수학 (상)
정답과 풀이
18_기본서(수학상)_해설_001~018_1단원(확)_ok.indd 1
2018-09-03 오후 5:02:39
Ⅰ. 다항식
1
⑴ -3xÜ`+3xÛ`+(-2y+zÛ`)x+4yÛ`z
⑵ 3xÛ`+xzÛ`-3xÜ`-2xy+4zyÛ`
4
7A-3{B+(2A-C)}-4C
=7A-3(B+2A-C)-4C
=7A-3B-6A+3C-4C
=A-3B-C
=(x+3xÛ`+4-7xÝ`)-3(-6xÛ`+8xÜ`+1)
= x+3xÛ`+4-7xÝ`+18xÛ`-24xÜ`-3
-(9xÝ`-3xÜ`-1+4x)
-9xÝ`+3xÜ`+1-4x
=-16xÝ`-21xÜ`+21xÛ`-3x+2
-16xÝ`-21xÜ`+21xÛ`-3x+2
5
2A-X=3(A-B)에서 2A-X=3A-3B
∴ X =-A+3B
=-(xÛ`-2xy+3yÛ`)+3(2xÛ`-yÛ`)
=-xÛ`+2xy-3yÛ`+6xÛ`-3yÛ`
=5xÛ`+2xy-6yÛ`
5xÛ`+2xy-6yÛ`
6
A-B=2xÛ`+3x-4
A+2B=5xÛ`-6x+2
㉡-㉠을 하면 3B=3xÛ`-9x+6
∴ B=xÛ`-3x+2
㉠에서
yy ㉠
yy ㉡
A =B+(2xÛ`+3x-4)
=xÛ`-3x+2+2xÛ`+3x-4=3xÛ`-2
∴ 3A-2B =3(3xÛ`-2)-2(xÛ`-3x+2)
=9xÛ`-6-2xÛ`+6x-4
=7xÛ`+6x-10
7xÛ`+6x-10
7
⑴ (2abÛ`)Û`_(-aÛ`b) =4aÛ`bÝ`_(-aÛ`b)
=-4aÝ`bÞ`
⑵ (4xÜ`yÛ`)Ü`Ö(2xyÜ`)Û` =64xá`yß`Ö4xÛ`yß`=16xà`
2
⑴ A+2B
=-xÜ`+2xÛ`+4x-5+2(2xÜ`-5xÛ`+6x-1)
=-xÜ`+2xÛ`+4x-5+4xÜ`-10xÛ`+12x-2
=3xÜ`-8xÛ`+16x-7
⑵ B-2A
=2xÜ`-5xÛ`+6x-1-2(-xÜ`+2xÛ`+4x-5)
=2xÜ`-5xÛ`+6x-1+2xÜ`-4xÛ`-8x+10
=4xÜ`-9xÛ`-2x+9
⑶ A+B+2(A-3B)
=A+B+2A-6B
=3A-5B
= 3(-xÜ`+2xÛ`+4x-5)-5(2xÜ`-5xÛ`+6x-1)
=-3xÜ`+6xÛ`+12x-15
-10xÜ`+25xÛ`-30x+5
=-13xÜ`+31xÛ`-18x-10
⑷ 2B-3A-3(A+2B)
=2B-3A-3A-6B
=-6A-4B
=-6(-xÜ`+2xÛ`+4x-5)
-4(2xÜ`-5xÛ`+6x-1)
=6xÜ`-12xÛ`-24x+30-8xÜ`+20xÛ`-24x+4
=-2xÜ`+8xÛ`-48x+34
풀이 참조
3
㈎ 결합법칙, ㈏ 교환법칙, ㈐ 결합법칙
2 Ⅰ. 다항식
18_기본서(수학상)_해설_001~018_1단원(확)_ok.indd 2
2018-07-31 오후 7:25:26
⑶ (aÛ`bÜ`c)Ü`_(bcÛ`)Ü`Ö(ac)Ý` =aß`bá`cÜ`_bÜ`cß`ÖaÝ`cÝ`
=aß`bÚ`Û`cá`ÖaÝ`cÝ`
=aÛ`bÚ`Û`cÞ`
9
(1+x-3xÛ`+xÜ`)Û`
=(1+x-3xÛ`+xÜ`)(1+x-3xÛ`+xÜ`)
⑷ 16xÜ`_(-2yz)Û`Ö(xy)Û` =16xÜ`_4yÛ`zÛ`ÖxÛ`yÛ`
이 식의 전개식에서
=64xÜ`yÛ`zÛ`ÖxÛ`yÛ`
xÝ` 항은
=64xzÛ`
x_xÜ`+(-3xÛ`)_(-3xÛ`)+xÜ`_x
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
⑸ 4xÜ`yÛ`Ö(2xÛ`y)Û`_(-2xÜ`yÛ`)Ü`
=4xÜ`yÛ`Ö4xÝ`yÛ`_(-8xá`yß`)
=
_(-8xá`yß`)
;[!;
=-8x¡`yß`
⑹
aÛ`b
}
Ü`Ö(aÜ`b)Û`_
{
-
bÛ`
}
;2!;
Ü`
{;3@;
=
aß`bÜ`Öaß`bÛ`_
{
-
bß`
}
;8!;
;2¥7;
=
b_
{
-
bß`
}
;8!;
;2¥7;
=-
bà`
;2Á7;
⑴ -4aÝ`bÞ` ⑵ 16xà` ⑶ aÛ`bÚ`Û`cÞ`
⑷ 64xzÛ` ⑸ -8x¡`yß` ⑹ -
1
27
bà`
8
⑴ 2xy(xÛ`-xy+3yÛ`)=2xÜ`y-2xÛ`yÛ`+6xyÜ`
⑵ (x+1)(2x-5) =2xÛ`-5x+2x-5
=2xÛ`-3x-5
⑶ (x-2)(xÛ`+x+4)
=xÜ`+xÛ`+4x-2xÛ`-2x-8
=xÜ`-xÛ`+2x-8
⑷ (xÛ`-2xy+3y)(x-2y)
=xÜ`-2xÛ`y-2xÛ`y+4xyÛ`+3xy-6yÛ`
=xÜ`-4xÛ`y+4xyÛ`+3xy-6yÛ`
⑸ (2xÛ`-x+3)(3xÛ`-2)
=6xÝ`-4xÛ`-3xÜ`+2x+9xÛ`-6
=6xÝ`-3xÜ`+5xÛ`+2x-6
⑹ (2x-3y+1)(x+y-2)
=xÝ`+9xÝ`+xÝ`=11xÝ`
xÞ` 항은
-3xÛ`_xÜ`+xÜ`_(-3xÛ`)
=-3xÞ`-3xÞ`=-6xÞ`
따라서 a=11, b=-6이므로
a-b=11-(-6)=17
17
10
(xÜ`+axÛ`+b)(2xÛ`-3bx+4)의 전개식에서
xÝ` 항은 xÜ`_(-3bx)+axÛ`_2xÛ`=(2a-3b)xÝ`
xÛ` 항은 axÛ`_4+b_2xÛ`=(4a+2b)xÛ`
이때 xÝ`의 계수와 xÛ`의 계수가 모두 8이므로
2a-3b=8, 4a+2b=8
두 식을 연립하여 풀면 a=
, b=-1
;2%;
∴ a+b=
;2#;
;2#;
11
(3x-1)(xÛ`-kx-4k)=a¼+aÁx+aªxÛ`+a£xÜ`
이라 하면 계수들의 총합은
a¼+aÁ+aª+a£
즉, 주어진 식에 x=1을 대입했을 때의 값이므로
(3-1)(1-k-4k)=2(1-5k)
이때 계수들의 총합이 -18이므로
2(1-5k)=-18 ∴ k=2
2
12
⑴ (x+1)(x+3)(x+5)
개념원리 익히기·확인체크 3
=2xÛ`+2xy-4x-3xy-3yÛ`+6y+x+y-2
=xÜ`+(1+3+5)xÛ`
=2xÛ`-xy-3x-3yÛ`+7y-2
+(1_3+3_5+5_1)x+1_3_5
풀이 참조
=xÜ`+9xÛ`+23x+15
18_기본서(수학상)_해설_001~018_1단원(확)_ok.indd 3
2018-07-31 오후 7:25:27
⑵ (x-2)(x-4)(x-3)
=xÜ`-(2+4+3)xÛ`
=xÜ`-9xÛ`+26x-24
⑶ (x-4)(x-2)(x+5)
=xÜ`+(-4-2+5)xÛ`
+(2_4+4_3+3_2)x-2_4_3
⑵ (주어진 식) =xÜ`+3Ü`=xÜ`+27
15
⑴ (주어진 식)=xÜ`+1
⑶ (주어진 식)=xÜ`-2Ü`=xÜ`-8
⑷ (주어진 식)=(2a)Ü`-bÜ`=8aÜ`-bÜ`
⑴ xÜ`+1 ⑵ xÜ`+27
⑶ xÜ`-8 ⑷ 8aÜ`-bÜ`
+{(-4)_(-2)+(-2)_5+5_(-4)}x
+(-4)_(-2)_5
=xÜ`-xÛ`-22x+40
풀이 참조
16
⑴ (주어진 식) =aÜ`+bÜ`+(-c)Ü`-3_a_b_(-c)
13
⑴ (x+y-z)Û`
=xÛ`+yÛ`+(-z)Û`
+2xy+2y_(-z)+2_(-z)_x
=xÛ`+yÛ`+zÛ`+2xy-2yz-2zx
⑵ (x-3y-2z)Û`
=aÜ`+bÜ`-cÜ`+3abc
⑵ (주어진 식)
=aÜ`+(-2b)Ü`+(3c)Ü`-3_a_(-2b)_3c
=aÜ`-8bÜ`+27cÜ`+18abc
⑴ aÜ`+bÜ`-cÜ`+3abc
⑵ aÜ`-8bÜ`+27cÜ`+18abc
=xÛ`+(-3y)Û`+(-2z)Û`+2x_(-3y)
+2_(-3y)_(-2z)+2_(-2z)_x
=xÛ`+9yÛ`+4zÛ`-6xy+12yz-4zx
17
⑴ (주어진 식)=xÝ`+xÛ`+1
⑴ xÛ`+yÛ`+zÛ`+2xy-2yz-2zx
⑵ (주어진 식)
⑵ xÛ`+9yÛ`+4zÛ`-6xy+12yz-4zx
={xÛ`+x_4y+(4y)Û`}{xÛ`-x_4y+(4y)Û`}
14
⑴ (3x+1)Ü`
=(3x)Ü`+3_(3x)Û`_1+3_3x_1Û`+1Ü`
=27xÜ`+27xÛ`+9x+1
⑵ (2x+3)Ü`
=8xÜ`+36xÛ`+54x+27
⑶ (3x-2)Ü`
=(2x)Ü`+3_(2x)Û`_3+3_2x_3Û`+3Ü`
=xÝ`+xÛ`_(4y)Û`+(4y)Ý`
=xÝ`+16xÛ`yÛ`+256yÝ`
⑴ xÝ`+xÛ`+1
⑵ xÝ`+16xÛ`yÛ`+256yÝ`
18
⑴ (aÛ`-5bc)(aÛ`+5bc) =(aÛ`)Û`-(5bc)Û`
=aÝ`-25bÛ`cÛ`
⑵ (5x+3y)Ü`
=(3x)Ü`-3_(3x)Û`_2+3_3x_2Û`-2Ü`
=(5x)Ü`+3_(5x)Û`_3y+3_5x_(3y)Û`+(3y)Ü`
=27xÜ`-54xÛ`+36x-8
=125xÜ`+225xÛ`y+135xyÛ`+27yÜ`
⑷ (x-4y)Ü`
⑶ (-x+2y+3z)Û`
=xÜ`-3_xÛ`_4y+3_x_(4y)Û`-(4y)Ü`
=(-x)Û`+(2y)Û`+(3z)Û`+2_(-x)_2y
=xÜ`-12xÛ`y+48xyÛ`-64yÜ`
=
+2_2y_3z+2_3z_(-x)
풀이 참조
=xÛ`+4yÛ`+9zÛ`-4xy+12yz-6zx
4 Ⅰ. 다항식
18_기본서(수학상)_해설_001~018_1단원(확)_ok.indd 4
2018-07-31 오후 7:25:27
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
⑷ (2x-3y)(4xÛ`+6xy+9yÛ`)
⑷ 상수항의 합이 같도록 두 개씩 짝을 지으면
=(2x-3y){(2x)Û`+2x_3y+(3y)Û`}
(x+2)(x+5)(x-2)(x+9)
=(2x)Ü`-(3y)Ü`=8xÜ`-27yÜ`
⑸ (x-4)(x+2)(x+5)
=xÜ`+(-4+2+5)xÛ`
={(x+2)(x+5)}{(x-2)(x+9)}
=(xÛ`+7x+10)(xÛ`+7x-18)
=(X+10)(X-18)
xÛ`+7x=X로 치환
Û
+{-4_2+2_5+5_(-4)}x
=XÛ`-8X-180
+(-4)_2_5
=(xÛ`+7x)Û`-8(xÛ`+7x)-180
=xÜ`+3xÛ`-18x-40
=xÝ`+14xÜ`+49xÛ`-8xÛ`-56x-180
⑹ (xÛ`+3xy+9yÛ`)(xÛ`-3xy+9yÛ`)
=xÝ`+14xÜ`+41xÛ`-56x-180
={xÛ`+x_3y+(3y)Û`}{xÛ`-x_3y+(3y)Û`}
⑸ 상수항의 합이 같도록 두 개씩 짝을 지으면
=xÝ`+xÛ`_(3y)Û`+(3y)Ý`
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
=xÝ`+9xÛ`yÛ`+81yÝ`
={(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-3)}
⑺ (2a+b-c)(4aÛ`+bÛ`+cÛ`-2ab+bc+2ca)
=(xÛ`-5x+4)(xÛ`-5x+6)
=(2a)Ü`+bÜ`+(-c)Ü`-3_2a_b_(-c)
=(X+4)(X+6)
xÛ`-5x=X로 치환
=8aÜ`+bÜ`-cÜ`+6abc
=XÛ`+10X+24
Û
⑻ (a-b)(a+b)(aÛ`-ab+bÛ`)(aÛ`+ab+bÛ`)
=(xÛ`-5x)Û`+10(xÛ`-5x)+24
={(a-b)(aÛ`+ab+bÛ`)}{(a+b)(aÛ`-ab+bÛ`)}
=xÝ`-10xÜ`+25xÛ`+10xÛ`-50x+24
=(aÜ`-bÜ`)(aÜ`+bÜ`)=aß`-bß`
=xÝ`-10xÜ`+35xÛ`-50x+24
풀이 참조
풀이 참조
19
⑴ (xÛ`+5x-2)(xÛ`+5x-3)
=(X-2)(X-3)
xÛ`+5x=X로 치환
Û
=XÛ`-5X+6
20
⑴ xÛ`+yÛ`=(x-y)Û`+2xy=4Û`+2×3=22
⑵ (x-y)Û`=(x+y)Û`-4xy=(-3)Û`-4×1=5
=(xÛ`+5x)Û`-5(xÛ`+5x)+6머지
⑶ xÜ`-yÜ` =(x-y)Ü`+3xy(x-y)
=xÝ`+10xÜ`+25xÛ`-5xÛ`-25x+6
=4Ü`+3×(-2)×4=40
⑷ aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)
=1Û`-2_(-2)=5
⑴ 22 ⑵ 5 ⑶ 40 ⑷ 5
=xÝ`+10xÜ`+20xÛ`-25x+6
⑵ (a+b-c)(a-b+c)
={a+(b-c)}{a-(b-c)}
=(a+X)(a-X)
Û
=aÛ`-XÛ`=aÛ`-(b-c)Û`
=aÛ`-bÛ`-cÛ`+2bc
⑶ (xÛ`-3x+1)(xÛ`-3x-4)+2
b-c=X로 치환
21
⑴ aÛ`+bÛ`=(a-b)Û`+2ab=3Û`+2×(-1)=7
=(X+1)(X-4)+2
xÛ`-3x=X로 치환
⑵ aÜ`-bÜ` =(a-b)Ü`+3ab(a-b)
Û
=XÛ`-3X-2
=3Ü`+3×(-1)×3=18
=(xÛ`-3x)Û`-3(xÛ`-3x)-2
⑶ (a+b)Û` =(a-b)Û`+4ab
=xÝ`-6xÜ`+9xÛ`-3xÛ`+9x-2
=3Û`+4×(-1)=5
=xÝ`-6xÜ`+6xÛ`+9x-2
⑴ 7 ⑵ 18 ⑶ 5
개념원리 익히기·확인체크 5
18_기본서(수학상)_해설_001~018_1단원(확)_ok.indd 5
2018-07-31 오후 7:25:28
1
xÛ`
1
xÜ`
1
xÛ`
1
xÜ`
22
⑵ xÜ`+
⑴ xÛ`+
=
x+
{\
;[!;}
Û`-2=5Û`-2=23
x+
;[!;}
Ü`-3
=
x+
{\
;[!;}
{\
=5Ü`-3×5=110
Û`=
x+
{\
;[!;}
⑶
{\
x-
;[!;}
Û`-4=5Û`-4=21
23
⑵ xÜ`-
⑴ xÛ`+
=
x-
{\
;[!;}
Û`+2=2Û`+2=6
x-
;[!;}
Ü`+3
=
x-
{\
;[!;}
{\
=2Ü`+3_2=14
Û`=
x-
{\
;[!;}
⑶
{\
x+
;[!;}
Û`+4=2Û`+4=8
5x+1=0에서 x+0이므로 양변을 x로 나누면
⑴ 23 ⑵ 110 ⑶ 21
x-
5+
=0 ∴ x+
=
5
'
;[!;
∴ xÜ`-
1
xÜ`
+3
x-
=
x-
{
;[!;}
{
=3Ü`+3_3=36
3`
;[!;}
36
27
xÛ`-
'
'
∴ xÜ`+
;[!;
1
xÜ`
=
{
=(
x+
-3
x+
;[!;}
3`
5)Ü`-3
'
{
5=2
'
'
;[!;}
5
2
5
'
28
(a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서
2Û`=8+2(ab+bc+ca)
∴ ab+bc+ca=-2
⑴ 6 ⑵ 14 ⑶ 8
∴
=
;a!;+;b!;+;c!;
ab+bc+ca
abc
= -2
2
=-1
-1
(a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab=6Û`-4_2=28이므로
29
x-y=2+
3, y-z=2-
3을 변끼리 더하면
Ñ2
7
'
'
x-z=4 ∴ z-x=-4
'
∴ xÛ`+yÛ`+zÛ`-xy-yz-zx
24
aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab에서
32=6Û`-2ab ∴ ab=2
a-b=Ñ2
7
'
25
x=
2+1, y=
2-1이므로
'
x+y=2
'
2, xy=1
∴
+
=
yÛ`
x
xÜ`+yÜ`
xy
=
(x+y)Ü`-3xy(x+y)
xy
'
xÛ`
y
=
(2
'
2)Ü`-3_1_2
1
2
'
=10
2
'
10
2
'
26
xÛ`-
1
xÛ`
=
x+
{
;[!;}{
x-
;[!;}
에서
6=2_
x-
∴ x-
=3
{
;[!;}
;[!;
6 Ⅰ. 다항식
=
{(x-y)Û`+(y-z)Û`+(z-x)Û`}
{(2+
3)Û`+(2-
3)Û`+(-4)Û`}
'
'
1
2
=
1
2
=15
15
30
aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)
=2Û`-2_(-1)=6
(ab+bc+ca)Û`=aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2abc(a+b+c)
에서 (-1)Û`=aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2_(-2)_2
∴ aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`=9
∴ aÝ`+bÝ`+cÝ` =(aÛ`+bÛ`+cÛ`)Û`-2(aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`)
=6Û`-2_9=18
18
18_기본서(수학상)_해설_001~018_1단원(확)_ok.indd 6
2018-07-31 오후 7:25:28
⑴ -2ab-3cÛ`
⑵ 2yzÜ`-xÛ`yÝ`z
⑶ -5aÛ`cÞ`+
-2aÝ`bÛ`c¡`
a
bÜ`
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
31
;4!;
;4!;
;4!;
;4!;
주어진 식에
(5-1)을 곱하면
;4!;
(5+1)(5Û`+1)(5Ý`+1)(5¡`+1)
=
(5-1)(5+1)(5Û`+1)(5Ý`+1)(5¡`+1)
=
(5Û`-1)(5Û`+1)(5Ý`+1)(5¡`+1)
=
(5Ý`-1)(5Ý`+1)(5¡`+1)
=
(5¡`-1)(5¡`+1)
(516-1)
=
;4!;
(516-1)
;4!;
32
직육면체의 세 모서리의 길이를
각각 a, b, c라 하면
(겉넓이) =2(ab+bc+ca)=36
∴ ab+bc+ca=18
b
a
(모든 모서리의 길이의 합)=4(a+b+c)=28
∴ a+b+c=7
(a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서
aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)
=7Û`-2_18=13
따라서 직육면체의 대각선의 길이는
aÛ`+bÛ`+cÛ`=
3
1
'
"Ã
1
3
'
33
⑴ (6aÛ`bÜ`c+9abÛ`cÜ`)Ö(-3abÛ`c)
=
6aÛ`bÜ`c
-3abÛ`c
+
9abÛ`cÜ`
-3abÛ`c
=-2ab-3cÛ`
⑵ (4xyÝ`zÞ`-2xÜ`yà`zÜ`)Ö2xyÜ`zÛ`
=
4xyÝ`zÞ`
2xyÜ`zÛ`
-
2xÜ`yà`zÜ`
2xyÜ`zÛ`
=2yzÜ`-xÛ`yÝ`z
⑶ (25aÝ`bÞ`cß`-5aÜ`bÛ`c+10aß`bà`cá`)Ö(-5aÛ`bÞ`c)
=
25aÝ`bÞ`cß`
-5aÛ`bÞ`c
5aÜ`bÛ`c
-5aÛ`bÞ`c
+
10aß`bà`cá`
-5aÛ`bÞ`c
=-5aÛ`cÞ`+
-2aÝ`bÛ`c¡`
-
a
bÜ`
34
⑴
xÛ` + 2x - 8
x+1`)` xÜ` +3xÛ` - 6x + 1
xÜ` + xÛ`
2xÛ` - 6x
2xÛ + 2x
-8x + 1
- 8x - 8
9
∴ 몫 : xÛ`+2x-8, 나머지 : 9
c
⑵
2x - 1
2xÛ`-1`)`4xÜ`- 2xÛ` + 3x - 4
- 2x
4xÜ`
- 2xÛ` + 5x - 4
-2xÛ`
+ 1
5x - 5
∴ 몫 : 2x-1, 나머지 : 5x-5
⑴ 풀이 참조, 몫 : xÛ`+2x-8, 나머지 : 9
⑵ 풀이 참조, 몫 : 2x-1, 나머지 : 5x-5
35
⑴ 2 3 -4 -2 6
6 4 4
3 2 2 10
∴ 몫 : 3xÛ`+2x+2, 나머지 : 10
⑵ -2 1 0 -5 1
-2 4 2
1 -2 -1 3
∴ 몫 : xÛ`-2x-1, 나머지 : 3
⑴ 풀이 참조, 몫 : 3xÛ`+2x+2, 나머지 : 10
⑵ 풀이 참조, 몫 : xÛ`-2x-1, 나머지 : 3
개념원리 익히기·확인체크 7
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2018-07-31 오후 7:25:29
39
다항식 f(x)를 2x+4로 나누었을 때의 몫이 Q(x),
나머지가 R이므로
f(x) =(2x+4)Q(x)+R
=2(x+2)Q(x)+R
=(x+2)_2Q(x)+R
따라서 f(x)를 x+2로 나누었을 때의 몫은 2Q(x),
나머지는 R이다.
몫 : 2Q(x), 나머지 : R
40
3 2 -5 -4 6
6 3 -3
2 1 -1 3
1
따라서 a=3, b=1, R=3이므로
a+b+R=7
7
36
xÛ`+ x -3
2xÛ`-x+1`)`2xÝ`+ xÜ`-6xÛ`+7x-5
2xÝ`- xÜ`+ xÛ`
2xÜ`-7xÛ`+7x
2xÜ`- xÛ`+ x
-6xÛ`+6x-5
-6xÛ`+3x-3
3x-2
따라서 다항식 2xÝ`+xÜ`-6xÛ`+7x-5를 2xÛ`-x+1
로 나누었을 때의 몫은 xÛ`+x-3, 나머지는 3x-2이
므로
a=1, b=-3, c=3
∴ a+b+c=1
37
x -1
xÛ`+x+1`)`xÜ` -2x+1
xÜ`+xÛ`+ x
-xÛ`-3x+1
-xÛ`- x-1
-2x+2
41
⑴
3 -7 11 1
;3!;
1 -2 3
3 -6 9 4
1
3 }
1
3 }
{
{
=
x-
_3(xÛ`-2x+3)+4
=(3x-1)(xÛ`-2x+3)+4
∴ 몫: xÛ`-2x+3, 나머지: 4
따라서 Q(x)=x-1, R(x)=-2x+2이므로
3xÜ`-7xÛ`+11x+1
Q(3)+R(-1) =(3-1)+{-2×(-1)+2}
=
x-
(3xÛ`-6x+9)+4
=2+4=6
6
38
6xÝ`-xÜ`-16xÛ`+5x=A(3xÛ`-2x-4)+5x-8
A(3xÛ`-2x-4)=6xÝ`-xÜ`-16xÛ`+8
⑵ -1 1 0 0 0 0 1
∴ A=(6xÝ`-xÜ`-16xÛ`+8)Ö(3xÛ`-2x-4)
-1 1 -1 1 -1
+8
2xÛ`+x-2
3xÛ`-2x-4`)`6xÝ`- xÜ`-16xÛ`
6xÝ`-4xÜ`- 8xÛ`
3xÜ`- 8xÛ`
3xÜ`- 2xÛ`-4x
- 6xÛ`+4x+8
- 6xÛ`+4x+8
0
1 -1 1 -1 1 0
∴ 몫: xÝ`-xÜ`+xÛ`-x+1, 나머지: 0
⑴ 몫 : xÛ`-2x+3, 나머지 : 4
⑵ 몫 : xÝ`-xÜ`+xÛ`-x+1, 나머지 : 0
42
ㄱ. 주어진 등식의 우변을 전개하면
∴ A=2xÛ`+x-2
2xÛ`+x-2
x+1=-3x-3
8 Ⅰ. 다항식
18_기본서(수학상)_해설_001~018_1단원(확)_ok.indd 8
2018-07-31 오후 7:25:30
이 등식은 x=-1일 때에만 성립하므로 항등식이
아니다.
ㄴ. 주어진 등식의 좌변을 전개하면
xÛ`-2x+1=xÛ`-2x+1
44
⑴ ① 계수비교법
주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면
(a+b)x+a-2b=x-8
이 등식은 x에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하
양변의 동류항의 계수를 비교하면
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
이 등식은 x에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하
② 수치대입법
므로 항등식이다.
ㄷ. 주어진 등식의 우변을 전개하면
2x+5=2x+2+3 ∴ 2x+5=2x+5
ㄹ. 주어진 등식은 x=2일 때에만 성립하므로 항등식
므로 항등식이다.
이 아니다.
이 아니다.
2
3
ㅁ. 주어진 등식은 x=
일 때에만 성립하므로 항등식
ㅂ. 주어진 등식의 좌변을 전개하면
xÛ`-3x+2=xÛ`-3x+2
이 등식은 x에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하
므로 항등식이다.
따라서 항등식인 것은 ㄴ, ㄷ, ㅂ이다.
ㄴ, ㄷ, ㅂ
⑵ (a-1)xÛ`+(b+1)x+c=0에서
43
⑴ (a+1)x+b+2=0에서
a+1=0, b+2=0
∴ a=-1, b=-2
a-1=0, b+1=0, c=0
∴ a=1, b=-1, c=0
⑶ 2ax+3b=4x+9에서
2a=4, 3b=9
∴ a=2, b=3
a+b=1, a-2b=-8
두 식을 연립하여 풀면
a=-2, b=3
양변에 x=-1을 대입하면
-3b=-9 ∴ b=3
양변에 x=2를 대입하면
3a=-6 ∴ a=-2
⑵ ① 계수비교법
주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면
(-2a-b)x-3a+b=3x+7
양변의 동류항의 계수를 비교하면
-2a-b=3, -3a+b=7
두 식을 연립하여 풀면
a=-2, b=1
② 수치대입법
3
2
양변에 x=-
을 대입하면
5
2
b=
∴ b=1
;2%;
양변에 x=1을 대입하면
-5a=10 ∴ a=-2
풀이 참조
⑷ (a+2)xÛ`+(b-3)x+4c=3xÛ`-2x+8에서
a+2=3, b-3=-2, 4c=8
∴ a=1, b=1, c=2
45
주어진 등식의 우변을 전개한 후 x에 대하여 내림차순
으로 정리하면
xÜ`-2x+1=axÜ`+(b-a)xÛ`+(c-b)x-c
⑴ a=-1, b=-2
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
⑵ a=1, b=-1, c=0
1=a, 0=b-a, -2=c-b, 1=-c
⑶ a=2, b=3
∴ a=1, b=1, c=-1
⑷ a=1, b=1, c=2
a=1, b=1, c=-1
개념원리 익히기·확인체크 9
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46
xÜ`= a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)
49
주어진 등식의 좌변을 x, y에 대하여 정리하면
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로
+c(x-1)+d
(a+b)x+(a-b)y+2=3x-5y+c
1=d
양변에 x=1을 대입하면
양변에 x=2를 대입하면
8=c+d ∴ c=7 (∵ d=1 )
양변에 x=3을 대입하면
27=2b+2c+d
2b=12 (∵ c=7, d=1 )
∴ b=6
양변에 x=4를 대입하면
64=6a+6b+3c+d
6a=6 (∵ b=6, c=7, d=1 )
∴ a=1
a=1, b=6, c=7, d=1
47
(x+1)(xÛ`-2)f(x)=xÝ`+axÛ`-b
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
양변에 x=-1을 대입하면
0=1+a-b
양변에 xÛ`=2를 대입하면
0=4+2a-b
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면
a=-3, b=-2
∴ a+b=-5
48
주어진 등식의 좌변을 k에 대하여 정리하면
(x+y)k+(-2x-y)=4k+1
이 등식이 k에 대한 항등식이므로
x+y=4, -2x-y=1
두 식을 연립하여 풀면
x=-5, y=9
10 Ⅰ. 다항식
a+b=3, a-b=-5, 2=c
∴ a=-1, b=4, c=2
∴ abc=-8
-8
50
xÜ`+axÛ`+bx-2를 xÛ`+2x-3으로 나누었을 때의
몫을 Q(x)라 하면 나머지가 -3x+1이므로
xÜ`+axÛ`+bx-2 =(xÛ`+2x-3)Q(x)-3x+1
=(x+3)(x-1)Q(x)-3x+1
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
양변에 x=-3을 대입하면
-27+9a-3b-2=10
∴ 3a-b=13
양변에 x=1을 대입하면
1+a+b-2=-2
∴ a+b=-1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=3, b=-4
yy ㉠
yy ㉡
a=3, b=-4
yy ㉠
yy ㉡
51
xÜ`+ax-8을 xÛ`+4x+b로 나누었을 때의 몫을
x+q`(q는 상수)라 하면 나머지가 0이므로
xÜ`+ax-8 =(xÛ`+4x+b)(x+q)
-5
우변을 전개하여 정리하면
xÜ`+ax-8=xÜ`+(q+4)xÛ`+(4q+b)x+bq
이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계
수를 비교하면
0=q+4, a=4q+b, -8=bq
∴ q=-4, a=-14, b=2
a=-14, b=2
52
x-1로 나누는 조립제법을 몫에 대하여 연속으로 이
x=-5, y=9
용하면 다음과 같다.
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개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
1 1 0 2 4
1 1 3
1 1 1 3 7
1 2
1 1 2 5
1
1 3
∴ xÜ`+2x+4
=(x-1)(xÛ`+x+3)+7
=(x-1){(x-1)(x+2)+5}+7
=(x-1)Û`(x+2)+5(x-1)+7
=(x-1)Û`{(x-1)_1+3}+5(x-1)+7
=(x-1)Ü`+3(x-1)Û`+5(x-1)+7
∴ a=1, b=3, c=5, d=7
a=1, b=3, c=5, d=7
53
x-2로 나누는 조립제법을 몫에 대하여 연속으로 이
용하면 다음과 같다.
2 1 -4 3 -5
2 -4 -2
2 1 -2 -1 -7
2 0
2 1 0 -1
2
1 2
∴ xÜ`-4xÛ`+3x-5
=(x-2)(xÛ`-2x-1)-7
=(x-2){(x-2)_x-1}-7
=(x-2)Û`_x-(x-2)-7
=(x-2)Û`{(x-2)_1+2}-(x-2)-7
=(x-2)Ü`+2(x-2)Û`-(x-2)-7
따라서 a=1, b=2, c=-1, d=-7이므로
54
나머지정리에 의하여 구하는 나머지는
⑴ f(1)=2_1Ü`-1Û`+1+1=3
⑵ f(-2) =2_(-2)Ü`-(-2)Û`+(-2)+1
⑶ f(3)=2_3Ü`-3Û`+3+1=49
⑷ f(-3) =2_(-3)Ü`-(-3)Û`+(-3)+1
=-21
=-65
⑴ 3 ⑵ -21 ⑶ 49 ⑷ -65
55
나머지정리에 의하여 구하는 나머지는
⑴ f
=3_
{;2!;}
{;2!;}
Û`-8_
;2!;
+1=-
;4(;
Û`-8_
Û`-8_
{
{
⑵ f
{
-
;3@;}
=3_
-
;3@;}
-
{
;3@;}
+1=
:ª3£:
⑶ f
{
-
;2#;}
=3_
-
;2#;}
-
{
;2#;}
+1=
:¦4»:
⑷ f
=3_
{;3$;}
{;3$;}
Û`-8_
;3$;
+1=-
:Á3£:
⑴ -
⑵
;4(;
:ª3£:
⑶
:¦4»:
⑷ -
:Á3£:
56
⑴ f(-1)=0이므로
f(-1)=-2-3-k-4=0
∴ k=-9
⑵ f(2)=0이므로
∴ k=0
f(2)=16-12+2k-4=0, 2k=0
57
나머지정리에 의하여 f(-3)=-36이므로
⑴ -9 ⑵ 0
a+b+c+d=-5
-5
f(-3)=81-54+9a+3+6=-36
다른풀이 주어진 등식의 양변에 x=3을 대입하면
9a=-72 ∴ a=-8
3Ü`-4_3Û`+3_3-5
따라서 f(x)=xÝ`+2xÜ`-8xÛ`-x+6을 x-2로 나누
=a(3-2)Ü`+b(3-2)Û`+c(3-2)+d
었을 때의 나머지는
∴ a+b+c+d=-5
f(2)=16+16-32-2+6=4
4
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58
f(x)=3xÜ`+axÛ`+bx-1이라 하면 나머지정리에 의
3 f(1)=9 ∴ f(1)=3
(2x+1) f(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 5이
하여 f
{
2
3 }
=1, f(-1)=-19
f
{;3@;}
=1에서
+
a+
b-1=1
;9*;
;9$;
;3@;
∴ 2a+3b=5
f(-1)=-19에서 -3+a-b-1=-19
∴ a-b=-15
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면
a=-8, b=7
므로
-1_f(-1)=5 ∴ f(-1)=-5
f(x)를 xÛ`-1로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를
yy ㉠
yy ㉡
R(x)=ax+b (a, b는 상수)라 하면
f(x) =(xÛ`-1)Q(x)+ax+b
=(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b
양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하면
a=-8, b=7
f(1)=a+b=3
yy ㉠
yy ㉡
f(-1)=-a+b=-5
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=-1
따라서 R(x)=4x-1이므로
R(-2)=4_(-2)-1=-9
-9
59
나머지정리에 의하여
f(-1)=2, g(-1)=-1
따라서 다항식 2 f(x)-3g(x)를 x+1로 나누었을 때
의 나머지는
2 f(-1)-3g(-1) =2_2-3_(-1)
=7
7
60
다항식 f(x)를 xÛ`-4x-12로 나누었을 때의 몫을
62
f(x)를 (x+1)Û`(x-3)으로 나누었을 때의 몫을
Q(x), 나머지를 axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면
f(x)=(x+1)Û`(x-3)Q(x)+axÛ`+bx+c
f(x)를 (x+1)Û`으로 나누었을 때의 나머지가 2이므
Q(x), 나머지를 ax+b`(a, b는 상수)라 하면
로 axÛ`+bx+c를 (x+1)Û`으로 나누었을 때의 나머지
f(x) =(xÛ`-4x-12)Q(x)+ax+b
도 2이다.
=(x+2)(x-6)Q(x)+ax+b
yy ㉠
즉, axÛ`+bx+c=a(x+1)Û`+2
yy ㉠
f(x)를 x+2, x-6으로 나누었을 때의 나머지가 각
∴ f(x)=(x+1)Û`(x-3)Q(x)+a(x+1)Û`+2
각 6, -10이므로 나머지정리에 의하여
한편, f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지가 -14
f(-2)=6, f(6)=-10
x=-2를 ㉠에 대입하면
f(-2)=-2a+b=6
x=6을 ㉠에 대입하면
f(6)=6a+b=-10
㉡, ㉢ 을 연립하여 풀면 a=-2, b=2
따라서 구하는 나머지는 -2x+2이다.
yy ㉢
-2x+2
61
(x+2)f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 9이
하면
므로
12 Ⅰ. 다항식
이므로
`f(3)=16a+2=-14 ∴ a=-1
yy ㉡
따라서 구하는 나머지는 ㉠에서
-1_(x+1)Û`+2=-xÛ`-2x+1
-xÛ`-2x+1
63
f(x)를 (xÛ`+1)(x-1)로 나누었을 때의 몫을 Q(x),
나머지를 R(x)=axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)라
`f(x)=(xÛ`+1)(x-1)Q(x)+axÛ`+bx+c
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f(x)를 xÛ`+1로 나누었을 때의 나머지가 x+1이므로
axÛ`+bx+c를 xÛ`+1로 나누었을 때의 나머지도 x+1
66
f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지
이다.
가 4이므로
즉, R(x)=axÛ`+bx+c=a(xÛ`+1)+x+1
f(x)=(x-3)Q(x)+4
yy ㉠
∴ f(x)=(xÛ`+1)(x-1)Q(x)+a(xÛ`+1)+x+1
Q(x)를 x-2로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면
한편, f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 4이므로
나머지가 2이므로
`f(1)=2a+2=4 ∴ a=1
Q(x)=(x-2)Q'(x)+2
yy ㉡
따라서 R(x)=(xÛ`+1)+x+1=xÛ`+x+2이므로
㉡을 ㉠에 대입하면
R(-2)=4-2+2=4
4
`f(x) =(x-3){(x-2)Q'(x)+2}+4
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
64
f(3x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는
f(3_1)=f(3)
f(x)를 2xÛ`-5x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라
하면 나머지가 4x-1이므로
f(x) =(2xÛ`-5x-3)Q(x)+4x-1
=(x-3)(x-2)Q'(x)+2x-2
따라서 `xf(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는
2 f(2)=2(2_2-2)=4
4
67
f(x)=2xÜ`-5xÛ`+ax+b라 하면 f(x)가 2x+1,
x-1로 각각 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여
=(2x+1)(x-3)Q(x)+4x-1 yy ㉠
-
f
{
;2!;}
=0, f(1)=0
㉠의 양변에 x=3을 대입하면
f(3)=4_3-1=11
-
f
{
;2!;}
=0에서 -
-
-
;4%;
;4!;
;2!;
a+b=0
11
다른풀이 ㉠에 x 대신 3x를 대입하면
f(3x) =(6x+1)(3x-3)Q(3x)+12x-1
=3(6x+1)(x-1)Q(3x)+12(x-1)+11
=(x-1){3(6x+1)Q(3x)+12}+11
따라서 f(3x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 11
이다.
∴ a-2b=-3
f(1)=0에서 2-5+a+b=0
∴ a+b=3
∴ a-b=-1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=2
yy ㉠
yy ㉡
-1
68
f(x)=-xÝ`+axÛ`-2x+b라 하면
65
f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 나
f(x)가 xÛ`-x-2, 즉 (x+1)(x-2)로 나누어떨어
지므로 f(x)는 x+1, x-2로 각각 나누어떨어진다.
머지정리에 의하여 f(2)=4
따라서 인수정리에 의하여
한편, xf(x-3)을 x-5로 나누었을 때의 몫을 Q(x),
f(-1)=0, f(2)=0
나머지를 R라 하면
f(-1)=0에서 -1+a+2+b=0
xf(x-3)=(x-5)Q(x)+R
∴ a+b=-1
f(2)=0에서 -16+4a-4+b=0
∴ 4a+b=20
yy ㉠
yy ㉡
양변에 x=5를 대입하면
R=5f(2)=5_4=20
따라서 구하는 나머지는 20이다.
20
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=7, b=-8
개념원리 익히기·확인체크 13
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따라서 f(x)=-xÝ`+7xÛ`-2x-8을 x+3으로 나누
⑹ 8aÜ`+bÜ`-1+6ab
었을 때의 나머지는
=(2a)Ü`+bÜ`+(-1)Ü`-3_2a_b_(-1)
f(-3)=-81+63+6-8=-20
-20
=(2a+b-1){(2a)Û`+bÛ`+(-1)Û`-2a_b
69
⑴ 8xy+4xÛ`y=4xy(2+x)
-b_(-1)-(-1)_2a}
=(2a+b-1)(4aÛ`+bÛ`-2ab+2a+b+1)
⑺ xÝ`+4xÛ`yÛ`+16yÝ`
⑵ (2a+b)Û`+6a+3b =(2a+b)Û`+3(2a+b)
=xÝ`+xÛ`_(2y)Û`+(2y)Ý`
=(2a+b){(2a+b)+3}
={xÛ`+x_2y+(2y)Û`}{xÛ`-x_2y+(2y)Û`}
=(2a+b)(2a+b+3)
=(xÛ`+2xy+4yÛ`)(xÛ`-2xy+4yÛ`)
풀이 참조
⑶ 4xÛ`+12xy+9yÛ`
=(2x)Û`+2_2x_3y+(3y)Û`
=(2x+3y)Û`
⑷ 9xÛ`-30xy+25yÛ`
=(3x)Û`-2_3x_5y+(5y)Û`
=(3x-5y)Û`
⑸ 16aÛ`-81bÛ` =(4a)Û`-(9b)Û`
=(4a+9b)(4a-9b)
⑹ xÛ`+4x+3=(x+3)(x+1)
⑺ 3aÛ`-5ab-2bÛ`=(3a+b)(a-2b)
71
⑴ xÝ`+x =x(xÜ`+1)
=x(x+1)(xÛ`-x+1)
⑵ xÝ`-yÝ` =(xÛ`)Û`-(yÛ`)Û`
=(xÛ`+yÛ`)(xÛ`-yÛ`)
=(xÛ`+yÛ`)(x+y)(x-y)
풀이 참조
⑶ 3(4x-1)Û`-12 =3{(4x-1)Û`-4}
=3{(4x-1)+2}{(4x-1)-2}
=3(4x+1)(4x-3)
⑷ 9(a+b)Û`-cÛ` ={3(a+b)}Û`-cÛ`
={3(a+b)+c}{3(a+b)-c}
=(3a+3b+c)(3a+3b-c)
⑸ xÜ`+64yÜ` =xÜ`+(4y)Ü`
=(x+4y)(xÛ`-4xy+16yÛ`)
⑹ (a+b)Ü`-(a-b)Ü`
= {(a+b)-(a-b)}
_{ (a+b)Û`+(a+b)(a-b)+(a-b)Û`}
70
⑴ xÜ`+6xÛ`+12x+8
=xÜ`+3_xÛ`_2+3_x_2Û`+2Ü`
=(x+2)Ü`
⑵ 8xÜ`-12xÛ`y+6xyÛ`-yÜ`
=(2x)Ü`-3_(2x)Û`_y+3_2x_yÛ`-yÜ`
=(2x-y)Ü`
⑶ aÜ`+27bÜ` =aÜ`+(3b)Ü`
=(a+3b){aÛ`-a_3b+(3b)Û`}
=(a+3b)(aÛ`-3ab+9bÛ`)
=2b(3aÛ`+bÛ`)
풀이 참조
⑷ 8xÜ`-yÜ` =(2x)Ü`-yÜ`
=(2x-y){(2x)Û`+2x_y+yÛ`}
=(2x-y)(4xÛ`+2xy+yÛ`)
⑸ aÛ`+4bÛ`+9cÛ`-4ab-12bc+6ca
=aÛ`+(-2b)Û`+(3c)Û`+2_a_(-2b)
+2_(-2b)_3c+2_3c_a
=(a-2b+3c)Û`
72
⑴ (x+y)Û`-2(x+y)z+zÛ`
={(x+y)-z}Û`
=(x+y-z)Û`
14 Ⅰ. 다항식
18_기본서(수학상)_해설_001~018_1단원(확)_ok.indd 14
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⑵ xÛ`+8x -(a-3)(a+5)
⑵ 상수항의 합이 같아지도록 식을 두 개씩 짝지으면
1`
1
1
1 1 1 Ú1
1
Ú
-(a-3)
-a+3
a+5
a+5
Ú
Ú
8
={x-(a-3)}{x+(a+5)}
=(x-a+3)(x+a+5)
⑴ (x+y-z)Û`
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
x(x+1)(x+2)(x+3)-15
={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}-15
=(xÛ`+3x)(xÛ`+3x+2)-15
=X(X+2)-15
=XÛ`+2X-15
=(X+5)(X-3)
xÛ`+3x=X로 치환
Û
⑶ (1-2x-xÛ`)(1-2x+3xÛ`)+4xÝ`
=(X-xÛ`)(X+3xÛ`)+4xÝ` Û
=XÛ`+2xÛ`X-3xÝ`+4xÝ`
=XÛ`+2xÛ`X+xÝ`
=(X+xÛ`)Û`=(1-2x+xÛ`)Û`
1-2x=X로 치환
⑵ (x-a+3)(x+a+5)
=(xÛ`+3x+5)(xÛ`+3x-3)
73
⑴ aÜ`-abÛ`-bÛ`c+aÛ`c =(aÜ`-abÛ`)+(-bÛ`c+aÛ`c)
=a(aÛ`-bÛ`)+c(aÛ`-bÛ`)
=(aÛ`-bÛ`)(a+c)
=(a+b)(a-b)(a+c)
={(x-1)Û`}Û`
=(x-1)Ý`
⑵ xÜ`-2axÛ`+2x-4a =(xÜ`-2axÛ`)+(2x-4a)
=xÛ`(x-2a)+2(x-2a)
=(x-2a)(xÛ`+2)
⑶ 4xÛ`+4x+1-yÛ` =(2x+1)Û`-yÛ`
⑷ (xÛ`+4x+3)(xÛ`+12x+35)+15
=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15
={(x+1)(x+7)}{(x+3)(x+5)}+15
=(xÛ`+8x+7)(xÛ`+8x+15)+15
=(2x+1+y)(2x+1-y)
=(X+7)(X+15)+15
xÛ`+8x=X로 치환
Û
=XÛ`+22X+120
=(X+12)(X+10)
=(xÛ`+8x+12)(xÛ`+8x+10)
=(x+2)(x+6)(xÛ`+8x+10)
풀이 참조
⑷ 4ab+1-4aÛ`-bÛ` =1-(4aÛ`-4ab+bÛ`)
=1-(2a-b)Û`
=(1+2a-b)(1-2a+b)
⑸ aÜ`+9aÛ`+27a+27
=aÜ`+3_aÛ`_3+3_a_3Û`+3Ü`
=(a+3)Ü`
⑹ 8xÜ`-36xÛ`y+54xyÛ`-27yÜ`
=(2x)Ü`-3_(2x)Û`_3y+3_2x_(3y)Û`-(3y)Ü`
=(2x-3y)Ü`
75
⑴ xÛ`=X로 놓으면
풀이 참조
xÝ`+xÛ`-6 =XÛ`+X-6
74
⑴ (xÛ`+x)Û`-13(xÛ`+x)+36
=XÛ`-13X+36
=(X-4)(X-9)
=(xÛ`+x-4)(xÛ`+x-9)
xÛ`+x=X로 치환
Û
=(X+3)(X-2)
=(xÛ`+3)(xÛ`-2)
⑵ xÛ`=X로 놓으면
xÝ`-13xÛ`+36 =XÛ`-13X+36
=(X-4)(X-9)
=(xÛ`-4)(xÛ`-9)
=(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)
개념원리 익히기·확인체크 15
18_기본서(수학상)_해설_001~018_1단원(확)_ok.indd 15
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⑶ xÝ`+4 =(xÝ`+4xÛ`+4)-4xÛ`
⑶ x에 대하여 내림차순으로 정리하면
=(xÛ`+2)Û`-(2x)Û`
3xÛ`+4xy+yÛ`-10x-4y+3
=(xÛ`+2x+2)(xÛ`-2x+2)
=3xÛ`+(4y-10)x+(yÛ`-4y+3)
⑷ xÝ`+5xÛ`+9 =(xÝ`+6xÛ`+9)-xÛ`
=3xÛ`+(4y-10)x+(y-1)(y-3)
=(xÛ`+3)Û`-xÛ`
=(xÛ`+x+3)(xÛ`-x+3)
3`
1
1 1 1 1 1 2 Ú
111112Ú
y-1
y-1
Ú
y-3
3y-9`
Ú
4y-10
풀이 참조
다른풀이 ⑵ 이차항을 분리하여 인수분해할 수도 있
=(3x+y-1)(x+y-3)
다. 즉,
⑷ z에 대하여 내림차순으로 정리하면
xÝ`-13xÛ`+36 =(xÝ`-12xÛ`+36)-xÛ`
xÛ`-yÛ`+2yz+2xz+4x+2y+2z+3
=(xÛ`-6)Û`-xÛ`
=(2y+2x+2)z+xÛ`+4x-yÛ`+2y+3
=(xÛ`+x-6)(xÛ`-x-6)
=2(x+y+1)z+xÛ`+4x-(yÛ`-2y-3)
=(x+3)(x-2)(x-3)(x+2)
= 2(x+y+1)z
76
xÝ`+yÝ`-6xÛ`yÛ` =(xÝ`-2xÛ`yÛ`+yÝ`)-4xÛ`yÛ`
=(xÛ`-yÛ`)Û`-(2xy)Û`
=(xÛ`+2xy-yÛ`)(xÛ`-2xy-yÛ`)
+{xÛ`+4x-(y+1)(y-3)}
1
1 1 1 Ú1
1
Ú
1`
1
y+1
y+1
-(y-3)
-y+3
4
Ú
Ú
=2(x+y+1)z+(x+y+1)(x-y+3)
따라서 a=2, b=-1, c=-1이므로
=(x+y+1)(x-y+2z+3)
aÛ`+bÛ`+cÛ`=2Û`+(-1)Û`+(-1)Û`=6
6
풀이 참조
77
⑴ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc
= aÛ`b+abÛ`+bÛ`c+bcÛ`+cÛ`a+caÛ`+2abc
= (b+c)aÛ`+(bÛ`+2bc+cÛ`)a+bÛ`c+bcÛ`
=(b+c)aÛ`+(b+c)Û`a+bc(b+c)
=(b+c){aÛ`+(b+c)a+bc}
=(b+c)(a+b)(a+c)
=(a+b)(b+c)(c+a)
⑵ x에 대하여 내림차순으로 정리하면
xÛ`+xy-6yÛ`+x+13y-6
=xÛ`+(y+1)x-(6yÛ`-13y+6)
1`
1
1
1 1 1 Ú1
Ú
1
3y-2
3y-2
-(2y-3)
-2y+3
Ú
Ú
={x+(3y-2)}{x-(2y-3)}
=(x+3y-2)(x-2y+3)
16 Ⅰ. 다항식
78
⑴ f(x)=3xÜ`+7xÛ`-4라 하면 `f(-1)=0이므로
`f(x)는 x+1을 인수로 갖는다.
따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
-1 3 7 0 -4
-3 -4 4
3 4 -4 0
=(x+1)(3xÛ`+4x-4)
=(x+1)(x+2)(3x-2)
y+1
⑵ f(x)=xÝ`-3xÜ`+3x-1이라 하면 `f(1)=0,
f(-1)=0이므로 f(x)는 x-1, x+1을 인수로
갖는다.
=xÛ`+(y+1)x-(3y-2)(2y-3)
∴ 3xÜ`+7xÛ`-4
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개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
⑶ 10Û`-12Û`+14Û`-16Û`+18Û`-20Û`
1 1 -3 0 3 -1
1 -2 -2 1
-1 1 -2 -2 1 0
-1 3 -1
1 -3 1 0
∴ xÝ`-3xÜ`+3x-1
=(x-1)(x+1)(xÛ`-3x+1)
⑴ (x+1)(x+2)(3x-2)
⑵ (x-1)(x+1)(xÛ`-3x+1)
79
f(x)=xÜ`-6xÛ`-ax-6이라 하면 f(x)가 x-2를
인수로 가지므로
f(2)=8-24-2a-6=0
∴ a=-11
∴ f(x)=xÜ`-6xÛ`+11x-6
조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
2 1 -6 11 -6
2 -8 6
1 -4 3 0
∴ f(x) =(x-2)(xÛ`-4x+3)
=(x-1)(x-2)(x-3)
(x-1)(x-2)(x-3)
80
⑴ 78=x로 놓으면
⑵ 205=x로 놓으면
205Ü`+8
205_203+4
=
78_79
78Û`-1
=
x(x+1)
xÛ`-1
x
x-1
=
=
78
78-1
=
;7&7*;
=
x(x+1)
(x-1)(x+1)
=(10Û`-12Û`)+(14Û`-16Û`)+(18Û`-20Û`)
=(10-12)(10+12)+(14-16)(14+16)
+(18-20)(18+20)
=-2_(22+30+38)
=-2_90=-180
⑴
;7&7*;
⑵ 207 ⑶ -180
81
주어진 식을 인수분해하면
2xÛ`y-xÛ`+2xyÛ`+yÛ`
=2xy(x+y)-(xÛ`-yÛ`)
=2xy(x+y)-(x+y)(x-y)
=(x+y){2xy-(x-y)}
이때
x+y=(
3+1)+(
3-1)=2
'
'
3
'
x-y=(
3+1)-(
3-1)=2
'
3+1)(
'
3-1)=2
'
xy=(
'
이므로 인수분해한 식에 각 값을 대입하면
(x+y){2xy-(x-y)} =2
3_(2_2-2)
'
'
=4
3
4
3
'
82
aÛ`+ac-bÛ`-bc=0에서
aÛ`-bÛ`+ac-bc=0
(a+b)(a-b)+(a-b)c=0
(a-b)(a+b+c)=0
이때 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로
a+b+c>0
∴ a=b
따라서 a=b인 이등변삼각형이다.
