중학수학 2-2 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_1단원(01~17)_6.indd 1 2018. 12. 13. 오후 6:52 I | 삼각형의 성질 1 이등변삼각형 01 이등변삼각형의 성질 ⑵ 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등 분하므로 ∠ADC=90ù ∴ x=90 ⑴ 12 ⑵ 90 04 ⑴ ∠A=∠C이므로 △ABC는 BAÓ=BCÓ인 이등변삼각 형이다. ∴ BAÓ=BCÓ=12`cm ∴ x=12 개념원리 확인하기 본문 10쪽 ⑵ 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 01 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등 분한다. 02 ⑴ 70ù ⑵ 62ù ⑶ 65ù ⑷ 110ù 03 ⑴ 12 ⑵ 90 04 ⑴ 12 ⑵ 8 65ù+50ù+∠C=180ù ∴ ∠C=65ù 즉, ∠A=∠C이므로 △ABC는 BAÓ=BCÓ인 이등변 삼각형이다. ∴ BCÓ=BAÓ=8`cm ∴ x=8 ⑴ 12 ⑵ 8 이렇게 풀어요 다. 01 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한 02 ⑴ △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠B=55ù 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠x+55ù+55ù=180ù ∴ ∠x=70ù ⑵ △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠B=∠x 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 56ù+∠x+∠x=180ù, 2∠x=124ù ∴ ∠x=62ù ⑶ ∠ABC=180ù-115ù=65ù △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠x=∠ABC=65ù ⑷ △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 핵심문제 익히기 확인문제 본문 11 ~ 13쪽 1 42ù 4 32.5ù 2 x=14, y=65 5 5 6 30ù 3 35ù 이렇게 풀어요 1 ∠BDC=180ù-106ù=74ù △BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로 ∠C=∠BDC=74ù ∴ ∠CBD=180ù-74ù_2=32ù △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C=74ù ∴ ∠x=∠ABC-∠CBD=74ù-32ù=42ù 42ù 2 이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등 BCÓ=2BDÓ=2_7=14(cm) ∴ x=14 △ADC에서 ∠ADC=90ù, ∠CAD=∠BAD=25ù이 분하므로 므로 ∠B=∠ACB= _(180ù-40ù)=70ù ;2!; ∴ ∠x=180ù-70ù=110ù ∠C=180ù-(90ù+25ù)=65ù ∴ y=65 x=14, y=65 ⑴ 70ù ⑵ 62ù ⑶ 65ù ⑷ 110ù 03 ⑴ 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등 CDÓ=BDÓ=6`cm ∴ BCÓ=2_6=12(cm) ∠x+2∠x=105ù, 3∠x=105ù 3 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠ACB=∠x ∴ ∠CAD=∠B+∠ACB=2∠x △CDA에서 CAÓ=CDÓ이므로 ∠D=∠CAD=2∠x 따라서 △BCD에서 ∴ ∠x=35ù 35ù 분하므로 ∴ x=12 2 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_1단원(01~17)_6.indd 2 2018. 12. 13. 오후 5:51 4 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 03 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠ABC= _(180ù-80ù)=50ù ∠ABC=∠ACB= _(180ù-32ù)=74ù ;2!; ∠ACE=180ù-∠ACB=180ù-50ù=130ù이므로 BDÓ는 ∠B의 이등분선이므로 ;2!; ;2!; ∠ABD=∠DBC= ∠ABC= _74ù=37ù ;2!; 따라서 △ABD에서 ∠x=32ù+37ù=69ù 69ù ∠DCE= ∠ACE= _130ù=65ù ;2!; △BCD에서 CBÓ=CDÓ이므로 ;2!; ∠DBC=∠D=∠x 따라서 △BCD에서 ∠x+∠x=65ù, 2∠x=65ù ∴ ∠x=32.5ù 32.5ù 04 AEÓBCÓ이므로 ∠B=∠DAE=50ù(동위각) △ABC에서 BAÓ=BCÓ이므로 5 △ABC에서 ∠ACB=∠CAD-∠B=40ù-20ù=20ù 즉, ∠B=∠ACB이므로 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변 ∠C=∠BAC= _(180ù-50ù)=65ù ;2!; ∴ ∠EAC=∠C=65ù(엇각) 65ù 즉, ∠CAD=∠CDA이므로 △CDA는 CAÓ=CDÓ인 이 삼각형이다. ∴ ACÓ=ABÓ=5`cm 한편 ∠CDA=180ù-140ù=40ù 등변삼각형이다. ∴ CDÓ=CAÓ=5`cm ∴ x=5 05 이등변삼각형 ABC에서 ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로 밑변 BC를 수직이등분한다. ∴ BDÓ=CDÓ (②), ADÓ⊥BCÓ (④) △PBD와 △PCD에서 BDÓ=CDÓ, PDÓ는 공통, ∠BDP=∠CDP=90ù (①) ∴ △PBD≡△PCD(SAS 합동) (⑤) ③ 5 6 ACÓBDÓ이므로 ∠CBD=∠ACB=∠x (엇각) 또 BCÓ를 접는 선으로 하여 접었으므로 ∠ABC=∠CBD=∠x (접은 각) 따라서 △ABC에서 ∠x+∠x=60ù, 2∠x=60ù ∴ ∠x=30ù 06 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠B=∠x ∴ ∠DAC=∠x+∠x=2∠x △ACD에서 CAÓ=CDÓ이므로 ∠CDA=∠CAD=2∠x △DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로 ∠DEC=∠DCE=3∠x △DBE에서 30ù △DBC에서 ∠DCE=∠x+2∠x=3∠x 소단원 핵심문제 본문 14 ~ 15쪽 ∠x+3∠x=88ù, 4∠x=88ù ∴ ∠x=22ù 22ù 02 100ù 06 22ù 03 69ù 07 26ù 04 65ù 08 3`cm 07 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠ACB= _(180ù-52ù)=64ù ;2!; ④ ∴ ∠DBC= ∠B= _64ù=32ù ;2!; ∠ACE=180ù-64ù=116ù이므로 ;2!; 01 ④ 05 ③ 09 40ù 이렇게 풀어요 01 ④ ㈑ SSS 02 △BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로 ∠BCD=∠D=70ù ∴ ∠B=180ù-70ù_2=40ù ∠DCE= ∠ACE= _116ù=58ù ;2!; ;2!; 따라서 △DBC에서 또 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠B=40ù 32ù+∠x=58ù ∴ ∠x=180ù-40ù_2=100ù 100ù ∴ ∠x=26ù 26ù I. 삼각형의 성질 3 기본서(중2-2)_해설_1단원(01~17)_6.indd 3 2018. 12. 13. 오후 5:51 08 △DBC에서 ∠ADC=30ù+30ù=60ù이므로 △ADC에서 ∠ACD=180ù-60ù_2=60ù 따라서 △ADC는 정삼각형이므로 CDÓ=ADÓ=3`cm 이때 ∠B=∠DCB=30ù이므로 △DBC는 DBÓ=DCÓ인 이등변삼각형이다. 이렇게 풀어요 ∴ BDÓ=CDÓ=3`cm 3`cm 핵심문제 익히기 확인문제 본문 19 ~ 21쪽 1 ㄴ, ㄷ, ㄹ 2 ③, ⑤ 3 72`cmÛ` 4 ;2(; `cmÛ` 5 ㄱ, ㄴ, ㄹ 6 30`cmÛ` 09 ADÓCBÓ이므로 ∠ABC=∠DAB=70ù(엇각) 또 ABÓ를 접는 선으로 하여 접었으므로 ∠BAC=∠DAB=70ù(접은 각) 따라서 △ACB에서 ∠ACB =180ù-70ù_2=40ù 40ù 로 SAS 합동이다. 1 ㄴ. RHA 합동 ㄷ. ASA 합동 ㄹ. RHS 합동 ㄴ, ㄷ, ㄹ 2 ①, ②, ③ 한 변의 길이가 같고 그 양 끝 각의 크기가 각 각 같으므로 ASA 합동이다. ④ 두 변의 길이가 각각 같고 그 끼인각의 크기가 같으므 ⑤ 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같으므로 RHS 합동이다. ③, ⑤ 02 직각삼각형의 합동 3 △ABD와 △CAE에서 ∠D=∠E=90ù, ABÓ=CAÓ, 개념원리 확인하기 본문 18쪽 ∠DBA=90ù-∠DAB=∠EAC 01 ⑴ 90Ùù, DEÓ, ∠E, △DEF, RHA ⑵ ∠E, DFÓ, FEÓ, △DFE, RHS 02 ⑴ ① ㄱ, ㄴ ② ㄴ, RHA 합동 ⑵ ① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, RHS 합동 03 ⑴ PRÓ ⑵ ∠ROP 이렇게 풀어요 01 ⑴ 90Ùù, DEÓ, ∠E, △DEF, RHA ⑵ ∠E, DFÓ, FEÓ, △DFE, RHS 02 ⑴ ① 빗변의 길이가 10`cm인 직각삼각형은 ㄱ, ㄴ이다. ② △ABC와 ㄴ의 삼각형은 직각삼각형이고 빗변의 길이가 10`cm, 한 예각의 크기가 35ù로 각각 같으 므로 RHA 합동이다. ⑵ ① 빗변의 길이가 10`cm인 직각삼각형은 ㄱ, ㄴ이다. ② △DEF와 ㄱ의 삼각형은 직각삼각형이고 빗변의 길이가 10`cm, 다른 한 변의 길이가 6`cm로 각각 같으므로 RHS 합동이다. 따라서 △ABDª△CAE (RHA 합동)이므로 AEÓ=BDÓ=7`cm ∴ CEÓ=ADÓ=DEÓ-AEÓ=12-7=5(cm) ∴ (사각형 DBCE의 넓이) = _(7+5)_12 ;2!; =72(cmÛ`) 72`cmÛ` 4 △ADE와 △ACE에서 ∠ADE=∠ACE=90ù, AEÓ는 공통, ADÓ=ACÓ 이므로 △ADEª△ACE(RHS 합동) ∴ DEÓ=CEÓ=3`cm 한편 △ABC에서 CAÓ=CBÓ이므로 ∠B=∠BAC= _(180ù-90ù)=45ù ;2!; 이때 △BED에서 ∠EDB=90ù이므로 ∠BED=180ù-(90ù+45ù)=45ù 즉, ∠BED=∠B이므로 DBÓ=DEÓ=3`cm ∴ △BED= _3_3= (cmÛ`) ;2!; ;2(; ;2(; `cmÛ` ⑴ ① ㄱ, ㄴ ② ㄴ, RHA 합동 ⑵ ① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, RHS 합동 5 △POQ와 △POR에서 ∠OQP=∠ORP=90ù, OPÓ는 공통, PQÓ=PRÓ 이므로 △POQª△POR (RHS 합동) (ㄹ) ∴ OQÓ=ORÓ (ㄱ), ∠QOP=∠ROP (ㄴ) ㄱ, ㄴ, ㄹ 03 ⑴ PRÓ ⑵ ∠ROP 4 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_1단원(01~17)_6.indd 4 2018. 12. 13. 오후 5:51 6 ADÓ는 ∠BAC의 이등분선이므로 DEÓ=DCÓ=4`cm 06 ⑴ △ABC에서 CAÓ=CBÓ이므로 ∠BAC=∠B= _(180ù-90ù)=45ù ;2!; ∴ △ABD= _15_4=30(cmÛ`) 30`cmÛ` ;2!; 또 △ADE와 △ACE에서 ∠ADE=∠ACE=90ù, AEÓ는 공통, ADÓ=ACÓ 이므로 △ADE≡△ACE(RHS 합동) ∴ ∠DAE=∠CAE= ∠BAC ;2!; = _45ù=22.5ù ;2!; △ADE에서 ∠AED=180ù-(90ù+22.5ù)=67.5ù ⑵ △ADE≡△ACE에서 DEÓ=CEÓ=6`cm 이때 △BED에서 ∠BDE=90ù이므로 ∠BED=180ù-(90ù+45ù)=45ù 즉, ∠BED=∠B이므로 BDÓ=DEÓ=6`cm ∴ △BED= _6_6=18(cmÛ`) ;2!; ⑴ 67.5ù ⑵ 18`cmÛ` 07 △DBC와 △DEC에서 ∠DBC=∠DEC=90ù, CDÓ는 공통, ∠DCB=∠DCE 이므로 △DBC≡△DEC(RHA 합동) (ㄷ) ∴ DBÓ=DEÓ (ㄱ), ∠CDB=∠CDE (ㄴ) ㄱ, ㄴ, ㄷ 08 PAÓ=PBÓ이므로 OPÓ는 ∠AOB의 이등분선이다. 따라서 ∠POB=∠POA=35ù이므로 중단원 마무리 본문 24 ~ 26쪽 01 54ù 05 124ù 08 ③, ④ 12 12`cm 02 58ù, 5`cm 03 52ù 06 50ù 09 ② 13 36ù 04 ④ 07 ㄴ과 ㅁ, ㄷ과 ㅂ 11 40ù 10 28ù 15 ④ 14 60ù 16 65ù 17 27ù 18 10`cm 19 ;2%; `cm 20 5`cm 21 20`cm 22 5`cm 이렇게 풀어요 01 AEÓBCÓ이므로 ∠B=∠DAE=∠x (동위각) △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 소단원 핵심문제 본문 22 ~ 23쪽 01 ㄴ과 ㅂ: RHA 합동, ㄷ과 ㅁ: RHS 합동 02 ① 03 30ù 06 ⑴ 67.5ù ⑵ 18`cmÛ` 04 98`cmÛ` 05 24ù 07 ㄱ, ㄴ, ㄷ 08 55ù 이렇게 풀어요 01 ㄴ과 ㅂ: RHA 합동, ㄷ과 ㅁ: RHS 합동 02 ① RHA 합동 ④ RHS 합동 ① 03 △ABD에서 DAÓ=DBÓ이므로 ∠BAD=∠B=∠x 한편 △EAD와 △CAD에서 ∠AED=∠ACD=90ù, ADÓ는 공통, ∠ADE=∠ADC 이므로 △EADª△CAD (RHA 합동) ∴ ∠CAD=∠EAD=∠x 따라서 △ABC에서 ∠x+2∠x=90ù 04 △ABD와 △CAE에서 ∠BDA=∠AEC=90ù, BAÓ=ACÓ, ∠DBA=90ù-∠BAD=∠EAC 따라서 △ABDª△CAE (RHA 합동)이므로 AEÓ=BDÓ=8`cm, ADÓ=CEÓ=6`cm ∴ DEÓ=DAÓ+AEÓ=6+8=14(cm) ∴ (사각형 DBCE의 넓이)= _(8+6)_14 ;2!; =98(cmÛ`) 98`cmÛ` 05 △EBC와 △DCB에서 ∠CEB=∠BDC=90ù, BCÓ는 공통, BEÓ=CDÓ 따라서 △EBCª△DCB (RHS 합동)이므로 ∠EBC=∠DCB= _(180ù-48ù)=66ù ;2!; △EBC에서 3 ∠x=90ù ∴ ∠x=30ù 30ù ∠x=180ù-(90ù+35ù)=55ù 55ù ∠ECB=180ù-(90ù+66ù)=24ù 24ù ∠x=∠B=∠C= _(180ù-72ù)=54ù 54ù ;2!; I. 삼각형의 성질 5 기본서(중2-2)_해설_1단원(01~17)_6.indd 5 2018. 12. 13. 오후 5:51 02 이등변삼각형 ABC에서 ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로 밑변 BC를 수직이등분한다. 09 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB(①) 즉, ADÓ⊥BCÓ이므로 ∠ADB=90ù △EBC와 △DCB에서 이때 △ABD에서 ∠B=180ù-(90ù+32ù)=58ù ∠BEC=∠CDB=90ù, BCÓ는 공통, ∠EBC=∠DCB 또 BDÓ=CDÓ이므로 이므로 △EBCª△DCB(RHA 합동)(⑤) ∴ BDÓ=CEÓ(③), BEÓ=CDÓ(④) ② ∠x= _(180ù-76ù)=52ù ;2!; 52ù ∠EMC=180ù-(90ù+62ù)=28ù 28ù DCÓ= BCÓ= _10=5(cm) ;2!; ;2!; 58ù, 5`cm 다른 풀이 △ABC에서 ∠BAC=2∠BAD=2_32ù=64ù ∴ ∠B=∠C= _(180ù-64ù)=58ù ;2!; 03 △ABD에서 DAÓ=DBÓ이므로 ∠BAD=∠B=38ù ∴ ∠ADC=38ù+38ù=76ù △ADC에서 DAÓ=DCÓ이므로 04 ∠B=∠x라 하면 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠B=∠x ∴ ∠CAD=∠x+∠x=2∠x △ACD에서 CAÓ=CDÓ이므로 ∠CDA=∠CAD=2∠x 따라서 △BCD에서 ∠x+2∠x=120ù 3∠x=120ù ∴ ∠x=40ù ④ 05 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB= _(180ù-68ù)=56ù ;2!; ;2!; ∴ ∠DBC=∠DCB= _56ù=28ù 따라서 △DBC에서 ∠BDC=180ù-2_28ù=124ù 124ù 06 CBÓADÓ이므로 ∠BAD=∠CBA=65ù(엇각) 또 ABÓ를 접는 선으로 하여 접었으므로 ∠BAC=∠BAD=65ù(접은 각) 따라서 △ABC에서 ∠ACB=180ù-65ù_2=50ù 50ù 10 △BMD와 △CME에서 ∠BDM=∠CEM=90ù, BMÓ=CMÓ, MDÓ=MEÓ 이므로 △BMDª△CME (RHS 합동) ∴ ∠B=∠C △ABC에서 ∠C= _(180ù-56ù)=62ù ;2!; 따라서 △EMC에서 11 △ABE에서 BAÓ=BEÓ이므로 ∠BEA=∠BAE= _(180ù-50ù)=65ù △CDE에서 CDÓ=CEÓ이므로 ∠CED=∠CDE= _(180ù-30ù)=75ù ;2!; ;2!; ∴ ∠AED=180ù-(65ù+75ù)=40ù 40ù 12 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분 하므로 ADÓ⊥BCÓ, BDÓ=CDÓ △ABD의 넓이에서 ;2!; ;2!; _BDÓ_ADÓ= _ABÓ_DEÓ이므로 ;2!; _BDÓ_8= _10_ ∴ BDÓ=6(cm) ;2!; ;;ª5¢;; ∴ BCÓ=2BDÓ=2_6=12(cm) 12`cm 13 △ABD에서 DAÓ=DBÓ이므로 ∠A=∠ABD=∠x ∴ ∠BDC=∠x+∠x=2∠x △BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로 ∠C=∠BDC=2∠x (cid:34) (cid:89) (cid:89) (cid:35) (cid:37) (cid:19)(cid:89) (cid:36) 07 ㄴ과 ㅁ: RHA 합동 ㄷ과 ㅂ: RHS 합동 08 ① ∠C=∠F이면 ∠A=∠D ∴ ASA 합동 ② RHS 합동 ⑤ SAS 합동 ㄴ과 ㅁ, ㄷ과 ㅂ 이때 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C=2∠x 따라서 △ABC에서 ∠x+2∠x+2∠x=180ù ③, ④ 5∠x=180ù ∴ ∠x=36ù 36ù 6 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_1단원(01~17)_6.indd 6 2018. 12. 13. 오후 5:51 14 △DBE에서 DBÓ=DEÓ이므 로 ∠DEB=∠B=20ù ∴ ∠ADE =20ù+20ù (cid:35) (cid:19)(cid:17)(cid:177) (cid:19)(cid:17)(cid:177) (cid:38) (cid:21)(cid:17)(cid:177) (cid:34) (cid:21)(cid:17)(cid:177) (cid:37) (cid:89) (cid:23)(cid:17)(cid:177) (cid:36) ∠x =180ù-60ù_2=60ù 60ù =40ù 또 △ADE에서 EDÓ=EAÓ이므로 ∠DAE=∠ADE=40ù △ABE에서 ∠AEC=20ù+40ù=60ù 따라서 △AEC에서 AEÓ=ACÓ이므로 15 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC =∠ACB = ;2!; _(180ù-60ù)=60ù ∴ ∠DBC = ∠ABC ;2!; = ;2!; _60ù=30ù ∠DCE = ∠ACE 2 1+2 = ;3@; _120ù=80ù 따라서 △DBC에서 80ù=30ù+∠x ∴ ∠x=50ù 또 ∠ACE =180ù-∠ACB=180ù-60ù=120ù이므로 17 △DEF는 정삼각형이므로 ∠AEF=180ù-(60ù+24ù)=96ù △AFE에서 ∠A=180ù-(30ù+96ù)=54ù 이때 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C= _(180ù-54ù)=63ù ;2!; 또 ∠DFB=180ù-(30ù+60ù)=90ù이므로 △BDF에서 ∠FDB=180ù-(90ù+63ù)=27ù 27ù 18 △ABC에서 ∠B=∠C이므로 A ACÓ=ABÓ=12`cm APÓ를 그으면 △ABC=△ABP+△APC이므로 60= _12_PMÓ+ _12_PNÓ ;2!; ;2!; 60=6(PMÓ+PNÓ) 12 cm M B N C P ∴ PMÓ+PNÓ=10(cm) 10`cm 19 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C △BED와 △CEF에서 ∠BDE =90ù-∠DBE =90ù-∠FCE=∠CFE 또 ∠BDE=∠ADF (맞꼭지각) yy ㉠ yy ㉡ ㉠, ㉡에 의해 ∠AFD=∠ADF이므로 △AFD는 AFÓ=ADÓ인 이등변삼각형이다. AFÓ=ADÓ=x`cm라 하면 ABÓ=ADÓ+DBÓ=x+3(cm), ④ ACÓ=CFÓ-AFÓ=8-x(cm) 이때 ABÓ=ACÓ이므로 x+3=8-x 16 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C= _(180ù-50ù)=65ù ;2!; △BDF와 △CED에서 BFÓ=CDÓ, BDÓ=CEÓ, ∠B=∠C 이므로 △BDF≡△CED(SAS 합동) ∴ ∠BFD=∠CDE, ∠BDF=∠CED 라 하면 △BDF에서 ∠a+∠b=180ù-65ù=115ù 또 ∠b+∠x+∠a=180ù이므로 115ù+∠x=180ù ∴ ∠x=65ù 이때 ∠BFD=∠CDE=∠a, ∠BDF=∠CED=∠b 2x=5 ∴ x= ;2%; ∴ AFÓ= (cm) ;2%; 20 △ABD와 △CAE에서 ∠ADB=∠CEA=90ù ABÓ=CAÓ ∠BAD+∠ABD=90ù이고, ∠BAD+∠CAE=90ù이므로 ;2%; `cm yy ㉠ yy ㉡ ∠ABD=∠CAE yy ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의해 △ABD≡△CAE(RHA 합동) ∴ ADÓ=CEÓ=7`cm, AEÓ=BDÓ=12`cm 65ù ∴ DEÓ =AEÓ-ADÓ=12-7=5`(cm) 5`cm I. 삼각형의 성질 7 기본서(중2-2)_해설_1단원(01~17)_6.indd 7 2018. 12. 13. 오후 5:51 21 △ADE와 △ACE에서 ∠ADE=∠ACE=90ù, AEÓ는 공통, ADÓ=ACÓ 2-1 1 단계 △ABD와 △CAE에서 ∠BDA=∠AEC=90ù, ABÓ=CAÓ, 이므로 △ADEª△ACE (RHS 합동) ∴ DEÓ=CEÓ ∠BAD=90ù-∠CAE=∠ACE 이므로 △ABDª△CAE(RHA 합동) 이때 BDÓ =ABÓ-ADÓ=13-5=8(cm)이므로 2 단계 AEÓ=BDÓ=6`cm이므로 (△BED의 둘레의 길이) CEÓ =ADÓ =BEÓ+EDÓ+DBÓ =BEÓ+ECÓ+8 =BCÓ+8 =12+8=20(cm) 20`cm (cid:34) (cid:19)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:38) (cid:35) (cid:37) (cid:36) 22 점 D에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 E라 하면 △ABD의 넓이에서 _20_DEÓ=50 ;2!; ∴ DEÓ=5(cm) 이때 ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로 CDÓ=DEÓ=5`cm 5`cm 서술형 대비 문제 본문 27 ~ 28쪽 1-1 75ù 5 6`cm 2-1 26`cmÛ` 3 70ù 6 40`cmÛ` 4 40ù 이렇게 풀어요 1-1 1 단계 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠B=25ù ∠CAD =∠B+∠ACB =25ù+25ù=50ù 2 단계 △ACD에서 CAÓ=CDÓ이므로 ∠CDA=∠CAD=50ù 8 정답과 풀이 3 단계 △BCD에서 삼각형의 외각의 성질에 의해 ∠DCE =∠B+∠BDC =25ù+50ù=75ù 75ù =DEÓ-AEÓ =10-6=4(cm) 3 단계 ∴ △ABC = _(6+4)_10-2_ _4_6 ;2!; =26(cmÛ`) {;2!; } 26`cmÛ` 3 1 단계 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C=∠x ∴ ∠DBE=∠x-30ù 2 단계 이때 점 A가 점 B에 오도록 접었으므로 ∠A=∠EBA=∠x-30ù(접은 각) 3 단계 한편 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 △ABC에서 (∠x-30ù)+∠x+∠x=180ù 3∠x=210ù ∴ ∠x=70ù 단계 1 2 3 채점 요소 ∠DBE의 크기를 ∠x를 이용하여 나타내기 ∠A의 크기를 ∠x를 이용하여 나타내기 ∠x의 크기 구하기 70ù 배점 2점 2점 3점 4 1 단계 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C △ABD와 △ACE에서 ABÓ=ACÓ, BDÓ=CEÓ, ∠B=∠C 이므로 △ABDª△ACE(SAS 합동) 이다. ∴ ∠AED=∠ADE=70ù 3 단계 ∴ ∠DAE =180ù-70ù_2=40ù 40ù 단계 1 2 3 채점 요소 △ABDª△ACE임을 알기 ∠AED의 크기 구하기 ∠DAE의 크기 구하기 배점 3점 2점 2점 △ABC에서 삼각형의 외각의 성질에 의해 2 단계 따라서 ADÓ=AEÓ이므로 △ADE는 이등변삼각형 기본서(중2-2)_해설_1단원(01~17)_6.indd 8 2018. 12. 13. 오후 5:51 5 1 단계 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C=72ù ∴ ∠A =180ù-72ù_2=36ù 2 삼각형의 외심과 내심 01 삼각형의 외심 2 단계 BDÓ는 ∠B의 이등분선이므로 (cid:34) ∠DBC =∠DBA = ;2!; _72ù=36ù ∴ ∠BDC =180ù-(36ù+72ù) =72ù (cid:20)(cid:23)(cid:177) (cid:37) (cid:24)(cid:19)(cid:177) (cid:36) (cid:20)(cid:23)(cid:177) (cid:35) (cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:20)(cid:23)(cid:177) 따라서 △BCD에서 ∠C=∠BDC=72ù이므로 BDÓ=BCÓ=6`cm 3단계 △ABD에서 ∠A=∠DBA=36ù이므로 ADÓ=BDÓ=6`cm 6`cm 채점 요소 단계 1 2 3 ∠A의 크기 구하기 BDÓ의 길이 구하기 ADÓ의 길이 구하기 6 1 단계 점 D에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 E라 하면 △AED와 △ACD에서 (cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:38) ∠AED=∠ACD=90ù, (cid:35) (cid:36) (cid:37) (cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) ADÓ는 공통, ∠DAE=∠DAC 이므로 △AEDª△ACD (RHA 합동) 2 단계 ∴ DEÓ=DCÓ=5`cm ;2!; 채점 요소 단계 1 2 3 △AEDª△ACD임을 알기 DEÓ의 길이 구하기 △ABD의 넓이 구하기 배점 2점 3점 2점 (cid:34) 배점 3점 2점 2점 개념원리 확인하기 본문 32쪽 01 세 변의 수직이등분선, 꼭짓점 03 ⑴ 5 ⑵ 48 05 ⑴ 30ù ⑵ 57ù 04 ⑴ 6 ⑵ 5 02 ㄷ, ㄹ 이렇게 풀어요 01 세 변의 수직이등분선, 꼭짓점 02 ㄷ. 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다. ㄹ. 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다. ㄷ, ㄹ 03 ⑴ CDÓ=BDÓ=5`cm ∴ x=5 ⑵ △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OCA=∠OAC= _(180ù-84ù)=48ù ;2!; ∴ x=48 ⑴ 5 ⑵ 48 04 ⑴ OAÓ=OBÓ=OCÓ이므로 OCÓ= ABÓ= _12=6(cm) ;2!; ;2!; ∴ x=6 x=5 05 ⑴ ∠x+32ù+28ù=90ù ∴ ∠x=30ù ⑵ ∠x= ∠BOC= _114ù=57ù ;2!; ;2!; ⑴ 6 ⑵ 5 ⑴ 30ù ⑵ 57ù 핵심문제 익히기 확인문제 본문 33 ~ 34쪽 1 ④, ⑤ 3 ⑴ 30ù ⑵ 44ù ⑶ 55ù 2 ⑴ 12`cm ⑵ 53ù 4 ⑴ 110ù ⑵ 140ù ⑶ 15ù 이렇게 풀어요 1 ④, ⑤ 점 O가 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ △OCA에서 OCÓ=OAÓ이므로 ∠OCA=∠OAC ④, ⑤ I. 삼각형의 성질 9 3 단계 ∴ △ABD= _16_5=40(cmÛ`) 40`cmÛ` ⑵ OBÓ=OCÓ=OAÓ=5`cm이므로 기본서(중2-2)_해설_1단원(01~17)_6.indd 9 2018. 12. 13. 오후 5:51 I | 삼각형의 성질 ⑴ 12`cm ⑵ 53ù ⑵ △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ⑴ MBÓ =MAÓ=MCÓ= ACÓ 2 점 M은 △ABC의 외심이므로 1 2 = _24=12(cm) 1 2 ⑵ △MBC에서 MBÓ=MCÓ이므로 ∠C=∠MBC=37ù 따라서 △ABC에서 ∠A=180ù-(90ù+37ù)=53ù 3 ⑴ 20ù+∠x+40ù=90ù ∴ ∠x=30ù ⑵ ∠x+20ù+26ù=90ù ∴ ∠x=44ù ⑶ ∠BAO+35ù+45ù=90ù이므로 ∠BAO=10ù △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OAC=∠OCA=45ù ∴ ∠x =∠BAO+∠OAC =10ù+45ù=55ù ⑴ 30ù ⑵ 44ù ⑶ 55ù (cid:34) (cid:20)(cid:17)(cid:177) (cid:21)(cid:17)(cid:177) (cid:20)(cid:17)(cid:177) (cid:35) (cid:48) (cid:89) (cid:21)(cid:17)(cid:177) (cid:36) 4 ⑴ ∠x=2∠A=2_55ù=110ù ⑵ OAÓ를 그으면 △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=∠OBA=30ù △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OAC=∠OCA=40ù ∴ ∠A=30ù+40ù=70ù ∴ ∠x=2∠A=2_70ù=140ù ⑶ OAÓ를 그으면 △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=∠OBA=35ù △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OAC=∠OCA=∠x (cid:34) (cid:20)(cid:22)(cid:177) (cid:89) (cid:48) (cid:18)(cid:17)(cid:17)(cid:177) (cid:89) (cid:36) (cid:20)(cid:22)(cid:177) (cid:35) 계산력 강화하기 본문 35쪽 01 ⑴ 35ù ⑵ 60ù ⑶ 124ù ⑷ 74ù ⑸ 26ù ⑹ 78ù 02 ⑴ 8 ⑵ 14 ⑶ 80 ⑷ 58 ⑸ 32 ⑹ 10 이렇게 풀어요 01 ⑴ 35ù+20ù+∠x=90ù ∴ ∠x=35ù ∠OBC=∠OCB=30ù ∴ ∠BOC=180ù-(30ù+30ù)=120ù ∴ ∠x = ∠BOC= _120ù=60ù 1 2 1 2 ⑶ △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OAC=∠OCA=28ù ∴ ∠BAC=34ù+28ù=62ù ∴ ∠x =2∠BAC =2_62ù=124ù △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=∠OBA=50ù △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OAC=∠OCA=24ù ∴ ∠x=50ù+24ù=74ù ⑷ OAÓ를 그으면 (cid:34) (cid:89) (cid:48)(cid:22)(cid:17)(cid:177) (cid:35) (cid:19)(cid:21)(cid:177) (cid:36) ⑸ ∠AOB =360ù-(108ù+124ù)=128ù △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠x=∠OBA= _(180ù-128ù)=26ù ;2!; ⑹ OCÓ를 그으면 (cid:34) (cid:89) (cid:48) △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OCB=∠OBC=12ù ∴ ∠BOC =180ù-2_12ù (cid:18)(cid:19)(cid:177) (cid:35) (cid:36) =156ù ∴ ∠x = ∠BOC= _156ù=78ù ;2!; ;2!; ⑴ 35ù ⑵ 60ù ⑶ 124ù ⑷ 74ù ⑸ 26ù ⑹ 78ù 이때 ∠A = ∠BOC= _100ù=50ù이므로 ;2!; ;2!; 다른 풀이 35ù+∠x=50ù ∴ ∠x=15ù ⑸ △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 ⑴ 110ù ⑵ 140ù ⑶ 15ù ∠OAC =∠OCA 다른 풀이 ⑶ △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 = ;2!; _(180ù-124ù)=28ù ∠OBC=∠OCB= _(180ù-100ù)=40ù ;2!; 35ù+40ù+∠x=90ù이므로 ∠x=15ù 또 ∠BAC= ∠BOC= _108ù=54ù이므로 ;2!; ∠x+28ù=54ù ∴ ∠x=26ù ;2!; 10 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_1단원(01~17)_6.indd 10 2018. 12. 13. 오후 5:51 02 ⑴ OBÓ=OAÓ=OCÓ= ACÓ= _16=8(cm) ;2!; ;2!; ∴ x=8 ⑵ OAÓ=OBÓ=OCÓ=7`cm이므로 ABÓ=2_7=14(cm) ∴ x=14 ⑶ △OCA에서 OCÓ=OAÓ이므로 ∠OCA=∠OAC=50ù ∴ ∠COA=180ù-50ù_2=80ù ∴ x=80 ⑷ ∠OCA=90ù-32ù=58ù △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 ∠A=∠OCA=58ù ∴ x=58 ⑸ △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠B=∠OAB= ∠AOC= _64ù=32ù ;2!; ;2!; ∴ x=32 ⑹ OAÓ=OBÓ=OCÓ= ACÓ= _20=10(cm) ;2!; ;2!; 이때 △ABC에서 ∠C=180ù-(90ù+30ù)=60ù이고 OBÓ=OCÓ이므로 △OBC는 정삼각형이다. ∴ BCÓ=OBÓ=10`cm ∴ x=10 ⑴ 8 ⑵ 14 ⑶ 80 ⑷ 58 ⑸ 32 ⑹ 10 ∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ =(5+5)+(6+6)+(7+7) =36(cm) ⑴ ⑤ ⑵ 36`cm 02 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 △ABC의 외접 원의 반지름의 길이는 ACÓ= _20=10(cm) ;2!; ;2!; ∴ (외접원의 둘레의 길이)=2p_10=20p(cm) 20p`cm A x O y 40ù 15ù C 03 OAÓ를 그으면 △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=∠OBA=40ù △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 B ∠OAC=∠OCA=15ù ∴ ∠x=40ù+15ù=55ù ∠y=2∠x=2_55ù=110ù ∴ ∠x+∠y=55ù+110ù=165ù 165ù 04 OAÓ, OBÓ를 그으면 △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OAC=∠OCA=30ù △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC=∠OCB=15ù (cid:34) (cid:20)(cid:17)(cid:177) (cid:48) (cid:35) (cid:18)(cid:22)(cid:177) (cid:20)(cid:17)(cid:177) (cid:36) (cid:18)(cid:22)(cid:177) 본문 36쪽 02 20p`cm 03 165ù 이때 △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=∠OBA ∴ ∠A-∠B =(30ù+∠OAB)-(15ù+∠OBA) =15ù 15ù 소단원 핵심문제 01 ⑴ ⑤ ⑵ 36`cm 04 15ù 05 45ù 이렇게 풀어요 01 ⑴ ① 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같으므로 05 ∠AOB：∠BOC：∠COA=3：4：5이고 ∠AOB+∠BOC+∠COA=360ù이므로 ② 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 ∠AOB=360ù_ 3 3+4+5 =90ù OAÓ=OBÓ=OCÓ ADÓ=BDÓ ∴ ∠ACB= ∠AOB= _90ù=45ù 45ù ;2!; ;2!; ∠BEO=∠CEO=90ù, OBÓ=OCÓ, OEÓ는 공통 이므로 △BEOª△CEO (RHS 합동) 02 삼각형의 내심 ③ △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=∠OBA ④ △BEO와 △CEO에서 ∴ ∠BOE=∠COE ⑵ 점 O는 △ABC의 외심이므로 BDÓ=ADÓ=5`cm, CEÓ=BEÓ=6`cm, AFÓ=CFÓ=7`cm 개념원리 확인하기 본문 40쪽 01 세 내각의 이등분선, 변 02 ㄴ, ㄹ 03 ⑴ 26 ⑵ 3 04 ⑴ 45ù ⑵ 118ù I. 