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정답과 해설
Ⅰ. 이차곡선
Ⅱ. 평면벡터
Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
2
18
35
⑵ 구하는 타원의 방정식을
x2
15a2 +
y2
15b2 =1 (b>a>0)
이라 하면 2b=6에서 b=3
이때 a2=b2-12=32-12=8이므로
구하는 타원의 방정식은
+
=1
x2
158
y2
159
본문 12~13 쪽
5 -1 구하는 쌍곡선의 방정식을
I 이차곡선
01 이차곡선
교과서 개념 확인 테스트
1
1 -1 ⑴ y2=12x ⑵ x2=-20y
1 -2 ⑴ y2=-16x ⑵ x2=8y
2 -1 (y-2)2=8(x+1)
2 -2 ⑴ (y+1)2=12(x-2) ⑵ (x-2)2=8(y+1)
3 -2 ⑴
3 -1
+
=1
x2
1325
y2
159
+
x2
1316
(x-2)2
121125
(x+1)2
12114
y2
x2
159
1316
-
-
x2
154
(x-4)2
121136
(x+3)2
12119
y2
1312
+
+
=1
y2
1312
-
-
4 -1
4 -2
5 -1
6 -1
6 -2
=1 ⑵
+
=1
x2
158
y2
159
(y+3)2
121116
(y-1)2
12116
=1
=1
y2
1325
x2
125144
=1
=-1
(y+1)2
121125
(y-2)2
12117
5 -2 ⑴
=1 ⑵
-
=-1
1 -1 ⑴ y2=4px에서 p=3이므로 구하는 포물선의 방정
식은 y2=4_3_x, 즉 y2=12x
⑵ x2=4py에서 p=-5이므로 구하는 포물선의 방
정식은 x2=4_(-5)_y, 즉 x2=-20y
1 -2 ⑴ y2=4px에서 p=-4이므로 구하는 포물선의 방
정식은 y2=4_(-4)_x, 즉 y2=-16x
⑵ x2=4py에서 p=2이므로 구하는 포물선의 방정
식은 x2=4_2_y, 즉 x2=8y
3 -1 구하는 타원의 방정식을
x2
15a2 +
y2
15b2 =1 (a>b>0)이
라 하면 2a=10에서 a=5
이때 b2=a2-42=52-42=9이므로
구하는 타원의 방정식은
+
=1
x2
1225
y2
139
3 -2 ⑴ 구하는 타원의 방정식을
x2
15a2 +
y2
15b2 =1 (a>b>0)
이라 하면 2a=8에서 a=4
이때 b2=a2-22=42-22=12이므로
구하는 타원의 방정식은
+
=1
x2
1316
y2
1312
2 I. 이차곡선
y2
15b2 =1 (a>0, b>0)이라 하면
x2
15a2 -
2a=8에서 a=4
이때 b2=52-a2=52-42=9이므로
구하는 쌍곡선의 방정식은
-
=1
x2
1316
y2
159
5 -2 ⑴ 구하는 쌍곡선의 방정식을
y2
15b2 =1 (a>0, b>0)이라 하면
x2
15a2 -
2a=4에서 a=2
이때 b2=42-a2=42-22=12이므로
구하는 쌍곡선의 방정식은
-
=1
x2
154
y2
1312
⑵ 구하는 쌍곡선의 방정식을
y2
15b2 =-1 (a>0, b>0)이라 하면
x2
15a2 -
2b=10에서 b=5
이때 a2=132-b2=132-52=144이므로
구하는 쌍곡선의 방정식은
-
=-1
x2
124144
y2
1325
기출 기초 테스트
2
1 -1 초점의 좌표: (2, 0), 준선의 방정식: x=-2,
본문 14~17 쪽
1 -2 ⑴ 초점의 좌표: (-1, 0), 준선의 방정식: x=1,
그래프는 풀이 참조
그래프는 풀이 참조
⑵ 초점의 좌표: (0, 3), 준선의 방정식: y=-3,
그래프는 풀이 참조
2 -1 (y-3)2=4(x-2)
꼭짓점의 좌표: (2, 3), 초점의 좌표: (3, 3),
준선의 방정식: x=1
2 -2 ⑴ (y-1)2=-16(x+1)
꼭짓점의 좌표: (-1, 1), 초점의 좌표: (-5, 1),
준선의 방정식: x=3
⑵ (x+1)2=-8(y-1)
꼭짓점의 좌표: (-1, 1), 초점의 좌표: (-1, -1),
준선의 방정식: y=3
3 -1 a=4, m=-2, n=1
4 -1 초점의 좌표: (0, -3), 준선의 방정식: x=-4
3 -2 a=-4, b=9, n=-1
4 -2 초점의 좌표: (4, -3), 준선의 방정식: y=1
5 -1 초점의 좌표: (
7, 0), (-
7, 0), 장축의 길이: 8,
'
'
단축의 길이: 6, 그래프는 풀이 참조
15), 장축의 길이: 10,
'¶
6 -1
15), (0, -
'¶
(y-1)2
16
1112
5 -2 초점의 좌표: (0,
'¶
단축의 길이: 2
10, 그래프는 풀이 참조
(x-2)2
25
1112
꼭짓점의 좌표: (7, 1), (-3, 1), (2, 5), (2, -3)
초점의 좌표: (5, 1), (-1, 1)
장축의 길이: 10, 단축의 길이: 8
=1
+
6 -2 ⑴
+
=1
(y+1)2
12
1112
(x-2)2
16
1112
꼭짓점의 좌표: (6, -1), (-2, -1),
(2, -1+2
3), (2, -1-2
3)
'
'
⑵
'
+
초점의 좌표: (4, -1), (0, -1)
장축의 길이: 8, 단축의 길이: 4
3
(y+1)2
(x-2)2
25
9
1112
1112
꼭짓점의 좌표: (5, -1), (-1, -1), (2, 4), (2, -6)
초점의 좌표: (2, 3), (2, -5)
장축의 길이: 10, 단축의 길이: 6
=1
7 -1 ⑴ m=1, n=2
7 -2 ⑴ m=-2, n=3
⑵ 초점의 좌표: (7, 2), (-5, 2), 장축의 길이: 20
⑵ 초점의 좌표: (-2, 3+
5), (-2, 3-
5)
'
'
장축의 길이: 6
8 -1 초점의 좌표: (0, 1+
3), (0, 1-
3)
'
'
8 -2 초점의 좌표: (1+
장축의 길이: 4, 단축의 길이: 2
5, 0), (1-
장축의 길이: 6, 단축의 길이: 4
'
5, 0)
'
9 -1 꼭짓점의 좌표: (2, 0), (-2, 0)
7, 0)
초점의 좌표: (
주축의 길이: 4, 그래프는 풀이 참조
7, 0), (-
'
'
9 -2 꼭짓점의 좌표: (0, 2), (0, -2)
10 -1
'¶
13), (0, -
초점의 좌표: (0,
13)
'¶
주축의 길이: 4, 그래프는 풀이 참조
(y-2)2
(x-3)2
7
9
1112
1112
꼭짓점의 좌표: (6, 2), (0, 2)
초점의 좌표: (7, 2), (-1, 2), 주축의 길이: 6
=1
-
10 -2 ⑴
-
=1
(y-2)2
(x+1)2
20
16
14114
14114
꼭짓점의 좌표: (3, 2), (-5, 2)
초점의 좌표: (5, 2), (-7, 2), 주축의 길이: 8
(x+1)2
45
14114
꼭짓점의 좌표: (-1, 8), (-1, -4)
초점의 좌표: (-1, 11), (-1, -7)
주축의 길이: 12
(y-2)2
36
14114
=-1
-
⑵
11 -1 점근선의 방정식: y=Ñ
;4#;x, 그래프는 풀이 참조
11 -2 ⑴ 점근선의 방정식: y=Ñ
3x, 그래프는 풀이 참조
'
⑵ 점근선의 방정식: y=Ñx, 그래프는 풀이 참조
1 -1 y2=8x=4_2_x이므로
y
y2=8x
12 -1 중심의 좌표: (2, 0)
꼭짓점의 좌표: (4, 0), (0, 0)
초점의 좌표: (2+
5, 0), (2-
'
5, 0)
'
점근선의 방정식: y=Ñ
(x-2)
;2!;
12 -2 중심의 좌표: (0, 1)
꼭짓점의 좌표: (0, 7), (0, -5)
초점의 좌표: (0, 1+3
점근선의 방정식: y=Ñ2x+1
'
5), (0, 1-3
5)
'
p=2
따라서 주어진 포물선의 초점
의 좌표는 (2, 0)
준선의 방정식은 x=-2
또 그래프는 오른쪽 그림과
같다.
1 -2 ⑴ y2=-4x=4_(-1)_x
이므로 p=-1
따라서 주어진 포물선의 초
점의 좌표는 (-1, 0)
준선의 방정식은 x=1
또 그래프는 오른쪽 그림과
같다.
⑵ x2=12y=4_3_y이므로 p=3
따라서 주어진 포물
선의 초점의 좌표는
(0, 3)
준선의 방정식은
y=-3
또 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
-2
O
2
x
x=-2
y
y2=-4x
-1
O
1
x
x=1
x2=12y
y
3
O
x
-3
y=-3
2 -1 포물선 y2=4x를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향
으로 3만큼 평행이동한 포물선의 방정식은
(y-3)2=4(x-2)이다. 이때 꼭짓점, 초점의 좌표
와 준선의 방정식은 다음과 같다.
꼭짓점의 좌표
초점의 좌표
준선의 방정식
y2=4x
(0, 0)
(1, 0)
x=-1
(y-3)2=4(x-2)
(2, 3)
(3, 3)
x=1
참고 포물선을 평행이동하면 그 곡선도 포물선이다. 또 모양과
크기가 변하지 않으므로 포물선의 방향과 폭은 변하지 않는다.
2 -2 ⑴ 포물선 y2=-16x를 x축의 방향으로 -1만큼, y
축의 방향으로 1만큼 평행이동한 포물선의 방정식
은 (y-1)2=-16(x+1)이다. 이때 꼭짓점, 초
점의 좌표와 준선의 방정식은 다음과 같다.
01. 이차곡선 3
y2=-16x
(y-1)2=-16(x+1)
5 -2
=1에서 a2=10, b2=25이므로
꼭짓점의 좌표
초점의 좌표
준선의 방정식
(0, 0)
(-4, 0)
x=4
(-1, 1)
(-5, 1)
x=3
⑵ 포물선 x2=-8y를 x축의 방향으로 -1만큼, y
축의 방향으로 1만큼 평행이동한 포물선의 방정식
은 (x+1)2=-8(y-1)이다. 이때 꼭짓점, 초점
의 좌표와 준선의 방정식은 다음과 같다.
x2=-8y
(x+1)2=-8(y-1)
꼭짓점의 좌표
초점의 좌표
준선의 방정식
(0, 0)
(0, -2)
y=2
(-1, 1)
(-1, -1)
y=3
3 -1 y2-4x-2y=7에서
(y-1)2=4(x+2)
이 포물선은 포물선 y2=4x를 x축의 방향으로 -2
만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로
a=4, m=-2, n=1
3 -2 포물선 y2=4x를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향
으로 n만큼 평행이동한 포물선의 방정식은
(y-n)2=4(x-2)
양변을 전개하면
y2-2ny+n2=4x-8
y2-4x-2ny+n2+8=0
이 식이 y2+ax+2y+b=0과 같으므로
a=-4, n=-1, b=(-1)2+8=9
4 -1 y2-8x+6y-7=0에서
(y+3)2=8(x+2)
이 포물선은 포물선 y2=8x를 x축의 방향으로 -2만
큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이므로 초
점의 좌표는 (0, -3), 준선의 방정식은 x=-4
4 -2 x2-8x+8y+24=0에서
(x-4)2=-8(y+1)
이 포물선은 포물선 x2=-8y를 x축의 방향으로 4
만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로
초점의 좌표는 (4, -3), 준선의 방정식은 y=1
5 -1
=1에서 a2=16, b2=9이므로
+
y2
159
x2
1316
c2=a2-b2=16-9=7
따라서 주어진 타원의
초점의 좌표는
7, 0), (-
(
'
장축의 길이는 2a=8
단축의 길이는 2b=6
또 그래프는 오른쪽 그
림과 같다.
7, 0)
'
4 I. 이차곡선
y
3
y2
+ =1
139
x2
1316
-4
O
-'7
4
x
'7
-3
+
y2
1325
15), (0, -
x2
1310
c2=b2-a2=25-10=15
따라서 주어진 타원의
초점의 좌표는
(0,
'¶
장축의 길이는
2b=10
단축의 길이는
2a=2
또 그래프는 오른쪽 그
림과 같다.
15)
10
'¶
'¶
y
5
'¶15
O
-'¶15
-5
x2
1310
y2
+ =1
1325
-'¶10
x
'¶10
6 -1 타원
x2
1325
y2
1316
+
=1을 x축의 방향으로 2만큼, y축의
방향으로 1만큼 평행이동한 타원의 방정식은
(x-2)2
25
11125
좌표와 장축, 단축의 길이는 다음과 같다.
(y-1)2
16
11125
+
=1이다. 이때 꼭짓점, 초점의
x2
1325
+
=1
y2
1316
(x-2)2
25
11124
+
(y-1)2
16
11124
=1
꼭짓점의 좌표
(5, 0), (-5, 0)
(0, 4), (0, -4)
(7, 1), (-3, 1)
(2, 5), (2, -3)
초점의 좌표
(3, 0), (-3, 0)
(5, 1), (-1, 1)
장축의 길이
단축의 길이
10
8
10
8
참고 타원을 평행이동하면 그 곡선도 타원이다. 또 모양과 크
기가 변하지 않으므로 타원의 장축과 단축의 길이는 변하지 않
는다.
6 -2 ⑴ 타원
x2
1316
y2
1312
+
=1을 x축의 방향으로 2만큼, y축
의 방향으로 -1만큼 평행이동한 타원의 방정식은
(x-2)2
16
12114
의 좌표와 장축, 단축의 길이는 다음과 같다.
=1이다. 이때 꼭짓점, 초점
(y+1)2
12
12114
+
x2
1316
+
=1
y2
1312
(x-2)2
16
11124
+
(y+1)2
12
11124
=1
(4, 0), (-4, 0)
(6, -1), (-2, -1)
(0, 2
'
(0, -2
3),
3)
'
(2, -1+2
'
(2, -1-2
3),
3)
'
꼭짓점의 좌표
초점의 좌표 (2, 0), (-2, 0)
(4, -1), (0, -1)
8
4
3
'
장축의 길이
단축의 길이
8
4
3
'
x2
159
y2
1325
⑵ 타원
+
=1을 x축의 방향으로 2만큼, y축
의 방향으로 -1만큼 평행이동한 타원의 방정식은
(x-2)2
9
12114
의 좌표와 장축, 단축의 길이는 다음과 같다.
=1이다. 이때 꼭짓점, 초점
(y+1)2
25
12114
+
x2
159
+
y2
1325
=1
(3, 0), (-3, 0)
(0, 5), (0, -5)
=1
+
(y+1)2
25
11124
(x-2)2
9
11124
(5, -1), (-1, -1)`
(2, 4), (2, -6)
꼭짓점의 좌표
초점의 좌표 (0, 4), (0, -4)
(2, 3), (2, -5)
장축의 길이
단축의 길이
10
6
10
6
7 -1 ⑴ 타원
+
(y-n)2
64
1112
=1은 타원
(x-1)2
100
1112
y2
1564
⑵
+
+
=1에서 a2=100, b2=64이므로
=1을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방
x2
125100
향으로 n만큼 평행이동한 것이다.
∴ m=1, n=2
y2
x2
1564
125100
c2=a2-b2=100-64=36
즉 위의 타원의 초점의 좌표는 (6, 0), (-6, 0)이
므로 주어진 타원의 초점의 좌표는 (7, 2), (-5, 2)
이다.
또 평행이동하여도 장축의 길이는 변하지 않으므
로 주어진 타원의 장축의 길이는 2_10=20이다.
7 -2 ⑴ 타원
+
(y-3)2
9
1112
=1은 타원
(x+2)2
4
1112
y2
159
⑵
+
+
y2
159
=1을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의
=1에서 a2=4, b2=9이므로
x2
154
방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.
∴ m=-2, n=3
x2
154
c2=b2-a2=9-4=5
5), (0, -
즉 위의 타원의 초점의 좌표는 (0,
'
이므로 주어진 타원의 초점의 좌표는 (-2, 3+
(-2, 3-
또 평행이동하여도 장축의 길이는 변하지 않으므
로 주어진 타원의 장축의 길이는 2_3=6이다.
5)
'
5),
'
5)이다.
'
8 -1 4x2+y2-2y-3=0에서 4x2+(y-1)2=4
∴ x2+
(y-1)2
4
1112
=1
y2
154
x2+
=1
y2
154
이 타원은 타원 x2+
=1을 y축의 방향으로 1만큼
평행이동한 것이므로 초점의 좌표와 장축, 단축의 길
이는 다음과 같다.
초점의 좌표
(0,
3), (0, -
3)
(0, 1+
'
'
장축의 길이
단축의 길이
4
2
x2+
=1
(y-1)2
4
11124
3), (0, 1-
'
3)
'
4
2
8 -2 4x2+9y2-8x-32=0에서 4(x-1)2+9y2=36
∴
(x-1)2
9
1112
+
=1
y2
154
x2
159
y2
154
이 타원은 타원
+
=1을 x축의 방향으로 1만
큼 평행이동한 것이므로 초점의 좌표와 장축, 단축의
길이는 다음과 같다.
x2
159
y2
154
+
=1
(
'
5, 0), (-
5, 0)
(1+
'
+
(x-1)2
9
11124
y2
154
5, 0), (1-
'
=1
5, 0)
'
6
4
6
4
초점의 좌표
장축의 길이
단축의 길이
9 -1
-
y2
153
=1에서 a2=4, b2=3이므로
x2
154
c2=a2+b2=4+3=7
따라서 주어진 쌍곡선의 꼭짓점의 좌표는
(2, 0), (-2, 0)
초점의 좌표는
7, 0), (-
(
'
주축의 길이는 2a=4
또 그래프는 오른쪽 그림
과 같다.
7, 0)
-'7
-2
'
y
O
x2
134
y2
- =1
133
'7
2
x
9 -2
=-1에서 a2=9, b2=4이므로
-
y2
154
x2
159
c2=a2+b2=9+4=13
따라서 주어진 쌍곡선
의 꼭짓점의 좌표는
(0, 2), (0, -2)
초점의 좌표는
13), (0, -
(0,
13)
'¶
주축의 길이는 2b=4
또 그래프는 오른쪽 그
림과 같다.
'¶
x2
139
y2
134
- =-1
x
y
'¶13
2
O
-2
-'¶13
10 -1 쌍곡선
x2
159
y2
157
-
=1을 x축의 방향으로 3만큼, y축
의 방향으로 2만큼 평행이동한 쌍곡선의 방정식은
(x-3)2
9
1112
좌표와 주축의 길이는 다음과 같다.
(y-2)2
7
1112
=1이다. 이때 꼭짓점, 초점의
-
x2
159
y2
157
-
=1
(x-3)2
9
11124
-
(y-2)2
7
11124
=1
꼭짓점의 좌표
(3, 0), (-3, 0)
(6, 2), (0, 2)
초점의 좌표
(4, 0), (-4, 0)
(7, 2), (-1, 2)
주축의 길이
6
6
참고 쌍곡선을 평행이동하면 그 곡선도 쌍곡선이다. 또 모양과
크기가 변하지 않으므로 쌍곡선의 주축의 길이는 변하지 않는다.
01. 이차곡선 5
10 -2 ⑴ 쌍곡선
-
=1을 x축의 방향으로 -1만
x2
1316
y2
1320
12 -1 x2-4y2-4x=0에서 (x-2)2-4y2=4
큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 쌍곡선의
(y-2)2
20
1112
(x+1)2
16
1112
=1이다. 이때 꼭
방정식은
-
짓점, 초점의 좌표와 주축의 길이는 다음과 같다.
x2
1316
-
=1
y2
1320
(x+1)2
16
11124
-
(y-2)2
20
11124
=1
꼭짓점의 좌표 (4, 0), (-4, 0)
(3, 2), (-5, 2)
초점의 좌표 (6, 0), (-6, 0)
(5, 2), (-7, 2)
주축의 길이
8
8
⑵ 쌍곡선
-
=-1을 x축의 방향으로 -1만
x2
1345
y2
1336
정식은
큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 쌍곡선의 방
(y-2)2
36
1112
짓점, 초점의 좌표와 주축의 길이는 다음과 같다.
(x+1)2
45
1112
=-1이다. 이때 꼭
-
x2
1345
y2
1336
-
=-1
(x+1)2
45
11124
-
(y-2)2
36
11124
=-1
꼭짓점의 좌표 (0, 6), (0, -6)
(-1, 8), (-1, -4)
초점의 좌표 (0, 9), (0, -9)
(-1, 11), (-1, -7)
주축의 길이
12
12
11 -1
x2
1316
y2
159
-
=1에서
a=4, b=3이므로 점근선
의 방정식은
y=Ñ
x
;4#;
y=-;4#;x
y
y=;4#;x
-4
O
4
x
이때 꼭짓점의 좌표는
(4, 0), (-4, 0)
이므로 그 그래프는 위의 그림과 같다.
x2
1316
y2
- =1
139
3이므로
'
-
x2
154
=1에서
y2
1312
a=2, b=2
점근선의 방정식은
y=Ñ
3x
이때 꼭짓점의 좌표는
(2, 0), (-2, 0)
이므로 그 그래프는
위의 그림과 같다.
⑵ x2-y2=-1에서
'
x2
134
2
y2
- =1
1312
x
-2
O
y
1
O
-1
x2-y2=-1
y=x
x
y=-x
a=1, b=1이므로 점근
선의 방정식은
y=Ñx
이때 꼭짓점의 좌표는
(0, 1), (0, -1)이므로
그 그래프는 위의 그림과 같다.
6 I. 이차곡선
∴
(x-2)2
4
1112
-y2=1
x2
154
이 쌍곡선은 쌍곡선
-y2=1을 x축의 방향으로 2
만큼 평행이동한 것이므로 중심, 꼭짓점, 초점의 좌표
와 점근선의 방정식은 다음과 같다.
x2
154
-y2=1
(x-2)2
4
11124
-y2=1
중심의 좌표
(0, 0)
(2, 0)
꼭짓점의 좌표
(2, 0), (-2, 0)
(4, 0), (0, 0)
초점의 좌표
5, 0), (-
5, 0)
(2+
5, 0), (2-
5, 0)
'
'
'
(
'
점근선의 방정식
y=Ñ
x
;2!;
y=Ñ
(x-2)
;2!;
12 -2 4x2-y2+2y+35=0에서 4x2-(y-1)2=-36
∴
-
x2
159
(y-1)2
36
1113
=-1
x2
159
이 쌍곡선은 쌍곡선
y2
1336
로 1만큼 평행이동한 것이므로 중심, 꼭짓점, 초점의
좌표와 점근선의 방정식은 다음과 같다.
=-1을 y축의 방향으
-
x2
159
y2
1336
-
=-1
x2
159
-
(y-1)2
36
11124
=-1
중심의 좌표
(0, 0)
(0, 1)
꼭짓점의 좌표
(0, 6), (0, -6)
(0, 7), (0, -5)
초점의 좌표 (0, 3
점근선의 방정식
5), (0, -3
'
y=Ñ2x
'
5) (0, 1+3
5), (0, 1-3
5)
'
'
y=Ñ2x+1
3
01 ③
06 ①
11 16
02 ⑤
07 ③
12 ⑤
03 ①
08 ④
13 ④
04 ②
09 11
14 ③
본문 18~21 쪽
05 ④
10 ②
15 x2-
=1
y2
154
19 160
20 1
21
:°3¤:
16 ⑤
17 ②
18 20
22 초점의 좌표: (-4, 3), 준선의 방정식: x=2
23 2
24 P(5, 4)
5
'
01 (y-2)2=8x-8에서 (y-2)2=8(x-1)
이 포물선은 포물선 y2=8x를 x축의 방향으로 1만큼,
y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
이때 포물선 y2=8x=4_2_x의 초점의 좌표는
(2, 0)이므로 주어진 포물선의 초점의 좌표는 (3, 2)
11 -2 ⑴
y
y=-'3x
y='3x
교과서 기본 테스트
02 y2=4px에서 p=3이므로 구하는 포물선의 방정식은
∴ a=12
y2=12x
포물선 y2=12x의 초점은 x축 위에 있으므로 b=0
또 준선의 방정식은 x=-3이므로 c=-3
∴ a+b+c=12+0+(-3)=9
이때 PHÓ=|a-(-3)|이므로
|a+3|=7
∴ a=4 (∵ a¾0)
03 초점의 좌표가 (-5, 0)이고 준선의 방정식이 x=5
인 포물선의 방정식은 y2=4_(-5)_x, 즉
y2=-20x
이 포물선이 점 (a, 10)을 지나므로
102=-20a
∴ a=-5
04 포물선 위의 임의의 점 P의 좌표를 (x, y), 포물선의
초점 (4, 0)을 F, 점 P에서 직선 x=0에 내린 수선의
발을 H라 하면 포물선의 정의에 의하여
PFÓ=PHÓ이므로
양변을 제곱하면
(x-4)2+y2=x2
-8x+16+y2=0
∴ y2=8(x-2)
"Ã(x-4)2+y2=|x-0|
다른 풀이
yy ㉠
포물선의 꼭짓점에서 초점 (4, 0)에 이르는 거리와 준
선 x=0에 이르는 거리는 같으므로 꼭짓점의 좌표는
(2, 0)이다.
