중학수학 1-1 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 1 2017-06-10 오후 4:01:00 13, 67의 약수는 1과 자기 자신뿐이므로 소수이다. 소수 : 13, 67, 합성수 : 51, 91, 121 2 ① 9는 합성수이지만 홀수이다. ② 2의 배수 중 소수는 2로 1개뿐이다. ③ 49의 약수는 1, 7, 49이므로 합성수이다. ④ 1은 소수가 아니지만 약수가 1개이다. 본문 9쪽 ⑤ a, b를 소수라 하면 a_b의 약수는 1, a, b, a_b이므 로 a_b는 소수가 아니다. 예를 들면 3, 5는 소수지만 3_5=15에서 15는 약수 가 1, 3, 5, 15이므로 소수가 아니다. ② Ⅰ소인수분해 1 소인수분해 01 소수와 합성수 개념원리 확인하기 01 1, 1, 2 02 1, 소수, 3 03 ⑴ 합성수 ⑵ 소수 ⑶ 합성수 ⑷ 소수 04 ⑴ 2 ⑵ 2 ⑶ 3 ⑷ 1 ⑸ 2 05 ⑴ _ ⑵ ⑶ _ ⑷ _ ⑸ 이렇게 풀어요 01 1, 1, 2 02 1, 소수, 3 이런 문제가 시험에 나온다 본문 11쪽 01 ③ 02 1 03 ③ 04 45 03 ⑴ 15의 약수는 1, 3, 5, 15이므로 15는 합성수이다. ⑵ 17의 약수는 1, 17이므로 17은 소수이다. 05 ①, ② 이렇게 풀어요 ⑶ 21의 약수는 1, 3, 7, 21이므로 21은 합성수이다. 01 ③ 합성수의 약수는 3개 이상이다. ③ ⑷ 31의 약수는 1, 31이므로 31은 소수이다. ⑴ 합성수 ⑵ 소수 ⑶ 합성수 ⑷ 소수 04 ⑴ 2 ⑵ 2 ⑶ 3 ⑷ 1 ⑸ 2 05 ⑴, ⑷ 자연수는 1, 소수, 합성수로 이루어져 있다. ⑵, ⑶ 1은 소수도 아니고 합성수도 아니다. ⑸ 소수 중 짝수는 2뿐이고 나머지는 모두 홀수이다. 02 1은 소수도 아니고 합성수도 아니다. 소수는 3, 5, 11, 19, 31의 5개이므로 a=5 합성수는 9, 15, 21, 49, 50, 51의 6개이므로 b=6 ∴ b-a=6-5=1 1 03 ① 111의 약수는 1, 3, 37, 111이므로 합성수이다. ② 119의 약수는 1, 7, 17, 119이므로 합성수이다. ④ 141의 약수는 1, 3, 47, 141이므로 합성수이다. ⑤ 161의 약수는 1, 7, 23, 161이므로 합성수이다. 따라서 소수인 것은 ③이다. ③ ⑴ _ ⑵ ⑶ _ ⑷ _ ⑸ ③ 131의 약수는 1, 131이므로 소수이다. 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 10쪽 1 소수 : 13, 67, 합성수 : 51, 91, 121 04 50 이하의 자연수 중에서 가장 큰 소수는 47이고, 가장 작은 소수는 2이므로 두 수의 차는 47-2=45 45 1 51의 약수는 1, 3, 17, 51이므로 합성수이다. 91의 약수는 1, 7, 13, 91이므로 합성수이다. 121의 약수는 1, 11, 121이므로 합성수이다. 05 ① 30보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29의 10개이다. ② 두 자연수 1과 2의 곱은 2이므로 소수이다. 2 ② 이렇게 풀어요 2 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 2 2017-06-10 오후 4:01:02 ⑤ 5의 배수 중 소수는 5의 1개뿐이다. 02 소인수분해 ⑴ 개념원리 확인하기 01 ⑴ 밑：3, 지수：4 ⑵ 밑： , 지수：3 1 2 ⑶ 밑：6, 지수：5 02 ⑴ 2Ü` ⑵ 5Ý` ⑶ 3Û`_5Ü` ⑷ 2Û`_5_7Ý`` ⑸ { 1 3 } Ü` { 또는 ⑹ 1 3Ü` } 1 3Û`_5Ü` 03 풀이 참조 04 ⑴ 소인수분해：2Ý`_3, 소인수：2, 3 ⑵ 소인수분해：2_7Û`, 소인수：2, 7 ⑶ 소인수분해：2Ü`_3_5, 소인수：2, 3, 5 ⑷ 소인수분해：2_3Û`_7, 소인수：2, 3, 7 05 ② 이렇게 풀어요 01 ⑴ 밑：3, 지수：4 ⑵ 밑： , 지수：3 1 2 ⑶ 밑：6, 지수：5 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 02 ⑸ × × = { 1 3 } Ü` 또는 × × = 1_1_1 3_3_3 = 1 3Ü` ⑹ 1 3_3_5_5_5 = 1 3Û`×5Ü` ⑴ 2Ü` ⑵ 5Ý` ⑶ 3Û`_5Ü` ⑷ 2Û`_5_7Ý` ⑸ { 1 3 } Ü` {또는 1 3Ü` } ⑹ 1 3Û`_5Ü` 2 9 3 3 ∴ 36=2Û`_3Û` 03 ⑴ 36 2 18 ⑵ 84 42 21 2 `>`³ 2 `>`³ 3 `>`³ 7 ∴ 84=2Û`_3_7 풀이 참조 ①, ② 본문 14쪽 04 ⑴ 2`>² 48 2`>² 24 2`>² 12 2`>² 6 3 ∴ 48=2Ý`_3 소인수：2, 3 ⑶ 2`>³ 120 2`>³ 60 2`>³ 30 3`>³ 15 5 ∴ 120=2Ü`_3_5 소인수：2, 3, 5 ⑵ 2`>²`98 7`>² 49 7 ∴ 98=2_7Û`` 소인수：2, 7 ⑷ 2`>³ 126 3`>³ 63 3`>³ 21 2`> 7 ∴ 126=2_3Û`_7 소인수：2, 3, 7 ⑴ 소인수분해：2Ý`_3, 소인수：2, 3 ⑵ 소인수분해：2_7Û`, 소인수：2, 7 ⑶ 소인수분해：2Ü`_3_5, 소인수：2, 3, 5 ⑷ 소인수분해：2_3Û`_7, 소인수：2, 3, 7 05 252=2Û`×3Û`×7이므로 252의 소인수는 2, 3, 7이다. ② 주의 가 아니다. ③ 2Û`, ⑤ 3Û`은 252의 인수이지만 소수는 아니므로 소인수 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 15~17쪽 1 ⑴ 2Û`_5Ü` ⑵ 2Ü`_3_5Û` ⑶ { Ü` 2 3 } { 또는 2Ü` 3Ü` } 4 ④ 5 ② ⑷ 1 2Û`_7Ü` 2 ④ 6 63 3 15 7 ③ 이렇게 풀어요 1 ⑶ ` 또는 ;3@;_;3@;_;3@;={;3@;} 2 2 3 3 2 3 = × × 2_2_2 3_3_3 = 2Ü` 3Ü` ⑴ 2Û`_5Ü` ⑵ 2Ü`_3_5Û` ⑶ { 2 3 } Ü` {또는 2Ü` 3Ü` } ⑷ 1 2Û`_7Ü` Ⅰ. 소인수분해 3 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 3 2017-06-10 오후 4:01:04 Ü 2 ① 45=3Û`×5 ③ 140=2Û`×5×7 ⑤ 600=2Ü`×3×5Û` ② 72=2Ü`×3Û` ④ 225=3Û`×5Û` 이런 문제가 시험에 나온다 본문 18쪽 01 ③ 05 70 02 2, 3 06 ② 03 ③ 07 40 04 7 3 1400=2Ü`×5Û`×7이므로 a=3, b=5, c=7 ∴ a+b+c =3+5+7 =15 2`>³ 1400 2`>³ 700 2`>³ 350 5`>³ 175 5`>³ 35 7 4 420=2Û`×3×5×7이므로 소인수는 2, 3, 5, 7이다. 따라서 420의 모든 소인수의 합은 2+3+5+7=17 5 ① 54=2×3Ü`이므로 소인수는 2, 3이다. ② 63=3Û`×7이므로 소인수는 3, 7이다. ③ 72=2Ü`×3Û`이므로 소인수는 2, 3이다. ④ 96=2Þ`×3이므로 소인수는 2, 3이다. ⑤ 144=2Ý`×3Û`이므로 소인수는 2, 3이다. 따라서 소인수가 나머지 넷과 다른 하나는 ②이다. ④ 15 ④ ② 이렇게 풀어요 01 ③ 81=3Ý` 02 216을 소인수분해하면 216=2Ü`_3Ü` 따라서 216의 소인수는 2, 3이다. 03 28=2Û`×7, 126=2×3Û`×7이므로 28×126 =(2Û`×7)×(2×3Û`×7) =2Ü`×3Û`×7Û` 따라서 a=3, b=2, c=2이므로 a+b+c=3+2+2=7 04 16=2Ý`이므로 a=4 125=5Ü`이므로 b=3 ∴ a+b=4+3=7 6 84를 소인수분해하면 84=2Û`_3_7 84_a=2Û`_3_7_a=bÛ`이 되려면 소인수의 지수가 모두 짝수가 되어야 하므로 a=3_7 즉, 84_3_7 =2Û`_3_7_3_7=2Û`_3Û`_7Û` =(2_3_7)_(2_3_7) =(2_3_7)Û`=42Û` 이므로 a=21, b=42 ∴ a+b=21+42=63 05 360을 소인수분해하면 360=2Ü`×3Û`×5 360×a=2Ü`×3Û`×5×a=bÛ`이 되려면 소인수의 지수가 모두 짝수가 되어야 하므로 a=2×5 즉, 360×2_5 =2Ü`_3Û`_5_2_5 =2Ý`_3Û`_5Û` =(2Û`_3_5)_(2Û`_3_5) =(2Û`_3_5)Û`=60Û` 63 이므로 a=10, b=60 ∴ a+b=10+60=70 7 45×x=3Û`×5×x가 어떤 자연수의 제곱이 되려면 x=5×(자연수)Û`의 꼴이어야 한다. ① 5=5_1Û` ③ 25=5×5 ⑤ 125=5Ü`=5×5Û` ② 20=5_2Û` ④ 80=5_4Û` 따라서 x의 값이 될 수 없는 것은 ③이다. 06 756=2Û`×3Ü`×7이고 어떤 자연수의 제곱이 되려면 각 소 인수의 지수가 짝수가 되어야 하므로 나누어야 할 가장 작 은 자연수 a=3×7 즉, 756Ö(3_7) =2Û`×3Ü`×7Ö(3_7) ③ =2Û`×3Û` 4 정답과 풀이 ③ 2, 3 ③ 7 70 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 4 2017-06-10 오후 4:01:05 =(2_3)_(2_3) 02 ⑴ =(2_3)Û`=6Û` 이므로 a=21, b=6 ∴ a-b=21-6=15 ⑵ ② 3`>²`45 3`>²`15 5 ∴ 45=3Û`_5 _ 1 3 3Û` 1 1 3 9 5 5 15 45 07 90=2×3Û`×5이므로 90_a=2×3Û`×5×a가 어떤 자연 수의 제곱이 되려면 a=2×5×(자연수)Û`의 꼴이어야 한 다. 즉, a=2_5_1Û`, 2_5_2Û`, 2_5_3Û`, y 따라서 a의 값 중에서 두 번째로 작은 자연수는 2×5×2Û`=40 40 ⑶ (2+1)_(1+1)=6(개) ⑴ 3Û`×5 ⑵ 표는 풀이 참조 , 1, 3, 5, 9, 15, 45 ⑶ 6개 03 ⑴ 1, 2, 4, 8 ⑵ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ⑷ 75를 소인수분해하면 ⑶ 1, 2, 4, 13, 26, 52 ⑷ 1, 3, 5, 15, 25, 75 03 소인수분해 ⑵ 개념원리 확인하기 01 ⑴ 표는 풀이 참조, 1, 2, 5, 10, 25, 50 ⑵ 표는 풀이 참조, 1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189 02 ⑴ 3Û`×5 ⑵ 표는 풀이 참조, 1, 3, 5, 9, 15, 45 ⑶ 6개 ⑸ 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88 ⑹ 1, 5, 7, 25, 35, 175 04 ⑴ 6개 ⑵ 12개 ⑶ 18개 ⑷ 15개 이렇게 풀어요 01 ⑴ 2_5Û`의 약수는 오른쪽 표와 같이 1, 2, 5, 10, 25, 50이다. _ 1 2 ⑵ 3Ü`×7의 약수는 오른쪽 표와 같이 1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189이다. 10 5 5 1 1 3 9 5Û` 25 50 7 7 21 63 1 1 2 _ 1 3 3Û` 3Ü` 03 ⑴ 2Ü`의 약수는 1, 2, 2Û`, 2Ü`, 즉 1, 2, 4, 8이다. ⑵ 2Û`×3Û`의 약수는 오른 쪽 표와 같이 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36이 본문 20쪽 다. ⑶ 2Û`_13의 약수는 오른쪽 표와 같이 1, 2, 4, 13, 26, 52이다. _ 1 2 2Û` _ 1 3 1 1 2 4 _ 1 2 2Û` 1 1 3 _ 1 2 2Û` 2Ü` _ 1 5 5Û` 3Û` 9 18 36 13 13 26 52 5Û` 25 75 11 11 22 44 88 7 7 12 15 3 3 6 1 1 2 4 5 5 1 1 2 4 8 1 1 5 35 175 25 Ⅰ. 소인수분해 5 75=3×5Û`이므로 75의 약수는 오른쪽 표 와 같이 1, 3, 5, 15, 25, 75이다. ⑸ 88을 소인수분해하면 88=2Ü`_11이므로 88의 약수는 오른쪽 표와 같 이 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88 이다. ⑹ 175를 소인수분해하면 175=5Û`_7이므로 175의 약수는 오른쪽 표와 같 이 1, 5, 7, 25, 35, 175이다. ⑴ 표는 풀이 참조 , 1, 2, 5, 10, 25, 50 ⑶ 1, 2, 4, 13, 26, 52 ⑷ 1, 3, 5, 15, 25, 75 ⑵ 표는 풀이 참조 , 1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189 ⑸ 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88 ⑹ 1, 5, 7, 25, 35, 175 27 189 ⑴ 1, 2, 4, 8 ⑵ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 5 2017-06-10 오후 4:01:08 04 ⑴ 5+1=6(개) ⑵ (2+1)×(3+1)=12(개) ② 108×7=2Û`×3Ü`×7의 약수의 개수는 (2+1)×(3+1)×(1+1)=24(개) ⑶ (2+1)×(2+1)×(1+1)=18(개) ③ 108×10=2Û`×3Ü`×10=2Û`×3Ü`×(2×5)=2Ü`×3Ü`×5 ⑷ 400=2Ý`×5Û`이므로 약수의 개수는 의 약수의 개수는 (4+1)×(2+1)=15(개) (3+1)×(3+1)×(1+1)=32(개) ⑴ 6개 ⑵ 12개 ⑶ 18개 ⑷ 15개 ④ 108×11=2Û`×3Ü`×11의 약수의 개수는 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 21~22쪽 ③ (2+1)×(3+1)×(1+1)=24(개) ⑤ 108×13=2Û`×3Ü`×13의 약수의 개수는 (2+1)×(3+1)×(1+1)=24(개) 따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ③이다. 주의 ③ 108×10=2Û`×3Ü`×10에서 약수의 개수는 (2+1)×(3+1)×(1+1)=24(개)라고 하지 않도록 주 의한다. 10은 소인수가 아니므로 108×10=2Û`×3Ü`×(2×5)=2Ü`×3Ü`×5로 나타낸 후 약수 의 개수를 구해야 한다. 1 ④ 2 ④ 3 ② 4 ③ 1 450=2×3Û`×5Û`이므로 450의 약수는 (2의 약수)×(3Û`의 약수)×(5Û`의 약수)의 꼴이다. ④ 2Û`×5Û`에서 2Û`은 2의 약수가 아니므로 450의 약수가 아 이렇게 풀어요 니다. ④ 2 각각의 약수의 개수를 구하면 다음과 같다. ① (2+1)×(3+1)=12(개) ② 2Ü`×9=2Ü`×3Û`이므로 (3+1)×(2+1)=12(개) ③ (2+1)×(3+1)=12(개) ④ (2+1)×(6+1)=21(개) 이렇게 풀어요 이런 문제가 시험에 나온다 본문 23쪽 01 ⑤ 05 ② 02 ④ 06 1 03 ④ 04 270 ⑤ (1+1)×(1+1)×(2+1)=12(개) 01 2Û`×3Û`×5의 약수는 (2Û`의 약수)×(3Û`의 약수)×(5의 약수) 따라서 약수의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다. 의 꼴이다. 3 180=2Û`×3Û`×5이므로 약수의 개수는 (2+1)×(2+1)×(1+1)=18(개) 2×3`×5Û`의 약수의 개수는 (1+1)×(a+1)×(2+1)=6×(a+1)(개) 따라서 두 수의 약수의 개수가 같으므로 6×(a+1)=18, a+1=3 ∴ a=2 4 108을 소인수분해하면 108=2Û`×3Ü` ① 108×5=2Û`×3Ü`×5의 약수의 개수는 (2+1)×(3+1)×(1+1)=24(개) 6 정답과 풀이 ④ ① 6=2×3 ③ 30=2×3×5 ② 20=2Û`×5 ④ 36=2Û`×3Û` ⑤ 100=2Û`×5Û`에서 5Û`은 5의 약수가 아니다. 따라서 2Û`×3Û`×5의 약수가 아닌 것은 ⑤이다. 02 각각의 약수의 개수를 구하면 다음과 같다. ① 6+1=7(개) ② (2+1)_(2+1)=9(개) ② ③ (3+1)_(1+1)=8(개) ④ (1+1)_(2+1)=6(개) ⑤ (1+1)_(1+1)_(2+1)=12(개) 따라서 약수의 개수가 가장 적은 것은 ④이다. ⑤ ④ 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 6 2017-06-10 오후 4:01:10 03 3Ü`×5`×7의 약수의 개수가 56개이므로 (3+1)×(a+1)×(1+1)=56 8×(a+1)=56, a+1=7 ∴ a=6 step (기본문제) 02 ③ 01 ③ 05 ④, ⑤ 06 ④ 10 ② 09 ⑤ ④ 본문 24~25쪽 03 ④, ⑤ 04 ② 07 ③ 11 ③ 08 ③, ④ 12 ④ 04 2Û`×3Ü`×5의 약수 중에서 가장 큰 수는 자기 자신, 즉 이렇게 풀어요 2Û`×3Ü`×5이고 두 번째로 큰 수는 자기 자신을 가장 작은 소인수인 2로 나눈 것이므로 2×3Ü`×5=270이다. 01 49의 약수는 1, 7, 49이므로 합성수이다. 289의 약수는 1, 17, 289이므로 합성수이다. 270 37, 71, 97, 181의 약수는 1과 자기 자신뿐이므로 소수이 다. 따라서 소수의 개수는 4개이다. 05 72를 소인수분해하면 72=2Ü`_3Û` ① 72_5=2Ü`_3Û`_5의 약수의 개수는 (3+1)_(2+1)_(1+1)=24(개) ② 72_10 =2Ü`_3Û`_10=2Ü`_3Û`_(2_5) =2Ý`_3Û`_5 의 약수의 개수는 (4+1)_(2+1)_(1+1)=30(개) ③ 72_13=2Ü`_3Û`_13의 약수의 개수는 (3+1)_(2+1)_(1+1)=24(개) 02 ① 72=2Ü`×3Û` ② 98=2×7Û` ④ 150=2×3×5Û` ⑤ 300=2Û`×3×5Û` 따라서 소인수분해를 바르게 한 것은 ③이다. ④ 72_16=2Ü`_3Û`_16=2Ü`_3Û`_2Ý`=2à`_3Û`의 약수 ⑤ 72_27=2Ü`_3Û`_27=2Ü`_3Û`_3Ü`=2Ü`_3Þ`의 약수 의 개수는 (7+1)_(2+1)=24(개) 의 개수는 (3+1)_(5+1)=24(개) 03 ④ 7+7+7+7=7×4 ⑤ × ;3!; × ;3!; ;7!; × ;7!; × ;7!; = {;3!;} Û`× Ü` {;7!;} 따라서 안에 들어갈 수 없는 수는 ②이다. 04 6×7×8×9×10 =2×3×7×2×2×2×3×3×2×5 =2Þ`×3Ü`×5×7 ② 따라서 a=5, b=3, c=5이므로 a+b+c=5+3+5=13 06 280을 소인수분해하면 280=2Ü`_5_7이므로 약수의 개 수는 (3+1)_(1+1)_(1+1)=16(개) 8_3`_7º`=2Ü`_3`_7º`의 약수의 개수는 (3+1)_(a+1)_(b+1)=4_(a+1)_(b+1)(개) 4_(a+1)_(b+1)=16이므로 (a+1)_(b+1)=4 이때 a, b가 자연수이므로 a+1¾2, b+1¾2 따라서 a+1=2, b+1=2이므로 a=1, b=1 ∴ a_b=1 05 ④ 소수는 약수의 개수가 2개인 수이고, 합성수는 약수의 개수가 3개 이상인 수이므로 소수이면서 합성수인 자 ⑤ a, b가 소수일 때, a_b의 약수가 1, a, b, a_b이므 연수는 없다. 로 a_b는 소수가 아니다. 06 ① 600=2Ü`_3_5Û` ② 약수의 개수는 1 (3+1)_(1+1)_(2+1)=24(개) Ⅰ. 소인수분해 7 ③ ③ ④, ⑤ ② ④, ⑤ 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 7 2017-06-10 오후 4:01:12 ③ 소인수는 2, 3, 5이다. ㅁ. 3×5Û`의 약수의 개수는 (1+1)×(2+1)=6(개) ④ 600_2_3 =2Ü`_3_5Û`_2_3 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ의 3개이다. ③ =2Ý`_3Û`_5Û` =(2Û`_3_5)Û` =(2Û`_3_5)_(2Û`_3_5) 이므로 어떤 자연수의 제곱이 된다. ⑤ 600의 약수는 12 24를 소인수분해하면 24=2Ü`_3 ① 24_2=2Ü`_3_2=2Ý`_3의 약수의 개수는 (4+1)_(1+1)=10(개) (2Ü`의 약수)_(3의 약수)_(5Û`의 약수)의 꼴이다. ② 24_3=2Ü`_3_3=2Ü`_3Û`의 약수의 개수는 2Û`_3_5Ü`에서 5Ü`은 5Û`의 약수가 아니므로 600의 약수 (3+1)_(2+1)=12(개) 가 아니다. ④ ③ 24_4=2Ü`_3_4=2Ü`_3_2Û`=2Þ`_3의 약수의 개 수는 07 ① (1+1)×(3+1)=8(개) ② 32=2Þ`이므로 약수의 개수는 5+1=6(개) (5+1)_(1+1)=12(개) ④ 24_5=2Ü`_3_5의 약수의 개수는 ③ 72=2Ü`×3Û`이므로 약수의 개수는 (3+1)_(1+1)_(1+1)=16(개) (3+1)×(2+1)=12(개) ⑤ 24_6=2Ü`_3_6=2Ü`_3_(2_3)=2Ý`_3Û`의 약수 ④ 3×5×11의 약수의 개수는 의 개수는 (1+1)×(1+1)×(1+1)=8(개) (4+1)_(2+1)=15(개) ⑤ 7Ý`×13의 약수의 개수는 (4+1)×(1+1)=10(개) 따라서 안에 알맞은 수는 ④이다. 따라서 약수의 개수가 가장 많은 것은 ③이다. ④ 08 ③ 소수가 아닌 자연수는 1 또는 합성수이다. ④ 2와 7은 모두 소수이지만 2+7=9에서 9는 홀수이다. ⑤ 1에서 20까지의 자연수 중 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19의 8개이다. ③ ③, ④ 09 252=2Û`×3Û`×7이므로 252의 약수는 (2Û`의 약수)_(3Û`의 약수)_(7의 약수)의 꼴이다. 이렇게 풀어요 ⑤ 2Ü`_3Û`에서 2Ü`은 2Û`의 약수가 아니므로 252의 약수가 2 step (발전문제) 01 3 05 1323 02 ⑤ 06 3 본문 26쪽 03 ③ 04 453 01 1080=2Ü`×3Ü`×5이므로 1080의 약수의 개수는 (3+1)×(3+1)×(1+1)=32(개) ⑤ 1080의 약수의 개수와 2Ü`×3×5`의 약수의 개수가 같으므 로 (3+1)×(1+1)×(a+1)=32 8×(a+1)=32 a+1=4 ∴ a=3 ② 3 11 ㄱ. 20보다 크고 30보다 작은 소수는 23, 29의 2개이다. ㄷ. 81=3Ý`이므로 소인수는 3이다. 02 189를 소인수분해하면 189=3Ü`_7 189_a=3Ü`_7_a=bÛ`이 되려면 소인수의 지수가 모두 ㄹ. 한 자리의 자연수 중에서 합성수는 4, 6, 8, 9의 4개 짝수가 되어야 하므로 가장 작은 자연수 a=3_7=21 아니다. 10 64=2ß`이므로 a=6 243=3Þ`이므로 b=5 ∴ a-b=6-5=1 이다. 8 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 8 2017-06-10 오후 4:01:13 a=21일 때, 189_21 =3Ü`_7_3_7 =(3Û`_7)Û`=63Û` 이므로 a=21, b=63 Û 2à`_ 에서 =aº``(a는 2가 아닌 소수, b는 자연수) 의 꼴이면 2à`×aº`의 약수의 개수는 16개이므로 그런데 a가 될 수 있는 수 중 가장 작은 자연수는 3이 므로 안에 들어갈 가장 작은 자연수는 3이다. =3Ý`_7Û`=(3Û`_7)_(3Û`_7) (7+1)×(b+1)=16 ∴ b=1 따라서 a+b의 최솟값은 21+63=84 Ú, Û에서 구하는 가장 작은 자연수는 3이다. ⑤ 03 1에서 50까지의 자연수 중 5를 소인수로 가지는 수는 5의 배수이고 5=5, 10=2_5, 15=3_5, 20=2Û`_5, 25=5Û`, 30=2_3_5, 35=5_7, 40=2Ü`_5, 45=3Û`_5, 50=2_5Û`이므로 1_2_3_4_y_50= _5Ú`Û`의 꼴로 소인수분해 된다. 따라서 구하는 5의 지수는 12이다. 04 A=2Û`×3Û`×5Û`의 약수는 1, 2, 3, 2Û`, 5, …, 2×3Û`×5Û`, 2Û`×3Û`×5Û`이다. 세 번째로 작은 수는 3이므로 a=3 가장 큰 수는 자기 자신, 즉 2Û`_3Û`_5Û`이고 두 번째로 큰 수는 가장 작은 소인수 2로 나눈 것이므로 2×3Û`×5Û`이다. ∴ b=2×3Û`×5Û`=450 ∴ a+b=3+450=453 3 step (실력UP) 01 6개 05 4 02 30 06 12 03 ⑤ 04 144 ③ 이렇게 풀어요 01 약수가 3개인 자연수는 (소수)Û`의 꼴이다. 즉, 2Û`=4, 3Û`=9, 5Û`=25, 7Û`=49, 11Û`=121, 13Û`=169, 17Û`=289, … 따라서 1부터 200까지의 자연수 중에서 약수의 개수가 3 개인 수는 4, 9, 25, 49, 121, 169의 6개이다. 6개 453 02 2_n-1이 78의 약수일 때, 이 자연수가 된 78 2_n-1 다. 78의 약수는 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78이므로 3 본문 27쪽 05 ㈎에서 A=3`×7º` (a, b는 자연수)의 꼴이고 ㈏에서 약수의 개수가 12개이므로 12=(3+1)×(2+1) 또는 12=(5+1)×(1+1) 2_n-1=3일 때, n=2 Ú 12=(3+1)×(2+1)일 때, A=3Ü`×7Û` 또는 A=3Û`×7Ü` Û 12=(5+1)×(1+1)일 때, A=3Þ`×7 또는 A=3×7Þ` 따라서 가장 작은 자연수는 A=3Ü`×7Û`=1323 2_n-1=1일 때, n=1 2_n-1=2일 때, n= (×) 2_n-1=6일 때, n= (×) 2_n-1=13일 때, n=7 2_n-1=26일 때, n= (×) 2_n-1=39일 때, n=20 2_n-1=78일 때, n= (×) ;2#; ;2&; 27 2 79 2 1323 06 216=2Ü`×3Ü`이므로 216의 약수의 개수는 (3+1)×(3+1)=16(개) Ú 2à`_=2û` (k는 자연수)의 꼴이면 약수의 개수가 16 개이므로 k+1=16에서 k=15 즉, =2¡`=256 따라서 자연수 n의 값은 1, 2, 7, 20이므로 구하는 합은 1+2+7+20=30 30 03 3Ú`=3, 3Û`=9, 3Ü`=27, 3Ý`=81, 3Þ`=243, y이므로 3의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1이 차례로 반복 Ⅰ. 소인수분해 9 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 9 2017-06-10 오후 4:01:15 이때 1001=4×250+1이므로 3Ú`â`â`Ú`의 일의 자리의 숫자 12Ö6_f(x)=12 `f(126)Öf(20)_f(x)=12에서 ∴ f(x)=6 7Ú`=7, 7Û`=49, 7Ü`=343, 7Ý`=2401, 7Þ`=16807, y이므 Ú f(x)=6=5+1일 때, 가장 작은 자연수 x의 값은 로 7의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는 7, 9, 3, 1이 차례 x=2Þ`=32 이때 1503=4×375+3이므로 7Ú`Þ`â`Ü`의 일의 자리의 숫자 x의 값은 x=2Û`_3=12 Û f(x)=6=(2+1)_(1+1)일 때, 가장 작은 자연수 Ú, Û에서 구하는 가장 작은 자연수 x의 값은 12이다. 따라서 3Ú`â`â`Ú`×7Ú`Þ`â`Ü`의 일의 자리의 숫자는 3×3=9에서 9 12 된다. 는 3이다. 로 반복된다. 는 3이다. 이다. ⑤ 04 어떤 자연수의 약수의 개수가 15개이기 위해서는 어떤 자 연수가 aÚ`Ý` (a는 소수)의 꼴 또는 aÝ`_bÛ` (a, b는 서로 다 른 소수)의 꼴 중 하나이어야 한다. 서술형 대비 문제 1 36 2 3 Ú aÚ`Ý` (a는 소수)의 꼴일 때, 가장 작은 자연수는 3 ⑴ 400=2Ý`_5Û` ⑵ 2, 5 본문 28~29쪽 Û aÝ`_bÛ` (a, b는 서로 다른 소수)의 꼴일 때, 가장 작은 4 3, 12 5 a=6, b=6 6 6 ⑶ 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 200, 400 따라서 약수의 개수가 15개인 가장 작은 자연수는 144이 이렇게 풀어요 2Ú`Ý`=16384 자연수는 2Ý`_3Û`=144 다. 05 2×3Û`×의 약수의 개수는 12개이고 12=11+1 또는 12=(5+1)_(1+1) 또는 12=(3+1)_(2+1) 또는 12=(2+1)_(1+1)_(1+1) 144 150=2×3×5Û` 1 1 단계 150을 소인수분해하면 2`>³ 150 3`>³ 75 5`>³ 25 2`> 5 2단계 150_x=2×3×5Û`×x=yÛ`이 되려면 소인수의 지 수가 모두 짝수가 되어야 하므로 x=2×3=6 Ú 12=11+1일 때, 안에 들어갈 수 있는 자연수는 3단계 이때 150×x =2×3×5Û`×(2×3) 없다. Û 12=(5+1)_(1+1)일 때, 안에 들어갈 수 있는 가장 작은 자연수는 =3Ü`=27 =2Û`×3Û`×5Û` =(2×3×5)_(2×3×5) =(2×3×5)Û`=30Û` Ü 12=(3+1)_(2+1)일 때, 안에 들어갈 수 있는 이므로 y=30 가장 작은 자연수는 =2Û`=4 4단계 ∴ x+y=6+30=36 Ý 12=(2+1)_(1+1)_(1+1)일 때, 안에 들어 갈 수 있는 가장 작은 자연수는 =5 Ú~Ý에서 구하는 가장 작은 자연수는 4이다. 06 126을 소인수분해하면 126=2_3Û`_7 ∴ f(126)=(1+1)_(2+1)_(1+1)=12 또, 20을 소인수분해하면 20=2Û`_5 ∴ f(20)=(2+1)_(1+1)=6 10 정답과 풀이 2 1단계 360=2Ü`×3Û`×5이므로 360의 약수의 개수는 (3+1)×(2+1)×(1+1)=24(개) 4 2단계 2Û`×3`×11의 약수의 개수는 (2+1)×(a+1)×(1+1)=6×(a+1)(개) 3단계 6×(a+1)=24, a+1=4 ∴ a=3 36 3 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 10 2017-06-10 오후 4:01:16 3 1 단계 ⑴ 400을 소인수분해하면 400=2Ý`×5Û` 5 1 단계 216을 소인수분해하면 216=2Ü`_3Ü` 2 단계 ⑵ 400의 소인수는 2, 5이다. 3 단계 ⑶ 400의 약수를 모두 구하면 2 단계 어떤 자연수의 제곱이 되려면 소인수분해했을 때 소 인수의 지수가 모두 짝수이어야 하므로 2`>³ 400 2`>³ 200 2`>³ 100 2`>³ 50 5`>³ 25 2`> 5 배점 1점 1점 3점 3`>³ 147 7`>³ 49 2`> 7 3, 12 배점 3점 3점 1점 _ 1 2 2Û` 2Ü` 2Ý` 1 1 2 4 8 16 5 5 10 20 40 80 5Û` 25 50 100 200 400 위의 표에서 400의 약수는 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 200, 400이다. ⑴ 400=2Ý`_5Û` ⑵ 2, 5 ⑶ 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 200, 400 채점요소 단계 1 2 3 400을 소인수분해하기 400의 소인수 구하기 400의 약수 구하기 4 1 단계 147을 소인수분해하면 147=3_7Û` 147_x=3_7Û`_x가 어떤 자연수의 제곱이 되려면 x=3_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다. 2 단계 ∴ x=3_1Û`, 3_2Û`, 3_3Û`, y 3 단계 따라서 가장 작은 수는 3이고, 두 번째로 작은 수는 3_2Û`=12이다. 단계 채점요소 1 2 3 147을 소인수분해하여 어떤 자연수의 제곱이 될 조건 구하기 가능한 x의 값 구하기 가장 작은 수와 두 번째로 작은 수 구하기 2`>³ 216 2`>³ 108 2`>³ 54 3`>³ 27 3`>³ 9 2`> 3 a=2×3=6 3 단계 이때 216Ö6=36 =2Û`_3Û` =(2_3)_(2_3) =(2_3)Û`=6Û` 이므로 b=6 채점요소 단계 1 2 3 216을 소인수분해하기 a의 값 구하기 b의 값 구하기 a=6, b=6 배점 1점 3점 3점 6 1 단계 자연수 N=2Å`_3Ý`_5´`의 약수의 개수가 60개이므 로 (x+1)×(4+1)×(y+1)=60 (x+1)×(y+1)=12 2 단계 이때 x, y가 자연수이므로 x+1¾2, y+1¾2 x, y는 x>y인 자연수이므로 Ú x+1=6, y+1=2일 때, Û x+1=4, y+1=3일 때, x=5, y=1 ∴ x+y=5+1=6 x=3, y=2 ∴ x+y=3+2=5 3 단계 따라서 x+y의 값 중 가장 큰 수는 6이다. 단계 1 2 3 채점요소 x, y에 관한 식 세우기 x>y인 자연수 x, y에 대하여 x+y의 값 구하기 4점 x+y의 값 중 가장 큰 수 구하기 6 배점 2점 1점 Ⅰ. 소인수분해 11 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 11 2017-06-10 오후 4:01:18 2 최대공약수와 최소공배수 ⑶ ∴ (최대공약수)= 2Ü`_3`_7Û`` ⑷ 본문 33쪽 ∴ (최대공약수)= 2Û` `_5`` ⑸ 2Ü`_3Ü`_7Û` 2Ü`_3`_7Ü`` 2Û` `_5 2Û`_3Ü`_5 2Ü`_3Û`_5Û` 2`_3Û`_5 2Û`_3Ü`_5 2Û`_3Û`_5Û`_7 ∴ (최대공약수)= 2`_3Û`_5`` ⑴ 2_3Û` ⑵ 2_3 ⑶ 2Ü`_3_7Û` ⑷ 2Û`_5 ⑸ 2_3Û`_5 01 공약수와 최대공약수 개념원리 확인하기 01 풀이 참조 02 ⑴ 2_3Û` ⑵ 2_3 ⑶ 2Ü`_3_7Û` ⑷ 2Û`_5 ⑸ 2_3Û`_5 03 ⑴ 28 ⑵ 12 ⑶ 15 ⑷ 4 ⑸ 8 90의 소인수분해 : 2`_3Û`_5 108의 소인수분해 : 2Û`_3Ü` (최대공약수)= 2`_3Û` =18 04 ② 이렇게 풀어요 01 ⑴ [방법 1] [방법 2] 2`>`³90 ³ 108 3`>`³45 ³ 54 3`>`³15 ³ 18 6 5 ⑵ [방법 1] 18의 소인수분해 : 2`_3Û` 84의 소인수분해 : 2Û`_3`_7 120의 소인수분해 : 2Ü`_3`_5 (최대공약수)= 2`_3 =6 [방법 2] 2`>`³18 ³ 84 ³ 120 3`>`³ 9 ³ 42 ³ 60 3 14 20 ∴ (최대공약수) : 2_3= 6 2Û`_3Ü` 2`_3Û` 2`_3Û` 2Û`_3`_5 ∴ (최대공약수)= 2`_3Û` ∴ (최대공약수)= 2`_3` 02 ⑴ ⑵ 12 정답과 풀이 ∴ (최대공약수)=2×3×3= 18 ∴ (최대공약수)=2_2_3=12 ∴ (최대공약수)=2_2_7=28 03 ⑴ 2`>`³28³ 84 2`>`³14³ 42 7`>`³17³ 21 ````````1 ``3 ⑵ 2`>³`36³ 60 2`>`³18³ 30 3`>`³19³ 15 ````````3 ``5 ⑶ 3`>`³45 ³75³ 90 5`>`³15 ³25³ 30 ````````3 5 6 ⑷ 2`>`³16 ³24³ 36 2`>`³18 ³12³ 18 ````````4 6 9 ∴ (최대공약수)=3_5=15 ∴ (최대공약수)=2_2=4 ⑸ 2`>`³96 ³104 ³ 144 2`>`³48 ³ 52 ³ 72 2`>`³24 ³ 26 ³ 36 ``````12 13 18 ∴ (최대공약수)=2_2_2=8 풀이 참조 ⑴ 28 ⑵ 12 ⑶ 15 ⑷ 4 ⑸ 8 04 최대공약수를 구해 보면 다음과 같다. ① 2 ② 1 ③ 3 ④ 3 ⑤ 7 따라서 두 수가 서로소인 것은 ② 8, 15이다. ② 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 12 2017-06-10 오후 4:01:19 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 34~35쪽 이런 문제가 시험에 나온다 본문 36쪽 1 ⑴ 12 ⑵ 3 4 ⑴ ⑤ ⑵ 6개 2 ⑤ 3 ⑤ 01 ①, ② 02 12개 03 ②, ④ 04 ⑤ 05 ③ 06 ⑴ 7 ⑵ 6개 ∴ (최대공약수)= 2Û`_3` `=12 ⑵ 최대공약수는 50=2×5Û`이므로 2Ü`_3`_5 2Û`_3Û` _7 2Û`_3`_5` 2Ü` `_5Ý` 2` `_5Ü` 2Û`_3Ü`_5º`` 이렇게 풀어요 1 ⑴ 로 a=1 로 b=2 (최대공약수)= 2` `_5Û``=50 공통인 소인수 2의 지수인 3, a, 2 중 작은 것이 1이므 공통인 소인수 5의 지수인 4, 3, b 중 작은 것이 2이므 ∴ a+b=1+2=3 이렇게 풀어요 수이다. 01 세 수의 최대공약수는 2Û`×3이므로 공약수는 2Û`×3의 약 따라서 공약수인 것은 ①, ②이다. 02 세 수의 최대공약수가 3Û`_5_7이므로 공약수는 3Û`_5_7의 약수이다. 따라서 구하는 공약수의 개수는 (2+1)_(1+1)_(1+1)=12(개) 03 ① 28과 40은 최대공약수가 4이므로 서로소가 아니다. ② 서로소인 두 자연수의 공약수는 1이다. ③ 18과 43의 최대공약수는 1이므로 서로소이다. ④ 두 자연수 10, 27은 최대공약수가 1이므로 서로소이지 ⑴ 12 ⑵ 3 만 둘 다 소수가 아니다. 2 두 자연수 A, B의 공약수는 최대공약수인 36의 약수이 므로 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36이다. 따라서 공약수가 아닌 것은 ⑤이다. 04 18을 소인수분해하면 18=2_3Û` 54를 소인수분해하면 54=2_3Ü` ⑤ A=2_3_a라 하면 최대공약수가 6=2_3이기 위해서 는 A의 소인수 3의 지수가 1이어야 한다. ① 6=2_3 ③ 24=2Ü`_3 ⑤ 36=2Û`_3Û` ② 12=2Û`_3 ④ 30=2_3_5 3 최대공약수를 구해 보면 다음과 같다. ① 1 ② 1 ③ 1 ④ 1 ⑤ 5 따라서 두 수가 서로소가 아닌 것은 ⑤ 35, 60이다. ⑤ 4 ⑴ 세 수의 최대공약수가 2Û`_5이므로 공약수는 2Û`_5의 05 두 수의 최대공약수는 2Û`_3Ü`_5 이때 공약수 중 가장 큰 수는 최대공약수이고 두 번째로 큰 수는 최대공약수를 가장 작은 소인수 2로 나눈 것이므 따라서 ⑤ 2Û`_7Û`은 2Û`_5의 약수가 아니므로 공약수 로 2_3Ü`_5이다. ⑵ 공약수의 개수는 최대공약수 2Û`_5의 약수의 개수와 약수이다. 가 아니다. 같으므로 (2+1)_(1+1)=6(개) 06 ⑴ 최대공약수가 2Û`×3×5이고 공통인 소인수 3의 지수인 2, 3, c 중 작은 것이 1이므 ⑴ ⑤ ⑵ 6개 로 c=1 Ⅰ. 소인수분해 13 ①, ② 12개 ②, ④ ⑤ ③ 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 13 2017-06-10 오후 4:01:21 공통인 소인수가 2, 3, 5이고 a는 소수이므로 a=5 공통인 소인수 5의 지수인 1, b, 1 중 작은 것이 1이므 로 b의 최솟값은 1 따라서 a+b+c의 최솟값은 5+1+1=7 ⑵ 10보다 크고 20보다 작은 자연수 중에서 15와 서로소 ⑷ ∴ (최소공배수)= 2Ü`_3Û`_5_7`=2520 2Û`_3Û`_5 2Ü`_3` _7 ⑸ ∴ (최소공배수)= 2Û`_3_5_7`=420 2Û`_3_5 2` _5_7 인 수는 11, 13, 14, 16, 17, 19의 6개이다. ⑴ 2Ü`, 3, 5, 120 ⑵ 180 ⑶ 84 ⑷ 2520 ⑸ 420 ⑴ 7 ⑵ 6개 본문 38쪽 ∴ (최소공배수)=2_3_2_5=60 02 공배수와 최소공배수 개념원리 확인하기 01 ⑴ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, y ⑵ 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, y ⑶ 20, 40, 60, y ⑷ 20 ⑸ 20, 배수 ⑹ 20, 곱 02 16, 32, 48, 64, 80, 96 03 ⑴ 2Ü`, 3, 5, 120 ⑵ 180 ⑶ 84 ⑷ 2520 ⑸ 420 04 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 108 ⑷ 144 ⑸ 420 ⑹ 240 이렇게 풀어요 01 ⑴ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, y ⑵ 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, y ⑶ 20, 40, 60, y ⑷ 20 ⑸ 20, 배수 ⑹ 20, 곱 02 두 수의 공배수는 최소공배수의 배수와 같으므로 두 수 A, B의 공배수는 16의 배수, 즉 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, y이다. 16, 32, 48, 64, 80, 96 03 ⑴ 24= 2Ü``_ 3 60= 2Û``_ 3`_` 5 ∴ (최소공배수)= 2Ü` _ 3 _ 5 = 120 ⑵ ∴ (최소공배수)= 2Û`_3Û`_5`=180 2Û`_3 2`_3Û`_5 ⑶ ∴ (최소공배수)= 2Û`_3_7`=84 2Û` _7 2Û`_3_7 14 정답과 풀이 04 ⑴ 2 `> 3 `> 30 ³12 6 ` ` 15 2 5 ⑵ 3``> ` 2 `> 5 `> ` ³12 4 ` ` ³15 5 ` 30 10 2 ` 2 >` 5 5 ` 1 ` 1 ⑶ 2`>`³36 ³ 54 3`>`³18 ³ 27 3`>`³ 6 ³ 9 2 ``3 ⑷ 2`>`³48 ³ 72 2`>`³24 ³ 36 2`>`³12 ³ 18 3`>`³ 6 ³ 9 2 ``3 ⑸ 2`>`³12 ³42 ³ 60 3`>`³ 6 ³21 ³ 30 2`>`³ 2 ³ 7 ³ 10 1 7 5 ⑹ 2`>`³16 ³24 ³ 40 2`>`³ 8 ³12 ³ 20 2`>`³ 4 ³ 6 ³ 10 2 3 5 ∴ (최소공배수)=3_2_5_2_1_1=60 ∴ (최소공배수)=2_3_3_2_3=108 ∴ (최소공배수)=2_2_2_3_2_3=144 ∴ (최소공배수)=2_3_2_1_7_5=420 ∴ (최소공배수)=2_2_2_2_3_5=240 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 108 ⑷ 144 ⑸ 420 ⑹ 240 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 14 2017-06-10 오후 4:01:23 ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 39~41쪽 1 ⑴ 최대공약수 : 6, 최소공배수 : 168 ⑵ 최대공약수 : 2_3, 최소공배수 : 2Û`_3Û`_5Û`_7Ü` 2 ⑴ ⑤ ⑵ 2개 4 ⑴ 15 ⑵ 45 3 ⑴ 13 ⑵ 8 5 ⑴ 42 ⑵ 10개 ⑶ 6 이렇게 풀어요 1 ⑴ > >³ >³ >³ 24 ` `12 ` 4 ` 2 84 42 2` 42 21 3` 14 7 2` 7` 7 7 2 1 1 거나 작은 것을 택하여 곱하므로 a=1, b=2 2Ü``_``3``_`5 2º``_`3Ý``_`5``_`d (최소공배수)= 2Ü```_3Ý``_`5Ü``_`7 최소공배수는 공통인 소인수와 공통이 아닌 소인수를 모두 곱하고 지수는 같거나 큰 것을 택하여 곱하므로 c=3, d=7 ∴ a+b+c+d=1+2+3+7=13 ⑵ 최대공약수는 12=2Û`×3이므로 2Ý``_`3``_`a 2º``_`3Û`` ` ``_`7` (최대공약수)= 2Û``_`3 ∴ (최대공약수)=2_3=6 (최소공배수)=2_3_2_7_2_1_1=168 최대공약수는 공통인 소인수를 모두 곱하고 지수는 같 거나 작은 것을 택하여 곱하므로 b=2 ⑵ 2`_3`_5Û` 2Û`_3`_5`_7Ü` 2Û`_3Û` `_7Û`` (최대공약수)= 2`_3 (최소공배수)= 2Û`_3Û`_5Û`_7Ü` ⑴ 최대공약수 : 6, 최소공배수 : 168 2Ý``_`3``_`a 2º``_`3Û`` ` ``_`7` (최소공배수)= 2Ý``_`3Û``_`5``_`7 최소공배수는 공통인 소인수와 공통이 아닌 소인수를 모두 곱하고 지수는 같거나 큰 것을 택하여 곱하므로 a=5, c=1 ∴ a+b+c=5+2+1=8 ⑵ 최대공약수 : 2_3, 최소공배수 : 2Û`_3Û`_5Û`_7Ü` ⑴ 13 ⑵ 8 2 ⑴ 공배수는 최소공배수의 배수이고 두 수의 최소공배수 가 2Û`_3Û`_5이므로 공배수는 2Û`_3Û`_5_ ( 는 자연수) 꼴이어야 한다. ① 2Û`_3Û`_5Û`_7=2Û`_3Û`_5_ 5_7 4 ⑴ 9_x 9 3 ` 6_x > ` 6 > 2 ` > x` 12 3` 2` 1 3 _x 12 4 ³ 2 ② 2Ü`_3Û`_5_11=2Û`_3Û`_5_ 2_11 ∴ (최대공약수)=x_3 ③ 2Û`_3Û`_5Û`=2Û`_3Û`_5_ 5 ④ 2Û`_3Û`_5=2Û`_3Û`_5_ 1 따라서 공배수가 아닌 것은 ⑤이다. ⑵ 24를 소인수분해하면 24=2Ü`_3 (최소공배수) =x_3_2_1_3_2=36_x 그런데 최소공배수가 180이므로 36_x=180 ∴ x=5 따라서 최대공약수는 x_3=5_3=15 ⑵ 세 자연수를 2_x, 6_x, 9_x라 하면 세 수의 최소공배수가 2Ü`_3Û`=72이므로 공배수는 72 의 배수이다. 따라서 구하는 공배수의 개수는 72, 144의 2개이다. ⑴ ⑤ ⑵ 2개 6_x 6 3 ` 2_x x` 9 > 2 ` 2` > 1 ` 3` > 1 1 _x 9 9 3 3 ⑴ 2Ü``_`3``_`5 2º``_`3Ý``_`5``_`d (최대공약수)= 2Û``_`3``_5 최대공약수는 공통인 소인수를 모두 곱하고 지수는 같 ∴ (최소공배수)=x_2_3_1_1_3=x_18 그런데 최소공배수가 90이므로 x_18=90 ∴ x=5 따라서 세 자연수는 10, 30, 45이므로 가장 큰 수는 45이다. ⑴ 15 ⑵ 45 Ⅰ. 