삼각형의 성질 11 기본서(중2-2)_해설_1단원(01~17)_6.indd 11 2018. 12. 13. 오후 5:51 ㄴ, ㄹ 7=DBÓ+3 ∴ DBÓ=4(cm) 4`cm 이렇게 풀어요 01 세 내각의 이등분선, 변 02 ㄴ. 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이다. ㄹ. 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다. 03 ⑴ 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이므로 ∠IBC=∠ABI=26ù ∴ x=26 ⑵ 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같으므로 IFÓ=IDÓ=3`cm ∴ x=3 ⑴ 26 ⑵ 3 4 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC 이때 DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC(엇각) 즉, ∠DBI=∠DIB이므로 DBÓ=DIÓ 같은 방법으로 ECÓ=EIÓ 따라서 DEÓ=DIÓ+EIÓ=DBÓ+ECÓ이므로 5 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 △ABC= r(ABÓ+BCÓ+CAÓ)이므로 ;2!; _12_9= r(15+12+9), 54=18r ∴ r=3 ;2!; ;2!; ∴ (내접원의 넓이)=p_3Û`=9p(cmÛ`) 9p`cmÛ` 04 ⑴ ∠x+25ù+20ù=90ù ∴ ∠x=45ù ⑵ ∠BIC=90ù+ ∠A이므로 ;2!; ;2!; ∠x=90ù+ _56ù=118ù ⑴ 45ù ⑵ 118ù 6 ADÓ=AFÓ=10`cm이므로 BEÓ=BDÓ=32-10=22(cm), CEÓ=CFÓ=18-10=8(cm) ∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ=22+8=30(cm) 30`cm 핵심문제 익히기 확인문제 본문 41 ~ 43쪽 계산력 강화하기 본문 44쪽 2 16ù 1 ④, ⑤ 3 ⑴ 115ù ⑵ 122ù ⑶ 38ù 4 4`cm 5 9p`cmÛ` 6 30`cm 이렇게 풀어요 1 ④ 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠ICA=∠ICB ⑤ 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다. 2 ∠x=∠IAC=21ù 21ù+32ù+∠y=90ù ∴ ∠y=37ù ∴ ∠y-∠x=37ù-21ù=16ù 3 ⑴ ∠x=90ù+ ;2!; _50ù=115ù ⑵ ∠BAC=2_32ù=64ù ∴ ∠x=90ù+ ∠BAC=90ù+ _64ù=122ù ;2!; ⑶ 128ù=90ù+ ∠ABC이므로 ∠ABC=76ù ;2!; ;2!; ∴ ∠x= ∠ABC= _76ù=38ù ;2!; ;2!; 12 정답과 풀이 01 ⑴ 35ù ⑵ 124ù ⑶ 50ù ⑷ 40ù ⑸ 25ù ⑹ 25ù 03 ⑴ 2 ⑵ 4 ⑶ 2 02 ⑴ 9`cm ⑵ 20`cm 이렇게 풀어요 01 ⑴ ∠x+25ù+30ù=90ù ∴ ∠x=35ù ⑵ ∠x=90ù+ ∠A=90ù+ _68ù=124ù ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ④, ⑤ ⑶ 115ù=90ù+ ∠x ∴ ∠x=50ù ⑷ 130ù=90ù+ ∠A이므로 ∠A=80ù ∴ ∠x= ∠A= _80ù=40ù ;2!; ;2!; 16ù ⑸ AIÓ를 그으면 ∠IAC= ∠A= _62ù=31ù ;2!; ;2!; 이므로 34ù+∠x+31ù=90ù 34ù B ∴ ∠x=25ù ⑹ CIÓ를 그으면 ∠ICA= ∠C= _70ù=35ù ;2!; ;2!; 이므로 ∠x+30ù+35ù=90ù ∴ ∠x=25ù A 62ù I C x A x I 30ù B 70ù C ⑴ 115ù ⑵ 122ù ⑶ 38ù ⑴ 35ù ⑵ 124ù ⑶ 50ù ⑷ 40ù ⑸ 25ù ⑹ 25ù 기본서(중2-2)_해설_1단원(01~17)_6.indd 12 2018. 12. 13. 오후 5:51 02 ⑴ BIÓ, CIÓ를 그으면 DBÓ=DIÓ, ECÓ=EIÓ이므로 DE Ó=DIÓ+EIÓ=DBÓ+ECÓ =5+4=9(cm) ⑵ BIÓ, CIÓ를 그으면 15 cm D I 5 cm B DBÓ=DIÓ, ECÓ=EIÓ이므로 (△ADE의 둘레의 길이) 12 cm D I A A 12 cm E 4 cm C 8 cm E C =ADÓ+DEÓ+EAÓ Ó =ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+EAÓ B =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+EAÓ) =ABÓ+ACÓ =12+8=20(cm) ⑴ 9`cm ⑵ 20`cm 이렇게 풀어요 01 ⑴ CIÓ를 그으면 32ù+25ù+ ∠x=90ù ;2!; ∠x=33ù ∴ ∠x=66ù ;2!; ⑵ ∠BAC=2_25ù=50ù A 32ù I x B 25ù C ∴ ∠x=90ù+ ∠BAC=90ù+ _50ù=115ù ;2!; ;2!; ⑴ 66ù ⑵ 115ù 02 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠BOC=180ù-42ù_2=96ù 03 ⑴ BEÓ=BDÓ=4`cm CFÓ=CEÓ=9-4=5(cm) ADÓ=AFÓ=7-5=2(cm) ∴ x=2 ⑵ BDÓ=BEÓ=x`cm이므로 AFÓ=ADÓ=(9-x)`cm, CFÓ=CEÓ=(5-x)`cm 이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 6=(9-x)+(5-x) 6=14-2x ∴ x=4 ⑶ △ABC= x(ABÓ+BCÓ+CAÓ)이므로 ;2!; ;2!; ;2!; _8_6= x(10+8+6) 24=12x ∴ x=2 ⑴ 2 ⑵ 4 ⑶ 2 다른 풀이 ⑶ CEÓ=CFÓ=EIÓ=x`cm이므로 ADÓ=AFÓ=(6-x)`cm, BDÓ=BEÓ=(8-x)`cm 이때 ABÓ=ADÓ+BDÓ이므로 10=(6-x)+(8-x) 10=14-2x ∴ x=2 ∴ ∠A= ∠BOC= _96ù=48ù ;2!; ;2!; ∴ ∠BIC=90ù+ ∠A=90ù+ _48ù=114ù ;2!; ;2!; 114ù 03 DEÓBCÓ이고 점 I는 △ABC의 내심이므로 DBÓ=DIÓ, ECÓ=EIÓ ∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ =(ADÓ+DBÓ)+BCÓ+(ECÓ+EAÓ) =ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+EAÓ+BCÓ =ADÓ+DEÓ+EAÓ+BCÓ =13+12+11+18=54(cm) 54`cm 04 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 △ABC= r(ABÓ+BCÓ+CAÓ)이므로 ;2!; _16_12= r(20+16+12) ;2!; ;2!; 96=24r ∴ r=4 ∴ (내접원의 넓이)=p_4Û`=16p(cmÛ`)` 4`cm, 16p`cmÛ` 05 ⑴ AFÓ=ADÓ=x`cm이므로 BEÓ=BDÓ=(6-x)`cm, CEÓ=CFÓ=(5-x)`cm 이때 BCÓ =BEÓ+CEÓ이므로 7=(6-x)+(5-x) 7=11-2x ∴ x=2 소단원 핵심문제 본문 45쪽 ⑵ ADÓ=AFÓ=2 cm이므로 01 ⑴ 66ù ⑵ 115ù 04 4`cm, 16p`cmÛ` 02 114ù 05 ⑴ 2 ⑵ 12 03 54`cm BEÓ=BDÓ=9-2=7(cm), CEÓ=CFÓ=7-2=5(cm) ∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ=7+5=12(cm) ∴ x=12 ⑴ 2 ⑵ 12 I. 삼각형의 성질 13 기본서(중2-2)_해설_1단원(01~17)_6.indd 13 2018. 12. 13. 오후 5:51 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선 의 교점이므로 B C ∠x+∠y=55ù 다른 풀이 ③ ACÓ와 BCÓ의 수직이등분선이 만나는 점에 부품 공급 센터를 지어야 한다. ③ 점 I가 △ABC의 내심이므로 70ù+2∠x+2∠y=180ù 중단원 마무리 본문 46 ~ 48쪽 01 ③ 05 120ù 02 15`cmÛ` 03 26ù 07 ③ 06 ②, ④ 04 ④ 08 ② 09 ⑴ ⑵ 2 :Á2£: 12 외심 16 150ù 20 52`cmÛ` 21 5`cm 10 38ù 11 20`cmÛ` 14 210ù 13 60ù 17 420`cmÛ` 18 4`cm 15 15ù 19 5`cm 이렇게 풀어요 01 세 지점 A, B, C에서 같은 거리에 있는 지점은 △ABC의 외심이다. A 02 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 OBÓ=OCÓ ∴ △ABO =△AOC= △ABC ;2!; = _ ;2!; {;2!; } _12_5 =15(cmÛ`) 15`cmÛ` 의 외심이다. △ABM에서 MAÓ=MBÓ이므로 ∠MAB=∠B=32ù ∴ ∠AMH=32ù+32ù=64ù △AMH에서 ∠MAH=180ù-(90ù+64ù)=26ù 26ù 04 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC=∠OCB= _(180ù-110ù)=35ù ;2!; ∠OAB+35ù+30ù=90ù이므로 ∠OAB=25ù ④ 05 ∠ABC`:`∠BCA`:`∠CAB=4`:`2`:`3이고 ∠ABC+∠BCA+∠CAB=180ù이므로 ∠CAB=180ù_ 3 4+2+3 =60ù 14 정답과 풀이 06 ① OAÓ=OBÓ=OCÓ이므로 ∠OAB=∠OBA, ∠OBC=∠OCB, ∠OAC=∠OCA이지만 ∠OBA=∠OBC인지는 알 수 없다. ③ 삼각형의 외심은 예각삼각형인 경우에만 내부에 있다. ⑤ 세 변의 수직이등분선의 교점은 외심이므로 ABÓ의 수 직이등분선은 외심 O를 지난다. ②, ④ 07 AIÓ를 그으면 점 I가 △ABC의 내심 이므로 70ù A I ∠BAI =∠CAI= ∠A ;2!; x B = ;2!; _70ù=35ù 35ù+∠x+∠y=90ù이므로 y C ③ 2(∠x+∠y)=110ù ∴ ∠x+∠y=55ù 08 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠ABI=∠CBI(①), ∠ACI=∠BCI 이때 DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC(엇각), ∠EIC=∠ICB(엇각) 즉, △DBI, △EIC는 이등변삼각형이므로 따라서 DEÓ=DIÓ+IEÓ=DBÓ+ECÓ Ó(④)이므로 (△ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+EAÓ =ADÓ+(DIÓ+IEÓ)+EAÓ =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+EAÓ) =ABÓ+ACÓ(⑤) ② 09 ⑴ BEÓ=BDÓ=x`cm이므로 AFÓ=ADÓ=(8-x)`cm, CFÓ=CEÓ=(11-x)`cm 이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 6=(8-x)+(11-x) 6=19-2x ∴ x= ;;Á2£;; ⑵ △ABC= x(ABÓ+BCÓ+CAÓ)이므로 ;2!; ;2!; _12_5= x(13+12+5) ;2!; ∴ ∠BOC=2∠BAC=2_60ù=120ù 120ù 30=15x ∴ x=2 ⑴ ⑵ 2 ;;Á2£;; 03 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 점 M은 △ABC DBÓ=DIÓ, ECÓ=EIÓ(③) 기본서(중2-2)_해설_1단원(01~17)_6.indd 14 2018. 12. 13. 오후 5:51 10 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ △OAC에서 ∠OCA=∠OAC=34ù OCÓ를 그으면 점 O는 △ABC의 외심이므로 △OBC에서 ∠OBC=∠OCB=34ù+18ù=52ù ∠AOC=2∠B=2_35ù=70ù △OAB에서 ∠OBA=∠OAB=34ù+∠x △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 A I 65ù C 35ù O B △ABC의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠x+(34ù+∠x+52ù)+18ù=180ù 2∠x=76ù ∴ ∠x=38ù 38ù ∠OAC=∠OCA= _(180ù-70ù)=55ù ;2!; ∴ ∠OAI =∠OAC-∠IAC=55ù-40ù=15ù 15ù 11 점 O는 △ABC의 외심이므로 △OAFª△OCF, △OADª△OBD, △OBEª△OCE에서 16 △ABC에서 ∠ACB=180ù-(90ù+70ù)=20ù 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠ICB= ∠ACB= _20ù=10ù ;2!; ;2!; △ABC=2(△OBD+△OBE+△OAF) 점 O는 △ABC의 외심이므로 OBÓ=OCÓ ∴ (사각형 ODBE의 넓이) =△OBD+△OBE ∴ ∠OBC=∠OCB=20ù △PBC에서 ∠BPC=180ù-(20ù+10ù)=150ù = ;2!; △ABC-△OAF = _60- _5_4 ;2!; ;2!; =20(cmÛ`) 20`cmÛ` 12 점 I는 △ABC의 내심이므로 IDÓ=IEÓ=IFÓ 즉, 점 I는 △DEF의 외접원의 중심이다. 따라서 점 I는 △DEF의 외심이다. 외심 13 점 I는 △ABC의 내심이고, 점 I'은 △IBC의 내심이므로 ∠IBI'=∠I'BC=14ù이고 ∠ABI =∠IBC=2∠I'BC=2_14ù=28ù ∴ ∠ABC=2∠ABI=2_28ù=56ù 150ù (cid:34) (cid:37) (cid:18)(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:35) (cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:38) (cid:42) (cid:39) (cid:21)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:18)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:36) 17 BIÓ, CIÓ를 긋고 점 I에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 F라 하자. 점 I는 △ABC의 내심이고 DEÓBCÓ이므로 DIÓ=DBÓ=13`cm, EIÓ=ECÓ=15`cm, IFÓ=12`cm ∴ (사각형 DBCE의 넓이) = _(DEÓ+BCÓ)_IFÓ ;2!; ;2!; = _{(13+15)+42}_12 같은 방법으로 ∠ACB=2∠ACI=2_32ù=64ù =420(cmÛ`) 420`cmÛ` △ABC에서 ∠A =180ù-(56ù+64ù)=60ù 60ù 14 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠BAD=∠CAD=∠x, ∠ABE=∠CBE=∠y라 하면 △ADC에서 ∠ADB=∠x+80ù △BCE에서 ∠AEB=∠y+80ù (cid:34) (cid:89) (cid:89) (cid:38) (cid:25)(cid:17)(cid:177) (cid:36) (cid:42) (cid:37) (cid:90) (cid:90) (cid:35) △ABC의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 18 △ABC는 정삼각형이므로 ∠B=∠C=60ù IBÓ, ICÓ를 그으면 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠ABI=∠CBI, ∠ACI=∠BCI ABÓIDÓ이므로 ∠BID=∠ABI(엇각) ACÓIEÓ이므로 ∠CIE=∠ACI(엇각) (cid:34) (cid:42) (cid:18)(cid:19)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:35) (cid:37) (cid:38) (cid:36) 2∠x+2∠y+80ù=180ù ∴ ∠x+∠y=50ù ∴ BDÓ=IDÓ, IEÓ=CEÓ yy ㉠ ∴ ∠ADB+∠AEB =(∠x+80ù)+(∠y+80ù) 또 △IDE에서 ∠IDE=∠B=60ù(동위각), =(∠x+∠y)+160ù ∠IED=∠C=60ù(동위각)이므로 △IDE는 정삼각형이 =50ù+160ù=210ù 210ù 다. ∴ IDÓ=DEÓ=EIÓ yy ㉡ 15 △ABC에서 ∠BAC =180ù-(35ù+65ù)=80ù 점 I는 △ABC의 내심이므로 따라서 ㉠, ㉡에서 BDÓ=DEÓ=ECÓ이고 BCÓ=ABÓ=12`cm이므로 ∠IAC= ∠BAC= _80ù=40ù ;2!; ;2!; DEÓ= BCÓ= _12=4(cm) ;3!; ;3!; 4`cm I. 삼각형의 성질 15 기본서(중2-2)_해설_1단원(01~17)_6.indd 15 2018. 12. 13. 오후 5:51 19 AIÓ의 연장선과 BCÓ의 교점을 H라 하면 △ABC는 이등변삼각형이 므로 AHÓ⊥BCÓ △ABC= _BCÓ_AHÓ에서 ;2!; 48= _12_AHÓ, 48=6AHÓ ;2!; ∴ AHÓ=8(cm) A I H 12`cm 10`cm B △ABC= _IHÓ_(ABÓ+BCÓ+CAÓ)에서 ;2!; 48= _IHÓ_(10+12+10), 48=16IHÓ ;2!; ∴ IHÓ=3(cm) ∴ AI Ó=AHÓ-IHÓ =8-3=5(cm) 이렇게 풀어요 10`cm C 1-1 1 단계 점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_40ù=80ù 이때 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC= _(180ù-80ù)=50ù 2 단계 또 ABÓ=ACÓ이므로 ;2!; ;2!; 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IBC = ∠ABC ;2!; = ;2!; _70ù=35ù 한편 IHÓ는 △ABC의 내접원의 반지름이므로 ∠ABC= _(180ù-40ù)=70ù 5`cm 3 단계 ∴ ∠OBI =∠OBC-∠IBC =50ù-35ù=15ù 15ù 20 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 △ABC= r(ABÓ+BCÓ+CAÓ)이므로 ;2!; _24_10= r(26+24+10) ;2!; ;2!; 120=30r ∴ r=4 2-1 1 단계 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠IBC=∠DBI DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC(엇각) 즉, ∠DBI=∠DIB이므로 ∴ △IAB= _26_4=52(cmÛ`) 52`cmÛ` DBÓ=DIÓ ;2!; 21 AEÓ=AGÓ=x`cm라 하면 CHÓ=CEÓ=(25-x)`cm, BHÓ=BGÓ=(15-x)`cm 이때 BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 20=(15-x)+(25-x) 20=40-2x ∴ x=10 ∴ AEÓ=10`cm 같은 방법으로 CFÓ=10`cm ∴ EFÓ =ACÓ-(AEÓ+CFÓ) =25-(10+10)=5(cm) 5`cm 서술형 대비 문제 본문 49 ~ 50쪽 1-1 15ù 5 130ù 2-1 9`cm 6 24`cmÛ` 3 3p`cmÛ` 4 110ù 16 정답과 풀이 2 단계 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠ICB=∠ECI DEÓBCÓ이므로 ∠EIC=∠ICB(엇각) 즉, ∠ECI=∠EIC이므로 ECÓ=EIÓ 3 단계 ∴ (△ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+AEÓ =ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+AEÓ =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+AEÓ) =ABÓ+ACÓ =2ABÓ=18(cm) ∴ ABÓ=9(cm) 9`cm 3 1 단계 BCÓ를 그으면 점 O는 △ABC의 3`cm A 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ에서 ∠OAB=∠OBA=25ù, ∠OAC=∠OCA=35ù ∴ ∠BAC =∠OAB+∠OAC =25ù+35ù=60ù 25ù 35ù O B C 기본서(중2-2)_해설_1단원(01~17)_6.indd 16 2018. 12. 13. 오후 5:51 2 단계 ∴ ∠BOC =2∠BAC =2_60ù=120ù 6 1 단계 점 O는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 ABÓ=2OBÓ=2_5=10(cm) 3 단계 이때 외접원의 반지름의 길이가 3`cm이므로 2 단계 BCÓ=a`cm, CAÓ=b`cm라 하면 (부채꼴 BOC의 넓이) =p_3Û`_ =3p(cmÛ`) ;3!6@0); 3p`cmÛ` 배점 3점 2점 2점 CEÓ=CFÓ=2`cm이므로 BDÓ=BEÓ=(a-2)`cm, ADÓ=AFÓ=(b-2)`cm 이때 ABÓ=BDÓ+ADÓ이므로 10=(a-2)+(b-2) ∴ a+b=14 ∴ BCÓ+CAÓ=14(cm) 3 단계 ∴ △ABC = _2_(ABÓ+BCÓ+CAÓ) ;2!; =10+14=24(cmÛ`) 24`cmÛ` 단계 1 2 3 채점 요소 ABÓ의 길이 구하기 BCÓ+CAÓ의 길이 구하기 △ABC의 넓이 구하기 배점 2점 4점 2점 단계 1 2 3 채점 요소 ∠BAC의 크기 구하기 ∠BOC의 크기 구하기 부채꼴 BOC의 넓이 구하기 4 1 단계 점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠AOC =2∠B=2_70ù=140ù 2 단계 ODÓ를 그으면 점 O는 △ACD의 외심이므로 OAÓ=ODÓ=OCÓ A x x 70ù O B D y y C 즉, △AOD, △DOC는 이등변삼각형이므로 ∠OAD=∠x, ∠OCD=∠y라 하면 ∠ODA=∠OAD=∠x, ∠ODC=∠OCD=∠y 3 단계 사각형 AOCD에서 네 내각의 크기의 합은 360ù이 므로 ∠x+140ù+∠y+(∠x+∠y)=360ù ∴ ∠x+∠y=110ù ∴ ∠D=110ù 채점 요소 ∠AOC의 크기 구하기 단계 1 2 3 ∠ODA=∠OAD, ∠ODC=∠OCD임을 알기 3점 ∠D의 크기 구하기 110ù 배점 2점 3점 5 1 단계 ∠BAC`:`∠ABC`:`∠ACB=4`:`3`:`2이고 ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180ù이므로 ∠BAC=180ù_ 4 4+3+2 =80ù 2 단계 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠BIC =90ù+ ∠BAC ;2!; ;2!; =90ù+ _80ù =130ù 채점 요소 단계 1 2 ∠BAC의 크기 구하기 ∠BIC의 크기 구하기 130ù 배점 3점 3점 I. 삼각형의 성질 17 기본서(중2-2)_해설_1단원(01~17)_6.indd 17 2018. 12. 13. 오후 5:51 II | 사각형의 성질 1 평행사변형 01 평행사변형의 성질 개념원리 확인하기 01 풀이 참조 02 ⑴ ① 6`cm ② 9`cm ⑵ ① 124ù ② 56ù 03 180, 180, 110, 70 04 ⑴ 6`cm ⑵ 7`cm 이렇게 풀어요 01 ⑴ 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형 ⑵ ① 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다. ② 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같다. ③ 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다. 핵심문제 익히기 확인문제 본문 57 ~ 58쪽 1 ⑴ x=3, y=-2 ⑵ x=91, y=65 ⑶ x=1, y=3 4 17`cm 2 2`cm 3 ⑴ 90ù ⑵ 66ù 이렇게 풀어요 본문 56쪽 1 ⑴ ABÓ=DCÓ이므로 7=3x+y ADÓ=BCÓ이므로 9=x-3y yy ㉠ yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=3, y=-2 ⑵ ∠BAD=∠BCD=115ù ∴ ∠BAE =∠BAD-∠DAE =115ù-24ù=91ù 이때 ABÓDCÓ이므로 ∠ AED=∠BAE=91ù(엇각) ∴ x=91 한편 ∠B+∠C=180ù이므로 ∠ B =180ù-∠C =180ù-115ù=65ù 풀이 참조 ∴ y=65 02 ⑴ ① ABÓ=DCÓ=6`cm ② BCÓ=ADÓ=9`cm ⑵ ① ∠A=∠C=124ù ② ∠D=∠B=56ù ⑴ ① 6`cm ② 9`cm ⑵ ① 124ù ② 56ù ⑶ AOÓ=COÓ= ACÓ= _10=5이므로 ;2!; ;2!; 2x+y=5 BOÓ=DOÓ이므로 3y-x=8 yy ㉠ yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=1, y=3 ⑴ x=3, y=-2 ⑵ x=91, y=65 ù ⑶ x=1, y=3 03 평행사변형에서 이웃하는 두 내각의 크기의 합은 180ù이 다. 다른 풀이 ⑵ ∠C+∠D=180ù이므로 즉, ∠B+∠C= 180 ù이므로 ∠ B =180ù-∠C = 180 ù- 110 ù= 70 ù ∠D=180ù-∠C=180ù-115ù=65ù △AED에서 ∠AED=180ù-(65ù+24ù)=91ù ∴ x=91 180, 180, 110, 70 한편 ∠B=∠D=65ù이므로 y=65 04 평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므 로 ACÓ는 BDÓ를 이등분하고, BDÓ는 ACÓ를 이등분한다. 2 ADÓBCÓ이므로 ∠AEB=∠CBE(엇각) ∴ ∠ABE=∠AEB 따라서 △ABE는 이등변삼각형이므로 AEÓ=ABÓ=6`cm 이때 ADÓ=BCÓ=8`cm이므로 ⑴ 6`cm ⑵ 7`cm DEÓ=ADÓ-AEÓ =8-6=2(cm) 2`cm ⑴ COÓ=AOÓ=6`cm ⑵ BOÓ=DOÓ= BDÓ ;2!; = ;2!; _14=7(cm) 18 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_2-1단원(18~25)_6.indd 18 2018. 12. 13. 오후 5:51 3 ⑴ ABCD가 평행사변형이므로 ∠A+∠B=180ù 이때 ∠BAP= ∠A, ∠ABP= ∠B이므로 ;2!; ;2!; 02 ⑴ ADÓBCÓ이므로 ∠DAE=∠BEA(엇각) ∴ ∠BAE=∠BEA 따라서 △ABE는 이등변삼각형이므로 ∠ BAP+∠ABP = (∠A+∠B) ;2!; BEÓ=BAÓ=5`cm = ;2!; _180ù=90ù 이때 BCÓ=ADÓ=8`cm이므로 ECÓ =BCÓ-BEÓ=8-5=3(cm) △ ABP에서 ∠BAP+∠ABP+∠x=180ù이므로 ∴ x=3 ∠ x=180ù-90ù=90ù ⑵ ABÓDEÓ이므로 ∠BAE=∠AED=57ù(엇각) ∴ ∠BAD=2∠BAE=2_57ù=114ù ABCD가 평행사변형이므로 ∠ BAD+∠x=180ù ∴ ∠x=180ù-114ù=66ù ⑴ 90ù ⑵ 66ù 4 (△OAB의 둘레의 길이) =OAÓ+ABÓ+BOÓ = ACÓ+DCÓ+ BDÓ ;2!; ;2!; =DCÓ+ (ACÓ+BDÓ) ;2!; =6+ _22=17(cm) ;2!; ⑵ ∠ADE=∠DEC=34ù (엇각)이므로 ∠ ADC=2_34ù=68ù ∠ A+∠ADC=180ù이므로 ∠ A=180ù-68ù=112ù ∴ x=112 ⑴ 3 ⑵ 112ù 03 △ABE와 △FCE에서 BEÓ=CEÓ, ∠AEB=∠FEC(맞꼭지각) ABÓDFÓ이므로 ∠ABE=∠FCE(엇각) ∴ △ABE≡△FCE(ASA 합동) ∴ FCÓ=ABÓ=7`cm 또 ABCD가 평행사변형이므로 DCÓ=ABÓ=7`cm ∴ DFÓ =DCÓ+CFÓ 17`cm =7+7=14(cm) 14`cm 본문 59쪽 04 ⑴ ABCD는 평행사변형이므로 ∠A+∠B=180ù ∴ ∠A=180ù-70ù=110ù 소단원 핵심문제 01 ⑴ x=6, y=5 ⑵ ∠a=80ù ∠b=100ù 02 ⑴ 3 ⑵ 112 04 ⑴ 125ù ⑵ 6`cm 03 14`cm 05 ① 이렇게 풀어요 01 ⑴ EFÓ=ADÓ=9`cm, EPÓ=BHÓ=3`cm이므로 PFÓ=EFÓ-EPÓ=9-3=6(cm) GHÓ=ABÓ=7`cm, GPÓ=DFÓ=2`cm이므로 PHÓ=GHÓ-GPÓ=7-2=5(cm) ∴ x=6 ∴ y=5 ⑵ AEPG는 평행사변형이므로 ∠ a=∠A=80ù EFÓBCÓ이므로 ∠b=∠GPF(동위각) ∴ ∠b =180ù-∠a =180ù-80ù=100ù ∴ ∠DAF= ∠A= _110ù=55ù ;2!; ;2!; 이때 ADÓBCÓ이므로 ∠ BFA=∠DAF=55ù(엇각) ∴ ∠AFC=180ù-55ù=125ù ⑵ ADÓBCÓ이므로 ∠DAF=∠BFA(엇각) ∴ ∠BAF=∠BFA 따라서 △ABF는 이등변삼각형이므로 BFÓ=BAÓ=9`cm 이때 BCÓ=ADÓ=12`cm이므로 FCÓ =BCÓ-BFÓ =12-9=3(cm) 또 ADÓBCÓ이므로 ∠ADE=∠CED(엇각) ∴ ∠CDE=∠CED 따라서 △ECD는 이등변삼각형이므로 ECÓ=DCÓ=ABÓ=9`cm ∴ EFÓ =ECÓ-FCÓ ⑴ x=6, y=5 ⑵ ∠a=80ù, ∠b=100ùù =9-3=6(cm) ⑴ 125ù ⑵ 6`cm II. 사각형의 성질 19 기본서(중2-2)_해설_2-1단원(18~25)_6.indd 19 2018. 12. 13. 오후 5:51 05 ①, ② AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ ③, ④, ⑤ △AOP와 △COQ에서 ⑸ ∠D=360ù-(65ù+115ù+65ù)=115ù 즉, ∠A=∠C, ∠B=∠D이므로 두 쌍의 대각의 크 평행사변형의 성질에 의해 AOÓ=COÓ yy ㉠ 기가 각각 같다. ADÓBCÓ이므로 ∠ OAP=∠OCQ(엇각) (④) ∠ AOP=∠COQ(맞꼭지각) 따라서 ABCD는 평행사변형이다. ⑹ 오른쪽 그림에서 ABCD는 6`cm D yy ㉡ yy ㉢ ABÓ=BCÓ=4`cm, ㉠, ㉡, ㉢에 의해 △AOPª△COQ(ASA 합동) (⑤) CDÓ=DAÓ=6`cm이지만 평행 ∴ POÓ=QOÓ (③) ① 사변형이 아니다. A 4`cm 6`cm B 4`cm C ⑴ _ ⑵ , 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다. ⑶ _ ⑷ , 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. ⑸ , 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. ⑹ _ 03 △APH =△AEP=4`cmÛ` ∴ ㉠=4 △ PGD =△DHP=6`cmÛ` 본문 63쪽 △ PEB=△BFP=6`cmÛ` △ PFC=△CGP=9`cmÛ` ∴ ㉡=6 ∴ ㉢=6 ∴ ㉣=9 (cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:153)(cid:65) (cid:34) (cid:38) (cid:41) (cid:49) (cid:35) (cid:39) (cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:153)(cid:65) (cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:153)(cid:65) (cid:37) (cid:40) (cid:26)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:153)(cid:65) (cid:36) ⑴ △ABP+△CDP=(4+6)+(6+9)=25(cmÛ`) ⑵ △APD+△BCP=(4+6)+(6+9)=25(cmÛ`) ⑶ ABCD =(△ABP+△CDP)+(△APD+△BCP) =25+25=50(cmÛ`) ㉠ 4 ㉡ 6 ㉢ 6 ㉣ 9 ⑴ 25`cmÛ` ⑵ 25`cmÛ` ⑶ 50`cmÛ` 02 평행사변형이 되는 조건 개념원리 확인하기 01 ⑴ DCÓ, BCÓ ⑵ DCÓ, BCÓ ⑶ ∠C, ∠D ⑷ COÓ, DOÓ ⑸ DCÓ, DCÓ 02 ⑴ _ ⑵ , 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다. ⑶ _ ⑷ , 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. ⑸ , 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. ⑹ _ 03 ㉠ 4 ㉡ 6 ㉢ 6 ㉣ 9 ⑴ 25`cmÛ` ⑵ 25`cmÛ` ⑶ 50`cmÛ` 이렇게 풀어요 01 ⑴ DCÓ, BCÓ ⑵ DCÓ, BCÓ ⑶ ∠C, ∠D ⑷ COÓ, DOÓ ⑸ DCÓ, DCÓ 02 ⑴ 오른쪽 그림에서 ABCD는 ∠A=120ù, ∠B=60ù이지만 평 (cid:34) (cid:37) (cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177) 행사변형이 아니다. (cid:23)(cid:17)(cid:177) (cid:35) ⑵ AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ이므로 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다. 따라서 ABCD는 평행사변형이다. (cid:36) 핵심문제 익히기 확인문제 본문 64 ~ 66쪽 1 ③ 3 28`cm 5 7`cmÛ` 2 ⑴ x=7, y=4 ⑵ x=55ù, y=65 4 두 쌍의 대변이 각각 평행하다. 6 6`cmÛ` ⑶ 오른쪽 그림에서 ABCD는 A ADÓBCÓ, ABÓ=DCÓ=8`cm 이지만 평행사변형이 아니다. 8`cm B D 8`cm C ⑷ ABÓ=DCÓ, ADÓ=BCÓ이므로 두 쌍의 대변의 길이가 이렇게 풀어요 따라서 ABCD는 평행사변형이다. 기가 각각 같으므로 ABCD는 평행사변형이다. 1 ① ∠A=360ù-(65ù+115ù+65ù)=115ù 따라서 ∠A=∠C, ∠B=∠D에서 두 쌍의 대각의 크 각각 같다. 20 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_2-1단원(18~25)_6.indd 20 2018. 12. 13. 오후 5:51 ② ∠ABD=∠BDC` 즉, 엇각의 크기가 같으므로 ABÓDCÓ ∠ ADB=∠DBC 즉, 엇각의 크기가 같으므로 ADÓBCÓ 따라서 ABÓDCÓ, ADÓBCÓ에서 두 쌍의 대변이 각 각 평행하므로 ABCD는 평행사변형이다. ③ AOÓ=COÓ, BOÓ+DOÓ에서 두 대각선이 서로 다른 것 을 이등분하지 않으므로 ABCD는 평행사변형이 아 니다. 4 ADÓBCÓ이므로 AHÓFCÓ ADÓ=BCÓ이고 AHÓ= ADÓ, FCÓ= BCÓ이므로 ;2!; ;2!; AHÓ=FCÓ 즉, AHÓFCÓ, AHÓ=FCÓ이므로 AFCH는 평행사변형 이다. ∴ PQÓSRÓ ABÓDCÓ이므로 EBÓDGÓ ABÓ=DCÓ이고 EBÓ= ABÓ, DGÓ= DCÓ이므로 ;2!; ;2!; yy ㉠ yy ㉡ ④ ABÓ=DCÓ, ADÓ=BCÓ에서 두 쌍의 대변의 길이가 각 EBÓ=DGÓ 각 같으므로 ABCD는 평행사변형이다. 즉, EBÓDGÓ, EBÓ=DGÓ이므로 EBGD는 평행사변형 ⑤ ∠ADB=∠DBC 즉, 엇각의 크기가 같으므로 ADÓBCÓ 이다. ∴ PSÓQRÓ 따라서 ADÓBCÓ, ADÓ=BCÓ에서 한 쌍의 대변이 평 ㉠, ㉡에 의해 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 PQRS 행하고 그 길이가 같으므로 ABCD는 평행사변형이 는 평행사변형이다. 두 쌍의 대변이 각각 평행하다. 다. ③ 5 ABNM, MNCD는 모두 평행사변형이고 밑변의 2 ⑴ ABCD가 평행사변형이 되려면 ABÓ=DCÓ, ADÓ=BCÓ이어야 하므로 2x+1=3x-6에서 x=7 3y+7=4y+3에서 y=4 ⑵ ABCD가 평행사변형이 되려면 ABÓDCÓ이어야 하므로 ∠ ACD=∠BAC=65ù(엇각) ∴ y=65 또 ADÓBCÓ이어야 하고 △ABC에서 ∠ ACB=180ù-(65ù+60ù)=55ù이므로 ∠ DAC=∠ACB=55ù(엇각) ∴ x=55 ⑴ x=7, y=4 ⑵ x=55, y=65 길이와 높이가 각각 같으므로 △MPN = ABNM ;4!; △ QMN = MNCD ;4!; = _ ;4!; ;2!; ABCD = ;8!; ABCD = _ ;4!; ;2!; ABCD = ;8!; ABCD ∴ MPNQ =△MPN+△QMN = ABCD+ ABCD ;8!; ABCD ;8!; = ;4!; = ;4!; _28=7(cmÛ`) 7`cmÛ` 3 ADÓBCÓ이므로 ∠DAE=∠AEB(엇각) 즉, △ABE는 BAÓ=BEÓ인 이등변삼각형이다. 