개념원리 중학 수학 3 - 2 답지 (2018)

15(중3-2)1단원(해설)(01~15)ok 2014.11.10 07:37 PM 페이지1 다민 600DPI 175LPI 하나를 알면 10개, 20개를 풀 수 있는 개념원리수학 이홍섭 선생님의 기본서 정답과 풀이 3-2  15(중3-2)1단원(해설)(01~15)ok 2014.11.10 07:37 PM 페이지2 다민 600DPI 175LPI Ⅰ통계 1 대푯값과 산포도 01 대푯값 개념원리 확인하기 01 ⑴ ① 3, 5, 5, 6, 8, 9, 10 ② 7, 7, 4, 6 ⑵ ① 2, 5, 7, 7, 8, 9, 10, 13 ② 8, 8, 4, 8, 5, 7, 8, 7.5 02 6 03 ⑴ 18 ⑵ 9, 12 ⑶ 없다. 02 자료의 개수가 6개이고 중앙값이 8이므로 x+10 2 =8(cid:100)(cid:100)∴ x=6 03 ⑴ 18의 도수가 3으로 가장 크므로 최빈값은 18이다. ⑵ 9와 12의 도수가 3으로 가장 크므로 최빈값은 9, 12 이다. ⑶ 자료의 값의 도수가 모두 2로 같으므로 최빈값은 없다. 2 ⑴ 나머지 변량을 x라고 하면 중앙값이 67이므로 58…x…71이어야 한다. (cid:100) 이때 중앙값은 2번째와 3번째 변량의 평균이므로 (cid:100) x+71 2 =67, x+71=134(cid:100)(cid:100)∴ x=63 ⑵ 자료의 개수가 8개이므로 중앙값은 4번째와 5번째 자료의 값인 221과 x의 평균이다. 본문 10쪽 (cid:100) 즉, 221+x 2 =223 (cid:100) ∴ x=225 3 x를 제외한 자료에서 13의 도수는 3이고 그 이외의 자 료의 값의 도수는 1이므로 x의 값에 상관없이 최빈값은 13이다. 따라서 평균이 13이므로 8+13+11+16+13+10+x+13 8 =13 ∴ x=20 4 (평균)= (5_3+10_4+15_4+20_6+25_1 1 20 +30_2) = =16(회) 320 20 또, 자료의 개수가 짝수 개이고 윗몸일으키기 횟수를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 5, 5, 5, 10, 10, 10, 10, 15, 15, 15, 15, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 25, 30, 30 이므로 중앙값은 =10번째와 +1=11번째 자 ;;™2º;; ;;™2º;; 15+15 2 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 11~12쪽 료의 값인 15와 15의 평균인 =15(회) 1 평균：11권, 중앙값：11권, 최빈값：9권, 12권 또, 최빈값은 도수가 가장 큰 변량이므로 20회이다. 2 ⑴ 63(cid:100)⑵ 225 3 20 4 평균：16회, 중앙값：15회, 최빈값：20회 1 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 8, 9, 9, 9, 11, 12, 12, 12, 17 ∴ (평균)= 8+9+9+9+11+12+12+12+17 9 = =11(권) 99 9 자료의 개수가 9개이므로 중앙값은 =5번째 자 9+1 2 이런 문제가 시험에 나온다 본문 13쪽 01 중앙값 02 ⑤ 03 평균：17.4회, 중앙값：16.5회, 최빈값：15회 04 중앙값：5시간, 최빈값：4시간 05 4 06 중앙값：50분, 최빈값：70분 료의 값인 11권이다. 9권과 12권의 도수가 3으로 가장 크므로 최빈값은 9권, 12권이다. 01 9명의 점수는 60점대이고 한 명의 점수만 90점보다 높 으므로 자료의 값 중 극단적인 값이 있는 경우이다. 따라서 중앙값이 평균보다 중심 경향을 더 잘 나타낸다. 2 정답과 풀이  15(중3-2)1단원(해설)(01~15)ok 2014.11.10 07:37 PM 페이지3 다민 600DPI 175LPI 02 주어진 자료의 중앙값과 최빈값을 차례로 구하면 다음 과 같다. ① 5.5, 없다. ② 4, 없다. ③ 4, 5 ④ 5, 없다. ⑤ 4, 4 03 (평균)= 5+7+13+15+15+18+20+21+24+36 10 10_2+30_3+50_a+70_b+90_2 20 =54 50a+70b+290=1080 ∴ 5a+7b=79(cid:100)(cid:100)yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=6, b=7 이때 중앙값은 =10번째와 +1=11번째 자료의 20 2 20 2 50+50 2 값인 50과 50의 평균인 =50(분) 또, 최빈값은 도수가 가장 큰 변량이므로 70분이다. = 174 10 =17.4(회) (중앙값)= 15+18 2 =16.5(회) (최빈값)=15회 04 평균이 5시간이므로 4+x+6+7+4+7+6+2 8 =5 x+36 8 =5 ∴ x=4 주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 2, 4, 4, 4, 6, 6, 7, 7 ∴ (중앙값)= 4+6 2 =5(시간) (최빈값)=4시간 05 평균이 3이므로 -1+6+a-2+9-8-5+4+b 9 =3 a+b+3=27 ∴ a+b=24 a-b=-4이므로 이 두 식을 연립하여 풀면 a=10, b=14 따라서 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 -8, -5, -2, -1, 4, 6, 9, 10, 14 이므로 중앙값은 =5번째 자료의 값인 4이다. 9+1 2 06 도수의 총합이 20이므로 2+3+a+b+2=20 ∴ a+b=13 또, 평균이 54분이므로 yy ㉠ 02 산포도와 표준편차 개념원리 확인하기 본문 16쪽 01 표는 풀이 참조, 분산：50, 표준편차：5'2점 03 -2 02 'ß9.2점 04 4 01 평균을 구하면 각 자료의 편차를 구하면 (편차)¤ 의 총합을 구하면 분산을 구하면 60+65+70+75+80 5 = 350 5 =70(점) -10점, -5점, 0점, 5점, 10점 (-10)¤ +(-5)¤ +0¤ +5¤ +10¤ =100+25+0+25+100=250 250 5 =50 표준편차를 구하면 '5å0=5'2(점) 02 (평균)= 89+92+90+85+84 5 = 440 5 =88(점) (분산) = (89-88)¤ +(92-88)¤ +(90-88)¤ +(85-88)¤ +(84-88)¤ 5 = =9.2 46 5 ∴ (표준편차)='∂9.2(점) 03 편차의 합은 0이므로 6-4+x+3-2-1=0 ∴ x=-2 I. 통계 3  15(중3-2)1단원(해설)(01~15)ok 2014.11.10 07:37 PM 페이지4 다민 600DPI 175LPI 04 편차의 합은 0이므로 -2+a+b+0-3=0(cid:100)(cid:100)∴ a+b=5 또, 분산이 6이므로 (-2)¤ +a¤ +b¤ +0¤ +(-3)¤ 5 =6 ∴ a¤ +b¤ =17 이때 a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab이므로 17=5¤ -2ab(cid:100)(cid:100)∴ ab=4 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 17~19쪽 1 분산：28, 표준편차：2'7점 2 D의 국어 성적：70점, 표준편차：2'3점 3 3 4 ⑴ 38(cid:100)⑵ 30 5 ⑴ 20(cid:100)⑵ 평균：9, 표준편차：2 1 (평균)= 84+82+78+93+87+76+81 7 = 581 7 =83(점) {(편차)¤ 의 총합} =1¤ +(-1)¤ +(-5)¤ +10¤ +4¤ +(-7)¤ +(-2)¤ =196 ∴ (분산)= =28 196 7 (표준편차)='2å8=2'7(점) 2 편차의 합은 항상 0이므로 -2+6-2+x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 이때 D의 국어 성적은 평균보다 2점이 낮으므로 72-2=70(점) (분산)= (-2)¤ +6¤ +(-2)¤ +(-2)¤ 4 48 = =12 4 ∴ (표준편차)='ß12=2'3(점) 4 ⑴ A, B, C의 평균이 6이므로 (cid:100) A+B+C 3 =6(cid:100)(cid:100)∴ A+B+C=18(cid:100)(cid:100)yy ㉠ (cid:100) 또, 분산이 ('2)¤ =2이므로 (cid:100) (A-6)¤ +(B-6)¤ +(C-6)¤ 3 =2 (cid:100) (A-6)¤ +(B-6)¤ +(C-6)¤ =6 (cid:100) A¤ +B¤ +C¤ -12(A+B+C)+102=0 (cid:100) ∴ A¤ +B¤ +C¤ =114`(∵ ㉠) (cid:100) 따라서 A¤ , B¤ , C¤ 의 평균은 (cid:100) A¤ +B¤ +C¤ 3 = 114 3 =38 ⑵ 평균이 6이므로 4+10+x+y+5 5 =6, x+y+19=30 yy ㉠ ∴ x+y=11(cid:100)(cid:100) 또, 분산이 4.4이므로 (4-6)¤ +(10-6)¤ +(x-6)¤ +(y-6)¤ +(5-6)¤ 5 =4.4 (x-6)¤ +(y-6)¤ +21=22 x¤ +y¤ -12(x+y)=-71(cid:100)(cid:100)yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 x¤ +y¤ -12_11=-71(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +y¤ =61 이때 x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy에서 61=11¤ -2xy, 2xy=60 ∴ xy=30 5 ⑴ 변량 a, b, c의 평균이 8이므로 (cid:100) a+b+c 3 =8 (cid:100) 또, 변량 a, b, c의 분산이 14이므로 (a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ 3 =14 (cid:100) (cid:100) 따라서 변량 a-2, b-2, c-2에 대하여 (cid:100) (평균)= (a-2)+(b-2)+(c-2) 3 = a+b+c 3 -2 =8-2=6 3 A, B 두 그룹의 평균이 같고 분산이 각각 2¤ , a¤ 이므로 (편차)¤ 의 총합은 각각 2¤ _4=16, a¤ _6=6a¤ 따라서 전체 10명에 대한 (편차)¤ 의 총합은 16+6a¤ 이 고 분산은 ('7)¤ =7이므로 16+6a¤ =7, 16+6a¤ =70 10 a¤ =9(cid:100)(cid:100)∴ a=3 (∵ aæ0) (cid:100) (분산)= (a-2-6)¤ +(b-2-6)¤ +(c-2-6)¤ 3 = (a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ 3 =14 (cid:100) ∴ (평균)+(분산)=6+14=20 ⑵ 변량 a, b, c, d, e의 평균이 6이므로 (cid:100) a+b+c+d+e 5 =6 4 정답과 풀이  15(중3-2)1단원(해설)(01~15)ok 2014.11.10 07:37 PM 페이지5 다민 600DPI 175LPI (cid:100) 또, 변량 a, b, c, d, e의 표준편차가 2, 즉 분산이 4 이므로 (a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤ +(e-6)¤ 5 (cid:100) (cid:100) =4 (cid:100) 따라서 변량 a+3, b+3, c+3, d+3, e+3에 대 하여 (cid:100) (평균) (cid:100) = (a+3)+(b+3)+(c+3)+(d+3)+(e+3) 5 (cid:100) = a+b+c+d+e 5 +3=6+3=9 (cid:100) (분산)= {(a+3-9)¤ +(b+3-9)¤ ;5!; (cid:100)+(c+3-9)¤ +(d+3-9)¤ +(e+3-9)¤ } = {(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ ;5!; +(d-6)¤ +(e-6)¤ } (cid:100) (분산)=4 (cid:100) ∴ (표준편차)='4=2 이런 문제가 시험에 나온다 본문 20쪽 01 '3회 02 3회째의 수학 성적：82점, 표준편차： 03 -2 04 ㄴ, ㄷ, ㄹ 06 ⑴ 평균：17, 분산：100(cid:100)⑵ 평균：6, 분산：15 '∂258 3 점 05 7점 01 (평균)= 11+7+9+12+8+10+7+8 8 = =9(회) ;;¶8™;; ∴ (분산)= {(11-9)¤ +(7-9)¤ +(9-9)¤ ;8!; +(12-9)¤ +(8-9)¤ +(10-9)¤ +(7-9)¤ +(8-9)¤ } ∴ (분산)= _24=3 ;8!; ∴ (표준편차)='3(회) 이때 3회째의 수학 성적은 평균보다 7점이 높으므로 75+7=82(점) ∴ (분산)= 6¤ +(-3)¤ +7¤ +(-7)¤ +(-5)¤ +2¤ 6 = 172 6 = 86 3 ∴ (표준편차)=Ƭ = 86 3 '∂258 3 (점) 03 편차의 합은 항상 0이므로 a-2+0+b+1=0(cid:100)(cid:100)∴ a+b=1 분산이 2.8이므로 a¤ +(-2)¤ +0¤ +b¤ +1¤ 5 =2 ∴ a¤ +b¤ =5 a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab이므로 5=1¤ -2ab(cid:100)(cid:100)∴ ab=-2 04 ㄱ. 평균을 m점이라고 하면 (B의 점수)=(m-1)점 (C의 점수)=(m+3)점 따라서 B와 C의 점수의 차는 4점이다. ㄴ. D의 편차가 0이므로 D의 점수는 평균과 같다. ㄷ. (분산)= (-3)¤ +(-1)¤ +3¤ +0¤ +1¤ 5 20 = =4 5 (cid:100) ∴ (표준편차)='4=2(점) ㄹ. 점수가 가장 낮은 학생은 편차가 가장 작은 A이다. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. 05 남학생과 여학생의 평균은 같고 표준편차가 각각 5점, 11점이므로 분산은 각각 5¤ , 11¤ 이다. 이때 남학생과 여학생의 (편차)¤ 의 총합은 각각 30_5¤ =750, 10_11¤ =1210 따라서 전체 40명에 대한 (편차)¤ 의 총합은 750+1210=1960 ∴ (분산)= 1960 40 (표준편차)='ß49=7(점) =49 02 3회째의 편차를 x점이라고 하면 편차의 합은 항상 0이 므로 6-3+x-7-5+2=0 ∴ x=7(점) 06 ⑴ a, b, c, d의 평균이 10이므로 (cid:100) a+b+c+d 4 =10 I. 통계 5  15(중3-2)1단원(해설)(01~15)ok 2014.11.10 07:37 PM 페이지6 다민 600DPI 175LPI (cid:100) ∴ a+b+c+d=40 (cid:100) 또, a, b, c, d의 분산이 25이므로 (cid:100) (a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ +(d-10)¤ 4 =25 (cid:100) ∴ (a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ +(d-10)¤ =100 (cid:100) ∴ (평균) = (2a-3)+(2b-3)+(2c-3)+(2d-3) 4 = 2(a+b+c+d) 4 -3 = 2_40 4 -3=17 (cid:100) ∴ (분산) = (2a-20)¤ +(2b-20)¤ +(2c-20)¤ +(2d-20)¤ 4 = 4{(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ +(d-10)¤ } 4 yy ㉠ = 4_100 4 =100 ⑵ 변량 x¡, x™, x£의 평균이 4이므로 (cid:100) x¡+x™+x£ 3 =4 (cid:100) ∴ x¡+x™+x£=12 (cid:100) 또, 변량 x¡, x™, x£의 분산이 9이므로 (x¡-4)¤ +(x™-4)¤ +(x£-4)¤ 3 =9 (cid:100) (cid:100) (x¡-4)¤ +(x™-4)¤ +(x£-4)¤ =27 (cid:100) x¡¤ +x™¤ +x£¤ -8(x¡+x™+x£)+48=27 (cid:100) ㉠을 ㉡에 대입하면 (cid:100) x¡¤ +x™¤ +x£¤ -8_12+48=27 (cid:100) ∴ x¡¤ +x™¤ +x£¤ =75 (cid:100) 따라서 변량 x¡, x™, x£, 6, 12에 대하여 x¡+x™+x£+6+12 5 (cid:100) (평균)= = 12+18 5 30 = =6 5 (cid:100) (분산) (cid:100) = (x¡-6)¤ +(x™-6)¤ +(x£-6)¤ +(6-6)¤ +(12-6)¤ 5 x¡¤ +x™¤ +x£¤ -12(x¡+x™+x£)+144 5 = = 75-12_12+144 5 = =15 ;;¶5∞;; 6 정답과 풀이 ▶ 다른풀이 ⑵ (분산)= (변량)¤ 의 총합 (변량의 개수) -(평균)¤ 을 이용하자. 변량 x¡, x™, x£의 평균이 4이므로 x¡+x™+x£ 3 =4 ∴ x¡+x™+x£=12 또, 변량 x¡, x™, x£의 평균이 4이고 분산이 9이므로 x¡¤ +x™¤ +x£¤ 3 -4¤ =9 ∴ x¡¤ +x™¤ +x£¤ =75 따라서 변량 x¡, x™, x£, 6, 12에 대하여 x¡+x™+x£+6+12 5 (평균)= = 12+18 5 30 = =6 5 (분산)= x¡¤ +x™¤ +x£¤ +6¤ +12¤ 5 -6¤ = 75+6¤ +12¤ 5 =51-36=15 -36 03 도수분포표에서의 분산과 표준편차 yy ㉡ 개념원리 확인하기 본문 22쪽 01 ⑴ 계급값, 평균(cid:100)⑵ 편차(cid:100)⑶ 분산 02 풀이 참조 03 평균：7회, 분산：5.8, 표준편차：'∂5.8회 02 도수 (명) 계급값 (분) (계급값) _(도수) (편차)¤ _(도수) 편차 (분) -14 -4 6 16 10 45 100 35 190 392 48 144 256 840 통학 시간(분) 60이상~10미만 10이상~20이상 20이상~30이상 30이상~40이상 2 3 4 1 5 15 25 35 합계 10 ∴ (평균)= =19(분) 190 10 840 10 (분산)= =84 (표준편차)='8å4=2'2å1(분)  15(중3-2)1단원(해설)(01~15)ok 2014.11.10 07:37 PM 페이지7 다민 600DPI 175LPI 03 주어진 자료를 표로 나타내면 다음과 같다. 턱걸이 횟수(회) 도수 (명) 계급값 (회) (계급값) _(도수) (편차)¤ _(도수) 3500 50 3200 50 (평균)= =70(kg) (분산)= =64 ∴ (표준편차)='ß64=8(kg) 편차 (회) -3 -1 1 3 5 8 24 16 10 12 70 18 4 2 9 25 58 63이상~15미만 15이상~27이상 17이상~29이상 19이상~11이상 11이상~13이상 2 4 2 1 1 합계 10 4 6 8 10 12 ∴ (평균)= =7(회) 70 10 (분산)= =5.8 58 10 (표준편차)='ß5.8(회) 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 23~25쪽 1 분산：180, 표준편차：6'5회 5 ③ 3 'ß69분 4 5.8 2 8 kg 6 C 1 다음과 같이 표를 만들어 구한다. 도수(명) (계급값)_(도수) (편차)¤ _(도수) (평균)= =23(회) 1150 50 ∴ (분산)= =180 9000 50 (표준편차)='∂180=6'5(회) 횟수(회) 60이상~10미만 10이상~20이상 20이상~30이상 30이상~40이상 40이상~50이상 50이상~60이상 합계 몸무게(kg) 45이상~55미만 55이상~65이상 65이상~75이상 75이상~85이상 85이상~95이상 합계 7 18 12 7 3 3 50 2 9 27 11 1 50 35 270 300 245 135 165 1150 100 540 1890 880 90 3500 2268 1152 48 1008 1452 3072 9000 800 900 0 1100 400 3200 3 전체 학생 수는 (35+x)명이고 평균이 76분이므로 55_2+65_8+75_24+85_x+95_1 35+x =76 2525+85x 35+x 9x=135(cid:100)(cid:100)∴ x=15 =76, 2525+85x=2660+76x (분산)= {(55-76)¤ _2+(65-76)¤ _8 ;5¡0; +(75-76)¤ _24+(85-76)¤ _15 +(95-76)¤ _1} (분산)= _3450=69 ;5¡0; ∴ (표준편차)='ß69(분) 4 주어진 히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다. 도수(일) (계급값)_(도수) (편차)¤ _(도수) 8 24 16 10 12 70 18 4 2 9 25 58 횟수(회) 43이상~45미만 45이상~47이상 47이상~49이상 49이상~11이상 11이상~13이상 2 4 2 1 1 합계 10 (평균)= =7(회) ;1&0); ∴ (분산)= =5.8 ;1%0*; 못하다. 다. 5 ① 평균이 낮다고 고득점자가 없는 것은 아니다. ② B반의 표준편차가 가장 크므로 성적이 가장 고르지 ④ 성적이 평균 이상인 학생 수는 평균과 표준편차만으 로는 알 수 없다. ⑤ 각 반의 점수대별 학생 수는 알 수 없다. 6 가장 불규칙하게 운동한 사람은 표준편차가 가장 큰 사 람이므로 C이다. I. 통계 7 2 다음과 같이 표를 만들어 구한다. ③ A반의 표준편차가 가장 작으므로 성적이 가장 고르 도수(명) (계급값)_(도수) (편차)¤ _(도수)  15(중3-2)1단원(해설)(01~15)ok 2014.11.10 07:37 PM 페이지8 다민 600DPI 175LPI 이런 문제가 시험에 나온다 본문 26쪽 01 2반 02 ⑴ 13명(cid:100)⑵ 분산：277.3, 표준편차：'ƒ277.3점 03 116 04 a=0, b=2 05 8 a+4b+22=3a+3b+24 ∴ 2a-b=-2(cid:100) yy ㉠ 또, 표준편차가 '∂1.6, 즉 분산이 1.6이므로 (-3)¤ _1+(-2)¤ _a+(-1)¤ _1+0¤ _5+1¤ _b+2¤ _1 a+b+8 01 평균이 같을 때 평균을 중심으로 밀집되어 있다는 것은 표준편차가 작은 것을 말하고 표준편차가 작으면 분산 이 작다. 따라서 평균을 중심으로 성적이 가장 밀집되어 있는 학 급은 2반이다. 02 ⑴ (편차)_(도수)의 총합은 0이므로 (-30)_4+(-20)_6+(-10)_9 +0_2+10_x+20_10=0 -120-120-90+10x+200=0 ∴ x=13(명) ⑵ (분산) = {(-30)¤ _4+(-20)¤ _6+(-10)¤ _9 ;4¡4; +0¤ _2+10¤ _13+20¤ _10} ⑵ = 12200 44 =277.27___ 따라서 분산이 약 277.3이므로 (표준편차)='ƒ277.3점 03 총 가구 수가 10이므로 1+1+x+y+1=10 ∴ x+y=7 평균이 52분이므로 30_1+40_1+50_x+60_y+70_1 10 yy ㉠ =52 50x+60y+140=520 ∴ 5x+6y=38(cid:100)(cid:100)yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=4, y=3 ∴ (분산)= {(30-52)¤ _1+(40-52)¤ _1 ;1¡0; +(50-52)¤ _4+(60-52)¤ _3 +(70-52)¤ _1} ∴ (분산)= _1160=116 ;1¡0; 04 평균이 3이므로 0_1+1_a+2_1+3_5+4_b+5_1 1+a+1+5+b+1 =3 20 -2 a+4b+22 a+b+8 =3 8 정답과 풀이 =1.6 4a+b+14 a+b+8 =1.6 4a+b+14=1.6a+1.6b+12.8 2.4a-0.6b=-1.2 ∴ 4a-b=-2(cid:100) yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=2 05 전체 학생 수는 (x+y+7)명이고, 평균이 80점이므로 60_2+70_x+80_y+90_4+100_1 x+y+7 =80 70x+80y+580 x+y+7 =80 70x+80y+580=80x+80y+560 10x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=2 또, 분산이 120이므로 (60-80)¤ _2+(70-80)¤ _2+(90-80)¤ _4+(100-80)¤ _1 y+9 =120 1800 y+9 =120 120y+1080=1800(cid:100)(cid:100)∴ y=6 ∴ x+y=2+6=8 Step (기본문제) 본문 27~29쪽 01 ③ 02 ③, ⑤ 03 ②, ④ 04 평균：4점, 중앙값：4점, 최빈값：3점과 5점 05 ① 08 ③ 12 9 06 ④ 09 ③ 07 ⑴ A반(cid:100)⑵ B반 10 ① 11 ③ 13 98점 14 ⑴ 73점(cid:100)⑵ '∂6.8점 15 229점 16 82 17 평균：75점, 분산：125 18 22 19 자료 A와 자료 B의 분산은 같다. 01 자료가 수치로 주어지지 않은 경우에는 대푯값으로 최 빈값이 적절하다.  15(중3-2)1단원(해설)(01~15)ok 2014.11.10 07:37 PM 페이지9 다민 600DPI 175LPI 변량들이 흩어져 있는 정도를 하나의 수로 나타낸 값이 산포도이고, 산포도에는 여러 가지가 있으나 분산과 표 준편차가 가장 많이 쓰인다. 10 02 03 ① (편차)=(변량)-(평균) ③ 분산은 편차의 제곱의 평균이다. ⑤ 편차의 절댓값이 클수록 산포도는 크다. 