소인수분해 15 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 15 2017-06-10 오후 4:01:25 ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ⑶ (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 최 03 세 수 2Û`_3, 45=3Û`_5, 2Û`_5의 최소공배수는 대공약수를 G라 하면 540=G_90 ∴ G=6 2Û`_3Û`_5=180이고 180_5=900, 180_6=1080 ⑴ 42 ⑵ 10개 ⑶ 6 따라서 1000에 가장 가까운 수는 1080이다. 5 ⑴ 최대공약수가 14이므로 28 14` > 2 a A ` (단, a와 2는 서로소) 이때 최소공배수가 84이므로 14_2_a=84에서 a=3 ∴ A=14_3=42 ⑵ 최대공약수가 2Û`_3이므로 ` 2Û`_3` 2Û`_ A 3Û` > 3 a (단, a와 3은 서로소) 이때 최소공배수가 2Ý`_3Û`이므로 2Û`_3_3_a=2Ý`_3Û` 즉, 2Û`_3_3_a=2Û`_3_3_2Û`에서 a=2Û` ∴ A =(2Û`_3)_a=2Û`_3_2Û`=2Ý`_3 따라서 A의 약수의 개수는 (4+1)_(1+1)=10(개) 다른풀이 ⑴ (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 28×A=14×84 ∴ A=42 ⑵ (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 2Û`_3Û`_A=(2Û`×3)_(2Ý`×3Û`) 2Û`_3Û`_A=2Û`_3Û`_2Ý`_3 ∴ A=2Ý`_3 따라서 A의 약수의 개수는 (4+1)_(1+1)=10(개) 이런 문제가 시험에 나온다 본문 42쪽 01 ③ 04 ① 02 105 03 1080 05 ⑴ 14 ⑵ 12 06 ⑴ 3 ⑵ 84 ⑶ 18개 ② 2Û`_3Ü`_7Û`=2Û`_3Ü`_7_ 7 ④ 2Ü`_3Ü`_7Ü`=2Û`_3Ü`_7_ 2_7Û` ⑤ 2Ý`_3Ý`_7Ü`=2Û`_3Ü`_7_ 2Û`_3_7Û` 02 3`_5`_7` 3Û`_5º`_7`_11 (최소공배수)= 3Û`_5`_7Û`_11 최소공배수는 공통인 소인수와 공통이 아닌 소인수를 모 두 곱하고 지수는 같거나 큰 것을 택하여 곱하므로 a=2, b=1 ∴ (최대공약수)=3_5_7=105 ③ 105 1080 04 두 수의 최대공약수를 G라 하면 (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 2Ü`_3Û`_5_7Û`=G_(2Ü`_3_5_7) ∴ G=3_7 ① 05 ⑴ (최대공약수)= 3_ 5 _7 3_ a`_7Û` b_ 5Û`_7`_11 최대공약수는 공통인 소인수를 모두 곱하고 지수는 같 거나 작은 것을 택하여 곱하므로 a=5 3``_a`_7Û` b``_5Û`_7`_11 (최소공배수)= 3Û``_5Û`_7Û`_11 최소공배수는 공통인 소인수와 공통이 아닌 소인수를 모두 곱하고 지수는 같거나 큰 것을 택하여 곱하므로 이렇게 풀어요 01 공배수는 최소공배수의 배수이고 세 수의 최소공배수가 2Û`_3Ü`_7이므로 공배수는 2Û`_3Ü`_7_ ( 는 자연수) 꼴이어야 한다. b=3Û`=9 ∴ a+b=5+9=14 ⑵ (최대공약수)= 2Û``_3Û` 2``_3Û`_5 2Ü``_3º` _c ① 2Û`_3Ü`_7=2Û`_3Ü`_7_ 1 최대공약수는 공통인 소인수를 모두 곱하고 지수는 같 16 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 16 2017-06-10 오후 4:01:27 ³ ³ ³ ³ ² 거나 작은 것을 택하여 곱하므로 a=2 (최소공배수)= 2Ü`_`3Ü``_5_ 7 2`_`3Û``_5 2Ü`_`3º``_5_ c 최소공배수는 공통인 소인수와 공통이 아닌 소인수를 모두 곱하고 지수는 같거나 큰 것을 택하여 곱하므로 b=3, c=7 ∴ a+b+c=2+3+7=12 03 최대공약수와 최소공배수의 활용 개념원리 확인하기 본문 44쪽 01 ⑴ 약수 ⑵ 약수 ⑶ 공약수 ⑷ 12 02 ⑴ 배수, 배수, 최소공배수, 60 ⑵ 60, 3, 60, 4 03 ⑴ 38, 6, 32 ⑵ 50, 2, 48 ⑶ 32, 48, 최대공약수, 16 ⑴ 14 ⑵ 12 이렇게 풀어요 06 ⑴ _x ³ ³ x`>`³ ³ 5 4_x 2`>`³ 4 ³ ³ 5 ³ 2 5 6_x 6 3 ∴ (최대공약수)=x (최소공배수)=x_2_2_5_3=x_60 그런데 최소공배수가 180이므로 x_60=180 ∴ x=3 따라서 최대공약수는 3이다. ⑵ 최대공약수가 12이므로 12` ` N 60 > a 5 (단, a와 5는 서로소) 최소공배수가 420이므로 12_a_5=420 ∴ a=7 ∴ N=12_7=84 ⑶ (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 2Ü`_3_5Û`_A=(2Û`_3)_(2Ü`_3Û`_5Û`_7) ∴ A=2Û`_3Û`_7 따라서 A의 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)_(1+1)=18(개) 다른풀이 ⑶ 최대공약수가 2Û`_3이므로 2Û`_3` ` 2Ü`_ 3_5Û` A > 2_5Û` a (단, a와 50은 서로소) 최소공배수가 2Ü`_3Û`_5Û`_7이므로 2Û`_3_2_5Û`_a=2Ü`_3Û`_5Û`_7에서 01 똑같이 나누어 주려면 학생 수는 36, 48의 공약수이어야 하고, 가능한 한 많은 학생들에게 똑같이 나누어 주려면 학생 수는 36, 48의 최대공약수이어야 한다. ∴ (최대공약수)=2_2_3=12 ⑴ 약수 ⑵ 약수 ⑶ 공약수 ⑷ 12 02 두 톱니바퀴가 같은 톱니에서 다시 맞물릴 때까지 돌아가 는 톱니의 개수는 20, 15의 공배수이어야 하고, 같은 톱 니에서 처음으로 다시 맞물릴 때까지 돌아가는 톱니의 개 수는 20, 15의 최소공배수이어야 한다. ∴ (최소공배수)=5_4_3=60 ⑴ 배수, 배수, 최소공배수, 60 ⑵ 60, 3, 60, 4 2`>`³36 ³ 48 2`>`³18 ³ 24 3`>`³ 9 ³ 12 3 ``4 5` 20 15 > 4 3 2`>`³32 ³ 48 2`>`³16 ³ 24 8 ³ 12 2`>`³ 2`>`³ 4 ³ 6 2 ``3 a=3_7 ∴ (최대공약수)=2_2_2_2=16 ∴ A =(2Û`_3)_a=2Û`_3_3_7 주의 나누는 수는 나머지보다 커야 하므로 32와 48의 공 =2Û`_3Û`_7 따라서 A의 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)_(1+1)=18(개) 약수 1, 2, 4, 8, 16 중 8, 16만 가능하다. ⑴ 38, 6, 32 ⑵ 50, 2, 48 ⑶ 32, 48, 최대공약수, 16 Ⅰ. 소인수분해 17 ⑴ 3 ⑵ 84 ⑶ 18개 03 어떤 자연수로 38-6, 50-2를 나누면 나누어떨어지므 로 이 자연수는 32, 48의 공약수이어야 하고, 이러한 수 중 가장 큰 수는 32, 48의 최대공약수이어야 한다. 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 17 2017-06-10 오후 4:01:29 ³ ³ ³ ² ³ ³ ³ ³ ² 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 45~48쪽 의 공배수이다. 그런데 가장 작은 정육면체를 만들어야 하 므로 정육면체의 한 모서리의 길이는 12, 20, 6의 최소공 1 15명 2 20장 3 5바퀴 4 150개 배수이어야 한다. 5 ⑴ 63 ⑵ 20명 7 ⑴ 10 ⑵ 12 6 ⑴ 182 ⑵ 867 864 48 7 5 8 ⑴ ⑵ 이렇게 풀어요 1 똑같이 나누어 주려면 학생 수는 45, 30, 75의 공약수이어야 하고, 될 수 있는 대로 많은 학생들에게 똑같이 3`>`³45 ³30 ²75 5`>`³15 ³10 ²25 3 2 5 나누어 주려고 하므로 학생 수는 45, 30, 75의 최대공약 수이어야 한다. 따라서 구하는 학생 수는 3_5=15(명) 15명 따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 2_2_3_1_5_1=60(cm) 이때 필요한 나무토막의 개수를 구하면 가로：60Ö12=5(개), 세로：60Ö20=3(개), 높이：60Ö6=10(개) 이므로 5_3_10=150(개) 5 ⑴ 어떤 자연수로 130을 나누면 4가 남 으므로 130-4=126을 나누면 나 2 색종이의 한 변의 길이는 가로와 세로의 길이를 나눌 수 있어야 하므로 56, 70의 공약수이어야 한다. 그런데 색종이는 가능 2`>`³56 ²70 7`>`³28 ²35 4 5 누어떨어진다. 또, 192를 나누면 3이 남으므로 192-3=189를 나누면 나누어떨어진다. 따라서 구하는 수는 126, 189의 최대공약수이므로 한 한 큰 정사각형이어야 하므로 색종이의 한 변의 길이는 3_3_7=63 150개 3`>`³126 ³ 189 3`>`³ 42 ³ 63 7`>`³ 14 ³ 21 3 2 ⑵ 사과는 2개가 남고, 귤은 5개가 부족 하므로 사과 62-2=60(개), 귤 95+5=100(개)가 있으면 똑같이 나누어 줄 수 있다. 2`>`³60 ³ 100 2`>`³30 ³ 50 5`>`³15 ³ 25 5 3 따라서 구하는 학생 수는 60, 100의 최대공약수이므로 2_2_5=20(명) ⑴ 63 ⑵ 20명 6 ⑴ 15, 18 중 어느 것으로 나누어도 2가 남으므로 구하는 자연수를 x라 하면 x-2는 15, 18의 공배수이다. 3`>`³15 ³ 18 6 5 20장 2`>`³18 ²30 3`>`³ 9 ²15 3 5 x-2=180 ∴ x=182 ⑵ 12, 16, 18 중 어느 것으로 나누 어도 3이 남으므로 구하는 자연수 5바퀴 를 x라 하면 x-3은 12, 16, 18 2`>`³12 ³16 ²18 2`>`³ 6 ³ 8 ² 9 3`>`³ 3 ³ 4 ² 9 1 4 3 의 공배수이다. 12, 16, 18의 최소공배수는 2_2_3_1_4_3=144이므로 x-3은 144의 배수 이다. 즉, x-3은 144, 288, y, 864, 1008, y이다. 이때 x는 가장 큰 세 자리의 자연수이므로 56, 70의 최대공약수이어야 한다. 따라서 색종이의 한 변의 길이는 2_7=14(cm) 이때 필요한 색종이의 수를 구하면 가로：56Ö14=4(장), 세로：70Ö14=5(장) 이므로 4_5=20(장) 3 출발점으로 계속 다시 돌아오려면 희망이 는 18의 배수만큼, 기쁨이는 30의 배수만 =90(분 후) 이므로 희망이가 호숫가를 돈 횟수는 90Ö18=5(바퀴) 4 나무토막을 쌓을 때마다 가로, 세로의 길이와 높이는 각각 2배, 3배, y가 되므로 나무토막을 쌓아서 만든 정육 면체의 한 모서리의 길이는 12, 20, 6 2`>`³12 ³20 ² 6 2`>`³ 6 ³10 ² 3 3`>`³ 3 ³ 5 ² 3 1 5 1 18 정답과 풀이 큼 시간이 걸린다. 것은 따라서 두 사람이 처음으로 출발점에서 다시 만나게 되는 15, 18의 최소공배수는 3_5_6=90이므로 x-2는 90의 배수이다. 즉, x-2는 90, 180, 270, y이다. (18, 30의 최소공배수) =2_3_3_5 이때 x는 가장 작은 세 자리의 자연수이므로 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 18 2017-06-10 오후 4:01:30 x-3=864 ∴ x=867 49의 공약수이어야 한다. ⑴ 182 ⑵ 867 이때 B A = 가 가장 작은 수가 되려면 B A (32, 54, 108의 최소공배수) (21, 35, 49의 최대공약수) = 864 7 ⑴ ⑵ 48 5 864 7 따라서 n의 값은 1, 3, 9이므로 가장 작은 값은 1이고, 이런 문제가 시험에 나온다 본문 49쪽 01 216장 03 4바퀴 02 7바퀴 140 3 04 ⑴ 1, 2, 4, 8 ⑵ 05 12 06 59 7 ⑴ 이 자연수가 되려면 n은 18의 약수이어야 하고 가 자연수가 되려면 n은 45의 약수이어야 한다. 즉, n은 18과 45의 공약수이다. 18과 45의 최대공약수가 9이므로 공약수는 1, 3, 9이 18 n 45 n 다. 가장 큰 값은 9이다. ∴ 1+9=10 ⑵ 이 자연수가 되려면 n은 18의 약수이어야 하고 가 자연수가 되려면 n은 24의 약수이어야 한다. 또, 이 자연수가 되려면 n은 36의 약수이어야 한 07 50개 이렇게 풀어요 즉, n은 18, 24, 36의 공약수이다. 18, 24, 36의 최대공약수가 6이므로 공약수는 1, 2, 18 n 24 n 다. 36 n 3, 6이다. 의 합은 01 벽돌을 쌓을 때마다 가로, 세로의 길이 와 높이는 각각 2배, 3배, y가 되므 로 벽돌을 쌓아서 만든 정육면체의 한 모서리의 길이는 18, 12, 8의 공배수 2`>`³18 ³ 12 ² 8 2`>`³ 9 ³ 6 ² 4 3`>`³ 9 ³ 3 ² 2 3 1 2 이다. 그런데 가장 작은 정육면체를 만들어야 하므로 정육 따라서 n의 값은 1, 2, 3, 6이므로 모든 자연수 n의 값 면체의 한 모서리의 길이는 18, 12, 8의 최소공배수이어 1+2+3+6=12 따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 ⑴ 10 ⑵ 12 2_2_3_3_1_2=72(cm) 야 한다. 이때 필요한 벽돌의 수를 구하면 가로：72Ö18=4(장), 세로：72Ö12=6(장), 25 12 _ B A 35 16 _ B A =(자연수), =(자연수) 높이：72Ö8=9(장) 이므로 B는 12와 16의 공배수이고, A는 25와 35의 이므로 4_6_9=216(장) 216장 B A B A 8 ⑴ 구하는 분수를 라 하면 공약수이어야 한다. 이때 B A = 가 가장 작은 수가 되려면 B A (12와 16의 최소공배수) (25와 35의 최대공약수) = 48 5 ⑵ 구하는 분수를 라 하면 _ =(자연수), _ =(자연수), 21 32 35 54 49 108 B A B A B A _ =(자연수) 02 A, B 두 톱니바퀴의 회전 수와 맞물리는 톱니의 수는 다 음 그림과 같다. 60개 120개 180개 1바퀴 2바퀴 3바퀴 y A B 28개 56개 84개 112개 1바퀴 3바퀴 y 2바퀴 4바퀴 위의 그림에서 두 톱니바퀴가 1회전할 때 마다 맞물리는 톱니의 수는 각각 60과 28 2`>`³60 ²28 2`>`³30 ²14 15 7 Ⅰ. 소인수분해 19 이므로 B는 32, 54, 108의 공배수이고, A는 21, 35, 의 배수이므로 두 톱니바퀴가 회전을 시작 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 19 2017-06-10 오후 4:01:32 하여 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물릴 때까지 맞물린 톱니의 수는 60과 28의 최소공배수이다. 60과 28의 최소공배수가 2_2_15_7=420 므로 281-5=276을 나누면 나누어떨 05 어떤 자연수로 281을 나누면 5가 남으 2`>`³276 ³ 180 2`>`³138 ³ 90 3`>`³ 69 ³ 45 23 15 어진다. 또, 184를 나누면 4가 남으므 로 184-4=180을 나누면 나누어떨어 이므로 두 톱니바퀴가 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물 진다. 릴 때까지 톱니바퀴 A는 420Ö60=7(바퀴) 회전해야 한 따라서 구하는 수는 276, 180의 최대공약수이므로 다. 2_2_3=12 7바퀴 12 03 출발점으로 계속 다시 돌아오려면 윤 모는 90의 배수만큼, 석필이는 60의 배수만큼, 동원이는 45의 배수만큼 시간이 걸린다. 따라서 세 사람이 처음으로 출발점에 서 다시 만나게 되는 것은 3`>`³90 ³60 ²45 5`>`³30 ³20 ²15 2`>`³ 6 ³ 4 ² 3 3`>`³ 3 ³ 2 ² 3 1 2 1 06 구하는 자연수를 x라 하면 `` y2 3 x <Õ `` y3 4 x <Õ y0 3 x+1 <Ò y0 4 x+1 < Ò x+1은 3, 4, 5의 공배수이다. < Ò `` y4 5 <Õ x 에서 y0 5 x+1 이므로 (90, 60, 45의 최소공배수) =3_5_2_3_1_2_1 3, 4, 5의 최소공배수가 60이므로 x+1은 60의 배수이 =180(초 후) 다. 즉, x+1은 60, 120, 180, y이므로 x는 59, 119, 이므로 동원이가 운동장을 돈 횟수는 179, y이다. 180Ö45=4(바퀴) 따라서 가장 작은 수는 59이다. 4바퀴 다른풀이 59 04 ⑴ 가 자연수가 되려면 n은 24의 약수이어야 하고 이 자연수가 되려면 n은 40의 약수이어야 한다. 24 n 40 n 3으로 나누면 2가 남는다. ⇨ (3의 배수)-1 4로 나누면 3이 남는다. ⇨ (4의 배수)-1 5로 나누면 4가 남는다. ⇨ (5의 배수)-1 즉, n은 24와 40의 공약수이다. 24와 40의 최대공약 따라서 구하는 자연수는 (3, 4, 5의 공배수)-1이고 이 수가 8이므로 공약수는 1, 2, 4, 8이다. 따라서 n의 값은 1, 2, 4, 8이다. ⑵ 구하는 분수를 라 하면 B A _ =(자연수), _ =(자연수), 12 7 36 5 15 4 B A B A B A _ =(자연수) 공약수이어야 한다. 이때 가 가장 작은 수가 되려면 B A B A = = (7, 5, 4의 최소공배수) (12, 36, 15의 최대공약수) 140 3 ⑴ 1, 2, 4, 8 ⑵ 140 3 20 정답과 풀이 중 가장 작은 수는 (3, 4, 5의 최소공배수)-1이므로 60-1=59 07 화분을 놓는 간격이 일정하려면 화분 사 이의 간격은 320과 180의 공약수이어 야 하고 최소한의 화분을 놓으려면 화 분 사이의 간격은 최대이어야 한다. 2`>`³320 ³ 180 2`>`³160 ³ 90 5`>`³ 80 ³ 45 9 16 즉, 320과 180의 최대공약수인 2_2_5=20(cm)마다 이때 필요한 화분의 수를 구하면 가로：320Ö20+1=17(개) 세로：180Ö20+1=10(개) 그런데 네 모퉁이에서 두 번씩 겹치므로 필요한 화분의 수 는 17_2+10_2-4=50(개) 50개 이므로 B는 7, 5, 4의 공배수이고, A는 12, 36, 15의 화분을 놓으면 된다. 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 20 2017-06-10 오후 4:01:34 step (기본문제) 본문 50~51쪽 (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 다른풀이 2Ü`_3Û`_A=(2Û`_3)_(2Ü`_3Û`_5) 2Ü`_3Û`_A=2Ü`_3Û`_2Û`_3_5 ∴ A=2Û`_3_5 01 ② 05 ⑤ 09 11 이렇게 풀어요 02 ③ 06 ③ 108 7 10 03 ② 07 ① 11 25 04 ① 08 ① 12 ③ 01 서로소는 최대공약수가 1인 두 자연수이므로 최대공약수 1에서 10까지의 자연수 중 6과 서로소인 수는 1, 5, 7이 를 구해 보면 다음과 같다. ① 2 ② 1 ③ 3 ④ 13 ⑤ 7 다. 따라서 n의 값은 1, 5, 7이므로 3개이다. 06 6△n=1에서 6과 n의 최대공약수가 1이므로 6과 n은 서 로소이다. 02 ∴ (최대공약수)= 2`_3Û` (최소공배수)= 2Ü`_3Ü`_5_7 2Ü`_3Û` 2Û`_3Ü`_5 2`_3Û` _7 03 두 수의 최대공약수가 2Ü`_3이므로 공약수는 2Ü`_3의 약 수이다. 따라서 구하는 공약수의 개수는 (3+1)_(1+1)=8(개) 04 공배수는 최소공배수의 배수이고 두 수의 최소공배수가 2Û`_3_5Û`이므로 공배수는 2Û`_3_5Û`_ ( 는 자연수) 꼴이어야 한다. ② 2Û`_3_5Û`=2Û`_3_5Û`_ 1 ③ 2Û`_3Û`_5Û`=2Û`_3_5Û`_ 3 ④ 2Û`_3_5Ü`=2Û`_3_5Û`_ 5 ⑤ 2Û`_3Ü`_5Û`=2Û`_3_5Û`_ 3Û` ② ③ ② 07 `> 3``> ` 2``> ` ` ³6_³ `6 ³15³_ 15 ³18_³ 18 `2 5 6 1 5 3 이때 최소공배수가 810이므로 90_=810 ∴ =9 ∴ (최소공배수)=_3_2_1_5_3=90_ ③ ① 63 n 81 n 08 이 자연수가 되려면 n은 63의 약수이어야 하고 이 자연수가 되려면 n은 81의 약수이어야 한다. 즉, n은 63과 81의 공약수이다. 63과 81의 최대공약수가 9이므로 공약수는 1, 3, 9이다. 따라서 n의 값은 1, 3, 9이므로 3개이다. ① 최대공약수는 공통인 소인수를 모두 곱하고 지수는 같거 ① 나 작은 것을 택하여 곱하므로 c=2 09 (최대공약수)= 2Û` _3Û` 2Ý` _3` _7 2Ü` _3Û` _b 2` _3Ü` _7 2Ý` _ 3` _ 7 2Ü` _ 3Û` _ b 2` _ 3Ü` _ 7 (최소공배수)= 2Ý` _ 3Ý` _ 5 _ 7 05 2Û`_3` > ` 2Ü`_ 3Û` A 2_3 a (단, a와 6은 서로소) 이때 최소공배수가 2Ü`_3Û`_5이므로 2Û`_3_2_3_a=2Ü`_3Û`_5 즉, 2Û`_3_2_3_a=2Û`_3_2_3_5에서 a=5 두 곱하고 지수는 같거나 큰 것을 택하여 곱하므로 ∴ A=(2Û`_3)_a=2Û`_3_5 a=4, b=5 ⑤ ∴ a+b+c=4+5+2=11 11 최소공배수는 공통인 소인수와 공통이 아닌 소인수를 모 Ⅰ. 소인수분해 21 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 21 2017-06-10 오후 4:01:36 ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ 600개 ④ ③ ⑤ 2Ý`_5Û`_7Ü`=(2Û`_5_7)_L ∴ L=2Û`_5_7Û` 02 정육면체 모양의 블록의 한 모서리 의 길이는 36, 15, 30의 최대공약수 3`>`³36 ³15 ³ 30 12 5 10 10 구하는 분수를 라 하면 B A _ =(자연수), 7 18 _ ;1$2(; _ ;2@7*; B A B A B A =(자연수), =(자연수) 공약수이어야 한다. 이때 가 가장 작은 수가 되려면 B A (18, 12, 27의 최소공배수) (7, 49, 28의 최대공약수) B A = 11 6으로 x를 나누면 5가 부족하다. ⇨ x-1은 6으로 나누어떨어진다. 8로 x를 나누면 7이 부족하다. ⇨ x-1은 8로 나누어떨어진다. 이므로 B는 18, 12, 27의 공배수이고, A는 7, 49, 28의 인 3`cm이다. 이때 필요한 블록의 수를 구하면 가로 : 36Ö3=12(개), 세로 : 15Ö3=5(개), 높이 : 30Ö3=10(개) 이므로 12_5_10=600(개) = 108 7 108 7 03 세 수 2Û`_3_5, 2_3Û`_7, A의 최소공배수가 2Ü`_3Û`_5_7이므로 A는 2Ü`을 반드시 인수로 갖는 2Ü`_3Û`_5_7의 약수이어야 한다. 즉, x-1은 6, 8의 공배수이다. 6, 8의 최소공배수는 24 이므로 x-1은 24, 48, 72, y이고 x는 25, 49, 73, y 이다. 따라서 두 자리의 자연수 중 가장 작은 수는 25이다. 04 세 자연수를 2_n, 3_n, 4_n (n은 자연수)이라 하 면 최소공배수가 144이므로 _n ³ ³ n`>`³ ³ 3 2_n 2`>`³ 2 ³ ³ 3 ³ 1 3 4_n 4 2 25 12 똑같이 나누어 주려면 학생 수는 90-2, 65+1, 즉 88, 66의 공약수이어야 하고, 학생 수를 최대로 하려면 88, 66의 최대 2`>`³88 ³ 66 11`>`³44 ³ 33 4 3 n_2_1_3_2=144 ∴ n=12 따라서 가장 큰 수는 4_12=48 공약수이어야 한다. 따라서 구하는 학생 수는 2_11=22(명) 2 step (발전문제) 03 ③ 01 ④ 02 600개 05 15 mm의 책 : 6권, 18 mm의 책 : 5권 07 ③ 06 12명 10 15바퀴 11 30 08 ② 12 ⑴ 122 ⑵ 119 04 ⑤ 09 ② ③ 05 가능한 한 적은 수의 책을 사용하려면 책 을 쌓은 높이는 15, 18의 최소공배수이어 3`>`³15 ² 18 6 5 야 한다. 따라서 가능한 한 적은 수의 책을 사용하여 두 종류의 책 을 쌓아 올렸을 때 높이가 같게 되는 것은 (15, 18의 최소공배수)=3_5_6=90(mm) 본문 52~53쪽 이때 필요한 책의 수를 구하면 15`mm의 책：90Ö15=6(권) 18`mm의 책：90Ö18=5(권) 15 mm의 책 : 6권, 18 mm의 책 : 5권 이렇게 풀어요 06 공책은 3권이 부족하고, 지우개는 2개가 남고, 연필은 4 01 (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 두 수 의 최소공배수를 L이라 하면 자루가 부족하므로 공책：21+3=24(권), 22 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 22 2017-06-10 오후 4:01:38 ³ ² 지우개：38-2=36(개), 연필：56+4=60(자루) 가 있으면 똑같이 나누어 줄 수 있다. 따라서 구하는 학생 수는 24, 36, 60 의 최대공약수이므로 2_2_3=12(명) 10 세 톱니바퀴가 1회전할 때마다 맞물 린 톱니의 수는 각각 24, 30, 36의 배수이므로 세 톱니바퀴가 회전하기 시작하여 같은 톱니에서 처음으로 2`>`³24 ³30 ³ 36 2`>`³12 ³15 ³ 18 3`>`³ 6 ³15 ³ 9 2 5 3 다시 맞물릴 때까지 맞물린 톱니의 수는 24, 30, 36의 최 2`>`³24 ³36 ² 60 2`>`³12 ³18 ² 30 3`>`³ 6 ³ 9 ² 15 2 3 5 소공배수이다. 24, 30, 36의 최소공배수가 12명 2_2_3_2_5_3=360 이므로 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물리는 것은 톱니 바퀴 A가 360Ö24=15(바퀴) 회전한 후이다. 6_x ³ 12 07 ` x`>`³ ³ 8 _x 2`>`³ 6 ³ ³ 8 ³ ³ 2` >`³ 3 ³ ³ 4 ³ ³ ³ ³ 2 ³ ³ 3`>`³ 3 2 1 ∴ (최소공배수) =x_2_2_3_1_2_1 _x 12 ``6 ``3 ``1 =x_24 그런데 최소공배수가 120이므로 120=x_24 ∴ x=5 ∴ (최대공약수)=x_2=5_2=10 따라서 최대공약수와 x의 값의 합은 10+5=15 08 가능한 한 많은 조로 나누려면 조의 개수 는 30, 24의 최대공약수이어야 한다. 따라서 조의 개수는 2_3=6(개) 2`>`³30 ² 24 3`>`³15 ² 12 4 5 이때 한 조에 들어가는 여학생, 남학생 수를 구하면 a=30Ö6=5 b=24Ö6=4 ∴ a+b=5+4=9 09 216 n n 24 이 자연수가 되려면 n은 216의 약수이어야 하고 이 자연수가 되려면 n은 24의 배수이어야 한다. 216을 소인수분해하면 216=2Ü`_3Ü` 24를 소인수분해하면 24=2Ü`_3 따라서 가능한 n의 값은 2Ü`_3, 2Ü`_3Û`, 2Ü`_3Ü`` 의 3개이다. ② 15바퀴 2`>`³72 ³120 2`>`³36 ³ 60 2`>`³18 ³ 30 3`>`³ 9 ³ 15 5 3 11 어떤 자연수로 74를 나누면 2가 남으므 로 74-2=72를 나누면 나누어떨어진 다. 또, 124를 나누면 4가 남으므로 124-4=120을 나누면 나누어떨어진 다. 즉, 이러한 수는 72, 120의 공약수이 고 72, 120의 최대공약수가 2_2_2_3=24 이므로 24의 약수인 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24이다. 그런데 구하는 수는 나머지인 4보다 커야 하므로 6, 8, ③ 12, 24이다. 따라서 가장 큰 수는 24, 가장 작은 수는 6이므로 구하는 합은 24+6=30 30 12 ⑴ 3, 4, 5 중 어느 것으로 나누어도 2가 남으므로 구하는 자연수를 x라 하면 x-2는 3, 4, 5의 공배수이다. 3, 4, 5의 최소공배수는 60이므로 x-2는 60의 배수 이다. 즉, x-2는 60, 120, 180, y이다. 이때 x는 가 장 작은 세 자리의 자연수이므로 x-2=120 ∴ x=122 ② ⑵ 구하는 자연수를 x라 하면 `` y3 4 x <Õ `` y4 5 x <Õ `` y5 6 <Õ x 에서 y0 4 x+1 <Ò y0 5 x+1 y0 6 x+1 이므로 < Ò x+1은 4, 5, 6의 공배수이다. < Ò 4, 5, 6의 최소공배수가 60이므로 x+1은 60의 배수 이다. 즉, x+1은 60, 120, 180, y이므로 x는 59, 119, 179, y이다. 따라서 가장 작은 세 자리의 자연수는 119이다. ⑴ 122 ⑵ 119 Ⅰ. 소인수분해 23 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 23 2017-06-10 오후 4:01:40 ³ ³ ³ ³ ³ 3 step (실력UP) 01 9개 02 12 03 ④ 04 36, 108, 180, 540 05 32 06 오후 6시 3분 2Û`_3Ü`_5=540이다. 본문 54쪽 36, 108, 180, 540 05 ㈎, ㈐에서 A, B의 최대공약수가 4이고 A-B=8이므 로 A=4_a, B=4_b (a와 b는 서로소, a>b) ㈏에서 A, B의 최소공배수가 60이므로 이렇게 풀어요 01 450=2_3Û`_5Û`, 8=2Ü`이므로 450의 약수 중 8과 서로 4_a_b=60 ∴ a_b=15 소인 수는 2의 배수가 아니어야 한다. 즉, 구하는 수는 3Û`×5Û`의 약수이다. 따라서 구하는 수의 개수는 (2+1)_(2+1)=9(개) Ú a=15, b=1일 때, A=60, B=4 그런데 A-B=8이라는 조건을 만족시키지 않는다. Û a=5, b=3일 때, A=20, B=12이므로 A-B=8 Ú, Û에서 A=20, B=12이므로 9개 A+B=20+12=32 32 06 세 개의 신호등은 각각 10+8=18(초), 20+10=30(초), 30+6=36(초)마다 켜진다. 18, 30, 36의 최소공배수가 2×3×3×1×5×2=180 이므로 세 개의 신호등은 180초마다 동시에 켜진다. 2`>`³18 ³30 ²36 3`>`³ 9 ³15 ²18 3`>`³ 3 ³ 5 ² 6 1 5 2 따라서 세 개의 신호등이 오후 6시에 동시에 켜진 후 처음 으로 다시 동시에 켜지는 시각은 180초, 즉 3분 후인 오 12 후 6시 3분이다. 오후 6시 3분 수이다. 수이다. 이다. 02 a, b의 최대공약수가 24이므로 a, b의 공약수는 24의 약 b, c의 최대공약수가 36이므로 b, c의 공약수는 36의 약 즉, a, b, c의 공약수는 24, 36의 공약수 따라서 a, b, c의 최대공약수는 24, 36의 최대공약수이므로 2_2_3=12 2`>`³24 ³36 2`>`³12 ³18 3`>`³ 6 ³ 9 3 2 03 세 자연수 12=2Û`_3, 42=2_3_7, A의 최소공배수 가 1260=2Û`_3Û`_5_7이므로 A는 3Û`_5를 반드시 인 수로 갖는 2Û`_3Û`_5_7의 약수이어야 한다. 따라서 A가 될 수 있는 수는 3Û`_5, 2_3Û`_5, 2Û`_3Û`_5, 3Û`_5_7, 2_3Û`_5_7, 2Û`_3Û`_5_7의 6개이다. 서술형 대비 문제 본문 55~56쪽 ④ 1 400개 3 9, 1080 4 117 2 6 7 6 38 참고 A의 개수는 (2Û`_3Û`_5_7)Ö(3Û`_5)=2Û`_7의 약수의 개수와 같으므로 (2+1)_(1+1)=6(개) 5 65 이렇게 풀어요 04 세 자연수 54=2_3Ü`, N, 90=2_3Û`_5의 최대공약수 가 18=2_3Û`, 최소공배수가 540=2Û`_3Ü`_5이므로 N 은 2Û`_3Û`을 반드시 인수로 갖는 2Û`_3Ü`_5의 약수이다. 따라서 N의 값을 모두 구하면 1 1 단계 정육면체의 한 모서리의 길이는 10, 8, 16의 최소공배수이므로 정육면체의 한 모서리의 길이는 2`>`³10 ³ 8 ³ 16 2`>`³ 5 ³ 4 ³ 8 2`>`³ 5 ³ 2 ³ 4 5 1 2 2_2_2_5_1_2 =80(cm) 2Û`_3Û`=36, 2Û`_3Ü`=108, 2Û`_3Û`_5=180, 2 단계 한 모서리의 길이가 80`cm이므로 24 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 24 2017-06-10 오후 4:01:42 가로：80Ö10=8(개), 세로：80Ö8=10(개), 높이：80Ö16=5(개) 의 블록이 필요하다. 3 단계 따라서 필요한 블록의 개수는 8_10_5=400(개) 따라서 만들어지는 정육면체의 개수는 7_3_5=105(개) ∴ b=105 3 단계 ∴ a+b=12+105=117 400개 채점요소 단계 1 2 3 a의 값 구하기 b의 값 구하기 a+b의 값 구하기 2 1 단계 10 = ;2!; 21 2 , 4 = ;3@; 14 3 이므로 구하는 분수를 라 하면 A는 21과 14의 최대공 B A 약수이고, B는 2와 3의 최소공배수이어야 한다. 2 단계 7`>`³21 ² 14 2 3 ∴ A=7, B=2_3=6 3 단계 따라서 구하는 분수는 이다. ;7^; 5 1 단계 두 자연수 N과 39의 최대공약수가 13이므로 13`>`³N ² 39 3 a ∴ N=13_a (단, a와 3은 서로소) 2 단계 N과 39의 최소공배수가 195이므로 13_a_3=195 ;7^; ∴ a=5 3 단계 ∴ N=13_a=13_5=65 3 1 단계 216을 소인수분해하면 216=2Ü`_3Ü`` 2 단계 2Ü`_3Ü``과 2Ü`__5의 최대공약수가 72=2Ü`_3Û`이므로 안에 들어갈 수 있는 가장 작 은 자연수를 구하면 =3Û`=9 3 단계 따라서 2Ü`_3Ü``과 2Ü`_3Û`_5의 최소공배수는 2Ü`_3Ü`_5=1080 채점요소 N을 최대공약수를 이용하여 N=13_a의 꼴 로 나타내기 단계 1 2 a의 값 구하기 3 N의 값 구하기 채점요소 216을 소인수분해하기 단계 1 2 3 안에 들어갈 수 있는 가장 작은 자연수 구하기 3점 두 수의 최소공배수 구하기 는 4, 5, 8의 공배수이다. 2 단계 4, 5, 8의 최소공배수는 6 1 단계 4로 나누면 2가 남고, 5로 나누면 3이 남고, 8로 나 누면 6이 남으므로 구하는 자연수를 x라 하면 x+2 9, 1080 배점 1점 2점 4 1 단계 가능한 한 큰 정육면체의 한 모 서리의 길이는 84, 36, 60의 최대공약수이므로 정육면체의 2`>`³84 ³36 ²60 2`>`³42 ³18 ²30 3`>`³21 ³ 9 ²15 7 3 5 2 단계 한 모서리의 길이가 12`cm이므로 한 모서리의 길이는 2_2_3=12(cm) ∴ a=12 가로：84Ö12=7(개) 세로：36Ö12=3(개) 높이：60Ö12=5(개) 2`>`³4 ³ 5 ² 8 2`>`³2 ³ 5 ² 4 ``````1 5 2 2_2_1_5_2=40이므로 x+2는 40의 배수이다. 즉, x+2는 40, 80, 120, y이다. 3 단계 이때 x는 가장 작은 수이므로 x+2=40 ∴ x=38 단계 채점요소 구하는 수를 x라 할 때, x+2가 4, 5, 8의 공배 수임을 알기 1 2 3 가능한 x+2의 값 구하기 x의 값 구하기 Ⅰ. 소인수분해 25 117 배점 3점 2점 1점 65 배점 2점 2점 2점 38 배점 3점 3점 1점 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 25 2017-06-10 오후 4:01:44 스토리텔링으로 배우는 생활 속의 수학 1 ⑴ 30일 후 ⑵ 4월 24일 2 ⑴ 29명 ⑵ 1명 본문 57쪽 ⑵ 세 푸드 트럭은 30일마다 한 번씩 모두 오게 되므로 3 월 25일 이후 처음으로 다시 세 푸드 트럭이 모두 오는 날은 30일 후인 4월 24일이다. 이렇게 풀어요 1 ⑴ 처음으로 다시 세 푸드 트럭이 모두 오는 것은 3, 5, 6 의 최소공배수만큼 날수가 지난 후이다. 3`>`³3 ² 5 ² 6 5 2 1 오게 된다. ⑴ 30일 후 ⑵ 4월 24일 2 ⑴ 전체 학생 수는 5의 배수보다 1이 적고 6의 배수보다 1 이 적으므로 (전체 학생 수)+1은 5와 6의 공배수이다. 5와 6의 최소공배수가 30이므로 공배수는 30, 60, 90, y이다. 그런데 준호네 반 학생 수가 40명 미만이므로 29=7_4+1이므로 1명이 남는다. ⑴ 29명 ⑵ 1명 ∴ (최소공배수)=3_1_5_2=30 전체 학생 수는 30-1=29(명)이다. 따라서 30일 후에 처음으로 다시 세 푸드 트럭이 모두 ⑵ 준호네 반 29명의 학생들이 한 모둠에 7명씩 앉으면 26 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_001~026_1단원_ok.indd 26 2017-06-10 오후 4:01:45 Ⅱ정수와 유리수 1 정수와 유리수 01 정수와 유리수 개념원리 확인하기 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 63~65쪽 1 ④ 5 ① 2 ②, ⑤ 3 - , 2 4 ④ ;2!; 6 a=-3, b=3 7 ⑴ -5, 1 ⑵ 1 01 ⑴ +120원, -500원 ⑵ -4시간, +5시간 ⑶ +305`m, -100`m ⑷ +15`%, -10`% 본문 62쪽 이렇게 풀어요 1 ① 작은 수：‘-’ ∴ -5 ② 해발：‘+’ ∴ +300`m ③ 지하：‘-’ ∴ -2층 02 풀이 참조 ⑴ Z ⑵ Z ⑶ _ ⑷ Z ⑸ _ ⑤ ~후：‘+’ ∴ +3시간 ④ 03 ⑴ 1개 ⑵ 1개 ⑶ 3개 ⑷ 4개 04 풀이 참조 이렇게 풀어요 01 ⑴ 이익 : ‘+’, 손해 : ‘-’ ∴ +120원, -500원 ⑵ ~전 : ‘-’, ~후 : ‘+’ ∴ -4시간, +5시간 ⑶ 해발 : ‘+’, 해저 : ‘-’ ∴ +305`m, -100`m ⑷ 증가 : ‘+’, 감소 : ‘-’ ∴ +15`%, -10`% ⑴ +120원, -500원 ⑵ -4시간, +5시간 ⑶ +305`m, -100`m ⑷ +15`%, -10`% 2 ④ :Á6ª: =2이므로 정수 따라서 정수가 아닌 유리수는 ② - 과 ⑤ 5.9이다. ;5#; ②, ⑤ 3 =2 , ;2!; ;2&; =3 ;2%; 1 2 타내면 다음과 같다. 이므로 주어진 수들을 수직선 위에 나 -1 - ;2!; 0 1 2 3 4 ;2%; ;2&; 번째에 있는 수는 2이다. 1 2 - , 2 ;2!; 양의 정수`(자연수) 왼쪽에서 두 번째에 있는 수는 - 이고 오른쪽에서 세 ( 정수 { 0 ( 02 유리수 { 음의 정수 9 정수가 아닌 유리수 9 ⑶ 는 양의 유리수이다. ;2%; ⑸ 모든 자연수는 유리수이다. 03 ⑴ 자연수：5 ⑵ 음의 정수：-1 ⑶ 정수：5, 0, -1 풀이 참조 ⑴ Z ⑵ Z ⑶ _ ⑷ Z ⑸ _ 는 정수는 -3, -2, -1, 0, 1의 5개이다. ④ 4 - =-3 , ;3@; ;5(; =1 ;5$; :Á3Á: 이므로 - 과 :Á3Á: ;5(; 사이에 있 ⑷ 정수가 아닌 유리수：-0.4, 0.05, , ;1£0; -;7@; ⑴ 1개 ⑵ 1개 ⑶ 3개 ⑷ 4개 5 ㄴ. 정수는 양의 정수, 0, 음의 정수로 이루어져 있다. ㄹ. 은 유리수이지만 정수는 아니다. ;2!; ㅁ. 수직선 위에서 - 을나타내는 점은 -1을 나타내 ;2#; 는 점의 왼쪽에 있다. 따라서 보기에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ① ⑴ ⑶ ⑷ 04 (cid:14)(cid:22) (cid:14)(cid:21) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:18) (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:21) (cid:22) ⑵ (cid:20) 6 - :Á5£: =-2 , =3 이므로 두 수를 수직선 위에 ;5#; :Á3¼: ;3!; 풀이 참조 나타내면 다음과 같다. Ⅱ. 정수와 유리수 27 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 27 2017-06-10 오후 4:02:56 -:Á5£: :Á3¼: (cid:14)(cid:21) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:18) (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:21) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (cid:14)(cid:28)(cid:19)(cid:6)(cid:28) (cid:28)(cid:21)(cid:4)(cid:28) (cid:27)(cid:127)(cid:20)(cid:122)(cid:27) - 에 가장 가까운 정수는 -3이므로 a=-3 - 와 사이에 있는 정수는 -2, -1, 0, 1, 2, 3의 에 가장 가까운 정수는 3이므로 b=3 5 2 :Á3¼: 6개이므로 a=6 a=-3, b=3 ;4#; 에 가장 가까운 정수는 1이므로 b=1 ∴ a+b=6+1=7 7 13 5 :Á3¼: ⑵ 7 ⑴ 3 3 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 위의 수직선에서 -2를 나타내는 점으로부터 거리가 3인 점이 나타내는 두 수는 -5와 1이다. (cid:14)(cid:21) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:18) (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:21) (cid:22) (cid:23) 위의 수직선에서 -3과 5를 나타내는 두 점으로부터 같은 거리에 있는 점이 나타내는 수는 1이다. ⑴ -5, 1 ⑵ 1 04 ① -1과 0 사이에는 - 1 2 , - , - , y과 같이 무수 ;3!; ;4!; 히 많은 유리수가 있다. ③ 0과 음의 정수는 자연수가 아니다. ④ 2와 3 사이에는 정수가 없다. ⑤ 모든 정수는 유리수이다. ② 05 두 점 사이의 거리가 12이고 두 점으로부터 같은 거리에 있는 점이 나타내는 수가 4이므로 두 수 a, b를 나타내는 두 점은 4를 나타내는 점으로부터의 거리가 각각 6인 점 이다. 6 1 6 7 이때 a<0이므로 a=-2, b=10 a=-2, b=10 이런 문제가 시험에 나온다 본문 66쪽 -2 -1 0 2 3 4 5 6 8 9 10 01 +2`¾, -3`¾ 02 ⑤ 03 7 04 ② 05 a=-2, b=10 이렇게 풀어요 01 상승 : ‘+’, 하락 : ‘-’ ∴ +2`¾, -3`¾ 02 수의 대소 관계 +2`¾, -3`¾ 본문 69쪽 02 ① 정수：-3, 0, +4, (=2) ;4*; ② 음수：-3, -0.12 ③ 자연수：+4, (=2) ;4*; ④ 양수： , +4, ;5@; ;4*; ⑤ 정수가 아닌 유리수： , -0.12 ;5@; 개념원리 확인하기 01 ⑴ ⑵ 2.5 ⑶ ⑷ 8 ;3@; 5 6 02 ⑴ +6, -6 ⑵ + , - ;2%; ;2%; 04 0, - , -2, 3.5, +4 ;3@; 05 -8, - , +0.5, +3 ;2!; 03 ⑴ < ⑵ < ⑶ < ⑷ > ⑸ > ⑹ < ⑤ 06 ⑴ -2<xÉ5 ⑵ -3Éa<4 ⑶ -2ÉbÉ5 03 - ;2%; 1 2 :Á3¼: ;3!; =-2 , =3 이므로 수직선 위에 - , , 이렇게 풀어요 ;2%; :Á3¼: 3 4 을 나타내면 다음과 같다. 01 ⑴ |+ 2 3 | = 2 3 ⑵ |-2.5|=2.5 28 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 28 2017-06-10 오후 4:02:58 ⑶ 5 6 | = 5 6 |+ ⑷ |-8|=8 ⑴ ⑵ 2.5 ⑶ ⑷ 8 ;6%; ;3@; ⑵ 절댓값이 10인 수는 10과 -10이고 두 수를 나타내는 두 점 사이의 거리는 20이다. ⑴ 3 ⑵ 20 02 절댓값이 a`(a>0)인 수는 +a, -a의 2개가 있다. ⑴ +6, -6 ⑵ + , - ;2%; ;2%; 03 ⑵ |-3|=3이므로 -3<|-3| ⑴ < ⑵ < ⑶ < ⑷ > ⑸ > ⑹ < 2 ⑴ 절댓값이 작을수록 원점에 가깝다. ∴ 0.1 ⑵ 절댓값을 각각 구해 보면 ;6%;, 2.6, 0.1 ;2!;, 3, 따라서 절댓값이 가장 큰 수는 3이고, 절댓값이 가장 작은 수는 0.1이다. ⑴ 0.1 ⑵ 3, 0.1 3 ⑴ 원점으로부터의 거리가 3인 수를 수직선 위에 나타내 04 |-;3@;| ;3@; = , |0|=0, |-2|=2, |+4|=4, |3.5|=3.5 면 다음과 같다. 따라서 절댓값이 작은 수부터 차례로 나열하면 3 3 0, - , -2, 3.5, +4 0, - , -2, 3.5, +4 -3 -2 -1 0 1 23 ;3@; ;3@; 05 (음수)<0<(양수)이고, 양수끼리는 절댓값이 큰 수가 크 고 음수끼리는 절댓값이 큰 수가 작다. 따라서 작은 수부터 차례로 나열하면 -8, , +0.5, +3 -8, - , +0.5, +3 -;2!; ;2!; 06 ⑶ (작지 않다)=(크거나 같다)=(이상) ⑴ -2<xÉ5 ⑵ -3Éa<4 ⑶ -2ÉbÉ5 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 70~72쪽 1 ⑴ 3 ⑵ 20 2 ⑴ 0.1 ⑵ 3, 0.1 3 ⑴ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ⑵ 5개 4 -4 5 ⑤ 4 5 6 ⑴ - Éx<6 ⑵ -2<xÉ3 ⑶ -5Éx<2 ⑷ 5 6 - ÉxÉ ;2!; 이렇게 풀어요 1 ⑴ |-9|=9이므로 a=9 절댓값이 6인 수 중 양수는 6이므로 b=6 ∴ a-b=9-6=3 따라서 절댓값이 3 이하인 정수는 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3이다. ⑵ 원점으로부터의 거리가 인 수를 수직선 위에 나타 :Á5¢: 내면 다음과 같다. (cid:18)(cid:21) (cid:22) (cid:18)(cid:21) (cid:22) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:18) (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:18)(cid:21) (cid:22) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:18)(cid:21) (cid:22) 따라서 절댓값이 보다 작은 정수는 -2, -1, 0, 1, :Á5¢: 2의 5개이다. ⑴ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ⑵ 5개 4 절댓값이 같고 부호가 반대인 두 수를 나타내는 두 점 사 이의 거리가 8이므로 두 수는 원점으로부터의 거리가 각 각 8_ =4인 수이다. ;2!; 따라서 두 수는 -4, 4이고 이 중 음수는 -4이다. -4 5 ① - =- , - =- 이므로 - >- ;6@; ;2!; ;6#; ;3!; ;3!; ;2!; ② -2=- 이므로 - >-2 :Á5¼: ;5^; ⑤ |-7|=7이므로 ;2%;<|-7| ⑤ Ⅱ. 정수와 유리수 29 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 29 2017-06-10 오후 4:03:00 6 ⑴ x는 - ;5$; 이상이고 ⇨ x¾- ;5$; x는 6 미만이다. ⇨ x<6 ∴ - Éx<6 ;5$; ⑵ x는 -2보다 크고 ⇨ x>-2 x는 3보다 크지 않다. ⇨ xÉ3 ∴ -2<xÉ3 ⑶ x는 -5보다 작지 않고 ⇨ x¾-5 x는 2 미만이다. ⇨ x<2 ∴ -5Éx<2 ⑷ x는 - 보다 작지 않고 ⇨ x¾- ;6%; ;6%; ;2!; x는 보다 크지 않다. ⇨ xÉ ;2!; ∴ - ÉxÉ ;6%; ;2!; 절댓값이 클수록 원점에서 멀리 떨어져 있으므로 원점에 서 가장 멀리 떨어져 있는 수는 ①이다. ① 03 x는 -5보다 작지 않고 ⇨ x¾-5 x는 7 이하이다. ⇨ xÉ7 ∴ -5ÉxÉ7 ④ 04 ① |-2|=2이므로 |-2|>-3 ⑤ |-1|=1이므로 |-1|>0 ①, ⑤ 05 ⑴ x는 -3 이상이고 ⇨ x¾-3 x는 7 미만이다. ⇨ x<7 ∴ -3Éx<7 ⑵ x는 - 보다 크고 ⇨ x>- ;5!; ;5!; x는 3보다 크지 않다. ⇨ xÉ3 ∴ - <xÉ3 ;5!; ⑴ - Éx<6 ⑵ -2<xÉ3 4 5 ⑶ -5Éx<2 ⑷ - ÉxÉ ;2!; 5 6 ⑴ -3Éx<7 ⑵ - <xÉ3 ;5!; 이런 문제가 시험에 나온다 본문 73~74쪽 06 - =-1 , ;5@; ;5&; 21 4 ;4!; =5 이므로 두 수를 수직선 위에 나 01 ① 02 ① 03 ④ 04 ①, ⑤ 타내면 다음과 같다. 05 ⑴ -3Éx<7 ⑵ - <xÉ3 1 5 06 a=-2, b=6 07 ④ 08 ④ 09 ④, ⑤ 10 ⑴ a=-11, b=8 ⑵ 7개 ⑶ x=- y= ;5*; ;5*;, 11 ;3&; 12 a=-6, b=6 이렇게 풀어요 01 ① |-4|=4 ② |-;2!;|=;2!; |+;2%;|=;2%; ③ ④ |-;3@;|=;3@; ⑤ |+3.9|=3.9 따라서 절댓값이 가장 큰 수는 ①이다. -;5&; :ª4Á: -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 보다 작은 수 중에서 가장 큰 정수는 -2이므로 보다 큰 수 중에서 가장 작은 정수는 6이므로 b=6 a=-2, b=6 - 7 5 a=-2 21 4 07 ① , ;2!;=;6#; ;3@;=;6$; 이므로 < ;2!; ;3@; ② 4.2= = ;1$0@; :ª5Á: 이므로 4.2= :ª5Á: ① ③ 0> -;3!; 02 각 수의 절댓값을 구하면 ① |-9|=9 ② |-6|=6 ③ |0|=0 ④ |+5|=5 ⑤ |+7|=7 ④ -2= 이므로 -2>- -:Á6ª: :Á6£: ⑤ |-;4#;|=;4#; , |-1|=1이므로 <|-1| |-;4#;| ④ 30 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 30 2017-06-10 오후 4:03:01 참고 ⑤ a¾0이면 |a|=a이고 a<0이면 |a|=-a이다. 각각 :Á3¢:_;2!;=;3&; 인 수이다. |0|=0, |2|=2, |-2|=2=-(-2) 따라서 두 수는 - 이고 큰 수는 이다. , ;3&; ;3&; ;3&; ;3&; 08 ④ a=-2, b=1이면 a<b이지만 |a|>|b|이다. 12 ㈏에서 두 수 a, b를 나타내는 두 점 사이의 거리가 12이 ④ 다. 09 작은 수부터 차례로 나열하면 -3.2, - , -1, , 2.1, +3 ;2#; ;5@; 절댓값의 크기가 작은 수부터 차례로 나열하면 , -1, - , 2.1, +3, -3.2 ;5@; ;2#; ④ 절댓값이 가장 큰 수는 -3.2이다. ⑤ 절댓값이 세 번째로 작은 수는 - 이다. ;2#; 따라서 옳지 않은 것은 ④, ⑤이다. ④, ⑤ 10 ⑴ 절댓값이 11인 수는 11과 -11이므로 a=-11 |-8|=8이므로 b=8 ⑵ 원점으로부터의 거리가 인 수를 수직선 위에 나타내 ;2&; 면 다음과 같다. 7 2 7 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 7 2 -4 - 7 2 따라서 절댓값이 7 2 1, 2, 3의 7개이다. 이하인 정수는 -3, -2, -1, 0, ⑶ 두 수 x, y의 절댓값이 같으므로 두 수는 원점으로부터 의 거리가 같고 x<y이므로 x<0, y>0이다. 