문 제 기 본 서 [알피엠] 중학수학 2-2 정답과 풀이 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 1 2018-12-13 오후 6:45:01 01 이등변삼각형 Ⅰ. 삼각형의 성질 본문 p.9 △ABC에서 0010 ∠A=∠DBA이므로 DBÓ=DAÓ=4`cm ∠DBC=90ù-50ù=40ù ∠C=180ù-(50ù+90ù)=40ù 따라서 ∠DBC=∠C이므로 (cid:34) (cid:22)(cid:17)(cid:177) (cid:22)(cid:17)(cid:177) (cid:21)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:37) (cid:21)(cid:17)(cid:177) (cid:21)(cid:17)(cid:177) (cid:35) (cid:89)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:36) 0001 ∠C=∠B=60ù이므로 ∠x=180ù-(60ù+60ù)=60ù 60ù DCÓ=DBÓ=4`cm ∴ x=4 4 0002 ∠x= ;2!; _(180ù-120ù)=30ù 0003 ∠C=∠ABC=180ù-105ù=75ù이므로 ∠x=180ù-(75ù+75ù)=30ù 30ù 30ù 0004 ∠ACB=∠B= _(180ù-80ù)=50ù이므로 ;2!; ∠x=180ù-50ù=130ù 130ù 0005 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등 분하므로 BCÓ=2BDÓ=2_5=10(cm) ∴ x=10 또 ADÓ⊥BCÓ에서 ∠ADC=90ù ∴ y=90 x=10, y=90 0006 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등 분하므로 ADÓ⊥BCÓ에서 ∠ADC=90ù 이때 ∠C=∠B=55ù이므로 △ADC에서 ∠CAD=180ù-(90ù+55ù)=35ù ∴ x=35 또 CDÓ=BDÓ= BCÓ= _8=4(cm) ∴ y=4 ;2!; ;2!; x=35, y=4 0007 ∠C=180ù-(40ù+70ù)=70ù 따라서 ∠A=∠C이므로 BCÓ=BAÓ=12`cm ∴ x=12 12 0008 ∠BAC=180ù-130ù=50ù △ABC에서 ∠C=180ù-(65ù+50ù)=65ù 따라서 ∠B=∠C이므로 ACÓ=ABÓ=6`cm ∴ x=6 0011 △ABCª△FED (RHA 합동) 0012 DEÓ=CBÓ=4`cm 4`cm 0013 △ABCª△EDF (RHS 합동) 0014 DFÓ=BCÓ=4`cm 4`cm 0015 ㄱ. RHA 합동, ㄹ. RHS 합동 0016 4 0017 8 0018 35 0019 10 본문 p.10~17 0020 ㈎ ACÓ ㈏ ADÓ ㈐ ∠CAD ㈑ SAS 0021 ㈎ ADÓ ㈏ ∠CAD ㈐ △ABD ㈑ SAS ㈒ ∠ADC 0022 ④ 6 0023 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등 분하므로 0009 ∠B=∠C이므로 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각 형이다. 따라서 DCÓ= BCÓ= _8=4(cm)이므로 ;2!; ;2!; ADÓ⊥BCÓ, BDÓ=CDÓ △PBD와 △PCD에서 BDÓ=CDÓ, PDÓ는 공통, ∠PDB=∠PDC 이므로 △PBD≡△PCD (SAS 합동) 4 ∴ PBÓ=PCÓ ③, ④ x=4 2 정답과 풀이 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 2 2018-12-13 오후 6:45:03 0024 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C= _(180ù-40ù)=70ù ;2!; 0031 △BEA에서 BAÓ=BEÓ이므로 ∠BEA=∠BAE= _(180ù-52ù)=64ù ;2!; △BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로 ∠BDC=∠C=70ù △CDE에서 CDÓ=CEÓ이므로 ∴ ∠DBC=180ù-(70ù+70ù)=40ù ∴ ∠ABD=∠ABC-∠DBC=70ù-40ù=30ù ③ ∠CED=∠CDE= _(180ù-34ù)=73ù ;2!; ∴ ∠AED =180ù-(∠BEA+∠CED) =180ù-(64ù+73ù) 0025 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C=62ù ∴ ∠A=180ù-(62ù+62ù)=56ù 56ù =43ù 43ù 0026 ∠ABC=180ù-130ù=50ù 이때 △ABC에서 BAÓ=BCÓ이므로 ∠C=∠A= _(180ù-50ù)=65ù ;2!; 0027 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠B=2∠A=2∠x 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 0032 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등 분하므로 ④ BDÓ=CDÓ=5`cm ∴ x=5 △ADC에서 ∠CAD=∠BAD=36ù, ∠ADC=90ù이므로 ∠C=180ù-(90ù+36ù)=54ù 36ù ∴ y=54 ∴ x+y=5+54=59 59 ∠x+2∠x+2∠x=180ù 5∠x=180ù ∴ ∠x=36ù 0028 ADÓBCÓ이므로 ∠C=∠DAC=67ù (엇각) △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C=67ù ∴ ∠EAD=∠B=67ù (동위각) 단계 채점 요소 ∠C의 크기 구하기 ∠B의 크기 구하기 ∠EAD의 크기 구하기 67ù 배점 30 % 40 % 30 % 0033 ① △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C ② ∠BAD의 크기는 알 수 없다. ③, ④ 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분 하므로 BDÓ= BCÓ= _16=8(cm) ;2!; ;2!; ADÓ⊥BCÓ에서 ∠ADC=90ù ⑤ △ABDª△ACD (SAS 합동) 0034 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠B=75ù △ABC는 이등변삼각형이고 점 D는 BCÓ의 중점이므로 ∠ADC=90ù ② 15ù 배점 40 % 30 % 30 % 01. 이등변삼각형 3 0029 ∠BDC=180ù-106ù=74ù이고 △BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로 ∠C=∠BDC=74ù ∴ ∠DBC=180ù-(74ù+74ù)=32ù △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C=74ù ∴ ∠ABD=∠ABC-∠DBC=74ù-32ù=42ù 42ù 따라서 △ADC에서 ∠CAD=180ù-(90ù+75ù)=15ù 0030 ∠BDE=∠a라 하면 ∠DBE=∠BDE=∠a이므로 △DBE에서 ∠DEC=∠a+∠a=2∠a 또 ∠CDE=∠BDE=∠a이므로 △DEC에서 단계 채점 요소 ∠a+2∠a+90ù=180ù, 3∠a=90ù ∴ ∠a=30ù ∴ ∠DEC=2∠a=2_30ù=60ù 60ù ∠C의 크기 구하기 ∠ADC의 크기 구하기 ∠CAD의 크기 구하기 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 3 2018-12-13 오후 6:45:04 20ù 배점 20 % 30 % 30 % 20 % 0035 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등 △DBE에서 분하므로 BDÓ= BCÓ= _12=6(cm) 1 2 ;2!; 또 ADÓ⊥BCÓ이고 △ABD=24`cmÛ`이므로 _BDÓ_ADÓ=24에서 ;2!; ;2!; _6_ADÓ=24 ∴ ADÓ=8(cm) 8`cm ∠FDE=∠B+∠DEB이므로 80ù=∠x+3∠x, 4∠x=80ù (cid:35) ∴ ∠x=20ù (cid:19)(cid:89) (cid:37) (cid:39) (cid:25)(cid:17)(cid:177) (cid:36) (cid:20)(cid:89) (cid:38) (cid:40) (cid:34) (cid:89) (cid:37) (cid:25)(cid:17)(cid:177) (cid:34) (cid:18)(cid:17)(cid:17)(cid:177) (cid:21)(cid:17)(cid:177) (cid:21)(cid:17)(cid:177) (cid:35) (cid:36) (cid:38) 단계 채점 요소 ∠ACB=∠B=∠x임을 알기 ∠CDA=∠CAD=2∠x임을 알기 ∠DEC=∠DCE=3∠x임을 알기 ∠x의 크기 구하기 0036 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B =∠ACB = _(180ù-100ù)=40ù 1 2 △CDA에서 CAÓ=CDÓ이므로 ∠CDA=∠CAD=180ù-100ù=80ù 따라서 △DBC에서 ∠DCE=∠D+∠B=80ù+40ù=120ù 120ù 0037 △ABD에서 DAÓ=DBÓ이므로 ∠BAD=∠B=34ù ∴ ∠ADC=∠B+∠BAD=34ù+34ù=68ù 따라서 △ADC에서 DAÓ=DCÓ이므로 ∠x= _(180ù-68ù)=56ù ;2!; 0038 ∠A=∠x라 하면 △DCA에서 DAÓ=DCÓ이므로 ∠ACD=∠A=∠x △CDB에서 CDÓ=CBÓ이므로 ∠CBD=∠CDB=2∠x ∠BDC=∠A+∠ACD=∠x+∠x=2∠x △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠ABC=2∠x △ABC의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠x+2∠x+2∠x=180ù 5∠x=180ù ∴ ∠x=36ù 따라서 △DCA에서 ∠ADC=180ù-(36ù+36ù)=108ù 108ù 0039 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠B=∠x ∠DAC=∠B+∠ACB=∠x+∠x=2∠x △CDA에서 CAÓ=CDÓ이므로 ∠CDA=∠CAD=2∠x △DBC에서 ∠DCE=∠B+∠BDC=∠x+2∠x=3∠x △DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로 ∠DEC=∠DCE=3∠x 4 정답과 풀이 0040 ⑴ △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB= _(180ù-40ù)=70ù ;2!; ∴ ∠ACE=180ù-∠ACB=180ù-70ù=110ù 이때 ∠ACD=∠DCE이므로 ∠ACD= ∠ACE= _110ù=55ù ;2!; ;2!; ⑵ ∠BCD=∠ACB+∠ACD=70ù+55ù=125ù 56ù △CDB에서 CBÓ=CDÓ이므로 ∠CDB= _(180ù-125ù)=27.5ù ;2!; 0041 ∠ACD=∠DCE=60ù이므로 ∠ACB=180ù-(60ù+60ù)=60ù 이때 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB=60ù ∴ ∠DBC= ∠ABC= _60ù=30ù ;2!; ;2!; 따라서 △DBC에서 ∠BDC =∠DCE-∠DBC =60ù-30ù=30ù ⑴ 55ù ⑵ 27.5ù (cid:34) (cid:37) (cid:20)(cid:17)(cid:177) (cid:23)(cid:17)(cid:177) (cid:23)(cid:17)(cid:177) (cid:23)(cid:17)(cid:177) (cid:20)(cid:17)(cid:177) (cid:36) (cid:38) (cid:35) ③ 0042 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB= _(180ù-28ù)=76ù ;2!; ∴ ∠DBC= ∠ABC= _76ù=38ù ;2!; ;2!; 이때 ∠ACD`:`∠ACE=1`:`4에서 ∠ACE=4∠ACD이므로 ∠ACD = ∠ACE= _(180ù-∠ACB) 1 4 1 4 1 4 = _(180ù-76ù)=26ù 따라서 △BCD에서 ∠D=180ù-(38ù+76ù+26ù)=40ù 40ù 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 4 2018-12-13 오후 6:45:06 0043 ㈎ ADÓ ㈏ ∠CAD ㈐ ∠C ㈑ ∠ADC ㈒ ASA 0050 ㄱ과 ㅁ: RHS 합동 ㄴ과 ㄷ: RHA 합동 ㄱ과 ㅁ, ㄴ과 ㄷ 0044 ㈎ ∠ACB ㈏ ∠ABC ㈐ ∠DCB 0045 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C= _(180ù-36ù)=72ù ;2!; ∴ ∠ABD = ∠ABC 1 2 1 2 = _72ù=36ù (cid:34) (cid:20)(cid:23)(cid:177) (cid:20)(cid:23)(cid:177) (cid:35) (cid:23)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:37) (cid:24)(cid:19)(cid:177) (cid:36) 즉, ∠A=∠ABD이므로 △DAB는 `DAÓ=DBÓ인 이등변삼각 형이다. 또 △DAB에서 ∠BDC =∠A+∠ABD =36ù+36ù=72ù 0051 △ABC와 △EFD에서 ∠B=∠F=90ù, ACÓ=EDÓ, ∠A=180ù-(90ù+60ù)=30ù=∠E 이므로 △ABCª△EFD (RHA 합동) ∴ DFÓ=CBÓ=5`cm 0052 ⑤ ㈒ ASA 0053 △ACD와 △BAE에서 ∠ADC=∠BEA=90ù, ACÓ=BAÓ, ∠DCA=90ù-∠CAD=∠EAB 이므로 △ACDª△BAE (RHA 합동) ③ ⑤ 따라서 ∠C=∠BDC이므로 △BCD는 BCÓ=BDÓ인 이등변삼각 따라서 DAÓ=EBÓ=3`cm, AEÓ=CDÓ=4`cm이므로 형이다. DEÓ =DAÓ+AEÓ ∴ ADÓ=BDÓ=BCÓ=6`cm 6`cm =3+4=7(cm) ② 0046 △ABC에서 ∠B=∠C이므로 ABÓ=ACÓ이다. ∴ ABÓ= _(26-8)=9(cm) ;2!; 0054 △ADM과 △BCM에서 ∠ADM=∠BCM=90ù, AÕMÓ=BÕMÓ, ③ 0047 △ABC에서 ∠A=180ù-(90ù+30ù)=60ù △DCA에서 DAÓ=DCÓ이므로 ∠ACD=∠A=60ù 따라서 △DCA는 한 변의 길이가 10`cm인 정삼각형이다. ∴ ADÓ=DCÓ=CAÓ=10`cm ∠DCB=∠ACB-∠ACD=90ù-60ù=30ù 즉, ∠B=∠DCB이므로 BDÓ=CDÓ=10`cm ∴ ABÓ =ADÓ+DBÓ =10+10=20(cm) 20`cm 0048 △ABC에서 ∠B=∠C이므로 ACÓ=ABÓ=14`cm 오른쪽 그림과 같이 APÓ를 그으면 △ABC=△ABP+△APC이므로 A 14`cm D B P E C ∠AMD=∠BMC (맞꼭지각) 이므로 △ADMª△BCM (RHA 합동) 따라서 ADÓ=BCÓ=5`cm이므로 x=5 y=25 또 ∠BMC=∠AMD=180ù-(90ù+65ù)=25ù이므로 ∴ x+y=5+25=30 30 0055 △BMD와 △CME에서 ∠BDM=∠CEM=90ù, BMÓ=CMÓ` △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C ∴ △BMDª△CME (RHA 합동) ∴ MDÓ=MEÓ ② 63= _14_PDÓ+ _14_PEÓ ;2!; ;2!; 63=7(PDÓ+PEÓ) ∴ PDÓ+PEÓ=9(cm) 0049 ① ASA 합동 ② RHS 합동 ③ RHA 합동 0056 △BDM과 △CEM에서 ∠BDM=∠CEM=90ù, BÕMÓ=CÕMÓ, 9`cm ∠BMD=∠CME (맞꼭지각) 이므로 △BDMª△CEM (RHA 합동) 따라서 BDÓ=CEÓ=8`cm, DÕMÓ=EÕMÓ=4`cm이므로 △ABD = _BDÓ_ADÓ = _8_(16+4) 1 2 1 2 ④ 모양은 같으나 크기가 같다고 할 수 없으므로 합동이 아니다. ⑤ SAS 합동 ④ =80(cmÛ`) ④ 01. 이등변삼각형 5 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 5 2018-12-13 오후 6:45:07 0057 △ADB와 △CEA에서 ∠BDA=∠AEC=90ù, ABÓ=CAÓ, ∠DBA=90ù-∠BAD=∠EAC 이므로 △ADBª△CEA (RHA 합동) 따라서 DAÓ=ECÓ=5`cm, AEÓ=BDÓ=7`cm이므로 DEÓ=5+7=12(cm) (사각형 DBCE의 넓이) = _(BDÓ+CEÓ)_DEÓ 1 2 1 2 = _(7+5)_12 =72(cmÛ`) ∴ △ABC =(사각형 DBCE의 넓이)-(△ADB+△CEA) 1 2 =72- _7_5+ { ;2!; =72-35=37(cmÛ`) _7_5 } 37`cmÛ` 0058 △ABD와 △CAE에서 ∠ADB=∠CEA=90ù, ABÓ=CAÓ, ∠ABD=90ù-∠BAD=∠CAE l A 12`cm 이므로 △ABD≡△CAE (RHA 합동) B 따라서 ADÓ=CEÓ=5`cm, AEÓ=BDÓ=12`cm이므로 DEÓ =AEÓ-ADÓ =12-5=7(cm) D E C 5`cm 7`cm 배점 50 % 50 % 단계 채점 요소 △ABDª△CAE임을 알기 DEÓ의 길이 구하기 0059 △DBC와 △DBE에서 ∠DCB=∠DEB=90ù, BDÓ는 공통, BCÓ=BEÓ 이므로 △DBCª△DBE (RHS 합동)(③) x=7 0060 △ADE와 △ACE에서 ∠ADE=∠ACE=90ù, AEÓ는 공통, ADÓ=ACÓ 이므로 △ADEª△ACE (RHS 합동) 따라서 DEÓ=CEÓ=7`cm이므로 또 ∠DAE=∠CAE이고 △ABC에서 ∠BAC=180ù-(90ù+32ù)=58ù이므로 ∠DAE= ∠BAC= _58ù=29ù ;2!; 1 2 ∴ y=29 ∴ y-x=29-7=22 6 정답과 풀이 0061 △BMD와 △CME에서 ∠BDM=∠CEM=90ù, BÕMÓ=CÕMÓ, MDÓ=MEÓ 이므로 △BMDª△CME (RHS 합동) 따라서 ∠ABM=∠ACM= _(180ù-56ù)=62ù이므로 ;2!; △BMD에서 ∠BMD=180ù-(90ù+62ù)=28ù 28ù 0062 △ADE와 △ACE에서 ∠ADE=∠ACE=90ù, AEÓ는 공통, ADÓ=ACÓ 이므로 △ADE≡△ACE (RHS 합동) ∴ DEÓ=CEÓ 또 BDÓ=ABÓ-ADÓ=ABÓ-ACÓ=10-6=4(cm)이므로 (△BED의 둘레의 길이) =BEÓ+EDÓ+DBÓ =(BEÓ+ECÓ)+DBÓ =BCÓ+DBÓ =8+4=12(cm) 12`cm 0063 ㈎ ∠PAO ㈏ OPÓ ㈐ ∠BOP ㈑ RHA ㈒ PBÓ 0064 △PAO와 △PBO에서 ∠PAO=∠PBO=90ù, OPÓ는 공통, PAÓ=PBÓ 이므로 △PAOª△PBO (RHS 합동) ∴ AOÓ=BOÓ (ㄱ), ∠APO=∠BPO (ㄴ) 또 ∠AOP=∠BOP이므로 ∠AOP= ∠AOB (ㅁ) ;2!; 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ이다. ⑤ 0065 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 E라 하면 ADÓ는 ∠BAC의 이등분선이므로 (cid:34) (cid:23)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:18)(cid:17)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:38) (cid:35) (cid:20)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:37) (cid:36) ④ ∴ △ADC = _ACÓ_DEÓ 1 2 1 2 = _10_3 =15(cmÛ`) 15`cmÛ` (cid:34) (cid:37) (cid:35) (cid:38) (cid:18)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:36) 0066 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 E라 하면 CDÓ는 ∠ACB의 이등분선이므로 BDÓ=EDÓ 이때 △ADC=30`cmÛ`이므로 _15_DEÓ=30 ;2!; ∴ DEÓ=4(cm) 22 ∴ BDÓ=EDÓ=4`cm 4`cm ∴ DCÓ=DEÓ(②), ∠BDC=∠BDE(①), ∠CBD=∠EBD(⑤) DEÓ=DBÓ=3`cm 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 6 2018-12-13 오후 6:45:09 0067 PAÓ=PBÓ이므로 OPÓ는 ∠AOB의 이등분선이다. 0073 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∴ ∠AOP=∠BOP= ∠AOB= _40ù=20ù ∠B=∠C= _(180ù-52ù)=64ù 1 2 ;2!; 1 2 따라서 △AOP에서 △BED와 △CFE에서 ∠APO=180ù-(90ù+20ù)=70ù 70ù BDÓ=CEÓ, BEÓ=CFÓ, ∠B=∠C 0068 ADÓ는 ∠BAC의 이등분선이므로 DEÓ=DCÓ=4`cm △ABC에서 CAÓ=CBÓ이므로 ∠B= _(180ù-90ù)=45ù ;2!; 이므로 △BEDª△CFE (SAS 합동) ∴ ∠BDE=∠CEF ∴ ∠DEF =180ù-(∠DEB+∠CEF) =180ù-(∠DEB+∠BDE) =∠B=64ù 64ù 이때 △BDE에서 ∠BDE=180ù-(90ù+45ù)=45ù △BDE는 직각이등변삼각형이므로 BEÓ=DEÓ=4`cm 0074 △ABE와 △ACD에서 ABÓ=ACÓ, BEÓ=CDÓ, ∠B=∠C ∴ △BDE= _4_4=8(cmÛ`) ;2!; 8`cmÛ` 이므로 △ABEª△ACD (SAS 합동) 즉, AEÓ=ADÓ이므로 △ADE는 이등변삼각형이다. ∴ ∠ADE=∠AED=70ù 또 △ABE에서 BEÓ=BAÓ이므로 ∠B=180ù-(70ù+70ù)=40ù 본문 p.18 따라서 △ABD에서 ∠BAD=∠ADE-∠B=70ù-40ù=30ù ③ 0069 ACÓBDÓ이므로` ∠ACB=∠CBD=∠x (엇각) ∠ABC=∠CBD=∠x (접은 각) 따라서 △ABC에서 ∠x= _(180ù-54ù)=63ù ;2!; 0070 ADÓBCÓ이므로 ∠BCA=∠DAC (엇각) ∠DAC=∠BAC (접은 각) ∴ ∠BCA=∠BAC (cid:34) (cid:36) (cid:22)(cid:21)(cid:177) (cid:89) (cid:89)(cid:89) (cid:35) (cid:37) 63ù 0075 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C= _(180ù-56ù)=62ù ;2!; △BPR와 △CQP에서 BPÓ=CQÓ, BRÓ=CPÓ, ∠B=∠C 이므로 △BPR≡△CQP (SAS 합동) ∴ PRÓ=QPÓ, ∠BRP=∠CPQ ∴ ∠RPQ =180ù-(∠BPR+∠CPQ) =180ù-(∠BPR+∠BRP) =∠B=62ù 이때 △PQR에서 PQÓ=PRÓ이므로 ∠PQR= _(180ù-62ù)=59ù ;2!; 따라서 △ABC에서 ABÓ=BCÓ=7`cm 7`cm 0071 ④ ACÓBDÓ이므로 ∠ACB=∠CBD (엇각) ∠ABC=∠CBD (접은 각) 즉, ∠ACB=∠ABC이므로 ABÓ=ACÓ (cid:36) (cid:34) (cid:35) (cid:37) ④ 0072 ACÓBDÓ이므로 ∠ACB=∠CBD (엇각) ∠ABC=∠CBD (접은 각) ∴ ∠ABC=∠ACB 따라서 △ABC에서 ACÓ=ABÓ=9`cm ∴ △ABC= _9_6=27(cmÛ`) ;2!; 27`cmÛ` 5∠x=120ù ∴ ∠x=24ù 0076 ⑤ 0077 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠B=2∠x+30ù △ABC의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠x+(2∠x+30ù)+(2∠x+30ù)=180ù ③ 01. 이등변삼각형 7 (cid:34) (cid:22)(cid:23)(cid:177) (cid:50) (cid:23)(cid:19)(cid:177) (cid:36) (cid:51) (cid:35) (cid:23)(cid:19)(cid:177) (cid:49) ② 본문 p.19~21 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 7 2018-12-13 오후 6:45:10 0078 △DAC에서 DAÓ=DCÓ이므로 ∠DAC= _(180ù-100ù)=40ù ;2!; ADÓBCÓ이므로 ∠ACB=∠DAC=40ù (엇각) 따라서 △CAB에서 CAÓ=CBÓ이므로 ∠B= _(180ù-40ù)=70ù ;2!; 0079 ∠A=∠x라 하면 ∠DBE=∠A=∠x (접은 각) 또 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠ABC=∠x+27ù 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠x+(∠x+27ù)+(∠x+27ù)=180ù 3∠x=126ù ∴ ∠x=42ù 1 2 1 2 1 2 ∴ ∠ABD = ∠ABC = _54ù=27ù 따라서 △ABD에서 ∠BDC =∠A+∠ABD =72ù+27ù=99ù 0082 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C= _(180ù-52ù)=64ù ;2!; ∠DBC= ∠B, ∠DCB= ∠C이므로 ;2!; ;2!; 1 2 ∠DBC =∠DCB = _64ù=32ù 따라서 △DBC에서 8 정답과 풀이 0083 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC =∠ACB _(180ù-48ù) = 1 2 =66ù (cid:37) (cid:34) (cid:21)(cid:25)(cid:177) (cid:20)(cid:20)(cid:177) (cid:35) (cid:22)(cid:24)(cid:177) (cid:23)(cid:23)(cid:177) (cid:36) (cid:38) 70ù ∴ ∠DBC= ∠ABC= _66ù=33ù ;2!; ;2!; 이때 ∠ACE=180ù-66ù=114ù이므로 ∠DCE= ∠ACE= _114ù=57ù ;2!; ;2!; 따라서 △DBC에서 ∠BDC =∠DCE-∠DBC =57ù-33ù=24ù 0084 ∠B=∠C이므로 △ABC는 이등변삼각형이다. ∴ ACÓ=ABÓ=6`cm 또 ADÓ는 이등변삼각형 ABC의 꼭지각의 이등분선이므로 밑변 42ù BC를 수직이등분한다. ∴ BDÓ=CDÓ=2`cm 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 6+(2+2)+6=16(cm) 0085 ① RHS 합동 ② 모양은 같으나 크기가 같다고 할 수 없으므로 합동이 아니다. 24ù 16`cm ②, ⑤ ∴ ADÓ=BEÓ (ㄷ), DBÓ=ECÓ ㄴ, ㄷ, ㅁ 0087 △AME와 △BMD에서 ∠AEM=∠BDM=90ù, AMÓ=BMÓ, MEÓ=MDÓ 이므로 △AMEª△BMD (RHS 합동) 따라서 ∠B=∠A=28ù이므로 △ABC에서 ② ∠C=180ù-(28ù+28ù)=124ù 124ù 0088 △BDM와 △ADM에서 BMÓ=AMÓ, DMÓ은 공통, ∠DMB=∠DMA 이므로 △BDMª△ADM (SAS 합동) ∠B=∠a라 하면 ∠MAD=∠B=∠a △ADM과 △ADC에서 ∠AMD=∠ACD=90ù, ADÓ는 공통, DMÓ=DCÓ 이므로 △ADMª△ADC (RHS 합동) (cid:34) (cid:66) (cid:66) (cid:46) (cid:66) (cid:35) (cid:36) (cid:37) 0080 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등 분하므로 BDÓ=CDÓ (②), ADÓ⊥BCÓ (④) ⑤ △ABD와 △ACD에서 ABÓ=ACÓ, ADÓ는 공통, ∠BAD=∠CAD 이므로 △ABDª△ACD (SAS 합동) ①, ③ ③ SAS 합동 ④ RHA 합동 0081 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC =∠C = _(180ù-72ù)=54ù (cid:35) (cid:34) (cid:24)(cid:19)(cid:177) (cid:19)(cid:24)(cid:177) (cid:37) (cid:22)(cid:21)(cid:177) (cid:36) 0086 △BAD와 △CBE에서 ∠ADB=∠BEC=90ù, ABÓ=BCÓ, ∠BAD=90ù-∠ABD=∠CBE (ㄴ) 이므로 △BADª△CBE (RHA 합동) (ㅁ) ∠BDC=180ù-(32ù+32ù)=116ù 116ù ∴ ∠CAD=∠MAD=∠a 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 8 2018-12-13 오후 6:45:12 △ABC에서 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠a+2∠a+90ù=180ù 0093 △PBD와 △PCD에서 PDÓ는 공통 3∠a=90ù ∴ ∠a=30ù ∴ ∠B=30ù ADÓ는 이등변삼각형 ABC의 꼭지각의 이등분선이므로 ∠PDB=∠PDC=90ù, BDÓ=CDÓ 30ù ∴ △PBDª△PCD (SAS 합동) 0089 △COP와 △DOP에서 ∠PCO=∠PDO=90ù (①), OPÓ는 공통, ∠COP=∠DOP (②) 이므로 △COPª△DOP (RHA 합동) (④) ∴ PCÓ=PDÓ (③) ⑤ 즉, △PBC는 PBÓ=PCÓ인 직각이등변삼각형이므로 ∠PBC=∠PCB=45ù 또 ∠PBD=∠PCD=45ù이므로 △PBD와 △PCD도 각각 직각이등변삼각형이다. 따라서 BDÓ=PDÓ=CDÓ=8`cm이므로 (cid:34) BCÓ =BDÓ+DCÓ=8+8=16(cm) 0090 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 E라 하면 ADÓ는 ∠BAC의 이등분선이므로 (cid:19)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:38) DEÓ=DCÓ=8`cm (cid:35) (cid:36) (cid:37) (cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78) ∴ △ABD = _ABÓ_DEÓ 1 2 1 2 = _26_8=104(cmÛ`) 104`cmÛ` BCÓ의 길이 구하기 단계 채점 요소 △PBDª△PCD임을 알기 △PBD와 △PCD가 각각 직각이등변삼각형임을 알기 0091 ACÓBDÓ이므로 ∠ACB=∠CBD (엇각) ∠ABC=∠CBD (접은 각) 즉, ∠ABC=∠ACB이므로 ACÓ=ABÓ=8`cm ∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ =8+6+8=22(cm) 0092 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C=70ù ∴ ∠A=180ù-(70ù+70ù)=40ù △DAB에서 DAÓ=DBÓ이므로 ∠ABD=∠A=40ù ∴ ∠BDC =∠A+∠ABD =40ù+40ù=80ù 단계 채점 요소 ∠A의 크기 구하기 ∠ABD의 크기 구하기 ∠BDC의 크기 구하기 0094 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠B=20ù ∠CAD =∠B+∠ACB =20ù+20ù=40ù △CDA에서 CAÓ=CDÓ이므로 ∠CDA=∠CAD=40ù △DBC에서 ∠DCE =∠B+∠CDA =20ù+40ù=60ù △DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로 ∠DEC=∠DCE=60ù 따라서 △DBE에서 ∠x =∠B+∠DEC =20ù+60ù=80ù 단계 채점 요소 ∠ACB의 크기 구하기 ∠CDA의 크기 구하기 ∠DEC의 크기 구하기 ∠x의 크기 구하기 22`cm 80ù 배점 40 % 30 % 30 % 16`cm 배점 40 % 40 % 20 % (cid:35) (cid:34) (cid:19)(cid:17)(cid:177) (cid:37) (cid:21)(cid:17)(cid:177) (cid:39) (cid:89) (cid:36) (cid:23)(cid:17)(cid:177) (cid:38) 80ù 배점 20 % 30 % 30 % 20 % 01. 이등변삼각형 9 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 9 2018-12-13 오후 6:45:14 0098 △ABD와 △CAE에서 ∠BDA=∠AEC=90ù, ABÓ=CAÓ, ∠ABD=90ù-∠BAD=∠CAE 이므로 △ABDª△CAE (RHA 합동) 즉, ADÓ=CEÓ, BDÓ=AEÓ이므로 DEÓ =AEÓ-ADÓ=BDÓ-CEÓ =12-6=6(cm) 이때 △BPD의 넓이에서 _12_DPÓ=24 ;2!; ∴ DPÓ=4(cm) 따라서 PEÓ=DEÓ-DPÓ=6-4=2(cm)이므로 △CPE = _ECÓ_PEÓ 1 2 1 2 = _6_2=6(cmÛ`) 6`cmÛ` ∴ ∠DEA=∠DFC=57ù 또 ∠EDA=∠FDC이므로 ∠EDF =∠EDA+∠ADF =∠FDC+∠ADF =∠ADC=90ù ∠DEF= _(180ù-90ù)=45ù ;2!; ∴ ∠BEF =∠DEA-∠DEF 즉, △EFD는 DEÓ=DFÓ인 직각이등변삼각형이므로 =57ù-45ù=12ù 12ù ⑴ 6`cm ⑵ 98`cmÛ` 0099 △DEA와 △DFC에서 ∠DAE=∠DCF=90ù, DEÓ=DFÓ, DAÓ=DCÓ 이므로 △DEAª△DFC (RHS 합동) (cid:38) (cid:36) 배점 30 % 20 % 20 % 30 % (cid:18)(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:34) 0095 ⑴ △BAD와 △ACE에서 ∠ADB=∠CEA=90ù, BAÓ=ACÓ, ∠DBA =90ù-∠BAD (cid:37) (cid:77) (cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:35) =∠EAC 이므로 △BAD≡△ACE (RHA 합동) ∴ AEÓ=BDÓ=8`cm ∴ CEÓ =ADÓ=DEÓ-AEÓ =14-8=6(cm) ⑵ (사각형 DBCE의 넓이) = _(BDÓ+CEÓ)_DEÓ 1 2 1 2 = _(8+6)_14 =98(cmÛ`) 단계 채점 요소 △BAD≡△ACE임을 알기 AEÓ의 길이 구하기 CEÓ의 길이 구하기 사각형 DBCE의 넓이 구하기 0096 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선 은 밑변을 수직이등분하므로 5`cm A ADÓ⊥BCÓ, DCÓ= BCÓ= _6=3(cm) ;2!; ;2!; _DCÓ_ADÓ= _ACÓ_DEÓ이므로 ;2!; △ADC의 넓이에서 ;2!; ;2!; _3_4= _5_DEÓ ;2!; ∴ DEÓ Ó= (cm) :Á5ª: 5`cm E C B 4cm D 6`cm :Á5ª: `cm 0097 ABÓC'B'Ó이므로 ∠ABD=∠DEB'(엇각), ∠BAD=∠DB'E (엇각) 15`cm A 10`cm C' B 17`cm ED C 이때 △AB'C'은 △ABC를 회전시킨 것이므로 ∠ABD=∠DB'E B' ∴ ∠DEB'=∠ABD=∠DB'E=∠BAD 즉, △DAB는 DAÓ=DBÓ인 이등변삼각형이고, △DB'E는 DB'Ó=DEÓ인 이등변삼각형이다. ∴ BEÓ =BDÓ+DEÓ=ADÓ+DB'Ó =AB'Ó=ABÓ=15`cm 15`cm 10 정답과 풀이 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 10 2018-12-13 오후 6:45:15 02 삼각형의 외심과 내심 Ⅰ. 삼각형의 성질 0114 △IBC에서 ∠ICB=180ù-(130ù+20ù)=30ù ∴ ∠x=∠ICB=30ù 30ù 0100 ㈎ OBÓ ㈏ OCÓ ㈐ OCÓ ㈑ ODÓ 이므로 △ICEª△ICF (RHA 합동) ㈒ RHS ㈓ CDÓ ∴ CEÓ=CFÓ 본문 p.23, 25 0115 △ICE와 △ICF에서 ∠IEC=∠IFC=90ù, ICÓ는 공통, ∠ICE=∠ICF 0101 CDÓ=BDÓ=4`cm이므로 x=4 4 0116 × 0102 △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB= _(180ù-120ù)=30ù ;2!; 0117 30 0118 × ∴ x=30 0103 0104 × 0105 0119 ∠x+42ù+28ù=90ù ∴ ∠x=20ù 20ù 0120 ∠x+15ù+20ù=90ù ∴ ∠x=55ù 55ù 0121 ∠x=90ù+ _72ù=126ù ;2!; 126ù 0106 30ù+25ù+∠x=90ù ∴ ∠x=35ù 35ù 0107 ∠x=2_70ù=140ù 140ù 0108 △OCA에서 OCæ ∠BAC=38ù+24ù=62ù이므로 Ó=OAÓ이므로 ∠x=∠OCA=24ù 0122 ∠BIC=90ù+ ∠A이고 ;2!; ∠A=∠IAC=32ù이므로 ;2!; ∠x=90ù+32ù=122ù ∠y=2_62ù=124ù ∠x=24ù, ∠y=124ù 0123 BEÓ=BDÓ=4`cm이므로 x=4 0109 △OCA에서 OCÓ=OAÓ이므로 ∠OCA=∠OAC=42ù △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OCB=∠OBC=23ù 0124 AFÓ=ADÓ=5`cm이므로 CFÓ=12-5=7(cm) 따라서 CEÓ=CFÓ=7`cm이므로 x=7 7 ∴ ∠x=42ù+23ù=65ù ∴ ∠y=2_65ù=130ù ∠x=65ù, ∠y=130ù 0110 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC=∠OCB=40ù ∴ ∠x=180ù-(40ù+40ù)=100ù ∴ ∠y= _100ù=50ù ;2!; ∠x=100ù, ∠y=50ù 122ù 4 본문 p.26 ~ 30 0111 ∠x=2_54ù=108ù △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠y= _(180ù-108ù)=36ù ;2!; 0125 ㄱ. 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같으 므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ ㄷ. 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 ∠x=108ù, ∠y=36ù ADÓ=BDÓ ㅁ. △OAD와 △OBD에서 0112 ㈎ IEÓ ㈏ ICÓ ㈐ IFÓ ㈑ RHS ㈒ ∠ICF ADÓ=BDÓ, ODÓ는 공통, ∠ODA=∠ODB=90ù 0113 36ù 이므로 △OAD≡△OBD (SAS 합동) ∴ ∠OAD=∠OBD ㄱ, ㄷ, ㅁ 02. 삼각형의 외심과 내심 11 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 11 2018-12-13 오후 6:45:16 0126 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 BDÓ=ADÓ=7`cm, CEÓ=BEÓ=8`cm, CFÓ=AFÓ=6`cm 0133 5∠x+2∠x+3∠x=90ù 10∠x=90ù ∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ ∴ ∠x=9ù 42`cm =14+16+12=42(cm) 0127 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ 이때 △AOC의 둘레의 길이가 30`cm이므로 2OAÓ+14=30, 2OAÓ=16 ∴ OAÓ=8(cm) 0128 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 △ABC의 외 접원의 반지름의 길이는 ABÓ= _10=5(cm) ;2!; 1 2 ∴ (△ABC의 외접원의 둘레의 길이)=2p_5=10p(cm) 9ù A x O 40ù C 23ù y B 0134 오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면 OAÓ=OBÓ=OCÓ이므로 ∠x+23ù+40ù=90ù ∴ ∠x=27ù 이때 ∠OBA=∠OAB=27ù, ∠OBC=∠OCB=23ù이므로 ∠y=∠OBA+∠OBC=27ù+23ù=50ù 다른 풀이 OBÓ를 그으면 OAÓ=OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBA=∠OAB=∠x, ∠OBC=∠OCB=23ù ∴ ∠y-∠x=∠ABC-∠OBA=∠OBC=23ù ∴ OBÓ=OAÓ=8`cm 8`cm ∴ ∠y-∠x=50ù-27ù=23ù 23ù 10p`cm 0135 오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OCÓ를 그으면 A 40ù O B 18ù C 0129 점 M이 직각삼각형 ABC의 외심이므로 AÕMÓ=BÕMÓ=CÕMÓ 따라서 △MAB는 MAÓ=MBÓ인 이등 변삼각형이므로 ∠MAB=∠B=56ù ∴ ∠AMC =∠MAB+∠B (cid:34) (cid:22)(cid:23)(cid:177) (cid:22)(cid:23)(cid:177) (cid:46) (cid:35) OAÓ=OBÓ=OCÓ에서 ∠OAB=∠OBA=40ù, (cid:36) ∠OCB=∠OBC=18ù이므로 40ù+18ù+∠OAC=90ù ∴ ∠OAC=32ù ∴ ∠A =∠OAB+∠OAC =56ù+56ù=112ù 112ù =40ù+32ù=72ù 72ù 0130 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 OBÓ=OCÓ 이때 △ABO=△AOC이므로 0136 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OBA=∠OAB=25ù △ABO= △ABC= _12_5 =15(cmÛ`) _ ;2!; {;2!; } ;2!; ∴ ∠ABC=∠ABO+∠OBC=25ù+30ù=55ù 15`cmÛ` ∴ ∠x=2∠ABC=2_55ù=110ù ③ 0131 오른쪽 그림과 같이 빗변 AB 의 중점을 O라 하면 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ △OBC에서 ∠OCB=∠B=30ù이므로 ∠AOC=∠B+∠OCB=30ù+30ù=60ù 또 △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OCA=∠A= _(180ù-60ù)=60ù ;2!; (cid:48) (cid:20)(cid:17)(cid:177) (cid:35) (cid:34) (cid:36) (cid:22)(cid:3)(cid:68)(cid:78) 0137 ∠AOB=2∠C=2_58ù=116ù △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠x= _(180ù-116ù)=32ù ;2!; 0138 ∠AOB：∠BOC：∠COA=4：2：3이므로 ∠COA=360ù_ 3 4+2+3 =120ù 따라서 △AOC는 정삼각형이므로 OAÓ=ACÓ=5`cm ∴ ABÓ=AOÓ+OBÓ=2AOÓ=2_5=10(cm) 10`cm ∴ ∠ABC= ∠COA= _120ù=60ù ;2!; ;2!; 0132 OBÓ=OCÓ에서 ∠OBC=∠OCB= _(180ù-120ù)=30ù이므로 ;2!; 단계 채점 요소 ∠COA의 크기 구하기 ∠x+30ù+40ù=90ù ∴ ∠x=20ù 20ù ∠ABC의 크기 구하기 12 정답과 풀이 32ù 60ù 배점 50 % 50 % 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 12 2018-12-13 오후 6:45:18 0139 오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면 OAÓ=OBÓ=OCÓ이므로 ∠OAB=∠OBA=32ù, ∠OAC=∠OCA=∠x 이때 ∠BAC= ;2!; 32ù+∠x=74ù ∴ ∠x=42ù ∠BOC= _148ù=74ù이므로 ;2!; A 0146 오른쪽 그림과 같이 BIÓ를 그으면 32ù B O x 148ù ∠IBC= ∠ABC= _70ù=35ù ;2!; ;2!; C ∠BAE=∠CAE=∠a, ∠BCD=∠ACD=∠b라 하면 ∠a+35ù+∠b=90ù ∴ ∠a+∠b=55ù (cid:34) (cid:66) (cid:66) (cid:89) (cid:42) (cid:37) (cid:67) (cid:35) (cid:24)(cid:17)(cid:177) (cid:38) (cid:90) (cid:67) (cid:36) △BCD에서 ∠x=70ù+∠b 42ù △ABE에서 ∠y=∠a+70ù ∴ ∠x+∠y =∠a+∠b+140ù =55ù+140ù=195ù 195ù 0140 ① 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같으므로 IDÓ=IEÓ=IFÓ ③ 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이므로 ∠IAD=∠IAF ⑤ △ICE와 △ICF에서 0147 ∠AIC=90ù+ ∠ABC이므로 ;2!; 108ù=90ù+ ∠ABC ∴ ∠ABC=36ù ;2!; ∠IEC=∠IFC=90ù, ICÓ는 공통, ∠ICE=∠ICF 이므로 △ICE≡△ICF (RHA 합동) ②, ④ ∴ ∠x= ∠ABC= _36ù=18ù ;2!; ;2!; 18ù 0141 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠ICA=∠ICB=32ù △ICA에서 ∠x=180ù-(103ù+32ù)=45ù 45ù 0142 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠ABC=2∠IBC=2_23ù=46ù ∠ACB=2∠ICB=2_36ù=72ù △ABC에서 ∠x=180ù-(46ù+72ù)=62ù 62ù 0148 ∠IBC=∠IBA=30ù이므로 △IBC에서 ∠x=180ù-(30ù+27ù)=123ù 또 ∠BIC=90ù+ ∠A이므로 ;2!; 123ù=90ù+ ∠y ∴ ∠y=66ù ;2!; ∴ ∠x+∠y=123ù+66ù=189ù 0149 ∠AIB：∠BIC：∠CIA=5：6：7이므로 ∠CIA=360ù_ 7 5+6+7 =140ù 따라서 140ù=90ù+ ∠ABC에서 ;2!; ∠ABC=100ù 0143 ∠y+25ù+30ù=90ù ∴ ∠y=35ù 이때 ∠IAB=∠y=35ù이므로 0144 32ù+∠x+24ù=90ù ∴ ∠x=34ù 또 ∠y=∠ICA=24ù ∴ ∠x+∠y=34ù+24ù=58ù △IAB에서 ∠x=180ù-(25ù+35ù)=120ù ∴ ∠x-∠y=120ù-35ù=85ù ② 단계 채점 요소 ∠CIA의 크기 구하기 ∠ABC의 크기 구하기 0145 오른쪽 그림과 같이 AIÓ를 그으면 (cid:34) _50ù=25ù이므로 ∠IAC= 1 2 25ù+42ù+∠x=90ù ∠BAC= 1 2 ∴ ∠x=23ù (cid:19)(cid:22)(cid:177) (cid:42) (cid:19)(cid:22)(cid:177) (cid:21)(cid:19)(cid:177) (cid:35) (cid:89) (cid:36) 23ù 0150 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠BIC =90ù+ ∠A 1 2 1 2 58ù =90ù+ _52ù=116ù (cid:34) (cid:22)(cid:19)(cid:177) (cid:37) (cid:42) (cid:42)(cid:8) (cid:36) (cid:20)(cid:21)(cid:177) (cid:18)(cid:24)(cid:177) (cid:35) 한편 ∠IBC=∠IBA=34ù이고 점 I'은 △DBC의 내심이므로 ∠IBC= ∠IBI'= ;2!; 따라서 △IBI'에서 ;2!; _34ù=17ù ∠II'B=180ù-(116ù+17ù)=47ù 47ù 02. 