
‹' e
(0-‹' e )+;3@;=-2+;3@;=-;3$; yy ㉣
참고
a<0일 때도, 아래 그림처럼 제2사분면에서 접점을 가질 수 있다.
y=2ln x2=2ln |x|
y=ax3(a<0)
y
y=ax3(a>0)
y=2ln x
3- 'e
O-1
1
3
'e
x
14 ^ ①
GUIDE
f(t)=g(t), f '(t)=g'(t)
두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 x=t 에서 공통 접선을 가지면
두 함수 y=f(x), y=g(x)는 x=t 에서 접하므로
f(t)=g(t)이고, f '(t)=g'(t)
f '(t)=g'(t)에서 3{ f(t)}€ f '(t)=3{g(t)}€g'(t)
따라서 두 곡선 y={ f(x)}‹, y={g(x)}‹은
x=t에서 공통 접선을 가진다. ( ◯ )
ㄴ. f(t)=g(t)라 해서 f(2t)=g(2t)라 할 수 없다.
f '(t)=g '(t)이지만 f '(2t)=g '(2t)라 할 수 없으므로
e f(2t)=e g(2t)는 성립하지 않는다.
또 y'=e f(2t) f '(2t)_2, y'=eg(2t) g'(2t)_2에서
e f(2t)=e g(2t), f '(2t)=g '(2t)라 할 수 없으므로
두 곡선 y=e f(2x), y=eg(2x)는 x=t 에서 공통 접선을 갖지 않
는다. ( _ )
ㄷ. [반례] f(x)=1+x€, g(x)=1-x€에서
f(0)=g(0)=1이고, f '(0)=g'(0)=0
두 곡선 y=f(g(x)), y=g( f(x))는 x=0에서 공통 접선
을 갖지 않는다. ( _ )
f '(t)=g'(t)에서 3 at €=
4 3at ‹=2 yy ㉡
f(g(0))=2, g( f(0))=0, 즉 f(g(0))+g( f(0))이므로
그림에서 접선의 기울기인 2 cos 2xn의 크기는 0으로 수렴함
ㄱ. f(t)=g(t)에서 { f(t)}‹={g(t)}‹이고
15 ^ ⑤
GUIDE
f(x)=e1-sin x로 놓고
-
e1-sin(tan x)-e1-sin(san x)
tan x-sin x
f(tan x)-f(sin x)
tan x-sin x
f(x)=e1-sin x라 하면
17 ^ 정답 a<-;2(; 또는 a>8
GUIDE
➊ 함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 f '(x)의 부호가 변함이 없어야
=-
f(tan x)-f(sin x)
tan x-sin x
에서
=f '(c) (sin x<c<tan x)인 c를 생각한다.
f '(x)를 sin 2x에 대하여 정리한다.
➋ cos 2x=cos€ x-sin€ x에서 cos 2x=1-2sin€ x 임을 이용해
한다.
-
e1-sin (tan x)-e1-sin (sin x)
tan x-sin x
=-
f(tan x)-f(sin x)
tan x-sin x
이고,
x bd +0에서 x>0
4 0<sin x<x<tan x
함수 f(x)는 [sin x, tan x]에서 연속이고 (sin x, tan x)에서
미분가능하므로 평균값의 정리에서
f(tan x)-f(sin x)
tan x-sin x
=f '(c) (sin x<c<tan x)
을 만족시키는 c가 존재한다.
이때 x bd 0+이면 sin x bd 0+, tan x bd 0+에서
c bd 0+이므로
lim
x d 0+
e1-sin (sin x)-e1-sin (tan x)
tan x-sin x
=-f '(0)
f(x)=e1-sin x에서 f '(x)=(-cos x)e1-sin x 이므로
f '(0)=(-cos 0)e1-sin 0=-e
4 lim
x d 0+
e1-sin (sin x)-e1-sin (tan x)
tan x-sin x
=e
16 ^ ①
GUIDE
➊ ln x에서 x>0이다.
➋ x>0에서 f '(x)>0 또는 f '(x)<0이어야 한다.
f(x)=(a-2)ln x+x€+6x (a+2)라 하자. 이때 f(x)의 역함
수가 존재하려면 계속 증가하거나 계속 감소해야 한다.
f(x)=ax+sin 4x-2cos 2x에서
f '(x)=a+4 cos 4x+4 sin 2x
=a+4(1-2 sin€ 2x)+4 sin 2x
=-8 sin€ 2x+4 sin 2x+a+4
sin 2x=t 로 치환하면
f '(t)=-8t €+4t+a+4 (-1<t<1)
이때 함수 f(t)가 극값을 가지지 않으려면
f '(t)=-8t €+4t+a+4가
y
-1<t<1에서 부호의 변화가
없어야 한다. 그림처럼 생각하
면 방정식
-8t €+4t+a+4=0이
-1<t<1에서 중근 또는 허
근을 가지거나, |t|>1에서 두
실근을 가지면 된다.
(ii)
;4!;
-1
O
1
t
y=f '(t)
(i)
y=f '(t)
1 f ' (t)=0이 중근 또는 허근을 가질 때
-8t €+4t+a+4=0의 판별식을 D라 하면
;4Î;=4-(-8)(a+4)=8a+36<0이므로 a<-;2(;
2 f '(t)=0이 |t|>1에서 두 실근을 가질 때
f '(t)=-8t €+4t+a+4의 축이 t=;4!; 이므로
f '(-1)>0
이때 f '(-1)=-8-4+a+4=a-8>0에서 a>8
f '(x)=
+2x+6=
a-2
x
2x€+6x+(a-2)
x
따라서 a<-;2(; 또는 a>8
진수 조건에서 x>0이므로 g(x)=2x€+6x+(a-2)라 하면
x>0에서 항상 g(x)>0이거나 g(x)<0이어야 한다.
1등급 NOTE
g(x)=2x€+6x+(a-2)의 그래프는 항상 g(x)<0이 될 수
리하여 판단해야 한다.
➊ 삼각함수의 관계를 이용해 한 가지 종류의 삼각함수에 대한 식으로 정
➋ 위로 볼록한 이차함수 f '(t)에서 축이 t=;4!; 이므로 f '(1)>f '(-1)
이므로 f '(-1)>0인 경우만 생각한다.
y=g(x)
y
y=g(x)
-;2#;
O
x
18 ^ 349
GUIDE
없다.
한편 y=g(x)그래프에서 축이
x=-;2#; 이므로 x>0에서
항상 g(x)>0이려면 g(0)>0이
어야 한다.
따라서 g(0)=a-2>0에서
a>2이고, a+2이므로 a>2
참고
f(x)=(a-2)ln x+x€+6x에서 a=2이면
f(x)=x€+6x가 되어 역함수를 가질 수 없다.
➊ y=2 sin ;2π; x의 그래프는 주기가 4이고, 최댓값과 최솟값은 각각 2,
-2이다.
y=2 sin [;2π; (x-2)]+2는 y=2 sin ;2π; x의 그래프를 x축으로 2만큼,
y축으로 2만큼 평행이동한 것이다.'
6. 도함수의 활용 53
➋ -2<x<0에서 f(-x)의 그래프는 0<x<2에서 f(x)의 그래프
1, 2에서 조건에 맞는 정수 a값은 -3 또는 1
를 y축에 대칭이동한 것과 같다.
주기가 5인 y=g(x)의 그래프를 그려 한 주기에서 극댓점과 극솟점
따라서 모든 정수 a값의 곱은 (-3)_1=-3
의 개수를 찾는다.
참고
y=2sin x
p
{ }
;2;
(x-2) +2
(x>0)
1 예를 들어 a=-3일 때, 함수 y=f(x)의 그래프를 그려 보면 다음과
같이 x=0에서 극댓값을 갖고, 구간 (0, 2)에서 극솟값을 갖는다.
y=f(x)
극댓점
y=g(x)
2
4
6
2 예를 들어 a=1일 때, 함수 y=f(x)의 그래프를 그려 보면 다음과 같
이 x=0에서 극댓값을 갖고, 구간 (0, 2)에서 극솟값을 갖는다.
y
4
3
2
y
4
2
O
1
2
3
4
5
x
-2
-1
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x
극솟점
å
한 주기 (-2, 3]에서 함수 y=g(x)의 극대점은 x=0, 3일 때 2
개, 극소점은 x=-1, 1일 때 2개 존재한다. 즉 극대점이 100개
이려면 50 주기가 필요하고, 한 주기가 5이므로
k>-2+5_50에서 k가 될 수 있는 값은 249, 250이므로
p=249
이때 구간 (-2, 249)에서 극소점의 개수 q는
q=2_50=100
4 p+q=349
19 ^ ①
GUIDE
f '(x)=0이 되는 x의 값을 a로 나타내고 a값의 조건에 따라 생각한다.
a=-1일 때 구간 [0, 2)에서 f(x)=x+1이므로
x=0에서 극댓값을 갖지 않는다.
4 a+-1
f(x)=
(x-a)€
x+1
에서 f '(x)=
(x-a)(x+2+a)
(x+1)€
f '(x)=0에서 x=a 또는 x=-a-2
1 a<-a-2일 때
y
9
8
2
1
O
y
1
O
x
x
y=f(x)
2
4
6
20 ^ 412
GUIDE
f(x)의 증감표에서 극대와 극소를 파악한다.
f(x)=k sin x(1-sin x) (0<x<2p)에서
f '(x)=k cos x(1-sin x)+k sin x(-cos x)
=kcos x(1-2 sin x)
f '(x)=0에서 cos x=0 또는 sin x=;2!;
0<x<2p에서 cos x=0인 x는 x=;2π;, ;2#; p이고
sin x=;2!; 인 x는 x=;6π;, ;6%; p이다.
k>0이므로 f(x)의 증감표는 다음과 같다.
a<-a-2에서 a<-1이고, x=-a-2의 좌우에서 f '(x)
x
y
의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 x=-a-2에서 f(x)는
극솟값을 갖는다.
함수 f(x)는 x=0에서 극댓값을 가지므로 구간 (0, 2)에서
f(x) ↗
극솟값을 가지려면 0<-a-2<2에서 -4<a<-2
f '(x) + 0 - 0 + 0 - 0 +
p
6
극대
;4!; k
y
↘
p
2
극소
0
y
↗
5p
6
극대
;4!; k
y
↘
3p
2
y
극소
-2k
↗
a는 정수이므로 a=-3
2 a>-a-2일 때
a>-a-2에서 a>-1이고, x=a의 좌우에서 f '(x)의 부
호가 음에서 양으로 바뀌므로 x=a에서 f(x)는 극솟값을 갖
는다.
참고
따라서 극댓값 1을 가지려면 ;4!; k=1에서 k=4이다.
극소점은 2개이고, 극솟값의 합은 0+(-8)=-8
4 100k+10a+b=400+20-8=412
함수 f(x)는 x=0에서 극댓값을 가지므로 구간 (0, 2)에서
위 결과를 이용하여 y=4 sin x(1-sin x)의 그래프 개형을 그려 보면
극솟값을 가지려면 0<a<2, a는 정수이므로 a=1
다음과 같다.
54 정답과 풀이
p
;6;
p
;2;
p
;6%;p
;2#;p
2p
x
y
1
O
-8
21 ^ ④
GUIDE
an, f(xn)이 어떤 수열인지 파악한다.
f(x)=e-x sin x에서
ㄱ. f '(x)=-e-x sin x+e-x cos x=e-x (cos x-sin x)
이므로 f '(x)=0에서 cos x=sin x
이때 x=2kp+;4π; 또는 x=2kp+
(k=0, 1, 2, 3, y)
5p
4
이고 증감표에서 극대점은 x=2kp+;4π; 일 때이다.
x
f '(x)
f(x)
y
+
↗
p
4
0
극대
y
-
↘
p
5
4
0
극소
y
+
↗
a¡=f {;4π;}=
e-;4π;
'2
, a™=f {
9p
4 }=
p
9
4
e-
'2
a£=f {
17p
4 }=
, a¢=f {
25p
4 }=
p
25
4
e-
'2
( ◯ )
ㄴ. an은 a¡=f {;4π;}=
이고, 공비가 e-2p인 등비수열이다.
4
$
n=1'2 an=
Ú
7
p
e
4
e2p-1
( ◯ )
ㄷ. f "(x)=-e-x(-sin x+cos x)+e-x(-cos x-sin x)
17
4
p
e-
'2
e-;4π;
'2
e-;4π;
1-e-2p =
=-2e-x cos x
이때 f "(x)=0에서 cos x=0이므로
따라서
f(x¡)=f {;2π;}=e-;2π;
f(x™)=f {
p}=-e-
3
2
p
f(x£)=f {
p}=e-
5
2
p
3
2
5
2
⋮
4
f(xn)=
$
Ú
n=1
e-;2π;
1-(-e-p)
=
e;2π;
ep+1
( _ )
22 ^ 11
GUIDE
cos 2x=cos€ x-sin€ x 임을 이용하여 f(x)를 간단하게 나타낸다.
cos€ x-sin€ x=cos 2x이므로
f(x)=16x€+8 cos€ x-8 sin€ x+k=16x€+8 cos 2x+k
f '(x)=32x-16 sin 2x
f "(x)=32-32 cos 2x=32(1-cos 2x)
이때 f "(x)=32(1-cos 2x)>0이므로 f '(x)는 증가함수이다.
또 f '(0)=0이고, x>0에서 f '(x)>0, x<0에서 f '(x)<0
( )
;4#;p 9p€+k
,
이므로 f(x)는 x=0
에서 극솟값이자 최
솟값을 가진다.
또 f(x)=f(-x)이
므로 y축에 대칭이다.
따라서 구간
(0, k+8)
x
p
x=- x=0
;2;
x=
;4#;p
“-;2π;, ;4#; p‘에서 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.
M=9p€+k, m=8+k이므로
M+2m=9p€+16+3k=9p€+49
4 k=11
23 ^ 101
GUIDE
f(x)=(x-100)e-2(x-100)€의 그래프는 g(x)=xe-2x€의 그래프를 x축
방향으로 100만큼 평행이동한 것이다. 따라서 f(x)의 최대, 최소와 g(x)
의 최대, 최소가 같음을 이용한다.
g(x)=xe-2x€라 하면 f(x)=g(x-100)이므로 y=f(x)의 그
래프는 y=g(x)를 x축 방향으로 100만큼 평행이동한 것이다.
g'(x)=e-2x€-4x€e-2x€=(1-2x)(1+2x)e-2x€
g {;2!;}=;2!; e-;2!;, g {-;2!;}=-;2!; e-;2!;
x
y
g'(x) -
- 1
2
0
g(x)
↘ -;2!; e-;2!;
극소
y
+
↗
1
2
0
;2!; e;2!;
극대
y
-
↘
lim
x d $
g(x)=0, lim
x d -$
g(x)=0이므로
함수 g(x)의 그래프의 개형은 그림과 같다.
y
;2!;e-;2!;
-;2!;
O
;2!;
-;2!;
-;2!;e
y=g(x)
x
6. 도함수의 활용 55
x=2kp+;2π; 또는 x=2kp+
(k=0, 1, 2, 3, y)
3p
2
또 g(-x)=-xe-2x€=-g(x)이므로 원점에 대칭이고,
함수 y=f(x)의 그래프는 함수 g(x)의 그래프를 x축의 방향으
로 100만큼 평행이동한 것과 같으므로 다음과 같다.
f(x)=(300-x)_;1£0;+ "ƒx€+14400
이므로 0<x<30에서 f(x)가 최소가 되는 x의 값을 구하면 된다.
2
;2!;e-;2!;
100-;2!;
100
y=f(x)
x
100+;2!;
-;2!;
-;2!;e
-3"ƒx€+14400 +5x
10"ƒx€+14400
=
f '(x)=-;1£0;+
x
2"ƒx€+14400
즉 f '(x)=0에서 -3"ƒx€+14400+5x=0이므로
5x=3"ƒx€+14400의 양변을 제곱해서 정리하면
4x=3_120
4 x=90
∫ f(90)=(300-90)_;1£0;+ "ƒ90€+14400
2
=138
구간 [-a, a]에서 M+m=0이 성립하려면
M=;2!; e-;2!;, m=-;2!; e-;2!; 이고,
구간 [-a, a]에 100-;2!; 과 100+;2!; 이 포함되어야 한다.
즉 a>100+;2!; 에서 자연수 a의 최솟값은 101
25 ^ ⑤
GUIDE
점 P의 x좌표를 t 로 두고 접선의 방정식을 t 로 나타낸다.
24 ^ ③
GUIDE
3BAH=h로 두고 거리를 구한 다음 (거리)/(속력)을 시간을 h로 나
y=-ln ;2X; 에서 y'=-
=-;x!;
;2!;
;2X;
점 P의 x좌표를 t 라 하면
타낸다.
A
h
120
120
cos h
t
곡선 위의 점 P {t, -ln
2 }에서의 접선의 방정식은
t
y-{-ln
2 }=-
1
t
(x-t)
4 y=-
1
t
t
x+1-ln
2
B
120 tan h
H
300-120 tan h
C
3BAH=h라 하면
AB’=120, BH’=120 tan h, AH’=
120
cos h
HC’=300-BH’=300-120 tan h
A지점에서 H지점까지 걸린 시간은 60
cos h
초이고,
H지점에서 C지점까지 걸린 시간은 (90-36 tan h)초이다.
따라서 총 걸리는 시간을 f(h)라 하면
f(h)=
+90-36 tan h
60
cos h
f '(h)=
60 sin h
cos€ h
-
36
cos€ h
=
12(5 sin h-3)
cos€ h
따라서 함수 f(h)는 sin h=;5#; 일 때, 극소이자 최소이므로
최솟값은 60_;4%;+90-36_;4#;=138
즉 2분 18초이다.
다른 풀이
BH’=x라 하면 피타고라스 정리에서
AH’="ƒx€+14400, HC’=300-x이므로
걸리는 총 시간을 f(x)라 하면
56 정답과 풀이
t
y=0에서 x=t-t ln
2
t
이므로 Q {t-t ln
2
, 0}
삼각형 PHQ의 넓이를 f(t)라 하면
t
t
t
2 }=;2!; t {ln
f(t)=;2!;_[{t-t ln
2 }-t]_{-ln
2 }
t
€+;2!; t_2_{ln
2 }_
t
4 f '(t)=;2!; {ln
2 }
1
t
€
t
t
=;2!; {ln
2 } {ln
2
+2}
t
f '(t)=0에서 ln
2
t
=0 또는 ln
2
+2=0이고,
점 P는 제 1사분면위의 점이므로 0<t<2이다.
t
즉 ln
2
t
ln
2
+2=0이고,
=-2에서 t=
2
e€
t
y
f '(t) +
2
e€
0
y
-
f(t) ↗ 극대 ↘
f {
2
e€
_(-2)€=
2
e€ }=;2!;_
4
e€
이 극댓값이자 최댓값이므로 삼각형 PHQ 넓이의 최댓값은 4
e€
26 ^ ②
GUIDE
n=1, 2, 3, 4, 5, 6, …일 때의 그래프 개형을 그려본다.
x=et, y=(2t €+nt+n)et에서
이때 x>0에서의 증감표는 다음과 같다.
dx=etdt, dy={(4t+n)et+(2t €+nt+n)et}dt 이므로
dy
dx
dy
dx
=(4t+n)+(2t €+nt+n)=(2t+n)(t+2)
=0이 되는 t값은 t=-2 또는 t=-
이때 x>e-;n@;에서 x=et이므로 t>-
n
2
n
2
1 n=1, 2, 3, 4일 때, 그래프의 개형이 그림과 같으므로
t=-
일 때, 즉 x=e-;2N;일 때, 최솟값을 가진다.
n
2
-2
n
-;2;
따라서 함수 y=f(x)의 최솟값은
{2_
n€
4
-
n€
2
+n} e-;2N;=ne-;2N;
2 n>5일 때, 그래프의 개형이 그림과 같으므로
t=-2일 때, 즉 x=e-2일 때, 최솟값을 가진다.
t
t
n
-;2;
-2
따라서 함수 y=f(x)의 최솟값은
(2_4-2n+n)e-2=(8-n)e-2
4
+
+
+
b£
a£
b¢
a¢
b∞
a∞
b§
a§
=
3e-;2#;
e-;2#;
+
4e-;2$;
e-;2$;
+
3e-2
e-2 +
2e-2
e-2
=3+4+3+2=12
27 ^ 25
GUIDE
➊ 곡선 y=cos
는 y축에 대하여 대칭임을 이용한다.
4px
(x€+1)€
sin
2p
x€+1
➋ y'=
에서 y'=0이 되는 x값을 찾는다.
2p
x€+1
2p
x€+1
f(x)=cos
라 하면 f(-x)=f(x)이므로
곡선 y=f(x)는 y축에 대하여 대칭이다.
f '(x)=[-sin
2p
x€+1 ]_[-
2p
(x€+1)€ ]_2x
=
4px
(x€+1)€
sin
2p
x€+1
이고, x>0에서 f '(x)=0인 x는 x=0 또는 x=1
x
f '(x)
f(x)
y
+
↗
0
극대
1
y
-
↘
1
0
극소
-1
y
+
↗
lim
x d +$
cos
2p
x€+1
=cos 0=1이므로 점근선은 y=1이다.
y=f(x)의 그래프 개형은 그림과 같다.
y
1
O
-1
-1
1
y=f(x)
p
y=tan n;
x
① n=3일 때, tan p
n
=tan ;3π;='3 >1이므로 a£=0
② n=4일 때, tan p
n
=tan ;4π;=1이므로 a¢=1
③ n>5일 때, 0<tan p
n
<1이므로 an=4
4
10
Ú
n=3
an=1+4_6=25
28 ^ ④
GUIDE
방정식 mx+2=x‹-3x€+1의 실근의 개수를 생각한다.
y=mx+2와 y=x‹-3x€+1의 교점의 개수는
x‹-3x€-mx -1=0,
x€-3x-;x!;=m의 실근의 개수와 같다. (x+0)
g(x)=x€-3x-;x!; 로 놓으면
g'(x)=2x-3+
=
1
x€
(x-1)€(2x+1)
x€
x
y - 1
2
g'(x) -
0
g(x) ↘
;;¡4∞;;
y (0) y
+
↗
1
0
y
+
+
↗ -3 ↗
lim
x d 0+
g(x)=-$, lim
x d 0-
=+$,
lim
x d $
g(x)=+$, lim
x d -$
g(x)=+$이므로
y=g(x) 그래프의 개형은 다음 왼쪽과 같고, f(m)은 y=g(x)
와 y=m의 그래프의 교점의 개수이므로 y=f(m)의 그래프 개
형은 다음 오른쪽과 같다.
6. 도함수의 활용 57
ㄱ. f(x)=ln (4+x€)에서 f '(x)=
이고
2x
4+x€
f '(-x)=-f '(x)이므로
y=f(m)
f '(-x)- f '(x)=-2 f '(x)=0
y
15
:4:
1
O
-;2!;
-3
y=g(x)
y=m
x
y
3
2
1
O
15
:4:
m
즉 방정식 f '(x)=0의 실근은 x=0뿐이다. ( ◯ )
ㄴ. f "(x)=
2(4+x€)-2x_2x
(4+x€)€
=
2(2-x)(2+x)
(4+x€)€
yy ㉠
함수 f(x)가 모든 실수에서 x에 대하여 연속이고
미분가능하므로 평균값의 정리에 따라
f(x™)-f(x¡)
x™-x¡
=f '(c) (x¡<c<x™)
인 실수 c가 적어도 하나 존재한다.
㉠은 구간 (-2, 2)에서 f "(x)>0이므로
f '(x)는 증가함수이다. ∫ f '(x¡)<f '(c)<f '(x™)
4 f '(x¡)<
f(x™)-f(x¡)
x™-x¡
<f '(x™) ( ◯ )
ㄷ. ㉠에서 f "(x)=0을 만족시키는 x는 x=-2, 2이다.
x
f "(x)
f '(x)
y
-
↘
y
+
↗
1
0
극대
;2!;
y
-
↘
-2
0
극소
-;2!;
y
;2!;
y=f(x)
-2
O
2
-;2!;
y=f '(x)
x
p
;4;
p
;3;
m
이때 y=f '(x)의 최댓값은 ;2!; 이고, 최솟값은 -;2!; 이므로
| f '(x)|<;2!;
yy ㉡
함수 f(x)는 모든 실수에서 미분가능하므로 폐구간 [a, b]에
서 평균값의 정리에 따라
=f '(c)
yy ㉢
f(a)-f(b)
a-b
인 c가 개구간 (a, b)에서 적어도 하나 존재한다.
㉡, ㉢에서 모든 실수 x에 대하여
f(a)-f(b)
a-b
|
|=| f '(c)|<;2!;
따라서 임의의 실수 a, b에 대하여
2| f(a)-f(b)|<|a-b| ( ◯ )
참고
ㄴ. 구간 (-2, 2)에서 함수 y=f(x)는 아래로 볼록이다.
따라서 a의 최댓값은 ;;¡4∞;;
29 ^ ⑤
GUIDE
k(1-cos x)>sin x에서 k>
가 됨을 확인한다.
sin x
1-cos x
sin x+kcos x<k에서 k(1-cos x)>sin x이고
;4π;<x<;3π; 에서 1-cos x>0이므로 k>
sin x
1-cos x
f(x)=
sin x
1-cos x
로 두면
f '(x)=
cos x(1-cos x)-sin€ x
(1-cos x)€
=
-1+cos x
(1-cos x)€
=
-1
1-cos x
;4π;<x<;3π; 인 모든 실수 x에
대하여 f '(x)<0이므로
f(x)=
sin x
1-cos x
는 감소함
수이다.
따라서 ;4π;<x<;3π; 에서 f(x)의
y
1+'2
'3
최솟값은 f {;3π;}='3 , f(x)의 최댓값은 f {;4π;}=1+'2
k>
sin x
1-cos x
= f(x)이려면 k>( f(x)의 최댓값)에서
k>1+'2 이므로 p=1+'2
또 sin x+k cos x>k, 즉 k<
=f(x)이려면
sin x
1-cos x
k<( f(x)의 최솟값)에서 k<'3 이므로 q='3
4 p€-q€=(1+'2 )€-('3 )€=2'2
30 ^ ⑤
GUIDE
f '(x)=
, f "(x)=
2x
4+x€
2(2-x)(2+x)
(4+x€)€
와 f(x)의 증감표에서
y=f(x)의 그래프를 파악한다.
58 정답과 풀이
-2p
-p
p
O
p
;2;
2p
x
;2#;p
솟값이 된다.
y
y=f(x)
31 ^ ④
GUIDE
f(-x)=f(x)임을 이용해 y=f(x)의 그래프의 개형을 파악한다.
ㄱ. f(x)=x sin x+cos x에서 f(-x)=f(x)이고,
f '(x)=x cos x이므로 f(x)의 증감표는 다음과 같다.
x
f '(x)
f(x)
0
0
1
y
+
↗
y
3
2
-
0
↘ - 3
2
p y
+
p ↗
이때 함수 y=f(x)의 그래프 개형은 다음과 같다.
p
2
0
p
2
y
p
;2;
-;2#;p
따라서 f(x)=0은 서로 다른 4개의 실근을 가지고,
f(x)=1은 서로 다른 5개의 실근을 가진다. 이때 서로 같은
실근은 없으므로 방정식 f(x)( f(x)-1)=0 은 서로 다른 9
개의 실근을 가진다. ( _ )
ㄴ. ㄱ의 그래프에서 -;2#; p< f(x)<;2!; p이므로
|f(x)|<;2#; p 이 성립한다. ( ◯ )
ㄷ. f {;2π;}=;2π;, f {
3p
2 }=-
3p
2
이므로
g {;2π;}=f [ f {;2π;}]=;2π;
3p
g {
2 }=f [ f {
폐구간 “;2π;, 3p
개구간 {;2π;, 3p
평균값 정리에 따라
3p
2 }]=f {-
3p
2 }=-
3p
2
2 ‘ 에서 함수 g(x)는 연속이고,
2 } 에서 함수 g(x)는 미분가능하므로
g {;2#;p}-g {;2!; p};
-;2#; p-;2! p
p
=
;2#; p-;2!; p
=-2=g '(c)
즉 g'(x)=-2인 x가 구간 ;2π;<c<
에 적어도 하나 존재
3p
2
한다. ( ◯ )
32 ^ ④
GUIDE
f '(x)=ex-;x!; 에서 f '(x)=0, 즉 y=ex와 y=;x!; 의 그래프가 만나는
점을 생각한다.
