문제기본서
[알피엠]
중학수학 1-1
정답과 풀이
알피엠_중1-1_해설_001~019_1단원_ok.indd 1
2017-06-29 오후 7:14:25
01
소인수분해
Ⅰ`소인수분해
_
_
1000
⑴ ⑵ ▵ ⑶ ⑷ ▵
2000
3000
소수 중에 2는 짝수이다.
4000
1은 소수가 아니며 가장 작은 소수는 2이다.
5000
2의 배수 중 소수는 2로 1개뿐이다.
6000
밑：3, 지수：4
7000
밑：4, 지수：3
8000
3Ü`
9000
5Ý`
1000
Ü`
{;2!;}
1100
2Û`_7Ü`
1200
2Ü`_5Û`_7
1300
Û`_
Û`_
{;2!;}
{;5!;}
{;7!;}
Ü`
1400
2Ý`
1500
3Ü`
1600
5Ü`
1700
10Ü``
2000
75
3
>²
5
25
>²
5
2100
200
2
>³
100
2
>³
50
2
>³
25
5
>³
5
2
42
>²
21
3
>²
7
98
2
>²
7
49
>²
7
144
2
>³
72
2
>³
36
2
>³
18
2
>³
9
3
>³
3
432
2
>³
216
2
>³
108
2
>³
54
2
>³
27
3
>³
9
3
>³
3
2200
2300
2400
2500
3_5Û`, 소인수：3, 5
2Ü`_5Û`, 소인수：2, 5
2_3_7, 소인수：2, 3, 7
2_7Û`, 소인수：2, 7
2Ý`_3Û`, 소인수：2, 3
2Ý`_3Ü`, 소인수：2, 3
2Ü`_3, 소인수：2, 3
약수：1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
2600
_
1
2
2Û`
2Ü`
1
1
2
4
8
3
3
6
12
24
3Û`
9
18
36
72
2700
_
1
2
1
1
2
3
3
6
3Û`
9
18
2Û`_3Û`, 소인수：2, 3
1, 2, 3, 6, 9, 18
1800
1900
24
2
>²
12
2
>²
2
6
>²
3
36
2
>²
18
2
>²
3
9
>²
3
2 정답과 풀이
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2017-06-30 오전 11:48:35
2800
_
1
3
3Û`
1
1
3
9
5
5
15
45
5Û`
25
75
225
합성수는 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 수이므로 27,
3700
98, 150의 3개이다.
3개
1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225
① 1은 소수도 아니고 합성수도 아니다.
3800
③ 소수 중 2는 짝수이다.
④ 자연수 1은 소수도 아니고 합성수도 아니다.
따라서 모든 자연수는 1 또는 소수 또는 합성수이다.
⑤ 30보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29의 10
개이다.
1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
20에 가장 가까운 소수는 19이므로 a=19, 20에 가장
3900
가까운 합성수는 21이므로 b=21
∴ a+b=19+21=40
100=2Û`_5Û`이므로
1
1
2
4
1
1
2
4
5
5
10
20
7
7
14
28
5Û`
25
50
100
7Û`
49
98
196
196=2Û`_7Û`이므로
2900
_
1
2
2Û`
3000
_
1
2
2Û`
3100
3200
3300
1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196
(2+1)_(1+1)=6(개)
(4+1)_(2+1)=15(개)
(2+1)_(1+1)_(3+1)=24(개)
24개
135=3Ü`_5이므로 약수의 개수는
3400
(3+1)_(1+1)=8(개)
180=2Û`_3Û`_5이므로 약수의 개수는
3500
(2+1)_(2+1)_(1+1)=18(개)
1은 소수가 아니다.
3600
21=3_7, 33=3_11, 91=7_13, 237=3_79
이므로 21, 33, 91, 237은 소수가 아니다.
따라서 소수는 7, 47, 113의 3개이다.
②
40
①, ③
⑤
5
85
배점
40 %
40 %
20 %
01. 소인수분해 3
4000
① 3Ü`=3_3_3=27
_
_
;2!;
③
_
;2!;
;2!;
1
10_100Û`
④
_
=
{
;2!;
;2!;
1
10_100_100
Þ`=
1
2 }
1
2Þ`
=
=
1
10_10_10_10_10
=
1
10Þ`
6개
15개
8개
18개
3개
① 2_2_2_2=2Ý`
4100
② 5+5+5+5=5_4
③ 2_2_5_5=2Û`_5Û`
④ 3_3_3_2_2=2Û`_3Ü`
4200
x=3, y=4, z=2
∴ x+y-z=3+4-2=5
4300
16=2Ý`이므로 a=4`
3Ý`=81이므로 b=81
∴ a+b=4+81=85`
단계
a의 값 구하기
b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
채점요소
a_a_b_b_a_c_b_c_b=aÜ`_bÝ`_cÛ`이므로
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4400
①
2
48
②
>²
2
24
>²
2
12
>²
2
46
>²
3
∴ 60=2Û`_3_5
∴ 48=2Ý`_3
③
2
80
>²
④
2
120
>³
2
60
>²
2
30
>²
3
15
>²
5
2
2
>³
>³
60
30
15
3
>³
5
∴ 80=2Ý`_5
∴ 120=2Ü`_3_5
2
40
>²
2
20
>²
2
10
>²
5
⑤
2
140
>³
2
70
>³
35
5
>³
7
∴ 140=2Û`_5_7
③
4500
⑴
2
54
>²
3
27
>²
3
09
>²
3
∴ 54=2_3Ü`
⑵
2
72
>²
2
36
>²
2
18
>²
3
49
>²
3
∴ 72=2Ü`_3Û`
⑷
2
180
>³
⑶
2
84
>²
2
42
>²
3
21
>²
7
∴ 84=2Û`_3_7
2
3
>³
>³
90
45
15
3
>³
5
∴ 180=2Û`_3Û`_5
⑴ 2_3Ü` ⑵ 2Ü`_3Û` ⑶ 2Û`_3_7 ⑷ 2Û`_3Û`_5
225=3Û`_5Û`이므로
4700
a=3, b=5, m=2, n=2
∴ a+b-m+n=3+5-2+2=8
150=2_3_5Û`이므로 소인수는 2, 3, 5이다.
4800
따라서 모든 소인수의 합은 2+3+5=10
4900
252=2Û`_3Û`_7이므로 소인수는 2, 3, 7이다.
ㄱ. 6=2_3이므로 소인수는 2, 3이다.
5000
ㄴ. 32=2Þ`이므로 소인수는 2이다.
ㄷ. 60=2Û`_3_5이므로 소인수는 2, 3, 5이다.
ㄹ. 108=2Û`_3Ü`이므로 소인수는 2, 3이다.
따라서 소인수가 같은 것은 ㄱ, ㄹ이다.
① 18=2_3Û`이므로 소인수는 2, 3이다.
5100
② 42=2_3_7이므로 소인수는 2, 3, 7이다.
③ 48=2Ý`_3이므로 소인수는 2, 3이다.
④ 54=2_3Ü`이므로 소인수는 2, 3이다.
⑤ 144=2Ý`_3Û`이므로 소인수는 2, 3이다.
따라서 소인수가 나머지 네 수의 소인수와 다른 하나는 ②이다.
2Ü`_5_7Û`의 약수는
5200
(2Ü`의 약수)_(5의 약수)_(7Û`의 약수)의 꼴이다.
① 8=2Ü`
② 28=2Û`_7 ③ 40=2Ü`_5
④ 72=2Ü`_3Û`
⑤ 98=2_7Û`
따라서 2Ü`_5_7Û`의 약수가 아닌 것은 ④이다.
4600
360=2Ü`_3Û`_5이므로
a=3, b=2, c=5
∴ a-b+c=3-2+5=6
채점요소
단계
360을 소인수분해하기
a, b, c의 값 구하기
a-b+c의 값 구하기
4 정답과 풀이
420=2Û`_3_5_7이므로 420의 약수가 아닌 것은
5300
③ 2Ü`_3_7이다.
216=2Ü`_3Ü`이므로 216의 약수 중에서 어떤 자연수의
5400
제곱이 되는 수는 1, 2Û`, 3Û`, 2Û`_3Û`의 4개이다.
2Û`_3Ý`의 약수 중에서 가장 큰 수는 자기 자신, 즉
5500
2Û`_3Ý`이고 두 번째로 큰 수는 자기 자신을 가장 작은 소인수인 2
로 나눈 것이므로 2_3Ý`=162이다.
6
배점
60 %
30 %
10 %
8
10
②
②
②
④
③
4개
162
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① (2+1)_(2+1)=9(개)
5600
② (3+1)_(2+1)=12(개)
③ (2+1)_(2+1)_(1+1)=18(개)
④ (2+1)_(1+1)_(1+1)=12(개)
⑤ (2+1)_(4+1)=15(개)
③
6100
84=2Û`_3_7이므로
84_x=2Û`_3_7_x=yÛ`이 되려면
x=3_7=21
8_3`_5Û`=2Ü`_3`_5Û`의 약수의 개수가 72개이므로
y=2_3_7=42
이때 yÛ`=2Û`_3_7_3_7=2Û`_3Û`_7Û`=(2_3_7)Û`이므로
5700
(3+1)_(a+1)_(2+1)=72
12_(a+1)=72
a+1=6 ∴ a=5
360=2Ü`_3Û`_5이므로 360의 약수의 개수는
5800
(3+1)_(2+1)_(1+1)=24(개)
2Û`_3_5Ç`의 약수의 개수는
(2+1)_(1+1)_(n+1)=6_(n+1)(개)
이므로 6_(n+1)=24에서
n+1=4 ∴ n=3
단계
채점요소
360의 약수의 개수 구하기
360과 2Û`_3_5Ç` 의 약수의 개수가 같음을 이용하여 식 세우
기
n의 값 구하기
5900
6+1=7(개)이다.
이다.
a=2일 때, x=2Ý`_2Û`=2ß`이므로 약수의 개수는
이때 x=2Ý`_aÛ` (a는 소수)의 약수의 개수는 15개이므로 a+2
따라서 a=3이므로 구하는 가장 작은 자연수 x의 값은
2Ý`_3Û`=144이다.
144
5
3
배점
30 %
40 %
30 %
63
배점
20 %
30 %
30 %
20 %
③
⑤
④
∴ x+y=21+42=63
채점요소
단계
84를 소인수분해하기
x의 값 구하기
y의 값 구하기
x+y의 값 구하기
180=2Û`_3Û`_5이므로 180Öa=bÛ`이려면 a=5
6200
이때 bÛ`=180Ö5=36=6Û`이므로 b=6
∴ a+b=5+6=11
540=2Û`_3Ü`_5이므로 곱해야 하는 자연수는
6300
3_5_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다.
즉, 3_5_1Û`, 3_5_2Û`, 3_5_3Û`, y이므로 두 번째로 작은
자연수는 3_5_2Û`=60
① 24_2=2Ý`_3의 약수의 개수는
6400
(4+1)_(1+1)=10(개)
② 24_3=2Ü`_3Û`의 약수의 개수는
(3+1)_(2+1)=12(개)
③ 24_4=2Þ`_3의 약수의 개수는
(5+1)_(1+1)=12(개)
④ 24_5=2Ü`_3_5의 약수의 개수는
(3+1)_(1+1)_(1+1)=16(개)
⑤ 24_6=2Ý`_3Û`의 약수의 개수는
(4+1)_(2+1)=15(개)
UP
6000
꼴이어야 한다.
63=3Û`_7이므로 곱해야 하는 자연수는 7_(자연수)Û`의
① 7=7_1Û`
② 21=7_3 ③ 28=7_2Û`
④ 35=7_5
⑤ 49=7Û`
2_3_ 의 약수의 개수가 8개이고
6500
8=7+1 또는 8=(3+1)_(1_1) 또는
8=(1+1)_(1+1)_(1+1)
따라서 곱할 수 있는 수는 ①, ③이다.
①, ③
Ú 8=7+1일 때, 안에 들어갈 수 있는 자연수는 없다.
01. 소인수분해 5
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Û 8=(3+1)_(1+1)일 때, 안에 들어갈 수 있는 가장 작
은 자연수는 =2Û`=4
Ü 8=(1+1)_(1+1)_(1+1)일 때, 안에 들어갈 수 있
는 가장 작은 자연수는 =5
따라서 구하는 수는 4이다.
6900
2
504
>²
2
252
>²
2
126
>²
3
3
>²
>²
63
21
4
7 ∴ 504=2Ü`_3Û`_7
③
120=2Ü`_3_5이므로
6600
N(120)=(3+1)_(1+1)_(1+1)=16
N(120)_N(x)=64에서
16_N(x)=64 ∴ N(x)=4
① 30=2_3_5
7000
⇨ (1+1)_(1+1)_(1+1)=8(개)
② 72=2Ü`_3Û` ⇨ (3+1)_(2+1)=12(개)
③ 180=2Û`_3Û`_5 ⇨ (2+1)_(2+1)_(1+1)=18(개)
즉, 자연수 x의 약수의 개수는 4개이고 x는 aÜ` (a는 소수)의 꼴
④ (2+1)_(1+1)_(1+1)=12(개)
이거나 a_b (a, b는 서로 다른 소수)의 꼴이다.
⑤ (5+1)_(1+1)_(1+1)=24(개)
Ú x가 aÜ``(a는 소수)의 꼴일 때, 가장 작은 자연수 x의 값은
x=2Ü`=8
Û x가 a_b (a, b는 서로 다른 소수)의 꼴일 때, 가장 작은 자
연수 x의 값은 x=2_3=6
따라서 구하는 자연수 x의 값은 6이다.
6
약수의 개수가 6개인 자연수는 aÞ` (a는 소수)의 꼴 또는
6700
aÛ`_b(a, b는 서로 다른 소수)의 꼴이다.
Ú aÞ` (a는 소수)의 꼴일 때, 2Þ`=32, 3Þ`=243, y
Û aÛ`_b (a, b는 서로 다른 소수)의 꼴일 때,
2Û`_3=12, 2Û`_5=20, 2Û`_7=28, 2Û`_11=44,
2Û`_13=52, y
3Û`_2=18, 3Û`_5=45, 3Û`_7=63, y
5Û`_2=50, 5Û`_3=75, y
7Û`_2=98, y
따라서 Ú, Û에 의해 1에서 50까지의 자연수 중 약수의 개수가
6개인 자연수는 12, 18, 20, 28, 32, 44, 45, 50의 8개이다.
20 미만의 자연수 중에서 합성수는 4, 6, 8, 9, 10, 12,
7100
14, 15, 16, 18의 10개이다.
90=2_3Û`_5에서 소인수는 2, 3, 5이므로
7200
a=2+3+5=10
108=2Û`_3Ü`이므로 b=(2+1)_(3+1)=12
한 자리의 소수는 2, 3, 5, 7의 4개이므로 c=4
∴ a+b-c=10+12-4=18
7300
200=2Ü`_5Û`이므로 200의 약수가 아닌 것은 ④ 5Ü`이다.
729=3ß`이므로 a=6
7400
125=5Ü`이므로 b=3
∴ a+b=6+3=9
8개
ㄱ. 10 이하의 자연수 중 소수는 2, 3, 5, 7의 4개이다.
7500
ㄴ. 25=5Û`이므로 25의 소인수는 5이다.
ㅁ. 91=7_13이므로 소수가 아니다.
따라서 보기에서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ의 2개이다.
525=3_5Û`_7이고 어떤 자연수의 제곱이 되려면 모든
7600
소인수의 지수가 짝수가 되어야 한다.
따라서 나누어야 하는 가장 작은 자연수는 3_7=21
③
⑤
③
③
④
9
②
④
① 7Û`_7Ü`=7Þ`
6800
② 3_3_3_3_3=3Þ`
④ 3+3+3+3=4_3
Ü`
{;5!;}
⑤
_
=
_
;5!;
;5!;
;5!;
6 정답과 풀이
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2017-06-29 오후 7:14:33
어떤 수의 약수 중 두 번째로 작은 수는 가장 작은 소인
7700
수이고, 두 번째로 큰 수는 주어진 수를 가장 작은 소인수로 나눈
x=3_5=15
수이므로
a=2, b=2_3_5Û`=150
∴ a+b=2+150=152
이때 yÛ`=3_5_7Û`_3_5=3Û`_5Û`_7Û`=(3_5_7)Û`이므로
y=3_5_7=105
152
∴ x+y=15+105=120
① 8_2=2Ü`_2=2Ý`의 약수의 개수는 4+1=5(개)
7800
② 8_3=2Ü`_3의 약수의 개수는
(3+1)_(1+1)=8(개)
③ 8_7=2Ü`_7의 약수의 개수는
(3+1)_(1+1)=8(개)
④ 8_11=2Ü`_11의 약수의 개수는
(3+1)_(1+1)=8(개)
⑤ 8_13=2Ü`_13의 약수의 개수는
(3+1)_(1+1)=8(개)
채점요소
단계
735를 소인수분해하기
x의 값 구하기
y의 값 구하기
x+y의 값 구하기
35=5_7이므로
8200
f(35)=(1+1)_(1+1)=4
①
f(35)_f(x)=36에서
4_f(x)=36 ∴ f(x)=9
㈎에서 A=3`_5º` (a, b는 자연수)의 꼴이고
7900
㈏에서 약수의 개수가 10개이므로
A=3_5Ý` 또는 A=3Ý`_5
즉, 자연수 x의 약수의 개수는 9개이고 x는 a¡` (a는 소수)의 꼴
이거나 aÛ`_bÛ` (a, b는 서로 다른 소수)의 꼴이다.
Ú x가 a¡` (a는 소수)의 꼴일 때, 가장 작은 자연수 x의 값은
따라서 주어진 조건을 만족하는 가장 작은 자연수 A는
x=2¡`=256
3Ý`_5=405이다.
Û x가 aÛ`_bÛ` (a, b는 서로 다른 소수)의 꼴일 때, 가장 작은 자
405
연수 x의 값은 x=2Û`_3Û`=36
따라서 구하는 자연수 x의 값은 36이다.
3Ú`=3, 3Û`=9, 3Ü`=27, 3Ý`=81, 3Þ`=243, y 이므로 일
8300
의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1의 4개의 숫자가 이 순서로 반복된
7Ú`=7, 7Û`=49, 7Ü`=343, 7Ý`=2401, 7Þ`=16807, y 이므로 일
의 자리의 숫자는 7, 9, 3, 1의 4개의 숫자가 이 순서로 반복된
다.
다.
따라서 3Û`ß`의 일의 자리의 숫자는 9, 7Þ`의 일의 자리의 숫자는 7이
므로 3Û`ß`_7Þ`의 일의 자리의 숫자는 9_7=63의 일의 자리의 숫
자인 3이다.
450=2_3Û`_5Û`이므로 약수의 개수는
8000
(1+1)_(2+1)_(2+1)=18(개)
4_3`_7=2Û`_3`_7의 약수의 개수는
(2+1)_(a+1)_(1+1)=6_(a+1)(개)
이므로 6_(a+1)=18에서
a+1=3 ∴ a=2
단계
채점요소
450의 약수의 개수 구하기
450과 4_3`_7의 약수의 개수가 같음을 이용하여 식 세우
기
a의 값 구하기
8100
735=3_5_7Û`이므로
735_x=3_5_7Û`_x=yÛ`이 되려면
2
배점
30 %
40 %
30 %
120
배점
20 %
30 %
30 %
20 %
36
②
01. 소인수분해 7
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2017-06-29 오후 7:14:34
02
최대공약수와 최소공배수
Ⅰ`소인수분해
9500
40, 80, 120
9600
12
9
3 4` ∴ 3_3_4=36
9700
30
15
12
6
2 5` ∴ 2_3_2_5=60
3
>³`
`
2
>³`
3
>³`
`
36
60
∴ 3_2_2_1_5_2=120
120
9800
15
5
5
24
8
4
12
4
2
1 5 2
3
>³`
2
>³`
2
>³`
`
8
9900
30
10
5
5
45
15
15
5
18
6
3
1
1 1 1
3
>³`
2
>³`
3
>³`
5
>³`
`
18
6
12
∴ 3_2_3_5_1_1_1=90
90
1000
2Û`_3Û`
1010
2Ü`_5Ü`
1020
2Û`_3_5Û`
1030
2_3Û`_5Û`_7
(두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로
1040
A_84=28_168 ∴ A=56
56
(두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로
1050
192=(최대공약수)_48 ∴ (최대공약수)=4
가능한 한 많은 학생들에게 똑같이 나누어
1060
주려면 학생 수는 24와 30의 최대공약수이어야 한
따라서 구하는 학생 수는 2_3=6(명)
4
24
30
12
15
2
>³`
3
>³`
4 5
6명
①, ③
사과：24Ö6=4(개), 배：30Ö6=5(개)
사과：4개, 배：5개
오전 7시 이후 두 유람선이 처음으로 동시
1080
에 출발하는 시각은 25와 40의 최소공배수 만큼의
25
40
5
>³`
5 8
시간이 흐른 뒤이다.
25와 40의 최소공배수는 5_5_8=200이므로 두 유람선이 오
다.
1070
8400
⑴ 1, 2, 3, 6, 9, 18
⑵ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
⑶ 1, 2, 3, 6
⑷ 6
8500
1, 3, 5, 15
8600
8700
32
16
8
24
12
6
3 4` ∴ 2_2_2=8
90
45
15
54
27
9
3 5` ∴ 2_3_3=18
8800
42
21
66
33
30
15
5 7 11 ∴ 2_3=6
2
>³`
2
>³`
2
>³`
`
2
>³`
3
>³`
3
>³`
`
2
>³`
3
>³`
`
2
>³`
2
>³`
3
>³`
`
8900
84
42
21
108
54
27
60
30
15
5 7 9 ∴ 2_2_3=12
9000
2_5
9100
2Û`_3
9200
3Û`_5
두 수의 최대공약수를 각각 구해 보면
9300
① 1 ② 3 ③ 1 ④ 11 ⑤ 2
따라서 두 수가 서로소인 것은 ①, ③이다.
9400
⑴ 4, 8, 12, 16, 20, 24, y
⑵ 6, 12, 18, 24, 30, y
⑶ 12, 24, 36, 48, 60, y
⑷ 12
8 정답과 풀이
알피엠_중1-1_해설_001~019_1단원_ok.indd 8
2017-06-29 오후 7:14:35
³
³
³
³
²
³
²
³
²
³
³
³
³
³
³
³
³
²
²
²
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
전 7시 이후에 처음으로 동시에 출발하는 시각은 200분 후, 즉 3
대공약수는 2Ü`_3Û`_11=792이다.
시간 20분 후인 오전 10시 20분이다.
따라서 안에 들어갈 수 없는 수는 ⑤이다.
오전 10시 20분
두 수의 최대공약수를 각각 구해 보면
1130
① 2 ② 3 ③ 5 ④ 3 ⑤ 1
따라서 두 수가 서로소인 것은 ⑤이다.
ㄷ. 9와 16은 서로소이지만 둘 다 소수가 아니다.
1140
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.
1090
2Ü``_`3Ü``
2``_`3Ý`` ` ``_`7
2Û``_`3Û``_`5
`(최대공약수)= 2``_`3Û`` ` `` ` `
공통인 소인수 2의 지수 3, 1, 2 중 가장 작은 것은 1이므로 2Ú`
28=2Û`_7이므로 28과 서로소인 자연수는 2와 7을 모
공통인 소인수 3의 지수 3, 4, 2 중 가장 작은 것은 2이므로 3Û`
1150
두 소인수로 갖지 않는 수이다.
∴ (최대공약수)=2_3Û`
따라서 20보다 크고 30보다 작은 자연수 중에서 28과 서로소인
①
자연수는 23, 25, 27, 29의 4개이다.
1100
⑴ 2
12
40
>³
>³
2
16
20
⑵ 3
15
30
45
> ³
5
> ³
5
10
15
⑶ (최대공약수)=3_5=15
3 10
∴ (최대공약수)=2_2=4
2Û`_3_5, 2Û`_5Û`의 최대공약수는 2Û`_5이다.
1160
공약수는 최대공약수의 약수이므로 공약수가 아닌 것은 ④이다.
1
2
3
∴ (최대공약수)=3_5=15
⑴ 4 ⑵ 15 ⑶ 15
1170
2
90
108
144
>³
>³
>³
3
45
254
3
15
218
272
³
224
5 6 8
∴ `(최대공약수)=2_3Û``
따라서 공약수가 아닌 것은 ②이다.
1110
2Û``_`3``_`5Þ`
`` `3Ý``_`5º``_11
2Ü``_`3Ü``_`5Ý`
`(최대공약수)= `` `3Û``_`5Ü`` ` `
공통인 소인수 3의 지수 a, 4, 3 중 가장 작은 것이 2이므로 a=2
A와 B의 공약수는 최대공약수인 48의 약수 1, 2, 3, 4,
1180
6, 8, 12, 16, 24, 48이다.
공통인 소인수 5의 지수 5, b, 4 중 가장 작은 것이 3이므로 b=3
∴ a+b=2+3=5
채점요소
단계
a의 값 구하기
b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
1120
⑤ 99=3Û`_11이므로 2Ý`_ 3Û`_11과 2Ü`_3Þ`_11의 최
5
배점
40 %
40 %
20 %
세 수의 최대공약수는 2Û`_3_7이다. 공약수는 최대공
1190
약수의 약수이므로 구하는 공약수의 개수는
(2+1)_(1+1)_(1+1)=12(개)
1200
2``_`3`` ` `_`7
2Ü``_`3``_`5`` ` ` _11
`` `3Û``_`5`
`(최소공배수)= 2Ü``_`3Û``_`5`_`7``_11`
02. 최대공약수와 최소공배수 9
⑤
⑤
⑤
③
④
②
⑤
④
④
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³
³
³
³
³
³
³
³
²
³
²
1210
2
12
40
60
>³
2
>³
3
>³
5
>³
6
20
30
3
10
15
1
10
5
1 2 1
1280
2``_`3Û``_`5
2Ü``_`3º```
`(최대공약수)= 2Û``_`3Û``
`(최소공배수)= 2Ü``_`3``_`5
∴ (최소공배수)=2_2_3_5_1_2_1=2Ü`_3_5
므로 a=2
최대공약수에서 공통인 소인수 2의 지수 a, 3 중 작은 것이 2이
③
최소공배수에서 소인수 3의 지수 2, b 중 크거나 같은 것이 a=2
두 수의 최소공배수를 각각 구해 보면
1220
① 2Û`_3Û`_7
② 2Ü`_3_7 ③ 2Û`_3_7
④ 2Ü`_3Û`_7
⑤ 2Þ`_3Ý`_5_7
1230
2Ü``_`3``_`5`
2º``_`3Û`` ` ``_`7Ü`
`(최소공배수)= 2Þ``_`3Ü``_`5``_`7`
소인수 2의 지수 3, b 중 큰 것이 5이므로 b=5
소인수 3의 지수 a, 2 중 큰 것이 3이므로 a=3
소인수 7의 지수는 3이므로 c=3
∴ a+b+c=3+5+3=11
이므로 b=2
∴ a+b=2+2=4
④
1290
2Û`_3Ü`
2Ü`_3Û`_5
2`_3Ü`_5`
`(최대공약수)= 2`_3Û`
`(최소공배수)= 2Ü`_3Ü`_5
최소공배수가 720=2Ý`_3Û`_5이므로
1300
2Û``_`3``
2º``_`3
2Ü``_`3``_`5`
11
`(최소공배수)= 2Ý``_`3Û``_`5
2Û`_3, 2_3Ü`_5의 최소공배수는 2Û`_3Ü`_5이다.
1240
공배수는 최소공배수의 배수이므로 공배수가 아닌 것은 ①이다.
소인수 2의 지수 2, b, 3 중 가장 큰 것이 4이므로 b=4
소인수 3의 지수 a, 1, 1 중 가장 큰 것이 2이므로 a=2
①
소인수 5의 지수는 1이므로 c=1
∴ a+b+c=2+4+1=7
2Ü``_`3
2``_`3Û``
2Û``_`3``_`5`
1310
2``_`3Û``_`5Ü`
2Þ``_`3º`` ` ``_`c
`(최대공약수)= 2Ý``_`3``
`(최소공배수)= 2Þ``_`3Û``_`5Ü``_11
`(최소공배수)= 2Ü``_`3Û``_`5
최소공배수는 2Ü`_3Û`_5이고 공배수는 최소공배수의 배수이다.
따라서 ② 2Ý`_3_5는 2Ü`_3Û`_5의 배수가 아니므로 공배수가
1250
아니다.
최대공약수에서 공통인 소인수 2의 지수 a, 5 중 작은 것이 4이
므로 a=4
②
이고 공통인 소인수 3의 지수 2, b 중 작은 것이 1이므로 b=1
최소공배수에서 소인수 11의 지수가 1이므로 c=11
공배수는 최소공배수의 배수이므로 100 이하의 자연수
∴ a+b+c=4+1+11=16
1260
중 18의 배수의 개수를 구한다.
100Ö18=5.5 y 이므로 5개이다.
②
1320
12=2Û`_3, 4200=2Ü`_3_5Û`_7이므로
8, 15, 24의 최소공배수는
1270
2_2_2_3_1_5_1=120
120_5=600, 120_6=720이므로 700에 가
2
2
15
6
장 가까운 공배수는 720이다.
3
1
15
3
`(최대공약수)= 2Û``_`3``
2``_`3``_`5Û`
2Ü``_`3º`` ` ``_`c
2
8
15
24
2
4
15
12
>³
>³
>³
>³
720
1 5 1
`(최소공배수)= 2Ü``_`3``_`5Û``_`7
10 정답과 풀이
④
⑤
7
16
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³
²
³
²
³
²
³
²
³
³
³
³
³
³
³
³
최대공약수에서 공통인 소인수 2의 지수 a, 3 중 작은 것이 2이
6_a_3=198 ∴ a=11
∴ A=6_11=66
최소공배수에서 소인수 3의 지수 1, b 중 크거나 같은 것이 1이
므로 a=2
므로 b=1
이고 소인수 7의 지수가 1이므로 c=7
∴ a-b+c=2-1+7=8
단계
채점요소
12, 4200을 소인수분해하기
a, b, c의 값 구하기
a-b+c의 값 구하기
1330
2Ü``_`3`` `` ``_``b`
2`` ` ``_``d``_``7
`(최대공약수)= 2`` ` `` ` ```_``7``
`(최소공배수)= 2Ü``_`3``_``5``_``7
최대공약수에서 공통인 소인수 2의 지수 3, c 중 작은 것이 1이므
로 c=1
이고 공통인 소인수 7의 지수가 1이므로 b=7
최소공배수에서 소인수 3의 지수는 1이므로 a=1
이고 소인수 5의 지수가 1이므로 d=5
∴ abcd=1_7_1_5=35
35
최대공약수가 2Û`_3이므로
2Ü`_
3_
5 A
1340
2Û`_3
> ³
`
a
`b
(단, a, b는 서로소)
이때 2Ü`_3_5=2Û`_3_a에서 a=2_5
최소공배수가 2Ü`_3Û`_5_7Û`이므로
2Û`_3_a_b=2Ü`_3Û`_5_7Û`
즉, 2Û`_3_2_5_b=2Ü`_3Û`_5_7Û`에서 b=3_7Û`
∴ A=(2Û`_3)_b=2Û`_3_3_7Û`=2Û`_3Û`_7Û`
따라서 A의 약수의 개수는
(2+1)_(2+1)_(2+1)=27(개)
27개
다른풀이
(두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로
2Ü`_3_5_A=(2Û`_3)_(2Ü`_3Û`_5_7Û`)
∴ A=2Û`_3Û`_7Û`
(두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로
1350
A_18=6_198 ∴ A=66
④
8
배점
20 %
각 20 %
20 %
(두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로
1360
72_A=36_360 ∴ A=180
(두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로
1370
480=(최대공약수)_120 ∴ (최대공약수)=4
(두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로
1380
540=6_(최소공배수)
∴ (최소공배수)=90
A=6_a, B=6_b (a, b는 서로소, a>b)라
하면 최소공배수가 90이므로
6_a_b=90 ∴ a_b=15
6
A
B
>³
a `b
Ú a=5, b=3일 때, A=6_5=30, B=6_3=18
Û a=15, b=1일 때, A=6_15=90, B=6_1=6
그런데 A, B는 두 자리의 자연수이므로 A=30, B=18
∴ A+B=30+18=48
1390
x
4_x
5_x
6_x
> ³
2
> ³ `
`2
4
`5
`6
`5
`3
x_2_2_5_3=180이므로 x=3
1400
x
3_x
4_x
6_x
> ³
> ³ `
2
3
> ³ `
`1
3
`4
`6
3
`2
`3
`2
`1
x_2_3_1_2_1=72이므로 x=6
즉, 세 자연수의 최대공약수 x는 6이다.
세 자연수를 2_x, 3_x, 8_x라 하면
1410
x
> ³
2
>³
2
1
2_x
3_x
8_x
0
30 080
3
4
다른풀이
x_2_1_3_4=144이므로 x=6
두 자연수 A, 18을 최대공약수 6으로 나누면 오른
따라서 세 자연수는 12, 18, 48이므로 가장 큰 수는 48이다.
쪽과 같고, 최소공배수가 198이므로
6
A
18
>³
a `3
서로소
02. 최대공약수와 최소공배수 11
180
②
48
②
③
⑤
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³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
세 자연수를 2_x, 5_x, 6_x라 하면
1420
x
> ³
2
>³
2
1
2_x
5_x
6_x
0
50 060
5
3
x_2_1_5_3=600이므로 x=20
⑴ 정사각형 모양의 타일의 한 변의 길이
1460
는 160와 280의 공약수이어야 하고, 가능한
한 큰 타일이려면 타일의 한 변의 길이는 160
과 280의 최대공약수이어야 한다.
160과 280의 최대공약수가
2
> ³
2
>³
>³
>³
2
5
160
280
80
140
40
70
20
35
4
7
따라서 세 자연수는 40, 100, 120이므로 그 합은 260이다.
2_2_2_5=40이므로 타일의 한 변의 길이는 40 cm이다.
되도록 많은 학생들에게 똑같이 나누어
1430
주려면 학생 수는 180과 168의 최대공약수이어
180
168
90
084
2
> ³
2
> ³
3
45
042
> ³
15 14
야 한다.
따라서 구하는 학생 수는
2_2_3=12(명)
260
⑵ 가로：160Ö40=4(개)
세로：280Ö40=7(개)
의 타일이 필요하므로 구하는 타일의 개수는
4_7=28(개)
⑴ 40 cm ⑵ 28개
정사각형 모양의 색종이의 한 변의 길이
1470
는 60과 48의 공약수이어야 하고, 색종이의 수를
가능한 한 적게 하려면 색종이의 한 변의 길이는
60
48
30
24
15
12
2
2
> ³
> ³
3
>³
5 4
③
60과 48의 최대공약수이어야 한다.
60과 48의 최대공약수가 2_2_3=12이므로 색종이의 한 변의
각 보트에 가능한 한 적은 수의 학생들을
1440
태우려면 보트는 최대한 많이 필요하므로 필요한
보트 수는 70과 42의 최대공약수이어야 한다.
70
42
35
21
2
>³`
7
>³`
5 3
길이는 12`cm이다.
가로 : 60÷12=5(장)
세로 : 48÷12=4(장)
따라서 필요한 보트 수는
2_7=14(대)
이고, 보트 한 대에 태워야 하는 학생 수는
남학생 : 70Ö14=5(명)
여학생 : 42Ö14=3(명)
보트 수 : 14대, 남학생 수 : 5명, 여학생 수 : 3명
가능한 한 많은 학생들에게 똑같이
1450
나누어 주려면 학생 수는 48, 56, 60의 최대
2
> ³
2
48
56
60
24
28
30
> ³
12 14 15
공약수이어야 하므로
2_2=4(명) ∴ a=4
한 학생이 받게 되는 바나나, 오렌지, 사과의 수를 각각 구하면
바나나 : 48Ö4=12(개) ∴ b=12
오렌지 : 56Ö4=14(개) ∴ c=14
사과 : 60Ö4=15(개) ∴ d=15
∴ a+b+c+d =4+12+14+15=45
의 색종이가 필요하므로 구하는 색종이의 수는
5_4=20(장)
20장
정육면체 모양의 벽돌의 한 모서리
1480
의 길이는 120, 60, 90의 공약수이어야 하
고, 벽돌의 크기를 최대로 하려면 벽돌의 한
모서리의 길이는 120, 60, 90의 최대공약수
120
60
90
60
30
45
2
3
>³
>³
5
20
10
15
>³
4 2 3
120, 60, 90의 최대공약수가 2_3_5=30이므로 벽돌의 한 모
이어야 한다.
서리의 길이는 30 cm이다.
가로：120Ö30=4(개)
세로：60Ö30=2(개)
높이：90Ö30=3(개)
의 벽돌이 필요하므로 구하는 벽돌의 개수는
4_2_3=24(개)
나무 사이의 간격이 최대가 되게 심으려
1490
면 나무 사이의 간격은 120, 160의 최대공약수이
어야 한다.
즉, 120, 160의 최대공약수인
2_2_2_5=40(m)마다 나무를 심으면 된다.
24개
2
120
> ³
160
60
080
> ³
> ³
2
2
5
30
040
15
020
> ³
3
4
가로：120Ö40+1=4(그루)
세로：160Ö40+1=5(그루)
요한 나무의 수는
4_2+5_2-4=14(그루)
의 나무가 필요하다. 그런데 네 모퉁이에서 두 번씩 겹치므로 필
④
45
배점
30 %
각 20 %
10 %
채점요소
단계
a의 값 구하기
b, c, d의 값 구하기
a+b+c+d의 값 구하기
12 정답과 풀이
알피엠_중1-1_해설_001~019_1단원_ok.indd 12
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³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
²
²
³
³
³
³
가능한 한 적은 수의 화분을 일정한 간
1500
격으로 놓으려고 하므로 화분 사이의 간격은 420,
270의 최대공약수인 2_3_5=30(cm)로 하
면 된다.
기둥의 수를 최소한으로 하려면 기둥 사
1510
이의 간격은 108, 90의 최대공약수인
2_3_3=18(m)로 하면 된다.
가로：108Ö18+1=7(개)
세로：90Ö18+1=6(개)
요한 기둥의 수는
7_2+6_2-4=22(개)
의 기둥이 필요하다. 그런데 네 모퉁이에서 두 번씩 겹치므로 필
어떤 수로 150을 나누면 6이 남으므로
1520
150-6, 즉 144를 나누면 나누어떨어진다.
또, 87을 나누면 3이 부족하므로 87+3, 즉 90을
나누면 나누어떨어진다.
따라서 구하는 수는 144, 90의 최대공약수이므로
2_3_3=18
144
90
72
045
24
015
2
3
3
>³
>³
>³
8 005
18
빵은 2개가 남고, 음료수는 3개가 남았으므로
1530
빵 72-2=70(개), 음료수 108-3=105(개)이면 학생들에게
똑같이 나누어 줄 수 있다.
따라서 구하는 학생 수는 70, 105의 최대공약수
이므로
5_7=35(명)
70
105
5
>³
7
14
21
>³
2 003
35명
90
30
120
45
15
60
15
5
20
2
3
5
>³
>³
>³
3 1
4
30
어떤 수로 85+5, 33-3, 124-4,
1540
즉 90, 30, 120을 나누면 나누어떨어진다.
따라서 구하는 수는 90, 30, 120의 최대공약
수이므로
2_3_5=30
어떤 수로 77-5, 48, 즉 72, 48을 나누면 나누어떨어
1550
지므로 어떤 자연수가 될 수 있는 수는 72, 48의 공약수 중 나머
지 5보다 큰 수이다.
72, 48의 최대공약수는
2_2_2_3=24
따라서 어떤 자연수는 24의 약수 1, 2, 3, 4, 6, 8,
12, 24 중에서 5보다 큰 수이므로 가장 큰 수는
24, 가장 작은 수는 6이다.
72
48
36
24
18
12
2
>³
2
>³
2
>³
3
9
6
>³
3 2
420
270
210
135
2
>³
3
>³
5
70
45
> ³
14 9
③
108
90
54
045
2
> ³
3
> ³
3
18
015
> ³
006 005
∴ 24+6=30
30
⑴ 가장 작은 정사각형을 만들려고 하므
1560
로 만들어진 정사각형의 한 변의 길이는 12와
3
12
15
>³
4 5
15의 최소공배수인 3_4_5=60(cm)이다.
⑵ 가로：60Ö12=5(장)
세로：60Ö15=4(장)
의 색종이가 필요하므로 구하는 색종이의 수는
5_4=20(장)
⑴ 60 cm ⑵ 20장
②
가장 작은 정육면체를 만들려고 하므로 만
1570
들어진 정육면체의 한 모서리의 길이는 6, 8, 3의
2
>³
3
최소공배수인 2_3_1_4_1=24(cm)이다.
6
8 3
3
4 3
>³
1 4 1
②
배점
40 %
60 %
되도록 작은 정육면체를 만들려고 하
1580
므로 만들어진 정육면체의 한 모서리의 길이는
24, 30, 18의 최소공배수인
2_3_4_5_3=360(cm)이다.
2
24
30
18
3
12
15
9
>³
>³
4 5 3
가로：360Ö24=15(개)
세로：360Ö30=12(개)
높이：360Ö18=20(개)
의 벽돌이 필요하므로 구하는 벽돌의 개수는
15_12_20=3600(개)`
360 cm, 3600개
단계
채점요소
정육면체의 한 모서리의 길이 구하기
필요한 벽돌의 개수 구하기
두 톱니바퀴가 같은 톱니에서 다시 맞물
1590
릴 때까지 움직인 톱니의 수는 45와 30의 최소공
45
30
15
10
3 2
3
>³
5
>³
따라서 두 톱니바퀴가 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물리려면
배수인
3_5_3_2=90(개)
톱니바퀴 B는
90Ö30=3(바퀴)
회전해야 한다.
②
02. 최대공약수와 최소공배수 13
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³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
두 톱니바퀴가 같은 톱니에서 처음으로
1600
다시 맞물릴 때까지 맞물린 톱니의 수는 16과 24
45와 60의 최소공배수는
1650
3_5_3_4=180
의 최소공배수인
2_2_2_2_3=48(개)
이므로 형과 동생이 출발 지점에서 처음으로 다시
만날 때까지 걸리는 시간은 180초이다.
따라서 두 톱니바퀴가 같은 톱니에서 처음으로 다
따라서 두 사람이 출발 지점에서 처음으로 다시 만나게 되는 것은
시 맞물릴 때까지 맞물린 톱니바퀴 A의 톱니의 수는 48개이다.
형：180Ö45=4(바퀴)
16
24
8
12
2
>³
2
>³
2
4
6
>³
2 3
45
60
3
>³
5
15
20
>³
3 4
두 톱니바퀴가 같은 톱니에서 처음으로
1610
다시 맞물릴 때까지 맞물린 톱니의 수는 75와 60
3
>³
5
75
60
25
20
>³
5 4
의 최소공배수인
3_5_5_4=300(개)
따라서 두 톱니바퀴가 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물리는 것
은
A：300Ö75=4(바퀴)
B：300Ö60=5(바퀴)
회전한 후이다.
48개
동생：180Ö60=3(바퀴)
를 돈 후이다.