이때 주어진 포물선의 준선 x=0이 y축에 평행하므로
구하는 포물선의 방정식을
y2=4p(x-2)
로 놓을 수 있다.
포물선 ㉠은 포물선 y2=4px를 x축의 방향으로 2만
큼 평행이동한 것이므로 포물선 ㉠의 초점의 좌표는
(p+2, 0)이다.
즉 p+2=4에서 p=2
따라서 구하는 포물선의 방정식은
y2=4_2_(x-2)
∴ y2=8(x-2)
05 y2=12x=4_3_x이므로
y
y2=12x
P{a,`b}
F
O
3
x
H
p=3
즉 초점의 좌표는 (3, 0), 준선
의 방정식은 x=-3
오른쪽 그림과 같이 포물선 위의
임의의 점 P의 좌표를 (a, b),
포물선의 초점을 F, 점 P에서
직선 x=-3에 내린 수선의 발
을 H라 하면 포물선의 정의에 의하여
PHÓ=PFÓ=7
-3
x=-3
06 포물선 (y-2)2=16(x+1)은 포물선 y2=16x를 x
축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이
동한 것이다. 포물선 y2=16x=4_4_x의 초점의
좌표는 (4, 0)이므로 포물선 (y-2)2=16(x+1)의
초점의 좌표는 (3, 2)이다.
이때 포물선 (y-2)2=16(x+1)을 x축의 방향으로
a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 포물선의
초점의 좌표는 (3+a, 2+b)이고 이 점이 원점과 일
치하므로
3+a=0, 2+b=0에서 a=-3, b=-2
∴ a+b=-3+(-2)=-5
07 두 점으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합은
타원이다.
구하는 타원의 방정식을
x2
15a2 +
y2
15b2 =1 (a>b>0)이
라 하면 2a=6에서 a=3
이때 b2=a2-22=32-22=5이므로
구하는 타원의 방정식은
+
=1
x2
159
y2
155
=1
y2
154
4-1),
08 4x2+y2=4의 양변을 4로 나누면 x2+
4-1), (0, -
3)
ㄱ. 초점의 좌표는 (0,
'¶
3), (0, -
'
즉 (0,
'
'¶
ㄴ. 꼭짓점의 좌표는 (Ñ1, 0), (0, Ñ2)
ㄷ. 장축의 길이는 2b=2_2=4
ㄹ. 단축의 길이는 2a=2_1=2
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
09 타원
(x-1)2
1112a
+
(y+3)2
7
1112
=1은 타원
+
=1을
x2
15a
y2
157
x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행
이동한 것이다.
x2
15a
=1의 초점의 좌표는
y2
157
타원
+
=1의 초점의 좌표는
(
+
'Ä
타원
a-7, 0), (-
(x-1)2
1112a
a-7, 0)이므로
'Ä
(y+3)2
7
1112
a-7, -3), (1-
a-7, -3)
(1+
이때 주어진 타원의 두 초점의 좌표가
(3, -3), (-1, -3)이므로
1+
a-7=-1
'Ä
'Ä
'¶
a-7=3, 1-
'¶
a-7=2, a-7=4
'¶
∴ a=11
01. 이차곡선 7
10 타원
+
=1의
y2
x2
152
158
초점의 좌표는
8-2, 0),
(
'¶
8-2, 0),
(-
'¶
즉 F(
6, 0),
'
F'(-
6, 0)이므로
'
FF'Ó=2_
6
6=2
'
따라서 삼각형 PF'F의 넓이는
-2'2
'
F'
y
'2
O
-'2
_2
6_1=
;2!;
'
6
'
11 두 점 F, F'이 타원의 초점이고, 두 점 A, B가 타원 위
의 점이므로 타원의 정의에 의하여
AFÓ+AF'Ó=BFÓ+BF'Ó=(장축의 길이)=8
따라서 삼각형 AF'B의 둘레의 길이는
AF'Ó+BF'Ó+ABÓ=AF'Ó+BF'Ó+(AFÓ+BFÓ)
=(AFÓ+AF'Ó)+(BFÓ+BF'Ó)
=8+8=16
12 5x2+9y2-18y-36=0에서 5x2+9(y-1)2=45
∴
+
x2
159
=1
(y-1)2
5
1112
(y-1)2
5
1112
+
타원
x2
159
x2
159
방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
=1은 타원
y2
155
타원
+
=1의 초점의 좌표는
x2
159
y2
155
+
=1을 y축의
'¶
'¶
9-5, 0), (-
9-5 , 0), 즉 (2, 0), (-2, 0)
(
이고, 평행이동하여도 두 초점 사이의 거리는 변하지
않으므로 주어진 타원의 두 초점 사이의 거리는 p=4
또 평행이동하여도 장축, 단축의 길이는 변하지 않으
므로 주어진 타원의 장축의 길이는 q=2_3=6
단축의 길이는 r=2_
'
∴ p+q+r =4+6+2
'
5
'
5=2
5
=10+2
5
'
13 구하는 쌍곡선의 방정식을
y2
15b2 =-1 (a>0, b>0)이라 하면 주축의 길이
x2
15a2 -
가 4이므로 2b=4에서 b=2
이때 a2=32-b2=32-22=5이므로
구하는 쌍곡선의 방정식은
x2
155
y2
154
=-1
-
또 점근선의 방정식이 y=x, y=-x이므로
=1
;aB;
P{2,`1}
x
F
2'2
y2
+ =1
152
x2
158
yy ㉡
∴ a=b
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a2=
, b2=
;2!;
;2!;
따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은
2x2-2y2=1
15 두 직선 y=2x, y=-2x를 점근선으로 하고 점 (1, 0)
을 지나는 쌍곡선은 주축이 x축 위에 있으므로 구하는
쌍곡선의 방정식을
y2
x2
15b2 =1 (a>0, b>0)이라 하자.
15a2 -
점근선의 방정식이 y=2x, y=-2x이므로
=2
;aB;
∴ b=2a
yy ㉠
1
또 점 (1, 0)이 쌍곡선 위의 점이므로
15a2 =1
∴ a=1 (∵ a>0)
a=1을 ㉠에 대입하면 b=2
따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은
x2-
=1
y2
154
16 점근선의 방정식이 y=Ñ
;aB;
x이므로 두 점근선이 서로
수직이려면
_
-
{
;aB;
;aB;}
=-1
∴ b2=a2
또 쌍곡선
yy ㉠
x2
15a2 -
y2
15b2 =1이 점 (3, 1)을 지나므로
1
15b2 =1 yy ㉡
∴
9
15a2 -
12
15b2 =1
32
15a2 -
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a2=8
∴ a=2
2 (∵ a>0)
따라서 주축의 길이는
2a=2_2
2=4
'
'
2
'
17 y2=-12x=4_(-3)_x이므로 포물선의 초점의
=1의 한
좌표는 (-3, 0)이고, 이 점이 타원
x2
15a +
y2
153
초점이므로 다른 한 초점의 좌표는 (3, 0)이다.
따라서 32=a-3이므로
a=9+3=12
14 구하는 쌍곡선의 방정식을
y2
15b2 =1 (a>0, b>0)이라 하면 초점의 좌표가
x2
15a2 -
(1, 0), (-1, 0)이므로
a2+b2=1 yy ㉠
+
=1의 초점의 좌표는
x2
y2
1325
1316
25-16), (0, -
18 타원
(0,
'Ä
즉 (0, 3), (0, -3)이므로 두 점 A(0, 3),
R(0, -3)은 모두 타원의 초점이다.
25-16),
'Ä
8 I. 이차곡선
y2
+ =1
1325
P
y
5
x2
1316
A{0,`3}
오른쪽 그림과 같이 두
점 P, Q를 잡으면 타원
의 정의에 의하여
PAÓ+PRÓ
=QAÓ+QRÓ
=(장축의 길이)
=10
따라서 삼각형 PQR의
둘레의 길이는
PQÓ+QRÓ+PRÓ=(PAÓ+QAÓ)+QRÓ+PRÓ
-4
Q
-5
O
4
R{0,`-3}
x
=(PAÓ+PRÓ)+(QAÓ+QRÓ)
=10+10=20
'Ä
-
y2
159
16+9, 0),
x2
1316
16+9, 0), (-
=1의 초점의 좌표는
19 쌍곡선
(
'Ä
즉 F(5, 0), F'(-5, 0)
∴ FF'Ó=10
그런데 주축의 길이는 2a=8이므로 쌍곡선의 정의에
의하여 |PF'Ó-PFÓ|=8이다.
이때 삼각형 PF'F의 둘레의 길이가 30이므로
PF'Ó+FF'Ó+PFÓ=30에서
PF'Ó+PFÓ=30-FF'Ó
=30-10
=20
2
-PF'Ó
2
∴ |PFÓ
| =|PFÓ+PF'Ó|_|PFÓ-PF'Ó|
=20_8
=160
20 쌍곡선
x2
15p
-
(y-r)2
1112q
=-1을 y축의 방향으로 -r
만큼 평행이동한 것은 쌍곡선
-
=-1이다.
x2
15p
y2
15q
q=6에서 q=9
이때 주축의 길이가 6이므로 2
또 두 초점의 좌표 (0, 7), (0, -1)을 y축의 방향으로
-r만큼 평행이동한 점의 좌표는 각각 (0, 7-r),
(0, -1-r)이다.
'
한편 쌍곡선
-
=-1의 중심의 좌표, 즉 두 점
x2
15p
y2
15q
(0, 7-r), (0, -1-r)의 중점의 좌표가 (0, 0)이
므로
(7-r)+(-1-r)
2
111111112
∴ r=3
=0, 3-r=0
=-1의 두 초점의 좌표는
-
x2
15p
따라서 쌍곡선
y2
15q
(0, 4), (0, -4)이므로
42=p+9
∴ p=7
∴ p-q+r =7-9+3
=1
'Ä
-
y2
x2
157
159
9+7, 0), (-
=1의 초점의 좌표는
9+7, 0), 즉 F(4, 0), F'(-4, 0)
21 쌍곡선
(
'Ä
∴ FF'Ó=8
또 점 F를 지나고 x축에 수직인 직선 x=4와 쌍곡선
의 교점 A, B의 좌표는
42
159
=1에서 y=Ñ
y2
157
이므로
-
;3&;
4,
A
{
;3&;}
, B
{
4, -
;3&;}
∴ ABÓ=
:Á3¢:
따라서 삼각형 AF'B의 넓이는
_
;2!;
:Á3¢:
_8=
:°3¤:
22 포물선 (y-3)2=-12(x+1)은 포물선 y2=-12x
를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 3만큼
평행이동한 것이다.
따라서 포물선 y2=-12x=4_(-3)_x의 초점의
좌표가 (-3, 0)이고, 준선의 방정식이 x=3이므로
주어진 포물선의 초점의 좌표는 (-4, 3)이고, 준선
의 방정식은 x=2이다.
23 4x2+8y2=32에서
+
y2
154
x2
158
8-4, 0), 즉 (2, 0), (-2, 0)
=1의 초점의 좌표는
8-4, 0), (-
(
'Ä
이 두 점을 초점으로 하고 단축의 길이가 2인 타원의
'Ä
방정식을
y2
15b2 =1 (a>b>0)이라 하면
x2
15a2 +
2b=2에서 b=1
이때 a2=b2+22=12+22=5이므로 타원의 방정식은
x2
15
따라서 구하는 장축의 길이는 2_
+y2=1
5=2
5
'
'
-
y2
x2
154
155
5+4, 0), (-
=1의 초점의 좌표는
24 쌍곡선
(
'Ä
∴ FF'Ó=6
사각형 F'QFP의 넓이가 24이므로 삼각형 PF'F의 넓
5+4, 0), 즉 F(3, 0), F'(-3, 0)
'Ä
이는
_24=12이다.
;2!;
이때 제1사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 P의 좌표를
(p, q)라 하면 삼각형 PF'F의 넓이는
_FF'Ó_q=
_6_q=3q
;2!;
;2!;
즉 3q=12에서 q=4
또 점 P(p, 4)가 주어진 쌍곡선 위의 점이므로
p2
155
∴ p=5 (∵ p>0)
따라서 구하는 점 P의 좌표는 (5, 4)이다.
=1, p2=25
42
154
-
01. 이차곡선 9
이때 b2=102-a2=102-82=36이므로 구하는 쌍
곡선의 방정식은
y2
x2
1336
1364
=1
-
⑵
y
x2
1364
y2
- =1
1336
P
C{10,`6'5}
y=3'5
x
A{-10,`0}
-8
O
8
B{10,`0}
점 P는 B 관측소와 C 관측소로부터 같은 거리에 있
으므로 두 점 B(10, 0), C(10, 6
5)의 수직이등분
선 위에 있다. 이때 선분 BC의 수직이등분선의 방정
'
식은 y=3
5이므로 점 P는 두 방정식
'
5의 교점들 중 제2사분면에 위치한 점이다.
=1
-
x2
1364
y2
1336
'
-
과 y=3
두 식을 연립하여 풀면
5)2
x2
(3
'
36
1364
1115
∴ x=-12 (∵ x<0)
따라서 조난 지점 P의 좌표는
(-12, 3
=1, x2=144
5)
'
4 ⑴ 배와 두 기지 사이의 거리의 차가 항상 40 km로 일
정하므로 배의 이동 경로를 나타내는 이차곡선은 쌍
곡선이다.
두 기지 A, B가 100 km 떨어져 있으므로
A(-50, 0), B(50, 0)
배의 위치를 P라 하면 점 P는 두 초점 A, B로부터의
거리의 차가 40인 쌍곡선 위의 점이다. 이 쌍곡선의
방정식을
x2
15a2 -
y2
15b2 =1 (a>0, b>0)이라 하면
2a=40에서 a=20
이때 b2=502-a2=502-202=2100이므로 구하는
쌍곡선의 방정식은
y2
x2
2100
133400
13334
=1
-
⑵ 점 (-40, a)는 쌍곡선
=1 위의 점이
x2
133400
-
y2
2100
13334
므로
(-40)2
400
1112
a2=6300
∴ a=30
-
a2
2100
13334
=1
7 (∵ a>0)
'
본문 22~23 쪽
창의력·융합형·서술형·코딩
1 ⑴ y2=64x ⑵ C
2 ⑴
+
=1 ⑵ 40 cm
x2
124225
x2
1364
x2
124400
y2
124625
y2
1336
y2
2100
115
3 ⑴
-
=1 ⑵ P(-12, 3
5)
'
4 ⑴
-
=1 ⑵ 30
7
'
1 ⑴ A 지점을 원점으로 하면 초점인 P 지점의 좌표는
(16, 0)
y2=4px에서 p=16이므로 구하는 포물선의 방정식
은 y2=4_16_x, 즉 y2=64x
⑵ 매점의 위치를 X라 하
고, 점 X에서 준선에 내
린 수선의 발을 H라 하
면 포물선의 정의에 의
하여 HXÓ=PXÓ이므로
PXÓ+QXÓ
y
X
H
O
P
y@=64x
Q
x
x=-16
=HXÓ+QXÓ
즉 세 점 H, X, Q가 한
직선 위에 있어야 PXÓ+QXÓ의 값이 최소가 되므로
매점의 위치로 적절한 지점은 C이다.
2 ⑴ 장축의 길이가 50, 단축의 길이가 30인 타원의 방정
식을
x2
15a2 +
y2
15b2 =1 (b>a>0)이라 하면
2b=50에서 b=25, 2a=30에서 a=15
따라서 구하는 타원의 방정식은
x2
132225
y2
132625
=1
+
⑵ 충격파 발사 장치에서 결석까지의 거리는 타원의 두
초점 사이의 거리와 같다.
+
y2
x2
132225
132625
625-225), (0, -
타원
=1의 초점의 좌표는
'Ä
625-225),
(0,
'Ä
즉 (0, 20), (0, -20)
따라서 타원의 두 초점 사이의 거리는
|20-(-20)|=40
이므로 충격파 발사 장치에서 결석까지의 거리는
40 cm이다.
3 ⑴ 조난 지점을 P라 하면 점 P는 B 관측소보다 A 관측
소에 16 km만큼 더 가까이 있으므로 두 점
A(-10, 0), B(10, 0)을 초점으로 하고 두 초점으
로부터의 거리의 차가 16인 쌍곡선 위의 점이다. 이
y2
15b2 =1 (a>0, b>0)이라
쌍곡선의 방정식을
x2
15a2 -
하면
2a=16에서 a=8
10 I. 이차곡선
02 이차곡선과 직선
본문 26~27 쪽
교과서 개념 확인 테스트
1
1 -1 서로 다른 두 점에서 만난다.
1 -2 ⑴ 한 점에서 만난다. (접한다. ) ⑵ 만나지 않는다.
2 -1 y=2x+2
3 -1 y=-x-1
4 -1 y=-2xÑ5
2 -2 y=3x-1
3 -2 y=x+2
4 -2 y=xÑ3
5 -1 y=-
x+2
;2!;
5 -2 y=x+4
6 -1 ⑴ y=xÑ1 ⑵ y=x-1
6 -2 ⑴ y=-xÑ2 ⑵ y=-
x+
;4!;
;2#;
1 -1 y=x+2를 y2=-4x에 대입하면
(x+2)2=-4x
∴ x2+8x+4=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
144
따라서 주어진 포물선과 직선은 서로 다른 두 점에서
만난다.
=42-1_4=12>0
1 -2 ⑴ y=-x-3을 4x2+5y2=20에 대입하면
4x2+5(-x-3)2=20
∴ 9x2+30x+25=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
144
따라서 주어진 타원과 직선은 한 점에서 만난다.
(접한다. )
⑵ x+y=1, 즉 y=-x+1을 5x2-3y2=-15에
=152-9_25=0
대입하면
5x2-3(-x+1)2=-15
∴ x2+3x+6=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D=32-4_1_6=-15<0
따라서 주어진 쌍곡선과 직선은 만나지 않는다.
2 -1 y2=16x=4_4_x에서 p=4이므로 기울기가 2인
접선의 방정식은
y=2x+
∴ y=2x+2
;2$;
울기가 3인 접선의 방정식은
y=3x+
∴ y=3x-1
-3
1243
2 -2 y2=-12x=4_(-3)_x에서 p=-3이므로 기
3 -1 y2=4x=4_1_x에서 p=1이므로 포물선
y2=4x 위의 점 (1, -2)에서의 접선의 방정식은
-2y=2_1_(x+1)
∴ y=-x-1
3 -2 x2=-8y=4_(-2)_y에서 p=-2이므로 포물
선 x2=-8y 위의 점 (-4, -2)에서의 접선의 방정
식은
-4x=2_(-2)_{y+(-2)}
∴ y=x+2
4 -1 타원
x2
156
+y2=1에서 a2=6, b2=1이므로 기울기가
-2인 접선의 방정식은
y=-2xÑ
∴ y=-2xÑ5
"Ã6_(-2)2+1
4 -2 타원 2x2+4y2=12, 즉
=1에서 a2=6,
x2
146
+
y2
143
b2=3이므로 기울기가 1인 접선의 방정식은
y=xÑ
"Ã6_12+3
∴ y=xÑ3
+
=1 위의 점 (2, 1)에서의 접선의 방정
5 -1 타원
x2
158
y2
142
식은
2_x
11358
+
1_y
1132
=1
∴ y=-
x+2
;2!;
5 -2 타원 3x2+y2=12, 즉
+
x2
144
y2
1312
(-1, 3)에서의 접선의 방정식은
3_y
(-1)_x
12
4
1135
11112
=1
+
∴ y=x+4
=1 위의 점
6 -1 ⑴ 쌍곡선
=1에서 a2=4, b2=3이므로 기
-
x2
144
y2
143
울기가 1인 접선의 방정식은
"Ã4_12-3
y2
x2
-
144
145
y=xÑ
∴ y=xÑ1
방정식은
5_x
11355
-
4_y
11354
=1
∴ y=x-1
⑵ 쌍곡선
=1 위의 점 (5, 4)에서의 접선의
6 -2 ⑴ 쌍곡선 7x2-3y2=-21, 즉
x2
143
y2
147
-
=-1에서
a2=3, b2=7이므로 기울기가 -1인 접선의 방정
식은
y=-xÑ
∴ y=-xÑ2
"Ã7-3_(-1)2
=-1 위의
x2
1312
⑵ 쌍곡선 x2-4y2=-12, 즉
y2
153
점 (-2, 2)에서의 접선의 방정식은
2_y
(-2)_x
1133
12
11113
=-1
-
-
∴ y=-
x+
;4!;
;2#;
02. 이차곡선과 직선 11
본문 28~29 쪽
기출 기초 테스트
2
1 -1 ⑴ k>-1 ⑵ k=-1 ⑶ k<-1
1 -2 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
2 -1 6
3 -1 y=2x+2
4 -1 y=2xÑ4
5 -1 y=x-5
2 -2 2
3 -2 1
4 -2 y=3xÑ7
5 -2 y=2x-6
5
'
6 -1 y=-xÑ2
6 -2 y=
xÑ3
;2!;
따라서 주어진 쌍곡선과 직선의 위치 관계는 다음
과 같다.
Ú D>0, 즉 -6(k-2)>0에서 k<2일 때, 서
로 다른 두 점에서 만난다.
Û D=0, 즉 -6(k-2)=0에서 k=2일 때, 한
점에서 만난다. (접한다. )
Ü D<0, 즉 -6(k-2)<0에서 k>2일 때, 만
나지 않는다.
1 -1 y=-x+k를 y2=4x에 대입하면
2 -1 y2=-4x=4_(-1)_x에서 p=-1이므로 기울
기가
인 접선의 방정식은
;3!;
y=
x+
;3!;
∴ y=
x-3
;3!;
-1
142
;3!;
;3!;
이때 직선 y=
x-3이 점 (a, -1)을 지나므로
⑴ 포물선과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면
-1=
a-3
∴ a=6
;3!;
=4(k+1)=0이어야 하므로 k=-1
접선의 방정식은
2 -2 y2=32x=4_8_x에서 p=8이므로 기울기가 2인
(-x+k)2=4x
∴ x2-2(k+2)x+k2=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
144
={-(k+2)}2-1_k2=4k+4
=4(k+1)
=4(k+1)>0이어야 하므로 k>-1
⑵ 포물선과 직선이 한 점에서 만나려면
⑶ 포물선과 직선이 만나지 않으려면
=4(k+1)<0이어야 하므로 k<-1
D
144
D
144
D
144
1 -2 ⑴ y=-x+k를 x2+
=1에 대입하면
y2
143
x2+
(-x+k)2
3
141112
=1
∴ 4x2-2kx+k2-3=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
144
=(-k)2-4(k2-3)=-3k2+12
=-3(k+2)(k-2)
따라서 주어진 타원과 직선의 위치 관계는 다음과
같다.
Ú D>0, 즉 -3(k+2)(k-2)>0에서
-2<k<2일 때, 서로 다른 두 점에서 만난다.
Û D=0, 즉 -3(k+2)(k-2)=0에서
k=Ñ2일 때, 한 점에서 만난다. (접한다. )
Ü D<0, 즉 -3(k+2)(k-2)<0에서
k<-2 또는 k>2일 때, 만나지 않는다.