각 변량에 일정한 수를 더하면 평균은 변하여도 표준편 차는 변하지 않으므로 변량 a+5, 6, 7, 8, 9의 표준편 차는 a, 1, 2, 3, 4의 표준편차와 같다. 따라서 구하는 표준편차는 '2이다. ▶ 참고 변량에 일정한 수를 더하거나 빼어도 분산과 표준편차 에는 영향을 주지 않는다. = 3+4+5+2+1+7+3+6+5+5+4+2+3+6 14 04 (평균) = =4(점) ;1%4^; 11 작은 값부터 크기순으로 15번째, 16번째 값은 모두 400 타/분 이상 500타/분 미만인 계급에 속하므로 이 계급 의 계급값인 450타/분이 중앙값이다. 또, 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7 이므로 중앙값은 7번째와 8번째 자료의 값인 4와 4의 평균인 12 자료의 개수가 8개이고 중앙값이 12이므로 x+15 2 =12, x+15=24(cid:100)(cid:100)∴ x=9 4+4 2 =4(점) 또, 최빈값은 가장 많이 나타난 값이므로 3점과 5점이다. 05 ① a=4이면 중앙값은 4이다. 06 중앙값과 최빈값은 각각 다음과 같다. ① 중앙값：5, 최빈값：4 ② 중앙값：6, 최빈값：3 ③ 중앙값：6, 최빈값：7 ④ 중앙값：3, 최빈값：3 ⑤ 중앙값：7, 최빈값：8 07 ⑴ 변량이 평균 주위에서 멀리 흩어져 있을수록 곡선의 폭이 더 크므로 A반의 산포도가 B반의 산포도보다 더 크다. 따라서 A반의 표준편차가 B반의 표준편차 보다 더 크다. ⑵ 하루 평균 인터넷 접속 시간이 더 고른 반은 산포도 가 더 작은 B반이다. 13 5회째의 시험 성적을 x점이라고 하면 80+76+87+84+x 5 æ85 327+xæ425(cid:100)(cid:100)∴ xæ98 따라서 5회째의 시험에서 98점 이상을 받아야 한다. 14 ⑴ 편차의 합은 항상 0이므로 (cid:100) -3+2+4+x-1=0 ∴ x=-2 (cid:100) 따라서 학생 D의 성적은 평균보다 2점 낮으므로 (cid:100) 75-2=73(점) ⑵ (분산)= (-3)¤ +2¤ +4¤ +(-2)¤ +(-1)¤ 5 = =6.8 34 5 (cid:100) ∴ (표준편차)='∂6.8(점) 15 남학생 수가 여학생 수의 1.5배이므로 (여학생 수)：(남학생 수)=1 : 1.5=2 : 3 이때 여학생 수를 2x명, 남학생 수를 3x명이라고 하면 3학년 전체 학생의 평균은 08 ③ 표준편차가 작을수록 성적이 고르다. 3'2<5이므로 A반의 표준편차가 B반의 표준편차 보다 더 작다. 따라서 A반의 성적이 B반의 성적보다 고르다. 225_3x+235_2x 5x = 1145x 5x =229(점) 09 8명의 학생의 수학 성적이 각각 1점씩 올라가면 평균은 1점 올라가지만 각 변량들이 평균을 중심으로 흩어져 있는 정도는 그대로이므로 표준편차는 변함없다. 16 변량 a, b, c, d, e의 평균이 80이므로 a+b+c+d+e 5 =80 따라서 변량 a+4, b+8, c-3, d+2, e-1의 평균은 I. 통계 9  15(중3-2)1단원(해설)(01~15)ok 2014.11.10 07:37 PM 페이지10 다민 600DPI 175LPI (a+4)+(b+8)+(c-3)+(d+2)+(e-1) 5 = a+b+c+d+e+10 5 = a+b+c+d+e 5 +2 =80+2=82 이때 분산이 2이므로 (-2x-2)¤ +(-x-1)¤ +(x+1)¤ +(2x+2)¤ 5 =2 10x¤ +20x+10=10, x¤ +2x=0 x(x+2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 (∵ x+0) 17 주어진 히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다. 도수(명) (계급값)_(도수) (편차)¤ _(도수) 165 780 825 850 380 3000 1200 1200 0 1000 1600 5000 성적(점) 50이상~160미만 60이상~170이상 70이상~180이상 80이상~190이상 90이상~100이상 합계 3 12 11 10 4 40 ∴ (평균)= =75(점) (분산)= =125 3000 40 5000 40 18 편차의 합은 항상 0이므로 1+x¤ -3-2x-2+1=0 x¤ -2x-3=0, (x+1)(x-3)=0 ∴ x=3 (∵ x>0) ∴ (분산) = 1¤ +9¤ +(-3)¤ +(-6)¤ +(-2)¤ +1¤ 6 = 132 6 =22 19 자료 B의 값은 자료 A의 각 값에 50을 더한 것이므로 자료 B의 평균은 자료 A의 평균에 50을 더한 것이다. 따라서 자료 B의 각 편차와 자료 A의 각 편차가 같으 므로 그 분산도 같다. 20 (평균)= (x+1)+(2x+2)+(3x+3)+(4x+4)+(5x+5) 5 = 15x+15 5 =3x+3 이므로 각 변량의 편차를 순서대로 구하면 다음과 같다. x+1-(3x+3)=-2x-2 2x+2-(3x+3)=-x-1 3x+3-(3x+3)=0 4x+4-(3x+3)=x+1 5x+5-(3x+3)=2x+2 10 정답과 풀이 Step (발전문제) 본문 30~31쪽 02 '5점 03 :¡5§: 07 2.6 08 ㄱ, ㄴ, ㄷ 04 ③ 05 9점 09 83 11 ⑴ 15(cid:100)⑵ 29(cid:100)⑶ 1 01 ② 06 10 10 ;2#; 12 남학생의 분산： , 여학생의 분산： :¡5™: :¡5¶: 12 여학생의 분산이 남학생의 분산보다 더 크다. 01 ㄱ. C의 편차가 0점이므로 C의 점수는 평균과 같다. ㄴ. 평균을 m점이라고 하면 (A의 점수)=(m+2)점, (B의 점수)=(m-1)점 따라서 A, B의 점수의 차는 3점이다. ㄷ. (분산)= 2¤ +(-1)¤ +(-2)¤ +1¤ 5 10 = =2 5 ㄹ. 점수가 가장 높은 학생은 A이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 02 A, B 두 반의 평균이 같고 분산이 각각 2¤ , ('7)¤ , 즉 4, 7이므로 A반의 (편차)¤ 의 총합은 4_20=80 B반의 (편차)¤ 의 총합은 7_10=70 따라서 전체 30명에 대한 (편차)¤ 의 총합은 80+70=150이므로 =5 (분산)= 150 30 ∴ (표준편차)='5(점) 03 중앙값과 최빈값이 7이므로 a…b…c라고 하면 a=7, b=7이다. 또, 평균이 6이므로 3+5+7+7+c 5 =6 22+c=30(cid:100)(cid:100)∴ c=8  15(중3-2)1단원(해설)(01~15)ok 2014.11.10 07:37 PM 페이지11 다민 600DPI 175LPI = (3-6)¤ +(5-6)¤ +(7-6)¤ +(7-6)¤ +(8-6)¤ 5 ∴ (분산) = ;;¡5§;; 04 (전체 점수의 총합)=77_5=385(점)이고 (여학생의 점수의 총합)=71_2=142(점)이므로 (남학생의 점수의 총합) =(전체 점수의 총합)-(여학생의 점수의 총합) =385-142 =243(점) ∴ (남학생의 평균)= =81(점) 243 3 05 전체 학생 수가 10명이므로 70점 이상 80점 미만인 계 급의 학생 수는 10-(2+3+1)=4(명) 주어진 히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다. 도수(명) (계급값)_(도수) (편차)¤ _(도수) 130 300 255 95 780 338 36 147 289 810 성적(점) 60이상~170미만 70이상~180이상 80이상~190이상 90이상~100이상 합계 2 4 3 1 10 780 10 810 10 (평균)= =78(점) (분산)= =81 ∴ (표준편차)='ß81=9(점) 06 평균이 5회이므로 a+1+8+b+9 5 =5 ∴ a+b=7 또, 분산이 10이므로 (a-5)¤ +(-4)¤ +3¤ +(b-5)¤ +4¤ 5 =10 a¤ +b¤ -10(a+b)+91=50 a¤ +b¤ -10_7=-41 ∴ a¤ +b¤ =29 이때 a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab이므로 29=7¤ -2ab(cid:100)(cid:100)∴ ab=10 07 민수의 사격 점수는 각각 1점, 1점, 1점, 2점, 3점, 3점, 4점, 5점, 5점, 5점이므로 (평균)= 1_3+2+3_2+4+5_3 10 = =3(점) ;1#0); (-2)¤ _3+(-1)¤ +1¤ +2¤ _3 10 (분산)= = =2.6 ;1@0^; 08 주어진 꺾은선그래프를 도수분포표로 나타내면 다음과 같다. 성적(점) 50 60 70 80 90 100 합계 남학생(명) 여학생(명) 2 3 3 4 7 8 9 7 4 2 5 1 30 25 ㄱ. 남학생 중에서 최빈값은 도수가 가장 큰 변량이므로 80점이다. ㄴ. 남학생은 30명이므로 중앙값은 15번째와 16번째의 변량의 평균인 80점이고, 최빈값도 80점이므로 같다. ㄷ. 여학생은 25명이므로 중앙값은 13번째 변량인 70점 이다. 또, 최빈값은 도수가 가장 큰 변량이므로 70점이다. 따라서 여학생의 중앙값과 최빈값은 같다. ㄹ. 남학생의 평균은 50_2+60_3+70_7+80_9+90_4+100_5 30 = 2350 30 =78.___(점) 여학생의 평균은 = 1790 25 50_3+60_4+70_8+80_7+90_2+100_1 25 =71.6(점) 따라서 남학생과 여학생의 평균은 같지 않다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 09 최빈값은 x의 값에 따라 달라진다. ⁄ x의 값이 86, 72, 83, 91 중 어느 것과도 같지 않다 면 최빈값은 없다. ¤ x의 값이 86, 72, 83, 91 중 어느 하나의 값과 같다 면 그 값의 도수가 2가 되므로 최빈값은 x의 값과 같다. I. 통계 11  15(중3-2)1단원(해설)(01~15)ok 2014.11.10 07:37 PM 페이지12 다민 600DPI 175LPI 그런데 평균과 최빈값이 같으므로 (평균)=(최빈값)=x 86+72+83+91+x 5 =x 4x=332(cid:100)(cid:100)∴ x=83 10 주어진 자료의 평균이 1이므로 2-5-3+4+b+5+1+a 8 =1 4+a+b 8 =1(cid:100)(cid:100)∴ a+b=4 그런데 최빈값이 -3이고 a0) ⑵ 5¤ =(3'2 )¤ +x¤ , x¤ =7(cid:100)(cid:100)∴ x='7 (∵ x>0) ⑶ x¤ =5¤ +5¤ , x¤ =50(cid:100)(cid:100)∴ x=5'2 (∵ x>0) ⑷ 10¤ =6¤ +x¤ , x¤ =64(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>0) ⑸ x¤ =6¤ +9¤ =117(cid:100)(cid:100)∴ x='∂117=3'1å3 (∵ x>0) ⑹ 7¤ =x¤ +5¤ , x¤ =24(cid:100)(cid:100)∴ x=2'6 (∵ x>0) 02 ⑴ (x+2)¤ =x¤ +8¤ 에서 4x=60(cid:100)(cid:100)∴ x=15 ⑵ x¤ =(x-1)¤ +5¤ 에서 2x=26(cid:100)(cid:100)∴ x=13 03 ⑴ △ADC에서 5¤ =4¤ +DC” ¤ =9(cid:100)(cid:100)∴ DC”=3 (∵ DC”>0) DC” 또, △ABC에서 x¤ =(5+3)¤ +4¤ x¤ =80(cid:100)(cid:100)∴ x=4'5 (∵ x>0) ⑵ △ABC에서 AC” ¤ =(2'3 )¤ +2¤ =16 ∴ AC”=4 (∵ AC”>0) 또, △ACD에서 x¤ =4¤ +4¤ =32 ∴ x=4'2 (∵ x>0) 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 42~45쪽 1 2'1å3 cm 2 3'5 4 ⑴ '4å3 ⑵ 2'1å4 ⑶ 3'2 ⑷ 25 8 36 cm¤ 7 2 cm 6 8 cm¤ 3 '6 5 14'3 cm¤ 9 29 cm¤ 1 △ADC에서 AD”="√10¤ -8¤ ='∂36=6(cm) △ABD에서 AB”="√4¤ +6¤ ='∂52=2'∂13(cm) 16 정답과 풀이 AC”="√3¤ +3¤ ='∂18=3'2 AD”="√(3'2)¤ +3¤ ='∂27=3'3 AE”="√(3'3)¤ +3¤ ='∂36=6 ∴ AF”="√6¤ +3¤ ='∂45=3'5 AA™”=AB¡”="√1¤ +1¤ ='2 AA£”=AB™”="√('2)¤ +1¤ ='3 AA¢”=AB£”="√('3)¤ +1¤ ='4=2 AA∞”=AB¢”="√2¤ +1¤ ='5 ∴ AB∞”="√('5)¤ +1¤ ='6 2 3 4 ⑴ BD”를 그으면 △BCD에서 BD”="√4¤ +6¤ ='∂52 =2'∂13(cm) (cid:100) △ABD에서 (cid:100) x="√(2'∂13)¤ -3¤ ='∂43 ⑵ BD”를 그으면 △BCD에서 (cid:100) BD”="√6¤ +6¤ ='∂72 =6'2(cm) (cid:100) △ABD에서 x="√(6'2)¤ -4¤ ='∂56=2'∂14 ⑶ 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 AH”=DC”=3 cm이고 HC”=AD”=2 cm이므로 BH”=5-2=3(cm) 따라서 △ABH에서 x="ç3¤ +3¤ ='∂18=3'2 ⑷ 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라고 하면 HC”=AD”=12 cm이므로 (cid:100) BH”=20-12=8(cm) (cid:100) △ABH에서 (cid:100) AH”="√17¤ -8¤ ='∂225 =15(cm) A x cm 3 cm D 6 cm C B 4 cm A 4 cm D 6 cm x cm B 6 cm C A 2 cm D x cm 3 cm 3 cm H B 3 cm 2 cm C 12 cm A D 17 cm x cm B 8 cm H 12 cm C (cid:100) 그런데 DC”=AH”=15 cm이므로 (cid:100) △DBC에서 x="√20¤ +15¤ ='∂625=25 5 오른쪽 그림과 같이 두 꼭 짓점 A, D에서 BC”에 내 린 수선의 발을 각각 E, F 라고 하면 A 5`cm D 4`cm 4`cm B E 2`cm F C 2`cm 5`cm ¤  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지17 다민 2540DPI 175LPI EF”=AD”=5 cm BE”=CF”=;2!;(9-5)=2(cm) 따라서 △ABE에서 AE”="√4¤ -2¤ ='1å2=2'3(cm) ∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(5+9)_2'3=14'3(cm¤ ) 6 △BDL=;2!;(cid:8772)BDML=;2!;_AB” =;2!;_4¤ =8(cm¤ ) 7 8 9 (cid:8772)ACHI, (cid:8772)BFGC의 넓이가 각각 13 cm¤ , 9 cm¤ 이므로 ¤ =13-9=4 ¤ -BC” AB” ∴ AB”=2(cm) (∵ AB”>0) ¤ =AC” △AEH≡△BFE≡△CGF≡△DHG (SAS 합동) 이므로 (cid:8772)EFGH는 정사각형이다. 이때 (cid:8772)EFGH의 넓이가 20 cm¤ 이므로 EH” △AEH에서 ¤ =20(cid:100)(cid:100)∴ EH”=2'5(cm) (∵ EH”>0) AH”="√(2'5)¤ -2¤ ='∂16=4(cm) EB”=AH”=4 cm이므로 AB”=2+4=6(cm) ∴ (cid:8772)ABCD=6¤ =36(cm¤ ) ¤ =9(cid:100)(cid:100)∴ EF”=3(cm) (∵ EF”>0) (cid:8772)EFGH의 넓이가 9 cm¤ 이므로 EF” BF”=AE”=2 cm이고 AF”=2+3=5(cm)이므로 △ABF에서 AB”="√5¤ +2¤ ='∂29(cm) 따라서 (cid:8772)ABCD는 정사각형이므로 (cid:8772)ABCD=('∂29)¤ =29(cm¤ ) 이런 문제가 시험에 나온다 본문 46~47쪽 02 ② 01 ⑴ 5 ⑵ 2'3å4 ⑶ 6'2 03 4'2 cm 04 넓이：25 cm¤ , 둘레의 길이：20 cm 05 4'5 cm¤ 06 ② 09 ⑴ (60+18'1å3) cm¤ ⑵ 192 cm¤ 12 6'5 cm 11 18 cm¤ 10 50 cm¤ 08 49 07 ④ 01 ⑴ △ADC에서 AD”="√(2'∂13)¤ -6¤ ='∂16=4 △ABD에서 x="√3¤ +4¤ ='∂25=5 ⑵ △ABC에서 AB”="√8¤ +6¤ ='∂100=10 △DBA에서 x="√10¤ +6¤ ='∂136=2'∂34 ⑶ △AMC에서 MC”="√(3'5)¤ -6¤ ='9=3 BC”=2MC”=2_3=6이므로 △ABC에서 x="√6¤ +6¤ ='∂72=6'2 ① OB”=OA'”="√1¤ +1¤ ='2 ② OC”=OB'”="√('2 )¤ +1='3 ③, ④ OD”=OC'”="√('3 )¤ +1=2 (cid:100) AD”=OD”-OA”=2-1=1 ⑤ BD”=OD”-OB”=2-'2 따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 꼭짓점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 DH”=AB”=4 cm이고 BH”=AD”=6 cm이므로 HC”=10-6=4(cm) 따라서 △DHC에서 CD”="√4¤ +4¤ ='∂32 =4'2(cm) AH”=7-4=3(cm)이므로 △AEH에서 EH”="√4¤ +3¤ ='∂25=5(cm) 이때 (cid:8772)EFGH는 정사각형이므로 ¤ =5¤ =25(cm¤ ) (cid:8772)EFGH=EH” 또, (cid:8772)EFGH의 둘레의 길이는 4EH”=4_5=20(cm) 02 03 04 05 △ABH에서 AH”="√10¤ -(4'5)¤ ='∂20=2'5(cm) △AHC에서 HC”="√6¤ -(2'5)¤ ='∂16=4(cm) 1 ∴ △AHC= _4_2'5 2 =4'5(cm¤ ) A 6 cm D 4 cm 4 cm B 6 cm 4 cm H C II. 피타고라스 정리 17 ¤  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지18 다민 2540DPI 175LPI 06 ① EB”∥DC”이므로 △ABC=△AEC ③ △EBC™△ABF (SAS 합동) ④ △HAC=△HBC=△AGC=△JGC이므로 ⑤ △EBA=△EBC=△ABF=△JBF이므로 (cid:8772)ACHI=(cid:8772)JKGC 1 △EBA= (cid:8772)BFKJ 2 07 AB”=x라고 하면 AB”=BC”=CD”=DE”=EF”=FG”=x AC”="√x¤ +x¤ ="√2x¤ ='2 x AD”="√x¤ +('2x)¤ ="√3x¤ ='3 x AE”="√x¤ +('3x)¤ ="√4x¤ =2x AF”="√x¤ +(2x)¤ ="√5x¤ ='5 x AG”="√x¤ +('5x)¤ ="√6x¤ ='6 x 이때 '6 x=12이므로 x= =2'6 12 '6 1 ∴ △AGF= _FG”_AF” 2 1 = _2'6_('5_2'6) 2 =12'5 08 BQ”=AP”=8이므로 △ABQ에서 AQ”="√17¤ -8¤ ='∂225=15 ∴ PQ”=AQ”-AP”=15-8=7 이때 (cid:8772)PQRS는 정사각형이므로 (cid:8772)PQRS=7_7=49 (cid:100) BE”=CF”= _(25-7) ;2!; =9(cm) (cid:100) 따라서 △ABE에서 (cid:100) AE”="√15¤ -9¤ ='∂144=12(cm) (cid:100) ∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(7+25)_12 =192(cm¤ ) 10 △ABC에서 AC”="√10¤ -8¤ ='∂36=6(cm) △ABF= (cid:8772)ADEB= AB” 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = _8¤ 2 =32(cm¤ ) 1 = _6¤ 2 =18(cm¤ ) △AGC= (cid:8772)ACHI= AC” ∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABF+△AGC =32+18 =50(cm¤ ) 11 △ABC™△CDE이므로 △ACE는 ∠ACE=90˘인 직각이등변삼각형이다. 이때 △ACE의 넓이가 10 cm¤ 이므로 AC” ¤ =20 ¤ =10, AC” 1 2 ∴ AC”=2'5(cm) (∵ AC”>0) △ABC에서 AB”="√(2'5)¤ -4¤ ='4=2(cm) ∴ CD”=AB”=2(cm), DE”=BC”=4(cm) ∴ (cid:8772)ABDE= _(4+2)_(4+2) 1 2 =18(cm¤ ) 09 ⑴ BD”를 그으면 △ABD에서 BD”="√(4'1å3 )¤ +9¤ ='∂289 =17(cm) △BCD에서 BC”="√17¤ -8¤ ='∂225 =15(cm) A 9`cm 4Â13°`cm 17`cm B 15`cm 8`cm D C ∴ (cid:8772)ABCD=△ABD+△BCD =;2!;_4'1å3_9+;2!;_15_8 =60+18'1å3(cm¤ ) 7 cm A D ⑵ 두 꼭짓점 A, D에서 BC” 에 내린 수선의 발을 각각 E, F라고 하면 (cid:100) EF”=AD”=7 cm 18 정답과 풀이 12 △ABC에서 BC”="√20¤ -12¤ ='∂256=16(cm) AD”는 ∠A의 이등분선이므로 AB”：AC”=BD”：CD” 20：12=5：3=BD”：CD” 15 cm 15 cm ∴ CD”= BC” ”= _16=6(cm) 3 8 3 8 B 9 cm C 9 cm E F 7 cm 따라서 △ADC에서 AD”="√6¤ +12¤ ='∂180=6'5(cm) ¤ ¤  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지19 다민 2540DPI 175LPI 삼각형의 각의 이등분선의 성질 A B D C △ABC에서 ∠A의 이등분선이 BC”와 만나는 점을 D라 하면 AB”：AC”=BD”：CD” 02 ⑴ 가장 긴 변의 길이가 x+3이므로 01 ① 2¤ =1¤ +('3)¤ (직각삼각형) ② ('6)¤ +1¤ +2¤ ③ 8¤ =('ß ④ 10¤ +6¤ +7¤ ⑤ 12¤ +7¤ +9¤ ∂15)¤ +7¤ (직각삼각형) (x+3)¤ =(3'3)¤ +x¤ 6x=18(cid:100)(cid:100)∴ x=3 ⑵ 가장 긴 변의 길이가 x+5이므로 (x+5)¤ =12¤ +(x-3)¤ 16x=128(cid:100)(cid:100)∴ x=8 03 주어진 삼각형이 직각삼각형이고 가장 긴 변의 길이가 2a+1이므로 (2a+1)¤ =(a-1)¤ +(2a)¤ a¤ -6a=0, a(a-6)=0 ∴ a=0 또는 a=6(cid:100) (cid:100)yy ㉠ 그런데 변의 길이는 양수이므로 a-1>0(cid:100)(cid:100)∴ a>1(cid:100)(cid:100)yy ㉡ ㉠, ㉡에서 a=6 따라서 구하는 직각삼각형의 넓이는 1 2 _(a-1)_2a= _5_12=30 1 2 04 2'1å5='6å0, 2'3='1å2, 3'3='2å7, 3'1å0='9å0, 5'6='∂150 이때 (2'1å5)¤ +(3'1å0)¤ =(5'6)¤ 이므로 직각삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있는 세 수는 2'1å5, 3'1å0, 5'6 이다. 05 ⁄ x cm가 가장 긴 변의 길이일 때 x¤ =9¤ +12¤ x¤ =225(cid:100)(cid:100)∴ x=15 (∵ x>0) ¤ 12 cm가 가장 긴 변의 길이일 때 12¤ =x¤ +9¤ , x¤ =63 ∴ x=3'7 (∵ x>0) ⁄, ¤에서 x의 값은 15 또는 3'7이다. 06 필요한 막대의 길이를 x cm라고 하면 ⁄ x cm가 가장 긴 변의 길이인 경우 x¤ =3¤ +4¤ 에서 x¤ =25(cid:100)(cid:100) ∴ x=5(cm) (∵ x>0) II. 