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짤강 고등 확률과 통계.pdf 다운로드 | 답지저장소
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개념에 강한
짧지만
짤강 확률과 통계
정답과 해설
01 순열과 조합
02 이항정리
03 확률의 뜻과 활용
04 조건부확률
05 사건의 독립과 종속
06 확률변수와 확률분포
08 이항분포
09 정규분포
10 통계적 추정
02
06
11
15
20
24
33
37
42
07 이산확률변수의 기댓값과 표준편차 28
01 순열과 조합
5-1 2
5-2 여섯 개의 숫자 1, 2, 2, 3, 4, 4 중에서 2가 2개, 4가 2개이
므로 구하는 여섯 자리 자연수의 개수는
본문 | 008~013쪽
6!
2!_2!
=180
2-1`3, 360
2-2 6명이 원형으로 둘러앉는 경우의 수는
`
(6-1)!=5!=120
이때 다음 그림과 같이 2가지의 서로 다른 경우가 존재한다.
5!
2!_2!
=30
따라서 구하는 경우의 수는
12_30=360
1-1 2, 2, 12
1-2 ⑴ 6명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는
(6-1)!=5!=120
⑵ 여학생을 하나로 생각하여 4명이 원탁에 둘러앉는 경우
의 수는 (4-1)!=3!=6
그 각각의 경우에 대하여 여학생 3명이 자리를 바꾸어
앉는 경우의 수가 3!씩 있으므로 구하는 경우의 수는
6_3!=36
1
6
6
5
2
5
1
4
3
4
2
3
따라서 구하는 경우의 수는
120_2=240
3-1 ⑴ 3 ⑵ 3, 27
3-2 ⑴ 3P4=34=81
⑵ 2P2=22=4
⑶ 4P3=43=64
4-1 3, 4
4-2 ⑴ 천의 자리에는 0을 제외한 1, 2, 3, 4가 올 수 있으므로
그 경우의 수는 4
백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에는 각각 0, 1, 2, 3, 4
가 올 수 있으므로 그 경우의 수는 5P3=53
따라서 구하는 네 자리 자연수의 개수는
4_53=500
⑵ 천의 자리에는 0을 제외한 1, 2, 3, 4가 올 수 있으므로
그 경우의 수는 4
일의 자리에는 0, 2, 4가 올 수 있으므로 그 경우의 수는 3
백의 자리, 십의 자리에는 각각 0, 1, 2, 3, 4가 올 수 있
으므로 그 경우의 수는 5P2=52
6-1 ⑴ 420 ⑵ 5
6-2 ⑴ 8개의 문자 i, n, t, e, r, n, e, t 중에서 e가 2개, n이 2개,
t가 2개이므로 구하는 경우의 수는
8!
2!_2!_2!
=5040
⑵ 자음 n, t, r, n, t를 한 문자 A로 생각하여 i, A, e, e를
일렬로 나열하는 경우의 수는
=12
4!
2!
이때 자음 n, t, r, n, t를 일렬로 나열하는 경우의 수는
7-1 ⑴ 3, 35 ⑵ 4
7-2 오른쪽으로 한 칸 가는 것을 a,아래쪽으로 한 칸 가는 것을
⑴ 5개의 a와 4개의 b를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으
b라 하면
므로
9!
5!_4!
=126
⑵ Ú A 지점에서 C 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수
는 2개의 a와 2개의 b를 일렬로 나열하는 경우의 수
와 같으므로
4!
2!_2!
=6
Û C 지점에서 B 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수
는 3개의 a와 2개의 b를 일렬로 나열하는 경우의 수
와 같으므로
5!
3!_2!
Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 6_10=60
=10
8-1 ⑴ 2, 2 ⑵ 1, 5
8-2 ⑴ 5H3=5+3-1C3=7C3=35
⑵ 5H1=5+1-1C1=5C1=5
9-1 ⑴ 84 ⑵ 2
9-2 ⑴ 서로 다른 4개의 쇼핑백 중에서 7개를 택하는 중복조합
의 수와 같으므로
4H7=4+7-1C7=10C7=10C3=120
따라서 구하는 네 자리 짝수의 개수는
4_3_52=300
⑵ 먼저 4개의 상품을 쇼핑백 A, B, C, D에 각각 한 개씩
넣고 나머지 3개의 상품을 4개의 쇼핑백에 넣으면 된다.
02 ⦁ 정답과 해설
따라서 서로 다른 4개의 쇼핑백 중에서 3개를 택하는 중
⑶ 일의 자리에는 2, 4가 올 수 있으므로 그 경우의 수는 2
복조합의 수와 같으므로
4H3=4+3-1C3=6C3=20
10-1 3, 6
10-2 ⑴ (a+b+c)4
천의 자리, 백의 자리, 십의 자리에는 각각 1, 2, 3, 4, 5가
올 수 있으므로 그 경우의 수는 5P3=53
따라서 구하는 네 자리 짝수의 개수는
2_53=250
⑷ 천의 자리에는 3, 4, 5가 올 수 있으므로 그 경우의 수는 3
백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에는 각각 1, 2, 3, 4, 5가
올 수 있으므로 그 경우의 수는 5P3=53
=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)
이므로 구하는 항의 개수는 3개의 문자 a, b, c 중에서
따라서 구하는 3000보다 큰 네 자리 자연수의 개수는
3_53=375
4개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
따라서 구하는 항의 개수는
3H4=3+4-1C4=6C4=6C2=15
⑵ 구하는 항의 개수는 4개의 문자 a, b, c, d 중에서 5개를
택하는 중복조합의 수와 같다.
따라서 구하는 항의 개수는
4H5=4+5-1C5=8C5=8C3=56
11-1 ⑴ 2 ⑵ 5, 5
11-2 ⑴ 방정식 x+y+z+w=10의 음이 아닌 정수해의 개수
는 4개의 문자 x, y, z, w 중에서 10개를 택하는 중복조
합의 수와 같으므로
4H10 =4+10-1C10=13C10=13C3=286
⑵ x=1+a, y=1+b, z=1+c, w=1+d로 놓으면 방정
식 x+y+z+w=10의 양의 정수해의 개수는 방정식
a+b+c+d=6의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.
따라서 구하는 해의 개수는 4개의 문자 a, b, c, d 중
에서 6개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
4H6 =4+6-1C6=9C6=9C3=84
집중 연습
본문 | 014, 015쪽
1 ⑴ 1, 2, 3, 4, 5의 5개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같
으므로 구하는 세 자리 자연수의 개수는
5P3=53=125
⑵ 1, 2, 3, 4, 5의 5개에서 4개를 택하는 중복순열의 수와 같
으므로 구하는 네 자리 자연수의 개수는
5P4=54=625
2 ⑴ 백의 자리에는 0을 제외한 1, 2, 3, 5가 올 수 있으므로 그
경우의 수는 4
십의 자리, 일의 자리에는 각각 0, 1, 2, 3, 5가 올 수 있으
므로 그 경우의 수는 5P2=52
따라서 구하는 세 자리 자연수의 개수는
4_52=100
⑵ 천의 자리에는 0을 제외한 1, 2, 3, 5가 올 수 있으므로 그
경우의 수는 4
백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에는 각각 0, 1, 2, 3, 5가
올 수 있으므로 그 경우의 수는 5P3=53
따라서 구하는 네 자리 자연수의 개수는
4_53=500
⑶ 천의 자리에는 0을 제외한 1, 2, 3, 5가 올 수 있으므로 그
경우의 수는 4
일의 자리에는 0, 2가 올 수 있으므로 그 경우의 수는 2
백의 자리, 십의 자리에는 각각 0, 1, 2, 3, 5가 올 수 있으
므로 그 경우의 수는 5P2=52
따라서 구하는 네 자리 짝수의 개수는
4_2_52=200
⑷ 천의 자리에는 0을 제외한 1, 2, 3, 5가 올 수 있으므로 그
경우의 수는 4
백의 자리, 일의 자리에는 각각 0, 1, 2, 3, 5가 올 수 있으
므로 그 경우의 수는 5P2=52
따라서 구하는 네 자리 자연수의 개수는
4_52=100
3 ⑴ (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
이므로 (a+b)4의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 2개
의 문자 a, b 중에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
따라서 구하는 서로 다른 항의 개수는
2H4=2+4-1C4=5C4=5C1=5
01. 순열과 조합 ⦁ 03
⑵ (a+b+c)6의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 3개의
문자 a, b, c 중에서 6개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
기초 개념
가평
본문 | 016, 017쪽
01 (n-1)!
03 4
05 중복순열
07 n!
09 5!
11 nHr
13 nHr-n
02 2
04 3
06 nPr
08 r!
10 중복조합
12 nHr
따라서 구하는 서로 다른 항의 개수는
3H6=3+6-1C6=8C6=8C2=28
⑶ (a+b+c+d)3의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 4개
의 문자 a, b, c, d 중에서 3개를 택하는 중복조합의 수와
같다.
따라서 구하는 서로 다른 항의 개수는
4H3=4+3-1C3=6C3=20
⑷ Ú (x+y)2의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 2개의
문자 x, y 중에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으
므로 그 개수는
2H2=2+2-1C2=3C2=3C1=3
Û (a+b+c)3의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 3개
의 문자 a, b, c 중에서 3개를 택하는 중복조합의 수와
같으므로 그 개수는
3H3=3+3-1C3=5C3=5C2=10
Ú, Û에서 구하는 서로 다른 항의 개수는
3_10=30
4 ⑴ 방정식 x+y+z=7의 음이 아닌 정수해의 개수는 3개의
문자 x, y, z 중에서 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으
므로
3H7 =3+7-1C7=9C7=9C2=36
⑵ x=1+a, y=1+b, z=1+c로 놓으면 방정식
x+y+z=7의 양의 정수해의 개수는 방정식
a+b+c=4의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.
따라서 구하는 해의 개수는 3개의 문자 a, b, c 중에서 4개
를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
3H4=3+4-1C4=6C4=6C2=15
기초 문제
가평
본문 | 018, 019쪽
1 Ú 자녀를 하나로 생각하여 3명이 원탁에 둘러앉는 경우의
수는 (3-1)!=2!=2
그 각각의 경우에 대하여 자녀 4명이 자리를 바꾸어 앉는
경우의 수가 4!씩 있으므로
2_4!=48
∴ a=48
Û 자녀 4명이 먼저 원탁에 둘러앉는 경우의
자
수는
(4-1)!=3!=6
자
자
자녀 4명 사이사이의 4개의 자리에 부모
자
가 앉는 경우의 수는 4P2=12이므로
6_12=72
∴ b=72
Ü 부모 중 한 사람의 자리가 정해지면 다른 한 사람의 자리
는 마주 보는 자리로 고정되므로 5명이 원탁에 둘러앉는
방정식 a+b+c+d=2의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.
(5-1)!=4!=24
∴ c=24
5 x=1+a, y=1+b, z=1+c, w=1+d로 놓으면
방정식 x+y+z+w=6의 양의 정수해의 개수는
따라서 구하는 해의 개수는 4개의 문자 a, b, c, d 중에서 2개
를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
4H2=4+2-1C2=5C2=10
경우의 수는
Ú, Û, Ü에서 c<a<b
따라서 구하는 답은 ⑤이다.
6 x=1+a, y=2+b로 놓으면 방정식
x+y+z=10 (x¾1, y¾2, z¾0)의 정수해의 개수는 방정
2 가운데 칸에 음식을 담는 경우의 수는 7
나머지 6칸에 음식을 담는 경우의 수는 가운데 칸에 담은 음
식 a+b+z=7의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.
식을 제외한 6가지 음식을 원형으로 배열하는 원순열의 수와
따라서 구하는 해의 개수는 3개의 문자 a, b, z 중에서 7개를
같으므로 (6-1)!=5!=120
따라서 구하는 경우의 수는
7_120=840
택하는 중복조합의 수와 같으므로
3H7 =3+7-1C7=9C7=9C2=36
04 ⦁ 정답과 해설
3 8Pr=64에서 8r=64
∴ r=2
nP2=272에서 n(n-1)=272
이때 272=16_17이므로 n=17
∴ n+r=19
4 서로 다른 3개의 우체통에서 4개를 택하는 중복순열의 수와
같으므로
3P4=34=81
5 두 집합 X={1, 3, 5}, Y={2, 4, 6, 8}에 대하여 X에서 Y
로의 함수의 개수는 공역의 서로 다른 4개의 수에서 3개를 택
하는 중복순열의 수와 같으므로
4P3=43=64
참고 두 집합 X={1, 3, 5}, Y={2, 4, 6, 8}에 대하여 X에
서 Y로의 일대일함수의 개수는 공역의 서로 다른 4개의 수 중
에서 3개를 택하는 순열의 수와 같으므로 4P3=24
6 Ú 한 자리 자연수의 개수 ⇨ 4
Û 두 자리 자연수의 개수
십의 자리에는 0을 제외한 1, 2, 3, 4가 올 수 있으므로 그
일의 자리에는 0, 1, 2, 3, 4가 올 수 있으므로 그 경우의 수
따라서 두 자리 자연수의 개수는 4_5=20
Ü 세 자리 자연수의 개수
백의 자리에는 0을 제외한 1, 2, 3, 4가 올 수 있으므로 그
경우의 수는 4
는 5
경우의 수는 4
십의 자리, 일의 자리에는 각각 0, 1, 2, 3, 4가 올 수 있으
므로 그 경우의 수는 5P2=52
따라서 세 자리 자연수의 개수는 4_52=100
Ú, Û, Ü에서 구하는 자연수의 개수는
4+20+100=124
7 1, 2, 2, 3, 3에서 4개의 숫자를 택하는 경우는
(1, 2, 2, 3), (1, 2, 3, 3), (2, 2, 3, 3)이다.
Ú (1, 2, 2, 3), (1, 2, 3, 3)일 때
같은 것이 2개가 포함된 4개를 일렬로 나열하는 경우의 수
는
4!
2!
_2=12_2=24
Û (2, 2, 3, 3)일 때
같은 것이 2개, 2개가 포함된 4개를 일렬로 나열하는 경우
의 수는
4!
2!_2!
=6
24+6=30
Ú, Û에서 구하는 자연수의 개수는
8 혜정, 건이, 소정이 서는 순서가 정해져 있으므로 이 세 명을
모두 A로 생각한다. 건이네 조 학생 수를 n이라 하면
n!
3!
∴ n=6
=120, n!=720=6!
따라서 건이네 조 학생 수는 6이다.
9 오른쪽으로 한 칸 가는 것을 a,아래쪽으로 한 칸 가는 것을 b
Ú A 지점에서 B 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 4개
의 a와 4개의 b를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
라 하면
8!
4!_4!
=70
Û A 지점에서 P 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 1개
의 a와 2개의 b를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
3!
2!
P 지점에서 B 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 3개
=3
의 a와 2개의 b를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
=10
5!
3!_2!
따라서 A 지점에서 P 지점을 거쳐 B 지점까지 최단 거리
로 가는 경우의 수는
3_10=30
Ú, Û에서 구하는 경우의 수는
70-30=40
10 Ú 기명투표는 어느 회원이 어느 후보를 뽑았는지 알 수 있
으므로 2명의 후보 중에서 10명을 택하는 중복순열의
수와 같다.
따라서 구하는 경우의 수는
2P10=210=1024
∴ a=1024
Û 무기명투표는 어느 회원이 어느 후보를 뽑았는지 알 수
없으므로 2명의 후보 중에서 10명을 택하는 중복조합의
수와 같다.
01. 순열과 조합 ⦁ 05
① 기명투표 : 투표 용지에 투표하는 사람의 이름을 적어서
= 5C0(2a)5+5C1(2a)4b+5C2(2a)3b2+5C3(2a)2b3
따라서 구하는 경우의 수는
2H10=2+10-1C10=11C10=11C1=11
∴ b=11
Ú, Û에서
a+b=1035
참고
하는 투표
⇨ 중복순열의 수 nPr 이용
않고서 하는 투표
⇨ 중복조합의 수 nH r 이용
11 4Hr=4+r-1Cr=r+3Cr=r+3C3이므로
r+3C3=6C3
∴ r=3
∴ 7Hr=7H3=7+3-1C3=9C3=84
② 무기명투표 : 투표 용지에 투표하는 사람의 이름을 적지
12 먼저 사과 1개, 오렌지 2개를 넣고 서로 다른 3종류의 과일
중에서 7개를 추가로 넣으면 된다. 따라서 서로 다른 3종류
의 과일 중에서 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 구
하는 경우의 수는
3H7=3+7-1C7=9C7=9C2=36
13 (a-b+c)5의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 3개의 문
자 a, b, c 중에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
그 개수는
3H5=3+5-1C5=7C5=7C2=21
14 방정식 x+y+z=n의 음이 아닌 정수해의 개수는 3개의
문자 x, y, z 중에서 n개를 택하는 중복조합의 수와 같으
므로
3Hn=3+n-1Cn=n+2Cn=n+2C2
이때 음이 아닌 정수해의 개수가 55이므로
(n+2)(n+1)
2
(n+1)(n+2)=110=10_11, n+1=10
n+2C2=55,
=55
∴ n=9
06 ⦁ 정답과 해설
02 이항정리
1-1 ⑴ a3b2, 10a3b2 ⑵ -2, 4, 24
1-2 ⑴ (2a+b)5
본문 | 020~023쪽
+5C4 (2a)b4+5C5 b5
=32a5+80a4b+80a3b2+40a2b3+10ab4+b5
⑵ (a-b)6
={a+(-b)}6
= 6C0 a6+6C1 a5(-b)+6C2 a4(-b)2+6C3 a3(-b)3
+6C4 a2(-b)4+6C5 a(-b)5+6C6(-b)6
=a6-6a5b+15a4b2-20a3b3+15a2b4-6ab5+b6
2-1 1, 12
2-2 ⑴
{
2x2+
7
;[!;}
의 전개식의 일반항은
7Cr(2x2)7-r
=7Cr_27-r_x14-2r_x-r
r
{;[!;}
=7Cr_27-r_x14-3r
이때 x5항은 14-3r=5에서 r=3
따라서 x5의 계수는
7C3_24=560
1
x2 }
8
의 전개식의 일반항은
x-
⑵
{
8Cr x8-r
=8Cr_x8-r_(-1)r_x-2r
r
1
x2 }
{-
=8Cr_(-1)r_x8-3r
이때 x5항은 8-3r=5에서 r=1
따라서 x5의 계수는
8C1_(-1)=-8
3-1 4-r, 6-2r, 8, 8, 56
3-2 ⑴ (3+x)5의 전개식의 일반항은 5Cr 35-rxr
따라서 (1+2x)(3+x)5의 전개식의 일반항은
(1+2x)_5Cr 35-rxr
=5Cr_35-r_xr+2 5Cr_35-r_xr+1
이때 x4의 계수는
Ú 5Cr_35-r_xr에서 r=4일 때이므로
Û 2 5Cr_35-r_xr+1에서 r+1=4, 즉 r=3일 때이므
5C4_3=15
로 2 5C3_32=180
Ú, Û에서 x4의 계수는
15+180=195
⑵
{
x-
4
;[!;}
의 전개식의 일반항은
4Cr x4-r
r
;[!;}
-
{
=4Cr_x4-r_(-1)r_x-r
=4Cr_(-1)r_x4-2r
따라서 (x2+1)
x-
4
의 전개식의 일반항은
;[!;}
{
(x2+1)_4Cr_(-1)r_x4-2r
=4Cr_(-1)r_x6-2r+4Cr_(-1)r_x4-2r
` 이때 x2의 계수는
Ú 4Cr_(-1)r_x6-2r에서 6-2r=2, 즉 r=2일 때
이므로 4C2_(-1)2=6
Û 4Cr_(-1)r_x4-2r에서 4-2r=2, 즉 r=1일 때
이므로 4C1_(-1)=-4
Ú, Û에서 x2의 계수는
6+(-4)=2
⑶
{
x2+
5
의 전개식의 일반항은
;[!;}
5Cr (x2)5-r
=5Cr_x10-2r_x-r=5Cr_x10-3r
r
{;[!;}
따라서 (x+2)
의 전개식의 일반항은
x2+
{
5
;[!;}
(x+2)_5Cr_x10-3r
=5Cr x11-3r+2 5Cr x10-3r
` 이때 x의 계수는
Ú 5Cr x11-3r에서 11-3r=1을 만족시키는 정수 r는 존
재하지 않는다.
