2018년 천재교육 유형 해결의 법칙 중학 수학 중 3 - 2 답지

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빠른 정답 유형 해결의 법칙 1 대푯값과 산포도 0001 52 0005 10 0009 83 0002 24 0003 9.1 0004 3.2회 0006 6 0010 1 0007 11.5 0008 6 0011 국화 0012 탄산음료 0013 4.3시간 0014 5시간 0015 5시간 1step 개념 마스터 8쪽~9쪽 0047 0 0048 10 0049 2 1step 개념 마스터 14쪽 0042 -3 0043 3 0044 -2 0045 ㉡ - ㉠ - ㉢ - ㉤ - ㉣ 0046 3 0050 ' 0051 2 수학 성적 (점) 도수 (명) 계급값 (점) (계급값)_(도수) 60이상 ~ 70미만 70 ~ 80 80 ~ 90 90 ~ 100 합계 2 4 3 1 10 65 75 85 95 65_2=130 75_4=300 85_3=255 95_1=95 780 수학 성적 (점) 도수 (명) 편차 (점) (편차)Û`_(도수) 60이상 ~ 70미만 70 ~ 80 80 ~ 90 90 ~ 100 합계 2 4 3 1 10 -13 -3 7 17 (-13)Û`_2=338 (-3)Û`_4=36 7Û`_3=147 17Û`_1=289 810 평균 : 78점, 분산 : 81, 표준편차 : 9점 2step 유형 마스터 10쪽~13쪽 0016 9 0017 165 cm 0018 7 0019 38 ` 0020 15.5세 0021 2800만 원 0022 최빈값, 축구 0023 a, >, 둔각 '¶ '¶ 0230 ① 0231 ③ 0232 2 0233 ;1@3%; 0234 ;4(; 0235 5 5 ' 0236 :Á5ª:` 3 0238 ' 0242 29 ` cm 0239 4 5` ' 5 0243 80 0246 2 7 ` ' 0250 4 cm 0247 :Á2°: 0251 64p 0254 30 cmÛ 0255 10 ` ` 0256 32 cmÛ ` ` ` cmÛ ` cm ` 39 cm 0237 '¶ 9 0241 10` '¶ 10 0245 4 2 cm ' ` 0240 :Á5ª: 0244 3 5 ' 0248 20 10 m 0249 7 '¶ ` 0252 10 0253 96 cmÛ ` ` 3step 내신 마스터 48쪽~51쪽 0258 (6+6 2) ' 5 0261 8 ' 0265 ④ cm ` 0262 ' 0266 32 3 0259 10 10 m '¶ 17 ` m ` cm ` cmÛ 0263 2 '¶ 0267 78 ` ` 0269 ④ 0270 4, 13 0271 ④ 0257 84 0260 ① cmÛ 0264 15 ` ` 0268 :Á2°: 0272 12b이므로㉠에서 a=11,b=1 한편최빈값이1이므로a,b의값중하나는1이다. yy`㉠ 답 a=11, b=1 변량a,b,c의평균이9이므로 a+b+c 3 =9　　∴a+b+c=27 따라서변량8,a,b,c,13의평균은 8+a+b+c+13 5 = a+b+c+21 5 = 27+21 5 = :¢5¥: =9.6 답 9.6 0098 전략 (편차)=(변량)-(평균)이므로 (편차)>0이면 성적이 평 균보다 높고, (편차)<0이면 성적이 평균보다 낮다. 편차의합은항상0이므로 3+(-2)+x+(-1)=0　　∴x=0 ①(편차)=(변량)-(평균)이므로편차가클수록변량이크 다.  따라서A학생의성적이가장높다. 