피타고라스 정리 19 02 직각삼각형이 될 조건 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 49쪽 1 ③ 2 ⑴ 8 ⑵ 15 1 ③ 7¤ +('1å7)¤ +5¤ 이므로 직각삼각형이 아니다. 2 ⑴ 가장 긴 변의 길이는 x+2이므로 (x+2)¤ =(x-2)¤ +x¤ x¤ -8x=0, x(x-8)=0 ∴ x=0 또는 x=8 그런데 변의 길이는 양수이므로 x-2>0(cid:100)(cid:100)∴ x>2 yy ㉡ ㉠, ㉡에서 x=8 yy ㉠ ⑵ 가장 긴 변의 길이가 x+2이므로 (x+2)¤ =x¤ +(x-7)¤ x¤ -18x+45=0, (x-3)(x-15)=0 yy ㉠ ∴ x=3 또는 x=15 그런데 변의 길이는 양수이므로 x-7>0(cid:100)(cid:100)∴ x>7 ㉠, ㉡에서 x=15 yy ㉡ 이런 문제가 시험에 나온다 본문 50쪽 01 ①, ③ 02 ⑴ 3(cid:100)⑵ 8 04 2'1å5, 3'1å0, 5'6 06 ②, ③ 03 30 05 15, 3'7  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지20 다민 2540DPI 175LPI ¤ 4 cm가 가장 긴 변의 길이인 경우 4¤ =x¤ +3¤ 에서 x¤ =7(cid:100)(cid:100) ∴ x='7(cm) (∵ x>0) ⁄, ¤에서 막대의 길이로 가능한 것은 '7 cm, 5 cm 이다. ㉠, ㉡에서 4 02 ⑴ <, 예각 ⑵ >, 둔각 ⑶ >, 둔각 03 ⑴ 2, 10, 4¤ , 0, 2'1å3, 2, 2'1å3 ⑵ 2, 8, 3¤ , '3å4, '3å4, 8 이런 문제가 시험에 나온다 본문 54쪽 본문 52쪽 01 ③ 05 ② 02 ③ 06 12 03 ⑤ 04 ⑤ 07 5('3)¤ +2¤ (cid:100)(cid:100)∴ 둔각삼각형 ② 7¤` >3¤ +5¤ (cid:100)(cid:100) ∴ 둔각삼각형 ③ 9¤` <6¤ +7¤ (cid:100)(cid:100) ∴ 예각삼각형 ④ 10¤` =6¤ +8¤ (cid:100)(cid:100) ∴ 직각삼각형 ⑤ 20¤` >12¤ +15¤ (cid:100)(cid:100) ∴ 둔각삼각형 02 △ABC에서 AB” 삼각형이다. ¤ >BC” ¤ +CA” ¤ 이면 ∠C>90˘인 둔각 03 ⑤ a¤ 2¤ +a¤`, a¤ <5 ∴ 00)(cid:100)(cid:100)yy ㉡ ㉠, ㉡에서 15¤ +10¤ (cid:100)(cid:100)∴ 둔각삼각형 ③ 10¤ <7¤ +8¤ (cid:100)(cid:100)∴ 예각삼각형 ④ 25¤ =7¤ +24¤ (cid:100)(cid:100)∴ 직각삼각형 ⑤ 15¤ =9¤ +12¤ (cid:100)(cid:100)∴ 직각삼각형 2 ⑴ 8-68이므로 80)(cid:100)(cid:100)yy ㉡ ㉠, ㉡에서 85¤ +a¤ a¤ <56 ∴ 00) yy ㉡ 20 정답과 풀이  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지21 다민 2540DPI 175LPI 06 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의해 5125 ∴ a>5'5 (∵ a>0)(cid:100)(cid:100)yy ㉡ ㉠, ㉡에서 5'510이므로 105'5 (∵ x>0)(cid:100)(cid:100)yy ㉡ ㉠, ㉡에서 5'50)(cid:100) ㉢, ㉣에서 50)라고 하면 AC”=4a △ABC에서 BC”="√(3a)¤ +(4a)¤ ="√25a¤ =5a 또, AB”_AC”=AH”_BC”이므로 3a_4a=12_5a, 12a¤ -60a=0 a¤ -5a=0, a(a-5)=0 ∴ a=5 (∵ a>0) ∴ BC”=5_5=25 05 피타고라스 정리의 이용 ⑵ 본문 60쪽 개념원리 확인하기 01 ⑴ x¤ , 5¤ , '5 ⑵ 7¤ , 6¤ , 2'3 ⑶ 9¤ , 8¤ , '1å9 ⑷ (2'3 )¤ , 5¤ , 7 02 ⑴ x¤ , 4¤ , '5 ⑵ 3¤ , 2¤ , '1å3 03 ⑴ 30p`cm¤ ⑵ p 25 2 03 ⑴ 색칠한 부분의 넓이를 S cm¤ 라 하면 60p+S=90p(cid:100)(cid:100)∴ S=30p(cm¤ ) ⑵ △ABC에서 ∠A=90˘이므로 BC”="√6¤ +8¤ ='∂100=10 따라서 색칠한 부분의 넓이는 1 2 _p_5¤ = p 25 2 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 61~63쪽 1 ⑴ 3'2 cm(cid:100)⑵ 3'5 cm 2 ⑴ 9(cid:100)⑵ 13 3 1 cm 4 ⑴ 25p cm¤ (cid:100)⑵ 54 cm¤ 5 ;;¶2∞;; cm¤ 6 :¢3º: cm¤ 1 ⑴ AB” ¤ +CD” ¤ =AD” ¤ =3¤ +5¤ 4¤ +CD” ¤ +BC” ¤ 이므로 22 정답과 풀이 ¤ =18 CD” ∴ CD”=3'2(cm) (∵ CD”>0) ⑵ △ABO에서 ¤ +CD” ¤ =AD” AB”="√3¤ +4¤ =5(cm) ¤ +BC” AB” ¤ =(2'1å3 )¤ +(3'2 )¤ , CD” 5¤ +CD” ∴ CD”=3'5(cm) (∵ CD”>0) ¤ 이므로 ¤ =45 2 ⑴ BE” ¤ 이므로 ¤ +BC” ¤ +CD” ¤ =DE” 13¤ +x¤ =5¤ +15¤`, x¤ =81 ∴ x=9 (∵ x>0) ¤ =DE” ¤ +BC” ¤ +CD” ¤ 이므로 9¤ +12¤ =(2'1å4 )¤ +x¤ , x¤ =169 ∴ x=13 (∵ x>0) ⑵ BE” ¤ +CP” ¤ +DP” ¤ =BP” AP” ('3)¤ +('2)¤ =2¤ +DP” ∴ DP”=1(cm) (∵ DP”>0) ¤ 이므로 ¤ , DP” ¤ =1 3 4 5 ⑴ 직각삼각형 ABC에서 세 변을 지름으로 하는 세 반원의 넓이 를 각각 P, Q, R라고 하면 P=Q+R R B A Q C 10 cm P P= _p_5¤ = p(cm¤ ) 1 2 25 2 ∴ (색칠한 부분의 넓이)=P+Q+R=2P ⑵ △ABC에서 AC”="√15¤ -12¤ ='∂81=9(cm) ∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC =2_ p 25 2 =25p(cm¤ ) = _12_9 1 2 =54(cm¤ ) AP”=AD”=15 cm이므로 △ABP에서 BP”="√15¤ -9¤ ='∂144=12(cm) PQ”=x cm라고 하면 DQ”=PQ”=x cm이므로 QC”=(9-x) cm PC”=15-12=3(cm)이므로 △PCQ에서 x¤ =3¤ +(9-x)¤` 18x=90(cid:100)(cid:100)∴ x=5(cm)  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지23 다민 2540DPI 175LPI 이때 △APQ는 ∠P=90˘인 직각삼각형이므로 05 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 1 △APQ= _AP”_PQ” 2 = _15_5= (cm¤ ) 75 2 1 2 1 DE”=;2!; AB”= _10=5 2 ¤ =AB” ¤ +DE” AE” ¤ =10¤ +5¤ =125 AE” ¤ +BD” ¤ +BD” ¤ 이므로 6 PB”=x cm라고 하면 CP”=AP”=(12-x) cm △PBC에서 (12-x)¤ =x¤ +8¤ 24x=80(cid:100)(cid:100)∴ x= (cm) 10 3 10 3 ∴ △PBC= _8_ 1 2 40 3 = (cm¤ ) 이런 문제가 시험에 나온다 본문 64~65쪽 01 5'3 05 125 02 18p cm¤ 03 :™2∞: 07 100 06 5 cm p 04 4'1å0 cm 08 4 cm¤ cm 10 96 cm¤ 09 ;3%; 12 ⑴ 6 cm¤ (cid:100)⑵ 10 cm¤ 11 2'5 01 ¤ 이므로 ¤ =DE” ¤ +CD” BE” 6¤ +8¤ =5¤ +BC” ∴ BC”=5'3 (∵ BC”>0) ¤ +BC” ¤ , BC” ¤ =75 02 AB”, AC”를 각각 지름으로 하는 반원의 넓이의 합은 BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이와 같다. ∴ (색칠한 부분의 넓이)= _p_6¤ 1 2 =18p(cm¤ ) 03 P= _p_3¤ = p 9 2 1 2 9 ∴ R=P+Q= p+8p= p 2 25 2 04 (cid:8772)ABCD는 등변사다리꼴이므로 AB”=DC”이고 AC”⊥BD”이므로 ¤ +DC” ¤ =AD” AB” ¤ =8¤ +16¤ , AB” 2AB” ∴ AB”=4'∂10(cm) (∵ AB”>0) ¤ =160 ¤ +BC” 06 PQ”=x cm라고 하면 AP”=PQ”=x cm이므로 PB”=(8-x)cm △PBQ에서 x¤ =(8-x)¤ +4¤ 16x=80(cid:100)(cid:100)∴ x=5(cm) 07 △ABC에서 AC”="√(10'5)¤ -20¤ =10 1 ∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC= _20_10 2 =100 ¤ +BC” ¤ 이므로 ¤ +('1å3)¤ , AD” ¤ =AD” ¤ +CD” AB” (2'2)¤ +5¤ =AD” ∴ AD”=2'5(cm) △AOD에서 OD”="√(2'5)¤ -2¤ =4(cm) ∴ △AOD= _OD”_AO”= _4_2=4(cm¤ ) ¤ =20 1 2 1 2 08 09 AE”=AD”=5 cm이므로 △ABE에서 BE”="√5¤ -3¤ ='∂16=4(cm) EF”=x cm라고 하면 DF”=EF”=x cm이므로 CF”=(3-x) cm EC”=5-4=1(cm)이므로 △ECF에서 x¤ =1¤ +(3-x)¤ 6x=10(cid:100)(cid:100)∴ x= (cm) 5 3 10 1 2 p{ AB” 2 ¤ =18p에서 AB” } ¤ =144 ∴ AB”=12(cm) (∵ AB”>0) ¤ =400 } AC” 2 ¤ =50p에서 AC” 1 또, p { 2 ∴ AC”=20(cm) (∵ AC”>0) △ABC에서 BC”="√20¤ -12¤ ='∂256=16(cm) ∴ △ABC= _12_16=96(cm¤ ) 1 2 11 ¤ =BP” ¤ +DP” ¤ 이므로 ¤ +CP” ¤ +6¤ =4¤ +5¤ (cid:100)(cid:100)∴ AP” AP” AP” ∴ AP”='5 (∵ AP”>0) △ABP에서 ('2å1)¤ =('5)¤ +4¤ 이므로 ¤ =5 II. 피타고라스 정리 23 ¤  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지24 다민 2540DPI 175LPI ¤ , 즉 ∠APB=90˘이다. AB” ¤ =AP” ¤ +BP” 1 ∴ △ABP= _AP”_BP” 2 1 2 = _'5_4=2'5 12 △PBD에서 ∠PBD=∠DBC (∵ 접은 각)이고 ∠PDB=∠DBC (∵ 엇각)이므로 ∠PBD=∠PDB(cid:100)(cid:100)∴ BP”=DP” 따라서 △PBD는 PB”=PD”인 이등변삼각형이다. AP”=x cm라고 하면 BP”=DP”=(8-x) cm △ABP에서 (8-x)¤ =4¤ +x¤ 16x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=3(cm) ⑴ △ABP= _AP”_AB”= _3_4=6(cm¤ ) ⑵ △PBD= _PD”_AB”= _5_4=10(cm¤ ) 1 2 1 2 1 2 1 2 Step (기본문제) 본문 66~67쪽 01 ② 02 ③ 03 6 cm 04 ② 05 ③ 06 ⑴ +12(cid:100)⑵ 32 15'3 2 07 3'1å3 cm 08 :¢5•: cm 09 20 cm 10 ③ 11 2'∂13(2'2)¤ +6¤ (cid:100)(cid:100) ∴ 둔각삼각형 ③ 9¤ <3¤ +(5'3)¤ (cid:100)(cid:100) ∴ 예각삼각형 ④ (12'2)¤ >9¤ +10¤ (cid:100)(cid:100)∴ 둔각삼각형 ⑤ 41¤ =9¤ +40¤ (cid:100)(cid:100) ∴ 직각삼각형 03 ¤ +BC” ¤ +CD” ¤ =DE” BE” 5¤ +4¤ =('5)¤ + BC” ∴ BC”=6(cm) (∵ BC”>0) ¤ , BC” ¤ 이므로 ¤ =36 24 정답과 풀이 △AEH™△BFE™△CGF™△DHG(SAS 합동)이 므로 (cid:8772)EFGH는 정사각형이다. AH”=4 cm이므로 △AEH에서 HE”="√8¤ +4¤ ='8å0=4'5(cm) 따라서 (cid:8772)EFGH는 한 변의 길이가 4'5 cm인 정사각 형이므로 넓이는 4'5_4'5=80(cm¤ ) 04 05 AB”=x라고 하면 AC”="√x¤ +x¤ ='2x AD”="√('2x)¤ +x¤ ='3x AE”="√('3x)¤ +x¤ ="ç4x¤ =2x AF”="√(2x)¤ +x¤ ='5x 따라서 '5x=3'5이므로 x=3 06 ⑴ BD”를 그으면 △ABD와 A 3'3 △BCD는 직각삼각형이다. △ABD에서 BD”="√5¤ +(3'3)¤ ='ß52 5 B =2'ß13 (cid:100) △BCD에서 BC”="√(2'∂13)¤ -4¤ ='∂36=6 ∴ (cid:8772)ABCD=△ABD+△BCD D 4 C = _3'3_5+ _6_4 1 2 1 2 15'3 2 = +12 ⑵ 두 꼭짓점 A, D에서 BC” 에 내린 수선의 발을 각각 E, F라고 하면 EF”=AD”=5이므로 A E 3 5 B 5 5 D F 5 C 3 BE”=FC”= _(11-5)=3 1 2 △ABE에서 AE”="√5¤ -3¤ ='∂16=4 1 ∴ (cid:8772)ABCD= _(5+11)_4 2 =32 07 (색칠한 부분의 넓이)=△ABC이므로 1 2 _6_AC”=27(cid:100)(cid:100)∴ AC”=9(cm) 따라서 △ABC에서 BC”="√6¤ +9¤ ='∂117=3'∂13(cm) 08 △ABC에서 BC”=BF”=15 cm이므로 AB”="√15¤ -9¤ ='∂144=12(cm)  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지25 다민 2540DPI 175LPI 이때 (cid:8772)ADEB=(cid:8772)BFML이므로 12¤ =15_BL” ∴ BL”= (cm) 48 5 09 BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는 S¡+S™=34p+16p=50p(cm¤ ) BC”=x cm라고 하면 1 2 p{ x 2 } ¤ =50p, x¤ =400 ∴ x=20(cm) (∵ x>0) 10 △ABC에서 BC”="√8¤ +6¤ ='∂100=10(cm) BD”∥AG”이므로 △BDA=△BDF CE”∥AG”이므로 △CEA=△CEF ∴ △BDA+△CAE=△BDF+△CFE = (cid:8772)BDEC 1 2 1 = _10¤ 2 =50(cm¤ ) ∠C>90˘이므로 가장 긴 변의 길이는 x cm이다. 6-46이므로 64¤ +6¤ , x¤ >52 ∴ x>2'∂13`(∵ x>0)(cid:100)(cid:100) ㉠, ㉡에서 2'∂130) 1 2 ¤ =10¤ -x¤ CD”=x cm라고 하면 △ADC에서 AC” 또, △ABC에서 AC” 10¤ -x¤ =17¤ -(9+x)¤ 이므로 18x=108(cid:100)(cid:100)∴ x=6(cm) ∴ BC”=9+6=15(cm) ¤ =17¤ -(9+x)¤ ¤ =BH”_BC”이므로 ¤ =CH”_CB”이므로 BH”=x라고 하면 AB” (6'5)¤ =x(x+3), x¤ +3x-180=0 (x+15)(x-12)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=12 (∵ x>0) 또, AC” ¤ =3_(12+3)=45 AC” ∴ AC”=3'5 (∵ AC”>0) ∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC=;2!;_6'5_3'5 =45 II. 피타고라스 정리 25 01 02 03 04 ¤  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지26 다민 2540DPI 175LPI 05 △ABC에서 AB”="√(6'3)¤ +6¤ ='∂144=12(cm) ∴ (색칠한 부분의 넓이) =(△ABC의 넓이) +(AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이) (cid:100) = _6'3_6+ _p_{:¡2™:} 1 2 1 2 =18('3+p)(cm¤ ) 06 AC”=x cm라고 하면 삼각형의 각의 이등분선의 성질 에 의해 AB”：AC”=BD”：CD” AB”：x=3'5：'5 ∴ AB”=3x(cm) △ABC에서 피타고라스 정리에 의하여 (3x)¤ =(4'5 )¤ +x¤ , x¤ =10 ∴ x='1å0(cm) (∵ x>0) 07 △ABC에서 BC”="√8¤ +4¤ ='∂80=4'5(cm) △FDE=△BDE= (cid:8772)BDEC이므로 △FDE= _BC” ¤ = _(4'5)¤ =40(cm¤ ) 1 2 1 2 1 2 08 ⑴ (cid:8772)EBAD=△AEB=△EBC 1 2 =△ABF=△BFL (cid:100) 따라서 넓이가 나머지 넷과 다른 하나는 ④ △ALF 이다. ⑵ △ABC에서 AB”="√13¤ -12¤ ='∂25=5(cm) ∴ △BFL= (cid:8772)EBAD= _5¤ = (cm¤ ) 1 2 25 2 1 2 ⑶ (cid:8772)ACHI의 넓이가 32 cm¤ 이므로 ¤ =32(cid:100)(cid:100)∴ AC”=4'2(cm)`(∵ AC”>0) AC” (cid:8772)EBAD=(cid:8772)BFGC-(cid:8772)ACHI =44-32=12(cm¤ ) ¤ =12 (cid:100) 이므로 AB” (cid:100) ∴ AB”=2'3(cm)`(∵ AB”>0) 1 (cid:100) ∴ △ABC= _4'2_2'3=4'6(cm¤ ) 2 09 EB'”=EB”=18-8=10(cm)이므로 △AEB'에서 AB'”="√10¤ -8¤ ='∂36=6(cm) 26 정답과 풀이 ∴ B'D”=18-6=12(cm) △AEB'ª△DB'G (AA 닮음)이므로 AE”：DB'”=EB'”：B'G”에서 8：12=10：B'G”, 8B'G”=120 ∴ B'G”=15(cm) 10 △AEB'≡△CED (ASA 합동)이므로 EB'”=ED”이고 AB'”=CD”=AB”=6 △ABC에서 BC”="√10¤ -6¤ ='∂64=8 한편, EB'”=ED”=x라고 하면 AE”=8-x △AEB'에서 (8-x)¤ =6¤ +x¤ , 16x=28 ∴ x= 7 4 1 ∴ △AEB'= _6_ = 2 7 4 21 4 11 BQ”=BC”=5 cm이므로 △ABQ에서 AQ”="√5¤ -4¤ ='9=3(cm) ∴ QD”=5-3=2(cm) 또, PQ”=PC”=x cm라고 하면 DP”=(4-x) cm △QPD에서 x¤ =(4-x)¤ +2¤ , 8x=20 5 ∴ x= (cm) 2 5 이때 DP”=4- = (cm)이고 2 DH”⊥QP”이므로 DP” 3 2 ¤ =PH”_PQ” 9 10 3 2 { } 5 2 ¤ =PH”_ (cid:100)(cid:100)∴ PH”= (cm) 12 ⁄ x가 가장 긴 변, 즉 x>5일 때 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의해 25이므로 53¤ +5¤ , x¤ >34 ∴ x>'∂34 (∵ x>0) ㉠, ㉡에서 '∂34x¤ +3¤ , x¤ <16 ∴ 00)(cid:100) ㉢, ㉣에서 20) 그런데 직각삼각형의 빗변의 중점은 외심과 일치하므로 AM”=BM”=CM” = _(8+2)=5(cm) 1 2 또, △AMH에서 AH” ¤ =AQ”_AM”이므로 4¤ =AQ”_5(cid:100)(cid:100)∴ AQ”= (cm) 16 5 03 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 CG”：GD”=2：1 2 3 20 3 CD”= (cid:100)(cid:100)∴ CD”=10(cm) 이때 점 D는 △ABC의 외심이므로 AD”=BD”=CD”=10 cm ∴ AB”=2AD”=2_10=20(cm) 따라서 △ABC에서 AC”="√20¤ -12¤ ='∂256=16(cm) ∴ △ABC= _12_16=96(cm¤ ) 1 2 04 5개의 끈에서 3개를 골라 삼각형을 만들 수 있는 경우 를 순서쌍으로 나타내면 (5, 7, 8), (5, 7, 11), (5, 8, 11), (5, 11, 13), (7, 8, 11), (7, 8, 13), (7, 11, 13), (8, 11, 13) 의 8가지이다. 8¤ <5¤ +7¤ (cid:100)(cid:100)∴ 예각삼각형 11¤ >5¤ +7¤ (cid:100)(cid:100)∴ 둔각삼각형 11¤ >5¤ +8¤ (cid:100)(cid:100)∴ 둔각삼각형 13¤ >5¤ +11¤ (cid:100)(cid:100)∴ 둔각삼각형 11¤ >7¤ +8¤ (cid:100)(cid:100)∴ 둔각삼각형 13¤ >7¤ +8¤ (cid:100)(cid:100)∴ 둔각삼각형 13¤ <7¤ +11¤ (cid:100)(cid:100)∴ 예각삼각형 13¤ <8¤ +11¤ (cid:100)(cid:100)∴ 예각삼각형 따라서 둔각삼각형이 되는 경우의 수는 5가지이다. ¤ =9¤ -(3+2+x)¤` △ABC에서 ∠BAD=∠CAD이므로 삼각형의 각의 이등분선의 성질에 의해 AB”：AC”=BD”：DC”에서 9：6=3：DC”, 9DC”=18 ∴ DC”=2 이때 CH”=x라고 하면 △ABH에서 AH” 또, △ACH에서 AH” ㉠, ㉡에서 9¤ -(5+x)¤ =6¤ -x¤ 10x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=2 x=2를 ㉡에 대입하면 ¤ =6¤ -2¤ =32 AH” ∴ AH”=4'2 (∵ AH”>0) yy ㉠ ¤ =6¤ -x¤ (cid:100)(cid:100)yy ㉡ 06 AC”=x cm라 하고 DE”를 그으면 점 D, E는 각각 AB”, BC”의 중점이므로 DE”= AC”= x(cm) 1 2 1 2 A 3 cm D 3 cm B 4 cm E 4 cm x cm C 이때 (cid:8772)ADEC에서 AE”⊥DC”이므로 AD” ¤ +AC” ¤ =DE” ¤ +EC” 1 ¤ +x¤ 2 3¤ +4¤ ={ x} x¤ =25, x¤ =20 5 4 ∴ x=2'5(cm) (∵ x>0) II. 피타고라스 정리 27 ¤  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지28 다민 2540DPI 175LPI 서술형 대비 문문제제 본문 71~72쪽 1 6x¤ +4¤ , x¤ <84 ∴ 00)(cid:100)(cid:100)yy ㉡ ㉠, ㉡에서 60) 3단계 ∴ △OBC= _2'3_5=5'3 ;2!; 채점요소 단계 1 2 3 BC”의 길이 구하기 OC”의 길이 구하기 △OBC의 넓이 구하기 배점 2점 2점 2점 4 1단계 ⁄ 가장 긴 변의 길이가 x+1일 때 피타고라스 정리에 의해 (x+1)¤ =x¤ +5¤`, 2x=24 ∴ x=12 2단계 ¤ 가장 긴 변의 길이가 5일 때 피타고라스 정리에 의해 5¤ =x¤ +(x+1)¤ 28 정답과 풀이 x¤ +x-12=0, (x+4)(x-3)=0 ∴ x=3 (∵ x>0) 3단계 ⁄, ¤에서 x의 값은 3 또는 12이다. 