그런데 두 수 x, y를 나타내는 두 점 사이의 거리가 이므 16 5 로 두 수 x, y는 원점으로부터의 거리가 각각 :Á5¤:_;2!;=;5*; 인 수이다. ∴ x= -;5*; , y= ;5*; ⑴ a=-11, b=8 ⑵ 7개 ⑶ x=- , y= ;5*; ;5*; ㈎에서 두 수 a, b는 원점으로부터의 거리가 각각 12_ =6인 수이다. ;2!; 이때 ㈐에서 a가 음수이므로 a=-6, b=6 a=-6, b=6 01 ⑤ 05 ③ 09 ④ step (기본문제) 본문 75~76쪽 02 ②, ④ 03 ⑤ 06 ⑤ 04 ① 07 ③, ④ 08 ② 10 ④, ⑤ 11 a=- , b= ;9@; ;9@; 12 a=9, b=-1 이렇게 풀어요 01 ① 해발 350`m：+350`m ② 영하 7`¾：-7`¾ ③ 23`% 올랐다.：+23`% ④ 3`kg 감소：-3`kg ⑤ 02 ① 자연수의 개수는 1의 1개이다. ② 양수의 개수는 1, 의 2개이다. ;5@; ③ 정수의 개수는 1, 0, - (=-2)의 3개이다. :Á6ª: ④ 주어진 수는 모두 유리수이므로 유리수의 개수는 6개 이다. 개이다. ⑤ 정수가 아닌 유리수의 개수는 -13.2, , - 의 3 3 11 ;5@; ②, ④ 11 절댓값이 같고 부호가 반대인 두 수를 나타내는 두 점 사 이의 거리가 이므로 두 수는 원점으로부터의 거리가 :Á3¢: 03 ① A：- ;3*; ③ C：- ;3@; ② B：- ;3$; ④ D： ;3!; ⑤ Ⅱ. 정수와 유리수 31 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 31 2017-06-10 오후 4:03:03 -2이다. 06 ① x¾5 ③ xÉ0 ② -2<x<6 ④ xÉ7 ;9$;_;2!;=;9@; 인 수이다. 04 각 수의 절댓값을 구하면 ① |-7|=7 ② | - ;2(;| = ;2(; ③ |0|=0 ④ |+4|=4 ⑤ | + = :ª3¼:| :ª3¼: 절댓값이 클수록 원점에서 멀리 떨어져 있으므로 원점에 서 가장 멀리 떨어져 있는 수는 ①이다. ① A 05 M B -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 위의 수직선에서 -6을 나타내는 점 A와 +2를 나타내 는 점 B로부터 같은 거리에 있는 점 M이 나타내는 수는 ③ ⑤ ③, ④ 07 ③ 음수끼리는 절댓값이 큰 수가 작다. ④ 유리수는 양수, 0, 음수로 이루어져 있다. 08 ① |-3|=3이므로 |-3|>0 ② | - = , | ;5@; - ;5@;| ;5#;| = ;5#; 에서 < ;5@; ;5#; 이때 음수끼리는 절댓값이 큰 수가 작으므로 따라서 절댓값이 인 두 수 사이에 있는 정수는 ;2(; -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4의 9개이다. ④ 10 ④ 정수는 -5, 2, 1, 0, 4이다. ⑤ 주어진 수를 작은 수부터 차례로 나열하면 -5, - , - , 0, 1, 2, 4 ;4#; ;3@; 이므로 네 번째에 오는 수는 0이다. ④, ⑤ 11 두 수 a, b의 절댓값이 같으므로 두 수는 원점으로부터의 거리가 같고 a<b이므로 a<0, b>0이다. 그런데 두 수 a, b를 나타내는 두 점 사이의 거리가 이 4 9 므로 두 수 a, b는 원점으로부터의 거리가 각각 따라서 a<0, b>0이므로 a=- , b= 이다. ;9@; ;9@; a=- , b= ;9@; ;9@; 12 두 수 a와 b를 나타내는 두 점 사이의 거리가 10이고 a와 b의 한가운데 있는 점이 나타내는 수가 4이므로 두 수 a, b는 4로부터의 거리가 각각 10_ =5인 수이다. (cid:22) ;2!; (cid:22) (cid:14)(cid:18) (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:21)(cid:22) (cid:23) (cid:24) (cid:25)(cid:26) 그런데 a>b이므로 a=9, b=-1 a=9, b=-1 - >- ;5@; ;5#; ③ = ;5@; ;1¢0; 이므로 < ;5@; ;1¦0; ④ (양수)>(음수)이므로 >-0.2 ⑤ | + = , | ;3%; - ;2%;| = ;3%;| , 15 6 :Á6¼: 이다. ∴ | + ;3%;| < - | ;2%;| 따라서 옳은 것은 ②이다. ;3&; 5 2 9 2 이고 두 수를 통분하면 각각 2 step (발전문제) 02 4 01 ③ 본문 77~78쪽 03 ② 04 3 ② 05 a=- , b= ;1£0; ;1£0; 06 a=-3, b=7 07 ④ 11 ① 08 ⑤ 12 a<c0이면 -a<0이므로 |-a|=-(-a)=a이다. a=2이면 |-a|=|-2|=2이므로 |-a|=a이 ㄷ. a=3, b=-3이면 |a|=|b|이지만 a+b이다. ㄹ. a=1, b=-4이면 a>b이지만 |a|<|b|이다. 따라서 옳지 않은 것은 ㄷ, ㄹ이다. 09 a의 절댓값이 5이므로 a=-5 또는 a=5 b의 절댓값이 x이므로 x>0이고 b=-x 또는 b=x 그런데 a+b의 값 중에서 가장 큰 값이 7이므로 5+x=7 ∴ x=2 ④ ⑤ 2 10 |a|=7이므로 a=7 또는 a=-7 Ú a=7일 때 4 4 03 수직선 위에 -3 ;5!; ;4#; 과 2 을 나타내면 다음과 같다. (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:18) (cid:17) (cid:18) (cid:14)(cid:21) (cid:14)(cid:20) (cid:18) (cid:22) (cid:20) (cid:19) (cid:19) (cid:20) (cid:21) 따라서 두 수 -3 과 2 사이에 있는 정수는 ;5!; ;4#; -3, -2, -1, 0, 1, 2이므로 절댓값이 가장 큰 수는 -3이다. ② 3 04 ㈎에서 정수 A는 -1, 0, 1, 2, 3이다. 이때 ㈏에서 |A|>2, 즉 원점으로부터의 거리가 2보다 큰 것은 3뿐이다. 05 ㈎에서 a는 b보다 만큼 작으므로 a<b이고 수직선 위 3 5 에서 a, b를 나타내는 두 점 사이의 거리가 이다. 3 5 ㈏에서 a, b의 절댓값이 같으므로 두 수 a, b는 원점으로 부터의 거리가 각각 3 5 _ = ;2!; ;1£0; 인 수이다. ∴ a=- , b= ;1£0; ;1£0; a=- , b= ;1£0; ;1£0; ∴ b=-1 Û a=-7일 때 -1 -7 3 3 7 13 10 10 06 ㈏에서 |a|=3이므로 a=3 또는 a=-3 이때 ㈎에서 a<0이므로 a=-3 ㈐에서 |a|+|b|=10이므로 |-3|+|b|=10, |b|=7 즉, b=7 또는 b=-7 이때 ㈎에서 b>0이므로 b=7 ∴ b=13 Ú, Û에서 구하는 b의 값은 -1, 13이다. a=-3, b=7 -1, 13 Ⅱ. 정수와 유리수 33 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 33 2017-06-10 오후 4:03:07 11 - ;7*; `=- , = ;1!4^; ;2!; ;1¦4; 이므로 두 수 - 과 사이에 1 2 ;7*; 있는 정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타내었을 때, 분 04 ㈑에서 a는 음수이다. ㈎, ㈏에서 a는 -7, -8, -9 중 하나이다. ㈐에서 a=-8이다. -8 모가 14인 유리수는 - , - , - , - , ;1°4; ;1»4; ;1!4!; ;1!4#; - ;1£4; , - , , ;1Á4; ;1Á4; ;1£4; 의 10개이다. - 15 14 , , 5 14 05 a>b이고 부호가 반대이므로 a>0, b<0 a의 절댓값이 b의 절댓값의 3배이므로 수직선 위에서 원 ① 점으로부터 a를 나타내는 점까지의 거리는 원점으로부터 b를 나타내는 점까지의 거리의 3배이다. 또, a와 b의 절댓값의 합이 12이므로 두 수 a, b를 나타내 는 점을 각각 A, B라 하고 수직선 위에 나타내면 다음과 12 ㈎, ㈏에서 a는 -5보다 크고 절댓값은 -5의 절댓값과 ㈎, ㈐, ㈑를 만족시키도록 a, b, c를 수직선 위에 나타내 같다. 같으므로 a=5 면 다음과 같다. -5 a(=5) c b B -3 0 3 6 A 9 ∴ a<cb이므로 (a, b)는 (0, -3) Û |a|=1, |b|=2일 때 a=1 또는 a=-1, b=2 또는 b=-2 그런데 a>b이므로 (a, b)는 (1, -2), (-1, -2) Ü |a|=2, |b|=1일 때 a=2 또는 a=-2, b=1 또는 b=-1 그런데 a>b이므로 (a, b)는 (2, 1), (2, -1) Ý |a|=3, |b|=0일 때 a=3 또는 a=-3, b=0 그런데 a>b이므로 (a, b)는 (3, 0) Ú ~Ý에서 (a, b)의 개수는 6개이다. 6개 3 step (실력UP) 01 D 02 A 03 8개 04 -8 05 a=9, b=-3 06 6개 이렇게 풀어요 7 4 7 4 < ;3*; 길로 간다. 01 + | ;4&;| = = - , | ;1@2!; ;3*;|=;3*; ;1#2@; = 에서 이므로 첫 번째 갈림길에서는 - 이 적힌 ;3*; 또, |+3.9|=3.9= , | ;1#0(; -4 3 5 | =4 ;5#;=;1$0^; 에서 3.9<4 이므로 두 번째 갈림길에서는 -4 이 적 3 5 3 5 힌 길로 간다. 따라서 도착점은 D이다. D 서술형 대비 문제 본문 80~81쪽 02 A 0 B C D 따라서 음수인 것은 A이다. A 1 9 2 -6 3 12 5 ⑴ a<0, b>0 ⑵ a=-12, b=12 4 -2 6 -4 03 x는 절댓값이 ;2!; 이상 5 미만인 정수이므로 절댓값이 1 1 단계 수직선 위에 와 -3 을 나타내면 다음과 같다. ;2(; ;3!; 이렇게 풀어요 따라서 정수 x는 -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4의 8개 8개 (cid:14)(cid:21) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:18) (cid:14)(cid:20)(cid:28)(cid:20)(cid:197)(cid:28) (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:21) (cid:22) (cid:28)(cid:19)(cid:9)(cid:28) 1, 2, 3, 4인 정수이다. 이다. 34 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 34 2017-06-10 오후 4:03:10 2 단계 보다 큰 수 중에서 가장 작은 정수는 5이므로 3단계 따라서 이 중 절댓값이 가장 큰 수는 -2이다. -3 보다 작은 수 중에서 가장 큰 정수는 -4이므로 단계 채점요소 3단계 ∴ |a|+|b|=|5|+|-4|=5+4=9 1 수직선 위에 두 수 -2 과 1 을 나타내기 ;3!; ;5#; 9 2 -2 과 1 사이에 있는 정수 구하기 ;3!; ;5#; 3 절댓값이 가장 큰 수 구하기 -2 배점 2점 2점 2점 2 1 단계 두 수는 -1로부터의 거리가 각각 10_ =5인 수 ;2!; 5 1 단계 ⑴ ㈎에서 두 수 a, b의 절댓값이 같고 ㈏에서 a는 b 보다 24만큼 작으므로 a<0, b>0이다. 2단계 두 수를 수직선 위에 점으로 나타내면 다음과 같다. 2단계 ⑵ ㈏에서 a가 b보다 24만큼 작으므로 두 수 a, b 를 나타내는 두 점 사이의 거리가 24이다. 즉, 두 수 a, b는 원점으로부터의 거리가 각각 24_ =12인 수이다. 1 2 ∴ a=-12, b=12 -6 ⑴ a<0, b>0 ⑵ a=-12, b=12 채점요소 단계 1 2 a, b의 부호 구하기 a, b의 값 구하기 배점 3점 4점 6 1 단계 a는 -4보다 작지 않고 2보다 작으므로 -4Éa<2 2단계 이때 정수 a는 -4, -3, -2, -1, 0, 1이고 이 중 |a|>3, 즉 원점으로부터의 거리가 3보다 큰 것은 -4뿐이다. 채점요소 단계 1 2 a의 값의 범위 구하기 a의 값 구하기 -4 배점 2점 5점 ;2(; a=5 ;3!; b=-4 이다. -6이다. a=4 b=3 (cid:22) (cid:22) (cid:14)(cid:23) (cid:14)(cid:18) (cid:21) 3단계 따라서 두 수는 -6과 4이므로 두 수 중 작은 수는 3 1 단계 양수는 , ;1£1; :ª4»: , 0.9, 25의 4개이므로 2단계 음수는 -3, -4.5, - 의 3개이므로 ;5!; 3단계 정수가 아닌 유리수는 , -4.5, , 0.9, - ;1£1; :ª4»: ;5!; 의 5개이므로 c=5 4단계 ∴ a+b+c=4+3+5=12 단계 채점요소 1 2 3 4 a의 값 구하기 b의 값 구하기 c의 값 구하기 a+b+c의 값 구하기 12 배점 1점 1점 2점 2점 4 1 단계 수직선 위에 -2 과 1 을 나타내면 다음과 같다. 1 3 ;5#; (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:19)(cid:28)(cid:20)(cid:197)(cid:28) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:18) (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:18)(cid:28)(cid:22)(cid:4)(cid:28) 2단계 즉, -2 과 1 사이에 있는 정수는 -2, -1, 0, 1 3 ;5#; 1이다. 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 35 2017-06-10 오후 4:03:12 Ⅱ. 정수와 유리수 35 본문 86쪽 2 정수와 유리수의 계산 01 정수와 유리수의 덧셈 개념원리 확인하기 01 ⑴ +, +, 9 ⑵ -, +, 5, -, 8 ⑶ 9, +, 9, +, ⑷ 8, -, 8, -, ;1!2!; ;3%; 02 ⑴ -, -, 3, -, 4 ⑵ +, -, 4, +, 5 ⑶ 10, -, 10, 7, -, ;4#; 03 ⑴ +13 ⑵ -13 ⑶ -2 ⑷ +9 ⑸ - ⑹ -5 ⑺ -6.1 ⑻ + ;1!5#; ;1Á2; ⑼ - ⑽ - ;1£4; ;2»0; 04 ⑴ -2 ⑵ -3 ⑶ + ⑷ -1 ;6&; 이렇게 풀어요 01 ⑴ +, +, 9 ⑵ -, +, 5, -, 8 ⑶ 9, +, 9, +, ⑷ 8, -, 8, -, ;3%; ;1!2!; 02 ⑴ -, -, 3, -, 4 ⑵ +, -, 4, +, 5 ⑶ 10, -, 10, 7, -, ;4#; 03 ⑴ (+6)+(+7)=+(6+7)=+13 ⑵ (-8)+(-5)=-(8+5)=-13 ⑶ (-11)+(+9)=-(11-9)=-2 ⑷ (-3)+(+12)=+(12-3)=+9 ⑸ { - 2 3 } + - { 1 = 5 } {- + {- 3 15 } 10 15 } 10 15 + 3 15 } = -{ = - 13 15 {+ 20 12 } + 20 12 } 21 12 - 1 12 = +{ = + ⑹ (-0.5)+(-4.5)=-(0.5+4.5)=-5 ⑺ (+11.4)+(-17.5)=-(17.5-11.4)=-6.1 ⑻ { - 5 3 } + + { 7 = 4 } {- 21 12 } 36 정답과 풀이 ⑼ (-0.5)+ 2 = 7 } {- {+ 2 7 } 4 14 } {+ + {+ 4 14 } + 1 2 } 7 14 } 7 14 - 3 14 = {- = -{ = - {- 6 20 } + 6 20 } 15 20 - 9 20 = -{ = - ⑽ 3 10 } + {- 3 = 4 } {+ {+ 15 20 } ⑴ +13 ⑵ -13 ⑶ -2 ⑷ +9 ⑸ - ;1!5#; ⑹ -5 ⑺ -6.1 ⑻ + ⑼ - ;1Á2; ;1£4; ⑽ - ;2»0; 04 ⑴ (-10)+(+2)+(+6) =(-10)+{(+2)+(+6)} =(-10)+(+8) =-2 ⑵ (-7)+(+14)+(-10) =(-7)+(-10)+(+14) ={(-7)+(-10)}+(+14) =(-17)+(+14) =-3 ⑶ {- 1 4 } + {+ 2 3 } + {+ 3 4 } 2 3 } {+ + {+ 2 3 } + 3 4 } 3 4 }] 2 3 } 4 6 } = {- + {+ = [{- + {+ = {+ + {+ = {+ + {+ 1 4 } 1 4 } 1 2 } 3 6 } 7 6 3 4 } =+ = {+ = [{+ 3 4 }+{+ 3 4 }+{+ 5 4 } 5 4 }] =(+2)+(-3)=-1 5 4 } {+ +(-3) +(-3) ⑷ {+ +(-3)+ ⑴ -2 ⑵ -3 ⑶ + ⑷ -1 ;6&; 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 36 2017-06-10 오후 4:03:14 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 87~88쪽 1 ① 2 ⑤ 3 ㉠ 덧셈의 교환법칙 ㉡ 덧셈의 결합법칙 ① +1 ② + ;3!; 4 ⑴ -3 ⑵ -1.4 ⑶ 0 이렇게 풀어요 1 ① (-3)+(+9)=+(9-3)=+6 ② (-13)+(-5)=-(13+5)=-18 ③ (-12)+(+7)=-(12-7)=-5 ④ (+16)+(-13)=+(16-13)=+3 ⑤ (+4)+(-8)=-(8-4)=-4 따라서 계산 결과가 가장 큰 것은 ①이다. 4 ⑴ (+7)+(-3)+(-7) =(-3)+(+7)+(-7) =(-3)+{(+7)+(-7)} =(-3)+0=-3 ⑵ (-9.4)+(+3.7)+(+6.2)+(-1.9) =(-9.4)+(-1.9)+(+3.7)+(+6.2) ={(-9.4)+(-1.9)}+{(+3.7)+(+6.2)} =(-11.3)+(+9.9)=-1.4 ⑶ {+ 2 3 }+{- 1 2 }+{- 5 3 }+{+ 3 2 } 3 2 } 2 3 }+{- 5 3 }+{- 1 2 }+{+ ={+ =[{+ 2 3 }+{- 5 3 }]+[{- 1 2 }+{+ 3 2 }] =(-1)+(+1)=0 ⑴ -3 ⑵ -1.4 ⑶ 0 ① 2 ① {+ 5 7 }+{+ 8 21 }={+ 8 21 } ② {- 2 3 }+{- 1 7 }={- 3 21 } ③ {- 5 6 }+{+ 2 3 }={- 4 6 } 8 21 } 15 21 }+{+ 15 21 + 23 21 14 21 }+{- 14 21 + 17 21 5 6 }+{+ 4 5 6 - 6 } 1 6 3 21 } =+{ =+ =-{ =- =-{ =- =-2.2 =+1.5 ④ (+2.1)+(-4.3) =-(4.3-2.1) ⑤ (+5.1)+(-3.6) =+(5.1-3.6) 본문 91쪽 02 정수와 유리수의 뺄셈 개념원리 확인하기 01 ⑴ +, -, -, +, 5, -, 8 ⑵ +, +, +, 8, -, 5, +, 3 ⑶ +, +, 3, -, 3, -, ;6!; 02 ⑴ -4 ⑵ -14 ⑶ + ⑷ :Á6£: -;1£0; 03 ⑴ +9 ⑵ +2 ⑶ +1 04 ⑴ +4, -4, -4, -4, +13 ⑵ , +;2#; -;2#; , - , - , -2, - ;2#; ;2#; ;5*; 이렇게 풀어요 01 ⑴ +, -, -, +, 5, -, 8 ⑵ +, +, +, 8, -, 5, +, 3 ⑤ ⑶ +, +, 3, -, 3, -, ;6!; 3 ㉠ 덧셈의 교환법칙 ㉡ 덧셈의 결합법칙 ① +1 ② + ;3!; 02 ⑴ (+8)-(+12) =(+8)+(-12) =-(12-8) =-4 Ⅱ. 정수와 유리수 37 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 37 2017-06-10 오후 4:03:16 ⑵ (-7)-(+7) =(-7)+(-7) =-(7+7) =-14 ⑶ {+;6%;}-{-;3$;}={+;6%;}+{+;3$;} ={+;6%;}+{+;6*;} =+{;6%;+;6*;} =+:Á6£: 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 92~94쪽 1 ⑤ 2 ②, ⑤ 3 ⑴ +2 ⑵ - :Á4Á: 4 ⑴ -13 ⑵ ;4!; 5 ⑴ -8 ⑵ 14 ⑶ - ⑷ - ;2&; ;1¦5; 6 ⑴ 10 ⑵ ;2£0; 이렇게 풀어요 ⑷ {-;2!;}-{-;5!;}={-;2!;}+{+;5!;} ={-;1°0;}+{+;1ª0;} 1 ① (-8)-(-12) =(-8)+(+12) =+(12-8)=+4 ② (-1.3)-(-5.6) =(-1.3)+(+5.6) =-{;1°0;-;1ª0;} =+(5.6-1.3)=+4.3 =-;1£0; ③ (+1)- + =(+1)+ - { ;4#;} { ⑴ -4 ⑵ -14 ⑶ + ⑷ - :Á6£: ;1£0; = + { + - { ;4$;} 3 4 } 3 4 } =+ 1 4 03 ⑴ (-2)+(+5)-(-6) =(-2)+(+5)+(+6) =(-2)+{(+5)+(+6)} =(-2)+(+11)=+9 ⑵ (+2.5)-(+2.8)-(-5.5)+(-3.2) =(+2.5)+(-2.8)+(+5.5)+(-3.2) =(+2.5)+(+5.5)+(-2.8)+(-3.2) ={(+2.5)+(+5.5)}+{(-2.8)+(-3.2)} =(+8)+(-6) =+2 ⑶ {+ 2 3 }-{- 2 3 }+{+ 3 2 }+{- 1 2 }+{- 1 2 }+{- 1 2 }+{+ 1 2 }+{+ 1 3 } 3 2 }-{+ 3 2 }+{- 2 3 }+{- 2 3 }+{- 1 3 } 1 3 } 3 2 }]+[{- ={+ ={+ =[{+ 1 3 }] =(+2)+(-1) =+1 ④ { - ;4!;} - + { = :Á4£:} { - + - { :Á4£:} =+{;4$;-;4#;} 1 4 } 1 4 + =- { :Á4£:} =- =- :Á4¢: 7 2 = - { ;1»5;} + + { ;1!5);} =+ - {;1!5); ;1»5;} =+ 1 15 ⑤ { - ;5#;} - - { = ;3@;} { - ;5#;} + + { ;3@;} 2 원점에서 왼쪽으로 3만큼 이동하였으므로 -3, 다시 오른 쪽으로 5만큼 이동하였으므로 +5를 더하거나 -5를 뺀 것이다. ∴ (-3)+(+5)=+2 또는 (-3)-(-5)=+2 ⑤ ②, ⑤ ⑴ +9 ⑵ +2 ⑶ +1 3 ⑴ (-6)-(+3.3)+(-1.7)-(-13) =(-6)+(-3.3)+(-1.7)+(+13) ={(-6)+(+13)}+{(-3.3)+(-1.7)} =(+7)+(-5) =+2 04 ⑴ +4, -4, -4, -4, +13 ⑵ + , - , - , - , -2, - ;2#; ;2#; ;2#; ;2#; ;5*; 38 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 38 2017-06-10 오후 4:03:17 ⑵ { - ;5$;} + - { - + { ;4(;} ;5^;} - - { ;2#;} = - { + - { + - { ;5^;} ;4(;} ;5$;} + + { ;2#;} 6 ⑴ 어떤 수를 라 하면 -8=-6 ∴ =-6+8=(-6)+(+8)=2 = - [{ ;2!0^;} + - { ;2$0%;} + - { ;2@0$;}] + + { ;2#0);} = - { ;2*0%;} + + { ;2#0);} =- ;2%0%; =- :Á4Á: 따라서 바르게 계산하면 2+8=10 ⑵ 어떤 수를 라 하면 ⑴ +2 ⑵ - :Á4Á: -;5!;=-;4!; = (-5)+(-13)+(-12)+(+4)+(+7) 계산력 강화하기 본문 95쪽 참고 덧셈과 뺄셈의 혼합 계산에서 보통 양수는 양수끼 리, 음수는 음수끼리 모아서 계산하지만 ⑴과 같이 계산이 간단해지는 것끼리 모아서 계산해도 된다. 4 ⑴ -5+4-13+7+6-12 = (-5)+(+4)-(+13)+(+7)+(+6) = (-5)+(+4)+(-13)+(+7)+(+6) -(+12) +(-12) +(+6) = {(-5)+(-13)+(-12)} +{(+4)+(+7)+(+6)} = (-30)+(+17)=-13 ⑵ -;4#;+;2!;-;3!;+;6%; ={-;4#;}+{+;2!;}-{+;3!;}+{+;6%;} ={-;1»2;}+{+;1¤2;}+{-;1¢2;}+{+;1!2);} ={-;1»2;}+{-;1¢2;}+{+;1¤2;}+{+;1!2);} =[{-;1»2;}+{-;1¢2;}]+[{+;1¤2;}+{+;1!2);}] ={-;1!2#;}+{+;1!2^;}=;1£2;=;4!; ⑴ -13 ⑵ ;4!; 5 ⑴ (-6)+(-2)=-8 ⑵ 9-(-5)=(+9)+(+5)=14 ⑶ {-;3@;}-{-;5!;}={-;1!5);}+{+;1£5;}=-;1¦5; ⑷ (-3)+ = {-;2!;} {-;2^;}+{-;2!;}=-;2&; ⑴ -8 ⑵ 14 ⑶ - ⑷ - ;1¦5; ;2&; ∴ =-;4!;+;5!;={-;2°0;}+{+;2¢0;}=-;2Á0; 따라서 바르게 계산하면 -;2Á0;+;5!;={-;2Á0;}+{+;2¢0;}=;2£0; ⑴ 10 ⑵ ;2£0; 01 ⑴ +16 ⑵ +7 ⑶ +18 ⑷ -67 ⑸ -3 ⑹ -26 ⑺ +70 ⑻ +19 02 ⑴ - ;1Á8; ⑵ + ⑶ + ⑷ + :Á4£: ;2#; ;1¦2; ⑸ + ⑹ - ⑺ +4 ⑻ + ;2!; :Á3¼: ;1Á2; 03 ⑴ -8 ⑵ -5 ⑶ -8 ⑷ -11 ⑸ -9 ⑹ 4 ⑺ 10 ⑻ -10 04 ⑴ ⑵ 0.5 ⑶ ;3@; -;4&; ⑷ 0 ⑸ ⑹ -;2!; :Á5¥: 이렇게 풀어요 01 ⑴ (+9)+(+7)=+(9+7)=+16 ⑵ (-8)+(+15)=+(15-8)=+7 ⑶ (+35)+(-17)=+(35-17)=+18 ⑷ (-41)+(-26)=-(41+26)=-67 ⑸ (+5)-(+8) =(+5)+(-8) =-(8-5) =-3 ⑹ (-16)-(+10) =(-16)+(-10) =-(16+10)=-26 ⑺ (+52)-(-18) =(+52)+(+18) =+(52+18) =+70 Ⅱ. 정수와 유리수 39 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 39 2017-06-10 오후 4:03:19 ⑻ (-21)-(-40) =(-21)+(+40) =+(40-21)=+19 03 ⑴ (+9)+(-12)-(+5) =(+9)+(-12)+(-5) ⑴ +16 ⑵ +7 ⑶ +18 ⑷ -67 =(+9)+{(-12)+(-5)} ⑸ -3 ⑹ -26 ⑺ +70 ⑻ +19 =(+9)+(-17) 02 ⑴ { - + + { = ;9&;} { - ;6%;} 15 18 } + + { ;1!8$;} =- 15 18 -;1!8$;} { =- ;1Á8; ⑵ (+3)- - =(+3)+ + { ;4!;} { 1 4 } ⑶ { - 5 6 } - - { = ;3&;} { - + + { ;3&;} = + { :Á4ª:} + + { 1 4 } = +{:Á4ª: + =+ 1 4 } :Á4£: 5 6 } 5 6 } = - { + + { :Á6¢:} = +{:Á6¢: - 5 6 } = + 9 6 =+;2#; ⑷ { - 1 6 } - - { = ;4#;} { - ;6!;} + + { ;4#;} =-8 ⑵ (-21)+(+15)-(+8)-(-9) =(-21)+(+15)+(-8)+(+9) =(-21)+(-8)+(+15)+(+9) ={(-21)+(-8)}+{(+15)+(+9)} =(-29)+(+24) =-5 ⑶ (-9)-(+4)-(+11)+(+16) =(-9)+(-4)+(-11)+(+16) ={(-9)+(-4)+(-11)}+(+16) =(-24)+(+16) =-8 ⑷ (-8)+(+6)-(-11)-(+7)+(-13) =(-8)+(+6)+(+11)+(-7)+(-13) =(-8)+(-7)+(-13)+(+6)+(+11) ={(-8)+(-7)+(-13)}+{(+6)+(+11)} ⑸ { + ;7@;} - - { = ;1£4;} { + ;7@;} + + { 3 14 } = - { 2 12 } + + { ;1»2;} = +{;1»2; - 2 12 } =+ ;1¦2; =(-28)+(+17) =-11 ⑸ -5-9+7-2 =(-5)-(+9)+(+7)-(+2) =(-5)+(-9)+(+7)+(-2) =(-5)+(-9)+(-2)+(+7) ={(-5)+(-9)+(-2)}+(+7) = + { ;1¢4;} + + { 3 14 } = + +{;1¢4; =+ ;2!; ;1¦4; =+ 3 14 } 3 3 } =(-16)+(+7) =-9 ⑹ 6-9+12-5 ⑹ { - ;3&;} +(-1) = - + - { ;3&;} { ⑺ (+2.5)-(-1.5) =- {;3&;+;3#;} =- 10 3 =(+2.5)+(+1.5) (2.5+1.5)=+4 = + ⑻ { + 3 4 } - + { = ;3@;} { + ;4#;} + - { ;3@;} = + { = +{ 9 12 } 9 12 - + - { ;1¥2;} ;1¥2;} =+ ;1Á2; ⑴ - ⑵ + ⑶ + ⑷ + ;1Á8; 1 2 :Á4£: :Á3¼: ⑸ + ⑹ - ⑺ +4 ⑻ + 3 2 ;1¦2; ;1Á2; =(+6)-(+9)+(+12)-(+5) =(+6)+(-9)+(+12)+(-5) =(+6)+(+12)+(-9)+(-5) ={(+6)+(+12)}+{(-9)+(-5)} =(+18)+(-14) =4 ⑺ 8-2-5+9 =(+8)-(+2)-(+5)+(+9) =(+8)+(-2)+(-5)+(+9) =(+8)+(+9)+(-2)+(-5) ={(+8)+(+9)}+{(-2)+(-5)} =(+17)+(-7)=10 40 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 40 2017-06-10 오후 4:03:21 ⑻ 15-32-4-8+19 =(+15)-(+32)-(+4)-(+8)+(+19) =(+15)+(-32)+(-4)+(-8)+(+19) =(+15)+(+19)+(-32)+(-4)+(-8) ⑷ ;4!;-;3@;-{-;4#;}+{-;3!;} ={+;4!;}-{+;3@;}-{-;4#;}+{-;3!;} ={(+15)+(+19)}+{(-32)+(-4)+(-8)} ={+;4!;}+{-;3@;}+{+;4#;}+{-;3!;} =(+34)+(-44) =-10 ⑴ -8 ⑵ -5 ⑶ -8 ⑷ -11 ⑸ -9 ⑹ 4 ⑺ 10 ⑻ -10 04 ⑴ { + + - { + + { ;2#;} ;2!;} ;3$;} - + { ;3%;} = + + - + + + - { { ;3$;} ;3$;} { { ;2!;} ;3%;} { { ;2#;} ;2!;} { { ;3%;} ;2#;} = + + - + - + + ={+;4!;}+{+;4#;}+{-;3@;}+{-;3!;} =[{+;4!;}+{+;4#;}]+[{-;3@;}+{-;3!;}] =(+1)+(-1)=0 ⑸ (-3) -{-;5$;} -;5!; +6 =(-3) -{-;5$;} -{+;5!;} +(+6) =(-3) +{+;5$;} +{-;5!;} +(+6) =(-3) (+6)+ {+;5$;}+{-;5!;} + + =(+3)+ {+;5#;} ={+:Á5°:} {+;5#;} + =:Á5¥: ⑹ ;6&;-;1¦2;+;4!;-;2!;-;6%; ={+;6&;}-{+;1¦2;}+{+;4!;}-{+;2!;}-{+;6%;} = + + - { ;3$;} [{ ;3%;}]+[{ - + + { ;2!;} ;2#;}] ={(-3) (+6)}+ [{+;5$;}+{-;5!;}] = - { ;3!;} +(+1) = - { ;3!;}+{ ;3#;} + = ;3@; =0.5 ⑶ - +{ ;1!2&;} + +{ ;1¥2;} + +{ ;1¥2;} = - { ;1@2(;}+{ ;1¥2;} + =- =- ;1@2!; ;4&; ⑵ (+1.4)-(+3.6)-(-5.4)+(-2.7) =(+1.4)+(-3.6)+(+5.4)+(-2.7) =(+1.4)+(+5.4)+(-3.6)+(-2.7) ={(+1.4)+(+5.4)}+{(-3.6)+(-2.7)} =(+6.8)+(-6.3) ={+;1!2$;}+{-;1¦2;}+{+;1£2;}+{-;1¤2;} {-;3!;}-{+;2!;}+{+;3@;}-{+;6!;}+{-;1!2&;} = - { ;1¢2;} + - { ;1¤2;} + + { ;1¥2;} + - { ;1ª2;} ={+;1!2$;}+{+;1£2;}+{-;1¦2;}+{-;1¤2;} = - { ;1¢2;} + - { ;1¤2;} + - { ;1ª2;}+{ ;1!2&;} - =[{+;1!2$;}+{+;1£2;}]+[{-;1¦2;}+{-;1¤2;} = - [{ ;1¢2;} + - { ;1¤2;} + - { ;1ª2;} + - { ;1!2&;}] ={+;1!2&;}+{-;1@2#;} +{-;1!2);} +{-;1!2);} +{-;1!2);}] =-;1¤2; =-;2!; ⑴ ⑵ 0.5 ⑶ - ⑷ 0 ⑸ ⑹ - :Á5¥: ;3@; 7 4 1 2 Ⅱ. 정수와 유리수 41 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 41 2017-06-10 오후 4:03:23 = = = = 이런 문제가 시험에 나온다 본문 96~97쪽 = + {-:Á8ª:} {+:£8ª:}+{-:ª8¼:}+{+:Á8¼:}+{-;8#;} 01 - ;2&; 02 ⑴ -2 ⑵ ;2(; 03 ⑴ ;8&; ⑵ 0 ⑶ - 04 ⑤ 05 ② ;5$; 06 -1 07 ⑤ 08 ⑴ - ⑵ ;8(; ;1!2&; 09 ⑴ 7 ⑵ ;3&; 10 :ª5ª: 11 12 12 - ;2%; 이렇게 풀어요 =[{-:Á8ª:}+{-:ª8¼:}+{-;8#;}] +[{+:£8ª:}+{+;:Á8¼:}] ={-:£8°:}+{+:¢8ª:}=;8&; ⑵ |-;4!;+;3@;|-|;3!;-;4#;| =|{-;4!;}+{+;3@;}|-|{+;3!;}-{+;4#;}| =|{-;1£2;}+{+;1¥2;}|-|{+;1¢2;}+{-;1»2;}| 01 절댓값이 가장 큰 수는 - 이므로 A=- :Á3¼: 절댓값이 가장 작은 수는 + 이므로 B=+ :Á3¼: ;6!; =|+;1°2;|-|-;1°2;| =;1°2;-;1°2;= 0 ∴ A-B = - { :Á3¼:} - + { = - { :Á3¼:} + - { ;6!;} ⑶ -;4#;-[-;5!;-{-;4#;+;2!;}] ;6!; 1 6 } 1 6 } = - { :ª6¼:} + - { =- =- :ª6Á: 7 2 {-;4#;}- {-;5!;}-[{-;4#;}+{+;2!;}] {-;4#;}- {-;5!;}-[{-;4#;}+{+;4@;}] ° ° ¤ ¤ - ;2&; {-;4#;}-[{-;5!;}-{-;4!;}] 02 ⑴ -7+1-3+9-2 =(-7)+(+1)-(+3)+(+9)-(+2) =(-7)+(+1)+(-3)+(+9)+(-2) ={(-7)+(-3)+(-2)}+{(+1)+(+9)} =(-12)+(+10)=-2 ⑵ 3 -;3!;-;6!; +2 =(+3) -{+;3!;}-{+;6!;} =(+3) +{-;6@;}+{-;6!;} +(+2) +(+2) ={(+3)+(+2)} +[{-;6@;}+{-;6!;}] =(+5)+ {-;2!;}={+:Á2¼:}+{-;2!;} =;2(; {-;4#;}-[{-;2¢ ¢0;}+{+;2°0;}] ={-;4#;}-{+;2Á0;}={-;2!0%;}+{-;2Á0;} =-;2!0^;=-;5$; ⑴ ⑵ 0 ⑶ - ;8&; ;5$; 04 ⑤ { + ;3%;} -(-2)+ - - + { ;2#;} ;6&;} { = + { ;3%;} +(+2)+ - + - { ;2#;} ;6&;} { = + + + { ;3%;} [{ ;3^;}] + - + - { ;6(;} [{ ;6&;}] = + :Á3Á:} + - { :Á6¤:} = + { :Á3Á:} + - { ;3*;} { =1 ⑤ ⑴ -2 ⑵ ;2(; 05 ㄱ. 4+(-5)=(+4)+(-5)=-1 ㄴ. -6+7=(-6)+(+7)=1 03 ⑴ - { ;2#;} +4 -;2%;-{-;4%;}-;8#; = {-;2#;} +(+4) -{+;2%;}-{-;4%;}-{+;8#;} ㄷ. 8-9=(+8)-(+9)=(+8)+(-9)=-1 ㄹ. (-2)-(-4)=(-2)+(+4)=2 따라서 서로 같은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ② 42 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 42 2017-06-10 오후 4:03:25 06 A+ { - ;2!;} =- ;1£0; 에서 ∴ a-b 1 2 -{-;8%;}={+;2!;}+{+;8%;} = - A= { ;1£0;} - - { - = { ;2!;} ;1£0;} + + { ;1°0;} = = ;1ª0; ;5!; 4 8 }+{+;8%;}=;8(; ={+ ⑴ - ⑵ ;1!2&; ;8(; 또, (-2.5)-B=-1.3에서 B =(-2.5)-(-1.3) =(-2.5)+(+1.3)=-1.2 ∴ A+B = +(-1.2) 1 5 = + { 2 10 } + - { ;1!0@;} =-1 07 {-;3!;} +5 -{-;2!;}+ =6에서 {-;3!;} +(+5)+ {+;2!;}+ =6 {-;6@;}+{+:£6¼:}+{+;6#;}+ =6 {-;6@;}+[{+:£6¼:}+{+;6#;}]+ =6 {-;6@;}+{+:£6£:}+ =6, {+:£6Á:}+ =6 ∴ =6-{+:£6Á:}=(+6)+{- 31 6 } ={+:£6¤:}+{-:£6Á:}= 5 6 08 ⑴ a =1 2 3 } +{- =(+1) +{-;3@;} ={+;3#;}+{- 2 3 }=;3!; b =-2 1 4 = + (-2) +{+;4!;} ={-;4*;}+{+ 1 4 }=- 7 4 ∴ a+b 1 3 +{-;4&;} = ={+;1¢2;}+{- 21 12 } 17 12 =- 09 ⑴ a=|-5|=5 절댓값이 2인 음수는 -2이므로 b=-2 ∴ a-b =5-(-2)=(+5)+(+2) -1 =7 ⑤ Ü a=-2, b=+ 일 때 1 3 1 3 1 3 1 3 ⑵ a의 절댓값은 2이므로 a=+2 또는 a=-2 b의 절댓값은 이므로 b=+ 또는 b=- ;3!; ;3!; 1 3 Ú a=+2, b=+ 일 때 a-b =(+2) 1 3 }= -{+ (+2) +{-;3!;} = {+;3^;}+{- 1 3 }=;3%; Û a=+2, b=- 일 때 a-b =(+2) 1 3 }= -{- (+2) +{+;3!;} ={+;3^;}+{+ 1 3 }=;3&; a-b =(-2)- 1 3 }= {+ (-2)+ {-;3!;} = + {-;3^;} {- 1 3 }=-;3&; Ý a=-2, b=- 일 때 a-b =(-2)- 1 3 }= {- (-2)+ {+;3!;} ={-;3^;}+{+ 1 3 }=-;3%; Ú ~Ý에서 a-b의 값 중 가장 큰 값은 이다. 7 3 ⑴ 7 ⑵ ;3&; 참고 ⑵ a-b의 값은 a의 값이 클수록, b의 값이 작을수 록 그 값이 커진다. Ⅱ. 정수와 유리수 43 ⑵ a =;3@;- 1 6 ={+;3@;}-{+;6!;}={+;3@;}+{-;6!;} ={+;6$;}+{- 1 6 }=;6#;=;2!; b =-;8#;+{- 1 4 }={-;8#;}+{-;8@;}=-;8%; 10 어떤 수를 라 하면 +{-;2#;}= 7 5 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 43 2017-06-10 오후 4:03:28 ∴ 7 5 -{-;2#;}={+;5&;}+{+;2#;} = ={+;1!0$;}+{+;1!0%;}= 29 10 따라서 바르게 계산하면 29 10 -{-;2#;}={+;1@0(;}+{+;2#;} 29 10 }+{+;1!0%;} ={+ 44 10 =:ª5ª: = ∴ a-b-c =- - -(-1) :Á3¼: =- - + =- :ª6¼: ;6^; :Á6°: =- ;2%; 1 6 1 6 - ;2%; 본문 100쪽 03 정수와 유리수의 곱셈 :ª5ª: 개념원리 확인하기 01 ⑴ +21 ⑵ +24 ⑶ -30 ⑷ -60 02 ⑴ + ⑵ + ⑶ - ⑷ - ;2!; ;3!; :ª2°: ;6!; 03 ㉠ 곱셈의 교환법칙 ㉡ 곱셈의 결합법칙 04 ⑴ +3 ⑵ -10 ⑶ +4 ⑷ -240 ⑹ -16 ⑺ + ⑻ - ⑼ + ;4!; ;8!; ;9$; 이렇게 풀어요 11 밑변에 있는 네 수의 합이 0+(-1)+(-2)+10 =0+(-1)+(-2)+(+10) =7 이므로 한 변에 놓인 네 수의 합이 7이어야 한다. A+(-4)+5+0=7에서 ∴ A=7-(+1)=(+7)+(-1)=6 A+(-3)+B+10=7에서 (+6)+(-3)+B+(+10)=7 {(+6)+(+10)}+(-3)+B=7 A+(-4)+(+5)+0=7, A+(+1)=7 05 ⑴ +1 ⑵ -1 ⑶ +1 ⑷ +16 ⑸ -64 (+16)+(-3)+B=7, (+13)+B=7 ∴ B =7-(+13)=(+7)+(-13)=-6 01 ⑴ (+7)_(+3)=+(7_3)=+21 ⑵ (-12)_(-2)=+(12_2)=+24 ∴ A-B =6-(-6)=(+6)+(+6)=12 ⑶ (+5)_(-6)=-(5_6)=-30 12 ⑷ (-15)_(+4)=-(15_4)=-60 ⑴ +21 ⑵ +24 ⑶ -30 ⑷ -60 12 마주 보는 두 면에 적힌 두 수의 합이 - 이므로 2 3 - { ;2!;} +a=- 에서 2 3 a = - 2 3 } - - { ;2!;} = - { + + { ;2!;} 2 3 } = - + + { ;6#;} ;6$;} =- 1 6 b+(-4)=- 에서 2 3 b = - -(-4)= - +(+4) 2 3 } { { { { { 2 3 } 2 3 } = - + + { = :Á3ª:} :Á3¼: +c=- 에서 ;3@; ;3!; 44 정답과 풀이 {+;5#;} {+;6%;} +{;5#;_;6%;}=+;2!; 02 ⑴ ⑵ _ _ = = {-;5#;} {-;9%;} +{;5#;_;9%;}=+;3!; ⑶ (+15)_ =- 15 {-;6%;} { _;6%;}=-:ª2°: ⑷ (-2.5)_ + { ;1Á5;} =- _ {;1@0%; ;1Á5;} =- ;6!; ⑴ + ⑵ + ⑶ - ⑷ - ;3!; :ª2°: ;2!; ;6!; 03 ㉠ 곱셈의 교환법칙 ㉡ 곱셈의 결합법칙 04 ⑴ ;5!;_{-;4#;} _(-20)=+ {;5!;_;4#;_ } 20 =+3 c= { - ;3@;} - + { = - { ;3!;} ;3@;} + - { ;3!;} =-1 ⑵ (-4)_(-6) _{-;1°2;}=-{ 4_6_ =-10 ;1°2;} 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 44 2017-06-10 오후 4:03:29 ⑶ {-;3@;} _(+14)_ =+ _14_ {-;7#;} {;3@; ;7#;} ③ { - ;2#;} _ ;9$; =- _ {;2#; ;9$;} =- ;3@; ⑷ (-6)_4_(-5)_(-2) =-(6_4_5_2) =+4 =-240 ⑴ +3 ⑵ -10 ⑶ +4 ⑷ -240 ④ { + ;6!;} _(-10)=- _10 =- {;6!; } ;3%; ⑤ { - ;5#;} _ - { :Á3¼:} =+ _ {;5#; :Á3¼:} =2 ④ 05 ⑷ (-4)Û` =(-4)_(-4) =+(4_4)=+16 ⑸ (-4)Ü` =(-4)_(-4)_(-4) =-(4_4_4)=-64 ⑹ -4Û`=-(4_4)=-16 ⑺ = - { ;2!;} _ - { ;2!;} {-;2!;} 2` =+ _ {;2!; ;2!;} =+ ;4!; ⑻ Ü` = 1 2 } _ {-;2!;} {- {-;2!;} {-;2!;} _ =- 1 2 { _ _ ;2!; ;2!;} = -;8!; ⑼ Û` = {-;3@;} {-;3@;}_{- 2 3 } =+ {;3@;_ 2 3 } = +;9$; ⑴ +1 ⑵ -1 ⑶ +1 ⑷ +16 ⑸ -64 ⑹ -16 ⑺ + ⑻ - ⑼ + ;8!; ;9$; 1 4 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 101~104쪽 1 ④ 2 -;6&; 3 ㉠ 곱셈의 교환법칙 ㉡ 곱셈의 결합법칙 ① +3 ② 15 4 ⑴ 210 ⑵ -75 ⑶ -4 5 ⑤ 6 ⑴ 1 ⑵ -1 7 ⑴ -6 ⑵ -3 ⑶ -234 8 ⑴ 10 ⑵ -7 이렇게 풀어요 1 ① (+30)_ - { ;6%;} =- 30_ =-25 { ;6%;} ② { - ;9@;} _ - { ;4%;} =+ _ = {;9@; ;4%;} ;1°8; 2 A= { + _ - { ;5&;} :Á3¼:} =- _ {;5&; :Á3¼:} =- :Á3¢: B= { - ;8%;} _ - { ;5@;} =+ _ = {;8%; ;5@;} ;4!; ∴ A_B = { - :Á3¢:} _ + { 1 4 } =- {:Á3¢: _ 1 4 } =- ;6&; -;6&; 3 (-6)_ - { ;2!;} =+ 6_ =+3 { ;2!;} (+5)_(+3)=+(5_3)=15 ∴ ①=+3 ∴ ②=15 ㉠ 곱셈의 교환법칙 ㉡ 곱셈의 결합법칙 ① +3 ② 15 4 ⑴ (-3)_(-5)_(+2)_(+7) =+(3_5_2_7)=210 ⑵ (-2.5)_(-7.5)_(-4) = -{;1@0%;_;1&0%;_ } 4 =-75 ⑶ 16 _{-;3!;}_{-;8#;}_ (-2) = 16 -{ _;3!;_;8#;_ } 2 =-4 ⑴ 210 ⑵ -75 ⑶ -4 5 ① - - { ;4!;} Ü`=- {-;6Á4;} ;6Á4; = ② (-3)Û`-2Û`-(-3)Ü` =9-4-(-27) =9-4+27 =32 ③ { - ;3@;} Û`_ - { ;2#;} Ü` = + { ;9$;} _ - { 27 8 } =- _ {;9$; 27 8 } =- ;2#; Ⅱ. 정수와 유리수 45 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 45 2017-06-10 오후 4:03:32 ④ { - ;2#;} Ü`_(-4)Û` = - { 27 8 } _(+16) 04 정수와 유리수의 나눗셈 =- 27 8 { _16 } =-54 Ý`_ - Û` ⑤ (-2)Ü`_ - { ;2#;} { ;3@;} =(-8)_ + { ;1*6!;} _ + { ;9$;} =- 8_ _ ;1*6!; ;9$;} { =-18 6 ⑴ -1ß`â`+(-1)Ú`â`Û`-(-1)Ú`Ú`Ú` =-1+1-(-1) =-1+1+1=1 개념원리 확인하기 01 ⑴ +7 ⑵ +9 ⑶ -8 ⑷ -7 본문 107쪽 02 ⑴ ⑵ ;5^; -:Á7ª: ⑶ 1 ⑷ -;5!; ⑸ ⑹ ;5$; -:Á7¼: 03 ⑴ +;5^; ⑵ ⑶ +;5#; -;3&; ⑷ -3 04 ⑴ - ⑵ ⑶ ⑷ 20 ;2»5; ;6!; :¢9¼: ⑤ 05 풀이 참조 이렇게 풀어요 01 ⑴ (+28)Ö(+4)=+(28Ö4)=+7 ⑵ (-36)Ö(-4)=+(36Ö4)=+9 ⑵ (-1)+(-1)Û`+(-1)Ü`+y+(-1)Ý`á` ⑶ (+56)Ö(-7)=-(56Ö7)=-8 ={(-1)+(-1)Û`}+{(-1)Ü`+(-1)Ý`} ⑷ (-42)Ö(+6)=-(42Ö6)=-7 + y+{(-1)Ý`à`+(-1)Ý`¡`}+(-1)Ý`á` ⑴ +7 ⑵ +9 ⑶ -8 ⑷ -7 ={(-1)+1}+{(-1)+1} +y+{(-1)+1}+(-1) =0+0+y+0+(-1) 24개 =-1 ⑴ 1 ⑵ -1 7 ⑴ 72_ [{-;3!;}+;4!;] =72_ 1 3 } {- +72_ ;4!; =-24+18=-6 ⑵ (-12)_ +7_ =(-12+7)_ ;5#; ;5#; 3 5 =(-5)_ =-3 3 5 ⑶ 23.4_(-4.2)+23.4_(-5.8) =23.4_(-4.2-5.8)=23.4_(-10) =-234 8 ⑴ a_(b-c) =a_b-a_c =3-(-7)=10 ⑵ a_(b+c)=-2이므로 a_b+a_c=-2 이때 a_b=5이므로 5+a_c=-2 ∴ a_c=-2-5=-7 46 정답과 풀이 02 ⑸ 1 ;4!;=;4%; 의 역수는 이다. ;5$; ⑹ -0.7 =-;1¦0; 의 역수는 이다. -:Á7¼: ⑴ ⑵ - ⑶ 1 6 5 1 5 :Á7ª: ;5$; ⑷ - ⑸ ⑹ - :Á7¼: 03 ⑴ Ö {-;5$;} {- 2 3 }={-;5$;}_{-;2#;} =+{;5$;_;2#;}=+ ⑵ 3 2 } Ö {+ {+;2%;}={+;2#;}_{+;5@;} 6 5 3 5 =+{;2#;_;5@;}=+ 3 =-{ _;9&;}=- 7 3 3 5 _ 5 -3 }= =-{ ⑷ (+0.6)Ö 1 5 }={+;5#;}_ {- (-5) ⑴ -6 ⑵ -3 ⑶ -234 ⑶ (+3)Ö 9 7 }= {- (+3) _{-;9&;} ⑴ 10 ⑵ -7 ⑴ + ⑵ + ⑶ - ⑷ -3 ;5^; ;5#; ;3&; 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 46 2017-06-10 오후 4:03:34 04 ⑴ Ö {-;5#;} {-;9%;}_{-;3!;} ⑶ 5-2_ [(-2)Ý`+4Ö {-;5@;}] ={-;5#;}_{-;5(;}_{-;3!;} =-{;5#;_;5(;_;3!;}=-;2»5; ⑵ {-;7#;} Ö(+9)_ {-;2&;} ={-;7#;}_{+;9!;} {-;2&;} _ =+{;7#;_;9!;_;2&;}=;6!; ⑶ 2Û`_ 4 3 } Ö {- =4_ _ {-;5^;} {-;3$;} {-;6%;} =+ 4_ _ = ;6%;} :¢9¼: ⑷ (-2)Ü`_ Ö ;4%; {- 1 2 } =(-8)_ _(-2) 4 3 5 4 ;4%; { { =+ 8_ _2 =20 } ⑴ - ⑵ ⑶ ⑷ 20 ;2»5; ;6!; :¢9¼: ② ③ ① ④ ⑤ =5-2_ [16+4Ö {-;5@;}] =5-2_ [16+4_ {-;2%;}] =5-2_{16+(-10)} =5-2_6 =5-12 =-7 풀이 참조 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 108~111쪽 1 ⑴ - ⑵ -3 6 5 2 ④ 3 ⑴ 5 ⑵ - ⑶ - ;1$6(; ;3Á0; 4 ⑴ 16 ⑵ 1 ⑶ - ⑷ ;3&; ;8¥1; 5 ⑴ -25 ⑵ - ;3@; 7 ⑴ ② ⑵ a>0, b>0, c<0 6 - ;5(; 8 ② 이렇게 풀어요 1 ⑴ 1 = ;3@; ;3%; 의 역수는 이므로 a= ;5#; ;5#; -0.5=- 의 역수는 -2이므로 b=-2 ;2!; ;5#; ∴ a_b= _(-2)= -{;5#; _2 =- } ;5^; ⑵ 의 역수는 이므로 =-2 ;a@; ;a@; ;2A; ∴ a=-1 의 역수는 이므로 ;3B; ;3B;=-;3@; ;b#; ∴ b=-2 ∴ a+b=(-1)+(-2)=-3 ⑴ - ⑵ -3 ;5^; Ⅱ. 