15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지1 다민 2540DPI 175LPI
하나를 알면 10개, 20개를 풀 수 있는 개념원리수학
이홍섭 선생님의 기본서
정답과 풀이
3-1
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지2 다민 2540DPI 175LPI
Ⅰ실수와 그 계산
1 제곱근과 실수
01
제곱근의 뜻과 표현
개념원리 확인하기
본문 10쪽
01 ⑴ x=—1 ⑵ x=—5 ⑶ 없다. ⑷ x=—
;3@;
⑸ x=—0.1 ⑹ x=—0.4
02 ⑴ 100, 100 ⑵ 12, -12 ⑶ 0 ⑷ 없다
03 ⑴ —'2 ⑵ —'2å1 ⑶ —'0ß.5 ⑷ —Æ;2#;
04 ⑴ —7 ⑵ 0.9 ⑶ -
⑷ 0.2
;6%;
05 ⑶ {:¡4™9¡:
의 양의 제곱근},
:¡7¡:
05 ⑷ (900의 음의 제곱근), -30
01 ⑴ 1¤ =1, (-1)¤ =1이므로 x=—1
⑵ 5¤ =25, (-5)¤ =25이므로 x=—5
⑶ 양수 또는 음수를 제곱하면 항상 양수가 되고, 0의
제곱은 0이므로 제곱하여 음수가 되는 수는 없다.
따라서 x¤ =-36을 만족하는 x의 값은 없다.
¤ =
⑷ {;3@;}
⑸ 0.1¤ =0.01, (-0.1)¤ =0.01이므로
, {-;3@;}
이므로 x=—
;9$;
;9$;
;3@;
¤ =
⑹ 0.4¤ =0.16, (-0.4)¤ =0.16이므로
x=—0.1
x=—0.4
02 ⑵ 12¤ =144, (-12)¤ =144이므로 제곱하여 144가 되
는 수, 즉 144의 제곱근은 12와 -12이다.
⑷ 음수의 제곱근은 없으므로 -9의 제곱근은 없다.
04 ⑴ 7¤ =49, (-7)¤ =49이므로 49의 제곱근은 —7이다.
⑵ 0.9¤ =0.81, (-0.9)¤ =0.81이므로 0.81의 양의 제
곱근은 0.9이다.
⑶ {;6%;}
¤ =
, {-;6%;}
;3@6%;
¤ =
;3@6%;
이므로
의 음의 제곱근
;3@6%;
05 ⑶ æ–:¡4™9¡;={:¡4™9¡;의 양의 제곱근}
={제곱하여 :¡4™9¡;이 되는 수 중 양수}
=
:¡7¡:
⑷ -'9ß00=(900의 음의 제곱근)
=(제곱하여 900이 되는 수 중 음수)
=-30
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 11~12쪽
1 ⑴
;5$;
;5$;
, -
(cid:100)⑵ 0.3, -0.3(cid:100)⑶ 8, -8(cid:100)⑷ 0.5, -0.5
2 ⑴ '0ß.6(cid:100)⑵ -Æ;3&;(cid:100)⑶ —'7(cid:100)⑷ '1å3
3 ⑴ 20(cid:100)⑵ 0.1(cid:100)⑶ -
:¡4¡: 4 3
1
⑴ {
4
5
2
}
= , {- }
4
5
2
= 이므로
16
25
16
25
16
25
의 제곱근은
4
5
4
, - 이다.
5
은 0.3, -0.3이다.
8, -8이다.
⑵ 0.3¤ =0.09, (-0.3)¤ =0.09이므로 0.09의 제곱근
⑶ 8¤ =64이고 8¤ =(-8)¤ =64이므로 8¤ 의 제곱근은
⑷ (-0.5)¤ =0.25이고 0.5¤ =(-0.5)¤ =0.25이므로
(-0.5)¤ 의 제곱근은 0.5, -0.5이다.
3
⑴ 400=20¤ =(-20)¤ 이므로 400의 제곱근은
20, -20이다.
(cid:100) 그런데 '∂400은 400의 양의 제곱근이므로
(cid:100) '∂400=20
⑵ 0.01=0.1¤ =(-0.1)¤ 이므로 0.01의 제곱근은
0.1, -0.1이다.
(cid:100) 그런데 '∂0.01은 0.01의 양의 제곱근이므로
(cid:100) '∂0.01=0.1
⑶ 121=11¤ =(-11)¤ 이므로 121의 제곱근은
11, -11이다.
(cid:100) 그런데 -'∂121은 121의 음의 제곱근이므로
(cid:100) -'∂121=-11(cid:100)(cid:100)∴ -
'∂121
4
11
4
=-
(cid:100) 은 -
이다.
;6%;
⑷ 0.2¤ =0.04, (-0.2)¤ =0.04이므로 제곱근 0.04, 즉
0.04의 양의 제곱근은 0.2이다.
이다.(cid:100)(cid:100)∴ A=
2
={
7
5
={- }
}
7
5
49
25
이므로 의 양의 제곱근은
49
254
7
5
2
7
5
2 정답과 풀이
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지3 다민 2540DPI 175LPI
0.16=0.4¤ =(-0.4)¤ 이므로 0.16의 음의 제곱근은
-0.4이다.(cid:100)(cid:100)∴ B=-0.4
02
제곱근의 성질
∴ 5A+10B=5_ +10_(-0.4)
7
5
=7-4=3
개념원리 확인하기
본문 16쪽
01 ⑴ 3 ⑵ 5 ⑶ 13 ⑷
⑸ 0.5 ⑹
;5#;
;7#;
02 ⑴ 6 ⑵ -11 ⑶ 6 ⑷
;9&;
⑸
;5#;
⑹ -0.3
이런 문제가 시험에 나온다
본문 13쪽
01 ①
02 ①
05 ②, ⑤ 06 ④
03 ⑤
07 1
04 49
03 ⑴ 8 ⑵ 5 ⑶
;2!;
04 ⑴ 15, 15 ⑵ 3, 12 ⑶ 42
05 ⑴ < ⑵ < ⑶ > ⑷ > ⑸ < ⑹ <
01
① 음수의 제곱근은 없다.
02
a의 제곱근은 제곱하여 a가 되는 수이므로
x¤ =a
03
4
0.H4= ={
9
2
3
2
={- }
}
2
2
3
따라서 의 음의 제곱근은 - 이다.
2
3
4
9
04
(-7)¤ =49이므로 -7은 49의 음의 제곱근이다.
05
②
225
4
={
15
2
2
15
={- }
2
2
}
225
4
이므로
의 제곱근은
15
2
15
, - 이다.
2
⑤ 625=25¤ =(-25)¤ 이므로 '∂625는 625의 양의 제
곱근인 25이고, 25=5¤ =(-5)¤ 이므로 25의 제곱
근은 —5이다.
06
① '∂256=16의 제곱근은 —4이다.
② "√(-4)¤ ='∂16=4의 음의 제곱근은 -2이다.
③ 0의 제곱근은 0이다.
⑤ 음수의 제곱근은 없다.
07
2
25
4
={
5
2
={- }
}
5
2
25
4
이므로 의 양의 제곱근은
2
5
2
5
2
이다.(cid:100)(cid:100)∴ A=
0.09=(0.3)¤ =(-0.3)¤ 이므로 0.09의 음의 제곱근은
-0.3이다.(cid:100)(cid:100)∴ B=-0.3
∴ A+5B= +5_{- }= - =1
3
10
5
2
3
2
5
2
02 ⑴ '3å6="≈6¤ =6
⑵ -'1ß21=-"ç11¤ =-11
⑶ "√(-6)¤ ='3å6 ="≈6¤ =6
⑷ Ƭ;8$1(;=Ƭ{;9&;}
¤ =
;9&;
¤ =Ƭ;2ª5;=Ƭ{;5#;}
⑸ Ƭ{-;5#;}
⑹ -"√(-0.3)¤ =-'∂0.09=-"ç0.3¤ =-0.3
¤ =
;5#;
03 ⑴ (-'5)¤ =5, "√(-3)¤ =3이므로
(-'5)¤ +"√(-3)¤ =5+3=8
⑵ '∂169="ç13¤ =13, '6å4="Ω8¤ =8이므로
(cid:100) '∂169-'6å4=13-8=5
⑶ {Æ;8#; }
¤ =
, Ƭ{-;4#;}
;8#;
¤ =;4#;이므로
(cid:100) {Æ;8#; }
¤ ÷Ƭ{-;4#;}
=;8#;_;3$;=;2!;
04 ⑴ "ç3¤ _5¤ ="√(3_5)¤ ="ç15¤ =15
⑵ "ç2› _3¤ ="√(2¤ _3)¤ ="ç12¤ =12
⑶ "ç2¤ _3¤ _7¤ ="√(2_3_7)¤ ="ç42¤ =42
05 ⑴ 10<12이므로 '1å0<'1å2
,
이므로
=
=
⑵
;3@;
;6$;
;2#;
;6(;
<
;3@;
;2#;
(cid:100) ∴ Æ;3@;<Æ;2#;
⑶ '5<'7이므로 -'5>-'7
⑷ 6='3å6이고 40>36이므로 '4å0>6
⑸
이므로
<
;8!;=Ƭ;6¡4;이고
;6¡4;
;8!;
;8!;
<Æ;8!;
⑹ -3=-'9이므로 -3<-'6
I. 실수와 그 계산 3
¤
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지4 다민 2540DPI 175LPI
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 17~20쪽
1 ⑴ ②(cid:100)⑵ ③
2 0
3 ⑴ 3(cid:100)⑵ 18(cid:100)⑶ 2(cid:100)⑷ -15
4 ⑴ -4a-3b(cid:100)⑵ -2x 5 ③
6 ⑴ 15(cid:100)⑵ 15(cid:100)⑶ 10 7 ⑴ 20(cid:100)⑵ 29
8 ⑤
9 ⑴ 9, 10, 11, 12(cid:100)⑵ 3개(cid:100)⑶ 6개
1
⑴ ① -'ß64=-"≈8¤ =-8
(cid:100) ② "√(-8)¤ =8
(cid:100) ③ -('8)¤ =-8
(cid:100) ④ -(-'8)¤ =-8
(cid:100) ⑤ -"≈8¤ =-8
(cid:100) 따라서 나머지 넷과 다른 하나는 ②이다.
⑵ ③ -"√(-a)¤ =-a
2
"√(-9)¤ =9이고 9의 제곱근은 —'9=—"≈3¤ =—3이
므로 "√(-9)¤ 의 양의 제곱근은 3이다.
∴ A=3
{-Ƭ
9
16
2
9
= 이고 의 제곱근은
16
9
16
}
9
—Ƭ =—æ≠{
16
3
4
2
=— 이므로 {-Ƭ
}
3
4
9
16
2
}
의 음의
제곱근은 - 이다.
3
4
3
4
∴ B=-
∴ A+4B=3+4_{- }=3-3=0
3
4
3
⑴ (주어진 식)=3_2-3=6-3=3
⑵ (주어진 식)=20-8+6=18
⑶ (주어진 식)="ç11¤ -"√(-5)¤ ÷æ≠{
-(-'5)¤
5
4
2
}
⑷ (주어진 식)="ç15¤ ÷(-'5)¤ -"≈9¤ _(-'2)¤
=11-5÷ -5
5
4
=11-4-5=2
=15÷5-9_2
=3-18=-15
4
⑴ a>0에서 -5a<0이므로
(cid:100) "√(-5a)¤ =-(-5a)=5a이고
(cid:100) b<0에서 3b<0이므로
(cid:100) "√9b¤ ="√(3b)¤ =-3b
(cid:100) ∴ (주어진 식)=a-5a-3b
=-4a-3b
4 정답과 풀이
⑵ -30이므로 "√(x+3)¤ =x+3
(cid:100) ∴ (주어진 식)=-(x-3)-(x+3)
=-x+3-x-3
=-2x
5
"√2‹ _3_x가 자연수가 되려면 2‹ _3_x의 소인수의 지
수가 모두 짝수이어야 한다.
① 2‹ _3_6=2‹ _3_(2_3)=2› _3¤
② 2‹ _3_24=2‹ _3_(2‹ _3)=2fl _3¤
③ 2‹ _3_48=2‹ _3_(2› _3)=2‡ _3¤
④ 2‹ _3_54=2‹ _3_(2_3‹ )=2› _3›
⑤ 2‹ _3_96=2‹ _3_(2fi _3)=2° _3¤
따라서 x의 값이 될 수 없는 것은 ③이다.
6
⑴ '∂60x 가 자연수가 되려면 60x가 제곱수가 되어야
한다. 그런데 60x=2¤ _3_5_x이므로 가장 작은
자연수 x의 값은
3_5=15
⑵ Æ…
240
x
=æ≠
2› _3_5
x
가 자연수가 되려면 분자의 소
인수의 지수가 모두 짝수이어야 하므로 가장 작은 자
연수 x의 값은
3_5=15
⑶ Ƭ
18
5
x=æ≠
2_3¤
5
_x가 자연수가 되려면 분모의 5
가 약분되고, 분자의 소인수의 지수가 모두 짝수이어
야 하므로 가장 작은 자연수 x의 값은
2_5=10
7
⑴ 'ƒ20-x가 정수가 되려면 20-x는 제곱수 또는 0이
어야 한다.
이때 x는 자연수이므로 20-x<20
(cid:100) 즉, 20-x=0, 1, 4, 9, 16이므로
(cid:100) x=20, 19, 16, 11, 4
(cid:100) 이 중 가장 큰 자연수 x는 20이다.
⑵ 'ƒ30-x가 자연수가 되려면 30-x는 제곱수이어야
한다.
이때 x는 자연수이므로 30-x<30
(cid:100) 즉, 30-x=1, 4, 9, 16, 25이므로
(cid:100) x=29, 26, 21, 14, 5
(cid:100) 이 중 가장 큰 자연수 x는 29이다.
8
① '8<9(='ß81)이므로 -'8>-9
② "√(-5)¤ (=5)>"√(-3)¤ (=3)
③ 'ß15<4(='ß16)이므로 -'ß15>-4
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지5 다민 2540DPI 175LPI
④ 0.2="ç0.2¤ ='ƒ0.04 이므로 0.2<'∂0.2
1
⑤ Æ > {=Æ }이므로 -Æ <-
4
따라서 두 수의 대소 관계가 옳은 것은 ⑤이다.
1
2
1
2
1
3
1
3
03
① -"≈5¤ =-5
③ "√(-5)¤ =5
⑤ -"√(-6)¤ =-6
따라서 그 값이 가장 작은 것은 ⑤이다.
② (-'5)¤ =5
④ (-'6)¤ =6
9
⑴ 4<'∂2x<5의 각 변을 제곱하면
(cid:100) 4¤ <('∂2x )¤ <5¤
(cid:100) 16<2x<25
(cid:100) ∴ 85
(cid:100) ∴ -'2å7<-5
③
1
=Æ 이고 > 이므로
3
=æ≠{
1
9
1
9
1
3
1
3
}
2
;3!;
1
3
1
3
1
(cid:100) æ >
(cid:100)(cid:100)∴ -æ <-
3
④ "≈2¤ =2, "√(-3)¤ =3이므로 "≈2¤ <"√(-3)¤
⑤ -"√(-3)¤ =-'9이고 '9<'1å0이므로
(cid:100) -"√(-3)¤ >-'1å0
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
07
"√2‹ _3¤ _x가 자연수가 되려면 2‹ _3¤ _x의 소인수의
지수가 모두 짝수이어야 한다.
① 2‹ _3¤ _2=2› _3¤
② 2‹ _3¤ _6=2‹ _3¤ _(2_3)=2› _3‹
③ 2‹ _3¤ _8=2‹ _3¤ _2‹ =2fl _3¤
④ 2‹ _3¤ _18=2‹ _3¤ _(2_3¤ )=2› _3›
⑤ 2‹ _3¤ _50=2‹ _3¤ _(2_5¤ )=2› _3¤ _5¤
따라서 x의 값으로 옳지 않은 것은 ②이다.
08
a>0이므로 -a<0, 4a>0, -3a<0이다.
∴ (주어진 식)="√(-a)¤ -"√(4a)¤ -"√(-3a)¤
=-(-a)-4a-{-(-3a)}
=a-4a-3a=-6a
I. 실수와 그 계산 5
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지6 다민 2540DPI 175LPI
09
① -a>0이므로 "√(-a)¤ =-a
② 3a<0이므로 -"√(3a)¤ =-(-3a)=3a
③ -2a>0이므로 "√(-2a)¤ =-2a
④ -"√4a¤ =-"√(2a)¤ 이고 2a<0이므로
-"√(2a)¤ =-(-2a)=2a
⑤ -5a>0이므로 -"√(-5a)¤ =-(-5a)=5a
따라서 옳지 않은 것은 ④, ⑤이다.
10
11
한 변의 길이가 각각 '2 cm, '3 cm인 두 정사각형의
넓이의 합은
('2)¤ +('3)¤ =2+3=5(cm¤ )
따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 '5 cm이다.
⑴ 주어진 식의 각 변에 2를 곱하면
(cid:100) 8<'ƒ2x+1<10
(cid:100) 각 변을 제곱하면
(cid:100) 64<2x+1<100
(cid:100) 각 변에서 1을 빼면
(cid:100) 63<2x<99
63
(cid:100) ∴ b>c
5 ④
1
2
3
'∂100-'ß49="ç10¤ -"≈7¤ =10-7=3 (유리수)
'∂1.21="ç1.1¤ =1.1 (유리수)
-'∂0.16=-"√0.4¤ =-0.4 (유리수)
p=3.141592y이므로 순환하지 않는 무한소수이다.
(-'∂0.5 )¤ =0.5 (유리수)
2
øπ0.H4=Æ =æ≠{
3
따라서 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수는 '2+1,
Æ , 'ß48, p의 4개이다.
2
= (유리수)
2
3
4
9
}
1
2
① 순환하는 무한소수는 유리수이다.
② 근호를 없앨 수 없는 수만 무리수이다.
③ '7은 순환하지 않는 무한소수이므로 무리수이다.
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이
므로
AP”=AQ”=AB”='2
점 P는 점 A(1)에서 왼쪽으로 '2만큼 떨어져 있으므로
점 P의 좌표는 P(1-'2)이고, 점 Q는 점 A(1)에서
오른쪽으로 '2만큼 떨어져 있으므로 점 Q의 좌표는
Q(1+'2)이다.
1
2
(cid:8772)EFGH=2_2-4_{ _1_1}=2
정사각형 EFGH의 한 변의 길이를 x라 하면
x¤ =2(cid:100)(cid:100)∴ x='2 (∵ x>0)
따라서 두 점 P, Q의 좌표는
P(-2-'2 ), Q(-2+'2 )
5
④
은 '6과 '7의 평균이므로 '6과 '7 사이
'6+'7
2
에 있다.
4
6
① (2+'5)-('3+'5)=2-'3='4-'3>0
(cid:100) ∴ 2+'5>'3+'5
② (2+'6)-('6+'5)=2-'5='4-'5<0
(cid:100) ∴ 2+'6<'6+'5
③ -'8>-3 (=-'9)
④ 12-('5+10)=2-'5='4-'5<0
(cid:100) ∴ 12<'5+10
⑤ 'ß10>'8
따라서 옳은 것은 ①이다.
7
a-b=(2+'2)-('2+'3)
=2-'3
='4-'3>0
∴ a>b
b-c=('2+'3)-('3+1)
='2-1>0
∴ b>c
∴ a>b>c
01
02
이런 문제가 시험에 나온다
본문 29쪽
01 ④
02 3개
03 ④
04 Æ;2&;
05 점 A
06 ③
07 b0
(cid:100) ∴ 3>'3+1
② ('3+1)-('2+1)='3-'2>0
(cid:100) ∴ '3+1>'2+1
③ ('ß15+1)-4='ß15-3='ß15-'9>0
(cid:100) ∴ 'ß15+1>4
④ 4-'7-('ß17-'7)=4-'ß17='ß16-'ß17<0
(cid:100) ∴ 4-'7<'ß17-'7
⑤ ('ß11-'7)-(5-'7)='ß11-5='ß11-'ß25<0
(cid:100) ∴ 'ß11-'7<5-'7
따라서 옳은 것은 ③이다.
07
a-b=2-('6-3)=5-'6='2å5-'6>0
∴ a>b
a-c=2-(4-'3 )=-2+'3=-'4+'3<0
∴ a
1
6
이므로
1
'ß36
① 5='∂25이므로 '5<5(cid:100)(cid:100)∴ -'5>-5
1
② =
6
1
'7
③ "ç2¤ =2, "√(-3)¤ =3이므로 "ç2¤ <"√(-3)¤
④ 0.4='ƒ0.16이므로 'ƒ0.4>0.4
⑤ =Æ 이므로 <'3(cid:100)(cid:100)∴ - >-'3
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
1
3
1
3
1
9
1
3
08
① -2와 '2 사이의 정수는 -1, 0, 1의 3개이다.
② '5와 '7 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다.
⑤ 수직선 위의 모든 점은 유리수와 무리수, 즉 실수로
나타낼 수 있다.
09
③ 'ß10-'5=3.162y-2.236y=0.926y<'5 이므
로 'ß10-'5는 '5와 'ß10 사이의 수가 아니다.
③ (1-'7 )-(1-'5 )=-'7+'5<0
(cid:100) ∴ 1-'7<1-'5
④ -øπ4a¤ =-øπ(2a)¤ 이고 2a>0이므로
(cid:100) -øπ4a¤ =-øπ(2a)¤ =-2a
'ß49<'ß50<'ß64에서 7<'ß50<8
∴ 6<'ß50-1<7
따라서 'ß50-1에 대응하는 점은 점 C이다.
06
07
10
11
12
13
① 9=3¤
② 10=2_5
③ 15=3_5
④ 40=2‹ _5
⑤ 45=3¤ _5
따라서 자연수 x의 값으로 알맞은 것은 ⑤이다.
Step (발전문제)
본문 32~33쪽
01 -18
02 점 B, 점 D, 점 A, 점 C
03 ④
04 ⑴ -1(cid:100)⑵ -3a
05 0
06 ③
07 P(-1-'5), Q(1+'2)
09 ⑴ cb>c
08 '3+'2
10 ①
11 8
12 ①
13 ④
14 ⑴ 154(cid:100)⑵ 55(cid:100)⑶ 64(cid:100)⑷ 4개
01
A=13-0.5÷ =13- _50=-12
1
1250
1
2
B=-6+4_3=6
∴ A-B=-12-6=-18
02
-2<-'3<-1이므로 -'3은 점 B에 대응한다.
1<'2<2에서 2<'2+1<3이므로 '2+1은 점 D에
대응한다.
-3<-'8<-2이므로 -'8은 점 A에 대응한다.
-2<-'2<-1에서 1<3-'2<2이므로 3-'2는
점 C에 대응한다.
따라서 -'3, '2+1, -'8, 3-'2에 대응하는 점은
차례로 점 B, 점 D, 점 A, 점 C이다.
1
2
(cid:8772)ABCD=3_3-4_{ _2_1}=5
(cid:8772)ABCD의 한 변의 길이를 x라 하면
x¤ =5(cid:100)(cid:100)∴ x='5 (∵ x>0)
따라서 점 P는 3에 대응하는 점에서 왼쪽으로 '5만큼
떨어져 있으므로 P(3-'5)
점 Q는 3에 대응하는 점에서 오른쪽으로 '5만큼 떨어
져 있으므로 Q(3+'5)
03
2<Æ < 의 각 변을 제곱하면
x
5
5
2
x
4< <
5
25
4
각 변에 5를 곱하면
200
∴ (주어진 식)=-('ß15-4)-(4-'ß15)
=-'ß15+4-4+'ß15
=0
06
-30이므로
"√(a-2)¤ -"√(3-a)¤ =-(a-2)-(3-a)
=-a+2-3+a
=-1
07
1
2
(cid:8772)ABCD=3_3-4_{ _2_1}=5
(cid:8772)ABCD의 한 변의 길이를 x라 하면
x¤ =5(cid:100)(cid:100)∴ x='5 (∵ x>0)
따라서 점 P는 점 A(-1)에서 왼쪽으로 '5만큼 떨어
져 있으므로 P(-1-'5)
1
(cid:8772)EFGH=2_2-4_{ _1_1}=2
2
(cid:8772)EFGH의 한 변의 길이를 x라 하면
x¤ =2(cid:100)(cid:100)∴ x='2 (∵ x>0)
따라서 점 Q는 점 E(1)에서 오른쪽으로 '2만큼 떨어
져 있으므로 Q(1+'2)
08
⁄ 음수：-'3-1, -'2
'3>'2이므로 -'3<-'2
∴ -'3-1<-'2
¤ 양수：'3+3, 2+'2, '3+'2
('3+3)-(2+'2)='3+3-2-'2
='3-'2+1>0
이므로
'3+3>2+'2
(2+'2)-('3+'2)=2+'2-'3-'2
=2-'3='4-'3>0
이므로
2+'2>'3+'2
∴ '3+3>2+'2>'3+'2
09
⑴ a-b=(-3+'2)-(-3+'5)
='2-'5<0
(cid:100) ∴ a0
⑴ ∴ a>b
(cid:100) b-c=(2+'7)-('5+2)
='7-'5>0
⑴ ∴ b>c
(cid:100) ∴ a>b>c
10
① 2-x>0이므로
(cid:100) "√(2-x)¤ =2-x
② x-2<0이므로
(cid:100) -"√(x-2)¤ =-{-(x-2)}=x-2
③ 2+y>0이므로
(cid:100) "√(2+y)¤ =2+y
④ -y>0이므로
(cid:100) -"√(-y)¤ =-(-y)=y
⑤ y-2<0이므로
(cid:100) -"√(y-2)¤ =-{-(y-2)}=y-2
이때 -22+y>y>y-2>x-2
이므로 가장 큰 수는 ①이다.
11
"√(3-x)¤ =4에서
⁄ 3-xæ0, 즉 x…3일 때
3-x=4에서 x=-1
이것은 x…3이라는 조건을 만족한다.
¤ 3-x<0, 즉 x>3일 때
-(3-x)=4에서 x=7
이것은 x>3이라는 조건을 만족한다.
⁄, ¤에서 A=7, B=-1
∴ A-B=7-(-1)
=8
⁄, ¤에서
-'3-1<-'2<'3+'2<2+'2<'3+3
따라서 작은 수부터 차례로 나열할 때, 세 번째에 오는
수는 '3+'2이다.
12
00, a+ <0, 2a<0
1
a
∴ (주어진 식)
1
=æ≠{a- }
a
1
+æ≠{a+ }
a
2
2
-"√(2a)¤
={a- }-{a+ }-(-2a)
1
a
1
a
1
a
1
a
=a- -a- +2a=2a-
2
a
14
⑴ 'ƒ11n이 자연수가 되려면 11n이 제곱수이어야 한다.
(cid:100) 즉, n=11_(자연수)¤ 의 꼴이고 100, a-b<0, -b>0
∴ (주어진 식)=-a-(a-b)-b
=-a-a+b-b
=-2a
⑵ ab>0에서 a와 b는 서로 같은 부호이고
a+b<0이므로 a<0, b<0이다.
a<0에서 -5a>0, b<0에서 -b>0
∴ (주어진 식)=-a-b-(-5a)-b
=-a-b+5a-b
=4a-2b
03
⑴ 'ƒ300-x-'ƒ200+y의 값이 가장 큰 정수가 되려면
'ƒ300-x가 가장 큰 정수가 되고 'ƒ200+y가 가장
작은 정수가 되어야 한다.
'ƒ300-x가 정수가 되려면 300-x는 300보다 작은
제곱수 또는 0이어야 하므로
300-x=0, 1, 4, y, 289
이때 'ƒ300-x가 가장 큰 정수가 되는 것은
300-x=289(cid:100)(cid:100)∴ x=11
또, 'ƒ200+y가 정수가 되려면 200+y는 200보다
큰 제곱수이어야 하므로
200+y=225, 256, 289, y
이때 'ƒ200+y가 가장 작은 정수가 되는 것은
200+y=225(cid:100)(cid:100)∴ y=25
∴ x+y=11+25
=36
I. 실수와 그 계산 11
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지12 다민 2540DPI 175LPI
⑵ 'ƒ72+x-'ƒ110-y의 값이 가장 작은 정수가 되려
면 'ƒ72+x가 가장 작은 정수가 되고 'ƒ110-y가 가
장 큰 정수가 되어야 한다.
'ƒ72+x 가 정수가 되려면 72+x는 72보다 큰 제곱
수이어야 하므로
72+x=81, 100, 121, y
이때 'ƒ72+x 가 가장 작은 정수가 되는 것은
72+x=81(cid:100)(cid:100)∴ x=9
또, 'ƒ110-y 가 정수가 되려면 110-y는 110보다
작은 제곱수 또는 0이어야 하므로
110-y=0, 1, 4, y, 100
이때 'ƒ110-y가 가장 큰 정수가 되는 것은
110-y=100(cid:100)(cid:100)∴ y=10
∴ x+y=9+10=19
(cid:100) N(4)=N(5)=N(6)=N(7)=N(8)=2
(cid:100) N(9)=N(10)=N(11)=y=N(15)=3
(cid:100) N(16)=N(17)=N(18)=N(19)=N(20)=4
(cid:100) ∴ N(1)+N(2)+N(3)+y+N(20)
=1_3+2_5+3_7+4_5
=3+10+21+20=54
⑵ 14='∂196, 15='∂225이므로 14<'ƒ200<15
(cid:100) N(200)=('∂200 이하의 자연수의 개수)=14
(cid:100) 3='9, 4='ß16이므로 3<'∂10<4
(cid:100) N(10)=('ß10 이하의 자연수의 개수)=3
(cid:100) ∴ N(200)-N(10)=14-3=11
서술형 대비 문문제제
본문 35~36쪽
04
주어진 식의 양변을 제곱하면
1 -3x+11 2 -2a-2b 3 -3
4 3
n
m
92
90
n
m
1.0H2_ =(0.H2)¤ , _ ={
90
92
4
∴ = _ =
81
10
207
n
m
2
9
2
}
∴ m-n=207-10=197
05
A, B 두 개의 주사위를 던져서 나올 수 있는 모든 경우
의 수는 6_6=36(가지)
'ƒ18xy="√2_3¤ _xy 가 자연수가 되려면
xy=2_(자연수)¤ 의 꼴이어야 한다.
x, y는 1 이상 6 이하의 자연수이므로
1…xy…36
따라서 xy의 값이 될 수 있는 수는
2_1¤ (=2), 2_2¤ (=8), 2_3¤ (=18),
2_4¤ (=32)
⁄ xy=2일 때, x, y의 순서쌍은
(1, 2), (2, 1)의 2가지
¤ xy=8일 때, x, y의 순서쌍은
(2, 4), (4, 2)의 2가지
‹ xy=18일 때, x, y의 순서쌍은
(3, 6), (6, 3)의 2가지
› xy=32일 때, x, y의 순서쌍은 없다.
⁄~›에서 'ƒ18xy가 자연수가 되는 경우의 수는
2+2+2=6(가지)
따라서 구하는 확률은
6
36
=
1
6
12 정답과 풀이
5 6-'2
6 45
1
1단계
2
1단계
x-5<0, -x+5>0, 1-x<0이므로
"√(x-5)¤ +"√(-x+5)¤ -"√(1-x)¤
=-(x-5)+(-x+5)-{-(1-x)}
=-x+5-x+5+1-x
=-3x+11
ab<0에서 a와 b는 서로 다른 부호이고
a-b<0이므로 a0
a-b<0, 4b>0, b-a>0이므로
"√(a-b)¤ -"√16b¤ +"√(b-a)¤
="√(a-b)¤ -"√(4b)¤ +"√(b-a)¤
=-(a-b)-4b+(b-a)
=-a+b-4b+b-a
=-2a-2b
2단계
2단계
3단계
3
1단계
'∂256="ç16¤ =16이므로 '∂256, 즉 16의 음의 제곱
근은
-'1å6=-"≈4¤ =-4
∴ A=-4
이므로 {-æ–
;1ª6;
9
16
¤ , 즉 ;1ª6;의
}
2단계
9
16
¤ =
}
또, {-æ–
양의 제곱근은
9
æ– =æ≠{
16
3
4
¤ =
}
3
4
∴ B=;4#;
06
⑴ '1=1, '4=2, '9=3, 'ß16=4이므로
(cid:100) N(1)=N(2)=N(3)=1
3단계
∴ A_B=(-4)_;4#;=-3
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지13 다민 2540DPI 175LPI
채점요소
단계
1
2
3
A의 값 구하기
B의 값 구하기
A_B의 값 구하기
배점
2점
2점
1점
배점
2점
2점
1점
배점
3점
1점
2점
배점
3점
3점
1점
4 1단계
-5…-'ƒ4-3x …-4의 각 변에 -1을 곱하면
4…'ƒ4-3x …5
각 변을 제곱하면 16…4-3x…25
각 변에서 4를 빼면
12…-3x…21(cid:100)(cid:100)∴ -7…x…-4
따라서 주어진 부등식을 만족하는 정수 x는 -7,
-6, -5, -4이므로
A=-4, B=-7
∴ A-B=-4-(-7)=3
채점요소
1
2
3
x의 값의 범위 구하기
A, B의 값 구하기
A-B의 값 구하기
5
1단계
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는
'2이므로
BD”=BQ”='2
점 Q는 점 B에서 오른쪽으로 '2만큼 떨어진 점
이고 대응하는 수가 5+'2이므로 점 B에 대응하
는 수는 5이다.
정사각형의 한 변의 길이가 1이므로 점 C에 대응
하는 수는 6이다.
따라서 점 P에 대응하는 수는 6-'2이다.
채점요소
점 B에 대응하는 수 구하기
점 C에 대응하는 수 구하기
점 P에 대응하는 수 구하기
6
1단계
140
x
Ƭ
=æ≠
2¤ _5_7
x
이 자연수가 되도록 하는
가장 작은 자연수 x는 5_7=35
'ƒ360y="√2‹ _3¤ _5_y가 자연수가 되려면
y=2_5_(자연수)¤ 의 꼴이어야 하므로 가장 작
은 자연수 y는 2_5=10
∴ x+y=35+10=45
채점요소
1
2
3
x의 값 구하기
y의 값 구하기
x+y의 값 구하기
2단계
3단계
단계
2단계
3단계
단계
1
2
3
2단계
3단계
단계
2 근호를 포함한 식의 계산
01
제곱근의 곱셈과 나눗셈
개념원리 확인하기
본문 40쪽
01 ⑴ 7, '1å4 ⑵ '1ß05 ⑶ '2 ⑷ 15'6
02 ⑴ 3'6 ⑵ 2'7 ⑶ 2'1å1 ⑷ -7'2
03 ⑴
'7
6
⑵
'1å1
10
⑶ 2'7 ⑷ 5'5 ⑸ 4'5
04 ⑴ '2,
'1å0
2
⑵
4'3
3
⑶ -
'1å5
3
⑷
5'2
6
⑹ 3'3
⑸
'3å0
2
⑹
5'2
4
01
⑵ '3 '5 '7='ƒ3_5_7='1∂05
⑶ Ƭ:¡9º:Æ;5(;=Æ… _;5(;='2
10
9
⑷ 3'2_5'3=(3_5)_'ƒ2_3=15'6
02
⑵ '∂28="√2¤ _7=2'7
⑶ '4å4="√2¤ _11=2'1å1
⑷ -'∂98=-"√7¤ _2=-7'2
168
6
='2å8="√2¤ _7=2'7
03
⑵ Æ…
11
100
=Æ…
⑶ '∂168÷'6=
=Æ…
'1å1
10
=
11
10¤
'∂168
'6
5'3å0
'6
24'1å0
6'2
⑷ 5'∂30÷'6=
=5Æ…:£6º:=5'5
⑸ 24'1å0÷6'2=
=4Æ…:¡2º:=4'5
⑹ 3Ƭ ÷Ƭ =3Ƭ _ =3'3
6
5
15
6
6
15
6
5
04
4
⑵ =
'3
4_'3
'3_'3
=
4'3
3
5_'1å5
'1å5_'1å5
=-
=-
5'1å5
15
'1å5
3
⑶ -
=-
5
'1å5
5
3'2
5'6
2'5
=
=
⑷
⑸
5_'2
3'2_'2
5'6_'5
2'5_'5
=
5'2
6
=
5'3å0
10
= '3å0
2
I. 실수와 그 계산 13
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지14 다민 2540DPI 175LPI
5
⑹ =
'8
5
"√2¤ _2
=
=
5
2'2
5_'2
2'2_'2
=
5'2
4
⑷ (주어진 식)=
_
_
'ß20
'6
20
=Æ… _ _ ='å10
6
3'5
'ß10
5
10
'ß12
3'2
12
2
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 41~44쪽
4
⑴ '∂0.48=Æ˚ =æ≠
48
100
4¤ _3
10¤
=
4'3
10
=
2'3
5
1 ⑴ 6(cid:100)⑵ 30(cid:100)⑶ 6(cid:100)⑷ '2(cid:100)⑸ -'5
2 ⑴ ① 6'2 ② 4'6 ③ -10'5(cid:100)⑵ 2
3 ⑴ 3(cid:100)⑵
(cid:100)⑶ -12'3(cid:100)⑷ 'å10
;3@;
4 ⑴
(cid:100)⑵
;5@;
;5¡0;
5 ⑴
;2¡0;a(cid:100)⑵ ②
6 ⑴
'3å0
5
(cid:100)⑵ 2'3(cid:100)⑶ (cid:100)⑷
'6
2
'1å05
15
7 ⑴ 2'1å5(cid:100)⑵
(cid:100)⑶ 2'1å0(cid:100)⑷
3'3
2
2'3
3
8 4'1å5
1
⑴ (주어진 식)='ƒ3_12 ='∂36 ="≈6¤ =6
⑵ (주어진 식)=3'ƒ5_20=3'∂100 =3"ç10¤
=3_10=30
⑶ (주어진 식)=Æ…;;¡4∞;;_;;¢5•;; ='∂36 ="ç6¤ =6
⑷ (주어진 식)=Æ…;4&;_;7*; ='2
12
⑸ (주어진 식)=-Æ… _ _ =-'5
7
7
2
5
6
2
⑴ ① '∂72 ="√6¤ _2 =6'2
② '∂96="√4¤ _6 =4'6
③ -'∂500=-"√10¤ _5 =-10'5
⑵ '2_'3_'a_'ß12_'∂2a
='ƒ2_3_a_12_2a
="√(12a)¤ =12a (∵ a>0)
12a=24이므로 a=2
3
⑴ (주어진 식)=
⑵ (주어진 식)=
18
=Æ… _ ='9=3
5
15
6
2
= Æ = Æ
8
4
3
1
4
_
'ß18
'5
4
3
'ß15
'6
4'2
3'8
4
= _ =
3
2
3
1
2
'6
'5
6
=-2Æ…3_ _30
5
=-2"√6¤ _3=-12'3
⑶ (주어진 식)=2'3_ _(-'ß30)
14 정답과 풀이
⑵ 'ƒ0.0024=æ≠
24
10000
=æ≠
2¤ _6
100¤
=
2'6
100
=
'6
50
∴ k=
2
5
∴ k=
1
50
5
⑴ '∂0.005=æ≠
5
1000
=Ƭ
50
10000
=æ≠
5¤ _2
100¤
=
5'2
100
1
= a
20
⑵ '∂100="√2¤ _5¤ =('2)¤ _('5)¤ =a¤ b¤
6
'6
⑴ =
'5
18
'∂27
⑵
=
=
⑶
⑷
3'2
2'3
'7
'3'5
'∂30
5
18
3'3
=
=
'6 _'5
'5 _'5
18
"√3¤ _3
18'3
9
3'2_'3
2'3 _'3
'7
'∂15
=
=
=
=2'3
7
⑴ (주어진 식)=4'5_
=
18_'3
3'3_'3
=
3'ƒ2_3
2_3
=
3'6
6
=
'6
2
'7 _'∂15
'∂15 _'∂15
= '∂
∂105
15
5_6
2
_3'6
_3'6
=4'5_
1
2'∂18
1
6'2
1
={4_ _3}_æ≠
6
=2'∂15
3
4
'3
= _
2
'ß10
3
'5
'2
'ß10
3
'2
'5
=;2#;Æ…3_:¡2º:_;5!;=
_
_
3'3
2
⑵ (주어진 식)=Æ _
⑶ (주어진 식)=
3'3
'2
'5
_ _
'6
={3_ }_æ≠ _ _
8
3'2
5
6
3
2
8
3
1
2
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지15 다민 2540DPI 175LPI
={;3@;_;2!;_2}_Æ…2_:¡2∞:_;5!;
⑵ (주어진 식)=Ƭ;1∞0¢0;_Ƭ;1ª0•0;÷Ƭ;1™0¶0;
=
8'5
2'2
5
=8æ =
8
8'ß10
4
=
8'5
'8
=2'ß10
'ß15
2'2
_
2
'5
⑷ (주어진 식)= '2_
2
3
=
2'3
3
8
원뿔의 높이를 h라 하면
_p_('∂27)¤ _h=36'ß15p
1
3
9ph=36'ß15p
36'ß15
9
∴ h=
=4'ß15
이런 문제가 시험에 나온다
본문 45~46쪽
01 ④
02 ④
03 ⑴ 2'5(cid:100)⑵
(cid:100)⑶ 2'3(cid:100)⑷ 18
;5&;
05 ④
06 ①
07 ⑤
09 ⑴ 42(cid:100)⑵
(cid:100)⑶
;5@;
;2¡0;
(cid:100)⑷
;5¡0;
11 ⑴ 100(cid:100)⑵ 4(cid:100)⑶ 3(cid:100)⑷ 3(cid:100)⑸ 17
04 ③
08
10
2
'5
2'2
3
12 18 cm¤
④ a=16, b=9이면
(cid:100) '∂16 +'9 =4+3=7
(cid:100) 'ƒ16+9 ='∂25 =5
(cid:100) ∴ '∂16 +'9 +'ƒ16+9
01
02
① '6_'1å8='6_3'2=3'1å2=6'3
② Æ;3%;_Ƭ:™5¶:=Ƭ;3%;_:™5¶:='9=3
'1å0
'3
='5å0=5'2
'2
③ ÷
3
'2
= _
3
'2
3'1å5
'3
'1å0
÷
④ 2'3_'5å4=2'3_3'6=6'1å8=18'2
⑤ Æ;2%; ÷Ƭ:¡3º:_Æ;3@; =Æ…;2%; _;1£0;_;3@;
_
3'1å5
'2
03
⑴ (주어진 식)=
'∂14
2'3
2'3
'1å4
=
5'2
'7
_ ÷
'3
'5
5'2
'7
_ _
'3
'5
10
= =2'5
'5
=Æ…;1∞0¢0;_;1ª0•0;_:¡2º7º:
=æ≠
2_98
100
=æ≠
2¤ _7¤
10¤
7
5
=;1!0$;=
5'2
'3
6
= =2'3
'3
3
5'2
⑶ (주어진 식)=
_2_
⑷ (주어진 식)=3'3÷
'3
2'2
2'2
'3
_
_
3'6
3'2
3'6
3'2
÷
'6
3
3
_ =18
'6
=3'3_
04
③ Æ = =
a
b
'a
'b
'a_'b
'b_'b
= '∂ab
b
05
'∂180="√2¤ _3¤ _5=('2)¤ _3_'5=3a¤ b
06
14
a= _
'2
2'2
3
b=
_
_ = ='7
'6
'7
3'3
4
7
'7
1
= =
'7
_
'7
7
1
2'3
'2
'2å1
'7
7
∴ ab='7_ =1
07
=
① 'ß50='ƒ0.5_100=10'ß0.5=10a
0.5
a
② 'ƒ0.005=Ƭ
100
10
③ '∂500='ƒ5_100=10'5=10b
5
④ '∂0.05=Ƭ
100
'5
= =
10
'∂0.5
10
=
⑤ '∂0.00005=Ƭ
0.5
10000
=
=
a
100
b
10
'∂0.5
100
=Æ;2!; =
'2
2
08
2
'5
=Æ , =Æ , =Æ˚
2
5
'2
5
4
5
2
25
2
, =Æ˚
5
4
25
'2
'5
I. 실수와 그 계산 15
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지16 다민 2540DPI 175LPI
이고 > > > 이므로 큰 수부터 차례로 나
(cid:100) 따라서
이므로 2a=6
_10'3=2'2에서
4'1å5
'1å0a
=2'2
='2에서 2'1å5='ƒ10a_'2
2'ß2a
3
=
2'6
3
(cid:100) ∴ a=3
_
⑷ 6'5_
1
3'1å0
=2'2,
1
5'a
6'5_10'3
5'a_3'1å0
2'1å5
'1å0a
'6å0='2å0a, 60=20a
∴ a=3
'∂a-5
'3
(cid:100) '∂a-5='1å2
(cid:100) a-5=12(cid:100)(cid:100)∴ a=17
⑸
=2에서 '∂a-5=2'3
50
10000
=æ≠
5¤ _2
100¤
12
20
10000
=æ≠
2¤ _5
100¤
¤ =27
BC”를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 27 cm¤ 이므로
BC”
∴ BC”='∂27=3'3(cm) (∵ BC”>0)
AB”를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 12 cm¤ 이므로
AB”
∴ AB”='∂12=2'3(cm) (∵ AB”>0)
따라서 직사각형 ABCD의 넓이는
AB”_BC”=2'3_3'3=18(cm¤ )
¤ =12
4
5
2
5
4
25
2
25
열하면
,
,
,
2
5
'2
'5
2
'5
따라서 가장 큰 수는
'2
5
이다.