채점요소 가장 긴 변의 길이가 x+1일 때 x의 값 구하기 가장 긴 변의 길이가 5일 때 x의 값 구하기 단계 1 2 3 답 구하기 배점 3점 3점 1점 5 1단계 직사각형 ABCD를 대각선 BD를 접는 선으로 하 여 접었으므로 ∠FBD=∠DBC (∵ 접은 각), ∠DBC=∠BDF (∵ 엇각) ∴ ∠FBD=∠BDF 따라서 △FBD는 FB”=FD”인 이등변삼각형이다. FD”=x라고 하면 FB”=FD”=x, AF”=5-x △ABF에서 x¤ =4¤ +(5-x)¤ , 10x=41 2단계 ∴ x= ;1$0!; 3단계 ∴ △BDF= _FD”_AB” ;2!; = _ _4= ;1$0!; ;2!; :¢5¡: 단계 1 2 3 채점요소 △FBD가 이등변삼각형임을 알기 FD”의 길이 구하기 △BDF의 넓이 구하기 배점 2점 3점 2점 6 1단계 △HBC™△AGC (SAS 합동)이므로 △HBC=△AGC(cid:100)(cid:100)yy ㉠ 또, △AGC와 △JGC는 CG”를 밑변으로 하고 높 이가 JC”로 같으므로 △AGC=△JGC(cid:100) yy ㉡ ㉠, ㉡에서 △HBC=△JGC (cid:8772)JKGC=(cid:8772)BFGC-(cid:8772)BFKJ =13_13-144 =25(cm¤ ) 2단계 3단계 ∴ △HBC=△JGC= (cid:8772)JKGC ;2!; = _25= ;2!; :™2∞: (cm¤ ) 단계 1 2 3 채점요소 △HBC=△JGC임을 알기 (cid:8772)JKGC의 넓이 구하기 △HBC의 넓이 구하기 배점 4점 2점 2점  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지29 다민 2540DPI 175LPI 개념원리 확인하기 본문 76쪽 4 12'3 cm¤ 5 3'7 cm¤ 6 210 cm¤ 2 피타고라스 정리의 활용 01 평면도형에의 활용 ⑴ 01 ⑴ 8 ⑵ 8'2 ⑶ 5'2 ⑷ 5'2 02 ⑴ 4 ⑵ 4 '3 03 ⑴ , 5'3, 2 '3 4 , 25'3 ⑵ , 4 '3 2 03 ⑶ 3, 3'3 ⑷ 9'3 01 ⑴ x="√(4'3)¤ +4¤ =8 ⑵ x='2_8=8'2 ⑶ 5'3="√x¤ +5¤ 에서 75=x¤ +25(cid:100)(cid:100)∴ x=5'2 (∵ x>0) ⑷ 10='2 x(cid:100)(cid:100)∴ x=5'2 02 ⑴ 직사각형의 세로의 길이를 a라 하면 대각선의 길이가 2'7이므로 2'7="√(2'3 )¤ +a¤ 28=a¤ +12, a¤ =16 ∴ a=4 (∵ a>0) 대각선의 길이가 4'2이므로 4'2='2 a ∴ a=4 ⑵ 정사각형의 한 변의 길이를 a라 하면 03 '3 ⑴ (높이)= _10=5'3 2 '3 4 '3 ⑵ (높이)= _x=2'3 2 (넓이)= _10¤ =25'3 ∴ x=4 '3 ⑶ (높이)= _2'3=3 2 '3 4 (넓이)= _(2'3 )¤ =3'3 ⑷ 정삼각형의 한 변의 길이를 a라 하면 '3 2 _a=3'3 ∴ a=6 '3 ∴ (넓이)= _6¤ =9'3 4 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 77~79쪽 1 ⑴ 2'2 ⑵ 둘레의 길이：40'2, 넓이：200 ⑶ 28 2 ;1^3); cm 3 ⑴ 36'3 cm¤ ⑵ 4 cm ⑶ 12'2 cm 1 ⑴ 가로와 세로의 길이를 각각 '2k, 2k (k>0)라고 하면 ('2k)¤ +(2k)¤ =(2'6)¤`, 6k¤ =24 k¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ k=2`(∵ k>0) ∴ (가로의 길이)='2_2=2'2 ⑵ 정사각형의 한 변의 길이를 a라 하면 '2a=20(cid:100)(cid:100)∴ a=10'2 ∴ (둘레의 길이)=4_10'2=40'2 (넓이)=(10'2)¤ =200 ⑶ 직사각형의 가로, 세로의 길이를 각각 x, y라 하면 대각선의 길이가 10이므로 x¤ +y¤ =10¤ (cid:100)(cid:100)yy ㉠ 또, 넓이가 48이므로 xy=48(cid:100)(cid:100) yy ㉡ 이때 x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy이므로 ㉠, ㉡에서 100=(x+y)¤ -2_48, (x+y)¤ =196 ∴ x+y=14 (∵ x+y>0) ∴ (둘레의 길이)=2(x+y)=2_14=28 2 △BCD에서 BD”="√12¤ +5¤ ='∂169=13(cm) BC”_CD”=BD”_CH”이므로 12_5=13_CH”(cid:100)(cid:100)∴ CH”=;1^3);(cm) 3 ⑴ 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 '3 2 a=6'3(cid:100)(cid:100)∴ a=12(cm) '3 4 ∴ (넓이)= _12¤ =36'3(cm¤ ) ⑵ 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 '3 4 a¤ =4'3, a¤ =16 ∴ a=4(cm) (∵ a>0) ⑶ 정육각형은 합동인 6개의 정삼각형으로 나누어지므 로 정육각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 '3 4 6_ a¤ =12'3, a¤ =8 ∴ a=2'2(cm) (∵ a>0) 따라서 정육각형의 둘레의 길이는 6_2'2=12'2(cm) II. 피타고라스 정리 29  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지30 다민 2540DPI 175LPI '3 44 AB” ¤ =16'3이므로 AB” ∴ AB”=8(cm)(∵ AB”>0) ¤ =64 AD”= _8=4'3(cm)이므로 '3 2 △ADE= _(4'3)¤ =12'3(cm¤ ) '3 4 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라 하자. BH”=CH”=3 cm이므로 △ABH에서 AH”="√4¤ -3¤ ='7(cm) ∴ △ABC=;2!;_6_'7=3'7(cm¤ ) B A 4 cm 4 cm 3 cm H C 5 6 B x cm 17 cm 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하자. BH”=x cm라 하면 CH”=(28-x) cm △ABH에서 ¤ =17¤ -x¤ AH” △AHC에서 AH” 17¤ -x¤ =25¤ -(28-x)¤ 이므로 56x=448(cid:100)(cid:100)∴ x=8(cm) ∴ AH”="√17¤ -8¤ ='∂225=15(cm) ∴ △ABC=;2!;_28_15=210(cm¤ ) ¤ =25¤ -(28-x)¤ A 25 cm H (28-x) cm C 02 이런 문제가 시험에 나온다 본문 80~81쪽 01 ⑴ 7'2 cm(cid:100)⑵ 3 cm(cid:100) ⑶ 한 변의 길이：20 cm, 높이：10'3 cm(cid:100)⑷ 22 cm¤ 05 ④ 03 ③ 02 3p cm¤ 04 4'3 cm¤ 06 가로의 길이：15인치, 세로의 길이：10인치 07 5'3 3 cm 08 5'2 2 cm 09 50'3 cm¤ 10 8 cm 11 ⑴ 120 cm¤ (cid:100)⑵ 5'3 cm¤ 12 ⑴ 10 cm(cid:100)⑵ :¡5•: cm(cid:100)⑶ :¡5¢: cm 01 ⑴ (세로의 길이)="√(7'3)¤ -7¤ ='ß98=7'2(cm) ⑵ 정사각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 '2a=3'2(cid:100)(cid:100)∴ a=3(cm) 30 정답과 풀이 ⑶ 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 '3 4 a¤ =100'3, a¤ =400 ∴ a=20(cm)(∵ a>0) '3 2 ∴ (높이)= _20=10'3(cm) ⑷ 직사각형의 가로와 세로의 길이를 각각 a cm, b cm 라 하면 대각선의 길이가 10 cm이므로 a¤ +b¤ =10¤ (cid:100)(cid:100) yy ㉠ 또, 둘레의 길이가 24 cm이므로 2(a+b)=24 ∴ a+b=12(cid:100)(cid:100)yy ㉡ 이때 a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab이므로 ㉠, ㉡에서 100=12¤ -2ab, 2ab=44 ∴ ab=22 ∴ (직사각형의 넓이)=ab=22(cm¤ ) 정사각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 '2a=2'6(cid:100)(cid:100)∴ a=2'3(cm) 따라서 원의 반지름의 길이는 '3 cm이므로 (원의 넓이)=p_('3)¤ =3p(cm¤ ) a cm 03 정육각형은 합동인 6개의 정삼각형 으로 나누어진다. 이때 정육각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 '3 4 6_ a¤ =150'3, a¤ =100 ∴ a=10(cm)`(∵ a>0) 04 AD”=a cm라 하면 '2a=4'2(cid:100)(cid:100)∴ a=4(cm) '3 ∴ △ADE= _4¤ =4'3(cm¤ ) 4 05 a`cm x`cm 큰 정사각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 a¤ =36 ∴ a=6(cm)`(∵ a>0) 또, 작은 정사각형의 한 변의 길이를 b cm라 하면 b¤ =9(cid:100)(cid:100)∴ b=3(cm) (∵ b>0) ∴ x="√(6+3)¤ +6¤ ='∂117=3'1å3 (cm) a`cm 36`cm@ 9`cm@ b`cm  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지31 다민 2540DPI 175LPI 모니터 화면의 가로와 세로의 길이를 각각 3k인치, 2k인치(k>0)라고 하면 (3k)¤ +(2k)¤ =(5'∂13)¤ 13k¤ =325, k¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ k=5(인치)`(∵ k>0) 따라서 모니터 화면의 가로의 길이는 15인치, 세로의 길이는 10인치이다. 06 07 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라고 하면 '3 4 a¤ =25'3, a¤ =100 ∴ a=10(cm)`(∵ a>0) '3 2 ∴ AH”= _10=5'3(cm) 이때 점 G는 무게중심이므로 GH”=;3!;AH”=;3!;_5'3= 5'3 3 (cm) 08 정사각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 (3a)¤ +a¤ =5¤ , 10a¤ =25, a¤ =;2%; ∴ AC”="√(2a)¤ +a¤ ="ç5a¤ ∴ AC”=æ≠5_ = 5 2 5'2 2 (cm) 10 cm B 60˘ A 60˘ 60˘ C D 09 대각선 AC를 그으면 AB”=BC”이고 ∠B=60˘이므 로 △ABC는 한 변의 길이가 10 cm인 정삼각형이다. ∴ (cid:8772)ABCD=2△ABC '3 =2_{ _10¤ } 4 =50'3(cm¤ ) 10 정삼각형 ADE의 한 변의 길이를 a cm라 하면 '3 4 a¤ =12'3, a¤ =48(cid:100)(cid:100)∴ a=4'3(cm) (∵ a>0) 정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 x cm라 하면 '3 2 x=4'3(cid:100)(cid:100)∴ x=8(cm) ∴ AB”=8(cm) 11 ⑴ 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 A 선의 발을 H라 하자. BH”=CH”=8 cm이므로 △ABH에서 AH”="√17¤ -8¤ ='∂225 =15(cm) 17 cm 17 cm B 8 cm H C 21 cm C x cm (5-x) cm H ∴ △ABC= _16_15 1 2 =120(cm¤ ) A B 4 cm ⑵ 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하자. BH”=x cm라 하면 CH”=(5-x) cm △ABH에서 ¤ =4¤ -x¤ AH” △AHC에서 AH” 4¤ -x¤ =('∂21)¤ -(5-x)¤ 이므로 10x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=2(cm) ∴ AH”="√4¤ -2¤ ='ß12=2'3(cm) ∴ △ABC= _5_2'3=5'3(cm¤ ) ¤ =('∂21)¤ -(5-x)¤ 1 2 12 ⑴ BD”="√6¤ +8¤ ='∂100=10(cm) ⑵ △ABD에서 AB” ¤ =BP”_BD”이므로 6¤ =BP”_10(cid:100)(cid:100)∴ BP”=:¡5•:(cm) ⑶ △ABP≡△CDQ (RHA 합동)이므로 BP”=DQ” ∴ PQ”=BD”-(BP”+DQ” )=BD”-2BP” 18 =10-2_ = (cm) 5 14 5 02 평면도형에의 활용 ⑵ 개념원리 확인하기 본문 83쪽 01 ⑴ '3, 2, 1, 10, 2, 10'3 01 ⑵ 1, '2, 1, 5, '2, 5'2 02 ⑴ x=3'6, y=3'3(cid:100)⑵ x=6, y=3'2 03 ⑴ 2, '1å3(cid:100)⑵ 3, 5(cid:100)⑶ '2å9(cid:100)⑷ 2'5 02 ⑴ △ADC에서 AC”：AD”=2：'3이므로 6：y=2：'3(cid:100)(cid:100)∴ y=3'3 △ABD에서 AB”：AD”='2：1 x：3'3='2：1(cid:100)(cid:100)∴ x=3'6 ⑵ △ACD에서 AD”：AC”=2：1이므로 12：x=2：1(cid:100)(cid:100)∴ x=6 △ABC에서 AB”：AC”=1：'2이므로 y：6=1：'2(cid:100)(cid:100)∴ y=3'2 II. 피타고라스 정리 31  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지32 다민 2540DPI 175LPI 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 84~87쪽 3 ⑴ △ABC에서 AC”="√3¤ +3¤ =3'2 03 ⑶ PQ”="√{0-(-2)}¤ +√(5-0)¤ ='2å9 ⑷ PQ”="√{3-(-1)}¤ +√(4-2)¤ =2'5 1 ⑴ x=4'2(cid:100)⑵ x= (cid:100)⑶ x=6(cid:100)⑷ x=2'3, y=3 3'6 2 1 ⑸ x='3+1 2 32('3+1) 3 ⑴ x=2'3(cid:100)⑵ x=3'3, y=3'2 4 ⑴ 8'3 cm¤ (cid:100)⑵ 4'7 cm 5 ⑴ -6(cid:100)⑵ P(3, 0) 6 ③ 7 2'5 8 5'2 1 ⑴ BC”：AC”=1：'2이므로 x：8=1：'2, '2x=8 ∴ x=4'2(cm) ⑵ △ABD에서 AB”：BD”=1：'2이므로 3：BD”=1：'2(cid:100)(cid:100)∴ BD”=3'2(cm) △BCD에서 BD”：CD”=2：'3이므로 3'2：x=2：'3, 2x=3'6 ∴ x= (cm) 3'6 2 ⑶ △ABD에서 AB”：AD”='2：1이므로 3'6：AD”='2：1(cid:100)(cid:100)∴ AD”=3'3(cm) △ADC에서 AD”：AC”='3：2이므로 3'3：x='3：2, '3x=6'3 ∴ x=6(cm) ⑷ △ABC에서 BC”：AC”='3：1이므로 6：x='3：1, '3x=6 ∴ x=2'3(cm) △BCD에서 BC”：CD”=2：1이므로 6：y=2：1, 2y=6 ∴ y=3(cm) ⑸ ∠ADC=45˘이므로 DC”=AC”=x cm에서 BC”=(2+x) cm △ABC에서 BC”：AC”='3：1이므로 (2+x)：x='3：1, '3x=2+x ('3-1)x=2(cid:100)(cid:100)∴ x='3+1(cm) 2 △ABH에서 A’H” : BH”=1 : '3이므로 8 : BH”=1 : '3(cid:100)(cid:100)∴ BH”=8'3 또한, △AHC는 직각이등변삼각형이므로 HC”=A’H”=8 32 정답과 풀이 ∴ BC”=BH”+HC”=8'3+8=8('3+1) 1 ∴ △ABC= _8('3+1)_8 2 =32('3+1) △CEA에서 AC”：CE”='3：2이므로 3'2：CE”='3：2(cid:100)(cid:100)∴ CE”=2'6 △CDE에서 CE”：CD”='2：1이므로 2'6：x='2：1(cid:100)(cid:100)∴ x=2'3 ⑵ △BCD에서 BD”：CD”=2：1이므로 6'2：y=2：1, 2y=6'2 ∴ y=3'2 또, BC”：BD”='3：2이므로 BC”：6'2='3：2, 2BC”=6'6 ∴ BC”=3'6 △ABC에서 AB”：BC”=1：'2이므로 x：3'6=1：'2, '2x=3'6 ∴ x=3'3 8 cm 120˘ B 4 cm C 4 꼭짓점 A에서 BC”의 연장선 위에 내린 수선의 발을 H라 하면 ∠ABH=180˘-120˘=60˘ ⑴ △AHB에서 A H AB”：AH”=2：'3이므로 8：AH”=2：'3, 2AH”=8'3 ∴ AH”=4'3(cm) ∴ △ABC=;2!;_4_4'3=8'3(cm¤ ) 60˘ ⑵ AB”：BH”=2：1이므로 8：BH”=2：1, 2BH”=8 ∴ BH”=4(cm) △AHC에서 AC”="√(4'3)¤ +8¤ ='∂112=4'7(cm) 5 ⑴ AB”="√{2-(-3)}¤ √+{a-(-1)}¤ =5'2이므로 5¤ +(a+1)¤ =(5'2)¤ a¤ +2a-24=0, (a+6)(a-4)=0 ∴ a=-6 또는 a=4 그런데 점 B는 제`4사분면 위의 점이므로 a<0 ∴ a=-6 ⑵ x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면 ¤ =BP” ¤ 이므로 AP”=BP”, 즉 AP” (a+2)¤ +(-1)¤ =(a-4)¤ +(-5)¤ 12a=36(cid:100)(cid:100)∴ a=3 ∴ P(3, 0)  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지33 다민 2540DPI 175LPI 6 7 8 AB”="√{2-(-1)}¤ +√(1-3)¤ ='∂13 BC”="√(4-2)¤ +(4-1)¤ ='∂13 CA”="√(-1-4)¤ +(3-4)¤ ='∂26 ¤ 이므로 ¤ =AB” 따라서 AB”=BC”이고 CA” △ABC는 ∠B=90˘인 직각이등변삼각형이다. ¤ +BC” y=-x¤ +4x-2=-(x-2)¤ +2 따라서 꼭짓점의 좌표는 (2, 2)이므로 P(2, 2)이고 y절편은 -2이므로 Q(0, -2)이다. ∴ PQ”="√(0-2)¤ +√(-2-2)¤ ='∂20=2'5 점 B(6, 2)를 x축에 대하여 대 칭이동한 점을 B'이라 하면 B'(6, -2)이다. 이때 BP”=B'P”이므로 AP”+BP”=AP”+B'P” A(1, 3) y 3 2 1 O -2 B(6, 2) P 6 x B'(6, -2) æAB'” ="√(6-1)¤ +(√-2-3)¤ ='∂50=5'2 01 ④ 04 ⑤ 02 ⑴ '6(cid:100)⑵ 2'6(cid:100)⑶ 3'6 03 9 05 ⑴ P(1, 0)(cid:100)⑵ Q(0, 2)06 2'3 07 ⑴ 6 cm¤ (cid:100)⑵ 30'3 cm¤ (cid:100)⑶ 5'3 cm¤ 08 18 09 6'3 cm 10 2'5 13 '∂265 12 5'2 11 (42+6'3)cm¤ 01 ① "√{-1-(-3)}¤ +√(-3-2)¤ ='∂29 ② "√(2-4)¤ +(1-6)¤ ='∂29 ③ "√(0-5)¤ +{-2-√(-4)}¤ ='∂29 ④ "√(5-3)¤ +√(1-7)¤ ='∂40=2'∂10 ⑤ "√{-1-(-6)}¤ +√(5-3)¤ ='∂29 ⑵ △ABH에서 AH”：AB”=1：'2이므로 AH”：4=1：'2, '2AH”=4 ∴ AH”=2'2(cm) △AHC에서 AH”：HC”=1：'3이므로 2'2：x=1：'3 ∴ x=2'6(cm) ⑶ △BCD에서 BC”：DC”='3：1이므로 BC”：6='3：1 ∴ BC”=6'3(cm) △ABC에서 AB”：B’C”=1：'2이므로 x：6'3=1：'2, '2x=6'3 ∴ x=3'6(cm) 03 √+(-1-2)¤ =3'5이므로 PQ”="√(a-3)¤ (a-3)¤ +(-3)¤ =(3'5)¤ a¤ -6a-27=0, (a+3)(a-9)=0 ∴ a=-3 또는 a=9 그런데 점 Q는 제4사분면 위의 점이므로 a>0 ∴ a=9 04 AB”="√{2-(-1)}¤ +√(1-3)¤ ='∂13 BC”="√(6-2)¤ +(6-1)¤ ='∂41 CA”="√(-1-6)¤ +(3-6)¤ ='∂58 따라서 CA” 형이다. ¤ >AB” ¤ +BC” 05 ⑴ x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면 ¤ =BP” ¤ 이므로 AP”=BP”, 즉 AP” (a-3)¤ +2¤ =(a+1)¤ +(-2)¤ 8a=8(cid:100)(cid:100)∴ a=1(cid:100)(cid:100) ∴ P(1, 0) ⑵ y축 위의 점 Q의 좌표를 (0, b)라 하면 ¤ =BQ” ¤ 이므로 AQ”=BQ”, 즉 AQ” (-5)¤ +(b-4)¤ =(-2)¤ +(b+3)¤ 14b=28(cid:100)(cid:100)∴ b=2(cid:100)(cid:100) ∴ Q(0, 2) 이런 문제가 시험에 나온다 본문 88~89쪽 ¤ 이므로 △ABC는 둔각삼각 02 ⑴ △BCD에서 BD”：B’C’='3：2이므로 06 BD”：4='3：2, 2BD”=4'3 ∴ BD”=2'3(cm) △ABD에서 AD”：BD”=1：'2이므로 x：2'3=1：'2, '2x=2'3 ∴ x='6(cm) △BCD에서 BD”：BC”='2：1이므로 6'2：BC”='2：1, '2 BC”=6'2 ∴ BC”=6(cm) △ABC에서 AC”：BC”=2：'3이므로 x：6=2：'3, '3x=12 ∴ x=4'3(cm) II. 피타고라스 정리 33  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지34 다민 2540DPI 175LPI △BAH에서 BH”="√(3'5)¤ -3¤ ='∂36=6 ∴ △ABC=;2!;_6_6=18 09 △ABC에서 AB”：AC”=2：1이므로 18：AC”=2：1, 2AC”=18 ∴ AC”=9(cm) ∠BAC=180˘-(30˘+90˘)=60˘이므로 1 ∠DAC= _60˘=30˘ 2 △ADC에서 AC”：AD”='3：2이므로 9：AD”='3：2, '3 AD”=18 ∴ AD”=6'3(cm) C D 10 A(a, 0), B(0, b)라 하면 y=-2a+10(cid:100)(cid:100)∴ a=5 b=10 ∴ A(5, 0), B(0, 10) AB”="√(0-5)¤ +(10-0)¤ ='∂125=5'5 이므로 △BOA의 넓이를 이용하면 AB”_OH”=OA”_OB” 5'5_OH”=5_10 ∴ OH”=2'5 또, AB”：BC”=1：'3이므로 y：6=1：'3, '3y=6 ∴ y=2'3(cm) ∴ x-y=4'3-2'3=2'3 07 ⑴ 꼭짓점 A에서 BC”에 내 린 수선의 발을 H라 하면 △ABH에서 AB”：AH”=2：1이므로 4：AH”=2：1, 2AH”=4 ∴ AH”=2(cm) A 4cm B 30˘ H 6cm A 6 cm B 60˘ H 10 cm C ∴ △ABC=;2!;_6_2 =6(cm¤ ) ⑵ 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ABH에서 AB”：AH”=2：'3 이므로 6：AH”=2：'3, 2AH”=6'3 ∴ AH”=3'3(cm) ∴ (cid:8772)ABCD=10_3'3 =30'3(cm¤ ) ⑶ 꼭짓점 A에서 BC”의 연장선 위에 내린 수선 의 발을 H라 하면 ∠ACH=180˘-120˘ =60˘ A 4 cm 120˘ 120˘ B 5 cm H C 60˘ 11 △ACH에서 AC”：AH”=2：'3이므로 4：AH”=2：'3, 2AH”=4'3 ∴ AH”=2'3(cm) ∴ △ABC=;2!;_5_2'3 =5'3(cm¤ ) 08 AB”="√{1-(-2)}¤ +√(-3-3)¤ BC”="√(4-1)¤ +{3√-(-3)}¤ CA”="√(-2-4)¤ +√(3-3)¤ ='∂45=3'5 ='∂45=3'5 ='∂36=6 따라서 △ABC는 AB”=BC”인 이 등변삼각형이다. 이때 꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수 선의 발을 H라 하면 B 3'5 3'5 1 AH”= _6=3 2 34 정답과 풀이 4 cmA D 60˘ C E F 6'2 cm 45˘ B 두 꼭짓점 A, D에서 BC”에 내린 수선의 발을 각각 E, F 라 하면 △ABE에서 AB”：BE”：AE”='2：1：1이므로 6'2：BE”：AE”='2：1：1 ∴ BE”=AE”=6(cm) △CDF에서 CF”：DF”=1：'3이므로 CF”：6=1：'3, '3 CF”=6 ∴ CF”=2'3(cm) ∴ BC”=BE”+EF”+CF” =6+4+2'3 =10+2'3(cm) 1 2 ∴ (cid:8772)ABCD= _{4+(10+2'3)}_6 =42+6'3(cm¤ ) A 6H C 12 y=x¤ -2x의 그래프와 y=x+4의 그래프가 두 점 A, B에서 만나므로  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지35 다민 2540DPI 175LPI x¤ -2x=x+4, x¤ -3x-4=0 (x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4 ∴ A(-1, 3), B(4, 8) ∴ AB”="√{4-(-1)}¤ +√(8-3)¤ ='5å0 =5'2 P 1 13 오른쪽 그림과 같이 점 C를 AB”에 대하여 대칭이동한 점 을 C'이라 하면 CP”+PD”=C'P”+PD” æC'D” C 4 A 4 C' D 7 B 4 D' 12 따라서 점 C'을 지나고 AB” 와 평행한 직선이 DB”의 연장선과 만나는 점을 D'이라 하면 △DC'D'에서 C'D”="√12¤ +(7+4)¤ ='∂265 이므로 구하는 최솟값은 '∂265이다. 03 입체도형에의 활용 ⑴ 개념원리 확인하기 본문 92쪽 01 ⑴ 5, 3'1å0(cid:100)⑵ 6, 6, 6'3(cid:100)⑶ 5(cid:100)⑷ 10 , 3'2(cid:100)⑶ 3'6, 3'2, 6 (cid:100)⑵ 9'2 2 02 ⑴ , '3 2 '3 02 ⑷ , 6, 27'3 4 9'2 2 03 ⑴ 높이：'6, 부피： 9'2 4 03 ⑵ 높이：6'2, 부피：54'6 01 ⑶ '7å7=øπ6¤ +4¤ +x¤ 77=36+16+x¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=5 `(∵ x>0) ⑷ '3x=10'3(cid:100)(cid:100)∴ x=10 03 '6 ⑴ (높이)= _3='6 3 '2 (부피)= _3‹ = 12 '6 ⑵ (높이)= _6'3=6'2 3 '2 12 9'2 4 (부피)= _(6'3 )‹ =54'6 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 93~95쪽 1 2'2 cm¤ 2 2'2 cm 3 18'6 cm¤ 4 ⑴ 9'2 4 cm‹ (cid:100)⑵ cm‹ 9'2 4 5 ⑴ 12'2 cm¤ (cid:100)⑵ 144'2 cm‹ 500'2 3 6 cm‹ 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 대각선의 길이가 2'3 cm이므로 2'3='3 a(cid:100)(cid:100)∴ a=2(cm) △FGH에서 FH”="√2¤ +2¤ =2'2(cm) ∴ △BFH=;2!;_FH”_BF” =;2!;_2'2_2 =2'2(cm¤ ) 2 DG”를 그으면 DG”='2_2'3 =2'6(cm) AG”='3_2'3=6(cm) △AGD에서 AG”_DI”=AD”_DG” 6_DI”=2'3_2'6 ∴ DI”=2'2(cm) A I E C D H 2'3 cm G B F 3 AM”=MG”=GN”=NA”이므로 (cid:8772)AMGN은 마름모이다. MN”=BD”='2_6=6'2(cm) 또, AG”='3_6=6'3(cm) ∴ (cid:8772)AMGN=;2!;_AG”_MN” =;2!;_6'3_6'2 =18'6(cm¤ ) 4 ⑴ 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 '6 3 a='6(cid:100)(cid:100)∴ a=3(cm) 따라서 정사면체의 부피는 '2 9'2 12 4 _3‹ = (cm‹ ) ⑵ 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 '3 2 CM”=3 MH”=3_ = 3'3 2 (cm) II. 