형 : 4바퀴, 동생 : 3바퀴
6으로 나누면 5가 남고, 8로 나누면 7이 남으므로 구하
1660
는 자연수를 x라 하면 x+1은 6과 8의 공배수이다.
6과 8의 최소공배수는
2_3_4=24
이므로 x+1은 24의 배수이다.
즉, x+1=24, 48, 72, 96, 120, y이므로
x=23, 47, 71, 95, 119, y
따라서 구하는 자연수가 될 수 없는 것은 ③ 73이다.
2
6 8
>³
3 4
③
A：4바퀴, B：5바퀴
참고
(어떤 자연수)
단계
채점요소
두 톱니바퀴가 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물릴 때까지
맞물린 톱니의 수 구하기
A, B의 회전 수 구하기
배점
20 %
각 40 %
20과 15의 최소공배수는
1620
5_4_3=60
5
20
15
>³
4 3
이므로 열차와 버스는 60분마다 동시에 출발한다.
따라서 오전 8시 이후 처음으로 동시에 출발하는 시각은 60분 후,
즉 1시간 후인 오전 9시이다.
6으로 나누면 5가 남는다.`
⇨
8로 나누면 7이 남는다.
]
1씩 부족
(어떤 자연수)+1
6으로 나누면 나누어떨어진다.(6의 배수)`
]
⇨
8로 나누면 나누어떨어진다.(8의 배수)
⇨ (6과 8의 공배수)
30, 42 중 어느 수로 나누어도 5가 남으므로 구하는 자
1670
연수를 x라 하면 x-5는 30과 42의 공배수이다.
이므로 두 차가 처음으로 같이 오는 날은 210일 후이다.
따라서 가장 작은 세 자리 자연수는 215이다.
30과 42의 최소공배수는
오전 9시
2_3_5_7=210
이므로 x-5는 210의 배수이다.
즉, x-5=210, 420, y이므로
x=215, 425, y
2
14
30
>³
7 15
210일 후
참고
5
20
25
10
(어떤 자연수)
>³
>³
2
4
5
2
30으로 나눈 나머지가 5 `
⇨
42로 나눈 나머지가 5
]
5씩 남음
30
42
15
21
5 7
2
>³
3
>³
215
이므로 두 열차와 전철은 100분마다 동시에 출
2 5 1
발한다.
(어떤 자연수)-5
따라서 오전 6시 이후 처음으로 동시에 출발하는 시각은 100분
후, 즉 1시간 40분 후인 오전 7시 40분이다.
30으로 나누면 나누어떨어진다.(30의 배수)`
⇨
42로 나누면 나누어떨어진다.(42의 배수)
]
오전 7시 40분
⇨ (30과 42의 공배수)
14와 30의 최소공배수는
1630
2_7_15=210
20, 25, 10의 최소공배수는
1640
5_2_2_5_1=100
14 정답과 풀이
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³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
4, 8, 10 중 어느 수로 나누어도 2가 남으므로 구하는
1680
자연수를 x라 하면 x-2는 4, 8, 10의 공배수이다.
B는 6, 12, 27의 최소공배수이어야 하므로
B=3_2_1_2_9=108
2
4 8
10
>³
>³
2
2 4
5
1 2 5
따라서 구하는 분수는
이다.
108
7
5로 나누면 2가 남고, 8로 나누면 5가 남고, 10으로 나
1690
누면 3이 부족하므로 구하는 자연수를 x라 하면 x+3은 5, 8,
③
단계
채점요소
구하는 분수의 분모 구하기
구하는 분수의 분자 구하기
구하는 분수 구하기
3
6
12
27
2
2
4
9
>³
>³
1 2 9
108
7
배점
40 %
40 %
20 %
4, 8, 10의 최소공배수는
2_2_1_2_5=40
이므로 x-2는 40의 배수이다.
즉, x-2=40, 80, y이므로
x=42, 82, y
따라서 가장 작은 수는 42이다.
10의 공배수이다.
5, 8, 10의 최소공배수는
2_5_1_4_1=40
이므로 x+3은 40의 배수이다.
2
5
8 10
>³
>³
5
5
4 5
1 4 1
UP
15=3_5, 30=2_3_5, 150=2_3_5Û`
1740
즉, 3_5, 2_3_5, a의 최소공배
880
수가 2_3_5Û`이므로 a는 반드시 5Û`
을 인수로 가져야 하고 2_3_5Û`의
a`=`
약수이어야 한다.
(최소공배수)=2_3_5Û`
` ` 3_5
` `2_3_5
즉, x+3=40, 80, 120, y, 960, 1000, y이므로
x=37, 77, 117, y, 957, 997, y
따라서 세 자리의 자연수 중 가장 작은 수는 117, 가장 큰 수는
997이므로 두 수의 차는
997-117=880
1700
구하는 분수를
라 하면
B
A
_
;1!4%;
B
A
∴
=
B
A
_
=(자연수),
B
A
(14, 49의 최소공배수)
(15, 25의 최대공약수)
;4@9%;
=
98
5
=(자연수)
구하는 수는 75와 105의 최대공약수이므
1710
로 3_5=15이다.
>³
3
5
75
105
25
35
>³
5
7
15
구하는 수는 18과 24의 공배수 중 가장
1720
작은 세 자리의 자연수이다. 18과 24의 최소공배
수는 2_3_3_4=72이므로 공배수 중 가장 작
은 세 자리의 자연수는 144이다.
98
5
18
24
9
12
3 4
2
>³
3
>³
144
35
56
1 5 8
7
7
>³
따라서 a가 될 수 있는 수는 5Û`=25,
2_5Û`=50, 3_5Û`=75,
2_3_5Û`=150의 4개이다.
4=2Û`, 50=2_5Û`, 600=2Ü`_3_5Û`
1750
즉, 2Û`, 2_5Û`, a의 최소공배수가
2Ü`_3_5Û`이므로 a는 반드시
2Ü`_3을 인수로 가져야 하고
2Û`
2` _5Û`
a`=`
2Ü`_3_5Û`의 약수이어야 한다.
(최소공배수)=2Ü`_3_5Û`
따라서 a가 될 수 있는 수는 2Ü`_3,
2Ü`_3_5, 2Ü`_3_5Û`, 즉 24, 120, 600이므로 a의 값의 합은
24+120+600=744
4개
744
N을 6으로 나눈 몫을 n이라 하면
1760
630=6_(3_5_7)이므로
18
N
30
6
>³
3 5 n
n=7, 3_7, 5_7, 3_5_7
N=6_n이므로 N의 값은
6_7=42, 6_3_7=126, 6_5_7=210,
④
02. 최대공약수와 최소공배수 15
1730
구하는 분수를
라 하면
B
A
A는 7, 35, 56의 최대공약수이어야 하므로
6_3_5_7=630
A=7
따라서 N의 값이 될 수 없는 것은 ④이다.
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³
²
³
²
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
N을 18로 나눈 몫을 n이라 하면
1770
540=18_(2_3_5)이므로
18
36
N
90
>³ `
2 n 5
n=3, 2_3, 3_5, 2_3_5
N=18_n이므로 N의 값은
18_3=54, 18_2_3=108, 18_3_5=270,
따라서 가장 큰 수는 540이고, 가장 작은 수는 54이므로 구하는
18_2_3_5=540
합은
540+54=594
최대공약수가 8이고 A>B이므로
1780
A=8_a, B=8_b`(a, b는 서로소, a>b)로
8
>³
A
B
a b
놓으면 최소공배수가 280이므로
8_a_b=280
∴ a_b=35
Ú a=35, b=1일 때, A=8_35=280, B=8_1=8
Û a=7, b=5일 때, A=8_7=56, B=8_5=40
Ú, Û에서 A+B=96이어야 하므로 A=56, B=40
로 놓으면 최소공배수가 156이므로
26_a_b=156 ∴ a_b=6
Ú a=6, b=1일 때, A=26_6=156, B=26_1=26
Û a=3, b=2일 때, A=26_3=78, B=26_2=52
Ú, Û에서 A+B의 값이 될 수 있는 수는
156+26=182, 78+52=130
②, ⑤
최대공약수가 5이고 A>B이므로
1800
A=5_a, B=5_b`(a, b는 서로소, a>b)로
A
B
a b
5
>³
놓으면 최소공배수가 120이므로
5_a_b=120 ∴ a_b=24
두 수의 최대공약수를 각각 구해 보면
1810
① 2①①② 3①①③ 1①①④ 7①①⑤ 3
따라서 두 수가 서로소인 것은 ③이다.
③
1820
3Û`_5
2_3Û`_5
3Ü`_5Û`_7`
`(최대공약수)= 3Û`_5
`(최소공배수)= 2_3Ü`_5Û`_7
594
2Ü`_3Û`, 2Û`_3Ü`_7의 최대공약수는 2Û`_3Û`이다. 공약수
1830
는 최대공약수의 약수이므로 공약수가 아닌 것은 ③이다.
① 16과 81의 최대공약수가 1이므로 서로소이다.
1840
② 2Û`_3Ý`, 2_3Û`_5의 최대공약수는 2_3Û`이므로 36=2Û`_3Û`
③
③ 2Ü`_3Û`_7, 2Û`_3_5Û`, 2Û`_3Ü`_5의 최대공약수가 2Û`_3이
므로 공약수의 개수는 (2+1)_(1+1)=6(개)
④ 2_3Û`, 2Û`_5의 최소공배수는 2Û`_3Û`_5이므로
④
③
②, ⑤
③ =54=2_3Ü`이면 2Ü`_=2Ü`_2_3Ü`=2Ý`_3Ü`
1850
이므로 2Ý`_3Ü`, 2Û`_3Þ`_7의 최대공약수는
2Û`_3Ü`=108이 된다.
③
1860
2_3`_5
3Ü`_5`
3º`_5`_7¶``
`(최대공약수)= 3Û`_5
`(최소공배수)= 2_3Ý`_5Û`_7
∴ A-B=56-40=16
은 공약수가 아니다.
최대공약수가 26이고 A>B이므로
1790
A=26_a, B=26_b`(a, b는 서로소, a>b)
26
A
B
>³
a b
180=2Û`_3Û`_5는 두 수의 공배수이다.
⑤ 4와 9는 서로소이지만 둘 다 소수가 아니다.
Ú a=24, b=1일 때, A=5_24=120, B=5_1=5
이 2이므로 a, b 둘 중의 하나는 2이고, 최소공배수에서 소인수 3
Û a=12, b=2일 때, A=5_12=60, B=5_2=10
의 지수 a, 3, b 중 가장 큰 것이 4이므로 a, b 둘 중의 하나는 4
최대공약수에서 공통인 소인수 3의 지수 a, 3, b 중 가장 작은 것
Ü a=8, b=3일 때, A=5_8=40, B=5_3=15
이어야 한다.
Ý a=6, b=4일 때, A=5_6=30, B=5_4=20
즉, a=2, b=4 또는 a=4, b=2
이때 A-B=25이어야 하므로 A=40, B=15
또한 최소공배수에서 소인수 5의 지수 1, c, 1 중 가장 큰 것이 2
∴ A+B=40+15=55
이므로 c=2, 소인수 7의 지수가 1이므로 d=1이다.
55
∴ a+b+c+d=9
9
16 정답과 풀이
알피엠_중1-1_해설_001~019_1단원_ok.indd 16
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³
³
³
³
³
(두 자연수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이고
1870
720=2Ý`_3Û`_5이므로
n은 110, 220, 275의 공약수이
1920
다. 즉, 110, 220, 275의 최대공약수인
2Ý`_3Û`_5=(최대공약수)_2Û`_3Û`_5
5_11=55의 약수이다.
5
11
>³
>³
110
220
275
22
44
55
2
4
5
∴ (최대공약수)=2Û`=4`
②
55의 약수 중 두 자리의 자연수는 11, 55로 2개이다.
A를 18로 나눈 몫을 a`(a는 2와
1880
서로소)라 하면 72=18_4, 108=18_6
18`
72
108
A
>³
4 6 a
이므로 A=18_a의 꼴이다.
⑤ 144=18_8이므로 a=8
이때 8은 2와 서로소가 아니므로 A의 값이 될 수 없다.
⑤
세 수의 최대공약수가 18이므로 a는 4, 6과의 공약수가 1뿐이어
다른풀이
야 한다.
즉, 짝수가 아니어야 하므로 a=1, 3, 5, 7, 9, y
∴ A=18, 54, 90, 126, 162, y
(두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로
1930
n_15=3_60 ∴ n=12
어떤 수로 37-5, 90-2, 즉 32, 88을
1940
나누면 나누어떨어진다.
따라서 구하는 수는 32, 88의 최대공약수이므로
2_2_2=8이다.
5로 나누면 2가 남고, 6으로 나누면 3이 남고 7로 나누
1950
면 4가 남으므로 구하는 자연수를 x라 하면 x+3은 5, 6, 7의 공
자연수 A를 2µ``_3Ç` 이라 하면
1890
A`=`2µ``_`3Ç`
`2Ü``_`3
(최대공약수)=`2Û``_`3
(최소공배수)=`2Ü``_`3Û``
므로 m=2
∴ A=2Û`_3Û`
최대공약수에서 공통인 소인수 2의 지수 m, 3 중 작은 것이 2이
이므로 x+3은 210의 배수이다.
최소공배수에서 소인수 3의 지수 n, 1 중 큰 것이 2이므로 n=2
x=207, 417, y
배수이다.
5, 6, 7의 최소공배수는
5_6_7=210
즉, x+3=210, 420, y이므로
따라서 가장 작은 자연수는 207이다.
④ 2Û`_3Ü`, 2_3_5의 최대공약수는 2_3, 최소공배수
1900
는 2Û`_3Ü`_5이다.
A의 소인수는 2, 3, 5, 7이므로 A=2`_3º`_5`_7¶` 이
③
④
1910
라 하면
2``_`3º``_`5``_`7¶`
2``_`3Û`` ` ``_`7Û`
`(최대공약수)= 2``_`3`` ` ``_`7Û`
`(최소공배수)= 2``_`3Û``_`5``_`7Ü`
므로 a=1
세 자연수를 2_x, 3_x, 4_x라 하면
1960
> ³
2
> ³ `
`1
x
2_x
3_x
4_x
2
`3
`4
`3
`2
x_2_1_3_2=180이므로 x=15
따라서 세 자연수는 30, 45, 60이므로 가장 큰 수는 60이다.
최소공배수에서 소인수 2의 지수 a, 1 중 크거나 같은 것이 1이
A와 B의 최대공약수가 28이므로 A와 B의 공약수는
1970
1, 2, 4, 7, 14, 28
이고 소인수 5의 지수가 1이므로 c=1,
B와 C의 최대공약수가 42이므로 B와 C의 공약수는
소인수 7의 지수 d, 2 중 큰 것이 3이므로 d=3
1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
최대공약수에서 공통인 소인수 3의 지수 b, 2 중 작은 것이 1이
따라서 A, B, C의 공약수가 1, 2, 7, 14이므로 최대공약수는 14
므로 b=1
∴ A=2_3_5_7Ü`
이다.
④
02. 최대공약수와 최소공배수 17
2개
①
32
88
16
44
2
>³
2
>³
2
8
22
>³
4 11
②
207
⑤
14
알피엠_중1-1_해설_001~019_1단원_ok.indd 17
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³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
최대공약수가 8이고 A³
A
B
a b
세 톱니바퀴가 같은 톱니에서 처음으
2030
로 다시 맞물릴 때까지 움직인 톱니의 수는
a=1, b=4일 때 A=8_1=8, B=8_4=32
따라서 세 톱니바퀴가 같은 톱니에서 다시 맞물리려면 A는
하면 최소공배수가 32이므로
8_a_b=32 ∴ a_b=4
∴ B-A=32-8=24
12, 20, 24의 최소공배수인
2_2_3_1_5_2=120(개)
120Ö12=10(바퀴)
③
회전해야 한다.
3, 5, 8 중 어느 수로 나누어도 2가 남으므로 구하는 자
1990
연수를 x라 하면 x-2는 3, 5, 8의 공배수이다.
가능한 한 많은 조로 나누므로 조의 수는
2040
36과 45의 최대공약수이다.
36과 45의 최대공약수는 3_3=9이므로
3, 5, 8의 최소공배수는
3_5_8=120
이므로 x-2는 120의 배수이다.
즉, x-2=120, 240, y이므로
x=122, 242, y
따라서 가장 작은 수는 122이다.
한 조의 여학생 수는
36Ö9=4(명) ∴ a=4
한 조의 남학생 수는
45Ö9=5(명) ∴ b=5
∴ a+b=4+5=9
122
A가 켜진 후 다시 켜지는 데 걸리는 시간은
2050
14+2=16(초)
사과는 3개가 부족하고, 복숭아와 방울토마토는 각각 1
2000
개, 2개가 남으므로 사과 27+3=30(개),
B가 켜진 후 다시 켜지는 데 걸리는 시간은 17+3=20(초)
C가 켜진 후 다시 켜지는 데 걸리는 시간은 20+4=24(초)
복숭아 46-1=45(개), 방울토마토 77-2=75(개)가 있으면
학생들에게 똑같이 나누어 줄 수 있다.
따라서 구하는 학생 수는 30, 45, 75의 최대
30
45
75
16, 20, 24의 최소공배수는
2_2_2_2_5_3=240
공약수이므로 3_5=15(명)이다.
이므로 세 네온사인은 240초마다 동시에 켜진
3
>³
5
10
15
25
>³
2 3 5
④
다.
따라서 오후 8시 이후에 처음으로 다시 동시에 켜지는 시각은
240초 후, 즉 4분 후인 오후 8시 4분이다.
6과 8의 최소공배수는 2_3_4=24이므로
2010
기은이와 제헌이는 24일마다 같은 장소에서 봉사활동
6 8
2
>³
3 4
을 한다.
후인 5월 26일이다.
따라서 5월 2일 이후 처음으로 함께 봉사활동을 하는 날은 24일
단계
채점요소
A, B, C가 켜진 후 각각 다시 켜지는 데 걸리는 시간 구하기 30 %
⑤
세 네온사인이 다시 동시에 켜지는 데 걸리는 시간 구하기
세 네온사인이 처음으로 다시 동시에 켜지는 시각 구하기
2
12
20
24
>³
2
>³
3
>³
6
10
12
3
5
6
1 5 2
10바퀴
36
45
3
>³
3
12
15
>³
4 5
9
2
16
20
24
>³
2
>³
2
>³
8
10
12
4
5
6
2 5 3
오후 8시 4분
배점
40 %
30 %
180
144
2
>³
2
>³
>³
3
3
90
072
45
036
15
012
>³
3
5
>
4
2020
1
=
;7%;
12
7
, 7
;5!;=
36
5
, 3
;4#;=
15
4
구하는 분수
에서 a는 12, 36, 15의 최대공
3
12
36
15
b
a
>³
4 12 5
약수이어야 하므로 a=3
b는 7, 5, 4의 최소공배수이어야 하므로
b=7_5_4=140
∴ a+b=3+140=143
가능한 한 큰 정사각형 모양의 사진을
2060
붙이려고 하므로 사진의 한 변의 길이는 180과
144의 최대공약수인
2_2_3_3=36(cm)
∴ x=36
가로：180Ö36=5(장)
143
세로：144Ö36=4(장)
18 정답과 풀이
알피엠_중1-1_해설_001~019_1단원_ok.indd 18
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³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
의 사진이 필요하므로 구하는 사진의 장수는
5_4=20(장) ∴ y=20
∴ x+y=36+20=56
채점요소
단계
x의 값 구하기
y의 값 구하기
x+y의 값 구하기
2070
⑴
a
15_a
18_a
45_a
>³
3
>³
3
>³
5
>³
5
>
15
5
5
1
³
³
18
16
12
³
2
45
15
5
1
a_3_3_5_1_2_1=270 ∴ a=3
⑵ 세 자연수의 최대공약수는 a_3=3_3=9
배점
40 %
40 %
20 %
배점
70 %
30 %
배점
50 %
40 %
10 %
A=4_a, B=4_b
2090
(a, b는 서로소, a>b)라 하면
최소공배수가 144이므로
4_a_b=144
∴ a_b=36
4
>³
A
B
a b
56
Ú a=36, b=1일 때, A=4_36=144, B=4_1=4
Û a=18, b=2일 때, A=4_18=72, B=4_2=8
Ü a=12, b=3일 때, A=4_12=48, B=4_3=12
Ý a=9, b=4일 때, A=4_9=36, B=4_4=16
이때 A+B=52이어야 하므로 A=36, B=16
∴ A-B=36-16=20
20
N을 15로 나눈 몫을 n이라 하면
2100
450=15_(2_3_5)이므로
15
30
N
75
>³
2 n 5
n=3, 3_2, 3_5, 3_2_5
N=15_n이므로 N의 값은
15_3=45, 15_3_2=90,
15_3_5=225, 15_3_2_5=450
③
두 수 A, B의 최대공약수가 6이므로
2110
A=6_a, B=6_b (a, b는 서로소, a³
3
3
>³
18
4
9
2
1 3 2
6, 18, 4의 최소공배수가 2_3_1_3_2=36
이므로 정육면체의 한 모서리의 길이는 36`cm이다.
⑵ 가로：36Ö6=6(개)
세로：36Ö18=2(개)
높이：36Ö4=9(개)
의 상자가 필요하므로 구하는 상자의 개수는
6_2_9=108(개)
단계
채점요소
정육면체의 한 모서리의 길이 구하기
가로, 세로, 높이에 필요한 상자의 개수 구하기
필요한 상자의 개수 구하기
⑴ 36`cm ⑵ 108개
2Û`_5_7=140
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2017-06-29 오후 7:14:44
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
03
정수와 유리수
Ⅱ`정수와 유리수
2130
+7 ¾, -10 ¾
2140
-3층, +40층
2150
+700원, -30원
2160
+2 kg, -6 kg
2170
+20 %, -5 %
2180
+500 m, -140 m
2190
+3
2200
-
;2!;
2210
+1.5
2220
-1
2230
+2, 10
2240
-5
2250
-5, 0, +2, 10
2260
자연수는 +11, 6의 2개이다.
2280
정수는 +11, 0, 6, -
의 4개이다.
;3^;
2290
자연수가 아닌 정수는 0, -
의 2개이다.
;3^;
2310
+2, +
, +7.7
;4#;
2320
-1.6, -1
, -8
;3@;
2330
-1.6, -1
, +
, +7.7
;3@;
;4#;
2340
A：-
, B：-
, C：
, D：
;2!;
;4!;
;4%;
;4&;
2350
2.1
2360
2
20 정답과 풀이
2370
5.8
2390
1
;5$;
2380
;1°4;
2400
3.7
2410
+5, -5
2420
+1.3, -1.3
2430
+
, -
;3@;
;3@;
2440
0
2450
0,
, -0.7, 1.3, 4
;2!;
2460
>
2470
<
2480
<
2490
<
2500
>
2510
<
2520
<
2530
>
2540
>
2550
>
2560
+2,
, -
, -
, -4.8
;5^;
;3!;
;2(;
2개
2570
x¾-4
2580
x<1.6
1개
2개
2610
xÉ11
2620
x¾
;3!;
4개
2630
-0.80이고 a=x 또는 a=-x
2920
b의 절댓값이 3이므로 b=3 또는 b=-3
5
5
그런데 a+b의 값 중에서 가장 큰 값이 8이므로
-3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
x+3=8 ∴ x=5
5
∴ a=-3 또는 a=7
a=-3
㈏에서 a를 나타내는 점은 0을 나타내는 점의 왼쪽에 있으므로
-
=
, |+3.2|=3.2,
=
, |-3|=3,
;2%;|
;2%;
|;2!;|
;2!;
2930
|
|-5|=5
두 수 a, b를 나타내는 두 점 사이의 거리가 14이고 두
2880
점의 한가운데에 있는 점이 나타내는 수가 3이므로 두 수 a, b를
나타내는 두 점은 3으로부터 각각 14_
=7만큼 떨어져 있다.
1
2
7
7
-4
-3-2-1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a
b
그런데 b>0이므로 a=-4, b=10
③
⑴ 주어진 수를 수직선 위에 나타내었을 때, 절댓값이 작을수록
원점에 가까우므로 원점에 가장 가까운 수는
이다.
1
2
⑵ 주어진 수를 수직선 위에 나타내었을 때, 절댓값이 클수록 원
점에서 멀리 떨어져 있으므로 원점에서 가장 멀리 떨어져 있
는 수는 -5이다.
⑴
⑵ -5
;2!;
④ a=-3, b=-2이면 -3<-2이지만
2940
|-3|>|-2|이다.
④
⑤ a=-2이면 |-2|+-2
④, ⑤
절댓값이 3인 두 수는 3과
2890
-3이므로 수직선 위에 나타내면 오른
(cid:20)
(cid:20)
(cid:23)
(cid:17)
(cid:14)(cid:20)
(cid:20)
원점에서 거리가 가까운 점이 나타내는 수부터 차례로
2950
번호를 나열하면 ④, ③, ②, ⑤, ①이다.
④, ③, ②, ⑤, ①
쪽 그림과 같다.
22 정답과 풀이
알피엠_중1-1_해설_020~047_2단원_ok.indd 22
2017-06-30 오전 11:37:41
-
;3*;
-4
배점
30 %
40 %
30 %
2960
원점으로부터의 거리가
인 수를 수직선 위에 나타내
_
=
;2!;
;3*;
:Á3¤:
인 수이다.
11
4
면 다음과 같다.
따라서 두 수는 -
이고 이 중 음수는 -
이다.
,
;3*;
;3*;
;3*;
:Á4Á:
:Á4Á:
-3
-2 -1
0
1
2
3
-:Á4Á:
:Á4Á:
따라서 절댓값이
보다 작은 정수는 -2, -1, 0, 1, 2의 5개
11
4
이다.
5개
㈎에서 두 수 a와 b의 절댓값이 같고 ㈏에서 a는 b보다
3030
8만큼 작으므로 a<0, b>0이다.
㈏에서 a가 b보다 8만큼 작으므로 두 수 a, b를 나타내는 두 점
사이의 거리가 8이다. 즉, 두 수 a, b는 원점으로부터의 거리가
2970
주어진 수 중에서 원점으로부터의 거리가 2보다 작은 수
는 -1,
, 0.7, -
의 4개이다.
;7%;
1
4
각각 8_
=4인 수이다.
;2!;
④
∴ a=-4, b=4
2980
원점으로부터의 거리가
인 수를 수직선 위에 나타내
17
5
면 다음과 같다.
단계
채점요소
두 수 a, b의 부호 구하기
:Á5¦:
:Á5¦:
두 수의 원점으로부터의 거리 구하기
-4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
a의 값 구하기
-:Á5¦:
17
5
이다.
따라서 절댓값이
이하인 정수는 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
① -12<-1
3040
② -2.5>-3.2
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
③ -
=-
, -
=-
이므로 -
>-
;3!;
;1°5;
;5@;
;1¤5;
;3!;
;5@;
2990
주어진 수 중에서 원점으로부터의 거리가
이상인 수는 -4, 3, +
, -
의 4개이다.
;3*;
;2(;
13
6 {
=2
1
6 }
4개
④
|
-
;3%;|
=
;3%;
=
,
;1@5%;
;5@;
=
이므로
|
-
;1¤5;
;3%;|
>
;5@;
⑤ |-3.1|=3.1,
=1.25이므로 |-3.1|>
④
;4%;
;4%;
3050
주어진 수를 작은 수부터 차례로 나열하면
절댓값이 같고 a>b인 두 수 a, b를 나타내는 두 점 사
3000
이의 거리가 10이므로 두 수는 원점으로부터의 거리가 각각
-2, -
, 0,
, 4.1, 5
;3$;
;3&;
절댓값이 작은 수부터 차례로 나열하면
10_
=5인 수이다.
;2!;
∴ a=5, b=-5
3010
절댓값이 같고 부호가 반대인 두 수의 차가 14이므로 두
수는 원점으로부터의 거리가 각각 14_
=7인 수이다.
1
2
따라서 두 수는 -7, 7이고 두 수 중 큰 수는 7이다.
0, -
, -2,
, 4.1, 5
;3$;
;3&;
⑤
③ 수직선 위에 나타내었을 때, 가장 오른쪽에 있는 수는 5이다.
③
3060
주어진 수를 작은 수부터 차례로 나열하면
-3, -
, -
, 0, 2
;3@;
;4!;
7
이므로 네 번째에 오는 수는 ③ 0이다.
③
3020
절댓값이 같고 부호가 반대인 두 수를 나타내는 두 점
3070
주어진 수를 큰 수부터 차례로 나열하면
사이의 거리가
이므로 두 수는 원점으로부터의 거리가 각각
|-7|, 5,
, -
, -2.5, -3.3
:Á4Á:
:Á5¼:
16
3
03. 정수와 유리수 23
알피엠_중1-1_해설_020~047_2단원_ok.indd 23
2017-06-30 오전 11:38:06
④
8개
-2
배점
50 %
50 %
③
이므로 다섯 번째에 오는 수는 -2.5이다.
따라서 두 수 -
과
사이에 있는 정수는 -2, -1, 0, 1, 2
7
3
;4(;
-2.5
⑤
의 5개이다.
3150
-
7
2
3080
①, ②, ③, ④ < ⑤ >
3090
-
=
, |3|=3,
|
;3!;
-
;3!;|
|
;5#;|
=
;5#;
, |-3.5|=3.5,
x는 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4의 8개이다.
=-3.5이므로 -3.50이므로 a=3
⑴ -
ÉxÉ
⑵ -
Éa<
;3@;
;3&;
;2#;
;4!;
a=3, b=-2
수직선 위에 -
=-2
과
=2
을 나타내면 다음
;3!;
;4(;
;4!;
7
3
3140
과 같다.
3190
Ú |a|=0, |b|=4일 때
a=0, b=4 또는 b=-4
그런데 ab이고 부호가 반대이므로
3200
a>0, b<0
a의 절댓값이 b의 절댓값의 4배이므로 수직선 위에서 원점으로
부터 a를 나타내는 점까지의 거리는 원점으로부터 b를 나타내는
점까지의 거리의 4배이다.
또, 수직선 위에서 a, b를 나타내는 두 점 사이의 거리가 10이므
로 두 수 a, b를 나타내는 점을 각각 A, B라 하고 수직선 위에
나타내면 다음 그림과 같다.
0
2
4
6
A
8
B
-2
∴ a=8, b=-2
3210
같으므로 b=6
3240
③ ~전：‘-’ ∴ -30분
3250
② B：-
;4&;
3260
안의 수는 정수가 아닌 유리수이므로 주어진 수 중에
서 들어갈 수 있는 수는 +
, -1.8의 2개이다.
5
3
a=8, b=-2
㈏, ㈑에서 b는 -6보다 크고 절댓값은 -6의 절댓값과
㈏에서 c는 -6보다 크고, ㈎, ㈐에서 a는 6보다 크고 c보다 -6
에 더 가까우므로 64이고, ㈑에서 a는 b보다 -4에
서 더 멀리 떨어져 있으므로 4-3
② -
<-
;2!;
;5!;
③ 0>-
;2!;
④ |-2|=2이므로 |-2|>0
⑤ |-5|=5, |3|=3이므로 |-5|>|3|
절댓값이
=2.25 이하인 정수는 -2, -1, 0, 1, 2의
3310
5개이다.
9
4
④ x는 -1보다 작지 않고 ⇨ x¾-1
3320
x는 3보다 작다. ⇨ x<3
∴ -1Éx<3
②, ④
-
보다 작은 수 중에서 가장 큰 정수는 -2이므로 a=-2
;5*;
;3*;
보다 큰 수 중에서 가장 작은 정수는 3이므로 b=3
a=-2, b=3
3370
|-9|=9, |5|=5,
|
-
;2%;|
=
;2%;
, |-3|=3,
|-6.5|=6.5, |0|=0이므로 절댓값이 큰 수부터 차례로 나열
⑤
하면 -9, -6.5, 5, -3, -
, 0
5
2
따라서 절댓값이 두 번째로 큰 수는 -6.5이다.
④
① 0의 절댓값은 0이므로 절댓값은 0보다 크거나 같다.
3380
② 가장 작은 정수는 알 수 없다.
③ 정수는 모두 유리수이다.
④ a<0이면 |a|=-a이다.
④
② |2|=|-2|이지만 2+-2이다.
3390
⑤ a=3, b=-5이면 3>-5이지만 |3|<|-5|이다.
-6.5
⑤
②, ⑤
3330
(cid:14)(cid:20)(cid:14)(cid:21)
(cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:18)
(cid:17)
(cid:18)
(cid:19)
(cid:20)
(cid:21)
(cid:22)
(cid:23)
있는 점이 나타내는 수는 1이다.
위의 수직선에서 -4와 6을 나타내는 두 점으로부터 같은 거리에
3400
|3|=3, |-1.5|=1.5,
=
=1.25,
|;4%;|
;4%;
②
-
|
;2&;|
=
;2&;
=3.5,
|;3$;|
;3$;
=
=1.33y, |-2|=2이다.
원점에서 가장 멀리 떨어진 수는 절댓값이 가장 큰 수이므로
3340
|3|=3,
=
=1.8, |-2|=2,
|;5(;|
;5(;
=
=2,
|;2$;|
;2$;
|-1.8|=1.8,
|
2
;3@;|
=2
;3@;
=2.66y, |4|=4
따라서 절댓값이
=3.5보다 작은 수는 3,
, -2,
, -1.8,
;2&;
9
5
;2$;
2
의 6개이다.
2
3
A=-
;2&;
B=
;4%;
원점에 가장 가까운 수는 절댓값이 가장 작은 수이므로
A=-
, B=
;2&;
;4%;
3410
절댓값이 같고 부호가 반대인 두 수를 나타내는 두 점
사이의 거리가
이므로 두 수는 원점으로부터의 거리가 각각
10
3
3350
9
2
;3&;
-
=-4.5,
=2.33y이므로 두 수 사이에 있는 정
_
=
;2!;
;3%;
:Á3¼:
인 수이다.
수는 -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2의 7개이다.
따라서 두 수는 -
이고 이 중 큰 수는
이다.
,
;3%;
;3%;
;3%;
⑤
②
④
3360
-
=-1
;5*;
,
;5#;
;3*;
=2
2
3
타내면 다음 그림과 같다.
26 정답과 풀이
이므로 두 수를 수직선 위에 나
절댓값이
이상 4 미만인 정수는 절댓값이 1, 2, 3인
3420
정수이다.
2
3
알피엠_중1-1_해설_020~047_2단원_ok.indd 26
2017-06-29 오후 6:47:11
따라서 구하는 정수는 -3, -2, -1, 1, 2, 3의 6개이다.
따라서 -2보다 크고 3보다 크지 않은 정수는 -1, 0, 1, 2, 3의
②
5개이다.
㈎에서 a는 -3Éa<2인 정수이므로 a의 값은
3430
-3, -2, -1, 0, 1
㈏에서 |a|>2이므로 a=-3
-3
3440
-
:Á2Á:
Éx<3인 유리수 x 중 절댓값이 가장 큰 수는
-
|
=
:Á2Á:|
:Á2Á:
이므로 a=-
:Á2Á:
절댓값이 가장 작은 수는 0이므로 b=0
∴ |a|-|b|=
|
-
:Á2Á:|
-|0|=
-0=
:Á2Á:
:Á2Á:
㈏에서 a, b의 절댓값이 같고, ㈎에서 a0이다.
㈐에서 수직선 위에서 두 수를 나타내는 두 점 사이의 거리가 16
이므로 두 수는 원점으로부터의 거리가 각각 16_
=8인 수이다.
1
2
따라서 a<0, b>0이므로 a=-8, b=8
a=-8, b=8
3460
-
=-
;3@;
,
=
;1¥2;
;4!;
;1£2;
이므로 -
과
사이에 있
8
12
;1£2;
는 정수가 아닌 유리수 중에서 기약분수로 나타내었을 때 분모가
12인 유리수는 -
, -
, -
,
;1Á2;
;1Á2;
;1°2;
의 4개이다.
7
12
단계
a의 값 구하기
b의 값 구하기
채점요소
구하는 정수의 개수 구하기
3490
|a|=5이므로 a=5 또는 a=-5
Ú a=5일 때, 두 수 a, b를 나타내는
6
6
두 점의 한가운데 있는 점이 -1이
-7
-1
:Á2Á:
므로 오른쪽 그림에서
b=-7
Û a=-5일 때, 두 수 a, b를 나타내
4
4
는 두 점의 한가운데 있는 점이 -1
-5
-1
3
이므로 오른쪽 그림에서
b=3
Ú, Û에서 구하는 b의 값은 -7, 3이다.
4개
채점요소
단계
|a|=5에서 a의 값 구하기
a=5일 때 b의 값 구하기
a=-5일 때 b의 값 구하기
구하는 b의 값 구하기
3470
|;4N;|
<1이려면 |n|<4이어야 한다.
따라서 구하는 정수 n의 값은 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
두 수 a, b를 나타내는 두 점 사이의 거리가 8이고 두 점
3500
의 한가운데 있는 점이 나타내는 수가 -3이므로 두 수는 -3으
3480
-
=-2
,
=3
이므로 -
과
을 수직선
;3&;
;3!;
:Á4£:
;4!;
:Á4£:
7
3
위에 나타내면 다음 그림과 같다.
로부터의 거리가 각각 8_
=4인 수이다.
1
2
(cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:18)
(cid:17)
(cid:18)
(cid:19)
(cid:20)
(cid:21)
(cid:14)(cid:28)(cid:20)(cid:7)(cid:28)
(cid:27)(cid:127)(cid:21)(cid:100)(cid:27)
-
에 가장 가까운 정수는 -2이므로 a=-2
;3&;
:Á4£:
에 가장 가까운 정수는 3이므로 b=3
-7
=
b
∴ b=-7
이때 a>b이므로 a, b를 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다.
4
4
-6
-5
-4
-3 -2 -1
0
1
=
a
-7
03. 정수와 유리수 27
5개
배점
30 %
30 %
40 %
5
-7, 3
배점
30%
30%
30%
10%
알피엠_중1-1_해설_020~047_2단원_ok.indd 27
2017-06-29 오후 6:47:12
단계
채점요소
a, b를 나타내는 두 점의 위치 파악하기
a, b를 수직선 위에 나타내기
b의 값 구하기
㈏에서 |a|=4이므로 a=4 또는 a=-4
3510
이때 ㈎에서 a<0이므로 a=-4
㈐에서 |a|+|b|=9이므로
|-4|+|b|=9, 4+|b|=9 ∴ |b|=5
㈎에서 b>0이므로 b=5
채점요소
단계
a의 값 구하기
b의 절댓값 구하기
b의 값 구하기
배점
40 %
40 %
20 %
배점
40 %
30 %
30 %
-3
0
a(=3)
6
c
b
∴ ab이므로 (a, b)는 (0, -5)
Û |a|=1, |b|=4일 때,
a=1 또는 a=-1, b=4 또는 b=-4
그런데 a>b이므로 (a, b)는 (1, -4), (-1, -4)
Ü |a|=2, |b|=3일 때,
a=2 또는 a=-2, b=3 또는 b=-3
그런데 a>b이므로 (a, b)는 (2, -3), (-2, -3)
a=3 또는 a=-3, b=2 또는 b=-2
그런데 a>b이므로 (a, b)는 (3, 2), (3, -2)
Þ |a|=4, |b|=1일 때,
a=4 또는 a=-4, b=1 또는 b=-1
그런데 a>b이므로 (a, b)는 (4, 1), (4, -1)
㈏에서 |a|=|b|이고 ㈐에서 a, b의 절댓값의 합이 10
3520
이므로 a, b의 절댓값은 모두 5이다.
ß |a|=5, |b|=0일 때,
a=5 또는 a=-5, b=0
그런데 ㈎에서 ab이므로 (a, b)는 (5, 0)
a=-5, b=5
Ú ~ ß에서 (a, b)의 개수는 10개이다.
10개
a=-4, b=5
Ý |a|=3, |b|=2일 때,
12
5
12
5
3530
㈐에서 a는 b보다
만큼 크므로 수직선 위에서 a, b
를 나타내는 두 점 사이의 거리가
이다.
또, ㈎에서 a의 절댓값은 b의 절댓값의 2배이므로 수직선 위에서
원점으로부터 a를 나타내는 점까지의 거리는 원점으로부터 b를
나타내는 점까지의 거리의 2배이다.
㈏에서 b<00에서 a>b이므로 a>0, b<0
이때 aÖc<0에서 a, c의 부호는 다르므로 c<0
⑴
⑵
⑶ -20
;2!;
;4%;
∴ a>0, b<0, c<0
⑵
{
-
;4#;}
Ö_
-
=
;3@;}
;5@;
에서
{
-
{
;4#;}
_
_
-
{
=
,
;5@;
;2!;
_
;3@;}
1
1
=
;5@;
1
=
Ö
=
_2=
;5@;
;2!;
;5@;
;5$;
∴ =
;4%;
⑶
{
-
_=(-3)Û`Ö
에서
:Á5¥:
;2!;}
3`
_=9_
-
{
;8!;}
-
,
{
;1°8;
;8!;}
_=
;2%;
∴ =
Ö
-
{
;2%;
;8!;}
=
;2%;
_(-8)=-20
4970
어떤 유리수를 라 하면 +
-
=
;3@;}
;3@;
{
∴ =
-
-
{
;3@;
;3@;}
=
;3@;
+
;3@;
=
;3$;
따라서 바르게 계산하면
-
-
{
;3$;
;3@;}
=
;3$;
+
;3@;
=
;3^;
=2
4980
어떤 유리수를 라 하면 -
=-
;5!;
;4!;
∴ =-
+
=-
;4!;
;5!;
;2°0;
+
;2¢0;
=-
;2Á0;
따라서 바르게 계산하면
-
+
=-
;2Á0;
;5!;
;2Á0;
+
=
;2¢0;
;2£0;
4990
어떤 유리수를 라 하면 _
-
=
;2!;}
;5^;
{
∴ =
Ö
-
{
;5^;
;2!;}
=
;5^;
_(-2)=-
:Á5ª:
따라서 바르게 계산하면
-
{
:Á5ª:}
Ö
-
{
=
-
{
;2!;}
:Á5ª:}
_(-2)=
:ª5¢:
5000
⑴ 어떤 유리수를 라 하면
Ö
-
=-
{
;4#;}
;5@;
∴ =
-
_
-
{
;5@;}
;4#;}
=
;1£0;
{
42 정답과 풀이
배점
60 %
40 %
④
②
③
a_b<0에서 a, b의 부호는 다르고 a0
① a-b ⇨ (음수)-(양수)=(음수) ∴ a-b<0
② b-a ⇨ (양수)-(음수)=(양수) ∴ b-a>0
③ aÖb ⇨ (음수)Ö(양수)=(음수) ∴ aÖb<0
④ bÖa ⇨ (양수)Ö(음수)=(음수) ∴ bÖa<0
⑤ -a ⇨ (-1)_(음수)=(양수) ∴ -a>0
a_b<0에서 a, b의 부호는 다르다.
5030
그런데 a-b<0에서 a0
이때 bÖc>0에서 b, c의 부호는 같으므로 c>0
∴ a<0, b>0, c>0
2
;2£0;
bÖc<0에서 b, c의 부호는 다르다.