2
'5
09
⑴ '6_'∂14_'ß42='6_'ƒ2_7_'ƒ6_7
='ƒ6_2_7_6_7
=6_7_'2=42'2
⑵ '∂0.32=Ƭ =æ≠
32
100
4¤ _2
10¤
=
4'2
10
=
2'2
5
(cid:100) ∴ k=42
(cid:100) ∴ k=
2
5
⑶ 'ƒ0.005=Ƭ
(cid:100) ∴ k=
⑷ 'ƒ0.002=Ƭ
(cid:100) ∴ k=
5
1000
5'2
100
=
=Ƭ
'2
20
2
1000
2'5
100
=
=Ƭ
'5
50
=
1
20
=
1
50
10
=
2'5
'3
∴ a=
2'5_'3
'3_'3
2
3
=
2'ß15
3
=
20_'5
3'5_'5
=
20'5
15
=
4'5
3
=
20
'∂45
∴ b=
20
3'5
4
3
2
∴ '∂ab=Æ… _ =æ;9*;=
3
4
3
2'2
3
11
⑴ '3 _'a =10'3에서 'a=10
(cid:100) 양변을 제곱하면 a=100
⑵ '2_'3_'a_'1å8_'3åa
='ƒ2_3_a_18_3a="√18¤ _a¤
=18a (∵ a>0)
따라서 18a=72이므로 a=4
4'a
4'a_'2
4'ß2a
6
3'2
3'2_'2
=
=
=
2'ß2a
3
⑶
16 정답과 풀이
02
제곱근의 덧셈과 뺄셈
개념원리 확인하기
본문 49쪽
01 ⑴ 8, 3, 1, 10'2(cid:100)⑵ -6'5(cid:100)⑶ -'3
02 ⑴ 1, 2, 4, 5, -'5-'3(cid:100)⑵ -3'6+4'2
⑶ -'2-2'3(cid:100)⑷ '5-2'2
03 ⑴ 2'3+3'2(cid:100)⑵ 3'2-3'6(cid:100)⑶ 7'3-2'1å5
04 ⑴ '6, '6, '1å8, '1å2,
⑶
5'2-3'5
15
(cid:100)⑷
3'2-2'3
6
1+3'6
2
(cid:100)⑵
'1å0-4
2
01
⑵ 6'5-3'5-9'5=(6-3-9)'5=-6'5
⑶ 2'3-7'3+4'3=(2-7+4)'3=-'3
02
⑵ 2'6-3'2-5'6+7'2=(2-5)'6+(-3+7)'2
=-3'6+4'2
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지17 다민 2540DPI 175LPI
⑶ '8+'∂12-'∂18-'∂48=2'2+2'3-3'2-4'3
=(2-3)'2+(2-4)'3
=-'2-2'3
⑷ '∂45-'∂20+'∂32-'∂72=3'5-2'5+4'2-6'2
=(3-2)'5+(4-6)'2
='5-2'2
03
⑴ '2('6+'9)='2 '6+'2 '9='1å2+'1å8
=2'3+3'2
⑵ '3('6-3'2)='3 '6-'3_3'2='∂18-3'6
=3'2-3'6
⑶ '5('∂15+'3)-'3(3'5-2)
='5 '1å5+'5 '3-'3_3'5+'3_2
=5'3+'1å5-3'1å5+2'3
=7'3-2'1å5
04
⑵
'5-'8
'2
=
('5-'8)_'2
'2_'2
=
'1å0-'1å6
2
⑶
'1å0-3
3'5
('1å0-3)_'5
3'5_'5
=
'5å0-3'5
15
⑷
'3+9'2
2'3
('3+9'2)_'3
2'3_'3
=
3+9'6
6
=
'1å0-4
2
=
=
=
5'2-3'5
15
=
1+3'6
2
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 50~55쪽
1 ⑴ 0(cid:100)⑵ 15'3 -3'2(cid:100)⑶ '2 +17'3(cid:100)⑷ '5 +4'2
2 ⑴ 2(cid:100)⑵'∂10-'∂15
⑶ 2+ (cid:100)⑷ -6(cid:100)⑸ 10'2
3 4'6-2
⑸ -7'2(cid:100)⑹ '3
'2
2
'6-4'3
8
4 ⑴
(cid:100)⑵ 2'6+1(cid:100)⑶
-7+2'1å0
3
5 ⑴ -6(cid:100)⑵ -'2+'6(cid:100)⑶ 10'2-15
6 ③
7 ⑴ 1(cid:100)⑵ -2
8 ⑴ 12-2'∂35(cid:100)⑵ 2'3(cid:100)⑶ 6(cid:100)⑷ 16+6'2
9 ⑴ 2'7 +2'5(cid:100)⑵ 5-2'6(cid:100)⑶ 5-2'6(cid:100)⑷ 4'2(cid:100)⑸ 18
10 ⑴ 7(cid:100)⑵ 8(cid:100)⑶ 15
11 ⑴ 19(cid:100)⑵ 6(cid:100)⑶ 4
1
⑴ (주어진 식)="√2¤ _3 -2'3
=2'3-2'3=0
⑵ (주어진 식)=2'3-3'2+5'3+4"√2¤ _3
=2'3-3'2+5'3+8'3
=(2+5+8)'3-3'2
=15'3-3'2
⑶ (주어진 식)
="√4¤ _2 -"√3¤ _2 +7"√2¤ _3+"√3¤ _3
=4'2-3'2+14'3 +3'3
=(4-3)'2+(14+3)'3
='2+17'3
⑷ (주어진 식)
="√5¤ _5 -"√4¤ _2 -2"√2¤ _5 +4"√2¤ _2
=5'5 -4'2 -4'5 +8'2
=(5-4)'5+(-4+8)'2
='5 +4'2
⑸ (주어진 식)=
"√5¤ _2
2
5'2
2
-2"√4¤ _2-
3'2
2
-8'2-
=
3_'2
'2_'2
3
2
5
={ -8- }'2
2
=-7'2
'2
⑹ (주어진 식)= + - +
2
'2
2
'3
3
2'3
3
1
2
1
={ - }'2+{ + }'3
2
='3
2
3
1
3
2
⑴ (주어진 식)=2'6 +2-2'6
=2
'∂24
'6
⑶ (주어진 식)=2+
⑵ (주어진 식)='6+'∂10-'6-'∂15
⑵ (주어진 식)='∂10-'∂15
'3
⑶ (주어진 식)=
'6
'2
'2_'2
'2
2
⑶ (주어진 식)=2+
+ ='4 +Æ;2!;
⑷ (주어진 식)=3'2(2'2-3'2)
⑵ (주어진 식)=3'2_(-'2)
⑵ (주어진 식)=-6
⑸ (주어진 식)
⑵ =5'3 {'6- }- ('6-2'3)
2
'3
5
'3
⑵ =5'1å8-10-5æ;3^;+10
⑵ =15'2-10-5'2+10
⑵ =10'2
I. 실수와 그 계산 17
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지18 다민 2540DPI 175LPI
3
'2a+2'3b
2
=
=
=
'2(2'3+'2)+2'3(3'2-'3)
2
2'6+2+6'6-6
2
8'6-4
2
=4'6-2
4
⑴ (주어진 식)=
('3-2'6)_'2
4'2_'2
=
'6-2'ß12
8
=
'6-4'3
8
⑵ (주어진 식)
=
=
+
2'3 +2'2
'2
3'2 -'3
'3
(2'3 +2'2)_'2
'2_'2
+
+
=
2'6 +4
2
3'6-3
3
='6 +2+'6 -1
=2'6 +1
⑶ (주어진 식)
(3'2 -'3)_'3
'3_'3
-
(2'6-'1å5)_'6
'6_'6
('5-'2)_'2
3'2_'2
-
'1å0-2
6
'1å0-2
6
12-'9å0
6
12-3'1å0
6
-
=
=
=
=
=
-14+4'1å0
6
-7+2'1å0
3
▶ 다른풀이
⑵ (주어진 식)={
'1å2
'2
'8
+ }+{
'2
'1å8
'3
'3
- }
'3
='6+'4+'6-1
='6+2+'6-1
=2'6+1
5
'2
⑴ (주어진 식)=2'5 { -'5}+
2
='∂10-10+4-'∂10
=-6
4'3-'∂30
'3
⑵ (주어진 식)=
+'∂24-'∂18
(4-2'3)_'2
'2_'2
=2'2-'6+2'6-3'2
=-'2+'6
18 정답과 풀이
⑶ (주어진 식)=5'3 {'6- }- ('6+2'3 )
1
'3
5
'3
=5'1å8-5-5Æ;3^;-10
=15'2-5-5'2-10
=10'2-15
6
① (1+'∂12)-(2+'3)=1+2'3-2-'3
='3-1>0
(cid:100) ∴ 1+'ß12>2+'3
② (3'2+3)-(2'2+3)='2>0
(cid:100) ∴ 3'2+3>2'2+3
③ (3'2-1)-(2'3-1)=3'2-2'3
='ß18-'ß12>0
(cid:100) ∴ 3'2-1>2'3-1
④ (2+'6)-('6+'3)=2-'3='4-'3>0
(cid:100) ∴ 2+'6 >'6+'3
⑤ ('2-1)-(2-'2)=2'2-3='8-'9<0
(cid:100) ∴ '2-1<2-'2
7
⑴ 3'5-5(a+'5)+2a'5-7
=3'5-5a-5'5+2a'5-7
=(-5a-7)+(2a-2)'5
(cid:100) 이 식이 유리수가 되기 위해서는
(cid:100) 2a-2=0(cid:100)(cid:100)∴ a=1
⑵ '2å4 { -'6 }- ('3å2-2)
1
'3
a
'2
1
a
=2'6 { -'6 }- (4'2-2)
'3
'2
=2'2-12-4a+a'2
=(-4a-12)+(a+2)'2
(cid:100) 이 식이 유리수가 되기 위해서는
(cid:100) a+2=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
8
⑴ (주어진 식)=('7)¤ -2_'7_'5+('5)¤
=12-2'∂35
⑵ (주어진 식)=6('2)¤ +(4-3)'2'6-2('6)¤
=12+'1å2-12
='∂12
=2'3
⑶ (주어진 식)=(3'2)¤ -(2'3)¤
=18-12
=6
⑷ (주어진 식)=(3'2+1)¤ -('3)¤
=(3'2)¤ +2_3'2_1+1-3
=18+6'2+1-3
=16+6'2
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지19 다민 2540DPI 175LPI
9
⑴ 분모, 분자에 '7 +'5를 곱하면
4('7 +'5)
('7 -'5)('7 +'5)
(주어진 식)=
=
=
4'7 +4'5
('7)¤ -('5)¤
4'7 +4'5
7-5
=2'7 +2'5
=
=
(주어진 식)=
⑵ 분모, 분자에 '3 -'2 를 곱하면
('3 -'2)¤
('3 +'2)('3 -'2)
3-2'6 +2
('3)¤ -('2)¤
5-2'6
3-2
=5-2'6
⑶ 분모, 분자에 3'2 -2'3을 곱하면
(3'2 -2'3)¤
(3'2 +2'3)(3'2 -2'3)
18-12'6 +12
(3'2)¤ -(2'3)¤
30-12'6
18-12
(주어진 식)=
=
=
=5-2'6
⑷ (주어진 식)
3+2'2
(3-2'2)(3+2'2)
-
3-2'2
(3+2'2)(3-2'2)
=
=
=
3+2'2
3¤ -(2'2)¤
3+2'2
9-8
-
-
3-2'2
3¤ -(2'2 )¤
3-2'2
9-8
=3+2'2-(3-2'2)
=4'2
⑸ (주어진 식)
+
=
=
('5-2)¤
('5+2)('5-2)
5-4'5+4
('5)¤ -2¤
9-4'5
5-4
9+4'5
5-4
=9-4'5 +9+4'5
=18
=
+
+
('5+2)¤
('5-2)('5+2)
5+4'5+4
('5)¤ -2¤
10
⑴ a+b=(3+'5)+(3-'5)=6
ab=(3+'5)(3-'5)=3¤ -('5)¤ =4
∴ + =
a
b
a¤ +b¤
ab
=
(a+b)¤ -2ab
ab
b
a
=
6¤ -2_4
4
=7
⑵ x=
=
1
'3+1
1
'3-1
이므로 x+y=
y=
=
xy=
'3-1
2
_
=
=
'3-1
('3+1)('3-1)
'3+1
('3-1)('3+1)
'3-1
'3+1
+
2
2
('3)¤ -1
'3+1
4
2
=
=
'3-1
2
'3+1
2
2'3
2
=
1
2
='3
1
⑴ ∴ + =
x¤
1
y¤
x¤ +y¤
x¤ y¤
=
(x+y)¤ -2xy
(xy)¤
('3)¤ -2_;2!;
=
2
{;2!;}
¤ +4
=8
¤ ={x-
=('1å1)¤ +4
=15
;[!;}
⑶ {x+
;[!;}
▶ 다른풀이
1
⑵ + ={;[!;}
y¤
1
x¤
¤ +{;]!;}
=('3+1)¤ +('3-1)¤
=4+2'3+4-2'3
=8
11
⑴ x=3-2'5에서 x-3=-2'5
양변을 제곱하면 (x-3)¤ =(-2'5)¤
x¤ -6x+9=20(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -6x=11
∴ x¤ -6x+8=11+8=19
⑵ x=
=
('3-'2)¤
('3+'2)('3-'2)
'3-'2
'3+'2
=5-2'6
x=5-2'6에서 x-5=-2'6
양변을 제곱하면 (x-5)¤ =(-2'6 )¤
x¤ -10x+25=24(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -10x=-1
∴ x¤ -10x+7=-1+7=6
⑶ x=
=
3+2'2
(3-2'2)(3+2'2)
1
3-2'2
=3+2'2
x=3+2'2에서 x-3=2'2
양변을 제곱하면 (x-3)¤ =(2'2 )¤
x¤ -6x+9=8(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -6x=-1
∴ x¤ -6x+5=-1+5=4
I. 실수와 그 계산 19
¤
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본문 56쪽
01 ⑴ 18'2(cid:100)⑵ 4'5(cid:100)⑶
(cid:100)⑷ 57(cid:100)⑸ -60
⑹ -2(cid:100)⑺
(cid:100)⑻
5'2
2
(cid:100)⑼ '2-1(cid:100)⑽
;1@0!;
'2
3
7'1å0
10
⑾ 6'2(cid:100)⑿
;3%;
02 ⑴
11'7
6
-
;2#;
(cid:100)⑵ 17(cid:100)⑶ 12'2-3'1å0
⑷ -10-'5(cid:100)⑸ 5'3-'2(cid:100)⑹ -
19'2
6
(cid:100)⑺
;5$;
⑻ 8-
(cid:100)⑼ -20(cid:100)⑽ -35
20'3
3
-'6+3'2
3
⑷ -19+41'3
03 ⑴
(cid:100)⑵ -2'1å5(cid:100)⑶
3'2
2
01
⑴ (주어진 식)=6'1å8=6"√3¤ _2=18'2
⑵ (주어진 식)=4Ƭ;;¡3∞;;=4'5
'2
3
⑶ (주어진 식)=;3!;Ƭ;;¡7¢;;=
⑷ (주어진 식)=12+45=57
⑸ (주어진 식)=-6'∂100=-6"ç10¤ =-60
⑹ (주어진 식)='2å4_{- }_
1
'3
1
'2
⑻ (주어진 식)= + =
+
⑺ (주어진 식)=
⑼ (주어진 식)=
=-Æ…24_;3!;_;2!;=-'4=-2
5'5
1
_2'2_
2
2'5
'1å0
'2
'5
5
'5
'2
('6-'3)_'3
'3_'3
=
=
5'2
2
'1å0
2
'1å8-3
3
=
7'1å0
10
=
3'2-3
3
='2-1
⑾ (주어진 식)=
⑿ (주어진 식)=
+0.3=;1!0*;+;1£0;=
;1@0!;
=2'3_
4'3
'2
_
3'3
10
2'5
'6
_
3'3
'3å0
=24Æ;8!;=24_
=24Æ…;2#;_;6%;_;3£0;
1
2'2
3'2
5
;1!4@;÷
÷
6'2
7
6'2
7
=
_
;1!2$;_
5
3'2
=
;3%;
=6'2
20 정답과 풀이
▶ 다른풀이
'6-'3
'3
⑼
'3
= - ='2-1
'3
'6
'3
02
'7
3
11'7
6
-;2#;
3'7
2
⑴ (주어진 식)=
-;2#;+ =
⑵ (주어진 식)=14+15-12=17
⑶ (주어진 식)=7'2-'1å0+'5å0-2'1å0
=7'2-'1å0+5'2-2'1å0
=12'2-3'1å0
⑷ (주어진 식)=4'5-3'5-'∂100-2'5=-10-'5
⑸ (주어진 식)=3'3+2'2+2'3-'1å8
=3'3+2'2+2'3-3'2
=5'3-'2
⑹ (주어진 식)=3'2-6'2+ -
'2
2
'2
2
4'2
6
2'2
3
=3'2 -6'2 + -
=-
19'2
6
⑺ (주어진 식)=3_
-2
;3@;
⑻ (주어진 식)=6-6'3 -
;5^;=;5$;
2-
_;5#;=
2'3(1-'3)
'3_'3
2'3 -6
3
=6-6'3 -
20'3
3
=8-
⑼ (주어진 식)=4'2(2'2-3'2)+2'2 ('2-4'2 )
=4'2_(-'2)+2'2_(-3'2 )
=-8-12=-20
1
⑽ (주어진 식)=6-12-'3 {10'3- }
'3
=6-12-30+1=-35
-
(3'2 -2'6)_'3
'3_'3
=
=
=
=
(2'2 -'6)_'3
'3_'3
-
2'6-'1å8
3
2'6-3'2
3
-'6+3'2
3
3'6-2'1å8
3
3'6-6'2
3
-
⑵ (주어진 식)
=
'1å5+4
('1å5-4)('1å5+4)
+
'1å5-4
('1å5+4)('1å5-4)
=-('1å5+4)-('1å5-4)=-2'1å5
⑽ (주어진 식)=2'3_Æ…;1™0¶0;+0.3
03
⑴ (주어진 식)
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지21 다민 2540DPI 175LPI
⑶ (주어진 식)
⑸ (주어진 식)
=
=
(2-'2)(3'2+4)
(3'2-4)(3'2+4)
2+2'2
2
2-'2
2
-
=
3'2
2
-
(1+'2 )(3'2-4)
(3'2+4)(3'2-4)
=
('1å0-3)¤
('1å0+3)('1å0-3)
-
('1å0+3)¤
('1å0-3)('1å0+3)
=10-6'1å0+9-(10+6'1å0+9)
=-12'1å0
⑷ (주어진 식)
=
+
(2'3-3)(7-4'3)
(7+4'3)(7-4'3)
=-45+26'3+26+15'3
=-19+41'3
('3+2 )(7+4'3)
(7-4'3)(7+4'3)
02
이런 문제가 시험에 나온다
본문 57쪽
01 ⑴ -22(cid:100)⑵ 2'5-10(cid:100)⑶
13'3-19'2
3
⑷ 15-'2(cid:100)⑸ -12'1å0
02 1
03 ⑴ 3(cid:100)⑵ -9
06 2'1å0
04 6+4'5
07 ⑴ 73(cid:100)⑵ 31(cid:100)⑶ 14
05 a>b>c
01
1
'2
⑵ (주어진 식)=
⑴ (주어진 식)=5-20-'2{4'2- }
=5-20-8+1
=-22
3'5
5
3'5
5
3'5
5
=2'5-10
7
+ -10
'5
7'5
5
+Ƭ
-10
=
=
+
21
14
… _ -2_5
2
15
⑶ (주어진 식)
=3'1å2-3'2-
-3'3-
2'6-4
'3
2'∂18-4'3
3
4'2
3
4'2
3
4'2
3
-3'3-
4'3
3
-3'3-
=6'3-3'2-
=6'3-3'2-2'2+
13'3-19'2
3
=
⑷ (주어진 식)='3{
3
2'2
(6'2-4)
+2'3}+
6
'2
2'2
'3
=2'2+6+9-
=2'2+15-3'2
=15-'2
'7-3='7-'9<0이므로
"√('7-3)¤ =-('7-3)
2-'7='4-'7<0이므로
"√(2-'7)¤ =-(2-'7 )
4-2'7='1å6-'2å8<0이므로
"√(4-2'7)¤ =-(4-2'7 )
∴ (주어진 식)
=-('7-3)-{-(2-'7 )}-(4-2'7 )
=-'7+3+2-'7-4+2'7
=1
03
⑴ (주어진 식)=2a'2-4-6'2+3a
=(-4+3a)+(2a-6)'2
(cid:100) 이 수가 유리수가 되려면
(cid:100) 2a-6=0(cid:100)(cid:100)∴ a=3
a
⑵ (주어진 식)=3'6 ('3-'6)- ('3å2-2)
'2
=9'2-18-4a+a'2
=(-18-4a)+(9+a)'2
(cid:100) 이 수가 유리수가 되려면
(cid:100) 9+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-9
04
(주어진 식)=(2+'5+'3 )(2+'5-'3 )
=(2+'5)¤ -('3)¤
=4+4'5+5-3
=6+4'5
05
a-b=(2'2-1)-(4-2'2)
=2'2-1-4+2'2
=4'2-5='3å2-'2å5>0
∴ a>b(cid:100)(cid:100)yy ㉠
b-c=(4-2'2)-(4-'1å0)
=4-2'2-4+'1å0
='1å0-'8>0
∴ b>c(cid:100)(cid:100)yy ㉡
㉠, ㉡에서 a>b>c
I. 실수와 그 계산 21
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07
⑴ x=2-3'5에서 x-2=-3'5
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 61쪽
06
(cid:8772)PQRS=4_4-4_{;2!;_3_1}=10
따라서 (cid:8772)PQRS의 한 변의 길이를 x라 하면
x¤ =10(cid:100)(cid:100)∴ x='1å0 (∵ x>0)
즉, (cid:8772)PQRS는 한 변의 길이가 '1å0인 정사각형이므로
AQ”=PQ”='1å0, BQ”=RQ”='1å0
∴ A(1-'1å0), B(1+'1å0)
∴ AB”=(1+'1å0)-(1-'1å0)
=1+'1å0-1+'1å0=2'1å0
양변을 제곱하면
x¤ -4x+4=45
∴ x¤ -4x=41
∴ 2x¤ -8x-9=2(x¤ -4x)-9=2_41-9=73
('2-1)¤
('2+1)('2-1)
('2+1)¤
('2-1)('2+1)
'2-1
'2+1
'2+1
'2-1
=3-2'2
=3+2'2
y=
=
=
⑵ x=
(cid:100) x+y=(3-2'2)+(3+2'2)=6
(cid:100) xy=(3-2'2)(3+2'2)=3¤ -(2'2)¤ =9-8=1
(cid:100) ∴ x¤ -3xy+y¤ =(x+y)¤ -5xy
=6¤ -5_1=31
⑶ x+y=(2'3+3)+(2'3-3)=4'3
xy=(2'3+3)(2'3-3)=(2'3)¤ -3¤
=12-9=3
(cid:100) ∴
;[};+;]{;=
(x+y)¤ -2xy
xy
x¤ +y¤
=
xy
(4'3)¤ -2¥3
3
=
=:¢3™:=14
⑵ '∂120='ƒ100_1.2=10'∂1.2=10_1.095=10.95
⑶ 'ƒ0.12=æ≠;1¡0™0;=
=
=0.3464
3.464
10
⑷ 'ƒ0.012=æ≠
1.2
100
=
1.095
10
=0.1095
'1å2
10
'∂1.2
10
=
1 ⑴ 177.2(cid:100)⑵ 0.05604(cid:100)⑶ 20.57(cid:100)⑷ 0.1568
2 ⑴ 20-5'7(cid:100)⑵ 2-'6(cid:100)⑶ 2'2-4
1
⑴ 'ƒ31400='ƒ3.14 _10000
="√3.14_100¤
=100'∂3.14
=
=0.05604
5.604
100
31.4
10000
(cid:100) 이고 '∂3.14=1.772이므로
(cid:100) 'ƒ31400=100_1.772=177.2
'ƒ31.4
⑵ 'ƒ0.00314=Æ…
100
(cid:100)이고 '∂31.4 = 5.604이므로
(cid:100) 'ƒ0.00314=
⑶ '∂423='ƒ4.23_100 =10'∂4.23
(cid:100) 이고 '∂4.23= 2.057이므로
(cid:100) '∂423=10_2.057=20.57
'ƒ2.46
⑷ 'ƒ0.0246=Æ…
10
(cid:100) 이고 'ƒ2.46=1.568이므로
(cid:100) 'ƒ0.0246=
=0.1568
2.46
100
1.568
10
=
03
제곱근의 값
개념원리 확인하기
2
본문 60쪽
01 ⑴ 100, 10, 10, 17.32(cid:100)⑵ 100, 10, 10, 54.77
⑶ 100¤ , 100, 100, 173.2
02 ⑴ 100, 10, 0.1414(cid:100)⑵ 100, 10, 0.4472
⑶ 100¤ , 100, 0.04472
03 ⑴ 34.64(cid:100)⑵ 10.95(cid:100)⑶ 0.3464(cid:100)⑷ 0.1095
04 ⑴ 2, 3, 2, '5-2(cid:100)⑵ 3, 4, 3, '1å0-3
03
⑴ 'ƒ1200='ƒ100_12=10'1å2=10_3.464=34.64
22 정답과 풀이
⑴ 2<'7<3이므로 5<3+'7<6
(cid:100) 따라서 정수 부분 a=5,
(cid:100) 소수 부분 b=(3+'7)-5='7-2이므로
(cid:100) 2a-5b=2_5-5('7 -2)
=20-5'7
⑵ 2<'6<3이므로 1<'6-1<2
(cid:100) '6-1의 정수 부분은 1이므로
(cid:100) 소수 부분 a=('6-1)-1='6-2
(cid:100) 또, 4<'∂24<5이므로 '∂24의 정수 부분은 4이고,
(cid:100) 소수 부분 b='∂24-4=2'6-4
(cid:100) ∴ 3a-2b=3('6-2)-2(2'6-4)
=3'6-6-4'6+8
=2-'6
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2(2-'2 )
2¤ -('2 )¤
⑶
=
=
2
2+'2
2(2-'2 )
(2+'2 )(2-'2 )
2(2-'2 )
=2-'2
4-2
(cid:100) 1<'2<2이므로 -2<-'2<-1
=
∴ 0<2-'2<1
06
2<2'2 (='8)<3에서 -3<-2'2<-2
∴ 1<4-2'2<2
따라서 정수 부분 a=1,
소수 부분 b=(4-2'2)-1=3-2'2이므로
3a-b
a
3_1-(3-2'2)
1
=
(cid:100) 따라서 2-'2의 정수 부분은 0이고 소수 부분은
=2'2
(2-'2)-0=2-'2
∴ a=0, b=2-'2
(cid:100) ∴ '2a-2b='2_0-2(2-'2)=2'2-4
07
이런 문제가 시험에 나온다
본문 62쪽
01 ①
05 10.024
02 ④
06 2'2
03 ②
04 ⑤
07 4-3'2
01
'∂0.05=Æ˚
5
100
'5
= =
10
a
10
02
'ƒ200000='ƒ20_10000
=100'ß20
=100b
'∂7.14
10
'∂71.4
10
03
① 'ƒ0.0714=æ≠
7.14
100
=
=0.2672
71.4
100
=
② 'ƒ0.714=æ≠
③ '∂714='ƒ7.14_100=10'∂7.14=26.72
④ 'ƒ71400='ƒ7.14_10000=100'∂7.14=267.2
⑤ 'ƒ7140000='ƒ7.14_1000000
=1000'∂7.14=2672
04
⑤ 'ƒ62300='ƒ6.23_10000
=100'∂6.23=249.6
05
4+'2
'2
+
9+'3
'3
=
4'2+2
2
+
9'3+3
3
=2'2+1+3'3+1
=2'2+3'3+2
=2_1.414+3_1.732+2
=2.828+5.196+2
=10.024
2<2'2 (='8)<3에서 정수 부분은 2이므로
소수 부분 a=2'2-2
또, 1<'2<2에서 -2<-'2<-1
∴ 1<3-'2<2
따라서 정수 부분은 1이므로
소수 부분 b=(3-'2)-1=2-'2
이때 1-a=1-(2'2-2)=3-2'2>0,
b-1=(2-'2)-1=1-'2<0이므로
"√(1-a)¤ -"√(b-1)¤ =(1-a)-{-(b-1)}
=(1-a)+(b-1)
=(3-2'2)+(1-'2)
=4-3'2
Step (기본문제)
본문 63~64쪽
01 ⑤
02 ④
03 ④, ⑤
04 ⑴ 2'2-1(cid:100)⑵ 2'2(cid:100)⑶ -2'3(cid:100)⑷ 2(cid:100)⑸ 5'2
⑹ 41(cid:100)⑺ -2
05 ⑴ ;4¡0;(cid:100)⑵ ;2!;(cid:100)⑶ ;2¡5;(cid:100)⑷ 2
06 9
07 ④
08 ③
09 ⑤
11 ⑴ -1(cid:100)⑵ 3
10 2'1å0+8
12 ①
13 -6
14 ⑤
01
① '∂32="√4¤ _2=4'2(cid:100)(cid:100)∴ a=4
② '3_'∂15='∂45="√3¤ _5=3'5(cid:100)(cid:100)∴ a=3
③
=Æ˚ ='∂12="√2¤ _3=2'3(cid:100)(cid:100)∴ a=3
'∂24
'2
'5
'3
24
2
'∂15
3
④ = (cid:100)(cid:100)∴ a=15
⑤ 'ß18_'9=3'2_3=9'2(cid:100)(cid:100)∴ a=2
02
1
① =
'3
6
② =
'8
'3
'3_'3
6
2'2
=
'3
3
3
= =
'2
3_'2
'2_'2
=
3'2
2
I. 실수와 그 계산 23
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지24 다민 2540DPI 175LPI
=
=
'∂10
15
3'7
28
③
④
⑤
=
=
'2
3'5
3
4'7
2'7
'2'6
'2_'5
3'5_'5
3_'7
4'7_'7
2'7
'∂12
=
=
2'7
2'3
'7
= =
'3
'7_'3
'3_'3
= '∂21
3
=3+45-7'3_
=3+45-7=41
1
'3
⑺ (주어진 식)='6-1-('6+1)
='6-1-'6-1
=-2
03
① 4'8-'∂50+'∂18=8'2-5'2+3'2=6'2
②
'∂18
3
+
2'6
'3
③ Ƭ ÷æ≠{;2!;}
9
16
3'2
3
-'∂32=
¤ +"√(-2)¤ _
;4&;
+2'2-4'2=-'2
=5
;4#;÷;2!;+
_;4&;
2
=
=
2
2
+
;4#;_
_;4&;=;2#;+;2&;
④ '∂32-2'∂24-'2(1+2'3)
=4'2-4'6-'2-2'6
=3'2-6'6
2'2
'5
='1å0 {1-
⑤ '1å0 {1-
2'1å0
5
='1å0-4
-{3+
='1å0-4-3-'1å0=-7
}
2'1å5
'6
}-('5å4+2'1å5)÷'6
}-(3'6+2'1å5)_
1
'6
04
⑴ (주어진 식)=4'2 -4-2'2 +3=2'2 -1
⑵ (주어진 식)=(6'6 -'6 )_ -3'2
1
'3
1
=5'6 _ -3'2
'3
=5'2 -3'2
=2'2
⑶ (주어진 식)='2('6-2'3)-
2'3
3
(6-3'2)
='∂12-2'6-4'3+2'6
=2'3-2'6-4'3+2'6
=-2'3
⑷ '3 <2(='4 )이므로 '3 -2<0
(cid:100) ∴ (주어진 식)='3 -('3 -2)
=2
⑸ (주어진 식)=2'2+4'2-'2
=5'2
⑹ (주어진 식)=3+45-(8'3-'3 )_
1
'3
24 정답과 풀이
05
⑴
1
'∂800
=
=
1
20'2
'2
20'2_'2
=
'2
40
⑵ '∂0.5 =Ƭ;1∞0; =Æ…;1∞0º0; =
5'2
10
=
'2
2
(cid:100) ∴ a=
(cid:100) ∴ a=
1
40
1
2
⑶ 'ƒ0.008=Æ…;10•00; =Æ…;10•0º00;
4'5
100
'5
25
=
=
(cid:100) ∴ a=
1
25
⑷ '∂450="√15¤ _2=15'2
(cid:100) ∴ a=2
06
(주어진 식)=4'6-2'2 (3'3-3'2)-
12
2'6
=4'6-6'6+12-'6
=12-3'6
=a+b'6
따라서 a=12, b=-3이므로
a+b=9
07
'ƒ0.125=æ≠;1¡0™0∞0;=
"√5¤ _5
"√10¤ _10
a
2b
=
5'5
10'1å0
=
08
① '∂0.02=Ƭ
2
100
'2
= =
10
1.414
10
=0.1414
1.414
2
=0.707
5
10
1
2
'2
2
② '∂0.5=Æ˚ =Æ = =
③ '∂12=2'3
④ '∂18=3'2=3_1.414=4.242
⑤ '∂32=4'2=4_1.414=5.656
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지25 다민 2540DPI 175LPI
09
① 'ƒ728000="√72.8_10000
=100'ƒ72.8=853.2
② '∂728="√7.28_100
=10'ƒ7.28=26.98
'ƒ72.8
72.8
100
10
=
③ 'ƒ0.728=Æ…
=0.8532
④ 'ƒ0.0728=Æ…
7.28
100
=
'ƒ7.28
10
=0.2698
⑤ 'ƒ0.00728=Æ…
72.8
10000
=
'ƒ72.8
100
=0.08532
10
A= ('2-'5 )+{'1å8+
= ('2-'5 )+{'1å8+
3'6
5
3'6
5
}÷'6+
1
}_ +
'6
'2å7-3
'3
3'3-3
'3
2
'5
2
'5
2'1å0
5
2'1å0
5
=
=
-2+'3+
3-'3
;5#;+
+
;5*;
2'1å0
5
∴ 5A=5 {
+
;5*;}=2'1å0+8
11
⑴ (주어진 식)=3'6 {'6-
(3'3-3)
a'3
3
1
3'2
}+
=18-'3+3a-a'3
=(18+3a)+(-1-a)'3
(cid:100) 이 식이 유리수가 되려면
(cid:100) -1-a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
⑵ (주어진 식)=2a-6'3+2a'3-18
=2a-18+(2a-6)'3
(cid:100) 이 식이 유리수가 되려면
(cid:100) 2a-6=0(cid:100)(cid:100)∴ a=3
12
x+y=(2'2+3)+(2'2-3)=4'2
xy=(2'2+3)(2'2-3)=(2'2)¤ -3¤ =-1
=
∴ + =
y
x
x
y
x¤ +y¤
xy
(x+y)¤ -2xy
xy
(4'2)¤ -2_(-1)
-1
=
=-34
13
2<'7<3이므로 '7의 정수 부분은 2이고
소수 부분 a='7-2
a+2='7
양변을 제곱하면
(a+2)¤ =('7)¤ , a¤ +4a+4=7
∴ a¤ +4a=3
∴ a¤ +4a-9=3-9=-6
14
① 5-'6-'6=5-2'6='2å5-'2å4>0
(cid:100) ∴ 5-'6>'6
② 2'2+'3-3-'3
=2'2-3='8-'9<0
(cid:100) ∴ 2'2+'3<3+'3
③ 5'5-3-8'2+3
=5'5-8'2='∂125-'∂128<0
(cid:100) ∴ 5'5-3<8'2-3
④ 3-4'5+6=9-4'5
='8å1-'8å0>0
(cid:100) ∴ 3>4'5-6
⑤ 2'3-3'2+'1å8-'3
=2'3-3'2+3'2-'3
='3>0
(cid:100) ∴ 2'3-3'2>-'1å8+'3
Step (발전문제)
본문 65~66쪽
01 ②
02 ①
03 ③
04 ⑴ 4+2'2+2'6(cid:100)⑵
2'3+3'2-'3å0
12
05 3+3'6 06 A0
∴ "√(13-'6)¤ =13-'6
'∂24<5(='∂25)이므로 '∂24-5<0
"√('∂24-5)¤ =-('∂24-5)=-2'6+5
26 정답과 풀이
'3-'2
'3+'2
('3-'2)¤
('3+'2)('3-'2)
=
=
3-2'6+2
('3)¤ -('2)¤
=5-2'6
∴ (주어진 식)
=(13-'6)-(-2'6+5)-(5-2'6)
=13-'6+2'6-5-5+2'6
=3+3'6
06
A-B=(2'3-1)-(2'5+'3-1)
='3-2'5='3-'∂20<0
∴ A0
∴ B>C
A-C=(2'3-1)-('3+1)
='3-2='3-'4<0
∴ A0
(cid:100) 이므로 "√(1-a)¤ =1-a
(cid:100) 또, '9<2'3 (='1å2)<'1å6에서 3<2'3<4이므로
2'3의 정수 부분은 3이고, 소수 부분은 2'3-3
∴ b=2'3-3
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지27 다민 2540DPI 175LPI
b-1=(2'3-3)-1=2'3-4='1å2-'1å6<0
(cid:100) 이므로 "√(b-1)¤ =-(b-1)
∴ "√(1-a)¤ -"√(b-1)¤
=1-a+b-1
=(2-'3 )+(2'3-4)
=-2+'3
09
⑴ x¤ -3xy+y¤ =x¤ +y¤ -3xy
=(x-y)¤ -xy
=(3'2)¤ -4
=18-4
=14
⑵ x=
1
3-2'2
3+2'2
(3-2'2)(3+2'2)
=
=
3+2'2
3¤ -(2'2)¤
=3+2'2
(cid:100) x-3=2'2의 양변을 제곱하면
(cid:100) (x-3)¤ =(2'2)¤ , x¤ -6x+9=8
(cid:100) ∴ x¤ -6x=-1
(cid:100) ∴ 2x¤ -12x-3=2(x¤ -6x)-3
=2_(-1)-3
=-5
10
x=
y=
('2-1)¤
('2+1)('2-1)
('2+1)¤
('2-1)('2+1)
=('2-1)¤ =3-2'2
=('2+1)¤ =3+2'2
x+y=(3-2'2)+(3+2'2)=6
xy=(3-2'2)(3+2'2)
=3¤ -(2'2)¤ =9-8=1
∴ (주어진 식)=
(x+y)¤ -3xy
x+y
=
6¤ -3
6
=
:£6£:=:¡2¡:
11
⑴ æ;]{;-æ;[};=
-
'x
'y
'y
'x
('x)¤ -('y)¤
'x'y
=;8$;=;2!;
=
=
4
'6å4
2b
a
=
x-y
'xåy
⑵ aæ≠ + æ≠ =æ≠a¤ _ +æ≠ _
8b
a
1
b¤
2b
a
8b
a
1
b
2
ab
2
9
='∂8ab+Æ˚
='∂8_9+Æ
'2
3
=6'2+
19'2
3
=
‚ (2'2-3)¤
‚ (8-12'2+9)
‚ (2'2-3)⁄
(2'2+3)⁄
={(2'2+3)(2'2-3)}⁄
={(2'2)¤ -3¤ }⁄
=(-1)⁄
‚ (17-12'2)
=17-12'2=a+b'2
따라서 a=17, b=-12이므로
a+b=5
12
13
¤ =8에서
¤ =18에서
세 정사각형의 넓이가 각각 8 cm¤ , 18 cm¤ , 32 cm¤ 이
므로
AB”
AB”='8=2'2(cm) (∵ AB”>0)
BC”
BC”='∂18=3'2(cm) (∵ BC”>0)
DE”
DE”='∂32=4'2(cm) (∵ DE”>0)
∴ AC”=AB”+BC”
=2'2+3'2
=5'2(cm)
¤ =32에서
(cid:100) CE”=CD”+DE”=BC”+DE”
=3'2+4'2
=7'2(cm)
∴ AC”+CE”=5'2+7'2
=12'2(cm)
14
x=
3+2'2
3-2'2
=
(3+2'2)¤
(3-2'2)(3+2'2)
=9+12'2+8=17+12'2
=
y=
(3-2'2)¤
(3+2'2)(3-2'2)
3-2'2
3+2'2
=9-12'2+8=17-12'2
이므로
x+y=(17+12'2)+(17-12'2)=34
xy=(17+12'2)(17-12'2)
=17¤ -(12'2)¤ =289-288=1
∴ x¤ +xy+y¤ =(x+y)¤ -xy=34¤ -1
=1156-1=1155
I. 실수와 그 계산 27
‚
‚
¤
‚
‚
‚
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지28 다민 2540DPI 175LPI
Step
( )
본문 67쪽
01 7개
02
03 ①
04 2
4'3
15
05 ⑴ 4(cid:100)⑵ 3'2 06 ⑴ 1(cid:100)⑵ (cid:100)⑶ 2'2(cid:100)⑷ 4+'6
'5
2
01
=3에서 'a의 정수 부분은 3이므로
3…'a<4
각 변을 제곱하면
9…a<16
따라서 주어진 조건을 만족하는 자연수 a는 9, 10, 11,
y, 15의 7개이다.
이것을 æ≠
2x+y
2x-y
에 대입하면
æ≠
=
=
« ≠
Ú
»
« ≠
Ú
»
2x+y
2x-y
:£9¡:x
;9%;x
2x+;;¡9£;;x
2x-;;¡9£;;x
이때 2<'∂6.2 <3이고 'ƒ6.25=2.5이므로
2<'∂6.2<2.5
따라서 가장 가까운 정수는 2이다.