피타고라스 정리 35  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지36 다민 2540DPI 175LPI CM”은 정삼각형 ABC의 높이이므로 '3 2 (cid:100)(cid:100)∴ a=3(cm) 3'3 2 a= ∴ (부피)= _3‹ = (cm‹ ) '2 12 9'2 4 '6 3 '3 2 1 3 5 ⑴ AH”는 정사면체의 높이이므로 AH”= _12=4'6(cm) MD”는 △BCD의 높이이므로 MD”= _12=6'3(cm) 이때 점 H는 △BCD의 무게중심이므로 MH”= MD”= _6'3 1 3 =2'3(cm) 1 ∴ △AMH= _2'3_4'6 2 =12'2(cm¤ ) ⑵ (부피)= _12‹ =144'2(cm‹ ) '2 12 6 1 2 CH”=;2!; AC”= _10'2=5'2(cm) △OHC에서 OH”="√10¤ -(5'2)¤ ='5å0=5'2(cm) ∴ (부피)=;3!;_10¤ _5'2= 500'2 3 (cm‹ ) 이런 문제가 시험에 나온다 본문 96쪽 01 81'3 cm‹ 04 96'ß31 cm‹ 02 24'2 cm¤ 05 4'2 cm¤ 8'3 3 cm 06 ⑴ 32'3 cm¤ (cid:100)⑵ 07 2'∂34 cm¤ 03 72'2 cm‹ 01 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 '3a=9(cid:100)(cid:100)∴ a=3'3(cm) ∴ (부피)=(3'3)‹ =81'3(cm‹ ) 02 OH”= _12=4'6(cm)이고 CM”= _12=6'3(cm) '6 3 '3 2 36 정답과 풀이 이때 점 H는 △ABC의 무게중심이므로 2 CH”= CM”= _6'3=4'3(cm) 3 2 3 1 ∴ △OHC= _4'3_4'6 2 =24'2(cm¤ ) A 6 cm E H B 6 cm C D 6 cm 03 꼭짓점 A에서 밑면에 내린 수선 의 발을 H라 하면 BD”='2_6=6'2(cm) 이므로 1 2 BH”= _6'2=3'2(cm) △ABH에서 AH”="√6¤ -(3'2)¤ ='∂18=3'2(cm) ∴ (정팔면체의 부피)=2_(정사각뿔의 부피) 1 =2_{ _6¤ _3'2} 3 =72'2(cm‹ ) 04 주어진 전개도로 만들어지는 정사각뿔은 오른쪽 그림과 같다. AC”='2_12=12'2(cm) 이므로 14 cm V D H A 12 cm B C 12 cm 1 2 AH”= _12'2=6'2(cm) △VAH에서 VH”="√14¤ -(6'2)¤ ='∂124=2'ß31(cm) ∴ (정사각뿔의 부피)= _12¤ _2'ß31 1 3 =96'ß31(cm‹ ) 05 MA”=MD”= _4 '3 2 =2'3(cm) 이때 점 M에서 AD”에 내린 수선의 발을 H라 하면 AH”= _4=2(cm)이므로 1 2 M 2'3 cm 2'3 cm A D H 4 cm MH”="√(2'3)¤ -2¤ ='8=2'2(cm) ∴ △AMD= _4_2'2 1 2 =4'2(cm¤ )  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지37 다민 2540DPI 175LPI ▶ 다른풀이 꼭짓점 A에서 밑면에 내린 수선의 발을 H라 하면 점 H 는 △BCD의 무게중심이므 로 중선 MD 위에 있다. 4'6 3 (cm) '6 AH”= _4= 3 '3 2 MD”= _4=2'3(cm) 1 2 ∴ △AMD= _2'3_ =4'2(cm¤ ) 4'6 3 A 4'6 3-cm M D H 2'3 cm 04 입체도형에의 활용 ⑵ 개념원리 확인하기 본문 98쪽 01 ⑴ 8, 15, 8, 15, 320p(cid:100)⑵ 3, 6'2, 3, 6'2, 18'2p 01 ⑶ 높이：2'7 cm, 부피：24'7p cm‹ 01 ⑷ 높이：3'3 cm, 부피：9'3p cm‹ 02 풀이 참조 03 풀이 참조 06 ⑴ △AFC에서 AF”=FC”=CA” ='2_8=8'2(cm) (cid:100) 따라서 △AFC는 한 변의 길이가 8'2 cm인 정삼 각형이므로 '3 △AFC= _(8'2)¤ 4 =32'3(cm¤ ) ⑵ (삼각뿔 B-AFC의 부피) = _△ABC_BF” = _△AFC_BI” 1 3 1 3 이므로 1 3 1 2 _{ _8_8}_8= _32'3_BI” 1 3 ∴ BI”= (cm) 8'3 3 07 AC”="√4¤ +4¤ ='ß32=4'2(cm) AF”="√3¤ +4¤ ='ß25=5(cm) CF”="√4¤ +3¤ ='ß25=5(cm) 따라서 △FAC는 FA”=FC”인 이 등변삼각형이다. 이때 꼭짓점 F에서 AC”에 내린 수선의 발을 M이라 하면 1 2 AM”= _4'2=2'2(cm) △FAM에서 FM”="√5¤ -(2'2)¤ ='∂17(cm) 1 ∴ △FAC= _4'2_'∂17 2 =2'∂34(cm¤ ) F 5 cm 5 cm A C M 4'2 cm 01 ⑶ (높이)="√8¤ -6¤ =2'7(cm) (부피)=;3!;_p_6¤ _2'7 =24'7p(cm‹ ) ⑷ 원뿔의 높이를 h cm라 하면 6：h=2：'3(cid:100)(cid:100)∴ h=3'3(cm) 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면 6：r=2：1(cid:100)(cid:100)∴ r=3(cm) ∴ (부피)=;3!;_p_3¤ _3'3 =9'3p(cm‹ ) 02 B C D P 9`cm F 12`cm G 6`cm H BH”="√18¤ +9¤ =9'5(cm) 03 B B' 5π`cm A 10π`cm A' AB'”="√(10p)¤ +(5p)¤ =5'5p(cm) 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 99~100쪽 1 13 cm 2 36'5p cm‹ 3 13 cm 4 16p cm¤ 1 원뿔의 높이를 h cm라 하면 (부피)=;3!;_p_5¤ _h=100p ∴ h=12(cm) II. 피타고라스 정리 37  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지38 다민 2540DPI 175LPI △ABO에서 AO”=12 cm이므로 AB”="√5¤ +12¤ ='∂169=13(cm) 따라서 원뿔의 모선의 길이는 13 cm이다. 2 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면 2p_9_ =2pr(cid:100)(cid:100)∴ r=6(cm) 240 360 이때 주어진 전개도로 만들어지는 원뿔은 오른쪽 그림과 같으므로 (높이)="√9¤ -6¤ ='∂45 =3'5(cm) 따라서 원뿔의 부피는 ;3!;_p_6¤ _3'5=36'5p(cm‹ ) 3 4 구하는 최단 거리는 오른쪽 그림에서 AC”의 길이와 같으므로 AC”="√5¤ +12¤ ='∂169 =13(cm) D H E A 5 cm B B 10pcm 원기둥의 옆면의 전개도를 그리면 오른쪽 그림과 같다. 이때 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면 AA'”의 길이는 밑면 의 둘레의 길이와 같으므로 "√(10p)¤ -(6p)¤ =2pr 8p=2pr(cid:100)(cid:100)∴ r=4(cm) 따라서 원기둥의 밑넓이는 p_4¤ =16p(cm¤ ) A 9 cm 6 cm C 4 cm G 4 cm F 4 cm 6pcm B' A' 이런 문제가 시험에 나온다 본문 101쪽 01 10 cm 02 3'ß55p cm‹ 04 80p cm¤ 05 8'2 cm 03 243'3p cm‹ 06 8'1å0p cm 01 구하는 최단 거리는 오른쪽 그림에 서 AH”의 길이와 같으므로 AH”="√6¤ +8¤ ='∂100 =10(cm) A 3 cm B 2 cm F 3 cm D C G H 38 정답과 풀이 02 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면 2p_8_ =2pr 135 360 ∴ r=3(cm) 이때 주어진 전개도로 만들어지는 원 뿔은 오른쪽 그림과 같으므로 (높이)="√8¤ -3¤ ='ß55(cm) 따라서 원뿔의 부피는 1 3 _p_3¤ _'ß55=3'ß55p(cm‹ ) 03 △ABC에서 AB”：BC”=2：1이므로 18：BC”=2：1, 2BC”=18 ∴ BC”=9(cm) 또, AB”：AC”=2：'3이므로 18：AC”=2：'3, 2AC”=18'3 ∴ AC”=9'3(cm) 이때 △ABC를 직선 l을 축으로 하여 1회전시킬 때 생기는 입체도 형은 오른쪽 그림과 같다. 따라서 입체도형의 부피는 1 _p_9¤ _9'3 3 =243'3p(cm‹ ) 8 cm 3 cm A 18 cm B 60˘ 9 cm C 9'3 cm 04 OP”=12 cm이므로 △POH에서 PH”="√12¤ -8¤ ='∂80=4'5(cm) 따라서 단면인 원의 반지름의 길이가 4'5 cm이므로 구 하는 넓이는 p_(4'5)¤ =80p(cm¤ ) 05 원뿔의 전개도를 그리면 오 른쪽 그림과 같다. 이때 중심각의 크기를 x˘라 하면 2p_8_ =2p_2 x 360 O x˘ 8 cm A A' 2 cm ∴ x=90 따라서 △OAA'은 직각삼각형이고 구하는 최단 거리는 AA'”의 길이와 같으므로 AA'”="√8¤ +8¤ E 6 cm ='∂128=8'2(cm)  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지39 다민 2540DPI 175LPI 06 밑면인 원의 둘레의 길이는 2p_6=12p(cm) 점 A에서 B까지 갈 때 지나는 원기둥의 옆면의 전개도 를 그리면 다음 그림과 같다. a¤ +2a-15=0, (a+5)(a-3)=0 ∴ a=-5 또는 a=3 그런데 점 B는 제3사분면 위의 점이므로 a<0 ∴ a=-5 A 4π`cm 4π`cm A' 8π`cm C B 12π`cm B' ∴ (필요한 실의 최소 길이)=AC”+BC”=2 BC” =2"√(12p)¤ +(4p)¤ =2_4'1å0p =8'1å0p(cm) 05 △OCD는 높이가 6인 정삼각형이므로 △OCD의 한 변 의 길이를 a라 하면 '3 2 a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=4'3 '3 ∴ △OCD= _(4'3)¤ 4 =12'3 따라서 정육각형의 넓이는 6△OCD=6_12'3=72'3 Step (기본문제) 본문 102~104쪽 01 ④ 02 ③ 03 ① 04 ① 05 72'3 06 14 cm¤ 07 9'3 4 08 ③ 09 448 3 cm‹ 10 ⑤ 11 ① 13 4'3 cm 14 12 17 ④ 15 27'3 cm¤ 18 6 cm 19 2'∂58 cm 12 ⑤ 16 ④ 01 '3 4 a¤ =25'3이므로 a¤ =100 ∴ a=10(cm)`(∵ a>0) ∴ h= _10=5'3(cm) '3 2 02 ① "√3¤ +4¤ ='∂25=5 ② "√(-3-2)¤ +√{2-(-3)}¤ ='∂50=5'2 ③ "√(5-1)¤ +(3-4)¤ ='∂17 ④ "√{1-(-4)}¤ ⑤ "√{1-(-3)}¤ +√{-3-(-1)}¤ ='∂20=2'5 √+(6-7)¤ ='∂26 03 DH”=x cm라 하면 "√(4'2)¤ +4¤ +x¤ =8 48+x¤ =64, x¤ =16 ∴ x=4(cm) (∵ x>0) 04 AB”="√{a-(-1)}¤ +√(-2-2)¤ =4'2이므로 (a+1)¤ +(-4)¤ =(4'2)¤ 06 △ABD에서 AB”：AD”：BD”='2：1：1이므로 4'2：AD”：BD”='2：1：1 ∴ AD”=BD”=4(cm) △ADC에서 CD”="√5¤ -4¤ ='9=3(cm) 1 ∴ △ABC= _7_4 2 =14(cm¤ ) 07 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 3 AM”= AG”= 2 3'3 2 이때 정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 a라 하면 '3 2 (cid:100)(cid:100)∴ a=3 3'3 2 a= ∴ △ABC= _3¤ = '3 4 9'3 4 08 BD”="√16¤ +12¤ ='∂400=20(cm) △ABD에서 AB” ¤ =BG”_BD”이므로 12¤ =BG”_20(cid:100)(cid:100)∴ BG”= (cm) 36 5 이때 △ABG™△CDH`(RHA 합동)이므로 BG”=DH” ∴ GH”=BD”-(BG”+DH”) =BD”-2BG” =20-2_ 36 5 = (cm) 28 5 II. 피타고라스 정리 39  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지40 다민 2540DPI 175LPI 09 꼭짓점 V에서 밑면에 내린 수 선의 발을 H라 하자. AC”='2_8=8'2(cm) 1 ∴ AH”= _8'2=4'2(cm) 2 △VAH에서 VH”="√9¤ -(4'2)¤ ='∂49=7(cm) 1 ∴ (부피)= _8¤ _7= (cm‹ ) 3 448 3 A 9 cm D V H 8 cm B C 8 cm 10 △ABC의 한 변의 길이를 a cm라 하면 '3 AD”= a cm 2 '3 2 '3 4 ¤ =24'3 a} a¤ =24'3, a¤ =128 △ADE= _{ 3'3 16 ∴ a=8'2(cm) (∵ a>0) '3 ∴ △ABC= _(8'2)¤ =32'3(cm¤ ) 4 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라 하면 △ABH에서 AB”：AH”='2：1이므로 AB”：7='2：1(cid:100)(cid:100)∴ AB”=7'2(cm) 7cm B A 45˘ CH 11 12 △ABH에서 AB”：AH”=2：'3이므로 12：AH” ”=2：'3, 2AH”=12'3 ∴ AH”=6'3(cm) 또, AB”：BH”=2：1이므로 12：BH”=2：1, 2BH”=12 ∴ BH”=6(cm) 따라서 원뿔의 부피는 1 3 _p_6¤ _6'3=72'3p(cm‹ ) 13 △ABC에서 AB”：AC”=2：1이므로 12：AC”=2：1, 2AC”=12 ∴ AC”=6(cm) ∠BAC=180˘-(30˘+90˘)=60˘이므로 ∠DAC=;2!;_60˘=30˘ △ADC에서 AD”：AC”=2：'3이므로 AD”：6=2：'3, '3 AD”=12 ∴ AD”=4'3(cm) 40 정답과 풀이 14 AC”=x라 하면 AB”='3x, BC”=2x 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로 △ABC=;2!;_x_'3x =18'3 x¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0) ∴ BC”=2x=12 15 AB”="√3¤ +3¤ ='ß18=3'2(cm) 이때 정육각형은 합동인 6개의 정삼각형으로 나누어지 므로 구하는 정육각형의 넓이는 6_[ _(3'2)¤ ]=27'3(cm¤ ) '3 4 16 y=2x¤ -12x+14=2(x-3)¤ -4 따라서 꼭짓점 A(3, -4)이고 y절편은 14이므로 B(0, 14) ∴ AB”="√(0-3)¤ +√{14-(-4)}¤ ='∂333 =3'3å7 AG”="√3¤ +5¤ +4¤ ='ß50=5'2이고 △EFG에서 EG”="√4¤ +3¤ ='ß25=5 △AEG에서 AE”_EG”=AG”_EI”이므로 5_5=5'2_EI” ∴ EI”= 5'2 2 17 18 B 6'5p cm 원기둥의 옆면의 전개도를 그리면 오른쪽 그림과 같다. 이때 밑면의 반지름의 길이 를 r cm라 하면 AA'”의 길 이는 밑면인 원의 둘레의 길이와 같으므로 "√(6'5p)¤ -(6p)¤ =2pr 12p=2pr ∴ r=6(cm) A B' A' 6p cm 19 구하는 최단 거리는 FA”의 길이와 같으므로 FA”="√14¤ +6¤ ='∂232 =2'∂58(cm) B C D A 6 cm F 5 cm 5 cm E H G 4 cm  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지41 다민 2540DPI 175LPI 18 12'∂11 cm¤ 05 A B C H 12 cm Step (발전문제) 본문 105~107쪽 01 6('2+1) 04 28'3 cm¤ 07 18'2 10 6'2 4'3 3 13 16 2'6 cm 19 30'3 02 ② 05 32 cm 08 ⑤ 11 5 cm 14 3('3-1) 16'3 3 17 p 03 4'7 cm 06 4'5 09 39 km 12 ⑴ 10(cid:100)⑵ 14 15 4'5 cm 01 AE”=x라 하면 '2x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=3'2 따라서 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 2x+6=6'2+6 =6('2+1) K 6 A L x x E Â2x F B G H D J I C 02 AC”, AF”를 그으면 AF”=FC”=CA” ="√2¤ +2¤ ='8 =2'2(cm) 이므로 △AFC는 정삼각형이다. 이때 AI”는 △AFC의 높이이므로 AI”= _2'2='6(cm) '3 2 2 cm B A D C H E I F G 03 꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수선 의 발을 H라 하면 ∠ABH=180˘-(90˘+60˘) A 60˘ H 8 cm 12 cm 30˘ B C =30˘ △ABH에서 AB”：BH”=2：'3이므로 8：BH”=2：'3, 2BH”=8'3 ∴ BH”=4'3(cm) 또, AB”：AH”=2：1이므로 8：AH”=2：1, 2AH”=8 ∴ AH”=4(cm) ∴ CH”=12-4=8(cm) △BCH에서 BC”="√(4'3)¤ +8¤ ='∂112=4'7(cm) 04 (색칠한 부분의 넓이) =2_(한 변의 길이가 8 cm인 정삼각형의 넓이) =-(한 변의 길이가 4 cm인 정삼각형의 넓이) =2_ _8¤ - _4¤ '3 4 '3 4 =32'3-4'3 =28'3(cm¤ ) ∠B=∠C이므로 △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이다. 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라 하면 △ABC의 넓 이가 48 cm¤ 이므로 1 2 _12_AH”=48 ∴ AH”=8(cm) BH”= _12=6(cm)이므로 1 2 △ABH에서 AB”="√6¤ +8¤ ='∂100=10(cm) 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 AB”+BC”+CA”=10+12+10 =32(cm) 06 ¤ +BC” ¤ =AB” AD”=BD”=x라 하면 AC”=BC”="√x¤ +2¤ +4¤ ="√x¤ +20 이때 △ABC는 직각이등변삼각형이므로 ¤ 에서 AC” ("√x¤ +20)¤ +("√x¤ +20)¤ =(2x)¤` 2x¤ +40=4x¤`, x¤ =20 ∴ x=2'5 (∵ x>0) ∴ AB”=2_2'5=4'5 07 정사면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면 DM”= a '3 2 점 H는 △BCD의 무게중심이므로 DH”= DM”에서 2 3 2 3 '3 2'3= _ a(cid:100)(cid:100)∴ a=6 2 따라서 정사면체의 부피는 '2 12 _6‹ =18'2 II. 피타고라스 정리 41  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지42 다민 2540DPI 175LPI 8cm D 8cm C H' 08 B A 8cm 45˘ H 두 꼭짓점 A, D에서 BC”에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라 하자. △ABH에서 AB”：AH”：BH”='2：1：1이므로 8：AH”：BH”='2：1：1 ∴ AH”=BH”=4'2(cm) 이때 △ABH≡△DCH' (RHA 합동)이므로 CH'”=BH”=4'2 cm ∴ (cid:8772)ABCD= _{8+(8+8'2)}_4'2 =32('2+1)(cm¤ ) 1 2 09 다음 그림과 같이 강가에 대하여 점 B와 대칭인 점을 B'이라 하면 A 9`km 6`km B 6`km 36`km B' ∴ (최단 거리)=AB'”="√36¤ +15¤ ='ƒ1521=39(km) 10 정팔면체는 모든 모서리의 길이가 같은 정사각뿔 2개의 밑면을 꼭맞게 붙인 것과 같으므로 AF”는 모든 모서리 의 길이가 6인 정사각뿔의 높이의 2배이다. 오른쪽 그림의 정사각뿔에서 BD”="√6¤ +6¤ =6'2 ∴ BH”=3'2 △ABH에서 AH”="√6¤ -(3'2)¤ ='1å8 A H D E B C 6 6 6 =3'2 ∴ AF”=2 AH” =2_3'2=6'2 11 단면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 pr¤ =39p(cid:100)(cid:100)∴ r='∂39(cm)`(∵ r>0) △OAH에서 OH”="√8¤ -('∂39)¤ ='∂25=5(cm) 12 ⑴ AB”="√(-3-2)¤ +(0-5)¤` ='∂50=5'2 BC”="√{3-(-3)}¤ +√(2-0)¤ ='∂40=2'∂10 CA”="√(2-3)¤ +(5-2)¤ ='∂10 42 정답과 풀이 ¤ +CA” 따라서 AB” ¤ 이 ¤ =BC” 므로 △ABC는 오른쪽 그 림과 같이 ∠C=90˘인 직각 삼각형이다. 5'2 2'10 B A '10 C ∴ △ABC=;2!;_2'∂10_'∂10=10 ⑵ 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 A 5 4'2 x 7-x C H 7 B 선의 발을 H라고 하자. BH”=x라 하면 CH”=7-x △ABH에서 ¤ =5¤ -x¤ AH” △AHC에서 AH” 5¤ -x¤ =(4'2)¤ -(7-x)¤ 이므로 14x=42(cid:100)(cid:100)∴ x=3 ∴ AH”="√5¤ -3¤ ='ß16=4 ∴ △ABC=;2!;_7_4=14 ¤ =(4'2)¤ -(7-x)¤ 13 정삼각형의 한 변의 길이를 x라 하고 AP”, BP”, CP”를 그으면 △ABC =△ABP+△BCP+△CAP =;2!;_x_PD”+;2!;_x_PE” A F C P E x D B +;2!;_x_PF” =;2!;x(PD”+PE”+PF”) =;2!;x_2=x 따라서 x¤ =x이므로 x= '3 4 4'3 3 Â6 30æ C Â3`h 14 D h B E A 60æ △DBC에서 '6：BC”=1：'2 ∴ BC”=2'3 점 E에서 변 BC에 내린 수 선의 발을 H라 하면 ∠ECH=30˘ EH”=h라 하면 BH”=h, CH”='3h이므로 h+'3h=2'3 2'3 ∴ h= '3+1 =3-'3 45æ h H ∴ △EBC=;2!;_2'3_(3-'3) =3('3-1)  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지43 다민 2540DPI 175LPI 15 원뿔의 전개도를 그리면 오 른쪽 그림과 같다. 