⑵ y=3x-2를 3x2-y2=k에 대입하면
3x2-(3x-2)2=k
∴ 6x2-12x+k+4=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
144
=(-6)2-6(k+4)=-6k+12
=-6(k-2)
12 I. 이차곡선
y=2x+
∴ y=2x+4
;2*;
이때 직선 y=2x+4와 x축, y축이 만나는 두 점은
A(-2, 0), B(0, 4)이므로
ABÓ="Ã
{0-(-2)}2+(4-0)2=2
5
'
3 -1 y2=16x에 x=1을 대입하면
∴ y=-4 또는 y=4
y2=16
따라서 포물선 y2=16x와 직선 x=1의 교점 중 제1
사분면 위에 있는 교점의 좌표는 (1, 4)
y2=16x=4_4_x에서 p=4이므로 포물선
y2=16x 위의 점 (1, 4)에서의 접선의 방정식은
4y=2_4_(x+1)
∴ y=2x+2
3 -2 y2=-8x=4_(-2)_x에서 p=-2이므로 포물
선 y2=-8x 위의 점 (-2, 4)에서의 접선의 방정
식은
4y=2_(-2)_{x+(-2)}
∴ y=-x+2
이때 직선 y=-x+2가 점 (1, a)를 지나므로
a=-1+2=1
4 -1 타원 4x2+3y2=12, 즉
x2
143
y2
144
+
=1에서
a2=3, b2=4
이때 타원
+
=1에 접하고 직선 y=2x+5에
x2
143
y2
144
평행한 직선의 기울기는 2이므로 구하는 직선의 방정
식은
y=2xÑ
"Ã3_22+4
∴ y=2xÑ4
6 -2 쌍곡선 5x2-2y2=-20, 즉
-
=-1에서
x2
144
y2
1410
a2=4, b2=10
x2
144
이때 쌍곡선
y2
1410
-
=-1에 접하고 직선
y=-2x+1에 수직인 직선의 기울기는
이므로 구
;2!;
하는 직선의 방정식은
y=
xÑ
10-4_
;2!;
®É
{;2!;}
2
∴ y=
xÑ3
;2!;
4 -2 타원
=1에서 a2=5, b2=4
x2
145
+
y2
144
x2
145
y2
144
이때 타원
+
=1에 접하고 직선 y=-
x+2
;3!;
에 수직인 직선의 기울기는 3이므로 구하는 직선의
방정식은
y=3xÑ
"Ã5_32+4
∴ y=3xÑ7
5 -1
y
'5
1
-1
-'5
O
4
x
-2'5
x@+4y@=20
-2'5
점 (4, a)가 타원 x2+4y2=20 위의 점이므로
42+4a2=20, a2=1
이때 점 (4, -1)에서의 접선의 기울기가 양수이므
x2
1320
로 타원 x2+4y2=20, 즉
∴ a=Ñ1
=1 위의 점
y2
145
+
(4, -1)에서의 접선의 방정식은
4_x
11320
∴ y=x-5
(-1)_y
5
11115
=1
+
5 -2 점 (2, -2)가 타원 ax2+y2=12 위의 점이므로
a_22+(-2)2=12, 4a=8
따라서 타원 2x2+y2=12, 즉
∴ a=2
y2
x2
1412
146
(2, -2)에서의 접선의 방정식은
2_x
1416
∴ y=2x-6
(-2)_y
12
141112
=1
+
+
=1 위의 점
6 -1 쌍곡선
=1에서 a2=13, b2=9
x2
1313
-
y2
159
x2
1313
y2
159
이때 쌍곡선
-
=1에 접하고 직선 y=-x+3
에 평행한 직선의 기울기는 -1이므로 구하는 직선
의 방정식은
y=-xÑ
∴ y=-xÑ2
"Ã13_(-1)2-9
교과서 기본 테스트
본문 30~33 쪽
3
01 ②
05 2
09 ①
02 k<-4 또는 k>4 03 ①
08 (2
5, 4
07 ⑤
06 ③
12 (-2,
11 ④
10 ②
'
'
'
2)
04 ④
5)
13 y=
xÑ2
;2#;
14 ⑤
15 ③
16 ②
17 (0, 4) 18 3
19 ①
20 5
21
:ª4°:
22 k>20 23 '
24 3
2
124
01 y=x-k를 y2=8x에 대입하면
(x-k)2=8x
∴ x2-2(k+4)x+k2=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
144
={-(k+4)}2-1_k2=8k+16
=8(k+2)
이때 포물선과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면
D>0이어야 하므로
8(k+2)>0
∴ k>-2
02 y=2x-k를 4x2+y2=8에 대입하면
4x2+(2x-k)2=8
∴ 8x2-4kx+k2-8=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
144
=(-2k)2-8_(k2-8)=-4k2+64
=-4(k+4)(k-4)
이때 타원과 직선이 만나지 않으려면 D<0이어야 하
므로
-4(k+4)(k-4)<0
∴ k<-4 또는 k>4
02. 이차곡선과 직선 13
03 y=-x+3을 2x2-y2=k에 대입하면
2x2-(-x+3)2=k
∴ x2+6x-9-k=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
144
이때 쌍곡선과 직선이 한 점에서 만나려면 D=0이어
야 하므로
k+18=0
=32-1_(-9-k)=k+18
∴ k=-18
04 y2=12x=4_3_x이므로 초점의 좌표는 (3, 0)이
다. 기울기가 1인 직선의 방정식을 y=x+k라 하고,
이 식을 y2=12x에 대입하면
(x+k)2=12x
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
144
=(k-6)2-1_k2=-12k+36
∴ x2+2(k-6)x+k2=0
=-12(k-3)
∴ k=3
이때 포물선과 직선이 접하려면 D=0이어야 하므로
-12(k-3)=0
따라서 접선 y=x+3, 즉 x-y+3=0과 점 (3, 0)
사이의 거리는
|3-0+3|
111121
2
'
=3
"Ã12+(-1)2 =
6
12'2
05 y2=-8x=4_(-2)_x에서 p=-2이므로 기울
기가 -1인 접선의 방정식은
y=-x+
∴ y=-x+2
-2
11-1
따라서 주어진 포물선에 접하
고 기울기가 -1인 직선과 x
축, y축으로 둘러싸인 부분의
넓이는 오른쪽 그림에서 색칠
한 부분의 넓이이므로
_2_2=2
;2!;
y
2
O
2
-2
x
y=-x+2
y2=-8x
06 타원 4x2+5y2=20, 즉
x2
145
y2
144
+
=1에서
a2=5, b2=4
x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 45ù인 직선의
기울기는 tan45ù=1이므로 타원
x2
155
하고 기울기가 1인 직선의 방정식은
y2
154
+
=1에 접
y=xÑ
"Ã5_12+4
∴ y=xÑ3
07 기울기가
'
3인 직선의 방정식을 y=
3x+k라 하고,
'
이 식을 x2+3y2=30에 대입하면
x2+3(
3x+k)2=30
'
∴ 10x2+6
3kx+3k2-30=0
'
14 I. 이차곡선
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
144
3k)2-10_(3k2-30)=-3k2+300
'
=(3
=-3(k+10)(k-10)
∴ k=Ñ10
3x+10, y=
이때 타원과 직선이 접하려면 D=0이어야 하므로
-3(k+10)(k-10)=0
따라서 접선의 방정식은 y=
이고, 두 직선 사이의 거리는 직선 y=
점 (0, 10)과 직선 y=
'
사이의 거리와 같으므로
|
3_0-10-10|
'
141111112
"Ã(
3)2+(-1)2 =
3x-10, 즉
'
3x-10
3x+10 위의
'
3x-y-10=0
=10
:ª2¼:
'
'
'
=1 위의 점 P의 좌표를 (a, b)라
x2
154
y2
1320
-
08 쌍곡선
하면
a2
154
또 점 P(a, b)에서의 접선의 방정식은
ax
124
=1, 즉 y=
by
1220
5a
12b
20
12b
b2
1320
=1
x-
-
-
∴ 5a2-b2=20 yy ㉠
yy ㉡
이때 접선의 기울기가
이므로
;2%;
;2%;
=
∴ b=2a
5a
143b
㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면
5a2-(2a)2=20, a2=20
∴ a=2
a=2
따라서 점 P의 좌표는 (2
5를 ㉡에 대입하면 b=4
5, 4
5 (∵ a>0)
'
'
5
'
5)이다.
'
'
09 y2=8x=4_2_x에서 p=2이므로 포물선 y2=8x
위의 점 (2, -4)에서의 접선의 방정식은
-4y=2_2_(x+2)
한편 x2=ay=4_
_y에서 p=
∴ y=-x-2
;4A;
이므로 초점의
;4A;
좌표는
{
0,
;4A;}
이고, 이 점을 직선 y=-x-2가 지나
므로
;4A;
=-2
∴ a=-8
10 y2=4x=4_1_x에서 p=1이므로 초점의 좌표는
(1, 0)이다. 이때 초점을 지나면서 y축에 평행한 직선
은 x=1이므로 이 직선과 주어진 포물선의 교점의 좌
표를 (1, a)라 하면
a2=4에서 a=Ñ2
즉 P(1, 2), Q(1, -2)라 하면 점 P(1, 2)에서의 접
선의 방정식은
2y=2_1_(x+1)
∴ y=x+1
점 Q(1, -2)에서의 접선의 방정식은
-2y=2_1_(x+1)
∴ y=-x-1
ax
128
+
by
124
=1
_{x+(-2)}
∴ y=-x+2
따라서 두 접선 y=x+1, y=-x-1의 교점의 좌표
는 x+1=-x-1, 2x=-2에서 x=-1, y=0이
므로 (-1, 0)이다.
y-(-1)=
(x-1)
;4!;
∴ y=
x-
;4!;
;4%;
+
=1 위의 점이므로
15 y2=-8x=4_(-2)_x에서 p=-2이다.
11 점 (a, b)는 타원
b2
149
a2
1416
=1
+
x2
1416
y2
149
yy ㉠
또 점 (a, b)에서의 접선의 방정식은
+
=1이
ax
1216
by
129
∴ a=2
+
=1
고, 이 직선의 x절편이 8이므로
b_0
a_8
14319
143116
a=2를 ㉠에 대입하면
22
b2
1416
149
∴ a2b2=22_
∴ b2=
=27
=1
:ª4¦:
+
:ª4¦:
+
=1 위의 점 P의 좌표를 (a, b)라 하면
y2
154
12 타원
a2
158
+
x2
158
b2
154
=1
yy ㉠
또 점 P(a, b)에서의 접선의 방정식은
2이므로
'
∴ b=
2
'
'
+
=1
이고, 이 직선의 y절편이 2
b_2
2
a_0
143114
14318
2를 ㉠에 대입하면
b=
a2
148
따라서 점 P의 좌표는 (-2,
'
2)2
(
'
14124
=1, a2=4
+
'
2)이다.
∴ a=-2 (∵ a<0)
=1 위의 점 (3, 2)에서의 접선의 방정
13 타원
식은
+
x2
1318
3_x
11218
y2
158
+
=1
∴ y=-
x+4
;3@;
2_y
1128
x2
154
-
y2
155
따라서 쌍곡선
=1에 접하고 직선
y=-
x+4에 수직인 직선의 기울기는
이므로 구
;2#;
;3@;
하는 직선의 방정식은
y=
xÑ
4_
;2#;
®É
{;2#;}
-5
∴ y=
xÑ2
;2#;
2
14 쌍곡선 4x2-y2=3, 즉
-
=1 위의 점
x2
142
;4#;
y2
153
P(1, -1)에서의 접선의 방정식은
1_x
1422
;4#;
(-1)_y
141113
=1
-
∴ y=-4x+3
따라서 점 P(1, -1)을 지나고 직선 y=-4x+3에
수직인 직선의 기울기는
이므로 구하는 직선의 방
;4!;\
정식은
yy ㉡
2=-8x1
접점의 좌표를 (x1, y1)이라 하면 접선의 방정식은
y1y=2_(-2)_(x+x1)
이때 이 접선이 점 (4, -2)를 지나므로
y1_(-2)=2_(-2)_(4+x1)
y1=2x1+8 yy ㉠
또 접점 (x1, y1)이 포물선 y2=-8x 위의 점이므로
y1
㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면
2+10x1+16=0, (x1+2)(x1+8)=0
x1
∴ x1=-2, y1=4 또는 x1=-8, y1=-8
이때 점 (-2, 4)에서의 접
선의 기울기가 음수이므로
x1=-2, y1=4
따라서 구하는 접선의 방
정식은
4_y=2_(-2)
y2=-8x
-8
-2
-2
O
y
4
4
x
-8
16 y2=x=4_
;4!;
_x에서
p=
이므로 기울기가 m인
{a,`1}
;4!;
접선의 방정식은
y=mx+
1
1254m
이 접선이 점 (a, 1)을 지나
므로
y
;4!;
O
x
y2=x
1=ma+
1
1254m
∴ 4am2-4m+1=0
이차방정식 ㉠의 두 근을 m1, m2라 하면 m1, m2는 각
각 두 접선의 기울기이고, 두 접선이 수직이므로
m1m2=-1
이차방정식 ㉠의 근과 계수의 관계에 의하여
yy ㉠
m1m2=
=-1
1
124a
∴ a=-
;4!;
다른 풀이
임의의 한 점 A에서 포물선에 그은 두 접선이 수직이
면 점 A는 포물선의 준선 위에 있다.
포물선 y2=x의 준선은 x=-
이고 점 (a, 1)에서
;4!;
포물선에 그은 두 접선이 수직이므로 점 (a, 1)은 준선
위에 있다.
∴ a=-
;4!;
02. 이차곡선과 직선 15
17 타원 4x2+y2=8, 즉
+
=1의 접점의 좌표를
20 쌍곡선 3x2-y2=3, 즉 x2-
=1 위의 점 (p,q)에
x2
142
y2
148
+
=1
y1y
1428
(x1, y1)이라 하면 접선의 방정식은
x1x
1422
이때 이 접선이 점 (1, 6)을 지나므로
x1_1
14212
y1_6
14218
=1
+
;2#;
y1+2 yy ㉠
x1=-
또 접점 (x1, y1)이 타원 4x2+y2=8 위의 점이므로
yy ㉡
4x1
㉠ 을 ㉡에 대입하여 정리하면
5y1
2-12y1+4=0, (y1-2)(5y1-2)=0
2+y1
2=8
∴ x1=-1, y1=2 또는 x1=
, y1=
;5&;
;5@;
이때 점 (-1, 2)에서의 접
선의 기울기가 양수이므로
x1=-1, y1=2
즉 기울기가 양수인 접선의
방정식은
(-1)_x
2
11112
∴ y=2x+4
따라서 직선 y=2x+4와 y
축이 만나는 점의 좌표는
(0, 4)이다.
2_y
1138
=1
+
y
{1,`6}
4x2+y2=8
2'2
2
;5@;
O-1
'2
x
;5&;
-'2
-2'2
18 타원
x2
153
+
y2
156
=1에서 a2=3, b2=6이므로 기울기가
1인 접선의 방정식은
"Ã3_12+6
∴ y=xÑ3
y=xÑ
이 접선이 제1사분면 위에 있는 점 (2k, k)를 지나므로
k=2kÑ3
∴ k=3 (∵ k>0)
19 타원
x2
154
+y2=1에서 a2=4, b2=1이므로 기울기가
m인 접선의 방정식은
"Ã4m2+1
y=mxÑ
이 접선이 점 (1, 3)을 지나므로
3=mÑ
"Ã4m2+1
"Ã4m2+1
3-m=Ñ
양변을 제곱하면
(3-m)2=4m2+1
∴ 3m2+6m-8=0
이 이차방정식의 두 근이 각각 두 접선의 기울기 m1,
m2이므로 근과 계수의 관계에 의하여
m1+m2=-
=-2
;3^;
16 I. 이차곡선
y2
153
qy
133
서의 접선의 방정식은 px-
=1
이때 이 접선이 점 (1, 1)을 지나므로
p_1-
=1, 3p-q=3
q_1
1123
yy ㉠
q=3p-3
또 접점 (p,q)가 쌍곡선 3x2-y2=3 위의 점이므로
3p2-q2=3 yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면
p2-3p+2=0, (p-1)(p-2)=0
∴ p=1, q=0 또는 p=2, q=3
그런데 p, q는 0이 아닌 상수이므로 p=2, q=3이다.
∴ p+q=2+3=5
21 쌍곡선 x2-5y2=5, 즉
-y2=1의 접점의 좌표를
x2
155
-y1y=1
(x1, y1)이라 하면 접선의 방정식은
x1x
1235
이때 이 접선이 점 P(0, 2)를 지나므로
x1_0
11245
-y1_2=1
;2!;
yy ㉠
y1=-
또 접점 (x1, y1)이 쌍곡선 x2-5y2=5 위의 점이므로
x1
㉠을 ㉡에 대입하면
2=5 yy ㉡
2-5y1
x1
2-5_
-
{
;2!;}
2
=5, x1
2=
:ª4°:
∴ x1=-
, y1=-
또는 x1=
, y1=-
;2%;
;2!;
;2%;
;2!;
따라서 두 점 A, B의 좌표는
-
, -
,
{;2%;
, -
;2%;
{
;2!;}
;2!;}
이므로 오른쪽 그림에서
△PAB=
_5_
;2!;
;2%;
=
:ª4°:
P{0,`2}
y
O
-;2!;
-;2%;
A
;2%;
B
x
22 y=x-5를 4x2+y2=k에 대입하면
4x2+(x-5)2=k
∴ 5x2-10x+25-k=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
144
=(-5)2-5_(25-k)=5k-100
=5(k-20)
이때 타원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면
D>0이어야 하므로
5(k-20)>0
∴ k>20
23 포물선 y2=2x 위의 점과 직선 y=-x-1 사이의 거
리의 최솟값은 기울기가 -1인 포물선의 접선과 직선
y=-x-1 사이의 거리와 같다.
1 ⑴ 호수의 둘레를 나타내는 타원의 방정식을
y2
14b2 =1 (b>a>0)이라 하면 장축의 길이가 4,
24 쌍곡선
=-1에서 a2=7, b2=16이므로 기
y2=2x=4_
;2!;
인 접선의 방정식은
_x에서 p=
이므로 기울기가 -1
;2!;
y=-x+ ;2!;
11-1
∴ y=-x-
;2!;
따라서 직선 y=-x-
;2!;}
y=-x-1, 즉 x+y+1=0 사이의 거리는
;2!;
위의 점
{
0, -
과 직선
0-
+1
|
|
;2!;
14221125
12+12 = ;2!;
2
142
'
"Ã
= '
2
124
-
x2
147
y2
1416
울기가 m인 접선의 방정식은
"Ã16-7m2
y=mxÑ
이 접선이 점 F(p, 0)을 지나므로
"Ã16-7m2
"Ã16-7m2
0=pmÑ
pm=Ñ
양변을 제곱하면
p2m2=16-7m2
∴ (p2+7)m2-16=0
이차방정식 ㉠의 두 근을 m1, m2라 하면 m1, m2는 각
각 두 접선의 기울기이고, 두 접선이 서로 수직이므로
m1m2=-1
이차방정식 ㉠의 근과 계수의 관계에 의하여
yy ㉠
m1m2=
=-1
-16
p2+7
1125
p2+7=16, p2=9
∴ p=3 (∵ p>0)
x2
14a2 +
단축의 길이가 2
2a=2
'
∴ a=
'
따라서 구하는 타원의 방정식은
'
2, 2b=4
2, b=2
2이므로
x2
2)2+
1135
(
'
x2
∴
152
+
y2
1422 =1
y2
154
=1
⑵ 타원 모양의 호수의 둘레와 도로가 접하는 지점의 좌
표가 (m, n)이므로 타원
+
=1 위의 점
x2
142
y2
144
+
=1
=1
ny
134
∴ y=
yy ㉠
(m, n)에서의 접선의 방정식은
mx
1252
x=0을 ㉠에 대입하면
4
ny
1n
134
y=0을 ㉠에 대입하면
2
mx
15m
1252
이때 타원 모양의 호수의 둘레에 접하는 도로로 둘러
4
1n
싸인 부분은 두 대각선의 길이가 각각 2_
∴ x=
2
15m
, 2_
=1
인 마름모이고, 그 넓이가 8
2이므로
'
_
;2!;
4
15m
_
∴ mn=
8
1n =8
16
118
2
'
=
2
'
2
'
y2
14b2 =1 (a>b>0)이라 하면
x2
14a2 +
3, 단축의 길이가 8이므로
2 ⑴ 타원의 방정식을
장축의 길이가 8
2a=8
'
∴ a=4
따라서 구하는 타원의 방정식은
'
3, 2b=8
3, b=4
'
⑵ 타원
=1 위의 점 P의 y좌표가 -2이므로
+
∴
=1
y2
x2
3)2 +
1542 =1
1115
(4
'
y2
x2
1316
1348
y2
x2
1348
1316
(-2)2
x2
1348
16
14312
∴ x=6 (∵ x>0)
따라서 타원 위의 점 P의 좌표는 (6, -2)이다.
=1, x2=36
+
+
y2
14316
+
x2
1348
의 방정식은
6_x
143148
∴ y=x-8
+
(-2)_y
16
1431213
=1
02. 이차곡선과 직선 17
2 ⑴
+
=1 ⑵ (6, -2) ⑶ y=x-8
⑶ 타원
=1 위의 점 P(6, -2)에서의 접선
창의력·융합형·서술형·코딩
본문 34~35 쪽
1 ⑴
+
=1 ⑵
2
'
x2
132
x2
1348
y2
134
y2
1316
;2!;
3 ⑴ l: y=
x+4, Q(-8, 0) ⑵ 풀이 참조
⑶ (2, 0), 초점의 좌표와 점 R의 좌표는 같다.
4 ⑴ 2x-3y=-5 ⑵ P(5, 5), Q(-1, 1) ⑶ 5
3 ⑴ y2=8x=4_2_x에서 p=2이므로 포물선 y2=8x
위의 점 P(8, 8)에서의 접선의 방정식은
8y=2_2_(x+8)
∴ y=
x+4
;2!;
이때 점 Q는 직선 l과 x축의 교점이므로 y=0을 대
입하면
II 평면벡터
03 벡터의 연산
h
l
P
R
8
x
y2=8x
0=
x+4
∴ x=-8
;2!;
따라서 점 Q의 좌표는 (-8, 0)이다.
y
⑵ 오른쪽 그림과 같이
h
8
h
Q
∠RPQ=h라 하면 입
사각과 반사각의 크기
는 같으므로
∠PQR=h이다.
따라서 삼각형 PQR는
이등변삼각형이므로
QRÓ=PRÓ
이때 점 R의 좌표를 (a, 0)이라 하면
2
O
2
이므로
=PRÓ
QRÓ=PRÓ에서 QRÓ
(a+8)2=(a-8)2+(-8)2, 32a=64
∴ a=2
따라서 점 R의 좌표는 (2, 0)이다.
⑶ y2=8x=4_2_x에서 p=2이므로 포물선 y2=8x
의 초점의 좌표는 (2, 0)이다.
따라서 포물선 y2=8x의 초점의 좌표와 점 R의 좌표
는 같다.
4 ⑴ 쌍곡선 x2-y2=-5, 즉
-
=-1 위의 점
x2
155
y2
155
⑵ 쌍곡선
-
-
=-1
y2
155
3_y
1125
=-1의 점근선의 방정식은
(2, 3)에서의 접선의 방정식은
2_x
1125
∴ 2x-3y=-5
x2
155
y=x, y=-x이다.
점 P는 직선 2x-3y=-5와 y=x의 교점이므로
2x-3x=-5, x=5
또 점 Q는 직선 2x-3y=-5와 y=-x의 교점이
므로
2x+3x=-5, x=-1
2, OQÓ=
2이고, 두 점근선 y=x, y=-x
∴ Q(-1, 1)
∴ P(5, 5)
가 서로 수직이므로 직각삼각형 OPQ의 넓이는
⑶ OPÓ=5
'
'
_OPÓ_OQÓ=
_5
2_
2=5
;2!;
'
;2!;
'
y
Q
O
{2,`3}
P
x
y=-x
2x-3y=-5
y=x
x2-y2=-5
18 I. 이차곡선
본문 40~41 쪽
3 ⑵ 2
'
1 -2 ⑴
교과서 개념 확인 테스트
1
1 -1 ⑴ 3 ⑵ 5
2 -1 ⑴ CD³ ⑵ -ED³
2 -2 ⑴ FO³, OÕC², ED³ ⑵ BC³, AO³, OD³, FÕE²
3 -1 ⑴ DA³ ⑵ CÕB²
4 -1 풀이 참조
5 -1 5aø+2bø
6 -1 15
3 -2 ⑴ CA³ ⑵ 0ø
4 -2 풀이 참조
5 -2 ⑴ 3aø+bø ⑵ -aø-bø
6 -2 6
1 -1 ⑴ |BA³|=BAÓ=CDÓ=3
⑵ |BD³|=BDÓ=
42+32=5
Á°
1 -2 ⑴ 오른쪽 그림의 △ACF에서
A
F
|AC³|=FCÓ_sin 60ù
이때 세 대각선의 교점을 O
라 하면 FOÓ=OCÓ=1이므
로 FÕCÕ=2
1
B
60æ
O
E
C
D
∴ |AC³|=2_ '
3
122
⑵ 위의 그림에서 AOÓ=ODÓ=1이므로
=
'
3
ADÓ=2
∴ |AD³|=2
2 -1 서로 같은 벡터는 시점의 위치에 관계없이 그 크기와
방향이 각각 같은 벡터이다.
⑴ AB³와 서로 같은 벡터는 CD³이다.
⑵ BÕC²와 서로 같은 벡터는 -ED³이다.
2 -2 ⑴ AB³와 서로 같은 벡터는 FÕO², OÕC², ED³이다.
⑵ AD³와 방향이 같은 벡터는 BÕC², AO³, OD³, FÕE²이다.
