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내신 꼭 고등수학(B) 1학기 기말고사.pdf 다운로드 | 답지저장소
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정답과 풀이
4주 전
3주 전
2주 전
1주 전
002
012
026
033
4주 전
학교시험에 꼭 나오는 교과서 문제
1일차
01-1 ①
03-1 ①
05-1 ①
06-1 ①
01-2 ①
03-2 ④
05-2 ①
06-2 ③
02-1 ③
04-1 ③
05-3 ④
06-3 ⑤
02-2 ②
04-2 ⑤
05-4 ③
06-4 ③
01-1 2x-1<5에서 2x<6
yy ㉠
∴ x<3
x-3É2x에서 -xÉ3
∴ x¾-3 yy ㉡
㉠
-3
㉡
3
x
따라서 연립부등식의 해는 -3Éx<3이므로 모
든 정수 x의 값의 합은
-3+(-2)+(-1)+0+1+2=-3
Lecture
연립부등식의 해 구하기
각 부등식의 해를 수직선 위에 나타내어 공통 범위를
찾는다.
-3<2x-1에서 -2x<2
yy ㉠
∴ x>-1
2x-1<x+4에서 x<5 yy ㉡
㉡
-1
㉠
5
x
따라서 부등식의 해는 -1<x<5이므로 구하는
정수 x는 0, 1, 2, 3, 4로 그 개수는 5이다.
02-2 x-3É2x<x+1의 해는 연립부등식
x-3É2x
2x<x+1=
의 해와 같다.
à
x-3É2x에서 -xÉ3
yy ㉠
∴ x¾-3
2x<x+1에서 x<1 yy ㉡
㉡
㉠
-3
1
x
따라서 부등식의 해는 -3Éx<1이므로 구하는
정수 x는 -3, -2, -1, 0으로 그 개수는 4이다.
01-2 3x+1É4에서 3xÉ3
yy ㉠
∴ xÉ1
x-3É2x+1에서 -xÉ4
∴ x¾-4 yy ㉡
㉠
-4
㉡
1
x
따라서 연립부등식의 해는 -4ÉxÉ1이므로 정
수 x의 최댓값과 최솟값의 합은
1+(-4)=-3
03-1 |x+1|>3에서 x+1<-3 또는 x+1>3
따라서 부등식의 해는 x<-4 또는 x>2이므로
a=-4, b=2
∴ a+b=-4+2=-2
Lecture
절댓값 기호를 포함한 부등식
a>0일 때, |x|<a 또는 |x|>a 꼴의 부등식의 해
는 다음과 같다.
① |x|<a
② |x|>a
-a<x<a
x<-a 또는 x>a
HjK
HjK
02-1 -3<2x-1<x+4의 해는 연립부등식
-3<2x-1
2x-1<x+4=
의 해와 같다.
à
2 정답과 풀이
03-2 |x-3|<5에서 -5<x-3<5
따라서 부등식의 해는 -2<x<8이므로
a=-2, b=8
∴ b-2a=8-2´(-2)=12
본문 10 ~13쪽 쌍둥이
문제
부등식 |3x-1|<2의 해가 a<x<b일 때,
a+b의 값을 구하시오.
[ 풀이 ]
|3x-1|<2에서 -2<3x-1<2
-1<3x<3
∴ -
<x<1
;3!;
따라서 a=-
, b=1이므로
;3!;
a+b=-
+1=
;3!;
;3@;
다른 풀이
이차함수
y =x2-x-42
=(x+6)(x-7)
의 그래프는 오른쪽과 같다.
따라서 구하는 부등식의 해는
-6<x<7
-6
7
x
답
;3@;
05-2 x2-3x-10É0에서 (x+2)(x-5)É0
따라서 부등식의 해는 -2ÉxÉ5이므로
a=-2, b=5
∴ 2a+b=2´(-2)+5=1
04-1 |x-2|<2에서 -2<x-2<2
yy ㉠
∴ 0<x<4
x-3É0에서 xÉ3 yy ㉡
㉡
㉠
0
3
4
x
05-3 x2-6x>-9에서 x2-6x+9>0
∴ (x-3)2>0
따라서 부등식의 해는 x+3인 모든 실수
따라서 연립부등식의 해는 0<xÉ3이므로 구하
는 정수 x는 1, 2, 3으로 그 개수는 3이다.
05-4 x2-10xÉ-25에서 x2-10x+25É0
∴ (x-5)2É0
따라서 부등식의 해는 x=5
04-2 |x-1|<3에서 -3<x-1<3
yy ㉠
∴ -2<x<4
x-2¾0에서 x¾2 yy ㉡
㉠
㉡
-2
2
4
x
06-1 x-1>0에서 x>1 yy ㉠
x2-x-6<0에서 (x+2)(x-3)<0
∴ -2<x<3
yy ㉡
㉡
㉠
-2
1
3
x
따라서 연립부등식의 해는 2Éx<4이므로 모든
정수 x의 값의 합은 2+3=5
따라서 연립부등식의 해는 1<x<3이므로 구하
는 정수 x는 2로 그 개수는 1이다.
05-1 x2-x-42<0에서 (x+6)(x-7)<0
따라서 부등식의 해는 -6<x<7이므로
a=-6, b=7
∴ a+b=-6+7=1
06-2 2x-1<x+2에서 x<3 yy ㉠
x2-8x+7É0에서 (x-1)(x-7)É0
∴ 1ÉxÉ7
yy ㉡
㉡
㉠
1
3
7
x
4주 전 3
따라서 연립부등식의 해는 1Éx<3이므로 모든
정수 x의 값의 합은 1+2=3
06-3 x2-x-20¾0에서 (x+4)(x-5)¾0
∴ xÉ-4 또는 x¾5 yy ㉠
x2-10x+21<0에서 (x-3)(x-7)<0
∴ 3<x<7
yy ㉡
㉠
-4
㉡
㉠
3
5
7
x
따라서 연립부등식의 해는 5Éx<7이므로
a=5, b=7
∴ a+b=5+7=12
06-4 x2-4x-12<0에서 (x+2)(x-6)<0
∴ -2<x<6 yy ㉠
x2+3x-10É0에서 (x-2)(x+5)É0
∴ -5ÉxÉ2 yy ㉡
㉡
㉠
-5 -2
2
6
x
따라서 연립부등식의 해는 -2<xÉ2이므로
a=-2, b=2
∴ a+b=-2+2=0
2일차
01-1 ④
02-1 ②
03-1 ④
04-1 ③
01-2 ③
02-2 ⑤
03-2 ①
04-2 ③
01-3 ②
02-3 ④
03-3 ④
04-3 ⑤
01-4 ⑤
02-4 ②
03-4 ①
04-4 ②
01-1 ABÓ=|3-(-1)|=4
01-2 ABÓ=|-5-(-2)|=3
4 정답과 풀이
01-3 두 점 A(1), B(a) 사이의 거리가 3이므로
|a-1|=3, a-1=Ñ3
∴ a=-2 또는 a=4
따라서 구하는 음수 a의 값은 -2
Lecture
절댓값 기호를 포함한 방정식
a>0일 때, |x|=a이면 x=Ña이다.
01-4 두 점 A(-3), B(a) 사이의 거리가 7이므로
|a-(-3)|=|a+3|=7, a+3=Ñ7
∴ a=-10 또는 a=4
따라서 모든 a의 값의 합은 -10+4=-6
02-1 ABÓ=
(-1-2)2+(4-3)2=
"Ã
1
'
0
02-2 ABÓ=
(5-3)2+{2-(-1)}2=
"Ã
3
1
'
02-3 두 점 A(3, 1), B(a+1, -2) 사이의 거리가 3
2
'
이므로
ABÓ="Ã(a+1-3)2+(-2-1)2=3
양변을 제곱하여 정리하면
a2-4a+13=18, a2-4a-5=0
(a+1)(a-5)=0
따라서 모든 a의 값의 합은 -1+5=4
2
'
∴ a=-1 또는 a=5
02-4 두 점 A(a, 3), B(0, -1) 사이의 거리가 5이므로
ABÓ="Ã(0-a)2+(-1-3)2=5
양변을 제곱하여 정리하면
a2+16=25, a2-9=0
(a+3)(a-3)=0
따라서 모든 a의 값의 합은 -3+3=0
∴ a=-3 또는 a=3
본문 14 ~17쪽
03-1
2´6+1´(-3)
2+1
1131111
따라서 P(3)이므로 a=3
=3
3일차
01-1 ②
02-1 ⑤
03-1 ①
05-1 ④
01-2 ③
02-2 ④
03-2 ②
05-2 ①
01-3 ②
02-3 ⑤
04-1 ②
06-1 ②
01-4 ③
02-4 ②
04-2 ②
06-2 ③
03-2
2´5+5´(-2)
2+5
1131111
따라서 P(0)이므로 a=0
=0
01-1 y-1=3(x-4)
∴ y=3x-11
따라서 a=3, b=-11이므로
a+b=3+(-11)=-8
03-3
3´6-2´(-3)
3-2
1131111
따라서 Q(24)이므로 b=24
=24
03-4
2´4-1´2
113112-1
따라서 Q(6)이므로 b=6
=6
04-1 ABÓ의 중점의 좌표는
-3+5
2+(-6)
,
11312
113112
{
}
∴ (-2, 1)
04-2 ABÓ의 중점의 좌표는
3+(-1)
113112
-2+(-4)
,
1131112
{
}
∴ (1, -3)
04-3 ABÓ를 1`:`2로 외분하는 점의 좌표는
1´(-1)-2´1
1-2
1131111
1´3-2´1
,
113111-2
}
{
∴ (3, -1)
04-4 ABÓ를 2`:`1로 외분하는 점의 좌표는
2´(-1)-1´0
2-1
1131111
2´2-1´3
,
113112-1
}
{
∴ (-2, 1)
01-2 y-5=-2{x-(-3)}
∴ y=-2x-1
따라서 a=-2, b=-1이므로
a-b=-2-(-1)=-1
01-3 두 점 (1, -1), (4, 5)를 지나는 직선의 기울기는
=2
5-(-1)
113114-1
이므로 구하는 직선의 방정식은
y-(-1)=2(x-1)
따라서 a=2, b=-3이므로
ab=2´(-3)=-6
∴ y=2x-3
Lecture
두 점을 지나는 직선의 방정식
직선의 기울기를 먼저 구하여 한 점과 기울기가 주어
진 직선의 방정식을 구하는 방법을 이용한다.
01-4 두 점 (1, -2), (2, -3)을 지나는 직선의 기울기
=-1
는
-3-(-2)
2-1
113111
이므로 구하는 직선의 방정식은
y-(-2)=-(x-1)
따라서 a=-1, b=-1이므로
a-b=-1-(-1)=0
∴ y=-x-1
4주 전 5
본문 18 ~21쪽 02-1 y-1=
;2!;
{x-(-2)}
∴ y=
x+2
;2!;
따라서 x-2y+4=0이므로 a=1, b=4
∴ ab=1´4=4
02-2 x절편이 1이므로 구하는 직선은 점 (1, 0)을 지난
다. 두 점 (-2, 3), (1, 0)을 지나는 직선의 기울
기는
=-1
0-3
1-(-2)
11311
이므로 구하는 직선의 방정식은
y-3=-{x-(-2)}
∴ y=-x+1
따라서 x+y-1=0이므로 a=1, b=-1
∴ a-b=1-(-1)=2
y=-
x-
, y=
x+
에서
;2!;
;4&;
;k#;
;k!;
-
=
;2!;
;k#;
∴ k=-6
두 직선이 서로 평행하므로
다른 풀이
+
;7!;
=
;2#;
=
;2#;
-k
114
-k
114
에서 -2k=12
∴ k=-6
Lecture
일반형으로 표현된 두 직선의 평행 조건
일반형으로 표현된 두 직선 ax+by+c=0,
a'x+b'y+c'=0이 서로 평행하면
a'
1a
b'
1b
c'
1c
=
+
02-3 두 점 (-2, 1), (0, 3)을 지나는 직선의 기울기는
=1
3-1
0-(-2)
11311
이므로 구하는 직선의 방정식은
y-1=x-(-2)
따라서 x-y+3=0이므로 a=1, b=3
∴ ab=1´3=3
∴ y=x+3
03-2 직선 y=-2x-1과 서로 평행하므로 기울기는 -2
따라서 기울기가 -2이고 y절편이 -3인 직선의
방정식은 y=-2x-3
따라서 a=-2, b=-3이므로
a+b=-2+(-3)=-5
Lecture
기울기와 y절편이 주어진 직선의 방정식
기울기가 m, y절편이 n인 직선의 방정식은
y=mx+n
02-4 두 점 (-1, 1), (1, 5)를 지나는 직선의 기울기는
=2
5-1
1-(-1)
11311
이므로 구하는 직선의 방정식은
y-1=2{x-(-1)}
∴ y=2x+3
따라서 2x-y+3=0이므로 a=1, b=3
∴ a-b=1-3=-2
04-1 두 직선이 서로 수직이므로
-
´m=-1
∴ m=3
;3!;
03-1 두 직선 2x+4y+7=0, 3x-ky+1=0이 서로
평행하므로
6 정답과 풀이
04-2 직선 y=2x+1과 서로 수직인 직선의 기울기를
m이라 하면
2´m=-1
∴ m=-
;2!;
① y=
x+2
;2!;
② y=-
x-4
;2!;
③ y=2x+1
④ y=-2x+3
⑤ y=
x+
;2!;
;4&;
따라서 직선 y=2x+1과 서로 수직인 것은 ②이다.
원점과 직선 y=-
x+k, 즉
;3$;
4x+3y-3k=0 사이의 거리가 1이므로
|-3k|
1112
=1, |3k|=5
|3k|
115
"Ã42+32 =
∴ k=Ñ
;3%;
따라서 구하는 직선의 방정식은 4x+3yÑ5=0
05-1
|4´4-3´1+7|
1111112
"Ã42+(-3)2 =
=4
:ª5¼:
05-2
|6´3+8´(-1)-5|
"Ã62+82
111111112
=
=
;1°0;
;2!;
06-1 직선 3x-4y+1=0, 즉 y=
x+
의 기울기가
;4#;
;4!;
이므로 구하는 직선의 기울기는
이다.
;4#;
;4#;
구하는 직선의 방정식을 y=
x+k라 하면 원점
;4#;
x+k, 즉 3x-4y+4k=0 사이의
과 직선 y=
;4#;
거리가 1이므로
|4k|
111112
"Ã32+(-4)2 =
∴ k=Ñ
;4%;
|4k|
115
=1, |4k|=5
따라서 구하는 직선의 방정식은 3x-4yÑ5=0
06-2 직선 3x-4y+7=0, 즉 y=
x+
의 기울기가
;4#;
;4&;
이므로 구하는 직선의 기울기는 -
이다.
;3$;
;4#;
구하는 직선의 방정식을 y=-
x+k라 하면
;3$;
4일차
01-1 ②
02-1 ①
03-1 ④
04-1 ①
01-2 ④
02-2 ②
03-2 ①
04-2 ③
01-3 ④
02-3 ④
03-3 ②
04-3 ③
01-4 ⑤
02-4 ③
03-4 ①
04-4 ⑤
01-1 원 (x-1)2+(y+2)2=9의 중심의 좌표는
(1, -2)이고 반지름의 길이는 3이므로
a=1, b=-2, r=3
∴ a+b+r=1+(-2)+3=2
01-2 원 (x+3)2+(y-2)2=25의 중심의 좌표는
(-3, 2)이고 반지름의 길이는 5이므로
a=-3, b=2, r=5
∴ a+b+r=-3+2+5=4
01-3 중심의 좌표가 (2, b)인 원의 방정식이
(x-a)2+y2=r2이므로 a=2, b=0
이때 원 (x-2)2+y2=r2이 점 (-2, 3)을 지나
므로
(-2-2)2+32=r2, r2=25
따라서 r=5이므로
a+b+r=2+0+5=7
4주 전 7
본문 22 ~25쪽 01-4 중심의 좌표가 (3, b)인 원의 방정식이
(x-a)2+(y+1)2=r2이므로 a=3, b=-1
이때 원 (x-3)2+(y+1)2=r2이 점 (2, -1)을
지나므로
(2-3)2+(-1+1)2=r2, r2=1
따라서 r=1이므로
a+b+r=3+(-1)+1=3
Lecture
원의 방정식이 될 조건
x, y에 대한 이차방정식
x2+y2+Ax+By+C=0의 좌변을 x, y에 대한
완전제곱식의 합의 꼴로 변형하면
A
2
152 }
x+
+
y+
B
2
=
152 }
A2+B2-4C
4
1111123
{
이때 원의 방정식이 될 조건은 A2+B2-4C>0
{
02-1 x2+y2-2x+8y+1=0에서
(x2-2x+1)+(y2+8y+16)=16
∴ (x-1)2+(y+4)2=42
따라서 중심의 좌표는 (1, -4)이고 반지름의 길
이는 4이므로
a=1, b=-4, r=4
∴ a+b+r=1+(-4)+4=1
02-4 x2+y2+6x+k2-2k+1=0에서
(x2+6x+9)+y2=-k2+2k+8
∴ (x+3)2+y2=-k2+2k+8
이 방정식이 원을 나타내려면
-k2+2k+8>0, k2-2k-8<0
(k+2)(k-4)<0
∴ -2<k<4
따라서 모든 정수 k의 값의 합은
-1+0+1+2+3=5
02-2 x2+y2+4x-6y+12=0에서
(x2+4x+4)+(y2-6y+9)=1
∴ (x+2)2+(y-3)2=12
따라서 중심의 좌표는 (-2, 3)이고 반지름의 길
이는 1이므로
a=-2, b=3, r=1
∴ a+b+r=-2+3+1=2
02-3 x2+y2+6x-8y+k2-5k+1=0에서
(x2+6x+9)+(y2-8y+16)=-k2+5k+24
∴ (x+3)2+(y-4)2=-k2+5k+24
이 방정식이 원을 나타내려면
-k2+5k+24>0, k2-5k-24<0
(k+3)(k-8)<0
∴ -3<k<8
따라서 모든 정수 k의 값의 합은
-2+(-1)+0+1+2+3+4+5+6+7=25
8 정답과 풀이
03-1 원 (x+1)2+(y-2)2=2의 중심 (-1, 2)와 직
선 y=x+k, 즉 x-y+k=0 사이의 거리 d는
d=
|-1-2+k|
1131112
"Ã12+(-1)2 =
|k-3|
2
111
'
'
'
É
2, |k-3|É2
2이고 원과 직선이
'
2이어야 하므로
이때 원의 반지름의 길이가
만나려면 dÉ
|k-3|
2
111
'
-2Ék-3É2
∴ 1ÉkÉ5
따라서 구하는 정수 k는 1, 2, 3, 4, 5로 그 개수는
5이다.