1. 대푯값과 산포도 21 0093 전략 도수분포표에서 (평균)= {(계급값)_(도수)}의 총합 (도수)의 총합 0097 전략 먼저 a, b, c의 평균을 이용하여 a+b+c의 값을 구한 후 이를 이용하여 5개의 변량 8, a, b, c, 13의 평균을 구한다.                         ②편차가음수이면변량은평균보다작으므로B학생은평 전략 한 변의 길이가 a인 정사각형의 넓이는 aÛ`이다. 균보다낮은점수를받았다. a,b,c,d의평균이5이므로 0103  ③A학생은평균보다3점이높고,D학생은평균보다1점 이낮으므로A학생은D학생보다점수가4점높다. ④C학생은편차가0이므로평균점수를받았다. ⑤편차가작을수록성적이낮으므로성적이낮은학생부터 차례로나열하면B,D,C,A이다. 따라서옳지않은것은⑤이다. 답 ⑤ Lecture (편차)=(변량)-(평균)이므로 ① (편차)>0이면 (변량)>(평균) ② (편차)=0이면 (변량)=(평균) ③ (편차)<0이면 (변량)<(평균) 0099 전략 (편차)=(변량)-(평균)이므로 (변량)=(편차)+(평균)이다.  (편차)=(변량)-(평균)이므로 (A의몸무게)=6+58=64`(kg) (D의몸무게)=(-4)+58=54`(kg) 따라서두학생A,D의몸무게의합은 64+54=118`(kg) 답 ④ 0100 전략 평균보다 큰 변량의 편차는 양수이고, 평균보다 작은 변 량의 편차는 음수이다. ②(편차)=(변량)-(평균)이므로  평균보다큰변량의편차는양수이다. 답 ② 0101 전략 평균, 편차, 분산, 표준편차 순으로 구한다. (평균)= 21+17+24+18+20 5 = 100 5 =20(cm) (분산)= 1Û`+(-3)Û`+4Û`+(-2)Û`+0Û` 5 = :£5¼: =6 ∴(표준편차)= 6(cm) ' 답 ' 6`cm a+b+c+d 4 =5　　 ∴a+b+c+d=20 또분산이3이므로 yy`㉠ (a-5)Û`+(b-5)Û`+(c-5)Û`+(d-5)Û` 4 =3 aÛ`+bÛ`+cÛ`+dÛ`-10(a+b+c+d)+100=12 ∴aÛ`+bÛ`+cÛ`+dÛ`=10(a+b+c+d)-88 위식에㉠을대입하면 aÛ`+bÛ`+cÛ`+dÛ`=10_20-88=112 따라서한변의길이가각각a,b,c,d인정사각형의넓이의 합은aÛ`+bÛ`+cÛ`+dÛ`=112 답 ④ 0104 전략 변량 a, b, c의 평균이 m, 표준편차가 s일 때, a-q, b-q, c-q의 평균은 m-q, 표준편차는 s이다. (단, q는 상수) 변량a,b,c,d,e에서 m= a+b+c+d+e 5 sÛ`= (a-m)Û`+(b-m)Û`+(c-m)Û`+(d-m)Û`+(e-m)Û` 5 변량a-5,b-5,c-5,d-5,e-5에서 (평균)= (a-5)+(b-5)+(c-5)+(d-5)+(e-5) 5 = (a+b+c+d+e)-5_5 5 = a+b+c+d+e 5 -5 =m-5 (분산)= {(a-5-m+5)Û`+(b-5-m+5)Û` yy㈎ yy㈏ ;5!;  =sÛ` = (a-m)Û`+(b-m)Û`+(c-m)Û`+(d-m)Û`+(e-m)Û` 5                         0102 전략 먼저 편차의 합은 항상 0임을 이용하여 a+b의 값을 구한 +y+(e-5-m+5)Û`} 후 (분산)= (편차)Û`의 총합 (변량의 개수) 임을 이용한다. 