그런데 ∠B=60ù이므로 △ABE는 정삼각형이다. ∴ AEÓ=BEÓ=BAÓ=10`cm BCÓ=ADÓ=14`cm이므로 CEÓ=BCÓ-BEÓ =14-10=4(cm) 6 △PAB+△PCD = ABCD ;2!; = ;2!; _(8_5) =20(cmÛ`) 이때 △PCD의 넓이가 14`cmÛ`이므로 이때 AECF는 평행사변형이므로 구하는 둘레의 길이는 △PAB+14=20 2_(4+10)=28(cm) 28`cm ∴ △PAB=6(cmÛ`) 6`cmÛ` II. 사각형의 성질 21 기본서(중2-2)_해설_2-1단원(18~25)_6.indd 21 2018. 12. 13. 오후 5:51 소단원 핵심문제 01 ①, ⑤ 02 ㈎ DOÓ ㈏ COÓ ㈐ FOÓ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다. 03 12`cmÛ` 04 35`cmÛ` 본문 67쪽 중단원 마무리 본문 68 ~ 70쪽 01 ④ 05 55ù 08 ③ 12 14`cm 16 ④ 18 110ù 02 ③ 04 38ù 03 ④ 06 ∠C=108ù, ∠D=72ù 07 ④ 09 ④ 13 20`cm 17 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다. 19 평행사변형, 22`cm 10 24`cmÛ` 11 100ù 14 ③ 20 ④ 15 ③ 이렇게 풀어요 이다. 01 ① ABÓ=DCÓ, ABÓDCÓ이므로 ABCD는 평행사변형 이렇게 풀어요 ⑤ ∠D=360ù-(95ù+85ù+95ù)=85ù 즉, ∠A=∠C=95ù, ∠B=∠D=85ù이므로 01 ABÓDCÓ이므로 ∠ABD=∠CDB=35ù(엇각) ∴ ∠ABC=35ù+25ù=60ù ABCD는 평행사변형이다. ①, ⑤ △ ABC에서 ∠x=180ù-(80ù+60ù)=40ù ④ 02 ① DCÓ=ABÓ=7`cm yy ㉠ ② AOÓ= ACÓ= _12=6(cm) ;2!; ;2!; ③ ∠DAB+∠ABC=180ù이므로 02 ABCD는 평행사변형이므로 AOÓ=COÓ, BOÓ= DOÓ 그런데 AEÓ=CFÓ이므로 EOÓ=AOÓ-AEÓ = COÓ -CFÓ= FOÓ yy ㉡ ㉠, ㉡에 의해 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 EBFD는 평행사변형이다. ㈎ DOÓ ㈏ COÓ ㈐ FOÓ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다. 03 평행사변형 ABCD의 내부의 한 점 P에 대하여 △ PAB+△PCD= ABCD이므로 △ PAB+△PCD= _60=30(cmÛ`) 이때 △PAB`:`△PCD=2`:`3이므로 ;2!; ;2!; 2 2+3 △ PAB=30_ =12(cmÛ`) 12`cmÛ` 04 (색칠한 부분의 넓이) =△APH+△EBP+△PCG+△HPD = (AEPH+EBFP+PFCG+HPGD) = ABCD ;2!; ;2!; ;2!; 22 정답과 풀이 ∠DAB=180ù-100ù=80ù ④ BDÓ=2BOÓ=2_5=10(cm) ⑤ ∠ADC=∠ABC=100ù ③ 03 ADÓBCÓ이므로 ∠AEB =∠DAE(엇각) ∴ ∠BAE=∠AEB 따라서 △ABE는 이등변삼각형이므로 BEÓ=BAÓ=7`cm 이때 BCÓ=ADÓ=11`cm이므로 ECÓ =BCÓ-BEÓ=11-7=4(cm) ④ 04 ABCD는 평행사변형이므로 ∠ BAD+∠D=180ù에서 ∠BAD=180ù-76ù=104ù ∴ ∠BAP= ∠BAD= _104ù=52ù ;2!; ;2!; △ ABP에서 ∠ ABP=180ù-(90ù+52ù)=38ù 이때 ∠ABC=∠D=76ù이므로 ∠ x =∠ABC-∠ABP=76ù-38ù=38ù 38ù 05 ADÓ=DFÓ이므로 △AFD는 이등변삼각형이다. 이때 ∠D=∠B=70ù이므로 △AFD에서 ∠ DAF=∠DFA= _(180ù-70ù)=55ù ;2!; = _70=35(cmÛ`)` 35`cmÛ` ∴ ∠x=∠DAE=55ù(엇각) 55ù 기본서(중2-2)_해설_2-1단원(18~25)_6.indd 22 2018. 12. 13. 오후 5:51 06 ∠A+∠B=180ù이고 ∠A：∠B=3：2이므로 ∠ A=180ù_ 3 3+2 ∠B=180ù_ 2 3+2 =108ù =72ù ∴ ∠C=∠A=108ù, ∠D=∠B=72ù 12 ABÓDCÓ이므로 ∠ BAE=∠AED(엇각) ∴ ∠DAE=∠AED 즉, △DAE는 이등변삼각형이므로 DEÓ=DAÓ=12`cm ∠C=108ù, ∠D=72ù 또 ∠ABF=∠BFC(엇각)이므로 ∠ FBC=∠BFC 07 ① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다. ② ∠C=360ù-(120ù+60ù+60ù)=120ù 즉, △BCF는 이등변삼각형이므로 CFÓ=CBÓ=ADÓ=12`cm 따라서 ∠A=∠C, ∠B=∠D이므로 평행사변형이다. 이때 CDÓ=ABÓ=10`cm이므로 ③ 오른쪽 그림과 같이 CDÓ의 연장 EFÓ =FCÓ+DEÓ-CDÓ 선 위에 점 E를 잡으면 ABÓDCÓ이므로 ∠A=∠ADE(엇각) A B 이때 ∠A=∠C이므로 ∠C=∠ADE 즉, 동위각의 크기가 같으므로 ADÓBCÓ =12+12-10=14(cm) 14`cm 13 △ABC가 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C ACÓEPÓ이므로 ∠C=∠EPB(동위각) 따라서 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다. ∴ ∠B=∠EPB ④ 오른쪽 그림에서 ABCD는 A ABÓ=DCÓ, ADÓBCÓ이지만 평행 사변형이 아니다. B C 형이다. 따라서 △EBP는 이등변삼각형이므로 EBÓ=EPÓ 이때 AEÓDPÓ, ADÓEPÓ이므로 AEPD는 평행사변 ⑤ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형 ∴ (AEPD의 둘레의 길이) =2(AEÓ+EPÓ) E D C D ④ =2(AEÓ+EBÓ)=2ABÓ =2_10=20(cm) 20`cm 이다. 이다. 08 ①, ② 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행 사변형이다. ③ 평행사변형인지 알 수 없다. ④ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형 ⑤ 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다. 09 BCÓ=CEÓ, DCÓ=CFÓ, 즉 두 대각선이 서로 다른 것을 이 ④ 등분하므로 BFED는 평행사변형이다. 14 ∠ADC=∠B=60ù이고 ∠ ADE：∠EDC=2：1이므로 ∠ EDC=60ù_ =20ù 1 2+1 ③ 또 ∠B+∠C=180ù이므로 ∠ C=180ù-60ù=120ù △ ECD에서 ∠ DEC=180ù-(120ù+20ù)=40ù ∴ ∠x=180ù-(75ù+40ù)=65ù ③ 10 ABCD=8_6=48(cmÛ`)이므로 다른 풀이 △ PDA+△PBC = ABCD ∠ ADC=∠B=60ù이고 ;2!; = ;2!; _48=24(cmÛ`) 24`cmÛ` 11 ∠FDB=∠BDC=40ù(접은 각) ABÓDCÓ이므로 ∠FBD=∠BDC=40ù(엇각) 따라서 △FBD에서 ∠ AFE =180ù-(40ù+40ù)=100ù 100ù ∠ ADE`:`∠EDC=2`:`1이므로 ∠ ADE=60ù_ =40ù 2 2+1 △AED에서 ∠ DAE=180ù-(75ù+40ù)=65ù 이때 ADÓBCÓ이므로 ∠ x=∠DAE=65ù(엇각) II. 사각형의 성질 23 기본서(중2-2)_해설_2-1단원(18~25)_6.indd 23 2018. 12. 13. 오후 5:51 15 HBÓDCÓ이므로 ∠ FCB=∠FCD=∠AHF=40ù(엇각) ∠ ABC+∠BCD=180ù이므로 ∠ ABC=180ù-(40ù+40ù)=100ù ∴ ∠EBC= ∠ABC= _100ù=50ù ;2!; ;2!; 이때 ∠FEB=∠EBC=50ù(엇각)이므로 ∠ x=180ù-50ù=130ù ③ 16 △AFD와 △CEB에서 ∠ ADF=∠CBE(엇각)(⑤), ADÓ=CBÓ, DFÓ=BEÓ 이므로 △AFDª△CEB(SAS 합동)(③) ∴ AFÓ=CEÓ(①) △ ABE와 △CDF에서 ∠ ABE=∠CDF(엇각), ABÓ=CDÓ, BEÓ=DFÓ 이므로 △ABEª△CDF(SAS 합동) ∴ AEÓ=CFÓ(②) ④ 17 ABCD는 평행사변형이므로 AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ 이때 APÓ=CRÓ, BQÓ=DSÓ이므로 POÓ =AOÓ-APÓ=COÓ-CRÓ=ROÓ QOÓ =BOÓ-BQÓ=DOÓ-DSÓ=SOÓ 따라서 PQRS는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하 므로 평행사변형이다. 같은 방법으로 △ ABC≡△FEC(SAS 합동) ∴ DEÓ=ACÓ=AFÓ=5`cm EFÓ=BAÓ=DAÓ=6`cm 따라서 AFED는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다. ∴ (AFED의 둘레의 길이) =2_(5+6)=22(cm) 평행사변형, 22`cm △ BFC =△ABC=2△ABO 20 ① △CDO=△ABO=30`cmÛ` ② △ACD =△ABC=2△ABO =2_30=60(cmÛ`) ③ ABFC는 평행사변형이므로 =2_30=60(cmÛ`) ④ ABFC =2△BFC =2_60=120(cmÛ`) ⑤ BFED는 평행사변형이므로 BFED =4△BFC =4_60=240(cmÛ`) ④ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다. 서술형 대비 문제 본문 71 ~ 72쪽 18 AMÓNCÓ, AMÓ=NCÓ이므로 ANCM은 평행사변형 ∴ ∠NCM=∠NAM=72ù MDÓBNÓ, MDÓ=BNÓ이므로 MBND는 평행사변형 이다. 이다. 2-1 24`cmÛ` 3 5 1-1 46ù 4 ⑴ 129ù ⑵ 4`cm 5 평행사변형, 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다. 6 80`cmÛ` 즉, MBÓDNÓ이므로 ∠FNC=∠MBN=38ù(동위각) 따라서 △FNC에서 ∠ x=38ù+72ù=110ù 19 △ABC와 △DBE에서 △ ADB는 정삼각형이므로 ABÓ=DBÓ △ BCE는 정삼각형이므로 BCÓ=BEÓ ∠ ABC=60ù-∠EBA=∠DBE ∴ △ABC≡△DBE(SAS 합동) 24 정답과 풀이 110ù ∴ ∠DAC =2∠DAE=2_32ù=64ù 이렇게 풀어요 1-1 1 단계 ADÓBEÓ이므로 ∠ DAE=∠AEC=32ù(엇각) 2 단계 ∠BAD+∠B=180ù이므로 ∠ BAD=180ù-70ù=110ù ∴ ∠BAC =∠BAD-∠DAC =110ù-64ù=46ù 3 단계 ABÓDCÓ이므로 ∠ ACD=∠BAC=46ù(엇각) 46ù 기본서(중2-2)_해설_2-1단원(18~25)_6.indd 24 2018. 12. 13. 오후 5:51 3 단계 ∴ EBFD =EDÓ_h=4_6=24(cmÛ`) ∠ ABE=∠CDF(엇각) 24`cmÛ` 이므로 △ABEª△CDF(RHA 합동) 5 1 단계 △ABE와 △CDF에서 ∠ AEB=∠CFD=90ù, ABÓ=CDÓ, 2-1 1 단계 평행사변형 ABCD의 높이를 h`cm라 하면 72=12_h ∴ h=6 2 단계 ADÓBCÓ이므로 ∠ BEA=∠EBF(엇각)=∠ABE 즉, △ABE는 ABÓ=AEÓ인 이등변삼각형이므로 AEÓ=ABÓ=8`cm 이때 ADÓ=BCÓ=12`cm이므로 EDÓ=ADÓ-AEÓ=12-8=4(cm) 3 1 단계 ABÓ=DCÓ이므로 x+y=4y-3 ∴ x-3y=-3 ADÓ=BCÓ이므로 3x-1=2y+4 ∴ 3x-2y=5 2 단계 ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x=3, y=2 3 단계 ∴ ABÓ =x+y=3+2=5 채점 요소 평행사변형의 성질을 이용하여 식 세우기 단계 1 2 3 x, y의 값 구하기 ABÓ의 길이 구하기 yy ㉠ yy ㉡ 5 배점 3점 2점 1점 4 1 단계 ⑴ ABCD는 평행사변형이므로 ∠A+∠B=180ù ∴ ∠A=180ù-78ù=102ù ∴ ∠BAF =∠DAF= ∠A ;2!; = ;2!; _102ù=51ù 즉, ∠AFB=∠BAF이므로 △ABF는 BAÓ=BFÓ인 이등변삼각형이다. ∴ BFÓ=BAÓ=7`cm 이때 BCÓ=ADÓ=10`cm이므로 ` FCÓ=BCÓ-BFÓ=10-7=3(cm) 3 단계 또 ADÓBCÓ이므로 ∠DEC=∠ADE(엇각) 즉, ∠DEC=∠CDE이므로 △CDE는 CDÓ=CEÓ인 이등변삼각형이다. 이때 CDÓ=ABÓ=7`cm이므로 CEÓ=CDÓ=7`cm 4 단계 ∴ EFÓ=ECÓ-FCÓ=7-3=4(cm) ⑴ 129ù ⑵ 4`cm 배점 3점 2점 2점 1점 배점 2점 2점 3점 단계 채점 요소 1 2 3 4 ∠AFC의 크기 구하기 FCÓ의 길이 구하기 CEÓ의 길이 구하기 EFÓ의 길이 구하기 ∴ AEÓ=CFÓ yy ㉠ 2 단계 또 AECF에서 ∠AEF=∠CFE=90ù 즉, 엇각의 크기가 같으므로 AEÓCFÓ yy ㉡ 3단계 ㉠, ㉡에 의해 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 AECF는 평행사변형이다. 평행사변형, 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다. 단계 1 2 3 채점 요소 AEÓ=CFÓ임을 설명하기 AEÓCFÓ임을 설명하기 AECF가 평행사변형임을 알기 6 1 단계 △AOE와 △COF에서 AOÓ=COÓ, ∠OAE=∠OCF(엇각), ∠ AOE=∠COF(맞꼭지각) 이므로 △AOEª△COF(ASA 합동) 2 단계 ∴ △AOE+△OBF =△COF+△OBF =△OBC=20(cmÛ`) 3 단계 평행사변형의 넓이는 두 대각선에 의하여 사등분되 단계 1 2 3 채점 요소 △AOEª△COF임을 알기 △OBC의 넓이 구하기 ABCD의 넓이 구하기 80`cmÛ` 배점 2점 3점 2점 II. 사각형의 성질 25 △ABF에서 ∠AFC=51ù+78ù=129ù 므로 2 단계 ⑵ ADÓBCÓ이므로 ∠AFB=∠DAF(엇각) ABCD =4△OBC=4_20=80(cmÛ`) 기본서(중2-2)_해설_2-1단원(18~25)_6.indd 25 2018. 12. 13. 오후 5:51 II | 사각형의 성질 2 여러 가지 사각형 01 여러 가지 사각형 ⑴ 개념원리 확인하기 본문 77쪽 01 ⑴ 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형 ⑵ BDÓ, BOÓ, COÓ, DOÓ 02 ⑴ 5`cm ⑵ 40ù 03 ⑴ 네 변의 길이가 모두 같은 사각형 ⑵ ⊥, COÓ, DOÓ 04 ⑴ 5`cm ⑵ 55ù 05 ⑴ 네 변의 길이가 모두 같고, 네 내각의 크기가 모두 같 05 ⑵ 정사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 수직이등분하므로 ACÓ= BDÓ , ACÓ ⊥ BDÓ, AOÓ= BOÓ = COÓ = DOÓ ⑴ 네 변의 길이가 모두 같고, 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형 ⑵ BDÓ, ⊥, BOÓ, COÓ, DOÓ 06 ⑴ BDÓ=ACÓ이고 AOÓ=COÓ=6`cm이므로 BDÓ=6+6=12(cm) ⑵ △ABO에서 ∠AOB=90ù, AOÓ=BOÓ이므로 △ABO는 직각이등변삼각형이다. ∴ ∠BAO=∠ABO=45ù ⑴ 12`cm ⑵ 45ù 은 사각형 ⑵ BDÓ, ⊥, BOÓ, COÓ, DOÓ 06 ⑴ 12`cm ⑵ 45ù 이렇게 풀어요 핵심문제 익히기 확인문제 본문 78 ~ 80쪽 1 ⑴ x=4, y=14 ⑵ x=30, y=60 2 직사각형 3 ⑴ x=58, y=32 ⑵ x=2, y=84 4 ⑴ 마름모 ⑵ 28`cm 5 25ù 6 ①, ⑤ 01 ⑵ 직사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 이등분하므로 ACÓ= BDÓ , AOÓ= BOÓ = COÓ = DOÓ ⑴ 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형 ⑵ BDÓ, BOÓ, COÓ, DOÓ 이렇게 풀어요 02 ⑴ BDÓ=ACÓ=10`cm이므로 DOÓ= BDÓ = _10=5(cm) ⑵ △ABD에서 ∠DAB=90ù이므로 ;2!; ;2!; ∠ ABO=180ù-(90ù+50ù)=40ù 1 ⑴ ACÓ=BDÓ이고 BDÓ=2BOÓ이므로 3x+2=2_(2x-1) 3x+2=4x-2 ∴ x=4 ∴ BDÓ=2_(2_4-1)=14 ∴ y=14 ⑵ △AOD는 AOÓ=DOÓ인 이등변삼각형이고 ∠ AOD=∠BOC=120ù(맞꼭지각)이므로 ∠ ODA=∠OAD= _(180ù-120ù)=30ù ;2!; ⑴ 5`cm ⑵ 40ù ∠ DAB=90ù이므로 ∠CAB=90ù-30ù=60ù ∴ x=30 ∴ y=60 ⑴ x=4, y=14 ⑵ x=30, y=60 03 ⑵ 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므 로 ACÓ ⊥ BDÓ, AOÓ= COÓ , BOÓ= DOÓ ⑴ 네 변의 길이가 모두 같은 사각형 ⑵ ⊥, COÓ, DOÓ 2 ∠ODC=∠OCD이므로 △OCD는 이등변삼각형이다. ∴ OCÓ=ODÓ yy ㉠ ABCD가 평행사변형이므로 AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ yy ㉡ ㉠, ㉡에서 AOÓ=BOÓ=COÓ=DOÓ ∴ ACÓ=BDÓ ∠ BAO=180ù-(90ù+35ù)=55ù 따라서 두 대각선의 길이가 같으므로 ABCD는 직사각 ⑴ 5`cm ⑵ 55ù 형이다. 직사각형 04 ⑴ ABÓ=ADÓ=5`cm ⑵ △ABO에서 ∠ AOB=90ù이므로 26 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_2-2단원(26~35)_6.indd 26 2018. 12. 13. 오후 5:52 3 ⑴ △ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로 ∠ ADB=∠ABD=32ù ∴ y=32 ADÓBCÓ이므로 ∠ DBC=∠ADB=32ù(엇각) △ OBC에서 ∠BOC=90ù이므로 ∴ x=58 ⑵ AOÓ=COÓ이므로 5x=4x+2 ∴ x=2 6 ① ABÓ=ADÓ, AOÓ=DOÓ이면 이웃하는 두 변의 길이가 같고, 두 대각선의 길이가 같으므로 정사각형이다. ② ACÓ⊥BDÓ이면 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등 분하므로 마름모이다. ③ ∠A=90ù이면 네 내각의 크기가 모두 같으므로 직사 각형이다. 이다. ⑤ ∠A=90ù, ACÓ⊥BDÓ이면 네 내각의 크기가 모두 같 고, 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하므로 정 사각형이다. ①, ⑤ ∠ OCB=180ù-(90ù+32ù)=58ù ④ ACÓ=BDÓ이면 두 대각선의 길이가 같으므로 직사각형 △ ABC에서 BAÓ=BCÓ이므로 ∠ BCA=∠BAC=48ù ∴ ∠ABC=180ù-(48ù+48ù)=84ù ∴ y=84 다른 풀이 ⑴ x=58, y=32 ⑵ x=2, y=84 ⑵ △ABO에서 ∠AOB=90ù이므로 ∠ ABO=180ù-(48ù+90ù)=42ù ∴ ∠ABC =2∠ABO =2_42ù=84ù ∴ y=84 4 ⑴ ABÓDCÓ이므로 ∠BDC=∠ABD(엇각) 즉, ∠DBC=∠BDC이므로 △BCD는 이등변삼각형 이다. ∴ CBÓ=CDÓ 는 마름모이다. 따라서 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 ABCD ⑵ ABCD는 마름모이므로 ABÓ=BCÓ=CDÓ=DAÓ=7`cm ∴ (ABCD의 둘레의 길이)=4_7=28(cm) 소단원 핵심문제 02 ④ 01 ① 05 x=38, y=7 08 ㄹ, ㅁ 본문 81 ~ 82쪽 03 ②, ④ 06 20ù 04 ② 07 ①, ④ 이렇게 풀어요 01 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠x=∠OCB=36ù △ DBC에서 ∠DCB=90ù이므로 ∠ y=180ù-(90ù+36ù)=54ù ∴ ∠y-∠x=54ù-36ù=18ù ① 02 ∠GAE=90ù이므로 ∠ FAE=90ù-20ù=70ù 이때 ∠AEF=∠FEC(접은 각), ∠FEC=∠AFE(엇각)이므로 ∠ AEF=∠AFE 즉, △AEF는 이등변삼각형이므로 (cid:19)(cid:17)(cid:177) (cid:24)(cid:17)(cid:177) (cid:34) (cid:40) (cid:39) (cid:37) (cid:35) (cid:38) (cid:36) ⑴ 마름모 ⑵ 28`cm ∠ AEF= _(180ù-70ù)=55ù ④ ;2!; 5 △BCE와 △DCE에서 BCÓ=DCÓ, ECÓ는 공통, ∠BCE=∠DCE=45ù 03 ① ABÓ=5`cm이면 ABÓ=ADÓ, 즉 이웃하는 두 변의 길 이가 같으므로 마름모이다. 이므로 △BCEª△DCE(SAS 합동) ② ACÓ=8`cm이면 ACÓ=BDÓ, 즉 두 대각선의 길이가 같 ∴ ∠EBC=∠EDC 이때 △DEC에서 ∠EDC+45ù=70ù ∴ ∠EDC=25ù 으므로 직사각형이다. ③ 평행사변형의 성질이다. ④ ∠A=90ù이면 한 내각이 직각이므로 직사각형이다. ⑤ ∠AOB=90ù이면 두 대각선이 서로 다른 것을 수직 II. 사각형의 성질 27 ∴ ∠EBC =∠EDC=25ù 25ù 이등분하므로 마름모이다. ②, ④ 기본서(중2-2)_해설_2-2단원(26~35)_6.indd 27 2018. 12. 13. 오후 5:52 04 ABÓ=BCÓ이므로 3x-2=x+12, 2x=14 ∴ x=7 02 여러 가지 사각형 ⑵ ∴ CDÓ=ABÓ=3_7-2=19(cm) ② 개념원리 확인하기 본문 85쪽 05 ADÓBCÓ이므로 ∠ADB=∠DBC=38ù(엇각) △ AOD에서 ∠AOD=180ù-(52ù+38ù)=90ù 즉, 평행사변형 ABCD에서 두 대각선이 서로 수직이므로 ABCD는 마름모이다. ∴ DCÓ=ADÓ=7`cm ∴ y=7 또 BCÓ=DCÓ이므로 △BCD는 이등변삼각형이다. ∴ ∠BDC=∠DBC=38ù ∴ x=38 01 ⑴ 아랫변의 양 끝 각의 크기가 같은 사다리꼴 Ó ⑵ DCÓ, BDÓ 02 ⑴ ① 9`cm ② 5`cm ⑵ ① 110ù ② 70ù 03 ⑴ , , , , _ ⑵ , _, , _, ⑶ _, , , _, _ 04 ⑴ 평행사변형 ⑵ 직사각형 x=38, y=7 이렇게 풀어요 06 △ADE에서 ADÓ=AEÓ이므로 ∠AED=∠ADE=65ù ∴ ∠EAD=180ù-(65ù+65ù)=50ù 같고, 두 대각선의 길이가 같으므로 ABÓ= DCÓ , ACÓ= BDÓ ∴ ∠EAB=90ù+50ù=140ù ⑴ 아랫변의 양 끝 각의 크기가 같은 사다리꼴 AEÓ=ADÓ=ABÓ이므로 △ABE는 이등변삼각형이다. ⑵ DCÓ, BDÓ 01 ⑵ 등변사다리꼴은 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 ∴ ∠ABE=∠AEB= _(180ù-140ù)=20ù ;2!; 07 ① ABÓ=ADÓ이면 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 정 사각형이다. ②, ⑤ 직사각형의 성질이다. ④ ACÓ⊥BDÓ이면 두 대각선이 서로 수직이므로 정사각형 이다. ①, ④ 20ù 02 ⑴ ① BDÓ=ACÓ=3+6=9(cm) ② DCÓ=ABÓ=5`cm ⑵ ① ∠A+∠B=180ù이므로 ∠A=180ù-70ù=110ù ② ∠C=∠B=70ù ⑴ ① 9`cm ② 5`cm ⑵ ① 110ù ② 70ù 08 사각형 ABCD에서 ABÓDCÓ이고 ADÓBCÓ이므로 ⑶ _, , , _, _ ABCD는 평행사변형이다. ㄱ. ABÓ=ADÓ이면 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 마 04 ⑴ 평행사변형 EFGH에서 (cid:38) (cid:34) (cid:41) 름모이다. △EBAª△GDC (SAS 합동) (cid:35) 03 ⑴ , , , , _ ⑵ , _, , _, ㄴ. ∠ABC=∠BCD, ACÓ=BDÓ이면 한 내각이 직각이 이므로 ABÓ=CDÓ yy ㉠ (cid:39) 고, 두 대각선의 길이가 같으므로 직사각형이다. △BFCª△DHA(SAS 합동) ㄷ. AOÓ=BOÓ=COÓ=DOÓ이면 두 대각선의 길이가 같으 이므로 BCÓ=DAÓ yy ㉡ 므로 직사각형이다. ㉠, ㉡에서 ABCD는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 ㄹ. ∠ABC=90ù이고 ∠BOC=90ù에서 ACÓ⊥BDÓ이면 같으므로 평행사변형이다. 한 내각이 직각이고, 두 대각선이 서로 수직이므로 정 ⑵ 마름모 EFGH에서 사각형이다. ㅁ. △OBC에서 BOÓ=COÓ이므로 △EADª△GCB (SAS 합동), △ FABª△HCD (SAS 합동) ∠OCB=∠OBC=45ù ∴ ∠BOC=90ù 이므로 ABCD에서 (cid:39) (cid:34) (cid:35) (cid:41) (cid:37) (cid:36) (cid:38) (cid:40) 즉, ACÓ⊥BDÓ이고 BOÓ=COÓ이므로 ACÓ=BDÓ ∠ A=∠B=∠C=∠D=180ù-(º+ ) 따라서 두 대각선의 길이가 같고, 두 대각선이 서로 따라서 ABCD는 네 내각의 크기가 모두 같으므로 수직이므로 정사각형이다. ㄹ, ㅁ 직사각형이다. ⑴ 평행사변형 ⑵ 직사각형 (cid:37) (cid:40) (cid:36) 28 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_2-2단원(26~35)_6.indd 28 2018. 12. 13. 오후 5:52 핵심문제 익히기 확인문제 1 40ù 4 ② 2 3`cm 5 ②, ③ 3 마름모, 20`cm 6 ⑴ 32`cm ⑵ 110ù 본문 86 ~ 88쪽 ④ 정사각형은 네 변의 길이가 모두 같으므로 마름모이다. ⑤ 평행사변형은 한 쌍의 대변이 평행하므로 사다리꼴이다. ② 이렇게 풀어요 1 △ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로 ∠ ABD=∠ADB=∠x 또 ADÓBCÓ이므로 ∠DBC=∠ADB=∠x (엇각) 이때 ∠ABC=∠C=80ù이고 ∠ ABC=∠ABD+∠DBC=∠x+∠x=2∠x이므로 ∠ x= ∠ABC= _80ù=40ù ;2!; ;2!; 40ù 2 점 D에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 F (cid:26)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:34) (cid:37) 5 두 대각선의 길이가 같은 사각형은 직사각형, 정사각형, 등 ②, ③ 변사다리꼴이다. 6 ⑴ 사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 평행 사변형이므로 EFGH는 평행사변형이다. ∴ HGÓ=EFÓ=7`cm, EHÓ=FGÓ=9`cm ∴ (EFGH의 둘레의 길이) =2EFÓ+2FGÓ =2_7+2_9 =14+18=32(cm) ⑵ EFGH는 평행사변형이므로 ∠EFG+∠FGH=180ù ∴ ∠FGH=180ù-70ù=110ù (cid:35) (cid:38) (cid:36) (cid:39) (cid:18)(cid:22)(cid:3)(cid:68)(cid:78) ⑴ 32`cm ⑵ 110ù 이므로 △ABEª△DCF(RHA 합동) 라 하자. △ABE와 △DCF에서 ∠ AEB=∠DFC=90ù, ABÓ=DCÓ, ∠B=∠C ∴ BEÓ=CFÓ AEFD는 직사각형이므로 EFÓ=ADÓ=9`cm ∴ BEÓ = ;2!; _(BCÓ-EFÓ) = ;2!; _(15-9)=3(cm) 3`cm 소단원 핵심문제 01 ⑴ 72 ⑵ 11 03 정사각형 이렇게 풀어요 본문 89쪽 02 마름모 04 9 05 16`cmÛ` 3 △ODE와 △OBF에서 ODÓ=OBÓ, ∠ EOD=∠FOB(맞꼭지각), ∠EDO=∠FBO(엇각) 01 ⑴ ABÓ=ADÓ이므로 ∠ABD=∠ADB=36ù ADÓBCÓ이므로 ∠DBC=∠ADB=36ù(엇각) 이므로 △ODEª△OBF(ASA 합동) ∴ ∠C =∠B=∠ABD+∠DBC ∴ EDÓ=FBÓ, EOÓ=FOÓ =36ù+36ù=72ù 즉, BFDE는 EDÓBFÓ, EDÓ=BFÓ이므로 평행사변형 ∴ x=72 이고, 이때 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하므로 ⑵ 점 A를 지나고 DCÓ와 평행한 A 5`cm D 마름모이다. 직선을 그어 BCÓ와 만나는 점 6`cm 이때 BFÓ=BCÓ-FCÓ=ADÓ-FCÓ=8-3=5(cm)이므로 을 E라 하자. (BFDE의 둘레의 길이)=4_5=20(cm) AECD는 평행사변형이므 마름모, 20`cm 로 ECÓ=ADÓ=5`cm 60(cid:177)60(cid:177) B 60(cid:177) C E x`cm 4 ① 마름모는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행 또 ∠C=∠B=60ù이고 AEÓDCÓ이므로 ∠AEB=∠C=60ù(동위각) 따라서 △ABE는 정삼각형이므로 ② 마름모의 한 내각이 직각인 경우에만 정사각형이 된다. BEÓ=ABÓ=6`cm ③ 정사각형은 네 내각의 크기가 모두 같으므로 직사각형 ∴ BCÓ=BEÓ+ECÓ=6+5=11(cm) 사변형이다. 이다. ∴ x=11 ⑴ 72 ⑵ 11 II. 사각형의 성질 29 기본서(중2-2)_해설_2-2단원(26~35)_6.indd 29 2018. 12. 13. 오후 5:52 ∴ ABÓ=AFÓ yy ㉠ 02 ∠AFB=∠FBE(엇각)이므로 ∠ ABF=∠AFB 또 ∠BEA=∠FAE(엇각)이므로 ∠ BAE=∠BEA ∴ ABÓ=BEÓ 이렇게 풀어요 01 ⑴ ▵DBC ⑵ ▵ACD ⑶ ▵ABC, ▵DBC, ▵DOC 02 ⑴ ▵ACE ⑵ ▵ACD, ▵ACE, ▵ABE yy ㉡ 03 ⑴ BDÓ：DCÓ=8：6=4：3 ㉠, ㉡에서 AFÓ=BEÓ이고 AFÓBEÓ이므로 ABEF는 평행사변형이다. ⑵ △ABD= _BDÓ_AHÓ= _8_7=28(cmÛ`) 이때 ABÓ=AFÓ, 즉 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 ⑶ △ADC= _DCÓ_AHÓ= _6_7=21(cmÛ`) ABEF는 마름모이다. 마름모 ⑷ △ABD：△ADC=28：21=4：3 ;2!; ;2!; 1 1+2 2 1+2 ;2!; ;2!; ;3!; ;3@; ⑴ 4`:`3 ⑵ 28`cmÛ` ⑶ 21`cmÛ` ⑷ 4`:`3 04 ⑴ △ABP：△APC=BPÓ：PCÓ=3：6=1：2 ⑵ △ABP= △ABC= _36=12(cmÛ`) 정사각형 ⑶ △APC= △ABC= _36=24(cmÛ`) ⑴ 1`:`2 ⑵ 12`cmÛ` ⑶ 24`cmÛ` 03 ABÓ=DCÓ, ABÓDCÓ에서 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같으므로 ABCD는 평행사변형이다. 이때 ACÓ⊥BDÓ Ó, ACÓ=BDÓ에서 두 대각선이 서로 수직이 고, 그 길이가 같으므로 ABCD는 정사각형이다. 04 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ의 4개이므로 x=4 두 대각선의 길이가 같은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅂ의 3개이므로 y=3 z=2 두 대각선이 서로 수직인 것은 ㄴ, ㄷ의 2개이므로 ∴ x+y+z=4+3+2=9 9 05 정사각형 ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 만든 PQRS는 정사각형이다. 이렇게 풀어요 ∴ PQRS=4_4=16(cmÛ`) 16`cmÛ` 핵심문제 익히기 확인문제 본문 92 ~ 93쪽 1 36`cmÛ` 2 20`cmÛ` 3 10`cmÛ` 4 70`cmÛ` 1 ACÓDEÓ이므로 △ACD=△ACE ∴ ABCD =△ABC+△ACD =△ABC+△ACE =△ABE = ;2!; _(8+4)_6=36(cmÛ`) 36`cmÛ` 03 평행선과 넓이 개념원리 확인하기 2 BMÓ=CMÓ이므로 △ABM=△AMC 본문 91쪽 ∴ △AMC= △ABC= _64=32(cmÛ`) ;2!; ;2!; 01 ⑴ △DBC ⑵ △ACD ⑶ △ABC, △DBC, △DOC 02 ⑴ △ACE ⑵ △ACD, △ACE, △ABE 03 ⑴ 4`:`3 ⑵ 28`cmÛ` ⑶ 21`cmÛ` ⑷ 4`:`3 04 ⑴ 1`:`2 ⑵ 12`cmÛ` ⑶ 24`cmÛ` APÓ：PMÓ=3：5이므로 △ APC：△PMC=3：5 ∴ △PMC = △AMC 5 3+5 = ;8%; _32=20(cmÛ`) 20`cmÛ` 30 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_2-2단원(26~35)_6.indd 30 2018. 12. 13. 오후 5:52 3 ACÓ를 그으면 BEÓ：ECÓ=1：2이 므로 △ABE：△AEC=1：2 ∴ △ABE = △ABC 1 1+2 = _ ;3!; ;2!; ABCD (cid:34) (cid:37) 04 ⑴ ADÓBCÓ이고 밑변이 BEÓ로 공통이므로 △ ABE=△DBE (cid:35) (cid:38) (cid:36) BDÓEFÓ이고 밑변이 BDÓ로 공통이므로 △ DBE=△DBF ABÓDCÓ이고 밑변이 DFÓ로 공통이므로 = _ ;3!; ;2!; _60=10(cmÛ`) 10`cmÛ` △ DBF=△DAF ㉠, ㉡, ㉢에서 yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ △ ABE =△DBE=△DBF=△DAF 따라서 △ABE와 넓이가 같은 삼각형은 △DBE, △DBF, △DAF이다. ⑵ ⑴에서 △ABE=△DAF이므로 △ ABE=△DAF=16`cmÛ` ⑴ ▵DBE, ▵DBF, ▵DAF ⑵ 16`cmÛ` 05 ADÓBCÓ이므로 △ABC=△DBC=60`cmÛ`, △ OCD=△OAB=20`cmÛ` ∴ △OBC=△ABC-△OAB=60-20=40(cmÛ`) 이때 △OAB：△OBC=20：40=1：2이므로 OAÓ`:`OCÓ=1`:`2 따라서 △AOD：△OCD=1：2이므로 △ AOD：20=1：2 ∴ △AOD =10(cmÛ`) 10`cmÛ` 중단원 마무리 본문 95 ~97쪽 06 ② 02 x=7, y=35 01 38 05 11`cm 04 ②, ④ 07 ⑴ ㄱ, ㄷ, ㅂ ⑵ ㄱ, ㄴ 08 ②, ④ 11 16`cmÛ` 10 ③ 15 8`cmÛ` 14 150ù 18 ⑴ 마름모 ⑵ 90ù ⑶ 100ù 20 4`cmÛ` 12 58ù 16 60ù 21 12`cmÛ` 22 27`cmÛ` 03 28ù 09 36`cmÛ` 13 3`cm 17 2`cmÛ` 19 9`cmÛ` 4 AOÓ：OCÓ=2：3이므로 △ABO：△OBC=2：3 즉, 28：△OBC=2：3, 2△OBC=84 ∴ △OBC=42(cmÛ`) ADÓBCÓ이므로 △ABC=△DBC ∴ △DBC =△ABC=△ABO+△OBC =28+42=70(cmÛ`) 70`cmÛ` 소단원 핵심문제 본문 94쪽 01 30`cmÛ` 02 8`cmÛ` 04 ⑴ △DBE, △DBF, △DAF ⑵ 16`cmÛ` 05 10`cmÛ` 03 9`cmÛ` 이렇게 풀어요 01 ACÓDEÓ이므로 △ACD=△ACE ∴ △ABE =△ABC+△ACE =△ABC+△ACD =ABCD =30`cmÛ` 30`cmÛ` 02 BQÓ：QCÓ=1：2이므로 △ABQ`:`△AQC=1`:`2 ∴ △AQC= △ABC= _36=24(cmÛ`) 또 APÓ：PCÓ=2：1이므로 △AQP`:`△PQC=2`:`1 ∴ △PQC= △AQC= _24=8(cmÛ`) 2 1+2 1 2+1 ;3@; ;3!; 8`cmÛ` A D 03 ACÓ를 그으면 ADÓBCÓ이므로 △ AED=△ACD=△ABC △ AEC=△DEC ∴ △ABE =△ABC-△AEC =△AED-△DEC B E C 이렇게 풀어요 01 ACÓ=BDÓ이고 AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ이므로 4x+3=5x-1 ∴ x=4 =17-8=9(cmÛ`) 9`cmÛ` ∴ ACÓ=2AOÓ=2_(4_4+3)=38 38 II. 사각형의 성질 31 기본서(중2-2)_해설_2-2단원(26~35)_6.indd 31 2018. 12. 13. 