Û 2 5Cr x10-3r에서 10-3r=1, 즉 r=3일 때이므로
2 5C3=20
Ú, Û에서 x의 계수는 20
4-1 15x4y2, y6
4-2
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10 10
5
1
1
6
15 20 15
6
1
1
7
21 35 35 21
7
1
⑴ (x+1)7
⑵ (a-b)5
5-1 12, 286
5-2 2C0=3C0이므로
2C0+3C1+4C2+ y +20C18
=(3C0+3C1)+4C2+ y +20C18
=(4C1+4C2)+ y +20C18
⋮
=20C17+20C18
=21C18=21C3=1330
6-1 ⑴ 1, 256 ⑴ 9, 256
6-2 이항정리에서
(1+x)n=nC0+nC1 x+nC2 x2+ y +nCn xn
⑴ 양변에 x=-1, n=10을 대입하면
0=10C0-10C1+10C2- y +10C10
∴ 10C1-10C2+10C3- y +10C9
=10C0+10C10=1+1=2
⑵ 양변에 x=1, n=11을 대입하면
11C0+11C1+11C2+ y +11C11=211
양변에 x=-1, n=11을 대입하면
yy㉠
11C0-11C1+11C2- y -11C11=0
yy㉡
㉠-㉡을 하면
2(11C1+11C3+11C5+11C7+11C9+11C11)=211
∴ 11C1+11C3+11C5+11C7+11C9+11C11=210=1024
집중 연습
본문 | 024, 025쪽
1 ⑴ (x+2y)5의 전개식의 일반항은
5Cr x5-r(2y)r=5Cr_2r_x5-ryr
이때 x4y항은 r=1
따라서 x4y의 계수는
5C1_2=10
⑵ (x2-2x)6의 전개식의 일반항은
6Cr(x2)6-r(-2x)r=6Cr_(-2)r_x12-r
이때 x8항은 12-r=8에서 r=4
따라서 x8의 계수는
6C4_(-2)4=240
⑶ (x2-2y)4의 전개식의 일반항은
4Cr(x2)4-r(-2y)r=4Cr_(-2)r_x8-2ryr
02. 이항정리 ⦁ 07
=x7+7x6+21x5+35x4+35x3+21x2+7x+1
= a5+5a4(-b)+10a3(-b)2+10a2(-b)3
+5a(-b)4+(-b)5
=a5-5a4b+10a3b2-10a2b3+5ab4-b5
이때 x2y3항은 r=3
따라서 x2y3의 계수는
4C3_(-2)3=-32
⑷
{
2x2+
5
;[!;}
의 전개식의 일반항은
5Cr(2x2)5-r
=5Cr_25-r_x10-3r
r
{;[!;}
이때 x항은 10-3r=1에서 r=3
따라서 x의 계수는
5C3_22=40
⑸
{
2x-
1
x3 }
8
의 전개식의 일반항은
8Cr(2x)8-r
{
-
r
1
x3 }
=8Cr_28-r_(-1)r_x8-4r
이때 상수항은 8-4r=0에서 r=2
따라서 상수항은
8C2_26_(-1)2=1792
2 ⑴ (x-2)3의 전개식의 일반항은 3Cr x3-r(-2)r
따라서 (x+2)(x-2)3의 전개식의 일반항은
(x+2)_3Cr x3-r(-2)r
=3Cr_(-2)r_x4-r+2 3Cr_(-2)r_x3-r
이때 x3의 계수는
Ú 3Cr_(-2)r_x4-r에서 4-r=3, 즉 r=1일 때이므
Û 2 3Cr_(-2)r_x3-r에서 3-r=3, 즉 r=0일 때이므
로 3C1_(-2)=-6
로 2 3C0_(-2)0=2
Ú, Û에서 x3의 계수는
-6+2=-4
⑵ (x+3)4의 전개식의 일반항은 4Cr x4-r3r
따라서 (2x+1)(x+3)4의 전개식의 일반항은
(2x+1)_4Cr x4-r3r=2 4Cr_3r_x5-r+4Cr_3r_x4-r
이때 x4의 계수는
Ú 2 4Cr_3r_x5-r에서 5-r=4, 즉 r=1일 때이므로
2 4C1_3=24
Û 4Cr_3r_x4-r에서 4-r=4, 즉 r=0일 때이므로
4C0_30=1
Ú, Û에서 x4의 계수는
24+1=25
10
⑶
{
x-
;[!;}
의 전개식의 일반항은
10Cr x10-r
{
-
r
;[!;}
=10Cr_(-1)r_x10-2r
10
;[!;}
x-
의 전개식의 일반항은
따라서 (x+1)
{
(x+1)_10Cr_(-1)r_x10-2r
=10Cr_(-1)r_x11-2r+10Cr_(-1)r_x10-2r
이때 x2의 계수는
Ú 10Cr_(-1)r_x11-2r에서 11-2r=2를 만족시키는
정수 r는 존재하지 않는다.
08 ⦁ 정답과 해설
Û 10Cr_(-1)r_x10-2r에서 10-2r=2, 즉 r=4일 때
이므로 10C4_(-1)4=210
Ú, Û에서 x2의 계수는 210
⑷ (x-y)4의 전개식의 일반항은
4Cr x4-r(-y)r=4Cr_(-1)r_x4-ryr
따라서 (x+y)(x-y)4의 전개식의 일반항은
(x+y)_4Cr_(-1)r_x4-ryr
=4Cr_(-1)r_x5-ryr+4Cr_(-1)r_x4-ryr+1
이때 x3y2의 계수는
Ú 4Cr_(-1)r_x5-ryr에서 r=2일 때이므로
4C2_(-1)2=6
Û 4Cr_(-1)r_x4-ryr+1에서 r=1일 때이므로
4C1_(-1)=-4
Ú, Û에서 x3y2의 계수는
6-4=2
⑸
{
x+
5
;[!;}
의 전개식의 일반항은
5Cr x5-r
=5Cr_x5-2r
r
{;[!;}
따라서 (x2+x)
x+
의 전개식의 일반항은
5
;[!;}
{
(x2+x)_5Cr_x5-2r
=5Cr_x7-2r+5Cr_x6-2r
Ú 5Cr_x7-2r에서 7-2r=0을 만족시키는 정수 r는 존
재하지 않는다.
Û 5Cr_x6-2r에서 6-2r=0, 즉 r=3일 때이므로
5C3=10
Ú, Û에서 상수항은 10
3 ⑴ 6C0+6C1+6C2+ y +6C6=26=64
⑵ 6C0-6C1+6C2- y +6C6=0
⑶ 8C0+8C2+8C4+8C6+8C8=28-1=128
⑷ 7C1+7C3+7C5+7C7=27-1=64
⑸ 7C0+7C1+7C2+ y +7C7=27
이때 7C4=7C3, 7C5=7C2, 7C6=7C1, 7C7=7C0
이므로
2(7C0+7C1+7C2+7C3)=27
∴ 7C0+7C1+7C2+7C3=26=64
∴ 9C1+9C2+9C3+ y +9C9=512-9C0=511
4 ⑴ 9C0+9C1+9C2+ y +9C9=29=512
⑵ 20C0+20C2+20C4+ y +20C20=219
⑶ 7C1+7C3+7C5+7C7=26
∴ 20C2+20C4+20C6+ y +20C20=219-1
∴ log2`(7C1+7C3+7C5+7C7)=log2`26=6
⑷ 13C1+13C3+13C5+ y +13C13=212
∴ log4`(13C1+13C3+13C5+ y +13C13)
=log4`212=log2Û``212=
=6
:Á2ª:
⑸ 이항정리에서
(1+x)n=nC0+nC1 x+nC2 x2+ y +nCn xn
양변에 x=2, n=9를 대입하면
(1+2)9=9C0+2_9C1+22_9C2+ y +29_9C9
∴ 9C0+2_9C1+22_9C2+ y +29_9C9=39
4 {
x-
6
1
x2 }
의 전개식의 일반항은
=6Cr_(-1)r_x6-3r
6Crx6-r
r
1
x2 }
{-
6-3r=0에서 r=2
따라서 구하는 상수항은
6C2_(-1)2=15
기초 개념
가평
본문 | 026, 027쪽
01 조합
03 이항계수
05 nCr an-rbr
07 nCn-r
09 0
02 이항정리
04 일반항
06 합
08 2n
10 2n-1
5
(1+2x)Þ`-1
x
의 전개식에서 x2의 계수는 (1+2x)5의 전개
식에서 x3의 계수와 같다.
(1+2x)5의 전개식의 일반항
5Cr(2x)r=5Cr_2r_xr
에서 x3의 계수는
5C3_23=80
이므로 주어진 식의 전개식에서 x2의 계수는 80
6 (a+x)5의 전개식의 일반항은 5Cr a5-rxr
따라서 (1+2x)(a+x)5의 전개식의 일반항은
(1+2x)_5Cr a5-rxr
=5Cr_a5-r_xr+2 5Cr_a5-r_xr+1
이때 x4의 계수는
Ú 5Cr_a5-r_xr에서 r=4일 때이므로
yy ㉠
기초 문제
가평
1 (2x2-3x)4의 전개식의 일반항은
4Cr(2x2)4-r(-3x)r=4Cr_24-r_(-3)r_x8-r
이때 8-r=5에서 r=3
따라서 x5의 계수는
4C3_2_(-3)3=-216
본문 | 028, 029쪽
Û 2 5Cr_a5-r_xr+1에서 r=3일 때이므로
5C4_a=5a
2 5C3 a2=20a2
Ú, Û에서 x4의 계수는 20a2+5a
x4의 계수가 195이므로
20a2+5a=195, 4a2+a-39=0
(a-3)(4a+13)=0
∴ a=3 (∵ a>0)
a=3을 ㉠에 대입하면 구하는 x2의 계수는
5C2_33+2_5C1_34 =270+810
=1080
2 (2a+3b)4
= 4C0(2a)4+ ㈎ : 4C1 (2a)3(3b)+4C2(2a)2(3b)2
+ ㈏ : 4C3 (2a)(3b)3+4C4(3b)4
=16a4+96a3b+216a2b2+ ㈐ : 216 ab3+81b4
따라서 구하는 답은 ④이다.
3 (ax+2)7의 전개식의 일반항은
x3의 계수가 70이므로
7Cr(ax)7-r2r=7Cr_a7-r_2r_x7-r
7-r=3에서 r=4
7C4_a3_24=70, a3=
;8!;
a는 실수이므로 a=
;2!;
7 {
x+
6
;[!;}
의 전개식의 일반항은
6Crx6-r
=6Cr_x6-2r
r
{;[!;}
따라서 (x2+x+1)
x+
의 전개식의 일반항은
6
;[!;}
{
(x2+x+1)_6Cr_x6-2r
=6Cr_x8-2r+6Cr_x7-2r+6Cr_x6-2r
이때 상수항은
Ú 6Cr_x8-2r에서 8-2r=0, 즉 r=4일 때이므로
6C4=6C2=15
02. 이항정리 ⦁ 09
Û 6Cr_x7-2r에서 7-2r=0을 만족시키는 정수 r는 존재하
Ü 6Cr_x6-2r에서 6-2r=0, 즉 r=3일 때이므로
지 않는다.
6C3=20
Ú, Û, Ü에서 상수항은
15+20=35
8
¢Cª
°Cª
°C£
¤Cª
¤C£
¤C¢
¦Cª
¦C£
¦C¢
¦C°
¥Cª
¥C£
¥C¢
¥C°
¥C¤
»Cª
»C£
»C¢
»C°
»C¤
»C¦
Á¼Cª Á¼C£ Á¼C¢ Á¼C° Á¼C¤ Á¼C¦ Á¼C¥
5C2+5C3+6C2+7C2+8C2+9C2
=(6C3+6C2)+7C2+8C2+9C2
=(7C3+7C2)+8C2+9C2
=(8C3+8C2)+9C2
=9C3+9C2=10C3=120
9 (1+x)n의 전개식의 일반항은 nCr xr이고
3ÉnÉ8인 경우에만 x3항이 나오므로
(1+x)3의 전개식에서 x3의 계수는 3C3
(1+x)4의 전개식에서 x3의 계수는 4C3
⋮
(1+x)8의 전개식에서 x3의 계수는 8C3
따라서 x3의 계수는
3C3+4C3+5C3+6C3+7C3+8C3
=(4C4+4C3)+5C3+6C3+7C3+8C3
=(5C4+5C3)+6C3+7C3+8C3
=(6C4+6C3)+7C3+8C3
=(7C4+7C3)+8C3
=8C4+8C3=9C4=126
10
ÁC¼
ÁCÁ
ªC¼
ªCÁ
ªCª
£C¼
£CÁ
£Cª
£C£
¢C¼
¢CÁ
¢Cª
¢C£
¢C¢
°C¼
°CÁ
°Cª
°C£
°C¢
°C°
Á¼CÁ
Á¼Cª Á¼C£
y
y
Á¼C¦ Á¼C¥ Á¼C» Á¼CÁ¼
ÁÁCÁ
ÁÁCª ÁÁC£
y
ÁÁC¦
ÁÁC¥ ÁÁC» ÁÁCÁ¼ ÁÁCÁÁ
3C0+4C1+5C2+ y +10C7
=(4C0+4C1)+5C2+ y +10C7
=(5C1+5C2)+6C3+ y +10C7
⋮
=10C6+10C7=11C7=11C4
=330
11 nC0+nC1+nC2+ y +nCn=2n에서
10C0+10C1+10C2+10C3+ y +10C10=210
∴ n=10
12 이항정리에서
(1+x)n=nC0+nC1 x+nC2 x2+ y +nCn xn
양변에 x=3을 대입하면
(1+3)n=nC0+nC1_3+nC2_32+ y +nCn_3n
4n=420
∴ n=20
13 15C0+15C1+15C2+y+15C15=215
이때 15C8=15C7, 15C9=15C6, y, 15C15=15C0
이므로
2(15C0+15C1+15C2+15C3+ y +15C7)=215
∴ 15C0+15C1+15C2+15C3+ y +15C7=214
∴ log2`(15C0+15C1+15C2+15C3+ y +15C7)
=log2`214=14
다른 풀이
(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+ y +(1+x)8
yy㉠
㉠은 첫째항이 1+x, 공비가 1+x, 항수가 8인 등비수열의
합이므로
(1+x){(1+x)¡`-1}
(1+x)-1
=
(1+x)á`-(1+x)
x
14 1110 =(1+10)10
=10C0+10C1_10+10C2_102+ y +10C10_1010
이때 10C1_10+10C2_102+ y +10C10_1010은 100으로
나누어떨어진다.
㉠의 전개식에서 x3의 계수는 (1+x)9의 전개식에서 x4의 계
수와 같다. (1+x)9의 전개식의 일반항은 9Cr xr이므로 r=4
따라서 1110을 100으로 나누었을 때의 나머지는 10C0을 100
으로 나누었을 때의 나머지와 같으므로 구하는 나머지는
따라서 구하는 계수는 9C4=126
10C0=1
10 ⦁ 정답과 해설
03 확률의 뜻과 활용
&
기초 개념 피드백 TEST
1-1 4, 5
1-2 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 일어날 수
있는 모든 경우의 수는 6_6=36
⑴ 두 눈의 수의 합이 9인 경우를 순서쌍으로 나타내면
본문 | 034~039쪽
1-1 ⑵ 4 ⑶ 10 ⑷ 10, 7
1-2 한 개의 주사위를 던지는 시행에서
⑴ 표본공간 S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
본문 | 033쪽
⑵ 3의 배수의 눈이 나오는 사건을 A라 하면
A={3, 6}
1-3 한 개의 주사위를 던지는 시행에서 표본공간 S는
S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
⑵ 10 이하의 숫자가 적힌 공은 10개이므로 구하는 확
이므로 n(A)=6
⑶ 12가 적힌 공은 없으므로 구하는 확률은
B= {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 5),
(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)
따라서 구하는 확률은
=
;9!;
;3¢6;
따라서 구하는 확률은
=
;6!;
;3¤6;
⑵ 두 눈의 수의 차가 0인 경우를 순서쌍으로 나타내면
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)
2-1 ⑴ 4 ⑵ 0, 0 ⑶ 9, 1
2-2 ⑴ 소수는 2, 3, 5, 7이므로 구하는 확률은
(소수의 개수)
(전체 공의 개수)
=
=
;5@;
;1¢0;
률은
(10 이하의 숫자의 개수)
(전체 공의 개수)
=
;1!0);
=1
(12가 적힌 공의 개수)
(전체 공의 개수)
=
;1¼0;
=0
3-1 3, 3, 1, 1, 2
3-2 ⑴ 바닥에 오는 면에 적힌 수가 8의 약수인 경우는 1,
2, 4, 8의 4가지이므로 그 확률은
=
;1¢2;
;3!;
바닥에 오는 면에 적힌 수가 3의 배수인 경우는 3, 6,
9, 12의 4가지이므로 그 확률은
=
;1¢2;
;3!;
두 사건은 동시에 일어나지 않으므로 구하는 확률은
+
=
;3!;
;3!;
;3@;
⑵ 바닥에 오는 면에 적힌 수가 소수인 경우는 2, 3, 5,
7, 11의 5가지이므로 그 확률은
;1°2;
바닥에 오는 면에 적힌 수가 4의 배수인 경우는 4,
8, 12의 3가지이므로 그 확률은
=
;1£2;
;4!;
+
=
;4!;
;1°2;
;1¥2;
=
;3@;
A={1, 3, 5}, B={1, 2, 3, 6}
⑴ A'B={1, 2, 3, 5, 6}
⑵ A;B={1, 3}
⑶ AC={2, 4, 6}
⑷ AC={2, 4, 6}, BC={4, 5}
이므로
AC'BC={2, 4, 5, 6}
2-1 6, 1
2-2 표본공간 S는
S={(1, 1), (1, 2), y, (6, 5), (6, 6)}
이므로 n(S)=6_6=36
⑴ 나오는 두 눈의 수의 합이 10 이상인 사건을 A라 하면
A={(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 6), (6, 5), (6, 4)}
따라서 구하는 확률 P(A)=
=
;6!;
;3¤6;
⑵ 나오는 두 눈의 수의 차가 1인 사건을 B라 하면
(5, 4), (4, 3), (3, 2), (2, 1)}
이므로 n(B)=10
따라서 구하는 확률 P(B)=
=
;3!6);
;1°8;
3-1 7, 7
3-2 7명이 일렬로 서는 경우의 수는 7!
남학생 4명이 일렬로 서는 경우의 수는 4!
남학생 사이사이에 여학생 3명이 서는 경우의 수는 3!
따라서 구하는 확률은
4!_3!
7!
=
3_2_1
7_6_5
=
;3Á5;
4-1 30, 30, 15
4-2 7개의 공 중에서 2개의 공을 꺼내는 경우의 수는
7C2=21
경우의 수는 4C1_3C1=12
따라서 구하는 확률은
=
;7$;
;2!1@;
03. 확률의 뜻과 활용 ⦁ 11
두 사건은 동시에 일어나지 않으므로 구하는 확률은
빨간 공 4개 중에서 1개, 파란 공 3개 중에서 1개를 꺼내는
5-1 56, 2, 56
5-2 9명의 회원 중에서 3명을 뽑는 경우의 수는
9C3=84
A, B는 포함되고 C는 포함되지 않으므로 A, B, C를 제외
한 6명의 회원 중에서 1명을 뽑는 경우의 수는
6C1=6
따라서 구하는 확률은
=
;8¤4;
;1Á4;
6-1 620, 99
6-2 ⑴ 5000개 중에서 4450개가 부화하므로 구하는 확률은
=
;5$0$0%0);
;1¥0»0;
⑵ 필요한 최소한의 달걀의 개수를 n이라 하면
_n¾60, n¾67.41___
;1¥0»0;
따라서 구하는 최소한의 달걀의 개수는 68
7-1 ⑴ 2, 6 ⑵ 0
7-2 10장의 카드 중에서 3장을 꺼내는 경우의 수는
10C3=120
⑴ 짝수가 적힌 카드 5장 중에서 2장을 뽑을 확률은
5C2_5C1
10C3
=
=
;1°2¼0;
;1°2;
⑵ 반드시 일어나는 사건이므로 1
⑶ 절대로 일어나지 않는 사건이므로 0
8-1 1, 1, 12, 2
8-2 홀수의 눈이 나오는 사건을 A, 3의 배수의 눈이 나오는 사
건을 B라 하면
n(A)=3, n(B)=2, n(A;B)=1
따라서 구하는 확률은
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=
+
-
;6@;
;6#;
;6!;
=
;6$;
=
;3@;
9-1 10, 10, 13
9-2 20장의 카드 중에서 2장의 카드를 동시에 뽑는 경우의 수
는 20C2=190
3의 배수가 적힌 카드를 뽑는 사건을 A, 7의 배수가 적힌
카드를 뽑는 사건을 B라 하면
n(A)=6C2=15, n(B)=2C2=1
이고 두 사건은 서로 배반사건이다.