정수와 유리수 47 05 ⑴ (-2)Ü`_ + 5 4 {-;8!;} ① ② 1+ = 5 4 9 4 = = {-;8!;} (-8)_ ③ + 5 4 ⑵ 2- _ {-;5!;} [1+{;3!;-;2!;}] ① ② ③ ④ =2- {-;5!;} _ [1+{-;6!;}] =2- {-;5!;}_;6%; =2+ ;6!; = :Á6£: 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 47 2017-06-10 오후 4:03:36 다른풀이 ⑵ -2의 역수는 - 이므로 =- ∴ a=-1 ;2!; ;2A; ;2!; -;3@; 의 역수는 - 이므로 ;2#; ;b#;=-;2#; ∴ b=-2 ∴ a+b=(-1)+(-2)=-3 = {-;8!;}_{-;5#;}_;9$;_ (-1) =- _ _ ;5#; {;8!; ;9$;_ 1 = } -;3Á0; ⑴ 5 ⑵ - ⑶ - ;1$6(; ;3Á0; 2 ① (+3)Ö { - ;5(;} =(+3)_ - 5 9 } { 5 9 } =- 3_ =- { ;3%; ② + { ;5@;} Ö - { 4 = 15 } { + _ - { ;5@;} :Á4°:} =- _ {;5@; 15 4 } =- ;2#; ③ { - ;8!;} Ö - { 1 = 2 } { - ;8!;} _(-2) =+ 1 8 { _2 = } ;4!; ④ { - ;5$;} Ö(-2)Ö - 2 9 } { 1 2 } = - { ;5$;} _ - { _ - { ;2(;} =- _ _ =- ;2(;} ;5(; {;5$; 1 2 ⑤ { + ;2#;} Ö - { Ö(-9) 1 6 } = + { ;2#;} _(-6)_ - { 1 9 } =+ _6_ =1 {;2#; 1 9 } 따라서 계산 결과가 옳지 않은 것은 ④이다. 4 ⑴ 20-(-2)Ü`Ö4_(-2) =20-(-8)Ö4_(-2) =20-(-8)_ _(-2) ;4!; =20-(+4)=20-4=16 ⑵ 2_(-1)Ü`- Ö 5_ ;2(; [ {-;2!;} +1 ] =2_(-1)- Ö 5_ {-;2!;} +1 ] =2_(-1)- Ö - +1 ;2%; } =2_(-1)- Ö - ;2#;} ;2(; ;2(; ;2(; [ { { =-2- _ - { ;2(; ;3@;} =-2+3=1 ⑶ -2Ü`Ö{(-3)+(-2)Û`_3}_ Û` {-;3!;} =-8Ö{(-3)+4_3}_ =-8Ö{(-3)+12}_ ;9!; ;9!; =-8Ö9_ =-8_ _ =- ;9!; ;9!; ;8¥1; ⑷ 2_ - [{ ;2!;} {;6%;-;3$;} ]-;3@; +2 ;9!; Û`Ö ④ =2_ Ö [;4!; {;6%;-;3$;} ]-;3@; +2 3 ⑴ {- 10 3 } Ö1.2 = _{-;5(;} {- 10 3 } Ö _ ;1!0@; {-;5(;} = {- =+{ 10 3 }_;1!2);_{-;5(;} 10 3 _;1!2);_;5(;} =5 ⑵ (-7)_ {-;1¦2;} {- Ö =(-7)_ - { ;1¦2;} _ - { =- 7_ { _ ;1¦2; 3 4 } = -;1$6(; 4 3 } 3 4 } ⑶ Ü` {-;2!;} _{-;5#;} {-;2#;} _ Ö Û` (-1) = {-;8!;}_{-;5#;} ;4(;_ Ö (-1) 48 정답과 풀이 =2_ Ö - { [;4!; ;2!;} +2 - ] ;3@; =2 _[;4!; _(-2)+2 - ] ;3@; =2 - _[{ ;2!;} +2 - ] ;3@; =2 - =3- _;2#; ;3@; ;3@; = ;3&; ⑴ 16 ⑵ 1 ⑶ - ⑷ ;8¥1; ;3&; 5 ⑴ {-;5!;} _ Ö(-5)Û`= 에서 -;2Á5; 2` _ Ö25= ;2Á5; -;2Á5;, ;2Á5;_ _;2Á5;=-;2Á5; 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 48 2017-06-10 오후 4:03:38 계산력 강화하기 본문 112쪽 01 ⑴ 21 ⑵ -9 ⑶ 30 ⑷ -2 ⑸ -10 ⑹ 10 02 ⑴ -;2!; ⑵ 14 ⑶ -25 ⑷ -;6!; ⑸ ⑹ -;3%; -;1Á4; 03 ⑴ 8 ⑵ -72 ⑶ -2 ⑷ ⑸ -10 ⑹ ;4Á9; ;2Á7; 04 ⑴ 15 ⑵ 4 ⑶ -7 ⑷ 5 ⑸ 3 ⑹ 3 ⑺ -2 01 ⑴ (-7)_(-3)=+(7_3)=21 ⑵ (-81)Ö(+9)=-(81Ö9)=-9 ⑶ (-5)_(+2)_(-3) =+(5_2_3)=30 ∴ = Ö - { = _ - { ;1!5$; ;5&;} ;7%;} = ;1!5$; -;3@; ⑴ -25 ⑵ - ;3@; 이렇게 풀어요 Ö ;2#; =- ∴ = - _ =- ;5$;} ;2#; ;5^; { ;5$; ⑷ (+64)Ö(-4)Ö(+8) ∴ = {-;2Á5;} ;2Á5; ;2Á5; Ö Ö = {-;2Á5;} _25_25 =-25 ⑵ {-;5&;}_{-;3@;} Ö =- 에서 ;5&; ;1!5$; Ö = -;5&; 6 어떤 수를 라 하면 따라서 바르게 계산하면 - { ;5^;} _ ;2#; =- ;5(; 7 ⑴ a_b<0이므로 a, b의 부호는 다르다. 그런데 a<b이므로 a<0, b>0 ① a-b<0 ③ aÖb<0 ⑤ -a+b>0 ② b-a>0 ④ bÖa<0 따라서 옳은 것은 ②이다. ⑵ bÖc<0에서 b, c의 부호는 다르다. 그런데 b>c이므로 b>0, c<0 - ;5(; =(+64)_ _ {-;4!;} {+;8!;} =- 64_ { ;4!;_;8!;} =-2 ⑸ (-40)Ö(-8)_(-2) =(-40)_ _(-2) {-;8!;} =- 40_ _2 =-10 { ;8!; } ⑹ (+6)_(-5)Ö(-3) =(+6)_(-5)_ {-;3!;} =+ 6_5_ =10 { ;3!;} ⑴ 21 ⑵ -9 ⑶ 30 ⑷ -2 ⑸ -10 ⑹ 10 이때 a_b>0에서 a, b의 부호는 같으므로 a>0 ⑴ ② ⑵ a>0, b>0, c<0 02 ⑴ _ {+;6%;} {+;1»0;}_{-;3@;}=-{ 5 6 _;1»0;_;3@;} 8 0<a<1이므로 a= 이라 하면 ① =1Öa=1Ö =1_2=2 ;a!; ;2!; ;2!; ② - =-(1Öa)=- { ;a!; 1Ö ;2!;} =-(1_2)=-2 ③ (-a)Û`= ④ -aÛ`=- Û`= {-;2!;} ;4!; Û`=- ;4!; {;2!;} Û`=2Û`=4 ⑤ {;a!;} 1 2 =- ⑵ ;2(;_{- 7 6 } Ö {-;8#;}=;2(;_{-;6&;}_{-;3*;} ⑶ 6Ö Ö 6 ;1£0; {-;5$;}= _:Á3¼:_{- ⑷ (-0.4)_ {-;8%;}_{-;3@;}=-{ ② =+{;2(;_ 6 =-{ _:Á3¼:_ 14 7 6 _;3*;}= 5 4 } -25 5 4 }= 2 5 _;8%;_;3@;} 1 6 =- Ⅱ. 정수와 유리수 49 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 49 2017-06-10 오후 4:03:40 ⑸ Ö ;5@; ;1ª5;_{-;9%;}= 2 5 _:Á2°:_{-;9%;} ⑹ Ö ;3!; ;2%;_{-;4%;} ;3&;= Ö =-{ 2 5 _:Á2°:_;9%;}=- 1 3 _;5@;_{-;4%;}_;7#; 5 3 1 3 _;5@;_;4%;_;7#;} 1 14 =-{ =- =+{;8!;_ _;9!;_;3!;} 8 =;2Á7; ⑴ - ⑵ 14 ⑶ -25 04 ⑴ (-2)Û`_3-6Ö(-2) =4_3-6_ ⑷ - ⑸ - ⑹ - ;3%; ;1Á4; ⑵ {(-3)_7-(-5)}Ö(-4) 1 2 1 6 ⑴ 8 ⑵ -72 ⑶ -2 ⑷ ;4Á9; ⑸ -10 ⑹ 1 27 1 2 } {- =12+3=15 ={(-21)+5}Ö(-4)=(-16)_ {-;4!;} =4 ⑶ Ö {-;2!;} {-;4!;} Û`-(-3)_ +(-1) ;3@; = Ö -(-3)_ +(-1) {-;2!;} ;1Á6; ;3@; _16+2+(-1) ={-;2!;} =(-8)+2-1 =-7 ⑷ Ö ;4#; {-;2!;} - ;4&; 2Û`_ +(-3)Û` Û` Ö -4_ +9 =;4#; ;4!; ;4&; _4-7+9 =;4#; =3-7+9=5 ⑸ (-2)Ü`Ö Ü`_ Ü`+ {-;3@;} {;2!;} {-;8#;} =(-8)Ö {-;2¥7;}_;8!;+{-;8#;} =(-8) _{-:ª8¦:}_;8!;+{-;8#;} ⑹ 5 -[{-;2!;} {-;4!;}+ ]_;3$; Ü`Ö Ö 1 1 = -[{-;8!;} {-;4!;}+ ]_;3$; = -[{-;8!;}_ (-4) 1 + ]_;3$; = -{;2!; }_;3$; +1 = -;2#;_;3$;= 5-2=3 5 5 5 5 ⑺ -4- (-2)Ü`_ -10Ö [ ;4#; ;3%;]_;6!; 03 ⑴ (-1)á`á`+(-1)Ú`â`â`-(-2)Ü` =(-1)+1-(-8) =(-1)+1+8=8 ⑵ (-3)Û`_(-2)Ü`_(-1)ß` =9_(-8)_1 =-(9_8_1)=-72 ⑶ (-5)Û`Ö10Ö {-;2%;} Ö ;2!; =25Ö10Ö - Ö ;2%;} ;2!; { = 25_ _ ;1Á0; {-;5@;} _2 =- 25 { _;1Á0;_;5@;_ } 2 =-2 {-;3@;}_{-;6!;} {-;3&;} Ö Û` ⑷ = = {-;3@;}_{-;6!;} :¢9»: Ö {-;3@;}_{-;6!;}_;4»9; =+{;3@;_;6!;_;4»9;} ;4Á9; = =(-16)Ö(-27)_(-15)Ö {+;9*;} (-16)_ - _(-15)_ { ;2Á7;} = {+;8(;} =-{ ⑹ {-;2!;} 16_ _15_ ;2Á7; ;8(;}= Ü`_(-8)Ö(-3)Û`_ -10 ;3!; = {-;8!;} _(-8)Ö9_ ;3!; ={-;8!;} _(-8)_ _ ;9!; ;3!; 50 정답과 풀이 ⑸ (-2Ý`)Ö(-3)Ü`_(-15)Ö {+;9*;} =:ª8¦:-;8#;=:ª8¢:= 3 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 50 2017-06-10 오후 4:03:42 =-4- (-8)_ -10Ö =-4- (-8)_ -10_ [ [ _ ;6!; ;3%;] _ ;6!; ;5#;] =-4-(-6-6)_ ;6!; =-4-(-12)_ =-4+2=-2 ;4#; ;4#; ;6!; ⑴ 15 ⑵ 4 ⑶ -7 ⑷ 5 ⑸ 3 ⑹ 3 ⑺ -2 ③ (-2)Ü`_ 1 (-2)Û` =(-8)_ =-2 ;4!; ④ 0.4-3_ Ö = ;3@; ;6!; -3_ _ ;2#; ;6!; 2 5 2 5 = - ;4#;=;2¥0;-;2!0%; =- ;2¦0; ⑤ Û`_(-3)Ü`_(-2Û`) {-;2!;} 1 4 = _(-27)_(-4) =+ _27_4 =27 } 1 4 { ② 이런 문제가 시험에 나온다 본문 113~114쪽 01 ③ 02 ㉡, ㉢, ㉣, ㉤, ㉠ 03 ④ ㈏ ÖB=1에서 {-;2#;} 05 ㈎ AÖ 2 3 } {- =0에서 A=0_ { - ;3@;} =0 04 ② 05 ③ 06 ;9*; 07 -5 08 ⑴ 4 ⑵ - ⑶ 138 09 - ;8%; 10 20 12 -18 :Á4Á: 11 ③ Û`= ;9!; Ü`=- ;8!; Ü`=- 이렇게 풀어요 01 ① { - ;3!;} ② { - ;2!;} ③ - - { ;2!;} - { ;8!;} = ;8!; ④ - - Û`=- ;9!; ;3!;} { 1 2Ü` ⑤ - =- ;8!; 02 ㉡, ㉢, ㉣, ㉤, ㉠ 따라서 가장 큰 수는 ③이다. ③ B= { - ;2#;} Ö1= - { ;2#;} _1=- ;2#; ㈐ C_(-6)=3에서 C =3Ö(-6)=3_ 1 6 } {- =- 3_ =- { ;6!;} 1 2 ∴ A+B+C =0+ =-2 ③ {-;2#;}+{- 1 2 } 06 A= ;3%; -(-1)= +1= ;3%; ;3*; B= { - ;3@;} +(-1)= - { ;3@;}+{-;3#;} =- ;3%; C =-3-2=-5 ∴ A_BÖC = _ Ö(-5) ;3*; {- 5 3 } =;3*;_{- =+{;3*;_ 5 3 }_{-;5!;} 5 3 _;5!;}=;9*; ;9*; 03 ④ {- 2 3 }_;7#;+{-;3@;}_;7$; 07 1 ;3A; 의 역수가 이므로 1 ;5#; = =1 ;3%; ;3A; ;3@; 2 3 }_{;7#;+;7$;}={-;3@;}_ 1 =-;3@; ={- ④ ∴ a=2 04 ① (-1)á`á`-(-1)Ú`â`â`=(-1)-1=-2 ② { - ;2&;} Ö - { Ö - { ;3@;} ;4(;} = - { _ - { _ - { ;2#;} ;9$;} ;2&;} =- _ _ ;2#; {;2&; ;9$;} =- ;3&; 또, - 의 역수가 b이므로 b=- ;5@; ;2%; ∴ a_b=2_ { - ;2%;} =-5 -5 08 ⑴ (-1)á`ß`-(-1)á`á`+(-1)Ú`â`Û`-(-1)Ú`â`Ú` =1-(-1)+1-(-1) =1+1+1+1=4 Ⅱ. 정수와 유리수 51 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 51 2017-06-10 오후 4:03:45 =(-9)_ (-2)_ + _(-6) ;6!; ;2%; ] ⑴ 곱이 가장 큰 수가 되려면 아야 한다. 이때 양수는 이고, 음수는 -2, - , -3 중에서 절댓 ;2#; 1 3 값이 큰 두 수가 -2, -3이므로 구하는 값은 a=(-2)_(-3)_ =+ 2 3 ;3!; { _ _ 1 3 } =2 또, 서로 다른 세 수를 뽑아 곱한 값이 가장 작은 값이 되 려면 곱한 값이 음수가 되어야 하므로 음수만 3개를 뽑아 야 한다. ∴ b =(-2)_ _(-3) 3 2 } {- =- 2 { _ 3 2 _ 3 -9 }= ∴ a_b=2_(-9)=-18 참고 네 유리수 중에서 서로 다른 세 수를 뽑아서 곱할 때 -18 ① 음수를 짝수 개 뽑는다. ⇨ 부호 + ② 절댓값이 큰 것을 뽑는다. ⑵ 곱이 가장 작은 수가 되려면 ① 음수를 홀수 개 뽑는다. ⇨ 부호 - ② 절댓값이 큰 것을 뽑는다. ⑵ 2_ - [{ ;2!;} -1 +1 } 3 ]- {;5$; Ü`Ö ° =2_ [{-;8!;} {;5$; Ö -1 +1 } ¤ 3 ]- ° ° =2_ - Ö - { ;5!;} ;8!;} [{ +1 -3 ] =2_ - [{ ;8!;} _(-5)+1 -3 ] =2_ ° [{;8%; +1 -3 =2_ } ] {:Á8£: ¤ -3 } ¤ ¤ =2_ - { :Á8Á:} =- :Á4Á: ⑶ -3Û`_ (-2)Ö6+ _{-2-(-2)Û`} ;2%; =(-9)_ (-2)Ö6+ _(-2-4) ;2%; ¤ ] ° [ [ =(-9)_ - [{ ;3!;} +(-15) ] =(-9)_ - { :¢3¤:} =138 09 _ ;2#; {;4!; - ;3!;} Ö = 에서 ;5!; _ - { ;2#; ;1Á2;} Ö = , { ;5!; - ;8!;} Ö = ;5!; ∴ = - Ö = - { ;5!; ;8!;} ;8!;} { _5=- ;8%; ⑴ 4 ⑵ - ⑶ 138 :Á4Á: step (기본문제) 01 ② 05 ③ 02 ⑤ 06 ③ - ;8%; 본문 115~117쪽 03 ② 04 ④ 07 ;3&; 10 a_(b-c)=-8이므로 a_b-a_c=-8 이때 a_b=12이므로 12-a_c=-8 ∴ a_c=12-(-8)=20 20 08 ㈎ - ;3%; ㈏ -9 ㈐ 15 09 ㉣, ㉤, ㉢, ㉡, ㉠ 10 - ;4¢5; 11 bÖc<0에서 b, c의 부호는 다르다. 그런데 b<c이므로 b<0, c>0 이때 aÖb>0에서 a, b의 부호는 같으므로 a<0 ∴ a<0, b<0, c>0 ③ 11 ⑴ -5 ⑵ 255 ⑶ ⑷ -18 ;4%; 12 - ;2¤5; 13 ⑴ ;9$; ⑵ -6 ⑶ - 14 ④ ;2%; 15 ② 18 ② 17 15칸 16 A=1, B=10 19 ③ 이렇게 풀어요 12 서로 다른 세 수를 뽑아 곱한 값이 가장 큰 값이 되려면 곱한 값이 양수가 되어야 하므로 음수 2개, 양수 1개를 뽑 01 두 수의 곱이 1이 될 때, 한 수를 다른 수의 역수라 한다. 즉, 주어진 두 수의 곱이 1이 아닌 것을 찾는다. 52 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 52 2017-06-10 오후 4:03:46 ② _0.1= ;1Á0; _ = ;1Á0; ;1Á0; ;10!0; +1 07 a= ;3@; -(-1)= +1= ;3%; ② b= +2= {-;5#;} ;3@; ;5&; 02 ① (-1)á`à`=-1 ② -3Û`Ö(-3)Û`=(-9)Ö9=-1 ③ _(-3)Ü`= _(-27)=-1 ;2Á7; ④ (-9)_ - { ;3!;} =-1 ;9!; ;2Á7; Û`=(-9)_ ∴ a_b= ;3%;_;5&;=;3&; ;3&; 08 ㈎ - ;3%; ㈏ -9 ㈐ 15 ⑤ 7_(-1)Ö(-7)=(-7)_ { - ;7!;} =1 09 ㉣, ㉤, ㉢, ㉡, ㉠ 따라서 계산 결과가 나머지 넷과 다른 하나는 ⑤이다. 03 ① ③ Û` =;4!; {-;2!;} 1 2Ý` =-;1Á6; - ② ④ Û` Ü` -{-;2!;} =-;4!; {-;2!;} =-;8!; ⑤ Ü` -{-;2!;} =-{-;8!;}=;8!; 따라서 가장 작은 수는 ②이다. 04 ① 6+(-3)=3 ② (-4)-(-5)=(-4)+5=1 ③ 1- - =1+ = ;2!; ;2#; ;2!;} { ④ + = ;4(; ;2%; :Á4¼: + ;4(; = :Á4»: ⑤ { - ;1£0;} - - { ;5&;} =- + ;5&; 3 10 3 10 =- + = ;1!0$; ;1!0!; 따라서 가장 큰 수는 ④이다. 05 덧셈식은 (-3)+(+8)=5이므로 A=-3, B=8, C=5 ∴ A-B+C=-3-8+5=-6 06 ③ {-;2!;} _4_{-;3%;}={-;8!;}_ 4 _{-;3%;} Ü` =;6%; ⑤ ② ③ ③ ;6%; 9 8 9 8 ;2#;} 3` ;2¥7;} 10 A= Ö - { ;6%; ;3@;} _3= _ - { ;2#;} _3=- :Á4°: B =(-1)Ö { - _ =(-1)Ö - { :ª8¦:} _ ;8(; =(-1)_ - _ = ;3!; ∴ BÖA = Ö - :Á4°:} { 1 3 { { = _ - ;3!; ;1¢5;} =- 4 45 -;4¢5; 11 ⑴ {(-2)Ü`_3-(-4)}Ö(-2)Û` ={(-8)_3-(-4)}Ö4 ={(-24)+(+4)}Ö4 =(-20)_ =-5 ;4!; ⑵ 2Ý`Ö(-3Û`)_(-3)Ü`-(-2)Ü`_3Ü`-(-3)Û` =16Ö(-9)_(-27)-(-8)_27-9 =16_ _(-27)-(-8)_27-9 {-;9!;} =48+216-9=255 ④ ⑶ | - ;4#;+;3@;| - - { ;3!;-;4#;} |-;1Á2;| + = - | ;1Á2;| - - { ;1!2#;} + |-;1Á2;| = + ;1Á2; ;1!2#; + ;1Á2; = = ;4%; ;1!2%; Ü`-(-6)_ ⑷ { - ;4!;} Ö - { ;2!;} - [{ ;3$;}+ (-2) ] = - Ö - { ;4!;} ;8!;} -(-6)_ - { :Á3¼:} = - _(-8)-(-6)_ - ;4!;} { :Á3¼:} { { =2-20=-18 ⑴ -5 ⑵ 255 ⑶ ⑷ -18 ;4%; Ⅱ. 정수와 유리수 53 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 53 2017-06-10 오후 4:03:49 Ö = ∴ = {-;5#;} -;3@; {-;3@;}_{-;5#;}=;5@; 12 어떤 수를 라 하면 따라서 바르게 계산하면 ;5@;_{-;5#;}=-;2¤5; - { ;5#;} Ö = - Ö - { ;6%;} ;3!;} - { ;5#;} Ö = - _ - { ;5^;} ;3!;} { { - { ;5#;} Ö = ;5@; - ;2¤5; ∴ = - Ö = - { ;5@; ;5#;} ;5#;} _ ;2%; =- ;2#; { ② ∴ (a-b)_b= {;3$;-;3@;}_;3@;=;3@;_;3@;=;9$; 로 13 ⑴ ;4#; 의 역수는 이므로 a= ;3$; ;3$; 1.5= 의 역수는 이므로 b= ;2#; ;3@; ;3@; ⑵ a의 역수는 ;a!; -0.25= 의 역수는 -4 -;4!; 따라서 (-4)= 에서 ;a!;_ ;3@; ;a!; ;3@; = Ö(-4)= _ ;3@; {-;4!;} =- ;6!; ∴ a=-6 ⑶ a = Û`Ö _ - { ;6%; {;3@;} 3 4 } 3 4 } 3 4 } = _ _ - { ;5^; ;9$; =- _ _ ;5^; {;9$; =- ;5@; 16 오른쪽 변에 있는 네 수의 합은 (-2)+8+9+(-13)=2 따라서 삼각형의 한 변에 놓인 네 수의 합이 2이어야 하므 B+8+(-3)+(-13)=2에서 B-8=2 ∴ B=2-(-8)=10 (-2)+A+(-7)+B=2에서 (-2)+A+(-7)+10=2, 1+A=2 ∴ A=2-1=1 A=1, B=10 17 이긴 경우 희강 6_3=18 수연 3_3=9 진 경우 합 3_(-2)=-6 18+(-6)=12 6_(-2)=-12 9+(-12)=-3 출발점을 기준으로 희강이는 12칸 올라가 있고, 수연이는 3칸 내려가 있다. a_b=1에서 b는 a의 역수이므로 b=- 이다. ;2%; 따라서 두 사람의 위치는 12-(-3)=15(칸) 차이가 난 ⑴ ⑵ -6 ⑶ - ;9$; ;2%; 다. 14 ① a-b<0 ② a+b의 값은 양수일 수도 있고 음수일 수도 있고 0일 수도 있다. ③ a_b<0 ④ -a>0이므로 b-a>0 ⑤ bÖa<0 18 a_c>0에서 a, c의 부호는 같다. a_b_c<0에서 a, c의 부호는 같으므로 b<0이다. 이때 a+b=0에서 a, b의 부호는 다르므로 a>0이다. ∴ a>0, b<0, c>0 15 - { ;5#;} Ö _ - - =-1에서 ;6%;} ;3@; { { { - { ;5#;} Ö _ - =(-1)+ ;6%;} ;3@; - { ;5#;} Ö _ - =- ;6%;} ;3!; 54 정답과 풀이 ④ 19 (-1)+(-1)Û`+(-1)Ü =(-1)+(-1)Û`+(-1)Ü`+(-1)Ý` Ü`+y+(-1)Û`â`â` =(-1)+(+1)+(-1)+(+1) +y+(-1)Ú`á`á`+(-1)Û`â`â` +y+(-1)+(+1) =0+0+y+0=0 100개 15칸 ② ③ 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 54 2017-06-10 오후 4:03:51 2 step (발전문제) 01 :£6¦: 05 ;5@; 02 ③ 06 ;2Á0; 03 ④ 07 ② 본문 118~119쪽 04 -;1£4; 08 ⑴ - :ª5ª: ⑵ - ⑶ - ;4#; ;2!; 09 ⑤ 10 0 11 ;5^; 12 :ª2¦: 13 -;3@; 이렇게 풀어요 01 a ={-;3*;} Ö Ö {-;3$;} 4 7 ={-;3*;}_ b =(-2)Ü`_ 7 4 _{-;4#;}=;2&; 3 4 {-;2#;} Û` Ö =(-8)_ Ö ;4(; =(-8)_ _ ;9$; 3 4 3 4 = - 8 3 ∴ a-b =;2&;-{-;3*;}=:£6¦: ② 3Ö 3 [{;2!;- } _0.2-(-2)Û` ] =2_ - { ;1¦2;} ;1¦2; - =- ;6&;-;1¦2; - = ;1@2!; =- ;4&; =3Ö - _ -4 ;5!; ] ;2%;} [{ =3Ö - [{ ;2!;} -4 ] =3Ö - ;2(;} =3_ - =- ;3@; ;9@;} { { ③ 6- - [{ ;2!;} Ö - { ;4!;} +1 _ ] ;5(; =6- 3` ;8!;} - [{ _(-4)+1 _ ] ;5(; =6- 1 {;2!;+ } _ ;5(; =6- _ ;2#; ;5(; 6 = -;1@0&; 02 -1<a<0이므로 a=-;2!; 이라 하면 ① a=- ;2!; ② ;a!;=1Öa=1Ö {-;2!;}=1_(-2)=-2 ③ aÜ`={-;2!;} =-;8!; ④ -aÛ`=-{-;2!;} =-;4!; 3` 2` 이므로 ;4!; ;4!;=1_4=4 = ⑤ aÛ`={-;2!;} 1 aÛ` =1ÖaÛ`=1Ö 1 aÛ` =-4 ∴ - 2` 03 ① 2_ - [{ - ;4%;} {-;3@;}] ;1¦2; - =2_ - ;1!2%;} + + { [{ - ;1¥2;}] ;1¦2; :£6¦: = ;1#0#; ④ 8-2_ 3- [{-;2#;} - - Ö2 ] ;2#;} {;4&; ° =8-2_ 3- 2` - ;4!; _ {;4(; ;2!;}] ¤ [ [ { =8-2_ 3- - {;4(; ;8!;}] =8-2_ 3- :Á8¦:} =8-2_ ;8&; =8- ;4&; = :ª4°: ;3!; ° ;3!; ° [;3!; [;3!; ⑤ 1- +(-2)Ö{3_(-1)-(-1)Ü`}- ③ =1- +(-2)Ö{(-3)-(-1)}- ;3$; ¤ ;3$; ¤ =1- +(-2)Ö(-2)- ;3$;] =1- +(-2)_ - {-;2!;} ;3$;] Ⅱ. 정수와 유리수 55 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 55 2017-06-10 오후 4:03:54 이때 a_b<0에서 a, b의 부호는 다르므로 b<0 ∴ a>0, b<0, c<0 ② 참고 a_b>0, aÖb>0 ④ ⇨ a, b는 같은 부호 a_b<0, aÖb<0 ⇨ a, b는 다른 부호 =1- +1- {;3!; ;3$;} =1-0 =1 04 aÖ(-2)의 역수가 4이고 4의 역수는 이므로 ;4!; aÖ(-2)= ;4!; ∴ a= _(-2)= ;4!; -;2!; a보다 3만큼 작은 수는 a-3= {-;2!;} -3= -;2&; 즉, b의 역수가 - 이므로 b= ;2&; -;7@; ∴ a-b ={-;2!;}-{-;7@;}=-;1£4; 05 오른쪽 표에서 세로에 있는 세 수의 곱은 _ ;5^; ;1°8; _3=1 따라서 가로, 세로, 대각선에 있는 세 수의 곱이 모두 1이어야 하므로 ;5^; ;1°8; 3 :Á5¥: c b a _b_ =1 ∴ b=1 :Á5¥: ;1°8; _1_c=1 ∴ c= _a_3=1 ∴ a= ;6%; ;5@; ;5^; ;6%; 06 -1 _ } {;4!; {;3!; -1 _ } {;5!; -1 _y_ } {;4Á0; -1 } = - _ - { ;3@;} ;4#;} _ - { ;5$;} { _y_ - { ;4#0(;} =+ _ _ ;4#; ;5$; {;3@; _y_ ;4#0(;} = ;2Á0; 07 cÖa<0에서 a, c의 부호는 다르다. 그런데 a-c>0에서 a>c이므로 a>0, c<0 56 정답과 풀이 08 ⑴ {-;2!;} :Á4Á: _ = 에서 -;5@; Û`Ö Ö ;4!; :Á4Á:_ =-;5@; _ ;4!; ;1¢1; _ = -;5@; ;1Á1; _ = -;5@; ∴ ={-;5@;} ;1Á1; Ö - ;1£4; ={-;5@;}_ 11 =-:ª5ª: ⑵ _ Ö ;9%; {-;4%;} Û`_(-3)= 에서 ;5$; _ Ö ;9%; ;1@6%; _(-3)= _ _ ;9%; ;2!5^; _(-3)= ;5$; ;5$; _{-;1!5^;}=;5$; ∴ Ö =;5$; {-;1!5^;} ;5@; =;5$;_{-;1!6%;}=-;4#; ⑶ Û`Ö {-;4#;} _{-;2$1);}=:Á7°: 에서 Ö = Ö :Á7°: {-;2$1);} ;1»6; Ö = ;1»6; :Á7°:_{-;4@0!;} Ö =- ;8(; ;1»6; ;2Á0; ∴ = Ö - ;1»6; ;8(;} { { = ;1»6; _ - ;9*;}=-;2!; ⑴ - ⑵ - ⑶ - :ª5ª: ;4#; ;2!; 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 56 2017-06-10 오후 4:03:55 09 A=3-(-4)=3+4=7 B=-2+5=3 12 A 1 7 C B D 7 ;4; 7 ;4; 7 ;4; 7 ;4; E 8 따라서 3<|x|É7을 만족시키는 정수 x에 대하여 |x|=4, 5, 6, 7이므로 정수 x는 -7, -6, -5, -4, 4, 5, 6, 7의 8개이다. 두 점 A, E 사이의 거리는 ⑤ 8-1=7 10 n이 짝수일 때 A =(-1)+1-(-1)+1 =(-1)+1+1+1=2 n이 홀수일 때 B =(-1)+1-1+(-1) =-2 ∴ A+B=2+(-2)=0 11 두 점 B, C 사이의 거리는 ; 3&;-{-;2!;}=;3&;+ 1 2 3 6 =:Á6¦: =:Á6¢:+ 두 점 A, B 사이의 거리는 3 :Á6¦:_ 3+2 =:Á6¦:_;5#;=;1!0&; 므로 - 점 B가 나타내는 수는 1+ = ;4&; :Á4Á: 점 C가 나타내는 수는 + = ;4&; :Á4Á: :Á4¥:=;2(; 점 D가 나타내는 수는 + = ;4&; ;2(; :Á4¥: + ;4&; = :ª4°: 0 따라서 세 점 B, C, D가 나타내는 수의 합은 + + ;2(; :Á4Á: :ª4°:=:°4¢:=:ª2¦: :ª2¦: 13 서로 다른 네 수를 뽑아 곱한 값이 가장 큰 값이 되려면 곱한 값이 양수가 되어야 하므로 양수 2개, 음수 2개를 뽑 아야 한다. 7 2 , ;3@; 4 3 - 두 수가 , -6이므로 구하는 값은 따라서 점 A가 나타내는 수는 - 보다 만큼 큰 수이 1 2 ;1!0&; 양수는 이고, 음수 -1, -6 중 절댓값이 큰 -;3$;, ;2!;+;1!0&;=-;1°0;+;1!0&;=;1!0@;=;5^; a= ;2&;_;3@;_{-;3$;}_ =:°3¤: (-6) 참고 두 점을 이은 선분을 m : n으로 나누는 점 수직선 위의 두 점 A, B를 나 m P n A a 타내는 수가 각각 a, b일 때, 두 점 A, B를 이은 선분 AB를 m：n`(m>0, n>0)으 로 나누는 점 P가 나타내는 수는 다음 순서로 구한다. ;5^; B b 또, 서로 다른 네 수를 뽑아 곱한 값이 가장 작은 값이 되 려면 곱한 값이 음수가 되어야 하므로 음수 3개, 양수 1개 를 뽑아야 한다. 이때 음수는 - , -1, -6이고 양수 중 절댓값 , ;2&; 2 3 ;3$; 7 2 이 큰 수가 이므로 구하는 값은 ① 두 점 A, B 사이의 거리를 구한다. ⇨ b-a ② 두 점 A, P 사이의 거리를 구한다. ⇨ (b-a)_ m m+n ③ 점 P가 나타내는 수를 구한다. ⇨ (점 A가 나타내는 수)+(두 점 A, P 사이의 거리) =a+(b-a)_ m m+n b= { - ;3$;} _(-1)_(-6)_ =-28 ;2&; ∴ aÖb = Ö(-28) :°3¤: = _ - { :°3¤: ;2Á8;} =- ;3@; - ;3@; Ⅱ. 정수와 유리수 57 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 57 2017-06-10 오후 4:03:59 3 step (실력UP) 01 ;1»0; 02 3 05 2, 10 06 13 이렇게 풀어요 03 ④ 04 -12 |b|=4 본문 120쪽 ∴ b=4 또는 b=-4 |a-b|의 값을 구하면 |6-4|=2, |6-(-4)|=10 |(-6)-4|=10, |(-6)-(-4)|=2 따라서 구하는 값은 2, 10이다. 01 1 1_2 + 1 2_3 + 1 3_4 +y+ 1 9_10 = 1- { ;2!;} + {;2!; - ;3!;} + {;3!; - ;4!;} +y+ - {;9!; ;1Á0;} =1- = ;1»0; ;1Á0; ;1»0; 02 n이 홀수이면 n+3은 짝수, 2_n-1은 홀수, 2_n은 짝수, 2_n+1은 홀수이므로 (-1)n+3+(-1)n-(-1)2_n-1+(-1)2_n-(-1)2_n+1 =1+(-1)-(-1)+1-(-1) =3 03 a_b<0에서 a, b의 부호는 다르다. 그런데 a-b>0에서 a>b이므로 a>0, b<0 ④ -a<0, -b>0이고 |a|<|b|이므로 -a-b>0 06 = ;7@2#; 1 = 1 = ;2&3@; 3+ ;2£3; 3+ 1 1 = 3+ 1 1 7+ ;3@; :ª3£: 따라서 a=3, b=7, c=3이므로 a+b+c=3+7+3=13 2, 10 13 3 서술형 대비 문제 본문 121~122쪽 1 5 3 5 - 13 10 2 - 27 4 6 11 6 3 123 16 4 5 3 ④ 이렇게 풀어요 참고 a>0, b<0, |a|<|b|를 모두 만족시키는 두 수 a, b를 생각하여 문자에 넣어 본다. 예를 들어 a=1, b=-2를 넣어 보아도 좋다. 04 [-5.6]-[3.1]+[-3] =(-6)-3+(-3) =-6-3-3 1 1 단계 x의 절댓값이 이므로 ;3!; x= 또는 x=- ;3!; ;3!; y의 절댓값이 이므로 ;2!; y= 또는 y=- ;2!; ;2!; =-12 2 단계 x-y의 값 중에서 가장 큰 값은 x는 양수, y는 음 -12 수일 때이므로 참고 x보다 크지 않은 최대의 정수를 [x]로 나타낼 때, 기호 [ ]를 가우스 기호라 한다. 예를 들면 [2.3]이면 2.3보다 크지 않은 정수는 2, 1, 0, -1, -2, y이고 이 중에서 가장 큰 것은 2이므로 [2.3]=2이다. 즉, 정수 n에 대하여 nÉx<n+1일 때 [x]=n이다. 05 조건 ㈎에서 |a|=6이므로 a=6 또는 a=-6 조건 ㈏의 |a|+|b|=10에서 6+|b|=10이므로 3 단계 x-y의 값 중에서 가장 작은 값은 x는 음수, y는 양 M= - ;3!; {-;2!;}=;6%; 수일 때이므로 m= - - { ;3!;} ;2!;=-;6%; 4 단계 ∴ M-m = 5 6 - - { ;6%;} = :Á6¼:= 5 3 ;3%; 58 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 58 2017-06-10 오후 4:04:01 2 1 단계 a= - + { ;9@;} {-;3@;} -;9*; = 2 단계 b= - = ;6!; ;3!; ;6!; 3 단계 따라서 a_b= _ =- 이므로 그 역 {-;9*;} ;2¢7; 1 6 수는 -:ª4¦: 이다. - :ª4¦: ] ¤ ] ¤ 3 1 단계 A =(-3)_ 1 6 +[;3@; Ö {-;5@;} +(-1)Ü` =(-3)_ =(-3)_ =(-3)_ ° ° ° [ _ 1 6 +[;3@; 1 6 +[{-;3%;} 1 6 +{-;3*;}] =(-3)_ 5 2 } {- +(-1) {-;2%;} +(-1) ] ¤ =:Á2°: 2 단계 B =3_ Ö(-2Û`) 1 2 } {- =3_ 1 4 2` Ö(-4) =3_ ;4!;_{- 1 4 } = -;1£6; 3 단계 ∴ A-B = - :Á2°: {-;1£6;} = 123 16 채점요소 단계 1 2 3 A의 값 구하기 B의 값 구하기 A-B의 값 구하기 4 1 단계 A= { - ;3&;} _ =-1 ;7#; BÖ(-3)= ;5!; ∴ B= _(-3) ;5!; - ;5#; = 3 단계 ∴ AÖB =(-1)Ö - 3 5 } { =(-1)_ - { 5 3 } =;3%; 채점요소 단계 1 2 3 A의 값 구하기 B의 값 구하기 AÖB의 값 구하기 5 1 단계 어떤 수를 라 하면 + {-;3@;}=;5!; ∴ =;5!;-{-;3@;}=;5!;+{+;3@;}=;1!5#; 2 단계 따라서 바르게 계산하면 Ö ;1!5#; {-;3@;}=;1!5#;_{-;2#;}=-;1!0#; 단계 1 2 채점요소 어떤 수 구하기 바르게 계산한 답 구하기 ;3%; 배점 2점 3점 2점 - ;1!0#; 배점 4점 3점 6 1 단계 곱이 1인 두 수는 서로 역수이다. -6의 역수는 - 이므로 -6과 마주 보는 면에 1 6 있는 수는 - 이다. -1.5 =- 3 2 의 역수는 이므로 -1.5와 마주 -;3@; 보는 면에 있는 수는 이다. 1 6 8 3 2 3 - ;8#; 의 역수는 이므로 과 마주 보는 면에 있는 수 ;8#; 는 이다. 8 3 2 단계 따라서 보이지 않는 세 면에 있는 수의 합은 :Á1ª6£: 배점 3점 2점 1점 단계 1 2 채점요소 보이지 않는 세 면에 있는 수 구하기 보이지 않는 세 면에 있는 수의 합 구하기 :Á6Á: 배점 5점 2점 Ⅱ. 정수와 유리수 59 2 단계 BÖ(-3)의 역수가 5이므로 {-;6!;}+{-;3@;}+;3*;=:Á6Á: 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 59 2017-06-10 오후 4:04:05 스토리텔링으로 배우는 생활 속의 수학 1 풀이 참조 2 - 4 9 본문 123쪽 2 ;2#; 을 A에 입력하면 ;2#;_;3@;-;2!;= 이것을 B에 입력하면 ;2!;=;2!; 1- {;2!;- } 1 _(-2)= _(-2)=1 {-;2!;} 이것을 C에 입력하면 1 { +;3!;} Ö(-3)= ;3$;_{-;3!;}=-;9$; 승준이의 키를 0`cm라고 나타내었을 때, 할머니는 승준 따라서 최종적으로 계산된 값은 - 이다. ;9$; - ;9$; 이렇게 풀어요 1 승준이의 키를 기준으로 승준이보다 키가 크면 +부호를 사용하여 나타내고, 승준이보다 키가 작으면 -부호를 사 용하여 나타낸다. 이보다 15`cm 작으므로 -15`cm라고 나타낼 수 있다. 같은 방법으로 아버지는 +12`cm, 어머니는 -1`cm, 동생은 -30`cm로 나타낼 수 있다. 할아버지 할머니 아버지 어머니 169 cm 150 cm 177 cm 164 cm 165 cm 135 cm +4 cm -15 cm+12 cm -1 cm 0 cm -30 cm 승준 동생 풀이 참조 60 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_027~060_2단원_ok.indd 60 2017-06-10 오후 4:04:05 Ⅲ문자와 식 1 문자의 사용과 식의 계산 01 문자의 사용 개념원리 확인하기 본문 128쪽 01 ⑴ 수, 7x, -5x ⑵ 알파벳, 거듭제곱, 9xy, 3aÜ`bc ⑶ 생략, a, -xy ⑷ 분수, , ;7{; -;3A; 02 ⑴ -8a ⑵ 6abc ⑶ 3aÛ`bÜ` ⑷ -bÛ` ⑸ 0.1y ⑹ -2(a+b) 03 ⑴ ⑵ 6 y 3x-y 2 ⑹ 04 ⑴ abc ⑵ ⑶ ⑷ ab c ac b 05 ⑴ 3a점 ⑵ (1000-x)원 ⑶ ab`cmÛ`` a bc ;2!; 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 129~130쪽 1 ⑴ -xÛ` ⑵ -0.1xÜ`y ⑶ -2ab ⑷ 6a(x-y) ⑸ 0.1a b ⑹ 3y x 2 ⑴ x- ⑵ +5(x+3) 2 x-y bc 3 x-y y a bc ⑶ -2aÛ`+ ⑷ -2x 3 ⑴ 70+b ⑵ (3000-30a)원 4 ⑴ 2(x+y) cm ⑵ (150-70a) km 이렇게 풀어요 1 ⑸ 0.1_aÖb=0.1_a_ = ;b!; 0.1a b 주의 ⑹ 3Ö(xÖy)+3_ _ = ;]!; ;[!; ;[£]; ⑴ -xÛ` ⑵ -0.1xÜ`y ⑶ -2ab ⑷ 6a(x-y) ⑸ ⑹ 0.1a b 3y x x y - ⑶ y ⑷ - ⑸ ;4%; a b a+b c ⑹ 3Ö(xÖy)=3Ö x_ =3Ö =3_ { ;]!;} ;]{; = ;[}; 3y x 이렇게 풀어요 01 ⑴ 수, 7x, -5x ⑵ 알파벳, 거듭제곱, 9xy, 3aÜ`bc 2 ⑴ x-2Ö(x-y)=x-2_ 1 x-y =x- 2 x-y ⑶ 생략, a, -xy ⑷ 분수, , - ;7{; ;3A; 02 ⑴ -8a ⑵ 6abc ⑶ 3aÛ`bÜ` ⑷ -bÛ` ⑸ 0.1y ⑹ -2(a+b) ⑴ ⑵ - 6 y x y ⑶ y ;4%; ⑷ - ⑸ ⑹ a+b c 3x-y 2 03 ⑶ yÖ =y_ = y ;4%; ;4%; ;5$; a b ab c ac b 04 ⑵ a_bÖc=a_b_ 1 c = ⑶ aÖb_c=a_ _c= ⑷ aÖbÖc=a_ _ 1 c = a bc 1 b 1 b ⑵ (x-y)Öy+(x+3)_5 =(x-y)_ +(x+3)_5 ;]!; = +5(x+3) x-y y ⑶ a_a_(-2)-b_cÖ(-3) =a_a_(-2)-b_c_ { - ;3!;} =-2aÛ`+ :õ3: ⑷ aÖ(b_c)+2_xÖ(-1) =a_ +2_x_(-1) ;bÁc; = -2x ;bc; ⑴ abc ⑵ ⑶ ⑷ ac b a bc ab c ;2!; 3 ⑴ 7_10+b_1=70+b 05 ⑴ 3a점 ⑵ (1000-x)원 ⑶ ab`cmÛ` ⑵ (할인 금액)=3000_ =30a(원) ;10A0; ⑴ x- 2 x-y ⑵ x-y y +5(x+3) ⑶ -2aÛ`+ ⑷ -2x bc 3 a bc Ⅲ. 문자와 식 61 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 61 2017-06-10 오후 4:06:08 ∴ (판매 가격)=3000-30a(원) ⑴ 70+b ⑵ (3000-30a)원 4 ⑴ (직사각형의 둘레의 길이) =2_{(가로의 길이)+(세로의 길이)} =2_(x+y)=2(x+y)(cm) 03 ① aÖbÖc=a_ _ = ;c!; ;b!; ;bc; aÖ(bÖc) =aÖ { b_ ;c!;} =aÖ b c =a_ = ;bC; ac b ∴ aÖbÖc+aÖ(bÖc) ⑵ (거리)=(속력)_(시간)이므로 시속 70`km로 a시간 ② aÖb_c=a_ _c= ;b!; :b: 동안 간 거리는 70_a=70a(km)이다. 따라서 남은 거리는 (150-70a) km이다. ⑴ 2(x+y) cm ⑵ (150-70a) km aÖ(bÖc)= :b: ∴ aÖb_c=aÖ(bÖc) ③ aÖb_c= :b: aÖ(b_c)=aÖbc=a_ = ;bÁc; ;bc; ∴ aÖb_c+aÖ(b_c) ④ aÖ Ö ;b!; ;c!; =a_b_c=abc a_ Öc } {;b!; =a_ _ {;b!; ;c!;} = ;bc; ∴ aÖ Ö +a_ ;b!; ;c!; Öc } {;b!; ⑤ (a+b)Ö3_x=(a+b)_ _x= Ö(a+b)_x= _ _x= ;3!; ∴ (a+b)Ö3_x+ Ö(a+b)_x ;3!; 1 a+b ;3!; ;3!; (a+b)x 3 x 3(a+b) 이런 문제가 시험에 나온다 본문 131쪽 02 ③, ⑤ 03 ② 05 { ab 3 + cd 5 } 원 01 ⑤ 04 ⑤ 이렇게 풀어요 01 ① 2_xÖy=2_x_ = ;]!; 2x y ② (-0.1)_xÖy=(-0.1)_x_ =- ;]!; 0.1x y ③ (-x)ÖyÖz_2=(-x)_ _ _2=- ;]!; ;z!; ④ aÖ4_b_c-1=a_ _b_c-1= ;4!; ⑤ xÖ5Ö(x+y)_z =x_ _ 1 x+y _z ;5!; 2x yz abc 4 -1 ② ⑤ = xz 5(x+y) ⑤ 04 ② a할= ;10; 이므로 3000_ =300a(원) ;10; ③ (거리)=(속력)_(시간)=50_x=50x(km) ⑤ 5권에 x원이므로 공책 1권의 값은 x원이다. ;5!; ;5!; 거스름돈은 { 10000- xy } ;5!; 원이다. 02 ① x+yÖa_2=x+y_ _2=x+ ;a!; :ªaÕ: 따라서 공책 y권의 값은 x_y= xy(원)이므로 ;5!; ② x+yÖaÖ2=x+y_ _ =x+;2Õa; ;2!; ;a!; ③ (x+y)Öa_2=(x+y)_ _2= ;a!; 2(x+y) a ④ x+yÖ2Öa=x+y_ _ =x+ ;2!; ;a!; ⑤ (x+y)Ö(aÖ2) =(x+y)Ö { a_ ;2Õa; 1 2 } =(x+y)_ 2 a a 2 =(x+y)Ö = 2(x+y) a ③, ⑤ 05 사탕 3개에 a원이므로 사탕 1개에 원이다. 과자 5개에 c원이므로 과자 1개에 원이다. ;3A; ;5C; ∴ ;3A; _b+ _d= + ;5C; ab 3 cd 5 (원) { ab 3 + cd 5 } 원 62 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 62 2017-06-10 오후 4:06:09 02 식의 값 개념원리 확인하기 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 134쪽 본문 133쪽 1 ⑴ 4 ⑵ 80 ⑶ 8 2 ⑴ :Á3¤: ⑵ 14 01 ⑴ 3, 14 ⑵ -32 ⑶ 3 ⑷ -11 ⑸ ;2!; 이렇게 풀어요 02 ⑴ -2, -8 ⑵ 12 ⑶ ⑷ 7 ;5@; 03 ⑴ 12 ⑵ 4 ⑶ -21 ⑷ -6 04 ⑴ , 2, 12 ⑵ -6 ⑶ 6 ⑷ -32 ;2!; 이렇게 풀어요 1 ⑴ 8xÛ`-12xy =8_ - { -12_ - { 1 2 } _ ;3!; ;2!;} 2` 1 4 =8_ +2=2+2=4 ⑵ (-x)Ü`+(-x)Û`={-(-4)}Ü`+{-(-4)}Û` =4Ü`+4Û`=64+16=80 ⑶ |3x-2y|-|y-x|` 01 ⑵ -8y=(-8)_y=(-8)_4=-32 =|3_(-3)-2_2|-|2-(-3)| ⑶ 5-4a=5-4_a=5-4_ =5-2=3 ;2!; ⑷ -5b-1 =(-5)_b-1=(-5)_2-1 =|-9-4|-|2+3| =13-5=8 ⑴ 4 ⑵ 80 ⑶ 8 ⑸ 1- c =1- _c=1- _3 ;6!; ;6!; =-10-1=-11 1 6 1 2 =1- = ;2!; ⑴ 3, 14 ⑵ -32 ⑶ 3 ⑷ -11 ⑸ ;2!; ⑵ 2 ⑴ 3x-7y+zÛ` yz = 3_(-2)-7_(-3)+(-1)Û` (-3)_(-1) = -6+21+1 3 = 16 3 ;a#;-;b@;+;c%; =3Öa-2Öb+5Öc =3Ö -2Ö {-;3!;} +5Ö ;6%; = 3_ -2_(-3)+5_ ;5^; ;2#; ;3@; =2+6+6=14 ⑴ ⑵ 14 :Á3¤: 02 ⑵ 6-3x =6-3_x=6-3_(-2)=6+6=12 ⑶ - =- ;5{; (-2) 5 = ;5@; ⑷ 3- =3- ;[*; 8 (-2 ) =3+4=7 ⑴ -2, -8 ⑵ 12 ⑶ ⑷ 7 ;5@; 03 ⑴ -x+y=-(-5)+7=12 ⑵ 2(x+y)=2_(-5+7)=2_2=4 ⑶ xy = _x_y= _(-5)_7=-21 3 5 ;5#; ;7!; 3 5 ;7!; ⑷ x- y=(-5)- _7=-5-1=-6 이런 문제가 시험에 나온다 본문 135쪽 ⑴ 12 ⑵ 4 ⑶ -21 ⑷ -6 01 ① 02 ③ 03 ④ 04 ㄷ 05 -6 06 -15 07 25`¾ 04 ⑵ ;a@; =2Öa=2Ö - =2_(-3)=-6 { ;3!;} ⑶ =yÖx=2Ö =2_3=6 ⑷ =xÖy=(-4)Ö =(-4)_8=-32 ;[}; ;]{; ;3!; ;2!; ;8!; ⑴ , 2, 12 ⑵ -6 ⑶ 6 ⑷ -32 이렇게 풀어요 01 -aÛ`-(-a)Ü` =-(-2)Û`-{-(-2)}Ü`` =-4-2Ü` =-4-8=-12 ① Ⅲ. 문자와 식 63 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 63 2017-06-10 오후 4:06:11 02 ① -2y-x=(-2)_(-2)-1=4-1=3 ② yÛ`-1=(-2)Û`-1=4-1=3 ③ xÛ`-yÛ`=1Û`-(-2)Û`=1-4=-3 ④ - =- ;]@;+;[@; 2 (-2) 2 1 + =1+2=3 ⑤ = =3 ;1#; ;[#; ③ 06 ;[#;+;]@;- 9 z =3Öx+2Öy-9Öz 3 4 4 3 =3Ö - { ;2!;} +2Ö -9Ö ;3@; =3_(-2)+2_ -9_ ;2#; =-6+3-12=-15 07 x=77이므로 (x-32) = _(77-32)= _45=25(¾) ;9%; 5 9 5 9 -15 25`¾ 03 xyÛ`- =x_yÛ`-1Öy 1 y =3_ - -1Ö - { ;2!;} =3_ -1_(-2) 1 2 } 2` { 1 4 = +2= 3 4 :Á4Á: 04 x= 일 때 ;3!; ㄱ. 6x-3=6_ -3=2-3=-1 ;3!; ㄴ. -9xÜ` =(-9)_ =(-9)_ 1 3 } { 3` =- 1 3 ;2Á7; ;3!; 1 3 ㄷ. -4=2Öx-4=2Ö -4=2_3-4=2 ;[@; ㄹ. - x+2 = - _ +2 ;4#; { ;4#;} =- +2=- + ;4!; ;4*; 1 4 = 7 4 따라서 식의 값이 가장 큰 것은 ㄷ이다. 05 - ;4!; 의 역수는 -4이므로 a=-4 2의 역수는 이므로 b= ;2!; ;2!; ;4!; ∴ 2abÛ`- aÛ`=2_(-4)_ `- _(-4)Û` 1 4 {;2!;} 1 4 ;4!; =2_(-4)_ - _16 ④ 03 일차식의 계산 (1) 본문 138쪽 개념원리 확인하기 03 ③, ⑤ 01 풀이 참조 02 2x, 7, xÛ`y 04 ⑴ 6x ⑵ -30x ⑶ 3x ⑷ 10a ⑸ 2a ⑹ 4y ⑺ 27x ⑻ - a ;2%; 05 ⑴ 3x-6 ⑵ -2x+4 ⑶ -9a+6 ⑷ 6x-9 ⑸ 2x-3 ⑹ -3x-2 ⑺ -2x+4 ⑻ -3x+6 이렇게 풀어요 01 상수항 계수 다항식의 차수 2x+5 x의 계수：2 5 2 ㄷ y+2 -;3!; 3xÛ`+x-1 -1 y의 계수：- ;3!; xÛ`의 계수：3 x의 계수：1 1 1 2 풀이 참조 02 x+3y, x-1은 항이 2개이므로 단항식이 아니다. 