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내신 꼭 고등수학(A) 1학기 중간고사.pdf 다운로드 | 답지저장소
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정답과 풀이
4주 전
3주 전
2주 전
1주 전
002
012
025
032
4주 전
학교시험에 꼭 나오는 교과서 문제
02-1 (x2-1)(2x+1)=2x3+x2-2x-1
02-2 (x-3)(x2-4) =x3-4x-3x2+12
=x3-3x2-4x+12
01-3 ⑤
03-1 ⑤
05-1 ②
01-4 ④
03-2 ①
05-2 ④
1일차
01-1 ⑤
02-1 ③
04-1 ④
06-1 ②
01-2 ④
02-2 ③
04-2 ②
06-2 ⑤
01-1 (2x2+3)+(x2-2x)
=2x2+3+x2-2x
=(2x2+x2)-2x+3
=3x2-2x+3
Lecture
다항식의 덧셈과 뺄셈
Ú 괄호가 있는 경우 괄호부터 풀기
Û 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리하기
Ü 동류항끼리 모아서 간단히 정리하기
03-1 (x+2y)(3x-y)를 전개하면 xy항은
-xy+6xy=5xy
따라서 주어진 식의 전개식에서 xy의 계수는 5
이다.
오답 피하기
전개식에서 특정한 항의 계수를 구할 때는 주어진 식을
모두 전개하지 않고 분배법칙을 이용하여 구하고자 하는
항이 나오는 항들만 전개하여 계수를 구한다.
01-2 (3x2-2x+1)+(x2+x-2)
=3x2-2x+1+x2+x-2
=(3x2+x2)+(-2x+x)+(1-2)
=4x2-x-1
03-2 (x2-4x+1)(2x2+3)을 전개하면 x2항은
x2´3+1´2x2=5x2
따라서 주어진 식의 전개식에서 x2의 계수는 5이다.
01-3 A-B
=(2x2-x+1)-(x2+3x+3)
=2x2-x+1-x2-3x-3
=(2x2-x2)+(-x-3x)+(1-3)
=x2-4x-2
오답 피하기
빼는 식의 각 항의 부호에 주의한다.
A-(B+C)=A-B-C
쌍둥이
문제
다항식 (3x2+2x+1)(x2-2x+3)의 전개
식에서 x3의 계수를 구하시오.
[ 풀이 ]
(3x2+2x+1)(x2-2x+3)을 전개하면 x3항은
3x2´(-2x)+2x´x2=-4x3
따라서 주어진 식의 전개식에서 x3의 계수는 -4
이다.
답 -4
01-4 A+2B =(x2-2x-1)+2(x2-4)
=x2-2x-1+2x2-8
=(x2+2x2)-2x+(-1-8)
=3x2-2x-9
04-1 (2x+1)(4x2-2x+1)
=(2x+1){(2x)2-2x´1+12}
=(2x)3+13
=8x3+1
2 정답과 풀이
본문 10 ~13쪽 04-2 (x-2)(x+2)(x2+4)
=(x2-4)(x2+4)
=x4-16
05-1 x2+y2 =(x+y)2-2xy
=42-2´(-1)
=18
Lecture
곱셈 공식의 변형
⑴ a2+b2=(a+b)2-2ab
⑵ a2+b2=(a-b)2+2ab
05-2 x2+y2 =(x-y)2+2xy
=(-5)2+2´(-3)
=19
06-2
2x-1
x +3
2x2+5x+3
2x2- x
< Ô
6x+3
6x-3
6
∴ 몫: x+3, 나머지: 6
2일차
01-1 a=2, b=-5
01-4 ②
02-3 -2
03-3 ①
04-3 ③
02-1 ③
02-4 ②
03-4 ④
04-4 ④
01-2 ②
02-2 ③
03-1 ③
04-1 ⑤
01-3 ③
03-2 ③
04-2 ③
01-1 ax+b=2x-5가 x에 대한 항등식이므로
a=2, b=-5
06-1 -
;3!;
6
6
5
3
-2 -1
2
1
01-2 (a-2)x+b+3=0이 x에 대한 항등식이므로
a-2=0, b+3=0
따라서 a=2, b=-3이므로
a+b=2+(-3)=-1
∴ 6x2+5x+2=
{
x+
;3!;}
(6x+3)+1
=
x+
{
;3!;}
´3(2x+1)+1
=(3x+1)(2x+1)+1
∴ 몫: 2x+1, 나머지: 1
오답 피하기
6x+3은 6x2+5x+2를 x+
로 나누었을 때의 몫이다.
;3!;
다른 풀이
3x+1
2x +1
6x2+5x+2
< Ô
6x2+2x
3x+2
3x+1
1
∴ 몫: 2x+1, 나머지: 1
01-3 ax2+2x+2=x2+bx+c가 x에 대한 항등식이
므로
a=1, b=2, c=2
∴ a+b+c=1+2+2=5
01-4 ax2+bx+c-1=2x2+x+1이 x에 대한 항등
식이므로
a=2, b=1, c-1=1
따라서 a=2, b=1, c=2이므로
abc=2´1´2=4
4주 전 3
본문 14 ~17쪽 02-1 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면
03-2 f(x)=-2x 2+6x+1 이라 하면 나머지정리에
의하여
f(2)=-8+12+1=5
4x-3=(a+b)x-a
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
4=a+b, -3=-a
이를 연립하여 풀면 a=3, b=1
∴ a2+b2=32+12=10
Lecture
등식 f(x)가 x에 대한 항등식임을 나
타내는 표현
① 모든 실수 x에 대하여 성립하는 등식 f(x)
② x의 값에 관계없이 항상 성립하는 등식 f(x)
③ 임의의 실수 x에 대하여 성립하는 등식 f(x)
④ 어떤 실수 x에 대하여도 항상 성립하는 등식 f(x)
02-2 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면
2x2+ax+b=2x2+5x-3
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
a=5, b=-3
∴ a+b=5+(-3)=2
02-3 2x2-7x+4=ax(x-1)+b(x-1)(x-2)
가 x에 대한 항등식이므로
양변에 x=2를 대입하면 -2=2a
양변에 x=0을 대입하면 4=2b
양변에 x=1을 대입하면 -1=-c
∴ a-b+c=-1-2+1=-2
+cx(x-2)
∴ a=-1
∴ b=2
∴ c=1
02-4 x2-2x+3=a(x-2)(x-1)+b(x-1)+c가
x에 대한 항등식이므로
양변에 x=0을 대입하면 3=2a-b+c
양변에 x=1을 대입하면 2=c
양변에 x=2를 대입하면 3=b+c
이를 연립하여 풀면 a=1, b=1, c=2
∴ a+b+c=1+1+2=4
03-1 f(x)=2x2-x+4라 하면 나머지정리에 의하여
f(1)=2-1+4=5
4 정답과 풀이
03-3 f(x)=x3+5x2-2x+8이라 하면 나머지정리에
의하여
f(1)=1+5-2+8=12
03-4 f(x)=x3+4x2-3x+1이라 하면 나머지정리에
의하여
f(-1)=-1+4+3+1=7
04-1 f(x)=10x4+ax2+2x-15라 하면 인수정리에
의하여
f(-1)=10+a-2-15=0
∴ a=7
04-2 f(x)=x3+ax2-x+2라 하면 인수정리에 의하여
f(1)=1+a-1+2=0
∴ a=-2
따라서 f(x)=x3-2x2-x+2이므로 나머지정
리에 의하여
f(-1)=-1-2+1+2=0
04-3 f(x)=x3+ax2-2bx-4라 하면 인수정리에 의
하여
f(1)=1+a-2b-4=0
∴ a-2b=3 yy ㉠
또 나머지정리에 의하여
f(2)=8+4a-4b-4=8
yy ㉡
∴ a-b=1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=-2
∴ a+b=-1+(-2)=-3
04-4 f(x)=x3+3ax2-bx-2라 하면 인수정리에 의
하여
f(1)=1+3a-b-2=0
∴ 3a-b=1 yy ㉠
또 나머지정리에 의하여
f(-1)=-1+3a+b-2=2
∴ 3a+b=5 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=2
∴ x3+3x+4=(x+1)(x2-x+4)
따라서 a=-1, b=4이므로 a+b=3
다른 풀이
x3+3x+4=(x+1)(x2+ax+b)이므로 우변을 전
개하면
x3+3x+4=x3+(a+1)x2+(a+b)x+b
이 식은 x에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면
a+1=0, a+b=3, b=4
따라서 a=-1, b=4이므로 a+b=3
02-2 f(x)=x3-6x+4라 하면 f(2)=0이므로 f(x)
는 x-2를 인수로 갖는다.
따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
3일차
01-1 ⑤
02-1 ③
04-1 ③
06-1 ②
01-2 ④
02-2 ⑤
04-2 ④
06-2 ①
01-1 x2-16=x2-42=(x+4)(x-4)
01-3 ⑤
03-1 ②
05-1 ④
01-4 ⑤
03-2 ③
05-2 ②
2
1
1
0 -6
2
4
4 -4
2 -2
0
∴ x3-6x+4=(x-2)(x2+2x-2)
01-2 x2-9y2=x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y)
5)i이므로 실수부분은 2, 허
03-1 ① 0은 복소수이다.
5i=2+(-
③ 2-
'
수부분은 -
'
5이다.
'
부분은 -3이다.
④ -3i=0+(-3)i이므로 실수부분은 0, 허수
⑤ a가 실수라는 조건이 없으므로 a가 허수일 수
도 있다. 예를 들어 a=i, b=0이면 a+bi=i
는 순허수이다.
01-3 x2y+2xy+y =y(x2+2x+1)
=y(x2+2´x´1+12)
=y(x+1)2
01-4 x2y+2xy-3y =y(x2+2x-3)
=y(x+3)(x-1)
03-2 ③
'¶
-2=
2i이므로 허수이다.
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
'
02-1 x3+3x+4가 x+1로 나누어떨어지므로 조립제
04-1 1-2iÓ=1+2i
법을 이용하면
-1
1
0
-1
4
3
1 -4
1 -1
4
0
04-2 zÕ=3+4iÓ=3-4i
4주 전 5
본문 18 ~21쪽 05-1 ① (2-2i)+(1+4i) =(2+1)+(-2+4)i
② (-3+2i)-(2-2i) =-3+2i-2+2i
=3+2i
③ (1+
3i)(1-
3i) =12-(
'
'
=(-3-2)+(2+2)i
=-5+4i
3i)2
'
=1-3i 2
=1+3=4
④ (2+i)(2-3i) =4-6i+2i-3i 2
=4-6i+2i+3
=(4+3)+(-6+2)i
=7-4i
⑤
3+i
2+i
115
=
(3+i)(2-i)
(2+i)(2-i)
1111124
6-3i+2i-i 2
22-i 2
1111115
6-3i+2i+1
4+1
111111
=
=
=
-
i
;5!;
;5&;
4일차
01-1 ③
02-1 ①
03-1 ②
05-1 ②
01-2 ⑤
02-2 ④
03-2 ②
05-2 ①
01-3 ②
02-3 ⑤
04-1 ③
05-3 ⑤
01-4 ③
02-4 4
04-2 ②
05-4 ③
01-1 이차방정식의 판별식을 D라 하면
① D=(-5)2-4´1´(-2)=33>0
이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
D
14
이므로 중근을 갖는다.
③ D=52-4´2´6=-23<0
6)2-2´3=0
'
=(-
②
이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.
④ D=52-4´3´1=13>0
⑤
이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
D
14
이므로 중근을 갖는다.
=(-3)2-9´1=0
따라서 실근을 갖지 않는 것은 ③이다.
Lecture
분모가 허수인 분수
분모가 허수일 때, 분모와 분자에 각각 분모의 켤레복
소수를 곱하여 분모를 실수화한다.
1
a+bi
1125
úk
=
a-bi
(a+bi)(a-bi)
11111123
a-bi
a2+b2 ( a, b는 실수)
1123
=
Lecture
일차항의 계수가 짝수인 이차방정식의
근의 판별
이차방정식 ax2+2b'x+c=0에서 D=4(b'2-ac)
이므로
=b'2-ac를 이용하여 근을 판별할 수도
D
14
있다.
05-2 (2+3i)(5-2i) =10-4i+15i-6i 2
01-2 이차방정식의 판별식을 D라 하면
① D=02-4´1´3=-12<0
=10-4i+15i+6
=(10+6)+(-4+15)i
=16+11i
③
=12-1´(-1)=2>0
이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.
② D=(-1)2-4´1´(-4)=17>0
이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
D
14
이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
D
14
이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
D
14
이므로 중근을 갖는다.
=32-3´1=6>0
=22-4´1=0
⑤
④
따라서 중근을 갖는 것은 ⑤이다.
01-3 x2+4x+2(k+1)=0의 판별식을 D라 하면
06-1 복소수가 서로 같을 조건에 의하여
x-2=-1, y+1=2
즉 x=1, y=1이므로 x+y=2
06-2 (3+i)+(2-4i)=x+yi에서
5-3i=x+yi
복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x=5, y=-3
이므로 x+y=2
6 정답과 풀이
본문 22 ~25쪽 D
14
=22-1´2(k+1)=-2k+2
서로 다른 두 실근을 가지려면
>0이어야 하므로
D
14
-2k+2>0
∴ k<1
01-4 x2+(2k-1)x+k2=0의 판별식을 D라 하면
D=(2k-1)2-4´1´k2=-4k+1
서로 다른 두 실근을 가지려면 D>0이어야 하므로
-4k+1>0
∴ k<
;4!;
따라서 정수 k의 최댓값은 0이다.
02-1 이차방정식 x2-x+2=0의 두 근이 a, b이므로
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=1, ab=2
∴
+
;@;
;º@;
=
2(a+b)
1111ab
=
2´1
1232
=1
02-2 이차방정식 x2+5x+3=0의 두 근이 a, b이므로
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-5, ab=3
∴ a2+b2 =(a+b)2-2ab
=(-5)2-2´3=19
쌍둥이
문제
이차방정식 x2-3x-1=0의 두 근을 a, b라
할 때, a3+b3의 값을 구하시오.
[ 풀이 ]
이차방정식 x2-3x-1=0의 두 근이 a, b이므로
근과 계수의 관계에 의하여 a+b=3, ab=-1
∴ a3+b3 =(a+b)3-3ab(a+b)
=33-3´(-1)´3=36
답 36
02-3 이차방정식 x2-5x+k=0의 두 근이 a, b이므로
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=5, ab=k
∴
+
;©;
;ºÄ;
=
=
a2+b2
111ab
52-2´k
k
11125
=
(a+b)2-2ab
ab
1111113
=
25-2k
1113k
+
;ºÄ;
=3이므로
이때
;©;
25-2k
1113k
=3, 25-2k=3k
∴ k=5
02-4 이차방정식 x2+3x+k=0의 두 근이 a, b이므로
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-3, ab=k
∴ a3+b3 =(a+b)3-3ab(a+b)
=(-3)3-3´k´(-3)
=9k-27
이때 a3+b3=9이므로
9k-27=9
∴ k=4
03-1 이차함수 y=x2+ax+b의 그래프가 x축과 만나
는 두 점의 x좌표가 -2, 1이므로 이차방정식
x2+ax+b=0의 두 실근이 -2, 1이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
-2+1=-a, -2´1=b
따라서 a=1, b=-2이므로
a+b=1+(-2)=-1
Lecture
이차함수의 그래프와 이차방정식의 실
근 사이의 관계
이차함수 y=ax2+bx+c의 그래프와 x축의 교점
의 좌표가 (a, 0), (b, 0)이다.
이차방정식 ax2+bx+c=0의 해는 x=a 또는
HjK
x=b이다.
03-2 이차함수 y=x2-ax+b의 그래프가 x축과 만나
는 두 점의 x좌표가 -1, 3이므로 이차방정식
x2-ax+b=0의 두 실근이 -1, 3이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
4주 전 7
-1+3=a, -1´3=b
따라서 a=2, b=-3이므로
a-b=2-(-3)=5
다른 풀이
두 근이 -1, 3이고 x2의 계수가 1인 이차방정식은
(x+1)(x-3)=0, 즉 x2-2x-3=0
이 방정식이 x2-ax+b=0과 같으므로
a=2, b=-3
∴ a-b=2-(-3)=5
Lecture
실수 전체에서 정의된 이차함수의 최
대·최소
이차함수 y=a(x-p)2+q에서
⑴ a>0이면 x=p에서 최솟값 q를 갖고, 최댓값은
⑵ a<0이면 x=p에서 최댓값 q를 갖고, 최솟값은
없다.
없다.