다른 풀이
y=x+k를 (x+1)2+(y-2)2=2에 대입하면
(x+1)2+(x+k-2)2=2
∴ 2x2+2(k-1)x+k2-4k+3=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
14
=(k-1)2-2´(k2-4k+3)=-k2+6k-5
이때 원과 직선이 만나려면
¾0이어야 하므로
D
14
-k2+6k-5¾0, k2-6k+5É0
(k-1)(k-5)É0
따라서 구하는 정수 k는 1, 2, 3, 4, 5로 그 개수는 5이다.
∴ 1ÉkÉ5
Lecture
판별식을 이용한 원과 직선의 위치 관계
원과 직선의 위치 관계는 두 방정식을 연립한 이차방
정식의 판별식을 D라 할 때
Ú D>0
Û D=0
Ü D<0
서로 다른 두 점에서 만난다.
한 점에서 만난다. (접한다.)
만나지 않는다.
úk
úk
úk
03-4 원 (x-1)2+(y+2)2=10의 중심 (1, -2)와 직
선 y=x+k, 즉 x-y+k=0 사이의 거리 d는
0이고 원과 직선이
1
'
0이어야 하므로
d=
|1-(-2)+k|
1111112
"Ã12+(-1)2 =
|k+3|
2
111
'
이때 원의 반지름의 길이가
한 점에서 만나려면 d=
1
'
|k+3|
2
111
'
k+3=Ñ2
따라서 모든 실수 k의 값의 합은
(-3-2
0, |k+3|=2
5)+(-3+2
5
'
1
'
=
5
'
∴ k=-3Ñ2
5)=-6
'
'
5
'
03-2 원 (x-3)2+(y-2)2=5의 중심 (3, 2)와 직선
y=2x+k, 즉 2x-y+k=0 사이의 거리 d는
5이고 원과 직선이
5이어야 하
'
d=
|2´3-2+k|
1131112
"Ã22+(-1)2 =
|k+4|
5
111
'
'
<
5, |k+4|<5
이때 원의 반지름의 길이가
서로 다른 두 점에서 만나려면 d<
므로
|k+4|
5
111
'
-5<k+4<5
∴ -9<k<1
따라서 a=-9, b=1이므로
ab=-9´1=-9
'
04-1 기울기가 -3이고, 원 x2+y2=10의 반지름의 길
이는
0이므로 구하는 접선의 방정식은
1
'
(-3)2+1
y=-3xÑ
0´
!%
∴ y=-3xÑ10
1
'
다른 풀이
기울기가 -3인 직선의 방정식을 y=-3x+n이라 하
고, x2+y2=10에 대입하면
x2+(-3x+n)2=10, 10x2-6nx+n2-10=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
14
=(-3n)2-10´(n2-10)=-n2+100
이때 원과 직선이 접하려면
=0이어야 하므로
-n2+100=0
따라서 구하는 접선의 방정식은 y=-3xÑ10
∴ n=Ñ10
D
14
03-3 원 (x-1)2+(y-2)2=4의 중심 (1, 2)와 직선
04-2 기울기가 1이고, 원 x2+y2=2의 반지름의 길이는
x+ky-2=0 사이의 거리 d는
d=
|1+2k-2|
1131125
"Ã12+k2 =
|2k-1|
"Ã1+k2
11313
이때 원의 반지름의 길이가 2이고 원과 직선이 한
점에서 만나려면 d=2이어야 하므로
|2k-1|
11313
"Ã1+k2 =2, |2k-1|=2
1+k2
!%
양변을 제곱하면
4k2-4k+1=4+4k2
∴ k=-
;4#;
2이므로 구하는 접선의 방정식은
'
12+1
y=xÑ
2´
!%
∴ y=xÑ2
'
다른 풀이
기울기가 1인 직선의 방정식을 y=x+n이라 하면 이
직선이 원 x2+y2=2에 접하므로 원의 중심 (0, 0)과 직
선 y=x+n, 즉 x-y+n=0 사이의 거리 d는
|n|
2
12
'
|n|
111112
"Ã12+(-1)2 =
d=
4주 전 9
2이고 원과 직선이 접하려
'
2이어야 하므로
이때 원의 반지름의 길이가
면 d=
|n|
2
12
'
따라서 구하는 접선의 방정식은 y=xÑ2
'
2, |n|=2
∴ n=Ñ2
=
'
a=0, b=-4
∴ a-b=0-(-4)=4
04-3 원 x2+y2=25 위의 점 (3, -4)에서의 접선의 방
정식은
3´x+(-4)´y=25
∴ 3x-4y=25
다른 풀이
구하는 접선은 원의 중심과 접점을 지나는 직선에 수직
이다. 원의 중심 (0, 0)과 점 (3, -4)를 지나는 직선의
기울기는 -
이므로 접선의 기울기는
;3$;
;4#;
따라서 기울기가
이고 점 (3, -4)를 지나는 직선의 방
;4#;
정식은
y-(-4)=
(x-3)
∴ y=
x-
;4#;
:ª4°:
;4#;
따라서 구하는 접선의 방정식은 3x-4y=25
02-1 평행이동 (x, y)
Ú
(x+1, y-2)는 x축의 방향
으로 1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동하
는 것이므로 이 평행이동에 의하여 점 (-2, 5)가
옮겨지는 점의 좌표는
(-2+1, 5-2), 즉 (-1, 3)
02-2 평행이동 (x, y)
Ú
(x+a, y+3)은 x축의 방향
으로 a만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동하는
것이므로 이 평행이동에 의하여 점 (2, 1)이 옮겨
지는 점의 좌표는
(2+a, 1+3), 즉 (2+a, 4)
이때 이 점이 (3, b)와 같으므로 a=1, b=4
∴ ab=1´4=4
04-4 원 x2+y2=5 위의 점 (-2, 1)에서의 접선의 방
03-1 3(x-2)-2(y-1)+5=0
∴ 3x-2y+1=0
정식은
-2´x+1´y=5
따라서 구하는 접선의 y절편은 5이다.
∴ 2x-y+5=0
Lecture
도형의 평행이동
방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형을 x축의 방향으
로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의
방정식은 방정식 f(x, y)=0에서 x 대신 x-a, y 대
신 y-b를 대입하여 구한다.
5일차
01-1 ⑤
03-1 ④
04-1 ①
05-1 ②
01-2 ⑤
03-2 ⑤
04-2 ②
05-2 ①
02-1 ③
03-3 ④
04-3 ③
05-3 ②
02-2 ④
03-4 ①
04-4 ③
05-4 ①
01-1 (-2+7, 5-4), 즉 (5, 1)
03-2 y-3=a(x+1)-1
∴ y=ax+a+2
이때 이 직선이 직선 y=-2x+b와 일치해야 하
므로 a=-2, b=0
∴ a-b=-2-0=-2
01-2 (2-2, 3+b), 즉 (0, 3+b)
이때 이 점이 (a, -1)과 같으므로
03-3 (x+2+1)2+(y-2)2=1
∴ (x+3)2+(y-2)2=1
10 정답과 풀이
본문 26 ~29쪽 03-4 (x-2+3)2+(y+3-5)2=1
∴ (x+1)2+(y-2)2=1
05-2 직선 y=2x+1을 y축에 대하여 대칭이동한 직선
의 방정식은
y=2´(-x)+1
따라서 a=-2, b=1이므로
a-b=-2-1=-3
∴ y=-2x+1
04-1 점 (2, a)를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표
는 (-2, -a)
이때 이 점이 (b, -5)와 같으므로 a=5, b=-2
∴ a+b=5+(-2)=3
04-2 점 (a, -1)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한
점의 좌표는 (-1, a)
이때 이 점이 (b, 5)와 같으므로 a=5, b=-1
∴ a-b=5-(-1)=6
04-3 점 (3, 2)를 x축에 대하여 대칭이동한 점 P의 좌
표는 (3, -2)
또 점 (3, 2)를 y축에 대하여 대칭이동한 점 Q의
좌표는 (-3, 2)
(-3-3)2+{2-(-2)}2
∴ PQÓ=
!%
13
=2
'¶
04-4 점 (2, 5)를 x축에 대하여 대칭이동한 점 P의 좌
표는 (2, -5)
또 점 (2, 5)를 y축에 대하여 대칭이동한 점 Q의
좌표는 (-2, 5)
따라서 선분 PQ의 중점의 좌표는
-5+5
,
11312
2+(-2)
2
11113
, 즉 (0, 0)
{
}
05-1 직선 y=-5x+4를 원점에 대하여 대칭이동한
직선의 방정식은
-y=-5´(-x)+4
∴ 5x+y+4=0
05-3 원 (x-1)2+(y-
3)2=9를 x축에 대하여 대칭
1
이동한 원의 방정식은
3)2=9
(x-1)2+(-y-
1
3)2=9
∴ (x-1)2+(y+
1
따라서 원의 중심 (1, -
12+(-
Á¢
3)2=2
1
1
1
다른 풀이
원 (x-1)2+(y-
대하여 대칭이동한 점은 (1, -
따라서 점 (1, -
12+(-
Á¢
쌍둥이
1
3)2=2
1
문제
3)과 원점 사이의 거리는
3)2=9의 중심 (1,
3)을 x축에
3)
1
1
3)과 원점 사이의 거리는
원 (x-1)2+(y+3)2=4를 직선 y=x에 대
하여 대칭이동한 원의 중심과 원점 사이의 거
리를 구하시오.
[ 풀이 ]
원 (x-1)2+(y+3)2=4를 직선 y=x에 대하여
대칭이동한 원의 방정식은
(y-1)2+(x+3)2=4
∴ (x+3)2+(y-1)2=4
따라서 원의 중심 (-3, 1)과 원점 사이의 거리는
"Ã(-3)2+12=
10
'¶
답
10
'¶
05-4 원 (x+2) 2+(y-3) 2=k를 y축에 대하여 대칭
이동한 원의 방정식은
(-x+2)2+(y-3)2=k
∴ (x-2)2+(y-3)2=k
이때 이 원이 점 (3, 3)을 지나므로
(3-2)2+(3-3)2=k
∴ k=1
4주 전 11
3주 전
학교시험에 자주 나오는 대표 기출 20
1일차
01-1 ⑤
02-1 ④
03-1 ④
04-1 ③
01-2 ⑤
02-2 ③
03-2 ①
04-2 ④
01-3 ②
02-3 ③
03-3 ⑤
04-3 ②
01-4 ⑤
02-4 ④
03-4 ⑤
04-4 ④
대표 기출 01
연립일차부등식의 풀이
꼭 알고 있을 개념
연립일차부등식은 다음과 같은 순서로 푼다.
Ú 각 부등식의 해를 구한다.
Û 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타낸다.
Ü 수직선 위의 공통 범위를 찾아 연립부등식의 해
를 구한다.
01-1 3x+1¾x+7에서 2x¾6
yy ㉠
∴ x¾3
x-5<0에서 x<5 yy ㉡
㉡
㉠
3
5
x
2x-3Éx+1에서 xÉ4 yy ㉠
x+1<3x+7에서 -2x<6
∴ x>-3
yy ㉡
㉠
-3
㉡
4
x
따라서 부등식의 해는 -3<xÉ4
Lecture
A<B<C 꼴의 부등식
A<B이고 B<C이면 A<B<C이므로 연립부등
A<B
B<C
식
à
꼴로 고쳐서 푼다.
01-4 2x-1<3x+1É5x-9의 해는 연립부등식
2x-1<3x+1
3x+1É5x-9
의 해와 같다.
à
2x-1<3x+1에서 -x<2
∴ x>-2 yy ㉠
3x+1É5x-9에서 -2xÉ-10
∴ x¾5
yy ㉡
㉠
㉡
-2
5
x
따라서 연립부등식의 해는 3Éx<5
따라서 부등식의 해는 x¾5
01-2 2x+1Éx+5에서 xÉ4
yy ㉠
3x-2>2x-3에서 x>-1 yy ㉡
㉠
-1
㉡
4
x
따라서 연립부등식의 해는 -1<xÉ4이므로 구
하는 정수 x는 0, 1, 2, 3, 4로 그 개수는 5이다.
01-3 2x-3Éx+1<3x+7의 해는 연립부등식
2x-3Éx+1
x+1<3x+7
의 해와 같다.
à
12 정답과 풀이
대표 기출 02
절댓값을 포함한 일차부등식의 풀이
꼭 알고 있을 개념
a>0일 때
❶ |x|<a의 해는 -a<x<a이다.
❷ |x|>a의 해는 x<-a 또는 x>a이다.
02-1 |x-1|<1에서 -1<x-1<1
따라서 부등식의 해는 0<x<2
다른 풀이
Ú x¾1일 때
|x-1|=x-1이므로 x-1<1
이때 x¾1이므로 1Éx<2
∴ x<2
본문 32 ~35쪽 Û x<1일 때
|x-1|=-x+1이므로 -x+1<1
이때 x<1이므로 0<x<1
∴ x>0
Ú, Û에서 구한 범위를 합하면 0<x<2
03-3 x2-2x-3É0에서 (x+1)(x-3)É0
따라서 부등식의 해는 -1ÉxÉ3이므로 구하는
정수 x는 -1, 0, 1, 2, 3으로 그 개수는 5이다.
02-2 |x-5|¾3에서 x-5É-3 또는 x-5¾3
따라서 부등식의 해는 xÉ2 또는 x¾8
03-4 x2-x>3x-4에서 x2-4x+4>0
∴ (x-2)2>0
따라서 부등식의 해는 x+2인 모든 실수이다.
02-3 |x+3|<4에서 -4<x+3<4
따라서 부등식의 해는 -7<x<1이므로 구하는
정수 x는 -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0으로 그
개수는 7이다.
02-4 |2x-1|É3에서 -3É2x-1É3
따라서 부등식의 해는 -1ÉxÉ2이므로 구하는
정수 x는 -1, 0, 1, 2로 그 개수는 4이다.
쌍둥이
문제
이차부등식 x2+3xÉx-1의 해는?
① x=-1
② xÉ-1 또는 x¾1
③ -1ÉxÉ1
④ x+-1인 모든 실수
⑤ 없다.
[ 풀이 ]
x2+3xÉx-1에서 x2+2x+1É0
∴ (x+1)2É0
따라서 부등식의 해는 x=-1이다.
답 ①
대표 기출 03
이차부등식의 풀이
꼭 알고 있을 개념
a<b일 때
❶ (x-a)(x-b)<0의 해는 a<x<b이다.
❷ (x-a)(x-b)>0의 해는 x<a 또는 x>b이다.
03-1 x2-2x-8É0에서 (x+2)(x-4)É0
따라서 부등식의 해는 -2ÉxÉ4이므로
a=-2, b=4
∴ b-a=4-(-2)=6
03-2 6x2-x-2<0에서 (3x-2)(2x+1)<0
따라서 부등식의 해는 -
<x<
이므로
;2!;
;3@;
a=-
, b=
;2!;
;3@;
∴ 2a+3b=2´
-
{
;2!;}
+3´
=1
;3@;
대표 기출 04
이차부등식과 이차함수의 그래프의 위치 관계
꼭 알고 있을 개념
이차방정식 ax2+bx+c=0의 판별식을 D라 하면
이차함수 y=ax2+bx+c (a>0)의 그래프와 x축
의 위치 관계는 다음과 같다.