삼각형의 외심과 내심 13 189ù 100ù 배점 50 % 50 % 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 13 2018-12-13 오후 6:45:19 (cid:34) 0156 △ABC의 넓이가 57`cmÛ`이므로 _3_(△ABC의 둘레의 길이)=57 ;2!; ∴ (△ABC의 둘레의 길이)=38(cm) 38`cm 0157 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 △ABC의 넓이에서 _r_(5+12+13)= 1 2 15r=30 ∴ r=2 _12_5 ;2!; =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+EAÓ) 따라서 △ABC의 내접원의 반지름의 길이는 2`cm이다. 0151 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB 이때 DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC (엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각) (cid:25)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:37) (cid:42) (cid:35) (cid:24)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:23)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:38) (cid:36) ∴ ∠DIB=∠DBI, ∠EIC=∠ECI 즉, △DBI, △EIC는 이등변삼각형이므로 DBÓ=DIÓ, ECÓ=EIÓ ∴ (△ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+EAÓ =ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+EAÓ =ABÓ+ACÓ =8+6=14(cm) 14`cm 0152 ⑴ DIÓ=DBÓ=ABÓ-ADÓ=10-6=4 ECÓ=EIÓ=DEÓ-DIÓ=10-4=6 ∴ AEÓ=ACÓ-ECÓ=15-6=9 ∴ x=9 0158 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 △ABC의 넓이에서 _r_(15+12+9)= _12_9 ;2!; ;2!; ⑵ DIÓ=DBÓ=7 ∴ ECÓ=EIÓ=DEÓ-DIÓ=12-7=5 18r=54 ∴ r=3 ∴ x=5 ⑴ 9 ⑵ 5 0153 DIÓ=DBÓ, EIÓ=ECÓ이므로 (△ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+EAÓ =ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+EAÓ =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+EAÓ) =ABÓ+ACÓ=2ABÓ 이때 △ADE의 둘레의 길이가 30`cm이므로 2ABÓ=30 ∴ ABÓ=15(cm) 15`cm ∴ △IBC= _12_3=18(cmÛ`) ;2!; 단계 채점 요소 △ABC의 넓이를 이용하여 식 세우기 △ABC의 내접원의 반지름의 길이 구하기 △IBC의 넓이 구하기 0154 DIÓ=DBÓ, EIÓ=ECÓ이므로 DEÓ=DBÓ+ECÓ ∴ (△ABC의 둘레의 길이) =(ADÓ+DBÓ)+BCÓ+(CEÓ+EAÓ) =ADÓ+DIÓ+BCÓ+IEÓ+EAÓ =ADÓ+(DIÓ+IEÓ)+BCÓ+EAÓ =ADÓ+DEÓ+BCÓ+EAÓ =7+9+13+6 =35(cm) 0155 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 △ABC의 넓이가 12`cmÛ`이므로 _r_(5+5+8)=12 ;2!; 9r=12 ∴ r= ;3$; 14 정답과 풀이 따라서 △ABC의 내접원의 반지름의 길이는 `cm이다. ;3$; 0159 BDÓ=BEÓ=x`cm라 하면 AFÓ=ADÓ=(12-x)`cm, CFÓ=CEÓ=(10-x)`cm 이때 ACÓ=AFÓ+FCÓ이므로 8=(12-x)+(10-x) 2x=14 ∴ x=7 ∴ BDÓ=7`cm 35`cm 0160 AFÓ=ADÓ=2`cm, CEÓ=CFÓ=6-2=4(cm) BEÓ=BDÓ=5`cm ∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ =(2+5)+(5+4)+6 =22(cm) 22`cm 0161 ADÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ, CFÓ=CEÓ이므로 (△ABC의 둘레의 길이) =2(ADÓ+BDÓ+CFÓ) =2(ABÓ+8) =2ABÓ+16 이때 △ABC의 둘레의 길이가 40`cm이므로 ;3$; `cm 2ABÓ+16=40 ∴ ABÓ=12(cm) 12`cm 2`cm 18`cmÛ` 배점 50 % 20 % 30 % 7`cm 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 14 2018-12-13 오후 6:45:21 0166 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R`cm라 하면 0162 오른쪽 그림과 같이 IFÓ를 그 으면 사각형 IECF는 정사각형이다. ∴ CEÓ=CFÓ=IEÓ=6`cm ADÓ=AFÓ=18-6=12(cm) BEÓ=BDÓ=30-12=18(cm) ∴ BCÓ =BEÓ+ECÓ =18+6=24(cm) A F C 24`cm 30`cm D I 18`cm R= `BCÓ= ;2!; ;;Á2¦;; B 6`cm E 이므로 외접원의 둘레의 길이는 2p_ =17p(cm) ;;Á2¦;; △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 _r_(15+17+8)= _15_8 ;2!; △ABC의 넓이에서 ;2!; 20r=60 ∴ r=3 즉, 내접원의 둘레의 길이는 2p_3=6p(cm) 본문 p.31 따라서 외접원과 내접원의 둘레의 길이의 합은 17p+6p=23p(cm) 23p`cm 0163 점 O가 △ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_42ù=84ù 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠BIC=90ù+ ∠A=90ù+ _42ù=111ù ;2!; ;2!; ∴ ∠BIC-∠BOC=111ù-84ù=27ù 27ù 0167 오른쪽 그림과 같이 IDÓ를 그으면 사각형 DBEI는 정사각형이다. A x`cm ABÓ=x`cm, BCÓ=y`cm라 하면 AFÓ=ADÓ=(x-2)`cm CFÓ=CEÓ=(y-2)`cm 이때 ACÓ=2OCÓ=2_5=10(cm)이고 ACÓ=AFÓ+FCÓ이므로 10=(x-2)+(y-2) ∴ x+y=14 ∴ △ABC = _2_(x+y+10) O F I 5`cm D B E C 2`cm y`cm = _2_24=24(cmÛ`) 24`cmÛ` 1 2 1 2 0168 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 △ABC의 넓이에서 ;2!; 24r=96 ∴ r=4 _r_(20+16+12)= _16_12 ;2!; ABÓ는 외접원의 지름이므로 외접원의 반지름의 길이는 `ABÓ= _20=10(cm) ;2!; ;2!; ∴ (색칠한 부분의 넓이) =(외접원의 넓이)-(내접원의 넓이) =p_10Û`-p_4Û` =84p(cmÛ`) 84p`cmÛ` 0164 점 I가 △ABC의 내심이므로 119ù=90ù+ ∠A ∴ ∠A=58ù ;2!; 점 O가 △ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_58ù=116ù 이때 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OCB= _(180ù-116ù)=32ù ;2!; 단계 채점 요소 ∠A의 크기 구하기 ∠BOC의 크기 구하기 ∠OCB의 크기 구하기 0165 점 O가 △ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_32ù=64ù △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC= _(180ù-64ù)=58ù 한편 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC= _(180ù-32ù)=74ù ;2!; ;2!; ∴ ∠IBC= ∠ABC= _74ù=37ù ;2!; ;2!; ∴ ∠OBI =∠OBC-∠IBC 32ù 배점 40 % 40 % 20 % (cid:34) (cid:48) (cid:42) (cid:20)(cid:19)(cid:177) (cid:23)(cid:21)(cid:177) (cid:20)(cid:24)(cid:177) (cid:35) (cid:22)(cid:25)(cid:177) (cid:36) 0169 오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면 OAÓ=OBÓ=OCÓ이므로 (cid:34) (cid:20)(cid:17)(cid:177) (cid:19)(cid:21)(cid:177) ∠OAB=∠OBA=30ù 따라서 ∠OAC =∠BAC-∠OAB =54ù-30ù=24ù 본문 p.32~34 (cid:20)(cid:17)(cid:177) (cid:48) (cid:89) (cid:35) (cid:36) 24ù 02. 삼각형의 외심과 내심 15 =58ù-37ù=21ù 21ù 이므로 ∠x=∠OAC=24ù 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 15 2018-12-13 오후 6:45:22 0170 원의 중심은 원 위의 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 외심이므로 ⑤이다. ⑤ 0178 ∠BAD=∠CAD=∠x, ∠ABE=∠CBE=∠y라 하면 A x y I B 95ù D 100ù E C 2∠x+∠y+100ù=180ù yy ㉠ △ABE에서 △ABD에서 ∠x+2∠y+95ù=180ù yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 ∠x=25ù, ∠y=30ù ∴ ∠A=2∠x=2_25ù=50ù, ∠B=2∠y=2_30ù=60ù =48ù-42ù=6ù 6ù △ABC에서 ∠C=180ù-(50ù+60ù)=70ù 70ù 0171 점 M이 직각삼각형 ABC의 외심이므로 AMÓ=BMÓ=CMÓ ∴ ∠MCB=∠B=48ù △HBC에서 ∠HCB=180ù-(90ù+48ù)=42ù ∴ ∠MCH =∠MCB-∠HCB 0172 ∠x+34ù+43ù=90ù ∴ ∠x=13ù △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OAC=∠OCA=43ù ∴ ∠y=180ù-(43ù+43ù)=94ù ∴ ∠x+∠y=13ù+94ù=107ù 0173 ∠OAB+12ù+58ù=90ù ∴ ∠OAB=20ù 이때 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OBA=∠OAB=20ù ∴ ∠ABH=∠ABO+∠OBC=20ù+12ù=32ù △ABH에서 ∠BAH=180ù-(90ù+32ù)=58ù ∴ ∠OAH =∠BAH-∠OAB =58ù-20ù=38ù 38ù 0174 오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면 OBÓ=OCÓ이므로 A O ∠OCB=∠OBC=35ù △OBC에서 ∠BOC=180ù-(35ù+35ù)=110ù ∴ ∠BAC= ∠BOC= _110ù=55ù ;2!; ;2!; 다른 풀이 ∠DIE=∠AIB=90ù+ ;2!; ∠IEC=180ù-100ù=80ù ∠C ∠IDC=180ù-95ù=85ù 107ù 사각형 IDCE에서 80ù+ 90ù+ { ∠C } ;2!; +85ù+∠C=360ù ∠C=105ù ∴ ∠C=70ù ;2#; 0179 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠IBC=∠IBA=36ù, ∠ICB=∠ICA=24ù △IBC에서 ∠BIC=180ù-(36ù+24ù)=120ù 점 I'이 △IBC의 내심이므로 ∠BI'C =90ù+ ∠BIC 1 2 1 2 =90ù+ _120ù=150ù ⑤ 35ù B 35ù C 0180 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB 이때 DEÓBCÓ이므로 55ù ∠DIB=∠IBC (엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각) A I D 9`cm B E 7`cm C 26`cm 6`cm 0175 삼각형의 외심은 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점 이므로 ㄴ이다. 삼각형의 내심은 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점이므로 ∴ ∠DIB=∠DBI, ∠EIC=∠ECI 즉, △DBI, △EIC는 이등변삼각형이므로 DBÓ=DIÓ, ECÓ=EIÓ ∴ DEÓ=DIÓ+EIÓ=DBÓ+ECÓ=9+7=16(cm) ㄹ이다. 외심 - ㄴ, 내심 - ㄹ ∴ (사각형 DBCE의 넓이) = _(16+26)_6 1 2 =126(cmÛ`) 126`cmÛ` 0176 ① 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리가 같다. ④ 이등변삼각형의 외심과 내심은 모두 꼭지각의 이등분선 위에 있다. ①, ④ 0181 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 △ABC의 넓이에서 0177 ∠IBC=∠IBA=40ù, ∠ICB=∠ICA=30ù이므로 △IBC에서 ∠x=180ù-(40ù+30ù)=110ù 16 정답과 풀이 _r_(10+6+8)= _6_8 ;2!; ;2!; 12r=24 ∴ r=2 110ù ∴ △IAB= _10_2=10(cmÛ`) ;2!; 10`cmÛ` 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 16 2018-12-13 오후 6:45:24 ∴ ∠BOC-∠BIC=152ù-128ù=24ù 24ù 내접원의 넓이 구하기 0182 CDÓ=CEÓ=x`cm라 하면 AFÓ=AEÓ=(12-x)`cm BFÓ=BDÓ=(10-x)`cm 이때 ABÓ=AFÓ+FBÓ이므로 11=(12-x)+(10-x), 2x=11 ∴ x= :Á2Á: ∴ CDÓ= `cm :Á2Á: 0183 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠IBC=∠IBA=30ù, ∠ICB=∠ICA=22ù △IBC에서 ∠BIC=180ù-(30ù+22ù)=128ù 이때 ∠BIC=90ù+ ∠A이므로 ;2!; 128ù=90ù+ ∠A ;2!; ∴ ∠A=76ù 점 O가 △ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_76ù=152ù 다른 풀이 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠IBC=∠IBA=30ù, ∠ICB=∠ICA=22ù △ABC에서 ∠A=180ù-(60ù+44ù)=76ù ∴ ∠BIC=90ù+ ∠A=90ù+ _76ù=128ù ;2!; ;2!; 점 O가 △ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_76ù=152ù ∴ ∠BOC-∠BIC=152ù-128ù=24ù 0184 빗변의 중점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로 AMÓ=BMÓ=CMÓ= _10=5(cm) ;2!; △ABC에서 ∠C=180ù-(90ù+30ù)=60ù 이때 MAÓ=MCÓ이므로 ∠MAC=∠C=60ù 따라서 △AMC는 정삼각형이다. ∴ (△AMC의 둘레의 길이)=3_5=15(cm) 단계 채점 요소 AMÓ=BMÓ=CMÓ임을 알기 △AMC가 정삼각형임을 알기 △AMC의 둘레의 길이 구하기 0185 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 내 접원의 둘레의 길이가 8p`cm이므로 2pr=8p ∴ r=4 ∴ △ABC = r(ABÓ+BCÓ+CAÓ) ④ = _4_36 1 2 1 2 =72(cmÛ`) 이때 (내접원의 넓이)=p_4Û`=16p(cmÛ`)이므로 (색칠한 부분의 넓이) =△ABC-(내접원의 넓이) =72-16p(cmÛ`) (72-16p)`cmÛ` 배점 20 % 40 % 20 % 20 % (cid:34) (cid:21)(cid:19)(cid:177) (cid:48) (cid:35) (cid:42) (cid:22)(cid:25)(cid:177) (cid:36) 단계 채점 요소 내접원의 반지름의 길이 구하기 △ABC의 넓이 구하기 색칠한 부분의 넓이 구하기 0186 오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으 면 점 O가 △ABC의 외심이므로 ∠AOC =2∠B =2_42ù=84ù 이때 △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OAC= _(180ù-84ù)=48ù △ABC에서 ∠BAC=180ù-(42ù+58ù)=80ù 점 I가 △ABC의 내심이므로 1 2 1 2 1 2 ∠IAC = ∠BAC = _80ù=40ù 15`cm 배점 40 % 30 % 30 % ∴ ∠OAI =∠OAC-∠IAC =48ù-40ù=8ù 단계 채점 요소 ∠OAC의 크기 구하기 ∠IAC의 크기 구하기 ∠OAI의 크기 구하기 8ù 배점 40 % 40 % 20 % 02. 삼각형의 외심과 내심 17 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 17 2018-12-13 오후 6:45:25 0187 △ABC의 외접원의 반지름의 길이는 따라서 △DIB는 DBÓ=DIÓ인 이등변삼각형이다. 따라서 △ABC의 외접원과 내접원의 넓이의 차는 그런데 PGÓ=PDÓ, QGÓ=QEÓ이므로 225p-36p=189p (△PBQ의 둘레의 길이) =PBÓ+BQÓ+QPÓ 같은 방법으로 △ECI도 EIÓ=ECÓ인 이등변삼각형이다. ∴ (△IDE의 둘레의 길이) =IDÓ+DEÓ+EIÓ =BDÓ+DEÓ+ECÓ =BCÓ=11`cm 11`cm 0190 BDÓ=BEÓ=x`cm라 하면 AFÓ=ADÓ=(13-x)`cm, CFÓ=CEÓ=(16-x)`cm 이때 ACÓ=AFÓ+FCÓ이므로 9=(13-x)+(16-x) 2x=20 ∴ x=10 =PBÓ+BQÓ+(QGÓ+GPÓ) =PBÓ+BQÓ+QEÓ+DPÓ =(BPÓ+PDÓ)+(BQÓ+QEÓ) =BDÓ+BEÓ =10+10=20(cm) 20`cm 0191 △ABC에서 ∠ACB=180ù-(56ù+90ù)=34ù 점 O가 △ABC의 외심이므로 ∠OBC=∠OCB=34ù 점 I가 △ABC의 내심이므로 189p 배점 40 % 40 % 20 % (cid:37) (cid:89) (cid:90) (cid:90) (cid:36) (cid:48) (cid:23)(cid:22)(cid:177) ∠PCB= ∠OCB= _34ù=17ù ;2!; ;2!; 따라서 △PBC에서 ∠BPC=180ù-(34ù+17ù)=129ù 129ù CAÓ= _30=15 ;2!; ;2!; ∴ (외접원의 넓이)=p_15Û`=225p △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 △ABC의 넓이에서 _r_(18+24+30)= _18_24 ;2!; ;2!; 36r=216 ∴ r=6 ∴ (내접원의 넓이)=p_6Û`=36p 단계 채점 요소 외접원의 넓이 구하기 내접원의 넓이 구하기 외접원과 내접원의 넓이의 차 구하기 0188 점 O가 △ABC의 외심이므로 ∠AOC=2∠B=2_65ù=130ù 오른쪽 그림과 같이 ODÓ를 그으면 (cid:34) (cid:89) 점 O는 △ACD의 외심이므로 OAÓ=ODÓ=OCÓ 즉, △ODA, △OCD는 모두 이등변삼각 (cid:35) 형이므로 ∠OAD=∠x, ∠OCD=∠y라 하면 ∠ODA=∠OAD=∠x, ∠ODC=∠OCD=∠y 사각형 AOCD에서 네 내각의 크기의 합은 360ù이므로 ∠x+130ù+∠y+(∠x+∠y)=360ù 2(∠x+∠y)=230ù ∴ ∠x+∠y=115ù ∴ ∠D=115ù 다른 풀이 점 O가 △ABC의 외심이므로 ∠AOC=2∠B=130ù 또 점 O가 △ACD의 외심이므로 ∠D= _(360ù-130ù)=115ù 1 2 0189 오른쪽 그림과 같이 IBÓ, ICÓ를 그으면 ABÓIDÓ이므로 ∠ABI=∠BID (엇각) 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠ABI=∠IBD ∴ ∠BID=∠IBD 18 정답과 풀이 115ù (cid:34) (cid:37) (cid:48) (cid:23)(cid:22)(cid:177) (cid:35) (cid:36) (cid:18)(cid:20)(cid:17)(cid:177) A I 9`cm 10`cm B D E 11`cm C 알피엠_중2-2_해답_01~02강(001~018)_ok.indd 18 2018-12-13 오후 6:45:26 03 평행사변형 Ⅱ. 사각형의 성질 0192 ADÓBCÓ이므로 ∠x=∠DAC=70ù (엇각) ∠y=∠ADB=25ù (엇각) ∠x=70ù, ∠y=25ù 0193 ADÓBCÓ이므로 ∠x=∠DAC=65ù (엇각) ABÓDCÓ이므로 ∠y=∠BAC=60ù (엇각) 0200 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같아야 하므로 ABÓ= DCÓ , ADÓ= BCÓ DCÓ, BCÓ 본문 p.37 0201 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같아야 하므로 ∠BAD= ∠BCD , ∠ABC= ∠ADC ∠BCD, ∠ADC 0202 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분해야 하므로 AOÓ= COÓ , BOÓ= DOÓ COÓ, DOÓ ∠x=65ù, ∠y=60ù 0203 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같아야 하므로 BCÓ ADÓ BCÓ , ADÓ= BCÓ Ó, BCÓ 0194 ADÓ=BCÓ=12`cm이므로 x=12 DCÓ=ABÓ=7`cm이므로 y=7 x=12, y=7 0204 △AOD=△ABO=7`cmÛ` 7`cmÛ` 0195 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 =2_7=14(cmÛ`) 14`cmÛ` 0205 △ABC =2△ABO 0206 ABCD =4△ABO =4_7=28(cmÛ`) 28`cmÛ` ∠x=115ù, ∠y=65ù 0207 △PDA+△PBC = ABCD 1 2 1 2 = _80=40(cmÛ`) 40`cmÛ` x=4, y= _10=5 ;2!; x=4, y=5 0196 평행사변형에서 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같으므로 ∠x=∠A=115ù, ∠y=∠B=65ù 0197 ADÓBCÓ이므로 ∠x=∠DBC=32ù (엇각) ∠C=∠A=110ù이므로 △BCD에서 ∠y=180ù-(110ù+32ù)=38ù ∠x=32ù, ∠y=38ù 0198 ㄱ. 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하 `므로 `AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ ㄴ. ABÓDCÓ이므로 ∠BAO=∠DCO (엇각) ㄷ. 평행사변형에서 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같으므로 `ADÓ=BCÓ, ABÓ=DCÓ ㄹ. 평행사변형에서 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같으므로 `∠ABC=∠ADC, ∠BAD=∠BCD ㅁ. △BCO와 △DAO에서 `BOÓ=DOÓ, `COÓ=AOÓ, ∠BOC=∠DOA (맞꼭지각)이므로 △BCO≡△DAO (SAS 합동) ㅂ. ㅁ과 같은 방법으로 △ABO≡△CDO (SAS 합동) ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ 본문 p.38 ~ 43 0208 ADÓBCÓ이므로 ∠ADB=∠DBC=40ù (엇각) △AOD에서 ∠AOD=180ù-(50ù+40ù)=90ù ④ 0209 ④ 평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형이 ④ 다. 0210 ⑴ ABÓDCÓ이므로 ∠ABD=∠CDB=52ù (엇각) △ ABC에서 ∠ x+(52ù+30ù)+∠y=180ù ∴ ∠x+∠y=98ù ⑵ ADÓBCÓ이므로 ∠CBD=∠ADB=∠y (엇각) ABÓDCÓ이므로 ∠BAC=∠DCA=65ù (엇각) △ ABC에서 65ù+(35ù+∠y)+∠x=180ù ⑴ 98ù ⑵ 80ù 03. 평행사변형 19 0199 두 쌍의 대변이 각각 평행해야 하므로 ABÓ DCÓ , ADÓ BCÓ DCÓ, BCÓ ∴ ∠x+∠y=80ù 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 19 2018-12-13 오후 6:46:04 Ó 0211 ㈎ ACÓ ㈏ ∠DCA ㈐ ∠BCA=∠DAC ㈑ ASA 0212 ㈎ CDÓ ㈏ ∠DCO ㈐ ∠ABO ㈑ ASA ㈒ COÓ ㈓ DOÓ 0213 ⑤ ∠ABC+∠BCD=180ù ∠ ABC=∠ADC 0214 2x+6=5x이므로 x=2 ∴ BDÓ=2BOÓ=2_(3x-2)=2_4=8 ⑤ 8 0219 ADÓBCÓ이므로 ∠AEB=∠CBE (엇각) ∴ ∠ABE=∠AEB 즉, △ABE는 이등변삼각형이므로 AEÓ=ABÓ=DCÓ=10`cm 이때 ADÓ=BCÓ=13`cm이므로 EDÓ =ADÓ-AEÓ =13-10=3(cm) 0215 ∠B=∠D=∠x이므로 △ABC에서 42ù+∠x+65ù=180ù ∴ ∠x=73ù 73ù ∴ D(5, 2) 0220 점 D의 y좌표는 점 A의 y좌표와 같으므로 점 D의 좌표를 (a, 2)라 하면 ADÓ=a, BCÓ=2-(-3)=5 이때 ADÓ=BCÓ이므로 a=5 ㄴ. ∠ADO와 ∠OCB의 크기가 같은지 알 수 없다. ∠AEB=∠FEC (맞꼭지각) ABÓ=CDÓ, BCÓ=DAÓ, ∠ABC=∠CDA 이때 DCÓ=ABÓ=6`cm이므로 이므로 △ABCª△CDA (SAS 합동) ㄱ, ㄷ, ㅁ 0221 △ABE와 △FCE에서` BEÓ=CEÓ, ∠ABE=∠FCE (엇각), 이므로 △ABE≡△FCE (ASA 합동) ∴ CFÓ=BAÓ=6`cm DFÓ =DCÓ+CFÓ =6+6=12(cm)` 0216 ㄱ. ABÓDCÓ이므로 ∠BAO=∠DCO=50ù (엇각) ㄷ. DCÓ=ABÓ=7`cm ㄹ. BDÓ의 길이는 알 수 없다. ㅁ. △ABC와 △CDA에서 0217 ABÓDCÓ이므로 ∠CEB=∠ABE (엇각) ∴ ∠CBE=∠CEB 즉, △BCE는 이등변삼각형이므로 CEÓ=CBÓ=8`cm 이때 CDÓ=ABÓ=5`cm이므로 DEÓ=CEÓ-CDÓ=8-5=3(cm) 0218 ADÓBCÓ이므로 ∠BEA=∠DAE (엇각) ∴ ∠BAE=∠BEA 즉, △ABE는 이등변삼각형이므로 BEÓ=BAÓ=6`cm ∴ ADÓ =BCÓ=BEÓ+ECÓ =6+2=8(cm) 채점 요소 ∠BAE=∠BEA임을 알기 단계 BEÓ의 길이 구하기 ADÓ의 길이 구하기 20 정답과 풀이 단계 채점 요소 CFÓ의 길이 구하기 ③ DCÓ의 길이 구하기 DFÓ의 길이 구하기 0222 ADÓBCÓ이므로 ∠BEA=∠DAE (엇각) ∴ ∠BAE=∠BEA 즉, △BEA는 이등변삼각형이므로 BEÓ=BAÓ=7`cm 또 ADÓBCÓ이므로 ∠CFD=∠ADF (엇각) ∴ ∠CDF=∠CFD 즉, △CDF는 이등변삼각형이므로 8`cm CFÓ=CDÓ=ABÓ=7`cm 배점 30 % 30 % 40 % 이때 BCÓ=ADÓ=11`cm이고 BCÓ=BEÓ+CFÓ-FEÓ이므로 11=7+7-FEÓ ∴ FEÓ=3(cm) ⑤ ④ 12`cm 배점 50 % 30 % 20 % 3`cm 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 20 2018-12-13 오후 6:46:05 ∴ ∠AEB=180ù-(62ù+46ù)=72ù 72ù 또 ABÓFCÓ이므로 ∠CFB=∠ABF (엇각) △ACD에서 ∠x=180ù-(60ù+72ù)=48ù =13+13-8=18(cm) 18`cm ∠x의 크기 구하기 0223 ABÓDEÓ이므로 ∠DEA=∠BAE (엇각) ∴ ∠DAE=∠DEA 즉, △DAE는 이등변삼각형이므로 DEÓ=DAÓ=13`cm ∴ ∠CBF=∠CFB 즉, △CFB는 이등변삼각형이므로 CFÓ=CBÓ=ADÓ=13`cm 이때 DCÓ=ABÓ=8`cm이므로 FEÓ =DEÓ+CFÓ-DCÓ 0224 ∠ADC=∠B=70ù이므로 ∠ADE= _70ù=35ù ;2!; △AFD에서 ∠FAD=180ù-(90ù+35ù)=55ù 또 ∠BAD+∠B=180ù이므로 ∠BAD=180ù-70ù=110ù ∴ ∠BAF =∠BAD-∠FAD =110ù-55ù=55ù 55ù 0225 ∠D+∠C=180ù이므로 ∠D=180ù-100ù=80ù △AED에서 0226 ∠ A+∠B=180ù이고 ∠A：∠B=7：5이므로 ∠A：∠B=7：5이므로 ∠A=7∠x라 하면 ∠A=180ù_ =105ù 7 7+5 ∴ ∠C=∠A=105ù 다른 풀이 ∠B=5∠x이다. ∠A+∠B=180ù에서 7∠x+5∠x=180ù ∴ ∠x=15ù ∴ ∠C=∠A=7_15ù=105ù 0227 ADÓBCÓ이므로 ∠BEA=∠DAE (엇각) ∴ ∠BAE=∠BEA 이때 ∠B=∠D=80ù이므로 △ABE에서 ∠BEA= _(180ù-80ù)=50ù ;2!; ∴ ∠x=180ù-50ù=130ù 0228 ∠DAE=∠E=30ù (엇각)이므로 ∠DAC=2∠DAE=2_30ù=60ù 이때 ∠D=∠B=72ù이므로 단계 채점 요소 ∠DAC의 크기 구하기 ∠D의 크기 구하기 0229 ∠ADC=∠B=69ù이고 ∠ADE：∠EDC=2：1이므로 ∠ADE= ∠ADC= _69ù=46ù ;3@; 2 2+1 이때 ADÓBCÓ이므로 ∠CED=∠ADE=46ù (엇각) 0230 ∠BAD+∠D=180ù이므로 ∠BAD=180ù-76ù=104ù ∴ ∠BAP= ∠BAD= _104ù=52ù ;2!; ;2!; 이때 △ABP에서 ∴ ∠ABE=2∠EBF=2_40ù=80ù 또 ∠BAF+∠ABE=180ù이므로 ∠BAF=180ù-80ù=100ù ∴ ∠BAE= ∠BAF= _100ù=50ù ;2!; ;2!; 따라서 △ABE에서 ∠x =∠BAE+∠ABE =50ù+80ù=130ù 0232 AOÓ= ACÓ= _16=8(cm) ;2!; ;2!; DOÓ=BOÓ=14`cm 또 ADÓ=BCÓ=20`cm이므로 △AOD의 둘레의 길이는 ∠AED=180ù-(30ù+80ù)=70ù 70ù ∠ABP=180ù-(90ù+52ù)=38ù ∠ABC=∠D=76ù이므로 ∠PBC=∠ABC-∠ABP=76ù-38ù=38ù 38ù 105ù 0231 ∠AFB=180ù-140ù=40ù이므로 ∠EBF=∠AFB=40ù (엇각) 48ù 배점 40 % 30 % 30 % 130ù 130ù AOÓ+ODÓ+DAÓ=8+14+20=42(cm) 42`cm 03. 평행사변형 21 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 21 2018-12-13 오후 6:46:06 0233 AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ이므로 (AOÓ+COÓ)+(BOÓ+DOÓ)=2(AOÓ+BOÓ)=28 ∴ AOÓ+BOÓ=14(cm) 따라서 △ABO의 둘레의 길이는 ABÓ+BOÓ+OAÓ=9+14=23(cm) 23`cm 0240 ① 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다. ② 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다. ⑤ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다. ③, ④ 0234 ① 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하 므로 BOÓ=DOÓ, AOÓ=COÓ이다. ④ △AOP와 △COQ에서 AOÓ=COÓ, ∠OAP=∠OCQ (엇각), ∠ AOP=∠COQ (맞꼭지각) 이므로 △AOPª△COQ (ASA 합동) ∴ POÓ=QOÓ (②) ⑤ △POD와 △QOB에서 DOÓ=BOÓ, ∠ODP=∠OBQ (엇각), ∠DOP=∠BOQ (맞꼭지각) 이므로 △PODª△QOB (ASA 합동) ③ 0235 ㈎ CDÓ ㈏ BCÓ ㈐ SSS ㈑ ∠DCA ㈒ ∠DAC ㈓ ADÓBCÓ 0236 ㈎ ∠DCA ㈏ SAS ㈐ ∠DAC ㈑ ㈒ 평행 0241 AMÓBNÓ, AMÓ=BNÓ이므로 ABNM은 평행사변형이고 MDÓNCÓ, MDÓ=NCÓ이므로 MNCD는 평행사변형이다. 따라서 △MPN= ABNM, △MNQ= MNCD이므로 ;4!; 1 4 MPNQ =△MPN+△MNQ = ABNM+ MNCD ;4!; = (ABNM+MNCD) = ABCD 1 4 1 4 1 4 1 4 = _32=8(cmÛ`) 8`cmÛ` 0242 ABCD =4△AOD =4_18 =72(cmÛ`) 72`cmÛ` 0237 ③ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행사 ③ 변형이다. 0238 ① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다. ② 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행사변형이다. ③ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다. 0243 △AOE와 △COF에서 AOÓ=COÓ, ∠EAO=∠FCO (엇각), ∠AOE=∠COF (맞꼭지각) 이므로 △AOEª△COF (ASA 합동) 따라서 △AOE=△COF이므로 ⑤ 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다. ④ (색칠한 부분의 넓이)=△BFO+△AOE+△CDO =△BFO+△COF+△CDO =△BCD = ;2!; ABCD = _60 ;2!; =30(cmÛ`) 0239 ⑴ ADÓ=BCÓ, ABÓ=DCÓ이어야 하므로 3x-1=2x+3에서 x=4 x+6=y에서 y=10 ⑵ ADÓBCÓ이어야 하므로 ∠ DAC=∠BCA=40ù ∴ x=40 ABÓDCÓ이어야 하므로 ∠ DCA=∠BAC=75ù ∴ y=75 22 정답과 풀이 △ ABC에서 ∠BAC=180ù-(65ù+40ù)=75ù ⑴ x=4, y=10 ⑵ x=40, y=75 단계 채점 요소 △AOEª△COF임을 알기 △AOE=△COF임을 알기 색칠한 부분의 넓이 구하기 30`cmÛ` 배점 40 % 20 % 40 % 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 22 2018-12-13 오후 6:46:06 0244 ABÓCFÓ, ABÓ=CFÓ이므로 ABFC는 평행사변형이다. 또 BCÓ=CEÓ, DCÓ=CFÓ이므로 BFED는 평행사변형이다. ① △CED =△BCD=△ABC ② △ACD =△ABC =2△ABO =2_30=60(cmÛ`) =2△ABO =2_30=60(cmÛ`) ③ △CFE=△CED=60`cmÛ` ④ BFED =4△CED =4_60=240(cmÛ`) ⑤ ABFC =2△ABC =4△ABO =4_30=120(cmÛ`) 본문 p.44 0249 ㈎ ∠EDF ㈏ ∠DFC ㈐ ∠BFD 0250 ABCD가 평행사변형이므로 AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ 이때 BEÓ=DFÓ이므로 EOÓ=FOÓ 따라서 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 AECF는 평행사변형이다. ③ 0251 △ABE와 △CDF에서 ∠AEB=∠CFD=90ù, ABÓ=CDÓ, ∠ABE=∠CDF`(엇각) 이므로 △ABEª△CDF (RHA 합동) ④ ∴ AEÓ=CFÓ (③) ∠AEF=∠CFE=90ù yy ㉠ 즉, 엇각의 크기가 같으므로 AEÓ`CFÓ (②) yy ㉡ ㉠, ㉡에 의해 AECF는 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행사변형이다. (⑤) ①, ④ 0245 △PDA+△PBC=△PAB+△PCD이므로` 18+15=△PAB+19 ∴ △PAB=14(cmÛ`) 14`cmÛ` 0246 △PDA+△PBC= ABCD이므로 ;2!; 5+2= ABCD ;2!; ∴ ABCD=14(cmÛ`) 0247 ABCD=10_7=70(cmÛ`)이고 △PAB+△PCD= ABCD이므로 ;2!; △PAB+25= _70 ;2!; ∴ △PAB=35-25=10(cmÛ`) 0252 ADÓ`BCÓ이므로 ∠BEA=∠DAE (엇각) ∴ ∠BAE=∠BEA 즉, △BEA는 이등변삼각형이다. 그런데 ∠B=60ù이므로 △BEA는 정삼각형이다. 14`cmÛ` 따라서 BEÓ=AEÓ=ABÓ=10`cm이고 BCÓ=ADÓ=16`cm이므로 ECÓ=BCÓ-BEÓ=16-10=6(cm) 이때 ∠BAF=∠ECD=120ù에서 ∠EAF=∠ECF=60ù이고, ∠AEB=∠EAF=60ù (엇각), ∠DFC=∠ECF=60ù (엇각) 에서 ∠AEC=∠AFC=120ù이므로 AECF는 평행사변형 이다. 10`cmÛ` ∴ (AECF의 둘레의 길이)=2_(10+6)=32(cm) 32`cm 0248 AEPH, EBFP, PFCG, HPGD는 모두 평 행사변형이므로 ;2!; ;2!; △PAE= AEPH, △PBF= EBFP △PFC= PFCG, △PGD= HPGD ∴ (색칠한 부분의 넓이) =△PAE+△PBF+△PFC+△PGD ;2!; ;2!; = (AEPH+EBFP+PFCG+HPGD) = ABCD ;2!; ;2!; ;2!; = _56=28(cmÛ`) 28`cmÛ` 다른 풀이 ∠BAD+∠B=180ù이므로 ∠BAD=180ù-60ù=120ù ∴ ∠BAE=∠FAE= _120ù=60ù ;2!; 따라서 △ABE는 정삼각형이므로 BEÓ=AEÓ=ABÓ=10`cm ∴ ECÓ=BCÓ-BEÓ=16-10=6(cm) 같은 방법으로 하면 △CDF도 정삼각형이고 CDÓ=ABÓ=10`cm이므로 DFÓ=FCÓ=CDÓ=10`cm ∴ AFÓ=ADÓ-DFÓ=16-10=6(cm) ∴ (AECF의 둘레의 길이) =AEÓ+ECÓ+CFÓ+FAÓ =10+6+10+6=32(cm) 03. 평행사변형 23 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 23 2018-12-13 오후 6:46:07 0253 EDÓ=OCÓ=AOÓ이고 EDÓOCÓ에서 EDÓAOÓ이므로 AODE는 평행사변형이다. 따라서 AFÓ=DFÓ, OFÓ=EFÓ이므로 OFÓ= OEÓ= CDÓ= ABÓ= _16=8 ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; AFÓ= ADÓ= BCÓ= _20=10 ∴ OFÓ+AFÓ=8+10=18 다른 풀이 △AOF와 △DEF에서 AOÓ=OCÓ=DEÓ, ∠FAO=∠FDE (엇각), ∠FOA=∠FED (엇각) 이므로 △AOFª△DEF (ASA 합동) 따라서 OFÓ=EFÓ, AFÓ=DFÓ이므로 OFÓ= EOÓ= DCÓ= ABÓ= _16=8 ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; AFÓ= ADÓ= BCÓ= _20=10 ∴ OFÓ+AFÓ=8+10=18 0258 ADÓBCÓ이므로 ∠BEA=∠DAE (엇각) ∴ ∠BAE=∠BEA 따라서 △BEA는 이등변삼각형이므로 BEÓ=BAÓ=7`cm 이때 BCÓ=ADÓ=10`cm이므로 18 ECÓ=BCÓ-BEÓ=10-7=3(cm) 3`cm 0259 ∠ C+∠D=180ù이고 ∠C`:`∠D=3`:`2이므로 ∠D=180ù_ =72ù 2 3+2 ∴ ∠B=∠D=72ù △BPA에서 ∠BPA= _(180ù-72ù)=54ù ;2!; 이때 ADÓBCÓ이므로 ∠DAP=∠BPA=54ù (엇각) 54ù 본문 p.45 ~ 47 ∠x=125ù, ∠y=110ù 0260 ∠ B+∠C=180ù이므로 ∠y=180ù-70ù=110ù ∠BAD=∠C=110ù이므로 ∠DAE= ∠BAD= _110ù=55ù ;2!; ;2!; ∠BEA=∠DAE=55ù (엇각) ∴ ∠x=180ù-55ù=125ù 0261 △ AEO와 △CFO에서 AOÓ=COÓ, ∠EAO=∠FCO (엇각), ∠AOE=∠COF (맞꼭지각) 이므로 △AEOª△CFO (ASA 합동) 0254 ADÓBCÓ이므로 ∠ACB=∠DAC=51ù (엇각) ABÓDCÓ이므로 ∠BDC=∠ABD=35ù (엇각) 따라서 △BCD에서 ∠x+(51ù+∠y)+35ù=180ù ∴ ∠x+∠y=94ù 94ù ∴ △AEO=△CFO= _6_8=24(cmÛ`) 24`cmÛ` ;2!; 0255 ㈎ ∠DCA ㈏ ∠BCA ㈐ ASA ㈑ ∠D ㈒ ∠A=∠C 0262 ABCD가 평행사변형이 되려면 ABÓ=DCÓ, ADÓ=BCÓ이어야 하므로 3x+1=2x+3에서 x=2 0256 ④ ∠A+∠B=180ù, ∠A+∠D=180ù ④ ∴ ABÓ=DCÓ=x+8=2+8=10 10 0257 ABÓGHÓDCÓ, ADÓEFÓBCÓ이므로 AEPG, GPFD, EBHP, PHCF는 모두 평행사변형 0263 ① ∠D=360ù-(70ù+110ù+70ù)=110ù 즉, 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다. 