12 ⦁ 정답과 해설
따라서 구하는 확률은
P(A'B)=P(A)+P(B)
=
+
=
;1Á9°0;
;19!0;
;1Á9¤0;
=
;9¥5;
10-1 5, 5, 37
10-2 적어도 한 개가 당첨 제비인 사건을 A라 하면 A의 여사건
은 당첨 제비를 하나도 뽑지 않는 사건이다.
10개의 제비 중에서 3개를 동시에 뽑는 경우의 수는
10C3=120
당첨 제비를 하나도 뽑지 않는 경우의 수는 6C3=20
이므로 P(AC)=
=
;1ª2¼0;
;6!;
따라서 구하는 확률은
P(A)=1-P(AC)=1-
=
;6%;
;6!;
11-1 14, 14, 23
11-2 꺼낸 카드 중에 홀수가 적힌 카드가 0개일 확률은
5C0_5C2
10C2
=
=
;4!5);
;9@;
따라서 구하는 확률은
1-
=
;9@;
;9&;
집중 연습
본문 | 040, 041쪽
1 6명이 일렬로 서는 경우의 수는 6!
⑴ A, B를 하나로 생각하여 5명이 일렬로 서는 경우의 수는
5!
A, B가 자리를 바꾸어 서는 경우의 수는 2!
따라서 구하는 확률은
5!_2!
6!
=
;3!;
⑵ A, B를 제외한 4명이 일렬로 서는 경우의 수는 4!
양 끝과 4명 사이사이에 A, B가 서는 경우의 수는 5P2
따라서 구하는 확률은
다른 풀이
4!_5P2
6!
=
;3@;
A, B가 이웃하여 설 확률이
이므로 A, B가 이웃하지 않
;3!;
게 설 확률은 1-
=
;3@;
⑶ A, B를 제외한 4명이 일렬로 서는 경우의 수는 4!
;3!;
A, B가 순서를 바꾸는 경우의 수는 2!
따라서 구하는 확률은
4!_2!
6!
=
;1Á5;
⑷ A, B를 제외한 4명 중에서 양 끝에 2명이 서는 경우의 수
⑶ A, B, C 중에서 1명만 뽑힐 경우의 수는 A, B, C를 제외
는 4P2
한 3명 중에서 2명을 뽑고 A, B, C 중 한 명을 포함시키는
A, B를 포함한 4명이 가운데 서는 경우의 수는 4!
A, B 모두 양 끝에 서지 않을 확률은 4P2_4!
=
6!
;5@;
따라서 구하는 확률은 1-
=
;5@;
;5#;
경우의 수와 같으므로
3C2_3C1=9
따라서 구하는 확률은
;2»0;
2 6명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (6-1)!=5!
⑴ A, B를 하나로 생각하여 5명이 원탁에 둘러앉는 경우의
수는 (5-1)!=4!
A, B가 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수는 2!
따라서 구하는 확률은
4!_2!
5!
=
;5@;
⑷ A, B, C가 모두 뽑히지 않을 경우의 수는 A, B, C를 제외
한 3명을 모두 뽑는 경우의 수와 같으므로
3C3=1
A, B, C 중 적어도 한 명이 뽑힐 사건은 A, B, C 모두 뽑
히지 않을 사건의 여사건이다.
따라서 구하는 확률은 1-
=
;2Á0;
;2!0(;
⑵ A의 자리가 정해지면 맞은편에 B의 자리도 정해지므로 5
5 흰 공 4개와 검은 공 5개 중에서 3개의 공을 동시에 꺼내는 경
명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (5-1)!=4!
우의 수는 9C3=84
따라서 구하는 확률은
4!
5!
=
;5!;
⑴ 흰 공 4개 중에서 2개, 검은 공 5개 중에서 1개를 꺼내는
3 a, a, b, b, c를 일렬로 나열하는 경우의 수는
5!
2!_2!
=30
⑴ 맨 앞에 오는 a를 제외한 a, b, b, c를 일렬로 나열하는 경
우의 수는
=12
4!
2!
따라서 구하는 확률은
=
;5@;
;3!0@;
⑵ a, a가 이웃하는 경우의 수는
=12
4!
2!
4!
2!
b, b가 이웃하는 경우의 수는
=12
a, a와 b, b가 각각 이웃하는 경우의 수는 3!=6
이므로 같은 문자가 서로 이웃할 경우의 수는
12+12-6=18
따라서 구하는 확률은
=
;5#;
;3!0*;
4 6명 중에서 3명의 대표를 뽑는 경우의 수는
6C3=20
⑴ A, B가 모두 뽑힐 경우의 수는 A, B를 제외한 4명 중에서
1명을 뽑고 A, B를 포함시키는 경우의 수와 같으므로
4C1=4
따라서 구하는 확률은
=
;5!;
;2¢0;
⑵ A는 뽑히고 B는 뽑히지 않을 경우의 수는 A, B를 제외한
4명 중에서 2명을 뽑고 A를 포함시키는 경우의 수와 같으
므로
4C2=6
따라서 구하는 확률은
=
;2¤0;
;1£0;
경우의 수는 4C2_5C1=30
따라서 구하는 확률은
=
;8#4);
;1°4;
⑵ 흰 공 4개 중에서 3개를 꺼내는 경우의 수는
4C3=4C1=4
따라서 구하는 확률은
=
;8¢4;
;2Á1;
⑶ 흰 공 4개 중에서 3개를 꺼내는 경우의 수는
검은 공 5개 중에서 3개를 꺼내는 경우의 수는
4C3=4C1=4
5C3=5C2=10
따라서 구하는 확률은
+
=
=
;6!;
;8!4$;
;8!4);
;8¢4;
⑷ 흰 공 4개 중에서 3개를 꺼낼 확률은
이므로
;2Á1;
구하는 확률은 1-
=
;2Á1;
;2@1);
기초 개념
가평
본문 | 042, 043쪽
01 시행
03 사건
05 A'B, A;B
07 여사건
09 통계적 확률
11 P(A'B)
13 P(A)
02 표본공간
04 근원사건
06 배반사건
08 P(A)
10 P(A;B)
12 P(AC)
03. 확률의 뜻과 활용 ⦁ 13
본문 | 044, 045쪽
7 10장의 카드 중에서 2장을 뽑는 경우의 수는
10C2=45
두 수의 합이 홀수인 경우는 짝수와 홀수가 적힌 카드를 각각
한 장씩 뽑을 경우이므로
이때 B;C=∅이므로 서로 배반사건인 것은 B와 C이다.
5C1_5C1=5_5=25
2 세 사람이 가위바위보를 할 때, 나오는 모든 경우의 수는
세 사람이 모두 서로 다른 것을 낼 경우의 수는
8 B사 휴대폰을 사용하는 사용자 수는 146이므로 구하는 확률
구하는 확률은
=
;4@5%;
;9%;
따라서 구하는 답은 ①이다.
은
=
;5!0$0^;
;2¦5£0;
3 6개의 문자 B, A, N, A, N, A를 일렬로 나열하는 방법의 수
두 개의 N을 한 문자 C로 생각하여 B, A, C, A, A를 일렬로
9 A, B가 문제를 푸는 사건을 각각 A, B라 하면
P(A)=0.8, P(B)=0.5, P(A'B)=0.9
따라서 구하는 확률은
P(A;B) =P(A)+P(B)-P(A'B)
=0.8+0.5-0.9=0.4
기초 문제
가평
1 A={1, 3, 5, 6, 8}, B={6, 8, 10},
C={3, 5}, D={3, 6}
따라서 구하는 답은 ③이다.
3_3_3=27
3_2_1=6
따라서 구하는 확률은
=
;9@;
;2¤7;
는
6!
2!_3!
=60
나열하는 방법의 수는
=20
5!
3!
따라서 구하는 확률은
=
;3!;
;6@0);
4 5장의 카드로 만들 수 있는 네 자리 자연수는
5P4=120
1___, 2___ 꼴 ⇨ 2_4P3=48
31__ 꼴 ⇨ 3P2=6
이므로 3200 이하일 경우의 수는 48+6=54
따라서 구하는 확률은
=
;1°2¢0;
;2»0;
5 8명이 일렬로 서는 경우의 수는 8!
남학생 3명 중에서 양 끝에 설 2명을 뽑는 경우의 수는
3C2=3
남학생 2명이 자리를 바꾸어 서는 경우의 수는 2!
그 사이에 6명이 일렬로 서는 경우의 수는 6!
따라서 구하는 확률은
3_2!_6!
8!
=
;2£8;
6 10개의 제비 중에서 2개를 동시에 뽑는 경우의 수는
10C2=45
n개의 제비 중에서 2개의 당첨 제비를 뽑는 경우의 수는
nC2=
n(n-1)
2
n(n-1)
2
45
14 ⦁ 정답과 해설
=
;1Á5;
, n2-n-6=0
(n-3)(n+2)=0
∴ n=3 (∵ n>0)
10 수학 프로그램에 참여하는 사건을 A, 국어 프로그램에 참
여하는 사건을 B라 하면
P(A)=
=
, P(B)=
;1ª0°0;
;4!;
;1£0¼0;
=
,
;1£0;
P(A;B)
=;1Á0¼0;=;1Á0;
따라서 구하는 확률은
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=
+
;4!;
;1£0;
-
;1Á0;
=
;2»0;
11 두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로
P(A'B)=P(A)+P(B)
=
;3@;
;6!;
+P(B)
∴ P(B)=
;2!;
12 한 개의 주사위를 3번 던져 나오는 모든 경우의 수는
6_6_6=216
이때 (a-b)(b-c)=0에서
a-b=0 또는 b-c=0
∴ a=b 또는 b=c
a=b인 사건을 A, b=c인 사건을 B라 하면
Ú a=b인 경우의 수는 6_6=36이므로
P(A)=
;2£1¤6;
Û b=c인 경우의 수는 6_6=36이므로
P(B)=
;2£1¤6;
Ü a=b=c인 경우의 수는 6이므로
P(A;B)=
;21^6;
Ú, Û, Ü에서
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=
+
;2£1¤6;
;2£1¤6;
;21^6;
-
=
=
;2¤1¤6;
;3!6!;
13 10명의 학생 중에서 3명을 뽑는 경우의 수는 10C3
1학년 학생 4명 중에서 3명을 뽑는 사건을 A라 하면
P(A)= 4C3
10C3
;12$0;
;3Á0;
=
=
2학년 학생 6명 중에서 3명을 뽑는 사건을 B라 하면
P(B)= 6C3
10C3
;1ª2¼0;
=
=
;6!;
두 사건 A, B는 서로 배반사건이므로
P(A'B)=P(A)+P(B)
=
+
=
;6!;
;5!;
;3Á0;
14 10개의 제비 중에서 3개를 뽑는 경우의 수는
10C3=120
당첨 제비의 개수를 n이라 하면 (10-n)개의 제비 중에서
3개의 제비를 뽑는 경우의 수는
10-nC3=
(10-n)(9-n)(8-n)
6
이므로 당첨 제비를 하나도 뽑지 않을 확률은
(10-n)(9-n)(8-n)
6
120
=
(10-n)(9-n)(8-n)
720
적어도 1개의 당첨 제비를 뽑을 확률이
이므로
;3@0(;
1-
(10-n)(9-n)(8-n)
720
=
;3@0(;
(10-n)(9-n)(8-n)=24=4_3_2
10-n=4
∴ n=6
따라서 구하는 당첨 제비의 개수는 6
15 7개의 사탕 중에서 3개를 동시에 뽑는 경우의 수는
7C3=35
포도 맛 사탕 4개 중에서 3개를 동시에 뽑는 경우의 수는
이므로 적어도 한 개가 오렌지 맛 사탕일 확률은
4C3=4C1=4
1-
=
;3¢5;
;3#5!;
;1£0;
;5#;
;1£0;
;3@;
;2£5;
;1£0;
;2£5;
;2!;
04 조건부확률
1-1 5
1-2 ⑴ P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
=
;2!;
⑵ P(A|B)=
P(A;B)
P(B)
=
=
;2»0;
본문 | 046~049쪽
2-1 10, 5
2-2 확률의 덧셈정리에서
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
;2!5&;
;1£0;
;2!;
=
+
-P(A;B)
∴ P(A;B)=
;2£5;
⑴ P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
=
;5@;
⑵ P(A|B)=
P(A;B)
P(B)
=
=
;2¤5;
3-1 B, 1
3-2 홀수의 눈이 나오는 사건을 A, 3의 약수의 눈이 나오는 사
건을 B라 하면
P(A)=
, P(A;B)=
=
;6#;
;2!;
=
;3!;
;6@;
따라서 구하는 확률은 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의
조건부확률이므로
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
=
;3@;
;3!;
;2!;
4-1 20, 2, 2
4-2 임의로 뽑은 학생이 남학생인 사건을 A, 안경을 쓴 학생인
사건을 B라 하면
P(A)=
=
, P(A;B)=
;1¢0¼0;
;5@;
;1£0¼0;
=
;1£0;
따라서 구하는 확률은 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의
조건부확률이므로
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;4#;
04. 조건부확률 ⦁ 15
5-1 8
5-2 확률의 곱셈정리에서
P(A;B)=P(B)P(A|B)=
_
=
;5#;
;2!;
;1£0;
P(A;B)=P(A)P(B|A)이므로
;1£0;
=P(A)_
∴ P(A)=
;4#;
;5@;
6-1 1, 1, 21
6-2 ⑴ 첫 번째 꺼낸 제비가 당첨 제비인 사건을 A라 하면
P(A)
=
=;1¢0;
;5@;
두 번째 꺼낸 제비가 당첨 제비인 사건을 B라 하면 사건
A가 일어났을 때의 사건 B의 조건부확률은
P(B|A)=
=
;9#;
;3!;
하는 확률은
따라서 두 개 모두 당첨 제비인 사건은 A;B이므로 구
P(A;B)=P(A)P(B|A)=
_
=
;3!;
;5@;
;1ª5;
⑵ 첫 번째 꺼낸 제비가 당첨 제비가 아닌 사건을 A라 하면
P(A)=
=
;1¤0;
;5#;
P(B|A)=
;9$;
로 구하는 확률은
두 번째 꺼낸 제비가 당첨 제비인 사건을 B라 하면 사건
A가 일어났을 때의 사건 B의 조건부확률은
따라서 두 번째 제비만 당첨 제비인 사건은 A;B이므
P(A;B)=P(A)P(B|A)=
_
=
;9$;
;5#;
;1¢5;
7-1 2, 250, 250, 250, 250
7-2 ⑴ A, B 상자를 택하는 사건을 각각 A, B, 흰 공 1개, 검은
공 1개가 나오는 사건을 E라 하면
Ú 상자 A에서 흰 공 1개, 검은 공 1개가 나올 확률은
_ 3C1_3C1
6C2
P(A;E)=
;1£0;
=
=
_
;2!;
;5#;
;2!;
Û 상자 B에서 흰 공 1개, 검은 공 1개가 나올 확률은
_ 4C1_3C1
7C2
P(B;E)=
_
=
=
;7$;
;7@;
;2!;
;2!;
P(E)=P(A;E)+P(B;E)
=
+
=
;7@;
;1£0;
;7$0!;
⑵ 구하는 확률은
집중 연습
본문 | 050, 051쪽
1 ⑴ P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;2£5;
;5@;
=
;1£0;
⑵ 확률의 덧셈정리에서
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=
+
;2!;
;1£0;
;1¦0;
-P(A;B)
∴ P(A;B)=
;1Á0;
∴ P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;1Á0;
;2!;
=
;5!;
⑶ 확률의 덧셈정리에서
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=
+
;3!;
;4#;
;1¦0;
-P(A;B)
∴ P(A;B)=
;6!0&;
∴ P(A|B)=
P(A;B)
P(B)
=
;6!0&;
;1¦0;
=
;4!2&;
⑷ P(AC|BC)=
P(AC;BC)
P(BC)
이때
P(BC)=1-P(B)=
;5@;
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=
+
-
;5#;
;2!;
;5!;
=
;1»0;
이므로
P(AC;BC)=P((A'B)C)=1-P(A'B)
=1-
=
;1»0;
;1Á0;
∴ P(AC|BC)=
P(AC;BC)
P(BC)
;1Á0;
=
=
;4!;
;5@;
2 ⑴ 6의 약수의 눈이 나오는 사건을 A, 소수의 눈이 나오는 사
P(A)=
=
;6$;
;3@;
, P(A;B)=
=
;3!;
;6@;
따라서 구하는 확률은 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의
조건부확률이므로
Ú, Û에서 두 사건 A, B는 서로 배반사건이므로
건을 B라 하면
P(A|E)=
P(A;E)
P(E)
=
;1£0;
;7$0!;
=
;4@1!;
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
=
;2!;
;3!;
;3@;
16 ⦁ 정답과 해설
⑵ 소수의 눈이 나오는 사건을 A, 홀수의 눈이 나오는 사건을
5 첫 번째 꺼낸 구슬이 흰 구슬인 사건을 A라 하면
따라서 구하는 확률은 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의
일어났을 때의 사건 B의 조건부확률은
B라 하면
P(A)=
=
;6#;
;2!;
, P(A;B)=
=
;3!;
;6@;
조건부확률이므로
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
=
;3@;
;3!;
;2!;
P(A)=
;5@;
두 번째 꺼낸 구슬이 검은 구슬인 사건을 B라 하면 사건 A가
P(B|A)=
;4#;
따라서 구하는 확률은
P(A;B)=P(A)P(B|A)=
_
=
;4#;
;5@;
;1£0;
3 임의로 뽑은 관객이 남자인 사건을 A, 학생인 사건을 B라 하
면
P(A)=
=
, P(A;B)=
;1¢0¼0;
;5@;
;1ª0¢0;=;2¤5;
따라서 구하는 확률은 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조
P(A)=
;9$;
건부확률이므로
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;2¤5;
;5@;
=
;5#;
4 ⑴ P(A;B)=P(A)P(B|A)=
_
=
;2!;
;7$;
;7@;
⑵ P(A;B)=P(B)P(A|B)=
_
=
;5!;
;8%;
;8!;
P(A)=
;1£0;
6 첫 번째 꺼낸 공이 파란 공이 아닌 사건을 A라 하면
두 번째 꺼낸 공이 파란 공인 사건을 B라 하면 사건 A가 일
어났을 때의 사건 B의 조건부확률은
P(B|A)=
;8%;
따라서 구하는 확률은
P(A;B)=P(A)P(B|A)=
_
=
;8%;
;9$;
;1°8;
7 첫 번째 꺼낸 제비가 당첨 제비인 사건을 A라 하면
두 번째 꺼낸 제비가 당첨 제비가 아닌 사건을 B라 하면 사건
A가 일어났을 때의 사건 B의 조건부확률은
P(B|A)=
;9&;
따라서 구하는 확률은
P(A;B)=P(A)P(B|A)=
;1£0;_;9&;
;3¦0;
=
⑶ P(A;B)=P(A)P(B|A)=
_
=
;5#;
;2!;
;1£0;
P(AC;BC)=P((A'B)C)=1-P(A'B)에서
;1£0;
=1-P(A'B)
∴ P(A'B)=
;1¦0;
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서
;1¦0;
=
;2!;
+P(B)-
;1£0;
∴ P(B)=
;2!;
∴ P(A|B)=
P(A;B)
P(B)
=
;5#;
⑷ P(AC;BC)=P((A'B)C)=1-P(A'B)에서
;2!;
=1-P(A'B)
∴ P(A'B)=
;2!;
P(A;B)=P(B)P(A|B)=
P(B)
;4!;
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
에서
=
+P(B)-
P(B)
∴ P(B)=
;2!;
;3!;
;9@;
∴ P(A;B)=
P(B)=
_
=
;9@;
;4!;
;1Á8;
;4!;
;4!;
기초 개념
가평
본문 | 052, 053쪽
01 P(B|A)
03 P(A;B)
05 P(A;B)
07 P(B)
02 조건부확률
04 P(B), P(B)
06 P(AC)
04. 조건부확률 ⦁ 17
기초 문제
가평
본문 | 054, 055쪽
생인 사건을 B라 하면
임의로 뽑은 학생이 일본어를 배우는 학생인 사건을 A, 여학
1 P(A|B)-P(B|A)
P(A;B)
P(B)
=
-
P(A;B)
P(A)
=P(A;B)
1
{
P(B) -
1
P(A) }
=
;2£0;_{-;5@;}
=-
;5£0;
2 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서
;5#;
=
+
;5@;
;1£0;
-P(A;B) ∴ P(A;B)=
;1Á0;
∴ P(AC|B)=
P(AC;B)
P(B)
=
P(B)-P(A;B)
P(B)
;1£0;-;1Á0;
=
=
;3@;
;1£0;
P(A)=
=
;3@8$;
;1!9@;
, P(A;B)=
=
;3!8$;
;1¦9;
따라서 구하는 확률은 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조
건부확률이므로
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;1¦9;
;1!9@;
=
;1¦2;
6 임의로 뽑은 학생이 여학생인 사건을 A, 2반 학생인 사건을
B라 하면
건부확률이므로
P(A)=
=
;1¢1¢6;
;2!9!;
, P(A;B)=
=
;1ª1¼6;
;2°9;
따라서 구하는 확률은 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;2°9;
;2!9!;
=
;1°1;
3 P(A)=
, P(A;B)=
;1£0£0;
=
;10*0;
;2ª5;
따라서 구하는 확률은 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조
P(A)=
n
n+5
7 첫 번째 꺼낸 공이 흰 공인 사건을 A라 하면
건부확률이므로
두 번째 꺼낸 공이 검은 공인 사건을 B라 하면 사건 A가 일
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;2ª5;
=
;3¥3;
;1£0£0;
4 임의로 뽑은 학생이 남학생인 사건을 A, 뽑은 한 명이 아파트
에 살고 있는 학생인 사건을 B라 하면
P(A)=
=
, P(A;B)=
;1°0¼0;
;2!;
;1£0¼0;
=
;1£0;
따라서 구하는 확률은 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조
건부확률이므로
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;1£0;
;2!;
=
;5#;
5 주어진 조건을 표로 나타내면 다음과 같다.