5040
그런데 b0
이때 a_b>0에서 a, b의 부호는 같으므로 a<0
∴ a<0, b<0, c>0
a<0, b<0, c>0
5050
-10
이때 a_c>0에서 a, c의 부호는 같으므로 c<0
∴ a<0, b>0, c<0
5230
어떤 유리수를 라 하면
Ö
-
=
{
;7(;}
:Á3¼:
에서 =
_
-
{
;7(;}
:Á3¼:
=-
:£7¼:
따라서 바르게 계산한 답은
-
{
:£7¼:}
_
-
{
;7(;}
=
:ª4¦9¼:
5240
⑴ {-(-3)Ü`+5}Ö
-
_
;3*;}
;2!;
{
={-(-27)+5}Ö
-
_
;2!;
;3*;}
{
=32_
-
_
=-
32_
_
=-6
{
;8#;}
;2!;
{
;8#;
;2!;}
⑵ (-1)Ú`â`â`Ú`-(-1)á`à`Ö(-1)ß`â`
=(-1)-(-1)Ö(+1)
=(-1)-(-1)=(-1)+1=0
5250
-
;4!;
-
(-8)-
;3@;
[
Ö
-
{
;7!;
;7@;}]
_
=
-
;4!;
-
;3@;
°
(-8)-
[
_
-
{
;7!;
;2&;}]
_
;3!;
¤
=
-
;4!;
-
(-8)-
-
_
{
;2!;}]
=
-
;4!;
-
-
_
:Á2°:}
;3!;]
°
;3@;
°
[;3@;
[
{
;3!;
¤
;3!;
¤
=
-
-
-
{
[;3@;
;4!;
;2%;}]
=
-
;4!;
{;6$;
+
:Á6°:}
=
-
;4!;
:Á6»:
=
;1£2;
-
;1#2*;
=-
;1#2%;
㉣, ㉢, ㉤, ㉡, ㉠, -
;1#2%;
세로에 놓인 네 수의 합은 0+5+3+(-3)=5
5310
따라서 가로, 세로에 놓인 네 수의 합은 모두 5이어야 하므로
마주보는 면에 절댓값이 같고 부호가 다른 수가 놓여 있
7+6+c+0=5에서 13+c=5 ∴ c=-8
7+(-2)+b+(-4)=5에서 1+b=5 ∴ b=4
(-4)+5+a+(-3)=5에서 -2+a=5 ∴ a=7
∴ a-b-c =7-4-(-8)=7-4+8=11
5260
어야 하므로
A=
, B=4, C=-3.8
;6%;
∴ A+B+C =
+4+(-3.8)=
+0.2
5
6
5
6
=
+
=
+
;5!;
;3@0%;
;3¤0;
;3#0!;
;6%;
=
;3#0!;
5320
이다.
n이 홀수일 때, n+1, n_2는 짝수이고 n+2는 홀수
04. 정수와 유리수의 계산 45
③
D
;3@;
④
11
알피엠_중1-1_해설_020~047_2단원_ok.indd 45
2017-06-29 오후 6:47:27
∴ (-1)n+1-(-1)n+2+(-1)n_2 =(+1)-(-1)+(+1)
5380
a=
{
-4
;2!;}
-(-1)=
-
+1=-
{
;2(;}
;2&;
=1+1+1=3
3
b=3+
{
-
;3!;}
=
;3(;
-
;3!;
=
;3*;
따라서 -
0이고 |b|>|a|이므로
② a-b<0
③ |a|-|b|<0
5360
① a+b>0
④ a_b<0
⑤ aÖb<0
따라서 부호가 나머지 넷과 다른 하나는 ①이다.
5400
⑴ a의 절댓값이
이므로 a=
또는 a=-
, b의
;3!;
;3!;
;4#;
1
3
3
4
절댓값이
이므로 b=
또는 b=-
;4#;
5370
2-
1
1
2-
1
2
=
1
2-
=
1
1
=
2-
;3@;
;3$;
=
;4#;
1
3
2
때이므로
M=
-
-
{
;4#;}
=
;1¢2;
+
;1»2;
=
;1!2#;
1
3
⑵ a-b의 값 중 가장 큰 값은 a의 값이 양수, b의 값이 음수일
;6%;
①
;4#;
46 정답과 풀이
6개
배점
40 %
40 %
20 %
11
배점
40%
40%
20%
알피엠_중1-1_해설_020~047_2단원_ok.indd 46
2017-06-29 오후 6:47:28
a-b의 값 중 가장 작은 값은 a의 값이 음수, b의 값이 양수일
=
-
;5!;
;1Á0;
=
;1ª0;
-
;1Á0;
=
;1Á0;
a_b_c_d>0, a_c_d<0에서 b<0이고
5430
a0이므로 c, d의 부호는 같다.
이때 c+d<0이므로 c<0, d<0
∴ a<0, b<0, c<0, d<0
a<0, b<0, c<0, d<0
a_b<0에서 a, b의 부호는 다르다.
5440
그런데 a-b<0에서 a0
① a<0, -b<0이므로 a-b<0
② a<0, b>0이고 |a|<|b|이므로 a+b>0
③ -a>0, b>0이므로 -a+b>0
④ b>0, -|a|<0이고 |a|<|b|이므로 b-|a|>0
⑤ -a>0, -b<0이고 |a|<|b|이므로 -a-b<0
[3, 8]=5이므로 [[3, 8], [10, a]]=4에서
5450
[10, a]=1 또는 [10, a]=9
;1Á0;
③
18
때이므로
m=
{
-
-
=
-
{
;4#;
-
;1¢2;}
;1»2;
=-
;1!2#;
1
3 }
⑶ M-m=
-
-
{
;1!2#;
=
+
=
;1!2#;}
;1!2#;
;1!2#;
;1@2^;
:Á6£:
=
⑴ a=
또는 a=-
, b=
또는 b=-
;3!;
;3!;
;4#;
⑵ M=
, m=-
⑶
;1!2#;
:Á6£:
;1!2#;
단계
채점요소
a, b의 값 구하기
M의 값 구하기
m의 값 구하기
M-m의 값 구하기
주어진 네 유리수 중 서로 다른 세 수를 뽑아 곱한 값이
5410
가장 큰 값이 되려면 곱한 값이 양수가 되어야 하므로 음수 2개,
양수 1개를 뽑아야 하고, 곱해지는 세 수의 절댓값의 곱이 가장
이때 양수는
이고, 음수 -
, -
, -6 중에서 절댓값이 큰
1
2
;3@;
커야 한다.
;4&;
2
3
두 수는 -
, -6이므로 가장 큰 값은
-
{
;3@;}
_(-6)_
=+
_6_
=7
;4&;
{;3@;
;4&;}
모두 곱하면 되므로 가장 작은 값은
-
{
;3@;}
_
-
{
;2!;}
_(-6)=-
_
_6
=-2
{;3@;
;2!;
}
따라서 구하는 값은
7-(-2)=7+2=9
단계
채점요소
가장 큰 값 구하기
가장 작은 값 구하기
가장 큰 값과 가장 작은 값의 차 구하기
5420
1
5_6
+
1
6_7
+y+
1
9_10
=
-
+
{;5!;
;6!;}
{;6!;
;7!;}
-
+y+
-
{;9!;
;1Á0;}
;4#;
배점
10 %
40 %
40 %
10 %
9
배점
40 %
40 %
20 %
Ú [10, a]=1일 때,
a=11 또는 a=9
Û [10, a]=9일 때,
a=19 또는 a=1
Ú, Û에서 x=19, y=1이므로
또, 주어진 네 유리수 중 서로 다른 세 수를 뽑아 곱한 값이 가장
[x, y]=[19, 1]=18
작은 값이 되려면 곱한 값이 음수가 되어야 한다. 즉, 음수 3개를
알피엠_중1-1_해설_020~047_2단원_ok.indd 47
2017-06-29 오후 6:47:29
04. 정수와 유리수의 계산 47
05
문자의 사용과 식의 계산
Ⅲ`문자와 식
5720
2a+5=2_(-2)+5=-4+5=1
1
5730
;2A;
;2!;
-1=
_(-2)-1=-1-1=-2
-2
5460
-5ab
5470
4aÜ`b
5740
-a+4=-(-2)+4=2+4=6
6
5480
-a+2b
5490
4a(x+y)
5500
;a$;
5510
a-
;2B;
5520
a+b
4
5530
3
x+y
5540
a_bÖ2=a_b_
=
ab
2
;2!;
ab
2
5550
(-4)Öa_b=(-4)_
_b=-
;a!;
4b
a
-
4b
a
5750
6
a
+7 =6Öa+7=6Ö(-2)+7
=6_
-
+7=-3+7=4
1
2 }
{
5760
-2aÛ`=-2_(-2)Û`=-2_4=-8
5770
4+aÜ`=4+(-2)Ü`=4+(-8)=-4
5560
x_3-yÖz=x_3-y_
=3x-
3x-
;z!;
;z};
5780
2
a
-2 =2Öa-2=2Ö
-2
;2!;
=2_2-2=4-2=2
y
z
5570
3Ö(4+y)_x=3_
_x=
1
4+y
3x
4+y
3x
4+y
5580
3_a_b_c
5590
x_y_y
5600
0.1_a_(x-y)
5610
(-1)_x_x_y_y_z
5620
1Öa
5630
(a-b)Ö3
5640
4Ö(x+y)
5650
(x-y)Ö2
5660
7y원
5670
10a+b
5790
2a-b=2_5-(-6)=10+6=16
5800
3a-bÛ`=3_3-(-2)Û`=9-4=5
5810
6y
x
-xy =
6_(-5)
3
-3_(-5)
=-10-(-15)=-10+15=5
4
-8
-4
2
16
5
5
5820
⑴ 항：
x, 1, 상수항：1
1
4
⑵ 항：x, -3y, 5, 상수항：5
⑶ 항：xÛ`, 2x, -3, 상수항：-3
⑷ 항：-xÛ`, 2y, 3, 상수항：3
5830
⑴ x의 계수：3, 다항식의 차수：1
⑵ b의 계수：
, 다항식의 차수：1
1
4
1
2
⑶ xÛ`의 계수：
, x의 계수：1, 다항식의 차수：2
⑷ aÜ`의 계수：5, aÛ`의 계수：-4, 다항식의 차수：3
3x
10 원
10x 원
ab
100
g
5680
60x`km
5690
x_
=
;1£0;
3x
10
(원)
5700
1000_
=10x(원)
;10{0;
5710
;10A0;
_b=
(g)
ab
100
48 정답과 풀이
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 48
2017-06-29 오후 7:57:40
5840
◯
5850
;[!;
과 같이 분모에 문자가 있는 식은 다항식이 아니다.
6020
-
a+
a=
{
;3!;
-
;2!;
+
;3!;}
a
;2!;
=-
a
;6!;
5860
다항식의 차수가 2이므로 일차식이 아니다.
6030
;2!;
b-
b=
;3%;
-
{;2!;
;3%;}
b=-
b
;6&;
5870
◯
5880
×
5890
◯
5900
6x
5910
8a
5920
a
;2%;
5930
15aÖ(-3)=15a_
{
-
;3!;}
=-5a
6040
5x+3x-2x=(5+3-2)x=6x
6050
2y-7y+4y=(2-7+4)y=-y
6060
-11x+5+3x+7 =-11x+3x+5+7
-
a
;6!;
-
b
;6&;
6x
-y
5940
14yÖ
=14y_
=10y
;5&;
;7%;
6070
;2#;
y+1+
y-
;2!;
=
;3@;
;2#;
y+
y+1-
;3@;
5960
3(2x-4)=3_2x+3_(-4)=6x-12
6080
4(x+2)+2(-2x+3) =4x+8-4x+6
5950
(-2x)Ö
{
-
;6!;}
=(-2x)_(-6)=12x
5970
-(-2y+3) =(-1)_(-2y)+(-1)_3
=2y-3
5980
;3@;
(6x-9)=
_6x+
_(-9)=4x-6
;3@;
;3@;
5990
(a-3)Ö
=(a-3)_3=a_3+(-3)_3
1
3
=3a-9
2y-3
6090
-(2x+5)+2(3x-1) =-2x-5+6x-2
6100
3(-10x+8)-(-15x+7) =-30x+24+15x-7
×
×
-5a
10y
12x
6x-12
4x-6
3a-9
=(-11+3)x+(5+7)
=-8x+12
-8x+12
1
2
1
2 }
=
+
{;2#;
y+
1-
{
;3@;}
=2y+
1
3
2y+
;3!;
14
=4x-4x+8+6
=14
=-2x+6x-5-2
=4x-7
4x-7
=-30x+15x+24-7
=-15x+17
-15x+17
=4x+2x-2-1
=6x-3
05. 문자의 사용과 식의 계산 49
2x-9x=(2-9)x=-7x
-7x
6110
;3@;
(6x-3)-
(2-4x) =4x-2-1+2x
1
2
6000
6010
-7y-y=(-7-1)y=-8y
-8y
6x-3
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 49
2017-06-29 오후 7:57:42
③, ⑤
100_
=10a(원)
② a`%=
이므로 800`kg의 a`%는
800_
=8a(kg)
③ a할=
이므로 100원의 a할은
a
100
a
100
a
10
a
10
④ 1`m는 100`cm이므로 a`m b`cm는
100_a+b=100a+b(cm)
⑤ 1분은 60초이므로 3분 x초는
60_3+x=180+x(초)
6170
⑴ (지불한 금액) =(정가)-(할인 금액)
=20000-20000_
=20000-200a(원)
a
100
③, ⑤
a
⑵ 연필 2자루에 a원이므로 연필 한 자루에
2
원이다.
b
공책 4권에 b원이므로 공책 한 권에
4
원이다.
따라서 연필 3자루와 공책 5권을 샀을 때, 지불한 금액은
_3+
_5=
a+
b(원)
;4B;
3
2
;4%;
a
2
⑴ (20000-200a)원 ⑵
a+
b
}원
;4%;
{;2#;
④
6180
① (삼각형의 넓이)=
_4_x=2x(cmÛ`)
② (정사각형의 넓이)=a_a=aÛ`(cmÛ`)
③ (정삼각형의 둘레의 길이)=x_3=3x(cm)
④ (직사각형의 둘레의 길이)
=2(a+3b)=2a+6b(cm)
⑤ (평행사변형의 넓이)=x_y=xy(cmÛ`)
③
④
6190
(사다리꼴의 넓이) =
_(a+b)_h
=
(a+b)h
④
⑴ (색칠한 부분의 넓이)
6200
=(삼각형 A의 넓이)+(삼각형 B의 넓이)
=
_a_4+
_b_5
;2!;
;2!;
=2a+
b
;2%;
(a+b)h
;2!;
(cid:66)
(cid:34)
(cid:22)
(cid:21)
(cid:35)
(cid:67)
1
2
1
2
1
2
6120
③ 0.1Öa_b=
1
10
_
_b=
;a!;
b
10a
⑤ aÖ
Ö
=a_b_c=abc
;b!;
;c!;
6130
① (a+b)Ö5=
a+b
5
3b
c
② aÖ(3_bÖc)=aÖ
=a_
c
3b
=
;3AbC;
③ x_x_xÖyÖ(-1)=x_x_x_
_(-1)=-
xÜ`
y
④ x+y_zÖ6=x+y_z_
=x+
⑤ aÖ
b+aÖ7_c=a_
+a_
_c=
;3@;
+
;2#bA;
ac
7
;]!;
yz
6
;7!;
;6!;
3
2b
6140
aÖbÖc=a_
_
;b!;
;c!;=
a
bc
① aÖ(bÖc)=aÖ
{
b_
;c!;}
=aÖ
=a_
=
;cB;
;bC;
ac
b
② aÖb_c=a_
_c=
;b!;
③ a_bÖc=a_b_
=
;c!;
ac
b
ab
c
④ aÖ(b_c)=aÖbc=a_
=
1
bc
a
bc
⑤ a_b_c=abc
6150
① x`%=
;10{0;
이므로 5000원의 x`%는
5000_
=50x(원)
;10{0;
② a할=
이므로 1000원의 a할은 1000_
=100a(원)
;10;
;10;
③ a_100+b_10+c_1=100a+10b+c
④ 지불해야 할 금액은 300_x=300x(원)이므로
거스름돈은 (2000-300x)원이다.
⑤ 10자루에 a원인 연필 한 자루의 가격은
aÖ10=
(원)
a
10
① 1시간은 60분이므로 a시간 b분은
6160
60_a+b=60a+b(분)
50 정답과 풀이
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 50
2017-06-29 오후 7:57:43
⑵ (색칠한 부분의 넓이)
=(삼각형의 넓이)+(직사각형의 넓이)
=
_a_2+a_b
;2!;
=a+ab
① 3x+4y=3_(-2)+4_4=-6+16=10
6250
② -xÛ`y=-(-2)Û`_4=-4_4=-16
③ -x+2y=-(-2)+2_4=2+8=10
⑴ 2a+
b ⑵ a+ab
;2%;
=-
(-2)Û`+4Û`
-2
20
-2
=-
=-(-10)=10
5_4
-2
④ -
⑤ -
=-
5y
x
xÛ`+yÛ`
x
=-(-10)=10
따라서 식의 값이 나머지 넷과 다른 하나는 ②이다.
②
(거리)=(속력)_(시간)이므로 a시간 동안 시속 60`km
6210
로 간 거리는 60_a=60a(km)
따라서 남은 거리는 (150-60a)km이다.
②
6220
(소금의 양) =
(소금물의 농도)
100
_(소금물의 양)
=
a
100
_3000=30a(g)
=1ÖaÛ`=1Ö(-3)Û`=1Ö9=1_
=
;9!;
;9!;
① aÛ`=(-3)Û`=9
6260
1
aÛ`
②
③ -
=-
;9!;
1
aÛ`
④ -aÛ`=-(-3)Û`=-9
⑤ aÜ`=(-3)Ü`=-27
30a`g
따라서 식의 값이 가장 작은 것은 ⑤이다.
⑤
6230
(시간)=
이므로 a`km의 거리를 시속 80`km로
6270
-
;[};
xy+z
z
=
3
-2
-
(-2)_3+(-4)
-4
(거리)
(속력)
a
80
a
80
갈 때 걸린 시간은
시간이고, 40분은
=
;6$0);
;3@;
(시간)이므로
전체 걸린 시간은
{
+
;3@;}
시간
=-
-
;2#;
-10
-4
=-
-
=-4
;2%;
3
2
-4
a
80
{
+
;3@;}시간
6280
⑴ -xÜ`-4xÛ`Ö
-
y
;3@;
}
{
Û`
6240
⑴ (소금의 양)=
(소금물의 농도)
100
_(소금물의 양)이므로
=-3Ü`-4_3Û`Ö
_(-2)
a`%의 소금물 200`g에 녹아 있는 소금의 양은
=-27-4_9Ö
]
2`
또, b`%의 소금물 300g에 녹아 있는 소금의 양은
_200=2a(g)
;10A0;
_300=3b(g)
;10B0;
따라서 새로 만든 소금물에 녹아 있는 소금의 양은 (2a+3b)g
⑵ (소금물의 농도)=
_100 (%)이므로
(소금의 양)
(소금물의 양)
새로 만든 소금물의 농도는
2a+3b
200+300
_100 =
_100
2a+3b
500
=
2a+3b
5
=
a+
;5@;
;5#;
b (%)
2
3 }
-
[{
4
3 }
{
16
9
2`
9
16
=-27-4_9Ö
=-27-4_9_
=-27-
=-
81
4
⑵
|
3xÛ`+
yÜ`
-
|
|
;2!;
;:!4*:(;
xy
3
-
1
x+y |
=|27-4|-|-2-1|
=23-3
=20
=
3_3Û`+
_(-2)Ü`
-
|
;2!;
3_(-2)
3
-
|
|
1
3+(-2) |
⑴ -
⑵ 20
189
4
25
05. 문자의 사용과 식의 계산 51
⑴ (2a+3b)g ⑵
a+
b
}
;5#;
%
{;5@;
단계
채점요소
새로 만든 소금물에 녹아 있는 소금의 양 구하기
새로 만든 소금물의 농도 구하기
배점
50 %
50 %
6290
;[#;
;]$;
-
=3Öx-4Öy=3Ö
-4Ö
-
{
;4!;}
1
3
=3_3-4_(-4)=9+16=25
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 51
2017-06-29 오후 7:57:44
6300
① -x=-
{
-
;4!;}
=
;4!;
②
=1Öx=1Ö
{
-
;[!;
;4!;}
=1_(-4)=-4
③
;[@;
-
=2Öx=2Ö
;4!;}
{
1
Û`=-
16
-
{
④ -xÛ`=-
;4!;}
1
Û`=
16
⑤ xÛ`=
-
{
;4!;}
따라서 식의 값이 가장 큰 것은 ①이다.
①
6310
2
a
-
;b#;
;c*;
-
=2Öa-3Öb-8Öc
=2Ö
-3Ö
{
-
;3!;}
-8Ö
;4!;
1
2
=2_2-3_(-3)-8_4
=4+9-32=-19
6320
ab+bc+ca
abc
=
-
[{
3
2 }
_
+
_
-
{
;4!;
;4!;
;6!;}
+
-
{
_
-
{
;2#;}]
;6!;}
Ö
-
[{
3
2 }
_
_
-
{
;4!;
;6!;}]
=
-
+
Ö
;1Á6;
;4!;}
;2Á4;
3
8
-
9
24
{
{
{
=
-
-
+
;2Á4;
;2¤4;}
;1Á6;
Ö
=
-
Ö
=
-
{
;1Á6;
;6!;}
_16=-
;3*;
1
6 }
=2_(-4)=-8
에 a=8, b=5, c=6을 대입하면
∴ S=
_(a+b)_c=
;2!;
(a+b)c
2
⑵ S=
(a+b)c
2
S=
(8+5)_6
2
=39
⑴ S=
(a+b)c
2
⑵ 39
단계
채점요소
S를 a, b, c를 사용한 식으로 나타내기
a=8, b=5, c=6일 때의 S의 값 구하기
⑴ (직육면체의 부피)
6360
=(가로의 길이)_(세로의 길이)_(높이)
③
∴ V=a_b_c=abc
⑵ V=abc에 a=4, b=3, c=2를 대입하면
V=4_3_2=24
⑴ V=abc ⑵ 24
다항식 중에서 하나의 항으로만 이루어진 식을 찾는다.
6370
① 분모에 문자가 있는 식은 다항식이 아니므로 단항식이 아니다.
6380
④ y의 계수는 -
이다.
;2!;
-
;3*;
6390
①
7
x
은 분모에 문자 x가 있으므로 다항식이 아니다.
x=15이므로
6330
9
5
9
5
x+32=
_15+32=27+32=59(ùF)
②
+2에서 x의 계수는
이다.
;5{;
1
5
③ xy+z에서 항은 xy, z의 2개이다.
59`ùF
⑤ 2xÛ`-3x+6에서 x의 계수는 -3, 상수항은 6이므로 그 곱은
(-3)_6=-18이다.
331+0.6x에 x=0을 대입하면 0`¾일 때의 소리의 속
6340
력은 331+0.6_0=331(m/s)
x=20을 대입하면 20`¾일 때의 소리의 속력은
331+0.6_20=343(m/s)
따라서 20`¾에서의 소리의 속력은 0`¾에서의 소리의 속력보다
343-331=12(m/s) 더 빠르다.
⑴ (사다리꼴의 넓이)
_{(윗변의 길이)+(아랫변의 길이)}_(높이)
6350
1
2
=
52 정답과 풀이
6400
-xÛ`+
x-
에서
;5$;
1
5
x의 계수는
이므로 A=
;5$;
;5!;
;5$;
;5!;
상수항은 -
이므로 B=-
②
다항식의 차수는 2이므로 C=2
∴ A+B+C=
-
+2=
+2=
1
5
;5$;
;5#;
13
5
배점
60 %
40 %
②
④
④
13
5
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 52
2017-06-29 오후 7:57:45
① 다항식의 차수가 2이므로 일차식이 아니다.
6410
② 분모에 문자가 있는 식은 다항식이 아니므로 일차식이 아니다.
⑤ 0_x-6=-6으로 상수항뿐이므로 일차식이 아니다.
② (-2x+1)Ö
{
-
;5!;}
=(-2x+1)_(-5)=10x-5
③ (2x-1)Ö
=(2x-1)_5=10x-5
③, ④
④ (-2x+1)Ö
=(-2x+1)_5=-10x+5
⑤ (-2x+1)_(-5)=10x-5
;5!;
;5!;
ㄴ. 다항식의 차수가 2이므로 일차식이 아니다.
6420
ㅂ. 분모에 문자가 있는 식은 다항식이 아니므로 일차식이 아니다.
따라서 일차식인 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ이다.
⑤
6430
ㄱ, ㄹ. 분모에 문자가 있는 식은 다항식이 아니므로 일
차식이 아니다.
ㄴ. 0_xÛ`+2x-
=2x-
이므로 일차식이다.
;3!;
;3!;
ㄷ.
+
;4{;
;2};
-1에서
와
의 차수가 모두 1이므로 일차식이다.
x
4
;2};
따라서 일차식인 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ, ㅂ의 4개이다.
6440
① 3_(-6x)=-18x
② (-15x)Ö(-3)=(-15x)_
{
-
;3!;}
=5x
③ -3(2x-4)=(-3)_2x+(-3)_(-4)=-6x+12
④ (-8x+4)Ö(-2) =(-8x+4)_
{
-
1
2 }
1
2 }
=(-8x)_
{
-
;2!;}
+4_
-
{
=4x-2
⑤ (4x-6)_
=4x_
+(-6)_
=6x-9
③
;2#;
;2#;
;2#;
6450
⑴
6x-
=
_6x+
;2!;}
;3$;
_
-
{
;3$;
;3$;{
⑵ (-1)_(4x-3) =(-1)_4x+(-1)_(-3)
1
2 }
=8x-
;3@;
=-4x+3
⑶ (5x+10)Ö
=(5x+10)_
;6%;
6
5
;5^;
=5x_
+10_
=6x+12
6
5
⑷ (3x-6)Ö
-
=(3x-6)_
{
;5#;}
{
-
5
3 }
=3x_
{
-
+(-6)_
-
{
;3%;}
5
3 }
=-5x+10
⑴ 8x-
2
3 ⑵ -4x+3
⑶ 6x+12 ⑷ -5x+10
-5(2x-1)=-10x+5
6460
① (2x+1)_5=10x+5
① a, b는 차수는 1로 같지만 문자가 다르므로 동류항이
② ab=a_b, bÛ`=b_b이므로 동류항이 아니다.
③ x와 -4x는 문자가 같고 차수도 1로 각각 같으므로 동류항
④ xÛ`과 2x는 문자는 같지만 차수가 2, 1로 다르므로 동류항이
6470
아니다.
이다.
아니다.
⑤ -3xÛ`과 5yÛ`은 차수는 2로 같지만 문자가 x, y로 다르므로 동
4개
류항이 아니다.
6480
-2x와 문자와 차수가 각각 같은 항을 찾는다.
6490
2y와 동류항인 것은 -4y, -
, y의 3개이다.
;3};
6500
①, ②, ③ 문자는 a로 같지만 차수가 1, 2로 다르므로
동류항이 아니다.
⑤ 차수는 1로 같지만 문자가 a, b로 다르므로 동류항이 아니다.
6510
;3@;
(6x-3)-
(-4x+12) =4x-2+x-3
1
4
따라서 a=5, b=-5이므로 a+b=5+(-5)=0
=5x-5
① (3x-2)+(2x+3)=3x-2+2x+3=5x+1
6520
② 2(6x-5)-3(-2x+4)=12x-10+6x-12=18x-22
③ -(5x-2)-(4x+3)=-5x+2-4x-3=-9x-1
(3x+6)+(x-4)=x+2+x-4=2x-2
(4x-2)-
(4x+8)=2x-1-3x-6=-x-7
;4#;
④
;3!;
⑤
;2!;
⑤
05. 문자의 사용과 식의 계산 53
④
③
④
③
④
0
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 53
2017-06-29 오후 7:57:46
6530
;4#;
(8x-4)-
(3x+9) =6x-3-x-3
1
3
=-4x-{5y-3x-(-6x+12y)}
=-4x-(5y-3x+6x-12y)
=5x-6
=-4x-(3x-7y)
=-4x-3x+7y
=-7x+7y
따라서 a=5, b=-6이므로
ab=5_(-6)=-30
단계
채점요소
분배법칙을 이용하여 괄호 풀기
동류항끼리 모아서 계산하기
a, b의 값 구하기
ab의 값 구하기
6540
(8x-6)Ö
-
(20x+12)
;3@;
;4#;
=(8x-6)_
-
(20x+12)
;2#;
;4#;
=12x-9-15x-9
=-3x-18
따라서 a=-3, b=-18이므로
a-b=-3-(-18)=15
2x-[3x+4{2x-(3x-1)}]
6550
=2x-{3x+4(2x-3x+1)}
=2x-{3x+4(-x+1)}
=2x-(3x-4x+4)
=2x-(-x+4)
=2x+x-4=3x-4
6560
(2x-5)-
(9x-15)-2
]
[;3!;
=(2x-5)-(3x-5-2)
=2x-5-(3x-7)
=2x-5-3x+7
=-x+2
따라서 a=-1, b=2이므로
2a+b=2_(-1)+2=0
-30
배점
40 %
40 %
10 %
10 %
-5x+[8-2{4x-(3-7x)}+1]+6x
6580
=-5x+{8-2(4x-3+7x)+1}+6x
=-5x+{8-2(11x-3)+1}+6x
=-5x+(8-22x+6+1)+6x
=-5x+(-22x+15)+6x
=-21x+15
-21x+15
6590
2x+1
4
-
3x-4
3
=
3(2x+1)-4(3x-4)
12
=
6x+3-12x+16
12
=
-6x+19
12
=-
x+
;1!2(;
1
2
15
따라서 x의 계수는 -
, 상수항은
이므로 구하는 합은
;2!;
;1!2(;
-
+
;2!;
;1!2(;
=-
+
=
;1!2(;
;1!2#;
6
12
6600
3x-4
2
-
2x-1
3
+x+1
=
3(3x-4)-2(2x-1)+6(x+1)
6
④
=
9x-12-4x+2+6x+6
6
=
11x-4
6
6610
-
3x-y
2
2x-5y
3
15(3x-y)-10(2x-5y)-6(2x+3y)
30
2x+3y
5
-
=
=
45x-15y-20x+50y-12x-18y
30
0
=
13x+17y
30
=
x+
y
;3!0&;
;3!0#;
③
;1!2#;
②
-4x-[5y-3x-{-2x-4(x-3y)}]
6570
=-4x-{5y-3x-(-2x-4x+12y)}
54 정답과 풀이
x+
y
;3!0&;
;3!0#;
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 54
2017-06-29 오후 7:57:47
6620
6x-
+
;3%;
x-4
2
-
3x+1
3
=
36x-10+3(x-4)-2(3x+1)
6
=
36x-10+3x-12-6x-2
6
=
33x-24
6
=
x-4
11
2
따라서a=
,b=4이므로
11
2
2(a+b)=2
+4
=11+8=19
11
2
{
}
=6x-4-3x+12
=3x+8
④
6680
3A-8B=3
x-
1
3
=3x-y-6x+y
-8
y
{
}
x-
y
}
;8!;
{;4#;
=-3x
②
A-4B+2(-3B-A)
6690
=A-4B-6B-2A
19
=-A-10B
6x-ax+4=(6-a)x+4
6630
주어진다항식이x에대한일차식이되려면
=-{-3(x-1)}-10
x+1
2
{
-1
}
6-a+0 ∴a+6
⑤
=-(-3x+3)-5(x+1)+10
2xÛ`-5x+4-axÛ`+x-1=(2-a)xÛ`-4x+3
6640
주어진다항식이x에대한일차식이되려면
2-a=0 ∴a=2
=3x-3-5x-5+10
=-2x+2
④
따라서a=-2,b=2이므로
a-b=(-2)-2=-4
-4xÛ`+x-a+bxÛ`-6x+3
6650
=(-4+b)xÛ`-5x-a+3
주어진다항식이x에대한일차식이되려면
-4+b=0 ∴b=4
상수항이5이므로
-a+3=5 ∴a=-2
∴a-b=(-2)-4=-6
채점요소
단계
주어진식간단히하기
a,b의값구하기
a-b의값구하기
2xÛ`-ax+1-bxÛ`+5x=(2-b)xÛ`+(-a+5)x+1
6660
주어진다항식이x에대한일차식이되려면
2-b=0에서b=2
-a+5+0에서a+5
6670
-A-3B+3(A+2B)=-A-3B+3A+6B
=2A+3B
=2(3x-2)+3(-x+4)
-6
배점
30%
60%
10%
④
단계
채점요소
주어진식간단히하기
문자에일차식을대입하여간단히하기
a,b의값구하기
a-b의값구하기
6700
A=
x-2
3
+
x-1
2
=
2(x-2)+3(x-1)
6
=
2x-4+3x-3
6
=
5x-7
6
B=
10x+5
2
Ö
=
5x+
;2%;
{
;2%;}
;5@;
_
=2x+1
∴2A+{6A-2(A+2B)-1}
=2A+(6A-2A-4B-1)
=2A+(4A-4B-1)=6A-4B-1
=6_
-4(2x+1)-1
5x-7
6
=5x-7-8x-4-1=-3x-12
-3x-12
6710
3(2x+1)-
=4x+5에서
=3(2x+1)-(4x+5)
=6x+3-4x-5=2x-2
③
05. 문자의 사용과 식의 계산 55
-4
배점
30%
50%
10%
10%
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 55
2017-06-30 오후 1:33:15
6720
(x-12)-
=-2x+5에서
=
(x-12)-(-2x+5)
;4#;
3
4
3
4
11
4
=
x-9+2x-5
=
x-14
6730
어떤 다항식을
라 하면
-(6x-3y)=-4x-8y
∴
=-4x-8y+(6x-3y)
=-4x-8y+6x-3y
=2x-11y
㈎에서 A_3=12x-9
6740
∴ A=(12x-9)Ö3=4x-3
㈏에서 (-6x+5)-B=-7x+3
∴ B =(-6x+5)-(-7x+3)
=-6x+5+7x-3=x+2
∴ A-B =(4x-3)-(x+2)
=4x-3-x-2
=3x-5
단계
채점요소
A 구하기
B 구하기
A-B를 간단히 하기
6750
어떤 다항식을
라 하면
+(5x-2)=3x-7
∴
=3x-7-(5x-2)
=3x-7-5x+2=-2x-5
따라서 바르게 계산한 식은
-2x-5-(5x-2) =-2x-5-5x+2
=-7x-3
6760
어떤 다항식을
라 하면
-(6x+2)=-3x-8
56 정답과 풀이
∴
=-3x-8+(6x+2)
=-3x-8+6x+2=3x-6
따라서 바르게 계산한 식은
3x-6+(6x+2) =3x-6+6x+2
=9x-4
9x-4
11
4
x-14
A+(-2x-5)=-5x+3이므로
6770
A =-5x+3-(-2x-5)
=-5x+3+2x+5=-3x+8
∴ B =-3x+8-(-2x-5)
=-3x+8+2x+5=-x+13
∴ A-3B =-3x+8-3(-x+13)
=-3x+8+3x-39=-31
6780
⑴ 어떤 다항식을
라 하면
3x-2y+4-
=-x+2y-6
∴ -
=3x-2y+4-(-x+2y-6)
=3x-2y+4+x-2y+6
=4x-4y+10`
⑵ 바르게 계산한 식은
3x-2y+4+(4x-4y+10)
=3x-2y+4+4x-4y+10
=7x-6y+14
단계
채점요소
어떤 다항식 구하기
바르게 계산한 식 구하기
⑴ 4x-4y+10 ⑵ 7x-6y+14
-31
배점
60 %
40 %
2x-11y
3x-5
배점
40 %
40 %
20 %
UP
6 cm
6790
(6-x)cm
{(4x-2)-(6-x)}cm
①
3 cm
3 cm
(4x-2)cm
(색칠한 부분의 넓이)
=(큰 직사각형의 넓이)-(작은 직사각형의 넓이)
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 56
2017-06-29 오후 7:57:48
=(4x-2)_6-{(4x-2)-(6-x)}_3
=(4x-2)_6-(4x-2-6+x)_3
=(4x-2)_6-(5x-8)_3
=24x-12-15x+24
=9x+12(cmÛ`)
6840
3(6x+4)-
(6x+15) =18x+12-2x-5
1
3
=16x+7
이므로 m=16, n=7
③
∴ (-1)µ `(4a-2b)+(-1)Ç` (2a-4b)
=(-1)Ú`ß`(4a-2b)+(-1)à`(2a-4b)
6800
(사다리꼴의 넓이) =
_{x+(x+6)}_10
1
2
=5_(2x+6)
=10x+30
(삼각형의 넓이) =
_(x+6)_4
1
2
=2_(x+6)
=2x+12
∴ (색칠한 부분의 넓이) =(사다리꼴의 넓이)-(삼각형의 넓이)
=(10x+30)-(2x+12)
=10x+30-2x-12
=8x+18
=4a-2b-(2a-4b)
=4a-2b-2a+4b
=2a+2b
2a+2b
n이 자연수일 때, 2n은 짝수, 2n+1은 홀수이므로
6850
(-1)Û`Ç`=1, (-1)Û`Ç`±Ú`=-1
∴ (-1)Û`Ç`_
+(-1)Û`Ç`±Ú`_
x+1
3
3x-1
2
=1_
+(-1)_
x+1
3
3x-1
2
오른쪽 그림과 같이 네 개의
6810
직사각형의 가로의 길이의 합은
4(40-x)m이고 세로의 길이의 합
30`m
은 4(30-x)m이다.
따라서 길을 제외한 땅의 둘레의 길이는
4(40-x)+4(30-x)
=160-4x+120-4x
=280-8x(m)
n이 홀수일 때, n+1은 짝수이므로
6820
(-1)Ç`=-1, (-1)Ç`±Ú`=1
∴ (-1)Ç`(5x+2)-(-1)Ç` ±Ú`(5x-2)
=-(5x+2)-(5x-2)
=-5x-2-5x+2
=-10x
n이 자연수일 때, 2n+1은 홀수, 2n은 짝수이므로
6830
(-1)Û`Ç`±Ú`=-1, (-1)Û`Ç`=1
∴ (-1)Û`Ç`±Ú`(3x-4)-(-1)Û`Ç`(3x+4)
=-(3x-4)-(3x+4)
=-3x+4-3x-4
=-6x
8x+18
40`m
=
x+1
3
-
3x-1
2
=
2(x+1)-3(3x-1)
6
=
2x+2-9x+3
6
x`m
=
-7x+5
6
=-
x+
;6&;
;6%;
x`m
따라서 x의 계수는 -
, 상수항은
이므로
;6&;
;6%;
a=-
, b=
;6&;
∴ a-b=
{
;6%;
-
;6&;}
-
;6%;
=-2
③
-2
②
②
6860
② xÛ`의 계수는 -
이다.
;2!;
-10x
ㄴ. 상수항은 일차식이 아니다.
6870
ㄷ. 분모에 문자가 있는 식은 다항식이 아니므로 일차식이 아니다.
ㄹ, ㅂ. 다항식의 차수가 2이므로 일차식이 아니다.
따라서 일차식인 것은 ㄱ, ㅁ이다.
6880
② aÖ(bÖc)=aÖ
=a_
=
;cB;
;bC;
ac
b
-6x
③ x+yÖ3=x+y_
=x+
;3!;
;3};
05. 문자의 사용과 식의 계산 57
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 57
2017-06-29 오후 7:57:49
④ a_a_b_(-1)=-aÛ`b
따라서 옳지 않은 것은 ③, ④이다.
=12x-20-(-10x-6)
=12x-20+10x+6
③, ④
=22x-14
6890
;2!;
-
x와 동류항인 것은 0.3x의 1개이다.
③ (직사각형의 둘레의 길이)
6900
=2_{(가로의 길이)+(세로의 길이)}
=2(a+b)=2a+2b(cm)
⑤ 3_10+b_1=30+b
①
③, ⑤
6910
① (8x-12)Ö
{
-
=(8x-12)_
{
-
;4%;}
4
5 }
=-10x+15
② -(x-6)Ö
=(-x+6)_5=-5x+30
③ 3(2x-1)-
(4x-8)=6x-3-x+2=5x-1
;5!;
;4!;
④ -
(4x-12)+
(9x+6)=-x+3+3x+2=2x+5
;4!;
;3!;
⑤
;4#;{
16x-
-14
x-
=12x-2-7x+6=5x+4
;3*;}
{;2!;
;7#;}
②, ⑤
③
②
6920
-
a-
{;3!;
1
2 }
+
a-
{;4#;
;5@;}
=-
a+
+
a-
;5@;
;4#;
;2!;
=-
a+
a+
-
;1¢0;
;1°0;
;1»2;
1
3
4
12
=
a+
5
12
1
10
-2=-2-2=-4
6930
-
① 4x-2=4_
{
Û`=4_
-
{
;2!;}
;2!;}
=1
;4!;
② 4xÛ`=4_
③ -xÜ`=-
{
-
;2!;}
Ü`=-
-
{
;8!;}
=
;8!;
④
;[#;
=3Öx=3Ö
-
=3_(-2)=-6
{
;2!;}
⑤ -
x=
{
;3@;
-
;3@;}
_
-
{
;2!;}
=
;3!;
따라서 식의 값이 가장 큰 것은 ②이다.
6940
⑴ 4(3x-5)-(15x+9)Ö
{
-
;2#;}
=4(3x-5)-(15x+9)_
{
-
;3@;}
58 정답과 풀이
따라서 a=22, b=-14이므로
a+b=22+(-14)=8
⑵
-
+
3x+5
2
5x+2
6
2-x
3
2(2-x)+(5x+2)-3(3x+5)
6
=
=
4-2x+5x+2-9x-15
6
=
-6x-9
6
=-x-
;2#;
따라서 a=-1, b=-
이므로
;2#;
a-b=(-1)-
{
-
;2#;}
=(-1)+
=
;2#;
;2!;
⑴ 8 ⑵
;2!;
6950
x
y
-16xy =xÖy-16_x_y
=
Ö
-
-16_
_
-
1
4
1
4
{
{
;4&;}
;7$;}
;4!;
;4!;
{
{
;4&;}
;4&;}
=
_
-
-16_
_
-
=
-
{
;7!;}
+7=
48
7
48
7
6960
-2x+3
6
-
=
x-5
2
에서
=
-2x+3
6
-
x-5
2
=
-2x+3-3(x-5)
6
=
-2x+3-3x+15
6
=
-5x+18
6
④
axÛ`-3x+1+2xÛ`+4x-5=(a+2)xÛ`+x-4
6970
주어진 다항식이 x에 대한 일차식이 되려면
a+2=0 ∴ a=-2
①
6980
3A-2(A+B)-B =3A-2A-2B-B
=A-3B
=
2x-
-3_
{
;2!;}
-x+5
3
=2x-
-(-x+5)
=2x-
+x-5=3x-
1
2
;2!;
11
2
3x-
11
2
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 58
2017-06-29 오후 7:57:50
x의 계수가 -2, 상수항이 6인 x에 대한 일차식은
따라서 세로에 놓인 세 식의 합이 3x-3이어야 하므로
6990
-2x+6이다.