오후 5:52 02 마름모의 네 변의 길이는 모두 같으므로 DCÓ=BCÓ=7`cm ∴ x=7 ABÓDCÓ이므로 08 ① 평행사변형`－`평행사변형 ③ 직사각형`－`마름모 ⑤ 등변사다리꼴`－`마름모 ∠DCA=∠BAC=55ù(엇각) ABCD가 마름모이므로 ACÓ⊥BDÓ 09 AEÓDBÓ이므로 △DAB=△DEB ∴ ABCD =△DAB+△DBC ②, ④ 36`cmÛ` =△DEB+△DBC =△DEC = ;2!; _(3+9)_6 =36(cmÛ`) 10 ADÓBCÓ이므로 △ABE=△DBE BDÓEFÓ이므로 △DBE=△DBF ABÓDCÓ이므로 △DBF=△DAF ∴ △ABE=△DBE=△DBF=△DAF ③ 11 ADÓBCÓ이므로 △ DBC=△ABC=52`cmÛ` ∴ △DOC =△DBC-△OBC =52-36=16(cmÛ`) 16`cmÛ` ②, ④ 12 △BCD에서 CBÓ=CDÓ이므로 ∠CDB= _(180ù-116ù)=32ù ;2!; 이때 ∠AFB=∠DFE(맞꼭지각)이므로 ∠ x=∠DFE=180ù-(90ù+32ù)=58ù 58ù B E 2`cm C F 13 △BFE에서 BEÓ=BFÓ이므로 ∠BEF=∠BFE 이때 ∠BEF=∠FCD(엇각), ∠BFE=∠CFD(맞꼭지각)이므로 ∠CFD=∠FCD 즉, △DFC는 DFÓ=DCÓ인 이등변삼각형이므로 CDÓ=DFÓ=BDÓ-BFÓ=13-5=8(cm) ABÓ=CDÓ=8`cm이므로 AEÓ=ABÓ-BEÓ=8-5=3(cm) 3`cm 14 ABCD는 정사각형이고 △PBC는 정삼각형이므로 △ABP와 △PCD는 각각 BAÓ=BPÓ, CPÓ=CDÓ인 이등 변삼각형이다. 이때 ∠BPC=∠PBC=∠BCP=60ù이므로 ∠ ABP=∠PCD=90ù-60ù=30ù ∴ ∠APB=∠DPC= _(180ù-30ù)=75ù ;2!; ∴ ∠APD=360ù-(75ù+60ù+75ù)=150ù 150ù ∴ ∠DOC=90ù △OCD에서 ∠ CDO=180ù-(90ù+55ù)=35ù ∴ y=35 x=7, y=35 03 △ABE와 △BCF에서 ABÓ=BCÓ, BEÓ=CFÓ Ó, ∠ABE=∠BCF=90ù 이므로 △ABEª△BCF(SAS 합동) 이때 ∠AEB=180ù-118ù=62ù이므로 △ABE에서 ∠ EAB=180ù-(62ù+90ù)=28ù 따라서 △ABEª△BCF에서 ∠ GBE=∠EAB=28ù 28ù 04 ② 평행사변형에서 두 대각선의 길이가 같으므로 직사각 형이다. ④ 평행사변형에서 한 내각이 직각이므로 직사각형이다. 05 점 D에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 7`cm A D F라 하면 EFÓ=ADÓ=7`cm △ ABE와 △DCF에서 ∠ AEB=∠DFC=90ù, ABÓ=DCÓ, ∠ABE=∠DCF 이므로 △ABEª△DCF (RHA 합동) ∴ CFÓ=BEÓ=2`cm ∴ BCÓ =BEÓ+EFÓ+FCÓ =2+7+2=11(cm) 11`cm 06 ① 다른 한 쌍의 대변이 평행하다. ②, ⑤ 이웃하는 두 변의 길이가 같다. 또는 두 대각선이 서 로 수직이다. 다. ③, ④ 한 내각이 직각이다. 또는 두 대각선의 길이가 같 ② 07 ⑴ ㄱ, ㄷ, ㅂ ⑵ ㄱ, ㄴ 32 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_2-2단원(26~35)_6.indd 32 2018. 12. 13. 오후 5:52 이므로 △OBEª△OCF(ASA 합동) 이므로 BGÓ=CGÓ ∴ ABÓ=BGÓ yy ㉡ 15 △OBE와 △OCF에서 OBÓ=OCÓ, ∠OBE=∠OCF=45ù, ∠ BOE=90ù-∠EOC=∠COF 이때 ACÓ⊥BDÓ이고 OBÓ =OCÓ= ACÓ ;2!; = ;2!; _8=4(cm) 이므로 색칠한 부분의 넓이는 △ OEC+△OCF =△OEC+△OBE =△OBC = ;2!; _4_4=8(cmÛ`) 8`cmÛ` 16 점 D를 지나고 ABÓ에 평행한 직 선을 그어 BCÓ와 만나는 점을 E라 A D 하면 ABED는 평행사변형이 B E C 므로 ABÓ=DEÓ BEÓ=ADÓ= BCÓ ;2!; ∴ ECÓ=BCÓ-BEÓ= BCÓ ;2!; 즉, ECÓ=BEÓ=ADÓ이고 ABÓ=DCÓ=ADÓ이므로 DEÓ=ECÓ=DCÓ 따라서 △DEC는 정삼각형이므로 ∠ B=∠DEC=60ù(동위각) 60ù 17 MNÓ을 그으면 ADÓ=2ABÓ에서 ABÓ= ADÓ=AMÓ이므로 ;2!; ABNM은 정사각형이다. ∴ PMÓ=PNÓ, PMÓ⊥PNÓ 2 cm P Q A B M N D C 같은 방법으로 MNCD도 정사각형이므로 QMÓ=QNÓ, QMÓ⊥QNÓ 따라서 PNQM은 정사각형이고, PQÓ=MNÓ=ABÓ=2`cm이므로 PNQM= _2_2=2(cmÛ`) 2`cmÛ` ;2!; 18 ⑴ △ABH와 △DFH에서 ABÓ=DCÓ=DFÓ, ∠HBA=∠HFD (엇각), ∠ BAH=∠FDH (엇각) 이므로 △ABHª△DFH (ASA 합동) ∴ AHÓ=DHÓ 그런데 ADÓ=2ABÓ이므로 ABÓ=AHÓ yy ㉠ 같은 방법으로 △ ABGª△ECG(ASA 합동) ㉠, ㉡에서 ABÓ=AHÓ=BGÓ 따라서 ABGH는 AHÓBGÓ, AHÓ=BGÓ이므로 평 행사변형이고, 이때 이웃하는 두 변의 길이가 같으므 로 마름모이다. ⑵ ABGH는 마름모이고, 마름모의 두 대각선은 서로 수직이므로 ∠FPE=90ù ⑶ △ABH에서 ABÓ=AHÓ이므로 ∠ AHB=∠ABH=40ù ∴ ∠HAB=180ù-(40ù+40ù)=100ù ∴ ∠HDF=∠HAB=100ù(엇각) ⑴ 마름모 ⑵ 90ù ⑶ 100ù 19 BMÓ：MQÓ=2：3이므로 △ PBM：△PMQ=2：3에서 6：△PMQ=2：3 2△PMQ=18 ∴ △PMQ=9(cmÛ`) 또 PCÓAQÓ이므로 △ APC=△QPC ∴ APMC =△APC+△PMC =△QPC+△PMC =△PMQ =9`cmÛ` 9`cmÛ` 20 △ACD= ;2!; ABCD = _60=30(cmÛ`) ;2!; APÓ：PCÓ=2：1이므로 △ DAP：△DPC=2：1 ∴ △DPC = △ACD 1 2+1 = ;3!; _30=10(cmÛ`) 또 DQÓ：QPÓ=3：2이므로 △ CDQ：△CQP=3：2 ∴ △CQP = △DPC 2 3+2 = ;5@; _10=4(cmÛ`) 4`cmÛ` II. 사각형의 성질 33 기본서(중2-2)_해설_2-2단원(26~35)_6.indd 33 2018. 12. 13. 오후 5:52 21 ANCM에서 AMÓNCÓ, AMÓ=NCÓ이므로 ANCM은 평행사변형이다. ACÓ를 긋고 ACÓ와 BDÓ의 교점을 6�cm A B 8�cm M F E O N D C 이렇게 풀어요 O라 하자. △AOE와 △COF에서 OAÓ=OCÓ, ∠OAE=∠OCF(엇각), ∠ AOE=∠COF(맞꼭지각) 따라서 △AOEª△COF(ASA 합동)이므로 △ AOE=△COF ∴ AEFM =△AOE+AOFM =△COF+AOFM =△ACM= △ACD ;2!; = _ ;2!; ;2!; ABCD ABCD = ;4!; = ;4!; _(6_8)=12(cmÛ`) 12`cmÛ` 22 △ABO`:`△OBC=6`:`12=1`:`2이므로 AOÓ`:`OCÓ=1`:`2 ∴ △AOD`:`△DOC=1`:`2 yy ㉠ ADÓBCÓ에서 △DBC=△ABC이므로 △ DOC =△DBC-△OBC =△ABC-△OBC =△ABO =6`cmÛ` ㉠에서 △AOD= △DOC= _6=3(cmÛ`) ;2!; ∴ ABCD =△ABO+△OBC+△DOC+△AOD ;2!; =6+12+6+3=27(cmÛ`) 27`cmÛ` 1-1 1 단계 △ABP와 △ADP에서 ABÓ=ADÓ, APÓ는 공통, ∠BAP=∠DAP=45ù 이므로 △ABPª△ADP(SAS 합동) 2 단계 ∴ ∠ABP=∠ADP 3 단계 △APD에서 삼각형의 외각의 성질에 의해 45ù+∠ADP=68ù ∴ ∠ADP=23ù ∴ ∠x=∠ADP=23ù 23ù 2-1 1 단계 △ACD= ;2!; ABCD= _60=30(cmÛ`) ;2!; △ ACD에서 DEÓ：ECÓ=2：1이므로 △ AED = △ACD 2 2+1 = ;3@; _30=20(cmÛ`) 2 단계 △AED에서 AFÓ：FEÓ=3：2이므로 △ AFD = △AED 3 3+2 = ;5#; _20=12(cmÛ`) 3 단계 △ AOD = ABCD ;4!; = ;4!; _60=15(cmÛ`) 4 단계 ∴ △AOF =△AOD-△AFD =15-12=3(cmÛ`) 3`cmÛ` 3 1 단계 점 D를 지나고 ABÓ에 평 행한 직선이 BCÓ와 만나는 (cid:34) (cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:37) (cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177) 점을 E라 하면 ABED 는 평행사변형이므로 (cid:35) (cid:38) (cid:36) BEÓ=ADÓ=5`cm, DEÓ=ABÓ=8`cm 2 단계 또 ∠C=∠B=180ù-∠A=180ù-120ù=60ù, ∠DEC=∠B=60ù(동위각)이므로 △DEC는 정 삼각형이다. ∴ DCÓ=CEÓ=DEÓ=8`cm BCÓ=BEÓ+ECÓ=5+8=13(cm) 3 단계 ∴ (ABCD의 둘레의 길이) =8+13+8+5=34(cm) 34`cm 단계 1 2 3 채점 요소 BEÓ, DEÓ의 길이 구하기 DCÓ, BCÓ의 길이 구하기 ABCD의 둘레의 길이 구하기 배점 3점 3점 1점 서술형 대비 문제 본문 98 ~ 99쪽 1-1 23ù 5 32`cm 2-1 3`cmÛ` 6 14`cmÛ` 3 34`cm 4 마름모 34 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_2-2단원(26~35)_6.indd 34 2018. 12. 13. 오후 5:52 단계 1 2 4 1 단계 △ABP와 △ADQ에서 APÓ=AQÓ, ∠BPA=∠DQA=90ù ∠ABP=∠ADQ이므로 ∠ BAP =90ù-∠ABP=90ù-∠ADQ=∠DAQ 따라서 △ABPª△ADQ(ASA 합동)이므로 ABÓ=ADÓ 6 1 단계 BDÓAEÓ이므로 △ BDA=△BDE 2 단계 ∴ ABCD =△BCD+△BDA =△BCD+△BDE 2 단계 즉, ABCD는 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평 3 단계 또 BDÓ가 ABCD의 넓이를 이등분하므로 행사변형이므로 마름모이다. 마름모 △ BDE =△BDA 채점 요소 △ABPª△ADQ임을 이용하여 ABÓ=ADÓ임 을 알기 평행사변형이 마름모가 되는 조건 알기 4 단계 ∴ △ODE =△BDE-△BDO 5 1 단계 등변사다리꼴의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사 각형은 마름모이므로 EFGH는 마름모이다. 2 단계 따라서 EFGH의 둘레의 길이는 4_8=32(cm) 32`cm 단계 1 2 채점 요소 EFGH가 마름모임을 알기 EFGH의 둘레의 길이 구하기 단계 채점 요소 △BDA=△BDE임을 알기 1 2 3 4 ABCD의 넓이 구하기 △BDE의 넓이 구하기 △ODE의 넓이 구하기 =△BCE =50`cmÛ` = ;2!; ABCD = ;2!; _50 =25(cmÛ`) =25-11 =14(cmÛ`) 배점 4점 3점 배점 4점 2점 14`cmÛ` 배점 2점 2점 2점 1점 기본서(중2-2)_해설_2-2단원(26~35)_6.indd 35 2018. 12. 13. 오후 5:52 II. 사각형의 성질 35 III | 도형의 닮음과 피타고라스 정리 ⑶ 닮음비가 2：3이므로 부피의 비는 2Ü`：3Ü`=8：27 ⑴ 2 : 3 ⑵ 4 : 9 ⑶ 8 : 27 1 도형의 닮음 01 닮은 도형 개념원리 확인하기 본문 104쪽 핵심문제 익히기 확인문제 본문 105 ~ 107쪽 01 ⑴ 점 E ⑵ FGÓ ⑶ ∠B ⑷ 1：2 ⑸ 8`cm ⑹ 80ù 1 GHÓ, 면 BCD `cm 02 ⑴ RUÓ ⑵ 면 PSTQ ⑶ ;2(; 03 ⑴ 4`:`5 ⑵ 4`:`5 ⑶ 16`:`25 04 ⑴ 2`:`3 ⑵ 4`:`9 ⑶ 8`:`27 2 ⑴ 5：3 ⑵ ADÓ=10`cm, EFÓ= `cm :£5¤: ⑶ ∠C=70ù, ∠E=85ù 4 ⑴ 5：3 ⑵ 12p`cm 5 30`cmÛ` 이렇게 풀어요 01 ⑷ 닮음비는 대응변의 길이의 비와 같으므로 ADÓ：EHÓ=6：12=1：2 ⑸ 닮음비가 1：2이므로 ABÓ：EFÓ=1：2에서 4：EFÓ=1：2 ∴ EFÓ=8(cm) ⑹ ∠E의 대응각은 ∠A이므로 ∠E=∠A=80ù ⑴ 점 E ⑵ FGÓ ⑶ ∠B ⑷ 1 : 2 ⑸ 8`cm ⑹ 80ù 02 ⑶ 닮음비는 대응하는 모서리의 길이의 비와 같으므로 EFÓ：TUÓ=4：6=2：3 DEÓ：STÓ=2：3에서 3：STÓ=2：3 2STÓ=9 ∴ STÓ= (cm) ;2(; ⑴ RUÓ ⑵ 면 PSTQ ⑶ `cm ;2(; 3 :¢3£: 6 9`:`16 이렇게 풀어요 1 CDÓ에 대응하는 모서리는 GHÓ이고, 면 FGH에 대응하는 GHÓ, 면 BCD 면은 면 BCD이다. 2 ⑴ 닮음비는 대응변의 길이의 비와 같으므로 BCÓ：FGÓ=15：9=5：3 ⑵ 닮음비가 5：3이므로 ADÓ：EHÓ=5：3에서 ADÓ：6=5：3, 3ADÓ=30 ∴ ADÓ=10(cm) 또 ABÓ：EFÓ=5：3에서 12：EFÓ=5：3, 5EFÓ=36 ∴ EFÓ= (cm) :£5¤: ⑶ ∠C의 대응각은 ∠G이므로 ∠C=∠G=70ù ∠E의 대응각은 ∠A이므로 ∠E=∠A=85ù ⑴ 5 : 3 ⑵ ADÓ=10`cm, EFÓ= `cm :£5¤: ⑶ ∠C=70ù, ∠E=85ù 03 ⑴ 닮음비는 대응변의 길이의 비와 같으므로 ABÓ：DEÓ=8：10=4：5 3 닮은 두 입체도형에서 닮음비는 대응하는 모서리의 길이 의 비와 같으므로 ⑵ 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같으므로 4：5이다. ABÓ：A'B'Ó=4：6=2：3 ⑶ 닮음비가 4：5이므로 넓이의 비는 4Û`：5Û`=16：25 즉, 닮음비가 2：3이므로 BEÓ：B'E'Ó=2：3에서 04 ⑴ 닮은 두 입체도형에서 닮음비는 대응하는 모서리의 길 또 BCÓ：B'C'Ó=2：3에서 ⑴ 4 : 5 ⑵ 4 : 5 ⑶ 16 : 25 x：8=2：3, 3x=16 ∴ x= ;;Á3¤;; 이의 비와 같으므로 8：12=2：3 ⑵ 닮음비가 2：3이므로 겉넓이의 비는 2Û`：3Û`=4：9 36 정답과 풀이 6：y=2：3, 2y=18 ∴ y=9 ∴ x+y= 9 ;;Á3¤;;+ =;;¢3£;; 43 3 기본서(중2-2)_해설_3-1단원(36~45)_6.indd 36 2018. 12. 13. 오후 5:52 즉, 20p`:`(원기둥 B의 밑면의 둘레의 길이)=5`:`3이 ㄴ, ㅁ, ㅂ 4 ⑴ 두 원기둥 A와 B의 높이의 비가 25：15=5：3이므 로 닮음비는 5`:`3이다. 따라서 밑면의 둘레의 길이의 비는 5：3이다. ⑵ 원기둥 A의 밑면의 둘레의 길이는 2p_10=20p(cm) 므로 = 20p_3 5 다른 풀이 (원기둥 B의 밑면의 둘레의 길이) =12p(cm) ⑴ 5 : 3 ⑵ 12p`cm ⑵ 원기둥 B의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 10：r=5：3에서 5r=30 ∴ r=6 따라서 원기둥 B의 밑면의 반지름의 길이가 6`cm이므 로 원기둥 B의 밑면의 둘레의 길이는 2p_6=12p(cm) 5 ABCD와 A'BC'D'의 닮음비는 BCÓ`:`BC'Ó=9`:`6=3`:`2이므로 ABCD`:`A'BC'D' =3Û``:`2Û`=9`:`4 즉, ABCD`:`24=9`:`4에서 4ABCD=216 ∴ ABCD=54(cmÛ`) ∴ (색칠한 부분의 넓이) =54-24=30(cmÛ`) 6 두 원뿔 A와 B의 부피의 비가 27p：64p=27：64=3Ü`：4Ü` 이므로 닮음비는 3：4이다. 따라서 두 원뿔 A와 B의 겉넓이의 비는 3Û`：4Û`=9：16 9 : 16 01 ㄴ, ㅁ, ㅂ 02 ③ 04 4p`cmÛ` 05 ⑴ 6`cm ⑵ 160`cmÛ` 03 x=3, y=60 06 8000개 이렇게 풀어요 ㄱ. 01 다음의 경우에는 닮은 도형이 아니다. (cid:23)(cid:17)(cid:177) (cid:25)(cid:17)(cid:177) ㄷ. (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:19) (cid:20) ㄹ. (cid:21) (cid:19) (cid:22) (cid:19) 02 ① ∠B의 대응각은 ∠G이므로 ∠B=∠G ② ∠F의 대응각은 ∠A이므로 ∠F=∠A=85ù ③, ⑤ 닮음비는 대응변의 길이의 비와 같으므로 ABÓ：FGÓ=12：9=4：3 즉, 닮음비가 4：3이므로 BCÓ：GHÓ=4：3에서 3BCÓ=4GHÓ ④ 닮음비가 4：3이므로 DEÓ：IJÓ=4：3에서 DEÓ`:`6=4：3 3DEÓ=24 ∴ DEÓ=8(cm) ③ 03 닮은 두 입체도형에서 닮음비는 대응하는 모서리의 길이의 x：4=3：4, 4x=12 ∴ x=3 ∠B'A'C'의 대응각은 ∠BAC이므로 ∠B'A'C'=∠BAC=60ù ∴ y=60 x=3, y=60 04 두 원기둥 A와 B의 닮음비는 높이의 비와 같으므로 6：9=2：3 원기둥 A의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 r：3=2：3에서 3r=6 ∴ r=2 원기둥 A의 밑면의 넓이는 p_2Û`=4p(cmÛ`) 4p`cmÛ` 05 ⑴ 두 원의 닮음비가 3：2이므로 넓이의 비는 3Û`：2Û`=9：4 두 원의 넓이의 합이 52p`cmÛ`이므로 큰 원의 넓이는 9 9+4 _52p=36p(cmÛ`) 따라서 큰 원의 반지름의 길이는 6`cm이다. III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 37 비와 같으므로 VAÓ：V'A'Ó=6：8=3：4 30`cmÛ` 즉, 닮음비가 3：4이므로 ABÓ：A'B'Ó=3：4에서 소단원 핵심문제 본문 108쪽 따라서 원기둥 A의 밑면의 반지름의 길이가 2`cm이므로 기본서(중2-2)_해설_3-1단원(36~45)_6.indd 37 2018. 12. 13. 오후 5:52 ⑵ 두 직육면체 A와 B의 닮음비를 m：n이라 하면 부피 ⑶ △ABC와 △DEA에서 의 비는 mÜ` `:`nÜ` 이므로 mÜ`：nÜ` =54：128 =27：64=3Ü`：4Ü` ∴ m：n=3：4 따라서 겉넓이의 비는 3Û`：4Û`=9：16이므로 직육면체 B의 겉넓이를 x`cmÛ`라 하면 9：16=90：x, 9x=1440 ∴ x=160 따라서 직육면체 B의 겉넓이는 160`cmÛ`이다. ⑴ 6`cm ⑵ 160`cmÛ` 06 두 쇠공의 지름의 길이는 각각 100`cm, 5`cm이므로 닮 음비는 100：5=20：1 을 8000개 만들 수 있다. 8000개 ABÓ：DEÓ=BCÓ：EAÓ=ACÓ：DAÓ=3：2 이므로 △ABC»△DEA(SSS 닮음) ⑴ △ABC»△ADB(SAS 닮음) ⑵ △ABC»△AED(AA 닮음)`` ⑶ △ABC»△DEA(SSS 닮음)` 03 ⑴ c, x, ax ⑵ b, y, ay ⑶ h, y, xy 04 ⑴ ABÓ Û`=BHÓ_BCÓ이므로 ⑵ ACÓ Û=CHÓ_CBÓ이므로 xÛ`=4_16=64 ∴ x=8 xÛ`=9_(9+16)=225 ∴ x=15 ⑶ AHÓ Ó Û=HBÓ_HCÓ이므로 따라서 부피의 비는 20Ü`：1Ü`=8000：1이므로 작은 쇠공 6Û`=x_4 ∴ x=9 ⑴ 8 ⑵ 15 ⑶ 9 02 삼각형의 닮음 조건 개념원리 확인하기 본문 111쪽 핵심문제 익히기 확인문제 본문 112 ~ 114쪽 1 ㄱ과 ㅁ(AA 닮음), ㄴ과 ㅂ(SAS 닮음), 01 ⑴ DEÓ, CAÓ, 1, 3, △FDE, SSS ⑵ ACÓ, 2, 1, ∠D, △DEF, SAS 02 ⑴ △ABC»△ADB(SAS 닮음) ⑵ △ABC»△AED(AA 닮음) ⑶ △ABC»△DEA(SSS 닮음) 03 ⑴ c, x, ax ⑵ b, y, ay ⑶ h, y, xy 04 ⑴ 8 ⑵ 15 ⑶ 9 이렇게 풀어요 01 ⑴ DEÓ, CAÓ, 1, 3, △FDE, SSS ` ⑵ ACÓ, 2, 1, ∠D, △DEF, SAS 02 ⑴ △ABC와 △ADB에서 ABÓ：ADÓ=ACÓ：ABÓ=3：2, ∠A는 공통 이므로 △ABC»△ADB(SAS 닮음) ⑵ △ABC와 △AED에서 ∠ABC=∠AED, ∠A는 공통 이므로 △ABC»△AED(AA 닮음) 38 정답과 풀이 ㄷ과 ㄹ(SSS 닮음) 2 ⑴ 6 ⑵ ;2(; 4 ;2&; `cm 이렇게 풀어요 3 ⑴ 9 ⑵ :ª3°: 5 ⑴ 4 ⑵ 6 ⑶ 9 1 ㄱ과 ㅁ: ㄱ에서 나머지 한 내각의 크기는 180ù-(45ù+70ù)=65ù 즉, 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 65ù, 45ù로 같 으므로 두 삼각형은 AA 닮음이다. ㄴ과 ㅂ: 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 3：12=4：16=1：4 로 같고 그 끼인각의 크기가 70ù로 같으므로 두 삼각형은 SAS 닮음이다. ㄷ과 ㄹ: 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 5：10=6：12=7：14=1：2 로 같으므로 두 삼각형은 SSS 닮음이다. ㄱ과 ㅁ(AA 닮음), ㄴ과 ㅂ(SAS 닮음), ㄷ과 ㄹ(SSS 닮음) 기본서(중2-2)_해설_3-1단원(36~45)_6.indd 38 2018. 12. 13. 오후 5:52 2 ⑴ (cid:34) (cid:89) (cid:18)(cid:19) (cid:26) (cid:35) (cid:36) (cid:35) (cid:38) (cid:21) (cid:37) (cid:25) (cid:23) △ABC와 △EBD에서 ∠B는 공통, ABÓ：EBÓ=BCÓ：BDÓ=3：2 ∴ △ABC»△EBD(SAS 닮음) 따라서 닮음비가 3：2이므로 ACÓ：EDÓ=3：2에서 x：4=3：2 2x=12 ∴ x=6 ⑵ (cid:34) (cid:18)(cid:19) (cid:26) (cid:35) (cid:89) (cid:23) (cid:35) (cid:36) (cid:23) (cid:37) (cid:20) (cid:36) △ABC와 △BDC에서 ∠C는 공통, ACÓ：BCÓ=BCÓ：DCÓ=2：1 ∴ △ABC»△BDC(SAS 닮음) 따라서 닮음비가 2：1이므로 ABÓ：BDÓ=2：1에서 9：x=2：1, 2x=9 ∴ x= ;2(; 3 ⑴ A 6 B 3+x A 3 D C 6 B △ABC와 △ADB에서 ∠A는 공통, ∠ACB=∠ABD ∴ △ABC»△ADB(AA 닮음) 따라서 ABÓ：ADÓ=ACÓ：ABÓ이므로 6：3=(3+x)：6 3(3+x)=36, 3x=27 ∴ x=9 ⑵ A 5 B x C A △ABC와 △DAC에서 D 5 3 C ∠C는 공통, ∠ABC=∠DAC ∴ △ABC»△DAC(AA 닮음) 따라서 ACÓ：DCÓ=BCÓ：ACÓ Ó이므로 5：3=x：5, 3x=25 4 △ABD와 △ACE에서 ∠A는 공통, ∠ADB=∠AEC=90ù ∴ △ABD»△ACE(AA 닮음) 따라서 ABÓ：ACÓ=ADÓ：AEÓ이므로 8：7=4：AEÓ, 8AEÓ=28 ∴ AEÓ= (cm) ;2&; ;2&; `cm 5 ⑴ xÛ`=2_(6+2)=16 ∴ x=4 ⑵ xÛ`=(15-3)_3=36 ∴ x=6 ⑶ 15Û`=x_25, 225=25x ∴ x=9 ⑴ 4 ⑵ 6 ⑶ 9 ⑴ 6 ⑵ ;2(; 계산력 강화하기 본문 115쪽 01 ⑴ △ACE»△BDE(SAS 닮음) ⑵ △ABC»△DAC(SSS 닮음) ⑶ △ABC»△AED(AA 닮음) 02 ⑴ △ABC»△ADB(SAS 닮음), 12 ⑵ △ABC»△ACD(AA 닮음), 10 ⑶ △ABC»△EDC(SAS 닮음), 2 ⑷ △ABC»△BDC(AA 닮음), :Á5¤: ⑸ △ABC»△AED(SAS 닮음), 14 ⑹ △ABC»△AED(AA 닮음), :ª2»: 03 ⑴ ;2(; ⑵ 8 ⑶ 12 ⑷ ;;ª5¢;; 이렇게 풀어요 01 ⑴ △ACE와 △BDE에서 CEÓ：DEÓ=6`:`18=1`:`3, AEÓ：BEÓ=5`:`15=1：3, ∠AEC=∠BED(맞꼭지각) ∴ △ACE»△BDE(SAS 닮음) ∴ x= :ª3°: ⑴ 9 ⑵ :ª3°: III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 39 기본서(중2-2)_해설_3-1단원(36~45)_6.indd 39 2018. 12. 13. 오후 5:52 ⑵ △ABC와 △DAC에서 ⑹ △ABC와 △AED에서 ∴ △ABC»△DAC(SSS 닮음) (8+x)：10=(10+8)：8, 8(8+x)=180 BCÓ`:`DBÓ=2`:`1에서 x：6=2：1 ∴ x=12 ⑵ xÛ`=(20-4)_4=64 ∴ x=8 ∠A는 공통, ∠ACB=∠ADE ∴ △ABC»△AED(AA 닮음) 따라서 ACÓ：ADÓ=ABÓ：AEÓ이므로 8x=116 ∴ x= :ª2»: ⑴ △ABC»△ADB(SAS 닮음), 12 ⑵ △ABC»△ACD(AA 닮음), 10 ⑶ △ABC»△EDC(SAS 닮음), 2 ⑷ △ABC»△BDC(AA 닮음), :Á5¤: ⑸ △ABC»△AED(SAS 닮음), 14 ⑹ △ABC»△AED(AA 닮음), :ª2»: 03 ⑴ 10Û`=8(8+x) 100=64+8x ∴ x= ;2(; ⑶ 8Û`=4(x+4) 64=4x+16 ∴ x=12 ⑷ 8_6=x_10 ∴ x= :ª5¢: ⑴ ⑵ 8 ⑶ 12 ⑷ ;2(; ;;ª5¢;; 소단원 핵심문제 본문 116~117쪽 01 ③ 02 ⑴ 10 ⑵ ⑶ ⑷ 10 :ª4°: :£4°: 03 ⑴ △AED, △CDF ⑵ `cm :£3ª: 04 `cm 05 :Á2°: :ª3ª: 06 ⑴ △BAC, △EAD, △BFD ⑵ 8`cm `cm 07 ⑴ :ª5¥: ⑵ 24 08 180`cmÛ` ABÓ：DAÓ=16`:`8=2`:`1, ACÓ：DCÓ=10`:`5=2`:`1, BCÓ：ACÓ=20`:`10=2：1 ⑶ △ABC와 △AED에서 ∠A는 공통, ∠ACB=∠ADE=65ù ∴ △ABC»△AED(AA 닮음) ⑴ △ACE»△BDE(SAS 닮음) ⑵ △ABC»△DAC(SSS 닮음)` ⑶ △ABC»△AED(AA 닮음) ` 02 ⑴ △ABC와 △ADB에서 ABÓ：ADÓ=8：(16-12)=2：1, ACÓ：ABÓ=16：8=2：1, ∠A는 공통 ∴ △ABC»△ADB(SAS 닮음) 따라서 닮음비가 2`:`1이므로 ⑵ △ABC와 △ACD에서 ∠A는 공통, ∠ABC=∠ACD ∴ △ABC»△ACD(AA 닮음) 따라서 BCÓ：CDÓ Ó=ACÓ：ADÓ이므로 15：x=12：8, 12x=120 ∴ x=10 ⑶ △ABC와 △EDC에서 ACÓ：ECÓ=(5+4)：3=3：1, BCÓ：DCÓ=12：4=3：1, ∠C는 공통 ∴ △ABC»△EDC(SAS 닮음) 따라서 닮음비가 3`:`1이므로 ABÓ：EDÓ=3`:`1에서 6：x=3：1, 3x=6 ∴ x=2 ⑷ △ABC와 △BDC에서 ∠C는 공통, ∠BAC=∠DBC ∴ △ABC»△BDC(AA 닮음) 따라서 ACÓ：BCÓ=ABÓ：BDÓ이므로 10：4=8：x, 10x=32 ∴ x= :Á5¤: ⑸ △ABC와 △AED에서 ABÓ：AEÓ=(6+4)：5=2：1, ACÓ：ADÓ=(5+7)：6=2：1, ∠A는 공통 이렇게 풀어요 ∴ △ABC»△AED(SAS 닮음) 따라서 닮음비가 2`:`1이므로 01 ③ △ABC와 △DEF에서 ∠B=∠E=45ù, BCÓ：EDÓ=2：1에서 x：7=2：1 ABÓ：DEÓ=BCÓ：EFÓ=4`:`3 ∴ △ABC»△DEF(SAS 닮음) ③ ∴ x=14 40 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_3-1단원(36~45)_6.indd 40 2018. 12. 13. 오후 5:52 02 ⑴ △ACB와 △ECD에서 ABÓDEÓ이므로 ∠CAB=∠CED(엇각), ∠CBA=∠CDE(엇각) 04 △ABC와 △MBD에서 ∠B는 공통, ∠BAC=∠BMD=90ù ∴ △ACB»△ECD(AA 닮음) ∴ △ABC»△MBD(AA 닮음) 따라서 ABÓ：EDÓ=ACÓ：ECÓ이므로 따라서 ABÓ：MBÓ=ACÓ：MDÓ이므로 5：x=2：4, 2x=20 ∴ x=10 16：10=12：DMÓ, 16DMÓ=120 ⑵ △ABC와 △EDA에서 ADÓBCÓ, ABÓDEÓ이므로 ∠ACB=∠EAD(엇각), ∠BAC=∠DEA(엇각) ∴ △ABC»△EDA(AA 닮음) 따라서 ABÓ：EDÓ=ACÓ：EAÓ이므로 14：x=16：10, 16x=140 ∴ x= :£4°: ⑶ △ABC와 △DAC에서 ∠ABC=∠DAC, ∠C는 공통 ∴ △ABC»△DAC(AA 닮음) 따라서 ACÓ：DCÓ=BCÓ：ACÓ이므로 5：4=x：5, 4x=25 ∴ x= :ª4°: ⑷ △ABC와 △EBD에서 ∠B는 공통, ABÓ：EBÓ=BCÓ：BDÓ=2：1 ∴ △ABC»△EBD(SAS 닮음) 따라서 닮음비가 2`:`1이므로 ACÓ`:`EDÓ=2`:`1에서 x`:`5=2`:`1 ∴ x=10 ⑴ 10 ⑵ ⑶ ⑷ 10 :£4°: :ª4°: 03 ⑴ △AED와 △BEF에서 ADÓBCÓ이므로 ∠E는 공통, ∠EAD=∠EBF(동위각) ∴ △AED»△BEF(AA 닮음) 또 △CDF와 △BEF에서 AEÓDCÓ이므로 ∠CFD=∠BFE(맞꼭지각), ∠CDF=∠BEF(엇각) ∴ △CDF»△BEF(AA 닮음) ⑵ ⑴에서 △BEF»△CDF이므로 BEÓ`:`CDÓ=BFÓ`:`CFÓ에서 BEÓ`:`4=5`:`3, 3BEÓ=20 ∴ BEÓ= (cm) :ª3¼: 이때 ABÓ=DCÓ=4`cm이므로 AEÓ=ABÓ+BEÓ=4+ = :ª3¼: :£3ª: (cm) ∴ DMÓ= (cm) :Á2°: :Á2°: `cm 05 △ABE와 △ADF에서 ∠AEB=∠AFD=90ù ABCD는 평행사변형이므로 ∠ABE=∠ADF ∴ △ABE»△ADF(AA 닮음) 따라서 ABÓ：ADÓ=AEÓ：AFÓ이므로 8：12=AEÓ：11, 12AEÓ=88 ∴ AEÓ= (cm) :ª3ª: :ª3ª: `cm 06 ⑴ Ú △EFC와 △BAC에서 ∠EFC=∠BAC=90ù, ∠C는 공통 ∴ △EFC»△BAC(AA 닮음) Û △EFC와 △EAD에서 ∠EFC=∠EAD=90ù, ∠E는 공통 ∴ △EFC»△EAD(AA 닮음) Ü △BAC와 △BFD에서 ∠BAC=∠BFD=90ù, ∠B는 공통 ∴ △BAC»△BFD(AA 닮음) Ú~Ü에 의해 △EFC»△BAC»△EAD»△BFD ⑵ ⑴에서 △EFC»△BAC이므로 ECÓ：BCÓ=CFÓ：CAÓ에서 20：15=CFÓ：6, 15 CFÓ=120 ∴ CFÓ=8(cm) 07 ⑴ 4Û`=x_5에서 x= :Á5¤: 5_y=3_4에서 y= :Á5ª: ∴ x+y= + = :Á5¤: :Á5ª: :ª5¥: ⑵ 12Û`=x_16에서 x=9 yÛ`=9_(9+16)=225 ∴ y=15 ⑴ △BAC, △EAD, △BFD ⑵ 8`cm ⑴ △AED, △CDF ⑵ `cm :£3ª: ∴ x+y=9+15=24 ⑴ ⑵ 24 :ª5¥: III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 41 기본서(중2-2)_해설_3-1단원(36~45)_6.indd 41 2018. 12. 13. 오후 5:52 중단원 마무리 본문 118 ~ 121쪽 부피의 비는 2Ü``:`3Ü`=8`:`27 03 ABÓ：A'B'Ó=8：4=2：1이므로 닮음비는 2：1이다. ACÓ：A'C'Ó=2`:`1에서 x：5=2：1 ∴ x=10 ADÓ：A'D'Ó=2`:`1에서 14：y=2：1, 2y=14 ∴ y=7 ∴ x+y=10+7=17 17 04 닮은 두 삼각형에서 닮음비는 높이의 비와 같으므로 △ABC와 △DEF의 닮음비는 4`:`3이다. 따라서 넓이의 비는 4Û``:`3Û`=16`:`9이므로 △ABC`:`△DEF=16`:`9에서 48`:`△DEF=16`:`9 16△DEF=432 ∴ △DEF=27(cmÛ`) 27`cmÛ` 05 밑넓이의 비가 4`:`9=2Û``:`3Û`이므로 닮음비는 2`:`3이고 따라서 작은 원뿔의 부피를 x`cmÜ`라 하면 x`:`162=8`:`27, 27x=1296 ∴ x=48 따라서 작은 원뿔의 부피는 48`cmÜ`이다. ① 06 ㄱ과 ㅂ: 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 4`:`6=6`:`9=2`:`3으로 같고 그 끼인각의 크기가 70ù로 같으므로 △ABC»△QPR(SAS 닮음) ㄴ과 ㄹ: △KJL에서 ∠J=180ù-(75ù+80ù)=25ù 즉, 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 25ù, 75ù로 같 으므로 △DEF»△KJL(AA 닮음) ㄷ과 ㅁ: 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 6`:`3=4`:`2=8`:`4=2`:`1로 같으므로 △GHI»△OMN(SSS 닮음) ㄱ과 ㅂ(SAS 닮음), ㄴ과 ㄹ(AA 닮음), ㄷ과 ㅁ(SSS 닮음) 07 ① SSS 닮음 ② ∠B와 ∠E가 각각 ABÓ와 ACÓ, DEÓ와 DFÓ의 끼인각 이 아니므로 △ABC와 △DEF가 서로 닮은 도형이라 08 AHÓ Û`=6_24=144 ∴ AHÓ=12(cm) ∴ △ABC= _BCÓ_AHÓ ;2!; ;2!; = _(6+24)_12 =180(cmÛ`) 180`cmÛ` 02 ⑤ 03 17 04 27`cmÛ` 01 ㄹ 05 ① 06 ㄱ과 ㅂ(SAS 닮음), ㄴ과 ㄹ(AA 닮음), ㄷ과 ㅁ(SSS 닮음) 07 ② 11 27`m 09 ②, ④ 13 31 10 2`cm 14 54p 08 25 12 ④ 15 624`cmÜ` 16 25ù 17 15`cm 18 :° °5¢: `cm 19 ② 23 ① 20 :ª5¥: `cm 21 3`cm 22 16`m 24 ⑴ `cm ⑵ 15`cm 25 3 :ª2°: 26 6`cm 27 24`cmÛ` 28 150`cmÛ` 이렇게 풀어요 01 다음의 경우에는 닮은 도형이 아니다. ㄹ. (cid:23)(cid:17)(cid:177) (cid:18)(cid:17) (cid:23)(cid:17)(cid:177) (cid:25) (cid:23) (cid:23) ㄹ ABÓ：EFÓ=2：3에서 ABÓ：15=2：3, 3ABÓ=30 ∴ ABÓ=10(cm) ③ ∠F=∠B=80ù ④ ∠D=∠H=130ù 02 ① BCÓ：FGÓ=8：12=2：3이므로 닮음비는 2`:`3이다. ② 닮음비가 2：3이므로 할 수 없다. ③ SAS 닮음 ④, ⑤ AA 닮음 ② 08 △ACB와 △BCD에서 ACÓ`:`BCÓ=ABÓ`:`BDÓ=4`:`5, ∠BAC=∠DBC ∴ △ACB»△BCD(SAS 닮음) ⑤ ∠E=∠A=65ù이므로 따라서 닮음비가 4`:`5이므로 ∠G =360ù-(∠E+∠F+∠H) CBÓ`:`CDÓ=4`:`5에서 20`:`x=4`:`5 =360ù-(65ù+80ù+130ù)=85ù ⑤ 4x=100 ∴ x=25 25 42 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_3-1단원(36~45)_6.indd 42 2018. 12. 13. 오후 5:52 09 △ABC와 △CBD에서 ABÓ：CBÓ=BCÓ：BDÓ=4：3, ∠B는 공통 ∴ △ABC»△CBD(SAS 닮음) 따라서 닮음비가 4：3 (⑤)이므로 ACÓ：CDÓ=4：3 (①)에서 8：CDÓ=4：3 4CDÓ=24 ∴ CDÓ=6 (②) 또 △ABC»△CBD이므로 10 △ABC와 △AED에서 ∠A는 공통, ∠ABC=∠AED=70ù ∴ △ABC»△AED(AA 닮음) 따라서 ABÓ：AEÓ=ACÓ：ADÓ에서 (4+DBÓ)：3=8：4 16 △ABC와 △DAC에서 ∠C는 공통, ACÓ：DCÓ=BCÓ：ACÓ=5：2 이므로 △ABC»△DAC(SAS 닮음) ∴ ∠ABC=∠DAC 이때 △ADC에서 ∠DAC+90ù+65ù=180ù ∴ ∠DAC=25ù 17 △ABC와 △DEA에서 ABÓEDÓ이므로 ∠BAC=∠EDA(엇각) AEÓBCÓ이므로 ∠BCA=∠EAD(엇각) ∴ △ABC»△DEA(AA 닮음) 따라서 BCÓ：EAÓ=ACÓ：DAÓ이므로 ∠ACB=∠CDB (③) ②, ④ ∴ ∠B=∠DAC=25ù 25ù 16+4DBÓ=24 ∴ DBÓ=2(cm) 2`cm 14：4=21：DAÓ 11 △ABC와 △DEC에서 ∠ACB=∠DCE(맞꼭지각), ∠ABC=∠DEC=90ù 14DAÓ=84 ∴ DAÓ=6(cm) ∴ CDÓ =ACÓ-ADÓ =21-6=15(cm) 15`cm ∴ △ABC»△DEC(AA 닮음) 따라서 ABÓ：DEÓ=BCÓ：ECÓ에서 ABÓ：6=63：14, 14ABÓ=378 ∴ ABÓ=27(m) 12 ④ ACÓ Û`=CHÓ_CBÓ 13 12Û`=x_9 ∴ x=16 12_(16+9)=20_y에서 300=20y ∴ y=15 ∴ x+y=16+15=31 31 14 ABÓ=BCÓ=CDÓ이고 OCÓ= BCÓ이므로 ;2!; OCÓ`:`ODÓ=1`:`3 즉, 작은 원과 큰 원의 닮음비는 1`:`3이므로 넓이의 비는 1Û``:`3Û`=1`:`9이다. 큰 원의 넓이를 x라 하면 6p`:`x=1`:`9 ∴ x=54p 54p 27`m ④ 18 △ABE와 △FDA에서 ABÓDFÓ이므로 ∠EAB=∠AFD(엇각) ABCD가 평행사변형이므로 ∠B=∠D ∴ △ABE»△FDA(AA 닮음) 따라서 ABÓ：FDÓ=BEÓ：DAÓ이고 ABÓ=DCÓ=9`cm이므로 9：15=BEÓ：18, 15BEÓ=162 ∴ BEÓ= (cm) :°5¢: :°5¢: `cm 19 △AOD와 △NOM에서 ADÓMNÓ이므로 ∠DAO=∠MNO(엇각), ∠AOD=∠NOM(맞꼭지각) ∴ △AOD»△NOM(AA 닮음) ∴ DOÓ：MOÓ=ADÓ：NMÓ=6：4=3：2 이때 DMÓ=BMÓ Ó이므로 MOÓ：BOÓ=2：(2+5)=2：7 또 △OMN와 △OBC에서 15 물과 그릇의 닮음비는 6`:`18=1`:`3이므로 부피의 비는 MNÓBCÓ이므로 ∠OMN=∠OBC(동위각), 1Ü``:`3Ü`=1`:`27이다. 물의 부피를 x`cmÜ`라 하면 x`:`648=1`:`27, 27x=648 ∴ x=24 따라서 더 필요한 물의 부피는 ∠O는 공통 ∴ △OMN»△OBC(AA 닮음) 따라서 MOÓ：BOÓ=MNÓ：BCÓ에서 2：7=4：BCÓ, 2BCÓ=28 648-24=624(cmÜ`) 624`cmÜ` ∴ BCÓ=14(cm) ② III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 43 기본서(중2-2)_해설_3-1단원(36~45)_6.indd 43 2018. 12. 13. 