D의 부호
D>0
D=0
D<0
서 로 다 른
두 점 에 서
만난다.
한 점 에 서
만난다.
(접한다. )
만 나 지 않
는다.
이차함수
y=ax2+bx+c
(a>0)
의 그래프와
x축의 위치 관계
x
x
x
3주 전 13
04-1 이차함수 y=-x2+2(k-1)x-9의 그래프가 x
축보다 항상 아래쪽에 있으려면 x축과 만나지 않
아야 한다.
이차방정식 -x2+2(k-1)x-9=0의 판별식을
D라 하면 D<0이어야 하므로
D
14
k2-2k-8<0, (k+2)(k-4)<0
∴ -2<k<4
=(k-1)2-(-1)´(-9)<0
04-2 이차함수 y=x2-4kx+8k의 그래프가 x축보다
항상 위쪽에 있으려면 x축과 만나지 않아야 한다.
이차방정식 x2-4kx+8k=0의 판별식을 D라
하면 D<0이어야 하므로
D
14
4k2-8k<0, k(k-2)<0
∴ 0<k<2
따라서 구하는 정수 k의 값은 1이다.
=(-2k)2-1´8k<0
04-3 이차함수 y=-x2+2kx+k의 그래프가 직선
y=2x+3보다 항상 아래쪽에 있으려면 모든 실수
x에 대하여 -x2+2kx+k<2x+3이어야 한다.
즉 x2+2(1-k)x+3-k>0에서 이차방정식
x2+2(1-k)x+3-k=0의 판별식을 D라 하면
D<0이어야 하므로
D
14
k2-k-2<0, (k+1)(k-2)<0
∴ -1<k<2
따라서 구하는 정수 k는 0, 1로 그 개수는 2이다.
=(1-k)2-1´(3-k)<0
04-4 이차함수 y=x2-(k+1)x+3의 그래프가 직선
y=x-1보다 항상 위쪽에 있으려면 모든 실수 x
에 대하여 x2-(k+1)x+3>x-1이어야 한다.
즉 x2-(k+2)x+4>0에서 이차방정식
x2-(k+2)x+4=0의 판별식을 D라 하면
D<0이어야 하므로
14 정답과 풀이
D={-(k+2)}2-4´1´4<0
k2+4k-12<0, (k-2)(k+6)<0
∴ -6<k<2
따라서 구하는 정수 k는 -5, -4, -3, -2, -1,
0, 1로 그 개수는 7이다.
2일차
05-1 ⑤
06-1 ①
07-1 ②
08-1 ⑤
05-2 ③
06-2 ③
07-2 ⑤
08-2 ⑤
05-3 ①
06-3 ⑤
07-3 ③
08-3 ②
05-4 ②
06-4 ①
07-4 ③
08-4 ⑤
대표 기출 05
두 점 사이의 거리
꼭 알고 있을 개념
좌표평면 위의 두 점 A(x1, y1), B(x2, y2) 사이의
거리는
ABÓ="Ã(x2-x1)2+(y2-y1)2
05-1 OAÓ="Ã(-1)2+22=
5
'
05-2 ABÓ="Ã(-3-1)2+{1-(-4)}2=
'¶
41
05-3 두 점 A(-2, -3), B(a, 0) 사이의 거리가 5이
므로
{a-(-2)}2+{0-(-3)}2=5
"Ã
양변을 제곱하여 정리하면
a2+4a+13=25, a2+4a-12=0
(a+6)(a-2)=0
∴ a=-6 또는 a=2
따라서 양의 실수 a의 값은 2
05-4 두 점 A(1, -4), B(5, a) 사이의 거리가 6이므로
"Ã(5-1)2+{a-(-4)}2=6
본문 36~39쪽 양변을 제곱하여 정리하면
a2+8a+32=36, a2+8a-4=0
따라서 모든 실수 a의 값의 곱은 근과 계수의 관계
에 의하여 -4
Lecture
이차방정식의 근과 계수의 관계
이차방정식 ax2+bx+c=0의 두 근을 a, b라 할 때,
두 근의 합과 곱은 다음과 같다.
① a+b=-
;aB;
② ab=
;aC;
대표 기출 06
두 점으로부터 같은 거리에 있는 점
꼭 알고 있을 개념
좌표평면 위의 두 점 A(x1, y1), B(x2, y2) 사이의
거리는
ABÓ="Ã(x2-x1)2+(y2-y1)2
06-1 APÓ="Ã(a-1)2+(0-3)2
="Ãa2-2a+10
BÕPÕ="Ã
{a-(-1)}2+(0-5)2
="Ãa2+2a+26
APÓ=BÕPÕ에서 APÓ
a2-2a+10=a2+2a+26, -4a=16
∴ a=-4
2
이므로
=BÕPÕ
2
Lecture
좌표평면 위의 한 점의 좌표
① x축 위의 점: (a, 0), y축 위의 점: (0, b)
② 직선 y=x 위의 점: (a, a)
③ 직선 y=-x 위의 점: (a, -a)
06-2 x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면
APÓ="Ã
{a-(-3)}2+(0-2)2
="Ãa2+6a+13
BÕPÕ="Ã(a-5)2+{0-(-6)}2
="Ãa2-10a+61
2
APÓ=BÕPÕ에서 APÓ
=BÕPÕ
2
이므로
a2+6a+13=a2-10a+61
16a=48
∴ P(3, 0)
∴ a=3
06-3 y축 위의 점의 x좌표는 0이므로 a=0
따라서 점 P의 좌표는 (0, b)이므로
APÓ="Ã(0-3)2+{b-(-1)}2
="Ãb2+2b+10
BÕPÕ="Ã
{0-(-3)}2+(b-5)2
2
2
="Ãb2-10b+34
APÓ=BÕPÕ에서 APÓ
b2+2b+10=b2-10b+34
12b=24
∴ a+b=0+2=2
∴ b=2
=BÕPÕ
이므로
06-4 직선 y=-x 위의 점 P의 좌표를 (a, -a)라 하면
APÓ="Ã(a-4)2+(-a-3)2
="Ã2a2-2a+25
BÕPÕ="Ã(a-1)2+{-a-(-6)}2
="Ã2a2-14a+37
2
2
이므로
=BÕPÕ
APÓ=BÕPÕ에서 APÓ
2a2-2a+25=2a2-14a+37
∴ a=1
12a=12
∴ P(1, -1)
쌍둥이
문제
두 점 A(2, 3), B(-1, 4)에서 같은 거리에
있는 직선 y=x 위의 점 P의 좌표는?
① (-2, -2)
③ (0, 0)
⑤ (2, 2)
② (-1, -1)
④ (1, 1)
[ 풀이 ]
직선 y=x 위의 점 P의 좌표를 (a, a)라 하면
AÕPÕ="Ã(a-2)2+(a-3)2="Ã2a2-10a+13
BÕPÕ="Ã
{a-(-1)}2+(a-4)2
="Ã2a2-6a+17
2
2
이므로
=BÕPÕ
AÕPÕ=BÕPÕ에서 AÕPÕ
2a2-10a+13=2a2-6a+17
-4a=4
∴ P(-1, -1)
∴ a=-1
답 ②
3주 전 15
대표 기출 07
선분의 내분점, 외분점
꼭 알고 있을 개념
좌표평면 위의 두 점 A(x1, y1), B(x2, y2)에 대하여
❶ 선분 AB를 m：n (m>0, n>0)으로 내분하는
❷ 선분 AB를 m：n (m>0, n>0, m+n)으로
점 P의 좌표는
P
{
mx2+nx1
m+n
11112
,
my2+ny1
m+n }
11112
외분하는 점 Q의 좌표는
Q
{
mx2-nx1
m-n
11112
,
my2-ny1
m-n }
11112
07-1 ABÓ의 중점의 좌표는
1+(-5)
-2+6
{
2
2
11115
1115
∴ (-2, 2)
,
}
07-2 ABÓ를 3：1로 내분하는 점 P의 좌표는
3´4+1´(-4)
3+1
1111113
,
3´a+1´1
3+1
11113
{
}
∴ P
{
2,
3a+1
11234
}
이 점이 P(b, 4)와 일치해야 하므로
2=b,
3a+1
11234
=4
따라서 a=5, b=2이므로
a+b=5+2=7
07-3 ABÓ를 2：1로 내분하는 점 P의 좌표는
,
2´(-2)+1´1
2+1
1111113
2´3+1´(-3)
{
2+1
1111113
∴ P(1, -1)
ABÓ를 2：1로 외분하는 점 Q의 좌표는
}
2´3-1´(-3)
{
2-1
1111113
∴ Q(9, -5)
,
2´(-2)-1´1
2-1
1111113
}
07-4 ABÓ를 1：2로 내분하는 점 P의 좌표는
1´6+2´0
1+2
11114
,
1´1+2´1
1+2
11114
}
{
∴ P(2, 1)
16 정답과 풀이
{
,
1´6-2´0
1-2
11114
ABÓ를 1：2로 외분하는 점 Q의 좌표는
1´1-2´1
1-2
11114
"Ã(-6-2)2+(1-1)2
64=8
'¶
∴ PQÓ=
=
}
∴ Q(-6, 1)
대표 기출 08
삼각형의 무게중심의 좌표
꼭 알고 있을 개념
좌표평면 위의 세 점 A(x1, y1), B(x2, y2),
C(x3, y3)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게
중심 G의 좌표는
G
{
x1+x2+x3
111113
,
y1+y2+y3
3
111125
}
08-1 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는
-1+4+3
3
111123
,
1+6+2
3
11123
}
{
∴ (2, 3)
08-2 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는
}
,
=3
-b+2a+2
3
111113
a+b+4
{
3
11123
이 점이 (3, 2)와 일치해야 하므로
a+b+4
3
11123
-b+2a+2
3
111113
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=2
∴ ab=3´2=6
∴ a+b=5
=2
yy ㉠
∴ 2a-b=4 yy ㉡
08-3 ABÓ의 중점 D의 좌표는
1+(-5)
2
11113
-8+4
2
{
}
1113
BÕCÕ의 중점 E의 좌표는
,
-5+1
2
1113
,
4+(-2)
2
11113
}
{
CAÓ의 중점 F의 좌표는
1+1
1132
,
-2+(-8)
2
111114
}
{
∴ D(-2, -2)
∴ E(-2, 1)
∴ F(1, -5)
따라서 삼각형 DEF의 무게중심의 좌표는
대표 기출 09
직선의 방정식
-2+(-2)+1
3
11111124
{
∴ (-1, -2)
,
-2+1+(-5)
3
11111124
}
Lecture
선분의 중점의 좌표
두 점 A(x1, y1), B(x2, y2)에 대하여 선분 AB의 중
y1+y2
,
1112
점의 좌표는
{
x1+x2
1112
}
다른 풀이
삼각형 ABC와 삼각형 DEF의 무게중심은 일치하므로
삼각형 DEF의 무게중심의 좌표는 삼각형 ABC의 무
게중심의 좌표와 같다. 즉
1+(-5)+1
{
3
1111123
-8+4+(-2)
,
3
11111124
}
∴ (-1, -2)
❶ 점 (x1, y1)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정
꼭 알고 있을 개념
식은
y-y1=m(x-x1)
❷ 서로 다른 두 점 (x1, y1), (x2, y2)를 지나는 직선
의 방정식은
y-y1=
(x-x1)
y2-y1
111x2-x1
09-1 y-5=-{x-(-3)}
∴ y=-x+2
따라서 a=-1, b=2이므로
a+b=-1+2=1
08-4 A(x1, y1), B(x2, y2)라 하면 ABÓ의 중점의 좌표는
09-2 y-3=2(x-1)
∴ y=2x+1
따라서 구하는 직선의 y절편은 1
x1+x2
2
1114
,
y1+y2
2
1114
=1,
}
{
이 점이 (1, -2)와 일치해야 하므로
y1+y2
x1+x2
2
2
1114
1114
∴ x1+x2=2, y1+y2=-4
이때 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는
y1+y2+b
3
11112
=-2
,
{
}
x1+x2+a
3
111124
2+a
1123
,
}
∴
{
-4+b
3
1114
이 점이 원점과 일치해야 하므로
-4+b
2+a
1123
3
1114
따라서 a=-2, b=4이므로
b-a=4-(-2)=6
=0,
=0
3일차
09-1 ⑤
10-1 ②
11-1 ②
12-1 ③
09-2 ④
10-2 ④
11-2 ③
12-2 ③
09-3 ①
10-3 ③
11-3 ③
12-3 ⑤
09-4 ⑤
10-4 ③
12-4 ③
09-3 y-(-1)=
3-(-1)
3-2
11113
(x-2)
∴ y=4x-9
따라서 a=4, b=-9이므로
a+b=4+(-9)=-5
09-4 ㄱ. y-4=2(x-1)
∴ y=2x+2
ㄴ. y-1=
(x-1)
∴ y=2x-1
3-1
2-1
112
y
ㄷ. x의 값에 관계없이 y
의 값이 1로 일정하므
로 주어진 두 점을 지
나는 직선은 x축에 평
행하다.
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=1
O
1
3
y=1
5
x
따라서 직선의 방정식을 바르게 구한 것은 ㄱ, ㄴ,
ㄷ이다.
3주 전 17
본문 40 ~43쪽 대표 기출 10
두 직선의 위치 관계
꼭 알고 있을 개념
두 직선 y=mx+n, y=m'x+n'에서
❶ 두 직선이 서로 평행하면 m=m', n+n'이다.
❷ 두 직선이 서로 수직이면 mm'=-1이다.
10-1 직선 y=x-1과 평행한 직선의 기울기는 1
따라서 기울기가 1인 직선의 방정식은 ②이다.
10-2 두 직선 y=
;2!;
x-3, y=ax+3이 서로 평행하므로
a=
;2!;
∴ 10a=10´
=5
;2!;
yy ㉠
11-1 mx-y-2m+3=0에서
y=m(x-2)+3
직선 ㉠은 m의 값에 관계없이 항상 점 (2, 3)을
지난다.
오른쪽 그림과 같이
직선 ㉠이 직선 l1과
제2사분면에서 만나
도록 직선 ㉠을 움직
여 보면 직선 ㉠은 선
분 AB(두 점 A, B
제외)와 만나야 한다.
Ú 직선 ㉠이 점 A(0, 5)를 지날 때
-5
Ú
Û
A
O
l1
B
x
3
2
y
5
5=-2m+3
∴ m=-1
Û 직선 ㉠이 점 B(-5, 0)을 지날 때
0=-7m+3
∴ m=
;7#;
Ú, Û에서 -1<m<
;7#;
10-3 직선 y=2x+7과 수직인 직선의 기울기를 m이
라 하면
2´m=-1
∴ m=-
;2!;
따라서 기울기가 -
인 직선의 방정식은 ③이다.
;2!;
11-2 2mx-y+m-1=0에서
y=m(2x+1)-1
yy ㉠
10-4 두 직선 y=
;4!;
x-1, y=mx+2가 서로 수직이
므로
;4!;
´m=-1
∴ m=-4
직선 ㉠은 m의 값에 관계없이 항상 점
-
{
;2!;
, -1
}
을 지난다.
오른쪽 그림과 같이 직선 ㉠
이 두 점 A, B 사이를 지나
도록 움직여 보면 직선 ㉠은
선분 AB(두 점 A, B 제외)
와 만나야 한다.
Ú 직선 ㉠이 점 A(1, 2)를
지날 때
2=3m-1
∴ m=1
Û
y
2
Ú
A
-;2!;
1
x
O
-1
-3
B
Û 직선 ㉠이 점 B(1, -3)을 지날 때
-3=3m-1
∴ m=-
;3@;
Ú, Û에서 -
<m<1이므로 정수 m의 값은 0
;3@;
이다.
대표 기출 11
정점을 지나는 직선의 방정식
꼭 알고 있을 개념
직선 y=m(x-x1)+y1은 실수 m의 값에 관계없이
항상 점 (x1, y1)을 지난다.
11-3 mx-y+2m-1=0에서
yy ㉠
y=m(x+2)-1
직선 ㉠은 m의 값에 관계없이 항상 점 (-2, -1)
을 지난다.
18 정답과 풀이
오른쪽 그림과 같이
직선 ㉠이 선분 AB와
만나도록 움직여 보면
직선 ㉠은 색칠한 부
분을 지나야 한다.
Ú 직선 ㉠이 점
A(3, 0)을 지날 때
y
5
Û
B
-2 O
1
3
A
-1
Ú
x
0=5m-1
∴ m=
;5!;
Û 직선 ㉠이 점 B(1, 5)를 지날 때
5=3m-1
∴ m=2
Ú, Û에서
ÉmÉ2이므로 정수 m의 값은 1, 2
;5!;
로 그 개수는 2이다.
쌍둥이
문제
① 1
④ 4
[ 풀이 ]
점 (1, 0)과 직선 x+
리가 1일 때, 양수 k의 값은?