이 일차식에 x=1을 대입하면
a=(-2)_1+6=-2+6=4
x=-1을 대입하면
b=(-2)_(-1)+6=2+6=8
∴ a-b=4-8=-4
3x-[10y-4x-{2x-(-x+y)}]
7000
=3x-{10y-4x-(2x+x-y)}
=3x-{10y-4x-(3x-y)}
=3x-(10y-4x-3x+y)
=3x-(-7x+11y)
=3x+7x-11y
=10x-11y
B+(5x+1)+(-4)=3x-3
B+(5x-3)=3x-3
∴ B=3x-3-(5x-3)=3x-3-5x+3=-2x
또, 대각선에 놓인 세 식의 합이 3x-3이어야 하므로
A+(x-1)+B=3x-3
A+(x-1)-2x=3x-3, A+(-x-1)=3x-3
-4
∴ A=3x-3-(-x-1)=3x-3+x+1=4x-2
∴ A-B =4x-2-(-2x)
=4x-2+2x
=6x-2
6x-2
(2x-4)+(4x+5)=6x+1이므로 오른쪽
7050
그림은 B+C=A의 규칙이 있다.
B
A
C
㈎ +(-3x-2)=-x+3에서
④
㈎ =-x+3-(-3x-2)
=-x+3+3x+2=2x+5`
7010
-xÚ`â`Ú`-(-y)Ü`_(-xÞ`â`)Ö
-
y
x }
Û`
{
=-(-1)Ú`â`Ú`-(-3)Ü`_{-(-1)Þ`â`}Ö
-
3
-1 }
{
2`
=-(-1)-(-27)_(-1)Ö9
=1-(-27)_(-1)_
;9!;
=1-3=-2
(3x-4)+ ㈏ = ㈎ 에서
(3x-4)+ ㈏ =2x+5
∴ ㈏ =2x+5-(3x-4)
=2x+5-3x+4=-x+9
㈐ +(-6x+1)=-3x-2에서
㈐ =-3x-2-(-6x+1)
=-3x-2+6x-1=3x-3
-2
㈎ 2x+5 ㈏ -x+9 ㈐ 3x-3
7020
⑴ 한 모서리의 길이가 a인 정육면체의 겉넓이는 한 변의
길이가 a인 정사각형 6개의 넓이의 합과 같으므로
작은 직사각형의 가로의 길이는 15-(5+3)=7,
7060
세로의 길이는 15-(x+3x)=15-4x이므로
S=(a_a)_6=6aÛ`
⑵ S=6aÛ`에 a=4를 대입하면 S=6_4Û`=96
(작은 직사각형의 넓이)=7(15-4x)
(큰 정사각형의 넓이)=15_15=225
⑴ S=6aÛ` ⑵ 96
∴ (색칠한 부분의 넓이)
=(큰 정사각형의 넓이)-(작은 직사각형의 넓이)
=225-7(15-4x)
=225-105+28x
=28x+120
이 학급의 학생 수는 20+15=35(명)
7030
남학생의 총점은 20_x=20x(점)
여학생의 총점은 15_y=15y(점)
∴ (전체 평균)=
20x+15y
35
=
4x+3y
7
(점)
가로에 놓인 세 식의 합은
7040
(-3x-3)+(x-1)+(5x+1)
=-3x-3+x-1+5x+1
=3x-3
28x+120
4x+3y
7
점
a`%의 소금물 100`g에 녹아 있는 소금의 양은
7070
;10A0;
_100=a(g)
_200=2b(g)
;10B0;
b`%의 소금물 200`g에 녹아 있는 소금의 양은
이므로 새로 만든 소금물에 녹아 있는 소금의 양은 (a+2b)g
05. 문자의 사용과 식의 계산 59
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 59
2017-06-29 오후 7:57:50
따라서 새로 만든 소금물의 농도는
a+2b
100+200
_100=
a+2b
3
(%)
7080
(36x-24)Ö6-(20x-6)Ö
;3@;
=(36x-24)_
-(20x-6)_
;6!;
;2#;
=6x-4-(30x-9)=6x-4-30x+9
=-24x+5
∴ a=-24
y-9
Ö
+
}
;4#;
=
;2&;
{;5@;
y-9
_
+
}
;3$;
{;5@;
7
2
8
15
8
15
=
y-12+
;2&;
=
y-
17
2
∴ b=-
17
2
∴ ab=(-24)_
{
-
17
2 }
=204
채점요소
a의 값 구하기
b의 값 구하기
ab의 값 구하기
단계
7090
⑴ 어떤 다항식을
라 하면
-
x+5
}
=
;2#;
{;3!;
x-6
∴
=
x-6+
x+5
}
{;3!;
3
2
3
2
11
6
=
x-6+
x+5
;3!;
=
x-1
⑵ 바르게 계산한 식은
11
6
x-1+
x+5=
x+4
;3!;
13
6
⑶ a=
, b=4이므로
13
6
b-a=4-
=
13
6
11
6
60 정답과 풀이
단계
④
어떤 다항식 구하기
바르게 계산한 식 구하기
b-a의 값 구하기
⑴
x-1 ⑵
x+4 ⑶
13
6
11
6
채점요소
11
6
배점
50 %
40 %
10 %
㈎에서 A+(3x-7)=x-6
7100
∴ A =x-6-(3x-7)
=x-6-3x+7
=-2x+1
㈏에서 B-(2x+1)=3x-4
∴ B =3x-4+(2x+1)
=3x-4+2x+1
=5x-3
∴ A+B =(-2x+1)+(5x-3)
=-2x+1+5x-3
=3x-2
204
배점
40 %
40 %
20 %
단계
채점요소
A 구하기
B 구하기
A+B를 간단히 하기
3x-2
배점
40 %
40 %
20 %
7110
원가가 a원인 물건에 30`%의 이익을 붙이면 정가는
a+a_
=a+
a=
a(원)
30
100
3
10
;1!0#;
이므로 20`% 할인하여 판매한 가격은
a-
a_
;1!0#;
;1!0#;
=
a-
a
;5!0#;
;1!0#;
20
100
52
50
=
;5^0%;
a-
;5!0#;
a=
a=
a(원)`
;2@5^;
채점요소
30`%의 이익을 붙여 매긴 정가 구하기
20`% 할인한 판매 가격 구하기
;2@5^;
a원
배점
50 %
50 %
정삼각형이 1개씩 늘어날 때마다 성냥개비가 2개씩 늘
단계
7120
어난다.
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 60
2017-06-29 오후 7:57:51
따라서 직사각형의 넓이는
(5+8)_(x+4)=13x+52
또, 네 직각삼각형 ㉠, ㉡, ㉢, ㉣의 넓이의 합은
5_x+8_{(x+4)-x}+5_
+8_
5x+32+
5x+20
3
+
16x+64
3
}
x+4
3
2(x+4)
3
¤
;2!;
°
=
;2!;{
1
2
1
2
=
;2!;{
5x+32+
21x+84
3
}
=
(5x+32+7x+28)
=
(12x+60)=6x+30
∴ (색칠한 부분의 넓이)
=(직사각형의 넓이)-(㉠, ㉡, ㉢, ㉣의 넓이의 합)
=(13x+52)-(6x+30)
=13x+52-6x-30
=7x+22
⑵ 7x+22에 x=6을 대입하면 7_6+22=64
⑴ 7x+22 ⑵ 64
정삼각형의 개수 (개)
사용한 성냥개비의 개수 (개)
1
2
3
⋮
x
3
3+2
3+2+2
⋮
3+2+y+2
á\Ò\»
(x-1)개
따라서 정삼각형 x개를 만들 때, 사용한 성냥개비의 개수는
3+2(x-1)=3+2x-2=2x+1(개)
(2x+1)개
7130
bc-2ac-3ab
abc
=
_
-
{
[;3@;
;4#;}
-2_
_
-
{
;2!;
;4#;}
-3_
_
;3@;]
1
2
Ö
[
_
_
-
{
;3@;
;4#;}]
1
2
1
2
2
4
3
4 }
{
{
{
=
-
+
-1
Ö
-
;4#;
}
{
;4!;}
=
-
+
-
Ö
-
{
;4$;}
;4#;
;4!;}
=
-
_(-4)=3
3
n이 자연수일 때, 2n-1은 홀수이고, 2n은 짝수이므로
7140
(-1)2n-1=-1, (-1)2n=1
∴
-x+1
2
-
(-1)2n-1_
[
2x-5
3
-(-1)2n_
5x+3
4
]
=
-x+1
2
-
-
{
2x-5
3
-
5x+3
4
}
=
-x+1
2
+
2x-5
3
+
5x+3
4
=
6(-x+1)+4(2x-5)+3(5x+3)
12
=
-6x+6+8x-20+15x+9
12
=
17x-5
12
=
;1!2&;
x-
;1°2;
;1!2&;
x-
;1°2;
(cid:19)(cid:9)(cid:89)(cid:12)(cid:21)(cid:10)
(cid:20)
(cid:89)(cid:12)(cid:21)
(cid:20)
㉡
(cid:25)
㉢
(cid:22)
⑴ 직사각형의 세로의 길
7150
이는
(cid:22)
㉠
(cid:89)
(cid:25)
㉣
2(x+4)
3
+
x+4
3
=
2x+8+x+4
3
=
3x+12
3
=x+4
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2017-06-29 오후 7:57:52
05. 문자의 사용과 식의 계산 61
06
일차방정식의 풀이
Ⅲ`문자와 식
7160
ㄱ, ㄷ, ㄹ
7170
2x+3=10
7180
3(4-x)=-9
7190
3x=15
7200
② x+3x=4x에서 좌변을 정리하면 x+3x=4x, 즉
(좌변)=(우변)이므로 x에 어떤 수를 대입하여도 등식이 성립
한다. ∴ 항등식
⑤ 2(x+2)=2x+4에서 좌변을 정리하면 2(x+2)=2x+4,
즉 (좌변)=(우변)이므로 x에 어떤 수를 대입하여도 등식이 성
립한다. ∴ 항등식
②, ⑤
각 방정식에 x=1을 대입하여 등식이 성립하는 것을 찾
7210
는다.
① 1-1+-1
② 2_1+4=6
③ 4_1-2+4
④ 1+3+3
⑤ 3_1-7+5
따라서 해가 x=1인 방정식은 ②이다.
②
x-2=5의 양변에 2를 더하면
7230
x-2+2=5+2 ∴ x=7
x=3
x=7
7240
;4{;
=3의 양변에 4를 곱하면
_4=3_4 ∴ x=12
;4{;
x=12
6x=24의 양변을 6으로 나누면
7250
6xÖ6=24Ö6 ∴ x=4
x=4
7260
;3{;
+1=7의 양변에서 1을 빼면
+1-1=7-1,
=6
;3{;
=6의 양변에 3을 곱하면
_3=6_3 ∴ x=18
;3{;
;3{;
;3{;
62 정답과 풀이
7270
;2#;
x-4=2의 양변에 4를 더하면
x-4+4=2+4,
x=6
;2#;
x=6의 양변에
를 곱하면
x_
=6_
;2#;
;3@;
;3@;
;3@;
;2#;
;2#;
∴ x=4
7280
x=1+1
7290
2x+3x=5
7300
2x=3-6
7310
-4x-x=7
②, ③ 등식이 아니므로 일차방정식이 아니다.
7320
④, ⑤ 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하였을 때,
( x에 대한 일차식)=0의 꼴이 아니므로 일차방정식이 아니다.
7330
2x=4-10, 2x=-6 ∴ x=-3
7340
3x-x=2, 2x=2 ∴ x=1
7360
x+4x=-10-5, 5x=-15 ∴ x=-3
5x-5=27-3x, 5x+3x=27+5
7370
8x=32 ∴ x=4
5-6x-2=15-3x, -6x+3x=15-3
7380
-3x=12 ∴ x=-4
양변에 10을 곱하면 7x+24=3x-16
7390
7x-3x=-16-24, 4x=-40 ∴ x=-10
x=4
①
x=-3
x=1
x=4
x=-3
x=4
x=-4
x=-10
양변에 100을 곱하면 12x-30=8x-30
7400
12x-8x=-30+30, 4x=0 ∴ x=0
x=18
x=0
x+1=4의 양변에서 1을 빼면
7220
x+1-1=4-1 ∴ x=3
7350
5x-3x=6+2, 2x=8 ∴ x=4
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2017-06-29 오후 7:57:53
양변에 분모 2, 3의 최소공배수인 6을 곱하면
7410
3(x-3)-2(2x-1)=0, 3x-9-4x+2=0
-x=7 ∴ x=-7
④ 2-{4+(-1)}=-1
⑤
-1
2
+1+1
x=-7
따라서 해가 x=-1인 것은 ④이다.
④
7420
양변에 분모 2, 4, 3의 최소공배수인 12를 곱하면
18-3(1-x)=16
{
x+
;4!;}
, 18-3+3x=16x+4
[ ] 안의 수를 주어진 방정식의 x의 값에 대입하여 등
7480
식이 성립하지 않는 것을 찾는다.
① 2_1-3=-1
② 6_3=2_3+12
3x-16x=4-15, -13x=-11 ∴ x=
;1!3!;
③ 3_(4+2)=5_4-2
④
{
-
;3@;}
_
-
{
;2#;}
=1
x=
;1!3!;
⑤
_2+
;4#;
;2!;
⑤
①, ④ 다항식은 등식이 아니다.
7430
②, ③ 부등호를 사용한 식은 등식이 아니다.
7440
③ 5x=32
절댓값이 3인 수는 3, -3이므로 x=3, -3
7490
주어진 방정식에 x=3을 대입하면
3-2_(3_3+5)+5
x=-3을 대입하면
-3-2_{3_(-3)+5}=5
따라서 주어진 방정식의 해는 x=-3이다.
x=-3
⑤
x의 값에 관계없이 항상 참인 등식은 항등식이다.
7500
① 2x=4에서 x=2일 때만 등식이 성립하므로 방정식이다.
③
② x-2=2-x에서 x=2일 때만 등식이 성립하므로 방정식이다.
③ 2x+4=8x+1에서 x=
일 때만 등식이 성립하므로 방정
1
2
④ 2(x-2)=2x-4에서 좌변을 정리하면 2(x-2)=2x-4,
즉 (좌변)=(우변)이므로 x에 어떤 수를 대입하여도 등식이 성
⑤ -3(x+2)=3(x-3)에서 x=
일 때만 등식이 성립하므
1
2
립한다. ∴ 항등식
로 방정식이다.
7450
⑴ 어떤 수 x를 6배한 수보다 3만큼 작은 수는 6x-3,
x의 2배는 2x ∴ 6x-3=2x
식이다.
⑵ x명의 학생들에게 귤을 5개씩 나누어 주면 2개가 남으므로 귤
의 개수는 (5x+2)개
귤을 6개씩 나누어 주면 3개가 부족하므로 귤의 개수는
(6x-3)개
∴ 5x+2=6x-3
7460
을 찾는다.
⑴ 6x-3=2x ⑵ 5x+2=6x-3
각 방정식에 x=2를 대입하여 등식이 성립하지 않는 것
①, ④ 다항식이므로 등식이 아니다. 따라서 방정식이
① 2_2=4
② 3_2+2=8
③ 5_2-2=8
② x+5=3에서 x=-2일 때만 등식이 성립하므로 방정식이다.
③ 부등호를 사용한 식이므로 등식이 아니다. 따라서 방정식이
④ 2_(2+1)+4 ⑤ -(2-3)=1
따라서 해가 x=2가 아닌 것은 ④이다.
각 방정식에 x=-1을 대입하여 등식이 성립하는 것을
를 대입하여도 등식이 성립한다. ∴ 항등식
④
⑤ 2x+7=2(x+3)+1에서 우변을 정리하면
2(x+3)+1=2x+7, 즉 (좌변)=(우변)이므로 x에 어떤 수
7510
아니다.
아니다.
④
②
7470
찾는다.
① 4_(-1)-1+3_(-1)
② 2_(-1)-5+-(-1)+4
③ 2_(-1-1)+-3
ㄱ. 2x-1=x에서 x=1일 때만 등식이 성립하므로 방정
7520
식이다.
06. 일차방정식의 풀이 63
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 63
2017-06-29 오후 7:57:53
ㄴ. x+x=2x에서 좌변을 정리하면 x+x=2x,
즉 (좌변)=(우변)이므로 x에 어떤 수를 대입하여도 등식이
성립한다. ∴ 항등식
① 3a=6b의 양변을 3으로 나누면 a=2b
7570
② a=2b의 양변에 1을 더하면 a+1=2b+1
③ -a=b의 양변에 -1을 곱하면 a=-b
ㄷ. 3x=0에서 x=0일 때만 등식이 성립하므로 방정식이다.
이 식의 양변에 2를 더하면 a+2=-b+2
ㄹ. 12-3x=x+12에서 x=0일 때만 등식이 성립하므로 방정
식이다.
ㅁ. 5x+2-3x=2x+2에서 좌변을 정리하면
5x+2-3x=2x+2, 즉 (좌변)=(우변)이므로 x에 어떤 수
를 대입하여도 등식이 성립한다. ∴ 항등식
ㅂ. 2(x+1)=2x+2에서 좌변을 정리하면 2(x+1)=2x+2,
즉 (좌변)=(우변)이므로 x에 어떤 수를 대입하여도 등식이
성립한다. ∴ 항등식
⑴ ㄱ, ㄷ, ㄹ ⑵ ㄴ, ㅁ, ㅂ
④
a=
의 양변에 4를 곱하면 6a=b
;2#;
;4B;
⑤ a=3b의 양변에 -2를 곱하면 -2a=-6b
이 식의 양변에 3을 더하면 -2a+3=-6b+3
7580
③ c+0일 때만 성립한다.
②, ⑤
③
7590
ㄱ. 3(a-1)=9b의 양변을 3으로 나누면 a-1=3b
5x-3=a+b(1-x)에서 우변을 정리하면
7530
a+b(1-x)=-bx+a+b
ㄴ. 2a=3b의 양변을 6으로 나누면
=
;3A;
;2B;
ㄷ. -a=b의 양변에 -1을 곱하면 a=-b
따라서 5x-3=-bx+a+b가 x에 대한 항등식이므로
a=-b의 양변에 5를 더하면 a+5=-b+5
5=-b에서 b=-5, -3=a+b에서 a=2
ㄹ. 5a+3=5b+3의 양변에서 3을 빼면 5a=5b
∴ ab=2_(-5)=-10
⑤
5a=5b의 양변을 5로 나누면 a=b
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.
ㄱ, ㄹ
ax+3=2x-b가 x에 대한 항등식이므로
7540
a=2, 3=-b에서 b=-3
∴ ab=2_(-3)=-6
㉠ 등식의 양변에 3을 곱한다.
7600
㉡ 등식의 양변에 3을 더한다.
①
㉢ 등식의 양변을 2로 나눈다.
㉢
7550
3(x-1)=-2x+
에서 좌변을 정리하면
이 식이 x의 값에 관계없이 항상 성립하므로, 즉 x에 대한 항등
3x-3=-2x+
식이므로
=3x-3-(-2x)=5x-3
㈎ 등식의 양변에 2를 곱한다. ⇨ ㄷ
7610
㈏ 등식의 양변에서 3을 뺀다. ⇨ ㄴ
④
2x+5=1의 양변에 -5를 더하면
7620
2x+5+(-5)=1+(-5), 2x=-4이므로 c=-5
4x+3=a(1+2x)+b에서 우변을 정리하면
7560
a(1+2x)+b=2ax+a+b
따라서 4x+3=2ax+a+b가 x에 대한 항등식이므로
4=2a에서 a=2, 3=a+b에서 b=1
∴ a-b=2-1=1
채점요소
단계
우변 정리하기
a, b의 값 구하기
a-b의 값 구하기
64 정답과 풀이
7630
;3!;
;3%;
x-2=
-x의 양변에 3을 곱하면
x-2
}
{;3!;
_3=
-x
}
{;3%;
_3, x-6=5-3x
x-6=5-3x의 양변에 3x를 더하면
x-6+3x=5-3x+3x, 4x-6=5
4x-6=5의 양변에 6을 더하면
1
4x-6+6=5+6, 4x=11
4x=11의 양변을 4로 나누면
4x
4
=
:Á4Á:
∴ x=
:Á4Á:
배점
30 %
60 %
10 %
㈎ ㄷ ㈏ ㄴ
-5
x=
:Á4Á:
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 64
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① -5를 우변으로 이항하면 3x=7+5
7640
② -3x를 좌변으로 이항하면 4x+3x=6
① x=0은 일차방정식이다.
7690
② x+1=3x-5에서 x+1-3x+5=0
③ -1을 우변으로, 4x를 좌변으로 이항하면 5x-4x=7+1
즉, -2x+6=0이므로 일차방정식이다.
④ 1을 우변으로, x를 좌변으로 이항하면 2x-x=-4-1
③ x-5=x-5이므로 항등식이다.
⑤ 2를 우변으로, -x를 좌변으로 이항하면 4x+x=-3-2
④ xÛ`+x=xÛ`-2에서 xÛ`+x-xÛ`+2=0
3x+5=11에서 5를 우변으로 이항하면 3x=11-5이
7650
므로 양변에 -5를 더하거나 양변에서 5를 뺀 것과 같다.
①, ⑤
① -4를 우변으로 이항하면 6x=2+4 ∴ 6x=6
7660
② -x를 좌변으로 이항하면 2x+x=5 ∴ 3x=5
③ x를 좌변으로 이항하면 -3x-x=7 ∴ -4x=7
④ 3을 우변으로 이항하면 4x=7-3 ∴ 4x=4
⑤ 1을 우변으로, -x를 좌변으로 이항하면
5x+x=6-1 ∴ 6x=5
3x+1=2x-6에서 1을 우변으로, 2x를 좌변으로 이
③
즉, x+2=0이므로 일차방정식이다.
⑤ 2x+2=2-2x에서 2x+2-2+2x=0
즉, 4x=0이므로 일차방정식이다.
① x+2=xÛ`에서 x+2-xÛ`=0
7700
즉, (일차식)=0의 꼴이 아니므로 일차방정식이 아니다.
②
+1이므로 일차식이다.
;3{;
③ 2(x+1)>15이므로 부등호를 사용한 식이다.
④
+5=
+5이므로 항등식이다.
;2{;
;2{;
⑤ 4x+3=11에서 4x+3-11=0
④
즉, 4x-8=0이므로 일차방정식이다.
7670
항하면
3x-2x=-6-1
∴ x=-7
따라서 a=1, b=-7이므로
a+b=1+(-7)=-6
채점요소
단계
이항하기
ax=b의 꼴로 정리하기
a+b의 값 구하기
7680
ㄱ. 3x-1=x+5에서 3x-1-x-5=0
즉, 2x-6=0이므로 일차방정식이다.
ㄴ. 5x-15=15-5x에서 5x-15-15+5x=0
즉, 10x-30=0이므로 일차방정식이다.
ㄷ. 우변을 정리하면 2(x+2)=2x+4, 즉 (좌변)=(우변)이므
ㄹ. xÛ`+3=x에서 xÛ`+3-x=0, 즉 (일차식)=0의 꼴이 아니
로 항등식이다.
므로 일차방정식이 아니다.
-6
배점
50 %
20 %
30 %
3x-2=5-ax에서 3x-2-5+ax=0
7710
(3+a)x-7=0
위 등식이 x에 대한 일차방정식이 되려면 ( x에 대한 일차식)=0
의 꼴이어야 하므로
3+a+0 ∴ a+-3
단계
a의 조건 구하기
채점요소
주어진 식에서 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하기 40 %
a+-3
배점
60 %
괄호를 풀면 5x-x-2=3-8+2x
7720
4x-2=-5+2x, 4x-2x=-5+2
2x=-3 ∴ x=-
;2#;
3(x-1)=x+5에서 괄호를 풀면 3x-3=x+5
7730
3x-x=5+3, 2x=8 ∴ x=4
① x+1=4에서 x=4-1 ∴ x=3
② 2x-5=4에서 2x=4+5, 2x=9 ∴ x=
;2(;
③
⑤
③
ㅁ. 0_xÛ`+x=-1에서 x+1=0이므로 일차방정식이다.
③ 5x-4=3(x+2)에서 괄호를 풀면 5x-4=3x+6
따라서 일차방정식인 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ이다.
ㄱ, ㄴ, ㅁ
5x-3x=6+4, 2x=10 ∴ x=5
06. 일차방정식의 풀이 65
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 65
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④
(x-2)=1에서 괄호를 풀면
x-1=1
;2!;
x=1+1,
x=2 ∴ x=4
;2!;
;2!;
;2!;
⑤ x-1=2x+3에서 x-2x=3+1, -x=4 ∴ x=-4
7800
x-
;5@;
6-x
4
3
10
9
20
=
x-
의 양변에 5, 4, 10, 20의
최소공배수인 20을 곱하면
8x-5(6-x)=6x-9, 8x-30+5x=6x-9
8x+5x-6x=-9+30, 7x=21 ∴ x=3
④
-3(5+x)=-(4x-3)에서 -15-3x=-4x+3
7740
-3x+4x=3+15 ∴ x=18
∴ a=18
또, -(2x-6)=5-(-x+1)에서 -2x+6=5+x-1
7810
(x+1)-
3
10
2x-5
4
7
10
=
x+2의 양변에 10, 4의 최
-2x-x=5-1-6, -3x=-2 ∴ x=
;3@;
6x+6-10x+25=14x+40, 6x-10x-14x=40-6-25
∴ b=
;3@;
∴ ab=18_
=12
;3@;
2{5x-(3-2x)}+x-6=18에서
7750
2(5x-3+2x)+x-6=18, 2(7x-3)+x-6=18
14x-6+x-6=18, 15x=18+6+6
15x=30 ∴ x=2
∴ a=2
x=2
소공배수인 20을 곱하면
6(x+1)-5(2x-5)=14x+40
-18x=9 ∴ x=-
;2!;
7820
-
;2!;
2-x
3
;4!;
를 곱하면
6-4(2-x)=3x, 6-8+4x=3x
4x-3x=-6+8 ∴ x=2
12
=
x 의 양변에 2, 3, 4의 최소공배수인 12
양변에 100을 곱하면 50x-5=300(0.2x+0.15)
7760
50x-5=60x+45, 50x-60x=45+5
배수인 12를 곱하면
-10x=50 ∴ x=-5
3(x-1)
2
=
(x+1)+
;4#;
2(x-1)
3
의 양변에 2, 4, 3의 최소공
18(x-1)=9(x+1)+8(x-1), 18x-18=9x+9+8x-8
18x-9x-8x=9-8+18 ∴ x=19
①
∴ b=19
⑴ 양변에 10을 곱하면 4x-7=6x-11
7770
4x-6x=-11+7, -2x=-4 ∴ x=2
⑵ 양변에 100을 곱하면 30x-1=20(x+2)+4
30x-1=20x+40+4, 30x-20x=40+4+1
10x=45 ∴ x=
;2(;
∴ a+b=2+19=21
⑴ x=2 ⑵ x=
;2(;
채점요소
단계
a의 값 구하기
b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
양변에 2, 6, 3의 최소공배수인 6을 곱하면
7780
3(x-3)-(2x-5)=10-6x
3x-9-2x+5=10-6x, 3x-2x+6x=10+9-5
7x=14 ∴ x=2
7830
;7!;
(x-2)`:`3=(0.3x+1)`:`7에서
(x-2)_7=3(0.3x+1), x-2=0.9x+3
;7!;
x=2
양변에 10을 곱하면 10x-20=9x+30 ∴ x=50
양변에 6, 9의 최소공배수인 18을 곱하면
7790
3(x+5)-36=2(6-4x)
3x+15-36=12-8x, 3x+8x=12-15+36
(x+3)`:`2=(3x-2)`:`5에서
7840
5(x+3)=2(3x-2), 5x+15=6x-4
11x=33 ∴ x=3
④
-x=-19 ∴ x=19
66 정답과 풀이
⑤
②
21
배점
40 %
50 %
10 %
⑤
19
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2017-06-29 오후 7:57:55
7850
(3x+6)`:`(2x-3)=4`:`
에서
;3!;
(3x+6)=4(2x-3), x+2=8x-12
;3!;
-7x=-14 ∴ x=2
7860
(0.5x+2)`:`5=
(x-8)`:`3에서
;5#;
3(0.5x+2)=5_
(x-8), 1.5x+6=3x-24
;5#;
양변에 10을 곱하면 15x+60=30x-240
-15x=-300 ∴ x=20
7870
x=3을 6-
=a+5x에 대입하면
x+a
2
6-
3+a
2
=a+15
양변에 2를 곱하면 12-(3+a)=2a+30
12-3-a=2a+30, -3a=21 ∴ a=-7
0.4x-1.2=0.1x-0.9의 양변에 10을 곱하면
7910
4x-12=x-9, 3x=3
∴ x=1
2
해가 같으므로 x=1을
-1에 대입하면
x-5
6
=
2x+a
8
1-5
6
=
2_1+a
8
-1, -
=
;3@;
2+a
8
-1
양변에 3, 8의 최소공배수인 24를 곱하면
-16=3(2+a)-24, -16=6+3a-24
20
-3a=-2 ∴ a=
;3@;
7920
-1=
;4{;
2(x+1)
3
의 양변에 12를 곱하면
3x-12=8(x+1), 3x-12=8x+8
-5x=20 ∴ x=-4
해가 같으므로 x=-4를 2x+5=a에 대입하면
②
2_(-4)+5=a
∴ a=-3
7880
x=-
를 3x-a=2x+
에 대입하면
;3!;
;3@;
3_
-
{
;3@;}
-a=2_
-
+
, -2-a=-
+
{
;3@;}
;3!;
;3$;
;3!;
-a=1 ∴ a=-1
7890
x=-1을
a(x+3)
3
-
2-ax
4
a(-1+3)
3
-
2-a_(-1)
4
=
,
;6!;
2a
3
-
양변에 3, 4, 6의 최소공배수인 12를 곱하면
=
에 대입하면
;6!;
2+a
4
=
;6!;
8a-3(2+a)=2, 8a-6-3a=2
5a=8 ∴ a=
;5*;
x=2를 a(x-1)=5에 대입하면
7900
a(2-1)=5 ∴ a=5`
a=5를 3x-a(x+3)=1에 대입하면
3x-5(x+3)=1, 3x-5x-15=1
-2x=16 ∴ x=-8`
2(0.6-0.1x)=0.2(2x+3)의 양변에 10을 곱하면
7930
20(0.6-0.1x)=2(2x+3)
-1
12-2x=4x+6, -6x=-6
해가 같으므로 x=1을
=2에 대입하면
ax-4
5
=2, a-4=10
∴ x=1
a-4
5
∴ a=14
;5*;
7940
0.3(x+1)-1.6=
의 양변에 10을 곱하면
x-3
5
3(x+1)-16=2(x-3), 3x+3-16=2x-6
3x-2x=-6-3+16 ∴ x=7
(x+a)`:`2=4(x-3)`:`4에 x=7을 대입하면
(7+a)`:`2=4_(7-3)`:`4, (7+a)`:`2=16`:`4
4(7+a)=32, 28+4a=32
4a=4 ∴ a=1
단계
채점요소
a의 값 구하기
일차방정식 3x-a(x+3)=1의 해 구하기
단계
채점요소
주어진 일차방정식의 해 구하기
a의 값 구하기
x=-8
배점
40 %
60 %
;3@;
-3
③
1
배점
40 %
60 %
06. 일차방정식의 풀이 67
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 67
2017-06-29 오후 7:57:56
UP
가 양의 정수가 되려면 14-a가 4의 배수가 되어야 한
14-a
4
다.
14-a=4일 때, a=10
14-a=8일 때, a=6
14-a=12일 때, a=2
14-a=16일 때, a=-2
⋮
2+6+10=18
ax-5=2(x-b)+1에서 ax-5=2x-2b+1
7950
(a-2)x=-2b+6
해가 무수히 많으므로
a-2=0, -2b+6=0 ∴ a=2, b=3
∴ a+b=2+3=5
5x-a=bx+3에서 (5-b)x=3+a
7960
해가 없으므로
⑤
따라서 자연수 a의 값은 2, 6, 10이므로 구하는 합은
18
5
5-b=0에서 b=5, 3+a+0에서 a+-3
8010
3(2x+1)=ax-6에서 6x+3=ax-6
③
(6-a)x=-9 ∴ x=-
9
6-a
가 음의 정수이어야 하므로 6-a는 9의 약수이어야 한
(a+6)x=1-ax에서 ax+6x=1-ax
7970
2ax+6x=1, (2a+6)x=1
위 등식을 만족시키는 x의 값이 존재하지 않으므로
2a+6=0, 2a=-6
∴ a=-3
-
9
6-a
다.
6-a=1일 때, a=5
6-a=3일 때, a=3
6-a=9일 때, a=-3
-3
따라서 정수 a의 값의 합은 5+3+(-3)=5이다.
(a-3)x-1=5에서 (a-3)x=6
7980
해가 없으므로
a-3=0 ∴ a=3
bx+a=c-2에서 bx=-a+c-2
해가 무수히 많으므로
b=0, -a+c-2=0에서 -3+c-2=0 ∴ c=5
∴ a+b+c=3+0+5=8
6x+a=4x+7에서 2x=7-a ∴ x=
45-a
10
45-a=10일 때, a=35
45-a=20일 때, a=25
45-a=30일 때, a=15
45-a=40일 때, a=5
45-a=50일 때, a=-5
⋮
⑤
7-a
2
8020
5(9-2x)=a에서 45-10x=a
-10x=a-45 ∴ x=
45-a
10
가 자연수가 되려면 45-a가 10의 배수가 되어야 한다.
가 자연수이어야 하므로 7-a가 2의 배수이어야 한다.
따라서 구하는 자연수 a의 값은 5, 15, 25, 35이다.
5, 15, 25, 35
7990
7-a
2
7-a=2일 때, a=5
7-a=4일 때, a=3
7-a=6일 때, a=1
7-a=8일 때, a=-1
⋮
따라서 구하는 자연수 a의 값은 1, 3, 5이다.
1, 3, 5
8000
2(7-2x)=a에서 14-4x=a
-4x=a-14 ∴ x=
14-a
4
68 정답과 풀이
x의 값에 관계없이 항상 참인 등식은 항등식이다.
8030
①, ②, ③ 방정식
④ 항상 거짓이 되는 등식
⑤
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2017-06-30 오후 1:33:40
㉠ 등식의 양변에 3을 곱한다.
8040
㉡ 등식의 양변에 3x를 더한다.
㉢ 등식의 양변에 6을 더한다.
㉣ 등식의 양변을 4로 나눈다.
이 식의 양변에 b를 더하면 a-x=b-y
⑤ c=0일 때는 성립하지 않는다.
㉣
8090
;4#;
1
2
;4!;
x+1=
x+
의 양변에 4, 2의 최소공배수인 4를
곱하면 3x+4=2x+1 ∴ x=-3
8050
;3$;
Ú
x=-8의 양변에
을 곱하면
;4#;
∴ a=-3
x_
=(-8)_
∴ x=-6
;3$;
;4#;
Û
x=-8의 양변을
로 나누면
;3$;
xÖ
=(-8)Ö
∴ x=-6
;3$;
;3$;
;4#;
;3$;
;3$;
Ú, Û에서 이용할 수 있는 등식의 성질은 ㄷ, ㄹ이다.
ㄷ, ㄹ
=
(x-3)-2의 양변에 3, 4의 최소공배수인
8060
x-2
3
12를 곱하면
;4!;
4(x-2)=3(x-3)-24
4x-8=3x-9-24 ∴ x=-25
x=-25
0.3(x+2)+0.2=0.8(x-4)의 양변에 10을 곱하면
3(x+2)+2=8(x-4), 3x+6+2=8x-32
-5x=-40 ∴ x=8
∴ b=8
∴ a+b=(-3)+8=5
0.2(x-3)=0.4(x+3)-1의 양변에 10을 곱하면
8100
2(x-3)=4(x+3)-10, 2x-6=4x+12-10
해가 같으므로 x=-4를 ax+4=2x+8에 대입하면
-2x=8 ∴ x=-4
-4a+4=-8+8
-4a=-4 ∴ a=1
0.3(x-2)=0.4(x+2)-1.5의 양변에 10을 곱하면
8070
3(x-2)=4(x+2)-15, 3x-6=4x+8-15
-x=-1 ∴ x=1
① 4(x+1)=3x-5에서 4x+4=3x-5 ∴ x=-9
1 : (x+1)=3 : 2(2x+1)에서 2(2x+1)=3(x+1)
8110
4x+2=3x+3 ∴ x=1
따라서 방정식
a(x-6)
4
-
x-2a
3
=5의 해는 x=2이므로
② 0.5x+1=0.3(x-4)의 양변에 10을 곱하면
5x+10=3(x-4), 5x+10=3x-12
2x=-22 ∴ x=-11
③
x+3=
+2x의 양변에 2를 곱하면
;2!;
;2#;
x+6=3+4x, -3x=-3 ∴ x=1
④ 0.2x-1.6=0.4(x-3)의 양변에 10을 곱하면
2x-16=4(x-3), 2x-16=4x-12
-2x=4 ∴ x=-2
⑤ 2{x-3(x+1)+2}=1-3x에서
2(x-3x-3+2)=1-3x, 2(-2x-1)=1-3x
-4x-2=1-3x, -x=3 ∴ x=-3
x=2를 대입하면
a(2-6)
4
-
2-2a
3
=5, -a-
2-2a
3
=5
양변에 3을 곱하면 -3a-2+2a=15
-a=17 ∴ a=-17
-17
3x-3=6x-7의 좌변의 x항의 계수 3을 a로 잘못 보
8120
았다고 하면
ax-3=6x-7
㉠의 해가 x=-2이므로 x=-2를 대입하면
-2a-3=-12-7
-2a=-16
③
∴ a=8
따라서 3을 8로 잘못 보았다.
④
5
1
yy ㉠
③
8080
②
=
;2A;
;3B;
① 2a=6b의 양변을 2로 나누면 a=3b
의 양변에 6을 곱하면 3a=2b
③ a=3b의 양변에 1을 더하면 a+1=3b+1
④ a-b=x-y의 양변에서 x를 빼면 a-b-x=-y
8130
5-x=
x-1
3
15-3x=x-1
의 양변에 3을 곱하면
06. 일차방정식의 풀이 69
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9-a
2
17
4
-
=-2
양변에 2, 4의 최소공배수인 4를 곱하면
2(9-a)-17=-8, 18-2a-17=-8
-2a=-9 ∴ a=
;2(;
x-b=-9에 x=9를 대입하면
9-b=-9 ∴ b=18
∴ ab=
_18=81
;2(;
81
배점
40 %
30 %
20 %
10 %
①
3
채점요소
비례식을 만족시키는 x의 값 구하기
a의 값 구하기
b의 값 구하기
ab의 값 구하기
단계
8170
곱하면
1
5 }
{
0.4
x-
=-0.5
x+
a
+1.72의 양변에 100을
{
;5(;
}
2
40
x-
{
;5!;}
=-50
x+
{
a
}
;5(;
+172
40x-8=-50x-90a+172
90x=-90a+180 ∴ x=-a+2
-a+2가 음의 정수이어야 하므로 자연수 a는 3, 4, 5, 6, 7, y
따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ① 2이다.
8180
;4!;
x-
(x+3a)=-3의 양변에 4를 곱하면
4x-(x+3a)=-12, 4x-x-3a=-12
3x=3a-12 ∴ x=a-4
이때 a-4가 음의 정수이어야 하므로 자연수 a는 1, 2, 3이어야
한다.
1, 2, 3
-4x=-16 ∴ x=4
또,
x+a
4
=2(x-2a)+
의 양변에 4를 곱하면
;4(;
x+a=8(x-2a)+9
x+a=8x-16a+9, -7x=-17a+9
두 일차방정식의 해의 비가 2 : 3이므로
∴ x=
17a-9
7
4 :
17a-9
7
=2 : 3
4_3=2_
17a-9
7
84=34a-18, -34a=-102
34a-18
7
, 12=
∴ a=3
ax+3=4x-2에서 (a-4)x=-5
8140
해가 없으므로
a-4=0 ∴ a=4
또, (b-2)x-5=x+c에서 (b-3)x=c+5
해가 무수히 많으므로
b-3=0에서 b=3, c+5=0에서 c=-5
∴ a+b+c=4+3+(-5)=2
5-3(a+2)x=2b+9x+1에서
8150
(-3a-6)x+5=9x+2b+1
식이므로
-3a-6=9에서 -3a=15 ∴ a=-5
5=2b+1에서 -2b=-4 ∴ b=2
∴ a+b=(-5)+2=-3
단계
a, b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
채점요소
8160
-1
`:`4=
{;3{;
}
x+3
4
`:`6에서
-1
=x+3, 2x-6=x+3
6
{;3{;
}
∴ x=9
x-a
2
-
2x-1
4
=-2에 x=9를 대입하면
70 정답과 풀이
-3
배점
각 40 %
20 %
이 식이 x의 값에 관계없이 항상 성립하므로, 즉 x에 대한 항등
이어야 한다.
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07
일차방정식의 활용
Ⅲ 문자와 식
양변에 12를 곱하면 4x+3x=42
7x=42 ∴ x=6
따라서 등산로의 길이는 6`km이다.
6`km
8`%의 소금물 200`g에서 x`g의 물을 증발시켰으므로
8270
10`%의 소금물의 양은 200-x `g이 된다.
4(x+8)=5x, 4x+32=5x
8190
4x-5x=-32, -x=-32 ∴ x=32
4(x+8)=5x, x=32
(소금의 양)=
_(소금물의 양)이므로
(소금물의 농도)
100
10`%의 소금물에 들어 있는 소금의 양은
_(200-x) 이다.
;1Á0¼0;
3(x-7)=2(x+2), 3x-21=2x+4
8200
3x-2x=4+21 ∴ x=25
방정식을 세우면
3(x-7)=2(x+2), x=25
;10*0;
_200=
_(200-x)
;1Á0¼0;
사과를 x개 샀으므로 귤은 (20-x)개 샀다.
8210
500x+100(20-x)=3600, 500x+2000-100x=3600
400x=1600 ∴ x=4
500x+100(20-x)=3600, x=4
(직사각형의 둘레의 길이)
8220
=2{(가로의 길이)+(세로의 길이)}
이므로 2(6+x)=30, 12+2x=30
2x=18 ∴ x=9
200-x,
_(200-x),
_(200-x)
;1Á0¼0;
;1Á0¼0;
8280
8
100
10
100
_200=
_(200-x)에서
양변에 100을 곱하면 1600=2000-10x
10x=400 ∴ x=40
40
8290
다.
따라서 40 `g의 물을 증발시키면 10`%의 소금물이 된
40
2(6+x)=30, x=9
더 넣은 물의 양을 x`g이라 하면 5`%의 소금물의 양은
8300
(500+x)g이다.
8230
(시간)=
(거리)
(속력)
이므로
(갈 때 걸린 시간)= ;2{;
(시간), (올 때 걸린 시간)= ;3{;
(시간)
방정식을 세우면
;2{; + ;3{; =5
,
,
,
;2{;
;3{;
;2{;
;3{;
8240
+
;2{;
;3{;
=5에서 양변에 6을 곱하면
3x+2x=30, 5x=30
∴ x=6
8250
따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 6 km이다.