04-1 이차방정식의 판별식을 D라 하면
① D=02-4´1´(-1)=4>0
②
③
④
=(-1)2-1´(-3)=4>0
이므로 서로 다른 두 점에서 만난다.
D
14
이므로 서로 다른 두 점에서 만난다.
D
14
이므로 만나지 않는다.
D
14
이므로 한 점에서 만난다.
=32-(-1)´(-9)=0
=22-1´5=-1<0
⑤ D=12-4´(-2)´2=17>0
이므로 서로 다른 두 점에서 만난다.
따라서 x축과 만나지 않는 것은 ③이다.
04-2 이차함수 y=-x2+5x+k의 그래프가 x축과 만
나지 않으려면 이차방정식 -x 2+5x+k=0 의
판별식을 D라 할 때, D<0이어야 하므로
D=52-4´(-1)´k<0
∴ k<-
:ª4°:
05-1 이차함수 y=x2+2ax+b가 x=-2에서 최솟값
-8을 가지므로
y=(x+2)2-8=x2+4x-4
따라서 2a=4, b=-4이므로
a=2, b=-4
∴ a+b=2+(-4)=-2
8 정답과 풀이
05-2 이차함수 y=x2+4x+a가 x=b에서 최솟값 2를
가지므로
y=(x-b)2+2=x2-2bx+b2+2
따라서 4=-2b, a=b2+2이므로
a=6, b=-2
∴ ab=6´(-2)=-12
05-3 y =x2-2x-3
=(x-1)2-4
이므로 0ÉxÉ4에서 주어
진 함수의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
따라서 주어진 함수는 x=4
에서 최댓값 5를 갖는다.
y
5
-3
-4
y=x@-2x-3
1
O
-1
3
4
x
y
5
4
y=-x@+4x+1
05-4 y =-x2+4x+1
=-(x-2)2+5
이므로 0ÉxÉ3에서 주어
진 함수의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
이때 꼭짓점의 x좌표 2가
0ÉxÉ3에 포함되므로 x=2에서 최댓값 5, x=0
에서 최솟값 1을 갖는다.
따라서 a=5, b=1이므로
2a-b=2´5-1=9
2 3
O
x
1
5일차
01-1 ③
01-3 ④
02-1 ④
03-1 ③
à
1
2
'
01-2 x=-1 또는 x=1Ñ
01-4 ③
02-2 ③
03-2 ①
02-3 ③
03-3 ③
02-4 ①
04-1 ⑤
04-2 ③
03-4
x=-2
y=-4
또는
x=2
y=0
à
01-1 f(x)=x 3-2x 2-x+2라 하면 f(1)=0 이므로
조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
1 -2 -1
2
1 -1 -2
1 -1 -2
0
f(x) =(x-1)(x2-x-2)
=(x-1)(x+1)(x-2)
즉 주어진 방정식은
(x-1)(x+1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x=-1 또는 x=2
따라서 a=2, b=-1이므로 a-b=3
Lecture
인수정리
다항식 f(x)에 대하여 f(a)=0이면 f(x)는 일차식
x-a로 나누어떨어진다.
따라서 a=2, b=-1, c=3이므로
a+b+c=4
01-4 x3-1=x3-13=0에서
(x-1)(x2+x+1)=0
∴ x-1=0 또는 x2+x+1=0
∴ x=1 또는 x=
-1Ñ
3i
11112
'
따라서 a=1, b=-1, c=3이므로
a+b+c=3
02-1 x4-4x2=0에서 x2(x2-4)=0
x2(x+2)(x-2)=0
∴ x=0 또는 x=-2 또는 x=2
02-2 x4-25=0에서
(x2+5)(x2-5)=0
(x2+5)(x+
'
∴ x=-
5)(x-
5i 또는 x=
'
5)=0
'
5i 또는
'
x=-
5 또는 x=
'
5
'
01-2 f(x)=x3-x2-3x-1이라 하면 f(-1)=0이
므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
-1
1 -1 -3 -1
1
-1
2
0
1 -2 -1
f(x)=(x+1)(x2-2x-1)
따라서 주어진 방정식은
(x+1)(x2-2x-1)=0
∴ x+1=0 또는 x2-2x-1=0
∴ x=-1 또는 x=1Ñ
2
'
02-3 x2-4x=X라 하면 주어진 방정식은
X2+9X+18=0
(X+3)(X+6)=0
(x2-4x+3)(x2-4x+6)=0
(x-1)(x-3)(x2-4x+6)=0
∴ x=1 또는 x=3 또는 x=2Ñ
따라서 구하는 모든 실근의 합은 1+3=4
2i
'
01-3 x3-8=x3-23=0에서
(x-2)(x2+2x+4)=0
∴ x-2=0 또는 x2+2x+4=0
∴ x=2 또는 x=-1Ñ
3i
'
02-4 x2+3x=X라 하면 주어진 방정식은
X(X+2)=48, X2+2X-48=0
(X-6)(X+8)=0
∴ (x2+3x-6)(x2+3x+8)=0
4주 전 9
본문 26 ~29쪽 Ú x2+3x-6=0의 판별식을 D1이라 하면
D1=32-4´1´(-6)=33>0
이므로 이 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖
는다.
Û x2+3x+8=0의 판별식을 D2라 하면
D2=32-4´1´8=-23<0
이므로 이 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖
는다.
Ú, Û에서 한 허근 x는 방정식 x2+3x+8=0의
근이므로
x2+3x+8=0
∴ x2+3x=-8
03-3
x-y=4
x2+y2=26
yy ㉠
yy ㉡
à
㉠에서 y=x-4 yy ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 x2+(x-4)2=26
x2-4x-5=0, (x+1)(x-5)=0
∴ x=-1 또는 x=5
Ú x=-1을 ㉢에 대입하면 y=-5
Û x=5를 ㉢에 대입하면 y=1
Ú, Û에서 연립방정식의 해는
x=-1
y=-5
또는
x=5
y=1
à
따라서 ab의 값은 5이다.
à
03-1
2x+3y=0
x2+y2=13
à
㉠에서 y=-
yy ㉠
yy ㉡
x yy ㉢
;3@;
㉢을 ㉡에 대입하면 x2+
-
x
}
;3@;
{
2
=13
x2=13, x2=9
:Á9£:
∴ x=Ñ3
Ú x=-3을 ㉢에 대입하면 y=2
Û x=3을 ㉢에 대입하면 y=-2
Ú, Û에서 연립방정식의 해는
x=-3
y=2
또는
x=3
y=-2
à
따라서 xy의 값은 -6이다.
à
03-2
x-y=1
x2+y2=13
yy ㉠
yy ㉡
à
㉠에서 y=x-1 yy ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 x2+(x-1)2=13
x2-x-6=0, (x+2)(x-3)=0
∴ x=-2 또는 x=3
Ú x=-2를 ㉢에 대입하면 y=-3
Û x=3을 ㉢에 대입하면 y=2
Ú, Û에서 연립방정식의 해는
x=-2
y=-3
또는
x=3
y=2
à
따라서 xy의 값은 6이다.
à
10 정답과 풀이
03-4
x-y=2
x2+2xy-y2=4
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
à
㉠에서 y=x-2
㉢을 ㉡에 대입하면
x2+2x(x-2)-(x-2)2=4, x2-4=0
(x+2)(x-2)=0
∴ x=-2 또는 x=2
Ú x=-2를 ㉢에 대입하면 y=-4
Û x=2를 ㉢에 대입하면 y=0
Ú, Û에서 연립방정식의 해는
x=-2
y=-4
또는
x=2
y=0
à
à
04-1
(x+y)(x-y)=0
x2-xy+2y2=8
yy ㉠
yy ㉡
à
㉠에서 x=-y 또는 x=y
Ú x=-y를 ㉡에 대입하면
(-y)2-(-y)´y+2y2=8
y2=2
∴ y=Ñ
2, y=Ð
∴ x=Ñ
2
2 (복호동순)
'
Û x=y를 ㉡에 대입하면
y2-y´y+2y2=8
y2=4
∴ y=Ñ2
∴ x=Ñ2, y=Ñ2 (복호동순)
'
'
Ú, Û에서 연립방정식의 해는
2
x=
'
y=-
'
또는
2
2
'
x=-
2
y=
'
또는
à
à
x=-2
2
y=
따라서 주어진 연립방정식의 해가 아닌 것은 ⑤
이다.
x=2
y=2
또는
-
à
à
04-2
x2-2xy-3y2=0
x2+y2=10
yy ㉠
yy ㉡
à
㉠의 좌변을 인수분해하면 (x+y)(x-3y)=0
∴ x=-y 또는 x=3y
Ú x=-y를 ㉡에 대입하면
5
5 (복호동순)
(-y)2+y2=10
y2=5
∴ x=Ñ
∴ y=Ñ
5, y=Ð
'
Û x=3y를 ㉡에 대입하면
'
'
(3y)2+y2=10
y2=1
∴ y=Ñ1
∴ x=Ñ3, y=Ñ1 (복호동순)
Ú, Û에서 연립방정식의 해는
x=
5
'
y=-
5
'
또는
5
'
x=-
5
y=
'
또는
à
à
x=-3
y=-1
따라서 주어진 연립방정식의 해가 아닌 것은 ③
이다.
또는
x=3
y=1
à
à
4주 전 11
3주 전
학교시험에 자주 나오는 대표 기출 20
1일차
01-1 ①
02-1 ①
03-1 ④
04-1 ⑤
01-2 ③
02-2 ⑤
03-2 ⑤
04-2 ②
01-3 ④
02-3 -40
03-3 ④
04-3 ③
01-4 ②
02-4 ④
03-4 ④
04-4 ①
대표 기출 01
다항식의 덧셈과 뺄셈
꼭 알고 있을 개념
⑴ 2(ax2+bx+c)=2ax2+2bx+2c
⑵ (x2+2x-5)+(3x2-x+4)
=(1+3)x2+(2-1)x+(-5+4)
=4x2+x-1
01-1 A+B =(2x2-5x+1)+(-x2+3x-2)
=2x2-5x+1-x2+3x-2
=(2-1)x2+(-5+3)x+(1-2)
=x2-2x-1
따라서 a=1, b=-2, c=-1이므로
a+b+c=1+(-2)+(-1)=-2
Lecture
다항식의 덧셈과 뺄셈
Ú 괄호가 있는 경우 괄호부터 풀기
Û 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리하기
Ü 동류항끼리 모아서 간단히 정리하기
01-2 -A+2B
=-(3x3-x2+x-2)+2(2x3+x2-1)
=-3x3+x2-x+2+4x3+2x2-2
=(-3+4)x3+(1+2)x2-x+(2-2)
=x3+3x2-x
01-3 A-2B =(5x2-3x+2)-2(2x2+x-1)
=5x2-3x+2-4x2-2x+2
=(5-4)x2+(-3-2)x+(2+2)
=x2-5x+4
12 정답과 풀이
01-4 A-(B-A)
=A-B+A=2A-B
=2(x2+xy-3y2)-(2x2-xy+4y2)
=2x2+2xy-6y2-2x2+xy-4y2
=(2-2)x2+(2+1)xy+(-6-4)y2
=3xy-10y2
대표 기출 02
전개식의 특정항의 계수
꼭 알고 있을 개념
⑴ 분배법칙
⑵ 지수법칙
x2´x3=x2+3=x5
(x+2)(y+3) =x(y+3)+2(y+3)
=xy+3x+2y+6
02-1 (2x+3)(x2-5x-7)을 전개하면 x2항은
2x´(-5x)+3´x2=-7x2
따라서 x2의 계수는 -7이다.
다른 풀이
주어진 식을 전개하면
(2x+3)(x2-5x-7)
=2x(x2-5x-7)+3(x2-5x-7)
=2x3-10x2-14x+3x2-15x-21
=2x3-7x2-29x-21
따라서 x2의 계수는 -7이다.
02-2 (3x2-2x+1)(x2+4x+3)을 전개하면 x3항은
3x2´4x+(-2x)´x2=12x3-2x3=10x3
따라서 x3의 계수는 10이다.
쌍둥이
문제
(x+3y+5)(3x-2y+4)의 전개식에서 xy
의 계수는?
① 1
④ 7
③ 5
② 3
⑤ 9
[ 풀이 ]
(x+3y+5)(3x-2y+4)를 전개하면 xy항은
x´(-2y)+3y´3x=-2xy+9xy=7xy
따라서 xy의 계수는 7이다.
답 ④
본문 32 ~35쪽 02-3 (5x2+3x+1)(2x-6)을 전개하면
x2항은
5x2´(-6)+3x´2x=-30x2+6x2=-24x2
x항은
3x´(-6)+1´2x=-18x+2x=-16x
따라서 a=-24, b=-16이므로
a+b=-24+(-16)=-40
02-4 (2x2+3x-2)(x2-1)을 전개하면
x3항은 3x´x2=3x3
x2항은
2x2´(-1)+(-2)´x2=-2x2-2x2=-4x2
따라서 a=3, b=-4이므로
a-b=3-(-4)=7
대표 기출 03
곱셈 공식을 이용한 다항식의 전개
꼭 알고 있을 개념
⑴ (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
⑵ (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
⑶ (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
03-1 (-x+2y-z)2
=(-x)2+(2y)2+(-z)2+2´(-x)´2y
+2´2y´(-z)+2´(-z)´(-x)
=x2+4y2+z2-4xy-4yz+2xz
따라서 a=8, b=-1이므로
a+b=8+(-1)=7
03-4 (x-3)(x2+3x+a)를 전개하면 x3-27이므로
a=32=9
다른 풀이
주어진 식을 전개하면
(x-3)(x2+3x+a)=x3+(a-9)x-3a
이때 x3+(a-9)x-3a=x3-27이므로
a-9=0, -3a=-27
∴ a=9
대표 기출 04
조립제법을 이용한 다항식의 나눗셈
꼭 알고 있을 개념
다항식 f(x)를 일차식 x-
로 나누었을 때의 몫을
;2!;
Q(x), 나머지를 R라 하면
f(x) =
x-
Q(x)+R
{
;2!;}
=(2x-1)´
Q(x)+R
;2!;
04-1 -1
4
1
5 -3
-4
3 -8
4 -3
8 -11
4x3+x2+5x-3
=(x+1)(4x2-3x+8)-11
따라서 몫은 4x2-3x+8, 나머지는 -11이다.
03-2 (x-3)(x+3)(x2+9) =(x2-9)(x2+9)
=x4-81
04-2 ;3!;
3 -1
3
0
3
2
1
3
1
0
3
03-3 (2x-1)(4x2+2x+1)
=(2x-1){(2x)2+2x´1+12}
=(2x)3-13
=8x3-1
3x3-x2+3x+2=
{
x-
;3!;}
(3x2+3)+3
=
x-
{
;3!;}
´3(x2+1)+3
=(3x-1)(x2+1)+3
따라서 몫은 x2+1, 나머지는 3이다.
3주 전 13
04-3 다항식 f(x)를 x+
로 나누었을 때의 몫이
;2!;
2x2-2, 나머지가 4이므로
f(x)=
{
x+
;2!;}
(2x2-2)+4
=
x+
{
;2!;}
´2(x2-1)+4
=(2x+1)(x2-1)+4
2일차
05-1 ⑤
06-1 ⑤
07-1 ⑤
08-1 ④
05-2 ④
06-2 ③
07-2 -5
08-2 ①
05-3 ④
06-3 ②
07-3 ①
08-3 ③
05-4 ④
06-4 16
07-4 ③
08-4 ④
따라서 다항식 f(x)를 2x+1로 나누었을 때의 몫
은 x2-1, 나머지는 4이다.
꼭 알고 있을 개념
대표 기출 05
항등식에서 미정계수 구하기
04-4 다항식 f(x)를 x-
로 나누었을 때의 몫이 3x-9,
;3@;
05-1 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면
항등식의 성질
⑴ ax+b=0이 x에 대한 항등식이면 a=0, b=0이다.
⑵ ax+b=2x+3이 x에 대한 항등식이면
a=2, b=3이다.
(2-a)x+3=3x+3a+b-1
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
2-a=3, 3=3a+b-1
이를 연립하여 풀면 a=-1, b=7
∴ a+b=-1+7=6
나머지가 2이므로
f(x)=
{
x-
;3@;}
(3x-9)+2
=
x-
{
;3@;}
´3(x-3)+2
=(3x-2)(x-3)+2
따라서 다항식 f(x)를 3x-2로 나누었을 때의 몫
은 x-3, 나머지는 2이다.
쌍둥이
문제
다항식 f(x)를 x-
로 나누었을 때의 몫을
;5!;
Q(x), 나머지를 R라 할 때, f(x)를 5x-1로
나누었을 때의 몫과 나머지를 차례로 구하면?