'
3y+k=0 사이의 거
③ 3
② 2
⑤ 5
'
3)2 =
|1+k|
2
1115
|1+k|
"Ã12+(
11111
이때 점 (1, 0)과 직선 사이의 거리가 1이므로
|1+k|
2
1115
1+k=Ñ2
따라서 양수 k의 값은 1
∴ k=-3 또는 k=1
=1, |1+k|=2
답 ①
점 (x1, y1)과 직선 ax+by+c=0 사이의 거리는
대표 기출 12
점과 직선 사이의 거리
꼭 알고 있을 개념
|ax1+by1+c|
"Ãa2+b2
1111115
12-1
|0-3-3|
3)2+(-1)2=
11111123
"Ã(
'
=3
;2^;
12-4 직선 2x-y+5=0, 즉 y=2x+5의 기울기가 2이
므로 구하는 직선의 기울기는 -
이다.
;2!;
;2!;
구하는 직선의 방정식을 y=-
x+k ( k는 상수)
라 하면 원점과 직선 y=-
x+k, 즉
;2!;
x+2y-2k=0 사이의 거리가
'
|-2k|
∴ k=Ñ
1112
5, |2k|=5
"Ã12+22 =
'
5이므로
;2%;
따라서 구하는 직선의 방정식은 x+2y+5=0 또
는 x+2y-5=0
12-2
|8-24+1|
111112
"Ã82+(-6)2 =
=
;1!0%;
;2#;
12-3
|k|
1113
"Ã32+42 =
|k|
125
이때 원점과 직선 사이의 거리가 2이므로
|k|
125
따라서 양수 k의 값은 10
=2, |k|=10
∴ k=Ñ10
4일차
13-1 ②
14-1 ⑤
15-1 ③
16-1 ①
13-2 ④
14-2 ④
15-2 ②
16-2 ③
13-3 ③
14-3 ⑤
15-3 ③
16-3 ④
13-4 ④
14-4 ①
15-4 ②
16-4 ①
대표 기출 13
원의 방정식
꼭 알고 있을 개념
중심의 좌표가 (-2, 3)이고 반지름의 길이가 3인
원의 방정식은 (x+2)2+(y-3)2=9이다.
3주 전 19
본문 44 ~47쪽 13-1 원 (x-1)2+(y+2)2=9의 중심은 점 (1, -2)
14-1 반지름의 길이가
'
5인 원의 중심 (0, 0)과 직선
이고 반지름의 길이는 3이므로
a=1, b=-2, r=3
∴ a+b+r=1+(-2)+3=2
2x+y-k=0 사이의 거리는
|k|
|-k|
5
12
1211
'
"Ã22+12 =
'
<
5, |k|<5
∴ -5<k<5
원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 원의
중심과 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이보
다 작아야 하므로
|k|
5
12
'
다른 풀이
2x+y-k=0에서 y=-2x+k를 x2+y2=5에 대입
하면
x2+(-2x+k)2=5
∴ 5x2-4kx+k2-5=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 서로
다른 두 점에서 만나므로
D
14
-k2+25>0, (k+5)(k-5)<0
∴ -5<k<5
=(-2k)2-5(k2-5)>0
14-2 x2+y2+2x-4y+3=0에서
(x+1)2+(y-2)2=2
반지름의 길이가
y=x+k, 즉 x-y+k=0 사이의 거리는
|k-3|
|-1-2+k|
2
111
1111125
'
"Ã12+(-1)2 =
'
2인 원의 중심 (-1, 2)와 직선
원과 직선이 만나려면 원의 중심과 직선 사이의
거리가 원의 반지름의 길이보다 작거나 같아야 하
므로
|k-3|
2
111
'
-2Ék-3É2
∴ 1ÉkÉ5
따라서 구하는 정수 k는 1, 2, 3, 4, 5로 그 개수는
5이다.
2, |k-3|É2
É
'
14-3 반지름의 길이가
'
5인 원의 중심 (3, 2)와 직선
y=2x+k, 즉 2x-y+k=0 사이의 거리는
|2´3-2+k|
111112
"Ã22+(-1)2 =
|k+4|
5
111
'
원과 직선이 만나지 않으려면 원의 중심과 직선 사
이의 거리가 원의 반지름의 길이보다 커야 하므로
13-2 중심이 점 (1, 1)이고 반지름의 길이가 1인 원의
방정식은
(x-1)2+(y-1)2=1
∴ x2+y2-2x-2y+1=0
13-3 x2+y2+4x-12y+36=0에서
(x+2)2+(y-6)2=4
따라서 원의 중심의 좌표는 (-2, 6)이고 반지름
의 길이는 2이므로
a=-2, b=6, c=2
∴ a+b+c=-2+6+2=6
13-4 원 (x-b)2+(y+1)2=c2의 중심이 점 (b, -1)
이므로 b=3, a=-1
이때 원의 반지름의 길이는 원의 중심 (3, -1)과
점 (-1, 2) 사이의 거리와 같으므로
{3-(-1)}2+(-1-2)2=5
c="Ã
∴ a+b+c=-1+3+5=7
대표 기출 14
원과 직선의 위치 관계
꼭 알고 있을 개념
⑴ 반지름의 길이가 r인 원의 중심과 직선 사이의 거
리를 d라 하면 원과 직선의 위치 관계는
서로 다른 두 점에서 만난다.
❶ d<r
한 점에서 만난다. (접한다. )
❷ d=r
만나지 않는다.
❸ d>r
úk
úk
úk
⑵ 원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 얻은 이
차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선의 위치
관계는
❶ D>0
❷ D=0
❸ D<0
서로 다른 두 점에서 만난다.
한 점에서 만난다. (접한다. )
만나지 않는다.
úk
úk
úk
20 정답과 풀이
'
>
5, |k+4|>5
|k+4|
5
111
'
k+4<-5 또는 k+4>5
∴ k<-9 또는 k>1
이라 하면 직선 ㉠이 원 x2+y2=2에 접하므로 원의 중
2와
심 (0, 0)과 직선 ㉠ 사이의 거리는 반지름의 길이
같다. 즉
|-a|
1112
∴ a=Ñ2
따라서 구하는 접선의 방정식은 y=-xÑ2
"Ã12+12 =
2, |a|=2
'
'
14-4 반지름의 길이가
'
5인 원의 중심 (1, -2)와 직선
y=3x+k, 즉 3x-y+k=0 사이의 거리는
|3´1+2+k|
111112
"Ã32+(-1)2 =
|k+5|
10
111
'¶
원과 직선이 한 점에서 만나려면 원의 중심과 직
선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이와 같아야
하므로
|k+5|
'
10
111
'¶
k+5=Ñ5
따라서 모든 실수 k의 값의 합은
(-5+5
∴ k=-5Ñ5
5, |k+5|=5
2)+(-5-5
2)=-10
2
'
2
'
=
2
'
'
'
대표 기출 15
원의 접선의 방정식
꼭 알고 있을 개념
⑴ 원 x2+y2=9에 접하고 기울기가 2인 접선의 방
정식은
y=2xÑ3´
"Ã22+1 ∴ y=2xÑ3
⑵ 원 x2+y2=5 위의 점 (1, 2)에서의 접선의 방정
5
'
식은
1´x+2´y=5 ∴ x+2y=5
15-1 원 x2+y2=2의 반지름의 길이는
기가 -1인 접선의 방정식은
"Ã(-1)2+1
2´
y=-xÑ
∴ y=-xÑ2
'
'
2이므로 기울
다른 풀이
15-2 직선 3x-y+1=0, 즉 y=3x+1에 평행한 직선
의 기울기는 3이고, 원 x2+y2=4의 반지름의 길
이는 2이므로 구하는 직선의 방정식은
y=3xÑ2"Ã32+1
∴ y=3xÑ2
0
1
'
다른 풀이
직선 3x-y+1=0, 즉 y=3x+1에 평행한 직선의 기
울기는 3이므로 접선의 방정식을
y=3x+a, 즉 3x-y+a=0 ( a는 상수)
이라 하자. 직선 ㉠이 원 x2+y2=4에 접하므로 원의 중
심 (0, 0)과 직선 ㉠ 사이의 거리는 반지름의 길이 2와
같다. 즉
|a|
111112
"Ã32+(-1)2 =2, |a|=2
yy ㉠
'
1
0
∴ a=Ñ2
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=3xÑ2
1
'
0
0
1
'
15-3 원 x2+y2=25 위의 점 (3, 4)에서의 접선의 방정
식은
3x+4y=25
기울기가 -1인 접선의 방정식을
y=-x+a, 즉 x+y-a=0 ( a는 상수)
yy ㉠
기울기는
1-(-2)
2-1
11113
=3
15-4 구하는 접선은 원의 중심과 접점을 지나는 직선에
수직이다.
원의 중심 (1, -2)와 점 (2, 1)을 지나는 직선의
3주 전 21
따라서 점 (2, 1)에서의 접선의 기울기는 -
이
;3!;
므로 구하는 접선의 방정식은
원의 반지름의 길이가 3이므로 선분 OP의 길이의
최댓값은 5+3=8
(x-2)
y-1=-
;3!;
∴ x+3y=5
Lecture
원 위의 점과 원 밖의 점 사이의 거리
d
M
원의 중심과 원 밖의 점 A 사
이의 거리를 d, 원의 반지름의
길이를 r라 할 때, 원 위의 점과
원 밖의 점 A 사이의 거리의 최댓값을 M, 최솟값을
m이라 하면
⑴ M=d+r
⑵ m=d-r
m
A
r
r
대표 기출 16
원 위의 점과 직선 사이의 거리
꼭 알고 있을 개념
점 (2, -1)과 직선 3x+4y+3=0 사이의 거리는
|3´2+4´(-1)+3|
"Ã32+42
1211211112
=1
=
;5%;
16-1 원의 중심 (-1, 2)와 직선 3x-y-5=0 사이의
거리는
|3´(-1)-2-5|
11111112
"Ã32+(-1)2 =
0
1
'
원의 반지름의 길이가 2이므로
M=
1
'
∴ Mm =(
=(
1
0-2
'
0+2)(
1
'
0)2-22=6
0+2, m=
1
'
1
'
0-2)
2
2
'¶10
16-2 x2+y2-2x+4y-11=0에서
(x-1)2+(y+2)2=16
원의 중심 (1, -2)와 직선 3x-4y+14=0 사이
의 거리는
|3´1-4´(-2)+14|
111111111
"Ã32+(-4)2 =5
원의 반지름의 길이가 4이므로
M=5+4=9, m=5-4=1
∴ Mm=9´1=9
4
5
4
16-3 x2+y2+6x-8y+16=0에서
(x+3)2+(y-4)2=9
원의 중심 (-3, 4)와 원점
사이의 거리는
"Ã(-3)2+42=5
3
3
5
O{0,`0}
22 정답과 풀이
16-4 원의 중심 (2, 1)과
A{-2,`4}
5
점 A(-2, 4) 사이의 거리는
"Ã(-2-2)2+(4-1)2=5
원의 반지름의 길이가 2이므로
선분 AP의 길이의 최댓값은 5+2=7, 최솟값은
5-2=3
따라서 구하는 값은
7+3=10
2
2
5일차
17-1 ③
18-1 ④
19-1 ①
20-1 ②
17-2 ④
18-2 ⑤
19-2 ③
20-2 ①
17-3 ④
18-3 ⑤
19-3 ④
20-3 ④
17-4 ②
18-4 ④
19-4 ⑤
20-4 ②
대표 기출 17
점의 평행이동
꼭 알고 있을 개념
점 (1, 2)를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로
-1만큼 평행이동한 점의 좌표는
(1+3, 2-1), 즉 (4, 1)
17-1 점 (1, 3)을 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향
으로 2만큼 평행이동한 점의 좌표는
(1-3, 3+2)
따라서 a=-2, b=5이므로
a+b=-2+5=3
∴ (-2, 5)
본문 48 ~51쪽
17-2 점 (-3, 4)를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향
으로 b만큼 평행이동한 점의 좌표는
(-3+a, 4+b)
따라서 -3+a=4, 4+b=1이므로
a=7, b=-3
∴ a+b=7+(-3)=4
17-3 3+a=5, 1+1=b이므로
a=2, b=2
∴ ab=2´2=4
17-4 점 (3, -5)를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향
으로 q만큼 평행이동한 점을 (2, -4)라 하면
3+p=2, -5+q=-4
∴ p=-1, q=1
점 (a, b)를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향
으로 1만큼 평행이동한 점의 좌표는
(a-1, b+1)
따라서 a-1=-3, b+1=6이므로
a=-2, b=5
∴ a+b=-2+5=3
대표 기출 18
도형의 평행이동
꼭 알고 있을 개념
직선 x+2y+3=0을 x축의 방향으로 -1만큼, y축
의 방향으로 4만큼 평행이동한 직선의 방정식은
(x+1)+2(y-4)+3=0, 즉 x+2y-4=0
18-1 원 (x+2)2+(y-2)2=1을 x축의 방향으로 -3
만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 원의
방정식은
(x+3+2)2+(y+1-2)2=1
∴ (x+5)2+(y-1)2=1
다른 풀이
원 (x+2)2+(y-2)2=1의 중심의 좌표는 (-2, 2)
이고, 이 점을 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로
-1만큼 평행이동한 점의 좌표는
∴ (-5, 1)
(-2-3, 2-1)
또 원은 평행이동해도 반지름의 길이가 변하지 않으므로
평행이동한 원의 방정식은
(x+5)2+(y-1)2=1
18-2 원 (x+1)2+y2=4를 x축의 방향으로 a만큼, y
축의 방향으로 b만큼 평행이동한 원의 방정식은
(x-a+1)2+(y-b)2=4
이 원이 원 (x-2)2+(y+1)2=4와 일치하므로
-a+1=-2, -b=1
∴ a-b=3-(-1)=4
∴ a=3, b=-1
다른 풀이
원 (x+1)2+y2=4의 중심의 좌표는 (-1, 0)이고, 이
점을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행
이동한 점의 좌표는
(-1+a, 0+b)
∴ (a-1, b)
이 점이 원 (x-2)2+(y+1)2=4의 중심 (2, -1)과
일치해야 하므로
a-1=2, b=-1
∴ a-b=3-(-1)=4
∴ a=3, b=-1
18-3 x2+y2-2x+4y=0에서
(x-1)2+(y+2)2=5
이 원을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b
만큼 평행이동한 원의 방정식은
(x-a-1)2+(y-b+2)2=5
이 원이 원 x2+y2=c와 일치하므로
-a-1=0, -b+2=0, c=5
∴ a=-1, b=2, c=5
∴ a+b+c=-1+2+5=6
18-4 원 x2+y2=3을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방
향으로 2만큼 평행이동한 원의 방정식은
(x-a)2+(y-2)2=3
이 원이 원 (x-3)2+(y+b)2=c와 일치하므로
a=3, b=-2, c=3
∴ a+b+c=3+(-2)+3=4
3주 전 23
19-1 직선 x-2y+1=0을 직선 y=x에 대하여 대칭
19-4 원 (x-2)2+(y-1)2=5를 y축에 대하여 대칭
대표 기출 19
도형의 대칭이동
꼭 알고 있을 개념
도형 f(x, y)=0을 대칭이동한 도형의 방정식은
⑴ x축에 대하여 대칭이동
úk
⑵ y축에 대하여 대칭이동
úk
⑶ 원점에 대하여 대칭이동
úk
⑷ 직선 y=x에 대하여 대칭이동
f(x, -y)=0
f(-x, y)=0
f(-x, -y)=0
f(y, x)=0
úk
이동한 직선의 방정식은
y-2x+1=0
따라서 구하는 x절편은
이다.
;2!;
19-2 직선 3x-4y+1=0을 원점에 대하여 대칭이동
한 직선의 방정식은
-3x+4y+1=0
이 직선이 점 (a, 2)를 지나므로
-3a+4´2+1=0, -3a+9=0
∴ a=3
쌍둥이
문제
직선 2x-y+5=0을 x축에 대하여 대칭이동
한 직선이 점 (-3, a)를 지날 때, a의 값은?
① 1
④ 4
③ 3
② 2
⑤ 5
[ 풀이 ]
직선 2x-y+5=0을 x축에 대하여 대칭이동한
직선의 방정식은
2x+y+5=0
이 직선이 점 (-3, a)를 지나므로
-6+a+5=0
∴ a=1
답 ①
19-3 원 (x-3)2+(y+5)2=16을 직선 y=x에 대하
여 대칭이동한 원의 방정식은
(y-3)2+(x+5)2=16
∴ (x+5)2+(y-3)2=16
24 정답과 풀이
이 원을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로
-2만큼 평행이동한 원의 방정식은
(x-1+5)2+(y+2-3)2=16
∴ (x+4)2+(y-1)2=16
이동한 원의 방정식은
(-x-2)2+(y-1)2=5
∴ (x+2)2+(y-1)2=5
이 원과 직선 y=-2x+k, 즉 -2x-y+k=0
이 한 점에서 만나므로 원의 중심 (-2, 1)과 직선
사이의 거리는 원의 반지름의 길이
'
|-2´(-2)-1+k|
111111112
|k+3|=5, k+3=Ñ5
∴ k=2 또는 k=-8
따라서 모든 실수 k의 값의 곱은
2´(-8)=-16
"Ã(-2)2+(-1)2 =
5와 같다. 즉
5
'
대표 기출 20
대칭이동의 활용
꼭 알고 있을 개념
두 점 (1, 2), (3, 4) 사이의 거리는
"Ã(3-1)2+(4-2)2=2
2
'
20-1 점 A(-1, 2)를 x축에 대
하여 대칭이동한 점을 A'
이라 하면
A'(-1, -2)
∴ APÓ+BÕPÕ
y
2
1
A
B
-1
O P
3
x
A'
-2
=A'PÓ+BÕPÕ
¾A'BÓ
="Ã
=5
{3-(-1)}2+{1-(-2)}2
따라서 APÓ+BÕPÕ의 최솟값은 5이다.