이다. ② 오른쪽 그림에서 ∠A=∠ABE이므로 (cid:34) ① AGÓ=BHÓ=5`cm이므로 GDÓ=8-5=3(cm) ADÓBCÓ이다. 즉, 한 쌍의 대변이 평 ② GHÓ=ABÓ=6`cm, GPÓ=DFÓ=2`cm이므로 행하고 그 길이가 같으므로 평행사변형 (cid:25)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:22)(cid:17)(cid:177) (cid:37) (cid:22)(cid:17)(cid:177) (cid:38) (cid:18)(cid:20)(cid:17)(cid:177) (cid:35) (cid:25)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:36) PHÓ=6-2=4(cm) ③ ∠EPG=∠A=110ù ④ ∠D=180ù-110ù=70ù ⑤ ∠PFC=∠D=70ù 24 정답과 풀이 이다. ④ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행사변형이다. ⑤ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다. ⑤ ③ 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 24 2018-12-13 오후 6:46:08 0264 BCÓ=CEÓ, DCÓ=CFÓ이므로 BFED는 평행사변형이 다. ∴ BFED =4△DBC=4△ABC =4_6=24(cmÛ`) 24`cmÛ` 채점 요소 단계 x의 값 구하기 y의 값 구하기 x+y의 값 구하기 0265 ABCD =2(△PAB+△PCD) =2_(16+18)=68(cmÛ`) 68`cmÛ` 0266 ① AEÓFCÓ, AEÓ=FCÓ 즉, 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 AECF는 0269 평행사변형에서 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같으므로 ∠ABC=∠D=54ù ∴ ∠CBF= ∠ABC= _54ù=27ù ;2!; ;2!; 즉, 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 EBFD는 평행사변형 즉, 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 EBFD는 평 평행사변형이다. ② EDÓBFÓ, EBÓDFÓ 이다. ④ EOÓ=FOÓ, BOÓ=DOÓ 행사변형이다. ⑤ AEÓ=FCÓ, AEÓFCÓ 즉, 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 AECF는 평행사변형이다. ③ 0267 AOÓ=COÓ, APÓ=CRÓ이므로 POÓ=ROÓ yy ㉠ BOÓ=DOÓ, BQÓ=DSÓ이므로 QOÓ=SOÓ yy ㉡ ㉠, ㉡에 의해 PQRS는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하 므로 평행사변형이다. ∴ PSÓ=QRÓ (①), PQÓSRÓ (②), ∠PSR=∠PQR (③), ∠QPS+∠PQR=180ù (⑤) ④ 0268 △ ACD에서 ∠ADC=180ù-(35ù+70ù)=75ù 그런데 ∠CDB=∠ABD=48ù (엇각)이므로 ∠ADB =∠ADC-∠CDB =75ù-48ù=27ù ∴ x=27 △BCF에서 ∠BCF=180ù-(27ù+90ù)=63ù 또 ∠D+∠BCD=180ù이므로 ∠BCD =180ù-∠D =180ù-54ù=126ù ∴ ∠DCF =∠BCD-∠BCF =126ù-63ù=63ù 단계 채점 요소 ∠CBF의 크기 구하기 ∠BCF의 크기 구하기 ∠BCD의 크기 구하기 ∠DCF의 크기 구하기 0270 △ AOE와 △COF에서 AOÓ=COÓ, ∠EAO=∠FCO (엇각), ∠AOE=∠COF (맞꼭지각) 이므로 △AOEª△COF (ASA 합동) ∴ △AOE=△COF=4`cmÛ` 또 ABCD는 평행사변형이므로 ADÓ=BCÓ, ABÓ=DCÓ이고 ABCD의 둘레의 길이가 16`cm △EOD =△AOD-△AOE =15-4=11(cmÛ`) 이때 △AOD= ABCD= _60=15(cmÛ`)이므로 ;4!; ;4!; 즉, 2(3+ADÓ)=16이므로 ADÓ=5(cm) ∴ y=5 이므로 2(ABÓ+ADÓ)=16 ∴ x+y=27+5=32 32 단계 채점 요소 △AOE의 넓이 구하기 △AOD의 넓이 구하기 △EOD의 넓이 구하기 11`cmÛ` 배점 50 % 30 % 20 % 03. 평행사변형 25 배점 40 % 40 % 20 % 63ù 배점 30 % 20 % 30 % 20 % 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 25 2018-12-13 오후 6:46:09 0271 ⑴ ADÓ=BCÓ이므로 AHÓ=HDÓ=BFÓ=FCÓ 이때 AHÓFCÓ, AHÓ=FCÓ이므로 AFCH는 평행사변형이다. ∴ EFÓHGÓ 또 HDÓBFÓ, HDÓ=BFÓ이므로 HBFD는 평행사변형이다. ∴ EHÓFGÓ 따라서 EFÓHGÓ, EHÓFGÓ이므로 EFGH는 평행사변형이다. ⑵ ADÓBCÓ이므로 ∠ AFB=∠FAH=58ù (엇각) 따라서 △EBF에서 ∠ HEF=37ù+58ù=95ù EFGH가 평행사변형이므로 ∠ FGH=∠HEF=95ù 단계 채점 요소 EFGH가 평행사변형임을 설명하기 ∠HEF의 크기 구하기 ∠FGH의 크기 구하기 △ABH와 △ECH에서 ABÓ=ECÓ, ∠ABH=∠ECH (엇각), ∠BAH=∠CEH (엇각) 이므로 △ABHª△ECH (ASA 합동) ∴ BHÓ=CHÓ= `BCÓ=ABÓ ;2!; 즉, AGÓBHÓ이고 AGÓ=BHÓ이므로 ABHG는 평행사변형이다. 이때 △ABH=18`cmÛ`이므로 △DFG=△ECH=△ABH=18`cmÛ` 배점 50 % 30 % 20 % GHCD=ABHG=2△ABH=2_18=36(cmÛ`) △PHG= ABHG= _36=9(cmÛ`) ;4!; ;4!; ∴ △EFP =△PHG+GHCD+△ECH+△DFG =9+36+18+18 =81(cmÛ`) 81`cmÛ` 0275 △ ABC와 △DBE에서 ABÓ=DBÓ, BCÓ=BEÓ, ∠ABC=60ù-∠EBA=∠DBE 이므로 △ABCª△DBE (SAS 합동) (②) yy ㉠ ∠ACB=60ù-∠ECA=∠FCE (①) 이므로 △ABCª△FEC (SAS 합동) yy ㉡ ㉠, ㉡에 의해 △ABCª△DBEª△FEC 즉, DAÓ=DBÓ=EFÓ (③), DEÓ=ACÓ=AFÓ이므로 AFED는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. 따라서 AFED는 평행사변형이다.(⑤) ④ ⑴ 풀이 참조 ⑵ 95ù △ABC와 △FEC에서 ACÓ=FCÓ, BCÓ=ECÓ, 0272 ∠ FDB=∠CDB=∠x (접은 각) ∠FBD=∠CDB=∠x (엇각) 따라서 △FBD에서 88ù+∠x+∠x=180ù 2∠x=92ù ∴ ∠x=46ù ② 0273 △ ABC가 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C ACÓQPÓ이므로 ∠C=∠QPB (동위각) ∴ ∠B=∠QPB 즉, △QBP는 QBÓ=QPÓ인 이등변삼각형이다. 이때 AQÓRPÓ, ARÓQPÓ에서 AQPR는 평행사변형이므로 (AQPR의 둘레의 길이) =2(AQÓ+QPÓ) =2(AQÓ+QBÓ)=2ABÓ =2_8=16(cm) 16`cm 0274 △ ABG와 △DFG에서 ABÓ=DFÓ, ∠ABG=∠DFG (엇각), ∠BAG=∠FDG (엇각) 이므로 △ABGª△DFG (ASA 합동) ∴ AGÓ=DGÓ= `ADÓ=ABÓ ;2!; 26 정답과 풀이 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 26 2018-12-13 오후 6:46:10 04 여러 가지 사각형 Ⅱ. 사각형의 성질 0286 ABCD가 정사각형이므로 ACÓ⊥BDÓ ∴ ∠x=90ù △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 본문 p.49, 51 ∠y= _(180ù-90ù)=45ù ∠x=90ù, ∠y=45ù ;2!; 0276 DOÓ=BOÓ=4`cm ∴ x=4 4 0287 DCÓ=ABÓ=8`cm ∴ x=8 0277 BDÓ =ACÓ=2OCÓ =2_5=10(cm) ∴ x=10 0278 ∠ B=90ù이므로 △ABC에서 ∠x=180ù-(90ù+35ù)=55ù 또 ABCD가 직사각형이므로 ∠y=90ù ∠x=55ù, ∠y=90ù 0279 ∠ BAC=90ù-40ù=50ù △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠x=180ù-(50ù+50ù)=80ù △ACD에서 ∠y=180ù-(90ù+40ù)=50ù ∠x=80ù, ∠y=50ù 0288 ACÓ=BDÓ=5+3=8(cm) ∴ x=8 10 0289 ∠ B=∠C이므로 ∠x=80ù 0290 ∠ A+∠B=180ù이므로 ∠B=180ù-∠A=180ù-110ù=70ù ∴ ∠x=∠B=70ù 0291 ADÓBCÓ이므로 ∠CBD=∠ADB=40ù (엇각) ∠ABC=∠C=70ù이므로 ∠x=70ù-40ù=30ù 0292 ADÓBCÓ이므로 ∠BCA=∠DAC=45ù (엇각) 0280 CDÓ=ADÓ=8`cm ∴ x=8 8 ∴ ∠x=∠DCB=45ù+30ù=75ù 75ù 8 8 80ù 70ù 30ù 0281 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로 BOÓ=DOÓ=5`cm ∴ x=5 5 0282 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로 ∠x=90ù △AOD에서 ∠y=180ù-(60ù+90ù)=30ù 0293 0294 0295 × ∠x=90ù, ∠y=30ù 0296 0283 ABÓDCÓ에서 ∠BAC=∠DCA (엇각)이므로 ∠x=38ù △ABC는 BAÓ=BCÓ인 이등변삼각형이므로 ∠BCA=∠BAC=38ù △OBC에서 ∠y=180ù-(90ù+38ù)=52ù ∠x=38ù, ∠y=52ù 0284 CDÓ=ADÓ=3`cm ∴ x=3 3 0297 한 내각이 직각인 평행사변형은 직사각형이다. 직사각형 0298 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형은 마름모이 다. 마름모 0299 AOÓ=BOÓ에서 ACÓ=BDÓ 즉, 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형은 직사각형이다. 직사각형 0285 BDÓ =ACÓ=2AOÓ =2_6=12(cm) ∴ x=12 0300 한 내각이 직각인 평행사변형은 직사각형이고, 이웃하 는 두 변의 길이가 같은 직사각형은 정사각형이다. 정사각형 12 04. 여러 가지 사각형 27 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 27 2018-12-13 오후 6:46:11 0301 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형은 마름모이 고, 두 대각선의 길이가 같은 마름모는 정사각형이다. 정사각형 0303 마름모의 두 대각선의 길이는 같지 않다. × 따라서 ∠DOC=∠AOB=70ù (맞꼭지각)이므로 y=70 본문 p.52 ~ 58 0315 BDÓ=ACÓ=2AOÓ=2_6=12(cm) ∴ x=12 △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OBA=∠OAB=55ù ∴ ∠AOB=180ù-(55ù+55ù)=70ù ∴ x+y=12+70=82 82 0316 △ OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC=∠OCB ∴ ∠x=38ù 평행사변형 △ABC에서 ∠ABC=90ù이므로 ∠y=180ù-(90ù+38ù)=52ù 마름모 0317 ㈎ DCÓ ㈏ BCÓ ㈐ SAS ㈑ DBÓ ∠x=38ù, ∠y=52ù 0318 ∠ AEF=∠CEF (접은 각), ∠AFE=∠CEF (엇각) 이므로 ∠AEF=∠AFE ∠BAF=90ù이므로 ∠EAF=∠BAF-∠BAE=90ù-20ù=70ù 따라서 △AEF에서 ∠AFE= _(180ù-70ù)=55ù ;2!; 직사각형 정사각형 마름모 단계 채점 요소 ∠AEF=∠AFE임을 알기 ∠EAF의 크기 구하기 평행사변형 ∠AFE의 크기 구하기 0320 ②, ⑤ 평행사변형이 마름모가 되는 조건이다. 20`cmÛ` 0321 ㈎ BCÓ ㈏ SSS ㈐ ∠C ㈑ ∠D 0322 △ ODA에서 ∠OAD=∠ODA이면 AOÓ=DOÓ 평행사변형 ABCD에서 AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ 10`cmÛ` 2：1 ㉠, ㉡에 의해 AOÓ=BOÓ=COÓ=DOÓ이므로 ACÓ=BDÓ 따라서 ABCD는 직사각형이다. 직사각형 55ù 배점 40 % 30 % 30 % ④, ⑤ ①, ④ yy ㉠ yy ㉡ 0302 0304 0305 0306 0307 0308 0309 0310 1 2 2 3 2 3 1 3 1 3 0312 △ ABP = △ABC = _30 =20(cmÛ`) 0313 △ APC = △ABC = _30=10(cmÛ`) 0314 △ ABP：△APC=20：10=2：1 28 정답과 풀이 0311 △ DBC =△ABC = _10_8=40 40 0319 ④, ⑤ 평행사변형이 마름모가 되는 조건이다. 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 28 2018-12-13 오후 6:46:13 0323 DOÓ=BOÓ이므로 4x+1=9 ∴ x=2 0330 ADÓBCÓ이므로 ∠ADB=∠CBD=42ù (엇각) △AOD에서 ∠AOD=180ù-(42ù+48ù)=90ù ∠AOD=90ù이고 ∠ODA=∠OBC=35ù (엇각)이므로 따라서 ABCD는 마름모이다. △AOD에서 ∠OAD=180ù-(90ù+35ù)=55ù ∴ y=55 ∴ x+y=2+55=57 0324 ① 마름모는 네 변의 길이가 모두 같으므로 ABÓ=BCÓ ③ 마름모의 두 대각선은 수직으로 만나므로 ACÓ⊥BDÓ ⑤ △ADO와 △CDO에서 ADÓ=CDÓ, AOÓ=COÓ, DOÓ는 공통 이므로 △ADOª△CDO (SSS 합동) ∴ ∠ADO=∠CDO ②, ④ 0325 △ BCD에서 CBÓ=CDÓ이므로 ∠CBD= _(180ù-136ù)=22ù ;2!; 이때 ∠BPH=∠APD=∠x (맞꼭지각)이므로 △PBH에서 ABÓ=BCÓ=9`cm이므로 x=9 57 ∠CDB=∠CBD=42ù이므로 y=42 ∴ x+y=9+42=51 채점 요소 ABCD가 마름모임을 알기 단계 x의 값 구하기 y의 값 구하기 x+y의 값 구하기 ∠x=180ù-(90ù+22ù)=68ù 68ù 이므로 △BCEª△DCE (SAS 합동) 51 배점 50 % 20 % 20 % 10 % 0326 EBFD가 마름모이므로 EBÓ=EDÓ에서 ∠EBD=∠EDB EDÓBFÓ이므로 ∠EDB=∠FBD (엇각) 즉, ∠EBD=∠FBD이므로 ∠EBD= ∠ABC= _90ù=30ù ;3!; ;3!; 따라서 △EBD에서 0327 ㄱ. 평행사변형이 직사각형이 되는 조건이다. ㄹ. ∠AOB+∠COB=180ù이므로 ∠AOB=∠COB이면 ∠AOB=∠COB=90ù ∴ ACÓ⊥BDÓ 0328 ㈎ DCÓ ㈏ DOÓ ㈐ SAS ㈑ ADÓ 0329 ADÓBCÓ이므로 ∠ADB=∠CBD (엇각) ∴ ∠ABD=∠ADB 즉, △ABD에서 ABÓ=ADÓ이다. 0331 △ BCE와 △DCE에서 BCÓ=DCÓ, CEÓ는 공통, ∠BCE=∠DCE=45ù ∴ ∠DEC=∠BEC=62ù △AED에서 45ù+∠ADE=62ù이므로 ∠ADE=17ù 17ù 0332 BOÓ= ;2!; ∴ ABCD =2△ABC BDÓ= ;2!; ACÓ= _12=6(cm) ;2!; 1 2 { } 0333 ①, ③, ⑤ 정사각형의 두 대각선은 길이가 같고 서로 다 른 것을 수직이등분하므로 ACÓ=BDÓ, ACÓ⊥BDÓ, AOÓ=BOÓ=COÓ=DOÓ ④ △DBC에서 CBÓ=CDÓ이고 ∠BCD=90ù이므로 0334 ABÓ=ADÓ=AEÓ이므로 △ABE에서 ∠AEB=∠ABE=25ù ∴ ∠EAB=180ù-(25ù+25ù)=130ù 이때 ∠DAB=90ù이므로 ∠EAD=∠EAB-∠DAB=130ù-90ù=40ù △ADE에서 ADÓ=AEÓ이므로 따라서 ABCD는 마름모가 된다. ㄴ, ㄷ, ㄹ ∠ DBC= _(180ù-90ù)=45ù ;2!; ② ∠x=180ù-(30ù+30ù)=120ù 120ù =2_ _12_6 =72(cmÛ`) ④ 따라서 평행사변형에서 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 ABCD는 마름모이다. 마름모 ∠ADE= _(180ù-40ù)=70ù ;2!; 70ù 04. 여러 가지 사각형 29 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 29 2018-12-13 오후 6:46:14 0335 △ ABF와 △CDE에서 ABÓ=CDÓ, BFÓ=DEÓ, ∠ABF=∠CDE=90ù 0341 ADÓBCÓ이므로 ∠BCA=∠DAC=50ù (엇각) △ABC에서 ∠x=180ù-(70ù+50ù)=60ù 채점 요소 Û △ABD와 △DCA에서 이므로 △ABFª△CDE (SAS 합동) ∴ ∠AFB=∠CED=62ù 또 ∠GBF=45ù이므로 △BFG에서 ∠AGB=45ù+62ù=107ù 0336 △ ABE와 △BCF에서 ABÓ=BCÓ, BEÓ=CFÓ, ∠ABE=∠BCF=90ù 이므로 △ABE≡△BCF (SAS 합동) ∴ ∠BAE=∠CBF 또 △ABE에서 ∠BAE+∠AEB=90ù이므로 ∠CBF+∠AEB=90ù 따라서 △OBE에서 ∠BOE=180ù-90ù=90ù ∴ ∠AOF=∠BOE=90ù (맞꼭지각) 단계 ∠BAE=∠CBF임을 알기 ∠BOE의 크기 구하기 ∠AOF의 크기 구하기 ③ 90ù 배점 40 % 40 % 20 % 0337 △ PBC가 정삼각형이므로 ∠BPC=∠PBC=∠BCP=60ù ∴ ∠ABP=∠PCD=90ù-60ù=30ù 이때 ABCD가 정사각형이므로 △ABP와 △PCD는 각각 BAÓ=BPÓ, CPÓ=CDÓ인 이등변삼각형이다. ∴ ∠APB=∠DPC= _(180ù-30ù)=75ù ;2!; ∴ ∠APD=360ù-(75ù+60ù+75ù)=150ù ⑤ 0338 ①, ② 평행사변형이 직사각형이 되는 조건이다. ③ AOÓ=DOÓ이면 AOÓ=BOÓ=COÓ=DOÓ이므로 ACÓ=BDÓ 따라서 ACÓ⊥BDÓ, ACÓ=BDÓ이므로 ABCD는 정사각형이 된다. ④, ⑤ 평행사변형이 마름모가 되는 조건이다. ③ ∠BCD=∠B=70ù이므로 ∠y=70ù-50ù=20ù ∴ ∠x+∠y=60ù+20ù=80ù 80ù 0342 ①, ⑤ △ABC와 △DCB에서 ABÓ=DCÓ, BCÓ는 공통, ∠ABC=∠DCB 이므로 △ABCª△DCB (SAS 합동) ∴ ACÓ=DBÓ, ∠ACB=∠DBC ② ∠ACB=∠DBC이므로 △OBC에서 OBÓ=OCÓ ∴ AOÓ=ACÓ-OCÓ=DBÓ-OBÓ=DOÓ ④ ADÓBCÓ이고 ∠ABC=∠DCB이므로 ∠ BAD =180ù-∠ABC =180ù-∠DCB=∠CDA ③ 참고 Ú △ABC와 △DCB에서 ABÓ=DCÓ, BCÓ는 공통, ∠ABC=∠DCB 이므로 △ABCª△DCB (SAS 합동) ABÓ=DCÓ, BDÓ=CAÓ, ADÓ는 공통 이므로 △ABDª△DCA (SSS 합동) Ü △ABO와 △DCO에서 ABÓ=DCÓ, ∠OAB=∠ODC, ∠ABO=∠DCO 이므로 △ABOª△DCO (ASA 합동) 0343 ADÓBCÓ이므로 ∠DAC=∠ACB=32ù (엇각) △DAC에서 DAÓ=DCÓ이므로 ∠DCA=∠DAC=32ù △ABC≡△DCB (SAS 합동)이므로 ∠DBC=∠ACB=32ù 따라서 △DBC에서 ∠x=180ù-(32ù+32ù+32ù)=84ù 84ù 0344 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D 를 지나고 ABÓ에 평행한 직선을 그어 (cid:34) (cid:24)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:37) (cid:26)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177) BCÓ와 만나는 점을 E라 하면 ABED는 평행사변형이므로 BEÓ=ADÓ=7`cm, DEÓ=ABÓ=9`cm 또 ∠BED=∠A=120ù이므로 (cid:35) (cid:38) (cid:36) 0339 ㄴ, ㄷ 다. 30 정답과 풀이 0340 ② AOÓ=BOÓ이면 ACÓ=BDÓ이므로 ABCD는 정사 ∠DEC=180ù-120ù=60ù 각형이 된다. 이때 ∠C=∠B=180ù-120ù=60ù이므로 △DEC는 정삼각형 ④ ∠ABC=∠DAB이면 ∠ABC+∠DAB=180ù에서 이다. ∠ABC=∠DAB=90ù이므로 ABCD는 정사각형이 된 ∴ ECÓ=DCÓ=ABÓ=9`cm ②, ④ ∴ BCÓ=BEÓ+ECÓ=7+9=16(cm) 16`cm 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 30 2018-12-13 오후 6:46:15 0345 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H'이라 하면 A 8`cm D 이등분하므로 마름모이다. 즉, EOÓ=FOÓ에서 EBFD는 두 대각선이 서로 다른 것을 수직 △ABH'≡△DCH (RHA 합동)이므로 ∴ (EBFD의 둘레의 길이) =4EDÓ HÕ'HÓ=ADÓ=8`cm CHÓ=BHÓ'Ó= _(12-8)=2(cm) 1 2 B H' 12`cm C H ① =4_10=40(cm) 0346 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A 를 지나고 DCÓ에 평행한 직선을 그어 A D BCÓ와 만나는 점을 E라 하면 B E C 단계 채점 요소 △EODª△FOB임을 알기 EBFD가 마름모임을 알기 EBFD의 둘레의 길이 구하기 AECD는 마름모이다. ∴ AEÓ=ECÓ=CDÓ=DAÓ 이때 BCÓ=2ABÓ이므로 BEÓ=ECÓ 따라서 ABÓ=BEÓ=AEÓ이므로 △ABE는 정삼각형이다. ∴ ∠B=60ù 60ù 즉, △ABF에서 ∠ABF=∠AFB이므로 0350 AFÓBEÓ이므로 ∠AFB=∠EBF (엇각) (cid:34) (cid:39) (cid:37) ABÓ=AFÓ (cid:35) (cid:36)(cid:38) yy ㉠ 40`cm 배점 40 % 40 % 20 % AFÓBEÓ이므로 ∠BEA=∠FAE (엇각) 즉, △BEA에서 ∠BAE=∠BEA이므로 ABÓ=BEÓ yy ㉡ ㉠, ㉡에 의해 AFÓ=BEÓ 따라서 AFÓBEÓ, AFÓ=BEÓ이므로 ABEF는 평행사변형이 다. 이때 ABÓ=AFÓ, 즉 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 ABEF는 마름모이다. ①, ⑤ 같은 방법으로 하면 ∠EFG=∠FGH=∠GHE=90ù 0351 ④ 두 대각선이 직교하는 평행사변형은 마름모이다. ④ 0347 ABCD는 평행사변형이므로 ∠BAD+∠ABC=180ù ∴ ∠EAB+∠EBA = (∠BAD+∠ABC) 1 2 1 2 = _180ù=90ù △ABE에서 ∠AEB=180ù-90ù=90ù ∴ ∠HEF=∠AEB=90ù (맞꼭지각) 따라서 EFGH는 네 내각의 크기가 모두 90ù이므로 직사각형 이다. ②, ⑤ 0348 △ AEH, △BFE, △CGF, △DHG에서 AEÓ=BFÓ=CGÓ=DHÓ, AHÓ=BEÓ=CFÓ=DGÓ, ∠A=∠B=∠C=∠D=90ù 이므로 △AEHª△BFEª△CGFª△DHG (SAS 합동) ∴ HEÓ=EFÓ=FGÓ=GHÓ 이때 ∠AEH+∠AHE=90ù이고 ∠AHE=∠BEF이므로 ∠AEH+∠BEF=90ù ∴ ∠HEF=90ù 로 정사각형이다. 0352 ABCD는 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므 로 평행사변형이다. 또 두 대각선의 길이가 같으므로 직사각형이 다. 직사각형 yy ㉠ 0353 ④, ⑤ 0354 ㄱ, ㄹ, ㅂ ㉠, ㉡에 의해 EFGH는 한 내각의 크기가 90ù인 마름모이므 yy ㉡ 정사각형 0355 두 대각선이 직교하는 평행사변형은 마름모이고, 마름 모의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 직사각형이다. ③ 0349 △ EOD와 △FOB에서 DOÓ=BOÓ, ∠EOD=∠FOB=90ù, ∠ODE=∠OBF (엇각) 이므로 △EODª△FOB (ASA 합동) 0356 정사각형 ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 만든 PQRS는 정사각형이다. 따라서 PQRS의 넓이는 5_5=25(cmÛ`) ③ 04. 여러 가지 사각형 31 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 31 2018-12-13 오후 6:46:16 0357 직사각형 ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 만든 EFGH는 마름모이다. ③, ⑤ 0363 AEÓ：EBÓ=3：2이므로 △BDE= △ABD ∴ △ABD = △BDE _16=40(cmÛ`) BDÓ：DCÓ=2：3이므로 36`cmÛ` △ABD= △ABC ∴ △ABC = △ABD _40=100(cmÛ`) ;5@; 5 2 = 5 2 ;5@; 5 2 = 5 2 단계 채점 요소 △ABD의 넓이 구하기 △ABC의 넓이 구하기 48`cmÛ` 0364 BMÓ：MCÓ=3：4에서 △DBM：△DMC=3：4이므로 12：△DMC=3：4 ∴ △DMC=16(cmÛ`) DEÓACÓ이므로 △ADE=△CDE ∴ ADME =△ADE+△DME =△CDE+△DME =△DMC=16`cmÛ` ④ 100`cmÛ` 배점 50 % 50 % ④ 본문 p.59 0358 ACÓDEÓ이므로 △ACD=△ACE ∴ ABCD =△ABC+△ACD =△ABC+△ACE =20+16 =36(cmÛ`) 0359 ACÓDEÓ이므로 △ACD=△ACE ∴ ABCD =△ABC+△ACD =△ABC+△ACE =△ABE = _(6+6)_8 1 2 =48(cmÛ`) 0360 ① ACÓDEÓ이므로 △ ACE=△ACD ② △ODA =△ACD-△OAC =△ACE-△OAC =△OCE ③ ACÓDEÓ이므로 △AED=△CED ④ △ACO=△DOE인지 알 수 없다. ⑤ △ABE =△ABC+△ACE =△ABC+△ACD =ABCD 0361 △ ACE=△ACD이므로 △ABE=ABCD ∴ △AFD =ABCD-ABCF =△ABE-ABCF =52-37 =15(cmÛ`) 1 2 0365 ABÓDCÓ이므로 △EBC=△EBD ADÓBCÓ이므로 △FCD=△FBD EFÓBDÓ이므로 △EBD=△FBD 15`cmÛ` ∴ △EBC=△EBD=△FBD=△FCD ⑤ 0362 BDÓ=DCÓ이므로 △ABD=△ADC APÓ：PDÓ=2：1이므로 △ABP：△PBD=2：1 0366 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면 (cid:34) (cid:49) (cid:37) △ABD = ABCD = _40=20(cmÛ`) (cid:35) (cid:36) ∴ △ABP = △ABD= _ △ABC ;3@; APÓ：PDÓ=3：2에서 △ABP：△PBD=3：2이므로 △ABP = △ABD = _30=10(cmÛ`) ① = _20=12(cmÛ`) 12`cmÛ` 1 2 1 2 3 5 3 5 = △ABC ;3@; 1 3 1 3 32 정답과 풀이 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 32 2018-12-13 오후 6:46:17 0367 오른쪽 그림과 같이 OMÓ을 그으면 A △AOM = △ACM N O D M C B 한편 △ABD=△ACD이므로 0372 OBÓ：ODÓ=2：1이므로 △OAB：△ODA=2：1 즉, 10：△ODA=2：1에서 △ODA=5(cmÛ`) △OCD =△ACD-△ODA=△ABD-△ODA =△OAB=10`cmÛ` OBÓ：ODÓ=2：1이므로 △OBC：△OCD=2：1 즉, △OBC：10=2：1에서 △OBC=20(cmÛ`) ∴ ABCD =△OAB+△OBC+△OCD+△ODA =10+20+10+5=45(cmÛ`)` 45`cmÛ` = _ △ACD ;2!; 1 2 = _ ;4!; ABCD = ABCD = _24=3(cmÛ`) 1 2 1 2 1 8 1 8 2 3 2 3 ANÓ：NMÓ=2：1에서 △AON：△NOM=2：1이므로 △AON = △AOM = _3=2(cmÛ`) 2`cmÛ` 0368 ADÓBCÓ이므로 △ABF=△DBF BEÓDCÓ이므로 △BED=△BEC ∴ △FEC =△BEC-△BEF =△BED-△BEF =△DBF=△ABF =△ABG+△BFG =13+4=17(cmÛ`) 본문 p.60 ~ 63 0373 BOÓ=DOÓ이므로 x+9=3x+1, 2x=8 ∴ x=4 ∴ ACÓ=BDÓ=4x+10=4_4+10=26 26 0374 △ ABM와 △DCM에서 AMÓ=DMÓ, ABÓ=DCÓ, BMÓ=CMÓ 이므로 △ABMª△DCM (SSS 합동) 17`cmÛ` 따라서 ∠B=∠C이고, ∠B+∠C=180ù이므로 2∠B=180ù ∴ ∠B=90ù ⑤ 0369 ADÓBCÓ이므로 △DBC=△ABC=42`cmÛ` ∴ △OBC =△DBC-△OCD =42-14 =28(cmÛ`) 0375 △ ABP와 △ADQ에서 ∠APB=∠AQD=90ù, ABÓ=ADÓ, ∠ABP=∠ADQ 이므로 △ABPª△ADQ (RHA 합동) 28`cmÛ` ∴ APÓ=AQÓ ∴ △ABC =△DBC=△OBC+△OCD =35+25=60(cmÛ`) 60`cmÛ` ∠x= _(180ù-52ù)=64ù ;2!; 64ù 0370 OBÓ：ODÓ=7：5이므로 △OBC：△OCD=7：5 즉, 35：△OCD=7：5에서 △OCD=25(cmÛ`) 0371 △ ABC=△DBC이므로 △OCD =△DBC-△OBC =△ABC-△OBC =△OAB 이때 OAÓ：OCÓ=2：3이므로 △OAB：△OBC=2：3 ∴ △OCD =△OAB= △ABC 2 5 = _50=20(cmÛ`) 20`cmÛ` 2 5 이때 ∠BAP=∠DAQ=180ù-(52ù+90ù)=38ù 또 ∠BAD+∠B=180ù이므로 ∠BAD=180ù-52ù=128ù ∴ ∠PAQ=128ù-(38ù+38ù)=52ù △APQ는 APÓ=AQÓ인 이등변삼각형이므로 0376 ② 평행사변형이 직사각형이 되는 조건이다. ④ ∠ABD=∠ADB이면 ABÓ=ADÓ이므로 ABCD는 마름 모가 된다. ②, ⑤ 0377 ABÓ=DCÓ이므로 5a+1=2a+13, 3a=12 ∴ a=4 ABÓ=5a+1=5_4+1=21, BCÓ=4a+5=4_4+5=21이므로 ABÓ=BCÓ ∴ ∠x=90ù 따라서 ABCD는 마름모이므로 ACÓ⊥BDÓ 90ù 04. 여러 가지 사각형 33 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 33 2018-12-13 오후 6:46:19 0378 정사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 수직이등분하므로 0383 ∠ C=∠B=70ù이므로 △DEC에서 ∠CDE=180ù-(90ù+70ù)=20ù 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 ∴ x=20 F라 하면 FEÓ=ADÓ=4`cm 4`cm A D xù 70ù B F E 8`cm C y`cm 또 △ABFª△DCE (RHA 합동)이므로 BFÓ =CEÓ= (BCÓ-FEÓ)= _(8-4)=2(cm) 1 2 1 2 ∴ y=2 ∴ x+y=20+2=22 22 0384 △ ABP와 △ADQ에서 APÓ=AQÓ, ∠APB=∠AQD이고 ∠B=∠D이므로 ∠BAP=∠DAQ 65ù ∴ △ABPª△ADQ (ASA 합동) ∴ ABÓ=ADÓ 따라서 ABCD는 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형이 므로 마름모이다. 마름모 AOÓ =BOÓ= ACÓ 1 2 = _20=10(cm) 1 2 또 AOÓ⊥BOÓ이므로 △ABO= _10_10=50(cmÛ`) ;2!; ⑤ 0379 △ DAE와 △DCE에서 ADÓ=CDÓ, DEÓ는 공통, ∠ADE=∠CDE=45ù 이므로 △DAEª△DCE (SAS 합동) ∴ ∠DCE=∠DAE=20ù 따라서 △DCE에서 ∠BEC =∠CDE+∠DCE =45ù+20ù=65ù 0380 △ ABE와 △BCF에서 ABÓ=BCÓ, BEÓ=CFÓ, ∠ABE=∠BCF=90ù 이므로 △ABEª△BCF (SAS 합동) ① ECÓ =BCÓ-BEÓ =CDÓ-CFÓ=DFÓ ⑤ ∠BFC =∠AEB =180ù-118ù=62ù ∴ ∠BAE=∠CBF (②), AEÓ=BFÓ (③), ∠AEB=∠BFC 0385 ④ ④ ∠BAE+∠BFC=∠BAE+∠AEB=90ù 0386 ③ ABÓ=BCÓ인 평행사변형 ABCD는 마름모이다. ∴ ∠GBE=180ù-(62ù+90ù)=28ù ⑤ 0381 ABÓDCÓ, ADÓBCÓ이므로 ABCD는 평행사변형이 다. 0387 두 대각선의 길이가 같은 사각형은 ㄷ, ㅁ, ㅂ의 3개이므 로 a=3 두 대각선이 직교하는 사각형은 ㄹ, ㅂ의 2개이므로 b=2 두 대각선의 길이가 같고 서로 다른 것을 수직이등분하는 사각형 ㄱ, ㄷ. 평행사변형이 직사각형이 되는 조건이다. 은 ㅂ의 1개이므로 c=1 ㄴ. ∠BCD=90ù이고 ∠COD=90ù에서 ACÓ⊥BDÓ이므로 ∴ a+b+c=3+2+1=6 즉, ACÓ⊥BDÓ이고 AOÓ=DOÓ에서 ACÓ=BDÓ이므로 ABCD는 정사각형이다. ㄴ, ㅁ 4EFÓ=4_8=32(cm) 32`cm 0388 ① 평행사변형 - 평행사변형 0389 EFGH는 마름모이므로 EFGH의 둘레의 길이는 ①, ② 6 ① ABCD는 정사각형이다. ㄹ. 평행사변형이 마름모가 되는 조건이다. ㅁ. △AOD에서 AOÓ=DOÓ이므로 ∠OAD=∠ODA=45ù ∴ ∠AOD=90ù 0382 △ ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로 ∠ABD=∠ADB=30ù ∴ ∠A=180ù-(30ù+30ù)=120ù ∠ADC=∠A=120ù이므로 ∠BDC =∠ADC-∠ADB =120ù-30ù=90ù 34 정답과 풀이 0390 ① BMÓ=CMÓ이므로 △DBM=△DMC ② ACÓDEÓ이므로 △ADC=△AEC ③ △ADP =△ADC-△APC =△AEC-△APC=△CPE ④ △DMC =△DME+△DEC 90ù =△DME+△DEA=DMEA ⑤ 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 34 2018-12-13 오후 6:46:20 0391 오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OBÓ를 그 으면 C ABÓCDÓ이므로 △CAB=△OAB O D 6`cm 0395 △ BCD에서 CBÓ=CDÓ이므로 ∠CDB=∠CBD=35ù 따라서 색칠한 부분의 넓이는 부채꼴 OAB A B ACÓ⊥BDÓ이므로 ∠COD=90ù 의 넓이와 같으므로 (색칠한 부분의 넓이) =p_6Û`_ 1 6 =6p(cmÛ`) △CDO에서 ∠x=180ù-(35ù+90ù)=55ù ① △DPH에서 0392 BMÓ=MCÓ이므로 △ABM=△AMC APÓ：PMÓ=1：2이므로 △ABP：△PBM=1：2 ∴ △ABC =2△ABM =2_ △PBM=3△PBM 3 2 =3_12=36(cmÛ`) 36`cmÛ` 110ù 배점 20 % 30 % 30 % 20 % 60ù 배점 30 % 40 % 30 % ∠DPH=180ù-(35ù+90ù)=55ù ∴ ∠y=∠DPH=55ù (맞꼭지각) ∴ ∠x+∠y=55ù+55ù=110ù 단계 채점 요소 ∠CDB의 크기 구하기 ∠x의 크기 구하기 ∠y의 크기 구하기 ∠x+∠y의 크기 구하기 0396 △ ADE에서 DAÓ=DEÓ이므로 ∠DEA=∠DAE=75ù ∴ ∠EDA=180ù-(75ù+75ù)=30ù 고, ∠EDC=30ù+90ù=120ù이므로 ∠DCE= _(180ù-120ù)=30ù 1 2 ∴ ∠ECB =∠DCB-∠DCE =90ù-30ù =60ù 단계 채점 요소 ∠EDA의 크기 구하기 ∠DCE의 크기 구하기 ∠ECB의 크기 구하기 ∴ 20+△AFD=16+△BED yy ㉠ DEÓ=DAÓ=DCÓ에서 △CDE는 DEÓ=DCÓ인 이등변삼각형이 ∴ △FED=4(cmÛ`) 4`cmÛ` 0393 △ ABD=△CDB이고 △ABD=△ABF+△AFD, △CDB=△BCE+△BED이므로 △ABF+△AFD=△BCE+△BED 또 ABÓDCÓ에서 △BED=△AED이고` △AED=△AFD+△FED이므로 ㉠에서 20+△AFD=16+△AFD+△FED 0394 OAÓ`:`OCÓ=2`:`3이므로 △ODA`:`△OCD=2`:`3 4`:`△OCD=2`:`3 ∴ △OCD=6(cmÛ`) 한편 △ABD=△ACD이므로 △OAB =△ABD-△AOD =△ACD-△AOD =△OCD=6`cmÛ` OAÓ`:`OCÓ=2`:`3이므로 △OAB`:`△OBC=2`:`3 6`:`△OBC=2`:`3 ∴ △OBC=9(cmÛ`) ∴ ABCD =△OAB+△OBC+△OCD+△ODA =6+9+6+4 =25(cmÛ`) 25`cmÛ` 0397 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D 를 지나고 ABÓ에 평행한 직선을 그어 8`cm 6`cm A D BCÓ와 만나는 점을 E라 하면 ABED는 평행사변형이므로 DEÓ=ABÓ=8`cm, BEÓ=ADÓ=6`cm 60(cid:177) B 60(cid:177) 60(cid:177) C E 04. 여러 가지 사각형 35 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 35 2018-12-13 오후 6:46:21 또 ∠DEC=∠B=60ù (동위각)이고 ∠C=∠B=60ù이므로 0400 오른쪽 그림과 같이 CDÓ의 연장선 위 에 BPÓ=DEÓ인 점 E를 잡으면 E D Q C A 45(cid:177) B 55(cid:177) P △ADE와 △ABP에서 ADÓ=ABÓ, DEÓ=BPÓ, ∠ADE=∠ABP=90ù ∴ AEÓ=APÓ ∠ EAD=∠PAB 또 ∠PAQ=45ù이므로 이므로 △ADEª△ABP (SAS 합동) yy ㉠ yy ㉡ ∠PAB+∠DAQ=45ù yy ㉢ 36`cm ㉡, ㉢에 의해 ∠EAQ=45ù 배점 40 % 40 % 20 % ∴ ∠EAQ=∠PAQ yy ㉣ △EAQ와 △PAQ에서 AQÓ는 공통이고, ㉠, ㉣에 의해 △EAQª△PAQ (SAS 합동) ∴ ∠AQD =∠AQP =180ù-(45ù+55ù)=80ù 80ù 0401 △ ABG와 △DFG에서 ABÓ=CDÓ=DFÓ, ∠ABG=∠DFG (엇각), ∠BAG=∠FDG (엇각) 이므로 △ABGª△DFG (ASA 합동) ∴ AGÓ=DGÓ BHÓ=CHÓ 같은 방법으로 하면 △ABHª△ECH (ASA 합동)이므로 yy ㉠ yy ㉡ 그런데 ADÓ=BCÓ이므로 ㉠, ㉡에 의해 AGÓ=BHÓ 또 AGÓBHÓ이므로 ABHG는 평행사변형이다. 이때 ADÓ=2ABÓ에서 AGÓ=ABÓ, 즉 이웃하는 두 변의 길이가 40`cmÛ` 같으므로 ABHG는 마름모이다. 배점 30 % 40 % 30 % ∴ ∠GPH=90ù △DFG는 DFÓ=DGÓ인 이등변삼각형이므로 ∠DGF=∠DFG=∠ABG=35ù ∴ ∠FDG=180ù-(35ù+35ù)=110ù ∴ ∠FDG+∠GPH=110ù+90ù=200ù 200ù △DEC는 정삼각형이다. ∴ ECÓ=DCÓ=DEÓ=8`cm ∴ BCÓ =BEÓ+ECÓ =6+8=14(cm) ∴ (ABCD의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CDÓ+DAÓ =8+14+8+6=36(cm) 단계 BEÓ, DEÓ의 길이 구하기 BCÓ, DCÓ의 길이 구하기 채점 요소 ABCD의 둘레의 길이 구하기 0398 ACÓDEÓ이므로 △ACD=△ACE ∴ ABCD =△ABC+△ACD =△ABC+△ACE =△ABE = _10_8 1 2 =40(cmÛ`) 단계 채점 요소 △ACD=△ACE임을 알기 ABCD=△ABE임을 알기 ABCD의 넓이 구하기 0399 △ OBP와 △OCQ에서 OBÓ=OCÓ, ∠OBP=∠OCQ=45ù, ∠BOP=90ù-∠POC=∠COQ 이므로 △OBP≡△OCQ (ASA 합동) ∴ OPCQ =△OPC+△OCQ =△OPC+△OBP =△OBC= ABCD 1 4 = _8_8=16(cmÛ`) 1 4 또 OEFG=ABCD=8_8=64(cmÛ`) ∴ (색칠한 부분의 넓이) =OEFG-OPCQ =64-16=48(cmÛ`) ③ 36 정답과 풀이 알피엠_중2-2_해답_03~04강(019~036)_ok.indd 36 2018-12-13 오후 6:46:22 05 도형의 닮음 Ⅲ. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 0419 Ú △ABC와 △NMO에서 ABÓ：NMÓ=BCÓ：MOÓ=ACÓ：NOÓ=2：3 ∴ △ABC»△NMO (SSS 닮음) 본문 p.67, 69 Û △DEF와 △LKJ에서 0402 점 F 0403 BCÓ 0404 ∠G 0405 점 G 0406 FGÓ 0407 면 ABD ∠D=180ù-(60ù+35ù)=85ù=∠L, ∠E=∠K=60ù ∴ △DEF»△LKJ (AA 닮음) Ü △GHI와 △QPR에서 GIÓ：QRÓ=HIÓ：PRÓ=2：1, ∠I=∠R=40ù ∴ △GHI»△QPR (SAS 닮음) 풀이 참조 0420 △ABC와 △DCA에서 ABÓ：DCÓ=BCÓ：CAÓ=ACÓ：DAÓ=1：2 ∴ △ABC»△DCA (SSS 닮음) △ABC»△DCA (SSS 닮음) 0421 △ABE와 △CDE에서 AEÓ：CEÓ=BEÓ：DEÓ=2：5, ∠AEB=∠CED (맞꼭지각) △ABE»△CDE (SAS 닮음) 0422 △ABC와 △AED에서 ∠A는 공통, ∠B=∠AED=70ù ∴ △ABC»△AED (AA 닮음) △ABC»△AED (AA 닮음) 0423 ∠B+∠BAD=90ù이고 ∠BAD+∠CAD=90ù이므로 ∠B=∠CAD ∠CAD 0424 ∠C+∠CAD=90ù이고 ∠CAD+∠BAD=90ù이므로 ∠C=∠BAD ∠BAD 0425 △ABC와 △DBA에서 ∠BAC=∠BDA=90ù, ∠B는 공통 ∴ △ABC»△DBA (AA 닮음) △ABC와 △DAC에서 0426 ABÓ Û`=BDÓ_BCÓ이므로 xÛ`=3_(3+9)=36 ∴ x=6 0427 ACÓ Û`=CDÓ_CBÓ이므로 xÛ`=4_(4+5)=36 6 6 05. 도형의 닮음 37 0408 BCÓ：EFÓ=6：8=3：4 3：4 ∴ △ABE»△CDE (SAS 닮음) 0409 ∠A =∠D=180ù-(100ù+25ù) =55ù 0410 3：DEÓ=3：4이므로 3DEÓ=12 ∴ DEÓ=4(cm) 0411 8：12=2：3 0412 4：r=2：3, 2r=12 ∴ r=6 6 55ù 4`cm 2：3 2：5 4：25 0413 BCÓ：EFÓ=8：20=2：5 0414 2Û`：5Û`=4：25 0415 △ABC：△DEF=4：25이므로 32：△DEF=4：25, 4△DEF=800 0416 10：5=2：1 2：1 0417 2Û`：1Û`=288：(삼각기둥 B의 겉넓이) 4_(삼각기둥 B의 겉넓이)=288 ∴ (삼각기둥 B의 겉넓이)=72(cmÛ`) 72`cmÛ` 0418 2Ü`：1Ü`=(삼각기둥 A의 부피)：30 ∴ (삼각기둥 A의 부피)=8_30=240(cmÜ`) 240`cmÜ` ∴ x=6 ∴ △DEF=200(cmÛ`) 200`cmÛ` ∠BAC=∠ADC=90ù, ∠C는 공통 ∴ △ABC»△DAC (AA 닮음) △DBA, △DAC 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 37 2018-12-13 오후 6:47:09 28`cm 배점 40 % 40 % 20 % 20 ② 0428 ADÓ Û`=DBÓ_DCÓ이므로 12Û`=x_9 ∴ x=16 0429 BCÓ Û`=CDÓ_CAÓ이므로 6Û`=4_(4+x) 36=16+4x, 4x=20 ∴ x=5 0436 12：DEÓ=3：2이므로 3 DEÓ=24 ∴ DEÓ=8(cm)` 15：EFÓ=3：2이므로 3 EFÓ=30 ∴ EFÓ=10(cm) ∴ (△DEF의 둘레의 길이) =8+10+10 =28(cm) 16 5 단계 DEÓ의 길이 구하기 EFÓ의 길이 구하기 채점 요소 본문 p.70 ~ 75 △DEF의 둘레의 길이 구하기 0430 ADÓ의 대응변은 EHÓ이고, ∠B의 대응각은 ∠F이다. EHÓ, ∠F 0437 FGÓ：F'G'Ó=7：14=1：2이므로 닮음비는 1：2이다. x：16=1：2이므로 2x=16 0431 EHÓ, 면 BCD ∴ x=8 6：y=1：2이므로 y=12 ∴ x+y=8+12=20 0432 모든 구, 면의 개수가 같은 모든 정다면체는 항상 닮은 도형이다. 