6
6
8`%
물
5`%
+
=
500`g
x`g
(500+x) g
물을 넣기 전이나 물을 넣은 후의 소금의 양은 변하지 않으므로
8
100
_500=
_(500+x)
5
100
양변에 100을 곱하면 4000=2500+5x
-5x=-1500 ∴ x=300
따라서 300`g의 물을 넣으면 된다.
300`g
등산로의 길이를 x`km라 하면
8260
(올라갈 때 걸린 시간)+(내려올 때 걸린 시간)=3시간 30분
이므로
+
=3
,
;6#0);
;3{;
+
;4{;
=
;2&;
;4{;
;3{;
8310
어떤 수를 x라 하면
2(x-4)=
x+2
;3!;
07. 일차방정식의 활용 71
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6(x-4)=x+6, 6x-24=x+6
5x=30 ∴ x=6
따라서 어떤 수는 6이다.
작은 수를 x라 하면 큰 수는 x+8이므로
8320
x+8=5x-4
-4x=-12 ∴ x=3
따라서 작은 수는 3이다.
큰 수를 x라 하면 작은 수는 38-x이다.
8330
큰 수를 작은 수로 나누었을 때 몫은 3이고 나머지는 2이므로
x=(38-x)_3+2, x=114-3x+2
4x=116 ∴ x=29
따라서 큰 수는 29이다.
⑴ 어떤 수를 x라 하면
8340
2x+5=(5x+2)-6
-3x=-9 ∴ x=3
따라서 어떤 수는 3이다.
⑵ 어떤 수가 3이므로 처음 구하려고 했던 수는
3_5+2=17
⑴ 3 ⑵ 17
단계
채점요소
방정식 세우기
어떤 수 구하기
처음 구하려고 했던 수 구하기
연속하는 세 짝수를 x-2, x, x+2라 하면
8350
(x-2)+x+(x+2)=114, 3x=114 ∴ x=38
따라서 연속하는 세 짝수는 36, 38, 40이므로 가장 작은 수는 36
이다.
3
배점
40 %
30 %
30 %
③
27
72 정답과 풀이
연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면
8370
4x=(x-1)+(x+1)+30
4x=2x+30, 2x=30 ∴ x=15
6
따라서 연속하는 세 자연수는 14, 15, 16이므로 세 자연수의 합은
14+15+16=45
연속하는 세 짝수를 x-2, x, x+2라 하면
8380
3(x+2)=2{(x-2)+x}+4
3x+6=4x-4+4
-x=-6 ∴ x=6
따라서 세 짝수는 4, 6, 8이다.
29
단계
채점요소
방정식 세우기
방정식 풀기
세 짝수 구하기
처음 자연수의 십의 자리의 숫자를 x라 하면
8390
처음 자연수는 x_10+3_1=10x+3,
바꾼 자연수는 3_10+x_1=30+x이므로
30+x=10x+3+9, -9x=-18 ∴ x=2
따라서 처음 자연수는 23이다.
십의 자리의 숫자를 x라 하면 일의 자리의 숫자가 3이므
8400
로 이 자연수는 x_10+3_1=10x+3이고, 각 자리의 숫자의
합은 x+3이므로
10x+3=7(x+3)-3
10x+3=7x+21-3, 3x=15 ∴ x=5
따라서 구하는 자연수는 53이다.
십의 자리의 숫자를 x라 하면 일의 자리의 숫자는 x+2
8410
이므로 구하는 자연수는 x_10+(x+2)_1=11x+2이다. 각
②
4, 6, 8
배점
40 %
40 %
20 %
23
④
46
연속하는 세 홀수를 x-2, x, x+2라 하면
8360
(x-2)+x+(x+2)=75
3x=75 ∴ x=25
자리의 숫자의 합은 2x+2이므로
11x+2=3(2x+2)+16
11x+2=6x+6+16, 5x=20 ∴ x=4
따라서 연속하는 세 홀수는 23, 25, 27이므로 가장 큰 수는 27이다.
따라서 구하는 자연수는 46이다.
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8420
의 숫자는 12-x이고
처음 자연수의 십의 자리의 숫자를 x라 하면 일의 자리
동생의 예금액은 (32000+10x)원이므로
124000=2(32000+10x)
처음 자연수는 x_10+(12-x)_1=10x+(12-x),
바꾼 자연수는 (12-x)_10+x_1=10(12-x)+x
124000=64000+20x
이므로
-20x=-60000 ∴ x=3000
3000
배점
60 %
40 %
6개
6마리
1300원
57
배점
30 %
30 %
10 %
16세
39세
10(12-x)+x=10x+(12-x)+18
120-10x+x=10x+12-x+18
-18x=-90 ∴ x=5
따라서 처음 자연수는 57이다.
단계
채점요소
처음 자연수와 바꾼 자연수를 미지수 x를 사용하여 나타내기 30 %
방정식 세우기
방정식 풀기
처음 자연수 구하기
단계
방정식 세우기
x의 값 구하기
채점요소
과자를 x개 샀다고 하면 아이스크림은 (10-x)개 샀으
8470
므로
700x+500(10-x)=7000-800
700x+5000-500x=6200, 200x=1200 ∴ x=6
따라서 과자는 6개를 샀다.
8480
이때 개의 다리의 수의 합이 4x개, 닭의 다리의 수의 합이
농장에 개가 x마리 있다고 하면 닭은 (12-x)마리 있다.
현재 아들의 나이를 x세라 하면 아버지의 나이는
8430
(58-x)세이므로
58-x+10=2(x+10), 68-x=2x+20
-3x=-48 ∴ x=16
따라서 현재 아들의 나이는 16세이다.
2(12-x)개이므로
4x+2(12-x)=36
4x+24-2x=36
2x=12 ∴ x=6
따라서 개는 6마리이다.
현재 아버지의 나이를 x세라 하면 아들의 나이는
8440
(x-24)세이므로
x+5=2(x-24+5)+4, x+5=2(x-19)+4
x+5=2x-34 ∴ x=39
따라서 현재 아버지의 나이는 39세이다.
공책 한 권의 가격을 x원이라 하면
8490
철수는 (3000-2x)원, 영희는 (2000-x-300)원이 남으므로
3000-2x=2000-x-300, -x=-1300 ∴ x=1300
따라서 공책 한 권의 가격은 1300원이다.
x개월 후의 형의 예금액은 (30000+500x)원이고,
8450
x개월 후의 동생의 예금액은 (15000+3000x)원이므로
15000+3000x=3(30000+500x)
15000+3000x=90000+1500x
1500x=75000 ∴ x=50
따라서 50개월 후이다.
장미를 x송이 샀다고 하면 백합은 (15-x)송이 샀으므로
8500
500x+700(15-x)+1500=10000
500x+10500-700x+1500=10000
-200x=-2000 ∴ x=10
따라서 장미는 10송이, 백합은 5송이 샀다.
장미：10송이, 백합：5송이
10개월 후의 언니의 예금액은
8460
74000+5000_10=124000(원)
(12+4)_(12-x)=16(12-x)(cmÛ`)이므로
16(12-x)=144-32
50개월 후
처음 정사각형의 넓이는 12_12=144(cmÛ`)이고,
8510
새로 만든 직사각형의 넓이는
07. 일차방정식의 활용 73
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2017-06-29 오후 7:57:59
192-16x=112, -16x=-80 ∴ x=5
아이스크림 한 개의 가격을 x원이라 하면
8560
아이스크림 6개를 사면 1400원이 남으므로 가지고 있는 돈은
5
8520
처음 사다리꼴의 넓이가
_(3+7)_6=30(cmÛ`)이므로
;2!;
;2!;_
(3+7+x)_6=30+6, 3(10+x)=36
30+3x=36, 3x=6 ∴ x=2
아이스크림 9개를 사면 400원이 부족하므로 가지고 있는 돈은
(6x+1400)원
(9x-400)원
이때 ㉠=㉡이므로
6x+1400=9x-400, -3x=-1800 ∴ x=600
따라서 아이스크림 한 개의 가격은 600원이다.
2
직사각형의 세로의 길이를 x`m라 하면 가로의 길이는
8530
(3x-2)m이다.
이때 직사각형의 둘레의 길이가 44`m이므로
2{x+(3x-2)}=44
2(4x-2)=44, 8x-4=44
8x=48 ∴ x=6
따라서 가로의 길이는 3_6-2=16(m)
오늘 모임에 참여한 사람 수를 x명이라 하면
8570
한 사람에게 7개씩 나누어 주면 4개가 모자라므로 기념품의 개수
는 (7x-4)개
(6x+3)개
에서
한 사람에게 6개씩 나누어 주면 3개가 남으므로 기념품의 개수는
나누어 주는 방법에 관계없이 기념품의 개수는 같으므로 ㉠=㉡
16`m
7x-4=6x+3 ∴ x=7
따라서 기념품의 개수는
7x-4=7_7-4=45(개)
yy ㉠
yy ㉡
④
yy ㉠
yy ㉡
③
(도로를 만들기 전 땅의 넓이)=20_15=300(mÛ`)
8540
(도로의 넓이)=20_2+x_15-x_2=13x+40(mÛ`)
(도로를 만들기 전 땅의 넓이)-(도로의 넓이)=221(mÛ`)이므로
300-(13x+40)=221, 300-13x-40=221
-13x=-39 ∴ x=3
다른풀이
오른쪽 그림과 같이 직선 도로를 가장
(20-x)m
x`m
자리로 이동시키면 직선 도로를 제외
한 땅은 가로의 길이가 (20-x)m,
세로의 길이가 13`m인 직사각형 모양
13`m
2`m
이므로
(20-x)_13=221 ∴ x=3
학생 수를 x명이라 하면
8550
한 학생에게 5개씩 나누어 주면 3개가 남으므로 귤의 개수는
한 학생에게 6개씩 나누어 주면 13개가 부족하므로 귤의 개수는
(5x+3)개
(6x-13)개
yy ㉠
yy ㉡
나누어 주는 방법에 관계없이 귤의 개수는 같으므로 ㉠=㉡에서
5x+3=6x-13, -x=-16 ∴ x=16
따라서 학생 수는 16명이고 귤의 개수는
5x+3=5_16+3=83(개)
74 정답과 풀이
작년의 남학생 수를 x명이라 하면
8580
작년의 여학생 수는 (1600-x)명이므로
3
올해의 남학생 수는 x+
x=
;10%0;
;1!0)0%;
x(명)
올해의 여학생 수는
(1600-x)-
(1600-x)=
(1600-x)(명)
;10#0;
;1»0¦0;
15`m
올해의 학생 수는 전체적으로 16명이 증가하였으므로
20`m
x+
;1!0)0%;
;1»0¦0;
(1600-x)=1600+16
105x+97(1600-x)=161600
105x+155200-97x=161600
8x=6400 ∴ x=800
따라서 올해의 남학생 수는
_800=840(명)
;1!0)0%;
840명
증가한 양과 감소한 양을 이용하여 방정식을 세운다.
작년의 남학생 수를 x명이라 하면
(남학생 수 5`% 증가)+(여학생 수 3`% 감소)=16
다른풀이
이므로
x_
;10%0;
학생 수 : 16명, 귤의 개수 : 83개
-(1600-x)_
=16 ∴ x=800
;10#0;
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2017-06-29 오후 7:57:59
8590
작년의 회원 수를 x명이라 하면
x+
;10%0;
_x=1302
100x+5x=130200, 105x=130200
∴ x=1240
따라서 작년의 회원 수는 1240명이다.
작년의 여학생 수를 x명이라 하면
8600
작년의 남학생 수는 (400-x)명이므로
올해의 여학생 수는 x명
올해의 남학생 수는
(400-x)+
(400-x)=
(400-x)(명)
;1Á0¼0;
;1!0!0);
올해의 학생 수는 전체적으로 6`% 증가하였으므로
x+
;1!0!0);
(400-x)=400+400_
;10^0;
100x+44000-110x=40000+2400
-10x=-1600 ∴ x=160
따라서 작년의 여학생 수는 160명이다.
작년의 여학생 수를 x명이라 하면
8610
작년의 남학생 수는 (560-x)명이므로
올해의 여학생 수는 x+
x=
;1Á0¼0;
;1!0!0);
x(명)
올해의 남학생 수는 (560-x)-4=556-x(명)
올해의 학생 수는 전체적으로 5`% 증가하였으므로
;1!0!0);
x+(556-x)=560+560_
;10%0;
110x+55600-100x=56000+2800
10x=3200 ∴ x=320
따라서 올해의 여학생 수는
_320=352(명)
;1!0!0);
다른풀이
작년의 여학생 수를 x명이라 하면
(여학생 수 10`% 증가)+(남학생 수 4명 감소)
=(전체적으로 5`% 증가)
이므로
_x-4=
_560 ∴ x=320
;1Á0¼0;
;10%0;
8620
읽은 책의 전체 쪽수를 x쪽이라 하면
x+
x+30=x
;4!;
;2!;
x+2x+120=4x, -x=-120
∴ x=120
따라서 책의 전체 쪽수는 120쪽이다.
1240명
8630
여행한 총 시간을 x시간이라 하면
x+
x+8+
x+5=x
;4!;
;5!;
;3!;
15x+12x+480+20x+300=60x
-13x=-780 ∴ x=60
따라서 여행한 총 시간은 60시간이다.
8640
피타고라스의 제자의 수를 x명이라 하면
x+
x+
x+3=x
;2!;
;4!;
;7!;
14x+7x+4x+84=28x
-3x=-84 ∴ x=28
따라서 피타고라스의 제자는 28명이다.
160명
올라간 거리를 x`km라 하면
8650
(올라갈 때 걸린 시간)+(내려올 때 걸린 시간)=3시간 20분
이므로
+
=3
,
;6@0);
;3{;
+
;2{;
=
:Á3¼:
;2{;
;3{;
2x+3x=20
5x=20 ∴ x=4
따라서 내려올 때 걸린 시간은
=2(시간)
;2$;
8660
두 지점 A, B 사이의 거리를 x`km라 하면
(갈 때 걸린 시간)+(올 때 걸린 시간)=54분=
시간
;6%0$;
352명
이므로
=
,
+
=
;5{;+;4{;
;1»0;
;6%0$;
4x+5x=18, 9x=18 ∴ x=2
;5{;
;4{;
②
60시간
28명
③
2`km
시속 80`km로 간 거리를 x`km라 하면 시속 100`km로
8670
간 거리는 (70-x)km이다.
온천까지 가는 데 모두 48분
{
;6$0*;
70-x
100
70-x
100
x
80
x
80
;6$0*;
=
=
+
+
,
시간
}
=
;5$;
5x+4(70-x)=320
이 걸렸으므로
07. 일차방정식의 활용 75
증가한 양과 감소한 양을 이용하여 방정식을 세운다.
따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 2`km이다.
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5x+280-4x=320 ∴ x=40
따라서 시속 80`km로 간 거리는 40`km이다.
따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 36`km이다.
③
갈 때의 거리를 x`km라 하면 돌아올 때의 거리는
8680
(x+30)km이다.
(가는 데 걸린 시간)+(돌아오는 데 걸린 시간)=4시간
이므로
+
x
80
x+30
60
=4
3x+4(x+30)=960, 3x+4x+120=960
7x=840 ∴ x=120
따라서 갈 때의 거리는 120`km, 돌아올 때의 거리는
120+30=150(km)이므로 돌아오는 데 걸린 시간은
시간=2
시간=2시간 30분
:Á6°0¼:
;6#0);
단계
채점요소
방정식 세우기
방정식 풀기
돌아오는 데 걸린 시간 구하기
2시간 30분
배점
40 %
30 %
30 %
두 지점 A, B 사이의 거리를 x`km라 하면
8690
(시속 60`km로 왕복하는 데 걸린 시간)
-(시속 70`km로 왕복하는 데 걸린 시간)=5분=
시간
;6°0;
이므로
-
;6@0{;
;7@0{;
=
5
60
14x-12x=35
2x=35 ∴ x=17.5
따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 17.5`km이다.
두 지점 A, B 사이의 거리를 x`km라 하면
8700
(시속 15`km로 가는 데 걸린 시간)
-(시속 40`km로 가는 데 걸린 시간)=1시간 30분
이므로
-
;1Ó5;
;4Ó0;
=1
,
;6#0);
;1Ó5;
-
;4Ó0;
=
;2#;
8x-3x=180, 5x=180
∴ x=36
76 정답과 풀이
단계
채점요소
방정식 세우기
방정식 풀기
두 지점 A, B 사이의 거리 구하기
집에서 극장까지의 거리를 x`km라 하면
8710
(시속 5`km로 갈 때 걸린 시간)
-(시속 7`km로 갈 때 걸린 시간)=20분=
시간
;6@0);
이므로
-
=
,
-
=
';
;7{
;5{;
;3!;
;6@0);
;7{
';
;5{;
21x-15x=35
6x=35 ∴ x=
:£6°:
따라서 집에서 극장까지의 거리는
`km이다.
:£6°:
형이 출발한 지 x분 후에 동생을 만난다고 하면
8720
(형이 자전거를 타고 간 거리)=(동생이 걸은 거리)
이므로 250x=100(x+6), 250x=100x+600
따라서 형은 출발한 지 4분 후에 동생을 만나게 된다.
36`km
배점
50 %
40 %
10 %
③
③
150x=600
∴ x=4
8730
하면
이므로
아빠가 출발한 지 x시간 후에 엄마가 아빠를 만난다고
(아빠가 오토바이를 타고 간 거리)=(엄마가 차를 타고 간 거리)
60x=80
{
x-
;6!0%;}
, 60x=80x-20
-20x=-20 ∴ x=1
①
따라서 아빠가 출발한지 1시간 후에 엄마가 아빠를 만난다.
1시간 후
늦게 출발한 차가 목적지에 도착할 때까지 걸린 시간을
8740
x시간이라 하면
(먼저 출발한 차가 달린 거리)=(늦게 출발한 차가 달린 거리)
이므로
60
x+
{
;6@0);}
=70x, 60x+20=70x
-10x=-20 ∴ x=2
따라서 늦게 출발한 차가 목적지에 도착할 때까지 2시간이 걸렸
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 76
2017-06-29 오후 7:58:01
으므로 출발지에서 목적지까지의 거리는
2000=1600+8x
70_2=140(km)
④
-8x=-400 ∴ x=50
따라서 50`g의 물을 넣어야 한다.
A, B 두 사람이 출발한 지 x분 후에 처음으로 만난다고
8750
하면
된다.
8760
④
50`g
배점
40 %
40 %
20 %
②
( A가 걸은 거리)+( B가 걸은 거리)=3000(m)
이므로 80x+70x=3000
150x=3000 ∴ x=20
따라서 A, B 두 사람은 출발한 지 20분 후에 처음으로 만나게
x`g의 물을 증발시킨다고 하면 물을 증발시키기 전이나
8790
물을 증발시킨 후의 소금의 양은 변하지 않으므로
_250=
_(250-x)
;10*0;
;1Á0¼0;
배점
60 %
40 %
20분 후
2000=2500-10x
10x=500 ∴ x=50
따라서 50`g의 물을 증발시켜야 한다.
단계
채점요소
방정식 세우기
방정식 풀기
증발시키는 물의 양 구하기
⑴ 두 사람이 출발한 지 x분 후에 만난다고 하면
(하늘이가 걸은 거리)+(수영이가 걸은 거리)=1400(m)
이므로 80x+60x=1400
140x=1400 ∴ x=10
따라서 두 사람은 출발한 지 10분 후에 만나게 된다.
⑵ 두 사람이 만날 때까지 하늘이가 걸은 거리는
80_10=800(m)이므로 두 사람이 만나는 지점은 하늘이네
집에서 800`m만큼 떨어진 곳이다.
⑴ 10분 후 ⑵ 800`m
8800
처음 소금물의 농도를 x`%라 하면
x`%
물
12`%
+
=
단계
채점요소
두 사람이 출발한 지 몇 분 후에 만나게 되는지 구하기
만나는 지점은 하늘이네 집에서 얼마만큼 떨어진 곳인지 구
하기
240`g
60`g
(240+60) g
물을 넣기 전이나 물을 넣은 후의 소금의 양은 변하지 않으므로
형과 동생이 출발한 지 x분 후에 처음으로 만난다고 하면
8770
(형이 x분 동안 걷는 거리)-(동생이 x분 동안 걷는 거리)
;10{0;
_240=
(240+60)
;1Á0ª0;
240x=3600 ∴ x=15
따라서 처음 소금물의 농도는 15`%이다.
=1100(m)
이므로 60x-50x=1100
10x=1100 ∴ x=110
따라서 형과 동생은 출발한 지 110분 후에 처음으로 만난다.
8810
처음 설탕물의 농도를 x`%라 하면
110분 후
x`%
물
16`%
-
=
8780
넣은 물의 양을 x`g이라 하면
400`g
100`g
(400-100) g
10`%
물
8`%
물을 증발시키기 전이나 물을 증발시킨 후의 설탕의 양은 변하지
+
=
않으므로
200`g
x`g
(200+x) g
물을 넣기 전이나 물을 넣은 후의 소금의 양은 변하지 않으므로
_200=
_(200+x)
;1Á0¼0;
;10*0;
;10{0;
_400=
(400-100)
;1Á0¤0;
4x=48 ∴ x=12
따라서 처음 설탕물의 농도는 12`%이다.
12`%
07. 일차방정식의 활용 77
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2017-06-29 오후 7:58:02
8820
20`%의 소금물의 양을 x`g이라 하면
섞기 전 소금의 양의 합과 섞은 후 소금물에 들어 있는 소금의 양
따라서 처음 20`%의 소금물의 양은 700`g이다.
③
8860
20`%의 소금물을 x`g 섞는다고 하면
20`%
30`%
+
소금
100`g
=
x`g
(x+100) g
;1ª0¼0;
_x+100=
_(x+100)
;1£0¼0;
20x+10000=30x+3000
-10x=-7000 ∴ x=700
8830
더 넣어야 하는 소금의 양을 x`g이라 하면
10`%
20`%
+
소금
x`g
=
200`g
(200+x) g
;1Á0¼0;
_200+x=
_(200+x)
;1ª0¼0;
2000+100x=4000+20x
80x=2000 ∴ x=25
따라서 25`g의 소금을 더 넣어야 한다.
8840
(500+290+x)g이다.
6`%
물
5`%
+
+
소금
x`g
=
은 같으므로
_200+30=
_300
;10{0;
2x
100
200x+3000=600x
-400x=-3000 ∴ x=7.5
따라서 처음의 소금물의 농도는 7.5`%이다.
7.5`%
10`%
20`%
12`%
+
=
100`g
x`g
(100+x) g
섞기 전 두 소금물에 들어 있는 소금의 양의 합과 섞은 후 소금물
에 들어 있는 소금의 양은 같으므로
;1Á0¼0;
_100+
_x=
_(100+x)
;1ª0¼0;
;1Á0ª0;
1000+20x=1200+12x
8x=200 ∴ x=25
따라서 20`%의 소금물은 25`g을 섞어야 한다.
11`%
x`%
13`%
+
=
200`g
100`g
300`g
에 들어 있는 소금의 양은 같으므로
_200+
_100=
_300
;1Á0Á0;
;10{0;
;1Á0£0;
22+x=39 ∴ x=17
②
17
x`g의 소금을 더 넣는다고 하면 5`%의 소금물의 양은
8870
13`%의 소금물의 양은 200+100=300(g)이다.
25`g
500`g
290`g
(500+290+x) g
섞기 전 두 소금물에 들어 있는 소금의 양의 합과 섞은 후 소금물
섞기 전 소금의 양의 합과 섞은 후 소금물에 들어 있는 소금의 양
은 같으므로
_500+x=
_(500+290+x)
;10^0;
;10%0;
3000+100x=2500+1450+5x
95x=950 ∴ x=10
따라서 더 넣어야 하는 소금의 양은 10`g이다.
3`%의 소금물을 x`g 섞는다고 하면
8880
8`%의 소금물의 양은 (100-x)g이다.
10`g
섞기 전 두 소금물에 들어 있는 소금의 양의 합과 섞은 후 소금물
처음 소금물의 농도를 x`%라 하면 나중 소금물의 농도
8850
는 2x`%이고 나중 소금물의 양은 200+70+30=300(g)이다.
에 들어 있는 소금의 양은 같으므로
_x+
_(100-x)=
_100
;10#0;
;10*0;
;10^0;
x`%
물
2x`%
+
+
소금
30`g
=
200`g
70`g
300`g
3x+800-8x=600
-5x=-200 ∴ x=40
78 정답과 풀이
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2017-06-29 오후 7:58:03
따라서 3`%의 소금물은 40`g을 섞어야 한다.
x+
x=
x(원)이고, 정가에서 400원을 할인한 판매 가격은
;2!;
;2#;
단계
채점요소
방정식 세우기
방정식 풀기
3`%의 소금물의 양 구하기
40`g
배점
50 %
40 %
10 %
원이다.
x-400
}
{;2#;
(이익)=(판매 가격)-(원가)이므로
800=
x-400
}
{;2#;
-x
1600=3x-800-2x
-x=-2400 ∴ x=2400
따라서 물건의 원가는 2400원이다.
더 넣은 물의 양을 x`g이라 하면 8`%의 소금물의 양은
8890
240-120-x=120-x(g)이다.
6`%
8`%
물
5`%
8920
상품의 정가를 x원이라 하면
+
+
=
정가의 20`%를 할인한 판매 가격은
x-x_
{
20
100 }
=
x (원)
;5$;
120`g
(120-x)`g
x`g
240`g
섞기 전 소금의 양의 합과 섞은 후 소금물에 들어 있는 소금의 양
은 같으므로
_120+
_(120-x)=
_240
;10^0;
;10*0;
;10%0;
720+960-8x=1200
-8x=-480 ∴ x=60
따라서 더 넣은 물의 양은 60`g이다.
이고, (이익)=(판매 가격)-(원가)이므로
;1Á0°0;
_8000=
x-8000
;5$;
120000=80x-800000
-80x=-920000 ∴ x=11500
따라서 상품의 정가는 11500원이다.
2400원
11500원
8930
원가를 a원이라 하면
60`g
원가의 x할의 이익은 a_
(원)이므로 정가는
;1Ó0;
a+a_
;1Ó0;
=a
{
1+
;1Ó0;}
(원)이다.
또한, 판매 가격은 정가에서 20`% 할인하였으므로
(판매 가격)=a
1+
{
;1Ó0;}
1+
-a
{
;1Ó0;}
_
;1ª0¼0;
=
1+
a
{
;5$;
;1Ó0;}
(원)
이때 원가의 20`%의 이익이 생겼으므로
UP
8900
선풍기의 원가를 x원이라 하면
원가의 20`%의 이익은 x_
=
x(원)이므로 정가는
;1ª0¼0;
;5!;
x+
x=
x(원)이고, 정가에서 5000원을 할인한 판매 가격은
;5!;
;5^;
a
1+
;5$;
{
;1Ó0;}
-a=a_
;1ª0¼0;
양변을 a로 나누면
1+
;5$;{
;1Ó0;}
-1=
;5!;
;5$;+;2ª5;
x-1=
;5!;
20+2x-25=5, 2x=10 ∴ x=5
x-5000
}
{;5^;
원이다.
(이익)=(판매 가격)-(원가)이므로
3000=
x-5000
}
{;5^;
-x
15000=6x-25000-5x
-x=-40000 ∴ x=40000
따라서 선풍기의 원가는 40000원이다.
5
8940
전체 일의 양을 1이라 하면 형과 동생이 하루 동안 하는
일의 양은 각각
1
12
,
1
20
이다.
형과 동생이 x일 동안 함께 일을 했다고 하면
_4+
+
{;1Á2;
;2Á0;}
_x=1,
+
x=1
;5!;
;6¥0;
;2Á0;
8910
물건의 원가를 x원이라 하면
원가의 50`%의 이익은 x_
=
x(원)이므로 정가는
;1°0¼0;
;2!;
40000원
12+8x=60
8x=48 ∴ x=6
따라서 형과 동생은 6일 동안 함께 일을 하였다.
6일
07. 일차방정식의 활용 79
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 79
2017-06-29 오후 7:58:04
8950
전체 일의 양을 1이라 하면 승범이와 은모가 하루 동안
참고
x개
(x-1)개
6명씩 앉는다.
1개
2명
하는 일의 양은 각각
1
10
,
1
20
이다.
승범이가 x일 동안 일을 했다고 하면
_x+
_(x+5)=1
;1Á0;
;2Á0;
2x+x+5=20
3x=15 ∴ x=5
따라서 승범이는 5일 동안 일을 하였다.
이므로 학생 수는 {7(x-2)+2}명
긴 의자의 개수를 x개라 하면 한 의자에 6명씩 앉을 때
8990
의 학생 수는 (6x+3)명
한 의자에 7명씩 앉으면 7명이 모두 앉게 되는 의자는 (x-2)개
yy ㉠
yy ㉡
5일
이때 ㉠=㉡이므로
6x+3=7(x-2)+2
8960
전체 일의 양을 1이라 하면 태진이와 창민이가 하루 동
안 하는 일의 양은 각각
1
20
,
1
30
이다.
둘이 함께 x일 동안 일을 했다고 하면
+
{;2Á0;
;3Á0;}
_x+
_10=1,
;2Á0;
x+
=1
;2!;
;6°0;
5x+30=60
5x=30 ∴ x=6
6x+3=7x-12, -x=-15
∴ x=15
따라서 긴 의자의 개수는 15개이고, 학생 수는
6_15+3=93(명)
따라서 둘이 함께 6일 동안 일을 했으므로 일을 완성하는 데 걸린
기간은 총 6+10=16(일)
단계
채점요소
긴 의자의 개수：15개, 학생 수：93명
16일
방정식 세우기
방정식 풀기
긴 의자의 개수, 학생 수 구하기
8970
물통에 가득 찬 물의 양을 1이라 하면 A, B호스는 한
시간 동안 각각
만큼의 물을 채우고, C호스는 한 시간 동
참고
1
3
,
;4!;
안
만큼의 물을 빼낸다.
1
6
x개
(x-2)개
1개1개
7명씩 앉는다.
2명
빈 의자
물통에 물을 가득 채우는 데 x시간이 걸린다고 하면
x+
x-
x=1, 4x+3x-2x=12
;3!;
;4!;
;6!;
5x=12 ∴ x=
:Á5ª:
따라서 물통에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간은
(시간)=2
(시간)=2시간 24분
:Á5ª:
;5@;
보트의 수를 x척이라 하면
9000
한 보트에 5명씩 탈 때의 학생 수는 (5x+1)명
한 보트에 7명씩 타면 7명이 모두 타는 보트는 (x-2)척이므로
학생 수는 {7(x-2)+1}명
이때 ㉠=㉡이므로
5x+1=7(x-2)+1
2시간 24분
5x+1=7x-13, -2x=-14
∴ x=7
따라서 보트의 수가 7척이므로 학생 수는
5_7+1=36(명)
긴 의자의 개수를 x개라 하면 한 의자에 5명씩 앉을 때
8980
의 학생 수는 (5x+4)명
한 의자에 6명씩 앉으면 6명이 모두 앉게 되는 의자는 (x-1)개
yy ㉠
yy ㉡
이므로 학생 수는 {6(x-1)+2}명
이때 ㉠=㉡이므로
5x+4=6(x-1)+2
텐트의 수를 x개라 하면
9010
한 텐트에 3명씩 자면 9명이 남으므로 학생 수는
5x+4=6x-4, -x=-8 ∴ x=8
(3x+9)명
따라서 긴 의자의 개수는 8개이고, 학생 수는
한 텐트에 4명씩 자면 4명이 모두 자는 텐트는 (x-26)개이므
5_8+4=44(명)
로 학생 수는 {4(x-26)+3}명
긴 의자의 개수：8개, 학생 수：44명
이때 ㉠=㉡이므로 3x+9=4(x-26)+3
배점
50 %
30 %
20 %
yy ㉠
yy ㉡
36명
yy ㉠
yy ㉡
80 정답과 풀이
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 80
2017-06-29 오후 7:58:05
3x+9=4x-101, -x=-110
바꾼 자연수는 8_10+x_1=80+x이므로
∴ x=110
따라서 텐트의 수는 110개이고, 학생 수는
3_110+9=339(명)
80+x=2(10x+8)+7
80+x=20x+16+7
-19x=-57 ∴ x=3
텐트의 수 : 110개, 학생 수 : 339명
따라서 처음 수는 38이다.
참고
x개
(x-26)개
4명씩 잔다.
1개
3명
25개
빈 텐트
38
x일 후에 우찬이가 가지고 있는 돈은
9060
(50000-1000x)원, x일 후에 세진이가 가지고 있는 돈은
9020
열차의 길이를 x`m라 하면 1300`m의 터널을 완전히
(31000-1000x)원이므로
통과할 때의 열차의 속력은 초속
`m이고, 400`m의 다
50000-1000x=2(31000-1000x)
리를 완전히 통과할 때의 열차의 속력은 초속
`m이다.
400+x
15
50000-1000x=62000-2000x
1000x=12000 ∴ x=12
1300+x
40
이때 열차의 속력은 일정하므로
1300+x
40
=
400+x
15
3(1300+x)=8(400+x)
3900+3x=3200+8x, -5x=-700 ∴ x=140
따라서 열차의 길이는 140`m이다.
9070
2x`cm이다.
140`m
기차의 길이를 x`m라 하면 1600`m인 다리를 완전히
9030
통과하는 데 40초가 걸리므로
∴ x=20
1600+x
45
=40
(거리)
(속력)
=(시간)
1600+x=1800 ∴ x=200
따라서 기차의 길이는 200`m이다.
따라서 우찬이가 가지고 있는 돈이 세진이가 가지고 있는 돈의 2
배가 되는 것은 12일 후이다.
12일 후
직사각형의 세로의 길이를 x`cm라 하면 가로의 길이는
이때 직사각형의 둘레의 길이가 120`cm이므로
2(2x+x)=120, 6x=120
따라서 직사각형의 가로의 길이는 2_20=40(cm)이다.
40`cm
9080
다고 하면
④
아버지가 출발한 지 x시간 후에 아버지가 어머니를 만난
(어머니가 간 거리)=(아버지가 간 거리)
기차의 속력을 초속 x`m라 하면 960`m의 터널을 완전히
9040
통과하는 데 30초가 걸리므로
이므로 70
x+
=100x
{
;6»0;}
x_30=960+240
(속력)_(시간)=(거리)
30x=1200 ∴ x=40
따라서 기차의 속력이 초속 40`m이고, 기차가 터널을 통과하느
70x+
=100x, 420x+63=600x
:¤6£:
-180x=-63 ∴ x=
;2¦0;
라 보이지 않는 동안 달린 거리는
따라서 아버지가 집에서 출발한 지
시간, 즉 21분 후에 어머
7
20
(터널의 길이)-(기차의 길이)=960-240=720(m)
니를 만난다.
이므로 기차는
=18(초) 동안 보이지 않았다.
:¦4ª0¼:
③
9090
수를 x라 하면 나머지 4개의 숫자는 오른
`모양으로 선택할 때 가운데
쪽 그림과 같으므로
x-1
x
x+1
x-7
x+7
(x-7)+(x-1)+x+(x+1)+(x+7)=115
5x=115 ∴ x=23
따라서 가운데 수는 23이다.
③
23
07. 일차방정식의 활용 81
처음 자연수의 십의 자리의 숫자를 x라 하면
9050
처음 자연수는 x_10+8_1=10x+8,
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 81
2017-06-29 오후 7:58:06
(길을 내기 전 잔디밭의 넓이)=30_25=750(mÛ`)
9100
(길의 넓이)=30_x+6_25-6_x=24x+150(mÛ`)
4x+5=5(x-4)+4
4x+5=5x-16, -x=-21 ∴ x=21
(길을 내기 전 잔디밭의 넓이)-(길의 넓이)=480(mÛ`)
따라서 긴 의자의 개수는 21개이므로 학생 수는
이므로 750-(24x+150)=480
4_21+5=89(명)
⑤
750-24x-150=480, -24x=-120 ∴ x=5
참고
5
x개
(x-4)개
1개
3개
5명씩 앉는다.
4명
빈 의자
오른쪽 그림과 같이 길을 가장자리로
(30-6)`m 6`m
이동시키면 길을 제외한 잔디밭은 가
로의 길이가 (30-6)m, 세로의 길
(25-x)`m
이가 (25-x)m인 직사각형 모양이
x`m
다른풀이
므로
(30-6)(25-x)=480, 24(25-x)=480
25-x=20 ∴ x=5
9140
전체 일의 양을 1이라 하면 A와 B가 하루 동안 하는 일
의 양은 각각
,
이다.
1
16
;8!;
둘이 함께 x일 동안 일을 했다고 하면
_2+
+
{;8!;
;1Á6;}
;8!;
_x=1
+
;4!;
;1£6;
x=1, 4+3x=16
3x=12 ∴ x=4
두 사람이 출발한 지 x초 후에 처음으로 만난다고 하면
9110
(현정이가 x초 동안 달린 거리)-(성현이가 x초 동안 달린 거리)
따라서 A가 일한 기간은 2+4=6(일)
6일
=480(m)
이므로 10x-7x=480
3x=480 ∴ x=160
된다.
즉, 160초 후에 처음으로 만나므로 160초마다 한 번씩 만난다.
따라서 16분=960초이므로 16분 동안 총
=6(번) 만나게
남자 지원자 수를 4x명이라 하면 여자 지원자 수는 3x명이므로
960
160
9150
남자 합격자 수：160_
=100(명)
5
5+3
여자 합격자 수：160_
=60(명)
3
5+3
남자 불합격자 수：(4x-100)명
6번
여자 불합격자 수：(3x-60)명
불합격자의 남녀의 비는 1：1이므로
4x-100=3x-60 ∴ x=40
따라서 입학 지원자의 수는
7x=7_40=280(명)
작년의 남학생 수를 x명이라 하면 작년의 여학생 수는
9120
(650-x)명이므로
올해의 남학생 수는 x+
8
100
x=
;1!0)0*;
x(명)
올해의 여학생 수는 (650-x)-2=648-x(명)
올해의 학생 수는 전체적으로 4`% 증가하였으므로
;1!0)0*;
x+(648-x)=650+650_
;10$0;
108x+64800-100x=65000+2600
8x=2800 ∴ x=350
따라서 올해의 남학생 수는
_350=378(명)
;1!0)0*;
9130
한 의자에 4명씩 앉을 때의 학생 수는 (4x+5)명
긴 의자의 개수를 x개라 하면
한 의자에 5명씩 앉으면 5명이 모두 앉게 되는 의자는 (x-4)개
이므로 학생 수는 {5(x-4)+4}명
이때 ㉠=㉡이므로
378명
yy ㉠
yy ㉡
82 정답과 풀이
280명
9160
⑴ 물건의 원가를 x원이라 하면
원가의 40`%의 이익은 x_
=
x(원)이므로 정가는
;1¢0¼0;
;5@;
x+
x=
x(원)이고, 정가에서 1600원을 할인한 판매 가격
7
5
;5@;
7
5
은
{
x-1600
}
원이다.
(이익)=(판매 가격)-(원가)이므로
1400=
x-1600
}
{;5&;
-x
7000=7x-8000-5x
-2x=-15000 ∴ x=7500
따라서 물건의 원가는 7500원이다.
⑵ 물건의 정가는
_7500=10500(원)
;5&;
⑴ 7500원 ⑵ 10500원
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2017-06-29 오후 7:58:07
4`%의 소금물의 양은 360-(300-x+x)=60(g)이다.
9170
소금의 양은 변함이 없으므로
따라서 A그릇의 소금물의 농도는
`%이다.
64
3
64
3
`%
분침은 1분에 360ùÖ60=6ù씩 움직이고,
9200
시침은 1시간에 360ùÖ12=30ù씩 움직이므로
시침은 1분에 30ùÖ60=0.5ù씩 움직인다.
⑴ 5시 x분에 시침과 분침이 일치한다고 하면
x분 동안 분침과 시침이 움직인 각도는 각각 6xù, 0.5xù이므
로
150+0.5x=6x, 300+x=12x
-11x=-300 ∴ x=
300
11
=27
;1£1;
따라서 5시 27
분에 시침과 분침이 일치한다.
3
11
4
11
⑵ 9시 x분에 시침과 분침이 서로 반대 방향으로 일직선을 이룬
다고 하면 x분 동안 분침과 시침이 움직인 각도는 각각 6xù,
0.5xù이므로
(270+0.5x)-6x=180, 270-5.5x=180
2700-55x=1800, -55x=-900
∴ x=
900
55
=
180
11
=16
;1¢1;
따라서 9시 16
분에 시침과 분침이 서로 반대 방향으로 일
직선을 이룬다.
⑴ 5시 27
3
11 분 ⑵ 9시 16
4
11 분
;10*0;
_300-
x+
;10*0;_
;10$0;
_60=
;10^0;
_360
2400-8x+240=2160
-8x=-480 ∴ x=60
단계
방정식 세우기
x의 값 구하기
채점요소
열차가 시속 60`km로 달린 거리를 x`km라 하면
9180
(시속 60`km로 달린 시간)+(시속 40`km로 달린 시간)
=(예상 소요 시간)+8분
이므로
x
60
+
42-x
40
=
+
;6$0@;
8
60
2x+3(42-x)=84+16
2x+126-3x=100
-x=-26 ∴ x=26
따라서 시속 60`km로 달린 거리는 26`km이다.
단계
채점요소
방정식 세우기
방정식 풀기
시속 60`km로 달린 거리 구하기
60
배점
70 %
30 %
26`km
배점
50 %
40 %
10 %
9190
Ú A그릇의 소금물 50`g을 B그릇에 넣고 섞은 후의 B
그릇의 소금물의 농도를 a`%라 하면
30
100
_200+
20
100
_50=
_250
;10A0;
6000+1000=250a, -250a=-7000
∴ a=28
따라서 섞은 후의 B그릇의 소금물의 농도는 28`%이다.
Û 섞은 후의 B그릇의 소금물 50`g을 A그릇에 넣고 섞은 후의
A그릇의 소금물의 농도를 b`%라 하면
_250+
20
100
5000+1400=300b, -300b=-6400
28
100
_50=
_300
;10B0;
∴ b=
64
3
알피엠_중1-1_해설_048~083_3단원_ok.indd 83
2017-06-29 오후 7:58:08
07. 일차방정식의 활용 83
08
좌표와 그래프
Ⅳ 좌표평면과 그래프
9210
A(-5), B
{
-
;2%;}
, C
{;2#;}
, D(4)
9220
D
C
-5
-4 -3 -2 -1
0
1
3
4
5
B
A
2
9230
A(3, 2), B(-3, -1), C(-2, 3), D(1, -2)
9240
y
4
2
E
D
-4
-2
O
-2
-4
B
2
F
C
A
x
4
9380
③ C(2, 0)
9390
A(-3, 2), B(1, -1), C(-4, 0), D(2, 3)
두 순서쌍이 서로 같으므로
9400
3a-6=a-2에서 2a=4 ∴ a=2
-b+4=-2b+1에서 b=-3
∴ a-b=2-(-3)=5
(점 A의 x좌표)=(점 D의 x좌표)=3
9410
(점 A의 y좌표)=(점 B의 y좌표)=4
∴ A(3, 4)
(점 C의 x좌표)=(점 B의 x좌표)=-1
(점 C의 y좌표)=(점 D의 y좌표)=-2
9250
A(5, -2)
9260
B(-4, 0)
∴ C(-1, -2)
A(3, 4), C(-1, -2)
9270
C(0, 3)
9280
O(0, 0)
9290
제 2 사분면
9300
제 4 사분면
9310
제 1 사분면
9320
제 3 사분면
9420
x축 위에 있으므로 y좌표가 0이고, x좌표가 -
이므
로
{
-
, 0
이다.