31
=æ≠ ='∂6.2
5
05
⑴ f(2)+f(3)+f(4)+y+f(49)
=('3-'2)+('4-'3)+('5-'4)+
y+('∂50-'∂49)
02
'3 + ='3 + =
'3
3
4'3
3
이므로
=
1
4'3
3
=
=
'3
4
3
4'3
='3 + =
'3
4
5'3
4
=
4
5'3
=
4'3
15
1
5'3
4
1
'3
1
'3
1
'3+
'3+
1
'3+
1
'3
∴ (주어진 식)=
▶ 참고
=
A_D
B_C
;cD;
;aB;
(단, A+0, B+0, C+0)
03
1<'2<2이므로 2<'2+1<3
∴ [x]=2
∴
[x]
x-[x]
+
2x+[x]
[x]
2
('2+1)-2
+
2('2+1)+2
2
=
=
2
'2-1
+'2+2
=2('2+1)+'2+2
=4+3'2
04
2x-3y
5x-4y
=3에서
2x-3y=15x-12y
-13x=-9y
∴ y= x
13
9
28 정답과 풀이
='∂50-'2=5'2-'2=4'2
∴ a=4
⑵
1
f(1)
1
f(2)
1
f(3)
=
=
=
1
'3+'2
1
'4+'3
1
'5+'4
⋮
='3-'2
='4-'3
='5-'4
1
f(29)
1
f(30)
=
=
1
'∂31+'∂30
1
'∂32+'∂31
1
+
+
f(2)
='∂31-'∂30
='∂32-'∂31
∴
1
1
f(1)
f(3)
=('3-'2)+('4-'3)+('5-'4)+
1
f(30)
+y+
y+('∂31-'∂30)+('∂32-'∂31)
='∂32-'2=4'2-'2
=3'2
06
⑴ x=
=
2'3+'6
2'3-'6
12+4'∂18+6
(2'3)¤ -('6)¤
(2'3+'6)¤
(2'3-'6)(2'3+'6)
18+12'2
12-6
=
=
=3+2'2
(cid:100) x-3=2'2의 양변을 제곱하면
(cid:100) (x-3)¤ =(2'2)¤ , x¤ -6x+9=8
(cid:100) ∴ x¤ -6x=-1
(cid:100) ∴ 2x¤ -12x+3=2(x¤ -6x)+3
=2_(-1)+3=1
⑵ x=
'5+1
2
에서 2x='5+1
2x-1='5의 양변을 제곱하면
(2x-1)¤ =('5)¤ , 4x¤ -4x+1=5
(cid:100) ∴ x¤ -x=1
15(중3-1)1단원(해)01~30_ok 2014.6.3 02:30 PM 페이지29 다민 2540DPI 175LPI
(cid:100) ∴
2x‹ +x¤ -3x-4
x¤ -x+1
=
2x(x¤ -x)+3x¤ -3x-4
x¤ -x+1
=
2x(x¤ -x)+3(x¤ -x)-4
(x¤ -x)+1
2단계
주어진 식이 유리수가 되려면
4+ =0(cid:100)(cid:100)∴ a=-20
a
5
=
2x+3-4
2
=
=
2x-1
2
'5
2
⑶ 0< <1이므로 00이므로
b=;3$;
∴ ab=9_;3$;
=12
03
① 3x¤ -16x+5=(3x-1)(x-5)
② a¤ -12ab+36b¤ =(a-6b)¤
③ -75x¤ +27y¤ =-3(25x¤ -9y¤ )
=-3(5x+3y)(5x-3y)
④ xy¤ -4x=x(y¤ -4)
=x(y+2)(y-2)
⑤ a› -1=(a¤ +1)(a¤ -1)
=(a¤ +1)(a+1)(a-1)
04
2x¤ +(3a-6)x-18=(2x-3)(x+b)
=2x¤ +(2b-3)x-3b
이므로 3a-6=2b-3, -18=-3b
∴ a=5, b=6
∴ a+b=11
05
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
② (b-a)(-b-a)={-(a-b)} {-(a+b)}
=(a-b)(a+b)
③ (b+a)(b-a)=(a+b){-(a-b)}
=-(a+b)(a-b)
④ (-a+b)(a-b)={-(a-b)}(a-b)
⑤ (-a-b)(a+b)={-(a+b)}(a+b)
=-(a-b)¤
=-(a+b)¤
06
x° -1=(x› )¤ -1¤ =(x› +1)(x› -1)
=(x› +1){(x¤ )¤ -1}
=(x› +1)(x¤ +1)(x¤ -1)
=(x› +1)(x¤ +1)(x+1)(x-1)
따라서 x° -1의 인수가 아닌 것은 ④이다.
07
3x¤ -26x+16=(x-8)(3x-2)
따라서 두 일차식의 합은
(x-8)+(3x-2)=4x-10
09
⑴ 12x¤ +ax-18이 3x-2로 나누어떨어지므로
3x-2는 12x¤ +ax-18의 인수이다.
x¤ 의 계수가 12이므로
12x¤ +ax-18=(3x-2)(4x+k)로 놓으면
12x¤ +ax-18=12x¤ +(3k-8)x-2k이므로
a=3k-8, -18=-2k
∴ a=19, k=9
⑵ 두 다항식의 공통인수가 x-2이므로
x¤ -ax+2=(x-2)(x+m)(cid:100)(cid:100) yy ㉠
2x¤ -7x+b=(x-2)(2x+n)(cid:100)(cid:100)yy ㉡
으로 놓으면
㉠에서 x¤ -ax+2=x¤ +(m-2)x-2m
-a=m-2, 2=-2m이므로
a=3, m=-1
㉡에서 2x¤ -7x+b=2x¤ +(n-4)x-2n
-7=n-4, b=-2n이므로
b=6, n=-3
∴ a-b=3-6
=-3
▶ 참고
다음을 공식처럼 암기하자.
(자세한 것은 고등학교 교육 과정에서 배운다.)
⑴ 다항식 f(x)가 x-a를 인수로 가질 조건
⑵ 다항식 f(x)가 x+a를 인수로 가질 조건
⇨ f(a)=0
⇨ f(-a)=0
따라서 x¤ -ax+2의 인수가 x-2이므로
x=2를 대입하면
4-2a+2=0
∴ a=3
또, 2x¤ -7x+b의 인수도 x-2이므로
x=2를 대입하면
8-14+b=0
∴ b=6
II. 다항식의 인수분해 35
¤
¤
15(중3-1)2단원(해)31~47_ok 2014.6.3 02:32 PM 페이지36 다민 2540DPI 175LPI
10
;2(;
x¤ +12x+k
=
(9x¤ +24x+2k)
;2!;
=;2!; {(3x)¤ +2_3x_4+2k}
이 식이 완전제곱식이 되기 위해서는
2k=4¤ =16
∴ k=8
11
곱하여 -6이 되는 두 정수 B, C를 찾아 순서쌍
(B, C)로 나타내면
(-1, 6), (1, -6), (-2, 3), (2, -3),
(6, -1), (-6, 1), (3, -2), (-3, 2)
이므로 두 수 B, C의 합 A가 될 수 있는 값은
5, -5, 1, -1이다.
12
(삼각형의 넓이)=;2!;_(밑변의 길이)_(높이)
이므로
9x¤ +9x-4=(3x-1)(3x+4)
=;2!;_(3x-1)_(높이)
3x+4=
(높이)이므로
;2!;_
(높이)=2(3x+4)=6x+8
13
"√4x¤ -4x+1="√(2x-1)¤ ,
"√x¤ -6x+9="√(x-3)¤ 이고
0, x-3<0
;2!;
∴ "√4x¤ -4x+1-"√x¤ -6x+9
="√(2x-1)¤ -"√(x-3)¤
=2x-1-{-(x-3)}
=2x-1+x-3
=3x-4
03
인수분해`(3)
개념원리 확인하기
01 ⑴ 4y-1, 4y-1, 4y-1, x+2
본문 90쪽
⑵ (x-1)(y-1) ⑶ (x-4)(x+1)(x-1)
⑷ x-3, x-3+y, x-3-y
⑸ (a+b-2)(a-b-2) ⑹ (2x+y-1)(2x-y+1)
02 ⑴ A¤ -2A-8, (A-4)(A+2),
(x-3-4)(x-3+2), (x-7)(x-1)
02 ⑵ A(A-1)-56, A¤ -A-56,
(A+7)(A-8), (x+y+7)(x+y-8)
02 ⑶ (2x+9)(2x+1) ⑷ (x+y+1)(x+y-4)
03 a-6, a-6, a-6, a-6, b
01
⑵ (주어진 식)=xy-x+1-y=x(y-1)-(y-1)
=(x-1)(y-1)
⑶ (주어진 식)=x¤ (x-4)-(x-4)
⑸ (주어진 식)=(a¤ -4a+4)-b¤
=(x-4)(x¤ -1)
=(x-4)(x+1)(x-1)
=(a-2)¤ -b¤
=(a+b-2)(a-b-2)
⑹ (주어진 식)=4x¤ -(y¤ -2y+1)
=(2x)¤ -(y-1)¤
={2x+(y-1)} {2x-(y-1)}
=(2x+y-1)(2x-y+1)
▶ 참고
항이 4개일 때의 인수분해
⑴ 공통인수가 생기도록 두 개의 항씩 짝을 지은 다음
공통인수로 묶어 낸다.
⑵ 완전제곱식이 되는 3개의 항을 찾아 A¤ -B¤ 꼴로
나타낸 후 합·차 공식을 이용한다.
14
성희는 x의 계수를 잘못 보았으므로 상수항은 바르게
보았다. 즉, (x-4)(x+6)=x¤ +2x-24에서 처음
이차식의 상수항은 -24이다.
또, 현숙이는 상수항을 잘못 보았으므로 x의 계수는 바
르게 보았다. 즉, (x+2)(x-7)=x¤ -5x-14에서
처음 이차식의 x의 계수는 -5이다.
따라서 처음의 이차식은 x¤ -5x-24이므로 바르게 인
수분해하면
x¤ -5x-24=(x-8)(x+3)
02
⑶ x+4=A로 놓으면
(주어진 식)=4A¤ -12A-7
=(2A+1)(2A-7)
={2(x+4)+1} {2(x+4)-7}
=(2x+9)(2x+1)
⑷ x+y=A로 놓으면
(주어진 식)=A(A-3)-4
=A¤ -3A-4
=(A+1)(A-4)
=(x+y+1)(x+y-4)
36 정답과 풀이
15(중3-1)2단원(해)31~47_ok 2014.6.3 02:32 PM 페이지37 다민 2540DPI 175LPI
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 91~93쪽
1 ⑴ (a+b)(ab+1)(cid:100)⑵ (3x+5y)(2z-1)
⑶ (a-5)(a+1)(a-1)(cid:100)⑷ (x+4)(y-2)
2 ⑴ (x-2y+1)(-x+2y+1)
⑵ (x+y-z)(x-y-z)
⑶ (x-3y+8)(-x+3y+8)
⑷ (2x+y-2z)(2x-y+2z)
3 ⑴ (3a+3b+1)¤ (cid:100)⑵ (x-y-6)(x-y+1)
⑶ (x-1)› (cid:100)⑷ -12(x+1)(x+6)
4 ⑴ (x¤ -2x-4)(x¤ -2x-7)
⑵ (a-2)(a-6)(a¤ -8a+10)
5 ⑴ (x-2)(x+y-3)(cid:100)⑵ (x-y)(x-y-2z)
⑶ (a-2b)(a-2b-3)(cid:100)⑷ (x+2y-3)(x-y+2)
6 2x+y+5
3
⑴ 공통 부분 a+b=A로 치환하면
(cid:100) (주어진 식)=9A¤ +6A+1
=(3A+1)¤
={3(a+b)+1} ¤
=(3a+3b+1)¤
⑵ 공통 부분 x-y=A로 치환하면
(cid:100) (주어진 식)=A(A-5)-6
=A¤ -5A-6
=(A-6)(A+1)
=(x-y-6)(x-y+1)
⑶ 공통 부분 x¤ -2x=A로 치환하면
(cid:100) (주어진 식)=(A-4)(A+6)+25
=A¤ +2A+1
=(A+1)¤
=(x¤ -2x+1)¤
={(x-1)¤ }¤
=(x-1)›
1
⑴ (주어진 식)=ab(a+b)+a+b
=(a+b)(ab+1)
⑵ (주어진 식)=3x(2z-1)-5y(1-2z)
=3x(2z-1)+5y(2z-1)
=(3x+5y)(2z-1)
⑶ (주어진 식)=a¤ (a-5)-(a-5)
=(a-5)(a¤ -1)
=(a-5)(a+1)(a-1)
⑷ (주어진 식)=y(x+4)-2(x+4)
=(x+4)(y-2)
2
⑴ (주어진 식)=1-(x¤ -4xy+4y¤ )
=1-(x-2y)¤
={1+(x-2y)}{1-(x-2y)}
=(1+x-2y)(1-x+2y)
=(x-2y+1)(-x+2y+1)
⑵ (주어진 식)=(x¤ -2xz+z¤ )-y¤
=(x-z)¤ -y¤
=(x-z+y)(x-z-y)
=(x+y-z)(x-y-z)
⑶ (주어진 식)=64-(x¤ -6xy+9y¤ )
⑷ (주어진 식)=4x¤ -(y¤ -4yz+4z¤ )
=8¤ -(x-3y)¤
={8+(x-3y)} {8-(x-3y)}
=(x-3y+8)(-x+3y+8)
=(2x)¤ -(y-2z)¤
={2x+(y-2z)} {2x-(y-2z)}
=(2x+y-2z)(2x-y+2z)
⑷ 공통 부분 x-3=A, x+3=B로 치환하면
(cid:100) (주어진 식)
(cid:100) =2A¤ -2AB-12B¤
(cid:100) =2(A¤ -AB-6B¤ )
(cid:100) =2(A+2B)(A-3B)
(cid:100) =2{(x-3)+2(x+3)} {(x-3)-3(x+3)}
(cid:100) =2(3x+3)(-2x-12)
(cid:100) =2_3(x+1)_(-2)(x+6)
(cid:100) =-12(x+1)(x+6)
4
⑴ (주어진 식)
(cid:100) ={(x+1)(x-3)}{(x+2)(x-4)}+4
(cid:100) =(x¤ -2x-3)(x¤ -2x-8)+4
(cid:100) 공통 부분 x¤ -2x=A로 치환하면
(cid:100) (주어진 식)=(A-3)(A-8)+4
=A¤ -11A+28
=(A-4)(A-7)
=(x¤ -2x-4)(x¤ -2x-7)
⑵ (주어진 식)
(cid:100) ={(a-1)(a-7)}{(a-3)(a-5)}+15
(cid:100) =(a¤ -8a+7)(a¤ -8a+15)+15
(cid:100) 공통 부분 a¤ -8a=A로 치환하면
(cid:100) (주어진 식)
=(A+7)(A+15)+15
=A¤ +22A+120
=(A+12)(A+10)
=(a¤ -8a+12)(a¤ -8a+10)
=(a-2)(a-6)(a¤ -8a+10)
II. 다항식의 인수분해 37
15(중3-1)2단원(해)31~47_ok 2014.6.3 02:32 PM 페이지38 다민 2540DPI 175LPI
5
⑴ y에 관하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)
=y(x-2)+x¤ -5x+6
=y(x-2)+(x-2)(x-3)
=(x-2)(x+y-3)
⑵ z에 관하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)
=-2z(x-y)+x¤ +y¤ -2xy
=-2z(x-y)+(x-y)¤
=(x-y)(x-y-2z)
⑶ a에 관하여 내림차순으로 정리하면
(cid:100) (주어진 식)
(cid:100) =a¤ -(4b+3)a+4b¤ +6b
(cid:100) =a¤ -(4b+3)a+2b(2b+3)
1
1
1
1
-2b
-2b
-(2b+3)
{+
-2b-3
-4b-3
(cid:100) =(a-2b)(a-2b-3)
⑷ x에 관하여 내림차순으로 정리하면
(cid:100) (주어진 식)
(cid:100) =x¤ +(y-1)x-(2y¤ -7y+6)
(cid:100) =x¤ +(y-1)x-(2y-3)(y-2)
+(2y-3)
2y-3
-(y-2)
-y+2
{+
y-1
(cid:100) =(x+2y-3)(x-y+2)
▶ 참고
문자가 2개 이상이고 항이 5개 이상인 복잡한 식의 인수
분해
⇨ 차수가 낮은 문자에 관하여 내림차순으로 정리한다.
이때 상수항이 길면 상수항을 먼저 인수분해하고 전체
를 인수분해한다.
6
x에 관하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)
=x¤ +(y+5)x-2y(y-5)
1
1
+2y
2y
-(y-5)
-y+5
{+
y+5
=(x+2y)(x-y+5)
따라서 두 일차식의 합은
(x+2y)+(x-y+5)
=2x+y+5
38 정답과 풀이
계산력 강화하기
본문 94쪽
01 ⑴ (a+b)(x-y)(cid:100)⑵ (a-b)¤ (a+b)
⑶ (x-2)(ax+3)(cid:100)⑷ (x+y)(x-y)(y-z)
⑸ (x+y+2)(x-y+2)(cid:100)
⑹ (x+2y-3)(x-2y-3)
⑺ (a+b)(x+y)(x-y)(cid:100)
⑻ (x+y+5)(x-y+5)
⑼ (3x-y+2z)(3x-y-2z)
02 ⑴ (x+y-5)¤ (cid:100)⑵ (x-1)(x+4)(x+1)(x+2)
⑶ (3x-3y-2)(2x-2y+1)(cid:100)⑷ -8(a-19)
⑸ (2x+1)(2x+5)(cid:100)⑹ (x+y-4)(x-y-2)
⑺ (x-2y-4)(x-2y+2)
⑻ (x+2y+3)(x+2y-10)
⑼ (a-3)(a+1)(a-1)¤ (cid:100)⑽ (x¤ +3x+1)¤
⑾ (x-3)(x+y-3)(cid:100)⑿ (x-y)(x-y+2z)
⒀ (x-2y+3)(x+3y-2)(cid:100)
⒁ (2x+3y-2)(x+y+2)
01
⑴ (주어진 식)=a(x-y)+b(x-y)
=(a+b)(x-y)
⑵ (주어진 식)=a¤ (a-b)-b¤ (a-b)
=(a-b)(a¤ -b¤ )
=(a-b)(a+b)(a-b)
=(a-b)¤ (a+b)
⑶ (주어진 식)=ax(x-2)+3(x-2)
=(x-2)(ax+3)
⑷ (주어진 식)=x¤ y-x¤ z-y‹ +y¤ z
=x¤ (y-z)-y¤ (y-z)
=(y-z)(x¤ -y¤ )
=(y-z)(x+y)(x-y)
=(x+y)(x-y)(y-z)
⑸ (주어진 식)=(x+2)¤ -y¤
=(x+2+y)(x+2-y)
=(x+y+2)(x-y+2)
⑹ (주어진 식)=x¤ -6x+9-4y¤ =(x-3)¤ -(2y)¤
=(x-3+2y)(x-3-2y)
=(x+2y-3)(x-2y-3)
⑺ (주어진 식)=ax¤ -ay¤ +bx¤ -by¤
=a(x¤ -y¤ )+b(x¤ -y¤ )
=(x¤ -y¤ )(a+b)
=(x+y)(x-y)(a+b)
=(a+b)(x+y)(x-y)
15(중3-1)2단원(해)31~47_ok 2014.6.3 02:32 PM 페이지39 다민 2540DPI 175LPI
⑻ (주어진 식)=x¤ +10x+25-y¤
(cid:100) =x¤ +(y+1)x-(2y-3)(3y-2)
=(x+5)¤ -y¤
=(x+5+y)(x+5-y)
=(x+y+5)(x-y+5)
⑼ (주어진 식)=(9x¤ -6xy+y¤ )-4z¤
=(3x-y)¤ -(2z)¤
=(3x-y+2z)(3x-y-2z)
02
⑵ (주어진 식)=(x¤ +3x)¤ -2(x¤ +3x)-8
(cid:100) 공통 부분 x¤ +3x=A로 치환하면
(cid:100) (주어진 식)=A¤ -2A-8
=(A-4)(A+2)
=(x¤ +3x-4)(x¤ +3x+2)
=(x-1)(x+4)(x+1)(x+2)
⑹ (주어진 식)
(cid:100) =x¤ -6x-(y¤ -2y-8)
(cid:100) =x¤ -6x-(y-4)(y+2)
1
1
+(y-4)
y-4
-(y+2)
-y-2
{+
-6
(cid:100) =(x+y-4)(x-y-2)
⑽ (주어진 식)
={x(x+3)} {(x+1)(x+2)}+1
=(x¤ +3x)(x¤ +3x+2)+1
공통 부분 x¤ +3x=A로 치환하면
(주어진 식)=A(A+2)+1
=A¤ +2A+1
=(A+1)¤
=(x¤ +3x+1)¤
⑾ y에 관하여 내림차순으로 정리하면
(cid:100) (주어진 식)
=(x-3)y+x¤ -6x+9
=(x-3)y+(x-3)¤
=(x-3){ y+(x-3)}
=(x-3)(x+y-3)
⑿ z에 관하여 내림차순으로 정리하면
(cid:100) (주어진 식)
(cid:100) =2(x-y)z+x¤ -2xy+y¤
(cid:100) =2(x-y)z+(x-y)¤
(cid:100) =(x-y)(2z+x-y)
(cid:100) =(x-y)(x-y+2z)
⒀ x에 관하여 내림차순으로 정리하면
(cid:100) (주어진 식)
(cid:100) =x¤ +(y+1)x-6y¤ +13y-6
(cid:100) =x¤ +(y+1)x-(6y¤ -13y+6)
1
1
2
1
-(2y-3)
-2y+3
+(3y-2)
{+
3y-2
y+1
(cid:100) =(x-2y+3)(x+3y-2)
⒁ x에 관하여 내림차순으로 정리하면
(cid:100) (주어진 식)
(cid:100) =2x¤ +(5y+2)x+3y¤ +4y-4
(cid:100) =2x¤ +(5y+2)x+(3y-2)(y+2)
+(3y-2)
+(y+2)
3y-2
2y+4
5y+2
{+
(cid:100) =(2x+3y-2)(x+y+2)
이런 문제가 시험에 나온다
본문 95쪽
01 ③
02 ②
03 ④
04 ④
05 ⑴ (x+1)(x-2)
⑵ (x+1)(x-1)(1+y)(1-y)
⑶ (x¤ +4x-6)(x+2)¤
⑷ (2x-y+3)(x+3y-2)
06 0
01
③ a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)
=(a-b)(x-y)
02
a¤ -ab+a-b=a(a-b)+(a-b)
=(a-b)(a+1)
ab+b-a-1=b(a+1)-(a+1)
=(a+1)(b-1)
따라서 두 다항식의 공통인수는 a+1이다.
03
(주어진 식)=a¤ (a-b)-(a-b)
=(a-b)(a¤ -1)
=(a-b)(a+1)(a-1)
04
공통 부분 x-y=A로 치환하면
(주어진 식)=(A+3)(A-2)-6
=A¤ +A-12
=(A+4)(A-3)
=(x-y+4)(x-y-3)
따라서 두 일차식의 합은
(x-y+4)+(x-y-3)=2x-2y+1
II. 다항식의 인수분해 39
15(중3-1)2단원(해)31~47_ok 2014.6.3 02:32 PM 페이지40 다민 2540DPI 175LPI
05
⑴ (주어진 식)=2x¤ +x-1-x¤ -2x-1
=x¤ -x-2
=(x+1)(x-2)
⑵ (주어진 식)=(x¤ -1)-y¤ (x¤ -1)
⑶ (주어진 식)=(25-5)¤ =20¤ =400
⑷ (주어진 식)=5_(55¤ -45¤ )
=5_(55+45)(55-45)
=5000
=(x¤ -1)(1-y¤ )
=(x+1)(x-1)(1+y)(1-y)
⑶ (주어진 식)
(cid:100) ={(x-1)(x+5)}{(x+1)(x+3)}-9
(cid:100) =(x¤ +4x-5)(x¤ +4x+3)-9
(cid:100) 공통 부분 x¤ +4x=A로 치환하면
(cid:100) (주어진 식)=(A-5)(A+3)-9
=A¤ -2A-24
=(A-6)(A+4)
=(x¤ +4x-6)(x¤ +4x+4)
=(x¤ +4x-6)(x+2)¤
⑷ x에 관하여 내림차순으로 정리하면
(cid:100) (주어진 식)
(cid:100) =2x¤ +(5y-1)x-(3y¤ -11y+6)
(cid:100) =2x¤ +(5y-1)x-(y-3)(3y-2)
(cid:100) =2
(cid:100) =1
-(y-3)
+(3y-2)
≈
121
1
F
z111
1 2 1 1 ⁄
⁄
⁄
(cid:100)
⁄
(cid:100) =(2x-y+3)(x+3y-2)
-y+3
6y-4 +
5y-1
<‘
03
⑶ x¤ -3x-4=(x+1)(x-4)
=(4+'5+1)(4+'5-4)
=(5+'5 )'5
=5+5'5
⑷ x+3=A로 치환하면
(주어진 식)=A¤ -2A+1
=(A-1)¤ =(x+3-1)¤ =(x+2)¤
=('5 -2+2)¤ =5
⑸ x¤ -y¤
=(x+y)(x-y)
={(2-'3 )+(2+'3 )} {(2-'3 )-(2+'3 )}
=4(-2'3 )
=-8'3
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 98쪽
1 ⑴ 575(cid:100)⑵ 9600(cid:100)⑶ 9 2 ⑴ 4'6(cid:100)⑵ 2(cid:100)⑶ 2+2'5
06
x¤ -2x+2y-y¤ =x¤ -y¤ -2(x-y)
=(x+y)(x-y)-2(x-y)
=(x-y)(x+y-2)
따라서 (x-y)(x+y-2)=(x+ay)(x+by+c)이므
로 a=-1, b=1, c=-2
∴ a-b-c=0
1
⑴ 7.5¤ _11.5-2.5¤ _11.5
=(7.5¤ -2.5¤ )_11.5
=(7.5+2.5)(7.5-2.5)_11.5
=10_5_11.5
=575
⑵ 101¤ -6_101+5
=(101-5)(101-1)
=96_100
=9600
본문 97쪽
⑶ "√41¤ -40¤ ="√(41+40)(41-40)
='8å1=9
2
⑴ x=
='3+'2
1
'3-'2
1
'3+'2
(cid:100) y=
='3-'2
(cid:100) 이므로 x+y=2'3, x-y=2'2, xy=1
(cid:100) ∴ x‹ y-xy‹ =xy(x¤ -y¤ )
=xy(x+y)(x-y)
=1_2'3_2'2
=4'6
04
인수분해 공식의 활용
개념원리 확인하기
⑶ 38, 38, 320
01 ⑴ 64, 36, 100, 1500 ⑵ 3, 100, 10000
02 ⑴ 235 ⑵ 105 ⑶ 400 ⑷ 5000
03 ⑴ 2, 102, 2, 10000 ⑵ 1, 5, 2-'5, -2-'5, 1
⑶ 5+5'5 ⑷ 5 ⑸ -8'3
02
⑴ (주어진 식)=2.35_(37+63)=235
⑵ (주어진 식)=35_(97-94)=105
40 정답과 풀이
15(중3-1)2단원(해)31~47_ok 2014.6.3 02:32 PM 페이지41 다민 2540DPI 175LPI
⑵ x¤ -2xy+y¤ -7x+7y+12
=(x-y)¤ -7(x-y)+12
=5¤ -7_5+12
=2
⑶ x¤ -y¤ +2x+1=x¤ +2x+1-y¤
=(x+1)¤ -y¤
=(x+1+y)(x+1-y)
=(x+y+1)(x-y+1)
=('5-2+1)('5+2+1)
=('5-1)('5+3)
=2+2'5
이런 문제가 시험에 나온다
본문 99쪽
01 ③
02 ②
03 3
04 ⑴ -8(cid:100)⑵ 54(cid:100)⑶ 1(cid:100)⑷ 5-'5
05 ⑴ -24'2(cid:100)⑵ -20
06 ⑴ 5600(cid:100)⑵ 60(cid:100)⑶ 1(cid:100)⑷ 120(cid:100)⑸ -144
01
99¤ -1=99¤ -1¤ =(99+1)(99-1)=100_98
즉, 인수분해 공식 a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)를 이용하
였다.
02
2x¤ -7x+3=(2x-1)(x-3)
={2(3-'3 )-1}(3-'3 -3)
=(5-2'3 )(-'3 )
=6-5'3
03
4a¤ -9b¤ =-12에서
(2a)¤ -(3b)¤ =-12
(2a+3b)(2a-3b)=-12
한편, 3b-2a=4에서 2a-3b=-4이므로
(2a+3b)_(-4)=-12
∴ 2a+3b=3
04
⑴ x¤ -y¤ -4x+4=x¤ -4x+4-y¤
⑵ a¤ (a-b)+b¤ (b-a)
=a¤ (a-b)-b¤ (a-b)
=(a-b)(a¤ -b¤ )
=(a-b)(a+b)(a-b)
=(a-b)¤ (a+b)
=(-3)¤ _6
=54
⑶ x¤ +2xy+y¤ -8x-8y+16
=(x+y)¤ -8(x+y)+16
=3¤ -8_3+16
=1
⑷ 2<'5<3에서 '5의 정수 부분은 2이므로
소수 부분 a='5-2
∴ a¤ +3a+2=(a+1)(a+2)
=('5-2+1)('5-2+2)
=('5-1)_'5
=5-'5
▶ 다른풀이
⑷ a='5-2이므로
a¤ +3a+2=('5-2)¤ +3('5-2)+2
=9-4'5+3'5-6+2
=5-'5
05
⑴ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
=(3-2'2+3+2'2 ){3-2'2-(3+2'2 )}
=6_(-4'2 )=-24'2
('2-'3)¤
'2-'3
('2+'3)('2-'3)
'2+'3
=
⑵ x=
⑵ y=
=-(5-2'6)=-5+2'6
=
('2+'3)¤
('2-'3)('2+'3)
'2+'3
'2-'3
=-(5+2'6)=-5-2'6
⑵ 이므로
⑵ x+y=-10
⑵ xy=(-5)¤ -(2'6)¤ =1
⑵ ∴ x¤ y+x+xy¤ +y=x¤ y+xy¤ +x+y
=xy(x+y)+(x+y)
=(x+y)(xy+1)
=-10(1+1)
=-20
=(x-2)¤ -y¤
=(x-2+y)(x-2-y)
=(x+y-2)(x-y-2)
=(3-2)(-6-2)
=-8
06
⑴ 89=a, 11=b로 치환하면
89¤ -2_89_11-3_11¤
=a¤ -2ab-3b¤ =(a+b)(a-3b)
=(89+11)(89-33)=100_56
=5600
II. 다항식의 인수분해 41
15(중3-1)2단원(해)31~47_ok 2014.6.3 02:32 PM 페이지42 다민 2540DPI 175LPI
⑵ "√452¤ -448¤
="√(452+448)√(452-448)
='ƒ900_4='ƒ3600
="ç60¤ `=60
2000_2001+2000
2001¤ -1
⑶
=
2000(2001+1)
(2001+1)(2001-1)
=
2000_2002
2002_2000
=1
⑷ 15¤ -13¤ +11¤ -9¤ +7¤ -5¤
=(15+13)(15-13)+(11+9)(11-9)
+(7+5)(7-5)
04
=2(15+13+11+9+7+5)
=2_60
=120
⑸ 1¤ +2¤ +3¤ +4¤ -5¤ -6¤ -7¤ -8¤
=1¤ -5¤ +2¤ -6¤ +3¤ -7¤ +4¤ -8¤
=(1+5)(1-5)+(2+6)(2-6)
(cid:100) =-4(6+8+10+12)
(cid:100) =-4_36
(cid:100) =-144
+(3+7)(3-7)+(4+8)(4-8)
Step (기본문제)
본문 100~101쪽
01 ㄱ, ㄷ 02 ③
06 ④
11 ①
07 ③
12 ③
14 3x+3
03 5
08 ④
04 ⑤
09 ①
05 ⑤
10 ④
13 ⑴ -7(cid:100)⑵ -13
01
ㄱ. 6x¤ +x-2=(3x+2)(2x-1)
ㄴ. 10x¤ -x-3=(2x+1)(5x-3)
ㄷ. 14x¤ -17x+5=(2x-1)(7x-5)
ㄹ. 8x¤ -6x-5=(2x+1)(4x-5)
따라서 2x-1을 인수로 갖는 것은 ㄱ, ㄷ이다.
02
① 3x¤ y¤ -6x¤ y-9x¤ =3x¤ (y¤ -2y-3)
=3x¤ (y+1)(y-3)
② -16x¤ +y¤ =-(16x¤ -y¤ )
=-(4x+y)(4x-y)
③ 5x¤ +7x-6=(5x-3)(x+2)
42 정답과 풀이
④ (2x-1)¤ -(x+3)¤
={(2x-1)+(x+3)} {(2x-1)-(x+3)}
=(3x+2)(x-4)
⑤ x-1+xy-y=(x-1)+y(x-1)
=(x-1)(y+1)
03
6x¤ +(4a-7)x-12=(2x+b)(3x-4)
=6x¤ +(3b-8)x-4b
이므로 4a-7=3b-8, -12=-4b
∴ a=2, b=3
∴ a+b=5
1
4
2
1
2
a-1}
① a¤ -a+1={
② x¤ +8x+16=(x+4)¤
③ x¤ +12x+36=(x+6)¤
④ 3a¤ -12ab+12b¤ =3(a¤ -4ab+4b¤ )
=3(a-2b)¤
⑤ 9x¤ +30xy+16y¤ =(3x+8y)(3x+2y)
따라서 완전제곱식이 아닌 것은 ⑤이다.
05
① 100- x¤ ={10+ x} {10- x}
1
6
1
6
② 6x¤ - x-1= (12x¤ -5x-2)
1
36
5
2
= (4x+1)(3x-2)
1
2
1
2
③ 14x¤ +11x-9=(2x-1)(7x+9)
2
8
3
16
9
4
④ x¤ - x+1={ x-1}
3
⑤ 3x¤ -1=('3x)¤ -1=('3x+1)('3x-1)
따라서 유리수 범위에서 인수분해되지 않는 것은 ⑤이다.
06
2
}
-12
2
=36
① (cid:8641)={
② (cid:8641)=2_2_5=20
③ (cid:8641)=2_3_1=6
20
2
2
=100
④ (cid:8641)={
⑤ (cid:8641)=2_1_11=22
}
07
(주어진 식)=92.5¤ -2_92.5_2.5+2.5¤
=(92.5-2.5)¤
=90¤
즉, 인수분해 공식
a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤
을 이용하였다.
15(중3-1)2단원(해)31~47_ok 2014.6.3 02:32 PM 페이지43 다민 2540DPI 175LPI
08
x¤ -x=A로 치환하면
(주어진 식)=(A+2)(A-5)+12
=A¤ -3A+2
=(A-2)(A-1)
=(x¤ -x-2)(x¤ -x-1)
=(x+1)(x-2)(x¤ -x-1)
09
2ab+a-2b-1=a(2b+1)-(2b+1)
=(a-1)(2b+1)
a¤ b+b-2ab=b(a¤ -2a+1)
=b(a-1)¤
따라서 두 다항식의 공통인수는 a-1이다.
10
1003¤ -997¤ =(1003+997)(1003-997)
=2000_6
=12_1000
∴ (cid:8641)=12
11
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
=('2+1)¤ -2_(-1)
=3+2'2+2
=5+2'2
∴ a‹ +a¤ b+ab¤ +b‹ =a¤ (a+b)+b¤ (a+b)
=(a+b)(a¤ +b¤ )
=('2+1)(5+2'2 )
=9+7'2
12
ax-ay-bx+by=a(x-y)-b(x-y)
=(x-y)(a-b)
∴ (x-y)(a-b)=-8
그런데 a-b=2이므로
(x-y)_2=-8(cid:100)(cid:100)∴ x-y=-4
∴ x¤ -2xy+y¤ =(x-y)¤
=(-4)¤ =16
13
⑴ 6x¤ -x+A=(2x-3)(3x+a)로 놓으면
6x¤ -x+A=6x¤ +(2a-9)x-3a이므로
2a-9=-1(cid:100)(cid:100)∴ a=4
∴ A=-3a=-3_4=-12
2x¤ +Bx+3=(2x-3)(x+b)로 놓으면
2x¤ +Bx+3=2x¤ +(2b-3)x-3b이므로
-3b=3(cid:100)(cid:100)∴ b=-1
∴ B=2b-3=2_(-1)-3=-5
∴ A-B=-12-(-5)=-7
⑵ 3x¤ +px-10=(3x+2)(x+k)로 놓으면
3x¤ +px-10=3x¤ +(3k+2)x+2k이므로
2k=-10(cid:100)(cid:100)∴ k=-5
∴ p=3k+2=3_(-5)+2=-13
x
1
1
14
주어진 직사각형의 넓이의 총합은
x¤ +x¤ +x+x+x+x+x+1+1
=2x¤ +5x+2
이때 2x¤ +5x+2=(x+2)(2x+1)
이므로 만든 직사각형의 가로의 길이
와 세로의 길이는 x+2, 2x+1이다.
따라서 구하는 합은
(x+2)+(2x+1)=3x+3
x
x
1
Step (발전문제)
본문 102~103쪽
01 ③
02 ⑴ 4(cid:100)⑵ 5 또는 -3
03 193
04 ⑴ (3x-4)(2x+19)(cid:100)⑵ (x-y)(x-y-2)
⑶ (x-3)(x+y+1)(cid:100)⑷ (a-1)(a+b+2)
05 (x+4)(x-5)
06 ②
07 32
08 5
09 ⑴ 최댓값：7, 최솟값：-7
⑵ 최댓값：21, 최솟값：-21
⑶ 144
10 ⑴ 1(cid:100)⑵ 110(cid:100)⑶ -200(cid:100)⑷ 10000
11 -x
12 ①
13 9
14 ⑴ 4x(cid:100)⑵ 2x-2y-3
01
"√2003¤ -1997¤ ="√(2003+1997)√(2003-1997)
='ƒ4000_6
='ƒ24000
="√40¤ _15
=40'∂15
02
⑴ (2x-1)(2x+3)+k
=4x¤ +4x-3+k
=(2x)¤ +2_2x_1-3+k
이므로 -3+k=1¤ =1
∴ k=4
⑵ 4x¤ +(3k-3)xy+9y¤
=(2x)¤ +(3k-3)xy+(3y)¤
이므로 3k-3=—2_2_3
3k-3=—12
∴ k=5 또는 k=-3
II. 다항식의 인수분해 43
15(중3-1)2단원(해)31~47_ok 2014.6.3 02:32 PM 페이지44 다민 2540DPI 175LPI
03
x=
y=
(2-'3 )¤
(2+'3)(2-'3)
(2+'3)¤
(2-'3)(2+'3)
=7-4'3
=7+4'3
이므로
x+y=(7-4'3 )+(7+4'3 )=14
xy=(7-4'3 )(7+4'3 )=7¤ -(4'3 )¤ =1
∴ x‹ y-x¤ y¤ +xy‹
=xy(x¤ -xy+y¤ )
=xy {(x+y)¤ -3xy}
=1_(14¤ -3_1)=193
04
⑴ x+2=A, x-3=B로 치환하면
(주어진 식)
=5A¤ +7AB-6B¤
=(A+2B)(5A-3B)
={x+2+2(x-3)}{5(x+2)-3(x-3)}
=(3x-4)(2x+19)
⑵ x¤ +y¤ -2xy-2x+2y
=(x¤ -2xy+y¤ )-2(x-y)
=(x-y)¤ -2(x-y)
=(x-y)(x-y-2)
⑶ 주어진 식을 y에 관하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=(x-3)y+x¤ -2x-3
=(x-3)y+(x-3)(x+1)
=(x-3)(y+x+1)
=(x-3)(x+y+1)
⑷ 주어진 식을 b에 관하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=(a-1)b+a¤ +a-2
=(a-1)b+(a+2)(a-1)
=(a-1)(b+a+2)
=(a-1)(a+b+2)
05
민수는 x의 계수를 잘못 보았으므로 상수항은 바르게
보았다. 즉, (x+2)(x-10)=x¤ -8x-20에서 처음
이차식의 상수항은 -20이다.
또, 수희는 상수항을 잘못 보았으므로 x의 계수는 바르
게 보았다. 즉, (x+6)(x-7)=x¤ -x-42에서 처음
이차식의 x의 계수는 -1이다.
따라서 처음의 이차식은 x¤ -x-20이므로 바르게 인
수분해하면
x¤ -x-20=(x+4)(x-5)
06
3<'∂10<4이므로
7<4+'∂10<8, 0<4-'∂10<1
따라서 4+'∂10의 정수 부분은 7이므로
44 정답과 풀이
소수 부분 a=4+'∂10-7='∂10-3
또, 4-'∂10의 정수 부분은 0이므로
소수 부분 b=4-'∂10
∴ ab-4a+3b-12=a(b-4)+3(b-4)
=(a+3)(b-4)
=('∂10-3+3)(4-'∂10-4)
='∂10_(-'∂10)
=-10
x¤ +4xy-2x-4y-3+4y¤
=(x¤ +4xy+4y¤ )-2x-4y-3
=(x+2y)¤ -2(x+2y)-3
=(-5)¤ -2_(-5)-3
=32
07
08
'x=a-1의 양변을 제곱하면
x=(a-1)¤ =a¤ -2a+1
∴ 'ƒx+6a+3+'ƒx-4a+8
(cid:100) ="√a¤ +4a+4+"√a¤ -6a+9
(cid:100) ="√(a+2)¤ +"√(a-3)¤
(cid:100) =a+2-(a-3) (∵ a+2>0, a-3<0)
(cid:100) =a+2-a+3
(cid:100) =5
09
⑴ x¤ +kx+6=(x+a)(x+b)
=x¤ +(a+b)x+ab
(cid:100) 로 놓으면
(cid:100) k=a+b, 6=ab
(cid:100) 이때 ab=6이 되는 두 정수 a, b를 순서쌍 (a, b)로
나타내면
(cid:100) (1, 6), (2, 3), (-1, -6), (-2, -3),
(cid:100) (6, 1), (3, 2), (-6, -1), (-3, -2)
(cid:100) 이고 k=a+b이므로
(cid:100) k=7, 5, -7, -5
(cid:100) 따라서 k의 최댓값은 7, 최솟값은 -7이다.
⑵ 4x¤ +kx+5=(x+a)(4x+b)
=4x¤ +(4a+b)x+ab
(cid:100) 에서 k=4a+b, 5=ab
(cid:100) 이때 ab=5가 되는 두 정수 a, b를 순서쌍 (a, b)로
나타내면
(cid:100) (1, 5), (5, 1), (-1, -5), (-5, -1)
이고 k=4a+b이므로
k=9, 21, -9, -21
따라서 k의 최댓값은 21, 최솟값은 -21이다.
⑶ x¤ +24x+k=(x+a)(x+b)
=x¤ +(a+b)x+ab
15(중3-1)2단원(해)31~47_ok 2014.6.3 02:32 PM 페이지45 다민 2540DPI 175LPI
(cid:100) 이므로 24=a+b, k=ab
(cid:100) 이때 24=a+b가 되는 두 자연수 a, b를 구하면
(cid:100) (1, 23), (2, 22), (3, 21), (4, 20),
(cid:100) (5, 19), (6, 18), (7, 17), (8, 16),
(cid:100) (9, 15), (10, 14), (11, 13), (12, 12)
(cid:100) 이고 k=ab이므로
(cid:100) k=23, 44, 63, 80, 95, 108, 119, 128, 135,
140, 143, 144
(cid:100) 따라서 k의 최댓값은 144이다.