따라서 항상 닮은 도형은 ㄴ, ㄹ, ㅂ, ㅅ이다. ㄴ, ㄹ, ㅂ, ㅅ 0438 BEÓ：B'E'Ó=6：9=2：3이므로 닮음비는 2：3(③)이 다. 0433 다음의 경우에는 닮은 도형이 아니다. ③ (cid:23)(cid:17)(cid:177) (cid:23)(cid:17)(cid:177) ④ (cid:21) (cid:19) (cid:18) (cid:19) ① E'F'Ó=B'C'Ó=15`cm이므로 EFÓ：15=2：3, 3EFÓ=30 ∴ EFÓ=10(cm) ② 8：A'C'Ó=2：3, 2A'C'Ó=24 ∴ A'C'Ó=12(cm) ④ ABÓ：12=2：3, 3ABÓ=24 ∴ ABÓ=8(cm) ③, ④ 0434 ABÓ：A'B'Ó=6：9=2：3이므로 ABCD와 A'B'C'D'의 닮음비는 2：3(⑤)이다. ① 4：`B'C'Ó=2：3이므로 2B'C'Ó=12 ∴ B'C'Ó=6(cm) ② ∠C'=∠C=95ù ③ ADÓ：A'D'Ó=2：3 ④ ∠B=∠B'=120ù이므로 ∠D=360ù-(75ù+120ù+95ù)=70ù ④ 0435 BCÓ에 대응하는 변은 DCÓ이고, DCÓ=BDÓ-BCÓ=6-4=2(cm)이므로 △ABC와 △EDC의 닮음비는 BCÓ：DCÓ=4：2=2：1 38 정답과 풀이 0439 두 정사면체 A와 B의 닮음비가 3：4이므로 정사면체 A의 한 모서리의 길이를 x`cm라 하면 x：12=3：4, 4x=36 ∴ x=9 따라서 정사면체 A의 한 모서리의 길이는 9`cm이고, 모서리는 6개이므로 모든 모서리의 길이의 합은 9_6=54(cm) 54`cm 0440 두 원기둥 A, B의 높이의 비가 12：9=4：3이므로 닮 음비는 4：3이다. 원기둥 A의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 r：3=4：3이므로 3r=12 ∴ r=4 따라서 원기둥 A의 밑면의 반지름의 길이는 4`cm이다. 2：1 4`cm 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 38 2018-12-13 오후 6:47:13 0441 두 원뿔 A, B의 모선의 길이의 비가 15：20=3：4이 므로 닮음비는 3：4이다. 0446 작은 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 큰 원의 반지 름의 길이는 2r`cm이다. 원뿔 A의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 두 원의 닮음비가 r：2r=1：2이므로 r：16=3：4이므로 4r=48 ∴ r=12 넓이의 비는 1Û`：2Û`=1：4이다. 따라서 작은 원과 색칠한 부분의 넓이의 비는 따라서 원뿔 A의 밑면의 둘레의 길이는 1：(4-1)=1：3 1：3 2p_12=24p(cm) 24p`cm 0442 처음 원뿔과 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생긴 작은 원뿔의 닮음비는 높이의 비와 같으므로 (4+6)：4=10：4=5：2 0447 지름의 길이가 15`cm인 팬케이크와 지름의 길이가 20`cm인 팬케이크의 닮음비는 15：20=3：4이므로 넓이의 비는 3Û`：4Û`=9：16이다. 지름의 길이가 20`cm인 팬케이크의 가격을 x원이라 하면 처음 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 r：2=5：2이므로 2r=10 ∴ r=5 1800：x=9：16 9x=28800 ∴ x=3200 따라서 처음 원뿔의 밑면의 반지름의 길이는 5`cm이다. 이다. 3200원 따라서 지름의 길이가 20`cm인 팬케이크 1장의 가격은 3200원 단계 채점 요소 닮음비 구하기 처음 원뿔의 밑면의 반지름의 길이 구하기 5`cm 배점 60 % 40 % 0443 (채워진 물의 높이)=15_ =10(cm) ;3@; 원뿔 모양의 그릇과 채워진 물의 닮음비는 높이의 비와 같으므로 15：10=3：2이다. 수면의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 9：r=3：2이므로 3r=18 ∴ r=6 따라서 구하는 수면의 넓이는 p_6Û`=36p(cmÛ`) 0448 ⑤ 밑넓이의 비는 2Û`：3Û`=4：9이다. ⑤ 0449 두 직육면체 A, B의 겉넓이의 비가 144：256=9：16=3Û`：4Û`이므로 닮음비는 3：4이다. 따라서 부피의 비는 3Ü`：4Ü`=27：64이므로 108：(직육면체 B의 부피)=27：64 ∴ (직육면체 B의 부피)=256(cmÜ`) 256`cmÜ` 0450 큰 쇠구슬과 작은 쇠구슬의 닮음비는 반지름의 길이에서 8：1이므로 부피의 비는 8Ü`：1Ü`=512：1 36p`cmÛ` 따라서 작은 쇠구슬을 512개까지 만들 수 있다. 512개 0444 △ABC와 △ADE의 닮음비는 4：10=2：5이므로 △ABC：△ADE=2Û`：5Û`=4：25 0451 채워진 물과 그릇의 높이의 비가 1：3이므로 부피의 비는 1Ü`：3Ü`=1：27 이때 △ABC의 넓이가 12`cmÛ`이므로 12：△ADE=4：25, 4△ADE=300 더 부어야 하는 물의 양을 x`L라 하면 4：x=1：(27-1) ∴ △ADE=75(cmÛ`) 75`cmÛ` ∴ x=104 0445 두 정사각형 ABCD, EBFG의 넓이의 비가 16：9=4Û`：3Û` 이므로 닮음비는 4：3이다. 즉, BCÓ：BFÓ=4：3이므로 BCÓ：6=4：3, 3BCÓ=24 ∴ BCÓ=8(cm) ∴ (ABCD의 둘레의 길이)=4_8=32(cm) 32`cm 따라서 더 부어야 하는 물의 양은 104`L이다. 104`L 0452 △ABC의 두 내각의 크기가 40ù, 80ù이므로 나머지 한 내각의 크기는 60ù이다. (cid:20) (cid:34) (cid:25)(cid:17)(cid:177) (cid:19) ① AA 닮음 ③ 2：3=3：4.5=4：6이므로 SSS 닮음 (cid:21)(cid:17)(cid:177) (cid:23)(cid:17)(cid:177) (cid:36) (cid:35) (cid:21) ④ 3：6=2：4이고 그 끼인각의 크기가 80ù이므로 SAS 닮음 ②, ⑤ 05. 도형의 닮음 39 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 39 2018-12-13 오후 6:47:14 0453 ㄱ. AA 닮음 ㄴ. 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같 0460 △ABC와 △DBA에서 ABÓ：DBÓ=BCÓ：BAÓ=3：2, ∠B는 공통 은 두 삼각형은 서로 닮음이다. 그런데 끼인각이 아닌 한 각 ∴ △ABC»△DBA (SAS 닮음) 의 크기가 같은 두 삼각형은 서로 닮음이 아닐 수도 있다. ACÓ：DAÓ=3：2이므로 ㄷ. SSS 닮음 15：ADÓ=3：2 ㄹ. 두 쌍의 대응각의 크기의 비가 아니라 두 쌍의 대응각의 크기 3 ADÓ=30 가 각각 같은 두 삼각형이 서로 닮음이다. ㄱ, ㄷ ∴ ADÓ=10(cm) 10`cm 0454 △ABC와 △EFD에서 ∠A=∠E ∠C=180ù-(70ù+60ù)=50ù이므로 ∠C=∠D ∴ △ABC»△EFD (AA 닮음) 따라서 두 삼각형의 닮음비는 c：d=a：e=b：f 0455 ① AA 닮음 ② AA 닮음 ③ SSS 닮음 ⑤ SAS 닮음 0456 ④ △ABC에서 ∠A=70ù이면 ∠C=180ù-(50ù+70ù)=60ù △DEF에서 ∠D=50ù이면 ∠F=180ù-(60ù+50ù)=70ù 따라서 ∠A=∠F, ∠B=∠D이므로 △ABC»△FDE (AA 닮음) ④ 0457 △ABC와 △AED에서 ABÓ：AEÓ=ACÓ：ADÓ=2：1, ∠A는 공통 ∴ △ABC»△AED (SAS 닮음) BCÓ：EDÓ=2：1이므로 BCÓ：6=2：1 ∴ BCÓ=12(cm) ② 0461 △ABC와 △EBD에서` ∠C=∠BDE, ∠B는 공통 ∴ △ABC»△EBD (AA 닮음) ⑤ ABÓ：EBÓ=BCÓ：BDÓ이므로 10：4=(4+ECÓ)：5 4(4+ECÓ)=50 ④ 4 ECÓ=34 ∴ ECÓ= (cm) :Á2¦: :Á2¦: `cm 0462 △ABC와 △FBD에서 ∠A=∠F, ∠B는 공통 ∴ △ABC»△FBD (AA 닮음) ABÓ：FBÓ=BCÓ：BDÓ이므로 ABÓ：24=10：12 12ABÓ=240 ∴ ABÓ=20(cm) ∴ ADÓ =ABÓ-DBÓ =20-12=8(cm) 8`cm 0458 △ACE와 △BDE에서 AEÓ：BEÓ=CEÓ：DEÓ=1：4, ∠AEC=∠BED (맞꼭지각) ∴ △ACE»△BDE (SAS 닮음) ACÓ：BDÓ=1：4이므로 0463 ⑴ △ABC와 △ACD에서 ∠B=∠ACD, ∠A는 공통 ∴ △ABC»△ACD (AA 닮음) ABÓ：ACÓ=ACÓ：ADÓ이므로` x：8=1：4 4x=8 ∴ x=2 0459 △ABC와 △CBD에서` ABÓ：CBÓ=BCÓ：BDÓ=3：2, ∠B는 공통 ∴ △ABC»△CBD (SAS 닮음) ACÓ：CDÓ=3：2이므로 24：CDÓ=3：2 3 CDÓ=48 ∴ CDÓ=16(cm) 40 정답과 풀이 6：4=4：x 6x=16 2 ∴ x= ;3*; ⑵ △ABC와 △CBD에서 ∠A=∠BCD, ∠B는 공통 ∴ △ABC»△CBD (AA 닮음) ABÓ：CBÓ=ACÓ：CDÓ이므로 x：6=8：4 4x=48 ∴ x=12 16`cm ⑴ ⑵ 12 ;3*; 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 40 2018-12-13 오후 6:47:15 0464 △ABC와 △EDA에서 ADÓBCÓ이므로 ∠ACB=∠EAD (엇각) ABÓDEÓ이므로 ∠BAC=∠DEA (엇각) ∴ △ABC»△EDA (AA 닮음) 0468 △ABC와 △ADF에서 ∠ACB=∠AFD=90ù, ∠A는 공통 ∴ △ABC »△ADF (AA 닮음) 이때 정사각형 DECF의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 ACÓ：AFÓ=BCÓ：DFÓ에서 ACÓ：EAÓ=BCÓ：DAÓ이므로` 10：(10-x)=15：x, 15(10-x)=10x 25x=150 ∴ x=6 ∴ DECF=6_6=36(cmÛ`) 36`cmÛ` 8：(8-2)=BCÓ：6 6 BCÓ=48 ∴ BCÓ=8(cm) 단계 △ABC»△EDA임을 알기 BCÓ의 길이 구하기 채점 요소 0465 △ABD와 △CBE에서 ∠ADB=∠CEB=90ù, ∠B는 공통 ∴ △ABD»△CBE (AA 닮음) ABÓ：CBÓ=BDÓ：BEÓ이므로` 10：15=BDÓ：6, 15 BDÓ=60 ∴ BDÓ=4(cm) ∴ CDÓ =BCÓ-BDÓ =15-4=11(cm) 8`cm 배점 60 % 40 % 0469 AHÓ Û`=HBÓ_HCÓ이므로 12Û`=16_x ∴ x=9 ACÓ Û`=CHÓ_CBÓ이므로 yÛ`=9_(9+16)=225 ∴ y=15 ∴ x+y=9+15=24 0470 ① AA 닮음 ② AA 닮음 ⑤ ACÓ Û`=CHÓ_CBÓ` 0471 직각삼각형 ABD에서 ADÓ Û`=DHÓ_DBÓ이므로` 10Û`=8(8+BHÓ), 8BHÓ=36 ∴ BHÓ= (cm) ;2(; 11`cm AHÓ Û`=HBÓ_HDÓ= _8=36이므로 ;2(; AHÓ=6(cm) 6`cm 0466 Ú △ABD와 △ACE에서 ∠ADB=∠AEC=90ù, ∠A는 공통 ∴ △ABD »△ACE (AA 닮음) Û △ABD와 △FBE에서 ∠ADB=∠FEB=90ù, ∠ABD는 공통 ∴ △ABD »△FBE (AA 닮음) Ü △FBE와 △FCD에서 ∠FEB=∠FDC=90ù, ∠EFB=∠DFC (맞꼭지각) ∴ △FBE »△FCD (AA 닮음) Ú ~ Ü에서 △ABD»△ACE»△FBE»△FCD 따라서 닮음이 아닌 삼각형은 ④이다. ④ 0467 △ADB와 △BEC에서 ∠D=∠E=90ù ∠ABD+∠CBE=90ù, ∠BCE+∠CBE=90ù이므로 ∠ABD=∠BCE ……`㉡ ㉠, ㉡에서 △ADB »△BEC (AA 닮음) ADÓ：BEÓ=BDÓ：CEÓ이므로` 6：9=BDÓ：12 9 BDÓ=72 ∴ BDÓ=8(cm) 0472 ADÓ Û`=DBÓ_DCÓ이므로 ADÓ Û`=2_8=16 ∴ ADÓ=4(cm) 점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로 AMÓ=BMÓ=CMÓ= `BCÓ= _10=5(cm) ;2!; ;2!; ∴ DMÓ=BMÓ-BDÓ=5-2=3(cm) △ADM에서 ∠ADM=90ù이므로 ADÓ_DMÓ=AMÓ_DEÓ 4_3=5_DEÓ ……`㉠ ∴ DEÓ= (cm) :Á5ª: 단계 채점 요소 ADÓ의 길이 구하기 DMÓ의 길이 구하기 DEÓ의 길이 구하기 8`cm :Á5ª: `cm 배점 30 % 40 % 30 % 05. 도형의 닮음 41 24 ⑤ 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 41 2018-12-13 오후 6:47:16 :£4°: `cm 배점 30 % 30 % 30 % 10 % \ 0473 △AFD와 △EFB에서 ∠DAF=∠BEF (엇각), ∠ADF=∠EBF (엇각) 본문 p.76 0478 △BFD와 △CEF에서` ∠B=∠C=60ù ∠BFD+∠BDF=120ù, ∠BFD+∠CFE=120ù이므로 ∠BDF=∠CFE ㉠, ㉡에 의해 △BFD»△CEF (AA 닮음) ……`㉠ ……`㉡ 즉, ABÓ=7+8=15(cm)이므로 정삼각형 ABC의 한 변의 길 ∴ CEÓ=BCÓ-BEÓ=12-8=4(cm) 4`cm ∴ △AFD»△EFB (AA 닮음) ADÓ：EBÓ=DFÓ：BFÓ이므로` 12：EBÓ=6：4, 6 EBÓ=48 ∴ EBÓ=8(cm) 또 ABCD는 평행사변형이므로 BCÓ=ADÓ=12`cm 0474 △ABE와 △ADF에서 ∠AEB=∠AFD=90ù ABCD는 평행사변형이므로 ∠B=∠D ∴ △ABE»△ADF (AA 닮음) BEÓ：DFÓ=AEÓ：AFÓ이므로` 6：DFÓ=9：15, 9 DFÓ=90 ∴ DFÓ=10(cm) ∴ △AFD= _10_15=75(cmÛ`) 75`cmÛ` ;2!; 0475 △AMF와 △ADC에서 ∠AMF=∠D=90ù, ∠CAD는 공통 ∴ △AMF»△ADC (AA 닮음) AFÓ：ACÓ=AMÓ：ADÓ이고 ADÓ=BCÓ=16`cm이므로 AFÓ：(10+10)=10：16, 16 AFÓ=200 ∴ AFÓ= (cm) :ª2°: :ª2°: `cm 0476 ADÓ=ABÓ=12`cm이므로 DFÓ=ADÓ-AFÓ=12-9=3(cm) △ABF와 △DEF에서 ∴ △ABF»△DEF (AA 닮음) AFÓ：DFÓ=ABÓ：DEÓ이므로` 9：3=12：DEÓ, 9 DEÓ=36 ∴ DEÓ=4(cm) 4`cm 이때 BDÓ：CFÓ=FDÓ：EFÓ이므로` ADÓ=DFÓ=7`cm 이는 15`cm이다. ∴ CFÓ =BCÓ-BFÓ =15-5=10(cm) 8：10=7：EFÓ 8EFÓ Ó=70 ∴ EFÓ= (cm) :£4°: ∴ AEÓ=EFÓ= `cm :£4°: 채점 요소 △BFD»△CEF임을 알기 단계 CFÓ의 길이 구하기 EFÓ의 길이 구하기 AEÓ의 길이 구하기 0479 BDÓ가 접는 선이므로 ∠PBD=∠DBC (접은 각) ∠PDB=∠DBC (엇각)이므로 ∠PBD=∠PDB BQÓ =DQÓ= BDÓ 1 2 = _20 1 2 =10(cm) 또 △PQD와 △DCB에서 PQÓ：12=10：16 16 PQÓ=120 ∠ABF=∠DEF (엇각), ∠AFB=∠DFE (맞꼭지각) 따라서 △PBD는 이등변삼각형이므로 0477 △AEB'과 △DB'C에서 ` ∠A=∠D=90ù ∠AB'E+∠AEB'=90ù, ∠AB'E+∠DB'C=90ù이므로 ∠AEB'=∠DB'C ㉠, ㉡에 의해 △AEB'»△DB'C (AA 닮음) ……`㉠ ……`㉡ ∠PDQ=∠DBC, ∠PQD=∠C=90ù ∴ △PQD»△DCB (AA 닮음) PQÓ：DCÓ=DQÓ：BCÓ이므로` AB'Ó：DCÓ=AEÓ：DB'Ó이므로 3：9=4：B'DÓ, 3 B'DÓ=36 ∴ B'DÓ=12(cm) 42 정답과 풀이 ④ ∴ PQÓ= (cm) :Á2°: :Á2°: `cm 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 42 2018-12-13 오후 6:47:18 0480 ①, ③ 0481 ① ∠C=∠H=100ù ② ∠F=∠A=70ù 본문 p.77 ~ 79 0487 ① △ABC에서 ∠A=75ù이면 ∠C=180ù-(75ù+45ù)=60ù △DEF에서 ∠D=45ù이면 ∠F=180ù-(45ù+60ù)=75ù 따라서 ∠A=∠F, ∠C=∠E이므로 △ABC»△FDE (AA 닮음) ① ③, ④, ⑤ CDÓ：HIÓ=8：12=2：3이므로 오각형 ABCDE와 오각형 FGHIJ의 닮음비는 2：3이다. ABÓ：FGÓ=2：3에서 ABÓ：9=2：3 3ABÓ=18 ∴ ABÓ=6(cm) BCÓ：GHÓ=2：3에서 2：GHÓ=2：3 2GHÓ=6 ∴ GHÓ=3(cm) ③, ⑤ 0488 △ABC와 △EBD에서` ABÓ：EBÓ=BCÓ：BDÓ=3：1, ∠B는 공통 ∴ △ABC»△EBD (SAS 닮음) ACÓ：4=3：1이므로 ACÓ=12(cm) ∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+ACÓ =18+24+12 =54(cm) 54`cm 0482 A4 용지의 짧은 변의 길이를 a라 하면 A6 용지의 짧은 변의 길이는 a, A8 용지의 짧은 변의 길이는 a이다. 따라서 A4 용지와 A8 용지의 닮음비는 ;2!; ;4!; 0489 △ABC와 △DBA에서 ABÓ：DBÓ=BCÓ：BAÓ=3：2, ∠B는 공통 ∴ △ABC»△DBA (SAS 닮음) 8：ADÓ=3：2이므로 3 ADÓ=16 a： a=4：1 ;4!; 4：1 ∴ ADÓ= (cm) :Á3¤: :Á3¤: `cm 0483 세 원의 반지름의 길이의 비가 1：2：3이므로 넓이의 비는 1Û`：2Û`：3Û`=1：4：9 따라서 세 부분 A, B, C의 넓이의 비는 1：(4-1)：(9-4)=1：3：5 0490 △BED와 △BAC에서 ∠BDE=∠C, ∠B는 공통 ∴ △BED»△BAC (AA 닮음) ② EDÓ：ACÓ=BEÓ：BAÓ이므로 10：15=x：9, 15x=90 0484 32분 동안 채운 물과 그릇의 닮음비는 ：1=2：3이 2 3 ∴ x=6 므로 부피의 비는 2Ü`：3Ü`=8：27이다. 이때 물을 채우는 데 걸리는 시간과 채워지는 물의 양은 정비례하 므로 물을 가득 채울 때까지 더 걸리는 시간을 x분이라 하면 8：(27-8)=32：x, 8x=608 ∴ x=76 따라서 물을 가득 채울 때까지 76분이 더 걸린다. 76분 0485 높이의 비가 1：2：3인 세 원뿔의 닮음비는 1：2：3이 다. 세 원뿔의 부피의 비는 1Ü`：2Ü`：3Ü`=1：8：27 A, B, C의 부피의 비는 1：(8-1)：(27-8)=1：7：19 원뿔대 C의 부피를 x`cmÜ`라 하면 21：x=7：19 ∴ x=57 따라서 원뿔대 C의 부피는 57`cmÜ`이다. 57`cmÜ` 또 BDÓ：BCÓ=DEÓ：CAÓ이므로` 8：(6+y)=10：15, 10(6+y)=120 10y=60 ∴ y=6 ∴ 2x+y=2_6+6=18 18 0491 △ADC≡△ADE (RHA 합동)이므로 AEÓ=ACÓ=6`cm 또 △ABC와 △DBE에서 ∠C=∠BED=90ù, ∠B는 공통` ∴ △ABC»△DBE (AA 닮음) ABÓ：DBÓ=BCÓ：BEÓ이므로 10：5=(5+CDÓ)：4, 5(5+CDÓ)=40 0492 △ABC»△EDC (AA 닮음)이므로 ABÓ：EDÓ=BCÓ：DCÓ에서 ABÓ：1.6=18：1.2 ∴ ABÓ=24(m) 5 CDÓ=15 ∴ CDÓ=3(cm) 3`cm 05. 도형의 닮음 43 0486 ④ AA 닮음 ④ 따라서 나무의 높이는 24`m이다. 24`m 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 43 2018-12-13 오후 6:47:19 0493 △ABD와 △ACE에서 ∠ADB=∠AEC=90ù, ∠A는 공통 ∴ △ABD»△ACE (AA 닮음) ABÓ：ACÓ=ADÓ：AEÓ이고 ADÓ：DCÓ=3：1에서 ADÓ=8_ 3 4 10：8=6：(10-BEÓ) =6(cm)이므로 48=10(10-BEÓ) 10BEÓ=52 ∴ BEÓ= (cm) :ª5¤: 0494 AHÓ Û`=BHÓ_CHÓ에서 4Û`=BHÓ_2 ∴ BHÓ=8(cm) ∴ △ABH= _8_4=16(cmÛ`) ;2!; 0497 △ADE»△ABC (AA 닮음)이고 닮음비는 ADÓ：ABÓ=6：10=3：5 ∴ △ADE：△ABC=3Û`：5Û`=9：25 ∴ DBCE：△ABC =(25-9)：25 =16：25 이때 DBCE의 넓이가 32`cmÛ`이므로` 32：△ABC=16：25 ④ 16△ABC=800 ∴ △ABC=50(cmÛ`) 단계 채점 요소 △ADE와 △ABC의 닮음비 구하기 ⑤ △ADE와 △ABC의 넓이의 비 구하기 DBCE와 △ABC의 넓이의 비 구하기 △ABC의 넓이 구하기 0498 ACÓ Û`=CHÓ_CBÓ에서 5Û`=3_(3+y), 3y=16 ∴ y= :Á3¤: ABÓ Û`=BHÓ_BCÓ에서 xÛ`= _ :Á3¤: {:Á3¤: +3 = } {:ª3¼:} ` ∴ x= :ª3¼: 채점 요소 단계 y의 값 구하기 x의 값 구하기 x+y의 값 구하기 0496 두 원기둥 A, B의 높이의 비가 12：18=2：3이므로 닮음비는 2：3이다. 이때 원기둥 A의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 ∴ x+y= + :ª3¼: :Á3¤: =12 0495 ABCD는 평행사변형이므로 ADÓBCÓ이다. △APD와 △MPB에서 ∠DAP=∠BMP (엇각), ∠APD=∠MPB (맞꼭지각) ∴ △APD»△MPB (AA 닮음) DPÓ：BPÓ=ADÓ：MBÓ=2：1이므로` BPÓ = BDÓ 1 3 1 3 = _9=3(cm) 3`cm r：6=2：3 3r=12 ∴ r=4 따라서 원기둥 A의 밑면의 둘레의 길이는 2p_4=8p(cm) 단계 채점 요소 두 원기둥 A, B의 닮음비 구하기 원기둥 A의 밑면의 반지름의 길이 구하기 원기둥 A의 밑면의 둘레의 길이 구하기 44 정답과 풀이 8p`cm 배점 40 % 40 % 20 % 0499 △AOP와 △COQ에서 POÓ=QOÓ, ∠APO=∠CQO (엇각), ∠AOP=∠COQ=90ù ∴ △AOP≡△COQ (ASA 합동) ∴ COÓ=AOÓ=5`cm 50`cmÛ` 배점 30 % 30 % 20 % 20 % 12 배점 40 % 40 % 20 % 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 44 2018-12-13 오후 6:47:20 Û 한편 △ABC와 △POA에서 ∠DFE =∠CBF+∠BCF ∠ABC=∠POA=90ù, ∠ACB=∠PAO (엇각) =∠ACD+∠BCF=∠ACB ∴ △ABC»△POA (AA 닮음)` ∴ △DEF»△ABC (AA 닮음) ACÓ：PAÓ=BCÓ：OAÓ이므로 10：PAÓ=8：5, 8 PAÓ=50 ∴ PAÓ= (cm) :ª4°: 또 ABÓ：POÓ=BCÓ：OAÓ이므로 6：POÓ=8：5, 8POÓ=30 ∴ POÓ= (cm) :Á4°: 닮음비는 EFÓ：BCÓ=5：10=1：2이므로 DEÓ：6=1：2 ∴ DEÓ=3(cm) DFÓ：8=1：2 ∴ DFÓ=4(cm) ∴ (△DEF의 둘레의 길이) =DEÓ+EFÓ+FDÓ =3+5+4 =12(cm) 0502 △ABE와 △GED에서 ` ∠A=∠EGD=90ù ∴ (△AOP의 둘레의 길이) =AOÓ+OPÓ+PAÓ ∠ABE+∠AEB=90ù, ∠AEB+∠GED=90ù이므로 25 4 =5+ + :Á4°: =15(cm) ∠ABE=∠GED ㉠, ㉡에 의해 △ABE»△GED (AA 닮음) ABÓ：GEÓ=BEÓ：EDÓ이고 BEÓ=BCÓ=20`cm, EDÓ=20-12=8(cm)이므로 단계 채점 요소 COÓ의 길이 구하기 △ABC»△POA임을 알기 PAÓ, POÓ의 길이 구하기 △AOP의 둘레의 길이 구하기 15`cm 배점 20 % 20 % 40 % 20 % 16：EGÓ=20：8 20 EGÓ=128 ∴ EGÓ= (cm) :£5ª: ② ……`㉠ ……`㉡ :£5ª: `cm 0500 [1단계]에서 지워지는 정삼각형의 한 변의 길이는 처음 [2단계]에서 새로 지워지는 정삼각형의 한 변의 길이는 처음 정삼 1 정삼각형의 한 변의 길이의 2 이다. 각형의 한 변의 길이의 이다. 1 2Û` ⋮ 같은 방법으로 [n단계]에서 새로 지워지는 정삼각형의 한 변의 길 1 이는 처음 정삼각형의 한 변의 길이의 2Ç` (n은 자연수)이다. 따라서 [4단계]에서 새로 지워지는 정삼각형의 한 변의 길이는 처 음 정삼각형의 한 변의 길이의 1 2Ý` 는 정삼각형의 한 변의 길이는 처음 정삼각형의 한 변의 길이의 이고, [7단계]에서 새로 지워지 이므로 [4단계]에서 새로 지워지는 정삼각형과 [7단계]에서 새 1 2à` 로 지워지는 정삼각형의 닮음비는 1 2Ý` 1 2à` ： =2Ü`：1=8：1 8：1 0501 △DEF와 △ABC에서 ∠DEF =∠BAE+∠ABE =∠CBF+∠ABE=∠ABC 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 45 2018-12-13 오후 6:47:21 05. 도형의 닮음 45 06 평행선과 선분의 길이의 비 Ⅲ. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 0517 △ACD에서 3：(3+5)=GFÓ：6이므로 8 GFÓ=18 ∴ GFÓ= ;4(; 본문 p.81 0518 EFÓ=EGÓ+GFÓ= ;;ª4°;;+;4(;=;;Á2¦;; 0519 △ABE»△CDE (AA 닮음)이므로 BEÓ：DEÓ=ABÓ：CDÓ=6：12=1：2 ;;¤3¢;; ;4(; ;;Á2¦;; 1：2 0520 △ABE»△CDE (AA 닮음)이므로 AEÓ：CEÓ=ABÓ：CDÓ=6：12=1：2 ∴ CAÓ：CEÓ=(2+1)：2=3：2 3：2 0521 △BCD에서 BFÓ：FCÓ=BEÓ：EDÓ=1：2이므로 4：FCÓ=1：2 ∴ FCÓ=8 8 본문 p.82 ~ 86 0522 4：(4+2)=x：12이므로 6x=48 ∴ x=8 4：2=6：y이므로 4y=12 ∴ y=3 ∴ x+y=8+3=11 11 0523 ㈎ ∠ADE ㈏ ∠A ㈐ AA ㈑ BCÓ ;;¢3¼;; 0524 △FDA에서 ADÓBEÓ이므로 FBÓ：FAÓ=BEÓ：ADÓ에서 2：(2+4)=BEÓ：8, 6 BEÓ=16 15 ∴ BEÓ= (cm) ;3*; ∴ CEÓ=BCÓ-BEÓ=8- = ;3*; ;;Á3¤;; (cm) ;;Á3¤;; `cm 0525 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC 14 DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC 따라서 ∠DBI=∠DIB이므로 A I 9 15 E 6 10 D B C 24 _ 3 8 6 8 0503 6：(6+10)=8：x이므로 6x=128 ∴ x= ;;¤3¢;; 0504 x：8=12：(16-12)이므로 4x=96 ∴ x=24 0505 10：(16-10)+12：6이므로 BCÓDEÓ가 아니다. 0506 12：9=8：6이므로 BCÓDEÓ이다. 0507 6：8=x：4이므로 8x=24 ∴ x=3 0508 x：12=(10-6)：6이므로 6x=48 ∴ x=8 0509 10：x=15：(15-6)이므로 15x=90 ∴ x=6 0510 12：10=16：x이므로 12x=160 ∴ x= ;;¢3¼;; 0511 6：9=10：x이므로 6x=90 ∴ x=15 0512 12：x=9：6이므로 9x=72 ∴ x=8 0513 AGFD는 평행사변형이므로 GFÓ=ADÓ=14 0514 △ABH에서 9：(9+12)=EGÓ：(28-14)이므로 21EGÓ=126 ∴ EGÓ=6 6 0515 EFÓ=EGÓ+GFÓ=6+14=20 20 ∴ DEÓ=DIÓ+IEÓ=4+6=10 DIÓ=DBÓ=10-6=4 같은 방법으로 EIÓ=ECÓ=15-9=6 ADÓ：ABÓ=DEÓ：BCÓ이므로 6：10=10：BCÓ, 6 BCÓ=100 0516 △ABC에서 5：(5+3)=EGÓ：10이므로 8 EGÓ=50 ∴ EGÓ= ;;ª4°;; 46 정답과 풀이 ;;ª4°;; ∴ BCÓ= :°3¼: :°3¼: 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 46 2018-12-13 오후 6:47:23 0526 12：16=x：20이므로 16x=240 ∴ x=15 12：16=18：y이므로 12y=288 ∴ y=24 ∴ x+y=15+24=39 0527 AEÓBCÓ이므로 AEÓ：BCÓ=AFÓ：CFÓ에서 AEÓ：25=12：30, 30AEÓ=300 ∴ AEÓ=10 6：(3+12)=4：x, 6x=60 ∴ x=10 0528 ABÓCDÓ이므로 ABÓ：CDÓ=BGÓ：CGÓ에서 또 GCÓEFÓ이므로 DFÓ：DCÓ=EFÓ：GCÓ에서 0532 DCÓFEÓ이므로 AEÓ：ECÓ=AFÓ：FDÓ=9：3=3：1 또 BCÓDEÓ이므로 ADÓ：DBÓ=AEÓ：ECÓ=3：1에서 39 12：DBÓ=3：1, 3DBÓ=12 ∴ DBÓ=4(cm) 4`cm 0533 BCÓEFÓ이므로 AFÓ：FCÓ=AEÓ：EBÓ=5：3 10 ECÓDFÓ이므로 AFÓ：FCÓ=ADÓ：DEÓ에서 5：3=(5-DEÓ)：DEÓ 5 DEÓ=3(5-DEÓ), 8 DEÓ=15 ∴ DEÓ= (cm) :Á8°: 12：(12+3)=y：10, 15y=120 ∴ y=8 ∴ x-y=10-8=2 2 0534 ③ ABÓ：ADÓ=ACÓ：AEÓ=4：3이므로 BCÓDEÓ이다. ⑤ ABÓ：ADÓ=ACÓ：AEÓ=3：1이므로 BCÓDEÓ이다. :Á8°: `cm ③, ⑤ DEÓ 0529 APÓ：FPÓ=2：3이므로 2：3=4：x, 2x=12 ∴ x=6 APÓ：CPÓ=2：5이므로 2：5=4：y, 2y=20 ∴ y=10 ∴ x+y=6+10=16 채점 요소 단계 x의 값 구하기 y의 값 구하기 x+y의 값 구하기 0530 12：(12+x)=3：5이므로 3(12+x)=60, 3x=24 ∴ x=8 5：3=y：6이므로 3y=30 ∴ y=10 ∴ x+y=8+10=18 0531 (9-FEÓ)：4=FEÓ：8이므로 4 FEÓ=8(9-FEÓ) 12FEÓ=72 ∴ FEÓ=6(cm) 0535 BDÓ：DAÓ=BEÓ：ECÓ=1：1이므로 ACÓDEÓ 0536 ①, ④ CEÓ：CAÓ+CDÓ：CBÓ ②, ⑤ AFÓ：ABÓ=AEÓ：ACÓ=1：2이므로 BCÓFEÓ △AFE와 △ABC에서 ∠A는 공통, ∠AFE=∠B (동위각) 이므로 △AFE»△ABC (AA 닮음) ③ BDÓ：BCÓ+BFÓ：BAÓ ②, ⑤ 0537 10：6=BDÓ：(8-BDÓ)이므로` 6 BDÓ=10(8-BDÓ), 16 BDÓ=80 ∴ BDÓ=5(cm) 5`cm 0538 ㈎ ∠AEC ㈏ ∠ACE ㈐ ∠ACE ㈑ 이등변 ㈒ ACÓ ㈓ DCÓ 0539 BDÓ：CDÓ=ABÓ：ACÓ=9：6=3：2이므로 24：△ADC=3：2 3△ADC=48 ∴ △ADC=16(cmÛ`) 16`cmÛ` 16 배점 40 % 40 % 20 % 18 0540 ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로 ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ에서 16：10=x：5, 10x=80 ∴ x=8 6`cm 06. 평행선과 선분의 길이의 비 47 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 47 2018-12-13 오후 6:47:24 16：y=8：5, 8y=80 ∴ y=10 ∴ BCÓ：BDÓ=1：4 0547 ADÓ가 ∠A의 외각의 이등분선이므로 BDÓ：CDÓ=ABÓ：ACÓ=4：3 또 ADÓ`ECÓ이므로 BAÓ：AEÓ=BDÓ：DCÓ에서 ∴ x+y=8+10=18 18 배점 40 % 40 % 20 % 따라서 △ABC：△ABD=1：4이므로 4：△ABD=1：4 ∴ △ABD=16(cmÛ`) 0548 ACÓ：ABÓ=CDÓ：BDÓ이므로` ACÓ：14=(18+9)：18, 18ACÓ=378 ∴ ACÓ=21(cm) ADÓEBÓ이므로 ACÓ：ECÓ=DCÓ：BCÓ에서 21：ECÓ=(18+9)：9, 27ECÓ=189 ∴ ECÓ=7(cm) ∴ BEÓ= (cm) ;;£7ª;; ;;£7ª;; `cm 0542 △ABD：△ADC =BDÓ：CDÓ=ABÓ：ACÓ =20：16=5：4 이므로 △ABD= △ABC= _162=90(cmÛ`) 5 5+4 ;9%; 이때 _20_DEÓ=90이므로 DEÓ=9(cm) ② ;2!; 단계 ACÓ의 길이 구하기 ECÓ의 길이 구하기 채점 요소 0549 ABÓ：ACÓ=BPÓ：CPÓ이므로` 8：6=4：CPÓ, 8 CPÓ=24 ∴ CPÓ=3(cm) 또 ABÓ：ACÓ=BQÓ：CQÓ이므로 채점 요소 단계 x의 값 구하기 y의 값 구하기 x+y의 값 구하기 0541 ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ에서` ABÓ：6=4：3, 3 ABÓ=24 ∴ ABÓ=8(cm) ACÓEDÓ이므로 BEÓ：BAÓ=BDÓ：BCÓ에서 BEÓ：8=4：(4+3), 7 BEÓ=32 0543 BEÓ는 ∠ABC의 이등분선이므로 BAÓ：BCÓ=AEÓ：CEÓ에서 BAÓ：20=6：10, 10 BAÓ=120 ∴ BAÓ=12(cm) CDÓ는 ∠ACB의 이등분선이므로 CAÓ：CBÓ=ADÓ：BDÓ에서 (10+6)：20=ADÓ：(12-ADÓ) 20ADÓ=16(12-ADÓ), 36ADÓ=192 ∴ ADÓ= (cm) 16 3 0544 4：3=(2+CDÓ)：CDÓ이므로` 4 CDÓ=3(2+CDÓ) ∴ CDÓ=6(cm) 0545 ACÓ：ABÓ=CDÓ：BDÓ이므로 ACÓ：8=(10+5)：10, 10 ACÓ=120 ∴ ACÓ=12(cm) 8：6=(7+CQÓ)：CQÓ, 8 CQÓ=6(7+CQÓ) 2 CQÓ=42 ∴ CQÓ=21(cm) 21`cm 0550 오른쪽 그림과 같이 BAÓ의 연장선 위에 점 E를 잡으면 ∠EAC=180ù-(40ù+70ù)=70ù 즉, ∠EAC=∠DAC이므로 ACÓ는 △ABD에서 ∠A의 외각의 이등분선이다. E A 70ù 40ù 9`cm D B C ;;Á3¤;; `cm ABÓ：ADÓ=BCÓ：DCÓ에서 ABÓ：9=(2+3)：3, 3 ABÓ=45 ∴ ABÓ=15(cm) 6`cm 0551 (x-4)：4=9：6이므로 6(x-4)=36, 6x=60 ∴ x=10 12`cm 0552 12：18=10：x이므로 12x=180 ∴ x=15 16`cmÛ` 7`cm 배점 50 % 50 % 15`cm ② 9 0546 ㈎ ∠AFC ㈏ ∠ACF ㈐ ∠ACF 12：18=y：9이므로 18y=108 ∴ y=6 ㈑ ACÓ ㈒ CDÓ ∴ x-y=15-6=9 48 정답과 풀이 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 48 2018-12-13 오후 6:47:26 4`cm 배점 40 % 40 % 20 % 본문 p.87 0553 6：9=x：6이므로 9x=36 ∴ x=4 y：9=5：6이므로 6y=45 ∴ y=7.5 ∴ x+y=4+7.5=11.5 0554 a：12=20：10이므로 10a=240 ∴ a=24 9：24=b：20이므로 24b=180 ∴ b= 15 2 ：10= ：c이므로 27 2 15 2 15 2 c=135 ∴ c=18 0558 △DBC에서 DFÓ：DCÓ=PFÓ：BCÓ이므로 4：(4+2)=PFÓ：9, 6 PFÓ=36 ∴ PFÓ=6(cm) ② 또 △ACD에서 CFÓ：CDÓ=QFÓ：ADÓ이므로 2：(2+4)=QFÓ：6, 6 QFÓ=12 ∴ QFÓ=2(cm) ∴ PQÓ=PFÓ-QFÓ=6-2=4(cm) 채점 요소 단계 PFÓ의 길이 구하기 QFÓ의 길이 구하기 PQÓ의 길이 구하기 ∴ a+2b-c=24+2_ -18=21 21 15 2 0555 오른쪽 그림과 같이 점 A를 지 나고 DCÓ에 평행한 직선과 EFÓ, BCÓ의 교 점을 각각 G, H라 하면 GFÓ=HCÓ=ADÓ=8`cm이므로 EGÓ=12-8=4(cm), BHÓ=17-8=9(cm) △ABH에서 x：(x+9)=4：9이므로 9x=4(x+9), 5x=36 A x cm E 8 cm D 12 cm F G 9 cm B H 17`cm C 0559 △AOD»△COB (AA 닮음)이므로` DOÓ：BOÓ=ADÓ：CBÓ=4：6=2：3 △ABD에서 BOÓ：BDÓ=EOÓ：ADÓ이므로 3：(3+2)=EOÓ：4, 5 EOÓ=12 △DBC에서 DOÓ：DBÓ=OFÓ：BCÓ이므로 2：(2+3)=OFÓ：6, 5 OFÓ=12 ∴ OFÓ= (cm) ;;Á5ª;; ∴ x= :£5¤: :£5¤: ∴ EOÓ= (cm) ;;Á5ª;; 0556 4：5=x：6이므로 5x=24 ∴ x= ;;ª5¢;; 오른쪽 그림과 같이 직선 p에 평행한 직 선 p'을 그으면 4：(4+5)=(y-4)：6이므로 9(y-4)=24, 9y=60 p' 4 5 l y-4 m n p 4 y 6 x 6 10 ∴ y= ;;ª3¼;; ∴ xy= _ =32 24 5 20 3 0557 △CDA에서 CFÓ：CDÓ=GFÓ：ADÓ이므로 4：(4+8)=x：12, 12x=48 ∴ x=4 △ABC에서 EGÓ：BCÓ=AGÓ：ACÓ=DFÓ：DCÓ이므로 ∴ EFÓ=EOÓ+OFÓ= ;;Á5ª;;+;;Á5ª;;=;;ª5¢;; (cm) ;;ª5¢;; `cm 0560 △AOD»△COB (AA 닮음)이므로 AOÓ：COÓ=ADÓ：CBÓ=a：b △ABC에서 AOÓ：ACÓ=EOÓ：BCÓ이므로 32 a：(a+b)=EOÓ：b, (a+b)EOÓ=ab ∴ EOÓ= ab a+b ④ 0561 △ABC에서 AOÓ：OCÓ=AEÓ：EBÓ=3：4 △AOD»△COB (AA 닮음)이므로 10：y=8：(8+4), 8y=120 ∴ y=15 ∴ x+y=4+15=19 ADÓ：CBÓ=AOÓ：COÓ에서 9：BCÓ=3：4, 3 BCÓ=36 19 ∴ BCÓ=12(cm) 12`cm 06. 평행선과 선분의 길이의 비 49 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 49 2018-12-13 오후 6:47:27 0562 AEÓ：ABÓ=EGÓ：BCÓ, DFÓ：DCÓ=GFÓ：BCÓ 이때 AEÓ：ABÓ=DFÓ：DCÓ이므로 EGÓ=GFÓ= EFÓ= _16=8(cm) ;2!; ;2!; △ABD에서 BEÓ：BAÓ=EGÓ：ADÓ=8：12=2：3이므로 AEÓ：ABÓ=1：3 따라서 △ABC에서 AEÓ：ABÓ=EGÓ：BCÓ이므로 1：3=8：BCÓ ∴ BCÓ=24(cm) 24`cm 채점 요소 단계 ABÓEHÓDCÓ임을 알기 BEÓ：DEÓ 구하기 EHÓ의 길이 구하기 △EBC의 넓이 구하기 배점 20 % 30 % 30 % 20 % 본문 p.88 ~ 89 0563 △ABE»△CDE (AA 닮음)이므로 BEÓ：DEÓ=ABÓ：CDÓ=8：12=2：3 △BCD에서 BEÓ：BDÓ=EFÓ：DCÓ이므로 2：(2+3)=EFÓ：12, 5 EFÓ=24 0567 6：(6-4)=9：x이므로 6x=18 ∴ x=3 4：6=8：y이므로 4y=48 ∴ y=12 ∴ EFÓ= (cm) ;;ª5¢;; ;;ª5¢;; `cm ∴ y-x=12-3=9 0564 △BCD에서 BFÓ：BCÓ=EFÓ：DCÓ=6：15=2：5 △ABC에서 EFÓ：ABÓ=CFÓ：CBÓ이므로 0568 △AFD에서 APÓ：PDÓ=AEÓ：EFÓ이므로 3：2=18：EFÓ, 3 EFÓ=36 ∴ EFÓ=12(cm) 6：ABÓ=3：5, 3 ABÓ=30 ∴ ABÓ=10(cm) 10`cm △BCE에서 BFÓ：FEÓ=BDÓ：DCÓ이므로 0565 △AEB»△DEC (AA 닮음)이므로 BEÓ：CEÓ=ABÓ：DCÓ=10：15=2：3 △BCD에서 BEÓ：BCÓ=BFÓ：BDÓ이므로 2：(2+3)=BFÓ：20, 5 BFÓ=40 ∴ BFÓ=8(cm) 0566 오른쪽 그림과 같이 점 E 에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 ∠ABC=∠EHC=∠DCB=90ù 이므로 ABÓEHÓDCÓ 6 cm A B E H 16 cm △ABE»△CDE (AA 닮음)이므로 BEÓ：DEÓ=ABÓ：CDÓ=6：10=3：5 △BCD에서 BEÓ：BDÓ=EHÓ：DCÓ이므로 3：(3+5)=EHÓ：10, 8EHÓ=30 ∴ EHÓ= (cm) ;;Á4°;; ∴ △EBC = _BCÓ_EHÓ 1 2 ;2!; = _16_ =30(cmÛ`) 15 4 50 정답과 풀이 BFÓ：12=2：3, 3 BFÓ=24 ∴ BFÓ=8(cm) 0569 4：8=5：ABÓ이므로 4 ABÓ=40 ∴ ABÓ=10(cm) 4：8=6：BCÓ이므로 4 BCÓ=48 ∴ BCÓ=12(cm) ∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ =10+12+8 =30(cm) 30`cm 0570 AEÓ：ACÓ =GEÓ：FCÓ=DGÓ：BFÓ=6：8=3：4 이므로 AEÓ：(AEÓ+3)=3：4 4AEÓ=3(AEÓ+3) ∴ AEÓ=9(cm) 0571 ① 16：4+15：5 ② 4：2+3：1 ③ 4：2+5：3 ④ 6：2=9：3이므로 BCÓDEÓ이다. ⑤ 4：15+3：9 8`cm D C 10 cm 0572 △ADC= _5_12=30(cmÛ`) ;2!; △ABD：△ADC=BDÓ：CDÓ=ABÓ：ACÓ=12：15=4：5 이므로 △ABD：30=4：5 30`cmÛ` 5△ABD=120 ∴ △ABD=24(cmÛ`) 24`cmÛ` 9 ③ ④ ④ 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 50 2018-12-13 오후 6:47:28 ;;£5¤;; `cm 배점 40 % 40 % 20 % 9`cm 배점 40 % 40 % 20 % 0573 ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로 ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ 또 AEÓ는 ∠A의 외각의 이등분선이므로 ABÓ：ACÓ=BEÓ：CEÓ ㉠, ㉡에 의해 BEÓ：CEÓ=BDÓ：CDÓ이므로 (12+CEÓ)：CEÓ=7：5, 7 CEÓ=5(12+CEÓ) yy ㉠ yy ㉡ 2 CEÓ=60 ∴ CEÓ=30(cm) 30`cm 0574 6：10=x：12이므로 10x=72 ∴ x= ;;£5¤;; 6：10=8：y이므로 6y=80 ∴ y= ;;¢3¼;; ∴ AFÓ=ADÓ_ 3 3+2 =12_ = ;5#; ;;£5¤;; (cm) 단계 채점 요소 AEÓ：ECÓ 구하기 AFÓ：FDÓ 구하기 AFÓ의 길이 구하기 ∴ xy= ;;£5¤;;_;;¢3¼;; =96 0575 오른쪽 그림에서 (6+a)：9=5：5이므로 96 0580 AEÓ=2EBÓ에서 AEÓ：EBÓ=2：1 △ABC에서 AEÓ：ABÓ=ENÓ：BCÓ이므로 2：3=ENÓ：24, 3ENÓ=48 ∴ ENÓ=16(cm) l m n a x 9 6 14 5 5 △ABD에서 BEÓ：BAÓ=EMÓ：ADÓ이므로 1：3=EMÓ：21, 3 EMÓ=21 ∴ EMÓ=7(cm)` 5(6+a)=45, 5a=15 ∴ a=3 x：14=6：(3+9)이므로 12x=84 ∴ x=7 7 0576 오른쪽 그림과 같이 점 A를 지 나고 DCÓ에 평행한 직선과 EFÓ, BCÓ의 4 cm D A 3 cm E B G F 7 cm C H 교점을 각각 G, H라 하면 GFÓ=HCÓ=ADÓ=4`cm이므로 EGÓ=7-4=3(cm) △ABH에서 AEÓ：EBÓ=3：2이므로 AEÓ：ABÓ=EGÓ：BHÓ에서 3：5=3：BHÓ ∴ BHÓ=5(cm) ∴ BCÓ=BHÓ+HCÓ=5+4=9(cm) ③ 0577 △AOD»△COB (AA 닮음)이므로` AOÓ：COÓ=ADÓ：CBÓ=12：24=1：2 △ABC에서 AOÓ：ACÓ=EOÓ：BCÓ이므로 1：3=EOÓ：24, 3 EOÓ=24 ∴ EOÓ=8(cm) 8`cm 0578 △ABE»△CDE (AA 닮음)이므로` AEÓ：CEÓ=ABÓ：CDÓ=15：30=1：2 △ABC에서 EFÓ：ABÓ=CEÓ：CAÓ이므로 x：15=2：3 3x=30 ∴ x=10` 또 CEÓ：EAÓ=CFÓ：FBÓ이므로 2：1=(33-y)：y 2y=33-y ∴ y=11 x=10, y=11 0579 DEÓBCÓ이므로 AEÓ：ECÓ=ADÓ：DBÓ=12：8=3：2 또 FEÓDCÓ이므로 AFÓ：FDÓ=AEÓ：ECÓ=3：2 ∴ MNÓ=ENÓ-EMÓ=16-7=9(cm) 채점 요소 단계 ENÓ의 길이 구하기 EMÓ의 길이 구하기 MNÓ의 길이 구하기 0581 △ABC»△BDC (AA 닮음)이므로 ABÓ：BDÓ=ACÓ：BCÓ=12：9=4：3 또 ACÓ：`BCÓ=BCÓ：DCÓ에서 12：9=9：DCÓ, 12DCÓ=81 ∴ DCÓ= (cm) ∴ ADÓ=12- :ª4¦: = :ª4¦: :ª4Á: (cm) 한편 BEÓ는 ∠ABD의 이등분선이므로 AEÓ：DEÓ=BAÓ：BDÓ=4：3 ∴ DEÓ= ADÓ= ;7#; _ ;7#; :ª4Á: = ;4(; (cm) ;4(; `cm A E G I B 48`cm K L 80`cm D F H J C 0582 오른쪽 그림과 같이 점 A를 지나고 CDÓ에 평행한 직선과 IJÓ, BCÓ의 교점을 각각 K, L이라 하면 KJÓ=LCÓ=ADÓ=48`cm ∴ BLÓ=80-48=32(cm) AIÓ：ABÓ=3：4이고 △ABL에서 IKÓBLÓ이므로 IKÓ：32=3：4, 4 IKÓ=96 ∴ IKÓ=24(cm) ∴ IJÓ=IKÓ+KJÓ=24+48=72(cm) 따라서 새로 만들 다리의 길이는 72`cm이다. 72`cm 06. 