}
2
3
9330
점의 위치 제 1 사분면 제 2 사분면 제 3 사분면 제 4 사분면
x좌표
y좌표
+
-
-
+
-
-
+
-
9430
(0, -7)이다.
y축 위에 있으므로 x좌표가 0이고, y좌표가 -7이므로
9340
(3, 2)
9350
(-3, -2)
점 (a+3, a-2)는 x축 위의 점이므로 y좌표가 0이다.
9440
a-2=0 ∴ a=2
풀이 참조
9360
(-3, 2)
점 (b-5, 2-b)는 y축 위의 점이므로 x좌표가 0이다.
⑶ 공연장에 머물렀던 시간은 그래프에서 수평인 부분이다. 따라
채점요소
⑴ 집에서 공연장까지의 거리가 2 km이므로 공연장에
9370
도착한 시간은 집에서 출발한 지 40분 후이다.
⑵ 집에서 공연장까지의 거리가 2 km이므로 집에서 출발하여 공
연장까지 다녀오는 데 걸린 시간은 110분이다.
서 공연장에 머문 시간은 40분 후부터 90분 후까지이므로
90-40=50(분) 동안이다.
⑴ 40분 후 ⑵ 110분 ⑶ 50분
84 정답과 풀이
b-5=0 ∴ b=5
∴ a+b=2+5=7
단계
a의 값 구하기
b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
③
5
2
3
①
②
7
배점
40 %
40 %
20 %
알피엠_중1-1_해설_084~103_4단원_ok.indd 84
2017-06-30 오전 11:06:15
점 (a, b)가 y축 위에 있으므로 x좌표가 0이다.
a+2=7 ∴ a=5
9450
∴ a=0
이때 점 (a, b)는 원점이 아니이므로 b+0이다.
세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하
9460
는 삼각형 ABC를 그리면 오른쪽 그림
y
4
과 같다.
∴ (삼각형 ABC의 넓이)
=
_5_6=15
1
2
-3
2
O
B
C-2
③
단계
채점요소
삼각형의 밑변의 길이와 높이 구하기
넓이를 이용하여 식 세우기
양수 a의 값 구하기
③ 점 (2, -5)는 제 4 사분면 위의 점이다.
9500
④ 점 (-1, 3)은 제 2 사분면 위의 점이고, 점 (3, -1)은
제 4 사분면 위의 점이다.
네 점 A, B, C, D를 꼭짓점으
9470
로 하는 사각형 ABCD를 그리면 오른
y
4
A
D
쪽 그림과 같다.
∴ (사각형 ABCD의 넓이)
=
_(5+8)_6=39
;2!;
-3
B
-2
3
O
-2
5
C
x
③ 제 1 사분면 위의 점
⑤ 제 3 사분면 위의 점
① 제 4 사분면 위의 점
9510
② y축 위의 점이므로 어느 사분면에도 속하지 않는다.
A
5
x
④
39
세 점 A, B, C를 꼭짓점으로
9480
하는 삼각형 ABC를 그리면 오른쪽
D
C
그림과 같다.
∴ (삼각형 ABC의 넓이)
= (사각형 DEBC의 넓이)
A
E
-2
O
2
B
4
x
-{(삼각형 ACD의 넓이)+(삼각형 AEB의 넓이)}
y
4
2
=
_(3+6)_4-
_3_3+
;2!;
_6_1
}
;2!;
=18-
+3
=
}
{;2(;
{;2!;
21
2
주어진 점이 속하는 사분면은 다음과 같다.
9520
① 제 1 사분면 ② 제 3 사분면 ④ 제 2 사분면
⑤ x축 위의 점이므로 어느 사분면에도 속하지 않는다.
점 (x, y)가 제 3 사분면 위의 점이면 x<0, y<0이므
9530
로 ㄱ, ㄹ의 2개이다.
다른풀이
21
2
C
B
H
4
x
A
2
-2
O
-2
주어진 점이 속하는 사분면은 다음과 같다.
ㄱ. 제 3 사분면
ㄴ. 제 4 사분면
ㄷ. 제 1 사분면
ㄹ. 제 3 사분면
ㅁ. 제 4 사분면
ㅂ. 제 2 사분면
따라서 제 3 사분면 위의 점은 ㄱ, ㄹ의 2개이다.
점 (-b, a)가 제 4 사분면 위의 점이므로
9540
-b>0, a<0에서 a<0, b<0
이때 ab>0이므로 -ab<0이고, a+b<0이다.
점 A에서 선분 BC에 수선을 그어 선분 BC와 만나는 점을 H라
따라서 점 (-ab, a+b)는 제 3 사분면 위의 점이다.
세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하
9490
는 삼각형 ABC를 그리면 오른쪽 그림
y
a
과 같다.
선분 BC를 밑변으로 하면
(밑변의 길이) =a-(-2)
=a+2
하면
(높이)=AHÓ=4-(-2)=6
따라서 삼각형 ABC의 넓이가 21이므로
_(a+2)_6=21
;2!;
점 (x, y)가 제 3 사분면 위의 점이므로 x<0, y<0
9550
① xy>0
③
;[};
>0
② x+y<0
④ -x+y의 부호는 알 수 없다.
⑤ -x>0, -y>0이므로 -x-y>0
①, ⑤
08. 좌표와 그래프 85
5
배점
50 %
40 %
10 %
③, ④
④
③
2개
③
알피엠_중1-1_해설_084~103_4단원_ok.indd 85
2017-06-30 오전 11:06:17
점 (-a, b)가 제 2 사분면 위의 점이므로
9560
-a<0, b>0에서 a>0, b>0
① ab>0, a>0이므로 점 (ab, a)는 제 1 사분면 위의 점이다.
② ab>0, -b<0이므로 점 (ab, -b)는 제 4 사분면 위의 점이다.
③ -b<0,
>0이므로 점
{
-b,
a
b
a
b }
는 제 2 사분면 위의 점이
>0, ab>0이므로 점
{
는 제 1 사분면 위의 점이다.
, ab
}
b
a
⑤ -a-b<0, -b<0이므로 점 (-a-b, -b)는 제 3 사분면
다.
④
b
a
위의 점이다.
⑤
⑴ 시간 x에 따른 집으로부터의 거리 y가 일정하게 감소
9570
하다가 변화없이 유지되다가 다시 일정하게 감소한다.
용기의
모양
물의
높이
일정하게
증가
그래프
모양
y
O
처음에는 느
리게 증가하
다가 점점 빠
르게 증가
처음에는 빠
르게 증가하
다가 점점 느
리게 증가
y
y
x
O
x
O
x
향에 불을 불이면 향의 길이는 일정
9600
하게 줄어들므로 시간 x와 향의 길이 y 사이
의 관계를 나타내는 그래프는 오른쪽 그림과
y
O
⑵ 시간 x에 따른 집으로부터의 거리 y가 일정하게 증가한다.
같이 처음에 오른쪽 아래로 향하다가 불을 껐
⑶ 시간 x에 따른 집으로부터의 거리 y가 일정하게 증가하다가
을 때는 수평을 이루다가 다시 향의 길이가
변화없이 유지되다가 다시 일정하게 감소한다.
⑷ 시간 x에 따른 집으로부터의 거리 y가 일정하다.
따라서 각 그래프에 알맞는 상황을 찾으면 ⑴ ㄷ ⑵ ㄴ ⑶ ㄹ
처음 길이의
이 될 때까지 오른쪽 아래로 향하게 된다.
1
3
따라서 상황에 알맞은 그래프는 ④이다.
⑴ 그릇의 모양이 폭이 좁고 일정한 부분과 폭이 넓고
할 때까지 걸린 시간은 150초이다.
⑷ ㄱ이다.
⑴ ㄷ ⑵ ㄴ ⑶ ㄹ ⑷ ㄱ
시간 x에 따른 자건거의 속력 y는 일정하므로 그래프의
9580
모양은 수평이다.
y
O
y
9590
일정한 부분으로 나누어진다.
따라서 시간당 일정한 양의 물을 채우면
물의 높이가 빠르고 일정하게 증가하다
가 느리고 일정하게 증가하므로 그래프
로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
증가하는 부분으로 나누어진다.
따라서 시간당 일정한 양의 물을 채우면
물의 높이가 느리게 증가하다가 점점 빠
르게 증가하고 다시 빠르게 증가하다가
점점 느리게 증가하므로 그래프로 나타
O
내면 오른쪽 그림과 같다.
⑴ 그래프에서 자전거의 속력이 가장 빠를 때의 속력은
9610
초속 10 m이다.
ㄴ
⑵ 자전거의 속력이 일정한 때는 그래프에서 수평인 부분이므로
15초 후부터 120초 후까지 모두 120-15=105(초)이다.
⑶ 정지한 경우는 속력이 0이고 150초 후에 속력이 0이므로 정지
⑴ 초속 10 m ⑵ 105초 ⑶ 150초
9620
⑴ 그래프가 오른쪽 아래로 향하기 시작한 때가 속력이
감소하기 시작한 때이므로 자동차의 속력이 첫 번째로 감소하
기 시작한 때는 출발한 지 5분 후이고, 두 번째로 감소하기 시
⑵ 자동차의 속력이 일정하게 유지된 시간은 그래프에서 수평인
부분이다. 따라서 2분 후부터 5분 후까지와 11분 후부터 12분
후까지 모두 3+1=4(분) 동안이다.
x
x
⑵ 그릇의 모양이 폭이 일정하게 감소하는 부분과 폭이 일정하게
작한 때는 출발한 지 12분 후이다.
어떤 빈 용기에 시간당 일정한 양의 물을 넣을 때, 용기의 모양에
따라 경과 시간 x에 따른 물의 높이 y 사이의 관계를 그래프로 나
⑴ ㄱ ⑵ ㄴ
⑴ 12분 후 ⑵ 4분
단계
채점요소
자동차의 속력이 두 번째로 감소하기 시작한 때는 출발한 지
몇 분 후인지 구하기
집에서 출발하여 주말농장에 도착할 때까지 자동차의 속력이
일정하게 유지된 시간 구하기
참고
타내면 다음과 같다.
86 정답과 풀이
x
④
배점
40 %
60 %
알피엠_중1-1_해설_084~103_4단원_ok.indd 86
2017-06-30 오후 5:09:55
⑴ 지효가 오전 10시에 출발했으므로 출발한 지 3시간 후
9630
는 13시(오후 1시)이고, 이때 집으로부터의 거리는 10 km이
UP
다.
⑵ 가로 눈금 한 개가 30분을 나타내므로 가로 눈금 2개가 수평
인 부분을 찾으면 지효가 1시간 동안의 휴식을 시작한 시각은
13시(오후 1시)이다.
⑶ 지효가 집으로 돌아가기 시작한 시각은 그래프가 오른쪽 아래
다.
로 향하기 시작한 시각이므로 15시(오후 3시)이다.
⑴ 10 km ⑵ 13시(오후 1시) ⑶ 15시(오후 3시)
9640
ㄱ. 은정이네 집에서 학교까지의 거리가 2000 m이므로
집에서 출발하여 학교까지 가는 데 걸린 시간은 20분이다.
ㄴ. 은정이가 멈춰있기 시작한 때는 집에서 출발한 지 2분 후, 9
분 후, 13분 후이므로 세 번째로 멈춰있기 시작한 때는 집에
이다.
서 출발한 지 13분 후이다.
ㄷ. 은정이가 멈춰 있었던 시간은 그래프의 모양이 수평이므로
그래프에서 2분 후부터 4분 후까지, 9분 후부터 10분 후까
지, 13분 후부터 14분 후까지 모두 2+1+1=4(분) 동안이
다.
따라서 옳은 것은 ㄱ이다.
ab<0에서 a와 b의 부호가 다르고, a>b이므로
9670
a>0, b<0
따라서
<0, b<0이므로 점
{
a
b
a
b
, b
}
는 제 3 사분면 위의 점이
ab>0에서 a와 b의 부호가 같고, a+b<0이므로
9680
a<0, b<0
따라서 a<0, -b>0이므로 점 (a, -b)는 제 2 사분면 위의 점
ㄱ. 1세 때 예인이가 태희보다 키가 크다.
9650
ㄴ. 태희와 예인이의 키가 같았을 때는 두 그래프가 만나는 경우
이므로 3번 있었다.
ㄷ. 1세부터 12세까지 태희는 100 cm, 예인이는 약 85 cm 컸으
므로 태희가 예인이보다 키가 많이 컸다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
출발점에서 반환점까지의 거리가 1000 m이므로 출발점
9660
에서 반환점까지 가는 데 걸린 시간은 9분, 반환점에서 출발점까
지 오는 데 걸린 시간은 15-9=6(분)이다.
∴ a=9, b=6
출발점에서 반환점까지 1회 왕복하는 데 걸린 시간은 15분이다.
∴ c=15
∴ a-b+c=9-6+15=18
채점요소
단계
a, b의 값 구하기
c의 값 구하기
a-b+c의 값 구하기
xy<0에서 x와 y의 부호가 다르고 x-y<0에서 x0
① x<0, y>0이므로 점 (x, y)는 제 2 사분면 위의 점이다.
② xy<0, -x>0이므로 점 (xy, -x)는 제 2 사분면 위의 점
ㄱ
이다.
점이다.
③ x-y<0, xyÛ`<0이므로 점 (x-y, xyÛ`)은 제 3 사분면 위의
④ xÛ`>0, yÛ`>0이므로 점 (xÛ`, yÛ`)은 제 1 사분면 위의 점이다.
⑤ -
>0,
<0이므로 점
-
,
는 제 4 사분면 위의
x
y
y
x }
{
x
y
y
x
점이다.
④
18
배점
60 %
30 %
10 %
두 점 (a+2, 6), (-2, b-4)가 x축에 대하여 대칭이
9700
므로 y좌표의 부호만 바뀐다.
즉, a+2=-2에서 a=-4
6=-(b-4)에서 b=-2
∴ a+b=(-4)+(-2)=-6
점 (6, -2)와 원점에 대하여 대칭인 점의 좌표는 x, y
9710
좌표의 부호가 모두 바뀌므로 (-6, 2) ∴ a=-6, b=2
∴ 3a-2b =3_(-6)-2_2
=-18-4=-22
점 (a, -5)와 y축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 x좌표
9720
의 부호만 바뀌므로 (-a, -5)
08. 좌표와 그래프 87
③
②
⑤
①
①
알피엠_중1-1_해설_084~103_4단원_ok.indd 87
2017-06-30 오전 11:06:21
이때 점 (-a, -5)가 점 (3, b)와 같으므로
의 점이다.
-a=3, -5=b ∴ a=-3, b=-5
제 4 사분면
∴ a+b=(-3)+(-5)=-8
y축에 대하여 대칭이므로 x좌표의 부호만 바뀐다.
9780
즉, 3a+2=-(1-2a)에서 3a+2=-1+2a
-8
∴ a=-3
채점요소
점 (a, -5)와 y축에 대하여 대칭인 점의 좌표 구하기
단계
a, b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
4b+2=b-3에서 3b=-5 ∴ b=-
;3%;
∴ ab=(-3)_
{
-
;3%;}
=5
배점
40 %
40 %
20 %
점 A(2, -4)와 x축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 y좌
9730
표의 부호만 바뀐다. ∴ B(2, 4)
점 A(2, -4)와 원점에 대하여 대칭인 점의 좌표는 x, y좌표의
부호가 모두 바뀐다. ∴ C(-2, 4)
세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 삼각
형 ABC를 그리면 오른쪽 그림과 같다.
∴ (삼각형 ABC의 넓이)
=
_4_8=16
1
2
y
4
C
B
O-2
2
x
오른쪽 그림에서 삼각형 ABC의
9790
넓이가 12이어야 하므로
_6_(높이)=12 ∴ (높이)=4
;2!;
따라서 주어진 점의 좌표 중 삼각형
C
y
5
1
A
-2
1
O
-3
ABC의 높이가 4가 되도록 하는 점 C의
C
좌표는 ① (1, 5), ⑤ (3, -3)이다.
16
-4
A
네 점 A, B, C, D를 꼭짓점으로
9800
하는 사각형 ABCD를 그리면 오른쪽 그
y
3
D
림과 같다.
이때 사각형 ABCD는 평행사변형이다.
∴ (사각형 ABCD의 넓이)
=4_4=16
-2
A
1
O
-1
2
B
9740
③ C(3, -2)
① 점 (0, -3)은 y축 위의 점이다.
9750
② 점 (2, 0)은 x축 위의 점이다.
③ 점 (6, -4)는 제 4 사분면 위의 점이다.
④ 점 (-1, 3)과 x축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 y좌표의 부
호만 바뀌므로 (-1, -3)이다.
⑤
점 (-2, a)가 제 3 사분면 위의 점이므로 a<0
9760
따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ④, ⑤이다.
③
9810
이므로 x>0, y<0
xy<0에서 x와 y의 부호는 다르고 x-y>0, 즉 x>y
따라서 -x<0, y<0이므로 점 (-x, y)는 제 3 사분면 위의 점
이다.
주어진 점이 속하는 사분면은 다음과 같다.
① 제 1 사분면 ② x축 위의 점
③ 제 3 사분면
④ 제 2 사분면 ⑤ 제 4 사분면
ㄱ. 그래프에서 버스의 속력이 가장 빠를 때의 속력은 시속
9820
80 km이다.
ㄴ. 버스는 5분 후에서 6분 후까지와 10분 후부터 11분 후까지
④, ⑤
모두 1+1=2(분) 동안 정지해 있었다.
ㄷ. 버스의 속력이 첫 번째로 감소하기 시작한 때는 출발한 지 4
분 후이고, 두 번째로 감소하기 시작한 때는 출발한 지 9분
점 (a, -b)가 제 2 사분면 위의 점이므로
9770
a<0, -b>0에서 a<0, b<0
후이다.
따라서 ab>0, a+b<0이므로 점 (ab, a+b)는 제 4 사분면 위
ㄹ. 현우가 도서관에 가기 위해 버스를 탄 시간은 모두 16분이다.
5
3
B
4
x
①, ⑤
C
5
x
16
③
88 정답과 풀이
알피엠_중1-1_해설_084~103_4단원_ok.indd 88
2017-06-30 오전 11:06:23
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
ㄱ, ㄷ, ㄹ
점 (-4, 3)과 y축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 x좌표
9860
의 부호만 바뀐다. ∴ A(4, 3)
그래프에서 가로 눈금 한 개는 5초, 세로 눈금 한 개는
9830
5 m를 나타내므로 방패연은 25초 후에 높이가 0 m가 되고, 25
과 같다.
초 후부터 다시 높아져 45초 후일 때 높이가 45 m로 가장 높게
∴ (삼각형 ABC의 넓이)
된다.
= (사각형 ADEC의 넓이)
세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는
삼각형 ABC를 그리면 오른쪽 그림
y
2
A
D
B
E
-4
-2
O
2
4
x
-2
C
따라서 방패연이 지면에 닿았다가 다시 떠오른 시간은 25초 후이
-{ (삼각형 ADB의 넓이)+(삼각형 BEC의 넓이)}
고, 방패연이 가장 높게 날 때의 높이가 45 m이므로
a=25, b=45
∴ a+b=25+45=70
=
_(7+5)_5-
_7_2+
_5_3
;2!;
}
;2!;
=30-
7+
{
15
2 }
=
{;2!;
31
2
31
2
점 P(a, b)가 제 4 사분면 위의 점이므로
9870
a>0, b<0
이때 |a|<|b|에서 b의 절댓값이 a의 절댓값보다 크다.
따라서 a+b<0, a-b>0이므로 점 Q(a+b, a-b)는 제 2 사
분면 위의 점이다.
제 2 사분면
참고
a=3, b=-5라 하면 |3|<|-5|이고
a+b=3+(-5)=-2<0
a-b=3-(-5)=8>0
70
;2!;
배점
40 %
40 %
20 %
9840
점
{
-3a,
a-3
}
1
2
이 x축 위의 점이므로 y좌표가 0이
점 (5b-15, -2b+8)이 y축 위의 점이므로 x좌표가 0이다.
다.
즉,
a-3=0에서 a=6
;2!;
즉, 5b-15=0에서 b=3
∴
=
=
;6#;
;2!;
;aB;
채점요소
단계
a의 값 구하기
b의 값 구하기
;aB;의 값 구하기
점 (a-b, ab)가 제 3 사분면 위의 점이므로
9850
a-b<0, ab<0
ab<0에서 a와 b의 부호가 다르고
a-b<0에서 a0
따라서 -b<0, -ab>0이므로 점 (-b, -ab)는 제 2 사분면
위의 점이다.`
채점요소
단계
제 3 사분면 위의 점의 x, y좌표의 부호 구하기
a, b의 부호 구하기
점 (-b, -ab)가 속하는 사분면 구하기
제 2 사분면
배점
20 %
50 %
30 %
알피엠_중1-1_해설_084~103_4단원_ok.indd 89
2017-06-30 오전 11:06:24
08. 좌표와 그래프 89
09
정비례와 반비례
Ⅳ 좌표평면과 그래프
9880
x
y
1
2
y
3
1000 2000 3000 4000 y
4
9890
y=1000x
9900
⑴ ⑵ _ ⑶ ⑷ ⑸ _
정비계 관계의 그래프이고, 점 (-2, -1)을 지나므로
9970
y=ax (a+0)에 x=-2, y=-1을 대입하면
-1=-2a에서 a=
∴ y=
x
;2!;
;2!;
y=
x
;2!;
정비계 관계의 그래프이고, 점 (2, -3)을 지나므로
9980
y=ax (a+0)에 x=2, y=-3을 대입하면
-3=2a에서 a=-
∴ y=-
x
y=-
x
;2#;
;2#;
1
72
9990
x
y
2
36
y
4
18 y
y가 x에 정비례하므로 y=ax (a+0)에 x=5, y=15
9910
를 대입하면 15=5a에서 a=3 ∴ y=3x
1000 y=
72
x
y가 x에 정비례하므로 y=ax (a+0)에 x=-4,
9920
y=12를 대입하면 12=-4a에서 a=-3 ∴ y=-3x
9930
y가 x에 정비례하므로 y=ax (a+0)에 x=-
,
2
3
y=4를 대입하면
4=-
a에서 a=-6 ∴ y=-6x
;3@;
y=-6x
9940
-4
-2
2
x
4
y=3x
1001 ⑴ ⑵ _ ⑶ ⑷ _ ⑸ _ ⑹
y=-3x
1002 y가 x에 반비례하므로 y=
(a+0)에 x=6, y=7을
대입하면 7=
에서 a=42 ∴ y=
;6A;
42
x
y=
42
x
1003 y가 x에 반비례하므로 y=
(a+0)에 x=-3, y=5
를 대입하면 5=
에서 a=-15 ∴ y=-
a
-3
15
x
y=-
15
x
1004 y가 x에 반비례하므로 y=
(a+0), 즉 xy=a에
a
x
x=
, y=
;5*;
15
2
를 대입하면
_
;5*;
15
2
=12=a ∴ y=
12
x
y=
12
x
;2#;
3
24
a
x
a
x
9950
1005
-4
-2
x
4
9960
1006
-4
-2
2
x
4
(cid:14)(cid:21)
(cid:14)(cid:19)
(cid:19)
(cid:89)
(cid:21)
-4
-2
x
4
O
2
-2
-4
y
4
2
(cid:90)
(cid:21)
(cid:19)
(cid:48)
(cid:14)(cid:19)
(cid:14)(cid:21)
y
4
2
O
-2
-4
y
4
2
O
2
-2
-4
y
4
2
O
-2
-4
90 정답과 풀이
알피엠_중1-1_해설_084~103_4단원_ok.indd 90
2017-06-30 오전 11:06:27
1007 반비례 관계의 그래프이고, 점 (3, 1)을 지나므로
y=
(a+0)에 x=3, y=1을 대입하면
1=
에서 a=3 ∴ y=
;[#;
y=
;[#;
y=
_100=
30
x
3000
x
ㄹ. y=3x (정비례)
ㅁ. y=150-7x
따라서 y가 x에 정비례하는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.
ㄱ, ㄴ, ㄹ
a
x
;3A;
a
x
a
-2
1008 반비례 관계의 그래프이고, 점 (-2, 1)을 지나므로
y=
(a+0)에 x=-2, y=1을 대입하면
1=
에서 a=-2 ∴ y=-
;[@;
y=-
;[@;
1009 ⑴ 매분 2 L의 물이 나오므로 x분 후 정수기에서 나온
물의 양은 2x L이다.
∴ y=2x
⑵ y=2x에 y=12를 대입하면
12=2x ∴ x=6 (분)
⑴ y=2x ⑵ 6분
1013 y가 x에 정비례하므로
y=ax (a+0)에 x=3, y=-9를 대입하면
-9=3a에서 a=-3 ∴ y=-3x
y=-3x에 x=1, y=A를 대입하면 A=-3
y=-3x에 x=B, y=-6을 대입하면
-6=-3B ∴ B=2
y=-3x에 x=5, y=C를 대입하면 C=-15
∴ A+B+C=(-3)+2+(-15)=-16
1014 y가 x에 정비례하므로
y=ax (a+0)에 x=
, y=-3을 대입하면
;2!;
-3=
a에서 a=-6 ∴ y=-6x
;2!;
1010 y가 x에 정비례하면 x와 y 사이의 관계식은
y=ax (a+0),
=a (a+0)의 꼴이다.
y
x
따라서 y=-6x에 y=
을 대입하면
=-6x ∴ x=-
;2#;
;2#;
;4!;
ㄱ. y=-
x (정비례)
2
5
ㄹ.
=4에서 y=4x (정비례)
;[};
ㅁ. y=
에서 y=
x (정비례)
;3{;
;3!;
따라서 보기 중 y가 x에 정비례하는 것은 ㄱ, ㄹ, ㅁ이다.
ㄱ, ㄹ, ㅁ
채점요소
단계
x와 y 사이의 관계식 구하기
y=
일 때 x의 값 구하기
;2#;
1011 x의 값이 2배, 3배, 4배, y가 될 때, y의 값도 2배, 3
배, 4배, y가 되는 관계가 있으면 y는 x에 정비례하므로
1015 y가 x에 정비례하므로
y=ax (a+0)에 x=-6, y=18을 대입하면
y=ax (a+0)의 꼴이다.
② 4x-y=0에서 y=4x
④ y=
에서 y=
;8{;
x
;8!;
18=-6a에서 a=-3 ∴ y=-3x
ㄱ. y=-3x에 x=2를 대입하면 y=-6이다.
따라서 옳지 않은 것은 ㄱ이다.
②, ④
1012 ㄱ. (거리)=(속력)_(시간)이므로
y=x_2=2x (정비례)
ㄴ. y=85x (정비례)
ㄷ. (소금물의 농도)=
_100(%)이므로
(소금의 양)
(소금물의 양)
1016 y가 x에 정비례하므로
y=ax (a+0)에 x=-2, y=1을 대입하면
1=-2a에서 a=-
∴ y=-
;2!;
x
;2!;
y=-
x에 x=-1, y=B를 대입하면
;2!;
-16
-
;4!;
배점
60 %
40 %
ㄱ
09. 정비례와 반비례 91
알피엠_중1-1_해설_084~103_4단원_ok.indd 91
2017-06-30 오후 5:08:56
B=
{
-
;2!;}
_(-1)=
;2!;
y=-
x에 x=A, y=-
을 대입하면
;2!;
;2!;
-
=-
A에서 A=1
;2!;
;2!;
∴ A+B=1+
=
;2#;
;2!;
1023 정비례 관계 y=-
x의 그래프는 제 2 사분면과 제 4 사
분면을 지나고
-
<|-1|이므로 y=-x의 그래프보다 x
3
4 |
|
축에 더 가깝다.
따라서 정비례 관계 y=-
x의 그래프가 될 수 있는 것은 ①이
3
4
3
4
1024 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가 점 (4, -2)를
지나므로 y=ax에 x=4, y=-2를 대입하면
-2=4a에서 a=-
∴ y=-
x
;2!;
1
2
다.
;2#;
1017 정비례 관계 y=
x에서 x=4일 때, y=3이므로 점
3
4
3
4
(4, 3)을 지난다.
나는 직선이다.
따라서 정비례 관계 y=
x의 그래프는 원점과 점 (4, 3)을 지
이 그래프가 점 (-3, b)를 지나므로
y=-
x에 x=-3, y=b를 대입하면
1
2
①
b=
{
-
;2!;}
_(-3)=
;2#;
∴ a+b=
{
-
;2!;}
+
;2#;
=1
1018 정비례 관계 y=-
x에서
3
2
x=-2일 때, y=3
x=0일 때, y=0
x=2일 때, y=-3
따라서 구하는 정비례 관계의 그래프는 ③이다.
1019 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프에서 a>0일 때,
제 1 사분면과 제 3 사분면을 지난다.
②, ⑤
1020 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프는 a의 절댓값이
작을수록 x축에 가깝다.
따라서 x축에 가장 가까운 그래프는 a의 절댓값이 가장 작은 ④
1025 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가 점 (3, -2)를
지나므로 y=ax에 x=3, y=-2를 대입하면
-2=3a에서 a=-
∴ y=-
;3@;
x
;3@;
③
③ y=-
x에 x=6을 대입하면
;3@;
y=
-
_6=-4 ∴ (6, -4)
{
;3@;}
③
1026 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가 점 (3, -12)
를 지나므로 y=ax에 x=3, y=-12를 대입하면
-12=3a에서 a=-4 ∴ y=-4x
정비례 관계 y=-4x의 그래프가 점 (-2, b)를 지나므로
④
x=-2, y=b를 대입하면 b=(-4)_(-2)=8
1021 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프는 a의 절댓값이
클수록 y축에 가깝다.
정비례 관계 y=-4x의 그래프가 점 (c, 4)를 지나므로
x=c, y=4를 대입하면 4=-4c ∴ c=-1
따라서 y축에 가장 가까운 그래프는 a의 절댓값이 가장 큰 ⑤이
∴ a+b+c=(-4)+8+(-1)=3
⑤
1022 ①, ②는 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지나므로 a<0
③, ④, ⑤는 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지나므로 a>0
이때 a의 절댓값이 클수록 y축에 가까우므로 ③, ④, ⑤ 중 a의
값이 가장 큰 것은 ③이다.
채점요소
단계
a의 값 구하기
b의 값 구하기
c의 값 구하기
③
a+b+c의 값 구하기
이다.
다.
92 정답과 풀이
①
1
3
배점
30 %
30 %
30 %
10 %
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2017-06-30 오전 11:06:30
1027 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가 점 (4, 6)을 지
나므로 y=ax에 x=4, y=6을 대입하면
이 그래프가 점 P를 지나므로 y=-
x에 y=-
를 대입하
;5#;
12
5
6=4a ∴ a=
;2#;
정비례 관계 y=bx (b+0)의 그래프가 점 (-1, 3)을 지나므
12
5
면 -
=-
x ∴ x=4
;5#;
따라서 점 P의 x좌표는 4이다.
로 y=bx에 x=-1, y=3을 대입하면
3=-b ∴ b=-3
∴ a+b=
+(-3)=-
;2#;
;2#;
-
;2#;
1034 그래프가 원점을 지나는 직선이므로 y=ax (a+0)로
놓고, 점 (-4, 3)을 지나므로 y=ax에 x=-4, y=3을 대입
1028 ② 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지난다.
④ x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
②, ④
1029 ⑤ a의 절댓값이 클수록 y축에 가깝다.
하면
3=-4a, a=-
∴ y=-
;4#;
x
;4#;
③ y=-
x에 x=-
를 대입하면
;4#;
;3@;
⑤
y=
-
{
_
-
{
=
∴
{
;2!;
-
;3@;
,
;2!;}
;3@;}
;4#;}
1030 ④ y=-3x의 그래프와 원점에서 만난다.
⑤ y=ax (a+0)의 그래프는 a의 절댓값이 클수록 y축에 가깝
다.
1035 점 A의 x좌표가 9이므로 y=
x에 x=9를 대입하면
4
3
|3|<|-4|이므로 y=-4x의 그래프가 y=3x의 그래프보
y=
_9=12 ∴ A(9, 12)
;3$;
다 y축에 가깝다.
⑤
따라서 (선분 OB의 길이)=9, (선분 AB의 길이)=12이므로
(삼각형 AOB의 넓이)=
_9_12=54
;2!;
1031 그래프가 원점을 지나는 직선이므로 y=ax (a+0)로
놓고, 점 (2, 3)을 지나므로 y=ax에 x=2, y=3을 대입하면
3=2a에서 a=
∴ y=
;2#;
x
;2#;
③
1036 점 A의 x좌표가 2이므로 y=3x에 x=2를 대입하면
y=6 ∴ A(2, 6)
1032 그래프가 원점을 지나는 직선이므로 y=ax (a+0)로
놓고, 점 (6, 4)를 지나므로 y=ax에 x=6, y=4를 대입하면
4=6a에서 a=
∴ y=
;3@;
x
;3@;
또, 점 B의 x좌표가 2이므로 y=-
x에 x=2를 대입하면
1
2
y=
-
{
1
2 }
_2=-1 ∴ B(2, -1)
따라서 (선분 AB의 길이)=6-(-1)=7이므로
(삼각형 AOB의 넓이)=
_7_2=7
;2!;
이 그래프가 점 (k, -2)를 지나므로 y=
x에 x=k, y=-2
2
3
를 대입하면
-2=
k ∴ k=-3
;3@;
단계
x와 y 사이의 관계식 구하기
k의 값 구하기
채점요소
1033 그래프가 원점을 지나는 직선이므로 y=ax (a+0)로
놓고, 점 (-5, 3)을 지나므로 y=ax에 x=-5, y=3을 대입
하면 3=-5a에서 a=-
∴ y=-
;5#;
x
;5#;
1037 점 P의 y좌표가 8이므로 y=ax에 y=8을 대입하면
8=ax ∴ x=
따라서 (선분 OQ의 길이)=8, (선분 PQ의 길이)=
(a>0)이
8
a
므로 (삼각형 OPQ의 넓이)=12에서
_8_
=12,
=12 ∴ a=
;2!;
;a*;
;3*;
8
a
32
a
-3
배점
60 %
40 %
1038 ㄱ, ㄴ, ㅂ. y=ax (a+0) 또는
=a (a+0)의 꼴이
y
x
09. 정비례와 반비례 93
4
③
54
7
;3*;
알피엠_중1-1_해설_084~103_4단원_ok.indd 93
2017-06-30 오전 11:06:32
1040 ① (삼각형의 넓이)=
_(밑변의 길이)_(높이)이므로
A=-
=9
므로 y가 x에 정비례한다.
ㄹ. 정비례 관계도 아니고 반비례 관계도 아니다.
따라서 y가 x에 반비례하는 것은 ㄷ, ㅁ이다.
를 대입하면 5=
에서 a=-15 ∴ y=-
a
-3
15
x
③
1
2
1
3
1043 y가 x에 반비례하므로 y=
(a+0)에 x=4,
y=-
을 대입하면 -
에서 a=-2 ∴ y=-
=
;4A;
;2!;
y=-
에 y=
을 대입하면
=-
∴ x=-12
;6!;
;6!;
2
x
1
2
2
x
a
x
a
x
1044 y가 x에 반비례하므로 y=
(a+0)에 x=-3,
y=12를 대입하면
12=
에서 a=-36 ∴ y=-
a
-3
36
x
①, ④
y=-
에 x=-4, y=A를 대입하면
36
x
36
-4
36
x
36
B
36
x
36
2
y=-
에 x=B, y=18을 대입하면
18=-
∴ B=-2
y=-
에 x=2, y=C를 대입하면
C=-
=-18
1039 x의 값이 2배, 3배, 4배, y가 될 때, y의 값은
배,
배,
배, y가 되는 관계가 있으면 y는 x에 반비례하므로
1
4
a
x
y
x
y=
(a+0), xy=a (a+0)의 꼴이다.
① y=-
(반비례)
5
x
②
=-1에서 y=-x (정비례)
③, ⑤ 정비례 관계도 아니고 반비례 관계도 아니다.
④ xy=-
(반비례)
1
6
y=
_20_x=10x (정비례)
;2!;
② (시간)=
이므로 y=
(반비례)
(거리)
(속력)
;2!;
10
x
③ (원기둥의 부피)=(밑넓이)_(높이)이므로 y=9x (정비례)
④ (소금의 양)=
_(소금물의 양)이므로
(소금물의 농도)
100
15=
_y에서 xy=1500 (반비례)
x
100
관계도 아니다.
②, ④
1041 y가 x에 반비례하므로 y=
(a+0)에 x=-6, y=3
을 대입하면 3=
에서 a=-18 ∴ y=-
a
-6
18
x
y=-
에 x=-9, y=A를 대입하면
18
x
18
x
18
-9
18
B
A=-
=2
y=-
에 x=B, y=-1을 대입하면
-1=-
∴ B=18
∴ A-B=2-18=-16
a
x
a
x
94 정답과 풀이
⑤ y=2(x+7)=2x+14이므로 정비례 관계도 아니고 반비례
∴ A+B+C=9+(-2)+(-18)=-11
단계
채점요소
x와 y 사이의 관계식 구하기
A, B, C의 값 구하기
A+B+C의 값 구하기
1045 반비례 관계 y=
의 그래프는 제 1 사분면과 제 3 사분
면을 지나고 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 매끄러운 곡선이다.
이때 점 (-1, -3)을 지나므로 x<0에서의 반비례 관계 y=
의 그래프는 ④이다.
3
x
a
x
1042 y가 x에 반비례하므로 y=
(a+0)에 x=-3, y=5
제 4 사분면을 지나고 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 매끄러운 곡
-16
1046 반비례 관계 y=
(a<0)의 그래프는 제 2 사분면과
⑤
2
x
-12
-11
배점
30 %
60 %
10 %
3
x
④
알피엠_중1-1_해설_084~103_4단원_ok.indd 94
2017-06-30 오전 11:06:34
선이다.
그런데 x>0이므로 그래프는 제 4 사분면에만 그려진다.
따라서 그래프가 될 수 있는 것은 ⑤이다.
⑤
따라서 반비례 관계 y=
의 그래프 위의 점은 ③이다. ③
;[*;
1052 반비례 관계 y=-
의 그래프가 점 (6, a)를 지나므
12
x
1047 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프와 반비례 관계
로 y=-
에 x=6, y=a를 대입하면
y=
(a+0)의 그래프는 모두 a<0일 때, 제 2 사분면과
a
x
제 4 사분면을 지난다.
따라서 제 4 사분면을 지나는 것은 a<0인 ㄴ, ㄹ, ㅂ이다.
ㄴ, ㄹ, ㅂ
반비례 관계 y=-
의 그래프가 점 (b, -12)를 지나므로
12
x
a=-
=-2
12
x
12
6
12
x
1048 반비례 관계 y=
(a+0)의 그래프는 a의 절댓값이
클수록 원점에서 멀다.
즉,
-
|
1
5 |
<
|;2!;|
멀리 떨어진 것은 ①이다.
<|1|<|-2|<|6|이므로 원점에서 가장
y=-
에 x=b, y=-12를 대입하면
-12=-
∴ b=1
12
b
∴ a+b=(-2)+1=-1
1049 ㉠ y=-
;3!;
x ㉡ y=-3x ㉢ y=2x
㉣ y=
㉤ y=
;[%;
;[*;
따라서 옳게 짝지은 것은 ③이다.
채점요소
단계
a의 값 구하기
b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
①
③
-1
배점
40 %
40 %
20 %
1050 반비례 관계 y=
(a+0)의 그래프가 제 2 사분면과
제 4 사분면을 지나므로 a<0
이때 y=
(a+0)의 그래프가 y=-
의 그래프보다 원점에
2
x
서 더 멀리 떨어져 있으므로
|a|>|-2|=2, 즉 a<-2
나므로 y=
에 x=3, y=2를 대입하면
a
x
2=
에서 a=6 ∴ y=
;[^;
;3A;
;[^;
a<-2
y=
에 x=-1을 대입하면 y=
=-6
6
-1
따라서 점 P의 좌표는 (-1, -6)이다.
1053 반비례 관계 y=
(a+0)의 그래프가 점 (3, 2)를 지
a
x
1051 반비례 관계 y=
(a+0)의 그래프가 점 (2, 4)를 지
P(-1, -6)
나므로 y=
에 x=2, y=4를 대입하면
4=
에서 a=8 ∴ y=
;2A;
;[*;
1054 반비례 관계 y=
10
x
y좌표가 모두 정수인 점은
의 그래프 위의 점 중에서 x좌표와
① y=
에 x=-4를 대입하면 y=
=-2
(-10, -1), (-5, -2), (-2, -5), (-1, -10),
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
② y=
에 x=-2를 대입하면 y=
=-4
③ y=
에 x=-1을 대입하면 y=
=-8
∴ (-4, -2)
∴ (-2, -4)
∴ (-1, -8)
;[*;
;[*;
;[*;
;[*;
;[*;
8
-4
8
-2
8
-1
;1*;
;4*;
④ y=
에 x=1을 대입하면 y=
=8 ∴ (1, 8)
② x<0일 때, 제 3 사분면을 지난다.
⑤ y=
에 x=4를 대입하면 y=
=2 ∴ (4, 2)
(1, 10), (2, 5), (5, 2), (10, 1)
의 8개이다.
1055 반비례 관계 y=
의 그래프
3
x
는 오른쪽 그림과 같다.
① 점 (-1, -3)을 지난다.
③ 반비례 관계 y=
(a+0)의 그래
a
x
②
y
y=
3
-x
-1
O
-3
x
09. 정비례와 반비례 95
알피엠_중1-1_해설_084~103_4단원_ok.indd 95
2017-06-30 오전 11:06:36
프는 좌표축과 만나지 않는다.
⑤ y는 x에 반비례한다.
1060 ① y=ax에 x=-2, y=2를 대입하면
2=-2a에서 a=-1 ∴ y=-x
④
1056 반비례 관계 y=-
의 그래프
8
x
는 오른쪽 그림과 같다.
① 점 (1, -8)을 지난다.
② 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지난다.
③ 정비례 관계 y=8x의 그래프는 원점
y=-
8
-x
y
1
O
-8
을 지나는 직선이고 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지나므로 만
나지 않는다.
⑤ x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
x
④
② y=ax에 x=1, y=3을 대입하면 3=a ∴ y=3x
③ y=ax에 x=3, y=4를 대입하면
4=3a에서 a=
∴ y=
;3$;
x
;3$;
④ y=
에 x=1, y=5를 대입하면 5=a ∴ y=
;[%;
;[A;
;[A;
a
-4
⑤ y=
에 x=-4, y=1을 대입하면
1=
에서 a=-4 ∴ y=-
4
x
따라서 옳게 짝지어진 것은 ⑤이다.