①
Q(x), 5R
;5!;
;5!;
②
Q(x), R
③ Q(x), R
④ 5Q(x),
;5!;
⑤ 5Q(x), R
R
[ 풀이 ]
다항식 f(x)를 x-
로 나누었을 때의 몫이 Q(x),
;5!;
나머지가 R이므로
f(x)=
x-
Q(x)+R
;5!;}
{
{
=
x-
´5´
Q(x)+R
;5!;}
;5!;
=(5x-1)´
Q(x)+R
;5!;
따라서 몫은
Q(x), 나머지는 R이다.
;5!;
14 정답과 풀이
05-2 주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면
ax2+(a+b)x+b+c=x2-2x-1
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
a=1, a+b=-2, b+c=-1
이를 연립하여 풀면 a=1, b=-3, c=2
∴ a-b+c=1-(-3)+2=6
다른 풀이
ax(x+1)+b(x+1)+c=x2-2x-1이 x에 대한 항
등식이므로
양변에 x=-1을 대입하면 c=2
양변에 x=0을 대입하면 b+c=-1
양변에 x=1을 대입하면 2a+2b+c=-2
이를 연립하여 풀면 a=1, b=-3, c=2
∴ a-b+c=1-(-3)+2=6
Lecture
미정계수법 - 수치대입법
답 ②
수치대입법을 사용할 때에는 미정계수의 개수만큼
서로 다른 값을 문자에 대입해야 한다.
본문 36~39쪽 05-3 2x2-x+1=a(x-1)(x+1)+bx(x+1)
+cx(x-1)
∴ a2+b2 =(a-b)2+2ab
=(-3)2+2´2=13
∴ a=-1
이 x에 대한 항등식이므로
양변에 x=0을 대입하면
1=-a
양변에 x=1을 대입하면
2=2b
양변에 x=-1을 대입하면
4=2c
∴ c=2
∴ a2+b2+c2 =(-1)2+12+22=6
∴ b=1
05-4 x2-2x+5=a(x-2)(x-1)+b(x-1)+c가
x에 대한 항등식이므로
양변에 x=0을 대입하면 5=2a-b+c
양변에 x=1을 대입하면 4=c
양변에 x=2를 대입하면 5=b+c
이를 연립하여 풀면 a=1, b=1, c=4
∴ a+b+c=1+1+4=6
대표 기출 06
k의 값에 관계없이 항상 성립할 조건
꼭 알고 있을 개념
등식 f(x)가 x에 대한 항등식임을 나타내는 표현
⑴ 모든 실수 x에 대하여 성립하는 등식 f(x)
⑵ x의 값에 관계없이 항상 성립하는 등식 f(x)
⑶ 임의의 실수 x에 대하여 성립하는 등식 f(x)
⑷ 어떤 실수 x에 대하여도 항상 성립하는 등식 f(x)
므로
x-3=0, 2x+y-5=0
이를 연립하여 풀면 x=3, y=-1
∴ x+y=3+(-1)=2
Lecture
곱셈 공식의 변형
⑴ a2+b2=(a+b)2-2ab
⑵ a2+b2=(a-b)2+2ab
06-3 주어진 등식의 좌변을 k에 대하여 정리하면
(x-2y+2)k-2x+3y-3=0
이 등식이 k에 대한 항등식이므로
x-2y+2=0, -2x+3y-3=0
이를 연립하여 풀면 x=0, y=1
∴ x-y=0-1=-1
06-4 주어진 등식의 좌변을 k에 대하여 정리하면
(2x+y-10)k-x+2y=0
이 등식이 k에 대한 항등식이므로
2x+y-10=0, -x+2y=0
이를 연립하여 풀면 x=4, y=2
∴ 3x+2y=3´4+2´2=16
대표 기출 07
나머지정리를 이용하여 나머지 구하기
⑴ 다항식 f(x)를 일차식 x-1로 나누었을 때의 나
꼭 알고 있을 개념
머지는 f(1)이다.
나머지는 f
이다.
{-;2!;}
07-1 f(x)=x3+5x2-3x+1이라 하면 나머지정리에
의하여
f(-2)=-8+20+6+1=19
06-1 (x-3)k+2x+y-5=0이 k에 대한 항등식이
⑵ 다항식 f(x)를 일차식 2x+1로 나누었을 때의
06-2 등식 (a-b+3)k+ab-2=0이 k에 대한 항등
식이므로
a-b+3=0, ab-2=0에서
a-b=-3, ab=2
07-2 나머지정리에 의하여
f(-1)=-2+1-4=-5
3주 전 15
07-3 나머지정리에 의하여
f(1)=1-2+2+1=2
08-4 f(x)=x4+ax3+bx2-3이라 하면 나머지정리
07-4 f(x)=-x3+3x2+x-5라 하면 나머지정리에
의하여
f(2)=-8+12+2-5=1
에 의하여
f(1)=1+a+b-3=4
∴ a+b=6 yy ㉠
f(-1)=1-a+b-3=-4
∴ a-b=2 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=2
∴ ab=4´2=8
08-1 f(x)=x 3+ax 2-3x-6 이라 하면 인수정리에
대표 기출 09
인수정리를 이용한 인수분해
대표 기출 08
나머지정리를 이용하여 미정계수 구하기
⑴ 다항식 f(x)를 일차식 x-2로 나누었을 때의 나
꼭 알고 있을 개념
머지는 f(2)이다.
⑵ 다항식 f(x)를 일차식 3x+2로 나누었을 때의
나머지는 f
이다.
{-;3@;}
의하여
f(-1)=-1+a+3-6=0
∴ a=4
Lecture
인수정리
다항식 f(x)를 일차식 x-a로 나누었을 때 나누어떨
어지는 경우에는 인수정리를 이용한다. 즉 f(a)=0
이다.
08-2 나머지정리에 의하여
f(2)=8+4a-2+6=4
∴ a=-2
08-3 f(x)=x3+ax2-bx-2라 하면 인수정리에 의
yy ㉠
하여
f(1)=1+a-b-2=0
∴ a-b=1
또 나머지정리에 의하여
f(-1)=-1+a+b-2=-6
∴ a+b=-3 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=-2
16 정답과 풀이
3일차
09-1 ③
10-1 ②
11-1 ②
12-1 ②
09-2 ③
10-2 ③
11-2 ③
12-2 ③
09-3 ①
10-3 ⑤
11-3 ④
12-3 ②
09-4 ⑤
10-4 ③
11-4 1+i
12-4 ③
꼭 알고 있을 개념
다항식 f(x)에서 f(1)=0이면 인수정리로부터
이므로 f(x)는 x-1을 인수로 갖는다.
f(x)=(x-1)Q(x)
09-1 f(x)=x3+6x2+11x+6이라 하면 f(-1)=0
이므로 f(x)는 x+1을 인수로 갖는다.
따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
-1
1
1
6
6
11
-1 -5 -6
5
6
0
∴ x3+6x2+11x+6 =(x+1)(x2+5x+6)
=(x+1)(x+2)(x+3)
④ x2+3x+2=(x+1)(x+2)
⑤ x2+5x+6=(x+2)(x+3)
따라서 x3+6x2+11x+6의 인수가 아닌 것은 ③
이다.
Lecture
삼차 이상의 다항식 f(x)의 인수분해
f(a)=0을 만족시키는 상수 a의 값은 다음과 같이
구한다.
a=Ñ
( f(x)의 상수항의 양의 약수)
( f(x)의 최고차항의 계수의 양의 약수)
1111111111111115
본문 40 ~43쪽 09-2 f(x)=x3+3x2-2라 하면 f(-1)=0이므로
10-1 (x-2)+2i=-1+(y+1)i에서 복소수가 서로
f(x)는 x+1을 인수로 갖는다.
따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
-1
3
0 -2
2
-1 -2
2 -2
0
1
1
∴ x3+3x2-2=(x+1)(x2+2x-2)
∴ a=-2
같을 조건에 의하여
x-2=-1, 2=y+1
따라서 x=1, y=1이므로
x+y=1+1=2
09-3 f(x)=x3-3x-2라 하면 f(-1)=0이므로
f(x)는 x+1을 인수로 갖는다.
따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
-1
1
0 -3 -2
2
1
-1
1 -1 -2
0
∴ x3-3x-2 =(x+1)(x2-x-2)
=(x+1)2(x-2)
따라서 a=1, b=-2이므로
ab=1´(-2)=-2
09-4 f(x)=x3+5x2+2x-8이라 하면 f(1)=0이므
로 f(x)는 x-1을 인수로 갖는다.
따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
1
1
1
5
1
6
2 -8
8
6
8
0
∴ x3+5x2+2x-8 =(x-1)(x2+6x+8)
=(x-1)(x+2)(x+4)
따라서 a=-1, b=2, c=4이므로
a+b+c=-1+2+4=5
대표 기출 10
복소수가 서로 같을 조건
꼭 알고 있을 개념
복소수가 서로 같을 조건
a, b가 실수일 때
⑴ a+bi=2+3i이면 a=2, b=3이다.
⑵ a+bi=0이면 a=0, b=0이다.
10-2 2x+(1-x)i=6-x+(y-2)i에서 복소수가
서로 같을 조건에 의하여
2x=6-x, 1-x=y-2
이를 연립하여 풀면 x=2, y=1
∴ 2x-y=2´2-1=3
10-3 주어진 등식의 좌변을 정리하면
(1+2i)(4-2i)=8+6i
즉 8+6i=a+bi
복소수가 서로 같을 조건에 의하여 a=8, b=6
∴ a-b=8-6=2
10-4 주어진 등식의 좌변을 정리하면
3i(2-i)-(1+i)2=6i+3-2i=3+4i
즉 3+4i=a+bi
복소수가 서로 같을 조건에 의하여 a=3, b=4
∴ ab=3´4=12
대표 기출 11
켤레복소수의 성질
꼭 알고 있을 개념
복소수 1+2i에 대하여 복소수 1-2i를 1+2i의 켤
레복소수라 하며, 1+2iÓ와 같이 나타낸다. 즉
1+2iÓ=1-2i이다.
11-1 z=a+bi ( a, b는 실수)라 하면 zÕ=a-bi이므로
(1-i)z+zÕ =(1-i)(a+bi)+(a-bi)
=2a+b-ai
3주 전 17
즉 2a+b-ai=4-i이므로 복소수가 서로 같을
조건에 의하여
2a+b=4, -a=-1
이를 연립하여 풀면 a=1, b=2
∴ z=1+2i
대표 기출 12
i의 거듭제곱의 계산
꼭 알고 있을 개념
k는 음이 아닌 정수일 때,
⑴ i 4k+1=i
⑶ i 4k+3=i 3=-i
⑵ i 4k+2=i 2=-1
⑷ i 4k+4=i 4=1
11-2 z=a+bi ( a, b는 실수)라 하면 zÕ=a-bi이므로
2z-izÕ =2(a+bi)-i(a-bi)
=2a-b+(-a+2b)i
즉 2a-b+(-a+2b)i=-1+5i이므로 복소수
가 서로 같을 조건에 의하여
2a-b=-1, -a+2b=5
이를 연립하여 풀면 a=1, b=3
∴ z=1+3i
11-3 z=a+bi ( a, b는 실수)라 하면 zÕ=a-bi이므로
(1+2i)z+3izÕ =(1+2i)(a+bi)+3i(a-bi)
=a+b+(5a+b)i
즉 a+b+(5a+b)i=3+7i이므로 복소수가 서
로 같을 조건에 의하여
a+b=3, 5a+b=7
이를 연립하여 풀면 a=1, b=2
∴ z=1+2i
11-4 z=a+bi ( a, b는 실수)라 하면 zÕ=a-bi이므로
(2+i)z+3(1-zÕi)
=(2+i)(a+bi)+3{1-(a-bi)i}
=2a-b+(a+2b)i+3(1-ai-b)
=2a-4b+3+(-2a+2b)i
즉 2a-4b+3+(-2a+2b)i=1이므로 복소수
가 서로 같을 조건에 의하여
2a-4b+3=1, -2a+2b=0
이를 연립하여 풀면 a=1, b=1
∴ z=1+i
18 정답과 풀이
12-1 i+i 2+i 3+y+i 100
=(i+i 2+i 3+i 4)+y+i 96(i+i 2+i 3+i 4)
=0
Lecture
i의 거듭제곱의 성질
⑴ i+i 2+i 3+i 4=i+(-1)+(-i)+1=0
⑵
+
1
1i
1
1i 2 +
1
1i 3 +
1
1i 4 =i 3+i 2+i+1=0
12-2 ① (-i)2013=(-1)2013´i 2013=(-1)´i=-i
② i 2+i 3+i 4=-1+(-i)+1=-i
③ i 2+i 5+i 8=-1+i+1=i
5
[
5
=
④
{
1-i
1+i }
113
1
1i
(1-i)2
(1+i)(1-i) ]
1211112
1
15i 2 =1+(-i)-1=-i
따라서 계산 결과가 다른 것은 ③이다.
⑤ 1+
+
=(-i)5=-i
Lecture
분모가 허수인 분수
분모가 허수일 때, 분모와 분자에 각각 분모의 켤레복
소수를 곱하여 분모를 실수화한다.
1
a+bi
1123
úk
=
a-bi
(a+bi)(a-bi)
11111113
a-bi
a2+b2 ( a, b는 실수)
1113
=
12-3 (1+i)10+(1-i)10={(1+i)2}5+{(1-i)2}5
=(2i)5+(-2i)5
=32i 5+(-32i 5)
=0
12-4
20
1+i
1-i }
113
{
+
{
20
1-i
1+i }
113
20
=
(1+i)2
(1-i)(1+i) ]
1211112
[
+
(1-i)2
(1+i)(1-i) ]
1211112
[
20
중근을 가지려면
=0이어야 하므로
D
14
4m+4=0
∴ m=-1
=i 20+(-i)20
=1+1
=2
4일차
13-1 ④
14-1 ④
15-1 ①
16-1 ③
13-2 ①
14-2 ④
15-2 ②
16-2 ①
13-3 ②
14-3 ③
15-3 ④
16-3 ③
13-4 ④
14-4 ③
15-4 ②
16-4 ⑤
대표 기출 13
이차방정식의 근의 판별
꼭 알고 있을 개념
a, b, c가 실수인 이차방정식 ax2+bx+c=0에서
D=b2-4ac라 할 때
⑴ D>0이면 서로 다른 두 실근을 갖는다.
⑵ D=0이면 중근을 갖는다.
⑶ D<0이면 서로 다른 두 허근을 갖는다.
13-1 x2-2x+2k-7=0의 판별식을 D라 하면
=(-1)2-1´(2k-7)=-2k+8
중근을 가지려면
=0이어야 하므로
D
14
-2k+8=0
∴ k=4
13-4 x2-2(k+3)x+k2+3=0의 판별식을 D라 하면
={-(k+3)}2-1´(k2+3)=6k+6
D
14
¾0이어야 하므로
실근을 가지려면
D
14
∴ k¾-1
6k+6¾0
따라서 가장 작은 정수 k의 값은 -1
대표 기출 14
이차방정식의 근과 계수의 관계
꼭 알고 있을 개념
이차방정식 ax2+bx+c=0의 두 근을 a, b라 할 때
⑴ a+b=-
;aB;
⑵ ab=
;aC;
14-1 이차방정식 x2-8x+2=0의 두 근이 a, b이므로
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=8, ab=2
∴
+
;!;
;º!;
=
a+b
112ab
=
=4
;2*;
14-2 이차방정식 x2+2x+3=0의 두 근이 a, b이므로
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-2, ab=3
∴ a3+b3 =(a+b)3-3ab(a+b)
=(-2)3-3´3´(-2)
=-8+18=10
13-2 x2-4x+3-a=0의 판별식을 D라 하면
=(-2)2-1´(3-a)=a+1
서로 다른 두 허근을 가지려면
<0이어야 하므로
D
14
a+1<0
∴ a<-1
Lecture
곱셈 공식의 변형
⑴ a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)
⑵ a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b)
13-3 x2-2(m+2)x+m2=0의 판별식을 D라 하면
={-(m+2)}2-1´m2=4m+4
14-3 이차방정식 x2-5x+1=0의 두 근이 a, b이므로
근과 계수의 관계에 의하여
3주 전 19
D
14
D
14
D
14
본문 44 ~47쪽 a+b=5, ab=1
∴
+
;©;
;ºÄ;
=
(a+b)2-2ab
ab
11121123
=
a2+b2
111ab
52-2´1
1
11125
=
=23
Lecture
곱셈 공식의 변형
⑴ a2+b2=(a+b)2-2ab
⑵ a2+b2=(a-b)2+2ab
14-4 이차방정식 x2-2x-2=0의 두 근이 a, b이므로
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2, ab=-2
∴ (a2-2)(b2-2)
=a2b2-2a2-2b2+4
=(ab)2-2(a2+b2)+4
=(ab)2-2{(a+b)2-2ab}+4
=(-2)2-2{22-2´(-2)}+4
=4-16+4
=-8
다른 풀이
이차방정식 x2-2x-2=0의 두 근이 a, b이므로
x=a를 대입하면
a2-2a-2=0, a2-2=2a
또 x=b를 대입하면
b2-2b-2=0, b2-2=2b
따라서 주어진 식은 (a2-2)(b2-2)=2a´2b=4ab
이때 근과 계수의 관계에 의하여 ab=-2이므로
(a2-2)(b2-2)=4ab=4´(-2)=-8
Lecture
이차방정식의 두 근
이차방정식 x2+ax+b=0의 두 근을 a, b라 하면
a2+aa+b=0, b2+ab+b=0이 성립한다.