평행선과 선분의 길이의 비 51 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 51 2018-12-13 오후 7:23:04 07 삼각형의 무게중심 Ⅲ. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 0598 △GBD= ;6!; ;6!; △ABC= _18=3(cmÛ`) 3`cmÛ` 본문 p.91 0599 △AFG+△AGE = △ABC+ △ABC = △ABC= _18 =6(cmÛ`) 6`cmÛ` 1 6 ;3!; 1 3 2 3 ;6!; 1 3 ;3!; ;3@; = △ABC= _18 =12(cmÛ`) 12`cmÛ` 0584 BCÓ=2MNÓ=2_4=8 ∴ x=8 0600 △ABG+△AGC = △ABC+ △ABC 0583 MNÓBCÓ이므로 ∠ABC=∠AMN=80ù ∴ x=80 80 8 10 12 0585 ACÓ=2NCÓ=2_5=10 ∴ x=10 0586 BCÓ=2MNÓ=2_6=12 ∴ x=12 0587 △ABC에서 MQÓ= `BCÓ= _14=7(cm) ;2!; ;2!; 7`cm 본문 p.92 ~ 96 0588 △ACD에서 QNÓ= ADÓ= _8=4(cm) ;2!; ;2!; 0589 MNÓ=MQÓ+QNÓ=7+4=11(cm) 11`cm 0590 △ABD에서 MPÓ= ADÓ= _8=4(cm) ;2!; ;2!; ∴ PQÓ=MQÓ-MPÓ=7-4=3(cm) 3`cm 0591 △ABD= △ABC= _20=10(cmÛ`) ;2!; ;2!; 0592 △ABC=2△ADC=2_6=12(cmÛ`) 12`cmÛ` 4`cm 0601 BMÓ=MAÓ, BNÓ=NCÓ이므로 ACÓ=2MNÓ=2_8=16(cm) ∴ x=16 MNÓACÓ이므로 ∠BMN=∠A=70ù (동위각) △MBN에서 ∠BNM=180ù-(70ù+65ù)=45ù ∴ y=45 ∴ y-x=45-16=29 29 0602 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 △DBC에서 BCÓ=2 MNÓ=2_9=18(cm) 10`cmÛ` △ABC에서 PQÓ= BCÓ= _18=9(cm) ;2!; ;2!; ∴ PRÓ=PQÓ-RQÓ=9-5=4(cm) ⑤ 0593 6：x=2：1이므로 2x=6 ∴ x=3 8：y=2：1이므로 2y=8 ∴ y=4 x=3, y=4 EGÓ= `ABÓ, GFÓ= `DCÓ이므로 ;2!; ;2!; 0603 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 0594 x：3=2：1 ∴ x=6 y=2CEÓ=2_5=10 x=6, y=10 EGÓ+GFÓ= (ABÓ+DCÓ)= _18=9(cm) ;2!; ;2!; ∴ (△EGF의 둘레의 길이) =EGÓ+GFÓ+EFÓ 0595 x=ADÓ=4 y：9=2：3이므로 3y=18 ∴ y=6 x=4, y=6 0596 16：x=2：1이므로 2x=16 ∴ x=8 12：y=2：3이므로 2y=36 ∴ y=18 x=8, y=18 =9+7 =16(cm) 16`cm 0604 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 ANÓ=NCÓ이므로 NCÓ= `ACÓ= _16=8(cm) ∴ x=8 ;2!; ;2!; BCÓ=2MNÓ=2_5=10(cm) ∴ y=10 0597 △ABG= ;3!; ;3!; △ABC= _18=6(cmÛ`) 6`cmÛ` ∴ x+y=8+10=18 18 52 정답과 풀이 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 52 2018-12-13 오후 6:47:31 30`cmÛ` 배점 30 % 30 % 30 % 10 % 0605 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 0610 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 DFÓ= `BGÓ= _6=3 ∴ x=3 ;2!; ;2!; GCÓ=2 FEÓ=2_6=12 ∴ y=12 ∴ xy=3_12=36 36 EHÓ=FGÓ= `BDÓ= _16=8(cm) EFÓ=HGÓ= `ACÓ= _12=6(cm) ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ∴ (EFGH의 둘레의 길이) =EFÓ+FGÓ+GHÓ+HEÓ 0606 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 BCÓ=2DEÓ=2_18=36(cm) =6+8+6+8 =28(cm) 28`cm DBFE는 평행사변형이므로 BFÓ=DEÓ=18`cm ∴ FCÓ =BCÓ-BFÓ =36-18=18(cm) 채점 요소 단계 BCÓ의 길이 구하기 BFÓ의 길이 구하기 FCÓ의 길이 구하기 0611 마름모 ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 만든 PQRS는 직사각형이다. 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 PSÓ= `BDÓ= _12=6(cm) ;2!; ;2!; 18`cm PQÓ= `ACÓ= _10=5(cm)` ;2!; ;2!; ∴ PQRS =PSÓ_PQÓ =6_5=30(cmÛ`) 배점 40 % 40 % 20 % 0607 △ABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성 질에 의해 채점 요소 PQRS가 직사각형임을 알기 단계 PSÓ의 길이 구하기 PQÓ의 길이 구하기 PQRS의 넓이 구하기 MQÓ= `BCÓ= _10=5(cm) ;2!; ;2!; MPÓ= `ADÓ= _4=2(cm) ;2!; ;2!; MNÓ= `ABÓ= _14=7(cm), MNÓABÓ ;2!; ;2!; 따라서 PNÓDCÓ이므로 △BCD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 PNÓ= `DCÓ= _10=5(cm) ;2!; ;2!; ∴ MPÓ=MNÓ-PNÓ=7-5=2(cm) 2`cm 0612 ADÓMNÓBCÓ이므로 △ABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 0608 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해`` △ABD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 DEÓ= `ACÓ= _10=5(cm) ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; DFÓ= `BCÓ= _12=6(cm) ∴ `(△DEF의 둘레의 길이) =DEÓ+EFÓ+FDÓ EFÓ= `ABÓ= _6=3(cm) ∴ PQÓ=MQÓ-MPÓ=5-2=3(cm) 3`cm 0613 ADÓMNÓBCÓ이므로 △ABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 0609 (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ △ACD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 =5+3+6 =14(cm) 14`cm MEÓ= `BCÓ= _10=5(cm) ;2!; ;2!; =2(EFÓ+DFÓ+DEÓ) =2_(△DEF의 둘레의 길이) =2_9=18(cm) ∴ x=5 ;2!; ;2&; ∴ y= ENÓ= `ADÓ= (cm) ;2&; 18`cm ∴ x-y=5- = ;2#; ;2&; ;2#; 07. 삼각형의 무게중심 53 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 53 2018-12-13 오후 6:47:32 0614 ADÓMNÓBCÓ이므로 △ABD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 MPÓ= `ADÓ= _4=2(cm) ;2!; ;2!; ∴ MQÓ=MPÓ+PQÓ=2+3=5(cm) 따라서 △ABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성 질에 의해 BCÓ=2 MQÓ=2_5=10(cm) 10`cm 0615 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그어 MNÓ과 BDÓ의 교점을 P라 하자. ADÓMNÓBCÓ이므로 △ABD에서 삼각 3`cm A D P M N 5`cm 형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 B C 의해 MPÓ= ADÓ= (cm) ;2!; ;2#; ∴ PNÓ=MNÓ-MPÓ=5- = ;2#; ;2&; (cm) 0620 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 GDÓ= `ADÓ= _36=12(cm) ;3!; ;3!; 또 점 G'은 △GBC의 무게중심이므로 GG'Ó= `GDÓ= _12=8(cm) ;3@; ;3@; 8`cm 0621 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 GDÓ= AGÓ= _10=5(cm) ∴ x=5 ;2!; ;2!; BCÓ=2BDÓ=2_8=16(cm) ∴ y=16 ∴ x+y=5+16=21 21 0622 점 G'은 △GBC의 무게중심이므로 GDÓ=3G'DÓ=3_3=9(cm) 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 ADÓ=3GDÓ=3_9=27(cm) 27`cm 따라서 △DBC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성 0623 점 M은 △ABC의 외심이므로 질에 의해 BCÓ=2PNÓ=2_ =7(cm) ;2&; AMÓ=BMÓ=CMÓ= _18=9(cm) ;2!; 7`cm 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 CGÓ= `CMÓ= _9=6(cm) ;3@; ;3@; 6`cm 0616 △ABP = △ABM= _ △ABC = △ABC= _24 ;2!; ;2!; 1 4 0624 △BCE에서 BDÓ=DCÓ, BEÓDFÓ이므로 BEÓ=2DFÓ=2_9=18 =6(cmÛ`) 6`cmÛ` ∴ x=18 0617 △PBQ= △ABM= _ ;3!; ;2!; △ABC= △ABC이 1 6 므로 △ABC=6△PBQ=6_5=30(cmÛ`) 30`cmÛ` 0618 △ABD= △ABC= _30=15(cmÛ`) ;2!; ;2!; 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 BGÓ= `BEÓ= _18=12 ;3@; ;3@; ∴ y=12 ∴ x+y=18+12=30 0625 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 GDÓ= `AGÓ= _12=6(cm) ;2!; ;2!; ∴ ADÓ=12+6=18(cm) ④ △ADC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 5`cm EFÓ= `ADÓ= _18=9(cm) ;2!; ;2!; 9`cm 1 2 ;4!; 1 3 _24=12(cmÛ`)이므로 △ABD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 0626 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AGÓ= `ADÓ ;3@; EFÓ= ADÓ ;2!; 4`cmÛ` ∴ AGÓ：EFÓ= ADÓ： ADÓ=4：3 ;3@; ;2!; ③ 이때 △ABD의 넓이에서 _BDÓ_6=15 ;2!; ∴ BDÓ=5(cm) 0619 △ABM=△AMC이고 △PBM=△PMC이므로 △APC=△ABP=8`cmÛ` 이때 △AMC= ;2!; ;2!; △PMC =△AMC-△APC △ABC= =12-8=4(cmÛ`) 54 정답과 풀이 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 54 2018-12-13 오후 6:47:33 0627 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AGÓ=2GMÓ=2_3=6 ∴ x=6 0630 오른쪽 그림과 같이 BGÓ를 그으면 EBDG =△EBG+△GBD 또 BMÓ=MCÓ= _12=6이고 ;2!; △ADG»△ABM (AA 닮음)이므로 AGÓ：AMÓ=DGÓ：BMÓ에서 2：3=y：6, 3y=12 ∴ y=4 ∴ xy=6_4=24 ③ A E B G D C = △ABC+ △ABC = △ABC= _60 =20(cmÛ`) 20`cmÛ` 1 6 1 3 ;2!; ;3!; ;2!; ;6!; 1 3 ;2!; ;3!; ;2!; 0631 ⑴ △ABE= △ABC= _48=24(cmÛ`) ;2!; ;2!; △DBE= △ABE= _24=12(cmÛ`) △DBE에서 BEÓ：GEÓ=3：1이므로 △DGE= △DBE= _12=4(cmÛ`) ② ⑵ △ABD= △ABC= _48=24(cmÛ`) EFÓBCÓ이므로 AEÓ：EBÓ=AGÓ：GDÓ=2：1 ∴ △AED= △ABD= _24=16(cmÛ`) ;3@; 2 3 ⑴ 4`cmÛ` ⑵ 16`cmÛ` 0632 오른쪽 그림과 같이 AGÓ를 그으면 (색칠한 부분의 넓이) A =△ADG+△AGE = △ABG+ △AGC DB G E C = _ △ABC+ ;3!; _ ;2!; ;3!; △ABC = △ABC+ △ABC 1 2 1 2 1 6 1 3 ;2!; ;6!; 1 3 = △ABC= _18=6(cmÛ`) 6`cmÛ` 0633 △GG'C= △GDC이므로 ;3@; △GDC= △GG'C= _6=9(cmÛ`) ;2#; ;2#; 또 △GDC= △ADC이므로 ;3!; △ADC=3△GDC=3_9=27(cmÛ`) 그런데 △ADC= △ABC이므로 ;2!; △ABC=2△ADC=2_27=54(cmÛ`) 54`cmÛ` 배점 40 % 30 % 30 % 07. 삼각형의 무게중심 55 △ADC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 0628 △EFG»△BDG (AA 닮음)이므로 FGÓ：DGÓ=EGÓ：BGÓ=1：2 ADÓ= 이때 GDÓ= ;3!; FGÓ：3=1：2, 2FGÓ=3 ;3!; _9=3(cm)이므로 ∴ FGÓ= (cm) ;2#; 다른 풀이 AFÓ= ADÓ= (cm) ;2!; ;2(; 또 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AGÓ= ADÓ= _9=6(cm) ;3@; ;3@; ∴ FGÓ =AGÓ-AFÓ =6- = (cm) ;2#; 9 2 0629 BDÓ=DMÓ, MEÓ=ECÓ이므로 DEÓ =DMÓ+MEÓ= BMÓ+ MCÓ 1 2 ;2!; = (BMÓ+MCÓ)= BCÓ ;2!; = _12=6(cm) 1 2 1 2 △AGG'과 △ADE에서 AGÓ：ADÓ=AG'Ó：AEÓ=2：3, ∠A는 공통이므로 △AGG'»△ADE (SAS 닮음) 따라서 GG'Ó：DEÓ=AGÓ：ADÓ=2：3이므로 GG'Ó：6=2：3, 3 GG'Ó=12 ∴ GG'Ó=4(cm) 4`cm 배점 30 % 30 % 40 % 단계 채점 요소 단계 채점 요소 DEÓ의 길이 구하기 △AGG'»△ADE임을 알기 GG'Ó의 길이 구하기 △GDC의 넓이 구하기 △ADC의 넓이 구하기 △ABC의 넓이 구하기 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 55 2018-12-13 오후 6:47:34 0634 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그어 BDÓ와의 교점을 O라 하면 두 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이므로 (cid:34) (cid:50) (cid:48) (cid:49) (cid:37) (cid:47) (cid:35) (cid:46) (cid:36) (cid:18)(cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 같은 방법으로 점 Q는 △ACD의 무게중심이므로 OCNQ=8`cmÛ` ∴ (색칠한 부분의 넓이) =OPMC+OCNQ =8+8=16(cmÛ`) ⑴ 4`cmÛ` ⑵ 16`cmÛ` (cid:34) (cid:50) (cid:49) (cid:48) (cid:46) (cid:35) (cid:37) (cid:47) (cid:36) 참고 6`cm ⑴ △ABP =△APQ =△AQD = △ABD = ABCD 1 3 1 6 ⑵ OPMC=OCNQ= ABCD ;6!; ⑶ △PBM =△PMC=△QCN=△QND = 1 12 ABCD ⑷ △MCN= ABCD ;8!; ⑸ PMNQ= ABCD ;2°4; ACÓ를 그으면 두 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심 본문 p.97 BPÓ=2 POÓ, DQÓ=2 QOÓ 이때 BOÓ=DOÓ이므로 POÓ=QOÓ ∴ BPÓ=PQÓ=QDÓ ∴ PQÓ= `BDÓ= _18=6(cm) ;3!; ;3!; 참고 평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다. 0635 AOÓ=COÓ, BMÓ=CMÓ이므로 점 P는 △ABC의 무게 중심이다. ∴ BOÓ =3POÓ=3_2=6(cm) ∴ BDÓ=2BOÓ=2_6=12(cm) 12`cm 0636 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면 두 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 A 24`cm Q D N C P M B ∴ BDÓ=3PQÓ=3_24=72(cm) 따라서 △BCD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성 MNÓ= `BDÓ= _72=36(cm) ;2!; ;2!; 36`cm 무게중심이므로 BPÓ=PQÓ=QDÓ 질에 의해 다른 풀이 이므로 APÓ：AMÓ=AQÓ：ANÓ=2：3 ∴ △APQ»△AMN (SAS 닮음) 따라서 PQÓ：MNÓ=2：3이므로 24：MNÓ=2：3, 2 MNÓ=72 ∴ MNÓ=36(cm) 0637 ⑴ 점 P는 △ABC의 무게중심이므로 △APO = △ABC= ABCD= ABCD _ ;6!; ;2!; 1 12 = _48=4(cmÛ`) ⑵ 오른쪽 그림과 같이 PCÓ, QCÓ를 그으면 점 A P는 △ABC의 무게중심이므로 OPMC =△PMC+△PCO Q D N C P O M B = △ABC+ △ABC ;6!; = △ABC= _ ;3!; ;2!; ABCD = ABCD= _48=8(cmÛ`) 1 6 ;6!; 1 12 1 6 1 3 1 6 56 정답과 풀이 0638 △ABF에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성 질에 의해 DEÓ= `BFÓ= _12=6(cm) ;2!; ;2!; △DCE에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 GFÓ= `DEÓ= _6=3(cm) ;2!; ;2!; ② 0639 △DCE에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성 질에 의해 DEÓ=2GFÓ=2_6=12(cm) △ABF에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 BFÓ=2DEÓ=2_12=24(cm) ∴ BGÓ =BFÓ-GFÓ =24-6=18(cm) 18`cm 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 56 2018-12-13 오후 6:47:35 채점 요소 단계 DEÓ의 길이 구하기 BFÓ의 길이 구하기 BGÓ의 길이 구하기 배점 40 % 40 % 20 % 0644 오른쪽 그림과 같이 점 E를 지나고 BCÓ에 평행한 직선을 그어 ADÓ, ACÓ와 만나 A 는 점을 각각 G, H라 하자. △ABD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결 E G F H B D C 한 선분의 성질에 의해 AGÓ=GDÓ △EFG»△CFD (AA 닮음)이고 EGÓ=k (k>0)라 하면 BDÓ=2EGÓ=2k, DCÓ=3k이므로 GFÓ：DFÓ=EGÓ：CDÓ에서 GFÓ：DFÓ=k：3k=1：3 AGÓ：GFÓ：FDÓ =GDÓ：GFÓ：FDÓ =(GFÓ+FDÓ)：GFÓ：FDÓ =(1+3)：1：3 =4：1：3 ∴ AFÓ：FDÓ=(4+1)：3=5：3 5：3 0640 EPÓ=x`cm라 하면`` △AFD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 △BCE에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 FDÓ=2EPÓ=2x(cm) ECÓ=2FDÓ=4x(cm) ECÓ=EPÓ+PCÓ에서 4x=x+9이므로 3x=9 ∴ x=3 ∴ EPÓ=3`cm 3`cm (cid:40) (cid:38) (cid:35) (cid:39) (cid:36) (cid:19)(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 0641 오른쪽 그림과 같이 점 F를 지나고 BCÓ에 평행한 직선을 그어 ABÓ와 만나는 (cid:34) △GEFª△BED (ASA 합동)이므로 (cid:37) 점을 G라 하자. GFÓ=BDÓ △ABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의 해 BCÓ=2 GFÓ=2 BDÓ 이때 DCÓ=DBÓ+BCÓ=DBÓ+2 DBÓ=3 DBÓ이므로 3 DBÓ=24 ∴ DBÓ=8(cm) ③ 0645 ㈎ 2 ㈏ ▵AMN ㈐ BCÓ ㈑ 1：2 ㈒ `BCÓ ;2!; 본문 p.98 ~ 99 0642 오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나 고 BCÓ에 평행한 직선을 그어 ACÓ와 만나 는 점을 G라 하자. (cid:34) (cid:37) (cid:40) (cid:38) 0646 △ADG에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 △ABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연 (cid:35) (cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:36) (cid:39) EFÓ= `DGÓ= _8=4(cm) ;2!; ;2!; 결한 선분의 성질에 의해 △BCF에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 DGÓ= `BCÓ= _10=5(cm) ;2!; ;2!; 이때 △DEGª△FEC (ASA 합동)이므로 CFÓ=GDÓ=5`cm ③ BFÓ=2DGÓ=2_8=16(cm) ∴ BEÓ =BFÓ-EFÓ =16-4=12(cm) 12`cm △ABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연 (cid:35) 할 수 없다. (cid:34) (cid:37) (cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:40) (cid:38) (cid:36) (cid:39) 0647 ㄱ. BEÓ=ECÓ, BDÓ=DAÓ이므로 DEÓACÓ ㄴ. DEÓ= ACÓ, EFÓ= ABÓ ;2!; ;2!; 이때 ACÓ, ABÓ의 길이가 같은지 알 수 없으므로 DEÓ=EFÓ라 0643 오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나 고 BCÓ에 평행한 직선을 그어 ACÓ와 만나 는 점을 G라 하자. 이때 △DEGª△FEC (ASA 합동)이므로 결한 선분의 성질에 의해 AGÓ=GCÓ EGÓ=ECÓ 따라서 AEÓ=3ECÓ이므로 12=3ECÓ ∴ ECÓ=4(cm) ㄷ. CFÓ=FAÓ, CEÓ=EBÓ이므로 FEÓABÓ ∴ ∠DBE=∠FEC (동위각) ㄹ. △ABC와 △ADF에서 ABÓ：ADÓ=ACÓ：AFÓ=2：1, ∠A는 공통 이므로 △ABC»△ADF (SAS 닮음) 4`cm ㅁ. DFÓ：BCÓ=1：2 ㄱ, ㄷ, ㄹ 07. 삼각형의 무게중심 57 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 57 2018-12-13 오후 6:47:37 0648 PQÓ=SRÓ= `ACÓ= _10=5(cm) ;2!; PSÓ=QRÓ= `BDÓ= _10=5(cm) ;2!; ;2!; ;2!; ∴ (PQRS의 둘레의 길이) =PQÓ+QRÓ+RSÓ+SPÓ =5+5+5+5=20(cm) 20`cm 참고 직사각형의 두 대각선의 길이는 서로 같다. 0649 두 점 E, F는 각각 ABÓ, DCÓ의 중점이므로 ADÓEFÓBCÓ △ABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 EGÓ= `BCÓ= _6=3(cm) ;2!; ;2!; EGÓ=GHÓ=HFÓ=3`cm이므로 EHÓ=3+3=6(cm) 따라서 △ABD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성 질에 의해 ADÓ=2EHÓ=2_6=12(cm) ④ 0650 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 BGÓ：GEÓ=2：1에서 8：x=2：1, 2x=8 ∴ x=4 △ADF에서 GEÓDFÓ이므로 GEÓ：DFÓ=AGÓ：ADÓ=2：3에서 4：y=2：3, 2y=12 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 ∴ y=6 다른 풀이 ∴ y-x=6-4=2 BGÓ：GEÓ=2：1에서 8：x=2：1, 2x=8 ∴ x=4 DFÓ= BEÓ= _(8+4)=6 ;2!; ;2!; ∴ y=6 ∴ y-x=6-4=2 △BCE에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 = △ABC 1 3 = △ABC 1 3 1 3 1 18 ⑤ △GAB =△GAF+△GFB= △ABC+ △ABC 1 6 1 6 ;6!; ;6!; GDCE =△GDC+△GCE= △ABC+ △ABC ∴ △GAB=GDCE ③ 0652 △G'BD = △GBD= _ ;3!; ;6!; △ABC = △ABC= _72 ;1Á8; =4(cmÛ`) 4`cmÛ` 0653 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그어 ACÓ와의 교점을 O라 하면 ABCD는 평행사변형이므로 AOÓ=COÓ = ACÓ 1 2 1 2 = _30=15(cm) (cid:34) (cid:46) (cid:49) (cid:50)(cid:48) (cid:37) (cid:20)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:35) (cid:47) (cid:36) 두 점 P, Q는 각각 △ABD, △DBC의 무게중심이므로 POÓ= `AOÓ= _15=5(cm) ;3!; ;3!; ;3!; ;3!; QOÓ= `COÓ= _15=5(cm) ∴ PQÓ=POÓ+OQÓ=5+5=10(cm) 10`cm 0654 △ABF에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성 질에 의해 DEÓBFÓ, BFÓ=2DEÓ 2 또 △DCE에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 PFÓ= `DEÓ ;2!; 이때 BFÓ=2DEÓ에서 6+ `DEÓ=2DEÓ, DEÓ=6 ;2!; ;2#; ∴ DEÓ=4(cm) 4`cm 0655 오른쪽 그림과 같이 점 E를 지나 고 BDÓ에 평행한 직선을 그어 ACÓ와 만 (cid:34) 나는 점을 G라 하자. △EFGª△DFC (ASA 합동)이므로 GFÓ=CFÓ=8`cm (cid:38) (cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:40) (cid:39) (cid:36) (cid:35) (cid:37) △ABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의 0651 ③ AGÓ= ;3@; ADÓ, BGÓ= BEÓ, CGÓ= CFÓ ;3@; ;3@; 해 이때 ADÓ, BEÓ, CFÓ의 길이가 같은지 알 수 없으므로 AGÓ=GCÓ=GFÓ+FCÓ=8+8=16(cm) AGÓ=BGÓ=CGÓ라 할 수 없다. ∴ AFÓ=AGÓ+GFÓ=16+8=24(cm) ④ 58 정답과 풀이 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 58 2018-12-13 오후 6:47:38 18`cm ∠GFE= _(180ù-110ù)=35ù ;2!; 35ù △BCD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 yy ㉡ GFÓDCÓ, GFÓ= DCÓ ;2!; ∴ ∠BGF=∠BDC=100ù (동위각) 즉, ∠DGF=180ù-100ù=80ù이므로 ∠EGF =∠EGD+∠DGF =30ù+80ù=110ù EGÓ=GFÓ 따라서 △GFE는 이등변삼각형이므로 이때 등변사다리꼴 ABCD에서 ABÓ=DCÓ이므로 ㉠, ㉡에서 0659 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면 AMÓ=MBÓ, ANÓ=NDÓ이므로 점 E는 N A E D M B C △ABD의 무게중심이다. 따라서 DEÓ=2EMÓ이므로 △BDE =2△BEM =2_10=20(cmÛ`) ∴ △BCD =△ABD=3△BDE =3_20=60(cmÛ`) ∴ BCDE =△BDE+△BCD =20+60=80(cmÛ`) 80`cmÛ` 0656 점 G'은 △GBC의 무게중심이므로 GG'Ó：G'DÓ=2：1에서 4：G'DÓ=2：1, 2 G'DÓ=4 ∴ G'DÓ=2(cm) ∴ GDÓ=4+2=6(cm) 또 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 ADÓ：GDÓ=3：1에서 ADÓ：6=3：1 ∴ ADÓ=18(cm) 단계 채점 요소 GDÓ의 길이 구하기 ADÓ의 길이 구하기 0657 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 ADÓ：GDÓ=3：1 ∴ △EDG= △AED ;3!; △ABD에서 EGÓBDÓ이므로 AEÓ：ABÓ=AGÓ：ADÓ=2：3 ∴ △AED = △ABD 2 3 1 3 = _ ;3@; 1 2 △ABC = △ABC ㉠, ㉡에서 △EDG = _ △ABC ;3!; = △ABC = _54=6(cmÛ`) 1 3 1 9 1 9 단계 채점 요소 △EDG= △AED임을 알기 ;3!; ;3!; △AED= △ABC임을 알기 △EDG의 넓이 구하기 배점 50 % 50 % yy ㉠ yy ㉡ 6`cmÛ` 배점 30 % 40 % 30 % yy ㉠ 0658 △ABD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 ABÓEGÓ, EGÓ= ABÓ ;2!; ∴ ∠EGD=∠ABD=30ù (동위각) 07. 삼각형의 무게중심 59 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 59 2018-12-13 오후 6:47:39 08 피타고라스 정리 Ⅲ. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 0672 7Û`<4Û`+6Û` ∴ 예각삼각형 예각삼각형 0673 17Û`=8Û`+15Û` ∴ 직각삼각형 직각삼각형 본문 p.101, 103 0674 5Û`+6Û`=4Û`+xÛ` ∴ xÛ`=45 5 8 17 20 0675 8Û`+xÛ`=6Û`+9Û` ∴ xÛ`=53 0676 10Û`+8Û`=xÛ`+12Û` ∴ xÛ`=20 0677 6Û`+5Û`=7Û`+xÛ` ∴ xÛ`=12 0678 6Û`+8Û`=5Û`+xÛ` ∴ xÛ`=75 0679 3Û`+xÛ`=4Û`+5Û` ∴ xÛ`=32 0680 4Û`+8Û`=xÛ`+6Û` ∴ xÛ`=44 0681 xÛ`+3Û`=4Û`+2Û` ∴ xÛ`=11 45 53 20 12 75 32 44 11 x=12, y=15 0682 (색칠한 부분의 넓이) =26+13 =39(cmÛ`) 39`cmÛ` 0683 (색칠한 부분의 넓이) =24-8 =16(cmÛ`) 16`cmÛ` 0684 (색칠한 부분의 넓이) =23+12 =35(cmÛ`) 35`cmÛ` 0685 (색칠한 부분의 넓이) =△ABC = _6_4 1 2 =12(cmÛ`) 12`cmÛ` 0660 xÛ`=3Û`+4Û`=25 그런데 x>0이므로 x=5 0661 xÛ`+6Û`=10Û`, xÛ`=64 그런데 x>0이므로 x=8 0662 xÛ`=8Û`+15Û`=289 그런데 x>0이므로 x=17 0663 15Û`+xÛ`=25Û`, xÛ`=400 그런데 x>0이므로 x=20 0664 5Û`+xÛ`=13Û`, xÛ`=144 그런데 x>0이므로 x=12 yÛ`=9Û`+12Û`=225 그런데 y>0이므로 y=15 0665 xÛ`=18Û`+24Û`=900 그런데 x>0이므로 x=30 yÛ`=30Û`+40Û`=2500 그런데 y>0이므로 y=50 x=30, y=50 0666 ㈎ SAS ㈏ ▵LBF ㈐ BFML ㈑ LMGC ㈒ BCÓ Û`` 0667 ㄱ. 2Û`+3Û`+4Û` ㄴ. 4Û`+3Û`=5Û` (직각삼각형) ㄷ. 12Û`+5Û`=13Û` (직각삼각형) ㄹ. 8Û`+15Û`=17Û` (직각삼각형) ㅁ. 12Û`+9Û`+14Û` ㅂ. 15Û`+12Û`+20Û` ㄴ, ㄷ, ㄹ 0668 3Û`>2Û`+2Û` ∴ 둔각삼각형 둔각삼각형 본문 p.104 ~ 107 0669 15Û`=9Û`+12Û` ∴ 직각삼각형 직각삼각형 0670 9Û`<6Û`+8Û` ∴ 예각삼각형 예각삼각형 0686 직각삼각형 ABC의 넓이가 6`cmÛ`이므로 1 2 ABÓ Û`=4Û`+3Û`=25 _4_ACÓ=6 ∴ ACÓ=3(cm) 0671 6Û`>3Û`+4Û` ∴ 둔각삼각형 60 정답과 풀이 둔각삼각형 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=5(cm) 5`cm 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 60 2018-12-13 오후 6:47:40 0687 마름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분하므로 ACÓ⊥BDÓ, AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ 따라서 직각삼각형 ABO에서 AOÓ= _32=16(cm), BOÓ= _24=12(cm)이므로 ;2!; ;2!; ABÓ Û`=12Û`+16Û`=400 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=20(cm) 20`cm 0693 △ABC에서 BCÓ Û`=20Û`-12Û`=256 그런데 BCÓ>0이므로 BCÓ=16(cm) 삼각형의 각의 이등분선의 성질에 의하여 BDÓ：CDÓ=ABÓ：ACÓ=20：12=5：3 ∴ CDÓ= `BCÓ= _16=6(cm) ;8#; ;8#; 0688 넓이가 81`cmÛ`인 정사각형의 한 변의 길이는 9`cm이고, 넓이가 9`cmÛ`인 정사각형의 한 변의 길이는 3`cm이므로 xÛ`=(9+3)Û`+9Û`=225 그런데 x>0이므로 x=15 15 나는 점을 D라 하면 ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ ∴ △ADC= _6_12=36(cmÛ`) 36`cmÛ` ;2!; 참고 삼각형의 각의 이등분선의 성질 △ABC에서 ∠A의 이등분선이 BCÓ와 만 0689 △ABC에서 ABÓ Û`=8Û`+6Û`=100 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=10(cm) 0694 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하자. (cid:34) (cid:18)(cid:19)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:34) (cid:37) (cid:41) (cid:18)(cid:24)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:35) (cid:18)(cid:20)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:35) 이때 직각삼각형에서 빗변의 중점은 외심과 일치하므로 CDÓ=ADÓ=BDÓ= ABÓ= _10=5(cm) ;2!; ;2!; ∴ CGÓ= CDÓ= _5= (cm) ;3@; ;3@; 10 3 HCÓ=ADÓ=12`cm ∴ BHÓ =BCÓ-HCÓ =17-12=5(cm) △ABH에서 AHÓ Û`=13Û`-5Û`=144 그런데 AHÓ>0이므로 AHÓ=12(cm) :Á3¼: `cm ∴ ABCD= _(12+17)_12=174(cmÛ`) 174`cmÛ` ;2!; 채점 요소 단계 ABÓ의 길이 구하기 CDÓ의 길이 구하기 CGÓ의 길이 구하기 0690 △AHC에서 AHÓ Û`=20Û`-16Û`=144 그런데 AHÓ>0이므로 AHÓ=12(cm) △ABH에서 ABÓ Û`=5Û`+12Û`=169 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=13(cm) 0691 △ABD에서 ABÓ Û`=10Û`-6Û`=64 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=8(cm) △ABC에서 ACÓ Û`=(6+9)Û`+8Û`=289 그런데 ACÓ>0이므로 ACÓ=17(cm) 0692 △ABD에서 ADÓ Û`=26Û`-10Û`=576 그런데 ADÓ>0이므로 ADÓ=24 △ADC에서 CDÓ Û`=30Û`-24Û`=324 그런데 CDÓ>0이므로 CDÓ=18 따라서 △ADC의 둘레의 길이는 24+18+30=72 배점 40 % 30 % 30 % 13`cm 17`cm 0695 오른쪽 그림과 같이 대각선 AC를 그으면 (cid:37) (cid:18)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:36) (cid:34) (cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:35) (cid:19)(cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) △ABC에서 ACÓ Û`=24Û`+7Û`=625 △ACD에서 ADÓ Û`=625-15Û`=400 그런데 ADÓ>0이므로 ADÓ=20(cm) 따라서 ABCD의 둘레의 길이는 7+24+15+20=66(cm) 66`cm 0696 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하자. (cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:34) (cid:26)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:35) (cid:41) (cid:18)(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) HCÓ=ADÓ=9`cm ∴ BHÓ=15-9=6(cm) △ABH에서 AHÓ Û`=10Û`-6Û`=64 그런데 AHÓ>0이므로 AHÓ=8(cm) △DBC에서 DCÓ=AHÓ=8`cm이므로 BDÓ Û`=15Û`+8Û`=289 72 그런데 BDÓ>0이므로 BDÓ=17(cm) 17`cm 08. 피타고라스 정리 61 (cid:36) (cid:37) (cid:36) (cid:37) (cid:36) 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 61 2018-12-13 오후 6:47:41 0697 오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점 A, D에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 각 (cid:21)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:34) (cid:37) (cid:22)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:35) (cid:38) (cid:39) (cid:18)(cid:17)(cid:3)(cid:68)(cid:78) 각 E, F라 하자. EFÓ=ADÓ=4`cm ABCD가 등변사다리꼴이므로 BEÓ=FCÓ= _(10-4)=3(cm) ;2!; △ABE에서 AEÓ Û`=5Û`-3Û`=16 그런데 AEÓ>0이므로 AEÓ=4(cm) ∴ ABCD= _(4+10)_4=28(cmÛ`) ;2!; 채점 요소 단계 EFÓ의 길이 구하기 BEÓ의 길이 구하기 AEÓ의 길이 구하기 ABCD의 넓이 구하기 0698 AÕHÓ=14-8=6(cm) △AEH에서 EHÓ Û`=8Û`+6Û`=100 따라서 EFGH는 정사각형이므로 EFGH=EHÓ Û`=100(cmÛ`) 0699 AEÓ=CGÓ=8`cm이므로 △ABE에서 BEÓ Û`=17Û`-8Û`=225 그런데 BEÓ>0이므로 BEÓ=15(cm) BFÓ=CGÓ=8`cm이므로 EFÓ=15-8=7(cm) (cid:22)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:36) 배점 20 % 20 % 30 % 30 % 0701 오른쪽 그림과 같이 EAÓ, ECÓ를 그으면 (cid:38) (cid:37) (cid:42) (cid:34) △ABFª△EBC (SAS 합동)이므로 (cid:26)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:41) (cid:36) (cid:18)(cid:22)(cid:3)(cid:68)(cid:78) (cid:40) (cid:35) (cid:39) △ABF=△EBC 또 DCÓEBÓ이므로 △EBC=△EBA 이때 △ABC에서 ABÓ Û`=15Û`-9Û`=144 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=12(cm) ∴ △ABF =△EBA= ADEB 1 2 = _12_12=72(cmÛ`) 72`cmÛ` 0702 DCÓEBÓ이므로 △EBA=△EBC △ABFª△EBC (SAS`합동)이므로 △ABF=△EBC 28`cmÛ` BFÓAÕMÓ이므로 △ABF=△BFL ∴ △EBA=△EBC=△ABF=△BFL 따라서 넓이가 다른 것은 ② △BCH이다. ② 0703 BCÓ Û` =ABÓ Û`+ACÓ Û` =AFGB+ACDE =120+49=169 그런데 BCÓ>0이므로 BCÓ=13(cm) 13`cm 0704 △ABC에서 ABÓ Û`=12Û`-6Û`=108 100`cmÛ` ∴ △FDG = BDGF= ABÓ Û` 1 2 = _108=54(cmÛ`) 54`cmÛ` 1 2 1 2 1 2 따라서 EFGH는 한 변의 길이가 7`cm인 정사각형이므로 둘 ㄷ. 5Û`+12Û`=13Û` (직각삼각형) 레의 길이는 4_7=28(cm) ㄹ. 7Û`+24Û`=25Û` (직각삼각형) 28`cm ㅁ. 9Û`+15Û`+20Û` 0705 ㄱ. 3Û`+4Û`=5Û` (직각삼각형) ㄴ. 6Û`+6Û`+10Û` 0700 △ABCª△CDE이므로 △ACE는 ∠ACE=90ù인 직각이등변삼각형이다. ㅂ. 12Û`+16Û`+18Û` ㄱ, ㄷ, ㄹ 0706 Ú 가장 긴 막대의 길이가 6`cm일 때 3Û`+xÛ`=6Û` ∴ xÛ`=27 Û 가장 긴 막대의 길이가 x`cm일 때 3Û`+6Û`=xÛ` ∴ xÛ`=45 Ú, Û에서 xÛ`=27 또는 xÛ`=45 0707 ① 7Û`<4Û`+6Û` ∴ 예각삼각형 ② 9Û`>4Û`+8Û` ∴ 둔각삼각형 ③ 9Û`<6Û`+7Û` ④ 10Û`<6Û`+9Û` ∴ 예각삼각형 ∴ 예각삼각형 27, 45 _(12+16)_28=392(cmÛ`) ④ ⑤ 15Û`=9Û`+12Û` ∴ 직각삼각형 ② △ACE의 넓이에서 `ACÓ Û`=200, ACÓ Û`=400 ;2!; 그런데 ACÓ>0이므로 ACÓ=20(cm) △ABC에서 BCÓ Û`=20Û`-12Û`=256 그런데 BCÓ>0이므로 BCÓ=16(cm) CDÓ=ABÓ=12`cm이므로 BDÓ=BCÓ+CDÓ=16+12=28(cm) DEÓ=BCÓ=16`cm이므로 ABDE= ;2!; 62 정답과 풀이 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 62 2018-12-13 오후 6:47:42 0708 ① 4Û`>2Û`+3Û` ∴ 둔각삼각형 ② 6Û`<3Û`+6Û` ∴ 예각삼각형 ③ 6Û`<4Û`+5Û` ④ 12Û`>6Û`+8Û` ∴ 예각삼각형 ∴ 둔각삼각형 0716 △ABD에서 BDÓ Û`=20Û`+15Û`=625 그런데 BDÓ>0이므로 BDÓ=25 △ABP에서 ABÓ_ADÓ=APÓ_BDÓ이므로 ⑤ 17Û`=8Û`+15Û` ∴ 직각삼각형 ②, ③ 15_20=APÓ_25 ∴ APÓ=12 0709 BEÓ Û`+CDÓ Û`=DEÓ Û`+BCÓ Û`이므로 4Û`+5Û`=xÛ`+6Û` ∴ xÛ`=5 ABÓ Û`=BPÓ_BDÓ이므로 15Û`=BPÓ_25 ∴ BPÓ=9 5 0710 △ABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성 질에 의해 ∴ DPÓ=BDÓ-BPÓ=25-9=16 APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로 12Û`+CPÓ Û`=9Û`+16Û` ∴ CPÓ Û`=193 채점 요소 단계 BDÓ의 길이 구하기 APÓ의 길이 구하기 BPÓ, DPÓ의 길이 구하기 CPÓ Û`의 값 구하기 193 배점 20 % 20 % 30 % 30 % 본문 p.108 1 2 DEÓ= ACÓ= _10=5(cm) 1 2 AEÓ Û`+CDÓ Û`=DEÓ Û`+ACÓ Û`이므로 7Û`+xÛ`=5Û`+10Û` ∴ xÛ`=76 0711 △ABC에서 BCÓ Û`=8Û`+6Û`=100 ∴ BEÓ Û`+CDÓ Û` =DEÓ Û`+BCÓ Û` =4Û`+100=116 0712 △ADE에서 DEÓ Û`=3Û`+2Û`=13 △ABE에서 BEÓ Û`=(3+5)Û`+2Û`=68 따라서 BEÓ Û`+CDÓ Û`=DEÓ Û`+BCÓ Û`이므로 BCÓ Û`-CDÓ Û` =BEÓ Û`-DEÓ Û` =68-13=55 채점 요소 단계 DEÓ Û`의 값 구하기 BEÓ Û`의 값 구하기 BCÓ Û`-CDÓ Û`의 값 구하기 0713 ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`이므로 yÛ`+5Û`=xÛ`+6Û` ∴ yÛ`-xÛ`=11 0714 APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로 DPÓ Û`-CPÓ Û` =APÓ Û`-BPÓ Û` =5Û`-4Û`=9 0715 △ABO에서 ABÓ Û`=2Û`+3Û`=13 ∴ ADÓ Û`+BCÓ Û`=ABÓ Û`+CDÓ Û`=13+6Û`=49 76 116 55 배점 30 % 30 % 40 % 9 49 0717 P+Q=R이므로 1 2 P+Q+R =2R=2_ { _p_6Û` =36p } 36p 0718 SÁ+Sª =(BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이) = _p_8Û`=32p 1 2 ③ 0719 (BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이) =12p+6p =18p(cmÛ`) 이므로 _p_ ;2!; BCÓ 2 } { `=18p, BCÓ Û`=144 그런데 BCÓ>0이므로 BCÓ=12(cm) 12`cm 11 0720 BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이가 8p`cmÛ`이므로 _p_ ;2!; BCÓ 2 } { `=8p, BCÓ Û`=64 그런데 BCÓ>0이므로 BCÓ=8(cm) △ABC에서 ABÓ Û`=6Û`+8Û`=100 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=10(cm) ∴ (ABÓ를 지름으로 하는 반원의 둘레의 길이) _2p_5 =10+ 1 2 =10+5p(cm) (10+5p)`cm 08. 