오후 5:52 20 AFÓ=EFÓ=7`cm이므로 ACÓ=7+5=12(cm) 즉, 정삼각형 ABC의 한 변의 길이는 12`cm이다. 24 ⑴ △ABD와 △OPD에서 ∠D는 공통, ∠BAD=∠POD=90ù ∴ BEÓ=12-8=4(cm) △BED와 △CFE에서 ∠B=∠C=60ù ∠DBE=∠DEF=60ù이므로 ∠BDE =180ù-(∠DBE+∠DEB) =180ù-(∠DEF+∠DEB)=∠CEF ∴ △BED»△CFE(AA 닮음) 따라서 DEÓ：EFÓ=BEÓ：CFÓ에서 DEÓ：7=4：5, 5DEÓ=28 ∴ DEÓ= (cm) :ª5¥: ∴ ADÓ=DEÓ= `cm :ª5¥: :ª5¥: `cm ⑵ △ABD»△OPD이므로 ABÓ：OPÓ=ADÓ：ODÓ에서 ∴ △ABD»△OPD(AA 닮음) 따라서 BDÓ：PDÓ=ADÓ：ODÓ이므로 20：PDÓ=16：10, 16PDÓ=200 ∴ PDÓ= (cm) :ª2°: 12：OPÓ=16：10, 16OPÓ=120 ∴ OPÓ= (cm) :Á2°: 그런데 △POD와 △QOB에서 DOÓ=BOÓ, ∠ODP=∠OBQ(엇각), ∠POD=∠QOB(맞꼭지각) ∴ △PODª△QOB(ASA 합동) ∴ PQÓ=2OPÓ=2_ =15(cm) :Á2°: 21 △DEF와 △ABC에서 ∠EDF =∠ABD+∠BAD ∠DEF =∠BCE+∠CBE =∠CAF+∠BAD =∠BAC =∠ABD+∠CBE =∠ABC ∴ △DEF»△ABC(AA 닮음) 따라서 DEÓ：ABÓ=DFÓ：ACÓ이므로 4：8=DFÓ：6, 8DFÓ=24 ∴ DFÓ=3(cm) ⑴ `cm ⑵ 15`cm :ª2°: 25 △AEC와 △AED에서 ∠ACE=∠ADE=90ù, AEÓ는 공통, ∠EAC=∠EAD ∴ △AECª△AED(RHA 합동) ∴ ADÓ=ACÓ=6`cm 또 △ABC와 △EBD에서 ∠B는 공통, ∠ACB=∠EDB=90ù 3`cm ∴ △ABC»△EBD(AA 닮음) 따라서 ABÓ：EBÓ=BCÓ：BDÓ이므로 22 △ABC와 △AB'C'에서 ∠A는 공통, ∠ABC=∠AB'C'=90ù ∴ △ABC»△AB'C'(AA 닮음) 즉, BCÓ`:`B'C'Ó=ABÓ`:`AB'Ó에서 1`:`B'C'Ó=2`:`32 2B'C'Ó=32 ∴ B'C'Ó=16(m) 따라서 등대의 높이는 16`m이다. 16`m (6+4)：5=(5+x)：4, 5(5+x)=40 5x=15 ∴ x=3 3 26 10Û`=8(8+CDÓ)에서 100=64+8CDÓ ∴ CDÓ= (cm) ;2(; ADÓ Û`=BDÓ_CDÓ에서 ADÓ Û`=8_ ;2(; =36 ∴ ADÓ=6(cm) 6`cm 23 △ABD와 △ACE에서 ∠A는 공통, ∠ADB=∠AEC=90ù ∴ △ABD»△ACE(AA 닮음) 이때 ADÓ`:`DCÓ=3`:`1에서 ADÓ=8_ =6(cm) 3 3+1 이고 ABÓ：ACÓ=ADÓ：AEÓ이므로 10：8=6：AEÓ, 10AEÓ=48 ∴ AEÓ= (cm) :ª5¢: 44 정답과 풀이 27 8Û`=BHÓ_4에서 BHÓ=16(cm) 이때 BCÓ=16+4=20(cm)이므로 BMÓ=MCÓ= _20=10(cm) ∴ MHÓ=10-4=6(cm) ;2!; ;2!; ;2!; ∴ △AMH = _MHÓ_AHÓ ① = _6_8=24(cmÛ`) 24`cmÛ` 기본서(중2-2)_해설_3-1단원(36~45)_6.indd 44 2018. 12. 13. 오후 5:52 서술형 대비 문제 본문 122 ~ 123쪽 3 단계 따라서 36000원으로 떡 케이크 B를 1개 사는 것이 28 △ABD에서 20Û`=16(16+BHÓ) 400=256+16BHÓ ∴ BHÓ=9(cm) 또 AHÓ Û`=9_16=144 ∴ AHÓ=12(cm) ∴ △ABD= _BDÓ_AHÓ ;2!; ;2!; = _(9+16)_12=150(cmÛ`) 1-1 8`cm 4 떡 케이크 B를 1개 사는 것이 더 유리하다. 2-1 12`cm 3 20p`cm 5 9`cm 6 :Á5¤: `cm 이렇게 풀어요 1-1 1 단계 △ABC와 △EDC에서 ∠C는 공통, ∠BAC=∠DEC ∴ △ABC»△EDC(AA 닮음) 2 단계 ACÓ`:`ECÓ=BCÓ`:`DCÓ이므로 8`:`4=BCÓ`:`6, 4BCÓ=48 ∴ BCÓ=12(cm) 3 단계 ∴ BEÓ=BCÓ-ECÓ =12-4=8(cm) 2-1 1 단계 DCÓ=ABÓ=16`cm이므로 DEÓ=DCÓ-ECÓ=16-10=6(cm) 2 단계 △ABF와 △DFE에서 ∠BAF=∠FDE=90ù, ∠ABF=90ù-∠AFB=∠DFE ∴ △ABF»△DFE(AA 닮음) 3 단계 ABÓ：DFÓ=AFÓ：DEÓ이므로 16：8=AFÓ：6, 8AFÓ=96 단계 1 2 3 채점 요소 원기둥 A, B의 닮음비 구하기 원기둥 B의 밑면의 반지름의 길이 구하기 원기둥 B의 밑면의 둘레의 길이 구하기 배점 2점 2점 2점 150`cmÛ` 4 1 단계 떡 케이크 A, B의 닮음비는 14`:`21=2`:`3이다. 2 단계 떡 케이크 A, B 1개의 부피의 비는 2Ü``:`3Ü`=8`:`27 이므로 떡 케이크 A 3개의 부피와 떡 케이크 B 1 개의 부피의 비는 (3_8)`:`27=24`:`27=8`:`9 더 유리하다. 떡 케이크 B를 1개 사는 것이 더 유리하다. 단계 채점 요소 떡 케이크 A, B의 닮음비 구하기 떡 케이크 A 3개와 떡 케이크 B 1개의 부피의 비 구하기 더 유리한 경우 구하기 5 1 단계 △BDE와 △BAC에서 BDÓ：BAÓ=8：12=2：3, BEÓ：BCÓ=6：9=2：3, ∠B는 공통 8`cm ∴ △BDE»△BAC(SAS 닮음) 2 단계 따라서 닮음비는 2`:`3이므로 DEÓ`:`ACÓ=2`:`3에서 6：ACÓ=2：3 2ACÓ=18 ∴ ACÓ=9(cm) 9`cm 단계 1 2 채점 요소 △BDE»△BAC임을 알기 ACÓ의 길이 구하기 6 1 단계 ADÓ Û`=DBÓ_DCÓ이므로 ADÓ Û`=8_2=16 ∴ ADÓ=4(cm) 2 단계 점 M은 △ABC의 외심이므로 3 단계 ADÓ Û`=AHÓ_AMÓ이므로 ;2!; ;2!; 1 2 3 배점 2점 4점 1점 배점 3점 4점 배점 3점 2점 3점 ∴ AFÓ=12(cm) 12`cm AMÓ=BMÓ=CMÓ= BCÓ= _10=5(cm) \3 1 단계 두 원기둥 A, B의 닮음비는 9：15=3：5이다. 2 단계 원기둥 B의 밑면의 반지름의 길이를 x`cm라 하면 4Û`=AHÓ_5 ∴ AHÓ= (cm) `cm :Á5¤: :Á5¤: 6：x=3：5, 3x=30 ∴ x=10 3 단계 따라서 원기둥 B의 밑면의 둘레의 길이는 2p_10=20p(cm) 20p`cm 채점 요소 단계 1 2 3 ADÓ의 길이 구하기 AMÓ의 길이 구하기 AHÓ의 길이 구하기 III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 45 기본서(중2-2)_해설_3-1단원(36~45)_6.indd 45 2018. 12. 13. 오후 5:52 III | 도형의 닮음과 피타고라스 정리 2 평행선과 선분의 길이의 비 01 삼각형과 평행선 개념원리 확인하기 본문 127쪽 ⑵ ACÓ`:`AEÓ=BCÓ`:`DEÓ이므로 8：x=12：6, 12x=48 ∴ x=4 ABÓ`:`ADÓ=BCÓ`:`DEÓ이므로 10：y=12：6, 12y=60 ∴ y=5 ⑴ x=21, y=20 ⑵ x=4, y=5 2 ⑴ DQÓ：BPÓ=AQÓ：APÓ=AEÓ：ACÓ이므로 9：12=x：(x+4) 12x=9(x+4), 3x=36 ∴ x=12 ⑵ DEÓBCÓ이므로 AEÓ：ECÓ=ADÓ`:`DBÓ=6`:`3=2`:`1 FEÓDCÓ이므로 AFÓ：FDÓ=AEÓ：ECÓ=2`:`1 즉, x：(6-x)=2：1, x=2(6-x) 3x=12 ∴ x=4 ⑴ 12 ⑵ 4 3 ① 12`:`4+13`:`3 ② 4`:`8+5`:`9 ③ 4`:`2+3`:`1 ④ 6`:`3+6`:`4 ⑤ 10：7.5=12：9 따라서 BCÓDEÓ인 것은 ⑤이다. ⑤ 4 ㄱ. CFÓ`:`FAÓ+CEÓ`:`EBÓ이므로 ABÓ와 FEÓ는 평행하지 ㄴ. ADÓ`:`DBÓ=AFÓ`:`FCÓ이므로 DFÓBCÓ ㄷ. BDÓ`:`DAÓ+BEÓ`:`ECÓ이므로 DEÓ와 ACÓ는 평행하지 않다. 않다. ㄹ. DFÓBCÓ이므로 ∠ADF=∠ABC (동위각) ㅁ. DEÓ와 ACÓ Ó가 평행하지 않으므로 ∠BDE+∠BAC 소단원 핵심문제 본문 130쪽 01 ⑴ x=18, y=20 ⑵ x= , y= :¢5¥: :¢5¢: 02 7 03 25 04 ⑴ 3 ⑵ :Á5¥: 05 ⑤ 01 ⑴ ADÓ, ACÓ, x, 9, 8 ⑵ 9 ⑶ ABÓ, BCÓ, x+6, 16, 18 ⑷ 8 02 ⑴ AEÓ, ECÓ, 12, 4, 9 ⑵ 8 03 ⑴ AEÓ, 6, 9 ⑵ 5 이렇게 풀어요 01 ⑵ ABÓ：ADÓ=ACÓ：AEÓ이므로 8：6=(x+3)：x, 8x=6(x+3) 2x=18 ∴ x=9 ⑷ ABÓ：ADÓ=BCÓ`:`DEÓ이므로 (6+3)：6=12：x, 9x=72 ∴ x=8 ⑴ ADÓ, ACÓ, x, 9, 8 ⑵ 9`````````` ⑶ ABÓ, BCÓ, x+6, 16, 18 ⑷ 8 02 ⑵ ABÓ：BDÓ=ACÓ：CEÓ이므로 x：4=(15-5)：5, 5x=40 ∴ x=8 ⑴ AEÓ, ECÓ, 12, 4, 9 ⑵ 8 03 ⑵ ADÓ：DBÓ=AEÓ：ECÓ이므로 x：20=4：(4+12), 16x=80 ∴ x=5 ⑴ AEÓ, 6, 9 ⑵ 5 1 ⑴ x=21, y=20 ⑵ x=4, y=5 3 ⑤ 2 ⑴ 12 ⑵ 4 4 ㄴ, ㄹ 이렇게 풀어요 1 ⑴ ABÓ`:`ADÓ=ACÓ`:`AEÓ이므로 14：x=16：24, 16x=336 ∴ x=21 BCÓ`:`DEÓ=ACÓ`:`AEÓ이므로 y：30=16：24, 24y=480 ∴ y=20 46 정답과 풀이 핵심문제 익히기 확인문제 본문 128 ~ 129쪽 ㄴ, ㄹ 기본서(중2-2)_해설_3-2단원(46~62)_6.indd 46 2018. 12. 13. 오후 5:53 이렇게 풀어요 01 ⑴ ABÓ`:`ADÓ=BCÓ`:`DEÓ이므로 x：(x+6)=12：16 16x=12(x+6), 4x=72 ∴ x=18 ACÓ`:`AEÓ=BCÓ`:`DEÓ이므로 15：y=12：16, 12y=240 ∴ y=20 ⑵ AEÓ`:`ACÓ=ADÓ`:`ABÓ이므로 10：8=11：x, 10x=88 ∴ x= AEÓ`:`ACÓ=EDÓ`:`CBÓ이므로 10：8=12：y, 10y=96 ∴ y= :¢5¢: :¢5¥: 02 FBDE는 평행사변형이므로 FBÓ=EDÓ=6 FEÓBCÓ이므로 AFÓ`:`FBÓ=AEÓ`:`ECÓ에서 x：6=1：2, 2x=6 ∴ x=3 ABÓEDÓ이므로 CEÓ：EAÓ=CDÓ：DBÓ에서 2：1=8：y, 2y=8 ∴ y=4 ⑴ x=18, y=20 ⑵ x= , y= :¢5¢: :¢5¥: 05 ① ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ이므로 BCÓDEÓ ② BCÓDEÓ이므로 △ABC와 △ADE에서 ∠ABC=∠ADE (동위각), ∠ACB=∠AED (동위각) ∴ △ABC»△ADE (AA 닮음) ③ ABÓ`:`ADÓ=BCÓ`:`DEÓ=12`:`9=4`:`3 ④ ADÓ`:`ABÓ=DEÓ`:`BCÓ에서 6`:`(6+DBÓ)=9`:`12 9(6+DBÓ)=72, 9DBÓ=18 ∴ DBÓ=2(cm) ⑤ ACÓ`:`ECÓ =ABÓ`:`DBÓ=8`:`2=4`:`1 ⑤ 02 삼각형의 각의 이등분선 개념원리 확인하기 본문 132쪽 01 ⑴ BDÓ, 4, 3 ⑵ 12 ⑶ 9 ⑷ 18 02 ⑴ BDÓ, 12, 9 ⑵ 4 ⑶ 4 ⑷ 8 ∴ x+y=3+4=7 7 03 ABÓCDÓ이므로 ABÓ：DCÓ=BGÓ：CGÓ에서 8：(4+12)=5：x 01 ⑵ ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로 9：x=6：8, 6x=72 EFÓGCÓ이므로 DFÓ：DCÓ=EFÓ：GCÓ에서 ⑶ ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로 이렇게 풀어요 ∴ x=12 8x=80 ∴ x=10 12：(12+4)=y：10 16y=120 ∴ y= ;;Á2°;; ;;Á2°;; ∴ x+2y=10+2_ =25 25 04 ⑴ DEÓBCÓ이므로 ADÓ`:`ABÓ=AFÓ`:`AGÓ=FEÓ`:`GCÓ 즉, 12`:`(12+x)=4：5, 4(12+x)=60 4x=12 ∴ x=3 ⑵ BCÓDEÓ이므로 ADÓ：DBÓ=AEÓ：ECÓ=6：4=3`:`2 BEÓDFÓ이므로 AFÓ：FEÓ=ADÓ：DBÓ=3：2 즉, x：(6-x)=3：2이므로 2x=3(6-x), 5x=18 ∴ x= :Á5¥: ⑴ 3 ⑵ :Á5¥: x`:`6=(10-4)`:`4 4x=36 ∴ x=9 ⑷ ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로 15：12=10：(x-10), 15(x-10)=120 15x=270 ∴ x=18 ⑴ BDÓ, 4, 3 ⑵ 12 ⑶ 9 ⑷ 18 02 ⑵ ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로 6：x=9：6, 9x=36 ∴ x=4 ⑶ ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로 5：3=(x+6)：6, 3(x+6)=30 3x=12 ∴ x=4 ⑷ ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로 x：5=(6+10)：10 10x=80 ∴ x=8 ⑴ BDÓ, 12, 9 ⑵ 4 ⑶ 4 ⑷ 8 III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 47 기본서(중2-2)_해설_3-2단원(46~62)_6.indd 47 2018. 12. 13. 오후 5:53 핵심문제 익히기 확인문제 본문 133쪽 1 4`cm 2 6`cm 이렇게 풀어요 1 ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로 6：8=(7-CDÓ)：CDÓ, 6CDÓ=8(7-CDÓ) 05 ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로 8：4=4：CDÓ, 8CDÓ=16 ∴ CDÓ=2(cm) ∴ BCÓ=4+2=6(cm) 또 ABÓ：ACÓ=BEÓ：CEÓ이므로 8：4=(6+CEÓ)：CEÓ 8CEÓ=4(6+CEÓ), 4CEÓ=24 14CDÓ=56 ∴ CDÓ=4(cm) 4`cm ∴ CEÓ=6(cm) 6`cm 2 ACÓ：ABÓ=CDÓ：BDÓ이므로 ACÓ：4=12`:`(12-4), 8ACÓ=48 ∴ ACÓ=6(cm) 6`cm 소단원 핵심문제 본문 134쪽 01 ⑴ 15 ⑵ 4 ⑶ ⑷ 10 :£5¤: 01 12`cm 02 12`cmÛ` 03 `cm ;3*; 04 24`cm 03 평행선과 선분의 길이의 비 개념원리 확인하기 본문 136쪽 02 ⑴ 4 ⑵ 4 ⑶ 8 04 ⑴ 3`:`2 ⑵ 3`:`5 ⑶ 6 03 ⑴ 4 ⑵ 6 ⑶ 10 이렇게 풀어요 01 ⑴ 4：10=6：x, 4x=60 ∴ x=15 ⑵ 5：15=x：12, 15x=60 ∴ x=4 ⑶ 6：(6+4)=x：12, 10x=72 ∴ x= :£5¤: ⑷ 12：(12+6)=x：15, 18x=180 ∴ x=10 ⑴ 15 ⑵ 4 ⑶ ⑷ 10 :£5¤: 02 ⑴ GFÓ=ADÓ=4 ⑵ HCÓ=ADÓ=4이므로 12`cmÛ` BHÓ=BCÓ-HCÓ=10-4=6 △ABH에서 EGÓBHÓ이므로 6：(6+3)=EGÓ：6, 9EGÓ=36 ∴ EGÓ=4 ⑶ EFÓ=EGÓ+GFÓ=4+4=8 ⑴ 4 ⑵ 4 ⑶ 8 03 ⑴ △ABC에서 EGÓBCÓ이므로 2：(2+4)=EGÓ：12, 6EGÓ=24 ∴ EGÓ=4 ⑵ △ACD에서 GFÓADÓ이므로 4：(4+2)=GFÓ：9, 6GFÓ=36 05 6`cm 이렇게 풀어요 01 ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로 ABÓ：8=6：(10-6), 4ABÓ=48 ∴ ABÓ=12(cm) 12`cm 02 △ABD와 △ADC의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같으므로 △ABD：△ADC =BDÓ`:`CDÓ=ABÓ`:`ACÓ =8：6=4：3 ∴ △ABD= 4 4+3 _21=12(cmÛ`) 03 BDÓ：CDÓ=ABÓ：ACÓ=8`:`4=2`:`1이므로 EDÓ：ACÓ=BDÓ：BCÓ에서 EDÓ：4=2：(2+1), 3EDÓ=8 ∴ EDÓ= (cm) ;3*; ;3*; `cm 04 ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로 ABÓ：6=(8+12)：12, 12ABÓ=120 ∴ ABÓ=10(cm) ∴ (△ABC의 둘레의 길이)=10+8+6=24(cm) ∴ GFÓ=6 24`cm ⑶ EFÓ=EGÓ+GFÓ=4+6=10 ⑴ 4 ⑵ 6 ⑶ 10 48 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_3-2단원(46~62)_6.indd 48 2018. 12. 13. 오후 5:53 04 ⑴ △ABE»△CDE (AA 닮음)이므로 BEÓ：DEÓ=ABÓ`:`CDÓ=15`:`10=3：2 3 △AOD»△COB (AA 닮음)이므로 AOÓ：COÓ =ADÓ：CBÓ=4：10=2：5 ⑵ △BCD에서 EFÓDCÓ이므로 △ABC에서 EOÓBCÓ이므로 BFÓ：BCÓ=BEÓ`:`BDÓ=3`:`(3+2)=3`:`5 2：(2+5)=EOÓ：10, 7EOÓ=20 ⑶ △BCD에서 EFÓDCÓ이므로 EFÓ`:`10=3`:`5, 5EFÓ=30 ∴ EFÓ=6 ⑴ 3`:`2 ⑵ 3`:`5 ⑶ 6 ∴ EOÓ= (cm) :ª7¼: △ACD에서 OFÓADÓ이므로 5：(5+2)=OFÓ：4, 7OFÓ=20 ∴ OFÓ= (cm) :ª7¼: 핵심문제 익히기 확인문제 본문 137 ~ 138쪽 ∴ EFÓ =EOÓ+OFÓ = + = :ª7¼: :ª7¼: :¢7¼: (cm) :¢7¼:` cm 1 ⑴ 5 ⑵ 9 ⑶ x=6, y=15 2 10 3 :¢7¼: `cm 4 ⑴ :Á5¥: ⑵ 12 이렇게 풀어요 1 ⑴ x：15=4：(4+8), 12x=60 ∴ x=5 ⑵ 6：4=x：(15-x), 4x=6(15-x) 10x=90 ∴ x=9 ⑶ 4：8=x：12, 8x=48 ∴ x=6 4：8=(y-10)：10, 8(y-10)=40 8y=120 ∴ y=15 ⑴ 5 ⑵ 9 ⑶ x=6, y=15 2 점 A를 지나고 DCÓ에 평행한 직선을 긋고, EFÓ, BCÓ와의 교점을 각각 R, Q라 하면 RFÓ=QCÓ=ADÓ=9이므로 BQÓ=12-9=3 A 3 E R 9 9 6 B Q3 9 D F C △ABQ에서 ERÓBQÓ이므로 3`:`(3+6)=ERÓ：3, 9ERÓ=9 ∴ ERÓ=1 ∴ EFÓ =ERÓ+RFÓ=1+9=10 ∴ x=10 다른 풀이 대각선 AC를 긋고, EFÓ와의 교점을 G라 하면 △ABC에서 EGÓBCÓ이 므로 3：(3+6)=EGÓ：12, 9EGÓ=36 ∴ EGÓ=4 △ACD에서 GFÓADÓ이므로 10 (cid:37) (cid:39) (cid:36) (cid:34) (cid:20) (cid:38) (cid:23) (cid:35) (cid:26) (cid:40) (cid:18)(cid:19) 6：(6+3)=GFÓ：9, 9GFÓ=54 ∴ GFÓ=6 ∴ EFÓ =EGÓ+GFÓ=4+6=10 ∴ x=10 4 ⑴ △ABE»△CDE (AA 닮음)이므로 BEÓ：DEÓ=ABÓ：CDÓ=6：9=2：3 △BCD에서 EFÓDCÓ이므로 2：(2+3)=x：9, 5x=18 ∴ x= :Á5¥: ⑵ △AFB»△CFD (AA 닮음)이므로 AFÓ：CFÓ=ABÓ：CDÓ=15：10=3：2 △ADC에서 EFÓDCÓ이므로 3：(3+2)=x：20, 5x=60 ∴ x=12 ⑴ ⑵ 12 :Á5¥: 소단원 핵심문제 본문 139쪽 01 ⑴ x= , y=6 ⑵ x= , y= :ª5¢: :Á4°: :ª3¼: ⑶ x=8, y= :ª3¼: 02 ⑴ x=1, y=4 ⑵ x=4, y= :Á3¢: 03 10`cm 04 ⑴ 2`cm ⑵ 3`cm ⑶ x=5, y=14 이렇게 풀어요 01 ⑴ 9：6=10：x, 9x=60 ∴ x= :ª3¼: 9：6=y：4, 6y=36 ∴ y=6 ⑵ (8-x)：x=4：6, 4x=6(8-x) 10x=48 ∴ x= :ª5¢: 8：3=(4+6)：y, 8y=30 ∴ y= :Á4°: III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 49 기본서(중2-2)_해설_3-2단원(46~62)_6.indd 49 2018. 12. 13. 오후 5:53 ⑶ 4：5=x：10, 5x=40 4：(4+5)=y：15, 9y=60 ∴ x=8 ∴ y= :ª3¼: 04 ⑴ ABÓ, PHÓ, DCÓ가 모두 BCÓ에 수직이므로 ABÓPHÓDCÓ △PAB»△PCD (AA 닮음)이므로 PAÓ：PCÓ=ABÓ：CDÓ=3：6=1：2 △CAB에서 PHÓABÓ이므로 ⑴ x= , y=6 ⑵ x= :ª3¼: , y= :Á4°: :ª5¢: 2：(2+1)=PHÓ：3, 3PHÓ=6 ∴ PHÓ=2(cm) ⑶ x=8, y= :ª3¼: ⑵ △BCD에서 PHÓDCÓ이므로 2：6=BHÓ：9, 6BHÓ=18 ∴ BHÓ=3(cm) ⑴ 2`cm ⑵ 3`cm 중단원 마무리 본문 140 ~ 142쪽 01 ④ 02 x=12, y=4 03 12`cm 04 :£2£: 08 450`m 05 3개 06 ② 07 3`cm 09 ③ 10 8`cm 11 ⑤ 12 :Á2°: `cm 13 :¦5ª: `cm 14 8`cm 15 8`cm 16 6`cm 17 :£5¤: `cm 18 :ª7¢: `cm 19 `cm ;3@; 20 5`cm 21 :Á2°: 22 7`cm 23 ⑤ ④ 01 ④ ADÓ`:`ABÓ=DEÓ`:`BCÓ이므로 ADÓ`:`DBÓ+DEÓ`:`BCÓ 02 x：15=16：20, 20x=240 ∴ x=12 (20-y)：20=16：20 320=20(20-y), 20y=80 03 점 A를 지나고 BEÓ와 평행 한 직선과 EFÓ의 연장선의 교 (cid:35) (cid:18)(cid:19)(cid:3)(cid:68)(cid:78) 점을 G, CDÓ의 연장선의 교 점을 H라 하면 AGEB, (cid:40) (cid:41) (cid:20)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:36) (cid:37) (cid:20)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:21)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:39) (cid:34) (cid:38) HGEC는 평행사변형이므로 BEÓ=AGÓ, HGÓ=CEÓ Ó=3`cm △AGF에서 HDÓ`GFÓ이므로 AGÓ：3=(12+4)：4 4AGÓ=48 ∴ AGÓ=12(cm) 02 ⑴ GFÓ=HCÓ=ADÓ=4 ∴ y=4 ∴ BHÓ=BCÓ-HCÓ= -4= :Á2°: ;2&; △ABH에서 EGÓ`BHÓ이므로 2：(2+5)=x： , 7x=7 ∴ x=1 ;2&; ⑵ △ABC에서 EGÓBCÓ이므로 4：(4+3)=x：7, 7x=28 ∴ x=4 또 △ACD에서 GFÓADÓ이므로 3：(3+4)=2：y, 3y=14 ∴ y= ⑶ ADÓEFÓBCÓ이므로 10：x=8：4, 8x=40 ∴ x=5 점 A를 지나고 DCÓ에 평행한 :Á3¢: (cid:34) (cid:18)(cid:17) (cid:37) (cid:18)(cid:17) (cid:38) (cid:89) (cid:23) (cid:40) (cid:41) (cid:35) (cid:25) (cid:39) (cid:21) (cid:36) (cid:90) (cid:18)(cid:17) (cid:18)(cid:17) 직선을 긋고, EFÓ, BCÓ와의 교점을 각각 G, H라 하면 이렇게 풀어요 GFÓ=HCÓ=ADÓ=10 ∴ BHÓ=BCÓ-HCÓ=16-10=6 △ABH에서 EGÓBHÓ이므로 10：(10+5)=EGÓ：6, 15EGÓ=60 ∴ EGÓ=4 ∴ y=14 ∴ EFÓ=EGÓ+GFÓ=4+10=14 03 AEÓ=2EBÓ에서 AEÓ：EBÓ=2：1 △ABD에서 EMÓADÓ이므로 1：(1+2)=EMÓ：24, 3EMÓ=24 ∴ EMÓ=8(cm) △ABC에서 ENÓBCÓ이므로 2：(2+1)=ENÓ：27, 3ENÓ=54 ∴ ENÓ=18(cm) ∴ MNÓ =ENÓ-EMÓ 50 정답과 풀이 ⑴ x=1, y=4 ⑵ x=4, y= ⑶ x=5, y=14 ∴ y=4 x=12, y=4 :Á3¢: =18-8=10(cm) 10`cm ∴ BEÓ=AGÓ=12`cm 12`cm 기본서(중2-2)_해설_3-2단원(46~62)_6.indd 50 2018. 12. 13. 오후 5:53 04 △ABM에서 DPÓBMÓ이므로 9：(9+x)=4：6, 4(9+x)=54 4x=18 ∴ x= ;2(; DEÓBCÓ이므로 4：6=8：y, 4y=48 ∴ y=12 ∴ x+y= +12= ;2(; ;;£2£;; 09 대각선 AC를 긋고, EFÓ와의 교점 을 G라 하면 △ABC에서 (cid:34) (cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:37) EGÓBCÓ이므로 6：(6+2)=EGÓ：8 (cid:38) (cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:35) (cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:40) (cid:39) (cid:36) 8EGÓ=48 ∴ EGÓ=6(cm) :£2£: ∴ GFÓ=EFÓ-EGÓ=7-6=1(cm) 또 △ACD에서 GFÓADÓ이므로 2：(2+6)=1：ADÓ 05 ㄱ. ADÓ`:`DBÓ=6`:`5, AEÓ`:`ECÓ=(12-6)`:`6=1`:`1 ∴ ADÓ`:`DBÓ+AEÓ`:`ECÓ 즉, BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다. ㄴ. ADÓ`:`DBÓ=6`:`3=2`:`1, AEÓ`:`ECÓ=8`:`4=2`:`1 ∴ ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ 즉, BCÓDEÓ ㄷ. ADÓ`:`DBÓ=4`:`4=1`:`1, AEÓ`:`ECÓ=6`:`6=1`:`1 2ADÓ=8 ∴ ADÓ=4(cm) ③ 10 △ABC에서 EOÓBCÓ이므로 AEÓ：ABÓ=EOÓ：BCÓ=6：24=1：4 △ABD에서 EOÓADÓ이므로 (4-1)：4=6`:`ADÓ 3ADÓ=24 ∴ ADÓ=8(cm) 8`cm ∴ ADÓ`:`DBÓ=AEÓ`:`ECÓ 즉, BCÓDEÓ ㄹ. ACÓ`:`AEÓ=4`:`12=1`:`3, ABÓ`:`ADÓ=(10-8)`:`8=1`:`4 ∴ ACÓ`:`AEÓ+ABÓ`:`ADÓ 즉, BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다. ㅁ. ADÓ`:`DBÓ=3`:`9=1`:`3, AEÓ`:`ECÓ=(10-8)`:`8=1`:`4 ∴ ADÓ`:`DBÓ+AEÓ`:`ECÓ 즉, BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다. ㅂ. ACÓ`:`AEÓ=14`:`(18-14)=7`:`2, ABÓ`:`ADÓ=7`:`2 ∴ ACÓ`:`AEÓ=ABÓ`:`ADÓ 즉, BCÓDEÓ 따라서 BCÓDEÓ인 것은 ㄴ, ㄷ, ㅂ의 3개이다. 3개 06 ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ에서 8：10=BDÓ：(9-BDÓ), 10BDÓ=8(9-BDÓ) 18BDÓ=72 ∴ BDÓ=4(cm) ② 07 ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ에서 4：6=6`:`(6+BCÓ), 4(6+BCÓ)=36 4BCÓ=12 ∴ BCÓ=3(cm) 3`cm 08 회전목마에서 롤러코스터까지의 거리를 x`m라 하면 200`:`400=x`:`300, 400x=60000 ∴ x=150 11 △ABE»△CDE(AA 닮음)이므로 BEÓ：DEÓ=ABÓ：CDÓ=12：15=4：5 △BCD에서 EFÓDCÓ이므로 4：(4+5)=x：15, 9x=60 ∴ x= :ª3¼: 12：(12+y)=4：(4+5), 4(12+y)=108 4y=60 ∴ y=15 ∴ 3x-y=3_ -15=5 :ª3¼: ⑤ 12 AEÓBCÓ이므로 AEÓ`:`CBÓ=AFÓ`:`CFÓ에서 AEÓ`:`15=6`:`12, 12AEÓ=90 ∴ AEÓ= (cm) :Á2°: :Á2°: `cm 13 마름모 DBEF의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 DFÓBCÓ이므로 ADÓ`:`ABÓ=DFÓ`:`BCÓ에서 (9-x)`:`9=x`:`6, 9x=6(9-x) 15x=54 ∴ x= :Á5¥: 따라서 DBEF의 둘레의 길이는 4_ = :Á5¥: :¦5ª: (cm) :¦5ª: `cm 14 △CMB에서 DEÓMBÓ이고 CDÓ`:`CMÓ=1`:`2이므로 2`:`MBÓ=1`:`2 ∴ MBÓ=4(cm) 점 M은 직각삼각형 ABC의 빗변의 중점이므로 외심이다. 즉, AMÓ=CMÓ=BMÓ=4`cm이므로 따라서 회전목마에서 매점까지의 거리는 ACÓ =AMÓ+MCÓ 150+300=450(m) 450`m =4+4=8(cm) 8`cm III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 51 기본서(중2-2)_해설_3-2단원(46~62)_6.indd 51 2018. 12. 13. 오후 5:53 ∴ CFÓ=8(cm) 8`cm 즉, DEÓ`:`DFÓ=BDÓ`:`CDÓ이므로 15 △ADF에서 PEÓDFÓ이므로 3：2=18：EFÓ, 3EFÓ=36 ∴ EFÓ=12(cm) △CEB에서 DFÓBEÓ이므로 2：3=CFÓ：12, 3CFÓ=24 16 AEÓ와 BFÓ의 연장선의 교점 을 O라 하면 △ODC에서 ABÓCDÓ이므 로 OBÓ：ODÓ=ABÓ：CDÓ △ODE에서 CBÓ`EDÓ이므로 OBÓ：ODÓ=OCÓ：OEÓ △OFE에서 CDÓ`EFÓ이므로 OCÓ：OEÓ=CDÓ：EFÓ (cid:36) (cid:20)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:34) (cid:48) (cid:35) (cid:37) (cid:39) (cid:38) (cid:18)(cid:19)(cid:3)(cid:68)(cid:78) yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에서 ABÓ：CDÓ=CDÓ：EFÓ 3：CDÓ=CDÓ：12, CDÓ Û`=36 ∴ CDÓ=6(cm) 6`cm 17 △ABC에서 ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로 BDÓ：CDÓ=ABÓ：ACÓ =18：12=3：2 ∴ BDÓ= _10=6(cm) 3 3+2 또 △BDE와 △BCA에서 ∠B는 공통, ∠EDB=∠ACB 이므로 △BDE»△BCA(AA 닮음) 즉, BDÓ：BCÓ=DEÓ：CAÓ이므로 6：10=DEÓ：12 18 △ABC에서 CDÓ는 ∠C의 이등분선이므로 CAÓ`:`CBÓ=ADÓ`:`BDÓ에서 CAÓ`:`12=3`:`6, 6CAÓ=36 ∴ CAÓ=6(cm) 또 BEÓ는 ∠B의 이등분선이므로 BCÓ`:`BAÓ=CEÓ`:`AEÓ에서 12`:`9=CEÓ`:`(6-CEÓ) 9CEÓ=12(6-CEÓ) 21CEÓ=72 ∴ CEÓ= (cm) ;;ª7¢;; 52 정답과 풀이 19 △ABC에서 ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로 BDÓ`:`CDÓ=ABÓ`:`ACÓ=6`:`4=3`:`2 또 △BED와 △CFD에서 ∠BDE=∠CDF(맞꼭지각), ∠BED=∠CFD=90ù 이므로 △BED»△CFD (AA 닮음) 1：DFÓ=3：2, 3DFÓ=2 ∴ DFÓ= (cm) ;3@; ;3@;` cm 20 △DAB 와 △ACB에서 ∠B는 공통, ∠DAB=∠ACB ∴ △DAB»△ACB (AA 닮음) BAÓ：BCÓ=BDÓ：BAÓ에서 10：20 =BDÓ：10, 20BDÓ=100 ∴ BDÓ=5(cm) ∴ CDÓ =BCÓ-BDÓ=20-5=15(cm) 또 BAÓ：BCÓ=ADÓ：CAÓ에서 10：20=ADÓ：18, 20ADÓ=180 ∴ ADÓ=9(cm) △ADC에서 AEÓ는 ∠CAD의 이등분선이므로 ADÓ：ACÓ=DEÓ：CEÓ에서 9：18=DEÓ：(15-DEÓ) 18DEÓ=9(15-DEÓ), 27DEÓ=135 ∴ DEÓ=5(cm) 5`cm 21 오른쪽 그림에서 (6+a)`:`9=7`:`7이므로 7(6+a)=63, 7a=21 7 7 x a 9 6 15 l m n :Á2°: x`:`15=6`:`(3+9)이므로 12x=90 ∴ x= :Á2°: 22 △ABC에서 EHÓBCÓ이므로 3`:`(3+1)=EHÓ`:`12 4EHÓ=36 ∴ EHÓ=9(cm) △ABD에서 EGÓADÓ이므로 1`:`(1+3)=EGÓ`:`8 4EGÓ=8 ∴ EGÓ=2(cm) 10DEÓ=72 ∴ DEÓ= (cm) ;;£5¤;; ;;£5¤;;` cm ∴ a=3 ;;ª7¢;;` cm ∴ GHÓ=EHÓ-EGÓ=9-2=7(cm) 7`cm 기본서(중2-2)_해설_3-2단원(46~62)_6.indd 52 2018. 12. 13. 오후 7:29 23 ①, ③ ABÓ, EFÓ, DCÓ가 모두 BCÓ에 수직이므로 ABÓEFÓDCÓ 3 1 단계 △ABC는 ∠BAC=90ù인 직각삼각형이므로 △ABE와 △CDE에서 ∠AEB=∠CED (맞꼭지각), ∠ABE=∠CDE (엇각) ∴ △ABE»△CDE (AA 닮음) 즉, BEÓ`:`DEÓ=ABÓ`:`CDÓ=12`:`24=1`:`2이므로 BEÓ`:`BDÓ=1`:`(1+2)=1`:`3 ② △BCD에서 EFÓDCÓ이므로 1`:`3=EFÓ`:`24, 3EFÓ=24 ∴ EFÓ=8(cm) ④ △CAB와 △CEF에서 ∠C는 공통, ∠CBA=∠CFE=90ù ∴ △CAB»△CEF (AA 닮음) ⑤ 서술형 대비 문제 본문 143 ~ 144쪽 `cm 2-1 12`cm 3 6`cmÛ` 4 27 6 16`cmÛ` 1-1 :ª5¢: 5 12`cm 이렇게 풀어요 1-1 1 단계 2BEÓ=3ECÓ이므로 BEÓ`:`ECÓ=3`:`2 △BCA에서 DEÓACÓ이므로 BDÓ`:`8=3`:``2, 2BDÓ=24 ∴ BDÓ=12(cm) 2 단계 △BCD에서 EFÓCDÓ이므로 BFÓ`:`FDÓ=BEÓ`:`ECÓ=3`:`2에서 DFÓ= _12= (cm) :ª5¢: 2 3+2 :ª5¢:` cm 2-1 1 단계 BDÓ는 ∠B의 이등분선이므로 BCÓ`:`BAÓ=CDÓ`:`ADÓ에서 8`:`4=CDÓ`:`2, 4CDÓ=16 ∴ CDÓ=4(cm) 2 단계 BEÓ는 ∠B의 외각의 이등분선이므로 BCÓ`:`BAÓ=CEÓ`:`AEÓ에서 8`:`4=(6+AEÓ)`:`AEÓ 8AEÓ=4(6+AEÓ), 4AEÓ=24 ∴ AEÓ=6(cm) 3 단계 ∴ CEÓ=CDÓ+ADÓ+AEÓ=4+2+6=12(cm) 12`cm 배점 2점 3점 2점 27 배점 2점 2점 2점 △ABC= _12_4=24(cmÛ`) ;2!; 2 단계 ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로 △ABD`:`△ADC =BDÓ`:`CDÓ =ABÓ`:`ACÓ =12`:`4=3`:`1 3 단계 ∴ △ADC = △ABC 1 3+1 ;4!; 단계 1 2 3 채점 요소 △ABC의 넓이 구하기 △ABD`:`△ADC 구하기 △ADC의 넓이 구하기 = _24=6(cmÛ`) 6`cmÛ` 4 1 단계 x`:`9=6`:`12에서 12x=54 ∴ x= ;2(; 2 단계 3`:`y=6`:`12에서 6y=36 ∴ y=6 3 단계 ∴ xy= _6=27 ;2(; 채점 요소 단계 1 2 3 x의 값 구하기 y의 값 구하기 xy의 값 구하기 5 1 단계 △ABD에서 EPÓADÓ이므로 BEÓ`:`BAÓ=EPÓ`:`ADÓ에서 1`:`(1+2)=EPÓ`:`6 3EPÓ=6 ∴ EPÓ=2(cm) 2 단계 △ABC에서 EQÓBCÓ이고 EQÓ=EPÓ+PQÓ=2+6=8(cm)이므로 AEÓ`:`ABÓ=EQÓ`:`BCÓ에서 2`:`(2+1)=8`:`BCÓ 2BCÓ=24 ∴ BCÓ=12(cm) 채점 요소 단계 1 2 EPÓ의 길이 구하기 BCÓ의 길이 구하기 12`cm 배점 3점 4점 III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 53 기본서(중2-2)_해설_3-2단원(46~62)_6.indd 53 2018. 12. 13. 오후 5:53 6 1 단계 점 E에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 동위각의 크기가 90ù 로 같으므로 ABÓEHÓDCÓ A 8 cm B D E H 12 cm 4 cm C △ABE와 △CDE에서 ∠AEB=∠CED (맞꼭지각), ∠ABE=∠CDE (엇각) 이므로 △ABE»△CDE (AA 닮음) ∴ BEÓ`:`DEÓ=ABÓ`:`CDÓ=8`:`4=2`:`1 2 단계 △BCD에서 EHÓDCÓ이므로 EHÓ`:`DCÓ=BEÓ`:`BDÓ에서 EHÓ`:`4=2`:`(2+1), 3EHÓ=8 ∴ EHÓ= (cm) ;3*; ;2!; ;3*; 채점 요소 단계 1 2 3 BEÓ`:`DEÓ 구하기 EHÓ의 길이 구하기 △EBC의 넓이 구하기 배점 3점 3점 2점 3 단계 ∴ △EBC = _12_ =16(cmÛ`) 16`cmÛ` ∠AMN=∠B=40ù(동위각) 3 삼각형의 무게중심 01 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분 개념원리 확인하기 본문 148쪽 01 ⑴ 40ù ⑵ 4`cm 03 ⑴ 4`cm, 4`cm ⑵ 5`cm, 5`cm ⑶ 18`cm 04 ⑴ 5`cm ⑵ 2`cm ⑶ 7`cm 02 ⑴ 5`cm ⑵ 12`cm 이렇게 풀어요 01 AMÓ=MBÓ, ANÓ=NCÓ이므로 MNÓBCÓ, MNÓ= ;2!; ⑴ MNÓBCÓ이므로 BCÓ ⑵ MNÓ= BCÓ= _8=4(cm) ;2!; ;2!; ⑴ 40ù ⑵ 4`cm 02 AMÓ=MBÓ이고 MNÓBCÓ이므로 ANÓ=NCÓ, MNÓ= ;2!; ⑴ CNÓ=ANÓ=5`cm BCÓ ⑵ BCÓ=2MNÓ=2_6=12(cm) ⑴ 5`cm ⑵ 12`cm 03 ⑴ △ABC에서 BQÓ=QCÓ, BPÓ=PAÓ이므로 PQÓ= ACÓ= _8=4(cm) ;2!; ;2!; △ACD에서 DSÓ=SAÓ, DRÓ=RCÓ이므로 SRÓ= ACÓ= _8=4(cm) ;2!; ⑵ △ABD에서 APÓ=PBÓ, ASÓ=SDÓ이므로 ;2!; PSÓ= BDÓ= _10=5(cm) ;2!; ;2!; △BCD에서 CRÓ=RDÓ, CQÓ=QBÓ이므로 QRÓ= BDÓ= _10=5(cm) ;2!; ;2!; ⑶ (PQRS의 둘레의 길이) =PQÓ+QRÓ+RSÓ+SPÓ =4+5+4+5 =18(cm) ⑴ 4`cm, 4`cm ⑵ 5`cm, 5`cm ⑶ 18`cm 54 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_3-2단원(46~62)_6.indd 54 2018. 