ㄱ. f '(x)=ex-;x!; 이고, 방정식 ex-;x!;=0에서
그림과 같이 두 곡선 y=ex, y=;x!; 은 오직 한 점에서 만난다.
이 교점의 x값을 a라 하자.
y
y= x!;
y=ex
y=f(x)
1
O
a
x
즉 x>a일 때, f '(x)>0이고 0<x<a일 때, f '(x)<0이
므로 함수 f(x)는 x=a에서 극솟값을 갖고, 이 극솟값은 최
x
1
t
O
t
따라서 a=t 이고 f '(t)=et-
=0에서
1
t
et=
1
t
yy ㉠이므로 t=-ln t
yy ㉡ ( _ )
ㄴ. f ' {;2!;}='e-2<0이므로 t>;2!; 이고,
f '(1)=e-1>0이므로 t<1이다.
∫ ;2!;<t<1 ( ◯ )
ㄷ. ㉠, ㉡에서 f(t)=et-ln t=et+(-ln t)=
+t
또 ㄴ에서 ;2!;<t<1이므로 2<f(t)<;2%; ( ◯ )
참고
ㄷ. g(x)=x+;x!; 라 하면
g'(x)=1-
=
1
x€
x€-1
x€
=
(x+1)(x-1)
x€
이므로
;2!;<x<1에서 g '(x)<0, 즉 감소함수이다.
33 ^ ②
GUIDE
ㄱ. f '(x)=2 cos x-2x sin x
ㄴ. f(x)의 증감표와 사잇값 정리를 이용한다.
ㄷ. y=f(x)의 그래프의 개형을 파악한다.
6. 도함수의 활용 59
ㄱ. f(x)=2x cos x에서 f '(x)=2 cos x-2x sin x이므로
f '(a)=2 cos a-2a sin a=0에서
tan a=
sin a
cos a
=
sin a
a sin a
=;a!; ( ◯ )
ㄴ. f '(x)=2 cos x(1-x tan x)=0에서
cos x=0 또는 tan x=;x!;
이때 tan x=;x!;의 근을 a라 하면 0<a<;2π;
y
y=tan x
g '(x)=
f '(x)*x-f(x)
x€
yy ㉡
x=a에서 극솟값을 가지므로
g '(a)=
=0, af '(a)-f(a)=0
af '(a)-f(a)
a€
4 f '(a)=
=b yy ㉢
f(a)
a
㉠, ㉢에서 g(a)=f '(a)
따라서 y=g(x)와 y=f '(x)는 x=a에서 만난다. ( ◯ )
ㄴ. f '(a)=b>0이므로 x=a에서 함수 f(x)는 증가 상태에 있
O
a
p
;2;
p
y= x!;
x
;2π;
0
0
3
p
(0)
f '(x)
f(x)
a
0
+
-
↗ 2a cos a ↘
(p)
-
↘
즉 f(x)는 x=a에서 극댓값을 가진다.
구간 {0, ;2π;}에서 y=;x!; 은 연속인 함수이고, y=tan x도 연
속인 함수이다. 즉 함수 g(x)=tan x-;x!; 은 {0, ;2π;} 에서 연
속이고 g {;4π;}=1-
<0, g {;3π;}='3-
>0이므로
4
p
사잇값 정리에서 g(a)=0이 되는 a가 되는 구간 ;4π;<a<;3π;
에 적어도 하나 있다. ( ◯ )
ㄷ. f {;3π;}=;3@;p_;2!;>1이므로
y
2a cos a
y=1
p
x
aO
p
;2;
f(a)>1이고, y=f(x)의 그
래프 개형을 그림처럼 생각할
수 있으므로 구간 {0, ;2π;}에서
f(x)=1은 서로 다른 두 실근
을 갖는다. ( ◯ )
-2p
34 ^ ③
GUIDE
g '(x), g "(x)를 이용하여 f '(x), f "(x)를 파악한다.
ㄱ. g(x)=
에서 g(a)=
=b
yy ㉠
f(x)
x
f(a)
a
60 정답과 풀이
다. ㉡의 양변을 미분하면
g "(x)=
g "(a)=
x‹ f "(x)-2x€{
x›
a‹ f "(a)-2a€{
a›
f '(x)-
f(x)
x }
f '(a)-
f(a)
a }
=
f "(a)
a
{∵ f '(a)=
f(a)
a }
이때 y=g(x)가 x=a에서 극솟값을 가지므로
g "(a)>0이고 a>0이므로 f "(a)>0이다.
따라서 f '(x)는 x=a에서 증가 상태에 있다. ( ◯ )
ㄷ. x=a의 좌우에서 g(x)=
는 감소 상태에서 증가 상태로
f(x)
x
바뀐다.
즉 양수 h에 대하여 g '(a-h)<0, g '(a+h)>0이다.
g '(a+h)>0이므로 ㉡을 이용하면
g '(a+h)=
f '(a+h)*(a+h)- f(a+h)
(a+h)€
>0
즉
f '(a+h)
a+h
>
f(a+h)
(a+h)€
에서
f '(a+h)>
=g(a+h) ( _ )
f(a+h)
a+h
참고
ㄴ에서 이계도함수를 구하지 않고 ㄷ에서처럼
g '(a-h)<0, g '(a+h)>0으로 해석하면
f '(a-h)<
=g(a-h)<0
f(a-h)
a-h
f(a+h)
a+h
f '(a+h)>
=g(a+h)>0
이므로 f '(x)가 x=a에서 증가상태에 있음을 알 수 있다.
35 ^ ③
GUIDE
ㄱ. g(-x)와 g(x)의 관계를 파악한다.
ㄴ. lim
x d0
sin f(x)
x
= lim
x d0 {
sin f(x)
f(x)
_
f(x)
x }
ㄷ. g '(x)=
xf '(x)cos f(x)-sin f(x)
x€
를 이용한다.
ㄱ. g(-x)=
sin f(-x)
-x
=
sin f(x)
-x
=-g(x)
이므로 모든 양의 실수 x에 대하여
g(x)+g(-x)=0이다. ( ◯ )
ㄴ. 함수 f(x)가 미분가능하므로
조건 ㈐에서 lim
x d 0 f(x)=f(0)=0이고,
조건 ㈎에서 f '(x)=-f '(-x)이므로 f '(0)=0이다.
lim
x d 0
g(x)=lim
x d 0
sin f(x)
x
{
=lim
x d 0
sin f(x)
f(x)
_
f(x)
x }
=1_lim
x d 0
f(x)-f(0)
x-0
=1_f '(0)=0 ( ◯ )
ㄷ. f(a)=;2π; 이면 g(a)=
sin f(a)
a
1
a
=
>0이고,
lim
x d 0 g(x)=0이므로 0<x<a에서
함수 g(x)가 증가하는 구간이 있다.
g '(x)=
xf '(x)cos f(x)-sin f(x)
x€
에서
g '(a)=
af '(a)cos f(a)-sin f(a)
a€
=-
<0
1
a€
ㄴ. |v|="ƒ12 cos€ 2t+4+16 sin 2t+16 sin€ 2t
="ƒ12(1-sin€ 2t)+4+16 sin 2t+16 siƒn€ 2t
="ƒ16+16 sin 2t+4 sin€ 2t
=2"ƒ(sin 2t+2)€=2 sin 2t+4
따라서 t=;4π;, 5p
4
일 때, |v|의 최댓값은 6이다. ( ◯ )
ㄷ. 2 sin 2t+4=5에서 sin 2t=;2!;이고, 0<t<2p에서
t=;1¡2;p, ;1∞2;p, ;1!2#;p, ;1!2&;p이고 합은 3p이다. ( ◯ )
37 ^ ①
GUIDE
ㄱ. f(0)=0, g(0)=0
ㄴ. a(t)=
8(1-2t)(1+2t)
(4t€+1)€
ㄷ. 두 점의 속도의 부호가 반대여야 한다.
ㄱ. f(0)=0, g(0)=0에서 f(0)=ln b=0
4 b=1
g(0)=c=0
점 A의 시각 t에서의 위치는 f(t)=ln (at€+1)
즉 함수 g(x)는 x=a일 때 감소 상태이므로 구간 (0, a)에서
이고, 이때 속도 v(t)=f '(t)=
1
a
보다 큰 값을 적어도 하나 가진다. y=g(x)그래프의 예시
t>0이고 a>0이므로 v(t)=
2at
at€+1
2at
at€+1
>0
를 다음과 같이 생각할 수 있다.
즉 시각 t에서 점 A의 속력과 속도는 서로 같다.
따라서 방정식 g(x)=
은 0<x<a에서 서로 다른 실근을
v(t)=
적어도 2개 가지므로 방정식 |g(x)|=
의 실근은 적어도
점 A의 속력의 최댓값이 2이므로 'a=2
4 a=4
4개이다. ( _ )
y=g(x)
O
a
x
y
1
-
a
1
a
1
-
y=a
1
-
y=a
1
a
36 ^ ⑤
GUIDE
v={
dx
dt
,
dy
dt }일 때, |v|=Ƙ{
€
dx
dt }
+{
€
dy
dt }
=2+4 sin 2t에서
=2'3 cos 2t, dy
dt
dx
dt
점 P의 속도 v는 v=(2'3 cos 2t, 2+4 sin 2t)
ㄱ. t=p일 때, 점 P의 속도는 (2'3, 2)이므로
속력 |v|='ß12+4=4 ( ◯ )
점 A의 속력의 최댓값은
v(t)=
=
2at
at€+1
2a
at+;t!;
t>0, a>0이므로 (산술평균)>(기하평균)에서
에서 at+;t!;이 최소이면 된다.
at+;t!;>2æ√at_;t!; =2'a
2a
at+;t!;
<
2a
2'a
='a이고
{단, 등호는 4t=;t!;, 즉 t=;2!;일 때 성립})
따라서 a+b+c=4+1+0=5 ( ◯ )
ㄴ. f(t)=ln (4t€+1)이고 v(t)=
yy ㉠
8t
4t€+1
점 A의 가속도 a(t)는
a(t)=v'(t)=
8(4t€+1)-8t*8t
(4t€+1)€
=
8(1-2t)(1+2t)
(4t€+1)€
t>0이므로 가속도의 부호는 t=;2!;에서만 바뀐다. ( _ )
ㄷ. ㉠에서 점 A의 출발 후 속도는 항상 양수이므로 점 B의 속도
가 음수이어야 두 점 A, B가 서로 반대 방향으로 움직인다.
즉 점 B의 속력에서
v(t)=g '(t)=6t€-12t-18=6(t-3)(t+1)
6. 도함수의 활용 61
이고 g '(t)=6(t-3)(t+1)<0, 즉 0<t<3에서 점 B의 속
따라서 출발 후 두 점 A, B가 서로 반대 방향으로 움직이는
도가 음수이다.
시간은 3초이다.
38 ^ ②
GUIDE
점 P의 t초 후 좌표가 P(3 cos t, 3 sin t)임을 이용한다.
점 P가 1초에 3만큼 일정한 속력으로 원 위를 움직이면 반지름
길이가 3인 원이므로 각 AOP는 1초에 1 라디안(rad)씩 증가하
여 t초 후에는 t 라디안이 된다. 이때 점 P의 t초 후 좌표는
P(3 cos t, 3 sin t)
01 ^ ①
GUIDE
함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면
➊ lim
x d a- f(x)= lim
x d a+ f(x)=f(a)
➋ (좌미분계수)=(우미분계수)
함수 f(x)가 실수 전체에서 미분가능하므로 함수 f(x)는 실수
전체에서 연속이다. 즉 y=f(x)가 x=;2!;에서 연속이므로
좌극한, 우극한, 함수값이 같아야 한다. 이때
f {;2!;}=sin;2π;-;2!;=;2!;에서
lim
x d
;2!;+
f(x)= lim
;2!;+
x d
{
x
ebx-1
-a}=
;2!;
e;2!;b-1
-a=;2!; yy㉠
또 함수 f(x)가 x=;2!;에서 미분가능하므로
y
3
t
O
P
t
H
3t
Q
3t sin t
x
P'
A(3, 0)
그림과 같이 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 P', 점 Q에서 선
분 PP'에 내린 수선의 발을 H라 하면 3QPH=t
조건에서 PQ’=3t이므로 QH’=3t sin t, PH’=3t cos t
점 Q의 t초 후 좌표는 Q(3 cos t+3t sin t, 3 sin t-3t cos t)
f(x)=
b=2를 ㉠에 대입하면 ㉠에서
;2!;
e‚
-a=;2!;에서 a=0
f '(x)=
(-bx+1)e-bx+1 {x>;2!;}
[
에서 lim
;2!;+
f '(x)= lim
;2!;-
{x<;2!;}
p cos px
f '(x)
x d
x d
즉 {-;2B;+1}e-;2B;+1=0이므로 b=2
x
e2x-1
{x>;2!;}
[
sin px-;2!; {x<;2!;}
f '(x)=
(-2x+1)e-2x+1 {x>;2!;}
[
p cos px
{x<;2!;}
이때 f {
a+b
2
}=f(1)=;e!;, f ' {
}=f '(1)=-;e!;
a+b
2
x= a+b
2
=1에서 접선의 방정식은
y=-;e!;(x-1)+;e!;=-;e!;x+;e@;이므로
x절편은 2이고, y절편은 ;e@;이다.
02 ^ ⑴ k>4 또는 k<0 ⑵ -2
GUIDE
y=xe-x위의 점 (t, te-t)에서의 접선이 (k, 0)을 지나며, 이러한 서로
다른 점이 2개임을 이용한다.
점 P(k, 0)에서 곡선 y=f(x)에 그은 접선의 접점의 좌표를
(t, te-t)이라 하면 이 점에서의 접선의 방정식은
y-te-t=e-t(1-t)(x-t)
이 접선이 점 P(k, 0)을 지나므로
dx
dt
dy
dt
이때 1OPQ의 무게중심 G의 좌표는
G {
3 cos t+3 cos t+3t sin t
3
, 3 sin t+3 sin t-3t cos t
3
}
즉, G(2 cos t+t sin t, 2 sin t-t cos t)이고, 이때
=-2 sin t+(sin t+t cos t)=-sin t+t cos t
=2 cos t-(cos t-t sin t)=cos t+t sin t이므로
|v|=Ƙ{
dx
dt }
€+{
€
dy
dt }
="ƒ(-sin t+t cos t)€+(cos t+t sin t)€
="ƒ(sin€ t+cos€ t)+(t€ cos€ t+t€ sin€ t∂)="ƒ1+t€
01 ①
03 ④
05 78
09 ④
02 ⑴ k>4 또는 k<0 ⑵ -2
04 ⑴ 해설 참조 ⑵ 38 ⑶ 2
07 ③
08 72
06 ⑤
10 50
62 정답과 풀이
STEP 3
1등급 뛰어넘기
p. 79~81
⑴ f(x)=xe-x이라 하면 f '(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x)
-te-t=e-t(1-t)(k-t), e-t(t€-kt+k)=0
이때 e-t+0이므로 t€-kt+k=0의 해가 접점의 x좌표이다.
04 ^ ⑴ 해설 참조 ⑵ 38 ⑶ 2
GUIDE
서로 다른 두 개의 접선을 가지려면 방정식 t€-kt+k=0이
서로 다른 두 개의 실근을 가져야 하므로 D=k€-4k>0에서
f(-x)=-f(x), 즉 y=f(x)의 그래프가 원점에 대칭임을 이용해
y=f(x)의 그래프 개형과 y=|f(x)|의 그래프 개형을 그린다.
⑵ t€-kt+k=0의 두 근을 a, b라 하면 이차방정식의 근과 계
k>4 또는 k<0이다.
수의 관계에서
a+b=k, ab=k
이때 두 접선의 기울기는 e-a(1-a), e-b(1-b)이므로
m¡m™ =e-a(1-a)_e-b(1-b)
=e-(a+b){1-(a+b)+ab}
=e-k(1-k+k)=e-k=e€
⑴ f(x)=
에서
2x
1+x€
f '(x)=
2(1+x€)-2x(2x)
(1+x€)€
=
2(1+x)(1-x)
(1+x€)€
증감표를 그리면 다음과 같다.
x
f '(x)
f(x)
y
-
↘
-1
0
-1
y
+
↗
1
0
1
y
-
↘
그러므로 k=-2
x=1에서 극댓값 1, x=-1에서 극솟값 -1을 가진다.
03 ^ ④
GUIDE
접선의 방정식에서 an과 an+1의 관계식을 찾는다.
y
y=e€˛
Bn(an, e€Å˜)
e€Å˜
Sn
O
An+1(an+1, 0)An(an, 0)
x
ㄱ. y'=2e2x이고, 점 Bn의 좌표는 (an, e2an)이므로 점 Bn에서의
접선의 기울기는 2e2an, 즉 점 Bn에서의 접선의 방정식은
y-e2an=2e2an (x-an), 이때 이 접선은
An+1 (an+1, 0)을 지나가므로
-e2an=2e2an (an+1-an)에서 e2an+0이므로
-1=2(an+1-an), 2an+1=2an-1
∴ an+1=an-;2!;
즉 수열 {an}은 공차가 -;2!;인 등차수열이다.
a¡=2이므로 an=2+(n-1)_{-;2!;}=
4 a4=;2!; ( _ )
5-n
2
ㄴ. 삼각형 AnBnAn+1은 밑변의 길이가 항상 an-an+1=;2!;
이고 높이가 e2an=e2_
5-n
2 =e5-n인 삼각형이므로
넓이 Sn은 Sn=;2!;_;2!;_e5-n=
efi
4
_e-n
∴ S¡=;4!;e› ( ◯)
ㄷ.
Sn=
$
Ú
n=1
$
Ú
n=1
efi
4
_e-n=
efi
4
_
e-1
1-e-1 =
efi
4(e-1)
( ◯ )
또, lim
x d $
f(x)= lim
x d $
2x
1+x€
=0
lim
x d -$
f(x)= lim
x d -$
2x
1+x€
=0이므로
x축을 점근선으로 가진다.
따라서 f(x)=
의 그래프 개형은 다음과 같다.
2x
1+x€
y
1
O
-1
1
-1
y=f(x)
x
y
1
y=|f(x)|
-1
O
1
y= k!;
x
⑵ y=|f(x)|의 그래프 개형은 다음과 같다.
이때 f(x)=;k!;의 실근의 개수 ak는
a¡=2, a™=a£=a¢=ya¡º=4이다.
10
Ú
k=1
ak=2+9_4=38
g '(x)=f '(f(x))f '(x)=0에서
f '(f(x))=0 또는 f '(x)=0
이때 f '(-1)=0, f '(1)=0이므로
⑶ g(x)=f(f(x))에서 g '(x)=f '(f(x))f '(x)이므로
1 f '(f(x))=0에서 f(x)=-1 또는 f(x)=1
그러므로 x=-1 또는 x=1
2 f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
따라서 방정식 g '(x)=0의 서로 다른 실근의 개수는 2
6. 도함수의 활용 63
06 ^ ⑤
GUIDE
➊ x축까지의 거리와 y축까지의 거리를 비교하려면 두 직선 y=x,
y=-x를 이용한다. 이때 함수 g(t)를 그래프로 나타낼 수 있다.
➋ y=g(t)의 그래프에서 첨점이 한 개만 있는 경우를 생각한다.
f(x)=kx€e-x (k>0)에서
f '(x)=2kxe-x-kx€e-x=kx(2-x)e-x
f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2
이때 함수 f(x)의 증감표와 그래프 개형은 다음과 같다.
x
f '(x)
f(x)
y
-
↘
0
0
0
y
+
↗
2
0
4k
e€
y
-
↘
y
4k
e€
O
y=f(x)
2
x
곡선 y=f(x) 위의 점 (t, f(t))에서 x축까지의 거리와 y축까
지의 거리 중 크지 않은 값이 g(t)이므로 곡선 y=f(x)와 직선
y=x, y=-x와 만나는 교점을 찾는다.
y
y=x
05 ^ 78
GUIDE
점 (t, e-t÷€)에서의 접선이 (0, k)를 지나감을 이용해 방정식을 세운다.
f(x)=e-x€이라 하면 f '(x)=-2xe-x€
점 P(0, k)에서 곡선 y=f(x)에 그은 접선의 접점의 좌표를
(t, e-t€)이라 하면 이 점에서 접선의 방정식은
y-e-t€=-2te-t€(x-t)
이 접선이 (0, k)를 지나므로 k-e-t€=-2te-t€(0-t)
즉 t에 대한 방정식 k=(2t€+1)e-t€의 실근의 개수에 따라 접선
의 개수가 변한다.
g(t)=(2t€+1)e-t€은 y축에 대하여 대칭이다.
g '(t)=(2t€+1)(-2t)e-t€+4te-t€=-2t(2t€-1)e-t€
증감표는 다음과 같다.
y - '2
2
0
t
g '(t) +
t(t) ↗
2
'e
y
-
↘
y
+
↗
'2
2
0
2
'e
y
-
↘
이때 g(t)=(2t€+1)e-t€의 그래프 개형은 다음과 같다.
y
1
O
0
1
2
'e
2
3
4
2
0
-
'2
2
'2
2
그러므로 g(k)는 다음과 같다.
①
②
③
④
⑤
k의 범위
0<k<1
k=1
1<k< 2
'e
k= 2
'e
k> 2
'e
5
Ú
k=1
kg(1)g {æ;eK; }
=3
5
Ú
k=1
kg {æ;eK; }
⑤
④
③
②
①
x
g(k)=2
g(k)=3
g(k)=4
g(k)=2
g(k)=0
실근 t의 개수 접선의 개수 g(k)
이때 미분가능하지 않은 점이 한 곳만 있으려면 x<0일 때
a
O
t
y=-x
x
y=f(x)와 y=-x의 교점에서 미분가능하지 않으므로
x>0에서 y=g(t)의 그래프는 곡선 부분만 있어야 한다.
즉 y=f(x)와 직선 y=x가 만나지 않거나 접해야 한다.
접점의 좌표를 (t, f(t))라 하면
kt€e-t=t
…… ㉠
이고 x=t에서 접선의 기울기가 1이므로
kt(2-t)e-t=1
…… ㉡
㉠, ㉡에서 2-t=1
∴ t=1, k=e
따라서 k의 최댓값은 e이다.
=3[g {æ;e!; }+2g {æ;e@; }+3g {æ;e#; }+4g {æ;e$; }+5g {æ;e%; }]
=3(1_2+2_2+3_4+4_2+5_0)
=3(2+4+12+8)=78
07 ^ ③
GUIDE
f "(x)>0이면 f '(x)는 증가한다.
x
x<1
x=1
1<x<3
x=3
f '(x)
f "(x)
f(x)
+
+
0
;2π;
1
0
p
64 정답과 풀이
위 표에서 x<1, 1<x<3일 때, f "(x)>0이므로 이 구간에
래프와 직선 y=k가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 k
서 f '(x)는 증가하고 f(x)의 그래프는 아래로 볼록하다.
값의 범위가 -1<k<0이어야 한다.
또, x=1일 때, f '(x)=0이므로 x=1의 좌우에서 f '(x)의 부
호가 -에서 +로 바뀌게 된다. 즉 f(x)는 x=1에서 극솟값을
h'(t)= -at(t-1)(t-4)
이므로
et
갖고 그래프는 아래로 볼록하다.
ㄱ. g(x)=sin ( f(x))에서 g '(x)=cos ( f(x))_f '(x)
∴ g '(3) =cos ( f(3))_f '(3)=cos p_f '(3)
=(-1)_1=-1 ( ◯ )
ㄴ. 1<x<3에서 f(x)의 그래프
는 아래로 볼록하고 증가하므로
;2π;<f(x)<p
이때 g(x)=sin ( f(x))의 그
래프는 감소하면서 위로 볼록하다.
y
1
O
y=sin x
p
;2;
p
x
x=1일 때, g '(1)=cos ( f(1))_f '(1)=cos ;2π;_0=0
x=3일 때, g '(3)=cos ( f(3))_f '(3)=cos p_1=-1
따라서 1<a<b<3에서 -1<
<0 ( ◯ )
g(b)-g(a)
b-a
ㄷ. g "(x)= -sin ( f(x))_f '(x)_f '(x)
+cos ( f(x))_f "(x)
x=1일 때,
g "(1)= -sin ( f(1))_{ f '(1)}€+cos ( f(1))_f "(1)
=-sin ;2π;_0_0+0_f "(1)=0
하지만 x<1과 x>1에서 g "(x)의 부호가 같으므로 x=1에
서 변곡점을 갖지 않는다. ( _ )
08 ^ 72
GUIDE
g(x)를 간단히 나타낸다.
g(x)=f(x)e-x에서 g '(x)={ f '(x)-f(x)}e-x
g "(x)={ f "(x)-2f '(x)+f(x)}e-x
f(x)=ax€+bx+c(a+0)로 놓으면
f '(x)=2ax+b, f "(x)=2a이므로
g "(x)={ax€+(b-4a)x+2a-2b+c}e-x
조건 ㈎에서 방정식 g "(x)=0의 두 근이 x=1, 4이므로 이차방
정식 ax€+(b-4a)x+2a-2b+c=a(x-1)(x-4)
즉
4a-b
a
a
=5, 2a-2b+c
=4이므로 b=-a, c=0
이때 f(x)=ax€-ax이고 g(x)=(ax€-ax)e-x
은 y-g(t)=g '(t)(x-t)이고, 이 접선이 점 (0, k)를 지나므
로 k-g(t)=g '(t)(0-t)에서 k=a(t‹-2t€)e-t
h(t)=a(t‹-2t€)e-t로 놓으면 조건 ㈏에서 함수 y=h(t)의 그
a<0인 경우 함수 y=h(t)의 그래프의 개형은 다음과 같고, 문
제의 조건을 만족시키지 않는다.
y
y=h(t)
O
1
2
4
t
a>0인 경우 함수 y=h(t)의 그래프의 개형은 다음과 같고
h(1)=-1이어야 한다.
y
O
-1
y=k
y=h(t)
1
2
4
t
h(1)=-ae-1=-1에서 a=e
4 g(-2)_g(4)=f(-2)e€_ f(4)e-4
=72a€e-2=72e€e-2
=72
09 ^ ④
GUIDE
(x-e){g(x)-f(x)}>0에서
1 1<x<e일 때 g(x)< f(x)
2 x>e일 때 g(x)> f(x)
y
y=f(x)
O
1
e
x
이때 일차함수 g(x)가 주어진 조건을 만족시키려면
1<x<e일 때 g(x)<f(x)이고, x>e일 때 g(x)>f(x)이어
점(1, 0)을 지나는 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 점선을
즉 일차함수 g(x)의 기울기의 최솟값 h(t)는 다음과 같이 생각
1 a<e인 경우 점(1, 0)에서 곡선 y=-t+ln x (x>e)에 그
야 한다.
할 수 있다.
6. 도함수의 활용 65
f(x)=ax€+bx+c(a+0)로 놓고, g "(1)=0, g "(4)=0을 이용해
함수 f(x)의 그래프 개형은 다음과 같다.