피타고라스 정리 63 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 63 2018-12-13 오후 6:47:43 Û Û 54`cmÛ` 13`cm 배점 30 % 30 % 40 % 0721 △ABC에서 ABÓ Û`=15Û`-9Û`=144 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=12(cm) ∴ (색칠한 부분의 넓이) =△ABC = _12_9 1 2 =54(cmÛ`) 0722 (색칠한 부분의 넓이)=△ABC=30`cmÛ`이므로 _ABÓ_5=30 ;2!; ∴ ABÓ=12(cm) △ABC에서 BCÓ Û`=12Û`+5Û`=169 그런데 BCÓ>0이므로 BCÓ=13(cm) 단계 채점 요소 (색칠한 부분의 넓이)=△ABC임을 알기 ABÓ의 길이 구하기 BCÓ의 길이 구하기 0723 (색칠한 부분의 넓이) =2△ABC 1 2 =2_ { =48(cmÛ`) _8_6 } 48`cmÛ` 0724 △ABC에서 ABÓ Û`+ACÓ Û`=10Û` 이때 ABÓ=ACÓ이므로 2ABÓ Û`=100, ABÓ Û`=50 ∴ (색칠한 부분의 넓이) =△ABC = _ABÓ Û`= _50 ;2!; 1 2 =25(cmÛ`) 25`cmÛ` 0726 △ABH에서 BHÓ Û`=20Û`-12Û`=256 그런데 BHÓ>0이므로 BHÓ=16(cm) ∴ CHÓ=BCÓ-BHÓ=21-16=5(cm) △AHC에서 ACÓ Û`=5Û`+12Û`=169 그런데 ACÓ>0이므로 ACÓ=13(cm) ② 0727 일차방정식 3x+4y=12의 그래프에서 x절편은 4, y절 편은 3이므로 OÕAÓ=4, OBÓ=3 △BOA에서 ABÓ Û`=4Û`+3Û`=25 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=5 이때 OÕAÓ_OBÓ=ABÓ_OHÓ이므로 4_3=5_OHÓ ∴ OHÓ= 12 5 :Á5ª: 0728 EFÓ Û`=25에서 EFÓ>0이므로 EFÓ=5(cm) BFÓ=AEÓ=4`cm이므로 BEÓ=BFÓ+FEÓ=4+5=9(cm) △ABE에서 ABÓ Û`=9Û`+4Û`=97 ∴ ABCD=ABÓ Û`=97(cmÛ`) 97`cmÛ` 0729 ① △EBA와 △ECA는 높이는 같지만 EBÓ=ACÓ인지 는 알 수 없으므로 반드시 △EBA=△ECA라고 할 수 없다. ②, ④, ⑤ △EBC=△ABF=△LBF= BFML ;2!; ∴ ADEB=BFML ③ △BCH=△GCA=△GCL= LMGC ③ ;2!; 0730 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면 △ACD에서 ACÓ Û`=3Û`+4Û`=25 (cid:35) 그런데 ACÓ>0이므로 ACÓ=5(cm) (cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:34) (cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:37) (cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:18)(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:36) △ABC에서 12Û`+5Û`=13Û` 즉, ABÓ Û`+ACÓ Û`=BCÓ Û`이므로 △ABC는 ∠BAC=90ù인 직각삼각형이다. ∴ ABCD =△ABC+△ACD 1 2 = _12_5+ _3_4 ;2!; =30+6=36(cmÛ`) 36`cmÛ` 본문 p.109 ~ 110 0731 Ú 빗변의 길이가 x일 때 4Û`+5Û`=xÛ` ∴ xÛ`=41 Û 빗변의 길이가 5일 때 xÛ`+4Û`=5Û` ∴ xÛ`=9 0725 ABÓ Û`=30Û`-24Û`=324 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=18(cm) ∴ △ABC= ;2!; 64 정답과 풀이 _24_18=216(cmÛ`) 216`cmÛ` Ú, Û에서 xÛ`의 값은 9, 41이다. 9, 41 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 64 2018-12-13 오후 6:47:44 0732 ㄱ. x=4이면 8Û`>4Û`+6Û`이므로 둔각삼각형이다. ㄴ. x=6이면 8Û`<6Û`+6Û`이므로 예각삼각형이다. ㄷ. x=10이면 10Û`=6Û`+8Û`이므로 직각삼각형이다. ㄹ. x=12이면 12Û`>6Û`+8Û`이므로 둔각삼각형이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ㄱ, ㄴ, ㄷ 0733 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 DEÓ= `BCÓ= _12=6 ;2!; ;2!; ∴ BEÓ Û`+CDÓ Û`=DEÓ Û`+BCÓ Û`=6Û`+12Û`=180 180 0738 ACÓ Û`=36이고 ACÓ>0이므로 ACÓ=6(cm) 또 BCÓ Û`=100이고 BCÓ>0이므로 BCÓ=10(cm) △ABC에서 ABÓ Û`=10Û`-6Û`=64 그런데 ABÓ>0이므로 ABÓ=8(cm) ∴ △ABC= _8_6=24(cmÛ`) ;2!; 0734 ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`이므로 5Û`+6Û`=ADÓ Û`+7Û` ∴ ADÓ Û`=12 △AOD에서 AOÓ Û`=12-3Û`=3 단계 ACÓ의 길이 구하기 BCÓ의 길이 구하기 채점 요소 3 ABÓ의 길이 구하기 △ABC의 넓이 구하기 24`cmÛ` 배점 30 % 30 % 30 % 10 % 0739 △ABC에서 BCÓ Û`=20Û`+15Û`=625 그런데 BCÓ>0이므로 BCÓ=25 ACÓ Û`=CBÓ_CHÓ이므로 15Û`=25_CHÓ ∴ CHÓ=9 △AHC에서 AÕHÓ Û`=15Û`-9Û`=144 그런데 AHÓ>0이므로 AHÓ=12 0735 APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로 4Û`+18Û`=BPÓ Û`+14Û`, BPÓ Û`=144 그런데 BPÓ>0이므로 BPÓ=12(km) 따라서 집 P에서 공원 B까지 가는 데 걸리는 시간은 12 12 =1(시간) 1시간 0736 P+Q=R이므로 32p+Q=50p ∴ Q=18p _p_ ;2!; ACÓ { 2 } `=18p, ACÓ Û`=144 그런데 ACÓ>0이므로 ACÓ=12 0737 천막의 세로의 길이를 x`m라 하 면 설치된 천막을 옆에서 본 모습은 오른 쪽 그림과 같다. A 5`m H 점 D에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 DHÓ=BCÓ=4`m 또 BHÓ=CDÓ=2`m이므로 AHÓ=ABÓ-HBÓ=5-2=3(m) 이때 직각삼각형 AHD에서 xÛ`=4Û`+3Û`=25 그런데 x>0이므로 x=5 즉, 천막의 세로의 길이는 5`m이다. ∴ (천막의 넓이)=4_5=20(mÛ`) 단계 채점 요소 직각삼각형을 찾아 천막의 세로의 길이 구하기 천막의 넓이 구하기 20`mÛ` 배점 70 % 30 % 직각삼각형에서 빗변의 중점은 외심과 일치하므로 ① AÕMÓ=BÕMÓ=CÕMÓ= `BCÓ= ;2!; 25 2 25 2 ;2&; ∴ MHÓ=CMÓ-CHÓ= -9= △AMH에서 AÕHÓ_MHÓ=AÕMÓ_PHÓ이므로 x`m D C 2`m B 4`m ∴ PHÓ= 12_ = ;2&; _PHÓ 25 2 84 25 0740 오른쪽 그림과 같이 대각선 BD를 그 으면 SÁ+Sª=△ABD S£+S¢=△DBC ∴ (색칠한 부분의 넓이) (cid:34) (cid:37) (cid:52)(cid:132) (cid:20) (cid:52)(cid:109) (cid:21) (cid:52)(cid:101) (cid:35) (cid:52)(cid:102) (cid:36) =△ABD+△DBC =ABCD =3_4=12 ;2*5$; 12 08. 피타고라스 정리 65 알피엠_중2-2_해답_05~08강(037~065)_ok.indd 65 2018-12-13 오후 6:47:46 Û Ⅳ. 확률 0758 2_3=6 본문 p.113, 115 0759 4_3_2_1=24 0760 4_3=12 0761 4_3_2=24 2 0762 5_4_3_2_1=120 09 경우의 수 0741 1, 2, 3, 4, 5, 6이므로 구하는 경우의 수는 6이다. 6 0742 3 미만의 눈은 1, 2이므로 구하는 경우의 수는 2이다. 0743 3의 배수의 눈은 3, 6이므로 구하는 경우의 수는 2이다. 2 0744 6의 약수의 눈은 1, 2, 3, 6이므로 구하는 경우의 수는 4 이다. 4 0745 2의 배수는 2, 4, 6, 8, 10이므로 구하는 경우의 수는 5 이다. 5 0746 8의 약수는 1, 2, 4, 8이므로 구하는 경우의 수는 4이 다. 4 0747 7 이상의 수는 7, 8, 9, 10이므로 구하는 경우의 수는 4 이다. 4 0748 소수는 2, 3, 5, 7이므로 구하는 경우의 수는 4이다. 6 24 12 24 120 12 48 0763 A, C를 한 명으로 생각하여 3명을 한 줄로 세우는 경우 의 수는 3_2_1=6 이때 A, B가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2이므로 구하는 경우의 수는 6_2=12 12 0764 A, B, C를 한 명으로 생각하여 2명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 2_1=2 이때 A, B, C가 자리를 바꾸는 경우의 수는 3_2_1=6 따라서 구하는 경우의 수는 2_6=12 0765 부모님을 한 명으로 생각하여 4명을 한 줄로 세우는 경 우의 수는 이때 부모님이 자리를 바꾸는 경우의 수는 2이므로 구하는 경우 4_3_2_1=24 의 수는 24_2=48 0766 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4의 4개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리의 숫자를 제외한 3개이다. 따라서 구하는 두 자리 자연수의 개수는 4_3=12(개) 12개 0767 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4의 4개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리의 숫자를 제외한 3개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와 십의 자리의 숫자를 제외 한 2개이다. 따라서 구하는 세 자리 자연수의 개수는 4_3_2=24(개) 24개 4 6 5 6 5 8 0768 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4, 5의 5개, 일 의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리의 숫자를 제외한 5개이 36 다. 따라서 구하는 두 자리 자연수의 개수는 12 5_5=25(개) 25개 0749 3+3=6 0750 3+2=5 0751 4+2=6 0752 3 0753 2 0754 3+2=5 0755 2_2_2=8 0756 6_6=36 0757 2_6=12 66 정답과 풀이 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 66 2018-12-13 오후 6:52:22 0769 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4, 5의 5개, 십 의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리의 숫자를 제외한 5개, 일 0780 남학생 3명 중에서 대표 1명을 뽑는 경우의 수는 3, 여 학생 2명 중에서 대표 1명을 뽑는 경우의 수는 2이다. 의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와 십의 자리의 숫자를 제 따라서 구하는 경우의 수는 3_2=6 6 외한 4개이다. 따라서 구하는 세 자리 자연수의 개수는 5_5_4=100(개) 100개 0770 천의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4, 5의 5개, 백 의 자리에 올 수 있는 숫자는 천의 자리의 숫자를 제외한 5개, 십 의 자리에 올 수 있는 숫자는 천의 자리와 백의 자리의 숫자를 제 외한 4개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리의 숫자를 제외한 3개이다. 따라서 구하는 네 자리 자연수의 개수는 5_5_4_3=300(개) 300개 0772 반장 1명을 뽑는 경우의 수는 4, 반장을 제외한 3명 중에 서 부반장 1명을 뽑는 경우의 수는 3이므로 구하는 경우의 수는 ② 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이므로 경우의 수는 6이다. ③ 홀수는 1, 3, y, 19이므로 경우의 수는 10이다. 12 ④ 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19이므로 경우의 수는 8이다. ⑤ 6 이상 15 미만의 수는 6, 7, y, 14이므로 경우의 수는 9이 0773 반장 1명을 뽑는 경우의 수는 4, 반장을 제외한 3명 중 에서 부반장 1명을 뽑는 경우의 수는 3, 반장, 부반장을 제외한 2 다. 명 중에서 총무 1명을 뽑는 경우의 수는 2이므로 구하는 경우의 본문 p.116 ~ 121 0781 두 주사위에서 나오는 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 두 눈의 수의 합이 8인 경우는 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)이므로 구하는 경우의 수는 5이다. 5 0782 ① 3의 배수는 3, 6, 9, 12, 15, 18이므로 경우의 수는 6 이다. ③ 0 8 4 7 24 6 4 15 0783 1000원을 지불하는 방법을 표로 나타내면 다음과 같다. 500원(개) 100원(개) 50원(개) 2 0 0 1 5 0 1 4 2 1 3 4 0 10 0 0 9 2 따라서 구하는 방법의 수는 7이다. 0784 1750원을 지불하는 방법을 표로 나타내면 다음과 같다. 500원(개) 100원(개) 50원(개) 3 2 1 3 1 3 2 5 5 따라서 구하는 방법의 수는 3이다. 3 0785 두 개의 주사위 A, B에서 나오는 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 20 두 눈의 수의 차가 1인 경우는 (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), 0771 4 4_3=12 수는 4_3_2=24 0774 4_3 2 =6 0775 4_3_2 3_2_1 =4 0776 6_5 2 =15 0777 5 는 5_4=20 0778 반장 1명을 뽑는 경우의 수는 5, 반장을 제외한 4명 중 에서 부반장 1명을 뽑는 경우의 수는 4이므로 구하는 경우의 수 0779 반장 1명을 뽑는 경우의 수는 5, 반장을 제외한 4명 중 에서 부반장 1명을 뽑는 경우의 수는 4, 반장, 부반장을 제외한 3 (5, 4), (5, 6), (6, 5)의 10가지이고, 두 눈의 수의 차가 4인 경우는 명 중에서 총무 1명을 뽑는 경우의 수는 3이므로 구하는 경우의 (1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)의 4가지이므로 수는 5_4_3=60 구하는 경우의 수는 60 10+4=14 ② 09. 경우의 수 67 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 67 2018-12-13 오후 6:52:23 0786 4의 배수가 나오는 경우는 4, 8, 12, 16, 20의 5가지이고, 9의 배수가 나오는 경우는 9, 18의 2가지이므로 0794 의류 매장에서 나와 통로로 가는 방법은 4가지, 통로에 서 신발 매장으로 들어가는 방법은 2가지이므로 구하는 방법의 구하는 경우의 수는 5+2=7 수는 ② 4_2=8 0787 홀수가 나오는 경우는 1, 3, 5, 7, 9의 5가지이고 8의 약수가 나오는 경우는 1, 2, 4, 8의 4가지이다. 그런데 1은 두 가지 경우에 모두 포함되므로 구하는 경우의 수는 5+4-1=8 0795 Ú A → B → C로 가는 방법의 수 : 2_3=6 Û A → C로 바로 가는 방법의 수 : 1 따라서 구하는 방법의 수는 6+1=7 단계 채점 요소 홀수가 나오는 경우의 수 구하기 8의 약수가 나오는 경우의 수 구하기 홀수 또는 8의 약수가 나오는 경우의 수 구하기 0788 버스로 가는 경우는 4가지, 지하철로 가는 경우는 2가지 이므로 구하는 경우의 수는 0789 개를 입양하는 경우는 5가지, 고양이를 입양하는 경우는 3 가지이므로 구하는 경우의 수는 0796 한국 영화 1편을 선택하는 경우는 3가지, 외국 영화 1편 을 선택하는 경우는 6가지이므로 구하는 경우의 수는 3_6=18 0797 과일을 선택하는 경우는 4가지, 채소를 선택하는 경우는 5가지이므로 만들 수 있는 주스의 종류는 4_5=20(가지) 20가지 0798 자음 한 개를 선택하는 경우는 4가지, 모음 한 개를 선택 하는 경우는 2가지이므로 만들 수 있는 글자의 개수는 4_2=8(개) 8개 0799 상자를 선택하는 경우는 3가지, 포장지를 선택하는 경우 는 7가지, 리본을 선택하는 경우는 2가지이므로 구하는 경우의 0790 A 회사 제품을 사는 경우는 3가지, B 회사 제품을 사는 경우는 4가지, C 회사 제품을 사는 경우는 2가지이므로 구하는 수는 3_7_2=42 0791 락이 나오는 경우는 5가지, 힙합이 나오는 경우는 3가지 이므로 구하는 경우의 수는 6_2_2=24 ⑤ 0800 주사위 1개를 던질 때 나올 수 있는 경우는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6가지이고, 동전 한 개를 던질 때 나올 수 있는 경우는 앞 면, 뒷면의 2가지이므로 구하는 경우의 수는 0792 학교에서 서점으로 가는 길이 4가지, 서점에서 집으로 가 는 길이 3가지이므로 구하는 방법의 수는 경우의 수는 3_4=12 0801 2의 배수의 눈이 나오는 경우는 2, 4, 6의 3가지이고, 6의 약수의 눈이 나오는 경우는 1, 2, 3, 6의 4가지이므로 구하는 0793 등산로를 한 가지 선택하여 올라가는 방법은 5가지, 그 각각에 대하여 다른 길을 선택하여 내려오는 방법은 4가지이므로 0802 동전 2개가 서로 다른 면이 나오는 경우는 (앞, 뒤), (뒤, 앞)의 2가지이고, 주사위의 눈이 3의 배수가 나오는 경우는 3, 6의 2가지이므로 구하는 경우의 수는 20 2_2=4 구하는 방법의 수는 5_4=20 68 정답과 풀이 4+2=6 5+3=8 경우의 수는 3+4+2=9 5+3=8 4_3=12 8 배점 30 % 30 % 40 % 6 8 ④ ③ 8 ⑤ 18 42 ④ 12 4 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 68 2018-12-13 오후 6:52:24 96 배점 30 % 0803 각 전구는 켜진 경우, 꺼진 경우의 2가지가 있고, 전구가 모두 꺼진 경우는 신호로 생각하지 않으므로 만들 수 있는 신호의 0811 남학생 2명을 한 명으로 생각하고 여학생 4명을 한 명으 로 생각하여 2명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 개수는 2_1=2 2_2_2_2_2-1=32-1=31(개) 31개 0804 5개 중에서 3개를 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수와 같 으므로 5_4_3=60 60 0805 4개를 한 줄로 세우는 경우의 수와 같으므로 4_3_2_1=24 24 이때 남학생 2명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 2, 여학생 4명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 4_3_2_1=24 따라서 구하는 경우의 수는 2_2_24=96 0806 미나를 제외한 3명을 나란히 앉히고, 오른쪽에서 두 번 째 자리에 미나를 앉히면 되므로 구하는 경우의 수는 3_2_1=6 단계 채점 요소 남학생과 여학생을 각각 한 명으로 생각하여 한 줄로 세우는 경우의 수 구하기 6 남학생끼리, 여학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수 각각 구하기 50 % 남학생끼리, 여학생끼리 이웃하여 서는 경우의 수 구하기 20 % 이때 아버지와 어머니가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2이므로 구 Ú 5인 경우 : 532, 537, 572, 573의 4개 0807 아버지와 어머니 사이에 자녀 3명이 한 줄로 서는 경우 의 수는 3_2_1=6 하는 경우의 수는 6_2=12 0808 경은, 태경이를 한 명으로 생각하여 5명을 한 줄로 세우 는 경우의 수는 이때 경은, 태경이가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2이므로 구하는 5_4_3_2_1=120 경우의 수는 120_2=240 0809 수학 문제집 3권을 한 권으로 생각하여 3권을 한 줄로 꽂는 경우의 수는 이때 수학 문제집끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 3_2_1=6 3_2_1=6 6_6=36 따라서 구하는 경우의 수는 0812 527보다 큰 수인 경우 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 5 또는 7이다. Û 7인 경우 : 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 7을 제외한 3 12 개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리의 숫자와 7을 제외한 2개이므로 3_2=6(개) 따라서 527보다 큰 세 자리 자연수의 개수는 4+6=10(개) 10개 0813 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 6개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리의 숫자를 제외한 5개, 일의 자리에 올 수 240 있는 숫자는 백의 자리와 십의 자리의 숫자를 제외한 4개이므로 구하는 세 자리 자연수의 개수는 6_5_4=120(개) ⑤ 0814 ⑴ 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 5개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리의 숫자를 제외한 4개이므로 구하는 ③ ⑵ 홀수가 되려면 일의 자리의 숫자가 1 또는 3 또는 5이어야 한 두 자리 자연수의 개수는 5_4=20(개) 다. 0810 아름이와 다운이를 한 명으로 생각하고 우리와 나라를 한 명으로 생각하여 2명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 2_1=2 Ú 1인 경우 : 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 1을 제외한 4개 Û 3인 경우 : 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 3을 제외한 4개 이때 아름이와 다운이가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2, 우리와 나 Ü 5인 경우 : 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 5를 제외한 4개 라가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2이므로 구하는 경우의 수는 따라서 구하는 홀수의 개수는 2_2_2=8 ④ 4+4+4=12(개) ⑴ 20개 ⑵ 12개 09. 경우의 수 69 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 69 2018-12-13 오후 6:52:24 숫자를 제외한 2개이므로 3_2=6(개) 제외한 2개이므로 3_2=6(개) 제외한 2개이므로 3_2=6(개) 0815 Ú 1인 경우 : 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 1을 제외한 3개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 1과 십의 자리의 Û 5인 경우 : 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 5를 제외 한 4개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 5와 백의 자리의 숫자 Û 2인 경우 : 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 2를 제외한 3 개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 2와 십의 자리의 숫자를 따라서 구하는 5의 배수의 개수는 를 제외한 4개이므로 4_4=16(개) 20+16=36(개) Ü 3인 경우 : 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 3을 제외한 3 개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 3과 십의 자리의 숫자를 단계 채점 요소 일의 자리의 숫자가 0인 세 자리 자연수의 개수 구하기 일의 자리의 숫자가 5인 세 자리 자연수의 개수 구하기 Ú ~ Ü에서 6+6+6=18(개)이므로 20번째에 오는 수는 백의 5의 배수의 개수 구하기 자리의 숫자가 4인 수 중 두 번째로 작은 수이다. 이때 백의 자리의 숫자가 4인 수는 412, 413, y이므로 구하는 수는 413이다. 413 0820 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 5, 회장을 제외한 4명 중 에서 부회장 1명을 뽑는 경우의 수는 4, 회장과 부회장을 제외한 3명 중에서 총무 1명을 뽑는 경우의 수는 3이므로 구하는 경우의 0816 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 4개, 십의 자 리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리의 숫자를 제외한 4개, 일의 자 리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와 십의 자리의 숫자를 제외한 3 개이므로 구하는 세 자리 자연수의 개수는 4_4_3=48(개) 수는 5_4_3=60 0821 A를 제외한 B, C, D, E 4명 중에서 부대표, 총무를 각 각 1명씩 뽑으면 되므로 구하는 경우의 수는 ③ 4_3=12 0817 Ú 1인 경우 : 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 1을 제 0822 8_7 2 =28 외한 4개 Û 2인 경우 : 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 2를 제외한 4개 Ü 3인 경우 : 30의 1개 따라서 31 미만인 두 자리 자연수의 개수는 4+4+1=9(개) 9개 0823 5명 중에서 100`m 달리기에 나갈 선수 2명을 뽑는 경우 의 수는 나머지 3명 중에서 200`m 달리기에 나갈 선수 1명을 뽑는 경우 5_4 2 =10 의 수는 3 0818 같은 숫자를 여러 번 사용할 수 있으므로 천의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 9개, 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 따라서 구하는 경우의 수는 10_3=30 10개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 10개, 일의 자리에 올 수 있 는 숫자는 10개이므로 비밀번호를 만들 수 있는 방법의 수는 9_10_10_10=9000 9000 0824 6명 중에서 자격이 같은 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 6_5 2 =15(회) ② 0819 5의 배수가 되려면 일의 자리의 숫자가 0 또는 5이어야 한다. Ú 0인 경우 : 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 5 개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 백의 자리의 숫자를 0825 3명 모두 남학생인 경우의 수는 5_4_3 3_2_1 3명 모두 여학생인 경우의 수는 =10 4_3_2 3_2_1 =4 따라서 구하는 경우의 수는 10+4=14 제외한 4개이므로 5_4=20(개) 70 정답과 풀이 36개 배점 40 % 40 % 20 % 60 ③ 28 30 14 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 70 2018-12-13 오후 6:52:25 0826 5개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 2개의 점을 뽑는 경우의 수와 같으므로 0832 C에 초록색을 칠한다면 A, B, D, E에 초록색을 제외한 나머지 4가지 색을 한 번씩만 사용하여 칠하는 경우와 같다. 5_4 2 =10(개) 10개 따라서 구하는 경우의 수는 4_3_2_1=24 0827 ⑴ 7개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 2개의 점을 7_6 2 뽑는 경우의 수와 같으므로 =21(개) 0833 A에 칠할 수 있는 색은 5가지, B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 4가지, C에 칠할 수 있는 색은 A와 B에 칠한 색을 제외한 3가지, D에 칠할 수 있는 색은 A와 C에 칠한 색을 제외한 3가지, E에 칠할 수 있는 색은 C와 D에 칠한 색을 ⑵ 7개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 3개의 점을 뽑는 경우 제외한 3가지이다. 의 수와 같으므로 =35(개) 7_6_5 3_2_1 따라서 구하는 경우의 수는 ⑴ 21개 ⑵ 35개 5_4_3_3_3=540 단계 채점 요소 선분의 개수 구하기 삼각형의 개수 구하기 배점 50 % 50 % 단계 채점 요소 각 부분에 칠할 수 있는 색의 가짓수 구하기 색을 칠하는 경우의 수 구하기 0828 Ú A 지점에서 P 지점까지 최단 거리로 가는 방법은 3가지 Û P 지점에서 B 지점까지 최단 거리로 가는 방법 은 2가지 3_2=6 따라서 구하는 방법의 수는 0829 Ú 집에서 서점까지 최단 거리로 가는 방법은 6가지 Û 서점에서 학교까지 최단 거리 로 가는 방법은 2가지 1 ② 1 1 서점 ⑥ 3 2 1 3 1 6_2=12 0830 규칙 ㈎, ㈏를 만족시키는 잠금 해제 패턴 A 의 수는 오른쪽 그림의 A 지점에서 B 지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수와 같다. 따라서 구하는 방법의 수는 6이다. 본문 p.122 1 ② B 1 1 1 P ③ 2 A 1 6 학교 1 12 1 1 2 3 3 ⑥ B 6 1 1 본문 p.123 ~ 125 0834 유선이가 가위바위보에 져서 술래가 되는 경우를 순서쌍 (원주, 유선, 지영)으로 나타내면 (가위, 보, 가위), (바위, 가위, 바위), (보, 바위, 보) 의 3가지이다. 0835 점 (a, b)가 직선 2x-y=6 위에 있으면 2a-b=6을 만족시킨다. 즉, b=2a-6을 만족시키는 경우를 순서쌍 (a, b) 로 나타내면 (4, 2), (5, 4), (6, 6) 0836 350원을 지불하는 방법을 표로 나타내면 다음과 같다. 100원(개) 50원(개) 10원(개) 3 1 0 3 0 5 2 3 0 2 2 5 1 5 0 1 4 5 0 7 0 따라서 지불하는 방법의 수는 8이다. 따라서 구하는 방법의 수는 현주네 집 이므로 구하는 경우의 수는 3이다. 0831 A에 칠할 수 있는 색은 4가지, B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지, C에 칠할 수 있는 색은 A와 B에 칠한 색을 제외한 2가지이므로 구하는 경우의 수는 0837 바늘이 가리킨 수의 합이 7인 경우는 (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3)의 4가지 바늘이 가리킨 수의 합이 12인 경우는 (4, 8), (5, 7), (6, 6)의 3가지 4_3_2=24 24 따라서 구하는 경우의 수는 4+3=7 7 09. 경우의 수 71 ③ 540 배점 60 % 40 % ① 3 0 6 5 ③ 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 71 2018-12-13 오후 6:52:27 0838 4+7+3=14 0839 Ú A → P → B → A로 가는 방법의 수 : 2_3_2=12 Û A → B → P → A로 가는 방법의 수 : 2_3_2=12 따라서 구하는 방법의 수는 12+12=24 0840 4_3=12 0841 ① 6 ③ 2_2_2_2=16 ⑤ 2_2_6=24 ② 2_2_2=8 ④ 3_3=9 ④ 0847 전체 축구팀의 수를 n개라 하면 n(n-1) 2 =28, n(n-1)=56=8_7 ∴ n=8 따라서 경기에 참가한 축구팀은 모두 8개 팀이다. ② 24 ④ ⑤ 0848 직선 l 위의 한 점을 선택하는 경우는 4가지, 직선 m 위 의 한 점을 선택하는 경우는 6가지이므로 구하는 선분의 개수는 4_6=24(개) 24개 0849 A에 칠할 수 있는 색은 4가지, B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지, C에 칠할 수 있는 색은 A와 B에 칠한 색을 제외한 2가지, D에 칠할 수 있는 색은 A와 B와 C에 칠한 색을 제외한 1가지이므로 구하는 경우의 수는 4_3_2_1=24 0842 두 눈의 수의 합이 짝수이려면 두 눈의 수가 모두 짝수 이거나 모두 홀수이어야 한다. Ú 두 눈의 수가 모두 짝수인 경우의 수 : 3_3=9 Û 두 눈의 수가 모두 홀수인 경우의 수 : 3_3=9 따라서 구하는 경우의 수는 9+9=18 ② 0843 서로 다른 6개 중에서 2개를 뽑아 한 줄로 세우는 경우 의 수와 같으므로 6_5=30 ④ 0850 Ú 2의 배수인 경우 : 2, 4, 6, 8의 4가지 Û 3의 배수인 경우 : 3, 6의 2가지 Ü 6의 배수인 경우 : 6의 1가지 따라서 구하는 경우의 수는 4+2-1=5 0844 C를 맨 앞에 고정하고 A, B를 한 명으로 생각하여 4명 을 한 줄로 세우는 경우의 수는 4_3_2_1=24 이때 A, B가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2이므로 구하는 경우의 수는 24_2=48 48 채점 요소 2의 배수인 경우의 수 구하기 3의 배수인 경우의 수 구하기 6의 배수인 경우의 수 구하기 단계 2의 배수 또는 3의 배수인 경우의 수 구하기 0845 Ú 35인 경우 : 354의 1개 Û 4인 경우 : 4_3=12(개) Ü 5인 경우 : 4_3=12(개) 따라서 352보다 큰 세 자리 자연수의 개수는 1+12+12=25(개) ⑤ 0846 3의 배수이려면 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이어야 한다. 두 자리 자연수의 십의 자리의 숫자를 a, 일의 자리의 숫자 를 b라 하면 Ú a+b=3인 경우 : 12, 21, 30의 3개 Û a+b=6인 경우 : 15, 24, 42, 51, 60의 5개 Ü a+b=9인 경우 : 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81의 8개 Ý a+b=12인 경우 : 48, 57, 75, 84의 4개 Þ a+b=15인 경우 : 78, 87의 2개 따라서 구하는 3의 배수의 개수는 3+5+8+4+2=22(개) 72 정답과 풀이 0851 ⑴ 여학생 2명을 한 명으로 생각하여 4명을 한 줄로 세 우는 경우의 수는 4_3_2_1=24 이때 여학생 2명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 2이므로 구하 는 경우의 수는 24_2=48 ⑵ 5명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 5_4_3_2_1=120 ∴ (여학생끼리 이웃하지 않게 서는 경우의 수) =(모든 경우의 수)-(여학생끼리 이웃하여 서는 경우의 수) =120-48=72 ⑴ 48 ⑵ 72 단계 채점 요소 여학생끼리 이웃하여 서는 경우의 수 구하기 5명을 한 줄로 세우는 경우의 수 구하기 22개 여학생끼리 이웃하지 않게 서는 경우의 수 구하기 ④ 5 배점 25 % 25 % 25 % 25 % 배점 40 % 20 % 40 % 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 72 2018-12-13 오후 6:52:27 0852 짝수가 되려면 일의 자리의 숫자가 0 또는 2 또는 4이어 야 한다. 0854 a의 꼴인 경우는 3_2_1=6(개)이고, b의 꼴인 경우는 3_2_1=6(개)이다. Ú 0인 경우 : 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 4 이때 cabd는 c의 꼴 중에서 맨 처음 나오는 단어이다. 개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 백의 자리의 숫자를 따라서 cabd는 6+6+1=13(번째)에 나온다. ④ 제외한 3개이므로 4_3=12(개) Û 2인 경우 : 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 2를 제외 한 3개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 2와 백의 자리의 숫자 를 제외한 3개이므로 3_3=9(개) 5_4 2 =10 0855 자기 수험 번호가 적힌 의자에 앉는 2명을 선택하는 경 우의 수는 Ü 4인 경우 : 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 4를 제외 기 수험 번호가 적힌 의자에 앉고, 나머지 C, D, E는 다른 학생 한 3개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 4와 백의 자리의 숫자 의 수험 번호가 적힌 의자에 앉는다고 하면 그 경우는 만약 A, B, C, D, E 5명의 학생이 의자에 앉을 때, A, B는 자 를 제외한 3개이므로 3_3=9(개) (D, E, C), (E, C, D)의 2가지이다. 