10
⑴ (주어진 식)=
2013(2014+1)
(2014+1)(2014-1)
=
2013_2015
2015_2013
=1
⑵ (주어진 식)
=99¤ -101¤ +102_103-102_98
=(99+101)(99-101)+102(103-98)
=200_(-2)+102_5
=-400+510
=110
⑶ (주어진 식)
=(1+3)(1-3)+(5+7)(5-7)
+(9+11)(9-11)+(13+15)(13-15)
+(17+19)(17-19)
=-2_(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)
=-2_100
=-200
⑷ (주어진 식)
=(103¤ -2_103_97+97¤ )+(100+6)(100-6)
=(103-97)¤ +100¤ -6¤
=6¤ +100¤ -6¤
=100¤
=10000
11
01
1
x
1
따라서 -x<0 x- <0, x+ >0이므로
x
1
x
(주어진 식)
1
="√(-x)¤ -æ≠x¤ -2+ +4 +æ≠x¤ +2+ -4
x¤
1
x¤
="√(-x)¤ -æ≠x¤ +2+ +æ≠x¤ -2+
1
="√(-x)¤ -æ≠{x+ }
x
1
+æ≠{x- }
x
2
1
x¤
2
1
x¤
1
1
=x-{x+ }-{x- }
x
x
=x-x- -x+
1
x
1
x
=-x
12
(주어진 식)={x(x+3)} {(x+1)(x+2)}-24
=(x¤ +3x)(x¤ +3x+2)-24
이때 x¤ +3x=A로 치환하면
(주어진 식)=A(A+2)-24
=A¤ +2A-24
=(A+6)(A-4)
=(x¤ +3x+6)(x¤ +3x-4)
=(x¤ +3x+6)(x+4)(x-1)
13
(주어진 식)={(x-2)(x+5)} {(x-1)(x+4)}+k
=(x¤ +3x-10)(x¤ +3x-4)+k
이때 x¤ +3x=A로 치환하면
(주어진 식)=(A-10)(A-4)+k
=A¤ -14A+40+k
이 식이 완전제곱식이 되려면
-14
2
¤ =49
}
40+k={
∴ k=9
14
⑴ x¤ =A로 치환하면
x› -13x¤ +36=A¤ -13A+36
=(A-4)(A-9)
=(x¤ -4)(x¤ -9)
=(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)
(cid:100) 따라서 구하는 합은
(x+2)+(x-2)+(x+3)+(x-3)=4x
⑵ 주어진 식을 x에 관하여 내림차순으로 정리하면
(cid:100) (주어진 식)=x¤ -(3+2y)x+y¤ +3y-10
=x¤ -(3+2y)x+(y+5)(y-2)
=(x-y-5)(x-y+2)
(cid:100) 따라서 구하는 합은
(cid:100) (x-y-5)+(x-y+2)=2x-2y-3
Step
( )
본문 104쪽
01 ①
02 ②
03 301
05 -(a-b)(b-c)(c-a)
04 -2'3å0
06 64
01
x‹ -3x¤ -x+3
x¤ -2x-3
=
x¤ (x-3)-(x-3)
(x+1)(x-3)
II. 다항식의 인수분해 45
15(중3-1)2단원(해)31~47_ok 2014.6.3 02:32 PM 페이지46 다민 2540DPI 175LPI
=
(x-3)(x¤ -1)
(x+1)(x-3)
=
(x-3)(x+1)(x-1)
(x+1)(x-3)
=x-1
=1+'3-1
='3
02
√+3a+2)+1
20=a로 치환하면
"√20_21_22_23√+1
="√a(a+1)(a+2)√(a+3)+1
="√{a(a+3)}{(a+1)√(a+2)}+1
="√(a¤ +3a)(a¤
a¤ +3a=A로 치환하면
"√(a¤ +3a)(a¤ +3a√+2)+1
="√A(A+2)+1
="√A¤ +2A+1
="√(A+1)¤
="√(a¤ +3a+1)¤
=a¤ +3a+1 (∵ a=20일 때, a¤ +3a+1>0)
=20¤ +3_20+1
=400+60+1
=461
=
a
-1
æ≠
b(a-2b)¤
a
=-aæ
b
a
=-'∂ab=-'ƒ15_8
=-2'∂30
05
≪a, b, c≫+≪b, c, a≫+≪c, a, b≫
=a¤ (b-c)+b¤ (c-a)+c¤ (a-b)
=a¤ b-a¤ c+b¤ c-b¤ a+c¤ a-c¤ b
=(b-c)a¤ -(b¤ -c¤ )a+b¤ c-bc¤
=(≥b-c)a¤ -(≥b-c)(b+c)a+bc(≥b-c)
=(b-c){a¤ -(b+c)a+bc}
=(b-c)(a-b)(a-c)
=-(a-b)(b-c)(c-a)
a에 관하여 내림차순
으로 정리
공통인수로
묶기
06
2›
‚ +1)(2¤
‚ -1)
‚ -1=(2¤
=(2¤
=(2¤
=(2¤
=(2¤
=(2¤
‚ )¤ -1¤ =(2¤
‚ +1){(2⁄
‚ +1)(2⁄
‚ +1)(2⁄
‚ +1)(2⁄
‚ +1)(2⁄
‚ -1)
‚ )¤ -1¤ }
‚ +1)(2⁄
‚ +1){(2fi )¤ -1¤ }
‚ +1)(2fi +1)(2fi -1)
‚ +1)_33_31
‚ -1은 30과 40 사이의 두 자연수 31과 33으
따라서 2›
로 나누어떨어지므로 이 두 자연수의 합은
31+33=64
03
1
2¤
1
3¤
1
{1- }{1- }{1- }_y_{1- }{1-
4¤
1
={1- }{1+ }{1- }{1+ }{1- }{1+ }
3
1
100¤
1
99¤
1
4
1
4
1
3
1
2
1
2
}
1
_y_{1- }{1+ }{1-
99
3
2
1
99
5
4
3
4
4
3
2
3
= _ _ _ _ _ _y
1
2
서술형 대비 문문제제
본문 105~106쪽
1
100
}{1+
1
100
}
1 1
4 90
2 4a-4b-16
3 y-2
5 -5500
6 12x+28
98
_ _
99
100
99
_
99
100
_
101
100
1
1단계
x¤ -2xy+y¤ +2x-2y-3
=(x-y)¤ +2(x-y)-3
x-y=A로 치환하면
(주어진 식)=A¤ +2A-3
1
= _
2
101
100
=
101
200
=
a
b
이므로 a=101, b=200
∴ a+b=301
04
a¤ b-4ab¤ +4b‹ =b(a¤ -4ab+4b¤ )
=b(a-2b)¤
이때 a=15, b=8이므로
a-2b=15-16=-1
∴
a
a-2b
æ≠
a¤ b-4ab¤ +4b‹
a
46 정답과 풀이
=(A-1)(A+3)
=(x-y-1)(x-y+3)
2단계
인수분해한 식에 x-y='5-1을 대입하면
(x-y-1)(x-y+3)
=('5-1-1)('5-1+3)
=('5-2)('5+2)
=1
2 1단계
a-1=A, b+3=B로 치환하면
4(a-1)¤ -8(a-1)(b+3)+3(b+3)¤
=4A¤ -8AB+3B¤
15(중3-1)2단원(해)31~47_ok 2014.6.3 02:32 PM 페이지47 다민 2540DPI 175LPI
2단계
3단계
=(2A-3B)(2A-B)
={2(a-1)-3(b+3)} {2(a-1)-(b+3)}
=(2a-3b-11)(2a-b-5)
따라서 두 일차식의 합은
(2a-3b-11)+(2a-b-5)
=4a-4b-16
3
1단계 (y-1)¤ -y+1=(y-1)¤ -(y-1)
=(y-1)(y-1-1)
=(y-1)(y-2)
2단계
3단계
단계
1
2
3
xy-2x+3y¤ -5y-2
=x(y-2)+(3y¤ -5y-2)
=x(y-2)+(3y+1)(y-2)
=(y-2)(x+3y+1)
따라서 두 다항식의 공통인수는 y-2이다.
채점요소
(y-1)¤ -y+1 인수분해하기
xy-2x+3y¤ -5y-2 인수분해하기
공통인수 구하기
배점
2점
3점
1점
4 1단계
x=
=
'3+'2
'3-'2
'3+'2)¤ =5+2'6
'3-'2
=
'3+'2
'3-'2)¤ =5-2'6
=(
y=
=(
('3+'2)¤
('3-'2)('3+'2)
('3-'2)¤
('3+'2)('3-'2)
2단계
3단계
x¤ +y¤ +2xy-x-y
=(x¤ +2xy+y¤ )-(x+y)
=(x+y)¤ -(x+y)
=(x+y)(x+y-1)
x+y=5+2'6+5-2'6=10이므로
인수분해한 식에 대입하면
(x+y)(x+y-1)=10_(10-1)
=10_9=90
채점요소
단계
1
2
3
x, y의 값을 간단히 하기
주어진 식 인수분해하기
주어진 식의 값 구하기
배점
2점
3점
2점
5 1단계
(주어진 식)
=(10¤ -20¤ )+(30¤ -40¤ )+y+(90¤ -100¤ )
=(10+20)(10-20)+(30+40)(30-40)
=
+y+(90+100)(90-100)
2단계
=(10+20)_(-10)+(30+40)_(-10)
=+y+(90+100)_(-10)
=-10_(10+20+30+40+y+90+100)
=-10_550=-5500
단계
1
2
채점요소
두 항씩 짝지어 인수분해하기
식 계산하기
6
1단계
(도형 A의 넓이)=(3x+7)¤ -5¤
=(3x+7+5)(3x+7-5)
=(3x+12)(3x+2)
2단계
3단계
도형 A, B의 넓이가 같으므로 도형 B의
세로의 길이는 3x+2이다.
∴ (도형 B의 둘레의 길이)
=2_{(3x+12)+(3x+2)}
=2(6x+14)=12x+28
단계
1
2
3
채점요소
도형 A의 넓이 구하기
도형 B의 세로의 길이 구하기
도형 B의 둘레의 길이 구하기
배점
4점
3점
배점
3점
2점
3점
생활 속의 수학
본문 107쪽
1
두 카드의 둘레의 길이의 합이 40 cm이므로
4a+4b=40, 4(a+b)=40(cid:100)(cid:100)∴ a+b=10
또 카드의 넓이의 차가 60 cm¤ 이므로
b¤ -a¤ =(b+a)(b-a)=60
10(b-a)=60(cid:100)(cid:100)∴ b-a=6
따라서 두 카드의 둘레의 길이의 차는
4(b-a)=4_6=24(cm)
(cid:9000) 24 cm
2
큰 피자와 작은 피자 한 조각의 넓이는 각각
1
1
{ _78¤ p} cm¤ , { _22¤ p} cm¤ 이다.
8
8
따라서 두 피자의 한 조각의 넓이의 차는
1
8
1
_78¤ p- _22¤ p
8
1
= p(78¤ -22¤ )= p(78+22)(78-22)
8
1
8
= p_100_56=700p(cm¤ )
1
8
따라서 큰 피자의 한 조각의 넓이는 작은 피자의 한 조
(cid:9000) 700p cm¤
각의 넓이보다 700p cm¤ 만큼 크다.
II. 다항식의 인수분해 47
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 04:59 PM 페이지48 다민 2540DPI 175LPI
Ⅲ이차방정식
1 이차방정식의 풀이
01
이차방정식과 그 해
개념원리 확인하기
본문 111쪽
01 ⑴ (cid:8776) ⑵ (cid:8776) ⑶ (cid:8776) ⑷ × ⑸ × ⑹ ×
02 a+0
03 ⑴ =, 해이다. ⑵ +, 해가 아니다.
04 ⑴ × ⑵ × ⑶ × ⑷ (cid:8776) ⑸ (cid:8776)
01 ⑵ x¤ -5x+3=0이므로 이차방정식이다.
⑶ x(x-1)=0에서 괄호를 풀면 x¤ -x=0이므로 이
차방정식이다.
⑷ -2x‹ +x¤ +x=0이므로 이차방정식이 아니다.
⑸ -6x=0이므로 이차방정식이 아니다.
⑹ (x-1)(x+2)=x¤ -2에서 괄호를 풀면
x¤ +x-2=x¤ -2, 즉 x=0이므로 이차방정식이 아
니다.
2
3
04 ⑴ 2x¤ +x-3=0에 x=-1을 대입하면
2_(-1)¤ +(-1)-3+0
따라서 x=-1은 2x¤ +x-3=0의 해가 아니다.
⑵ x¤ +x=0에 x=2를 대입하면
2¤ +2+0
따라서 x=2는 x¤ +x=0의 해가 아니다.
⑶ (x+1)¤ =36에 x=-5를 대입하면
(-5+1)¤ +36
따라서 x=-5는 (x+1)¤ =36의 해가 아니다.
4
⑷ x(x+2)=24에 x=4를 대입하면
4_(4+2)=24
따라서 x=4는 x(x+2)=24의 해이다.
⑸ 2x¤ +3x-2=0에 x=-2를 대입하면
2_(-2)¤ +3_(-2)-2=0
따라서 x=-2는 2x¤ +3x-2=0의 해이다.
1
③ (x¤ +1)¤ =x에서
x› +2x¤ +1=x
x› +2x¤ -x+1=0
따라서 이차방정식이 아니다.
⑤ 2(x-3)¤ =5+x+2x¤ 에서
2(x¤ -6x+9)=5+x+2x¤
2x¤ -12x+18-5-x-2x¤ =0
-13x+13=0
따라서 이차방정식이 아니다.
각각의 이차방정식에 주어진 수를 대입하면
① 2¤ -2-6+0
② (-2)¤ -4_(-2)-12=0
③ 3¤ +4_3+3+0
④ 2_1¤ -3_1+1=0
⑤ 3_(-1)¤ +4_(-1)-1+0
따라서 [(cid:100)] 안의 수가 주어진 이차방정식의 해가 되는
것은 ②, ④이다.
⑴ x=;2!;을 2x¤ -ax+2=0에 대입하면
¤ -a_;2!;+2=0
(cid:100) 2_{;2!;}
(cid:100) ∴ a=5
⑵ x=-1을 x¤ -2x+a=0에 대입하면
(-1)¤ -2_(-1)+a=0
∴ a=-3
x=-1을 3x¤ -bx-4=0에 대입하면
3_(-1)¤ -b_(-1)-4=0
∴ b=1
∴ a-b=-3-1=-4
⑴ x=a를 2x¤ -3x-5=0에 대입하면
(cid:100) 2a¤ -3a-5=0에서
(cid:100) 2a¤ -3a=5
(cid:100) ∴ 2a¤ -3a+1=5+1=6
⑵ 2x(x-3)+4=2에서
(cid:100) 2x¤ -6x+4=2, 2x¤ -6x+2=0
(cid:100) x=a를 2x¤ -6x+2=0에 대입하면
(cid:100) 2a¤ -6a+2=0에서
(cid:100) a¤ -3a+1=0(cid:100)(cid:100)yy ㉠
(cid:100) ㉠의 양변을 a(a+0)로 나누면
1
a
1
a
-2
1
1
(cid:100) ∴ a¤ + ={a+ }
a
a¤
=3¤ -2=7
2
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 112~113쪽
(cid:100) a-3+ =0에서 a+ =3
1 ③, ⑤
2 ②, ④
3 ⑴ 5 ⑵ -4
4 ⑴ 6 ⑵ 7
48 정답과 풀이
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지49 다민 2540DPI 175LPI
이런 문제가 시험에 나온다
본문 114쪽
01 ⑤
02 ①
05 ⑴ -3(cid:100)⑵ 2
03 ③
06 ③
04 ⑤
07 14
a-4+ =0에서 a+ =4
1
a
1
a
1
∴ a¤ + ={a+ }
a
1
a¤
2
-2
=4¤ -2=14
01
⑤ x¤ -x=(x-1)(x+1)에서
x¤ -x=x¤ -1, -x+1=0
따라서 이차방정식이 아니다.
02
각각의 이차방정식에 x=-2를 대입하면
① (-2)¤ +7_(-2)+10=0
② (-2)_(-2-4)+0
③ 2_(-2)¤ +8_(-2)+0
④ 6_(-2)¤ -(-2)-1+0
⑤ 3_(-2)¤ +14_(-2)-5+0
따라서 x=-2를 해로 갖는 이차방정식은 ①이다.
03
③ 2_{
1
2
1
}2 +3_ -2=0
2
04
2ax¤ -x+3=6x¤ -8x+4에서
(2a-6)x¤ +7x-1=0(cid:100)(cid:100)yy ㉠
㉠이 이차방정식이 되려면
2a-6+0(cid:100)(cid:100)∴ a+3
05
⑴ x=2를 (a+2)x¤ +3x-2=0에 대입하면
(a+2)_2¤ +3_2-2=0
∴ a=-3
⑵ x=;2#;을 6x¤ -13x+a=0에 대입하면
¤ -13_;2#;+a=0
6_{;2#;}
∴ a=6
(cid:100) 또, x=;2#;을 4x¤ +bx-3=0에 대입하면
4_{;2#;}
¤ +b_;2#;-3=0
(cid:100) 3b=-12(cid:100)(cid:100)∴ b=-4
(cid:100) ∴ a+b=6-4=2
06
이차방정식 x¤ -4x+1=0의 한 근이 a이므로
a¤ -4a+1=0
③ 2a¤ -8a+2=0(cid:100)(cid:100)∴ 2a¤ -8a=-2
07
x=a를 x¤ -4x+1=0에 대입하면
a¤ -4a+1=0(cid:100)(cid:100)yy ㉠
㉠의 양변을 a (a+0)로 나누면
02
인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
개념원리 확인하기
본문 116쪽
01 ⑴ 0, 5 ⑵ 2, -3 ⑶ x=6 또는 x=3
⑷ x=-;3@; 또는 x=-6 ⑸ x=;2%; 또는 x=;3!;
02 ⑴ 0, -3 ⑵ x=4 또는 x=7
⑶ x=-;2#; 또는 x=4 ⑷ x=-2 또는 x=2
03 ⑴ 7 ⑵ x=;3!; (중근) ⑶ x=-;2!; (중근)
⑷ x=;2#; (중근)
04 ⑴ 10, 25(cid:100)⑵ 9(cid:100)⑶ —6
01 ⑶ (x-6)(x-3)=0에서
x-6=0 또는 x-3=0
∴ x=6 또는 x=3
⑷ (3x+2)(x+6)=0에서
3x+2=0 또는 x+6=0
∴ x=-;3@; 또는 x=-6
⑸ (2x-5)(3x-1)=0에서
2x-5=0 또는 3x-1=0
∴ x=;2%; 또는 x=;3!;
02 ⑵ x¤ -11x+28=0에서
(x-4)(x-7)=0
∴ x=4 또는 x=7
⑶ 2x¤ -5x-12=0에서
(2x+3)(x-4)=0
∴ x=-;2#; 또는 x=4
⑷ (x+1)(x-1)=2x¤ -5에서
x¤ -1=2x¤ -5, x¤ -4=0
(x+2)(x-2)=0
∴ x=-2 또는 x=2
III. 이차방정식 49
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지50 다민 2540DPI 175LPI
03 ⑵ 9x¤ -6x+1=0에서
(3x-1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=;3!; (중근)
⑶ x¤ +x+;4!;=0에서
{x+;2!;}
¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-;2!; (중근)
⑷ 4x¤ -12x+9=0에서
(2x-3)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=;2#; (중근)
04 ⑵ x¤ -8x+7+k=0에서
-8
2
¤ =16
}
7+k={
∴ k=9
⑶ x¤ +kx+9=0에서
¤ , k¤ =36
9={;2K;}
∴ k=—6
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 117~119쪽
1 ⑴ x=-4 또는 x=6(cid:100)⑵ x=1 또는 x=9
1 ⑶ x=-3 또는 x=2(cid:100)⑷ x=
또는 x=1
;4#;
1 ⑸ x=1 또는 x=2
2 a=-1, x=-
;3@;
3 x=-2
4 17
6 ⑴ a=14, x=4 (중근)(cid:100)⑵ a=4, x=1 (중근)
1 ⑶ a=-4, x=2 (중근)
⑷ a=40일 때 x=-5 (중근),
a=-40일 때 x=5 (중근)
5 ④
1
⑴ 4x¤ -24=3x¤ +2x에서
(cid:100) x¤ -2x-24=0
(cid:100) (x+4)(x-6)=0
(cid:100) ∴ x=-4 또는 x=6
⑵ (x-3)¤ =4x에서
(cid:100) x¤ -6x+9=4x
(cid:100) x¤ -10x+9=0
(cid:100) (x-1)(x-9)=0
(cid:100) ∴ x=1 또는 x=9
⑶ (x-2)(2x+1)=(x-2)¤ 에서
(cid:100) 2x¤ -3x-2=x¤ -4x+4
50 정답과 풀이
(cid:100) x¤ +x-6=0
(cid:100) (x+3)(x-2)=0
(cid:100) ∴ x=-3 또는 x=2
⑷ (2x-3)(3x+1)=2x¤ -6에서
(cid:100) 6x¤ -7x-3=2x¤ -6
(cid:100) 4x¤ -7x+3=0
(cid:100) (4x-3)(x-1)=0
3
(cid:100) ∴ x= 또는 x=1
4
⑸ 2(x-2)(x+1)=(x+3)(x-2)에서
(cid:100) 2x¤ -2x-4=x¤ +x-6
(cid:100) x¤ -3x+2=0
(cid:100) (x-1)(x-2)=0
(cid:100) ∴ x=1 또는 x=2
▶ 다른풀이
⑶ (x-2)(2x+1)=(x-2)¤ 에서
(cid:100) (x-2)(2x+1)-(x-2)¤ =0
(cid:100) (x-2){2x+1-(x-2)}=0
(cid:100) (x-2)(x+3)=0
(cid:100) ∴ x=-3 또는 x=2
x¤ +5x-6=0에서
(x+6)(x-1)=0
∴ x=-6 또는 x=1
이 중 큰 근 x=1이 3x¤ +ax-2=0의 근이므로
3_1¤ +a_1-2=0
∴ a=-1
a=-1을 3x¤ +ax-2=0에 대입하면
3x¤ -x-2=0
(3x+2)(x-1)=0
2
∴ x=- 또는 x=1
3
따라서 다른 한 근은 x=- 이다.
2
3
2
3
x¤ -x-6=0에서
(x+2)(x-3)=0
∴ x=-2 또는 x=3
3x¤ +5x-2=0에서
(3x-1)(x+2)=0
∴ x= 또는 x=-2
1
3
따라서 공통인 근은 x=-2이다.
4
x=-2를 x¤ +ax-14=0에 대입하면
(-2)¤ +a_(-2)-14=0
∴ a=-5
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지51 다민 2540DPI 175LPI
x=-2를 3x¤ -5x+b=0에 대입하면
3_(-2)¤ -5_(-2)+b=0
∴ b=-22
∴ a-b=-5+22=17
5
④ (x+1)(x-1)=2x-2에서
(cid:100) x¤ -1=2x-2
(cid:100) x¤ -2x+1=0
(cid:100) (x-1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 (중근)
⑤ (x-1)(x+2)=-x+13에서
(cid:100) x¤ +x-2=-x+13
(cid:100) x¤ +2x-15=0
(cid:100) (x+5)(x-3)=0
(cid:100) ∴ x=-5 또는 x=3
6
⑴ x¤ -8x+2+a=0이 중근을 가지려면
-8
2
2
=16
}
(cid:100) 2+a={
(cid:100) ∴ a=14
(cid:100) a=14를 x¤ -8x+2+a=0에 대입하면
(cid:100) x¤ -8x+16=0, (x-4)¤ =0
(cid:100) ∴ x=4 (중근)
⑵ 3x¤ -6x+a-1=0의 양변을 3으로 나누면
(cid:100) x¤ -2x+
a-1
3
=0
a-1
3
(cid:100)
a-1
3
={
-2
2
2
}
=1
(cid:100) ∴ a=4
(cid:100) a=4를 3x¤ -6x+a-1=0에 대입하면
(cid:100) 3x¤ -6x+3=0, x¤ -2x+1=0
(cid:100) (x-1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 (중근)
⑶ x¤ +ax-2a-4=0이 중근을 가지려면
2
a
2
}
, a¤ +8a+16=0
(cid:100) -2a-4={
(cid:100) (a+4)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ a=-4
(cid:100) a=-4를 x¤ +ax-2a-4=0에 대입하면
(cid:100) x¤ -4x+4=0, (x-2)¤ =0
(cid:100) ∴ x=2 (중근)
⑷ 4x¤ +ax+100=0의 양변을 4로 나누면
(cid:100) x¤ + x+25=0
a
4
a
4
(cid:100) 즉, x¤ + x+25=0이 중근을 가지려면
25={;2!;_ }
2
a
4
(cid:100)(cid:100)∴ a=—40
(cid:100) 즉, x¤ -2x+
=0이 중근을 가지려면
01
(cid:100) ⁄ a=40일 때
4x¤ +40x+100=0, 4(x+5)¤ =0
∴ x=-5 (중근)
(cid:100) ¤ a=-40일 때
4x¤ -40x+100=0, 4(x-5)¤ =0
∴ x=5 (중근)
계산력 강화하기
본문 120쪽
01 ⑴ x=-3 또는 x=5(cid:100)⑵ x=-2 또는 x=0
⑶ x=-5 또는 x=;3!;(cid:100)⑷ x=;2#; 또는 x=;3%;
⑸ x=-;4!; 또는 x=;2!;(cid:100)⑹ x=1 (중근)
⑺ x=0 또는 x=-3(cid:100)⑻ x=-5 또는 x=-1
⑼ x=-9 또는 x=2(cid:100)⑽ x=-1 또는 x=10
⑾ x=-2 또는 x=2(cid:100)⑿ x=0 또는 x=12
⒀ x=2 또는 x=12(cid:100)⒁ x=-6 또는 x=1
⒂ x=0 또는 x=;3@;
02 ⑴ -8(cid:100)⑵ 6(cid:100)⑶
(cid:100)⑷ 2
;8(;
⑴ x¤ -2x-15=0에서
(x+3)(x-5)=0
∴ x=-3 또는 x=5
⑵ 3x¤ +6x=0에서
3x(x+2)=0
∴ x=-2 또는 x=0
⑶ 3x¤ +14x-5=0에서
(x+5)(3x-1)=0
∴ x=-5 또는 x=;3!;
⑷ 6x¤ -19x+15=0에서
(2x-3)(3x-5)=0
∴ x=;2#; 또는 x=;3%;
⑸ 8x¤ -2x-1=0에서
(4x+1)(2x-1)=0
∴ x=-;4!; 또는 x=;2!;
⑹ x(x+3)=5x-1에서
x¤ +3x=5x-1, x¤ -2x+1=0
(x-1)¤ =0
∴ x=1 (중근)
III. 이차방정식 51
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지52 다민 2540DPI 175LPI
⑺ x(x-4)=x(3x+2)에서
x¤ -4x=3x¤ +2x
2x¤ +6x=0, 2x(x+3)=0
∴ x=0 또는 x=-3
⑻ (3x+5)¤ =4x¤ 에서
9x¤ +30x+25=4x¤
5x¤ +30x+25=0
x¤ +6x+5=0
(x+5)(x+1)=0
∴ x=-5 또는 x=-1
⑼ 3(3-x)¤ =(4x-3)(x-2)+3에서
3(9-6x+x¤ )=4x¤ -11x+6+3
27-18x+3x¤ =4x¤ -11x+9
x¤ +7x-18=0
(x+9)(x-2)=0
∴ x=-9 또는 x=2
⑽ (x-2)(2x+1)=(x+3)¤ -1에서
2x¤ -3x-2=x¤ +6x+9-1
x¤ -9x-10=0
(x+1)(x-10)=0
∴ x=-1 또는 x=10
⑾ (x+1)¤ +(x+2)¤ =(x+3)¤ 에서
x¤ +2x+1+x¤ +4x+4=x¤ +6x+9
x¤ -4=0, (x+2)(x-2)=0
∴ x=-2 또는 x=2
⑿ 3(x-2)¤ =2(x¤ +6)에서
3(x¤ -4x+4)=2(x¤ +6)
3x¤ -12x+12=2x¤ +12
x¤ -12x=0, x(x-12)=0
∴ x=0 또는 x=12
⒀ 4x(x-5)=3(x+2)(x-4)에서
4x¤ -20x=3(x¤ -2x-8)
4x¤ -20x=3x¤ -6x-24
x¤ -14x+24=0
(x-2)(x-12)=0
∴ x=2 또는 x=12
⒁ 2x¤ =(x-2)(x-3)에서
2x¤ =x¤ -5x+6
x¤ +5x-6=0, (x+6)(x-1)=0
∴ x=-6 또는 x=1
⒂ 2x(x+1)-5(3x¤ +2)=-10(x¤ +1)에서
2x¤ +2x-15x¤ -10=-10x¤ -10
3x¤ -2x=0, x(3x-2)=0
∴ x=0 또는 x=
;3@;
52 정답과 풀이
02
⑴ -2k={
8
2
2
}
이므로 -2k=16
∴ k=-8
-6
2
2
}
⑵ k+3={
∴ k=6
이므로 k+3=9
⑶ 2k={
-3
2
2
}
이므로 2k=
9
4
∴ k=
9
8
⑷ x¤ +3x+k=x+1에서
x¤ +2x+k-1=0
2
2
2
}
k-1={
∴ k=2
이므로 k-1=1
이런 문제가 시험에 나온다
본문 121쪽
01 ②
02 ③
03 x=-
또는 x=4
;2%;
04 a=-1, x=;3$;
05 8
06 ⑴ 2(cid:100)⑵ -5 또는 3(cid:100)⑶ 1 또는 3
07 ⑴ -3(cid:100)⑵ -5
01
① x=-;2!; 또는 x=-3
② x=-;2!; 또는 x=3
③ x=;2!; 또는 x=-3
④ x=;2!; 또는 x=3
⑤ x=0 또는 x=3
02
③ 16x¤ -8x+1=0에서
(4x-1)¤ =0
∴ x=;4!; (중근)
03
x¤ +4x-12=0에서
(x+6)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-6 또는 x=2
∴ a=2
a=2를 2x¤ -(a+1)x-20=0에 대입하면
2x¤ -3x-20=0, (2x+5)(x-4)=0
5
∴ x=- 또는 x=4
2
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지53 다민 2540DPI 175LPI
04
주어진 방정식이 이차방정식이므로
a-2+0(cid:100)(cid:100)∴ a+2(cid:100)(cid:100)yy ㉠
x=-1을 주어진 식에 대입하면
(a-2)_(-1)¤ +a¤ _(-1)+4=0
a¤ -a-2=0
(a+1)(a-2)=0
∴ a=-1 또는 a=2(cid:100)(cid:100)yy ㉡
㉠, ㉡에서 a=-1
a=-1을 주어진 식에 대입하면
-3x¤ +x+4=0, 3x¤ -x-4=0
(x+1)(3x-4)=0
∴ x=-1 또는 x=;3$;
따라서 다른 한 근은 x=;3$;이다.
05
x=-3을 x¤ +mx-1=0에 대입하면
(-3)¤ +m_(-3)-1=0
-3m+8=0(cid:100)(cid:100)∴ m=;3*;
또, x=-3을 ;3!;x¤ +2x+n=0에 대입하면
;3!;_(-3)¤ +2_(-3)+n=0
n-3=0(cid:100)(cid:100)∴ n=3
∴ mn=;3*;_3=8
06
⑴ 4x¤ -12x+2k+5=0의 양변을 4로 나누면
(cid:100) x¤ -3x+
2k+5
4
=0
(cid:100) 즉, x¤ -3x+
=0이 중근을 가지려면
2k+5
4
-3
2
2
}
2k+5
4
(cid:100)
={
(cid:100) 2k+5=9(cid:100)(cid:100)∴ k=2
⑵ x¤ -(k+1)x+4=0이 중근을 가지려면
4=[
-(k+1)
2
2
]
, (k+1)¤ =16
07
⑴ 4x¤ +ax+b=0이 중근 x=;2!;을 가지므로
1
4
2
1
2
=0, 4{x¤ -x+ }=0
(cid:100) 4{x- }
(cid:100) 4x¤ -4x+1=0
(cid:100) 따라서 a=-4, b=1이므로
(cid:100) a+b=-3
⑵ x¤ -6x+k=0이 중근을 가지므로
-6
2
}2 =9
(cid:100) k={
(cid:100) k=9를 x¤ +(k-4)x-14=0에 대입하면
(cid:100) x¤ +5x-14=0
(cid:100) (x+7)(x-2)=0
(cid:100) ∴ x=-7 또는 x=2
(cid:100) 따라서 두 근의 합은
-7+2=-5
03
제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이
개념원리 확인하기
본문 123쪽
01 ⑴ 16, —4 ⑵ x=—3 ⑶ x=—2'6
01 ⑷ x=—
⑸ x=—
'2
3
'7
5
02 ⑴ 5, -3 ⑵ x=12 또는 x=-2
⑶ x=-3—3'3 ⑷ x=-2—'3
02 ⑸ x=1 또는 x=-;3%;
03 ⑴ 2, 9, 9, 3, 11, -3—'1å1
03 ⑵ 2, 16, 2, 16, 4, 18, 4—3'2
03 ⑶ x=-5—'2å6 ⑷ x=
5—'4å1
2
(cid:100) k¤ +2k-15=0
(cid:100) (k+5)(k-3)=0
(cid:100) ∴ k=-5 또는 k=3
⑶ x¤ -2(k-1)x+2k¤ -6k+4=0이 중근을 가지려면
-2(k-1)
2
2
]
2k¤ -6k+4=[
(cid:100) 2k¤ -6k+4=(k-1)¤
(cid:100) k¤ -4k+3=0
(cid:100) (k-1)(k-3)=0
(cid:100) ∴ k=1 또는 k=3
01
⑵ 3x¤ =27에서 x¤ =9
∴ x=—3
⑶ 2x¤ -48=0에서 x¤ =24
∴ x=—'2å4=—2'6
⑷ 9x¤ -2=0에서 x¤ =;9@;
∴ x=—Æ;9@; =— '2
3
III. 이차방정식 53
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지54 다민 2540DPI 175LPI
⑸ 25x¤ -7=0에서 x¤ =;2¶5;
∴ x=—Æ…;2¶5; =— '7
5
02
⑵ (x-5)¤ =49에서 x-5=—7
x-5=7 또는 x-5=-7
∴ x=12 또는 x=-2
⑶ 2(x+3)¤ =54에서 (x+3)¤ =27
x+3=—'2å7=—3'3
∴ x=-3—3'3
⑷ 3(x+2)¤ -9=0에서 (x+2)¤ =3
x+2=—'3(cid:100)(cid:100)∴ x=-2—'3
⑸ (3x+1)¤ =16에서 3x+1=—'1å6=—4
3x+1=4 또는 3x+1=-4
∴ x=1 또는 x=-;3%;
03
⑶ x¤ +10x-1=0에서 x¤ +10x=1
x¤ +10x+25=1+25, (x+5)¤ =26
x+5=—'2å6(cid:100)(cid:100)∴ x=-5—'2å6
⑷ 4x¤ -20x-16=0에서 x¤ -5x-4=0
x¤ -5x=4
x¤ -5x+{- }
{x- }
5
2
∴ x=
¤ =
:¢4¡:
5—'4å1
2
5
2
5
¤ =4+{- }
2
'4å1
5
, x- =—
2
2
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 124~125쪽
7
1 ⑴ x=—2'2(cid:100)⑵ x=— (cid:100)⑶ x=—5(cid:100)⑷ x=—'6
4
2 ⑴ x=0 또는 x=6(cid:100)⑵ x=-2—'3
2 ⑶ x=4—'5(cid:100)⑷ x=
3—'5
2
3—'7
2
3—'1å5
2
3 ⑴ x=-4—'3(cid:100)⑵ x=
-7—'8å5
6
3 ⑷ x=
(cid:100)⑸ x=
(cid:100)⑶ x=-2—'5
(cid:100)⑹ x=2—'1å1
4 3
1
⑴ x¤ -8=0에서 x¤ =8
(cid:100) ∴ x=—'8 =—2'2
54 정답과 풀이
⑵ -16x¤ +49=0에서 16x¤ =49
7
4
49
16
49
16
(cid:100) x¤ = (cid:100)(cid:100)∴ x=—æ≠ =—
⑶ 3x¤ -75=0에서 3x¤ =75
(cid:100) x¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ x=—'∂25 =—5
⑷ -2x¤ +12=0에서 2x¤ =12
(cid:100) x¤ =6(cid:100)(cid:100)∴ x=—'6
2
⑴ (x-3)¤ =9에서 x-3=—'9 =—3
(cid:100) x-3=-3 또는 x-3=3
(cid:100) ∴ x=0 또는 x=6
⑵ (x+2)¤ =3에서 x+2=—'3
(cid:100) ∴ x=-2—'3
⑶ 2(x-4)¤ =10에서 (x-4)¤ =5
(cid:100) x-4=—'5(cid:100)(cid:100)∴ x=4—'5
⑷ 2(2x-3)¤ -10=0에서 (2x-3)¤ =5
(cid:100) 2x-3=—'5, 2x=3—'5
3—'5
(cid:100) ∴ x=
2
3
⑴ 상수항을 우변으로 이항하면
(cid:100) x¤ +8x=-13
2
8
2
}
=16을 더하면
(cid:100) 양변에 {
(cid:100) x¤ +8x+16=-13+16
(cid:100) (x+4)¤ =3, x+4=—'3
(cid:100) ∴ x=-4—'3
⑵ 상수항을 우변으로 이항하면
(cid:100) x¤ -3x=-
1
2
(cid:100) 양변에 {
-3
2
2
}
= 를 더하면
(cid:100) x¤ -3x+ =- +
9
4
2
7
4
3—'7
2
(cid:100) {x- }
3
2
(cid:100) ∴ x=
= , x- =—
'7
2
9
4
1
2
9
4
3
2
⑶ (x+3)¤ =2(x+5)에서
(cid:100) x¤ +6x+9=2x+10
(cid:100) x¤ +4x=1
2
4
2
}
=4를 더하면
(cid:100) 양변에 {
(cid:100) x¤ +4x+4=1+4
(cid:100) (x+2)¤ =5, x+2=—'5
(cid:100) ∴ x=-2—'5
¤
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지55 다민 2540DPI 175LPI
⑷ 5x¤ =(2x-1)(x-3)에서
(cid:100) 5x¤ =2x¤ -7x+3
(cid:100) 3x¤ +7x=3
(cid:100) 양변을 3으로 나누면
7
(cid:100) x¤ + x=1
3
(cid:100) 양변에 { _ }
7
3
1
2
2
= 를 더하면
(cid:100) {x+ }
= , x+ =—
'∂85
6
(cid:100) x¤ + x+ =1+
49
36
7
3
7
6
2
85
36
-7—'∂85
6
(cid:100) ∴ x=
49
36
49
36
7
6
3
⑸ 양변에 을 곱하면
2
(cid:100) x¤ -3x=
(cid:100) 양변에 {
-3
2
2
}
9
4
= 를 더하면
(cid:100) x¤ -3x+ = +
3
2
9
4
3
2
= , x- =—
'∂15
2
(cid:100) {x- }
3
2
(cid:100) ∴ x=
2
15
4
3—'∂15
2
⑹ 양변에 2를 곱하면
(cid:100) x¤ -4x-7=0
(cid:100) 상수항을 우변으로 이항하면
(cid:100) x¤ -4x=7
-4
2
2
}
(cid:100) 양변에 {
(cid:100) x¤ -4x+4=7+4
=4를 더하면
(x-2)¤ =11, x-2=—'∂11
(cid:100) ∴ x=2—'∂11
3
2
9
4
x¤ -4x- =0
상수항을 우변으로 이항하면
x¤ -4x=
k
3
k
3
양변에 {
-4
2
}
¤ =4를 더하면
x¤ -4x+4= +4
k
3
(x-2)¤ =
k+12
3
4
3x¤ -12x-k=0에서 양변을 3으로 나누면
x-2=—æ≠
k+12
3
(cid:100)(cid:100)∴ x=2—æ≠
k+12
3
따라서
=5이므로
k+12
3
k=3
계산력 강화하기
01 ⑴ x=—2(cid:100)⑵ x=—'5(cid:100)⑶ x=3 또는 x=-
본문 126쪽
3
2
⑷ x=-8—'∂41(cid:100)⑸ x= 또는 x=-
11
2
9
2
⑹ x=— (cid:100)⑺ x=3 또는 x=-1
'3
2
⑻ x=4—'2(cid:100)⑼ x=-6—'5
⑽ x=5 또는 x=-9
02 ⑴ x=
(cid:100)⑵ x=5—'3(cid:100)⑶ x=
-1—'5
2
⑷ x=
(cid:100)⑸ x= 또는 x=-1
3—'5
2
2—'1å0
2
-5—'4å1
4
-5—'3å7
2
⑹ x=
(cid:100)⑺ x=
⑻ x=
(cid:100)⑼ x=
(cid:100)
1
3
-2—'7
2
-1—'1å7
4
⑽ x=4—3'2
01
⑴ 2x¤ =8에서 x¤ =4
∴ x=—2
⑵ 3x¤ -15=0에서 x¤ =5
∴ x=—'5
⑶ {x-;4#;}
¤ =;1*6!;에서 x-;4#;=—;4(;
x-;4#;=;4(; 또는 x-;4#;=-;4(;
∴ x=3 또는 x=-;2#;
⑷ 3(x+8)¤ =123에서 (x+8)¤ =41
x+8=—'4å1
∴ x=-8—'4å1
2
⑸ 5{x-;2!;}
-125=0에서
2
(cid:100) {x-;2!;}
=25, x-;2!;=—5
(cid:100) x-;2!;=5 또는 x-;2!;=-5
(cid:100) ∴ x=;;¡2¡;; 또는 x=-;2(;
III. 이차방정식 55
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지56 다민 2540DPI 175LPI
⑹ -4x(x-2)=8x-3에서
(cid:100) -4x¤ +8x=8x-3
(cid:100) 4x¤ =3, x¤ =
3
4
(cid:100) ∴ x=—
'3
2
⑺ (x-1)¤ =4에서 x-1=—2
x-1=2 또는 x-1=-2
∴ x=3 또는 x=-1
⑻ 3(x-4)¤ =6에서 (x-4)¤ =2
x-4=—'2(cid:100)(cid:100)∴ x=4—'2
⑼ 4(x+6)¤ -20=0에서 (x+6)¤ =5
x+6=—'5(cid:100)(cid:100)∴ x=-6—'5
⑽ 3(x+2)¤ -147=0에서 (x+2)¤ =49
x+2=—7
x+2=7 또는 x+2=-7
∴ x=5 또는 x=-9
02
⑴ 상수항을 우변으로 이항하면
x¤ -3x=-1
양변에 {
-3
2
¤ =;4(;를 더하면
}
x¤ -3x+;4(;=-1+;4(;
{x-;2#;}
∴ x=
¤ =;4%;, x-;2#;=—
3—'5
2
'5
2
⑵ 상수항을 우변으로 이항하면
x¤ -10x=-22
¤ =25를 더하면
-10
2
}
양변에 {
x¤ -10x+25=-22+25
(x-5)¤ =3, x-5=—'3
∴ x=5—'3
⑶ 상수항을 우변으로 이항하면
x¤ +x=1
양변에 {;2!;}
¤ =;4!;을 더하면
x¤ +x+;4!;=1+;4!;
{x+;2!;}
∴ x=
¤ =;4%;, x+;2!;=—
-1—'5
2
'5
2
⑷ 양변을 2로 나누면
(cid:100) x¤ -2x-;2#;=0
(cid:100) 상수항을 우변으로 이항하면
56 정답과 풀이
(cid:100) x¤ -2x=;2#;
-2
2
(cid:100) 양변에 {
=1을 더하면
(cid:100) x¤ -2x+1= +1
2
}
3
2
(cid:100) (x-1)¤ =;2%;, x-1=—æ;2%; =—
'∂10
2
(cid:100) ∴ x=
2—'∂10
2
⑸ 양변을 9로 나누면
(cid:100) x¤ + x- =0
2
3
2
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
9
4
9
(cid:100) 상수항을 우변으로 이항하면
(cid:100) x¤ + x=
(cid:100) 양변에 { _ }
= 을 더하면
2
3
1
2
2
1
3
1
9
1
9
1
3
(cid:100) x¤ + x+ = +
2
(cid:100) {x+ }
= , x+ =—
2
3
(cid:100) x+;3!;=;3@; 또는 x+;3!;=-;3@;
(cid:100) ∴ x= 또는 x=-1
1
3
⑹ 양변을 2로 나누면
x¤ +;2%;x-1=0
상수항을 우변으로 이항하면
x¤ +;2%;x=1
양변에 {;2%;_;2!;}
¤ =;1@6%;를 더하면
{x+;4%;}
x¤ +;2%;x+;1@6%;=1+;1@6%;
¤ =;1$6!;
'∂41
4
-5—'∂41
4
x+;4%;=—
∴ x=
⑺ 양변을 4로 나누면
x¤ +2x-;4#;=0
상수항을 우변으로 이항하면
x¤ +2x=;4#;
양변에 {;2@;}
¤ =1을 더하면
x¤ +2x+1=;4#;+1
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지57 다민 2540DPI 175LPI
⑻ 3x¤ =(2x-3)(x-1)에서 3x¤ =2x¤ -5x+3
(x+1)¤ =;4&;, x+1=—
-2—'7
2
∴ x=
'7
2
x¤ +5x-3=0
상수항을 우변으로 이항하면
x¤ +5x=3
2
양변에 {;2%;}
=;;™4∞;;를 더하면
x¤ +5x+;;™4∞;;=3+;;™4∞;;
{x+;2%;}
∴ x=
¤ =;;£4¶;;, x+;2%;=—
-5—'∂37
2
'3å7
2
⑼ 상수항을 우변으로 이항하면
x¤ +;2!;x=1
양변에 {;2!;_;2!;}
=;1¡6;을 더하면
2
x¤ +;2!;x+;1¡6;=1+;1¡6;
{x+;4!;}
∴ x=
¤ =;1!6&;, x+;4!;=—
-1—'∂17
4
'1å7
4
⑽ 양변에 2를 곱하면
(cid:100) x¤ -8x-2=0
(cid:100) 상수항을 우변으로 이항하면
(cid:100) x¤ -8x=2
2
-8
2
}
=16을 더하면
(cid:100) 양변에 {
(cid:100) x¤ -8x+16=2+16
(cid:100) (x-4)¤ =18, x-4=—3'2
(cid:100) ∴ x=4—3'2
이런 문제가 시험에 나온다
본문 127쪽
01 ⑤
02 ③
03 1
04 9
05 ;;¡9§;;
06 ⑴ -15(cid:100)⑵ -11(cid:100)⑶ 27
01
3x¤ -5=0에서 3x¤ =5
x¤ = (cid:100)(cid:100)∴ x=—æ =— '∂15
5
3
5
3
3
02
03
04
(2x-1)¤ -9=0에서 (2x-1)¤ =9
2x-1=—3
2x-1=-3 또는 2x-1=3
∴ x=-1 또는 x=2
따라서 두 근의 합은 -1+2=1
3(x-2)¤ =k+1이 중근을 가지려면
k+1=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-1
3(x-2)¤ =0에서 (x-2)¤ =0
∴ x=2 (중근)(cid:100)(cid:100)∴ a=2
∴ a+k=2-1=1
-4
2
=4를 더하면
2x¤ -8x+2=0의 양변을 2로 나누면
x¤ -4x+1=0, x¤ -4x=-1
2
}
양변에 {
x¤ -4x+4=-1+4
(x-2)¤ =3(cid:100)(cid:100)∴ x=2—'3
따라서 A=4, B=2, C=3이므로
A+B+C=4+2+3=9
05
3x¤ +4x-2=0에서 x¤ + x- =0
4
3
2
3
4
양변에 { _ }
3
1
2
2
= 를 더하면
4
x¤ + x=
3
2
3
4
9
4
9
10
9
x¤ + x+ = +
2
3
4
3
2
3
2
{x+ }
=
4
9
10
9
2
3
2
A+B= + =
3
10
9
16
9
따라서 A= , B= 이므로
06
⑴ 16(x+a)¤ =b에서 (x+a)¤ =
b
16
(cid:100) x+a=—
(cid:100) ∴ x=-a—
'b
4
'b
4
(cid:100) 따라서 a=-5, b=3이므로
(cid:100) ab=-5_3=-15
⑵ x¤ -10x-2k=0에서 x¤ -10x=2k
2
=25를 더하면
(cid:100) 양변에 {
(cid:100) x¤ -10x+25=2k+25
}
-10
2
III. 이차방정식 57
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지58 다민 2540DPI 175LPI
(cid:100) (x-5)¤ =2k+25
(cid:100) ∴ x=5—'ƒ2k+25
(cid:100) 따라서 2k+25=3이므로 k=-11
⑶ 9(x-4)¤ =k에서 (x-4)¤ =
k
9
(cid:100) 이때 두 근의 곱이 13이므로
(cid:100) {4+ } {4- }=13
'k
3
(cid:100) x-4=—
(cid:100) ∴ x=4—
'k
3
'k
3
'k
3
k
9
(cid:100) 16- =13
(cid:100) ∴ k=27
▶ 다른풀이
⑴ x=5— 에서 x-5=—
'3
4
(cid:100) 양변을 제곱하면 (x-5)¤ =
'3
4
3
16
(cid:100) ∴ 16(x-5)¤ =3
(cid:100) 따라서 a=-5, b=3이므로
(cid:100) ab=-5_3=-15
⑵ x=5—'3에서 x-5=—'3
(cid:100) 양변을 제곱하면 (x-5)¤ =3
(cid:100) ∴ x¤ -10x+22=0
(cid:100) 따라서 -2k=22이므로 k=-11
Step (기본문제)
본문 128~129쪽
01 ①, ④ 02 ⑤
06 x=-5 07 3
03 ⑤
08 ⑤
04 ①, ④ 05 ④
09 ㈎
(cid:100)㈏
(cid:100)㈐
(cid:100)㈑
;1ª6;
;4#;
;1!6&;
-3—'1å7
4
10 ;2&;
11 -14
13 ⑴ 6(cid:100)⑵ 8
12 ⑴ k=2, x=4 (중근)(cid:100)⑵ k=12, x=2 (중근)
01
② 등호가 없으므로 방정식이 아니다.