한편 곡선 y=g(x) 위의 점 T(t, g(t))에서 그은 접선의 방정식
a<e, a>e 두 경우로 생각해보자.
접선이 존재할 때이므로 이 접선의 기울기가 h(t)이다.
함수 g(x)는 x+0, x+2, x+
인 모든 실수에서 정의
은 접선이 존재하지 않으므로 두 점(1, 0), (e, f(e))를 지나
는 직선의 기울기가 h(t)이다.
10 ^ 50
GUIDE
y=g(x)
f(x)=xÂ(x-2)Â (m,n은 자연수)로 놓고
를 정리한다.
f(x)
f '(x)
y=f(x)
㈎에서 f(x)=xm(x-2)n (단, m, n은 자연수)
y
y
O
1
e
x
즉 h(t)=
-t+ln e
e-1
=
-t+1
e-1
{0<t<;e!;}
이때 h'(t)=
-1
e-1
이므로 h'{
1
2e }=
-1
e-1
2 a>e이면 점(1, 0)에서 곡선 y=-t+ln x (x>e)에 그은
y=f(x)
y=g(x)
O
1
e
a
x
f '(x)=;x!; (x+e)에서 접점의 x좌표를 a라 하면
h(t)=
이므로 접점 (a, -t+ln a)에서의 접선의 방정식
1
a
은 y-(-t+ln a)=
(x-a)이다.
1
a
이 접선이 점(1, 0)을 지나므로
t-ln a=
-1, ln a+
=t+1
1
a
1
a
1
a
1
h(t)
이때 h(t)=
이므로 ln
+h(t)=t+1
즉 h(t)-ln h(t)=t+1이다.
위 등식의 양변을 t에 대하여 미분하면
h'(t)-
=1,
h'(t)
h(t)
즉 h'(t)[1-
1
h(t) ]=1 yy ㉠
1
e+2
조건에서 양수 a에 대하여 h(a)=
이므로
㉠에 t 대신 a를 대입하면
h '(a) [1-
1
h(a) ]=h '(a){1-(e+2)}=1에서
h '(a)=
-1
e+1
∫ h' {
1
2e }_h'(a)=
-1
e-1
_
-1
e+1
=
1
(e-1)(e+1)
66 정답과 풀이
㈏에서 lim
x d 2
(x-2)‹
xm(x-2)n =
0 (n=1, 2)
1
2m (n=3)
발산 (n>4)
[
즉r n은 3 이하의 자연수
f '(x)=xm-1(x-2)n-1{(m+n)x-2m}이므로
g(x)=x-
xm(x-2)n
xm-1(x-2)n-1{(m+n)x-2m}
1 m>2, n>2일 때
2m
m+n
된다.
g(x)=
x{(m+n-1)x-2(m-1)}
(m+n)x-2m
g(x)
x
=
(m+n-1)x-2(m-1)
(m+n)x-2m
=
2n
(m+n)€
2m
m+n
x-
+
m+n-1
m+n
이고 점근선의 방정식은
x=
2m
m+n
, y=
m+n-1
m+n
이다.
y
g(x)
y=|::x::|
y=
m+n-1
m+n
2
x
에서 연속이고 미분가능하
O
2(m-1)
m+n-1
x=
2m
m+n
g(x)
x
=0에서 x=
2(m-1)
m+n-1
함수 |
g(x)
x |는 x=
2(m-1)
m+n-1
지 않다.
㈐에서
2(m-1)
m+n-1
=;4%; 이므로 m=
5n+3
3
m은 자연수이고 n<3인 자연수이므로
m=6, n=3
2 m+1, n=1일 때
함수 g(x)는 x+0, x+
인 모든 실수에서 정의된다.
2m
m+1
07
부정적분
g(x)=
x{mx-2(m-1)}
(m+1)x-2m
이고 함수 |
g(x)
x |는
에서 연속이고 미분가능하지 않다.
x=
2(m-1)
m
그런데
2(m-1)
m
3 m=1, n+1일 때
=;4%; 인 자연수 m이 존재하지 않는다.
함수 g(x)는 x+2, x+
인 모든 실수에서 정의된다.
2
n+1
g(x)=
nx€
(n+1)x-2
이고
함수 |
g(x)
x |는 x=;4%; 에서 미분가능하므로 조건 ㈐를 만족
시키지 않는다.
4 m=n=1일 때
함수 g(x)는 x+1인 모든 실수에서 정의된다.
g(x)=
x€
2x-2
이고, 함수 |
g(x)
x |는 x=;4%; 에서 미분가능
하므로 조건 ㈐를 만족시키지 않는다.
1, 2, 3, 4에서
m=6, n=3
4 g(x)=
2x(4x-5)
3(3x-4)
g '(x)=
8(3x€-8x+5)
3(3x-4)€
g '(x)=0에서 x=1 또는 x=;3%;
함수 g(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면
x
y
g '(x) +
y {;3$;} y
-
-
;3%;
0
g(x)
↗
↘
↘
;2%7);
1
0
;3@;
y
+
↗
함수 g(x)의 극솟값 k= ;2%7); 이므로 27k=50
STEP 1
1등급 준비하기
p. 84 ~85
01 ③
05 ③
09 2
02 ④
06 -6
10 ⑤
03 18
07 ③
11 ③
04 10
08 ⑤
12 ④
01 ^ ③
GUIDE
x
3-x={;3!;}
이므로 … {;3!;}
x
dx=
+C
x
{;3!;}
ln;3!;
f(x)=…
(3˛-1)€
3˛
dx=… [3˛-2+{;3!;}
]dx
˛
=
-2x+
+C=
-2x+C
3˛
ln 3
-
3-˛
ln 3
3˛
ln3
˛
{;3!;}
ln ;3!;
이때 f(0)=2에서
30
ln 3
-
3-0
ln 3
-2_0+C=2
4 C=2
따라서 f(x)=
-2x+2이므로
3˛
ln 3
-
3-˛
ln 3
f(1)=
3⁄
ln 3
-
3-⁄
ln 3
-2+2=
8
3 ln 3
02 ^ ④
GUIDE
sin€ x=1-cos€ x=(1-cos x)(1+cos x)
f(x)=…
sin€ x
1-cos x
dx=…
1-cos€ x
1-cos x
dx=…(1+cos x)dx
이때 f(0)=0이므로 C=0
4 f(x)=x+sin x
=x+sin x+C
따라서 f(p)=p
1등급 NOTE
m>2, n>2일 때 |
(m+n)x-2m |의 그래프는 분수
함수의 그래프에서 y<0인 부분을 x축에 대칭이동한 것과 같다. 그런데
g(x)
x |=|1-
x-2
x=;4%; 에서 미분할 수 없으므로 이 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는
03 ^ 18
GUIDE
x€+x+3=t라 하면 (2x+1)dx=dt
x€+x+3=t라 하면 (2x+1)dx=dt이므로
f(x)=…(2x+1)"xƒ
ƒ€+ƒxƒ+3 dx=…'t dt=;3@;t ;2#;+C
;4%; 이다.
=;3@;(x€+x+3);2#;+C
이때 f(-1)=2'3 에서 C=0
따라서 f(x)=;3@;(x€+x+3);2#;
4 f(2)=;3@;_9;2#;=18
7. 부정적분 67
ƒ
04 ^ 10
GUIDE
f(x)=… sin‹xdx=… sin x(1-cos€x)dx에서 cos x=t로 치환한다.
cos x=t로 놓으면 -sin xdx=dt이므로
f(x)=… sin‹xdx=… sin x(1-cos€x)dx
08 ^ ⑤
GUIDE
x_ln x에서 부분적분법을 이용한다.
f(x)=… x ln xdx=;2!;x€ln x-… ;2!;xdx
=;2!;x€ ln x-;4!;x€+C
=… (t€-1)dt=;3!;t‹-t+C=;3!; cos‹x-cos x+C
이때 f(1)=2에서 -;4!;+C=2, 즉 C=;4(;이므로
f(0)=1에서 C=;3%;
4 f(p)=;3&;
즉 p=3, q=7이므로 p+q=10
05 ^ ③
GUIDE
1
1-e˛
1-e˛+e˛
1-e˛
=
f(x)=…
1
1-e˛
dx=… {1+
e˛
1-e˛ }dx
=x-ln|1-e˛|+C
4 f(2)-f(1)={2-ln(e€-1)+C}-{1-ln(e-1)+C}
=1+ln
=ln
1
e+1
e
e+1
06 ^ -6
GUIDE
함수 f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 하면 F'(x)=f(x)
xf(x)-F(x)=-3x의 양변을 x에 대해 미분하면
f(x)+xf '(x)-f(x)=-3
x+0에서 정의되었으므로 f '(x)=-;x#;
이때 f(x)=-3ln|x|+C에서 f(e)=0이므로
f(x)=-3 ln|x|+3
따라서 f(-e‹)=-3 ln e3+3=-6
07 ^ ③
GUIDE
1
x€-x-2
=
1
(x-2)(x+1)
=;3!; {
1
x-2
-
1
x+1 }
f(x)=…
1
x€-x-2
dx =;3!; … {
1
x-2
1
-
x+1 }dx
=;3!; ln|
x-2
x+1 |+C
이때 f {;2!;}=0에서 C=0
4 f(x)=;3!; ln|
x-2
x+1 |
따라서 f(0)=;3!; ln 2
68 정답과 풀이
f(x)=;2!;x€ ln x-;4!;x€+;4(;
4 f(e)=
e€+9
4
다른 풀이
부호
(+)
(-)
(-)
미분
lnx
;x!;
1
0
적분
x
;2!;x€
;2!;x
;2!; x€ ln x
;4!;x€
-;4!; x€
참고
도표적분법에서 f(x)h(x)g(x)가 부호
동일성을 유지하면서 부호를 그대
로 쓰고 미분 요소와 적분 요소를
변형할 수 있다. 위 경우
미분
적분
(+)
f(x)h(x)
g(x)
(+)
f(x)
h(x)g(x)
;x!;_;2!;x€=;2!;x이므로 미분 요소에 상수 1을 쓰고 적분 요소에 ;2!;x를 써
서 동일성을 유지할 수 있으므로 이 방법을 쓸 수 있다.
09 ^ 2
GUIDE
x_cos x에서 부분적분법을 이용한다.
… x cos xdx=x sin x-… sin xdx=x sin x+cos x+C
F(x)=… f(x)dx=-2cos x+xsin x+cos x+C
=xsin x-cos x+C
이때 F(0)=0에서 C=1이므로 F(x)=xsin x-cos x+1
4 F(p)=2
1등급 NOTE
(xsin x)'=sinx+xcos x이므로
F(x)=… f(x)dx=…(2sin x+xcos x)dx
=…sin xdx+…(sin x+xcos x)dx
=-cos x+xsin x+C
10 ^ ⑤
GUIDE
이용한다.
f(x)=…(x+1)e˛d(x)에서 u=x+1, v'=ex으로 놓고 부분적분법을
f(x)=…(x+1)e˛dx는 다음과 같이 구할 수 있다.
부호
(+)
(-)
미분
x+1
1
0
적분
ex
ex
ex
+(x+1)ex
-ex
f(x)=…(x+1)exdx=(x+1)ex-ex+C=xex+C
f '(x)=(x+1)ex=0에서 x=-1
즉 함수 f(x)는 x=-1에서 극솟값 e-;e!; 을 가지므로
f(-1)=-;e!;+C=e-;e!;
따라서 f(x)=xex+e
4 C=e
11 ^ ③
GUIDE
㈎
f '(2x)
f(2x)
=2x에서 …
f '(2x)
f(2x)
dx=… 2xdx=x€+C
㈎에서 f(2x)=t라 하면 2f '(2x)dx=dt
f '(2x)
f(2x)
…
dx=… ;2¡t;dt=;2!;ln|t|
=;2!;ln f(2x)=x€+C
즉 ln f(2x)=2x€+2C에서 f(0)=1이므로
x=0을 대입하면 C=0
4 ln f(2x)=2x€
x=1을 대입하면 ln f(2)=2에서 f(2)=e€
참고
1
2t
…
dt=;2!; ln|t|+C¡=;2!; ln f(2x)+C¡
…2xdx=x€+C™에서 ;2!; ln f(2x)=x€+C™-C¡
이때 C™-C¡을 C라 생각하면 ;2!; ln f(2x)=x€+C
12 ^ ④
GUIDE
{e˛f(x)}'=e˛f(x)+e˛f '(x)이므로
…{e˛f(x)+e˛f '(x)}dx=e˛f(x)+C
f(x)+f '(x)=e-˛+1의 양변에 e˛을 곱한
e˛f(x)+e˛f '(x)=1+e˛의 양변을 적분하면
…{exf(x)+exf '(x)}=x+ex+C
그런데 …{e˛f(x)+e˛f '(x)}dx=e˛f(x)+C이므로
4 exf(x)=x+ex+C
e˛f(x)+C¡=x+e˛+C™
이때 f(0)=1에서 C=0
따라서 f(x)=
이므로 f(1)=
e˛+x
e˛
e+1
e
STEP 2
1등급 굳히기
p. 86~91
02 1
06 ①
10 ⑤
14 ④
18 ②
22 ④
26 ③
03 3p
07 ⑤
11 ③
15 ②
19 ②
23 5
27 ⑤
04 ②
08 38
12 ①
16 ⑤
20 ②
24 10
28 1
01 64
05 ②
09 ③
13 ①
17 ①
21 ④
25 1
01 ^ 64
GUIDE
두 식 f(x)=
을 변끼리 더하면
G(x)-g(x)
3
, g(x)=
F(x)-f(x)
3
F(x)-f(x)
3
f(x)+g(x)=
G(x)-g(x)
3
+
f(x)+g(x)=
G(x)-g(x)
3
+
F(x)-f(x)
3
에서
F(x)+G(x)=4{ f(x)+g(x)}
yy ㉠
양변을 미분한
f(x)+g(x)=4{ f '(x)+g'(x)}를 ㉠에 대입하면
F(x)+G(x)=4€{ f '(x)+g'(x)}
4 F(1)+G(1)=4€{ f '(1)+g '(1)}=4‹=64
02 ^ 1
GUIDE
(ax)'=ax ln a이므로 … (ax)'dx=… ax ln a=ax+C
f(x)=… 2˛ ln 2dx=2˛+C
이때 f(0)=1+C=1에서 C=0
즉 f(x)=2˛이다.
4 lim
n d$
n
Ú
k=1
1
f(k)
= lim
n d$
n
Ú
k=1
1
2˚
= lim
n d$
n
Ú
k=1{;2!;}
˚=
;2!;
=1
1-;2!;
7. 부정적분 69
06 ^ ①
GUIDE
e˛+1=t로 치환하고 e˛=t-1을 이용한다.
e˛+1=t라 하면 e˛dx=dt, e˛=t-1이므로
f(x)=…
e2x_ex
(e˛+1)›
dx=…
(t-1)€
t÷›
dt
=… {
1
t÷€
-
2
t÷‹
=-
1
e˛+1
+
+
1
t÷› }dt=-
1
(e˛+1)€
-
1
t
+
1
t÷€
-
1
3t÷‹
+C
1
3(e˛+1)‹
+C
이때 f(0)=;2!4&;에서 C=1이므로
f(x)=-
1
e˛+1
+
1
(e˛+1)€
-
1
3(e˛+1)‹
+1
4 f(ln 2)=
-27+9-1+81
81
=;8^1@;
4 C=-1
즉 0<x<1에서 sin(ln x)=1인 x값을 큰 수부터 차례로 나열
07 ^ ⑤
GUIDE
ln x=t로 치환하면
dx=dt
1
x
ln x=t라 하면 1
x
dx=dt이므로
1
f(x)=…
x
cos(ln x)dx=…cos tdt
=sin t+C=sin(ln x)+C
f(e-p)=-1에서 sin(-p)+C=-1
4 f(x)=sin(ln x)-1=0
하면 a¡=e-;2#;p, a™=e-;2&;p, a£=e-:¡2¡:p, å
4
$
Ú
n=1
an=
e-;2#;p
1-e-€p =
e;2π
e€p-1
주의
x값의 범위를 확인한다.
08 ^ 38
GUIDE
➊ sin 2x=2sin x cos x
➋ sin x=t로 치환하면 cos xdx=dt
03 ^ 3p
GUIDE
1
sin€x
=cscx€이고, …csc€xdx=-cotx+C
f(x)=…
1+2sin€x-3sin‹x
sin€x
dx
=…(csc€x+2-3sin x)dx
=-cot x+2x+3cos x+C
이때 f {;2π;}=p에서 C=0
따라서 f(x)=3cos x-cot x+2x
4 f {;2#;p}=3p
04 ^ ②
GUIDE
➊ sin€x=1-cos€x
➋ cos x=t로 치환한다.
sin€x=1-cos€x이므로
…sin‹x cos€xdx=…sin x(1-cos€x)cos€xdx
cos x=t라 하면 -sin xdx=dt이므로
…sin x(1-cos€x)cos€xdx
=-…(t€-t›)dt=
tfi
5
-
+C
t‹
3
=
cosfix
5
-
cos‹x
3
+C
1등급 NOTE
sin을 치환하면 코사인이 필요하고,
cos을 치환하면 sin이 필요하므로
sin과 cos 중 하나만 남길 수 있는 것을 생각한다.
05 ^ ②
GUIDE
'x=t로 치환하면
1
2'x
dx=dt
'x=t라 하면
dx=dt이므로
1
2'x
f(x)=… f '(x)dx=…
e'x
'x
=2eˇ+C=2e'x+C
dx=… 2eˇdt
70 정답과 풀이
sin 2x=2sin x cos x에서 fn(x)=2…sin˜+⁄x cos xdx
이때 sin x=t라 하면 cos xdx=dt이므로
이때 구간 [1, 4]에서 f '(x)=
>0이므로
e'x
'x
f(x)의 최댓값은 f(4)=2e€+C=e€ 4 C=-e€
따라서 f(x)=2e'x-e€이므로 최솟값은 f(1)=e(2-e)
fn(x)=2…t˜+⁄dt= 2
n+2
t ˜+€+C
= 2
n+2
sin˜+€x+C
이때 fn(0)=0에서 C=0이므로 fn(x)= 2
sin˜+€x
n+2
11 ^ ③
GUIDE
4 fn{;2π;}= 2
n+2
따라서 fn{;2π;}= 2
n+2
=;2¡0;이 되는 자연수 n=38
2
x(x€-1)
a
x-1
+
+
b
x
c
x+1
=
2
x(x€-1)
= a
x-1
+ b
x
+ c
x+1
에서 a, b, c 값을 구한다.
09 ^
;4E;
GUIDE
…esin€˛ tan xdx-…esin€˛ sin€x tan xdx
=…esin€˛ tan x(1-sin€x)dx
f(x)=…esin€˛ tan xdx-…esin€˛ sin€x tan xdx
=…esin€˛ tan x(1-sin€x)dx
=…esin€˛ sin x cos xdx
sin€x=t로 치환하면 2sin x cos xdx=dt에서
…esin€˛sin x cos xdx=;2!; …eˇdt=;2!;eˇ+C
=;2!;esin€˛+C
이때 f(0)=;2!;+C=;2!;에서 C=0이므로 f(x)=;2!; esin€˛
€
4 [f {;4π;}]
={;2!;esin€;4π;
}
=;4E;
€
10 ^ ⑤
GUIDE
2x+3
2x€-9x+9
3
x-3
-
4
2x-3
=
2x+3
2x€-9x+9
=
2x+3
(x-3)(2x-3)
=
3
x-3
-
4
2x-3
이므로
f(x)=…
2x+3
2x€-9x+9
dx=… {
3
x-3
4
-
2x-3 }dx
=3ln|x-3|-2ln|2x-3|+C
= (a+b+c)x€+(a-c)x-b
x(x€-1)
에서 a=1, b=-2, c=1이므로
f(x)=… {
1
x-1
- 2
x
+ 1
x+1 }dx
=ln |x-1|-2 ln|x|+ln|x+1|+C
이때 f(2)=ln ;4#;에서 C=0이므로
f(x)=ln|x-1|-2 ln|x|+ln|x+1|
4 f(3)=ln 2-2 ln 3+ln 4=ln ;9*;
1등급 NOTE
1
ABC
=
1
C-A {
1
AB
-
f '(x)=
2
(x-1)x(x+1)
=
1
BC }를 이용하면
1
x(x+1)
1
(x-1)x
-
=
1
(x-1)
-;x@;+
1
(x+1)
12 ^ ①
GUIDE
f '(x)=xe˛+e€˛에서 f(x)=…(xex+e2x)dx
f '(t)=(t+eˇ )eˇ에서 f '(x)=(x+e˛)e˛=xe˛+e€˛이고
f(x)=…(xe˛+e€˛)dx=…xe˛dx+…e€˛dx
=(x-1)e˛+;2!;e€˛+C
이때 f(0)=0에서 C=;2!;이므로
f(x)=(x-1)e˛+;2!;e€˛+;2!;
4 f(1)=;2!;(e€+1)
이때 lim
x d 1
f(x)
x-1
=;2%;에서 f(1)=0이므로 C=-3ln 2
참고
즉 f(x)=3ln|x-3|-2ln|2x-3|-3ln 2에서
…xe˛dx=xe˛-…e˛dx=xe˛-e˛+C
f(2)=-3ln 2=ln ;8!;
참고
2x+3
2x€-9x+9
=
a
x-3
+
b
2x-3
b=-4를 구할 수 있다.
13 ^ ①
GUIDE
로 놓고 항등식의 성질에서 a=3,
…e-˛sin xdx=-e-˛sin x-e-˛cos x-…e-˛sin xdx
7. 부정적분 71
…e-˛sin xdx=-e-˛sin x+…e-˛cos xdx
=-e-˛sin x-e-˛cos x-…e-˛sin xdx
f '(x)=
x cos x
[
-xcos x {
{0<x< p
2 }
p
2
<x<p}
에서
에서 2…e-˛sin xdx=-e-˛sin x-e-˛cos x이므로
…x cos xdx=x sin x+cos x+C이므로
f(x)=…e-xsin xdx=-;2!;e-x(sin x+cos x)+C
이때 f {;2π;}=e-;2π; 에서 C=;2#;e-;2π; 4 f(0)=-;2!;+;2#;e-;2π;
f(x)=
x sin x+cos x+C¡
[
-x sin x-cos x+C™ {
p
2 }
{0<x<
p
2
<x<p}
이때 f(0)=0에서 C¡=-1
1등급 NOTE
부호
(+)
(-)
미분
sinx
cosx
적분
e-˛
-e-˛ -e-˛sinx
또한 f(x)는 미분가능한 함수이므로 x= p
2
에서 연속이다.
p
2 }= p
따라서 f {
4 f {;3@;p}={1- '3
2
-1=- p
2
3 }p-;2!;
+C™
4 C™=p-1
(+) -sinx
e-˛
-e-˛cosx-…e-˛sinxdx
➊ 도표적분법을 쓸 때 위 경우의 세 번째 줄처럼 처음과 같은 모양이 나
올 경우, 그 줄의 미분 요소와 적분 요소를 서로 곱한 것을 적분한다.
➋ …e-xsin xdx=A라 하면 A=-e-xsin x-e-xcos x-A
4 A=-;2!; (e-xsin x+e-xcos x)+C
14 ^ ④
GUIDE
… ln(x+2)dx=(x+2)ln(x+2)-(x+2)+C
f '(x)=k ln(x+2)에서 f '(1)=2 ln 3 4 k=2
f(x)=2… ln(x+2)dx=2(x+2)ln(x+2)-2x+C
이때 lim
x d 1
f(x)-1
x-1
=2 ln 3에서 f(1)=1이므로 C=3-6 ln 3
f(x)=2(x+2)ln(x+2)-2x+3-6 ln 3
4 f(-1)=5-6 ln 3
참고
u'=1, v=ln(x+2)라 하면 u=x, v'=
… ln(x+2)dx=x ln(x+2)-…x_
1
x+2
1
x+2
dx
2
=x ln(x+2)-… {1-
=x ln(x+2)-x+2 ln(x+2)+C
x+2 }dx
=(x+2)ln(x+2)-x+C
…xcos xdx=x sin x+cos x+C에서 x값의 범위에 따라 f(x)를 정한
다. 이때 적분상수를 주의한다.
15 ^ ②
GUIDE
72 정답과 풀이
16 ^ ⑤
GUIDE
"x=t 로 치환하고 부분적분법을 이용한다.
'x=t라 하면
1
2'x
즉 dx=2tdt이므로
dx=dt에서 dx=2'x dt,
f(x)=…cos 'x dx=…2t cos tdt
=2tsin t+2cos t+C
=2'x sin 'x+2 cos 'x+C
이때 f(0)=4에서 C=2이므로
f(x)=2'x sin 'x+2cos 'x+2
4 f {
p€
4 }=p+2
17 ^ ①
GUIDE
ln x=t로 치환 (이때 x=et)하고 부분적분법을 이용한다.
ln x=t라 하면
=dt에서 dx=xdt=eˇdt이므로
1
x
…cos(ln x)dx=…eˇcos tdt에서
…eˇcos tdt=eˇsin t-…eˇsin tdt
=eˇsint+eˇcos t-…eˇcos tdt
4 …eˇcos tdt=;2!;eˇ(sin t+cos t)+C
즉 f(x)=;2X;{sin(ln x)+cos(ln x)}+C이고
이때 f(1)=;2!;에서 C=0이므로
f(x)=;2X;{sin(ln x)+cos(ln x)}
4 f(e€p)=;2!;e€p
참고
부호
(+)
(-)
(+)
미분
cos t
-sin t
-cos t
적분
et
et
et
18 ^ ②
GUIDE
e€˛-1
e€˛+1
=
e˛-e-˛
e˛+e-˛
f '(x)= e€˛-1
e€˛+1
f '(x)= e˛-e-˛
e˛+e-˛
이므로
의 분자와 분모를 e˛으로 나누면
e˛-e-˛
e˛+e-˛
f(x)=…
=ln(e˛+e-˛)+C (ç e˛+e-˛>0)
dx
이때 f (0)=ln 2+C=0에서 C=-ln 2이므로
f(x)=ln(e˛+e-˛)-ln 2
4 f(1)=ln {e+;e!;}-ln 2=ln e€+1
2e
19 ^ ②
GUIDE
1
2sin ;2X; cos ;2X;
의 분포, 분자에 sec€;2X;를 곱한다.