20-2 점 A를 y축에 대하여 대칭
이동한 점을 A'이라 하면
A'(-2, 1)
∴ APÓ+BÕPÕ
A'
=A'PÓ+BÕPÕ
¾A'BÓ
{1-(-2)}2+(4-1)2
="Ã
2
=3
'
-2
y
4
P
1
O
B
A
1
2
x
따라서 APÓ+BÕPÕ의 최솟값은 3
2이다.
'
B
20-3 점 A를 y축에 대하여
대칭이동한 점을 A'
이라 하면
A'(-2, 3)
∴ APÓ+BÕPÕ
y
5
3
P
O
A'
A
-2
6
x
=A'PÓ+BÕPÕ
¾A'BÓ
="Ã
=2
'¶
{6-(-2)}2+(5-3)2
17
2
따라서 APÓ+BÕPÕ의 최솟값은 2
17이다.
'¶
8
4
20-4 점 A를 x축에 대하여 대칭 y
A
이동한 점을 A'이라 하면
A'(0, -8)이므로
APÓ+BÕPÕ
=A'PÓ+BÕPÕ
¾A'BÓ
="Ã(9-0)2+{4-(-8)}2
=15
따라서 APÓ+BÕPÕ의 최솟값
은 15이므로 m=15
또 직선 A'B의 방정식은
O
A' -8
B
P
9
x
y-(-8)=
4-(-8)
113119-0
x
∴ y=
x-8
;3$;
;3$;
는 (6, 0), 즉 a=6
∴ m+a=15+6=21
직선 y=
x-8의 x절편은 6이므로 점 P의 좌표
3주 전 25
2|x|+|x-1|<5에서 x<0, 0Éx<1, x¾1로 x의
값의 범위를 나누어 해를 구한다.
❶ 2점
2주 전
학교시험에 나오는 창의융합, 코딩
서술형 기출 문제
1일차
1-1 58
2-1 -10
1-2 -8
2-2 -2<x<1
1-1
문제 제대로 읽기
부등식 |x|+|x-4|É10의 해가 aÉxÉb일 때,
조건
a2+b2의 값을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [8점]
질문의 핵심
|x|+|x-4|É10에서 x<0, 0Éx<4, x¾4로 x의
값의 범위를 나누어 해를 구한다.
Ú x<0일 때
-2x-(x-1)<5, -2x-x+1<5
-3x<4
∴ x>-
그런데 x<0이므로 -
<x<0
;3$;
;3$;
Û 0Éx<1일 때
2x-(x-1)<5, 2x-x+1<5
∴ x<4
그런데 0Éx<1이므로 0Éx<1
Ü x¾1일 때
2x+(x-1)<5, 3x<6
∴ x<2
그런데 x¾1이므로 1Éx<2
Ú~Ü에서 주어진 부등식의 해는
❶ 2점
-
<x<2
;3$;
따라서 a=-
, b=2이므로
;3$;
3ab=3´
-
´2=-8
{
;3$;}
❷ 4점
❸ 1점
❹ 1점
❶ 2점
❷ 4점
2-1
문제 제대로 읽기
부등식 x2-2|x|-15É0의 해가 aÉxÉb일 때,
조건
a-b의 값을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [8점]
질문의 핵심
x2-2|x|-15É0에서 x<0, x¾0으로 x의 값의 범위
를 나누어 해를 구한다.
❷ 4점
❸ 1점
❹ 1점
Ú x<0일 때
x2+2x-15É0, (x-3)(x+5)É0
∴ -5ÉxÉ3
그런데 x<0이므로 -5Éx<0
Û x¾0일 때
x2-2x-15É0, (x+3)(x-5)É0
∴ -3ÉxÉ5
그런데 x¾0이므로 0ÉxÉ5
Ú x<0일 때
-x-(x-4)É10, -x-x+4É10
∴ x¾-3
-2xÉ6
그런데 x<0이므로 -3Éx<0
Û 0Éx<4일 때
x-(x-4)É10, x-x+4É10
∴ 0´xÉ6
따라서 해는 모든 실수이다.
그런데 0Éx<4이므로 0Éx<4
Ü x¾4일 때
x+(x-4)É10, 2xÉ14
∴ xÉ7
그런데 x¾4이므로 4ÉxÉ7
Ú~Ü에서 주어진 부등식의 해는
-3ÉxÉ7
따라서 a=-3, b=7이므로
a2+b2=(-3)2+72=58
1-2
문제 제대로 읽기
부등식 2|x|+|x-1|<5의 해가 a<x<b일 때,
3ab의 값을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [8점]
질문의 핵심
조건
26 정답과 풀이
본문 54 ~55쪽 Ú, Û에서 주어진 부등식의 해는
-5ÉxÉ5
따라서 a=-5, b=5이므로
a-b=-5-5=-10
다른 풀이
x2=|x|2이므로 |x|2-2|x|-15É0
(|x|+3)(|x|-5)É0
이때 |x|+3>0이므로 |x|-5É0
|x|É5
∴ -5ÉxÉ5
따라서 a=-5, b=5이므로
a-b=-5-5=-10
2-2
문제 제대로 읽기
부등식 x2+3|x+1|-7<0의 해를 구하고, 풀이 과
조건
질문의 핵심
정을 쓰시오. [8점]
x2+3|x+1|-7<0에서 x<-1, x¾-1로 x의 값의
범위를 나누어 해를 구한다.
Ú x<-1일 때
x2-3(x+1)-7<0, x2-3x-10<0
(x+2)(x-5)<0
∴ -2<x<5
그런데 x<-1이므로
-2<x<-1
Û x¾-1일 때
x2+3(x+1)-7<0, x2+3x-4<0
(x-1)(x+4)<0
∴ -4<x<1
그런데 x¾-1이므로
-1Éx<1
Ú, Û에서 주어진 부등식의 해는
-2<x<1
❷ 4점
❸ 2점
2일차
3-1 ⑴ f(x)=-
(x+1)(x-3) ⑵ a=-3, b=5
;3@;
3-2 ⑴ -2<x<4 ⑵ 3
4-1 -3, 4
4-2 -1Ék<0
❸ 1점
❹ 1점
3-1
문제 제대로 읽기
이차함수 y=f(x)의 그래프가 아래 그림과 같을 때,
부등식 f(x)<-8의 해가 x<a 또는 x>b이다. 다음
을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [6점]
조건
y
2
y=f{x}
O-1
3
x
⑴ 이차함수 y=f(x)의 식
질문의 핵심
⑵ a, b의 값
질문의 핵심
⑴ 이차함수 y=f(x)의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가
-1, 3이므로
f(x)=a(x+1)(x-3) (a<0)
으로 놓을 수 있다.
이때 f(0)=2에서 -3a=2
∴ a=-
;3@;
∴ f(x)=-
(x+1)(x-3)
;3@;
❶ 2점
;3@;
⑵ -
(x+1)(x-3)<-8에서
(x+1)(x-3)>12, x2-2x-15>0
(x+3)(x-5)>0
∴ x<-3 또는 x>5
∴ a=-3, b=5
❶ 3점
❷ 3점
2주 전 27
본문 56~57쪽 3-2
문제 제대로 읽기
두 이차함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 아래 그림
과 같을 때, 다음을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [6점]
조건
㉠, ㉡을 동시에 만족시
키는 정수 x가 2개이려
면 오른쪽 그림에서
4Ék<5
㉠
-2
㉡
㉠
1
3 4 k 5
x
;2%;
y
y=f{x}
Û k=
일 때
;2%;
O
-2
2
6
4
x
y=g{x}
(2x-5)(x-k)É0에서
(2x-5)2É0
∴ x=
;2!;
;2%;
;2%;
즉 주어진 연립부등식의 해가
이므로 조건을 만족
시키지 않는다.
Ü k<
일 때
;2%;
⑴ 부등식 f(x)<g(x)의 해
⑵ 부등식 f(x)g(x)>0을 만족시키는 정수 x의 개수
질문의 핵심
질문의 핵심
⑴ 부등식 f(x)<g(x)의 해는 y=f(x)의 그래프가
y=g(x)의 그래프보다 아래쪽에 있는 x의 값의 범위
이므로
-2<x<4
(2x-5)(x-k)É0에서 kÉxÉ
yy ㉢
㉠, ㉢을 동시에 만족시
키는 정수 x가 2개이려
면 오른쪽 그림에서
-4<kÉ-3
;2%;
㉠
k
-2-3-4
㉢
㉠
1
2
x
;2%;
Ú~Ü에서 -4<kÉ-3 또는 4Ék<5
⑵ f(x)g(x)>0에서
따라서 구하는 정수 k는 -3, 4이다.
❷ 4점
❸ 1점
f(x)>0, g(x)>0 또는 f(x)<0, g(x)<0
Ú f(x)>0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는
2<x<6
Û f(x)<0, g(x)<0을 만족시키는 x는 없다.
Ú, Û에서 주어진 부등식의 해는 2<x<6
따라서 정수 x는 3, 4, 5로 그 개수는 3이다.
❶ 2점
❷ 4점
을 만족시키는 정수
과정을 쓰시오. [7점]
4-1
문제 제대로 읽기
x2+x-2>0
(2x-5)(x-k)É0
연립부등식
à
조건
쓰시오. [7점]
x가 2개일 때, 모든 정수 k의 값을 구하고, 풀이 과정을
질문의 핵심
x2+x-2>0에서 (x-1)(x+2)>0
∴ x<-2 또는 x>1
yy ㉠
❶ 2점
(2x-5)(x-k)É0에서
Ú k>
일 때
;2%;
28 정답과 풀이
(2x-5)(x-k)É0에서
ÉxÉk yy ㉡
;2%;
4-2
문제 제대로 읽기
연립부등식
을 만족시키는 정
x2-x-2É0
x2-(k+5)x+5k<0
수 x가 3개일 때, 실수 k의 값의 범위를 구하고, 풀이
질문의 핵심
à
조건
x2-x-2É0에서 (x+1)(x-2)É0
∴ -1ÉxÉ2
yy ㉠
❶ 2점
x2-(k+5)x+5k<0에서 (x-5)(x-k)<0
Ú k>5일 때
(x-5)(x-k)<0에서 5<x<k yy ㉡
㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 x는 없다.
Û k=5일 때
(x-5)(x-k)<0에서 (x-5)2<0이므로 연립부
등식의 해가 존재하지 않는다.
Ü k<5일 때
(x-5)(x-k)<0에서 k<x<5 yy ㉢
㉠, ㉢을 동시에 만족시
키는 정수 x가 3개이려
면 오른쪽 그림에서
-1Ék<0
-1
0k
㉢
㉠
2
1
Ú~Ü에서 -1Ék<0
x
5
❷ 5점
5-2
문제 제대로 읽기
두 점 A(-1, 1), B(3, 5)에서 같은 거리에 있는 y축
조건
위의 점 Q의 좌표를 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [6점]
질문의 핵심
점 Q의 좌표를 (0, a)라 하면
이므로
2
2
=BQÓ
AQÓ=BQÓ에서 AQÓ
{0-(-1)}2+(a-1)2=(0-3)2+(a-5)2
a2-2a+2=a2-10a+34
8a=32
∴ a=4
따라서 구하는 점 Q의 좌표는 (0, 4)이다.
❶ 2점
❷ 3점
❸ 1점
3일차
5-1 P(2, 0)
5-2 Q(0, 4)
6-1 ⑴ P(0, 1) ⑵ Q(-9, 10) ⑶ M
6-2 ⑴ P(4, 1) ⑵ Q(-3, -4) ⑶ M
-
,
:Á2Á:}
;2(;
{
, -
{;2!;
;2#;}
5 -1
문제 제대로 읽기
두 점 A(1, 4), B(-2, 1)에서 같은 거리에 있는 x축
조건
위의 점 P의 좌표를 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [6점]
질문의 핵심
6-1
문제 제대로 읽기
두 점 A(3, -2), B(-3, 4)에 대하여 다음을 구하고,
풀이 과정을 쓰시오. [6점]
조건
⑴ 선분 AB를 1：1로 내분하는 점 P의 좌표
⑵ 선분 AB를 2：1로 외분하는 점 Q의 좌표
⑶ 선분 PQ를 이등분하는 점 M의 좌표
질문의 핵심
질문의 핵심
질문의 핵심
⑴ 점 P의 좌표는
{
1´(-3)+1´3
1+1
1111113
,
1´4+1´(-2)
1+1
1111113
}
∴ P(0, 1)
점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면
이므로
2
2
=BÕPÕ
APÓ=BÕPÕ에서 APÓ
(a-1)2+(0-4)2={a-(-2)}2+(0-1)2
a2-2a+17=a2+4a+5
∴ a=2
-6a=-12
❶ 2점
2´(-3)-1´3
⑵ 점 Q의 좌표는
{
2-1
1111113
,
2´4-1´(-2)
2-1
1111113
}
∴ Q(-9, 10)
⑶ 점 M의 좌표는
{
0+(-9)
2
11113
1+10
,
1112
}
따라서 구하는 점 P의 좌표는 (2, 0)이다.
∴ M
-
,
{
;2(;
:Á2Á:}
❷ 3점
❸ 1점
❶ 2점
❷ 2점
❸ 2점
2주 전 29
본문 58~59쪽 6-2
문제 제대로 읽기
네 점 A(2, -3), B(5, 3), C(-1, 4), D(-2, 0)에
조건
대하여 다음을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [6점]
⑴ 선분 AB를 2：1로 내분하는 점 P의 좌표
⑵ 선분 CD를 2：1로 외분하는 점 Q의 좌표
질문의 핵심
질문의 핵심
⑶ 선분 PQ의 중점 M의 좌표
질문의 핵심
⑴ 점 P의 좌표는
{
2´5+1´2
2+1
11113
,
2´3+1´(-3)
2+1
1111113
}
∴ P(4, 1)
두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기는
-5-7
7-1
1113
=-2
따라서 선분 AB의 수직이등분선의 기울기는
이고 점
;2!;
(4, 1)을 지나므로 구하는 직선의 방정식은
y-1=
(x-4)
;2!;
∴ y=
x-1
;2!;
2´(-2)-1´(-1)
2-1
111111113
,
2´0-1´4
2-1
11113
}
❶ 2점
7-2
문제 제대로 읽기
⑵ 점 Q의 좌표는
{
∴ Q(-3, -4)
⑶ 점 M의 좌표는
{
4+(-3)
2
11113
,
1+(-4)
2
11113
}
∴ M
, -
{;2!;
;2#;}
두 점 A(1, 5), B(5, -3)에 대하여 다음을 구하고,
❷ 2점
풀이 과정을 쓰시오. [7점]
조건
⑴ 선분 AB를 1：3으로 내분하는 점 P의 좌표
⑵ 점 P를 지나고 직선 AB와 수직인 직선의 y절편
질문의 핵심
질문의
핵심
❸ 2점
⑴ 점 P의 좌표는
{
1´5+3´1
1+3
11113
,
1´(-3)+3´5
1+3
1111113
}
⑵ 두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기는
∴ P(2, 3)
-3-5
5-1
1113
=-2
이므로 직선 AB와 수직인 직선의 기울기는
이다.
;2!;
점 P(2, 3)을 지나고 기울기가
인 직선의 방정식은
y-3=
(x-2)
∴ y=
x+2
;2!;
;2!;
;2!;
따라서 구하는 직선의 y절편은 2이다.
❷ 2점
❸ 3점
❶ 3점
❷ 3점
❸ 1점
4일차
7-1 y=
x-1
;2!;
7-2 ⑴ P(2, 3) ⑵ 2
8-1 8
8-2 ⑴ x2+y2 -10y=0 ⑵ 39
7-1
문제 제대로 읽기
두 점 A(1, 7), B(7, -5)에 대하여 선분 AB의 수직
이등분선의 방정식을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오.