③ x¤ -x-6=x¤ +x+3
-2x-9=0
따라서 이차방정식이 아니다.
⑤ x¤ -2x+1=x¤ +3
58 정답과 풀이
-2x-2=0
따라서 이차방정식이 아니다.
02
⑤ x=-3을 (x+1)(x+2)=2에 대입하면
(-3+1)(-3+2)=2
03
⑤ x¤ -5x+4=0에 x=-1을 대입하면
(-1)¤ -5_(-1)+4+0
04
① x¤ -2x+1=0에서 (x-1)¤ =0
∴ x=1 (중근)
② x¤ -10x+9=0에서 (x-1)(x-9)=0
∴ x=1 또는 x=9
③ 3x¤ =9에서 x¤ =3(cid:100)(cid:100)∴ x=—'3
④ 4x¤ +12x+9=0에서 (2x+3)¤ =0
(cid:100) ∴ x=- (중근)
3
2
⑤ (x-1)¤ =25에서 x-1=—5
(cid:100) ∴ x=6 또는 x=-4
05
3(2x-1)¤ =9에서 (2x-1)¤ =3
2x-1=—'3, 2x=1—'3
∴ x=
1—'3
2
06
x¤ +3x-10=0에서 (x+5)(x-2)=0
∴ x=-5 또는 x=2
2x¤ +7x-15=0에서 (x+5)(2x-3)=0
∴ x=-5 또는 x=
3
2
따라서 공통인 근은 x=-5이다.
07
2(x+a)¤ =b에서 (x+a)¤ =
;2B;
x+a=—æ;2B;
∴ x=-a—æ;2B;
따라서 -a=3,
=3이므로
;2B;
a=-3, b=6
∴ a+b=3
▶ 다른풀이
x=3—'3에서 x-3=—'3
양변을 제곱하면 (x-3)¤ =3
∴ 2(x-3)¤ =6
따라서 a=-3, b=6이므로
a+b=3
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지59 다민 2540DPI 175LPI
08
x¤ -6x+9=0에서 (x-3)¤ =0
∴ x=3 (중근)
x=3을 2x¤ -ax+3=0에 대입하면
2_3¤ -a_3+3=0
∴ a=7
a=7을 2x¤ -ax+3=0에 대입하면
2x¤ -7x+3=0
(2x-1)(x-3)=0
∴ x= 또는 x=3
1
2
따라서 다른 한 근은 x=
09
2x¤ +3x-1=0의 양변을 2로 나누면
x¤ + x- =0, x¤ + x=
1
2
3
양변에 { _ }
2
1
2
2
9
16
= 를 더하면
x¤ + x+ = +
9
16
1
2
9
16
3
2
3
2
1
2
3
2
{x+ }
3
4
2
=
17
16
∴ x=
-3—'∂17
4
10
2x¤ -8x+5=0에서 x¤ -4x+ =0
1
2
5
2
x¤ -4x=-
5
2
양변에 {
-4
2
2
}
=4를 더하면
x¤ -4x+4=- +4
(x-2)¤ =
3
2
5
2
3
2
따라서 a=2, b= 이므로
a+b=
7
2
11
x=-3을 2x¤ +ax-6=0에 대입하면
2_(-3)¤ +a_(-3)-6=0
∴ a=4
x=-3을 x¤ -3x-b=0에 대입하면
(-3)¤ -3_(-3)-b=0
∴ b=18
∴ a-b=4-18=-14
12
⑴ x¤ -8x+6k+4=0이 중근을 가지려면
2
-8
2
}
=16
6k+4={
∴ k=2
k=2를 x¤ -8x+6k+4=0에 대입하면
x¤ -8x+16=0, (x-4)¤ =0
∴ x=4 (중근)
⑵ 3x¤ -12x+k=0의 양변을 3으로 나누면
x¤ -4x+ =0
k
3
k
3
x¤ -4x+ =0이 중근을 가지려면
k
3
-4
2
2
}
=4
={
∴ k=12
k=12를 3x¤ -12x+k=0에 대입하면
3x¤ -12x+12=0, x¤ -4x+4=0
(x-2)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (중근)
13
⑴ x=p를 x¤ -6x-1=0에 대입하면
(cid:100) p¤ -6p-1=0
(cid:100) 양변을 p(p+0)로 나누면
(cid:100) p-6- =0(cid:100)(cid:100)∴ p- =6
1
p
1
p
⑵ x=a를 x¤ +5x-10=0에 대입하면
a¤ +5a-10=0
a¤ +5a=10
∴ a¤ +5a-2=10-2=8
Step (발전문제)
본문 130~131쪽
01 ⑤
02 64
03 ①
05 ②
04 ;2%;
09 ①
06 8
07 2
08 ①
10 x=7
11 -12
12 ④
13 -12
14 ⑴ a=2, x=2(cid:100)⑵ x=5
01
2x¤ -4x=-1의 양변을 2로 나누면
x¤ -2x=-
1
2
양변에 {
-2
2
}
2
=1을 더하면
x¤ -2x+1=- +1
1
2
III. 이차방정식 59
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지60 다민 2540DPI 175LPI
1
(x-1)¤ = , x-1=—
2
2—'2
2
∴ x=
'2
2
따라서 a=2, b=2이므로
ab=4
02
16(x-3)¤ =k에서 (x-3)¤ =
x-3=— (cid:100)(cid:100)∴ x=3—
'k
4
두 근의 곱이 5이므로
{3+ } {3- }=5
'k
4
'k
4
k
16
'k
4
k
9- =5
16
∴ k=64
1
2
1
2
03
{x+ }
¤ -k+3=0에서
¤ =k-3
{x+ }
이차방정식이 해를 갖기 위해서는
k-3æ0(cid:100)(cid:100)∴ kæ3
따라서 k의 값으로 옳지 않은 것은 ①이다.
04
x¤ +3x+2=0에서 (x+1)(x+2)=0
∴ x=-1 또는 x=-2
3x¤ +x-10=0에서 (3x-5)(x+2)=0
∴ x= 또는 x=-2
5
3
따라서 공통인 근은 x=-2이므로 x=-2를
3x¤ +2mx-2=0에 대입하면
3_(-2)¤ +2m_(-2)-2=0
∴ m=
5
2
05
x¤ -6x+k¤ +2k-6=0이 중근을 가지므로
2
}
-6
2
k¤ +2k-6={
k¤ +2k-15=0
(k+5)(k-3)=0
∴ k=-5 또는 k=3
그런데 k>0이므로 k=3
06
3A=2B에서
3(x¤ -3x-18)=2(x¤ -2x-15)
x¤ -5x-24=0
60 정답과 풀이
(x+3)(x-8)=0
∴ x=-3 또는 x=8(cid:100)(cid:100)yy ㉠
이때 B+0에서 x¤ -2x-15+0
(x+3)(x-5)+0
∴ x+-3이고 x+5(cid:100)(cid:100) yy ㉡
㉠, ㉡에서 x=8
07
x¤ +(3k-2)x+2k=0이 중근을 가지려면
3k-2
2
2k={
9k¤ -20k+4=0, (k-2)(9k-2)=0
9k¤ -12k+4
4
¤ , 2k=
}
∴ k=2 또는 k=
2
9
이때 k는 자연수이므로
k=2
08
x¤ -12x+8a-4=0이 중근을 가지므로
-12
2
2
}
=36
8a-4={
∴ a=5
a=5를 x¤ -12x+8a-4=0에 대입하면
x¤ -12x+36=0
(x-6)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (중근)
∴ b=6
∴ b-a=6-5=1
09
x¤ +ax+2-4a=0에 x=-5를 대입하면
(-5)¤ +a_(-5)+2-4a=0
∴ a=3
a=3을 x¤ +ax+2-4a=0에 대입하면
x¤ +3x-10=0, (x-2)(x+5)=0
따라서 다른 한 근은 x=2이다.
x=2가 x¤ +bx+c=0의 중근이므로
x¤ +bx+c=(x-2)¤ =x¤ -4x+4
∴ b=-4, c=4
∴ a+b+c=3-4+4=3
10
이차방정식 x¤ -4x+k=0이 중근을 가지려면
2
-4
2
}
=4
k={
k=4를 x¤ +(k-14)x+21=0에 대입하면
x¤ -10x+21=0, (x-3)(x-7)=0
∴ x=3 또는 x=7
k=4를 2x¤ -(3k+1)x-7=0에 대입하면
2x¤ -13x-7=0, (2x+1)(x-7)=0
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지61 다민 2540DPI 175LPI
1
∴ x=- 또는 x=7
2
따라서 공통인 근은 x=7이다.
11
x=3을 x¤ +2x+a=0에 대입하면
3¤ +2_3+a=0
∴ a=-15
또, 이차방정식 x¤ +bx+c=0이 중근 x=3을 가지므로
x¤ +bx+c=(x-3)¤ =x¤ -6x+9
∴ b=-6, c=9
∴ a+b+c=-15-6+9=-12
⑵ x=-2를 a(x+1)(x-4)+b=0에 대입하면
yy ㉡
a(-2+1)(-2-4)+b=0
6a+b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=-6a(cid:100)(cid:100)yy ㉠
㉠을 a(x+1)(x-4)+b=0에 대입하면
a(x+1)(x-4)-6a=0
a+0이므로 ㉡의 양변을 a로 나누면
(x+1)(x-4)-6=0
x¤ -3x-10=0
(x+2)(x-5)=0
∴ x=-2 또는 x=5
따라서 다른 한 근은 x=5
12
2x¤ +9xy-5y¤ =0에서
(2x-y)(x+5y)=0
∴ x= 또는 x=-5y
y
2
그런데 xy<0이므로 x=-5y
∴
x¤ -5y¤
xy
=
25y¤ -5y¤
-5y¤
=
20y¤
-5y¤
=-4
13
x=p를 x¤ +3x-1=0에 대입하면
p¤ +3p-1=0(cid:100)(cid:100)∴ p¤ +3p=1
또, x=q를 x¤ -5x-2=0에 대입하면
q¤ -5q-2=0(cid:100)(cid:100)∴ q¤ -5q=2
∴ (2p¤ +6p-5)(q¤ -5q+2)
={2(p¤ +3p)-5}(q¤ -5q+2)
=(2_1-5)_(2+2)
=-12
a-1+0(cid:100)(cid:100)∴ a+1
x=1을 (a-1)x¤ -(a¤ -1)x+2(a-1)=0에
대입하면
a-1-a¤ +1+2a-2=0
a¤ -3a+2=0
(a-1)(a-2)=0
∴ a=1 또는 a=2
그런데 a+1이므로 a=2
a=2를 (a-1)x¤ -(a¤ -1)x+2(a-1)=0에 대
입하면
x¤ -3x+2=0
(x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x=2
따라서 다른 한 근은 x=2
Step
( )
본문 132쪽
01 a+-2이고 a+4 02 ①
03 ③
04 -2
05 ③
06 ⑴ 5(cid:100)⑵ 0(cid:100)⑶ 59
01
(a¤ -2a)x¤ +ax-2=8x¤ +x에서
(a¤ -2a-8)x¤ +(a-1)x-2=0
이때 주어진 방정식이 이차방정식이 되려면
a¤ -2a-8+0, (a+2)(a-4)+0
∴ a+-2이고 a+4
02
⁄ xæ0일 때, |x|=x이므로 주어진 방정식은
x¤ -4x+3=0
(x-1)(x-3)=0
∴ x=1 또는 x=3
x¤ +4x+3=0
(x+1)(x+3)=0
∴ x=-1 또는 x=-3
⁄, ¤에서 모든 근의 곱은
1_3_(-1)_(-3)=9
03
(x-1)(x-a)=0에서 x=1 또는 x=a
두 이차방정식의 해가 서로 같으므로 x=1을
x¤ +2bx-5=0에 대입하면
1+2b-5=0(cid:100)(cid:100)∴ b=2
b=2를 x¤ +2bx-5=0에 대입하면
x¤ +4x-5=0, (x+5)(x-1)=0
∴ x=-5 또는 x=1
따라서 a=-5이므로
a+b=-5+2=-3
III. 이차방정식 61
14
⑴ 주어진 방정식이 x에 관한 이차방정식이므로
¤ x<0일 때, |x|=-x이므로 주어진 방정식은
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지62 다민 2540DPI 175LPI
래프가 제4사분면을 지나지 않아야 하므로
1
1단계
3x¤ -9x+5=0에서 양변을 3으로 나누면
04
ax+2y=4의 그래프가 점 (a+4, a¤ )을 지나므로
a(a+4)+2a¤ =4
3a¤ +4a-4=0, (a+2)(3a-2)=0
∴ a=-2 또는 a=
2
3
이때 일차방정식 ax+2y=4, 즉 y=- x+2의 그
a
2
(기울기)=- æ0, 즉 a…0이어야 하므로
a
2
a=-2
05
¤ --6=0에서
(+2)(-3)=0
∴ =-2 또는 =3
그런데 약수의 개수는 음수가 될 수 없으므로
=3
약수의 개수가 3개인 것은 소수의 제곱인 수이므로 30
이하의 자연수 중에서는 4, 9, 25의 3개이다.
06
⑴ x=k를 x¤ +x-1=0에 대입하면
k¤ +k-1=0에서
1-k¤ =k, 1-k=k¤
∴
2k
1-k¤
+
3k¤
1-k
2k
= +
k
3k¤
k¤
=2+3=5
⑵ x=a를 2x¤ +x-2=0에 대입하면
2a¤ +a-2=0
∴ 4afi +2a› -4a‹ +2a¤ +a-2
=2a‹ (2a¤ +a-2)+(2a¤ +a-2)
=(2a¤ +a-2)(2a‹ +1)
=0_(2a‹ +1)
=0
⑶ x=a를 x¤ -6x+1=0에 대입하면
a¤ -6a+1=0(cid:100)(cid:100)yy ㉠
㉠의 양변을 a(a+0)로 나누면
a-6+ =0(cid:100)(cid:100)∴ a+ =6
1
a
1
a
∴ a¤ +5a-5+ +
5
a
1
a¤
2
1
a
={a¤ + }+5{a+ }-5
1
a
1
a¤
1
=[{a+ }
a
=6¤ -2+5_6-5
=59
-2]+5{a+ }-5
62 정답과 풀이
서술형 대비 문문제제
본문 133~134쪽
1 x=
9—'2å1
6
4 a=-3, x=-
;5$;
2 :™2¡:
5 -2
3 -3
6 13
x¤ -3x+ =0, x¤ -3x=-
5
3
5
3
x¤ -3x+{
-3
2
5
¤ =- +{
}
3
-3
2
}
{x-;2#;}
2단계
3
x- =—
2
¤ =
7
12
'2å1
6
9—'2å1
6
∴ x=
2
1단계
x=-;2!;을 x¤ +ax+1=0에 대입하면
¤ +a_{-;2!;}+1=0
{-;2!;}
∴ a=
;2%;
2단계
즉, x¤ +ax+1=0은 x¤ +;2%;x+1=0이므로
2x¤ +5x+2=0, (2x+1)(x+2)=0
∴ x=-;2!; 또는 x=-2
따라서 다른 한 근은 x=-2이다.
x=-2를 3x¤ +2x+b=0에 대입하면
3_(-2)¤ +2_(-2)+b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=-8
3단계
∴ a-b=;2%;+8=;;™2¡;;
3 1단계
(x+3)¤ =4(x+6)에서
x¤ +2x-15=0
(x+5)(x-3)=0
∴ x=-5 또는 x=3(cid:100)(cid:100)yy ㉠
또, x¤ +3x-18=0에서
(x-3)(x+6)=0
∴ x=3 또는 x=-6(cid:100)(cid:100)yy ㉡
㉠, ㉡에서 공통인 근은 x=3
따라서 세 이차방정식의 공통인 근은 x=3이다.
x=3을 2x¤ +mx-9=0에 대입하면
2_3¤ +3m-9=0
∴ m=-3
2단계
3단계
¤
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지63 다민 2540DPI 175LPI
단계
채점요소
두 이차방정식 (x+3)¤ =4(x+6),
x¤ +3x-18=0 풀기
1
2
3
공통인 근 구하기
m의 값 구하기
배점
2점
1점
2점
채점요소
단계
1
2
3
k의 값 구하기
두 근의 곱 구하기
이차방정식 2x¤ -(k-3)x+k=0 풀기
배점
4점
2점
1점
4 1단계
주어진 방정식이 이차방정식이므로
a-2+0(cid:100)(cid:100)∴ a+2(cid:100)(cid:100)yy ㉠
x=-1을 (a-2)x¤ -a¤ x-4=0에 대입하면
(a-2)_(-1)¤ -a¤ _(-1)-4=0
a¤ +a-6=0, (a+3)(a-2)=0
∴ a=-3 또는 a=2(cid:100)(cid:100)yy ㉡
㉠, ㉡에서 a=-3
a=-3을 (a-2)x¤ -a¤ x-4=0에 대입하면
-5x¤ -9x-4=0, 5x¤ +9x+4=0
(5x+4)(x+1)=0
2단계
∴ x=- 또는 x=-1
4
5
3단계
따라서 이차방정식의 다른 한 근은
x=-
4
5
단계
채점요소
1
2
3
a의 값 구하기
이차방정식 풀기
다른 한 근 구하기
배점
3점
2점
1점
5 1단계
(x+3)¤ =k(x+4)에서
x¤ +6x+9=kx+4k
x¤ +(6-k)x+9-4k=0
중근을 가지려면
2
=9-4k
6-k
2
}
{
k¤ +4k=0, k(k+4)=0
∴ k=0 또는 k=-4
그런데 k+0이므로 k=-4
k=-4를 2x¤ -(k-3)x+k=0에 대입하면
2x¤ +7x-4=0
(x+4)(2x-1)=0
2단계
∴ x=-4 또는 x=
1
2
3단계
따라서 두 근의 곱은
1
-4_ =-2
2
6 1단계
일차항의 계수와 상수항을 바꾸어 놓은 이차방정
식은
x¤ +2ax+a+2=0
x=-1이 x¤ +2ax+a+2=0의 한 근이므로
(-1)¤ +2a_(-1)+a+2=0
∴ a=3
따라서 처음 이차방정식은
x¤ +(a+2)x+2a=0에 a=3을 대입하면
x¤ +5x+6=0
(x+2)(x+3)=0
∴ x=-2 또는 x=-3
∴ a¤ +b¤ =(-2)¤ +(-3)¤ =13
2단계
3단계
채점요소
단계
1
2
3
a의 값 구하기
처음 이차방정식 구하기
a¤ +b¤ 의 값 구하기
배점
3점
3점
2점
III. 이차방정식 63
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지64 다민 2540DPI 175LPI
2 이차방정식의 활용
01
이차방정식의 근의 공식
01 ⑴ x=
-(-7)—"√(-7)¤ -4_2_4
2_2
=
7—'1å7
4
⑶ x=
5—'7å3
8
개념원리 확인하기
⑵ x=
⑷ x=
-5—'4å1
4
1—'6å1
6
02 ⑴ b'=-3,
(cid:100) x=
-(-3)—"√(-3)¤ -5_(-2)
5
=
3—'1å9
5
⑵ x=-2—'6 ⑶ x=
-4—'3å0
2
⑷ x=
1—'7
2
03 ⑴ ① t¤ -4t-5=0 ② (t+1)(t-5)=0, -1, 5
③ 2, 8
⑵ x=0 또는 x=-3 ⑶ x=;3@; 또는 x=2
01
⑵ 2x¤ +5x-2=0 ⇨ a=2, b=5, c=-2
-5—"√5¤ -4_2_(-2)
2_2
∴ x=
⑶ 4x¤ -5x-3=0 ⇨ a=4, b=-5, c=-3
-(-5)—"√(-5)¤ -4√_4_(-3)
2_4
∴ x=
⑷ 3x¤ -x-5=0 ⇨ a=3, b=-1, c=-5
∴ x=
-(-1)—"√(-1)¤ -4√_3_(-5)
2_3
=
-5—'4å1
4
=
5—'7å3
8
=
1—'6å1
6
02
⑵ x¤ +4x-2=0 ⇨ a=1, b'=2, c=-2
-2—"√2¤ -1_(-2)
1
=-2—'6
∴ x=
⑶ 2x¤ -2x-3=0 ⇨ a=2, b'=-1, c=-3
∴ x=
-(-1)—"√(-1)¤ -2_(-3)
2
=
1—'7
2
64 정답과 풀이
⑷ 2x¤ +8x-7=0 ⇨ a=2, b'=4, c=-7
-4—"√4¤ -2_(-7)
2
-4—'3å0
2
∴ x=
=
본문 138쪽
03
⑵ x+2=t로 치환하면
t¤ -t-2=0, (t-2)(t+1)=0
∴ t=2 또는 t=-1
즉, x+2=2 또는 x+2=-1
∴ x=0 또는 x=-3
⑶ x-1=t로 치환하면
;2!;t¤ -;3!;t-;6!;=0
양변에 6을 곱하면
3t¤ -2t-1=0, (3t+1)(t-1)=0
∴ t=-;3!; 또는 t=1
즉, x-1=-;3!; 또는 x-1=1
∴ x=;3@; 또는 x=2
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 139~141쪽
1 ⑴ x=-1 또는 x=4(cid:100)⑵ x=
5—'ß37
6
1 ⑶ x=
-2—'2
2
(cid:100)⑷ x=
-3—'ß21
4
2 -1
4 9
3 ⑴ x=-2—'2(cid:100)⑵ x=
4—'ß10
3
2 ⑶ x=
3—'3
6
3
(cid:100)⑷ x= (중근)
2
5 ⑴ x=
-3—'ß21
2
(cid:100)⑵ x=
5 ⑶ x=
-3—'∂193
4
(cid:100)⑷ x=
1—'ß61
2
5—'ß65
20
8
3
5 ⑸ x= 또는 x=2(cid:100)⑹ x=- 또는 x=2
1
6
6 '6
7
2
3
1
⑴ 근의 공식에 a=1, b=-3, c=-4를 대입하면
-(-3)—"√(-3)¤ -4_√1_(-4)
2_1
(cid:100) x=
=
3—'ß25
2
=
3—5
2
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지65 다민 2540DPI 175LPI
∴ x=-1 또는 x=4
⑵ 근의 공식에 a=3, b=-5, c=-1을 대입하면
-(-5)—"√(-5)¤ -4_√3_(-1)
2_3
(cid:100) x=
따라서
이므로
k=9
3—'ß9+k
k
=
1—'2
3
=
3—3'2
9
=
3—'ß18
9
=
5—'ß37
6
⑶ 근의 공식에 a=2, b=4, c=1을 대입하면
(cid:100) x=
-4—"√4¤ -4_2_1
2_2
=
-4—'8
4
=
-4—2'2
4
=
-2—'2
2
⑷ 근의 공식에 a=4, b=6, c=-3을 대입하면
-6—'ß84
8
-6—"√6¤ -4_4_(-3)
2_4
(cid:100) x=
=
=
-6—2'ß21
8
=
-3—'ß21
4
2
근의 공식에 a=2, b=-3, c=k를 대입하면
x=
-(-3)—"√(-3)¤ -4_2_k
2_2
=
3—'ß9-8k
4
따라서 9-8k=17이므로
k=-1
3
⑴ 짝수 공식에 a=1, b'=2, c=2를 대입하면
(cid:100) x=
-2—"√2¤ -1_2
1
=-2—'2
⑵ 양변에 -1을 곱하면
(cid:100) 3x¤ -8x+2=0
(cid:100) 짝수 공식에 a=3, b'=-4, c=2를 대입하면
(cid:100) x=
-(-4)—"√(-4)¤ -3_2
3
⑶ 짝수 공식에 a=6, b'=-3, c=1을 대입하면
(cid:100) x=
-(-3)—"√(-3)¤ -6_1
6
⑷ 짝수 공식에 a=4, b'=-6, c=9를 대입하면
(cid:100) x=
-(-6)—"√(-6)¤ -4_9
4
=
4—'ß10
3
=
3—'3
6
= (중근)
3
2
4
짝수 공식에 a=k, b'=-3, c=-1을 대입하면
x=
-(-3)—"‘(-3)¤ -k_(-1)
k
5
⑴ 3(x-2)¤ =7x¤ 에서 3(x¤ -4x+4)=7x¤
4x¤ +12x-12=0
x¤ +3x-3=0
∴ x=
-3—"√3¤ -4_1_(-3)
2_1
=
-3—'ß21
2
⑵ 양변에 분모의 최소공배수 15를 곱하면
3x(x-1)=5(x-3)(x+2)
2x¤ -2x-30=0
x¤ -x-15=0
∴ x=
-(-1)—"√(-1)¤ -4_√1_(-15)
2_1
=
1—'ß61
2
⑶ 양변에 분모의 최소공배수 6을 곱하면
2(x¤ -2)+3(x-6)=1
2x¤ +3x-23=0
∴ x=
-3—"√3¤ -4_2_(-23)
2_2
=
-3—'∂193
4
⑷ 양변에 10을 곱하면
10x¤ -5x-1=0
=
5—'ß65
20
⑸ 양변에 10을 곱하면
∴ x=
-(-5)—"√(-5)¤ -4_√10_(-1)
2_10
2(3x-1)¤ =10x(1.2x+0.1)
18x¤ -12x+2=12x¤ +x
6x¤ -13x+2=0, (6x-1)(x-2)=0
∴ x= 또는 x=2
⑹ x+3=t로 치환하면
3t¤ -16t+5=0, (3t-1)(t-5)=0
1
6
1
3
∴ t= 또는 t=5
즉, x+3= 또는 x+3=5
1
3
8
∴ x=- 또는 x=2
3
III. 이차방정식 65
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지66 다민 2540DPI 175LPI
6
양변에 분모의 최소공배수 8을 곱하면
2x(x+4)-4x=1, 2x¤ +4x-1=0
-2—'6
2
-2+'6
2
-2+'6
2
-
∴ x=
따라서 a=
a-b=
='6
, b=
-2-'6
2
이므로
-2-'6
2
7
x-y=t로 치환하면
3t¤ +7t-6=0, (3t-2)(t+3)=0
∴ t= 또는 t=-3
∴ x-y= (∵ x-y>0)
2
3
2
3
계산력 강화하기
본문 142쪽
01 ⑴ x=
(cid:100)⑵ x=
-1—'5
2
-7—'ß29
10
⑶ x=
-5—'ß33
4
(cid:100)⑷ x=
5—'ß29
2
⑸ x=
-2—'2
3
(cid:100)⑹ x=1—'3
⑺ x=2—'3(cid:100)⑻ x=2—2'3
⑼ x=
-4—'ß70
6
(cid:100)⑽ x=
1—'ß11
3
1
⑾ x=- 또는 x=
2
5
4
⑿ x=
-5—'ß29
4
(cid:100)⒀ x=
4—'ß46
3
⒁ x=
(cid:100)⒂ x=
6—'ß31
5
1—'ß41
10
⒃ x=
-9—3'ß13
2
(cid:100)⒄ x=
5—'ß37
3
⒅ x=
(cid:100)⒆ x=
6—2'3
3
3—'5
4
01
⑶ 2x¤ =1-5x에서 2x¤ +5x-1=0
-5—"‘5¤ -4_2_(-1)
2_2
∴ x=
=
-5—'3å3
4
66 정답과 풀이
⑷ 2x¤ -1=x(x+5)에서 2x¤ -1=x¤ +5x
x¤ -5x-1=0
∴ x=
-(-5)—"‘(-5)¤ -4_1_‘(-1)
2_1
=
5—'2å9
2
⑺ x¤ -4x=-1에서 x¤ -4x+1=0
-(-2)—"‘(-2)¤ -1_1
1
∴ x=
=2—'3
⑻ 5(x-1)¤ +7x=(2x-3)(3x+1)에서
5(x¤ -2x+1)+7x=6x¤ -7x-3
x¤ -4x-8=0
∴ x=
-(-2)—"‘(-2)¤ -1_(-8)
1
=2—'1å2
=2—2'3
⑼ 양변에 분모의 최소공배수 12를 곱하면
6x¤ +8x-9=0
∴ x=
-4—"‘4¤ -6_(-9)
6
=
-4—'7å0
6
⑽ 양변에 분모의 최소공배수 12를 곱하면
9x¤ -6x-10=0
∴ x=
-(-3)—"‘(-3)¤ -9_(-10)
9
1—'1å1
3
3—'9å9
9
=
=
⑾ 양변에 분모의 최소공배수 6을 곱하면
8x¤ -6x-5=0
(2x+1)(4x-5)=0
∴ x=-;2!; 또는 x=;4%;
⑿ 양변에 10을 곱하면
4x¤ +10x-1=0
∴ x=
-5—"‘5¤ -4_(-1)
4
=
-5—'2å9
4
⒀ 양변에 10을 곱하면
3x¤ -8x-10=0
=
4—'4å6
3
⒁ 양변에 10을 곱하면
10(x¤ -2x+1)=4(x+2)
⒇ x=- 또는 x=0(cid:100)(cid:9047) x= 또는 x=
9
7
3
7
7
5
∴ x=
-(-4)—"‘(-4)¤ -3_(-10)
3
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지67 다민 2540DPI 175LPI
10x¤ -20x+10=4x+8
5x¤ -12x+1=0
∴ x=
-(-6)—"‘(-6)¤ -5_1
5
=
6—'3å1
5
⒂ 양변에 10을 곱하면
10x¤ -2x-4=0, 5x¤ -x-2=0
∴ x=
-(-1)—"‘(-1)¤ -4_5_‘(-2)
2_5
=
1—'4å1
10
⒃ 양변에 6을 곱하면
x¤ +9x=9, x¤ +9x-9=0
∴ x=
-9—"‘9¤ -4_1_(-9)
2_1
=
=
-9—'∂117
2
-9—3'1å3
2
⒄ 양변에 6을 곱하면
(x-2)(3x+2)=6x, 3x¤ -4x-4=6x
3x¤ -10x-4=0
∴ x=
-(-5)—"‘(-5)¤ -3_(-4)
3
=
5—'3å7
3
⒅ 양변에 100을 곱하면
5x¤ -12x=(x+2)(2x-4)
5x¤ -12x=2x¤ -8
3x¤ -12x+8=0
∴ x=
-(-6)—"√(-6)¤ -3_8
3
=
6—2'3
3
⒆ x-2=t로 치환하면
(cid:100) 4t¤ +10t+5=0
(cid:100) ∴ t=
(cid:100) ∴ t=
-5—"√5¤ -4_5
4
-5—'5
4
-5—'5
4
이므로
(cid:100) 즉, x-2=
(cid:100) x=
3—'5
4
⒇ 양변에 10을 곱하면
5(x+1)¤ -3(x+1)-2=0
5(x¤ +2x+1)-3x-3-2=0
5x¤ +7x=0, x(5x+7)=0
∴ x=0 또는 x=-;5&;
(cid:9047) 7x-5=t로 치환하면
(cid:100) t¤ -2t-8=0, (t-4)(t+2)=0
∴ t=4 또는 t=-2
즉, 7x-5=4 또는 7x-5=-2
∴ x= 또는 x=
9
7
3
7
이런 문제가 시험에 나온다
본문 143쪽
01 ③
02 ③
03 ②
04 ②
05 ⑴ x=0 또는 x= (cid:100)⑵ x=
2
3
1—'7
3
05 ⑶ x=
-3—'2å1
3
(cid:100)⑷ x=;2!; 또는 x=0
06 -5
01
x=
-(-5)—"√(-5)¤ -4_3_k
2_3
=
5—'2ß5-12åk
6
=
5—'ß37
6
따라서 25-12k=37이므로
k=-1
02
양변에 분모의 최소공배수 15를 곱하면
3x¤ -6x-5=0
∴ x=
-(-3)—"√(-3)¤ -3√_(-5)
3
3—2'6
3
3—'ß24
3
=
=
따라서 A=3, B=6이므로
B-A=6-3=3
03
x-y=t로 치환하면
t(t-6)=16, t¤ -6t-16=0
(t+2)(t-8)=0
∴ t=-2 또는 t=8
그런데 x>y이므로 x-y>0
∴ x-y=8
04
x+ =t로 치환하면
1
2
3t¤ -2t-1=0, (3t+1)(t-1)=0
III. 이차방정식 67
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지68 다민 2540DPI 175LPI
1
∴ t=- 또는 t=1
3
1
즉, x+ =- 또는 x+ =1
3
1
2
1
2
5
∴ x=- 또는 x=
6
1
2
∴ p+q=- +
1
2
5
6
1
3
=-
05
⑴ 양변에 분모의 최소공배수 10을 곱하면
(cid:100) 2(x¤ +x)-5(3x¤ +2)=10(-x¤ -1)
(cid:100) 3x¤ -2x=0, x(3x-2)=0
(cid:100) ∴ x=0 또는 x=
2
3
⑵ 양변에 10을 곱하면
(cid:100) 2x¤ -5(x¤ -x-2)=3x+8
(cid:100) 3x¤ -2x-2=0
(cid:100) ∴ x=
-(-1)—"√(-1)¤ -3√_(-2)
3
=
1—'7
3
⑶ 주어진 식을 전개하면
(cid:100) 3(x¤ -4x+4)-10=6x¤ +x-2-7x
(cid:100) 3x¤ +6x-4=0
(cid:100) ∴ x=
-3—"√3¤ -3√_(-4)
3
=
-3—'2å1
3
⑷ 2x+1=t로 치환하면
(cid:100) t¤ -3t+2=0, (t-2)(t-1)=0
∴ t=2 또는 t=1
즉, 2x+1=2 또는 2x+1=1
∴ x= 또는 x=0
1
2
06
(a¤ -2ab+b¤ )-4(a-b)-45=0
(a-b)¤ -4(a-b)-45=0
이때 a-b=t로 치환하면
t¤ -4t-45=0
(t+5)(t-9)=0
∴ t=-5 또는 t=9
그런데 a0
∴ 서로 다른 두 근
② (-2)¤ -4_ _2= >0
1
3
4
3
∴ 서로 다른 두 근
③ (-4)¤ -4_4_1=0
∴ 중근
④ 2¤ -4_5_1=-16<0
∴ 근이 없다.
⑤ (-6)¤ -4_9_1=0
∴ 중근
2
3
2x¤ +8x+18-k=0이 근을 가지려면
8¤ -4_2_(18-k)æ0
∴ kæ10
따라서 상수 k의 최솟값은 10이다.
2x¤ +8x+m-7=0이 중근을 가지므로
8¤ -4_2_(m-7)=0
64-8(m-7)=0
8m=120(cid:100)(cid:100)∴ m=15
m=15를 주어진 이차방정식에 대입하면
2x¤ +8x+8=0
x¤ +4x+4=0, (x+2)¤ =0
∴ x=-2 (중근)
5
⑴ 두 근의 비가 1 : 3이므로 두 근을 a, 3a라 하면 근
과 계수의 관계에 의해
yy ㉠
(cid:100) a+3a=16
(cid:100) a_3a=k+20(cid:100)(cid:100)yy ㉡
(cid:100) ㉠에서 4a=16(cid:100)(cid:100)∴ a=4
(cid:100) a=4를 ㉡에 대입하면
(cid:100) 4_12=k+20(cid:100)(cid:100)∴ k=28
⑵ 한 근이 다른 한 근의 2배이므로 한 근을 a라 하면
다른 한 근은 2a이다.
(cid:100) 이때 근과 계수의 관계에 의해
(cid:100) a+2a=k(cid:100)(cid:100)yy ㉠
(cid:100) a_2a=8(cid:100)(cid:100)yy ㉡
(cid:100) ㉡에서 a¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ a=—2
(cid:100) a=2일 때, ㉠에서 k=6
(cid:100) a=-2일 때, ㉠에서 k=-6
(cid:100) 그런데 k>0이므로 k=6
⑶ 한 근이 다른 한 근보다 5만큼 크므로 한 근을 a라
하면 다른 한 근은 a+5이다.
(cid:100) 이때 근과 계수의 관계에 의해
(cid:100) a+(a+5)=3(cid:100)(cid:100) yy ㉠
(cid:100) a(a+5)=
(cid:100)(cid:100)yy ㉡
2k-k¤
2
(cid:100) ㉠에서 2a=-2(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
(cid:100) a=-1을 ㉡에 대입하면
(cid:100) -1_(-1+5)=
2k-k¤
2
(cid:100) k¤ -2k-8=0, (k+2)(k-4)=0
(cid:100) ∴ k=4 (∵ k>0)
III. 이차방정식 69
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지70 다민 2540DPI 175LPI
이런 문제가 시험에 나온다
본문 150~151쪽
01 ③
05 -
;2#;
02 ③
06 ①
09 ⑴ -5(cid:100)⑵ -1
03 0
07 ①
04 ②
08 ⑤
⑴ 두 근이 -1, 이고 x¤ 의 계수가 3인 이차방정식은
∴ 서로 다른 두 근
따라서 근의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는 ③이다.