이때 sin;2X; cos;2X;_
=tan;2X;
1
cos€;2X;
f(x)=…
1
sinx
dx=…
1
2sin ;2X; cos ;2X;
dx=…
sec€ ;2X;
2tan ;2X;
dx
=;2!;ln|tan ;2X;|+C
이때 f {;2π;}=;2!;ln|tan ;4π;|+C=0에서 C=0이므로
f(x)=;2!; ln|tan ;2X;|
4 4f {;3@;p}=ln 3
20 ^ ②
GUIDE
f '(x)
f(x)
…
dx=ln| f(x)|+C
f(x)=…(2x-1)f(x)dx의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '(x)=(2x-1)f(x)이고, f(x)>0이므로
=2x-1
f '(x)
f(x)
f '(x)
f(x)
…
dx=…(2x-1)dx
ln f(x)=x€-x+C
etcos t
etsin t-…etcos tdt
이때 f(1)=e에서 ln f(1)=1€-1+C, C=1
즉 ln f(x)=x€-x+1이므로
ln f(2)=2€-2+1=3
4 f(2)=e‹
21 ^ ④
GUIDE
f '(x)=-g(x), g '(x)=-f(x)에서
➊ f '(x)+g '(x)=-{ f(x)+g(x)}
➋ f '(x)-g '(x)=f(x)-g(x)
f '(x)=-g(x), g '(x)=-f '(x)에서
1 f '(x)+g '(x)=-{ f(x)+g(x)}
f '(x)+g '(x)
f(x)+g(x)
=-1
f '(x)+g '(x)
f(x)+g(x)
…
dx=…(-1)dx
4 ln{ f(x)+g(x)}=-x+C¡
f(x)>g(x)>0에서 f(x)+g(x)+0이므로
이때 f(0)=2e, g(0)=e에서 C¡=ln3+1
4 f(x)+g(x)=3e-˛+⁄
2 f '(x)-g '(x)=f(x)-g(x)
f(x)>g(x)>0에서 f(x)-g(x)+0이므로
f '(x)-g '(x)
f(x)-g(x)
=1, …
f '(x)-g '(x)
f(x)-g(x)
dx=…dx
4 ln{ f(x)-g(x)}=x+C™
이때 f(0)=2e, g(0)=e에서 C™=1
4 f(x)-g(x)=e˛+⁄
1, 2에서 f(x)=
3e-˛+⁄+e˛+⁄
2
따라서 f(1)=;2!;(e€+3)
참고
e-x+ln3+1에서 eln3=3이므로
e-x+ln3+1=e-x+1_eln3=3e-x+1
22 ^ ④
GUIDE
➊ {xF(x)}'=F(x)+xf(x)
➋ (2xe˛)'=(2x+2)e˛
7. 부정적분 73
F(x)+xf(x)=(2x+2)e˛의 양변을 적분하면
…{e-xf(x)-e-˛f '(x)}dx =…(2xe-x-3e-x)dx
xF(x)=2xe˛+C
이때 F(1)=2e이므로 C=0
따라서 F(x)=2e˛ 4 F(3)=2e‹
23 ^ 5
GUIDE
{ f(x)ln x}'=f '(x)ln x+
이므로
f(x)
x
f(x)lnx=… {2xlnx+x+;x!;}dx임을 생각한다.
f '(x)ln x+
=2xln x+x+;x!; 의 양변을 적분하면
f(x)
x
f(x)lnx=(x€+1)ln x+C
이때 f(e)=e€+1에서 C=0
따라서 f(x)=x€+1이므로 f(2)=5
부분적분법(또는 도표적분법)을 써서 …2xln xdx=x€ln x-;2!; x€+C
임을 구할 수 있다.
참고
24 ^ 10
GUIDE
이용한다.
{ f(x)g(x)}'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)와 [{ f(x)}€]'=2f(x)f '(x)를
㈏에서 … f(x)f '(x)dx=;2!; … dx, 즉
;2!;{ f(x)}€=;2!;x+C¡이고, ㈎에서 f(1)=1이므로 C¡=0
즉 { f(x)}€=x에서 f(x)='x (ç f(x)는 미분가능, f(1)=1)
㈐에서 …{ f(x)g '(x)+f '(x)g(x)}dx=…2xdx,
즉 f(x)g(x)=x€+C™이고,
f(1)=g(1)=1에서 C™=0이므로 f(x)g(x)=x€
4 g(x)=x'x
따라서 f(4)+g(4)=2+8=10
25 ^ 1
GUIDE
➊ 미분한 결과에서 f(x)-f '(x)가 나올 수 있는 {-e-xf(x)}'을 생각
한다.
➋ {-e-˛f(x)}'=e-˛f(x)+e-xf '(x)이므로
…{e-˛f(x)-e-˛f '(x)}dx=-e-˛f(x)+C
=…(2x-3)e-xdx
=(1-2x)e-x+C
…{e-˛f(x)-e-˛f '(x)}dx=-e-˛f(x)+C
-e-˛f(x)=(1-2x)e-˛+C
이때 f(0)=-1에서 C=0
4 f(x)=2x-1
따라서 f(1)=1
26 ^ 3e2π
GUIDE
➊ 미분한 결과에서 f(x)-F(x) 꼴이 나올 수 있는 {e-xF(x)}'을 생
각한다.
➋ {e-˛F(x)}'=e-˛f(x)-e-˛F(x)
f(x)=F(x)+e˛sin x에서
f(x)-F(x)=e˛sin x
yy㉠
㉠의 양변에 e-x을 곱하면 e-˛f(x)-e-˛F(x)=sin x이므로
…{e-˛f(x)-e-˛F(x)}dx=…e-xF(x)dx=…sin xdx
4 e-˛F(x)=-cosx+C
이때 f(0)=1에서 f(x)=F(x)+e˛sin x에 x=0을 대입하면
f(0)=F(0)이므로 F(0)=-1+C=1
즉 e-˛F(x)=-cos x+2에서
4 C=2
F(x)=e˛(2-cosx), f(x)=e˛(2-cos x+sin x)
4 f {
p
2 }=3e;2π;
27 ^ ⑤
GUIDE
f(x)
'=
x ]
[
xf '(x)-f(x)
x€
f(x)-xf '(x)=2x-xln x의 양변을 -x€으로 나누면
xf '(x)-f(x)
x€
=[
f(x)
x ]
'=-
2
x
+
ln x
x
이므로
xf '(x)-f(x)
x€
…
dx=… [
f(x)
x ]
'dx=…{-
2
x
+
ln x
x }dx
즉
f(x)
x
=-2ln x+;2!;(ln x)€+C
이때 f(1)=1에서 C=1이므로
f(x)=-2xln x+
(ln x)€+x이고 f(e)=-;2E;
x
2
f(x)-xf '(x)=2x-xln x에 x=e를 대입하면
-;2E;-ef '(e)=2e-e에서 f '(e)=-;2#;
f(x)-f '(x)=2x-3의 양변에 e-˛을 곱한
e-˛f(x)-e-˛f '(x)=2xe-˛-3e-˛의 양변을 적분하면
4 f(e)f '(e)=
3e
4
74 정답과 풀이
cosx=t라 하면 -sinxdx=dt
이때 F(x)=… {t+
+y+
t÷€
2
t⁄‚‚
100 }dt
=
1
1_2
t+
1
2_3
t÷‹+y+
1
100_101
t⁄‚⁄+C
즉 F(x)=
100
Ú
k=1
1
k(k+1)
cos˚+⁄x+C
이때 F(0)=1에서
F(0)=
100
k=1{;k!;-
Ú
1
k+1 }+C=1-;10!1;+C=1
즉 F(x)=
100
Ú
k=1
1
k(k+1)
cos˚+⁄x+;10!1;이고
F {;2π;}=;10!1;이므로 a=1, b=101
4 a+b=102
02 ^ ③
GUIDE
➊ tan€x=sec€x-1
➋ tan x(1+tan€x)=tan xsec€x에서 tan x=t로 치환
…(tan x+tan€x+tan‹x)dx
함수방정식과 도함수의 정의를 이용해 f '(x)를 구한다.
f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(sin x€+sin y€)의 양변에
4 C=;10!1;
참고
lnx
x
…
dx에서 lnx=t라 하면 ;x!;dx=dt
즉 …tdt=;2!; t€+C=;2!;(lnx)€+C
28 ^ 1
GUIDE
x=0, y=0을 대입하면 f(0)=0
y=h를 대입하여 정리하면
f(x+h)=f(x)+f(h)+xh(sinx€+sinh€)
f '(x)=lim
h d0
f(x+h)-f(x)
h
=lim
h d0
f(h)+xh(sin x€+sin h€)
h
=lim
h d0 {
+xsin x€+xsin h€}
f(h)
h
=x sin x€ {ç lim
h d0
=f '(0)=0}
f(h)
h
f(x)=… f '(x)dx=…x sin x€dx에서 x€=t라 하면
2xdx=dt이므로
이때 f(0)=0이므로 C=;2!;
따라서 f(x)=-;2!; cos x€+;2!;
4 f('p )=;2!;+;2!;=1
f(x)=;2!; …sin tdt=-;2!; cos t+C=-;2!; cos x€+C
=…{tan€x+tanx(1+tan€x)}dx
=…(sec€x-1+tanxsec€x)dx
=…(sec€x-1)dx+…tan x sec€xdx
tan x=t로 놓으면 sec€xdx=dt이므로
f(x)=…(sec€x-1)dx+…tdt
=tan x-x+;2!;t€+C
=;2!;tan€x+tan x-x+C
이때 f(0)=0에서 C=0
따라서 f(x)=;2!; tan€x+tan x-x
p. 92~94
∫ f {
p
4 }=;2!;+1- p
4
=;2#;- p
4
STEP 3
1등급 뛰어넘기
01 102
05 ⑤
02 ③
06 5
03 ④
04 3
07 ㄱ, ㄴ, ㄷ
08 ⑴ 3 ⑵ 1
01 ^ 102
GUIDE
cosx=t로 놓고 생각하면
cos˜x
n }sin xdx=…
t÷˜
n
dt=
1
n(n+1)
cos˜+⁄ x+C
…{-
03 ^ ④
GUIDE
h(x)=… f(x)g '(x)dx=f(x)g(x)-… f '(x)g(x)dx
… f(x)g(x)dx=e€˛-⁄+C의 양변을 x에 대하여 미분하면
7. 부정적분 75
f(x)g(x)=2e€˛-⁄
f(x)g(x)=f '(x)g(x)이므로
… f '(x)g(x)dx=… f(x)g(x)dx=e€˛-⁄+C
h(x)=… f(x)g '(x)dx
=f(x)g(x)-… f '(x)g(x)dx
=2e€˛-⁄-e€˛-⁄+C
=e€˛-⁄+C
이때 h {;2!;}=e€_;2!;-⁄+C=2에서 C=1
따라서 h(x)=e€˛-⁄+1
4 h(1)=e€_⁄-⁄+1=e+1
04 ^ 3
GUIDE
➊ 미분한 결과에서 x€f(x)+2xf(x)+x€f '(x) 꼴이 나올 수 있는
{exx€f(x)}'을 생각한다.
➋ {e˛x€f(x)}'=e˛x€f(x)+e˛_2xf(x)+e˛x€f '(x)
x€f(x)+2xf(x)+x€f '(x)=e-˛+1의 양변에 e˛을 곱하면
e˛x€f(x)+e˛_2xf(x)+e˛x€f '(x)=1+e˛이고
…{e˛x€f(x)+e˛_2xf(x)+e˛x€f '(x)}dx
=…{exx€f(x)}'dx
=…(1+e˛)dx
에서 e˛x€f(x)=e˛+x+C
이때 f(1)=1에서 C=-1이고
x>0이므로 f(x)=
e˛+x-1
e˛x€
4 f(2)=
e€+1
4e€
=;4!;e-€+;4!;
따라서 a=;4!;, b=-2, c=;4!;이므로
3a-b+c=3
05 ^ ⑤
GUIDE
f(x)-xf '(x)
{f(x)}€
dx=… [
'
x
f(x) ]
+C
…
곡선 y=f(x) 위의 점 (t, f(t))에서의 접선의 방정식은
y=f '(t)(x-t)+f(t)
이 직선이 x축과 만나는 점의 x좌표는
tf '(t)-f(t)
f '(t)
이것이 -;2!;{ f(t)}€과 같으므로
76 정답과 풀이
tf '(t)-f(t)
f '(t)
=-;2!;{ f(t)}€을 정리하면
;2!; f '(t)=
f(t)-tf '(t)
{ f(t)}€
=[
t
f(t) ]
'에서
… [;2!; f '(t)]dt=… [
t
f(t) ]
'dt
4 ;2!; f(t)=
t
f(t)
+C
이때 f(2)=2에서 C=0이므로 ;2!;f(x)=
x
f(x)
즉 { f(x)}€=2x에서 { f(1)}€=2
4 f(1)='2
참고
f '(x)>0에서 f(x)는 증가함수, 즉 f(x)='ß2x 이므로 f(1)='2 는 가
능하지만 f(1)=-'2 는 될 수 없다.
06 ^ 5
GUIDE
h(x)=f(x)+g(x)로 놓고 h'(x)의 식을 구해본다.
h(x)=f(x)+g(x)라 하면
h(x+y)
=f(x+y)+g(x+y)
=f(x)g(y)+g(x)f(y)+g(x)g(y)+f(x)f(y)
={ f(x)+g(x)}{ f(y)+g(y)}=h(x)h(y)
즉 h(x+y)=h(x)h(y)이고, 양변에서 h(x)를 빼면
h(x+y)-h(x)=h(x){h(y)-1}
이때 h(0)=1이므로
lim
y d 0
h(x+y)-h(x)
y
=lim
y d 0
h(x){h(y)-h(0)}
y
h'(x)=h(x)_h'(0)
또한 h'(0)=1이므로
=1이고
h'(x)
h(x)
h'(x)
h(x)
…
dx=…dx에서 ln h(x)=x+C (ç h(x)>0)
h(0)=1에서 C=0이므로 ln h(x)=x
4 ln{ f(5)+g(5)}=ln h(5)=5
참고
➊ h(x)=f(x)+g(x)에서 h(0)=f(0)+g(0)=1+0=1
➋ h'(x)=f '(x)+g '(x)에서 h'(0)=f '(0)+g '(0)=0+1=1
07 ^ ㄱ, ㄴ, ㄷ
GUIDE
|e˛+Óf(x+h)-e˛f(x)|<h€에서 {e˛f(x)}'=0임을 파악한다.
ㄱ. e˛+Óf(x+h)-e˛f(x)<h€에서
h 대신 -h를 대입하면 e˛-Óf(x-h)-e˛f(x)<h €
즉 e˛f(x)+e˛f '(x)=0
4 f(x)+f '(x)=0
y=;x!;의 그래프를 이용해 B=…
k dx
x
k-1
, C=…
k
k+1 dx
x
를 나타내 본다.
y=x-h라 하면 eÁf(y)-eÁ+Óf(y+h)<h€
양변에 -1을 곱하면
eÁ+Óf(y+h)-eÁf(y)>-h€
즉 -h€ <ex+h f(x+h)-ex f(x)<h€
4 |e˛+Óf(x+h)-e˛f(x)|<h€
ㄴ. |e˛+Óf(x+h)-e˛f(x)|<h€의 양변을
|h|(h+0)로 나누면
e˛+Óf(x+h)-e˛f(x)
h
|<
h€
|h|
|
이때 h bd 0이면 {e˛f(x)}'=0
ㄷ. f(x)+f '(x)=0에서
=-1
f '(x)
f(x)
f '(x)
f(x)
…
dx=…(-1)dx
즉 ln|f(x)|=-x+C
이때 f(0)=1에서 C=0이므로 | f(x)|=e-˛
4 | f(-1)|=e
08 ^ ⑴ 1 ⑵ 1
GUIDE
➊ f(g(x))=x ⇨ f '(g(x))g '(x)=1
➋ f '(g(x))=-;4!;{ f(g(x))+3}€=-;4!;(x+3)€
f(g(x))=x이므로 양변을 x에 대하여 미분하면
f '(g(x))g '(x)=1
또 f(0)=-1이므로 g(-1)=0
⑴ f '(x)=;4!;{ f(x)+3}€의 x에 g(x)를 대입하면
f '(g(x))=;4!;{ f(g(x))+3}€=;4!;(x+3)€
따라서 a=;4!;, b=3이므로 4ab=3
f(0)=-1이므로 g(-1)=0
⑵ f '(g(x))g '(x)=1에서
;4!;(x+3)€_g '(x)=1이므로
g '(x)=
g(x)=…
4
(x+3)€
4
(x+3)€
dx=-
4
x+3
+C
g(-1)=0에서 g(-1)=2+C=0
4 C=2
따라서 g(x)=-
+2이므로 g(1)=1
4
x+3
08
정적분
STEP 1
1등급 준비하기
p. 98 ~99
01 ⑤
05 9
09 2
02 2
06 ①
03 ⑤
07 ④
04 ⑤
08 1
10 ㄴ, ㄷ
11 ⑴ 2 ⑵ 2 ⑶ ;6π; ⑷ 2
y
;k!;
O
y=;x!;
D
CA
k-1
k k+1
x
01 ^ ⑤
GUIDE
=1_
임을 생각한다.
1
k
1
k
또
y=;x!; 의 그래프에서
;k!;=1_;k!;이므로 그림처럼 A를
나타낼 수 있다. 이때 그림에서
B=A+D이므로
k>2일 때 C<A<B가 항상
성립한다.
02 ^ 2
GUIDE
ln x=t 로 치환해 Sn을 구한다.
ln x=t 로 놓으면 ;x!; dx=dt
Sn=…
1
en
ln x
x
n
dx=…
tdt=;2!; n€
0
이때
n
Ú
k=1
1
"∂Sk_Sk+1
=2
n
Ú
k=1
1
k(k+1)
Tn=2[{(1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{
=Tn이라 하면
1
1
n
-
n+1 }]
=2 {1-
1
n+1 }
에서 구하려는 값은 lim
n d$
Tn=2_ lim
n d${1-
1
n+1 }=2
03 ^ ⑤
GUIDE
[{ f(x)}€]÷'=2f(x)f '(x)임을 생각한다.
a
…
0
2xf(x)f '(x)dx=…
0
a
x_2f(x)f '(x)dx
=“x{ f(x)}€‘
0
-…
0
a
a
{ f(x)}€dx
=a{ f(a)}€-A=-A
8. 정적분 77
04 ^ ⑤
GUIDE
함수 f(x)는 주기가 2이므로
그림과 같은 꼴이다. 따라서
f(x)=[
x (0<x<1)
2-x (1<x<2)
y
y=f(x)
-1
O
1
2
x
f(t)=et+ln t-sin ;2π;t 라 하면
(주어진 식)=lim
x d1
x€
1
x-1 …
1
f(t)dt
=lim
x d1
F(x€)-F(1)
x€-1
_(x+1)
=f(1)_2=2e-2
2
…
0
e f(x)dx=…
exdx+…
1
1
0
2
e2-xdx
1
=“ex
‘
0
2
+“-e2-x
‘
1
=2e-2
05 ^ 9
GUIDE
a
f(x)dx=0이다.
원점에 대칭인 함수 f(x)에 대하여 …
-a
3
…
-3
{;4!; x‹+;2!; x€-x cos px}dx 에서
x‹과 x cos px는 원점에 대칭인 함수이므로
(주어진 식)=…
0
3
x€dx=9
08 ^ 1
GUIDE
e f(t)
t
…
1
e f(t)
t
…
1
dt 의 값이 상수임을 이용한다.
dt=k라 하면 주어진 등식에서 f(x)=x-k
e f(t)
t
…
1
dt=…
1
e t-k
t
dt=k
e
즉 …
{1-
1
k
t } dt=“t-kln |t|‘
e
1
=k에서
e-k-1=k
4 k=
e-1
2
이때 f(x)=x-
e-1
2
이므로 2 f {
e
2 }=2_;2!=1
09 ^ 2
GUIDE
등식의 양변을 미분한다.
06 ^ ①
GUIDE
e€-1
역함수의 성질을 이용해 …
e-1
g(x)dx가 나타내는 것과 같은 것을 찾는다.
주어진 식의 양변을 x에 관하여 미분하면
ex f(x)+ex f '(x)=ex ln x+;x!; ex+ex f(x)
함수 g(x)는 f(x)의 역함수이고 (y=x에 대칭)
f(1)=e€-1, f(0)=e-1이므로 S=…
g(x)dx라 하면
e€-1
e-1
이때 f '(x)=ln x+;x!;
그림에서 색칠한 두 부분의 넓이가 같다.
f(x)=(x+1)ln x-x+C (단, C는 적분상수)
주어진 등식에 x=1을 대입하면 f(1)=0에서 C=1이므로
y=f(x)
y
e€-1
e-1
y=g(x)
1
O
e-1
e€-1
x
S=1_(e€-1)-…
(ex+1-1)dx=e€-1-“ex+1-x‘
=e
1
0
1
0
f(t)=et+ln t-sin p
2
t 라 하고, lim
x d a
1
x-a …
a
x
f(t)dt=f(a)을 이용
07 ^ ④
GUIDE
한다.
78 정답과 풀이
f(x)=(x+1)ln x-x+1
4 f(e)=(e+1)-e+1=2
10 ^ ㄴ, ㄷ
GUIDE
⇨ dx,
⇨ x라 생각한다.
kp
n
p
n
ㄱ.
1
p€
1
p€
ㄱ. lim
n d$
1
n
n
Ú
k=1
k
n
sin
kp
n
=
lim
n d$
n
Ú
k=1{
kp
n
sin
kp
n } ;nπ;
=
p
x sin xdx ( _ )
…
0
ㄴ. lim
n d$
ㄷ. lim
n d$
1
n
1
n
n
Ú
k=1{
€
k
n }
e;nK;=…
0
1
x€exdx ( ◯ )
n
Ú
k=1
ln {2+
k
n }=…
0
1
ln(2+x)dx ( ◯ )
참고
k
n
ㄱ. lim
n d$
1
n
n
Ú
k=1
k
n
sin
kp
n
=…
0
1
x sin pxdx로 구해도 된다.
ㄷ. 2+
=x로 생각하면 정적분 구간은 [2, 3]이므로
lim
n d$
1
n
n
Ú
k=1
ln{2+
3
k
n }=…
2
ln x dx로 구해도 된다.
11 ^ ⑴ 2 ⑵ 2 ⑶ ;6π; ⑷ 2
GUIDE
⑴
=x라 생각한다.
kp
2n
⑵ 문제의 식을 Ú를 써서 나타내고,
⑶ 분모를 n으로 나눈 다음 치환을 생각한다.
는 x라 생각한다.
k
n
⑷ 분모를 n€으로 나눈다.
⑴ lim
n d$
p
n
n
Ú
k=1
cos
kp
2n
=2 lim
n d$
n
k=1{cos
Ú
kp
2n }
p
2n
=2…
;2π;
cos xdx=2
⑵ lim
n d${
2
n€
4
n€
e;n!;+
e;n@;+
e;n#;+y+
2n
n€
e;nN;
}
= lim
n d$
1
n
n
Ú
k=1
2k
n
e;nK;= lim
n d$
n
Ú
k=1{
2k
n
e;nK;
}
1
n
0
6
n€
=2 lim
n d$
n
Ú
k=1{
k
n
e;nK;
}
1
n
1
1
xexdx=2“xex-ex
‘
0
=2
=2…
0
⑶ lim
n d$
n
Ú
k=1
1
"ƒ4n€-(n-k)€
= lim
n d$
n
Ú
k=1
1
1
n
_
€
Ƙ4-{1-;nK;}
dx (⇦ x=2 sin h로 치환, dx=2 cos h dh)
=…
0
=…
0
1
;6π;
1
"ƒ4-x€
1
2cos h
_2cos hdh=“h‘
0
=;6π;
;6π;
=40 lim
n d$
n
Ú
k=1
k
n {1- 2k
n }
› 1
n
2n€+1
n€
=20…
0
1
x(1-2x)›dx (⇦ 1-2x=t로 치환)
=-10 …
1
-1
1-t
2 } t ›dt
{
1
=10 …
{
-1
1-t
2 } t ›dt
1
=5…
(-t fi+t ›)dt=10…
-1
0
1
t›dt=2
STEP 2
1등급 굳히기
p. 100~106
01 38
02 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 4
03 ⑴ 풀이 참조 ⑵ e-;e!; ⑶ 8
05 ㄱ, ㄴ
06 25
17 ㄱ, ㄴ, ㄷ
18 2p+4
09 ③
13 ⑤
21 ⑤
25 12
29 ⑤
10 ④
14 ③
22 ④
26 ⑤
30 80
07 ⑤
11 ①
15 -3
19 ①
23 4
27 ②
31 ㄱ, ㄴ, ㄷ
04 ①
08 ㄱ, ㄴ, ㄷ
12 32
16 ③
20 23
24 ②
28 ②
32 ⑴ ③ ⑵ ② ⑶ p
33 ④
34 ②
01 ^ 38
GUIDE
그림처럼 생각하면
…
1
400 1
'x
dx>
+y+
이고,
1
'ß400
+
+y+
1
'1
1
'2
>…
1
400 1
'x
dx
1
'2
+
1
'3
1
'ß399
y
y=
1-
'x
399 400
x
å
O
1
2
3
+
+y+
이라 하면
1
'2
1
'ß400
1
'ß400
>…
1
400 1
'x
dx이고, S-
dx이므로
S=
400
Ú
k=1
1
'1
=
1
'k
400 1
'x
400 1
'x
1
1
S-1<…
1
'ß400
+…
dx<S<1+…
400 1
'x
1
dx
=40-2=38
이때 …
400 1
'x
이므로 S의 정수부분은 38
dx=“2'x‘
1
1
400
f(x)=
sin x
sin x+cos x
라 놓고 …
f(x)dx=…
0
a
0
a
f(a-x)dx임을 이용한다.
a
…
0
⑴ a-x=t라 하면 dx=-dt이므로
f(a-x)dx=…
f(t)(-dt)=…
f(t)dt=…
0
a
a
f(x)dx
0
⑵ A=…
0
;2π;
sin x
sin x+cos x
dx
;2π;
=…
0
sin {;2π;-x}
sin {;2π;-x}+cos {;2π;-x}
a
0
dx
8. 정적분 79
⑷ 40 lim
n d$
{1-
2
n }
›
+2 {1-
›
+y+n{1-
›
2n
n }
4
n }
2n€+1
02 ^ ⑴ 풀이 참조 ⑵ 4
GUIDE
(-x=t라 하면 dx=-dt)
=…
0
;2π;
cos x
cos x+sin x
dx
2A=…
0
;2π;
sin x
cos x+sin x
dx+…
0
;2π;
cos x
cos x+sin x
dx
;2π;
=…
0
1dx=;2π;
에서 A=;4π; 이므로 k=4
03 ^ ⑴ 풀이 참조 ⑵ e-;e!; ⑶ 8
GUIDE
a
f(x)dx=…
0
a
…
-a
{ f(x)+f(-x}dx임을 이용한다.
a
0
⑴ …
-a
f(x)dx=…
-a
f(x)dx+…
0
a
f(x)dx
=…
f(-t)(-dt)+…
0
a
f(x)dx
=…
f(-t)dt+…
0
a
f(x)dx
0
a
a
0
a
{ f(x)+f(-x)}dx
=…
0
1
⑵ …
-1
f(x)dx=…
0
1
{ f(x)+f(-x)}dx
=…
0
1
(ex+e-x)dx
1
=“ex-e-x
‘
0
=e-;e!;
⑶ f(x)=
이라 하면
3x€
3x+1
2
…
-2
f(x)dx=…
0
2
{ f(x)+f(-x)}dx이므로
2 3x€
3x+1
-2
…
dx=…
{
0
3x€
3x+1
+
=…
{
3x€
3x+1
+
=…
2
3x€dx=8
2
2
0
0
3(-x)€
3-x+1 } dx
3x€_3x
1+3x } dx
나는 점부터 시작하는 정적분 값이 최대이다.
y=f(|x|)
y=|f(x)|
y
1
O
-1
a
ln 2
4
x
-ex+2=e-x-2에서 ex=2-'3 (5 x<0)
g(a)가 최대가 되는 a의 값은 ln (2-'3 )
05 ^ ㄱ, ㄴ
GUIDE
➊ tan x=t 에서 (tan x)'=sec€ x이므로 sec€xdx=dt
➋ an+an+2를 구해 본다.
ㄱ. a¡+a£=…
0
;4π;
(tan x+tan‹x)dx
;4π;
=…
0
tan xsec€xdx
=“;2!; tan€x‘
0
=;2!; ( ◯ )
;4π;
ㄴ. a™+a¢=…
0
;4π;
(tan€x+tan›x)dx
;4π;
=…
0
tan€x sec€xdx
=“;3!; tan‹x‘
0
=;3!;
;4π;
∫ a¡+a™+a£+a¢=;2!;+;3!;( ◯ )
ㄷ. an+an+2=…
;4π
(tannx+tann+2x)dx
0
;4π
=…
0
tannxsec€xdx
=“
1
n+1
tann+1x‘
0
;4π;
=
1
n+1
a∞+a¶=;6!;, a§+a•=;7!;, y, a98+a100=;9¡9;
100
Ú
k=1
ak=;2!;+;3!;+;6!;+;7!;+y+;9¡8;+;9¡9; ( _ )
04 ^ ①
GUIDE
➊ y=|f(x)|의 그래프는 y=f(x)의 그래프에서 y>0인 부분은 그대
로 두고, y<0인 부분만 x축에 대하여 대칭이동한다.