여학생
남학생
중국어
일본어
합계
6
14
20
8
10
18
합계
14
24
38
18 ⦁ 정답과 해설
어났을 때의 사건 B의 조건부확률은
P(B|A)=
5
n+4
첫 번째는 흰 공, 두 번째는 검은 공이 나올 확률이
;6!;
이므로
P(A;B)=P(A)P(B|A)=
n
n+5
_
5
n+4
=
;6!;
n2-21n+20=0, (n-1)(n-20)=0
∴ n=1 또는 n=20
8 P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)에서
;2!;
P(B|A)=
_
;8#;
;5!;
∴ P(B|A)=
;2£0;
9 첫 번째 꺼낸 제비가 당첨 제비인 사건을 A라 하면
두 번째 꺼낸 제비가 당첨 제비인 사건을 B라 하면
Ú 첫 번째에 당첨 제비를 뽑았을 때, 두 번째에도 당첨 제비
P(A)=
=
;6#;
;2!;
를 뽑을 확률은
P(B|A)=
;5@;
따라서 두 번 모두 당첨 제비를 뽑을 확률은
11 Ú 첫 번째에 흰 바둑돌이 나오는 사건을 A, 두 번째에 검
Û 첫 번째에 당첨 제비를 뽑지 않았을 때, 두 번째에 당첨 제
첫 번째에 흰 바둑돌이 나왔을 때, 두 번째에 검은 바둑돌
따라서 첫 번째는 당첨 제비를 뽑지 않고, 두 번째에 당첨
둑돌이 나올 확률은
P(A;B)=P(A)P(B|A)
=
_
=
;5@;
;2!;
;5!;
비를 뽑을 확률은
P(B|AC)=
;5#;
제비를 뽑을 확률은
P(AC;B)=P(AC)P(B|AC)
=
_
;2!;
;5#;
=
;1£0;
Ú, Û에서 구하는 확률은
P(B)=P(A;B)+P(AC;B)
=
+
;5!;
;1£0;=;1°0;=;2!;
참고 제비뽑기에서 당첨될 확률
첨 확률이 높을까?
위의 9번 문제에서
제비뽑기에서 먼저 뽑는 것과 나중에 뽑는 것은 어느 쪽이 당
먼저 뽑을 때의 당첨 제비를 뽑을 확률은
,
;2!;
나중에 뽑을 때의 당첨 제비를 뽑을 확률은 먼저 뽑은 사람이
당첨 제비를 뽑았다는 조건에서 구한 확률과 당첨 제비를 뽑
지 않았다는 조건에서 구한 확률을 모두 생각하면
;2!;
즉, 제비뽑기에서 먼저 뽑는 것과 나중에 뽑는 것의 당첨 확률
은 같다.
따라서 서로 먼저 뽑겠다고 싸울 필요가 없다.
10 A, B 상자를 택하는 사건을 각각 A, B, 검은 공 2개가 나
오는 사건을 E라 하면
Ú 상자 A에서 검은 공 2개가 나올 확률은
P(A;E)
2C2
5C2 =;2!;_;1Á0;=;2Á0;
Û 상자 B에서 검은 공 2개가 나올 확률은
=;2!;_
P(B;E)
=;2!;_
3C2
5C2 =;2!;_;1£0;=;2£0;
Ú, Û에서 두 사건 A, B는 서로 배반사건이므로
P(E)=P(A;E)+P(B;E)
=
+
=
;2Á0;
;2£0;
;2¢0;
;5!;
=
따라서 구하는 확률은
P(B|E)=
P(B;E)
P(E)
=
;2£0;
;5!;
=
;4#;
은 바둑돌이 나오는 사건을 B라 하면
첫 번째에 흰 바둑돌이 나올 확률은 P(A)=
;8#;
이 나올 확률은 P(B|A)=
;7%;
따라서 첫 번째에 흰 바둑돌이 나오고 두 번째에 검은 바
P(A;B)=P(A)P(B|A)=
_
=
;7%;
;8#;
;5!6%;
Û 첫 번째에 검은 바둑돌이 나오는 사건을 C, 두 번째에 흰
바둑돌이 나오는 사건을 D라 하면
첫 번째에 검은 바둑돌이 나올 확률은 P(C)=
;8%;
첫 번째에 검은 바둑돌이 나왔을 때, 두 번째에 흰 바둑돌
이 나올 확률은 P(D|C)=
;7#;
따라서 첫 번째에 검은 바둑돌이 나오고 두 번째에 흰 바
둑돌이 나올 확률은
P(C;D)=P(C)P(D|C)=
_
=
;5!6%;
;7#;
;8%;
Ú, Û에서 구하는 확률은
+
=
;5!6%;
;5!6%;
;5#6);
=
;2!8%;
12 임의로 고른 제품이 A, B, C 생산 라인에서 생산된 제품인
사건을 각각 A, B, C, 불량품이 나오는 사건을 E라 하면
Ú A 생산 라인에서 불량품이 나올 확률은
P(A;E)=
;1°0¼0;
Û B 생산 라인에서 불량품이 나올 확률은
;10!0;
;20!0;
_
=
P(B;E)=
;1£0¼0;
Ü C 생산 라인에서 불량품이 나올 확률은
;10»00;
;10#0;
_
=
P(C;E)=
_
=
;1ª0¼0;
;10@0;
;25!0;
Ú, Û, Ü에서 세 사건 A, B, C는 서로 배반사건이므로
P(E)=P(A;E)+P(B;E)+P(C;E)
=
+
+
=
;20!0;
;25!0;
따라서 어떤 제품이 불량품일 때, 이 제품이 A 생산 라인에
;10»00;
;50(0;
서 생산되었을 확률은
;20!0;
;50(0;
=
;1°8;
∴ p=18, q=5
∴ p+q=23
04. 조건부확률 ⦁ 19
05 사건의 독립과 종속
1-1 ⑴ 6, 종속 ⑵ 독립
1-2 A={1, 3, 5, 7, 9}, B={1, 2, 3, 6, 9}, C={5, 10}
이므로
3-1 ⑴ 25 ⑶ 1
3-2 한 개의 동전을 던질 때, 앞면이 나올 확률은
, 뒷면이 나
;2!;
본문 | 056~059쪽
올 확률은
이다.
따라서 P(A;B)+P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B
P(A)=
, P(B)=
, P(C)=
;2!;
;5!;
;2!;
⑴ P(A)P(B)=
_
=
;2!;
;2!;
;4!;
A;B={1, 3, 9}이므로
⑵ P(A)P(C)=
_
=
;5!;
;2!;
;1Á0;
P(A;B)=
;1£0;
는 서로 종속이다.
A;C={5}이므로
P(A;C)=
;1Á0;
는 서로 독립이다.
따라서 P(A;C)=P(A)P(C)이므로 두 사건 A, C
2-1 ⑵ BC, 4 ⑶ 2, 2
2-2 A, B가 승부차기를 성공하는 사건을 각각 A, B라 하면 A,
B는 서로 독립이다.
⑴ A, B 모두 성공할 확률은
P(A;B) =P(A)P(B)
=0.6_0.8=0.48
⑵ A는 성공하고 B는 성공하지 못할 확률은
P(A;BC) =P(A)P(BC)
=0.6_(1-0.8)
=0.6_0.2=0.12
=(1-0.6)_0.8
=0.4_0.8=0.32
따라서 구하는 확률은
0.12+0.32=0.44
⑶ A, B 중에서 적어도 한 명은 성공하는 사건은 두 명 모
두 성공하지 못하는 사건의 여사건이다.
A, B 모두 성공하지 못할 확률은
P(AC;BC) =P(AC)P(BC)
=(1-0.6)_(1-0.8)
=0.4_0.2=0.08
따라서 구하는 확률은
1-P(AC;BC)=1-0.08=0.92
20 ⦁ 정답과 해설
;2!;
3
⑴ 앞면이 3번 나올 확률은
6C3
3
=
{;2!;}
{;2!;}
;1°6;
⑵ Ú 앞면이 4번 나올 확률은
4
5
2
=
1
=
6C4
{;2!;}
{;2!;}
;6!4%;
Û 앞면이 5번 나올 확률은
6C5
{;2!;}
{;2!;}
;3£2;
Ü 앞면이 6번 나올 확률은
6
{;2!;}
=
;6Á4;
Ú, Û, Ü에서 앞면이 4번 이상 나올 확률은
+
+
;6!4%;
;3£2;
;6Á4;
=
;3!2!;
⑶ 앞면이 적어도 한 번 나오는 사건은 앞면이 한 번도 나오
지 않는 사건의 여사건이다.
앞면이 한 번도 나오지 않을 확률은
6
=
{;2!;}
;6Á4;
따라서 구하는 확률은
1-
=
;6Á4;
;6^4#;
3-3 한 문제를 맞힐 확률은
, 맞히지 못할 확률은
이다.
;2!;
;2!;
5번째 문제에서 통과하려면 4번째 문제까지는 2문제를 맞
히고 5번째에는 문제를 맞혀야 한다.
따라서 구하는 확률은
2
4C2
{;2!;}
{;2!;}
2
_
=
;2!;
;1£6;
나올 확률은
이다.
;2!;
Ú 주머니에서 흰 공을 꺼낼 경우
동전을 3번 던져 앞면이 3번 나올 확률은
3
=
;2!;_{;2!;}
;1Á6;
Û 주머니에서 검은 공을 꺼낼 경우
동전을 4번 던져 앞면이 3번 나올 확률은
;2!;_4C3
3
1
=
{;2!;}
{;2!;}
;8!;
Ú, Û에서 구하는 확률은
+
=
;8!;
;1£6;
;1Á6;
A는 성공하지 못하고 B는 성공할 확률은
P(AC;B) =P(AC)P(B)
4-1 3, 2, 1
4-2 한 개의 공을 꺼낼 때, 흰 공이 나올 확률은
, 검은 공이
;2!;
4-3 Ú 2번의 팔씨름에서 갑이 우승할 경우
2번 모두 갑이 이겨야 하므로 그 확률은
⑷ P(AC;B) =P(AC)P(B)
=(1-P(A))P(B)에서
2
=
{;3@;}
;9$;
Û 3번의 팔씨름에서 갑이 우승할 경우
P(B)-P(A)P(B)=
;6!;
이때
yy㉠
2번 중에 1번 갑이 이기고 3번째에 갑이 이겨야 하므로
P(A'B) =P(A)+P(B)-P(A;B)
집중 연습
본문 | 060, 061쪽
그 확률은
1
2C1
{;3@;}
{;3!;}
1
_
=
;3@;
;2¥7;
Ú , Û에서 구하는 확률은
+
;9$;
;2¥7;
=
;2@7);
1 ⑴ P(A|B)=P(A)=
⑵ P(B|A)=P(B)=
⑶ P(A|BC)=P(A)=
⑷ P(AC|BC)=P(AC)
;3@;
;2!;
;3@;
=1-P(A)=
;3!;
⑸ P(A;B)=P(A)P(B)
=
_
=
;2!;
;3@;
;3!;
⑹ P(AC;B)=P(AC)P(B)
=
1-
{
_
=
;2!;
;6!;
;3@;}
2 ⑴ P(A;B)=P(A)P(B)
=
_
1-
=
{
⑵ P(A'B) =P(A)+P(B)-P(A;B)
;4!;}
;5#;
;2»0;
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
;8%;
;4!;
=
+P(B)-
P(B),
P(B)=
;4!;
;4#;
;8#;
에서
∴ P(B)=
;2!;
에서
∴ P(B)=
;9%;
=
(1-P(B)), 1-P(B)=
;3!;
;4#;
;9$;
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
;6%;
=P(A)+
(∵ ㉠)
;6!;
∴ P(A)=
;3@;
3 ⑴ 주사위를 한 번 던질 때, 3의 배수의 눈이 나올 확률은
=
이므로 3의 배수의 눈이 2번 나올 확률은
;6@;
;3!;
4C2 {;3!;}
{;3@;}
;2¥7;
2
=
⑵ 주사위를 한 번 던질 때, 소수의 눈이 나올 확률은
=
이므로 소수의 눈이 3번 나올 확률은
;6#;
;2!;
4C3 {;2!;}
1
=
{;2!;}
;4!;
⑶ 주사위를 한 번 던질 때, 짝수의 눈이 나올 확률은
2
3
이므로 짝수의 눈이 2번 이하 나올 확률은
;2!;
4
1
3
2
{;2!;}
+4C2 {;2!;}
{;2!;}
;1!6!;
2
=
{;2!;}
+4C1 {;2!;}
참고 짝수의 눈이
Ú 0번 나올 확률 ⇨
4
{;2!;}
Û 1번 나올 확률 ⇨ 4C1 {;2!;}
1
3
{;2!;}
2
2
Ü 2번 나올 확률 ⇨ 4C2 {;2!;}
{;2!;}
⑷ 주사위를 한 번 던질 때, 3 또는 5의 눈이 나올 확률은
=
이므로 3 또는 5의 눈이 한 번도 나오지 않거나 1번
;6@;
;3!;
나올 확률은
{;3@;}
+4C1 {;3!;}
{;3@;}
;8!1^;
;8#1@;
;8$1*;
;2!7^;
+
=
=
4
1
3
=
따라서 3 또는 5의 눈이 적어도 2번 나올 확률은
1-
=
;2!7^;
;2!7!;
다른 풀이 3 또는 5의 눈이
Ú 2번 나올 확률 ⇨ 4C2 {;3!;}
2
=
;2¥7;
2
{;3@;}
1
3
Ü 4번 나올 확률 ⇨
4
=
{;3!;}
;8Á1;
Ú, Û, Ü에서 구하는 확률은
;2¥7;+;8¥1;+;8Á1;=;8#1#;=;2!7!;
05. 사건의 독립과 종속 ⦁ 21
⑶ P(A;BC)=P(A)P(BC)=P(A)(1-P(B))
Û 3번 나올 확률 ⇨ 4C3 {;3!;}
=
{;3@;}
;8¥1;
4 한 개의 동전을 던질 때, 앞면이 나올 확률은
, 뒷면이 나올
;2!;
ㄴ. P(B)P(C)=
_
=
;3!;
;2!;
;6!;
확률은
이다.
;2!;
⑴ 동전을 8번 던질 때, 앞면이 2번 나올 확률은
8C2 {;2!;}
{;2!;}
;6¦4;
6
=
2
7
8C7 {;2!;}
1
+
8
=
{;2!;}
{;2!;}
;25(6;
⑵ 동전을 8번 던질 때, 앞면이 7번 이상 나올 확률은
5 이 학생이 어떤 문제를 풀 확률은
;4#;
이다.
⑴ 3문제 중 2문제를 풀 확률은
3C2{;4#;}
{;4!;}
;6@4&;
2
1
=
⑵ 3문제를 모두 풀 확률은
3
=
{;4#;}
;6@4&;
따라서 구하는 확률은
1-
=
;6@4&;
;6#4&;
B;C={6}이므로 P(B;C)=
따라서 P(B;C)=P(B)P(C)이므로 두 사건 B, C는
;6!;
;6!;
서로 독립이다.
ㄷ. P(A)P(C)=
_
=
;3!;
;2!;
;6!;
A;C={6}이므로 P(A;C)=
서로 독립이다.
따라서 서로 종속인 사건은 ㄱ이다.
따라서 P(A;C)=P(A)P(C)이므로 두 사건 A, C는
2 P(A;BC)=P(A)P(BC)=P(A)(1-P(B))에서
=
P(A)
∴ P(A)=
;2!;
;3@;
;4#;
∴ P(A;B)=P(A)P(B)=
_
=
;3!;
;4#;
;4!;
3 A, B 두 사람이 표적을 명중시키는 사건을 각각 A, B라 하
면 A, B는 서로 독립이다.
P(A)=
, P(B)=
;3@;
;2!;
본문 | 062, 063쪽
A, B 두 사람 중 적어도 한 사람이 명중시킬 사건은 두 사람
이 모두 표적을 명중시키지 못하는 사건의 여사건이다.
기초 개념
가평
01 독립
03 P(B), P(A)
05 P(A)P(BC)
07 r=0, r=n
09 25
02 종속
04 P(A)P(B)
06 독립시행
08 5
10 5
기초 문제
가평
본문 | 064, 065쪽
1 A={2, 4, 6}, B={4, 5, 6}, C={1, 6}
이므로 P(A)=
, P(B)=
, P(C)=
;2!;
;2!;
;3!;
ㄱ. P(A)P(B)=
_
=
;2!;
;2!;
;4!;
A;B={4, 6}이므로 P(A;B)=
;3!;
따라서 P(A;B)+P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는
서로 종속이다.
22 ⦁ 정답과 해설
두 사람 모두 표적을 명중시키지 못할 확률은
P(AC;BC) =P(AC)P(BC)
=(1-P(A))(1-P(B))
=
1-
{
_
1-
;3@;}
{
=
_
=
;2!;
;3!;
;6!;
;2!;}
이므로 구하는 확률은 1-
=
;6!;
;6%;
따라서 구하는 답은 ⑤이다.
다른 풀이 적어도 한 사람이 명중시킬 확률은
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
=
+
-
_
=
;2!;
;3@;
;6%;
;2!;
;3@;
4 두 사건 A, B가 서로 독립이므로
P(A|B)=P(A)=
, P(B|A)=P(B)=
;4#;
∴ P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
;4#;
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
=
+
-
;4#;
;4#;
;4#;
_
;4#;
=
;1!6%;
5 A, B, C 세 사람이 시험에 합격하는 사건을 각각 A, B, C라
8 마라톤 대회에서 완주할 확률이
이므로 구하는 확률은
;5#;
2
4C2 {;5#;}
2
=
{;5@;}
;6@2!5^;
하면 A, B, C는 서로 독립이다.
P(A)=
, P(B)=
, P(C)=
;2!;
;3!;
이때 B만 합격할 확률은
P(AC;B;CC)=P(AC)P(B)P(CC)
;4!;
=
1-
{
_
_
1-
;3!;
{
;4!;}
=
;8!;
;2!;}
따라서 구하는 답은 ⑤이다.
9 한 개의 동전을 n번 던질 때, 앞면이 적어도 한 번 나오는 사
건은 모두 뒷면이 나오는 사건의 여사건이다.
한 개의 동전을 던질 때, 뒷면이 나올 확률은
;2!;
이므로
1-
{;2!;}
,
;8&;
{;2!;}
É
;8!;
∴ n¾3
n
¾
n
따라서 n의 최솟값은 3이므로 구하는 답은 ①이다.
6 ㄱ. 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 AC, B도 서로 독립이
다.
∴ P(AC|B)=P(AC)=1-P(A) (참)
ㄴ. P(A'B) =P(A)+P(B)-P(A;B)
=P(A)+P(B)-P(A)P(B) (거짓)
ㄷ. 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 AC, B도 서로 독립이
10 P(2)=10C2 {;3!;}
=45_
{;3!;}
2
8
{;3@;}
1
9
2
8
{;3@;}
1
9
P(9)=10C9 {;3!;}
{;3@;}
=10_
{;3!;}
{;3@;}
∴
P(2)
P(9)
=
45
10
_{;3!;}
2
8
{;3@;}
9
_{;3!;}
{;3@;}
=576
다. 이때
P(A)P(B)=P(A;B)
P(AC)P(B)=P(AC;B)
이므로
P(B) =P(A;B)+ P(AC;B)
=P(A)P(B)+P(AC)P(B) (참)
따라서 구하는 답은 ③이다.