과 같이 분모에 문자가 있는 식은 다항식이 아니므로 3 x 단항식이 아니다. =-2-4=-6 따라서 단항식인 것은 2x, 7, xÛ`y이다. -6 2x, 7, xÛ`y 64 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 64 2017-06-10 오후 4:06:13 2 ⑶ -3(3a-2) =(-3)_3a+(-3)_(-2) ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅁ 03 ①, ② 다항식의 차수가 2이므로 일차식이 아니다. ④ 상수항의 차수는 0이므로 일차식이 아니다. 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 139~140쪽 ⑤ 0_xÛ`+x-1=x-1이므로 일차식이다. 1 ③, ⑤ 2 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅁ ③, ⑤ 3 ⑴ -8x ⑵ x ⑶ -7x ⑷ ;3%; x ;5!; 4 ⑴ -10x-15 ⑵ 8y-2 ⑶ 6y-3 ⑷ x- ;3!; ;9@; 04 ⑸ 12aÖ6=12a_ =2a ;6!; ⑹ 6yÖ =6y_ =4y ;2#; ;3@; ⑺ (-18x)Ö { - =(-18x)_ { ;3@;} - ;2#;} =27x ⑻ { - a } ;6%; Ö ;3!; = - { ;6%; } a _3=- a ;2%; ④ x의 계수는 3이다. 이렇게 풀어요 1 ① 항은 -2xÛ`, 3x, -4y, -5의 4개이다. ② 상수항은 -5이다. ⑴ 6x ⑵ -30x ⑶ 3x ⑷ 10a ⑸ 2a ⑹ 4y ⑺ 27x ⑻ - a ③, ⑤ 5 2 1 4 } 05 ⑴ 3(x-2) =3_x+3_(-2)=3x-6 ⑵ -(2x-4) =(-1)_2x+(-1)_(-4) =-2x+4 =-9a+6 ;2#; ;2#; =6x-9 ⑷ (4x-6)_ =4x_ +(-6)_ 3 2 ⑸ (4x-6)Ö2 =(4x-6)_ 1 2 =4x_ +(-6)_ ;2!; 1 2 =2x-3 ⑹ (12x+8)Ö(-4) =(12x+8)_ { - 1 4 } =-3x-2 ⑺ (-x+2)Ö =(-x+2)_2 1 2 =(-x)_2+2_2=-2x+4 ⑻ (2x-4)Ö - 2 3 } { =(2x-4)_ { - 3 2 } =2x_ { - ;2#;} +(-4)_ - { 3 2 } =-3x+6 ⑴ 3x-6 ⑵ -2x+4 ⑶ -9a+6 ⑷ 6x-9 ⑸ 2x-3 ⑹ -3x-2 ⑺ -2x+4 ⑻ -3x+6 2 ㄷ, ㅂ, ㅇ. 다항식의 차수가 2이므로 일차식이 아니다. ㅅ. 분모에 문자가 있는 식은 다항식이 아니므로 일차식도 아니다. 따라서 일차식인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅁ이다. 3 ⑶ 21xÖ(-3) =21x_ { - 1 3 } =-7x ⑷ { - x } ;2Á5; Ö - { 1 = 5 } { - x } ;2Á5; _(-5) = x 1 5 ⑴ -8x ⑵ x ⑶ -7x ⑷ ;3%; x ;5!; ⑵ (-4y+1)_(-2) =(-4y)_(-2)+1_(-2) =8y-2 ⑶ (-30y+15)Ö(-5) =(-30y+15)_ - 1 5 } { =(-30y)_ - +15_ - { ;5!;} { 1 5 } =6y-3 ⑷ { - ;2!; x+ Ö - { ;3!;} ;2#;} = - { x+ _ - { ;3!;} ;3@;} ;2!; Ⅲ. 문자와 식 65 =12x_ { - ;4!;} +8_ - { 4 ⑴ ;4%; (-8x-12) = _(-8x)+ _(-12) 5 4 ;4%; =-10x-15 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 65 2017-06-10 오후 4:06:15 = - { x } ;2!; _ - { + _ - { ;3!; ;3@;} ;3@;} = x- ;3!; ;9@; ⑴ -10x-15 ⑵ 8y-2 ⑶ 6y-3 ⑷ x- ;3!; ;9@; 04 ⑵ (-9x)Ö { - ;3!;} =(-9x)_(-3) ⑶ -3(5x-1) =(-3)_5x+(-3)_(-1) =27x =-15x+3 ⑷ (-y+8)_ =(-y)_ +8_ ;5$; ;5$; 4 5 =- y+ :£5ª: 4 5 ⑸ (-24a-30)Ö6 =(-24a-30)_ ;6!; =(-24a)_ +(-30)_ ;6!; ;6!; =-4a-5 ⑹ (-4b+1)Ö - { ;3@;} =(-4b+1)_ { - ;2#;} =(-4b)_ { - ;2#;} +1_ - { ;2#;} =6b- ;2#; ⑴ -14x ⑵ 27x ⑶ -15x+3 ⑷ - y+ ⑸ -4a-5 ⑹ 6b- 4 5 :£5ª: 3 2 이런 문제가 시험에 나온다 본문 141쪽 01 ⑤ 02 ④ 03 ⑤ 04 ⑴ -14x ⑵ 27x ⑶ -15x+3 ⑷ - y+ ⑸ -4a-5 ⑹ 6b- ;2#; 4 5 :£5ª: 05 3 06 ③ 이렇게 풀어요 01 ① 항은 -4xÛ`, , -2이다. ;3{; ② xÛ`의 계수는 -4이다. ③ 다항식의 차수가 2이므로 일차식이 아니다. ⑤ x의 계수는 이고 상수항은 -2이므로 ④ x의 계수는 이다. ;3!; ;3!; +(-2)=- ;3!; ;3%; 05 xÛ`의 계수는 8이므로 a=8 x의 계수는 -1이므로 b=-1 상수항은 4이므로 c=4 ⑤ ∴ a+b-c =8+(-1)-4 =3 02 다항식 중에서 하나의 항으로만 이루어진 식을 단항식이 3 라 한다. ③ 3x-1 2 = x- ;2#; ;2!; 이므로 항이 2개이다. ④ 5xÛ`yÛ`Ö2= xÛ`yÛ`은 항이 1개이므로 단항식이다. ;2%; 는 분모에 문자가 있으므로 다항식이 아니고 단 ⑤ a+b xy 항식도 아니다. 03 ①, ②, ③ 다항식의 차수가 2이므로 일차식이 아니다. ④ 분모에 문자가 있는 식은 다항식이 아니므로 일차식이 아니다. 66 정답과 풀이 2 3 x+(-6)_(-4) 06 -6 x-4 {;3@; =(-6)_ } =-4x+24 이므로 상수항은 24이다. (4y-12)Ö =(4y-12)_ ;3$; 3 4 =4y_ +(-12)_ ;4#; 3 4 =3y-9 이므로 상수항은 -9이다. 따라서 두 식의 상수항의 합은 24+(-9)=15 ③ ④ ⑤ 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 66 2017-06-10 오후 4:06:16 ⑸ 7a-2-8a+5 =7a-8a-2+5 1 ④ 04 일차식의 계산 (2) 개념원리 확인하기 본문 143쪽 01 차수 02 3x, -7x, - x, -0.5x ;5@; 03 ⑴ 2, 8x ⑵ 3, -2x ⑶ 4, 5, 7, 6y ⑷ 3x-2 ⑸ -a+3 04 ⑴ 5x-2 ⑵ 7a+1 ⑶ 2b+7 ⑷ 2y-4 05 ⑴ 3x-6 ⑵ -7x-8 ⑶ -7a-1 ⑷ -y+1 이렇게 풀어요 01 차수 02 3x, -7x, - x, -0.5x ;5@; 03 ⑷ 5x+3-2x-5 =5x-2x+3-5 =(5-2)x+(3-5) =3x-2 =(7-8)a+(-2+5) =-a+3 ⑴ 2, 8x ⑵ 3, -2x ⑶ 4, 5, 7, 6y ⑷ 3x-2 ⑸ -a+3 04 ⑴ (3x+1)+(2x-3) =3x+1+2x-3 =3x+2x+1-3 =5x-2 =6a+a-3+4 =7a+1 =4b-2b-3+10 =2b+7 =y+y-2-2 =2y-4 ⑶ (4b-3)+2(-b+5) =4b-3-2b+10 1 2 ⑷ (2y-4)+ (4y-8) =y-2+y-2 ;4!; ⑴ 5x-2 ⑵ 7a+1 ⑶ 2b+7 ⑷ 2y-4 ⑵ -2(3x+5)-(x-2) =-6x-10-x+2 ⑶ -3(a+1)-2(2a-1) =-3a-3-4a+2 1 3 ⑷ (3y-6)- (12y-18) =y-2-2y+3 ;6!; =-6x-x-10+2 =-7x-8 =-3a-4a-3+2 =-7a-1 =y-2y-2+3 =-y+1 ⑴ 3x-6 ⑵ -7x-8 ⑶ -7a-1 ⑷ -y+1 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 144~147쪽 2 ⑴ -3a+5 ⑵ x ⑶ -4 ⑷ 19x-9 3 ⑴ 2x-7 ⑵ x-y ⑶ -12x+12 ⑷ -19x+4 4 ⑴ x- ⑵ x- ;2Á0; ;2%0&; ;4!; ;1°2; 5 ⑴ 3 ⑵ 7x-13y 6 ⑴ y+10 ⑵ 2x-8y ⑶ 5x+25 7 -16x+25 8 6x+8 1 -2a와 문자와 차수가 각각 같은 항을 찾는다. ④ 2 ⑴ -2(2a-5)-(5-a) =-4a+10-5+a =-4a+a+10-5 =-3a+5 1 2 ⑵ (4x-4)+ (8-4x) =2x-2+2-x ;4!; =2x-x-2+2 =x Ⅲ. 문자와 식 67 05 ⑴ (x+5)-(-2x+11) =x+5+2x-11 =x+2x+5-11 =3x-6 ⑶ (3x-9)-2(x-1) ;3@; =2x-6-2x+2 =2x-2x-6+2=-4 ⑵ 3(2a-1)+(a+4) =6a-3+a+4 이렇게 풀어요 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 67 2017-06-10 오후 4:06:17 ⑶ -4x+8-2{4x-(3-7x)+1}+14x 6 ⑴ 3(2y-4)+ =7y-2에서 ⑴ 3 ⑵ 7x-13y 5 ⑴ axÛ`-3x+6-5xÛ`+2x+b =(a-5)xÛ`-x+6+b 주어진 다항식이 x에 대한 일차식이 되려면 a-5=0 ∴ a=5 상수항이 4이므로 6+b=4 ∴ b=-2 ∴ a+b=5+(-2)=3 ⑵ 3(A+B)-2A+B =3A+3B-2A+B =A+4B =(-x+3y)+4(2x-4y) =-x+3y+8x-16y =7x-13y ⑵ 4(x-3y)- =2x-4y에서 =7y-2-3(2y-4) =7y-2-6y+12 =y+10 =4(x-3y)-(2x-4y) =4x-12y-2x+4y =2x-8y =-x+15+2(3x+5) =-x+15+6x+10 =5x+25 ⑶ -2(3x+5)=-x+15에서 ⑴ y+10 ⑵ 2x-8y ⑶ 5x+25 7 어떤 다항식을 라 하면 +(3x-8)=-10x+9 ∴ =-10x+9-(3x-8) =-10x+9-3x+8 =-13x+17 따라서 바르게 계산한 식은 -13x+17-(3x-8) =-13x+17-3x+8 =-16x+25 -16x+25 ⑷ (15x-6)Ö +12 x ;2#; {;4#; -;1°2;} =(15x-6)_ +9x-5 ;3@; =10x-4+9x-5 =10x+9x-4-5=19x-9 ⑴ -3a+5 ⑵ x ⑶ -4 ⑷ 19x-9 3 ⑴ 3x-5-{5-(3-x)} =3x-5-(5-3+x) =3x-5-(x+2) =3x-5-x-2 =2x-7 ⑵ 2x+{x-3y-2(x-y)} =2x+(x-3y-2x+2y) =2x+(-x-y)=2x-x-y =x-y =-4x+8-2(4x-3+7x+1)+14x =-4x+8-2(11x-2)+14x =-4x+8-22x+4+14x =-12x+12 ⑷ 6x-[3x+2{4x-(-7x+2)}] =6x-{3x+2(4x+7x-2)} =6x-{3x+2(11x-2)} =6x-(3x+22x-4) =6x-(25x-4)=6x-25x+4 =-19x+4 4 ⑴ 4x-3 5 - 3(x+3) 4 = ⑴ 2x-7 ⑵ x-y ⑶ -12x+12 ⑷ -19x+4 4(4x-3)-15(x+3) 20 16x-12-15x-45 20 = = x-57 20 = x- ;2Á0; ;2%0&; ⑵ - + 6x-4 3 5x-2 2 6(5x-2)-4(6x-4)+3(-x-3) 12 -x-3 4 = = 30x-12-24x+16-3x-9 12 = 3x-5 12 = ;4!; x- ;1°2; 68 정답과 풀이 ⑴ x- ⑵ x- ;4!; ;1°2; ;2%0&; ;2Á0; =(큰 직사각형의 넓이)-(작은 직사각형의 넓이) 8 (색칠한 부분의 넓이) 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 68 2017-06-10 오후 4:06:19 =4(3x+1)-2(3x-2) =12x+4-6x+4 =6x+8 6x+8 ⑵ -4(x-1)-{3(1-x)-4(-4+x)} 계산력 강화하기 본문 148쪽 ⑶ 2x-[7y-2x-{2x-(x-3y)}] =2x-{7y-2x-(2x-x+3y)} 01 ⑴ -3a+2 ⑵ 7 ⑶ -21x+10 ⑷ -4x+12 ⑸ 2x-6 ⑹ 7x+7 02 ⑴ 6x-16y ⑵ 3x-15 ⑶ 5x-4y ⑷ 2x-y 03 ⑴ x+ ⑵ x- ⑶ - x- ;1@4(; ;1!4%; ;4¦0; ;1!0#; ;1Á2; :Á4°: ⑷ x+ ;6%; ⑸ x ;6!; ;1#2!; 이렇게 풀어요 01 ⑴ (-a+3)-(1+2a) =-a+3-1-2a =-3a+2 ⑵ 2(3x-1)-3(2x-3) =6x-2-6x+9 =7 ⑶ 4(-3x+1)-3(3x-2) =-12x+4-9x+6 =-21x+10 ⑷ -6(-5+3x)-2(-7x+9) =30-18x+14x-18 =-4x+12 ⑸ 6 x- -4 ;2!;} {;3@; {;2!; x+ ;4#;} =4x-3-2x-3 =2x-6 ⑹ -15 - x+ { ;3@; -12 x- {;4!; ;6%;} ;5!;} =10x-3-3x+10 =7x+7 =4x-12y-(-2x+4y) =4x-12y+2x-4y =6x-16y =-4x+4-(3-3x+16-4x) =-4x+4-(-7x+19) =-4x+4+7x-19 =3x-15 =2x-{7y-2x-(x+3y)} =2x-(7y-2x-x-3y) =2x-(-3x+4y) =2x+3x-4y =5x-4y ⑷ x+3y-[2x-y-{4(x-y)-(x+y)}] =x+3y-{2x-y-(4x-4y-x-y)} =x+3y-{2x-y-(3x-5y)} =x+3y-(2x-y-3x+5y) =x+3y-(-x+4y) =x+3y+x-4y =2x-y ⑴ 6x-16y ⑵ 3x-15 ⑶ 5x-4y ⑷ 2x-y 03 ⑴ 5x+1 2 - 3x-4 7 = 7(5x+1)-2(3x-4) 14 ⑵ 3(x-4) 8 + -x+1 5 = 15(x-4)+8(-x+1) 40 = = 35x+7-6x+8 14 29x+15 14 = x+ 29 14 15 14 = 15x-60-8x+8 40 = 7x-52 40 = 7 40 x- 13 10 Ⅲ. 문자와 식 69 ⑴ -3a+2 ⑵ 7 ⑶ -21x+10 ⑷ -4x+12 ⑸ 2x-6 ⑹ 7x+7 02 ⑴ 4(x-3y)-{3y-(2x-y)} =4x-12y-(3y-2x+y) ⑶ - + 2x+5 2 2x-3 3 x-1 4 3(x-1)+4(2x-3)-6(2x+5) 12 = = 3x-3+8x-12-12x-30 12 = -x-45 12 =- x- 1 12 15 4 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 69 2017-06-10 오후 4:06:21 ⑷ - 5(x-2) 6 4x+1 4 3(4x+1)-10(x-2)+8(x+1) 12 2(x+1) 3 + = = 12x+3-10x+20+8x+8 12 = 10x+31 12 = ⑸ ;1#2!; x+ - ;6%; 2x-5 3 2x-5 3 2x-5 3 = = [ - 3x-1 2 3x-1 2 3x-1 2 { - - x+ { ;6&;}] -x- ;6&;} +x+ ;6&; = 2(2x-5)-3(3x-1)+6x+7 6 = 4x-10-9x+3+6x+7 6 = x ;6!; ⑴ x+ ⑵ x- ;4¦0; ;1!4%; ;1!0#; ;1@4(; ⑶ - x- ;1Á2; 15 4 ⑷ x+ ;6%; ;1#2!; ⑸ x 1 6 이런 문제가 시험에 나온다 본문 149쪽 01 ④ 02 ⑤ 03 ⑴ -5x+1 ⑵ a+ ;1@2%; ;1°2; 04 ⑤ 05 ;3*; x-12 06 2x-18 07 ;1°2; 이렇게 풀어요 01 ① x와 xÜ`은 문자는 같으나 차수가 각각 1, 3으로 다르다. ② -6과 -6x는 문자와 차수 모두 다르다. ③ -7a와 -7x는 차수는 1로 같으나 문자가 a, x로 다 ④ 12x와 -24x는 문자가 같고 차수도 1로 같으므로 동 ⑤ xyÜ`=x_y_y_y, xÜ`y=x_x_x_y이므로 동류 르다. 류항이다. 항이 아니다. 70 정답과 풀이 02 ① -(x+7)-3 { x-1 =-x-7-2x+3 } =-3x-4 ② 6 1 2 { x- -8 x- {;4!; ;3!;} ;8%;} =3x-2-2x+5 ③ -3(2x-5)-(-2x+3) =-6x+15+2x-3 ④ -4(2x+1)- (6x-9) =-8x-4-2x+3 =x+3 =-4x+12 =-10x-1 2 3 1 3 ⑤ (18a-6)Ö -15 ;2#; a- {;3%; ;1¢5;} =(18a-6)_ -25a+4=12a-4-25a+4 ;3@; =-13a ⑤ 03 ⑴ 7x-{3x+1-(-5x+2)}-4x =7x-(3x+1+5x-2)-4x =7x-(8x-1)-4x =7x-8x+1-4x =-5x+1 ⑵ + - a-2 2 a+3 4 2a+1 3 4(2a+1)-6(a-2)+3(a+3) 12 = = = 8a+4-6a+12+3a+9 12 5 12 5a+25 12 25 12 a+ = ⑴ -5x+1 ⑵ a+ ;1°2; ;1@2%; 04 A-2(B-C) =A-2B+2C =(3x-2y+1)-2(3y-2)+2(2x-3) =3x-2y+1-6y+4+4x-6 =7x-8y-1 ⑤ 05 ;3@; (x-6)- =-2x+8에서 2 3 2 3 = (x-6)-(-2x+8) = x-4+2x-8= x-12 8 3 ④ ;3*; x-12 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 70 2017-06-10 오후 4:06:22 즉, 다항식의 차수가 2이므로 일차식이 아니다. ⑤ 2x+2-2(x-1)=2x+2-2x+2=4이므로 일차 식이 아니다. 03 ;4#; x와 동류항인 것은 0.1x, - x, 의 3개이다. ;7^; ;2{; 06 A+(5x-3)=7x-7에서 A =7x-7-(5x-3) =7x-7-5x+3 =2x-4 B-(2x+7)=-2x+7에서 B =-2x+7+(2x+7) =-2x+7+2x+7=14 ∴ A-B =(2x-4)-14 =2x-4-14 =2x-18 ;4&; ;4&; = x+ ;4#; 1 3 따라서 a= , b= 이므로 ;4#; ;3!; a-b= - = ;4#; ;3!; ;1»2; - ;1¢2; = ;1°2; 04 ④ y의 계수는 - 이다. ;2!; 2x-18 07 2- x- + ;3%; ;4&; ;2%; x =- x+ x+2- ;2%; 5 3 5 3 05 ① xÖ(yÖ5) =xÖ y_ =xÖ y 5 1 5 } 5x y { 5 y =x_ = =- x+ x+ - ;3^; :Á4¼: ② xÖ(y_z)=xÖyz=x_ = 1 yz x yz ③ (-1)_yÖ(x+z) =(-1)_y_ ;1°2; ④ 2_aÖ _b } {;3!; =2aÖ =2a_ ⑤ a-3ÖaÖb =a-3_ _ 1 x+z 3 b = 6a b =- y x+z ;3B; 1 a 1 b =a- 3 ab 본문 150~151쪽 step (기본문제) 01 ①, ④ 05 ④ 09 ② 02 ② 06 ④ 03 3개 07 ⑤ 04 ④ 08 ③ 10 40`¾ 11 -3 12 ⑴ -15 ⑵ - ⑶ 18 ;9!; 이렇게 풀어요 라 한다. 01 다항식 중에서 하나의 항으로만 이루어진 식을 단항식이 06 ① -2(3x-1)=-6x+2 ② 12aÖ - =12a_ - =-8a { ;2#;} { ;3@;} ③ (0.4x-3)_5=2x-15 ④ (4x-8)Ö - =(4x-8)_ { ;7$;} { - 7 4 } =-7x+14 ⑤ {;5$; x- ;1¦0;} _10=8x-7 ①, ④ 07 ① 3x`cm ② 10a+b 02 ① 분모에 문자가 있는 식은 다항식이 아니므로 일차식이 아니다. ③ 다항식의 차수가 2이므로 일차식이 아니다. ④ 3x(x-1)=3xÛ`-3x ③ p_ { 1- = ;1»0; p(원) ④ (속력)= 이므로 시속 `km ;5A; ;1Á0¼0;} (거리) (시간) Ⅲ. 문자와 식 71 ② 3개 ④ ④ ④ 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 71 2017-06-10 오후 4:06:24 ⑤ (소금의 양)= _(소금물의 양)이므로 ⑶ 9xy-3yÜ` =9_ _(-2)-3_(-2)Ü` (소금물의 농도) 100 1 3 =-6+24 =18 ⑴ -15 ⑵ - ⑶ 18 ;9!; _200+ _800=2a+8b(g) ;10A0; ;10B0; 08 6x-5 6 - 2x+1 3 = 6x-5-2(2x+1) 6 = 6x-5-4x-2 6 = 2x-7 6 ⑤ ③ 09 -2x+3 6 - = 에서 x-5 2 x-5 2 = -2x+3 6 - = -2x+3-3(x-5) 6 = -2x+3-3x+15 6 = -5x+18 6 10 x=104를 y= ;9%; (x-32)에 대입하면 y= (104-32)= _72=40(¾) ;9%; ;9%; 11 -3(A-7)-2(A+4B) =-3A+21-2A-8B =-5A-8B+21 =-5(-3x+2y+5)-8(-2x+y-7)+21 =15x-10y-25+16x-8y+56+21 =31x-18y+52 따라서 a=31, b=-18, c=52이므로 a-b-c =31-(-18)-52 =31+18-52=-3 12 ⑴ (-x)Ü`+4xy+1 ={-(-2)}Ü`+4_(-2)_3+1 =8-24+1=-15 ⑵ 3Ö(-xÛ`)Öy =3Ö{-(-3)Û`}Ö3 =3Ö(-9)Ö3 =3_ - { _ =- ;9!;} ;3!; 1 9 72 정답과 풀이 본문 152~154쪽 2 step (발전문제) 01 ③ 02 ③ 03 ④ 04 ⑴ ;1°2; x- ;1Á2; ⑵ - x+ y ⑶ - x+6 ;1¦5; ;5#; :£3°: 05 -3x-7 08 -4x-23 06 7x+2y 09 ⑴ -120 ⑵ -1 ⑶ 10 07 -6 ② 10 -4x+12 11 5x+5 13 ② 14 ③ 16 {;1¦0; a+ b ;5$; 원 } 18 ③ 12 ;1°2; 15 2x+11 17 ⑤ 40`¾ 이렇게 풀어요 01 ① 단항식은 ㄱ, ㄷ의 2개이다. ② 일차식은 ㄱ, ㄹ, ㅁ, ㅂ의 4개이다. ③ ㄱ과 ㄷ은 문자는 같지만 차수가 다르므로 동류항이 아 니다. ⑤ ㅁ의 항은 0.6x, 5의 2개이다. 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 02 ① 2x=2_ { - ;3!;} =- ;3@; -3 ② xÛ`= - { ;3!;} = ;9!; 1 xÛ` 2` ③ =1ÖxÛ`=1Ö - `=1Ö =1_9=9 { ;3!;} ;9!; ④ -xÛ`=- - { ;3!;} =- ;9!; ⑤ - 2` =(-1)Öx=(-1)Ö { ;[!; - 1 3 } =(-1)_(-3)=3 ③ ③ 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 72 2017-06-10 오후 4:06:25 2 03 xÖ(yÖz)=xÖ y_ { ;z!;} =xÖ =x_ = ;]Z; :Ó]ü: ;z}; ① xÖy_z=x_ _z= ;]!; :Ó]ü: ② zÖ y_ { =zÖ =z_ = ;]{; :Ó]ü: ;[}; ;[!;} ③ xÖyÖ =x_ _z= ;z!; ;]!; :Ó]ü: ④ yÖ Ö ;[!; ;z!; =y_x_z=xyz ⑤ Ö ;]!; ;[!; Ö ;z!; ;]!; = _x_z= :Ó]ü: B = ;2#; (4x-2)-10 { x 5 =6x-3-2x+10 -1 } =4x+7 A 2 ∴ -B = -(4x+7) :ª2Ó: =x-4x-7 =-3x-7 04 ⑴ + - 4x-2 3 3x+1 2 6(3x+1)-4(4x-2)+3(x-5) 12 x-5 4 = = 18x+6-16x+8+3x-15 12 = 5x-1 12 = 1 12 x- 5 12 3x-y 10 ⑵ - -x+y 5x-3y 6 5(5x-3y)-3(3x-y)+30(-x+y) 30 = = 25x-15y-9x+3y-30x+30y 30 = -14x+18y 30 =- x+ 7 15 3 y 5 ⑶ -{x-5(1-2x)} = -(x-5+10x) 3-2x 3 3-2x 3 3-2x 3 = -(11x-5) = = 3-2x-3(11x-5) 3 3-2x-33x+15 3 = -35x+18 3 =- x+6 35 3 ⑴ x- ;1°2; ;1Á2; ⑵ - x+ y ⑶ - x+6 ;1¦5; ;5#; :£3°: 05 A =(24x-18)Ö6-(14x-21)Ö7 =(24x-18)_ -(14x-21)_ ;7!; 1 6 =4x-3-(2x-3) =4x-3-2x+3=2x ④ 06 6x-[5y-3x-{2x-(4x-7y)}] =6x-{5y-3x-(2x-4x+7y)} =6x-{5y-3x-(-2x+7y)} =6x-(5y-3x+2x-7y) =6x-(-x-2y) =6x+x+2y =7x+2y 07 2(3xÛ`-x)+axÛ`+5x-2 =6xÛ`-2x+axÛ`+5x-2 =(6+a)xÛ`+3x-2 주어진 다항식이 x에 대한 일차식이 되려면 6+a=0 ∴ a=-6 08 B = 3x+6 2 Ö 3 2 = 3x+6 2 _ 2 3 =(3x+6)_ =x+2 1 3 이므로 3A+{5A-2(A+3B)-1} =3A+(5A-2A-6B-1) =3A+(3A-6B-1) =3A+3A-6B-1 =6A-6B-1 =6_ -6(x+2)-1 x-5 3 =2x-10-6x-12-1 =-4x-23 -3x-7 7x+2y -6 -4x-23 Ⅲ. 문자와 식 73 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 73 2017-06-10 오후 4:06:27 09 ⑴ 15 {;3@; x- 1 4 =10x-3-3+10x -12 ;5!;} { - x } ;6%; =20x-6 따라서 x의 계수는 20, 상수항은 -6이므로 20_(-6)=-120 ⑵ ax+ - ;2!; {;3!; x+b =ax+ } - x-b ;3!; 1 2 = a- { x+ { ;3!;} -b } 1 2 x의 계수가 1이므로 a- =1 ;3!; ∴ a=1+ = ;3!; ;3$; 상수항이 -2이므로 -b=-2 ∴ b= -(-2)= ;2!; ∴ 3a-2b =3_ -2_ ;2!; ;2%; 5 2 ;3$; =4-5 =-1 ⑶ ax+b 2 - ax-b 5 = 5(ax+b)-2(ax-b) 10 = 5ax+5b-2ax+2b 10 = 3ax+7b 10 = x+ 3a 10 7b 10 x의 계수가 -6이므로 =-6 ;1#0A; ∴ a=(-6)Ö =(-6)_ =-20 ;1£0; :Á3¼: 상수항이 -21이므로 =-21 7b 10 ∴ b=(-21)Ö =(-21)_ =-30 ;1¦0; :Á7¼: ∴ a-b =-20-(-30) =10 ⑴ -120 ⑵ -1 ⑶ 10 10 가로에 놓인 세 식의 합은 (12x-10)+(4x-2)+(-4x+6)=12x-6 따라서 세로에 놓인 세 식의 합이 12x-6이어야 하므로 A+(12x-10)+(-2x)=12x-6 A+10x-10=12x-6 ∴ A =12x-6-(10x-10) 74 정답과 풀이 또, 대각선에 놓인 세 식의 합이 12x-6이어야 하므로 =12x-6-10x+10 =2x+4 A+(4x-2)+B=12x-6 2x+4+4x-2+B=12x-6 6x+2+B=12x-6 ∴ B =12x-6-(6x+2) =12x-6-6x-2 =6x-8 ∴ A-B =2x+4-(6x-8) =2x+4-6x+8 =-4x+12 -4x+12 11 A+(2x-1)=6x+2에서 A =6x+2-(2x-1) =6x+2-2x+1 =4x+3 B-(5x+3)=-4x-1에서 B =-4x-1+(5x+3) =-4x-1+5x+3 =x+2 ∴ A+B =4x+3+(x+2) =4x+3+x+2 =5x+5 12 ;3@; (4x-y-3)- 5x-3y 2 = = = 4(4x-y-3)-3(5x-3y) 6 16x-4y-12-15x+9y 6 x+5y-12 6 5x+5 위의 식에 x=- , y=3을 대입하면 ;2!; _ - { ;6!; ;2!; +5_3-12 = } _ - { ;2!; +15-12 } 1 6 1 6 = 5 12 = _ ;2%; ;1°2; 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 74 2017-06-10 오후 4:06:28 13 밑면의 넓이는 a_b=ab 옆면의 넓이는 b_c=bc, c_a=ca 따라서 직육면체의 겉넓이는 2ab+2bc+2ca=2(ab+bc+ca) 14 ;a@; + 3 b ;c$; - =2Öa+3Öb-4Öc =2Ö +3Ö - -4Ö ;2!; =2_2+3_ - -4_ 3 2 } 2 3 } { { ;5@; ;2%; =4-2-10 =-8 15 (색칠한 부분의 넓이) = (삼각형의 넓이)+(큰 직사각형의 넓이) -(작은 직사각형의 넓이) = _5_2+5_x-3_(x-2) ;2!; =5+5x-3x+6=2x+11 16 정가가 a원인 가방의 30`% 할인 금액은 a_ ;1£0¼0; (원) b_ ;1ª0¼0; (원) 따라서 지불해야 할 금액은 a-a_ { ;1£0¼0;} { + b-b_ ;1ª0¼0;} =a- a+b- ;1£0; b ;5!; = ;1¦0; a+ b(원) ;5$; 18 |x|=3, |y|=2이고, x<y, y>0이므로 x=-3, y=2 ∴ xÛ`+3xy+5y x+y = (-3)Û`+3_(-3)_2+5_2 (-3)+2 ② = 9-18+10 -1 = 1 -1 =-1 ③ 본문 155쪽 3 step (실력UP) ③ 01 ㈎ x-3 ㈏ -3x ㈐ 6x+11 02 a+ b % ;4#; } {;4!; 03 {;4!; x+70 점 } 04 -:Á6Á: x+ y ;6!; 05 (3x+1)개 06 ⑴ (27n+9)`cmÛ` ⑵ 549`cmÛ 2x+11 이렇게 풀어요 01 ㈎ +(-2x+5)=-x+2에서 ㈎ =-x+2-(-2x+5) =-x+2+2x-5=x-3 (4x-3)+ ㈏ = ㈎ 에서 (4x-3)+ ㈏ =x-3 ㈐ +(-8x-6)=-2x+5에서 ㈐ =-2x+5-(-8x-6) =-2x+5+8x+6 =6x+11 ㈎ x-3 ㈏ -3x ㈐ 6x+11 정가가 b원인 책의 20`% 할인 금액은 ∴ ㈏ =x-3-(4x-3)=x-3-4x+3=-3x {;1¦0; a+ 원 b } ;5$; 금물에 들어 있는 소금의 양은 02 a`%의 소금물 200`g과 b`%의 소금물 600`g을 섞은 소 17 -xá`á`-(-y)Û`_(-xÚ`â`â`)Ö - { y x } =-(-1)á`á`-(-2)Û`_{-(-1)Ú`â`â`}Ö 2` 2 -1 } {- 2` =-(-1)-4_(-1)Ö4 =1+4_ =2 ;4!; ⑤ _200+ _600=2a+6b(g) ;10A0; ;10B0; 따라서 소금물의 농도는 2a+6b 200+600 _100 = _100 2a+6b 800 2a+6b 8 = = a+ b(%) 1 4 3 4 a+ b % } ;4#; {;4!; Ⅲ. 문자와 식 75 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 75 2017-06-10 오후 4:06:31 03 80점을 맞은 학생 x명의 총점은 80x점 06 ⑴ 정사각형 n개를 포개어 놓았 (cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 70점을 맞은 학생은 (40-x)명이므로 70점을 맞은 학생 을 때, 겹쳐진 부분은 의 총점은 70(40-x)=2800-70x(점) (n-1)개가 생기므로 보이 (cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:85) 전체 학생의 총점은 는 부분의 넓이는 80x+(2800-70x)=10x+2800(점) (6_6)_n-(3_3)_(n-1) 따라서 40명의 학생에 대한 수학 점수의 평균은 10x+2800 40 = ;4!; x+70(점) =36n-9n+9 =27n+9(cmÛ`) {;4!; x+70 }점 ⑵ 27n+9에 n=20을 대입하면 27_20+9=540+9=549(cmÛ`) ⑴ (27n+9)`cmÛ` ⑵ 549`cmÛ 04 n이 자연수일 때, 2n-1은 홀수, 2n은 짝수이므로 2n-1 (-1) =-1, (-1) =1 2n ∴ (-1) 2n-1 _ -(-1) _ 2n 3x+y 2 서술형 대비 문제 본문 156~157쪽 x-2y 3 x-2y 3 3x+y 2 - = -x+2y 3 =(-1)_ -1_ 3x+y 2 = 2(-x+2y)-3(3x+y) 6 = = -2x+4y-9x-3y 6 -11x+y 6 11 6 x+ 1 6 y =- 1 7x-16 2 -x+17 3 4 -10 :¢7¥: 5 ⑴ 4y-2 ⑵ y-3 6 12x+40, 64 이렇게 풀어요 1 1 단계 -(A+2B-C)+2(A-C) =-A-2B+C+2A-2C =A-2B-C 2 단계 =2x-3-2(-2x+7)-(-x-1) =2x-3+4x-14+x+1 - x+ y ;6!; :Á6Á: =7x-16 7x-16 05 정사각형이 1개씩 늘어날 때마다 성냥개비가 3개씩 늘어 난다. 2 1 단계 A+(3x-6)=5x-2에서 A =5x-2-(3x-6) 정사각형의 개수 성냥개비의 개수 1 2 3 ⋮ x 4 4+3 4+3+3 ⋮ 4+3+3+y+3 (x-1)개 따라서 정사각형이 x개 만들어질 때, 사용한 성냥개비의 개수는 4+3(x-1) =4+3x-3 =3x+1(개) =5x-2-3x+6 =2x+4 2 단계 x+6-B=4x-7에서 B =x+6-(4x-7) =x+6-4x+7 =-3x+13 3단계 ∴ A+B =2x+4+(-3x+13) =2x+4-3x+13 =-x+17 -x+17 (3x+1)개 3 1 단계 -16xy =xÖy-16_x_y x y 76 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 76 2017-06-10 오후 4:06:32 Ö - { ;4&;} -16_ _ - { ;4!; ;4&;} =100-60+12x =12x+40 2 단계 - { ;7$;} +7 2 단계 x=2를 12x+40에 대입하면 12_2+40=64 = 1 4 = 1 4 _ 1 7 = 48 7 =- +7 12x+40, 64 단계 1 2 채점요소 색칠한 부분의 넓이를 문자를 사용한 식으로 나 타내기 x=2일 때의 넓이 구하기 배점 5점 2점 단계 1 2 채점요소 x, y의 값을 주어진 식에 대입하기 식의 값 구하기 4 1 단계 8 x- -6 x- {;3!; ;4!;} ;2!;} {;4#; =6x-4-2x+ =4x- ;2#; ;2%; 2 단계 따라서 A=4, B=- 이므로 ;2%; 3 단계 AB=4_ { - ;2%;} =-10 채점요소 단계 1 2 3 주어진 식 간단히 하기 A, B의 값 구하기 AB의 값 구하기 :¢7¥: 배점 3점 3점 -10 배점 3점 1점 2점 5 1 단계 ⑴ 어떤 다항식을 라 하면 +(3y+1)=7y-1 ∴ =7y-1-(3y+1) =7y-1-3y-1 =4y-2 2 단계 ⑵ 바르게 계산한 식은 4y-2-(3y+1) =4y-2-3y-1 =y-3 채점요소 ⑴ 4y-2 ⑵ y-3 배점 4점 3점 단계 1 2 어떤 다항식 구하기 바르게 계산한 식 구하기 6 1 단계 (색칠한 부분의 넓이) =(정사각형의 넓이)-(안쪽 직사각형의 넓이) =10_10-6_(10-2x) 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 77 2017-06-10 오후 4:06:34 Ⅲ. 문자와 식 77 2 일차방정식의 풀이 01 방정식과 그 해 개념원리 확인하기 01 풀이 참조 02 ② 04 ㄱ. 2x=6에서 x=3일 때만 등식이 성립하므로 방정식 ㄴ. x+1=5에서 x=4일 때만 등식이 성립하므로 방정 이다. 식이다. 본문 161쪽 ㄷ. x+x=2x에서 좌변을 정리하면 x+x=2x, 즉 (좌변)=(우변)이므로 x에 어떤 수를 대입하여도 등식 이 성립한다. ∴ 항등식 03 ⑴ 방 ⑵ 항 ⑶ 항 ⑷ 방 04 ㄷ, ㄹ ㄹ. 2x-1=x+x-1에서 우변을 정리하면 x+x-1=2x-1, 즉 (좌변)=(우변)이므로 x에 어 떤 수를 대입하여도 등식이 성립한다. ∴ 항등식 ㄷ, ㄹ 이렇게 풀어요 01 등식이면 , 등식이 아니면 × 5x-2=3x x>7 3+7=10 2x+1 4x-7É6 × × × 등식일 때 좌변 5x-2 우변 3x 3+7 10 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 162~163쪽 풀이 참조 1 ⑴ 6x=9 ⑵ 3000-400x=200 2 ④ 3 ④ 4 4 02 각 방정식에 x=2를 대입하여 등식이 성립하는 것을 찾 이렇게 풀어요 는다. ① 5_2-10+-5 ② 4_2-4=2_2 ③ 3_2-1+6 ④ 7_2-6+5_2 ⑤ 2-6+3_2-6+2_2 따라서 해가 x=2인 방정식은 ②이다. 1 ⑴ (거리)=(속력)_(시간)이므로 6x=9 ⑵ 400원짜리 볼펜을 x자루 사고 3000원을 내었을 때의 거스름돈 ⇨ (3000-400x)원 ∴ 3000-400x=200 ⑴ 6x=9 ⑵ 3000-400x=200 2 각 방정식에 x=-3을 대입하여 등식이 성립하는 것을 ② 찾는다. 03 ⑴ 3x+1=10은 x=3일 때만 등식이 성립하므로 방정 식이다. ⑵ x-7x=-6x에서 좌변을 정리하면 x-7x=-6x, 즉 (좌변)=(우변)이므로 x에 어떤 수를 대입하여도 등 식이 성립한다. ∴ 항등식 ⑶ 2(x-5)=2x-10에서 좌변을 정리하면 2(x-5)=2x-10, 즉 (좌변)=(우변)이므로 x에 어 ① 5_(-3)+3+2×(-3) ② 0.3_(-3)+1+0.5 ③ 2_(-3)+3+-(-3-3) ④ 4(-3+3)=-3(-3+3) ⑤ _(-3)- +- +1 ;2!; ;6#; ;3@; 따라서 해가 x=-3인 방정식은 ④이다. ④ 떤 수를 대입하여도 등식이 성립한다. ∴ 항등식 3 x의 값에 관계없이 항상 성립하는 것은 x에 대한 항등식 ⑷ 8x-x=x는 x=0일 때만 등식이 성립하므로 방정식 이다. 이다. ① x+3=5에서 x=2일 때만 등식이 성립하므로 방정식 ⑴ 방 ⑵ 항 ⑶ 항 ⑷ 방 이다. 78 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 78 2017-06-10 오후 4:06:35 ② x-3=2x에서 x=-3일 때만 등식이 성립하므로 ④ 4x-6=2(2x-3)에서 우변을 정리하면 ③ 2x-1=4x-2에서 x= 일 때만 등식이 성립하므 방정식이다. 로 방정식이다. 1 2 ④ 2x-5=-5+2x에서 (좌변)=(우변)이므로 x에 어 떤 수를 대입하여도 등식이 성립한다. ∴ 항등식 ⑤ 2x+3=5x에서 x=1일 때만 등식이 성립하므로 방 정식이다. 2(2x-3)=4x-6, 즉 (좌변)=(우변)이므로 x에 어떤 수를 대입하여도 등식이 성립한다. ∴ 항등식 ⑤ 5x+3x=8x에서 좌변을 정리하면 5x+3x=8x, 즉 (좌변)=(우변)이므로 x에 어떤 수를 대입하여도 등식 이 성립한다. ∴ 항등식 ③ ④ 03 [ ] 안의 수를 주어진 방정식의 x에 대입하면 ① 2_(-1)+1+1 ② 3-2+5 4 9x+2=a(1+3x)+b에서 우변을 정리하면 ③ =-3 ④ 3(3-1)+0 -6 2 a(1+3x)+b=3ax+a+b 따라서 9x+2=3ax+a+b가 모든 x에 대하여 항상 참, ⑤ 2-3_2+-6 ③ 04 각 방정식에 x=-2를 대입하여 등식이 성립하는 것을 찾 즉 x에 대한 항등식이므로 9=3a에서 a=3 2=a+b에서 b=-1 ∴ a-b=3-(-1)=4 4 는다. ① 5-(-2)+1 ② -2+-(-2)-8 ③ -2-3_(-2)+2 ④ -2 6 + -2 3 - 1 10 이런 문제가 시험에 나온다 본문 164쪽 01 ㄱ, ㅁ 04 ⑤ 02 ③ 05 5 03 ③ 06 9x-12 이렇게 풀어요 01 보기의 문장을 식으로 나타내면 ㄱ. x-6=4 ㄷ. 2x+3+7 ㅁ. xÖ2=8 ㄴ. -6<-5 ㄹ. 3(x+2) 따라서 등식인 것은 ㄱ, ㅁ이다. ⑤ 4(-2-1)-(-2+3)=-13 따라서 해가 x=-2인 방정식은 ⑤이다. ⑤ 05 10x+3=a(2-5x)+b에서 우변을 정리하면 a(2-5x)+b=2a-5ax+b 따라서 10x+3=-5ax+2a+b가 x의 값에 관계없이 항상 성립하므로, 즉 x에 대한 항등식이므로 10=-5a에서 a=-2 3=2a+b에서 b=7 ∴ a+b=-2+7=5 5 ㄱ, ㅁ 02 ① 5x-5=5(x-1)에서 우변을 정리하면 5(x-1)=5x-5, 즉 (좌변)=(우변)이므로 x에 어떤 06 6(x-2)=-3x+ 6x-12=-3x+ , ;;;;;. , ;;;;;. 에서 수를 대입하여도 등식이 성립한다. ∴ 항등식 이 식이 x에 대한 항등식이므로 (좌변)=(우변)이어야 ② 2x+1=3x+1-x에서 우변을 정리하면 3x+1-x=2x+1, 즉 (좌변)=(우변)이므로 x에 어 떤 수를 대입하여도 등식이 성립한다. ∴ 항등식 ③ x-3=2x-3에서 x=0일 때만 등식이 성립하므로 한다. ∴ , ;;;;;. =6x-12-(-3x) =6x-12+3x =9x-12 방정식이다. 9x-12 Ⅲ. 문자와 식 79 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 79 2017-06-10 오후 4:06:37 ③ ㉠ 02 등식의 성질 개념원리 확인하기 01 풀이 참조 02 ⑤ ⑷ 3, 3, 3, -3 이렇게 풀어요 03 ⑴ 5, 5, 5, 7 ⑵ 7, 7, 7, -10 ⑶ 3, 3, 3, 6 01 ⑴ 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다. ⑵ 등식의 양변에서 같은 수를 빼어도 등식은 성립한다. ⑶ 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다. ⑷ 등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성 립한다. 풀이 참조 a-3=b-3 a-3=b-3의 양변에 3을 더하면 a=b 본문 166쪽 ㄱ, ㄹ 2 ① a-2=b+3의 양변에 4를 더하면 a+2=b+7 ② 3a=-9b의 양변을 3으로 나누면 a=-3b 양변에 1을 더하면 a+1=-3b+1 ③ a-3=b+2의 양변에 8을 더하면 a+5=b+10 ④ 4a+5=4b+5의 양변에서 5를 빼면 4a=4b 양변을 4로 나누면 a=b ⑤ = ;3A; ;5B; 의 양변에 15를 곱하면 5a=3b 양변에 5를 더하면 5a+5=3b+5 즉, 5(a+1)=3b+5 02 ① a=b의 양변에 2를 더한 것이다. ② a=b의 양변에서 3을 뺀 것이다. ③ a=b의 양변에 -1을 곱한 것이다. ④ a=b의 양변을 5로 나눈 것이다. 3 ㉠ 등식의 양변에 6을 곱한다. ㉡ 등식의 양변에 6을 더한다. ㉢ 등식의 양변을 4로 나눈다. ⑤ a=3, b=4, c=0인 경우 3×0=4×0이지만 3+4이다. ⑤ 참고 ⑤ 등식의 성질 ⑷에서 양변을 0이 아닌 같은 수로 4 ⑴ - x+4=6의 양변에서 4를 빼면 나누어야 하므로 c+0이라는 조건이 있어야 옳은 문장 이 된다. ⑷ 3, 3, 3, -3 03 ⑴ 5, 5, 5, 7 ⑵ 7, 7, 7, -10 ⑶ 3, 3, 3, 6 ;3@; ;3@; ;3@; - x+4-4=6-4, - x=2 - x=2의 양변에 - 을 곱하면 ;3@; ;2#; - x_ { ;3@; - ;2#;} =2× { - ;2#;} ∴ x=-3 ⑵ 45=3x+15의 양변에서 15를 빼면 45-15=3x+15-15, 30=3x 30=3x의 양변을 3으로 나누면 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 167~168쪽 1 ㄱ, ㄹ 2 ③ 3 ㉠ 4 ⑴ x=-3 ⑵ x=10 ⑶ x=-3 = :£3Ó: :£3¼: ∴ x=10 이렇게 풀어요 1 ㄱ. c+0일 때만 성립한다. ㄴ. ;4{;=;5}; 의 양변에 20을 곱하면 5x=4y ㄷ. x-2=y-1의 양변에 2를 더하면 x=y+1 ㄹ. 2(a-3)=2(b-3)의 양변을 2로 나누면 80 정답과 풀이 ⑶ 2x-4=5x+5의 양변에 4를 더하면 2x-4+4=5x+5+4, 2x=5x+9 2x=5x+9의 양변에서 5x를 빼면 2x-5x=5x+9-5x, -3x=9 -3x=9의 양변을 -3으로 나누면 -3x -3 = 9 -3 ∴ x=-3 ⑴ x=-3 ⑵ x=10 ⑶ x=-3 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 80 2017-06-10 오후 4:06:38 이런 문제가 시험에 나온다 본문 169쪽 ㈏ 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다. 01 ③, ⑤ 03 ㈎ : ㄷ, ㈏ : ㄱ 02 ④ 04 ④ ⇨ ㄱ ㈎ : ㄷ, ㈏ : ㄱ =b의 양변에 3을 곱하면 a=3b ;4!; x_4=3_4 ∴ x=12 ④ 04 ④ ;4!; x=3의 양변에 4를 곱하면 이렇게 풀어요 01 ① ;3A; b 2 ② a= 의 양변에 2를 곱하면 2a=b 2a=b의 양변에 3을 더하면 2a+3=b+3 ③ 3a=4b의 양변을 9로 나누면 a 3 = b ;9$; ④ a-b=x-y의 양변에 b를 더하면 a=x-y+b 03 일차방정식의 풀이 a=x-y+b의 양변에서 x를 빼면 a-x=b-y 개념원리 확인하기 ⑤ = ;5A; b 7 의 양변에 35를 곱하면 7a=5b 01 풀이 참조 02 풀이 참조 7a=5b의 양변에서 7을 빼면 03 ⑴ ① 10, 10x-7=13x+50 ② -3x=57 본문 172쪽 7a-7=5b-7 7(a-1)=5 { b- 7 5 } 따라서 옳지 않은 것은 ③, ⑤이다. ③, ⑤ ⑵ ① 100, 25x-60=10x+15 ② 15x=75 ③ x=-19 ③ x=5 ⑶ ① 12, 6x+3=8x ② -2x=-3 ③ x= ⑷ ① 6, 4x-(x+5)=6 ② 3x=11 ③ x= ;2#; :Á3Á: 02 ① x=2y의 양변을 2로 나누면 =y ;2{; ② x=2y의 양변에서 3을 빼면 x-3=2y-3 ③ x=2y의 양변에 3을 곱하면 3x=6y 이렇게 풀어요 3x=6y의 양변에 6을 더하면 3x+6=6y+6 01 ⑴ x=8-6 ④ x=2y의 양변에 -3을 곱하면 -3x=-6y -3x=-6y의 양변에 2를 더하면 -3x+2=-6y+2 ⑤ x=2y의 양변에 4를 더하면 x+4=2y+4 x+4=2y+4의 양변을 2로 나누면 ⑵ 4x-2x=-1 ⑶ 3x=-2+4 ⑷ x- x=-2+ ;3!; ;5!; ;2!; ⑸ 4x+x=7+6 = x+4 2 x+4 2 ∴ 2y+4 2 =y+2 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④ 03 x-4 3 =2 x-4=6 ∴ =10 ⇨ ㄷ ㈎ 등식의 양변에 3을 곱한다. ㈏ 등식의 양변에 4를 더한다. ∴ ㈎ 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다. 풀이 참조 02 3(x-1)=x+1 2(x-2)=-3(x+2) 괄호를 풀면 3x-3=x+1 2x-4=-3x-6 미지수 x를 포 함하는 항을 좌 변으로, 상수항 을 우변으로 이 항하면 ax=b의 꼴로 정리하면 양변을 x의 계 수로 나누면 3x-x=1+3 2x+3x=-6+4 2x=4 5x=-2 x=2 x=- ;5@; 풀이 참조 Ⅲ. 문자와 식 81 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 81 2017-06-10 오후 4:06:41 03 ⑴ ① 10, 10x-7=13x+50 ② -3x=57 3 ⑴ 괄호를 풀면 4-6x=-8x+12 ⑵ ① 100, 25x-60=10x+15 ② 15x=75 ∴ x=4 ③ x=-19 ③ x=5 ⑶ ① 12, 6x+3=8x ② -2x=-3 ③ x= ⑷ ① 6, 4x-(x+5)=6 ② 3x=11 ③ x= ;2#; :Á3Á: -6x+8x=12-4, 2x=8 ⑵ 괄호를 풀면 3x-6=4+x 3x-x=4+6, 2x=10 ⑶ 괄호를 풀면 7x-9+4x=3x-33 7x+4x-3x=-33+9, 8x=-24 ∴ x=5 ∴ x=-3 ⑷ 2[3x-{5-(2x-1)}]=4x+6에서 2{3x-(5-2x+1)}=4x+6 2{3x-(6-2x)}=4x+6 2(3x-6+2x)=4x+6 2(5x-6)=4x+6 10x-12=4x+6 10x-4x=6+12 6x=18 ∴ x=3 ⑴ x=4 ⑵ x=5 ⑶ x=-3 ⑷ x=3 4 ⑴ 양변에 10을 곱하면 5x+20=7x-40 5x-7x=-40-20, -2x=-60 ∴ x=30 ⑵ 양변에 100을 곱하면 30x-200=15x+100 30x-15x=100+200, 15x=300 ∴ x=20 ⑶ 양변에 10을 곱하면 6(x-2)=12(3-5x) 6x-12=36-60x, 6x+60x=36+12 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 173~177쪽 1 ④, ⑤ 2 ② 3 ⑴ x=4 ⑵ x=5 ⑶ x=-3 ⑷ x=3 4 ⑴ x=30 ⑵ x=20 ⑶ x= ⑷ x=2 ;1¥1; ;3*; 5 ⑴ x=3 ⑵ x= ⑶ x=- ⑷ x=- ;5&; ;7(; 6 ⑴ 2 ⑵ ⑶ :¢3¢: ;4(; 7 ⑴ -1 ⑵ ;8#; 8 ⑴ 20 ⑵ 2 9 a=2, b+-3 10 ⑴ 5개 ⑵ 1, 2, 3 이렇게 풀어요 1 ① 5를 우변으로 이항하면 2x=7-5 ② -2를 우변으로 이항하면 5x=8+2 ③ 7x를 좌변으로 이항하면 -2x-7x=5 ④ 1을 우변으로, -x를 좌변으로 이항하면 3x+x=2-1 ⑤ 2를 우변으로, 6x를 좌변으로 이항하면 3x-6x=-4-2 ④, ⑤ 2 ① 3x+3=3x에서 3x+3-3x=0 즉, 3=0이므로 일차방정식이 아니다. 66x=48 ∴ x= ;1¥1; ⑷ 양변에 100을 곱하면 ② xÛ`-2x-xÛ`-x-1=0에서 -3x-1=0이므로 일 36x-59=4x+5 차방정식이다. 