➋ y=f(|x|)의 그래프는 y=f(x)의 그래프에서 x>0인 부분은 그대
로 두고, x<0인 부분만 y축에 대하여 대칭이동한다.
f(x)=ex-2에서 y=|f(x)|와 y=f(|x|)의 그래프를 그려보
면 다음과 같이 x>ln 2에서 두 그래프는 같다. 즉 x<0일 때 만
06 ^ 25
GUIDE
f {x+;2π;}=f(x)+k를 이용할 수 있으므로 0<x<2p를 0<x<;2π;,
;2π;<x<p, p<x<
3p
2
,
3p
2
<x<2p로 나누어 생각한다.
조건 ㈏에 x=0을 대입하면 f {;2π;}=f(0)+k에서 k=1
80 정답과 풀이
f(x)dx+…
f(x)dx+…
f(x)dx+…
f(x)dx
3p
2
p
2p
3p
2
;2π;
;2π;
…
0
f(x)dx=…
0
sin xdx=“-cos x‘
0
;2π;
=1
f(x)dx=…
f {x+;2π;}dx=…
{ f(x)+1}dx=1+;2π;
2p
…
0
f(x)dx
;2π;
=…
0
에서
p
…
;2π;
…
p
3p
2
f(x)dx=…
f {x+;2π;}dx=…
{ f(x)+1}dx
=…
{f(x)+1}dx+…
dx
09 ^ ③
GUIDE
ㄷ. f(n€-2)=
1
n€-1
=;2!; {
1
n-1
1
-
n+1 } 이므로
$
Ú
n=2
f(n€-2)=;2!; lim
n d$
n
Ú
n=2
{
1
n-1
-
1
n+1 }
=;2!; lim
n d${1+;2!;-
1
n
-
1
n+1 }
=;4#; ( ◯ )
p
;2π;
;2π;
0
p
;2π;
;2π;
0
2p
3p
2
;2π;
0
p
;2π;
p
;2π;
3p
2
={1+;2π;}+;2π;=1+p
같은 방법으로 …
f(x)dx=1+
2p
따라서 …
0
f(x)dx=4+3p이므로
a€+b€=16+9=25
1-'x=t 로 치환해 -
1
2'x
dx=dt 임을 이용한다.
1-'x=t 로 치환하면 1
'x
x=1일 때 t=0, x=n일 때 t=1-'n이므로
dx=-2dt 이고
…
1
n e1-'n
'x
dx=…
0
1-'n
(-2)etdt
=-2 “et
1-'n
‘
0
=-2(e1-'n-1)=f(n)
lim
n d$
f(n)= lim
n d$
-2{
e
e'n -1}=-2(0-1)=2
10 ^ ④
GUIDE
lng(x)
g(x)(1+x€)
k
…
0
g'(x)=f '(x)=
1
1+x€
dx에서 ln g(x)=t 로 치환한다.
g(k)=f(k)+1=e, g(0)=f(0)+1=1
k
…
0
ln g(x)
g(x)(1+x€)
dx=…
0
k g'(x)ln g(x)
g(x)
dx
이며 ln g(x)=t 로 치환하면
dx=dt
g '(x)
g(x)
x=0일 때 t=ln g(0)=0
x=k일 때 t=ln g(k)=1
∫ …
0
k
g'(x)ln g(x)
g(x)
dx=…
t dt=“;2!; t €‘
=;2!;
1
0
1
0
다른 풀이
부분적분법
g'(x)
g(x)
…
dx=ln g(x)+C (C는 적분상수)이므로
k
…
0
ln g(x)
g(x)(1+x€)
dx=…
0
k g '(x)ln g(x)
g(x)
dx=A라 하면
A=“ln g(x)_ln g(x)‘
0
k g'(x)ln g(x)
g(x)
-…
0
dx
k
k
=“ln g(x)_ln g(x)‘
0
-A
8. 정적분 81
07 ^ ⑤
GUIDE
ln x=t 로 놓고 g(t)를 구한다. 이때 범위에 주의한다.
ln x=t 라 하면 g(t)=
[
f(et) (0<t<1)
g(t-1)+;2!; t (1<t<2)
=…
g(x)dx=…
f(ex)dx+…
1
[g(x-1)+;2!; x]dx
2
2
0
1
1
0
2
=…
0
f(ex)dx+…
1
g(x-1)dx+;4#;
1
f(ex)dx=A라 하면
g(x-1)dx=…
g(x)dx=…
1
0
1
f(ex)dx=A
즉 19
4
=A+A+;4#;에서 A=…
1
f(ex)dx=2
0
0
19
4
…
0
2
…
1
08 ^ ㄱ, ㄴ, ㄷ
GUIDE
sin x=t 라 하면 cos xdx=dt 이므로
;2π;
f(n)=…
0
sinn xcos xdx=…
t ndt=
1
n+1
1
0
ㄱ. f(1)=
1
1+1
=;2!; ( ◯ )
ㄴ. lim
n d$
n
n+1
=1 ( ◯ )
4 2A=“ln g(x)_ln g(x)‘
0
k
=ln g(k)_ln g(k)-ln g(0)_ln g(0)
=ln e_ln e-ln 1_ln 1=1
4 A=…
0
k g'(x)ln g(x)
g(x)
dx=;2!;
11 ^ ①
GUIDE
➋ …
0
;2π;
…
0
➊ “g(x)‘
=0이므로 “ f(x)g(x)‘
;2π;
0
;2π;
0
=0임을 이용한다.
;2π;
f(x)g'(x)dx를 구한 결과에서 1+sin€x=t 로 치환한다.
f(x)g'(x)dx=“ f(x)g(x)‘
0
;2π;
-…
0
;2π;
f '(x)g(x)dx
=0-…
;2π; 2 sin x cos x
(1+sin€x)‹
0
dx
에서 1+sin€ x=t 로 치환하면, 2 sin xcos xdx=dt 이고
x=0일 때 t=1, x=;2π;일 때 t=2이므로
-…
0
;2π; 2 sin x cos x
(1+sin€x)‹
dx=-…
1
2 1
t ‹
dt=“
2
1
2t € ‘
1
=-;8#;
12 ^ 32
GUIDE
2
x€=t 로 치환해 …
0
4
xf(x) f '(x)dx를 구한다.
…
0
…
0
4
…
0
또 …
0
4
…
0
2
x{ f(x€)}€dx에서 x€=t로 놓으면 2xdx=dt 이고
x=0이면 t=0, x=2이면 t=4이므로
x{ f(x€)}€dx=;2!; …
0
4
{ f(t)}€dt
4
x f(x)f '(x)dx에서 u=x, v'=f(x)f '(x)라 하면
xf(x)f '(x)}dx=“;2!;x{ f(x)}€‘
4
0
-;2!; …
0
4
{ f(x)}€dx
즉 (주어진 식)=“;2!;x{ f(x)}€‘
=;2!; [4{ f(4)}€]=32
4
0
13 ^ ⑤
GUIDE
➊ u=f(cos x), v'=
=csc€ x로 놓고
1
sin€ x
u'=f '(cos x)(-sin x), v=-cot x임을 이용한다.
➋ ㈏의 식을 적분한 결과에 값을 구하려는 식이 포함되어 있다.
82 정답과 풀이
u=f (cos x), v'=csc€x로 놓으면
u'=f '(cos x)(-sin x), v=-cot x이므로
;2π; f(cos x)
sin€x
…
;3π;
dx
=“-cot xf(cos x)‘
;2π;
;2π;
;3π;
-…
;3π;
f '(cos x)(-sin x)(-cot x)dx
cos xf '(cos x)dx
;2π;
f {;2!;}-…
;3π;
=
1
'3
=1-…
;2π;
;3π;
;2π; f(cos x)
sin€ x
…
;3π;
cos xf '(cos x)dx
dx=-2이므로 …
cos xf '(cos x)dx=3
;2π;
;3π;
14 ^ ③
GUIDE
그래프에서 -1<x<1일 때의 f(x)와 x>1일 때의 f(x)를 구한다.
주어진 그래프에서 f(x)=[
x+1 (-1<x<1)
2
(1<x<2)
f(x+1)=[
x+2 (-1<x+1<1)
2
(1<x+1<2)
f(x+1)=[
x+2 (-2<x<0)
2
(0<x<1)
ex-1 f(x+1)=[
(x+2)ex-1 (-2<x<0)
2ex-1
(0<x<1)
=…
-1
ex-1 f(x+1)dx+…
0
1
ex-1 f(x+1)dx
=…
-1
(x+2)ex-1dx+…
0
1
2ex-1dx
0
=“(x+1)ex-1
‘
-1
1
+“2ex-1
‘
0
따라서
1
…
-1
0
0
=2-
1
e
15 ^ -3
GUIDE
➊ f(x)+f(1-x)=0이면 {;2!;, 0} 에 대하여 대칭이다.
1
(1-x)€f "(x)dx을 구한다.
➋ 부분적분법을 이용해 …
0
1
(1-x)€f "(x)dx
…
0
=“(1-x)€ f '(x)‘
1
2(x-1)f '(x)dx
1
0
-…
0
=-1-2 …
0
1
(x-1)f '(x)dx
{ f(x€)}€dx를 구하고, 부분적분법을 이용해
ex-1 f(x+1)dx
1
또 …
0
(x-1)f '(x)dx=“(x-1)f(x)‘
1
f(x)dx
1
0
-…
0
+“xf(x)‘
f(x)dx-“xf(x)‘
4
4
3
-…
3
5
f(x)dx
5
4
+…
4
=1-…
0
1
f(x)dx
즉 …
(1-x)€ f "(x)dx=-3+2…
0
한편 …
f(x)dx=…
f(x)dx+…
1
0
1
0
1
f(x)dx
1
f(x)dx
;2!;
;2!;
0
=…
f(x)dx+…
f(1-x)dx
=…
;2!;
0dx=0
따라서 …
0
1
(1-x)€ f "(x)dx=-3
;2!;
;2!;
0
0
0
➊ f(0)=1이므로 f(x)+f(1-x)=0에서 f(1)=-1
f(x)dx에서 x=1-t라 하면 dx=-dt이므로
참고
➋ …
;2!;
1
1
;2!;
=2f(2)-f(1)-3f(3)+2f(2)
+4f(4)-3f(3)-5f(5)+4f(4)
=12f(0)-12f(1)=12
참고
주어진 조건에서 y=f(x)의 그래프는 그림처럼 생각할 수 있다.
y
y=f(x)
1
O
1
2
3
4
å
5
x
이때
2
…
1
f(x)dx=…
f(x)dx, …
f(x)dx=…
f(x)dx
4
3
3
2
5
4
…
f(x)dx=…
f(1-t)(-dt)=…
0
;2!;
f(1-t)dt
0
;2!;
➌ 도표적분법을 이용할 경우 f(x)의 적분을 F(x)라 생각하지 않고
17 ^ ㄱ, ㄴ, ㄷ
GUIDE
…f(x)dx라 나타내면 된다. 즉
“(1-x)€f '(x)-(2x-2)f(x)‘
1
0
+2…
0
1
f(x)dx처럼 구할 수 있다.
1등급 NOTE
f(x)+f(2a-x)=2b이면 (a, b)에 대하여 대칭이다.
문제에서는 f(x)에 대하여 f(x)+f(1-x)=0이 성립하므로 {;2!;, 0}에
대칭이다.
4 …
0
1
f(x) dx=0
16 ^ ③
GUIDE
➊ f '(x)를 구해 f '(x)<0인 x값의 범위를 생각한다.
➋ 함수 f(x)의 주기가 2이고, 그래프는 y축에 대칭임을 생각한다.
㈎에서 f '(x)=
4x(x€-1)(x€+1)
(x›+1)€
이므로
-1<x<0에서 f '(x)>0이고, 0<x<1에서 f '(x)<0이다.
또 f(-1)=0, f(0)=1, f(1)=0이고, y축에 대칭이며
㈏에서 주기가 2인 주기함수이므로
x>1에서 f '(x)>0인 x값의 범위는 1<x<2, 3<x<4이다.
또 f '(x)<0인 x값의 범위는 2<x<3, 4<x<5이다.
5
x| f '(x)|dx
4 …
1
ㄱ. ;4π;+x 또는 ;4π;-x를 다른 문자로 치환해 본다.
ㄴ. sin x=cos {;2π;-x}임을 생각한다.
ㄷ. 부분적분법을 써서 …
0
;2π;
f '(x)sin xdx를 구한다.
ㄱ. f {;4π;-x}=f {;4π;+x}에서 ;4π;+x=t 로 놓으면
;4π;-x=;2π;-t 이므로 f {;2π;-t}=f(t)
4 f {;2π;-x}=f(x)
ㄴ. x=;2π;-t 로 놓으면 dx=-dt
;2π;
4 …
0
f(x)cos xdx=-…
f {;2π;-t} cos {;2π;-t} dt
=…
f(t)sin t dt=a
0
;2π;
;2π;
0
;2π;
f '(x)sin x dx
ㄷ. …
0
=“ f(x) sin x‘
0
;2π;
;2π;
-…
0
f(x)cos xdx=f {;2π;}-a
조건에서 …
f '(x)sin xdx=a이므로 f {;2π;}=2a이고,
;2π;
0
f {;2π;-x}=f(x)에서 f {;2π;}=f(0)=2a ( ◯ )
1등급 NOTE
=…
xf '(x)dx-…
xf '(x)dx+…
xf '(x)dx-…
4
4
3
3
2
2
1
5
xf '(x)dx
=“xf(x)‘
f(x)dx-“xf(x)‘
2
2
1
-…
1
3
f(x)dx
3
2
+…
2
f {;4π;-x}=f {;4π;+x}이면 f(x)는 x=;4π; 에 대하여 대칭이다.
함수 f(x)가 직선 x=a에 대하여 대칭이면 f(x)=f(2a-x)이므로
이 경우 f(x)={;2π;-x} 가 성립한다.
8. 정적분 83
18 ^ 2 p+4
GUIDE
x+1
x+1
➋ f(x)=;2π; …
1
➌ f(x)=;2π; …
1
➊ f(x)가 y축에 대칭인 함수이므로 f(-x)=f(x)
f(t)dt 의 양변을 미분한다.
f(t)dt 에서 f(0)=0
21 ^ ⑤
GUIDE
그림처럼 함수 y=f(x)의 그래프와 그
역함수 y=f -1(x)의 그래프에서 생각
하면 다음이 성립한다.
b
f(b)
a
f(x)dx+…
…
f(a)
=bf(b)-af(a)
f -1(x)dx
y
f(b)
f(a)
y=f(x) y=x
y=f -1(x)
O
ba
f(a) f(b)
x
f(-x)=f(x)이고, f(x)=;2π; …
1
x+1
f(t)dt 의 양변을 미분하면
f '(x)=;2π; f(x+1)에서 f(x+1)=
f '(x)
1
4 p€…
0
xf(x+1)dx=2p…
0
1
xf '(x)dx
=2p [“xf(x)‘
-…
0
f(x)dx]
1
=2p [ f(1)+
f(-1)]=2p+4
2
p
1
0
2
p
참고
➊ …
0
1
f(x)dx=
1
f '(x-1)dx=
=
{ f(0)-f(-1)}=-
➋ f(-x)=f(x)이므로 f(-1)=f(1)=1
0
2
p …
2
p
1
0
2
p “ f(x-1)‘
2
p
f(-1)
19 ^ ①
GUIDE
➊ g( f(x))=g(y)=x이고, y=f(x)에서 dy=f '(x)dx
➋ g( f(3))=3, g( f(5))=5
f(x)는 증가하는 함수이므로 ㈐에서 5f(5)-3f(3)=8
f(5)
…
f(3)
g(y)dy=…
xf '(x)dx=“xf(x)‘
5
3
5
f(x)dx
5
3
-…
3
=8-6=2
f(x)=tan x일 때, f(0)=0, f {;4π;}=1이므로
f(b)
f(x)dx+…
f(a)
f -1(x)dx=bf(b)-af(a)에서
b
…
a
;4π;
…
0
1
…
0
f(x)dx+…
g(x)dx=;4π;
1
0
g(x)dx=;4π;-…
0
;4π;
f(x)dx
=;4π;-…
;4π; sin x
cos x
0
'2
2 1
dx=;4π;+…
t
1
dt
=;4π;+“ln t‘
1
'2
2
=;4π;+ln '2
2
1등급 NOTE
그림처럼 생각하면
1
0
g(x)dx=1_;4π;-…
…
임을 바로 알 수 있다.
0
;4π;
f(x)dx
y
1
p
;4;
O
y=f (x)
y=g(x)
p
;4;
1
x
20 ^ 23
GUIDE
➊ f(g(x))=x에서 f '(g(x))g'(x)=1
➋ [{g(x)}€]'=2g(x)g'(x)임을 생각한다.
f(x)의 역함수가 g(x)이므로 f(g(x))=x
이때 f '(g(x))g'(x)=1이므로 h'(x)=
1
f '(g(x))
=g'(x)
또 f(0)=0, f(1)=2이므로 g(0)=0, g(2)=1이다.
2
…
0
2g'(x)h(x)dx=“2g(x)h(x)‘
2
2g(x)h'(x)dx
2
0
-…
0
=24-…
0
2
2g(x)g'(x)dx
22 ^ ④
GUIDE
x
1
x-1 …
0
lim
x d 1
lim
x d1
x
1
x-1 …
1
f(t)dt=f(1)=…
1
0
1
't ('t-1)
dt
f(t)dt=f(1)이므로
1
f(1)=…
1
't ('t +1)
즉 dt=2xdx이므로
0
dt에서 't =x라 하면 t=x€
1
…
0
1
't ('t +1)
dt=…
0
1
2x
x(x+1)
dx
=…
1
0
2
x+1
dx
=24-“{g(x)}€‘
=24-1=23
2
0
=2 “ln (x+1)‘
=2ln 2
1
0
84 정답과 풀이
이라 하고 lim
h d 0
f(a+mh)-f(a)
h
=mf '(a)를 이용한다.
f(t)e-tdt=(상수)임을 이용한다.
23 ^ 4
GUIDE
1
h
n=
n=
로 놓으면
1
h
lim
n d$
2n…
0
ex
6+sin x
…
12
n
ex
6+sin x
dx=lim
h d 0
12h
2
h
…
0
ex
6+sin x
dx이고,
dx=F(x)+C라 하면
lim
h d 0
12h
2
h
…
0
ex
6+sin x
dx=2lim
h d 0
F(12h)-F(0)
h
=24F'(0)
F'(x)=
ex
6+sin x
에서 F'(0)=;6!;
4 24F'(0)=4
=z로 치환하면 t=xz에서 dt=xdz이고, 또 t=x€일 때 z=x이다.
24 ^ ②
GUIDE
t
x
t
x
4 F'(x)=
f(x)
x
=z라 하면 F(x)=…
x f(z)
z
0
dz
따라서 F'(2)=
=1이므로 f(2)=2
f(2)
2
25 ^ 12
GUIDE
➊ x-t=z로 치환하면 t=x-z이고, 이때 dt=-dz
또 t=0일 때 z=x이고, t=x일 때 z=0이다.
➋ 치환한 등식의 양변을 x에 대하여 미분한다.
x-t=z라 하면 -dt=dz
x
…
0
tf(x-t)dt=…
x
0
(x-z) f(z)(-dz)
=…
0
x
(x-z) f(z)dz
=x…
f(z)dz-…
0
x
0
x
zf(z)dz
x
즉 x…
f(z)dz-…
0
0
x
zf(z)dz=-3sin 2x+ax에서
양변을 x에 대하여 미분하면
xf(x)+…
f(z)dz-xf(x)=…
0
x
0
x
f(z)dz=-6cos 2x+a
x=0을 대입하면 0=-6+a
4 a=6
x=;2π; 를 대입하면 …
0
;2π;
f(x)dx=12
26 ^ ⑤
GUIDE
1
…
0
1
…
0
f(t)e-tdt=k라 놓으면 …
0
x
f(t)dt=ex-ake2x
위 등식의 양변에 x=0을 대입하면 0=1-ak이므로 ak=1
위 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f(x)=ex-2ake2x=ex-2e2x
1
(1-2et)dt=1-2(e-1)=3-2e
4 k=…
0
따라서 a=
1
3-2e
27 ^ ②
GUIDE
f(t)sin t dt=(상수)임을 이용한다.
;2π;
…
0
;2π;
…
0
;2π;
…
0
f(x)=cos€x+cos x+3…
f(t)sin t dt에서
;2π;
0
f(t)sin t dt=a
yy ㉠
라 하면 f(x)=cos€x+cos x+3a
yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
(cos€t+cos t+3a)sin t dt=a
yy ㉢
cos t=x라 하면 -sin t dt=dx
t=0일 때 x=1이고, t= p
2
일 때 x=0이므로
㉢에서 …
1
0
(x€+x+3a)(-dx)=a
즉 …
(x€+x+3a)dx=a에서 ;3!;+;2!;+3a=a
1
0
4 a=-;1∞2;
a=-;1∞2; 를 ㉡에 대입하면 f(x)=cos€x+cos x-;4%;
4 f(2p)=1+1-;4%;=;4#;
따라서 p€-q€=16-9=7
28 ^ ②
GUIDE
t'x =u로 치환한 다음 …
0
1
'x f(t'x )dx를 구한다.
t'x=u라 하면 t
2'x
dx=du에서 dx=
du=
du
2'x
t
2u
t €
8. 정적분 85
1
…
0
'x f(t'x )dx=…
f(u)
du
2u
t €
=
u€f(u)du=et
t u
t
0
t
2
t ‹ …
0
t
이므로 …
0
u€ f(u)du=;2!; t ‹et
yy ㉠
㉠의 양변을 t 에 대하여 미분하면 t € f(t)=;2!; et (t ‹+3t €)
즉 f(t)=;2!; et(t+3)이므로 f(1)=2e
29 ^ ⑤
GUIDE
x
…
0
x
…
0
f(t)dt=ex+2…
0
x
(x-t) f(t)dt의 양변을 미분한다.
주어진 식의 좌변을 전개하면
f(t)dt=ex+2x…
f(t)dt-2…
0
x
0
x
tf(t)dt
양변을 미분하면
f(x)=e+2…
0
x
f(t)dt+2xf(x)-2xf(x)
즉 f(x)=e+2…
0
x
f(t)dt
yy ㉠
㉠의 양변을 미분하면 f '(x)=2f(x)에서
f '(x)
f(x)
=2의 양변을 적분하면 f(x)>0이므로
ln f(x)=2x+C
4 f(x)=e2x+C
yy ㉡
이때 ㉠에서 f(0)=e이므로 ㉡에 대입하면
f(0)=e0+C=e
따라서 f(x)=e2x+1이므로 f(1)=e3
4 C=1
30 ^ 80
GUIDE
본다.
sin (x-t)=sin xcos t-cos xsin t 에서 f '(x)와 f "(x)를 각각 구해
삼각함수의 덧셈정리에서
f(x)=x+2+…
0
x
f(t)(sin xcos t-cos xsin t)dt
=x+2+sin x…
f(t)cos tdt-cos x…
0
x
0
x
f(t)sin tdt
x=0을 대입하면 f(0)=2이고, 양변을 미분하면
f '(x)=1+cos x…
0
+sin x…
0
x
f(t)cos tdt+sin xf(x)cos x
x
f(t)sin tdt-cos xf(x)sin x
4 f '(x)=1+cos x…
f(t)cos tdt+sin x…
0
x
0
x
f(t)sin tdt
86 정답과 풀이
㉠에 x=0을 대입하면 f '(0)=1이고, 양변을 미분하면
f "(x)=-sin x…
x
f(t)cos tdt+cos xf(x)cos x
+cos x…
x
f(t)sin tdt+sin xf(x)sin x
=-sin x…
f(t)cos tdt+cos x…
0
=x+2-f(x)+f(x)=x+2
x
f(t)sin tdt+f(x)
0
0
0
x
f "(x)=x+2, f '(0)=1에서 f '(x)=;2!; x€+2x+1
또 f(0)=2에서 f(x)=;6!; x‹+x€+x+2 ∫ f(6)=80
참고
f(x)=x+2+sin x…
f(t)cos tdt-cos x…
f(t)sin tdt 이므로
x
0
x
0
-sin x…
f(t)cos tdt+cos x…
0
x
0
x
f(t)sin tdt=x+2-f(x)
1
n+2
1
n+4
+
1
n+6
+y+
1
3n
=
n
Ú
k=1
1
n+2k
에서
꼴이 나
k
n
31 ^ ㄱ, ㄴ, ㄷ
GUIDE
+
타
나도록 변형한다.
lim
n d${
1
n+2
+
1
n+4
+
1
n+6
+y+
1
3n }= lim
n d$
n
Ú
k=1
1
n+2k
1 lim
n d$
n
Ú
k=1
1
n+2k
= lim
n d$
_
1
=…
0
1
1+2x
dx
n
Ú
k=1
n
Ú
k=1
1
2k
n
1
2k
n
1+
1+
1
n
2
n
2 lim
n d$
n
Ú
k=1
1
n+2k
= lim
n d$
_
_
1
2
=…
2
0
1
2(1+x)
dx
3 lim
n d$
n
Ú
k=1
1
n+2k
= lim
n d$
n
Ú
k=1
1
3-1
n
k
1+
_
3-1
n
_
1
2
=…
3 1
2x
1
dx
따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
32 ^ ⑴ ③ ⑵ ② ⑶ p
GUIDE
;n!;
1
n }{1+
⑴ A=[{(1+
⑵ Pn=n
⑶ |cos p
2
n }y{1+
'ßan+1_an+2_y_a2n 에서 로그를 취한다.
2p
n |+|3cos
n |+|2cos
n
n }]
3p
n |+y+|n cos
에서 로그를 취한다.
np
n |
n
k=1 |k cos
Ú
kp
n |
=
yy ㉠
⑴ [{1+
1
n }{1+
2
n }y{1+
n
n }]
;n!;
=A라 하면
ln A=
1
n [ln {1+
1
n }+ln {1+
2
n }+yln {1+
n
n }]
1
f(x)=…
0
|ext-8|_;2X; dt 이므로
f(4ln 2)=…
0
1
|24t-8|_2ln 2dt
이때 lim
n d$
ln A= lim
n d$
n
Ú
k=1
ln {1+
k
n }
1
n
=…
0
1
ln (1+x)dx
=2ln 2 { …
(8-24t)dt+…
(24t-8)dt}
;4#;
0
1
;4#;
=2ln 2{“8t-
24t
4ln 2 ‘
;4#;
0
+“
24t
4ln 2
1
-8t‘
;4#;}
=“(x+1)ln (x+1)-(x+1)‘
1
0
=2ln 2[{6-
8
4 ln 2
+
1
4 ln 2 }
=2ln 2-1=ln ;e$;
4 lim
n d$
A=
4
e
⑵ Pn=n
'ßan+1_an+2_y_a2n 에서
ln
Pn
'n
=
1
2n
=ln (an+1_an+2_y_a2n);n!;-ln 'n
[ ln {(n+1)-ln n}+ln {(n+2)-ln n}
+y+{ln (n+n)-ln n}]
=
1
2n [ln {1+
1
n }+ln {1+
2
n }+y+ln {1+
n
n }]
=;2!;
ln {1+
n
Ú
k=1
k
n }
1
n
n
Ú
k=1
ln {1+
k
n }
1
n
=;2!; lim
n d$
ln
lim
n d$
Pn
'n
=;2!; …
1
0
4
ln (1+x)dx=;2!; ln
e
=ln
2
'e
2p
n |+y+|n cos
3p
n |}
4 lim
n d$
⑶ lim
n d$
p€
n
=
=
2'e
e
Pn
2
'n
'e
{|cos p
n |+|2cos
= lim
n d$
p€
n€
n
k=1|k cos
Ú
kp
n |}
{
= lim
n d$
n
Ú
k=1|
{
kp
n
cos
kp
n |}
= lim
n d$
n
Ú
k=1|
{
kp
n
cos
kp
n |}
p
n
p
n
=…
|x cos x|dx=…
x cos xdx-…
;2π;
0
p
0
p
x cos xdx
=“xsin x+cos x‘
0
-“xsin x+cos x‘
;2π;
;2π;
p
;2π;
={;2π;-1}-{-1-;2π;}=p
+{
16
4 ln 2
-8-
8
4 ln 2
+6}]
=2ln 2 {4+
1
4 ln 2 }
=;2!;+8ln 2
1등급 NOTE
x
f(x)=;2!; …
0
|et-8|dt 로 놓고
3 ln 2
4 ln 2
(8-et)dt+…
3 ln 2
(et-8)dt
f(4 ln 2)=…
를 이용해도 된다.