6
⑴ 근과 계수의 관계에 의해
a
(두 근의 합)=- =-1+ =-;3@;
3
∴ a=2
1
3
(두 근의 곱)= =-1_
b
3
1
3
∴ b=-1
∴ a+b=2-1=1
⑵ x¤ -4x+3=0의 두 근이 a, b이므로
근과 계수의 관계에 의해
a+b=4, ab=3
x¤ 의 계수가 3이고 두 근이 4, 3인 이차방정식은
3(x-4)(x-3)=0
3(x¤ -7x+12)=0
∴ 3x¤ -21x+36=0
▶ 다른풀이
7
⑴ 모든 계수가 유리수인 이차방정식의 한 근이 3-'2
⑵ x¤ -kx-1=0의 한 근이 '2-1이므로 다른 한 근
1
3
1
3
(cid:100) 3(x+1){x- }=0
(cid:100) 3x¤ +2x-1=0
(cid:100) 따라서 a=2, b=-1이므로
(cid:100) a+b=2-1=1
이므로 다른 한 근은 3+'2이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의해
(3-'2)+(3+'2)=k+2
6=k+2(cid:100)(cid:100)∴ k=4
은 -'2-1이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의해
('2-1)+(-'2-1)=k
∴ k=-2
1
2-'3
한 근은 2-'3이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의해
2+'3
(2-'3 )(2+'3 )
=
⑶
(2+'3 )+(2-'3 )=-
∴ a=-8
a
2
b
2
(2+'3 )(2-'3 )=
∴ b=2
∴ a¤ +b¤ =(-8)¤ +2¤
=68
70 정답과 풀이
=2+'3이므로 다른
10 ⑴ 30(cid:100)⑵ -2 또는 -1(cid:100)⑶
:¡4£:
11 ⑴ 6(cid:100)⑵ 5(cid:100)⑶ 9
12 3
13 2x¤ -10x+7=0
01
① (-1)¤ -4_1_3=-11<0
② (-6)¤ -4_1_10=-4<0
∴ 근이 없다.
∴ 근이 없다.
③ 3¤ -4_2_(-5)=49>0
④ (-4)¤ -4_4_3=-32<0
⑤ (-1)¤ -4_5_5=-99<0
∴ 근이 없다.
∴ 근이 없다.
02
① x¤ =4x에서 x¤ -4x=0
(-4)¤ -4_1_0=16>0
∴ 서로 다른 두 근
② 3¤ -4_1_1=5>0
∴ 서로 다른 두 근
③ (-1)¤ -4_2_3=-23<0
∴ 해가 없다.
④ 2¤ -4_ _2=0
1
2
∴ 중근
⑤ 3¤ -4_2_(-1)=17>0
∴ 서로 다른 두 근
03
근과 계수의 관계에 의해
- =- + (cid:100)(cid:100)∴ a=1
a
6
1
2
1
3
b
6
1
={- }_ (cid:100)(cid:100)∴ b=-1
3
1
2
∴ a+b=1-1=0
▶ 다른풀이
1
2
1
3
1
3
6{x+ } {x- }=0
1
2
두 근이 - , 이고 x¤ 의 계수가 6인 이차방정식은
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지71 다민 2540DPI 175LPI
6x¤ +x-1=0
따라서 a=1, b=-1이므로
a+b=1-1=0
⑤ a¤ -ab+b¤ =(a+b)¤ -3ab
=(-2)¤ -3_{- }=
1
2
11
2
04
x¤ -2x-4=0의 두 근의 합은 -
=2
-2
1
따라서 x=2가 3x¤ -5x+k=0의 한 근이므로
3_2¤ -5_2+k=0
∴ k=-2
05
x¤ +ax+b=0에서
두 근의 합이 3이므로 -a=3(cid:100)(cid:100)∴ a=-3
두 근의 곱이 -2이므로 b=-2
따라서 이차방정식 bx¤ +ax+1=0은
-2x¤ -3x+1=0, 즉 2x¤ +3x-1=0이므로 두 근의
3
합은 - 이다.
2
06
모든 계수가 유리수인 이차방정식의 한 근이 3+'2이
므로 다른 한 근은 3-'2이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의해
(3+'2)(3-'2)=k
∴ k=7
07
두 근의 차가 5이므로 두 근을 a, a+5라 하면 근과 계
수의 관계에 의해
a+(a+5)=1(cid:100)(cid:100)yy ㉠
08
이차방정식 2x¤ +4x-1=0의 두 근이 a, b이므로
k
a(a+5)= (cid:100)(cid:100) yy ㉡
2
㉠에서 2a+5=1(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
a=-2를 ㉡에 대입하면
-2_3=
k
2
∴ k=-12
a+b=-2, ab=-
1
2
1
a
1
b
a+b
ab
② + =
-2
1
2
③ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
-
=
=4
=(-2)¤ -2_{- }
=5
1
2
④ + =
b
a
a
b
a¤ +b¤
ab
=
=-10
5
-
1
2
09
⑴ x¤ -4x-2k-7=0이 서로 다른 두 근을 가지므로
(cid:100) (-4)¤ -4_1_(-2k-7)>0
(cid:100) 16+8k+28>0(cid:100)(cid:100)∴ k>-
11
2
(cid:100) 따라서 정수 k의 최솟값은 -5이다.
⑵ 4x¤ -3x-k=0의 근이 존재하지 않으므로
(-3)¤ -4_4_(-k)<0(cid:100)(cid:100)∴ k<-
9
16
(cid:100) 따라서 k의 값 중 가장 큰 정수는 -1이다.
10
⑴ 이차방정식 2x¤ +px+q=0이 중근 -3을 가지므로
2x¤ +px+q=2(x+3)¤
=2x¤ +12x+18
(cid:100) 따라서 p=12, q=18이므로
p+q=30
⑵ x¤ -2(k+2)x+k+2=0이 중근을 가지므로
(cid:100) {-2(k+2)}¤ -4_1_(k+2)=0
(cid:100) k¤ +3k+2=0
(cid:100) (k+2)(k+1)=0
(cid:100) ∴ k=-2 또는 k=-1
⑶ 3ax¤ +4ax+1=0이 중근을 가지므로
(cid:100) (4a)¤ -4_3a_1=0
(cid:100) 16a¤ -12a=0, 4a(4a-3)=0
(cid:100) ∴ a=0 또는 a=
3
4
그런데 a=0이면 3ax¤ +4ax+1=0이 이차방정식
이 될 수 없으므로
a=
3
4
따라서 이차방정식 x¤ +(a-4)x-14=0의 두 근
의 합은
-(a-4)=-a+4=- +4=
3
4
13
4
11
⑴ 한 근이 다른 한 근의 2배이므로 한 근을 a라 하면
다른 한 근은 2a이다.
(cid:100) 이때 근과 계수의 관계에 의해
(cid:100) a+2a=3(cid:100)(cid:100) yy ㉠
k
(cid:100) a_2a= (cid:100)(cid:100)yy ㉡
3
(cid:100) ㉠에서 3a=3(cid:100)(cid:100)∴ a=1
III. 이차방정식 71
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지72 다민 2540DPI 175LPI
⑵ 한 근이 다른 한 근보다 4만큼 작으므로 작은 근을
개념원리 확인하기
본문 153쪽
⑶ 두 근의 비가 2 : 3이므로 두 근을 2a, 3a라 하면 근
(cid:100) a=1을 ㉡에 대입하면
k
(cid:100) 1_2= (cid:100)(cid:100)∴ k=6
3
a라 하면 큰 근은 a+4이다.
이때 근과 계수의 관계에 의해
a+(a+4)=6(cid:100)(cid:100)yy ㉠
a(a+4)=k(cid:100)(cid:100) yy ㉡
㉠에서 2a+4=6
∴ a= 1
a=1을 ㉡에 대입하면
1_(1+4)=k(cid:100)(cid:100)∴ k=5
과 계수의 관계에 의해
(cid:100) 2a+3a=10(cid:100)(cid:100)(cid:100) yy ㉠
(cid:100) 2a_3a=3k-3(cid:100)(cid:100)yy ㉡
(cid:100) ㉠에서 5a=10(cid:100)(cid:100)∴ a=2
(cid:100) a=2를 ㉡에 대입하면
(cid:100) 4_6=3k-3
(cid:100) ∴ k=9
12
x¤ -2x+k-8=0의 두 근이 a, b이므로
a+b=2, ab=k-8
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
=2¤ -2(k-8)
=14
에서 4-2k+16=14
∴ k=3
13
2x¤ -6x-1=0의 두 근이 a, b이므로
a+b=3, ab=-
1
2
(a+1)+(b+1)=a+b+2
(a+1)(b+1)=ab+(a+b)+1
=3+2
=5
1
=- +3+1
2
=;2&;
7
2
2 {x¤ -5x+ }=0
∴ 2x¤ -10x+7=0
72 정답과 풀이
따라서 a+1, b+1을 두 근으로 하고 x¤ 의 계수가 2인
이차방정식은
3
03
이차방정식의 활용
01 x+1, x, 10, 11, 10, -11, 10, 10, 11
02 ⑴ 14-x ⑵ 14-x ⑶ 6 ⑷ 8, 6
03 ⑴ 28t-5t¤ =32 ⑵ t=;5*; 또는 t=4 ⑶ ;5*;, 4
03
⑵ 28t-5t¤ =32에서
5t¤ -28t+32=0
(5t-8)(t-4)=0
∴ t=;5*; 또는 t=4
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 154~157쪽
1 7개
2 20
3 ⑴ 18(cid:100)⑵ 11, 13
4 ⑴ 6 m(cid:100)⑵ 22 m
5 ⑴ 10 cm(cid:100)⑵ 3 cm(cid:100)⑶ 1 m
6 ⑴ 2초(cid:100)⑵ 6초
1
한 학생에게 돌아가는 사탕 수를 x개라 하면 학생 수는
(x+5)명이다.
x(x+5)=84에서
x¤ +5x-84=0
(x+12)(x-7)=0
∴ x=-12 또는 x=7
그런데 x는 자연수이므로 x=7
따라서 한 학생이 가지는 사탕 수는 7개이다.
2
n(n+1)
2
=210에서
n¤ +n-420=0
(n+21)(n-20)=0
∴ n=-21 또는 n=20
그런데 n은 자연수이므로 n=20
따라서 1부터 20까지의 자연수를 더해야 한다.
⑴ 큰 짝수를 x, 작은 짝수를 x-2라 하면
(cid:100) x(x-2)=288에서
(cid:100) x¤ -2x-288=0
(cid:100) (x+16)(x-18)=0
(cid:100) ∴ x=-16 또는 x=18
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지73 다민 2540DPI 175LPI
(cid:100) 그런데 x는 자연수이므로 x=18
(cid:100) 따라서 큰 짝수는 18이다.
⑵ 연속하는 두 홀수를 x, x+2라 하면
(cid:100) x(x+2)=143에서
(cid:100) x¤ +2x-143=0
(cid:100) (x+13)(x-11)=0
(cid:100) ∴ x=-13 또는 x=11
(cid:100) 그런데 x는 자연수이므로 x=11
(cid:100) 따라서 두 홀수는 11, 13이다.
4
⑴ 처음 정사각형 모양의 땅의 한 변의 길이를 x m라
하면 변형된 직사각형의 가로의 길이는 (x-3) m,
세로의 길이는 (x+2) m이다.
(cid:100) (x-3)(x+2)=24에서
(cid:100) x¤ -x-30=0
(cid:100) (x+5)(x-6)=0
(cid:100) ∴ x=-5 또는 x=6
(cid:100) 그런데 x>0이므로 x=6
(cid:100) 따라서 처음 정사각형 모양의 땅의 한 변의 길이는
6 m이다.
⑵ 정원의 세로의 길이를 x m라 하면 가로의 길이는
(x+5) m이다.
(cid:100) x(x+5)=24에서
(cid:100) x¤ +5x-24=0
(cid:100) (x+8)(x-3)=0
(cid:100) ∴ x=-8 또는 x=3
(cid:100) 그런데 x>0이므로 x=3
(cid:100) 따라서 정원의 세로의 길이는 3 m, 가로의 길이는
8 m이므로 정원의 둘레의 길이는
(cid:100) 2_(3+8)=22(m)
5
⑴ 직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길
이는 (x-3) cm이다.
x cm
(x-4) cm
(x-3) cm
(x-7) cm
2 cm
2 cm
(cid:100) ▶ 참고
(cid:100) (각기둥의 부피)=(밑넓이)_(높이)
⑵ 큰 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 작은 정
사각형의 한 변의 길이는 (5-x) cm이다.
(cid:100) 이때 두 정사각형의 넓이의 합이 13 cm¤ 이므로
(cid:100) x¤ +(5-x)¤ =13에서
(cid:100) x¤ -5x+6=0, (x-2)(x-3)=0
(cid:100) ∴ x=2 또는 x=3
(cid:100) 그런데 2.50이므로 x=1
(cid:100) 따라서 꽃밭의 폭은 1 m이다.
6
⑴ 공을 찬 지 t초 후의 높이가 20 m이므로
(cid:100) 20t-5t¤ =20에서 t¤ -4t+4=0
(t-2)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ t=2 (중근)
(cid:100) 따라서 공의 높이가 20 m가 되는 것은 공을 찬 지 2
초 후이다.
⑵ 땅에 떨어지는 것은 높이가 0 m일 때이므로
(cid:100) 30+25t-5t¤ =0에서 t¤ -5t-6=0
(cid:100) (t+1)(t-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=-1 또는 t=6
(cid:100) 그런데 t>0이므로 t=6
(cid:100) 따라서 물체가 지면에 떨어지는 것은 쏘아 올린 지 6
초 후이다.
(cid:100) 이때 만든 상자의 부피가 36 cm‹ 이므로
(cid:100) (x-4)(x-7)_2=36에서
(cid:100) x¤ -11x+10=0
(cid:100) (x-1)(x-10)=0
(cid:100) ∴ x=1 또는 x=10
(cid:100) 그런데 x>7이므로 x=10
(cid:100) 따라서 처음 골판지의 가로의 길이는 10 cm이다.
이런 문제가 시험에 나온다
본문 158쪽
01 13
02 8초
03 12명
04 32쪽, 33쪽
05 12
06 4 m
01
연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면
(x-1)¤ +x¤ +(x+1)¤ =434
III. 이차방정식 73
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지74 다민 2540DPI 175LPI
02
03
04
3x¤ +2=434, x¤ =144
∴ x=—12
그런데 x>1인 자연수이므로
x=12
따라서 연속하는 세 자연수는 11, 12, 13이므로 이 중
가장 큰 수는 13이다.
지면에 떨어지는 것은 높이가 0 m일 때이므로
40x-5x¤ =0에서
x¤ -8x=0, x(x-8)=0
∴ x=0 또는 x=8
그런데 x>0이므로 x=8
따라서 물체가 지면에 떨어지는 것은 던져 올린 지 8초
후이다.
학생 수를 x명이라 하면 한 학생에게 돌아가는 사과의
개수는 (x-2)개이다.
x(x-2)=120에서
x¤ -2x-120=0
(x+10)(x-12)=0
∴ x=-10 또는 x=12
그런데 x>2이므로
x=12
따라서 학생 수는 12명이다.
펼쳐진 두 페이지의 쪽수는 연속하는 두 자연수이므로
펼쳐진 두 페이지의 쪽수를 x, x+1이라 하면
x(x+1)=1056에서
x¤ +x-1056=0
(x+33)(x-32)=0
∴ x=-33 또는 x=32
그런데 x는 자연수이므로
x=32
따라서 구하는 두 페이지는 각각 32쪽과 33쪽이다.
05
(x-2)(x+4)=160에서
x¤ +2x-168=0
(x+14)(x-12)=0
∴ x=-14 또는 x=12
그런데 x>0이므로 x=12
06
도로의 폭을 x m라 하면 도로를 제외한 부분의 넓이는
가로의 길이가 (50-x) m, 세로의 길이가
(30-x) m인 직사각형의 넓이와 같다.
74 정답과 풀이
(50-x) m
x m
(30-x) m
x m
(50-x)(30-x)=1196에서
x¤ -80x+304=0
(x-4)(x-76)=0
∴ x=4 또는 x=76
그런데 00
∴ 서로 다른 두 근
ㄴ. (-2)¤ -4_1_2=-4<0
∴ 근이 없다.
ㄷ. (-4)¤ -4_1_5=-4<0
∴ 근이 없다.
ㄹ. 5¤ -4_1_2=17>0
∴ 서로 다른 두 근
따라서 근이 없는 것은 ㄴ, ㄷ이다.
04
x+2y=t로 치환하면
t(t+3)=4
t¤ +3t-4=0
(t+4)(t-1)=0
∴ t=-4 또는 t=1
따라서 x+2y의 값은 -4 또는 1이다.
05
근과 계수의 관계에 의해
p
2
+2=- (cid:100)(cid:100)∴ p=-7
3
2
3
2
q
2
_2= (cid:100)(cid:100)∴ q=6
따라서 두 근이 -7, 6이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정
식은
(x+7)(x-6)=0
∴ x¤ +x-42=0
06
근과 계수의 관계에 의해
-1+b=- 에서
3a
2
3a+2b=2(cid:100)(cid:100)yy ㉠
에서
-1_b=
a-4
2
a+2b=4(cid:100)(cid:100) yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-1, b=
5
2
∴ a+b=-1+ =
5
2
3
2
▶ 다른풀이
두 근이 -1과 b이고 x¤ 의 계수가 2이므로
2(x+1)(x-b)=0에서
2x¤ +2(1-b)x-2b=0
그런데 이 방정식은 2x¤ +3ax+a-4=0과 일치하므로
2(1-b)=3a(cid:100)(cid:100)yy ㉠
-2b=a-4(cid:100)(cid:100) yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-1, b=
5
2
∴ a+b=-1+ =
5
2
3
2
07
한 근이 '3-2이므로 다른 한 근은 -'3-2이다.
근과 계수의 관계에 의해
('3-2)+(-'3-2)=-a(cid:100)(cid:100)∴ a=4
('3-2)(-'3-2)=b(cid:100)(cid:100)∴ b=1
∴ a-b=4-1=3
08
① a+b=-
-6
2
=3
② ab=
1
2
1
b
③ + =
1
a
a+b
ab
3
= =6
1
2
④ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
=3¤ -2_ =8
1
2
⑤ + =
b
a
a
b
a¤ +b¤
ab
= =16
8
1
2
09
3x¤ +ax+b=0의 두 근이 - , -1이므로 근과 계
2
3
수의 관계에 의해
{- }+(-1)=- 에서 a=5
a
3
2
3
2
3
;3B;
에서 b=2
{- }_(-1)=
a=5, b=2를 bx¤ -2x-a+1=0에 대입하면
2x¤ -2x-4=0(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -x-2=0
따라서 두 근의 곱은 -2이다.
10
두 근의 곱이 -3이므로 근과 계수의 관계에 의해
-k(k-2)=-3
k¤ -2k-3=0
(k+1)(k-3)=0
∴ k=-1 또는 k=3
III. 이차방정식 75
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지76 다민 2540DPI 175LPI
그런데 k>0이므로 k=3
이때 k=3을 주어진 방정식에 대입하면
x¤ +2x-3=0
따라서 두 근의 합은 -2이다.
11
12
13
이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 근을 갖기 위한 조건은
b¤ -4acæ0이므로 이차방정식 x¤ +8x+20-a=0이
근을 가지려면
8¤ -4_1_(20-a)æ0
4aæ16(cid:100)(cid:100)∴ aæ4
h=90을 h=25t-5t¤ +70에 대입하면
90=25t-5t¤ +70에서
t¤ -5t+4=0
(t-1)(t-4)=0
∴ t=1 또는 t=4
따라서 공의 높이가 90 m가 되는 것은 1초 후 또는
4초 후이다.
넓이가 처음과 같아지는 데 걸리는 시간을 x초라 하면
(12-x)(8+2x)=12_8에서
x¤ -8x=0, x(x-8)=0
∴ x=0 또는 x=8
그런데 x>0이므로 x=8
따라서 넓이가 처음과 같아지는 데 걸리는 시간은 8초
이다.
14
⑴ 4x¤ +4x-k=0이 중근을 가지므로
4¤ -4_4_(-k)=0
16+16k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-1
k=-1을 (k-1)x¤ +3x-1=0에 대입하면
-2x¤ +3x-1=0
2x¤ -3x+1=0
(2x-1)(x-1)=0
∴ x=;2!; 또는 x=1
⑵ ax¤ -12x+a+5=0이 중근을 가지므로
(-12)¤ -4_a_(a+5)=0
a¤ +5a-36=0
(a+9)(a-4)=0
∴ a=-9 또는 a=4
(cid:100) ⁄ a=-9일 때, 주어진 이차방정식은
-9x¤ -12x-4=0, 9x¤ +12x+4=0
(3x+2)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-;3@; (중근)
(cid:100) ¤ a=4일 때, 주어진 이차방정식은
4x¤ -12x+9=0, (2x-3)¤ =0
∴ x=;2#; (중근)
76 정답과 풀이
Step (발전문제)
본문 161~162쪽
01 ①
02 ①
03 ⑤
04 ④
05 -2'3 06 ⑤
07 :¡9¶:
08 -5
09 ⑴ -4(cid:100)⑵ -2(cid:100)⑶
;6!;(cid:100)⑷ -1
11 3 cm 12 140 cm¤ 13 26 cm
10 10
14 4 cm
01
x¤ -3x-5=0에서 근과 계수의 관계에 의해 두 근의
합은 3이고 두 근의 곱은 -5이다.
x=3을 2x¤ -ax-b=0에 대입하면
2_3¤ -3a-b=0에서
3a+b=18(cid:100)(cid:100)(cid:100)yy ㉠
또, x=-5를 2x¤ -ax-b=0에 대입하면
2_(-5)¤ +5a-b=0에서
5a-b=-50(cid:100)(cid:100)yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-4, b=30
∴ 3a-b=3_(-4)-30=-42
▶ 다른풀이
2x¤ -ax-b=0에서 근과 계수의 관계에 의해
3+(-5)= (cid:100)(cid:100)∴ a=-4
a
2
b
3_(-5)=- (cid:100)(cid:100)∴ b=30
2
∴ 3a-b=3_(-4)-30=-42
02
근과 계수의 관계에 의해
m+n=4'3, mn=-3
m
m¤ +n¤
∴ + =
n
mn
n
m
=
=
(m+n)¤ -2mn
mn
(4'3)¤ -2_(-3)
-3
=-18
03
이차방정식 4x¤ -3x+2k-5=0이 서로 다른 두 근을
가지려면
(-3)¤ -4_4_(2k-5)>0
9-32k+80>0(cid:100)(cid:100)∴ k<
89
32
따라서 k< 를 만족하는 k의 값이 아닌 것은 ⑤이다.
89
32
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지77 다민 2540DPI 175LPI
04
작은 근을 a라 하면 큰 근은 3a이다. 두 근의 차가 6이
므로 3a-a=6에서 a=3
따라서 두 근은 3, 9이다.
근과 계수의 관계에 의해
3+9=-a(cid:100)(cid:100)∴ a=-12
3_9=b(cid:100)(cid:100)∴ b=27
∴ a+b=-12+27=15
05
3x¤ -2x+k-1=0이 서로 다른 두 근을 가지려면
(-2)¤ -4_3_(k-1)>0
-12k+16>0(cid:100)(cid:100)∴ k< (cid:100)(cid:100)yy ㉠
4
3
또, x¤ +kx+3=0이 중근을 가지므로
k¤ -4_1_3=0, k¤ =12
∴ k=—2'3(cid:100)(cid:100)(cid:100)
yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡을 동시에 만족하는 k의 값은
k=-2'3
06
x¤ -8x-13=0의 두 근이 a, b이므로
a+b=8, ab=-13
x¤ 의 계수가 1이고 두 근이 a-1, b-1인 이차방정식은
x¤ -{(a-1)+(b-1)}x+(a-1)(b-1)=0
x¤ -(a+b-2)x+{ab-(a+b)+1}=0
x¤ -(8-2)x+(-13-8+1)=0
∴ x¤ -6x-20=0
07
근과 계수의 관계에 의해
a+b=3, ab=-1
∴
b
a+2
+
a
b+2
=
=
=
=
b(b+2)+a(a+2)
(a+2)(b+2)
a¤ +b¤ +2(a+b)
ab+2(a+b)+4
(a+b)¤ -2ab+2(a+b)
ab+2(a+b)+4
3¤ -2_(-1)+2_3
-1+2_3+4
=
17
9
08
2<'5<3에서 -3<-'5<-2
1<4-'5<2이므로 4-'5의 정수 부분은 1이고 소수
부분은
(4-'5)-1=3-'5
이때 모든 계수가 유리수인 이차방정식
x¤ +ax+b=0의 한 근이 3-'5이므로 다른 한 근
1
2
은 3+'5이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의해
(3-'5)+(3+'5)=- 에서
6=-2a(cid:100)(cid:100)∴ a=-3
또, (3-'5)(3+'5)= 에서
a
1
2
b
1
2
4=2b(cid:100)(cid:100)∴ b=2
∴ a-b=-3-2=-5
09
⑴ 두 근의 차가 3이므로 두 근을 a, a+3이라 하면 근
과 계수의 관계에 의해
(cid:100) a+(a+3)=-1(cid:100)(cid:100)yy ㉠
(cid:100) a(a+3)=
;2K;
yy ㉡
(cid:100) ㉠에서 2a+3=-1(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
(cid:100) a=-2를 ㉡에 대입하면
(cid:100) -2_1=
;2K;
(cid:100) ∴ k=-4
⑵ 한 근을 a라 하면 다른 한 근은 a+1이다.
이때 근과 계수의 관계에 의해
(cid:100) a+(a+1)=-(1+m)(cid:100)(cid:100)yy ㉠
(cid:100) a(a+1)=20(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)yy ㉡
(cid:100) ㉡에서 a¤ +a-20=0
(cid:100) (a+5)(a-4)=0
(cid:100) ∴ a=-5 또는 a=4
(cid:100) ㉠에서 m=-2a-2이므로
(cid:100) a=-5일 때, m=8
(cid:100) a=4일 때, m=-10
(cid:100) 따라서 m의 값의 합은
(cid:100) 8-10=-2
⑶ 두 근의 비가 2 : 3이므로 두 근을 2a, 3a라 하면 근
과 계수의 관계에 의해
(cid:100) 2a+3a=-(k-1)(cid:100)(cid:100)yy ㉠
yy ㉡
(cid:100) 2a_3a=k
(cid:100) ㉠에서 k=-5a+1을 ㉡에 대입하면
(cid:100) 6a¤ =-5a+1
(cid:100) 6a¤ +5a-1=0
(cid:100) (a+1)(6a-1)=0
(cid:100) ∴ a=-1 또는 a=;6!;
(cid:100) a=-1을 ㉡에 대입하면 k=6
III. 이차방정식 77
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지78 다민 2540DPI 175LPI
(cid:100) a=;6!;을 ㉡에 대입하면 k=;6!;
(cid:100) 그런데 k<1이므로 k=
1
6
⑷ x=a를 x¤ -x-1=0에 대입하면
a¤ -a-1=0
x=b를 x¤ -x-1=0에 대입하면
b¤ -b-1=0
∴ (a¤ -2a-1)(b¤ -2b-1)
=(a¤ -a-1-a)(b¤ -b-1-b)
=(0-a)(0-b)
=ab=-1
10
근과 계수의 관계에 의해
a+b=-3, ab=1
그런데 a+ , b+ 이 x¤ +px+q=0의 두 근이므로
1
b
1
a
근과 계수의 관계에 의해
1
a
1
b
{a+ }+{b+ }=-p에서
a+b
ab
(a+b)+
=-p
-3+
=-p(cid:100)(cid:100)∴ p=6
또, {a+ }{b+ }=q에서
1
a
-3
1
1
b
1
ab+ +2=q
ab
1+1+2=q(cid:100)(cid:100)∴ q=4
∴ p+q=6+4=10
11
구하는 처음 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 처음
원의 넓이는 pr¤ cm¤ 이다.
또, 반지름의 길이를 3 cm만큼 늘인 원의 넓이는
p(r+3)¤ cm¤ 이다.
이때 늘어난 부분의 넓이는 처음 원의 넓이의 3배이므로
p(r+3)¤ -pr¤ =3_pr¤ 에서
r¤ -2r-3=0, (r+1)(r-3)=0
∴ r=-1 또는 r=3
그런데 r>0이므로 r=3
따라서 처음 원의 반지름의 길이는 3 cm이다.
12
처음 직사각형의 세로의 길이를 x cm라 하면
가로의 길이는 (x+4) cm이다.
부피가 120 cm‹ 이므로
(x-4)(x+4-4)_2=120
x(x-4)=60, x¤ -4x-60=0
78 정답과 풀이
(x-10)(x+6)=0
∴ x=10 또는 x=-6
그런데 x>0이므로 x=10
따라서 처음 직사각형의 세로의 길이는 10 cm이고
가로의 길이는 14 cm이므로 처음 직사각형의 넓이는
10_14=140(cm¤ )
13
타일의 짧은 변의 길이를 x cm라 하면 긴 변의 길이는
4x-4
2
=2x-2(cm)
이때 종이의 넓이가 260 cm¤ 이므로
4x(2x-2+x)=260, 4x(3x-2)=260
3x¤ -2x-65=0, (3x+13)(x-5)=0
x>0이므로 x=5
따라서 타일의 짧은 변의 길이가 5 cm, 긴 변의 길이가
2_5-2=8(cm)이므로 타일 한 개의 둘레의 길이는
2(5+8)=26(cm)
14
△DBE도 ∠BDE=90˘인 직각이등변삼각형이므로
DE”=x cm라 하면
BD”=DE”=FC”=x cm
이때 △DBE= x¤ , △ADF= (10-x)¤ 이므로
1
2
1
2
△ABC=△DBE+△ADF+(cid:8772)DECF에서
1
2
1
_10_10= x¤ + (10-x)¤ +24이므로
2
1
2
x¤ -10x+24=0, (x-4)(x-6)=0
∴ x=4 또는 x=6
그런데 AD”>BD”이므로 DE”=4 cm
Step
( )
본문 163쪽
01 2'6
02 ⑴
;1¡2;(cid:100)⑵ ;4!;
03 32 cm¤
04 ④
05 14 cm
01
근과 계수의 관계에 의해
a+b=4, ab=1이므로
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
=4¤ -2_1=14
∴ ("√a¤ +1 +"√b¤ +1)¤
=a¤ +1+b¤ +1+2"√a¤ b¤ +a¤ +b¤ +1
=a¤ +b¤ +2+2"√(ab)¤ +a¤ +b¤ +1
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지79 다민 2540DPI 175LPI
=14+2+2'ƒ1+14+1
=16+2_4=24
이때 "√a¤ +1 +"√b¤ +1>0이므로
"√a¤ +1 +"√b¤ +1='ß24=2'6
02
⑴ ax¤ -4x+b=0이 중근을 가지므로
(-4)¤ -4_a_b=0
16-4ab=0(cid:100)(cid:100)∴ ab=4
이 조건을 만족하는 a, b의 순서쌍 (a, b)는
(a, b)=(1, 4), (2, 2), (4, 1)
의 3개이다.
(cid:100) 한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 모든 경우의 수는
6_6=36이므로 구하는 확률은 =
3
36
1
12
⑵ x¤ -ax+2b=0이 서로 다른 두 근을 가질 조건은
(-a)¤ -4_1_2b>0(cid:100)(cid:100)∴ b<
a¤
8
(cid:100) 이 조건을 만족하는 a, b의 순서쌍 (a, b)는
(a, b)=(3, 1), (4, 1), (5, 1), (5, 2), (5, 3),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4)
의 9개이다.
한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 모든 경우의 수는
6_6=36이므로 구하는 확률은
9
(cid:100) =
36
1
4
03
BD”=x cm라 하면 DC”=(12-x) cm
한편, △EDC에서 ∠C=45˘이므로 △EDC는 직각이
등변삼각형이다.
∴ DE”=DC”=(12-x) cm
이때 (cid:8772)BDEF=BD”_DE”이므로
32=x_(12-x), x¤ -12x+32=0
(x-4)(x-8)=0
∴ x=4 또는 x=8
그런데 BD”<6 cm이므로 BD”=4 cm
∴ DC”=DE”=12-4=8(cm)
∴ △EDC= _8_8=32(cm¤ )
1
2
04
PQ”=x cm라 하면
△PBQª△ABC (AA 닮음)이므로
PQ”：AC”=BQ”：BC”
x：6=BQ”：4, 6BQ”=4x
2
∴ BQ” = x(cm)
3
QC”=PR”=4- x(cm)
2
3
이때 △PQR의 넓이가 cm¤ 이므로
8
3
1
2
2
x{4- x}=
3
8
3
x¤ -6x+8=0
(x-2)(x-4)=0
∴ x=2 또는 x=4
그런데 PQ”>PR”이므로
PQ”=4 cm
05
AC”, CB”, AB”를 지름으로
하는 반원의 넓이를 각각
S¡ cm¤ , S™ cm¤ , S cm¤ 라
하면
S=S¡+S™+21p
이때 AC”=x cm라 하면
CB”=(20-x) cm이므로
21p cm¤
S¡
S™
C
B
A
20 cm
1
2
_10¤ p= _{
1
2
x
2
2
}
1
p+ _{
2
20-x
2
}
2
p+21p
x¤
50p= p+
8
400-40x+x¤
8
p+21p
양변에 8을 곱하면
400=x¤ +400-40x+x¤ +168
x¤ -20x+84=0
(x-6)(x-14)=0
∴ x=6 또는 x=14
그런데 AC”>CB”이므로
AC”=14 cm
서술형 대비 문문제제
본문 164~165쪽
1 x=
;2#;
또는 x=1
2 4 m
3 ⑴ 4, -;2#;(cid:100)⑵
76
9
6 3x¤ +5x-2=0
4 x=-3—'3å7
5 5 cm
1
1단계
근과 계수의 관계에 의해
a
- +2=- (cid:100)(cid:100)∴ a=-5
3
1
3
2단계
- _2= (cid:100)(cid:100)∴ b=-2
1
3
b
3
3단계
-2x¤ +5x-3=0이므로 2x¤ -5x+3=0
(2x-3)(x-1)=0
∴ x= 또는 x=1
3
2
III. 이차방정식 79
15(중3-1)3단원(해)_48~80_ok 2014.6.3 02:34 PM 페이지80 다민 2540DPI 175LPI
2
1단계
도로의 폭을 x m라 하면 도로를 제외한 나머지
부분의 넓이는 가로, 세로의 길이가 각각
(30-x) m, (24-x) m인 직사각형의 넓이와 같
으므로
(30-x)(24-x)=520
x¤ -54x+200=0, (x-4)(x-50)=0
∴ x=4 또는 x=50
그런데 00이므로 x=4
따라서 화단의 한 변의 길이는 4 m이다.
(cid:9000) 4 m
정사각형 모양의 조각 천을 붙인 부분의
(가로의 길이)=3 m 30 cm-15 cm-15 cm
=3 m=300 cm
(세로의 길이)=2 m 30 cm-15 cm-15 cm
=2 m=200 cm
이때 정사각형 모양의 조각 천의 한 변의 길이를 x cm
라 하면 150_x¤ =200_300(cid:100)(cid:100)∴ x=—20
그런데 x>0이므로 x=20
따라서 조각 천의 한 변의 길이는 20 cm이다.
(cid:9000) 20 cm
¤
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:36 PM 페이지81 다민 2540DPI 175LPI
Ⅳ이차함수
1 이차함수와 그 그래프
01
이차함수와 y=ax¤ 의 그래프
개념원리 확인하기
본문 172쪽
01 ⑴ (cid:8776) ⑵ × ⑶ (cid:8776) ⑷ × ⑸ (cid:8776) ⑹ ×
02 풀이 참조
03 ⑴ ㄱ, ㄹ ⑵ ㄷ ⑶ ㄴ, ㄹ
04 ⑴ 1 ⑵ 0
02
⑴
이차함수
y=2x¤
y=-2x¤
그래프의
모양
꼭짓점의
좌표
축의 방정식
(0, 0)
x=0
(0, 0)
x=0
1
① y=3x¤ -3(x-1)¤
=3x¤ -3(x¤ -2x+1)
=6x-3
(cid:100) ∴ 일차함수
③ y=x¤ (x+1)=x‹ +x¤
∴ 이차함수가 아니다.
2
ㄱ. x_y=100이므로
y=
100
x
∴ 이차함수가 아니다.
ㄴ. y=(2p_x)_7=14px
∴ 일차함수
ㄷ. y=x¤ +(x+2)¤
=x¤ +x¤ +4x+4
=2x¤ +4x+4
ㄷ. ∴ 이차함수
⑵
이차함수
y=-4x¤
y=-;4!;x¤
그래프의
모양
꼭짓점의
좌표
축의 방정식
(0, 0)
x=0
(0, 0)
x=0
y
O
y
O
y=2x¤
x
y=-2x¤
x
y=-‹‹x@
1
4
y=-4x@
04
⑴ f(0)=0+1=1
⑵ f(1)=-1+1=0
3
⑴ f(-1)=1이므로
f(-1)=2_(-1)¤ -a_(-1)-2
=1
(cid:100) 2+a-2=1
∴ a=1
⑵ f(-2)=6이므로
-3_(-2)¤ -a_(-2)+4=6
-12+2a+4=6
∴ a=7
∴ f(x)=-3x¤ -7x+4
f(-3)=b이므로
-3_(-3)¤ -7_(-3)+4=b
-27+21+4=b
∴ b=-2
∴ a+b=7+(-2)
=5
4
⑴ x=-1, y=k를 y=5x¤ 에 대입하면
k=5_(-1)¤ =5
⑵ x=2, y=-6을 y=ax¤ 에 대입하면
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 173~176쪽
1 ①, ③
2 ㄷ
3 ⑴ 1 ⑵ 5
4 ⑴ 5 ⑵ -3
7 ①
8 ①
5 ②
9 ;4!;
6 ⑤
10 y=-x¤
-6=4a
∴ a=-
3
2
므로
3
2
따라서 y=- x¤ 의 그래프가 점 (-1, b)를 지나
IV. 이차함수 81
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:36 PM 페이지82 다민 2540DPI 175LPI
b=- _(-1)¤ =-
3
2
3
2
3
∴ a+b=- +{- }=-3
2
3
2
이런 문제가 시험에 나온다
본문 177쪽
01 ⑴ (0, 0)(cid:100)⑵ x=0(cid:100)⑶ y= x¤ (cid:100)⑷ x>0 02 ③
2
3
03 ㄱ과 ㅂ, ㄷ과 ㅁ
04 ②
05 4
06 -3
07 ㉠, ㉢
② _(-2)¤ =1+-1
;4!;
5
6
이차함수 y=- x¤ 의 그래프는 다음 그림과 같다.
1
2
같다.
01
이차함수 y=- x¤ 의 그래프를 그리면 다음 그림과
2
3
-2
y
O
-2
x
y
O
x
⑤ x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
7
이차함수 y=ax¤ 의 그래프는 a<0일 때 위로 볼록하
므로 ①, ③, ⑤의 그래프가 위로 볼록하다.
이 중 포물선의 폭이 가장 좁은 것은 a의 절댓값이 가장
큰 ①이다.
8
이차함수 y=-5x¤ 과 y=5x¤ 의 그래프는 x축에 대하
여 서로 대칭이다.
y
O
y=5x¤
x
y=-5x¤
10
꼭짓점이 원점이고 축이 y축인 포물선이므로 구하는
이차함수의 식을 y=ax¤ (a+0)으로 놓을 수 있다.
이 포물선이 점 (-2, -4)를 지나므로
x=-2, y=-4를 y=ax¤ 에 대입하면
-4=a_(-2)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-1
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=-x¤
82 정답과 풀이
02
이차함수 y=ax¤ 의 그래프는 a<0일 때 위로 볼록하므
로 ②, ③, ④의 그래프가 위로 볼록하다. 이 중 폭이 가
장 넓은 것은 a의 절댓값이 가장 작은 ③이다.
04
y=3x¤ -5-kx(1-x)
=3x¤ -5-kx+kx¤
=(3+k)x¤ -kx-5
이 식이 이차함수가 되기 위해서는
3+k+0(cid:100)(cid:100)∴ k+-3
05
원점을 꼭짓점으로 하고 y축을 축으로 하는 이차함수의
그래프이므로 이차함수의 식을 y=ax¤ (a+0)으로 놓
는다.
이 그래프가 점 (1, 1)을 지나므로
1=a(cid:100)(cid:100)∴ y=x¤
따라서 y=x¤ 의 그래프가 점 (k, 16)을 지나므로
16=k¤ (cid:100)(cid:100)∴ k=—4
그런데 k는 양수이므로 k=4
따라서 이차함수 y=- x¤ 의 그래프가 점 (3, b)를
-12=a_6¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-
1
3
1
3
지나므로
b=- _3¤ =-3
1
3
07
이차함수 y=ax¤ 의 그래프에서 ㉠, ㉡은 a의 값이 양
수이고, ㉢, ㉣은 a의 값이 음수이다.
또, a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아지므로 a
의 값이 가장 큰 것은 ㉠, 가장 작은 것은 ㉢이다.
9
이차함수 y=- x¤ 의 그래프와 x축에 대하여 대칭인
그래프는 y= x¤ 의 그래프이고 이 그래프가 점
06
이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 점 (6, -12)를 지나므로
1
4
1
4
(-1, k)를 지나므로
k= _(-1)¤ =
1
4
1
4
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 04:31 PM 페이지83 다민 2540DPI 175LPI
02
이차함수 y=ax¤ +q의 그래프
본문 179쪽
⑵ 이차함수 y=-2x¤ +2의
그래프는 y=-2x¤ -1의
그래프를 y축의 방향으로
3만큼 평행이동한 것이다.
y
2
+3
-1
O
x
개념원리 확인하기
01 풀이 참조
02 ⑴ ① -2x¤ , y, 3(cid:100)② 0, 3, x=0
02 ⑵ ① x¤ -2(cid:100)② 0, -2, x=0
1
5
03 ⑴ y=3x¤ -1, 풀이 참조
⑵ y=-x¤ +5, 풀이 참조
01
x
y=x¤
y=x¤ +3
y
y
y
-3
9
12
-2
4
7
-1
1
4
0
0
3
1
1
4
2
4
7
3
9
12
y
y
y
y=x@+3
y
y=x@
12
10
8
6
4
2
-2-4
O
2
4
x
03
⑴
y
y=3x@
⑵
y=3x@-1
x
O
-1
y
5
O
y=-x@+5
x
y=-x@
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 180~181쪽
1 ⑴ -5(cid:100)⑵ 3(cid:100)2 ⑴ 1(cid:100)⑵ (0, -1)
3 ④ 4
3
4
y=-2x@+2
y=-2x@-1
2
⑴ y=-x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 5만큼 평행이
동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은
y=-x¤ +5
(cid:100) 이 그래프가 점 (2, k)를 지나므로
k=-4+5(cid:100)(cid:100)∴ k=1
⑵ x=-2, y=-5를 y=ax¤ +q에 대입하면
-5=4a+q(cid:100)(cid:100)yy ㉠
x=1, y=-2를 y=ax¤ +q에 대입하면
-2=a+q(cid:100)(cid:100) yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-1, q=-1
∴ y=-x¤ -1
따라서 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, -1)이다.