따라서 구하는 경우의 수는 따라서 구하는 짝수의 개수는 12+9+9=30(개) 10_2=20 20 단계 채점 요소 일의 자리의 숫자가 0인 세 자리 자연수의 개수 구하기 일의 자리의 숫자가 2인 세 자리 자연수의 개수 구하기 일의 자리의 숫자가 4인 세 자리 자연수의 개수 구하기 짝수의 개수 구하기 0853 Ú 회장이 남학생인 경우 남학생 3명 중에서 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 3 이때 회장으로 뽑힌 1명을 제외한 남학생 2명, 여학생 4명 중 에서 부회장을 각각 1명씩 뽑아야 하므로 부회장을 뽑는 경우 의 수는 2_4=8 그러므로 경우의 수는 3_8=24 Û 회장이 여학생인 경우 0856 ⑴ 7개의 점 중에서 2개의 점을 선택하는 경우의 수는 이때 지름 위의 4개의 점 중에서 2개의 점을 선택하는 경우의 수는 =6이고 이 경우는 같은 직선이므로 7_6 2 =21 4_3 2 구하는 직선의 개수는 21-6+1=16(개) ⑵ 7개의 점 중에서 3개의 점을 선택하는 경우의 수는 7_6_5 3_2_1 =35 수는 4_3_2 3_2_1 이때 지름 위의 4개의 점 중에서 3개의 점을 선택하는 경우의 =4이고 이 경우에는 삼각형이 만들어지지 않 으므로 구하는 삼각형의 개수는 35-4=31(개) ⑴ 16개 ⑵ 31개 여학생 4명 중에서 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 4 이때 회장으로 뽑힌 1명을 제외한 남학생 3명, 여학생 3명 중 에서 부회장을 각각 1명씩 뽑아야 하므로 부회장을 뽑는 경우 0857 오른쪽 그림에서 A 지점에서 B 지 점까지 최단 거리로 가려면 Q 지점 또는 R 지점을 반드시 지나야 한다. 30개 배점 30 % 30 % 30 % 10 % Ú A Q B로 가는 방법의 수는 60 배점 40 % 40 % 20 % Ú Ú 오른쪽 그림에서 3_1=3 Ú Ú 오른쪽 그림에서 1_3=3 리로 가는 방법의 수는 3+3=6 Û A R B로 가는 방법의 수는 따라서 A 지점에서 B 지점까지 최단 거 A 1 ①R 1 Q B P R B 1 ① A 1 1 A Q ③ 2 1 1 ③B 1 2 6 09. 경우의 수 73 의 수는 3_3=9 그러므로 경우의 수는 4_9=36 따라서 구하는 경우의 수는 24+36=60 단계 채점 요소 회장이 남학생인 경우의 수 구하기 회장이 여학생인 경우의 수 구하기 회장과 부회장을 뽑는 경우의 수 구하기 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 73 2018-12-13 오후 6:52:28 10 확률 Ⅳ. 확률 0868 (두 눈의 수의 합이 5가 아닐 확률) =1-(두 눈의 수의 합이 5일 확률) 본문 p.127, 129 =1- = ;9*; ;9!; ;9*; ;4!; ;4#; 0858 ⑵ 3의 배수는 3, 6, 9이므로 구하는 경우의 수는 3이다. 0869 모든 경우의 수는 2_2=4 두 개 모두 앞면이 나오는 경우는 (앞, 앞)의 1가지이므로 구하는 ⑴ 10 ⑵ 3 ⑶ 3 10 확률은 이다. 1 4 0859 ⑴ 6_6=36 ⑵ 두 주사위에서 나오는 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 두 눈의 수의 합이 4인 경우는 (1, 3), (2, 2), (3, 1)이므로 구하는 경우의 수는 3이다. ⑶ = ;1Á2; ;3£6; ⑴ 36 ⑵ 3 ⑶ ;1Á2; 0870 (적어도 하나는 뒷면이 나올 확률) =1-(두 개 모두 앞면이 나올 확률) =1- = ;4#; ;4!; 0860 모든 경우의 수는 6이고, 검은 공이 나오는 경우의 수는 4 4이므로 구하는 확률은 6 = ;3@; 0871 ⑴ 모든 경우의 수는 10이고, 빨간 공이 나오는 경우의 2 10 수는 2이므로 구하는 확률은 ;5!; = ;3@; ⑵ 모든 경우의 수는 10이고, 노란 공이 나오는 경우의 수는 5이 0861 주머니 속에 들어 있는 공은 모두 흰 공 또는 검은 공이 므로 구하는 확률은 1이다. 1 ⑶ 빨간 공이 나올 확률은 , 노란 공이 나올 확률은 이므 므로 구하는 확률은 5 10 = ;2!; 2 10 로 구하는 확률은 2 10 + = 5 10 7 10 ⑴ ⑵ ⑶ ;5!; ;2!; 7 10 5 10 3 10 0872 3의 배수는 3, 6, 9의 3가지이므로 그 확률은 5의 배수는 5, 10의 2가지이므로 그 확률은 2 10 따라서 구하는 확률은 + = 3 10 2 10 5 10 = ;2!; ;2!; 0862 주머니 속에는 빨간 공이 없으므로 구하는 확률은 0이 다. 0 0863 두 눈의 수의 합이 2보다 작은 경우는 없으므로 구하는 확률은 0이다. 0 0864 두 눈의 수의 차가 6 이상인 경우는 없으므로 구하는 확 률은 0이다. 0 0865 두 눈의 수의 합은 항상 12 이하이므로 구하는 확률은 1이다. 1 6의 배수는 6의 1가지이므로 그 확률은 1 10 0873 4의 배수는 4, 8의 2가지이므로 그 확률은 2 10 0866 두 눈의 수의 곱은 항상 36 이하이므로 구하는 확률은 1이다. 1 0867 모든 경우의 수는 6_6=36 두 눈의 수의 합이 5인 경우는 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) 의 4가지이므로 구하는 확률은 4 36 = ;9!; 74 정답과 풀이 따라서 구하는 확률은 + = 2 10 1 10 3 10 3 10 0874 ⑵ 소수는 2, 3, 5의 3가지이므로 구하는 확률은 = ;2!; ;6#; ⑶ 동전에서 앞면이 나올 확률은 이고, 주사위에서 소수의 눈 1 2 1 이 나올 확률은 2 이므로 구하는 확률은 ;9!; _ = ;4!; ;2!; ;2!; ⑴ ⑵ ⑶ ;2!; ;4!; ;2!; 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 74 2018-12-13 오후 6:52:29 0875 3 미만의 눈은 1, 2의 2가지이므로 첫 번째에 3 미만의 0882 첫 번째에 파란 공을 꺼낼 확률은 이고, 두 번째에 파 5 8 5 이상의 눈은 5, 6의 2가지이므로 두 번째에 5 이상의 눈이 나올 1 따라서 구하는 확률은 3 _ = ;9!; ;3!; ;9!; 0876 짝수의 눈은 2, 4, 6의 3가지이므로 첫 번째에 짝수의 4의 약수의 눈은 1, 2, 4의 3가지이므로 두 번째에 4의 약수의 눈 2 눈이 나올 확률은 6 = ;3!; 확률은 = ;3!; 2 6 3 눈이 나올 확률은 6 = ;2!; 3 이 나올 확률은 6 = ;2!; 따라서 구하는 확률은 _ = ;4!; ;2!; ;2!; 4 란 공을 꺼낼 확률은 7 이므로 구하는 확률은 _ = ;7$; ;8%; ;1°4; 0883 첫 번째에 당첨 제비를 뽑을 확률은 이고, 두 번째에 당첨 제비를 뽑을 확률도 이므로 구하는 확률은 3 10 3 10 _ 3 10 = ;10(0; 0884 첫 번째에 당첨 제비를 뽑을 확률은 이고, 두 번째에 2 당첨 제비를 뽑을 확률은 9 이므로 구하는 확률은 3 10 3 10 ;4!; 3 10 _ = ;9@; 1 15 0877 6의 약수의 눈은 1, 2, 3, 6의 4가지이므로 첫 번째에 6 4 의 약수의 눈이 나올 확률은 6 = ;3@; 소수의 눈은 2, 3, 5의 3가지이므로 두 번째에 소수의 눈이 나올 0885 (색칠한 부분을 맞힐 확률) = (색칠한 부분의 넓이) (도형의 전체 넓이) 5 9 ;9%; = 확률은 = ;2!; 3 6 따라서 구하는 확률은 _ = ;3!; ;2!; ;3@; 0878 _ = ;4!; ;3!; 1 12 0886 (구하는 확률) = (소수가 적힌 부분의 넓이) (도형의 전체 넓이) = 4 10 = ;5@; ;3!; 1 12 ;1°4; ;10(0; 1 15 ;5@; 0879 첫 번째에 흰 공을 꺼낼 확률은 이고, 두 번째에 흰 공 4 7 본문 p.130 ~ 134 이므로 구하는 확률은 4 을 꺼낼 확률도 7 4 7 _ = ;7$; ;4!9^; 0880 첫 번째에 검은 공을 꺼낼 확률은 이고, 두 번째에 검 3 은 공을 꺼낼 확률도 7 이므로 구하는 확률은 _ = ;7#; ;7#; 9 49 0887 모든 경우의 수는 4_4=16 23 이상인 경우 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 2 또는 3 또는 4 ;4!9^; 이다. Ú 2인 경우 : 23, 24의 2가지 Û 3인 경우 : 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 4가지 Ü 4인 경우 : 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 4가지 따라서 23 이상인 경우의 수는 2+4+4=10이므로 구하는 확률 ;4»9; 은 10 16 = ;8%; ;8%; 0881 첫 번째에 빨간 공을 꺼낼 확률은 이고, 두 번째에 빨 2 간 공을 꺼낼 확률은 7 이므로 구하는 확률은 0888 파란 공이 x개 들어 있다고 하면 (흰 공이 나올 확률)= 6 6+4+x = ;5@; 20+2x=30 ∴ x=5 _ = ;7@; ;8#; ;2£8; ;2£8; 따라서 파란 공의 개수는 5개이다. ② 10. 확률 75 3 7 3 8 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 75 2018-12-13 오후 6:52:30 0889 모든 경우의 수는 5_4_3_2_1=120 남학생 3명이 이웃하여 서는 경우의 수는 (3_2_1)_(3_2_1)=36 따라서 구하는 확률은 36 120 = 3 10 단계 채점 요소 모든 경우의 수 구하기 남학생 3명이 이웃하여 서는 경우의 수 구하기 남학생 3명이 이웃하여 설 확률 구하기 0893 모든 경우의 수는 6_6=36 일차함수 y=ax+b의 그래프가 점 (2, 8)을 지나므로 8=2a+b, 즉 2a+b=8을 만족시키는 경우를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 (1, 6), (2, 4), (3, 2) 의 3가지이다. 3 10 배점 40 % 40 % 20 % 따라서 구하는 확률은 3 36 = ;1Á2; ;1Á2; 0894 모든 경우의 수는 6_6=36 ax=b에서 x= ;aB; 가 정수이려면 b는 a의 배수이어야 한다. ;aB; 이를 만족시키는 경우를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6) 의 14가지이다. 따라서 구하는 확률은 = ;3!6$; ;1¦8; ;1¦8; 0895 ① ;6%; ② 0 ③ 1 ④ ⑤ ③ ;2!; ;3!; 0896 ㄷ. q=1-p이다. ㄱ, ㄴ 0890 ⑴ 모든 경우의 수는 8_7=56 유진이가 부회장으로 뽑히는 경우의 수는 유진이를 제외한 7 명 중 회장 1명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 7 따라서 구하는 확률은 7 56 = ;8!; ⑵ 모든 경우의 수는 8_7_6 3_2_1 =56 따라서 구하는 확률은 7_6 2 =21 = ;8#; ;5@6!; 유진이가 대의원으로 뽑히는 경우의 수는 유진이를 제외한 7 명 중 대의원 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 0897 (중기네 반이 이길 확률) =(광수네 반이 질 확률) =1-(광수네 반이 이길 확률) =1- = ;8#; ;8%; 지이므로 그 확률은 = 6 36 1 6 ∴ (서로 다른 눈이 나올 확률) =1- = ;6!; ;6%; ⑵ 모든 경우의 수는 =6 4_3 2 뽑는 경우의 수와 같으므로 3 따라서 A가 뽑힐 확률은 = ;6#; ;2!; ⑴ ⑵ ;8!; ;8#; 0898 ⑴ 모든 경우의 수는 6_6=36 두 개의 주사위를 던질 때, 서로 같은 눈이 나오는 경우는 6가 ;8#; 0891 모든 경우의 수는 6_6=36 3x+y<10을 만족시키는 경우를 순서쌍 (x, y)로 나타내면 Ú x=1일 때, (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) =1-(서로 같은 눈이 나올 확률) Û x=2일 때, (2, 1), (2, 2), (2, 3)의 3가지 따라서 3x+y<10인 경우의 수는 6+3=9이므로 구하는 확률 ① A가 뽑히는 경우의 수는 A를 제외한 3명 중에서 대표 1명을 0892 모든 경우의 수는 6_6=36 3x-y=5를 만족시키는 경우를 순서쌍 (x, y)로 나타내면 (2, 1), (3, 4)의 2가지이므로 구하는 확률은 ∴ (A가 뽑히지 않을 확률) =1-(A가 뽑힐 확률) =1- 1 2 = ;2!; ;1Á \8; ⑴ ⑵ ;6%; ;2!; 의 6가지 은 9 36 = ;4!; 2 36 = 1 18 76 정답과 풀이 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 76 2018-12-13 오후 6:52:31 0899 모든 경우의 수는 =21 7_6 2 0904 전체 학생 수는 6+9+8+7=30(명) 국어를 좋아하는 학생이 6명이므로 한 명을 선택할 때, 국어를 좋 2명 모두 남학생이 뽑히는 경우의 수는 =6이므로 그 확률 4_3 2 아하는 학생일 확률은 또 수학을 좋아하는 학생이 8명이므로 한 명을 선택할 때, 수학을 은 6 21 = ;7@; ∴ (적어도 한 명은 여학생이 뽑힐 확률) =1-(2명 모두 남학생이 뽑힐 확률) =1- = ;7%; ;7@; ;7%; 6 30 8 30 좋아하는 학생일 확률은 따라서 구하는 확률은 6 30 + 8 30 = = ;3!0$; 7 15 0900 모든 경우의 수는 2_2_2=8 1 세 문제 모두 틀리는 경우의 수는 1이므로 그 확률은 8 이다. 0905 모든 경우의 수는 4_4=16 Ú 두 자리 자연수가 10 이하인 경우는 10의 1가지이므로 그 확 ∴ (적어도 한 문제는 맞힐 확률) =1-(세 문제 모두 틀릴 확률) =1- = ;8&; ;8!; 률은 1 16 Û 두 자리 자연수가 23 이상인 경우는 23, 24, 30, 31, 32, 34, ⑤ 40, 41, 42, 43의 10가지이므로 그 확률은 10 16 0901 모든 경우의 수는 6_6=36 두 개 모두 5가 아닌 눈이 나오는 경우의 수는 5_5=25이므로 따라서 구하는 확률은 1 16 + = ;1!6); ;1!6!; 그 확률은 이다. 25 36 ∴ (적어도 한 개는 5의 눈이 나올 확률) =1-(두 개 모두 5가 아닌 눈이 나올 확률) =1- = ;3@6%; ;3!6!; ;3!6!; 2와 5의 공배수, 즉 10의 배수가 적힌 카드가 나올 확률은 0902 어느 면에도 색칠되지 않은 작은 정육면체의 개수는 2_2_2=8(개) 즉, 한 개의 작은 정육면체를 선택했을 때 어느 면에도 색칠되어 있지 않은 정육면체일 확률은 8 64 = ;8!; ∴ (적어도 한 면이 색칠된 정육면체일 확률) =1-(어느 면에도 색칠되지 않은 정육면체일 확률) =1- = ;8&; ;8!; _ = ;9@; ;5@; ;9%; ;8&; 0906 2의 배수가 적힌 카드가 나올 확률은 ;3!0%; 5의 배수가 적힌 카드가 나올 확률은 ;3¤0; 따라서 구하는 확률은 + - = = ;5#; ;3!0*; ;3£0; ;3¤0; ;3!0%; 0907 A 주머니에서 흰 공이 나올 확률은 이고, B 주머니에 5 9 2 서 파란 공이 나올 확률은 5 이므로 구하는 확률은 0908 자유투를 성공할 확률은 = 이므로 ;1¥0¼0; ;5$; (두 번 모두 성공할 확률)= _ = ;5$; ;5$; ;2!5^; ;2!5^; 0909 서로 다른 동전 2개를 던질 때 모든 경우의 수는 2_2=4이고, 같은 면이 나오는 경우는 (앞, 앞), (뒤, 뒤)의 2가 0903 모든 경우의 수는 6_6=36 Ú 두 눈의 수의 합이 3인 경우는 (1, 2), (2, 1) 의 2가지이므로 그 확률은 2 36 5 36 의 5가지이므로 그 확률은 따라서 구하는 확률은 2 36 + 5 36 = ;3¦6; Û 두 눈의 수의 합이 6인 경우는 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) 2 지이므로 그 확률은 4 = ;2!; 또 주사위 1개를 던질 때 모든 경우의 수는 6이고, 소수의 눈이 3 나오는 경우는 2, 3, 5의 3가지이므로 그 확률은 6 = ;2!; ;3¦6; 따라서 구하는 확률은 _ = ;4!; ;2!; ;2!; ;4!; 10. 확률 77 ;1¦5; ④ ;3£0; ;5#; ;9@; 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 77 2018-12-13 오후 6:52:31 0910 4종류의 핫도그 중에서 치즈 핫도그를 선택할 확률은 ;4!; 또 3종류의 소스 중에서 2가지를 선택하는 경우의 수는 3_2 2 =3이고 칠리소스를 포함한 소스 2가지를 선택하는 경우 0915 첫 번째에 파란 공을 꺼낼 확률은 = ;1¢0; ;5@; 이고 두 번째에 파란 공을 꺼낼 확률도 = ;1¢0; ;5@; 이므로 구하는 확률은 _ = ;5@; ;5@; ;2¢5; 의 수는 2이므로 그 확률은 2 3 따라서 구하는 확률은 _ = ;6!; ;3@; ;4!; ;6!; 0916 첫 번째에 짝수가 나올 확률은 = ;1°0; ;2!; 이고 두 번째에 10의 약수가 나올 확률은 = ;1¢0; ;5@; 이므로 0911 A, B 두 주머니에서 모두 흰 공을 꺼낼 확률은 _ = ;5#; ;5!; ;6@; A, B 두 주머니에서 모두 빨간 공을 꺼낼 확률은 구하는 확률은 _ = ;5!; ;5@; ;2!; 0917 Ú A가 당첨 제비를 뽑고 B가 당첨 제비를 뽑을 확률은 3 15 _ = 2 14 1 35 ;1¦5; Û A가 당첨 제비를 뽑지 않고 B가 당첨 제비를 뽑을 확률은 0912 동전은 앞면, 주사위는 3의 배수의 눈이 나올 확률은 동전은 뒷면, 주사위는 소수의 눈이 나올 확률은 12 15 _ = 3 14 6 35 따라서 구하는 확률은 1 35 + 6 35 = ;5!; 0913 A 접시를 선택하여 고기 만두를 집을 확률은 _ = ;5#; ;1£0; ;2!; B 접시를 선택하여 고기 만두를 집을 확률은 0918 Ú 첫 번째에 노란 공, 두 번째에 파란 공을 꺼낼 확률은 ④ _ = ;4@; ;5#; ;1£0; Û 첫 번째에 파란 공, 두 번째에 노란 공을 꺼낼 확률은 _ = ;4#; ;5@; ;1£0; 따라서 구하는 확률은 + = ;5#; ;1£0; ;1£0; ;2!; 단계 채점 요소 0914 a+b가 짝수이려면 a, b가 모두 짝수이거나 모두 홀수 첫 번째에 노란 공, 두 번째에 파란 공을 꺼낼 확률 구하기 이어야 한다. 이때 a, b가 홀수일 확률은 각각 1- = , 3 4 ;4!; 첫 번째에 파란 공, 두 번째에 노란 공을 꺼낼 확률 구하기 두 공이 서로 다른 색일 확률 구하기 =(a, b가 모두 짝수일 확률)+(a, b가 모두 홀수일 확률) 0919 (적어도 한 개의 제품이 불량품일 확률) =1-(두 개의 제품 모두 불량품이 아닐 확률) =1- _ ;9&; ;8^; ;3!6&; =1- = ;1¦2; ;1°2; _ = ;5@; ;6$; ;1¢5; 따라서 구하는 확률은 + = ;5!; ;1¢5; ;1¦5; _ = ;6@; ;6!; ;2!; _ = ;6#; ;4!; ;2!; 따라서 구하는 확률은 + = ;4!; ;6!; ;1°2; _ = ;5@; ;5!; ;2!; 따라서 구하는 확률은 + = ;2!; ;5!; ;1£0; 1- = 이므로 ;9%; 4 9 (a+b가 짝수일 확률) = _ + _ ;4!; ;9$; ;9%; ;4#; = + = ;3!6@; ;3°6; ;3!6&; 78 정답과 풀이 ;2¢5; ;5!; ;5!; ;5#; 배점 40 % 40 % 20 % ;1°2; 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 78 2018-12-13 오후 6:52:32 0920 두 타자가 안타를 칠 확률은 각각 0.3= , 0.25= 3 10 ;4!; 0925 모든 경우의 수는 3_3=9 은주, 현주가 내는 것을 순서쌍 (은주, 현주)로 나타내면 0921 A, B, C 세 사람이 모두 맞히지 못할 확률은 의 3가지이므로 그 확률은 이므로 두 타자가 모두 안타를 치지 못할 확률은 1- { 3 10 } _ 1- { ;4!;} = _ = ;4#; ;4@0!; 7 10 ∴ (적어도 한 타자는 안타를 칠 확률) =1-(두 타자 모두 안타를 치지 못할 확률) =1- = ;4!0(; ;4@0!; 1- _ 1- ;3!;} { _ 1- ;2!;} { = _ _ ;2!; ;3@; ;4!; = ;4#;} ;1Á2; { ∴ (새가 총에 맞을 확률) =1-(세 사람이 모두 맞히지 못할 확률) =1- = ;1Á2; ;1!2!; ;1!2!; 0922 현진이가 이 문제를 풀지 못할 확률은 1- = ;4!; ;4#; 창민이가 이 문제를 풀 확률을 x라 하면 풀지 못할 확률은 1-x 1 이고, 두 사람 모두 이 문제를 풀지 못할 확률이 10 이므로 _(1-x)= ;1Á0; ;4!; 1-x= ∴ x= ;5@; ;5#; 따라서 창민이가 이 문제를 풀 확률은 ;5#; 이다. 단계 채점 요소 현진이가 이 문제를 풀지 못할 확률 구하기 미지수를 정하고 방정식 세우기 창민이가 이 문제를 풀 확률 구하기 1- = ;5#; ;5@; 이므로 구하는 확률은 _ = ;5@; ;3@; ;1¢5; 0924 (두 사람이 만나지 못할 확률) =1-(두 사람 모두 약속을 지킬 확률) =1- 1- { _ 1- ;3!;} { ;5$;} =1- _ =1- ;3@; ;5!; = ;1ª5; ;1!5#; 비기는 경우는 (가위, 가위), (바위, 바위), (보, 보) 의 3가지이므로 그 확률은 ③ 현주가 이기는 경우는 (가위, 바위), (바위, 보), (보, 가위) = ;9#; 1 3 3 9 = ;3!; 따라서 구하는 확률은 _ _ ;3!; ;3!; ;3!; = ;2Á7; ;2Á7; 0926 ⑴ 모든 경우의 수는 3_3_3=27 세 사람이 모두 다른 것을 내는 경우의 수는 3_2_1=6이므 세 사람이 모두 같은 것을 내는 경우의 수는 3이므로 그 확률 로 그 확률은 6 27 = ;9@; 은 3 27 = ;9!; ∴ (비길 확률) =(모두 다른 것을 낼 확률) +(모두 같은 것을 낼 확률) = 2 9 + = ;9!; ;3!; ⑵ 모든 경우의 수는 3_3_3=27 A, B, C가 내는 것을 순서쌍 (A, B, C)로 나타내면 Ú A만 이기는 경우는 (가위, 보, 보), (바위, 가위, 가위), (보, 바위, 바위) 의 3가지이므로 그 확률은 Û A와 B가 같이 이기는 경우는 (가위, 가위, 보), (바위, 바위, 가위), (보, 보, 바위) ;5#; 배점 20 % 40 % 40 % ;1¢5; Ü A와 C가 같이 이기는 경우는 (가위, 보, 가위), (바위, 가위, 바위), (보, 바위, 보) 의 3가지이므로 그 확률은 따라서 구하는 확률은 ;1!5#; + + = ;3!; ;9!; ;9!; ;9!; ⑴ ⑵ ;3!; ;3!; 10. 확률 79 3 27 = ;9!; 3 27 = ;9!; 3 27 = ;9!; 0923 A가 합격할 확률은 이고 B가 불합격할 확률은 ;3@; 의 3가지이므로 그 확률은 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 79 2018-12-13 오후 6:52:33 ;1Á8; 본문 p.136 ~ 138 본문 p.135 0931 세 원의 반지름의 길이의 비가 1 : 2 : 3이므로 반지름의 길이를 각각 x, 2x, 3x라 하면 세 원의 넓이는 각각 pxÛ`, 4pxÛ`, 0927 주사위를 던져 3의 배수의 눈이 나올 확률은 이때 4회 이내에 A가 이기려면 A는 1회 또는 3회에 이겨야 한다. = ;6@; ;3!; 이다. Ú 1회에 A가 이길 확률은 ;3!; Û 3회에 A가 이길 확률은 따라서 구하는 확률은 + ;3!; 4 27 = ;2!7#; 9pxÛ`이다. ∴ (3점을 얻을 확률) = (3점 부분의 넓이) (도형의 전체 넓이) 9pxÛ`-4pxÛ` 9pxÛ` = ;9%; = ;9%; 0932 점 P가 꼭짓점 A에서 출발하여 주사위를 첫 번째 던진 후에 꼭짓점 C에 위치하려면 주사위의 눈의 수가 2 또는 6이어야 또 점 P가 꼭짓점 C에서 출발하여 주사위를 두 번째 던진 후에 꼭짓점 B에 위치하려면 주사위의 눈의 수가 3이어야 하므로 그 1- _ 1- ;3!;} { _ = _ _ ;3@; ;3@; ;3!; = ;3!; ;3!;} { 4 27 하므로 그 확률은 = 1 3 ;6@; 0928 한 번의 경기에서 주아가 이길 확률은 1- = ;3@; ;3!; 이다. Ú 용진 - 용진의 순서로 이길 확률은 ;2!7#; 확률은 1 6 따라서 구하는 확률은 _ = ;6!; ;3!; ;1Á8; Û 용진 - 주아 - 용진의 순서로 이길 확률은 Ü 주아 - 용진 - 용진의 순서로 이길 확률은 _ = ;3@; ;3@; ;9$; _ _ ;3!; ;3@; ;3@; = ;2¢7; _ _ ;3@; ;3!; ;3@; = ;2¢7; 따라서 구하는 확률은 + + = ;2@7); ;2¢7; ;2¢7; ;9$; 면 우승한다. 0933 ① 모든 경우의 수는 2_2=4 모두 앞면이 나오는 경우는 (앞, 앞)의 1가지이므로 그 확률은 1 4 ;2@7); ② 모든 경우의 수는 6_6=36 두 주사위의 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 두 눈의 수의 합 0929 A팀이 이길 확률은 이고, A팀이 한 경기를 더 이기 이 5인 경우는 1 2 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) 의 4가지이므로 그 확률은 Ú A팀이 4번째 경기에서 이길 확률은 ;2!; Û A팀이 4번째 경기에서 지고 5번째 경기에서 이길 확률은 4 36 = ;9!; 0930 원판 A에서 소수는 2, 3이므로 원판 A에서 소수가 적 2 힌 부분을 맞힐 확률은 4 = 이다. ;2!; 원판 B에서 소수는 5, 7이므로 원판 B에서 소수가 적힌 부분을 _ = { 1- ;2!;} ;2!; 따라서 A팀이 우승할 확률은 ;4!; + ;2!; ;4!:=;4#; 맞힐 확률은 이다. 2 5 따라서 구하는 확률은 _ = ;5!; ;5@; ;2!; 80 정답과 풀이 ③ 모든 경우의 수는 20이고, 20의 약수인 경우는 1, 2, 4, 5, 10, 20 의 6가지이므로 그 확률은 ;4#; 6 20 = 3 10 ④ 모든 경우의 수는 =6 4_3 2 3 A가 뽑히는 경우의 수는 3이므로 그 확률은 6 = 1 2 ⑤ 모든 경우의 수는 5_4_3_2_1=120 A, B가 양 끝에 서는 경우의 수는 (3_2_1)_2=12 이므로 그 확률은 ;5!; 12 120 = 1 10 ⑤ 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 80 2018-12-13 오후 6:52:33 0934 모든 경우의 수는 4_3_2 3_2_1 =4 삼각형이 만들어지는 경우는 (2`cm, 3`cm, 4`cm), 0940 열차가 정시보다 늦게 도착할 확률은 (2`cm, 4`cm, 5`cm), (3`cm, 4`cm, 5`cm)의 3가지이므로 따라서 구하는 확률은 1- {;1¦2; + = ;4!;} ;6!; _ = ;6!; ;4!; ;2Á4; ;2Á4; 구하는 확률은 이다. 3 4 0935 ③ p+q=1이므로 p=1-q 0936 모든 경우의 수는 6_5_4_3_2_1=720 B, C가 이웃하여 서는 경우의 수는 (5_4_3_2_1)_2=240 이므로 그 확률은 ;7@2$0); ∴ (B, C가 이웃하여 서지 않을 확률) = ;3!; =1-(B, C가 이웃하여 설 확률) =1- = ;3@; ;3!; 0941 (한 발만 명중시킬 확률) =(첫 번째는 명중시키고 두 번째는 실패할 확률) +(첫 번째는 실패하고 두 번째는 명중시킬 확률) = _ 1- ;1¤0; { + 1- ;1¤0;} { _ ;1¤0;} ;1¤0; = + = ;2¤5; ;2¤5; ;2!5@; ;2!5@; 0942 비가 온 것을 ◯, 비가 오지 않은 것을 _로 나타내면 다 음과 같다. 금 토 _ 일 0937 모든 경우의 수는 2_2_2_2=16 네 개 모두 뒷면이 나오는 경우는 1가지이므로 그 확률은 따라서 금요일에 비가 왔을 때, 일요일에도 비가 올 확률은 1- _ + ;3!; ;5@; _ ;5@; = ;5@;} ;2»5; { ;2»5; 다. ∴ (적어도 한 개는 앞면이 나올 확률) =1-(네 개 모두 뒷면이 나올 확률) =1- 1 16 = ;1!6%; 0938 모든 경우의 수는 2_2_2_2=16 개가 나오는 경우는 (등, 등, 배, 배), (등, 배, 등, 배), (등, 배, 배, 등), (배, 등, 등, 배), (배, 등, 배, 등), (배, 배, 등, 등) 6 16 4 16 의 6가지이므로 그 확률은 걸이 나오는 경우는 의 4가지이므로 그 확률은 따라서 개나 걸이 나올 확률은 + = ;8%; ;1¢6; ;1¤6; (등, 배, 배, 배), (배, 등, 배, 배), (배, 배, 등, 배), (배, 배, 배, 등) 0943 첫 번째에 빨간 공이 나올 확률은 ;9$; ;1!6%; 두 번째에 빨간 공이 나올 확률은 ;8#; 세 번째에 흰 공이 나올 확률은 ;7#; 따라서 구하는 확률은 _ _ ;8#; ;9$; ;7#; = ;1Á4; ;1Á4; 0944 두 사람 중 한 사람만 맞혀도 풍선은 터지므로 (풍선이 터질 확률) =1-(두 사람 모두 맞히지 못할 확률) =1- 1- 2 3 } _ 1- { ;7$;} =1- _ ;7#; { 1 3 1 7 =1- = ;7^; ;7^; 0939 전구에 불이 들어오려면 A, B의 스위치가 모두 닫혀야 하므로 구하는 확률은 2 5 _ = 3 4 3 10 ② =1- = ;1¤2¢5; ;1¤2Á5; 0945 (세 문제 중 적어도 한 문제는 맞힐 확률) =1-(세 문제 모두 틀릴 확률) =1- 1- { _ 1- ;5!;} { _ 1- ;5!;} { ;5!;} ;1¤2Á5; 10. 확률 81 ;4#; ③ ;3@; 1 16 이 ;8%; 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 81 2018-12-13 오후 6:52:34 0946 (두 눈의 수의 곱이 짝수일 확률) =1-(두 눈의 수가 모두 홀수일 확률) =1- _ = ;4#; ;6#; ;6#; ;4#; 단계 채점 요소 해가 1일 확률 구하기 해가 5일 확률 구하기 해가 1 또는 5일 확률 구하기 0947 모든 경우의 수는 3_3=9 비기는 경우는 (가위, 가위), (바위, 바위), (보, 보)의 3가지이므 로 그 확률은 = ;9#; 1 3 ∴ (승부가 결정될 확률) =1-(비길 확률) =1- = 1 3 2 3 ⑤ 0948 A의 승률이 0.6= ;5@; 이때 세 번째 경기에서 A가 우승하려면 A-B-A 또는 ;5#; 이므로 B의 승률은 1- = 이다. 3 5 확률은 _ = ;6$; ;7$; 8 21 _ = ;6@; ;7#; 1 7 따라서 구하는 확률은 + = ;2!1!; ;7!; ;2¥1; 0951 Ú A 주머니에서 흰 공, B 주머니에서 검은 공을 꺼낼 Û A 주머니에서 검은 공, B 주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은 B-A-A의 순서로 이겨야 한다. Ú A-B-A의 순서로 이길 확률은 _ _ = ;5#; ;5@; ;5#; Û B-A-A의 순서로 이길 확률은 18 125 18 125 _ _ ;5#; ;5#; ;5@; = 따라서 구하는 확률은 18 125 + 18 125 = 36 125 단계 채점 요소 A 주머니에서 흰 공, B 주머니에서 검은 공을 꺼낼 확률 구 하기 A 주머니에서 검은 공, B 주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률 구 하기 두 공이 서로 다른 색일 확률 구하기 0949 도형의 전체 넓이는 p_6Û`=36p(cmÛ`) 표적 B의 넓이는 p_4Û`-p_2Û`=16p-4p=12p(cmÛ`) 따라서 화살이 표적 B에 맞을 확률은 12p 36p = ;3!; 0950 Ú 해가 1인 경우 : x=1을 ax-b=0에 대입하면 a-b=0, 즉 a=b이고 이를 만족시키는 경우를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)의 6가지이므로 그 확률은 ;3¤6; Û 해가 5인 경우 : x=5를 ax-b=0에 대입하면 5a-b=0, 즉 5a=b이고 이를 만족시키는 경우를 순서쌍 (a, b)로 나타 내면 (1, 5)의 1가지이므로 그 확률은 1 36 0952 두 명 모두 불합격할 확률은 1- _ 1- ;5@;} { = _ = ;5@; ;3@; ;5#; ;3!;} { 따라서 구하는 확률은 1- = ;5#; ;5@; 단계 채점 요소 두 명 모두 불합격할 확률 구하기 적어도 한 명은 합격할 확률 구하기 따라서 구하는 확률은 6 36 + = ;3¦6; ;3Á6; 82 정답과 풀이 0953 주사위를 두 번 던졌을 때, 점 P가 꼭짓점 C에 오려면 두 눈의 수의 합이 2 또는 7 또는 12이어야 한다. 두 눈의 수의 합이 2인 경우는 (1, 1)의 1가지이므로 그 확률은 1 36 ② ;3!; ;3¦6; 배점 40 % 40 % 20 % ;2!1!; 배점 40 % 40 % 20 % ;5#; 배점 60 % 40 % 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 82 2018-12-13 오후 6:52:35 0956 모든 경우의 수는 6_6=36 5a+b가 4의 배수인 경우를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 a=1일 때, (1, 3)의 1가지 a=2일 때, (2, 2), (2, 6)의 2가지 a=3일 때, (3, 1), (3, 5)의 2가지 a=4일 때, (4, 4)의 1가지 a=5일 때, (5, 3)의 1가지 a=6일 때, (6, 2), (6, 6)의 2가지 이므로 그 경우의 수는 1+2+2+1+1+2=9 따라서 구하는 확률은 = ;4!; ;3»6; 0957 공이 B로 나오는 경우는 다음과 같이 3가지이다. 입구 입구 입구 A B C D A B C D A B C D 이때 각 갈림길에서 공이 어느 한쪽으로 빠져나갈 확률은 모두 1 2 1 이므로 각 경우의 확률은 모두 2 _ _ = ;2!; ;8!; ;2!; 이다. 따라서 구하는 확률은 + + = ;8#; ;8!; ;8!; ;8!; ;4!; ;8#; 두 눈의 수의 합이 7인 경우는 (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) 의 6가지이므로 그 확률은 두 눈의 수의 합이 12인 경우는 (6, 6)의 1가지이므로 6 36 그 확률은 1 36 따라서 구하는 확률은 + + = ;9@; ;3Á6; ;3¤6; ;3Á6; 채점 요소 단계 점 P가 꼭짓점 C에 올 조건 구하기 두 눈의 수의 합이 2일 확률 구하기 두 눈의 수의 합이 7일 확률 구하기 두 눈의 수의 합이 12일 확률 구하기 점 P가 꼭짓점 C에 올 확률 구하기 A 0954 4개의 점을 택하여 만들 수 있는 직사 각형은 ADEB, BEFC, DGHE, EHIF, ADFC, DGIF, AGHB, BHIC, AGIC, BDHF B E H C F I D G 의 10개이고, 이 중에서 정사각형은 ADEB, BEFC, DGHE, EHIF, AGIC, BDHF 의 6개이다. 따라서 구하는 확률은 = ;5#; ;1¤0; 0955 모든 경우의 수는 6_6_6=216 주사위를 세 번 던져서 11의 위치에 있으려면 2의 배수가 두 번, 3의 배수가 한 번 나와야 한다. 이때 6의 눈이 나오는 경우에는 움직이지 않으므로 6을 제외한 2의 배수는 2, 4이고, 6을 제외한 3의 배수는 3이다. 즉, 주어진 조건을 만족시키는 경우는 (3, 2, 2), (3, 2, 4), (3, 4, 2), (3, 4, 4), (2, 3, 2), (2, 3, 4), (4, 3, 2), (4, 3, 4), (2, 2, 3), (2, 4, 3), (4, 2, 3), (4, 4, 3) 의 12가지이므로 구하는 확률은 12 216 = ;1Á8; ;9@; 배점 20 % 20 % 20 % 20 % 20 % ;5#; ;1Á8; 알피엠_중2-2_해답_09~10강(066~084)_ok.indd 83 2018-12-13 오후 6:52:36 10. 확률 83 =66ù-48ù=18ù 18ù 오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면 01 이등변삼각형 01 △ BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로 ∠BDC=∠C=66ù ∴ ∠DBC=180ù-(66ù+66ù)=48ù △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C=66ù ∴ ∠ABD =∠ABC-∠DBC 02 ∠ BEA=∠a, ∠CDA=∠b라 하면 △BAE, △CAD가 각각 이등변삼각형이므로 ∠BAE=∠BEA=∠a, ∠CAD=∠CDA=∠b이고 ∠B=180ù-2∠a, ∠C=180ù-2∠b △ADE에서 32ù+∠a+∠b=180ù ∴ ∠a+∠b=148ù ∴ ∠B+∠C =(180ù-2∠a)+(180ù-2∠b) =360ù-2(∠a+∠b) =360ù-2_148ù=64ù 03 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하 므로 ADÓ⊥BCÓ이고 BDÓ= BCÓ= _10=5(cm) 1 2 1 2 또 AEÓ：EDÓ=2：1이므로 EDÓ= ADÓ= _12=4(cm) ;3!; 1 2+1 ∴ △BDE = _BDÓ_EDÓ= 1 2 1 2 _5_4=10(cmÛ`) ② 04 ∠ B=∠a라 하면 △EBD에서 EBÓ=EDÓ이므로 ∠EDB=∠B=∠a ∠DEA=∠B+∠EDB=∠a+∠a=2∠a △DEA에서 DEÓ=DAÓ이므로 ∠DAE=∠DEA=2∠a △ABD에서 ∠ADC=∠B+∠DAB=∠a+2∠a=3∠a △ADC에서 ADÓ=ACÓ이므로 ∠ACD=∠ADC=3∠a △ABC에서 ∠a+3∠a+96ù=180ù 4∠a=84ù ∴ ∠a=21ù 이때 ∠ACD=∠DCE이므로 Ⅰ. 삼각형의 성질 ∠ACD= ∠ACE= _112ù=56ù 1 2 본문 140~141쪽 ∠BCD =∠ACB+∠ACD =68ù+56ù=124ù △CBD에서 CBÓ=CDÓ이므로 1 2 1 2 ∠BDC= _(180ù-124ù)=28ù ① 06 △ ABC에서 ∠B=∠C이므로 ACÓ=ABÓ=8`cm △ABC=△ABD+△ADC이므로 30= _8_3+ _8_DFÓ 1 2 1 2 30=12+4DFÓ, 4DFÓ=18 ∴ DFÓ= (cm) ;2(; A 8 cm E 3 cm B D F C ③ 07 △ ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 64ù ∠ABC=∠ACB= _(180ù-48ù)=66ù 1 2 △BCE와 △CBD에서 ∠BEC=∠CDB=90ù, BCÓ는 공통, ∠CBE=∠BCD 이므로 △BCEª△CBD(RHA 합동) 따라서 ∠BCE=∠CBD=180ù-(90ù+66ù)=24ù이므로 △BCF에서 ∠CFD=24ù+24ù=48ù ② 08 △ ADB와 △CEA에서 ∠BDA=∠AEC=90ù, ABÓ=CAÓ, ∠DBA=90ù-∠BAD=∠EAC 이므로 △ADBª△CEA(RHA 합동) 따라서 AEÓ=BDÓ=8`cm, ECÓ=DAÓ=14-8=6(cm)이므로 △ABC =(사각형 DBCE의 넓이)-(△ADB+△CEA) = _(8+6)_14- _8_6+ _8_6 1 2 { 1 2 } 1 2 =98-(24+24)=50(cmÛ`) ② 09 △ BCD와 △BED에서 ∠BCD=∠BED=90ù, BDÓ는 공통, BCÓ=BEÓ 이므로 △BCDª△BED(RHS 합동) 이때 △ABC가 직각이등변삼각형이므로 ∠A=45ù 따라서 △AED에서 ∠ADE=∠A=∠45ù이므로 △AED는 EAÓ=EDÓ인 직각이등변삼각형이다. △ADC에서 ∠ADC=∠ACD=3∠a=3_21ù=63ù이므로 ∠DAC=180ù-(63ù+63ù)=54ù ④ ∴ DEÓ=DCÓ=6`cm 05 △ ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB= _(180ù-44ù)=68ù ∴ AEÓ=DEÓ=6`cm 1 2 ∴ ∠ACE=180ù-∠ACB=180ù-68ù=112ù ∴ △AED= _6_6=18(cmÛ`) ;2!; ② 84 정답과 풀이 알피엠_중2-2_실력업_해설(084-096)_ok.indd 84 2018-12-13 오후 6:53:00 10 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 E라 하면 A 12 cm 20 cm E △DBF와 △DEC에서 DBÓ=DEÓ, ∠DBF=∠DEC, BFÓ=ECÓ 이므로 △DBFª△DEC(SAS 합동) B 6 cm D C 즉, ∠DCE=∠DFB=36ù ∴ ∠y=36ù △ABD와 △AED에서 ∠ABD=∠AED=90ù, ADÓ는 공통, ∠BAD=∠EAD 이므로 △ABDª△AED(RHA 합동) 따라서 EDÓ=BDÓ=6`cm이므로 △ABC =△ABD+△ADC = _6_12+ _20_6 1 2 1 2 =36+60=96(cmÛ`) 11 △ ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C= _(180ù-68ù)=56ù 1 2 △DBE와 △ECF에서 DBÓ=ECÓ, BEÓ=CFÓ, ∠B=∠C 이므로 △DBEª△ECF(SAS 합동) ∴ DEÓ=EFÓ, ∠BED=∠CFE, ∠BDE=∠CEF ∴ ∠DEF =180ù-(∠BED+∠CEF) =180ù-(∠BED+∠BDE) =∠B=56ù 이때 △DEF가 EDÓ=EFÓ인 이등변삼각형이므로 ∠x= _(180ù-56ù)=62ù 1 2 12 △BCD는 CBÓ=CDÓ인 이등변 삼각형이므로 ∠ADB=∠x, ∠CBD=∠CDB=∠y라 하면 y △CAD는 CAÓ=CDÓ인 이등변삼각형이므로 B A D x y 104ù C ∠ACD=180ù-2(∠x+∠y) yy ㉠ △CBD에서 ∠ACD=180ù-(∠y+∠y+104ù) yy ㉡ ㉠, ㉡에서 180ù-2(∠x+∠y)=180ù-(∠y+∠y+104ù) 2∠x=104ù ∴ ∠x=52ù ∴ ∠ADB=∠x=52ù 한편 △DBE에서 ∠x+(∠x+∠y)+(∠x+∠y)=180ù이므 로 3∠x+2∠y=180ù, 3∠x+2_36ù=180ù 3∠x=108ù ∴ ∠x=36ù ∴ ∠DAC=∠x=36ù 36ù ④ 02 삼각형의 외심과 내심 Ⅰ. 