0
34 ^ ②
GUIDE
➊
2k
n€ {
5n€+4k€
n€
k
n [5+4 {
➋ 함수 f(x)의 주기가 2임을 이용해 정적분의 값을 구한다.
로 고칠 수 있다.
k
n }
}=2
1
n
]
€
4
즉 …
3
f(x)dx=…
f(x)dx=4, …
f(x)dx=…
f(x)dx=3
3
1
7
6
6
5
=2…
xf(5+4x€)dx (⇦ 5+4x€=t로 치환)
lim
n d$
n
Ú
k=1
2k
n€
f {
5n€+4k€
n€
}
=2 lim
n d$
n
Ú
k=1
k
n
f [5+4 {
€
k
n }
]
1
n
1
0
9
6
5
5
=;4!; …
f(t)dt=;2!; …
=;2!; …
f(t)dt+;2!; …
7
f(t)dt
7
f(t)dt
5
6
=;2!;(4+3)=;2&;
따라서 a=;2&;이므로 10a=35
➊
에서
=t,
=
_
에서
=dt 라 생각해서 정적분으
kx
n
k
n
x
2n
x
2
1
n
1
n
참고
33 ^ ④
GUIDE
로 나타낼 수 있다.
➋ 구간을 나누어 절대값 기호를 없앤다.
➌ …axdx=
ax
ln a
+C
;2!; lim
n d$
n
Ú
k=1
2
n
•
2k
n
f {5+{
€
2k
n }
}=;2!; …
0
2
xf(5+x€)dx로 나타내어
도 된다.
8. 정적분 87
STEP 3
1등급 뛰어넘기
p. 107~109
01 ②
05 6
09 ①
02 ④
06 ㄱ, ㄴ
10 ①
03 ④
07 2
04 7
08 25
=;2!; [“x+sin x‘
-p
+“x+sin x‘
7p
6p
0 ]
=;2!; [(7p+p)+6p]=7p
01 ^ ②
GUIDE
n이 홀수일 때와 짝수일 때로 나누어 an을 구한다.
n+1
{ex+(-e)npsin px}dx=“ex-(-e)ncos px‘
an=…
=en+1-en-(-e)n{cos(n+1)p-cos np}
n
n
n+1
1 n=2k일 때
a2k=e2k+1-e2k-e2k(-2)=e2k+1+e2k
2 n=2k+1일 때
a2k+1=e2k+2-e2k+1+2e2k+1=e2k+2+e2k+1
즉 모든 자연수 n에 대하여 an=en+1+en=en(e+1)
4 1
an
1
e+1 {
1
e }
n
=
따라서
$
Ú
n=0
1
an
=
=
1
e€-1
1
e {
1
e+1 }
1
e
1-
03 ^ ④
GUIDE
x
(3t €-6t+2)} dt=x(x-1)(x-2)에 적당한
f(x) f '(x) f "(x)=…
수를 대입해 본다. 이때 f "(x)+0임을 생각한다.
0
㈎에서
f(x)f '(x)f "(x)=…
0
x
(3t €-6t+2)dt
=x‹-3x€+2x=x(x-1)(x-2)
이 식에 x=0, x=1, x=2를 차례로 대입하면
f(0)f '(0)f "(0)=0, f(1)f '(1)f "(1)=0,
f(2)f '(2)f "(2)=0
그런데 ㈏에서 모든 실수 x에 대하여 f "(x)+0이므로
f(0)f '(0)=0, f(1)f '(1)=0, f(2)f '(2)=0
2
{ f '(x)}‹dx
…
1
2
f '(x){ f '(x)}€dx
=…
1
=“f(x){ f '(x)}€‘
2
1
-2…
1
2
f(x)f '(x)f "(x)dx
02 ^ ④
GUIDE
6
Ú
k=0
…
(k+1)p
(k-1)p
6p
에서 …
0
(k+1)p
6
Ú
k=0
…
(k-1)p
f(x)dx
f(x)dx=…
f(x)dx+…
f(x)dx+y+…
f(x)dx
p
-p
2p
0
7p
5p
=f(2){ f '(2)}€-f(1){ f '(1)}€-2…
1
2
(x‹-3x€+2x)dx
f(x)dx 부분은 두 번 계산된다.
=-2 “;4!; x›-x‹+x€‘
=;2!;
2
1
p
=…
-p
7p
f(x)dx+…
f(x)dx+y+…
f(x)dx
7p
5p
2p
0
6p
=…
-p
f(x)dx+…
0
f(x)dx
yy ㉠
2kp-x=t로 치환하면 dx=-dt
x=(k+1)p이면 t=(k-1)p, x=(k-1)p이면 t=(k+1)p
(k+1)p
…
(k-1)p
f(x)dx=-…
f(2kp-t)dt=…
f(2kp-t)dt
(k+1)p
(k-1)p
(k-1)p
(k+1)p
(k+1)p
=…
(k-1)p
f(2kp-x)dx
(k+1)p
6
Ú
k=0
…
(k-1)p
=;2!;
6
Ú
k=0
…
f(x)dx
(k+1)p
(k-1)p
(k+1)p
=;2!;
6
Ú
k=0
…
(k-1)p
7p
=;2!; [ …
-p
88 정답과 풀이
{ f(x)+f(2kp-x)}dx}
(1+cos x)dx
(1+cos x)dx+…
(1+cos x)dx]
6p
0
04 ^ 7
GUIDE
ln x=t 로 치환해서 얻은 식에서 부분적분법을 이용한다.
ln x=t 라 하면 x=et에서 dx=etdt
e;4π;
…
1
sin€(ln x)dx=…
0
;4π;
etsin€tdt
=“etsin€t‘
0
;4π;
-…
0
;4π;
etsin 2tdt
에서 “etsin€t‘
0
;4π;
=;2!; e;4π;
etsin 2tdt=A라 하면
;4π
또 …
0
;4π
A=…
0
etsin 2tdt=“etsin 2t‘
;4π;
0 -2…
0
;4π;
etcos 2tdt
=e;4π;-2 [“etcos 2t‘
0
;4π;
;4π;
+2…
0
etsin 2tdt]
=e;4π;-2(-1+2A)
etsin 2tdt=;5!; e;4π;+;5@;
;4π
즉 …
0
;4π
4 …
0
etsin€tdt=;2!; e;4π;-{;5!; e ;4π;+;5@;}=;1£0; e;4π;-;5@;
따라서 a=;1£0;, b=-;5@; 이므로 10(a-b)=7
1등급 NOTE
;4π;
…
0
etsin 2tdt=A를 다음과 같이 구한다.
부호
① (+)
② (-)
③ (+)
미분
sin 2t
2cos 2t
-4sin 2t
적분
et
et
et
;4π;
0
etsin 2tdt=etsin 2t-2etcos 2t-4…
…
※ ③에서 ①과 같은 모양이 나왔으므로 이때는 가로로 곱한다.
0
;4π;
etsin 2tdt
05 ^ 6
GUIDE
y=‹"ƒx€+2x (0<x<2)의 역함수는 x=‹"ƒy€+2y 에서
(y+1)€=x‹+1, 정리하면 y="ƒx‹+1-1
즉 "ƒ1+x‹+‹"ƒx€+2x=f(x)-1+1+f(x)
f(x)=‹"ƒx€+2x 라 하면 f -1(x)="ƒx‹+1-1이므로
2
…
0
=…
0
…
0
∫ …
0
{"ƒ1+x‹+‹"ƒx€+2x }dx
2
{ f(x)+f -1(x)+1}dx
f(0)=0, f(2)=2이므로
2
{ f(x)+f -1(x)}dx=4
2
{ f(x)+f -1(x)+1}dx
=4+2=6
06 ^ 2
GUIDE
확인한다.
ㄱ. I1=…
0
1
1
x€exdx=“x€ex
‘
0
-2…
0
1
xexdx
1
=e-2 {“xex
‘
0
1
-…
0
exdx}
1
=-e+2 “ex
‘
0
=e-2 ( ◯ )
ㄴ. In+1=…
0
1
xn+2exdx
1
=“xn+2ex
‘
0
-(n+2)…
0
1
xn+1exdx
=e-(n+2)In ( ◯ )
ㄷ. I1=e-2이고, In+1=e-(n+2)In이므로
I2=e-3I1=-2e+6
I3=e-4I2=9e-24
I4=e-5I3=-44e+120
4
4
Ú
k=1
Ik=100-36e ( _ )
참고
부호
(+)
(-)
1
미분
xn+2
(n+2)xn+1
적분
et
et
xn+1exdx이고, 도표적분법에서 두 번째 줄에서 In 모양이 나왔
In=…
으므로 가로 방향으로 곱하고 적분 기호를 씌운다.
0
1
xn+1exdx
즉 In=…
0
0
=“xn+2ex
‘
0
-(n+2)…
0
1
xn+1exdx
07 ^ 2
GUIDE
x+t 를 다른 문자로 치환한 다음
y
2
O
y=f -1(x)
(x-t)f '(x+t)dt를 간단하게 나타낸다.
y=f (x)
x+t=u라 하면 x-t=2x-u이고, dt=du
2
x
(x-t)f '(x+t)dt
x
…
-x
x
…
-x
2x
=…
0
(2x-u)f '(u)du
2x
2x
=2x…
0
f '(u)du-…
0
uf '(u)du
2x
2x
2x
2x
=2x “f(u)‘
0
-“uf(u)‘
0
+…
0
f(u)du=…
0
f(u)du
f(u)du=f(2x)+4x에서 양변을 미분하면
2x
즉 …
0
2f(2x)=2f '(2x)+4
08 ^ 25
GUIDE
sin 2y=2 sin y cos y이고, {
분법을 사용한다.
'
1
y+1 }
=-
1
(y+1)€
임을 이용해 부분적
8. 정적분 89
부분적분법을 이용해 In을 구한다. In+1을 구할 때 In 모양이 나타나는지
x=1을 대입하여 정리하면 f(2)-f '(2)=2
f(x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭이고, f '(x)의 그래프는 원점에 대
0
하여 대칭이므로 …
-1
f(x)dx=-;4!;=…
0
1
f(x)dx
10 ^ 2
GUIDE
a
또 …
-a
x€f '(x)dx=0
㈎ f(x)=f(-x)이므로 함수 f(x)의 그래프는 y축에 대하여
대칭이다. 그러므로 함수 f '(x)의 그래프는 원점에 대하여 대
칭이다.
1
0
1
0
㈏ …
f '(x)dx=-;3!; 이고 f(0)=0이므로
…
f '(x)dx=“ f(x)‘
=f(1)-f(0)=-;3!;
1
0
1
f(x)dx=-;4!;
-1=x로 치환하면
로 변형할 수 있으므로
4 f(1)=-;3!;
0
㈐ …
-1
lim
n d$
n
Ú
k=1
k€
n€
={
0
k€
n‹
f(x)dx=-;4!; 이므로 …
-1} 에서 2k
n
2
n
€이고, 이때 dx=
x+1
2
f ' {
2k
n
}
lim
n d$
n
Ú
k=1
k€
n‹
f ' {
= lim
n d$
n
Ú
k=1{
k
n }
2k
n
€ f ' {
-1}
2k
n
2
-1}
n
_;2!;
1
=;2!; …
-1
{
x+1
2
€
f '(x)dx
}
{x€ f '(x)+2xf '(x)+f '(x)}dx
1
=;8!; …
-1
1
=;8!; …
-1
2x f '(x)dx
1
xf '(x)dx
=;2!; …
0
1
0
1
0
=;2!; [“xf(x)‘
-…
0
f(x)dx]
1
=;2!; [ f(1)-…
f(x)dx]
=;2!; {-;3!;+;4!;}=-;2¡4;
;2π; sin y cos y
y+1
…
0
dy
=;2!; …
0
;2π; sin 2y
y+1
dy
=;2!; [-;2!;“
cos 2y
y+1 ‘
;2π;
0
-;2!; …
0
;2π; cos 2y
(y+1)€
dy]
=;2!; [-;2!; {
-1
;2π;+1
-1
}
-;2!; …
0
;2π; cos 2y
(y+1)€
dy]
{⇦ 2y=t라 하면 dy=;2!; dt}
=;2!; {
1
p+2
+;2!;}-;8!; …
0
p
cos t
{;2T;+1€}
dt
=
;2!;
p+2
+;4!;-;2!; …
p cos t
(t+2)€
0
dt
즉 a=-;2!;, b=;2!;, c=;4!; 이므로
100(a+b+c)=100_;4!;=25
09 ^ ①
GUIDE
n
Ú
k=1
k
n
p sin {
k-1
n
p}=
n
Ú
k=1
(k-1)p+p
n
sin {
k-1
n
p}
lim
n d$
n
Ú
k=1
k
n
p [sin {
p}-sin {
k
n
k-1
n
p}]
= lim
n d$[
n
Ú
k=1
k
n
p sin {
k
n
p}-
n
Ú
k=1
k
n
p sin {
k-1
n
p}]에서
p sin {
k-1
n
p}
(k-1)p+p
n
sin {
k-1
n
p}
n
Ú
k=1
k
n
=
=
n
Ú
k=1
n
Ú
k=1
k-1
n
p sin {
k-1
n
p}+
n
Ú
k=1
p
n
sin {
k-1
n
p}
=
n-1
Ú
k=0
k
n
p sin {
k
n
p}+
n-1
Ú
k=0
p
n
sin {
k
n
p}
4 lim
n d$
n
Ú
k=1
k
n
p [sin {
p}-sin {
k
n
k-1
n
p}]
= lim
n d$[
n
Ú
k=1
k
n
p sin {
k
n
p}-
n-1
Ú
k=1
k
n
psin {
k
n
p}
-
n-1
Ú
k=0
p
n
sin {
k
n
p}]
= lim
n d$[psin p-
n-1
Ú
k=0
p
n
sin {
k
n
p}]
=0-…
sin xdx=“cos x‘
0
=-1-1=-2
p
p
0
90 정답과 풀이
09
정적분의 활용
2 }에서 접하는 직선의 방정식은
y'=-sin x이므로 점 {;6π;, '3
y=-sin ;6π; {x-;6π;}+ '3
+ '3
즉 y=-;2!; x+ p
12
2
그림에서 색칠한 부분의 넓이는
2
;2π;
;2!;_{;6π;+'3-;6π;}_-…
cos xdx
;6π;
=;4#;-“sin x‘
=;4!;
;2π;
;6π;
y
1
'3
-
2
O
y=cos x
p-
6
x
p-
2
p-
6
+'3
STEP 1
1등급 준비하기
p. 112 ~113
01 ⑤
05 ③
09 ③
02 ②
06 ①
10 ④
03 ②
07 ④
11 ③
04 ④
08 ②
01 ^ ⑤
GUIDE
y=ln x에서 x=ey를 이용해 y에 대한 정적분을 구한다.
그림에서 색칠한 부분의 넓이는
1
…
0
1
ey dy=“ey
‘
0
=e-1
다른 풀이
e_1-…
ln x dx=e-“x ln x-x‘
dx=e-1
e
1
e
1
y
1
O
y
y=lnx
y=1
04 ^ ④
GUIDE
1
e
x
두 곡선 y=;x!; 과 y='x 가 만나는 점의 좌우에서 두 곡선의 위치가 바뀐다.
y
4
1
-
xy=
y='x
O
1
-
4
1
x
4
;x!;='x 에서 x‹=1
4 x=1
이때 ;4!;<x<1에서 ;x!;>'x 이고
1<x<4에서 ;x!;<'x 이므로
S=…
|;x!;-'x |dx
4
;4!;
4
;4!;
=…
{;x!;-'x }dx+…
{'x-;x!;}dx
4
1
1
=“ln x-;3@; x ;2#;
‘
;4!;
+“;3@; x ;2#;- ln x‘
=;1$2(;
4
1
e-xdx이므로 Sn을 n에 대한 식으로 나타낸다.
02 ^ ②
GUIDE
n+1
Sn=…
n
n+1
e-xdx
Sn=…
n
n+1
=“-e-x
‘
n
=e-n-e-(n+1)
4
$
Ú
n=1
Sn= lim
n d$
n
Ú
k=1
(e-k-e-(k+1))
O
n
n+1
x
05 ^ ③
GUIDE
y=e-x
Sn
1
e‹ }+y
1
en }+{
+{
1
en-1 -
1
e
= lim
n d$[{
1
e
-
1
e€ }+{
1
e€
-
= lim
n d${
1
e
-
1
en+1 }=
$
다른 풀이
$
Ú
n=1
Sn=…
1
e-x dx
=“-e-x
‘
1
$
=
-
1
e
1
e$ =
1
e
처럼 생각할 수도 있다.
y
y=e-x
O
1
x
03 ^ ②
GUIDE
넓이를 구하기 위해 영역을 빼고 더하는 것을 생각한다.
하면 S¡=S™이므로
p
…
0
(sin x-ax€) dx
=“-cos x-;3A; x‹‘
0
p
={1-;3A; p‹}-(-1)=2-;3A; p‹=0
즉 6-ap‹=0에서 a=
6
p‹
06 ^ ①
GUIDE
2
(부피)=…
1
(단면의 넓이)dx=…
1
2
xexdx
두 도형의 넓이가 서로 같은 조건이 있으면 (정적분의 값)=0이다.
곡선 y=sin x, y=ax€과 직
y
y=ax€
1
en -
1
en+1 }]
선 x=p 로 둘러싸인 두 도
형의 넓이를 각각 S¡, S™라
y=sin x
S¡
S™
O
p
x
9. 정적분의 활용 91
1등급 NOTE
도표적분법 스킬 익히기
부호
미분
적분
① + (ln x€)
② -
②' -
③ +
③' +
2ln x
x
2lnx
2
x
2
0
1
x
1
x
1
x
⇨ x(ln x)€
⇨ -2x ln x
⇨ 2x
-2
-2
0
2
2
y
x
∫ … ( ln x)€dx=x(ln x)€-2x ln x+2x+C
※ ②와 ②'은 곱한 결과가 같으므로 ② 대신 더 간단한 ②'를 이용한다.
③과 ③'에서도 마찬가지이다.
점 P의 속도가 v(t)일 때 a<t<b에서 점 P의 이동거리는
10 ^ ④
GUIDE
|v(t)|dt
b
…
a
…
0
4
|(t-2) e-t|dt
y
y=tanx
2
=…
0
{-(t-2)e-t }+…
2
4
(t-2)e-tdt
2
=“(t-2)e-t
‘
0
2
-…
0
4
e-tdt-“(t-2) e-t
‘
2
4
e-tdt
+…
2
2
=2+“e-t
‘
0
4
-2e-4-“e-t
‘
2
=1+
-
2
e€
3
e›
11 ^ ③
GUIDE
"ƒ{ f '(t)}€+{g'(t)}€dt
a<t<b에서 점 ( f(t), g(t))가 그리는 곡선의 길이는
=e-t(cos t-sin t),
=-e-t(cos t+sin t)
dy
dt
이므로 곡선의 길이는
"ƒ{e-t(cos t-sin t)}€+ƒ{-e-t(cos t+sin t)}€dt
b
…
a
dx
dt
2
…
0
2
=…
0
"ƒ2 e-2t dt=…
'2 e-t dt
2
0
2
=“-'2 e-t
‘
0
='2 {1-
1
e€ }
2
…
1
2
xex dx=“xex-ex
‘
1
=e€
07 ^ ④
GUIDE
2
2
0
4"ƒ4-x€dx
(단면의 넓이)dx=2…
…
-2
직사각형의 가로 길이가 2 "ƒ4-x€
이므로 넓이 S(x)=4 "ƒ4-x€,
이때 부피는
2
…
-2
4 "ƒ4-x€ dx=8…
"ƒ4-x€ dx
2
0
(⇦ x=2 sin t라 하면 dx=2 cos t dt)
=8…
0
;2π;
4 cos€ t dt
=8“2t+sin 2t‘
0
;2π;
=8p
08 ^ ②
GUIDE
(단면의 넓이)dx=…
0
;4π;
'3
4
tan€ x dx
;4π;
…
0
그림에서 단면의 넓이 S(x)는
S(x)= '3
4 tan€x
이므로 입체도형의 부피는
;4π;
S(x)dx= '3
…
0
= '3
;4π;
4 …
0
;4π;
4 …
0
tan€x dx
(sec€x-1)dx
O
x
S(x)
x
= '3
4 “tanx-x‘
0
;4π;
= '3
4
- '3
16
p
09 ^ ③
GUIDE
e€
e€
(ln x)€dx
1
(단면 넓이)dx=…
➊ …
➋ (다항함수)_(로그함수)의 적분은 부분적분법을 이용한다.
1
단면의 넓이 S(x)가 S(x)=(ln x)€이므로 입체도형의 부피는
e€
…
1
S(x)dx =…
1
e€
(ln x)€dx
=“x(ln x)€‘
1
-…
1
e€
2 ln xdx
e€
e€
=“x (ln x)€‘
1
-“2x ln x‘
1
e€
+…
1
e€
2dx
e€
=“x(ln x)€-2x ln x+2x‘
1
=2e€-2
92 정답과 풀이
STEP 2
1등급 굳히기
p. 114~118
03 ^ ②
GUIDE
02 ②
06 ⑤
10 ④
14 ④
18 ④
22 64
03 50
07 ③
11 ④
15 ③
19 12
23 12
04 ①
08 ④
12 ④
16 3
20 ②
24 40
01 4
05 1
09 32
13 ④
17 ⑤
21 ②
01 ^ 4
GUIDE
f(x)=
(ln x)€-4 ln x+3
x
=
(ln x-3)(ln x-1)
x
f(x)=
(ln x-3)(ln x-1)
x
e‹ (ln x-3)(ln x-1)
x
…
e
3
…
1
(t-3)(t-1) dt=-;3$;
은 x축과 x=e, e‹에서 만나므로
dx에서 ln x=t 로 치환하면
따라서 S=…
|(t-3)(t-1)| dt=;3$; 이므로 3S=4
3
1
참고
b
f(x)dx=-A이면 넓이는 A이다.
그림에서 …
즉 둘러싸인 부분이 x축을 기준으로 한쪽에
a
만 있으면 넓이는 정적분의 절댓값과 같다.
a
b
x
1등급 NOTE
…
a
b
3
…
1
a(x-a)(x-b)dx=-;6A;(b-a)‹을 이용하면
(t-1)(t-3)dt=-;6!; (3-1)‹=-;3$;
다각형의 넓이에서 정적분 값을 빼는 것을 생각한다.
그림과 같이 곡선 위의 두 점 An,
An+1에서 x축에 내린 수선의 발을
y
y=
1
-
x€
An
각각 Hn, Hn+1이라 하면
Sn=2AnHnHn+1An+1
-…
n+1 1
x€
n
dx
Hn
n
O
An+1
Hn+1
n+1
x
=;2!;_[
1
n€
=
1
2n€
+
n+1
1
+
(n+1)€ ]_1-“;x!;‘
1
1
1
n
n+1
2(n+1)€
+
-
n
=
1
2n€(n+1)€
$
n=1"ƒSn=
Ú
1
'2
$
Ú
n=1{
1
n
-
1
n+1 }= '2
2
에서
이고, 이때 100a€=50
따라서
a= '2
2
04 ^ ①
GUIDE
xex€
ex€+1
곡선 y=
y=f(x)
과 직선 y=;4#; x는 모두 원점에 대하여 대칭인 도형이
므로 x>0일 때의 넓이를 구하여 두 배한다.
xex€
ex€+1
x=0 또는 ex€-3=0, ex€=3에서 x€=ln 3
=;4#; x에서 xex€=;4#;xex€+;4#; x, ;4!; x(ex€-3)=0
4 x=+
y=
xex€
-
ex€+1
y
'ßln 3
3
-
y= x
4
O
x
ln 3
따라서 구하는 넓이는
'ßln 3
2 …
0
{;4#; x-
xex€
ex€+1 } dx
'ßln 3
=…
0
;2#; xdx-…
'ßln 3 2xex€
ex€+1
0
dx
-
ln 3
'ßln 3
=“;4#; x€‘
0
-“ln (ex€+1)‘
0
'ßln 3
=;4#; ln 3-(ln 4- ln 2)
02 ^ ②
GUIDE
1-cos x
2
sin€ ;2X;=
임을 이용한다.
함수 f(x)=sin€ ;2X;=
1-cos x
2
(0<x<p)의 그래프와 y축 및
=;4#; ln 3- ln 2
두 직선 y=;4#;, y=1로 둘러싸인 부분, 즉 그림에서 색칠한 부분
의 넓이는
y
1
3
-
4
O
y=
1-cos x
-
2
2
-
3
p
p
x
1
dx에서 ex€+1=t라 하면 2xex€dx=dt이므로 …
t
dt를 이용
하면 부정적분은 ln(ex€+1)+C라 해도 되고,
꼴의 적분을 생각
f '(x)
f(x)
참고
2xex€
ex€+1
…
해도 된다.
05 ^ 1
GUIDE
p_1-;3@; p_;4#;-…
;3@; p
p 1-cos x
2
dx=;3π;- '3
4
자연수 n에 대하여 {n-;2!;}p<x<{n+;2!;}p일 때의 넓이를 생각한다.
9. 정적분의 활용 93
y
n
cos x
y={;3!;}
O
p-
2
3
-
p
2
5
-
p
2
7
-
p
2
...
x
2
B=…
1
(xex-ex)dx=…
1
2
{(x-1)ex}dx
2
=“(x-1)ex
‘
1
-…
1
2
exdx =e€-e€+e=e
따라서 A+B=2(e-1)
y=e-xsin x
p
2p
3p
5p
4p
7p
...
x
y=|sin x-cos x|의 의미를 생각한다.
y=|sin x-cos x|는 두 함수 y=sin x, y=cos x의 함숫값의
차이를 뜻하므로 구하는 넓이는 다음 그림에서 색칠한 부분의 넓
{n+;2!;} p
n
Sn=|…
{n-;2!;} p
[{;3!;}
cos x]dx|
n
={;3!;}
_|“sin x‘
{n+;2!;} p
{n-;2!;} p|=2 {;3!;}
n
4
$
Ú
n=1
Sn=
=1
;3@;
1-;3!;
정수 n에 대하여 np<x<(n+1)p일 때의 넓이를 생각한다.