편차의합은항상0이므로 (-4)+(-3)+a+b+5=0 a+b-2=0　　∴a+b=2 또분산이12이므로 (-4)Û`+(-3)Û`+aÛ`+bÛ`+5Û` 5 =12 yy`㉠ ∴(표준편차)= sÛ`=s " yy㈐ 답 평균 :`m-5, 표준편차 : s aÛ`+bÛ`+50=60　　∴aÛ`+bÛ`=10 yy`㉡ 이때aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab에㉠,㉡을각각대입하면 10=2Û`-2ab,2ab=-6　　 ∴ab=-3 답 -3 대한 식으로 나타내기 채점 기준 ㈎ m, sÛ`을 변량 a, b, c, d, e에 대한 식으로 나타내기 20`% ㈏ a-5, b-5, c-5, d-5, e-5의 평균을 m에 대 한 식으로 나타내기 ㈐ a-5, b-5, c-5, d-5, e-5의 표준편차를 s에 비율 40`% 40`% 22 정답과 해설 Lecture 표준편차는 자료의 분포 상태, 즉 자료가 흩어진 정도를 나타내는 것이므로 변량 전체에 일정한 값을 더하거나 빼어도 표준편차에는 변함이 없고, 변량 전체에 일정한 값을 곱하면 그 표준편차는 일정 한 값의 절댓값을 곱한 것과 같다. 0105 전략 분산은 편차의 제곱의 평균이므로 {(편차)Û`의 총합}=(분산)_(변량의 개수)이다. 지성이,정환이가가지고있는달걀의무게의평균이같으므 로전체달걀10개의무게의평균도같다. 지성이의달걀3개의무게의(편차)Û`의총합은표준편차가 2`g,즉분산이4이므로4_3=12 정환이의달걀7개의무게의(편차)Û`의총합은표준편차가 4`g,즉분산이16이므로16_7=112 채점 기준 ㈎ 평균 구하기 ㈏ 분산 구하기 ㈐ 표준편차 구하기 Lecture 비율 40`% 40`% 20`% 도수분포표에서 표준편차를 구하는 순서 ① 도수분포표에서 평균을 구한다. ② ① 에서 구한 평균을 이용하여 각 계급에서 편차, (편차)Û`, 　 (편차)Û`_(도수) 를 차례로 구한다. ③ {(편차)Û`_(도수)}의 총합을 구한다. ④ ③ 을 도수의 총합으로 나누어 분산을 구한다. ⑤ ④ 에서 구한 분산의 양의 제곱근을 구하면 표준편차를 얻는다. 따라서전체달걀10개의무게의(편차)Û`의총합은 0107 전략 성적이 우수한 반은 평균이 높은 반이고, 성적이 고른 반 12+112=124 ∴(분산)= =12.4 :Á1ª0¢: Lecture 평균이 같은 두 집단 전체의 분산 ➡ (편차)Û`의 총합 (도수)의 총합 답 12.4 은 표준편차가 작은 반이다. A반의평균이가장높으므로성적이가장우수한반은A반 이고,표준편차가작을수록성적이고르므로성적이가장고 른반은표준편차가가장작은C반이다. 답 ② 0108 전략 분산이 작을수록 자료는 평균 주위에 모여 있으므로 분산 이 작은 모둠의 성적이 더 고르다고 할 수 있다. 0106 전략 (계급값)_(도수) 를 구하여 평균을 구한 후 (편차)Û`_(도수) 를 구하여 분산을 구한다. 기다린 시간 (분) 계급값 (분) 도수 (회) (계급값)_(도수) 0이상 ~ 2미만 2 ~ 4 4 ~ 6 6 ~ 8 8 ~ 10 합계 1 3 5 7 9 2 11 3 3 1 20 1_2=2 3_11=33 5_3=15 7_3=21 9_1=9 80 ∴(평균)= =4(분) ;2*0); yy㈎ 이때평균이4분이므로각계급에대한편차와 (편차)Û`_(도수)를구하면다음표와같다. 