7 Ú 주사위의 눈의 수와 동전의 앞면이 나온 개수가 모두 1일
Û 주사위의 눈의 수와 동전의 앞면이 나온 개수가 모두 2일
Ü 주사위의 눈의 수와 동전의 앞면이 나온 개수가 모두 3일
_3C1 {;2!;}
;6!;
{;2!;}
;1Á6;
2
=
확률은
확률은
1
2
_3C2 {;2!;}
;6!;
{;2!;}
;1Á6;
1
=
확률은
_
;6!;
{;2!;}
3
=
;4Á8;
을 확률은
+
+
;1Á6;
;1Á6;
;4Á8;
;4¦8;
=
∴ p=48, q=7
따라서 p+q=55이므로 구하는 답은 ④이다.
11 5세트에서 갑이 우승하려면 4세트까지 갑이 2번 이기고 마
지막 5세트에서 갑이 이기면 된다.
따라서 구하는 확률은
4C2{;3@;}
{;3!;}
=
;3@;
;8!1^;
2
2
_
12 100원짜리 동전 1개와 500원짜리 동전 1개를 동시에 던질
때, 모두 앞면이 나오는 사건을 A라 하면 P(A)=
이다.
;4!;
따라서 구하는 확률은
3
5C3 {;4!;}
2
=
{;4#;}
;5¢1°2;
13 Ú (1, 1, 1, 1, 3)의 경우
앞면이 3인 원반 2개 중 1개가 앞면이 나오고 나머지는
모두 뒷면이 나올 경우의 확률은
1
2C1 {;2!;}
4
=
{;2!;}
;1Á6;
Û (1, 1, 1, 2, 2)의 경우
2
3C2{;2!;}
3
=
{;2!;}
;3£2;
Ú, Û에서 구하는 확률은
+
;1Á6;
;3£2;
=
;3°2;
05. 사건의 독립과 종속 ⦁ 23
Ú, Û, Ü에서 주사위의 눈의 수와 동전의 앞면의 개수가 같
앞면이 2인 원반 3개 중 2개가 앞면이 나오고 나머지는
모두 뒷면이 나올 경우의 확률은
06 확률변수와 확률분포
1-1 1, 0
1-2 한 개의 주사위를 3번 던지면 2의 배수는 0번, 1번, 2번, 3
번 나올 수 있으므로 확률변수 X가 가질 수 있는 값은
본문 | 068~071쪽
0, 1, 2, 3
2-1 ㄹ
2-2 이산확률변수는 확률변수가 가질 수 있는 값이 유한개이거
나 자연수와 같이 셀 수 있어야 하므로 보기에서 이산확률
변수인 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ
3-1 2, 2C1,
;5!;
3-2 ⑴ 한 개의 동전을 3번 던지면 뒷면은 0번, 1번, 2번, 3번 나
올 수 있으므로 확률변수 X가 가질 수 있는 값은
0, 1, 2, 3
⑵ 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라 하자.
X=0인 경우는 (H, H, H)의 1가지이므로
X=2인 경우는 (H, T, T), (T, H, T), (T, T, H)
P(X=0)=
;8!;
의 3가지이므로
P(X=1)=
;8#;
의 3가지이므로
P(X=2)=
;8#;
;8!;
P(X=3)=
X=3인 경우는 (T, T, T)의 1가지이므로
⑶ X의 확률분포를 표와 그래프로 나타내면
X
0
1
2
3 합계
P(X=x)
;8!;
;8#;
;8#;
;8!;
1
P(X=x)
3
238
1
238
O
1
2
3
x
이므로 n(S)=8
24 ⦁ 정답과 해설
4-1 ⑴ 1,
⑵ 2,
;8!;
;8&;
4-2 ⑴ 확률의 총합은 1이므로
a+
+b+
=1
∴ a+b=
;1Á0;
;1£0;
;5#;
⑵ X2-1=0에서 (X+1)(X-1)=0이므로
X=-1 또는 X=1
∴ P(X2-1=0) =P(X=-1 또는 X=1)
=P(X=-1)+P(X=1)
=a+b=
;5#;
5-1 ⑴
⑵
;[!;
;5°4;
5-2 ⑴ 확률의 총합은 1이므로
2k
3
4k
3
3k
3
+
+
+
+
5k
3
=1, 5k=1
∴ k=
k
3
15k
3
=1
;5!;
⑵ P(X¾4) =P(X=4)+P(X=5)
=
_
+
;3$;
;5!;
;5!;
_
;3%;
⑵ P(X¾4)=
+
=
;5#;
;1°5;
;1¢5;
6-1 ⑴
⑵ 5
;6!;
P(X=0)= 4C0_3C3
=
P(X=1)= 4C1_3C2
=
P(X=2)= 4C2_3C1
=
P(X=3)= 4C3_3C0
=
7C3
7C3
7C3
7C3
,
,
,
;3Á5;
;3!5@;
;3!5*;
;3¢5;
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
0
1
2
3 합계
P(X=x)
;3Á5;
;3!5@;
;3!5*;
;3¢5;
1
⑵ 볼펜이 1자루 이하로 나올 확률은
P(XÉ1) =P(X=0)+P(X=1)
=
+
;3Á5;
;3!5@;
=
;3!5#;
6-3 ⑴ 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6이고 주
사위의 각 눈이 나올 확률은
로 모두 같으므로 X의
;6!;
확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
참고 한 개의 동전을 3번 던질 때, 표본공간 S는
(H, T, T), (T, H, T), (T, T, H), (T, T, T)}
S={ (H, H, H), (H, H, T), (H, T, H), (T, H, H),
X
1
2
3
4
5
6 합계
P(X=x)
;6!;
;6!;
;6!;
;6!;
;6!;
;6!;
1
X=1인 경우는 (H, H, T), (H, T, H), (T, H, H)
6-2 ⑴ 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이고
⑵ X2-5X+6É0에서 (X-2)(X-3)É0이므로
⑵ P(X<0) =P(X=-2)+P(X=-1)
2ÉXÉ3
∴ P(X2-5X+6É0) =P(2ÉXÉ3)
=
k+
{
+
k+
;9@;}
{
;9!;}
=P(X=2)+P(X=3)
⑵ P(X<0) =
+
+
{;1Á5;
;9@;}
{;1Á5;
;9!;}
+
=
;1¦5;
=
+
=
;6!;
;6!;
;3!;
⑶ X2-2XÉ0에서
X(X-2)É0
∴ P(X2-2XÉ0)
∴ 0ÉXÉ2
=P(0ÉXÉ2)
=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=k+
k+
{
+
k+
;9!;}
{
;9@;}
∴=
+
;1Á5;
{;1Á5;
;9!;}
{;1Á5;
;9@;}
+
+
+
본문 | 072, 073쪽
∴=
;1¥5;
4 P(X=x)=
x+
x+1
'
k
'Ä
k(
x-
'Ä
'
x+1)(
'
x+1)
x-
'Ä
x+1)
⑴ P(X==
(
x+
'
⑴ P(X==k(
'Ä
x+1-
'
⑴ 확률의 총합은 1이므로
'Ä
x)
P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+ y
k(
2-
1)+k(
3-
2)+k(
4-
3)+ y
'
'
'
'
'
'
+P(X=15)=1
+k(
16-
15)=1
'¶
'¶
k(-
1+
16)=1, 3k=1
∴ k=
'
'¶
;3!;
⑵ P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+ y +P(X=15)
=
{(
5-
4)+(
6-
5)+(
7-
6)+ y
;3!;
'
'
'
'
'
'
+(
16-
15)}
'¶
'¶
=
(-
4+
16)=
;3!;
'¶
⑶ P(4ÉXÉ8)
'
;3@;
=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)
=
{(
'
;3!;
5-
4)+(
6-
5)+(
7-
6)
'
'
'
'
'
+P(X=7)+P(X=8)
+(
8-
7)+(
9-
8)}
'
'
'
'
=
(-
4+
9)=
;3!;
'
'
;3!;
집중 연습
1 ⑴ 확률의 총합은 1이므로
+
+a+
;8!;
;8#;
;4!;
=1
a+
=1
∴ a=
;4#;
;4!;
⑵ P(XÉ3) =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
=
+
;8!;
;8#;
+
;4!;
=
;4#;
⑶ P(X=3 또는 X=4) =P(X=3)+P(X=4)
=
+
;4!;
;4!;
=
;2!;
2 ⑴ 확률의 총합은 1이므로
a2+
+
=1
;3A;
;3!;
3a2+a-2=0, (a+1)(3a-2)=0
∴ a=-1 또는 a=
;3@;
이때 0ÉP(X=x)É1이므로 a=
;3@;
⑵ P(1ÉXÉ2) =P(X=1)+P(X=2)
=a2+
=
;3!;
{;3@;}
=
;9&;
;3!;
2
+
⑶ X2-4X+3=0에서
(X-1)(X-3)=0
∴ X=1 또는 X=3
∴ P(X=1 또는 X=3)=P(X=1)+P(X=3)
=a2+
;3A;
2
=
{;3@;}
+
_
;3@;
;3!;
=
;3@;
3 ⑴ 확률의 총합은 1이므로
P(X=-2)+P(X=-1)+P(X=0)
+P(X=1)+P(X=2)=1
5 ⑴ 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고 10개의 제품
중에서 2개의 제품을 뽑는 경우의 수는 10C2, 뽑은 2개의 제
품 중에서 불량품이 x개 포함된 경우의 수는 3Cx_7C2-x이
k+
+
k+
;9@;}
{
;9!;}
{
+k+
k+
{
+
k+
;9!;}
{
;9@;}
=1
5k+
=1, 5k=
∴ k=
;3!;
;3@;
;1Á5;
므로 X의 확률질량함수는
P(X=x)= 3Cx_7C2-x
10C2
(x=0, 1, 2)
06. 확률변수와 확률분포 ⦁ 25
⑵ P(X=0)= 3C0_7C2
10C2
P(X=1)= 3C1_7C1
10C2
P(X=2)= 3C2_7C0
10C2
=
,
;1¦5;
=
,
;1¦5;
=
;1Á5;
따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
0
1
2 합계
P(X=x)
;1¦5;
;1¦5;
;1Á5;
1
⑶ 불량품이 1개 이하일 확률은
P(XÉ1) =P(X=0)+P(X=1)
P(X=3)= 5C3_5C0
10C3
=
;1Á2;
따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
0
1
2
3 합계
P(X=x)
;1Á2;
;1°2;
;1°2;
;1Á2;
1
⑶ 검은 공을 적어도 1개 이상 꺼낼 확률은
P(X¾1) =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
=
+
+
;1°2;
;1°2;
;1Á2;
=
;1!2!;
다른 풀이 P(X¾1) =1-P(X=0)=1-
;1Á2;=;1!2!;
=
+
;1¦5;
;1¦5;
=
;1!5$;
8 ⑴ 나오는 두 눈의 수를 각각 a, b라 하면 순서쌍 (a, b)에 대
6 ⑴ 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3, 4이고 11개
의 제비 중에서 5개의 제비를 뽑는 경우의 수는 11C5, 뽑은
5개의 제비 중에서 당첨 제비가 x개 포함된 경우의 수는
4Cx_7C5-x이므로 X의 확률질량함수는
P(X=x)= 4Cx_7C5-x
(x=0, 1, 2, 3, 4)
11C5
⑵ P(X=0)= 4C0_7C5
11C5
P(X=1)= 4C1_7C4
11C5
P(X=2)= 4C2_7C3
11C5
P(X=3)= 4C3_7C2
11C5
P(X=4)= 4C4_7C1
11C5
=
,
;2Á2;
=
;3!3);
=
;1°1;
,
,
=
,
;1ª1;
=
;6Á6;
하여 두 눈의 수 중 작지 않은 수가
1인 경우는 (1, 1)의 1가지
2인 경우는 (1, 2), (2, 1), (2, 2)의 3가지
3인 경우는 (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 3)의 5가지
4인 경우는 (1, 4), (4, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3)
(4, 4)의 7가지
5인 경우는 (1, 5), (5, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 5), (5, 3)
(4, 5), (5, 4), (5, 5)의 9가지
6인 경우는 (1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3)
(4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)의 11가지
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
1
2
3
4
5
6 합계
P(X=x)
;3Á6;
;1Á2;
;3°6;
;3¦6;
;4!;
;3!6!;
1
⑵ P(X=2 또는 X=6) =P(X=2)+P(X=6)
따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
0
1
2
3
4 합계
⑶ X2-3X+2É0에서
=
+
;1Á2;
;3!6!;
=
;1¦8;
P(X=x)
;2Á2;
;3!3);
;1°1;
;1ª1;
;6Á6;
⑶ P(2ÉXÉ3) =P(X=2)+P(X=3)
1
=
+
;1°1;
;1ª1;
=
;1¦1;
(X-1)(X-2)É0
∴ 1ÉXÉ2
∴ P(X2-3X+2É0) =P(1ÉXÉ2)
=P(X=1)+P(X=2)
=
+
=
;9!;
;1Á2;
;3Á6;
7 ⑴ 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이고 10개의 공
중에서 3개의 공을 꺼내는 경우의 수는 10C3, 꺼낸 3개의 공
중에서 검은 공이 x개 포함된 경우의 수는 5Cx_5C3-x이므
기초 개념
가평
본문 | 074, 075쪽
(x=0, 1, 2, 3)
01 확률변수
02 이산확률변수
03 P(X=x), 확률분포
04 확률질량함수
05 1
07 1
09 xj
11 2
06 0
08 +
10 0
12 ;4!;
로 X의 확률질량함수는
P(X=x)= 5Cx_5C3-x
10C3
⑵ P(X=0)= 5C0_5C3
10C3
=
,
;1Á2;
P(X=1)= 5C1_5C2
=
10C3
;1°2;
P(X=2)= 5C2_5C1
=
10C3
;1°2;
,
,
26 ⦁ 정답과 해설
중에서 사과가 x개 포함된 경우의 수는 3Cx_5C2-x이므로 X
=P(X=0)+P(X=1)
기초 문제
가평
본문 | 076, 077쪽
1 100원짜리 동전 4개를 동시에 던지면 앞면은 0개, 1개, 2개, 3
개, 4개 나올 수 있으므로 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0,
1, 2, 3, 4
2 이산확률변수는 확률변수가 가질 수 있는 값들이 유한개이거
나 자연수와 같이 셀 수 있어야 한다.
따라서 구하는 답은 ④이다.
3 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고 8개의 과일 중
에서 2개의 과일을 꺼내는 경우의 수는 8C2, 꺼낸 2개의 과일
의 확률질량함수는
P(X=x)= 3Cx_5C2-x
(x=0, 1, 2)
8C2
또 X가 각 값을 가질 확률은 각각
P(X=0)= 3C0_5C2
=
,
8C2
;1°4;
P(X=1)= 3C1_5C1
=
8C2
,
;2!8%;
P(X=2)= 3C2_5C0
=
8C2
;2£8;
이므로 표를 완성하면 다음과 같다.
X
0
1
2 합계
P(X=x)
;1°4;
;2!8%;
;2£8;
1
4 ⑴ 한 개의 주사위를 2번 던지면 6의 약수의 눈이 0번, 1번, 2
번 나올 수 있으므로 확률변수 X가 가질 수 있는 값은
0, 1, 2
⑵ 한 개의 주사위를 한 번 던질 때, 6의 약수의 눈이 나올 확
률은
=
, 그 외의 눈이 나올 확률은 1-
=
이므로
;3@;
;3!;
;6$;
;3@;
P(X=0)=
_
=
,
;9!;
;3!;
;3!;
P(X=1)=
_
+
_
=
,
;9$;
;3@;
;3!;
;3!;
;3@;
P(X=2)=
_
=
;3@;
;9$;
;3@;
X
0
1
2 합계
P(X=x)
;9!;
;9$;
;9$;
1
P(X=x)
4
239
1
239
O
1
2
x
5 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
-2 -1
0
1
2 합계
X
P(X=x)
;7@;
;7!;
;7@;
;7!;
;7!;
1
∴ P(-1ÉXÉ0) =P(X=-1)+P(X=0)
=
+
=
;7@;
;7!;
;7#;
6 X2-XÉ0에서
X(X-1)É0
∴ P(X2-XÉ0)
=P(0ÉXÉ1)
∴ 0ÉXÉ1
=
+
;5@;
;1Á0;
=
;2!;
다른 풀이 P(X2-XÉ0) =P(0ÉXÉ1)
=1-P(2ÉXÉ3)
=1-
{;1£0;+;5!;}
;2!;
=
7 확률의 총합은 1이므로
k+4k+9k+16k=1
30k=1
∴ k=
;3Á0;
8 ⑴ 확률의 총합은 1이므로
+
+a+
;6!;
;4!;
;2!;
=1
a+
=1
∴ a=
;1!2!;
;1Á2;
⑵ P(X¾12a)=P
{
X¾12_
;1Á2;}
=P(X¾1)
=P(X=1)+P(X=2)
=
+
=
;2!;
;1Á2;
;1¦2;
9 확률의 총합은 1이므로
a+2a+b=1
∴ 3a+b=1
……㉠
b=3a
……㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
3a+3a=1, 6a=1
∴ a=
;6!;
이것을 ㉡에 대입하면 b=
∴ P(1ÉXÉ2) =P(X=1)+P(X=2)
;2!;
=2a+b=2_
+
=
;2!;
;6%;
;6!;
06. 확률변수와 확률분포 ⦁ 27
⑶ X의 확률분포를 표와 그래프로 나타내면 다음과 같다.
P(X=2)=3P(X=0)에서
11 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3이고 그 확률은 각각
X
1
2
3 합계
따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
10 ⑴ 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이고, 그 확률
은 각각
P(X=0)= 4C0_6C3
10C3
P(X=1)= 4C1_6C2
10C3
P(X=2)= 4C2_6C1
10C3
P(X=3)= 4C3_6C0
10C3
=
,
;6!;
=
,
;2!;
=
,
;1£0;
=
;3Á0;
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
0
1
2
3 합계
P(X=x)
;6!;
;2!;
;1£0;
;3Á0;
1
⑵ 여학생이 적어도 2명 이상 뽑힐 확률은
P(X¾2) =P(X=2)+P(X=3)
=
+
=
;3!;
;3Á0;
;1£0;
P(X=1)=
,
;6!;
P(X=2)=
=
,
;2!;
;6#;
P(X=3)=
=
;6@;
;3!;
이므로
P(X>1) =P(X=2)+P(X=3)
=
+
;2!;
;3!;
=
;6%;
12 5장의 카드 중에서 2장을 뽑는 경우의 수는 5C2=10
나오는 두 수를 각각 a, b라 하면 순서쌍 (a, b)에 대하여
두 수의 차가
1인 경우는 (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)의 4가지
2인 경우는 (1, 3), (2, 4), (3, 5)의 3가지
∴ P(XÉ2) =P(X=1)+P(X=2)
=
+
=
;1£0;
참고 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
;1¢0;
;1¦0;
X
1
2
3
4 합계
P(X=x)
;5@;
;1£0;
;5!;
;1Á0;
1
28 ⦁ 정답과 해설
07 이산확률변수의 기댓값과 표준편차
본문 | 078~081쪽
1-1 ⑴ 5, 3 ⑵ 10, 3, 1 ⑶ 1
1-2 ⑴ E(X)=0_
+1_
+2_
+3_
=
;2%;
;1¦0;
;2£0;
;1Á0;
;2Á0;
⑵ E(X2)=02_
+12_
+22_
+32_
;2Á0;
;1Á0;
;2£0;
;1¦0;
=7
이므로
V(X)=E(X2)-{E(X)}2
=7-
2
=
{;2%;}
;4#;
⑶ r(X)=
V(X)=
"Ã
3
= '
2
¾;4#;
1-3 확률의 총합은 1이므로
2_2-1
a
2_1-1
a
+
+
2_3-1
a
=1
=1
∴ a=9
;a(;
∴ P(X=x)=
(x=1, 2, 3)
2x-1
9
P(X=x)
;9!;
;3!;
;9%;
1
⑴ E(X)=1_
+2_
+3_
=
;9!;
;3!;
;9%;
:ª9ª:
⑵ E(X2)=12_
+22_
+32_
;9!;
;3!;
=
;9%;
:°9¥:
이므로
V(X)=E(X2)-{E(X)}2
=
-
:°9¥:
{:ª9ª:}
2
=
;8#1*;
⑶ r(X)=
V(X)=
"Ã
38
= '¶
9
¾Ð;8#1*;
2-1 ⑵ 1, 5, 5,
'
5
2-2 ⑴ 4장의 카드 중에서 각 수가 적힌 카드를 뽑을 확률은
;4!;
로 모두 같으므로 표를 완성하면 다음과 같다.