3 -1 ⑴ CA³+DC³=DC³+CA³=DÕA³
⑵ AB³+DÕA³+CD³ =(DÕA³+AB³)+CD³
=DB³+CD³
=CD³+DB³
=CB³
3 -2 ⑴ BÕA³+CB³=CB³+BÕA³=CA³
⑵ AB³+BC³+CD³+DÕA³
=(AB³+BC³)+(CD³+DÕA³)
=AC³+CÕA³
=0ø
4 -1
aø
aø-bø
-bø
다른 풀이
평행사변형을 이용하여 aø-bø를 그림으로 나타내면
다음과 같다.
aø-bø
-bø
aø
4 -2 ⑴
⑵
aø
aø-bø
-bø
-bø
aø
aø-bø
5 -1 2(aø+4bø)-3(-aø+2bø)
=2aø+8bø+3aø-6bø
=(2+3)aø+(8-6)bø
=5aø+2bø
5 -2 ⑴ 2(2aø-bø)-(aø-3bø)
=4aø-2bø-aø+3bø
=(4-1)aø+(-2+3)bø
=3aø+bø
⑵ 3(aø-bø+2cø)-2(2aø-bø+3cø)
=3aø-3bø+6cø-4aø+2bø-6cø
=(3-4)aø+(-3+2)bø+(6-6)cø
=-aø-bø
6 -1 두 벡터 2aø-5bø, -6aø+mbø가 서로 평행하므로
-6aø+mbø=k(2aø-5bø) (단, k는 0이 아닌 실수)
-6aø+mbø=2kaø-5kbø
두 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
-6=2k, m=-5k
∴ k=-3, m=15
6 -2 두 벡터 3aø-bø와 maø-2bø가 서로 평행하므로
maø-2bø=k(3aø-bø) (단, k는 0이 아닌 실수)
maø-2bø=3kaø-kbø
두 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
m=3k, -2=-k
∴ k=2, m=6
기출 기초 테스트
본문 42~43 쪽
2
1 -1 풀이 참조
2 -1 aø-bø
3 -1 2
4 -1 3aø-bø
5 -1 2aø-3bø
6 -1 풀이 참조
1 -2 풀이 참조
2 -2 bø-aø
3 -2 ⑴ 4 ⑵ 2
4 -2 7aø-2bø
5 -2 ⑴ aø-3bø ⑵ -10aø+4bø
6 -2 풀이 참조
1 -1 AB³+CD³ =(AD³+DB³)+(CB³+BD³)
=AD³+CB³+(DB³+BD³)
=AD³+CB³+0ø
=AD³+CB³
따라서 AB³+CD³=AD³+CB³가 성립한다.
1 -2 aø+bø+cø=AB³+BC³+CA³
=(AB³+BC³)+CA³
=AC³+CA³
=0ø
2 -1 CD³=BÕA³=OÕA³-OB³=aø-bø
2 -2 CD³=BE³=AE³-AB³=bø-aø
3 -1 |AB³+BC³-CD³| =|(AB³+BC³)-CD³|
=|AC³-CD³|
=|AC³+DC³|
=|FD³+DC³|
=|FC³|
오른쪽 그림과 같이 세 대각선
의 교점을 O라 하면
FOÓ=OCÓ=1이므로 FCÓ=2
∴ |FC³|=2
∴ |AB³+BC³-CD³| =|FC³|
1
B
A
F
E
O
C
D
=2
3 -2 ⑴ |AB³+AE³|=|AB³+BD³|=|AD³|
오른쪽 그림과 같이 세 대각
A
선의 교점을 O라 하면
AOÓ=ODÓ=2이므로
ADÓ=2
∴ |AD³|=4
∴ |AB³+AE³|=|AD³|=4
B
C
2
F
D
E
⑵ |AB³+CD³-ED³| =|AB³+(CD³+DE³)|
=|AB³+CE³|
=|AB³+BÕF²|
=|AF³|
이때 AFÓ=2이므로
|AB³+CD³-ED³|=|AF³|=2
03. 벡터의 연산 19
O
4 -1 2(aø+2bø)-(-aø+5bø)
=2aø+4bø+aø-5bø
=(2+1)aø+(4-5)bø
=3aø-bø
4 -2 2(aø+3bø)-3(-aø+2bø)+2(aø-bø)
=2aø+6bø+3aø-6bø+2aø-2bø
=(2+3+2)aø+(6-6-2)bø
=7aø-2bø
5 -1 aø+3bø+2xø=5aø-3bø에서
2xø=5aø-3bø-aø-3bø
=(5-1)aø+(-3-3)bø
=4aø-6bø
∴ xø=2aø-3bø
5 -2 ⑴ aø+2bø+3xø=4aø-7bø에서
3xø=4aø-7bø-aø-2bø
=(4-1)aø+(-7-2)bø
=3aø-9bø
∴ xø=aø-3bø
⑵ 4aø+3xø=2(xø-3aø+2bø)에서
4aø+3xø=2xø-6aø+4bø
3xø-2xø=-6aø+4bø-4aø
(3-2)xø=(-6-4)aø+4bø
∴ xø=-10aø+4bø
6 -1 AB³, AC³를 각각 aø, bø로 나타내면
AB³=OB³-OA³=2bø-aø
AC³=OC³-OA³
=(-aø+4bø)-aø
=-2aø+4bø
=2(2bø-aø)
즉 AC³=2AB³
따라서 세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있다.
6 -2 AB³, AC³를 각각 aø, bø로 나타내면
AB³=OB³-OA³
=(4aø-bø)-(2aø+3bø)
=2aø-4bø
AC³=OC³-OA³
=(-aø+9bø)-(2aø+3bø)
=-3aø+6bø
=-
(2aø-4bø)
;2#;
즉 AC³=-
AB³
;2#;
따라서 세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있다.
20 II. 평면벡터
교과서 기본 테스트
3
01 ⑴ AF³, BO³, CD³ ⑵ BÕE², CÕF², DÕA³, EÕB², FÕC²
03 ①
02 ③
07 2
08 -4
10 ⑴ 7aø-bø ⑵ -aø+3bø-2cø
04 ④
09 ③
11 4aø+4bø
05 ①
12 ⑤
13 xø+yø=
aø+
bø 14 ②
15 p=1, q=-5
19 6
22 -7aø+3bø
24 풀이 참조
20 2
'
2
;7!;
;7$;
16 ③
21 평행사변형
23 m=3, n=2
17 ①
본문 44~47 쪽
06
2
'
18 4
01 ⑴ OE³와 서로 같은 벡터는 AF³, BO³, CD³이다.
⑵ ADÓ=BEÓ=CFÓ=2이므로 AD³와 크기가 같은 벡
터는 BE³, CÕF², DÕA³, EB³, FÕC²이다.
02 BC³=AC³-AB³=bø-aø
03 -bø+cø=CA³+AD³
=CD³
=-AB³
=-aø
04 ① AO³=BC³=bø
② AC³=AB³+BC³=aø+bø
③ AD³=2AO³=2BC³=2bø
④ BO³=AO³-AB³=BC³-AB³=bø-aø
⑤ DE³=BA³=-aø
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
05 오른쪽 그림과 같이 세 대각선
A
F
의 교점을 O라 하면
CE³=CF³+FE³
=2CO³+FE³
=2BA³+BC³
=-2aø+bø
B
aø
bø
E
O
C
D
06 |AB³+AC³+AD³| =|DC³+AC³+AD³|
=|(AD³+DC³)+AC³|
=|AC³+AC³|
=2|AC³|
|AB³+AC³+AD³|=4에서 2|AC³|=4
∴ |AC³|=2
정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 a라 하면
Á°
'
a2+a2=
ACÓ=
2a
이때 ACÓ=2이므로
'
∴ a=
2
'
따라서 정사각형의 한 변의 길이는
'
2a=2
2이다.
ㄷ. AB³+BC³+CA³=(AB³+BC³)+CA³
16 maø+nbø=(n-m)aø+(m+1)bø에서 두 벡터가 서
07 |cø-aø+bø| =|CD³-AB³
³+BC³|
=|(BC³+CD³)-AB³|
=|BD³+BÕA³|
=|BD³+DE³|
=|BE³|
오른쪽 그림과 같이 세 대각선
의 교점을 O라 하면
BOÓ=OEÓ=1이므로 BÕEÕ=2
∴ |BÕE²
∴ |cø-aø+bø|=|BÕE²|=2
ø|=2
B
bø
aø
A
1
F
O
cø
C
D
08 DE³=-aø, CD³=
;2!;
BE³이므로
BE³=BC³+CD³+DE³
=bø+
BE³-aø
;2!;
즉
BE³=bø-aø에서 BE³=-2aø+2bø이므로
;2!;
m=-2, n=2
∴ mn=-2_2=-4
09 ㄱ. AB³+0ø=AB³
ㄴ. CÕB²+CA³-BA³=CÕB²+(CA³+AB³)
=CÕB²+CÕB²
=2CÕB²
=AC³+CA³
=0ø
따라서 옳은 것은 ㄷ이다.
10 ⑴ 2(2aø+bø)+3(aø-bø) =4aø+2bø+3aø-3bø
=7aø-bø
⑵
(aø+5bø-cø)-
(5aø+bø+4cø)
;3@;
;3!;
=
aø+
bø-
cø-
aø-
bø-
cø
;3$;
;3!;
;3%;
;3@;
:Á3¼:
;3@;
=-aø+3bø-2cø
11 2(aø-bø)-3(aø-2bø)+5aø
=2aø-2bø-3aø+6bø+5aø
=4aø+4bø
12 2(xø-yø)+3yø=2xø-2yø+3yø
=2xø+yø
=2(3aø-2bø+cø)+(2aø+bø-4cø)
=6aø-4bø+2cø+2aø+bø-4cø
=8aø-3bø-2cø
13 xø+2yø=aø
3xø-yø=bø
㉠+2_㉡을 하면
yy ㉠
yy ㉡
7xø=aø+2bø
∴ xø=
aø+
bø
;7@;
;7!;
위의 식을 ㉡에 대입하면
yø=3xø-bø=3
aø+
bø
}
;7@;
-bø
{;7!;
=
aø-
bø
;7!;
;7#;
E
∴ xø+yø=
aø+
bø
}
;7@;
+
{;7#;
aø-
bø
}
;7!;
{;7!;
=
aø+
bø
;7!;
;7$;
14 3(xø+aø+2bø)=2(bø-xø)에서
3xø+3aø+6bø=2bø-2xø
5xø=-3aø-4bø
∴ xø=-
aø-
bø
;5$;
;5#;
15 AB³=OB³-OÕA³
=(2aø-bø)-(aø+4bø)
=aø-5bø
이때 AB³=paø+qbø이므로
p=1, q=-5
로 같을 조건에 의하여
m=n-m, n=m+1
∴ 2m=n, n=m+1
위의 두 식을 연립하여 풀면 m=1, n=2이므로
m+n=1+2=3
17 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면
AC³=kAB³ (k+0)인 실수 k가 존재해야 한다.
AB³=OB³-OÕA³
=(2aø-bø)-(aø+bø)
=aø-2bø
AC³=OC³-OÕA³
=(6aø+mbø)-(aø+bø)
=5aø+(m-1)bø
∴ 5aø+(m-1)bø=kaø-2kbø
두 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
5=k, m-1=-2k
∴ k=5, m=-9
18 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면
AC³=kAB³ (k+0)인 실수 k가 존재해야 한다.
AB³=OB³-OÕA³
=(aø-bø)-(2aø+bø)
=-aø-2bø
03. 벡터의 연산 21
AC³=OC³-OÕA³
=(maø+5bø)-(2aø+bø)
=(m-2)aø+4bø
∴ (m-2)aø+4bø=-kaø-2kbø
두 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
m-2=-k, 4=-2k
∴ k=-2, m=4
24 pø+qø=(3aø+2bø)+(2aø-bø)=5aø+bø
2qø+rø=2(2aø-bø)+(-9aø+bø)
=-5aø-bø
=-(5aø+bø)
이때 pø+qø=-(2qø+rø)이므로 p²+q²=k(2qø+rø)를
만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재한다.
따라서 두 벡터 p²+q², 2q²+r²는 서로 평행하다.
19 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면
AC³=kAB³ (k+0)인 실수 k가 존재해야 한다.
AB³=OB³-OA³
=2bø-(-3aø)
=3aø+2bø
AC³=OC³-OÕA³
=m(aø+bø)-(-3aø)
=(m+3)aø+mbø
∴ (m+3)aø+mbø=3kaø+2kbø
두 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
m+3=3k, m=2k
∴ k=3, m=6
20 AB³-AP³=PÕB²이므로
|AB³-AP³|=|PÕB²|=PÕBÕ
PÕBÕ의 길이는 점 P가 점 D에 위치할 때 최대이므로
구하는 최댓값은
"Ã22+22=2
2
'
21 PA³+PÕC²=PÕB²+PD³에서
PÕA³-PÕB²=PD³-PÕC²
따라서 BÕAÓ=CDÓ, BÕAÓ∥CDÓ이므로 사각형 ABCD
는 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다. 즉 사각
형 ABCD는 평행사변형이다.
∴ BÕA³=CD³
22 3(aø+bø+xø)=2(3bø-2aø)+2xø에서
3aø+3bø+3xø=6bø-4aø+2xø
3xø-2xø=6bø-4aø-3aø-3bø
(3-2)xø=(-4-3)aø+(6-3)bø
∴ xø=-7aø+3bø
23 3xø-yø=-aø yy ㉠
yy ㉡
5xø-2yø=bø
2_㉠-㉡을 하면
xø=-2aø-bø
위의 식을 ㉠에 대입하여 정리하면
yø=-5aø-3bø
∴ xø-yø=(-2aø-bø)-(-5aø-3bø)
=3aø+2bø
이때 xø-yø=maø+nbø이므로
m=3, n=2
22 II. 평면벡터
창의력·융합형·서술형·코딩
본문 48~49 쪽
1 ⑴ ㈎: 2, ㈏: 3 ⑵ 풀이 참조
2 ⑴ 북동쪽 ⑵ 10 km/h
3 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
2 N ⑵ 풀이 참조
4 ⑴ 2000
'
1 ⑴ cø=2aø+3bø이므로 ㈎, ㈏에 알맞은 수는 각각 2, 3
이다.
⑵ 다음 그림과 같이 서로 평행하지 않고 영벡터가 아닌
두 벡터 aø, bø에 대하여 aø, bø, cø의 시점을 일치시키면 cø
를 두 벡터 aø, bø의 실수배의 합으로 나타낼 수 있다.
bø
aø
cø
-3bø
aø
bø
cø
-2aø
이때 cø=-2aø-3bø이다.
2 ⑴ 다음 그림과 같이 혜진이가 걸어가면서 민희를 바라
볼 때, 민희는 북동쪽으로 움직이는 것처럼 보인다.
서
동
민희
북
남
혜진
B
O
민희
⑵ 혜진이가 걸어가면서 민희
를 바라볼 때 느끼는 민희의
속력은 오른쪽 그림에서
|AB³|
이때 t시간 동안 혜진이가
움직인 거리는 6t km, 민희가 움직인 거리는 8t km
이므로
혜진
A
=
|AB³|=
|OÕA³|2+|OB³|2
ÚÞ
(6t)2+(8t)2=10t (km)
¿¹
따라서 t시간 후의 혜진이와 민희 사이의 거리는
10t km이므로 구하는 속력은 10 km/h이다.
ø
3 ⑴ 자동차의 밖에서 바라볼 때, 자동차에서 쏜 공은 그
대로 제자리에 멈추어 떨어진다.
04 평면벡터의 성분과 내적
⑵ 자동차의 속도를 aø라 하고, 자동차가 달리는 반대 방
향으로 쏜 공의 속도를 bø라 하면 aø와 bø는 크기는 같
고 방향이 반대이므로 aø+bø=0ø이다.
따라서 자동차에서 쏜 공은 자동차의 밖에서 바라볼
때, 그대로 제자리에 멈추어 떨어진다.
4 ⑴ 오른쪽 그림에서
CA³+CB³=CD³
삼각형 ACB는 직각이등
변삼각형이므로 |CD³|는
정사각형 ACBD의 대각
선의 길이이다.
∴ |CD³| =
2_2000
A
B
90æ
C
D
'
=2000
'
2 (N)
따라서 배 C에 작용하는 힘의 크기는 2000
2N이다.
⑵ h의 크기가 작아질수록 |CD³|는 커진다. 즉 배 C에
작용하는 힘의 크기가 커지므로 속력은 빨라진다. 한
편 h=180ù일 때는 두 배 A, B가 같은 크기의 힘으
로 반대 방향으로 배 C를 끌기 때문에 배 C에 작용하
는 힘의 크기는 0이므로 배 C는 움직이지 않는다.
'
1
교과서 개념 확인 테스트
본문 52~53 쪽
1 -1
aø+
bø
;3!;
;3@;
1 -2 -2aø+3bø
2 -1 ⑴ aø=eøÁ+3eªÕ
ø, bø=-2eÁÕ
ø
ø+eªÕ
2 -2 ⑴ aø=-3eÁø
⑵ aø=(1, 3), bø=(-2, 1)
Õ, bø=2eÁø
⑵ aø=(-3, 2), bø=(2, 3)
Õ+2eªø
Õ+3eªø
Õ
3 -1 ⑴ (-6, 2) ⑵ (5, 7)
3 -2 ⑴ (2, -2) ⑵ (-7, 4)
4 -1 ⑴ 20 ⑵ 10 ⑶ 0
5 -1 ⑴ 0 ⑵ -3
6 -1 -9
3 ⑵ 3
2 ⑶ -3
'
'
4 -2 ⑴ 3
5 -2 ⑴ 7 ⑵ 4
6 -2 8
1 -1 점 P는 선분 AB를 1`:`2로 내분하는 점이므로 그 위
치벡터 pø는
pø=
1_bø+2_aø
1+2
131111
=
aø+
bø
;3!;
;3@;
치벡터 qø는
qø=
3_bø-2_aø
3-2
131111
=-2aø+3bø
1 -2 점 Q는 선분 AB를 3`:`2로 외분하는 점이므로 그 위
2 -1 ⑴ aø=eÁø
⑵ aø=eÁø
Õ+3eªø
Õ+3eªø
Õ+eªø
Õ, bø=-2eÁø
Õ를 성분으로 나타내면 (1, 3)
bø=-2eÁø
Õ+eªø
Õ를 성분으로 나타내면 (-2, 1)
2 -2 ⑴ aø=-3eÁø
Õ
Õ+2eªø
Õ+3eªø
bø의 시점이 원점이 되도록 평행이동하면
bø=2eÁø
⑵ aø=-3eÁø
bø=2eÁø
Õ를 성분으로 나타내면 (2, 3)
Õ+3eªø
Õ+2eªø
Õ를 성분으로 나타내면 (-3, 2)
3 -1 ⑴ -2aø=-2(3, -1)=(-6, 2)
⑵ aø+2bø=(3, -1)+2(1, 4)
=(3, -1)+(2, 8)
=(5, 7)
3 -2 ⑴ 2aø+bø-3cø
=2(1, -2)+(3, 2)-3(1, 0)
=(2, -4)+(3, 2)+(-3, 0)
=(2, -2)
⑵ 2(aø-bø)+3(cø-2aø)
=-4aø-2bø+3cø
=-4(1, -2)-2(3, 2)+3(1, 0)
=(-4, 8)+(-6, -4)+(3, 0)
=(-7, 4)
04. 평면벡터의 성분과 내적 23
Õ
Õ
'
7 -1 ⑴ -2 ⑵ 3
3
8 -1 2
9 -1 ⑴ 15 ⑵ 12
10 -1 45ù
11 -1 (
'
'
11 -2 (3, 4) 또는 (-3, -4)
2) 또는 (-
2, -
'
2,
2)
'
7 -2 ⑴ -12 ⑵ 14
5
8 -2
'
9 -2 ⑴ 2 ⑵ 7
10 -2 ⑴ 45ù ⑵ 120ù
12 -1
;2#;
12 -2
:Á7¦:
1 -1 ⑴ 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점의 위치벡터는
⑵ 선분 AB를 2`:`1로 외분하는 점의 위치벡터는
2_bø+1_aø
2+1
131111
=
aø+
bø
;3@;
;3!;
2_bø-1_aø
2-1
131111
=-aø+2bø
1 -2 ⑴ 선분 AB를 5`:`4로 내분하는 점의 위치벡터는
⑵ 선분 AB를 5`:`4로 외분하는 점의 위치벡터는
5_bø+4_aø
5+4
131111
=
aø+
bø
;9%;
;9$;
5_bø-4_aø
5-4
131111
=-4aø+5bø
2 -1 ⑴ aø=(2, 1)=2(1, 0)+(0, 1)=2eÁø
Õ+eªø
⑵ bø=(3, -2)=3(1, 0)-2(0, 1)=3eÁø
⑶ cø=(-4, 0)=-4(1, 0)=-4eÁø
⑷ dø=(0, 3)=3(0, 1)=3eªø
Õ-2eªø
2 -2 ⑴ aø=3eÁø
⑵ bø=-eÁø
⑶ cø=5eÁø
⑷ dø=-7eªø
Õ-4eªø
Õ+3eªø
Õ=3(1, 0)-4(0, 1)=(3, -4)
Õ=-(1, 0)+3(0, 1)=(-1, 3)
Õ=5(1, 0)=(5, 0)
Õ=-7(0, 1)=(0, -7)
3 -1 AB³=OB³-OA³=(2, 1)-(1, 3)=(1, -2)
1Û`+(-2)Û`=
∴ |AB³|=
"Ã
5
'
3 -2 ⑴ AB³=OB³-OA³=(2, 3)-(1, 0)=(1, 3)
1Û`+3Û`=
∴ |AB³|=
10
'¶
⑵ AB³=OB³-OA³=(0, 2)-(4, -1)=(-4, 3)
"Ã
∴ |AB³|=
(-4)Û`+3Û`=5
"Ã
4 -1 aø=bø이므로 (x+2, 5-y)=(7-y, -x+4)에서
∴ x+y=5
x+2=7-y
5-y=-x+4
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=2, y=3
yy ㉠
∴ x-y=-1 yy ㉡
4 -1 ⑴ aø º bø=|aø||bø|cos 0ù=4_5_1=20
⑵ aø º bø=|aø||bø|cos 60ù=4_5_
=10
;2!;
⑶ aø º bø=|aø||bø|cos 90ù=4_5_0=0
4 -2 ⑴ aø º bø=|aø||bø|cos 30ù
=2_3_ '
3
'
⑵ aø º bø=|aø||bø|cos 45ù
=3
3
132
=2_3_ '
2
132
⑶ aø º bø=-|aø||bø|cos(180ù-120ù)
2
'
=3
=-|aø||bø|cos 60ù
=-2_3_
=-3
;2!;
5 -1 ⑴ aø º bø=2_2+4_(-1)=0
⑵ aø º bø=0_4+(-3)_1=-3
5 -2 ⑴ aø º bø=2_5+3_(-1)=7
⑵ aø º bø=1_4+(-2)_0=4
6 -1 aø⊥bø이므로 aø º bø=0에서
2_x+3_6=0, 2x=-18
∴ x=-9
6 -2 aø⊥bø이므로 aø º bø=0에서
(-4)_8+y_4=0, 4y=32
∴ y=8
2
기출 기초 테스트
1 -1 ⑴
aø+
bø ⑵ -aø+2bø
;3!;
;3@;
본문 54~57 쪽
1 -2 ⑴
aø+
bø ⑵ -4aø+5bø
;9%;
Õ+eªø
Õ ⑵ 3eÁø
Õ ⑶ -4eÁø
;9$;
2 -1 ⑴ 2eÁø
Õ-2eªø
2 -2 ⑴ (3, -4) ⑵ (-1, 3) ⑶ (5, 0) ⑷ (0, -7)
³=(1, -2), |AB³|=
3 -1 AB³
5
'
3 -2 ⑴ AB³=(1, 3), |AB³|=
10
⑵ AB³=(-4, 3), |AB³|=5
Õ ⑷ 3eªø
'¶
4 -1 x=2, y=3
4 -2 ⑴ x=-3, y=4 ⑵ x=2, y=1
5 -1 ⑴ (11, 2) ⑵ (15, -18)
5 -2 ⑴ (9, -2) ⑵ (-6, 5)
6 -1 2aø-bø
24 II. 평면벡터
6 -2 ⑴ 3aø+2bø ⑵ aø+2bø
2x=-6, 4=y
∴ x=-3, y=4
4 -2 ⑴ aø=bø이므로 (2x, 4)=(-6, y)에서
Õ
ø
ø
Õ
Õ
Õ
Õ
⑵ aø=bø이므로 (2x-y, 3y)=(x+y, 2x-1)에서
2x-y=x+y
3y=2x-1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=2, y=1
∴ x-2y=0 yy ㉠
yy ㉡
∴ 2x-3y=1
5 -1 ⑴ 2aø+bø=2(5, 2)+(1, -2)=(11, 2)
⑵ 4(aø+bø)-3(aø-2bø) =aø+10bø
=1이므로
;2!;
8 -1 aø º bø=|aø||bø|cos60ù=2_1_
|aø+2bø|Û`=(aø+2bø) º (aø+2bø)
=|aø|Û`+4aø º bø+4|bø|Û`
=2Û`+4_1+4_1Û`
=4+4+4=12
12=2
∴|aø+2bø|=
'¶
3
'
=(5, 2)+10(1, -2)
=(15, -18)
8 -2 aø º bø=|aø||bø|cos45ù=
2_3_ '
=3이므로
'
2
132
|2aø-bø|Û`=(2aø-bø) º (2aø-bø)
=4|aø|Û`-4aø º bø+|bø|Û`
2)Û`-4_3+3Û`
=4_(
'
=8-12+9=5
∴|2aø-bø|=
5
'
9 -1 ⑴ |aø+bø|Û`=(aø+bø) º (aø+bø)
=|aø|Û`+2aø º bø+|bø|Û`
에서
8Û`=3Û`+2aø º bø+5Û`
∴ aø º bø=15
⑵ |aø-3bø|Û`=(aø-3bø) º (aø-3bø)