계급값 (분) 편차 (분) 도수 (회) (편차)Û`_(도수) 1 3 5 7 9 합계 -3 -1 1 3 5 2 11 3 3 1 20 (-3)Û`_2=18 (-1)Û`_11=11 1Û`_3=3 3Û`_3=27 5Û`_1=25 84 (분산)= =4.2 ;2*0$; ∴(표준편차)= 4.2(분) '¶ yy㈏ yy㈐ 답 '¶ 4.2 분 ∴(분산)= (-2)Û`+(-1)Û`+(-1)Û`+2Û`+2Û` yy㈎ A모둠에서 (평균)= 5+6+6+9+9 5 = :£5°: =7(점) = :Á5¢: =2.8 B모둠에서 (평균)= 4+4+4+6+7 5 = :ª5°: =5(점)   5 5 ∴(분산)= (-1)Û`+(-1)Û`+(-1)Û`+1Û`+2Û` = =1.6 ;5*; yy㈏ B모둠의분산이A모둠의분산보다작으므로B모둠의성 적이A모둠의성적보다더고르다. yy㈐ 답 B 모둠, 풀이 참조 채점 기준 ㈎ A 모둠의 분산 구하기 ㈏ B 모둠의 분산 구하기 ㈐ 두 모둠의 분산을 비교하여 어느 모둠의 성적이 더 고른지 파악하고, 그 이유를 설명하기 비율 40`% 40`% 20`% 1. 대푯값과 산포도 23                            step 개념 마스터 p.26 ~ p.28 0115 답 △BCH, △GCA, △GCJ, JKGC 2 피타고라스 정리 0109 x= 9Û`+6Û`= 117=3 13 0110 x= 7Û`-5Û`= 24=2 6 '¶ '¶ '¶ ' 0111 x= 25Û`-24Û`= 49=7 '¶ 0112 x= (2 5)Û`-3Û`= 11 " ' '¶ 0113 ACÓ= 1Û`+( 3)Û`= 4=2 ' ' " " " " " 0114 ADÓ= 2Û`+1Û`= 5 ' 0116 BCÓ Û`=5Û`+3Û`=34 0117 ACÓ Û`=4Û`-2Û`=12 0118 답 AEGB, cÛ`, aÛ`+bÛ` 0119 △ABC= _6_3=9 ;2!; 0120 ACÓ  Û`=3Û`+6Û`=45이므로 ACEG=ACÓ Û`=45 0121 답 ABDE, (a-b)Û`, aÛ`+bÛ` 0122 ACÓ= 5Û`-2Û`= 21 " '¶ 0123 FCÓ=ACÓ-AFÓ= 21-2 '¶ 0124 답 △BAD, ;2!; cÛ`, cÛ` 0125 ∠ACE=180ù-(∠ACB+∠ECD) =180ù-(∠ACB+∠CAB)   =90ù 0126 ACÓ= 3Û`+2Û`= 13 " '¶ 0127 ACÓ=CEÓ= 13이므로 '¶  △ACE= _ 13_ 13= ;2!; '¶ '¶  :Á2£: 0128 ㉠3Û`+4Û`=5Û`이므로직각삼각형이다.  ㉡9Û`+8Û`+12Û`이므로직각삼각형이아니다. 24 정답과 해설 답 2 6 ' 답 7 답 '¶ 11 답 2 답 ' 5 답 34 답 12 답 '¶ 21 답 '¶ 21-2 답 90ù 답 '¶ 13 답 :Á2£:             ㉢6Û`+(2 6)Û`+8Û`이므로직각삼각형이아니다. ' 10)Û`+( '¶ ㉣(2 '¶ 10)Û`=(5 2)Û`이므로직각삼각형이다. ' 따라서직각삼각형인것은㉠,㉣이다. 답 ㉠, ㉣ 0129 2Û`+5Û`=( 29)Û`이므로직각삼각형이다. '¶ 0130 5Û`+12Û`=13Û`이므로직각삼각형이다. 답 3 13 '¶ 0131 4Û`+4Û`+7Û`이므로직각삼각형이아니다. 답 ◯ 답 ◯ 답 _ 0132 3Û`+(2 3)Û`+(2 5)Û`이므로직각삼각형이아니다. 