②
xÜ`+8
x(x-2)+4
(x+2)(xÛ`-2x+4)
xÛ`-2x+4
=
=x+2=205+2=207
83
aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc=0에서
(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)=0
(a+b+c){(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0
;2!;
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이때 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로
즉, (a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`=0이므로
a-b=0, b-c=0, c-a=0
a+b+c>0
∴ a=b=c
이다.
따라서 주어진 조건을 만족시키는 삼각형은 정삼각형
정삼각형의 둘레의 길이가 18이므로
a+b+c=3a=18
∴ a=6
3
∴ (삼각형의 넓이)= '
4
_6Û`=9
3
'
9
3
'
KEY Point
3
한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이는 ⇨ '
4
aÛ`
18 Ⅰ. 다항식
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개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
Ⅱ. 방정식과 부등식
84
⑴ 2-3i의 실수부분은 2, 허수부분은 -3이다.
⑵ 5i=0+5i이므로 5i의 실수부분은 0, 허수부분은
5이다.
⑶
'
'
3-1=(
3-1)+0i이므로
3-1의 실수부분은
'
'
3-1, 허수부분은 0이다.
⑷ i+4=4+1_i이므로 i+4의 실수부분은 4, 허수
86
⑴
3-4i=3+4i
⑵ -5i=0-5i이므로
-5i=5i
⑶
2i=-3-
2i
'
Ã-3+
'
'
5=(1+
5)+0i이므로
⑷ 1+
Ã1+
⑸
É;3@;
5=1+
'
i+
=
;2!;
É;2!;
'
5
'
+
부분은 1이다.
수부분은
이다.
;3!;
⑸
1+i
3
=
+
;3!;
;3!;
i이므로
의 실수부분은
, 허
;3!;
1+i
3
87
① i Û`=-1<0
i=
-
i
;3@;
;2!;
;3@;
⑴ 3+4i ⑵ 5i ⑶ -3-
2i
'
⑷ 1+
5 ⑸
'
-
i
;3@;
;2!;
⑴ 실수부분 : 2, 허수부분 : -3
⑵ 실수부분 : 0, 허수부분 : 5
⑶ 실수부분 :
'
⑷ 실수부분 : 4, 허수부분 : 1
3-1, 허수부분 : 0
⑸ 실수부분 :
1
3 , 허수부분 :
;3!;
85
복소수가 서로 같으려면 실수부분과 허수부분이 각각
같아야 한다.
⑴ x=2, 2y=-4
∴ x=2, y=-2
⑵ 2x=4, y+3=5
∴ x=2, y=2
⑶ x-1=3, 2y-1=-1
∴ x=4, y=0
⑷ 2x+1=9, y-3=0
∴ x=4, y=3
⑸ x+y=-1, 2x-3y=8
두 식을 연립하여 풀면
x=1, y=-2
⑴ x=2, y=-2 ⑵ x=2, y=2
⑶ x=4, y=0 ⑷ x=4, y=3
⑸ x=1, y=-2
② 7=7+0i이므로 7의 허수부분은 0이다.
③ -4i=0-4i는 실수부분이 0, 허수부분이 -4이
④ 1+i는 실수부분이 1, 허수부분이 1이므로 순허수
므로 순허수이다.
가 아닌 허수이다.
⑤ a+(b-3)i에서 a=i, b=3이면
a+(b-3)i=i
즉, b=3이어도 실수가 아닐 수 있다.
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
⑤
88
순허수는 복소수 a+bi`(a, b는 실수)에서
a=0, b+0인 꼴이므로 순허수인 것은 -9i,
3i이
다.
'
-9i,
3i
'
89
⑴ 3i+(1-4i)=(0+1)+(3-4)i=1-i
⑵ (5-3i)+(2-7i) =(5+2)+(-3-7)i
=7-10i
⑶ (4+3i)-(2-5i)=(4-2)+(3+5)i=2+8i
⑷ (-9-3i)-(5-2i) =(-9-5)+(-3+2)i
=-14-i
⑴ 1-i ⑵ 7-10i
⑶ 2+8i ⑷ -14-i
개념원리 익히기·확인체크 19
18_기본서(수학상)_해설_019~062_2단원(확)_ok.indd 19
2018-07-31 오후 7:28:52
Ä
Ä
90
⑴ (1-i)(2+3i) =2+3i-2i-3i Û`
=2+3i-2i+3=5+i
⑵ (-2+3i)(5-6i) =-10+12i+15i-18i Û`
=-10+12i+15i+18
=8+27i
⑶ (
3-2i)(
3+2i) =(
3)Û`-(2i)Û`
'
'
'
=3-4i Û`=3+4=7
⑷ (1+2i)Û`=1+4i+4i Û`=1+4i-4=-3+4i
⑴ 5+i ⑵ 8+27i
⑶ 7
⑷ -3+4i
91
⑴
1
2+3i
=
2-3i
(2+3i)(2-3i)
=
2-3i
4-9i Û`
=
2-3i
13
=
-
i
;1£3;
;1ª3;
⑵
1
4-5i
=
4+5i
(4-5i)(4+5i)
=
4+5i
16-25i Û`
=
4+5i
41
=
+
i
;4°1;
;4¢1;
⑶
1+i
2-i
=
(1+i)(2+i)
(2-i)(2+i)
=
2+i+2i+i Û`
4-i Û`
=
1+3i
5
=
+
i
;5#;
;5!;
⑷
8i
1+4i
=
8i(1-4i)
(1+4i)(1-4i)
=
8i-32i Û`
1-16i Û`
=
32+8i
17
=
+
i
;1¥7;
;1#7@;
⑶
3
1-i
-
(1-i)Û`
1+i
=
=
=
-
-2i
3
1-i
1+i
3(1+i)+2i(1-i)
(1-i)(1+i)
3+3i+2i-2i Û`
1-i Û`
=
5+5i
2
=
+
i
;2%;
;2%;
⑷
1-3i
2-i
+(1+3i)Û`
+(1+6i+9i Û`)
+1+6i-9
=
=
(1-3i)(2+i)
(2-i)(2+i)
2+i-6i-3i Û`
4-i Û`
=
5-5i
5
-8+6i
=1-i-8+6i=-7+5i
⑴ 13+7i ⑵ 4-6i
⑶
+
i ⑷ -7+5i
5
2
;2%;
93
(1+i)xÛ`-3x+2-4i=(xÛ`-3x+2)+(xÛ`-4)i
이 복소수가 실수이려면
xÛ`-4=0
∴ x=Ñ2
따라서 모든 실수 x의 값의 합은
2+(-2)=0
0
⑴
2
13
-
;1£3;
i ⑵
+
;4¢1;
;4°1;
i
⑶
1
5
+
i
;5#;
⑷
+
i
;1¥7;
;1#7@;
94
z =2(k+1)-k(1-i)Û`
=2(k+1)-k(-2i)
92
⑴ (7+5i)+
6-2i =(7+5i)+(6+2i)
=2(k+1)+2ki
z가 순허수이므로
2(k+1)=0, 2k+0
=7+5i+6+2i
2(k+1)=0에서 k=-1
=13+7i
2k+0에서 k+0
⑵ (2-i)Û`-i(2+i) =(4-4i+i Û`)-(2i+i Û`)
∴ k=-1
yy ㉠
=4-4i-1-2i+1
따라서 ㉠에 k=-1을 대입하면
=4-6i
z=-2i
-2i
20 Ⅱ. 방정식과 부등식
18_기본서(수학상)_해설_019~062_2단원(확)_ok.indd 20
2018-07-31 오후 7:28:53
Ä
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
⑶
x
1+3i
+
y
1-3i
=
9
2+i
에서
x(1-3i)+y(1+3i)
(1+3i)(1-3i)
=
9(2-i)
(2+i)(2-i)
x-3xi+y+3yi
10
=
18-9i
5
x+y
10
+
-3x+3y
10
i=
-
i
18
5
9
5
이때
x+y
10
,
-3x+3y
10
서로 같을 조건에 의하여
x+y
10
=
18
5
,
-3x+3y
10
=-
9
5
는 실수이므로 복소수가
-1
두 식을 연립하여 풀면
x=21, y=15
⑷ (4+i)x+(2-3i)yÓ=2-3i에서
(4x+2y)+(x-3y)iÓ=2-3i
(4x+2y)-(x-3y)i=2-3i
이때 4x+2y, -(x-3y)는 실수이므로 복소수가
서로 같을 조건에 의하여
4x+2y=2, x-3y=3
두 식을 연립하여 풀면
x=
, y=-
;7^;
;7%;
⑴ x=-1, y=-1 ⑵ x=4, y=-2
⑶ x=21, y=15 ⑷ x=
, y=-
;7^;
`
;7%;
95
z =(1+i)aÛ`-(1+3i)a+2(i-1)
=(aÛ`-a-2)+(aÛ`-3a+2)i
이때 zÛ`<0이면 z는 순허수이므로
aÛ`-a-2=0, aÛ`-3a+2+0
Ú aÛ`-a-2=0에서
(a+1)(a-2)=0
∴ a=-1 또는 a=2
Û aÛ`-3a+2+0에서
(a-1)(a-2)+0
∴ a+1, a+2
Ú, Û에서 a=-1
96
⑴ (2x+i)(3+2i)=-8+yi에서
6x+4xi+3i-2=-8+yi
(6x-2)+(4x+3)i=-8+yi
이때 6x-2, 4x+3은 실수이므로 복소수가 서로
같을 조건에 의하여
6x-2=-8, 4x+3=y
∴ x=-1, y=-1
⑵
x
1+i
x
1+i
+
+
y
1-i
y
1-i
=1-3i에서 좌변을 통분하면
=
=
=
x(1-i)+y(1+i)
(1+i)(1-i)
x-xi+y+yi
2
x+y
2
+
-x+y
2
i
이므로 주어진 등식은
x+y
2
+
-x+y
2
i=1-3i
이때
x+y
2
,
-x+y
2
로 같을 조건에 의하여
x+y
2
=1,
-x+y
2
=-3
두 식을 연립하여 풀면
x=4, y=-2
는 실수이므로 복소수가 서
4zÛ`-12z+9=-7, 4zÛ`-12z+16=0
97
z=
7i
3+
'
2
에서
2z=3+
'
양변을 제곱하면
7i ∴ 2z-3=
7i
'
∴ zÛ`-3z+4=0
∴ zÜ`-2zÛ`+z-2
=z(zÛ`-3z+4)+zÛ`-3z-2
=z(zÛ`-3z+4)+(zÛ`-3z+4)-6
=z_0+0-6=-6
-6
개념원리 익히기·확인체크 21
18_기본서(수학상)_해설_019~062_2단원(확)_ok.indd 21
2018-07-31 오후 7:28:53
98
z=1-i에서 z-1=-i
102
z=a+bi (a, b는 실수)라 하면 z®=a-bi
양변을 제곱하면 zÛ`-2z+1=-1
이것을 iz+(1-i)z®=2i에 대입하면
∴ zÛ`-2z+2=0
∴ zÝ`-2zÜ`+3zÛ`-2z+1
i(a+bi)+(1-i)(a-bi)=2i
ai-b+a-bi-ai-b=2i
=zÛ`(zÛ`-2z+2)+zÛ`-2z+1
(a-2b)-bi=2i
=zÛ`(zÛ`-2z+2)+(zÛ`-2z+2)-1
이때 a-2b, -b는 실수이므로 복소수가 서로 같을
=zÛ`_0+0-1=-1
-1
조건에 의하여
99
x+y=
3i
1+
'
2
+
3i
1-
'
2
=1
xy=
1+
3i
'
2 _
1-
'
2
3i
=
=1
;4$;
∴
+
=
y
x
x
y
xÛ`+yÛ`
xy
=
(x+y)Û`-2xy
xy
=
1Û`-2_1
1
=-1
-1
100
aa®-ab®-a®b+bb® =a(a®-b®)-b(a®-b®)
=(a-b)(a®-b®)
=(a-b)(a-bÓ)
5i)(4-
=(4+
'
=16+5=21
'
5i)
21
101
z=a+bi (a, b는 실수)라 하면 z®=a-bi
z+z®=4에서 (a+bi)+(a-bi)=4
2a=4 ∴ a=2
zz®=20에서 (a+bi)(a-bi)=20
yy ㉠
yy ㉡
aÛ`+bÛ`=20
㉠을 ㉡에 대입하면
4+bÛ`=20
bÛ`=16 ∴ b=Ñ4
a-2b=0, -b=2
∴ a=-4, b=-2
따라서 z=-4-2i, z®=-4+2i이므로
z+z® =(-4-2i)+(-4+2i)=-8
-8
103
⑴ i ß`=i Ý`_i Û`=i Û`=-1
⑵ (-i)11=-i 11=-(i Ý`)Û`_i Ü`=-i Ü`=-(-i)=i
⑶ i 41=(i Ý`)10_i=i
⑷ (-i)800=i 800=(i Ý`)200=1
⑸ i 100+i 200=(i 4)25+(i 4)50=1+1=2
⑹
+
+
+
=
+
1
i
1
i Û`
1
i Ü`
1
i Ý`
1
-1
+
1
-i
+
;1!;
1
i
1
i
=
-1-
+1=0
1
i
⑴ -1 ⑵ i ⑶ i
⑷ 1 ⑸ 2 ⑹ 0
104
⑴ Ñ
⑵ Ñ
'¶
'Ä
'Ä
'Ä
-5=Ñ
'
-10=Ñ
0i
5i
1
'
2
'
3
'
⑶ Ñ
-20=Ñ
⑷ Ñ
-36=Ñ
5i
0i=Ñ2
'
6i=Ñ6i
⑴ Ñ
'
⑶ Ñ2
5i ⑵ Ñ
'
5i ⑷ Ñ6i
1
0i
'
따라서 구하는 복소수 z는 2+4i, 2-4i이다.
2+4i, 2-4i
-5
-9=-
(-5)_(-9)=-
'¶
'¶
"Ã
5=-3
4
'
5
'
105
⑴ -5<0, -9<0이므로
22 Ⅱ. 방정식과 부등식
18_기본서(수학상)_해설_019~062_2단원(확)_ok.indd 22
2018-07-31 오후 7:28:54
⑵
3
'
'¶
-6=
3
'
'
6i=
1
'
⑶ 12>0, -4<0이므로
8i=3
2i
'
=-
-3=-
3i
'¶
'
2
1
'
-4
'¶
-4
⑷ '¶
-2
'¶
=-
12
-4
®É
4i
2i
=
= '
2
'
'
⑴ -3
다른풀이 ⑴
-5
'¶
'¶
2
1
-4
⑶ '
'¶
2
1
4i
= '
'
=
3
2
'
2i
3
= '
i
=-
3i
'
2i ⑶ -
3i ⑷
2
5 ⑵ 3
'
-9 =
'
5i_
'
9i=-
'
5
4
'
'
=-3
'
5
'
108
1
i
+
=
{
2
i Û`
1
i
+
+
+ y +
3
i Ü`
2
i Û`
4
i Ý`
3
i Ü`
+
+
+
50
i Þ`â`
5
i Þ`
4
i Ý` }
+
{
+
+
+
6
i ß`
+ y +
=
{
1
i
+
2
-1
+
{
45
i 45 +
3
-i
+
46
i 46 +
+
{
;1$;}
47
i 47 +
5
i
+
7
i à`
48
i 48 }
6
-1
+
+
8
i ¡` }
49
i 49 +
7
-i
+
50
i 50
;1*;}
+ y +
45
i
{
+
46
-1
+
47
-i
+
48
1 }
+
49
i
+
50
-1
=
2-
{
2
i }
+
2-
{
2
i }
+ y +
2-
{
2
i }
+
49
i
-50
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
⑵
+
+
+
=
-1-
+1=0이므로
109
⑴ (1-i)Û`=1-2i-1=-2i이므로
+
+
+
+ y +
(1-i)Þ`ß` ={(1-i)Û`}Û`¡`=(-2i)Û`¡`=2Û`¡`i Û`¡`
106
⑴ i+i Û`+i Ü`+i Ý`=i-1-i+1=0이므로
1+i+i Û`+i Ü`+ y +i 144
=1+(i+i Û`+i Ü`+i Ý`)+i Ý`(i+i Û`+i Ü`+i Ý`)
y +i 140(i+i Û`+i Ü`+i Ý`)
+
=1
1
i
1
i
1
i
1
i Û`
1
i Û`
1
i
1
i Ü`
1
i Ü`
1
i Û`
1
i Ý`
1
i Ý`
1
i Ü`
=
{
+
+
1
i
1
i 2021
1
1
i
i Ý` {
1
i Û`
+ y +
+
+
+
+
1
i Ý` }+
1
1
i 2016 {
i
+
+
+
1
i Û`
1
i Ü`
1
i Ü`
1
i Ý` }
+
1
i Ý` }
1
i 2021
=
1
i 2021 =
1
(i Ý`)505_i
1
i
=
=-i
⑴ 1 ⑵ -i
=12
2-
{
2
i }
+
49
i
-50
=12(2+2i)-49i-50
=24+24i-49i-50
=-26-25i
따라서 a=-26, b=-25이므로
b-a=-25-(-26)=1
1
=2Û`¡`_(i Ý`)à`=2Û`¡`
=
1-i
1+i
1-i
1+i }
⑵
{
(1-i)Û`
(1+i)(1-i)
2018
=
-2i
2
=(-i)2018=i Û2018
=-i이므로
=(i Ý`)504_i Û`=i Û`
=-1
1-i
2 }
=
-2i
2
=-i이므로
1+i
2 }
'
1+i
2 }
'
=
2i
2
2`
100
+
{
1+i
⑶
{
{
=
=i,
{
1-i
'
100
2 }
50
'
+
]
'
[{
[{
2 }
2`
=i 50+(-i)50=i 50+i 50
=2i 50=2_(i Ý`)12_i Û`
'
2`
2`
1-i
50
2 }
]
개념원리 익히기·확인체크 23
107
i+2i Û`+3i Ü`+4i Ý`+ y +10i Ú`â`
=i-2-3i+4+5i-6-7i+8+9i-10
=(-2+4-6+8-10)+(1-3+5-7+9)i
=2i Û`=-2
=-6+5i
-6+5i
⑴ 228 ⑵ -1 ⑶ -2
18_기본서(수학상)_해설_019~062_2단원(확)_ok.indd 23
2018-07-31 오후 7:28:55
110
zÛ`=
{
2
'
1+i }
2
2i
1
i
=
=
=-i이므로
zÛ`+zÝ`+zß`+z¡`+zÚ`â`
2`
=zÛ`+(zÛ`)Û`+(zÛ`)Ü`+(zÛ`)Ý`+(zÛ`)Þ`
=-i+(-i)Û`+(-i)Ü`+(-i)Ý`+(-i)Þ`
=-i-1+i+1-i=-i
-i
=
111
1-i
1+i
1-i
1+i }
2`
1-i
1+i }
{
{
(1-i)Û`
(1+i)(1-i)
=
-2i
2
=-i이므로
=(-i)Û`=i Û`=-1
=
[{
1-i
1+i }
]
=(-1)Û`=1
2`
2`
4`
{
따라서
1-i
1+i }
가장 작은 값은 4이다.
n`
|a|+
(a-b)Û`-
bÛ` =a+(a-b)-(-b)
"Ã
"
=2a
2a
114
a-4
1-a=-
(a-4)(1-a)이므로
'Ä
'Ä
a-4<0, 1-a<0 또는 a-4=0 또는 1-a=0
"Ã
(a-4)Û`+|a-1| =-(a-4)+(a-1)=3
Ú a-4<0, 1-a<0인 경우
a-1>0이므로
"Ã
"Ã
"Ã
Û a-4=0, 즉 a=4인 경우
(a-4)Û`+|a-1|=0+3=3
Ü 1-a=0, 즉 a=1인 경우
(a-4)Û`+|a-1|=3
=1을 만족시키는 자연수 n의 값 중
Ú ~ Ü 에서
4
"Ã
(a-4)Û`+|a-1|=3
3
KEY Point
aÛ`=|a|=
"Å
a¾0이면 a
[
a<0이면 -a
115
⑴ 2xÛ`-6x=0에서 2x(x-3)=0
∴ x=0 또는 x=3
⑵ xÛ`-5x+6=0에서 (x-2)(x-3)=0
∴ x=2 또는 x=3
⑶ 2xÛ`-x-3=0에서 (x+1)(2x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=
⑷ 3xÛ`+5x-2=0에서 (x+2)(3x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=
⑸ 4xÛ`-4x+1=0에서 (2x-1)Û`=0
;2#;
;3!;
⑴ -4
2+i ⑵ -4-3i
0이 아닌 두 실수 a, b에 대하여 '
'
a>0, b<0 ∴ a-b>0
=-
이므로
®;bA;
⑹
xÛ`-
x+1=0에서 xÛ`-3x+2=0
따라서 |a|=a,
(a-b)Û`=|a-b|=a-b,
(x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2
∴ x=
(중근)
;2!;
;2#;
;2!;
풀이 참조
112
3
'
'
'¶
'
⑴
-4
-8+
'¶
'¶
3
'
'¶
=-
2+
-9-
8
-2
-3+ '
'¶
8
-2
®É
=-4
2+
9i-
-4
'¶
=-4
2+3i-2i=-4
2+i
'
8
1
-9
'
-20
-5
®É
'
⑵ 'Ä
'¶
=
+
-9
'¶
-20
-5
-
3
'
'¶
-4+ '
'¶
81
-9
®É
6-
=
4-6-
-9
'¶
=2-6-3i=-4-3i
113
'
a
b
"Ã
bÛ`=|b|=-b이므로
"
24 Ⅱ. 방정식과 부등식
18_기본서(수학상)_해설_019~062_2단원(확)_ok.indd 24
2018-07-31 오후 7:28:55
116
⑴ 2xÛ`-7x+4=0에서
x=
-(-7)Ñ
"Ã
(-7)Û`-4_2_4
2_2
=
1
7
7Ñ
'
4
⑵ xÛ`-3x+4=0에서
x =
-(-3)Ñ
"Ã
(-3)Û`-4_1_4
2_1
=
3Ñ
7
'¶-
2
118
주어진 방정식의 양변에 2-
(2-
3)(2+
3)xÛ`-(2-
3)(3+
3)x
'
'
'
3을 곱하면
'
'
+2-
3=0
'
xÛ`-(3-
3)x+2-
'
(x-1){x-(2-
3=0
'
3)}=0
'
∴ x=1 또는 x=2-
3
x=1 또는 x=2-
'
3
'
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
=
7i
3Ñ
'
2
⑶ 2xÛ`+x+1=0에서
-1Ñ
x =
=
-1Ñ
4
'
"Ã
1Û`-4_2_1
2_2
7i
⑷ 3xÛ`+4x-2=0에서
=
-1Ñ
'¶-
4
7
-2Ñ
2Û`-3_(-2)
x =
"Ã
3
=
1
0
-2Ñ
3
'
⑸ 3xÛ`-2x+1=0에서
x =
-(-1)Ñ
"Ã
(-1)Û`-3_1
3
=
1Ñ
-2
'¶
3
=
2i
1Ñ
'
3
⑹ 4xÛ`-2
x =
'
-(-
3x-1=0에서
"Ã(-
'
4
3)Ñ
'
= '
7
'
3Ñ
4
3)Û`-4_(-1)
119
x=1을 xÛ`+ax-3a+5=0에 대입하면
1+a-3a+5=0 ∴ a=3
a=3을 xÛ`+ax-3a+5=0에 대입하면
xÛ`+3x-4=0, (x+4)(x-1)=0
∴ x=-4 또는 x=1
따라서 다른 한 근은 -4이므로 b=-4
∴ a+b=3+(-4)=-1
-1
120
x=3을 xÛ`-(a+2)x+2a=0에 대입하면
9-3(a+2)+2a=0 ∴ a=3
a=3을 xÛ`+ax-aÛ`-1=0에 대입하면
xÛ`+3x-10=0, (x+5)(x-2)=0
풀이 참조
∴ x=-5 또는 x=2
x=-5 또는 x=2
117
⑴ 3(x+1)Û`=x(x+2)에서
3xÛ`+6x+3=xÛ`+2x, 2xÛ`+4x+3=0
∴ x=
-2Ñ
"Ã
2Û`-2_3
2
=
2i
-2Ñ
2
'
⑵
3xÛ`+2
5
-x=
xÛ`-x
2
에서
2(3xÛ`+2)-10x=5(xÛ`-x)
6xÛ`-10x+4=5xÛ`-5x
xÛ`-5x+4=0, (x-1)(x-4)=0
∴ x=1 또는 x=4
⑴ x=
2i
-2Ñ
2
'
⑵ x=1 또는 x=4
121
⑴ xÛ`-2|x|-8=0에서
Ú x<0일 때, |x|=-x이므로
xÛ`+2x-8=0, (x+4)(x-2)=0
∴ x=-4 또는 x=2
그런데 x<0이므로 x=-4
Û x¾0일 때, |x|=x이므로
∴ x=-2 또는 x=4
그런데 x¾0이므로 x=4
Ú, Û에서 x=-4 또는 x=4
xÛ`-2x-8=0, (x+2)(x-4)=0
개념원리 익히기·확인체크 25
18_기본서(수학상)_해설_019~062_2단원(확)_ok.indd 25
2018-07-31 오후 7:28:56
⑵ xÛ`+|2x-1|=3에서
Ü x¾2일 때,
Ú x<
일 때, |2x-1|=-(2x-1)이므로
1
2
|x-2|=x-2, |x|=x이므로
(x-2)+1=xÛ`-x
xÛ`-2x+1=0, (x-1)Û`=0 ∴ x=1 (중근)
그런데 x¾2이므로 x=1은 해가 아니다.
Ú ~ Ü에서 x=-3 또는 x=
3
'
x=-3 또는 x=
3
'
123
오른쪽 그림과 같이 처음 직각
이등변삼각형의 밑변의 길이와
(cid:19)
(cid:89)
Ú, Û에서 x=1-
3 또는 x=-1+
높이를 x라 하면 처음 직각이등
xÛ`-3x-1=-(x-2)
로 만든 삼각형의 넓이는
(x+3)(x+2)이다.
xÛ`-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0
새로 만든 삼각형의 넓이가 처음 직각이등변삼각형의
변삼각형의 넓이는
xÛ`이고 새
(cid:20)
(cid:89)
1
2
1
2
xÛ`-(2x-1)=3, xÛ`-2x-2=0
∴ x=1Ñ
3
'
1
2
그런데 x<
이므로 x=1-
3
'
Û x¾ 1
2
일 때, |2x-1|=2x-1이므로
xÛ`+2x-1=3, xÛ`+2x-4=0
∴ x=-1Ñ
5
그런데 x¾
이므로 x=-1+
5`
'
1
2
'
'
5
'
⑶ xÛ`-3x-1=|x-2|에서
Ú x<2일 때, |x-2|=-(x-2)이므로
∴ x=-1 또는 x=3
그런데 x<2이므로 x=-1
Û x¾2일 때, |x-2|=x-2이므로
xÛ`-3x-1=x-2, xÛ`-4x+1=0
∴ x=2Ñ
3
'
그런데 x¾2이므로 x=2+
3
'
Ú, Û에서 x=-1 또는 x=2+
3
'
122
|x-2|+1=xÛ`-
Ú x<0일 때,
"Å
xÛ` 에서 |x-2|+1=xÛ`-|x|
|x-2|=-(x-2), |x|=-x이므로
-(x-2)+1=xÛ`+x
xÛ`+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=1
그런데 x<0이므로 x=-3
Û 0Éx<2일 때,
-(x-2)+1=xÛ`-x
xÛ`=3 ∴ x=Ñ
3
'
그런데 0Éx<2이므로 x=
3
'
26 Ⅱ. 방정식과 부등식
넓이의 2배이므로
(x+3)(x+2)=2_
xÛ`
;2!;
;2!;
xÛ`-5x-6=0, (x+1)(x-6)=0
∴ x=6 (∵ x>0)
따라서 처음 직각이등변삼각형의 넓이는
xÛ`=
_6Û`=18
;2!;
;2!;
18
풀이 참조
124
길의 폭을 x m라 하면 길을 제외한 잔디밭의 넓이는
다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이와 같다.
(cid:89)(cid:3)(cid:78)
(cid:18)(cid:17)(cid:3)(cid:78)
(cid:19)(cid:17)(cid:3)(cid:78)
(cid:89)(cid:3)(cid:78)
(cid:89)(cid:3)(cid:78)
(cid:9)(cid:18)(cid:17)(cid:14)(cid:89)(cid:10)(cid:3)(cid:78)
(cid:9)(cid:19)(cid:17)(cid:14)(cid:89)(cid:10)(cid:3)(cid:78)
(cid:89)(cid:3)(cid:78)
길을 제외한 잔디밭의 넓이가 144`mÛ`이므로
xÛ`-30x+56=0, (x-2)(x-28)=0
∴ x=2 (∵ 00
따라서 서로 다른 두 실근을 갖는다.
⑵
;;4;D;
=(-2)Û`-1_7=-3<0
따라서 서로 다른 두 허근을 갖는다.
⑶
;;4;D;
=6Û`-4_9=0
따라서 중근을 갖는다.
⑷
;;4;D;
'
=(-
3)Û`-1_3=0
따라서 중근을 갖는다.
⑸ 3xÛ`-4x-2=0이므로
;;4;D;
=(-2)Û`-3_(-2)=10>0
따라서 서로 다른 두 실근을 갖는다.
⑹ 2xÛ`+3x+5=0이므로
D=3Û`-4_2_5=-31<0
따라서 서로 다른 두 허근을 갖는다.
127
보기에 주어진 각 이차방정식의 판별식을 D라 하면
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
ㄱ.
;;4;D;
ㄴ.
;;4;D;
=(-1)Û`-1_4=-3<0
=(-2)Û`-1_(-5)=9>0
ㄷ. D=3Û`-4_2_4=-23<0
ㄹ.
=3Û`-9_1=0
;;4;D;
ㅁ. D=(-1)Û`-4_
_1=0
;4!;
ㅂ. D=(-1)Û`-4_
_
=
>0
;9!;
;3!;
;3@;
⑴ 실근을 가지면 D¾0이므로
ㄴ, ㄹ, ㅁ, ㅂ
ㄱ, ㄷ
⑵ 서로 다른 두 허근을 가지면 D<0이므로
⑴ ㄴ, ㄹ, ㅁ, ㅂ ⑵ ㄱ, ㄷ
128
이차방정식 xÛ`+4x+a-3=0의 판별식을 D라 하면
=2Û`-(a-3)=7-a
;;4;D;
⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 D>0이어야 하므로
=7-a>0 ∴ a<7
⑵ 중근을 가지려면 D=0이어야 하므로
=7-a=0 ∴ a=7
;;4;D;
;;4;D;
;;4;D;
⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 D<0이어야 하므로
=7-a<0 ∴ a>7
⑴ a<7 ⑵ a=7 ⑶ a>7
129
이차방정식 xÛ`+(2k-1)x+kÛ`-3=0의 판별식을
D라 하면
D=(2k-1)Û`-4(kÛ`-3)=-4k+13
⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 D>0이어야 하므로
풀이 참조
D=-4k+13>0 ∴ k<
:Á4£:
개념원리 익히기·확인체크 27
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⑵ 중근을 가지려면 D=0이어야 하므로
주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식
D=-4k+13=0 ∴ k=
⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 D<0이어야 하므로
D=-4k+13<0 ∴ k>
:Á4£:
:Á4£:
(k-2)xÛ`+2(2k-4)x+3k-2=0이 중근을 가져
야 하므로 판별식을 D라 할 때,
=(2k-4)Û`-(k-2)(3k-2)=0
;;4;D;
kÛ`-8k+12=0, (k-2)(k-6)=0
⑴ k<
⑵ k=
⑶ k>
:Á4£:
:Á4£:
:Á4£:
∴ k=2 또는 k=6
그런데 k+2이므로 k=6
6
130
이차방정식 xÛ`-2(k-1)x+kÛ`-5k+4=0이 실근
을 가지므로 판별식을 D라 하면
=(k-1)Û`-(kÛ`-5k+4)¾0
;;4;D;
3k-3¾0 ∴ k¾1
131
(k-1)xÛ`+2kx+k-1=0이 이차방정식이므로
k-1+0 ∴ k+1
yy ㉠
이차방정식 (k-1)xÛ`+2kx+k-1=0이 서로 다른
두 실근을 가지므로 판별식을 D라 하면
134
⑴ a+b=-3
⑵ ab=-2
k¾1
⑶ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab
=(-3)Û`-2_(-2)=13
⑷
+
=
1
a
1
b
a+b
ab
=
-3
-2
=
;2#;
=kÛ`-(k-1)Û`>0
;;4;D;
2k-1>0 ∴ k>
;2!;
㉠, ㉡에서
1
;2!;
yy ㉡
135
⑴ a+b=-
=2
-6
3
⑵ ab=
;3@;
;2!;
1
⑶ aÛ`-ab+bÛ` =(a+b)Û`-3ab
=2Û`-3_
=2
2
3
132
이차방정식 xÛ`+2(k+a)x+kÛ`+6k+b=0이 중근
⑷
+
=
b
a
a
b
aÛ`+bÛ`
ab
=
(a+b)Û`-2ab
ab
⑴ -3 ⑵ -2 ⑶ 13 ⑷
;2#;
을 가지므로 판별식을 D라 하면
=(k+a)Û`-(kÛ`+6k+b)=0
;;4;D;
∴ (2a-6)k+aÛ`-b=0
이 식이 k에 대한 항등식이므로
2a-6=0, aÛ`-b=0 ∴ a=3, b=9
∴ a+b=12
12
133
주어진 식이 이차식이므로
k-2+0 ∴ k+2
28 Ⅱ. 방정식과 부등식
2Û`-2_
;3@;
=
=
=4
;3*;
;3@;
;3@;
⑴ 2 ⑵
⑶ 2 ⑷ 4
2
3
136
⑴ xÛ`-(4+6)x+4_6=0
∴ xÛ`-10x+24=0
⑵ xÛ`-{5+(-2)}x+5_(-2)=0
∴ xÛ`-3x-10=0
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⑶ xÛ`-(1-
5+1+
5)x+(1-
5)(1+
5)=0
'
'
'
'
∴ xÛ`-2x-4=0
⑷ xÛ`-(3+i+3-i)x+(3+i)(3-i)=0
∴ xÛ`-6x+10=0
⑴ xÛ`-10x+24=0 ⑵ xÛ`-3x-10=0
⑶ xÛ`-2x-4=0 `⑷ xÛ`-6x+10=0
137
두 근이 -7, -2이고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은
xÛ`-{(-7)+(-2)}x+(-7)_(-2)=0
∴ xÛ`+9x+14=0
이차방정식은
이때 xÛ`의 계수가 3이므로 각 항에 3을 곱하면 구하는
3xÛ`+27x+42=0
3xÛ`+27x+42=0
138
⑴ xÛ`-x-3=0에서 근의 공식에 의하여
x=
1
3
1Ñ
'
2
∴ xÛ`-x-3=
{
x-
1
3
1+
'
2
x-
}{
1
3
1-
'
2
}
⑵ xÛ`+9=0에서 xÛ`=-9 ∴ x=Ñ3i
∴ xÛ`+9=(x-3i)(x+3i)
⑴
{
x-
1
3
1+
'
2
x-
}{
1
3
1-
'
2
}
⑵ (x-3i)(x+3i)
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
⑷
b
a-1
+
a
b-1
=
b(b-1)+a(a-1)
(a-1)(b-1)
=
aÛ`+bÛ`-a-b
ab-a-b+1
=
(a+b)Û`-2ab-(a+b)
ab-(a+b)+1
=
3Û`-2_4-3
4-3+1
=
-2
2
⑸
+
=
b
aÛ`
a
bÛ`
(a+b)Ü`-3ab(a+b)
(ab)Û`
=-1
=
aÜ`+bÜ`
aÛ`bÛ`
3Ü`-3_4_3
4Û`
=
=-
;1»6;
⑴ 12 ⑵ 5 ⑶ 11
⑷ -1 ⑸ -
9
16
140
이차방정식 xÛ`+4x-2=0의 두 근이 a, b이므로 근
과 계수의 관계에 의하여
a+b=-4, ab=-2
또한, 이차방정식에 두 근 a, b를 대입하면
aÛ`+4a-2=0, bÛ`+4b-2=0이므로
aÛ`=-4a+2, bÛ`=-4b+2
∴ (aÛ`+a-1)(bÛ`+b-1)
=(-4a+2+a-1)(-4b+2+b-1)
=(-3a+1)(-3b+1)
=9ab-3(a+b)+1
=9_(-2)-3_(-4)+1
=-5
141
-5
1
3
139
이차방정식 xÛ`-3x+4=0의 두 근이 a, b이므로 근
과 계수의 관계에 의하여
a+b=3, ab=4
⑴ aÛ`b+abÛ`=ab(a+b)=4_3=12
⑵ aÛ`+ab+bÛ`=(a+b)Û`-ab=3Û`-4=5
⑶ (2a-1)(2b-1) =4ab-2(a+b)+1
=4_4-2_3+1=11
이차방정식 axÛ`+2x+b=0의 두 근이 -1,
이므
로 근과 계수의 관계에 의하여
-1+
=-
, -1_
=
;3!;
;a@;
;3!;
;aB;
∴ a=3, b=-1
따라서 이차방정식 bxÛ`+ax+a-b=0의 두 근의 곱은
a-b
b
=
3-(-1)
-1
=-4
-4
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142
이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근
다른풀이 xÛ`-(a+1)x+a=0에서
(x-1)(x-a)=0 ∴ x=1 또는 x=a
한 근이 다른 근의 3배이므로 1_3=a 또는 a_3=1
yy ㉠
∴ a=3 또는 a=
;3!;
과 계수의 관계에 의하여
a+b=-a, ab=b
또, 이차방정식 xÛ`-ax-b=0의 두 근이 a-1, b-1
이므로 근과 계수의 관계에 의하여
(a-1)+(b-1)=a, (a-1)(b-1)=-b
∴ a+b-2=a, ab-(a+b)+1=-b yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
-a-2=a, b+a+1=-b
∴ a=-1, b=0
a=-1, b=0
143
두 근의 차가 4이므로 두 근을 a, a+4라 하면 근과 계
수의 관계에 의하여
a+(a+4)=k-2
a(a+4)=k+2
㉠에서 a=
-3을 ㉡에 대입하면
;2K;
-3
}{;2K;
=k+2, (k-6)(k+2)=4(k+2)
+1
}
{;2K;
∴ k=-2 또는 k=10
따라서 모든 실수 k의 값의 합은
-2+10=8
144
한 근이 다른 근의 3배이므로 두 근을 a, 3a`(a+0)라
하면 근과 계수의 관계에 의하여
a+3a=a+1 yy ㉠, a_3a=a yy ㉡
㉠에서 a=
을 ㉡에 대입하면
a+1
4
3(a+1)
4
=a
a+1
4
_
3(a+1)Û`
16
=a, 3(aÛ`+2a+1)=16a
3aÛ`-10a+3=0, (3a-1)(a-3)=0
∴ a=
또는 a=3
;3!;
30 Ⅱ. 방정식과 부등식
145
두 근의 비가 2`:`5이므로 두 근을 2a, 5a`(a+0)라
하면 근과 계수의 관계에 의하여
2a+5a=7, 2a_5a=k
∴ a=1, k=10
따라서 이차방정식 xÛ`+kx-2k+3=0의 두 근의 곱은
-2k+3=-2_10+3=-17
-17
146
이차방정식 2xÛ`-5x+4=0의 두 근이 a, b이므로 근
yy ㉠
yy ㉡
과 계수의 관계에 의하여
a+b=
, ab=2
;2%;
두 근 a+1, b+1의 합과 곱을 구하면
(a+1)+(b+1)=a+b+2=
+2=
;2%;
;2(;
=2+
+1=
;2%;
11
2
따라서 a+1, b+1을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 2
8
인 이차방정식은
2
{
xÛ`-
x+
;2(;
;;Á2Á;;}
=0 ∴ 2xÛ`-9x+11=0
2xÛ`-9x+11=0
147
이차방정식 xÛ`+5x+2=0의 두 근이 a, b이므로 근
과 계수의 관계에 의하여
a+b=-5, ab=2
두 근
,
의 합과 곱을 구하면
1
aÛ`
1
bÛ`
1
bÛ`
aÛ`+bÛ`
aÛ`bÛ`
1
aÛ`
+
=
=
(a+b)Û`-2ab
(ab)Û`
;3!;
, 3
=
(-5)Û`-2_2
2Û`
=
:ª4Á:
kÛ`-8k-20=0, (k+2)(k-10)=0
(a+1)(b+1) =ab+a+b+1
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=
;4!;
1
aÛ`
_
=
1
bÛ`
1
aÛ`
1
(ab)Û`
1
bÛ`
이차방정식은
따라서
,
을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 4인
4
xÛ`-
{
:ª4Á:
x+
;4!;}
=0 ∴ 4xÛ`-21x+1=0
4xÛ`-21x+1=0
148
⑴ 이차방정식 xÛ`+6x+4=0에서 근의 공식에 의하여
={x-(-3+
5)}{x-(-3-
5)}
'
=(x+3-
5)(x+3+
5)
'
'
⑵ 이차방정식 3xÛ`-2x+2=0에서 근의 공식에 의하여
x=-3Ñ
5
'
∴ xÛ`+6x+4
'
x=
5i
1Ñ
'
3
∴ 3xÛ`-2x+2
= 3
{
x-
5i
1+
'
3
x-
}{
5i
1-
'
3
}
풀이 참조
149
이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이므로 이차방정
식 f(2x-1)=0의 두 근은
2x-1=a 또는 2x-1=b
∴ x=
또는 x=
a+1
2
b+1
2
a+1
2
_
b+1
2
=
ab+(a+b)+1
4
=
4+3+1
4
=2
2
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
(1+
2)+(1-
'
(1+
2)(1-
'
∴ ab=-2
'
2)=-a ∴ a=-2
'
2)=-b ∴ b=1
-2
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
151
이차방정식 xÛ`+6x+a=0에서 a, b가 실수이고 한
근이 b+
3i이므로 다른 한 근은 b-
3i이다.
'
'
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
(b+
3i)+(b-
3i)=-6 ∴ b=-3
'
3i)=a ∴ a=12
'
(b+
3i)(b-
'
∴ a+b=9
'
9
152
1
1+2i
=
1-2i
(1+2i)(1-2i)
=
1-2i
5
=
-
i
;5@;
;5!;
이차방정식 5xÛ`+ax+b=0에서 a, b가 실수이고 한
근이
-
i이므로 다른 한 근은
+
i이다.
;5!;
;5@;
1
5
;5@;
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
-
i
}
;5@;
+
{;5!;
+
i
}
;5@;
{;5!;
=-
;5A;
-
i
}{;5!;
;5@;
+
i
}
;5@;
=
;5B;
{;5!;
yy ㉠
yy ㉡
㉠에서
=-
∴ a=-2
;5@;
;5A;
Û`-
Û`=
i
}
{;5@;
㉡에서
{;5!;}
;5B;
a=-2, b=1을 이차방정식 axÛ`-5x-b=0에 대입
∴ b=1
하면 -2xÛ`-5x-1=0
7
1
-5Ñ
4
'
x=
-5Ñ
4
'
1
7
따라서 이차방정식 f(2x-1)=0의 두 근의 곱은
2xÛ`+5x+1=0 ∴ x=
150
이차방정식 xÛ`+ax-b=0에서 a, b가 유리수이고 한
근이
2+1, 즉 1+
2이므로 다른 한 근은 1-
2이다.
(k, 2kÛ`-k-5)
'
'
'
153
y =-3xÛ`+6kx-kÛ`-k-5
=-3(x-k)Û`+2kÛ`-k-5
이므로 이 함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
개념원리 익히기·확인체크 31
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이 점이 직선 y=x-1 위에 있으므로
따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의
2kÛ`-k-5=k-1
x좌표는 -4, 2이다.
2kÛ`-2k-4=0, 2(k+1)(k-2)=0
⑶ 이차방정식 -xÛ`+8x-16=0에서
∴ k=2 (∵ k>0)
2
xÛ`-8x+16=0, (x-4)Û`=0
154
이차함수의 식을 y=a(x+3)(x-1)`(a는 상수)로
놓으면 이 함수의 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로
3=-3a ∴ a=-1
따라서 이차함수의 식은
y =-(x+3)(x-1)=-xÛ`-2x+3
이 함수의 그래프가 점 (2, k)를 지나므로
k=-4-4+3=-5
155
주어진 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프에서
그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
y축과의 교점이 원점이므로 c=0
ㄱ. a>0, b>0이므로 ab>0
ㄴ. x=-1일 때 y<0이므로 a-b+c<0
이때 c=0이므로 a-b<0
ㄷ. x=-2일 때 y=0이므로 4a-2b+c=0
ㄹ. x=
일 때 y>0이므로
a+
b+c>0
1
9
;3!;
;3!;
1
9
∴ x=4 (중근)
x좌표는 4이다.
따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의
⑴ -2, 0 ⑵ -4, 2 ⑶ 4
157
⑴ 이차방정식 xÛ`+2x-4=0의 판별식 D가
-5
;;4;D;
=1Û`-1_(-4)=5>0
이므로 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의
개수는 2이다.
⑵ 이차방정식 2xÛ`-3x+3=0의 판별식 D가
D=(-3)Û`-4_2_3=-15<0
이므로 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의
⑶ 이차방정식 -xÛ`+4x-4=0의 판별식 D가
=2Û`-(-1)_(-4)=0
;;4;D;
이므로 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의
개수는 1이다.
⑷ 이차방정식 3xÛ`-4x-2=0의 판별식 D가
=(-2)Û`-3_(-2)=10>0
;;4;D;
(a+3b+9c)>0 ∴ a+3b+9c>0
이므로 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
ㄱ, ㄷ, ㄹ
개수는 2이다.
⑴ 2 ⑵ 0 ⑶ 1 ⑷ 2
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 -
<0 ∴ b>0
개수는 0이다.
b
2a
따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의
2xÛ`-9x+4=0, (2x-1)(x-4)=0
156
⑴ 이차방정식 3xÛ`+6x=0에서
3x(x+2)=0 ∴ x=0 또는 x=-2
x좌표는 -2, 0이다.
⑵ 이차방정식 -xÛ`-2x+8=0에서
xÛ`+2x-8=0, (x+4)(x-2)=0
∴ x=-4 또는 x=2
32 Ⅱ. 방정식과 부등식
158
⑴ 2xÛ`+x-2=10x-6에서
∴ x=
또는 x=4
;2!;
x좌표는
, 4이다.
1
2
따라서 주어진 이차함수의 그래프와 직선의 교점의
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개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
⑵ -xÛ`+3x-1=-x-6에서
xÛ`-4x-5=0, (x+1)(x-5)=0
∴ x=-1 또는 x=5
160
이차함수 y=xÛ`+ax-4의 그래프와 x축의 교점의 x
좌표가 -1, b이므로 이차방정식 xÛ`+ax-4=0의 두
따라서 주어진 이차함수의 그래프와 직선의 교점의
근이 -1, b이다.
x좌표는 -1, 5이다.
⑶ xÛ`-3x+7=3x-2에서
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
-1+b=-a, -1_b=-4
xÛ`-6x+9=0, (x-3)Û`=0 ∴ x=3 (중근)
따라서 주어진 이차함수의 그래프와 직선의 교점의
∴ a=-3, b=4
∴ ab=-12
x좌표는 3이다.
-12
⑴
, 4 ⑵ -1, 5 ⑶ 3
1
2
159
⑴ xÛ`-3x+3=x-2에서 xÛ`-4x+5=0
이 이차방정식의 판별식 D가
하여
161
이차함수 y=xÛ`+2x+k의 그래프가 x축과 만나는 두
점의 x좌표를 a, b라 하면 a, b는 이차방정식
xÛ`+2x+k=0의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의
a+b=-2, ab=k
yy ㉠
=(-2)Û`-1_5=-1<0
;;4;D;
이므로 주어진 이차함수의 그래프와 직선은 만나지
않는다.
⑵ 4xÛ`+5x+2=x+1에서 4xÛ`+4x+1=0
이 이차방정식의 판별식 D가
이때 두 점 사이의 거리가 4이므로
|a-b|=4
양변을 제곱하면 (a-b)Û`=16
∴ (a+b)Û`-4ab=16
㉠ 을 ㉡에 대입하면
yy ㉡
=2Û`-4_1=0
;;4;D;
에서 만난다.(접한다.)
이므로 주어진 이차함수의 그래프와 직선은 한 점
다른풀이 y =xÛ`+2x+k=(x+1)Û`+k-1
이므로 이 이차함수의 그래프의 축의 방정식은 x=-1
(-2)Û`-4k=16 ∴ k=-3
-3
⑶ 2xÛ`+3x=2x-1에서 2xÛ`+x+1=0
이다.
또, 주어진 이차함수의 그래프
(cid:90)
이 이차방정식의 판별식 D가
D=1Û`-4_2_1=-7<0
이므로 주어진 이차함수의 그래프와 직선은 만나지
않는다.
⑷ -2xÛ`+8x+2=2x+5에서 2xÛ`-6x+3=0
이 이차방정식의 판별식 D가
=(-3)Û`-2_3=3>0
;;4;D;
이므로 주어진 이차함수의 그래프와 직선은 서로
다른 두 점에서 만난다.
(cid:34)
(cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:18)
(cid:35)
(cid:48) (cid:18)
(cid:89)
가 x축과 만나는 두 점을 각각
A, B라 하면 ABÓ=4이므로
A(-3, 0), B(1, 0)
따라서 이차방정식
관계에 의하여
-3_1=k ∴ k=-3
xÛ`+2x+k=0의 두 근이 -3, 1이므로 근과 계수의
⑴ 만나지 않는다.
⑵ 한 점에서 만난다. (접한다.)
⑶ 만나지 않는다.
⑷ 서로 다른 두 점에서 만난다.
하면
;;4;D;
162
이차방정식 xÛ`-2kx+kÛ`+k+3=0의 판별식을 D라
=(-k)Û`-(kÛ`+k+3)=-k-3
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⑴ 서로 다른 두 점에서 만나려면 D>0이어야 하므로
k=-3을 ㉠에 대입하면 2xÛ`+6x=0
-k-3>0 ∴ k<-3
⑵ 접하려면 D=0이어야 하므로
-k-3=0 ∴ k=-3
⑶ 만나지 않으려면 D<0이어야 하므로
-k-3<0 ∴ k>-3
⑴ k<-3 ⑵ k=-3 ⑶ k>-3
x(x+3)=0 ∴ x=-3 또는 x=0
따라서 점 B의 x좌표는 0이므로 y=-3
즉, 구하는 점 B의 좌표는 (0, -3)이다. (0, -3)
166
이차함수 y=xÛ`-ax+b의 그래프와 직선
y=2x-1의 교점의 x좌표는 이차방정식
163
이차함수 y=axÛ`-8x+a+6의 그래프가 x축과 접하
xÛ`-ax+b=2x-1, 즉
xÛ`-(a+2)x+b+1=0
려면 이차방정식 axÛ`-8x+a+6=0의 판별식을 D라
의 실근과 같다.
yy ㉠
할 때 D=0이어야 하므로
=(-4)Û`-a(a+6)=0
;;4;D;
aÛ`+6a-16=0, (a+8)(a-2)=0
∴ a=-8 또는 a=2
∴ aÛ`+bÛ`=(-8)Û`+2Û`=68
68
164
이차함수 y=2xÛ`-3x+1의 그래프와 직선
y=ax+b의 교점의 x좌표는 이차방정식
2xÛ`-3x+1=ax+b, 즉
이때 a, b가 유리수이고 이차방정식 ㉠의 한 근이
2-
3이므로 다른 한 근은 2+
3이다.
'
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
'
'
'
(2-
3)+(2+
3)=a+2
'
3)=b+1
'
(2-
3)(2+
∴ a=2, b=0
∴ a+b=2
2
167
이차방정식 xÛ`-5x-3=-x+k, 즉
xÛ`-4x-3-k=0의 판별식을 D라 하면
2xÛ`-(3+a)x+1-b=0
yy ㉠
의 실근과 같으므로 이차방정식 ㉠의 두 근이 -2, 5
=(-2)Û`-(-3-k)=k+7
;;4;D;
⑴ 서로 다른 두 점에서 만나려면 D>0이어야 하므로
이다.
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
-2+5=
, -2_5=
3+a
2
1-b
2
∴ a=3, b=21 ∴ a+b=24
165
이차함수 y=2xÛ`+5x-3의 그래프와 직선
y=-x+k의 교점의 x좌표는 이차방정식
2xÛ`+5x-3=-x+k, 즉
2xÛ`+6x-3-k=0
k+7>0 ∴ k>-7
⑵ 접하려면 D=0이어야 하므로
k+7=0 ∴ k=-7
24
⑶ 만나지 않으려면 D<0이어야 하므로
k+7<0 ∴ k<-7
⑴ k>-7 ⑵ k=-7 ⑶ k<-7
168
직선 y=ax+b는 직선 y=-2x+3과 평행하므로
yy ㉠
a=-2
의 실근과 같으므로 이차방정식 ㉠의 한 근이 -3이다.
직선 y=-2x+b가 이차함수 y=xÛ`+x+4의 그래
x=-3을 ㉠에 대입하면
18-18-3-k=0 ∴ k=-3
프에 접하므로 이차방정식 xÛ`+x+4=-2x+b, 즉
xÛ`+3x+4-b=0의 판별식을 D라 하면
34 Ⅱ. 방정식과 부등식
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D=3Û`-4(4-b)=0
x=1일 때 y=-1, x= 2 일 때 y= -3 , x=4일
4b-7=0 ∴ b=
;4&;
a=-2, b=
;4&;
때 y= 5
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
169
이차함수 y=xÛ`-2mx+1+mÛ`의 그래프와 직선
y=2x-1이 적어도 한 점에서 만나므로 이차방정식
xÛ`-2mx+1+mÛ`=2x-1, 즉
xÛ`-2(m+1)x+2+mÛ`=0의 판별식을 D라 하면
=(m+1)Û`-(2+mÛ`)æ¾0
;;4;D;
2m-1æ¾0 ∴ m¾æ
;2!;
m¾
;2!;
170
1, 1, 1, -1, 없다
171
⑴ x=2일 때 최솟값 1을 갖고, 최댓값은 없다.
⑵ x=3일 때 최댓값 0을 갖고, 최솟값은 없다.
⑶ y =2xÛ`+6x+3
=2
=2
xÛ`+3x+
{
Û`-
x+
;2#;}
[
{
3
2
Û`-
3
2 }
Û`
]
{;2#;}
+3
은 없다.
⑷ y =-3xÛ`+12x-15
=-3(xÛ`-4x+4-4)-15
=-3(x-2)Û`-3
따라서 x=2일 때 최댓값 -3을 갖고, 최솟값은 없다.
풀이 참조
따라서 구하는 최댓값은 5 , 최솟값은 -3 이다.
풀이 참조
173
⑴ 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 x좌표 -1은 주어
진 범위에 포함되지 않는다.
x=0일 때 y=4, x=1일 때 y=7
따라서 최댓값은 7, 최솟값은 4이다.
⑵ 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 x좌표 1은 주어진
x=-1일 때 y=15, x=1일 때 y=3, x=2일 때
범위에 포함된다.
y=6
따라서 최댓값은 15, 최솟값은 3이다.