대표 기출 15
이차함수의 그래프와 이차방정식의 해
꼭 알고 있을 개념
이차함수 y=ax2+bx+c의 그래프와 x축의 교점의
x좌표는 이차방정식 ax2+bx+c=0의 실근과 같다.
20 정답과 풀이
15-1 이차함수 y=x2+ax-6의 그래프가 x축과 만나
는 두 점의 x좌표가 -2, b이므로 이차방정식
x2+ax-6=0의 두 실근이 -2, b이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
-2+b=-a, -2b=-6
이를 연립하여 풀면 a=-1, b=3
∴ 2a+b=2´(-1)+3=1
쌍둥이
문제
이차함수 y=2x2-ax+b의 그래프가 x축과
두 점 (-2, 0), (1, 0)에서 만날 때, 상수 a,
b에 대하여 a-b의 값은?
① -2
④ 1
② -1
⑤ 2
③ 0
[ 풀이 ]
이차함수 y=2x2-ax+b의 그래프가 x축과 만나
는 두 점의 x좌표가 -2, 1이므로 이차방정식
2x2-ax+b=0의 두 실근이 -2, 1이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
-2+1=
;2A;, -2´1=
따라서 a=-2, b=-4이므로
a-b=-2-(-4)=2
;2B;
답 ⑤
15-2 이차함수 y=x2-10x+8의 그래프가 x축과 만
나는 두 점의 x좌표가 a, b이므로 이차방정식
x2-10x+8=0의 두 실근이 a, b이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=10, ab=8
∴ (a-3)(b-3) =ab-3(a+b)+9
=8-3´10+9
=-13
15-3 이차함수 y=x2+6x+a의 그래프가 x축과 만나
는 두 점의 x좌표를 a, b라 하면 이차방정식의 근
과 계수의 관계에 의하여
a+b=-6, ab=a
주어진 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 두 점
사이의 거리가 4이므로 |a-b|=4에서
(a-b)2=16
이때 (a-b)2=(a+b)2-4ab이므로
16=(-6)2-4a
∴ a=5
15-4 이차함수 y=f(x)의 그래프가 두 점 (-1, 0),
16-2 이차함수 y=x2+2x+a+3의 그래프가 x축과
(2, 0)을 지나므로
f(x)=a(x+1)(x-2)(a>0)
이차방정식 f(x)=0에 x 대신 x+k를 대입하면
f(x+k)=a(x+k+1)(x+k-2)=0
이차방정식 f(x+k)=0의 두 실근은
-k-1, -k+2
이때 이차방정식 f(x+k)=0의 두 실근이 -3, 0
이므로
-k-1=-3, -k+2=0
∴ k=2
Lecture
x축과의 교점이 주어진 이차함수의 식
x축과의 교점의 좌표가 (a, 0), (b, 0)이고 이차항의
계수가 a(a+0)인 이차함수의 식은
y=a(x-a)(x-b)
대표 기출 16
이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계
꼭 알고 있을 개념
판별식의 부호
D>0
D=0
D<0
이차방정식
ax2+bx+c=0의 근
서로 다른
두 실근
중근
서로 다른
두 허근
한 점에서 만나려면 이차방정식
x2+2x+a+3=0의 판별식을 D라 할 때, D=0
이어야 하므로
D
14
=12-1´(a+3)=0
∴ a=-2
16-3 이차함수 y=x2+2x+5-k의 그래프가 x축과
만나지 않으려면 이차방정식 x2+2x+5-k=0
의 판별식을 D라 할 때, D<0이어야 하므로
D
14
따라서 구하는 정수 k의 최댓값은 3
=12-1´(5-k)<0
∴ k<4
16-4 이차함수 y=-x2+2kx-9의 그래프가 x축과
접하려면 이차방정식 -x2+2kx-9=0의 판별
식을 D라 할 때, D=0이어야 하므로
D
14
∴ k=-3 또는 k=3
따라서 구하는 양수 k의 값은 3
=k2-(-1)´(-9)=0, k2-9=0
이차함수
y=ax2+bx+c
의 그래프
a>0
a<0
x
x
x
x
x
x
5일차
17-1 ②
18-1 ②
19-1 ①
20-1 ④
17-2 ③
18-2 ⑤
19-2 ③
20-2 ④
17-3 ⑤
18-3 ⑤
19-3 1
17-4 ②
18-4 ①
19-4 ③
이차함수의 그래프와
x축의 위치 관계
서로 다른
두 점에서
만난다.
한 점에서
만난다.
(접한다. )
만나지
않는다.
대표 기출 17
이차함수의 최대·최소
꼭 알고 있을 개념
16-1 이차함수 y=2x2-8x+k의 그래프가 x축과 서
로 다른 두 점에서 만나려면 이차방정식
2x2-8x+k=0의 판별식을 D라 할 때, D>0이
어야 하므로
D
14
따라서 구하는 자연수 k의 개수는 7
=(-4)2-2´k>0
∴ k<8
aÉxÉb에서 이차함수 f(x)=a(x-p)2+q의 최
댓값과 최솟값은 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 x좌
표 p가 주어진 범위에 포함되는지 조사하여 다음과
같이 구한다.
⑴ aÉpÉb인 경우: f(a), f(b), f(p) 중에서 가장
큰 값이 최댓값이고, 가장 작은 값이 최솟값이다.
⑵ p<a 또는 p>b인 경우: f(a), f(b) 중에서 큰
값이 최댓값이고, 작은 값이 최솟값이다.
3주 전 21
본문 48 ~51쪽 17-1 y=x2-6x+2
=(x-3)2-7
이므로 0ÉxÉ4에서 주어진
함수의 그래프는 오른쪽 그
림과 같다.
따라서 주어진 함수는 x=0
에서 최댓값 2를 갖는다.
y
2
O
-6
-7
y=x@-6x+2
3 4
x
y
y=x@+2x-1
17-2 y=x2+2x-1
=(x+1)2-2
이므로 -2ÉxÉ1에서 주
어진 함수의 그래프는 오
른쪽 그림과 같다.
이때 꼭짓점의 x좌표 -1
이 -2ÉxÉ1에 포함되
므로 x=-1에서 최솟값
-2, x=1에서 최댓값 2를 갖는다.
따라서 최댓값과 최솟값의 합은 2+(-2)=0
1
-1
-2 -1
-2
O
2
x
17-3 y=x2-4x+k
y
y=x@-4x+k
k+12
=(x-2)2+k-4
이므로 -2ÉxÉ3에서 주
어진 함수의 그래프는 오른
쪽 그림과 같다.
따라서 x=-2에서 최댓
값 k+12를 가지므로
k+12=17
∴ k=5
이때 꼭짓점의 x좌표 1이 0ÉxÉ3에 포함되므로
x=1에서 최솟값 k-1=2-1=1을 갖는다.
대표 기출 18
고차방정식의 풀이
꼭 알고 있을 개념
f(x)=(x-a)Q(x)
방정식 f(x)=0에서 f(a)=0이면 인수정리로부터
이므로 조립제법을 이용하여 Q(x)를 구한 후 해를
구한다.
18-1 f(x)=x3-3x2-2x+4라 하면 f(1)=0이므로
조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
1
1 -3 -2
4
1 -2 -4
1 -2 -4
0
f(x)=(x-1)(x2-2x-4)
따라서 주어진 방정식은
(x-1)(x2-2x-4)=0
∴ x-1=0 또는 x2-2x-4=0
∴ x=1 또는 x=1Ñ
따라서 a=1+
a+b=(1+
5
'
5, b=1-
'
5)+(1-
'
5)=2
'
'
5이므로
k-3
k-4
O-2
2 3
x
Lecture
삼차 이상의 다항식 f(x)의 인수분해
f(a)=0을 만족시키는 상수 a의 값은 다음과 같이 구
한다.
a=Ñ
úk
( f(x)의 상수항의 양의 약수)
( f(x)의 최고차항의 계수의 양의 약수)
1111111111111113
17-4 y=x2-2x+k
y
y=x@-2x+k
=(x-1)2+k-1
이므로 0ÉxÉ3에서 주어진
함수의 그래프는 오른쪽 그림
과 같다.
따라서 x=3에서 최댓값
k+3을 가지므로
k+3=5
∴ k=2
k+3
k
k-1
O
1
3
x
18-2 x3-2x2+2x=0에서 x(x2-2x+2)=0
∴ x=0 또는 x2-2x+2=0
즉 삼차방정식의 두 허근 x1, x2는 이차방정식
x2-2x+2=0의 두 근이므로 근과 계수의 관계
에 의하여 x1+x2=2, x1x2=2
∴ x1
2+x2
2 =(x1+x2)2-2x1x2
=22-2´2=0
22 정답과 풀이
18-3 x4-16x2=0에서 x2(x2-16)=0
x2(x+4)(x-4)=0
∴ x=0 또는 x=Ñ4
19-1 x3=1의 한 허근이 x이므로
x3=1, x2+x+1=0
x4+1
1
1123x2 =
15x2 =
∴ x2+
x+1
112x2 =
-x2
11x2 =-1
18-4 x2=X라 하면 주어진 방정식은
X2-2X-3=0, (X+1)(X-3)=0
∴ X=-1 또는 X=3
Ú X=-1일 때, x2=-1
∴ x=-i 또는 x=i
Û X=3일 때, x2=3
∴ x=-
3 또는 x=
'
3
'
Ú, Û에서 주어진 방정식의 실근은 x=-
는 x=
3 ´
-
3이므로 두 실근의 곱은
3=-3
'
'
'
3 또
'
Lecture
x4+ax2+b=0 꼴의 방정식의 풀이
Ú x2=X로 놓고 좌변을 인수분해한다.
Û (x2+A)2-(Bx)2=0 꼴로 변형하여 좌변을
인수분해한다.
대표 기출 19
방정식 x3=1, x3=-1의 허근의 성질
꼭 알고 있을 개념
⑴ 삼차방정식 x3=1의 허근, 즉 x2+x+1=0의 한
근을 x라 하면 다음이 성립한다.
❶ x3=1, x2+x+1=0
❷ x+xÕ=-1, xxÕ=1
(단, xÕ는 x의 켤레복소수)
❸ x2=xÕ=
1
1x
19-2 x3+1=0의 한 허근이 x이므로
x3=-1, x2-x+1=0
∴ x3+2x2-2x+1 =x3+2(x2-x)+1
=-1+2´(-1)+1
=-2
19-3 x3-1=0의 한 허근이 x이므로
x3=1, x2+x+1=0
∴ 1+x+x2+x3+y+x9
=(1+x+x2)+(x3+x4+x5)
=(1+x+x2)+x3(1+x+x2)
=0+0+0+1
=1
+(x6+x7+x8)+x9
+x6(1+x+x2)+(x3)3
19-4 x3=1의 한 허근이 x이므로
x3=1, x2+x+1=0
∴ x2+x4+x6 =x2+x3´x+(x3)2
=x2+x+1
=0
⑵ 삼차방정식 x3=-1의 허근, 즉 x2-x+1=0의
한 근을 x라 하면 다음이 성립한다.
대표 기출 20
연립이차방정식의 풀이
(단, xÕ는 x의 켤레복소수)
꼭 알고 있을 개념
❶ x3=-1, x2-x+1=0
❷ x+xÕ=1, xxÕ=1
❸ x2=-xÕ=-
1
1x
일차방정식과 이차방정식으로 이루어진 연립이차방
정식은 일차방정식을 한 문자에 대하여 풀고, 그 식
을 이차방정식에 대입하여 해를 구한다.
3주 전 23
20-1
x-y=1
x2+y2=5
yy ㉠
yy ㉡
à
㉠에서 y=x-1 yy ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
x2+(x-1)2=5, x2-x-2=0
(x+1)(x-2)=0
Ú x=-1을 ㉢에 대입하면 y=-2
Û x=2를 ㉢에 대입하면 y=1
Ú, Û에서 연립방정식의 해는
x=-1
y=-2
à
∴ xy=2
또는
x=2
y=1
à
∴ x=-1 또는 x=2
20-2
x-y=-1
x2-2xy+2y2=2
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
à
㉠에서 y=x+1
㉢을 ㉡에 대입하면
x2-2x(x+1)+2(x+1)2=2, x2+2x=0
x(x+2)=0
Ú x=0을 ㉢에 대입하면 y=1
Û x=-2를 ㉢에 대입하면 y=-1
Ú, Û에서 연립방정식의 해는
∴ x=0 또는 x=-2
x=0
y=1
또는
x=-2
y=-1
à
à
24 정답과 풀이
2주 전
학교시험에 나오는 창의융합, 코딩
서술형 기출 문제
1일차
1-1 -6
2-1 44
1-2 7
2-2 69
1-1
문제 제대로 읽기
x+y=2, x2+y2=6일 때,
조건
이 과정을 쓰시오. [5점]
;[};
+
;]{;
의 값을 구하고, 풀
질문의 핵심
x2+y2=(x+y)2-2xy에서
6=22-2xy, 2=-2xy
∴ xy=-1
따라서 구하는 값은
x2
13xy
;[};
=
+
;]{;
+
y2
13xy
x2+y2
111xy
=
=
6
123-1
=-6
1-2
문제 제대로 읽기
x+y=1, x2+y2=5일 때, x3+y3의 값을 구하고, 풀
질문의 핵심
이 과정을 쓰시오. [5점]
조건
x2+y2=(x+y)2-2xy에서
5=12-2xy, 4=-2xy
∴ xy=-2
따라서 구하는 값은
x3+y3 =(x+y)3-3xy(x+y)
=13-3´(-2)´1
=7
다른 풀이
x2+y2=(x+y)2-2xy에서
5=12-2xy, 4=-2xy
∴ xy=-2
따라서 구하는 값은
x3+y3 =(x+y)(x2-xy+y2)
=1´{5-(-2)}
=1´7=7
❶ 2점
❷ 3점
❶ 2점
2-1
문제 제대로 읽기
오른쪽 그림과 같이 세 모서
A
리의 길이가 a, b, c인 직육면
B
체의 겉넓이가 41이고, 삼각
E
형 BGD의 세 변의 길이의 제
F
조건⑴
D
H
C
G
❷ 1점
곱의 합이 160이다. 이때 직육면체의 모든 모서리의 길
이의 합을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [7점]
조건⑵
질문의 핵심
❸ 2점
직육면체의 각 면의 넓이는 각각 ab, bc, ca이고, 마주 보
는 두 면의 넓이는 서로 같다. 이때 직육면체의 겉넓이가
41이므로
2(ab+bc+ca)=41
∴ ab+bc+ca=
:¢2Á:
"Ãa2+b2,
❶ 2점
피타고라스 정리에 의하여 삼각형 BGD의 세 변의 길이
"Ãc2+a2이다. 이때 삼각형
"Ãb2+c2,
는 각각
BGD의 세 변의 길이의 제곱의 합이 160이므로
("Ãa2+b2)2+("Ãb2+c2)2+("Ãc2+a2)2=160
2(a2+b2+c2)=160
∴ a2+b2+c2=80
❷ 2점
❶ 2점
(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
=80+41=121
이때 a+b+c>0이므로 a+b+c=11
따라서 구하는 모든 모서리의 길이의 합은
4(a+b+c)=4´11=44
❷ 3점
❸ 3점
2주 전 25
본문 54 ~55쪽 2-2
문제 제대로 읽기
오른쪽 그림과 같이 세 모서리의
D
길이가 a, b, c인 직육면체의 모든
A
모서리의 길이의 합이 52이고, 대
각선 AG의 길이가 10이다. 이때
E
H
조건⑴
조건⑵
직육면체의 겉넓이를 구하고, 풀
질문의 핵심
이 과정을 쓰시오. [7점]
C
G
B
F
직육면체의 모든 모서리의 길이의 합이 52이므로
4a+4b+4c=4(a+b+c)=52
∴ a+b+c=13
대각선 AG의 길이는 10이므로
"Ãa2+b2+c2=10
∴ a2+b2+c2=100
❷ 2점
직육면체의 면의 넓이는 각각 ab, bc, ca이고, 마주 보는
두 면의 넓이는 서로 같으므로 구하는 직육면체의 겉넓이
는
2(ab+bc+ca) =(a+b+c)2-(a2+b2+c2)
=132-100
=69
2일차
3-1 ⑴ 1 ⑵ 16 ⑶ 81
4-1 -x+3
3-2 ⑴ 64 ⑵ 0 ⑶ 32
4-2 4
3-1
문제 제대로 읽기
(2x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4이 x에 대한
항등식일 때, 다음을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오.