답 _ ' ' step 유형 마스터 p.29 ~ p.38 0133  전략 피타고라스 정리를 이용한다. (x+6)Û`=12Û`+xÛ`이므로 xÛ`+12x+36=144+xÛ` 12x=108　　∴x=9 0134 x= 3Û`+2Û`= 13 " '¶ 답 9 답 '¶ 13 답 9 2)Û`=xÛ`+xÛ`이므로50=2xÛ` 0135 (5  ' xÛ`=25　　∴x=5(∵ x>0) 답 5 답 45 0136 ACÓ=  6Û`-4Û`= 20=2 5`(cm) " ' 따라서선분AC를지름으로하는반원의넓이는 '¶ _p_( 5`)Û`= p`(cmÛ`)  ' ;2%; ;2!; 답 ;2%; p`cmÛ` 36=6`(cm)`(∵ABÓ>0) 0137 ABÓ=BCÓ= CEÓ=  '¶ ' 4=2`(cm)`(∵CEÓ>0) 따라서△ABE에서 BEÓ=BCÓ+CEÓ=6+2=8`(cm) ∴AEÓ= 6Û`+8Û`= " '¶ 100=10`(cm) 답 10`cm 0138 △ABC에서 BCÓ=  12Û`+9Û`= " 225=15`(cm) '¶ 이때점G가△ABC의무게중심이므로 ADÓ=BDÓ=CDÓ= BCÓ= _15= `(cm) ;2!; ;2!; :Á2°: ∴GDÓ= ADÓ= _ = `(cm) ;3!; ;3!; :Á2°: ;2%; 답 ;2%; `cm 삼각형의 무게중심은 세 중선을 각 꼭짓점으로부터 2：1로 나 눈다. 0139 k-88) 따라서세변의길이는5,12,13이고직각을낀두변의길이 는5,12이므로직각삼각형의넓이는 _5_12=30 ;2!; 답 30 18=3 " (3 3Û`+3Û`= 전략 PBÓ, PCÓ, PDÓ, PEÓ의 길이를 차례로 구해 본다. △BAP에서PBÓ= △CBP에서PCÓ= ' " △DCP에서PDÓ= (3 " 따라서△EDP에서 6Û`+3Û`= PEÓ= '¶ 3)Û`+3Û`= '¶ 2)Û`+3Û`= ' 36=6 ' 27=3 45=3 2 '¶ ' 3 5 " '¶ '                     0140 전략 △ABH에서 x의 값을 구한 후 △AHC에서 y의 값을 구한다. △ABH에서x= △AHC에서y= 10Û`-8Û`= " 7Û`-6Û`= " 답 x=6, y= '¶ 13 13 '¶ 36=6 '¶ 0141 △ABH에서AHÓ= 9Û`-6Û`= " (3  " △AHC에서x= '¶ 5)Û`+3Û`= ' 45=3 5 ' 54=3 '¶ 6 ' 답 3 6 ' 0142 △ABH에서AHÓ= △AHC에서HCÓ=  ∴BCÓ=BHÓ+HCÓ=16+5=21(cm) " 13Û`-12Û`= " 20Û`-16Û`= '¶  144=12(cm) '¶ 25=5(cm) ∴△ABC= _BCÓ_AHÓ ;2!; ;2!; = _21_12=126(cmÛ`) 답 126`cmÛ` 0143 전략 △ADC에서 ACÓ의 길이를 구한 후 △ABC에서 ABÓ의 길이를 구한다. △ADC에서ACÓ= 13Û`-5Û`= " 이때BCÓ=BDÓ+DCÓ=11+5=16이므로 144=12 '¶ △ABC에서ABÓ= 16Û`+12Û`= " '¶ 400=20 답 20 0144 △ABD에서ADÓ=  이때CDÓ=ADÓ=5`cm이므로 4Û`+3Û`= " '¶ 25=5`(cm) BCÓ=BDÓ+DCÓ=3+5=8`(cm) 따라서△ABC에서 4Û`+8Û`= ACÓ= 80=4 " '¶ 5`(cm) ' 답 4 5`cm ' 0145 △ABC에서BCÓ=  이때ABÓ：ACÓ=BDÓ：CDÓ이므로 10Û`-6Û`= " '¶ 64=8 CDÓ=x라하면 10：6=(8-x)：x 10x=6(8-x),10x=48-6x 16x=48　　∴x=3 따라서△ADC에서 ADÓ= 3Û`+6Û`= " 45=3 5 ' '¶              ' 2x 0147 △BAP에서PBÓ= xÛ`+xÛ`= " △CBP에서PCÓ= (  " △DCP에서PDÓ= △EDP에서PEÓ= 