⑶ y=-2xÛ`+4x-5=-2(x-1)Û`-3
이므로 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 x좌표 1은
주어진 범위에 포함되지 않는다.
x=2일 때 y=-5, x=3일 때 y=-11
따라서 최댓값은 -5, 최솟값은 -11이다.
⑷ y=-4xÛ`+4x+3=-4
{
x-
;2!;}
Û`+4
이므로 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 x좌표
은
1
2
x=-1일 때 y=-5, x=
일 때 y=4, x=3일 때
1
2
y=-21
따라서 최댓값은 4, 최솟값은 -21이다.
풀이 참조
따라서 x=-
일 때 최솟값 -
을 갖고, 최댓값
;2#;
3
2
주어진 범위에 포함된다.
172
y=2xÛ`-8x+5=2(x- 2 )Û`- 3 이므로 이차함수
의 그래프의 꼭짓점의 x좌표 2 는 주어진 범위에 포
174
1
2
값 5를 가지므로
이차함수 y=-
xÛ`+3ax+b가 x=-2에서 최댓
함된다.
y=-
(x+2)Û`+5=-
xÛ`-2x+3
;2!;
;2!;
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x=0일 때 y=1, x=
일 때 y=
, x=1일 때 y=0
;3!;
;3$;
이므로 t=-4일 때 최솟값 -9를 갖는다.
-9
즉, 3a=-2, b=3 ∴ a=-
, b=3
;3@;
∴ ab=-
_3=-2
;3@;
-2
y =axÛ`+2x+4+2a=a
{
x+
;a!;}
Û`-
;a!;
+4+2a
이 이차함수의 최댓값이 존재하므로 a<0
최댓값이 3이므로 -
+4+2a=3
2aÛ`+a-1=0, (a+1)(2a-1)=0
∴ a=-1 또는 a=
;a!;
;2!;
그런데 a<0이므로 a=-1
-1
175
176
y =-3xÛ`+2x+1=-3
{
x-
Û`+
1
3 }
;3$;
이므로 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 x좌표
이
1
3
0ÉxÉ1에 포함된다.
따라서 M=
, m=0이므로
;3$;
M+m=
;3$;
177
;3!;
y=
xÛ`-2x+k=
(x-3)Û`-3+k
;3!;
이 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 x좌표 3이
-3ÉxÉ4에 포함되므로 x=3일 때 최솟값 -3+k
를 갖는다.
즉, -3+k=-1 ∴ k=2
따라서 y=
(x-3)Û`-1에서
;3!;
x=-3일 때 y=11,
x=4일 때 y=-
;3@;
댓값은 11이다.
(cid:90)
(cid:18)(cid:18)
(cid:14)(cid:20)
(cid:19)
(cid:20)
(cid:14)
(cid:48)
(cid:20)
(cid:21)
(cid:14)(cid:18)
36 Ⅱ. 방정식과 부등식
178
xÛ`-2x=t로 놓으면
t=xÛ`-2x=(x-1)Û`-1
∴ t¾-1
이때 주어진 함수는
y =tÛ`-2t-5
=(t-1)Û`-6`(t¾-1)
이므로 t=1일 때 최솟값 -6을 갖는다.
-6
179
y =(xÛ`+4x+5)(xÛ`+4x+2)+3xÛ`+12x+5
=(xÛ`+4x+5)(xÛ`+4x+2)+3(xÛ`+4x)+5
xÛ`+4x=t로 놓으면
t=xÛ`+4x=(x+2)Û`-4
∴ t¾-4
이때 주어진 함수는
y =(t+5)(t+2)+3t+5=tÛ`+10t+15
=(t+5)Û`-10`(t¾-4)
;3$;
180
xÛ`+2x+2=t로 놓으면
t =xÛ`+2x+2
=(x+1)Û`+1
-3ÉxÉ0이므로 [그림 1]에서
(cid:85)(cid:30)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:12)(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:19)
(cid:85)
(cid:22)
(cid:19)
(cid:18)
=(t-2)Û`-5`(1ÉtÉ5)
(cid:90)(cid:30)(cid:85)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:21)(cid:85)(cid:14)(cid:18)
1ÉtÉ5
이때 주어진 함수는
y =tÛ`-4t-1
이므로 [그림 2]에서
t=5일 때 최댓값 4,
t=2일 때 최솟값 -5
를 갖는다.
4+(-5)=-1
11
(cid:14)(cid:20)
(cid:14)(cid:18)
(cid:48) (cid:89)
[그림 1]
(cid:90)
(cid:21)
(cid:14)(cid:21)
(cid:14)(cid:22)
(cid:18) (cid:19)
(cid:48)
(cid:22)
(cid:85)
[그림 2]
-1
이므로 주어진 이차함수의 최
(cid:89)
따라서 최댓값과 최솟값의 합은
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181
4xÛ`+yÛ`-16x+2y+1
=4(xÛ`-4x+4)+(yÛ`+2y+1)-16
=4(x-2)Û`+(y+1)Û`-16
이때 x, y는 실수이므로 (x-2)Û`¾0, (y+1)Û`¾0
∴ 4xÛ`+yÛ`-16x+2y+1¾-16
(20-y) : x=20 : 40, 20x=40(20-y)
∴ x=2(20-y)
이때 변의 길이는 항상 양수이므로 01
;;4;D;
k>1
이때 나머지 두 근은 이차방정식 xÛ`-2x+3=0의 두
근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 두 근의
196
f(x)=xÜ`-3xÛ`+(a+2)x-a라 하면
곱은 3이다.
3
f(1)=1-3+a+2-a=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
194
f(x)=xÜ`+xÛ`+kx-k-2라 하면
f(1)=1+1+k-k-2=0
1 1 1 `k `-k-2
1 `2 ` k+2
1 2 k+2 ` 0
f(x)=(x-1)(xÛ`+2x+k+2)
이때 방정식 f(x)=0이 중근을 가지려면
Ú 이차방정식 xÛ`+2x+k+2=0이 x=1을 근으로
갖는 경우
1+2+k+2=0 ∴ k=-5
Û 이차방정식 xÛ`+2x+k+2=0이 중근을 갖는 경우
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
;;4;D;
=1-(k+2)=0 ∴ k=-1
Ú, Û에서 구하는 모든 실수 k의 값의 합은
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
1 1 -3 a+2 -a
1 `-2` a
1 -2 `a` 0
f(x)=(x-1)(xÛ`-2x+a)
이때 방정식 f(x)=0의 근이 모두 실수가 되려면 이
차방정식 xÛ`-2x+a=0이 실근을 가져야 한다.
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4
=1-a¾0 ∴ aÉ1
따라서 실수 a의 최댓값은 1이다.
1
197
처음 정육면체의 한 모서리의 길이를 x`cm라 하면
(x-1)(x+2)(x+3)=
xÜ`
;2%;
xÜ`+4xÛ`+x-6=
xÜ`
;2%;
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-5+(-1)=-6
-6
∴ 3xÜ`-8xÛ`-2x+12=0
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f(x)=3xÜ`-8xÛ`-2x+12라 하면
f(2)=24-32-4+12=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
2 3 -8 -2 12
6 -4 -12
3 -2 -6 0
f(x)=(x-2)(3xÛ`-2x-6)
∴ (x-2)(3xÛ`-2x-6)=0
이때 x는 자연수이므로 x=2
따라서 처음 정육면체의 한 모서리의 길이는 2`cm이
다.
2`cm
198
직육면체 모양의 상자의 가로의 길이는 (15-2x) cm,
세로의 길이는 (12-2x) cm, 높이는 x`cm이고 부피
가 176`cmÜ`이므로
x(15-2x)(12-2x)=176
∴ 2xÜ`-27xÛ`+90x-88=0
f(x)=2xÜ`-27xÛ`+90x-88이라 하면
f(2)=16-108+180-88=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
2 2 -27 90 -88
4 -46 88
2 -23 44 0
f(x)=(x-2)(2xÛ`-23x+44)
∴ (x-2)(2xÛ`-23x+44)=0
이때 x는 자연수이므로 x=2
참고 모서리의 길이는 양수이므로
15-2x>0, 12-2x>0, x>0
∴ 0-13이므로 해는 모든 실수이다.
따라서 주어진 부등식의 해는
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
이때 x, y가 실수이므로 x-2, y-1도 실수이다.
따라서 x-2=0, y-1=0이므로 x=2, y=1
∴ xy=2
2
a>2일 때, x>
다른풀이 xÛ`-4x+yÛ`-2y+5=0
yy ㉠
x가 실수이므로 이차방정식 ㉠이 실근을 가져야 한다.
a<2일 때, x<
-5a-3
a-2
-5a-3
a-2
(
\
{
\
9
㉠의 판별식을 D라 하면
=4-(yÛ`-2y+5)¾0
;;4;D;
yÛ`-2y+1É0, (y-1)Û`É0
이때 y도 실수이므로
y-1=0 ∴ y=1
y=1을 ㉠에 대입하면 xÛ`-4x+4=0
(x-2)Û`=0 ∴ x=2
∴ xy=2
226
⑴ a0이므로 ac0이므로 bc0, b>0이므로 a+b>0
a>b이므로 a-b>0
227
ax+3>2x-5a에서 (a-2)x>-5a-3
Ú a-2>0, 즉 a>2일 때,
x>
-5a-3
a-2
a=2일 때, 해는 모든 실수
풀이 참조
228
(a+b)x-2bÉ0에서 (a+b)xÉ2b
이 부등식의 해가 x¾-2이므로
(a+b)xÉ2b의 양변을 a+b로 나누면
yy ㉠
a+b<0
x¾
2b
a+b
따라서
=-2이므로
2b
a+b
2b=-2(a+b), 2a=-4b
∴ a=-2b
㉠에 a=-2b를 대입하면
-b<0 ∴ b>0
이때 bx-4a¾0에서 bx¾4a이므로
bx¾-8b (∵ a=-2b)
∴ x¾-8 (∵ b>0)
㉠을 풀면 3xæ¾-9 ∴ x¾æ-3
㉡을 풀면 9x-1É8+10x ∴ x¾æ-9
㉠, ㉡의 해를 수직선 위
에 나타내면 오른쪽 그림
㉠
㉡
(cid:89)
(cid:14)(cid:26) (cid:14)(cid:20)
과 같다.
∴ xæ¾-3
개념원리 익히기·확인체크 49
따라서 (a+b)(a-b)=aÛ`-bÛ`>0이므로
aÛ`>bÛ`
⑴ < ⑵ >
다른풀이 ⑵ b>0이므로 a>b에서 ab>bÛ`
a>0이므로 a>b에서 aÛ`>ab
따라서 aÛ`>ab>bÛ`이므로 aÛ`>bÛ`
229
4x+2¾x-7
⑴
[
9x-1É2(4+5x)
x¾-8
yy ㉠
yy ㉡
18_기본서(수학상)_해설_019~062_2단원(확)_ok.indd 49
2018-07-31 오후 7:29:09
⑵
[
3x+2<2(x-1)
-x-1É-3(x-3)
yy ㉠
yy ㉡
㉠을 풀면 3x+2<2x-2 ∴ x<-4
230
0.3(2x-1)¾
1.2x+1
x-1
3
á
{
»
㉠의 양변에 10을 곱하면
x+1
4
-
É
;6!;
3(2x-1)¾12x+10
yy ㉠
yy ㉡
-4
5
x
6x-3¾12x+10, -6x¾13 ∴ xÉ-
:Á6£:
㉡의 양변에 12를 곱하면
4(x-1)-3(x+1)É2, 4x-4-3x-3É2
yy ㉠
∴ xÉ9
yy ㉡
㉠, ㉡의 해를 수직선 위
㉠
㉡
에 나타내면 오른쪽 그
-:Á6£:
9
x
따라서 x의 값 중 가장 큰 정수는 -3이다.
-3
㉠을 풀면 -4xæÉ-4 ∴ x¾æ1
림과 같다.
∴ xÉ-
:Á6£:
231
⑴ 주어진 부등식은
x+7É5x+3
5x+3<6x-2
[
㉡을 풀면 x>5
㉠, ㉡의 해를 수직선 위
에 나타내면 오른쪽 그림
과 같다.
∴ x>5
⑵ 주어진 부등식은
x-3
2
É2-3x
2-3x<-
(2x-1)
3
4
á
{
»
㉠의 양변에 2를 곱하면
yy ㉠
yy ㉡
㉡
㉠
(cid:89)
(cid:18)
(cid:22)
yy ㉠
yy ㉡
㉠
(cid:89)
yy ㉠
yy ㉡
㉡을 풀면 -x-1É-3x+9
2xÉ10 ∴ xÉ5
㉠, ㉡의 해를 수직선 위
에 나타내면 오른쪽 그림
㉠
㉡
과 같다.
∴ x<-4
x-4É
3x+5
x<3-
;4#;
4-x
3
á
⑶
{
»
㉠을 풀면 -2xÉæ9 ∴ xæ¾-
;2(;
㉡의 양변에 12를 곱하면
9x<36-4(4-x), 9x<36-16+4x
5x<20 ∴ x<4
㉠, ㉡의 해를 수직선 위
㉡
에 나타내면 오른쪽 그
림과 같다.
(cid:26)
(cid:14)(cid:28)(cid:19)(cid:28)
(cid:21)
∴ -
Éx<4
;2(;
0.2x+0.9É
x-7
3
-
2x-5
4
0.3(x+4)
>-1
á
⑷
{
»
㉠의 양변에 10을 곱하면
2x+9É3(x+4), 2x+9É3x+12
∴ x¾-3
㉡의 양변에 12를 곱하면
4(x-7)-3(2x-5)>-12
4x-28-6x+15>-12
-2x>1 ∴ x<-
;2!;
㉠, ㉡의 해를 수직선
㉡
위에 나타내면 오른쪽
그림과 같다.
∴ -3Éx<-
;2!;
50 Ⅱ. 방정식과 부등식
㉠
x
-3
-;2!;
x-3É2(2-3x), x-3É4-6x
7xÉ7 ∴ xÉ1
㉡의 양변에 4를 곱하면
⑴ x¾-3 ⑵ x<-4
4(2-3x)<-3(2x-1), 8-12x<-6x+3
⑶ -
Éx<4 ⑷ -3Éx<-
;2(;
1
2
-6x<-5 ∴ x>
;6%;
18_기본서(수학상)_해설_019~062_2단원(확)_ok.indd 50
2018-07-31 오후 7:29:10
É
É
É
㉠, ㉡의 해를 수직선
㉠
위에 나타내면 오른쪽
그림과 같다.
∴
5 ⑵
2
따라서 주어진 연립부등식의 해는 1ÉxÉ5이므로 정
㉡의 양변에 2를 곱하면
수 x는 1, 2, 3, 4, 5의 5개이다.
2x-12É-x-6, 3xÉ6 ∴ xÉ2
232
주어진 부등식은
5-4(x+5)É5(3-2x)
5(3-2x)É8x-3
[
㉠을 풀면 5-4x-20É15-10x
6xÉ30 ∴ xÉ5
㉡을 풀면 15-10xÉ8x-3
-18xÉ-18 ∴ x¾1
㉠, ㉡의 해를 수직선 위에
㉠
나타내면 오른쪽 그림과
같다.
233
x+8É-x+4
5x+3¾x-5
⑴
[
㉠을 풀면 2xÉ-4 ∴ xÉ-2
㉡을 풀면 4x¾-8 ∴ x¾-2
㉠, ㉡의 해를 수직선 위
㉠
에 나타내면 오른쪽 그
림과 같다.
∴ x=-2
5x<3(2x-1)
2(x-3)¾4x-2
⑵
[
㉠을 풀면 5x<6x-3
-x<-3 ∴ x>3
㉡을 풀면 2x-6¾4x-2
-2x¾4 ∴ xÉ-2
0.3x-0.1¾0.2x+0.4
x+5É-
x-2
;2!;
⑶ á
{
»
;3@;
㉠의 양변에 10을 곱하면
3x-1¾2x+4 ∴ x¾5
㉡의 양변에 6을 곱하면
4x+30É-3x-12, 7xÉ-42 ∴ xÉ-6
㉠, ㉡의 해를 수직선 위
㉡
㉠
에 나타내면 오른쪽 그
림과 같다.
-6
5
x
따라서 주어진 연립부등식의 해는 없다.
⑷ 주어진 부등식은
2-3x-3
㉡을 풀면 7xÉb-4 ∴ xÉ
b-4
7
주어진 연립부등식의 해가 a7x-3에서 5x+5>7x-3
-2x>-8 ∴ x<4
6x+2>5x+k에서 x>k-2
주어진 연립부등식의 정수
㉠
인 해가 2개가 되도록 ㉠,
㉡을 수직선 위에 나타내
yy ㉠
yy ㉡
㉡
3
x
4
1
2
k-2
면 오른쪽 그림과 같아야 한다. 이때 정수인 해는 2, 3
1
1Ék-2<2 ∴ 3Ék<4
3Ék<4
참고 k-2=2, 즉 k=4이면 연립부등식의 정수인 해는 3
이고
하나뿐이다.
236
4-x<2(x-1)에서 4-x<2x-2
-3x<-6 ∴ x>2
3x-aÉ2x에서 xÉa
주어진 연립부등식이 해를
㉡
갖지 않도록 ㉠, ㉡을 수직
선 위에 나타내면 오른쪽
그림과 같아야 하므로
yy ㉠
yy ㉡
㉠
a
2
x
239
주어진 조건을 식으로 세우면
-7É0
;2{;'
2(x-3)>10
á
{
»
;2{;
-7É0에서
É7
;2{;
aÉ2
237
x-2
6
<
;3{;
의 양변에 6을 곱하면
x-2<2x ∴ x>-2
2(x+1)>3x-a에서 2x+2>3x-a
∴ x-4
a>-4
참고 등호가 포함될 때, 즉 a+2=-2일 때 a=-4이므로
aÉ2
∴ xÉ14
2(x-3)>10에서 2x-6>10, 2x>16
∴ x>8
㉠, ㉡의 공통부분은 8
;2#;
;2%;
⑵
;4(;
3
㉠, ㉡의 공통부분은 34에서
2x-1<-4 또는 2x-1>4
∴ x<-
또는 x>
;2#;
;2%;
⑵ 1<
5-
|
x
|
;3$;
<2에서
;3$;
;3$;
;3$;
-2<5-
x<-1 또는 1<5-
x<2
;3$;
Ú -2<5-
x<-1에서
-7<-
x<-6, 6<
x<7
;3$;
∴
-1
그런데 x<2이므로 -10, g(x)<0일 때,
f(x)>0, g(x)<0 또는 f(x)<0, g(x)>0
x
;3@;
245
2|x-1|+|x+3|É5에서
Ú x<-3일 때,
f(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는
x<-3 또는 x>3
yy ㉠
g(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는
x<0 또는 x>5
yy ㉡
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
|x-1|=-(x-1), |x+3|=-(x+3)이므로
x<-3 또는 x>5
-2(x-1)-(x+3)É5
Û f(x)<0, g(x)>0일 때,
-3xÉ6 ∴ x¾-2
그런데 x<-3이므로 해는 없다.
Û -3Éx<1일 때,
|x-1|=-(x-1), |x+3|=x+3이므로
f(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는
-30을 만족시키는 x의 값의 범위는
05
|x-1|=x-1, |x+3|=x+3이므로
⑴ xÉ-1 또는 x¾4
2(x-1)+(x+3)É5
⑵ x<-3 또는 05
54 Ⅱ. 방정식과 부등식
18_기본서(수학상)_해설_019~062_2단원(확)_ok.indd 54
2018-07-31 오후 7:29:13
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
2
x
풀이 참조
yy ㉠
247
axÛ`+(b-m)x+c-nÉ0에서
axÛ`+bx+cÉmx+n
⑹ 2xÛ`É4(2x-5)+11에서
2xÛ`É8x-20+11
2xÛ`-8x+9É0
2(x-2)Û`+1É0
따라서 이 부등식의 해는 이차함수 y=axÛ`+bx+c의
그래프가 직선 y=mx+n보다 아래쪽에 있거나 만나
따라서 주어진 부등식의 해는 없다.
는 부분의 x의 값의 범위이므로
-2ÉxÉ2
-2ÉxÉ2
248
⑴ 2(xÛ`-2x)+1>-x+3에서
2xÛ`-4x+1>-x+3, 2xÛ`-3x-2>0
(2x+1)(x-2)>0
∴ x<-
;2!; 또는 x>2
⑵ -xÛ`+3¾-6x에서
xÛ`-6x-3É0
xÛ`-6x-3=0의 근을 구하면
x=3Ñ2
3
'
따라서 주어진 부등식의 해는
3-2
3ÉxÉ3+2
'
3
'
⑶ xÛ`+9>6x에서
xÛ`-6x+9>0
(x-3)Û`>0
따라서 주어진 부등식의 해는
x+3인 모든 실수이다.
⑷ 5xÛ`-10x+7ÉxÛ`+2x-2에서
4xÛ`-12x+9É0
(2x-3)Û`É0
∴ x=
;2#;
⑸ -2xÛ`-2x<3에서
2xÛ`+2x+3>0
2
x+
{
+
>0
;2%;
;2!;}
2`
따라서 주어진 부등식의 해는 모든 실수이다.
249
axÛ`+2ax-3a>0에서
a(xÛ`+2x-3)>0
a(x+3)(x-1)>0
Ú a>0일 때,
㉠의 양변을 a로 나누면
(x+3)(x-1)>0 ∴ x<-3 또는 x>1
Û a=0일 때,
Ü a<0일 때,
㉠에서 0_(x+3)(x-1)>0이므로 해는 없다.
㉠의 양변을 a로 나누면
(x+3)(x-1)<0 ∴ -30일 때, x<-3 또는 x>1
a=0일 때, 해는 없다.
a<0일 때, -30이므로
|x|-3<0, |x|<3 ∴ -30의 부등호의 방향
yy ㉠
253
x+
{
;2!;}{
x-
;3!;}
<0
∴ xÛ`+
x-
<0
;6!;
;6!;
이 다르므로
a<0
㉠의 양변에 a를 곱하면 axÛ`+
x-
>0
;6A;
;6A;
이 부등식이 axÛ`+bx+1>0과 일치하므로
b=
, 1=-
∴ a=-6, b=-1
;6A;
;6A;
∴ a+b=-7
-7
18_기본서(수학상)_해설_019~062_2단원(확)_ok.indd 56
2018-07-31 오후 7:29:14
254
해가 x<-3 또는 x>5이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부
다른풀이 f(x)<0의 해가 x<-2 또는 x>1이므
로 f(x)¾0의 해는 -2ÉxÉ1이다.
따라서 f(3x-1)¾0의 해는 -2É3x-1É1에서
㉠과 주어진 부등식 axÛ`+bx+c<0의 부등호의 방향
-1É3xÉ2 ∴ -
ÉxÉ
;3!;
;3@;
yy ㉠
등식은
(x+3)(x-5)>0
∴ xÛ`-2x-15>0
이 다르므로
a<0
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
㉠의 양변에 a를 곱하면 axÛ`-2ax-15a<0
이 부등식이 axÛ`+bx+c<0과 일치하므로
b=-2a, c=-15a
㉡을 cxÛ`+bx+a<0에 대입하면
-15axÛ`-2ax+a<0
양변을 -a로 나누면
15xÛ`+2x-1<0`(∵ -a>0)
(3x+1)(5x-1)<0 ∴ -
0 ∴ a>1
yy ㉠
yy ㉠
주어진 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면
다른풀이 a<0이고 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의
두 근이 -3, 5이므로 근과 계수의 관계에 의하여
-3+5=-
, -3_5=
;aB;
;aC;
∴ b=-2a, c=-15a
255
해가 x<-2 또는 x>1이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부
등식은
(x+2)(x-1)>0
에 a<0인 상수 a를 곱하면
a(x+2)(x-1)<0
즉, f(x)=a(x+2)(x-1)이라 하면
f(3x-1) =a(3x-1+2)(3x-1-1)
=a(3x+1)(3x-2)
부등식 f(3x-1)¾0, 즉 a(3x+1)(3x-2)¾0에서
(3x+1)(3x-2)É0 (∵ a<0)
257
모든 실수 x에 대하여 부등식
(a-1)xÛ`-2(a-1)x+1>0이 성립하려면
Ú a-1=0, 즉 a=1일 때,
0_xÛ`-0_x+1>0에서 1>0이므로 주어진 부
등식은 모든 실수 x에 대하여 성립한다.
Û a-1+0, 즉 a+1일 때,
또, 이차방정식 (a-1)xÛ`-2(a-1)x+1=0의
판별식을 D라 하면
;;4;D;
=(a-1)Û`-(a-1)<0
aÛ`-3a+2<0, (a-1)(a-2)<0
∴ 12x-kÛ`, 즉
xÛ`-2(2k+1)x+kÛ`+1>0이 성립해야 한다.
이차방정식 xÛ`-2(2k+1)x+kÛ`+1=0의 판별식을
D라 하면
=(2k+1)Û`-(kÛ`+1)<0
;;4;D;
3kÛ`+4k<0, k(3k+4)<0
259
이차부등식 2xÛ`-ax-a+6<0이 해를 가지려면 이
차방정식 2xÛ`-ax-a+6=0이 서로 다른 두 실근을
가져야 하므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D=aÛ`-8(-a+6)>0
aÛ`+8a-48>0, (a+12)(a-4)>0
∴ a<-12 또는 a>4
a<-12 또는 a>4
260
이차부등식 (a-3)xÛ`-2(a-3)x-2>0의 해가 존
재하지 않으려면 모든 실수 x에 대하여 이차부등식
(a-3)xÛ`-2(a-3)x-2É0이 성립해야 한다.
a-3<0에서 a<3
yy ㉠
이차방정식 (a-3)xÛ`-2(a-3)x-2=0의 판별식
을 D라 하면
=(a-3)Û`+2(a-3)É0
;;4;D;
aÛ`-4a+3É0, (a-1)(a-3)É0
∴ 1ÉaÉ3
㉠, ㉡의 공통부분은 1Éa<3
yy ㉡
1Éa<3
261
이차부등식 (a+1)xÛ`-2(a+1)x+1É0이 단 하나
의 해를 가지려면
a+1>0 ∴ a>-1
58 Ⅱ. 방정식과 부등식
이차방정식 (a+1)xÛ`-2(a+1)x+1=0의 판별식
을 D라 하면
=(a+1)Û`-(a+1)=0
;;4;D;
aÛ`+a=0, a(a+1)=0
∴ a=-1 또는 a=0
㉠, ㉡에서 a=0
262
f(x)=xÛ`-2ax+aÛ`-16이
f(x)<0이 항상 성립하려면
y=f(x)의 그래프는 오른쪽
그림과 같아야 한다.
yy ㉡
0
y
y=f(x)
-2
O
4
x
Ú f(-2)<0에서 4+4a+aÛ`-16<0
aÛ`+4a-12<0, (a+6)(a-2)<0
∴ -6aÛ`-8에서 xÛ`-4x-aÛ`+8>0
f(x) =xÛ`-4x-aÛ`+8이라 하면
f(x)=(x-2)Û`-aÛ`+4
-1ÉxÉ2에서 f(x)>0이 항
(cid:90)
(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)
y=f(x)의 최솟값인 f(2)가 0
(cid:48)(cid:14)(cid:18)
(cid:19)
(cid:89)
상 성립하려면 y=f(x)의 그래
프는 오른쪽 그림과 같아야 한
다. 즉, -1ÉxÉ2에서
보다 커야 하므로
f(2)=-aÛ`+4>0
aÛ`-4<0, (a+2)(a-2)<0
∴ -20
(x+3)(x-4)>0
∴ x<-3 또는 x>4
yy ㉡
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
y
O
-2aÛ`x-4, 즉
2xÛ`+(aÛ`-3a)x-12<0
이 항상 성립해야 한다.
f(x)=2xÛ`+(aÛ`-3a)x-12
라 하면 -20
-2
1
x
(x+4)(x-2)>0
∴ x<-4 또는 x>2
yy ㉠
xÛ`-15É-2x에서 xÛ`+2x-15É0
Ú f(-2)É0에서 8-2(aÛ`-3a)-12É0
aÛ`-3a+2¾0, (a-1)(a-2)¾0
(x+5)(x-3)É0
∴ -5ÉxÉ3
yy ㉡
∴ aÉ1 또는 a¾2
yy ㉠
Û f(1)É0에서 2+aÛ`-3a-12É0
aÛ`-3a-10É0, (a+2)(a-5)É0
㉠
㉠
㉡
-5 -4
2
3
x
∴ -2ÉaÉ5
㉠, ㉡의 공통부분은
-2ÉaÉ1 또는 2ÉaÉ5
yy ㉡
㉠, ㉡의 공통부분은
-5Éx<-4 또는 20
[
xÛ`-(6-a)x-6aÉ0
㉠에서 (x-2)(x-4)>0
풀이 참조
yy ㉠
yy ㉡
∴ -24
개념원리 익히기·확인체크 59
18_기본서(수학상)_해설_019~062_2단원(확)_ok.indd 59
2018-07-31 오후 7:29:16
㉡에서 (x+a)(x-6)É0
Ú -a>6일 때, 6ÉxÉ-a
Û -a=6일 때, (x-6)Û`É0 ∴ x=6
Ü -a<6일 때, -aÉxÉ6
㉡에서 (2x-3)(x-a)<0
Ú a>
일 때,
0
aÛ`-4<0, (a+2)(a-2)<0
∴ -20, 15-x>0, 15-x>x
∴ 00
㉠에서 (x+1)(x-6)É0 ∴ -1ÉxÉ6
㉡에서 (x+a)(x-1)>0
Ú -a>1일 때, x<1 또는 x>-a
Û -a=1일 때, (x-1)Û`>0이므로
해는 x+1인 모든 실수이다.
Ü -a<1일 때, x<-a 또는 x>1
㉠, ㉡의 해의 공통부분이 11이어야 하고
따라서 정수 a의 최솟값은 1이다.
1
실수 a의 값의 범위는
-aÉ-1 ∴ a¾1
268
xÛ`-x-6>0
[
2xÛ`-(2a+3)x+3a<0
㉠에서 (x+2)(x-3)>0
∴ x<-2 또는 x>3
60 Ⅱ. 방정식과 부등식
18_기본서(수학상)_해설_019~062_2단원(확)_ok.indd 60
2018-07-31 오후 7:29:17
36Éx(15-x)에서 xÛ`-15x+36É0
(x-3)(x-12)É0 ∴ 3ÉxÉ12
yy ㉡
x(15-x)É50에서 xÛ`-15x+50¾0
273
이차방정식 xÛ`+(aÛ`-a-12)x+aÛ`-6a+5=0의
두 근을 a, b라 하면 두 근의 부호가 서로 다르므로
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
ab=aÛ`-6a+5<0
yy ㉢
(a-1)(a-5)<0
∴ 10
D
4
3mÛ`+4m<0, m(3m+4)<0
∴ -
0이므로 2(m-2)<0
Ü ab=
에서 mÛ`+1>0이므로 항상 ab>0
∴ m<2
4
mÛ`+1
이다.
274
f(x)=xÛ`-kx+k+3이라 하면
이차방정식 f(x)=0의 두 근이
y=f(x)
모두 -3보다 크므로 y=f(x)의
-3
x
그래프는 오른쪽 그림과 같아야
yy ㉠
한다.
Ú 이차방정식 f(x)=0의 판별식을 D라 하면
D=kÛ`-4(k+3)¾0
kÛ`-4k-12¾0, (k+2)(k-6)¾0
yy ㉡
∴ kÉ-2 또는 k¾6
yy ㉠
Û f(-3)=9+3k+k+3>0에서
4k>-12 ∴ k>-3
yy ㉡
Ü y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=
이므로
즉, m은 모든 실수이다.
yy ㉢
따라서 ㉠, ㉡, ㉢을 모두 만족시키는 실수 m의 값의
범위는
-
-3 ∴ k>-6
;2K;
㉠, ㉡, ㉢의 공통부분은
-30에서 k>1
Û f(1)=2+3m+5m-2>0에서
f(3)=9-12+k-1>0에서 k>4
8m>0 ∴ m>0
yy ㉡
Ü y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=2이고
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
40, (m-2)(m-7)>0
∴ m<2 또는 m>7
m<2 또는 m>7
Ü y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=-
3m
4
이
므로
-
3m
4
㉠, ㉡, ㉢의 공통부분은
<1 ∴ m>-
;3$;
yy ㉢
00에서
-a>-4 ∴ a<4
yy ㉡
Ü y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=-a이므로
-a<-2 ∴ a>2
yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢의 공통부분은
3Éa<4
따라서 실수 a의 최솟값은 3이다.
3
y=f(x)
이 모두 0과 3 사이에 있으므로
0
x3
277
f(x)=xÛ`-4x+k-1이라 하
면 이차방정식 f(x)=0의 두 근
y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그
림과 같아야 한다.
62 Ⅱ. 방정식과 부등식
18_기본서(수학상)_해설_019~062_2단원(확)_ok.indd 62
2018-09-05 오전 10:12:45
∴ PQÓ =
0-
+(2-0)Û`=
¾¨{
;3@;}
2`
=
0
2
1
'
3
®É:¢9¼:
2
0
1
'
3
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
Ⅲ. 도형의 방정식
279
ABÓ=2
3이므로
'
(1-a)Û`+(
2-a-3)Û`=2
3
"Ã
양변을 제곱하면 (1-a)Û`+(-a-1)Û`=12
'
aÛ`=5 ∴ a=
5 (∵ a>0 )
'
5
'
b=-a+2
yy ㉠
점 P(a, -a+2)가 두 점 A(2, 3), B(1, 4)에서 같
283
점 P(a, b)가 직선 y=-x+2 위의 점이므로
280
ABÓ=2
BCÓ이므로
(10-4)Û`+{1-(-5)}Û`=2
"Ã
양변을 제곱하여 정리하면
"Ã
(a-10)Û`+(4-1)Û`
aÛ`-20a+91=0, (a-7)(a-13)=0
은 거리에 있으므로
APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`
2aÛ`-2a+5=2aÛ`+2a+5
-4a=0 ∴ a=0
∴ a=7 또는 a=13
7,13
a=0을 ㉠에 대입하면 b=2
(a-2)Û`+(-a+2-3)Û`=(a-1)Û`+(-a+2-4)Û`
∴ a-b=0-2=-2
-2
281
두 점 A, B 사이의 거리 ABÓ는
ABÓ =
{a-(-1)}Û`+(5-a)Û`
"Ã
"Ã
"Ã
=
2aÛ`-8a+26
=
2(a-2)Û`+18
따라서 ABÓ는 a=2일 때 최솟값
8=3
1
'
'
2를 갖는다.
284
삼각형 ABC의 외심을 P(x, y)라 하면 점 P에서 세
꼭짓점에 이르는 거리는 같으므로
PAÓ=PBÓ=PCÓ
PAÓ=PBÓ에서 PAÓ Û`=PBÓ Û`이므로
2
282
두 점 P, Q의 좌표를 각각 (a, 0), (0, b)라 하면
APÓ=BPÓ에서 APÓÛ`=BPÓÛ`이므로
(a-1)Û`+(0-4)Û`=(a+2)Û`+(0-3)Û`
aÛ`-2a+17=aÛ`+4a+13
-6a=-4 ∴ a=
;3@;
∴ P
, 0
}
{;3@;
또, AQÓ=BQÓ에서 AQÓÛ`=BQÓÛ`이므로
(0-1)Û`+(b-4)Û`=(0+2)Û`+(b-3)Û`
bÛ`-8b+17=bÛ`-6b+13
-2b=-4 ∴ b=2
∴ Q(0, 2)
(x-2)Û`+(y-1)Û`=(x-2)Û`+(y-7)Û`
xÛ`-4x+yÛ`-2y+5=xÛ`-4x+yÛ`-14y+53
12y=48 ∴ y=4
또, PÕAÓ=PCÓ에서 PAÓ Û`=PCÓ Û`이므로
(x-2)Û`+(y-1)Û`=(x-4)Û`+(y-3)Û`
xÛ`-4x+yÛ`-2y+5=xÛ`-8x+yÛ`-6y+25
4x+4y=20 ∴ x+y=5
y=4를 x+y=5에 대입하면
x+4=5 ∴ x=1
따라서 삼각형 ABC의 외심의 좌표는 (1, 4)이다.
(1,4)
KEY Point 삼각형의외심
①삼각형의세변의수직이등분선의교점이다.
②삼각형의외심에서세꼭짓점에이르는거리는같다.
개념원리 익히기·확인체크 63
18_기본서(수학상)_해설_063~089_3단원(확)_ok.indd 63
2018-07-31 오후 7:32:29
Ã
285
⑴ ABÓ =
(2-1)Û`+(-2-0)Û`=
"Ã
(5-2)Û`+(2+2)Û`=
5
'
5=5
BCÓ=
2
'
(1-5)Û`+(0-2)Û`=
"Ã
CAÓ=
∴ BCÓ Û`=ABÓ Û`+CAÓ Û`
따라서 △ABC는 ∠A=90ù인 직각삼각형이다.
0=2
2
'
5
'
"Ã
3)Û`+(-2-1)Û`=
1
2=2
'
(0+
⑵ ABÓ=
BCÓ=
"Ã
(
'
"Ã
CAÓ=
(-
'
"Ã
∴ ABÓ=BCÓ=CAÓ
'
3-0)Û`+(1+2)Û`=
3-
3)Û`+(1-1)Û`=
3
'
'
2=2
1
'
3
'
2=2
1
'
3
'
따라서 △ABC는 정삼각형이다.
⑴∠A=90ù인직각삼각형
⑵정삼각형
286
ABÓ=
BCÓ=
"Ã
CAÓ=
"Ã
(3+1)Û`+(4-1)Û`=
"Ã
(a-3)Û`+(5-4)Û`=
5=5
2
'
aÛ`-6a+10
(-1-a)Û`+(1-5)Û`=
aÛ`+2a+17
"Ã
"Ã
이때 △ABC는 ∠C=90ù인 직각삼각형이므로
ABÓ Û`=BCÓ Û`+CAÓ Û`에서
25=aÛ`-6a+10+aÛ`+2a+17
2aÛ`-4a+2=0, (a-1)Û`=0
∴ a=1
287
ABÓ=
(1-0)Û`+(-2-1)Û`=
"Ã
(3-1)Û`+(2+2)Û`=
1
0
'
0=2
BCÓ=
2
"Ã
'
CAÓ=
0
(0-3)Û`+(1-2)Û`=
∴ ABÓ=CAÓ, BCÓÛ`=ABÓÛ`+CAÓÛ`
따라서 △ABC는 ∠A=90ù인 직각이등변삼각형이
1
'
"Ã
'
5
므로 그 넓이는
_ABÓ_CAÓ=
_
1
'
;2!;
0_
1
'
0=5
;2!;
5
288
점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면
APÓ Û`+BPÓ Û` ={(a+4)Û`+(-3)Û`}+{(a-2)Û`+3Û`}
=2aÛ`+4a+38=2(a+1)Û`+36
64 Ⅲ. 도형의 방정식
따라서 APÓ Û`+BPÓ Û`은 a=-1일 때 최솟값 36을 갖고,
그때의 점 P의 좌표는 (-1, 0)이다.
최솟값 :36,점P의좌표 :(-1,0)
289
점 P의 좌표를 (a, a)라 하면
APÓ Û`+BPÓ Û`
={(a+3)Û`+(a-2)Û`}+{(a-4)Û`+(a-5)Û`}
=4aÛ`-16a+54
=4(a-2)Û`+38
따라서 APÓ Û`+BPÓ Û`은 a=2일 때 최솟값 38을 갖고,
그때의 점 P의 좌표는 (2, 2)이다.
(2,2)
290
점 P의 좌표를 (a, -a+2)라 하면
APÓ Û`+BPÓ Û` ={(a-1)Û`+(-a+2+4)Û`}
+{(a-3)Û`+(-a+2-2)Û`}
=4aÛ`-20a+46
Û`+21
a-
=4
{
;2%;}
따라서 APÓ Û`+BPÓ Û`은 a=
일 때 최솟값 21을 갖는다.
;2%;
21
1
y
A(a, b)
291
오른쪽 그림과 같이 직
선 BC를 x축, 점 D를
지나고 BCÓ에 수직인 직
선을 y축으로 하는 좌표
원점이 된다.
평면을 잡으면 점 D는
B(-2c, 0)
O D
C(c, 0)
x
A(a, b), C(c, 0) (c>0)이라 하면 점 B의 좌표는
(-2c, 0)이므로
ABÓ Û`+2 ACÓ Û` ={(a+2c)Û`+bÛ`}+2{(a-c)Û`+bÛ`}
=3aÛ`+3bÛ`+6cÛ`
또, ADÓ Û`=aÛ`+bÛ`, CDÓ Û`=cÛ`이므로
3(ADÓ Û`+2 CDÓ Û`)=3(aÛ`+bÛ`+2cÛ`)=3aÛ`+3bÛ`+6cÛ`
∴ ABÓ Û`+2 ACÓ Û`=3(ADÓ Û`+2CDÓ Û`)
풀이참조
18_기본서(수학상)_해설_063~089_3단원(확)_ok.indd 64
2018-07-31 오후 7:32:30
Ã
Ã
Ã
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
292
오른쪽 그림과 같이 직선
BC를 x축, 직선 AB를
A(0, b)
y
P(p, q)
D(a, b)
y축으로 하는 좌표평면
을 잡으면 점 B는 원점
이 된다.
O
B
C(a, 0)
x
A(0, b), C(a, 0)이라 하면 점 D의 좌표는 (a, b)이
므로 점 P의 좌표를 (p, q)라 하면
PÕAÓ Û`+PCÓ Û` ={ pÛ`+(q-b)Û`}+{(p-a)Û`+qÛ`}
=2pÛ`+2qÛ`-2ap-2bq+aÛ`+bÛ`
PBÓ Û`+PDÓ Û` =(pÛ`+qÛ`)+{(p-a)Û`+(q-b)Û`}
=2pÛ`+2qÛ`-2ap-2bq+aÛ`+bÛ`
∴ PÕAÓ Û`+PCÓ Û`=PBÓ Û`+PDÓ Û`
풀이참조
296
선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점 P의 좌표는
2_5+1_(-1)
2+1
,
2_(-2)+1_4
2+1
,
}
{
즉 (3, 0)
선분 AB를 3 : 2로 외분하는 점 Q의 좌표는
3_5-2_(-1)
3-2
{
즉 (17, -14)
,
3_(-2)-2_4
3-2
,
}
따라서 선분 PQ의 중점의 좌표는
3+17
2
,
0+(-14)
2
}
, 즉 (10, -7)
(10,-7)
293
⑴1,2 ⑵4,1 ⑶1 ⑷-3
선분 AB를 3 : 1로 외분하는 점의 좌표가
-
{
5
2
, 4
}
{
297
이므로
⑴P(5) ⑵Q(-2) ⑶M(4)
298
선분 AB를 2 : b로 내분하는 점의 좌표가 (3, -1)이
294
⑴
3_6+1_2
3+1
⑵
1_6-2_2
1-2
=5 ∴ P(5)
=-2 ∴ Q(-2)
⑶
2+6
2
=4 ∴ M(4)
295
⑴ P
{
1_3+3_(-1)
1+3
,
1_2+3_6
1+3
}
∴ P(0, 5)
⑵ Q
{
2_3-3_(-1)
2-3
,
2_2-3_6
2-3
}
∴ Q(-9, 14)
⑶ M
-1+3
2
{
,
6+2
2 }
∴ M(1, 4)
3x-1_(-1)
3-1
;2%;
3x+1=-5, 3y+2=8
=-
,
3y-1_(-2)
3-1
=4
∴ x=-2, y=2
∴ xy=-4
-4
므로
{
2_6+b_1
2+b
=3,
2_a+b_(-5)
2+b
=-1
12+b=3(2+b), 2a-5b=-(2+b)
-2b=-6, a-2b=-1
∴ a=5, b=3
외분하는 점의 좌표는
따라서 A(1, -5), B(6, 5)이므로 선분 AB를 3 : 2로
3_6-2_1
3-2
, 3_5-2_(-5)
3-2
}
, 즉 (16, 25)
개념원리 익히기·확인체크 65
⑴P(0,5) ⑵Q(-9,14) ⑶M(1,4)
(16,25)
18_기본서(수학상)_해설_063~089_3단원(확)_ok.indd 65
2018-07-31 오후 7:32:31
299
선분 AB를 (1-t) : t로 내분하는 점의 좌표는
(1-t)_1+t_(-2)
(1-t)+t
{
즉 (-3t+1, 5t-1)
,
(1-t)_(-1)+t_4
(1-t)+t
,
}
이 점이 제 1 사분면 위에 있으므로
-3t+1>0, 5t-1>0 ∴
0, t>0 ∴ 00이므로 세 점 A, B, C의 위치는 위의 그림
8
과 같다.
점 B는 ACÓ를 1 : 2로 내분하는 점이므로
a=
1_18+2_(-3)
1+2
=4
b=
1_7+2_(-2)
1+2
=1
∴ a+b=5
303
2ACÓ=3BCÓ에서
ACÓ : BCÓ=3 : 2
5
C
2
3
B(3, 6)
A(-1, -2)
(11,22)
2
따라서 점 C는 ABÓ를 3 : 2로 외분하는
점이므로 점 C의 좌표는
3_3-2_(-1)
3-2
{
,`
3_6-2_(-2)
3-2
,
}
3
C(a, b)
즉 (11, 22)
304
평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므
로 ACÓ의 중점과 BDÓ의 중점이 일치한다.
ACÓ의 중점의 좌표는
-1+0
2
{
,
0+3
2 }
, 즉
{
-
;2!;
,
;2#;}
점 D의 좌표를 (x, y)라 하면 BDÓ의 중점의 좌표는
yy ㉠
yy ㉡
42
2+x
2
{
,
1+y
2 }
300
선분 AB를 1 : k로 내분하는 점의 좌표는
이 점이 직선 y=-x+2 위에 있으므로
-3k
1+k
{
,
12
1+k }
12
1+k
=-
+2
-3k
1+k
12=3k+2(1+k)
5k=10 ∴ k=2
301
3ABÓ=2BCÓ에서
ABÓ : BCÓ=2 : 3
점 C는 ABÓ의 연장선
위에 있고 a>0이므로
2
B(3, 1)
A(-2, -1)
세 점 A, B, C의 위치는 위의 그림과 같다.
점 B는 ACÓ를 2 : 3으로 내분하는 점이므로
2_a+3_(-2)
2+3
=3,
2_b+3_(-1)
2+3
=1
2a-6=15, 2b-3=5 ∴ a=
, b=4
:ª2Á:
∴ ab=42
66 Ⅲ. 도형의 방정식
18_기본서(수학상)_해설_063~089_3단원(확)_ok.indd 66
2018-07-31 오후 7:32:31
㉠, ㉡이 일치하므로
-
;2!;=
2+x
2
=
,
;2#;
1+y
2
∴ x=-3, y=2
따라서 점 D의 좌표는 (-3, 2)이다.
(-3,2)
307
∠AOP=∠BOP이므로
OAÓ : OBÓ=APÓ : BPÓ
OAÓ=3
3Û`+4Û`=5
OBÓ=
"Ã
∴ APÓ : BPÓ
=OAÓ : OBÓ=3 : 5
y
P
B(3, 4)
A(-3, 0)
O
x
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
305
마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므
로 ACÓ의 중점과 BDÓ의 중점이 일치한다.
길이의 비와 같으므로
따라서 높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의
△OAP : △OBP=APÓ : BPÓ=3 : 5
3 : 5
308
△ABC의 무게중심의 좌표는
a-1+5
3
{
,
5+b+1
3
, 즉
{
}
a+4
3
,
b+6
3 }
이때 무게중심의 좌표가 (2, 3)이므로
yy ㉠
a+4
3
=2,
=3
b+6
3
∴ a=2, b=3
a=2,b=3
309
△DEF의 무게중심은 △ABC의 무게중심과 일치하
yy ㉡
-4
므로 구하는 무게중심의 좌표는
-5+4+7
3
{
,
6-3+3
3
}
, 즉 (2, 2)
(2,2)
다른풀이 변 AB를 2 : 1로 내분하는 점 D의 좌표는
2_4+1_(-5)
2+1
2_(-3)+1_6
2+1
, 즉 (1, 0)
,
}
{
(cid:34)(cid:9)(cid:21)(cid:13)(cid:3)(cid:26)(cid:10)
변 BC를 2 : 1로 내분하는 점 E의 좌표는
2_7+1_4
2+1
{
,
2_3+1_(-3)
2+1
}
, 즉 (6, 1)
(-2-2)Û`+(3-1)Û`=(a+2)Û`+(7-3)Û`
ACÓ의 중점의 좌표는
1+7
2+a
2
,
{
BDÓ의 중점의 좌표는
2 }
, 즉
{
2+a
2
, 4
}
b-2
2
{
,
5+3
2 }
, 즉
{
b-2
2
, 4
}
∴
2+a
2
=
b-2
2
또, 마름모의 정의에 의하여
ADÓ=DCÓ, 즉 ADÓ Û`=DCÓ Û`
aÛ`+4a=0, a(a+4)=0
∴ a=-4 (∵ a<0 )
㉡을 ㉠에 대입하면 b=0
∴ a+b=-4
306
ADÓ는 ∠A의 이등분선이
므로
ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ
ABÓ=
(-4)Û`+(
1-9)Û`
"Ã
=4
ACÓ=
"Ã
5
'
(6-4)Û`+
(5-9)Û`=2
(cid:35)(cid:9)(cid:17)(cid:13)(cid:3)(cid:18)(cid:10)
(cid:37)
(cid:36)(cid:9)(cid:23)(cid:13)(cid:3)(cid:22)(cid:10)
변 CA를 2 : 1로 내분하는 점 F의 좌표는
2_(-5)+1_7
2+1
{
,
2_6+1_3
2+1
}
, 즉 (-1, 5)
5
'
5 : 2
'
'
∴ BDÓ : CDÓ=ABÓ : ACÓ=4
5=2 : 1
따라서 점 D는 BCÓ를 2`:`1로 내분하는 점이므로 점 D
의 좌표는
2_6+1_0
2+1
,
2_5+1_1
2+1
{
, 즉
{
}
4,
:Á3Á:}
따라서 △DEF의 무게중심의 좌표는
1+6-1
3
{
,
0+1+5
3
}
, 즉 (2, 2)
310
세 변 AB, BC, CA의 중점을 각각 D, E, F라 하
면 △ABC의 무게중심은 △DEF의 무게중심과 일
∴ a+b=4+
=
:Á3Á:
:ª3£:
23
3
치한다.
개념원리 익히기·확인체크 67
18_기본서(수학상)_해설_063~089_3단원(확)_ok.indd 67
2018-07-31 오후 7:32:32
Ã
Ã
따라서 △ABC의 무게중심의 좌표는
-4-1+5
3
{
,
5-2+6
3
}
, 즉 (0, 3)
(0,3)
다른풀이 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª), C(x£, y£)이라
하면 변 AB의 중점의 좌표가 (-4, 5)이므로
xÁ+xª
2
yÁ+yª
2
=-4,
=5
변 BC의 중점의 좌표가 (-1, -2)이므로
yª+y£
xª+x£
2
2
=-1,
=-2
변 CA의 중점의 좌표가 (5, 6)이므로
x£+xÁ
2
y£+yÁ
2
=5,
=6
㉠+㉡+㉢을 하면
xÁ+xª+x£=0, yÁ+yª+y£=9
따라서 △ABC의 무게중심의 좌표는
xÁ+xª+x£
3
{
,
yÁ+yª+y£
3
}
, 즉 (0, 3)
311
△ABC와 이 삼각형 내부의 임의의 점 P에 대하여
APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`의 값이 최소가 되도록 하는 점 P는
△ABC의 무게중심과 일치하므로 점 P의 좌표는
, 즉 (1, -2)
-5+2+6
3
,
-2+3-7
3
}
{
따라서 P(1, -2)일 때 APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`의 값은 최
소이므로 구하는 최솟값은
APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`
={(1+5)Û`+(-2+2)Û`}+{(1-2)Û`+(-2-3)Û`}
=36+26+50=112
최솟값 :112,점P의좌표 :(1,-2)
다른풀이 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`
={(x+5)Û`+(y+2)Û`}+{(x-2)Û`+(y-3)Û`}
+{(x-6)Û`+(y+7)Û`}
=3xÛ`-6x+3yÛ`+12y+127
=3(x-1)Û`+3(y+2)Û`+112
따라서 APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`은 x=1, y=-2일 때 최솟
값 112를 갖고, 그때의 점 P의 좌표는 (1, -2)이다.
68 Ⅲ. 도형의 방정식
312
세 점 A, B, C에 대하여 APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`의 값이
최소가 되려면 점 P는 △ABC의 내부에 있어야 한다.
이때 △ABC와 이 삼각형 내부의 임의의 점 P에 대하여
APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`의 값이 최소가 되도록 하는 점 P는
…… ㉠
△ABC의 무게중심과 일치하므로
-2+3+a
3
=2,
1+4+4
3
=b
…… ㉡
∴ a=5, b=3
a=5,b=3
…… ㉢
313
⑴ y-3=2(x-1) ∴ y=2x+1
⑵ y-1=-3(x+2) ∴ y=-3x-5
⑶ (기울기)=tan45ù=1이므로
y-2=1_(x+
2) ∴ y=x+
'
⑴y=2x+1 ⑵y=-3x-5
'
2+2
⑶y=x+
2+2
'
314
⑴ y-2=
(x-1) ∴ y=-3x+5
-4-2
3-1
⑵ y-5=
-1-5
2-(-3)
(x+3)
∴ y=-
⑶ y-4=
(x-2) ∴ y=3x-2
;5&;
x+
;5^;
-2-4
0-2
3-0
4-1
⑴y=-3x+5 ⑵y=-
x+
7
5
;5^;
⑶y=3x-2 ⑷y=x-1
315
x
4
⑴
+
y
-1
=1 ∴ y=
x-1
;4!;
⑵ x절편이 -1이고 y절편이 5이므로
x
-1
y
5
+
=1 ∴ y=5x+5
+{(1-6)Û`+(-2+7)Û`}
⑷ y-0=
(x-1) ∴ y=x-1
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2018-07-31 오후 7:32:33
⑶ x절편이 2이고 y절편이 3이므로
+
=1 ∴ y=-
x+3
x
2
y
3
⑴y=
x-1 ⑵y=5x+5
;2#;
1
4
⑶y=-
x+3
3
2
320
직선
+
;5{;
;2};
=1의 x절편은 5,
y절편은 2이므로 오른쪽 그림
에서 구하는 삼각형의 넓이는
(cid:90)
(cid:19)
(cid:48)
_5_2=5
;2!;
316
⑴y=8 ⑵x=3 ⑶x=-5 ⑷y=-3
321
y절편을 a`(a+0)라 하면 x절편은 2a이므로 구하는
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
(cid:89)
(cid:22)
5
yy ㉠
317
점 (2, -1)을 지나고 기울기가 tan60ù=
3인 직선
'
의 방정식은
y-(-1)=
3(x-2)
'
3x-y-2
∴
'
3-1=0
'
따라서 a=-1, b=-2
3-1이므로
'
a-b=2
3
'
2
3
'
318
두 점 (-4, 3), (1, 8)을 지나는 직선의 방정식은
y-3=
8-3
1-(-4)
(x+4)
∴ y=x+7
이 직선이 점 (a, 5)를 지나므로
5=a+7 ∴ a=-2
319
△ABC의 무게중심 G의 좌표는
2-3+7
3
{
,`
4-1-6
3
}
, 즉 (2, -1)
는 직선의 방정식은
y-(-1)=
-6-(-1)
7-2
(x-2)
∴ y=-x+1
따라서 무게중심 G(2, -1)과 점 C(7, -6)을 지나
직선의 방정식은
x
2a
+
=1
y
a
이 직선이 점 (6, -4)를 지나므로
+
;2¤a;
-4
a
=1, -
=1 ∴ a=-1
;a!;
따라서 구하는 직선의 방정식은 ㉠에서
-y=1 ∴ y=-
x-1
;2!;
-
;2{;
y=-
x-1
;2!;
322
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으므로
(직선 AB의 기울기)=(직선 AC의 기울기)
-10-(-1)
k-(-1)
-k-1
2-1
=
-(k+1)Û`=-9, kÛ`+2k-8=0
(k+4)(k-2)=0 ∴ k=-4 또는 k=2
-2
따라서 모든 k의 값의 합은
-4+2=-2
-2
323
직선 y=ax는 원점 O를 지나므로 △OAB의 넓이를
이등분하려면 ABÓ의 중점을 지나야 한다.