(단, a0, a1, y, a4는 상수) [6점]
조건
⑴ a0의 값
⑵ a4의 값
질문의 핵심
질문의 핵심
⑶ a0-a1+a2-a3+a4의 값
질문의 핵심
⑴ 주어진 식의 양변에 x=0을 대입하면
(2´0-1)4=a0
∴ a0=1
26 정답과 풀이
⑵ (2x-1)4을 전개하면 x4항은
24´x4=16x4
∴ a4=16
⑶ 주어진 식의 양변에 x=-1을 대입하면
{2´(-1)-1}4=a0-a1+a2-a3+a4
∴ a0-a1+a2-a3+a4=81
❷ 2점
❸ 2점
❶ 2점
❷ 2점
❸ 2점
❶ 2점
3-2
문제 제대로 읽기
(x+1)6=a0+a1x+a2x2+y+a6x6이 x에 대한 항
등식일 때, 다음을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오.
조건
(단, a0, a1, y, a6은 상수) [6점]
⑴ a0+a1+a2+y+a6의 값
⑵ a0-a1+a2-y+a6의 값
⑶ a1+a3+a5의 값
질문의 핵심
질문의 핵심
질문의 핵심
❸ 3점
⑴ 주어진 식의 양변에 x=1을 대입하면
(1+1)6=a0+a1+a2+y+a6
∴ a0+a1+a2+y+a6=64 yy ㉠
⑵ 주어진 식의 양변에 x=-1을 대입하면
(-1+1)6=a0-a1+a2-y+a6
∴ a0-a1+a2-y+a6=0
yy ㉡
⑶ ㉠-㉡을 하면
2(a1+a3+a5)=64
∴ a1+a3+a5=32
4-1
문제 제대로 읽기
다항식 P(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 2이
고, x+1로 나누었을 때의 나머지가 4이다. P(x)를
x2-1로 나누었을 때의 나머지를 구하고, 풀이 과정을
조건
질문의 핵심
쓰시오. [7점]
❶ 2점
본문 56~57쪽 P(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 2이고, x+1로
나누었을 때의 나머지가 4이므로 나머지정리에 의하여
P(1)=2, P(-1)=4
❶ 2점
다항식 P(x)를 이차식 x2-1로 나누었을 때 몫을 Q(x),
나머지는 일차식 또는 상수이므로 ax+b ( a, b는 상수)
로 놓으면
P(x) =(x2-1)Q(x)+ax+b
따라서 구하는 값은
R(2)=3´2-2=4
❹ 1점
Lecture
다항식의 나눗셈에서의 나머지
다항식 P(x)를 A(x)로 나누었을 때의 나머지 R(x)는
⑴ A(x)가 일차식이면 R(x)는 상수, 즉
R(x)=a ( a는 상수)
=(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b
yy ㉠
⑵ A(x)가 이차식이면 R(x)는 일차식 또는 상수, 즉
❷ 2점
R(x)=ax+b ( a, b는 상수)
㉠의 양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하면
P(1)=a+b, P(-1)=-a+b
∴ a+b=2, -a+b=4
위의 두 식을 연립하여 풀면
a=-1, b=3
따라서 구하는 나머지는 -x+3
❸ 3점
3일차
5-1 498
6-1 a=-4, b=7
5-2 108
6-2 -11
5 -1
문제 제대로 읽기
두 학생이
의 값을 다음과 같이 구하였을
4993-1
499´500+1
111113
질문의 핵심
4-2
문제 제대로 읽기
다항식 P(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 1이
때, 식의 값을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [6점]
고, x+2로 나누었을 때의 나머지가 -8이다. P(x)를
x2+x-2로 나누었을 때의 나머지를 R(x)라 할 때,
조건
R(2)의 값을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [7점]
질문의 핵심
남주
4993-1
499´500+1
111113
의 값을 어떻게 구했어?
499를 x로 놓고 구했어.
조건
수인
P(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 1이고, x+2로
나누었을 때의 나머지가 -8이므로 나머지정리에 의하여
P(1)=1, P(-2)=-8
❶ 1점
다항식 P(x)를 이차식 x2+x-2로 나누었을 때 몫을
Q(x), 나머지는 일차식 또는 상수이므로 ax+b ( a, b는
상수)로 놓으면
P(x) =(x2+x-2)Q(x)+ax+b
=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b
yy ㉠
❷ 2점
㉠의 양변에 x=1, x=-2를 각각 대입하면
P(1)=a+b, P(-2)=-2a+b
∴ a+b=1, -2a+b=-8
위의 두 식을 연립하여 풀면
a=3, b=-2
∴ R(x)=3x-2
499=x로 놓으면 500=x+1에서
4993-1
499´500+1
111112
=
x3-1
x(x+1)+1
111112
=
=
x3-1
x2+x+1
11113
(x-1)(x2+x+1)
x2+x+1
111111115
=x-1
따라서 구하는 값은
499-1=498
❸ 3점
❶ 2점
❷ 3점
❸ 1점
2주 전 27
본문 58~59쪽 5 -2
문제 제대로 읽기
세 학생이
1083
107´109+1 의 값을 다음과 같이 구하였을
111113
질문의 핵심
때, 수인이와 지수의 방법을 각각 이용하여 식의 값을
구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [6점]
1083
107´109+1
111113
의 값을 어떻게 구했어?
108을 x로 놓고 구했어.
조건
수인
난 107을 x로 놓고 구했어.
조건
남주
지수
Ú 수인이의 방법
108=x로 놓으면 107=x-1, 109=x+1에서
1083
107´109+1
111113
=
x3
(x-1)(x+1)+1
11111111
=
x3
(x2-1)+1
111115
=x
따라서 구하는 값은 108
Û 지수의 방법
1083
107´109+1
111113
107=x로 놓으면 108=x+1, 109=x+2에서
(x+1)3
x(x+2)+1
1111125
(x+1)3
(x+1)2
11125
=
=
=x+1
따라서 구하는 값은 107+1=108
❷ 3점
6 -1
문제 제대로 읽기
다음은 이차방정식의 근의 성질을 살펴본 것이다. 주어
진 내용을 바탕으로 x에 대한 이차방정식
x2+ax+b=0의 한 근이 2+
조건
값을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [5점]
'
질문의 핵심
3i일 때, 실수 a, b의
28 정답과 풀이
a, b, c가 실수일 때 이차방정식 ax2+bx+c=0의
한 근을 z=p+qi (p, q는 실수)라 하면
az2+bz+c=0이다.
이때 켤레복소수의 성질에 의하여
az2+bz+cÓ=0, a(z®)2+bz®+c=0
따라서 z®=p-qi는 이차방정식 ax2+bx+c=0의
다른 한 근이다.
주어진 성질에서 계수가 모두 실수인 이차방정식의 한 근
이 허수일 때, 다른 한 근은 그 근의 켤레복소수이므로 한
근이 2+
3i이면 다른 한 근은 2-
3i이다.
'
'
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
(2+
3i)=-a
(2+
'
∴ a=-4, b=7
3i)+(2-
3i)(2-
'
3i)=b
'
'
❶ 2점
❷ 3점
Lecture
이차방정식의 켤레근
⑴ 계수가 모두 유리수인 이차방정식의 한 근이 p+q
m
'
m이
면 다른 한 근은 p-q
'
( p, q는 유리수, q+0,
m은 무리수)
⑵ 계수가 모두 실수인 이차방정식의 한 근이 p+qi이면 다
'
❶ 3점
른 한 근은 p-qi ( p, q는 실수, q+0, i=
-1 )
'
6 -2
문제 제대로 읽기
실수 a, b에 대하여 이차방정식 x2+ax+b=0의 한
근이 1-3i일 때, 이차방정식 ax2+bx+1=0의 두 근
이 a, b이다. (2a-1)(2b-1)의 값을 구하고, 풀이
질문의 핵심
조건
과정을 쓰시오. [7점]
이차방정식 x2+ax+b=0의 한 근이 1-3i이므로 다른
한 근은 1+3i이다.
❶ 1점
이때 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
(1-3i)+(1+3i)=-a
(1-3i)(1+3i)=b
∴ a=-2, b=10
❷ 2점
따라서 이차방정식 ax2+bx+1=0, 즉
-2x2+10x+1=0의 두 근이 a, b이므로 이차방정식의
근과 계수의 관계에 의하여
10
11-2
a+b=-
=5
ab=
1
11-2
=-
;2!;
∴ (2a-1)(2b-1)=4ab-2(a+b)+1
-2´5+1
-
=4´
{
=-11
;2!;}
❸ 2점
❹ 2점
오답 피하기
이차방정식 x2+ax+b=0의 두 근의 합은 a가 아니라 -a임
에 주의한다.
∴ a+b=-3+(-10)=-13
다른 풀이
이차방정식 x2-5x-2=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의
관계에 의하여
a+b=5, ab=-2
❶ 2점
이때 a+b, ab, 즉 5, -2를 두 근으로 하고 x2의 계수가 1인 이
차방정식 x2+ax+b=0은
(x-5)(x+2)=0
∴ x2-3x-10=0
따라서 a=-3, b=-10이므로
a+b=-3+(-10)=-13
❸ 1점
❷ 3점
❸ 1점
4일차
7-1 -13
8-1 -1
7-2 -9
8-2 a=-1, b=1
7-1
문제 제대로 읽기
이차방정식 x2-5x-2=0의 두 근을 a, b라 할 때,
a+b, ab를 두 근으로 하고 x2의 계수가 1인 이차방정
식을 x2+ax+b=0이라 하자. 이때 실수 a, b에 대하
조건⑴
여 a+b의 값을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [6점]
조건⑵
질문의 핵심
이차방정식 x2-5x-2=0의 두 근이 a, b이므로 근과
계수의 관계에 의하여
a+b=5, ab=-2
❶ 2점
이차방정식 x2+ax+b=0의 두 근이 a+b, ab, 즉 5,
-2이므로 근과 계수의 관계에 의하여
-a=5+(-2)=3
b=5´(-2)=-10
∴ a=-3
7-2
문제 제대로 읽기
이차방정식 x2+2x-2=0의 두 근을 a, b라 할 때,
2a-1, 2b-1을 두 근으로 하고 x2의 계수가 1인 이차
방정식을 x2+ax+b=0이라 하자. 이때 실수 a, b에
조건⑵
대하여 b-a의 값을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [6점]
조건⑴
질문의 핵심
이차방정식 x2+2x-2=0의 두 근이 a, b이므로 근과
계수의 관계에 의하여
a+b=-2, ab=-2
❶ 2점
이차방정식 x2+ax+b=0의 두 근이 2a-1, 2b-1이
므로 근과 계수의 관계에 의하여
-a =(2a-1)+(2b-1)
=2(a+b)-2
=2´(-2)-2
=-6
∴ a=6
b =(2a-1)(2b-1)
=4ab-2(a+b)+1
=4´(-2)-2´(-2)+1
=-3
∴ b-a=-3-6=-9
❷ 3점
❷ 3점
❸ 1점
2주 전 29
본문 60~61쪽 8 -1
문제 제대로 읽기
x에 대한 이차방정식
x2+2(a+k)x+k2-2k-a=0이 실수 k의 값에 관
계없이 항상 중근을 가질 때, 실수 a의 값을 구하고, 풀
조건
질문의 핵심
이 과정을 쓰시오. [6점]
5일차
9-2 -10
10-1 20
9-1 ⑴ k<-
⑵ k=-
⑶ k>-
;2%;
;2%;
;2%;
10-2 34
9 -1
문제 제대로 읽기
이차방정식 x2+2(a+k)x+k2-2k-a=0이 중근을
가지므로 판별식을 D라 하면
D
144
=(a+k)2-(k2-2k-a)=0
이차함수 y=-2x2+x-k의 그래프와 직선
y=-x+3의 위치 관계가 다음과 같을 때, 실수 k의
값 또는 범위를 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [6점]
질문의 핵심
❶ 3점
⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다.
조건
⑵ 한 점에서 만난다.
⑶ 만나지 않는다.
조건
조건
❷ 3점
-2x2+x-k=-x+3, 즉 2x2-2x+k+3=0의 판
별식을 D라 하면
D
14
=(-1)2-2(k+3)
=-2k-5
⑴ 주어진 이차함수의 그래프와 직선이 서로 다른 두 점
❶ 2점
⑵ 주어진 이차함수의 그래프와 직선이 한 점에서 만나려
에서 만나려면
>0이어야 하므로
D
14
-2k-5>0
∴ k<-
;2%;
;2%;
면
=0이어야 하므로
D
14
-2k-5=0
∴ k=-
<0이어야 하므로
D
14
-2k-5<0
∴ k>-
;2%;
❷ 2점
⑶ 주어진 이차함수의 그래프와 직선이 만나지 않으려면
❸ 2점
Lecture
이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계
이차함수 y=ax2+bx+c의 그래프와 직선 y=mx+n의
위치 관계는 두 식을 연립한 이차방정식
ax2+(b-m)x+(c-n)=0의 판별식 D의 부호에 따라
다음과 같다.
⑴ D>0 ⇨ 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑵ D=0 ⇨ 한 점에서 만난다. (접한다.)
⑶ D<0 ⇨ 만나지 않는다.
a2+2ak+2k+a=0
∴ (2a+2)k+a2+a=0
위의 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
2a+2=0, a2+a=0
∴ a=-1
Lecture
항등식의 성질
⑴ ax+b=0이 x에 대한 항등식이면 a=0, b=0
⑵ ax2+bx+c=0이 x에 대한 항등식이면
⑶ ax2+bx+c=a'x2+b'x+c'이 x에 대한 항등식이면
a=0, b=0, c=0
a=a', b=b', c=c'
8 -2
문제 제대로 읽기
x에 대한 이차방정식
kx2+2(k+a+b)x+k-b+1=0이 실수 k의 값에
관계없이 항상 중근을 가질 때, 실수 a, b의 값을 구하고,
조건
질문의 핵심
풀이 과정을 쓰시오. [6점]
이차방정식 kx2+2(k+a+b)x+k-b+1=0이 중근
을 가지므로 판별식을 D라 하면
D
144
=(k+a+b)2-k(k-b+1)=0
a2+b2+2ak+3bk+2ab-k=0
∴ (2a+3b-1)k+(a+b)2=0
위의 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
2a+3b-1=0, a+b=0
위의 두 식을 연립하여 풀면
a=-1, b=1
❶ 3점
❷ 3점
30 정답과 풀이
본문 62 ~63쪽 9 -2
문제 제대로 읽기
이차함수 y=x2+2x-k의 그래프가 직선
y=-2x+1과 서로 다른 두 점에서 만나고, 직선
y=3x-1과 만나지 않도록 하는 모든 정수 k의 값의
합을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [8점]
질문의 핵심
조건
Ú 이차함수 y=x2+2x-k의 그래프와 직선
y=-2x+1이 서로 다른 두 점에서 만나므로 방정식
x2+2x-k=-2x+1, 즉
x2+4x-k-1=0의 판별식을 D1이라 하면
D1
134
∴ k>-5
=22-(-k-1)>0
❶ 3점
Û 이차함수 y=x2+2x-k의 그래프와 직선 y=3x-1
이 만나지 않으므로 방정식 x2+2x-k=3x-1, 즉
x2-x-k+1=0의 판별식을 D2라 하면
D2=(-1)2-4(-k+1)<0
∴ k<
;4#;
Ú, Û에 의하여 -5<k<
;4#;
따라서 구하는 모든 정수 k의 값의 합은
-4+(-3)+(-2)+(-1)+0=-10
10 -1
문제 제대로 읽기
다음 그림과 같이 이차함수 y=-x2+6x의 그래프와
x축으로 둘러싸인 도형에 내접하는 직사각형 ABCD
조건⑴
에서 점 A, B는 x축, 점 C, D는 이차함수의 그래프 위
의 점이다. 직사각형 ABCD의 둘레의 길이의 최댓값
질문의 핵심
조건⑵
을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [6점]
y
y=-x@+6x
D
C
O A
6
B
x
점 A의 좌표를 (t, 0) (t>0)으로 놓으면
B(6-t, 0), D(t, -t2+6t)
이므로 직사각형 ABCD의 둘레의 길이는
2(ABÓ+ADÓ) =2{(6-2t)+(-t2+6t)}
=-2t2+8t+12
=-2(t-2)2+20
이때 ABÓ>0에서 6-2t>0
따라서 0<t<3이므로 t=2일 때 최댓값은 20이다.