이때 부채꼴의 중심각의 크 기를 x˘라 하면 2p_8_ =2p_2 x 360 A 4 cm Mx˘ 8 cm B 2 cm ∴ x=90 따라서 △ABM은 ∠A=90˘인 직각삼각형이고 구하 는 최단 거리는 BM”의 길이와 같으므로 BM”="√8¤ +4¤ ='∂80=4'5(cm) (cid:8772)ADEF에서 AE”='2_3=3'2(cm)이고 ∠AEF=45˘이므로 ∠AEC=45˘+45˘=90˘ 이때 AE”는 △ABC의 높이이므로 BC”=x cm라 하면 '3 x=3'2 2 ∴ x=2'6(cm) ▶ 다른풀이 (cid:8772)ADEF에서 AE”='2_3=3'2(cm)이고 ∠AEF=45˘이므로 ∠AEC=45˘+45˘=90˘ △AEC에서 ∠C=60˘, ∠EAC=30˘이므로 EC”：AE”=1：'3, EC”：3'2=1：'3 '3 EC”=3'2 ∴ EC”='6(cm) ∴ BC”=2_'6=2'6(cm) 16 17 △AOC에서 AO”=CO”이고 AO”：AC”=1：'2이므로 AO”：2'6=1：'2, '2 AO”=2'6 ∴ AO”=CO”=2'3 △AOB에서 AO”：BO”='3：1이므로 2'3：BO”='3：1, '3 BO”=2'3 ∴ BO”=2 △ABC를 직선 l을 축으로 하여 1회전시킬 때 생기는 입체도형은 다음 그림과 같다. 이때 OC”를 밑면의 반지 름으로 하는 원뿔의 부피를 V¡, OB”를 밑면의 반지름으 로 하는 원뿔의 부피를 V™라 하면 구하는 부피는 V¡-V™이다. 1 3 1 3 V¡= _p_(2'3)¤ _2'3=8'3p V™= _p_2¤ _2'3= 8'3 3 ∴ V¡-V™=8'3p- p 8'3 3 p = 16'3 3 p 18 AM”과 BN”은 한 변의 길이가 8 cm인 정삼각형의 높이 이므로 '3 AM”=BN”= _8=4'3(cm) 2 △VDC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 MN”= DC”= _8=4(cm) 1 2 1 2 이때 두 꼭짓점 M, N에서 AB”에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라 하면 HH'”=MN”=4 cm, AH”=BH'”= _(8-4) 1 2 M 4 cm N 4'3 cm 4'3 cm A 4 cm H 8 cm BH' =2(cm) △MAH에서 MH”="√(4'3)¤ -2¤ ='∂44=2'∂11(cm) 1 ∴ (cid:8772)MABN= _(4+8)_2'∂11 2 =12'∂11(cm¤ ) 19 원뿔의 전개도를 그렸을 때 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기를 x˘라 하면 2p_30_ =2p_10(cid:100)(cid:100)∴ x=120 x 360 이때 원뿔의 전개도를 그리면 다음 그림과 같다. V 120˘ 30 30 60˘ A H A' 10 A O 2'3 2 B C 2'3 점 V에서 AA'”에 내린 수선의 발을 H라 하면 ∠AVH=60˘이므로 △VAH에서 AH”：VA”='3：2이므로 AH”：30='3：2, 2AH”=30'3 II. 피타고라스 정리 43  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지44 다민 2540DPI 175LPI ∴ AH”=15'3 ∴ AA'”=2_15'3=30'3 Step ( ) 본문 108쪽 01 13p cm 02 3 cm 03 3'6 2 cm '6 3 AH”= _6=2'6(cm) 구의 반지름의 길이를 r cm라 하면 OH”=2'6-r(cm) △OHD에서 r¤ =(2'6-r)¤ +(2'3)¤ 3'6 4'6r=36(cid:100)(cid:100)∴ r= 2 (cm) 04 4'6 05 6'2 cm 01 전개도에서 가장 짧은 실의 길이는 PQ”의 길이이다. R'Q”=6p_ 60 360 =p(cm) ∴ RQ”=6p-p =5p(cm) △PQR에서 PQ”="√(5p)¤ +(12p)¤ ="√169p¤ =13p(cm) 6p cm P' P BH”= _6=3'3 12p cm p cm R' Q 5p cm R 04 △ABC는 정삼각형이고 점 B에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 '3 2 2 3 1 2 AE”= AC”= _6=4이고 2 3 AH”= _6=3이므로 A H 6 B F 2 D 4 E C EH”=4-3=1 △BEH에서 BE”="√(3'3)¤ +1¤ ='∂28=2'7 이때 △ACD에서 AE”：AC”=AF”：AD”=2：3이므로 EF”∥CD” 즉, AF”：AD”=EF”：CD”이므로 2：3=EF”：6, 3EF”=12 ∴ EF”=4 따라서 △BEF는 BE”=BF”=2'7, EF”=4인 이등변삼각형이므로 꼭 짓점 B에서 EF”에 내린 수선의 발 을 H'이라 하면 △BEH'에서 BH'”="√(2'7)¤ -2¤ ='ß24=2'6 2'7 2'7 H' 4 E B F 1 ∴ △BEF= _4_2'6 2 =4'6 05 V A 30˘ 6 cm 6 cm 구하는 최단 거리는 AA'”의 길이이다. VA”=VB”=VC”=VA'”이고 AB”=BC”=CA'”이므로 △VAB≡△VBC ≡△VCA' (SSS 합동)이다. △VAB에서 ∠VAB=∠VBA=75˘이므로 ∠AVB=180˘-2_75˘=30˘ ∴ ∠AVB=∠BVC=∠CVA'=30˘ 따라서 △VAA'은 ∠AVA'=90˘인 직각삼각형이므로 AA'”="√6¤ +6¤ ='∂72=6'2(cm) 75˘ A' B C 02 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 '∂10 2 BH”= cm △ABH에서 AH”=æ≠5¤ -{ '∂10 } 2 3'∂10 2 90 =æ≠ = 4 (cm) A 5 cm 5 cm E C D B HP '10å cm AP”를 그으면 △ABC=△ABP+△ACP이므로 = _5_PD”+ _5_PE” 1 2 1 2 15 2 _'∂10_ 3'∂10 2 1 2 = (PD”+PE” ) 5 2 ∴ PD”+PE”=3(cm) r cm A 6 cm O D B H M C 03 꼭짓점 A에서 밑면에 내린 수선 의 발을 H라 하면 AH”는 구의 중심 O를 지나고 점 H는 △BCD 의 무게중심이다. △AHD에서 DH”= DM”= _{ _6} 2 3 '3 2 2 3 =2'3(cm) 44 정답과 풀이 ¤  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지45 다민 2540DPI 175LPI 서술형 대비 문문제제 본문 109~110쪽 3단계 △ABD에서 1 96p cm‹ 2 27'2 2 4'3 3 5 6 20p cm 3 2'1å9 4 10'3 1 1단계 2단계 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면 2pr=12p ∴ r=6(cm) 이때 주어진 전개도로 만들 어지는 원뿔은 오른쪽 그림 과 같으므로 (높이)="√10¤ -6¤ ='6å4 =8(cm) 10`cm A O 6`cm 3단계 ∴ (부피)=;3!;_(p_6¤ )_8 =96p(cm‹ ) 2 1단계 DM”은 정삼각형의 높이이므로 '3 DM”= _9= 2 9'3 2 점 H는 △BCD의 무게중심이므로 9'3 2 =3'3 2단계 DH”=;3@; DM”=;3@;_ 직각삼각형 AHD에서 AH”="√9¤ -(3'3)¤ ='5å4=3'6 3단계 ∴ △AHD=;2!;_DH”_AH” =;2!;_3'3_3'6 = 27'2 2 3 1단계 점 A에서 BC”의 연장선에 내린 수선의 발을 D라 하면 △ACD에서 AC”：AD”=2：'3 즉, 6：AD”=2：'3 2 AD”=6'3 ∴ AD”=3'3 △ACD에서 AC”：CD”=2：1이므로 6：CD”=2：1, 2 CD”=6 ∴ CD”=3 A 5 1단계 6 60æ D 120æ 4 C B 2단계 2단계 배점 2점 2점 2점 A 7 8-x H 8 C AB”=øπ(BC”+CD”)¤ +AD” ="√(4+3)¤ +(3'3)¤ ='7å6 =2'1å9 단계 채점요소 1 2 3 AD”의 길이 구하기 CD”의 길이 구하기 AB”의 길이 구하기 4 1단계 2단계 5 x B 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하고 BH”=x라 하면 CH”=8-x △ABH에서 AH” △ACH에서 ¤ =7¤ -(8-x)¤ (cid:100)(cid:100)yy ㉡ AH” ㉠, ㉡에서 5¤ -x¤ =7¤ -(8-x)¤ 16x=40 ¤ =5¤ -x¤ (cid:100)(cid:100) yy ㉠ ∴ x=;2%; △ABH에서 AH”=æ≠5¤ -{;2%;} ¤ = 3단계 ∴ △ABC=;2!;_8_ 5'3 2 5'3 2 =10'3 채점요소 단계 1 2 3 BH”, CH”를 미지수 x를 사용하여 나타내기 AH”의 길이 구하기 △ABC의 넓이 구하기 배점 1점 4점 2점 △ABF에서 AB”=BF”=4이므로 AF”=4'2 즉, △AFC는 한 변의 길이가 4'2인 정삼각형이 므로 '3 4 △AFC= _(4'2)¤ =8'3 꼭짓점 B에서 △AFC에 내린 수선의 발을 I라 하면 (삼각뿔 B-AFC의 부피) =(삼각뿔 F-ABC의 부피)이므로 II. 피타고라스 정리 45 ¤  15(중3-2)2단원(해설)(16~46)ok 2014.11.10 07:39 PM 페이지46 다민 2540DPI 175LPI 3단계 ;3!;_△AFC_BI’=;3!;_△ABC_BF” ;3!;_8'3_BI’=;3!;_{;2!;_4_4}_4 ∴ BI’= 4'3 3 단계 채점요소 △AFC의 넓이 구하기 1 2 3 (삼각뿔 B-AFC의 부피)=(삼각뿔 F-ABC의 부피)임을 알기 BI’의 길이 구하기 배점 2점 3점 3점 2 C 2 km B D A 8 km CD” ¤ =AD”_BD”이므로 2¤ =8_BD”(cid:100)(cid:100)∴ BD”= (km) 1 2 △CDB에서 2 BC”=æ≠2¤ +{ 따라서 미경이가 가야 할 총 거리는 17 =Ƭ = 4 'ß17 2 1 2 } (km) AD”+DB”+BC”=8+ + = 1 2 'ß17 2 17+'ß17 2 (km) (cid:9000) 17+'ß17 2 km 6 1단계 2단계 밑면인 원의 둘레의 길이는 2p_4=8p(cm) 다음 그림의 전개도에서 구하는 최단 거리는 AB"” 의 길이이므로 B B' B" 12pcm 8pcm A 8pcm A' A" 3 다음 그림과 같이 도로를 DE”라 하자. A 9 km D 6 km B 6 km E 6 km P C 20 km B' 3단계 AB''” ="√(12p)¤ +(8p+8p)¤ ="√400p¤ =20p(cm) 단계 1 2 3 채점요소 밑면인 원의 둘레의 길이 구하기 전개도에 최단 거리 나타내기 최단 거리 구하기 DE”에 대하여 점 B를 대칭이동한 점을 B'이라 하면 AB'”의 길이가 구하는 최단 거리이다. 이때 점 B'에서 AD”의 연장선에 내린 수선의 발을 C라 하면 CB'”=DE”=20 km, DC”=EB'”=6 km 따라서 △ACB'에서 AB'”="√20¤ +(9+6)¤ ='∂625=25(km) (cid:9000) 25 km 배점 2점 3점 3점 4 18 m P A 4 m Q A' B 4 m 10 m B' S R C QR”에 대하여 점 A를 대칭이동한 점을 A', PS”에 대하 여 점 B를 대칭이동한 점을 B'이라 하면 A'B'”의 길이 가 구하는 최단 거리이다. 점 A'에서 SR”의 연장선에 내린 수선의 발을 C라 하면 A'C”=PS”=18 m, RC”=QA'”=4 m 따라서 △A'CB'에서 A'B'”="√18¤ +(4+10+4)¤ ='∂648=18'2(m) (cid:9000) 18'2 m 생활 속의 수학 본문 111쪽 1 정사각형의 대각선의 길이가 100 cm 일 때 밑면의 넓이가 최대이므로 밑면 의 한 변의 길이를 x cm라 하면 '2x=100(cid:100)(cid:100)∴ x=50'2(cm) 100 cm x cm (cid:9000) 50'2 cm 46 정답과 풀이  15(중3-2)3단원(해설)(47~71)ok 2014.11.10 07:40 PM 페이지47 다민 600DPI 175LPI Ⅲ삼각비 1 삼각비 01 삼각비 개념원리 확인하기 본문 115쪽 01 ⑴ 높이, 6, ;5#;(cid:100)⑵ 밑변의 길이, 8, ;5$; 01 ⑶ 밑변의 길이, 8, ;4#; 02 ⑴ ① ;1•7;(cid:100)② ;1!7%;(cid:100)③ ;1•5; '1å0 10 (cid:100)② 3'1å0 10 (cid:100)③ ;3!; 02 ⑵ '1å0(cid:100)① 03 ④ 04 '2 2 A 3 B 6 3Â5 03 BC”="√3¤ +6¤ =3'5 ① sin B= = 6 3'5 3 3'5 ③ tan B=;3^;=2 ② cos B= = 2'5 5 '5 5 ⑤ cos C= = 2'5 5 6 3'5 04 '2 2 AB”="√(4'2)¤ -4¤ ='1å6=4 cos A= = 4 4'2 tan A=;4$;=1 ∴ cos A tan A= _1= '2 2 '2 2 4Â2 A 4 C C 4 B 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 116~119쪽 1 ⑴ (cid:100)⑵ ;3@;(cid:100)⑶ (cid:100)⑷ ;3@;(cid:100)⑸ '5 3 '5 2 '5 3 (cid:100)⑹ 2'5 5 2 4 5 ;4#; 3 ⑴ '5+2 3 (cid:100)⑵ 24 35 6 ;1!3); 7 ;4#; 4 ;3%; 8 '2 1 AC”="√2¤ +('5)¤ ='9=3이므로 ⑴ sin A= = '5 3 BC” AC” AB” AC” BC” AB” AB” AC” BC” AC” AB” BC” =;3@; '5 2 = =;3@; '5 3 = ⑵ cos A= ⑶ tan A= ⑷ sin C= ⑸ cos C= ⑹ tan C= 2 = = '5 2'5 5 2 cos B= 이므로 BC” AB” BC” 6 = '5 3 3BC”=6'5(cid:100)(cid:100)∴ BC”=2'5 피타고라스 정리에 의해 AC”="√6¤ -(2'5)¤ ='1å6=4 3 ⑴ tan A= 이므로 오른쪽 그 '5 2 C '5 B 림과 같이 ∠B=90˘, AB”=2, BC”='5인 직각삼각형 ABC 를 생각할 수 있다. AC”="√2¤ +('5)¤ ='9=3 이므로 sin A= = , cos A= BC” AC” '5 3 ∴ sin A+cos A= +;3@;= '5 3 A 2 2 3 = AB” AC” '5+2 3 ⑵ cos A= 이므로 오른쪽 그림 C 5 7 과 같이 ∠B=90˘, AB”=5, AC”=7인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다. BC”="√7¤ -5¤ ='ß24=2'6 이므로 7 A B 5 sin A= BC” AC” = 2'6 7 , tan A= BC” AB” = 2'6 5 ∴ sin A_tan A= 2'6 7 _ 2'6 5 = 24 35 4 △ABCª△EDC (AA 닮음)이므로 ∠x=∠CDE=∠CBA △ABC에서 AC”="√9¤ -3¤ ='7å2=6'2이므로 III. 삼각비 47  15(중3-2)3단원(해설)(47~71)ok 2014.11.10 07:40 PM 페이지48 다민 600DPI 175LPI = 6'2 9 = 2'2 3 sin x=sin B= cos x=cos B= AC” BC” AB” BC” ∴ '2 sin x+cos x='2_ +;3!; =;9#;=;3!; 2'2 3 =;3$;+;3!;=;3%; 5 △ABCª△HAC (AA 닮음)이므로 ∠x=∠HAC=∠ABC △ABC에서 AC”="√5¤ -4¤ ='9=3이므로 AC” tan x=tan B= AB” =;4#; 6 △ABCª△HBAª△HAC (AA 닮음)이므로 ∠x=∠BAH=∠BCA ∠y=∠HAC=∠ABC △ABC에서 BC”="√5¤ +12¤ ='∂169=13이므로 5 sin x=sin C= = 13 cos y=cos B= = ∴ sin x+cos y= + 5 13 5 13 AB” BC” AB” BC” 5 13 = 10 13 7 3x+4y-12=0의 그래프가 x축, y축과 만나는 점을 각각 A, B라 고 하면 직각삼각형 OAB에서 OA”=4, OB”=3이므로 a A 4 x y 3 B O A 5 cm 5'2 cm x G E 5 cm tan a= OB” OA” = 3 4 8 EG”="√4¤ +3¤ ='2å5 =5(cm) AG”="√4¤ +3¤ +5¤ ='5å0 =5'2(cm) △AEG는 ∠AEG=90˘인 직 각삼각형이므로 = = sin x= AE” AG” EG” AG” 5 5'2 5 5'2 '2 ∴ sin x+cos x= + ='2 2 '2 2 '2 2 '2 2 cos x= = = 48 정답과 풀이 이런 문제가 시험에 나온다 본문 120쪽 01 ① 02 9 cm 03 ⑴ ⑵ 2 '2 3 04 ;5&; 05 '3 6 06 ;3!; 07 ;5&; 01 ② tan A= AB”="√2¤ +1¤ ='5이므로 2 BC” ① sin A= = = '5 AB” BC” =;1@;=2 AC” AC” AB” BC” AB” AC” BC” 1 = = '5 2 = = '5 =;2!; ⑤ tan B= ④ cos B= ③ sin B= 2'5 5 '5 5 2'5 5 02 tan A= 이므로 BC” AB” 12 AB” =;3$; 4AB”=36(cid:100)(cid:100)∴ AB”=9(cm) C '2 A 1 B 03 ⑴ tan A='2이므로 오른쪽 그림과 같이 AB”=1, BC”='2인 직각삼 각형 ABC를 생각할 수 있다. AC”="√1¤ +('2)¤ ='3이므로 sin A= '2 = = '3 1 = = '3 ∴ sin A_cos A= _ = BC” AC” AB” AC” '6 3 '3 3 cos A= '6 3 '3 3 '2 3 ⑵ cosA= 이므로 오른쪽 그림과 같이 C 1 2 AB”=1, AC”=2인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다. BC”="√2¤ -1¤ ='3 이므로 2 A B 1 sin A= tan A= = '3 2 BC” AC” BC” AB” 2 sin A+tan A tan A ='3 ∴ = '3+'3 '3 =2  15(중3-2)3단원(해설)(47~71)ok 2014.11.10 07:40 PM 페이지49 다민 600DPI 175LPI 04 △ABCª△ADE (AA 닮음)이므로 ∠y=∠EDA=∠CBA △ABC에서 AB”="√12¤ +9¤ ='∂225=15이므로 sin x=sin A= sin y=sin B= BC” AB” 12 = = 15 4 5 AC” AB” 4 5 9 = = 15 3 5 3 5 7 5 ∴ sin x+sin y= + = 05 △ABCª△HBAª△HAC (AA 닮음)이므로 ∠x=∠BAH=∠BCA, ∠y=∠HAC=∠ABC △ABC에서 BC”="√(2'3)¤ +2¤ ='∂16=4이므로 AC” BC” AC” AB” cos x=cos C= =;4@;=;2!; tan y=tan B= = ∴ cos x_tan y=;2!;_ = '3 6 = '3 3 2 2'3 '3 3 06 EG”="√4¤ +4¤ =4'2 CE”="√4¤ +4¤ +4¤ =4'3 △CEG는 ∠EGC=90˘인 직각 삼각형이므로 C 4 G 4'3 x E 4'2 sin x= = = CG” CE” EG” CE” CG” EG” 4 4'3 4'2 4'3 4 4'2 '3 3 '6 3 '2 2 = = = = cos x= tan x= ∴ sin x_cos x_tan x= _ _ '3 3 '6 3 '2 2 = 1 3 y O -4 B 07 직선 4x-3y=12가 x축, y축과 만나는 점을 각각 A, B라 하면 A(3, 0), B(0, -4) 따라서 직각삼각형 OBA에서 OA”=3, OB”=4 AB”="√3¤ +4¤ =5 ∴ sin a=;5$;, cos a=;5#; ∴ sin a+cos a=;5$;+;5#;=;5&; 02 삼각비의 값 개념원리 확인하기 01 ⑴ 그림은 풀이 참조 '2 2 01 (cid:100) ① BD”, 8'2, 01 ⑵ 그림은 풀이 참조 본문 122쪽 ② BD”, 8'2, ③ BC”, 8, 1 '2 2 01 (cid:100) ① BD”, 3, ;2!; ② BD”, 3, ;2!; ③ AD”, 3'3, 02 풀이 참조 03 ⑴ '3-1(cid:100)⑵ 04 ⑴ x=2'3, y=2(cid:100)⑵ x=8, y=4'3 '3 3 '3 6 01 ⑴ A 8Â2 45æ D 8 C 45æ B 8 A ⑵ 30æ 6 3Â3 B 60æ 3 D C 02 삼각비 A sin A cos A tan A 30˘ ;2!; '3 2 '3 3 45˘ '2 2 '2 2 1 60˘ '3 2 ;2!; '3 03 '3 ⑴ (주어진 식)= + -1='3-1 2 ⑵ (주어진 식)=;2!;_ = '3 '3 2 '3 3 6 a A 3 x 04 ⑴ cos 30˘= = , 2x=4'3(cid:100)(cid:100)∴ x=2'3 ;4{; '3 2 sin 30˘= = , 2y=4(cid:100)(cid:100)∴ y=2 ;4}; ;2!; ⑵ cos 60˘= = (cid:100)(cid:100)∴ x=8 ;[$; ;2!; tan 60˘= ='3(cid:100)(cid:100)∴ y=4'3 ;4}; III. 삼각비 49  15(중3-2)3단원(해설)(47~71)ok 2014.11.10 07:40 PM 페이지50 다민 600DPI 175LPI 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 123~125쪽 1 ⑴ 1(cid:100)⑵ 2(cid:100)⑶ ;4#;(cid:100)⑷ ;4&; 2 ⑴ '3(cid:100)⑵ 0(cid:100)⑶ 2-'3 2 3 ⑴ x=4'3, y=2'3(cid:100)⑵ x=2'2, y=4 ⑶ x='6, y='6 4 4'3 cm 5 '2-1 6 y='3x+'3 1 '2 2 }2 +{ '2 2 }2 _1 ⑴ (주어진 식)={ 1 2 '3 '3 2 ⑵ (주어진 식)= = +;2!;=1 '3 2 _[{ }2 +{;2!;}2 ] =2_{ +;4!;}=2_1=2 3 4 =;4#; ⑶ (주어진 식)= ;2!;_6_1 1+'3_'3 '2 ⑷ (주어진 식)={1+ +;2!;} {1- +;2!;} 2 '2 2 ={;2#;+ } {;2#;- } '2 2 '2 2 =;4(;-;2!;=;4&; 2 ⑴ cos 2x= 이고 cos 60˘= 이므로 1 2 1 2 2x=60˘(cid:100)(cid:100)∴ x=30˘ ∴ tan (x+30˘)=tan 60˘='3 ⑵ tan 60˘='3이므로 4x-20˘=60˘(cid:100)(cid:100)∴ x=20˘ ∴ sin 3x-cos (x+10˘)=sin 60˘-cos 30˘ = - =0 '3 2 '3 2 ⑶ sin 60˘= 이므로 '3 2 2x+30˘=60˘(cid:100)(cid:100)∴ x=15˘ ∴ tan 3x-cos 2x=tan 45˘-cos 30˘ 2-'3 2 '3 =1- = 2 3 ⑴ cos 30˘= = , '3x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=4'3 tan 30˘= = , 3y=6'3(cid:100)(cid:100)∴ y=2'3 6 x y 6 '3 2 '3 3 50 정답과 풀이 ⑵ tan 45˘= =1(cid:100)(cid:100)∴ x=2'2 '2 2 = , '2y=4'2 2'2 x 2'2 y sin 45˘= ∴ y=4 ⑶ △ABC에서 x tan 60˘= ='3(cid:100)(cid:100)∴ x='6 '2 △DBC에서 '6 y tan 45˘= =1(cid:100)(cid:100)∴ y='6 4 △ABC에서 sin 30˘= AC” 12 = 1 2 2AC”=12(cid:100)(cid:100)∴ AC”=6(cm) △ADC에서 = 6 AD” sin 60˘= '3 2 '3AD”=12(cid:100)(cid:100)∴ AD”=4'3(cm) △ABD에서 30˘+∠BAD=60˘이므로 ∠BAD=30˘ 즉, ∠BAD=∠B이므로 BD”=AD”=4'3 cm 5 △ADC에서 cos 45˘= DC” AD” = DC” 2 ∴ DC”=2_cos 45˘ =2_ '2 2 ='2 ∴ AC”=DC”='2 △ABD에서 ∠B=∠BAD=;2!;_45˘=22.5˘ ∴ tan 22.5˘=tan B= AC” BC” = '2 2+'2 ='2-1 6 (기울기)=tan 60˘='3 이때 구하는 직선의 방정식을 y='3x+b로 놓으면 점 (-1, 0)을 지나므로 0=-'3+b(cid:100)(cid:100)∴ b='3 ∴ y='3x+'3  15(중3-2)3단원(해설)(47~71)ok 2014.11.10 07:40 PM 페이지51 다민 600DPI 175LPI 이런 문제가 시험에 나온다 본문 126쪽 02 ⑴ 20˘(cid:100)⑵ '2(cid:100)⑶ 2 01 ⑴ -2'3(cid:100)⑵ 2 03 24'3 04 ⑴ x=3, y=3'2(cid:100)⑵ x=5'6, y=5+5'3 04 ⑶ x=4'3 05 y='3x-3 06 2+'3 △ABD에서 4'3 BD” tan30˘= = '3 3 '3 BD”=12'3(cid:100)(cid:100)∴ BD”=12 1 ∴ △ABD= _12_4'3 2 =24'3 01 ⑴ (주어진 식)= + '3 2 '3 2 - '2 12 2 '2 122 1 ;2!;+ 1 2 '3 '3 1+'2 1-'2 '3(1-'2)+'3(1+'2) (1+'2)(1-'2) + = = =-2'3 ⑵ (주어진 식)={;2!;}2 + _'3+{ 1 4 = +1+;4#;=2 '3 3 '3 2 }2 02 ⑴ cos (3x-30˘)= 에서 '3 3 1 2 '3 2 cos (3x-30˘)= '3 cos 30˘= 이므로 2 3x-30˘=30˘(cid:100)(cid:100)∴ x=20˘ ⑵ sin (x-15˘)= 이고 sin 30˘= 이므로 1 2 1 2 x-15˘=30˘(cid:100)(cid:100)∴ x=45˘ ∴ sin x+cos x=sin 45˘+cos 45˘ = + ='2 '2 2 '2 2 ⑶ 이차방정식의 한 근이 x=cos 60˘= 이므로 ;2!; 4x¤ +2x-a=0에 x= 을 대입하면 ;2!; ¤ +2_ -a=0 ;2!; 4_{ 1+1-a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=2 ;2!; } 03 △ABC에서 ∠C=180˘-(30˘+90˘)=60˘ △ADC에서 sin60˘= = 이므로 AD” 8 '3 2 2AD”=8'3(cid:100)(cid:100)∴ AD”=4'3 04 ⑴ △ABC에서 tan 60˘= ='3(cid:100)(cid:100)∴ x=3 x '3 △DBC에서 '2 2 sin 45˘= = 3 y '2y=6(cid:100)(cid:100)∴ y=3'2 ⑵ △ABH에서 cos 60˘= 2BH”=10(cid:100)(cid:100)∴ BH”=5 sin 60˘= AH” 10 = '3 2 BH” 10 = 1 2 2AH”=10'3(cid:100)(cid:100)∴ AH”=5'3 △AHC에서 ∠CAH=180˘-(90˘+45˘)=45˘ 이므로 CH”=AH”=5'3 ∴ y=BH”+CH”=5+5'3 △AHC에서 5'3 x '2x=10'3(cid:100)(cid:100)∴ x=5'6 sin 45˘= '2 2 = ⑶ △ABC에서 ∠A=180˘-(90˘+30˘)=60˘ ∠BAD=∠CAD= ∠A=30˘ 1 2 △DAB는 BD”=AD”인 이등변삼각형이므로 AD”=BD”=4 △ADC에서 sin 30˘= = 1 2 DC” 4 ∴ DC”=2 △ABC에서 cos 30˘= = '3 2 4+2 x = ;[^; '3x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=4'3 05 cos a= 이므로 a=60˘ ;2!; (직선의 기울기)=tan 60˘='3이므로 기울기가 '3이고 y절편이 -3인 직선의 방정식은 y='3x-3 06 ∠ACB=30˘이고 AC”=DC”이므로 ∠CAD=∠CDA=15˘ III. 