=|aø|Û`-6aø º bø+9|bø|Û`
=3Û`-6_15+9_5Û`=144
∴|aø-3bø|=
144=12
'¶
9 -2 ⑴ |aø+bø|Û`=(aø+bø) º (aø+bø)
=|aø|Û`+2aø º bø+|bø|Û`
에서
3Û`=1Û`+2aø º bø+2Û`
∴ aø º bø=2
⑵ |3aø+2bø|Û`=(3aø+2bø) º (3aø+2bø)
=9|aø|Û`+12aø º bø+4|bø|Û`
=9_1Û`+12_2+4_2Û`=49
∴|3aø+2bø|=
49=7
'¶
10 -1 aø º bø=2_1+1_3=5
두 벡터가 이루는 각의 크기를 h (0ùÉhÉ180ù)라 하
면 aø º bø>0이므로
cosh=
5
2Û`+1Û`
11111123
1Û`+3Û`
"Ã
"Ã
∴ h=45ù
= '
2
122
10 -2 ⑴ aø º bø=1_(-2)+2_6=10
두 벡터가 이루는 각의 크기를 h (0ùÉhÉ180ù)라
하면 aø º bø>0이므로
10
1Û`+2Û`
1111111125
(-2)Û`+6Û``
"Ã
"Ã
∴ h=45ù
2
122
cosh=
= '
04. 평면벡터의 성분과 내적 25
5 -2 ⑴ aø-2bø+3cø=(2, 1)-2(1, 0)+3(3, -1)
=(9, -2)
⑵ 2(aø+2bø-cø)-(aø+2cø)
=aø+4bø-4cø
=(2, 1)+4(1, 0)-4(3, -1)
=(-6, 5)
6 -1 cø=kaø+lbø라 하면
(5, -6) =k(3, -2)+l(1, 2)
=(3k+l, -2k+2l)
즉
yy ㉠
3k+l=5
-2k+2l=-6 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 k=2, l=-1이므로
cø=2aø-bø
6 -2 ⑴ cø=kaø+lbø라 하면
(3, 4) =k(-1, 2)+l(3, -1)
=(-k+3l, 2k-l)
즉
-k+3l=3 yy ㉠
yy ㉡
2k-l=4
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 k=3, l=2이므로
cø=3aø+2bø
⑵ dø=kaø+lbø라 하면
(5, 0) =k(-1, 2)+l(3, -1)
=(-k+3l, 2k-l)
즉
-k+3l=5 yy ㉠
yy ㉡
2k-l=0
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 k=1, l=2이므로
dø=aø+2bø
7 -1 ⑴ aø º bø=2_3+4_(-2)=-2
⑵ aø º bø=0_1+3_1=3
7 -2 ⑴ aø º bø=(-2)_3+3_(-2)=-12
⑵ aø º bø=2_1+(-3)_(-4)=14
⑵ aø º bø=0_
3+1_(-1)=-1
'
두 벡터가 이루는 각의 크기를 h (0ùÉhÉ180ù)라
하면 aø º bø<0이므로
cos(180ù-h)=-
-1
0Û`+1Û`
111111121123
(
"Ã
"Ã
3)Û`+(-1)Û`
'
=
;2!;
따라서 180ù-h=60ù이므로 h=120ù
01 AB³-2BC³+3AC³
=(OB³-OÕA³)-2(OC³-OB³)+3(OC³-OÕA³)
=-4OÕA³+3OB³+OC³
=-4aø+3bø+cø
02 점 R는 선분 PQ를 1`:`4로 내분하는 점이므로
OR³=
1_qø+4_pø
1+4
1111125
=
pø+
qø
;5!;
;5$;
11 -1 bø=(x, y)라 하면 두 벡터 aø, bø가 서로 수직이므로
∴ y=-x yy ㉠
xÛ`+yÛ`=2에서
yy ㉡
aø º bø=1_x+1_y=0에서
x+y=0
이때 |bø|=2이므로
"Ã
xÛ`+yÛ`=4
㉠을 ㉡에 대입하여 풀면
x=
'
∴ bø=(
2 또는 x=-
'
2) 또는 bø=(-
2, y=-
2, -
2, y=
2,
'
'
'
'
'
2
'
2)
11 -2 bø=(x, y)라 하면 두 벡터 aø, bø가 서로 수직이므로
aø º bø=(-4)_x+3_y=0에서
-4x+3y=0
∴ y=
x yy ㉠
;3$;
xÛ`+yÛ`=5에서
이때 |bø|=5이므로
"Ã
xÛ`+yÛ`=25
㉠을 ㉡에 대입하여 풀면
x=3, y=4 또는 x=-3, y=-4
∴ bø=(3, 4) 또는 bø=(-3, -4)
yy ㉡
12 -1 두 벡터 aø, bø가 서로 수직이므로 aø º bø=0에서
1_k+3_(1-k)=0 ∴ k=
;2#;
12 -2 2aø-3bø=2(-1, 1)-3(2, 1)=(-8, -1)
kaø+bø=k(-1, 1)+(2, 1)=(-k+2, k+1)
이때 두 벡터 2aø-3bø, kaø+bø가 서로 수직이므로
(2aø-3bø) º (kaø+bø)=0에서
(-8)_(-k+2)+(-1)_(k+1)=0
∴ k=
:Á7¦:
교과서 기본 테스트
3
01 -4aø+3bø+cø
04 x=-1, y=2
07 ②
08 ③
10 (-4, -3) 또는 (4, 5)
13 4
12 ④
02 ①
05 ⑤
09 ①
14 ①
본문 58~61 쪽
03 ②
06 2aø-4bø
11 ⑴ 3 ⑵ -6
15 ⑴ 8 ⑵ 1
16 ②
21 ④
17 '
3
1256
22 풀이 참조
18 12'3 19
23 2
;5^;
20 ①
22 24 3
13
'¶
'¶
26 II. 평면벡터
03 -3aø+2bø-4cø
=-3(2, 3)+2(-2, -1)-4(1, -3)
=(-14, 1)
04 aø=bø이므로 (x+2, 5-y)=(3-y, -x+2)에서
∴ x+y=1
x+2=3-y
5-y=-x+2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=-1, y=2
yy ㉠
∴ x-y=-3 yy ㉡
05 점 D의 좌표를 (x, y)라 하면
AB³=OB³-OÕA³=(0, 3)-(-2, 5)=(2, -2)
CD³=OD³-OC³=(x, y)-(3, 6)=(x-3, y-6)
이때 AB³=CD³이므로 (2, -2)=(x-3, y-6)에서
2=x-3, -2=y-6
따라서 점 D의 좌표는 (5, 4)
∴ x=5, y=4
06 cø=kaø+lbø라 하면
(0, 10) =k(2, 1)+l(1, -2)
=(2k+l, k-2l)
즉
yy ㉠
2k+l=0
k-2l=10 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 k=2, l=-4이므로
cø=2aø-4bø
07 cø=kaø+lbø라 하면
(6, -1) =k(3, 2)+l(-1, 1)
=(3k-l, 2k+l)
yy ㉠
3k-l=6
2k+l=-1 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 k=1, l=-3
∴ k+l=1+(-3)=-2
08 OÕA³=(1, 2), BÕA³=(-2, 6), MÓO³=(-x, -y)이
므로
OÕA³+BÕA³+MÓO³=(1, 2)+(-2, 6)+(-x, -y)
=(-1-x, 8-y)
이때 OÕA³+BÕA³+MÓO³=0ø이므로
-1-x=0, 8-y=0에서 x=-1, y=8
∴ x+y=(-1)+8=7
09 -2aø+bø=-2(1, k)+(-2, 3)=(-4, -2k+3)
aø+2bø=(1, k)+2(-2, 3)=(-3, k+6)
이때 -2aø+bø∥aø+2bø이므로
aø+2bø=t(-2aø+bø) (t는 0이 아닌 실수)라 하면
(-3, k+6)=t(-4, -2k+3)
-3=-4t, k+6=-2kt+3t
∴ t=
, k=-
;4#;
;2#;
10 꼭짓점 D의 좌표를 (x, y)라 하면
AÕD³=(x, y-1), BC³=(6, 6)
이때 AÕD³∥BC³이므로 BC³=kAÕD³ (k는 0이 아닌 실수)
라 하면 (6, 6)=k(x, y-1)
6=kx, 6=ky-k
∴ x=y-1
xÛ`+(y-1)Û`=4
또 AÕDÓ=4
양변을 제곱한 후 x=y-1을 대입하면
2(y-1)Û`=32, y2-2y-15=0
(y+3)(y-5)=0
따라서 꼭짓점 D의 좌표는 (-4, -3) 또는 (4, 5)
∴ y=-3 또는 y=5
2이므로
"Ã
2
'
'
11 ⑴ aø º bø=5_(-1)+(-2)_(-4)=3
⑵ aø º bø=2_(-3)+0_(-2)=-6
16 |aø+bø|=
3의 양변을 제곱하면
'
|aø|Û`+2aø º bø+|bø|Û`=3
1Û`+2aø º bø+2Û`=3
∴ aø º bø=-1
17 |aø+bø|=3의 양변을 제곱하면
|aø|Û`+2aø º bø+|bø|Û`=9
3)Û`+2aø º bø+2Û`=9
(
'
∴ aø º bø=1
이때 aø º bø=|aø||bø|cosh이고, aø º bø>0이므로
1=
3_2_cosh
'
∴ cosh= '
3
126
18 aø º bø=-|aø||bø|cos(180ù-120ù)
=-|aø||bø|cos60ù
=-4_6_
=-12
;2!;
이므로
|3aø-2bø|Û`=(3aø-2bø) º (3aø-2bø)
=9|aø|Û`-12aø º bø+4|bø|Û`
=9_4Û`-12_(-12)+4_6Û`
=144+144+144=432
∴|3aø-2bø|=
432=12
'¶
3
'
12 ∠ABC의 크기를 h라 하면
BÕA³ º BC³=|BÕA³||BC³|cosh
이때 cosh=
이므로
|BÕA³|
1125
|BC³|
BÕA³ º BC³=|BÕA³|_|BC³|_
C
4
A
|BÕA³|
1125
|BC³|
h B
3
19 5OP³=3OB³+2OÕA³에서 OP³=
3OB³+2OÕA³
5
1511113
이므로
OP³는 선분 AB를 3`:`2로 내분하는 점 P의 위치벡터
이다. 이때 |AB³|=
3)Û`+1Û`=2이므로
(
"Ã
|AB³|=
'
_2=
;5#;
;5^;
|AP³|=
;5#;
=|BÕA³|Û`
=3Û`=9
13 두 벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기가 ∠AOB=60ù이
므로
aø º bø=|aø||bø|cos60ù=2_4_
=4
;2!;
14 aø º bø=-|aø||bø|cos(180ù-150ù)
=-|aø||bø|cos30ù
=-2
3_2_ '
'
3
122
=-6
15 ⑴ aø º (bø+2cø) =aø º bø+2aø º cø
=2+2_3
=8
⑵ (2bø-cø) º aø=2bø º aø-cø º aø
=2aø º bø-aø º cø
=2_2-3
=1
20 2PA³+PÕB²+PÕC²=AB³에서
2PA³+PÕB²+PÕC²=PÕB²-PA³
3PA³+PÕC²=0ø
즉 PÕC²=-3PA³이므로 세 점
A, P, C는 일직선 위에 있고,
점 P는 선분 AC를 1`:`3으로
내분하는 점이다. 따라서 삼각
형 ABP의 넓이와 삼각형 BCP
의 넓이의 비는 1`:`3이다.
A
P
B
C
21 ∠BOA의 크기를 h라 하면
OÕA³ º OB³=|OÕA³||OB³|cosh
=4_3_cosh
=12cosh
이때 OÕA³ º OB³=6이므로 6=12cosh
∴ cosh=
;2!;
이때 sinÛ``h+cosÛ``h=1이므로 sinÛ``h=
;4#;
∴ sin`h= '
(∵ 0ùÉhÉ180ù)
3
122
04. 평면벡터의 성분과 내적 27
따라서 삼각형 OAB의 넓이는
_OÕAÓ_OBÓ_sin`h=
_4_3_ '
;2!;
;2!;
3
122
=3
3
'
1 ⑴ 썰매를 뒤에서 손으로 밀 때 썰매에 작용하는 아빠의
힘의 크기는 |aø|이다.
⑵ 썰매에 줄을 달아 어깨에 둘러메고 끌 때 썰매에 작
22 ⑴ |aø-bø|Û`=(aø-bø) º (aø-bø)
=aø º (aø-bø)-bø º (aø-bø)
=aø º aø-aø º bø-bø º aø+bø º bø
=aø º aø-aø º bø-aø º bø+bø º bø
=|aø|Û`-2aø º bø+|bø|Û`
⑵ (aø+bø) º (aø-bø) =aø º (aø-bø)+bø º (aø-bø)
=aø º aø-aø º bø+bø º aø-bø º bø
=aø º aø-aø º bø+aø º bø-bø º bø
=|aø|Û`-|bø|Û`
23 |aø-bø|=2
2의 양변을 제곱하면
'
|aø|Û`-2aø º bø+|bø|Û`=8
1Û`-2aø º bø+3Û`=8
∴ aø º bø=1
이때
|aø+3bø|Û`=|aø|Û`+6aø º bø+9|bø|Û`
=1Û`+6_1+9_3Û`=88
이므로
|aø+3bø|=
88=2
22
'¶
'¶
24 점 P에서 정삼각형 ABC의 세 꼭짓점에 이르는 거리
가 같으므로 점 P는 정삼각형 ABC의 외심이다.
정삼각형 ABC의 외심 P(2, 3)은 삼각형 ABC의 무
게중심과 같으므로
aø+bø+cø
3
151123
따라서 aø+bø+cø=(6, 9)이므로
|aø+bø+cø|=
6Û`+9Û`=3
=(2, 3)
13
'¶
"Ã
참고 삼각형의 무게중심의 위치벡터
무게중심 G는 삼각형 ABC의 중선을 꼭짓
점으로부터 2：1로 내분하는 점이다. 세 점
A, B, C의 위치벡터를 각각 aø, bø, cø라 할 때,
삼각형 ABC의 무게중심 G의 위치벡터를
gø라 하면
gø=
aø+bø+cø
11113
A
Gaø
C
B
bø
gø
cø
O
창의력·융합형·서술형·코딩
본문 62~63 쪽
1 ⑴ |aø| ⑵ |aø|cosh ⑶ ❶의 방법
2 풀이 참조
3 ⑴ |OÕA³|cosh ⑵ W=OÕA³ º OB³ ⑶ 20
2
'
4 ⑴ m²=
aø+bø
1122 , nø=
cø+dø
1122 ⑵ AÕD³=dø-aø, BC³=cø-bø
⑶ 풀이 참조
28 II. 평면벡터
용하는 아빠의 힘의 크기는 |aø|cosh이다.
⑶ 0ÉcoshÉ1이므로 |aø|coshÉ|aø|
즉 같은 시간 동안 ❶의 방법에서 썰매에 작용하는 아
빠의 힘의 크기가 ❷의 방법보다 더 크다.
따라서 ❶의 방법이 썰매를 더 많이 움직이게 한다.
2 ⑴ aø º pø=0에서 두 벡터 aø, pø는 서로
수직이므로 점 P는 ∠AOP=90ù
를 만족시키는 원 위의 점이고, 점
P의 위치를 나타내면 오른쪽 그림
과 같다.
⑵ aø º pø>0이므로 두 벡터 aø, pø가 이
O
A
P
P
루는 각의 크기를 h라 하면 0ùÉhÉ90ù이다.
즉
Éaø º pøÉ1에서
É|aø||pø|coshÉ1이고
;2!;
|aø|=|pø|=1이므로
ÉcoshÉ1
;2!;
;2!;
이때 cos60ù=
, cos0ù=1
;2!;
이고 점 O가 원점이므로 점
A의 좌표는 (1, 0)이다. 따
라서 점 P가 나타내는 도형
은 오른쪽 그림과 같다.
y
P
60æ
60æ
O
1
A
x
P
3 ⑴ 상자의 이동 방향으로 작용한 힘의 크기는 OCÓ이므
로 OCÓ=|OÕA³|cosh
⑵ W=OCÓ_OBÓ
=|OÕA³|cosh_OBÓ
=|OÕA³||OB³|cosh
=OÕA³ º OB³
⑶ W=OÕA³ º OB³
=|OÕA³||OB³|cos45ù
2
122
=5_8_ '
=20
2
'
치벡터는 m²=
aø+bø
2
112
, nø=
cø+dø
2
112
⑵ AÕD³=OD³-OÕA³=dø-aø
BC³=OC³-OB³=cø-bø
⑶ AÕD³+BC³=(dø-aø)+(cø-bø)
=(cø+dø)-(aø+bø)
=2nø-2m²
=2(nø-m²)
=2MòN³
따라서 AÕD³+BC³=2MòN³이다.
4 ⑴ 두 점 M, N은 각각 변 AB, CD의 중점이므로 그 위
05 직선과 원의 방정식
교과서 개념 확인 테스트
본문 66~67 쪽
1
1 -1
=
y-3
121-1
x-2
1212
x-1
121-2
2 -1
=y-2
1 -2 x=
;5};
=
2 -2 ⑴
y-3
x-1
1212
1212
3 -1 -x+2y+9=0
4 -1 45ù
⑵
x+1
121-2
=
y-1
121-4
3 -2 3x+y+2=0
4 -2 90ù
5 -1
;2!;
6 -1 (x-2)2+(y+3)2=9
6 -2 (x-1)2+y2=25
5 -2 4
1 -1 점 (2, 3)을 지나고 방향벡터가 uø=(2, -1)인 직선
의 방정식은
x-2
12322
y-3
1232-1
=
1 -2 방향벡터가 uø=(1, 5)이므로 점 (0, 0)을 지나고 방
향벡터가 uø=(1, 5)인 직선의 방정식은
x-0
12321
y-0
12325
∴ x=
=
;5};
AB³=(-1, 3)-(1, 2)=(-2, 1)
따라서 점 A(1, 2)를 지나고 방향벡터가
AB³=(-2, 1)인 직선의 방정식은
x-1
1232-2
y-2
12321
x-1
1232-2
=y-2
∴
=
2 -2 ⑴ 구하는 직선의 방향벡터는
AB³=(3, 5)-(1, 3)=(2, 2)
따라서 점 A(1, 3)을 지나고 방향벡터가
AB³=(2, 2)인 직선의 방정식은
x-1
12322
y-3
12322
⑵ 구하는 직선의 방향벡터는
=
AB³=(-3, -3)-(-1, 1)=(-2, -4)
따라서 점 A(-1, 1)을 지나고 방향벡터가
AB³=(-2, -4)인 직선의 방정식은
y-1
x-(-1)
1232-4
1232113-2
x+1
1232-2
y-1
1232-4
∴
=
=
3 -1 점 (5, -2)를 지나고 법선벡터가 nø=(-1, 2)인 직
선의 방정식은
(-1)_(x-5)+2_{y-(-2)}=0
∴ -x+2y+9=0
3 -2 점 (-2, 4)를 지나고 법선벡터가 nø=(3, 1)인 직선
의 방정식은
3_{x-(-2)}+1_(y-4)=0
∴ 3x+y+2=0
4 -1 두 직선의 방향벡터를 각각 uÕ1ø, uÕ2ø라 하면
uÕ1ø=(1, -3), uÕ2ø=(1, 2)
두 직선이 이루는 각의 크기가 h이므로
|1_1+(-3)_2|
2
12+22 = '
122
12+(-3)2
1111111125
"Ã
"Ã
이때 0ùÉhÉ90ù이므로 h=45ù
cosh=
4 -2 두 직선의 방향벡터를 각각 uÕ1ø, uÕ2ø라 하면
uÕ1ø=(5, 1), uÕ2ø=(1, -5)
두 직선이 이루는 각의 크기가 h이므로
|5_1+1_(-5)|
12+(-5)2 =0
52+12
12311111123
"Ã
"Ã
cosh=
이때 0ùÉhÉ90ù이므로 h=90ù
5 -1 두 직선의 방향벡터를 각각 uÕ1ø, uÕ2ø라 하면
uÕ1ø=(-4, 2), uÕ2ø=(a, 1)
두 직선이 서로 수직이면 uÕ1ø º uÕ2ø=0이므로
(-4)_a+2_1=0
4a=2
∴ a=
;2!;
uÕ1ø=(a, 2), uÕ2ø=(2, 1)
두 직선이 서로 평행하면 uÕ2ø=kuÕ1ø (k는 0이 아닌 실
수)이므로
(2, 1)=k(a, 2)
2=ka, 1=2k
∴ k=
, a=4
;2!;
6 -1 원 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하고, 두 점 A, P의
위치벡터를 각각 aø, pø라 하면 반지름의 길이가 3이므
로 |AP³|=|pø-aø|=3
이때 pø-aø=(x-2, y+3)이므로 |pø-aø|2=32에서
(x-2, y+3) º (x-2, y+3)=32
따라서 구하는 원의 방정식은
(x-2)2+(y+3)2=9
6 -2 원 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하고, 두 점 A, P의
위치벡터를 각각 aø, pø라 하면 반지름의 길이가 5이므
로 |AP³|=|pø-aø|=5
이때 pø-aø=(x-1, y)이므로 |pø-aø|2=52에서
(x-1, y) º (x-1, y)=52
따라서 구하는 원의 방정식은
(x-1)2+y2=25
05. 직선과 원의 방정식 29
2 -1 구하는 직선의 방향벡터는
5 -2 두 직선의 방향벡터를 각각 uÕ1ø, uÕ2ø라 하면
2
기출 기초 테스트
본문 68~69 쪽
=
1 -1
x-4
1212
x-2
1214
y+3
1213
y-4
1218
3 -1 2x-7y+8=0
2 -1
=
4 -1 '
5
125
=
y-5
1212
1 -2
x+3
121-3
x-1
121-4
2 -2
=y+5
3 -2 -4x+y+13=0
4 -2 '
2
122
, 평행: -
5 -1 수직:
;3@;
6 -1 (x-4)2+y2=5
;2#;
5 -2 수직: 12, 평행: -
;4#;
6 -2 (x-3)2+(y-2)2=8
1 -1 직선
=
y+5
12323
의 방향벡터를 uø라 하면
x-1
12322
uø=(2, 3)
따라서 점 (4, -3)을 지나고 방향벡터가 uø=(2, 3)
인 직선의 방정식은
y-(-3)
x-4
3
12322
1232113
x-4
12322
y+3
12323
∴
=
=
4 -1 두 직선의 방향벡터를 각각 uÕ1ø, uÕ2ø라 하면
uÕ1ø=(-1, -2), uÕ2ø=(3, -4)
두 직선이 이루는 각의 크기가 h이므로
cosh=
|(-1)_3+(-2)_(-4)|
(-1)2+(-2)2
32+(-4)2
123111111211112
"Ã
"Ã
5
= '
125
4 -2 두 직선의 방향벡터를 각각 uÕ1ø, uÕ2ø라 하면
cosh=
uÕ1ø=(3, 4), uÕ2ø=(-1, 7)
두 직선이 이루는 각의 크기가 h이므로
|3_(-1)+4_7|
(-1)2+72
32+42
12311111122
"Ã
"Ã
2
= '
122
이때 0ùÉhÉ90ù이므로 h=45ù
∴ sinh=sin45ù= '
2
122
1 -2 직선
x+2
1232-3
=
y-1
12322
의 방향벡터를 uø라 하면
uø=(-3, 2)
따라서 점 (-3, 5)를 지나고 방향벡터가
uø=(-3, 2)인 직선의 방정식은
x+3
y-5
x-(-3)
1232-3
12322
1232113-3
y-5
12322
∴
=
=
2 -1 구하는 직선의 방향벡터는
AB³=(6, 12)-(2, 4)=(4, 8)
따라서 점 A(2, 4)를 지나고 방향벡터가
AB³=(4, 8)인 직선의 방정식은
x-2
12324
y-4
12328
=
2 -2 구하는 직선의 방향벡터는
AB³=(-3, -4)-(1, -5)=(-4, 1)
따라서 점 A(1, -5)를 지나고 방향벡터가
AB³=(-4, 1)인 직선의 방정식은
x-1
x-1
1232-4
1232-4
y-(-5)
1
1232113
=y+5
∴
=
3 -1 점 (3, 2)를 지나고 법선벡터가 nø=(2, -7)인 직선
의 방정식은
2_(x-3)+(-7)_(y-2)=0
∴ 2x-7y+8=0
3 -2 법선벡터가 nø=(-4, 1)이므로 점 (2, -5)를 지나
고 법선벡터가 nø=(-4, 1)인 직선의 방정식은
(-4)_(x-2)+1_{y-(-5)}=0
∴ -4x+y+13=0
30 II. 평면벡터
5 -1 두 직선의 방향벡터를 각각 uÕ1ø, uÕ2ø라 하면
uÕ1ø=(-3, 2), uÕ2ø=(a, 1)
이때 두 직선이 서로 수직이면 uÕ1ø º uÕ2ø=0이므로
-3_a+2_1=0
3a=2
∴ a=
;3@;
또 두 직선이 서로 평행하면 uÕ2ø=kuÕ1ø (k는 0이 아닌
실수)이므로
(a, 1)=k(-3, 2)
a=-3k, 1=2k
∴ k=
, a=-
;2!;
;2#;
5 -2 두 직선의 방향벡터를 각각 uÕ1ø, uÕ2ø라 하면
uÕ1ø=(a, 3), uÕ2ø=(-1, 4)
이때 두 직선이 서로 수직이면 uÕ1ø º uÕ2ø=0이므로
a_(-1)+3_4=0
또 두 직선이 서로 평행하면 uÕ2ø=kuÕ1ø (k는 0이 아닌
실수)이므로
(-1, 4)=k(a, 3)
-1=ak, 4=3k
∴ a=12
∴ k=
, a=-
;3$;
;4#;
6 -1 원 위의 임의의 점 P(x, y)의 위치벡터를 pø, 두 점
A(2, 1), B(6, -1)의 위치벡터를 각각 aø, bø라 하자.