12. 13. 오후 5:53 04 ABCD에서 AMÓ=MBÓ, DNÓ=NCÓ이므로 ÓMNÓBCÓ ADÓ 4 점 D를 지나고 BEÓ에 평행한 직선을 그어 ACÓ와의 교점을 F라 하자. 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 △ABC에서 ADÓ=DBÓ, DFÓBCÓ이 ⑴ △ABC에서 AMÓ=MBÓ, MPÓBCÓ이므로 므로 A D F M B 10�cm C E MPÓ= BCÓ= _10=5(cm) ;2!; ⑵ △ACD에서 CNÓ=NDÓ, ADÓPNÓ이므로 ;2!; PNÓ= ADÓ= _4=2(cm) ;2!; ;2!; ⑶ MNÓ=MPÓ+PNÓ=5+2=7(cm) DFÓ= BCÓ= _10=5(cm) ;2!; ;2!; △DMF와 △EMC에서 DMÓ=EMÓ, ∠MDF=∠MEC(엇각), ∠DMF=∠EMC(맞꼭지각) 이므로 △DMF≡△EMC(ASA 합동) ⑴ 5`cm ⑵ 2`cm ⑶ 7`cm ∴ CEÓ=FDÓ=5`cm 5`cm 핵심문제 익히기 확인문제 본문 149 ~ 151쪽 1 15`cm 5 12`cm 2 6`cm 6 4`cm 3 6`cm 7 14`cm 4 5`cm 이렇게 풀어요 1 △ABC에서 점 D, E, F는 세 변의 중점이므로 DEÓ= ACÓ= _8=4(cm) ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; EFÓ= ABÓ= _10=5(cm) DFÓ= BCÓ= _12=6(cm) 5 직사각형의 두 대각선의 길이는 같으므로 PQÓ=QRÓ=RSÓ=SPÓ= BDÓ= _6=3(cm) ;2!; ;2!; ∴ (PQRS의 둘레의 길이)=3_4=12(cm) 12`cm PQRS는 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형이 참고 므로 마름모이다. 6 ACÓ를 그어 MNÓ과의 교점을 P라 하자. 이므로 △ABC에서 AMÓ=MBÓ, MPÓBCÓ A M B P 5�cm 6�cm D N C ∴ (△DEF의 둘레의 길이) =DEÓ Ó+EFÓ Ó+FDÓ =4+5+6=15(cm) MPÓ= BCÓ= _6=3(cm) ;2!; ∴ PNÓ=MNÓ-MPÓ=5-3=2(cm) ;2!; 2 ADÓ=DBÓ, DEÓBCÓ이므로 AEÓ=ECÓ 또 AEÓ=ECÓ, ABÓEFÓ이므로 CFÓ=FBÓ=6`cm 다른 풀이 DBFE는 평행사변형이므로 DEÓ=BFÓ=6`cm ADÓ=DBÓ, DEÓBCÓ이므로 BCÓ=2DEÓ=2_6=12(cm) ∴ CFÓ=BCÓ-BFÓ=12-6=6(cm) 3 △AEC에서 ADÓ=DEÓ, AFÓ=FCÓ이므로 DFÓECÓ ECÓ=2DFÓ=2_2=4(cm) △DBG에서 BEÓ=EDÓ, ECÓDGÓ이므로 DGÓ=2ECÓ=2_4=8(cm) ∴ FGÓ=DGÓ-DFÓ=8-2=6(cm) 6`cm 15`cm 또 △ACD에서 CNÓ=NDÓ, PNÓADÓ이므로 ADÓ=2PNÓ=2_2=4(cm) 4`cm 6`cm 7 △ABD에서 BMÓ=MAÓ, MPÓADÓ이므로 MPÓ= ADÓ= _6=3(cm) ;2!; ∴ MQÓ=MPÓ+PQÓ=3+4=7(cm) ;2!; △ABC에서 AMÓ=MBÓ, MQÓBCÓ이므로 BCÓ=2MQÓ=2_7=14(cm) 14`cm 소단원 핵심문제 본문 152쪽 01 ④ 05 35 02 13`cm 06 14 03 6`cm 04 4`cm III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 55 기본서(중2-2)_해설_3-2단원(46~62)_6.indd 55 2018. 12. 13. 오후 5:53 Ó Ó III | 도형의 닮음과 피타고라스 정리 이렇게 풀어요 01 ① △ABC와 △ADE에서 ABÓ`:`ADÓ=ACÓ`:`AEÓ=2`:`1, ∠A는 공통 이므로 △ABC»△ADE(SAS 닮음) ②, ③ △ABC에서 ADÓ=DBÓ, AEÓ=ECÓ이므로 DEÓBCÓ, DEÓ= ;2!; ∴ DEÓ`:`BCÓ=1`:`2 BCÓ ④ ADÓ`:`DBÓ=1`:`1, DEÓ`:`BCÓ=1`:`2이므로 ADÓ`:`DBÓ+DEÓ`:`BCÓ ⑤ 삼각형의 닮음비는 대응변의 길이의 비와 같으므로 06 ACÓ를 그어 MNÓ과의 교점을 P라 하자. △ABC에서 AMÓ=MBÓ, MPÓBCÓ이므로 A M B x cm P 7 cm y cm D N C MPÓ= BCÓ= y(cm) ;2!; ;2!; △ACD에서 CNÓ=NDÓ, PNÓADÓ이므로 PNÓ= ADÓ= x(cm) ;2!; ;2!; 이때 MNÓ=MPÓ+PNÓ이므로 7= y+ x, 7= (x+y) ;2!; ;2!; ;2!; ADÓ`:`ABÓ=1`:`2에서 △ADE와 △ABC의 닮음비는 ∴ x+y=14 14 1`:`2이다. ④ 02 △ABC에서 AMÓ=MBÓ, MPÓ Ó=2_13=26(cm) BCÓ=2MPÓ ÓBCÓ이므로 △DBC에서 DNÓ=NBÓ, NQÓBCÓ이므로 NQÓ= BCÓ= _26=13(cm) ;2!; ;2!; 13`cm 03 △ABF에서 ADÓ=DBÓ, AEÓ=EFÓ이므로 BFÓ=2DEÓ=2_4=8(cm), DEÓBFÓ △CED에서 CFÓ=FEÓ, GFÓDEÓ이므로 GFÓ= DEÓ= _4=2(cm) ;2!; ;2!; ∴ BGÓ=BFÓ-GFÓ=8-2=6(cm) 6`cm 04 점 D를 지나고 BCÓ에 평행한 직선 을 그어 ABÓ와의 교점을 G라 하자. BFÓ=x`cm라 하면 A E △EDGª△EFB(ASA 합동)이 므로 GDÓ=BFÓ=x`cm F x cm C B 12 cm △ABC에서 ADÓ=DCÓ, GDÓBCÓ이므로 G D 이렇게 풀어요 BCÓ=2GDÓ=2x(cm) 이때 FCÓ=FBÓ+BCÓ이므로 12=x+2x ∴ x=4 ∴ BFÓ=4`cm 02 삼각형의 무게중심 개념원리 확인하기 본문 155~156쪽 01 ⑴ 8 ⑵ 2, 1, 2, 1, 5 ⑶ 2, 1, 2, 8 02 ⑴ 7 ⑵ 4 ⑶ 6 ⑷ 5 03 ⑴ ;3!; , 10 ⑵ , 5 ⑶ , 10 ;6!; ;3!; 04 ⑴ 9, 9 ⑵ 무게중심, , 6, , 3 ;3!; ;3@; ⑶ 무게중심, ;3@; 05 x=4, y=12 , 6, , 3 ;3!; 06 ⑴ ;4!; , 9 ⑵ , 3 ⑶ , 6 ;1Á2; ;6!; 01 ⑴ 8 ⑵ 2, 1, 2, 1, 5 ⑶ 2, 1, 2, 8 02 ⑵ AGÓ：GDÓ=2：1이므로 8：x=2：1, 2x=8 ∴ x=4 ⑶ BGÓ：GDÓ=2：1이므로 x：3=2：1 ∴ x=6 4`cm ⑷ CGÓ：GDÓ=2：1이므로 GDÓ= CDÓ= _15=5 ∴ x=5 1 2+1 ;3!; ⑴ 7 ⑵ 4 ⑶ 6 ⑷ 5 05 EFÓ=HGÓ= ACÓ, EHÓ=FGÓ= ;2!; ACÓ+BDÓ =EFÓ+HGÓ+EHÓ+FGÓ ;2!; BDÓ이므로 =(EFGH의 둘레의 길이)=35 35 03 ⑴ ;3!; , 10 ⑵ , 5 ⑶ , 10 ;6!; ;3!; 56 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_3-2단원(46~62)_6.indd 56 2018. 12. 13. 오후 5:53 Ó 04 ⑴ 9, 9 ⑵ 무게중심, , 6, , 3 ;3!; ;3@; ⑶ 무게중심, , 6, , 3 ;3@; ;3!; 3 △ABD에서 BEÓ=EAÓ, EFÓADÓ이므로 ADÓ=2EFÓ=2_9=18(cm) 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 GDÓ= ADÓ= _18=6(cm) ;3!; ;3!; 6`cm 05 DQÓ：QOÓ=2：1이므로 DQÓ=2QOÓ=2_2=4(cm) ∴ x=4 DOÓ=4+2=6(cm)이므로 BOÓ=DOÓ=6`cm ∴ BDÓ=6+6=12(cm) ∴ y=12 x=4, y=12 06 ⑴ ;4!; , 9 ⑵ , 3 ⑶ , 6 ;1Á2; ;6!; 핵심문제 익히기 확인문제 본문 157 ~ 159쪽 1 7`cmÛ` 5 36`cmÛ` 2 ⑴ 6 ⑵ 4 3 6`cm 7 8`cmÛ` 6 10`cm 4 22 이렇게 풀어요 1 AMÓ은 △ABC의 중선이므로 △AMC=△ABM= △ABC= _28=14(cmÛ`) ;2!; ;2!; CPÓ는 △AMC의 중선이므로 4 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 GDÓ= AGÓ= _14=7(cm) ;2!; ;2!; ∴ x=7 △AEG»△ABD(AA 닮음)이므로 EGÓ：BDÓ=AGÓ：ADÓ=2：3에서 5：BDÓ=2：3, 2BDÓ=15 ∴ BDÓ= (cm) :Á2°: ∴ BCÓ=2BDÓ=2_ =15(cm) :Á2°: ∴ y=15 ∴ x+y=7+15=22 22 5 GEÓ=ECÓ이므로 △GDC =2△GDE =2_3=6(cmÛ`) 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 △ABC =6△GDC =6_6=36(cmÛ`) 36`cmÛ` 6 BDÓ를 긋고, ACÓ와 BDÓ의 교점 을 O라 하면 점 P, Q는 각각 △ABD, △DBC의 무게중심 B A M P O N C D 15`cm Q △APC=△PMC= △AMC= _14=7(cmÛ`) ;2!; ;2!; 이다. 7`cmÛ` 즉, APÓ=2POÓ,CQÓ=2QOÓ이고 AOÓ=COÓ에서 POÓ=QOÓ이므로 APÓ=PQÓ=QCÓ ⑵ 점 D는 직각삼각형 ABC의 빗변의 중점이므로 로 BPÓ=PQÓ=QDÓ이다. 2 ⑴ 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 GDÓ= ADÓ= ;3!; ;3!; 점 G'은 △GBC의 무게중심이므로 _27=9 GG'Ó= GDÓ= _9=6 ∴ x=6 ;3@; ;3@; △ABC의 외심이다. ∴ ADÓ=BDÓ=CDÓ= ;2!; 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 BCÓ= ;2!; _12=6 AGÓ= ADÓ= _6=4 ∴ x=4 ;3@; ;3@; ∴ AQÓ= ACÓ= _15=10(cm) 10`cm ;3@; ;3@; 7 ACÓ를 그으면 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이므 A P Q D N B M C ∴ △APQ= △ABD ;3!; = _ ;3!; ;2!; ABCD = ;6!; ABCD ⑴ 6 ⑵ 4 = _48=8(cmÛ`) ;6!; 8`cmÛ` III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 57 기본서(중2-2)_해설_3-2단원(46~62)_6.indd 57 2018. 12. 13. 오후 5:53 소단원 핵심문제 본문 160 ~ 161쪽 06 BDÓ=DCÓ이고 점 G, G'이 각각 △ABD, △ADC의 무 01 9`cm` 05 12 09 5`cmÛ` 02 17 06 8`cm 10 12`cm 03 45`cm 07 ㄷ, ㄹ 11 20`cmÛ` 04 8`cm 08 ② 이렇게 풀어요 01 ADÓ가 △ABC의 중선이므로 게중심이므로 BEÓ=EDÓ, DFÓ=FCÓ ∴ EFÓ= BCÓ= _24=12(cm) ;2!; △AGG'과 △AEF에서 ;2!; ∠A는 공통, AGÓ`:`AEÓ=AG'Ó`:`AFÓ=2`:`3 이므로 △AGG'»△AEF(SAS 닮음) 즉, GG'Ó：EFÓ=AGÓ：AEÓ=2：3에서 △ABD=△ADC= ;2!; 즉, △ABD의 넓이에서 △ABC= _54=27(cmÛ`) ;2!; GG'Ó：12=2：3, 3GG'Ó=24 ∴ GG'Ó=8(cm) 8`cm _6_AHÓ=27 ;2!; ∴ AHÓ=9(cm) 02 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 AGÓ= ADÓ= _18=12 ;3@; ;2!; ;3@; ;2!; GEÓ= BGÓ= _10=5 03 점 G'이 △GBC의 무게중심이므로 GDÓ= GG'Ó= _10=15(cm) ;2#; ;2#; 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 ∴ AGÓ+GEÓ=12+5=17 17 9`cm 07 ㄷ. GDÓ= ;3!; ADÓ, GEÓ= BEÓ, GFÓ= CFÓ ;3!; ;3!; 이때 세 중선 AD, BE, CF의 길이가 같은지 알 수 없으므로 GDÓ, GEÓ, GFÓ의 길이가 같은지 알 수 없다. ㄹ. △GAB= △ABC ;3!; ㅁ. FBDG =△FBG+△GBD = △ABC+ △ABC ;6!; ;6!; = ;3!; △ABC ㄷ, ㄹ 08 점 G, G'은 각각 △ABC, △GBC의 무게중심이므로 △GBG'= △GBD ;3@; ADÓ =3GDÓ=3_15=45(cm) 45`cm 04 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 CFÓ=FAÓ △CAD에서 CFÓ=FAÓ, CEÓ=EDÓ이므로 ADÓ=2FEÓ=2_6=12(cm) ∴ AGÓ= ADÓ= _12=8(cm) ;3@; ;3@; 8`cm = _ ;3@; ;6!; △ABC = ;9!; △ABC = _36=4(cmÛ`) ;9!; ② 09 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 05 점 G가 ABC의 무게중심이므로 AEÓ=ECÓ 즉, 점 E는 직각삼각형 ABC의 빗변의 중점이므로 △DBG= △ABC= _60=10(cmÛ`) ;6!; ;6!; BGÓ`:`GEÓ=2`:`1이므로 △ABC의 외심이다. 즉, BEÓ=AEÓ=CEÓ= ACÓ= _12=6이므로 ;2!; ;2!; BGÓ= BEÓ= _6=4 ;3@; ;3@; ∴ x=4 △CEB에서 CDÓ=DBÓ이고 DFÓBEÓ이므로 DFÓ= BEÓ= _6=3 ;2!; ;2!; ∴ y=3 ∴ xy=4_3=12 58 정답과 풀이 △DGE = △DBG ;2!; = ;2!; _10=5(cmÛ`) 5`cmÛ` 10 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이므로 BPÓ=PQÓ=QDÓ=8`cm ∴ BDÓ=3BPÓ=3_8=24(cm) △BCD에서 CMÓ=MBÓ, CNÓ=NDÓ이므로 12 MNÓ= BDÓ= _24=12(cm) ;2!; ;2!; 12`cm 기본서(중2-2)_해설_3-2단원(46~62)_6.indd 58 2018. 12. 13. 오후 5:53 11 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이므로 (색칠한 부분의 넓이) =PMCO+OCNQ 04 △BCF에서 CDÓ=DBÓ, DGÓBFÓ이므로 BFÓ=2DGÓ=2_6=12(cm) = △ABC+ △ACD ;3!; (△ABC+△ACD) = ABCD= _60 ;3!; ;3!; = ;3!; ;3!; =20(cmÛ`) 20`cmÛ` 05 △ABD에서 EHÓ= BDÓ= _16=8(cm) △ADG에서 AEÓ=EDÓ, EFÓDGÓ이므로 EFÓ= DGÓ= _6=3(cm) ;2!; ;2!; ∴ BEÓ=BFÓ-EFÓ=12-3=9(cm) 9`cm ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; △ABC에서 EFÓ= ACÓ= _12=6(cm) 이때 마름모의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 직 사각형이므로 EFGH는 직사각형이다. ∴ EFGH=EHÓ_EFÓ=8_6=48(cmÛ`) ② ④ 중단원 마무리 01 3`cm 02 4`cm 06 ④ 05 ② 09 45`cmÛ` 10 ② 13 19ù 17 18`cm 21 10`cm 14 6`cm 18 12`cm 22 15`cmÛ` 본문 162 ~ 164쪽 03 36`cm 07 ② 11 4`cm 15 3`cm 19 ③ 04 9`cm 08 6`cm 12 8`cmÛ` 16 4`cm 20 10`cmÛ` 06 △ABC에서 AMÓ=MBÓ, MQÓBCÓ이므로 MQÓ= BCÓ= _10=5(cm) ;2!; ;2!; △ABD에서 BMÓ=MAÓ, MPÓADÓ이므로 MPÓ= ADÓ= _4=2(cm) ;2!; ∴ PQÓ=MQÓ-MPÓ=5-2=3(cm) ;2!; 이렇게 풀어요 07 △ABM =△AMC= △ABC ;2!; 01 △ABC에서 점 M, N은 각각 ABÓ, ACÓ의 중점이므로 = ;2!; _60=30(cmÛ`) MNÓ= BCÓ= _14=7(cm) ;2!; ∴ ENÓ =MNÓ-MEÓ ;2!; =7-4=3(cm) △DBE=△DEC= △AMC ;3!; 3`cm = _30=10(cmÛ`) ;3!; ∴ (색칠한 부분의 넓이) =△DBE+△DEC 02 △ABC에서 점 M, N은 각각 ABÓ, ACÓ의 중점이므로 BCÓ=2MNÓ=2_6=12(cm) 또 △DBC에서 점 P, Q는 각각 DBÓ, DCÓ의 중점이므로 PQÓ= BCÓ= ;2!; ∴ RQÓ =PQÓ-PRÓ ;2!; _12=6(cm) =6-2=4(cm) 4`cm 이다. =10+10 =20(cmÛ`) ② 08 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 BDÓ=DCÓ 즉, 점 D는 직각삼각형 ABC의 빗변의 중점이므로 외심 즉, ADÓ=BDÓ=CDÓ= BCÓ= _18=9(cm)이므로 ;2!; ;2!; AGÓ= ADÓ= _9=6(cm) ;3@; ;3@; 6`cm 03 DEÓ= ACÓ, EFÓ= ABÓ, DFÓ= ;2!; ;2!; (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ ;2!; BCÓ이므로 =2EFÓ+2DFÓ+2DEÓ =2(EFÓ+DFÓ+DEÓ) =2_18=36(cm) 09 점 G'이 △GBC의 무게중심이므로 △GBC=3△GG'C=3_5=15(cmÛ`) 또 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 36`cm △ABC=3△GBC=3_15=45(cmÛ`) 45`cmÛ` III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 59 기본서(중2-2)_해설_3-2단원(46~62)_6.indd 59 2018. 12. 13. 오후 5:53 10 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이다. ① AMÓ`:`PMÓ=3`:`1이므로 AMÓ=3PMÓ 14 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 △ADC에서 ADÓFEÓ ② AQÓ`:`QNÓ=2`:`1이므로 AQÓ=2QNÓ 또 △BEF에서 ③ BPÓ=PQÓ=QDÓ= BDÓ ;3!; ④ △BCD에서 CMÓ=MBÓ, CNÓ=NDÓ이므로 MNÓ= BDÓ ;2!; ⑤ BPÓ=PQÓ=QDÓ이므로 △APQ = △ABD ;3!; = _ ;3!; ;2!; ABCD = ;6!; ABCD 11 △ABC에서 DEÓ= BCÓ= _16=8(cm) ;2!; ;2!; △FDE에서 GHÓ= DEÓ= _8=4(cm) ;2!; ;2!; 4`cm 12 DEÓ= ACÓ이므로 DEÓ=AFÓ=FCÓ FEÓ= ABÓ이므로 FEÓ=ADÓ=DBÓ DFÓ= BCÓ이므로 DFÓ=BEÓ=ECÓ ;2!; ;2!; ;2!; 이므로 △DEF= △ABC= _32=8(cmÛ`) 8`cmÛ` ;4!; ;4!; 13 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 △ACD에서 PMÓCDÓ이므로 ∠APM=∠ACD=42ù(동위각) △ABC에서 PNÓABÓ이므로 ∠CPN=∠CAB=80ù(동위각) 이때 PMÓ= CDÓ= ABÓ=PNÓ이므로 ;2!; △PMN에서 ∠PMN=∠PNM ;2!; ∴ ∠PMN = _(180ù-∠MPN) ;2!; = ;2!; = ;2!; 60 정답과 풀이 BDÓ=DEÓ, DPÓEFÓ이므로 BPÓ=PFÓ, PDÓ= EFÓ ;2!; PDÓ=a라 하면 △BEF에서 EFÓ=2a △ADC에서 ADÓ=2EFÓ=2_2a=4a ∴ APÓ=ADÓ-PDÓ=4a-a=3a △QAP»△QEF(AA 닮음)이므로 QPÓ`:`QFÓ=APÓ`:`EFÓ=3a`:`2a=3：2 그런데 △BEF에서 BPÓ=PFÓ이므로 ② BPÓ：PQÓ：QFÓ=5：3：2 ∴ PQÓ = 3 5+3+2 BFÓ = ;1£0; _20=6(cm) 6`cm (cid:37) (cid:34) (cid:26)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:40) (cid:38) (cid:36) (cid:35) (cid:39) 15 점 D를 지나고 BCÓ와 평행한 직선 을 그어 ACÓ와의 교점을 G라 하자. △ABC에서 ADÓ=DBÓ, DGÓBCÓ이므로 AGÓ=GCÓ 또 △DEGª△FEC(ASA 합동) 이므로 GEÓ=CEÓ 즉, AEÓ=3ECÓ이므로 3ECÓ=9 16 △PBD = ;6!; △ABC = ;6!; _2△ABD = ;3!; △ABD 이므로 △PBD：△ABD=1：3 즉, PDÓ：ADÓ=1：3이므로 PDÓ：12=1：3, 3PDÓ=12 17 △AGG'과 △AEF에서 ∠A는 공통, AGÓ：AEÓ=AG'Ó：AFÓ=2：3 이므로 △AGG'»△AEF(SAS 닮음) 즉, AGÓ：AEÓ=GG'Ó：EFÓ에서 2：3=6：EFÓ,2EFÓ=18 _(180ù-142ù) ∴ EFÓ=9(cm) _38ù=19ù 19ù 이때 BDÓ=DCÓ이고 BEÓ=EDÓ, DFÓ=FCÓ이므로 BCÓ=2EFÓ=2_9=18(cm) 18`cm ∴ ∠APN=180ù-∠CPN=180ù-80ù=100ù ∴ PDÓ=4(cm) 4`cm ∴ ∠MPN=∠APM+∠APN=42ù+100ù=142ù 따라서 △ADFª△DBEª△FECª△EFD(SSS 합동) ∴ ECÓ=3(cm) 3`cm 기본서(중2-2)_해설_3-2단원(46~62)_6.indd 60 2018. 12. 13. 오후 5:53 22 PQÓMNÓ이므로 △APQ»△AMN(AA 닮음) ACÓ를 그으면 점 P는 △ABC의 B A P Q D N M C 무게중심이므로 APÓ：AMÓ=2：3에서 △APQ：△AMN=2Û`：3Û`=4：9 ∴ △APQ：PMNQ =4：(9-4)=4：5 즉, 12：PMNQ=4：5에서 4PMNQ=60 ∴ PMNQ=15(cmÛ`) 15`cmÛ` 다른 풀이 AMCN =△AMC+△ACN = △ABC+ △ACD ;2!; = (△ABC+△ACD)= ABCD ;2!; 이때 △ABD =3△APQ=3_12=36(cmÛ`)이므로 ABCD =2△ABD=2_36=72(cmÛ`) ③ ∴ AMCN= ABCD= _72=36(cmÛ`) ;2!; ;2!; 또 △MCN = △BCN= _ ;2!; ;2!; △BCD = △BCD= _ ;4!; ;2!; ABCD = ABCD= _72=9(cmÛ`) ;8!; ∴ PMNQ =AMCN-△APQ-△MCN =36-12-9=15(cmÛ`) ;2!; ;2!; ;2!; ;4!; ;8!; 18 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 AG Ó= ALÓ= _36=24(cm) ;3@; ;3@; 점 M, N이 각각 ABÓ, ACÓ의 중점이므로 MNÓBCÓ 즉, △ABL에서 APÓ=PLÓ이므로 APÓ= ALÓ= _36=18(cm) ;2!; ;2!; 이때 점 G'이 △AMN의 무게중심이므로 AG'Ó= APÓ= _18=12(cm) ;3@; ;3@; 19 DEÓ는 △EBC의 중선이므로 △EBD=△EDC ∴ △EDC = △EBC= _ ;2!; ;2!; △ABC ;2!; ;4!; = △ABC= _3△ABG ;4!; = ;4!; _3_4=3 ∴ G'GÓ =AGÓ-AG'Ó=24-12=12(cm) 12`cm 20 AGÓ를 그으면 점 G가 △ABC의 무 A 게중심이므로 △GAB =△GBC=△GCA G D B C E = ;3!; △ABC ∴ △ADG = △ABG ;2!; = _ ;2!; ;3!; △ABC = ;6!; △ABC 같은 방법으로 △AGE= △ABC ;6!; ∴ (색칠한 부분의 넓이) =△ADG+△AGE 서술형 대비 문제 본문 165 ~ 166쪽 1-1 48 5 6`cm 2-1 10`cmÛ` 3 4`cm 6 12`cmÛ` 4 12`cm = △ABC+ △ABC ;6!; ;6!; = ;3!; △ABC = ;3!; _30=10(cmÛ`) 이렇게 풀어요 1-1 1 단계 △ABC에서 AMÓ=MBÓ, ANÓ=NCÓ이므로 MNÓBCÓ 10`cmÛ` 즉, ∠AMN=∠B=60ù(동위각)이므로 ∠ANM=180ù-(80ù+60ù)=40ù 21 △BCD에서 CMÓ=MBÓ, CNÓ=NDÓ이므로 BDÓ=2MNÓ=2_15=30(cm) 이때 BEÓ=EFÓ=FDÓ이므로 ∴ x=40 2 단계 MNÓ= BCÓ= _16=8(cm) ;2!; ;2!; ∴ y=8 BEÓ= BDÓ= _30=10(cm) ;3!; ;3!; 10`cm 3 단계 ∴ x+y=40+8=48 48 III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 61 기본서(중2-2)_해설_3-2단원(46~62)_6.indd 61 2018. 12. 13. 오후 7:29 5 1 단계 △ABC에서 ADÓ=DBÓ, AEÓ=ECÓ이므로 DEÓBCÓ 2 단계 △DGF와 △CGH에서 ∠DGF=∠CGH(맞꼭지각), ∠GDF=∠GCH(엇각) ∴ △DGF»△CGH(AA 닮음) 이때 GFÓ`:`GHÓ=DGÓ`:`CGÓ=1`:`2이므로 2`:`GHÓ=1`:`2 ∴ GHÓ=4(cm) 3 단계 △ABH에서 ADÓ=DBÓ, DFÓBHÓ이므로 AFÓ=FHÓ=FGÓ+GHÓ =2+4=6(cm) 6`cm 채점 요소 단계 1 2 3 DEÓBCÓ임을 알기 GHÓ의 길이 구하기 AFÓ의 길이 구하기 배점 2점 3점 3점 6 1 단계 점 P는 △ABC의 무게중심이므로 POÓ= BOÓ yy ㉠ 점 Q는 △ACD의 무게중심이므로 QOÓ= DOÓ yy ㉡ ;3!; ;3!; ㉠, ㉡에 의해 PQÓ =POÓ+QOÓ= (BOÓ+DOÓ) ;3!; = ;3!; BDÓ 2 단계 ∴ △APQ = △ABD ;3!; = _ ;3!; ;2!; ABCD ABCD = ;6!; = ;6!; 채점 요소 _72=12(cmÛ`) 12`cmÛ` 단계 1 2 PQÓ= BDÓ임을 알기 ;3!; △APQ의 넓이 구하기 배점 4점 4점 2-1 1 단계 오른쪽 그림과 같이 중선 CF를 그으면 A G F 5`cmE 2 단계 GDCE =△GDC+△GCE B D 12`cm C = △ABC+ △ABC ;6!; ;6!; = ;3!; △ABC 3 단계 이때 △ABC= _12_5 30(cmÛ`)이므로 ;2!; = GDCE= △ABC= _30=10(cmÛ`) ;3!; ;3!; 10`cmÛ` 3 1 단계 점 A를 지나고 BCÓ에 평행한 직선을 그어 DEÓ와의 교점을 (cid:37) F라 하면 △AMF와 △CME에서 AMÓ=CMÓ, ∠FAM=∠ECM(엇각), ∠AMF=∠CME(맞꼭지각) (cid:34) (cid:39) (cid:46) (cid:35) (cid:25)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:38) (cid:36) 이므로 △AMFª△CME(ASA 합동) ∴ AFÓ=CEÓ 2 단계 또 △DBE에서 DAÓ=ABÓ, AFÓBEÓ이므로 AFÓ= BEÓ= _8=4(cm) ;2!; 3 단계 ∴ ECÓ=AFÓ=4`cm ;2!; 채점 요소 단계 1 2 3 AFÓ=CEÓ임을 알기 AFÓ의 길이 구하기 ECÓ의 길이 구하기 4`cm 배점 3점 3점 2점 4 1 단계 △ABD에서 BMÓ=MAÓ, MPÓADÓ이므로 MPÓ= ADÓ= _6=3(cm) ;2!; ;2!; 2 단계 MQÓ=2MPÓ=2_3=6(cm) 3 단계 △ABC에서 AMÓ=MBÓ, MQÓBCÓ이므로 BCÓ=2MQÓ=2_6=12(cm) 12`cm 단계 채점 요소 1 MPÓ의 길이 구하기 2 MQÓ의 길이 구하기 3 BCÓ의 길이 구하기 배점 3점 1점 3점 62 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_3-2단원(46~62)_6.indd 62 2018. 12. 13. 오후 5:53 III | 도형의 닮음과 피타고라스 정리 4 피타고라스 정리 01 피타고라스 정리 개념원리 확인하기 본문 170쪽 01 ⑴ 5 ⑵ 8 ⑶ 25 ⑷ 7 02 ⑴ x=12, y=16 ⑵ x=15, y=17 03 ⑴ ⑵ _ ⑶ _ ⑷ 이렇게 풀어요 1 △ABD에서 ABÓ Û`+8Û`=17Û`, ABÓ Û`=225 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=15(cm) △ABC에서 15Û`+(8+12)Û`=ACÓ Û`, ACÓ Û`=625 그런데 ACÓ>0이므로 ACÓ=25(cm) 2 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H 라 하면 HCÓ=ADÓ=8`cm이므로 BHÓ=BCÓ-HCÓ=18-8=10(cm) △ABH에서 AHÓ Û`+10Û`=26Û` AHÓ Û`=576 25`cm 8`cm A D 26`cm B H 18`cm C 이렇게 풀어요 01 ⑴ xÛ`+12Û`=13Û`에서 xÛ`=25 그런데 x>0이므로 x=5 ⑵ xÛ`+6Û`=10Û`에서 xÛ`=64 그런데 x>0이므로 x=8 ⑶ 15Û`+20Û`=xÛ`에서 xÛ`=625 그런데 x>0이므로 x=25 ⑷ xÛ`+24Û`=25Û`에서 xÛ`=49 그런데 x>0이므로 x=7 02 ⑴ xÛ`+5Û`=13Û`에서 xÛ`=144 그런데 x>0이므로 x=12 yÛ`+12Û`=20Û`에서 yÛ`=256 그런데 y>0이므로 y=16 ⑵ 12Û`+9Û`=xÛ`에서 xÛ`=225 그런데 x>0이므로 x=15 15Û`+8Û`=yÛ`에서 yÛ`=289 그런데 y>0이므로 y=17 ⑴ 5 ⑵ 8 ⑶ 25 ⑷ 7 그런데 AHÓ>0이므로 AHÓ=24(cm) 이때 DCÓ=AHÓ=24`cm이므로 △DBC에서 18Û`+24Û`=BDÓ Û`, BDÓ Û`=900 그런데 BDÓ>0이므로 BDÓ=30(cm) 30`cm 3 △AEH≡△BFE≡△CGF≡△DHG(SAS 합동)이므로 EFGH는 정사각형이다. 이때 EFGH의 넓이가 20`cmÛ`이므로 EHÓ Û`=20 △AEH에서 AHÓ Û`+2Û`=20, AHÓ Û`=16 그런데 AHÓ Ó>0이므로 AHÓ=4(cm) EBÓ=HAÓ=4`cm이므로 ABÓ=AEÓ+EBÓ=2+4=6(cm) ∴ (ABCD의 둘레의 길이)=6_4=24(cm) 24`cm 4 △ABC≡△CDE이므로 ∠ACE =180ù-(∠ACB+∠ECD) =180ù-(∠ACB+∠CAB)=90ù, 즉, △ACE는 ∠ACE=90ù인 직각이등변삼각형이다. 이때 ABÓ=CDÓ=3`cm이므로 △ABC에서 3Û`+5Û`=ACÓ Û`, ACÓ Û`=34 ∴ △ACE = _ACÓ Û` ;2!; 5 EFGH는 정사각형이고 넓이가 9 ` 그런데 EFÓ>0이므로 EFÓ=3(cm) cmÛ ` 이므로 EFÓ Û`=9 BFÓ=AEÓ=2 cm이고 AFÓ=2+3=5(cm)이므로 ` △ABF에서 2Û ∴ ABCD=ABÓ Û`=29(cmÛ ` =ABÓ Û`, ABÓ Û` ) +5Û ` ` 29 = 29`cmÛ` III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 63 ⑴ x=12, y=16 ⑵ x=15, y=17 ACÓ=CEÓ 03 ⑴ 3Û`+4Û`=5Û`이므로 직각삼각형이다. ⑵ 4Û`+6Û`+8Û`이므로 직각삼각형이 아니다. ⑶ 5Û`+6Û`+7Û`이므로 직각삼각형이 아니다. ⑷ 8Û`+15Û`=17Û`이므로 직각삼각형이다. ⑴ ⑵ _ ⑶ _ ⑷ = ;2!; _34=17(cmÛ`) 17`cmÛ` 핵심문제 익히기 확인문제 본문 171 ~ 173쪽 1 25`cm 5 29`cmÛ` 2 30`cm 6 2`cm 3 24`cm 7 ③ 4 17`cmÛ` 기본서(중2-2)_해설_3-4단원(63~68)_6.indd 63 2018. 12. 13. 오후 5:55 6 ACHI, BFGC의 넓이가 각각 13 cmÛ , 9 cmÛ 이므 ` ` ` ` 로 ACÓ Û`=13, BCÓ Û`=9 △ABC에서 ABÓ Û`+BCÓ Û`=ACÓ Û`이므로 ABÓ Û`+9=13, ABÓ Û`=4 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=2(cm) 2`cm △ABE에서 9Û`+AEÓ Û`=15Û 그런데 AEÓ>0이므로 AEÓ=12(cm) , AEÓ Û`=144 ` ∴ ABCD = _(7+25)_12 ;2!; =192(cmÛ ` ) ⑴ 936`cmÛ` ⑵ 192`cmÛ` 7 ③ 7Û`+10Û`+10Û`이므로 직각삼각형이 아니다. ③ 소단원 핵심문제 본문 174쪽 ∴ PQÓ =AQÓ-APÓ PQRS=7Û`=49(cmÛ`) 49`cmÛ` 03 BQÓ=APÓ=8`cm이므로 △ABQ에서 AQÓ Û`+8Û =17Û`, AQÓ Û`=225 ` 그런데 AQÓ>0이므로 AQÓ=15(cm) =15-8=7(cm) 이때 PQRS는 정사각형이므로 04 △ABC에서 8Û`+ACÓ Û`=10Û 그런데 ACÓ>0이므로 ACÓ=6(cm) , ACÓ Û`=36 ` △ABF = ADEB = _8Û =32(cmÛ ` ` ) ;2!; △AGC = ACHI ;2!; ;2!; = _6Û =18(cmÛ ` ` ) ;2!; ⑴ 17 ⑵ 13 D 48`cm A 14`cm B 30`cm C ∴ (색칠한 부분의 넓이) =△ABF+△AGC =32+18 =50(cmÛ ` ) 50`cmÛ` 05 x`cm가 가장 긴 선분의 길이이므로 직각삼각형을 만들려 면 12Û`+16Û`=xÛ`이어야 한다. 즉, xÛ`=400 그런데 x>16이므로 x=20 20 01 ⑴ 17 ⑵ 13 03 49`cmÛ` 04 50`cmÛ` 05 20 02 ⑴ 936`cmÛ` ⑵ 192`cmÛ` 이렇게 풀어요 01 ⑴ △ADC에서 DCÓ Û`+8Û`=10Û`, DCÓ Û`=36 그런데 DCÓ>0이므로 DCÓ=6(cm) △ABC에서 (9+6)Û`+8Û`=ABÓ Û`, ABÓ Û`=289 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=17(cm) ∴ x=17 ⑵ △ABD에서 BDÓ Û`+12Û`=20Û`, BDÓ Û`=256 그런데 BDÓ>0이므로 BDÓ=16(cm) 이때 CDÓ=BCÓ-BDÓ=21-16=5(cm) △ADC에서 12Û`+5Û`=ACÓ Û`, ACÓ Û`=169 그런데 ACÓ>0이므로 ACÓ=13(cm) ∴ x=13 02 ⑴ BDÓ를 그으면 △ABD에서 14Û`+48Û`=BDÓ Û`, BDÓ Û`=2500 그런데 BDÓ>0이므로 BDÓ=50(cm) △BCD에서 30Û`+CDÓ Û`=50Û`, CDÓ Û`=1600 그런데 CDÓ>0이므로 CDÓ=40(cm) ∴ ABCD = _14_48+ _30_40 ;2!; ;2!; =936(cmÛ`) 내린 수선의 발을 각각 E, F 15�cm 라 하자. EFÓ=ADÓ=7 cm이므로 B F E 25�cm BEÓ =CFÓ= _(25-7)=9(cm) ` ;2!; 15�cm C 64 정답과 풀이 ⑵ 두 꼭짓점 A, D에서 BCÓ에 7�cm A D 02 피타고라스 정리를 이용한 성질 개념원리 확인하기 본문 177쪽 01 ⑴ 예각삼각형 ⑵ 둔각삼각형 ⑶ 직각삼각형 02 19 03 12 04 5 05 30p`cmÛ` 기본서(중2-2)_해설_3-4단원(63~68)_6.indd 64 2018. 12. 13. 