∴ t<3
❶ 3점
❷ 3점
10 -2
문제 제대로 읽기
❷ 3점
다음 그림과 같이 이차함수 y=-x2+8x의 그래프와
x축으로 둘러싸인 도형에 직사각형 ABCD가 내접한
조건⑴
다. 점 A, B는 x축, 점 C, D는 이차함수의 그래프 위
❸ 2점
의 점일 때, 직사각형 ABCD의 둘레의 길이의 최댓값
질문의 핵심
조건⑵
을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [6점]
y
y=-x@+8x
D
C
O
8
A
B
x
점 A의 좌표를 (t, 0) (t>0)으로 놓으면
B(8-t, 0), D(t, -t2+8t)
이므로 직사각형 ABCD의 둘레의 길이는
2(ABÓ+ADÓ) =2{(8-2t)+(-t2+8t)}
=-2t2+12t+16
=-2(t-3)2+34
이때 ABÓ>0에서 8-2t>0
따라서 0<t<4이므로 t=3일 때 최댓값은 34이다.
∴ t<4
❶ 3점
❷ 3점
2주 전 31
다른 풀이
x-1
2x+5
2x2+3x+5
2x2-2x
<Ô
5x+5
5x-5
10
∴ 몫: 2x+5, 나머지: 10
04 ① x(x-2)=x2-2x
② (x+2)x-2x=x2+2x-2x=x2
③ x(x+1)+x=x2+x+x=x2+2x
④ (x+1)2=x2+2x+1
⑤ (x+2)(x-2)=x2-4
따라서 x에 대한 항등식이 아닌 것은 ⑤이다.
05 (a+1)x+b=3x-5가 x에 대한 항등식이므로
a+1=3, b=-5
∴ a=2, b=-5
06 f(x)=x3-2x+7이라 하면 나머지정리에 의하여
f(-2)=-8+4+7=3
07 인수정리에 의하여
f(2)=8+4a+2b-2=0
∴ 2a+b=-3 yy ㉠
또 나머지정리에 의하여
f(-1)=-1+a-b-2=3
yy ㉡
∴ a-b=6
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-5
1주 전
미리 풀어보는 우리 학교 중간고사
1일차
03 ⑤
08 ④
13 ①
02 ③
07 ④
12 ④
17 ④
01 ①
06 ③
11 ①
16 ①
[서술형 1] ⑴ (x+y+2)(x+y-3)
⑵ (x2+2)(x+2)(x-2)
04 ⑤
09 ④
14 ①
05 ③
10 ⑤
15 ⑤
[서술형 2] -2
[서술형 3] ⑴ 3 ⑵ 15
01 A+B =(x2+xy-2y2)+(2x2-3xy+y2)
=x2+xy-2y2+2x2-3xy+y2
=(1+2)x2+(1-3)xy+(-2+1)y2
=3x2-2xy-y2
Lecture
다항식의 덧셈과 뺄셈
Ú 괄호가 있는 경우 괄호부터 풀기
Û 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리하기
Ü 동류항끼리 모아서 간단히 정리하기
02 a2+b2 =(a-b)2+2ab
=32+2´2
=13
Lecture
곱셈 공식의 변형
⑴ a2+b2=(a+b)2-2ab
⑵ a2+b2=(a-b)2+2ab
03 1
2
2
3
2
5
5
5
10
32 정답과 풀이
2x2+3x+5=(x-1)(2x+5)+10이므로
몫: 2x+5, 나머지: 10
Lecture
인수정리
다항식 f(x)를 일차식 x-a로 나누었을 때 나누어떨어
지는 경우에는 인수정리를 이용한다. 즉 f(a)=0이다.
본문 66~69쪽 08 f(x)=2x3-x2-1이라 하면 f(1)=0이므로 f(x)
는 x-1을 인수로 갖는다.
따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
a+b=3, ab=4
∴ (a+1)(b+1) =ab+a+b+1
=4+3+1
=8
1
2 -1
2
0 -1
1
1
2
1
1
0
∴ 2x3-x2-1=(x-1)(2x2+x+1)
따라서 a=-1, b=1, c=1이므로
a+b+c=-1+1+1=1
Lecture
삼차 이상의 다항식 f(x)의 인수분해
f(a)=0을 만족시키는 상수 a의 값은 다음과 같이 구
한다.
a=Ñ
úk
( f(x)의 상수항의 양의 약수)
( f(x)의 최고차항의 계수의 양의 약수)
1111111111111113
13 이차방정식 2x2+5x-1=0의 두 근이 a, b이므로
을 두 근으로 하는 이차방정식의 두 근의
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-
, ab=-
;2%;
;2!;
이때
,
;!;
;º!;
합과 곱을 구하면
+
=
;º!;
;!;
a+b
112ab
=
´
;!;
;º!;
=
;Áº;
=
1
115-
;2!;
-
;2%;
115-
;2!;
=5
=-2
09 (x+y)-(2x-y)i=1+4i에서 복소수가 서로 같
을 조건에 의하여
x+y=1, -(2x-y)=4
이를 연립하여 풀면 x=-1, y=2
∴ x2+y2=(-1)2+22=5
따라서 구하는 이차방정식은 x2-5x-2=0
Lecture
이차방정식의 작성
a, b를 두 근으로 하고 x2의 계수가 1인 이차방정식은
x2-(a+b)x+ab=0
10
'Ä
-12+
'¶
-3 =
'¶
=2
'
=3
'
12i+
3i+
3i
3i
3i
'
'
11 이차방정식 x2-2x+6k=0의 판별식을 D라 하면
=(-1)2-1´6k=-6k+1
D
14
서로 다른 두 실근을 가지려면
>0이어야 하므로
D
14
-6k+1>0
∴ k<
;6!;
12 이차방정식 x2-3x+4=0의 두 근이 a, b이므로 근
과 계수의 관계에 의하여
14 이차방정식 -2x+1=x2+2x-k, 즉
x2+4x-k-1=0의 판별식을 D라 하면
D
14
=22-1´(-k-1)=k+5
이차함수의 그래프와 직선이 접하려면
=0이어야
D
14
하므로
k+5=0
∴ k=-5
Lecture
이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계
이차함수 y=ax2+bx+c의 그래프와 직선
y=mx+n의 위치 관계는 두 식을 연립한 이차방정식
ax2+(b-m)x+(c-n)=0의 판별식 D의 부호에
따라 다음과 같다.
⑴ D>0
⑵ D=0
⑶ D<0
서로 다른 두 점에서 만난다.
한 점에서 만난다. (접한다.)
만나지 않는다.
úk
úk
úk
1주 전 33
y
14
13
5
15 y =-x2+6x+5
=-(x-3)2+14
이므로 0ÉxÉ4에서 주어진 함수
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
이때 꼭짓점의 x좌표 3이
0ÉxÉ4에 포함되므로 x=3에
서 최댓값 14, x=0에서 최솟값
5를 갖는다.
따라서 M=14, m=5이므로
M-m=14-5=9
y=-x@+6x+5
[서술형 1] ⑴ x2+y2+2xy-x-y-6
=x2+2xy-x+y2-y-6
=x2+(2y-1)x+(y+2)(y-3)
=(x+y+2)(x+y-3)
O
3 4
x
⑵ x2=X로 치환하면
x4-2x2-8 =X2-2X-8
=(X+2)(X-4)
=(x2+2)(x2-4)
=(x2+2)(x+2)(x-2)
채점 기준
❶ 한 문자에 대한 내림차순으로 정리하여 주어진 식을
인수분해할 수 있다.
❷ x2=X로 치환하여 주어진 식을 인수분해할 수 있다.
3점
16 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 주어진 방
정식의 세 근의 합은
-
=0
;1);
Lecture
삼차방정식의 근과 계수의 관계
삼차방정식 ax3+bx2+cx+d=0의 세 근을 a, b, c
라 하면
다른 풀이
⑴ x2+y2+2xy-x-y-6
=(x2+2xy+y2)-(x+y)-6
=(x+y)2-(x+y)-6
이때 x+y=X로 치환하면
X2-X-6=(X+2)(X-3)
∴ x2+y2+2xy-x-y-6
=(x+y+2)(x+y-3)
⑴ a+b+c=-
⑵ ab+bc+ca=
;aB;
;aC;
⑶ abc=-
;aD;
[서술형 2] 이차방정식 x2-2(k+3)x+k2=0의 판별식
을 D라 하면
D
14
={-(k+3)}2-1´k2=6k+9
서로 다른 두 허근을 가지려면
<0이어야 하므로
D
14
6k+9<0
∴ k<-
;2#;
따라서 구하는 정수 k의 최댓값은 -2
채점 기준
❶ 이차방정식의 판별식을 구할 수 있다.
❷ 서로 다른 두 허근을 가질 때, 실수 k의 값의 범위를
구할 수 있다.
❸ 정수 k의 최댓값을 구할 수 있다.
17
x+y=2
x2+y2=10
yy ㉠
yy ㉡
à
㉠에서 y=2-x yy ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 x2+(2-x)2=10
x2-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
Ú x=-1을 ㉢에 대입하면 y=3
Û x=3을 ㉢에 대입하면 y=-1
Ú, Û에서 연립방정식의 해는
x=-1
y=3
또는
x=3
y=-1
à
따라서 xy의 값은 -3이다.
à
34 정답과 풀이
❶
❷
배점
3점
❶
❷
❸
배점
2점
2점
2점
[서술형 3] ⑴ y =x2-4x+k
=(x-2)2+k-4
y
k+12
이므로 -2ÉxÉ3
에서 주어진 함수의
그래프는 오른쪽 그
림과 같다.
이때 꼭짓점의 x좌표
2 가 -2 É x É 3 에
포함되므로 x=2에
서 최솟값 k-4,
x=-2에서 최댓값
k+12를 갖는다.
주어진 함수의 최솟값이 -1이므로
k-4=-1
∴ k=3
O-2
k-4
3
2
y=x@-4x+k
x
⑵ 주어진 함수는 x=-2에서 최댓값
k+12=3+12=15를 갖는다.
채점 기준
❶ k의 값을 구할 수 있다.
❷ 주어진 함수의 최댓값을 구할 수 있다.
❶
❷
배점
4점
4점
03 ④
08 ④
13 ②
04 ③
09 ③
14 ④
05 ③
10 ②
15 ③
2일차
02 ⑤
07 ⑤
12 ④
17 ②
01 ②
06 ⑤
11 ④
16 ①
[서술형 1] -5
[서술형 2] 4
[서술형 3] 5
01 A-B =(2x2-xy+y2)-(x2+2xy+2y2)
=2x2-xy+y2-x2-2xy-2y2
=x2-3xy-y2
2)=2
2)+(1+
'
2)=-1
02 x+y=(1-
'
2)(1+
xy=(1-
'
∴ x3+y3 =(x+y)3-3xy(x+y)
=23-3´(-1)´2
=14
'
03 f(x)=x3-3x2+7x+2라 하면 주어진 식을 x+1
로 나누었을 때의 나머지는
f(-1) =(-1)3-3´(-1)2+7´(-1)+2
=-9
04 등식 ax2-2x+4=x2+bx+c가 x에 대한 항등식
이므로 항등식의 성질에 의하여
a=1, b=-2, c=4
∴ a+b+c=1+(-2)+4=3
05 (2k+1)x+(k-1)y-k-2=0에서
(2x+y-1)k+(x-y-2)=0
이 등식이 k에 대한 항등식이므로
2x+y-1=0, x-y-2=0
위의 두 식을 연립하여 풀면
x=1, y=-1
∴ x+y=1+(-1)=0
06 f(x)=x3+ax2+bx-4라 하면
f(x)=(x2-3x+2)Q(x)
f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)
∴ f(1)=0, f(2)=0
즉
f(1)=1+a+b-4=0
∴ a+b=3
f(2)=8+4a+2b-4=0
∴ 2a+b=-2 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-5, b=8
f(x)=x3-5x2+8x-4이므로 조립제법을 이용하
여 f(x)를 인수분해하면
yy ㉠
1
1 -5
8 -4
1 -4
1 -4
4
4
0
f(x) =(x-1)(x2-4x+4)
=(x-1)(x-2)2
따라서 Q(x)=x-2이므로 구하는 계수의 합은
1+(-2)=-1
1주 전 35
본문 70 ~73쪽 다른 풀이
Q(x)는 x의 계수가 1인 일차식이므로
Q(x)=x+k (k는 상수)라 하면
x3+ax2+bx-4=(x2-3x+2)(x+k)
위의 식의 양변에 x=0을 대입하면
-4=2k
∴ k=-2
따라서 Q(x)=x-2이므로 구하는 계수의 합은
1+(-2)=-1
07 f(x)=x3+3x2-2라 하면 f(-1)=0이므로 조립
제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
-1
1
3
0 -2
-1 -2
1
2 -2
2
0
f(x)=(x+1)(x2+2x-2)
따라서 주어진 식의 인수인 것은 ⑤이다.
(1-i)(a+bi)=1+3i
a+bi-ai+b=1+3i
∴ (a+b)+(-a+b)i=1+3i
복소수가 서로 같을 조건에 의하여
a+b=1, -a+b=3
위의 두 식을 연립하여 풀면
a=-1, b=2
따라서 구하는 복소수 z는 -1+2i이다.
Lecture
복소수가 서로 같을 조건
a, b, c, d가 실수일 때,
⑴ a+bi=c+di이면 a=c, b=d
⑵ a+bi=0이면 a=0, b=0
다른 풀이
(1-i)z=1+3i에서
z=
1+3i
1-i
112
=
(1+3i)(1+i)
(1-i)(1+i)
1111113
=
-2+4i
2
1112
=-1+2i
08 f(x)=2x3-3x2-x+1이라 하면 f
=0이므로
{;2!;}
x-
은 f(x)의 인수이다.
;2!;
따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
11 x2-3x+1=0의 두 근이 a, b이므로 이차방정식의
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=3, ab=1
∴
1
15a2 +
1
15b2 =
a2+b2
111a2b2 =
32-2´1
11125
12 =7
=
(a+b)2-2ab
(ab)2
1111113
2 -3 -1
;2!;
1 -1 -1
2 -2 -2
1
0
f(x)=
{
x-
;2!;}
(2x2-2x-2)
=
x-
{
;2!;}
´2(x2-x-1)
=(2x-1)(x2-x-1)
따라서 a=-1, b=1, c=1이므로
a+b+c=-1+1+1=1
09 ③
'¶
-4=2i는 허수이다.
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
10 z=a+bi ( a, b는 실수)로 놓고 주어진 식에 대입하면
36 정답과 풀이
12 x2+4x+a-6=0이 서로 다른 두 허근을 가지므로
판별식을 D라 하면
D
14
-a+10<0
=22-(a-6)<0
∴ a>10
13 이차함수 y=x2-ax+b의 그래프와 x축의 교점의
x좌표가 -2, 3이므로 -2, 3은 이차방정식
x2-ax+b=0의 두 근이다.
근과 계수의 관계에 의하여
-2+3=a, -2´3=b
∴ a=1, b=-6
Lecture
이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근
사이의 관계
17
이차함수 y=ax2+bx+c의 그래프와 x축의 교점의
좌표가 (a, 0), (b, 0)이다.
HjK
이차방정식 ax2+bx+c=0의 해는 x=a 또는
x=b이다.
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
x-y=2
x2-xy-y2=5
à
㉠에서 y=x-2
㉢을 ㉡에 대입하면 x2-x(x-2)-(x-2)2=5
x2-6x+9=0, (x-3)2=0
∴ x=3
x=3을 ㉢에 대입하면 y=1
따라서 연립방정식의 해는 x=3, y=1이다.