ABÓ의 중점의 좌표는
4+8
2
{
,
4-6
2 }
, 즉 (6, -1)
따라서 직선 y=ax는 점 (6, -1)을 지나므로
y=-x+1
-1=6a ∴ a=-
;6!;
-;6!;
개념원리 익히기·확인체크 69
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324
직선이 마름모 ABCD의
넓이를 이등분하려면 오른
쪽 그림과 같이 마름모의
두 대각선의 교점을 지나
야 한다. 마름모의 두 대각
y
3
2
A
1
D
B
3
-1
O
1
5
x
ab<0, bc<0에서
<0,
<0
;bA;
;bC;
∴ -
>0, -
>0
;bA;
;bC;
C
따라서 기울기와 y절편이 모
(cid:90)
두 양수인 직선은 오른쪽 그
림과 같으므로 제 1, 2, 3 사
분면을 지난다.
(cid:48)
(cid:89)
선의 교점은 두 점 A(1, 2), C(5, 2)를 이은 선분
AC의 중점인 (3, 2)이다.
⑶ ax+by+c=0에서 c=0이므로
따라서 두 점 (-1, 1), (3, 2)를 지나는 직선의 방정
y=-
x
;bA;
식은
y-1=
2-1
3-(-1)
(x+1) ∴ y=
x+
;4!;
;4%;
ab<0에서
<0 ∴ -
>0
;bA;
;bA;
따라서 기울기가 양수이고 원
(cid:90)
y=
x+
;4!;
;4%;
점을 지나는 직선은 오른쪽
그림과 같으므로 제 1, 3 사분
면을 지난다.
(cid:48)
(cid:89)
⑴제 1,2 사분면 ⑵제 1,2,3 사분면
⑶제 1,3 사분면
325
직사각형의 넓이를 이등분하는 직선은 직사각형의 두
대각선의 교점을 지나야 한다.
직사각형 ABCD의 두 대각선의 교점은 두 점 A(1, 4),
C(5, 2)를 이은 선분의 중점이므로
1+5
2
{
,
4+2
2 }
, 즉 (3, 3)
따라서 직선 kx-4y+3=0이 점 (3, 3)을 지나야 하
3k-12+3=0 ∴ k=3
3
므로
326
⑴ ax+by+c=0에서 a=0이므로 y=-
bc<0에서
<0 ∴ -
>0
;bC;
;bC;
따라서 x축에 평행하고 y절
편이 양수인 직선은 오른쪽
그림과 같으므로 제 1, 2 사
분면을 지난다.
;bC;
(cid:90)
(cid:48)
⑵ ax+by+c=0에서 y=-;bA;x-;bC;이므로
70 Ⅲ. 도형의 방정식
327
ax+by+c=0에서 y=-
x-
이므로
;bA;
;bC;
(기울기)=-
, ( y절편)=-
;bA;
;bC;
ab>0, bc<0에서
>0,
<0
;bA;
;bC;
∴ -
<0, -
>0
;bA;
;bC;
따라서 직선 ax+by+c=0의 기울기는 음수이고
y절편은 양수이므로 직선의 개형은 ③과 같다.
③
328
(2k-1)x-(k-1)y-3=0을 k에 대하여 정리하면
(-x+y-3)+k(2x-y)=0
(cid:89)
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
-x+y-3=0, 2x-y=0
두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=6
(기울기)=-
, ( y절편)=-
;bA;
;bC;
따라서 점 P의 좌표는 (3, 6)이다.
(3,6)
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2018-07-31 오후 7:32:34
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
329
(k-2)x+(2k+1)y+7-k=0을 k에 대하여 정리
하면
(-2x+y+7)+k(x+2y-1)=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
-2x+y+7=0, x+2y-1=0
두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=-1
따라서 점 P의 좌표는 (3, -1)이므로 OPÓ의 길이는
OPÓ=
3Û`+(-1)Û`=
1
0
"Ã
'
1
0
'
330
mx+y-m+1=0을 m에 대하여 정리하면
(x-1)m+y+1=0
yy ㉠
이므로 직선 ㉠은 m의 값에 관계없이 항상 점 (1, -1)
을 지난다.
오른쪽 그림과 같이 직선 ㉠
(cid:90)
이 직선 x+y+1=0과 제`3
사분면에서 만나도록 직선
(cid:18)
(cid:14)(cid:18)
(cid:48)
(cid:14)(cid:18)
㉠을 움직여 보면
(cid:89)
(cid:141)
(cid:140)
Ú 직선 ㉠이 점 (-1, 0)
(cid:89)(cid:12)(cid:90)(cid:12)(cid:18)(cid:30)(cid:17)
을 지날 때,
-2m+1=0 ∴ m=
;2!;
Û 직선 ㉠이 점 (0, -1)을 지날 때,
-m=0 ∴ m=0
Ú, Û에서 구하는 m의 값의 범위는
00 )
두 직선의 교점이 (-2, c)이므로
-2+c+1=0, -6-3c+b=0
∴ c=1, b=9
따라서 두 직선은 x+y+1=0, 3x-3y+b=0이고,
∴ a+b+c=3+9+1=13
13
두 평행하지는 않다.
-2+6+b=0 ∴ b=-4
∴ a-b=3-(-4)=7
7
345
2x+y+1=0 y ㉠, x-y+2=0 y ㉡
ax-y=0 y ㉢
Ú 세 직선이 모두 평행한 경우
두 직선 ㉠, ㉡은 평행하지 않으므로 세 직선이 모
Û 세 직선 중 두 직선이 평행한 경우
두 직선 ㉠, ㉢이 서로 평행하면
= -1
1
;2A;
+
∴ a=-2
;1);
두 직선 ㉡, ㉢이 서로 평행하면
= -1
-1
;1A;
+
∴ a=1
;2);
Ü 세 직선이 한 점에서 만나는 경우
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=-1, y=1이므로 직
선 ㉢이 두 직선 ㉠, ㉡의 교점 (-1, 1)을 지나야
343
두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기는
=-1
-4-2
5-(-1)
즉, ABÓ의 수직이등분선의 기울기는 1이다.
ABÓ의 중점의 좌표는
-1+5
2
{
,
2-4
2 }
, 즉 (2, -1)
따라서 기울기가 1이고 점 (2, -1)을 지나는 직선의
한다.
방정식은
y-(-1)=1_(x-2) ∴ y=x-3
이 직선이 점 (a, -2)를 지나므로
-2=a-3 ∴ a=1
1
즉, -a-1=0 ∴ a=-1
Ú ~ Ü에서 모든 a의 값의 합은
-2+1+(-1)=-2
-2
344
두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기는
8-(-4)
a-(-5)
=
12
a+5
346
⑴
⑵
|2_(-1)-1_4+1|
2Û`+(-1)Û`
|3_3+4_(-2)-2|
3Û`+4Û`
"Ã
=
5
5
'
=
;5!;
"Ã
=
5
'
개념원리 익히기·확인체크 73
18_기본서(수학상)_해설_063~089_3단원(확)_ok.indd 73
2018-07-31 오후 7:32:36
⑶
|4_(-5)-3_3+4|
4Û`+(-3)Û`
=
:ª5°:
=5
⑷ 점 (2, -6)과 직선 y=3x-2, 즉
3x-y-2=0 사이의 거리는
|3_2-1_(-6)-2|
3Û`+(-1)Û`
=
10
0
1
'
=
0
1
'
"Ã
"Ã
⑴
5 ⑵
⑶5 ⑷
1
0
'
;5!;
'
⑷ 주어진 두 직선은 서로 평행하므로 두 직선 사이의
거리는 직선 x-2y+1=0 위의 한 점 (-1, 0)과
직선 2x-4y-3=0 사이의 거리와 같다.
∴
|2_(-1)-4_0-3|
2Û`+(-4)Û`
=
"Ã
5
= '
2
2
5
5
'
0
⑴
5 ⑵ '
'
1
2
5
⑶1 ⑷ '
2
347
⑴
⑵
⑶
"Ã
'
=
|-13|
2Û`+3Û`
|10|
3Û`+(-1)Û`
|-5|
2Û`+(-4)Û`
"Ã
"Ã
13
3
1
=
3
1
'
=
=
10
0
1
'
5
2
5
'
=
0
1
'
5
= '
2
거리는
|-4|
2Û`+(-1)Û`
"Ã
=
=
4
5
'
5
4
5
'
'
⑷ 원점과 직선 y=2x-4, 즉 2x-y-4=0 사이의
⑴
1
3 ⑵
1
5
0 ⑶ '
2
'
⑷
4
5
'
5
348
⑴ 주어진 두 직선은 서로 평행하므로 두 직선 사이의
거리는 직선 2x-y+2=0 위의 한 점 (0, 2)와
직선 2x-y-3=0 사이의 거리와 같다.
∴
|2_0-1_2-3|
2Û`+(-1)Û`
=
5
5
'
=
5
'
"Ã
선 x+3y+4=0 사이의 거리와 같다.
∴
|1_1+3_0+4|
1Û`+3Û`
=
5
1
0
0
1
= '
2
'
"Ã
⑶ 주어진 두 직선은 서로 평행하므로 두 직선 사이의
거리는 직선 3x-4y=0 위의 한 점 (0, 0)과 직선
|5|
3Û`+(-4)Û`
=
=1
;5%;
∴
"Ã
74 Ⅲ. 도형의 방정식
349
점 (1, a)와 직선 3x+y-5=0 사이의 거리가
10
'¶
이므로
|3+a-5|
3Û`+1Û`
"Ã
=
10, |a-2|=10
'¶
a-2=Ñ10 ∴ a=-8 또는 a=12
그런데 점 (1, a)는 제 1 사분면 위의 점이므로 a>0
따라서 구하는 a의 값은 12이다.
12
350
4
3
직선 3x+4y-2=0, 즉 y=-
x+
에 수직인 직
3
4
;2!;
선의 기울기는
이므로 구하는 직선의 방정식을
4
3
y=
x+k, 즉 4x-3y+3k=0으로 놓을 수 있다.
원점과 이 직선 사이의 거리가
이므로
;5&;
|3k|
4Û`+(-3)Û`
=
, |3k|=7
;5&;
"Ã
3k=Ñ7 ∴ k=-
또는 k=
;3&;
;3&;
4x-3y-7=0,4x-3y+7=0
351
두 직선 x-y+1=0, x-2y+3=0의 교점을 지나
(x-y+1)+k(x-2y+3)=0`(k는 실수)
∴ (k+1)x-(2k+1)y+3k+1=0 yy ㉠
⑵ 주어진 두 직선은 서로 평행하므로 두 직선 사이의
따라서 구하는 직선의 방정식은
거리는 직선 x+3y-1=0 위의 한 점 (1, 0)과 직
4x-3y-7=0 또는 4x-3y+7=0
3x-4y+5=0 사이의 거리와 같다.
는 직선의 방정식은
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개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
354
주어진 두 직선이 서로 평행하므로
=
;a$;
;3#;
+
-5
b
∴ a=4
따라서 두 직선 사이의 거리는 직선
3x+4y-5=0 위의 한 점 (3, -1)과 직선
3x+4y+b=0 사이의 거리와 같으므로
|3_3+4_(-1)+b|
3Û`+4Û`
=3
"Ã
|b+5|=15, b+5=Ñ15
원점과 직선 ㉠ 사이의 거리가 1이므로
|3k+1|
(k+1)Û`+(2k+1)Û`
=1
"Ã
|3k+1|=
5kÛ`+6k+2
"Ã
양변을 제곱하면
9kÛ`+6k+1=5kÛ`+6k+2
4kÛ`=1 ∴ k=Ñ
;2!;
Ú k=
을 ㉠에 대입하면
;2!;
Û k=-
을 ㉠에 대입하면
;2!;
x-
=0 ∴ x=1
;2!;
;2!;
Ú, Û에서 구하는 직선의 방정식은
3x-4y+5=0 또는 x=1
x-2y+
=0 ∴ 3x-4y+5=0
;2#;
;2%;
∴ b=-20 (∵ b<0 )
a=4,b=-20
3x-4y+5=0,x=1
352
두 직선 x+y-3=0, x+y+m=0 사이의 거리는
직선 x+y-3=0 위의 한 점 (0, 3)과 직선
x+y+m=0 사이의 거리와 같으므로
|3+m|
1Û`+1Û`
=4
2, |3+m|=8
'
"Ã
3+m=Ñ8 ∴ m=5 (∵ m>0 )
353
주어진 두 직선이 서로 평행하므로
=
;a#;
-1
2
+
12
-4
∴ a=-6
따라서 두 직선 사이의 거리는 직선
3x-y+12=0 위의 한 점 (-4, 0)과 직선
355
선분 AB의 길이는
ABÓ=
(-3-2)Û`+(6-2)Û`=
4
1
"Ã
'
직선 AB의 방정식은
B(-3, 6)
y-2=
(x-2)
6-2
-3-2
∴ 4x+5y-18=0
△OAB의 높이 h는 원점과
직선 AB 사이의 거리이므로
h=
|-18|
4Û`+5Û`
"Ã
=
18
1
4
'
따라서 △OAB의 넓이는
A(2, 2)
h
O(0, 0)
_ABÓ_h=
_
4
'
;2!;
1_
;2!;
5
=9
18
1
4
'
9
ABÓ=
(3-1)Û`+(-1-2)Û`=
13
"Ã
'¶
356
선분 AB의 길이는
직선 AB의 방정식은
y-2=
(x-1)
-1-2
3-1
∴ 3x+2y-7=0
C(a, 4)
A(1, 2)
h
-6x+2y-4=0, 즉 3x-y+2=0 사이의 거리와
△ABC의 높이 h는 점
같으므로
|3_(-4)-1_0+2|
3Û`+(-1)Û`
"Ã
=
10
0
1
'
=
0
1
'
a=-6,거리:
'
1
0
거리이므로
h=
|3a+8-7|
3Û`+2Û`
=
"Ã
|3a+1|
1
3
'
C(a, 4)와 직선 AB 사이의
B(3, -1)
개념원리 익히기·확인체크 75
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2018-07-31 오후 7:32:37
이때 △ABC의 넓이가 8이므로
_ABÓ_h=
_
13_
;2!;
'¶
;2!;
|3a+1|=16, 3a+1=Ñ16
|3a+1|
1
3
'
=8
∴ a=5 또는 a=-
:Á3¦:
따라서 정수 a의 값은 5이다.
5
357
두 직선으로부터 같은 거리에 있는 점 P가 그리는 도형
은 두 직선이 이루는 각의 이등분선이다.
각의 이등분선 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하면 점 P
에서 두 직선 x+2y+3=0, 2x-y-5=0에 이르는
거리가 같으므로
|x+2y+3|
1Û`+2Û`
=
|2x-y-5|
2Û`+(-1)Û`
"Ã
"Ã
|x+2y+3|=|2x-y-5|
x+2y+3=Ñ(2x-y-5)
∴ x-3y-8=0 또는 3x+y-2=0
x-3y-8=0또는3x+y-2=0
358
각의 이등분선 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하면 점
P에서 두 직선 x-3y+4=0, 3x-y-2=0에 이르
는 거리가 같으므로
|x-3y+4|
1Û`+(-3)Û`
=
|3x-y-2|
3Û`+(-1)Û`
"Ã
|x-3y+4|=|3x-y-2|
"Ã
x-3y+4=Ñ(3x-y-2)
360
⑴xÛ`+yÛ`=9
⑵(x-2)Û`+(y+3)Û`=16
⑶(x+5)Û`+(y-1)Û`=5
361
⑴ xÛ`+yÛ`-8x=0에서
(xÛ`-8x+16)+yÛ`=16
∴ (x-4)Û`+yÛ`=16
따라서 중심의좌표는(4,0),반지름의길이는4이
⑵ xÛ`+yÛ`+2x-4y-20=0에서
(xÛ`+2x+1)+(yÛ`-4y+4)=25
∴ (x+1)Û`+(y-2)Û`=25
따라서 중심의좌표는(-1,2),반지름의길이는5
⑶ xÛ`+yÛ`-6x+4y+12=0에서
(xÛ`-6x+9)+(yÛ`+4y+4)=1
∴ (x-3)Û`+(y+2)Û`=1
따라서 중심의좌표는(3,-2),반지름의길이는1
다.
이다.
이다.
풀이참조
362
⑴(x+1)Û`+(y-3)Û`=9
⑵(x-3)Û`+(y-1)Û`=9
⑶(x-2)Û`+(y+2)Û`=4
∴ x+y-3=0 또는 2x-2y+1=0
따라서 기울기가 음수인 직선의 방정식은 x+y-3=0
이다.
x+y-3=0
이 원이 점 (4, 2)를 지나므로
(4-1)Û`+(2+2)Û`=rÛ` ∴ rÛ`=25
363
원의 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은
(x-1)Û`+(y+2)Û`=rÛ`
yy ㉠
359
⑴중심의좌표 :(0,0),반지름의길이 :
'
⑵중심의좌표 :(5,0),반지름의길이 :3
1
1
rÛ`=25를 ㉠에 대입하면
(x-1)Û`+(y+2)Û`=25
이 원이 점 (a, 1)을 지나므로
(a-1)Û`+(1+2)Û`=25, (a-1)Û`=16
⑶중심의좌표 :(-2,3),반지름의길이 :5
a-1=Ñ4 ∴ a=5 (∵ a>0)
5
76 Ⅲ. 도형의 방정식
18_기본서(수학상)_해설_063~089_3단원(확)_ok.indd 76
2018-07-31 오후 7:32:37
364
원 (x-a)Û`+(y-b)Û`=c의 중심을 C(a, b)라 하면
366
원의 중심이 직선 y=x+5 위에 있으므로 원의 중심
점 C는 ABÓ의 중점이므로
의 좌표를 (a, a+5), 반지름의 길이를 r라 하면 원의
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
a=
5-1
2
1+7
2
=2, b=
=4에서 C(2, 4)
또, 원의 반지름의 길이는 ACÓ의 길이와 같으므로
ACÓ =
(2-5)Û`+(4-1)Û`=3
"Ã
2
'
따라서 두 점 A, B를 지름의 양 끝 점으로 하는 원의
방정식은
(x-2)Û`+(y-4)Û`=18
따라서 a=2, b=4, c=18이므로
a+b+c=24
방정식은
(x-a)Û`+(y-a-5)Û`=rÛ`
이 원이 두 점 (0, 0), (1, 2)를 지나므로
(-a)Û`+(-a-5)Û`=rÛ`
(1-a)Û`+(2-a-5)Û`=rÛ`
∴ 2aÛ`+10a+25=rÛ`, 2aÛ`+4a+10=rÛ`
두 식을 연립하여 풀면
24
a=-
, rÛ`=
;2%;
:ª2°:
따라서 구하는 원의 방정식은
x+
{
;2%;}
y-
{
;2%;}
Û`+
Û`=
:ª2°:
x+
{
;2%;}
Û`+
{
y-
Û`=
;2%;}
:ª2°:
(4-a)Û`+9=rÛ`, (2-a)Û`+9=rÛ`
(x+1)Û`+(y-2)Û`=20-k
∴ aÛ`-8a+25=rÛ`, aÛ`-4a+13=rÛ`
이 원의 반지름의 길이는
20
-k이므로
'¶
367
xÛ`+yÛ`+2x-4y-15+k=0에서
365
원의 중심이 x축 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를
(a, 0), 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은
(x-a)Û`+yÛ`=rÛ`
이 원이 두 점 (4, -3), (2, 3)을 지나므로
두 식을 연립하여 풀면
a=3, rÛ`=10
따라서 구하는 원의 방정식은
(x-3)Û`+yÛ`=10
(x-3)Û`+yÛ`=10
다른풀이 원의 중심의 좌표를 (a, 0)이라 하면 이
점에서 두 점 (4, -3), (2, 3)에 이르는 거리가 같으
(a-4)Û`+3Û`=
"Ã
양변을 제곱하여 정리하면
"Ã
(a-2)Û`+
(-3)Û`
aÛ`-8a+25=aÛ`-4a+13
므로
∴ a=3
20
-k=5
'¶
양변을 제곱하면
20-k=25 ∴ k=-5
-5
368
xÛ`+yÛ`-6x+ay+9=0에서
(x-3)Û`+
{
y+
;2A;}
Û`=
aÛ`
4
이 원의 중심의 좌표가
{
3, -
;2A;}
이므로
3=b, -
-3 ∴ a=6, b=3
;2A;=
aÛ`
4
¾Ð
6Û`
4
=3
r=¾Ð
∴ a+b+r=6+3+3=12
12
개념원리 익히기·확인체크 77
즉, 원의 중심의 좌표는 (3, 0)이고, 원의 반지름의 길
이는 두 점 (3, 0), (4, -3) 사이의 거리와 같으므로
원의 반지름의 길이는
이므로
(4-3)Û`+(-3)Û`=
"Ã
따라서 구하는 원의 방정식은
10
'¶
(x-3)Û`+yÛ`=10
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¶
¶
Ã
369
xÛ`+yÛ`-2(a+1)x+2ay+3aÛ`-2=0에서
372
xÛ`+yÛ`-8x+10y+k=0에서
{x-(a+1)}Û`+(y+a)Û`=-aÛ`+2a+3
(x-4)Û`+(y+5)Û`=41-k
이 방정식이 원을 나타내려면
-aÛ`+2a+3>0, aÛ`-2a-3<0
(a+1)(a-3)<0
∴ -10)라 하면 점 (-2, 1)
을 지나고 x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심은
제 2 사분면 위에 있으므로 원의 방정식은
(x+r)Û`+(y-r)Û`=rÛ`
중심의 좌표 : (-r, r)
Û
이 원이 점 (-2, 1)을 지나므로
(-2+r)Û`+(1-r)Û`=rÛ`, rÛ`-6r+5=0
yy ㉠
(r-1)(r-5)=0
∴ r=1 또는 r=5
따라서 두 원의 중심의 좌표는 각각 (-1, 1), (-5, 5)
yy ㉡
이므로 두 원의 중심 사이의 거리는
(-5+1)Û`
+(5-1)Û`=4
2
'
"Ã
4
2
'
375
xÛ`+yÛ`+2ax+6y+7-b=0에서
10p
(x+a)Û`+(y+3)Û`=aÛ`+b+2
18_기본서(수학상)_해설_063~089_3단원(확)_ok.indd 78
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Ã
이 원의 중심의 좌표가 (-a, -3)이고 x축과 y축에
따라서 점 P가 그리는 도형은 반지름의 길이가
동시에 접하므로
|-a|=|-3|=
"Ã
|-a|=|-3|에서 a=3 (∵ a>0)
aÛ`+b+2
|-3|=
aÛ`+b+2의 양변을 제곱하면
"Ã
9=aÛ`+b+2
a=3을 위의 식에 대입하면
9=9+b+2 ∴ b=-2
∴ a+b=3+(-2)=1
원이므로 구하는 도형의 넓이는
p_(
1
'
0)Û`=10p
379
APÓ : BPÓ=3 : 2에서
2 APÓ=3 BPÓ ∴ 4 APÓ Û`=9 BPÓ Û`
1
점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
4{(x+2)Û`+yÛ`}=9{(x-3)Û`+yÛ`}
0인
1
'
10p
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
(x-3)Û`+(y+3)Û`=9
_5_6=15
;2!;
15
376
원의 반지름의 길이를 r`(r>0)라 하면 x축과 y축에
동시에 접하고 중심이 제 4 사분면 위에 있으므로 원의
중심의 좌표는 (r, -r)이다.
이때 원의 중심 (r, -r)가 직선 x+3y+6=0 위에
있으므로
r-3r+6=0 ∴ r=3
따라서 구하는 원의 방정식은
(x-3)Û`+(y+3)Û`=9
377
APÓ : BPÓ=3 : 2에서
2APÓ=3BPÓ ∴ 4APÓÛ`=9BPÓÛ`
점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
4{(x-1)Û`+yÛ`}=9{(x-6)Û`+yÛ`}
xÛ`+yÛ`-20x+64=0
∴ (x-10)Û`+yÛ`=36
378
점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
APÓ Û`+BPÓ Û`=30에서
xÛ`+(y+1)Û`+(x-2)Û`+(y-3)Û`=30
xÛ`+yÛ`-2x-2y-8=0
∴ (x-1)Û`+(y-1)Û`=10
xÛ`+yÛ`-14x+13=0 ∴ (x-7)Û`+yÛ`=36
즉, 점 P가 그리는 도형은 반
y
지름의 길이가 6인 원이다.
이때 △PAB에서 ABÓ를 밑
변으로 생각하면 오른쪽 그
림과 같이 △PAB의 넓이가
6
P
7
x
BA
3
-2
O
최대가 될 때는 높이가 원의 반지름의 길이와 같을 때
이다.
따라서 △PAB의 넓이의 최댓값은
380
두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은
xÛ`+yÛ`-2x+ky-4-(xÛ`+yÛ`-4x-2y+4)=0
∴ 2x+(k+2)y-8=0
이 직선이 직선 y=3x+4, 즉 3x-y+4=0과 수직
381
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은
xÛ`+yÛ`-5+k(xÛ`+yÛ`-3x-y-4)=0 (k+-1)
yy ㉠
이 원이 원점을 지나므로
-5-4k=0 ∴ k=-
;4%;
개념원리 익히기·확인체크 79
따라서 점 P가 그리는 도형은 반지름의 길이가 6인 원
2_3+(k+2)_(-1)=0
이므로 구하는 도형의 길이는
2p_6=12p
12p
4
이므로
∴ k=4
18_기본서(수학상)_해설_063~089_3단원(확)_ok.indd 79
2018-07-31 오후 7:32:39
k=-
를 ㉠에 대입하면
;4%;
CÕMÓ=
|1-2-1|
1Û`+(-1)Û`
=
2
2
'
"Ã
=
2
'
xÛ`+yÛ`-5-
(xÛ`+yÛ`-3x-y-4)=0
;4%;
또, CÕMÓ은 ABÓ를 수직이등분하므로 △ACM은 직각
4(xÛ`+yÛ`-5)-5(xÛ`+yÛ`-3x-y-4)=0
삼각형이다. 이때 CÕAÓ=2이므로
-xÛ`-yÛ`+15x+5y=0
∴ xÛ`+yÛ`-15x-5y=0
AÕMÓ=
CAÓ Û`-CMÓ Û`
ÚÞ
"Ã
2Û`-(
2)Û`=
'
2
'
=
xÛ`+yÛ`-15x-5y=0
따라서 구하는 공통인 현의 길이는
382
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은
xÛ`+yÛ`+ax-2ay+k(xÛ`+yÛ`-10x-8y+16)=0
(k+-1) yy ㉠
이 원이 두 점 (0, 2), (3, 1)을 지나므로
4-4a+4k=0
∴ a-k=1
10+a-12k=0
∴ a-12k=-10
yy ㉡
yy ㉢
㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=2, k=1
a=2, k=1을 ㉠에 대입하면
xÛ`+yÛ`+2x-4y+(xÛ`+yÛ`-10x-8y+16)=0
2xÛ`+2yÛ`-8x-12y+16=0
xÛ`+yÛ`-4x-6y+8=0
∴ (x-2)Û`+(y-3)Û`=5
따라서 구하는 원의 넓이는
p_(
5)Û`=5p
'
383
두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은
xÛ`+yÛ`-2x-4y+1-(xÛ`+yÛ`-6x+5)=0
∴ x-y-1=0
xÛ`+yÛ`-2x-4y+1=0에서
(x-1)Û`+(y-2)Û`=4
이므로 이 원의 중심을 C(1, 2)라 하자.
오른쪽 그림과 같이 두 원의 교
점을 각각 A, B라 하고, ABÓ
의 중점을 M이라 하면 CMÓ의
길이는 점 C와 직선 ㉠ 사이의
거리와 같으므로
C
M
A
B
80 Ⅲ. 도형의 방정식
ABÓ=2AÕMÓ=2
2
'
2
2
'
384
두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은
xÛ`+yÛ`-5-(xÛ`+yÛ`+4x-3y+a)=0
∴ 4x-3y+a+5=0
yy ㉠
오른쪽 그림과 같이 두 원의 교점
A
M
B
O
을 각각 A, B라 하고, ABÓ의 중
점을 M이라 하면 OMÓ의 길이는
원 xÛ`+yÛ`=5의 중심 O(0, 0)과
직선 ㉠ 사이의 거리와 같으므로
OMÓ =
|a+5|
4Û`+(-3)Û`
=
|a+5|
5
yy ㉡
또, OMÓ은 ABÓ를 수직이등분하므로 △OAM은 직각
삼각형이다. 이때 AMÓ=
ABÓ=1, OAÓ=
5이므로
'
OMÓ =
OAÓ Û`-AMÓ Û`=
5)Û`-1Û`=2 yy ㉢
1
2
(
"Ã
'
"Ã
ÚÞ
5p
㉡, ㉢에서
=2, |a+5|=10
|a+5|
5
a+5=Ñ10 ∴ a=5 (∵ a>0)
5
385
x+1,2xÛ`+2x-7,>,2
yy ㉠
386
⑴ y=x-1을 xÛ`+yÛ`+3x=0에 대입하면
xÛ`+(x-1)Û`+3x=0
∴ 2xÛ`+x+1=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D=1Û`-4_2_1=-7<0
따라서 원과 직선은 만나지 않는다.
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2018-07-31 오후 7:32:40
⑵ x+y=3, 즉 y=-x+3을
⑴ 서로 다른 두 점에서 만나려면 D>0이어야 하므로
xÛ`+yÛ`-2x+4y-3=0에 대입하면
-kÛ`+25>0, (k+5)(k-5)<0
xÛ`+(-x+3)Û`-2x+4(-x+3)-3=0
∴ -50
∴ k<-5 또는 k>5
⑴만나지않는다.
⑵한점에서만난다.`(접한다.)
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
387
5,
'
5,
'
5,=,1
388
⑴ 원의 중심 (0, 0)과 직선 3x+y-10=0 사이의
7이고
1
0>
7이므로 원
'
'
⑵ 원의 중심 (-1, 2)와 직선 2x+y+5=0 사이의
거리는
|-10|
3Û`+1Û`
=
0
1
'
"Ã
원의 반지름의 길이가
'
과 직선은 만나지 않는다.
거리는
|-2+2+5|
2Û`+1Û`
=
5
'
"Ã
원의 반지름의 길이가 2
'
과 직선은 서로 다른 두 점에서 만난다.
2이고
5<2
'
'
2이므로 원
⑴만나지않는다.
⑵서로다른두점에서만난다.
389
y=2x+k를 xÛ`+yÛ`=5에 대입하면
xÛ`+(2x+k)Û`=5
∴ 5xÛ`+4kx+kÛ`-5=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4
=(2k)Û`-5(kÛ`-5)=-kÛ`+25
⑴-55
다른풀이 원의 중심 (0, 0)과 직선 y=2x+k, 즉
2x-y+k=0 사이의 거리를 d라 하면
d=
|k|
2Û`+(-1)Û`
=
|k|
5
'
"Ã
원의 반지름의 길이를 r라 하면 r=
5
'
⑴ 서로 다른 두 점에서 만나려면 dr이어야 하므로
>
5, |k|>5
|k|
5
'
'
∴ k<-5 또는 k>5
390
xÛ`+yÛ`-4x-6y+9=0에서 (x-2)Û`+(y-3)Û`=4
원의 중심 (2, 3)과 직선 3x-4y+k=0 사이의 거리는
|6-12+k|
3Û`+(-4)Û`
=
|k-6|
5
"Ã
원의 반지름의 길이가 2이므로 원과 직선이 서로 다른
두 점에서 만나려면
|k-6|
5
<2, |k-6|<10
-100)
3
(cid:9)(cid:14)(cid:20)(cid:13)(cid:3)(cid:21)(cid:10)
(cid:20)(cid:89)(cid:14)(cid:21)(cid:90)(cid:14)(cid:18)(cid:17)(cid:30)(cid:17)
(cid:21)
(cid:24)
(cid:21)
원의 반지름의 길이가 4이므로 위의 그림에서 원 위의
점과 직선 사이의 거리의
최댓값은 7+4=11, 최솟값은 7-4=3
최댓값 :11,최솟값 :3
394
xÛ`+yÛ`+6x-8y+9=0에서
(x+3)Û`+(y-4)Û`=16
원의 중심 (-3, 4)와
직선 3x-4y-10=0
사이의 거리는
|-9-16-10|
3Û`+(-4)Û`
=7
"Ã
2
2
'
A
3
4
H
C(2, 1)
B
yy ㉠
395
선의 방정식은
yy ㉡
y=
xÑ3
;3!;
¾Ð{;3!;}
Û`+1
㉠, ㉡에서
=
5, |5-k|=5
'
5-k=Ñ5 ∴ k=10 (∵ k>0)
10
∴ y=
xÑ
0
1
'
;3!;
y=
x+
1
0, y=
x-
1
0
;3!;
'
;3!;
'
393
xÛ`+yÛ`-2x+4y-4=0에서 (x-1)Û`+(y+2)Û`=9
원의 중심을 C(1, -2)라 하면
CAÓ=
(-2-1)Û`+(a+2)Û`=
"Ã
CBÓ는 원의 반지름이므로 CBÓ=3
"Ã
82 Ⅲ. 도형의 방정식
396
기울기가 2인 접선의 방정식을 y=2x+n, 즉
aÛ`+4a+13
2x-y+n=0이라 하면 원의 중심 (1, 2)와 접선 사
이의 거리는 원의 반지름의 길이 3과 같으므로
또, ACÓ=3, AHÓ=
ABÓ=2이므로 직각삼각형 ACH
직선 y=-3x+5와 수직인 직선의 기울기는
이고,
;3!;
원 xÛ`+yÛ`=9의 반지름의 길이는 3이므로 구하는 직
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원의 중심과 접점을 지나는 직선은 접선에 수직이므로
접선의 기울기는 -3이다.
따라서 기울기가 -3이고 점 (4, -1)을 지나는 접선
의 방정식은
y-(-1)=-3(x-4)
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
y=2x+3
5, y=2x-3
5
'
'
∴ y=-3x+11
y=-3x+11
다른풀이 기울기가 2인 접선의 방정식을 y=2x+n
=3, |n|=3
5
'
따라서 구하는 직선의 방정식은
|2-2+n|
2Û`+(-1)Û`
"Ã
∴ n=Ñ3
5
'
y=2xÑ3
5
'
이라 하자.
이 식을 (x-1)Û`+(y-2)Û`=9에 대입하면
(x-1)Û`+(2x+n-2)Û`=9
∴ 5xÛ`+2(2n-5)x+nÛ`-4n-4=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
=(2n-5)Û`-5(nÛ`-4n-4)=0
;;4;D;
nÛ`=45 ∴ n=Ñ3
5
'
따라서 구하는 직선의 방정식은
y=2xÑ3
5
'
397
원 xÛ`+yÛ`=10 위의 점 (-1, -3)에서의 접선의 방
정식은
(-1)_x+(-3)_y=10
y
O
B
A
(-1, -3)
∴ x+3y+10=0
이 접선이 x축, y축과
만나는 점의 좌표는
A(-10, 0),
0, -
B
{
:Á3¼:}
따라서 삼각형 OAB의
넓이는
_10_
=
:Á3¼:
:°3¼:
;2!;
398
오른쪽 그림과 같이 원의 중심
(1, -2)와 접점 (4, -1)을
지나는 직선의 기울기는
-1-(-2)
4-1
=
;3!;
다른풀이 원 (x-1)Û`+(y+2)Û`=10 위의 점
(4, -1)에서의 접선의 방정식은
(4-1)(x-1)+(-1+2)(y+2)=10
3(x-1)+y+2=10
∴ y=-3x+11
399
접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 접선의 방정식은
xÁx+yÁy=5
yy ㉠
직선 ㉠이 점 (3, -1)을 지나므로
3xÁ-yÁ=5 ∴ yÁ=3xÁ-5
또, 접점 (xÁ, 3xÁ-5)는 원 xÛ`+yÛ`=5 위의 점이므로
xÁÛ`+(3xÁ-5)Û`=5, 10xÁÛ`-30xÁ+20=0
xÁÛ`-3xÁ+2=0, (xÁ-1)(xÁ-2)=0
∴ xÁ=1 또는 xÁ=2
xÁ=1일 때 yÁ=-2, xÁ=2일 때 yÁ=1
따라서 구하는 접선의 방정식은
x-2y-5=0, 2x+y-5=0
x
x-2y-5=0,2x+y-5=0
다른풀이 점 (3, -1)을 지나는 접선의 기울기를 m
이라 하면 접선의 방정식은
y-(-1)=m(x-3) ∴ mx-y-3m-1=0
원의 중심 (0, 0)과 접선 사이의 거리가 원의 반지름
50
3
의 길이
5와 같아야 하므로
'
|-3m-1|
mÛ`+(-1)Û`
'
"Ã
양변을 제곱하여 정리하면
=
5, |3m+1|=
5(mÛ`+1)
"Ã
2mÛ`+3m-2=0, (m+2)(2m-1)=0
(4, -1)
∴ m=-2 또는 m=
;2!;
(1, -2)
따라서 구하는 접선의 방정식은
2x+y-5=0, x-2y-5=0
개념원리 익히기·확인체크 83
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400
점 (2, -1)을 지나는 접선의 기울기를 m이라 하면
⑶ (x-2-3)Û`+(y+3+4)Û`=1
∴ (x-5)Û`+(y+7)Û`=1
원과 직선이 접하려면 원의 중심 (-1, 2)와 접선 사
이의 거리가 원의 반지름의 길이
3과 같아야 하므로
'
접선의 방정식은
y-(-1)=m(x-2)
∴ mx-y-2m-1=0
|-m-2-2m-1|
mÛ`+(-1)Û`
=
3
'
"Ã
|3m+3|=
"Ã
양변을 제곱하여 정리하면
3(mÛ`+1)
mÛ`+3m+1=0
⑴3x-2y-7=0
⑵y=xÛ`-4x+5
⑶(x-5)Û`+(y+7)Û`=1
404
평행이동 (x, y)
(x-2, y+5)는 x축의 방향
1Ú
으로 -2만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동하는
것이므로 주어진 식에 x 대신 x+2, y 대신 y-5를
yy ㉠
대입한다.
두 접선의 기울기를 mÁ, mª라 하면 이차방정식 ㉠의
두 근이 mÁ, mª이므로 근과 계수의 관계에 의하여
⑴ 2(x+2)-(y-5)-3=0
∴ 2x-y+6=0
mÁ+mª=-3
-3
⑵ y-5=-(x+2)Û`+2(x+2)
401
⑴ (7-3, 2+4), 즉 (4, 6)
⑵ (-6-3, 5+4), 즉 (-9, 9)
⑶ (-2-3, -4+4), 즉 (-5, 0)
⑴(4,6) ⑵(-9,9) ⑶(-5,0)
∴ y=-xÛ`-2x+5
⑶ (x+2+3)Û`+(y-5-2)Û`=5
∴ (x+5)Û`+(y-7)Û`=5
⑴2x-y+6=0
⑵y=-xÛ`-2x+5
⑶(x+5)Û`+(y-7)Û`=5
402
평행이동 (x, y)
이다.
(x-5, y+3)은 x축의 방향
1Ú
으로 -5만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동하는 것
405
평행이동 (x, y)
(x-3, y+2)는 x축의 방향
1Ú
으로 -3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동하는
것이므로 이 평행이동에 의하여 점 (a, -1)이 옮겨
⑴ (1-5, 3+3), 즉 (-4, 6)
⑵ (4-5, -6+3), 즉 (-1, -3)
⑶ (-2-5, 5+3), 즉 (-7, 8)
⑴(-4,6) ⑵(-1,-3) ⑶(-7,8)
지는 점의 좌표는
(a-3, -1+2), 즉 (a-3, 1)
이 점이 직선 y=2x-3 위의 점이므로
1=2(a-3)-3
2a=10 ∴ a=5
5
403
주어진 식에 x 대신 x-2, y 대신 y+3을 대입한다.
⑴ 3(x-2)-2(y+3)+5=0
∴ 3x-2y-7=0
⑵ y+3=(x-2)Û`+4
∴ y=xÛ`-4x+5
84 Ⅲ. 도형의 방정식
406
점 (2, -4)를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으
로 b만큼 평행이동한 점의 좌표가 (1, -3)이라 하면
2+a=1, -4+b=-3
∴ a=-1, b=1
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즉, 주어진 평행이동은 x축의 방향으로 -1만큼, y축
의 방향으로 1만큼 평행이동하는 것이다.
410
직선 y=ax+b를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방
따라서 이 평행이동에 의하여 점 (-3, 6)이 옮겨지는
향으로 2만큼 평행이동한 직선의 방정식은
점의 좌표는
(-3-1, 6+1), 즉 (-4, 7)
(-4, 7)
y-2=a(x+3)+b
∴ y=ax+3a+b+2
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
407
점 (m, n)을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로
-3만큼 평행이동한 점의 좌표는
(m+2, n-3)
한편, xÛ`+yÛ`-6x+8y+19=0에서
(x-3)Û`+(y+4)Û`=6
이 원의 중심의 좌표는 (3, -4)이므로
m+2=3, n-3=-4 ∴ m=1, n=-1
∴ mn=-1
-1
408
2x-3y+k=0에 x 대신 x-1, y 대신 y+2를 대입
하면
2(x-1)-3(y+2)+k=0
∴ 2x-3y-8+k=0
이 직선이 점 (1, -4)를 지나므로
2+12-8+k=0
∴ k=-6
409
점 (1, 2)를 점 (-2, 4)로 옮기는 평행이동은 x축의
방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동하
는 것이므로 3x-4y+2=0에 x 대신 x+3, y 대신
y-2를 대입하면
3(x+3)-4(y-2)+2=0
∴ 3x-4y+19=0
p=-4, q=19
∴ p+q=15
이 직선이 직선 3x+py+q=0과 일치하므로
이 직선과 직선 y=2x+1이 y축 위의 점에서 수직으
로 만나므로 두 직선의 기울기의 곱이 -1이고, y절편
즉, a_2=-1, 3a+b+2=1에서
이 같아야 한다.
a=-
, b=
1
2
1
2
∴ b-a=
-
-
{
;2!;
;2!;}
=1
1
411
y=xÛ`-4x+3에서 y=(x-2)Û`-1
평행이동 (x, y)
(x-a, y+2b)는 x축의 방향
1Ú
으로 -a만큼, y축의 방향으로 2b만큼 평행이동하는
것이므로 y=(x-2)Û`-1에 x 대신 x+a, y 대신
y-2b를 대입하면
y-2b=(x+a-2)Û`-1
∴ y=xÛ`+2(a-2)x+(a-2)Û`+2b-1
이 포물선이 포물선 y=xÛ`-3과 일치하므로
a-2=0, (a-2)Û`+2b-1=-3
1
다른풀이 포물선 y=(x-2)Û`-1의 꼭짓점의 좌표
는 (2, -1), 포물선 y=xÛ`-3의 꼭짓점의 좌표는
(0, -3)이므로 주어진 평행이동은 점 (2, -1)을 점
(0, -3)으로 옮기는 평행이동이다.
즉, 주어진 평행이동은 x축의 방향으로 -2만큼, y축
의 방향으로 -2만큼 평행이동하는 것이므로
-a=-2, 2b=-2 ∴ a=2, b=-1
∴ a+b=1
∴ a=2, b=-1
-6
∴ a+b=1
412
xÛ`+yÛ`+6x+2y+8=0에서
15
(x+3)Û`+(y+1)Û`=2
yy ㉠
개념원리 익히기·확인체크 85
18_기본서(수학상)_해설_063~089_3단원(확)_ok.indd 85
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xÛ`+yÛ`-4x-4y+6=0에서
(x-2)Û`+(y-2)Û`=2
yy ㉡
㉠에 x 대신 x-a, y 대신 y-b를 대입하면
416
⑴ -y=xÛ`-2x+3
∴ y=-xÛ`+2x-3
(x-a+3)Û`+(y-b+1)Û`=2
이 원이 원 ㉡과 일치하므로
⑵ y=(-x)Û`-2_(-x)+3
∴ y=xÛ`+2x+3
-a+3=-2, -b+1=-2 ∴ a=5, b=3
⑶ -y=(-x)Û`-2_(-x)+3
∴ ab=15
15
∴ y=-xÛ`-2x-3
다른풀이 원 ㉠의 중심의 좌표는 (-3, -1)
⑷ x=yÛ`-2y+3
원 ㉡의 중심의 좌표는 (2, 2)
점 (-3, -1)을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향
으로 b만큼 평행이동한 점의 좌표가 (2, 2)이므로
-3+a=2, -1+b=2 ∴ a=5, b=3
∴ ab=15
⑴y=-xÛ`+2x-3
⑵y=xÛ`+2x+3
⑶y=-xÛ`-2x-3
⑷x=yÛ`-2y+3
417
⑴ (x-3)Û`+(-y+2)Û`=6
∴ (x-3)Û`+(y-2)Û`=6
⑵ (-x-3)Û`+(y+2)Û`=6
∴ (x+3)Û`+(y+2)Û`=6
⑶ (-x-3)Û`+(-y+2)Û`=6
∴ (x+3)Û`+(y-2)Û`=6
⑷ (y-3)Û`+(x+2)Û`=6
∴ (x+2)Û`+(y-3)Û`=6
⑴(x-3)Û`+(y-2)Û`=6
⑵(x+3)Û`+(y+2)Û`=6
⑶(x+3)Û`+(y-2)Û`=6
⑷(x+2)Û`+(y-3)Û`=6
418
점 P(2, 4)를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점 Q
의 좌표는 (4, 2)
점 Q(4, 2)를 x축에 대하여
대칭이동한 점 R의 좌표는
(4, -2)
따라서 오른쪽 그림에서 삼각
형 PQR의 넓이는
_4_2=4
;2!;
y
4
2
O
2
-2
y=x
P
Q
4
R
x
4
⑴3x+2y+1=0
⑵3x+2y-1=0
⑶3x-2y-1=0
⑷2x-3y-1=0
413
⑴(-2,-3) ⑵(2,3)
⑶(2,-3) ⑷(3,-2)
414
⑴(-5,3) ⑵(5,-3)
⑶(5,3) ⑷(-3,-5)
415
⑴ 3x-2_(-y)+1=0
∴ 3x+2y+1=0
⑵ 3_(-x)-2y+1=0
∴ 3x+2y-1=0
⑶ 3_(-x)-2_(-y)+1=0
∴ 3x-2y-1=0
⑷ 3y-2x+1=0 ∴ 2x-3y-1=0
86 Ⅲ. 도형의 방정식
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2018-07-31 오후 7:32:43
419
점 (3, -5)를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는
423
포물선 y=xÛ`-2mx+mÛ`-5를 원점에 대하여 대칭
(-3, 5)
이동한 포물선의 방정식은
이 점이 직선 ax-2y+1=0 위에 있으므로
-y=(-x)Û`-2m_(-x)+mÛ`-5
-3a-10+1=0 ∴ a=-3
-3
∴ y =-xÛ`-2mx-mÛ`+5
=-(x+m)Û`+5
420
점 (k, 3)을 y축에 대하여 대칭이동한 점 P의 좌표는
와 일치하므로
이 포물선의 꼭짓점의 좌표 (-m, 5)가 점 (-2, k)
m=2, k=5 ∴ m+k=7
7
점 (k, 3)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점 Q의
다른풀이 y=xÛ`-2mx+mÛ`-5에서
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
(-k, 3)
좌표는
(3, k)
선분 PQ의 길이가 2
5이므로
'
(3+k)Û`+(k-3)Û`=2
5
'
"Ã
2kÛ`+18=2
5
'
"Ã
양변을 제곱하면 2kÛ`+18=20
kÛ`=1 ∴ k=1 (∵ k>0)
y=(x-m)Û`-5
이 포물선의 꼭짓점의 좌표가 (m, -5)이므로 이 포
물선을 원점에 대하여 대칭이동한 포물선의 꼭짓점의
좌표는
(-m, 5)
이 점이 점 (-2, k)와 일치하므로
1
m=2, k=5 ∴ m+k=7
421
직선 y=-3x+6을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의
방정식은
y=-3_(-x)+6 ∴ y=3x+6
이 직선에 수직인 직선의 기울기는 -
이므로 점
(-2, 4)를 지나고 기울기가 -
인 직선의 방정식은
;3!;
;3!;
y-4=-
(x+2) ∴ y=-
x+
;3!;
:Á3¼:
;3!;
y=-
x+
;3!;
:Á3¼:
424
직선 4x-2y+3=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동
한 직선의 방정식은
4y-2x+3=0 ∴ 2x-4y-3=0
이 직선을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2
만큼 평행이동한 직선의 방정식은
2(x+1)-4(y-2)-3=0
∴ 2x-4y+7=0
2x-4y+7=0
425
포물선 y=xÛ`-2x+a를 x축의 방향으로 3만큼, y축
의 방향으로 1만큼 평행이동한 포물선의 방정식은
422
직선 2x-3y+1=0을 x축에 대하여 대칭이동한 직
y-1=(x-3)Û`-2(x-3)+a
∴ y=xÛ`-8x+16+a
선의 방정식은
2x-3_(-y)+1=0
∴ 2x+3y+1=0
이 포물선을 x축에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정
식은
-y=xÛ`-8x+16+a
이 직선이 원 (x-4)Û`+(y+k)Û`=3의 넓이를 이등
∴ y=-xÛ`+8x-16-a
분하므로 원의 중심 (4, -k)를 지난다. 즉,
이 포물선이 포물선 y=-xÛ`+8x-10과 일치하므로
8-3k+1=0 ∴ k=3
3
-16-a=-10 ∴ a=-6
-6
개념원리 익히기·확인체크 87
18_기본서(수학상)_해설_063~089_3단원(확)_ok.indd 87
2018-07-31 오후 7:32:44
다른풀이 y=xÛ`-2x+a에서
y=(x-1)Û`+a-1
y=-xÛ`+8x-10에서
y=-(x-4)Û`+6
yy ㉠
428
y=-xÛ`+2x+5에서 y=-(x-1)Û`+6
포물선의 꼭짓점 (1, 6)을 점 (a, b)에 대하여 대칭이
yy ㉡
동한 점의 좌표가 (3, 6)이어야 한다.
포물선 ㉠의 꼭짓점 (1, a-1)을 x축의 방향으로 3만
즉, 점 (a, b)가 두 점 (1, 6), (3, 6)을 이은 선분의
큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 점의 좌표는
(1+3, a-1+1), 즉 (4, a)
이 점을 x축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는
(4, -a)
이 점이 포물선 ㉡의 꼭짓점 (4, 6)과 일치하므로
-a=6 ∴ a=-6
426
원 xÛ`+yÛ`-4x=0을 y축에 대하여 대칭이동한 원의
방정식은
xÛ`+yÛ`+4x=0 ∴ (x+2)Û`+yÛ`=4
이 원을 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 원의 방정
식은
(x+2)Û`+(y-1)Û`=4
이 원이 직선 y=mx-2에 접하므로 원의 중심
중점이므로
a=
1+3
2
∴ a+b=8
=2, b=
6+6
2
=6
8
429
두 점 P(-3, 4), Q(1, 8)을 이은 선분 PQ의 중점
, 즉 (-1, 6)이 직선 y=ax+b
-3+1
2
{
,
4+8
2 }
위의 점이므로
6=-a+b
또, 두 점 P(-3, 4), Q(1, 8)을 지나는 직선과 직선
yy ㉠
y=ax+b는 서로 수직이므로
8-4
1-(-3)
a=-1을 ㉠에 대입하면 b=5
_a=-1 ∴ a=-1
(-2, 1)과 직선 mx-y-2=0 사이의 거리는 원의
∴ a+b=4
4
12m=-5 ∴ m=-
;1°2;
-
;1°2;
두 점 (0, -1), (a, b)를 이은 선분의 중점
427
점 (4, 5)가 두 점 (a, 3), (-2, b)를 이은 선분의
430
원 xÛ`+(y+1)Û`=4의 중심 (0, -1)을 직선
x-2y+3=0에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를
(a, b)라 하자.
,
-1+b
2
}
{;2A;
-2_
;2A;
-1+b
2
∴ a-2b=-8
가 직선 x-2y+3=0 위의 점이므로
+3=0
yy ㉠
또, 두 점 (0, -1), (a, b)를 지나는 직선과 직선
x-2y+3=0은 서로 수직이므로
b-(-1)
a-0
;2!;
_
=-1 ∴ 2a+b=-1 yy ㉡
70
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=3
반지름의 길이 2와 같다. 즉,
|-2m-1-2|
mÛ`+(-1)Û`
=2
"Ã
|2m+3|=2
mÛ`+1
"Ã
양변을 제곱하면
4mÛ`+12m+9=4(mÛ`+1)
중점이므로
a-2
2
=4,
=5
3+b
2
∴ a=10, b=7
∴ ab=70
88 Ⅲ. 도형의 방정식
18_기본서(수학상)_해설_063~089_3단원(확)_ok.indd 88
2018-07-31 오후 7:32:44
따라서 대칭이동한 원의 중심의 좌표는 (-2, 3)이고
A'(-2, 3), B'(6, -1)
반지름의 길이가 2이므로 구하는 원의 방정식은
이때 APÓ=AÕ'PÓ, QBÓ=QB'Ó이므로
(x+2)Û`+(y-3)Û`=4
APÓ+PQÓ+QBÓ =AÕ'PÓ+PQÓ+QÕB'Ó
(x+2)Û`+(y-3)Û`=4
¾AÕ'B'Ó
개
념
원
리
익
히
기
확
인
체
크
(6+2)Û`+
(-1-3)Û`
=
"Ã
=4
5
'
A(2, 4)
따라서 구하는 최솟값은 4
5이다.