오후 5:55 이렇게 풀어요 01 ⑴ 7Û`<5Û`+6Û`이므로 예각삼각형이다. ⑵ 15Û`>6Û`+10Û`이므로 둔각삼각형이다. ⑶ 20Û`=12Û`+16Û`이므로 직각삼각형이다. ⑴ 예각삼각형 ⑵ 둔각삼각형 ⑶ 직각삼각형 4 ⑴ (ABÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이) +(ACÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이) =(BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이)이므로 (색칠한 부분의 넓이) =2_(BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이) 02 BEÓ Û`+CDÓ Û`=DEÓ Û`+BCÓ Û`이므로 6Û`+8Û`=xÛ`+9Û` ∴ xÛ`=19 03 ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`이므로 6Û`+5Û`=xÛ`+7Û` ∴ xÛ`=12 04 APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로 6Û`+xÛ`=5Û`+4Û` ∴ xÛ`=5 12 5 =2_ _p_5Û {;2!; `} =25p(cmÛ ` ) 19 ⑵ △ABC에서 12Û`+ACÓ Û`=15Û`, ACÓ Û`=81 그런데 ACÓ>0이므로 ACÓ=9(cm) ∴ (색칠한 부분의 넓이) =△ABC = ;2!; _12_9 =54(cmÛ ` ) ⑴ 25p`cmÛ` ⑵ 54`cmÛ` 05 ACÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이를 S cmÛ ` ` 라 하면 60p+S=90p ∴ S=30p 따라서 ACÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이는 30p`cmÛ`이 다. 30p`cmÛ` 소단원 핵심문제 01 ③ 02 125 05 96`cmÛ` 06 5`cm 본문 180쪽 03 83 04 21 핵심문제 익히기 확인문제 본문 178 ~ 179쪽 01 ② 04 ⑴ 25p`cmÛ` ⑵ 54`cmÛ` 02 89 03 45 <5Û +7Û ∴ 예각삼각형 ∴ 둔각삼각형 ` ∴ 예각삼각형 이렇게 풀어요 1 ① 8Û ` ② 12Û ` >5Û ` +10Û ③ 10Û <7Û ` ` ` ` ` ` ` ` +8Û ` +24Û ` ` ④ 25Û =7Û ∴ 직각삼각형 ⑤ 15Û =9Û +12Û ∴ 직각삼각형 ② 2 △ADE에서 3Û`+4Û`=DEÓ Û`, DEÓ Û`=25 BEÓ Û`+CDÓ Û`=DEÓ Û`+BCÓ Û`이므로 BEÓ Û`+CDÓ Û`=25+8Û`=89 89 ∴ 둔각삼각형 ③ 이렇게 풀어요 01 ① 4Û ② 7Û ` ` ③ 9Û ` ④ 10Û ⑤ 20Û >2Û +3Û ∴ 둔각삼각형 ` ` ` ` >3Û +5Û ∴ 둔각삼각형 <6Û +7Û ∴ 예각삼각형 ∴ 직각삼각형 ` =6Û ` >12Û ` ` ` +8Û ` +15Û ` ` 02 △ABC에서 CDÓ=DAÓ, CEÓ=EBÓ이므로 DEÓ= ABÓ= _10=5 ;2!; ;2!; AEÓ Û`+BDÓ Û`=DEÓ Û`+ABÓ Û`이므로 AEÓ Û`+BDÓ =125 Ó Û`=5Û +10Û ` ` 03 △PBC에서 3Û`+5Û`=BCÓ Û`, BCÓ Û`=34 ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`이므로 ABÓ Û`+CDÓ Û`=7Û`+34=83 125 83 21 III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 65 3 APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로 BPÓ Û`+DPÓ Û`=3Û`+6Û`=45 04 APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로 xÛ`+5Û`=2Û`+yÛ` 45 ∴ yÛ`-xÛ`=21 기본서(중2-2)_해설_3-4단원(63~68)_6.indd 65 2018. 12. 13. 오후 5:55 05 (ABÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이) +( BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이) =(ACÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이)이므로 ( BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이) =50p-18p=32p(cmÛ`) ABÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이가 18p`cmÛ`이므로 _p_ ;2!; ABÓ 2 } ` { =18p에서 ABÓ Û`=144 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=12(cm) 또 BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이가 32p`cmÛ`이므로 _p_ ;2!; BCÓ 2 } ` { =32p에서 BCÓ Û`=256 그런데 BCÓ>0이므로 BCÓ=16(cm) ∴ △ABC = _ABÓ_BCÓ ;2!; 02 △ABD에서 ADÓ Û`+12Û`=20Û`, ADÓ Û`=256 그런데 ADÓ>0이므로 ADÓ=16(cm) 또 △ABC에서 ABÓ Û`=ADÓ_ACÓ이므로 =16_ACÓ ∴ ACÓ=25(cm) 이때 20Û`+BCÓ Û`=25Û`에서 BCÓ Û`=225 그런데 BCÓ>0이므로 BCÓ=15(cm) 20Û ` 03 ACÓ를 그으면 △ACD에서 7Û`+1Û`=ACÓ Û` ACÓ Û`=50 △ABC에서 ABÓ Û`+BCÓ Û`=ACÓ Û`=50 이때 ABÓ=BCÓ이므로 2ABÓ Û`=50, ABÓ Û`=25 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=5 15`cm 7 D 1 C A B = _12_16=96(cmÛ ` ;2!; ) 96`cmÛ` ∴ (ABCD의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CDÓ+DAÓ =5+5+1+7=18 18 06 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로 6= _4_ACÓ ;2!; ∴ ACÓ=3(cm) 따라서 △ABC에서 4Û`+3Û`=BCÓ Û`, BCÓ Û`=25 그런데 BCÓ>0이므로 BCÓ=5(cm) 5`cm ;2!; ACÓ Û`=10, ACÓ Û`=20 04 △ABCª△CDE이므로 △ACE는 ∠ACE=90ù인 직 각이등변삼각형이다. 이때 △ACE의 넓이가 10 cmÛ ` ` 이므로 △ABC에서 ABÓ Û`+4Û`=20, ABÓ Û`=4 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=2(cm) 따라서 CDÓ=ABÓ=2`cm, DEÓ=BCÓ=4`cm이므로 ABDE = _(2+4)_(4+2) ;2!; =18(cmÛ ` ) 18`cmÛ` 05 ① EBÓACÓ이므로 △AEB=△CEB ③ △EBCª△ABF(SAS 합동)이므로 △EBC=△ABF ④ △EBA=△EBC=△ABF=△JBF= BFKJ ;2!; ⑤ △HAC=△HBC=△AGC=△JGC이므로 ACHI=JKGC ② =3Û +4Û (직각삼각형) (직각삼각형) ` 06 ① 5Û ② 6Û ` ③ 10Û ` ` +3Û +5Û ` =6Û ` +8Û ④ 13Û +6Û +9Û ` ` ` ` ` ` ` ` ` 중단원 마무리 본문 181 ~ 182쪽 01 32 05 ② 09 16`cm 13 40`cmÛ` 14 189 02 15`cm 06 ①, ③ 10 5 04 18`cmÛ` 08 10`cm 03 18 07 29 11 96`cmÛ` 12 57 16 15 15 6`cm` 이렇게 풀어요 01 △ABD에서 xÛ`+9Û`=15Û ` 그런데 x>0이므로 x=12 , xÛ`=144 △ABC에서 12Û +16Û =yÛ`, yÛ`=400 ` ` 그런데 y>0이므로 y=20 66 정답과 풀이 ∴ x+y=12+20=32 32 ⑤ 12Û +7Û +9Û ①, ③ 기본서(중2-2)_해설_3-4단원(63~68)_6.indd 66 2018. 12. 13. 오후 5:55 Û Û 07 ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`이고 ADÓ Û`=xÛ`+yÛ`이므로 9Û`+12Û`=(xÛ`+yÛ`)+14Û` 13 △ABC에서 +4Û 8Û ` ` =BCÓ Û`, BCÓ Û`=80 ∴ xÛ`+yÛ`=29 29 ∴ △FDE =△BDE = ;2!; = ;2!; BDEC _BCÓ Û` = _80=40(cmÛ ` ;2!; ) 40`cmÛ` C A 8 E 6 D 14 DEÓ를 그으면 △ADE에서 6Û`+8Û`=DEÓ Û`, DEÓ Û`=100 △ABE에서 9 B (6+9)Û`+8Û`=BEÓ Û`, BEÓ Û`=289 이때 BEÓ Û`+CDÓ Û`=DEÓ Û`+BCÓ Û`이므로 289+CDÓ Û`=100+BCÓ Û` 16`cm ∴ BCÓ Û`-CDÓ Û`=189 189 15 APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로 6Û`+CPÓ Û`=8Û`+2Û`, CPÓ Û`=32 △PCD에서 2Û`+32=CDÓ Û`, CDÓ Û`=36 5 그런데 CDÓ>0이므로 CDÓ=6(cm) 6`cm 16 BDÓ를 그으면 SÁ+Sª=△ABD S£+S¢=△DBC ∴ (색칠한 부분의 넓이) =△ABD+△DBC =ABCD =3_5=15 A D S(cid:132) 3 Sª 5 S(cid:101) B S(cid:102) C 15 08 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로 24= _6_ACÓ ∴ ACÓ=8(cm) ;2!; 따라서 △ABC에서 6Û`+8Û`=BCÓ Û`, BCÓ Û`=100 그런데 BCÓ>0이므로 BCÓ=10(cm) 10`cm 09 ABÓ=ADÓ=12`cm이므로 △ABE에서 12Û`+BEÓ Û`=20Û`, BEÓ Û`=256 그런데 BEÓ>0이므로 BEÓ=16(cm) 이때 BCÓ=ADÓ=12`cm이므로 CEÓ=BEÓ-BCÓ=16-12=4(cm) ∴ (CEFG의 둘레의 길이)=4_4=16(cm) 10 △ABC에서 BCÓ Û`+6Û`=10Û`, BCÓ Û`=64 그런데 BCÓ>0이므로 BCÓ=8 이때 BDÓ`:`CDÓ=ABÓ`:`ACÓ이므로 BDÓ`:`CDÓ=10`:`6=5`:`3 ∴ BDÓ= BCÓ= _8=5 5 5+3 ;8%; 11 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 CDÓ= CGÓ= _ =10(cm) ;2#; ;2#; 이때 점 D는 △ABC의 외심이므로 ADÓ=BDÓ=CDÓ=10 cm 20 3 ` ∴ ABÓ =2ADÓ=2_10=20(cm) 따라서 △ABC에서 12Û`+ACÓ Û`=20Û ` 그런데 ACÓ>0이므로 ACÓ=16(cm) , ACÓ Û`=256 ∴ △ABC = _12_16=96(cmÛ ` ) ;2!; 96`cmÛ` 12 오각형 ABCDE의 넓이는 오른쪽 그 림과 같이 직사각형 ABCF의 넓이에 서 직각삼각형 EDF의 넓이를 뺀 것과 같다. △EDF에서 3Û`+DFÓ Û`=5Û`, DFÓ Û`=16 그런데 DFÓ>0이므로 DFÓ=4 A 7 B 6 FE 3 5 D C 9 ∴ (오각형 ABCDE의 넓이)=9_7- _3_4=57 ;2!; 서술형 대비 문제 본문 183 ~ 184쪽 1-1 20`cm 2-1 16 3 17`cm 4 :ª2°: `cmÛ` 57 5 369, 81 6 18분 III. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 67 기본서(중2-2)_해설_3-4단원(63~68)_6.indd 67 2018. 12. 13. 오후 5:55 이렇게 풀어요 1-1 1 단계 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수 선의 발을 H라 하자. 13`cm 11`cm A HCÓ=ADÓ=11`cm이므로 BH Ó=BCÓ-HCÓ B H 16`cm D C =16-11=5(cm) △ABH에서 AHÓ Û`+5Û`=13Û`, AHÓ Û`=144 그런데 AHÓ>0이므로 AHÓ=12(cm) ∴ DCÓ=AHÓ=12`cm 2 단계 △DBC에서 16Û`+12Û`=BDÓ Û`, BDÓ Û`=400 그런데 BDÓ>0이므로 BDÓ=20(cm) 2 단계 이때 △JGC= JKGC이고 ;2!; JKGC =BFGC-BFKJ =13Û`-144 =25(cmÛ ` ) 이므로 △HBC =△JGC= JKGC ;2!; = _25= ;2!; (cmÛ ` ) :ª2°: 20`cm 단계 1 2 채점 요소 △HBC=△JGC임을 알기 △HBC의 넓이 구하기 :ª2°: `cmÛ` 배점 4점 4점 2-1 1 단계 ACÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이는 Sª-SÁ=56p-24p=32p 5 1 단계 가장 긴 빨대의 길이가 x`cm일 때 15Û`+12Û`=xÛ`에서 2 단계 ACÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이가 32p이므로 xÛ`=369 2 단계 가장 긴 빨대의 길이가 15`cm일 때 12Û`+xÛ`=15Û`에서 xÛ`=81 369, 81 단계 1 2 채점 요소 배점 가장 긴 빨대의 길이가 x`cm일 때, xÛ`의 값 구하기 4점 가장 긴 빨대의 길이가 15`cm일 때, xÛ`의 값 구하기 4점 6 1 단계 PAÓ Û`+PCÓ Û`=PBÓ Û`+PDÓ Û`이므로 200Û`+PCÓ Û`=600Û`+700Û`에서 PCÓ Û`=810000 그런데 PCÓ>0이므로 PCÓ=900(m) 2 단계 시속 3`km는 분속 =50(m)이므로 안내소 3000 60 P에서 출발하여 시속 3`km로 C 부스까지 가는 데 걸리는 시간은 :»5¼0¼: =18(분) 단계 1 2 채점 요소 안내소 P에서 C 부스까지의 거리 구하기 안내소 P에서 C 부스까지 시속 3`km로 가는 데 걸리는 시간 구하기 18분 배점 4점 4점 ACÓ Û`=32p에서 _p_ ;2!; 2 } { ACÓ Û`=256 그런데 ACÓ>0이므로 ACÓ=16 16 3 1 단계 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분 하므로 AOÓ= ACÓ= _16=8(cm) ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; BOÓ= BDÓ= _30=15(cm) 2 단계 △ABO에서 8Û`+15Û`=ABÓ Û`, ABÓ Û`=289 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=17(cm) 따라서 마름모 ABCD의 한 변의 길이는 17`cm이 다. 단계 1 2 채점 요소 AOÓ, BOÓ의 길이 각각 구하기 마름모 ABCD의 한 변의 길이 구하기 17`cm 배점 2점 4점 4 1 단계 △HBCª△AGC(SAS 합동)이므로 △HBC=△AGC 또 AKÓCGÓ이므로 yy ㉠ △AGC=△JGC yy ㉡ ㉠, ㉡에서 △HBC=△JGC 68 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_3-4단원(63~68)_6.indd 68 2018. 12. 13. 오후 5:55 IV | 확률 1 경우의 수 01 경우의 수 개념원리 확인하기 본문 189쪽 01 ⑴ 2 ⑵ 3, 6 ⇨ 2 ⑶ 2, 3, 5 ⇨ 3 02 5, 4, 9 04 ⑴ 2, 6, 12 ⑵ 1, 3, 3 ⑶ 1, 4, 4 03 3, 4, 12 이렇게 풀어요 01 ⑴ 5 이상의 눈이 나오는 경우는 5, 6의 2가지이다. ⑵ 3의 배수의 눈이 나오는 경우는 3, 6의 2가지이다. ⑶ 소수의 눈이 나오는 경우는 2, 3, 5의 3가지이다. ⑴ 2 ⑵ 3, 6 ⇨ 2 ⑶ 2, 3, 5 ⇨ 3 이렇게 풀어요 1 ⑴ 두 주사위에서 나오는 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 두 눈의 수의 차가 3인 경우는 (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3) 이므로 구하는 경우의 수는 6이다. ⑵ 두 주사위에서 나오는 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 두 눈의 수의 합이 10 이상인 경우는 (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6) 이므로 구하는 경우의 수는 6이다. ⑴ 6 ⑵ 6 2 1부터 50까지의 자연수 중에서 4의 배수는 4, 8, 12, y, 12 48이므로 구하는 경우의 수는 12이다. 3 250원을 지불하는 방법을 표로 나타내면 다음과 같다. 100원(개) 50원(개) 10원(개) 2 2 1 1 0 1 0 3 2 4 02 5, 4, 9 03 3, 4, 12 따라서 구하는 방법의 수는 5이다. 5 4 지불할 수 있는 금액을 표로 나타내면 다음과 같다. (단위: 원) 04 ⑴ 동전 1개를 던질 때 일어나는 모든 경우는 앞, 뒤의 2 가지, 주사위 1개를 던질 때 일어나는 모든 경우는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6가지이므로 구하는 경우의 수는 ⑵ 동전에서 앞면이 나오는 경우는 1가지, 주사위에서 홀 수의 눈이 나오는 경우는 1, 3, 5의 3가지이므로 구하 2_6=12 는 경우의 수는 1_3=3 50원(개) 100원(개) 1 2 3 1 150 200 250 따라서 지불할 수 있는 금액은 150원, 200원, 250원, 300원, 350원의 5가지이다. 5가지 ⑶ 동전에서 뒷면이 나오는 경우는 1가지, 주사위에서 5 미만의 눈이 나오는 경우는 1, 2, 3, 4의 4가지이므로 5 3의 배수가 나오는 경우는 3, 6, 9의 3가지, 구하는 경우의 수는 5의 배수가 나오는 경우는 5, 10의 2가지이므로 1_4=4 ⑴ 2, 6, 12 ⑵ 1, 3, 3 ⑶ 1, 4, 4 구하는 경우의 수는 3+2=5 5 6 두 눈의 수의 합이 8의 약수인 경우는 합이 2이거나 4이 거나 8인 경우이다. 핵심문제 익히기 확인문제 본문 190 ~ 192쪽 두 주사위에서 나오는 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 1 ⑴ 6 ⑵ 6 2 12 6 9 5 5 10 ⑴ 72 ⑵ 9 9 30 3 5 7 19 4 5가지 8 24 Ú 두 눈의 수의 합이 2인 경우 : (1, 1)의 1가지 Û 두 눈의 수의 합이 4인 경우 : (1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지 IV. 확률 69 0 5 0 5 5 2 250 300 350 기본서(중2-2)_해설_4-1단원(69~76)_6.indd 69 2018. 12. 13. 오후 5:55 Ü 두 눈의 수의 합이 8인 경우 : (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)의 5가지 02 330원을 지불하는 방법을 표로 나타내면 다음과 같다. 100원(개) 50원(개) 10원(개) 따라서 구하는 경우의 수는 1+3+5=9 7 가요를 듣는 경우는 7가지, 팝송을 듣는 경우는 8가지, 클 래식을 듣는 경우는 4가지이므로 구하는 경우의 수는 7+8+4=19 9 19 3 2 1 0 0 2 4 6 3 3 3 3 따라서 구하는 방법의 수는 4이다. 4 03 두 눈의 수의 차가 4 이상인 경우는 차가 4이거나 5인 경 8 A도시에서 B도시로 가는 방법은 3가지, B도시에서 C도 시로 가는 방법은 2가지, C도시에서 D도시로 가는 방법은 우이다. 4가지이므로 구하는 방법의 수는 3_2_4=24 24 두 주사위에서 나오는 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 Ú 두 눈의 수의 차가 4인 경우 : (1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)의 4가지 9 책상을 선택하는 방법은 5가지, 의자를 선택하는 방법은 6가지이므로 책상과 의자를 각각 한 개씩 짝 지어 한 쌍으 로 판매할 수 있는 방법의 수는 5_6=30 30 10 ⑴ 동전 1개를 던질 때 나오는 모든 경우는 앞, 뒤의 2가 지, 주사위 1개를 던질 때 나오는 모든 경우는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6가지이므로 구하는 경우의 수는 2_6_6=72 ⑵ 홀수의 눈이 나오는 경우는 1, 3, 5의 3가지, 소수의 눈이 나오는 경우는 2, 3, 5의 3가지이므로 구하는 경우의 수는 3_3=9 ⑴ 72 ⑵ 9 Û 두 눈의 수의 차가 5인 경우 : (1, 6), (6, 1)의 2가지 따라서 구하는 경우의 수는 4+2=6 04 2x+y<8을 만족시키는 경우를 순서쌍 (x, y)로 나타내면 Ú x=1일 때, y<6이므로 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5)의 5가지 Û x=2일 때, y<4이므로 (2, 1), (2, 2), (2, 3)의 3가지 Ü x=3일 때, y<2이므로 (3, 1)의 1가지 따라서 구하는 경우의 수는 5+3+1=9 05 1부터 10까지의 자연수 중 2의 배수는 2, 4, 6, 8, 10의 5개, 3의 배수는 3, 6, 9의 3개이다. 이때 2와 3의 공배수는 6의 1개이므로 구하는 경우의 수는 5+3-1=7 6 9 7 소단원 핵심문제 본문 193쪽 01 6 05 7 02 4 06 12개 03 6 07 13 04 9 이렇게 풀어요 내면 01 앞면이 2개, 뒷면이 2개 나오는 경우를 순서쌍으로 나타 (앞, 앞, 뒤, 뒤), (앞, 뒤, 앞, 뒤), (앞, 뒤, 뒤, 앞), (뒤, 앞, 앞, 뒤), (뒤, 앞, 뒤, 앞), (뒤, 뒤, 앞, 앞) 이므로 구하는 경우의 수는 6이다. 70 정답과 풀이 06 3개의 자음과 4개의 모음이 있으므로 구하는 글자의 개수는 3_4=12(개) 12개 07 Ú A → B → C로 가는 방법의 수 : 4_3=12 Û A → C로 바로 가는 방법의 수 : 1 따라서 구하는 방법의 수는 6 12+1=13 13 기본서(중2-2)_해설_4-1단원(69~76)_6.indd 70 2018. 12. 13. 오후 5:55 02 여러 가지 경우의 수 핵심문제 익히기 확인문제 본문 197 ~ 200쪽 개념원리 확인하기 본문 196쪽 01 풀이 참조 02 ⑴ 4, 3, 12 ⑵ 6, 2, 12 03 ⑴ 4개 ⑵ 3개 ⑶ 4, 3, 12 04 ⑴ 4, 3, 12 ⑵ 4, 3, 2, 6 이렇게 풀어요 01 맨 앞 가운데 끝 A B C B C A C A B C y ABC B y ACB C y BAC A y BCA B y CAB A y CBA ⇨ 3 _ 2 _ 1 = 6 풀이 참조 02 ⑴ 맨 앞에 서는 학생을 뽑는 경우의 수는 4, 맨 앞에 선 1 명을 제외한 3명 중에서 두 번째 서는 학생을 뽑는 경 우의 수는 3이므로 구하는 경우의 수는 4_3=12 ⑵ A, C를 하나로 묶어서 생각하면 A, C, B, D의 3명 을 한 줄로 세우는 경우의 수는 3_2_1=6 이때 A와 C가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2이므로 구 하는 경우의 수는 2 ⑴ 6 ⑵ 48 1 ⑴ 24 ⑵ 120 3 240 6 42 9 선분의 개수: 15개, 삼각형의 개수: 20개 10 24 4 ⑴ 24개 ⑵ 12개 8 10 7 120 5 16개 1 ⑴ 4명을 한 줄로 세우는 경우의 수와 같으므로 구하는 경 이렇게 풀어요 우의 수는 4_3_2_1=24 ⇨ 6 ⑵ 6명의 학생 중에서 3명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 6_5_4=120 ⑴ 24 ⑵ 120 2 ⑴ K, O를 제외한 나머지 세 문자를 한 줄로 나열하는 경 우의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 3_2_1=6 ⑵ E가 맨 앞에 오는 경우의 수는 E를 제외한 나머지 네 문자를 한 줄로 나열하는 경우의 수와 같으므로 4_3_2_1=24 마찬가지로 A가 맨 앞에 오는 경우의 수도 24이므로 E 또는 A가 맨 앞에 오는 경우의 수는 24+24=48 ⑴ 6 ⑵ 48 6_2=12 ⑴ 4, 3, 12 ⑵ 6, 2, 12 3 여학생 2명을 한 묶음으로 생각하여 여, 여, 남, 남, 남, 남 03 ⑴ 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 2, 4, 6, 8의 4개이다. ⑵ 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리의 숫자를 제 외한 3개이다. ⑶ 4_3=12(개) ⑴ 4개 ⑵ 3개 ⑶ 4, 3, 12 의 5명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 5_4_3_2_1=120 이때 여학생 2명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 2이므로 구하는 경우의 수는 120_2=240 240 04 ⑴ A, B, C, D 4명 중 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 4, 회장으로 뽑힌 사람을 제외한 3명 중에서 부회장 1명 4 ⑴ 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 4개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리의 숫자를 제외한 3개, 일의 자 을 뽑는 경우의 수는 3이므로 구하는 경우의 수는 리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와 십의 자리의 숫자 를 제외한 2개이므로 구하는 자연수의 개수는 ⑵ 대표 2명을 뽑는 것은 순서와 관계가 없으므로 4_3_2=24(개) ⑴ 4, 3, 12 ⑵ 4, 3, 2, 6 3이어야 한다. ⑵ 홀수가 되려면 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 1 또는 4_3=12 4 _ 3 2 =6 IV. 확률 71 기본서(중2-2)_해설_4-1단원(69~76)_6.indd 71 2018. 12. 13. 오후 5:55 Ú 1인 경우 : 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 1을 10 A에 칠할 수 있는 색은 4가지, 제외한 3개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자 B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지, 리의 숫자와 1을 제외한 2개이므로 C에 칠할 수 있는 색은 A, B에 칠한 색을 제외한 2가지 3_2=6(개) 이다. Û 3인 경우 : 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 3을 따라서 구하는 경우의 수는 제외한 3개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 4_3_2=24 24 자리의 숫자와 3을 제외한 2개이므로 3_2=6(개) 따라서 구하는 홀수의 개수는 6+6=12(개) ⑴ 24개 ⑵ 12개 5 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 4개, 일의 자리 에 올 수 있는 숫자는 십의 자리의 숫자를 제외한 4개이다. 따라서 구하는 자연수의 개수는 4_4=16(개) 16개 이렇게 풀어요 소단원 핵심문제 01 12 05 10개 02 36 06 6 본문 201쪽 03 12개 04 60 01 부부를 제외한 나머지 자녀 3명을 한 줄로 세우는 경우의 6 회장이 될 수 있는 회원은 7명이고 부회장이 될 수 있는 수는 3_2_1=6 회원은 회장을 제외한 6명이다. 따라서 구하는 경우의 수는 7_6=42 42 의 2가지 따라서 구하는 경우의 수는 6_2=12 이때 부부가 양 끝에 서는 경우는 부모, 모부 7 여학생 4명 중에서 조장 1명을 뽑는 경우의 수는 4 남학생 6명 중에서 총무 1명, 서기 1명을 뽑는 경우의 수 는 6_5=30 따라서 구하는 경우의 수는 4_30=120 02 딸기, 초콜릿, 치즈 케이크를 한 묶음으로 생각하여 3개를 한 줄로 진열하는 경우의 수는 120 이때 딸기, 초콜릿, 치즈 케이크가 서로 자리를 바꾸는 경 8 시하를 제외한 나머지 5명 중에서 대표 2명을 뽑는 경우 의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 5_4 2 =10 10 3_2_1=6 우의 수는 3_2_1=6 6_6=36 12 36 9 두 점을 이어서 만들 수 있는 선분의 개수는 6개의 점 중 에서 2개의 점을 선택하는 경우의 수와 같으므로 또 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수는 6개의 점 중 에서 3개의 점을 선택하는 경우의 수와 같으므로 6_5 2 =15(개) 6_5_4 3_2_1 =20(개) 72 정답과 풀이 03 40보다 작은 자연수가 되려면 십의 자리에 올 수 있는 숫 자는 3 또는 2 또는 1이어야 한다. Ú 3인 경우 : 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자 Û 2인 경우 : 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자 리의 숫자를 제외한 4개이다. 리의 숫자를 제외한 4개이다. Ü 1인 경우 : 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자 리의 숫자를 제외한 4개이다. 따라서 구하는 자연수의 개수는 선분의 개수 : 15개, 삼각형의 개수 : 20개 4+4+4=12(개) 12개 기본서(중2-2)_해설_4-1단원(69~76)_6.indd 72 2018. 12. 13. 오후 5:55 04 수학 참고서 4권 중에서 2권을 사는 경우의 수는 02 윷의 평평한 면을 배, 둥근 면을 등이라 할 때, 걸이 나오 국어 참고서 5권 중에서 2권을 사는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 05 6개의 점 중에서 2개를 선택하는 경우의 수는 한 직선 위에 있는 4개의 점 중에서 2개를 선택하는 경우 4_3 2 =6 5_4 2 =10 6_10=60 6_5 2 =15 의 수는 4_3 2 =6 따라서 구하는 직선의 개수는 15-6+1=10(개) 10개 06 A에 칠할 수 있는 색은 3가지, B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 2가지, C에 칠할 수 있는 색은 A, B에 칠한 색을 제외한 1가지 이다. 따라서 구하는 경우의 수는 3_2_1=6 6 는 경우를 순서쌍으로 나타내면 (배, 배, 배, 등), (배, 배, 등, 배), (배, 등, 배, 배), (등, 배, 배, 배) 이므로 구하는 경우의 수는 4이다. 4 60 03 800원을 지불하는 방법을 표로 나타내면 오른쪽과 같다. 따라서 구하는 방법의 수는 6이 다. 100원(개) 50원(개) 8 7 6 5 4 3 0 2 4 6 8 10 6 16 14 12 04 주사위에서 나오는 수를 순서쌍으로 나타내면 Ú 두 수의 차가 7인 경우 : (1, 8), (2, 9), (3, 10), (4, 11), (5, 12), (8, 1), (9, 2), (10, 3), (11, 4), (12, 5) 의 10가지 Û 두 수의 차가 9인 경우 : (1, 10), (2, 11), (3, 12), (10, 1), (11, 2), (12, 3) 의 6가지 따라서 구하는 경우의 수는 10+6=16 는 경우의 수는 8+6=14 06 샌드위치를 선택하는 경우는 4가지, 음료수를 선택하는 경우는 3가지이므로 구하는 경우의 수는 4_3=12 07 제1전시장에서 나와 복도로 가는 방법은 2가지, 복도에서 제2전시장으로 들어가는 방법은 3가지이므로 구하는 방 6 IV. 확률 73 중단원 마무리 본문 202 ~ 204쪽 05 재혁이네 반 학생 중에서 A형인 학생을 선택하는 경우는 8가지, B형인 학생을 선택하는 경우는 6가지이므로 구하 02 4 06 12 10 6개 14 14 18 20번째 22 20 03 6 07 6 11 10 15 8 19 24 23 31개 04 16 08 16 12 15번 16 72 20 18 24 ③ 01 ③ 05 14 09 ③ 13 ③ 17 3214 21 11명 25 1280 이렇게 풀어요 01 소수가 적힌 구슬이 나오는 경우는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 이므로 구하는 경우의 수는 8이다. 법의 수는 ③ 2_3=6 기본서(중2-2)_해설_4-1단원(69~76)_6.indd 73 2018. 12. 13. 오후 5:55 08 서로 다른 동전 2개를 동시에 던질 때 일어나는 모든 경우 의 수는 2_2=4 13 3명이 가위바위보를 할 때 승부가 나지 않는 경우는 3명 이 모두 같은 것을 내거나 3명이 모두 다른 것을 내는 경 우이다. 주사위 1개를 던질 때 3 이상의 눈이 나오는 경우는 3명이 내는 것을 순서쌍으로 나타내면 3, 4, 5, 6의 4가지이다. 따라서 구하는 경우의 수는 Ú 3명이 모두 같은 것을 내는 경우: (가위, 가위, 가위), (바위, 바위, 바위), (보, 보, 보) 4_4=16 16 의 3가지 09 B가 맨 앞에 서는 경우의 수는 B를 제외한 나머지 3명을 한 줄로 세우는 경우의 수와 같으므로 (가위, 바위, 보), (가위, 보, 바위), (바위, 가위, 보), (바위, 보, 가위), (보, 가위, 바위), (보, 바위, 가위) Û 3명이 모두 다른 것을 내는 경우: 같은 방법으로 B가 맨 뒤에 서는 경우의 수도 3_2_1=6 3_2_1=6 6+6=12 따라서 구하는 경우의 수는 의 6가지 따라서 구하는 경우의 수는 3+6=9 ③ 14 ax=b에서 x= ;aB; ;aB; , 즉 가 정수가 되려면 b가 a의 배수 10 32 이상인 자연수가 되려면 십의 자리에 올 수 있는 숫자 이어야 하므로 순서쌍 (a, b)로 나타내면 는 3 또는 4이어야 한다. Ú 3인 경우 : 32, 34의 2개 Û 4인 경우 : 40, 41, 42, 43의 4개 따라서 구하는 자연수의 개수는 Ú a=1인 경우 : 의 6가지 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1. 5), (1, 6) Û a=2인 경우 : (2, 2), (2, 4), (2, 6)의 3가지 2+4=6(개) 6개 Ü a=3인 경우 : (3, 3), (3, 6)의 2가지 ③ 11 B와 F가 반드시 뽑히는 경우의 수는 B와 F를 제외한 나 머지 5명 중에서 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 12 6개의 팀 중에서 순서와 관계없이 두 팀을 뽑는 경우의 수 구하는 경우의 수는 5_4 2 =10 와 같으므로 6_5 2 =15(번) 다른 풀이 Ý a=4인 경우 : (4, 4)의 1가지 Þ a=5인 경우 : (5, 5)의 1가지 ß a=6인 경우 : (6, 6)의 1가지 따라서 구하는 경우의 수는 6+3+2+1+1+1=14 10 15 집에서 과일 가게까지 최단 거리 로 가는 방법은 2가지, 과일 가게 15번 에서 병원까지 최단 거리로 가는 방법은 4가지이므로 구하는 방법 집 의 수는 14 (cid:19) (cid:20) (cid:21) 병원 (cid:18) 과일 가게 (cid:19) (cid:18) (cid:18) (cid:18) (cid:18) (cid:18) A, B, C, D, E, F 6개의 팀이 서로 한 번씩 시합을 하는 2_4=8 8 경우를 수형도로 나타내면 다음과 같다. C D E F B C D E E A D C D E F F B E F ∴ 5+4+3+2+1=15(번) 74 정답과 풀이 16 남학생과 여학생이 교대로 서는 경우는 남 여 남 여 남 여 , 여 남 여 남 여 남 의 2가지 각각의 경우에 대하여 남학생 3명이 한 줄로 서는 경우의 수는 3_2_1=6 따라서 구하는 경우의 수는 3_2_1=6 2_6_6=72 72 F 또 여학생 3명이 한 줄로 서는 경우의 수는 기본서(중2-2)_해설_4-1단원(69~76)_6.indd 74 2018. 12. 13. 오후 5:55 17 천의 자리의 숫자가 1인 네 자리 자연수는 3_2_1=6(개) 천의 자리의 숫자가 2인 네 자리 자연수는 3_2_1=6(개) 가 3인 수이다. 이때 6+6=12(개)이므로 15번째 수는 천의 자리의 숫자 따라서 13번째 수부터 차례로 나열하면 3124, 3142, 3214, 3241, y에서 15번째 수는 3214이다. 3214 18 Ú a인 경우 : a를 제외한 나머지 b, c, d를 한 줄 로 나열하는 경우이므로 Û b인 경우 : b를 제외한 나머지 a, c, d를 한 줄 3_2_1=6(가지) 로 나열하는 경우이므로 3_2_1=6(가지) 로 나열하는 경우이므로 3_2_1=6(가지) Ü c인 경우 : c를 제외한 나머지 a, b, d를 한 줄 Ú~Ü에서 6+6+6=18이므로 dabc는 19번째 문자열 이고 dacb는 20번째 문자열이다. 20번째 19 호영이와 동생을 양 끝에 세우고 아버지와 어머니를 한 묶 음으로 생각하여 가운데에 호영이와 동생을 제외한 3명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 3_2_1=6 22 5명 중에서 자신의 수험 번호가 적힌 의자에 앉는 2명을 뽑는 경우의 수는 5_4 2 =10 A, B, C, D, E 5명 중에서 A와 B는 자신의 수험 번호 가 적힌 의자에 앉고, C, D, E는 다른 사람의 수험 번호 가 적힌 의자에 앉는 경우는 다음 표와 같으므로 2가지이 다. 