3
④ 이차함수 y= x¤ -1의
;3@;
그래프는 오른쪽 그림과
같으므로 x<0일 때 x의
값이 증가하면 y의 값은
감소한다.
y
O
-1
2
y=‹‹x@-1
3
x
4
꼭짓점의 좌표가 (0, 2)이므로 q=2
∴ y=ax¤ +2
이 그래프가 점 (4, 8)을 지나므로
8=a_4¤ +2
∴ a=
3
8
3
∴ aq= _2=
8
3
4
1
⑴ 이차함수 y=- x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 k
1
2
만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은
이런 문제가 시험에 나온다
본문 182쪽
01 풀이 참조 02 ②
03 (0, -2) 04 y=x¤ +2
05 ②
06 ⑴ 4(cid:100)⑵ 8
이 그래프는 점 (-2, -7)을 지나므로
01
⑴
⑵
1
y=- x¤ +k
2
-7=- _(-2)¤ +k
1
2
∴ k=-5
y
1
O
3
x
-2
y
4
1
O
1
x
IV. 이차함수 83
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 04:31 PM 페이지84 다민 2540DPI 175LPI
⑤ y= x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평
행이동한 것이다.
03
이차함수 y=a(x-p)¤ 의 그래프
⑶
1
x
⑷
y
-1
x
O
-1
-3
02
① 꼭짓점의 좌표는 (0, -3)이다.
③ 점 (2, -1)을 지난다.
④ 축의 방정식은 x=0이다.
y
4
1
O
1
2
03
이차함수 y= x¤ +2의 그래프를 y축의 방향으로 -4
2
5
만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은
y= x¤ +2+(-4)
2
5
2
5
= x¤ -2
따라서 꼭짓점의 좌표는 (0, -2)이다.
04
주어진 그래프는 꼭짓점의 좌표가 (0, 2)인 포물선이므로
y=ax¤ +2
이 포물선은 점 (2, 6)을 지나므로
6=a_2¤ +2(cid:100)(cid:100)∴ a=1
∴ y=x¤ +2
05
이차함수 y=-3x¤ +2의 그래프는 다음 그림과 같으
므로 x<0일 때는 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가
하고, x>0일 때는 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소
한다.
y
2
증가
감소
O
x
06
⑴ 이차함수 y=- x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로
1
3
m만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의
식은
1
y=- x¤ +m
3
이 그래프가 점 (3, 1)을 지나므로
1=- _3¤ +m(cid:100)(cid:100)∴ m=4
1
3
84 정답과 풀이
⑵ 이차함수 y=-3x¤ -2의 그래프를 y축의 방향으로
m만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의
식은
y=-3x¤ -2+m
이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (0, 6)이므로
-2+m=6(cid:100)(cid:100)∴ m=8
본문 184쪽
개념원리 확인하기
01 풀이 참조
02 ⑴ ① 3x¤ , x, 1(cid:100)② 1, 0, x=1
02 ⑵ ① - (x+2)¤(cid:100)② -2, 0, x=-2
03 ⑴ y=- (x+3)¤ , 풀이 참조
⑵ y=3 {x- }
1
2
¤ , 풀이 참조
1
3
1
2
01
x
y=x¤
y=(x-2)¤
y
y
y
-3
9
25
-2
4
16
-1
1
9
0
0
4
1
1
1
2
4
0
3
9
1
y
y
y
y=x@
y={x-2}@
y
6
8
4
2
O-2
2
4
x
03
⑴
y
-3
O
x
9
-;2;
1
y=-;2; (x+3)¤
1
y=-;2;x¤
⑵
y=3x¤
y
3
;4;
¤1
y=3{x-;2;}
O
1
;2;
x
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지85 다민 2540DPI 175LPI
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 185~186쪽
이런 문제가 시험에 나온다
본문 187쪽
1 ⑴ y=- (x-2)¤ (cid:100)⑵ (2, 0)(cid:100)⑶ x=2(cid:100)⑷ x>2
2
3
2 ⑴ -12(cid:100)⑵ -2
3 ⑤
4 -2
1
⑷ 이차함수 y=- (x-2)¤ 의 그
;3@;
래프는 오른쪽 그림과 같으므로
x>2일 때 x의 값이 증가하면 y
의 값은 감소한다.
y
O
2
01 풀이 참조 02 ⑤
03 ⑤
04 ⑴ -2(cid:100)⑵ 2(cid:100)⑶ -2 05
3
25
1
06 y= (x+2)¤
4
x
01
⑴ 꼭짓점의 좌표：(-2, 0)
축의 방정식：x=-2
1
3
3
4
2
⑴ 이차함수 y=- x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로
-4만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의
식은
1
y=- (x+4)¤
3
이 그래프가 점 (2, k)를 지나므로
k=- (2+4)¤ =-12
1
3
⑵ 이차함수 y=a(x-2)¤ 의 그래프를 x축의 방향으
로 3만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수
의 식은
y=a(x-3-2)¤ =a(x-5)¤
이 그래프가 점 (4, -2)를 지나므로
-2=a(4-5)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-2
3
② x=0을 대입하였을 때 y의 값은 y=-3이므로 y축
과의 교점의 좌표는 (0, -3)이다.
⑤ 이차함수 y=- (x-2)¤ 의 그래프는 다음 그림과
같으므로 x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가하는 x의
값의 범위는 x<2이다.
y
O
2
-3
x
4
꼭짓점의 좌표가 (-4, 0)이므로 p=4
y=a(x+4)¤ 의 그래프가 점 (0, -8)을 지나므로
-8=16a(cid:100)(cid:100)∴ a=-
1
2
1
∴ ap={- }_4=-2
2
y
O-2
4
-;3;
x
y
18
O 3
y
-2
x
x
O
감소
-12
⑵ 꼭짓점의 좌표：(3, 0)
축의 방정식：x=3
03
y=-3(x+2)¤ 의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
⑤ x의 값이 증가할 때 y의 값은 감
소하는 x의 값의 범위는 x>-2
이다.
04
⑴ 이차함수 y=- x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 1
1
2
만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은
1
y=- (x-1)¤
2
이 그래프가 점 (-1, m)을 지나므로
m=- (-1-1)¤ (cid:100)(cid:100)∴ m=-2
1
2
⑵ 이차함수 y=-2(x-3)¤ 의 그래프를 x축의 방향으
로 p만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의
식은 y=-2(x-p-3)¤
이 그래프가 점 (3, -8)을 지나므로
-8=-2(3-p-3)¤
p¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ p=—2
그런데 p>0이므로 p=2
⑶ 이차함수 y=-2(x+1)¤ 의 그래프는
y=-2(x-1)¤ 의 그래프를 x축의 방향으로
-1-1=-2만큼 평행이동한 것이다.
y
-1
O
1
x
y=-2(x+1)¤
y=-2(x-1)¤
IV. 이차함수 85
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지86 다민 2540DPI 175LPI
04
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프
개념원리 확인하기
본문 190쪽
∴ y=- (x+1)¤ -5
01 ⑴ y=2(x+5)¤ +3 ⑵ -2, -5 ⑶ 2, -4
02 풀이 참조
03 1, 2, 0, 5, 3, y=3(x+1)¤ +2
2
05
이차함수 y=a(x-p)¤ 의 그래프에서 축이 직선 x=-3
이므로 p=-3
y=a(x+3)¤ 의 그래프가 점 (2, -1)을 지나므로
-1=a(2+3)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-
1
25
1
∴ ap={- }_(-3)=
25
3
25
06
꼭짓점의 좌표가 (-2, 0)이므로 그래프를 나타내는
이차함수의 식은
y=a(x+2)¤
이 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로
1=a_2¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=
1
4
1
∴ y= (x+2)¤
4
02
⑴ y=3(x-1)¤ -2
꼭짓점의 좌표：(1, -2)
축의 방정식：x=1
y축과의 교점의 좌표：x=0을 대입하면
y=3(0-1)¤ -2=1이므로 (0, 1)
⑵ y=-(x+3)¤ +4
꼭짓점의 좌표：(-3, 4)
축의 방정식：x=-3
y축과의 교점의 좌표：x=0을 대입하면
y=-(0+3)¤ +4=-5이므로 (0, -5)
y
1
1
O
-2
x
y
4
O
-5
-3
x
86 정답과 풀이
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 191~193쪽
1 ⑴ y=-3(x-2)¤ -5, 꼭짓점의 좌표：(2, -5),
축의 방정식：x=2, y축과의 교점의 좌표：(0, -17)
1 ⑵ y=;2!;(x+1)¤ +3, 꼭짓점의 좌표：(-1, 3),
1 ⑵ 축의 방정식：x=-1, y축과의 교점의 좌표：{0, ;2&;}
1 ⑶ y=-;2!;(x+1)¤ -5, 꼭짓점의 좌표：(-1, -5),
1 ⑵ 축의 방정식：x=-1,
1 ⑵ y축과의 교점의 좌표：{0, -;;¡2¡;;}
2 -2
3 ④
4 1
5 ⑴ -9(cid:100)⑵ y=-(x+1)¤ +4
6 ⑴ a>0, p<0, q<0(cid:100)⑵ a<0, p>0, q<0
1
⑶ x 대신 x-2를, y 대신 y+1을 대입하면 구하는 이
차함수의 식은
y+1=- (x-2+3)¤ -4
1
2
1
2
y=2(x-4)¤ +3의 그래프를 x축의 방향으로 -3만
큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 그래프를 나타
내는 이차함수의 식은
y=2(x+3-4)¤ +3-5=2(x-1)¤ -2
이 그래프가 점 (1, k)를 지나므로
k=2(1-1)¤ -2=-2
3
이차함수 y= (x-3)¤ -1의 그
y
1
2
래프는 오른쪽 그림과 같다.
① 꼭짓점의 좌표는 (3, -1)이다.
② x=0을 대입하면
y= (0-3)¤ -1= 이므로
7
2
1
2
7
;2;
O
-1
y축과의 교점의 좌표는 {0,
}이다.
7
2
3
x
③ x축에 대하여 대칭인 그래프를 나타내는 이차함수의
식은
-y= (x-3)¤ -1
1
2
1
2
∴ y=- (x-3)¤ +1
⑤ x>3일 때 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지87 다민 2540DPI 175LPI
4
이차함수 y=-3(x-1)¤ +2의 그래프를 x축에 대하
여 대칭이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은
-y=-3(x-1)¤ +2
∴ y=3(x-1)¤ -2
이 그래프를 다시 y축에 대하여 대칭이동한 그래프를
나타내는 이차함수의 식은
y=3(-x-1)¤ -2
`∴ y=3(x+1)¤ -2
이때 이 그래프가 점 (-2, k)를 지나므로
k=3(-2+1)¤ -2=1
5
⑴ 이차함수 y= (x-p)¤ +q의 그래프는 직선
1
2
x=-1을 축으로 하므로
p=-1
∴ y= (x+1)¤ +q
1
2
이 그래프가 점 (3, 0)을 지나므로
0= (3+1)¤ +q(cid:100)(cid:100)∴ q=-8
1
2
∴ p+q=-1-8=-9
⑵ 꼭짓점의 좌표가 (-1, 4)이므로 이차함수의 식을
y=a(x+1)¤ +4
로 놓으면 이 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로
3=a+4(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
∴ y=-(x+1)¤ +4
6
⑴ 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
꼭짓점 (p, q)가 제 3 사분면 위에 있으므로
p<0, q<0
⑵ 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점 (p, q)가 제 4 사분면 위에 있으므로
p>0, q<0
이런 문제가 시험에 나온다
본문 194~195쪽
01 ②
02 ④
05 x>5
06 -4
09 y=3(x+1)¤ +3
03 ②
07 ④
10 1
04 ②
08 12
11 ③
12 ④
y= _2¤ -1= 이므로 y절편이 인 포물선이다.
1
3
1
3
1
3
02
각각의 이차함수의 그래프를 그려 보면 다음과 같다.
①
③
②
y
y
y
O
x
1
x
1
O
-2
1
x
-4
④
⑤
2
y
5
O
1
x
O
x
따라서 모든 사분면을 지나는 그래프는 ④이다.
03
① 직선 x=-1을 축으로 하는 위로 볼록한 포물선이다.
③ y=- (x+1)¤ -2에 x=0을 대입하면
;3!;
y=- (0+1)¤ -2=-;3&;
;3!;
따라서 y축과 점 {0, - }에서 만난다.
;3&;
④ x>-1일 때 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
⑤ 이차함수 y=- (x+1)¤ -2의
;3!;
그래프는 오른쪽 그림과 같으므
로 제3, 4 사분면을 지난다.
y
-1
x
O
-2
7
-;3;
04
평행이동하여 y=2(x-3)¤ -5의 그래프와 완전히 포
개어지려면 x¤ 의 계수가 2이어야 한다.
05
y=- (x-3)¤ +4의 그래프를 x축의 방향으로 2만
큼 평행이동한 식은
y=- (x-2-3)¤ +4
2
∴ y=- (x-5)¤ +4
3
따라서 이차함수
y=- (x-5)¤ +4의 그래프는 오
5
x
y
4
O
5
1
O
y
3
1
2
3
2
3
2
3
01
이차함수 y= (x+2)¤ -1의 그래프는 아래로 볼록
1
3
하며 꼭짓점의 좌표가 (-2, -1)이고, x=0일 때
른쪽 그림과 같으므로 x의 값이 증
가할 때 y의 값이 감소하는 x의 값
의 범위는 x>5이다.
IV. 이차함수 87
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지88 다민 2540DPI 175LPI
06
직선 x=-3을 축으로 하므로
p=-3(cid:100)(cid:100)∴ y=a(x+3)¤ +2
이 그래프가 점 (-2, 1)을 지나므로
1=a+2(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
∴ a+p=-1-3=-4
07
1
2
y= (x+3)¤ -1의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동
한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y 대신 -y를
대입하여 구한다.
즉, -y= (x+3)¤ -1이므로
1
2
1
2
y=- (x+3)¤ +1
08
이차함수 y=-3(x+2)¤ +4의 그래프를 x축의 방향
으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래
프를 나타내는 이차함수의 식은
y-n=-3(x-m+2)¤ +4
∴ y=-3(x-m+2)¤ +4+n
이 식이 y=-3(x-2)¤ -4와 같으므로
-m+2=-2, 4+n=-4
∴ m=4, n=-8
∴ m-n=12
09
꼭짓점의 좌표가 (-1, 3)이므로 이차함수의 식을
y=a(x+1)¤ +3
으로 놓으면 이 그래프가 점 (0, 6)을 지나므로
6=a+3(cid:100)(cid:100)∴ a=3
∴ y=3(x+1)¤ +3
(-p, -q)이고 주어진 그래프에서 꼭짓점이 제 3 사
분면 위에 있으므로
-p<0, -q<0
∴ p>0, q>0
12
그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
y=a(x-p)¤ +q의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p, q)
이고 주어진 그래프에서 꼭짓점이 제`3`사분면 위에 있
으므로 p<0, q<0
따라서 y=p(x-a)¤ +q의 그래프에서 p<0이므로 위
로 볼록한 그래프이고, a>0, q<0이므로 꼭짓점
(a, q)는 제`4`사분면 위에 있다.
따라서 구하는 그래프는 ④이다.
Step (기본문제)
본문 196~197쪽
03 ③
08 ②
04 ⑤
05 ②
09 -1
10 -4
01 ②
06 ④
11 ㉱
02 ④
07 ③
12 ⑤
01
① y=3x+4 ⇨ 일차함수
② y=x¤ +4x-4x=x¤ ⇨ 이차함수
③ y=x(x¤ -1)=x‹ -x ⇨ 이차함수가 아니다.
④ y=x¤ -(x¤ +x-6)=-x+6 ⇨ 일차함수
⑤ y=x¤ +4x+4-(x¤ -2x+1)=6x+3
⇨ 일차함수
10
이차함수 y=- x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -2
;3@;
02
만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 그래프가 나타
내는 이차함수의 식은
이차함수의 그래프는 x¤ 의 계수의 절댓값이 작을수록
폭이 넓어진다.
따라서 폭이 가장 넓은 것은 ④이다.
y=- (x+2)¤ +5
;3@;
이 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프가 나타
내는 이차함수의 식은
-y=- (x+2)¤ +5
;3@;
∴ y= (x+2)¤ -5
;3@;
이때 이 그래프가 점 (1, k)를 지나므로
k=6-5=1
03
f(x)=3x¤ -2x+a이므로
f(-2)=3_(-2)¤ -2_(-2)+a
15=12+4+a(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
따라서 f(x)=3x¤ -2x-1이므로
f(3)=3_3¤ -2_3-1
=27-6-1=20
11
그래프가 위로 볼록하므로 a<0
y=a(x+p)¤ -q의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
04
축이 y축이려면 이차함수가 y=ax¤ (a+0) 또는
y=ax¤ +q (a+0) 꼴이어야 한다.
⑤ y=2(x-1)¤ 의 그래프의 축은 직선 x=1이다.
88 정답과 풀이
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지89 다민 2540DPI 175LPI
2
3
2
3
1
2
1
2
1
3
1
3
1
2
1
3
05
이차함수 y=-2(x-3)¤ +5의 그래프를 평행이동하
여 포갤 수 있는 것은 x¤ 의 계수가 -2인 이차함수의
그래프이다.
y=- (x+3-4)¤ -5
=- (x-1)¤ -5
06
각각의 이차함수의 그래프를 그려 보면 다음과 같다.
①
②
y
y
이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 x의 값이 증가할 때 y의 값은
감소하는 x의 값의 범위는 x>1이다.
y
O
1
x
-5
4
O
x
④
-16
y
2
1
O
1
x
13
1
O
17
2
y
③
O
-1
3
y
⑤
(cid:100)
x
(cid:100)
x
2
O
(cid:100)
x
따라서 모든 사분면을 지나는 그래프는 ④이다.
09
이차함수 y=- x¤ +3의 그래프를 x축의 방향으로
-1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동하면
y=- (x+1)¤ +3-2
∴ y=- (x+1)¤ +1
이 그래프가 점 (-3, k)를 지나므로
k=- (-3+1)¤ +1
=-1
1
2
1
3
07
② 꼭짓점의 좌표가 (-2, -3)이므로 제3 사분면 위
10
이차함수 y=- (x-p)¤ +q의 그래프를 y축의 방향
에 있다.
1
4
③ y=- (x+2)¤ -3의 그래프
는 오른쪽 그림과 같으므로
x>-2일 때 x의 값이 증가하
면 y의 값은 감소한다.
④ x축에 대하여 대칭인 그래프를
y
-2
x
O
-3
으로 -3만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=- (x-p)¤ +q-3
이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-2, -1)이므로
p=-2, q-3=-1에서 q=2
나타내는 이차함수의 식은 y 대신 -y를 대입하여
구한다.
즉, -y=- (x+2)¤ -3이므로
∴ y=- (x+2)¤ -1
이 그래프가 점 (1, a)를 지나므로
a=- (1+2)¤ -1=-4
∴ a+p+q=-4-2+2=-4
⑤ y=- x¤ 에 x 대신 x+2, y 대신 y+3을 대입하면
y= (x+2)¤ +3
1
4
1
4
1
y+3=- (x+2)¤
4
∴ y=- (x+2)¤ -3
1
4
1
4
2
3
08
이차함수 y=- (x-4)¤ -5의 그래프를 x축의 방향
으로 -3만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수
의 식은
11
12
이차함수 y=-ax¤ +q에서 a>0, 즉 -a<0이므로
그래프는 위로 볼록한 포물선이다.
또, 꼭짓점의 좌표는 (0, q)이고, q<0이므로 구하는
그래프는 ㉱이다.
그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
꼭짓점 (-p, q)가 제4 사분면 위에 있으므로
-p>0, q<0(cid:100)(cid:100)∴ p<0, q<0
① ap<0
③ pq>0
⑤ -p>0, -q>0이므로 a-p-q>0
② aq<0
④ apq>0
IV. 이차함수 89
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지90 다민 2540DPI 175LPI
Step (발전문제)
본문 198~199쪽
01 ④
02 2
06 -2
07 ②
10 ④
11 -1
03 ㉱
08 -;4%;
12 27
04 ④
05 -6
0이어
야 하므로
4a+5>0
y
5
O 2
x
04
이차함수 y=ax¤ 의 그래프는 a의 절댓값이 클수록 그
래프의 폭이 좁아진다.
∴ - (cid:100)(cid:100)yy ㉡
㉠, ㉡에서 - 0이므로 꼭짓
점은 x축 양의 부분 위에 있다.
따라서 y=a(x+b)¤ 의 그래프로 알맞은 것은 ④이다.
11
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프의 꼭짓점은
(p, q)이고 꼭짓점이 직선 y=-4 위에 있으므로 꼭짓
점의 y좌표는 -4이다.
∴ q=-4
y=a(x-p)¤ -4의 그래프가 다음 그림과 같이 x축과
두 점 (-3, 0), (5, 0)에서 만나고 직선 x=p에 대하
여 대칭이므로
y
-3
O
5
x
-4
x=p
p=
-3+5
2
=1
∴ y=a(x-1)¤ -4
이 그래프가 점 (5, 0)을 지나므로 0=16a-4
∴ a=
1
4
∴ apq= _1_(-4)=-1
1
4
12
13
이차함수 y=x¤ +c의 그래프의 꼭짓점의 좌표가
(0, -9)이므로 c=-9
이차함수 y=a(x-b)¤ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표가
(3, 0)이므로 b=3
따라서 이차함수 y=a(x-3)¤ 의 그래프가 점 (0, -9)
를 지나므로
-9=a_(-3)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-1
∴ abc=(-1)_3_(-9)
=27
점 B는 꼭짓점이므로 B(1, -3)
축의 방정식은 x=1이므로 C(1, 0)
점 A는 y축과의 교점이므로 x=0을 대입하면
y=(-1)¤ -3=-2
∴ A(0, -2)
오른쪽 그림과 같이 점 A에서
BC”에 내린 수선의 발을 D라
하면 BC” =3, AD” =1이므로
O C
1
y
y={x-1}@-3
x
△ABC= _3_1
1
2
3
2
=
-2
-3
A
D
B
Step
( )
01 -20이므로
a=-1, b=2
∴ A(-1, 1), B(2, 4)
x=-1, y=1을 y=mx+n에 대입하면
1=-m+n(cid:100)(cid:100)yy ㉠
x=2, y=4를 y=mx+n에 대입하면
4=2m+n(cid:100)(cid:100) yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=1, n=2
∴ m+n=3
03
이차함수의 그래프의 축 x=p는 꼭짓점 A를 지나고 y
축과 평행한 직선이므로 점 A의 x좌표는
p=
-1+3
2
=1
△ABC의 넓이가 8이고 점 A의 y좌표는 q이므로
1
2
_4_q=8(cid:100)(cid:100)∴ q=4(cid:100)(cid:100)∴ A(1, 4)
따라서 y=a(x-1)¤ +4의 그래프가 점 (-1, 0)을 지
나므로
0=a(-1-1)¤ +4(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
∴ a+p+q=-1+1+4=4
04
점 D의 x좌표를 a라 하면 D {a,
a¤ } (단, a>0)
1
2
IV. 이차함수 91
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지92 다민 2540DPI 175LPI
그런데 이차함수 y= x¤ 의 그래프는 y축에 대하여 대
서술형 대비 문문제제
본문 201~202쪽
1
2
1
2
a¤ }
칭이므로 A {-a,
또, y=-x¤ 에 x=a를 대입하면
y=-a¤ (cid:100)(cid:100)∴ C(a, -a¤ )
(cid:8772)ABCD가 정사각형이므로
AD” =CD”
1
a-(-a)= a¤ -(-a¤ )
2
2a= a¤ , 3a¤ -4a=0, a(3a-4)=0
3
2
∴ a=0 또는 a=
4
3
그런데 a>0이므로 a=
4
3
05
점 A의 좌표를 (-a, a¤ -2) (단, a>0)라 하면
B(a, a¤ -2), C(a, -a¤ +2), D(-a, -a¤ +2)이므로
AB”=2a, BC”=-2a¤ +4
이때 (cid:8772)ABCD는 정사각형이므로 AB”=BC”에서
2a=-2a¤ +4, a¤ +a-2=0
(a+2)(a-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-2 또는 a=1
그런데 a>0이므로 a=1
따라서 (cid:8772)ABCD의 한 변의 길이는 2a=2_1=2이므로
(cid:8772)ABCD=2¤ =4
06
색칠한 부분의 넓이는 평행사변형 ABCD의 넓이와
같다.
D
1
y=;2;x@-1
C
2
x
H
-1
A
1
O
B
-1
점 A의 좌표는 {-1,
이므로
3
2
1
}, 점 B의 좌표는 {-1, - }
2
3
2
1
2
AB”= -{- }=2
점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면
CH”=2-(-1)=3
∴ (구하는 넓이)=(cid:8772)ABCD
=AB”_CH”
=2_3=6
92 정답과 풀이
1 2
4 -2
2 제 1, 2사분면
3 (0, -2)
5 5
6 5
1
1단계
y= (x-2)¤ -3의 그래프를 x축의 방향으로
-4만큼, y축의 방향으로 -7만큼 평행이동한 그래
프의 식은
;4#;
;4#;
;4#;
y= (x+4-2)¤ -3-7
= (x+2)¤ -10
2= (a+2)¤ -10
;4#;
(a+2)¤ =16, a+2=—4
∴ a=2 또는 a=-6
그런데 a>0이므로 a=2
2단계
이 그래프가 점 (a, 2)를 지나므로
2
1단계
2단계
그래프의 모양이 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점 (-p, q)가 제`1`사분면 위에 있으므로
-p>0, q>0
∴ p<0, q>0
y=-p(x-q)¤ -a의 그래
프는 -p>0이므로 아래로
볼록하고, q>0, -a>0이
므로 꼭짓점 (q, -a)는 제
`1사분면 위에 있다. 따라서
이 그래프가 지나는 사분면은 제`1, 2사분면이다.
O
y
x
이차함수 y=ax¤ +q의 그래프가 두 점 (1, -4),
(-2, -10)을 지나므로
-4=a+q(cid:100)(cid:100)(cid:100)yy ㉠
-10=4a+q(cid:100)(cid:100)yy ㉡
㉠-㉡을 하면 -3a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
a=-2를 ㉠에 대입하면
-4=-2+q(cid:100)(cid:100)∴ q=-2
∴ y=-2x¤ -2
따라서 꼭짓점의 좌표는 (0, -2)이다.
채점요소
그래프가 지나는 점을 대입하여 식 세우기
a, q의 값 구하기
꼭짓점의 좌표 구하기
배점
3점
2점
1점
2단계
3단계
단계
1
2
3
4 1단계
그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-3, 3)이므로
-p=-3, q=3(cid:100)(cid:100)∴ p=3, q=3
y
1
y=;2;x@+1
3 1단계
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 04:31 PM 페이지93 다민 2540DPI 175LPI
2단계
∴ y=a(x+3)¤ +3
이 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로
1=9a+3(cid:100)(cid:100)∴ a=-;9@;
3단계
∴ apq={-;9@;}_3_3=-2
단계
채점요소
1
2
3
p, q의 값 구하기
a의 값 구하기
apq의 값 구하기
배점
2점
2점
2점
배점
3점
2점
1점
배점
3점
3점
1점
5 1단계
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프와 x축에 대
하여 대칭인 그래프를 나타내는 이차함수의 식은
-y=a(x-p)¤ +q
∴ y=-a(x-p)¤ -q
그런데 y=-a(x-p)¤ -q의 그래프의 꼭짓점의
좌표가 (3, -5)이므로
p=3, -q=-5(cid:100)(cid:100)∴ p=3, q=5
이때 y=a(x-3)¤ +5의 그래프가 점 (4, 2)를 지
나므로
2=a(4-3)¤ +5(cid:100)(cid:100)∴ a=-3
∴ a+p+q=-3+3+5=5
6 1단계
2단계
3단계
단계
1
2
3
2단계
3단계
단계
1
2
3
채점요소
p, q의 값 구하기
a의 값 구하기
a+p+q의 값 구하기
yy ㉠
이차함수 y=(x-a)¤ +b의 그래프의 꼭짓점
(a, b)가 직선 y=2x-4 위에 있으므로
b=2a-4(cid:100)(cid:100)
또, 이차함수 y=(x-a)¤ +b의 그래프가 점
(1, 6)을 지나므로
6=(1-a)¤ +b(cid:100)(cid:100)yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
6=(1-a)¤ +2a-4, a¤ =9
∴ a=3 (∵ a>0)
a=3을 ㉠에 대입하면
b=2_3-4=2
∴ a+b=5
채점요소
a, b에 대한 식 세우기
a, b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
2 이차함수의 그래프와 활용
01
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프`⑴
본문 205쪽
개념원리 확인하기
01 풀이 참조
02 ⑴ ① (1, -1)(cid:100)② x=1(cid:100)③ (0, 2)(cid:100)④ 풀이 참조
⑵ ① (-3, 2)(cid:100)② x=-3(cid:100)③ (0, -1)(cid:100)
④ 풀이 참조
01
⑴ y=2x¤ -8x+3
=2(x¤ -4x)+3
=2(x¤ -4x+4-4)+3
=2(x¤ -4x+4)-8+3
=2(x-2)¤ -5
① 꼭짓점의 좌표：(2, -5)
② y축과의 교점의 좌표：(0, 3)
③
y
-6-4-2
2
4
x
6
⑵ y=-;2!;x¤ +3x+1
=-;2!;(x¤ -6x)+1
=-;2!;(x¤ -6x+9-9)+1
=-;2!;(x¤ -6x+9)+;2(;+1
=-;2!;(x-3)¤ +;;¡2¡;;
① 꼭짓점의 좌표：{3, ;;¡2¡;;}
② y축과의 교점의 좌표：(0, 1)
③
y
-6-4-2
O
2
-2
4
x
6
6
4
2
O
-2
-4
-6
6
4
2
-4
-6
02
⑴ y=3x¤ -6x+2
=3(x¤ -2x)+2
IV. 이차함수 93
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지94 다민 2540DPI 175LPI
=3(x¤ -2x+1-1)+2
=3(x¤ -2x+1)-3+2
=3(x-1)¤ -1
y
④
2
O
-1
1
x
⑵ y=-;3!;x¤ -2x-1
=-;3!;(x¤ +6x)-1
=-;3!;(x¤ +6x+9-9)-1
=-;3!;(x¤ +6x+9)+3-1
=-;3!;(x+3)¤ +2
(cid:100) ④
y
2
-3
-1
x
O
지나므로
-11=-3_(-1)¤ -k-2
∴ k=6
∴ y=-3x¤ +6x-2
=-3(x¤ -2x)-2
=-3(x¤ -2x+1-1)-2
=-3(x-1)¤ +1
∴ 꼭짓점의 좌표：(1, 1)
1
⑵ y=- x¤ +ax+1
2
=- (x¤ -2ax)+1
1
2
1
2
1
2
=- (x¤ -2ax+a¤ -a¤ )+1
=- (x-a)¤ + +1
a¤
2
94 정답과 풀이
2
y=-;3!;x¤ -2x=-;3!;(x¤ +6x)
=-;3!;(x¤ +6x+9-9)
=-;3!;(x+3)¤ +3
이 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로
4만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은
y=-;3!;(x+3+3)¤ +3+4
=-;3!;(x+6)¤ +7
∴ 꼭짓점의 좌표：(-6, 7)
3
y=;2!;x¤ +3x+8
=;2!;(x¤ +6x)+8
=;2!;(x¤ +6x+9-9)+8
y
8
7
;2;
-3
O
x
=;2!;(x+3)¤ +;2&;
이 이차함수의 그래프를 그리면 위의 그림과 같다.
① y축과의 교점의 y좌표는 8이다.
② 그래프가 아래로 볼록하고 꼭짓점이 x축보다 위쪽
에 있으므로 x축과 만나지 않는다.
③ 제1, 2 사분면을 지난다.
4
y=-;2!;x¤ +ax+1
=-;2!;(x¤ -2ax)+1
=-;2!;(x¤ -2ax+a¤ -a¤ )+1
=-;2!;(x-a)¤ +;2!;a¤ +1
축의 방정식이 x=3이므로 a=3
이런 문제가 시험에 나온다
본문 208~209쪽
01 ③
05 ②
09 1
02 ③
06 ②
10 -1
03 ②
07 ④
04 ③
08 7
11 ⑴ 6(cid:100)⑵ -5
12 a=-1, c=3
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 206~207쪽
④ y=;2!;x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축
1 ⑴ (1, 1)(cid:100)⑵ 3
2 (-6, 7)
3 ⑤
4 3
의 방향으로 ;2&;만큼 평행이동한 것이다.
1
⑴ y=-3x¤ +kx-2의 그래프가 점 (-1, -11)을
따라서 축의 방정식이 x=a이므로 a=3
01
이차함수의 그래프를 평행이동하여 완전히 포개어지려
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지95 다민 2540DPI 175LPI
면 그래프의 모양과 폭이 같아야 하므로 x¤``의 계수가 같
아야 한다.
02
위로 볼록한 것은 ③, ④, ⑤이고, 이 중 x¤ 의 계수의 절
댓값이 작을수록 폭이 넓어지므로 폭이 가장 넓은 것은
③이다.
03
y=-2x¤ -8x-11
=-2(x¤ +4x)-11
=-2(x¤ +4x+4-4)-11
=-2(x+2)¤ -3
-2
y
O
x
-3
이 그래프를 그리면 오른쪽 그림과
같다.
따라서 x의 값이 증가하면 y의 값도
증가하는 x의 값의 범위는 x<-2이다.
=-2(x¤ -8x+16-16)-20
=-2(x-4)¤ +12
이 그래프를 그리면 오른쪽 그림과
같다.
④ y=-2x¤ +16x-20의 그래프와
x축에 대하여 대칭인 그래프를 나
타내는 이차함수의 식은 y 대신
-y를 대입하면
-y=-2x¤ +16x-20
∴ y=2x¤ -16x+20
y
12
-20
O
4
x
-11
08
y=2x¤ -2x+;2#;
=2(x¤ -x)+;2#;
=2{x¤ -x+;4!;-;4!;}+;2#;
=2{x-;2!;}
2
+1
04
y=- x¤ -3x-
7
2
7
2
=- (x¤ +2x)-
=- (x¤ +2x+1-1)-
7
2
=- (x+1)¤ -2
∴ 꼭짓점의 좌표：(-1, -2)
05
y= x¤ -4x+2
= (x¤ -6x)+2
= (x¤ -6x+9-9)+2
= (x-3)¤ -4
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
2
3
2
3
2
3
따라서 구하는 그래프는 꼭짓점의 좌표가 (3, -4)이
고 y축과의 교점의 좌표가 (0, 2)인 ②이다.
2
x
10
06
y=-3x¤ +12x-11
=-3(x¤ -4x)-11
=-3(x¤ -4x+4-4)-11
=-3(x-2)¤ +1
이 그래프를 그리면 오른쪽 그림과
같으므로 제2 사분면을 지나지 않는
다.
y
1
O
-11
07
y=-2x¤ +16x-20
=-2(x¤ -8x)-20
∴ 꼭짓점의 좌표：{;2!;, 1}
따라서 이차함수 y=-8x¤ +ax+b의 그래프의 꼭짓
점의 좌표가 {;2!;, 1}이므로
-8x¤ +ax+b=-8{x-;2!;}
-8x¤ +ax+b=-8x¤ +8x-1
∴ a=8, b=-1
∴ a+b=8-1=7
2
+1에서
09
y=-;2!;x¤ +2px+1
=-;2!;(x¤ -4px)+1
=-;2!;(x¤ -4px+4p¤ -4p¤ )+1
=-;2!;(x-2p)¤ +2p¤ +1
따라서 축의 방정식이 x=2p이므로
2p=2(cid:100)(cid:100)∴ p=1
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌표가
(1, -3)이므로
y=a(x-1)¤ -3
점 (-1, 5)를 지나므로
5=4a-3(cid:100)(cid:100)∴ a=2
따라서 y=2(x-1)¤ -3=2x¤ -4x-1이므로
b=-4, c=-1
∴ a+b-c=2-4+1=-1
IV. 이차함수 95
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11
⑴ y=-2x¤ +4x=-2(x¤ -2x)
=-2(x¤ -2x+1-1)
=-2(x-1)¤ +2
이 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으
로 n만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수
의 식은
y=-2(x-m-1)¤ +2+n(cid:100)(cid:100)yy ㉠
한편, y=-2x¤ -8x+3
=-2(x¤ +4x)+3
=-2(x¤ +4x+4-4)+3
=-2(x+2)¤ +11
㉠, ㉡에서 -m-1=2, 2+n=11
∴ m=-3, n=9
∴ m+n=-3+9=6
yy ㉡
(cid:100) 이 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로
⑵ y=;3!;x¤ +2x-4
=;3!;(x¤ +6x+9-9)-4
=;3!;(x+3)¤ -7
-1만큼 평행이동하면
(cid:100) y=;3!;(x-3+3)¤ -7-1=;3!;x¤ -8
(cid:100) 이 그래프가 점 (3, n)을 지나므로
n=;3!;_3¤ -8=-5
12
그래프에서 y절편이 3이므로 c=3
∴ y=ax¤ -2x+3
이 그래프는 점 (1, 0)을 지나므로
0=a-2+3
∴ a=-1
02
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프⑵
개념원리 확인하기
본문 212쪽
01 ⑴ -2, 3, -2, 0, 3, 0 ⑵ -6, 0, -6
02 ⑴ ① 아래로 볼록, >(cid:100)② 오른쪽, 다르다, <
03 ⑵ ① 위로 볼록, <(cid:100)② 왼쪽, 같다, <
③ 위, >
③ 아래, <
01
⑴ x¤ -x-6=0, (x+2)(x-3)=0
96 정답과 풀이
∴ x=-2 또는 x=3
∴ A(-2, 0), B(3, 0)
⑵ y=x¤ -x-6에 x=0을 대입하면
y=-6
∴ C(0, -6)
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 213~215쪽
1 ⑴
;2&;
(cid:100)⑵ (-14, 0)
2 3
3 :¡8¶:
4 ⑴ k<-4(cid:100)⑵ k<2
5 ⑴ a>0, b>0, c>0(cid:100)⑵ a<0, b>0, c>0
⑶ a<0, b<0, c<0(cid:100)⑷ a>0, b<0, c<0
6 제`4`사분면
1
⑴ y=2x¤ +5x-3에 y=0을 대입
y
1
2
-3
x
O 1
;2;
1
2
, 0} 또는 A{
, 0},
하면
0=2x¤ +5x-3
(x+3)(2x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=
따라서 A(-3, 0), B{
B(-3, 0)이므로
AB”= -(-3)=
1
2
7
2
1
2
1
4
⑵ y=ax¤ -3x+7에 x=2, y=0을 대입하면
0=a_2¤ -3_2+7
0=4a-6+7(cid:100)(cid:100)∴ a=-
1
4
∴ y=- x¤ -3x+7(cid:100)(cid:100)yy ㉠
1
4
㉠에 y=0을 대입하면
0=- x¤ -3x+7
x¤ +12x-28=0
(x+14)(x-2)=0
∴ x=-14 또는 x=2
따라서 다른 한 점의 좌표는 (-14, 0)이다.
2
y=-x¤ +x+2에 y=0을 대입하면
0=-x¤ +x+2에서 x¤ -x-2=0
(x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=2
따라서 A(-1, 0), B(2, 0)이므로
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지97 다민 2540DPI 175LPI
AB”=2-(-1)=3
또, y=-x¤ +x+2에 x=0을 대입하면 y=2이므로
C(0, 2)
6
1
∴ △ABC= _3_2=3
2
3
y=2x¤ +3x+a-1
=2{x+ }
3
4
2
+a-
17
8
17
∴ 꼭짓점의 좌표：{- , a- }
8
이 그래프가 x축에 접하려면
3
4
a- =0(cid:100)(cid:100)∴ a=
17
8
17
8
이차함수 y=ax¤ +bx+c에서 a>0이므로 그래프는
아래로 볼록하고 b<0에서 a와 b의 부호가 다르므로
그래프의 축은 y축의 오른쪽에 있다.
또, c<0이므로 그래프와 y축과의
교점은 x축보다 아래쪽에 있다.
따라서 이차함수 y=ax¤ +bx+c의
그래프는 오른쪽 그림과 같으므로
꼭짓점은 제`4사분면 위에 있다.
O
x
y
이런 문제가 시험에 나온다
본문 216쪽
01 ①
02 3
03 ⑴
;2(;
(cid:100)⑵ k…10
04 제`4`사분면
05 12
06 -5
4
⑴ y=2x¤ -4x-k-2
=2(x-1)¤ -k-4
y
07 ⑤
이 그래프가 x축과 만나지 않으
려면
-k-4>0
∴ k<-4
⑵ y= x¤ +2x+k
= (x+2)¤ +k-2
이 그래프가 x축과 서로 다른
두 점에서 만나려면
k-2<0(cid:100)(cid:100)∴ k<2
1
2
1
2
-k-4
O
1
x
01
① y=x¤ -4x-5
=(x-2)¤ -9
(cid:100) 이 그래프는 꼭짓점의 좌표가
(2, -9)이고 아래로 볼록하므로
x축과 두 점에서 만난다.
-5
-9
y
O
-2
x
k-2
02
y
2
O
x
y
OA
-1
B
2
x
5
⑴ 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 같다.
∴ b>0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
⑵ 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 다
르다.
∴ b>0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
⑶ 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 같다.
∴ b<0
y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c<0
⑷ 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 다
르다.
∴ b<0
y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c<0
y=x¤ -ax-2에 x=-1, y=0을
대입하면
0=(-1)¤ -a_(-1)-2
0=1+a-2(cid:100)(cid:100)∴ a=1
∴ y=x¤ -x-2(cid:100)(cid:100)yy ㉠
㉠에 y=0을 대입하면 0=x¤ -x-2
(x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=2
따라서 B(2, 0)이므로
AB”=2-(-1)=3
03
1
⑴ y=- x¤ +3x-k
2
=- (x-3)¤ + -k
1
2
9
2
9
2
9
2
(cid:100) 이 그래프의 꼭짓점 {3, -k}가
x축 위에 있으려면
(cid:100) -k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=
9
2
⑵ y=x¤ +6x-1+k
=(x+3)¤ +k-10
(cid:100) 이 그래프가 x축과 만나려면
y
O
3
x
-3
y
O
x
k-10
IV. 이차함수 97
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지98 다민 2540DPI 175LPI
k-10…0
∴ k…10
04
주어진 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a와 b는 같은 부호이다.
∴ b<0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
즉, 이차함수 y=cx¤ +bx+a에서 c>0이므로 그래프
는 아래로 볼록하고, c와 b의 부호가 다르므로 그래프
의 축은 y축의 오른쪽에 있고, a<0이므로 그래프와
y축과의 교점은 x축보다 아래쪽에 있다.
따라서 이차함수 y=cx¤ +bx+a의 그래프는 아래 그
림과 같으므로 꼭짓점은 제4 사분면 위에 있다.
y
y=cx
+bx+a
™
O
x
05
y=- x¤ +bx+3의 그래프는 점 B(-6, 0)을 지나
므로
1
4
1
4
0=- _(-6)¤ +b_(-6)+3
0=-9-6b+3(cid:100)(cid:100)∴ b=-1
1
∴ y=- x¤ -x+3
4
=- (x+2)¤ +4
1
4
1
∴ △ABO= _6_4=12
2
06
y=x¤ -4x+a
y
2
5
x
x=2
O-1
=(x-2)¤ +a-4
이 그래프의 축의 방정식이 x=2
이고 x축과 만나는 두 점 사이의
거리가 6이므로 x축과 만나는 두
점은 (-1, 0), (5, 0)이다.