06 ^ ⑤
GUIDE
y
O
e-xsin xdx라 하고 부분적분법을 써서 정리하면
A=…
A=-e-xsin x-e-xcos x-A
즉 2A=-e-xsin x-e-xcos x
이때 0 이상의 정수 n에 대하여
(n+1)p
2…
np
e-xsin xdx=“-e-xsin x-e-x cos x‘
np
(n+1)p
(n+1)p
에서 | …
np
e-xsin xdx|=
ep+1
2e(n+1)p 이므로
$
Ú
n=0
ep+1
2e(n+1)p =
=
ep+1
2ep-2
ep+1
2ep
1
ep
1-
07 ^ ③
GUIDE
ex=xex의 해는 x=1뿐이다.
오른쪽 그림에서
1
(ex-xex)dx
1
{(1-x)ex}dx
A=…
0
=…
0
1
=“(1-x)ex
‘
0
1
exdx
+…
0
=-1+e-1=e-2
94 정답과 풀이
x축을 기준으로 적분하는 것이 불편하므로 y축을 기준으로 접근한다.
그림에서 색칠한 부분의 넓이는
2
…
1
(y€+1-'y )dy
2
=“;3!;y‹+y-;3@; y;2#;
‘
1
=4-;3$; '2
y=x€
y= x-1
y
2
1
O
1
x
08 ^ ④
GUIDE
이므로 p=;3$;
09 ^ 32
GUIDE
이와 같다.
y
O
p-
4
y=cos x
5
-
4
p
x
2p
y=sin x
2p
S=…
0
|sin x-cos x|dx
;4π;
;4%; p
(cos x-sin x)dx+…
=…
0
;4π;
(sin x-cos x)dx
(cos x-sin x)dx
=“sin x+cos x‘
0
+“-cos x-sin x‘
+“sin x+cos x‘
;4π;
2p
;4%; p
2p
+…
;4%; p
;4%; p
;4π;
y=xex
y=ex
B
y
1
A
O 1
2
x
=4'2
따라서 S€=32
10 ^ ④
GUIDE
➊ f(t)=g(t)
➋ f '(t)=g'(t)
두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=t 에서 공통접선을 가지면
두 곡선 y=a(x+1)€, y=ln (x+1)이 만나는 점의 x좌표를
참고
t 라 하면
a(t+1)€=ln (t+1)
yy ㉠
2a(t+1)=
1
t+1
㉠, ㉡에서 t+1='e 이므로
에서 (t+1)€=
yy ㉡
1
2a
y=a(x+1)€
y
t='e-1, a=
1
2e
따라서 구하는 넓이는
y=ln(x+1)
(x+1)€dx
-1
O
e -1
x
ln (x+1)dx
=“
1
6e
'e-1
(x+1)‹‘
-1
-“(x+1) ln (x+1)-x‘
0
'e-1
'e-1 1
2e
-1
…
'e-1
-…
0
=
2'e
3
-1
참고
11 ^ ④
GUIDE
…ln(x+1)dt=(x+1)ln(x+1)-x+C
y=sin nx와 y=cos nx의 주기가
이고, 두 곡선은 x좌표가
2p
n
5p
4n
,
9p
4n
p
4n
,
, y일 때 만난다.
y
O
5p-
4n
p-
4n
y=cos nx
x
y=sin nx
13 ^ ④
GUIDE
구간 “
, 5p
p
4n
4n ‘에서 두 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를
S라 하면
;4%nπ;
S=…
;4∏n;
=
2'2
n
(sin nx-cos nx)dx
=“-
1
n
cos nx-
1
n
sin nx‘
;4%nπ;
;4∏n;
이때 [0, 2p]에서 넓이가 S인 부분이 2n-1개 있으므로
Sn=(2n-1)_
2'2
n
따라서 lim
n d$
Sn= lim
n d$
2n-1
n
_2'2=4'2
➊ 두 곡선 y=cos nx와 y=sin nx는 직선 y=
에 대하여 대칭이
5p
4n
므로 두 부분 A, B의 넓이는 같다.
y
O
A
5p-
4n
B
p-
4n
y=cos nx
x
➋ n=2, 3, 4 일때 구간 [0, 2p]에서 넓이가 S인 부분이 각각 몇 개 나타
나는지 확인해서 규칙성을 찾을 수 있다.
12 ^ ④
GUIDE
➊ 곡선 y=2 sin ;4π; x와 직선 y=x로 둘러싸인 부분의 넓이를 이용한다.
➋ 곡선 y=2 sin ;4π; x와 직선 y=x는 각각 원점에 대하여 대칭이다.
y=2 sin ;4π; x의 그래프는
주기가 8이므로
y=f(x)의 그래프와
y=g(x)의 그래프로
둘러싸인 부분은 오른쪽 그
림에서 색칠한 부분과 같다.
따라서 넓이는
y=f(x)
y
2
y=g(x)
-2
O
2
x
-2
y=x
2
4…
0
{2sin ;4π; x-x} dx=4 “-
8
p
cos p
4
x-;2!;x€‘
=
2
0
32
p
-8
두 함수 y=f(x)와 y=g(x)는 x ln x=x에서 x=e일 때 만난다.
y
e
1
O
y=f(x)
y=x
y=g(x)
1
-e
1
e
x
y=-x
그림에서 색칠한 부분 넓이의 ;2!; 은
;e!;
{x-(-x)}dx
e
(x-x ln x)dx
…
0
+…
;e!;
=
1
e€
;e!;
=“x€‘
0
+…
xdx-…
;e!;
e
;e!;
e
x ln xdx
+“;2!; x€‘
-“;2!; x€ ln x-;4!; x€‘
e
;e!;
e
;e!;
=;4!; {e€-
1
e€ }
따라서 구하는 넓이는 ;2!; {e€-
1
e€ }
9. 정적분의 활용 95
1등급 NOTE
다음을 기억하고 활용한다.
•… ln xdx=x ln x-x+C
•… ln (x+k)dx=(x+k)ln (x+k)-x+C (단, k는 상수)
•… ln (ax+b)=;a!; (ax+b)ln (ax+b)-x+C (단, a, b는 상수)
•… x ln xdx=;2!; x€ lnx-;4!; x€+C
14 ^ ④
GUIDE
(전체 넓이)=2_(이등분한 넓이)
그림처럼 생각하면 직선 x=k에
y
의하여 색칠한 부분의 넓이가 이
등분되므로
3
…
0
1
x+1
dx=2…
0
k
1
x+1
dx
“ln (x+1)‘
=2 “ln (x+1)‘
0
3
0
k
ln 4=2 ln (k+1)
4 k=1
y=
1
-
x+1
O
k
3
x
S¡+S™=…
sin 2xdx=“-;2!; cos 2x‘
0
;2π;
=1
;2π;
0
이때 0<x<;2π; 에서 sin 2x=k cos x의 해를 a라 하면
sin 2a=kcos a에서 2 sin a cos a-k cos a=0
cos a(2 sin a-k)=0
4 sin a=
yy ㉠
k
2
S¡：S™=25：39이므로 S¡=1_;6@4%;=;6@4%;, 즉
;2π;
(sin 2x-k cos x)dx
…
a
=“-;2!; cos 2x-k sin x‘
;2π;
a
=-;2!; cos p+;2!; cos 2a-k sin ;2π;+k sin a
=;2!;+;2!; (1-2sin €a)-k+k sin a
=;2!;+;2!; {1-2_
k€
4 }-k+k_
k
2
=;6@4%; (5 ㉠)
16k€-64k+39=0, (4k-13)(4k-3)=0
즉 k=;4#; (5 0<k<1)이므로 4k=3
a
…
0
sin x dx+…
a cos x dx=;2!; …
0
;2π;
a
;2π;
sin x dx에서 a에 대한 방정식을
정적분을 이용해 A, B를 각각 k로 나타낸다.
sin x=a cos x의 해를 a라 하면 tan a=a이고
15 ^ ③
GUIDE
sin x=a cos x의 해를 a로 놓고
구한다.
…
0
a
…
0
=;2!;
;2π;
sin x dx=1이므로
sin x dx+…
a
;2π;
a cos x dx
a
=“-cos x‘
0
+“a sin x‘
;2π;
a
y
1
a
O
y=sin x
y=acos x
a
x
p-
2
즉 cos a+a sin a=a+;2!;, 이때 tan a=a이므로
sin a=
, cos a=
a
"ƒa€+1
1
"ƒa€+1
을 대입하여 정리하면 a=;4#;
a€+1
a
a
1
➊ sin 2x=k cos x의 해를 a로 놓고 sin a 또는 cos a의 값과 k의 관계
16 ^ 3
GUIDE
를 이용한다.
➋ S¡+S™를 구한다.
96 정답과 풀이
17 ^ ⑤
GUIDE
;x#;=3x에서 x=1
kx=
에서 x=æç
3
x
3
k
;3!; x=;x#; 에서 x=3이므로
1
(3x-kx)dx
A=…
0
æç;k#;
+…
1
{;x#;-kx} dx
y
3
-
xy=
y=3x
y=kx
A
B
1
y= x
-
3
O
1
3
x
=“;2!;(3-k)x€‘
+“3 ln x-;2!; kx€‘
1
=3 ln æç;k#
æç;k#;
1
0
æç;k#;
B=…
0
{kx-;3!; x} dx+…
{;x#;-;3!; x} dx
3
æç;k#;
=“;2!; {k-;3!;}x€‘
0
+“3 ln x-;6!; x€‘
3
æç;k#;
æç;k#;
3
k
=3 ln 3-3 ln æç
이때 3A=B에서
9 ln æç
=3 ln 3-3 ln æç
3
k
3
k
3
, 2 ln
k
=ln 3
즉 9
k€
=3이므로 k='3 {ç ;3!;<k<3}
18 ^ ④
GUIDE
S(x)=
3x+5
x€+3x+2
=
2
x+1
+
1
x+2
이고, 부피는 …
0
3
S(x)dx이다.
3
…
0
3x+5
x€+3x+2
3
dx=…
{
0
2
x+1
1
+
x+2 } dx
=“2 ln |x+1|+ln |x+2|‘
3
0
=ln 40
19 ^ 12
GUIDE
x
1
x‹(x-t)€dt 에서
0
(x-t){ f(t)}€dt=6…
…
좌변은 전개하고 우변은 적분하여 양변을 미분해 본다.
0
x
…
0
(x-t){ f(t)}€dt=6 …
0
1
x‹(x-t)€dt에서
(좌변)=x…
{ f(t)}€dt-…
0
x
t{ f(t)}€dt
x
0
1
0
(우변)=6 …
x‹(x-t)€dt=6 …
1
(xfi-2x›t+x‹t €)dt
=“6xfit-6x›t €+2x‹t ‹‘
=6xfi-6x›+2x‹
0
1
0
즉 x…
{ f(t)}€dt-…
0
x
0
x에 대하여 미분하면
x
t{ f(t)}€dt=6xfi-6x›+2x‹의 양변을
x
{ f(t)}€dt=30x›-24x‹+6x€
yy ㉠
…
0
그런데 입체도형의 부피는 …
0
1
{ f(t)}€dt이므로 이 값은
㉠에 x=1을 대입한 …
0
1
{ f(t)}€dt=12
x=t일 때 정사각형의 한 변의 길이는 f(t)이므로 S(t)={ f(t)}€
참고
20 ^ ②
GUIDE
A
sin k
p-
4
O
B
➊ 정팔각형은 그림과 같이 꼭지각의 크기가 ;4π; 인
합동인 이등변삼각형 8개로 나뉘어진다.
➋ AB’=2 sin k이므로 정팔각형 내부의 이등변
삼각형에서 AO’=sin k이다.
지므로 정팔각형의 넓이는
8_;2!;_sin k_sin k_sin ;4π;=2'2 sin €k
따라서 부피는
AB’=2 sin k 이고 정팔각형 합동인 이등변삼각형 8개로 나누어
;2π;
…
0
2'2 sin€kdk=…
{2'2_
;2π;
0
1-cos 2k
2
} dk
=“'2 {k-;2!; sin 2k}‘
0
;2π;
= '2
2
p
21 ^ ②
GUIDE
➊ 물의 깊이에 대한 수면의 넓이를 구한다.
➋ 남아 있는 물의 높이를 구한다.
그림과 같이 구멍이 생긴 지점의 물
의 깊이를 x라 하고, 물의 깊이가 x
일 때 수면의 반지름 길이를 z라 하
면 z€=4€-x€, 이때 수면의 넓이는
4-x
x
A
z
4
30^
pz€=p(4€-x€)이고 남아 있는 물의 높이는 4sin 30^=2이므로
남아 있는 물의 양은
2
…
0
p(16-x€)dx=p “16x-;3!; x‹‘
=;;•3•;; p
2
0
22 ^ 64
GUIDE
점 P가 움직인 거리는 …
0
2p
€
dx
dt }
+{
dx
dt }
€ dt
Ƙ{
dx
dt
=4(-sin t+cos t), dy
dt
=-2 sin 2t 이므로
점 P가 움직인 거리는
dx
dt }
€+{
dy
dt }
€dt
2p
…
0
Ƙ{
2p
=…
0
2p
=…
0
"ƒ16(1-sin 2t)ƒ+4 sin€2t dt
(4-2 sin 2t)dt=“4t+cos 2t‘
0
=8p
2p
따라서 a=8이므로 a€=64
23 ^ 12
GUIDE
➊ lim
h d 0
f(x+4h)-f(x-2h)
3h
=2f '(x)
➋ 곡선의 길이는 …
0
3
"ƒ1+{ f '(x)}€dx
lim
h d 0
f(x+4h)-f(x-2h)
3h
=lim
h d 0
f(x+4h)-f(x)
4h
_;3$;
-lim
h d 0
f(x-2h)-f(x)
4h
_{-;3@;}
=f '(x)_{;3$;+;3@;}=2f '(x)
9. 정적분의 활용 97
f(t)dt=2(ex-e-x)의 양변을 미분하여 f '(x)를 구한다.
이고, b=ae, c=ae€을 대입하면
즉 2f '(x)=2x"ƒx€+2에서 f '(x)=x"ƒx€+2
이므로 0<x<3에서 곡선 y=f(x)의 길이는
3
3
…
0
"ƒ1+(x"ƒx€+2 )€dx=…
0
(x€+1)dx=“;3!;x€+x‘
=12
3
0
➊ 곡선의 길이는 …
0
"ƒ1+{ f '(x)}€dx
2 ln 3
24 ^ 40
GUIDE
2x
➋ …
0
2x
0
f(t)dt=2(ex-e-x)의 양변을 x에 대하여 미분하면
…
2f(2x)=2(ex+e-x), 즉 f(2x)=ex+e-x이고,
이 등식의 양변을 다시 x에 대하여 미분하면
f '(2x)=
ex-e-x
2
4 f '(x)=
e;2X;-e-;2X;
2
따라서 곡선의 길이 l 은
2 ln 3
l= …
0
"ƒ1+{ f '(x)}€dx=…
0
2 ln 3 e;2X;+e-;2X;
dx
2
2 ln 3
l=“e;2X;-e-;2X;
‘
0
4 15l=40
=;3*;
그림에서
1
'b
S¡=…
0
1
'a
(bx-ax)dx+…
1
'b
{;x!;-ax} dx
=
b-a
2
1
'b
0
“x€‘
+“ln x-;2A; x€‘
= ln æ;aB;
1
'c
S™=…
0
1
'b
(cx-bx)dx+…
1
'c
{;x!;-bx} dx
=
c-b
2 “x€‘
1
'c
0
+“ln x-;2A; x€‘
=ln æ;bC;
1
'a
1
'b
1
'b
1
'c
S¡=;2!;, S™=;2!; 이므로 2S¡+4S™=3
02 ^ ③
GUIDE
두 곡선 y=sin x와 y=sin (x-a)는 직선 x= p+a
에 대하여 대칭
2
이고, 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 A 넓이의 절반이다.
y
O
y=sin x
A
y=sin(x-a)
a
p+a
-
2
p
x
p
…
0
sin x dx=“-cos x‘
0
=2이고,
p
위 그림에서 두 곡선 y=sin x와 y=sin (x-a)는
직선 y= p+a
2
에 대하여 대칭이므로 …
sin xdx=;2!;
p
p+a
2
p
…
p+a
2
sin xdx=“-cos x‘
p
p+a
2
=1+cos p+a
=1-sin ;2A;
2
STEP 3
1등급 뛰어넘기
p. 119~121
03 1
07 2
04 ㄱ, ㄷ
08 22
01 3
05 3
09 2
02 ③
06 72
10 8
01 ^ 6
GUIDE
즉 1-sin ;2A;=;2!;에서 sin ;2A;=;2!;
4 a=;3π; {
5 0<a<;2π;}
참고
➊ 세 교점의 좌표를 a, b, c로 나타내고 정적분한다.
➋ b, c를 a에 대한 식으로 나타내어 대입하고 정리한다.
a=;2π;이면 두 곡선 y=sin x와 y=sin (x-a)및 x축으로 둘러싸인 부
분의 넓이는 2-'2 이고, 1보다 작으므로 0<a<;2π; 임을 알 수 있다.
1
C( )
,
-
'c 'c
y=
1
-
x
y
y=cx
y=bx
1
B( )
,
-
'b 'b
y=ax
S™
S¡
O
1-
A( )
,
'a 'a
x
98 정답과 풀이
03 ^ 1
GUIDE
f(x)=(ln x)n (x>1)에서
f(e)=1이므로 그림처럼 생
각하면
e
(ln x)ndx
Sn=(e_1)-…
1
y
1
O
y=(ln x)˜
S
˜
1
e
x
e
Sn=e-…
1
(ln x)ndx, Sn+1=e-…
1
e
(ln x)n+1dx이므로
Sn-Sn+1
e
=…
1
(ln x)n+1dx-…
e
( ln x)ndx
1
e
e
=“x(ln x)n+1
‘
1
-…
1
(n+1)(ln x)ndx-…
1
e
(ln x)ndx
=e-(n+2)…
1
e
(ln x)ndx
e
이때 …
1
( ln x)ndx=e-Sn이므로
Sn-Sn+1=e-(n+2)(e-Sn)
(n+1)e=(n+1)Sn+Sn+1
즉 e=Sn+
Sn+1
n+1
이므로 ln {Sn+
Sn+1
n+1 }=1
04 ^ ㄱ, ㄷ
GUIDE
ㄴ. f '(a)=0일 때 f "(a)의 부호를 알아본다.
ㄷ. 곡선 y=(2x-a)(g@f )(x)가 x축과 만나는 점을 알아본다.
ㄱ. (g@f )(x)=ex€-ax-b이므로 방정식 ex€-ax-b=e-b의 해는
x€-ax=0에서 x=0, x=a이다. ( ◯ )
ㄴ. 함수 y=( f@g)(x)=-e-2x+ae-x+b에서
y'=e-x(2e-x-a)=0일 때 x=ln ;a@; 이고
-
, 즉 y"<0이므로 함수 y=( f @g)(x)는
a€
2
x=ln ;a@; 에서 극댓값을 갖는다. ( _ )
ㄷ. 곡선 y=(2x-a)(g@f )(x)=(2x-a)ex€-ax-b는
x=;2A; 에서만 x축과 만나므
y=(2x-a)ex€-ax-b
y
O
로 그림에서 색칠한 부분
의 넓이는
;2A;
(2x-a)ex€-ax-bdx
-…
0
-ae-b
-
=-“et
‘
-b
a€
4 -b
=e-b(1-e-
a€
4 ) ( ◯ )
05 ^ 3
GUIDE
1
S(t)dt 이다.
…
0
구간 [0, 1]에서 단면 넓이를 S(t)라 하면 입체도형의 부피는
단면 넓이는 …
0
e2t xdx=“-
e2t
sin p
e2t
p
e2t
cos p
e2t x‘
0
=
2e2t
p
이므로 입체도형의 부피는
1
2e2t
p
…
0
dt=“
e2t
p ‘
1
0
=
e2-1
p
따라서 a=2, b=-1이므로 2a+b=3
꼭짓점에서 밑면에 내린 수선의 발이 밑면의 중심이 아닌 원뿔도 밑면에
높이가 t인 곳에서 밑면과 평행하도록 잘랐을 때, 단면 모양은 그
06 ^ 72
GUIDE
평행한 단면은 원이다.
림과 같다.
8-t
t
3
-
8
(8-t)
3
-
t
4
이때 단면 넓이는 ;6ª4; (8-t)€p+;4#; t_;4#; (8-t)
x
a
-
2
이므로 부피는
8
…
0
[;6ª4; (8-t)€p+;1ª6; (8t-t€)]dt
=“-;6£4; (8-t)‹p+;4(; t €-;1£6; t ‹‘
=24p+48
8
0
따라서 a=24, b=48이므로 a+b=72
y"=e-x (a-4e-x)에 x=ln ;a@; 를 대입하면
서 생긴 원의 반지름 길이는
8：3=(8-t)：r에서 r=;8#; (8-t)
단면을 평면 위에 놓으면 다음과 같고 닮음비를 이용하면 단면에
이계도함수를 가지는 함수 f(x)에 대하여
➊ f '(a)=0, f "(a)>0이면 f(a)는 극솟값
➋ f '(a)=0, f "(a)<0이면 f(a)는 극댓값
참고
;2A;
※ …
0
(2x-a)ex€-ax-bdx에서 x€-ax-b=t로 놓고 적분한다.
07 ^ 2
GUIDE
2
1
"ƒ1+{ f '(t)}€dx는 구간 [1, 2]에서 y=f(x)그래프의 길이이다.
➊ …
➋ 두 점을 이은 선 중에서 가장 짧은 선은 선분이다.
9. 정적분의 활용 99
원이 h만큼 회전하여 굴러갔을 때의 점 P의 좌표를 h로 나타낸다.
원이 처음 지면에 접해 있을 때, 점
P가 원점, 원의 중심이 y축 위에
오도록 나타내면 그림과 같다.
이때 점 P가 h 만큼 회전하면 호
AP의 길이와 OA’ 의 길이는
같고, APµ=1_h=h 이므로
A(h, 0)
y
2
1
O
C
h
B
A
x
P
또 CB’=cos h, PB’=sin h 이므로 P(h-sin h, 1-cos h)
즉 x=h-sin h, y=1-cos h에 대하여
원이 한 바퀴 회전하면 h는 0에서 2p까지 변하므로
구하는 자취의 길이는
2p
…
0
Ƙ{
€
dx
dh }
+{
€
dy
dh }
dh=…
0
2p
"ƒ(1-cos h)€+sin€ h dh
2p
2p
2p
0
0
=…
"ƒ2(1-cos h)dh
=…
æç2_2 sin€ h
2
dh
=…
2 sin h
2
=“-4 cos h
2 ‘
0
0
2p
dh
=8
참고
y
O
P
h
P
h
h
P
P
x
f(1)=0, f(2)='3, f "(x)>0을 만족시키는 함수 f(x)의 그
래프는 두 점 (1, 0), (2, '3 )을 지나고 아래로 볼록하거나 직선
이다.
10 ^ 8
GUIDE
이때 …
"ƒ1+{ f '(x)}€dx 는
2
1
구간 [1, 2]에서 y=f(x)의 그래
프의 길이이므로 그림처럼 생각하
y
'3
면 최솟값은
"ƒ(2-1)€+('3-0)€=2
따라서 2>k에서 k의 최댓값은 2
O
1
2
x
08 ^ 22
GUIDE
평면 위를 움직이는 점 P(x(t), y(t))의 속력은 "ƒ{x'(t)}€+{y'(t)}€
x'(t)=8, y'(t)=t+2-
에서 점 P의 속력은
16
t+2
∫8€+{t+2-
Ƙ
16
t+2 }
€=t+2+
16
t+2
이고,
(산술평균)>(기하평균)에서 속력이 최소가 될 때의 t값은
t+2=
에서 t=2이다.
16
t+2
따라서 구하는 거리는
2
…
0
{t+2+
16
t+2 } dt
=“
t €
2
+2t+16 ln (t+2)‘
=6+16 ln 2
2
0
이므로 a=6, b=16
4 a+b=22
참고
두 양수 A, B에 대하여 A+B>2"ƒAB 에서 등호가 성립할 조건은
A=B
09 ^ 2
GUIDE
[0, k]에서 점 P가 움직인 거리는
"ƒ1+{ f '(t)}€dt=;2!; ln
1+sin k
1-sin k
"ƒ1+{ f '(t)}€dt=;2!; ln
1+sin k
1-sin k
의 양변을 k에 대하여 미분하면
k
…
0
k
…
0
"ƒ1+{ f '(k)}€=;2!; {
cos k
1-sin k }=sec k
양변을 제곱하여 정리하면 { f '(k)}€=tan€ k이므로
cos k
1+sin k
+
t=;3π; 일 때 속력은 "ƒ(t')€+[ f '(t)}€=æç1€+tan€ ;3π;=2
100 정답과 풀이
█ 집중 연습
1. 그래프의 개형 그리기 연습
01 ^ 풀이 참조
y=xe-x
① 정의역：모든 실수
② 대칭성：없다.
y'=0에서 x=1
④ 변곡점：
⑤ 점근선:
lim
x d$
x
ex =0, lim
⑥ 절편：(0, 0)을 지난다.
x d-$
⑦ 증감표
③ 극점：y'=e-x-xe-x=(1-x)e-x이므로
y''=-e-x-(1-x)e-x=(x-2)e-x
y''=0에서 x=2
4 x=2에서 변곡점을 가진다.
xe-x=-$이므로 점근선은 x축이다.
x
y'
y"
y
y
+
-
y
;e!;
;;e!;;;
2
1
0
-
극대
1
e
y
-
-
⤵
2
-
0
변곡점
2
e€
y=xe-x
O
1
2
y
-
+
⤷
x
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
02 ^ 풀이 참조
y=x€e-x
① 정의역：모든 실수
② 대칭성：없다.
③ 극점：y'=(2x-x€)e-x=x(2-x)e-x
y'=0에서 x=0, 2
④ 변곡점：y"=(x€-2x+2-2x)e-x=(x€-4x+2)e-x
y"=0에서 x=2+
'2
'2 에서 변곡점을 가진다.
4 x=2+
⑤ 점근선:
lim
x d $
x€e-x=0, lim
x d -$
x€e-x=$이므로 점근선은 x축이다.
⑥ 절편：(0, 0)을 지난다.
⑦ 증감표
x y 0 y 2-'2 y 2 y 2+'2 y
y' - 0 + + + 0 - - -
y" + + +
0
- - -
0
+
y ⤷
⤴ 변곡점
극소
0
극대
4e-2 ⤵ 변곡점 ⤷
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
y
4e-€
y=xe-˛
O
2-'2
2
2+'2
x
03 ^ 풀이 참조
y=x‹e-x
① 정의역：모든 실수
② 대칭성：없다.
y'=0에서 x=0, 3
는다.
④ 변곡점：
③ 극점：y'=(3x€-x‹)e-x=x€(3-x)e-x
그런데 x=0에서는 부호 변화가 없으므로 극값을 가지지 않
y"=(x‹-3x€+6x-3x€)e-x=(x‹-6x€+6x)e-x
=x(x€-6x+6)e-x
x=0, x=3-'3, x=3+'3 에서 변곡점을 가진다.
⑤ 점근선:
lim
x d $
x‹e-x=0, lim
x d -$
x‹e-x=-$ 이므로
점근선은 x축이다.
⑥ 절편：(0, 0)을 지난다.
⑦ 증감표
x y 0 y 3-'3 y 3 y 3+'3 y
y' + + + + + 0 - - -
y" - 0 + 0 - - - 0
+
y
⤴ 변곡점
변곡점
0
극대
27e-3 ⤵ 변곡점 ⤷
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
y
27e-‹
y=x‹e-˛
O
3-'3
3
3+'3
x
9. 집중 연습 101
y"=-e-˛+(x+1)e-˛=xe-x이므로 x=0에서 변곡점을
⑥ 절편：x>0이므로 y절편은 없고, x절편은 (1, 0)이다.
y'=e-x-(x+2)e-x=-(x+1)e-x에서 x=-1
04 ^ 풀이 참조
y=(x+2)e-x
① 정의역：모든 실수
② 대칭성：없다.