구하는 원의 중심을 C라 하고 점 C의 위치벡터를 cø라
하면 cø=
=(4, 0)
aø+bø
12322
반지름의 길이는
|CA³|=|aø-cø|=|(-2, 1)|=
따라서 구하는 원의 방정식을 벡터로 나타내면
|pø-cø|=
(x-4)2+y2=5
5이므로 구하는 원의 방정식은
5
'
'
6 -2 원 위의 임의의 점 P(x, y)의 위치벡터를 pø, 두 점
A(1, 0), B(5, 4)의 위치벡터를 각각 aø, bø라 하자.
구하는 원의 중심을 C라 하고 점 C의 위치벡터를 cø라
하면 cø=
=(3, 2)
aø+bø
12322
반지름의 길이는
|CA³|=|aø-cø|=|(-2, -2)|=2
따라서 구하는 원의 방정식을 벡터로 나타내면
|pø-cø|=2
'
(x-3)2+(y-2)2=8
2이므로 구하는 원의 방정식은
2
'
3
교과서 기본 테스트
01 ③
05 x-y=0
02
x-1
1212
=
y-3
121-3
06 ⑤
본문 70~73 쪽
03 ②
04 (3, -1)
07 ③
08 ①
09 ④
11 ③
12 ②
13
;1!2!0(;
10
3
1
6
'
11265
14 -3
15 ⑤
18 (x-3)2+(y-2)2=4
21 중심의 좌표가 (1, -5)이고 반지름의 길이가 3인 원
17 2
'¶
19 ③
16 -6
20 5p
26
22
x+4
1212
=
y-3
121-5
23 a=9, b=
;3$;
24 4p
01 점 (2, 0)을 지나고 방향벡터가 uø=(3, -2)인 직선
의 방정식은
y
x-2
123-2
12323
=
02 직선
x-3
12322
=
1-y
12323
의 방향벡터를 uø라 하면
uø=(2, -3)
따라서 점 (1, 3)을 지나고 방향벡터가 uø=(2, -3)
인 직선의 방정식은
x-1
12322
y-3
1232-3
=
03 구하는 직선의 방향벡터를 uø라 하면
uø=(2, 3)-(4, 2)=(-2, 1)
따라서 점 (2, 3)을 지나고 방향벡터가 uø=(-2, 1)
인 직선의 방정식은
x-2
1232-2
y-3
12321
x-2
1232-2
=y-3
∴
=
04 2(x-3)=k(y+1), 즉 2(x-3)-k(y+1)=0은
점 (3, -1)을 지나고 법선벡터가 uø=(2, -k)인 직
선이다.
따라서 실수 k의 값에 관계없이 지나는 점의 좌표는
(3, -1)이다.
05 직선 x=
y-1
1232-1
의 방향벡터가 (1, -1)이므로 구하는
직선의 법선벡터를 nø이라 하면
nø=(1, -1)
따라서 점 (7, 7)을 지나고 법선벡터가 nø=(1, -1)
인 직선의 방정식은
1_(x-7)+(-1)_(y-7)=0
∴ x-y=0
06 직선 3(x-2)=4(y-5), 즉
x-2
12324
=
y-5
12323
의 방향
벡터를 uø라 하면
uø=(4, 3)
점 (2, 3)을 지나고 방향벡터가 uø=(4, 3)인 직선 l
의 방정식은
x-2
12324
따라서 직선 l 위의 점은 (6, 6)이다.
y-3
12323
=
07 점 A(-1, 3)을 지나고 방향벡터가 uø=(2, -1)인
직선의 방정식은
x-(-1)
2
1232113
=
y-3
1232-1
∴ y=-
x+
;2!;
;2%;
yy ㉠
두 점 B(2, 5), C(1, 2)를 지나는 직선의 방향벡터는
BC³=(1, 2)-(2, 5)=(-1, -3)
따라서 점 B(2, 5)를 지나고 방향벡터가
BC³=(-1, -3)인 직선의 방정식은
y-5
x-2
1232-1
1232-3
∴ y=3x-1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=1, y=2
즉 두 직선은 점 (1, 2)에서 만나므로 p=1, q=2
∴ p+q=1+2=3
yy ㉡
=
08 직선 x+1=2(y-4), 즉
=y-4의 방향벡터
x+1
12322
를 uø라 하면
uø=(2, 1)
x+1
12322
또
=y-4=t (t는 실수)라 하면 점 A에서 이
직선에 내린 수선의 발을 H(2t-1, t+4)로 나타낼
수 있으므로
AH³=(2t-1, t+4)-(-1, -1)=(2t, t+5)
이때 uø⊥AH³이므로 uø º AH³=0에서
2_2t+1_(t+5)=0
∴ t=-1
5t=-5
즉 수선의 발 H의 좌표는 (-3, 3)이므로
a=-3, b=3
∴ a-b=-3-3=-6
05. 직선과 원의 방정식 31
§
09 직선 AB의 방향벡터는 AB³이므로
AB³=(-1, 2)-(1, 1)=(-2, 1)
직선 BC의 방향벡터는 BC³이므로
BC³=(-6, k)-(-1, 2)=(-5, k-2)
이때 세 점 A, B, C가 일직선 위의 점이므로 AB³와
BC³는 평행하다.
즉 BC³=tAB³ (t는 0이 아닌 실수)이므로
(-5, k-2)=t(-2, 1)
-5=-2t, k-2=t
∴ t=
, k=
;2%;
;2(;
10 두 직선의 방향벡터를 각각 uÕ1ø, uÕ2ø라 하면
uÕ1ø=(3, -2), uÕ2ø=(4, 3)
두 직선이 이루는 각의 크기가 h이므로
|3_4+(-2)_3|
13
6
'¶
42+32 =
65
32+(-2)2
1125
1111111125
"Ã
"Ã
cosh=
11 두 직선의 방향벡터를 각각 uÕ1ø, uÕ2ø라 하면
uÕ1ø=(4, 3), uÕ2ø=(7, -1)
두 직선이 이루는 각의 크기가 h이므로
|4_7+3_(-1)|
2
72+(-1)2 = '
122
42+32
1111111125
"Ã
"Ã
cosh=
이때 0ùÉhÉ90ù이므로 h=45ù
12 두 직선의 방향벡터를 각각 uÕ1ø, uÕ2ø라 하면
cos45ù=
uÕ1ø=(1, a), uÕ2ø=(-1, 3)
두 직선이 이루는 각의 크기가 45ù이므로
|-1+3a|
12+a2
(-1)2+32
1111111124
"Ã
"Ã
|-1+3a|
2
'
122
1+a2
11111
0
1
"
"Ã
|-1+3a|="Ã5a2+5
위 식의 양변을 제곱하여 정리하면
2a2-3a-2=0, (2a+1)(a-2)=0
∴ a=2 (∵ a>0)
=
13 두 직선의 방향벡터를 각각 uÕ1ø, uÕ2ø라 하면
uÕ1ø=(a, b), uÕ2ø=(12, 5)
두 직선이 이루는 각의 크기가 h이므로
|12a+5b|
122+52
a2+b2
123111112
"Ã
"Ã
cosh=
12a+5b
a2+b2
11112
13
"Ã
=
;1!3@;
이때 a>0, b>0이므로
12"Ãa2+b2=12a+5b
위 식의 양변을 제곱하여 정리하면
119bÛ`-120ab=0, b(119b-120a)=0
그런데 b는 자연수이므로
119b-120a=0
∴
=
a
1b
;1!2!0(;
32 II. 평면벡터
14 두 점 A, B를 지나는 직선의 방향벡터를 uÕ1ø이라 하면
uÕ1ø=AB³=(a-2, 4-a)
=
직선
y-4
12325
의 방향벡터를 uÕ2ø라 하면
x+2
12327
uÕ2ø=(7, 5)
이때 두 직선이 서로 수직이면 uÕ1ø º uÕ2ø=0이므로
(a-2)_7+(4-a)_5=0
2a=-6
∴ a=-3
15 두 직선의 방향벡터를 각각 uÕ1ø, uÕ2ø라 하면
uÕ1ø=(-2, k), uÕ2ø=(k+1, -3)
두 직선이 서로 평행하면 uÕ2ø=tuÕ1ø (t는 0이 아닌 실수)
이므로
(k+1, -3)=t(-2, k)
k+1=-2t yy ㉠
-3=tk
yy ㉡
㉡에서 t=-
을 ㉠에 대입하면 k+1=
;k#;
;k^;
k2+k-6=0
(k+3)(k-2)=0
∴ k=-3 또는 k=2
따라서 모든 실수 k의 값의 합은
-3+2=-1
16 직선 AB의 방향벡터는 AB³이므로
AB³=(1, 0)-(2, 1)=(-1, -1)
또 직선 CD의 방향벡터는 CD³이므로
CD³=(1, k)-(4, -3)=(-3, k+3)
두 직선이 서로 평행하면 CD³=tAB³ (t는 0이 아닌 실
수)이므로
(-3, k+3)=t(-1, -1)
-3=-t, k+3=-t
∴ t=3, k=-6
17 점 C의 좌표를 (x, y)라 하면
CA³=(2-x, -2-y), CB³=(4-x, 8-y)
CA³ º CB³=(2-x)_(4-x)+
=x2-6x+y2-6y-8
(-2-y)_(8-y)
CA³ º CB³=0에서
x2-6x+y2-6y-8=0
(x-3)2+(y-3)2=26
즉 점 C는 중심의 좌표가
(3, 3)이고 반지름의 길이
가
26인 원 위의 점이다.
'¶
원점 O에서 원의 중심까
지의 거리를 d라 하면 오
른쪽 그림에서 벡터 OC³
의 크기의 최댓값, 최솟
값은 각각
'¶
(
26+d,
'¶
26+d)+(
'¶
y
{x-3}2+{y-3}2=26
C1
3
d
O
C2
3
x
26-d이므로 구하는 합은
26-d)=2
26
'¶
'¶
18 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점을 C라 하면 그 위치
벡터 cø는
cø=
2_bø+1_aø
2+1
12321131
=
aø+
bø
;3@;
;3!;
따라서 점 (-4, 3)을 지나고 방향벡터가 uø=(2, -5)
인 직선의 방정식은
y-3
1232-5
x-(-4)
2
1232113
y-3
1232-5
x+4
12322
∴
=
=
=
(-3, 4)+
(6, 1)
;3@;
;3!;
=(3, 2)
원 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하고, 점 P의 위치벡
터를 pø라 하면 반지름의 길이가 2이므로
|CP³|=|pø-cø|=2
이때 pø-cø=(x-3, y-2)이므로 |pø-cø|2=22에서
(x-3, y-2) º (x-3, y-2)=4
따라서 구하는 원의 방정식은
(x-3)2+(y-2)2=4
19 |OP³-OÕA³|=|OB³-OÕA³|이므로
|AP³|=|AB³|
즉 점 P가 나타내는 도형은 중심이 점 A이고 반지름
의 길이가 |AB³|인 원이다.
AB³=(-3, 1)-(2, 5)=(-5, -4)이므로
|AB³|=
Û`+(-4)Û`=
따라서 점 P가 나타내는 도형의 넓이는
p_(
(-5)Û
41
'¶
"Ã
41)2=41p
'¶
20 점 P(x, y)에 대하여
PA³=OÕA³-OP³=(-2-x, 1-y),
PB³=OB³-OP³=(1-x, -3-y)
이므로
PA³ º PB³=(-2-x, 1-y) º (1-x, -3-y)
=(-2-x)_(1-x)
=x2+x+y2+2y-5=0
+(1-y)_(-3-y)
∴
{
x+
;2!;}
2
+(y+1)2=
:ª4°:
즉 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가
-
, -1
이고 반지름의 길이가
;2!;
{
따라서 점 P가 나타내는 도형의 길이는
;2%;
}
인 원이다.
2p_
=5p
;2%;
21 |pø-cø|=|(x-1, y+5)|=3이므로
(x-1, y+5) º (x-1, y+5)=32
∴ (x-1)2+(y+5)2=9
따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가
(1, -5)이고 반지름의 길이가 3인 원이다.
23 세 직선 l, m, n의 방향벡터를 각각 uÕ1ø, uÕ2ø, u3²이라 하
면
uÕ1ø=(2, -3), uÕ2ø=(6, -a), u3²=(2, b)
이때 두 직선 l, m이 서로 평행하므로 uÕ2ø=kuÕ1ø (k는
0이 아닌 실수)에서
(6, -a)=k(2, -3)
6=2k, -a=-3k
∴ k=3, a=9
또 두 직선 l, n이 서로 수직이므로 uÕ1ø º u3²=0에서
(2, -3) º (2, b)=0
2_2+(-3)_b=0
∴ b=
;3$;
24 점 P(x, y)에 대하여
PA³=OÕA³-OP³=(-x, -3-y),
PB³=OB³-OP³=(4-x, 1-y)
이므로
PA³+PB³=(-x, -3-y)+(4-x, 1-y)
=(4-2x, -2-2y)
|PA³+PB³|=4에서
(4-2x)Û`+(-2-2y)Û`=4
"Ã
위 식의 양변을 제곱하여 정리하면
(x-2)Û`+(y+1)Û`=4
즉 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 (2, -1)
이고 반지름의 길이가 2인 원이다.
따라서 점 P가 나타내는 도형의 길이는
2p_2=4p
창의력·융합형·서술형·코딩
본문 74~75 쪽
1 ⑴ 형욱이의 풀이: ㈎ 3, ㈏ -2, ㈐
y-4
121-2
소민이의 풀이: ㈎ 2, ㈏ 3, ㈐ 2x+3y-10=0
x+1
1213
=
⑵ 풀이 참조
2 ⑴ 2x+3y-7=0 ⑵ (2, 1) ⑶
'¶
y-4
y-2
121-2
1212
x-4
121-2
4 ⑴ 중심의 좌표가 (2, 0)이고 반지름의 길이가 1인 원
x-6
121-2
⑶ 90ù
3 ⑴
⑵
=
=
13
05. 직선과 원의 방정식 33
22 직선 2x-5y+5=0의 법선벡터가 (2, -5)이므로
구하는 직선의 방향벡터를 uø라 하면
uø=(2, -5)
⑵ (2, -1)
3 ⑴ 노란색 당구공이 좌표평면에 대응하는 점을 A, 당구
대와 만나는 점을 B라 하면 A(6, 2), B(4, 4)이므
로 구하는 직선의 방향벡터는
AB³=(4, 4)-(6, 2)=(-2, 2)
따라서 점 A(6, 2)를 지나고 방향벡터가 (-2, 2)
인 직선의 방정식은
x-6
1232-2
y-2
12322
=
⑵ 노란색 당구공이 당구대와 만나는 점은 B(4, 4)이
고, 당구대에 맞은 후 이동 경로 위에 있는 한 점을 C
라 하면 C(2, 2)이므로 구하는 직선의 방향벡터는
BC³=(2, 2)-(4, 4)=(-2, -2)
따라서 점 B(4, 4)를 지나고 방향벡터가 (-2, -2)
인 직선의 방정식은
x-4
1232-2
y-4
1232-2
=
⑶ ⑴에서 구한 직선의 방향벡터는 AB³=(-2, 2), ⑵
에서 구한 직선의 방향벡터는 BC³=(-2, -2)이고
AB³ º BC³=(-2)_(-2)+2_(-2)=0이므로
두 직선은 서로 수직이다.
따라서 두 직선이 이루는 각의 크기는 90ù이다.
4 ⑴ pø-aø=(x, y)-(1, 0)=(x-1, y),
pø-bø=(x, y)-(3, 0)=(x-3, y)
이므로
(pø-aø) º (pø-bø) =(x-1, y) º (x-3, y)
=(x-1)_(x-3)+y2
=x2-4x+3+y2
=0
∴ (x-2)2+y2=1
따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가
(2, 0)이고 반지름의 길이가 1인 원이다.
y
2
3
pø
x
B
O
A
1
{x-2}2+y2=1
⑵ |pø|가 최대일 때는 오른
쪽 그림에서 점 P가 점 B
의 위치에 놓일 때이므로
C(3, 0)이다.
이때 점 (3, 0)을 지나면
서 기울기가 1인 직선의
방정식은 y=x-3이고 이 직선과 원이 만나는 점의
x좌표는
(x-2)2+(x-3)2=1에서
x2-5x+6=0, (x-2)(x-3)=0
∴ x=2 또는 x=3
따라서 점 C가 아닌 점의 x좌표가 2이므로 구하는
위치벡터를 성분으로 나타내면 (2, -1)이다.
y=x-3
1 ⑴ 형욱이의 풀이
① 직선 l의 방정식이 x=3t-2, y=-2t-5 (t는
실수)일 때
② t를 소거하면
x+2
12323
=
y+5
1232-2
③ 이때 직선 l의 방향벡터는 ( 3 , -2 )
④ 따라서 직선 m의 방정식은
x-(-1)
3
1232113
=
y-4
1232-2
x+1
12323
=
y-4
1232-2
∴ ㈎ 3, ㈏ -2, ㈐
x+1
12323
=
y-4
1232-2
소민이의 풀이
① 직선 l의 방정식이 4(x+y+5)=2x+y+1일 때
② 위 식을 정리하면 2 x+ 3 y+19=0
③ 이때 직선 l의 법선벡터는 ( 2 , 3 )
④ 따라서 직선 m의 방정식은
2{x-(-1)}+3(y-4)=0
2x+3y-10=0
⑵
=
y-4
1232-2
의 양변에 6을 곱하여 정리하면
∴ ㈎ 2, ㈏ 3, ㈐ 2x+3y-10=0
x+1
12323
2x+3y-10=0
따라서 형욱이가 구한 방정식과 소민이가 구한 방정
식은 같다.
2 ⑴ 직선
의 방향벡터는 (2, 3)이므로 구
=
x-2
12322
y-1
12323
하는 직선의 법선벡터를 nø이라 하면
nø=(2, 3)
따라서 점 A(-1, 3)을 지나고 법선벡터가
nø=(2, 3)인 직선의 방정식은
2{x-(-1)}+3(y-3)=0
∴ 2x+3y-7=0
y-1
x-2
12323
12322
uø=(2, 3)
x-2
12322
의 방향벡터를 uø라 하면
y-1
12323
또
=
=
⑵ 직선
=t (t는 실수)라 하면 점 A에서
이 직선에 내린 수선의 발을 H(2t+2, 3t+1)로 나
타낼 수 있으므로
AÕH³=(2t+2, 3t+1)-(-1, 3)
=(2t+3, 3t-2)
이때 uø⊥AÕH³이므로 uø º AÕH³=0에서
2_(2t+3)+3_(3t-2)=0
∴ t=0
13t=0
따라서 수선의 발 H의 좌표는 (2, 1)이다.
⑶ AÕH³=(2, 1)-(-1, 3)=(3, -2)이므로
|AÕH³|=
3Û`+(-2)Û`=
"Ã
3
1
'
34 II. 평면벡터
III 공간도형과 공간좌표
06 공간도형
교과서 개념 확인 테스트
1
1 -1 ㄱ, ㄴ, ㄹ
2 -1 모서리 AD, 모서리 AE
2 -2 ⑴ 직선 CG, 직선 DH, 직선 EH, 직선 FG
1 -2 4
⑵ 평면 BFGC, 평면 EFGH
⑶ 평면 BFGC
본문 80~81 쪽
3 -1 45ù
4 -1 풀이 참조
5 -1 45ù
3 -2 ⑴ 90ù ⑵ 90ù
4 -2 풀이 참조
3
123
5 -2 '
6 -1 ⑴ 선분 BC ⑵ 선분 HE ⑶ 삼각형 CDH
6 -2 ⑴ 점 F ⑵ 선분 AB ⑶ 삼각형 DEF
1 -1 ㄱ. 세 점 A, C, E는 한 직선 위에 있지 않은 세 점이
므로 한 평면을 결정한다.
ㄴ. 직선 AD와 이 직선 위에 있지 않은 한 점 E는 한
평면을 결정한다.
ㄷ. 두 직선 AC와 DE는 꼬인 위치에 있으므로 두
직선 AC와 DE를 포함하는 평면은 존재하지 않
는다.
ㄹ. 두 직선 BC와 DE는 평행하므로 두 직선 BC와
DE는 한 평면을 결정한다.
따라서 한 평면을 결정하는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.
1 -2 점 D와 윗면의 두 점으로 만들 수 있는 평면의 개수는
3C2=3
윗면의 세 점으로 만들 수 있는 평면의 개수는 1
따라서 구하는 평면의 개수는
3+1=4
3 -1 ADÓ∥ EHÓ이므로 두 직선 AD와 HF가 이루는 각
의 크기는 두 직선 EH와 HF가 이루는 각의 크기와
같다.
EFGH는 정사각형이므로 ∠EHF=45ù
따라서 구하는 각의 크기는 45ù이다.
3 -2 ⑴ DÕHÓ∥AEÓ이고 ABÓ⊥AEÓ이므로 ABÓ⊥DÕHÓ이다.
따라서 두 직선 AB와 DH가 이루는 각의 크기는
90ù이다.
⑵ FGÓ∥BCÓ이고 BCHE는 직사각형이므로
BEÓ⊥BCÓ이다. 따라서 BEÓ⊥FGÓ이므로 두 직선
BE와 FG가 이루는 각의 크기는 90ù이다.
4 -1 POÓ⊥a이고 직선 l이 평면 a 위
에 있으므로 POÓ⊥l
또 PHÓ⊥l이므로
(평면 PHO)⊥l
이때 OHÓ는 평면 PHO 위에 있
으므로 OHÓ⊥l
따라서 POÓ⊥a, PHÓ⊥l이면 OHÓ⊥l
a
l
H
P
O
P
4 -2 PHÓ⊥l, OHÓ⊥l이므로
(평면 PHO)⊥l
POÓ는 평면 PHO 위에 있으므
로 POÓ⊥l
또 POÓ⊥OHÓ이고 직선 l과 OHÓ
는 평면 a 위에 있으므로 POÓ⊥a
따라서 PHÓ⊥l, OHÓ⊥l, POÓ⊥OHÓ이면 POÓ⊥a
H
a
l
O
5 -1 두 평면 ABCD와 AFGD에 대하여
ABÓ⊥ADÓ, AFÓ⊥ADÓ
즉 두 평면 ABCD와 AFGD가 이루는 각의 크기는
두 직선 AB와 AF가 이루는 각의 크기와 같다.
AEFB는 정사각형이므로∠BAF=45ù
따라서 구하는 각의 크기는 45ù이다.
5 -2 오른쪽 그림과 같이 선분 HF의
D
C
G
B
F
H
h
M
2인 정삼각형이
'
A
2
중점을 M이라 하면
CÕMÓ⊥HFÓ, GÕMÓ⊥HFÓ
두 평면 CHF와 FGH가 이루
는 각의 크기 h는 두 직선 CM
과 GM이 이루는 각의 크기와
같다.