'
4
5
'
431
오른쪽 그림과 같이 점
B(3, -5)를 y축에 대
하여 대칭이동한 점을 B'
이라 하면
B'(-3, -5)
y
P
O
x
이때 BPÓ=B'PÓ이므로
B'(-3, -5)
B(3, -5)
APÓ+BPÓ =AÕPÓ+B'PÓ
¾AB'Ó
=
(-3-2)Û`+(-5-4)Û`
"Ã
106이다.
'Ä
106
'Ä
대하여 대칭이동한 점을 B'
(cid:34)(cid:9)(cid:18)(cid:13)(cid:3)(cid:19)(cid:10)
=
106
'Ä
따라서 구하는 최솟값은
432
오른쪽 그림과 같이 점
B(3, 4)를 직선 y=x에
이라 하면
B'(4, 3)
이때 BPÓ=BÕ'PÓ이므로
APÓ+BPÓ =APÓ+B'PÓ
¾AB'Ó
=
"
=
1
0
'
따라서 구하는 최솟값은
(cid:90)
(cid:35)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:3)(cid:21)(cid:10)
(cid:90)(cid:30)(cid:89)
(cid:49)
(cid:35)(cid:8)(cid:9)(cid:21)(cid:13)(cid:3)(cid:20)(cid:10)
(cid:89)
(cid:48)
4-1)Û`+(3-2)Û`
(
1
0이다.
'
1
0
'
433
오른쪽 그림과 같이 점
A(2, 3)을 y축에 대하여
대칭이동한 점을 A', 점
A'
P
y
1
3
A
B(6, 1)을 x축에 대하여
-2
-1
O
2 Q
대칭이동한 점을 B'이라
하면
B
6
B'
x
개념원리 익히기·확인체크 89
18_기본서(수학상)_해설_063~089_3단원(확)_ok.indd 89
2018-09-05 오전 10:13:23
Ã
Ã
Ⅰ. 다항식
4
(x+y+z)Û`=xÛ`+yÛ`+zÛ`+2(xy+yz+zx)에서
1
A-3(X-B)=7A에서
A-3X+3B=7A
3X=-6A+3B
∴ X =-2A+B
0Û`=5+2(xy+yz+zx)
∴ xy+yz+zx=-
;2%;
(xy+yz+zx)Û`=xÛ`yÛ`+yÛ`zÛ`+zÛ`xÛ`
+2xyz(x+y+z)
에서
{
-
;2%;}
Û`=xÛ`yÛ`+yÛ`zÛ`+zÛ`xÛ`+2xyz_0
=-2(3xÛ`-2xy-yÛ`)+(xÛ`+3xy-2yÛ`)
=-6xÛ`+4xy+2yÛ`+xÛ`+3xy-2yÛ`
∴ xÛ`yÛ`+yÛ`zÛ`+zÛ`xÛ`=
:ª4°:
=-5xÛ`+7xy
-5xÛ`+7xy
따라서 p=4, q=25이므로
2
(2xÜ`-xÛ`+a)(3xÛ`+ax-b)의 전개식에서
xÝ` 항은
xÜ` 항은
2xÜ`_ax+(-xÛ`)_3xÛ`=(2a-3)xÝ`
a=b=2
2xÜ`_(-b)+(-xÛ`)_ax=(-2b-a)xÜ`
이때 xÝ` 의 계수와 xÜ` 의 계수가 모두 5이므로
2a-3=5, -2b-a=5
∴ a=4, b=-
;2(;
∴ a-2b=4-2_
{
-
;2(;}
=13
13
p+q=29
29
5
(ax+1)xÛ` =bxÜ`+xÛ`=2xÜ`+xÛ`이므로
(2x+1)c=dx+e=8x+4이므로
c=4, d=8, e=4
∴ a+b+c+d+e =2+2+4+8+4
=20
20
3
(x+1)(x-2)(x-5)(x+10)
={(x+1)(x+10)}{(x-2)(x-5)}
=(xÛ`+11x+10)(xÛ`-7x+10)
xÛ`+10=X로 놓으면
(주어진 식) =(X+11x)(X-7x)
=XÛ`+4xX-77xÛ`
a b c d
;2!;
1 0 3
2 0 6 -2
6
오른쪽 조립제법이 나타내는
결과에 의하여 다항식
axÜ`+bxÛ`+cx+d를 일차식
x-
로 나누었을 때의 몫이
1
2
2xÛ`+6이고 나머지가 -2이다. 즉,
axÜ`+bxÛ`+cx+d
=
x-
(2xÛ`+6)-2
1
2 }
1
2 }
{
{
=(xÛ`+10)Û`+4x(xÛ`+10)-77xÛ`
=
x-
_2(xÛ`+3)-2
=xÝ`+20xÛ`+100+4xÜ`+40x-77xÛ`
=(2x-1)(xÛ`+3)-2
=xÝ`+4xÜ`-57xÛ`+40x+100
따라서 다항식 axÜ`+bxÛ`+cx+d를 2x-1로 나누었
따라서 p=-57, q=100이므로
을 때의 몫은 xÛ`+3이고 나머지는 -2이다.
-2p-q=-2_(-57)-100=14
14
몫 :xÛ`+3,나머지 :-2
90 Ⅰ. 다항식
18_기본서(수학상)_해설_090~103_1단원(연)_ok.indd 90
2018-07-31 오후 7:33:12
7
2x-2
2xÛ`+4x
㈏
㈎
-xÛ`+x-3
위의 그림에서 ㈏에 알맞은 다항식을 g(x)라 하면
대각선으로 배열된 세 다항식의 합이 6xÛ`+12x이므로
g(x)+(2xÛ`+4x)+(-xÛ`+x-3)=6xÛ`+12x
g(x)+xÛ`+5x-3=6xÛ`+12x
∴ g(x) =6xÛ`+12x-xÛ`-5x+3
=5xÛ`+7x+3
이때 ㈎에 알맞은 다항식이 f(x)이고
세로로 배열된 세 다항식의 합이 6xÛ`+12x이므로
(5xÛ`+7x+3)+(2x-2)+f(x)=6xÛ`+12x
5xÛ`+9x+1+f(x)=6xÛ`+12x
∴ f(x) =6xÛ`+12x-5xÛ`-9x-1
=xÛ`+3x-1
∴ f(10)=10Û`+3_10-1=129
129
8
(1+x+2xÛ`+ y +100x100)Û`
=(1+x+2xÛ`+ y +100x100)
_(1+x+2xÛ`+ y +100x100)
이 식의 전개식에서 xÞ` 항은
(상수항)×(오차항)+(일차항)×(사차항)
+(이차항)×(삼차항)+(삼차항)×(이차항)
+(사차항)×(일차항)+(오차항)×(상수항)
이므로
1×5xÞ`+x×4xÝ`+2xÛ`×3xÜ`+3xÜ`×2xÛ`
+4xÝ`×x+5xÞ`_1
=5xÞ`+4xÞ`+6xÞ`+6xÞ`+4xÞ`+5xÞ`=30xÞ`
따라서 xÞ`의 계수는 30이다.
30
9
(a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서
3Û`=15+2(ab+bc+ca)
∴ ab+bc+ca=-3
연
습
문
제
실
력
U
P
35
=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)+3abc
aÜ`+bÜ`+cÜ`
에서
10=3_{15-(-3)}+3abc
∴ 3abc=-44
한편, a+b+c=3이므로
a+b=3-c, b+c=3-a, c+a=3-b
∴ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
=ab(3-c)+bc(3-a)+ca(3-b)
=3ab-abc+3bc-abc+3ca-abc
=3(ab+bc+ca)-3abc
=3_(-3)+44
=35
10
(주어진 식)
=
(2-1)(2+1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1)
(4-1)(4+1)(4Û`+1)(4Ý`+1)
×
4-1
2-1
=
(2Û`-1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1)
(4Û`-1)(4Û`+1)(4Ý`+1)
×3
=
(2Ý`-1)(2Ý`+1)(2¡`+1)
(4Ý`-1)(4Ý`+1)
×3
=
(2¡`-1)(2¡`+1)
4¡`-1
×3
=
2Ú`ß`-1
4¡`-1
×3
=
4¡`-1
4¡`-1
×3
=3
③
11
다항식 f(x)를 xÛ`-2x+3으로 나누었을 때의 몫이
x-1이고 나머지가 3x-2이므로
f(x) =(xÛ`-2x+3)(x-1)+3x-2
=xÜ`-xÛ`-2xÛ`+2x+3x-3+3x-2
=xÜ`-3xÛ`+8x-5
f(x)를 xÛ`-x-1로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구
하면
연습문제·실력 UP 91
18_기본서(수학상)_해설_090~103_1단원(연)_ok.indd 91
2018-07-31 오후 7:33:12
14
xÛ`+3x+1=0에서 x+0이므로 양변을 x로 나누면
1
xÛ`
1
xÜ`
x+3+
=0 ∴ x+
=-3
;[!;
;[!;
xÛ`+
=
x+
{
;[!;}
Û`-2=(-3)Û`-2=7
xÜ`+
x+
=
{
;[!;}
Ü`-3
x+
;[!;}
{
=(-3)Ü`-3_(-3)
=-18
∴ xÜ`-2xÛ`-3x+5-
-
;[#;
2
xÛ`
+
1
xÜ`
=
xÜ`+
{
1
xÜ` }
-2
xÛ`+
{
1
xÛ` }
-3
=-18-2_7-3_(-3)+5
{
x+;[!;}
+5
=-18
-18
15
(x+y+z)Û`=xÛ`+yÛ`+zÛ`+2(xy+yz+zx)에서
6Û`=18+2(xy+yz+zx)
∴ xy+yz+zx=9
;[!;+;]!;+;z!;=;4(;
에서
xy+yz+zx
xyz
=
;4(;
9
xyz
=
;4(;
∴ xyz=4
∴ xÜ`+yÜ`+zÜ`
=(x+y+z)(xÛ`+yÛ`+zÛ`-xy-yz-zx)+3xyz
=6_(18-9)+3_4
=66
66
16
a+b+c=3에서
b+c=3-a, a+c=3-b, a+b=3-c이므로
(a+b+c)Û`+(-a+b+c)Û`+(a-b+c)Û`
+(a+b-c)Û`
=3 Û`+(3-2a)Û`+(3-2b)Û`+(3-2c)Û`
x -2
xÛ`-x-1`)`xÜ`-3xÛ`+8x-5
-2xÛ`+9x-5
-2xÛ`+2x+2
7x-7
xÜ`- xÛ`- x
∴ 몫: x-2, 나머지: 7x-7
따라서 몫과 나머지의 합은
(x-2)+(7x-7)=8x-9
8x-9
12
다항식 f(x)를 (2x-1)Û`으로 나누었을 때의 몫이
Q(x), 나머지가 R(x)이므로
f(x) =(2x-1)Û` Q(x)+R(x)
=
2
{
[
x-
=4
x-
{
=2
x-
{
1
2 }
1
2 }
Û`Q(x)+R(x)
1
2 }]
Û`Q(x)+R(x)
Û`_2Q(x)+R(x)
따라서 f(x)를 2
x-
{
1
2 }
Û`으로 나누었을 때의 몫은
2Q(x), 나머지는 R(x)이다.
④
13
aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab에서
5=1Û`-2ab ∴ ab=-2
∴ aÝ`+bÝ` =(aÛ`+bÛ`)Û`-2aÛ`bÛ`
=(aÛ`+bÛ`)Û`-2(ab)Û`
=5Û`-2_(-2)Û`
=17
또한,
aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b)
=1Ü`-3_(-2)_1=7
이므로
=5_7-(-2)Û`_1
=31
92 Ⅰ. 다항식
aÞ`+bÞ` =(aÛ`+bÛ`)(aÜ`+bÜ`)-aÛ`bÛ`(a+b)
=9+9-12a+4aÛ`+9-12b+4bÛ`+9-12c+4cÛ`
=36-12(a+b+c)+4(aÛ`+bÛ`+cÛ`)
=36-12_3+4(aÛ`+bÛ`+cÛ`)
aÝ`+bÝ`=17,aÞ`+bÞ`=31
=4(aÛ`+bÛ`+cÛ`)
18_기본서(수학상)_해설_090~103_1단원(연)_ok.indd 92
2018-07-31 오후 7:33:13
이때
이므로
f(-2) =(-2)Ü`-5_(-2)Û`+7_(-2)+5
aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)
=-37
=3Û`-2×2=5
Q(3)=3Û`-4_3+3=0
(주어진 식) =4(aÛ`+bÛ`+cÛ`)
=-29
-29
∴ f(-2)+Q(3)+R =-37+0+8
=4×5=20
20
17
직육면체의 세 모서리의 길이를 각각 a, b, c라 하면
(겉넓이)=2(ab+bc+ca)=236
∴ ab+bc+ca=118
(모든 모서리의 길이의 합)
=(4a-1)+3+(4b-1)+3+(4c-1)+3
=4(a+b+c)+6=82
∴ a+b+c=19
이때
aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)
=19Û`-2_118
=125
이므로 직육면체의 대각선의 길이는
aÛ`+bÛ`+cÛ`=
125=5
'¶
5
'
"Ã
②
18
f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+c, Q(x)=pxÛ`+qx+r라 하면
오른쪽 조립제
1 1 a b c
법에서
p=1
1 -4 3
p q r 8
1_q=-4에서
q=-4
1_r=3에서 r=3
a+1=q=-4에서 a=-5
b+(-4)=r=3에서 b=7
c+3=8에서 c=5
19
⑴ ax(x-1)+b(x-1)(x+1)+cx(x+1)
=xÛ`+1
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
양변에 x=0을 대입하면 -b=1 ∴ b=-1
양변에 x=1을 대입하면 2c=2 ∴ c=1
양변에 x=-1을 대입하면 2a=2 ∴ a=1
⑵ xÛ`-x-2=a(x-b)Û`+c(x-b)
yy ㉠
연
습
문
제
실
력
U
P
㉠의 양변에 x=b를 대입하면
bÛ`-b-2=0, (b+1)(b-2)=0
∴ b=2 (∵ b>0)
b=2를 ㉠에 대입하여 전개하면
xÛ`-x-2 =a(x-2)Û`+c(x-2)
=axÛ`-(4a-c)x+4a-2c
이 등식은 x에 대한 항등식이므로
1=a, 1=4a-c, -2=4a-2c
∴ a=1, c=3
⑴a=1,b=-1,c=1
⑵a=1,b=2,c=3
20
주어진 등식의 좌변을 k에 대하여 정리하면
(xÛ`+yÛ`-8)k-xÛ`-yÛ`+3x+3y+2=0
이 등식이 k에 대한 항등식이므로
xÛ`+yÛ`-8=0, -xÛ`-yÛ`+3x+3y+2=0
∴ xÛ`+yÛ`=8, x+y=2
따라서 다항식 f(x)=xÜ`-5xÛ`+7x+5를 x-1로 나
이때 (x+y)Û`=xÛ`+yÛ`+2xy이므로
누었을 때의 몫은 Q(x)=xÛ`-4x+3, 나머지는 R=8
2Û`=8+2xy, 2xy=-4
이므로
∴ xy=-2
-2
연습문제·실력 UP 93
18_기본서(수학상)_해설_090~103_1단원(연)_ok.indd 93
2018-07-31 오후 7:33:13
21
주어진 등식의 우변을 전개하여 x, y에 대하여 정리하면
24
직접 나눗셈을 하면 다음과 같다.
(a+b)x+(b-2c)y=(c-2)x-c+2
이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로
a+b=c-2, b-2c=0, 0=-c+2
∴ a=-4, b=4, c=2
∴ a-b+c=-6
-6
xÛ`+2x +1
xÝ`- xÜ`+ xÛ`
xÛ`-x+1`)`xÝ`+ xÜ`
나누어떨어지므로
(a-1)x+b-1=0
+
ax+ b
2xÜ`- xÛ`+
2xÜ`-2xÛ`+
ax
2x
xÛ`+(a-2)x+ b
x+ 1
xÛ`-
(a-1)x+b-1
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
a-1=0, b-1=0
∴ a=1, b=1
a=1, b=1
22
x+y=1에서 y=1-x
이것을 axy+bx+cy+2=0에 대입하면
ax(1-x)+bx+c(1-x)+2=0
이 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면
-axÛ`+(a+b-c)x+c+2=0
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
-a=0, a+b-c=0, c+2=0
∴ a=0, b=-2, c=-2
∴ a-b-c=4
25
PÇ(x)=(x-1)(x-2)(x-3) y (x-n)에서
PÁ(x)=x-1, Pª(x)=(x-1)(x-2),
4
23
xÜ`+axÛ`-2x+1을 xÛ`+x+2로 나누었을 때의 몫이
x-1이므로 나머지를 px+q`(p, q는 상수)라 하면
P£(x)=(x-1)(x-2)(x-3)
이므로
2xÜ`-3xÛ`+1
=a+bPÁ(x)+cPª(x)+dP£(x)
=a+b(x-1)+c(x-1)(x-2)
xÜ`+axÛ`-2x+1 =(xÛ`+x+2)(x-1)+px+q
+d(x-1)(x-2)(x-3)
=xÜ`+(p+1)x-2+q
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
a=0, -2=p+1, 1=-2+q
∴ a=0, p=-3, q=3
따라서 a=0이고 나머지는 -3x+3이다.
KEY Point
다항식의나눗셈에대한등식A=BQ+R에서
R는상수이거나(R의차수)<(B의차수)이다.
양변에 x=1을 대입하면
2-3+1=a ∴ a=0
양변에 x=2를 대입하면
16-12+1=b ∴ b=5
54-27+1=10+2c
18=2c ∴ c=9
양변에 x=0을 대입하면
a=0,나머지 :-3x+3
양변에 x=3을 대입하면
즉,나머지의차수는나누는식의차수보다항상작다.
1=-5+18-6d, 6d=12
따라서나누는식이이차식이면나머지는일차식또는상수
∴ d=2
이므로px+q (p,q는상수)로놓을수있다.
∴ a+b+c+d=0+5+9+2=16
16
94 Ⅰ. 다항식
18_기본서(수학상)_해설_090~103_1단원(연)_ok.indd 94
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26
xÛ`+(k-3)x+(k+2)m+n+2=0이 x=1을 근
∴ xÞ`
=(x-1)(xÝ`+xÜ`+xÛ`+x+1)+1
=(x-1){(x-1)(xÜ`+2xÛ`+3x+4)+5}+1
=(x-1)Û`(xÜ`+2xÛ`+3x+4)+5(x-1)+1
=(x-1)Û`{(x-1)(xÛ`+3x+6)+10}
+5(x-1)+1
=(x-1)Ü`(xÛ`+3x+6)
+10(x-1)Û`+5(x-1)+1
=(x-1)Ü`{(x-1)(x+4)+10}
-2
+10(x-1)Û`+5(x-1)+1
=(x-1)Ý`(x+4)+10(x-1)Ü`
+10(x-1)Û`+5(x-1)+1
=(x-1)Ý`{(x-1)_1+5}+10(x-1)Ü`
+10(x-1)Û`+5(x-1)+1
연
습
문
제
실
력
U
P
=k`(k는 상수)라 하면
=(x-1)Þ`+5(x-1)Ý`+10(x-1)Ü`
으로 가지므로
1+(k-3)+(k+2)m+n+2=0
이 식을 k에 대하여 정리하면
(1+m)k+2m+n=0
이 등식이 k에 대한 항등식이므로
1+m=0, 2m+n=0
∴ m=-1, n=2
∴ mn=-2
27
4x+ay+b
x+y-1
4x+ay+b=k(x+y-1)
이 식을 x, y에 대하여 정리하면
(4-k)x+(a-k)y+b+k=0
이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로
4-k=0, a-k=0, b+k=0
용하면 다음과 같다.
1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4
1 1 2 3 4 5
1 3 6
1 1 3 6 10
1 4
1 1 4 10
1
1 5
∴ k=4, a=4, b=-4
a=4,b=-4
28
x-1로 나누는 조립제법을 몫에 대하여 연속으로 이
+10(x-1)Û`+5(x-1)+1
∴ a=1, b=5, c=10, d=10, e=5, f=1
a=1,b=5,c=10,d=10,e=5, f=1
29
x-y-z=1
x-2y-3z=0
㉠_2-㉡을 하면 x+z=2 ∴ x=-z+2
㉠-㉡ 을 하면 y+2z=1 ∴ y=-2z+1
이것을 axy+byz+czx=12에 대입하면
a(-z+2)(-2z+1)+b(-2z+1)z
+cz(-z+2)=12
이 식을 z에 대하여 내림차순으로 정리하면
(2a-2b-c)zÛ`+(-5a+b+2c)z+2a-12=0
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
yy ㉣
이 등식이 z에 대한 항등식이므로
2a-2b-c=0
-5a+b+2c=0
2a-12=0 ∴ a=6
a=6을 ㉢, ㉣에 각각 대입하면
2b+c=12, b+2c=30
두 식을 연립하여 풀면 b=-2, c=16
∴ a+b+c=6+(-2)+16=20
20
연습문제·실력 UP 95
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30
⑴ 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면
1=a¼+aÁ+aª+a£+a¢+a°+a¤
yy ㉠
∴ a¼+aÁ+aª+a£+a¢+a°+a¤=1
⑵ 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면
-27=a¼-aÁ+aª-a£+a¢-a°+a¤ yy ㉡
㉠ +㉡을 하면
-26=2(a¼+aª+a¢+a¤)
∴ a¼+aª+a¢+a¤=-13
⑴1⑵-13
따라서 다항식 f(x)+g(x)를 x-1로 나누었을 때의
나머지는
f(1)+g(1)=2+3=5
5
33
f(x)를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 몫이 Q(x)
이므로 나머지를 ax+b`(a, b는 상수)라 하면
f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b
f(1)=1이므로 a+b=1
f(2)=2이므로 2a+b=2
yy ㉠
yy ㉡
KEY Point 복잡한항등식에서의계수의합
{ f(x)}Ç`=a¼+aÁx+aªxÛ`+ y +aÇxÇ`의양변에x=1,
x=-1을각각대입하여두식을더하거나빼서계수의합
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=1, b=0
∴ f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+x
을구한다.
따라서 f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는
f(3)=2Q(3)+3
⑤
31
f(x)=xÛ`+ax+4라 하면 나머지정리에 의하여
f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는
f(1)=1+a+4=a+5
f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는
f(2)=4+2a+4=2a+8
나머지가 서로 같으므로
a+5=2a+8 ∴ a=-3
34
f(4x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는
f(4_(-1))=f(-4)
f(x)를 xÛ`+3x-4로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하
면 나머지가 -2x+3이므로
f(x) =(xÛ`+3x-4)Q(x)-2x+3
=(x+4)(x-1)Q(x)-2x+3
yy ㉠
㉠의 양변에 x=-4를 대입하면
①
f(-4)=8+3=11
11
32
f(x)를 xÛ`-1로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면
f(x) =(xÛ`-1)Q(x)+2
=(x+1)(x-1)Q(x)+2
∴ f(1)=2
g(x)를 xÛ`-3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라
하면
g(x) =(xÛ`-3x+2)Q'(x)+2x+1
=(x-1)(x-2)Q'(x)+2x+1
∴ g(1)=3
96 Ⅰ. 다항식
35
다항식 x60-x31+axÜ`+1을 x-1로 나누었을 때의
몫이 Q(x), 나머지가 4이므로
x60-x31+axÜ`+1=(x-1)Q(x)+4
양변에 x=1을 대입하면
a+1=4 ∴ a=3
∴ x60-x31+3xÜ`+1=(x-1)Q(x)+4 yy ㉠
한편, Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는
Q(-1)이므로 ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면
0=-2Q(-1)+4
∴ Q(-1)=2
2
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연
습
문
제
실
력
U
P
36
f(x)=xÜ`+axÛ`-7x+b라 하면 f(x)가 x-1,
x+2를 인수로 가지므로 인수정리에 의하여
f(1)=0, f(-2)=0
f(1)=0에서 1+a-7+b=0
∴ a+b=6
이를 ㉠에 대입하면
f(x) =(x-1){(x-2)Q'(x)+10}+5
=(x-1)(x-2)Q'(x)+10(x-1)+5
=(x-1)(x-2)Q'(x)+10x-5
이므로 f(x)를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 몫은
f(-2)=0에서 -8+4a+14+b=0
따라서 a=10, b=-5이므로
∴ 4a+b=-6
yy ㉡
3a+b =3_10+(-5)=25
25
yy ㉠
Q'(x), 나머지는 10x-5이다.
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-4, b=10
∴ f(x)=xÜ`-4xÛ`-7x+10
f(x)가 x-1, x+2, x-c를 인수로 가지므로
xÜ`-4xÛ`-7x+10=(x-1)(x+2)(x-c)
이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=0을 대
입하면
10=2c ∴ c=5
∴ a+b+c =-4+10+5=11
11
37
f(x)+g(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 10이
므로
f(2)+g(2)=10
{ f(x)}Û`+{ g(x)}Û` 을 x-2로 나누었을 때의 나머지
가 58이므로
{ f(2)}Û`+{ g(2)}Û`=58
f(x)g(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는
f(2)g(2)이므로
{ f(2)}Û`+{ g(2)}Û`={ f(2)+g(2)}Û`-2 f(2)g(2)
에서 58=10Û`-2 f(2)g(2)
∴ f(2)g(2)=21
21
38
f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫은 Q(x), 나머지는
5이므로
39
f(x)를 (x-1)Û`(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x),
나머지를 axÛ`+bx+c`(a, b, c는 상수)라 하면
f(x)=(x-1)Û`(x-2)Q(x)+axÛ`+bx+c
그런데 f(x)를 (x-1)Û`으로 나누었을 때의 나머지가
x+1이므로 axÛ`+bx+c를 (x-1)Û`으로 나누었을
때의 나머지도 x+1이다.
즉, axÛ`+bx+c=a(x-1)Û`+x+1
yy ㉠
∴ f(x) =(x-1)Û`(x-2)Q(x)+a(x-1)Û`+x+1
한편, f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 4이므로
f(2)=a+3=4
∴ a=1
따라서 구하는 나머지는 ㉠에서
(x-1)Û`+x+1=xÛ`-x+2
xÛ`-x+2
40
P(x)=(xÛ`-x-1)(ax+b)+2
yy ㉠
P(x+1)을 xÛ`-4로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하
면 나머지가 -3이므로
P(x+1) =(xÛ`-4)Q(x)-3
=(x+2)(x-2)Q(x)-3
이 식의 양변에 x=2를 대입하면 P(3)=-3
f(x)=(x-1)Q(x)+5
yy ㉠
양변에 x=-2를 대입하면 P(-1)=-3
Q(x)를 x-2로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면
이때 ㉠의 양변에 x=3을 대입하면
나머지는 10이므로
Q(x)=(x-2)Q'(x)+10
P(3)=5(3a+b)+2=-3
∴ 3a+b=-1
yy ㉡
연습문제·실력 UP 97
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㉠의 양변에 x=-1을 대입하면
P(-1)=-a+b+2=-3
따라서 f(x)는 x+1, x-4를 인수로 갖는 이차식이
므로
∴ a-b=5
yy ㉢
f(x)=a(x+1)(x-4)`( a는 상수)
yy ㉠
㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=1, b=-4
로 놓을 수 있다.
∴ 50a+b=50-4=46
46
이때 f(0)=-4이므로 ㉠에서
f(0)=-4a=-4 ∴ a=1
∴ f(x)=(x+1)(x-4)
따라서 f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는
f(-2)=-1_(-6)=6
6
41
f(x)를 (x-1)(x-2)(x-3)으로 나누었을 때의
몫을 QÁ(x)라 하면 나머지가 xÛ`+x+1이므로
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)QÁ(x)+xÛ`+x+1
양변에 x=2를 대입하면 f(2)=7
양변에 x=3을 대입하면 f(3)=13
또한, f(6x)를 6xÛ`-5x+1, 즉 (2x-1)(3x-1)로
나누었을 때의 몫을 Qª(x), 나머지를
R(x)=ax+b (a, b는 상수)라 하면
f(6x)=(2x-1)(3x-1)Qª(x)+ax+b
양변에 x=
을 대입하면
f(3)=
a+b=13
;2!;
양변에 x=
을 대입하면
;2!;
;3!;
f(2)=
a+b=7
;3!;
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=36, b=-5
따라서 R(x)=36x-5이므로
R(1)=36-5=31
42
f(1-x)를 x-1로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면
나머지가 -4이므로
f(1-x)=(x-1)Q(x)-4
양변에 x=1을 대입하면 f(0)=-4
xf(x)를 (x+1)(x-4)로 나누었을 때의 몫을
Q'(x)라 하면 나누어떨어지므로
x f(x)=(x+1)(x-4)Q'(x)
양변에 x=-1, x=4를 각각 대입하면
f(-1)=0, f(4)=0
98 Ⅰ. 다항식
43
f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫이 QÁ(x)이므로 나
머지를 RÁ이라 하면
f(x)=(x-1)QÁ(x)+RÁ
yy ㉠
f(x)를 x-2로 나누었을 때의 몫이 Qª(x)이므로 나
머지를 Rª라 하면
yy ㉠
f(x)=(x-2)Qª(x)+Rª
yy ㉡
㉡의 양변에 x=2를 대입하면 f(2)=Rª
조건 ㈎에서 Qª(1)=f(2)=Rª
yy ㉡
즉, ㉡에서
f(x)=(x-2)Qª(x)+Qª(1)
이 식의 양변에 x=1을 대입하면
31
f(1)=-Qª(1)+Qª(1)=0
㉠의 양변에 x=1을 대입하면
f(1)=RÁ=0 ∴ f(x)=(x-1)QÁ(x)
이때 f(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차식이므로
QÁ(x)=x+a (a는 상수)라 하면
f(x)=(x-1)(x+a)
즉, QÁ(1)=1+a, Qª(1)=f(2)=2+a이므로 조건
㈏에서
QÁ(1)+Qª(1)=(1+a)+(2+a)=6
2a+3=6 ∴ a=
;2#;
따라서 f(x)=(x-1)
{
x+
;2#;}
이므로
f(3)=2_
=9
;2(;
③
18_기본서(수학상)_해설_090~103_1단원(연)_ok.indd 98
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44
xÇ`(xÛ`+ax+b)를 (x-3)Û`으로 나누었을 때의 몫을
f(-1)=2Q(-1)+2=6
∴ Q(-1)=2
Q(x)라 하면 나머지가 3Ç`(x-3)이므로
㉡의 양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하면
xÇ`(xÛ`+ax+b)
=(x-3)Û`Q(x)+3Ç`(x-3)
㉠의 양변에 x=3을 대입하면
3Ç`(9+3a+b)=0
3Ç`+0이므로 9+3a+b=0
Q(1)=a+b=4
yy ㉠
Q(-1)=-a+b=2
yy ㉢
yy ㉣
㉢, ㉣을 연립하여 풀면 a=1, b=3
따라서 ㉡에서 Q(x)를 xÛ`-1로 나누었을 때의 나머
지는 x+3이다.
x+3
∴ b=-3a-9
yy ㉡
∴ xÛ`+ax+b =xÛ`+ax-3a-9
=(xÛ`-9)+a(x-3)
=(x-3)(x+3+a)
㉠에서
xÇ`(x-3)(x+3+a)
=(x-3)Û`Q(x)+3Ç`(x-3)
=(x-3){(x-3)Q(x)+3Ç` }
이 등식은 x에 대한 항등식이므로
xÇ`(x+3+a)=(x-3)Q(x)+3Ç`
양변에 x=3을 대입하면
3Ç`(6+a)=3Ç`
연
습
문
제
실
력
U
P
46
f(1)=f(2)=f(3)=5에서
f(1)-5=0, f(2)-5=0, f(3)-5=0
이므로 f(x)-5는 x-1, x-2, x-3을 인수로 갖
는다.
이때 f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차식이므로
f(x)-5=(x-1)(x-2)(x-3)
∴ f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+5
3Ç`+0이므로 6+a=1 ∴ a=-5
이를 ㉡에 대입하면 b=6
따라서 f(x)를 x-4로 나누었을 때의 나머지는
④
f(4) =(4-1)(4-2)(4-3)+5
=11
11
45
f(x)를 xÛ`+1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가
-2x이므로
f(x)=(xÛ`+1)Q(x)-2x
yy ㉠
f(x)를 xÛ`-1, 즉 (x-1)(x+1)로 나누었을 때의
나머지가 6이므로
f(1)=6, f(-1)=6
47
7=x라 하면 6=x-1이므로 730+720+7을 6으로
나누었을 때의 나머지는 x30+x20+x를 x-1로 나누
었을 때의 나머지와 같다.
이때 x30+x20+x를 x-1로 나누었을 때의 몫을 Q(x),
한편, Q(x)를 xÛ`-1로 나누었을 때의 몫을 Q₁(x),
나머지를 ax+b`(a, b는 상수)라 하면
Q(x) =(xÛ`-1)Q₁(x)+ax+b
나머지를 R라 하면
x30+x20+x=(x-1)Q(x)+R
=(x+1)(x-1)Q₁(x)+ax+b yy ㉡
양변에 x=1을 대입하면
㉠의 양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하면
f(1)=2Q(1)-2=6
∴ Q(1)=4
R=3
따라서 730+720+7을 6으로 나누었을 때의 나머지는
3
3이다.
연습문제·실력 UP 99
18_기본서(수학상)_해설_090~103_1단원(연)_ok.indd 99
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48
⑴ 8xÜ`-27yÜ`-18xy-1
51
주어진 다항식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면
=(2x)Ü`+(-3y)Ü`+(-1)Ü`
2xÛ`-xy-yÛ`-4x+y+2
-3_2x_(-3y)_(-1)
=2xÛ`-(y+4)x-(yÛ`-y-2)
={2x+(-3y)+(-1)}
_{(2x)Û`+(-3y)Û`+(-1)Û`-2x_(-3y)
-(-3y)_(-1)-(-1)_2x}
=(2x-3y-1)(4xÛ`+9yÛ`+6xy+2x-3y+1)
=2xÛ`-(y+4)x-(y+1)(y-2)
1 1 1 1 1 Ú
1 1 1 1 1 Ú
1`
2
-(y+1)
-2y-2
Ú
Ú
y-2
y-2
-y-4
⑵ -(2x-3)Ü`=(3-2x)Ü`이고
=(x-y-1)(2x+y-2)
(x-1)+(x-2)+(3-2x)=0이므로
따라서 a=1, b=-1, c=2, d=1이므로
a+b+c+d=3
3
풀이참조
52
2xÝ`+5xÜ`+xÛ`+ax+b가 (x+1)Û`을 인수로 가지므로
(x-1)Ü`+(x-2)Ü`-(2x-3)Ü`
=(x-1)Ü`+(x-2)Ü`+(3-2x)Ü`
=3(x-1)(x-2)(3-2x)
KEY Point
aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc
=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)
이때a+b+c=0이면aÜ`+bÜ`+cÜ`=3abc
49
x(x+1)(x+2)(x+3)-8
={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}-8
=(xÛ`+3x)(xÛ`+3x+2)-8
=X(X+2)-8
xÛ`+3x=X로 치환
Û
=XÛ`+2X-8
=(X+4)(X-2)
=(xÛ`+3x+4)(xÛ`+3x-2)
∴ a=4, b=-2 또는 a=-2, b=4
(x+1)Û`으로 나누어떨어진다.
조립제법을 이용하면
-1 2 5 1 `a
b
-2 -3 `2
-a-2
-1 2 3 -2 a+2 -a+b-2
-2 -1 `3
2 1 -3 a+5
나누어떨어지면 나머지가 0이므로
-a+b-2=0, a+5=0
∴ a=-5, b=-3
따라서 f(x)를 인수분해하면
f(x) =(x+1)Û`(2xÛ`+x-3)
=(x+1)Û`(x-1)(2x+3)
∴ a+b=2
2
a=-5, b=-3,
(x+1)Û`(x-1)(2x+3)
50
xÝ`-13xÛ`+4 =(xÝ`-4xÛ`+4)-9xÛ`
53
11Ý`-6Ý` =(11Û`-6Û`)(11Û`+6Û`)
=(xÛ`-2)Û`-(3x)Û`
=(11-6)(11+6)_157
=(xÛ`+3x-2)(xÛ`-3x-2)
=5_17_157
따라서 a=3, b=2이므로
a+b=5
따라서 a=5, b=17이므로
5
a+b=22
②
100 Ⅰ. 다항식
18_기본서(수학상)_해설_090~103_1단원(연)_ok.indd 100
2018-07-31 오후 7:33:16
54
(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc
=abc+caÛ`+aÛ`b+bÛ`c+abc+abÛ`+bcÛ`+cÛ`a
⑵ 100=x로 놓으면
'Ä
=
100_102_104_106+16
x(x+2)(x+4)(x+6)+16
+abc-abc
=
{x(x+6)}{(x+2)(x+4)}+16
=(b+c)aÛ`+(bÛ`+2bc+cÛ`)a+bÛ`c+bcÛ`
=
(xÛ`+6x)(xÛ`+6x+8)+16
=(b+c)aÛ`+(b+c)Û`a+bc(b+c)
=(b+c){aÛ`+(b+c)a+bc}
=(b+c)(a+b)(a+c)=12
이때 a+b=2, b+c=3이므로
3_2_(a+c)=12 ∴ a+c=2
2
=xÛ`+6x+4
xÛ`+6x=X로 치환
Û
x=100이므로 X+4>0
연
습
문
제
실
력
U
P
⑴31 ⑵10604
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
"Ã
=
X(X+8)+16
=
XÛ`+8X+16
(X+4)Û`
=
"Ã
=X+4
Û
=10000+600+4
=10604
58
aÜ`+bÜ`+cÜ`=3abc에서
aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc=0
55
주어진 다항식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면
xÛ`+3xy+2yÛ`+kx-9y-5
=xÛ`+(3y+k)x+2yÛ`-9y-5
=xÛ`+(3y+k)x+(y-5)(2y+1)
이 식이 x, y에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해되
(y-5)+(2y+1)=3y+k
려면
∴ k=-4
56
주어진 다항식을 c에 대하여 내림차순으로 정리하면
aÛ`b-ac+abÛ`-bc-c+ab
=(-a-b-1)c+aÛ`b+abÛ`+ab
=-(a+b+1)c+ab(a+b+1)
=(a+b+1)(ab-c)
이때 a+b-2=0, 즉 a+b=2이므로
(a+b+1)(ab-c) =(2+1)(ab-c)
=3(ab-c)
③
57
⑴ (분자) =2Þ`â`-2Ý`Þ`+2Þ`-1
=2Ý`Þ`(2Þ`-1)+(2Þ`-1)
=(2Þ`-1)(2Ý`Þ`+1)
∴ (주어진 식) =
(2Þ`-1)(2Ý`Þ`+1)
2Ý`Þ`+1
=2Þ`-1=31
(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)=0
-4
이때 a>0, b>0, c>0이므로 a+b+c+0
즉, aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca=0이므로
{(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0
;2!;
따라서 a-b=0, b-c=0, c-a=0에서
a=b=c
∴ a+b+c-
ab
c -
=a+a+a-a-a-a=0
bc
a -
ca
b
0
59
직육면체 P, Q, R, S, T의 부피가 각각 p, q, r, s, t
이므로
p=aÜ`, q=bÜ`, r=aÛ`, s=bÛ`, t=ab(a-b)
이때 p=q+r+s+t이므로
aÜ`=bÜ`+aÛ`+bÛ`+ab(a-b)
aÜ`-bÜ`-aÛ`-bÛ`-ab(a-b)=0
aÜ`-bÜ`-aÛ`-bÛ`-aÛ`b+abÛ`=0
연습문제·실력 UP 101
18_기본서(수학상)_해설_090~103_1단원(연)_ok.indd 101
2018-07-31 오후 7:33:16
(aÜ`-aÛ`b-aÛ`)+(abÛ`-bÜ`-bÛ`)=0
∴ (주어진 식)
aÛ`(a-b-1)+bÛ`(a-b-1)=0
(aÛ`+bÛ`)(a-b-1)=0
이때 aÛ`+bÛ`+0이므로 a-b-1=0
∴ a-b=1
=xÛ`
{
x+
;[!;
-1
}{
x+
;[!;
-3
}
=x
{
x+
-1
_x
{
}
;[!;
x+
;[!;
-3
}
⑤
=(xÛ`-x+1)(xÛ`-3x+1)
60
(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+k
={(x-1)(x-7)}{(x-3)(x-5)}+k
=(xÛ`-8x+7)(xÛ`-8x+15)+k
=(X+7)(X+15)+k
xÛ`-8x=X로 치환
Û
=XÛ`+22X+105+k
yy ㉠
주어진 식이 x에 대한 이차식의 완전제곱식으로 인수
분해되려면 ㉠이 X에 대한 일차식의 완전제곱식으로
인수분해되어야 하므로
105+k=11Û` ∴ k=16
16
xÛ`+ax+b가완전제곱식이될조건은
=(c-b){aÛ`-(c+b)a+bc}
KEY Point
⇨b=
a
{;2!;
}
Û`
(xÛ`-x+1)(xÛ`-3x+1)
KEY Point
가운데 항을 중심으로 각 항의 xÝ`-4xÜ`+5xÛ`-4x+1
계수가좌우대칭인사차식의인
수분해는각항을xÛ`으로묶어낸
계수가같다.
후x+
=t로치환하여인수분해한다.
;[!;
62
주어진 식의 분자를 a에 대하여 내림차순으로 정리하면
(b-a)cÛ`+(c-b)aÛ`+(a-c)bÛ`
=bcÛ`-acÛ`+aÛ`c-aÛ`b+abÛ`-bÛ`c
=(c-b)aÛ`-(cÛ`-bÛ`)a+bcÛ`-bÛ`c
=(c-b)aÛ`-(c+b)(c-b)a+bc(c-b)
=(c-b)(a-b)(a-c)
=(a-b)(b-c)(c-a)
∴ (주어진 식)=
(a-b)(b-c)(c-a)
(a-b)(b-c)(c-a)
=1
1
63
a+b+c=0에서 b+c=-a, c+a=-b,
aÛ`(b+c)+bÛ`(c+a)+cÛ`(a+b)=-aÜ`-bÜ`-cÜ`
a+b=-c이므로
한편,
aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc
=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)
에서 a+b+c=0이므로
aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc=0
∴ aÜ`+bÜ`+cÜ`=3abc=3×(-5)=-15
∴ (주어진 식) =-aÜ`-bÜ`-cÜ`
=-(aÜ`+bÜ`+cÜ`)=15
15
61
xÝ`-4xÜ`+5xÛ`-4x+1
=xÛ`
{
xÛ`-4x+5-
+
;[$;
1
xÛ` }
=xÛ`
xÛ`+
[{
-4
x+
{
;[!;}
+5
]
1
xÛ` }
=xÛ`
x+
[{
;[!;}
x+
;[!;}
+3
]
{
Û`-4
x+
=t로 놓으면
;[!;
x+
{
;[!;}
Û`-4
x+
{
;[!;}
+3
=tÛ`-4t+3=(t-1)(t-3)
=
x+
-1
x+
-3
;[!;
}{
;[!;
}
{
102 Ⅰ. 다항식
18_기본서(수학상)_해설_090~103_1단원(연)_ok.indd 102
2018-07-31 오후 7:33:17
64
P(x)=xÜ`-(a+b)xÛ`-(aÛ`+bÛ`)x
18(n-1)=k(n-1)(n-2) (k는 자연수)라 하면
18=k(n-2)
+aÜ`+bÜ`+ab(a+b)
n이 가장 큰 값을 가지려면 k가 가장 작은 값을 가져
라 하면 P(x)가 x-c로 나누어떨어지므로
야 하므로 k=1일 때 n-2=18이어야 한다.
∴ n=20
20
P(c)=0
즉,
연
습
문
제
실
력
U
P
cÜ`-(a+b)cÛ`-(aÛ`+bÛ`)c+aÜ`+bÜ`+ab(a+b)=0
이 식의 좌변을 인수분해하면
cÜ`-(a+b)cÛ`-(aÛ`+bÛ`)c+aÜ`+bÜ`+ab(a+b)
=cÜ`-(a+b)cÛ`-(aÛ`+bÛ`)c+aÜ`+bÜ`+aÛ`b+abÛ`
=cÜ`-(a+b)cÛ`-(aÛ`+bÛ`)c+aÛ`(a+b)+bÛ`(a+b)
=cÜ`-(a+b)cÛ`-(aÛ`+bÛ`)c+(a+b)(aÛ`+bÛ`)
=-cÛ`(a+b-c)+(aÛ`+bÛ`)(a+b-c)
=(a+b-c)(aÛ`+bÛ`-cÛ`)=0
이때 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로
a+b>c ∴ a+b-c+0
∴ aÛ`+bÛ`=cÛ`
따라서 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이다.
빗변의 길이가 c인 직각삼각형
65
자연수 nÝ`+nÛ`-2가 (n-1)(n-2)의 배수이면 n에
대한 다항식 nÝ`+nÛ`-2는 n-1, n-2를 인수로 갖는다.
조립제법을 이용하면
1 1 0 1 0 -2
1 1 2 2
2 1 1 2 2 0
2 6 16
1 3 8 18
∴ nÝ`+nÛ`-2
=(n-1)(nÜ`+nÛ`+2n+2)
=(n-1){(n-2)(nÛ`+3n+8)+18}
=(n-1)(n-2)(nÛ`+3n+8)+18(n-1)
이때 nÝ`+nÛ`-2가 (n-1)(n-2)의 배수이려면
(n-1)(n-2)(nÛ`+3n+8)은 (n-1)(n-2)로
나누어떨어지므로 18(n-1)이 (n-1)(n-2)의 배
수이어야 한다.
연습문제·실력 UP 103
18_기본서(수학상)_해설_090~103_1단원(연)_ok.indd 103
2018-09-05 오전 10:13:53
Ⅱ. 방정식과 부등식
66
a=
aÛ` =
에서
1+i
2i
1+i
2i }
{
=
1+2i+i Û`
4i Û`
=
2i
-4
=-
;2I;
2`
에서
b=
1-i
2i
1-2i+i Û`
1-i
2i }
4i Û`
∴ (2aÛ`+3)(2bÛ`+3)
bÛ` =
=
{
2`
=
-2i
-4
=
;2I;
=
2_
-
[
{
;2I;}
+3
2_
+3
;2I;
}
]{
=(-i+3)(i+3)
=-i Û`+9
=10
다른풀이 a+b=
1+i
2i
+
1-i
2i
1
i
=
=-i이고
ab=
1+i
2i _
2
-4
aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab
1-i
2i
=
;2!;
=-
이므로
=(-i)Û`-2_
{
-
1
2 }
=0
∴ (2aÛ`+3)(2bÛ`+3) =4aÛ`bÛ`+6aÛ`+6bÛ`+9
=4(ab)Û`+6(aÛ`+bÛ`)+9
=4_
-
{
=10
1
2 }
2`
+6_0+9
xÛ`-4=0 ∴ x=Ñ2
이때 양수 x의 값이 a이므로 a=2
67
z =i(x-2i)Û`
=i(xÛ`-4xi-4)
=4x+(xÛ`-4)i
㉠이 실수가 되려면
x=2를 ㉠에 대입하면
z=8 ∴ b=8
∴ b-a=8-2=6
104 Ⅱ. 방정식과 부등식
68
(2+i)(x-yi)Ó=5(1-i)에서
(2+i)(x+yi)=5(1-i)
2x+2yi+xi-y=5-5i
(2x-y)+(x+2y)i=5-5i
을 조건에 의하여
2x-y=5, x+2y=-5
이때 2x-y, x+2y는 실수이므로 복소수가 서로 같
두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=-3
∴ x+y=-2
①
69
x=
y=
7
2-
'
7
2+
=
3i
(2-
=2+
3i
3i)
7(2+
3i)
'
3i)(2+
'
7(2-
'
3i)
'
3i)(2-
'
'
=2-
3i
②
=
3i
(2+
'
'
∴ x+y=(2+
3i)
'
3i)=4
xy=(2+
∴
+
=
xÛ`
y
yÛ`
x
3i)+(2-
'
'
3i)(2-
xÜ`+yÜ`
xy
=
'
'
3i)=7
(x+y)Ü`-3xy(x+y)
xy
=
4Ü`-3_7_4
7
=-
20
7
-
;;ª7¼;;
yy ㉠
70
aa®+a®b+ab®+bb® =a®(a+b)+b®(a+b)
=(a+b)(a®+b®)
=(a+b)(a+bÓ)
=(2-i)(2-iÓ)
=(2-i)(2+i)=5
5
71
z=a+bi`(a, b는 실수)라 하면 z®=a-bi
z-z®=2i에서 (a+bi)-(a-bi)=2i
2bi=2i ∴ b=1
또, zz®=17에서 (a+bi)(a-bi)=17
aÛ`+bÛ`=17
㉠을 ㉡에 대입하면 aÛ`=16 ∴ a=Ñ4
따라서 구하는 복소수 z는 4+i, -4+i이다.
yy ㉠
yy ㉡
6
4+i, -4+i
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 104
2018-07-31 오후 7:36:17
72
z-3iÓ=5+i이므로 z-3i=5+iÓ
즉, z-3i=5-i이므로 z=5+2i
∴ zz®=(5+2i)(5-2i)=29
다른풀이 z=a+bi`(a, b는 실수)라 하면
z-3iÓ=5+i에서
a+(b-3)i=5+i
a-(b-3)i=5+i
복소수가 서로 같을 조건에 의하여
a=5, -(b-3)=1 ∴ a=5, b=2
따라서 z=5+2i이므로
z=(5+2i)(5-2i)=29
z
75
a®+b®=a+bÓ=2-i이므로 a+b=
2-i=2+i
a®_b®=abÕ=5+3i이므로 ab=
5+3i=5-3i
29
∴ (a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab
=(2+i)Û`-4(5-3i)
=4+4i-1-20+12i
=-17+16i
따라서 구하는 복소수의 허수부분은 16이다.
16
연
습
문
제
실
력
U
P
73
1+i
1-i
=
(1+i)Û`
(1-i)(1+i)
=
=i
2i
2
이므로 주어진 식은
i+
2-i
x+yi
=1-i,
=1-2i
2-i
x+yi
∴ x+yi =
=
(2-i)(1+2i)
(1-2i)(1+2i)
2-i
1-2i
4+3i
5
=
=
+
i
;5#;
;5$;
따라서 x=
, y=
이므로
;5$;
;5#;
x-y=
;5!;
;5!;
74
x=
3i
-1+
2
'
에서 2x+1=
3i
'
양변을 제곱하면
∴ xÛ`+x+1=0
양변에 x-1을 곱하면
76
z =(1+i)x+(1-i)y-3+5i
=(x+y-3)+(x-y+5)i
∴ z®=(x+y-3)-(x-y+5)i
이때 zz®=0에서
{(x+y-3)+(x-y+5)i}
=0
_{(x+y-3)-(x-y+5)i}
∴ (x+y-3)Û`+(x-y+5)Û`=0
이때 x+y-3, x-y+5는 실수이므로
x+y-3=0, x-y+5=0
두 식을 연립하여 풀면
x=-1, y=4
∴ xÛ`+yÛ`=(-1)Û`+4Û`=17
17
77
z=a+bi (a, b는 실수)라 하면 z®=a-bi
이것을 (2+i)z+3iz®=2+6i에 대입하면
(2+i)(a+bi)+3i(a-bi)=2+6i
2a+2bi+ai-b+3ai+3b=2+6i
(2a+2b)+(4a+2b)i=2+6i
같을 조건에 의하여
2a+2b=2, 4a+2b=6
4xÛ`+4x+1=-3, 4xÛ`+4x+4=0
이때 2a+2b, 4a+2b는 실수이므로 복소수가 서로
(x-1)(xÛ`+x+1)=0, xÜ`-1=0 ∴ xÜ`=1
두 식을 연립하여 풀면
∴ xÝ`+7xÜ`-x-3 =xÜ`_x+7xÜ`-x-3
a=2, b=-1
=x+7-x-3
=4
따라서 z=2-i, z®=2+i이므로
zz®=(2-i)(2+i)=4+1=5
4
②
연습문제·실력 UP 105
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 105
2018-07-31 오후 7:36:17
Ã
Ã
Ã
78
zÛ`이 실수가 되려면 z는 실수 또는 순허수이어야 하므로
80
z=
z =a(2+i)-1+2i
=(2a-1)+(a+2)i
에서
2a-1=0 또는 a+2=0
∴ a=
또는 a=-2
;2!;
따라서 모든 실수 a의 값의 곱은
_(-2)=-1
;2!;
-1
다른풀이 z=(2a-1)+(a+2)i에서
zÛ`=(2a-1)Û`+2(2a-1)(a+2)i-(a+2)Û`
이고 zÛ`이 실수가 되려면
2(2a-1)(a+2)=0
∴ a=
또는 a=-2
;2!;
KEY Point
z=a+bi (a, b는 실수)에서 zÛ`=aÛ`-bÛ`+2abi이므로
zÛ`이 실수가 되려면
2ab=0 ∴ a=0 또는 b=0
따라서 zÛ`이 실수가 되려면 복소수 z는 순허수 또는 실수이
어야 한다.
3i
-1-
2
'
에서 2z+1=-
3i
'
4zÛ`+4z+1=-3, 4zÛ`+4z+4=0
양변을 제곱하면
∴ zÛ`+z+1=0
양변에 z-1을 곱하면 (z-1)(zÛ`+z+1)=0
zÜ`-1=0 ∴ zÜ`=1
∴ (주어진 식) =(1+z+zÛ`)+zÜ`(1+z+zÛ`)
+ y +z48(1+z+zÛ`)+z51+z52
=z51+z52
=(zÜ`)17+(zÜ`)17_z
1+z+zÛ`=0
Û
=1+z
zÜ`=1
Û
3i
=1+
-1-
2
'
=
3i
1-
'
2
3i
1-
'
2
81
aa®=bb®=2에서 a®=
, b®=
2
2
a
b
2(a+b)
2
a +
2
b =
∴ a®+b®=
ab =
한편, 켤레복소수의 성질에 의하여
4i
ab
yy ㉠
a®+b®=a+bÓ=2iÓ=-2i
yy ㉡
㉠, ㉡에서
∴ ab=
4i
ab =-2i
4i
-2i
=-2
-2
79
z =a(2+i)-b(1+i)
=(2a-b)+(a-b)i
zÛ`=-1에서 z=i 또는 z=-i
Ú z=i일 때,
(2a-b)+(a-b)i=i에서
2a-b=0, a-b=1
두 식을 연립하여 풀면
a=-1, b=-2
Û z=-i일 때,
(2a-b)+(a-b)i=-i에서
2a-b=0, a-b=-1
두 식을 연립하여 풀면
a=1, b=2
Ú, Û에서 aÛ`+bÛ`=5
106 Ⅱ. 방정식과 부등식
82
z=a+bi (a, b는 실수)라 하면
z=a-bi
이것을
=3+2i에 대입하면
z
z+2
z
z
(a+bi)+2(a-bi)
(a+bi)(a-bi)
=3+2i
3a-bi
aÛ`+bÛ`
3a
aÛ`+bÛ`
=3+2i
-
b
aÛ`+bÛ`
i=3+2i
5
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 106
2018-07-31 오후 7:36:18
는 실수이므로 복소수가 서로
다른풀이 ㄴ. i
z =i(a+ai)=ai-a=-(a-ai)
yy ㉠
yy ㉡
=-z
ㄷ.