의자에 적힌 수험 번호 A B 의자에 앉은 사람 C D E D E C E C D 2가지 ] A B A B 따라서 구하는 경우의 수는 10_2=20 20 23 7개의 점 중에서 3개의 점을 선택하는 경우의 수는 이때 한 직선 위에 있는 4개의 점 A, B, C, D 중에서 3개의 점을 선택하는 경우에는 삼각형이 만들어지지 않으 므로 삼각형이 만들어지지 않는 경우의 수는 7_6_5 3_2_1 =35 4_3_2 3_2_1 =4 따라서 구하는 삼각형의 개수는 35-4=31(개) 31개 이때 아버지와 어머니가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2, 호 영이와 동생이 자리를 바꾸는 경우의 수는 2이므로 구하는 경우의 수는 6_2_2=24 24 24 만들 수 있는 사각형의 개수는 가로줄 중에서 2개, 세로줄 중에서 2개를 선택하는 경우의 수와 같다. 3개의 가로줄 중에서 2개를 선택하는 경우의 수는 20 Ú 1명은 남학생, 1명은 여학생이 뽑히는 경우의 수는 또 5개의 세로줄 중에서 2개를 선택하는 경우의 수는 3_2 2 =3 5_4 2 =10 4_3=12 4_3 2 =6 Û 2명 모두 남학생이 뽑히는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 12+6=18 18 21 회원 수를 n명이라 하면 악수를 한 횟수는 n명 중 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 n(n-1) 2 ∴ n=11 =55, n(n-1)=110=11_10 따라서 만들 수 있는 사각형의 개수는 3_10=30(개) ③ 25 A에 칠할 수 있는 색은 5가지, B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 4가지, C에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 4가지, D에 칠할 수 있는 색은 C에 칠한 색을 제외한 4가지, E에 칠할 수 있는 색은 D에 칠한 색을 제외한 4가지이다. 따라서 구하는 경우의 수는 1280 IV. 확률 75 따라서 구하는 모임의 회원 수는 11명이다. 11명 5_4_4_4_4=1280 기본서(중2-2)_해설_4-1단원(69~76)_6.indd 75 2018. 12. 13. 오후 5:56 서술형 대비 문제 본문 205 ~ 206쪽 1-1 72 5 36개 2-1 60 6 30 3 9 4 9 단계 1 2 3 채점 요소 A → B → C로 가는 방법의 수 구하기 A → C로 바로 가는 방법의 수 구하기 A지점에서 C지점까지 가는 방법의 수 구하기 배점 3점 2점 2점 이렇게 풀어요 1-1 1 단계 수학책 3권, 영어책 2권을 각각 한 묶음으로 생각하 여 3권을 한 줄로 꽂는 경우의 수는 0 또는 5이어야 한다. 2 단계 Ú 0인 경우 : 5 1 단계 5의 배수가 되려면 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 2 단계 수학책 3권끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 영어책 2권끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 3_2_1=6 3_2_1=6 2_1=2 3 단계 따라서 구하는 경우의 수는 6_6_2=72 72 2-1 1 단계 6명 중에서 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 6 2 단계 회장 1명을 제외한 나머지 5명 중에서 총무 2명을 뽑는 경우의 수는 5_4 2 =10 3 단계 따라서 구하는 경우의 수는 6_10=60 60 3 1 단계 두 원판에서 바늘이 가리킨 수를 순서쌍으로 나타 내면 Ú 바늘이 가리킨 수의 합이 5인 경우 : (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4가지 2 단계 Û 바늘이 가리킨 수의 합이 8인 경우 : 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 5개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 백의 자리의 숫자를 제외한 4개이므로 5_4=20(개) 3 단계 Û 5인 경우 : 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 5와 0을 제외한 4개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 5와 백의 자 리의 숫자를 제외한 4개이므로 4_4=16(개) 4 단계 따라서 5의 배수의 개수는 20+16=36(개) 36개 단계 채점 요소 5의 배수가 될 조건 알기 1 2 3 4 0인 세 자리 자연수의 개수 구하기 5인 세 자리 자연수의 개수 구하기 5의 배수의 개수 구하기 배점 2점 2점 2점 2점 6 1 단계 두 점을 이어 만들 수 있는 반직선의 개수는 5개의 점 중에서 2개의 점을 선택하여 한 줄로 세우는 경 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)의 5가지 우의 수와 같으므로 3 단계 따라서 구하는 경우의 수는 4+5=9 5_4=20(개) 9 ∴ a=20 2 단계 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수는 5개의 점 중에서 3개의 점을 선택하는 경우의 수와 같으 단계 1 2 3 채점 요소 바늘이 가리킨 수의 합이 5인 경우의 수 구하기 바늘이 가리킨 수의 합이 8인 경우의 수 구하기 바늘이 가리킨 수의 합이 5 또는 8인 경우의 수 구하기 배점 2점 2점 2점 4 1 단계 Ú A → B → C로 가는 방법의 수 : 3_2=6 2 단계 Û A → C로 바로 가는 방법의 수 : 3 3 단계 따라서 구하는 방법의 수는 6+3=9 9 76 정답과 풀이 므로 5_4_3 3_2_1 ∴ b=10 =10(개) 3 단계 ∴ a+b=20+10=30 채점 요소 단계 1 2 3 a의 값 구하기 b의 값 구하기 a+b의 값 구하기 30 배점 3점 3점 1점 기본서(중2-2)_해설_4-1단원(69~76)_6.indd 76 2018. 12. 13. 오후 5:56 IV | 확률 2 확률 01 확률의 뜻과 성질 개념원리 확인하기 05 Ú 동전 3개를 동시에 던질 때 일어나는 모든 경우의 수는 2_2_2=8 Û 뒷면이 한 개 나오는 경우는 (뒤, 앞, 앞), (앞, 뒤, 앞), (앞, 앞, 뒤) 본문 210~211쪽 의 3가지이다. 01 사건 A가 일어나는 경우의 수, 모든 경우의 수 ⇨ 뒷면이 한 개 나올 확률은 이다. ;8#; 8, 3, ;8#; 02 ⑴ 6, ⑵ 3, ;3!; ;3@; 03 36, 3, ;1Á2; 04 ⑴ ⑵ ;1£0; ;5@; 05 8, 3, ;8#; 06 ⑴ ;2!; ⑵ 1 ⑶ 0 07 , ;5@; ;5#; 06 ⑴ 홀수의 눈이 나오는 경우는 1, 3, 5 의 3가지이므로 구하는 확률은 08 ⑴ ⑵ ;3@; ;3!; 09 4, 1, , , ;4!; ;4!; ;4#; = ;6#; ;2!; 이렇게 풀어요 나올 확률은 1이다. 01 사건 A가 일어나는 경우의 수, 모든 경우의 수 ⑵ 주사위의 눈의 수는 모두 6 이하이므로 6 이하의 눈이 ⑶ 7보다 큰 눈은 없으므로 7보다 큰 눈이 나올 확률은 0 이다. ⑴ ⑵ 1 ⑶ 0 ;2!; 02 모든 경우의 수는 6+3=9 ⑴ 흰 공이 나오는 경우의 수는 6이므로 흰 공이 나올 확률 은 = ;9^; ;3@; 이다. ⑵ 검은 공이 나오는 경우의 수는 3이므로 검은 공이 나올 확률은 = 이다. ;9#; ;3!; ⑴ 6, ⑵ 3, ;3@; ;3!; 03 Ú 주사위 2개를 동시에 던질 때 일어나는 모든 경우의 수는 6_6=36 수의 합이 10인 경우는 (4, 6), (5, 5), (6, 4) 의 3가지이다. ⇨ 두 눈의 수의 합이 10일 확률은 = ;3£6; ;1Á2; 이다. 07 (사건 A가 일어나지 않을 확률) =1- = ;5#; ;5@; , ;5@; ;5#; 08 ⑴ 카드에 적힌 수가 3의 배수인 경우는 3, 6, 9, 12, 15 의 5가지이므로 구하는 확률은 = ;1°5; ;3!; =1-(카드에 적힌 수가 3의 배수일 확률) =1- = ;3@; ;3!; ⑴ ⑵ ;3!; ;3@; Û 두 주사위의 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 두 눈의 ⑵ (카드에 적힌 수가 3의 배수가 아닐 확률) 36, 3, ;1Á2; 2_2=4 09 Ú 동전 2개를 동시에 던질 때 일어나는 모든 경우의 수는 Û 둘 다 앞면이 나오는 경우는 (앞, 앞)의 1가지이다. 04 ⑴ 카드에 적힌 수가 10의 약수인 경우는 1, 2, 5, 10의 4 가지이므로 구하는 확률은 = ;1¢0; ;5@; ⇨ 둘 다 앞면이 나올 확률은 ;4!; 이다. ∴ (적어도 하나는 뒷면이 나올 확률) ⑵ 카드에 적힌 수가 3의 배수인 경우는 3, 6, 9의 3가지이 =1-(둘 다 앞면이 나올 확률) 므로 구하는 확률은 ;1£0; ⑴ ⑵ ;5@; ;1£0; =1- = ;4#; ;4!; 4, 1, , , ;4!; ;4!; ;4#; IV. 확률 77 기본서(중2-2)_해설_4-2단원(77~88)_6.indd 77 2018. 12. 13. 오후 5:56 핵심문제 익히기 확인문제 본문 212 ~ 214쪽 ⑵ 모든 경우의 수는 5_4_3_2_1=120 여학생끼리 이웃하여 서는 경우의 수는 (4_3_2_1)_2=48 4 ;9!; 5 ⑴ 1 ⑵ 0 따라서 구하는 확률은 ;1¢2¥0; = ;5@; ⑴ ⑵ ;5!; ;5@; 1 ⑴ ⑵ ;2!5!; ;5@; 3 ⑴ ⑵ ;5@; ;5!; 2 ⑴ ;2!; ⑵ ;5#; 6 ⑴ ⑵ ;1!2!; ;2@5@; 7 ⑴ ;8&; ⑵ ;7^; 이렇게 풀어요 1 ⑴ 모든 경우의 수는 5_4=20 짝수인 경우는 일의 자리의 숫자가 2 또는 4이어야 한다. Ú 2인 경우: 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 4가지 이다. 이다. Û 4인 경우: 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 4가지 Ú, Û에 의해 짝수인 경우의 수는 4+4=8 따라서 구하는 확률은 ;2\ ¥0; = ;5@; ⑵ 모든 경우의 수는 5_5=25 30 이하인 경우는 십의 자리의 숫자가 1 또는 2 또는 3 Ú 1인 경우: 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 5가지 Û 2인 경우: 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 5가지 이어야 한다. 이다. 이다. Ü 3인 경우: 30의 1가지이다. Ú~Ü에 의해 30 이하인 경우의 수는 5+5+1=11 따라서 구하는 확률은 ;2!5!; ⑴ ⑵ ;5@; ;2!5!; 2 ⑴ 모든 경우의 수는 4_3 2 =6 는 3 따라서 구하는 확률은 = ⑵ 모든 경우의 수는 =10 ;2!; ;6#; 5_4 2 남학생 1명, 여학생 1명을 뽑는 경우의 수는 3_2=6 따라서 구하는 확률은 = ;5#; ;1¤0; ⑴ ⑵ ;2!; ;5#; 3 ⑴ 모든 경우의 수는 5_4_3_2_1=120 E가 맨 뒤에 서는 경우의 수는 4_3_2_1=24 4 모든 경우의 수는 6_6=36 x+2y<6을 만족시키는 순서쌍 (x, y)는 (1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 1)의 4가지이다. 따라서 구하는 확률은 = ;9!; ;3¢6; ;9!; 5 ⑴ 파란 공만 있으므로 구하는 확률은 1이다. ⑵ 두 눈의 수의 합이 1 이하가 되는 경우는 없으므로 구 하는 확률은 0이다. ⑴ 1 ⑵ 0 6 ⑴ 불량품이 나올 확률은 = ;5¤0; ;2£5; 따라서 구하는 확률은 1- = ;2£5; ;2@5@; ⑵ 모든 경우의 수는 6_6=36 두 눈의 수의 합이 10보다 큰 경우는 (5, 6), (6, 5), (6, 6)의 3가지이므로 그 확률은 = ;1Á2; ;3£6; 따라서 구하는 확률은 1- = ;1Á2; ;1!2!; ⑴ ⑵ ;2@5@; ;1!2!; 모두 뒷면이 나오는 경우의 수는 1이므로 그 확률은 따라서 구하는 확률은 1- = ;8!; ;8&; ⑵ 모든 경우의 수는 =21 7_6 2 대표 2명 모두 여학생이 뽑히는 경우의 수는 3_2 2 =3이므로 그 확률은 3 21 = ;7!; 따라서 구하는 확률은 1 8 병을 제외한 나머지 3명 중에서 한 명을 뽑는 경우의 수 7 ⑴ 모든 경우의 수는 2_2_2=8 따라서 구하는 확률은 = ;1ª2¢0; ;5!; 1- = ;7!; ;7^; ⑴ ⑵ ;8&; ;7^; 78 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_4-2단원(77~88)_6.indd 78 2018. 12. 13. 오후 5:56 소단원 핵심문제 본문 215 ~ 216쪽 05 모든 경우의 수는 6_6=36 01 ③ 04 ② 02 ⑴ ⑵ ;2Á0; ;2!; 05 ;3°6; 06 ④ 03 ;5@; 07 ⑤ 08 ⑴ ⑵ ;3#6%; ;6%; 09 ;1¦0; 10 ;3#2!; 이렇게 풀어요 01 모든 경우의 수는 4+3+2=9 파란 구슬이 나오는 경우의 수는 3 따라서 구하는 확률은 = ;3!; ;9#; x에 대한 방정식 2ax-b=0에서 x= b 2a 이때 가 자연수이려면 b는 2a의 배수이어야 한다. b 2a 이를 만족시키는 a, b의 순서쌍 (a, b)는 (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 4), (3, 6)의 5가지 따라서 구하는 확률은 ;3°6; ;3°6; 06 ① 뒷면이 나올 확률은 ;2!; 이다. ③ ② 모든 경우의 수는 2_2=4이고, 앞면이 2개 나오는 경우를 순서쌍으로 나타내면 (앞, 앞)의 1가지이므로 02 ⑴ 모든 경우의 수는 4_3_2_1=24 A, B가 이웃하여 서는 경우의 수는 ③ 홀수의 눈이 나오는 경우는 1, 3, 5의 3가지이므로 그 (3_2_1)_2=12 따라서 구하는 확률은 = ;2!4@; ;2!; 로 세우는 경우의 수는 3_2_1=6 따라서 구하는 확률은 ⑵ 모든 경우의 수는 5_4_3_2_1=120 어머니와 아버지를 제외한 나머지 3명의 자녀를 한 줄 ④ 주사위의 눈의 수는 모두 6 이하이므로 그 확률은 1이 ⑤ 두 주사위의 눈의 수의 합이 12보다 큰 경우는 없으므 로 그 확률은 0이다. ④ 그 확률은 1 4 확률은 3 6 = ;2!; 다. 07 ② p+q=1 ③ p=1-q ④ 0ÉpÉ1 ;12^0; = ;2Á0; ⑴ ⑵ ;2!; ;2Á0; ⑤ 03 모든 경우의 수는 5_4=20 3의 배수인 경우는 12, 15, 21, 24, 42, 45, 51, 54 의 8가지 따라서 구하는 확률은 08 ⑴ 모든 경우의 수는 6_6=36 서로 같은 눈이 나오는 경우는 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) 의 6가지이므로 그 확률은 = ;5@; ;2¥0; ;5@; 따라서 구하는 확률은 04 모든 경우의 수는 10_9 2 =45 대표 2명 모두 2학년 학생이 뽑히는 경우의 수는 ⑵ 모든 경우의 수는 6_6=36 두 눈의 수의 합이 3 미만인 경우는 (1, 1)의 1가지이 6_5 2 =15 따라서 구하는 확률은 = ;3!; ;4!5%; ② 1- 1 36 = ;3#6%; ⑴ ⑵ ;6%; ;3#6%; IV. 확률 79 = ;3¤6; ;6!; 1- = ;6!; ;6%; 므로 그 확률은 1 36 따라서 구하는 확률은 기본서(중2-2)_해설_4-2단원(77~88)_6.indd 79 2018. 12. 13. 오후 5:56 09 모든 경우의 수는 5_4 2 =10 2개 모두 검은 공이 나오는 경우의 수는 =3이므로 3_2 2 따라서 구하는 확률은 그 확률은 3 10 1- = ;1¦0; ;1£0; 10 모든 경우의 수는 2_2_2_2_2=32 5문제 모두 틀리는 경우의 수는 1이므로 그 확률은 따라서 구하는 확률은 1- = ;3Á2; ;3#2!; ;1¦0; ;3Á2; ;3#2!; 02 확률의 계산 개념원리 확인하기 01 , , ;1Á8; ;3°6; ;1Á8; , +, , ;3°6; ;3¦6; 02 , , ;2!; ;2!; ;2!; , _, , ;2!; ;4!; 03 ⑴ , , ;5@; ;5@; ;5@; , _, , ;5@; ;2¢5; ⑵ , , ;5@; ;4!; ;5@; , _, , ;1Á0; ;4!; 이렇게 풀어요 01 모든 경우의 수는 6_6=36 Ú 두 눈의 수의 합이 3인 경우는 (1, 2), (2, 1) 의 2가지이므로 그 확률은 = ;3ª6; ;1Á8; Û 두 눈의 수의 합이 8인 경우는 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) 의 5가지이므로 그 확률은 ;3°6; ⇨ (두 눈의 수의 합이 3 또는 8일 확률) 80 정답과 풀이 02 Ú 동전에서 뒷면이 나올 확률은 ;2!; Û 주사위에서 짝수의 눈이 나오는 경우는 2, 4, 6의 3가 지이므로 그 확률은 = ;6#; ;2!; ⇨ (동전은 뒷면이 나오고 주사위는 짝수의 눈이 나올 확률) = _ = ;4!; ;2!; ;2!; _, ;2!;, ;2!;, ;2!;, ;4!; ;2!;, 03 ⑴ Ú A가 당첨 제비를 뽑을 확률은 ;5@; Û A가 뽑은 제비를 다시 넣으므로 B가 당첨 제비를 ⇨ A, B가 모두 당첨 제비를 뽑을 확률은 뽑을 확률도 ;5@; _ = ;2¢5; ;5@; ;5@; ⑵ Ú A가 당첨 제비를 뽑을 확률은 ;5@; Û A가 뽑은 제비를 다시 넣지 않으므로 B가 당첨 제 비를 뽑을 확률은 ;4!; ⇨ A, B가 모두 당첨 제비를 뽑을 확률은 _ = ;1Á0; ;4!; ;5@; 본문 219쪽 ⑴ , , ;5@; ;5@; ;5@; , _, , ;5@; ;2¢5; ⑵ , , , _, ;5@; ;4!; ;5@; , ;1Á0; ;4!; 핵심문제 익히기 확인문제 본문 220 ~ 223쪽 1 ;1¦2; 5 ;3!; 2 ;3»1; 6 ;2!5$; 8 ⑴ ⑵ ;7@; ;4!9@; 3 ;5@; 7 ;3!6(; 9 ;1Á0; 4 0.06 10 ;1!6%; 1 모든 경우의 수는 12 카드에 적힌 수가 소수인 경우는 2, 3, 5, 7, 11의 5가지 카드에 적힌 수가 6의 배수인 경우는 6, 12의 2가지이므 이므로 그 확률은 ;1°2; 로 그 확률은 ;1ª2; 11 ;6»4; 이렇게 풀어요 = + = ;3¦6; ;3°6; ;1Á8; ;1Á8;, +, ;1Á8;, ;3°6;, ;3¦6; ;3°6;, 따라서 구하는 확률은 + = ;1¦2; ;1ª2; ;1°2; ;1¦2; 기본서(중2-2)_해설_4-2단원(77~88)_6.indd 80 2018. 12. 13. 오후 5:56 2 모든 경우의 수는 31 선택한 날이 화요일인 경우는 7일, 14일, 21일, 28일의 8 ⑴ A가 당첨 제비를 뽑을 확률은 ;7#; 뽑은 제비를 다시 넣으므로 B가 당첨 제비를 뽑지 못 4가지이므로 그 확률은 ;3¢1; 선택한 날이 금요일인 경우는 3일, 10일, 17일, 24일, 31일 의 5가지이므로 그 확률은 ;3°1; 따라서 구하는 확률은 할 확률은 ;7$; 따라서 구하는 확률은 _ = ;7$; ;7#; ;4!9@; + = ;3¢1; ;3°1; ;3»1; ;3»1; 뽑은 제비를 다시 넣지 않으므로 B가 당첨 제비를 뽑 ⑵ A가 당첨 제비를 뽑을 확률은 ;7#; 3 모든 경우의 수는 5_4_3_2_1=120 E가 맨 앞에 오는 경우의 수는 4_3_2_1=24이므로 지 못할 확률은 = ;6$; ;3@; 따라서 구하는 확률은 그 확률은 ;1ª2¢0; T가 맨 앞에 오는 경우의 수는 4_3_2_1=24이므로 _ = ;7@; ;3@; ;7#; ⑴ ⑵ ;7@; ;4!9@; 9 민주와 정혁이가 모두 불합격할 확률은 1- _ 1- ;5#;} { = _ = ;1Á0; ;4!; ;5@; ;4#;} { ;1Á0; ;5@; 10 두 명 모두 치료되지 않을 확률은 그 확률은 ;1ª2¢0; 따라서 구하는 확률은 + = ;1ª2¢0; ;1ª2¢0; ;1¢2¥0; = ;5@; 4 두 타자가 연속으로 안타를 칠 확률은 0.2_0.3=0.06 0.06 따라서 구하는 확률은 1- { _ 1- ;1¦0°0;} { ;1¦0°0;} = _ ;4!; ;4!; = ;1Á6; 5 A주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은 ;3@; B주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은 = ;6#; ;2!; 따라서 구하는 확률은 _ = ;3!; ;2!; ;3@; 6 내일 비가 오지 않을 확률은 1- = = ;1£0¼0; ;1¦0¼0; ;1¦0; 모레 비가 올 확률은 = ;1¥0¼0; ;5$; 따라서 구하는 확률은 _ ;5$;=;2!5$; ;1¦0; ;2!5$; 7 Ú A상자에서 팥빵, B상자에서 크림빵을 꺼낼 확률은 Û A상자에서 크림빵, B상자에서 팥빵을 꺼낼 확률은 _ = ;1¦8; ;1¦2; ;1¥2; _ = ;3°6; ;1°2; ;1¢2; 따라서 구하는 확률은 + = ;3!6(; ;3°6; ;1¦8; ;3!6(; 1- = ;1Á6; ;1!6%; ;1!6%; 11 작은 정사각형 1개의 넓이를 x라 하면 16개의 정사각형 전체의 넓이는 16x이고 색칠한 부분의 넓이는 6x이므로 화살을 한 번 쏘아 색칠한 부분에 맞힐 확률은 ;3!; 6x 16x = ;8#; 따라서 구하는 확률은 _ = ;6»4; ;8#; ;8#; ;6»4; 소단원 핵심문제 본문 224쪽 02 ;1Á5; 03 ;7$; 04 ;8$1!; 01 ;1¦8; 05 ;2!0&; 06 ;9%; IV. 확률 81 기본서(중2-2)_해설_4-2단원(77~88)_6.indd 81 2018. 12. 13. 오후 5:56 이렇게 풀어요 01 모든 경우의 수는 6_6=36 Ú 두 눈의 수의 차가 2인 경우는 05 두 사람 모두 약속 시간에 늦을 확률은 1- _ 1- ;4#;} { = _ ;4!; ;5#; = ;5@;} ;2£0; { 따라서 구하는 확률은 (1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4) 1- = ;2£0; ;2!0&; ;2!0&; (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3) 과녁 전체의 넓이는 06 세 원의 반지름의 길이의 비가 1：2：3이므로 각 원의 반지름의 길이를 x, 2x, 3x라 하면 p_(3x)Û`=9pxÛ` 6점인 부분의 넓이는 9pxÛ`-p_(2x)Û`=5pxÛ` ;1¦8; 따라서 구하는 확률은 5pxÛ` 9pxÛ` = ;9%; 의 8가지이므로 그 확률은 ;3¥6; Û 두 눈의 수의 차가 3인 경우는 의 6가지이므로 그 확률은 ;3¤6; 따라서 구하는 확률은 + = = ;1¦8; ;3!6$; ;3¤6; ;3¥6; 02 B만 문제를 맞힐 확률은 A, C는 문제를 틀리고 B는 문 제를 맞힐 확률과 같으므로 1- _ _ 1- ;3!; { = _ _ ;3!; ;2!; ;5@; = ;5#;} ;1Á5; ;2!;} { ;1Á5; 03 A상자를 선택하여 흰 구슬을 꺼낼 확률은 _ = ;7#; ;1£4; ;2!; B상자를 선택하여 흰 구슬을 꺼낼 확률은 _ = ;7%; ;2!; ;1°4; 따라서 구하는 확률은 + = = ;7$; ;1¥4; ;1°4; ;1£4; ;7$; 04 2장의 카드에 적힌 수의 합이 짝수이려면 두 수가 모두 짝 수이거나 모두 홀수이어야 한다. Ú 짝수가 적힌 카드를 꺼내는 경우는 2, 4, 6, 8 률은 의 4가지이므로 2장 모두 짝수가 적힌 카드를 꺼낼 확 _ = ;8!1^; Û 홀수가 적힌 카드를 꺼내는 경우는 ;9$; ;9$; 1, 3, 5, 7, 9 ;9%; 중단원 마무리 본문 225 ~ 227쪽 02 ;3!; 03 ;2!; 06 ⑴ ⑵ ;3@; ;3!; 09 ;2!5^; 10 ;4!; 13 ④ 17 ;3!0&; 21 ;1!5#; 14 ;1£0; 18 ;8#; 22 ③ 04 ;2!; 07 ③ 11 ;6%; 15 ;1Á8; 19 ;8^1%; 23 ② 01 ③ 05 ③ 08 ;2!; 12 ;4!; 16 ;8!; 20 `` ;5@; 이렇게 풀어요 의 5가지이므로 2장 모두 홀수가 적힌 카드를 꺼낼 확 01 ① 홀수의 눈이 나오는 경우는 1, 3, 5의 3가지이므로 그 확률은 = ;6#; ;2!; ② 모든 경우의 수는 3_2_1=6 C가 맨 앞에 서는 경우의 수는 2_1=2이므로 그 확 ;8$1!; 률은 = ;6@; ;3!; 률은 _ = ;8@1%; ;9%; ;9%; 따라서 구하는 확률은 + = ;8$1!; ;8@1%; ;8!1^; 82 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_4-2단원(77~88)_6.indd 82 2018. 12. 13. 오후 5:56 ③ 소수가 나오는 경우는 2, 3, 5의 3가지이므로 그 확률 Û 세 사람이 모두 다른 것을 내는 경우의 수는 은 ;5#; ④ 모든 경우의 수는 2_2=4 둘 다 앞면이 나오는 경우는 (앞, 앞)의 1가지이므로 그 확률은 ;4!; ⑤ ;8#; 따라서 확률이 가장 큰 것은 ③ 이다. ③ ;5#; 02 모든 경우의 수는 3_2_1=6 키 순서대로 서게 되는 경우는 큰 순서대로 서는 경우와 작은 순서대로 서는 경우의 2가지이다. 따라서 구하는 확률은 = ;3!; ;6@; ;3!; 03 모든 경우의 수는 4_3_2_1=24 부모님이 이웃하여 서서 사진을 찍는 경우의 수는 (3_2_1)_2=12 따라서 구하는 확률은 = ;2!; ;2!4@; ;2!; 04 모든 경우의 수는 4_3 2 =6 3_2_1=6이므로 그 확률은 = ;9@; ;2¤7; 따라서 구하는 확률은 + = = ;9#; ;3!; ;9@; ;9!; ⑵ (승부가 결정될 확률) =1-(비길 확률) =1- = ;3@; ⑴ ;3!; ;3!; ⑵ ;3@; 07 모든 경우의 수는 5_4 2 =10 대표 2명 모두 여학생이 뽑히는 경우의 수는 =3이 3_2 2 므로 그 확률은 ;1£0; 따라서 구하는 확률은 1- = ;1£0; ;1¦0; 08 모든 경우의 수는 4_4_3=48 Ú 200 이하인 경우: 백의 자리의 숫자가 1이어야 하므로 200 이하인 경우 의 수는 4_3=12이고, 그 확률은 = ;4!8@; ;4!; Û 400 이상인 경우: 백의 자리의 숫자가 4이어야 하므로 400 이상인 경우 연주가 청소 당번에 뽑히는 경우의 수는 연주를 제외한 나 의 수는 4_3=12이고, 그 확률은 = ;4!8@; ;4!; 지 3명 중에서 청소 당번 1명을 뽑는 경우의 수와 같으므 따라서 구하는 확률은 로 3 따라서 구하는 확률은 = ;2!; ;6#; ;2!; + = = ;2!; ;4@; ;4!; ;4!; 05 ③ p+q=1이므로 p=1-q이다. ⑤ q=0이면 p=1이므로 사건 A는 반드시 일어난다. ③ _ = ;2!5^; ;5$; ;5$; 09 A팀이 이기려면 자유투 2개를 모두 성공시켜야 하고 자 유투 성공률은 이므로 구하는 확률은 ;5$ $; ③ ;2!; ;2!5^; 1 4 06 ⑴ 모든 경우의 수는 3_3_3=27 세 사람이 서로 비기는 경우는 모두 같은 것을 내거나 모두 다른 것을 내는 경우이다. Ú 세 사람이 모두 같은 것을 내는 경우는 (가위, 가위, 가위), (바위, 바위, 바위), (보, 보, 보) 의 3가지이므로 그 확률은 = ;9!; ;2£7; 10 4장의 카드 중에서 L이 적힌 카드를 뽑을 확률은 이고 2장 모두 L이 적힌 카드를 뽑을 확률은 _ = ;4!; ;4!; ;1Á6; 1 16 이므로 구하는 확률은 이때 2장 모두 O, V, E가 적힌 카드를 뽑을 확률도 각각 + + + = = ;4!; ;1¢6; ;1Á6; ;1Á6; ;1Á6; ;1Á6; ;4!; IV. 확률 83 기본서(중2-2)_해설_4-2단원(77~88)_6.indd 83 2018. 12. 13. 오후 5:56 ;8!; ;3!0&; ;8#; 11 두 사람이 만나지 못하려면 적어도 한 사람은 약속을 지키 16 6반이 우승하기 위해서는 세 번의 경기에서 모두 이겨야 지 않아야 한다. 이때 두 사람이 모두 약속을 지킬 확률은 하므로 구하는 확률은 _ _ = ;8!; ;2!; ;2!; ;2!; ;6%; 17 Ú A주머니에서 흰 공을 꺼낸 경우 B주머니에서 흰 공이 나올 확률은 12 홀수가 적힌 부분은 1, 3, 5, 7의 네 부분이므로 한 번 쏘아 홀수가 적힌 부분에 맞힐 확률은 Û A주머니에서 검은 공을 꺼낸 경우 B주머니에서 흰 공 따라서 구하는 확률은 _ = ;4!; ;6!; ;3@; 1- = ;6%; ;6!; 따라서 구하는 확률은 = ;8$; ;2!; _ = ;4!; ;2!; ;2!; _ = ;1¢5; ;6$; ;5@; 이 나올 확률은 _ = ;1£0; ;6#; ;5#; ;4!; 따라서 구하는 확률은 + = ;3!0&; ;1£0; ;1¢5; 13 빨간 구슬의 개수를 x개라 하면 노란 구슬이 나올 확률이 이므로 ;6!; 2 2+6+x = ;6!; , 2+6+x=12 ∴ x=4 따라서 주머니에 들어 있는 빨간 구슬은 4개이다. ④ 18 공이 Q로 나오는 경우는 다음과 같이 3가지이다. A A A P Q R S P Q R S P Q R S 이때 각 갈림길에서 공이 어느 한쪽으로 빠져나갈 확률은 모두 이므로 각 경우의 확률은 모두 ;2!; 14 5개의 막대 중에서 3개를 선택하는 경우의 수는 5_4_3 3_2_1 =10 삼각형이 되기 위해서는 (가장 긴 변의 길이)<(나머지 두 변의 길이의 합) 을 만족시켜야 하므로 삼각형이 만들어지는 경우는 따라서 구하는 확률은 (2, 3, 4), (2, 4, 5), (3, 4, 5)의 3가지이다. 따라서 구하는 확률은 ;1£0; ;1£0; _ _ = ;2!; ;2!; ;8!; ;2!; + + = ;8#; ;8!; ;8!; ;8!; 15 모든 경우의 수는 6_6=36 x=1을 y=2x-a에 대입하면 y=2-a x=1을 y=-x+b에 대입하면 ㉠, ㉡에서 2-a=-1+b이므로 y=-1+b a+b=3 19 4개의 공을 모두 맞힐 확률은 _ _ _ = ;3@; ;3@; ;3@; ;3@; ;8!1^; 따라서 구하는 확률은 yy ㉠ yy ㉡ 1- = ;8^1%; ;8!1^; ;8^1%; 이때 a+b=3을 만족시키는 순서쌍 (a, b)는 20 전구에 불이 들어오지 않으려면 스위치 A, B가 모두 닫 (1, 2), (2, 1)의 2가지이다. 히지 않아야 하므로 구하는 확률은 따라서 구하는 확률은 = ;1Á8; ;3ª6; ;1Á8; 1- _ 1- ;3!;} { = _ = ;5@; ;5#; ;3@; ;5@;} { ;5@; 84 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_4-2단원(77~88)_6.indd 84 2018. 12. 13. 오후 5:56 21 a_b가 짝수이려면 두 수 a, b 중 적어도 하나는 짝수이 어야 한다. 이때 a, b가 모두 홀수일 확률은 1- { _ 1 ;3@;} { -;5#;} = _ = ;5@; ;3!; ;1ª5; 따라서 구하는 확률은 1- = ;1ª5; ;1!5#; ;1!5#; 서술형 대비 문제 본문 228 ~ 229쪽 2-1 ;2!1(; 3 ;3°6; 4 ;5#0#; 1-1 ;2!; 5 ;2!4!; 이렇게 풀어요 6 ;2»5; 22 1개의 주사위를 한 번 던질 때, 5의 약수의 눈이 나오는 1-1 1 단계 A, B 두 주머니에서 모두 흰 공이 나올 확률은 경우는 1, 5의 2가지이므로 그 확률은 = ;6@; ;3!; _ = ;4@; ;4#; ;8#; B가 4회 이내에 이기려면 B가 2회에 이기거나 4회에 이 2 단계 A, B 두 주머니에서 모두 검은 공이 나올 확률은 겨야 한다. Ú B가 2회에 이기려면 1회에 5의 약수의 눈이 나오지 않고 2회에 5의 약수의 눈이 나오면 되므로 그 확률은 1- _ = _ = ;9@; ;3!; ;3@; ;3!; ;3!;} { Û B가 4회에 이기려면 1, 2, 3회에 5의 약수의 눈이 나 오지 않고 4회에 5의 약수의 눈이 나오면 되므로 그 _ = ;4@; ;4!; ;8!; 3 단계 따라서 구하는 확률은 + = ;2!; ;8!; ;8#; 확률은 1- _ 1- ;3!;} { _ 1- ;3!;} { _ ;3!; ;3!;} { = _ _ _ = ;8¥1; ;3!; ;3@; ;3@; ;3@; 따라서 구하는 확률은 + = ;8@1^; ;8¥1; ;9@; 2-1 1 단계 준이가 10등 안에 들지 못할 확률은 2 단계 기쁨이가 10등 안에 들지 못할 확률은 1- = ;7#; ;7$; 1- = ;6%; ;6!; ③ 3 단계 ∴ (적어도 한 명은 10등 안에 들 확률) =1-(둘 다 10등 안에 들지 못할 확률) 23 모든 경우의 수는 6_6=36 두 번 이동하여 점 P가 점 E에 위치하려면 점 P가 움직 인 거리가 5로 나누었을 때의 나머지는 1이고 3의 배수이 어야 하므로 6`cm 또는 21`cm 또는 36`cm이어야 한다. 즉, 주사위를 두 번 던져 나오는 눈의 수의 합이 2 또는 7 또는 12이어야 한다. Ú 두 눈의 수의 합이 2인 경우는 (1, 1)의 1가지이므로 그 확률은 ;3Á6; Û 두 눈의 수의 합이 7인 경우는 (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) 의 6가지이므로 그 확률은 ;3¤6; Ü 두 눈의 수의 합이 12인 경우는 (6, 6)의 1가지이므로 그 확률은 ;3Á6; 따라서 구하는 확률은 + + = = ;9@; ;3¥6; ;3Á6; ;3¤6; ;3Á6; =1- _ ;6!; ;7$; =1- = ;2!1(; ;2ª1; 3 1 단계 모든 경우의 수는 6_6=36 2 단계 직선 y=ax+b가 점 (1, 6)을 지나므로 x=1, y=6을 y=ax+b에 대입하면 6=a+b 3 단계 이를 만족시키는 순서쌍 (a, b)는 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)의 5가지 4 단계 따라서 구하는 확률은 ;3°6; 단계 채점 요소 모든 경우의 수 구하기 a, b 사이의 관계식 구하기 1 2 3 4 ② 직선 y=ax+b가 점 (1, 6)을 지날 확률 구하기 1점 조건을 만족시키는 순서쌍 (a, b)의 개수 구하기 2점 IV. 확률 85 ;2!; ;2!1(; ;3°6; 배점 2점 2점 기본서(중2-2)_해설_4-2단원(77~88)_6.indd 85 2018. 12. 13. 오후 5:56 4 1 단계 Ú 2의 배수는 25개이므로 2의 배수가 나올 확률은 ;5@0%; ;5!0^; 2 단계 Û 3의 배수는 16개이므로 3의 배수가 나올 확률은 3 단계 Ü 2의 배수이면서 3의 배수, 즉 6의 배수는 8개이 므로 6의 배수가 나올 확률은 단계 채점 요소 1 2 3 4 A, B만 합격할 확률 구하기 B, C만 합격할 확률 구하기 A, C만 합격할 확률 구하기 2명만 합격할 확률 구하기 ;5¥0; 4 단계 따라서 구하는 확률은 + - = ;5#0#; ;5¥0; ;5!0^; ;5@0%; 단계 채점 요소 2의 배수가 나올 확률 구하기 3의 배수가 나올 확률 구하기 6의 배수가 나올 확률 구하기 1 2 3 4 5 1 단계 Ú A, B만 합격할 확률은 _ _ 1- ;4#; { = _ _ = ;4!; ;2!; ;4#; ;3@; ;2!;} ;3@; 2 단계 Û B, C만 합격할 확률은 1- _ _ = _ _ = ;8!; ;2!; ;4#; ;3!; ;2!; ;4#; ;3@;} { 3 단계 Ü A, C만 합격할 확률은 _ 1- ;3@; { _ = _ _ = ;1Á2; ;2!; ;4!; ;3@; ;2!; ;4#;} 4 단계 따라서 구하는 확률은 + + = ;2!4!; ;1Á2; ;8!; ;4!; ;2!4!; 배점 2점 2점 2점 1점 ;2»5; 배점 2점 2점 2점 1점 ;5#0#; 배점 2점 2점 2점 2점 6 1 단계 비가 온 날의 다음 날에 비가 올 확률은 이므로 비 2 5 가 온 날의 다음 날에 비가 오지 않을 확률은 1- 2 5 = ;5#; 이다. 2 단계 Ú 화요일에 비가 왔을 때, 수요일에 비가 오고 목 요일에 비가 올 확률은 _ = ;2¢5; ;5@; ;5@; 목요일에 비가 올 확률은 _ = ;5!; ;3!; ;5#; 4 단계 따라서 구하는 확률은 + = ;2»5; ;5!; ;2¢5; 단계 채점 요소 1 2 3 4 비가 온 날의 다음 날에 비가 오지 않을 확률 구 하기 수요일에 비가 오고 목요일에 비가 올 확률 구하 기 수요일에 비가 오지 않고 목요일에 비가 올 확률 구하기 목요일에 비가 올 확률 구하기 2의 배수 또는 3의 배수가 나올 확률 구하기 3 단계 Û 화요일에 비가 왔을 때, 수요일에 비가 오지 않고 86 정답과 풀이 기본서(중2-2)_해설_4-2단원(77~88)_6.indd 86 2018. 12. 13. 오후 5:56 memo 기본서(중2-2)_해설_4-2단원(77~88)_6.indd 87 2018. 12. 13. 오후 5:56 memo 기본서(중2-2)_해설_4-2단원(77~88)_6.indd 88 2018. 12. 13. 오후 5:56
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