36x-4x=5+59, 32x=64 ③ x+5-x=0에서 5=0이므로 일차방정식이 아니다. ∴ x=2 ④ -2x-2=-2x-1에서 -2x-2+2x+1=0 즉, -1=0이므로 일차방정식이 아니다. ⑤ 3x-6=3x-6에서 3x-6-3x+6=0 ⑴ x=30 ⑵ x=20 ⑶ x= ⑷ x=2 ;1¥1; 즉, 0_x=0이므로 일차방정식이 아니다. 5 ⑴ 양변에 4를 곱하면 ② 4(2x-5)=4x-(3x-1) 82 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 82 2017-06-10 오후 4:06:42 ⑷ x- =- - x+6 의 양변에 분모 10, 2, 8 ⑴ 2x-1 3 = x+3 2 을 풀면 8x-20=4x-3x+1, 8x-4x+3x=1+20 7 ⑴ x=4를 주어진 식에 대입하면 9x-3-6x+30=28x-8 ⑵ x= 을 주어진 식에 대입하면 7x=21 ∴ x=3 ⑵ 양변에 분모 4, 2, 3의 최소공배수인 12를 곱하면 3(3x-1)-6(x-5)=4(7x-2) 9x-6x-28x=-8+3-30, -25x=-35 ∴ x= ;5&; 2-x 2 ⑶ - ;3!; ;4#; = x의 양변에 분모 3, 2, 4의 최소공배 수인 12를 곱하면 4-6(2-x)=9x, 4-12+6x=9x 6x-9x=8, -3x=8 ∴ x=- 8 3 5 2 ;1!0#; ;3@;{ 3, 5의 최소공배수인 30을 곱하면 ;5!; } 39x-75=-20 - 1 5 x+6 } { 39x-75=4x-120, 39x-4x=-120+75 35x=-45 ∴ x=- 9 7 ⑴ x=3 ⑵ x= ⑶ x=- ⑷ x=- ;5&; ;3*; ;7(; 6 ⑴ (3x-1)：2=(2x+6)：4에서 4(3x-1)=2(2x+6) 12x-4=4x+12, 12x-4x=12+4 8x=16 ∴ x=2 ⑵ 3：(x+6)=2：(2x+1)에서 3(2x+1)=2(x+6) 6x+3=2x+12, 6x-2x=12-3 4x=9 ∴ x= ⑶ 2.4 : (3x-2)= : (x-3)에서 9 4 2 3 2 3 2 3 2.4(x-3)= (3x-2) (x-3)= (3x-2) :Á5ª: 양변에 분모 5, 3의 최소공배수인 15를 곱하면 36(x-3)=10(3x-2), 36x-108=30x-20 36x-30x=-20+108, 6x=88 ∴ x= 44 3 (4+2)+a= _4, 4+a=3 ;3@; 3 4 a=3-4 ∴ a=-1 16 3 16 3 16 3 a+ = ;2!; 3 4 _ :Á3¤: - ;2#; a=4- - , ;2!; :Á3¤: ;2#; a=2 16a=6 ∴ a= 3 8 ⑴ -1 ⑵ ;8#; 2(2x-1)=3(x+3), 4x-2=3x+9 4x-3x=9+2 ∴ x=11 해가 같으므로 x=11을 2x+a=4x-2에 대입하면 2_11+a=4_11-2, 22+a=44-2 a=42-22 ∴ a=20 ⑵ 1.2x-0.3=0.8x+1.7을 풀면 12x-3=8x+17, 12x-8x=17+3 4x=20 ∴ x=5 해가 같으므로 x=5를 ax+8=28-2x에 대입하면 a_5+8=28-2_5, 5a+8=28-10 5a=18-8, 5a=10 ∴ a=2 ⑴ 20 ⑵ 2 9 ax-3=2x+b에서 ax-2x=b+3, (a-2)x=b+3 해가 없으므로 a-2=0에서 a=2 b+3+0에서 b+-3 a=2, b+-3 10 ⑴ x- (x-2a)=6에서 1 2 2x-(x-2a)=12, 2x-x+2a=12 ∴ x=12-2a a=1, 2, 3, 4, 5 이때 12-2a가 자연수이어야 하므로 Ⅲ. 문자와 식 83 ⑴ 2 ⑵ ⑶ ;4(; :¢3¢: 따라서 구하는 자연수 a의 개수는 5개이다. 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 83 2017-06-10 오후 4:06:46 (x+6a)-x=8에서 1 ⑵ 3 x+6a-3x=24, -2x=24-6a ∴ x=3a-12 이때 3a-12가 음의 정수이어야 하므로 자연수 a는 1, 2, 3이어야 한다. ⑴ 5개 ⑵ 1, 2, 3 참고 ⑴ x=12-2a가 자연수가 되기 위해서는 a=1일 때, x=12-2=10 () a=2일 때, x=12-4=8 () a=3일 때, x=12-6=6 () a=4일 때, x=12-8=4 () a=5일 때, x=12-10=2 () a=6일 때, x=12-12=0 (×) 5x-6x-2x=-1+10+3 -3x=12 ∴ x=-4 ⑷ 괄호를 풀면 x-8x+28=3x-2 x-8x-3x=-2-28, -10x=-30 ∴ x=3 ⑸ 4-{3-(2x-5)}=10+x에서 4-(3-2x+5)=10+x 4-(8-2x)=10+x 4-8+2x=10+x 2x-x=10+4 ∴ x=14 ⑴ x=-3 ⑵ x=7 ⑶ x=-4 ⑷ x=3 ⑸ x=14 이므로 주어진 방정식의 해가 자연수가 되려면 자연수 a는 1, 2, 3, 4, 5이어야 한다. 02 ⑴ 양변에 10을 곱하면 35x-48=8 35x=8+48, 35x=56 ∴ x= ;5*; ⑵ x=3a-12가 음의 정수가 되기 위해서는 ⑵ 양변에 100을 곱하면 5x-12=3x a=1일 때, x=3-12=-9 () a=2일 때, x=6-12=-6 () a=3일 때, x=9-12=-3 () a=4일 때, x=12-12=0 (×) 5x-3x=12, 2x=12 ∴ x=6 ⑶ 양변에 10을 곱하면 6(2x-3)=7(x-4) 12x-18=7x-28, 12x-7x=-28+18 5x=-10 ∴ x=-2 이므로 주어진 방정식의 해가 음의 정수가 되려면 자 ⑷ 양변에 10을 곱하면 18(x-1)=31x+21 연수 a는 1, 2, 3이어야 한다. 18x-18=31x+21, 18x-31x=21+18 -13x=39 ∴ x=-3 ⑴ x= ⑵ x=6 ⑶ x=-2 ⑷ x=-3 ;5*; 03 ⑴ 양변에 분모 3, 5의 최소공배수인 15를 곱하면 5x+15=3(x-3), 5x+15=3x-9 5x-3x=-9-15, 2x=-24 ∴ x=-12 ⑵ 양변에 분모 3, 6, 2의 최소공배수인 6을 곱하면 2x-1=3+4x, 2x-4x=3+1 -2x=4 ∴ x=-2 ⑶ 양변에 분모 4, 8의 최소공배수인 8을 곱하면 24-2(5-3x)=5(x-2) 24-10+6x=5x-10 6x-5x=-10-24+10 ∴ x=-24 ⑷ 양변에 4를 곱하면 4x-(x-2)=20 4x-x+2=20, 4x-x=20-2 3x=18 ∴ x=6 ⑸ x- x= ;2!; ;4#; 2x-7 6 배수인 12를 곱하면 의 양변에 분모 2, 4, 6의 최소공 계산력 강화하기 본문 178쪽 01 ⑴ x=-3 ⑵ x=7 ⑶ x=-4 ⑷ x=3 ⑸ x=14 02 ⑴ x= ;5*; ⑵ x=6 ⑶ x=-2 ⑷ x=-3 03 ⑴ x=-12 ⑵ x=-2 ⑶ x=-24 ⑷ x=6 ⑸ x=2 ⑹ x=11 이렇게 풀어요 01 ⑴ 괄호를 풀면 2x-2=5x+7 2x-5x=7+2, -3x=9 ⑵ 괄호를 풀면 5x-15=2x+6 5x-2x=6+15, 3x=21 ∴ x=-3 ∴ x=7 ⑶ 괄호를 풀면 5x-10-6x-3=2x-1 84 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 84 2017-06-10 오후 4:06:47 ⑤ ④ ② ② 6x-9x=2(2x-7), -3x=4x-14 -3x-4x=-14, -7x=-14 ∴ x=2 ⑹ 양변에 분모 2, 3의 최소공배수인 6을 곱하면 8x-3x=12+3, 5x=15 ∴ x=3 3(x-3)=2(x+1), 3x-9=2x+2 3x-2x=2+9 ∴ x=11 04 양변에 분모 3, 2의 최소공배수인 6을 곱하면 2(-2x-1)=6-3(x+5) ⑴ x=-12 ⑵ x=-2 ⑶ x=-24 -4x-2=6-3x-15 ⑷ x=6 ⑸ x=2 ⑹ x=11 -4x+3x=6-15+2, -x=-7 ∴ x=7 이런 문제가 시험에 나온다 본문 179~180쪽 01 3개 05 ② 09 ⑤ 02 ④ 06 ② 03 ⑤ 07 ⑤ 04 ④ 08 x=-2 10 ⑴ 1 ⑵ -2 11 2 12 1, 2, 3, 4, 5 이렇게 풀어요 01 일차방정식은 ㄴ, ㄹ, ㅂ의 3개이다. 05 양변에 100을 곱하면 12 x+ { ;6%;} =5 x- { ;5$;} , 12x+10=5x-4 12x-5x=-4-10, 7x=-14 ∴ x=-2 06 0.5(x-1)-1.9=0.1x의 양변에 10을 곱하면 5(x-1)-19=x, 5x-5-19=x 5x-x=5+19, 4x=24 ∴ x=6 02 괄호를 풀면 2x+4=ax-3a에서 2x+4-ax+3a=0 (2-a)x+4+3a=0 위 등식이 x에 대한 일차방정식이 되려면 2-a+0이어야 하므로 a+2 03 ① 5x=7x+6에서 5x-7x=6, -2x=6 ∴ x=-3 ② 괄호를 풀면 -x+5=-2x+2 -x+2x=2-5 ∴ x=-3 ③ 괄호를 풀면 3-3x=2x+18 -3x-2x=18-3, -5x=15 3개 ∴ a=6 (3x-1)`:`(4-x)=2`:`3에서 3(3x-1)=2(4-x) 9x-3=8-2x, 9x+2x=8+3 11x=11 ∴ x=1 ∴ b=1 ∴ a-b=6-1=5 ④ 07 ① 양변에 10을 곱하면 5x-8=3x-15, 5x-3x=-15+8 2x=-7 ∴ x=-;2&; ② -5x+5x=7-7, 0_x=0 ∴ 해가 무수히 많다. ③ 양변에 10을 곱하면 5x-20=5x-20, 5x-5x=-20+20 ∴ x=-3 ∴ x=-3 ④ 양변에 10을 곱하면 23x+8=15x-16 0_x=0 ∴ 해가 무수히 많다. 23x-15x=-16-8, 8x=-24 ④ 2x+x=0, 3x=0 ∴ x=0 ⑤ 양변에 분모 3, 4의 최소공배수인 12를 곱하면 ⑤ 양변에 10을 곱하면 8x-3(x+1)=12, 8x-3x-3=12 6(x+4)=6x+20, 6x+24=6x+20 Ⅲ. 문자와 식 85 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 85 2017-06-10 오후 4:06:50 6x-6x=20-24, 0_x=-4 -3a-a=-7+15, -4a=8 ∴ 해가 없다. ∴ a=-2 ⑤ ⑴ 1 ⑵ -2 08 x-[2x+3{4x-(5x-1)}]=5x+3에서 x-{2x+3(4x-5x+1)}=5x+3 x-{2x+3(-x+1)}=5x+3 x-(2x-3x+3)=5x+3 x-(-x+3)=5x+3 x+x-3=5x+3 -3x=6 ∴ x=-2 09 양변에 분모 5, 6, 3의 최소공배수인 30을 곱하면 6(3x-1)+5(2x+a)=50 18x-6+10x+5a=50, 18x+10x=50+6-5a 28x=56-5a ;4#; x= 을 대입하면 28_ ;4#; 21=56-5a, 5a=56-21 =56-5a 5a=35 ∴ a=7 11 x=4를 2x+a 3 - x+1 4 = 에 대입하면 2_4+a 3 - 4+1 4 = 5 12 , - 5 4 = 5 12 5 12 8+a 3 양변에 분모 3, 4, 12의 최소공배수인 12를 곱하면 4(8+a)-15=5, 32+4a-15=5 4a=5-32+15, 4a=-12 ∴ a=-3 0.3(4-2)+0.2(-2_4+b)=0 양변에 10을 곱하면 6+2(-8+b)=0, 6-16+2b=0 2b=10 ∴ b=5 ∴ a+b=-3+5=2 x=-2 x=4를 0.3(x-2)+0.2(-2x+b)=0에 대입하면 2 12 x+2a=3(x+4)에서 x+2a=3x+12, x-3x=12-2a -2x=12-2a ∴ x=-6+a ⑤ 이때 -6+a가 음의 정수가 되려면 자연수 a의 값은 1, 2, 3, 4, 5이어야 한다. 1, 2, 3, 4, 5 10 ⑴ 0.3(x-2)=0.4(x+2)+0.1의 양변에 10을 곱하면 3(x-2)=4(x+2)+1, 3x-6=4x+8+1 3x-4x=9+6, -x=15 ∴ x=-15 해가 같으므로 x=-15를 ax+1=2x+16에 대입 a_(-15)+1=2_(-15)+16 -15a=-30+16-1, -15a=-15 하면 ∴ a=1 -3x+2x-6=-5, -x=-5+6 -x=1 ∴ x=-1 해가 같으므로 x=-1을 5x-a 2 = 7x+a 6 에 대입 하면 5_(-1)-a 2 = 7_(-1)+a 6 양변에 분모 2, 6의 최소공배수인 6을 곱하면 3(-5-a)=-7+a, -15-3a=-7+a 86 정답과 풀이 step (기본문제) 01 2개 02 ③ 03 ①, ⑤ 04 ⑤ 본문 181~182쪽 08 ⑴ x=- :Á4°: ⑵ x=5 ⑶ x= ;8&; 10 ⑤ 11 ⑤ 12 3 09 ④ 13 ③ 이렇게 풀어요 01 ㄱ, ㄹ. 항등식 ㄴ, ㅁ. 방정식 ⑵ -3x+2(x-3)=-5에서 괄호를 풀면 05 ①, ② 06 ⑤ 07 ;3&; 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 86 2017-06-10 오후 4:06:52 ㄷ. 항상 거짓이 되는 등식 ⑤ 2(3x-4)=3(x+5)+3에서 괄호를 풀면 따라서 항등식인 것은 ㄱ, ㄹ의 2개이다. 6x-8=3x+15+3, 6x-3x=18+8 2개 3x=26 ∴ x= :ª3¤: 따라서 주어진 방정식 중 해가 가장 큰 것은 ⑤이다. 02 각 방정식에 x=-3을 대입하여 등식이 성립하는 것을 찾는다. ① 2{3-(-3)}+-3_(-3)+4 ② -3+1+11-3_(-3) ③ 0.1-0.2_(-3)=0.1_(-3)+1 ④ -3 2 + ;3!; +1 07 (3x+2) : 6= 3x+5 2 : 4에서 4(3x+2)=6_ 3x+5 2 12x+8=9x+15, 12x-9x=15-8 ⑤ _(-3)- + _(-3) ;3@; ;6&; ;4%; ③ 3x=7 ∴ x= ;3&; ⑤ ;3&; 03 ① 6x+2=8 ⇨ 6x=8-2 ⑤ 9+3x=5x ⇨ 3x-5x=-9 04 ⑤ ;4#; x=6의 양변에 4를 곱하면 x_4=6_4 ∴ 3x=24 ;4#; 05 등식의 한 변에 있는 항을 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮 기는 것을 이항이라 하며 등식의 성질 중 같은 수를 더하 거나 빼는 것이 이용된다. 06 ① -x+5x=26-6, 4x=20 ∴ x=5 ② 양변에 100을 곱하면 30x+5=65, 30x=65-5 30x=60 ∴ x=2 ③ 양변에 분모 3, 2, 5의 최소공배수인 30을 곱하면 20x-15=-12x+30 20x+12x=30+15 32x=45 ∴ x= ;3$2%; ④ 양변에 100을 곱하면 20x+40=-17x-34 20x+17x=-34-40 37x=-74 ∴ x=-2 ①, ⑤ 08 ⑴ 2-{4(x-1)-3(x+3)}=-5x에서 2-(4x-4-3x-9)=-5x 2-(x-13)=-5x, 2-x+13=-5x -x+5x=-2-13, 4x=-15 ∴ x=- :Á4°: ⑤ ⑵ 양변에 100을 곱하면 2x-15=-7x+30 2x+7x=30+15, 9x=45 ∴ x=5 ⑶ 3x-2x+ 2(1-2x) 3 = 2x-1 2 에서 ①, ② 양변에 분모 3, 2의 최소공배수인 6을 곱하면 18x-12x+4(1-2x)=3(2x-1) 18x-12x+4-8x=6x-3 18x-12x-8x-6x=-3-4 -8x=-7 ∴ x= 7 8 ⑴ x=- ⑵ x=5 ⑶ x= :Á4°: ;8&; 09 ④ 20-x_4=3이므로 20-4x=3이다. ④ 10 ax-10=5(x+b)에서 우변을 정리하면 5(x+b)=5x+5b 따라서 ax-10=5x+5b가 x의 값에 관계없이 항상 성 립하므로, 즉 x에 대한 항등식이므로 Ⅲ. 문자와 식 87 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 87 2017-06-10 오후 4:06:55 a=5, -10=5b에서 b=-2 ∴ a+b=5+(-2)=3 ∴ (a+2)xÛ`+(1+3b)x-5=0 이 등식이 일차방정식이 되려면 ⑤ a+2=0에서 a=-2 1+3b+0에서 b+- ;3!; 02 (cid:20)(cid:89) (cid:89)(cid:14)(cid:23) (cid:22)(cid:89) ⑤ (cid:21)(cid:89)(cid:14)(cid:23) (cid:23)(cid:89)(cid:14)(cid:23) (cid:19)(cid:25) 4x-6+6x-6=28, 10x=40 ∴ x=4 03 (x+2)`:`(2x-3)=5`:`3에서 3(x+2)=5(2x-3), 3x+6=10x-15 3 3x-10x=-15-6, -7x=-21 ∴ x=3 x=3을 (2x+a)`:`(a-x)=3`:`2에 대입하면 (2_3+a)`:`(a-3)=3`:`2 2(6+a)=3(a-3) 12+2a=3a-9, 2a-3a=-9-12 -a=-21 ∴ a=21 ② 4 21 ③ 04 ① a=b의 양변에 -3을 곱하면 -3a=-3b 양변에 2를 더하면 2-3a=2-3b ② a=2b의 양변에 5를 더하면 a+5=2b+5, a+5=2 { b+ 5 2 } ③ 3a=2b의 양변을 6으로 나누면 본문 183~184쪽 a 2 = ;3B; 이다. ④ a+3=b+5의 양변에 3을 더하면 a+6=b+8이다. ⑤ 2(a-3)=2(b-3)의 양변을 2로 나누면 a-3=b-3 양변에 3을 더하면 a=b 따라서 옳지 않은 것은 ②이다. ② 11 x=-1을 주어진 방정식에 대입하면 a(-1+2) 3 - 2-a_(-1) 4 = ;6!; - ;3A; 2+a 4 = ;6!; 양변에 분모 3, 4, 6의 최소공배수인 12를 곱하면 4a-3(2+a)=2, 4a-6-3a=2 4a-3a=2+6 ∴ a=8 12 (x+1) : (2x-1)=3 : 5에서 5(x+1)=3(2x-1), 5x+5=6x-3 5x-6x=-3-5, -x=-8 ∴ x=8 x=8을 a(2x-5)=33에 대입하면 a(2_8-5)=33, 11a=33 ∴ a=3 13 x+3 2 =2(x-1)-1의 양변에 2를 곱하면 x+3=4(x-1)-2, x+3=4x-4-2 x-4x=-6-3, -3x=-9 ∴ x=3 해가 같으므로 x=3을 ax+6=x+4a에 대입하면 a_3+6=3+4a, 3a-4a=3-6 -a=-3 ∴ a=3 2 step (발전문제) 02 4 06 10 ③ 01 ② 05 -3 09 ③ -;1ª5; 04 ② 03 21 07 ② 08 -3 11 x=34 12 ④ 이렇게 풀어요 01 axÛ`+x-3=-2xÛ`-3bx+2에서 axÛ`+2xÛ`+x+3bx-3-2=0 88 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 88 2017-06-10 오후 4:06:56 6x-8=12-4x, 6x+4x=12+8 -5-5a=-4a-7, -5a+4a=-7+5 로 x=-1을 대입하면 5(-1-a)=4a_(-1)-7 -a=-2 ∴ a=2 05 2 : (3-x)=4 : (3x-4)에서 2(3x-4)=4(3-x) =6-a에 대입하면 10x=20 ∴ x=2 x=2를 5x-1 3 5_2-1 3 =6-a 3=6-a ∴ a=3 ∴ aÛ`-4a=3Û`-4_3=-3 08 0.2(3x-4)- =-0.25에서 2x-1 4 -3 (3x-4)- ;5!; 2x-1 4 공배수인 20을 곱하면 =- 의 양변에 분모 5, 4의 최소 ;4!; 4(3x-4)-5(2x-1)=-5 12x-16-10x+5=-5 12x-10x=-5+16-5, 2x=6 ∴ x=3 해가 같으므로 x=3 을 에 대입하면 x-3a 3 =2+ x-3a 6 1-a 2 3-3a 3 =2+ 3-3a 6 , 1-a=2+ 2(1-a)=4+1-a, 2-2a=5-a -2a+a=5-2, -a=3 ∴ a=-3 -3 09 좌변의 x항의 계수 5를 a로 잘못 보았다고 하면 ax+2=3x+4 이 방정식의 해가 x=-2이므로 x=-2를 대입하면 a_(-2)+2=3_(-2)+4 -2a+2=-6+4, -2a=-6+4-2 -2a=-4 ∴ a=2 따라서 5를 2로 잘못 보고 풀었다. - ;1ª5; 10 5x+2b=ax+16에서 5x-ax=-2b+16 (5-a)x=-2b+16 해가 없으므로 5-a=0에서 a=5 -2b+16+0에서 b+8 ② ③ ③ 11 7x-2(x-2)=4-ax에서 7x-2x+4=4-ax, 7x-2x+ax=4-4 Ⅲ. 문자와 식 89 06 2(x-1) 3 -a=bx+ 의 양변에 분모 3, 2의 최소공배 ;2!; 수인 6을 곱하면 4(x-1)-6a=6bx+3 좌변을 정리하면 4(x-1)-6a=4x-4-6a 즉, 4x-4-6a=6bx+3이 x에 대한 항등식이므로 방정식 3(cx-2)-5=x의 해가 x=b= 이므로 2 3 4=6b에서 b= ;3@; -4-6a=3에서 a=- ;6&; x= 를 대입하면 2 3 3 c_ { ;3@; -2 -5= } ;3@; 양변에 3을 곱하면 9 c-2 } {;3@; -15=2, 6c-18-15=2 6c=35 ∴ c= :£6°: ∴ :cõ: =a_b÷c= { - ;6&;} _ Ö :£6°: 2 3 = - { ;6&;} _ _ ;3¤5; =- ;1ª5; 2 3 =- 의 양변에 분모 3, 2의 최소공배 07 x-4 3 - x-1 2 ;2!; 수인 6을 곱하면 2(x-4)-3(x-1)=-3 -x=2 ∴ x=-2 2x-8-3x+3=-3, 2x-3x=-3+8-3 따라서 방정식 5(x-a)=4ax-7의 해가 x=-1이므 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 89 2017-06-10 오후 4:06:59 (5+a)x=0 해가 무수히 많으므로 5+a=0 ∴ a=-5 a=-5를 x-(-5) 3 = x-a 3 2+x 2 = 2+x 2 +a에 대입하면 -5, 2(x+5)=3(2+x)-30 a-2=0에서 a=2 또, (b-2)x-4=x+c의 해가 무수히 많으므로 b-2=1에서 b=3, c=-4 ∴ a+b+c=2+3+(-4)=1 2x+10=6+3x-30, 2x-3x=6-30-10 03 ㉡에서 2x-6=6x-3+1, 2x-6x=-3+1+6 -x=-34 ∴ x=34 -4x=4 ∴ x=-1 x=34 그런데 ㉡의 해가 ㉠의 해의 배이므로 ;2!; 12 x- ;5!; (2x+3a)=-3의 양변에 5를 곱하면 5x-(2x+3a)=-15 5x-2x-3a=-15 3x=3a-15 ∴ x=a-5 이때 a-5가 음의 정수이어야 하므로 자연수 a는 1, 2, 3, 4이어야 한다. 따라서 a의 값의 합은 1+2+3+4=10 ㉠의 해는 x=-2 x=-2를 ㉠에 대입하면 p(-2+4)-6(q-2)+2=0 2p-6q+12+2=0 2p-6q=-14 ∴ p-3q=-7 1 -7 ④ 04 x+2 5 - 2a-3 3 15를 곱하면 =1의 양변에 분모 5, 3의 최소공배수인 3 step (실력UP) 01 -4 02 1 03 -7 04 1 05 7개 06 x= ;1!7^; 본문 185쪽 이렇게 풀어요 01 x-6, x-5 중 큰 수는 x-5이므로 (x-6, x-5)=x-5 3x+1, 3x-2 중 작은 수는 3x-2이므로 [3x+1, 3x-2]=3x-2 (x-6, x-5)-[3x+1, 3x-2]=(1, 5)에서 (x-5)-(3x-2)=5 x-5-3x+2=5 -2x=8 ∴ x=-4 02 ax+5=2x-5에서 ax-2x=-5-5 (a-2)x=-10 해가 없으므로 90 정답과 풀이 3(x+2)-5(2a-3)=15 3x+6-10a+15=15 3x=10a-6 ∴ x= 10a-6 3 x+1-2a 2 또, 수인 4를 곱하면 = a+1 4 의 양변에 분모 2, 4의 최소공배 2(x+1-2a)=a+1, 2x+2-4a=a+1 2x=5a-1 ∴ x= 5a-1 2 두 일차방정식의 해의 비가 2 : 3이므로 10a-6 3 : 5a-1 2 =2 : 3 3_ 10a-6 3 =2_ 5a-1 2 10a-6=5a-1 5a=5 ∴ a=1 1 -4 05 x- ;5!; (x-2a)=6에서 5x-(x-2a)=30 5x-x+2a=30, 4x=30-2a ∴ x= 30-2a 4 = 15-a 2 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 90 2017-06-10 오후 4:07:01 가 양의 정수가 되려면 15-a는 2의 배수이어야 2단계 x=-1을 0.1(x+4)=b { x+ ;1!0!;} 에 대입하면 15-a 2 한다. 15-a=2일 때, a=13 15-a=4일 때, a=11 15-a=6일 때, a=9 15-a=8일 때, a=7 15-a=10일 때, a=5 15-a=12일 때, a=3 15-a=14일 때, a=1 15-a=16일 때, a=-1 ⋮ 로 7개이다. 따라서 구하는 양의 정수 a는 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13이므 7개 06 양변에 2를 곱하면 x+ ;2{; =6x-4 x+ 2 양변에 2를 곱하면 2x+x+ =12x-8, 3x+ =12x-8 ;2{; ;2{; 양변에 2를 곱하면 6x+x=24x-16, 6x+x-24x=-16 -17x=-16 ∴ x= ;1!7^; 0.1(-1+4)=b { -1+ ;1!0!;} = ;1£0; ;1Á0; b ∴ b=3 3 단계 ∴ a+b=8+3=11 2 1 단계 (2x-3)- =0.5(x+1.5)에서 ;5@; ;5@; ;4#; ;4#; 1 2 { ;2#;} (2x-3)- = x+ 의 양변에 분모 5, 4, 2의 최소공배수인 20을 곱하면 8(2x-3)-15=10 { x+ ;2#;} 16x-24-15=10x+15 16x-10x=15+24+15 6x=54 ∴ x=9 2 단계 두 일차방정식의 해가 같으므로 x=9를 +a=a(x-1)에 대입하면 ;3{; +a=a(9-1), 3+a=8a ;3(; a-8a=-3, -7a=-3 ∴ a= ;7#; x= ;1!7^; 3 1 단계 3(ax+2)+9x+b=0에서 3ax+6+9x+b=0 (3a+9)x+6+b=0 x에 대한 항등식이므로 3a+9=0에서 a=-3 6+b=0에서 b=-6 본문 186~187쪽 3단계 ∴ a-b=-3-(-6)=3 2단계 위 등식이 x의 값에 관계없이 항상 성립하므로, 즉 단계 1 2 3 채점요소 좌변을 동류항끼리 정리하기 a, b의 값 각각 구하기 a-b의 값 구하기 4 1 단계 1.8x-1.2(x+0.15)=0.05(3x-0.6)의 양변에 100을 곱하면 Ⅲ. 문자와 식 91 서술형 대비 문제 1 11 5 -12 2 3 7 6 -2 이렇게 풀어요 3 3 4 0 1 1 단계 x=-1을 5x+a=-2x+1에 대입하면 5_(-1)+a=-2_(-1)+1 -5+a=3 ∴ a=8 11 ;7#; 3 배점 2점 3점 1점 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 91 2017-06-10 오후 4:07:04 180x-120(x+0.15)=5(3x-0.6) (-2)_1+a=(-3)_1-1 -2+a=-3-1 ∴ a=-2 단계 1 2 채점요소 일차방정식의 해 구하기 a의 값 구하기 -2 배점 4점 3점 180x-120x-18=15x-3 180x-120x-15x=-3+18 45x=15 ∴ x= ;3!; ∴ a= ;3!; 2단계 ∴ 9aÛ`-3a =9_ -3_ 1 3 {;3!;} 2` =1-1 =0 채점요소 단계 1 2 a의 값 구하기 9aÛ`-3a의 값 구하기 0 배점 4점 2점 -12 배점 2점 3점 1점 5 1 단계 x=-3을 3(2x-a)=3-x에 대입하면 3{2_(-3)-a}=3-(-3) 3(-6-a)=3+3, -18-3a=6 -3a=24 ∴ a=-8 2단계 x=-3을 +b에 대입하면 x-2b 3 = x-4 2 -3-2b 3 = -3-4 2 +b 2(-3-2b)=3_(-7)+6b -6-4b=-21+6b, -4b-6b=-21+6 -10b=-15 ∴ b= ;2#; 3단계 ∴ ab=(-8)_ =-12 ;2#; 채점요소 단계 1 2 3 a의 값 구하기 b의 값 구하기 ab의 값 구하기 6 1 단계 =1의 양변에 분모 2, 3의 최소공배 x+1 2 - x-1 3 수인 6을 곱하면 3(x+1)-2(x-1)=6 3x+3-2x+2=6, 3x-2x=6-3-2 ∴ x=1 2 단계 두 일차방정식의 해가 같으므로 x=1을 -2x+a=-3x-1에 대입하면 92 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 92 2017-06-10 오후 4:07:05 3 일차방정식의 활용 01 일차방정식의 활용 (1) 개념원리 확인하기 01 풀이 참조 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 193~197쪽 1 ⑴ 12세 ⑵ 8세 2 ⑴ 19 ⑵ 28 3 57 본문 192쪽 4 10개월 후 6 ⑴ 2 ⑵ 21`cm 5 12마리 7 학생 수：14명, 귤의 개수：89개 8 540명 9 6500원 10 5일 02 ⑴ 48+x, 16+x ⑵ 48, 16+x ⑶ 16 ⑷ 16 03 ⑴ x ⑵ x ⑶ 400 ⑷ 400 ;2Á0; ;2Á0; 이렇게 풀어요 이렇게 풀어요 01 미지수 x 정하기 방정식 세우기 방정식 풀기 답 구하기 어떤 수를 x라 하면 4x-3=3x+8 x=11 따라서 어떤 수는 11이다. 02 ⑴ 48+x, 16+x ⑵ 48, 16+x ⑶ 16 ⑷ 16 1 ⑴ 현재 아들의 나이를 x세라 하면 아버지의 나이는 (52-x)세이므로 52-x+16=2(x+16) 68-x=2x+32, -3x=-36 ∴ x=12 따라서 현재 아들의 나이는 12세이다. ⑵ 현재 딸의 나이를 x세라 하면 x+31+13=2(x+13)+10 x+44=2x+36, -x=-8 ∴ x=8 따라서 현재 딸의 나이는 8세이다. 풀이 참조 어머니의 나이는 (x+31)세이므로 03 ⑴ 작년 학생 수를 x명이라 하면 5`% 감소한 학생 수는 ⑴ 12세 ⑵ 8세 ⑵ 학생 수가 작년보다 5`% 감소하여 올해의 학생 수는 2 ⑴ 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면 ⑶ 양변에 20을 곱하면 큰 수는 19이다. x× ;10%0; = x(명) 1 20 380명이므로 x- x=380 1 20 20x-x=7600 19x=7600 ∴ x=400 ⑷ 따라서 작년 학생 수는 400명이다. 따라서 연속하는 세 짝수는 24, 26, 28이므로 가장 큰 ⑴ x ⑵ x ;2Á0; 1 20 ⑶ 400 ⑷ 400 (x-1)+x+(x+1)=54 3x=54 ∴ x=18 따라서 연속하는 세 자연수는 17, 18, 19이므로 가장 ⑵ 연속하는 세 짝수를 x-2, x, x+2라 하면 (x-2)+x+(x+2)=78 3x=78 ∴ x=26 짝수는 28이다. ⑴ 19 ⑵ 28 3 일의 자리의 숫자를 x라 하면 처음 자연수는 5_10+x_1=50+x, 바꾼 자연수는 x_10+5_1=10x+5 이므로 10x+5=50+x+18 9x=63 ∴ x=7 따라서 처음 자연수는 57이다. 57 Ⅲ. 문자와 식 93 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 93 2017-06-10 오후 4:07:08 4 x개월 후의 형의 예금액은 (40000+5000x)원이고, x개월 후의 동생의 예금액은 (60000+3000x)원이므로 8 작년의 여학생 수를 x명이라 하면 남학생 수는 (850-x)명이므로 40000+5000x=60000+3000x 2000x=20000 ∴ x=10 따라서 10개월 후이다. 올해의 여학생 수는 x+ x= ;10*0; ;1!0)0*; x(명) 올해의 남학생 수는 10개월 후 5 농장에서 키우고 있는 개가 x마리이면 닭은 (20-x)마 리이다. 이때 개의 다리의 수의 합이 4x개, 닭의 다리의 수의 합이 2(20-x)개이므로 4x+2(20-x)=64 4x+40-2x=64 2x=24 ∴ x=12 따라서 개는 12마리를 키우고 있다. (850-x)-(850-x)_ = ;10^0; ;1»0¢0; (850-x)(명) 올해의 학생 수는 전체적으로 19명이 증가하였으므로 x+ ;1!0)0*; ;1»0¢0; (850-x)=850+19 108x+94(850-x)=86900 108x+79900-94x=86900 14x=7000 ∴ x=500 따라서 올해의 여학생 수는 12마리 _500=540(명) ;1!0)0*; 540명 6 ⑴ 처음 사다리꼴의 넓이가 다른풀이 1 2 ×(6+7)×4=26(cmÛ`)이므로 ×(6+7+x)×4=26+4 1 2 26+2x=30, 2x=4 ∴ x=2 증가한 양과 감소한 양을 이용하여 방정식을 세운다. 작년의 여학생 수를 x명이라 하면 (여학생 수 8`% 증가)+(남학생 수 6`% 감소)=19이므로 x_ ;10*0; -(850-x)_ =19 ∴ x=500 ;10^0; ⑵ 가로의 길이와 세로의 길이의 비가 3 : 1이므로 세로의 길이를 x`cm라 하면 가로의 길이는 3x`cm이다. 이때 9 상품의 원가를 x원이라 하면 직사각형의 둘레의 길이가 56`cm이므로 2(3x+x)=56 8x=56 ∴ x=7 따라서 가로의 길이는 3×7=21(cm) 원가의 30`%의 이익은 x_ = ;1£0; ;1£0; x(원)이므로 (정가) =(원가)+(이익) =x+ 3 10 x= x(원) ;1!0#; ⑴ 2 ⑵ 21`cm 또한, 판매 가격은 정가에서 1200원을 할인하였으므로 7 학생 수를 x명이라 하면 한 학생에게 6개씩 주면 5개가 남으므로 귤의 개수는 한 학생에게 7개씩 주면 9개가 부족하므로 귤의 개수는 (6x+5)개 (7x-9)개 나누어 주는 방법에 관계없이 귤의 개수는 같으므로 ㉠ =㉡에서 ∴ x=14 6x+5=7x-9, -x=-14 따라서 학생 수는 14명이고, 귤의 개수는 6x+5=6_14+5=89(개) 94 정답과 풀이 (판매 가격) =(정가)-(할인 금액) = x-1200(원) 13 10 이때 750원의 이익이 생겼으므로 {;1!0#; x-1200 } -x=750, x=1950 ;1£0; 3x=19500 ∴ x=6500 따라서 상품의 원가는 6500원이다. yy ㉠ yy ㉡ 6500원 10 전체 일의 양을 1이라 하면 갑, 을이 하루 동안 하는 일의 양은 각각 1 16 , ;1Á2; 이다. 학생 수 : 14명, 귤의 개수 : 89개 갑과 을이 함께 x일 동안 일을 했다고 하면 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 94 2017-06-10 오후 4:07:10 _3+ + {;1Á6; ;1Á2;} ;1Á6; _x+ _1=1 ;1Á2; + ;1£6; ;;4¦8; x+ ;1Á2; =1, 9+7x+4=48 7x=35 ∴ x=5 따라서 갑과 을은 함께 5일 동안 일을 하였다. 04 작년의 남학생 수를 x명이라 하면 여학생 수는 (820-x)명이므로 올해의 남학생 수는 x- ;1Á0¼0; x= x(명) ;1»0; 올해의 여학생 수는 5일 (820-x)+(820-x)_ = ;10*0; ;1!0)0*; (820-x)(명) 올해의 학생 수는 전체적으로 10명이 감소하였으므로 x+ ;1»0; ;1!0)0*; (820-x)=820-10 90x+88560-108x=81000 -18x=-7560 ∴ x=420 이런 문제가 시험에 나온다 본문 198쪽 따라서 올해의 남학생 수는 01 48시간 04 378명 02 1 05 12분 03 2일 06 9000원 _420=378(명) ;1»0; 378명 이렇게 풀어요 01 x시간 동안 여행하였다고 하면 x+ x+5+ x+7=x ;3!; ;6!; ;4!; 4x+2x+60+3x+84=12x -3x=-144 ∴ x=48 따라서 48시간 동안 여행하였다. 02 (처음 밭의 넓이)=14_8=112(mÛ`) (길의 넓이) =x_14+2_8-2_x =12x+16(mÛ`) 05 물탱크에 가득 찬 물의 양을 1이라 하면 A, B 두 수도관 은 1분에 각각 의 물을 채운다. 1 48 , ;6Á4; A, B 두 수도관을 모두 열어서 물을 채운 시간을 x분이 라 하면 _36+ + {;4Á8; ;6Á4;} ;6Á4; _x=1 108+4x+3x=192, 7x=84 48시간 ∴ x=12 12분이다. 따라서 A, B 두 수도관을 모두 열어서 물을 채운 시간은 12분 (처음 밭의 넓이)-(길의 넓이)=(처음 밭의 넓이)_ ;4#; 06 상품의 원가를 x원이라 하면 이므로 112-(12x+16)=112_ ;4#; 112-12x-16=84 -12x=-12 ∴ x=1 원가의 3할의 이익은 x_ x(원)이므로 ;1£0;;=;1£0; (정가)=(원가)+(이익)=x+ x= x(원) ;1£0; ;1!0#; 또한, 판매 가격은 정가에서 30`% 할인하였으므로 1 03 전체 일의 양을 1이라 하면 형, 동생이 하루 동안 하는 일 의 양은 각각 , 이다. 1 5 ;1Á0; 형과 동생이 x일 동안 함께 일을 했다고 하면 _2+ + {;5!; ;1Á0;} ;5!; _x=1 4+3x=10, 3x=6 ∴ x=2 (판매 가격) =(정가)-(할인 금액) = 13 10 x- x_ ;1!0#; ;1£0¼0; (원) 이때 810원의 손해를 보았으므로 {;1!0#; x- x_ ;1!0#; ;1£0¼0;} -x=-810 x- ;1!0#; ;1£0»0; x-x=-810 130x-39x-100x=-81000 따라서 형과 동생은 함께 2일 동안 일을 하였다. -9x=-81000 ∴ x=9000 2일 따라서 상품의 원가는 9000원이다. 9000원 Ⅲ. 문자와 식 95 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 95 2017-06-10 오후 4:07:13 02 일차방정식의 활용 (2) 03 동생이 집을 출발한 지 x시간 후에 형을 만난다고 하면 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 200~201쪽 1 3시간 km 3 5분 후 4 10분 후 2 35 4 ` 걸린 시간 (시간) 속력 ( km/h) 거리 ( km) 10 60 +x 형 5 10 60 5 { +x } 이렇게 풀어요 01 돌아올 때 이동한 거리를 x`km라 하면 (형이 간 거리)=(동생이 간 거리)이므로 1 6 5 { } 5 6 +x =15x, +5x=15x, 5+30x=90x 돌아올 때 -60x=-5 ∴ x= 거리 ( km) 속력 ( km/h) 걸린 시간 (시간) 갈 때 x-20 80 x-20 80 (갈 때 걸린 시간)+(돌아올 때 걸린 시간)=5시간 이므로 x-20 80 + ;6Ó0; ∴ x=180 =5, 3(x-20)+4x=1200 3x-60+4x=1200, 7x=1260 따라서 돌아올 때 걸린 시간은 =3(시간)이다. :Á6¥0¼: 따라서 동생은 출발한 지 _60=5(분 후)에 형과 만 난다. 5분 후 04 1.5`km=1500`m이고 준섭이와 규호가 출발한 지 x분 1 12 1 12 준섭 x 90 90x 후에 만난다고 하면 걸린 시간 (분) 속력 ( km/min) 거리 ( m) 동생 x 15 15x 규호 x 60 60x 02 민철이가 산 정상까지 올라간 거리를 x`km라 하면 3시간 이므로 (준섭이가 걸은 거리)+(규호가 걸은 거리)=1500(m) 90x+60x=1500, 150x=1500 ∴ x=10 따라서 두 사람은 출발한 지 10분 후에 만나게 된다. 올라갈 때 내려올 때 10분 후 x 60 x 60 x 14 x 14 거리 ( km) 속력 ( km/h) 걸린 시간 (시간) x 6 x 6 내려올 때는 올라갈 때보다 50분 { = 50 60 시간 } 적게 걸렸 으므로 (올라갈 때 걸린 시간)-(내려올 때 걸린 시간) =(걸린 시간 차) - ;6{; ;1Ó4; = ;6%0); , 7x-3x=35 4x=35 ∴ x= :£4°: 따라서 민철이가 올라간 거리는 `km이다. :£4°: :£4°: `km 96 정답과 풀이 03 일차방정식의 활용 (3) 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 203쪽 1 175`g 2 200`g 이렇게 풀어요 1 증발시키는 물의 양을 x`g이라 하면 농도 (%) 소금물의 양 ( g) 소금의 양 ( g) 증발 전 5 300 증발 후 12 300-x 5 100 _300 12 100 _(300-x) 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 96 2017-06-10 오후 4:07:14 설탕의 양 ( g) _(300-x) _300 8 100 _x 14 100 [;10@0; _(300+x) g이다. ] 설탕의 양은 물을 넣기 전이나 물을 넣은 후에 변하지 물을 증발시키기 전이나 물을 증발시킨 후의 소금의 양은 섞기 전 두 소금물에 들어 있는 소금의 양의 합과 섞은 후 변하지 않으므로 _300= _(300-x) ;10%0; ;1Á0ª0; 1500=3600-12x, 12x=2100 ∴ x=175 소금물에 들어 있는 소금의 양은 같으므로 ;10%0; _(300-x)+ _x= _300 ;1Á0¼0; ;10*0; 5(300-x)+10x=2400 5x=900 ∴ x=180 따라서 175`g의 물을 증발시키면 된다. 175`g 따라서 10`%의 소금물을 180`g 섞어야 한다. ③ 2 8`%의 설탕물의 양을 x`g이라 하면 8`%의 설탕물 농도 (%) 설탕물의 양 ( g) 8 x 14`%의 설탕물 14 300-x 10`%의 설탕물 10 300 10 100 섞기 전 두 설탕물에 들어 있는 설탕의 양의 합과 섞은 후 설탕물에 들어 있는 설탕의 양은 같으므로 _x+ _(300-x)= _300 ;10*0; ;1Á0¢0; ;1Á0¼0; 8x+4200-14x=3000, -6x=-1200 ∴ x=200 따라서 8`%의 설탕물의 양은 200`g이다. 200`g 이런 문제가 시험에 나온다 본문 204쪽 01 10분 후 02 ③ 03 ⑴ 1500`g ⑵ 15`g 04 7`km 05 3번 이렇게 풀어요 01 형이 집을 출발한 지 x시간 후에 동생을 만난다고 하면 동생이 +x 시간 동안 간 거리와 형이 x시간 동안 30 60 { } 간 거리가 같으므로 4 +x } {;2!; =16x, 2+4x=16x -12x=-2 ∴ x= ;6!; 따라서 형이 집을 출발한 지 _60=10(분 후)에 동생 1 6 을 만난다. 10분 후 02 10`%의 소금물 x`g을 섞는다고 하면 5`%의 소금물의 양 은 (300-x) g이다. 이므로 03 ⑴ 12`%의 설탕물 300`g에 들어 있는 설탕의 양은 _300 `g이다. {;1Á0ª0; 여기에 물 x`g을 넣어 2`%의 설탕물을 만들었다면 설 } 탕물의 양은 (300+x) g이고, 설탕의 양은 않으므로 _300= _(300+x) ;1Á0ª0; ;10@0; 3600=600+2x -2x=-3000 ∴ x=1500 따라서 넣어야 할 물의 양은 1500`g이다. ⑵ 넣어야 할 소금의 양을 x`g이라 하면 ;10*0; _330+x= _(330+x) ;1Á0ª0; 2640+100x=3960+12x 88x=1320 ∴ x=15 따라서 넣어야 할 소금의 양은 15`g이다. ⑴ 1500`g ⑵ 15`g 04 슬기네 집에서 공연장까지의 거리를 x`km라 하면 (시속 6`km로 가는 데 걸린 시간) -(시속 15`km로 가는 데 걸린 시간)=42분 이므로 - = , ;6$0@; ;6{; - ;1Ó5; ;6{; ;1Ó5; = ;1¦0; 5x-2x=21, 3x=21 ∴ x=7 따라서 슬기네 집에서 공연장까지의 거리는 7`km이다. 7`km 05 두 사람이 출발한 지 x초 후에 처음으로 만난다고 하면 (승준이가 달린 거리)-(은규가 달린 거리)=1800(m) Ⅲ. 문자와 식 97 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 97 2017-06-10 오후 4:07:18 16x-14x=1800 2x=1800 ∴ x=900 만난다. 즉, 900초 후에 처음으로 만나므로 900초마다 한 번씩 따라서 50분=3000초이므로 3000Ö900=3.3y에서 50분 동안 총 3번 만나게 된다. 3번 step (기본문제) 본문 205~206쪽 02 ③ 03 53 04 2 06 198쪽 10 ④ 07 2 11 ② 08 4`km 12 의자의 개수 : 16개, 학생 수 : 77명 01 6골 05 ④ 09 22분 이렇게 풀어요 01 3점짜리 슛을 x골 넣었다고 하면 2점짜리 슛은 (18-x) 2(18-x)+3x=42, 36-2x+3x=42 골 넣은 것이므로 ∴ x=6 따라서 성현이가 넣은 3점짜리 슛은 6골이다. 6골 56+7x-32=38, 7x=14 ∴ x=2 2 05 일의 자리의 숫자를 x라 하면 처음 자연수는 5_10+x_1=50+x, 바꾼 자연수는 x_10+5_1=10x+5 이므로 10x+5=50+x+9, 10x-x=50+9-5 9x=54 ∴ x=6 따라서 일의 자리의 숫자는 6이다. ④ 06 채원이가 읽은 책의 전체 쪽수를 x쪽이라 하면 x+ { ;3!; x- x } ;3!; _ ;4!; +77+ x=x ;9!; x+ x+77+ x=x ;3!; ;6!; ;9!; 6x+3x+1386+2x=18x -7x=-1386 ∴ x=198 따라서 책의 전체 쪽수는 198쪽이다. 198쪽 07 △DBC-△DEF=24이므로 _10_6- _x_6=24 ;2!; 30-3x=24, -3x=-6 ;2!; ∴ x=2 2 08 올라간 거리를 x`km라 하면 내려온 거리는 (10-x) km (올라갈 때 걸린 시간)+(휴식 시간) +(내려올 때 걸린 시간)=3시간 32분 02 현재 아들의 나이를 x세라 하면 아버지의 나이는 (54-x)세이다. 3년 후에 아들의 나이는 (x+3)세, 이다. 아버지의 나이는 {(54-x)+3}세이므로 54-x+3=3(x+3) 57-x=3x+9 -4x=-48 ∴ x=12 따라서 현재 아들의 나이는 12세이다. ③ 이므로 +1+ ;3{; + ;3{; =3 ;6#0@; 10-x 5 10-x 5 = ;1#5*; 5x+3(10-x)=38 2x=8 ∴ x=4 03 어떤 수를 x라 하면 5x+3-1=4(x+3) 5x+2=4x+12 ∴ x=10 따라서 어떤 수가 10이므로 처음 구하려고 했던 수는 5x+3=5_10+3=53 53 09 전체 일의 양을 1이라 하면 1분 동안 A가 한 일의 양은 따라서 올라간 거리는 4`km이다. 4`km 04 (큰 직사각형의 넓이)-(작은 직사각형의 넓이) =(색칠한 부분의 넓이) 이므로 (8+x)_(4+3)-8_4=38 98 정답과 풀이 , B가 한 일의 양은 ;4Á0; A가 혼자서 x분 동안 일을 했다고 하면 ;3Á2; 이다. + {;4Á0; ;3Á2;} _8+ ;4Á0;_ x=1, + ;2»0; ;4Ó0; =1 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 98 2017-06-10 오후 4:07:19 18+x=40 ∴ x=22 4x+13=5(x-1)+2, 4x+13=5x-5+2 따라서 A는 혼자서 22분 동안 일을 하였다. 22분 -x=-16 ∴ x=16 따라서 의자의 개수는 16개이고, 학생 수는 4_16+13=77(명)이다. 의자의 개수 : 16개, 학생 수 : 77명 10 더 넣은 소금의 양을 x`g이라 하면 더 넣은 물의 양은 4x`g이다. 5`% 물 8`% + + 소금 x`g = 400`g 4x`g (400+4x+x) g 이때 8`%의 소금물의 양은 (400+4x+x) g이고 섞기 전 소금의 양의 합과 섞은 후 소금물에 들어 있는 소금의 2 step (발전문제) 본문 207~208쪽 양은 같으므로 _400+x= _(400+4x+x) ;10%0; ;10*0; 2000+100x=3200+40x 60x=1200 ∴ x=20 따라서 더 넣은 소금의 양은 20`g이다. ④ 11 처음 소금물의 농도를 x`%라 하면 나중 소금물의 농도는 2x`%이다. 