⑤
8
1
3
4
1057 ⑤ y=
(a+0)는 반비례 관계이므로 x의 값이 2배,
a
x
1061 점 A가 정비례 관계 y=2x의 그래프 위의 점이므로
y=2x에 x=-2를 대입하면
3배, 4배, y가 되면 y의 값은
배,
배,
배, y가 된다.
y=2_(-2)=-4 ∴ A(-2, -4)
1
2
1
3
1
4
⑤
또, 점 A는 반비례 관계 y=
(a+0)의 그래프 위의 점이므로
1058 그래프가 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 매끄러운 곡선
y=
에 x=-2, y=-4를 대입하면
이므로 y=
(a+0)로 놓고, 그래프가 점 (-2, 3)을 지나므
-4=
∴ a=8
a
x
a
-2
a
x
a
x
a
-2
로 y=
에 x=-2, y=3을 대입하면
3=
에서 a=-6 ∴ y=-
6
x
6
x
y=-6
이 그래프가 점 A를 지나므로 y=-
에 x=1을 대입하면
1062 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가 점 (6, 2)를 지
나므로 y=ax에 x=6, y=2를 대입하면 2=6a ∴ a=
반비례 관계 y=
(b+0)의 그래프가 점 (6, 2)를 지나므로
b
x
따라서 점 A의 좌표는 (1, -6)이다.
A(1, -6)
y=
에 x=6, y=2를 대입하면 2=
∴ b=12
;6B;
1059 그래프가 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 매끄러운 곡선
∴ ab=
_12=4
;3!;
이므로 y=
(a+0)로 놓고, 그래프가 점 (1, -3)을 지나므
a
x
a
x
로 y=
에 x=1, y=-3을 대입하면
-3=a ∴ y=-
3
x
1063 점 A가 정비례 관계 y=-2x의 그래프 위의 점이므로
y=-2x에 y=-8을 대입하면
-8=-2x에서 x=4 ∴ A(4, -8)
또, 점 A는 반비례 관계 y=
(a+0)의 그래프 위의 점이므로
이 그래프가 점
{
k,
;2!;}
을 지나므로 y=-
에 x=k, y=
을
y=
에 x=4, y=-8을 대입하면
3
x
대입하면
=-
∴ k=-6
3
k
;2!;
-8=
∴ a=-32
;4A;
-32
b
x
a
x
a
x
a
x
단계
x와 y 사이의 관계식 구하기
k의 값 구하기
채점요소
96 정답과 풀이
1064 정비례 관계 y=-3x의 그래프가 점 (-4, b)를 지나
므로 y=-3x에 x=-4, y=b를 대입하면
b=(-3)_(-4)=12
;2!;
-6
배점
60 %
40 %
알피엠_중1-1_해설_084~103_4단원_ok.indd 96
2017-06-30 오전 11:06:37
반비례 관계 y=
(a+0, x<0)의 그래프가 점 (-4, 12)를
따라서 (직사각형 PAOB의 넓이)=18에서
a
x
a
x
지나므로 y=
에 x=-4, y=12를 대입하면
12=
∴ a=-48
a
-4
∴ a+b=(-48)+12=-36
채점요소
단계
b의 값 구하기
a의 값 구하기
a+b의 값 구하기
1065 점 P의 x좌표를 t(t>0)라 하면
y
y=
;[A;
t,
P
{
a
t }
이고 A(t, 0)이다.
이때 삼각형 POA의 넓이가 10이므로
_t_
=10 ∴ a=20
;2!;
a
t
1066 점 P의 x좌표를 k (k>0)라 하면 P
{
14
k
(선분 OA의 길이)=k, (선분 OB의 길이)=
∴ (직사각형 OAPB의 넓이)=k_
=14
14
k
-36
배점
40 %
40 %
20 %
4_
-
{
;4A;}
=18 ∴ a=-18
①
1069 점 A의 x좌표가 -3이므로 y=
에 x=-3을 대입하
a
x
면 y=
a
-3
∴ A
{
-3, -
a
3 }
점 C의 x좌표가 3이므로 y=
에 x=3을 대입하면 y=
;3A;
a
x
∴ C
{
3,
a
3 }
즉, (선분 CD의 길이)=3-(-3)=6,
(선분 DA의 길이)=
a
3
따라서 (직사각형 ABCD의 넓이)=40에서
a
3 }
a
-
=
-
2
3
{
6_
a=40, 4a=40 ∴ a=10
;3@;
;tA;
O
P
t,
{
;tA;}
A
t
x
k,
14
k }
이므로
1070 두 개의 톱니바퀴가 각각 회전하는 동안 맞물린 톱니의
수는 서로 같다.
⑤
(A의 톱니의 수)_(A의 회전수)
=(B의 톱니의 수)_(B의 회전수)이므로
38x=19y ∴ y=2x
1071 (속력)=
(거리)
(시간)
이므로 y=
;4{;
④
1067 점 P의 x좌표를 k (k>0)라 하
y
면 P
k,
{
12
k }
이고 A(k, 0), B
0,
{
12
k }
y=`
12
-x
1072 양초의 길이는 불을 붙이면 1분에 0.6 cm씩 줄어들므로
x분 후 줄어든 양초의 길이는 0.6x cm이다.
이다.
따라서 (선분 BP의 길이)=k,
(선분 PA의 길이)=
이므로
12
k
(삼각형 APB의 넓이)=
_k_
=6
12
k
P
12
k,
-
}
k
{
A
x
B
O
∴ y=0.6x
1073 소금물의 농도가
_100=20 (%)이므로
6
y=
_x ∴ y=
20
100
40
200
x
;5!;
②
②
y=
x
;4!;
y=0.6x
y=
x
;5!;
;2!;
a
x
a
x
1068 반비례 관계 y=
(a+0)의 그래프에서 점 P의 x좌
표가 -4이므로 y=
에 x=-4를 대입하면
y=
a
-4
∴ P
{
-4, -
;4A;}
즉, (선분 AO의 길이)=4, (선분 OB의 길이)=-
a
4
1074 y가 x에 정비례하므로 y=ax (a+0)로 놓고 x=20,
y=300을 대입하면 300=a_20에서 a=15 ∴ y=15x
y=15x에 x=5를 대입하면 y=15_5=75
따라서 5일 동안 읽은 책의 쪽수는 75쪽이다.
75쪽
09. 정비례와 반비례 97
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2017-06-30 오전 11:06:40
1075 지구에서의 무게가 x kg인 물체의 수성에서의 무게를
y kg이라 하면 y=
x
1
3
y=
x에 x=36을 대입하면 y=
_36=12
;3!;
;3!;
따라서 지구에서의 무게가 36 kg인 물체의 수성에서의 무게는
12 kg이다.
1081 기체의 압력을 x기압, 부피를 y cmÜ`라 하면 기체의 부
a
x
피는 압력에 반비례하므로 y=
(a+0)로 놓는다.
어떤 기체의 부피가 15 cmÜ`일 때, 압력이 6기압이므로
y=
에 x=6, y=15를 대입하면
15=
에서 a=90 ∴ y=
12 kg
y=
에 x=9를 대입하면 y=
=10
90
x
90
9
1076 구매 금액이 x원일 때, 할인받는 금액을 y원이라 하면
따라서 구하는 기체의 부피는 10 cmÜ`이다.
y=
x에 x=35000을 대입하면 y=
_35000=1750
1082 7명이 16시간 동안 작업한 일의 양과 x명이 y시간 동안
1
20
1
20
y=x_
∴ y=
5
100
1
20
x
따라서 할인받는 금액은 1750원이다.
1077 (삼각형 ABP의 넓이)=
_x_10=5x
1
2
∴ y=5x
y=5x에 y=40을 대입하면 40=5x ∴ x=8
따라서 선분 BP의 길이는 8 cm이다.
1750원
작업한 일의 양은 같으므로 x_y=7_16 ∴ y=
y=
에 y=14를 대입하면 14=
∴ x=8
112
x
112
x
따라서 8명이 필요하다.
1083 (거리)=(속력)_(시간)이므로
(전체 거리)=60_5=300(km)
8 cm
xy=300 ∴ y=
300
x
;[A;
;6A;
90
x
112
x
1078 매분 5 L씩 물을 채우면 80분 만에 가득 차므로 이 물통
의 용량은 5_80=400(L)
매분 x L씩 물을 채우면 y분 만에 가득 차므로
y=
에 x=100을 대입하면 y=
=3
;1#0)0);
300
x
따라서 시속 100 km로 달릴 때 출발지부터 도착지까지 가는 데
걸린 시간은 3시간이다.
xy=400 ∴ y=
400
x
③
1079 두 개의 톱니바퀴가 각각 회전하는 동안 맞물린 톱니의
수는 같다.
(A의 톱니의 수)_(A의 회전수)
=(B의 톱니의 수)_(B의 회전수)이므로
30_5=xy ∴ y=
150
x
1084 분속 x m로 걸었을 때 걸리는 시간을 y분이라 하면 시
a
x
간은 속력에 반비례하므로 y=
(a+0)로 놓는다.
y=
에 x=300, y=10을 대입하면
10=
에서 a=3000 ∴ y=
3000
x
a
x
a
300
1080 (원기둥의 부피)=(밑면의 넓이)_(높이)이므로
따라서 분속 500 m로 걸어야 한다.
y=
150
x
y=
6=
3000
x
3000
x
에 y=6을 대입하면
∴ x=500
30=y_x ∴ y=
30
x
그런데 원기둥의 높이 x는 항상 양수이므로 x>0
따라서 y=
(x>0)의 그래프는 ②이다.
30
x
98 정답과 풀이
단계
채점요소
x와 y 사이의 관계식 구하기
②
답 구하기
10 cmÜ`
8명
3시간
분속 500 m
배점
70 %
30 %
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2017-06-30 오전 11:06:41
UP
1085 ⑴ 점 A의 x좌표가 3이므로 B(3, 0)이고, y=4x에
x=3을 대입하면 y=4_3=12 ∴ A(3, 12)
∴ (삼각형 AOB의 넓이)=
_3_12=18
;2!;
⑵ 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가 삼각형 AOB의 넓이
걸어갈 때를 나타내는 정비례 관계 y=bx (b+0)의 그래프가 점
(1, 120)을 지나므로 y=bx에 x=1, y=120을 대입하면
120=b ∴ y=120x(x¾0)
720 kcal의 열량을 소모하기 위해 자전거를 타야 하는 시간은
y=180x에 y=720을 대입하면 720=180x ∴ x=4(시간)
720 kcal의 열량을 소모하기 위해 걸어야 하는 시간은 y=120x
에 y=720을 대입하면 720=120x ∴ x=6(시간)
를 이등분하므로 선분 AB의 한가운데 점 (3, 6)을 지나야 한
따라서 720 kcal의 열량을 소모하기 위해 자전거를 타야 하는 시
다. 즉, y=ax의 그래프가 점 (3, 6)을 지나야 하므로
간은 4시간, 걸어야 하는 시간은 6시간이므로 구하는 시간의 차
6=3a ∴ a=2
는 6-4=2(시간)이다.
③
1086 오른쪽 그림에서 삼각형 AOB의
y=ax
넓이는
_6_8=24
;2!;
정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래
프가 선분 AB와 만나는 점을
P(m, n)이라 하자.
⑴ 18 ⑵ 2
A
y
8
n
P(m, n)
B
O
6m
x
정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가 삼각형 AOB의 넓이
1089 ㄷ. xy=8에서 y=
(반비례)
8
x
를 이등분하므로
ㅁ.
=6에서 y=6x (정비례)
ㄱ, ㅁ
(△AOP의 넓이)=
_8_m=12 ∴ m=3
;2!;
;2!;
(△POB의 넓이)=
_6_n=12 ∴ n=4
1090 y가 x에 반비례하므로 y=
(a+0)로 놓고 x=-4,
a
x
따라서 점 P(3, 4)이므로 y=ax에 x=3, y=4를 대입하면
y=1을 대입하면 1=
에서 a=-4 ∴ y=-
a
-4
4
x
4=3a ∴ a=
;3$;
y=-
에 x=-2, y=A를 대입하면
④
A=-
=2
4
-2
y
x
4
x
4
x
1087 형을 나타내는 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가
점 (3, 480)을 지나므로 y=ax에 x=3, y=480을 대입하면
480=3a에서 a=160 ∴ y=160x(x¾0)
동생을 나타내는 정비례 관계 y=bx (b+0)의 그래프가
점 (3, 150)을 지나므로 y=bx에 x=3, y=150을 대입하면
150=3b에서 b=50 ∴ y=50x(x¾0)
집에서 공원까지의 거리는 800 m이므로 형이 공원까지 가는 데
걸리는 시간은 y=160x에 y=800을 대입하면
800=160x ∴ x=5(분)
동생이 공원까지 가는 데 걸리는 시간은 y=50x에 y=800을 대
입하면 800=50x ∴ x=16(분)
따라서 형이 공원에 도착한 후 16-5=11(분)을 기다려야 동생
이 도착한다.
③
y=-
에 x=B, y=-1을 대입하면
-1=-
∴ B=4
4
B
∴ AB=2_4=8
1091 ㄱ. y=1560x (정비례)
ㄴ. y=
_100=
(반비례)
20
x
2000
x
ㄷ. xy=2_5=10 ∴ y=
(반비례)
10
x
ㄹ. y=1000_
=10x (정비례)
x
100
따라서 y가 x에 반비례하는 것은 ㄴ, ㄷ이다.
8
ㄴ, ㄷ
1088 자전거 탈 때를 나타내는 정비례 관계 y=ax (a+0)의
그래프가 점 (1, 180)을 지나므로 y=ax에 x=1, y=180을 대
∴ y=2x
1092 (삼각형 DPC의 넓이)=
_x_4=2x
;2!;
입하면 180=a ∴ y=180x(x¾0)
y=2x
09. 정비례와 반비례 99
알피엠_중1-1_해설_084~103_4단원_ok.indd 99
2017-06-30 오전 11:06:43
1093 정비례 관계 y=-
x의 그래프
3
4
y
3
-
y=-` x
4
는 오른쪽 그림과 같다.
① 점 (4, -3)을 지난다.
3, -
를 지난다.
;4(;}
3
4 |
-
<
|
② 점
{
1
2 |
1
2
③
|
y=
x의 그래프보다 y축에 더 가깝다.
⑤ x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
이므로 정비례 관계 y=-
x의 그래프가
3
4
④ y=
에 x=2를 대입하면 y=
=3 ∴ (2, 3)
⑤ y=
에 x=6을 대입하면 y=
=1 ∴ (6, 1)
;[^;
;[^;
;2^;
;6^;
따라서 반비례 관계 y=
의 그래프 위의 점은 ②이다.
;[^;
4
x
O
-3
1098 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가 점 (-3, 2)를
지나므로 y=ax에 x=-3, y=2를 대입하면
2=-3a에서 a=-
∴ y=-
;3@;
④
x
;3@;
;3@;
이 그래프가 점 A를 지나므로 y=-
x에 y=-4를 대입하면
1094 반비례 관계 y=
5
x
의 그래프는 제 1 사분면과 제 3 사분
-4=-
x ∴ x=6
;3@;
면을 지나고 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 매끄러운 곡선이다.
따라서 점 A의 좌표는 (6, -4)이다.
그런데 x<0이므로 그래프는 제 3 사분면에만 그려진다.
따라서 그래프가 될 수 있는 것은 ③이다.
③
1099 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가 점 (4, 3)을 지
나므로 y=ax에 x=4, y=3을 대입하면 3=4a ∴ a=
정비례 관계 y=bx (b+0)의 그래프가 점 (1, -4)를 지나므로
y=bx에 x=1, y=-4를 대입하면 -4=b
∴ ab=
_(-4)=-3
;4#;
1095 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프는 a>0일 때, x의
값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
반비례 관계 y=
(a+0, x>0)의 그래프는 a<0일 때 x의
값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
①, ②
1096 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가 점 (-3, 9)를
지나므로 y=ax에 x=-3, y=9를 대입하면
9=-3a ∴ a=-3
반비례 관계 y=
(b+0)의 그래프가 점 (7, 4)를 지나므로
y=
에 x=7, y=4를 대입하면 4=
∴ b=28
;7B;
b
x
∴ a-b=(-3)-28=-31
a
x
b
x
-31
a
x
1097 그래프가 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 매끄러운 곡선
이므로 y=
(a+0)로 놓고, 점 (3, 2)를 지나므로 y=
에
a
x
x=3, y=2를 대입하면 2=
에서 a=6 ∴ y=
;[^;
a
3
y=-
=4
8
-2
① y=
에 x=-1을 대입하면 y=
=-6
6
-1
6
-2
∴ (-1, -6)
∴ (-2, -3)
;[^;
;[^;
;[^;
100 정답과 풀이
② y=
에 x=-2를 대입하면 y=
=-3
③ y=
에 x=1을 대입하면 y=
=6 ∴ (1, 6)
;1^;
1100 점 A가 정비례 관계 y=-
의 그래프 위의 점이므로
x
2
x
2
;2$;
a
x
y=-
에 x=4를 대입하면
y=-
=-2 ∴ A(4, -2)
y=
에 x=4, y=-2를 대입하면
-2=
∴ a=-8
;4A;
또, 점 A는 반비례 관계 y=
(a+0)의 그래프 위의 점이므로
a
x
1101 반비례 관계 y=-
;[*;
에 x=-2를 대입하면
즉, ㉠의 그래프는 점 (-2, 4)를 지나고, 원점을 지나는 직선이
므로 y=ax (a+0)로 놓고 x=-2, y=4를 대입하면
4=-2a에서 a=-2 ∴ y=-2x
②
1102 ③ 주어진 그래프가 원점에 대하여 대칭인 한 쌍의 매끄
러운 곡선이므로 y=
(a+0)로 놓고, 점 (-2, 6)을 지나
a
x
②
⑤
3
4
-3
-8
알피엠_중1-1_해설_084~103_4단원_ok.indd 100
2017-06-30 오전 11:06:45
므로 y=
에 x=-2, y=6을 대입하면
6=
에서 a=-12 ∴ y=-
12
x
① y는 x에 반비례한다.
② x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
의 12개이다.
12개
1106 반비례 관계 y=
(a+0)의 그래프가 점 A(2, 6)을
a
x
지나므로 y=
에 x=2, y=6을 대입하면
a
x
④ y=-
에 x=-6을 대입하면 y=-
=2이므로 점
6=
에서 a=12 ∴ y=
12
-6
(-6, 2)를 지난다.
⑤ y=-
에서 xy=-12이므로 xy의 값이 항상 일정하다.
점 B(t, 3)은 반비례 관계 y=
의 그래프 위의 점이므로
12
x
12
x
a
x
a
-2
12
x
12
x
③, ⑤
y=
에 x=t, y=3을 대입하면
3=
에서 t=4 ∴ B(4, 3)
a
2
12
x
12
t
1103 점 B가 정비례 관계 y=
x의 그래프 위의 점이므로
1
3
y=
x에 y=2를 대입하면
2=
x에서 x=6 ∴ B(6, 2)
1
3
;3!;
이때 (점 A의 x좌표)=(점 B의 x좌표)=6이고 점 A는 정비례
관계 y=3x의 그래프 위의 점이므로 y=3x에 x=6을 대입하면
y=3_6=18 ∴ A(6, 18)
즉, 삼각형 AOB에서 선분 AB를 밑변으로 하면
(밑변의 길이)=18-2=16,
(높이)=(선분 OH의 길이)=6
∴ (삼각형 AOB의 넓이)=
_16_6=48
;2!;
1104 똑같은 기계 40대로 15시간 동안 작업한 일의 양과 똑
같은 기계 x대로 y시간 동안 작업한 일의 양이 같다고 하면
40_15=x_y ∴ y=
600
x
600
x
600
x
따라서 200대의 똑같은 기계가 필요하다.
1105 반비례 관계 y=
(a+0)의 그래프가 점 (3, 4)를 지
a
x
나므로 y=
에 x=3, y=4를 대입하면
a
x
4=
에서 a=12 ∴ y=
;3A;
12
x
12
x
모두 정수인 점은
(1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1),
(-1, -12), (-2, -6), (-3, -4), (-4, -3),
(-6, -2), (-12, -1)
이때 정비례 관계 y=kx (k+0)의 그래프가 선분 AB 위의 점
을 지나므로
Ú 정비례 관계 y=kx의 그래프가 점 A(2, 6)을 지날 때
y=kx에 x=2, y=6을 대입하면 6=2k ∴ k=3
Û 정비례 관계 y=kx의 그래프가 점 B(4, 3)을 지날 때
y=kx에 x=4, y=3을 대입하면 3=4k ∴ k=
;4#;
따라서 Ú, Û에 의해 구하는 k의 값의 범위는
ÉkÉ3이다.
;4#;
;4#;
ÉkÉ3
1107 물체 A의 그래프를 나타내는 x와 y 사이의 관계식을
y=ax (a+0)라 하면 점 (2, 4)를 지나므로
④
4=2a에서 a=2 ∴ y=2x(x¾0)
물체 B의 그래프를 나타내는 x와 y 사이의 관계식을
y=bx (b+0)라 하면 점 (3, 1)을 지나므로
1=3b에서 b=
∴ y=
x(x¾0)
;3!;
;3!;
이때 c분 후 두 물체의 온도 차를 15 ¾라 하면 두 그래프에서
2c-
c=15,
c=15 ∴ c=9
;3!;
;3%;
200대
따라서 A, B의 온도 차가 15 ¾가 되는 것은 온도를 측정하기
시작한 지 9분 후이다.
9분 후
1108 (직사각형 ABCD의 넓이)
=(선분 AB의 길이)_(선분 BC의 길이)
이고 직사각형 ABCD의 넓이가 48이므로
따라서 반비례 관계 y=
(a+0)의 그래프가 점 C(6, 2)를 지
a
x
나므로 y=
에 x=6, y=2를 대입하면 2=
∴ a=12
;6A;
a
x
④
09. 정비례와 반비례 101
y=
에 y=3을 대입하면 3=
∴ x=200
x=c일 때의 y의 값의 차가 15이므로
반비례 관계 y=
의 그래프 위의 점 중에서 x좌표와 y좌표가
12_2k=48 ∴ k=2
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1109 반비례 관계 y=
(a+0)의 그래프가 제 1 사분면과
a
x
제 3 사분면을 지나므로 a>0이고, 점 A의 x좌표를 -t(t>0)
채점요소
단계
x와 y 사이의 관계식 구하기
y와 z 사이의 관계식 구하기
x=4일 때 z의 값 구하기
라 하면 B
{
-t, -
이므로
a
t }
(선분 AO의 길이)=t, (선분 AB의 길이)=
;tA;
직사각형 ABCO의 넓이가 8이므로
t_
=8에서 a=8 ∴ y=
1112 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가 점 (4, 2)를 지
나므로 y=ax에 x=4, y=2를 대입하면
;tA;
;[*;
;[*;
;2*;
y=
에 x=2를 대입하면 y=
=4 ∴ D(2, 4)
또, 점 D는 정비례 관계 y=bx (b+0)의 그래프 위의 점이므로
y=bx에 x=2, y=4를 대입하면 4=2b ∴ b=2
∴ a-b=8-2=6
2=4a ∴ a=
1
2
b
x
반비례 관계 y=
(b+0, x>0)의 그래프가 점 (4, 2)를 지나
므로 y=
에 x=4, y=2를 대입하면
b
x
6
2=
∴ b=8
b
4
1110 x g짜리 추를 매달았을 때, 늘어난 용수철의 길이를
y cm라 하면 y가 x에 정비례하므로 y=ax (a+0)로 놓고 10 g
∴ ab=
_8=4`
;2!;
짜리 추를 매달았을 때, 0.5 cm가 늘어났으므로
y=ax에 x=10, y=0.5를 대입하면
0.5=10a에서 a=
∴ y=
1
20
용수철의 길이가 13 cm가 되면 늘어난 길이는 3 cm이므로
y=
x에 y=3을 대입하면 3=
x ∴ x=60
1
20
따라서 60 g짜리 추를 매달아야 한다.
1
20
x
1
20
채점요소
단계
a의 값 구하기
b의 값 구하기
ab의 값 구하기
60 g
1113 ⑴ 두 개의 톱니바퀴가 각각 회전하는 동안 맞물린 톱니
의 수는 서로 같으므로 1분 동안 맞물린 톱니의 수가 서로 같
다.
1111 y가 x에 정비례하므로 y=ax (a+0)로 놓고, y=ax
에 x=-6, y=3을 대입하면
(A의 톱니의 수)_(1분 동안의 A의 회전수)
=(B의 톱니의 수)_(1분 동안의 B의 회전수)이므로
3=-6a에서 a=-
∴ y=-
x
;2!;
;2!;
yy ㉠
x_y=40_12 ∴ y=
480
x
또한 z가 y에 반비례하므로 z=
(b+0)로 놓고, z=
에
⑵ y=
에 x=30을 대입하면 y=
=16
480
x
480
30
따라서 A는 1분에 16바퀴 회전한다.
y=4, z=-
을 대입하면
1
2
-
=
;2!;
;4B;
에서 b=-2 ∴ z=-
yy ㉡
⑴ y=
480
x ⑵ 16바퀴
b
y
배점
30 %
30 %
40 %
4
배점
40 %
40 %
20 %
단계
채점요소
x와 y 사이의 관계식 구하기
배점
70 %
A의 톱니의 수가 30개일 때, 1분 동안의 A의 회전수 구하기 30 %
1
1114 점 A(b, 12)가 정비례 관계 y=2x의 그래프 위의 점이
므로 y=2x에 x=b, y=12를 대입하면
b
y
2
y
1
2
2
-2
x=4를 ㉠에 대입하면 y=-
_4=-2
y=-2를 ㉡에 대입하면 z=-
=1
따라서 x=4일 때 z의 값은 1이다.
102 정답과 풀이
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12=2b ∴ b=6
이때 사각형 ABCD의 한 변의 길이가 4이므로
B(6, 8), C(10, 8)
OABC의 넓이의
이므로
1
2
_4_4a=
에서 a=
;2(;
;2!;
9
16
②
;5$;
배점
30 %
30 %
40 %
따라서 점 C(10, 8)이 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프 위
의 점이므로 y=ax에 x=10, y=8을 대입하면
8=10a ∴ a=
;5$;
단계
채점요소
b의 값 구하기
점 C의 좌표 구하기
a의 값 구하기
1115 ④ A수문을 나타내는 그래프에서 x와 y 사이의 관계식
을 y=ax (a+0)라 하면 점 (1, 20)을 지나므로
20=a ∴ y=20x(x¾0)
B수문을 나타내는 그래프에서 x와 y 사이의 관계식을
y=bx (b+0)라 하면 점 (1, 10)을 지나므로
10=b ∴ y=10x(x¾0)
① y=20x에 x=1을 대입하면 y=20
따라서 A수문을 열 때, 1시간 동안 방류되는 물의 양은 20만
② y=10x에 x=1을 대입하면 y=10
따라서 B수문을 열 때, 1시간 동안 방류되는 물의 양은 10만
톤이다.
톤이다.
③ y=20x에 x=3을 대입하면 y=20_3=60
y=10x에 x=3을 대입하면 y=10_3=30
따라서 A, B 두 수문을 동시에 열면 3시간 동안 방류되는 물
의 양은 60+30=90(만 톤)이다.
⑤ y=20x에 x=4를 대입하면 y=20_4=80
y=10x에 x=4를 대입하면 y=10_4=40
따라서 A, B 두 수문을 동시에 열면 4시간 동안 방류되는 물
의 양의 차는 80-40=40(만 톤)이다.
④
1116 (사다리꼴 OABC의 넓이)=
_(2+4)_3=9
정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래
프가 사다리꼴 OABC의 넓이를
이등분할 때, 선분 AB 위의 점
D(4, 4a)를 지난다고 하면 삼각
형 OAD의 넓이는 사다리꼴
(cid:36)
(cid:35)
(cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)
(cid:37)(cid:9)(cid:21)(cid:13)(cid:3)(cid:21)(cid:66)(cid:10)
(cid:48)
(cid:19)
(cid:34)
(cid:21)
(cid:89)
;2!;
(cid:90)
(cid:20)
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09. 정비례와 반비례 103
②
①
⑤
③
①
실력 테스트
01 소인수분해
01 소수는 7, 13, 29, 43, 79의 5개이다.
④
02 ㄴ. 2와 3은 소수이지만 2와 3의 곱인 6은 소수가 아니다.
ㄷ. 소수에서는 유일하게 짝수 2가 있다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.
03 40에 가장 가까운 소수는 41이므로 a=41
70에 가장 가까운 합성수는 69이므로 b=69
∴ b-a=69-41=28
10 나눌 수 있는 가장 작은 자연수를 x라 할 때,
720=2Ý`_3Û`_5이므로 (2Ý`_3Û`_5)Öx=(자연수)Û`이 되려면
지수가 짝수이어야 하므로 x=5
11 ① 2Ý`_4=2ß`의 약수의 개수는 6+1=7(개)
② 2Ý`_8=2à`의 약수의 개수는 7+1=8(개)
③ 2Ý`_9=2Ý`_3Û`의 약수의 개수는 (4+1)_(2+1)=15(개)
④ 2Ý`_12=2ß`_3의 약수의 개수는 (6+1)_(1+1)=14(개)
⑤ 2Ý`_16=2¡`의 약수의 개수는 8+1=9(개)
12 360_a=2Ü`_3Û`_5_a에서 360_a가 (자연수)Û` 꼴이려면
지수가 짝수이어야 한다.
∴ a=2_5=10
이므로 b=2Û`_3_5=60
∴ b-a=60-10=50
04 420=2Û`_3_5_7이므로 소인수는 2, 3, 5, 7이다.
이때 360_a=2Ü`_3Û`_5_2_5=2Ý`_3Û`_5Û`=(2Û`_3_5)Û`
05 180 =2_2_3_3_5=2Û`_3Û`_5
06 ① 60=2Û`_3_5이므로 소인수는 2, 3, 5의 3개
② 70=2_5_7이므로 소인수는 2, 5, 7의 3개
13 31은 소수이므로 f(31)=2
432=2Ý`_3Ü`이므로 f(432)=(4+1)_(3+1)=20
③ 80=2Ý`_5이므로 소인수는 2, 5의 2개
∴ f(31)+f(432)=2+20=22
④ 140=2Û`_5_7이므로 소인수는 2, 5, 7의 3개
⑤ 210=2_3_5_7이므로 소인수는 2, 3, 5, 7의 4개
따라서 소인수의 개수가 가장 많은 것은 ⑤이다.
⑤
07 256=2¡`이므로 a=8
729=3ß`이므로 b=6
∴ a+b=8+6=14
08 ① 30=2_3_5
③ 108=2Û`_3Ü`
⑤ 270=2_3Ü`_5
② 45=3Û`_5
④ 126=2_3Û`_7
14 약수의 개수가 3개인 자연수는 (소수)Û` 꼴이다.
따라서 1부터 100까지의 자연수 중 약수의 개수가 3개인 자연수
는 2Û`=4, 3Û`=9, 5Û`=25, 7Û`=49이다.
4, 9, 25, 49
15 1_2_3_4_5_6_7_8_9_10
=1_2_3_2Û`_5_2_3_7_2Ü`_3Û`_2_5
=2¡`_3Ý`_5Û`_7
따라서 2Û`_3Ü`_5의 약수가 아닌 것은 ④이다.
④
이므로 a=8, b=4, c=2
09 ① 36=2Û`_3Û` ⇨ (2+1)_(2+1)=9(개)
② 90=2_3Û`_5 ⇨ (1+1)_(2+1)_(1+1)=12(개)
③ 2Û`_3Ý` ⇨ (2+1)_(4+1)=15(개)
④ 2_3_7Û` ⇨ (1+1)_(1+1)_(2+1)=12(개)
⑤ 3_5_7_9=3Ü`_5_7
⇨ (3+1)_(1+1)_(1+1)=16(개)
∴ a+b+c=8+4+2=14
채점요소
단계
소인수분해하기
a, b, c의 값 구하기
a+b+c의 값 구하기
⑤
104 정답과 풀이
④
③
②
22
14
배점
6점
3점
1점
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16 2`_7º`_27=2`_7º`_3Ü`이므로 약수의 개수는
(a+1)_(b+1)_(3+1)개
04 (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로
두 수의 최소공배수를 L이라 하면
600=2Ü`_3_5Û`이므로 약수의 개수는
(3+1)_(1+1)_(2+1)=24(개)
따라서 (a+1)_(b+1)_(3+1)=24이므로
(a+1)_(b+1)=6
a, b는 자연수이므로
a+1=2, b+1=3 또는 a+1=3, b+1=2
∴ a=1, b=2 또는 a=2, b=1
∴ a_b=2
단계
채점요소
2`_7º`_27의 약수의 개수 구하기
600의 약수의 개수 구하기
a, b의 값 구하기
a_b의 값 구하기
02 최대공약수와 최소공배수
01 두 수의 최대공약수를 각각 구해 보면
① 3 ② 10 ③ 1 ④ 7 ⑤ 11
따라서 두 수가 서로소인 것은 ③이다.
02
03
2Ü`_3_5`
2Û` _5Û`
(최대공약수)=2Û` _5
2Û`_3Û`_5
3Û`_5
3Ü`_5Û`_7
(최대공약수)= 3Û`_5
(최소공배수)=2Û`_3Ü`_5Û`_7
공약수는 최대공약수의 약수이므로 공약수가 아닌 것은 ⑤이다.
2Ü`_3Ý`_5_7=2_3Û`_L
∴ L=2Û`_3Û`_5_7
05
2``_`3Û``_`5`
2Ü``_`3º``
_`c
(최대공약수)=`2Û``_`3Û`
(최소공배수)=`2Ü``_`3Û``_`5`_`7
a=2, b=2, c=7
∴ a+b+c=11
06 A의 소인수는 2, 3, 5, 7이므로
A=2`_3º`_5`_7¶`이라 하면
2Û``_`3``_`5Û``
2``_`3º``_`5``_`7¶`
(최대공약수)=`2``_`3``_`5`
(최소공배수)=`2Û``_`3Û``_`5Û``_`7
a=1, b=2, c=1, d=1
∴ A=2_3Û`_5_7
07
x
4_x 6_x 9_x
> ³
> ³ `
2
3
> ³ `
`2
4 `6 `9
2 `3 `9
`1
`3
최소공배수가 108이므로
x_2_3_2_1_3=108 ∴ x=3
②
②
④
②
08 되도록 많은 학생들에게 똑같이 나누어 2
2
주려면 학생 수는 48, 72, 168의 최대공약수
이어야 한다.
따라서 구하는 학생 수는 24명이다.
48 72 168
24 36 84
12 18 42
>³
>³
>³
2
3
6 9 21
>³
2 3
7
①
09 어떤 자연수로 62-2=60, 94-4=90, 159-9=150을
나누면 나누어떨어진다.
따라서 어떤 자연수는 60, 90, 150의 최대공약수인 30의 약수 1,
2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 중에서 9보다 큰 수이므로 가장 큰 수는
30, 가장 작은 수는 10이다.
∴ 30+10=40
⑤
실력 테스트 105
2
배점
3점
3점
3점
1점
③
⑤
④
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10 n의 값이 될 수 있는 수는 두 수 252와 180의 공약수이다.
252=2Û`_3Û`_7, 180=2Û`_3Û`_5이므로 두 수의 최대공약수는
2Û`_3Û`=36이고, 공약수는 최대공약수의 약수이므로 n의 값이
될 수 있는 수는 2Û`_3Û`의 약수의 개수인
(2+1)_(2+1)=9(개)이다.
④
11 두 톱니바퀴가 같은 톱니에서 다시 맞물릴 때 3
5
까지 맞물린 톱니의 수는 75와 60의 최소공배수인
>³
3_5_5_4=300(개)이다.
따라서 두 톱니바퀴가 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물리려면
A는 300Ö75=4(바퀴) 회전해야 한다.
75 60
25 20
>³
5 4
①
12 N을 8로 나눈 몫을 n이라 하면
160=8_(4_1_5)이므로
8
32 N 40
>³
4 n
5
n=1, 2, 2Û`, 5, 2_5, 2Û`_5
N=8_n이므로 N의 값은
8_1=8, 8_2=16, 8_2Û`=32`, 8_5=40,
8_2_5=80, 8_2Û`_5=160
따라서 세 자리의 자연수 중 가장 작은 수는 119이다.
단계
채점요소
구하는 수가 (4, 5, 6의 공배수)-1임을 알기
(4, 5, 6의 공배수)-1인 수 구하기
답 구하기
16 가장 작은 정육면체의 한 모서리의 길이는 2
18, 12, 8의 최소공배수인
2
2_2_3_3_1_2=72(cm)
18 12 8
9 6 4
>³
>³
3
9 3 2
>³
3 1 2
가로：72Ö18=4(장)
세로：72Ö12=6(장)
높이：72Ö8=9(장)
의 벽돌이 필요하므로 구하는 벽돌의 수는
4_6_9=216(장)
단계
채점요소
정육면체의 한 모서리의 길이 구하기
필요한 벽돌의 수 구하기
13 구하는 분수를
;aB;
라 하면
=
;aB;
(15, 12의 최소공배수)
(7, 49의 최대공약수)
=
:¤7¼:
14 세 자연수를 각각 4_a, 5_a, 6_a라 하면
a
4_a 5_a 6_a
> ³
2
> ³ `
`2
4 `5 `6
`5
`3
최소공배수가 240이므로
a_2_2_5_3=240 ∴ a=4
따라서 세 자연수는 16, 20, 24이므로 세 자연수의 합은
16+20+24=60
03 정수와 유리수
01 정수가 아닌 유리수는 +2.7, -
,
;2!;
;5#;
의 3개이다.
02 ⑤ 유리수는 양의 유리수, 0, 음의 유리수로 이루어져 있다.
⑤
60
15 4로 나누면 3이 남고, 5로 나누면 4가 남고, 6으로 나누면 5
가 남으므로 구하는 자연수를 x라 하면 x+1은 4, 5, 6의 공배수
03 ② |-0.75|=0.75=
,
|
;4#;
-
;5#;|
=
;5#;
이므로
이다.
|-0.75|>
-
|
;5#;|
4, 5, 6의 최소공배수는 2_2_5_3=60이
므로 x+1은 60의 배수이다.
즉, x+1=60, 120, 180, y이므로
x=59, 119, 179, y
2
4 5 6
>³
2 5 3
04
①
④ ③
(cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:18)
(cid:17)
(cid:18)
②
(cid:19)
⑤
(cid:20)
(cid:21)
위의 그림에서 왼쪽에서 두 번째에 있는 수는 ④이다.
106 정답과 풀이
119
배점
5점
4점
1점
216장
배점
4점
6점
③
②
④
③
:¤7¼:
알피엠_중1-1_해설_104~120_실력테스트_ok.indd 106
2017-06-30 오전 11:13:42
05 ③ x¾2
③
∴ a=3, b=-5
06 주어진 수를 수직선 위에 나타내었을 때, 원점에서 가장 멀
리 떨어져 있는 수는 절댓값이 가장 큰 수이다.
① |-6|=6
② |2|=2
③ |-0.5|=0.5
④ |1.2|=1.2
⑤
=
=2.5
|;2%;|
;2%;
07
-
|
;3*;|
=
;3*;
=2.666y, |-4|=4, |2|=2,
=
=3.25, |0|=0, |-1|=1이므로 절댓값이
|:Á4£:|
:Á4£:
(=2.5) 이상인 수는 -
, -4,
의 3개이다.
;3*;
:Á4£:
;2%;
13
-
|
=
:Á3Á:|
:Á3Á:
=3.66y, |-3|=3, |0|=0,
|-2.3|=2.3,
=
=3.5
|;2&;|
;2&;
이므로 절댓값이 작은 수부터 차례로 나열하면
①
0, -2.3, -3,
, -
;2&;
:Á3Á:
0, -2.3, -3,
, -
;2&;
:Á3Á:
14
|;6A;|
<1이므로 |a|<6
따라서 정수 a는 -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5의
②
11개이다.
11개
08 두 점 사이의 거리가 8이므로 두
점은 2를 나타내는 점에서 좌우로 4만
(cid:21)
(cid:21)
(cid:14)(cid:19)
(cid:19)
(cid:23)
큼 떨어진 점이 나타내는 수인 -2, 6이다.
15 ㈎에서 두 수 a, b를 나타내는 두 점 사이의 거리는
이다.
;4%;
(=2.4) 이하인 정수는 -2, -1, 0, 1, 2의 5
a, b를 나타내는 점이 원점으로부터 각각 떨어진 거리 구하기 4점
④
④
⑤
①
09 ① 가장 큰 수는 6이다.
② 가장 작은 수는 -2이다.
③ 절댓값이 가장 작은 수는 0.02이다.
⑤ 0보다 작은 수는 -2, -
, -1의 3개이다.
;3!;
10 절댓값이
12
5
개이다.
11 -
17
6
은 것은 -2이다.
∴ a=-2
=-2.833y이므로 -
보다 큰 정수 중 가장 작
17
6
따라서 -2와 절댓값이 같으면서 부호가 반대인 수는 2이다.
12 a는 b보다 8만큼 크고 b의 절댓값은 a의 절댓값보다 2만큼
크므로 a는 양수, b는 음수이다.
이를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.
㈏에서 두 점은 원점으로부터 각각
만큼 떨어져 있다.
;8%;
이때 b>a이므로 a=-
, b=
;8%;
;8%;
a=-
, b=
;8%;
채점요소
a, b를 나타내는 두 점 사이의 거리 구하기
단계
a, b의 값 구하기
16 ⑴ x는 -
;3%;
이상이고 ⇨ x¾-
x는
보다 작거나 같다. ⇨ xÉ
;5&;
;3%;
;5&;
∴ -
ÉxÉ
;3%;
;5&;
⑵ -
=-1.66y,
=1.4이므로 -1.66yÉxÉ1.4를 만
;5&;
5
3
족시키는 정수 x는 -1, 0, 1의 3개이다.