X
1
3
5
7 합계
P(X=x)
;4!;
;4!;
;4!;
;4!;
1
⑵ E(X)=1_
+3_
+5_
+7_
=4
;4!;
;4!;
;4!;
;4!;
E(X2)=12_
+32_
+52_
+72_
=21
;4!;
;4!;
;4!;
;4!;
이므로
V(X) =E(X2)-{E(X)}2
=21-42=5
r(X)=
V(X)=
"Ã
5
'
이므로 표를 완성하면 다음과 같다.
⑶ r(-6X+5)=|-6|r(X)=6_ '
2-3 ⑴ P(X=0)= 2C0_8C2
10C2
P(X=1)= 2C1_8C1
10C2
P(X=2)= 2C2_8C0
10C2
=
,
;4@5*;
=
,
;4!5^;
=
;4Á5;
X
0
1
2 합계
P(X=x)
;4@5*;
;4!5^;
;4Á5;
1
⑵ E(X)=0_
+1_
+2_
=
;5@;
;4Á5;
;4!5^;
;4@5*;
E(X2)=02_
+12_
+22_
;4@5*;
;4!5^;
=
;4Á5;
;9$;
이므로
V(X)=E(X2)-{E(X)}2
=
-
;9$;
{;5@;}
2
=
;2¤2¢5;
r(X)=
V(X)=
"Ã
¾Ð;2¤2¢5;
=
;1¥5;
3-1 -2, 7, 36, 6
3-2 ⑴ E(Y) =E(2X+5)=2E(X)+5
=2_10+5=25
V(Y) =V(2X+5)=22 V(X)
r(Y) =r(2X+5)=|2|r(X)
=4_5=20
=2_
5=2
'
5
'
⑵ E(Y) =E
-
X+3
=-
E(X)+3
{
;5!;
}
;5!;
=-
10+3=1
;5!;_
V(Y) =V
-
X+3
=
-
}
{
;5!;}
;5!;
{
2
V(X)
=
;2Á5;_
5=
;5!;
=
_
;5!;
5
5= '
5
'
r(Y) =r
-
{
;5!;
X+3
=
-
}
|
;5!;|
r(X)
4-1 4, -2, 16, 5
4-2 E(X)=0_
+1_
+2_
+3_
=
;8#;
;8!;
;2#;
;8#;
;8!;
E(X2)=02_
+12_
+22_
+32_
;8!;
;8#;
;8#;
=3
;8!;
이므로
V(X)=E(X2)-{E(X)}2
=3-
2
=
{;2#;}
;4#;
r(X)=
V(X)=
"Ã
3
= '
2
¾;4#;
⑴ E(2X+6)=2E(X)+6=2_
+6=9
⑵ V(4X-1)=42V(X)=16_
=12
;2#;
;4#;
3
2
=3
3
'
5
5-1 ⑴ 6 ⑵ 6 ⑶ 2
'
5-2 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고
동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라 하면
X=0인 경우는 (T, T)의 1가지,
X=1인 경우는 (H, T),(T, H)의 2가지,
X=2인 경우는 (H, H)의 1가지
이므로 그 확률은 각각
P(X=0)=
, P(X=1)=
, P(X=2)=
;4!;
;2!;
;4!;
따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
0
1
2 합계
P(X=x)
;4!;
;2!;
;4!;
1
확률변수 X에 대하여
E(X)=0_
+1_
+2_
=1
;4!;
;2!;
;4!;
E(X2)=02_
+12_
+22_
;4!;
;2!;
=
;4!;
;2#;
이므로
V(X)=E(X2)-{E(X)}2
-12=
=
;2#;
;2!;
r(X)=
V(X)=
"Ã
2
= '
2
¾;2!;
⑴ E(8X+5)=8E(X)+5=8_1+5=13
⑵ V(8X+5)=82 V(X)=64_
=32
;2!;
2
⑶ r(8X+5)=|8|r(X)=8_ '
2
=4
2
'
5-3 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이고 그 확률은
각각
P(X=0)= 3C0_3C3
6C3
=
;2Á0;
P(X=1)= 3C1_3C2
=
6C3
;2»0;
P(X=2)= 3C2_3C1
=
6C3
;2»0;
P(X=3)= 3C3_3C0
=
6C3
;2Á0;
,
,
,
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
0
1
2
3 합계
P(X=x)
;2Á0;
;2»0;
;2»0;
;2Á0;
1
07. 이산확률변수의 기댓값과 표준편차 ⦁ 29
확률변수 X에 대하여
4 확률변수 X에 대하여
E(X)=0_
+1_
+2_
+3_
=
;2Á0;
;2#;
;2»0;
;2»0;
;2Á0;
E(X)=2_
+4_
+6_
+8_
=4
;5@;
;1£0;
;5!;
;1Á0;
E(X2)=02_
+12_
+22_
+32_
;2Á0;
;2»0;
;2»0;
=
;2Á0;
;1@0&;
E(X2)=22_
+42_
+62_
+82_
;5@;
;1£0;
=20
;1Á0;
이므로
V(X) =E(X2)-{E(X)}2
=20-42=4
;5!;
r(X)=
V(X)=
4=2
'
⑴ E(3X+4)=3E(X)+4=3_4+4=16
"Ã
⑵ r(3X+4)=|3|r(X)=3_2=6
이므로
V(X)=E(X2)-{E(X)}2
=
-
;1@0&;
{;2#;}
;2»0;
2
=
r(X)=
V(X)=
"Ã
=
5
3
'
10
¾Ð;2»0;
⑴ E(10X-15)=10E(X)-15=10_
-15=0
⑵ V(10X-15)=102 V(X)=100_
=45
⑶ r(10X-15)=|10|r(X)=10_
;2#;
;2»0;
3
5
'
10
=3
5
'
집중 연습
본문 | 082쪽
1 ⑴ E(4X-3)=4E(X)-3=4_10-3=37
⑵ r(X)=9에서 V(X)={r(X)}2=81이므로
V
X
3 }
{
=
{;3!;}
2
V(X)=
_81=9
;9!;
⑶ r(-X+3)=|-1|r(X)=1_9=9
2 E(X)=4, E(X2)=25이므로
V(X) =E(X2)-{E(X)}2
=25-42=9
r(X)=
V(X)=
9=3
'
⑴ E
⑵ V
{
{
"Ã
10-X
3
10-X
3
10-X
3
⑶ r
{
=
}
|-;3!;|
r(X)=
_3=1
;3!;
=-
E(X)+
=-
_4+
=2
:Á3¼:
;3!;
:Á3¼:
}
;3!;
=
}
{-;3!;}
2
V(X)=
_9=1
;9!;
3 확률변수 X에 대하여
E(X)=10_
+20_
+30_
=23
;1£0;
;1Á0;
;5#;
E(X2)=102_
;1Á0;
V(X) =E(X2)-{E(X)}2
;1£0;
+202_
=610-232=81
⑴ E(2X-1)=2E(X)-1=2_23-1=45
⑵ V(2X-1)=22 V(X)=4_81=324
30 ⦁ 정답과 해설
기초 개념
가평
본문 | 083쪽
01 평균
03 표준편차
05 a2
02 분산, {E(X)}2
04 a
06 |a|
기초 문제
가평
본문 | 084, 085쪽
1 확률변수 X에 대하여
E(X)=0_0.4+1_0.3+2_0.2+3_0.1=1
E(X2)=02_0.4+12_0.3+22_0.2+32_0.1=2
이므로
V(X) =E(X2)-{E(X)}2
=2-12=1
r(X)=
V(X)=1
"Ã
2 확률의 총합은 1이므로
;2A;
+10a2+a=1, 20a2+3a-2=0
따라서 표를 완성하면 다음과 같다.
X
-1
0
1 합계
P(X=x)
;8!;
;8%;
;4!;
1
+302_
=610이므로
;5#;
(5a+2)(4a-1)=0
∴ a=
(∵ a>0)
;4!;
3 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
0
1
2
3
4 합계
확률변수 X에 대하여
P(X=x)
;1Á0;
;2£0;
;5!;
;4!;
;1£0;
1
E(X)=0_
+1_
+2_
+3_
=
;3Á5;
;7(;
;3!5@;
;3!5*;
;3¢5;
⑴ E(X)=(-1)_
+0_
+1_
=
;8!;
;8%;
;4!;
;8!;
⑵ E(X2)=(-1)2_
+02_
+12_
;8!;
;8%;
=
;4!;
;8#;
이므로
V(X)=E(X2)-{E(X)}2
=
-
;8#;
{;8!;}
2
=
;6@4#;
⑶ r(X)=
V(X)=
"Ã
23
= '¶
8
¾Ð;6@4#;
확률변수 X에 대하여
E(X)=0_
+1_
+2_
+3_
+4_
;1Á0;
;2£0;
;5!;
;4!;
;1£0;
E(X2)=02_
+12_
+22_
+32_
+42_
;1Á0;
;2£0;
;5!;
;4!;
;1£0;
=
;2%;
=8
이므로
V(X)=E(X2)-{E(X)}2
=8-
2
=
{;2%;}
;4&;
4 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고
X=0인 경우는 ∅의 1가지,
X=1인 경우는 {1}, {2}의 2가지,
X=2인 경우는 {1, 2}의 1가지
이므로 그 확률은 각각
P(X=0)=
, P(X=1)=
, P(X=2)=
;2!;
;4!;
;4!;
따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
0
1
2 합계
P(X=x)
;4!;
;2!;
;4!;
1
확률변수 X에 대하여
E(X)=0_
+1_
+2_
=1
;4!;
;2!;
;4!;
E(X2)=02_
+12_
+22_
;4!;
;2!;
=
;4!;
;2#;
이므로
V(X)=E(X2)-{E(X)}2
-12=
=
;2#;
;2!;
∴ r(X)=
V(X)=
"Ã
2
= '
2
¾;2!;
5 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이고
P(X=0)= 3C0_4C3
=
P(X=1)= 3C1_4C2
P(X=2)= 3C2_4C1
P(X=3)= 3C3_4C0
=
7C3
7C3
7C3
7C3
,
;3¢5;
=
,
;3!5*;
=
,
;3!5@;
;3Á5;
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
0
1
2
3 합계
P(X=x)
;3¢5;
;3!5*;
;3!5@;
;3Á5;
1
E(X2)=02_
+12_
+22_
+32_
;3¢5;
;3!5*;
;3!5@;
=
;3Á5;
:Á7°:
이므로
V(X)=E(X2)-{E(X)}2
=
-
:Á7°:
{;7(;}
2
=
;4@9$;
6 E(X)=24이므로
E
X-2
=
E(X)-2=
_24-2=14
{;3@;
}
;3@;
r(X)=3에서 V(X)={r(X)}2=9이므로
V
X-2
}
=
{;3@;
{;3@;}
V(X)=
_9=4
2
;3@;
;9$;
r
X-2
=
r(X)=
_3=2
{;3@;
}
|;3@;|
;3@;
7 E(2X-1)=3에서
2E(X)-1=3
∴ E(X)=2
V(2X-1)=4에서
22 V(X)=4
이때 V(X)=E(X2)-{E(X)}2이므로
1=E(X2)-22
∴ E(X2)=5
∴ V(X)=1
8 E(X)=30, V(X)=4이므로
E(Y)=20에서 E(aX+b)=20
V(Y)=1에서 V(aX+b)=1
a2 V(X)=1, 4a2=1, a2=
;4!;
∴ a=
(∵ a>0)
;2!;
a=
을 ㉠에 대입하여 정리하면 b=5
;2!;
∴ a+b=
:Á2Á:
aE(X)+b=20
∴ 30a+b=20
……㉠
07. 이산확률변수의 기댓값과 표준편차 ⦁ 31
9 확률변수 X에 대하여
12 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고
E(X)=1_
+2_
+3_
+4_
=
;6!;
;3!;
;3!;
;6!;
;2%;
E(X2)=12_
+22_
+32_
+42_
;6!;
;3!;
;3!;
=
;6!;
:¢6£:
이므로
V(X)=E(X2)-{E(X)}2
=
-
:¢6£:
{;2%;}
;1!2!;
2
=
∴ V(6X)=62 V(X)=36_
=33
;1!2!;
10 확률의 총합은 1이므로
+
+a=1,
+a=1
∴ a=
;4!;
;2!;
;4!;
∴ E(X)=0_
+1_
+2_
=1
;2!;
;4!;
이때 b=1이므로
;4#;
;4!;
E(aX+b)=E
X+1
=
}
;4!;
{;4!;
E(X)+1
=
_1+1=
;4!;
;4%;
11 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6이고 주사위
의 각 눈이 나올 확률은
로 모두 같으므로 X의 확률분포
;6!;
를 표로 나타내면 다음과 같다.
P(X=x)
;6!;
;6!;
;6!;
;6!;
;6!;
;6!;
1
확률변수 X에 대하여
E(X)=1_
+2_
+3_
+4_
+5_
+6_
;6!;
;6!;
;6!;
;6!;
;6!;
;6!;
=
:ª6Á:=;2&;
E(X2)=12_
+22_
+32_
+42_
;6!;
;6!;
;6!;
;6!;
+52_
+62_
;6!;
;6!;
=
:»6Á:
이므로
V(X)=E(X2)-{E(X)}2
=
-
:»6Á:
{;2&;}
;1#2%;
2
=
r(X)=
V(X)=
"Ã
= '¶
105
6
¾Ð;1#2%;
∴ r(6X+5)=|6|r(X)=
105
'¶
32 ⦁ 정답과 해설
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
P(X=0)= 2C0_3C2
P(X=1)= 2C1_3C1
P(X=2)= 2C2_3C0
=
5C2
5C2
5C2
=
,
;1£0;
=
,
;5#;
;1Á0;
X
0
1
2 합계
P(X=x)
;1£0;
;5#;
;1Á0;
1
확률변수 X에 대하여
E(X)=0_
;1£0;
∴ E(5X+3)=5E(X)+3
;5#;
+1_
+2_
=
;1Á0;
;5$;
=5_
+3=7
;5$;
13 ⑴ 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이고 동전의
앞면을 H, 뒷면을 T라 하면
Ú X=0인 경우
(T, T, T)의 1가지
Û X=1인 경우
(H, T, T), (T, H, T), (T, T, H)의 3가지
Ü X=2인 경우
Ý X=3인 경우
(H, H, H)의 1가지
Ú~Ý에서 그 확률은 각각
P(X=0)=
, P(X=1)=
P(X=2)=
, P(X=3)=
;8!;
;8#;
,
;8#;
;8!;
따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
0
1
2
3 합계
P(X=x)
;8!;
;8#;
;8#;
;8!;
1
∴ E(X)=0_
+1_
+2_
+3_
=
;8!;
;8#;
;8#;
;8!;
;2#;
⑵ 앞면이 나온 동전의 금액의 합은 앞면이 나온 동전의 개
수에 500을 곱한 것과 같으므로
Y=500X
⑶ E(Y)=E(500X)=500E(X)
=500_
=750
;2#;
X
1
2
3
4
5
6 합계
(H, H, T), (H, T, H), (T, H, H)의 3가지
08 이항분포
1-1 ⑴ 8 ⑵ 5 ⑶ 독립
4-1 100, 2, 25
4-2 ⑴ 확률변수 X가 이항분포 B
30,
을 따르므로
{
;6!;}
본문 | 086~089쪽
E(X)=30_
=5
;6!;
;2!;
;1£0;
1-2 ⑴ 한 개의 동전을 던질 때, 앞면이 나올 확률은
이고 각
동전의 결과는 서로 독립이므로 앞면이 나오는 동전의
개수 X는 이항분포 B
10,
을 따른다.
{
;2!;}
⑵ 한 명의 구매자가 화장품을 재구매할 확률은
이고 각
구매자가 재구매하는 것은 서로 독립이므로 화장품을 재
구매하는 인원수 X는 이항분포 B
100,
{
;1£0;}
을 따른다.
⑶ 3개의 제비를 차례대로 뽑을 때, 뽑은 제비를 다시 넣지
않으므로 각 시행은 독립이 아니다.
따라서 당첨 제비의 개수 X는 이항분포를 따르지 않는
다.
2-1 ⑴ 2, 6 ⑵ 4, 20
2-2 ⑴ P(X=x)=
4C0 {;3!;}
4
x
4Cx {;3@;}
4C4 {;3@;}
[
{;3!;}
4
(x=0)
4-x
(x=1, 2, 3)
(x=4)
⑵ P(X=2)=4C2 {;3@;}
{;3!;}
;2¥7;
2
2
=
⑵ 확률변수 X가 이항분포 B
150,
를 따르므로
{
;5@;}
V(X)=30_
_
=
;6%;
;6!;
:ª6°:
r(X)=
=
5
6
'
6
¾Ð:ª6°:
E(X)=150_
=60
;5@;
V(X)=150_
_
=36
;5@;
;5#;
r(X)=
36=6
'¶
5-1 1, 20
5-2 확률변수 X가 이항분포 B
10,
을 따르므로
{
;4!;}
⑴ E(X)=10_
=
;4!;
;2%;
⑵ V(X)=10_
_
=
;4#;
;4!;
:Á8°:
⑶ r(X)=
30
= '¶
4
¾Ð:Á8°:
6-1 200, 4, 5, 32, 32, 8
6-2 한 개의 제품이 불량품일 확률은
;5!;
이다.
따라서 확률변수 X는 이항분포 B
100,
을 따른다.
{
;5!;}
3-1 3, 3, 36, 44
3-2 ⑴ 4회의 독립시행이고, 한 번의 시행에서 공격의 성공률은
이다. 확률변수 X는 이항분포 B
4,
{
;2!;
;2!;}
을 따르므로
X의 확률질량함수는
⑴ E(X)=100_
=20
;5!;
⑵ V(X)=100_
_
=16
;5!;
;5$;
⑶ r(X)=
16=4
'¶
` P(X=x)=
4
x
4C0 {;2!;}
4Cx {;2!;}
4C4 {;2!;}
[
{;2!;}
4
(x=0)
4-x
(x=1, 2, 3)
(x=4)
⑵ P(X¾3)=P(X=3)+P(X=4)
3
1
4
=4C3 {;2!;}
{;2!;}
+4C4 {;2!;}
=
;1¢6;+;1Á6;
=
;1°6;
6-3 한 번의 시행에서 2개의 동전 모두 뒷면이 나올 확률은
이
;4!;
이다.
따라서 확률변수 X는 이항분포 B
48,
을 따르므로
{
;4!;}
E(X)=48_
=12
;4!;
V(X)=48_
_
=9
;4#;
;4!;
r(X)=
9=3
'
⑴ E(2X+3)=2E(X)+3=2_12+3=27
⑵ V(2X+3)=22V(X)=4_9=36
⑶ r(2X+3)=|2|r(X)=2_3=6
08. 이항분포 ⦁ 33
집중 연습
본문 | 090, 091쪽
4 ⑴ 한 번의 가위바위보를 할 때, 이길 확률은
이므로 확률변
;3!;
1 ⑴ 확률변수 X는 이항분포 B
10,
{
;2!;}
을 따르므로 X의 확률
질량함수는
수 X는 이항분포 B
4,
을 따른다.