따라서 ' ( " (2x)Û`+xÛ`= " 5x=10이므로x=2 2x)Û`+xÛ`= 5 '    ' 3x)Û`+xÛ`=2x 3x ' 5x ' ' 채점 기준 ㈎ PBÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타내기 ㈏ PCÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타내기 ㈐ PDÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타내기 ㈑ PEÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타내기 ㈒ x의 값 구하기 5 '  0148 △ABC에서ACÓ= 2Û`+1Û`= " △ACD에서ADÓ=  △ADE에서AEÓ= △AEF에서AFÓ= " 따라서△AFG에서 2)Û`+1Û`= (2 AGÓ= ( " ( " ( 9=3 ' '    5)Û`+1Û`= 6)Û`+1Û`= ' 7)Û`+1Û`= " ' ' 6 ' 7 ' 8=2 ' 2 ' 0149  전략 AAªÓ, AA£Ó의 길이를 차례로 구해 본다. AAªÓ=ABÁÓ= 1Û`+1Û`= 2 " ∴AA£Ó=ABªÓ= ( " ' ' 2)Û`+1Û`= 3 ' 0150 OAÓ=OA'Ó=xcm라하면  OBÓ=OB'Ó= xÛ`+xÛ`= 2x(cm) ' 2x)Û`+xÛ`= ' 3이므로x=2 ' 3x(cm) " ( OCÓ=OC'Ó= 이때 " 3x=2 ' ' ∴OAÓ=2cm 답 3 5 ' yy`㈎ yy`㈏ yy`㈐ yy`㈑ yy`㈒ 답 2 5 ' 비율 20`% 20`% 20`% 20`% 20`% 답 3 답 ' 3 답 2`cm 0151 OBÓ=OB'Ó= OCÓ=OC'Ó=  " ( " ODÓ=OD'Ó= ' ( 1Û`+1Û`= 2 ' 3 2)Û`+1Û`= ' 3)Û`+1Û`= 4=2 ' 따라서오른쪽그림에서색칠한부 " ' O D′  1 D C 2 30∞ 3 분의넓이는 답 3 5 ' p_2Û`_ 30 360 - _ 3_1= ;2!; ' p 3 3` - ' 2  답 p 3 3` - ' 2 2. 피타고라스 정리 25 0152 전략 꼭짓점 D에서 BCÓ에 수선을 그은 후 피타고라스 정리를 따라서등변사다리꼴ABCD의넓이는                           D 8 이용한다. 오른쪽그림과같이꼭짓점D에서 A BCÓ에내린수선의발을H라하면 8 BHÓ=ADÓ=8이므로 HCÓ=10-8=2 △DHC에서 DHÓ= 8Û`-2Û`= " '¶ 이때ABÓ=DHÓ=2 B H C 2 8 10 60=2 15 '¶ '¶ 15이므로△ABC에서 '¶ ACÓ= (2 15)Û`+10Û`= 160=4 10 " '¶ '¶ 답 4 10 '¶ 0153 오른쪽그림과같이ACÓ를그으면  △ACD에서 ACÓ= 4Û`+8Û`= " 80=4 5 ' '¶ 4 D A 4 3 8 따라서△ABC에서 x= 5)Û`-(4 (4 3)Û` ' ' 32=4 " '¶ 2 ' = B x C 0154 오른쪽그림과같이BDÓ를그으면  6Û`+8Û`= 100=10 '¶ △ABD에서 BDÓ= " △BCD에서 BCÓ= 10Û`-(5 2)Û``  " '¶ = 50=5 ' 2 ' 8 D 5 2 A 6 B C ∴ABCD=△ABD+△BCD = _6_8+ _5 2_5 2 ;2!; ' ' ;2!; HBÓ=DCÓ=5이므로 AHÓ=20-5=15 △AHD에서 HDÓ= " 17Û`-15Û`= 