조건
질문의 핵심
8 -1
문제 제대로 읽기
원 x2+y2-2x-4y+4=0 위의 임의의 한 점과 직선
3x-4y-10=0 사이의 거리의 최댓값을 M, 최솟값
을 m이라 할 때, Mm의 값을 구하고, 풀이 과정을 쓰
조건
질문의 핵심
[7점]
시오. [8점]
선분 AB의 중점의 좌표는
{
1+7
1152
,
7+(-5)
2
11113
}
x2+y2-2x-4y+4=0에서
(x-1)2+(y-2)2=1
❶ 2점
❶ 2점
∴ (4, 1)
30 정답과 풀이
본문 60~61쪽 원의 중심 (1, 2)와 직선 3x-4y-10=0 사이의 거리는
|3´1-4´2-10|
1111111
"Ã32+(-4)2 =3
❷ 3점
5일차
원의 반지름의 길이가 1이므로
M=3+1=4, m=3-1=2
∴ Mm=4´2=8
1
1
3
❸ 2점
❹ 1점
9-1 ⑴ A(3, -1), B(-3, 1), C(-3, -1) ⑵ 6
9-2 (x-2)2+(y-3)2=1
10-1 ⑴ x+3y+2=0 ⑵ -2
10-2 ⑴ (x-2)2+(y+2)2=9 ⑵ 1
9 -1
문제 제대로 읽기
점 (3, 1)을 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동한 점을
각각 A, B, C라 할 때, 다음을 구하고, 풀이 과정을 쓰
시오. [7점]
조건
⑴ 세 점 A, B, C의 좌표
⑵ 삼각형 ABC의 넓이
질문의 핵심
질문의 핵심
⑴ A(3, -1), B(-3, 1), C(-3, -1)
⑵ 오른쪽 그림에서
ACÓ=6, BÕCÕ=2이므로
△ABC=
´6´2=6
-3
;2!;
y
1
O
-1
B
C
❶ 3점
{3,`1}
3
x
A
❷ 4점
9 -2
문제 제대로 읽기
다음과 같은 평행이동과 대칭이동에 대하여 원
x2+y2=1을 평행이동한 후 대칭이동한 도형의 방정
식을 구하고, 풀이 과정을 쓰시오. [6점]
질문의 핵심
조건
평행이동: x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2
조건
만큼 평행이동한다.
❶ 4점
대칭이동: 직선 y=x에 대하여 대칭이동한다.
조건
원 x2+y2=1을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로
2만큼 평행이동한 원의 방정식은
(x-3)2+(y-2)2=1
❶ 3점
이 원을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은
(y-3)2+(x-2)2=1
∴ (x-2)2+(y-3)2=1
❷ 3점
2주 전 31
8 -2
문제 제대로 읽기
세 점 O(0, 0), A(3, 1), B(-5, 5)와 직선
l: 3x+4y+20=0에 대하여 다음을 구하고, 풀이 과
정을 쓰시오. [8점]
조건
⑴ 세 점 O, A, B를 지나는 원의 방정식
질문의 핵심
⑵ ⑴의 원 위의 임의의 한 점과 직선 l 사이의 거리의
최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, Mm의 값
질문의
핵심
⑴ 원의 방정식을 x2+y2+Ax+By+C=0이라 하면
점 O(0, 0)을 지나므로 C=0
즉 원 x2+y2+Ax+By=0이 두 점 A(3, 1),
B(-5, 5)를 지나므로
9+1+3A+B=0, 25+25-5A+5B=0
∴ 3A+B=-10, A-B=10
위의 두 식을 연립하여 풀면
A=0, B=-10
따라서 구하는 원의 방정식은
x2+y2-10y=0
⑵ x2+y2-10y=0에서 x2+(y-5)2=25
원의 중심 (0, 5)와 직선 3x+4y+20=0 사이의 거
리는
|3´0+4´5+20|
1111111
"Ã32+42 =8
원의 반지름의 길이가 5이므로
M=8+5=13, m=8-5=3
∴ Mm=13´3=39
❷ 4점
본문 62 ~63쪽 ⑵ 원 O'이 직선 3x-4y+k=0과 접하므로 원의 중심
(2, -2)와 직선 사이의 거리는 원의 반지름의 길이인
3과 같다. 즉
|3´2-4´(-2)+k|
111111112
k+14=Ñ15
"Ã32+(-4)2 =3, |k+14|=15
∴ k=1 (∵ k>0)
❷ 4점
10 -1
문제 제대로 읽기
직선 l: 3x+y+1=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이
동한 후 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만
큼 평행이동한 직선을 l'이라 하자. 직선 l'이 원
(x-a)2+y2=4의 넓이를 이등분할 때, 다음을 구하
고, 풀이 과정을 쓰시오. (단, a는 상수) [7점]
조건
⑴ 직선 l'의 방정식
⑵ a의 값
질문의 핵심
질문의 핵심
⑴ 직선 l을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 방
정식은 3y+x+1=0
이 직선을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1
만큼 평행이동한 직선 l'의 방정식은
3(y+1)+(x-2)+1=0
∴ x+3y+2=0
❶ 3점
⑵ 직선 l'이 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심 (a, 0)
을 지나야 하므로
a+2=0
∴ a=-2
❷ 4점
10 -2
문제 제대로 읽기
원 O: (x+1)2+y2=9를 x축의 방향으로 3만큼, y축
의 방향으로 -2만큼 평행이동한 원을 O'이라 하자. 원
O'이 직선 3x-4y+k=0과 접할 때, 다음을 구하고,
조건
풀이 과정을 쓰시오. (단, k는 양수) [7점]
⑴ 원 O'의 방정식
⑵ k의 값
질문의 핵심
질문의 핵심
⑴ 원 O를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -2만
큼 평행이동한 원 O'의 방정식은
(x-3+1)2+(y+2)2=9
∴ (x-2)2+(y+2)2=9
❶ 3점
32 정답과 풀이
04 2x+4¾x+6에서 x¾2 yy ㉠
x2-2x-8<0에서 (x+2)(x-4)<0
yy ㉡
∴ -2<x<4
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 2Éx<4
따라서 정수 x는 2, 3이므로 구하는 합은
2+3=5
05 ABÓ=
(3-2)2+{2-(-1)}2=
!%
1
1
0
2
2
2
=(2-3)2+(5-1)2=17
=(-1-2)2+(0-5)2=34
={3-(-1)}2+(1-0)2=17
06 ABÓ
BCÓ
CAÓ
2
∴ BCÓ
, ABÓ
따라서 △ABC는 ∠A=90ù인 직각이등변삼각형
이다.
2
=ABÓ
=CAÓ
+CAÓ
2
2
2
Lecture
삼각형의 모양
삼각형 ABC의 세 변의 길이 BÕCÕ=a, CAÓ=b, ABÓ=c
중 c의 값이 가장 클 때
⑴ c2>a2+b2
⑵ c2=a2+b2
⑶ c2<a2+b2
∠C>90ù인 둔각삼각형
∠C=90ù인 직각삼각형
예각삼각형
úk
úk
úk
07 선분 AB를 1`:`2로 외분하는 점의 좌표는
1´5-2´2
1-2
11113
,
}
1´0-2´1
{
1-2
11113
∴ (2, -1)
1주 전
미리 풀어보는 우리 학교 기말고사
03 ⑤
08 ④
13 ②
04 ②
09 ④
14 ⑤
05 ④
10 ⑤
15 ④
1일차
01 ①
06 ⑤
11 ④
16 ④
02 ②
07 ④
12 ①
17 ①
[서술형 1] 1Ék<
;3$;
[서술형 2] -3
[서술형 3] 10
01 |2x-1|<5에서 -5<2x-1<5
∴ -2<x<3
-4<2x<6
따라서 a=-2, b=3이므로
a+b=-2+3=1
02 x2-x-12<0에서 (x+3)(x-4)<0
∴ -3<x<4
03 해가 -1ÉxÉ3이고 x2의 계수가 1인 이차부등식은
∴ x2-2x-3É0
(x+1)(x-3)É0
이 부등식이 x2+ax+bÉ0과 같으므로
a=-2, b=-3
∴ a+b=-2+(-3)=-5
다른 풀이
이차방정식 x2+ax+b=0의 두 근이 -1, 3이므로 이차
방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
-1+3=-a, -1´3=b
a=-2, b=-3
∴ a+b=-2+(-3)=-5
Lecture
이차부등식의 작성
⑴ 해가 a<x<b이고 x2의 계수가 1인 이차부등식
(x-a)(x-b)<0
등식 (a<b)
(x-a)(x-b)>0
úk
úk
⑵ 해가 x<a 또는 x>b이고 x2의 계수가 1인 이차부
08 두 점 (1, 1), (2, 5)를 지나는 직선의 방정식은
y-1=
5-1
2-1
112
∴ y=4x-3
(x-1)
1주 전 33
본문 66~69쪽2
09 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 직선 AB와
직선 AC의 기울기가 같아야 하므로
k-1
7-3
112
4-1
(-2+k)-3
1111212
=
즉
k-1
1124
=
3
k-5
112
(k-1)(k-5)=12, k2-6k-7=0
(k+1)(k-7)=0
따라서 구하는 모든 k의 값의 합은
-1+7=6
∴ k=-1 또는 k=7
|1-2+k|
1131115
"Ã12+(-1)2 =
|k-1|
2
111
1
원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 원의 중
심과 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이보다 작
아야 하므로
|k-1|
2
111
1
-4<k-1<4
따라서 a=-3, b=5이므로
ab=-3´5=-15
∴ -3<k<5
2, |k-1|<4
<2
1
10
3´0+4-10|
|
1
1111211
(
!%
3)2+12 =3
1
11 두 직선의 기울기는 각각 -
, m이므로 서로 수직
;5!;
이려면
´m=-1
-
;5!;
∴ m=5
Lecture
두 직선의 평행과 수직
두 직선 y=mx+n, y=m'x+n'이
⑴ 평행하다.
⑵ 수직이다.
m=m', n+n'
mm'=-1
úk
úk
12 원 (x-a)2+(y+5)2=9의 중심은 점 (a, -5)이
므로
a=3, b=-5
또 원의 반지름의 길이는 3이므로 r=3
∴ a+b+r=3+(-5)+3=1
13 반지름의 길이가 2
2인 원의 중심 (1, 2)와 직선
'
y=x+k, 즉 x-y+k=0 사이의 거리는
34 정답과 풀이
A{-3,`7}
10
14 원의 중심 (3, -1)과 점
A(-3, 7) 사이의 거리는
(-3-3)2+{7-(-1)}2=10
Á°
원의 반지름의 길이가 2이므로 선
분 AP의 길이의
최댓값은 10+2=12, 최솟값은 10-2=8
따라서 구하는 값은
12+8=20
2
{3,`-1}
15 점 (3, -5)를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표
는 (-3, 5)
16 원 (x-1)2+(y+2)2=6을 x축의 방향으로 3만큼,
y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 원의 방정식은
(x-3-1)2+(y+5+2)2=6
∴ (x-4)2+(y+7)2=6
따라서 평행이동한 원의 중심의 좌표는 (4, -7)이
므로 a=4, b=-7
∴ a+b=4+(-7)=-3
다른 풀이
원 (x-1)2+(y+2)2=6의 중심은 점 (1, -2)이고 이
점을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행
이동한 점의 좌표는
∴ (4, -7)
(1+3, -2-5)
따라서 a=4, b=-7이므로
a+b=4+(-7)=-3
17 직선 x+3y+1=0을 x축의 방향으로 2만큼, y축의
방향으로 -2만큼 평행이동한 직선의 방정식은
(x-2)+3(y+2)+1=0
∴ x+3y+5=0
이 직선을 x축에 대하여 대칭이동하면
x-3y+5=0
이 직선이 직선 x+ay+b=0과 같으므로
a=-3, b=5
∴ a+2b=-3+2´5=7
[서술형 1] f(x)=x2-4kx+k+3이라 할 때 이차방정
식 f(x)=0의 두 근이 모두 1보다 크므로 f(x)=0
의 판별식을 D라 하면
Ú
=(-2k)2-(k+3)¾0
D
14
4k2-k-3¾0, (k-1)(4k+3)¾0
∴ kÉ-
또는 k¾1
yy ㉠
;4#;
❶
Û f(1)=1-4k+k+3>0에서
-3k+4>0
∴ k<
yy ㉡
;3$;
❷
Ü 이차함수 y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이
x=2k이므로 2k>1
∴ k>
;2!;
yy ㉢
Ú~Ü에서 공통부분을 구
하면
1Ék<
;3$;
㉠
-;4#;
채점 기준
❶ 판별식을 이용하여 k의 값의 범위를 구할 수 있다.
❷ 함숫값을 이용하여 k의 값의 범위를 구할 수 있다.
㉢
㉡
㉠
1
;2!;
;3$;
❸
k
❹
배점
2점
2점
2점
1점
Lecture
이차방정식의 근의 분리
이차방정식 ax2+bx+c=0 (a>0)의 판별식을 D라
하고 f(x)=ax2+bx+c라 하면
⑴ 두 근이 모두 p보다 크다.
úk
úk
D¾0, f(p)>0, -
>p
;2õa;
⑵ 두 근이 모두 p보다 작다.
D¾0, f(p)>0, -
<p
;2õa;
⑶ 두 근 사이에 p가 있다.
f(p)<0
úk
[서술형 2] 두 점 A(1, 2), B(-1, 4)에서 같은 거리에
있는 x축 위의 점 P의 좌표는 (a, 0)이므로 b=0
2
2
이므로
=BÕPÕ
APÓ=BPÓ에서 APÓ
(a-1)2+(0-2)2={a-(-1)}2+(0-4)2
a2-2a+5=a2+2a+17
∴ a=-3
-4a=12
∴ a+b=-3+0=-3
채점 기준
❶ b의 값을 구할 수 있다.
❷ a의 값을 구할 수 있다.
❸ a+b의 값을 구할 수 있다.
[서술형 3] 점 A(-2, 3)을 x축에
대하여 대칭이동한 점을 A'이
라 하면
A'(-2, -3)
∴ APÓ+BÕPÕ=A'PÓ+BÕPÕ
¾A'BÓ
y
5
P
3
O
-3
A
-2
A'
{4-(-2)}2+{5-(-3)}2
=
!%
=10
따라서 APÓ+BÕPÕ의 최솟값은 10이다.
❶
❷
❸
배점
2점
3점
1점
B
4
x
❶
❷
배점
4점
3점
1주 전 35
❸ 축의 방정식을 이용하여 k의 값의 범위를 구할 수 있다.
❶ APÓ+BPÓ의 최솟값이 A'BÓ임을 알 수 있다.
❹ k의 값의 범위를 구할 수 있다.
❷ APÓ+BPÓ의 최솟값을 구할 수 있다.
채점 기준
04 ③
09 ③
14 ④
05 ②
10 ④
15 ⑤
{(a-2)-(-1)}2+(a+4-2)2=29
(a-1)2+(a+2)2=29
a2+a-12=0, (a-3)(a+4)=0
∴ a=3 (∵ a>0)
2일차
03 ②
08 ④
13 ①
02 ③
07 ④
12 ⑤
17 ⑤
01 ②
06 ①
11 ①
16 ⑤
[서술형 1] 20
[서술형 2] a=3, b=2, c=1
3
[서술형 3]
1
1
01 |x-2|É1에서 -1Éx-2É1
∴ 1ÉxÉ3
따라서 정수 x는 1, 2, 3이므로 구하는 합은
1+2+3=6
05 선분 AB의 중점의 좌표는
-2+6
2
1113
,
3-5
{
1132
∴ (-1, 2)
}
02 x2+x-6É0에서 (x-2)(x+3)É0
yy ㉠
∴ -3ÉxÉ2
x2-3x>0에서 x(x-3)>0
∴ x<0 또는 x>3 yy ㉡
㉡
㉠, ㉡의 공통부분을 구하
면 오른쪽 그림에서
-3Éx<0
따라서 정수 x는 -3, -2, -1로 그 개수는 3이다.
-3
㉠
㉡
2
0
3
x
03 해가 1<x<4이고 x2의 계수가 1인 이차부등식은
∴ x2-5x+4<0
(x-1)(x-4)<0
이 부등식이 x2+ax+b<0과 같으므로
a=-5, b=4
∴ a+b=-5+4=-1
다른 풀이
이차방정식 x2+ax+b=0의 두 근이 1, 4이므로 이차방정
식의 근과 계수의 관계에 의하여
1+4=-a, 1´4=b
∴ a=-5, b=4
∴ a+b=-5+4=-1
04 ABÓ=
9이므로 ABÓ
2
=29
2
1
36 정답과 풀이
06 직선 x+3y-5=0, 즉 y=-
x+
에 수직인 직
;3!;
;3%;
선의 기울기는 3이고 점 (1, 4)를 지나므로 구하는
직선의 방정식은
y-4=3(x-1)
∴ y=3x+1
07
|4´1+3´(-2)-8|
42+32
111121111
!%
=2
08 x2+y2+6x-4y-3=0에서
(x+3)2+(y-2)2=16
따라서 주어진 원의 반지름의 길이는
6=4
1
1
09 선분 AB의 중점이 두 점 A, B를 지름의 양 끝 점으
로 하는 원의 중심이므로 그 좌표는
-1+3
{
11212
또 ABÓ가 원의 지름이므로 원의 반지름의 길이는
5-3
,
1122
∴ (1, 1)
}
ABÓ=
{3-(-1)}2+(-3-5)2=2
"Ã
;2!;
;2!;
5
1
본문 70 ~73쪽2
2
2
따라서 구하는 원의 방정식은
(x-1)2+(y-1)2=20
Lecture
두 점을 지름의 양 끝 점으로 하는 원
두 점 A, B를 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 중심은
ABÓ의 중점이고, 반지름의 길이는
ABÓ이다.