이때 2x`%의 소금물의 양은 600-120+20=500(g)이다. 01 4시간 05 352명 09 ③ 02 23일 06 4대 10 700원 03 ④ 07 ④ 11 ② 04 ③ 08 ② 12 ③ 이렇게 풀어요 01 1코스의 거리를 x`km라 하면 2코스의 거리는 (20-x) km이므로 +2+ ;3{; 20-x 4 =8 + ;3{; 20-x 4 =6, 4x+3(20-x)=72 x`% 물 2x`% 4x+60-3x=72 ∴ x=12 - + 소금 20`g = 따라서 1코스의 거리가 12`km이므로 1코스를 걷는 데 600`g 120`g 500`g 걸린 시간은 =4(시간)이다. 4시간 12 3 섞기 전 소금의 양의 합과 섞은 후 소금물에 들어 있는 소 금의 양은 같으므로 ;10{0;_ 600+20= _500 ;1ª0Ó0; 6x+20=10x, -4x=-20 ∴ x=5 따라서 처음 소금물의 농도는 5`%이다. ② 12 의자의 개수를 x개라 하면 한 의자에 4명씩 앉을 때 (학생 수)=4x+13(명) yy ㉠ 한 의자에 5명씩 앉으면 5명이 모두 앉게 되는 의자는 (x-1)개이므로 x개 (x-1)개 5명씩 앉는다. 1개 2명 02 도형 안의 날짜 중 가장 작은 수를 x라 하면 날짜 4개는 각각 x일, (x+6)일, (x+7)일, (x+8)일이므로 x+(x+6)+(x+7)+(x+8)=81 4x+21=81, 4x=60 ∴ x=15 따라서 도형 안의 날짜 중 가장 마지막 날의 날짜는 x+8=15+8=23(일)이다. 23일 03 동생이 출발한 지 x분 후에 형을 만난다고 하면 (동생이 간 거리)=(형이 간 거리)이므로 40x=60(x-10), 40x=60x-600 -20x=-600 ∴ x=30 (학생 수)=5(x-1)+2(명) yy ㉡ 따라서 동생이 출발한 지 30분 후에 형을 만난다. 이때 ㉠=㉡이므로 ④ Ⅲ. 문자와 식 99 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 99 2017-06-10 오후 4:07:24 04 더 넣은 소금의 양을 x`g이라 하면 물 40`g을 증발시킨 후 소금 x`g을 더 넣어 20`%의 소금물을 만들어야 한다. 07 민서가 친구에게 가기 시작한 지 x분 만에 친구를 만난다 10`%의 소금물 20`%의 소금물 농도(%) 소금물의 양( g ) 10 200 20 200-40+x 소금의 양( g ) _200 ;1Á0¼0; _(160+x) ;1ª0¼0; 고 하면 100x+60(x-1)=180 100x+60x-60=180 160x=240 ∴ x= ;2#; 섞기 전 소금의 양의 합과 섞은 후 소금물에 들어 있는 소 초 만에 친구를 만날 수 있다. ④ 따라서 민서가 친구에게 가기 시작한 지 분, 즉 1분 30 3 2 금의 양은 같으므로 ;1Á0¼0; _200+x= _(160+x) ;1ª0¼0; 2000+100x=3200+20x 80x=1200 ∴ x=15 따라서 15`g의 소금을 더 넣어야 한다. 05 작년의 여학생 수를 x명이라 하면 남학생 수는 (600-x)명이고, 올해의 여학생 수는 x+ ;1Á0¼0; x= x(명), ;1!0!; 남학생 수는 (600-x)-2=598-x(명)이다. 올해의 학생 수는 전체적으로 5`% 증가하였으므로 x+(598-x)=600+600_ ;1!0!; ;10%0; 11x+10(598-x)=6000+300 11x+5980-10x=6300 ∴ x=320 따라서 올해의 여학생 수는 x= _320=352(명) ;1!0!; ;1!0!; 08 5`%의 소금물의 양을 x`g이라 하면 더 부은 물의 양은 4x`g이고 4`%의 소금물의 양은 300-x-4x=300-5x(g)이다. ③ 5`% 4`% 물 3`% + + = x`g (300-5x)`g 4x`g 300`g _x+ _(300-5x)= _300 ;10%0; ;10$0; ;10#0; 5x+4(300-5x)=900 5x+1200-20x=900 -15x=-300 ∴ x=20 따라서 더 부은 물의 양은 4x=4_20=80(g) 09 물통에 가득 찬 물의 양을 1이라 하면 한 시간 동안 A호 스는 , B호스는 만큼의 물을 채우고, C호스는 만 1 3 ;2!; 큼의 물을 빼낸다. 물통에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간을 x시간이라 06 A가 한 달 동안 자동차 x대를 팔아 월급으로 300만 원을 받는다고 하면 판매한 금액은 1200_x=1200x(만 원) 4x=6 ∴ x= ;2#; 352명 하면 x+ x- x=1, 2x+3x-x=6 ;3!; ;2!; ;6!; (기본급)+(판매한 금액의 5`%)=(월급) 간, 즉 1시간 30분이다. 따라서 물통에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간은 시 60+1200x_ =300 ;10%0; 60+60x=300, 60x=240 ∴ x=4 따라서 한 달 동안 자동차를 4대 팔아야 한다. 10 팥빙수의 정가를 x원이라 하면 정가의 20`%를 할인한 판매 가격은 x- { ;1ª0¼0; 원이고, _x } 원가의 8`%의 이익은 { 2000_ ;10*0;} 원이다. 4대 (이익)=(판매 가격)-(원가)이므로 이고 이므로 100 정답과 풀이 ② ;6!; 3 2 ③ 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 100 2017-06-10 오후 4:07:25 2000_ = x- ;10*0; { ;1ª0¼0; x } -2000 16000=80x-200000 -80x=-216000 ∴ x=2700 따라서 정가는 2700원이므로 원가에 3 step (실력UP) 01 ③ 02 300명 03 2시간 04 ⑴ 2시 10 ;1!1); 분 ⑵ 4시 54 분 ;1¤1; 본문 209쪽 2700-2000=700(원)의 이익을 붙여 정가를 정해야 한다. 700원 05 :°5¥:` % 06 ⑴ 시속 6`km ⑵ 시간 ;3%; 11 방의 개수를 x개라 하면 한 방에 10명씩 들어가는 경우 이렇게 풀어요 (학생 수)=10x+12(명) yy ㉠ 01 컵으로 퍼낸 소금물의 양을 x`g이라 하면 한 방에 14명씩 들어가는 경우 14명이 모두 들어가는 방 ;1Á0¼0; _(200-x)+ _100= _300 ;10%0; ;10^0; 은 (x-2)개이므로 x개 (x-2)개 14명씩 들어간다. 1개 1개 4명 빈 방 2000-10x+500=1800 -10x=-700 ∴ x=70 따라서 컵으로 퍼낸 소금물의 양은 70`g이다. ③ (학생 수)=14(x-2)+4(명) yy ㉡ 02 남자 합격자：140_ =100(명) 이때 ㉠=㉡이므로 10x+12=14(x-2)+4, 10x+12=14x-28+4 여자 합격자：140_ =40(명) 5 5+2 2 5+2 -4x=-36 ∴ x=9 따라서 방의 개수는 9개이고, 학생 수는 10_9+12=102(명) 남자 지원자 수를 3x명, 여자 지원자 수를 2x명이라 하면 남자, 여자 불합격자의 수는 각각 (3x-100)명, ② (2x-40)명이므로 3x-100=2x-40 ∴ x=60 12 열차의 길이를 x`m라 하면 300`m의 터널을 완전히 통과 따라서 입학 지원자의 수는 5x=5_60=300(명) 300명 할 때의 열차의 속력은 초속 300+x 12 `m이고, 1`km의 철교를 완전히 지날 때의 열차의 속력은 초속 1000+x 33 `m이다. 이때 열차의 속력은 일정하므로 300+x 12 = 1000+x 33 11(300+x)=4(1000+x) 3300+11x=4000+4x, 7x=700 ∴ x=100 따라서 열차의 길이는 100`m이다. ③ 참고 기차가 터널을 지나는 경우 03 전체 일의 양을 1이라 하면 1시간 동안 A와 B가 함께 일 할 때, 하는 일의 양은 각각 _ = ;5$; ;6!; , ;1ª5; ;4!; _ = ;5$; ;5!; 즉, 2시간 동안 함께 일할 때, 두 사람이 하는 일의 양은 각각 , 이므로 A가 혼자서 일하는 시간을 x시간이 2 5 ;1¢5; 라 하면 + + ;5@; ;6{; ;1¢5; =1, 8+12+5x=30 ⑴ 기차가 터널을 완전히 통과한다는 것은 기차의 머리가 5x=10 ∴ x=2 들어간 시점부터 기차의 끝 부분이 터널을 빠져 나오 따라서 A는 혼자서 2시간 동안 일해야 한다. 는 시점까지이다. ⑵ (기차가 달린 거리)=(터널의 길이)+(기차의 길이) 터널의 길이 기차의 길이 기차가 달린 거리 씩 움직인다. 04 분침은 1분에 360ùÖ60=6ù씩 움직이고, 시침은 1시간 에 360ùÖ12=30ù씩 움직이므로 1분에 30ùÖ60=0.5ù 2시간 Ⅲ. 문자와 식 101 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 101 2017-06-10 오후 4:07:29 ⑴ 2시 x분에 시침과 분침이 일치한다고 하면 x분 동안 ⑵ 강물이 흐르는 반대 방향으로 배를 타고 거슬러 올라갈 분침과 시침이 움직인 각도는 각각 6xù, 0.5xù이므로 때의 속력은 시속 6-3=3(km)이므로 5`km의 강 60+0.5x=6x, 120+x=12x -11x=-120 ∴ x= :Á1ª1¼: =10 ;1!1); 따라서 2시 10 분에 시침과 분침이 일치한다. ;1!1); ⑵ 4시 x분에 분침과 시침이 서로 반대 방향으로 일직선 을 이룬다고 하면 x분 동안 분침과 시침이 움직인 각 도는 각각 6xù, 0.5xù이므로 6x-(120+0.5x)=180 6x-120-0.5x=180, 60x-1200-5x=1800 55x=3000 ∴ x= 3000 55 = :¤1¼1¼: =54 ;1¤1; 따라서 4시 54 분에 분침과 시침이 서로 반대 방향 6 11 으로 일직선을 이룬다. ⑴ 2시 10 ;1!1);분 ⑵ 4시 54 ;1¤1;분 05 Ú A의 소금물 100`g을 B에 넣고 섞은 후의 B의 소금 물의 농도를 a`%라 하면 ;1ª0¼0; _400+ _100= _500 ;1Á0¼0; ;10A0; 80+10=5a, -5a=-90 ∴ a=18 따라서 섞은 후의 B의 소금물의 농도는 18`%이다. Û 섞은 후의 B의 소금물 100`g을 A에 넣고 섞은 후의 A의 소금물의 농도를 b`%라 하면 ;1Á0¼0; _400+ _100= _500 ;1Á0¥0; ;10B0; 40+18=5b, -5b=-58 ∴ b= :°5¥: 따라서 A의 소금물의 농도는 `%이다. :°5¥: % :°5¥:` 을 거슬러 올라가는 데 걸리는 시간은 시간이다. 5 3 ⑴ 시속 6`km ⑵ ;3%;시간 서술형 대비 문제 본문 210~211쪽 1 120`km 2 360명 3 68 4 20분 후 5 20`g 6 5000원 이렇게 풀어요 1 1 단계 A지점에서 B지점까지의 거리를 x`km라 하면 (올 때 걸린 시간)-(갈 때 걸린 시간)= 시간이 30 60 므로 - ;6Ó0; ;8Ó0; = ;6#0); 2 단계 양변에 240을 곱하면 4x-3x=120 ∴ x=120 3단계 따라서 A지점에서 B지점까지의 거리는 120`km이 다. 120`km 2 1 단계 작년의 여학생 수를 x명이라 하면 작년의 남학생 수 는 (820-x)명이므로 ;10%0; (820-x)- x=-19 ;1Á0¼0; 2 단계 양변에 100을 곱하면 5(820-x)-10x=-1900 4100-5x-10x=-1900 -15x=-6000 ∴ x=400 06 ⑴ 정지한 물에서의 배의 속력을 시속 x`km라 하면 강물 이 흐르는 방향으로 배를 타고 갈 때의 속력은 시속 학생 수는 400_ 1- { ;1Á0¼0;} =360(명) 360명 3단계 따라서 작년의 여학생 수가 400명이므로 올해의 여 따라서 정지한 물에서의 배의 속력은 시속 6`km이다. 2 단계 이므로 10x+6=60+x+18 3 1 단계 처음 수의 일의 자리의 숫자를 x라 하면 처음 수는 6_10+x_1=60+x, 바꾼 수는 x_10+6_1=10x+6 (x+3)`km이다. 6`km를 가는 데 40분이 걸렸으므로 (x+3)_ =6 ;6$0); x+3=9 ∴ x=6 102 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 102 2017-06-10 오후 4:07:30 9x=72 ∴ x=8 3 단계 따라서 처음 수는 68이다. 68 (정가)=x+ x= x(원) ;5!; ;5^; 또한, 판매 가격은 정가에서 300원을 할인하였으므로 단계 채점요소 처음 자연수와 바꾼 자연수를 x에 대한 식으로 나타내기 1 2 3 x의 값 구하기 처음 수 구하기 배점 3점 2점 2점 4 1 단계 B가 출발한 지 x분 후에 A와 처음으로 만난다고 하면 A가 간 거리는 60(x+5) m, B가 간 거리는 75x`m이므로 60(x+5)+75x=3000 2 단계 60x+300+75x=3000 135x=2700 ∴ x=20 3단계 따라서 B가 출발한 지 20분 후에 A와 처음으로 만 난다. 20분 후 채점요소 단계 1 2 3 방정식 세우기 방정식 풀기 B가 출발한 지 몇 분 후에 A와 처음으로 만나게 되는지 구하기 배점 3점 2점 1점 (판매 가격) = x-300(원) 6 5 이때 700원의 이익이 생겼으므로 x-300 } {;5^; -x=700 2단계 양변에 5를 곱하면 6x-1500-5x=3500 ∴ x=5000 3단계 따라서 상품의 원가는 5000원이다. 채점요소 단계 1 2 3 방정식 세우기 방정식 풀기 상품의 원가 구하기 5000원 배점 4점 2점 1점 본문 212쪽 스토리텔링으로 배우는 생활 속의 수학 1 ㉠ 1 ㉡ 5 ㉢ 150 ㉣ 30 2 ⑴ 12개 ⑵ 70점 5 1 단계 더 넣은 소금의 양을 x`g이라 하면 10`%의 소금물 의 양은 500+80+x=580+x(g)이고 섞기 전 소금의 양의 합과 섞은 후 소금물에 들어 있는 소금 이렇게 풀어요 1 저울의 양쪽에서 사과를 1개씩 덜어내면 귤 5개의 무게가 50_3=150(g)이 된다. 따라서 귤 한 개의 무게는 150Ö5=30(g)이다. ㉠ 1 ㉡ 5 ㉢ 150 ㉣ 30 의 양은 같으므로 ;10*0; _500+x= (580+x) ;1Á0¼0; 2단계 양변에 100을 곱하면 4000+100x=5800+10x 90x=1800 ∴ x=20 된다. 단계 1 2 3 방정식 세우기 방정식 풀기 채점요소 더 넣어야 하는 소금의 양 구하기 3 단계 따라서 20`g의 소금을 더 넣으면 10`%의 소금물이 2 ⑴ 성희가 화살을 모두 x개 쏘았다고 하면 x+ x+ x+3=x ;3!; ;4!; ;6!; 2x+4x+3x+36=12x -3x=-36 ∴ x=12 따라서 성희는 12개의 화살을 쏘았다. ⑵ 성희가 화살을 모두 12개 쏘았으므로 성희가 과녁을 맞혀 얻은 총 점수는 20`g 배점 3점 2점 1점 6 1 단계 상품의 원가를 x원이라 하면 원가의 20`%의 이익은 x_ = x(원)이므로 ;1ª0¼0; ;5!; 10_ +8_ _12 } {;6!; +6_ _12 } +0_3 _12 } {;4!; {;3!; =20+32+18=70(점) ⑴ 12개 ⑵ 70점 Ⅲ. 문자와 식 103 기본서(중1-1)_해설_061~103_3단원_ok.indd 103 2017-06-10 오후 4:07:35 Ⅳ좌표평면과 그래프 1 좌표와 그래프 01 순서쌍과 좌표 개념원리 확인하기 01 풀이 참조 05 ⑴ 점 A(-3, 2)는 x<0, y>0이므로 제 2 사분면 위의 은 x>0, y<0이므로 제 4 사분면 위의 ⑶ 점 C(-2, -3)은 x<0, y<0이므로 제 3 사분면 위 ⑵ 점 B { 4, - 7 2 } 점이다. 점이다. 의 점이다. 이다. 속하지 않는다. 본문 218쪽 ⑷ 점 D(5, 8)은 x>0, y>0이므로 제 1 사분면 위의 점 02 A(-4, 1), B(0, 3), C(2, 4), D(3, 0), E(2, -3), F(0, -2), G(-3, -3) ⑸ 점 E(0, 0)은 좌표축 위의 점이므로 어느 사분면에도 ⑹ 점 F(0, -4)는 좌표축 위의 점이므로 어느 사분면에 03 풀이 참조 04 풀이 참조 도 속하지 않는다. ⑴ 제 2 사분면 ⑵ 제 4 사분면 ⑶ 제 3 사분면 ⑷ 제 1 사분면 ⑸ 어느 사분면에도 속하지 않는다. ⑹ 어느 사분면에도 속하지 않는다. 05 ⑴ 제 2 사분면 ⑵ 제 4 사분면 ⑶ 제 3 사분면 ⑷ 제 1 사분면 ⑸ 어느 사분면에도 속하지 않는다. ⑹ 어느 사분면에도 속하지 않는다. 이렇게 풀어요 01 (cid:35) (cid:34) (cid:17)(cid:14)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:20)(cid:14)(cid:21)(cid:14)(cid:22) (cid:18) (cid:20) (cid:21) (cid:22) (cid:37) (cid:36) (cid:19) 02 A(-4, 1), B(0, 3), C(2, 4), D(3, 0), E(2, -3), F(0, -2), G(-3, -3) 03 (cid:36) (cid:90) (cid:21) (cid:19) (cid:48) (cid:14)(cid:19) (cid:37)(cid:38) (cid:14)(cid:21) (cid:34) (cid:39) (cid:19) (cid:35) (cid:14)(cid:21) (cid:14)(cid:19) (cid:21) (cid:89) 04 (cid:90) (cid:48) 제 사분면 제 (cid:18) 사분면 2 - + (cid:9)`(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:13)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:10) (cid:9)(cid:12)(cid:13)(cid:3)(cid:12)(cid:10) (cid:89) 제 사분면 3 제 (cid:21) 사분면 (cid:9)`(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:13)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:10) - - (cid:9)`(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:13)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:10) + - 104 정답과 풀이 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 219~222쪽 풀이 참조 1 ⑴ (-3, -2), (-3, 2), (3, -2), (3, 2) ⑵ -6 2 ⑤ 3 ⑴ { - ;3!; } , 0 ⑵ (0, 5) 4 -9 5 ⑴ 14 ⑵ 14 6 ⑴ ㄱ, ㅂ ⑵ ㄴ ⑶ ㄷ, ㄹ 7 ⑴ 제 2 사분면 ⑵ 제 1 사분면 8 ⑴ (-3, -5), (3, 5), (3, -5) ⑵ 제 4 사분면 이렇게 풀어요 1 ⑴ |x|=3에서 x=-3 또는 x=3 |y|=2에서 y=-2 또는 y=2 따라서 순서쌍 (x, y)를 모두 구하면 (-3, -2), (-3, 2), (3, -2), (3, 2) ⑵ 두 순서쌍이 서로 같으므로 3x+2=4x-1 ∴ x=3 y+7=3-y에서 2y=-4 ∴ y=-2 ∴ xy=3×(-2)=-6 풀이 참조 ⑴ (-3, -2), (-3, 2), (3, -2), (3, 2) ⑵ -6 풀이 참조 2 각 점과 x축과의 거리는 각 점에서 x축에 그은 수선의 길 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 104 2017-06-10 오후 4:35:23 이, 즉 각 점의 y좌표의 절댓값과 같다. 각 점의 y좌표의 로 ㄴ이다. 절댓값을 각각 구하면 ⑶ x축 또는 y축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않으 ① A : 2 ② B : 3 ③ C : 2 므로 ㄷ, ㄹ이다. ⑴ ㄱ, ㅂ ⑵ ㄴ ⑶ ㄷ, ㄹ ④ D : 1 ⑤ E : 4 따라서 x축과의 거리가 가장 먼 것은 ⑤이다. ⑤ 7 ⑴ 점 (-a, b)가 제 3 사분면 위의 점이므로 -a<0, b<0, 즉 a>0, b<0 3 ⑴ x축 위에 있으므로 y좌표가 0이고, x좌표가 - 이므 1 3 따라서 <0, -b>0이므로 점 { , -b } 는 제 2 사 a b a b ⑵ y축 위에 있으므로 x좌표가 0이고, y좌표가 5이므로 로 { - , 0 이다. } 1 3 (0, 5)이다. ⑵ xy<0에서 x와 y의 부호가 다르고, x>y이므로 분면 위의 점이다. x>0, y<0 따라서 x>0, x-y>0이므로 점 (x, x-y)는 ⑴ { - , 0 } ;3!; ⑵ (0, 5) 제 1 사분면 위의 점이다. ⑴ 제 2 사분면 ⑵ 제 1 사분면 4 점 P는 x축 위의 점이므로 (y좌표)=0이다. 즉, a+6=0에서 a=-6 ∴ a=-12 ;2!; 1 2 점 Q는 y축 위의 점이므로 (x좌표)=0이다. 즉, 2b-6=0에서 2b=6 ∴ b=3 8 ⑴ x축에 대하여 대칭인 점의 좌표 ⇨ y좌표의 부호만 바뀐다. ∴ (-3, -5) y축에 대하여 대칭인 점의 좌표 ⇨ x좌표의 부호만 바뀐다. ∴ (3, 5) ⇨ x좌표, y좌표의 부호가 모두 바뀐다. ∴ a+b=-12+3=-9 -9 원점에 대하여 대칭인 점의 좌표 5 ⑴ 네 점 A(-2, 2), B(-2, -2), A y 2 D ∴ (3, -5) C(2, -2), D(1, 2)를 꼭짓점 으로 하는 사각형 ABCD를 그 리면 오른쪽 그림과 같다. ⑵ 두 점 (2, a+1), (a-2, b)가 x축에 대하여 대칭이 므로 두 점의 좌표는 y좌표의 부호만 다르다. -2 O 2 x B -2 C 2=a-2에서 a=4 ∴ (사각형 ABCD의 넓이) a+1=-b에서 4+1=-b ∴ b=-5 따라서 점 (a, b), 즉 점 (4, -5)는 제 4 사분면 위의 점이다. ⑴ (-3, -5), (3, 5), (3, -5) ⑵ 제 4 사분면 = ×(3+4)×4=14 1 2 ⑵ 네 점 A(3, 2), B(-3, 0), C(-3, -2), D(1, -2)를 꼭짓점으로 하는 사각형 ABCD를 그 리면 오른쪽 그림과 같다. ∴ (사각형 ABCD의 넓이) (cid:90) (cid:19) (cid:38) (cid:34) (cid:35) (cid:14)(cid:21) (cid:36) (cid:14)(cid:19) (cid:48) (cid:19) (cid:21) (cid:89) (cid:14)(cid:19) (cid:37) (cid:39) = (사각형 AECF의 넓이)-(삼각형 AEB의 넓이) -(삼각형 ADF의 넓이) =6_4- _2_6- _2_4 ;2!; ;2!; =24-6-4=14 ⑴ 14 ⑵ 14 이렇게 풀어요 이런 문제가 시험에 나온다 본문 223쪽 01 ⑤ 05 ⑴ ⑵ 29 2 02 8 35 2 03 ③ 04 ③ 06 6 6 ⑴ 점 (x, y)가 제 3 사분면 위의 점이면 x<0, y<0이므 하지 않는다. 로 ㄱ, ㅂ이다. ⑤ 점 (0, 0), 즉 원점은 어느 사분면에도 속하지 않는다. ⑵ 점 (x, y)가 제 4 사분면 위의 점이면 x>0, y<0이므 ⑤ 01 ① 점 (0, -1)은 y축 위의 점이므로 어느 사분면에도 속 Ⅳ. 좌표평면과 그래프 105 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 105 2017-06-10 오후 4:35:26 02 두 점 (-a+5, -4), (-3, b+2)가 y축에 대하여 대 칭이므로 두 점의 좌표는 x좌표의 부호만 다르다. -a+5=3에서 a=2 -4=b+2에서 b=-6 ∴ a-b=2-(-6)=8 -(삼각형 DBA의 넓이)-(삼각형 ACD의 넓이) = ×7×6- ×7×1- ×6×1 ;2!; ;2!; 1 2 =21- -3= 7 2 29 2 8 ⑵ 두 점 A(a, b-3), B(2b, a+1)이 모두 x축 위의 따라서 ab<0, b-a>0이므로 점 (ab, b-a)는 제 2 사 따라서 세 점 A(a, b-3), B(2b, a+1), 점이므로 y좌표가 0이다. 즉, b-3=0에서 b=3 a+1=0에서 a=-1 C(3a+b, 2a-b), 즉 A(-1, 0), B(6, 0), C(0, -5)를 꼭짓점으로 하 는 삼각형 ABC를 그리면 오 른쪽 그림과 같다. ∴ (삼각형 ABC의 넓이) = _7_5= ;2!; 35 2 (cid:90) (cid:34) (cid:19) (cid:21) (cid:23) (cid:35) (cid:89) (cid:48) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:21) (cid:36) ⑴ ⑵ 29 2 35 2 06 a>0이므로 세 점 A(-4, a), B(-4, 0), C(0, -2)를 꼭짓 y A 점으로 하는 삼각형 ABC를 그 리면 오른쪽 그림과 같다. 삼각형 ABC의 넓이가 12이므로 1 2 ×a×4=12 ∴ a=6 a O B -4 x -2 C 6 03 점 (-b, a)가 제 3 사분면 위의 점이므로 -b<0, a<0, 즉 a<0, b>0 분면 위의 점이다. 각 점이 속한 사분면을 구하면 다음과 같다. ② 어느 사분면에도 속하지 않는다.(x축 위의 점) ① 제 1 사분면 ③ 제 2 사분면 ④ 제 4 사분면 ⑤ 제 3 사분면 따라서 제 2 사분면 위의 점은 ③이다. ③ 04 점 (xy, x+y)가 제 4 사분면 위의 점이므로 xy>0, x+y<0 xy>0이므로 x와 y의 부호가 같다. 그런데 x+y<0이므로 x<0, y<0 ① -xy<0, -y>0이므로 점 (-xy, -y)는 제 2 사 ② -y>0, x+y<0이므로 점 (-y, x+y)는 제 4 사 ③ x+y<0, y<0이므로 점 (x+y, y)는 제 3 사분면 분면 위의 점이다. 분면 위의 점이다. 위의 점이다. ④ -y>0, x y >0이므로 점 { -y, x y } 는 제 1 사분면 위 02 그래프와 그 해석 >0, xy>0이므로 점 { , xy } 는 제 1 사분면 위의 개념원리 확인하기 x y 본문 225쪽 의 점이다. x ⑤ y 점이다. 따라서 제 3 사분면 위의 점은 ③이다. ③ 02 ⑴ 이동 거리 ⑵ 2, 5 ⑶ 1500 ⑷ 20 01 ⑴ ㄴ ⑵ ㄷ ⑶ ㄱ 이렇게 풀어요 05 ⑴ 세 점 A(4, 2), B(-2, 3), C(5, -3)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC를 그리 면 오른쪽 그림과 같다. ∴ (삼각형 ABC의 넓이) =(삼각형 BCD의 넓이) B -2 y 4 2 O -2 -4 A 2 4 x D C 01 ⑴ 시간이 지날수록 탑승한 관람차의 높이가 높아졌다가 낮아지게 되는 것를 반복하게 되므로 그래프는 ㄴ과 같이 나타나게 된다. ⑵ 비행기는 이륙하는 동안 높이가 높아지다가 특정 고도 에 이르게 되면 고도를 유지하게 되고 다시 착륙할 때 106 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 106 2017-06-10 오후 4:35:29 까지 높이가 낮아지게 되므로 그래프는 ㄷ과 같이 나 분이므로 영화관에 머물렀던 시간은 집에서 출발한 지 타나게 된다. 20분 후부터 140분 후까지, 즉 140-20=120(분) 동 ⑶ 양초에 불을 붙이면 초가 다 탈 때까지 양초의 길이가 안이다. 일정하게 줄어들게 되므로 그래프는 ㄱ과 같이 나타나 ⑷ 지우가 집을 향해 영화관을 떠난 때는 그래프가 오른쪽 게 된다. ⑴ ㄴ ⑵ ㄷ ⑶ ㄱ 아래로 향하기 시작한 때이므로 집에서 출발한 지 140 분 후이다. ⑴ 20분 후 ⑵ 160분 ⑶ 120분 ⑷ 140분 후 02 ⑵ 슬기가 집에서 출발하여 공원까지 가는데 멈춰 있었던 시간은 그래프에서 수평인 부분( → )이므로 2번 멈춰 있었고, 멈춰 있었던 것은 집에서 출발한 지 5분 후부 터 7분 후까지와 12분 후부터 15분 후까지로 모두 3 그래프가 가장 높은 지점은 23시(오후 11시)일 때이므로 초 미세먼지의 양이 가장 많은 시각은 23시(오후 11시)이다. 2+3=5(분) 그래프가 가장 낮은 지점은 8시(오전 8시)일 때이므로 초 ⑶ 그래프에서 이동 시간이 15분일 때 이동 거리가 미세먼지의 양이 가장 적은 시각은 8시(오전 8시)이다. 1500 m이므로 슬기가 집에서 출발하여 15분 동안 이 23시(오후 11시), 8시(오전 8시) 동한 거리는 1500 m이다. ⑷ 그래프에서 이동 거리가 2000 m일 때 이동 시간이 20 분이므로 슬기가 집에서 출발하여 공원에 도착할 때까 지 걸린 시간은 20분이다. ⑴ 이동 거리 ⑵ 2, 5 ⑶ 1500 ⑷ 20 이런 문제가 시험에 나온다 본문 229쪽 01 ④ 02 ㄱ, ㄴ 03 ⑤ 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 226~228쪽 2 ⑴ 20분 후 ⑵ 160분 ⑶ 120분 ⑷ 140분 후 3 23시(오후 11시), 8시(오전 8시) 1 ㄴ 이렇게 풀어요 1 상황에 맞는 그래프의 모양을 생각하면 다음과 같다. 상황 기온이 일정한 기온을 기온이 오른다. 유지한다. 떨어졌다. 그래프 모양 오른쪽 위로 향한다. 수평이다. 오른쪽 아래로 향한다. 따라서 알맞은 그래프는 ㄴ이다. ㄴ 2 ⑴ 지우의 집에서 영화관까지의 거리가 1.5 km이므로 영 화관에 도착하는 것은 집에서 출발한 지 20분 후이다. ⑵ 집에 도착하면 집으로부터의 거리가 0 km이므로 집에 서 출발하여 영화관까지 다녀오는 데 걸린 시간은 160 분이다. ⑶ 지우가 영화관에 머물렀던 때는 그래프에서 수평인 부 이렇게 풀어요 01 용기가 바닥에서부터 위로 올라갈수록 폭이 점점 좁아지 는 모양이므로 물의 높이가 일정하게 증가하지 않고 처음 에는 천천히 증가하다가 점점 빠르게 증가하게 된다. 따라서 그래프로 알맞은 것은 ④이다. ④ 참고 어떤 빈 용기에 시간당 일정한 양의 물을 넣을 때, 용기의 모양에 따라 경과 시간 x에 따른 물의 높이 y 사이 의 관계를 그래프로 나타내면 다음과 같다. 용기의 모양 물의 높이 일정하게 증가 그래프 모양 y O 처음에는 느 리게 증가하 다가 점점 빠 르게 증가 처음에는 빠 르게 증가하 다가 점점 느 리게 증가 y y x O x O x 02 ㄱ. 버스가 멈추어 있을 때 그래프 모양이 수평으로 나타 나므로 버스는 지은이가 탄 지 2분 후부터 3분 후까 Ⅳ. 좌표평면과 그래프 107 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 107 2017-06-10 오후 4:35:31 지, 6분 후부터 7분 후까지, 10분 후부터 11분 후까지 ⑤ D(-3, -3)이므로 점 D의 x좌표와 y좌표는 모두 3번 멈춰 있었다. 음수이다. ㄴ. 그래프에서 2500 m를 이동하는데 걸린 시간이 15분 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④ 이므로 지은이가 버스를 타고 이동한 시간은 모두 15 분이다. ㄷ. 지은이가 버스에 탄 후 버스가 두 번째로 멈춘 때는 지은이가 버스에 탄 지 6분 후이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 02 점 { a, ;3!; } a-6 이 x축 위의 점이므로 a-6=0 ∴ a=18 ;3!; 점 (2b-6, b-1)은 y축 위의 점이므로 ㄱ, ㄴ 2b-6=0 ∴ b=3 03 ③ 목욕하는 동안에는 그래프 모양이 수평이므로 목욕하 는 데 걸린 시간은 18-6=12(분)이다. ⑤ 수도꼭지를 튼 지 18분 후부터 물을 빼기 시작하여 24 ∴ a-b=18-3=15 ③ 03 ② y축 위의 점은 x좌표가 0이다. ⑤ 제 2 사분면과 제 3 사분면 위의 점의 x좌표는 음수이 분 후까지 물을 뺐으므로 물을 모두 빼는 데 걸린 시간 다. ②, ⑤ 은 24-18=6(분)이다. 참고 욕조에서 물을 뺄 때, 경과 시간 x에 따른 욕조에 남 바뀐다. ∴ B(-4, 3) ⑤ 04 점 A(4, 3)과 y축에 대하여 대칭인 점은 x좌표의 부호만 점 A(4, 3)과 원점에 대하여 대칭인 점은 x좌표, y좌표 아 있는 물의 양 y 사이의 변화 물의 양이 많을수록 물의 압력이 높 y 고, 물의 압력이 높을수록 시간당 빠 져나가는 물의 양이 많다. 즉, 물이 빠 져나갈수록 욕조에 남아 있는 물의 양 O x 이 줄어들게 되고 물의 압력이 낮아져 시간당 빠져나가는 물의 양이 줄어들게 되므로 욕조에 남아 있는 물의 양은 점점 느리게 감소하게 된다. 의 부호가 모두 바뀐다. ∴ C(-4, -3) 따라서 세 점 A, B, C를 꼭짓 점으로 하는 삼각형 ABC를 그리면 오른쪽 그림과 같다. = _8_6=24 ;2!; B C y 4 2 -2 -4 A 24 ∴ (삼각형 ABC의 넓이) -4 -2 O 2 4 x step (기본문제) 01 ④ 02 ③ 06 ④ 05 ㄷ 08 ㄱ-⑤, ㄴ-②, ㄷ-③ 09 ① 07 ㄱ, ㄷ 03 ②, ⑤ 04 24 10 ㄱ, ㄹ 06 y 멈추어 있음 본문 230~231쪽 05 자동차가 일정한 속력으로 움직이므로 자동차의 이동 시 간 x에 대하여 자동차의 속력 y를 나타낸 그래프의 모양 은 수평으로 나타나게 된다. ㄷ 01 ② D(-3, -3), E(1, -3)이므로 점 D와 점 E의 y좌 O x 집에 돌아옴 ③ A(1, 3), E(1, -3)이므로 점 A와 점 E의 x좌표가 정우가 집에서 출발한 지 x분 후 정우의 집으로부터의 거 ④ 점 C(-4, 0)은 어느 사분면에도 속하지 않으므로 서 y=0에서 끝났으므로 집에서 출발하여 우체국까지 갔 제 2 사분면에 속하는 점은 점 B(-2, 3)의 1개이다. 다가 다시 집으로 돌아온 것을 의미하고, 그래프 모양이 리 y m 사이의 관계를 나타낸 그래프가 y=0에서 시작해 이렇게 풀어요 표가 같다. 같다. 108 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 108 2017-06-10 오후 4:35:33 수평인 부분은 멈추어 있었음을 의미하므로 2번 멈추어 이렇게 풀어요 있었음을 알 수 있다. 따라서 그래프에 알맞은 상황은 ④이다. ④ 07 ㄱ. 그래프에서 지하철이 가장 빨리 움직일 때의 속력은 초속 30 m이다. ㄴ. 지하철이 일정한 속력으로 움직인 시간은 A역을 출발 한 지 10초 후부터 145초 후까지이므로 145-10=135(초)이다. ㄷ. 속력이 초속 0 m이면 지하철이 정차한 것이다. 즉, A 01 네 점 A(-2, 3), B(-4, -1), C(2, -1), D(1, 3)을 꼭짓점으로 하는 사각형을 그리면 오른쪽 그림 과 같다. A 4 D y 2 -4 B -2 O -2 2 C 4 x ∴ (사각형 ABCD의 넓이) = _(3+6)_4 1 2 =18 18 역을 출발한 지 180초 후에 정차하였으므로 지하철이 02 두 점 A(a-2, 1), B(3, 2-b)는 원점에 대하여 대칭 A역을 출발하여 B역에 정차할 때까지 걸린 시간은 이므로 180초이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ㄱ, ㄷ 08 ㄱ. 지우가 문화센터에 도착하기 전에 편의점에서 음료수 를 샀으므로 그래프의 모양은 집으로부터의 거리가 0 m가 아닌 곳에서 수평으로 나타나는 ⑤ 부분이다. ㄴ. 지우가 집으로 다시 돌아가므로 그래프의 모양은 오른 쪽 아래로 향하는 ② 부분이다. ㄷ. 지우가 집에서 2분 동안 머물렀으므로 그래프의 모양 은 거리가 0 m인 곳에서 2분 동안 수평으로 나타나는 a-2=-3, 1=-2+b ∴ a=-1, b=3 점 C(4, c+1)은 x축 위의 점이므로 c+1=0 ∴ c=-1 ∴ a+b-c=(-1)+3-(-1)=3 ⑤ 03 점 (-a, b)가 제 3 사분면 위의 점이므로 -a<0, b<0 ∴ a>0, b<0 따라서 ab<0, b-a<0이므로 점 (ab, b-a)는 제 3 사 분면 위의 점이다. 제 3 사분면 ③ 부분이다. ㄱ-⑤, ㄴ-②, ㄷ-③ 04 점 (a+b, ab)가 제 2 사분면 위의 점이므로 a+b<0, 09 xy<0에서 x와 y의 부호가 다르고, x>y이므로 x>0, ab>0에서 a와 b의 부호가 같고, a+b<0이므로 따라서 x>0, -y>0이므로 점 (x, -y)는 제 1 사분면 ① a<0, b<0이므로 점 (a, b)는 제 3 사분면 위의 점이 y<0이다. 위의 점이다. ① ② a<0, -b>0이므로 점 (a, -b)는 제 2 사분면 위의 ③ -a>0, b<0이므로 점 (-a, b)는 제 4 사분면 위의 10 ㄴ. 한 달 데이터를 5 GB 사용한다면 A요금제는 30000 원을 내야 하고, B요금제는 35000원을 내야 한다. ㄷ. 한 달 데이터를 5 GB 이하 사용한다면 A요금제를 선 택하는 것이 데이터 요금이 가장 저렴하다. ④ -a>0, -b>0이므로 점 (-a, -b)는 제 1 사분면 ab>0이다. a<0, b<0이다. 다. 점이다. 점이다. 다. ㄱ, ㄹ 위의 점이다. ⑤ b<0, a<0이므로 점 (b, a)는 제 3 사분면 위의 점이 ③ step (발전문제) 2 01 18 05 ④ 05 아이스크림을 먹으면 시간이 지날수록 양이 줄어들므로 본문 232쪽 그래프 모양은 오른쪽 아래로 향한다. 02 ⑤ 06 ⑴ ㄴ ⑵ ㄱ 03 제 3 사분면 04 ③ 아이스크림을 냉동실에 넣어 두면 시간이 지나도 아이스 크림의 양이 변하지 않으므로 그래프 모양은 수평이다. 또한 다시 아이스크림을 꺼내 먹다가 아이스크림의 양이 Ⅳ. 좌표평면과 그래프 109 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 109 2017-06-10 오후 4:35:35 처음의 절반이 되었을 때 냉동실에 다시 넣었으므로 그래 ∴ (삼각형 ABC의 넓이) 프 모양은 오른쪽 아래로 향하다가 아이스크림의 양이 처 =(사각형 ABDE의 넓이) 음의 절반이 되었을 때 수평이 된다. -(삼각형 BDC의 넓이)-(삼각형 ACE의 넓이) 따라서 상황에 알맞은 그래프는 ④이다. ④ 06 ⑴ 그릇의 아랫부분은 폭이 일정하다가 어느 부분부터 위 로 올라갈수록 그릇의 폭이 일정하게 증가하므로 시간 = _(1+4)_5- _4_1- _1_4 ;2!; ;2!; ;2!; 25 2 = -2-2= 17 2 17 2 당 일정한 양의 물을 채우면 물의 높이가 일정하게 증 02 ab>0에서 a와 b의 부호가 같고, a+b<0이므로 a<0, 가하다가 그릇의 폭이 변화하기 시작할 때부터 시간 x b<0이다. 에 따른 물의 높이가 점점 느리게 증가하게 된다. 그런데 |a|<|b|이므로 b<a<0 따라서 경과 시간 x와 물의 높이 y y ㄱ. a<0, -b>0이므로 점 (a, -b)는 제 2 사분면 위 O x 면 위의 점이다. 사이의 관계를 나타낸 그래프는 오 른쪽 그래프와 같이 오른쪽 위로 향 하는 직선의 형태였다가 중간에 점 점 느리게 증가하는 곡선의 형태로 바뀌게 된다. ⑵ 그릇의 아랫 부분은 폭이 위로 올라갈수록 일정하게 증 가하다가 어느 부분부터 그릇의 폭이 일정하므로 시간 당 일정한 양의 물을 채우면 물의 높이가 처음에는 빠 르게 증가하다가 점점 느리게 증가하게 되고 그릇의 폭이 일정해지기 시작할 때부터 물의 높이가 일정하게 증가하게 된다. 따라서 경과 시간 x와 물의 높이 y y 사이의 관계를 나타낸 그래프는 오 른쪽 그래프와 같이 곡선의 형태였 다가 중간에 오른쪽 위로 향하는 직 선의 형태로 바뀌게 된다. x O ⑴ ㄴ ⑵ ㄱ 의 점이다. ㄴ. b-a<0, ab>0이므로 점 (b-a, ab)는 제 2 사분 ㄷ. a-b>0, -a-b>0이므로 점 (a-b, -a-b)는 제 1 사분면 위의 점이다. ㄹ. - <0, -a>0이므로 점 - , -a 는 제 2 사 b a { } b a 분면 위의 점이다. 따라서 속하는 사분면이 다른 하나는 ㄷ이다. ㄷ 03 점 (abc, b-c)가 제 1 사분면 위의 점이므로 abc>0, b-c>0 점 (abd, d-a)가 제 2 사분면 위의 점이므로 yy ㉠ yy ㉡ abd<0, d-a>0 Ú a>0일 때, ㉠에서 bc>0 ∴ ab<0, cd<0 Û a<0일 때, ㉡에서 bd<0, d>a이므로 b<0, c<0, d>0 본문 233쪽 ㉠에서 bc<0, b>c이므로 b>0, c<0 03 제 3사분면 ㉡에서 bd>0이므로 d>0 ∴ ab<0, cd<0 따라서 Ú, Û에 의해 점 (ab, cd)는 제 3 사분면 위의 점이다. 제 3 사분면 01 점 (2, -4)와 x축에 대하여 대칭인 점은 y좌표의 부호 04 Ú a<-2일 때, 만 바뀐다. ∴ A(2, 4) 따라서 세 점 A(2, 4), B(-1, -1), C(3, 0)을 꼭짓점 으로 하는 삼각형 ABC를 그리면 오른쪽 그림과 같다. y A E 4 2 O O 2 C 4 D x -2 B -2 C a 세 점 A(-2, 3), B(-2, -1), C(a, 1)을 꼭짓점으 로 하는 삼각형 ABC y 3 A -2 1 O x B -1 를 그리면 위의 그림과 같으므로 선분 AB를 밑변으로 3 01 step (실력UP) 17 2 02 ㄷ 04 -12, 8 05 43 이렇게 풀어요 110 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 110 2017-06-10 오후 4:35:37 할 때 (밑변의 길이)=3-(-1)=4 (높이)=-2-a 이때 삼각형 ABC의 넓이가 20이므로 ×4×(-2-a)=20 ;2!; -2-a=10 ∴ a=-12 Û a>-2일 때, A 3 y 1 O -2 B -1 세 점 A(-2, 3), B(-2, -1), C(a, 1) 을 꼭짓점으로 하는 삼각 형 ABC를 그리면 오른 쪽 그림과 같으므로 선분 AB를 밑변으로 할 때 (밑변의 길이)=3-(-1)=4 (높이)=a-(-2)=a+2 이때 삼각형 ABC의 넓이가 20이므로 2 1 단계 세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC를 그리면 오른쪽 그림과 같다. (cid:90) (cid:21) (cid:19) (cid:35) (cid:14)(cid:19) (cid:48) (cid:19) (cid:89) (cid:21) (cid:14)(cid:21) (cid:34) (cid:36) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:21) 2 단계 삼각형 ABC의 밑변의 길이는 4이고 높이는 4이다. 3 단계 ∴ (삼각형 ABC의 넓이)= _4_4=8 8 ;2!; C a x 3 1 단계 두 점이 y축에 대하여 대칭이므로 x좌표의 부호만 반대이다. 3a+2=a에서 2a=-2 ∴ a=-1 6b+4=b-6에서 5b=-10 ∴ b=-2 2 단계 ∴ a-b=-1-(-2)=1 ×4×(a+2)=20, a+2=10 ∴ a=8 ;2!; 따라서 Ú, Û에서 a의 값은 -12, 8이다. -12, 8 채점요소 단계 1 2 a, b의 값 각각 구하기 a-b의 값 구하기 05 그래프에서 관람차 A가 가장 높이 올라갔을 때의 높이는 30 m이다. ∴ a=30 4 1 단계 두 점 A(2a, b+3), B(b-2, 2a-1)이 모두 x 관람차 A가 지우가 탑승한 지 5분 후, 15분 후, 25분 후 에 최고 높이에 도달하므로 한 바퀴 돌아 처음 위치에 돌 아오는 데 걸리는 시간은 10분이다. ∴ b=10 지우가 탑승해서 하차할 때까지 관람차 A가 꼭대기에 올 라간 횟수는 3번이다. ∴ c=3 ∴ a+b+c=30+10+3=43 43 서술형 대비 문제 본문 234~235쪽 1 제 2 사분면 2 8 3 1 4 6 5 제 4 사분면 6 19 이렇게 풀어요 축 위의 점이므로 b+3=0에서 b=-3 2a-1=0에서 a= ;2!; ∴ A(1, 0), B(-5, 0) 2 단계 이때 점 C의 좌표 { 4a-1, b+3 } ;3!; 에서 4a-1=4_ -1=1 ;2!; _(-3)+3=2 b+3= ;3!; ;3!; ∴ C(1, 2) 3 단계 따라서 세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC를 그리면 오른쪽 그 B -5 림과 같다. ∴ (삼각형 ABC의 넓이)= _6_2=6 ;2!; 1 1 단계 점 (a, -b)가 제 1 사분면 위의 점이므로 a>0이고 -b>0에서 b<0이다. 2 단계 ∴ ab<0, a-b>0 3 단계 따라서 점 (ab, a-b)는 제 2 사분면 위의 점이다. 제 2 사분면 단계 1 2 3 채점요소 두 점 A, B의 좌표 각각 구하기 점 C의 좌표 구하기 삼각형 ABC의 넓이 구하기 1 배점 4점 1점 y 2 O C A 1 x 6 배점 2점 2점 3점 Ⅳ. 좌표평면과 그래프 111 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 111 2017-06-10 오후 4:35:40 a b 다. 5 1 단계 점 { -a+b, 가 제 3 사분면 위의 점이므로 2 정비례와 반비례 a b } a b -a+b<0, <0이다. <0에서 a와 b의 부호가 다르다. 01 정비례 Ú a>0, b<0일 때, -a<0이므로 -a+b<0 개념원리 확인하기 Û a<0, b>0일 때, -a>0이므로 -a+b>0 01 ⑴ 500, 1500, 2000 ⑵ 정비례 관계 ⑶ 500 Ú, Û에서 a>0, b<0이다. 2 단계 ∴ -ab>0, b-a<0 3 단계 따라서 점 (-ab, b-a)는 제 4 사분면 위의 점이 02 ⑴ 40, 80 ⑵ 정비례 관계 ⑶ y=20x 03 ⑴ ⑵ ⑶ × ⑷ ⑸ ⑹ × 제 4 사분면 04 ⑴ y=4x ⑵ y=-4x ⑶ y= x ;5@; 본문 239쪽 채점요소 a, b의 부호 각각 구하기 2 -ab, b-a의 부호 각각 구하기 단계 1 3 점 (-ab, b-a)가 속하는 사분면 구하기 배점 3점 2점 2점 이렇게 풀어요 01 ⑶ 1개에 500원 하는 아이스크림 x개의 가격은 500x원 이므로 x와 y 사이의 관계식은 y=500x이다. ⑴ 500, 1500, 2000 ⑵ 정비례 관계 ⑶ 500 6 1 단계 동생은 자신이 출발한 지 4분 후부터 7분 후까지 7-4=3(분) 동안 멈추어 있었고, 학교까지 가는 2 단계 형은 동생보다 4분 늦게 출발하여 12-4=8(분)만 데 걸린 시간은 12분이다. ∴ a=3, b=12 에 학교에 도착하였다. ∴ c=4, d=8 단계 1 2 3 채점요소 a, b의 값 각각 구하기 c, d의 값 각각 구하기 a+b-c+d의 값 구하기 배점 2점 2점 1점 3 단계 ∴ a+b-c+d=3+12-4+8=19 19 03 y가 x에 정비례하면 y=ax, =a (a+0)의 꼴이다. y x ⑴ ⑵ ⑶ _ ⑷ ⑸ ⑹ _ 02 ⑶ 시속 20 km로 달리는 자전거가 x시간 동안 달린 거리는 20x km이므로 x와 y 사이의 관계식은 y=20x이다. ⑴ 40, 80 ⑵ 정비례 관계 ⑶ y=20x 04 y가 x에 정비례하므로 y=ax (a+0)로 놓는다. ⑴ y=ax에 x=2, y=8을 대입하면 8=2a에서 a=4 ∴ y=4x ⑵ y=ax에 x=3, y=-12를 대입하면 -12=3a에서 a=-4 ∴ y=-4x ⑶ y=ax에 x= , y= 을 대입하면 ;6%; ;3!; = a에서 a= ;3!; ;6%; ;5@; ∴ y= x ;5@; ⑴ y=4x ⑵ y=-4x ⑶ y= x ;5@; 참고 =a (a+0)로 놓고 a의 값을 구해도 된다. ;[}; 112 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 112 2017-06-10 오후 4:35:41 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 240~241쪽 ㄴ. x-2y=0에서 y= x (정비례) ㄴ, ㅂ 1 2 y=- x에 x=B, y=8을 대입하면 10=2x ∴ x=5 ③ 1 ①, ⑤ 2 -12 3 ② 이렇게 풀어요 1 y가 x에 정비례하면 y=ax, =a (a+0)의 꼴이다. y x ①, ⑤ 2 y가 x에 정비례하므로 y=ax (a+0)로 놓고 x=-4, y=2를 대입하면 2=-4a에서 a=- ∴ y=- x 1 2 1 2 y=- x에 x=-8, y=A를 대입하면 A=- _(-8)=4 1 2 1 2 1 2 1 2 8=- _B에서 B=-16 ∴ A+B=4+(-16)=-12 -12 _(소금물의 양)이므로 3 ㄱ. (소금의 양)= (소금물의 농도) 100 y= _x= x (정비례) 10 100 1 10 ㄴ. (시간)= 이므로 y= (거리) (속력) 700 x ㄷ. y=4_x=4x (정비례) ㄹ. _x_y=30에서 xy=60 ∴ y= 1 2 60 x ㅁ. xy=100 ∴ y= 100 x ㅂ. y=100-20x 따라서 y가 x에 정비례하는 것은 ㄱ, ㄷ이다. ② 02 y가 x에 정비례하므로 y=ax (a+0)로 놓고 x=2, y=12를 대입하면 12=2a에서 a=6 ∴ y=6x 따라서 y=6x에 y=-72를 대입하면 -72=6x ∴ x=-12 -12 03 y가 x에 정비례하므로 y=ax (a+0)로 놓고 x=3, y=6을 대입하면 6=3a에서 a=2 ∴ y=2x ① y=2x에서 =2 (일정) y x ② y=2x에 x=2를 대입하면 y=4 ③ y가 x에 정비례하므로 x의 값이 3배가 되면 y의 값도 3배가 된다. ④ y=2x에 y=10을 대입하면 04 y=ax (a+0)에 x=-2, y=3을 대입하면 3=-2a에서 a=- ∴ y=- x 3 2 3 2 y=- x에 x=b, y=6을 대입하면 3 2 3 2 3 2 6=- b에서 b=-4 y=- x에 x=2, y=c를 대입하면 c= { - 3 2 } _2=-3 ∴ a-b+c= { - 3 2 } -(-4)+(-3)=- - 1 2 1 2 05 ① x+y=24에서 y=24-x ② y=x_x_3.14=3.14xÛ` ③ y=3x (정비례) ④ (소금물의 농도)= _100 (%)이므로 (소금의 양) (소금물의 양) 이런 문제가 시험에 나온다 본문 242쪽 01 ㄴ, ㅂ 02 -12 03 ③ 05 ③ 06 y= 3 100 x 04 - 1 2 y= 100x 100+x ⑤ xy=30에서 y= 30 x ③ 이렇게 풀어요 01 x의 값이 2배, 3배, 4배, y가 될 때, y의 값도 2배, 3배, 4배, y가 되는 관계가 있으면 y가 x에 정비례한다. 