삼각비 51  15(중3-2)3단원(해설)(47~71)ok 2014.11.10 07:40 PM 페이지52 다민 600DPI 175LPI △ABC에서 cos 60˘=;2!;= ∴ AC”=2, DC”=2 1 AC” tan 60˘='3= ∴ tan 75˘= CB” 1 DB” AB” = 이므로 CB”='3 2+'3 1 =2+'3 03 임의의 예각의 삼각비의 값 개념원리 확인하기 01 ⑴ AB”(cid:100)⑵ OB”(cid:100)⑶ CD” 02 ⑴ -1(cid:100)⑵ 1(cid:100)⑶ 0(cid:100)⑷ -1 03 ⑴ <, <(cid:100)⑵ >, >(cid:100)⑶ <, < 04 ⑴ 0.5736(cid:100)⑵ 0.8090(cid:100)⑶ 0.7536(cid:100)⑷ 37 04 ⑸ 35(cid:100)⑹ 38 02 ⑴ (주어진 식)=0-1_1=-1 ⑵ (주어진 식)=1-0=1 ⑶ (주어진 식)=0_0+1-1=0 ⑷ (주어진 식)=0_0-1_1+0=-1 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 130~132쪽 1 ②, ④ '3 2 ⑴ 0(cid:100)⑵ - (cid:100)⑶ 0 3 ③ 2 4 ① 5 ⑴ 0(cid:100)⑵ 2(cid:100)⑶ tan A-cos A 6 ⑴ 68(cid:100)⑵ 66(cid:100)⑶ 67 7 13.289 2 ⑴ (주어진 식)=1_0+1_0+1_0=0 ⑵ (주어진 식)=0_0-1_'3+ =- '3 2 '3 2 ⑶ (주어진 식)= _0+1¤ _1+0¤ -1¤ =0 '2 2 ① sin 0˘=0 ② cos 0˘=1 cos 80˘0, tan A-1<0 ∴ (주어진 식)=(1-tan A)+(tan A-1) =1-tan A+tan A-1 =0 ⑵ 0˘0 ∴ (주어진 식)=-(cos A-1)+(cos A+1) =-cos A+1+cos A+1 =2 ⑶ 45˘1이므로 cos A0, tan A-sin A>0, cos A>0 ∴ (주어진 식) =-(cos A+sin A)-(tan A-sin A) =-cos A-sin A-tan A+sin A+cos A =-tan A +cos A III. 삼각비 55  15(중3-2)3단원(해설)(47~71)ok 2014.11.10 07:40 PM 페이지56 다민 600DPI 175LPI ⑵ 0˘0 tan 45˘-tan A=1-tan A>0 ∴ (주어진 식)=(tan A+1)+(1-tan A) =2 10 ⑴ 4 tan¤ x+tan x-3=0에서 (tan x+1)(4 tan x-3)=0 ∴ tan x=-1 또는 tan x= 3 4 그런데 0˘0) 따라서 AH”='2x=2'6 cm이므로 △ABC=;2!;_BC”_AH” =;2!;_8_2'6=8'6(cm¤ ) A 6`cm B x`cm H 8`cm C 의 발을 H라고 하면 ∠ACH=30˘, ∠BCH=45˘ 이므로 △AHC에서 CH”=2 sin 60˘=2_ ='3 △CHB에서 '3 2 x= CH” cos 45˘ = ='6 '3 '2 122 ⑵ 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △ABH에서 AH”=4 sin 30˘=4_ =2 1 2 '3 B’H”=4 cos 30˘=4_ =2'3 2 ∴ CH”=3'3-2'3='3 △AHC에서 x="√2¤ +('3)¤ ='7 66 정답과 풀이 H A 60˘ 30˘ 45˘ 2 C 45˘ B x 12 △AHB에서 =4÷ '3 2 AB”= BH” cos 30˘ 8'3 3 (m) = D 12 m C 30˘ 30˘ A 4 m H B4 m ∴ (지붕의 넓이)=2_(cid:8772)ABCD=2_AB”_BC” 8'3 3 _12=64'3(m¤ ) =2_ 13 4 30˘ B A H 3'3 x C A C 45˘ 45˘ 60˘ h m h m 30˘ P B 6 m D 건물의 높이를 h m라고 하면 △APB에서 ∠PAB=45˘ 이므로 PB”=h tan 45˘=h(m) △CPD에서 ∠PCD=60˘ 이므로 PD”=h tan 60˘='3h(m) BD”=PD”-PB”이므로 6='3h-h, ('3-1)h=6 ∴ h=3('3+1)(m)  15(중3-2)3단원(해설)(47~71)ok 2014.11.10 07:41 PM 페이지67 다민 600DPI 175LPI 본문 161~162쪽 03 60˘ Step (발전문제) 01 ② 04 ① 02 ⑴ 90'3 cm¤ (cid:100)⑵ 40'3 cm¤ 05 8 cm 06 30(3+'3) m 07 (3+'3) m 8'3 3 cm 10 08 ⑤ 09 10 cm¤ 11 ② 12 ;1@0!; cm 13 24 14 (40-20'3) cm 01 CG”=4_tan 60˘=4'3(cm) ∴ (직육면체의 부피)=4_2'3_4'3 =96(cm‹ ) 02 ⑴ 꼭짓점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △DHC에서 CH”=10 cos 60˘ =10_ =5(cm) ;2!; A 16 cm 30˘ B 20 cm D 10 cm 60˘ CH '3 2 DH”=10 sin 60˘=10_ =5'3(cm) BH”=BC”-CH”=20-5=15(cm)이므로 △DBH에서 BD”="√15¤ +(5'3)¤ ='∂300=10'3(cm) ∴ (cid:8772)ABCD =△ABD+△DBC ;2!; = _16_10'3_sin 30˘+ _20_5'3 =40'3+50'3 =90'3(cm¤ ) ;2!; ⑵ 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 A 8 cm D 선의 발을 H라고 하면 △ABH에서 ∠B=60˘이므로 8 cm 30˘ B 60˘ H BH”=8 cos 60˘=8_ =4(cm) ;2!; '3 2 A’H”=8 sin 60˘=8_ =4'3(cm) BC”=BH”+CH”=4+8=12(cm)이므로 (cid:8772)ABCD= _(8+12)_4'3 =40'3(cm¤ ) ;2!; 03 (cid:8772)ABCD=;2!;_18_6'3_sin x=81 sin x= (cid:100)(cid:100)∴ ∠x=60˘ '3 2 04 △ABH에서 ∠ABH=60˘이므로 '3 2 A’H”=200 sin 60˘=200_ =100'3(m) △AHC에서 ∠CAH=45˘이므로 CH”=A’H” tan 45˘=100'3_1=100'3(m) 05 등변사다리꼴의 두 대각선의 길이는 같으므로 AC”=BD”=x cm라고 하면 (cid:8772)ABCD= _AC”_BD”_sin (180˘-120˘)이므로 ;2!; 16'3= _x¤ _ ;2!; x¤ =64(cid:100)(cid:100)∴ x=8(cm)(∵ x>0) '3 2 06 지면으로부터 기구까지의 높이를 h m라고 하면 ∠ACH=45˘, ∠BCH=30˘이므로 AH”=h tan 45˘=h(m) BH”=h tan 30˘= h(m) '3 3 '3 3 AB”=AH”-BH”=h- h=60 3-'3 3 h=60(cid:100)(cid:100)∴ h=30(3+'3)(m) 07 PH”=QB”=3 m이므로 △PBH에서 '3 3 BH”=PH” tan 30˘=3_ ='3(m) △APH에서 A’H”=PH” tan 45˘=3_1=3(m) ∴ AB”=A’H”+BH”=3+'3(m) A P 45˘ 30˘ Q 3 m H B 08 AD”=x cm라고 하면 △ABC=△ABD+△ADC이므로 C _15_10_sin 60˘ ;2!; = _15_x_sin 30˘+ _10_x_sin 30˘ ;2!; ;2!; 75'3 2 15 4 = x+ x, x= ;;™4∞;; 5 2 75'3 2 ∴ x=6'3(cm) 09 두 대각선이 이루는 각의 크기를 a라고 하면 (cid:8772)ABCD 의 넓이 S는 S= _5_4_sin a ;2!; 이때 00) 04 OD”=OE”=OF”이므로 AB”=BC”=CA” 즉, △ABC는 정삼각형이므로 AO”를 그으면 △ADO™△AFO(RHS 합동) 12 cm A D F O E B C AD”=;2!;AB”=;2!;_12=6(cm) △ADO에서 AO”= AD” cos 30˘ =4'3(cm) =6÷ '3 2 따라서 원 O의 반지름의 길이가 4'3 cm이므로 넓이는 p×(4'3)¤ =48p(cm¤ ) 05 (cid:8772)ABCD가 원 O에 외접하므로 AB”+CD”=AD”+BC” =8+18 =26(cm) 그런데 AB”=CD”이므로 AB”= _26=13(cm) 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 E라 하면 1 2 1 2 BE”= _(18-8) =5(cm) △ABE에서 A 8 cm D 13 cm O B E 18 cm C 이때 큰 원의 반지름을 r cm, 작은 원의 반지름을 r' cm라 하면 △OAT에서 r¤ -r'¤ =6¤ =36 AE”="√13¤ -5¤ ='∂144=12(cm) 따라서 원 O의 지름의 길이는 12 cm이다. 80 정답과 풀이  15(중3-2)4단원(해설)(72~112)ok 2014.11.10 07:43 PM 페이지81 다민 600DPI 175LPI AD”=x cm라 하면 AB”+CD”=AD”+BC”이므로 8+CD”=x+12 ∴ CD”=x+4(cm) 꼭짓점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 CH”=(12-x) cm △DHC에서 (x+4)¤ =8¤ +(12-x)¤ 32x=192(cid:100)(cid:100)∴ x=6(cm) ∴ CD”=6+4=10(cm) 06 07 A x cm D 8 cm B (x+4) cm O H 12 cm C ∠PAO=∠PBO=90˘이므로 (cid:8772)APBO에서 ∠APB=360˘-(90˘+120˘+90˘)=60˘ △PAO™△PBO (RHS 합동)이므로 ∠APO=∠BPO=30˘ △APO에서 PO”= PA”= AO” sin 30˘ AO” tan 30˘ =12÷;2!;=24(cm) =12÷ =12'3(cm) '3 3 이때 PA”=PB”이므로 △APB는 정삼각형이다. ∴ AB”=PA”=PB”=12'3(cm) 또, ∠POA=∠POB=;2!;∠AOB=;2!;_120˘=60˘ 이고, △AMO에서 ∠MAO=90˘-60˘=30˘이므로 ∠AMO=90˘ ∴ OM”=OA” cos 60˘=12_;2!;=6(cm) ∴ △OAB=;2!;_12'3_6=36'3(cm¤ ) O 3 cm A 6 cm M N B 08 오른쪽 그림과 같이 AB”에 수직인 ON”을 긋고 AB”와 ON”의 교점을 M이라 하자. ON”=OA”=6 cm이므로 OM”=MN”= ON” 1 2 = _6=3(cm) 1 2 △AMO에서 AM”="√6¤ -3¤ ='∂27=3'3(cm) ∴ AB”=2AM”=2_3'3=6'3(cm) 09 △ABC에서 (2'5)¤ =4¤ +2¤` 즉, BC” ¤ =AB” ¤ +AC” ¤ 이므로 ∠A=90˘이다. D (4-r) cm 반원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하고 OD”, OE”를 그으면 (cid:8772)ADOE는 한 변 의 길이가 r cm인 정사각 형이므로 BD”=(4-r) cm CE”=(2-r) cm △ABC=(cid:8772)ADOE+△DBO+△EOC이므로 r cm B A E C O (2-r) cm 1 2 ×4×2=r¤ + r(4-r)+ r(2-r) 3r=4(cid:100)(cid:100)∴ r= (cm) 1 2 4 3 1 2 B 5 6 3 U A P O R 3 Q C F x T S D E 4 10 11 12 AB”, BC”, CD”, DE”, EF”, FA”와 원 O가 만나는 점을 각각 P, Q, R, S, T, U라 하자. FT”=FU”=x라 하면 AP”=AU”=3-x BQ”=BP”=5-(3-x)=2+x CR”=CQ”=6-(2+x)=4-x DS”=DR”=3-(4-x)=x-1 ET”=ES”=4-(x-1)=5-x ∴ EF”=(5-x)+x=5 PO”를 그어 AB”와의 교점을 H라 하면 ∠PAO=∠PBO=90˘이므로 PO”="√10¤ +20¤ ='∂500=10'5 이때 PO”⊥AH”이므로 △APO에서 AP”_AO”=PO”_AH” 20_10=10'5_AH” ∴ AH”=4'5 ∴ AB”=2AH”=2_4'5=8'5 작은 원의 반지름의 길이를 r cm 라 하면 OD”=r cm이므로 BO”=(5+r) cm OP”를 그으면 OP”=r cm이고 OP”⊥AB”이므로 BP”=AP”=AQ”=8 cm △BOP에서 (5+r)¤ =8¤ +r¤ 20 P 10 O A H B A 8`cm Q P D O B 5`cm r`cm C IV. 원의 성질 81  15(중3-2)4단원(해설)(72~112)ok 2014.11.10 07:43 PM 페이지82 다민 600DPI 175LPI 10r=39(cid:100)(cid:100)∴ r=;1#0(;(cm) 따라서 작은 원의 반지름의 길이는 ;1#0(; cm이다. Step ( ) 본문 193쪽 01 (40-8p)cm¤ 02 13 cm 03 13 cm 04 4 cm 05 (4p-3'3)cm¤ 06 ⑴ 5(cid:100)⑵ 50˘ E 2 cm C 2 cm B 01 D H 6 cm 8 cm 8 cm DE”=DA”=8 cm, CE”=CB”=2 cm이므로 DC”=8+2=10(cm) 이때 꼭짓점 C에서 AD”에 내린 수선의 발을 H라 하면 HA”=CB”=2 cm이므로 DH”=8-2=6(cm) ∴ AB”=HC”="√10¤ -6¤ ='ß64=8(cm) 따라서 반원 O의 반지름의 길이가 4 cm이므로 (색칠한 부분의 넓이) =(cid:8772)ABCD-(반원 O의 넓이) A O = _(8+2)_8- _p_4¤ 1 2 1 2 =40-8p(cm¤ ) 02 A E D CF”를 그으면 CF”=12 cm, ∠CFB=90˘ 이므로 △BCF에서 BF”="√13¤ -12¤ ='ß25=5(cm) 이때 EF”=ED”=x cm라 하면 AE”=(13-x)cm BE”=(5+x)cm 따라서 △ABE에서 (5+x)¤ =12¤ +(13-x)¤ 36x=288(cid:100)(cid:100)∴ x=8(cm) ∴ BE”=5+8=13(cm) 4 cm E 8 cm O¢ T F S O£ R O™ D 12 cm A 21 cm P Q O¡ B 16 cm C 03 82 정답과 풀이 F 12 cm 12 cm B 13 cm C 05 04 두 원 O, O'과 BC”와의 접점을 각각 P, Q라 하고 원 O'의 중심에서 OP”에 내린 수선의 발을 H라 하자. AP”=AQ”=AR”=AS”=AT” AP”=x cm라 하면 BP”=(21-x) cm CQ”=16-(21-x)=x-5(cm) DR”=12-(x-5)=17-x(cm) ES”=8-(17-x)=x-9(cm) FT”=4-(x-9)=13-x(cm) ∴ AF”=x+(13-x)=13(cm) A D O 18 cm 9 cm H r cm O' B P 25 cm Q C 원 O의 반지름의 길이는 ;2!;AB”=;2!;_18=9(cm) 원 O'의 반지름의 길이를 r cm라 하면 OH”=(9-r) cm OO'”=(9+r) cm O'H”=25-(9+r)=16-r(cm) △OHO'은 직각삼각형이므로 (9+r)¤ =(9-r)¤ +(16-r)¤ r¤ -68r+256=0, (r-4)(r-64)=0 ∴ r=4 또는 r=64 그런데 00) 따라서 원 O의 넓이는 p_(2'7)¤ =28p(cm¤ ) 8`cm D C A r`cm O 5`cm B 06 ⑴ PA” ¥ PB”=PD” ¥ PC”이어야 하므로 4_(4+8)=6_(6+x), 48=36+6x 6x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=2 ⑵ PA” ¥ PC”=PB” ¥ PD”이어야 하므로 3_(x+4)=x_(x+7) x¤ +4x-12=0, (x-2)(x+6)=0 ∴ x=2 (∵ x>0) 07 PA” ¥ PB”=PC” ¥ PD”이므로 (8+2)_1=2_PD” 2 PD”=10(cid:100)(cid:100)∴ PD”=5(cm) ∴ BD”=PD”-PB”=5-1=4(cm) 08 E B C P F O D A 8`cm 18`cm AB”를 지름으로 하는 원을 완성하 여 OC”의 연장선이 원과 만나는 점을 F라 하자. PO”=PC”=x cm라 하면 OF”=2x cm ∴ PF”=x+2x=3x(cm) PD” ¥ PE”=PF” ¥ PC”이므로 18_8=3x_x x¤ =48(cid:100)(cid:100)∴ x=4'3(cm) 따라서 반지름의 길이는 OC”=2x=8'3(cm)이므로 원 O의 둘레의 길이는 2p_8'3=16'3p(cm) 09 PA” ¥ PB”=PC” ¥ PD”에서 5_(5+x)=6_(6+4) 25+5x=60, 5x=35 ∴ x=7 C (10-x) cm 4 cm M x cm 4 cm B D A AM”=x cm라고 하면 BM”=(10-x) cm 이때 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면 MA” ¥ MB”=MC” ¥ MD”이어야 하므로 x_(10-x)=4_4 x¤ -10x+16=0, (x-2)(x-8)=0 ∴ x=2 또는 x=8 그런데 AM”>BM”이므로 x=8(cm) 11 원 O에서 PA” ¥ PB”=PE” ¥ PT”이므로 4_12=x(x+2), x¤ +2x-48=0 (x-6)(x+8)=0 ∴ x=6 (∵ x>0) 또 원 O'에서 PE” ¥ PT”=PC” ¥ PD”이므로 6_8=3_(3+y), 48=9+3y ∴ y=13 ∴ x+y=6+13=19 IV. 원의 성질 99  15(중3-2)4단원(해설)(72~112)ok 2014.11.10 07:43 PM 페이지100 다민 600DPI 175LPI 02 할선과 접선 개념원리 확인하기 01 ⑴ 5(cid:100)⑵ 10(cid:100)⑶ 6(cid:100)⑷ 4 02 ⑴ 12(cid:100)⑵ 2(cid:100)⑶ 8 03 ⑴ x=3, y=7(cid:100)⑵ x=;¡2¡;, y='1å5 04 ⑴ x=2'6, y=2(cid:100)⑵ x=8, y=12 01 ⑴ 6¤ =4_(4+x), 36=16+4x ⑵ 12¤ =8_(8+x), 144=64+8x ∴ x=5 ∴ x=10 ⑶ x¤ =3_(3+9), x¤ =36 ∴ x=6 (∵ x>0) ⑷ 8¤ =x_(x+12), x¤ +12x-64=0 (x+16)(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ x>0) 02 ⑴ OA”=OB”=x이므로 PB”=3+2x ¤ =PA” ¥ PB”에서 PT” 9¤ =3_(3+2x), 6x=72 ∴ x=12 ⑵ OA”=OB”=3이므로 ¤ =PA” ¥ PB”에서 PB”=x+6 PT” 4¤ =x_(x+6), x¤ +6x-16=0 (x+8)(x-2)=0 ∴ x=2 (∵ x>0) ⑶ PB”=x+10 ¤ =PA” ¥ PB”에서 PT” 12¤ =x(x+10) x¤ +10x-144=0 (x+18)(x-8)=0 ∴ x=8 (∵ x>0) B 5 5 A x P 12 O T 03 ⑴ AQ” ¥ BQ”=TQ” ¥ CQ”에서 x_4=6_2(cid:100)(cid:100)∴ x=3 ¤ =PA” ¥ PB”에서 또, PT” (7'2)¤ =y_(y+3+4) y¤ +7y-98=0 (y-7)(y+14)=0(cid:100)(cid:100)∴ y=7 (∵ y>0) 100 정답과 풀이 본문 244쪽 ⑵ PA” ¥ PB”=PC” ¥ PD”이므로 3_(3+2)=2_(2+x) 15=4+2x(cid:100)(cid:100)∴ x=;;¡2¡;; ¤ =PA” ¥ PB”에서 또, PT” y¤ =3_(3+2)(cid:100)(cid:100) ∴ y='1å5 (∵ y>0) 04 ⑴ 원 O에서 PT” ¤ =PA” ¥ PB”이므로 x¤ =3_8(cid:100)(cid:100)∴ x=2'6 (∵ x>0) ¤ =PC” ¥ PD”이므로 원 O'에서 PT” (2'6)¤ =4_(4+y)(cid:100)(cid:100)∴ y=2 ¤ =PA” ¥ PB”이므로 ⑵ 원 O에서 PT” 8¤ =4_(4+y)(cid:100)(cid:100)∴ y=12 원 O'에서 PT'” x¤ =4_(4+12)=64(cid:100)(cid:100) ∴ x=8 (∵ x>0) ¤ =PA” ¥ PB”이므로 핵심문제 익히기 (확인문제) 본문 245~249쪽 1 ⑴ 2'1å4(cid:100)⑵ 6'3 2 ⑴ 2(cid:100)⑵ ;4(; 3 4 4 36˘ 5 ;;¡3§;; 6 4 7 2 cm 8 6 cm 9 6 cm 10 4 cm 1 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 AO”의 연장 선이 원 O와 만나는 점을 B라 하면 ¤ =PA” ¥ PB”이므로 PT” x¤ =4_(4+10)=56 ∴ x=2'1å4 (∵ x>0) ¤ =PA” ¥ PB”이므로 ⑵ PT” B 5 O 4 P 5 A x T 6¤ =3_(3+AB”)(cid:100)(cid:100)∴ AB”=9 △PTB에서 피타고라스 정리에 의해 x="√(3+9)¤ -6¤ ='∂108=6'3 2 ⑴ QA” ¥ QB”=QC” ¥ QD”에서 QA”_6=3_4 ∴ QA”=2  15(중3-2)4단원(해설)(72~112)ok 2014.11.10 07:43 PM 페이지101 다민 600DPI 175LPI ¤ =PA” ¥ PB”에서 PT” (2'5)¤ =x_(x+2+6) x¤ +8x-20=0, (x+10)(x-2)=0 ∴ x=2 (∵ x>0) ¤ =PA” ¥ PB”에서 6¤ =3_(3+QA”+6) ∴ QA”=3 QA” ¥ QB”=QC” ¥ QD”에서 ⑵ PT” 3_6=x_8(cid:100)(cid:100)∴ x=;4(; ¤ =PA” ¥ PB”에서 PA”=x라 하면 PT” 6¤ =x_(x+9), x¤ +9x-36=0 (x-3)(x+12)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0) △PATª△PTB (AA 닮음)이므로 PA”：PT”=AT”：TB”에서 3：6=AT”：8 ∴ AT”=4 3 4 ¤ =PA” ¥ PB”이므로 (3'3)¤ =3_(3+6) 즉, PT” 오른쪽 그림과 같이 PT”는 세 점 A, B, T를 지나는 원의 접 선이다. ∴ ∠ATP=∠PBT=32˘ △APT에서 68˘=∠APT+32˘이므로 ∠APT=36˘ 5 PT”=PT'”= TT'” 1 2 = _10=5 1 2 ¤ =PA” ¥ PB”에서 PT” 5¤ =3_(3+x), 25=9+3x 3x=16(cid:100)(cid:100)∴ x= 16 3 6 PA”=x라고 하면 PA” ¥ PB”=PC” ¥ PD”에서 x_(x+5)=3_(3+9) x¤ +5x-36=0, (x+9)(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ x>0) B 9 32˘ 6 68˘ A 3 P 32˘ 3'3 T 7 8 A P 4 cm C Q 2'3 cm B ∠BAQ=∠CAQ, ∠BCQ=∠BAQ (∵ μ BQ에 대한 원주각)이므로 ∠BCQ=∠CAQ 따라서 CQ”는 세 점 A, C, P를 지나는 원의 접선이다. PQ”=x cm라고 하면 QC” (2'3)¤ =x_(x+4), x¤ +4x-12=0 (x+6)(x-2)=0 ∴ x=2(cm)`(∵ x>0) ¤ =QP” ¥ QA”에서 8 cm 6 cm C A P Q B 9 cm CQ”를 그으면 △ABP와 △AQC에서 ∠BAP=∠QAC, ∠ABP=∠AQC (∵ μAC에 대한 원주각)이므로 △ABPª△AQC`(AA 닮음) PQ”=x cm라고 하면 AB”：AQ”=AP”：AC”에서 9：(6+x)=6：8, 9_8=6_(6+x) 72=36+6x, 6x=36 ∴ x=6(cm) P C B 9 cm 3 cm A AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠ACB BQ”를 그으면 ∠AQB=∠ACB (∵ μ AB에 대한 원주각) ∴ ∠ABC=∠AQB 따라서 AB”는 세 점 B, P, Q를 지나는 원의 접선이므로 ¤ =AP”¥AQ”에서 AB” ¤ =3_(3+9)=36 AB” ∴ AB”=6(cm)`(∵ AB”>0) Q 10 CD”를 그으면 △ABH와 △ADC에서 ∠ABH=∠ADC, (∵ μAC에 대한 원주각) ∠AHB=∠ACD=90˘ ∴ △ABHª△ADC (AA 닮음) 따라서 AB”：AD”=AH”：AC”이므로 3：6=2：AC”, 3AC”=12 ∴ AC”=4(cm) 3 cm A B 2 cm H O 6 cm C D IV. 