;2!;
14 원 x2+y2=5를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향
으로 -2만큼 평행이동한 원의 방정식은
(x-3)2+(y+2)2=5
10 원 x2+y2-2x-15=0에서 (x-1)2+y2=16
직선 ax+y-4=0이 원의 넓이를 이등분하면 원의
중심 (1, 0)을 지나므로 a-4=0
∴ a=4
11 원 x2+y2=5 위의 점 (-1, 2)에서의 접선의 방정
식은
-x+2y=5
따라서 a=-1, b=2이므로
ab=-1´2=-2
∴ -x+2y-5=0
12 점 (2, 4)를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로
-3만큼 평행이동한 점의 좌표는
(2+3, 4-3)
∴ (5, 1)
13 점 A(2, -3)을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향
으로 -2만큼 평행이동한 점 P의 좌표는
∴ P(4, -5)
(2+2, -3-2)
또 점 A(2, -3)을 x축에 대하여 대칭이동한 점 Q의
좌표는 Q(2, 3)
이때 두 점 P(4, -5), Q(2, 3)의 중점 M의 좌표는
∴ M(3, -1)
-5+3
4+2
,
{
11212
1122
따라서 a=3, b=-1이므로
a+b=3+(-1)=2
}
15 직선 2x+y-3=0을 x축에 대하여 대칭이동한 직선
의 방정식은
2x-y-3=0
16 직선 y=ax+6을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의
방향으로 -3만큼 평행이동한 직선의 방정식은
y+3=a(x+1)+6
이 직선이 직선 y=-2x+b와 같으므로
∴ a=-2, b=1
a=-2, a+3=b
∴ a-b=-2-1=-3
∴ y=ax+a+3
17 직선 x-2y+3=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동
한 직선의 방정식은
y-2x+3=0
∴ 2x-y-3=0
직선 ㉠이 원 (x+3)2+(y-1)2=a에 접하므로 원
의 중심 (-3, 1)과 직선 ㉠ 사이의 거리는 원의 반
지름의 길이
1
a와 같다. 즉
yy ㉠
|2´(-3)-1-3|
111121212
22+(-1)2 =2
5
1
a=
1
!%
∴ a=20
[서술형 1] |x|+|x-2|É6에서 x<0, 0Éx<2, x¾2
로 x의 값의 범위를 나누어 해를 구한다.
Ú x<0일 때
-x-(x-2)É6, -2xÉ4
그런데 x<0이므로 -2Éx<0
∴ x¾-2
❶
1주 전 37
Û 0Éx<2일 때
∴ 0´xÉ4
x-(x-2)É6
따라서 해는 모든 실수이다.
그런데 0Éx<2이므로 0Éx<2
Ü x¾2일 때
x+(x-2)É6, 2xÉ8
그런데 x¾2이므로 2ÉxÉ4
∴ xÉ4
Ú~Ü에서 주어진 부등식의 해는
-2ÉxÉ4
따라서 a=-2, b=4이므로
a2+b2=(-2)2+42=20
채점 기준
❶ x의 값의 범위를 나눌 수 있다.
❸ a, b의 값을 구할 수 있다.
❹ a2+b2의 값을 구할 수 있다.
❷ 나눈 범위에 따라 각 부등식의 해를 구할 수 있다.
[서술형 3] 점 A(1, 1)을 x축에 y
대하여 대칭이동한 점을 A'이
2
라 하면
A'(1, -1)
∴ APÓ+BÕPÕ=A'PÓ+BÕPÕ
O
1
¾A'BÓ
-1
P
A
1
A'
(3-1)2+{2-(-1)}2
=
!%
3
1
=
1
따라서 APÓ+BPÓ의 최솟값은
1
1
3이다.
채점 기준
❶ APÓ+BPÓ의 최솟값이 A'BÓ임을 알 수 있다.
❷ APÓ+BPÓ의 최솟값을 구할 수 있다.
B
3
x
❶
❷
배점
4점
3점
3일차
04 ②
09 ②
14 ③
03 ⑤
08 ④
13 ②
02 ③
07 ①
12 ④
17 ①
01 ④
06 ④
11 ③
16 ③
[서술형 1] 4
[서술형 2] (1, 1), (9, 13)
[서술형 3] ⑴ 중심의 좌표: (2, -2), 반지름의 길이: 5 ⑵ 11
05 ④
10 ③
15 ③
01 |x-1|É1에서 -1Éx-1É1
❶
∴ 0ÉxÉ2
02 |x-a|É2에서 -2Éx-aÉ2
∴ a-2ÉxÉa+2
주어진 부등식의 해가 1ÉxÉ5이므로
a-2=1, a+2=5
∴ a=3
03 x2-x-2<0에서 (x+1)(x-2)<0
∴ -1<x<2
[서술형 2] 원 x2+y2+2x+2y-2=0에서
yy ㉠
(x+1)2+(y+1)2=4
원 x2+y2-4x-2y+c=0에서
(x-2)2+(y-1)2=5-c yy ㉡
두 원의 반지름의 길이가 같아야 하므로
4=5-c
∴ c=1
❷
원 ㉠의 중심 (-1, -1)을 x축의 방향으로 a만큼,
y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 점이 원 ㉡의 중심
(2, 1)과 같아야 하므로
-1+a=2, -1+b=1
∴ a=3, b=2
채점 기준
❶ 주어진 두 원의 방정식을 (x-a)2+(y-b)2=r2
꼴로 변형할 수 있다.
❷ c의 값을 구할 수 있다.
❸ a, b의 값을 구할 수 있다.
38 정답과 풀이
❷
❸
❹
배점
1점
3점
2점
1점
❸
배점
2점
2점
2점
본문 74~77쪽2
2
따라서 a=-1, b=2이므로
a2+b2=(-1)2+22=5
04 ABÓ=
=
{-2-(-1)}2+(3-4)2
!%
2
1
05 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점의 좌표는
2´2+1´5
2+1
11112
,
}
2´3+1´0
{
2+1
11112
∴ (2, 3)
09 x+y-1=0, x+2y-4=0을 연립하여 풀면
x=-2, y=3
즉 두 직선의 교점의 좌표는 (-2, 3)
두 점 (1, 6), (-2, 3)을 지나는 직선의 방정식은
y-6=
(x-1)
3-6
1113-2-1
∴ y=x+5
다른 풀이
주어진 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을
x+y-1+k(x+2y-4)=0 ( k는 실수)
이라 하면 이 직선이 점 (1, 6)을 지나므로
1+6-1+k(1+12-4)=0
yy ㉠
6+9k=0
∴ k=-
;3@;
k=-
를 ㉠에 대입하면
;3@;
x+y-1-
(x+2y-4)=0
;3@;
∴ y=x+5
06 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는
-1+1+3
3
111124
2+5+2
,
11113
}
{
∴ G(1, 3)
Lecture
삼각형의 무게중심
좌표평면 위의 세 점 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)을
꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는
G
x1+x2+x3
{
111113
y1+y2+y3
,
3
111124
}
10 x2+y2+12x-2y+12=0에서
(x+6)2+(y-1)2=25
따라서 주어진 원의 중심은 점 (-6, 1)이고 반지름
의 길이는 5이므로
a=-6, b=1, r=5
∴ a+b+r=-6+1+5=0
07 y-4=-2(x+3)
∴ y=-2x-2
따라서 a=-2, b=-2이므로
a+b=-2+(-2)=-4
08 직선 2x-y-1=0, 즉 y=2x-1에 평행한 직선의
기울기는 2이고 점 (1, 3)을 지나므로
y-3=2(x-1)
∴ 2x-y+1=0
y
{-2,`1}
O
x
11 점 (-2, 1)을 지나고 x축과 y
축에 동시에 접하는 원은 오른
쪽 그림과 같다.
이때 원의 반지름의 길이를
a(a>0)라 하면 중심은 점
(-a, a)이므로 원의 방정식은
(x+a)2+(y-a)2=a2
이 원이 점 (-2, 1)을 지나므로
(-2+a)2+(1-a)2=a2
a2-6a+5=0, (a-1)(a-5)=0
∴ a=1 또는 a=5
1주 전 39
따라서 두 원의 반지름의 길이는 각각 1, 5이므로 구
하는 넓이의 합은
p(12+52)=26p
Lecture
x축과 y축에 동시에 접하는 원의 방정식
x축과 y축에 동시에 접하고 반지름의 길이가 r인 원의
방정식은
⑴ 중심이 제1사분면 위에 있으
y
{-r,`r}
{r,`r}
(x-r)2+(y-r)2=r2
⑵ 중심이 제2사분면 위에 있으
úk
O
x
{-r,`-r}
{r,`-r}
면
면
úk
úk
úk
(x+r)2+(y-r)2=r2
⑶ 중심이 제3사분면 위에 있으면
(x+r)2+(y+r)2=r2
⑷ 중심이 제4사분면 위에 있으면
(x-r)2+(y+r)2=r2
12 원 x2+y2=8의 반지름의 길이는 2
1
접하고 기울기가 1인 직선의 방정식은
2이므로 원에
2´
y=xÑ2
∴ y=xÑ4
1
"Ã12+1
다른 풀이
기울기가 1인 직선의 방정식을 y=x+a,
즉 x-y+a=0 ( a는 상수)이라 하면 이 직선과 원의 중심
(0, 0) 사이의 거리가 반지름의 길이 2
2와 같아야 하므로
'
'
2, |a|=4
"Ã12+(-1)2 =2
|a|
111112
∴ a=Ñ4
따라서 구하는 직선의 방정식은
y=xÑ4
14 원 (x-3)2+(y-2)2=1을 원점에 대하여 대칭이
동한 원의 방정식은
(-x-3)2+(-y-2)2=1
∴ (x+3)2+(y+2)2=1
다른 풀이
원의 중심 (3, 2)를 원점에 대하여 대칭이동하면 (-3, -2)
이고 원은 대칭이동해도 반지름의 길이가 변하지 않으므로
구하는 원의 방정식은
(x+3)2+(y+2)2=1
15 직선 x+3y+1=0을 x축의 방향으로 m만큼, y축
의 방향으로 -2만큼 평행이동한 직선의 방정식은
(x-m)+3(y+2)+1=0
∴ x+3y-m+7=0
이 직선이 직선 x+3y+10=0과 같으므로
-m+7=10
∴ m=-3
16 원 x2+y2=5를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향
으로 q만큼 평행이동한 원의 방정식은
(x-p)2+(y-q)2=5
이 원이 원 (x-2)2+(y+1)2=5와 같으므로
p=2, q=-1
즉 직선 y=2x+5를 x축의 방향으로 2만큼, y축의
방향으로 -1만큼 평행이동한 직선의 방정식은
y+1=2(x-2)+5
따라서 a=2, b=0이므로
a+b=2+0=2
∴ y=2x
13 점 (2, -5)를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으
로 q만큼 평행이동한 점의 좌표가 (1, -4)라 하면
2+p=1, -5+q=-4
∴ p=-1, q=1
따라서 a-1=2, b+1=1이므로
a=3, b=0
∴ a+b=3+0=3
17 직선 y=-x+2를 y축에 대하여 대칭이동한 직선의
방정식은 y=x+2
직선 y=x+2에 수직인 직선의 기울기는 -1이므로
구하는 직선의 방정식을
y=-x+a, 즉 -x-y+a=0 ( a는 상수) yy ㉠
이라 하자.
40 정답과 풀이
2이므로
즉 직선 ㉠과 원점 사이의 거리가
1
|a|
2
(-1)2+(-1)2 =
111121212
1
!%
|a|=2
∴ a=Ñ2
이를 ㉠에 대입하면 x+yÑ2=0
[서술형 1] x2-5x+6>0에서 (x-2)(x-3)>0
∴ x<2 또는 x>3
yy ㉠
❶
x2-(a+1)x+aÉ0에서 (x-1)(x-a)É0
Ú a>1일 때
(x-1)(x-a)É0에서 1ÉxÉa yy ㉡
㉠, ㉡을 동시에 만족
시키는 정수 x가 3개이
려면 오른쪽 그림에서
5Éa<6
Û a=1일 때
5 a
㉠
㉡
㉠
1
2
3
4
6
(x-1)(x-a)É0에서 (x-1)2É0 ∴ x=1
즉 조건을 만족시키지 않는다.
Ü a<1일 때
(x-1)(x-a)É0에서 aÉxÉ1 yy ㉢
㉠, ㉢을 동시에 만족
시키는 정수 x가 3개이
려면 오른쪽 그림에서
-2<aÉ-1
-2 -1
㉠
㉠
㉢
a
3
1
0
2
x
Ú ~ Ü에서
-2<aÉ-1 또는 5Éa<6
따라서 구하는 정수 a의 값의 합은
-1+5=4
채점 기준
❶ x2-5x+6>0의 해를 구할 수 있다.
❷ 조건을 만족시키는 a의 값의 범위를 구할 수 있다.
❸ 모든 정수 a의 값의 합을 구할 수 있다.
❷
❸
배점
2점
3점
1점
3
2
1
A
C
2
B
C
선분 AB를 1`:`2로 내분하는 점 C의 좌표는
1´5+2´(-1)
{
1+2
1111211
∴ C(1, 1)
,
1´7+2´(-2)
1+2
1111211
}
선분 AB를 5`:`2로 외분하는 점 C의 좌표는
5´5-2´(-1)
{
5-2
1111211
∴ C(9, 13)
,
5´7-2´(-2)
5-2
1111211
}
따라서 구하는 점 C의 좌표는 (1, 1), (9, 13)이다.
채점 기준
❶ 2ABÓ=3BÕCÕ를 만족시키는 점 C의 위치를 구할 수
x
❷ 선분 AB를 1：2로 내분하는 점 C의 좌표를 구할 수
❸ 선분 AB를 5：2로 외분하는 점 C의 좌표를 구할 수
❹ 점 C의 좌표를 모두 구할 수 있다.
있다.
있다.
있다.
[서술형 3] ⑴ 원 (x+2)2+y2=25를 x축의 방향으로 4
만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 원 O'
의 방정식은
(x-4+2)2+(y+2)2=25
∴ (x-2)2+(y+2)2=25
따라서 원 O'의 중심의 좌표는 (2, -2)이고, 반
지름의 길이는 5이다.
❶
⑵ 원 O'과 직선 3x-4y+k=0이 접하므로 원의 중
심 (2, -2)와 직선 사이의 거리는 원의 반지름의
길이 5와 같다. 즉
|3´2-4´(-2)+k|
32+(-4)2 =5
1111121115
!%
|k+14|=25, k+14=Ñ25
∴ k=11 (∵ k>0)
❶
❷
❸
❹
배점
3점
2점
2점
1점
❷
배점
3점
3점
1주 전 41
[서술형 2] 2ABÓ=3BCÓ에서 ABÓ`:`BCÓ=3`:`2이므로 점
C는 선분 AB를 1：2로 내분하는 점이거나 선분
AB를 5：2로 외분하는 점이다.
채점 기준
❶ 원 O'의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 각각 구할
수 있다.
❷ 양수 k의 값을 구할 수 있다.
4일차
03 ④
08 ②
13 ③
02 ⑤
07 ②
12 ②
17 ②
01 ⑤
06 ⑤
11 ③
16 ①
[서술형 1] -5
[서술형 2] (1, -3)
[서술형 3] x2+y2+6x-4y-12=0
04 ③
09 ⑤
14 ③
05 ③
10 ①
15 ⑤
2
2
=BÕPÕ
이므로
04 두 점 A(-2, 2), B(4, 4)에서 같은 거리에 있는 y
축 위의 점의 좌표를 P(0, a)라 하면 APÓ=BÕPÕ에서
APÓ
{0-(-2)}2+(a-2)2=(0-4)2+(a-4)2
a2-4a+8=a2-8a+32
4a=24
따라서 구하는 점의 좌표는 (0, 6)이다.
∴ a=6
01 Ú x<-1일 때
-(x-1)-(x+1)>4
∴ x<-2
-2x>4
그런데 x<-1이므로 x<-2
Û -1Éx<1일 때
-(x-1)+(x+1)>4
0´x>2
따라서 해는 없다.