64=8 '¶ A 15 20 H 5 B 17 D 5 C ∴ABCD= _(20+5)_8=100 답 100 ;2!; 0156 오른쪽그림과같이두꼭짓점 A,D에서BCÓ에내린수선의 A D  5 3 B 4 4 H 10 발을각각H,H'이라하면 BHÓ=CH'Ó = _(10-4)=3 ;2!; △ABH에서AHÓ= 5Û`-3Û`= 16=4 " '¶ 3 H′ C yy`㈎ yy`㈏ 26 정답과 해설                      _(4+10)_4=28 ;2!; 채점 기준 ㈎ BHÓ의 길이 구하기 ㈏ AHÓ의 길이 구하기 ㈐ 등변사다리꼴 ABCD의 넓이 구하기 yy`㈐ 답 28 비율 40`% 30`% 30`% ⑴ 등변사다리꼴 : 아랫변의 양 끝 각의 크기가 같은 사다리꼴, 즉 ADÓ∥ BCÓ, ∠B=∠C ⑵ 등변사다리꼴의 성질 ① ABÓ=DCÓ A E B D F ② 두 꼭짓점 A, D에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 각각 E, F라 하면 BEÓ=CFÓ 답 ④ 0157 PDÓ=x라하면APÓ=8-x  PBQD가마름모이므로 A 8-x P x PBÓ=PDÓ=x △ABP에서 xÛ`=(8-x)Û`+4Û`,xÛ`=64-16x+xÛ`+16 Q 8 x 4 B 16x=80　　∴x=5 ∴PBQD=5_4=20 답 20 0158  전략 ADEB+CHIA=BFGC임을 이용한다. ADEB+CHIA=BFGC이므로 BFGC=11+9=20(cmÛ`) 0160 BFÓ∥AKÓ이므로 △FKJ=△BFJ  =△BFA EBÓ∥DCÓ이므로 △EBA=△EBC 이때△BFAª△BCE (SAS합동)이므로 △FKJ=△EBA 이때△ABC에서ABÓ= ∴△FKJ=△EBA D E B F I A J C G K 5Û`-3Û`= " '¶ 16=4 = ADEB= _4Û`=8 yy`㈐ ;2!; ;2!; yy`㈎ yy`㈏ 답 8 =24+25=49 답 49 ∴BFÓ= 20=2 5(cm)(∵BFÓ>0) '¶ ' 답 2 5`cm ' 0155 오른쪽그림과같이꼭짓점D에서ABÓ에  내린수선의발을H라하면 0159 ADEB+CHIA=BFGC이므로 ADEB=28-8=20(cmÛ`)  답 20`cmÛ` C D C H 채점 기준 ㈎ △FKJ=△EBA임을 설명하기 ㈏ ABÓ의 길이 구하기 ㈐ △FKJ의 넓이 구하기 비율 40`% 30`% 30`% 0166 EFGH의넓이가169`cmÛ`이므로 169=13`(cm)`(∵EFÓ>0)  EFÓ= '¶ △AFE에서 AFÓ= " 13Û`-5Û`= 144=12`(cm) '¶ 0161 △ABD의넓이가32`cmÛ`이므로ABÓ를한변으로하는정 사각형의넓이는 `ABÓ Û`=2△ABD=2_32=64`(cmÛ`) ∴ABÓ=8`(cm)`(∵ABÓ>0) 따라서△ABC에서 ACÓ= 12Û`-8Û`= " 80=4 5`(cm) '¶ ' 답 4 5`cm ' 0162 ①AKÓ∥CGÓ이므로△JGC=△AGC  ②,④△AGCª△HBC (SAS합동)이므로 　△AGC=△BCH 　BIÓ∥CHÓ이므로△ACH=△BCH=△AGC ③ACHI가정사각형이므로 △AHI=△ACH=△AGC 따라서넓이가△AGC의넓이와다른하나는⑤△BFA 이다. 