06 (불량률)= (불량 전구의 개수) (생산한 전구의 개수) _100 (%)이므로 3= _100에서 y= y x 3 100 x y= 3 100 x Ⅳ. 좌표평면과 그래프 113 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 113 2017-06-10 오후 4:35:43 02 정비례 관계의 그래프 개념원리 확인하기 01 ⑴ -2, 1, -2, 0, 0, 0, 0, 1, -2, 직선, 그래프는 풀이 참조 04 ⑴ 그래프가 정비례 관계의 그래프이므로 y=ax (a+0) 로 놓는다. 본문 245쪽 y=ax의 그래프가 점 (-1, -3)을 지나므로 y=ax 에 x=-1, y=-3을 대입하면 -3=-a에서 a=3 ∴ y=3x ⑵ 그래프가 정비례 관계의 그래프이므로 y=ax (a+0) ⑵ 3, 2, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 3, 직선, 로 놓는다. y=ax의 그래프가 점 (3, -2)를 지나므로 y=ax에 x=3, y=-2를 대입하면 -2=3a에서 a=- ∴ y=- ;3@; x ;3@; ⑴ y=3x ⑵ y=- x ;3@; 그래프는 풀이 참조 02 풀이 참조 03 -5 04 ⑴ y=3x ⑵ y=- x ;3@; 이렇게 풀어요 01 ⑴ ⑵ (cid:90) (cid:21) (cid:19) (cid:48) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:21) (cid:90) (cid:21) (cid:19) (cid:48) (cid:19) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:21) (cid:14)(cid:21) (cid:14)(cid:19) (cid:19) (cid:89) (cid:21) (cid:14)(cid:21) (cid:14)(cid:19) (cid:21) (cid:89) 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 246~248쪽 ⑴ -2, 1, -2, 0, 0, 0, 0, 1, -2, 직선, ⑵ 3, 2, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 3, 직선, 이렇게 풀어요 그래프는 풀이 참조 그래프는 풀이 참조 02 ⑴ 정비례 관계 y=6x에서 x=1일 때, y y=6x y=6이므로 점 (1, 6)을 지난다. 따라서 정비례 관계 y=6x의 그래 프는 오른쪽 그림과 같이 원점 O와 점 (1, 6)을 지나는 직선이다. 6 O 1 x 1 풀이 참조 2 ③ 5 A(8, -2) 3 0 6 3 4 ㄴ, ㄹ 1 ⑴ 정비례 관계 y=- x에서 x=4일 때, y=-3이므 3 4 로 점 (4, -3)을 지난다. 따라서 정비례 관계 y=- x의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 원 점 O와 점 (4, -3)을 지나는 직선이다. y O -3 4 x y=- x ;4#; 3 4 1 2 1 2 3 5 3 5 ⑵ 정비례 관계 y=- x에서 x=5일 때, y=-3이므 ⑵ 정비례 관계 y= x에서 x=2일 때, y=1이므로 점 로 점 (5, -3)을 지난다. (2, 1)을 지난다. 따라서 정비례 관계 y=- x y 따라서 정비례 관계 y= x의 의 그래프는 오른쪽 그림과 같 O 5 그래프는 오른쪽 그림과 같이 원 이 원점 O와 점 (5, -3)을 지 -3 나는 직선이다. 풀이 참조 x y=- x ;5#; 점 O와 점 (2, 1)을 지나는 직 O 2 x 선이다. ⑶ 정비례 관계 y=4x에서 x=1일 때, y=4이므로 점 03 정비례 관계 y= x의 그래프가 점 (a, -6)을 지나므 6 5 로 y= x에 x=a, y=-6을 대입하면 (1, 4)를 지난다. 따라서 정비례 관계 y=4x의 그 래프는 오른쪽 그림과 같이 원점 O와 점 (1, 4)를 지나는 직선이 -6= a ∴ a=-5 -5 다. 풀이 참조 y 1 y 4 O y= x ;2!; y=4x 1 x 6 5 ;5^; 114 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 114 2017-06-10 오후 4:35:46 2 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프는 a의 절댓값이 작 이런 문제가 시험에 나온다 본문 249쪽 01 ③, ⑤ 02 ① 03 ③ 04 ⑤ 을수록 x축에 가깝다. 즉, |-5|>|-4|>|3|> - 1 2 | > | 1 12 | | 이므로 x축 05 42 에 가장 가까운 그래프는 a의 절댓값이 가장 작은 ③이다. ③ 이렇게 풀어요 3 점 (-1, 2)가 정비례 관계 y=bx (b+0)의 그래프 위 의 점이므로 y=bx에 x=-1, y=2를 대입하면 01 ③ 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프에서 a의 절댓값 이 클수록 y축에 가깝다. - 이므로 정비 1 2 | > | 1 3 | | 2=b_(-1)에서 b=-2 ∴ y=-2x 례 관계 y= x의 그래프보다 y축에 가깝다. 점 (a, -4)가 정비례 관계 y=-2x의 그래프 위의 점 이므로 y=-2x에 x=a, y=-4를 대입하면 ⑤ 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지나는 직선이다. ③, ⑤ 1 3 -4=-2a에서 a=2 ∴ a+b=2+(-2)=0 4 ㄴ. 6>0이므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. ㄷ. x=1일 때 y=6, x=-1일 때 y=-6이므로 점 (1, 6)과 점 (-1, -6)을 지난다. 02 직선 l이 원점을 지나므로 이 직선이 나타내는 x와 y 사 이의 관계식은 y=ax (a+0)이고 직선 l이 제 2 사분면 0 과 제 4 사분면을 지나므로 a<0이다. 또, 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프에서 a의 절댓 값이 클수록 y축에 가까우므로 |a|>|-1|, |a|>1 ∴ a<-1 ㄹ. 6>0이므로 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지난다. 따라서 그 그래프가 직선 l이 될 수 있는 것은 ①이다. 따라서 옳지 않은 것은 ㄴ, ㄹ이다. ㄴ, ㄹ 03 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가 점 (3, 1)을 지 ① 5 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가 점 (-4, 1)을 나므로 y=ax에 x=3, y=1을 대입하면 지나므로 y=ax에 x=-4, y=1을 대입하면 1=-4a에서 a=- ∴ y=- x 1 4 1 4 1 4 따라서 정비례 관계 y=- x의 그래프가 점 A를 지나 므로 점 A의 좌표를 (k, -2)라 하면 -2=- k ∴ k=8 1 4 ∴ A(8, -2) A(8, -2) y=2x P(2,`4) y= x ;2!; Q(2,`1) 2 x O 6 y=2x에 y=4를 대입하면 x=2 ∴ P(2, 4) 즉, 점 Q의 x좌표가 2이므로 y 4 1 y= x에 x=2를 대입하면 1 2 y=1 ∴ Q(2, 1) 이때 (선분 PQ의 길이)=4-1=3 ∴ (삼각형 POQ의 넓이)= _3_2=3 3 ;2!; 1=3a ∴ a= ;3!; 정비례 관계 y=bx의 그래프가 점 (1, -3)을 지나므로 y=bx에 x=1, y=-3을 대입하면 -3=b ∴ ab= _(-3)=-1 ③ ;3!; 04 그래프가 원점을 지나는 직선이므로 y=ax (a+0)로 놓 으면 y=ax의 그래프가 점 { -2, 을 지나므로 3 2 } 3 2 ;4#; 3 4 y=ax에 x=-2, y= 을 대입하면 =-2a에서 a=- ∴ y=- x ;4#; ;2#; ⑤ y=- x에 x=4를 대입하면 y=-3이므로 점 (4, -3)은 y=- x의 그래프 위에 있다. ⑤ 05 점 P의 y좌표가 -6이므로 y= x에 y=-6을 대입하 1 2 면 -6= x ∴ x=-12 ∴ P(-12, -6) 3 4 1 2 Ⅳ. 좌표평면과 그래프 115 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 115 2017-06-10 오후 4:35:49 점 Q의 y좌표가 -6이므로 y=-3x에 y=-6을 대입 하면 -6=-3x ∴ x=2 ∴ Q(2, -6) ⑵ y= 에 x=-10, y=3을 대입하면 이때 (선분 PQ의 길이)=2-(-12)=14 3= 에서 a=-30 ∴ y=- 30 x ∴ (삼각형 OPQ의 넓이)= _14_6=42 42 ;2!; ⑶ y= 에 x=4, y= 을 대입하면 a x a x a -10 03 반비례 개념원리 확인하기 본문 251쪽 01 ⑴ 300, 150 ⑵ 반비례 관계 ⑶ 600 02 ⑴ 12, 9 ⑵ 반비례 관계 ⑶ y= 36 x 03 ⑴ ⑵ _ ⑶ ⑷ _ ⑸ _ ⑹ ⑺ _ ⑻ _ ;2!; 10 x = 에서 a=2 ∴ y= a 4 ;2!; 2 x ⑴ y=- ⑵ y=- ⑶ y= 30 x 2 x 참고 xy=a (a+0)로 놓고 a의 값을 구해도 된다. 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 252~253쪽 1 ②, ④ 2 12 3 ③ 04 ⑴ y=- ⑵ y=- ⑶ y= 30 x 2 x 10 x 이렇게 풀어요 이렇게 풀어요 01 ⑶ 무게가 600 g인 케이크를 똑같이 x조각으로 나누면 한 조각의 무게는 g이므로 x와 y 사이의 관계식은 600 x 1 ①, ③ 정비례 관계도 아니고 반비례 관계도 아니다. ② x=- 에서 xy=-5 ∴ y=- (반비례) 5 y x 12 ⑤ y= (정비례) 따라서 y가 x에 반비례하는 것은 ②, ④이다. ②, ④ ⑴ 300, 150 ⑵ 반비례 관계 ⑶ 600 2 y가 x에 반비례하므로 y= (a+0)로 놓고 x=3, a x a 3 y=4를 대입하면 4= 에서 a=12 ∴ y= 12 x y= 에 x=2, y=A를 대입하면 A= =6 y= 에 x=B, y=3을 대입하면 3= 에서 B=4 02 ⑶ 넓이가 36 cmÛ`인 직사각형의 가로의 길이가 x cm이 면 세로의 길이는 cm이므로 x와 y 사이의 관계식 36 x y= 이다. 600 x 은 y= 이다. 36 x ⑴ 12, 9 ⑵ 반비례 관계 ⑶ y= 36 x y= 에 x=6, y=C를 대입하면 C= =2 ∴ A+B+C=6+4+2=12 12 a x a x 03 y가 x에 반비례하면 y= , xy=a (a+0)의 꼴이다. ⑴ ⑵ _ ⑶ ⑷ _ ⑸ _ ⑹ ⑺ _ ⑻ _ 3 ㄱ. y=5x (정비례) ㄴ. y=6x (정비례) 04 y가 x에 반비례하므로 y= (a+0)로 놓는다. y= _100= (반비례) ⑴ y= 에 x=5, y=-2를 대입하면 -2= 에서 a=-10 ∴ y=- ㅁ. y= (반비례) 10 x ㄷ. (소금물의 농도)= _100 (%)이므로 (소금의 양) (소금물의 양) 1000 x ㄹ. y=xÛ`이므로 정비례 관계도 아니고 반비례 관계도 아 12 x 12 x 12 x 10 x 50 x 니다. 5 x 12 2 12 B 12 6 a x a 5 116 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 116 2017-06-10 오후 4:35:51 ㅂ. y=200-x이므로 정비례 관계도 아니고 반비례 관계 ∴ A-B=4-20=-16 ① 도 아니다. 따라서 y가 x에 반비례하는 것은 ㄷ, ㅁ이다. ③ 이런 문제가 시험에 나온다 본문 254쪽 ③ (설탕의 양)= _(설탕물의 양)이므로 01 ②, ④ 02 ② 03 ⑤ 04 ① 20= _y ∴ y= (반비례) 05 ① (원기둥의 부피)=(밑넓이)_(높이)이므로 y=7_x ∴ y=7x (정비례) ② (시간)= (반비례) (거리) (속력) 이므로 y= 20 x (설탕물의 농도) 100 x 100 2000 x ④ y=180-x이므로 정비례 관계도 아니고 반비례 관계 도 아니다. ⑤ y=15x (정비례) 따라서 y가 x에 반비례하는 것은 ②, ③이다. ②, ③ 05 ②, ③ 이렇게 풀어요 01 ① 정비례 관계도 아니고 반비례 관계도 아니다. ②, ④ 반비례 ③ x-2y=0 ∴ y= x (정비례) ;2!; ⑤ 정비례 a x a x 8 x 따라서 반비례 관계가 있는 것은 ②, ④이다. ②, ④ 04 반비례 관계의 그래프 02 y가 x에 반비례하므로 y= (a+0)로 놓고 x=2, 개념원리 확인하기 본문 257쪽 y=4를 대입하면 a 2 4= 에서 a=8 ∴ y= ② 01 ⑴ -1, -2, -4, 4, 2, 1, 곡선, ⑵ 1, 2, 3, 6, -6, -3, -2, -1, 곡선, 그래프는 풀이 참조 그래프는 풀이 참조 03 y가 x에 반비례하므로 y= (a+0)로 놓고 x=8, 02 풀이 참조 y=2를 대입하면 2= 에서 a=16 ∴ y= 16 x 03 -2 04 ⑴ y= ⑵ y=- 15 x 16 x y= 에 x= 을 대입하면 ;2!; 16 x 이렇게 풀어요 y=16Öx=16Ö =16_2=32 ⑤ 01 ⑴ ⑵ a 8 1 2 04 y가 x에 반비례하므로 y= (a+0)로 놓고 x=-2, a x -4 -2 2 4 x -4-6 -2 2 4 6 x y=10을 대입하면 10= 에서 a=-20 ∴ y=- 20 x y=- 에 x=-5, y=A를 대입하면 A=- =4 a -2 20 x 20 -5 20 x 20 B -1=- 에서 B=20 y 6 4 2 O -2 -4 -6 y 4 2 O -2 -4 그래프는 풀이 참조 5 x ⑴ -1, -2, -4, 4, 2, 1, 곡선, 그래프는 풀이 참조 ⑵ 1, 2, 3, 6, -6, -3, -2, -1, 곡선, 때 x의 값에 따른 y의 값을 구하여 표로 나타내면 다음 과 같다. Ⅳ. 좌표평면과 그래프 117 y=- 에 x=B, y=-1을 대입하면 02 ⑴ 반비례 관계 y= 에서 x의 값이 -5, -1, 1, 5일 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 117 2017-06-10 오후 4:35:54 x y -5 -1 -1 -5 1 5 5 1 따라서 순서쌍 (x, y)를 좌 표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타내고 매끄러운 곡선으로 연결하면 오른 쪽 그림과 같다. -4 -2 2 4 x 이렇게 풀어요 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 258~261쪽 1 ①, ③ 5 8 2 ③ 8 3 6 3 4 1 4 7 4 ㄴ, ㄹ 8 16 y 4 2 O -2 -4 y 4 2 -2 -4 ⑵ 반비례 관계 y=- 에서 x의 값이 -4, -2, -1, 4 x 1, 2, 4일 때 x의 값에 따른 y의 값을 구하여 표로 나 타내면 다음과 같다. x -4 -2 -1 1 2 4 y 1 2 4 -4 -2 -1 따라서 순서쌍 (x, y)를 좌 표로 하는 점을 좌표평면 위 에 나타내고 매끄러운 곡선 으로 연결하면 오른쪽 그림 -4 -2 O 2 4 x 과 같다. 풀이 참조 03 반비례 관계 y= (a+0)의 그래프가 점 (2, -1)을 지나므로 y= 에 x=2, y=-1을 대입하면 a x a x -1= ∴ a=-2 -2 04 주어진 그래프는 반비례 관계의 그래프이므로 y= (a+0)로 놓는다. a x ⑴ y= 의 그래프가 점 (3, 5)를 지나므로 y= 에 x=3, y=5를 대입하면 5= 에서 a=15 ∴ y= 15 x a x a x ⑵ y= 의 그래프가 점 (2, -8)을 지나므로 y= 에 x=2, y=-8을 대입하면 -8= 에서 a=-16 ∴ y=- a 2 16 x 15 x ⑴ y= ⑵ y=- 16 x a 2 a x ;3A; a x 118 정답과 풀이 1 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프와 반비례 관계 y= (a+0)의 그래프는 모두 a<0일 때 제 2 사분면과 a x 제 4 사분면을 지난다. ①, ③ 2 반비례 관계 y= (a+0)의 그래프는 a의 절댓값이 작 a x 을수록 원점에 가깝다. 즉, 1 5 | | < - | 3 4 | 가장 가까운 것은 ③ y= 이다. 1 5x <|1|<|-4|<|5|이므로 원점에 3 반비례 관계 y= (a+0)의 그래프가 점 (-8, 1)을 지나므로 y= 에 x=-8, y=1을 대입하면 1= 에서 a=-8 ∴ y=- ;[*; a -8 따라서 반비례 관계 y=- 의 그래프가 점 b, 2 3 } 를 { 지나므로 y=- 에 x=b, y= 를 대입하면 8 x 2 3 a x a x 8 x =- 에서 b=-12 2 3 8 b ∴ a-b=(-8)-(-12)=4 ③ 4 4 ㄱ. x=-3일 때, y=- =6이므로 점 (-3, 6)을 18 -3 지난다. ㄴ. -18<0이므로 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지난다. ㄷ. x>0일 때, x의 값이 증가하 면 y의 값도 증가한다. ㄹ. 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 y=- 18 - x y 6 -3 O x 증가 증가 매끄러운 곡선이다. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. ㄴ, ㄹ 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 118 2017-06-10 오후 4:35:56 6 x a x 8 x 6 x 8 x 5 반비례 관계 y= (a+0)의 그래프가 점 (-2, -3)을 a x 이런 문제가 시험에 나온다 본문 262쪽 y= 에 x=-2, y=-3을 대입하면 01 ②, ④ 02 1 03 15 04 8개 05 16 06 12 -3= 에서 a=6 ∴ y= 이렇게 풀어요 따라서 반비례 관계 y= 의 그래프가 점 (3, b)를 지나 01 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프는 a<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값이 감소한다. ⇨ ② 므로 y= 에 x=3, y=b를 대입하면 반비례 관계 y= (a+0)의 그래프는 a>0일 때, 각 ∴ a+b=6+2=8 8 사분면에서 x의 값이 증가하면 y의 값이 감소한다. ⇨ ④ ②, ④ 지나므로 a x 6 3 a -2 6 x b= =2 6 그래프가 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 매끄러운 곡선이 고 점 (-4, -2)를 지나므로 y= (a+0)로 놓고 x=-4, y=-2를 대입하면 -2= 에서 a=8 ∴ y= 따라서 반비례 관계 y= 의 그래프가 점 (3, k)를 지나 므로 y= 에 x=3, y=k를 대입하면 k= a -4 8 x 02 반비례 관계 y= (a+0)의 그래프가 점 (1, 3)을 지 나므로 y= 에 x=1, y=3을 대입하면 3=a ∴ y= ;[#; 따라서 반비례 관계 y= 의 그래프가 점 b, - { 을 ;2#;} 3 x 지나므로 y= 에 x=b, y=- 을 대입하면 3 2 8 3 - = ;b#; ;2#; ∴ b=-2 ∴ a+b=3+(-2)=1 1 7 점 A의 x좌표가 -4이고 반비례 관계 y= 의 그래프 위에 있으므로 y= 에 x=-4를 대입하면 y= =-1 ;[$; 4 -4 03 점 A의 x좌표가 3이고 정비례 관계 y= x의 그래프 위 5 3 에 있으므로 y= x에 x=3을 대입하면 5 3 ∴ A(-4, -1) y= _3=5 ∴ A(3, 5) 또, 점 A가 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프 위에 있으므로 또, 점 A가 반비례 관계 y= (a+0, x>0)의 그래프 a x y=ax에 x=-4, y=-1을 대입하면 위에 있으므로 -1=-4a ∴ a= 1 4 1 4 y= 에 x=3, y=5를 대입하면 5= ∴ a=15 15 5 3 a x ;3A; 8 3 4 x a x a x a x 3 x 8 반비례 관계 y= (a+0, x>0)의 그래프가 점 P를 지 a x 나고 점 P의 y좌표가 8이므로 y= 에 y=8을 대입하면 a x 8= 에서 x= ∴ P ;[A; ;8A; a 8 { , 8 } 이때 직사각형 OAPB의 넓이가 16이므로 04 반비례 관계 y= ;[*; 에서 xy=8이므로 이 그래프 위의 점 중에서 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점은 (-1, -8), (-2, -4), (-4, -2), (-8, -1), (1, 8), (2, 4), (4, 2), (8, 1)의 8개이다. 8개 _8=16 ∴ a=16 ;8A; 16 05 점 A의 x좌표를 k (k>0)라 하면 점 A는 반비례 관계 Ⅳ. 좌표평면과 그래프 119 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 119 2017-06-10 오후 4:35:59 y=- 의 그래프 위의 점이므로 y=- 에 x=k를 16 x 로 x와 y 사이의 관계식은 y=18x이다. ⑷ y=18x에 x=200을 대입하면 16 x 대입하면 y=- 16 k ∴ A { k, - 16 k } 이때 (선분 OB의 길이)=k, (선분 OC의 길이)=0- - 16 k } = 16 k { 이므로 (사각형 ABOC의 넓이)=k_ =16 16 02 ⑴ =24(개) 16 k 06 반비례 관계 y= (a+0)의 그래프가 두 점 B, D를 지 a x 나고, 두 점 B, D의 x좌표가 각각 -4, 4이므로 y= 에 x=-4를 대입하면 y=- 에서 B { -4, - a 4 a 4 } y= 에 x=4를 대입하면 a x a x a 4 y= 에서 D 4, a 4 } { a 4 } { a 4 이때 A { -4, , C 4, - 이므로 a 4 } (선분 AB의 길이)= - - { a 4 } = a 2 (선분 BC의 길이)=4-(-4)=8 직사각형 ABCD의 넓이가 48이므로 a 2 _8=48 ∴ a=12 12 y=18_200=3600 따라서 200개의 타일을 이어 붙였을 때 전체의 넓이는 3600cmÛ`이다. ⑴ 36 ⑵ 54 ⑶ 18x ⑷ 3600 48 2 48 3 48 x ⑵ =16(개) ⑶ 48개의 과자를 x명이 똑같이 나누어 먹으면 1명당 개씩 먹을 수 있으므로 x와 y 사이의 관계식은 y= 이다. 48 x 48 x ⑷ y= 에 x=8을 대입하면 y= =6 48 8 따라서 8명이 똑같이 나누어 먹으면 1명당 6개씩 먹을 수 있다. ⑴ 24 ⑵ 16 ⑶ 48 x ⑷ 6 03 ⑵ x분 동안 나온 물의 양은 7x L이므로 x와 y 사이의 관 계식은 y=7x이다. ⑶ y=7x에 x=15를 대입하면 y=7_15=105 따라서 15분 동안 나온 물의 양은 105 L이다. ⑴ 14, 21, 7x ⑵ 7x ⑶ 105 04 (시간)= 이므로 (거리) (속력) ⑵ 시속 x km로 240 km의 거리를 가는 데 걸린 시간은 시간이므로 x와 y 사이의 관계식은 y= 이다. 240 x ⑶ y= 에 y=3을 대입하면 본문 264쪽 3= ∴ x=80 240 x 240 x 240 x 따라서 시속 80 km로 가야 한다. ⑴ 12, 6 , 4, 240 x ⑵ 240 x ⑶ 80 ⑶ x개의 타일을 이어 붙였을 때의 넓이는 18x cmÛ`이므 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 265쪽 1 ⑴ y=2x ⑵ 10분 2 ⑴ y= ⑵ 50 L 1000 x 05 정비례, 반비례 관계의 활용 개념원리 확인하기 01 ⑴ 36 ⑵ 54 ⑶ 18x ⑷ 3600 02 ⑴ 24 ⑵ 16 ⑶ ⑷ 6 48 x 03 ⑴ 14, 21, 7x ⑵ 7x ⑶ 105 04 ⑴ 12, 6, 4, ⑵ ⑶ 80 240 x 240 x 이렇게 풀어요 01 ⑴ 18_2=36(cmÛ`) ⑵ 18_3=54(cmÛ`) 120 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 120 2017-06-10 오후 4:36:01 ⑵ y= 에 y=20을 대입하면 따라서 압력이 10기압일 때 이 기체의 부피는 15 cmÜ`이 이렇게 풀어요 1 ⑴ 빈 물통에 매분 2 L씩 물을 넣으면 x분 후의 물의 양은 2x L이므로 x와 y 사이의 관계식은 y=2x이다. ⑵ y=2x에 y=20을 대입하면 20=2x ∴ x=10 ⑵ y= x에 x=10을 대입하면 y= _10=4 ;5@; ;5@; 따라서 A가 10번 회전하는 동안 B는 4번 회전한다. ⑴ y= x ⑵ 4번 ;5@; 따라서 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간은 10분이다. 03 기체의 압력을 x기압, 부피를 y cmÜ`라 하면 기체의 부피 ⑴ y=2x ⑵ 10분 는 압력에 반비례하므로 y= (a+0)로 놓고 y= 에 a x a x 2 ⑴ (물탱크의 용량)=(매분 넣는 물의 양)_(걸리는 시간) 이므로 40_25=x_y ∴ y= 1000 x 1000 x 1000 x 20= ∴ x=50 따라서 물탱크에 물을 20분 만에 가득 채우려면 매분 50 L씩의 물을 넣어야 한다. ⑴ y= ⑵ 50 L 1000 x 이런 문제가 시험에 나온다 본문 266쪽 01 ⑴ y= ⑵ 20분 02 ⑴ y= x ⑵ 4번 4000 x 03 15 cmÜ` 04 12명 05 y= 06 ⑴ y=4x ⑵ 6 cm ;5@; 800 x 이렇게 풀어요 01 ⑴ 집에서 학교까지의 거리가 4000 m이므로 (시간)= 에서 y= (거리) (속력) 4000 x ⑵ y= 에 x=200을 대입하면 y= =20 4000 x 4000 200 따라서 분속 200 m의 속력으로 갈 때, 등교하는 데 걸 린 시간은 20분이다. ⑴ y= 4000 x ⑵ 20분 02 ⑴ 두 개의 톱니바퀴가 각각 회전하는 동안 맞물린 톱니 수는 서로 같다. (A의 톱니의 수)_(A의 회전수) =(B의 톱니의 수)_(B의 회전수) 이므로 14_x=35_y ∴ y= x ;5@; x=5, y=30을 대입하면 30= 에서 a=150 ∴ y= y= 에 x=10을 대입하면 y= =15 150 x 150 10 ;5A; 150 x 다. 15 cmÜ`` 04 (전체 일의 양)=(직원 수)_(걸리는 시간)이다. 8명의 직원이 일을 하면 15일이 걸리므로 (전체 일의 양)=8_15=120 x명의 직원이 일을 하면 y일이 걸린다고 하면 xy=120 ∴ y= 120 x 이 일을 10일 만에 끝내야 하므로 y= 에 y=10을 120 x 대입하면 10= ∴ x=12 120 x 따라서 이 일을 10일 만에 끝내려면 직원 12명이 필요하 다. 12명 05 1분 동안 두 톱니바퀴가 각각 회전하면서 맞물린 톱니의 수는 서로 같다. (A의 톱니의 수)_(A의 회전수) =(B의 톱니의 수)_(B의 회전수) 이므로 40_20=x_y ∴ y= 800 x y= 800 x 06 ⑴ (삼각형 ABC의 넓이) = _(변 BC의 길이)_(변 AC의 길이) ;2!; 이므로 y= _x_8=4x ;2!; ⑵ y=4x에 y=24를 대입하면 24=4x ∴ x=6 따라서 선분 BC의 길이는 6 cm이다. ⑴ y=4x ⑵ 6 cm Ⅳ. 좌표평면과 그래프 121 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 121 2017-06-10 오후 4:36:04 step (기본문제) 본문 267~269쪽 주의 의 값이 일정한 것은 정비례 관계이다. ;[}; 05 ①, ② 표에서 xy =(-4)_2=(-2)_4=(-1)_8 =1_(-8)=4_(-2)=-8(일정) 이므로 y가 x에 반비례한다. y= (a+0)로 놓고 y= 에 x=-2, y=4를 대 a x 입하면 a x a -2 8 x 8 2 8 x 4= 에서 a=-8 ∴ y=- ③ y=- 에 x=2, y=A를 대입하면 A=- =-4 ④ xy=-8(일정) 8 x 8 8 ⑤ y=- 에 x=8을 대입하면 y=- =-1 ③ ④ 06 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프는 a의 절댓값이 클 수록 y축에 가깝다. 즉, 1 6 | | < |- 2 3 | 8 3 | | <|2|< <|-3|이므로 y축에 가장 가까운 그래프는 a의 절댓값이 가장 큰 ① y=-3x 이다. ① 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 반비례 관계 y= (a+0)의 그래프는 a>0일 때, 각 a x 사분면에서 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. ④ 정비례 관계 y=-5x의 그래프는 -5<0이므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. ④ 01 ③ 05 ④ 09 ③ 13 -2 17 48번 이렇게 풀어요 03 ⑤ 07 ④ 11 ③ 15 ④ 04 ④ 08 ⑤ 12 ⑤ 16 ④ 02 -3 06 ① 10 ⑤ 14 ① 18 ③ 01 y가 x에 반비례하면 y= , xy=a (a+0)의 꼴이다. a x 5 2x ㅁ. 2xy=-5에서 y=- ㅂ. 4y= 에서 y= 5 2x 5 8x 따라서 y가 x에 반비례하는 것은 ㄱ, ㅁ, ㅂ의 3개이다. 참고 ㄱ. xy=-7 ㅁ. xy=- ㅂ. xy= ;2%; ;8%; 따라서 xy의 값이 일정하므로 ㄱ, ㅁ, ㅂ은 y가 x에 반비 례한다. 02 ㈎ y가 x에 정비례한다. ㈏ y가 x에 정비례하므로 y=ax (a+0)로 놓고 y=ax에 x=-5, y= 를 대입하면 따라서 y=- x에 x=12를 대입하면 ;4!; y=- _12=-3 ;4!; -3 03 ① y=5000-800x ② y=20-x ③ y=x(x+5) ④ xy=24 ∴ y= (반비례) ⑤ y=6x (정비례) ;4%; ;4!; 24 x a x 122 정답과 풀이 04 y가 x에 반비례하므로 y= (a+0)로 놓고 y= 에 a x x=-3, y=4를 대입하면 4= 에서 a=-12 ∴ y=- a -3 12 x ④ y가 x에 반비례하므로 xy의 값이 일정하다. ④ 3 4 3 4 다. 08 ① 원점을 지나는 직선이다. ⑤ ② x=3을 대입하면 y=- _3=- 이므로 y=- x의 그래프는 점 { 3, - 를 지난다. 3 4 ;4#; ;4(; 9 4 } ③ - <0이므로 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지난다. ④ - <0이므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한 =-5a에서 a=- ∴ y=- ;4%; x ;4!; 07 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프는 a<0일 때, x의 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 122 2017-06-10 오후 4:36:06 ⑤ | - ;4#;| > | 1 2 | 이므로 y=- x의 그래프가 y y=- `x 3 - 4 1 y= `x - 2 O x 이므로 점 { - , 20 을 지난다. } ⑤ 1 2 a x y= x의 그래프보다 y축에 13 반비례 관계 y= (a+0)의 그래프가 점 (3, 4)를 지 09 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프와 반비례 관계 y= (a+0)의 그래프는 a>0일 때 제 1 사분면과 제 3 따라서 반비례 관계 y= 의 그래프가 점 (k, -6)을 ⑤ 나므로 y= 에 x=3, y=4를 대입하면 a x 4= 에서 a=12 ∴ y= ;3A; 12 x 3 4 1 2 가깝다. a x 사분면을 지난다. 따라서 a>0인 것을 모두 고르면 ㄱ, ㄹ, ㅂ이다. ③ 10 반비례 관계 y=- 6 x (b, -2)를 지나므로 의 그래프가 두 점 (-3, a), y=- 에 x=-3, y=a를 대입하면 a=- =2 또, y=- 에 x=b, y=-2를 대입하면 -2=- ∴ b=3 6 x 6 -3 6 x 6 b ∴ a+b=2+3=5 ⑤ 11 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프는 a>0이면 오른 쪽 위로, a<0이면 오른쪽 아래로 향하는 직선이고, a의 절댓값이 클수록 y축에 가깝다. 따라서 정비례 관계 y=4x의 그래프는 오른쪽 위로 향하 는 직선이고 y=2x의 그래프보다 y축에 가까운 ③이다. 12 주어진 그래프는 반비례 관계의 그래프이므로 y= (a+0)로 놓고 y= 에 x=2, y=-5를 대입하 ;[A; a x 면 -5= 에서 a=-10 ∴ y=- ;2A; 10 x ① y가 x에 반비례한다. ② x의 값의 범위는 0이 아닌 수 전체이다. 12 x 12 x 12 k 지나므로 y= 에 x=k, y=-6을 대입하면 -6= ∴ k=-2 -2 14 (소금물의 농도)= _100 (%)이므로 (소금의 양) (소금물의 양) 20 200 (소금물의 농도)= _100=10 (%) (소금의 양)= _(소금물의 양)이므로 (소금물의 농도) 100 y= _x= 10 100 1 10 x ① 15 x와 y 사이의 관계식은 xy=10에서 y= 10 x 이때 x>0, y>0이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다. y 10 1 1O 10 x ④ ③ 16 어제 돌린 전단지는 모두 20_15=300(장)이므로 사람 의 수를 x명, 한 사람이 돌린 전단지의 수를 y장이라 하면 xy=300 ∴ y= 300 x y= 에 x=10을 대입하면 y= =30 300 10 300 x 따라서 한 사람이 30장씩 돌려야 한다. ④ ③ x>0일 때 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. 17 두 개의 톱니바퀴가 각각 회전하는 동안 맞물린 톱니의 수 ④ 반비례 관계 y=- 의 그래프이다. 10 x ;2!; 10 x ⑤ y=- 에 x=- 을 대입하면 =(B의 톱니의 수)_(B의 회전수) y=(-10)Ö - (-10)_(-2)=20 1 2 }= { 이므로 20_x=60_y ∴ y= x ;3!; 는 서로 같다. (A의 톱니의 수)_(A의 회전수) Ⅳ. 좌표평면과 그래프 123 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 123 2017-06-10 오후 4:36:09 이때 B가 16번 회전하므로 03 y가 x에 정비례하므로 y=ax (a+0)로 놓고 y=ax에 y= x에 y=16을 대입하면 16= x ∴ x=48 ;3!; ;3!; 따라서 B가 16번 회전하는 동안 A는 48번 회전한다. x=4, y=12를 대입하면 12=4a에서 a=3 ∴ y=3x 48번 또, z가 y에 반비례하므로 z= (b+0)로 놓고 z= b y b y 18 3명이 40분 동안 해야 끝낼 수 있는 일을 x명이 y분 동안 해서 끝낸다고 하면 3_40=x_y ∴ y= 120 x y= 에 y=10을 대입하면 10= ∴ x=12 120 x 120 x 에 y=3, z=-5를 대입하면 -5= 에서 b=-15 ∴ z=- 15 y 따라서 y=3x에 x=-1을 대입하면 y=-3이므로 z=- 에 y=-3을 대입하면 z=- =5 5 b 3 15 y 15 -3 따라서 10분 만에 끝내는 데 필요한 사람은 12명이다. 04 정비례 관계 y= x의 그래프가 점 P를 지나므로 점 P 2 3 ③ 의 x좌표를 a (a는 자연수)라 하면 P { a, (삼각형 OQP의 넓이)= _a_ a= ;2!; ;3@; 2 3 a } aÛ`` !; ;3! aÛ`=12에서 aÛ`=36=6Û` ∴ a=6 !; 즉, ;3! ∴ P(6, 4) P(6, 4) 본문 270~271쪽 04 P(6, 4) 05 정비례 관계 y=- x의 그래프와 반비례 관계 5 2 10 ③ y= (a+0)의 그래프가 x좌표가 -2인 점 A에서 만 나므로 y=- x에 x=-2를 대입하면 5 2 y=- _(-2)=5 ∴ A(-2, 5) 따라서 y= 에 x=-2, y=5를 대입하면 ;[A; a x ;2%; a -2 06 반비례 관계 y= (a+0)의 그래프가 점 , -10 을 {;2#; } 지나므로 y= 에 x= , y=-10을 대입하면 ;2#; -10=aÖ , -10=a_ ∴ a=-15 a x a x ;2#; ;3@; 15 x step (발전문제) 2 01 ③ 05 ③ 08 ⑴ y= 60 x 11 D(6, 6) 이렇게 풀어요 02 ③ 06 ③ ⑵ 3번 03 5 07 12 09 24 01 y가 x에 반비례하는 관계를 찾으면 된다. ① y=30-2x 6ù 회전한다. ∴ y=6x (정비례) ③ y= (반비례) ④ 정비례 관계도 아니고 반비례 관계도 아니다. ⑤ y= _x ∴ y= x (정비례) ③ ;5!; 6 x 20 100 a x a x 124 정답과 풀이 02 반비례 관계 y= (a+0)의 그래프가 점 (2, -3)을 따라서 반비례 관계 y=- 의 그래프 위의 점 중에서 지나므로 y= 에 x=2, y=-3을 대입하면 -3= ∴ a=-6 ;2A; x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점은 (-15, 1), (-5, 3), (-3, 5), (-1, 15), (1, -15), (3, -5), (5, -3), (15, -1) 따라서 정비례 관계 y=-6x의 그래프는 ③이다. ③ 의 8개이다. ③ ② 시계의 분침은 60분 동안 360ù 회전하므로 1분 동안 5= ∴ a=-10 ③ 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 124 2017-06-10 오후 4:36:11 07 점 A는 y=2x의 그래프 위의 점이므로 y=4를 대입하면 4=2x에서 x=2 ∴ A(2, 4) 점 B는 y= x의 그래프 위의 점이므로 y=4를 대입하면 ;2!; 4= x에서 x=8 ∴ B(8, 4) ;2!; 따라서 삼각형 AOB에서 (밑변의 길이)=8-2=6, (높이)=4 이므로 삼각형 AOB의 넓이는 _6_4=12 12 ;2!; 60 x 08 ⑴ 세 톱니바퀴 A, B, C가 각각 회전하는 동안 맞물린 톱 니의 수는 서로 같으므로 30_2=x_y ∴ y= ⑵ y= 에 x=20을 대입하면 y= =3 60 20 점 A가 정비례 관계 y=3x의 그래프 위의 점이므로 점 A의 좌표를 (a, 3a)(a>0)로 놓으면 D(a+4, 3a), C(a+4, 3a-4) 이때 점 C가 정비례 관계 y= x의 그래프 위의 점이므 1 3 로 y= x에 x=a+4, y=3a-4를 대입하면 1 3 3a-4= (a+4) ;3!; 9a-12=a+4, 8a=16 ∴ a=2 따라서 점 D의 좌표는 D(6, 6)이다. D(6, 6) 60 x 다. 3 step (실력UP) 01 ③, ④ 02 60 05 - 3 8 06 15 ⑴ y= ⑵ 3번 60 x 따라서 A가 2번 회전하는 동안 C의 회전수는 3번이 03 15 04 30분 본문 272쪽 y=4를 대입하면 a x ;6A; 09 사각형 ABCD가 정사각형이고 점 B의 x좌표가 2이므로 이렇게 풀어요 점 A의 x좌표도 2이다. 점 A는 정비례 관계 y=2x의 그래프 위의 점이므로 y=2x에 x=2를 대입하면 y=2_2=4 ∴ A(2, 4) (선분 AD의 길이)=(선분 AB의 길이)=4이므로 01 점 (a, b)가 제 4 사분면 위의 점이므로 a>0, b<0이다. ① , ②, ⑤ b<0, <0이므로 그래프가 제 2 사분면과 a b 제 4 사분면을 지난다. 점 D의 좌표는 (6, 4)이고, 점 D가 반비례 관계 ③ , ④ - >0, a>0이므로 그래프가 제 1 사분면과 y= (a+0)의 그래프 위의 점이므로 y= 에 x=6, 제 3 사분면을 지난다. ③, ④ a x 4= ∴ a=24 24 10 Ú 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가 점 A(-3, 2) 를 지날 때, y=ax에 x=-3, y=2를 대입하면 02 점 P의 x좌표를 p (p<0)라 하면 y좌표가 이고 사각 a p 형 PAOB의 넓이가 60이므로 (선분 OA의 길이)_(선분 OB의 길이)=60에서 (-p)_ =-a=60 ∴ a=-60 2=-3a ∴ a=- ;3@; 따라서 점 Q는 반비례 관계 y=- 의 그래프 위의 점 60 x Û 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가 점 B(-1, 6) 을 지날 때, y=ax에 x=-1, y=6을 대입하면 이므로 점 Q의 x좌표를 q (q>0)라 하면 y좌표가 - 60 q 6=-a ∴ a=-6 Ú, Û에서 -6ÉaÉ- ;3@; 따라서 정수 a는 -6, -5, -4, -3, -2, -1의 6개이 다. ③ 이다. ∴ (사각형 ODQC의 넓이) =(선분 OC의 길이)_(선분 OD의 길이) =q_ 60 q =60 60 b a a p 11 넓이가 16인 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 4이다. 03 y= ;3$; x에 x=3을 대입하면 y=4 Ⅳ. 좌표평면과 그래프 125 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 125 2017-06-10 오후 4:36:15 즉, 반비례 관계 y= (a+0, x>0)의 그래프가 그래프 위에 있으므로 4= 에서 a=8 ∴ y= ;2A; 8 x 점 (3, 4)를 지나므로 4= 에서 a=12 ∴ y= ;3A; 12 x a x 12 x 점 Q가 반비례 관계 y= 의 그래프 위의 점이므로 y=6을 대입하면 6= 에서 x=2 ∴ Q(2, 6) 12 x 따라서 사각형 OPQR는 사다리꼴이므로 (사각형 OPQR의 넓이)= _(2+3)_6=15 15 ;2!; 04 y가 x에 정비례하므로 윤모의 그래프의 식을 y=ax (a+0)로 놓으면 y=ax의 그래프가 점 (2, 400)을 지나므로 400=2a에서 a=200 ∴ y=200x 현우의 그래프의 식을 y=bx (b+0)로 놓으면 y=bx의 그래프가 점 (3, 300)을 지나므로 300=3b에서 b=100 ∴ y=100x 한 바퀴 돌 때 걸리는 시간은 윤모：6000=200x ∴ x=30 현우：6000=100x ∴ x=60 우가 도착한다. 30분 y 6 O x 05 오른쪽 그림에서 (삼각형 OAB의 넓이) = _8_6=24 ;2!; 정비례 관계 y=ax (a+0) y=ax C A B -8 의 그래프와 선분 AB가 만나는 점을 C라 하면 선분 OC 가 삼각형 OAB의 넓이를 이등분하므로 (삼각형 OCB의 넓이) = _8_(선분 CB의 길이)=12 1 2 ∴ (선분 CB의 길이)=3 ∴ C(-8, 3) 따라서 y=ax의 그래프가 점 C(-8, 3)을 지나므로 점 B의 좌표는 B(2, 0)이므로 출발한 지 4초 후의 점 P 의 x좌표는 2+ _4=8 ∴ P(8, 0) 점 Q의 x좌표는 점 P의 x좌표와 같으므로 Q(8, m)으 로 놓으면 점 Q(8, m)은 반비례 관계 y= 의 그래프 8 x 위에 있으므로 m= =1 ∴ Q(8, 1) ∴ (사다리꼴 ABPQ의 넓이) = _(4+1)_(8-2) 1 2 =15 15 3 2 8 8 서술형 대비 문제 본문 273~274쪽 1 - 13 3 2 9기압 3 3 4 3 5 2 6 ⑴ y= ⑵ 120초 60000 x 1 1 단계 점 (b, 4)가 반비례 관계 y=- 의 그래프 위의 12 x 12 x 4=- ∴ b=-3 12 b 2 단계 따라서 두 그래프가 만나는 점의 좌표가 (-3, 4) 이므로 y=ax에 x=-3, y=4를 대입하면 4=-3a ∴ a=- ;3$; 3단계 ∴ a+b= { - ;3$;} +(-3)=- 13 3 - 13 3 2 1 단계 y가 x에 반비례하므로 y= (a+0)로 놓고 ;[A; y= 에 x=4, y=90을 대입하면 90= 에서 a=360 ∴ y= 360 x ;[A; ;4A; 360 x 360 x 따라서 둘레의 길이가 6 km(=6000 m)인 호수공원을 이렇게 풀어요 이므로 윤모는 현우를 60-30=30(분) 동안 기다려야 현 점이므로 y=- 에 x=b, y=4를 대입하면 3=-8a ∴ a=- ;8#; -;8#; 2 단계 y= 에 y=40을 대입하면 06 점 A는 x좌표가 2이고 정비례 관계 y=2x의 그래프 위 에 있으므로 A(2, 4) 또, 점 A(2, 4)는 반비례 관계 y= (a+0, x>0)의 a x 40= ∴ x=9 따라서 구하는 압력은 9기압이다. 9기압 3 1 단계 y가 x에 반비례하므로 y= (a+0)로 놓고 a x 126 정답과 풀이 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 126 2017-06-10 오후 4:36:17 y= 에 x=1, y=6을 대입하면 6= , a=6 ∴ y= 6 x 2 단계 y= 에 x=A, y=3을 대입하면 3= ∴ A=2 y= 에 x=4, y=B를 대입하면 a x a 1 6 x 6 A 6 x B= = ;4^; ;2#; 3 단계 ∴ AB=2_ =3 3 2 단계 1 2 3 채점요소 x와 y 사이의 관계식 구하기 A, B의 값 구하기 AB의 값 구하기 배점 2점 2점 1점 3 배점 2점 2점 1점 4 1 단계 점 (2, a)는 반비례 관계 y= 의 그래프 위에 있 18 x 2 단계 정비례 관계 y=-3x의 그래프가 점 (b, -1)을 으므로 a= =9 18 2 지나므로 -1=-3b ∴ b= ;3!; 3 단계 ∴ ab=9_ =3 ;3!; 채점요소 단계 1 2 3 a의 값 구하기 b의 값 구하기 ab의 값 구하기 단계 1 2 채점요소 두 점 A, B의 좌표 구하기 a의 값 구하기 배점 4점 3점 6 1 단계 ⑴ 1초당 x톤씩 방류하면 60000톤을 방류하는 데 걸리는 시간이 y초이므로 xy=60000 ∴ y= 60000 x 60000 x 60000 500 3 y= =120 2 단계 ⑵ y= 에 x=500을 대입하면 따라서 1초당 500톤씩 방류하면 60000톤을 방 류하는 데 120초가 걸린다. ⑴ y= ⑵ 120초 60000 x 채점요소 x와 y 사이의 관계식 구하기 단계 1 2 1초당 500톤씩 방류할 때, 60000톤을 방류하는 데 몇 초가 걸리는지 구하기 배점 3점 2점 스토리텔링으로 배우는 생활 속의 수학 1 20 m 2 5 본문 275쪽 이렇게 풀어요 1 높이 (m) 40 25 20 5 1 단계 점 A는 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프 위의 점이므로 y=ax에 x=10을 대입하면 y=10a 0 5 10 15 20 거리 (km) ∴ A(10, 10a) 그래프에서 출발점으로부터 10 km까지의 구간에서 한강 점 B는 정비례 관계 y= x의 그래프 위의 점이므 로 y= x에 x=10을 대입하면 y= _10=6 3 5 3 5 ∴ B(10, 6) 2 단계 삼각형 AOB의 넓이가 70이므로 수면으로부터의 높이가 가장 높은 곳의 한강 수면으로부 터의 높이는 20 m이다. 20 m 2 그래프에서 종합 주가 지수가 가장 높은 날이 포함된 달은 3월이다. ∴ a=3 또한, 그래프에서 종합 주가 지수가 가장 낮은 날이 포함 (삼각형 AOB의 넓이)= _(10a-6)_10=70 된 달은 2월이다. ∴ b=2 10a-6=14, 10a=20 ∴ a=2 2 ∴ a+b=3+2=5 5 3 5 ;2!; Ⅳ. 좌표평면과 그래프 127 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 127 2017-06-10 오후 4:36:21 M E OM 기본서(중1-1)_해설_104~128_4단원_ok.indd 128 2017-06-10 오후 4:36:21
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