Ü x¾1일 때
(x-1)+(x+1)>4
2x>4
그런데 x¾1이므로 x>2
∴ x>2
Ú~Ü에서 주어진 부등식의 해는
x<-2 또는 x>2
05 a=
2´7+1´(-2)
2+1
1111211
2´7-1´(-2)
2-1
1111211
∴ b-a=16-4=12
b=
=4
=16
06 두 직선 ax-y-2=0, 6x-2y+5=0이 서로 평행
하려면
=
+
-1
;6A;
123-2
-2a=-6
-2
1235
∴ a=3
02 x2-4x-12É0에서 (x+2)(x-6)É0
∴ -2ÉxÉ6
따라서 a=-2, b=6이므로
b-a=6-(-2)=8
07 직선 y=-
x-3에 수직인 직선의 기울기는 2이
;2!;
고 점 (2, 1)을 지나므로
y-1=2(x-2)
∴ y=2x-3
03 ABÓ=3에서 ABÓ
2
=9이므로
(a-1)2+(3-a)2=9
∴ 2a2-8a+1=0
따라서 모든 a의 값의 곱은 이차방정식의 근과 계수
의 관계에 의하여
이다.
;2!;
Lecture
이차방정식의 근과 계수의 관계
이차방정식 ax2+bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면
a+b=-
;aB;, ab=
;aC;
08 선분 AB의 중점의 좌표는
3+7
,
1122
2+4
{
1122
두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기는
7-3
4-2
112
∴ (3, 5)
=2
}
따라서 선분 AB의 수직이등분선의 기울기는 -
;2!;
고 점 (3, 5)를 지나므로 구하는 직선의 방정식은
이
y-5=-
(x-3)
;2!;
∴ y=-
x+
;2!;
:Á2£:
42 정답과 풀이
본문 78 ~81쪽 Lecture
선분의 수직이등분선
선분 AB의 수직이등분선을 l이라 하면
① 직선 l은 선분 AB의 중점을 지난다.
② (직선 l의 기울기)_(직선 AB의 기울기)=-1
09 점 (2, 3)과 직선 y=
x-1, 즉 3x-4y-4=0 사
;4#;
이의 거리는
|3´2-4´3-4|
11112115
32+(-4)2 =2
!%
y
x
O
{1,`-2}
{1,`-1}
{5,`-5}
12 점 (1, -2)를 지나고 x축과 y
축에 동시에 접하는 원은 오른
쪽 그림과 같다.
이때 원의 반지름의 길이를
a (a>0)라 하면 중심은 점
(a, -a)이므로 원의 방정식은
(x-a)2+(y+a)2=a2
이 원이 점 (1, -2)를 지나므로
(1-a)2+(-2+a)2=a2
a2-6a+5=0, (a-1)(a-5)=0
∴ a=1 또는 a=5
따라서 두 원의 중심의 좌표는 (1, -1), (5, -5)이
므로 두 점 사이의 거리는
(5-1)2+{-5-(-1)}2=4
!%
2
1
10 x2+y2-6x+8y+9=0에서
(x-3)2+(y+4)2=16
이므로 주어진 원의 중심의 좌표는 (3, -4), 반지름
의 길이는 4이다.
따라서 a=3, b=-4, r=4이므로
a+b+r=3+(-4)+4=3
13 반지름의 길이가
'
2인 원의 중심 (0, 0)과 직선
x+y-k=0 사이의 거리는
|0+0-k|
11112
12+12 =
!%
|k|
2
12
'
원과 직선이 한 점에서 만나려면 원의 중심과 직선
사이의 거리가 원의 반지름의 길이와 같아야 하므로
|k|
2
12
'
∴ k=Ñ2
2, |k|=2
=
1
11 x2+y2+4x+k2-2k-4=0에서
(x+2)2+y2=-k2+2k+8
이 식이 원의 방정식이 되려면
-k2+2k+8>0
k2-2k-8<0, (k+2)(k-4)<0
∴ -2<k<4
따라서 모든 정수 k의 값의 합은
-1+0+1+2+3=5
Lecture
원의 방정식이 되기 위한 조건
방정식 x2+y2+Ax+By+C=0이 원을 나타내면 주
A2+B2-4C
4
1111124
어진 방정식을
{
A
12 }
B
12 }
x+
y+
+
=
{
2
2
꼴로 변형했을 때, A2+B2-4C>0이다.
14 점 (a, b)를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로
3만큼 평행이동한 점의 좌표는
(a+1, b+3)
이 점이 점 (3, 4)와 같으므로
a+1=3, b+3=4
∴ a+b=2+1=3
∴ a=2, b=1
15 점 (1, 2)를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로
b만큼 평행이동한 점의 좌표가 (-1, 5)라 하면
1+a=-1, 2+b=5
∴ a=-2, b=3
1주 전 43
따라서 원 (x+3)2+(y-1)2=10을 x축의 방향으
로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 원의
방정식은
(x+2+3)2+(y-3-1)2=10
∴ (x+5)2+(y-4)2=10
Lecture
이차부등식의 작성
⑴ 해가 a<x<b이고 x2의 계수가 1인 이차부등식
⑵ 해가 x<a 또는 x>b이고 x2의 계수가 1인 이차부
(x-a)(x-b)<0
등식 (a<b)
(x-a)(x-b)>0
úk
úk
16 직선 y=2x+1을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의
방정식은
y=-2x+1
따라서 a=-2, b=1이므로
a-b=-2-1=-3
17 직선 2x-y-5=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동
한 직선의 방정식은
2y-x-5=0
∴ x-2y+5=0
이 직선을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2
만큼 평행이동한 직선의 방정식은
(x-1)-2(y-2)+5=0
∴ x-2y+8=0
따라서 a=-2, b=8이므로
a+b=-2+8=6
[서술형 1] 해가 x<-1 또는 x>3이고 x2의 계수가 1인
이차부등식은
(x+1)(x-3)>0
이 부등식이 x2+ax+b>0과 같으므로
a=-2, b=-3
∴ x2-2x-3>0
❶
이차부등식 x2-ax+bÉ0, 즉 x2+2x-3É0에서
(x-1)(x+3)É0
∴ -3ÉxÉ1
따라서 모든 정수 x의 값의 합은
-3+(-2)+(-1)+0+1=-5
채점 기준
❶ a, b의 값을 구할 수 있다.
❷ 이차부등식 x2-ax+bÉ0의 해를 구할 수 있다.
❸ 모든 정수 x의 값의 합을 구할 수 있다.
❷
❸
배점
3점
2점
2점
44 정답과 풀이
[서술형 2] 점 (1, 2)를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의
방향으로 1만큼 평행이동한 점의 좌표는
(1-2, 2+1)
∴ (-1, 3)
❶
점 (-1, 3)을 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는
(1, -3)
채점 기준
❶ 평행이동한 점의 좌표를 구할 수 있다.
❷ 대칭이동한 점의 좌표를 구할 수 있다.
[서술형 3] 삼각형 PQR의 외접원의 방정식을
x2+y2+Ax+By+C=0이라 하면
세 점 P(1, -1), Q(0, 6), R(2, 2)를 지나므로
1+1+A-B+C=0
36+6B+C=0
4+4+2A+2B+C=0
위의 세 식을 연립하여 풀면
A=6, B=-4, C=-12
따라서 구하는 외접원의 방정식은
x2+y2+6x-4y-12=0
채점 기준
❶ 외접원의 방정식을 x2+y2+Ax+By+C=0으로
놓을 수 있다.
❷ A, B, C의 값을 구할 수 있다.
❸ 외접원의 방정식을 구할 수 있다.
❷
배점
3점
3점
❶
❷
❸
배점
2점
3점
2점
5일차
04 ⑤
09 ⑤
14 ②
03 ④
08 ④
13 ③
02 ②
07 ④
12 ②
17 ⑤
01 ②
06 ④
11 ③
16 ②
[서술형 1] 20
[서술형 2] 4
[서술형 3] ⑴ y=x-3 ⑵ y=-3x+9 ⑶ 18
05 ③
10 ②
15 ②
01 2|x-1|<6에서 |x-1|<3
-3<x-1<3
∴ -2<x<4
02 x2-4x+3É0에서 (x-1)(x-3)É0
∴ 1ÉxÉ3
따라서 a=1, b=3이므로
b-a=3-1=2
03 주어진 이차함수 y=f(x)의 그래프가 x축과 두 점
(1, 0), (3, 0)에서 만나므로
f(x)=a(x-1)(x-3) (a>0)
이라 하면
f(x-1) =a(x-1-1)(x-1-3)
=a(x-2)(x-4)
따라서 f(x-1)<0, 즉 a(x-2)(x-4)<0에서
(x-2)(x-4)<0
∴ 2<x<4
다른 풀이
주어진 그래프에서 f(x)<0의 해가 1<x<3이므로
f(x-1)<0의 해는
1<x-1<3
∴ 2<x<4
오답 피하기
f(x)=k(x-a)(x-b)이면
f(ax+b)=k(ax+b-a)(ax+b-b)
04 ax2+3x+b>0의 해가 -2<x<5이므로
a<0
∴ x2-3x-10<0
해가 -2<x<5이고 x2의 계수가 1인 이차부등식은
(x+2)(x-5)<0
양변에 a를 곱하면 ax2-3ax-10a>0
이 식이 ax2+3x+b>0과 일치하므로
-3a=3, -10a=b
∴ a=-1, b=10
∴ a+b=-1+10=9
05 ACÓ=BCÓ에서 ACÓ
=BCÓ
2
2
이므로
{(a+1)-3}2+(1-2)2={(a+1)-5}2+(1-4)2
a2-4a+5=a2-8a+25
4a=20
∴ a=5
06 선분 AB를 1：2로 내분하는 점 P의 좌표는
1´4+2´1
1+2
11112
1´6+2´0
{
1+2
11112
∴ P(2, 2)
선분 AB를 1：2로 외분하는 점 Q의 좌표는
,
}
}
,
1´4-2´1
1-2
11112
1´6-2´0
{
1-2
11112
∴ Q(-6, -2)
따라서 선분 PQ의 길이는
(-6-2)2+(-2-2)2=4
!%
5
1
07 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는
-1+0+4
3
11112
1+6+2
,
11113
}
{
∴ G(1, 3)
08 직선 y=2x+1에 수직인 직선의 기울기는 -
이고
;2!;
점 (-1, 3)을 지나므로
y-3=-
(x+1)
∴ -x-2y+5=0
;2!;
이 직선이 직선 ax-2y+b=0과 일치하므로
a=-1, b=5
∴ a+b=-1+5=4
1주 전 45
본문 82~85쪽 09 2x+y-3=0, x-2y-4=0을 연립하여 풀면
x=2, y=-1
즉 두 직선의 교점의 좌표는 (2, -1)
두 점 (3, 2), (2, -1)을 지나는 직선의 방정식은
따라서 주어진 원의 중심은 점 (2, 4)이고 반지름의
길이는 6이므로
a=2, b=4, r=6
∴ a+b+r=2+4+6=12
y-2=
-1-2
2-3
1112
∴ 3x-y-7=0
(x-3)
다른 풀이
yy ㉠
주어진 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을
2x+y-3+k(x-2y-4)=0 ( k는 실수)
으로 놓으면 이 직선이 점 (3, 2)를 지나므로
6+2-3+k(3-4-4)=0
-5k+5=0
k=1을 ㉠에 대입하면
2x+y-3+(x-2y-4)=0
∴ 3x-y-7=0
∴ k=1
10 mx-y-4m+2=0에서
(x-4)m-(y-2)=0
이므로 직선 ㉠은 m의 값에 관계없이 점 (4, 2)를 지
난다.
오른쪽 그림에서
Ú 직선 ㉠이 점 (3, 0)을 지
yy ㉠
Ú
y
Û
43
5x+3y-15=0
x
날 때
-m+2=0
∴ m=2
5
2
Û 직선 ㉠이 점 (0, 5)를 지
O
날 때
-4m-3=0
∴ m=-
;4#;
Ú, Û에서 구하는 m의 값의 범위는
-
<m<2이므로
;4#;
a=-
, b=2
;4#;
∴ a+b=-
+2=
;4#;
;4%;
12 x2+y2+6x-4y-2=0에서
(x+3)2+(y-2)2=15이므로 원의 중심의 좌표는
(-3, 2)
중심이 점 (-3, 2)인 원의 반지름의 길이를 r(r>0)
라 하면 원의 방정식은
(x+3)2+(y-2)2=r2
이 원이 점 (3, 1)을 지나므로
(3+3)2+(1-2)2=r2
따라서 원 (x+3)2+(y-2)2=37의 반지름의 길이
7이므로 구하는 원의 넓이는
는
3
1
7)2=37p
p´(
3
1
∴ r2=37
13 원 x2+y2=13 위의 점 (3, -2)에서의 접선의 방정
식은
3x-2y=13
∴ 3x-2y-13=0
3Â2
2
14 x2+y2-8x-4y+16=0에서
(x-4)2+(y-2)2=4
원의 중심 (4, 2)와 직선
y=-x, 즉 x+y=0 사이의
거리는
|4+2|
12+12 =3
1112
!%
이때 원의 반지름의 길이가 2이므로
M=3
1
∴ M-m=(3
2+2, m=3
2+2)-(3
2-2
2
1
1
1
2-2)=4
1
11 x2+y2-4x-8y-16=0에서
(x-2)2+(y-4)2=36
15 x2+y2+2kx-4y+k+1=0에서
(x+k)2+(y-2)2=k2-k+3
46 정답과 풀이
2
2
이 원의 반지름의 길이가 4이므로
k2-k+3=4, k2-k+3=16
Á°
∴ k2-k-13=0
따라서 모든 실수 k의 값의 곱은 이차방정식의 근과
계수의 관계에 의하여 -13
16 점 (2, -1)을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으
로 -4만큼 평행이동한 점의 좌표는
(2+1, -1-4)
따라서 a=3, b=-5이므로
a+b=3+(-5)=-2
∴ (3, -5)
채점 기준
❶ m=2일 때 주어진 부등식이 모든 실수 x에 대하여
❷ m+2일 때 조건을 만족시키는 m의 값의 범위를 구
성립함을 알 수 있다.
할 수 있다.
❸ 모든 정수 m의 값의 합을 구할 수 있다.
배점
3점
3점
1점
Lecture
이차부등식이 항상 성립할 조건
이차방정식 ax2+bx+c=0의 판별식을 D라 할 때, 모
든 실수 x에 대하여
⑴ ax2+bx+c>0이 성립한다.
⑵ ax2+bx+c¾0이 성립한다.
⑶ ax2+bx+c<0이 성립한다.
⑷ ax2+bx+cÉ0이 성립한다.
a>0, D<0
a>0, DÉ0
a<0, D<0
a<0, DÉ0
úk
úk
úk
úk
17 직선 y=2x-1을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의
APÓ`:`BPÓ=4`:`1
방향으로 3만큼 평행이동한 직선의 방정식은
y-3=2(x+1)-1
∴ y=2x+4
[서술형 2] △OAP의 넓이가 △OBP의 넓이의 4배이므로
[서술형 1] Ú m=2일 때
0´x2-0´x+5>0이므로 주어진 부등식은 모든
실수 x에 대하여 성립한다.
Û m+2일 때
모든 실수 x에 대하여 주어진 부등식이 성립하
려면
∴ m>2 yy ㉠
m-2>0
또 이차방정식 (m-2)x2-2(m-2)x+5=0
의 판별식을 D라 하면
D
14
m2-9m+14<0, (m-2)(m-7)<0
yy ㉡
∴ 2<m<7
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 2<m<7
={-(m-2)}2-5(m-2)<0
❷
Ú, Û에서 2Ém<7이므로 모든 정수 m의 값의 합
은
2+3+4+5+6=20
❶
❸
점 P가 선분 AB 위의 점이므로
점 P는 선분 AB를 4`:`1로 내분
하는 점이다. 즉 점 P의 좌표는
4´3+1´2
4+1
11112
4´2+1´(-2)
4+1
1111211
,
{
}
∴ P
,
{;5^;
:Á5¢:}
따라서 a=
, b=
이므로
;5^;
:Á5¢:
a+b=
+
=4
;5^;
:Á5¢:
채점 기준
❶ APÓ：BÕPÕ를 구할 수 있다.
❷ 점 P의 좌표를 구할 수 있다.
❸ a, b의 값을 구할 수 있다.
❹ a+b의 값을 구할 수 있다.
❶
B
y
3
2
A
P
-2
O
2
x
❷
❸
❹
배점
2점
3점
1점
1점
❶
1주 전 47
[서술형 3] ⑴ 직선 y=x를 x축=의 방향으로 3만큼 평행
이동한 직선 l의 방정식은 y=x-3
⑵ 직선 y=-
x+2를 y축에 대하여 대칭이동한
;3!;
직선의 방정식은 y=
x+2
;3!;
이 직선에 수직인 직선의 기울기는 -3이고 점
(1, 6)을 지나므로 직선 m의 방정식은
y-6=-3(x-1)
∴ y=-3x+9
⑶ 오른쪽 그림에서 두 직선 l, m
및 y축으로 둘러싸인 부분의
넓이는
´{9-(-3)}´3=18
;2!;
y
9
O
-3
채점 기준
❶ 직선 l의 방정식을 구할 수 있다.
❷ 직선 m의 방정식을 구할 수 있다.
❸ 두 직선 l, m 및 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구
할 수 있다.
❷
l
3
x
m
❸
배점
2점
2점
2점
48 정답과 풀이
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