{
;3!;}
따라서 X의 확률질량함수는
P(X=x)=
x
10-x
(x=1, 2, y, 9)
P(X=x)=
10C0 {;2!;}
10
10Cx {;2!;}
10C10 {;2!;}
[
{;2!;}
10
(x=0)
(x=10)
⑵ P(X=3)=10C3 {;2!;}
{;2!;}
;1Á2°8;
3
7
=
4
x
4C0 {;3@;}
4Cx {;3!;}
4C4 {;3!;}
[
{;3@;}
4
(x=0)
4-x
(x=1, 2, 3)
(x=4)
⑵ P(X¾3)
=P(X=3)+P(X=4)
3
1
=4C3 {;3!;}
{;3@;}
+4C4 {;3!;}
4
=
;8¥1;+;8Á1;
=
;9!;
E(X)=16_
=8
;2!;
V(X)=16_
_
=4
;2!;
;2!;
r(X)=
4=2
'
E(X)=72_
=12
;6!;
V(X)=72_
_
=10
;6!;
;6%;
r(X)=
10
'¶
E(X)=450_
=270
;5#;
V(X)=450_
_
=108
;5#;
;5@;
r(X)=
108=6
'¶
3
'
E(X)=800_
=200
;4!;
V(X)=800_
_
=150
;4!;
;4#;
r(X)=
150=5
'¶
6
'
E(X)=1800_
=600
;3!;
V(X)=1800_
_
=400
;3!;
;3@;
r(X)=
400=20
'¶
5 ⑴ 확률변수 X가 이항분포 B
16,
{
;2!;}
을 따르므로
⑵ 확률변수 X가 이항분포 B
72,
을 따르므로
{
;6!;}
⑶ 확률변수 X가 이항분포 B
450,
을 따르므로
{
;5#;}
⑷ 확률변수 X가 이항분포 B
800,
을 따르므로
{
;4!;}
⑸ 확률변수 X가 이항분포 B
1800,
을 따르므로
{
;3!;}
2 ⑴ 확률변수 X는 이항분포 B
3,
{
;1£0;}
을 따르므로 X의 확률
질량함수는
P(X=x)=
3
x
3C0 {;1¦0;}
3Cx {;1£0;}
{;1¦0;}
3
[
(x=0)
3-x
(x=1, 2)
(x=3)
3C3 {;1£0;}
⑵ P(X=1 또는 X=3)
=P(X=1)+P(X=3)
1
2
=3C1
{;1£0;}
{;1¦0;}
3
+3C3 {;1£0;}
=
;1¢0¢0Á0;+;10@0&0;
=
;2!5!0&;
3 ⑴ 한 번의 사격을 할 때, 명중시키는 확률은
이므로 확률
;4#;
변수 X는 이항분포 B
5,
을 따른다.
{
;4#;}
따라서 X의 확률질량함수는
P(X=x)=
5C0 {;4!;}
5
x
5Cx {;4#;}
5C5 {;4#;}
[
{;4!;}
5
(x=0)
5-x
(x=1, 2, 3, 4)
(x=5)
⑵ P(X¾4)=P(X=4)+P(X=5)
4
1
5
+5C5 {;4#;}
{;4!;}
243
1024
=
=5C4 {;4#;}
405
1024
81
128
=
+
34 ⦁ 정답과 해설
6 ⑴ 소수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 X라 하면 주사위를
2 확률변수 X의 확률질량함수는
한 번 던져서 소수의 눈이 나올 확률은
이므로 X는 이항
;2!;
분포 B
300,
을 따른다.
{
;2!;}
∴ E(X)=300_
=150
;2!;
⑵ 흰 공이 나오는 횟수를 확률변수 X라 하면 주머니에서 임
∴ P(XÉ2)
의로 한 개의 공을 꺼낼 때, 흰 공이 나올 확률은
;5@;
이므로
X는 이항분포 B
50,
{
;5@;}
를 따른다.
∴ E(X)=50_
=20
;5@;
⑶ 걸이 나오는 횟수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포
⑷ 발아되는 씨앗의 개수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분
3 확률변수 X의 확률질량함수는
P(X=x)=
10-x
(x=1, 2, y, 9)
10
x
10C0 {;2!;}
10Cx {;2!;}
10C10 {;2!;}
[
{;2!;}
10
(x=0)
(x=10)
=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
10
1
9
2
8
{;2!;}
+10C2 {;2!;}
{;2!;}
+10C1 {;2!;}
45
10
1024
1024
+
=
=10C0 {;2!;}
1
1024
7
128
=
+
따라서 p=128, q=7이므로
p+q=128+7=135
P(X=x)=
[
5C0 (1-p)Þ`
5Cx px(1-p)Þ`-x
5C5 pÞ`
(x=0)
(x=1, 2, 3, 4)
(x=5)
이때 P(X=0)=
이므로
;3Á2;
5C0 (1-p)5=
, (1-p)5=
;3Á2;
1
2Þ`
1-p=
∴ p=
;2!;
;2!;
∴ P(X=2)=5C2 p2(1-p)3
∴ P(X=2)=5C2 {;2!;}
{;2!;}
;1°6;
2
3
=
B
700,
{
;1£0;}
을 따르므로
E(X)=700_
=210
;1£0;
V(X)=700_
_
;1£0;
;1¦0;
=147
포 B
150,
를 따르므로
{
;5$;}
E(X)=150_
=120
;5$;
V(X)=150_
_
=24
;5$;
;5!;
∴ r(X)=
24=2
'¶
6
'
기초 개념
가평
01 100, 10
03 80, 2
05 2
07 npq
09 6
11 1, 5
02 50, 7
04 3
06 np
08 'Ä
10 5
npq
본문 | 092, 093쪽
4 ⑴ 앞면과 뒷면이 한 개씩 나올 확률은
이므로 확률변수 X
;2!;
는 이항분포 B
5,
을 따른다.
{
;2!;}
따라서 X의 확률질량함수는
P(X=x)=
5-x
(x=1, 2, 3, 4)
5C0 {;2!;}
5
x
5Cx {;2!;}
5C5 {;2!;}
[
{;2!;}
5
(x=0)
(x=5)
⑵ P(X¾1)
=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)
=1-P(X=0)=1-5C0 {;2!;}
5
+P(X=5)
08. 이항분포 ⦁ 35
기초 문제
가평
1 10, 5
본문 | 094, 095쪽
=1-
;3Á2;
=
;3#2!;
5 6의 약수가 적힌 카드를 뽑은 횟수를 확률변수 X라 하면 카
드를 한 장 뽑을 때 카드에 적힌 수가 6의 약수일 확률은
=
;6$;
;3@;
이므로 X는 이항분포 B
4,
를 따른다.
{
;3@;}
따라서 X의 확률질량함수는
P(X=x)=
4C0 {;3!;}
4
x
4Cx {;3@;}
4C4 {;3@;}
[
{;3!;}
4
(x=0)
4-x
(x=1, 2, 3)
(x=4)
이므로
P(XÉ1)=P(X=0)+P(X=1)
4
1
3
=4C0 {;3!;}
+4C1 {;3@;}
{;3!;}
=
+
;8Á1;
;8¥1;
=
;9!;
9 ⑴ E(X)=1에서 10p=1
∴ p=
;1Á0;
⑵ V(X)=10_
_
;1Á0;
;1»0;
=
;1»0;
⑶ r(X)=
=
3
10
'¶
10
¾Ð;1»0;
10 확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따르고
E(X)=20, V(X)=42=16이므로
E(X)=np=20
…… ㉠
V(X)=np(1-p)=16
…… ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
20(1-p)=16, 1-p=
∴ p=
;5$;
;5!;
p=
을 ㉠에 대입하면
;5!;
;5!;
n=20
∴ n=100
11 1회의 시행에서 흰 공이 나올 확률은
;6!;
이다.
따라서 확률변수 X는 이항분포 B
180,
을 따르므로
{
;6!;}
E(X)=180_
=30
;6!;
r(X)=
180_
¾Ð
_
=
25=5
;6!;
;6%;
'¶
∴ E(X)+r(X)=30+5=35
12 확률변수 X는 이항분포 B
400,
을 따르므로
{
;2£0;}
r(X)=
400_
¾Ð
_
=
51
'¶
;2!0&;
;2£0;
13 한 개의 주사위를 던져 짝수의 눈이 나올 확률은
;2!;
이다.
따라서 확률변수 X는 이항분포 B
36,
을 따르므로
{
;2!;}
E(X)=36_
=18
;2!;
V(X)=36_
_
=9
;2!;
;2!;
r(X)=
9=3
'
∴ E
X-1
=
E(X)-1=
_18-1=8
{;2!;
}
;2!;
V
X-1
=
V(X)=
_9=
{;2!;
}
{;2!;}
;4(;
2
;2!;
;4!;
r
X-1
=
r(X)=
_3=
{;2!;
}
|;2!;|
;2!;
;2#;
6 확률변수 X가 이항분포 B
180,
를 따르므로
{
;6%;}
E(X)=180_
=150
;6%;
V(X)=180_
_
=25
;6%;
;6!;
r(X)=
25=5
'¶
7 확률변수 X가 이항분포 B
225,
을 따르므로
{
;5!;}
E(X)=225_
=45
;5!;
V(X)=225_
_
=36
;5!;
;5$;
r(X)=
36=6
'¶
∴ E(2X-5)=2E(X)-5=2_45-5=85
r(2X-5)=|2|r(X)=2_6=12
8 확률변수 X는 이항분포 B
36,
를 따르므로
{
;3@;}
E(X)=36_
=24
;3@;
V(X)=36_
_
=8
;3!;
;3@;
36 ⦁ 정답과 해설
5-1 ⑴ 0, 0.9987 ⑵ 1, 0.3413 ⑶ -, 0.4987
5-2 ⑴ P(ZÉ1)
=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1)
본문 | 096~101쪽
1-2 ⑴ f(x)<0이므로 f(x)=-
은 확률밀도함수가 아니다.
;2!;
⑵ P(Z¾1.5)
⑵ 오른쪽 그림에서 f(x) ¾0이
=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1.5)
고 y=f(x)의 그래프와 x축,
y=f(x)
0
1
z
0
1.5
z
09 정규분포
1-1 ⑴ 1 ⑵ 2
y
1
O
y축으로 둘러싸인 부분의 넓
이가 1이므로 f(x)=1-
x
;2!;
는 확률밀도함수이다.
2
x
⑶ P(0.5ÉZÉ2)
-P(0ÉZÉ0.5)
0.50
2
z
=0.5+0.3413
=0.8413
=0.5-0.4332
=0.0668
=P(0ÉZÉ2)
=0.4772-0.1915
=0.2857
⑷ P(|Z|É0.5)
=P(-0.5ÉZÉ0.5)
=P(-0.5ÉZÉ0)
=0.1915+0.1915
=0.3830
⑸ P(ZÉ-2)
=0.5-0.4772
=0.0228
참고 0<a<b일 때
+P(0ÉZÉ0.5)
-0.5 0
0.5
z
=P(0ÉZÉ0.5)+P(0ÉZÉ0.5)
=P(ZÉ0)-P(-2ÉZÉ0)
=P(ZÉ0)-P(0ÉZÉ2)
-2
0
z
2-1 2, 2
2-2 P(0ÉXÉ1)은 오른쪽 그림의
색칠한 부분의 넓이와 같으므로
P(0ÉXÉ1)
=
_
;2!;
{;2!;
+1
_1=
}
;4#;
y
1
1
232
y=f(x)
-1
O
1
x
3-1 ⑴ 1, 2 ⑵ 2, 3
3-2 ⑴ 오른쪽 그림에서 y=f(x)
의 그래프와 x축, y축으로
둘러싸인 부분의 넓이가 1
y
4k
3k
k
O
이므로
_4_4k=1
;2!;
∴ k=
;8!;
으므로
P(1ÉXÉ3)=
_
;2!;
{;8!;+;8#;}
_2=
;2!;
⑵ P(1ÉXÉ3)은 위의 그림의 색칠한 부분의 넓이와 같
y=f(x)
① P(aÉZÉb)=P(0ÉZÉb)-P(0ÉZÉa)
② P(Z¾a) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉa)
1
3
4
x
=0.5-P(0ÉZÉa)
③ P(-aÉZÉb) =P(-aÉZÉ0)+P(0ÉZÉb)
=P(0ÉZÉa)+P(0ÉZÉb)
6-1 50, 2, 1
6-2 ⑴ Z=
X-36
4
4-1 ⑴ 대칭, < ⑵ 표준편차, =
4-2 ⑴ 평균이 m인 정규분포의 확률밀도함수의 그래프는 직선
⑵ 확률변수 Z=
은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르
X-36
4
⑵ 표준편차 r의 값이 클수록 곡선은 낮아지면서 양쪽으로
x=m에 대하여 대칭이므로
m1<m2=m3
퍼지므로
r1=r2<r3
므로
P(XÉ40)=P
{
ZÉ
40-36
4
}
=P(ZÉ1)
=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1)
=0.5+0.3413=0.8413
09. 정규분포 ⦁ 37
7-1 1.5, 0.5, 0.9332
7-2 멜론 한 개의 당도를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포
N(12, 22)을 따르므로 확률변수 Z=
는 표준정규
X-12
2
분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ P(12ÉXÉ13)=P
12-12
2
{
ÉZÉ
13-12
2
}
=P(0ÉZÉ0.5)
=0.1915
집중 연습
1 ⑴ 오른쪽 그림에서 y=f(x)의 그
래프와 x축 및 두 직선 x=0,
x=3으로 둘러싸인 부분의 넓
이가 1이므로
3k=1
∴ k=
;3!;
본문 | 102, 103쪽
y=f(x)
2
3
x
y
k
O
⑵ P(X¾2)는 위의 그림의 색칠한 부분의 넓이와 같으므로
따라서 당도가 12 브릭스(Brix) 이상 13 브릭스(Brix)
이하인 것은 전체의 19.15`%이다.
P(X¾2)=1_
=
;3!;
;3!;
8-1 5, 5
8-2 ⑴ E(X)=36_
=18
;2!;
r(X)=
36_
¾Ð
_
=3
;2!;
;2!;
n=36은 충분히 크므로 X는 근사적으로 정규분포
N(18, 32)을 따른다.
므로
⑵ E(X)=720_
=120
;6!;
r(X)=
720_
¾Ð
_
=10
;6!;
;6%;
n=720은 충분히 크므로 X는 근사적으로 정규분포
N(120, 102)을 따른다.
9-1 200, 0.3413, 0.7745
9-2 ⑴ E(X)=288_
=96
;3!;
r(X)=
288_
¾Ð
_
=8
;3@;
;3!;
n=288은 충분히 크므로 X는 근사적으로 정규분포
N(96, 82)을 따른다.
X-96
8
⑵ Z=
⑶ P(X¾120)=P
Z¾
120-96
8
}
{
38 ⦁ 정답과 해설
=P(Z¾3)
=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ3)
=0.5-0.4987
=0.0013
2 ⑴ 오른쪽 그림에서 y=f(x)의 그
래프와 x축 및 두 직선 x=0,
x=2로 둘러싸인 부분의 넓이
가 1이므로
k+
k+
y
/2!/
/4!/
k
O
_
k+k+
_2=1
;2!;
{
;2!;}
2k=
;2!;
∴ k=
;4!;
y=f(x)
1
x2
⑵ P(1ÉXÉ2)는 위의 그림의 색칠한 부분의 넓이와 같으
P(1ÉXÉ2)=
_
+
_1=
;2!;
{;2!;
;4#;}
;8%;
3 ⑴ 오른쪽 그림에서 y=f(x)의 그
래프와 x축 및 두 직선 x=-1,
x=1로 둘러싸인 부분의 넓이
가 1이므로
y
k
k-
/2!/
y=f(x)
-1
O
-
1
232
k-1
1
232
1
x
2
_(k+k-1)_1
=1
[;2!;
]
∴ k=1
⑵ P
|X|É
{
;2!;}
=P
-
{
;2!;
ÉXÉ
;2!;}
은 위의 그림의 색칠한
부분의 넓이와 같으므로
P
|X|É
{
=2
_
[;2!;
{;2!;
;2!;}
+1
_
}
=
;4#;
;2!;]
4 ⑴ 다음 그림에서 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부
분의 넓이가 1이므로
y
k
O
y=f(x)
1
2
6
x
_6k=1
∴ k=
;2!;
;3!;
⑵ 0ÉxÉ2에서 y=f(x)의 그래프는 원점과 점
2,
{
;3!;}
을 지
⑷ 확률변수 Z=
는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
나는 직선이므로 직선의 방정식은
y=
x
∴ y=
x
;6!;
;3!;
2
∴ f(x)=
x (0ÉxÉ2)
;6!;
따라서 f(1)=
이고, P(1ÉXÉ2)는 앞의 그림의 색칠
;6!;
한 부분의 넓이와 같으므로
P(1ÉXÉ2)=
_
;2!;
{;6!;
+
;3!;}
_1=
;4!;
참고 두 점을 지나는 직선의 방정식
방정식은
① x1+x2일 때, y-y1=
(x-x1)
y2-y1
x2-x1
② x1=x2일 때, x=x1
좌표평면 위의 두 점 (x1, y1), (x2, y2)를 지나는 직선의
은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르
5 ⑴ 확률변수 Z=
X-50
3
므로
P(XÉ53)=P
ZÉ
{
53-50
3
}
=P(ZÉ1)
=0.5+0.3413
=0.8413
X-50
4
므로
P(XÉ46)=P
ZÉ
{
46-50
4
=P(ZÉ-1)
}
⑵ 확률변수 Z=
은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르
X
2
{
P(|X|¾2)=P
|Z|¾
2
2 }
=P(|Z|¾1)
=P(ZÉ-1)+P(Z¾1)
=P(Z¾1)+P(Z¾1)
=2(P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1))
=2(0.5-0.3413)
=0.3174
6 ⑴ 확률변수 Z=
X-30
5
므로
P(Y¾103)=P(3X-2¾103)
은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르
=P(3X¾105)=P(X¾35)
35-30
5
Z¾
=P
}
{
=P(Z¾1)
=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1)
=0.5-0.3413
=0.1587
X-20
5
므로
P(YÉ30)=P(4X+10É30)
=P(4XÉ20)=P(XÉ5)
5-20
5
ZÉ
=P
}
{
=P(ZÉ-3)
=P(ZÉ0)-P(-3ÉZÉ0)
=P(ZÉ0)-P(0ÉZÉ3)
=0.5-0.4987
=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1)
⑵ 확률변수 Z=
은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르
=P(ZÉ0)-P(-1ÉZÉ0)
=P(ZÉ0)-P(0ÉZÉ1)
=0.5-0.3413
=0.1587
X-12
2
⑶ 확률변수 Z=
는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르
=0.0013
X-4
3
⑶ 확률변수 Z=
는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므
로
P(-5ÉYÉ13) =P(-5É2X-1É13)
므로
P(8ÉXÉ13)
=P
{
8-12
2
ÉZÉ
13-12
2
}
=P(-2ÉZÉ0.5)
=P(-2ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ0.5)
=P(0ÉZÉ2)+P(0ÉZÉ0.5)
=0.4772+0.1915
=0.6687
=P(-4É2XÉ14)
=P
=P(-2ÉXÉ7)
-2-4
3
=P(-2ÉZÉ1)
{
ÉZÉ
7-4
3
}
=P(-2ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1)
=P(0ÉZÉ2)+P(0ÉZÉ1)
=0.4772+0.3413
=0.8185
09. 정규분포 ⦁ 39
므로
03 1
05 커지면
07 0, 1
09 3, 13
10
⑷ 확률변수 Z=
은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르
X-160
4
P(Y¾80)=P
X+2¾80
{;2!;
}
=P
X¾78
=P(X¾156)
{;2!;
=P
}
156-160
4
=P(Z¾-1)
Z¾
{
}
=P(-1ÉZÉ0)+P(Z¾0)
=P(0ÉZÉ1)+P(Z¾0)
=0.3413+0.5
=0.8413
④ f(x)¾0이고 함수 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸
인 부분의 넓이가
_2_1=1이므로 확률밀도함수이다.
;2!;
⑤ f(x)¾0이지만 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 직선
x=1로 둘러싸인 부분의 넓이가
_2_2=2이므로 확률
;2!;
밀도함수가 아니다.
따라서 구하는 답은 ④이다.
2 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직
선 x=0, x=4로 둘러싸인 부분의
y=f(x)
y
6k
5k
3k
2k
O
1
3
4
x
넓이가 1이므로
;2!;
_(2k+6k)_4=1
∴ k=
;1Á6;
로
P(1ÉXÉ3)은 위의 그림의 색칠한 부분의 넓이와 같으므
기초 개념
가평
본문 | 104, 105쪽
P(1ÉXÉ3)=
_
;2!;
{;1£6;+;1°6;}
_2=
;2!;
01 연속확률변수
02 확률밀도함수
B
100,
{
;2!;}
•
•
•
• N(50, 52)
⑵ 표준편차 r의 값이 클수록 곡선은 낮아지면서 양쪽으로 퍼
3 ⑴ 평균이 m인 정규분포의 확률밀도함수의 그래프는 직선
x=m에 대하여 대칭이므로
m1<m2
지므로
r1>r2
B
72,
{
;3!;}
•
•
•
• N(60, 62)
B
150,
{
;5@;}
•
•
•
• N(24, 42)
04 x
06 오른쪽
08 15
m=60,
r=6
m=50,
r=5
m=24,
r=4
-1.4
0
0.6
z
4 ⑴ P(-1.4ÉZÉ0.6)
=P(-1.4ÉZÉ0)
=P(0ÉZÉ1.4)
+P(0ÉZÉ0.6)
+P(0ÉZÉ0.6)
=0.4192+0.2257
=0.6449
⑵ P(|Z|É2.2)
=P(-2.2ÉZÉ2.2)
=P(-2.2ÉZÉ0)
+P(0ÉZÉ2.2)
-2.2
0
2.2
z
=P(0ÉZÉ2.2)+P(0ÉZÉ2.2)
=0.4861+0.4861
=0.9722
기초 문제
가평
본문 | 106, 107쪽
1 ① f(x)¾0이지만 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선
x=-1, x=1로 둘러싸인 부분의 넓이가 2_1=2이므로
확률밀도함수가 아니다.