+
=
z
z
z
z
a+ai
a-ai
+
a-ai
a+ai
=
(a+ai)Û`+(a-ai)Û`
(a-ai)(a+ai)
=
aÛ`+2aÛ`i-aÛ`+aÛ`-2aÛ`i-aÛ`
aÛ`+aÛ`
=0
84
⑴ i+2i Û`+3i Ü`+4iÝ`+ y +30i 30
=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)
+ y +(25i-26-27i+28)+29i-30
=(2-2i)+ y +(2-2i)+29i-30
( \ | { | \ 9
연
습
문
제
실
력
U
P
이때
3a
aÛ`+bÛ`
같을 조건에 의하여
, -
b
aÛ`+bÛ`
b
aÛ`+bÛ`
=2
=3에서 3a=3(aÛ`+bÛ`)
=3, -
3a
aÛ`+bÛ`
3a
aÛ`+bÛ`
∴ aÛ`+bÛ`=a
-
b
aÛ`+bÛ`
=2에서 -b=2(aÛ`+bÛ`)
∴ aÛ`+bÛ`=-
;2B;
㉠, ㉡에서 a=-
;2B;
이 식을 ㉡에 대입하면
-
{
;2B;}
+bÛ`=-
,
;2B;
;4%;
bÛ`+
=0
;2B;
5bÛ`+2b=0, b(5b+2)=0
2`
∴ b=0 또는 b=-
;5@;
이때 b=0이면 a=0이고 z=0이므로 조건에 맞지 않다.
∴ b=-
, a=-
;5@;
=
;2B;
;5!;
∴ z=
-
i
;5@;
;5!;
i
;5!;-;5@;
83
z=a+bi이므로
iz=i(a+bi)=-b+ai,
z=a-bi
이때 iz=
z이므로
-b+ai=a-bi ∴ b=-a
∴ z=a+bi=a-ai
ㄱ. z+
z=(a-ai)+(a+ai)=2a=-2b
ㄴ. iz=
z의 양변에 i를 곱하면 -z=i
z
ㄷ. iz=
z이므로
=i
z
z
ㄴ에서 i
z=-z이므로
=-i
z
z
∴
+
=i+(-i)=0
z
z
z
z
7개
=7(2-2i)+29i-30
=-16+15i
Û`=
-2i
2
=-i
Û`=
2i
2
1+i
⑵
{
'
∴
{
2 }
1+i
2 }
'
4n
+
{
1-i
2 }
'
4n+2
=i,
{
1-i
2 }
'
Û`Ç`+
=
1+i
Û`
1-i
Û`
2n+1
[{
2 }
]
[{
2 }
]
'
'
=i Û`Ç`+(-i)2n+1
=(i Û`)Ç`+{(-i)Û`}Ç`_(-i)
=(-1)Ç`+(-1)Ç`_(-i)
=1+1_(-i)
n은 짝수
Û
=1-i
⑴ -16+15i ⑵ 1-i
85
x=
1-i
1+i
=
(1-i)Û`
(1+i)(1-i)
=
-2i
2
=-i이므로
1+x+xÛ`+xÜ` =1+(-i)+(-i)Û`+(-i)Ü`
=1-i-1+i=0
∴ 1+x+xÛ`+xÜ`+ … +x2000
=(1+x+xÛ`+xÜ`)+xÝ`(1+x+xÛ`+xÜ`)
… +x1996(1+x+xÛ`+xÜ`)+x2000
+
=x2000=(-i)2000=i 2000
=(i Ý`)500=1
연습문제·실력 UP 107
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
⑤
1
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 107
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89
x
y=-
xy에서
'
'
x<0, y<0 또는 x=0 또는 y=0
'¶
xÛ`+2x-(y+3)i=15+4i에서 xÛ`+2x, -(y+3)
은 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여
xÛ`+2x=15, -(y+3)=4
xÛ`+2x=15에서 xÛ`+2x-15=0
(x+5)(x-3)=0 ∴ x=-5 또는 x=3
-(y+3)=4에서 y=-7
이때 x<0, y<0이므로 x=-5, y=-7
∴ xy=35
35
90
i à`=i Ý`_i Ü`=i Ü`=-i, i 77=(i Ý`)19_i=i이므로
f(7)=
f(77)=
-i
2+i
=
i à`
2-i à`
i 77
2-i 77 =
i
2-i
∴ f(7)+f(77) =
+
i
-i
2+i
2-i
-i(2-i)+i(2+i)
(2+i)(2-i)
-2i-1+2i-1
5
=-
;5@;
=
=
-
;5@;
91
1+i+i Û`+i Ü`=1+i-1-i=0이므로
1+i+i Û`+i Ü`+ y +i 101
=(1+i+i Û`+i Ü`)+i Ý`(1+i+i Û`+i Ü`)
+
=i 100+i 101=(i Ý`)25+(i Ý`)25_i=1+i
y +i 96(1+i+i Û`+i Ü`)+i 100+i 101
∴ z=
1+i
1-i
=
(1+i)Û`
(1-i)(1+i)
=
=i
2i
2
86
-5
-2
-5
2
5
-2
ㄱ. '¶
'¶
ㄴ. '¶
'
ㄷ. '
'¶
= '
5 i
2
=-
i
®;2%;
-5
-2
=
®;2%;
i=
®É
=
®É
-5
2
5
2
= '
'
=
®;2%;
5 i
2 i Û`
= '
'
5 i
= '
2 i
'
5 i
= '
2
'
5
= '
2 i
'
=-
®É
+
5
-2
-'
5
123-2
1
'
'
(-2)_5
2i_
5=
®É
0 i=
=
"Ã
-5 =
ㄹ.
-2
'
'¶
5 =
'
-10
'¶
ㅁ.
-2
'¶
'¶
2i_
5i=
1
0i Û`
'
=-
'
0+
'
1
'
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ의 3개이다.
(-2)_(-5)
"Ã
3
87
(
108=-6
3
'
-5)Û`=(
5i)Û`=-5
'
-12=-
'Ä
-9
'Ä
-3=
'Ä
'¶
'¶
'
¾¨
=
=
-9=3i
3
'Ä
-75
'Ä
-3
'Ä
6
3
'
-4
'Ä
∴ (주어진 식) =-5-(-6
-75
-3
36
-4
=-
=-
2
'
¾¨
'¶
5=5
-9=-3i
=6
3+6i
'
3)+3i+5-(-3i)
'
따라서 a=6
3, b=6이므로
'
=
3
'
;bA;
3
'
88
x-4
3-x
=-
x-4
'Ä
3-x
'Ä
x-4>0, 3-x<0 또는 x-4=0
이므로
¾¨
Ú x-4>0, 3-x<0인 경우
x-3>0이므로
"Ã
"Ã
Û x-4=0, 즉 x=4인 경우
|x-3|-
(x-4)Û`=1
Ú, Û에서
|x-3|-
(x-4)Û`=1
"Ã
108 Ⅱ. 방정식과 부등식
|x-3|-
(x-4)Û`=x-3-(x-4)=1
∴ zÜ`+z+7=i Ü`+i+7=-i+i+7=7
⑤
92
zÛ`=
1
=
1+2i-1
-2
=-i
1+i
{
2i }
'
2`
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따라서 zÇ`=1이 되도록 하는 자연수 n의 값 중 가장
작은 값은 8이다.
④
=(x+1)(x-1) (∵ x+1>0, x-1<0)
연
습
문
제
실
력
U
P
zÜ`=zÛ`_z=-i_
=-
1+i
2i
'
1+i
2
'
zÝ`=(zÛ`)Û`=(-i)Û`=-1
zÞ`=zÝ`_z=(-1)_
=-
1+i
2i
'
1+i
2i
'
zß`=zÝ`_zÛ`=(-1)_(-i)=i
zà`=zß`_z=i_
=
1+i
2i
'
1+i
2
'
z¡`=(zÝ`)Û`=(-1)Û`=1
93
a+0, b+0, c+0이므로
a
b=-
a
b에서 a<0, b<0
'
'
=-
'
c
'
b
'
즉, a<0, b<0, c>0이므로
에서 b<0, c>0
®;bC;
(a+b)Û`=|a+b|=-(a+b)
"Ã
|c-a|=c-a,
"Å
bÛ`=|b|=-b,
cÛ`=|c|=c
"Å
∴
(a+b)Û`+|c-a|-
bÛ`+
cÛ`
"Å
"Å
"Ã
=-(a+b)+c-a-(-b)+c
=-2a+2c
-2a+2c
95
-10, x-1<0, 1-x>0, -1-x<0
∴
'Ä
=
"Ã
=-
x+1
x-1
1-x
-1-x
'Ä
'Ä
'Ä
(1-x)(-1-x)
(x+1)(x-1)
"Ã
(x+1)(x-1)(1-x)(-1-x)
"Ã
"Ã
=-
(x+1)Û`(x-1)Û`
=-
(x+1)Û`
"Ã
"Ã
(x-1)Û`
(∵ (x+1)(x-1)<0, (1-x)(-1-x)<0)
=xÛ`-1
xÛ`-1
96
이차방정식 xÛ`-ax+7=0의 해는 근의 공식에 의하여
x =
aÑ
"Ã
aÛ`-28
2
=
bi
5Ñ
'
2
따라서 a=5, b=-(aÛ`-28)=3이므로
a+b=8
8
97
(a+1)xÛ`+x+aÛ`-2=0이 이차방정식이므로
a+1+0 ∴ a+-1
yy ㉠
이 방정식의 한 근이 1이므로 x=1을 대입하면
a=0을 주어진 방정식에 대입하면
xÛ`+x-2=0, (x+2)(x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=1
따라서 다른 한 근은 -2이다.
③
94
(1+i)2n={(1+i)Û`}n=(2i)n=2n_i n이므로
2n_i n=-2ni에서 i n=-i
yy ㉠
(a+1)+1+aÛ`-2=0
aÛ`+a=0, a(a+1)=0
∴ a=0 (∵ ㉠)
k=0, 1, 2, y에 대하여
n=4k+1일 때, i Ç`=i 4k+1=(i Ý`)û`_i=i
n=4k+2일 때, i Ç`=i 4k+2=(i Ý`)û`_i Û`=-1
n=4k+3일 때, i Ç`=i 4k+3=(i Ý`)û`_i Ü`=-i
n=4k+4일 때, i Ç`=i 4k+4=(i Ý`)û`_i Ý`=1
즉, ㉠을 만족시키는 자연수 n은
98
xÛ`-|x-2|-4=0에서
n=4k+3 (k=0, 1, 2, y)의 꼴이므로 n은 4로 나
누었을 때 나머지가 3인 자연수이다.
Ú x<2일 때, xÛ`+x-2-4=0
따라서 100 이하의 자연수 n의 개수는 k=0, 1, 2,
xÛ`+x-6=0, (x+3)(x-2)=0
y, 24일 때, 즉 n=3, 7, 11, y, 99의 25개이다.
∴ x=-3 또는 x=2
25
그런데 x<2이므로 x=-3
연습문제·실력 UP 109
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2018-07-31 오후 7:36:20
Û x¾2일 때, xÛ`-(x-2)-4=0
Ú m=-1일 때,
xÛ`-x-2=0, (x+1)(x-2)=0
xÛ`-2x+1=0, (x-1)Û`=0 ∴ x=1 (중근)
∴ x=-1 또는 x=2
그런데 x¾2이므로 x=2
Ú, Û에서 x=-3 또는 x=2
Û m=3일 때,
xÛ`-6x+9=0, (x-3)Û`=0 ∴ x=3 (중근)
m=-1일 때 x=1, m=3일 때 x=3
이때 x=-3을 xÛ`+ax+b=0에 대입하면
9-3a+b=0
yy ㉠
x=2를 xÛ`+ax+b=0에 대입하면
101
이차방정식 xÛ`-2(k+2)x+kÛ`+24=0이 서로 다른
4+2a+b=0
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=1, b=-6
∴ a-b=7
yy ㉡
두 허근을 가지므로 판별식을 D라 하면
=(k+2)Û`-(kÛ`+24)<0
D
4
4k-20<0 ∴ k<5
7
따라서 구하는 자연수 k는 1, 2, 3, 4의 4개이다.
99
xCx=2_x_x-x-x+1=2xÛ`-2x+1
102
x=2를 2xÛ`+a(k+1)x+b(k-3)=0에 대입하면
4
1
8+2a(k+1)+b(k-3)=0
∴ (2a+b)k+2a-3b+8=0
이 식이 k에 대한 항등식이므로
2a+b=0, 2a-3b+8=0
두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=2
∴ a+b=1
103
원가가 3000원이므로 정가는
3000
1+
1-
;10A0;}{
;10A0;}
=2880
{
{
3000
1-
aÛ`
10000 }
=2880
3000-
aÛ`=2880,
aÛ`=120
;1£0;
;1£0;
aÛ`=400 ∴ a=Ñ20
그런데 a>0이므로 a=20
따라서 ㉠에서 이 물건의 정가는
3000
1+
{
;10A0;}
원
yy ㉠
이 정가의 a %를 할인한 가격이 2880원이므로
3000
1+
{
;1ª0¼0;}
=3600(원)
3600원
1Cx=2_1_x-1-x+1=x
이므로 xCx=|1Cx|+1에서
2xÛ`-2x+1=|x|+1
∴ 2xÛ`-2x=|x|
Ú x<0일 때, 2xÛ`-2x=-x
2xÛ`-x=0, x(2x-1)=0
∴ x=0 또는 x=
;2!;
그런데 x<0이므로 해가 없다.
Û x¾æ0일 때, 2xÛ`-2x=x
2xÛ`-3x=0, x(2x-3)=0
∴ x=0 또는 x=
;2#;
Ú, Û에서 x=0 또는 x=
;2#;
0,
;2#;
100
이차방정식 xÛ`-(m+3)x+2m+3=0이 중근을 가
지므로 판별식을 D라 하면
D=(m+3)Û`-4(2m+3)=0
mÛ`-2m-3=0, (m+1)(m-3)=0
∴ m=-1 또는 m=3
110 Ⅱ. 방정식과 부등식
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104
이차방정식 xÛ`+ax+b=0이 서로 다른 두 실근을 가
107
2xÛ`+xy-yÛ`-x+2y+k
지므로 판별식을 DÁ이라 하면
DÁ=aÛ`-4b>0
=2xÛ`+(y-1)x-(yÛ`-2y-k)
yy ㉠
이차방정식 2xÛ`+(y-1)x-(yÛ`-2y-k)=0의 판별
이차방정식 xÛ`+(a-2c)x+b-ac=0의 판별식을
식을 D라 하면 근의 공식에 의하여
Dª라 하면
Dª =(a-2c)Û`-4(b-ac)
=aÛ`-4ac+4cÛ`-4b+4ac
=(aÛ`-4b)+4cÛ`
㉠에서 aÛ`-4b>0이고, 4cÛ`¾0이므로
Dª=(aÛ`-4b)+4cÛ`>0
-(y-1)Ñ
D
'¶
이고
x=
4
D =(y-1)Û`+8(yÛ`-2y-k)=9yÛ`-18y+1-8k
주어진 이차식이 x, y에 대한 두 일차식의 곱으로 인수
분해되려면 D가 y에 대한 완전제곱식이어야 한다.
D=0의 판별식을 D'이라 하면
따라서 주어진 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖
=81-9(1-8k)=0
는다.
서로 다른 두 실근
72k=-72 ∴ k=-1
-1
D'
4
KEY Point
105
이차방정식 4xÛ`+2(2k+m)x+kÛ`-k+n=0이 중
x, y의 이차식이 x, y의 두 일차식의 곱으로 인수분해되려면
⇨ (이차식)=0의 판별식 D=0의 판별식 D'=0이어야 한다.
연
습
문
제
실
력
U
P
근을 가지므로 판별식을 D라 하면
D
4
=(2k+m)Û`-4(kÛ`-k+n)=0
∴ 4(m+1)k+mÛ`-4n=0
이 식이 k에 대한 항등식이므로
m+1=0, mÛ`-4n=0
∴ m=-1, n=
;4!;
∴ m+n=-
;4#;
106
a(1+xÛ`)+2bx+c(1-xÛ`)
=(a-c)xÛ`+2bx+a+c
이 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식
판별식을 D라 하면
=bÛ`-(a-c)(a+c)=0
;;4;D;
∴ aÛ`=bÛ`+cÛ`
108
이차방정식 xÛ`-2x+3=0의 두 근이 a, b이므로 근
과 계수의 관계에 의하여
a+b=2, ab=3
② (a+1)(b+1) =ab+a+b+1
=3+2+1=6
①
③ (a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab
=2Û`-4_3=-8
④ aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b)
=2Ü`-3_3_2=-10
⑤
+
=
b
a
a
b
aÛ`+bÛ`
ab =
2Û`-2_3
3
=
=-
;3@;
(a+b)Û`-2ab
ab
109
이차방정식 2xÛ`-kx+1=0의 두 근이 a, b이므로 근
과 계수의 관계에 의하여
(a-c)xÛ`+2bx+a+c=0이 중근을 가져야 하므로
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
③
따라서 빗변의 길이가 a인 직각삼각형이다.
빗변의 길이가 a인 직각삼각형
a+b=
, ab=
;2K;
;2!;
연습문제·실력 UP 111
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∴
+
=
1
aÛ`
1
bÛ`
aÛ`+bÛ`
aÛ`bÛ`
=
(a+b)Û`-2ab
(ab)Û`
{;2K;}
=
Û`-2_
;2!;
Û`
{;2!;}
=kÛ`-4
즉, kÛ`-4=5에서 kÛ`=9
∴ k=Ñ3
다른풀이 이차방정식의 두 근을 a, b (a>b)라 하면
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-k-2, ab=9-k
이때 두 근이 연속하는 정수이므로 두 근의 차는 1이다.
즉, a-b=1
(a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab에서
-3, 3
1=(-k-2)Û`-4(9-k)
110
이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근
kÛ`+8k-33=0, (k+11)(k-3)=0
∴ k=-11 또는 k=3
따라서 모든 실수 k의 값의 합은 -8이다.
과 계수의 관계에 의하여
a+b=-a, ab=b
이차방정식 xÛ`-bx+a=0의 두 근이 a+1, b+1이
므로 근과 계수의 관계에 의하여
(a+1)+(b+1)=b, (a+1)(b+1)=a
∴ a+b+2=b, ab+a+b+1=a
yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
-a+2=b, b-a+1=a
두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=1
따라서 ㉠에서 a+b=-1, ab=1이므로
aÝ`+bÝ` =(aÛ`+bÛ`)Û`-2aÛ`bÛ`
yy ㉠
112
이차방정식 xÛ`-3x+1=0의 두 근이 a, b이므로 근
과 계수의 관계에 의하여
a+b=3, ab=1
두 근 aÛ`+
, bÛ`+
의 합과 곱을 구하면
;º!;
;!;
aÛ`+
+
bÛ`+
;º!;}
{
{
;!;}
=aÛ`+bÛ`+
+
;º!;
1
a
=(a+b)Û`-2ab+
=3Û`-2_1+3=10
a+b
ab
={(a+b)Û`-2ab}Û`-2(ab)Û`
={(-1)Û`-2_1}Û`-2_1Û`
=(-1)Û`-2=-1
②
aÛ`+
{
;º!;}{
bÛ`+
;!;}
=aÛ`bÛ`+a+b+
1
ab
=1Û`+3+1=5
111
이차방정식 xÛ`+(k+2)x+9-k=0의 두 근이 연속
하는 정수이면 두 근의 차는 1이다.
두 근을 a, a+1이라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
a=-10, b=5
∴ a+b=-5
따라서 aÛ`+
을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가
1
b , bÛ`+
;!;
1인 이차방정식은 xÛ`-10x+5=0이므로
-5
a+(a+1)=-(k+2)
a(a+1)=9-k
㉠에서 a=
-k-3
2
이것을 ㉡에 대입하면
-k-3
2
{
-k-3
2
+1
=9-k
}
yy ㉠
yy ㉡
113
이차방정식 xÛ`+ax+b=0에서 a, b가 유리수이고 한
근이 2-
3이므로 다른 한 근은 2+
3이다.
'
'
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
(2-
3)+(2+
3)=-a ∴ a=-4
'
'
(2-
3)(2+
'
'
3)=b ∴ b=1
kÛ`+8k-33=0, (k+11)(k-3)=0
a=-4, b=1을 이차방정식 xÛ`+bx+a=0에 대입
∴ k=-11 또는 k=3
하면
따라서 모든 실수 k의 값의 합은 -8이다.
-8
xÛ`+x-4=0
112 Ⅱ. 방정식과 부등식
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 112
2018-07-31 오후 7:36:21
이 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면 근과 계수의 관
또, axÛ`+bx+c=0에서 a와 b를 바르게 보고 풀었을
계에 의하여
a+b==-1, ab=-4
∴ (a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab
=(-1)Û`-4_(-4)=17
17
때의 두 근이
와 3이므로 두 근의 합은
5
3
-
=
+3=
;aB;
;3%;
:Á3¢:
∴ b=-
a
:Á3¢:
…… ㉡
114
이차방정식 xÛ`+4x-3=0의 두 근이 a, b이므로 근
과 계수의 관계에 의하여
a+b=-4, ab=-3
또한, 이차방정식에 두 근 a, b를 대입하면
㉠, ㉡을 axÛ`+bx+c=0에 대입하면
axÛ`-
ax-
a=0
:Á3¢:
;3%;
이때 a+0이므로 양변에
을 곱하면
;a#;
3xÛ`-14x-5=0, (3x+1)(x-5)=0
aÛ`+4a-3=0, bÛ`+4b-3=0이므로
따라서 처음 이차방정식의 근은
aÛ`+4a=3, bÛ`+4b=3
∴
6b
aÛ`+4a-4
+
6a
bÛ`+4b-4
=
6b
3-4
+
6a
3-4
x=-
또는 x=5
;3!;
x=-
또는 x=5
;3!;
연
습
문
제
실
력
U
P
=-6a-6b
=-6(a+b)
=-6_(-4)
=24
117
이차방정식 xÛ`+px+q=0의 두 근이 a, b이므로 근
과 계수의 관계에 의하여
24
a+b=-p, ab=q
…… ㉠
또, 이차방정식 xÛ`+rx+p=0의 두 근이 2a, 2b이므
115
이차방정식 xÛ`-(4k+1)x+2k+1=0의 두 근이 a,
로 근과 계수의 관계에 의하여
2a+2b=-r, 2a_2b=p
b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
∴ 2(a+b)=-r, 4ab=p
…… ㉡
a+b=4k+1, ab=2k+1
aÛ`b+abÛ`-a-b=6에서
ab(a+b)-(a+b)=6
㉠을 ㉡에 대입하면
(2k+1)(4k+1)-(4k+1)=6
4kÛ`+k-3=0, (k+1)(4k-3)=0
yy ㉠
㉠을 ㉡에 대입하면
yy ㉡
-2p=-r, 4q=p ∴ r=2p, q=
;4P;
∴
=
;qR;
=8
2p
;4P;
⑤
∴ k=-1 (∵ k는 정수)
-1
116
axÛ`+bx+c=0에서 a와 c를 바르게 보고 풀었을 때
의 두 근이 -
와
이므로 두 근의 곱은
2
3
;2%;
=-
_
=-
;2%;
;3@;
;3%;
;aC;
∴ c=-
a
;3%;
118
이차방정식 f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면 근과 계
수의 관계에 의하여
a+b=2, ab=5
이때 이차방정식 f(2x+3)=0의 두 근은
2x+3=a 또는 2x+3=b
…… ㉠
∴ x=
또는 x=
a-3
2
b-3
2
연습문제·실력 UP 113
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 113
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따라서 이차방정식 f(2x+3)=0의 두 근의 곱은
a-3
2
_
b-3
2
=
ab-3(a+b)+9
4
=
5-3_2+9
4
=2
2
121
이차방정식 xÛ`-4x+k=0의 두 근이 a, b이므로 근
과 계수의 관계에 의하여
a+b=4, ab=k
|a|+|b|=6의 양변을 제곱하면
|a|Û`+2|a||b|+|b|Û`=36
aÛ`+2|ab|+bÛ`=36
yy ㉠
119
이차방정식 xÛ`+mx+n=0에서 m, n이 실수이고 한
근이 -1+2i이므로 다른 한 근은 -1-2i이다.
㉠을 ㉡에 대입하면 4Û`-2k+2|k|=36
∴ (a+b)Û`-2ab+2|ab|=36
yy ㉡
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
(-1+2i)+(-1-2i)=-m ∴ m=2
(-1+2i)(-1-2i)=n ∴ n=5
따라서
을 두 근으로 하고 xÛ` 의 계수가 1인 이차
Û k¾0일 때,
∴ k-|k|=-10
Ú k<0일 때,
k+k=-10 ∴ k=-5
k-k=-10, 0_k=-10
이를 만족시키는 k는 존재하지 않는다.
xÛ`-
{;2!;+;5!;}
x+
_
;2!;
;5!;
=0, 즉 xÛ`-
x+
=0
;1Á0;
;1¦0;
Ú, Û에서 k=-5
-5
1
2
,
;5!;
방정식은
이므로
a=-
, b=
;1¦0;
;1Á0;
122
(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)
=3xÛ`-2(a+b+c)x+ab+bc+ca=0
에서 근과 계수의 관계에 의하여
2(a+b+c)
3
ab+bc+ca
3
=4,
=-3
∴ a+b+c=6, ab+bc+ca=-9
(x-a)Û`+(x-b)Û`+(x-c)Û`
=3xÛ`-2(a+b+c)x+aÛ`+bÛ`+cÛ`=0
에서 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 두 근의 곱은
aÛ`+bÛ`+cÛ`
3
=
(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)
3
=
6Û`-2_(-9)
3
=18
④
123
두 근의 곱이 -18<0이므로 두 근의 부호는 서로 다
∴ a+b=-
=-
;5#;
;1¤0;
-;5#;
120
|xÛ`+(a-2)x-2|=1에서
xÛ`+(a-2)x-2=1 또는 xÛ`+(a-2)x-2=-1
∴ xÛ`+(a-2)x-3=0 또는 xÛ`+(a-2)x-1=0
이때 주어진 방정식의 모든 근의 합은 두 이차방정식
의 모든 근의 합과 같다.
xÛ`+(a-2)x-3=0에서 근과 계수의 관계에 의하여
xÛ`+(a-2)x-1=0에서 근과 계수의 관계에 의하여
두 근의 합은
-(a-2)
두 근의 합은
-(a-2)
하므로
-(a-2)-(a-2)=0
-2a+4=0 ∴ a=2
114 Ⅱ. 방정식과 부등식
따라서 두 이차방정식의 근을 모두 더하면 0이 되어야
르다. 두 근의 절댓값의 비가 2 : 1이므로 두 근을 a,
-2a (a+0)라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
a+(-2a)=-(m-5)
2
a_(-2a)=-18
yy ㉠
yy ㉡
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 114
2018-07-31 오후 7:36:22
연
습
문
제
실
력
U
P
㉡에서 aÛ`=9 ∴ a=Ñ3
㉠에서 m=a+5이므로
m=2 또는 m=8
kÛ`
9
+
=
;3$;
:Á9¤:
, kÛ`=4
2, 8
∴ k=Ñ2
-2, 2
124
이차방정식 xÛ`+x-4=0의 두 근이 a, b이므로 근과
127
이차함수 y=xÛ`+ax+b의 그래프가 점 (-1, 4)를
계수의 관계에 의하여
a+b=-1, ab=-4
f(a)=f(b)=1에서
f(a)-1=f(b)-1=0
지나므로
1-a+b=4 ∴ b=a+3
yy ㉠
또, 이차함수 y=xÛ`+ax+b의 그래프가 x축에 접하
므로 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 판별식을 D라 하면
즉, 이차방정식 f(x)-1=0의 두 근이 a, b이고 이차
D=aÛ`-4b=0
yy ㉡
식 f(x)의 이차항의 계수가 1이므로
f(x)-1 =(x-a)(x-b)=xÛ`+x-4
㉠을 ㉡에 대입하면 aÛ`-4(a+3)=0
aÛ`-4a-12=0, (a+2)(a-6)=0
∴ f(x)=xÛ`+x-3
f(x)=xÛ`+x-3
∴ a=6 (∵ a>0)
125
이차함수 y=xÛ`-(a+2)x+bÛ`-b의 그래프와 x축
의 두 교점의 x좌표가 1, 6이므로 이차방정식
xÛ`-(a+2)x+bÛ`-b=0의 두 근이 1, 6이다.
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
6=bÛ`-b에서 bÛ`-b-6=0, (b+2)(b-3)=0
1+6=a+2, 1_6=bÛ`-b
7=a+2에서 a=5
∴ b=3 (∵ b>0)
∴ a+b=5+3=8
a=6을 ㉠에 대입하면 b=9
∴ ab=6_9=54
54
128
이차함수 y=xÛ`+2kx+k의 그래프가 x축과 한 점에
서 만나므로 이차방정식 xÛ`+2kx+k=0의 판별식을
DÁ이라 하면
DÁ
4
=kÛ`-k=0
k(k-1)=0 ∴ k=0 또는 k=1
…… ㉠
8
또, 이차함수 y=2xÛ`-x+k의 그래프가 x축과 만나
지 않으므로 이차방정식 2xÛ`-x+k=0의 판별식을
126
이차함수 y=3xÛ`+kx-1의 그래프가 x축과 만나는
두 점 P, Q의 x좌표를 각각 a, b라 하면 a, b는 이차
방정식 3xÛ`+kx-1=0의 두 근이므로 근과 계수의
Dª라 하면
Dª=(-1)Û`-4_2_k<0
1-8k<0 ∴ k>
;8!;
㉠, ㉡에서 k=1
관계에 의하여
…… ㉡
1
a+b=-
, ab=-
;3K;
;3!;
…… ㉠
이때 PQÓ=|a-b|=
이므로 (a-b)Û`=
:Á9¤:
129
이차함수 y=2xÛ`-ax+10의 그래프와 직선
y=-2x+b의 교점의 x좌표는 이차방정식
∴ (a+b)Û`-4ab=
…… ㉡
2xÛ`-ax+10=-2x+b, 즉
;3$;
:Á9¤:
㉠을 ㉡에 대입하면
{
-
;3K;}
Û`-4_
-
{
;3!;}
=
:Á9¤:
2xÛ`-(a-2)x+10-b=0
…… ㉠
의 실근과 같으므로 이차방정식 ㉠의 두 근이 1, 3이다.
연습문제·실력 UP 115
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 115
2018-07-31 오후 7:36:22
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
또, 이차함수 y=xÛ`+ax+3a-1의 그래프가 직선
1+3=
, 1_3=
a-2
2
10-b
2
∴ a=10, b=4
∴ a-b=6
130
이차함수 y=-xÛ`+4x-1의 그래프와 직선
y=ax+b의 교점의 x좌표는 이차방정식
-xÛ`+4x-1=ax+b, 즉
xÛ`+(a-4)x+b+1=0
의 실근과 같다.
1+
5이므로 다른 한 근은 1-
5이다.
'
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
'
'
'
(1+
5)+(1-
5)=-a+4
'
5)=b+1
(1+
5)(1-
'
∴ a=2, b=-5
∴ ab=-10
y=5x+7에 접하므로 이차방정식
xÛ`+ax+3a-1=5x+7, 즉
xÛ`+(a-5)x+3a-8=0의 판별식을 Dª라 하면
③
Dª=(a-5)Û`-4(3a-8)=0
aÛ`-22a+57=0, (a-3)(a-19)=0
∴ a=3 또는 a=19
㉠, ㉡에서 a=3
…… ㉡
3
yy ㉠
133
최고차항의 계수가 1인 이차방정식 f(x)=0의 두 근
f(x) =(x-a)(x-b)=xÛ`-(a+b)x+ab
=xÛ`-6x+ab=(x-3)Û`+ab-9
이때 이차함수 y=f(x)의 그래프의 꼭짓점
(3, ab-9)가 직선 y=2x-7 위에 있으므로
ab-9=-1 ∴ ab=8
-10
따라서 f(x)=xÛ`-6x+8이므로
f(0)=8
8
이때 a, b가 모두 유리수이고 이차방정식 ㉠의 한 근이
이 a, b이고 a+b=6이므로
131
직선 y=mx+3은 직선 y=4x-5와 평행하므로
m=4
직선 y=4x+3이 이차함수 y=axÛ`+1의 그래프에
접하므로 이차방정식 axÛ`+1=4x+3, 즉
axÛ`-4x-2=0의 판별식을 D라 하면
=(-2)Û`-a_(-2)=0
;;4;D;
4+2a=0 ∴ a=-2
∴ aÛ`+mÛ`=4+16=20
132
이차함수 y=xÛ`+ax+3a-1의 그래프가 직선
y=-x+4에 접하므로 이차방정식
xÛ`+ax+3a-1=-x+4, 즉
xÛ`+(a+1)x+3a-5=0의 판별식을 DÁ이라 하면
DÁ=(a+1)Û`-4(3a-5)=0
134
이차함수 y=xÛ`-2(a+k)x+kÛ`-2k+b의 그래프
가 x축에 접하므로 이차방정식
xÛ`-2(a+k)x+kÛ`-2k+b=0
의 판별식을 D라 하면
=(a+k)Û`-(kÛ`-2k+b)=0
;;4;D;
④
∴ (2a+2)k+aÛ`-b=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
2a+2=0, aÛ`-b=0 ∴ a=-1, b=1
∴ ab=-1
-1
135
이차함수 y=
xÛ`+kx+14의 그래프가 직선
;4!;
aÛ`-10a+21=0, (a-3)(a-7)=0
y=-2x-kÛ`-6보다 항상 위쪽에 있으려면 이차함수
∴ a=3 또는 a=7
…… ㉠
의 그래프와 직선이 만나지 않아야 하므로 이차방정식
116 Ⅱ. 방정식과 부등식
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 116
2018-07-31 오후 7:36:23
xÛ`+kx+14=-2x-kÛ`-6, 즉
a>0이므로 1ÉxÉ3에서 이 이
차함수의 그래프는 오른쪽 그림
xÛ`+(k+2)x+kÛ`+20=0의 판별식을 D라 하면
과 같다.
1
3 4
x
D=(k+2)Û`-4_
_(kÛ`+20)<0
;4!;
4k-16<0 ∴ k<4
이때 이차함수의 그래프의 꼭짓
점의 x좌표 4는 1ÉxÉ3에 포함되지 않는다.
따라서 x=3일 때 최댓값이 a-b이므로
따라서 조건을 만족시키는 자연수 k는 1, 2, 3의 3개
a-b=-2
1
4
;4!;
이다.
3
x=1일 때 최솟값이 -7a-b이므로
-7a-b=-10
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=3
∴ a+b=4
yy ㉠
yy ㉡
4
연
습
문
제
실
력
U
P
136
이차함수 y=f(x)의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점
(a, 0), (b, 0)에서 만나므로 a, b는 이차방정식
f(x)=0의 두 근이다.
f(a)=0, f(b)=0이므로 f(2x-1)=0에서
2x-1=a 또는 2x-1=b
∴ x=
또는 x=
a+1
2
b+1
2
따라서 구하는 모든 실근의 합은
a+1
2
+
b+1
2
=
a+b+2
2
=
6+2
2
=4
4
137
이차함수 y=xÛ`-4ax+2b가 x=6에서 최솟값 14를
가지므로
y=(x-6)Û`+14=xÛ`-12x+50
즉, 4a=12, 2b=50 ∴ a=3, b=25
138
y=axÛ`-4ax+aÛ`+3a=a(x-2)Û`+aÛ`-a
이 이차함수의 최댓값이 존재하므로 a<0
최댓값이 6이므로 aÛ`-a=6
aÛ`-a-6=0, (a+2)(a-3)=0
∴ a=-2 또는 a=3
139
y =-axÛ`+8ax-14a-b
=-a(x-4)Û`+2a-b
∴ ab=75
75
를 갖는다.
140
xÛ`-2x=t로 놓으면
t=xÛ`-2x=(x-1)Û`-1
-1ÉxÉ2이므로 [그림 1]에서
-1ÉtÉ3
이때 주어진 함수는
y =(t-1)Û`-2t+1
=tÛ`-4t+2
=(t-2)Û`-2 (-1ÉtÉ3)
이므로 [그림 2]에서
t=-1일 때 최댓값 7,
t=2일 때 최솟값 -2
(cid:85)(cid:30)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:19)(cid:89)
(cid:85)
(cid:20)
(cid:48)
(cid:18)
(cid:14)(cid:18)
(cid:14)(cid:18)
(cid:19)
(cid:89)
[그림 1]
(cid:90)
(cid:24)
(cid:90)(cid:30)(cid:85)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:21)(cid:85)(cid:12)(cid:19)
(cid:19) (cid:20)
(cid:48)
(cid:14)(cid:18)
(cid:14)(cid:19)
(cid:14)(cid:18)
(cid:85)
②
따라서 M=7, m=-2이므로
[그림 2]
M+m=5
141
2xÛ`+3yÛ`-4x+6y+10
=2(xÛ`-2x+1)+3(yÛ`+2y+1)+5
이때 x, y는 실수이므로 (x-1)Û`¾0, (y+1)Û`¾0
∴ 2xÛ`+3yÛ`-4x+6y+10¾5
따라서 주어진 식은 x=1, y=-1일 때 최솟값 5를
갖는다.
5
연습문제·실력 UP 117
그런데 a<0이므로 a=-2
-2
=2(x-1)Û`+3(y+1)Û`+5
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 117
2018-07-31 오후 7:36:23
142
y =-200xÛ`+1600x-1700
=-200(x-4)Û`+1500
이므로 x=4일 때 최댓값 1500을 갖는다.
따라서 입장권 한 장의 가격을 4만 원으로 정할 때 이
익이 최대가 되고, 그때의 이익금은 1500만 원이다.
x=a일 때 y=-2이므로
-2=-aÛ`-2a+1
aÛ`+2a-3=0
(a+3)(a-1)=0
∴ a=-3 (∵ a<0)
(cid:90)
(cid:67)
(cid:18)
(cid:14)(cid:19)
(cid:66)
(cid:14)(cid:18)
(cid:48)
(cid:89)
또, x=-1일 때 y=b이므로
(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:18)
입장권 한 장의 가격 : 4만 원,
b=2
이익금 : 1500만 원
∴ a+b=-3+2=-1
-1
143
y =-xÛ`-2ax+4a-1
=-(x+a)Û`+aÛ`+4a-1
따라서 x=-a일 때 최댓값은 aÛ`+4a-1이므로
f(a) =aÛ`+4a-1=(a+2)Û`-5
따라서 f(a)의 최솟값은 a=-2일 때 -5이다.
146
xÛ`+2x-1=t로 놓으면
t=xÛ`+2x-1=(x+1)Û`-2
∴ t¾-2
이때 주어진 함수는
y =-2tÛ`+12t-k
y
18-k
O
3-2
t
②
=-2(t-3)Û`+18-k (t¾-2)
이므로 t=3일 때 최댓값 18-k를 갖
는다.
즉, 18-k=15 ∴ k=3
3
이므로 a-1ÉxÉ-3에
서 이 이차함수의 그래프
(cid:90)
(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:153)(cid:65)(cid:14)(cid:21)(cid:89)(cid:12)(cid:19)
(cid:23)
yy ㉠
147
y=x+1에서 x=y-1을 xÛ`+yÛ`+2에 대입하면
xÛ`+yÛ`+2 =(y-1)Û`+yÛ`+2=2yÛ`-2y+3
(cid:66)(cid:14)(cid:18)
(cid:48)
(cid:14)(cid:20)
(cid:14)(cid:19)
(cid:89)
=2
y-
{
Û`+
1
2 }
;2%;
(-1ÉyÉ3)
이므로 y=
일 때 최솟값
y=3일 때 최댓값 15
;2%;,
1
2
를 갖는다.
따라서 M=15, m=
이므로
(cid:14)(cid:18)(cid:17)
;2%;
;2%;
M-4m=15-4_
=5
5
148
신제품 A의 가격을 x만 원 인상할 때의 전체 판매 금
-5
액을 y만 원이라 하면 A의 가격은 (100+x)만 원이
그런데 a-1ÉxÉ-3에서 a-1É-3, 즉 aÉ-2
145
y=-xÛ`-2x+1=-(x+1)Û`+2
고 판매량은 (2400-20x)대이므로
y =(100+x)(2400-20x)
=-20xÛ`+400x+240000
aÉxÉ0에서 -2ÉyÉb이려면 이 함수의 그래프가
=-20(x-10)Û`+242000
다음 그림과 같아야 한다.
에서 x=10일 때 최댓값 242000을 갖는다.
144
y =-xÛ`-4x+2
=-(x+2)Û`+6
는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 x=a-1일 때 최
솟값 -10을 가지므로
x=a-1을 ㉠에 대입하면
-(a+1)Û`+6=-10
aÛ`+2a-15=0
(a+5)(a-3)=0
∴ a=-5 또는 a=3
이므로
a=-5
118 Ⅱ. 방정식과 부등식
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 118
2018-07-31 오후 7:36:24
따라서 A의 가격을 10만 원 인상할 때 전체 판매 금액
즉, 18-24k=16 ∴ k=
;1Á2;
이 최대가 되므로 A의 가격은 110만 원이다.
Û 2k¾3일 때,
∴ a=110
110
꼭짓점의 x좌표가 주어진 범위에 포함되므로
f(x)=4ax-10, 즉 f(x)-4ax+10=0의 두 근이
또, 점 P(a, b)는 이차함수 y=xÛ`-3x+2의 그래프
149
Ú x<0일 때, y =xÛ`+4x+5=(x+2)Û`+1
Û x¾0일 때, y =xÛ`-4x+5=(x-2)Û`+1
따라서 -4ÉxÉ4에서
y=xÛ`-4|x|+5의 그래프
는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 x=-4 또는 x=0
또는 x=4일 때 최댓값 5,
x=-2 또는 x=2일 때 최
(cid:90)
(cid:22)
(cid:18)
(cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:21)
(cid:48)
(cid:19)
(cid:21)
(cid:89)
솟값 1을 가지므로 최댓값과 최솟값의 합은
5+1=6
6
150
이차함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=4ax-10의
교점의 x좌표가 1, 5이므로 이차방정식
1, 5이다.
이차함수 f(x)의 최고차항의 계수가 a이므로
f(x)-4ax+10=a(x-1)(x-5)
∴ f(x) =axÛ`-2ax+5a-10
=a(x-1)Û`+4a-10
x=2k일 때 최솟값 16을 갖는다.
즉, -8kÛ`=16 ∴ kÛ`=-2
이때 이를 만족시키는 실수 k의 값은 존재하지 않
는다.
Ú, Û에서 k=
;1Á2;
152
이차함수 y=xÛ`-3x+2에서
x=0일 때 y=2이므로 A(0, 2)
y=0일 때 xÛ`-3x+2=0에서
(x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2
∴ B(1, 0), C(2, 0)
점 P(a, b)가 점 A에서 점 B를 거쳐 점 C까지 움직
;1Á2;
연
습
문
제
실
력
U
P
이므로
0ÉaÉ2
위의 점이므로
b=aÛ`-3a+2
∴ a+b+3 =a+(aÛ`-3a+2)+3
=aÛ`-2a+5
=(a-1)Û`+4 (0ÉaÉ2)
9
이때 a>0이므로 1ÉxÉ5에서 f(x)는 x=1일 때
따라서 a=0 또는 a=2일 때 최댓값 5, a=1일 때 최
최솟값을 갖는다. f(x)의 최솟값이 -8이므로
솟값 4를 가지므로 최댓값과 최솟값의 합은
f(1)=4a-10=-8 ∴ a=
;2!;
5+4=9
∴ 100a=100_
=50
;2!;
50
151
y =2xÛ`-8kx=2(x-2k)Û`-8kÛ` (x¾3)
153
점 P의 x좌표를 a라 하면 P(a, (a+1)Û`)
이때 점 P와 점 Q의 y좌표가 같으므로 y=(a+1)Û`을
Ú 2k<3일 때,
y=x-3에 대입하면
꼭짓점의 x좌표가 주어진 범위에 포함되지 않으므로
(a+1)Û`=x-3 ∴ x=aÛ`+2a+4
x=3일 때 최솟값 16을 갖는다.
∴ Q(aÛ`+2a+4, (a+1)Û`)
연습문제·실력 UP 119
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 119
2018-07-31 오후 7:36:25
이때 PQÓ의 길이는
PQÓ =(aÛ`+2a+4)-a=aÛ`+a+4
Û`+
a+
=
{
;2!;}
15
4
156
xÝ`-15xÛ`+25=0에서
(xÝ`+10xÛ`+25)-25xÛ`=0, (xÛ`+5)Û`-(5x)Û`=0
(xÛ`+5x+5)(xÛ`-5x+5)=0
따라서 PQÓ의 길이의 최솟값은 a=-
일 때
이다.
;2!;
:Á4°:
이차방정식 xÛ`+5x+5=0의 두 근을 a, b,
154
f(x)=xÜ`-9xÛ`+13x+23이라 하면
f(-1)=-1-9-13+23=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
:Á4°:
이차방정식 xÛ`-5x+5=0의 두 근을 c, d라 하면
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-5, ab=5, c+d=5, cd=5
∴
+
+
;º!;
;!;
;¿!;
+
=
1
d
c+d
cd
a+b
ab +
-5
5
+
;5%;
=
=0
0
157
xÝ`+8xÜ`+18xÛ`+8x+1=0에서 x+0이므로 양변을
-1 1 -9 `13 23
-1 `10 -23
1 -10 `23 0
f(x)=(x+1)(xÛ`-10x+23)
따라서 주어진 방정식은
(x+1)(xÛ`-10x+23)=0
∴ x=-1 또는 x=5Ñ
2
'
∴ |a|+|b|+|c| =1+(5+
2)+(5-
2)
'
'
=11
11
155
(xÛ`-5x)(xÛ`-5x+13)+42=0에서
xÛ`-5x=X로 놓으면
X(X+13)+42=0, XÛ`+13X+42=0
∴ x=
3i
5Ñ
'
2
Û X=-6일 때, xÛ`-5x+6=0
(x-2)(x-3)=0
∴ x=2 또는 x=3
Ú, Û에서 주어진 방정식의 해는
x=
3i
5Ñ
'
2
또는 x=2 또는 x=3
따라서 모든 실근의 곱은
120 Ⅱ. 방정식과 부등식
xÛ`으로 나누면
xÛ`+8x+18+
+
;[*;
1
xÛ`
=0
xÛ`+
+8
x+
+18=0
;[!;}
1
xÛ`
x+
{
;[!;}
x+
{
;[!;}
+16=0
{
Û`+8
x+
=X로 놓으면
;[!;
XÛ`+8X+16=0, (X+4)Û`=0 ∴ X=-4
따라서 x+
=-4이므로
;[!;
a+
=-4
;!;
①
입하면
-1-1-a-1=0 ∴ a=-3
∴ xÜ`-xÛ`-3x-1=0
이 방정식의 한 근이 -1이므로 조립제법을 이용하여
좌변을 인수분해하면
-1 1 -1 -3 -1
-1 2 1
1 -2 -1 0
(X+7)(X+6)=0 ∴ X=-7 또는 X=-6
Ú X=-7일 때, xÛ`-5x+7=0
158
xÜ`-xÛ`+ax-1=0의 한 근이 -1이므로 x=-1을 대
2_3=6
6
(x+1)(xÛ`-2x-1)=0
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 120
2018-07-31 오후 7:36:25
이때 a, b는 이차방정식 xÛ`-2x-1=0의 두 근이므
로 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2
161
f(x)=xÝ`-4xÜ`+7xÛ`-8x+4라 하면
f(1)=1-4+7-8+4=0
∴ a+a+b=(-3)+2=-1
-1
f(2)=16-32+28-16+4=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
159
xÝ`+axÜ`+axÛ`+11x+b=0의 두 근이 3, -2이므로
x=3, x=-2를 각각 대입하면
81+27a+9a+33+b=0에서
36a+b=-114
16-8a+4a-22+b=0에서
-4a+b=6
yy ㉠
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=-6
∴ xÝ`-3xÜ`-3xÛ`+11x-6=0
이 방정식의 두 근이 3, -2이므로 조립제법을 이용하
여 좌변을 인수분해하면
3 1 -3 -3 11 -6
3 0 -9 6
-2 1 0 -3 2 0
-2 4 -2
1 -2 1 0
(x-3)(x+2)(xÛ`-2x+1)=0
(x-3)(x+2)(x-1)Û`=0
따라서 나머지 근은 x=1 (중근)이다.
160
f(x)=xÜ`-(2k+1)x-2k라 하면
f(-1)=-1+2k+1-2k=0
-1 1 0 -2k-1 -2k
-1 1 2k
1 -1 -2k 0
f(x)=(x+1)(xÛ`-x-2k)
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
연
습
문
제
실
력
U
P
1 1 -4 7 -8 4
1 -3 4 -4
2 1 -3 4 -4 0
2 -2 4
1 -1 2 0
f(x)=(x-1)(x-2)(xÛ`-x+2)
∴ (x-1)(x-2)(xÛ`-x+2)=0
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=1, ab=2
∴ aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab
이때 a, b는 이차방정식 xÛ`-x+2=0의 두 근이므로
=1Û`-2_2=-3
-3
162
(xÛ`-4x+3)(xÛ`-6x+8)=120에서
(x-1)(x-3)(x-2)(x-4)-120=0
{(x-1)(x-4)}{(x-3)(x-2)}-120=0
(xÛ`-5x+4)(xÛ`-5x+6)-120=0
(X+16)(X-6)=0
위의 식에 X=xÛ`-5x를 대입하면
(xÛ`-5x+16)(xÛ`-5x-6)=0
(xÛ`-5x+16)(x+1)(x-6)=0
이때 주어진 사차방정식의 한 허근 a는 이차방정식
xÛ`-5x+16=0의 근이므로
aÛ`-5a+16=0
∴ aÛ`-5a=-16
①
163
xÝ`-9xÜ`+20xÛ`-9x+1=0에서 x+0이므로 양변을
연습문제·실력 UP 121
x=1 (중근)
xÛ`-5x=X로 놓으면 위의 방정식은
(X+4)(X+6)-120=0, XÛ`+10X-96=0
이때 방정식 f(x)=0의 근이 모두 실수가 되려면 이
차방정식 xÛ`-x-2k=0이 실근을 가져야 한다.
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D=1+8k¾0 ∴ k¾-
;8!;
k¾-
;8!;
xÛ`으로 나누면
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 121
2018-07-31 오후 7:36:26
xÛ`-9x+20-
+
;[(;
1
xÛ`
=0
xÛ`+
-9
x+
+20=0
{
;[!;}
x+
{
;[!;}
Û`-9
x+
{
;[!;}
+18=0
1
xÛ`
;[!;
x+
=X로 놓으면 XÛ`-9X+18=0
(X-3)(X-6)=0 ∴ X=3 또는 X=6
Ú X=3일 때, x+
=3
;[!;
xÛ`-3x+1=0 ∴ x=
5
3Ñ
'
2
Û X=6일 때, x+
=6
;[!;
xÛ`-6x+1=0 ∴ x=3Ñ2
2
'
Ú, Û에서 모든 실근의 합은
5
3+
'
2
+
5
3-
'
2
+3+2
2+3-2
2=9
9
'
'
164
f(x)=xÜ`+(4-a)xÛ`-5ax+aÛ`=0이라 하면
f(a)=aÜ`+(4-a)aÛ`-5aÛ`+aÛ`=0
165
f(x)=2xÜ`+4xÛ`-3(k+2)x+3k라 하면
f(1)=2+4-3(k+2)+3k=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
1 2 4 -3k-6 3k
2 6 -3k
2 6 -3k 0
f(x)=(x-1)(2xÛ`+6x-3k)
이때 방정식 f(x)=0이 오직 한 개의 실근을 가지려
면 이차방정식 2xÛ`+6x-3k=0이 x=1을 중근으로
갖거나 허근을 가져야 한다.
Ú 이차방정식 2xÛ`+6x-3k=0이 x=1을 중근으로
2xÛ`+6x-3k=0에 x=1을 대입하면
2+6-3k=0
갖는 경우
∴ k=
8
3
2xÛ`+6x-3k=0에 k=
을 대입하면
2xÛ`+6x-8=0, xÛ`+3x-4=0
8
3
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
Û 이차방정식 2xÛ`+6x-3k=0이 허근을 갖는 경우
즉, (x+4)(x-1)=0이므로 중근을 갖지 않는다.
a 1 4-a -5a aÛ`
`a` 4a -aÛ`
1 ` 4` -a 0
f(x)=(x-a)(xÛ`+4x-a)
∴ (x-a)(xÛ`+4x-a)=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
=9+6k<0
D
4
∴ k<-
;2#;
Ú, Û에서 실수 k의 값의 범위는
이때 주어진 방정식이 서로 다른 세 실근을 가지려면 이
차방정식 xÛ`+4x-a=0이 x+a인 서로 다른 두 실근
k<-
3
2
k<-
;2#;
을 가져야 한다.
하면
;;4;D;
따라서 이차방정식 xÛ`+4x-a=0의 판별식을 D라
166
주어진 전개도를 접어 오각기둥을 만들면 다음 그림과
=4+a>0 ∴ a>-4
yy ㉠
같다.
또한, x=a는 이차방정식 xÛ`+4x-a=0의 근이 아
x+1
니어야 하므로
aÛ`+4a-a+0, a(a+3)+0
∴ a+0, a+-3
yy ㉡
㉠, ㉡에서 음의 정수 a는 -2, -1의 2개이다. ②
x
x+3
x+2
x+5
122 Ⅱ. 방정식과 부등식
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 122
2018-07-31 오후 7:36:26
이 오각기둥의 부피가 216이므로
x(x+5)+
{(x+1)+(x+5)}_2
_(x+3)
;2!;
[
=216
]
(xÛ`+7x+6)(x+3)=216
∴ xÜ`+10xÛ`+27x-198=0
f(x)=xÜ`+10xÛ`+27x-198이라 하면
f(3)=27+90+81-198=0
이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
(두 근끼리의 곱의 합)
=aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`
=(ab+bc+ca)Û`-2(abÛ`c+abcÛ`+aÛ`bc)
=(ab+bc+ca)Û`-2abc(a+b+c)
=3Û`-2_2_0=9
(세 근의 곱)=aÛ`bÛ`cÛ`=(abc)Û`=2Û`=4
따라서 구하는 삼차방정식은
xÜ`+6xÛ`+9x-4=0
xÜ`+6xÛ`+9x-4=0
3 1 10 27 -198
3 39 198
1 13 66 0
f(x)=(x-3)(xÛ`+13x+66)
169
xÜ`+6xÛ`-4x-16=0의 세 근이 2a, 2b, 2c이므로
연
습
문
제
실
력
U
P
즉, (x-3)(xÛ`+13x+66)=0에서 이차방정식
삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
xÛ`+13x+66=0은 실근을 갖지 않으므로
2a+2b+2c=-6
x=3
3
2a_2b+2b_2c+2c_2a=-4
2a_2b_2c=16
∴ a+b+c=-3, ab+bc+ca=-1, abc=2
따라서 a, b, c를 세 근으로 하고 xÜ`의 계수가 1인 삼
차방정식은
xÜ`+3xÛ`-x-2=0
즉, f(x)=xÜ`+3xÛ`-x-2이므로
a=3, b=-1, c=-2
∴ abc=3_(-1)_(-2)=6
6
167
2xÜ`+3xÛ`-4x+4=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼차
방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b+c=-
;2#;
ab+bc+ca=-2
abc=-2
∴ (2-a)(2-b)(2-c)
=8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc
=8-4_
-
+2_(-2)-(-2)
3
2 }
{
=12
12
=
2(1+i)
(1-i)(1+i)
=
2(1+i)
2
=1+i
즉, 한 근이 1+i 이고 계수가 실수이므로 1-i 도 근
170
2
1-i
이다.