8
5
-5
-4 -3 -2 -1
0
1
2
주어진 문장을 부등호를 사용하여 나타내기
b
⑴에서 구한 식을 만족시키는 정수 x의 개수 구하기
3
a
3
단계
채점요소
⑴ -
ÉxÉ
⑵ 3개
;3%;
;5&;
②
;8%;
배점
3점
3점
배점
4점
6점
실력 테스트 107
알피엠_중1-1_해설_104~120_실력테스트_ok.indd 107
2017-06-30 오후 1:37:18
04 정수와 유리수의 계산 ▶ 1 회
07 -
;5*;
=-1.6이므로 a=-2
=4.714y이므로 b=5
:£7£:
∴ a+b=(-2)+5=3
01 ① (-13)+(+6)=-7
② (-9)-(+3)=(-9)+(-3)=-12
③ (+18)Ö(-3)=-(18Ö3)=-6
④ (-5)+(-11)=-16
⑤ (-11)_(-2)=+(11_2)=22
02 a=5+(-7)=-2
b=(-2)-(-4)=(-2)+4=2
∴ a-b=(-2)-2=-4
①
③
03 a=
{
-
;3@;}
+
+
{
;5$;}
=
-
{
;1!5);}
+
+
{
=
;1!5@;}
;1ª5;
b=
{
+
;6%;}
-
-
{
=
+
{
;5@;}
;3@0%;}
+
+
{
=
;3!0@;}
;3#0&;
∴ b-a=
-
=
-
=
;3#0&;
;1ª5;
;3#0&;
;3¢0;
;3#0#;
;1!0!;
=
04 ①
{
-
;3!;}
-
{
;4#;}
Ö
;1Á2;
=
;9!;
_
-
{
;4#;}
_12=-1
Û`_
②
{
-
Ö
-
{
_
-
{
=
_
-
{
;1$6(;
;8(;}
;9@;}
_
-
{
;8(;}
=
;6$4(;
;2(;}
;4&;}
2`
;2!;}
2`
Ö
;4#;}
③
{
-
④
{
-
Ö4_(-3)=
_
_(-3)=-
;4!;
;4!;
;1£6;
-
{
;2#;}
_
-
{
;2(;}
=
-
{
;4#;}
_
;9$;
_
-
{
;2(;}
=
;2#;
⑤
Ö
-
{
;4(;
;2!;}
=
;8%;
;4(;
_4-8_
;8%;
2`
-2Ü`_
2`
=9-5=4
08 b_c<0에서 b, c의 부호는 다르고
b-c>0에서 b>c이므로 b>0, c<0
④
a_b>0에서 a, b의 부호는 같으므로 a>0
∴ a>0, b>0, c<0
09 (-1)+(-1)Û`+(-1)Ü`+(-1)Ý`+
y+(-1)Ú`á`á`+(-1)Û`â`â`
=(-1)+(+1)+(-1)+(+1)+y+(-1)+(+1)
0
0
0
=0+0+y+0=0
100개
10 a=
-
{
;2%;}
_2_(-4)=20
b=
{
-
;2%;}
_
-
{
;3!;}
_(-4)=-
:Á3¼:
∴ a-b=20-
{
-
:Á3¼:}
=20+
=
:Á3¼:
:¦3¼:
11 (-3)_-13Ö
[{;3!;
-2.5
_(-6)
]
}
=2에서
④
(-3)_-13Ö
-
[{;6@;
:Á6°:}
_(-6)
=2
]
(-3)_-13Ö
-
_(-6)
=2
[{
:Á6£:}
]
05 a_(b+c)=a_b+a_c=-2에서 a_b=3이므로
3+a_c=-2 ∴ a_c=-5
(-3)_-13Ö13=2
(-3)_-1=2, (-3)_=3
①
∴ =3Ö(-3)=-1
06 A=
{
-
;5@;}
-
-
{
=
-
{
;3$;}
+
=
;1¤5;}
;1@5);
;1!5$;
B=-
, C=
;5#;
;5#;
∴ A-B+C =
-
-
{
;1!5$;
;5#;}
+
;5#;
=
+
+
;1!5$;
;1»5;
;1»5;
;1#5@;
=
108 정답과 풀이
12 두 수의 곱이 1이므로 보이지 않는 세 면에 적힌 수는 각각
마주 보는 면에 적힌 수의 역수이다.
-0.9와 마주보는 면에 적힌 수는 -
의 역수인 -
;1»0;
:Á9¼:
와 마주보는 면에 적힌 수는
의 역수인
;3%;
;5#;
;3%;
⑤
;9!;
-
과 마주보는 면에 적힌 수는 -
의 역수인 -9
;9!;
⑤
②
③
⑤
②
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2017-06-30 오전 11:13:46
따라서 보이지 않는 세 면에 적힌 수의 곱은
M-m =
-
-
{
;1#5$;
=
+
=
;1#5$;}
;1#5$;
;1#5$;
;1^5*;
-
{
:Á9¼:}
;5#;
_
_(-9)=6
⑤
13 1-2+3-4+5-6+y+49-50
=1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+y+49+(-50)
={1+(-2)}+{3+(-4)}+{5+(-6)}+
y+{49+(-50)}
=(-1)+(-1)+(-1)+y+(-1)
25개
=-25
채점요소
단계
a, b의 값 구하기
a-b의 값 구하기
M, m의 값 구하기
M-m의 값 구하기
16 어떤 유리수를 라 하면
-25
+
-
=
{
;5#;}
;1£0;
∴ =
-
-
{
;1£0;
;5#;}
=
;1£0;
+
;1¤0;
=
;1»0;
따라서 바르게 계산하면
-
-
{
;1»0;
;5#;}
=
;1»0;
+
;1¤0;
=
;1!0%;
=
;2#;
A=1, B=3
단계
채점요소
어떤 유리수 구하기
바르게 계산한 답 구하기
14 한 변에 놓인 네 수의 합은
8+2+(-3)+(-5)=2
(-4)+A+(-3)+8=2에서
A+1=2 ∴ A=1
(-4)+8+B+(-5)=2에서
B-1=2 ∴ B=3
15 a의 절댓값이
;5#;
이므로 a=
또는 a=-
;5#;
;5#;
b의 절댓값이
이므로 b=
또는 b=-
;3%;
;3%;
;3%;
Ú a=
, b=
일 때,
;5#;
;3%;
a-b=
-
=
-
;5#;
;3%;
;1»5;
;1@5%;
=-
;1!5^;
Û a=
, b=-
일 때,
;5#;
;3%;
a-b=
-
-
{
;5#;
;3%;}
=
;1»5;
+
;1@5%;
=
;1#5$;
Ü a=-
, b=
일 때,
;5#;
;3%;
a-b=
{
-
;5#;}
-
;3%;
=
-
{
-
;1»5;}
;1@5%;
=-
;1#5$;
Ý a=-
, b=-
일 때,
;5#;
;3%;
a-b =
-
-
-
{
;5#;}
;3%;}
=
-
+
=
;1»5;}
;1@5%;
;1!5^;
{
{
Ú ~ Ý에서 M=
, m=-
이므로
;1#5$;
;1#5$;
04 정수와 유리수의 계산 ▶ 2 회
01 3-
-
+4 =
;3!;
;6!;
-
-
;6@;
;6!;
+
:Á6¥:
:ª6¢:
=
:£6»:
=
:Á2£:
02
-
+
=
-
+
|{
;4!;}
;3@;|
|{
;1£2;}
;1¥2;|
|;1°2;|
;1°2;
=
=
-
=
|;3!;
;4#;|
|;1¢2;
;1»2;|
-
=
-
|
=
;1°2;|
;1°2;
∴ (주어진 식)=
-
;1°2;
;1°2;
=0
03 ① -2Ý`=-16
③ -3Ü`=-27
⑤ (-3)Û`=9
② -(-2)Ü`=-(-8)=8
④ -(-3)Û`=-9
따라서 가장 큰 수는 ⑤이다.
⑤
실력 테스트 109
;1^5*;
배점
3점
4점
2점
1점
;2#;
배점
6점
4점
④
③
알피엠_중1-1_해설_104~120_실력테스트_ok.indd 109
2017-06-30 오전 11:13:47
04 a=(-1)-(-4)=(-1)+4=3
b=(-2)+9=7
∴ a+b=3+7=10
② -a=-
{
-
;2!;}
=
;2!;
③
=1Öa=1Ö
-
=1_(-2)=-2
;a!;
{
;2!;}
07 절댓값이
;6%;
인 수는
또는 -
이고, 절댓값이
인 수는
;6%;
;6%;
;3@;
=4-
+
Ö
=4-
_4=4-3=1
{;2!;
;4!;}
;4!;
;4#;
05 -3Û`=-9이므로 x=-
;9!;
-
{
=
이므로 y=9
;9!;
;3!;}
2`
∴ x_y=
{
-
;9!;}
_9=-1
06 (주어진 식)
=
(-8)_
-8_
[
;4%;
_
-
{
;8#;]
;2#;}
-
;4(;
_(-2)
=(-10-3)_
-
-
-
{
;2#;}
;2(;}
{
=
+
=
;2(;
:£2»:
:¢2¥:
=24
또는 -
이다.
;3@;
;3@;
따라서 a+b의 값 중 가장 작은 값은
-
{
;6%;}
+
-
{
=
-
{
;3@;}
;6%;}
+
-
{
;6$;}
=-
=-
;6(;
;2#;
08 a_b<0에서 a, b의 부호는 다르고
a-b<0에서 a0
09 ④
Ö
-
{
;4#;
;2!;}
-2Û`_
+(-3)Û`
;4&;
=
Ö
;4#;
;4!;
-4_
+9
2`
;4&;
=
_4-7+9=3-7+9=5
;4#;
10 a_(b+c)=18에서 a_b+a_c=18
이때 a_b=6이므로 6+a_c=18
∴ a_c=18-6=12
11 a=-
;2!;
이라 하면
① -aÛ`=-
{
-
;2!;}
=-
;4!;
2`
110 정답과 풀이
②
④ -
=2이므로
{
;a!;
-
;a!;}
=2Û`=4
⑤ -
=2이므로
{
;a!;
-
;a!;}
=2Ü`=8
따라서 가장 큰 수는 ⑤이다.
2`
3`
12 곱해진 음수가 18개이므로
②
-
{
;3@;}
_
-
{
_
-
{
;4#;}
;5$;}
_y_
-
{
;2!0(;}
=+
_
_
;4#;
;5$;
{;3@;
_y_
;2!0(;}
=
=
;1Á0;
;2ª0;
③
13 (-2)Û`-
+(-1)Ü`Ö{(-3)_4+8}
Ö
=4-
+(-1)Ö{(-12)+8}
Ö
⑤
=4-
+(-1)Ö(-4)
Ö
]
;4!;
;2!;
°
;2!;
°
[;2!;
;4!;
¤
;4!;
¤
14 정현이의 점수 : (+2)_5+(-1)_4=10-4=6(점)
혜림이의 점수 : 혜림이는 4번 이기고 5번 졌으므로
②
(+2)_4+(-1)_5=8-5=3(점)
정현 : 6점, 혜림 : 3점
15 한 변에 놓인 세 수의 합은
①
-
{
;3!;}
+0.5+
=
-
{
;6%;
;6@;}
+
;6#;
+
;6%;
=1
+A+
{
;6%;
-
;4#;}
=1에서
A=1-
-
-
{
;6%;
;4#;}
=
;1!2@;
-
;1!2);
+
;1»2;
=
;1!2!;
B+2+
{
-
;4#;}
=1에서
B=1-2-
{
-
;4#;}
=(-1)+
=-
;4#;
;4!;
④
③
-
+C+B=1, 즉
{
-
;3!;}
;3!;}
{
+C+
-
{
;4!;}
=1에서
C=1-
-
-
-
{
;3!;}
;4!;}
=
;1!2@;
+
;1¢2;
+
;1£2;
=
;1!2(;
{
⑤
1
알피엠_중1-1_해설_104~120_실력테스트_ok.indd 110
2017-06-30 오전 11:13:49
:Á4Á:
배점
2점
2점
2점
2점
2점
2
배점
5점
5점
∴ A-B+C =
-
-
{
;1!2!;
;4!;}
+
;1!2(;
=
+
+
=
;1!2!;
;1£2;
;1!2(;
;1#2#;
:Á4Á:
=
단계
채점요소
한 변에 놓인 세 수의 합 구하기
A의 값 구하기
B의 값 구하기
C의 값 구하기
A-B+C의 값 구하기
03 ㄱ. 3x-3(x+1)=3x-3x-3=-3으로 상수항만 있는
다항식은 일차식이 아니다.
ㄴ. 0_x+3=3으로 상수항만 있는 다항식은 일차식이 아니다.
ㄹ, ㅁ. 다항식의 차수가 2이므로 일차식이 아니다.
ㅂ. 분모에 문자가 있는 식은 다항식이 아니므로 일차식이 아니다.
따라서 일차식인 것은 ㄷ뿐이다.
04 ② 차수는 같지만 문자가 다르다.
③ 문자는 같지만 차수가 다르다.
⑤
는 분모에 문자가 있으므로 다항식이 아니다.
;]%;
16 n이 홀수이므로 n+1은 짝수, 2_n-1은 홀수, 2_n+1
은 홀수, 2_n은 짝수이다.
따라서 (-1)n+1=1, (-1)2_n-1=-1, (-1)2_n+1=-1,
(-1)2_n=1이므로
(주어진 식)=1-(-1)+(-1)+1=2
05 길이를 줄여서 만든 직사각형의 가로의 길이는
(8-2x)`cm, 세로의 길이는 5-(x-2)=(7-x)`cm이다.
따라서 둘레의 길이는
2(8-2x+7-x) =2(15-3x)=30-6x(cm)
단계
채점요소
거듭제곱의 값 구하기
주어진 식 계산하기
05 문자의 사용과 식의 계산 ▶ 1 회
01 ① 0.1_x_(-x)=-0.1xÛ`
② a_a_a_a_a=aÞ`
③ 5Ö(a+b)=
5
a+b
④ xÖ
y=x_
=
;3@;
3
2y
3x
2y
⑤ 3ÖaÖ(x-y) =3_
_
;a!;
1
x-y
=
3
a(x-y)
④
02 ① 2xÜ`의 차수가 3이므로 다항식의 차수는 3이다.
② -3a=(-3)_a이므로 a의 계수는 -3이다.
③ 2개의 항의 합으로 이루어진 식이므로 다항식이다.
④ 문자는 같으나 차수가 다르므로 동류항이 아니다.
⑤ 상수항은 -1이다.
06 ① a_cÖb=a_c_
② aÖb_c=a_
_c=
;b!;
③ aÖ(bÖc)=aÖ
=a_
=
;cB;
ac
b
=
;b!;
ac
b
ac
b
;bC;
ac
b
④ aÖbÖ
=a_
_c=
;c!;
;b!;
⑤
Ö
Ö
=
;c!;
;b!;
;a!;
;a!;
_b_c=
bc
a
07 ① y-y_
=
y(원)
;1ª0¼0;
;5$;
②
3x
100
_1000=30x(g)
③ 1분은
시간이므로 a+
_b=a+
(시간)
;6Á0;
;6õ0;
;6Á0;
점
④
a+b
2
-2=(-3)-2=-5
-
08 ① 6x-2=6_
;2!;}
{
Û`=4_
② 4xÛ`=4_
{
;2!;}
-
;4!;
=1
③ -xÜ`=-
{
-
;2!;}
Ü`=-
-
{
;8!;}
=
;8!;
④
=3Öx=3Ö
{
-
;[#;
;2!;}
=3_(-2)=-6
③
⑤ -
x=
{
;2#;
-
;2#;}
_
-
{
;2!;}
=
;4#;
②
실력 테스트 111
①
①, ④
②
⑤
④
알피엠_중1-1_해설_104~120_실력테스트_ok.indd 111
2017-06-30 오전 11:13:50
09 어떤 다항식을
라 하면
+(3x-5)=2x-3
∴
=2x-3-(3x-5)=2x-3-3x+5=-x+2
따라서 바르게 계산한 식은
-x+2-(3x-5) =-x+2-3x+5=-4x+7
단계
채점요소
다항식 A 구하기
다항식 B 구하기
A+B를 간단히 하기
②
15
x-2
3
+
3x-1
5
+
(-2x+2)
;2!;
=
10(x-2)+6(3x-1)+15(-2x+2)
30
=
10x-20+18x-6-30x+30
30
=
-2x+4
30
=-
x+
;1Á5;
;1ª5;
따라서 x의 계수는 -
, 상수항은
이므로
;1Á5;
;1ª5;
③
구하는 값은
-
{
+
=
;1Á5;}
;1ª5;
;1Á5;
⑤
채점요소
단계
주어진 식 간단히 하기
x의 계수와 상수항 구하기
합 구하기
10 -10x-[8-3{5x-(3-7x)+3}+6x]
=-10x-{8-3(5x-3+7x+3)+6x}
=-10x-(8-3_12x+6x)
=-10x-(8-36x+6x)
=-10x-(8-30x)
=-10x-8+30x
=20x-8
11 x의 계수가 -2인 일차식을 -2x+b (b는 상수)라 하면
p=(-2)_3+b=-6+b
q=(-2)_(-1)+b=2+b
∴ q-p =(2+b)-(-6+b)=2+b+6-b=8
12
-
-
;b@;
;c#;
;a$;
=4Öa-2Öb-3Öc
=4Ö
-2Ö
-3Ö
;3@;
-
;4#;}
{
1
2
=4_2-2_
-3_
-
;2#;
{
4
3 }
=8-3+4=9
4x-20
9
13
2
=-4x+8+3(2x-6)
=-4x+8+6x-18=2x-10
∴
=2(2x-10)=4x-20
05 문자의 사용과 식의 계산 ▶ 2 회
01 ②, ⑤ 다항식의 차수가 2이므로 일차식이 아니다.
④ 분모에 문자가 있는 식은 다항식이 아니므로 일차식이 아니다.
14 A =(5x-2)-(2x-3)
=5x-2-2x+3=3x+1
B =(3x+5)-(-x+4)
=3x+5+x-4=4x+1
∴ A+B=(3x+1)+(4x+1)=7x+2
112 정답과 풀이
02 공책 한 권의 가격은
;6{;
원이고, 지우개 한 개의 가격은
원
이므로 공책 5권과 지우개 4개를 샀을 때, 지불한 금액은
_5+
_4=
x+
y(원)
;6%;
;3$;
;6{;
y
3
03 ① 2500_
;10;
=250a(원)
7x+2
② 1시간은 60분이므로 t_60+m=60t+m(분)
배점
4점
4점
2점
;1Á5;
배점
7점
1점
2점
①, ③
y
3
⑤
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③ p-p_
=
;1Á0¼0;
;1»0;
p=0.9p(원)
④ 600+600_
=600+6a(원)
a
100
09 3(2x-4)+(12x-9)Ö
{
-
;2#;}
=(6x-12)+(12x-9)_
{
-
;3@;}
④
=(6x-12)+(-8x+6)=-2x-6
②
04 ① aÖ(b_c)=aÖbc=a_
1
bc
=
a
bc
② a_bÖc=a_b_
=
ab
c
;c!;
③ a_
Öc=a_
;b!;
_
=
;c!;
;b!;
④ aÖbÖc=a_
_
=
;c!;
;b!;
⑤
Öc=
;bA;
_
=
;c!;
;bA;
a
bc
a
bc
a
bc
따라서 계산 결과가 다른 하나는 ②이다.
05 2A-{3B-2A-(2B-A)}
=2A-(3B-2A-2B+A)
=2A-(B-A)
=2A-B+A
=3A-B
따라서 A=-x+3, B=2x-5를 대입하면
3A-B =3(-x+3)-(2x-5)
=-3x+9-2x+5
=-5x+14
06
;10{0;
_200+
;10}0;
_300=2x+3y(g)
07 -xÛ`-3xÜ`Ö
{
-
y
;2#;
}
2`
=-(-3)Û`-3_(-3)Ü`Ö
=-9-3_(-27)Ö9
=-9-3_(-27)_
;9!;
=-9-(-9)=-9+9=0
-
[{
;2#;}
_2
]
2`
10
3x+y
2
-
x-2y
3
=
3(3x+y)-2(x-2y)
6
=
7
6
x+
y
;6&;
∴ a=
, b=
;6&;
;6&;
∴ 6a-12b =6_
-12_
=7-14=-7
②
7
6
;6&;
11 -x+9-(
)=3(x+1)에서
②
=(-x+9)-3(x+1)
=-x+9-3x-3=-4x+6
①
12 (사다리꼴의 넓이) ={2a+(3a+5)}_5Ö2
=(5a+5)_5_
1
2
=
:ª2°:
a+
25
2
:ª2°:
a+
:ª2°:
13
-
;b@;
;a#;
;c$;
+
=3Öa-2Öb+4Öc
=3Ö
-2Ö
+4Ö
-
;3!;
{
;6!;}
;2!;
=3_2-2_3+4_(-6)
=6-6-24=-24
14 -3의 역수는 -
;3!;
이므로 a=-
;3!;
의 역수는
이므로 b=
;2#;
;3@;
;3@;
∴
-9ab =
;aB;
Ö
-
{
;3!;}
-9_
-
{
;3!;}
_
2
3
=
_(-3)-(-2)=(-2)+2=0
;3@;
2
3
①
③
③
-24
0
배점
2점
2점
6점
실력 테스트 113
08 a=-1, b=4이므로
(7a+b)Ö3-ab ={7_(-1)+4}Ö3-(-1)_4
=(-3)Ö3-(-4)=-1+4=3
단계
a의 값 구하기
b의 값 구하기
채점요소
④
식의 값 구하기
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2017-06-30 오전 11:13:52
15 어떤 다항식을
라 하면
+(5x-3)=2x+1
∴
=(2x+1)-(5x-3)
=2x+1-5x+3=-3x+4
따라서 바르게 계산한 식은
(-3x+4)-(5x-3) =-3x+4-5x+3
=-8x+7
단계
채점요소
어떤 다항식 구하기
바르게 계산한 식 구하기
-8x+7
배점
6점
4점
05 0.2x-0.05=0.1x+0.35의 양변에 100을 곱하면
20x-5=10x+35, 10x=40 ∴ x=4
3x-2
06
4
3_(-2)-2
4
+a=
에 x=-2를 대입하면
x-3a
3
+a=
-2-3a
3
, -2+a=
-2-3a
3
양변에 3을 곱하면 -6+3a=-2-3a
6a=4 ∴ a=
;3@;
07 주어진 식을 정리하면 (1-a)xÛ`-9x+2=0
이 식이 x에 대한 일차방정식이 되려면 (일차식)=0의 꼴이어야
하므로
1-a=0 ∴ a=1
06 일차방정식의 풀이
01 ①, ⑤ 다항식
③ 부등호를 사용한 식
② 항등식
02 [ ] 안의 수를 방정식의 x에 대입하면
① 3_(-4)-4+8
②
_(-3)+2=1
;3!;
③ 8-(-5)+3
④ 9_(-5)+4+3
⑤ 2_(-4)-3+(-4)+1
03 ax-8=2(x+b)에서 ax-8=2x+2b
이 식이 x에 대한 항등식이므로 a=2, -8=2b
∴ a=2, b=-4
∴ a+b=2+(-4)=-2
04 ① a=b의 양변에 7을 더하면 a+7=b+7
② a=2b의 양변에서 2를 빼면 a-2=2b-2=2(b-1)
③ 0으로 나누는 경우는 없으므로 c=0일 때는 성립하지 않는다.
④
a=6b의 양변에
를 곱하면 a=4b
;2#;
;3@;
⑤
=
;3A;
;5B;
의 양변에 15를 곱하면 5a=3b
114 정답과 풀이
08 ㈎ 양변에 5를 곱한다. ⇨ ㄷ
㈏ 양변에서 8을 뺀다. ⇨ ㄴ
㈐ 양변을 2로 나눈다. ⇨ ㄹ
④
09 양변에 15를 곱하면 15x-3(3x-1)=-30-5x
15x-9x+3=-30-5x, 11x=-33 ∴ x=-3
(x-2)=3(0.2x+2)이므로
10 5_
;5!;
x-2=0.6x+6
②
양변에 10을 곱하면 10x-20=6x+60
4x=80 ∴ x=20
11 3x-4=ax+2(b-1)에서
3x-4=ax+2b-2
②
(3-a)x=2b+2의 해가 무수히 많으므로
3-a=0, 2b+2=0 ∴ a=3, b=-1
∴ a+b=3+(-1)=2
12 x=-2를
-5-a
3
-x=
에 대입하면
9-ax
5
-5-a
3
+2=
9+2a
5
③
양변에 15를 곱하면 5(-5-a)+30=3(9+2a)
⑤
①
④
④
①
④
⑤
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-25-5a+30=27+6a, -11a=22 ∴ a=-2
해가 음의 정수이려면 a-4가 음의 정수이어야 한다.
x=-2를 0.2x+0.5=-0.8(x+b)+0.9에 대입하면
-0.4+0.5=-0.8(-2+b)+0.9
양변에 10을 곱하면
-4+5=-8(-2+b)+9, 1=16-8b+9
8b=24 ∴ b=3
∴ ab=(-2)_3=-6
a-4=-1일 때, a=3
a-4=-2일 때, a=2
a-4=-3일 때, a=1
따라서 a는 1, 2, 3의 3개이다.
13 1.8+x=3+0.6x의 양변에 10을 곱하면
18+10x=30+6x, 4x=12 ∴ x=3
따라서
+1=
;6{;
x+a
4
에 x=3을 대입하면
+1=
;6#;
3+a
4
=
,
;2#;
3+a
4
양변에 4를 곱하면 6=3+a ∴ a=3
채점요소
x+2=-2(x+5)+3a의 해 구하기
단계
a의 값 구하기
a의 개수 구하기
14 주어진 그림의 를 완성하면
오른쪽 그림과 같으므로
x
-2
3x
x-2
3x-2
(x-2)+(3x-2)=0
4x=4 ∴ x=1
0
1
07 일차방정식의 활용
01 어떤 수를 x라 하면
2x-3=3(x+1), 2x-3=3x+3
-x=6 ∴ x=-6
15 0.2x-0.1=0.1(x-3)+0.4의 양변에 10을 곱하면
2x-1=(x-3)+4, 2x-1=x+1 ∴ x=2
따라서
x-
=
(x-a)-
의 해는 x=4이므로
;2!;
;3@;
;2%;
;6&;
02 연속하는 세 홀수를 x-2, x, x+2라 하면
(x-2)+x+(x+2)=123
3x=123 ∴ x=41
따라서 가장 큰 수는 43이다.
x=4를
x-
=
(x-a)-
에 대입하면
;2!;
;3@;
;2%;
;6&;
2-
=
;3@;
;2%;
(4-a)-
,
;6&;
;3$;
=10-
a-
;2%;
;6&;
양변에 6을 곱하면
8=60-15a-7, 15a=45 ∴ a=3
03 처음 수의 십의 자리의 숫자를 x라 하면
60+x=2(10x+6)-9, 60+x=20x+12-9
-19x=-57 ∴ x=3
따라서 처음 수는 36이다.
단계
채점요소
0.2x-0.1=0.1(x-3)+0.4의 해 구하기
x-
=
(x-a)-
의 해 구하기
;3@;
;2%;
;6&;
1
2
a의 값 구하기
16 x+2=-2(x+5)+3a에서
x+2=-2x-10+3a, 3x=3a-12
∴ x=a-4
04 현재 희종이의 나이를 x세라 하면 현재 아버지의 나이는
(51-x)세이고, 12년 후의 희종이의 나이는 (x+12)세, 아버
지의 나이는 (51-x+12)세이므로
51-x+12=2(x+12), -x+63=2x+24
-3x=-39 ∴ x=13
따라서 현재 희종이의 나이는 13세이다.
05 초콜릿의 개수를 x개라 하면 과자의 개수는 (21-x)개이
므로
실력 테스트 115
3개
배점
4점
4점
2점
①
⑤
②
④
③
3
3
배점
4점
2점
4점
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2017-06-30 오후 1:45:34
④
③
①
900(21-x)+1500x=25000-700
18900-900x+1500x=24300
600x=5400 ∴ x=9
따라서 초콜릿은 9개를 샀다.
따라서 이 책의 정가는 11500원이다.
11 전체 일의 양을 1이라 하면 형과 동생이 하루 동안 하는 일
③
의 양은 각각
1
10
,
;2Á0;
이다.
06 새로운 직사각형의 가로의 길이는 (9+3x)cm이고, 세로
의 길이는 9-3=6(cm)이므로
(9+3x)_6=90, 9+3x=15
3x=6 ∴ x=2
형과 동생이 x일 동안 함께 일했다고 하면
4_
+x_
;1Á0;
+
{;1Á0;
;2Á0;}
=1,
+
;5@;
;2£0;
x=1
양변에 20을 곱하면 8+3x=20
3x=12 ∴ x=4
따라서 새로운 직사각형의 가로의 길이는
따라서 형과 동생은 4일 동안 함께 일했다.
9+3_2=15(cm), 세로의 길이는 6`cm이므로 둘레의 길이는
2(15+6)=2_21=42(cm)
따라서 학생 수가 35명이므로 사탕의 개수는
따라서 형은 출발한 지 8분 후에 동생을 만나게 된다.
07 학생 수를 x명이라 하면
5x+25=6x-10, -x=-35
∴ x=35
5_35+25=200(개)
08 퍼낸 소금물의 양만큼 물을 부었으므로 4`%의 소금물은
360`g이다.
;10^0;
_(360-x)=
_360
;10$0;
2160-6x=1440, -6x=-720
∴ x=120
09 긴 의자의 개수를 x개라 하면
7명씩 앉을 때의 학생 수는 7x+5(명),
9명씩 앉을 때의 학생 수는 9(x-1)+2(명)
이므로 7x+5=9(x-1)+2
7x+5=9x-9+2, -2x=-12 ∴ x=6
따라서 긴 의자의 개수가 6개이므로 학생 수는
7_6+5=47(명)
10 정가를 x원이라 하면 판매 가격은
x-
x=
;1ª0¼0;
;1¥0¼0;
x=
x(원)이므로
;5$;
x-8000=8000_
;1Á0°0;
x=9200 ∴ x=11500
;5$;
;5$;
116 정답과 풀이
④
12 형이 출발한 지 x분 후에 동생을 만난다고 하면 동생이
(12+x)분 동안 간 거리와 형이 x분 동안 간 거리가 서로 같으
므로
60(12+x)=150x, 720+60x=150x
-90x=-720 ∴ x=8
③
②
⑤
13 x개월 후의 언니의 예금액은 (78000+3000x)원, 동생의
예금액은 (64000+5000x)이므로
78000+3000x=64000+5000x
-2000x=-14000 ∴ x=7
따라서 언니와 동생의 예금액이 같아지는 것은 7개월 후이다.
7개월 후
14 내려온 거리를 x`km라 하면 올라간 거리는 (x-1)km이고
(올라갈 때 걸린 시간)+(내려올 때 걸린 시간)=(4시간 20분)
이므로
x-1
3 +;4{;
:Á3£:
=
양변에 12를 곱하면
4(x-1)+3x=52, 4x-4+3x=52
7x=56 ∴ x=8
따라서 내려올 때 걸은 거리는 8`km이다.
15 8`%의 소금물을 x`g 섞는다고 하면 3`%의 소금물의 양은
(400-x)g이므로
;10#0;
_(400-x)+
_x=
_400
;10*0;
;10%0;
8`km
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양변에 100을 곱하면
1200-3x+8x=2000
5x=800 ∴ x=160
따라서 8`%의 소금물은 160`g을 섞어야 한다.
단계
채점요소
8`%와 3`%의 소금물의 양을 x로 나타내기
방정식 세우기
8`%의 소금물의 양 구하기
02 ② B(0, 3)
②
03 y축 위의 점은 x좌표가 0이므로 y축 위의 점 중에서 y좌표
가 -4인 점의 좌표는 (0, -4)이다.
④
04 두 점
{
-
1
2
a+1, -3
, (2, 3b-6)이 x축에 대하여 대칭
}
이므로 y좌표의 부호만 반대이다.
-
a+1=2에서 -
a=1 ∴ a=-2
;2!;
;2!;
-3=-(3b-6)에서 3b=9 ∴ b=3
∴ b-a=3-(-2)=5
160`g
배점
2점
5점
3점
16 작년의 남학생 수를 x명이라 하면 작년의 여학생 수는
(850-x)명이다.
(올해의 남학생 수)=x-
x=
;10*0;
x(명)
(올해의 여학생 수) =(850-x)+
(850-x)
;1»0ª0;
6
100
=
106
100
(850-x)(명)
즉,
x+
;1»0ª0;
;1!0)0^;
(850-x)=850-19
양변에 100을 곱하면
92x+90100-106x=83100
-14x=-7000 ∴ x=500
따라서 올해의 남학생 수는
_500=460(명)
;1»0ª0;
단계
채점요소
작년의 남학생, 여학생 수를 x로 나타내기
방정식 세우기
방정식 풀기
올해의 남학생 수 구하기
05 제 3사분면 위의 점은 x<0, y<0이므로 ③ (-3, -3)이다.
③
06 점 P는 x축 위의 점이므로 y좌표가 0이다.
즉, a+2=0에서 a=-2
점 Q는 y축 위의 점이므로 x좌표가 0이다.
즉,
b-3=0에서 b=6
;2!;
따라서 점 A(-2, 6)은 제 2사분면 위의 점이다.
07 그릇의 모양이 폭이 넓고 일정한 부분과 폭이 좁고 일정한
부분으로 나누어진다.
따라서 시간당 일정한 양의 물을 채우면 물의
y
높이가 느리고 일정하게 증가하다가 빠르고
일정하게 증가하므로 그래프로 나타내면 오른
460명
쪽 그림과 같다.
O
x
②
08 점 (a, -b)가 제 2사분면 위의 점이므로
a<0, -b>0 ∴ a<0, b<0
따라서 ab>0, b+a<0이므로 점 (ab, b+a)는 제 4사분면 위
의 점이다.
08 좌표와 그래프
09 세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하
는 삼각형 ABC를 좌표평면 위에 나
타내면 오른쪽 그림과 같다.
y
1
O
B
-3
01 ⑤ 점 (-2, -2)는 x<0, y<0이므로 제 3사분면 위의
∴ (삼각형 ABC의 넓이) =
_6_4
-3
C
점이다.
1
2
=12
배점
1점
4점
3점
2점
⑤
⑤
②
④
A
3 x
⑤
실력 테스트 117
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10 점 (-a, -b)가 제 4사분면 위의 점이므로
-a>0, -b<0 ∴ a<0, b>0
이때 a-b<0, -ab>0이므로 점 (a-b, -ab)는 제 2사분면
즉, 3m-1=-4에서 3m=-3 ∴ m=-1
-2=
n+1에서 -
n=3 ∴ n=-6
;2!;
;2!;
위의 점이다.
⑤ (-4, 3)이다.
따라서 점 (a-b, -ab)와 같은 사분면 위의 점은
11 점 A(4, 2)를 y축에 대하여 대칭
이동하면 B(-4, 2), 원점에 대하여
대칭이동하면 C(-4, -2), x축에
대하여 대칭이동하면 D(4, -2)이므
로 네 점 A, B, C, D를 좌표평면 위
B
-4
C
y
2
O
-2
에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 사각형 ABCD의 넓이는
8_4=32
∴ mn=(-1)_(-6)=6
단계
채점요소
x좌표의 부호만 반대임을 알기
m, n의 값 구하기
mn의 값 구하기
16 점 A(3, 4)와 y축에 대하여 대칭인 점은 B(-3, 4)
점 A(3, 4)와 원점에 대하여 대칭인 점은 C(-3, -4)
②
세 점 A(3, 4), B(-3, 4), C(-3, -4)
를 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과
B
y
4
12 그래프에서 희종이가 도서관에 도착한 것은 집에서 출발한
지 35분 후이다. 도서관에 머무른 시간 동안은 거리의 변화가 없
으므로 그래프는 수평을 유지하게 된다.
따라서 도서관에 머무른 시간은 140-35=105(분)이다.
같다.
(선분 AB의 길이)=6,
(선분 BC의 길이)=8이므로
(삼각형 ABC의 넓이)
-3
O
3
x
-4
C
④
=
_6_8=24
;2!;
13 ab<0이므로 a와 b의 부호가 다르고 a+b>0, |a|>|b|
이므로 a>0, b<0이다.
따라서 b<0, a-b>0이므로 점 (b, a-b)는 제 2사분면 위의
점이다.
제 2사분면
단계
채점요소
점 B의 좌표 구하기
점 C의 좌표 구하기
삼각형 ABC의 넓이 구하기
6
배점
2점
6점
2점
A
24
배점
2점
2점
6점
14 점 P(-a, b)는 제 2사분면 위의 점이므로
-a<0, b>0 ∴ a>0, b>0
Q(-a, -b), R( a, -b), S(a, b)
이므로 네 점 P, Q, R, S를 좌표평면
위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
이때 사각형 PQRS의 넓이가 24이므
2a_2b=24, 4ab=24
로
∴ ab=6
y
b
O
-b
P
-a
Q
09 정비례와 반비례
01 y가 x에 정비례하는 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ으로 모두 3개이다.
③
⑤
A
4 x
D
S
a x
R
6
15 두 점 (3m-1, -2),
n+1
이 y축에 대하여 대칭
}
4,
{
1
2
② y=6x (정비례)
이므로 x좌표의 부호만 반대이다.
③ y=
_x에서 y=
x (정비례)
;1Á0¼0;
;1Á0;
④ y=4x (정비례)
02 ① 3=
;2!;
_x_y에서 y=
(반비례)
;[^;
118 정답과 풀이
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⑤ y=80x (정비례)
따라서 y가 x에 정비례하지 않는 것은 ①이다.
3=
에서 a=6 ∴ y=
;2A;
;[^;
03 ① x>0이면 x의 값이 증가할 때, y의 값도 증가한다.
⑤ 점 (0, 0)을 지나지 않는다.
①
① y=
에 x=-3을 대입하면 y=
=-2
∴ (-3, -2)
② y=
에 x=-2를 대입하면 y=
=-3
①, ⑤
∴ (-2, -3)
③ y=
에 x=-1을 대입하면 y=
=-6
04 y=ax (a+0)의 그래프는 a의 절댓값이 클수록 y축에 가
깝다.
∴ (-1, -6)
④ y=
에 x=2를 대입하면 y=
=3
즉, |-1|<
-
<|3|<
<|-4|이므로 y축에 가장
7
2 |
|
|
;2%;|
가까운 것은 ③이다.
⑤ y=
에 x=3을 대입하면 y=
=2
③
6
-3
6
-2
6
-1
6
2
6
3
6
x
6
x
6
x
6
x
6
x
∴ (2, 3)
∴ (3, 2)
05 반비례 관계 y=
(a+0)의 그래프가 점 (1, 4)를 지나므
a
x
로 y=
에 x=1, y=4를 대입하면 4=
∴ a=4
;1A;
a
x
09 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가 점 (2, -3)을 지
나므로 y=ax에 x=2, y=-3을 대입하면
②
06 y가 x에 반비례하므로 y=
x=-3, y=-4를 대입하면
;[A;
(a+0)로 놓고, y=
에
;[A;
-4=
에서 a=12 ∴ y=
-3=2a ∴ a=-
;2#;
반비례 관계 y=
의 그래프가 점 (-1, b)를 지나므로
;[$;
y=
에 x=-1, y=b를 대입하면 b=
=-4
;[$;
4
-1
y=
에 x=-6을 대입하면 y=
=-2 ∴ p=-2
∴ ab=
{
-
;2#;}
_(-4)=6
a
-3
12
x
12
x
12
x
12
x
12
x
12
x
12
-6
12
x
12
x
y=
에 y=-6을 대입하면
-6=
에서 x=-2 ∴ q=-2
y=
에 y=4를 대입하면 4=
에서 x=3 ∴ r=3
y=
에 y=2를 대입하면 2=
에서 x=6 ∴ s=6
∴ p+q+r+s=(-2)+(-2)+3+6=5
10 y는 x에 반비례하므로 y=
y=6을 대입하면
a
x
6=
에서 a=-30 ∴ y=-
a
-5
30
x
(a+0)로 놓고, x=-5,
z는 y에 정비례하므로 z=by (b+0)로 놓고, y=3, z=9를 대
④
입하면
9=3b에서 b=3 ∴ z=3y
07 정비례 관계 y=ax (a+0)의 그래프가 점 (-2, 5)를 지
나므로 y=ax에 x=-2, y=5를 대입하면
따라서 x=-15일 때, y=-
에서 y=-
=2이고,
30
x
30
-15
y=2이므로 z=3y에서 z=3_2=6
5=-2a ∴ a=-
∴ 4aÛ`=4_
{
-
;2%;}
=25
:ª4°:
;2%;
Û`=4_
a
x
③
11 9명이 10일 동안 한 일의 양이 전체 일의 양이므로
(전체 일의 양)=9_10=90
08 반비례 관계 y=
(a+0)의 그래프가 점 (2, 3)을 지나므
x명이 y일 동안 일을 하여 일을 끝내려면
로 y=
에 x=2, y=3을 대입하면
a
x
xy=90 ∴ y=
90
x
실력 테스트 119
①
⑤
③
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6일 동안 일을 하여 이 일을 끝내야 하므로 y=6을 대입하면
6=
∴ x=15
90
x
따라서 6일 동안 일을 하여 이 일을 끝내려면 15명이 필요하다.
15 점 P의 x좌표가 -4이므로 y=
x에 x=-4를 대입하면
5
4
y=
_(-4)=-5 ∴ P (-4, -5)
;4%;
④
이때 (선분 QO의 길이)=4, (선분 QP의 길이)=5이므로
12 두 사람이 호수 둘레를 도는 데 걸린 시간이 x분, 이동 거리
가 y`m이므로 희종이의 그래프의 x와 y 사이의 관계식을
(삼각형 OPQ의 넓이)=
_4_5=10
;2!;
지혜의 그래프의 x와 y 사이의 관계식을 y=bx`(b+0)로 놓고,
단계
채점요소
점 P의 좌표 구하기
선분 QO의 길이, 선분 QP의 길이 구하기
삼각형 OPQ의 넓이 구하기
10
배점
4점
3점
3점
8개
배점
3점
5점
2점
16 반비례 관계 y=
(a+0)의 그래프가 점 (-3, 2)를 지
a
x
나므로 y=
에 x=-3, y=2를 대입하면
a
x
2=
에서 a=-6 ∴ y=-
;[^;
a
-3
②
이때 x좌표, y좌표가 모두 정수인 점은
(1, -6), (2, -3), (3, -2), (6, -1),
(-1, 6), (-2, 3), (-3, 2), (-6, 1)
따라서 구하는 점은 모두 8개이다.
15`L
a의 값 구하기
단계
답 구하기
채점요소
x좌표, y좌표가 모두 정수인 점의 좌표 구하기
y=ax`(a+0)로 놓고, 점 (4, 500)을 지나므로
500=4a에서 a=125 ∴ y=125x
거리가 5`km, 즉 5000`m인 호수 둘레를 도는 데 걸린 시간은
점 (6, 400)을 지나므로
400=6b에서 b=
∴ y=
200
3
200
3
x
희종 : 5000=125x ∴ x=40(분)
지혜 : 5000=
x ∴ x=75(분)
200
3
따라서 희종이는 지혜가 올 때까지 75-40=35(분) 동안 기다려
야 한다.
13 휘발유 5`L로 60`km를 갔으므로 휘발유 1`L로 간 거리는
60Ö5=12(km)
(이동한 거리)=(휘발유 1`L로 간 거리)_(휘발유의 양)이므로
y=12x
y=12x에 y=180을 대입하면
180=12x ∴ x=15
따라서 180`km를 가는 동안 사용한 휘발유는 15`L이다.
14 점 B는 정비례 관계 y=
x의 그래프 위의 점이므로
y=
x에 y=3을 대입하면 3=
x에서 x=4 ∴ B(4, 3)
;4#;
또, 점 B(4, 3)은 반비례 관계 y=
(a+0)의 그래프 위의 점
3
4
;4#;
a
x
이므로 y=
에 x=4, y=3을 대입하면
a
x
3=
에서 a=12 ∴ y=
;4A;
12
x
반비례 관계 y=
의 그래프가 점 A(1, b)를 지나므로
12
x
y=
에 x=1, y=b를 대입하면 b=12
12
x
∴ a+b=12+12=24
24
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