② f(x)<0이므로 확률밀도함수가 아니다.
③ -1ÉxÉ0에서 f(x)<0이므로 확률밀도함수가 아니다.
40 ⦁ 정답과 해설
② P(11ÉXÉ19)=P
9 확률변수 X가 이항분포 B
400,
을 따르므로
{
;5!;}
5 P(Z¾a)=0.0322에서
P(Z¾a) =P(Z¾0)-P(0ÉZÉa)
=0.5-P(0ÉZÉa)
=0.0322
∴ P(0ÉZÉa)=0.4678
이때 P(0ÉZÉ1.85)=0.4678이므로
a=1.85
6 확률변수 Z=
는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
X-15
4
① P(11ÉXÉ15)=P
11-15
4
=P(-1ÉZÉ0)
{
ÉZÉ
15-15
4
}
=P(0ÉZÉ1)
=0.3413
11-15
4
=P(-1ÉZÉ1)
{
ÉZÉ
19-15
4
}
=P(-1ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1)
=P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ1)
=0.3413+0.3413
③ P(XÉ11)=P
=0.6826
ZÉ
11-15
4
=P(ZÉ-1)
{
}
=P(ZÉ0)-P(-1ÉZÉ0)
=P(ZÉ0)-P(0ÉZÉ1)
=0.5-0.3413
=0.1587
④ P(15ÉXÉ19)=P
15-15
4
{
ÉZÉ
19-15
4
}
④ P(15ÉXÉ19) =P(0ÉZÉ1)
⑤ P(X¾15)=P
Z¾
=0.3413
15-15
4
}
{
=P(Z¾0)
=0.5
따라서 구하는 답은 ③이다.
7 확률변수 Z=
X-5
3
P(8ÉYÉ35) =P(8É3X+2É35)
는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
=P(6É3XÉ33)=P(2ÉXÉ11)
=P
2-5
3
{
ÉZÉ
11-5
3
}
=P(-1ÉZÉ2)
=P(-1ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ2)
=P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ2)
=0.3413+0.4772
=0.8185
8 표시 용량이 500`mL인 생수 한 병에 들어 있는 생수의 양을
확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(500, 52)을 따른다.
따라서 확률변수 Z=
은 표준정규분포 N(0, 1)을
X-500
5
따르므로
P(XÉ490)=P
{
ZÉ
490-500
5
=P(ZÉ-2)
}
=P(ZÉ0)-P(-2ÉZÉ0)
=P(ZÉ0)-P(0ÉZÉ2)
=0.5-0.4772
=0.0228
E(X)=400_
=80
;5!;
r(X)=
400_
¾Ð
_
=8
;5$;
;5!;
N(80, 82)을 따른다.
X-80
8
따라서 Z=
P(XÉ88)=P
{
ZÉ
88-80
8
=P(ZÉ1)
}
n=400은 충분히 크므로 X는 근사적으로 정규분포
은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1)
=0.5+0.3413
=0.8413
10 한 개의 주사위를 던져 5 이상의 눈이 나오는 횟수를 확률변
수 X라 하면 한 개의 주사위를 던져 5 이상의 눈이 나올 확
률은
이므로 X는 이항분포 B
{
;3!;
450 ,
을 따른다.
;3!;}
∴ E(X)=450_
=150
;3!;
r(X)=
450_
¾Ð
_
=10
;3!;
;3@;
n=450은 충분히 크므로 X는 근사적으로 정규분포
N( 150 , 10
)을 따른다.
2
따라서 확률변수 Z=
은 표준정규분포 N(0, 1)
X-150
10
을 따르므로 구하는 확률은
P(XÉ170)=P
{
ZÉ
170-150
10
}
=P(ZÉ 2
)
=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ2)
=0.5+0.4772
= 0.9772
09. 정규분포 ⦁ 41
10 통계적 추정
1-1 ㄴ
1-2 ㄱ, ㄷ. 전수조사가 어려우므로 표본조사가 적합하다.
ㄴ. 전수조사가 가능하다.
따라서 표본조사가 적합한 것은 ㄱ, ㄷ
본문 | 108~113쪽
로
⑵ V(XÕ)=
⑴ E(XÕ)=m=50
22
16
2
16
⑶ r(XÕ)=
r2
n
r
n
=
=
'
'¶
=
;4!;
=
;2!;
5-1 ⑴ 80 ⑵ 3, 9 ⑶ 3
5-2 모평균 m=50, 모표준편차 r=2, 표본의 크기 n=16이므
2-1 ⑴ 4, 2 ⑵ 4, 2
2-2 ⑴ 6장의 카드 중에서 3장의 카드를 꺼내는 중복순열의 수
6-1 ⑴ 12 ⑵ 1 ⑶ 12 ⑷ 0.4772, 0.9544
6-2 ⑴ 모평균이 30, 모표준편차가 6, 표본의 크기가 9이므로
⑵ 6장의 카드 중에서 3장의 카드를 꺼내는 순열의 수와 같
와 같으므로 6P3=63=216
으므로 6P3=6_5_4=120
E(XÕ)=30, V(XÕ)=
=4
62
9
⑵ 표본평균 XÕ는 정규분포 N(30, 22)을 따른다.
3-1 ⑴ 4, 3, 9 ⑵ 6, 4, 4
3-2 ⑴ 모집단의 숫자 1, 3, 5 중에서 크기가 2인 표본을 복원추
출하는 경우의 수는 3P2=32=9
XÕ=1인 경우는 (1, 1)의 1가지이므로
XÕ=3인 경우는 (1, 5), (3, 3), (5, 1)의 3가지이므로
XÕ=4인 경우는 (3, 5), (5, 3)의 2가지이므로
P(XÕ=1)=
;9!;
P(XÕ=3)=
;9#;=;3!;
P(XÕ=4)=
;9@;
⑶ Z=
XÕ-30
2
⑷ 확률변수 Z=
은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르
XÕ-30
2
므로
P(XÕÉ31)=P
{
31-30
2
P(XÕÉ31) =P(ZÉ0.5)
ZÉ
}
=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ0.5)
=0.5+0.1915=0.6915
7-1 36, 20, 0
7-2 모집단이 정규분포 N(65, 142)인 정규분포를 따르고 표본
따라서 XÕ의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
XÕ
1
2
3
4
5 합계
의 크기가 49이므로 표본평균 XÕ는 정규분포
N
65,
{
142
49 }
, 즉 N(65, 22)을 따른다.
P(XÕ=xÕ)
;9!;
;9@;
;3!;
;9@;
;9!;
1
따라서 Z=
는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
XÕ-65
2
⑵ E(XÕ)=1_
+2_
+3_
+4_
+5_
;9!;
;9@;
;3!;
;9@;
;9!;
=3
12_
V(XÕ)=
{
;9!;
+22_
+32_
+42_
+52_
;9@;
;3!;
;9@;
;9!;}
-32
=
:»9£:
-9=
;3$;
r(XÕ)=
=
¾;3$;
2
3
'
3
4-1 ⑴ 2 ⑵ 9 ⑶ 9, 4
4-2 모평균 m=80, 모표준편차 r=5, 표본의 크기 n=100이
므로
⑴ E(XÕ)=m=80
⑵ V(XÕ)=
=
⑶ r(XÕ)=
=
r2
n
r
n
'
52
100
5
100
'¶
=
;4!;
=
;2!;
42 ⦁ 정답과 해설
P(XÕÉ68)=P
{
ZÉ
68-65
2
}
=P(ZÉ1.5)
P(XÕÉ68) =P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1.5)
=0.5+0.4332=0.9332
8-1 54, 54, 3, 2
8-2 모평균이 40, 모표준편차가 3이고 표본의 크기가 36이므로
표본평균 XÕ는 정규분포 N
40,
32
36 }
, 즉 N
40,
{
{;2!;}
}
2
을
{
따른다.
XÕ-40
;2!;
따라서 Z=
은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
P(XÕ¾38.5)=P
{
Z¾
38.5-40
=P(Z¾-3)
;2!;
=P(Z¾0)+P(-3ÉZÉ0)
}
=P(Z¾0)+P(0ÉZÉ3)
=0.5+0.4987=0.9987
9-1 1.96, 8, 127.92
9-2 ⑴ 신뢰도 95`%인 신뢰구간은
50-1.96_
ÉmÉ50+1.96_
∴ 46.08ÉmÉ53.92
⑵ 신뢰도 99`%인 신뢰구간은
50-2.58_
ÉmÉ50+2.58_
∴ 44.84ÉmÉ55.16
10
25
'¶
10
25
'¶
10-1 30, 36
10-2 ⑴ 신뢰도 95`%인 신뢰구간은
65-1.96_
ÉmÉ65+1.96_
∴ 64.02ÉmÉ65.98
⑵ 신뢰도 99`%인 신뢰구간은
65-2.58_
ÉmÉ65+2.58_
∴ 63.71ÉmÉ66.29
10
400
'¶
10
400
'¶
10
25
'¶
10
25
'¶
10
400
'¶
10
400
'¶
집중 연습
본문 | 114, 115쪽
1 ⑴ 모집단이 정규분포 N(60, 162)을 따르고 표본의 크기가
16이므로 표본평균 XÕ는 정규분포 N
60,
162
16 }
, 즉
{
N(60, 42)을 따른다.
XÕ-60
4
따라서 Z=
은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
P(XÕÉ56)=P
ZÉ
{
56-60
4
}
=P(ZÉ-1)
=P(ZÉ0)-P(-1ÉZÉ0)
=P(ZÉ0)-P(0ÉZÉ1)
=0.5-0.3413=0.1587
⑵ 모집단이 정규분포 N(140, 162)을 따르고 표본의 크기가
64이므로 표본평균 XÕ는 정규분포 N
140,
162
64 }
, 즉
{
은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므
N(140, 22)을 따른다.
XÕ-140
2
따라서 Z=
로
P(136ÉXÕÉ145)
=P
{
136-140
2
ÉZÉ
145-140
2
}
=P(-2ÉZÉ2.5)
=P(-2ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ2.5)
=P(0ÉZÉ2)+P(0ÉZÉ2.5)
=0.4772+0.4938=0.971
⑶ 모평균이 120, 모표준편차가 10, 표본의 크기가 100이므로
표본평균 XÕ는 정규분포 N
120,
{
, 즉 N(120, 1)을
102
100 }
따라서 Z=XÕ-120은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므
따른다.
로
P(XÕ¾122)=P(Z¾122-120)=P(Z¾2)
=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2)
=0.5-0.4772=0.0228
⑷ 모평균이 500, 모표준편차가 25, 표본의 크기가 25이므로
표본평균 XÕ는 정규분포 N
500,
, 즉 N(500, 52)을
252
25 }
{
따라서 Z=
은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므
따른다.
XÕ-500
5
로
P(495ÉXÕÉ507.5)
=P
495-500
5
{
ÉZÉ
507.5-500
5
}
=P(-1ÉZÉ1.5)
=P(-1ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1.5)
=P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ1.5)
=0.3413+0.4332=0.7745
2 ⑴ 모집단이 정규분포 N(8.2, 2.42)인 정규분포를 따르고 표
본의 크기가 36이므로 표본평균 XÕ는 정규분포
N
8.2,
{
2.42
36 }
, 즉 N(8.2, 0.42)을 따른다.
따라서 Z=
는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
XÕ-8.2
0.4
P(XÕ¾9)=P
{
Z¾
9-8.2
0.4
=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2)
=P(Z¾2)
}
=0.5-0.4772=0.0228
⑵ 모집단이 정규분포 N(85, 2.52)인 정규분포를 따르고 표
본의 크기가 25이므로 표본평균 XÕ는 정규분포
N
85,
{
2.52
25 }
, 즉 N(85, 0.52)을 따른다.
따라서 Z=
는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
XÕ-85
0.5
P(XÕÉ85.5)=P
{
ZÉ
85.5-85
0.5
=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1)
}
=P(ZÉ1)
=0.5+0.3413=0.8413
⑶ 모집단이 정규분포 N(45, 122)인 정규분포를 따르고 표본
의 크기가 36이므로 표본평균 XÕ는 정규분포
N
45,
{
122
36 }
, 즉 N(45, 22)을 따른다.
10. 통계적 추정 ⦁ 43
¶
¶
¶
¶
는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
기초 개념
가평
본문 | 116, 117쪽
07 복원추출, 비복원추출
08 표본평균, 표본표준편차
01 전
03 전
05 모집단
09 m
11
r
n
'§
13 m
15 2.58, 2.58
02 표
04 표
06 표본
10
r2
n
12 n
14 1.96, 1.96
따라서 Z=
XÕ-45
2
P(43ÉXÕÉ46)
=P
{
43-45
2
=P(-1ÉZÉ0.5)
ÉZÉ
46-45
2
}
=P(-1ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ0.5)
=P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ0.5)
=0.3413+0.1915=0.5328
3 ⑴ 신뢰도 95`%인 신뢰구간은
324-1.96_
ÉmÉ324+1.96_
∴ 318.12ÉmÉ329.88
⑵ 신뢰도 99`%인 신뢰구간은
324-2.58_
ÉmÉ324+2.58_
∴ 316.26ÉmÉ331.74
30
100
'¶
30
100
'¶
30
100
'¶
30
100
'¶
4 ⑴ 신뢰도 95`%인 신뢰구간은
20-1.96_
ÉmÉ20+1.96_
∴ 18.432ÉmÉ21.568
⑵ 신뢰도 99`%인 신뢰구간은
20-2.58_
ÉmÉ20+2.58_
∴ 17.936ÉmÉ22.064
4
25
'¶
4
25
'¶
4
25
'¶
4
25
'¶
5 표본의 크기 2500이 충분히 크므로 모표준편차 대신 표본표
준편차를 사용할 수 있고, 표본평균이 75이므로 모평균 m의
⑴ 신뢰도 95`%인 신뢰구간은
75-1.96_
ÉmÉ75+1.96_
∴ 74.412ÉmÉ75.588
⑵ 신뢰도 99`%인 신뢰구간은
75-2.58_
ÉmÉ75+2.58_
∴ 74.226ÉmÉ75.774
6 표본의 크기 400이 충분히 크므로 모표준편차 대신 표본표준
편차를 사용할 수 있고, 표본평균이 100이므로 모평균 m의
⑴ 신뢰도 95`%인 신뢰구간은
100-1.96_
ÉmÉ100+1.96_
∴ 99.02ÉmÉ100.98
⑵ 신뢰도 99`%인 신뢰구간은
100-2.58_
ÉmÉ100+2.58_
∴ 98.71ÉmÉ101.29
44 ⦁ 정답과 해설
15
2500
'¶
15
2500
'¶
10
400
'¶
10
400
'¶
15
2500
'¶
15
2500
'¶
10
400
'¶
10
400
'¶
기초 문제
가평
본문 | 118, 119쪽
1 ㄱ, ㄹ. 전수조사가 어려우므로 표본조사가 적합하다.
ㄴ, ㄷ. 전수 조사가 가능하다.
따라서 표본조사가 적합한 것은 ㄱ, ㄹ
2 모평균 m=10, 모표준편차 r=4, 표본의 크기 n=4이므로
E(XÕ)=10, V(XÕ)=
=4
42
4
∴ E(XÕ)V(XÕ)=10_4=40
3 확률변수 X에 대하여
E(X)=0_
+1_
+2_
+3_
=
;3!;
;6!;
;6!;
;3!;
;2#;
V(X)=02_
+12_
+22_
+32_
;3!;
;6!;
;6!;
-
;3!;
{;2#;}
2
=
-
=
;4(;
;1!2(;
:ª6£:
이때 표본의 크기가 4이므로
V(XÕ)=
;1!2(;
4
=
;4!8(;
∴ V(4XÕ)=42 V(XÕ)=16_
=
;4!8(;
:Á3»:
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
4 주머니에서 임의추출한 한 개의 공에 적힌 숫자를 확률변수
X라 하고, X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
8 모집단이 정규분포 N(85, 42)인 정규분포를 따르고 표본의
크기가 n이므로 표본평균 XÕ는 정규분포 N
85,
, 즉
42
n }
{
X
1
2
3
4 합계
P(X=x)
;4!;
;4!;
;4!;
;4!;
1
∴ E(X)=1_
+2_
+3_
+4_
=
;4!;
;4!;
;4!;
;2%;
;4!;
V(X)=12_
+22_
+32_
+42_
;4!;
;4!;
;4!;
-
;4!;
{;2%;}
N
85,
{
2
4
n }
}
{
'§
을 따른다.
XÕ-85
4
n
'§
2
P(XÕÉ84)=0.0228에서
따라서 Z=
는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
=
;4%;
이때 표본의 크기가 3이므로
V(XÕ)=
;4%;
3
=
;1°2;
5 모집단이 정규분포 N(50, 102)인 정규분포를 따르고 표본의
크기가 25이므로 표본평균 XÕ는 정규분포 N
50,
102
25 }
, 즉
{
N(50, 22)을 따른다.
따라서 Z=
은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
XÕ-50
2
P(XÕÉ45)=P
ZÉ
=P(ZÉ-2.5)
45-50
2
}
{
=P(ZÉ0)-P(-2.5ÉZÉ0)
=P(ZÉ0)-P(0ÉZÉ2.5)
=0.5-0.4938=0.0062
N(18, 1)을 따른다.
따라서 Z=XÕ-18은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
P(19ÉXÕÉ20)=P(19-18ÉZÉ20-18)
=P(1ÉZÉ2)
=P(0ÉZÉ2)-P(0ÉZÉ1)
=0.4772-0.3413=0.1359
7 모평균이 72, 모표준편차가 6, 표본의 크기가 36이므로 표본
62
36 }
, 즉 N(72, 1)을 따른다.
평균 XÕ는 정규분포 N
72,
{
따라서 Z=XÕ-72는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
P(XÕ¾75)=P(Z¾75-72)=P(Z¾3)
=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ3)
=0.5-0.4987=0.0013
P(XÕÉ84)=P
{
ZÉ
=P
ZÉ- '
{
n
4 }
84-85
4
n }
'§
=P(ZÉ0)-P
0ÉZÉ '
{
n
4 }
=0.5-P
0ÉZÉ '
{
n
4 }
=0.0228
∴ P
0ÉZÉ '
n
4 }
이때 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로
=0.4772
{
n
'
4
=2,
'§
n=8
∴ n=64
9 표본평균이 45, 모표준편차가 3, 표본의 크기가 81이므로 모
평균 m의 신뢰도 99`%인 신뢰구간은
45-2.58_
ÉmÉ45+2.58_
3
81
'¶
3
81
'¶
∴ 44.14ÉmÉ45.86
10 표본평균이 2000, 모표준편차가 100, 표본의 크기가 100이
므로 모평균 m의 신뢰도 95`%인 신뢰구간은
11 표본의 크기 225가 충분히 크므로 모표준편차 대신 표본표
준편차를 사용할 수 있다.
따라서 모평균 m의 신뢰도 99`%인 신뢰구간의 길이는
참고 모평균 m의 신뢰도 95`%인 신뢰구간의 길이는
2_2.58_
=1.032
3
225
'¶
2_1.96_
r
n
'
12 표본의 크기 64가 충분히 크므로 모표준편차 대신 표본표준
편차를 사용할 수 있고, 표본평균이 12이므로 모평균 m의
신뢰도 95`%인 신뢰구간은
4
64
12-1.96_
ÉmÉ12+1.96_
∴ 11.02ÉmÉ12.98
'¶
4
64
'¶
10. 통계적 추정 ⦁ 45
6 모집단이 정규분포 N(18, 42)인 정규분포를 따르고 표본의
2000-1.96_
ÉmÉ2000+1.96_
크기가 16이므로 표본평균 XÕ는 정규분포 N
18,
, 즉
∴ 1980.4ÉmÉ2019.6
42
16 }
{
100
100
'¶
100
100
'¶
¶
¶
¶
memo
짧지만 개념에 강한 짤강!
memo
짧지만 개념에 강한 짤강!
memo
짧지만 개념에 강한 짤강!
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