168
xÜ`+3x-2=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼차방정식
나머지 한 근을 a라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관
의 근과 계수의 관계에 의하여
계에 의하여 두 근끼리의 곱의 합은
a+b+c=0, ab+bc+ca=3, abc=2
a(1+i)+(1+i)(1-i)+a(1-i)=4
구하는 삼차방정식의 세 근이 aÛ`, bÛ`, cÛ`이므로
2a+2=4 ∴ a=1
(세 근의 합) =aÛ`+bÛ`+cÛ`
즉, 세 근이 1+i, 1-i, 1이므로 세 근의 곱은
=(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)
(1+i)(1-i)_1=a
=0Û`-2_3=-6
∴ a=2
2
연습문제·실력 UP 123
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 123
2018-07-31 오후 7:36:27
171
xÜ`=1에서 xÜ`-1=0, (x-1)(xÛ`+x+1)=0
174
삼차방정식 f(x)=0의 세 근이 a, b, c이므로
따라서 x는 xÜ`=1과 xÛ`+x+1=0의 한 허근이므로
f(a)=0, f(b)=0, f(c)=0
(xÜ`)41_xÛ`
(xÜ`)41_x+1
+
(xÜ`)41_x
(xÜ`)41_xÛ`+1
xÜ`=1, xÛ`+x+1=0
x124
x125+1
x125
x124+1
∴
+
=
=
=
xÛ`
x+1
xÛ`
-xÛ`
+
+
x
xÛ`+1
x
-x
Û
x+1=-xÛ`, xÛ`+1=-x
=-1-1=-2
-2
172
xÛ`-x+1=0의 양변에 x+1을 곱하면
(x+1)(xÛ`-x+1)=0, xÜ`+1=0
∴ xÜ`=-1
이때 f(x+1)=0에서
x+1=a 또는 x+1=b 또는 x+1=c
∴ x=a-1 또는 x=b-1 또는 x=c-1
따라서 삼차방정식 f(x+1)=0의 세 근의 곱은
(a-1)(b-1)(c-1)
=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1
=(abc+a+b+c)-(ab+bc+ca)-1
=1-3-1=-3
-3
175
f(1)=f(3)=f(5)=-2에서
f(1)+2=0, f(3)+2=0, f(5)+2=0
즉, 삼차방정식 f(x)+2=0의 세 근이 1, 3, 5이다.
이때 1, 3, 5를 세 근으로 하고 xÜ`의 계수가 1인 삼차
따라서 x는 xÛ`-x+1=0과 xÜ`=-1의 한 허근이므로
방정식은
xÛ`-x+1=0, xÜ`=-1
∴ (-1-x2020)(1-x2021)(1+x2022)
xÜ`-(1+3+5)xÛ`+(3+15+5)x-15=0
∴ xÜ`-9xÛ`+23x-15=0
={-1-(xÜ`)673_x}
_{1-(xÜ`)673_xÛ`}{1+(xÜ`)674}
즉, f(x)+2=xÜ`-9xÛ`+23x-15이므로
f(x)=xÜ`-9xÛ`+23x-17
=(-1+x)(1+xÛ`)(1+1)
따라서 방정식 f(x)=0의 모든 근의 곱은 삼차방정식
=xÛ`_x_2
=2xÜ`=-2
-2
의 근과 계수의 관계에 의하여 17이다.
17
173
삼차방정식 xÜ`+6xÛ`+ax+b=0의 세 근이 연속하는
세 정수이므로 세 근을 a-1, a, a+1이라 하자.
삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 세 근의 합은
(a-1)+a+(a+1)=-6, 3a=-6
따라서 세 근이 -3, -2, -1이므로
(-3)_(-2)+(-2)_(-1)+(-1)_(-3)=a
(-3)_(-2)_(-1)=-b ∴ b=6
∴ a=-2
∴ a=11
∴ ab=66
124 Ⅱ. 방정식과 부등식
176
계수가 실수이므로 -1+i가 근이면 -1-i도 근이다.
-1+i, -1-i를 두 근으로 하는 이차방정식은
xÛ`-{(-1+i)+(-1-i)}x+(-1+i)(-1-i)=0
∴ xÛ`+2x+2=0
로 가져야 하므로
따라서 xÝ`+2xÜ`+3xÛ`+2x+2는 xÛ`+2x+2를 인수
xÛ`
+1
xÛ`+2x+2`)`xÝ`+2xÜ`+3xÛ`+2x+2
xÛ`+2x+2
xÛ`+2x+2
0
xÝ`+2xÜ`+2xÛ`
66
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 124
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즉, 주어진 사차방정식을 인수분해하면
B는 a를 제대로 보았으므로 근과 계수의 관계에 의하여
(xÛ`+2x+2)(xÛ`+1)=0
∴ x=-1Ñi 또는 x=Ñi
-1+2+3=-a
∴ a=-4
따라서 나머지 근이 아닌 것은 ③, ⑤이다.
③, ⑤
C는 b를 제대로 보았으므로 근과 계수의 관계에 의하여
-1_2+2_5+5_(-1)=b
∴ b=3
따라서 처음 방정식은 xÜ`-4xÛ`+3x+5=0이고 세 근
이 a, b, c이므로 근과 계수의 관계에 의하여
a+b+c=4, ab+bc+ca=3, abc=-5
∴
b
ca
c
ab +
a
bc +
aÛ`+bÛ`+cÛ`
abc
=
(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)
abc
=
=
4Û`-2_3
-5
=-2
-2
연
습
문
제
실
력
U
P
177
xÜ`=1에서 xÜ`-1=0, (x-1)(xÛ`+x+1)=0
따라서 x는 xÜ`=1과 xÛ`+x+1=0의 한 허근이므로
xÜ`=1, xÛ`+x+1=0
∴ 1+2x+3xÛ`+4xÜ`+5xÝ`+6xÞ`+7xß`
=1+2x+3xÛ`+4xÜ`+5xÜ`_x
+6xÜ`_xÛ`+7_(xÜ`)Û`
=1+2x+3xÛ`+4+5x+6xÛ`+7
=12+7x+9xÛ`
=12+7x+9(-x-1)
xÛ`=-x-1
Û
=-2x+3
따라서 a=-2, b=3이므로
a+b=1
178
1
xÛ`
x+
=0의 양변에 xÛ`을 곱하면
xÜ`+1=0, (x+1)(xÛ`-x+1)=0
1
180
이차방정식 xÛ`-2x+p=0의 두 근을 a, b라 하면
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2
ab=p
그런데 a, b가 삼차방정식 xÜ`-3xÛ`+qx+2=0의 두
근이므로 나머지 한 근을 c라 하면 근과 계수의 관계에
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
yy ㉣
yy ㉤
따라서 x는 xÜ`+1=0과 xÛ`-x+1=0의 한 허근이므로
의하여
xÜ`=-1, xÛ`-x+1=0
또한, 방정식 xÛ`-x+1=0의 계수가 실수이고 한 허
ab+bc+ca=q
a+b+c=3
abc=-2
㉠, ㉢에서 c=1
근이 x이므로 다른 한 근은 x®이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
xx®=1
x
x®
-x2090 =
xÛ`
x®_x
=xÛ`-xÛ`=0
∴
-(xÜ`)696_xÛ`
c=1이므로 ㉡, ㉤에서 p=-2
③
㉣에서
q =ab+bc+ca
=ab+c(a+b)
=-2+1_2=0
179
xÜ`+axÛ`+bx+c=0에서
∴ p+q=-2+0=-2
-2
다른풀이 xÜ`-3xÛ`+qx+2=0의 한 근이 c=1이
A는 c를 제대로 보았으므로 근과 계수의 관계에 의하여
므로 x=1을 대입하면
(-1)_1_5=-c ∴ c=5
1-3+q+2=0 ∴ q=0
연습문제·실력 UP 125
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 125
2018-07-31 오후 7:36:28
181
조건 ㈎에서 f(4)=0이므로 x=4는 방정식 f(x)=0
의 근이다.
f(4)=
f(5)=
x¡`
xÝ`+1
x10
xÞ`+1
=
=
(xÜ`)Û`_xÛ`
xÜ`_x+1
(xÜ`)Ü`_x
xÜ`_xÛ`+1
xÛ`
x+1
x
xÛ`+1
=
=f(1)=-1
=
=f(2)=-1
조건 ㈏에서 2i는 f(x)=0의 근이고 계수가 실수이므
`⋮
따라서 f(2x)=0의 근은 x=2 또는 x=Ñi이므로
구하는 세 근의 곱은
2_i_(-i)=2
2
xÜ`=1, xÛ`+x+1=0
로 -2i도 근이다.
이때 세 근이 4, 2i, -2i인 삼차방정식은
xÜ`-{4+2i+(-2i)}xÛ`
+{4_2i+2i_(-2i)+(-2i)_4}x
-4_2i_(-2i)=0
∴ xÜ`-4xÛ`+4x-16=0
∴ f(x) =xÜ`-4xÛ`+4x-16
=xÛ`(x-4)+4(x-4)
=(x-4)(xÛ`+4)
∴ f(2x) =(2x-4)(4xÛ`+4)
=8(x-2)(xÛ`+1)
다른풀이 조건 ㈎에서 f(4)=0이므로 4는 f(x)=0
의 근이다. 조건 ㈏에서 2i가 f(x)=0의 근이므로
-2i도 근이다.
즉, 방정식 f(x)=0의 세 근은 4, 2i, -2i이다.
한편, 방정식 f(x)=0의 세 근이 a, b, c이면 방정식
f(2x)=0의 세 근은
,
,
이므로
;2Ä;
;2©;
;2¹;
_
_
=
;2¹;
;2©;
;2Ä;
abc
8
=
4_2i_(-2i)
8
=2
182
xÜ`=1에서 xÜ`-1=0, (x-1)(xÛ`+x+1)=0
따라서 x는 xÜ`=1과 xÛ`+x+1=0의 한 허근이므로
xÜ`=1, xÛ`+x+1=0
f(n)에 n=1, 2, 3, y을 대입하면
f(1)=
=
=-1
xÛ`
x+1
xÝ`
xÛ`+1
xß`
xÜ`+1
xÛ`
-xÛ`
xÜ`_x
xÛ`+1
1
1+1
=
=
f(2)=
f(3)=
=
x
-x
=-1
=
;2!;
xß`=(xÜ`)Û`=1
Û
126 Ⅱ. 방정식과 부등식
이므로 f(n)=f(n+3)이다. 즉,
f(1)=f(4)=f(7)= y =f(16)=f(19)=-1
f(2)=f(5)=f(8)= y =f(17)=f(20)=-1
f(3)=f(6)=f(9)= y =f(18)=
;2!;
∴ f(1)+f(2)+f(3)+ y +f(18)+f(19)+f(20)
-1-1+
_6+(-1)+(-1)
;2!;}
=
{
= -11
-11
183
xÜ`=1에서 xÜ`-1=0, (x-1)(xÛ`+x+1)=0
따라서 x는 xÜ`=1과 xÛ`+x+1=0의 한 허근이므로
또, 방정식 xÛ`+x+1=0의 계수가 실수이고 한 허근
이 x이므로 다른 한 근은 xÕ이다.
∴ xÕ Ü`=1, xÕ Û`+xÕ+1=0
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
x+xÕ=-1, xxÕ=1
ㄱ. xÕ Ü`=1
1
ㄴ.
x +
1
xÕ
1
x +
1
xÕ
x+1
xÛ`
xÕ+1
xÕ Û`
-xÛ`
xÛ`
-xÕ Û`
xÕ Û`
1
xÛ`
1
xÕ Û`
=-1
=-1
2`
=
+
=
=
+
=
=
=
{
{
1
x }
1
xÕ }
2`
1
x }
∴
1
x +
1
xÕ
ㄷ. -x-1=xÛ`이므로
=
{
2`
+
{
1
xÕ }
2`
(-x-1)Ç` =(xÛ`)Ç` =x2n
x+xÕ=-1, xxÕ=1이므로
1
x }
xÕ
x+xÕ }
{
{
`
-
=(-xÕ)Ç` =
n`
=(-xÛ`)Ç`
=(-1)Ç` _x2n
xÕ
x+xÕ }
{
이때 (-x-1)Ç` =
에서
x2n=(-1)Ç` _x2n, 1=(-1)Ç`
n`
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 126
2018-07-31 오후 7:36:29
n
따라서 구하는 자연수 n은 100 이하의 짝수이므로
따라서 연립방정식의 해는
그 개수는 50이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
⑤
2
또는
[
'
2
x=-2
y=-4
2
이므로
'
2
'
x=2
[
y=4
'
ab=16
①
184
x+y=7
[
ax-y=1
의 해가
를 만족시키므로 두
x-y=b
[
xÛ`+yÛ`=25
연립방정식의 공통인 해는
연립방정식
[
x+y=7
yy ㉠
xÛ`+yÛ`=25 yy ㉡
㉠에서 y=7-x를 ㉡에 대입하면
xÛ`+(7-x)Û`=25, xÛ`-7x+12=0
(x-3)(x-4)=0 ∴ x=3 또는 x=4
이것을 ㉠에 대입하면 연립방정식의 해는
x=3, y=4 또는 x=4, y=3
Ú x=3, y=4를 ax-y=1, x-y=b에 각각 대입
이는 a, b가 양수라는 조건에 맞지 않다.
Û x=4, y=3을 ax-y=1, x-y=b에 각각 대입
하면
3a-4=1에서 a=
5
3
3-4=b에서 b=-1
하면
4a-3=1에서 a=1
4-3=b에서 b=1
Ú, Û에서 a=1, b=1이므로
a+b=2
에서
[
xy+x+y=9
xy(x+y)=20
를 만족시킨다.
x+y=a, xy=b로 놓으면
186
xy+x+y=9
[
xÛ`y+xyÛ`=20
a+b=9
[
ab=20
㉠에서 b=9-a
연
습
문
제
실
력
U
P
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 a(9-a)=20
aÛ`-9a+20=0, (a-4)(a-5)=0
∴ a=4 또는 a=5
a=4를 ㉢에 대입하면 b=5
a=5를 ㉢에 대입하면 b=4
Ú a=4, b=5, 즉 x+y=4, xy=5일 때,
x, y는 이차방정식 tÛ`-4t+5=0의 두 근이므로
이를 만족시키는 자연수 x, y는 존재하지 않는다.
Û a=5, b=4, 즉 x+y=5, xy=4일 때,
x, y는 이차방정식 tÛ`-5t+4=0의 두 근이다.
(t-1)(t-4)=0에서 t=1 또는 t=4
∴ x=1, y=4 또는 x=4, y=1
Ú, Û에서
[
x=1
또는
[
y=4
x=4
y=1
2
∴ xÛ`+yÛ`=17
17
185
xÛ`+yÛ`=40
4xÛ`+yÛ`=4xy
[
㉡에서 4xÛ`-4xy+yÛ`=0, (2x-y)Û`=0
∴ y=2x
y=2x를 ㉠에 대입하면
xÛ`+(2x)Û`=40, xÛ`=8 ∴ x=Ñ2
2
'
y=2x이므로
x=Ñ2
2, y=Ñ4
2 (복부호동순)
'
'
yy ㉠
yy ㉡
187
xÛ`+2x-2y=0
[
x+y=a
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
㉡에서 y=a-x를 ㉠에 대입하면
xÛ`+2x-2(a-x)=0
∴ xÛ`+4x-2a=0
주어진 연립방정식이 실근을 갖지 않으려면 이차방정식
㉢이 실근을 갖지 않아야 한다.
연습문제·실력 UP 127
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 127
2018-07-31 오후 7:36:29
㉢의 판별식을 D라 하면
그런데 x, y가 양의 정수이므로
=4+2a<0 ∴ a<-2
;;4;D;
따라서 정수 a의 최댓값은 -3이다.
-3
x=3
[
y=1
또는
[
x=1
y=3
x=3
y=1
[
또는
[
x=1
y=3
190
xÛ`-2xy+2yÛ`-4x+2y+5=0을 x에 대하여 내림
차순으로 정리하면
yy ㉠
yy ㉡
xÛ`-2(y+2)x+2yÛ`+2y+5=0
yy ㉠
x가 실수이므로 이차방정식 ㉠이 실근을 가져야 한다.
㉠의 판별식을 D라 하면
=(y+2)Û`-(2yÛ`+2y+5)¾0
D
4
yÛ`-2y+1É0, (y-1)Û`É0
이때 y도 실수이므로 y-1=0 ∴ y=1
y=1을 ㉠에 대입하면
xÛ`-6x+9=0, (x-3)Û`=0
∴ x=3
따라서 x=3, y=1이므로 xy=3
3
-2
191
두 연립방정식의 공통인 해는 연립방정식
2x+y=3
yy ㉠
[
xÛ`-yÛ`=-45 yy ㉡
를 만족시킨다.
㉠에서 y=3-2x
yy ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 xÛ`-(3-2x)Û`=-45
xÛ`-4x-12=0, (x+2)(x-6)=0
∴ x=-2 또는 x=6
x=-2를 ㉢에 대입하면 y=7
x=6을 ㉢에 대입하면 y=-9
Ú x=-2, y=7을 aÛ`xÛ`-yÛ`=-1, x+y=bÛ`에 각각
4aÛ`-49=-1, -2+7=bÛ`
대입하면
∴ aÛ`=12, bÛ`=5
Û x=6, y=-9를 aÛ`xÛ`-yÛ`=-1, x+y=bÛ`에 각각
대입하면
36aÛ`-81=-1, 6-9=bÛ`
188
두 이차방정식의 공통근을 a라 하면
paÛ`+a+1=0
[
aÛ`+pa+1=0
㉠-㉡을 하면
(p-1)aÛ`-(p-1)a=0
(p-1)(aÛ`-a)=0, (p-1)a(a-1)=0
이때 a+0이므로 p=1 또는 a=1
Ú p=1일 때,
않다.
Û a=1일 때,
이것을 ㉠에 대입하면
p+1+1=0 ∴ p=-2
Ú, Û에서 p=-2
두 이차방정식은 모두 xÛ`+x+1=0으로 허근을
갖는다. 즉, 공통인 실근을 갖는다는 조건에 맞지
189
2xÛ`-5xy+2yÛ`=5에서 (2x-y)(x-2y)=5
x, y가 양의 정수이므로 2x-y, x-2y는 정수이다.
따라서 2x-y, x-2y의 값은 다음 표와 같다.
2x-y
x-2y
1
5
5
1
-1
-5
-5
-1
Ú 2x-y=1, x-2y=5일 때,
두 식을 연립하여 풀면 x=-1, y=-3
Û 2x-y=5, x-2y=1일 때,
두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=1
Ü 2x-y=-1, x-2y=-5일 때,
두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=3
Ý 2x-y=-5, x-2y=-1일 때,
128 Ⅱ. 방정식과 부등식
두 식을 연립하여 풀면 x=-3, y=-1
∴ aÛ`=
, bÛ`=-3
:ª9¼:
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 128
2018-08-06 오후 3:25:59
그런데 a, b가 실수이므로 aÛ`¾0, bÛ`¾0이어야 한
다. 즉, 주어진 조건에 맞지 않다.
Ú, Û에서 aÛ`=12, bÛ`=5이므로
194
이차방정식 xÛ`+(m+1)x+2m-1=0의 두 근을 a,
b라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
aÛ`+bÛ`=17
192
x+y=2a-1
에서
[
[
xÛ`+xy+yÛ`=3aÛ`-4a+2
x+y=2a-1
(x+y)Û`-xy=3aÛ`-4a+2
㉠을 ㉡에 대입하면
(2a-1)Û`-xy=3aÛ`-4a+2
17
a+b=-m-1
ab=2m-1
yy ㉠
yy ㉡
㉠_2+㉡을 하면 2a+2b+ab=-3
2a+2b+ab+4=1
a(b+2)+2(b+2)=1
∴ (a+2)(b+2)=1
yy ㉠
yy ㉡
a, b가 정수이므로 a+2, b+2도 정수이다.
따라서 a+2, b+2의 값은
오른쪽 표와 같다.
1 -1
1 -1
a+2
b+2
연
습
문
제
실
력
U
P
∴ xy=aÛ`-1
yy ㉢
Ú a+2=1, b+2=1일 때,
㉠, ㉢을 만족시키는 x, y는 t에 대한 이차방정식
a=-1, b=-1이므로 이것을 ㉠에 대입하면
tÛ`-(2a-1)t+aÛ`-1=0의 두 실근이므로 이 이차
m=1
방정식의 판별식을 D라 하면
D=(2a-1)Û`-4(aÛ`-1)¾0
-4a+5¾0 ∴ aÉ
;4%;
따라서 정수 a의 최댓값은 1이다.
1
Û a+2=-1, b+2=-1일 때,
a=-3, b=-3이므로 이것을 ㉠에 대입하면
m=5
Ú, Û에서 m=1 또는 m=5
따라서 모든 정수 m의 값의 합은
1+5=6
①
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
yy ㉠
yy ㉡
195
Ú x¾y일 때,
193
두 삼차방정식의 공통근을 a라 하면
aÜ`+aaÛ`+ba+1=0
[
aÜ`+baÛ`+aa+1=0
㉠-㉡을 하면
(a-b)aÛ`-(a-b)a=0
(a-b)a(a-1)=0
이때 a+0이므로 a=b 또는 a=1
Ú a=b일 때,
ab=-4에서 aÛ`=-4이므로 a, b가 실수라는 조
건에 맞지 않다.
Û a=1일 때,
이것을 ㉠에 대입하면
x ⊙ y=-x이므로
3x-yÛ`=-x
2x+y-1=-x
[
㉡에서 y=-3x+1
㉢을 ㉠에 대입하면
(9x-1)(x-1)=0
∴ x=
또는 x=1
;9!;
3x-(-3x+1)Û`=-x, 9xÛ`-10x+1=0
1+a+b+1=0 ∴ a+b=-2
Ú, Û에서 a+b=-2이고 ab=-4이므로
aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab
x=
을 ㉢에 대입하면 y=
;9!;
;3@;
x=1을 ㉢에 대입하면 y=-2
=(-2)Û`-2_(-4)=12
⑤
그런데 x¾y이므로 x=1, y=-2
연습문제·실력 UP 129
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 129
2018-07-31 오후 7:36:30
yy ㉣
yy ㉤
yy ㉥
Û x-11
1+
3i가 근이면 1-
3i도 근이다. 나머지 한 실근을
'
a라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
㉡의 양변에 4를 곱하면
3x+5<2(x-1)+4
3x+5<2x-2+4 ∴ x<-3
yy ㉠
㉠, ㉡의 해를 수직선 위에
㉡
3i)+(1+
3i)(1-
3i)+a(1-
3i)=b
'
'
'
나타내면 오른쪽 그림과
(cid:14)(cid:18)(cid:18)
(cid:14)(cid:20)
또, 방정식 xÛ`+ax+2=0과의 공통인 실근은 a이므로
따라서 x의 값 중에서 가장 큰 정수는 -4이다.
yy ㉡
같다.
∴ -1110-x
500(10-x)+800xÉ7000
500(10-x)+800xÉ7000에서
5000-500x+800xÉ7000, 300xÉ2000
∴ a=
:Á6»:
:Á6»:
∴ xÉ
:ª3¼:
따라서 볼펜은 6자루를 살 수 있다.
6자루
x>10-x에서 2x>10
∴ x>5
㉠, ㉡의 공통부분은 5
a의 양변에 12를 곱하면
3(3x+1)>4a, 9x+3>4a
∴ x>
4a-3
9
주어진 연립부등식의 해가
㉠
없도록 ㉠, ㉡을 수직선 위
에 나타내면 오른쪽 그림과
같아야 하므로
1É
4a-3
9
∴ a¾3
yy ㉡
㉡
(cid:89)
(cid:18)
(cid:21)(cid:66)(cid:14)(cid:20)
(cid:26)
5x-8<3x+4
[
3x+4É6x-5
5x-8<3x+4에서 2x<12
3x+4É6x-5에서 -3xÉ-9
∴ x<6
∴ x¾3
3Éx<6
204
2x+3y-1=10x+y-3에서
처음 부등식의 해는 ㉢, ㉣의 공통부분이므로
yy ㉢
yy ㉣
3Éx<6
y=4x-1
yy ㉠
㉠을 2<2y-3x<5에 대입하면
2<2(4x-1)-3x<5, 2<5x-2<5
따라서 실수 a의 값이 될 수 있는 것은 ⑤이다.
⑤
4<5x<7 ∴
3
㉠, ㉡을 동시에 만족시
㉠
키는 정수 x가 하나뿐이
려면 오른쪽 그림과 같
아야 하므로
4<6-2aÉ5, -2<-2aÉ-1
yy ㉡
x가 1개뿐이려면 다음 그림과 같아야 한다.
㉡
㉡
㉠
3
4
x
5
6-2a
-2 -1 0
1
2
3 x
-4a+1
2
-4a+1
2
Éa<1
;2!;
즉, -2<
É-1이어야 하므로
-4<-4a+1É-2, -5<-4aÉ-3
2x+a<2-
의 양변에 2를 곱하면
2-x
2
4x+2a<4-(2-x), 3x<2-2a
yy ㉠
∴
Éa<
;4#;
;4%;
Éa<
;4#;
;4%;
208
의자의 개수를 x라 하면 전체 학생은 (5x+8)명이다.
6명씩 앉으면 의자 4개가 남는
다는 것은 의자 (x-5)개에
는 6명씩 앉고 남은 한 의자에
는 최소 1명에서 최대 6명까지
y
(x-5)개
x개
Ú
1
남는 의자
1명 이상 6명 이하
yy ㉡
앉을 수 있다는 뜻이다.
즉, 전체 학생은 {6(x-5)+1}명 이상
㉡
{6(x-5)+6}명 이하이다.
4
5
3
;3*;
x
6
2-2a
3
따라서 부등식을 세우면
6(x-5)+1É5x+8É6(x-5)+6
즉,
[
6(x-5)+1É5x+8
5x+8É6(x-5)+6
yy ㉠
yy ㉡
∴
Éa<1
;2!;
206
∴ x<
2-2a
3
3-2(1-x)>9-x에서
3-2+2x>9-x, 3x>8
∴ x>
;3*;
㉠, ㉡을 동시에 만족시
㉠
키는 정수 x가 3개이려
면 오른쪽 그림과 같아
야 하므로
5<
2-2a
3
É6
132 Ⅱ. 방정식과 부등식
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 132
2018-07-31 오후 7:36:32
㉠을 풀면 6x-30+1É5x+8 ∴ xÉ37
Û 0Éx<4일 때,
㉡을 풀면 5x+8É6x-30+6 ∴ x¾32
x+(x-4)É2, 2xÉ6 ∴ xÉ3
∴ 32ÉxÉ37
그런데 0Éx<4이므로 0ÉxÉ3
따라서 가능한 의자의 개수는 32, 33, 34, 35, 36, 37
Ü x¾4일 때,
이므로 의자의 개수가 될 수 없는 것은 ⑤ 38이다.
x-(x-4)É2
⑤
즉, 0_xÉ-2이므로 해는 없다.
다른풀이 6명씩 앉으면 의자 4개가 남는다는 것은 학
Ú ~ Ü에서 주어진 부등식의 해는
생이 6(x-5)명 초과 6(x-4)명 이하라는 뜻이므로
xÉ3
xÉ3
6(x-5)<5x+8É6(x-4) ∴ 32Éx<38
212
2
(1-x)Û`+3|x+1|<9에서
"Ã
2|1-x|+3|x+1|<9
Ú x<-1일 때,
2(1-x)-3(x+1)<9
-5x<10 ∴ x>-2
연
습
문
제
실
력
U
P
①
그런데 x<-1이므로 -2a-4
6x+40, f(x)0의 해는 y=f(x)의 그래프가 x축보다 위
쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이므로
x<-2 또는 x>2
yy ㉠
Û f(x)0에서
3xÛ`-4x-15<0, (3x+5)(x-3)<0
따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x는 -1, 0,
5
4
215
2|x+1|+|x-1|Ék에서
f(x)=2|x+1|+|x-1|이라 하면
Ú x<-1일 때,
f(x)=-2(x+1)-(x-1)=-3x-1
그런데 x<-1에서 -3x>3
즉, -3x-1>2이므로 f(x)>2
Û -1Éx<1일 때,
∴ -
0)
㉠, ㉡의 공통부분은
a<-1
a<-1
222
ㄱ. (x+1)Û`¾0은 모든 실수 x에 대하여 성립한다.
ㄴ. xÛ`-x-1=0에서 x=
이므로
따라서 해는 모든 실수이다.
xÛ`-x-1>0의 해는
x<
5
1-
'
2
또는 x>
5
1Ñ
'
2
5
1+
'
2
ㄷ. xÛ`+6x+9>0에서 (x+3)Û`>0
따라서 해는 x+-3인 모든 실수이다.
ㄹ. xÛ`-4x+6>0에서 (x-2)Û`+2>0
따라서 해는 모든 실수이다.
이상에서 해가 모든 실수인 것은 ㄱ, ㄹ이다.
연
습
문
제
실
력
U
P
ㄱ, ㄹ
223
|x|+|x-2|<3에서
Ú x<0일 때,
(2x+1)(x-2)<0 ∴ -
-
;2!;
그런데 x<0이므로 -
0, (a+1)(a-4)>0
∴ a<-1 또는 a>4
즉, 0_x<1이므로 x는 모든 실수이다.
그런데 0Éx<2이므로 0Éx<2
yy ㉡
Ü x¾2일 때,
x+x-2<3, 2x<5 ∴ x<
;2%;
yy ㉠
그런데 x¾2이므로 2Éx<
yy ㉢
;2%;
㉠
㉡
㉢
0
-;2!;
x
2
;2%;
Ú ~ Ü에서 주어진 부등식의 해는
yy ㉡
-
0, (2x+1)(2x-5)>0
∴ x<-
또는 x>
;2!;
;2%;
225
해가 10의 부등호의 방향이 다르므로 ㉠의 양변
에 a<0인 상수 a를 곱하면
③ 4xÛ`-8x-5<0, (2x+1)(2x-5)<0
a(x-1)(x-5)>0
∴ -
0, (2x+5)(2x-1)>0
∴ x<-
또는 x>
;2%;
;2!;
⑤ 4xÛ`+8x-5<0, (2x+5)(2x-1)<0
∴ -
f(0)에서
4a(x-1)(x+1)>5a
a{4(x-1)(x+1)-5}>0
4xÛ`-9<0 (∵ a<0)
③
(2x+3)(2x-3)<0 ∴ -
0, 즉
xÛ`-2(k+3)x-4(k+3)<0의 해가 존재하지 않으
㉠과 주어진 부등식 axÛ`+bx+c>0의 부등호의 방향
이차방정식 xÛ`-2(k+3)x-4(k+3)=0의 판별식
려면 모든 실수 x에 대하여
xÛ`-2(k+3)x-4(k+3)¾0
yy ㉠
이 성립해야 한다.
을 D라 하면
=(k+3)Û`+4(k+3)É0
D
4
kÛ`+10k+21É0, (k+7)(k+3)É0
∴ -7ÉkÉ-3
이 부등식이 axÛ`+bx+c>0과 일치하므로
따라서 정수 k의 최솟값은 -7이다.
-7
b=-
a, c=
;3¤5;
;14!0;
a
yy ㉡
㉡을 4cxÛ`-2bx+a>0에 대입하면
227
xÛ`-2x+3É-xÛ`+k에서 2xÛ`-2x+3-kÉ0
이때 f(x)=2xÛ`-2x+3-k라 하면
Û`+
x-
-k
f(x)=2
{
;2!;}
;2%;
-1ÉxÉ1에서 f(x)É0이 항상 성립하려면 y=f(x)
-70
axÛ`+
ax+a>0
;3Á5;
;3!5@;
xÛ`+12x+35<0 (∵ a<0)
(x+7)(x+5)<0
∴ -70 ∴ a>1
yy ㉠
이차방정식 (a-1)xÛ`-8(a-1)x+4=0의 판별
식을 D라 하면
=16(a-1)Û`-4(a-1)É0
;;4;D;
4aÛ`-9a+5É0, (a-1)(4a-5)É0
∴ 1ÉaÉ
;4%;
yy ㉡
㉠, ㉡의 공통부분은 10이므로 (x+2)Û`É0
따라서 해는 x=-2뿐이다.
ㄷ. cxÛ`+bx+a =4axÛ`-4ax+a
=a(2x-1)Û`¾0
이때 a<0이므로 (2x-1)Û`É0
따라서 해는 x=
뿐이다.
;2!;
이상에서 옳은 것은 ㄱ이다.
229
모든 실수 x에 대하여
"Ã
실수이려면 모든 실수 x에 대하여 부등식
(a-1)xÛ`-8(a-1)x+4¾0
이 성립해야 한다.
Ú a=1일 때,
즉, mÛ`-6m+17É-mÛ`-2m+15에서
2mÛ`-4m+2É0, mÛ`-2m+1É0
ㄱ
(m-1)Û`É0 ∴ m=1
m=1을 ㉢에 대입하면
12É4nÉ12, 4n=12 ∴ n=3
(a-1)xÛ`-8(a-1)x+4가
∴ mÛ`+nÛ`=1Û`+3Û`=10
②
231
이차부등식 3xÛ`+2(a+b+c)x+ab+bc+caÉ0
의 해가 단 한 개 존재하므로 이차방정식
0_xÛ`-0_x+4¾0에서 4¾0이므로 이 부등식
3xÛ`+2(a+b+c)x+ab+bc+ca=0의 판별식을
은 모든 실수 x에 대하여 성립한다.
D라 하면
연습문제·실력 UP 137
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 137
2018-07-31 오후 7:36:34
=(a+b+c)Û`-3(ab+bc+ca)=0
aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca=0
㉡
㉠
-5
-2
1
3
㉡
x
{(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0
㉠, ㉡의 해의 공통부분은 1ÉxÉ3
따라서 a-b=0, b-c=0, c-a=0이므로
따라서 이차부등식 axÛ`+bx-1¾0의 해가 1ÉxÉ3
D
4
;2!;
a=b=c
∴
+
+
=
+
+
=9
3c
b
3a
c
3a
a
3b
b
3b
a
3c
c
9
232
f(x)=-xÛ`+4x+aÛ`-4라 하면
f(x)=-(x-2)Û`+aÛ`
1ÉxÉ4에서 f(x)¾0이 항상 성립하려면 y=f(x)
의 그래프가 다음 그림과 같아야 한다.
y
aÛ`
이므로 a<0
해가 1ÉxÉ3이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은
(x-1)(x-3)É0, xÛ`-4x+3É0
양변에 a를 곱하면
axÛ`-4ax+3a¾0 (∵ a<0)
이 부등식이 axÛ`+bx-1¾0과 같으므로
b=-4a, -1=3a ∴ a=-
, b=
;3!;
;3$;
∴ a+b=1
1
234
xÛ`-3x-10É0
[
(x-2)(x-a)>0
㉠에서 (x+2)(x-5)É0
∴ -2ÉxÉ5
㉡에서
yy ㉠
yy ㉡
O
y=f(x)
1 2
4
x
즉, 1ÉxÉ4에서 y=f(x)의 최솟값인 f(4)가 0보다
크거나 같아야 하므로
f(4)=-16+16+aÛ`-4¾0
aÛ`-4¾0, (a+2)(a-2)¾0
∴ aÉ-2 또는 a¾2
Ú a<2일 때, x2
Û a=2일 때, (x-2)Û`>0이므로
해는 x+2인 모든 실수이다.
Ü a>2일 때, x<2 또는 x>a
㉠, ㉡의 해의 공통부분이 22이어야 하고 실
수 a의 값의 범위는
yy ㉠
aÉ-2
yy ㉡
따라서 실수 a의 최댓값은 -2이다.
-2
㉠에서 xÛ`-x-6É0, (x+2)(x-3)É0
㉡에서 xÛ`+4x-5¾0, (x+5)(x-1)¾0
235
변의 길이는 양수이므로
∴ xÉ-5 또는 x¾1
x-4>0, x-10>0 ∴ x>10
yy ㉠
233
xÛ`Éx+6
[
xÛ`+4x¾5
∴ -2ÉxÉ3
138 Ⅱ. 방정식과 부등식
18_기본서(수학상)_해설_104~141_2단원(연)_ok.indd 138
2018-07-31 오후 7:36:35
직각삼각형의 넓이가 36 이하이므로
aÛ`-a-2¾0, (a+1)(a-2)¾0
(x-4)(x-10)É36
;2!;
xÛ`-14x-32É0
(x+2)(x-16)É0
∴ -2ÉxÉ16
빗변의 길이가 2
7 이상이므로
1
'
(x-4)Û`+(x-10)Û`¾2
"Ã
(x-4)Û`+(x-10)Û`¾68
17
'¶
xÛ`-14x+24¾0, (x-2)(x-12)¾0
∴ xÉ2 또는 x¾12
yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢의 공통부분은 12ÉxÉ16
따라서 정수 x는 12, 13, 14, 15, 16의 5개이다.
(cid:89)(cid:14)(cid:21)
∴ aÉ-1 또는 a¾2
yy ㉠
이차방정식 xÛ`+(a-1)x+aÛ`=0의 판별식을 Dª라
(cid:89)(cid:14)(cid:18)(cid:17)
yy ㉡
하면
Dª=(a-1)Û`-4aÛ`¾0
3aÛ`+2a-1É0, (a+1)(3a-1)É0
∴ -1ÉaÉ
;3!;
yy ㉡
따라서 적어도 하나가 실근을 갖는 경우는 ㉠, ㉡에서
aÉ
;3!;
또는 a¾2
;3!; 또는 a¾2
다른풀이 적어도 하나가 실근을 갖는 경우는 모든
aÉ
경우에서 둘 다 허근을 갖는 경우를 제외한 것과 같다.
이차방정식 xÛ`+2ax+a+2=0의 판별식을 DÁ이라
연
습
문
제
실
력
U
P
5
하면
DÁ
4
yy ㉠
yy ㉡
=aÛ`-(a+2)<0
aÛ`-a-2<0, (a+1)(a-2)<0
∴ -10, (a+1)(3a-1)>0
면 다음 그림과 같아야 한다.
㉠
㉡
Ú -k+2<-1에서 k>3
Û k+2>3에서 k>1
Ú, Û에서 k>3
-k+2
0-1
321
k+2
x
∴ a<-1 또는 a>
;3!;
yy ㉡
둘 다 허근을 갖는 a의 값의 범위는 ㉠, ㉡의 공통부분
인
0에서
-2a>-2 ∴ a<1
yy ㉡
'
'
yy ㉢
Ü y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=a+1이
므로
a+1>1 ∴ a>0
㉠, ㉡, ㉢의 공통부분은
-1+
3Éa<1
'
yy ㉢
-1+
3Éa<1
'
239
이차방정식 xÛ`-4(k-2)x+kÛ`+11=0의 두 근을 a,
b, 판별식을 D라 하면 두 근이 모두 음수이므로
두 근 사이에 1이 있으므로
(cid:90)(cid:30)(cid:71)(cid:9)(cid:89)(cid:10)
(cid:18)
(cid:89)
Ú
=4(k-2)Û`-(kÛ`+11)¾0
;;4;D;
3kÛ`-16k+5¾0, (3k-1)(k-5)¾0
13
241
f(x)=xÛ`+2ax+aÛ`-9라
하면 이차방정식 f(x)=0의
y=f(x)의 그래프는 오른쪽
그림과 같아야 한다.
따라서 f(1)<0이어야 하므로
∴ kÉ
또는 k¾5
;3!;
yy ㉠
1+2a+aÛ`-9<0
Û a+b=4(k-2)<0 ∴ k<2
yy ㉡
aÛ`+2a-8<0, (a+4)(a-2)<0
Ü ab=kÛ`+11>0이므로
k는 모든 실수이다.
∴ -40에서 2-a+2a-1>0
므로
a+b=-4k<0
∴ k>0
㉠, ㉡의 공통부분은
0-1
㉠, ㉡, ㉢의 공통부분은
yy ㉡
-
0에서
3kÛ`-9k+6>0, kÛ`-3k+2>0
(k-1)(k-2)>0
∴ k<1 또는 k>2
Ü y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=2k이므로
yy ㉡
yy ㉢
2k<2 ∴ k<1
㉠, ㉡, ㉢의 공통부분은 kÉ-2
따라서 실수 k의 최댓값은 -2이다.
-2
(cid:20)
(cid:19)
(cid:89)
(cid:19)
(cid:20)
(cid:89)
위의 그림에서 f(2)f(3)<0이므로
(4-4k+k+2)(9-6k+k+2)<0
(-3k+6)(-5k+11)<0
(3k-6)(5k-11)<0
∴ 20에서 k<2
244
f(x)=2xÛ`-ax+2a-1이
라 하면 주어진 조건을 만족
오른쪽 그림과 같다.
Ú f(-1)>0에서
Û f(0)<0에서 2a-1<0
∴ a<
;2!;
시키는 y=f(x)의 그래프는
(cid:17)
(cid:14)(cid:18)
(cid:61)
(cid:18)
(cid:62)
(cid:89)
f(3)=9-6k+k+2>0에서 k<
;;Á5Á;;
㈂ y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=k이므로
2+a+2a-1>0 ∴ a>-
yy ㉠
;3!;
㈀, ㈁, ㈂에서 조건을 만족시키는 k의 값은 존재하
20, b>0이어야 한다.
∴ a=2
'
∴ ab=6
3, b=
3
'
5aÛ`-2a+10=5aÛ`-4a+4
2a=-6 ∴ a=-3
∴ P(-3, -7)
∴ APÓ=
(-3-3)Û`+(-7+2)Û`=
61
②
"Ã
'¶
250
ACÓ=BCÓ에서 ACÓ Û`=BCÓ Û`이므로
142 Ⅲ. 도형의 방정식
253
△ABC의 외심을 O'이라
하면 외심 O'에서 각 꼭짓
B
점까지의 거리는 같으므
로 외심 O'은 변 BC의 중
점이다.
O'(-1, -1)
6
y
O
A(2, 1)
x
C
18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 142
2018-07-31 오후 7:38:31
즉, △ABC는 변 BC를 빗변으로 하는 직각삼각형이다.
∴ ABÓ Û`+ACÓ Û` =BCÓ Û`=(2 OÕ'AÓ)Û`=4 OÕ'AÓ Û`
=4{(2+1)Û`+(1+1)Û`}
오른쪽 그림과 같이 두 점
(5, -2), (-3, 4)를
B(-3, 4)
P(x, y)
각각 A, B라 하면 ㉠은
P
=52
②
PAÓ+PBÓ이므로 이것의
y
O
x
A(5, -2)
254
점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
PÕAÓ Û`+PBÓ Û`+PCÓ Û`
최솟값은 점 P가 ABÓ 위
에 있을 때이다.
∴ PAÓ+PBÓ ¾ABÓ
(-3-5)Û`+(4+2)Û`
=
"Ã
=10
=(x-1)Û`+(y-3)Û`+(x+3)Û`+(y+2)Û`
따라서 구하는 최솟값은 10이다.
10
+(x-2)Û`+(y-2)Û`
KEY Point
두 점 A, B와 임의의 점 P에 대하여 PAÓ+PBÓ의 최솟값은
PAÓ+PBÓ¾ABÓ임을 이용하여 구한다.
연
습
문
제
실
력
U
P
A(a,`b)
D(a+c,`b)
시간 후의 A와 B의 위치를 각
=3xÛ`+3yÛ`-6y+31
=3xÛ`+3(y-1)Û`+28
따라서 PÕAÓ Û`+PBÓ Û`+PCÓ Û`은 x=0, y=1일 때 최솟값
28을 갖고, 그때의 점 P의 좌표는 (0, 1)이다.
∴ PÕAÓ=
1-0)Û`+(
3-1)Û`=
5
(
"
'
5
'
255
오른쪽 그림과 같이 직선
y
BC를 x축, 점 B를 지나고
BCÓ에 수직인 직선을 y축
으로 하는 좌표평면을 잡으
BO
C(c,(cid:31)0)
x
면 점 B는 원점이 된다.
A(a, b), C(c, 0)이라 하면 점 D의 좌표는
(a+c, b)이므로
ACÓ Û`+BDÓ Û` ={(c-a)Û`+(-b)Û`}+{(a+c)Û`+bÛ`}
=2aÛ`+2bÛ`+2cÛ`
또, ABÓ Û`+BCÓ Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`이므로
2(ABÓ Û`+BCÓ Û`)=2aÛ`+2bÛ`+2cÛ`
∴ ACÓ Û`+BDÓ Û`=2(ABÓ Û`+BCÓ Û`)
풀이 참조
256
점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
x-5)Û`+(
(
"
은 점 P와 점 (5, -2), 점 P와 점 (-3, 4) 사이의
y-4)Û` y ㉠
x+3)Û`+(
y+2)Û`+
(
"
거리의 합과 같다.
257
지점 O의 위치를 원점으로 하는 좌표평면을 생각하자.
A와 B의 출발점의 위치를 각각
(0, 10), (-5, 0)으로 놓고 t
y
A
각 P, Q라 하면
P(0, 10-3t), Q(-5+4t, 0)
∴ PQÓ =
=
25tÛ`-100t+125
"Ã
(-5+4t)Û`+(-10+3t)Û`
"Ã
"Ã
=
25(t-2)Û`+25
B
O
x
따라서 PQÓ는 t=2일 때 최솟값
5=5를 갖는다. 즉,
2
'
A와 B 사이의 거리가 최소가 될 때의 거리는 5`km이
다.
5`km
258
선분 AB를 1 : 2로 외분하는 점 P의 좌표는
1_(-1)-2_2
1-2
{
,
1_5-2_0
1-2
}
, 즉 (5, -5)
따라서 선분 OP를 3 : 2로 내분하는 점의 좌표는
3_5+2_0
3+2
{
,
3_(-5)+2_0
3+2
}
, 즉 (3, -3)
③
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18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 143
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Ã
Ã
Ã
Ã
Ã
Ã
259
두 점 A(1, -3), B(-4, 6)에 대하여 선분 AB를
k : (1-k)로 내분하는 점의 좌표는
k_(-4)+(1-k)_1
k+(1-k)
{
,
k_6+(1-k)_(-3)
k+(1-k)
,
}
즉 (-5k+1, 9k-3)
이 점이 제 2 사분면 위에 있으므로
-5k+1<0, 9k-3>0
k>
,``k>
∴ k>
;5!;
;3!;
;3!;
한편, k : (1-k)에서
k>0, 1-k>0 ∴ 0n>0이므로
-2n
m-n
<0,
4m-3n
m-n
>0
따라서 점 Q는 제 2 사분면 위의 점이다.
오른쪽 그림에서
△OAB=
_4_2=4
;2!;
이므로
△OBQ
=△OAQ-△OAB
=16-4=12
Q
-2n
111m-n
이의 비와 같으므로
△OAQ : △OBQ=AQÓ : BQÓ
16 : 12=m : n, 12m=16n
이때 두 삼각형 OAQ, OBQ의 넓이의 비는 밑변의 길
∴
n
m
=
;4#;
266
ABÓ=
BCÓ=
-5+1)Û`
(
"
(
"
-3+5)Û`
+(1-3)Û`=2
+(k-1)Û`=
"Ã
5
'
kÛ`-2k+5
평행사변형 ABCD의 둘레의 길이가 6
5이므로
'
2(ABÓ+BCÓ)=6
5에서
'
kÛ`-2k+5)=6
2(2
5+
'
"Ã
5
'
kÛ`-2k+5=
5
'
"Ã
kÛ`-2k=0, k(k-2)=0 ∴ k=0 또는 k=2
이때 k=2이면 점 C(-3, 2)는 선분 AB의 중점이므로
k=0
평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므
로 ACÓ의 중점과 BDÓ의 중점이 일치한다.
점 D의 좌표를 (a, b)라 하면
-1-3
2
=
-5+a
2
,
3+0
2
=
1+b
2
∴ a=1, b=2
따라서 점 D의 좌표는 (1, 2)이다.
(1, 2)
267
변 AB의 중점의 좌표가 (3, 0)이므로 점 B의 좌표를
(a, b)라 하면
7+a
2
=3,
5+b
2
=0 ∴ a=-1, b=-5
연
습
문
제
실
력
U
P
y
4
3
4m-3n
1111m-n
B
A
즉, 점 B의 좌표는 (-1, -5)이다.
또, △ABC의 무게중심의 좌표가 (3, 1)이므로 점 C
의 좌표를 (c, d)라 하면
5-5+d
3
7-1+c
3
=3,
=1 ∴ c=3, d=3
O
2
x
즉, 점 C의 좌표는 (3, 3)이다.
따라서 변 BC를 2`:`1로 내분하는 점의 좌표는
2_3+1_(-1)
2+1
{
,
2_3+1_(-5)
2+1
,
}
④
1+3)Û`+(4-2)Û`
A(-3, 2)
즉
,
{;3%;
;3!;}
268
AGÓ =
(
"
=2
5
"
,
{;3%;
;3!;}
G(1, 4)
무게중심 G는 ADÓ를 2 : 1로
내분하는 점이므로
AGÓ=
ADÓ, 2
5=
ADÓ
;3@;
'
;3@;
B
D
C
∴ ADÓ=2
5_
'
=3
5
'
;2#;
정삼각형 ABC의 높이가 3
5이므로
3
'
2
ABÓ=3
5 ∴ ABÓ=3
5_
'
'
'
2
3
'
=2
15
'¶
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18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 145
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Ã
Ã
Ã
Ã
Ã
따라서 정삼각형 ABC의 넓이는
3
'
4
_(2
15)Û`=15
3
'¶
'
KEY Point
정삼각형의 한 변의 길이를 a라 하면
3
•높이 : '
2
a
3
•넓이 : '
4
aÛ``
271
△ABC에서 점 D는 선분 BC를 1 : 3으로 내분하므로
BDÓ : DCÓ=1 : 3 ∴ DCÓ=3 BDÓ
15
3
'
269
△ABC와 이 삼각형 내부의 임의의 점 P에 대하여
APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`의 값이 최소가 되도록 하는 점 P는
△ABC의 무게중심과 일치하므로 점 P의 좌표는
1+4+1
3
{
,
0+0+a
3
, 즉
{
}
2,
;3A;}
일 때 APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`의 최솟값이
k=16
a
3 }
2,
따라서 P
{
30이므로
APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`
=
(2-1)Û`+
[
{;3A;}
]
[
+
(2-4)Û`+
{;3A;}
]
2`
2`
(2-1)Û`+
+
[
-a
}
]
{;3A;
=
aÛ`+6=30
;3@;
aÛ`=36 ∴ a=6 (∵ a>0)
2`
6
점 E는 선분 BC를
2 : 3으로 외분하므로
EBÓ =2 BCÓ
F
A
a
=2(BDÓ+DCÓ)
E
=8 BDÓ
8a
B
D
3a
C
즉, △AEB의 넓이는 △ABD의 넓이의 8배이다.
점 F는 선분 AB를 1 : 2로 외분하므로
BFÓ=2 ABÓ
즉, △FEB의 넓이는 △AEB의 넓이의 2배이다.
따라서 △FEB=2△AEB=16△ABD이므로
16
272
△ABP에서 APÓDCÓ이므로
BÕAÓ : DAÓ=BPÓ : CPÓ
(-5)Û`+(-9-3)Û`=13
ABÓ=
"Ã
ADÓ=ACÓ=
4Û`+(-3)Û`=5
"Ã
∴ BPÓ : CPÓ=13 : 5
따라서 점 P는 BCÓ를 13 : 5로 외분하는 점이므로 점
13_4-5_(-5)
13-5
{
,
13_0-5_(-9)
13-5
,
}
P의 좌표는
즉
{
77
8
,
45
8 }
은 선분 PQ의 중점이다.
이므로 점 B는 선분 PQ를 1 : 2
이므로 점 C는 선분 PQ를 3 : 1
이등분선이므로
세 점 A, B, C를 수직선 위에 나타내면 다음 그림과
AOÓ=6
273
ADÓ는 ∠A의 외각의
AOÓ : ABÓ=ODÓ : BDÓ
A
O
B
ABÓ=
(4-0)Û`+(3-6)Û`=5
"Ã
∴ ODÓ : BDÓ=6 : 5
B A
C
P(
2)
'
Q(
3)
'
따라서 위치가 왼쪽인 점부터 순서대로 나열하면 B,
A, C이다.
B, A, C
∴ a-b=6
따라서 점 D(a, b)는 OBÓ를 6 : 5로 외분하는 점이므로
a=
6_4-5_0
6-5
=24, b=
6_3-5_0
6-5
=18
⑤
D
6
270
'
점 A
{
1_
B
{
3
'
2+
2
}
3+2_
1+2
'
2
'
}
로 내분하는 점이다.
3_
'
3-1_
3-1
2
'
}
C
{
로 외분하는 점이다.
같다.
146 Ⅲ. 도형의 방정식
18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 146
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274
두 점 (-1, 2), (2, a)를 지나는 직선의 방정식은
의 방정식은
따라서 두 점 A(1, 1), B(-1, -3)을 지나는 직선
y-1=
(x-1) ∴ y=2x-1
-3-1
-1-1
y-2=
∴ y=
(x+1)
a-2
2-(-1)
a-2
3
x+
a+4
3
이 직선이 점 (0, 5)를 지나므로
, a+4=15
5=
a+4
3
∴ a=11
275
기울기가 tan`60ù=
'
직선의 방정식은
y-(-
3(x-1)
3)=
'
'
3x-2
'
∴ y=
3
'
따라서 x절편이 2, y절편이 -2
3
'
이므로 오른쪽 그림에서 구하는 넓
이는
_2_2
3=2
3
'
'
;2!;
3이고 점 (1, -
3)을 지나는
'
y
O
-2
3
'
④
278
직선 5x+6y=1이 x축, y축과
만나는 점을 각각 A, B라 하면
A
, 0
, B
0,
{;5!;
}
{
;6!;}
이때 직선 y=mx가 △OAB의
넓이를 이등분하려면 ABÓ의 중
점을 지나야 한다.
y=2x-1
y
B
1
6
O
y=mx
A
1
5
x
5x+6y=1
연
습
문
제
실
력
U
P
ABÓ의 중점의 좌표는
,
{;1Á0;
;1Á2;}
이고
2
x
직선 y=mx가 이 점을 지나므로
=
;1Á2;
;1Á0;
m ∴ m=
;6%;
;6%;
④
279
276
x절편과 y절편의 절댓값이 같고 부호가 반대이므로 x
(기울기)=-
<0, ( y절편)=-
>0
a
b
절편을 a`(a+0)라 하면 y절편은 -a이다.