14 y =-x2+4x+3
=-(x-2)2+7
오른쪽 그림과 같이
-1ÉxÉ4에서
x=2일 때 y=7,
x=-1일 때 y=-2,
x=4일 때 y=3이므로
M=7, m=-2
∴ M+m=7+(-2)=5
y
7
3
-1
y=-x@+4x+3
O
2
4
x
-2
15 이차함수 y=x2-6x+k의 그래프가 직선
y=-2x+1과 접하므로 방정식
x2-6x+k=-2x+1, 즉 x2-4x+k-1=0의 판
별식을 D라 하면
D
14
=(-2)2-(k-1)=0
∴ k=5
16 f(x)=2x3-3x2-3x+2라 하면 f(-1)=0이므
로 조립제법을 이용하여 인수분해하면
-1
2 -3 -3
-2
5 -2
2 -5
2
2
0
f(x) =(x+1)(2x2-5x+2)
=(x+1)(x-2)(2x-1)
이므로 (x+1)(x-2)(2x-1)=0
∴ x=-1 또는 x=2 또는 x=
;2!;
따라서 a=2, b=-1이므로
a+b=2+(-1)=1
[서술형 1] 나머지정리에 의하여 f(-3)=5, f(1)=-3
❶
다항식 f(x)를 (x+3)(x-1)로 나누었을 때의 몫
을 Q(x), 나머지를 R(x)=ax+b ( a, b는 상수)라
하면
f(x)=(x+3)(x-1)Q(x)+ax+b
양변에 x=-3, x=1을 각각 대입하면
f(-3)=-3a+b, f(1)=a+b
∴ -3a+b=5, a+b=-3
위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=-1
따라서 R(x)=-2x-1이므로
R(2)=-5
채점 기준
❶ 나머지정리를 이용할 수 있다.
❷ 나눗셈에 대한 등식을 세울 수 있다.
❸ 나머지 R(x)를 구할 수 있다.
❹ R(2)의 값을 구할 수 있다.
❷
❸
❹
배점
2점
2점
2점
1점
[서술형 2] 이차방정식 x2-ax+1=0의 두 근을 a, b라
하면 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=a, ab=1
yy ㉠
❶
이때 주어진 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 두
점 사이의 거리가 2
양변을 제곱하면 (a-b)2=12
∴ (a+b)2-4ab=12 yy ㉡
3이므로 |a-b|=2
3
'
'
❷
1주 전 37
❸
배점
2점
3점
2점
3이라 하
'
㉡에 ㉠을 대입하면 a2-4´1=12
a2=16
∴ a=4 (∵ a>0)
채점 기준
❶ 근과 계수의 관계를 이용할 수 있다.
❷ 두 점 사이의 거리를 이용하여 식을 세울 수 있다.
❸ a의 값을 구할 수 있다.
다른 풀이
이차방정식 x2-ax+1=0의 두 근을 a, a+2
면 근과 계수의 관계에 의하여
a+(a+2
a(a+2
㉡에서 a2+2
∴ a=-
㉢을 ㉠에 대입하면 a=4 또는 a=-4
따라서 구하는 양수 a의 값은 4
3)=a yy ㉠
yy ㉡
'
3)=1
3a-1=0
'
3Ñ2
yy ㉢
'
'
3일차
03 ④
08 ⑤
13 ⑤
02 ①
07 ②
12 ②
17 ②
01 ④
06 ④
11 ⑤
16 ①
[서술형 1] a=-3, b=2
[서술형 2] 3
[서술형 3] m=-2, n=-5
04 ②
09 ⑤
14 ⑤
05 ④
10 ⑤
15 ①
01 A-2B =(x2-x+2)-2(2x2-2x+3)
=x2-x+2-4x2+4x-6
=-3x2+3x-4
Lecture
다항식의 덧셈과 뺄셈
Ú 괄호가 있는 경우 괄호부터 풀기
Û 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리하기
Ü 동류항끼리 모아서 간단히 정리하기
[서술형 3] ㈎에서
f(x)=(x+2)2+k=x2+4x+k+4 ( k는 상수)
라 하자.
㈏에서 이차방정식 x2+4x+k+4=-3, 즉
x2+4x+k+7=0이 중근을 가지므로 판별식을 D
라 하면
D
14
∴ f(x)=x2+4x+1
=22-(k+7)=0
∴ k=-3
따라서 a=4, b=1이므로
a+b=4+1=5
채점 기준
❶ 조건 ㈎, ㈏를 이용하여 이차함수의 식을 구할 수 있다.
❷ a, b의 값을 구할 수 있다.
❸ a+b의 값을 구할 수 있다.
Lecture
y=a(x-m)2+n(a+0)의 그래프
이차함수 y=a(x-m)2+n의 그래프는 이차함수
y=ax2의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방
향으로 n만큼 평행이동한 그래프이다.
⑴ 꼭짓점의 좌표: (m, n)
⑵ 축의 방정식: x=m
❶
❷
❸
배점
4점
1점
1점
38 정답과 풀이
02 (x+y)2=x2+y2+2xy에서
32=7+2xy
∴ xy=1
03 (2x+1)(4x2-2x-1)
=8x3-4x2-2x+4x2-2x-1
=8x3-4x-1
04 P(x)를 x-
;5!;
가 R이므로
로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지
P(x) =
x-
Q(x)+R
;5!;}
=
(5x-1)Q(x)+R
{
;5!;
=(5x-1)´
Q(x)+R
;5!;
따라서 P(x)를 5x-1로 나누었을 때의 몫은
Q(x), 나머지는 R이다.
;5!;
본문 74~77쪽 Lecture
몫과 나머지의 변형
다항식 P(x)를 x-
;a!; (a+0)로 나누었을 때의 몫을
Q(x), 나머지를 R라 하면
P(x)=
x-
Q(x)+R=
(ax-1)Q(x)+R
{
;a!;}
;a!;
=(ax-1)´
;a!; Q(x)+R
따라서 P(x)를 ax-1로 나누었을 때의 몫은 ;a!; Q(x),
나머지는 R이다.
05 ax2+bx+c-1=3x2+x+1이 x에 대한 항등식이
므로 항등식의 성질에 의하여
a=3, b=1, c-1=1
∴ a=3, b=1, c=2
∴ abc=6
Lecture
항등식의 성질
⑴ ax+b=0이 x에 대한 항등식이면 a=0, b=0
⑵ ax2+bx+c=0이 x에 대한 항등식이면
⑶ ax2+bx+c=a'x2+b'x+c'이 x에 대한 항등식이
a=0, b=0, c=0
면 a=a', b=b', c=c'
06 인수정리에 의하여 P(3)=0이므로
27-12+k=0
∴ k=-15
따라서 다항식 P(x)=3x2-4x-15를 x-2로 나
누었을 때의 나머지는
P(2)=12-8-15=-11
07
1-i
2+i
115
+
1+i
2-i
115
=
(1+i)(2+i)
(2-i)(2+i)
1111123
2+i+2i+i 2
4-i 2
1111125
+
(1-i)(2-i)
(2+i)(2-i)
1111123
2-i-2i+i 2
4-i 2 +
1111125
1+3i
1-3i
1125
1125
+
=
=
=
;5@;
08 2x+(1-x)i=3-x+(y-2)i에서 복소수가 서
로 같을 조건에 의하여
2x=3-x, 1-x=y-2
위의 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=2
∴ x2+y2=12+22=5
+
-9
'¶
+3i
09
'
'¶
'¶
=
-2
2i+
2i´2
8
-8+ '
-2
112
'¶
2
2
'
'
2i
11
'
2i
15i 2 +3i
=-4-2i+3i
=-4+i
=4i 2+
10 이차방정식 x2+4x+k+1=0이 서로 다른 두 실근
을 가지므로 판별식을 D라 하면
D
14
∴ k<3
=22-(k+1)>0
11 이차방정식의 판별식을 D라 하면
① D=02-4´1´4=-16<0
② D=02-4´1´(-9)=36>0
③
=(-1)2-1´(-1)=2>0
D
14
D
14
D
14
④
=32-3´1=6>0
⑤
=(-
6)2-2´3=0
'
따라서 중근을 갖는 것은 ⑤이다.
Lecture
이차방정식의 근의 판별
계수가 실수인 이차방정식의 판별식을 D라 할 때
⑴ 서로 다른 두 실근을 가지면 ⇨ D>0
⑵ 중근을 가지면 ⇨ D=0
⑶ 서로 다른 두 허근을 가지면 ⇨ D<0
1주 전 39
12 이차방정식 x2-10x+5=0의 두 근이 a, b이므로
16 f(x)=x4-x3+x2+x-2라 하면
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=10, ab=5
a+b
1451ab
:Á5¼:
∴
+
=
=
;º!;
;!;
=2
f(1)=0, f(-1)=0이므로 조립제법을 이용하여
f(x)를 인수분해하면
-1
1 -1
1
-1
1
0
1
0
1
1 -2
2
1
2
0
-1
1 -2
0
1 -1
2
f(x)=(x-1)(x+1)(x2-x+2)
이때 방정식 f(x)=0의 두 허근 a, b는 방정식
x2-x+2=0의 근이므로 이차방정식의 근과 계수
의 관계에 의하여
a+b=1, ab=2
∴ a3+b3 =(a+b)3-3ab(a+b)
=13-3´2´1
=-5
13 이차함수 y=2x2-ax+b의 그래프와 x축의 교점
의 x좌표가 -2, 3이므로 -2, 3은 이차방정식
2x2-ax+b=0의 두 근이다.
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
-2+3=
, -2´3=
;2A;
;2B;
∴ a=2, b=-12
∴ a-b=2-(-12)=14
14 이차함수 y=-x2+7x+k의 그래프와 직선 y=x
가 만나지 않으므로 방정식 -x2+7x+k=x, 즉
x2-6x-k=0의 판별식을 D라 하면
D
14
9+k<0
=(-3)2-1´(-k)<0
∴ k<-9
Lecture
이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계
이차함수 y=ax2+bx+c의 그래프와 직선
y=mx+n의 위치 관계는 두 식을 연립한 이차방정식
ax2+(b-m)x+(c-n)=0의 판별식 D의 부호에
따라 다음과 같다.
⑴ D>0 ⇨ 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑵ D=0 ⇨ 한 점에서 만난다. (접한다.)
⑶ D<0 ⇨ 만나지 않는다.
17
x-y=-1
x2+y2=5
yy ㉠
yy ㉡
à
㉠에서 y=x+1 yy ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 x2+(x+1)2=5
x2+x-2=0, (x-1)(x+2)=0
∴ x=1 또는 x=-2
Ú x=1을 ㉢에 대입하면 y=2
Û x=-2를 ㉢에 대입하면 y=-1
Ú, Û에서 연립방정식의 해는
x=1
y=2
또는
x=-2
y=-1
à
à
따라서 xy의 값은 2이다.
15 이차함수 y=x2+4x+a의 그래프가 직선 y=-3
[서술형 1] 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면
yy ㉠
∴ a+b=-1
0=1+a+b
과 접하므로 방정식 x2+4x+a=-3, 즉
x2+4x+a+3=0의 판별식을 D라 하면
D
14
4-a-3=0
∴ a=1
=22-(a+3)=0
40 정답과 풀이
주어진 등식의 양변에 x=
0=4+2a+b
'
∴ 2a+b=-4 yy ㉡
2 를 대입하면
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=2
❶
❷
❸
채점 기준
❶ x=-1을 대입한 식을 구할 수 있다.
❷ x=
2를 대입한 식을 구할 수 있다.
'
❸ a, b의 값을 구할 수 있다.
배점
3점
3점
1점
01 (4x2+x-1)-(x2+2x-2)
=4x2+x-1-x2-2x+2
=(4-1)x2+(1-2)x+(-1+2)
=3x2-x+1
오답 피하기
빼는 식의 각 항의 부호에 주의해야 한다.
⇨ A-(B+C)=A-B-C
[서술형 2] a=-1+2i이므로 a®=-1-2i
∴ a+a®+aa®
=(-1+2i)+(-1-2i)+(-1+2i)(-1-2i)
=-2+(1+2i-2i+4)
=-2+5=3
채점 기준
❶ a의 켤레복소수 a®를 구할 수 있다.
❷ a+a®+aa®의 값을 구할 수 있다.
❶
❷
배점
3점
3점
[서술형 3] f(x) =-x2-2kx+4k-1
=-(x+k)2+k2+4k-1
따라서 x=-k일 때 최댓값은 k2+4k-1이므로
g(k)=k2+4k-1=(k+2)2-5
❶
따라서 g(k)는 k=-2일 때 최솟값 -5를 갖는다.
∴ m=-2, n=-5
채점 기준
❶ g(k)를 k에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
❷ m, n의 값을 구할 수 있다.
02 (ax+2)(x2-3x+2)를 전개하면 x2항은
-3ax2+2x2=(-3a+2)x2
이때 x2의 계수가 -7이므로
∴ a=3
-3a+2=-7
다른 풀이
주어진 식을 전개하면
(ax+2)(x2-3x+2)
=ax3+(-3a+2)x2+(2a-6)x+4
이때 x2의 계수가 -7이므로
∴ a=3
-3a+2=-7
❷
배점
4점
3점
03 x2+y2=(x+y)2-2xy에서
∴ xy=2
12=42-2xy
Lecture
곱셈 공식의 변형
⑴ a2+b2=(a+b)2-2ab
⑵ a2+b2=(a-b)2+2ab
4일차
02 ③
07 ③
12 ③
17 ①
01 ①
06 ③
11 ②
16 ③
[서술형 1] 5
[서술형 2] 1-i
[서술형 3] ⑴ 3 ⑵ 4
03 ②
08 ④
13 ⑤
04 ③
09 ②
14 ④
05 ⑤
10 ④
15 ②
04
3x-1
x2 +2
3x3-x2+6x+1
<Ô
3x3-x2
6x+1
6x-2
3
∴ 몫: x2+2, 나머지: 3
1주 전 41
본문 78 ~81쪽 05 A를 x+2로 나누었을 때의 몫이 x2+1, 나머지가 2
09 (2+3i)(5-2i)=10-4i+15i+6
=(10+6)+(-4+15)i
=16+11i
이므로
A=(x+2)(x2+1)+2
=(x3+x+2x2+2)+2
=x3+2x2+x+4
Lecture
다항식의 나눗셈
다항식 A를 다항식 B(B+0)로 나누었을 때의 몫이
Q, 나머지가 R이면
A=BQ+R
06 x2+ax+b=(x-1)(x+2)의 우변을 전개하여 정
리하면
x2+ax+b=x2+x-2
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
a=1, b=-2
∴ a2+b2=12+(-2)2=5
다른 풀이
x2+ax+b=(x-1)(x+2)가 x에 대한 항등식이므로
양변에 x=1을 대입하면 1+a+b=0
양변에 x=-2를 대입하면 4-2a+b=0
이를 연립하여 풀면 a=1, b=-2
∴ a2+b2=12+(-2)2 =5
07 f(x)=2x3+3x2-x+6이라 하면 나머지정리에 의
하여
f(-2)=-16+12+2+6=4
10 x2-(k+1)x-1=0에 x=-1을 대입하면
∴ k=-1
1+(k+1)-1=0
k=-1을 주어진 방정식에 대입하면
x2-1=0, (x+1)(x-1)=0
∴ x=-1 또는 x=1
따라서 다른 한 근은 1이므로 a=1
∴ k+a=-1+1=0
11 이차방정식 x2+4x+2(k+1)=0의 판별식을 D라
하면
D
14
=22-1´2(k+1)=-2k+2
서로 다른 두 실근을 가지려면
>0이어야 하므로
D
14
-2k+2>0
∴ k<1
Lecture
이차방정식의 근의 판별
계수가 실수인 이차방정식의 판별식을 D라 할 때
⑴ 서로 다른 두 실근을 가지면
⑵ 중근을 가지면
⑶ 서로 다른 두 허근을 가지면
D>0
D<0
D=0
úk
úk
úk
12 a, b가 실수이므로 이차방정식 x2+ax+b=0의 한
2-i이다.
근이
2+i이면 다른 한 근은
'
'
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
(
2+i)+(
'
'
따라서 a=-2
a2+b2=(-2
'
2, b=3이므로
'
2)2+32=17
'
2-i)=-a, (
2+i)(
2-i)=b
'
08 ① 0은 허수부분이 0인 복소수이다.
② 1-i와 1의 대소를 비교할 수 없다.
③ 3의 허수부분은 0이다.
⑤ 허수는 실수 a, b에 대하여 항상 a+bi (b+0)의
42 정답과 풀이
꼴로 나타낸다.
따라서 옳은 것은 ④이다.