삼각형의 성질 본문 142~143쪽 01 △ OBE와 △OAE의 넓이가 같고, △OBF와 △OCF의 넓이가 같으므로 △ABC =2_(사각형 EBFO의 넓이)+2△ODA =2_18+2_ _5_4 } 1 2 { =36+20=56(cmÛ`) 56`cmÛ` 02 ∠ AOH=180ù-(90ù+28ù)=62ù 점 O가 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ 따라서 △OAB는 이등변삼각형이므로 ∠B=∠OAB ④ ∠AOH=∠B+∠OAB=2∠B=62ù ∴ ∠B=31ù ① 03 점 D가 직각삼각형 ABH의 외심이므로 DAÓ=DBÓ=DHÓ 즉, △DBH는 이등변삼각형이므로 ∠BDH=180ù-(76ù+76ù)=28ù 또 ACÓDEÓ이므로 ∠BDE=∠BAC=62ù(동위각) ∴ ∠HDE=∠BDE-∠BDH=62ù-28ù=34ù 34ù 04 ∠ BAC =180ù_ =180ù_ =48ù 4 4+5+6 4 15 ∴ ∠BOC =2∠BAC=2_48ù=96ù ④ 13 ∠DAC=∠DCA=∠x라 하면 ∠EDC=∠DCA=∠x (엇각) ∠BDE=∠DAC=∠x (동위각) △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이 므로 ∠DCE=∠y라 하면 ∠ABC=∠ACB=∠x+∠y △DEC에서 ∠DEB=∠x+∠y이므로 △DBE는 DBÓ=DEÓ인 이등변삼각형이다. ⑤ A x 05 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠BAI=∠IAE=∠a, ∠ABI=∠IBD=∠b라 하면 36ù F D x x B E ∠x+∠y x y C △ABC에서 2(∠a+∠b)+64ù=180ù 2(∠a+∠b)=116ù ∴ ∠a+∠b=58ù △ADC에서 ∠ADB=∠a+64ù △BEC에서 ∠AEB=∠b+64ù A a a I D E b b B 64ù C ∴ ∠ADB+∠AEB =(∠a+64ù)+(∠b+64ù) =(∠a+∠b)+128ù =58ù+128ù=186ù ② 실력 Up+ 85 알피엠_중2-2_실력업_해설(084-096)_ok.indd 85 2018-12-13 오후 6:53:02 06 IBÕ, ICÕ를 그으면 DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC(엇각) 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC ∴ ∠DBI=∠DIB 따라서 DIÓ=DBÓ=5`cm 같은 방법으로 EIÓ=ECÓ=6`cm ∴ DEÓ=DIÓ+EIÓ=5+6=11(cm) ③ 07 이등변삼각형의 내심은 꼭지각의 이등분선 위에 있고, 꼭 지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 ADÓ⊥BCÓ △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 △ABC의 넓이에서 _r_(10+10+12)= 1 2 16r=48 ∴ r=3 1 2 ∴ AEÓ =ADÓ-EDÓ =8-2_3=2(cm) _12_8 08 오른쪽 그림과 같이 △ABC의 내 접원과 세 변의 접점을 각각 D, E, F 라 하고, IDÓ, IEÓ를 그으면 사각형 DBEI는 정사각형이다. ADÓ=AFÓ=a`cm, A a cm D a cm F I r cm EB b cm CEÓ=CFÓ=b`cm라 하고, △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 ③ b cm C r`cm라 하면 ACÓ=a+b=15`cm ABÓ+BCÓ =(a+r)+(r+b) =(a+b)+2r =15+2r=21(cm) 2r=6 ∴ r=3 ∠ABC=∠ACB= _(180ù-44ù)=68ù 09 점 O가 △ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_44ù=88ù △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC= _(180ù-88ù)=46ù 한편 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠IBC= ∠ABC= _68ù=34ù ∠ICB= ∠ACB= _68ù=34ù 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ∠OBI+∠ICB=12ù+34ù=46ù 86 정답과 풀이 10 점 O가 △ABC의 외심이므로 ∠AOC=2∠B=2_68ù=136ù 또 점 O가 △ACD의 외심이므로 ∠D= _(360ù-136ù)=112ù 1 2 점 I가 △ACD의 내심이므로 ∠AIC =90ù+ ∠D 1 2 1 2 11 오른쪽 그림과 같이 △ABC의 내 접원과 세 변의 접점을 각각 D, E, F라 하고, IFÓ를 그으면 사각형 IECF는 정 사각형이다. BCÓ=a`cm, CAÓ=b`cm라 하면 BDÓ=BEÓ=(a-1)`cm, ADÓ=AFÓ=(b-1)`cm 이때 ABÓ=2OBÓ=2_3=6(cm)이므로 (a-1)+(b-1)=6 ∴ a+b=8 ∴ △ABC = _1_(a+b+6) =90ù+ _112ù=146ù ⑤ A b`cm O D 3`cm I F B 1`cm a`cm E C 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = _1_(8+6)=7(cmÛ`) 7`cmÛ` 12 △ ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB= _(180ù-76ù)=52ù ∴ ∠ICD= ∠ACB= _52ù=26ù 1 2 △ABC의 외심 O는 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 ∠ODC=90ù 따라서 △DEC에서 13 ADÓBCÓ이므로 ∠ADB=∠DBC=∠x (엇각) △ABD가 이등변삼각형이므로 꼭짓점 A와 내심 I를 지나는 직 선은 BDÓ와 수직이다. ∴ ∠DAE=90ù-∠x △BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로 ∠BDC= _(180ù-∠x)=90ù- ∠x 1 2 점 I'이 △BCD의 내심이므로 ∠BDE= ∠BDC= _ 90ù- 1 2 { 1 2 ∠x } =45ù- ∠x ;4!; △AED에서 (90ù-∠x)+∠x+ 45ù- 1 4 { ∠x } +55ù=180ù 따라서 ∠OBI=∠OBC-∠IBC=46ù-34ù=12ù이므로 ① 1 4 ∠x=10ù ∴ ∠x=40ù 40ù 따라서 △ABC의 내접원의 반지름의 길이는 3`cm이다. ③ ∠DEC=180ù-(90ù+26ù)=64ù 64ù 알피엠_중2-2_실력업_해설(084-096)_ok.indd 86 2018-12-13 오후 6:53:04 03 평행사변형 Ⅱ. 사각형의 성질 본문 144~145쪽 06 ∠ AEC=∠x라 하면 ∠EAC =∠DAE 01 ∠ BEA=∠DAE (엇각)이므로 △ABE는 이등변삼각형 이다. ∴ BEÓ=BAÓ=8`cm 또 ∠CFD=∠ADF(엇각)이므로 △DFC는 이등변삼각형이다. ∴ CFÓ=CDÓ=ABÓ=8`cm 이때 BCÓ=ADÓ=10`cm이므로 BFÓ=BCÓ-CFÓ=10-8=2(cm) ∴ FEÓ=BEÓ-BFÓ=8-2=6(cm) ④ 02 ∠ MCE=∠DCE(접은 각) AFÓCDÓ이므로 ∠ECD=∠AFE(엇각) ∴ ∠MCE=∠AFE 따라서 △MCF는 이등변삼각형이므로 MFÓ=MCÓ=CDÓ=ABÓ=12`cm AMÓ= ABÓ= _12=6(cm)이므로 ;2!; ;2!; AFÓ=MFÓ-AMÓ=12-6=6(cm) 6`cm 03 ∠ C=∠x라 하면 ∠BAD=∠C=∠x이므로 ∠BAH=∠DAH= ∠x 1 2 또 ∠B+∠C=180ù이므로 ∠B=180ù-∠x ABEH에서 ∠x+(180ù-∠x)+145ù+90ù=360ù 1 2 1 2 ∠x=55ù ∴ ∠x=110ù ∴ ∠C=∠x=110ù A x x D 68ù B 54ù C x E =∠AEC(엇각)=∠x 이고 평행사변형의 대각의 크기는 같 으므로 ∠D=∠B=68ù △ACD에서 2∠x+54ù+68ù=180ù 2∠x=58ù ∴ ∠x=29ù ∴ ∠AEC=∠x=29ù ② ③ ④ 07 ABCD가 평행사변형이므로 △BCD=△ABD=6`cmÛ` BCÓ=CEÓ, DCÓ=CFÓ에서 BFED는 평행사변형이므로 △BCD=△DCE=△CFE=△BFC=6`cmÛ` ∴ BFED=4_6=24(cmÛ`) 08 ④ △PAB+△PCD =△PDA+△PBC = ABCD 1 2 09 EDÓ=OCÓ=AOÓ이고, EDÓOCÓ에서 EDÓAOÓ이므로 AODE는 평행사변형이다. 따라서 AFÓ=DFÓ, OFÓ=EFÓ이므로 ADÓ=2AFÓ, ABÓ=CDÓ=OEÓ=2OFÓ ∴ (ABCD의 둘레의 길이) =2(ABÓ+ADÓ) =4(OFÓ+AFÓ) =4_32=128(cm) ⑤ 110ù 다른 풀이 △AOF와 △DEF에서 04 ∠ ADC=∠B=56ù이고 ∠ADE：∠EDC=3：1이므로 ∠ADE= ∠ADC= _56ù=42ù 3 3+1 3 4 OAÓ=OCÓ=EDÓ, ∠AOF=∠DEF(엇각), ∠OAF=∠EDF(엇각) 이므로 △AOFª△DEF(ASA합동) △AED에서 ∠EAD=180ù-(88ù+42ù)=50ù 따라서 AFÓ=DFÓ, OFÓ=EFÓ이므로 한편 ∠BAD+∠B=180ù이므로 ∠BAD=180ù-56ù=124ù ∴ ∠BAE =∠BAD-∠EAD =124ù-50ù=74ù 74ù ADÓ=2AFÓ, ABÓ=CDÓ=OEÓ=2OFÓ ∴ (ABCD의 둘레의 길이) =2(ABÓ+ADÓ) =4(OFÓ+AFÓ) =4_32=128(cm) 05 ∠ ADP=∠CDP=∠a, ∠BCP=∠DCP=∠b라 하면 A D P a a b b C 10 점 P가 점 A를 출발한 지 x초 후에 APÓ=4x(cm), CQÓ=6(x-4)(cm) ∠ADC+∠BCD=180ù이므로 B 이때 APCQ가 평행사변형이 되려면 APÓ=CQÓ이어야 하므로 2∠a+2∠b=180ù ∴ ∠a+∠b=90ù 따라서 △PCD에서 ∠DPC =180ù-(∠a+∠b)=180ù-90ù=90ù 90ù 12초 후이다. 4x=6(x-4), -2x=-24 ∴ x=12 따라서 APCQ가 평행사변형이 되는 것은 점 P가 출발한 지 ⑤ 실력 Up+ 87 알피엠_중2-2_실력업_해설(084-096)_ok.indd 87 2018-12-13 오후 6:53:05 11 AEÓFCÓ이고 두 점 E, F가 각각 ABÓ, CDÓ의 중점이므로 AEÓ=FCÓ가 되어 AECF는 평행사변형이다. 04 여러 가지 사각형 Ⅱ. 사각형의 성질 본문 146~147쪽 따라서 AFÓECÓ 오른쪽 그림과 같이 대각선 AC를 긋고 E A D F H O G B C ACÓ와 BDÓ의 교점을 O라 하면 △AOH와 △COG에서 OAÓ=OCÓ, ∠OAH=∠OCG(엇각), ∠AOH=∠COG(맞꼭지각) 이므로 △AOHª△COG(ASA합동) 따라서 △AOH=△COG이므로 AEGH =AEGO+△AOH=AEGO+△COG 01 ∠ BAE=∠EAC=∠x라 하면 △ECA에서 ECÓ=EAÓ이므로 ∠ECA=∠EAC=∠x ADÓBCÓ이므로 ∠DAC=∠ACE=∠x(엇각) 이때 ∠DAB=90ù이므로 3∠x=90ù ∴ ∠x=30ù 따라서 △ECA에서 =△AEC= ABCD 1 4 = _60=15(cmÛ`) 1 4 15`cmÛ` 02 ABCD가 마름모이므로 ABÓ =BCÓ=CDÓ=DAÓ ∠AEC=180ù-(30ù+30ù)=120ù ③ △ABC에서 ∠B=60ù이고 BAÓ=BCÓ이므로 △ABC는 정삼각 = _32=8(cm) 1 4 형이다. ∴ ACÓ=ABÓ=8`cm 03 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면 △ABH와 △ACH에서 ② y D A x C B H 이때 ABÓ=BCÓ이므로 △ABC는 정삼각형이다. 즉, ∠B=60ù이므로 ∠y=∠D=∠B=60ù 또 ∠x+∠y=180ù이므로 ∠x=120ù ∴ ∠x-∠y=120ù-60ù=60ù ② 04 △ ABE와 △CBE에서 ABÓ=CBÓ, BEÓ는 공통, ∠ABE=∠CBE 이므로 △ABEª△CBE(SAS 합동) ∴ ∠AEB=∠CEB=68ù 한편 ABCD가 정사각형이므로 ∠ADB=45ù 따라서 △AED에서 ∠DAE+45ù=68ù ∴ ∠DAE=23ù 05 △ DBC에서 ∠DBC=180ù-(85ù+60ù)=35ù ∠ADB=∠DBC=35ù(엇각)이므로 △ABD에서 ∠x+∠y+35ù=180ù 12 Ú 점 P가 점 B와 일치할 때, ∠ BAQ=∠DAQ=∠AQB(엇각)이므로 BQÓ=BAÓ=8`cm Û 점 P가 점 C와 일치할 때, ∠ QAC=∠DAQ=∠AQC(엇각)이므로 CQÓ=CAÓ=12`cm 13 A D 44ù F H E 28ù B C 하자. △EBC와 △EFD에서 ECÓ=EDÓ, ∠BCE=∠FDE (엇각), ∠BEC=∠FED(맞꼭지각) 이므로 △EBCª△EFD(ASA합동) ∴ DFÓ=CBÓ=ADÓ ∴ ∠AFH= _44ù=22ù 1 2 즉, ∠EBC=∠EFD=∠AFH=22ù 또 ∠BEC=∠ABE=28ù(엇각)이므로 88 정답과 풀이 위의 그림과 같이 ADÓ의 연장선과 BEÓ의 연장선의 교점을 F라 이때 △AHF는 직각삼각형이므로 점 D는 △AHF의 외심이다. 따라서 ADÓ=DFÓ=DHÓ이므로 △DHF는 이등변삼각형이다. 23ù △BCE에서 ∠C=180ù-(28ù+22ù)=130ù 130ù ∴ ∠x+∠y=145ù ③ 즉, BQÓ=BCÓ+CQÓ=10+12=22(cm) BHÓ=CHÓ, AHÓ는 공통, 따라서 점 P가 점 B에서 점 C까지 움직이는 동안 점 Q가 움직인 ∠AHB=∠AHC 거리는 22-8=14(cm) 이므로 △ABHª△ACH(SAS 합동) ① ∴ ABÓ=ACÓ 알피엠_중2-2_실력업_해설(084-096)_ok.indd 88 2018-12-13 오후 6:53:07 06 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A를 지나고 DCÓ에 평행한 직선이 BCÓ와 만 나는 점을 E라 하면 AECD는 평행 A 6 cm D 10 cm 60ù B E C 사변형이므로 ECÓ=ADÓ=6`cm, AEÓ=DCÓ=10`cm 또 ∠C=∠B=60ù에서 ∠AEB=∠C=60ù이므로 △ABE는 정삼각형이다. 즉, BEÓ=AEÓ=10`cm이고 ABÓ=DCÓ=10`cm이므로 11 ADÓBCÓ이므로 △ABE=△DBE BDÓEFÓ이므로 △DBE=△DBF ABÓDCÓ이므로 △DBF=△AFD ∴ △ABE=△DBE=△DBF=△AFD ⑤ (ABCD의 둘레의 길이)=10+10+6+10+6=42(cm) ∴ △ABO=△OCD=20`cmÛ` 12 ADÓBCÓ이므로 △ABC=△DBC에서 △ABO+△OBC=△OCD+△OBC 42`cm 이때 OBÓ：ODÓ=3：2이므로 △ABO：△AOD=3：2 ∴ △AOD = △ABO 07 △ AOE와 △COF에서 AOÓ=COÓ, ∠AOE=∠COF=90ù, ∠EAO=∠FCO (엇각) 이므로 △AOEª△COF(ASA 합동) 즉, AFCE는 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하므로 ∴ EOÓ=FOÓ 마름모이다. 이때 AEÓ=16-6=10(cm)이므로 (AFCE의 둘레의 길이) =4AEÓ = _20= (cmÛ`) 40 3 40 3 `cmÛ` 13 ∠ BAD=180ù-74ù=106ù이므로 ∠PAD=106ù-60ù=46ù 이때 ADÓ=ABÓ=APÓ에서 △APD는 이등변삼각형이다. =4_10=40(cm) 40`cm ∴ ∠x= _(180ù-46ù)=67ù 또 ∠CBP=74ù-60ù=14ù이고 BCÓ=BAÓ=BPÓ에서 △BCP 08 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 것은 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형의 4개이므로 a=4 두 대각선의 길이가 같은 것은 등변사다리꼴, 직사각형, 정사각 형의 3개이므로 b=3 로 c=2 두 대각선이 수직으로 만나는 것은 마름모, 정사각형의 2개이므 ∴ a+b+c=4+3+2=9 9 는 이등변삼각형이다. ∴ ∠BCP= _(180ù-14ù)=83ù 이때 ∠BCD=∠BAD=106ù이므로 ∠y=106ù-83ù=23ù ∴ ∠x+∠y=67ù+23ù=90ù ④ 2 3 ;3@; 1 2 1 2 09 ACÓBFÓ이므로 △ABC=△AFC ADÓEGÓ이므로 △ADE=△ADG ∴ (오각형 ABCDE의 넓이) =△ABC+△ACD+△ADE 14 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면 ADÓBCÓ이므로 A D =△AFC+△ACD+△ADG =△AFG=△AFD+△ADG =42+(38-24) =56(cmÛ`) ① △DBF=△ABF=15`cmÛ` 또 AEÓDCÓ이므로 △BED=△BEC ∴ △FEC =△BEC-△BEF =△BED-△BEF =△DBF=15`cmÛ` F C B E 15`cmÛ` 10 △ EOC = △EBC= _ ;5@; ;7$; △ABC 2 5 = 8 35 △ABC 이때 △EOC의 넓이가 16`cmÛ`이므로 8 35 △ABC=16 35 8 ∴ △ABC=16_ =70(cmÛ`) 70`cmÛ` 05 도형의 닮음 Ⅲ. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 본문 148~149쪽 01 ② 한 내각의 크기가 같은 두 마름모는 대응각의 크기가 모 두 같고 네 변의 길이의 비가 같으므로 항상 닮음이다. ② 실력 Up+ 89 알피엠_중2-2_실력업_해설(084-096)_ok.indd 89 2018-12-13 오후 6:53:08 02 ① 점 B의 대응점은 점 F이다. ② ABÓ：EFÓ=6：10=3：5이므로 07 △ ABC와 △ACD에서 ABÓ：ACÓ=ACÓ：ADÓ=2：1, ∠A는 공통 ABCD와 EFGH의 닮음비는 3：5이다. ∴ △ABC»△ACD(SAS 닮음) ③ BCÓ：FGÓ=3：5 즉, BCÓ：CDÓ=2：1에서 9：CDÓ=2：1, 2CDÓ=9 ④ CDÓ：8=3：5이므로 5CDÓ=24 ∴ CDÓ= (cm) 24 5 ∴ CDÓ= (cm) ;2(; ⑤ ⑤ ∠G=∠C=75ù, ∠E=∠A=90ù이므로 EFGH에서 ∠ F=360ù-(90ù+125ù+75ù)=70ù ④ 03 AOÓ：BOÓ=4：6=2：3이므로 △AOB와 △BOC, △BOC와 △COD의 닮음비는 모두 2：3이다. BOÓ：COÓ=2：3에서 6：COÓ=2：3, 2COÓ=18 COÓ：DOÓ=2：3에서 9：DOÓ=2：3이므로 2DOÓ=27 ∴ COÓ=9(cm) ∴ DOÓ= (cm) 27 2 ∴ COÓ+DOÓ=9+ = (cm) 27 2 45 2 ② 04 △ ADE와 △AFG에서 ADÓ：AFÓ=AEÓ：AGÓ=1：2, ∠A는 공통 이므로 △ADE»△AFG(SAS 닮음) 또 △ADE와 △ABC에서 ADÓ：ABÓ=AEÓ：ACÓ=1：3, ∠A는 공통 이므로 △ADE»△ABC(SAS 닮음) 즉, 세 삼각형 ADE, AFG, ABC의 닮음비가 1：2：3이므로 넓이의 비는 1Û`：2Û`：3Û`=1：4：9이다. ∴ DFGE：FBCG =(4-1)：(9-4) 05 두 구의 단면의 넓이의 비가 4：25=2Û`：5Û`이므로 닮음비 는 2：5이고 부피의 비는 2Ü`：5Ü`=8：125이다. 구 O의 부피를 x`cmÜ`라 하면 x： p=8：125 125 2 125x=500p ∴ x=4p 06 물이 채워져 있는 부분의 원뿔과 그릇의 높이의 비가 4：12=1：3이므로 부피의 비는 1Ü`：3Ü`=1：27이다. 더 부어야 하는 물의 양을 x`cmÜ`라 하면 1：(27-1)=6p：x ∴ x=26_6p=156p 90 정답과 풀이 08 △ ABC와 △DAC에서 ∠ABC=∠DAC, ∠C는 공통 ∴ △ABC»△DAC(AA 닮음) 즉, ACÓ：DCÓ=BCÓ：ACÓ이므로 4：DCÓ=8：4 8DCÓ=16 ∴ DCÓ=2(cm) ∴ BDÓ =BCÓ-DCÓ=8-2=6(cm) 6`cm 09 ABÓ Û`=BDÓ_BCÓ이므로 20Û`=16_BCÓ ∴ BCÓ=25(cm) CDÓ=BCÓ-BDÓ=25-16=9(cm) 또 ADÓ Û`=DBÓ_DCÓ이므로 ADÓ Û`=16_9=144 그런데 ADÓ>0이므로 ADÓ=12(cm) ∴ △ADC = _ADÓ_CDÓ= _12_9=54(cmÛ`) ⑤ 1 2 1 2 10 △ AFE와 △CFB에서 ∠EAF=∠BCF(엇각), ∠AFE=∠CFB(맞꼭지각) ∴ △AFE»△CFB(AA 닮음) 즉, AFÓ：CFÓ=AEÓ：CBÓ이므로 6：9=AEÓ：18, 9AEÓ=108 ∴ AEÓ=12(cm) 11 ADÓ=FDÓ=14`cm이므로 ABÓ=14+16=30(cm) 즉, 정삼각형 ABC의 한 변의 길이는 30`cm이다. 이때 BFÓ=BCÓ-FCÓ=30-20=10(cm) 한편 △DBF에서 ∠B=60ù이므로 ∠BDF+∠BFD=120ù yy ㉠ yy ㉡ ㉠, ㉡에 의해 ∠BDF=∠CFE 또 ∠B=∠C이므로 △DBF»△FCE(AA 닮음) 따라서 △DBF와 △FCE의 닮음비는 DBÓ：FCÓ=16：20=4：5이고 (△DBF의 둘레의 길이)=16+10+14=40(cm)이므로 =3：5 ④ 이때 ADÓ=BCÓ=18`cm이므로 DEÓ =ADÓ-AEÓ=18-12=6(cm) 6`cm 따라서 더 부어야 하는 물의 양은 156p`cmÜ`이다. ④ (△CEF의 둘레의 길이)=40_ =50(cm) ① ;4%; 따라서 구 O의 부피는 4p`cmÜ`이다. 4p`cmÜ` ∠DFE=60ù이므로 ∠BFD+∠CFE=120ù 알피엠_중2-2_실력업_해설(084-096)_ok.indd 90 2018-12-13 오후 6:53:10 12 큰 쇠공과 작은 쇠공의 닮음비가 10：2=5：1이므로 부피 의 비는 5Ü`：1Ü`=125：1 이때 CDÓ：CAÓ=DEÓ：ABÓ이므로 8：12=7：ABÓ, 8ABÓ=84 따라서 큰 쇠공 1개를 녹여 작은 쇠공 125개를 만들 수 있다. 큰 쇠공과 작은 쇠공의 겉넓이의 비는 5Û`：1Û`=25：1이므로 ∴ ABÓ= (cm) 21 2 작은 쇠공 1개의 겉넓이를 S라 하면 (작은 쇠공 125개의 겉넓이의 합)=125S (큰 쇠공 1개의 겉넓이)=25S 따라서 만들어진 모든 작은 쇠공의 겉넓이의 합과 큰 쇠공 1개의 03 BCÓDEÓ이므로 AEÓ：ECÓ=ADÓ：DBÓ=12：6=2：1 DCÓFEÓ이므로 AFÓ：FDÓ=AEÓ：ECÓ=2：1 겉넓이의 비는 125S：25S=5：1 ② ∴ FDÓ=12_ =4(cm) 4`cm 1 2+1 21 2 `cm 13 △ QED»△QGB(AA 닮음)이고 EDÓ= ADÓ= BCÓ, BGÓ= BCÓ이므로 ;2!; ;2!; ;4#; 닮음비는 EDÓ：GBÓ= BCÓ： BCÓ=2：3 ;4#; 즉, QDÓ：QBÓ=2：3이므로 QDÓ=2a`cm, QBÓ=3a`cm라 하면 ;2!; BDÓ=2a+3a=5a(cm) 또 △PBF»△PDE(AA 닮음)이고 04 AEÓ：EGÓ=ADÓ：DFÓ=5：3이므로 AFÓ：FHÓ=AEÓ：EGÓ=5：3 즉, 8：FHÓ=5：3에서 5FHÓ=24 ∴ FHÓ= (cm) 24 5 AGÓ：GCÓ=AFÓ：FHÓ=5：3이고 AHÓ：HBÓ=AGÓ：GCÓ=5：3이므로 8+ { 24 5 } ：HBÓ=5：3에서 5HBÓ= 192 5 BFÓ= BCÓ, EDÓ= BCÓ이므로 닮음비는 BFÓ：DEÓ=1：2 ;4!; ;2!; ∴ HBÓ= (cm) 192 25 :Á2»5ª: `cm 즉, PBÓ：PDÓ=1：2에서 PBÓ= BDÓ= a(cm) ;3!; ;3%; PQÓ=QBÓ-PBÓ=3a- a= a(cm) ;3%; ;3$; BPÓ：PQÓ：QDÓ= a： a：2a=5：4：6 ;3%; ;3$; 이때 △EBD = △ABD= ABCD ;4!; 1 2 1 4 = _120=30(cmÛ`) ∴ △EPQ=△EBD_ =30_ =8(cmÛ`) ① ABÓ：AEÓ=BDÓ：EDÓ 4 5+4+6 4 15 05 △ ABC»△EAC(AA 닮음)이므로 닮음비는 BCÓ：ACÓ=15：10=3：2 즉, ACÓ：ECÓ=3：2에서 10：ECÓ=3：2, 3ECÓ=20 ∴ ECÓ= (cm) 20 3 ∴ BEÓ=BCÓ-ECÓ=15- = (cm) 20 3 25 3 △ABE에서 ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로 이때 ABÓ：AEÓ=3：2이므로 BDÓ：EDÓ=3：2 ∴ DEÓ=BEÓ_ = _ = (cm) 2 3+2 25 3 2 5 10 3 ④ 06 평행선과 선분의 길이의 비 본문 150~151쪽 Ⅲ. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 06 ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로 9：6=BDÓ：CDÓ 01 AEÓ：ACÓ=8：12=2：3이므로 AEÓ：ECÓ=2：(3-2)=2：1 ① ABÓ：ACÓ=BEÓ：CEÓ에서 9：6=(5k+CEÓ)：CEÓ 즉, BDÓ：CDÓ=3：2이므로 BDÓ=3k`cm, CDÓ=2k`cm라 하면 9CEÓ=6(5k+CEÓ), 3CEÓ=30k ∴ CEÓ=10k A ∴ BDÓ：DCÓ Ó：CEÓ =3k：2k：10k =3：2：10 3：2：10 02 점 I는 △ABC의 내심이므로 오른쪽 그림과 같이 AIÓ, BIÓ를 그으면 △DAI, △EBI는 이등변삼각형이다. 즉, DIÓ=DAÓ=12-8=4(cm), EIÓ=EBÓ=3`cm ∴ DEÓ=DIÓ+EIÓ=4+3=7(cm) D 12 cm 8 cm I B 3 cm 6 cm E C 07 x：21=2：(2+5)이므로 7x=42 ∴ x=6 2：5=4：y이므로 2y=20 ∴ y=10 ∴ x+y=6+10=16 ⑤ 실력 Up+ 91 알피엠_중2-2_실력업_해설(084-096)_ok.indd 91 2018-12-13 오후 6:53:11 08 ④ 09 오른쪽 그림과 같이 직선 p에 평 행한 직선 p'을 그으면 2：(2+8)=2：(x-6)이므로 2(x-6)=20, 2x=32 l 2m 8 n p' p 6 6 8 x ∴ x=16 6 ③ 10 오른쪽 그림과 같이 점 A를 지나고 DCÓ에 평행한 직선을 그어 EFÓ, BCÓ와 만 나는 점을 각각 P, Q라 하면 ADÓ=PFÓ=QCÓ=7`cm이므로 EPÓ=10-7=3(cm), BQÓ=12-7=5(cm) A 7 cm D E 4 cm B 10 cm 7 cm P Q 12 cm 7 cm F C △ABQ에서 AEÓ：(AEÓ+4)=3：5이므로 5AEÓ=3(AEÓ+4), 2AEÓ=12 ∴ AEÓ=6(cm) ④ 11 △ ABE»△CDE(AA 닮음)이므로 AEÓ：CEÓ=ABÓ：CDÓ=6：9=2：3 △CEF»△CAB(AA 닮음)이고 닮음비는 CEÓ：CAÓ=3：(3+2)=3：5이므로 △CEF와 △ABC의 넓이의 비는 3Û`：5Û`=9：25이다. 즉, 18：△ABC=9：25이므로 9△ABC=450 ∴ △ABC=50(cmÛ`) ③ 12 오른쪽 그림과 같이 BAÓ의 연장선 을 그으면 ∠DAC=85ù이므로 ACÓ는 △ABD에서 ∠A의 외각의 이등분선이다. 따라서 ABÓ：ADÓ=BCÓ：DCÓ이므로 ABÓ：20=(1+5)：5, 5ABÓ=120 ∴ ABÓ=24(cm) A 85ù 10ù 85ù 20 cm DB C A M 15`cm E F D N B 10`cm C 13 오른쪽 그림과 같이 EFÓ의 연장선을 그어 ABÓ, CDÓ와 만나는 점을 각각 M, N 이라 하자. △ABD에서 MFÓ：ADÓ =BFÓ：BDÓ =3：(3+2)=3：5 이므로 MFÓ：15=3：5, 5MFÓ=45 ∴ MFÓ=9(cm) △ABC에서 MEÓ：BCÓ =AEÓ：ACÓ=2：(2+3)=2：5 이므로 MEÓ：10=2：5, 5MEÓ=20 ∴ MEÓ=4(cm) ∴ EFÓ=MFÓ-MEÓ=9-4=5(cm) 5`cm 92 정답과 풀이 07 삼각형의 무게중심 Ⅲ. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 본문 152~153쪽 01 △ BCD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질 에 의해 1 2 FGÓ= CDÓ= _10=5(cm) ;2!; 이때 EGÓ：FGÓ=3：5이므로 EGÓ 5EGÓ=15 ∴ EGÓ=3(cm) ∴ ABÓ=2EGÓ=2_3=6(cm) Ó：5=3：5 02 △ ABD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질 에 의해 DFÓ=FBÓ이므로 △DFC =△FBC= △DBC= ABCD ;4!; 1 2 = _40=10(cmÛ`) 1 4 ③ ② 03 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 (△DEF의 둘레의 길이) =DEÓ+EFÓ+DFÓ = ACÓ+ BAÓ+ BCÓ 1 2 1 2 = _(△ABC의 둘레의 길이) = _32=16(cm) 16`cm 1 2 1 2 1 2 04 오른쪽 그림과 같이 BCÓ의 중 점을 E라 하고 AEÓ, DEÓ를 그으면 12 cm AGÓ：GEÓ=2：1, DG'Ó：G'EÓ=2：1이므로 ADÓGG'Ó A D G' B 20 cm G E 25 cm C ② ∴ GG'Ó= ADÓ= _ ABÓ= _12=2(cm) ② ;3!; ;3!; ;6!; 1 2 05 오른쪽 그림과 같이 BCÓ의 중점을 M이라 하고 AMÓ, DMÓ을 그으면 APÓ：PMÓ=DQÓ：QMÓ=2：1이므로 PQÓ= ADÓ= _11= (cm) ;3!; ;3!; 11 3 오른쪽 그림과 같이 CDÓ의 중점을 N이라 하고 ANÓ, BNÓ을 그으면 ARÓ：RNÓ=BQÓ：QNÓ=2：1이므로 QRÓ= ABÓ= _16= (cm) ;3!; 16 3 11 cm A D 16 cm R 18 cm B C QP M 21 cm 11 cm A D 16 cm R 18 cm N P Q 21 cm B C ∴ PQÓ+QRÓ= + =9(cm) 9`cm ;3!; 11 3 16 3 알피엠_중2-2_실력업_해설(084-096)_ok.indd 92 2018-12-13 오후 6:53:14 07 DFÓ=a`cm라 하면 △AEC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 AEÓDFÓ, AEÓ=2DFÓ=2a(cm) 는 각 변의 중점이다. 또 △DBF에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 정리에 06 오른쪽 그림과 같이 대각선 BD를 그 A 으면 두 점 P, Q는 각각 △ABD, △BCD M P Q D N C B 의 무게중심이므로 APÓ=PQÓ=QCÓ ∴ △BPQ= △ABC= ABCD= _48=8(cmÛ`) ;6!; ;6!; 1 3 BPÓ：PMÓ=BQÓ：QNÓ=2：1이므로 △BPQ»△BMN에서 △BPQ：△BMN=2Û`：3Û`=4：9 즉, △BPQ：MPQN=4：(9-4)=4：5이므로 8：MPQN=4：5, 4MPQN=40 ∴ MPQN=10(cmÛ`) ③ 의해 PDÓ=BPÓ= BDÓ= _25= (cm), ;2!; ;2!; 25 2 PEÓ= DFÓ= a(cm) ;2!; ;2!; 이때 △APQ»△FDQ(AA 닮음)이므로 PQÓ：DQÓ=APÓ：FDÓ= 2a- a ：a=3：2 { 25 2 ;2!; } 3 5 15 2 3 3+2 ∴ PQÓ=PDÓ_ = _ = (cm) ④ 08 EGÓ=a`cm라 하면 △DFC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 EGÓDFÓ, DFÓ=2EGÓ=2a(cm) BHÓ=HEÓ, HFÓ= EGÓ= a(cm) ;2!; ;2!; ∴ DHÓ：HFÓ= 2a- { ;2!; △BFH의 넓이를 b`cmÛ`라 하면 ;2!; ： a } a=3：1 △DBH=△DHE=3b`cmÛ`이므로 △DBE=3b+3b=6b(cmÛ`) △ABC=3△DBE=3_6b=18b(cmÛ`) △ADC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 CDÓ=2BGÓ=2_6=12(cm) ⑤ 10 △ AFC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질 에 의해 EDÓ= FCÓ이므로 EDÓ：BFÓ=1：3 이때 △GDE»△GBF(AA 닮음)이므로 GEÓ：GFÓ=EDÓ：FBÓ=1：3 또 AEÓ=EFÓ이므로 AEÓ：EGÓ：GFÓ=4：1：3 ∴ AGÓ：GFÓ=(4+1)：3=5：3 ⑤ 11 오른쪽 그림과 같이 PEÓ, PFÓ, PGÓ 의 연장선이 ABÓ, ADÓ, DCÓ와 만나는 점 을 각각 Q, R, S라 하면 세 점 Q, R, S E G A Q B R D S C F P ∴ QPSR = ABCD= _180=90(cmÛ`) PEÓ：PQÓ=PFÓ：PRÓ=PGÓ：PSÓ=2：3이므로 △PFE：△PRQ=2Û`：3Û`=4：9 △PGF：△PSR=2Û`：3Û`=4：9 ∴ EPGF =△PFE+△PGF= △PRQ+ △PSR 4 9 ;9$; = QPSR= _90=40(cmÛ`) ① 1 2 4 9 1 2 1 2 ;9$; 12 △ ABC»△ADF(SAS 닮음)이고 닮음비가 2：1이므로 넓이의 비는 2Û`：1Û`=4：1이다. 즉, △ADF= △ABC= _80=20(cmÛ`) ;4!; ;4!; ;2!; 1 2 AGÓ=GEÓ이고 DGÓ=GFÓ, DFÓ=FPÓ이므로 GFÓ：FPÓ=1：2 즉, 점 F는 △AEP의 무게중심이므로 △AEP=6△AGF=6_10=60(cmÛ`) ① △ABC의 넓이가 90`cmÛ`이므로 18b=90 ∴ b=5 는 점을 H라 하면 △ABD에서 ∴ △BFH=5`cmÛ` 5`cmÛ` BRÓ：BAÓ=HRÓ：DAÓ=1：4이므로 13 오른쪽 그림과 같이 점 R를 지나고 ADÓ에 평행한 선분을 그어 BCÓ와 만나 A P Q R G B S DH 35 cm C 09 오른쪽 그림과 같이 점 B에서 CEÓ에 평행한 선분을 그어 ADÓ와 만나는 점을 G A B C 라 하면 △BGFª△EDF(ASA 합동)이므로 BGÓ=EDÓ=6`cm G F E D 6 cm HRÓ= DAÓ= _35= (cm) ;4!; ;4!; 35 4 또 BHÓ：HDÓ=BRÓ：RAÓ=1：3이고 BDÓ=DCÓ이므로 HDÓ：DCÓ=3：4 △CRH에서 CDÓ：CHÓ=SDÓ：RHÓ에서 4：(4+3)=SDÓ： 7SDÓ=35 ∴ SDÓ=5(cm) 35 4 5`cm 실력 Up+ 93 △EBG에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 DGÓ=GFÓ이므로 △AGF= △ADF= _20=10(cmÛ`) 알피엠_중2-2_실력업_해설(084-096)_ok.indd 93 2018-12-13 오후 6:53:16 08 \ 피타고라스 정리 본문 154쪽 Ⅲ. 도형의 닮음과 피타고라스 정리 05 오른쪽 그림과 같이 DEÓ를 그으면 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분 A 6 cm D F 01 △ ABC에서 ACÓ Û`=1Û`+1Û`=2 △ACD에서 ADÓ Û`=2+1Û`=3 △ADE에서 AEÓ Û`=3+1Û`=4 그런데 AEÓ>0이므로 AEÓ=2(cm) 02 ∠ BAC=45ù+45ù=90ù이므로 △ABC에서 9Û`+12Û`=BCÓ Û`, BCÓ Û`=225 그런데 BCÓ>0이므로 BCÓ=15(cm) 이때 삼각형의 각의 이등분선의 성질에 의해 BDÓ：CDÓ=ABÓ：ACÓ=9：12=3：4 즉, BDÓ=15_ = (cm), 3 3+4 45 7 CDÓ=15_ = (cm) 4 3+4 60 7 ∴ x= , y= ∴ y-x= 45 7 60 7 15 7 03 △ ABD에서 BDÓ Û`=4Û`+3Û`=25 그런데 BDÓ>0이므로 BDÓ=5(cm) △ABD에서 ADÓ Û`=DEÓ_DBÓ이므로 4Û`=DEÓ_5 ∴ DEÓ= (cm) ∴ BEÓ=BDÓ-EDÓ=5- △ABE에서 AEÓ Û`=3Û`- 16 5 16 5 (cm) = ;5(; Û`= 144 25 {;5(;} 12 5 그런데 AEÓ>0이므로 AEÓ= (cm) △AED의 넓이에서 _ 1 2 16 5 ∴ EFÓ= 48 25 2EFÓ= ;2(5^; _ = _4_EFÓ 12 5 1 2 (cm) ⑤ 04 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 A 10 cm D 4 cm B P H 12 cm 10 cm E C BHÓ=CHÓ = BCÓ 1 2 = _12=6(cm) 1 2 이므로 AHÓ Û`=10Û`-6Û`=64 그런데 AHÓ>0이므로 AHÓ=8(cm) △ABC=△ABP+△APC에서 1 2 _12_8= _10_4+ ;2!; 48=20+5PEÓ, 5PEÓ=28 1 2 _10_PEÓ ∴ PEÓ= (cm) 28 5 94 정답과 풀이 의 성질에 의해 DEÓ= ACÓ 1 2 B E 8 cm C AEÓ⊥CDÓ이므로 6Û`+8Û`=ACÓ Û`+ 1 2 { Û` ACÓ } ① ACÓ Û`=100 ∴ ACÓ Û`=80 ;4%; 06 밑면의 둘레의 길이를 x`cm 라 하고 오른쪽 그림과 같이 전개 26 cm 도로 나타내면 실은 밑변의 길이 x cm x cm 가 2x`cm이고 높이가 10`cm인 직각삼각형의 대각선의 길이와 같다. 즉, (2x)Û`+10Û`=26Û`이므로 4xÛ`=576, xÛ`=144 그런데 x>0이므로 x=12 ② 따라서 밑면의 둘레의 길이는 12`cm이다. ① 80 10 cm 09 경우의 수 Ⅳ. 확률 본문 155~156쪽 01 600원짜리 음료수 2개의 가격은 1200원이므로 1200원을 지불하는 방법을 표로 나타내면 다음과 같다. 500원(개) 100원(개) 50원(개) 2 2 0 2 1 2 2 0 4 1 7 0 1 6 2 1 5 4 따라서 구하는 방법의 수는 7이다. 1 4 6 ② 02 주사위에서 나오는 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 두 눈의 수의 차가 3인 경우는 (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)의 6가지 두 눈의 수의 차가 5인 경우는 (1, 6), (6, 1)의 2가지 따라서 구하는 경우의 수는 6+2=8 8 03 분모가 2일 때, 1보다 큰 분수는 , , ;2&; 11 2 의 4개 분모가 3일 때, 1보다 큰 분수는 의 3개 분모가 5일 때, 1보다 큰 분수는 , 의 2개 분모가 7일 때, 1보다 큰 분수는 의 1개 ;2#; , , ;2%; 11 3 ;3&; 11 5 , ;3%; ;5&; 11 7 ② 따라서 1보다 큰 분수는 4+3+2+1=10(개) ③ 알피엠_중2-2_실력업_해설(084-096)_ok.indd 94 2018-12-13 오후 6:53:18 04 학교에서 분식점까지 가는 길이 4가지, 분식점에서 집까지 가는 길이 3가지이므로 구하는 방법의 수는 4_3=12 ② 11 직선 위의 5개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 2개의 점 5_4 2 을 뽑는 경우의 수와 같으므로 =10(개) 10개 05 밥을 고르는 경우는 2가지, 국을 고르는 경우는 3가지, 반 찬을 고르는 경우는 3가지이므로 식단을 짜는 경우의 수는 12 A에 칠할 수 있는 색은 4가지, B에 칠할 수 있는 색은 A 에 칠한 색을 제외한 3가지, C에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색 2_3_3=18 ⑤ 을 제외한 3가지이므로 구하는 방법의 수는 4_3_3=36 ① 06 지후, 서은, 여울이가 동아리에 가입하는 경우가 각각 4가 지이므로 구하는 경우의 수는 4_4_4=64 07 짝수가 되려면 일의 자리의 숫자가 0 또는 2 또는 4이어야 한다. Ú 0인 경우 : 4_3=12(개) Û 2인 경우 : 3_3=9(개) Ü 4인 경우 : 3_3=9(개) 따라서 짝수의 개수는 12+9+9=30(개) 08 ① 4_3_2_1=24 ② 2_2=4 ③ 5_4 2 =10 ③ 13 Ú 첫 번째 뽑은 카드에 적힌 수가 1인 경우는 나머지 두 장 의 카드에 적힌 수의 합이 5이어야 하므로 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4가지 Û 첫 번째 뽑은 카드에 적힌 수가 2인 경우는 나머지 두 장의 카 Ü 첫 번째 뽑은 카드에 적힌 수가 3인 경우는 나머지 두 장의 카 드에 적힌 수의 합이 4이어야 하므로 (1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지 드에 적힌 수의 합이 3이어야 하므로 (1, 2), (2, 1)의 2가지 드에 적힌 수의 합이 2이어야 하므로 (1, 1)의 1가지 따라서 구하는 경우의 수는 4+3+2+1=10 ③ ④ Ý 첫 번째 뽑은 카드에 적힌 수가 4인 경우는 나머지 두 장의 카 2x+(a+2)y=5 14 연립방정식 [ bx+3y=1 2 b = a+2 3 + 이어야 한다. ;1%; 이 해를 갖지 않으려면 따라서 이를 만족시키는 순서쌍 (a, b)는 (1, 2), (4, 1)의 2개 이다. 2개 ④ 주사위에서 나오는 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 두 눈의 수의 합이 8인 경우는 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)의 5가지 두 눈의 수의 합이 9인 경우는 (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)의 4가지 두 눈의 수의 합이 10인 경우는 (4, 6), (5, 5), (6, 4)의 3가지 두 눈의 수의 합이 11인 경우는 (5, 6), (6, 5)의 2가지 두 눈의 수의 합이 12인 경우는 (6, 6)의 1가지 ∴ 5+4+3+2+1=15 ⑤ 5_4=20 10 확률 ① 09 서로 다른 종류의 사탕 5개 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 =10 ∴ a=10 3개를 꺼내는 경우의 수는 =10 ∴ b=10 ∴ a+b=10+10=20 5_4 2 5_4_3 3_2_1 Ⅳ. 확률 본문 157~158쪽 01 모든 경우의 수는 6_6=36 두 눈의 수의 합이 7인 경우는 (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)의 6가지이므로 구하는 확률은 6 36 = ;6!; ③ ① 02 1 a 이 순환소수가 되려면 a를 소인수분해했을 때 2나 5 이 10 4명 중에서 자격이 같은 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 총 경기 수는 외의 소인수가 있어야 한다. 2부터 10까지의 자연수 중에서 2나 5 이외의 소인수가 있는 수는 4_3 2 =6(번) ① 3, 6, 7, 9의 4개이므로 구하는 확률은 이다. ④ 4 9 실력 Up+ 95 알피엠_중2-2_실력업_해설(084-096)_ok.indd 95 2018-12-13 오후 6:53:19 03 모든 경우의 수는 3_2_1=6 ①, ②, ③ A(또는 B 또는 C)의 자리를 고정하고 나머지 2명을 08 두 수의 합이 짝수가 되려면 두 수 모두 짝수이거나 두 수 모두 홀수이어야 한다. 한 줄로 세우면 되므로 2_1=2 즉, 그 확률은 = ;6@; ;3!; 두 카드에 적힌 수가 모두 짝수일 확률은 두 카드에 적힌 수가 모두 홀수일 확률은 _ ;5@; ;5@; = _ ;5#; ;5#; = 4 25 9 25 ④ 이웃하는 A, B 두 사람을 한 명으로 생각하면 두 명이 한 줄 로 서는 경우의 수는 2_1=2이고, 그 각각에 대하여 A, B 가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수가 2이므로 2_2=4 따라서 구하는 확률은 4 25 + 9 25 = ;2!5#; 즉, 그 확률은 = ;6$; ;3@; ⑤ A와 B 사이에 C가 서는 경우의 수는 1이고, A, B가 서로 자 09 둘 다 파란 공을 꺼낼 확률은 리를 바꾸는 경우의 수가 2이므로 1_2=2 즉, 그 확률은 = ;6@; ;3!; 따라서 확률이 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다. ④ 둘 다 빨간 공을 꺼낼 확률은 따라서 구하는 확률은 + ;3!; 2 15 = 7 15 6 10 _ = ;3!; ;9%; 2 15 4 10 _ = ;9#; 04 모든 경우의 수는 6_5=30 점 (x, y)가 제 3사분면 위의 점이려면 x, y가 모두 음수이어야 하므로 그 경우의 수는 3_4=12 따라서 구하는 확률은 12 30 = ;5@; 10 (적어도 한 명이 성공할 확률) =1-(두 명 모두 실패할 확률) ③ =1- 1- _ 1- ;5#;} { ;3@;} =1- _ ;5@; ;3!; { 2 15 =1- = ;1!5#; 05 모든 경우의 수는 3_3=9 두 사람이 서로 같은 것을 내는 경우는 (가위, 가위), (바위, 바위), (보, 보)의 3가지이므로 그 확률은 = ;9#; ;3!; ∴ (두 사람이 서로 다른 것을 낼 확률) =1-(두 사람이 서로 같은 것을 낼 확률) =1- 1 3 = ;3@; 11 농구팀은 이기고 축구팀은 질 확률은 _ 1- ;7%; { 9 11 } = _ ;7%; 2 11 = ;7!7); 농구팀은 지고 축구팀은 이길 확률은 1- { 5 7 } _ 9 11 = ;7@; _ 9 11 = ;7!7*; ④ 따라서 구하는 확률은 10 77 + = ;7!7*; ;7@7*; = 4 11 06 모든 경우의 수는 6_6=36 일차방정식 ax+by=13의 그래프가 점 (1, 2)를 지날 때 12 모든 경우의 수는 2_2_2_2_2=32 동전을 다섯 번 던져서 앞면이 x번 나온다고 하면 뒷면이 a+2b=13이고, 이를 만족시키는 경우를 순서쌍 (a, b)로 나타 (5-x)번 나오므로 점 P가 -1의 위치에 있으려면 내면 (1, 6), (3, 5), (5, 4)의 3가지이므로 그 확률은 x_(+1)+(5-x)_(-2)=-1, 3x=9 ∴ x=3 3 36 = 1 12 따라서 구하는 확률은 1- 1 12 = ;1!2!; ;1!2!; 07 세아네 반 학생 중에서 한 명을 뽑을 때, 안경을 쓴 학생일 확률은 60 100 = ;5#; (오른손잡이일 확률) =1-(왼손잡이일 확률) =1- 20 100 = 80 100 = ;5$; 따라서 구하는 확률은 _ = ;2!5@; ;5$; ;5#; 96 정답과 풀이 즉, 앞면이 3번, 뒷면이 2번 나오는 경우는 (앞, 앞, 앞, 뒤, 뒤), (앞, 앞, 뒤, 앞, 뒤), (앞, 앞, 뒤, 뒤, 앞), (앞, 뒤, 앞, 앞, 뒤), (앞, 뒤, 앞, 뒤, 앞), (앞, 뒤, 뒤, 앞, 앞), (뒤, 앞, 앞, 앞, 뒤), (뒤, 앞, 앞, 뒤, 앞), (뒤, 앞, 뒤, 앞, 앞), (뒤, 뒤, 앞, 앞, 앞)의 10가지 따라서 구하는 확률은 = ;3!2); 5 16 13 정훈이와 미나가 같이 놀이동산에 가려면 비가 오지 않고 두 사람 모두 약속을 지켜야 하므로 구하는 확률은 ;2!5@; 1- _ _ = ;3@; ;5#; ;4!;} { 3 10 ③ ① ⑤ ② ② ;1£0; 알피엠_중2-2_실력업_해설(084-096)_ok.indd 96 2018-12-13 오후 6:53:20
'개념원리연구소' 카테고리의 다른 글
| 개념원리 중학 수학 2 - 1 답지 (2019) (0) | 2020.08.13 |
|---|---|
| 개념원리 중학 수학 1 - 1 답지 (2019) (0) | 2020.08.13 |
| 개념원리 RPM 문제기본서 수학 중 2 - 1 답지 (2019) (0) | 2020.08.13 |
| 개념원리 RPM 문제기본서 수학 중 1 - 1 답지 (2019) (0) | 2020.08.13 |
| 개념원리 중학 수학 3 - 2 답지 (2018) (0) | 2020.08.12 |