∴ ab>0, bc<0
따라서 구하는 직선의 방정식은
이때 a, c의 부호는 서로 다르므로 ac<0
ax+by+c=0에서 y=-
x-
이므로
=1 ∴ y=x-a
yy ㉠
bx+cy+a=0에서 y=-
x-
이므로
a
b
;cB;
;bC;
;bC;
;cA;
;cA;
x
a
+
y
-a
이 직선이 점 (2, -1)을 지나므로
-1=2-a ∴ a=3
a=3을 ㉠에 대입하면 y=x-3
따라서 이 직선의 y절편은 -3이다.
-3
(cid:67)(cid:89)(cid:12)(cid:68)(cid:90)(cid:12)(cid:66)(cid:30)(cid:17)
(기울기)=-
>0, ( y절편)=-
>0
;cB;
따라서 기울기와 y절편이 모
두 양수인 직선은 오른쪽 그림
과 같으므로 제 4 사분면을 지
나지 않는다.
277
세 점 A(1, 1), B(-1, -a), C(a, 5)가 한 직선 위
에 있으므로
(직선 AB의 기울기)=(직선 AC의 기울기)
=
5-1
-a-1
-1-1
a-1
aÛ`=9 ∴ a=3 (∵ a>0)
, (a+1)(a-1)=8
280
(k-1)x+(k+2)y-3=0
ㄱ. ㉠을 k에 대하여 정리하면
(-x+2y-3)+k(x+y)=0
(cid:90)
(cid:48)
(cid:89)
③
yy ㉠
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이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
-x+2y-3=0, x+y=0
283
두 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 직선은 각
두 식을 연립하여 풀면 x=-1, y=1
직사각형의 대각선의 교점을 모두 지나야 한다.
따라서 직선 ㉠은 k의 값에 관계없이 점 (-1, 1)
두 직사각형의 대각선의 교점을 각각 A, B라 하면
을 지난다.
ㄴ. k=1을 ㉠에 대입하면 y=1
따라서 직선 ㉠은 x축에 평행하다.
ㄷ. k=-2를 ㉠에 대입하면 x=-1
따라서 직선 ㉠은 점 (0, -1)을 지나지 않는다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
ㄱ, ㄴ
A
{
-3-1
2
,
2+6
2 }
3+7
2
,
-4-2
2
}
B
{
∴ A(-2, 4)
∴ B(5, -3)
따라서 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식은
y-4=
-3-4
5-(-2)
(x+2) ∴ y=-x+2
직선 3x-ay+12=0에서 x절편은 -4, y절편은
2a-b=3 ∴ b=2a-3
yy ㉠
12
a
281
이므로
y=-x+2
284
점 (a, b)가 직선 2x-y=3 위에 있으므로
㉠을 ax+by+6=0에 대입하면
ax+(2a-3)y+6=0
이 식을 a에 대하여 정리하면
-3y+6+(x+2y)a=0
이 식이 a의 값에 관계없이 항상 성립하므로
-3y+6=0, x+2y=0 ∴ x=-4, y=2
따라서 구하는 점 P의 좌표는 (-4, 2)이다.
(-4, 2)
①
285
y=mx+2m-1을 m에 대하여 정리하면
(x+2)m-(y+1)=0
yy ㉠
이므로 직선 ㉠은 m의 값에 관계없이 항상 점
(-2, -1)을 지난다.
오른쪽 그림과 같이 직
선 ㉠이 직사각형과 만
나도록 직선 ㉠을 움직
여 보면
Ú 직선 ㉠이 점 (3, 1)
을 지날 때,
Û
y
2
1
O
1
-1
Ú
3
x
-2
5m-2=0 ∴ m=
;5@;
Û 직선 ㉠이 점 (1, 2)를 지날 때,
A(-4, 0), B
0,
12
a }
{
a>0이므로 직선
3x-ay+12=0은 오른쪽 그
림과 같다.
(cid:90)
(cid:35)
(cid:18)(cid:19)
(cid:66)
(cid:34)
△OAB의 넓이가 6이므로
(cid:14)(cid:21)
(cid:48)
(cid:89)
;2!;
_4_
12
a
6a=24 ∴ a=4
=6
282
세 점 A(2, -5), B(a, -2), C(6, 2a+1)이 삼
각형을 이루지 않으려면 세 점이 한 직선 위에 있어야
하므로
(직선 AB의 기울기)=(직선 AC의 기울기)
-2-(-5)
a-2
2a+1-(-5)
6-2
=
12=(2a+6)(a-2)
aÛ`+a-12=0, (a+4)(a-3)=0
∴ a=-4 또는 a=3
따라서 구하는 모든 a의 값의 곱은
148 Ⅲ. 도형의 방정식
-4_3=-12
-12
3m-3=0 ∴ m=1
18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 148
2018-07-31 오후 7:38:35
Ú, Û에서 구하는 m의 값의 범위는
ÉmÉ1
;5@;
따라서 a=
, b=1이므로
;5@;
;5@;
5ab=5_
_1=2
2
286
가로의 길이는 세로의 길이의 3배이므로 세로의 길이
를 a`(a>0)라 하면 가로의 길이는 3a이다.
직사각형의 둘레의 길이가 32이므로
2(3a+a)=32 ∴ a=4
따라서 세로의 길이는 4, 가로의 길이는 12이므로
B(-8, 3-4) ∴ B(-8, -1)
D(-8+12, 3) ∴ D(4, 3)
따라서 두 점 B, D를 지나는 직선의 방정식은
y-(-1)=
(x+8)
3-(-1)
4-(-8)
∴ y=
x+
;3%;
;3!;
y=
x+
;3!;
;3%;
287
p
2
-
{
이다.
f(x) =xÛ`+px+p=
{
x+
+p-
pÛ`
4
p
2 }
2`
이므로 이 함수의 그래프의 꼭짓점 A의 좌표는
, p-
, y축과 만나는 점 B의 좌표는 (0, p)
pÛ`
4 }
두 점 A, B를 지나는 직선 l의 기울기는
p-
p-
{
0-
-
{
pÛ`
4 }
p
2 }
=
p
2
은
y=
x+p
p
2
이 식에 y=0을 대입하면
p
2
x+p=0 ∴ x=-2
288
직선 x+3y-3=0이 x축, y축과 만나는 점을 각각
A, B라 하면
A(3, 0), B(0, 1)
ABÓ의 삼등분점을 각각 P, Q라 하면 원점을 지나는
두 직선이 직선 x+3y-3=0과 x축 및 y축으로 둘러
싸인 삼각형의 넓이를 삼등분하는 경우는 두 직선이
각각 점 P, Q를 지날 때이다.
APÓ=PQÓ=QBÓ이므로
오른쪽 그림에서 점 P, Q
의 x좌표는 AOÓ의 삼등분
점의 x좌표와 같고, 점 P,
Q의 y좌표는 OBÓ의 삼등
y
1
B
O
분점의 y좌표와 같음을 알 수 있다.
∴ P
2,
{
, Q
{
1,
;3@;}
;3!;}
Q
P
x
A
3
x+3y-3=0
연
습
문
제
실
력
U
P
따라서 직선 OP의 기울기는
=
직선 OQ의
-0
;3!;
2-0
1
6 ,
기울기는
=
이므로 두 직선의 기울기의 합은
-0
;3@;
1-0
2
3
+
=
;6%;
;3@;
;6!;
;6%;
289
오른쪽 그림과 같이 직선 l
과 선분 CD의 교점을 P,
3
점 P에서 x축, y축에 내린
수선의 발을 각각 Q, R라
하면 삼각형 OPQ의 넓이
O
y
E
R
1
l
B
5
A
x
D
P
C
3
Q
ABCQ와 사각형 DERP의 넓이가 서로 같다.
3_ERÓ=2_1 ∴ ERÓ=
;3@;
따라서 P
{
3,
7
3 }
즉, p=9, q=7이므로
이므로 직선 l의 기울기는
이다.
7
9
연습문제·실력 UP 149
이고 직선 l이 점 (0, p)를 지나므로 직선 l의 방정식
와 삼각형 OPR의 넓이가 서로 같으므로 사각형
따라서 직선 l의 x절편은 -2이다.
②
p+q=16
②
18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 149
2018-07-31 오후 7:38:35
290
y=kx-2k+2에서
(x-2)k-y+2=0
를 지난다.
293
오른쪽 그림과 같이 직선 AH는
A(1, 4)
yy ㉠
직선 y=x-3에 수직이므로 직
y=x-3
이므로 직선 ㉠은 k의 값에 관계없이 항상 점 P(2, 2)
선 AH의 기울기는 -1이다.
또, 이 직선이 점 A(1, 4)를 지
H
다음 그림과 같이 직선 ㉠이 △ABC와 만나지 않도록
나므로 직선 AH의 방정식은
직선 ㉠을 움직여 보면
y-4=-1_(x-1) ∴ y=-x+5
(cid:49)(cid:9)(cid:19)(cid:13)(cid:3)(cid:19)(cid:10)
(cid:141)
x=4, y=1
따라서 점 H는 두 직선 y=x-3과 y=-x+5의 교
점이므로 두 직선의 방정식을 연립하여 풀면
즉, 구하는 점 H의 좌표는 (4, 1)이다.
(4, 1)
(cid:90)
(cid:140)
(cid:34)(cid:9)(cid:18)(cid:13)(cid:3)(cid:19)(cid:10)
(cid:35)(cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:13)(cid:3)(cid:18)(cid:10)
(cid:48)
(cid:89)
(cid:36)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:3)(cid:14)(cid:18)(cid:10)
Ú 직선 ㉠이 점 C(3, -1)을 지날 때,
k+3=0 ∴ k=-3
Û 직선 ㉠이 점 A(1, 2)를 지날 때,
-k=0 ∴ k=0
Ú, Û에서 구하는 k의 값의 범위는
-30)
즉, 2a+1=0 ∴ a=-
1
2
Ú ~ Ü에서 모든 a의 값의 곱은
_
-
{
_
-
{
=
;6!;
;2!;}
;3@;}
;2!;
;6!;
직선 3x+4y+1=0, 즉 y=-
x-
에 수직인 직
3
4
;4!;
④
303
4
3
선의 기울기는
이므로 구하는 직선의 방정식을
4
3
y=
x+k, 즉 4x-3y+3k=0으로 놓을 수 있다.
원점과 이 직선 사이의 거리가 1이므로
=1, |3k|=5
|3k|
4Û`+(-3)Û`
"Ã
3k=Ñ5 ∴ k=-
또는 k=
;3%;
;3%;
따라서 구하는 직선의 방정식은
4x-3y-5=0 또는 4x-3y+5=0
4x-3y-5=0, 4x-3y+5=0
304
직선 y=3x+2에 평행하므로 구하는 직선의 방정식을
y=3x+k, 즉 3x-y+k=0
yy ㉠
으로 놓을 수 있다.
301
점 A에서 변 BC에 내린
수선의 발을 D라 하면 직
선 BC의 기울기는
(cid:38)
=-
6-4
2-8
;3!;
AD의 기울기는 3이다.
이므로 직선
따라서 직선 AD의 방정식은
(cid:90)
(cid:48)
(cid:36)(cid:9)(cid:19)(cid:13)(cid:3)(cid:23)(cid:10)
(cid:37)
(cid:34)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:3)(cid:14)(cid:18)(cid:10)
(cid:35)(cid:9)(cid:25)(cid:13)(cid:3)(cid:21)(cid:10)
(cid:89)
y+1=3(x-3) ∴ y=3x-10
yy ㉠
또, 점 B에서 변 AC에 내린 수선의 발을 E라 하면
직선 AC의 기울기는
=-7이므로 직선
6-(-1)
2-3
BE의 기울기는
이다.
;7!;
따라서 직선 BE의 방정식은
y-4=
(x-8) ∴ y=
x+
yy ㉡
;7!;
:ª7¼:
;7!;
직선 y=3x+2 위의 한 점 (0, 2)와 직선 ㉠ 사이의
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=
, y=
;2(;
;2&;
따라서 구하는 세 수선의 교점의 좌표는
KEY Point
삼각형의 각 꼭짓점에서 대변에 그은
세 수선은 한 점에서 만나며 세 수선의
교점을 수심이라 한다.
거리가`
0
3
1
'
5
|-2+k|
3Û`+(-1)Û`
이므로
=
3
0
1
'
5
, |-2+k|=6
"Ã
-2+k=Ñ6 ∴ k=-4 또는 k=8
따라서 구하는 직선의 방정식은
3x-y-4=0 또는 3x-y+8=0
,
{;2(;
;2&;}
이다.
,
{;2(;
;2&;}
수심
3x-y-4=0, 3x-y+8=0
3, 1)과 직선 y=
3x+n, 즉
3x-y+n=0
'
'
사이의 거리가 3이므로
y=
x ∴ x-2y=0
O
1
2
305
선분 OA의 길이는
OÕAÓ=
2Û`+1Û`=
5
"Ã
'
직선 OA의 방정식은
y
B(3,�2)
C(1,�1)
A(2,�1)
h
x
302
점 (
'
152 Ⅲ. 도형의 방정식
18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 152
2018-07-31 오후 7:38:38
평행사변형 OABC의 높이 h는 점 C(1, 1)과 직선
308
직선 OA를 x축, 직선 OC를 y축으로 하는 좌표평면
OA 사이의 거리이므로
h=
|1-2|
1Û`+(-2)Û`
=
1
5
OÕAÓ_h=
5_
=1
'
1
5
'
"Ã
'
따라서 구하는 평행사변형 OABC의 넓이는
을 잡으면
O(0, 0), A(6, 0), B(6, 3), C(0, 3)
선분 OB를 1 : 2로 내분하는 점 D의 좌표는
1
1_6+2_0
1+2
{
,
1_3+2_0
1+2
}
, 즉 (2, 1)
306
(a+1)x-(a-3)y+a-15=0을 a에 대하여 정리
하면
x+3y-15+(x-y+1)a=0
이 식이 a의 값에 관계없이 항상 성립하므로
x+3y-15=0, x-y+1=0
두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=4
∴ A(3, 4)
점 A와 직선 2x-y+p=0 사이의 거리가
5이므로
"Ã
'
직선 CD의 방정식은
y-3=
(x-0) ∴ x+y-3=0
1-3
2-0
선분 OD를 2 : 3으로 외분하는 점 E의 좌표는
2_2-3_0
2-3
{
,
2_1-3_0
2-3
}
, 즉 (-4, -2)
따라서 점 E(-4, -2)와
직선 x+y-3=0 사이의
거리는
|-4-2-3|
1Û`+1Û`
=
9
2
'
9
2
'
2
=
y
3
C
-4
E
D
O
-2
B
6
A
x
④
연
습
문
제
실
력
U
P
|6-4+p|
2Û`+(-1)Û`
=
5
'
"Ã
|2+p|=5, 2+p=Ñ5
∴ p=-7 또는 p=3
따라서 모든 상수 p의 값의 합은
-7+3=-4
-4
307
x-2y-4+k(2x+y)=0에서
(2k+1)x+(k-2)y-4=0
yy ㉠
두 직선 ㉠과 ㉡, ㉡과 ㉢, ㉢
점 (1, -2)와 직선 ㉠ 사이의 거리 f(k)는
f(k) =
|2k+1-2(k-2)-4|
+(k-2)Û`
(2k+1)Û`
과 ㉠의 교점을 각각 A, B, C
라 하면 세 교점의 좌표는
A(1, 1), B(3, 2), C(2, 3)
309
2x-y-1=0
x-2y+1=0
x+y-5=0
yy ㉠
y
㉢
yy ㉡
yy ㉢
㉠
C
㉡
B
x
A
O
f(k)의 분모가 최소일 때 f(k)의 값은 최대가 된다.
임의의 실수 k에 대하여 kÛ`¾0이므로 k=0일 때 분모
"Ã
1
5kÛ`+5
=
"Ã
는 최솟값
5를 갖는다.
'
따라서 f(k)의 최댓값은
5
= '
5
1
5
'
선분 AB의 길이는
ABÓ=
(3-1)Û`+
(2-1)Û`=
"Ã
5
'
점 C(2, 3)과 직선 ㉡ 사이의 거리는
|2-6+1|
1Û`+(-2)Û`
=
3
5
"Ã
따라서 △ABC의 넓이는
'
'
5
5
_
5_
;2!;
'
=
;2#;
3
5
'
;2#;
연습문제·실력 UP 153
18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 153
2018-07-31 오후 7:38:38
Ã
Ã
310
구하는 예각의 이등분선 위의 임의의 점을 P(x, y)라
하면 점 P에서 두 직선 3x+y=0, x+3y+4=0에
|2_1+1_0-k|
2Û`+1Û`
"Ã
=
5, |2-k|=5
'
2-k=Ñ5 ∴ k=-3 또는 k=7
이르는 거리가 같으므로
|3x+y|
3Û`+1Û`
=
|x+3y+4|
1Û`+3Û`
"Ã
|3x+y|=|x+3y+4|
"Ã
3x+y=Ñ(x+3y+4)
∴ x-y-2=0 또는 x+y+1=0
그런데 오른쪽 그림에
서 두 직선이 이루는
예각의 이등분선의 기
울기는 음수이므로 구
하는 직선의 방정식은
x+y+1=0
y
3x+y=0
P
x+3y+4=0
O
x
311
직선 y=-2x+k와 평행하고 이차함수 y=xÛ`+3의
그래프에 접하는 직선의 방정식을
y=-2x+a ( a는 상수)라 하면
xÛ`+3=-2x+a에서 xÛ`+2x+3-a=0
이때 k=7이면 이차함수 y=xÛ`+3의 그래프와 직선
y=-2x+7이 만나므로 k+7
∴ k=-3
-3
312
ACÓ가 y축과 평행하므로 △ABC의 넓이는
_8_1=4
;2!;
직선 AB의 방정식은
y-8=
(x-1)
-1-8
0-1
∴ y=9x-1
점을 각각 D, E라 하면
점 D의 x좌표는
a=9x-1에서 x=
a+1
9
점 E의 좌표는 (1, a)이므로
DEÓ=1-
a+1
9
=
8-a
9
, AEÓ=8-a
y
8
A
D E
y=a
1
C
O
-1
B
x
x+y+1=0
직선 y=a가 ABÓ, ACÓ와 만나는
이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 이차방정식의
따라서 △ADE의 넓이는
판별식을 D라 하면
D
4
=1Û`-(3-a)=0 ∴ a=2
따라서 직선 y=-2x+k와 평행하고 이차함수
_DEÓ_AEÓ =
;2!;
_
;2!;
8-a
9
_(8-a)
=
(8-a)Û`
1
18
y=xÛ`+3의 그래프에 접하는 직선의 방정식은
이때 △ADE의 넓이가 △ABC의 넓이의
이므로
;2!;
(8-a)Û`=
_4, aÛ`-16a+28=0
;1Á8;
;2!;
y=xÛ`+3
(a-2)(a-14)=0 ∴ a=2 또는 a=14
그런데 -10)
4
∴ 3Ék<6
3Ék<6
314
구하는 원의 중심을 C라 하면 점 C는 ABÓ의 중점이므
로 점 C의 좌표는
5+a
2
{
,
1-3
2 }
, 즉
{
a+5
2
, -1
}
또, 원의 반지름의 길이는 ACÓ의 길이와 같으므로
ACÓ=
a+5
2
-5
}
¾¨{
Û`+(-1-1)Û`=
5
'
양변을 제곱하면
Û`+4=5
a-5
2 }
{
{
a-5
2
}
∴ a=3 (∵ a<5 )
Û`=1, a-5=Ñ2
따라서 중심이 점 (4, -1)이고 반지름의 길이가
5
'
인 원의 방정식은
(x-4)Û`+(y+1)Û`=5
317
원의 중심이 직선 y=x-1 위에 있으므로 원의 중심
의 좌표를 (a, a-1)이라 하면 반지름의 길이는 |a|
이다. 즉, 이 원의 방정식은
(x-a)Û`+(x-a+1)Û`=aÛ`
이 원이 점 (3, -1)을 지나므로
(3-a)Û`+(-1-a+1)Û`=aÛ`
(3-a)Û`=0 ∴ a=3
따라서 구하는 반지름의 길이는
|3|=3
②
318
원의 반지름의 길이를 r (r>0)라 하면 x축과 y축에
동시에 접하고 중심이 제 3 사분면 위에 있으므로 원의
중심의 좌표는 (-r, -r)이다.
(x-4)Û`+(y+1)Û`=5
이때 원의 중심 (-r, -r)가 직선 2x-5y=6 위에
연
습
문
제
실
력
U
P
315
xÛ`+yÛ`-6x-8y+10=0에서
(x-3)Û`+(y-4)Û`=15
직선이 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심을 지나야
하므로 점 (1, 0)과 원의 중심 (3, 4)를 지나는 직선
있으므로
-2r+5r=6 ∴ r=2
따라서 구하는 원의 방정식은
(x+2)Û`+(y+2)Û`=4
의 방정식은
y=
4-0
3-1
∴ y=2x-2
(x-1)
따라서 구하는 y절편은 -2이다.
316
xÛ`+yÛ`+4x-2y+2k-7=0에서
(x+2)Û`+(y-1)Û`=12-2k
(x+2)Û`+(y+2)Û`=4
319
점 P의 좌표를 (a, b), 선분 AP의 중점의 좌표를
(x, y)라 하면
③
x=
a+3
2
, y=
b+2
2
∴ a=2x-3, b=2y-2
점 P가 원 (x-1)Û`+(y+2)Û`=8 위의 점이므로
(a-1)Û`+(b+2)Û`=8
㉠을 ㉡에 대입하면
yy ㉠
yy ㉡
이 방정식이 반지름의 길이가
6 이하인 원을 나타내
(2x-3-1)Û`+(2y-2+2)Û`=8
'
려면
4(x-2)Û`+4yÛ`=8 ∴ (x-2)Û`+yÛ`=2
연습문제·실력 UP 155
18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 155
2018-07-31 오후 7:38:39
0-3)=31
1
'
31
△PAB가 직각삼각형이
(cid:35)(cid:9)(cid:14)(cid:19)(cid:13)(cid:3)(cid:21)(cid:10)
(cid:34)(cid:9)(cid:23)(cid:13)(cid:3)(cid:21)(cid:10)
따라서 선분 AP의 중점이 그리는 도형은 중심이 점
(2, 0)이고 반지름의 길이가
2인 원이므로 구하는 도
'
BPÓ=CPÓ에서 BPÓ Û`=CPÓ Û`이므로
(a-3)Û`+(b-3)Û`=(a+4)Û`+(b-6)Û`
형의 넓이는
p_(
2)Û`=2p
'
14a-6b+34=0 ∴ 7a-3b=-17 yy ㉤
2p
㉣, ㉤을 연립하여 풀면 a=-2, b=1
따라서 원의 중심은 점 P(-2, 1)이고 반지름의 길이는
320
원 xÛ`+yÛ`=9의 중심 O(0, 0)과 점 P(6, 2) 사이의
APÓ=
(-2-0)Û`+(1+4)Û`=
"Ã
9
2
'
이므로 구하는 원의 방정식은
(x+2)Û`+(y-1)Û`=29
(x+2)Û`+(y-1)Û`=29
P(6, 2)
3
3
O
Q
2
10
'¶
거리는
OPÓ=
6Û`+2Û`=2
"Ã
0
1
'
원의 반지름의 길이가 3
이므로 선분 PQ의 길이
Q
의 최댓값은 M=2
0+3,
1
'
0-3
1
'
0+3)(2
1
최솟값은 m=2
∴ Mm=(2
'
321
xÛ`+yÛ`-4kx+2ky+10k-15=0에서
(x-2k)Û`+(y+k)Û`=5kÛ`-10k+15
이 원의 중심의 좌표는 (2k, -k)이고 반지름의 길이
이므로
는
5kÛ`-10k+15이다.
"Ã
원의 넓이가 최소가 되려면 반지름의 길이가 최소가
되어야 하므로
5kÛ`-10k+15=
5(k-1)Û`+10
"Ã
에서 k=1일 때 원의 반지름의 길이가 최소가 되고 그
"Ã
때의 원의 중심의 좌표는 (2, -1)이다.
⑤
322
5x+2y+8=0
7x-3y-12=0
3x+7y-30=0
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
323
원주각의 성질에 의하여
되려면 선분 PA 또는 선
분 PB가 원의 지름이 되
어야 한다. 점 P의 좌표
(cid:90)
(cid:48)
(cid:140)
(cid:9)(cid:19)(cid:13)(cid:3)(cid:18)(cid:10)
(cid:141)
(cid:89)
를 (x, y)라 하면 주어진 원의 중심의 좌표가 (2, 1)
=2,
=1 ∴ x=-2, y=-2
Ú 선분 PA가 원의 지름일 때,
Û 선분 PB가 원의 지름일 때,
x+6
2
x-2
2
y+4
2
y+4
2
=2,
=1 ∴ x=6, y=-2
Ú, Û에서 점 P의 좌표는 (-2, -2) 또는 (6, -2)
이므로 이 두 점을 이은 선분의 중점의 좌표는
-2+6
2
{
,
-2-2
2
}
, 즉 (2, -2)
따라서 a=2, b=-2이므로 a+b=0
0
직선 ㉠과 ㉡, 직선 ㉡과 ㉢, 직선 ㉢과 ㉠의 교점을 각
각 A, B, C라 하면
A(0, -4), B(3, 3), C(-4, 6)
세 점 A, B, C를 지나는 원의 중심을 P(a, b)라 하면
APÓ=BPÓ=CPÓ
APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로
(a-0)Û`+(b+4)Û`=(a-3)Û`+(b-3)Û`
324
APÓ : BPÓ=2 : 1에서
APÓ=2 BPÓ ∴ APÓ Û`=4 BPÓ Û`
점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
(x+1)Û`+(y-1)Û`=4{(x-2)Û`+(y-1)Û`}
xÛ`+yÛ`-6x-2y+6=0
6a+14b-2=0 ∴ 3a+7b=1
yy ㉣
∴ (x-3)Û`+(y-1)Û`=4
156 Ⅲ. 도형의 방정식
18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 156
2018-07-31 오후 7:38:40
또, OÕMÓ은 ABÓ를 수직이등분하므로 △AOM은 직각
A
O
M
B
을 M이라 하면 OMÓ의 길이는
원점 O와 직선 ㉠ 사이의 거리
OMÓ=
|-5|
4Û`+3Û`
"Ã
=1
삼각형이다. 이때 OÕAÓ=3이므로
AMÓ =
OAÓ Û`-OMÓ Û`
ÚÞ
3Û`-1Û`=2
"Ã
2
=
'
∴ ABÓ=2 AMÓ=4
2
'
따라서 삼각형 OAB의 넓이는
_ABÓ_OMÓ=
_4
2_1=2
2
;2!;
'
'
;2!;
2
2
'
연
습
문
제
실
력
U
P
즉, 점 P가 그리는 도형은
y
오른쪽 그림과 같이 ABÓ의 중점
∠PAB의 크기가 최대가
2 3
x
와 같으므로
P
B
2
C
A
-1
1
O
중심이 점 (3, 1)이고 반지
름의 길이가 2인 원이므로
될 때는 오른쪽 그림과 같이
직선 AP가 원에 접할 때이다.
이때 원의 중심을 C라 하면
△PAC에서 ∠APC=90ù이므로
APÓ =¿¹ACÓ Û`-PCÓ Û`=
4Û`-2Û`=2
"Ã
3
'
2
3
'
325
두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은
xÛ`+yÛ`-6-(xÛ`+yÛ`-4x+ky)=0
∴ 4x-ky-6=0
이 직선이 직선 x-y+3=0과 수직이므로
4_1+(-k)_(-1)=0
∴ k=-4
-4
326
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은
328
두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은
xÛ`+yÛ`-4-(xÛ`+yÛ`+3x-4y+k)=0
∴ 3x-4y+k+4=0
yy ㉠
xÛ`+yÛ`+4x+4y+k(xÛ`+yÛ`+x-2y-6)=0
오른쪽 그림과 같이 두 원의 교
(k+-1) yy ㉠
점을 각각 A, B라 하고, ABÓ
이 원의 중심이 x축 위에 있으므로 중심의 y좌표는 0
의 중점을 M이라 하면 OÕMÓ의
이어야 한다. 즉, ㉠의 y의 계수가 0이어야 하므로
길이는 원 xÛ`+yÛ`=4의 중심
(cid:34)
(cid:35)
(cid:46)
(cid:48)
4-2k=0 ∴ k=2
k=2를 ㉠에 대입하면
xÛ`+yÛ`+4x+4y+2(xÛ`+yÛ`+x-2y-6)=0
3xÛ`+3yÛ`+6x-12=0, xÛ`+yÛ`+2x-4=0
∴ (x+1)Û`+yÛ`=5
따라서 구하는 원의 반지름의 길이는
5이다.
'
327
두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은
O(0, 0)과 직선 ㉠ 사이의 거리와 같으므로
OÕMÓ=
"Ã
|k+4|
3Û`+(-4)Û`
=
|k+4|
5
yy ㉡
또, OMÓ은 ABÓ를 수직이등분하므로 △AOM은 직각
삼각형이다. 이때 AMÓ=
ABÓ=
3, OAÓ=2이므로
1
2
'
yy ㉢
5
'
OMÓ =
OAÓ Û`-AMÓ Û`
ÚÞ
3)Û`=1
2Û`-(
"Ã
=
㉡, ㉢에서
=1
'
|k+4|
5
|k+4|=5, k+4=Ñ5
xÛ`+yÛ`-9-(xÛ`+yÛ`-8x-6y+1)=0
∴ k=-9 또는 k=1
∴ 4x+3y-5=0
yy ㉠
따라서 모든 k의 값의 합은 -8이다.
-8
연습문제·실력 UP 157
18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 157
2018-07-31 오후 7:38:41
329
두 원의 교점을 지나는 원 중에
서 넓이가 최소인 것은 두 원의
공통인 현을 지름으로 하는 원이
며 그때의 원의 중심은 두 원의
공통인 현과 두 원의 중심을 지나는 직선의 교점이다.
두 원의 공통인 현의 방정식은
xÛ`+yÛ`+6x+2y+1-(xÛ`+yÛ`-2x-3)=0
참고 점 (-1, 0)에서 x축에 접하고 반지름의 길이가 2인
원의 중심
원의 중심은 x축에 수직인 직선 x=-1 위에 있다. 즉, 중심
의 좌표가 (-1, 2)이고 반지름의 길이가 2인 원이 된다.
331
원의 넓이가 20p이므로 원의 반지름의 길이는
20=2
5
'
'¶
원과 직선이 접하므로 원의 중심 (-1, 3)과 직선
∴ 4x+y+2=0
yy ㉠
2x-y+k=0 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 2
5
'
xÛ`+yÛ`+6x+2y+1=0에서 (x+3)Û`+(y+1)Û`=9,
xÛ`+yÛ`-2x-3=0에서 (x-1)Û`+yÛ`=4
이므로 두 원의 중심 (-3, -1), (1, 0)을 지나는 직
와 같다. 즉,
|-2-3+k|
2Û`+(-1)Û`
=2
5
'
"Ã
|k-5|=10, k-5=Ñ10
(x-1), y=
x-
;4!;
;4!;
선의 방정식은
0-(-1)
1-(-3)
∴ x-4y-1=0
y=
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
x=-
, y=-
;1¦7;
;1¤7;
따라서 구하는 원의 중심의 좌표는
-
{
;1¦7;
, -
;1¤7;}
-
{
;1¦7;
, -
;1¤7;}
∴ k=15 (∵ k>0)
15
yy ㉡
332
원과 직선의 교점을 A, B라 하면 두 점 A, B를 지나
는 원 중에서 그 넓이가 최소인 것은 ABÓ를 지름으로
하는 원이다.
원의 중심을 C(2, 3)이라 하고, 점 C에서 직선
3x+4y-8=0에 내린 수선의 발을 H라 하면
330
호 PQ는 오른쪽 그림과 같
이 점 (-1, 0)에서 x축에
접하고 반지름의 길이가 2
인 원의 일부이므로 그 원의
방정식을
(x-a)Û`+(y-2)Û`=4
y
2
-2
Q
P
-2 -1
O
2
x
라 하자. 이 원이 점 (-1, 0)을 지나므로
(-1-a)Û`+(0-2)Û`=4 ∴ a=-1
이때 선분 PQ는 두 원
xÛ`+yÛ`=4, (x+1)Û`+(y-2)Û`=4
의 공통인 현이므로 직선 PQ의 방정식은
xÛ`+yÛ`-4-{(x+1)Û`+(y-2)Û`-4}=0
xÛ`+yÛ`-4-(xÛ`+yÛ`+2x-4y+1)=0
∴ 2x-4y+5=0
2x-4y+5=0
158 Ⅲ. 도형의 방정식
CHÓ=
|6+12-8|
3Û`+4Û`
=2
"Ã
또, CAÓ=
'¶
삼각형 ACH에서
AHÓ =¿¹CAÓ Û`-CHÓ Û`
0)Û`-2Û`
1
(
¿¹
'
6
=
=
'
따라서 ABÓ를 지름으로 하
10이므로 직각
3x+4y-8=0
A
10
'¶
H
B
C(2, 3)
는 원의 반지름의 길이가
6이므로 그 넓이는
'
p_(
6)Û`=6p
'
6p
333
오른쪽 그림과 같이 원의 중심을
C(4, 5)라 하면
C(4, 5)
CPÓ=
(2-4)Û`+(1-5)Û`=2
"Ã
5
'
또, 접점을 T라 하면 접선의 길이는
T
P(2, 1)
3이므로
PTÓ=3
18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 158
2018-09-07 오전 9:34:45
따라서 두 직선이 y축과 만나는 점의 좌표는 각각
∴ mn=m_6m=6mÛ`=6_
=2
②
337
직선 y=mx+n이 점 (-6, 0)을 지나므로
0=-6m+n ∴ n=6m
원 xÛ`+yÛ`=9의 중심 (0, 0)과 직선 y=mx+6m,
즉 mx-y+6m=0 사이의 거리가 반지름의 길이 3
과 같아야 하므로
|6m|
mÛ`+(-1)Û`
"Ã
양변을 제곱하면
=3, |6m|=3
mÛ`+1
"Ã
36mÛ`=9(mÛ`+1) ∴ mÛ`=
연
습
문
제
실
력
U
P
;3!;
;3!;
y
2
O
y=ax+b
x(cid:153)`+(y-2)(cid:153)`=4
x
x(cid:153)`+y(cid:153)`=1
338
직선 y=ax+b, 즉
ax-y+b=0이 원
xÛ`+yÛ`=1에 접하므
로 원의 중심 (0, 0)
과 직선 사이의 거리
가 반지름의 길이 1
따라서 구하는 반지름의 길이는 CTÓ의 길이이므로 직
각삼각형 CPT에서
CTÓ=
CPÓ Û`-PTÓ Û`=
ÚÞ
"Ã
(2
5)Û`-3Û`=
'
1
1
'
1
1
'
334
직선 y=3x+2와 평행한 직선의 기울기는 3이고, 원
xÛ`+yÛ`=10의 반지름의 길이는
0이므로 접선의 방
1
'
정식은
y=3xÑ
0_
3Û`+1
1
'
"Ã
∴ y=3xÑ10
(0, 10), (0, -10)이므로
ABÓ=20
②
335
y=x-1을 xÛ`+yÛ`=25에 대입하여 정리하면
xÛ`-x-12=0, (x+3)(x-4)=0
∴ x=-3 또는 x=4
원과 직선의 교점 중에서 제 1 사분면 위에 있는 점의 x
좌표는 4이므로 교점의 좌표는 (4, 3)
따라서 원 xÛ`+yÛ`=25 위의 점 (4, 3)에서의 접선의
방정식은
4x+3y=25
336
원 xÛ`+yÛ`=2 위의 점 (1, -1)에서의 접선의 방정
식은
1_x+(-1)_y=2
∴ x-y-2=0
xÛ`+yÛ`-6x+2y+k=0에서
|3+1-2|
1Û`+(-1)Û`
=
2
2
'
"Ã
이때 원 ㉠과 직선이 접하므로
=
2
'
과 같다. 즉,
|b|
aÛ`+(-1)Û`
=1, |b|=
aÛ`+1
"Ã
"Ã
양변을 제곱하여 정리하면 aÛ`=bÛ`-1
yy ㉠
4x+3y=25
또, 직선 ax-y+b=0이 원 xÛ`+(y-2)Û`=4에 접하
므로 원의 중심 (0, 2)와 직선 사이의 거리가 반지름
의 길이 2와 같다. 즉,
|-2+b|
aÛ`+(-1)Û`
=2, |b-2|=2
aÛ`+1
"Ã
"Ã
양변을 제곱하여 정리하면
bÛ`-4b=4aÛ`
yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 bÛ`-4b=4(bÛ`-1)
3bÛ`+4b-4=0, (b+2)(3b-2)=0
그런데 위의 그림에서 직선 y=ax+b의 y절편이 음
수, 즉 b<0이므로 b=-2
b=-2를 ㉠에 대입하면 aÛ`=3
연습문제·실력 UP 159
(x-3)Û`+(y+1)Û`=10-k
yy ㉠
원의 중심 (3, -1)과 직선 x-y-2=0 사이의 거리는
∴ b=-2 또는 b=
;3@;
10-k=
2, 10-k=2 ∴ k=8
'Ä
'
8
∴ aÛ`+bÛ` =3+(-2)Û`=7
7
18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 159
2018-07-31 오후 7:38:42
따라서 현 PQ의 길이의 최솟값은 6이다.
하므로
또, 현 PQ의 길이가 최대일 때는 현 PQ가 원의 지름
=(mn)Û`-(mÛ`+1)(nÛ`-25)=0
따라서 삼각형 PAB의 넓이의 최댓값은
_3
5_
'
;2!;
5
11
'
5
=
:£2£:
33
2
341
f(x)=mx+n이라 하고 y=mx+n을 xÛ`+yÛ`=25
에 대입하면
x
xÛ`+(mx+n)Û`=25
∴ (mÛ`+1)xÛ`+2mnx+nÛ`-25=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 접
;;4;D;
25mÛ`-nÛ`+25=0
∴ 25mÛ`-nÛ`=-25
∴ f(-5)f(5) =(-5m+n)(5m+n)
=-25mÛ`+nÛ`=-(25mÛ`-nÛ`)
=-(-25)=25
25
342
점 A(0, a)를 지나고 기울기가 m인 접선의 방정식은
y=mx+a
∴ mx-y+a=0
원의 중심 (0, 3)과 접선 ㉠ 사이의 거리는 원의 반지
yy ㉠
름의 길이 2
2 와 같으므로
'
|-3+a|
mÛ`+(-1)Û`
"Ã
양변을 제곱하여 정리하면
8mÛ`-aÛ`+6a-1=0
=2
2, |a-3|=
8(mÛ`+1)
'
"Ã
m에 대한 이 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면 a, b
는 두 접선의 기울기이고 두 접선이 서로 수직이므로
ab=-1이어야 한다. 즉,
-aÛ`+6a-1
8
=-1, aÛ`-6a-7=0
339
xÛ`+yÛ`-10x=0에서 (x-5)Û`+yÛ`=25
원의 중심을 C(5, 0)이라 하고, 점 A(1, 0)을 지나는
직선이 이 원과 만나는 두 점을 각각 P, Q라 하자.
현 PQ의 길이가 최소일 때는
오른쪽 그림과 같이
CAÓ⊥PQÓ일 때이므로 직각삼
각형 ACP에서
APÓ =
=
ÚÞ
"Ã
CPÓ Û`-CAÓ Û`
5Û`-4Û`=3
∴ PQÓ=2 APÓ=6
y
P
O
A1
Q
5
C
일 때이므로 현 PQ의 길이의 최댓값은 10이다.
따라서 현의 길이가 자연수인 경우는
6, 7, 8, 9, 10
이때 길이가 6, 10인 현은 각각 1개씩 존재하고, 길이
가 7, 8, 9인 현은 각각 2개씩 존재하므로 구하는 현의
개수는
2_1+3_2=8
③
340
삼각형 PAB에서 ABÓ의 길이는
ABÓ=
(0+3)Û`+(6-0)Û`=
4
5=3
'
5
'
"Ã
로 일정하므로 원 위의 점 P와 직선 AB 사이의 거리
가 최대일 때 삼각형 PAB의 넓이는 최대가 된다.
직선 AB의 방정식은
x
-3
+
;6};
=1 ∴ 2x-y+6=0
원의 중심 (0, 0)과 직선 2x-y+6=0 사이의 거리는
y
B 6
|6|
2Û`+(-1)Û`
=
=
6
5
'
6
5
'
5
"Ã
원의 반지름의 길이가
5이므
'
로 원 위의 점 P와 직선 AB 사
이의 거리의 최댓값은
6
5
'
5
+
5=
'
5
11
'
5
160 Ⅲ. 도형의 방정식
A
-3
O
x
P
(a+1)(a-7)=0
∴ a=7`(∵ a>0)
7
18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 160
2018-07-31 오후 7:38:43
343
점 A(9, 0)에서 원 CÁ에 그은 접선의 기울기를
m`(m<0)이라 하면 접선의 방정식은
y=m(x-9)
∴ mx-y-9m=0
원 CÁ의 중심 (0, 0)과 직선 mx-y-9m=0 사이의
거리는 원 CÁ의 반지름의 길이 3과 같으므로
점 P는 원 C 위의 점이므로
(a-1)Û`+(b-2)Û`=4
이 식에 ㉠을 대입하면
(3x-6)Û`+(3y-12)Û`=4
=3, |-9m|=3
mÛ`+1
"Ã
|-9m|
mÛ`+1
"Ã
양변을 제곱하면
81mÛ`=9(mÛ`+1), 72mÛ`=9
mÛ`=
∴ m=-
(∵ m<0)
;8!;
1
'
2
2
따라서 접선의 방정식은
1
-
2
2
'
∴ x+2
x-y-9_
{
-
2y-9=0
'
1
'
2
2 }
=0
다음 그림과 같이 원 Cª의 중심을 D(5, 0)이라 하고,
점 D에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면
y
O
3
CÁ
B
C
C£
H
D
7
Cª
9
A
x
DHÓ=
|5-9|
1Û`+(2
2)Û`
'
"Ã
=
;3$;
DBÓ=2이므로 직각삼각형 BDH에서
BHÓ=
DBÓ Û`-DHÓ Û`=
ÚÞ
¾¨
2Û`-
{;3$;}
∴ BCÓ=2 BHÓ=
4
5
'
3
=
2
5
'
3
2`
∴ (x-2)Û`+(y-4)Û`=
;9$;
즉, 삼각형 PAB의 무게중심이 그리는 도형은 중심이
yy ㉡
점 (2, 4)이고 반지름의 길이가
인 원이다.
2
3
또한, 직선 AB의 방정식은
y-3=
(x-4) ∴ 4x+3y-25=0
7-3
1-4
이 직선과 원 ㉡의 중심 (2, 4) 사이의 거리는
|8+12-25|
4Û`+3Û`
"Ã
=1
따라서 구하는 거리의 최솟값은 원 ㉡ 위의 점과 직선
AB 사이의 거리의 최솟값이므로
⑤
연
습
문
제
실
력
U
P
1-
=
;3!;
;3@;
345
점 P(-2
'
식은
3, 2)를 지나고 기울기가 m인 접선의 방정
y-2=m(x+2
3)
∴ mx-y+2
'
'
3m+2=0
yy ㉠
원과 직선이 접하려면 원의 중심 (0, 0)과 직선 ㉠ 사
이의 거리가 원의 반지름의 길이 2와 같아야 하므로
|2
3m+2|
mÛ`+(-1)Û`
'
"Ã
양변을 제곱하여 정리하면
=2, |2
3m+2|=2
mÛ`+1
"Ã
'
'
3
'
4
5
'
3
mÛ`+
3m=0, m(m+
3)=0
'
∴ m=0 또는 m=-
이것을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은
y=2 또는
3x+y+4=0
'
344
원 위의 점 P의 좌표를 (a, b), 삼각형 PAB의 무게
중심의 좌표를 (x, y)라 하면
x=
a+4+1
3
, y=
b+3+7
3
∴ a=3x-5, b=3y-10
yy ㉠
y
A
2
y=2
P(-2
3, 2)
'
-2
B
O
2
x
-2
3x+y+4=0
'
연습문제·실력 UP 161
18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 161
2018-07-31 오후 7:38:43
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로
347
두 점 A(2, a), B(b, 3)을 x축의 방향으로 m만큼,
점 A(0, 2)와 직선
3x+y+4=0 사이의 거리는
y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 점이 각각
APÓ=BPÓ=2
3
'
'
=
|2+4|
(
"Ã
따라서 삼각형 ABP의 넓이는
3)Û`+1Û`
=3
;2^;
'
_2
3_3=3
3
;2!;
'
'
KEY Point
원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두
접선의 길이는 같다.
① PAÓ=PBÓ
② ∠PAO=∠PBO=90ù
346
원 C의 반지름의 길이가
A'(-1, 5), B'(1, 0)이라 하면
2+m=-1, a+n=5, b+m=1, 3+n=0
즉, m=-3, n=-3이므로
3
3
'
a=8, b=4
따라서 점 (8, 4)를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의
방향으로 -3만큼 평행이동한 점의 좌표는
(8-3, 4-3), 즉 (5, 1)
(5, 1)
348
y=xÛ`+2ax+a+3에서 y=(x+a)Û`-aÛ`+a+3
주어진 평행이동은 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향
으로 -1만큼 평행이동하는 것이므로
A
O
B
l
x
P
y
O
r이고 선분 PQ가 원 C의
P
A(2, 2)
y=(x+a)Û`-aÛ`+a+3에 x 대신 x-4, y 대신
삼각형 APQ가 이등변삼
C
Q
지름이므로
OPÓ=r, PQÓ=2r
각형이므로
APÓ=PQÓ=2r
y+1을 대입하면
y+1=(x-4+a)Û`-aÛ`+a+3
∴ y=(x-4+a)Û`-aÛ`+a+2
이 포물선의 꼭짓점의 좌표가 (3, b)이므로
4-a=3, -aÛ`+a+2=b ∴ a=1, b=2
또, OAÓ=
2Û`+2Û`=2
2이므로 직각삼각형 APO에서
∴ a+b=3
"Ã
'
3
다른풀이 포물선 y=(x+a)Û`-aÛ`+a+3의 꼭짓
rÛ`+(2r)Û`=(2
2)Û` ∴ rÛ`=
'
점 P(a, b)가 원 C: xÛ`+yÛ`=
위의 점이므로
;5*;
;5*;
점의 좌표는
(-a, -aÛ`+a+3)
이 꼭짓점이 주어진 평행이동에 의하여 옮겨지는 점의
원 C 위의 점 P(a, b)에서의 접선의 방정식은
이 직선이 점 A(2, 2)를 지나므로
-a+4=3, -aÛ`+a+2=b ∴ a=1, b=2
좌표는
(-a+4, -aÛ`+a+2)
이 점이 점 (3, b)와 일치하므로
∴ a+b=3
349
평행이동에 의하여 원 xÛ`+(y-1)Û`=9의 중심 (0, 1)
이 원 (x-1)Û`+yÛ`=9의 중심 (1, 0)으로 옮겨지므
로 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평
④
행이동한 것이다.
aÛ`+bÛ`=
;5*;
ax+by=
8
5
;5*;
2a+2b=
∴ a+b=
;5$;
(a+b)Û`=aÛ`+bÛ`+2ab에서
a+b=
, aÛ`+bÛ`=
이므로
;5$;
;5*;
=
+2ab, 2ab=-
;2@5$;
;5*;
{;5$;}
2`
∴ ab=-
;2!5@;
162 Ⅲ. 도형의 방정식
18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 162
2018-07-31 오후 7:38:44
따라서 x+2y-4=0에 x 대신 x-1, y 대신 y+1을
(x-2)Û`+(y+3-1)Û`=9
대입하면
(x-1)+2(y+1)-4=0
∴ x+2y-3=0
a=2, b=-3
∴ a+b=-1
∴ (x-2)Û`+(y+2)Û`=9
이 원이 직선 3x-4y+k=0과 서로 다른 두 점에서
만나려면 원의 중심 (2, -2)와 직선 사이의 거리는
|6+8+k|
3Û`+(-4)Û`
<3
③
"Ã
|14+k|<15, -15<14+k<15
이 직선이 직선 x+ay+b=0과 일치하므로
원의 반지름의 길이 3보다 작아야 하므로
350
직선 4x+3y-5=0을 y축의 방향으로 k만큼 평행이
∴ -290)
(-5, -4)
(5, 4)
점 (-5, 4)를 y축에 대하여 대칭이동한 점 Q의 좌표는
따라서 선분 PQ의 길이는
3
"Ã
(5+5)Û`+(4+4)Û`=
164=2
'¶
1
4
'
2
4
1
'
351
원 (x+1)Û`+(y+2)Û`=9를 x축의 방향으로 3만큼,
354
점 (4, -3)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 점
y축의 방향으로 a만큼 평행이동한 원 C의 방정식은
(-3, 4)로 옮겨지므로 직선 3x-y+2=0을 직선
(x-3+1)Û`+(y-a+2)Û`=9
∴ (x-2)Û`+(y-a+2)Û`=9
이 원의 넓이가 직선 3x+4y-7=0에 의하여 이등분
되므로 직선 3x+4y-7=0이 원 C의 중심
(2, a-2)를 지나야 한다. 즉,
3_2+4(a-2)-7=0
4a-9=0 ∴ a=
;4(;
y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
3y-x+2=0 ∴ x-3y-2=0
①
355
점 (6, -2)를 x축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는
이 점을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는
⑤
(6, 2)
(2, 6)
352
평행이동 (x, y)
1Ú
(x+2, y-3)은 x축의 방향으
의 좌표는
로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동하는 것이
(2-3, 6), 즉 (-1, 6)
이 점을 다시 x축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 점
므로 xÛ`+(y-1)Û`=9에 x 대신 x-2, y 대신 y+3
따라서 점 (-1, 6)이 직선 y=ax+4 위의 점이므로
을 대입하면
6=-a+4 ∴ a=-2
②
연습문제·실력 UP 163
18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 163
2018-07-31 오후 7:38:44
356
원 (x-a)Û`+(y+2)Û`=9를 원점에 대하여 대칭이동
한 원의 방정식은
(-x-a)Û`+(-y+2)Û`=9
∴ (x+a)Û`+(y-2)Û`=9
큼 평행이동한 원의 방정식은
(x-3+a)Û`+(y+4-2)Û`=9
∴ (x-3+a)Û`+(y+2)Û`=9
이 원을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -4만
이 원의 중심의 좌표가 (-1, b)이므로
3-a=-1, -2=b ∴ a=4, b=-2
∴ a+b=2
2
다른풀이 원 (x-a)Û`+(y+2)Û`=9의 중심
(a, -2)를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는
(-a, 2)
이 점을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -4만
큼 평행이동한 점의 좌표는
(-a+3, 2-4), 즉 (-a+3, -2)
이 점이 점 (-1, b)와 일치하므로
-a+3=-1, -2=b ∴ a=4, b=-2
∴ a+b=2
357
대칭이동한 원의 중심의 좌표를
(a, b)라 하면 점 (1, 2)가 두 점
(3, -1), (a, b)를 이은 선분의
(cid:9)(cid:66)(cid:13)(cid:3)(cid:67)(cid:10)
중점이므로
3+a
2
=1,
-1+b
2
=2
∴ a=-1, b=5
(cid:9)(cid:18)(cid:13)(cid:3)(cid:19)(cid:10)
(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:3)(cid:14)(cid:18)(cid:10)
따라서 대칭이동한 원의 중심의 좌표는 (-1, 5)이고
반지름의 길이가 2이므로 구하는 원의 방정식은
(x+1)Û`+(y-5)Û`=4
(x+1)Û`+(y-5)Û`=4
358
두 점 P(-1, 3), Q(a, b)를 이은 선분 PQ의 중점
a-1
2
{
,
b+3
2 }
이 직선 y=2x+1 위의 점이므로
164 Ⅲ. 도형의 방정식
b+3
2
a-1
2
=2_
+1 ∴ 2a-b=3 yy ㉠
또, 직선 PQ와 직선 y=2x+1은 서로 수직이므로
_2=-1 ∴ a+2b=5 yy ㉡
b-3
a-(-1)
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=
, b=
:Á5Á:
;5&;
∴ a+b=
:Á5¥:
359
오른쪽 그림과 같이
점 B(a, 4)를 y축
에 대하여 대칭이동
한 점을 B'이라 하면
B'(-a, 4)
이때 BPÓ=BÕ'PÓ이므
로
APÓ+BPÓ =APÓ+BÕ'PÓ
B'(-a, 4)
B(a, 4)
y
4
P
1
A(3, 1)
-a
O
a
3
x
:Á5¥:
=
(3+a)Û`+
(1-4)Û`
¾AÕB'Ó
"Ã
"Ã
=
aÛ`+6a+18
APÓ+BPÓ의 최솟값이 5이므로
aÛ`+6a+18=5
"Ã
양변을 제곱하여 정리하면
aÛ`+6a-7=0, (a-1)(a+7)=0
∴ a=1 (∵ a>0)
①
360
직선 x-2y=9를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 도
형의 방정식은
y-2x=9 ∴ 2x-y+9=0
이 직선이 원 (x-3)Û`+(y+5)Û`=k에 접하므로 원의
중심 (3, -5)와 직선 2x-y+9=0 사이의 거리는
원의 반지름의 길이
k와 같다. 즉,
'
=
k
'
|6+5+9|
2Û`+(-1)Û`
"Ã
k=4
'
'
5 ∴ k=80
①
18_기본서(수학상)_해설_142~168_3단원(연)_ok.indd 164
2018-07-31 오후 7:38:45
Ã
361
원 (x-1)Û`+(y-a)Û`=4를 x축의 방향으로 3만큼,
y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 원의 방정식은
a=-
을 ㉠에 대입하면
2=-
+b ∴ b=
;2%;
;2!;
;2!;
이 원을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은
∴ abc=-
_
_20=-25
-25
;2!;
;2%;
원을 대칭이동해도 반지름의 길이는 변하지 않으므로
c=20
(x-3-1)Û`+(y+2-a)Û`=4
∴ (x-4)Û`+(y+2-a)Û`=4
(y-4)Û`+(x+2-a)Û`=4
∴ (x+2-a)Û`+(y-4)Û`=4
이 원이 y축에 접하므로
|(중심의 x좌표)|=(반지름의 길이)에서
|a-2|=2, a-2=Ñ2
∴ a=4`(∵ a>0 )
362
y=3xÛ`+12x+8에서 y=3(x+2)Û`-4
이 포물선의 꼭짓점 (-2, -4)를 점 (a, -a)에 대
하여 대칭이동한 점의 좌표를 (p, q)라 하면 점
(a, -a)가 두 점 (-2, -4), (p, q)를 이은 선분의
중점이므로
-2+p
2
=a,
-4+q
2
=-a
∴ p=2a+2, q=-2a+4
면 위에 있으므로 p>0, q>0에서
2a+2>0, -2a+4>0
∴ -1