삼각형 CHF는 한 변의 길이가 2
므로
E
(2
2)2=
2)2
CÕMÓ
'
'
따라서 삼각형 CMG에서
=Á°
-
(
6
'
cosh=
GMÓ
11CMÓ
2
= '
12
6
'
= '
3
123
본문 82~83 쪽
1 -2 점 G
기출 기초 테스트
2
1 -1 점 F
2 -1 직선 AE, 직선 BF, 직선 CG, 직선 DH
2 -2 풀이 참조
3 -1 60ù
4 -1 ⑴
6
2 ⑵
3 -2 40ù
4 -2 ABÓ=8, ACÓ=4
5
'
'
5 -1
;3!;
6 -1 30ù
'
5 -2
;3@;
6 -2 8
2
'
06. 공간도형 35
1 -1 평면 EGH는 평면 EFGH와 같으므로 구하는 점은
5 -1 오른쪽 그림과 같이 BCÓ의 중점
A
점 F이다.
점 G이다.
1 -2 평면 ABH는 평면 ABGH와 같으므로 구하는 점은
2 -1 평면 EFGH와 수직인 평면은 평면 AEFB, 평면
BFGC, 평면 DHGC, 평면 AEHD이므로 이 네 평
면 중 두 평면이 만나서 생기는 네 교선 AE, BF,
CG, DH도 평면 EFGH와 수직이다. 따라서 평면
EFGH와 수직인 직선은 직선 AE, 직선 BF, 직선
CG, 직선 DH이다.
2 -2 ACÓ와 BDÓ는 정사각형 ABCD의 대각선이므로
ACÓ⊥BDÓ
또 CGÓ는 평면 ABCD와 수직이고 BDÓ는 평면
ABCD 위에 있으므로
CGÓ⊥BDÓ
㉠, ㉡에 의하여 BDÓ⊥(평면 AGC)
yy ㉠
yy ㉡
3 -1 BEÓ∥CDÓ이므로 두 직선 AC와 BE가 이루는 각의 크
기는 두 직선 AC와 CD가 이루는 각의 크기와 같다.
삼각형 ACD는 정삼각형이므로 ∠ACD=60ù
따라서 구하는 각의 크기는 60ù이다.
3 -2 EHÓ∥ADÓ이므로 두 직선 AB와 EH가 이루는 각의
크기는 두 직선 AB와 AD가 이루는 각의 크기와 같다.
이때 두 직선 AB와 AD가 이루는 각의 크기가 40ù이
므로 구하는 각의 크기는 40ù이다.
4 -1 ⑴ OCÓ⊥(평면 OAB), CHÓ⊥ABÓ이므로 삼수선의
정리에 의하여 OHÓ⊥ABÓ
따라서 직각삼각형 OAB의 넓이는
_OAÓ_OBÓ=
_ABÓ_OHÓ
;2!;
;2!;
_2_2=
_2
2_OHÓ
;2!;
'
;2!;
∴ OHÓ=
2
'
있으므로
OCÓ⊥OHÓ
따라서 직각삼각형 OHC에서
CHÓ="Ã22+(
2)2=
'
6
'
4 -2 ADÓ⊥DHÓ, DHÓ⊥BCÓ, BCÓ⊥AHÓ이므로 삼수선의
정리에 의하여
ADÓ⊥(평면 BCD)
따라서 ADÓ⊥BDÓ이므로 직각삼각형 ABD에서
ABÓ="Ã42+(4
또 ADÓ⊥CDÓ이므로 직각삼각형 ADC에서
ACÓ="Ã42+82=4
3)2=8
'
5
'
36 III. 공간도형과 공간좌표
D
1
2
h
B
H
을 H라 하면
AHÓ⊥BCÓ, HDÓ⊥BCÓ
따라서 두 평면 ABC와 BCD
가 이루는 각의 크기 h는 두 직
선 AH와 DH가 이루는 각의
크기와 같다.
두 삼각형 ABC와 BCD는 모두 정삼각형이므로
AHÓ=DHÓ="Ã22-12=
3
'
따라서 삼각형 AHD에서 코사인법칙에 의하여
3)2-22
(
'
3
3_
111111124
3)2+(
2_
cosh=
=
;3!;
'
C
2
1
'
'
h
2
2
4
C
B
E
G
D
H
A
5 -2 오른쪽 그림과 같이 점 D
에서 선분 EG에 내린 수
선의 발을 P라 하면
DHÓ⊥(평면 EFGH),
DPÓ⊥EGÓ이므로 삼수선
의 정리에 의하여
HPÓ⊥EGÓ
따라서 두 평면 EFGH와 DEG가 이루는 각의 크기
h는 두 직선 HP와 DP가 이루는 각의 크기와 같다.
직각삼각형 HEG에서
EGÓ="Ã22+42=2
이고, 넓이는
5
'
F
P
_EHÓ_HGÓ=
_EGÓ_HPÓ
;2!;
;2!;
_2_4=
_2
5_HPÓ
'
;2!;
∴ HPÓ=
;2!;
5
4
'
115
또 직각삼각형 DHP에서
DPÓ=¾¨ 22+
2
4
5
'
115 }
{
=
6
5
'
115
∴ cosh=
HPÓ
11DPÓ
=
;3@;
A'B'Ó=ABÓ cosh에서
3
3=6cosh
'
cosh= '
3
122
∴ h=30ù
A'B'Ó=ABÓ cosh에서
8=ABÓ cos45ù
8=ABÓ_ '
∴ ABÓ=8
2
1232
2
'
6 -2 직선 AB와 평면 a가 이루는 각의 크기를 h라 하면
⑵ OCÓ⊥(평면 OAB)이고, OHÓ는 평면 OAB 위에
6 -1 직선 AB와 평면 a가 이루는 각의 크기를 h라 하면
Ò
교과서 기본 테스트
본문 84~87 쪽
3
01 ④
06 ③
10 ⑴
3
10
'¶
11310
07 '
02 ④
2
122
7
10
'¶
11310
⑵
03 ③
04 6
05 ①
08 2
3
'
09 ⑤
11
2
'
12 '
3+
6
3
1112
'
13 ①
14 ⑴ 선분 DG ⑵ 삼각형 HEN 15 2
16 30ù
17 ②
18 ①
19
;2!;
20 2
6
'
21
12
5
'
1135
22 '
3
123
01 꼬인 위치에 있는 두 직선을 포함하는 평면은 존재하
지 않는다.
02 한 직선 위에 있지 않은 세 점은 한 평면을 결정하므로
구하는 평면의 개수는
4C3=4C1=4
03 모서리 CD와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AE,
모서리 BF, 모서리 EH, 모서리 FG이다.
따라서 모서리 CD와 꼬인 위치에 있지 않은 모서리는
모서리 EF이다.
04 직선 AD와 수직인 면은 면 AEFB, 면 DHGC이므
로 a=2
직선 AD와 꼬인 위치에 있는 직선은 직선 BF, 직선
CG, 직선 EF, 직선 HG이므로 b=4
∴ a+b=6
05 ㄴ. 직선 l과 평면 a는 서로 평행하므로 직선 l은 평면
a 위의 직선 m과 만나지 않는다. 그런데 두 직선 l,
m은 모두 평면 b 위에 있으므로 l∥m이다.
ㄷ. 오른쪽 그림과 같이 l⊥m,
l
l⊥n이지만 두 직선 m, n이
꼬인 위치에 있을 수도 있다.
m
ㄹ. 오른쪽 그림과 같이 l∥a,
m∥a이지만 두 직선 l, m이
한 점에서 만날 수도 있다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
l
a
06 BGÓ∥AÕHÓ이므로 두 직선 AC와 BG가 이루는 각의
크기는 두 직선 AC와 AH가 이루는 각의 크기와 같다.
삼각형 AHC는 정삼각형이므로 ∠CAH=60ù
따라서 구하는 각의 크기는 60ù이다.
2
'
07 CFÓ∥DEÓ이므로 두 직선 DM과 CF가 이루는 각의
크기 h는 두 직선 DM과 DE가 이루는 각의 크기와
같다.
한편 직각삼각형 AED에서
EDÓ="Ã22+22=2
직각삼각형 EFM에서
EÕMÓ="Ã22+12=
또 BÕMÓ⊥(평면 ABCD)이고 DBÓ가 평면 ABCD 위
에 있으므로
BÕMÓ⊥DBÓ
즉 직각삼각형 DMB에서
2)2+12=3
'
DMÓ=
따라서 삼각형 DEM에서 코사인법칙에 의하여
5
'
(2
Á°
cosh=
'
2)2+32-(
5)2
(2
'
2_3
2_2
1231111112
'
= '
2
122
08 직각삼각형 PQO에서
PQÓ="Ã22+32=
13
POÓ⊥a, OQÓ⊥ABÓ이므로 삼수선의 정리에 의하여
PQÓ⊥ABÓ
따라서 직각삼각형 PAQ에서
'¶
AQÓ=
52-(
13)2=2
'¶
3
'
Á°
09 직각삼각형 PQO에서
OQÓ="Ã52-42=3
POÓ⊥a, PQÓ⊥ABÓ이므로 삼수선의 정리에 의하여
OQÓ⊥ABÓ
따라서 직각삼각형 OQB에서
OBÓ="Ã32+22=
13
'¶
10 ⑴ DHÓ⊥(평면 EFGH), DIò⊥EGÓ이므로 삼수선의
n
m
정리에 의하여
HIò⊥EGÓ
직각삼각형 EGH에서
EGÓ="Ã12+32=
이고, 넓이는
10
'¶
_EHÓ_GHÓ=
_EGÓ_HIò
_1_3=
_
10_HIò
;2!;
'¶
;2!;
;2!;
;2!;
3
10
'¶
11310
∴ HIò=
⑵ 직각삼각형 DHI에서
DIò=¾¨22+
2
3
10
'¶
11310 }
{
=
7
10
'¶
11310
06. 공간도형 37
Ò
11 POÓ⊥a, OHÓ⊥ABÓ이므로 삼수선의 정리에 의하여
16 한 변의 길이가 4인 정삼각형의 넓이는
PHÓ⊥ABÓ
직각삼각형 PHO에서
POÓ=OHÓ tan60ù=
이므로
3
'
Á°
12+(
3)2=2
'
PHÓ=
또 직각삼각형 PAO에서
AOÓ=POÓ=
직각삼각형 OAH에서
3)2-12=
AHÓ=
'
따라서 직각삼각형 PAH의 넓이는
(
Á°
3
'
2
'
_AHÓ_PHÓ=
_
2_2=
;2!;
'
2
'
;2!;
3
'
_42=4
3
'
124
두 평면 a, b가 이루는 각의 크기를 h라 하면 평면 a
위로의 정사영의 넓이가 6이므로
4
3 cosh=6, cosh= '
'
∴ h=30ù
3
122
17 단면의 밑면 위로의 정사영은 사각기둥의 밑면인 정
사각형이다.
단면의 넓이를 S, 사각기둥의 밑면의 넓이를 S'이라
하면 S'=S cos45ù이므로
12 꼭짓점 D에서 평면 EFGH에 내린 수선의 발이 H이
므로 ∠DFH=h
정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
32=S_ '
∴ S=9
2
122
2
'
sinh+cosh=
+
FHÓ
DHÓ
11DFÓ
11DFÓ
2a
a
3a
3a
11'
11'
3+
6
3
123312
+ '
'
=
= '
18 한 변의 길이가 1인 정삼각형 ABC의 넓이는
_12= '
3
'
124
따라서 구하는 정사영의 넓이는
3
124
3
'
124
cos60ù= '
_
3
124
= '
3
128
;2!;
13 정삼각형 ACD에서 중선 AM은 선분 CD를 수직이
19 단면의 밑면 위로의 정사영은 원기둥의 밑면인 원이다.
등분하므로
AMÓ⊥CDÓ
yy ㉠
또 정삼각형 BCD에서 중선 BM은 선분 CD를 수직
이등분하므로
BMÓ⊥CDÓ
Ó
㉠, ㉡에 의하여 CDÓ⊥(평면 ABM)
따라서 h=90ù이므로
cosh=cos90ù=0
yy ㉡
15 꼭짓점 A의 평면 BCD 위로의 정사영을 A'이라 하
면 점 A'은 삼각형 BCD의 무게중심이다.
따라서 △A'BC=
△BCD=
△ABC이므로 평면
;3!;
;3!;
ABC와 평면 BCD가 이루는 각의 크기를 h라 하면
cosh=
;3!;
따라서 구하는 정사영의 넓이는
6cosh=6_
=2
;3!;
반지름의 길이가 4인 밑면의 넓이는
p_42=16p
따라서 32pcosh=16p이므로
cosh=
;2!;
A
6
D
B
3
M
3
H
C
3이고, 점 H는 삼각형 BCD
20 점 A에서 모서리 BC에 내린 수
선의 발을 M이라 하면
AÕMÓ⊥BCÓ
AHÓ⊥(평면 BCD), AÕMÓ⊥BCÓ
이므로 삼수선의 정리에 의하여
HMÓ⊥BCÓ
이때 AÕMÓ=
의 무게중심이므로
62-32=3
"Ã
'
HMÓ=
DÕMÓ=
AÕMÓ=
;3!;
;3!;
3
'
따라서 직각삼각형 AMH에서
3)2-(
'
3)2=2
'
AHÓ=
6
'
(3
Á°
A
참고 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 평면
BCD에 내린 수선의 발을 H라 하면
△ABH, △ACH, △ADH는 모두 합동이
므로
BHÓ=CHÓ=DHÓ
즉 점 H는 △BCD의 외심이고, 정삼각형의 외심과 무게중심은
서로 일치하므로 점 H는 △BCD의 무게중심이다.
H
D
B
C
21 직각삼각형 EFM에서
EMÓ="Ã42+22=2
5
'
DHÓ⊥(평면 EFGH), DÕI
에 의하여
HIÓ⊥EMÓ
⊥EMÓ이므로 삼수선의 정리
38 III. 공간도형과 공간좌표
Õ
Õ
Õ
삼각형 EMH의 넓이는
_EHÓ_EFÓ=
_EMÓ_HIÓ
_4_4=
_2
5_HIÓ
;2!;
'
;2!;
;2!;
;2!;
8
5
'
115
∴ HIÓ=
따라서 직각삼각형 DHI에서
DIÓ=¾¨42+
2
8
5
'
115 }
{
=
12
5
'
1135
22 두 평면 HBC와 ABC가 이루는 각의 크기를 h라 하
면 삼각형 ABC의 평면 BCDE 위로의 정사영은 삼
각형 HBC이므로
yy ㉠
cosh=
△HBC
△ABC
1115
이때
△HBC=
△ABC= '
;4!;
3
124
이므로 ㉠에서
BCDE=
_2_2=1
;4!;
_22=
3
'
= '
cos h=
1
3
12'
3
123
따라서 구하는 정사영의 넓이는
3
123
△HBC_cosh=1_ '
3
123
= '
창의력·융합형·서술형·코딩
본문 88~89 쪽
1 ⑴ 평행하다. ⑵ 수직이다. ⑶ 60ù
2 ⑴
⑵ 15p
;5#;
2
2
3 ⑴ PQÓ=
4 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 520 m ⑶ 480 m
⑵ 풀이 참조
+OQÓ
OPÓ
AE
1 ⑴ 야구 방망이의 그림자의 길이가 최대인 경우는 야구
방망이와 운동장 바닥이 평행할 때이다.
⑵ 야구 방망이의 양 끝 점의 그림자가 겹치는 경우는
야구 방망이와 운동장 바닥이 수직일 때이다.
⑶ 야구 방망이와 운동장 바닥이 이루는 각의 크기를 h,
야구 방망이의 길이를 S, 야구 방망이의 그림자의 길
이를 S'이라 하면
S'=Scosh
이때 S'=
S이므로
S=Scosh
;2!;
;2!;
cosh=
;2!;
∴ h=60ù
따라서 야구 방망이와 운동장 바닥이 이루는 각의 크
기는 60ù이다.
h
B
E
4`cm
D
C
4`cm
2 ⑴ 그릇을 기울이면 한쪽 수면이 올 6`cm
라온 만큼 반대쪽 수면은 내려가
므로 오른쪽 그림과 같이 그릇을
기울이기 전의 수면의 지름을
ABÓ, 물이 흘러내리기 직전까지
기울였을 때의 수면의 장축을 CDÓ라 하면
ACÓ=BDÓ=4, DEÓ=8
이때 직각삼각형 CDE에서
CDÓ="Ã62+82=10
지면과 그릇의 밑면이 이루는 각의 크기가 h이므로
두 직선 CD와 CE가 이루는 각의 크기도 h이다.
A
6`cm
⑵ 그릇의 밑면의 넓이는 9p이므로 구하는 수면의 넓이
∴ cosh=
CEÓ
11CDÓ
=
;5#;
를 S라 하면
Scosh=9p
9p
cosh
112
∴ S=
=
=15p
9p
123
;5#;
3 ⑴ 직선 OP는 지면과 수직이므로 OPÓ⊥OQÓ
따라서 직각삼각형 PQO에서
PQÓ=
OPÓ
2
+OQÓ
2
AE
⑵ 선분 OP의 길이는 일정하므로 선분 OQ의 길이가
최소일 때 선분 PQ의 길이가 최소가 된다.
따라서 구하는 점 Q의 위치는 점 O에서 직선 l에 내
린 수선의 발이다.
4 ⑴ CDÓ는 지면과 수직이고 ABÓ⊥BCÓ이므로 삼수선의
정리에 의하여
BDÓ⊥ABÓ
따라서 삼각형 ABD는 ∠ABD=90ù인 직각삼각형
이다.
⑵ 직각삼각형 ABD에서
BDÓ
11ABÓ
tan(∠DAB)=
=
;3$;
BDÓ
11390
∴ BDÓ=520 (m)
⑶ 직각삼각형 BCD에서
CDÓ=
2
AE
2
BDÓ
-BCÓ
="Ã5202-2002
=480 (m)
06. 공간도형 39
4 -1 ⑴ 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점 P의 좌표는
2_3+1_0
2+1
111112
,
2_(-2)+1_1
2+1
11111112
{
,
본문 92~93 쪽
07 공간좌표
교과서 개념 확인 테스트
1
1 -1 P(2, 0, 0), Q(2, 3, 1), R(0, 3, 1)
1 -2 P(2, -2, 3), Q(2, -2, 0), R(0, 0, 3)
2 -1 ⑴ (2, 3, 0) ⑵ (0, 0, -1)
2 -2 ⑴ (1, 0, 2) ⑵ (0, -3, 0)
2
3 -1 ⑴ 3 ⑵ 5
4 -1 ⑴ P(2, -1, 2) ⑵ Q(6, -5, 2)
4 -2 ⑴ P(-1, -2, 4) ⑵ Q(-13, -26, -8)
5 -1 ⑴ (x-3)2+(y+2)2+(z+4)2=16
⑵ (x-2)2+(y+1)2+(z-2)2=9
0
1
3 -2 ⑴ 5 ⑵
'
'
5 -2 ⑴ (x+2)2+(y-3)2+z2=1
⑵ (x+1)2+(y-2)2+(z+3)2=24
6 -1 중심의 좌표: (-3, 1, 2), 반지름의 길이: 2
6 -2 중심의 좌표: (1, 3, 0), 반지름의 길이: 1
이므로 구하는 점의 좌표는
(2, 3, 0)
⑵ 점 P에서 z축에 내린 수선의 발은 x좌표와 y좌표
가 모두 0이므로 구하는 점의 좌표는
(0, 0, -1)
참고 수선의 발의 좌표
•좌표공간의 점 A(a, b, c)에서
⑴ x축, y축, z축에 내린 수선의 발을 각각 P, Q, R라 하면
P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)
⑵ xy평면, yz평면, zx평면에 내린 수선의 발을 각각 P, Q, R
라 하면
P(a, b, 0), Q(0, b, c), R(a, 0, c)
• 점 A에서 평면 a에 내린 수선의 발은 점 A의 평면 a 위로의
정사영이므로 수선의 발의 좌표는 정사영의 좌표와 같다.
∴ P(2, -1, 2)
⑵ 선분 AB를 2`:`1로 외분하는 점 Q의 좌표는
2_3-1_0
2-1
111112
,
2_(-2)-1_1
2-1
11111112
{
,
2_2+1_2
2+1
111112
}
2_2-1_2
2-1
111112
}
∴ Q(6, -5, 2)
4 -2 ⑴ 선분 AB를 3`:`2로 내분하는 점 P의 좌표는
3_(-3)+2_2
3+2
11111112
,
3_(-6)+2_4
3+2
11111112
,
{
3_2+2_7
3+2
1231121
}
3_2-2_7
3-2
1231121
}
⑵ 선분 AB를 3`:`2로 외분하는 점 Q의 좌표는
3_(-3)-2_2
3-2
11111112
,
3_(-6)-2_4
3-2
11111112
,
{
∴ Q(-13, -26, -8)
5 -1 ⑴ (x-3)2+(y+2)2+(z+4)2=16
⑵ 구의 반지름의 길이는
"Ã22+(-1)2+22=3
따라서 구하는 구의 방정식은
(x-2)2+(y+1)2+(z-2)2=9
2 -1 ⑴ 점 P에서 xy평면에 내린 수선의 발은 z좌표가 0
∴ P(-1, -2, 4)
2 -2 ⑴ 점 P에서 zx평면에 내린 수선의 발은 y좌표가 0
이므로 구하는 점의 좌표는
(1, 0, 2)
⑵ 점 P에서 y축에 내린 수선의 발은 x좌표와 z좌표
가 모두 0이므로 구하는 점의 좌표는
(0, -3, 0)
5 -2 ⑴ (x+2)2+(y-3)2+z2=1
⑵ 구의 반지름의 길이는
"Ã(-1-1)2+(2-0)2+(-3-1)2=2
따라서 구하는 구의 방정식은
(x+1)2+(y-2)2+(z+3)2=24
6
'
3 -1 ⑴ ABÓ="Ã(-1-1)2+(3-1)2+{-3-(-4)}2
=3
⑵ OAÓ="Ã32+52+(-4)2
2
'
=5
6 -1 x2+y2+z2+6x-2y-4z+10=0에서
(x+3)2+(y-1)2+(z-2)2=4
따라서 구하는 구의 중심의 좌표는 (-3, 1, 2), 반지
름의 길이는 2이다.
3 -2 ⑴ ABÓ="Ã(-1-3)2+(-2-1)2+{-4-(-4)}2
⑵ ABÓ="Ã(-1-2)2+(2-2)2+(0-1)2
=5
=
10
'¶
6 -2 x2+y2+z2-2x-6y+9=0에서
(x-1)2+(y-3)2+z2=1
따라서 구하는 구의 중심의 좌표는 (1, 3, 0), 반지름
의 길이는 1이다.