③ 극점：
④ 변곡점：
가진다.
⑤ 점근선:
⑦ 증감표
x
y'
y"
y
lim
x d $
(x+2)e-x=0, lim
x d -$
(x+2)e-x=-$이므로
점근선은 x축이다.
⑥ 절편：x절편은 (-2, 0)이고 y절편은 (0, 2)이다.
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
y
+
-
-1
0
-
극대
e
y
-
-
⤵
0
-
0
변곡점
2
y
-
+
⤷
y
e
2
y=(x+2)e-x
-2
-1
O
x
05 ^ 풀이 참조
y=
ln x€
x
① 정의역：x+0인 모든 실수
② 대칭성：f(-x)=-f(x)이므로 원점에 대하여 대칭이다.
즉 y=
ln x€
x
=
2 ln |x|
x
에서 원점에 대칭이므로
x>0일 때를 먼저 그리고 x<0에서 원점에 대칭인 것을 그리
면 된다.
③ 극점：
x>0일 때는 y=
이므로
2 ln x
x
2
x
y'=
_x-2 ln x_1
x€
=
2-2 ln x
x€
y'=0에서 ln x=1, 즉 x=e
102 정답과 풀이
④ 변곡점：
2
x
y"=
-
_x€-2(1-ln x)_2x
x›
=
2(2 ln x-3)
x‹
y"=0에서 2 ln x=3, 즉 x=e;2#;에서 변곡점을 가진다.
⑤ 점근선: lim
x d$
2 ln x
x
=0, lim
x d0+
2 ln x
x
=-$이므로
점근선은 x축과 y축이다.
⑦ 증감표
x
y'
y"
y
(0)
y
+
-
e
0
-
극대
;e@;
y
-
-
⤵
e;2#;
-
0
변곡점
;2#; e-;2#;
y
-
+
⤷
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
y
;e@;
O
2ln x
y=::x::
x
1
e
;2#;e
따라서 y=
ln x€
x
=
2 ln |x|
x
의 그래프는 아래와 같다.
y
ln x€
y=::x::
;e@;
-e
O
-;e@;
e
x
참고
g(x)=
ln x€
x
2 ln |x|
x
함수 y=g(x)의 그래프는 원점에 대칭이다.
=
라 하면, g(-x)=-g(x)이므로
이때 f(x)=
라 하고 그래프를 그리면 아래와 같다.
ln x
x
ln x
y=::x::
x
e
;2#;
e
y
;e!;
O
ln x
x
y=g(x)는 f(x)=
의 값을 두 배하고 원점에 대칭이 되도록 그리
면 된다.
위 결과를 이용하여 그래프를 그려 보면 아래와 같다.
O
1
3
4
06 ^ 풀이 참조
y=x ln x
② 대칭성：없다.
③ 극점：
① 정의역：진수 조건에서 x>0
y'=ln x+x_;x!;=ln x+1이므로
y'=0에서 ln x=-1, 즉 x=;e!;
④ 변곡점：
y''=;x!; 은 x>0이므로 y">0이다. 즉 곡선 y=x ln x은
변곡점을 가지지 않고 x>0에서 아래로 볼록이다.
lim
x d 0+
x ln x=0, lim
x d $
x ln x=$이므로 점근선이 존재하지
⑥ 절편：x>0이므로 y절편은 없고, x절편은 (1, 0)이다.
⑤ 점근선:
않는다.
⑦ 증감표
x
y'
y"
y
y
+
+
⤴
y
-
+
⤷
;e!;
0
+
극소
-;e!;
y=xln x
;e!;
1
x
(0)
y
O
-;e!;
07 ^ 풀이 참조
y=2 ln (5-x)+
x€
;4!;
② 대칭성：없다.
③ 극점：
① 정의역：진수 조건에서 x<5 인 모든 실수
y'=
-2
5-x
+;2X;=
(x-1)(x-4)
2(x-5)
즉 y'=0에서 x=1과 x=4
④ 변곡점：
y"=
-2
(x-5)€
+;2!;=
(x-7)(x-3)
2(x-5)€
⑤ 점근선： lim
x d 5-{2ln (5-x)+;4!; x€}=-$이므로
점근선은 x=5이다.
⑥ 절편：x=0에서 y=2 ln 5이므로 y절편은 (0, 2 ln 5)이다.
y=2 ln (5-x)+;4!; x€=0은 (4, 4)를 지나고
x d 5-{2ln (5-x)+;4!; x€}=-$이므로 사잇값 정리에 따라
lim
(4, 5)에서 적어도 하나의 실근을 가진다. 즉 구체적인 값은
구할 수 없지만, x절편이 존재한다. (그래프 참조)
⑦ 증감표
x y
y' -
y 3 y 4 y (5)
+ + + 0 - 점근선
y" +
+ 0 - - -
y ⤷
⤴ 변곡점
⤵
극대
4
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
y=2ln(5-x)+;4!;x€
1
0
+
극소
2 ln 4+;4!;
y
4
2ln5
x
x=5
① 정의역：1+x€>0이므로 모든 실수
② 대칭성：f(-x)=f(x)이므로 y축에 대하여 대칭이다.
08 ^ 풀이 참조
y=ln (1+x€)
③ 극점：
2x
1+x€
④ 변곡점：
⑤ 점근선：
y'=
이므로 y'=0에서 x=0
y"=
2(1+x€)-2x
(1+x€)€
=
2(1-x)(1+x)
(1+x€)€
y"=0에서 변곡점은 (-1, ln 2), (1, ln 2)
lim
x d $
ln (1+x€)=$, lim
x d -$
ln (1+x€)=$
즉 점근선은 없다.
⑥ 절편：(0, 0)을 지난다.
9. 집중 연습 103
즉 x<5이므로 x=3에서 변곡점을 가진다.
⑦ 증감표
x y -1 y
y' -
y" -
y
⤵
-
0
변곡점
ln 2
-
+
⤷
0
0
+
극소
0
y
+
+
⤴
1
+
0
변곡점
ln 2
y
+
-
위 결과를 이용하여 그래프를 그려 보면 아래와 같다.
10 ^ 풀이 참조
y=
x€-3
x-2
① 정의역：x+2인 모든 실수
② 대칭성：y=
=x+2+
yy ㉠에서
x€-3
x-2
1
x-2
y=ln(1+x€)
점 (2, 4)에 대하여 대칭이다.
③ 극점：㉠을 미분하면
y
ln 2
-1
O
1
x
x=1, 3
y'=1-
1
(x-2)€
=
x€-4x+3
(x-2)€
=
(x-1)(x-3)
(x-2)€
에서
④ 변곡점：y'=1-
을 미분하면 y"=
1
(x-2)€
2
(x-2)‹
x<2일때, y"<0, x>2일 때, y">0이므로 곡선 y는
x<2일 때 위로 볼록하고, x>2일 때 아래로 볼록하다.
그러나 x=2는 정의역에 속하지 않으므로 변곡점은 없다.
⑤ 점근선：
lim
x d$
{y-(x+2)}= lim
x d$
1
x-2
=0 (5 ㉠ )
lim
x d 2+{x+2+
1
x-2 }=$, lim
x d 2-{x+2+
1
x-2 }=-$
이므로 직선 y=x+2와 x=2가 점근선이 된다.
⑥ 절편：x=0일 때, y=;2#; 이므로 y절편은 {0, ;2#;}이고,
y=0일 때, x=+
'3 이므로 x절편은 (+
'3 , 0)이다.
⑦ 증감표
x y
y' +
y" -
y
1
0
-
극대
2
-
-
⤵
y (2) y
3
0
+
극소
6
y
+
+
⤴
-
+
⤷
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
y
6
2
y=
x€-3
x-2
y=x+2
x
09 ^ 풀이 참조
y=
x
x€+4
① 정의역：모든 실수
③ 극점：
② 대칭성：f(-x)=-f(x)이므로 원점에 대하여 대칭이다.
y'=
(x)'(x€+4)-x(x€+4)'
(x€+4)€
=
(x€+4)-2x
(x€+4)€
=
-x€+4
(x€+4)€
x€+4>0이므로 -x€+4=0에서 x=+2
④ 변곡점：
y"=
=
(-2x)(x€+4)€+4x(x€-4)(x€+4)
(x€+4)›
2x(x-2'3 )(x+2'3 )
(x€+4)‹
2x(x€-12)
(x€+4)‹
=
x=0 과 x=+2'3 에서 변곡점을 가진다.
⑤ 점근선：
lim
x d$
x
x€+4
=0, lim
x d-$
x
x€+4
=0
이므로 점근선은 x축이다.
⑥ 절편：(0, 0)을 지난다.
⑦ 증감표
x y -2'3 y -2 y 0 y 2 y 2'3 y
y' - - - 0 + + + 0 - - -
y" - 0 + + + 0 - - - 0 +
y ⤵ 변곡점 ⤷ 극소 ⤴ 변곡점 극대 ⤵ 변곡점 ⤷
O 1
2 3
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
-2'3
-2
2
2'3
x
y
;4!;
O
-;4!;
11 ^ 풀이 참조
y=
x€+x-1
x‹
① 정의역：x+0인 모든 실수
104 정답과 풀이
② 대칭성：없다.
③ 극점：
y=;x!;+
1
x€
1
x‹
-
이므로
y'=-
-
+
=-
1
x€
2
x‹
3
x›
(x+3)(x-1)
x›
에서 x=-3, 1
④ 변곡점：
y"=
+
-
=
2
x‹
6
x›
12
xfi
2(x€+3x-6)
xfi
즉 x=
에서 변곡점을 가진다.
-3+
2
'ß33
⑤ 점근선
⑦ 증감표
lim
x d${
x€+x-1
x‹
}=0, lim
x d-${
x€+x-1
x‹
}=0
lim
x d 0+{
x€+x-1
x‹
}=-$, lim
x d 0-{
x€+x-1
x‹
}=$
이므로 점근선은 x축, y축이다.
⑥ 절편：y=
=0이므로 x절편은
x€+x-1
x‹
-1+
2
'5
이다.
{단 a=
-3-'ß33
2
, b=
-3+'ß33
2
}
x y a y -3 y 0 y 1 y b y
y' - - - 0 +
+ 0 - - -
y" - 0 + + +
- - - 0 +
y ⤵ 변곡점 ⤷
⤴
⤵ 변곡점 ⤷
극소
-;2∞7;
극대
1
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
y
1
O
y=
x€+x-1
x‹
x
-3
5
-;27;
1
12 ^ 풀이 참조
y=e˛(sin x-cos x) (0<x<2p)
① 정의역：0<x<2p인 모든 실수
② 대칭성：없다.
③ 극점：
y'=ex(sin x-cos x)+ex(cos x+sin x)=2exsin x
즉 y'=0에서 x=0, p, 2p
④ 변곡점：
y"=2ex(sin x+cos x)=2'2 ex sin {x+;4π;}
y"=0에서 x=
3p
4
, 7p
4
즉 x=
에서 변곡점을 가진다.
3p
4
, 7p
4
⑤ 점근선：없다.
⑥ 절편：y=0에서 sin x=cos x이므로
x절편은 {;4π;, 0}, {;4%; p, 0}이고, x=0에서 y=-1이므로 y
절편은 (0, -1)이다.
⑦ 증감표
x
y'
y"
0 y
+
+
y -1 ⤴
3p
4
+
0
변곡점
'2 e;4π;
y p y
+ 0 -
- - -
극대
ep ⤵
7p
4
-
0
변곡점
-'2 e;;¶4∏;;
y
-
+
⤷
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
y=e˛(sinx-cosx)
p
;4;
p
;4#;p
;4&;p
2p
x
y
ep
O
-1
-e2p
참고
y=ep@23, e2p@535이므로 위 그래프는 실제보다 y축 방향으로 왜곡
되어 나타나 있음을 감안한다.
13 ^ 풀이 참조
y=e-x sin x (0<x<2p)
① 정의역：0<x<2p
② 대칭성：없다.
③ 극점：
y'=-e-x sin x+e-x cos x=e-x (cos x-sin x)이고
즉 y'=0에서 x=;4π;, 5p
4
④ 변곡점：
(5 0<x<2p)
y"=-e-x(cos x-sin x)+e-x(-sin x-cos x)
=-2e-x cos x
즉 x=;2π;, 3
2
⑤ 점근선：
p에서 변곡점을 가진다.
9. 집중 연습 105
x y ;3π; y a y p y 2p-a y ;3%; p y
y ' + 0 - - - 0 - - - 0 +
y " - - - 0 + 0 - 0 + 0 +
y
⤵ ⤷ 0 ⤵
⤷
3'3
4
3'3
4
⤴
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
y
3'3
::4::
3'3
::4::
-
O
p
;3;
a
p
2p-a
;3%;p
x
2p
-e-x<e-x sin x < e-x이고
lim
x d $
e-x= lim
x d $
1
ex =0, lim
x d $
(-e-x)=0이므로
e-x sin x=0이다. 즉 x축이 점근선이 된다.
⑥ 절편：(0, 0), (p, 0), (2p, 0)
lim
x d $
⑦ 증감표
x y
y
y
p y
p
2
y' + 0 - - -
y" - - - 0 +
y
⤵
변곡점
e-;2π;
⤷
p
4
극대
e-;4π;
'2
5
4
0
+
극소
e-;;∞4∏;;
'2
-
p y
3
2
+ + +
+ 0 -
⤴
변곡점
-e-;;£2∏;;
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
y
y=e-˛sin x
O
p
;4;
p
;2;
p
;4%;p
;2#;p
2p
x
15 ^ 풀이 참조
y=sin x(1-sin x) (0<x<2p)
① 정의역：0<x<2p
② 대칭성：없다.
③ 극점：
y'=cos x(1-sin x)+sin x(-cos x)
=cos x(1-2sin x)
즉 cos x=0 또는 sin x=;2!; 이므로
1 cos x=0에서 x=;2π; 또는 x=
2 sin x=;2!; 에서 x=;6π; 또는 x=
3
2
p
5
6
p
14 ^ 풀이 참조
y=sin x(1+cos x) (0<x<2p)
① 정의역：0<x<2p인 모든 실수
② 대칭성：f(-x)=-f(x)이므로 원점에 대하여 대칭이다.
④ 변곡점
③ 극점：y=;2!; sin 2x+sin x에서
y'=cos 2x+cos x=cos€x-sin€x+cos x
=2cos€ x+cos x-1=(2cos x-1)(cos x+1)
y"=(-sin x)(1-2sin x)+cos x(-2cos x)
=4 sin€ x-sin x-2
y"=0에서 sin x=
또는 sin x=
1+'ß33
8
1-'ß33
8
이다.
즉 y'=0에서 x=;3π;, ;3%; p, p이고 x=p일 때는 y'의 부호 변
1 sin x=
에서 x=a 또는 b
y"=-4cos xsin x-sin x=-sin x(4 cos x+1)
2 sin x=
에서 x=c 또는 d
1+'ß33
8
1-'ß33
8
{단, 0<a<;2π;<b<p}
{단, p<c<
p<d<2p}
3
2
에서 변곡점을 가진다.
⑤ 점근선：점근선을 가지지 않는다.
⑥ 절편：y=0인 x=0, ;2π;, p, 2p에서 x축에 만난다.
⑦ 증감표
cos a=-;4!; {;2π;<a<p}라 하면
즉 x=0, a, p, 2p-a, 2p에서 변곡점을 가진다.
⑥ 절편：sin x(1+cos x)=0에서 x절편은 x=0, p, 2p이다.
화가 없다.
④ 변곡점：
⑤ 점근선：없다.
x=0에서 y=0이다.
⑦ 증감표
106 정답과 풀이
x y
y ↗
y' + 0 - 0 + 0 + 0 +
p
6
극대
;4!;
y
↘
p
2
극소
0
y
↗
5p
6
극대
;4!;
y
↘
3p
2
극소
-2
y
↗
17 ^ 풀이 참조
y=‹
"∂
x€ (x-4)
① 정의역：모든 실수
② 대칭성：없다.
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
p
;6;
a
p
;2;
b
;6%;p
p
c
d
2p
x
;2#;p
y
;4!;
O
-2
16 ^ 풀이 참조
y=3‹
"∂
x€
① 정의역：모든 실수
② 대칭성：f(-x)=f(x)이므로 y축에 대하여 대칭이다.
③ 극점：y=3x;3@;이므로 y'=2x-;3!;=
2
‹'x
x>0에서는 y'>0이고, x<0에서는 y'<0이므로
x=0에서 미분할 수 없지만 극값을 가진다.
④ 변곡점：y"=-;3@; x-;3$;=-
2
3‹"ƒx›
즉 변곡점을 가지지 않는다.
⑤ 점근선：없다.
⑥ 절편：(0, 0)을 지난다.
⑦ 증감표
x
y'
y"
y
y
-
-
0
극소
0
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
y
+
-
x
y=3‹ x€
y
O
③ 극점：
y=‹"ƒx€ (x-4)=x;3@;(x-4)에서
y'=;3@; x-;3!;(x-4)+x;3@;=;3!; x-;3!;(2x-8+3x)
=;3!; x-;3!;(5x-8)=
5x-8
3 ‹'x
즉 y'=0에서 x=0, ;5*; 이고, x=0에서 미분 불가능하다.
④ 변곡점：
y"=;9!; x-;3$;{-(5x-8)+15x}
=;9@; x-;3$;(5x+4)=
2(5x+4)
9‹"ƒx›
x=-;5$; 에서 변곡점을 가진다.
⑤ 점근선：존재하지 않는다.
⑥ 절편：(0, 0)과 (4, 0)을 지난다.
⑦ 증감표
x y -;5$; y
+
y' +
+
0
y" -
0
+
+
y
변곡점 ⤴
극대
0
y
-
+
⤷
;5*;
0
0
극소
48‹'5
25
-
y
+
+
⤴
y
y=‹ x€(x-4)
-;5$;
O
;5*;
4
x
48‹'5
-
-
25
18 ^ 풀이 참조
y=x
1-x€
"ƒ
① 정의역：-1<x<1인 모든 실수
② 대칭성：f(-x)=-f(x)이므로 원점에 대하여 대칭이다.
③ 극점：y'="ƒ1-x€+x_
즉 y'=0에서 x=+ 1
'2
-2x
2"ƒ1-x€
=
1-2x€
"ƒ1-x€
9. 집중 연습 107
x+0인 모든 실수에서 y"<0이므로 위로 볼록한 함수이다.
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
④ 변곡점：
y"=
=
(-4x)"ƒ1-x€-(1-2x€)_
1-x€
-2x
2"ƒ1-x€
(-4x)(1-x€)+x(1-2x€)
(1-x€)"ƒ1-x€
=
x(2x€-3)
(1-x€)"ƒ1-x€
-1<x<1에서 변곡점이 될 수 있는 x는 0뿐이다.
⑤ 점근선：존재하지 않는다.
⑥ 절편：(0, 0)과 (+1, 0)을 지난다.
⑦ 증감표
x -1 y - 1
'2
0
-
y'
y 0 y
+ + +
+ + + 0 -
y 1
-
-
0 ⤷
⤴ 0
⤵ 0
y"
y
극소
-;2!;
1
'2
0
0
;2!;
극대
=
2(2 ln x-1)(ln x+1)
x€
{;x!;}
ln x
즉 x=;e!;, 'e 에서 변곡점을 가진다.
⑤ 점근선： lim
x d $
ln x=$, lim
x d 0+
ln x€=-$이므로
ln x
ln x
lim
x d ${;x!;}
=0, lim
x d 0+{;x!;}
⑥ 절편：축과 만나지 않는다.
=0이고, x축이 점근선이 된다.
⑦ 증감표
x y
y' +
y" +
;e!;
+
0
;e!;
y
+
-
1
0
-
극대
1
y
-
-
⤵
'e
-
0
변곡점
›'e
y
-
+
⤷
변곡점
y
⤴
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
y
y
;2!;
1
--
'2
-1
x
1
1
-
'2
O
-;2!;
y= ( )ln x
;x!;
O
;e!;
1
'e
x
19 ^ 풀이 참조
ln x
y=
{;x!;}
① 정의역：x>0인 모든 실수
② 대칭성：없다.
③ 극점：ln y=ln x_ln ;x!;=-(ln x)€
y'
y
=-2(ln x)_;x!; 에서
y'=-
_y=-
2 ln x
x
2 ln x
x
{;x!;}
ln x
즉 y'=0에서 x=1
④ 변곡점：
y'={-
2 ln x
x }
y를 미분하면
y"={-
2 ln x
'
x }
y+{-
2 ln x
x }
y'
108 정답과 풀이
20 ^ 풀이 참조
y=xx (x>0)
① 정의역：x>0인 모든 실수
② 대칭성：없다.
③ 극점：y=xx (x>0)의 양변에서 로그를 취하면
ln y=xln x
양변을 미분하면
=ln x+1이므로
y'
y
y'=(ln x+1)y=(ln x+1)xx
즉 y'=0에서 x=;e!;
④ 변곡점
y'=(ln x+1)y을 다시 미분하면
y"=(ln x+1)'y+(ln x+1)y'
={;x!;} y+(ln x+1)(ln x+1)y
={;x!;+(ln x+1)€} xx
=(-2){
1-ln x
x€
}y+{-
2 ln x
x }{-
2 ln x
x } y
={
-2+2 ln x
x€
} y+{
4(ln x)€
x€
} y
={
4(ln x)€+2 ln x-2
x€
} y
x>0에서 y">0이므로 y가 나타내는 곡선은 x>0에서 아래
로 볼록하다.
⑤ 점근선： lim
x d $
xx=$, lim
x d 0+
xx=1이고, 점근선이 존재하지 않는다.
x ln x=0이므로
lim
x d 0+
⑥ 절편：축과 만나지 않는다.
⑷ x=t €으로 치환하면 dx=2tdt, 이때
⑦ 증감표
x
y'
y"
y
;e!;
0
+
극소
e-;e!;
y
+
+
⤴
1
…
0
(ex€+x+ex+'x)dx=…
ex€+xdx+…
et €+t*2tdt
1
0
=…
ex€+xdx+…
0
1
2xex€+xdx
=…
1
(2x+1)ex€+xdx
1
=“ex€+x
‘
0
=e€-1
1
0
1
0
0
위 결과를 이용하여 그래프 개형을 그려 보면 아래와 같다.
(0)
y
1
-;e!;
e
O
y
-
+
⤷
;e!;
y=x˛
x
02 ^ ⑴ -
1
p
⑵ 2(e€-e) ⑶ 14 ⑷ ;2!; ln {
3e-3
e+1 }
⑴ ln x=t 로 치환하면 ;x!; dx=dt
e cos(pln x)
x
…
'e
1
cos (pt)dt
dx=…
=“
sin pt‘
=-
1
;2!;
1
p
;2!;
1
p
⑵ 'x=t 로 치환하면 1
2'x
2
2etdt=“2et
‘
1
e'x dx=…
…
dx=dt
2
1
4 1
'x
1
=2(e€-e)
⑶ 'ß4-x =t 로 치환하면 4-x=t €
즉 -dx=2tdt
…
3'ß4-x dx=…
3
0
1
2
2
(-6t €)dt=“2t 3
‘
1
=14
1
1
⑷ …
ex-e-x dx=…
ln 2
ex=t 로 치환하면 exdx=dt
ln 2
1
ex
e2x-1
dx에서
(주어진 식)=…
2
e
1
t÷2-1
dt=;2!; “ln
t-1
t+1 ‘
e
2
=;2!; ln {
3e-3
e+1 }
참고
1
t €-1
…
dt=…;2!; {
1
t-1
-
1
t+1 } dt
=;2!; (ln |t-1|-ln |t+1|)
=;2!; {ln|
t-1
t+1 |}+C
9. 집중 연습 109
2 정적분 연습
01 ^ ⑴ 15
⑵ ;5@; ⑶ ;2!;(1-ln 2) ⑶ e€-1
⑴ x€+1=t 로 치환하면 2xdx=dt
…
8x(x€+1)‹dx=…
4t ‹dt=“t ›‘
=15
2
1
1
0
2
1
;2π;
⑵ …
0
sin‹ x sin 2xdx=…
0
;2π;
2sin›x cos xdx에서
sin x=t 로 치환하면 cos xdx=dt
;2π;
…
0
2sin›x cos xdx= …
2t ›dt=“;5@;t fi‘
=;5@;
1
0
1
0
;4π;
⑶ …
0
tan‹ xdx= …
0
;4π;
tan€x tan xdx
= …
;4π;
tan x(sec€x-1)dx
= …
tan xsec€xdx-…
0
;2π;
tan xdx
에서 tan x=t 로 치환하면 sec€xdx=dt
;2π;
0
0
1
(주어진 식)= …
tdt- …
0
0
;4π;
tan xdx
=“;2!;t €‘
+“ln|cos x|‘
0
;4π;
1
0
=;2!; (1-ln 2)
03 ^ ⑴ ;1¡0;
{e;3@; p-3} ⑵ e-2 ⑶ 1-;e@; ⑷ 2(e€+1)
⑴ u=cos x, v'=e3x라 하면 u'=-sin x, v=;3!;e3x이므로
I=…e3xcos xdx=;3!; e3xcos x-… ;3!; e3x(-sin x)dx
=;3!; e3xcos x+;3!; … e3xsin xdx
=;3!; e3xcos x+;3!; {;3!; e3xsin x-… ;3!; e3xcos xdx}
=;3!; e3xcos x+;9!; e3xsin x-;9!;I
에서
I=;1¡0; e3x(3cos x+sin x)
;2π;
따라서 …
0
e3xcos xdx=“;1¡0; e3x(3cos x+sin x)‘
0
;2π;
=;1¡0; {e;2#; p-3}
⑵ u=(ln x)€, v'=1로 놓으면 u'=2(ln x)*;x!;, v=x
4 … (ln x)€dx=(ln x)€*x-…
1
e
2ln xdx
=x(ln x)€-2(x ln x-x)+C
이때 …
(ln x)€dx=“x(ln x)€-2x ln x+2x‘
e
1
e
1
=e-2e+2e-2
=e-2
⑶ …
1
e ln x
x€
dx=“-;x!; ln x‘
e
1
e 1
x€
+…
1
dx
=-
1
e
e
+“-;x!;‘
1
=-
2
e
+1
⑷ 'x =t 로 치환하면 x=t €에서 dx=2tdt
4
…
0
e'xdx=…
0
2
2
2tetdt=2 “tet-et
‘
0
=2(e€+1)
다른 풀이
⑴ 부호
① (+)
미분
cos x
② (-) -sin x
③ (+) -cos x
적분
e3x
;3!; e3x
;9!; e3x
… e3xcos xdx=;3!; e3xcos x+;9!; e3xsin x-;9!; … e3xcos xdx
※ ③에서 ①과 같은 모양이 나왔으므로 이때는 가로로 곱하고 곱한
것에 적분 기호를 씌운다.
⑵ 부호
① (+)
미분
(ln x)€
② (-)
2ln x_;x!;
적분
1
x
…(ln x)€dx=x(ln x)€-2… ln xdx
※ ②에서 가로로 곱하면 간단한 꼴이 되므로 가로로 곱하고 적분 기
호를 씌우면서 끝낸다.
⑶ 부호
(+)
(-)
(-)
(+)
미분
ln x
;x!;
1
0
적분
1
x€
-;x!;
1
x€
-
;x!;
ln x
x€
dx=-
…
※ 두 번째 줄에서 곱한 결과와 세 번째 줄에서 곱한 결과가 서로 같도
+C
-
ln x
x
1
x
록 할 때 미분 요소가 상수가 되도록 한다.
참고
고 생각한다.
도표적분법에서 가로 방향으로 곱할 때는 곱한 것에 적분 기호를 씌운다
110 정답과 풀이
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