따라서 y=x¤ -4x+a의 그래프가 점 (-1, 0)을 지나
므로
0=1+4+a
∴ a=-5
▶ 다른풀이
y=x¤ -4x+a에 y=0을 대입하면
0=x¤ -4x+a(cid:100)(cid:100)∴ x=2—'ƒ4-a
그런데 x축과 만나는 두 점 사이의 거리가 6이므로
98 정답과 풀이
(2+'ƒ4-a )-(2-'ƒ4-a )=6
2'ƒ4-a =6, 'ƒ4-a =3
양변을 제곱하면
4-a=9(cid:100)(cid:100)∴ a=-5
07
yy ㉠
그래프가 위로 볼록하므로 a<0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 다르다.
yy ㉡
∴ b>0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로
c>0
① ㉠, ㉡에서 ab<0
② ㉠, ㉢에서 ac<0
③ ㉡, ㉢에서 bc>0
④ x=1일 때, y의 값은 양수이므로
yy ㉢
⑤ x=-2일 때, y의 값은 음수이므로
a+b+c>0
4a-2b+c<0
03
이차함수의 식 구하기
개념원리 확인하기
본문 218쪽
01 3, 11, 1, 3, 2, y=2(x+1)¤ +3
02 -3, 2, 12, 0, -2, y=-2x¤ -2x+12
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 219~220쪽
1 y=-(x+2)¤ +3
2 ⑴ y=-2(x+2)¤ +3 ⑵ 4
3 ⑴ y=3x¤ -2x+1(cid:100)⑵ y=-x¤ -2x+3
4 ⑴ y=-x¤ -2x+3(cid:100)⑵ y=3x¤ +3x-6
1
꼭짓점의 좌표가 (-2, 3)이므로 이차함수의 식을
y=a(x+2)¤ +3
으로 놓으면 y절편이 -1이므로 점 (0, -1)을 지난다.
따라서 이 그래프의 꼭짓점 A의 좌표는 A(-2, 4)이다.
03 0=4a+2b+c, -2=a+b+c, 4=c,
4, -10, 4, y=4x¤ -10x+4
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지99 다민 2540DPI 175LPI
-1=4a+3(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
∴ y=-(x+2)¤ +3
2
⑴ 직선 x=-2를 축으로 하므로 이차함수의 식을
(cid:100) y=a(x+2)¤ +q
로 놓으면 두 점 (0, -5), (-1, 1)을 지나므로
-5=4a+q, 1=a+q
위의 두 식을 연립하여 풀면
a=-2, q=3
∴ y=-2(x+2)¤ +3
⑵ 직선 x=1을 축으로 하므로 이차함수의 식을
(cid:100) y=a(x-1)¤ +q
로 놓으면 두 점 (0, 3), (3, 0)을 지나므로
3=a+q, 0=4a+q
위의 두 식을 연립하여 풀면
a=-1, q=4
∴ y=-(x-1)¤ +4=-x¤ +2x+3
∴ a+b+c=-1+2+3=4
03
⑴ 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓고
x=0, y=1을 대입하면 1=c
x=1, y=2를 대입하면 2=a+b+c
x=-1, y=6을 대입하면 6=a-b+c
∴ a=3, b=-2, c=1
∴ y=3x¤ -2x+1
⑵ 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓고
x=-2, y=3을 대입하면 3=4a-2b+c
x=0, y=3을 대입하면 3=c
x=1, y=0을 대입하면 0=a+b+c
∴ a=-1, b=-2, c=3
∴ y=-x¤ -2x+3
4
⑴ 그래프가 x축과 두 점 (-3, 0), (1, 0)에서 만나
므로 이차함수의 식을
y=a(x+3)(x-1)
로 놓으면 점 (2, -5)를 지나므로
-5=5a(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
∴ y=-(x+3)(x-1)=-x¤ -2x+3
⑵ 그래프의 x절편이 -2, 1이므로 이차함수의 식을
y=a(x+2)(x-1)
로 놓으면 y절편이 -6이므로 점 (0, -6)을 지난다.
-6=-2a(cid:100)(cid:100)∴ a=3
∴ y=3(x+2)(x-1)=3x¤ +3x-6
▶ 참고
x절편이 a이면 ⇨ x축과 점 (a, 0)에서 만난다.
y절편이 b이면 ⇨ y축과 점 (0, b)에서 만난다.
이런 문제가 시험에 나온다
본문 221쪽
01 ⑴ y=-
;2!;
x¤ +2(cid:100)⑵ y=-
(x+2)¤
;4%;
01 ⑶ y=-(x-2)¤
¤ +5(cid:100)⑷ y=-
x¤ -
x+3
;5#;
:¡5™:
02 ⑴ y=5(x+1)¤ -2(cid:100)⑵ y=(x+4)¤ -5
02 ⑶ y=-x¤ +2x+8(cid:100)⑷ y=-x¤ -2x+8
03 ③
04 -10
05 y=
;2#;
(x-1)¤ -6
01
⑴ 꼭짓점의 좌표가 (0, 2)이므로 이차함수의 식을
y=ax¤ +2
로 놓으면 점 (2, 0)을 지나므로
0=4a+2(cid:100)(cid:100)∴ a=-
∴ y=- x¤ +2
1
2
1
2
5
4
⑵ 꼭짓점의 좌표가 (-2, 0)이므로 이차함수의 식을
y=a(x+2)¤
으로 놓으면 점 (0, -5)를 지나므로
⑶ 꼭짓점의 좌표가 (2, 5)이므로 이차함수의 식을
-5=4a(cid:100)(cid:100)∴ a=-
5
∴ y=- (x+2)¤
4
y=a(x-2)¤ +5
로 놓으면 점 (0, 1)을 지나므로
1=4a+5(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
∴ y=-(x-2)¤ +5
⑷ 그래프가 세 점 (0, 3), (-4, 3), (1, 0)을 지나
yy ㉠
므로 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓고
x=0, y=3을 대입하면
c=3(cid:100)(cid:100)
x=-4, y=3을 대입하면
3=16a-4b+c(cid:100)(cid:100)yy ㉡
x=1, y=0을 대입하면
0=a+b+c(cid:100)(cid:100) yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
a=-
, b=-
c=3
;5#;
:¡5™:,
∴ y=-
x¤ -
x+3
;5#;
:¡5™:
02
⑴ 꼭짓점의 좌표가 (-1, -2)이므로 이차함수의 식을
y=a(x+1)¤ -2
로 놓으면 y축과의 교점의 y좌표가 3이므로 점
(0, 3)을 지난다.
IV. 이차함수 99
¤
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지100 다민 2540DPI 175LPI
3=a-2(cid:100)(cid:100)∴ a=5
∴ y=5(x+1)¤ -2
05
그래프가 x축과 두 점 (-1, 0), (3, 0)에서 만나므로
축의 방정식은
⑷ 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓고
개념원리 확인하기
본문 223쪽
⑵ 축의 방정식이 x=-4이므로 이차함수의 식을
y=a(x+4)¤ +q
로 놓으면 두 점 (-2, -1), (1, 20)을 지나므로
-1=4a+q, 20=25a+q
위의 두 식을 연립하여 풀면
a=1, q=-5
∴ y=(x+4)¤ -5
⑶ x축과의 두 교점의 x좌표가 -2, 4이므로 이차함수
의 식을
y=a(x+2)(x-4)
로 놓으면 y축과의 교점의 y좌표가 8이므로 점
(0, 8)을 지난다.
8=-8a(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
∴ y=-(x+2)(x-4)
=-x¤ +2x+8
x=0, y=8을 대입하면 8=c
x=2, y=0을 대입하면 0=4a+2b+c
x=-1, y=9를 대입하면 9=a-b+c
∴ a=-1, b=-2, c=8
∴ y=-x¤ -2x+8
03
이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓고
x=-1, y=10을 대입하면
10=a-b+c(cid:100)(cid:100) yy ㉠
x=1, y=-2를 대입하면
-2=a+b+c(cid:100)(cid:100) yy ㉡
x=2, y=-5를 대입하면
-5=4a+2b+c(cid:100)(cid:100)yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
a=1, b=-6, c=3
∴ y=x¤ -6x+3
x=
-1+3
2
=1
따라서 꼭짓점의 좌표가 (1, -6)이므로 이차함수의
식을
y=a(x-1)¤ -6
으로 놓으면 점 (3, 0)을 지나므로
0=4a-6(cid:100)(cid:100)∴ a=
3
2
∴ y= (x-1)¤ -6
3
2
04
이차함수의 최댓값과 최솟값
01 ⑴ ① (1, -5) ② 없다. ③ -5
⑵ ① (2, 6) ② 6 ③ 없다.
02 ②
03 ⑴ 3, 3, 0, 위, 3, 0, 없다
03 ⑵ ;2#;, -;2#;, -;2#;, 아래, -;2#;, -;2#;, 없다
02
① 최솟값：없다, 최댓값：2
② 최솟값：-2, 최댓값：없다.
③ 최솟값：없다, 최댓값：0
④ 최솟값：2, 최댓값：없다.
⑤ 최솟값：없다, 최댓값：-2
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 224쪽
1 ⑴ x=;2#;일 때, 최솟값 -
;2(;
(cid:100)⑵ x=-2일 때, 최댓값 5
04
그래프의 축의 방정식이 x=-2이므로 이차함수의 식을
y=a(x+2)¤ +q
로 놓으면 두 점 (0, 0), (-3, 6)을 지나므로
0=4a+q, 6=a+q
위의 두 식을 연립하여 풀면
a=-2, q=8
∴ y=-2(x+2)¤ +8
=-2x¤ -8x
따라서 a=-2, b=-8, c=0이므로
a+b+c=-2-8+0=-10
2 ⑴ 3(cid:100)⑵ -
(cid:100)⑶ -7
;2#;
1
⑴ y=2x¤ -6x
2
=2{x-;2#;}
-;2(;
따라서 x=;2#;일 때 최솟값
-;2(;를 갖는다.
y
O
3
;2;
9
-;2;
x
100 정답과 풀이
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지101 다민 2540DPI 175LPI
1
⑵ y=- x¤ -2x+3
2
=- (x+2)¤ +5
1
2
y
5
3
⑤ y=- x¤ +2x-5=- (x-2)¤ -3에서
1
2
1
2
x=2일 때 최댓값 -3
따라서 최댓값이 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다.
따라서 x=-2일 때 최댓값
5를 갖는다.
-2
O
x
2
⑴ y=-2x¤ +4x+k
=-2(x-1)¤ +k+2
최댓값이 5이므로
k+2=5(cid:100)(cid:100)∴ k=3
⑵ 이차함수 y= x¤ +ax+b는 x=2일 때 최솟값
1
2
3
2
1
2
- 을 가지므로
y= (x-2)¤ -
= x¤ -2x+
3
2
1
2
1
2
따라서 a=-2, b= 이므로
a+b=-2+ =-
1
2
1
2
3
2
값 4를 가지므로
2
+4
y=-2{x+ }
1
2
=-2x¤ -2x+
7
2
7
2
따라서 a=-2, b= 이므로
ab=-2_ =-7
7
2
⑶ 이차함수 y=-2x¤ +ax+b는 x=- 일 때 최댓
1
2
01
① y=-2x¤ -3에서 x=0일 때 최댓값 -3
② y=-3x¤ +6x-6=-3(x-1)¤ -3에서
x=1일 때 최댓값 -3
③ y=-(x+5)¤ -3에서 x=-5일 때 최댓값 -3
④ y=-x¤ +4x-3=-(x-2)¤ +1에서
x=2일 때 최댓값 1
02
y=3x¤ +12x
=3(x+2)¤ -12
이므로 x=-2일 때 최솟값 -12를 갖는다.
∴ m=-12
1
또, y=- x¤ +2x+1
3
=- (x-3)¤ +4
1
3
이므로 x=3일 때 최댓값 4를 갖는다.
∴ M=4
∴ m+M=-12+4=-8
03
이차함수 y= x¤ +kx+k는 x=2일 때 최솟값 q를
1
2
가지므로
1
2
y= (x-2)¤ +q= x¤ -2x+2+q
1
2
따라서 k=-2, k=2+q이므로 q=-4
∴ kq=-2_(-4)=8
04
⑴ 이차함수 y=-2x¤ +ax+b는 x= 일 때 최댓값
1
2
-1을 가지므로
y=-2{x- }
-1
2
1
2
=-2x¤ +2x-
3
2
3
2
따라서 a=2, b=- 이므로
a+b=2- =
3
2
1
2
2=9a-4(cid:100)(cid:100)∴ a=
2
3
∴ y= (x+3)¤ -4
= x¤ +4x+2
2
3
2
3
따라서 a= , b=4, c=2이므로
2
3
IV. 이차함수 101
이런 문제가 시험에 나온다
본문 225쪽
⑵ 이차함수 y=ax¤ +bx+c는 x=-3에서 최솟값
01 ④
02 -8
03 ⑤
04 ⑴
;2!;
(cid:100)⑵
(cid:100)⑶ 8
;3*;
05 ⑴ 1(cid:100)⑵ -6(cid:100)⑶ -2
-4를 가지므로
y=a(x+3)¤ -4
이 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지102 다민 2540DPI 175LPI
2
a+b-c= +4-2=
3
8
3
⑶ x축과 두 점 (-1, 0), (3, 0)에서 만나므로
y=a(x+1)(x-3)(cid:100)(cid:100)yy ㉠
05
이차함수의 활용
개념원리 확인하기
본문 227쪽
축의 방정식은 x=
=1이므로 x=1일 때
01 ① x+16 ② x(x+16)
-1+3
2
③ x¤ +16x, 8, 64, -8, -64, -8, 8, -64
02 ① 10-x ② x(10-x)
③ -x¤ +10x, 5, 25, 5, 25, 5, 25
최댓값 8을 갖는다.
㉠에 x=1, y=8을 대입하면
8=-4a(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
∴ y=-2(x+1)(x-3)
=-2x¤ +4x+6
따라서 a=-2, b=4, c=6이므로
a+b+c=-2+4+6=8
▶ 다른풀이
⑶ y=a(x+1)(x-3)
=a(x¤ -2x-3)
=a(x-1)¤ -4a
최댓값이 8이므로
-4a=8(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
∴ y=-2(x+1)(x-3)
=-2x¤ +4x+6
따라서 a=-2, b=4, c=6이므로
a+b+c=-2+4+6=8
05
⑴ y=x¤ -2ax-a=(x-a)¤ -a¤ -a
최솟값이 -2이므로 -a¤ -a=-2에서
a¤ +a-2=0
(a+2)(a-1)=0
∴ a=-2 또는 a=1
그런데 a>0이므로 a=1
⑵ y=-3x¤ +ax-1
2
+ a¤ -1
=-3{x- a}
1
12
1
6
최댓값이 2이므로 a¤ -1=2에서
1
12
a¤ =36
∴ a=-6 또는 a=6
그런데 a<0이므로 a=-6
1
2
1
2
⑶ y= ax¤ +ax= a(x+1)¤ - a
1
2
1
2
이 이차함수가 최댓값을 가지므로 a<0이고 x=-1
일 때 최댓값 - a를 갖는다.
한편, y=x¤ +4x+5=(x+2)¤ +1이므로 이 이차
함수는 x=-2일 때 최솟값 1을 갖는다.
따라서 - a=1이므로 a=-2
1
2
102 정답과 풀이
1
2
3
핵심문제 익히기
(확인문제)
본문 228~229쪽
1 -4, 4
2 200 m¤
3 9
4 50p`cm¤
두 수를 x, x+8이라 하고 두 수의 곱을 y라 하면
y=x(x+8)
=x¤ +8x
=(x+4)¤ -16
이므로 x=-4일 때 y는 최솟값 -16을 갖는다.
따라서 구하는 두 수는 -4, 4이다.
세로의 길이를 x m라 하면 가로의 길이는
(40-2x) m이고, 울타리 내부의 넓이를 y m¤ 라 하면
y=x(40-2x)
=-2x¤ +40x
=-2(x-10)¤ +200
이므로 x=10일 때 y는 최댓값 200을 갖는다.
따라서 울타리 내부의 넓이의 최댓값은 200 m¤ 이다.
y=30x-5x¤
=-5(x-3)¤ +45
이므로 x=3일 때 y는 최댓값 45를 갖는다.
따라서 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간은 3초 후
이므로 a=3
다시 지면에 떨어졌을 때는 y=0이므로
0=30x-5x¤
x¤ -6x=0, x(x-6)=0
∴ x=0 또는 x=6
그런데 x>0이므로 x=6
따라서 지면에 떨어질 때까지 걸린 시간은 6초이므로
b=6
∴ a+b=3+6=9
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지103 다민 2540DPI 175LPI
4
작은 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면 큰 원의 반지
름의 길이는 (10-x) cm이고, 두 원의 넓이의 합을
y cm¤ 라 하면
y=px¤ +p(10-x)¤
=2px¤ -20px+100p
=2p(x-5)¤ +50p
이므로 x=5일 때 y는 최솟값 50p를 갖는다.
따라서 두 원의 넓이의 합의 최솟값은 50p cm¤ 이다.
이런 문제가 시험에 나온다
본문 230쪽
01 25 m¤
02 10 cm 03 3초
04 10 cm
05 ⑴ 50(cid:100)⑵ 두 수：-9, 9, 최솟값：-81
06 최댓값：8, P (2, 4)
닭장의 가로의 길이를 x m라 하면 세로의 길이는
(10-x) m이고, 닭장의 넓이를 y m¤ 라 하면
y=x(10-x)
=-x¤ +10x
=-(x-5)¤ +25
이므로 x=5일 때 y는 최댓값 25를 갖는다.
따라서 닭장의 넓이의 최댓값은 25 m¤ 이다.
01
02
물받이의 높이, 즉 단면인 직사각형의 세로의 길이를
x cm라 하면 가로의 길이는 (40-2x) cm이다.
이때 단면의 넓이를 y cm¤ 라 하면
y=x(40-2x)
=-2x¤ +40x
=-2(x-10)¤ +200
즉, x=10일 때 y는 최댓값 200을 갖는다.
따라서 단면의 넓이가 최대가 되도록 하는 물받이의 높
이는 10 cm이다.
03
y=-5x¤ +30x=-5(x-3)¤ +45
즉, x=3일 때 y는 최댓값 45를 갖는다.
따라서 로켓은 3초 후에 가장 높이 올라간다.
04
AP”=x cm라 하면 BP”=(20-x) cm이고, 두 정사
각형의 넓이의 합을 y cm¤ 라 하면
y=x¤ +(20-x)¤
=2x¤ -40x+400
=2(x-10)¤ +200
이므로 x=10일 때 y는 최솟값 200을 갖는다.
따라서 AP”=10 cm일 때 두 정사각형의 넓이의 합은
최소가 된다.
05
⑴ x+y=10에서 y=10-x를 2xy에 대입하면
2xy=2x(10-x)
=-2x¤ +20x
=-2(x-5)¤ +50
따라서 x=5일 때 2xy는 최댓값 50을 갖는다.
⑵ 두 수를 x, x-18이라 하고 두 수의 곱을 y라 하면
y=x(x-18)
=x¤ -18x
=(x-9)¤ -81
따라서 x=9일 때 y는 최솟값 -81을 갖는다.
이때 두 수는 -9와 9이다.
06
점 P의 좌표를 (x, -2x+8)이라 하고 (cid:8772)OQPR의
넓이를 y라 하면
y=x(-2x+8)
=-2x¤ +8x
=-2(x-2)¤ +8
이므로 x=2일 때 y는 최댓값 8을 갖는다.
따라서 (cid:8772)OQPR의 넓이의 최댓값은 8이고 그때의 점
P의 좌표는 (2, 4)이다.
Step (기본문제)
본문 231~233쪽
01 ④
06 ③
02 -2, 16 03 ④
07 ④
08 ③
10 -
0에서
14
15
k<0, k>-
1
2
1
∴ - 0이므로 a=6
12
y=- x¤ +2x+k
=- (x-2)¤ +2+k
1
2
1
2
따라서 x=2에서 최댓값 2+k를 가지므로
p=2, 2+k=5(cid:100)(cid:100)∴ k=3
∴ p+k=2+3=5
13
⑴ y=3x¤ +12x+8
=3(x+2)¤ -4
이 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으
로 n만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수
의 식은
y=3(x-m+2)¤ -4+n(cid:100)(cid:100)yy ㉠
한편, y=3x¤ -18x+13
=3(x-3)¤ -14
yy ㉡
㉠, ㉡에서 -m+2=-3, -4+n=-14
∴ m=5, n=-10
∴ mn=5_(-10)=-50
⑵ y= x¤ -2x+1= (x-3)¤ -2
1
3
1
3
이 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로
-1만큼 평행이동하면
y=;3!;(x-2-3)¤ -2-1
∴ y=;3!;(x-5)¤ -3
따라서 x=5일 때 최솟값 -3을 갖는다.
x=2일 때 최댓값 3을 가지므로 이차함수의 식을
y=a(x-2)¤ +3
으로 놓으면 점 (1, -1)을 지나므로
-1=a+3(cid:100)(cid:100)∴ a=-4
∴ y=-4(x-2)¤ +3
이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓고
x=-1, y=8을 대입하면
8=a-b+c
x=1, y=0을 대입하면
0=a+b+c
x=0, y=3을 대입하면
3=c
∴ a=1, b=-4, c=3
∴ y=x¤ -4x+3
=(x-2)¤ -1
따라서 꼭짓점의 좌표는 (2, -1)이다.
16
y절편이 2이므로 b=2
이때 y=-;4!;x¤ +ax+2의 그래프가 점 (-4, 0)을
지나므로
IV. 이차함수 105
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지106 다민 2540DPI 175LPI
0=-;4!;_(-4)¤ +a_(-4)+2
0=-4-4a+2(cid:100)(cid:100)∴ a=-;2!;
∴ y=-;4!;x¤ -;2!;x+2
=-;4!;(x+1)¤ +;4(;
따라서 꼭짓점의 좌표는 {-1, ;4(;}이다.
17
축의 방정식이 x=2이므로 점 B의 좌표는 (4, 0)이다.
이때 y=-x¤ +ax+b의 그래프는 x절편이 0, 4이므로
y=-x(x-4)
=-x¤ +4x
=-(x-2)¤ +4
따라서 점 A의 좌표는 (2, 4)이다.
∴ △AOB=;2!;_4_4=8
01
y=- x¤ +4x+k
=- (x-3)¤ +6+k
18
잘라 낸 정사각형의 한 변의 길이를 x cm, 색칠한 부분
의 넓이를 y cm¤ 라 하면
02
x cm
12 cm
y=x(12-2x)
=-2x¤ +12x
=-2(x-3)¤ +18
즉 x=3일 때 최댓값 18을 갖는다.
따라서 잘라 낸 정사각형의 한 변의 길이는 3 cm이다.
Step (발전문제)
본문 234~236쪽
01 ①
02 ②
03 ③
04 ⑴ 6초(cid:100)⑵ 초,
5
2
245
4
m
05 ⑤
06 -6
07 ①
08 ④
09 ⑴ (cid:100)⑵ 2(cid:100)⑶ -14
10
3
10 2
11 ⑴ -4(cid:100)⑵
1
6
12 2+'2
13 ④
14 2
15 4 cm 16 23
17 ⑴ a…- (cid:100)⑵ aæ
18 ①
5
4
3
4
19
3
2
2
3
2
3
1
2
1
2
이 그래프는 꼭짓점의 좌표가 (3, 6+k)이므로 x축에
접하려면 꼭짓점의 y좌표가 0이어야 한다.
즉, 6+k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-6
그래프가 직선 x=1을 축으로 하므로 이차함수의 식을
y=a(x-1)¤ +q
로 놓으면 두 점 (3, 0), (0, -3)을 지나므로
0=4a+q, -3=a+q
위의 두 식을 연립하여 풀면
a=1, q=-4
∴ y=(x-1)¤ -4=x¤ -2x-3
따라서 a=1, b=-2, c=-3이므로
a+b+c=-4
▶ 다른풀이
직선 x=1을 축으로 하고 x축과 만나는 한 점의 좌표
가 (3, 0)이므로 x축과 만나는 다른 한 점의 좌표는
(-1, 0)이다.
이차함수의 식을
y=a(x+1)(x-3)
으로 놓으면 그래프가 점 (0, -3)을 지나므로
-3=-3a(cid:100)(cid:100)∴ a=1
∴ y=(x+1)(x-3)=x¤ -2x-3
따라서 a=1, b=-2, c=-3이므로
a+b+c=1-2-3=-4
03
y=- x¤ +x+a-1
=- (x-1)¤ +a-
1
2
이 그래프는 위로 볼록하고 꼭짓점의 좌표가
19
3
y=- x¤ +3x
4
=- (x-2)¤ +3
3
4
3
4
3
4
이므로 꼭짓점의 좌표는 A(2, 3)이다.
y=- x¤ +3x에 y=0을 대입하면
0=- x¤ +3x에서 x¤ -4x=0
x(x-4)=0
∴ x=0 또는 x=4
∴ O(0, 0), B(4, 0)
1
∴ △AOB= _4_3=6
2
106 정답과 풀이
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지107 다민 2540DPI 175LPI
{1, a- }이므로 이 그래프가 x축과 만나지 않으려면
1
2
1
2
a- <0(cid:100)(cid:100)∴ a<
1
2
0=2_(-2)¤ -4_(-2)+k
∴ k=-16
O
2
x
=- x¤ + x+
04
⑴ 물체가 지면에 떨어질 때의 높이는 0이므로
0=-5t¤ +25t+30에서 t¤ -5t-6=0
(t+1)(t-6)=0
∴ t=-1 또는 t=6
그런데 t>0이므로 t=6
따라서 다시 지면에 떨어지는 것은 6초 후이다.
⑵ y=-5t¤ +25t+30
=-5 {t- }
5
2
2
+
245
4
이므로 t= 일 때 y는 최댓값
를 갖는다.
5
2
245
4
따라서 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간은
5
2
초이고 그때의 높이는
m이다.
245
4
y
c+4
c
05
y=-x¤ +4x+c
=-(x-2)¤ +c+4
따라서 y=-x¤ +4x+c의 그래
프가 모든 사분면을 지나려면 오
른쪽 그림과 같이 (y축과의 교점
의 좌표)>0이어야 하므로 c>0이다.
06
1
2
y= x¤ -4x+5의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동
이고 이 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향
으로 n만큼 평행이동하면
한 그래프의 식은
y=- x¤ +4x-5
=- (x-4)¤ +3
1
2
1
2
1
2
y=- (x-m-4)¤ +3+n
-m-4=-1, 3+n=6이므로
m=-3, n=3
∴ m-n=-3-3=-6
07
y=2x¤ -4x+k=2(x-1)¤ +k-2의 그래프의 축의
방정식은 x=1이고 x축과 만나는 두 점 사이의 거리가
6이므로 x축과 만나는 두 점의 좌표는 (-2, 0), (4, 0)
이다.
따라서 x=-2, y=0을 y=2x¤ -4x+k에 대입하면
08
주어진 그래프에서 a<0이고 축이 y축의 오른쪽에 있
으므로 a와 b는 서로 다른 부호이다.
∴ b>0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
∴ ac<0, bc>0
따라서 y=acx¤ -bcx+bc의 그래프는 위로 볼록하며
-bc<0이므로 축이 y축의 왼쪽에 있고 y절편은 양수
이므로 ④이다.
09
⑴ x축과 두 점 (-1, 0), (5, 0)에서 만나는 이차함
수의 그래프의 축의 방정식은
x=
-1+5
2
=2
이때 최댓값이 6이므로 이차함수의 식을
y=a(x-2)¤ +6
으로 놓으면 점 (-1, 0)을 지나므로
2
3
10
3
0=9a+6(cid:100)(cid:100)∴ a=-
∴ y=- (x-2)¤ +6
2
3
2
3
8
3
10
3
따라서 y절편은 이다.
⑵ 직선 x=2를 축으로 하므로 이차함수의 식을
y=a(x-2)¤ +q
로 놓으면 두 점 (0, -1), (3, 2)를 지나므로
-1=4a+q, 2=a+q
위의 두 식을 연립하여 풀면
a=-1, q=3
∴ y=-(x-2)¤ +3
=-x¤ +4x-1
따라서 a=-1, b=4, c=-1이므로
a+b+c=2
⑶ 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c(a<0)로 놓고
yy ㉠
yy ㉡
x=3, y=k를 대입하면
9a+3b+c=k(cid:100)(cid:100)
x=-1, y=k를 대입하면
a-b+c=k(cid:100)(cid:100)
x=0, y=1을 대입하면 c=1
㉠-㉡을 하면 8a+4b=0
∴ b=-2a
이때 y=ax¤ -2ax+1
=a(x-1)¤ -a+1
IV. 이차함수 107
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지108 다민 2540DPI 175LPI
최댓값이 6이므로 -a+1=6
∴ a=-5
따라서 a=-5, b=10, c=1이므로
㉡에서 k=-5-10+1=-14
10
y=-2x¤ -8x+k
=-2(x+2)¤ +k+8
이므로 꼭짓점의 좌표는 (-2, k+8)이다.
이때 BC”=2이므로 B(-3, 0), C(-1, 0)이다.
y=-2(x+2)¤ +k+8의 그래프가 점 C(-1, 0)을
지나므로
0=-2+k+8(cid:100)(cid:100)∴ k=-6
∴ y=-2(x+2)¤ +2
따라서 꼭짓점의 좌표는 A(-2, 2)이므로
1
△ABC= _2_2=2
2
13
x+y=4에서 y=4-x
y=4-x를 x¤ +y¤ -xy에 대입하면
x¤ +y¤ -xy=x¤ +(4-x)¤ -x(4-x)
=3x¤ -12x+16
=3(x-2)¤ +4
따라서 x=2, y=2일 때 최솟값 4를 갖는다.
14
점 P의 좌표를 (x, -4x+8)이라 하고, △PRQ의 넓
이를 y라 하면
y= x(-4x+8)
1
2
=-2x¤ +4x
=-2(x-1)¤ +2
이므로 x=1일 때 y는 최댓값 2를 갖는다.
따라서 △PRQ의 넓이의 최댓값은 2이다.
11
⑴ y=-x¤ -4kx-8k=-(x+2k)¤ +4k¤ -8k
x=-2k일 때 최댓값 4k¤ -8k를 가지므로
M=4k¤ -8k=4(k-1)¤ -4
따라서 k=1일 때 M은 최솟값 -4를 갖는다.
15
x cm
(12-x) cm
A
x cm
B
(12-x) cm
P
⑵ y= x¤ +3kx+k
= (x+k)¤ - k¤ +k
3
2
3
2
3
2
3
m=- k¤ +k
2
=- {k- }
1
3
2
+
1
6
3
2
x=-k일 때 최솟값 - k¤ +k를 가지므로
3
2
따라서 k= 일 때 m은 최댓값 을 갖는다.
1
3
1
6
12
그래프의 꼭짓점의 좌표가 (2, 6)이므로 이차함수의
식을 y=a(x-2)¤ +6으로 놓으면 그래프가 점 (0, 4)
를 지나므로
16
4=4a+6(cid:100)(cid:100)∴ a=-;2!;
∴ y=-;2!;(x-2)¤ +6
=-;2!;x¤ +2x+4
이때 점 P(a, 5)가 그래프 위의 점이므로
5=-;2!;a¤ +2a+4
a¤ -4a+2=0
∴ a=-(-2)—"√(-2)¤ -1_2=2—'2
그런데 a>2이므로 a=2+'2
108 정답과 풀이
AP”=x cm라 하면 BP”=(12-x) cm이고 두 도형의
넓이의 합을 y cm¤ 라 하면
1
y=x¤ + (12-x)¤
2
= x¤ -12x+72
= (x-4)¤ +48
3
2
3
2
이므로 x=4일 때 y는 최솟값 48을 갖는다.
따라서 AP”=4 cm일 때 두 도형의 넓이의 합은 최소
가 된다.
이차함수 y=x¤ -2ax+b의 그래프가 점 (3, 4)를 지
나므로
4=9-6a+b
∴ b=6a-5(cid:100)(cid:100) yy ㉠
한편, y=x¤ -2ax+b
=(x-a)¤ +b-a¤
꼭짓점 (a, b-a¤ )이 직선 y=2x-5 위에 있으므로
b-a¤ =2a-5(cid:100)(cid:100)yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
6a-5-a¤ =2a-5
a¤ -4a=0, a(a-4)=0
∴ a=0 또는 a=4
그런데 a>0이므로 a=4
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지109 다민 2540DPI 175LPI
㉠에서 b=6_4-5=19
∴ a+b=4+19=23
17
⑴ x=-2일 때 최댓값 5를 가지
y
5
므로
y=a(x+2)¤ +5
=ax¤ +4ax+4a+5
이 이차함수는 최댓값을 가지므
로
a<0(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100) yy ㉠
그런데 이 그래프가 제1 사분면을 지나지 않으므로
(y절편)=4a+5…0
-2
O
x
01
∴ a…- (cid:100)(cid:100)yy ㉡
5
4
㉠, ㉡에서 a…-
5
4
⑵ x=2일 때 최솟값 -3을 가지므로
y
y=a(x-2)¤ -3
=ax¤ -4ax+4a-3
이 이차함수는 최솟값을 가지므로
a>0(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)yy ㉠
그런데 이 그래프가 제3 사분면을 지나지 않으므로
(y절편)=4a-3æ0
-3
O
2
x
∴ aæ (cid:100)(cid:100)yy ㉡
3
4
㉠, ㉡에서 aæ
3
4
18
① 그래프에서 x=-1일 때, y의 값은 0보다 작으므로
② 그래프에서 x=1일 때, y의 값은 0보다 크므로
a-b+c<0
a+b+c>0
③ 위로 볼록하므로 a<0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a와 b는 서로 다른
부호이다.(cid:100)(cid:100)∴ b>0
원점을 지나므로 c=0
④ a<0, b>0, c=0이므로 abc=0
⑤ 그래프에서 x=4일 때, y의 값은 0보다 작으므로
16a+4b+c<0
19
2
3
P {a,
이를 y라 하면
y={
a¤ +3a+5}-(a+2)
2
3
2
3
= a¤ +2a+3
= {a+ }
3
2
¤ +
3
2
2
3
따라서 PQ”의 길이의 최솟값은 이다.
3
2
Step
( )
본문 237쪽
01 y=x+2 02 50 cm¤
03 48 04 6
05 34
그래프에서 꼭짓점의 좌표가 (1, 5)이므로 이차함수의
식을
y=a(x-1)¤ +5
로 놓으면 그래프가 점 (0, 4)를 지나므로
4=a+5(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
∴ y=-(x-1)¤ +5
점 A의 x좌표가 2이므로 y좌표는
y=-1+5=4(cid:100)(cid:100)∴ A(2, 4)
점 B의 y좌표가 1이므로 x좌표는
1=-(x-1)¤ +5에서
(x-1)¤ =4, x-1=—2
∴ x=-1 또는 x=3
그런데 점 B는 제2 사분면 위의 점이므로 x=-1
∴ B(-1, 1)
따라서 두 점 A(2, 4), B(-1, 1)을 지나는 직선의
방정식을 구하면
y=x+2
02
△APO, △RQC는 직각이등변삼
각형이고 (cid:8772)OPQR는 직사각형이
므로
AO”=OP”=QR”=CR”
OR”=x cm라 하면
A
P
B
O
20 cm
x cm
R
Q
C
1
2
OP”={10- x} cm
∴ (cid:8772)OPQR=OP”_OR”
1
={10- x}_x
2
=- x¤ +10x
1
2
1
2
따라서 x=10일 때 y는 최댓값 50을 가지므로
(cid:8772)OPQR의 넓이의 최댓값은 50 cm¤ 이다.
03
y=;2!;x¤ -4x+3=;2!;(x-4)¤ -5
IV. 이차함수 109
a¤ +3a+5}, Q(a, a+2)라 하고, PQ”의 길
=- (x-10)¤ +50
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지110 다민 2540DPI 175LPI
y= x¤ -4x+9=;2!;(x-4)¤ +1
이므로 두 그래프의 축은 직선 x=4로 같다.
y= x¤ -4x+3의 그래프를 y축의 방향으로 6만큼
1
2
1
2
평행이동하면 y= x¤ -4x+9의 그래프와 포개어진다.
1
2
y
9
A
3
B
1
1
y=;2;x@-4x+9
y=;2;x@-4x+3
C
D
∴ (색칠한 부분의 넓이)=(cid:8772)ABDC
O 4
x
x=4
x=8
=8_6
=48
04
05
y
8
C
A
y=-x¤ +2x+8
=-(x-1)¤ +9
이므로 A(1, 9)
또, x절편을 구하면
0=-x¤ +2x+8에서
x¤ -2x-8=0
(x+2)(x-4)=0
∴ x=-2 또는 x=4
∴ B(4, 0)
한편, C(0, 8)이고 꼭짓점 A에서 x축에 내린 수선의
발을 D라 하면 D(1, 0)이다.
∴ △ACB=((cid:8772)ACOD+△ADB)-△COB
1
O D
4
B
x
=[ _(8+9)_1+;2!;_3_9]-;2!;_4_8
1
2
27
= + -16=6
2
17
2
축은 포물선이 x축과 만나는 두 점을 이은 선분의 중점
을 지난다.
즉, 축의 방정식이 x=5이고 PQ”=8이므로 P(1, 0),
Q(9, 0)이다.
따라서 이차함수의 식은
y=-(x-1)(x-9)
=-x¤ +10x-9
한편, 직선 x=5와 x축이 만나
는 점을 H라 하고, 점 B의 좌
표를 B(x, 0)이라 하면
BH”=5-x
∴ BC”=2BH”=2(5-x)=-2x+10
B
5-x
x=5
A
H
D
O
Q
C
P
x
y
110 정답과 풀이
이때 점 A의 좌표는 (x, -x¤ +10x-9)이므로
((cid:8772)ABCD의 둘레의 길이)
=2(AB”+BC”)
=2{(-x¤ +10x-9)+(-2x+10)}
=-2x¤ +16x+2
=-2(x-4)¤ +34
따라서 x=4일 때 최댓값 34를 가지므로 (cid:8772)ABCD의
둘레의 길이의 최댓값은 34이다.
1
1단계
2
1단계
2단계
2단계
서술형 대비 문문제제
본문 238~239쪽
1 -10
5 125원
2 64
6 3
3 2
4 4
축의 방정식이 x=-2이므로 이차함수의 식을
y=a(x+2)¤ +q (a<0)로 놓으면
그래프가 두 점 (-3, 6), (0, 0)을 지나므로
6=a+q, 0=4a+q
위의 두 식을 연립하여 풀면
a=-2, q=8
∴ y=-2(x+2)¤ +8
그래프가 점 (1, k)를 지나므로
k=-2_9+8=-10
y=x¤ +ax+b의 그래프가 두 점
(-3, 0), (0, -15)를 지나므로
9-3a+b=0, -15=b
∴ a=-2, b=-15
y=x¤ -2x-15=(x-1)¤ -16이므로
C(1, -16)
또, y=x¤ -2x-15에 y=0을 대입하면
0=x¤ -2x-15, (x+3)(x-5)=0
∴ x=-3 또는 x=5
∴ B(5, 0)
3단계
∴ △ABC= _(3+5)_16=64
1
2
3
1단계
y=2x¤ -8x+3=2(x-2)¤ -5
이 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방
향으로 -8만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이
차함수의 식은
y=2(x+1-2)¤ -5-8
∴ y=2(x-1)¤ -13
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지111 다민 2540DPI 175LPI
2단계
3단계
한편, 이차함수 y=2(x-1)¤ -13의 그래프가
점 (k, 19)를 지나므로
19=2(k-1)¤ -13, 2(k-1)¤ =32
(k-1)¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ k-1=—4
∴ k=-3 또는 k=5
따라서 모든 k의 값의 합은
-3+5=2
단계
1
2
3
채점요소
평행이동한 이차함수의 식 구하기
k의 값 구하기
모든 k의 값의 합 구하기
4
1단계
y=- x¤ +bx+c는 x=2일 때 최댓값 3을 가
지므로
1
2
1
2
y=- (x-2)¤ +3=- x¤ +2x+1
1
2
∴ b=2, c=1
또, y=-;2!;x¤ +2x+1에 x=0을 대입하면
y=1
따라서 이 그래프는 y축과 점 (0, 1)에서 만난다.
∴ d=1
∴ b+c+d=2+1+1=4
채점요소
b, c의 값 구하기
d의 값 구하기
b+c+d의 값 구하기
5
1단계
상품의 가격을 x원씩 올리면 상품 한 개의 판매
가격은 (100+x)원이 되고 판매량은 (300-2x)
개가 된다.
상품의 총 판매 금액을 y원이라 하면
y=(100+x)(300-2x)
=-2x¤ +100x+30000
=-2(x-25)¤ +31250
이므로 x=25일 때 y는 최댓값 31250을 갖는다.
따라서 총 판매 금액이 최대가 되도록 하려면 상품
한 개의 판매 가격은 100+25=125(원)으로 해야
한다.
단계
채점요소
상품 한 개의 판매 가격과 총 판매 금액을 미지수
로 나타내기
이차함수의 최댓값 구하기
총 판매 금액이 최대일 때의 상품 한 개의 판매 가
격 구하기
배점
3점
2점
1점
배점
3점
2점
1점
배점
2점
3점
2점
2단계
3단계
단계
1
2
3
2단계
3단계
1
2
3
6
1단계
2단계
3단계
주어진 그래프의 y절편이 3이므로
n=3
∴ y=-x¤ +mx+3
또, 이 그래프는 점 (3, 0)을 지나므로
0=-9+3m+3(cid:100)(cid:100)∴ m=2
따라서 주어진 그래프를 나타내는 이차함수의 식은
y=-x¤ +2x+3=-(x-1)¤ +4
이므로 축의 방정식은 x=1
∴ C(1, 0)
4단계
1
∴ △ACB= _2_3=3
2
단계
채점요소
1
2
3
4
n의 값 구하기
m의 값 구하기
점 C의 좌표 구하기
△ACB의 넓이 구하기
배점
2점
2점
2점
2점
1
2
생활 속의 수학
본문 240쪽
공을 떨어뜨린 지 x초 후에 공이 움직인 거리를 y m라
하면
y=4.9x¤
y=90이므로 90=4.9x¤
∴ x=;;£7º;; (∵ x>0)
따라서 공을 떨어뜨린 지 ;;£7º;;초 후에 땅에 닿는다.
(cid:9000) ;;£7º;;초
y
A
-10
O(M)
B
강의 중앙 M을 원점으로 하
고 직선 AB를 x축으로 하여
강의 단면을 좌표평면 위에
그래프로 나타내면 오른쪽 그
림과 같다.
이때 꼭짓점의 좌표가 (0, -8)이므로 이차함수의 식을
y=ax¤ -8로 놓으면 그래프가 점 (20, 0)을 지나므로
20 x
-20
-8
0=400a-8(cid:100)(cid:100)∴ a=;5¡0;
∴ y=;5¡0;x¤ -8
강의 중앙 M에서 A지점의 방향으로 10 m 떨어진 곳
에 해당하는 점의 x좌표는 -10이므로 x=-10을 대
입하면
y=;5¡0;_(-10)¤ -8=-6
따라서 구하는 물의 깊이는 6 m이다.
(cid:9000) 6 m
IV. 이차함수 111
15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지112 다민 2540DPI 175LPI
w
w
w
.
i
m
a
t
h
.
t
v