13 이차방정식 x2-2x+3=0의 두 근이 a, b이므로 근
과 계수의 관계에 의하여
a+b=2, ab=3
이때 a2, b2을 두 근으로 하는 이차방정식의 두 근의
합과 곱을 구하면
a2+b2=(a+b)2-2ab=22-2´3=-2
a2b2=(ab)2=32=9
따라서 구하는 이차방정식은 x2+2x+9=0
Lecture
이차방정식의 작성
a, b를 두 근으로 하고 x2의 계수가 1인 이차방정식은
x2-(a+b)x+ab=0
14 이차방정식 -2x2+2x+1=4x+k,
즉 2x2+2x+k-1=0의 판별식을 D라 하면
D
14
이차함수의 그래프와 직선이 적어도 한 점에서 만나
=12-2´(k-1)=-2k+3
려면
¾0이어야 하므로
D
14
-2k+3¾0
∴ kÉ
;2#;
따라서 구하는 실수 k의 최댓값은
;2#;
Lecture
이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계
이차함수 y=ax2+bx+c의 그래프와 직선 y=mx+n
의 위치 관계는 두 식을 연립한 이차방정식
ax2+(b-m)x+(c-n)=0의 판별식 D의 부호에
따라 다음과 같다.
⑴ D>0
⑵ D=0
⑶ D<0
서로 다른 두 점에서 만난다.
한 점에서 만난다. (접한다.)
만나지 않는다.
úk
úk
úk
y=-x@+4x+2
y
6
5
15 y =-x2+4x+2
=-(x-2)2+6
이므로 1ÉxÉ4에서 주어진
함수의 그래프는 오른쪽 그림
과 같다.
이때 꼭짓점의 x좌표 2가
1ÉxÉ4에 포함되므로
x=2에서 최댓값 6, x=4에서 최솟값 2를 갖는다.
따라서 a=6, b=2이므로
a+b=6+2=8
1 2
O
4
2
x
16 x2+2x=X라 하면 주어진 방정식은
X(X-2)=24, X2-2X-24=0
(X+4)(X-6)=0
∴ (x2+2x+4)(x2+2x-6)=0
Ú x2+2x+4=0의 판별식을 D1이라 하면
=12-1´4=-3<0
D1
124
이므로 이 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다.
Û x2+2x-6=0의 판별식을 D2라 하면
=12-1´(-6)=7>0
D2
124
이므로 이 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
Ú, Û에서 두 실근 a, b는 x2+2x-6=0의 근이므
로 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-2, ab=-6
∴ a2+b2=(a+b)2-2ab
=(-2)2-2´(-6)
=16
17
x2-y2=0
2x2-xy+y2=16
yy ㉠
yy ㉡
à
㉠의 좌변을 인수분해하면 (x+y)(x-y)=0
∴ x=-y 또는 x=y
Ú x=-y를 ㉡에 대입하면
2(-y)2-(-y)´y+y2=16
4y2=16
∴ x=Ñ2, y=Ð2 (복호동순)
∴ y=Ñ2
Û x=y를 ㉡에 대입하면
2y2-y´y+y2=16
2y2=16
∴ x=Ñ2
∴ y=Ñ2
2, y=Ñ2
'
Ú, Û에서 연립방정식의 해는
2
'
2 (복호동순)
'
x=-2
y=2
또는
x=2
y=-2
à
à
또는
x=-2
y=-2
2
'
또는
2
'
x=2
y=2
2
'
2
'
à
à
Lecture
두 개의 이차방정식으로 이루어진 연립이
차방정식
인수분해되는 이차방정식을 인수분해하여 일차방정식
과 이차방정식으로 이루어진 연립방정식 꼴로 만들어
푼다.
1주 전 43
[서술형 1] f(x)를 (x-2)(2x+1)로 나누었을 때의 몫
을 Q(x), 나머지를 R(x)=ax+b ( a, b는 상수)라
하면
f(x)=(x-2)(2x+1)Q(x)+ax+b
이때 나머지정리에 의하여 f(2)=7, f
{
-
;2!;}
=2이
[서술형 3] x3=-1의 한 허근이 x, 다른 한 허근이 xÕ이
므로
x3=-1, x2-x+1=0, xÕ 3=-1, xÕ 2-xÕ+1=0
이때 x3+1=(x+1)(x2-x+1)=0이고, x, xÕ는
x2-x+1=0의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의
하여
x+xÕ=1, xxÕ=1
❶
❷
❸
배점
2점
2점
2점
므로
f(2)=2a+b=7
yy ㉠
;2!;
-
;2!;}
=-
a+b=2 yy ㉡
f
{
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3
따라서 R(x)=2x+3이므로
R(1)=5
채점 기준
❶ 나눗셈에 대한 등식을 세울 수 있다.
❷ R(x)를 구할 수 있다.
❸ R(1)의 값을 구할 수 있다.
오답 피하기
다항식 f(x)를 n차식으로 나누었을 때의 나머지는
(n-1)차 이하의 다항식이다.
⑴ (x+1)(xÕ+1) =xxÕ+x+xÕ+1
=xxÕ+(x+xÕ)+1
=1+1+1
=3
⑵ (1+x+x2)(1+xÕ+xÕ 2)
={(1+x2)+x}{(1+xÕ 2)+xÕ}
=(x+x)(xÕ+xÕ)
=2x´2xÕ
=4xxÕ
=4
채점 기준
❶ x+xÕ=1, xxÕ=1임을 구할 수 있다.
❷ (x+1)(xÕ+1)의 값을 구할 수 있다.
❸ (1+x+x2)(1+xÕ+xÕ 2)의 값을 구할 수 있다.
❶
❷
❸
배점
2점
3점
3점
Lecture
방정식 x3=-1의 허근의 성질
방정식 x3=-1의 한 허근을 x라 할 때
⑴ x3=-1, x2-x+1=0
⑵ x+xÕ=1, xxÕ=1
(단, xÕ는 x의 켤레복소수)
⑶ x2=-xÕ=-
1
1x
[서술형 2] z=a+bi ( a, b는 실수)라 하면 zÕ=a-bi이
므로
(1+2i)(a+bi)+2i(a-bi)=a+(4a+b)i
❶
즉 a+(4a+b)i=1+3i이므로 복소수가 서로 같을
조건에 의하여
a=1, 4a+b=3
이를 연립하여 풀면 a=1, b=-1
∴ z=1-i
채점 기준
❶ z=a+bi, zÕ=a-bi로 나타낼 수 있다.
❷ a, b의 값을 구할 수 있다.
❸ z를 구할 수 있다.
44 정답과 풀이
5일차
02 ③
07 ④
12 ③
17 ②
01 ①
06 ②
11 ④
16 ①
[서술형 1] -9
[서술형 2] -12
[서술형 3] 10
❷
❸
배점
2점
2점
2점
03 ②
08 ④
13 ①
04 ①
09 ⑤
14 ④
05 ③
10 ④
15 ①
본문 82~85쪽 01 A+2B =(2x2-5x+4)+2(-x2+4x-3)
=2x2-5x+4-2x2+8x-6
=3x-2
이므로 ax2+bx+c=3x-2에서
a=0, b=3, c=-2
∴ a+b+c=0+3+(-2)=1
Lecture
항등식의 성질
⑴ ax+b=0이 x에 대한 항등식이면 a=0, b=0
⑵ ax2+bx+c=0이 x에 대한 항등식이면
⑶ ax2+bx+c=a'x2+b'x+c'이 x에 대한 항등식이
a=0, b=0, c=0
면 a=a', b=b', c=c'
Lecture
몫과 나머지의 변형
다항식 P(x)를 x-
;a!; (a+0)로 나누었을 때의 몫을
Q(x), 나머지를 R라 하면
P(x)=
x-
Q(x)+R
{
;a!;}
=
(ax-1)Q(x)+R
;a!;
=(ax-1)´
;a!; Q(x)+R
따라서 P(x)를 ax-1로 나누었을 때의 몫은 ;a!; Q(x),
나머지는 R이다.
02 (x+3y+7)(2x-3y+1)을 전개하면 xy항은
x´(-3y)+3y´2x=3xy
따라서 주어진 식의 전개식에서 xy의 계수는 3이다.
04 ax+b=5-2x=-2x+5가 x에 대한 항등식이므
로 항등식의 성질에 의하여
a=-2, b=5
05 f(x)=2x3+x2-x+a라 하면 나머지정리에 의하
여 f(-2)=-6이므로
f(-2)=-16+4+2+a=-6
∴ a=4
03
3x-1
2x +2
6x2+4x+5
6x2-2x
<Ô
6x+5
6x-2
7
따라서 구하는 몫은 2x+2, 나머지는 7이다.
;3!;
6
6
4
2
6
5
2
7
다른 풀이
조립제법에 의하여 6x2+4x+5를
x-
로 나누었을 때의 몫이
;3!;
6x+6, 나머지가 7이므로
6x2+4x+5=
x-
(6x+6)+7
{
{
;3!;}
;3!;}
=
x-
´3(2x+2)+7
따라서 구하는 몫은 2x+2, 나머지는 7이다.
=(3x-1)(2x+2)+7
06 나머지정리에 의하여 P(1)=5, P(-1)=7
다항식 P(x)를 x2-1로 나누었을 때의 몫을 Q(x),
나머지를 ax+b ( a, b는 상수)라 하면
P(x) =(x2-1)Q(x)+ax+b
=(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b
양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하면
P(1)=a+b, P(-1)=-a+b
∴ a+b=5, -a+b=7
위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=6
따라서 구하는 나머지는 -x+6이다.
1주 전 45
Lecture
다항식의 나눗셈에서의 나머지
다항식 P(x)를 A(x)로 나누었을 때의 나머지 R(x)는
⑴ A(x)가 일차식이면 R(x)는 상수,
즉 R(x)=a ( a는 상수)
⑵ A(x)가 이차식이면 R(x)는 일차식 또는 상수,
즉 R(x)=ax+b ( a, b는 상수)
④ (2+i)(2-i) =22-i 2
=4+1=5
⑤
1+i
2+i
115
=
(1+i)(2-i)
(2+i)(2-i)
1111123
2-i+2i+1
4+1
111112
=
=
+
i
;5!;
;5#;
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
2-1)=2
2-1)
2
'
07 x+y=(
2+1)+(
'
x-y =(
2+1)-(
'
2+1-
=
'
이므로
x2-y2 =(x+y)(x-y)
'
'
'
2+1=2
=2
2´2=4
'
2
'
08 ① 허수에서는 대소 관계가 존재하지 않는다.
② 1+2i의 실수부분은 1, 허수부분은 2이다.
③ a=0이면 0i=0이므로 허수가 아니다.
④ z1=a+bi, z2=c+di (a, b, c, d는 실수)라 하면
z1-z2Ó =a+biÓ-Ó(c+di)Ó
=(a-c)Ó+Ó(b-d)iÓ
=(a-c)-(b-d)i
z1Õ-z2Õ =a+biÓ-c+diÓ
=a-bi-(c-di)
=a-bi-c+di
=(a-c)-(b-d)i
∴ z1-z2Ó=z1Õ-z2Õ
3의 켤레복소수는 -2i+
⑤ 2i+
따라서 옳은 것은 ④이다.
'
'
3이다.
09 ① (2-i)+(1+3i)=2-i+1+3i
=3+2i
② 2-(2-2i)=2-2+2i=2i
3i) =12-(
③ (1+
'
3i)(1-
'
'
3i)2
=1+3=4
46 정답과 풀이
10 z=a+bi ( a, b는 실수)라 하면
(1-i)z=3-5i에서
(1-i)(a+bi)=3-5i
a+bi-ai+b=3-5i
∴ (a+b)+(-a+b)i=3-5i
복소수가 서로 같을 조건에 의하여
a+b=3, -a+b=-5
위의 두 식을 연립하여 풀면
a=4, b=-1
따라서 구하는 복소수 z는 4-i이다.
다른 풀이
(1-i)z=3-5i에서
z=
3-5i
1-i
112
=
(3-5i)(1+i)
(1-i)(1+i)
1111113
=
8-2i
11252
=4-i
11 이차방정식 x2+x-3=0의 두 근이 a, b이므로 근
과 계수의 관계에 의하여
a+b=-1, ab=-3
ㄴ. a2+b2 =(a+b)2-2ab
=(-1)2-2´(-3)
=7
a2+b2
111ab
ㄷ.
+
=
;©;
;ºÄ;
;3&;
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
=-
Lecture
곱셈 공식의 변형
⑴ a2+b2=(a+b)2-2ab
⑵ a2+b2=(a-b)2+2ab
12 이차방정식 x2+2(k+3)x+k2+3k=0이 중근을
가지므로 판별식을 D라 하면
D
14
3k+9=0
=(k+3)2-(k2+3k)=0
∴ k=-3
따라서 x는 x2+x+1=0의 한 허근이므로
x2+x+1=0
∴ x3+x2+x =x(x2+x+1)
=x´0=0
13 이차방정식 x2-4x+1=0의 두 근이 a, b이므로 근
17
2x2+xy=10
x2-xy-2y2=0
yy ㉠
yy ㉡
과 계수의 관계에 의하여
a+b=4, ab=1
이차방정식 x2+ax+b=0의 두 근이
,
;!;
;º!;
이므로
근과 계수의 관계에 의하여
+
;º!;
=-a,
´
;!;
;º!;
=b
;!;
즉
a=-
+
{;!;
;º!;}=-
a+b
112ab
=-4
b=
;Áº;
=1
∴ a+b=-4+1=-3
14 이차함수 y=x2+ax+b의 그래프와 x축의 교점의
x좌표가 -2, 4이므로 -2, 4는 이차방정식
x2+ax+b=0의 두 근이다.
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
-2+4=-a, -2´4=b
∴ a=-2, b=-8
15 이차함수 y=x2-2kx+k2-k의 그래프가 x축보다
항상 위쪽에 있으므로 x축과 만나지 않는다. 따라서
방정식 x2-2kx+k2-k=0의 판별식을 D라 하면
D
14
∴ k<0
=(-k)2-(k2-k)<0
16 x3=1에서 x3-1=0, 즉 (x-1)(x2+x+1)=0
à
㉡의 좌변을 인수분해하면 (x+y)(x-2y)=0
∴ x=-y 또는 x=2y
Ú x=-y를 ㉠에 대입하면
2´(-y)2+(-y)´y=10
y2=10
10
∴ x=Ñ
10 (복호동순)
∴ y=Ñ
10, y=Ð
'¶
'¶
'¶
Û x=2y를 ㉠에 대입하면
2´(2y)2+2y´y=10
y2=1
∴ y=Ñ1
∴ x=Ñ2, y=Ñ1 (복호동순)
Ú, Û에서 연립방정식의 해는
10
10
x=
'¶
y=-
10
'¶
à
또는
x=-
'¶
y=
10
'¶
à
따라서 a=2, b=1이므로
a2+b2=22+12=5
à
또는
또는
x=2
y=1
x=-2
1
y=
-
à
[서술형 1] a+b®=
+2+iÓ
5
1+2i +
1125
=
5(1-2i)
(1+2i)(1-2i)
1111111
+2-i
=1-2i+2-i
=3-3i
따라서 p=3, q=-3이므로
pq=3´(-3)=-9
채점 기준
❶ a+bÕ를 간단히 할 수 있다.
❷ p, q의 값을 구할 수 있다.
❸ pq의 값을 구할 수 있다.
❶
❷
❸
배점
4점
1점
1점
1주 전 47
+
+
+
Lecture
분모가 허수인 분수
분모가 허수일 때, 분모와 분자에 각각 분모의 켤레복소
수를 곱하여 분모를 실수화한다.
1
a+bi
1125
úk
=
a-bi
(a+bi)(a-bi)
1111111
a-bi
111a2+b2 ( a, b는 실수)
=
[서술형 2] y =x2+6x+a
=(x+3)2+a-9
이므로 x=-3에서 최솟값 a-9를 갖는다.
즉 a-9=-5, b=-3이므로 a=4, b=-3
∴ ab=4´(-3)=-12
채점 기준
❶ 이차함수의 식을 변형할 수 있다.
❷ a, b의 값을 구할 수 있다.
❸ ab의 값을 구할 수 있다.
[서술형 3]
y-x+k=0
x2+y2-5=0
à
㉠에서 y=x-k
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
x2+(x-k)2-5=0
∴ 2x2-2kx+k2-5=0
❷
위의 식을 만족시키는 x의 값이 오직 한 개 존재해야
하므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
14
k2-2k2+10=0
∴ k2=10
=(-k)2-2(k2-5)=0
채점 기준
❶ ㉠을 y에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
❷ ㉡을 x에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
❸ 오직 한 쌍의 해를 가질 때의 k2의 값을 구할 수 있다.
48 정답과 풀이
❶
❷
❸
배점
2점
3점
1점
❶
❸
배점
2점
2점
4점
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