원의 성질 101  15(중3-2)4단원(해설)(72~112)ok 2014.11.10 07:43 PM 페이지102 다민 600DPI 175LPI 이런 문제가 시험에 나온다 본문 250~251쪽 ∴ △APB=;2!;_8_12_sin 30˘ 01 ⑴ 5(cid:100)⑵ 2(cid:100)⑶ 2(cid:100)⑷ 4 02 ⑴ 4(cid:100)⑵ 5 03 24 cm¤ 04 43˘ 08 2'1å0 cm 09 6 cm 05 2'6 cm 06 3'5 cm 10 2'ß10 cm 07 '3 11 10 cm =;2!;_8_12_;2!; =24(cm¤ ) 01 ⑴ QA” ¥ QB”=QT” ¥ QC”에서 QA”_4=6_2(cid:100)(cid:100)∴ AQ”=3 ¤ =PA” ¥ PB”에서 또, PT” (2'ß15)¤ =x_(x+7) x¤ +7x-60=0, (x+12)(x-5)=0 ∴ x=5`(∵ x>0) ⑵ PT” ¤ =PA” ¥ PB”에서 PB”=6+AQ”이므로 (3'2)¤ =2(6+AQ”) ∴ AQ”=3 또, QA” ¥ QB”=QC” ¥ QD”에서 3_4=x_6 ∴ x=2 ⑶ ∠ATP=90˘이므로 △APT에서 AP”="√(4'3)¤ +4¤ ='ß64=8 (4'3)¤ =(8-x)_8, 48=64-8x 8x=16(cid:100)(cid:100)∴ x=2 ⑷ PO”의 연장선이 원 O와 만나 4 B 06 는 점을 B라고 하면 OB”=OA”=4 ¤ =PA” ¥ PB”에서 PT” (4'3)¤ =x_(x+8) x¤ +8x-48=0, (x-4)(x+12)=0 ∴ x=4`(∵ x>0) P x 4 A O T 4'3 02 ⑴ PT”=PT'”= TT'”= _4'3=2'3(cm) 1 2 1 2 ¤ =PA” ¥ PB”에서 PT” (2'3)¤ =2_(2+x), 12=4+2x 2x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=4(cm) ⑵ PA” ¥ PB”=PC” ¥ PD”에서 6_(6+8)=7_(7+x), 84=49+7x 7x=35(cid:100)(cid:100)∴ x=5(cm) 03 ¤ =PA” ¥ PC”이므로 PB” ¤ =8_(8+10)=144 PB” ∴ PB”=12(cm) (∵ PB”>0) 102 정답과 풀이 04 ¤ =PA”¥PB”이므로 PT” PT”는 세 점 A, B, T를 지나는 원의 접선이다. ∴ ∠ABT=∠ATP =55˘ B A 55˘ 27˘ P 55˘ T △BPT에서 55˘+27˘+(55˘+∠ATB)=180˘ ∴ ∠ATB=43˘ 05 PT”는 원의 접선이므로 ∠ATP=∠ABT 또, ∠APT=∠ABT이므로 ∠ATP=∠APT 즉, △APT는 이등변삼각형이므로 AP”=AT”=3 cm 따라서 PT” PT” ∴ PT”=2'6(cm)`(∵ PT”>0) ¤ =3_(3+5)=24 ¤ =PA”¥PB”에서 A 12 cm P B C 3 cm Q ∠BAQ=∠CAQ, ∠CBQ=∠CAQ (∵ μCQ에 대한 원주각) ∴ ∠BAQ=∠CBQ 따라서 BQ”는 세 점 A, B, P를 지 나는 원의 접선이므로 ¤ =QP”¥QA”에서 BQ” ¤ =3_(3+12) BQ” =45 ∴ BQ”=3'5(cm)`(∵ BQ”>0) 07 ∠ACB=90˘이므로 ∠BAC=180˘-(90˘+60˘)=30˘ △ABC에서 BC”：AC”=1：'3이므로 BC”：6=1：'3 '3 BC”=6(cid:100)(cid:100)∴ BC”=2'3(cm) 또, AB”：BC”=2：1이므로 AB”：2'3=2：1 ∴ AB”=4'3(cm)  15(중3-2)4단원(해설)(72~112)ok 2014.11.10 07:43 PM 페이지103 다민 600DPI 175LPI ∴ △ABDª△AHC (AA 닮음) 따라서 AB”：AH”=AD”：AC”이므로 8：4=AD”：5, 4AD”=40 ∴ AD”=10(cm) ¤ =BD”¥BA”이므로 BC” (2'3)¤ =x_4'3, 4'3x=12 ∴ x='3(cm) 08 P B A 5 cm AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠ACB BD”를 그으면 ∠ADB=∠ACB (∵ μAB에 대한 원주각) ∴ ∠ABC=∠ADB 따라서 AB”는 세 점 B, D, P를 지나는 원의 접선이므로 AB” AB” ∴ AB”=2'1å0(cm)`(∵ AB”>0) ¤ =AP”¥AD”에서 ¤ =5_(5+3)=40 3 cm D C 09 ¤ =PA”¥PB”에서 13 2 PA”=x cm라고 하면 PT” 8¤ =x_(x+12) x¤ +12x-64=0, (x+16)(x-4)=0 ∴ x=4(cm)`(∵ x>0) 또, △PTA와 △PBT에서 ∠P는 공통, ∠PTA=∠PBT ∴ △PTAª△PBT (AA 닮음) 따라서 PT”：PB”=TA”：BT”이므로 8：(4+12)=AT”：12, 16AT”=96 ∴ AT”=6(cm) 10 C B 5 cm 4 cm 3 cm D 6 cm A △ABEª△ADC (AA 닮음)이 므로 AB”：AD”=AE”：AC” 6：3=AE”：4 3AE”=24 ∴ AE”=8(cm) 이때 DE”=8-3=5(cm)이고 AE”는 ∠A의 이등분선 이므로 ∠BAE=∠CAE, ∠EBC=∠CAE (∵ μ EC에 대한 원주각) ∴ ∠BAE=∠EBC 따라서 BE”는 세 점 A, B, D를 지나는 원의 접선이므로 BE” ∴ BE”=2'ß10(cm)`(∵ BE”>0) ¤ =ED”¥EA”에서 BE” ¤ =5_8=40 E 11 BD”를 그으면 △ABD와 △AHC에서 ∠ADB=∠ACH (∵ μ AB에 대한 원주각), ∠ABD=∠AHC=90˘ 4 cm A 8 cm B HO D C 5 cm Step (기본문제) 본문 252~253쪽 01 4 cm 05 ⑤ 02 ③ 06 ④ 09 10 cm 10 ② 03 ③ 07 11 11 4 04 2'ß10 cm 08 ② 12 4 01 ¤ =PA” ¥ PB”에서 PA”=x cm라고 하면 PT” (2'1å0)¤ =x_(x+6) x¤ +6x-40=0, (x+10)(x-4)=0 ∴ x=4(cm) (∵ x>0) 02 PO”=x cm라고 하면 PC” ¥ PD”=PA” ¥ PB”에서 3_(3+5)=(x-4)(x+4) 24=x¤ -16, x¤ =40 ∴ x=2'1å0(cm) (∵ x>0) 03 원 O의 반지름의 길이를 x라고 하면 PA” ¥ PB”=PC” ¥ PD”에서 x 2 x 2 6_4={x+ }_ , 24= x¤ 96=3x¤ , x¤ =32 ∴ x=4'2 (∵ x>0) 3 4 04 PO”의 연장선이 원 O와 만나는 점을 D, 원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 PA”¥PB”=PC”¥PD”에서 6_(6+4)=(10-r)(10+r) 60=100-r¤ , r¤ =40 ∴ r=2'ß10(cm) (∵ r>0) 05 PC”=PD”=x cm라고 하면 PC” ¥ PD”=PA” ¥ PB”에서 A B 4 cm CO 10 cm 6 cm P r cm D IV. 원의 성질 103  15(중3-2)4단원(해설)(72~112)ok 2014.11.10 07:43 PM 페이지104 다민 600DPI 175LPI x¤ =2_(3+5)=16 ∴ x=4(cm) (∵ x>0) 06 ① 3_4=2_6 ② 6_4=3_8 ③ 6_5=3_10 ④ 4_(4+4)+3_(3+9) ⑤ 6_(6+14)=8_(8+7) 따라서 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하지 않는 것은 ④`이다. 13 ¤ =PA” ¥ PB”이므로 PQ”=PT”=6이고 PT” 6¤ =PA”_(6+3)(cid:100)(cid:100)∴ PA”=4 ∴ AQ”=PQ”-PA” =6-4=2 07 PA” ¥ PD”=PB” ¥ PC”이어야 하므로 8_(8+2)=5_(5+x) 80=25+5x, 5x=55 ∴ x=11 08 PC” ¥ PD”=PE” ¥ PF”에서 4_PD”=2_6, 4PD”=12 ∴ PD”=3(cm) PA” ¥ PC”=PB” ¥ PD”에서 (8+4)_5=4_(5+CD”) 60=20+4CD”, 4CD”=40 ∴ CD”=10(cm) PA”=x cm라고 하면 PA” ¥ PB”=PC” ¥ PD”에서 x_(x+9)=4_(4+5) x¤ +9x-36=0, (x+12)(x-3)=0 ∴ x=3(cm) (∵ x>0) 09 10 11 12 오른쪽 그림과 같이 세 점 A, B, T는 한 원 위에 있으므로 ¤ =PA” ¥ PB”가 성립한다. PT” 8¤ =x_(x+12) x¤ +12x-64=0 (x+16)(x-4)=0 ∴ x=4(cm) (∵ x>0) T 8 cm A P x cm 12 cm B 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면 PA” ¥ PB”=PC” ¥ PD”이어야 한다. PB”=x라고 하면 PA”=5-x이므로 x_(5-x)=2_2 x¤ -5x+4=0, (x-1)(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ PA”0) 따라서 원 O의 반지름의 길이는 3'3 cm이다. 02 PC” ¥ PD”=PE” ¥ PF”에서 5_(5+CD”)=3_(3+12) 25+5CD”=45, 5CD”=20 ∴ CD”=4(cm) 03 ∠BAD=∠BCD=90˘이므로 다음 그림과 같이 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다. B E 3 A 3 P 2 C D 따라서 PA” ¥ PB”=PC” ¥ PD”이므로 CD”=x라고 하면 3_(3+3)=2_(2+x) 18=4+2x, 2x=14 ∴ x=7  15(중3-2)4단원(해설)(72~112)ok 2014.11.10 07:43 PM 페이지105 다민 600DPI 175LPI A B 10 직각삼각형 APT에서 04 PC” ¥ PD”=PE” ¥ PF”이므로 네 점 C, D, E, F는 한 원 위에 있다. ∴ ∠DFP=∠ECP (∵ μ DE에 대한 원주각) 05 06 ¤ =PA” ¥ PB”이므로 PT” PT”는 세 점 A, B, T를 지나는 원의 접선이다. ∠ABT=∠ATP=35˘이므로 △BPT에서 35˘+50˘+(35˘+∠ATB) =180˘ ∴ ∠ATB=60˘ B 35˘ A 35˘ 50˘ P T P 4 3 D C r 8 O r Q PO”의 연장선이 원 O와 만나는 점 을 Q라 하고 원 O의 반지름의 길 이를 r라 하면 OD”=OQ”=r PQ”=3+2r이므로 4_(4+8)=3_(3+2r) 48=9+6r, 6r=39 ∴ r= 13 2 따라서 반원 O의 둘레의 길이는 2p_;;¡2£;;_;2!;+;;¡2£;;_2=;;¡2£;;p+13 07 AQ”=x cm라 하면 ¤ =PA” ¥ PB”이므로 PT” 12¤ =4'2_(4'2+x+6'2) 4'2x=64(cid:100)(cid:100)∴ x=8'2(cm) OT”=r cm라 하면 QA” ¥ QB”=QC” ¥ QT”이므로 8'2_6'2=(r-2)(r+2) r¤ =100(cid:100)(cid:100)∴ r=10(cm) (∵ r>0) 따라서 원 O의 반지름의 길이는 10 cm이다. 08 △BPT에서 BT”=2_6=12(cm) tan 30˘= 에서 BT” PT” 1 '3 = 12 PT” sin 30˘= 에서 BT” PB” (cid:100)(cid:100)∴ PT”=12'3(cm) ;2!;= 12 PB” (cid:100)(cid:100)∴ PB”=24(cm) 09 ¤ =PA” ¥ PB”에서 한편, PT” (12'3)¤ =PA”_24(cid:100)(cid:100)∴ PA”=18(cm) ¤ =PA” ¥ PB”이므로 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 PB”=8+2r이고 PT” (4'1å4)¤ =8_(8+2r) 224=64+16r(cid:100)(cid:100)∴ r=10(cm) AB”=2r=20(cm)이므로 EA”=x cm라 하면 EB”=(20-x)cm EA” ¥ EB”=EC” ¥ ED”에서 x_(20-x)=8_8 x¤ -20x+64=0, (x-4)(x-16)=0 ∴ x=4 또는 x=16 그런데 EA”>EB”이므로 x=EA”=16(cm) PT” AP” cos 60˘= ;2!;= 4 AP” (cid:100)(cid:100)∴ AP”=8(cm) ¤ =PB” ¥ PA”에서 따라서 PT” 4¤ =PB”_8(cid:100)(cid:100)∴ PB”=2(cm) ∴ AB”=8-2=6(cm) 11 12 13 OT'”⊥AB”이므로 AT'”=BT'”="√5¤ -3¤ ='∂16=4(cm) 이때 PT”는 큰 원의 접선이므로 ¤ =PA” ¥ PB”에서 PT” PT” ∴ PT”='6å5(cm) (∵ PT”>0) ¤ =5_(5+8)=65 ¤ =PA” ¥ PB”에서 PT” ¤ =4_(4+12)=64 PT” ∴ PT”=8 (∵ PT”>0) △POT에서 ∠PTO=90˘이므로 PT” ¥ TO”=PO” ¥ TH” 8_6=10_TH”(cid:100)(cid:100)∴ TH”= 24 5 PT”는 원의 접선이므로 ∠ATP=∠ABT 또, ∠APT=∠ABT이므로 ∠ATP=∠APT 즉, △APT는 이등변삼각형이므로 PA”=AT”=5 cm 따라서 PT” PT” ∴ PT”=5'3(cm) (∵ PT”>0) ¤ =5_(5+10)=75 ¤ =PA”¥PB”에서 IV. 원의 성질 105  15(중3-2)4단원(해설)(72~112)ok 2014.11.10 07:43 PM 페이지106 다민 600DPI 175LPI 14 ¤ =PA” ¥ PB”이므로 AB”=x cm라 하면 PT” (5'3)¤ =5_(5+x) ∴ x=AB”=10(cm) ∠B=∠ATP=30˘이고 ∠ATB=90˘이므로 △ATB에서 sin 30˘= (cid:100)(cid:100)∴ AT”=5(cm) cos 30˘= (cid:100)(cid:100)∴ BT”=5'3(cm) ∴ △ATB=;2!;_AT”_BT” AT” AB” BT” AB” AT” 10 , ;2!;= '3 , = 2 BT” 10 =;2!;_5_5'3 25'3 2 (cm¤ ) = 따라서 AB”는 세 점 B, P, Q를 지나는 원의 접선이므로 AB” ¤ =AP” ¥ AQ”에서 7¤ =5_(5+PQ”) ¤ =6_(6+6)=72 49=25+5PQ”, 5PQ”=24 ∴ PQ”= (cm) 24 5 03 04 AP”는 원 O'의 접선이므로 ¤ =AO” ¥ AB”에서 AP” AP” ∴ AP”=6'2(cm) (∵ AP”>0) PO'”을 그으면 △APO'ª△AQB (AA 닮음)이므로 AP”：AQ”=AO'”：AB” 6'2：AQ”=9：12 9AQ”=72'2(cid:100)(cid:100)∴ AQ”=8'2(cm) ∠BAQ=∠CAQ, ∠CBQ=∠CAQ (∵ μCQ에 대한 원주각) 이므로 ∠BAQ=∠CBQ 따라서 BQ”는 세 점 A, B, P를 지나는 원의 접선이다. PQ”=x cm라고 하면 BQ” (2'5)¤ =x_(x+8) x¤ +8x-20=0, (x+10)(x-2)=0 ∴ x=2(cm) (∵ x>0) ¤ =QP”¥QA”이므로 P Q O' B A O 6 cm A 8 cm P B C Q 2'5 cm Step ( ) 본문 256쪽 01 3'3 02 ;;™5¢;; cm 03 8'2 cm 04 2 cm 05 10 cm 06 ⑴ 6 cm(cid:100)⑵ 4 cm 01 3 a P O T A 30˘ AT”, BT”를 긋고 ∠ATP=∠ABT=∠a 라고 하면 ∠BAT=90˘-∠a △APT에서 90˘-∠a=30˘+∠a 2∠a=60˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠a=30˘ 따라서 ∠APT=∠ATP이므로 AT”=AP”=3 △ATB에서 AB”：AT”=2：1이므로 AB”：3=2：1(cid:100)(cid:100)∴ AB”=6 ¤ =PA” ¥ PB”에서 또, PT” ¤ =3_(3+6)=27 PT” ∴ PT”=3'3 (∵ PT”>0) 02 AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠ACB 이때 BQ”를 그으면 ∠AQB=∠ACB (∵ μAB에 대한 원주각) ∴ ∠ABC=∠AQB 106 정답과 풀이 05 B a 6 cm B A 5 cm C H O 3 cm D BD”를 그으면 △ABD와 △AHC에서 ∠ABD=∠AHC=90˘, ∠ADB=∠ACH (∵ μAB에 대한 원주각) ∴ △ABDª△AHC (AA 닮음) 따라서 AB”：AH”=AD”：AC”이므로 6：3=AD”：5, 3AD”=30 ∴ AD”=10(cm) 06 ⑴ △ABQ와 △APC에서 ∠BAQ=∠PAC, ∠BQA=∠PCA (∵ μAB에 대한 원주각) ∴ △ABQª△APC (AA 닮음) 따라서 AB”：AP”=AQ”：AC”이므로 AP”=x cm라고 하면 8：x=(x+2)：6, x_(x+2)=8_6 x¤ +2x-48=0, (x+8)(x-6)=0 ∴ x=6(cm) (∵ x>0) 7 cm B 5 cm C A P Q  15(중3-2)4단원(해설)(72~112)ok 2014.11.10 07:43 PM 페이지107 다민 600DPI 175LPI ⑵ ∠CBQ=∠CAQ=∠BAP 이므로 BQ”는 세 점 A, B, P 를 지나는 원의 접선이 된다. ¤ =QP” ¥ QA”이 따라서 BQ” 므로 ¤ =2_(2+6)=16 BQ” ∴ BQ”=4(cm) (∵ BQ”>0) A 6 cm 8 cm B P C Q 2 cm x¤ +6x-27=0 (x-3)(x+9)=0 ∴ x=3 (∵ x>0) ∴ PA”=3 채점요소 단계 1 2 PT”, PT'”의 길이 구하기 PA”의 길이 구하기 서술형 대비 문문제제 본문 257~258쪽 1 12 2 6 cm 3 3 4 10 5 24p cm¤ 6 6 cm 4 1단계 ¤ =PA” ¥ PB”이므로 PT” ¤ =6_(6+9)=90 PT” ∴ PT”=3'1å0 (∵ PT”>0) △PTA와 △PBT에서 ∠ATP=∠TBP, ∠P는 공통 ∴ △PTAª△PBT (AA 닮음) PA”：PT”=AT”：TB”이므로 6：3'1å0=2'1å0：TB” 6TB”=60(cid:100)(cid:100)∴ BT”=10 2단계 3단계 D P C 9 B 12 O A E 단계 채점요소 1 2 3 PT”의 길이 구하기 닮음인 삼각형 찾기 BT”의 길이 구하기 1 1단계 2 1단계 2단계 2단계 3단계 오른쪽 그림과 같이 CO”의 연장선과 원 O가 만나는 점 을 E라 하자. PO”=PC”=x라 하면 OE”=2x PD” ¥ PB”=PC” ¥ PE”에서 12_9=x_(x+2x) x¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0) ∴ PO”=6 따라서 반원의 반지름의 길이는 OC”=2x=2_6=12 AD” ¥ BD”=CD” ¥ DT”에서 AD”_6=9_2(cid:100)(cid:100)∴ AD”=3(cm) PA”=x cm라고 하면 ¤ =PA” ¥ PB”에서 PT” (3'1å0)¤ =x_(x+9) 90=x¤ +9x, x¤ +9x-90=0 (x+15)(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ x>0) ∴ PA”=6(cm) 3 1단계 2단계 PT”=PT'”이므로 PT”=PT'”=3'3 PA”=x라 하면 PT” (3'3)¤ =x_(x+6) ¤ =PA” ¥ PB”에서 2단계 5 1단계 원 O의 반지름의 길이를 x cm라고 하면 PA”=(6-x) cm, PB”=(6+x) cm PA” ¥ PB”=PC” ¥ PD”에서 (6-x)(6+x)=2_(2+4), 36-x¤ =12 x¤ =24(cid:100)(cid:100)∴ x=2'6(cm)(∵ x>0) 따라서 원 O의 넓이는 p_(2'6)¤ =24p(cm¤ ) 단계 채점요소 원 O의 반지름의 길이를 x cm로 놓고 PA”, PB”의 길이를 x를 사용하여 나타내기 원 O의 반지름의 길이 구하기 원 O의 넓이 구하기 2단계 3단계 1 2 3 6 1단계 AM”, BQ”를 그으면 Q P 5 cm μAM=μBM이므로 ∠ABM=∠BAM, ∠BQM=∠BAM (∵ μ BM에 대한 원주각) ∴ ∠BQM=∠ABM 따라서 BM”은 세 점 B, P, Q를 지나는 원의 접 선이므로 4 cm M A B IV. 원의 성질 107 배점 2점 3점 배점 3점 2점 2점 배점 2점 3점 2점  15(중3-2)4단원(해설)(72~112)ok 2014.11.10 07:43 PM 페이지108 다민 600DPI 175LPI 3단계 ¤ =MP” ¥ MQ”에서 BM” ¤ =4_(4+5)=36 BM” ∴ BM”=6(cm) (∵ BM”>0) 단계 채점요소 ∠BQM=∠ABM임을 알기 1 2 3 이해하기 BM”의 길이 구하기 BM”은 세 점 B, P, Q를 지나는 원의 접선임을 배점 3점 2점 3점 sin 30˘= 이므로 AB” AQ” ;2!;= 20 AQ” ∴ AQ”=40(m) 2 연못의 반지름의 길이를 x m라고 하면 60_(60+80)=40_(40+2x) 8400=1600+80x, 80x=6800 ∴ x=85(m) 따라서 연못의 반지름의 길이는 85 m이다. (cid:9000) 40 m (cid:9000) 85 m 생활 속의 수학 본문 259쪽 1 무대의 왼쪽 끝지점 A에서 가장 멀리 앉아 있는 관객까 지의 거리는 원의 중심을 지나는 지름의 길이이다. 이때 AQ”는 원 O의 지름이므로 ∠ABQ=90˘이고 ∠AQB=∠APB=30˘ △AQB에서 ∠BAQ=180˘-(90˘+30˘) 20 m 30˘ 30˘ A O B P Q =60˘ 3 점 O에서 네 지점 A, B, C, D는 같은 거리에 있으므 로 점 O를 중심으로 모두 한 원 위에 있다. 따라서 PA” ¥ PB”=PC” ¥ PD”이므로 5_6=PC”_4, 4PC”=30(cid:100)(cid:100)∴ PC”= (km) 15 2 따라서 C지점은 P지점에서 km 떨어진 곳이다. 15 2 (cid:9000) km 15 2 108 정답과 풀이  15(중3-2)4단원(해설)(72~112)ok 2014.11.10 07:43 PM 페이지109 다민 600DPI 175LPI w w w . i m a t h . t v  15(중3-2)4단원(해설)(72~112)ok 2014.11.10 07:43 PM 페이지110 다민 600DPI 175LPI w w w . i m a t h . t v  15(중3-2)4단원(해설)(72~112)ok 2014.11.10 07:43 PM 페이지111 다민 600DPI 175LPI w w w . i m a t h . t v  15(중3-2)4단원(해설)(72~112)ok 2014.11.10 07:43 PM 페이지112 다민 600DPI 175LPI w w w . i m a t h . t v