40 III. 공간도형과 공간좌표
§
본문 94~97 쪽
⑵ ABÓ="Ã(-4+5)2+(-2+1)2+(5-5)2
=
2
'
기출 기초 테스트
2
1 -1 ⑴ (0, 3, -5) ⑵ (-1, -3, 5)
1 -2 ⑴ (-1, 0, 0) ⑵ (-1, 2, -3)
2 -1 ⑴
'
3 -1 1, 5
4 -1 (1, 0, 0), (5, 0, 0)
5 -1 P(4, 0, 0)
4
1
6 -1 2
'
3 ⑵ 5
7 -1 (-2, 3, -2)
2
'
3 ⑵
2 -2 ⑴ 2
'
3 -2 -10
4 -2 (0, -1, 0), (0, 3, 0)
5 -2 P(0, 3, 0)
6 -2 6
, -
, 3
}
;2!;
;2&;
-
7 -2
{
8 -2
'¶
9 -2 2
35
8 -1 9
9 -1 3
10 -1 중심의 좌표: (3, -1, 3), 반지름의 길이: 7
10 -2 (x-2)2+y2+(z-2)2=6
11 -1 3
12 -1 x2+y2+z2-4x+2z=0
12 -2 x2+y2+z2+2x-4y+4z=0
11 -2 9
6
'
1 -1 ⑴ 점 P에서 yz평면에 내린 수선의 발은 x좌표가 0
이므로 구하는 점의 좌표는
(0, 3, -5)
⑵ 점 P를 x축에 대하여 대칭이동한 점은 y좌표와 z
좌표의 부호만 바뀌므로 구하는 점의 좌표는
(-1, -3, 5)
참고 점의 대칭이동
좌표공간의 점 A(a, b, c)를
⑴ x축, y축, z축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 P, Q, R라 하
면
P(a, -b, -c), Q(-a, b, -c), R(-a, -b, c)
⑵ xy평면, yz평면, zx평면에 대하여 대칭이동한 점을 각각 P,
Q, R라 하면
P(a, b, -c), Q(-a, b, c), R(a, -b, c)
⑶ 원점에 대하여 대칭이동한 점을 P라 하면
P(-a, -b, -c)
1 -2 ⑴ 점 P에서 x축에 내린 수선의 발은 y좌표와 z좌표
가 모두 0이므로 구하는 점의 좌표는
(-1, 0, 0)
⑵ 점 P를 xy평면에 대하여 대칭이동한 점은 z좌표
의 부호만 바뀌므로 구하는 점의 좌표는
(-1, 2, -3)
2 -1 ⑴ ABÓ="Ã(2-1)2+(1-2)2+(3-4)2
⑵ ABÓ="Ã(-4+1)2+(-2-2)2+(3-3)2
2 -2 ⑴ ABÓ="Ã(2-0)2+(0-2)2+(2-4)2
=
3
'
=5
=2
3
'
3 -1 ABÓ="Ã(5-1)2+(-2-2)2+(a-3)2
="Ãa2-6a+41
"Ãa2-6a+41=6이므로
즉
a2-6a+41=36, a2-6a+5=0
(a-1)(a-5)=0
∴ a=1 또는 a=5
3 -2 ABÓ="Ã(3+1)2+(-1-2)2+(a+5)2
="Ãa2+10a+50
"Ãa2+10a+50=5
2이므로
즉
a2+10a+50=50, a2+10a=0
a(a+10)=0
∴ a=-10 (∵ a<0)
'
4 -1 x축 위의 점의 좌표를 (a, 0, 0)이라 하면
"Ã(a-3)2+(-1)2+22=3
a2-6a+14=9, a2-6a+5=0
(a-1)(a-5)=0
∴ a=1 또는 a=5
따라서 구하는 점의 좌표는
(1, 0, 0), (5, 0, 0)
4 -2 y축 위의 점의 좌표를 (0, a, 0)이라 하면
"Ã22+(a-1)2+(-4)2=2
6
'
a2-2a+21=24, a2-2a-3=0
(a+1)(a-3)=0
∴ a=-1 또는 a=3
따라서 구하는 점의 좌표는
(0, -1, 0), (0, 3, 0)
5 -1 점 P의 좌표를 (a, 0, 0)이라 하면
BÕPÕ
APÓ
2
=(a-2)2+42+(-3)2
=a2-4a+29
2
=(a+1)2+(-2)2
=a2+2a+5
이때 APÓ=BÕPÕ에서 APÓ
a2-4a+29=a2+2a+5
6a=24
∴ a=4
따라서 구하는 점 P의 좌표는
(4, 0, 0)
=BÕPÕ
2
2
이므로
07. 공간좌표 41
§
BÕPÕ
APÓ
5 -2 점 P의 좌표를 (0, a, 0)이라 하면
2
=(-3)2+(a+1)2+(-2)2
=a2+2a+14
2
=(-2)2+(a-3)2+(-5)2
=a2-6a+38
이때 APÓ=BÕPÕ에서 APÓ
a2+2a+14=a2-6a+38
8a=24
∴ a=3
따라서 구하는 점 P의 좌표는
(0, 3, 0)
=BÕPÕ
2
2
이므로
6 -1 Q(1, 2, -3), R(-1, -2, 3)이므로
QRÓ="Ã(-1-1)2+(-2-2)2+(3+3)2
=2
14
'¶
6 -2 Q(-2, -2, -1), R(2, 2, 1)이므로
QRÓ="Ã(2+2)2+(2+2)2+(1+1)2
=6
7 -1 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점 P의 좌표는
2_(-1)+1_2
2+1
123112111
,
2_3+1_3
2+1
1231121
{
,
2_(-3)+1_(-6)
2+1
12311211111
}
∴ P(0, 3, -4)
선분 AB를 2`:`1로 외분하는 점 Q의 좌표는
2_(-1)-1_2
2-1
123112111
,
2_3-1_3
2-1
1231121
{
,
2_(-3)-1_(-6)
2-1
12311211111
}
∴ Q(-4, 3, 0)
따라서 선분 PQ의 중점의 좌표는
0-4
12322
3+3
,
12322
-4+0
,
123212
}
{
∴ (-2, 3, -2)
7 -2 선분 AB를 1`:`2로 내분하는 점 P의 좌표는
1_(-4)+2_2
1+2
123112111
,
1_(-1)+2_5
1+2
123112111
{
,
∴ P(0, 3, 3)
선분 AB를 3`:`1로 외분하는 점 Q의 좌표는
3_(-4)-1_2
3-1
123112111
,
3_(-1)-1_5
3-1
123112111
{
,
1_3+2_3
1+2
1231121
}
3_3-1_3
3-1
1231121
}
∴ Q(-7, -4, 3)
42 III. 공간도형과 공간좌표
따라서 선분 PQ의 중점의 좌표는
0-7
12322
3-4
,
12322
3+3
,
12322 }
{
∴
{
-
;2&;
, -
;2!;
, 3
}
8 -1 선분 AC의 중점의 좌표는
3+5
,
12322
4-3
{
}
12322
선분 BD의 중점의 좌표는
2+b
,
12322
-3+8
,
123212
∴
, 4,
{;2!;
;2%;}
4+c
,
12322 }
-1+a
{
123212
평행사변형 ABCD에서 선분 AC의 중점과 선분
BD의 중점이 일치하므로
4+c
-1+a
123212
12322
따라서 a=2, b=6, c=1이므로
a+b+c=9
2+b
,
12322
=4,
=
=
;2!;
;2%;
8 -2 점 D의 좌표를 (a, b, c)라 하면 선분 BD의 중점의
5+b
,
12322
-1+c
,
123212
좌표는
2+a
}
{
12322
선분 BD의 중점과 두 대각선의 교점 (1, 3, -2)가
일치하므로
2+a
12322
∴ a=0, b=1, c=-3
따라서 A(1, 4, 2), D(0, 1, -3)이므로
ADÓ="Ã(0-1)2+(1-4)2+(-3-2)2
-1+c
123212
5+b
12322
=-2
=1,
=3,
=
35
'¶
9 -1 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는
2+0+4
3
123212
}
,
,
0+1-1
3
11123
-1+1+3
{
3
1232112
∴ G(1, 0, 2)
따라서 a=1, b=0, c=2이므로
a+b+c=3
참고 삼각형의 무게중심
좌표공간에서 세 점 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3)
을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는
x1+x2+x3
,
111113
y1+y2+y3
3
111125
z1+z2+z3
,
}
3
111125
{
9 -2 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는
3+5+c
3
11123
2+0+a
11113
2+a
12323
5-1+b
3
11123
4+b
,
12323
8+c
,
12323 }
∴
{
,
,
{
}
=1,
이 점이 점 G(1, 2, 3)과 일치하므로
2+a
12323
따라서 a=1, b=2, c=1이므로
abc=2
4+b
12323
8+c
12323
=2,
=3
10 -1 선분 AB의 중점의 좌표는
-4+2
,
123212
9-3
,
12322 }
1+5
12322
∴ (3, -1, 3)
{
따라서 구하는 구의 중심의 좌표는 (3, -1, 3)이고,
반지름의 길이는
"Ã(3-1)2+(-1+4)2+(3-9)2=7
10 -2 선분 AB의 중점의 좌표는
1-1
12322
0+4
,
12322 }
1+3
12322
,
∴ (2, 0, 2)
{
따라서 구의 중심의 좌표는 (2, 0, 2)이고, 반지름의
길이는
"Ã(2-1)2+(0-1)2+(2-0)2=
이므로 구하는 구의 방정식은
(x-2)2+y2+(z-2)2=6
6
'
11 -1 x2+y2+z2+2x+4y-14z+10=0에서
(x+1)2+(y+2)2+(z-7)2=44
따라서 구의 중심의 좌표는 (-1, -2, 7)이므로 구
의 중심과 원점 사이의 거리는
"Ã(-1)2+(-2)2+72=3
6
'
11 -2 x2+y2+z2-4x-8y+6z+k=0에서
29-k이다.
(x-2)2+(y-4)2+(z+3)2=29-k
이므로 구의 중심의 좌표는 (2, 4, -3)이고, 반지름
의 길이는
'Ä
구의 중심에서 z축에 내린 수선의 발의 좌표는
(0, 0, -3)
이때 반지름의 길이는 구의 중심과 수선의 발 사이의
거리와 같으므로 반지름의 길이는
"Ã22+42+(-3+3)2=2
따라서
29-k=2
'Ä
∴ k=9
5이므로 29-k=20
5
'
'
yy ㉠
4-2C+D=0
yy ㉡
1+1+B-C+D=0
4+1+1+2A+B+C+D=0 yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢에 D=0을 대입하면
C=2, B-C=-2, 2A+B+C=-6
∴ A=-4, B=0, C=2
따라서 구하는 구의 방정식은
x2+y2+z2-4x+2z=0
12 -2 구의 방정식을
x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0이라 하고 주
어진 네 점의 좌표를 각각 대입하면
D=0
yy ㉠
1+1+A-C+D=0
1+4+1-A+2B+C+D=0 yy ㉡
yy ㉢
1+9+A+3B+D=0
㉠, ㉡, ㉢에 D=0을 대입하면
A-C=-2, A-2B-C=6, A+3B=-10
∴ A=2, B=-4, C=4
따라서 구하는 구의 방정식은
x2+y2+z2+2x-4y+4z=0
3
01 ⑤
05 ①
10 ⑤
15
{;3@;
19 ①
23 2
교과서 기본 테스트
본문 98~101 쪽
02 (-3, 2, -3)
07 ④
06 ④
12 9
11 ④
03 12
08 ③
13 ②
04 3
2
09 3
'
14 ⑤
, 2,
;3*;}
20 4
24 2
2
'
16 ③
17 ④
18 ②
21 ③
22 C(-5, 0, 0)
01 점 P를 xy평면에 대하여 대칭이동한 점은 z좌표의 부
호만 바뀌므로 구하는 점의 좌표는
(3, 5, 4)
02 P(-2, 3, -4), Q(-4, 1, -2)이므로 선분 PQ의
중점의 좌표는
-2-4
123212
,
3+1
12322
-4-2
,
123212
{
}
∴ (-3, 2, -3)
12 -1 구의 방정식을
x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0이라 하고 주
어진 네 점의 좌표를 각각 대입하면
D=0
03 점 A는 선분 PQ의 중점이다.
선분 PQ의 중점의 좌표는
2+b
,
12322
3+c
,
12322 }
-1+a
123212
{
07. 공간좌표 43
=3,
이 점이 점 A(3, 1, 4)와 일치하므로
3+c
2+b
-1+a
123212
12322
12322
따라서 a=7, b=0, c=5이므로
a+b+c=12
=1,
=4
04 P'(2, 0, 1)에서 a=2, b=0, c=1이므로
a+b+c=3
05 M(3, -2, 0), N(0, -2, 1)이므로
MNÓ="Ã(0-3)2+(-2+2)2+(1-0)2
=
10
'¶
BÕPÕ
APÓ
06 점 P의 좌표를 (0, 0, a)라 하면
2
=(-1)2+12+(a+1)2
=a2+2a+3
2
=12+(-2)2+(a-2)2
=a2-4a+9
2
=BÕPÕ
APÓ=BÕPÕ에서 APÓ
a2+2a+3=a2-4a+9
6a=6
∴ a=1
따라서 구하는 점 P의 좌표는
(0, 0, 1)
2
이므로
07 ABÓ="Ã(-3)2+42=5
BCÓ="Ã(-4)2+42=4
2
'
CAÓ="Ã32+(-4)2=5
오른쪽 그림과 같이 이등변삼각
형 ABC의 점 A에서 선분 BC
에 내린 수선의 발 H에 대하여
BHÓ=2
직각삼각형 ABH에서
2)2=
AHÓ="Ã52-(2
'
∴ △ABC=
_4
1
'
2_
2
'
7
7
1
'
'
;2!;
=2
4
3
'
08 점 P의 좌표를 (0, b, c)라 하면
2
OPÓ
APÓ
BPÓ
=b2+c2
2 =(0-1)2+(b-2)2+(c-1)2
=b2+c2-4b-2c+6
2
=(0+1)2+(b-0)2+(c-1)2
=b2+c2-2c+2
44 III. 공간도형과 공간좌표
5
5
B
C
A
H
4'2
2
=APÓ
2
이므로
yy ㉠
이때 OPÓ
b2+c2=b2+c2-4b-2c+6
2b+c-3=0
2
2
또 OPÓ
=BPÓ
이므로
b2+c2=b2+c2-2c+2
c-1=0
c=1을 ㉠에 대입하면 b=1
따라서 구하는 점 P의 좌표는
(0, 1, 1)
∴ c=1
09 점 A와 x축에 대하여 대칭인
B
점을 A'이라 하면
A'(1, 0, -1)
이때 APÓ=A'PÓ이므로
APÓ+PBÓ=A'PÓ+PBÓ
P
¾A'BÓ
="Ã(-2-1)2+(2+1)2
=3
따라서 구하는 최솟값은 3
2
'
2
'
A
x
A'
10 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점 P의 좌표는
,
2_(-2)+1_1
2+1
1232112112
2_2+1_5
{
2+1
12321122
∴ P(3, -1, 2)
선분 AB를 4`:`3으로 외분하는 점 Q의 좌표는
2_1+1_4
2+1
12321122
,
}
4_(-2)-3_1
4-3
1232112112
,
4_1-3_4
4-3
12321122
}
,
4_2-3_5
{
4-3
12321122
∴ Q(-7, -11, -8)
∴ PQÓ=
=10
3
'
"Ã(-7-3)2+(-11+1)2+(-8-2)2
11 선분 AB를 1`:`2로 내분하는 점 P의 좌표는
,
1_(-2)+2_1
1+2
1232112112
1_4+2_4
1+2
12321122
,
{
∴ P(0, 4, -1)
선분 AB를 2`:`1로 외분하는 점 Q의 좌표는
2_(-2)-1_1
2-1
1232112112
,
2_4-1_4
2-1
12321122
{
,
1_3+2_(-3)
1+2
1232112112
}
2_3-1_(-3)
2-1
1232112112
}
∴ Q(-5, 4, 9)
즉 선분 PQ의 중점의 좌표는
0-5
12322
4+4
,
12322
-1+9
,
123212
}
{
∴
{
-
;2%;
, 4, 4
}
§
§
§
따라서 a=-
, b=4, c=4이므로
;2%;
a+b+c=
:Á2Á:
점 (1, 3, 4)에서 xy평면, yz평면, zx평면에 각각 내
린 수선의 발 P, Q, R의 좌표는
P(1, 3, 0), Q(0, 3, 4), R(1, 0, 4)
따라서 구하는 삼각형 PQR의 무게중심의 좌표는
1+0+1
3
1232132
,
3+3+0
3
1232132
,
0+4+4
3
1232132
}
{
∴
{
-1, 2,
;2&;}
∴
{;3@;
, 2,
;3*;}
12 선분 AC의 중점의 좌표는
1+6
-1+5
2-4
,
,
{
12322 }
123212
12322
선분 BD의 중점의 좌표는
2+b
,
12322
1+c
,
12322 }
-3+a
{
123212
평행사변형 ABCD에서 선분 AC의 중점과 선분 BD
의 중점이 일치하므로
2+b
-3+a
123212
12322
따라서 a=1, b=2, c=6이므로
a+b+c=9
1+c
12322
=-1,
=2,
=
;2&;
16 yz평면에 접하는 구의 반지름의 길이는 중심의 x좌표
의 절댓값과 같으므로 반지름의 길이는 4이다.
따라서 구하는 구의 방정식은
(x+4)2+(y-1)2+(z+3)2=16
∴ x2+y2+z2+8x-2y+6z+10=0
17 구 (x-3)2+y2+(z+4)2=4의 중심의 좌표는
(3, 0, -4)이고 반지름의 길이는 2이다.
두 구의 중심 사이의 거리는
"Ã(3-1)2+(0-4)2+(-4-0)2=6
따라서 구하는 반지름의 길이
를 r라 하면 오른쪽 그림과
같이 두 구가 외접하므로
2+r=6
∴ r=4
2
6
r
18 yz평면 위의 점은 x좌표가 0이므로 주어진 방정식에
x=0을 대입하면
y2+z2+2y-8=0
∴ (y+1)2+z2=9
따라서 주어진 구와 yz평면이 만나서 생기는 도형은
중심의 좌표가 (0, -1, 0)이고 반지름의 길이가 3인
원이므로 구하는 길이는
2p_3=6p
19 xy평면, yz평면, zx평면에 동시에 접하는 구의 반지
름의 길이를 r라 하면 구의 방정식은
(x-r)2+(y-r)2+(z-r)2=r2
이 구가 점 (2, 4, 2)를 지나므로
(2-r)2+(4-r)2+(2-r)2=r2
r2-8r+12=0, (r-2)(r-6)=0
∴ r=2 또는 r=6
따라서 구하는 반지름의 길이는 2
20 x2+y2+z2-2x+6y-4z=0에서
(x-1)2+(y+3)2+(z-2)2=14
이므로 주어진 구의 반지름의 길이는
'¶
14
07. 공간좌표 45
13 선분 OB의 중점의 좌표는
1,
,
;2A;}
;2#;
{
선분 AC의 중점의 좌표는
1-3
,
12322 }
-2+c
,
123212
-1+b
123212
{
∴
{
-1+b
123212
-2+c
,
123212
, -1
}
평행사변형 OABC에서 선분 OB의 중점과 선분 AC
의 중점이 일치하므로
-2+c
-1+b
123212
123212
따라서 a=-2, b=3, c=5이므로
a+b+c=6
, -1=
=1,
=
;2#;
;2A;
14 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는
2+3+c
3
1232132
,
{
a+5+1
3
1232132
a+6
12323
,
0+b-2
3
1232132
c+5
,
12323 }
b-2
,
12323
∴
{
}
=1,
이 점이 점 G(1, -2, 2)와 일치하므로
a+6
12323
따라서 a=-3, b=-4, c=1이므로
abc=12
c+5
12323
b-2
12323
=-2,
=2
15 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는
3+5+4
3
1232132
5-1+5
3
1232132
,
,
}
2+0+1
{
3
1232132
∴ (1, 3, 4)
=0, -4m+2n=0
-4m+2n
1232121m+n
n
12m =2
∴
24 xy평면 위의 점은 z좌표가 0이므로 주어진 구의 방정
식에 z=0을 대입하면
(x-2)2+(y+1)2=9
즉 주어진 구와 xy평면의 교선은 중심의 좌표가
(2, -1, 0)이고 반지름의 길이가 3인 원이다.
오른쪽 그림과 같이 원의
중심을 C라 하고, 점
A(-1, 3, 2)에서 xy평
면에 내린 수선의 발을 H
라 하면 H(-1, 3, 0)이므로
A
H
C
P
xy평면
APÓ=
PHÓ
=
PHÓ
AE
AE
2
2
+AHÓ
2
+4
이때 PHÓ¾CHÓ-3=5-3=2이므로
4+4=2
APÓ¾
2
따라서 구하는 최솟값은 2
2이다.
'Ä
'
'
30
'¶
P
또 주어진 구의 중심을 C라 하면 C(1, -3, 2)이므로
ACÓ="Ã(1-3)2+(-3-2)2+(2-1)2=
오른쪽 그림과 같이 점
A(3, 2, 1)에서 구에 그은
접선의 접점을 P라 하면
△APC는 직각삼각형이므
로 구하는 접선의 길이는
APÓ="Ã(
14)2=4
'¶
30)2-(
'¶
'¶14
'¶30
A
C
21 x2+y2+z2-2x+2y-47=0에서
(x-1)2+(y+1)2+z2=49
x2+y2+z2-14x-10y-6z+58=0에서
(x-7)2+(y-5)2+(z-3)2=25 yy ㉡
yy ㉠
7
x
A
P
H
5
B
9-x
위의 그림과 같이 구 ㉠의 중심을 A, 구 ㉡의 중심을
B, 두 구가 만나서 생기는 원 위의 한 점을 P, 점 P에
서 선분 AB에 내린 수선의 발을 H라 하면
A(1, -1, 0), B(7, 5, 3)
∴ ABÓ="Ã(7-1)2+(5+1)2+(3-0)2
=9
AHÓ=x라 하면 HBÓ=9-x이므로
PHÓ="Ã72-x2="Ã52-(9-x)2
49-x2=-x2+18x-56
18x=105
∴ x=
:£6°:
따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 선분 PH의 길이
와 같으므로
"Ã72-x2=
¾¨
72-
{:£6°:}
2
=
7
11
'¶
1126
22 점 C의 좌표를 (a, 0, 0)이라 하면
2
2
=(2-1)2+(1-4)2+(-5+3)2=14
=(a-2)2+(-1)2+52=a2-4a+30
=(1-a)2+42+(-3)2=a2-2a+26
ABÓ
2
BCÓ
CAÓ
2
+CAÓ
직각삼각형 ABC에서 ABÓ
14+(a2-2a+26)=a2-4a+30
2a=-10
따라서 구하는 점 C의 좌표는
(-5, 0, 0)
∴ a=-5
2
=BCÓ
2
창의력·융합형·서술형·코딩
본문 102~103 쪽
1
'
1
1 ⑴ 풀이 참조 ⑵
2 ⑴ M(200, 200, 0)
⑵ A(200, 200, 100
7
100
'
3
1113
200, 200,
{
1
'
1
⑶ P
7)
}
3, 0, 2
3 ⑴ 3
⑵ (
'
6)2=9
3)2+y2+(z-2
⑶ (x-
'
'
3 ⑶ 3p
4 ⑴ 1 ⑵ 2
6)
'
'
이므로
1 ⑴ 좌표축을 오른쪽 그림과 같
z
이 설정하면
A(2, -1, 1),
B(-1, 0, 2)
B
A
O
x
y
23 선분 AB를 m`:`n으로 내분하는 점은 xy평면 위의
점이므로 z좌표가 0이다. 이때 내분점의 z좌표가
m_(-4)+n_2
m+n
11111111
이므로
⑵ ABÓ="Ã(-1-2)2+(0+1)2+(2-1)2
=
1
1
'
참고 ⑴에서 좌표축을 다르게 설정하여도 두 지점 A, B 사이의
거리는 같다.
46 III. 공간도형과 공간좌표
2 ⑴ 점 M은 밑면인 정사각형의 대각선의 중점이다. 즉
두 점 (0, 0, 0), (400, 400, 0)의 중점과 일치하므로
구하는 점 M의 좌표는
이때 ∠PTC=∠POQ=90ù이고 ∠P는 공통이므
로 △PTC와 △POQ는 닮은 도형이다. 따라서
PTÓ`:`PCÓ=POÓ`:`PQÓ
3`:`2=3`:`PQÓ
'
∴ PQÓ=2
3
'
⑶ 직각삼각형 POQ에서
2
2
OQÓ=
=
PQÓ
A E
"Ã(2
-POÓ
3)2-32=
'
따라서 그림자는 반지름의 길이가
하는 그림자의 넓이는
3)2=3p
p_(
'
3
'
'
3인 원이므로 구
}
, 0
,
{:¢;2);¼:
:¢;2);¼:
∴ M(200, 200, 0)
⑵ OMÓ="Ã2002+2002=200
2
'
이므로 직각삼각형 OMA에서
AMÓ="Ã5002-(200
따라서 구하는 점 A의 좌표는
(200, 200, 100
7)
'
1
'
2)2=100
7
1
'
⑶ 점 P는 선분 AM을 2`:`1로 내분하는 점이므로 점 P
의 좌표는
2_200+1_200
2+1
1232121112
,
2_200+1_200
2+1
1232121112
,
{
7
2_0+1_100
2+1
12321211121
'
1
}
∴ P
{
200, 200,
1
100
7
'
3
123212
}
3 ⑴ 구의 지름의 길이는 두 점 (0, -3, 0), (0, 3, 0) 사
이의 거리와 같으므로 구하는 반지름의 길이는
;2!;"Ã(3+3)2=3
⑵ 두 번째 층에 놓인 구의 중심의 좌표를 (a, b, c)라 하
3, 0, 0),
'
면 점 (a, b, c)와 세 점 (0, -3, 0), (3
(0, 3, 0) 사이의 거리가 모두 6이므로
"Ãa2+(b+3)2+c2=6
yy ㉠
3)2+b2+c2=6 yy ㉡
"Ã(a-3
'
"Ãa2+(b-3)2+c2=6
yy ㉢
㉠, ㉢을 연립하여 풀면 b=0
b=0을 ㉠, ㉡에 대입하여 정리하면
a2+c2=27, a2-6
위의 두 식을 연립하여 풀면
a=
따라서 구하는 구의 중심의 좌표는
(
3a+c2=9
'
6 (∵ c>0)
3, c=2
3, 0, 2
6)
'
'
'
'
⑶ 두 번째 층에 놓인 구의 중심의 좌표는 (
6)
이고 반지름의 길이가 3이므로 구하는 구의 방정식은
(x-
6)2=9
3)2+y2+(z-2
'
'
3, 0, 2
'
'
4 ⑴ x2+y2+z2-2z=0에서
x2+y2+(z-1)2=1
따라서 구하는 구의 반지름의 길이는 1
⑵ 오른쪽 그림과 같이 구의 중심을 C,
구와 빛을 나타내는 직선의 접점을
T라 하면
PTÓ=
2
-TCÓ
2
CPÓ
A E
22-12=
"Ã
3
'
=
P
T
1
2
C
1
O
Q
07. 공간좌표 47
§
§
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