답 ⑤ 0163 ①△ABC에서BCÓ=  '¶ ②JKGC=CHIA=6Û`=36 8Û`+6Û`= " 100=10 ③△EBC와△ABF에서  EBÓ=ABÓ,BCÓ=BFÓ,∠EBC=∠ABF 　∴△EBCª△ABF(SAS합동) ④EBÓ∥DCÓ이므로 　△AEC=△ABC= _6_8=24 ;2!;  △ABF=△EBC=△EBA  = ADEB= _8Û`=32 ;2!; ;2!;  ∴△AEC+△ABF ⑤BFGC=BFKJ+JKGC  0164    전략 AEGB는 한 변의 길이가 ABÓ인 정사각형이다. △ABC에서ABÓ= 이때AEGB는정사각형이므로 5Û`+3Û`= " 34`(cm) '¶ AEGB=ABÓ Û`=( 34)Û`=34`(cmÛ`) 답 34`cmÛ` '¶ 0165 AHÓ=10-6=4(cm)이므로△AEH에서  13`(cm) 6Û`+4Û`= EHÓ= 52=2 " '¶ '¶ ∴(EFGH의둘레의길이) 　=4_2 13=8 13`(cm) '¶ '¶ 답 8 13`cm '¶                                              이때ABÓ=AFÓ+FBÓ=12+5=17`(cm)이므로 ABCD=ABÓ Û`=17Û`=289`(cmÛ`) 답 289`cmÛ` 0167  전략 EFGH는 한 변의 길이가 EFÓ인 정사각형이다. △ABE에서BEÓ= 이때EFGH는한변의길이가EFÓ인정사각형이고 5Û`-4Û`= " 9=3 ' EFÓ=BFÓ-BEÓ=4-3=1이므로 EFGH=EFÓ Û`=1Û`=1 답 1 △ABE에서BEÓ= ∴EFGH=ABCD-4△ABE 5Û`-4Û`= " 9=3 ' =5_5-4_ _3_4 {;2!; } =25-24=1 0168 EFGH의넓이가16cmÛ`이므로 16=4(cm)`(∵FGÓ>0)  FGÓ= '¶ ∴FCÓ=FGÓ+GCÓ=4+4=8(cm) △BCF에서 BCÓ= 4Û`+8Û`= " '¶ ∴ABCD=BCÓ 5(cm) 80=4 ' Û`=(4 ' 0169 ①BQÓ=APÓ=1`cm이므로△ABQ에서   AQÓ= 2Û`-1Û`= 3`(cm) " ' ②PQÓ=AQÓ-APÓ= ③△ABQ= _1_ ;2!; 3-1`(cm) ' 3` 3= ' 2 ' `(cmÛ`) ④PQRS=( 3-1)Û`=4-2 3`(cmÛ`) ' ⑤ABCD=2Û`=4`(cmÛ`)이므로 ' 5)Û`=80(cmÛ`) 답 80`cmÛ` 0170  전략 △ACE는 직각이등변삼각형이다. △ABCª△CDE이므로 CDÓ=ABÓ= 7,BCÓ=DEÓ=3 ' ∠ ∠ BAC+∠ACB=90ù,∠BAC=∠DCE이므로 ACB+∠DCE=90ù에서∠ACE=90ù 또ACÓ=CEÓ= 7)Û`+3Û`= 16=4 ( " ' '¶ 따라서△ACE는ACÓ=CEÓ인직각이등변삼각형이므로 2 AEÓ= 답 4 4Û`+4Û`= 32=4 " '¶ ' 2 ' 2. 피타고라스 정리 27 =ADEB+CHIA 답 ④  PQRS+ ABCD ;4!; 따라서옳지않은것은⑤이다. 답 ⑤ 0171 △ABE≡△CDB이므로 EBÓ=BDÓ ∠ AEB+∠EBA=90ù, ∠AEB=∠CBD이므로 ∠EBA+∠DBC=90ù에서 ∠EBD=90ù 따라서 △EBD는 EBÓ=BDÓ인 직각이등변삼각형이고 넓이 가 26`cmÛ`이므로 CFÓ=x라 하면 EFÓ=DFÓ=9-x △FEC에서 (9-x)Û`=3Û`+xÛ`, 81-18x+xÛ`=9+xÛ` 18x=72　　∴ x=4 ∴ CFÓ=4 BEÓ Û`=26, BEÓ Û`=52 ;2!; 13`(cm) (∵ BEÓ>0) ∴ BEÓ= 52=2 '¶ '¶ △ABE에서 EAÓ= 이때 BCÓ=EAÓ=4`cm이므로 (2 '¶ " 13)Û`-6Û`= 16=4`(cm) '¶ ACÓ=ABÓ+BCÓ=6+4=10`(cm) 또 CDÓ=ABÓ=6`cm이므로  EACD= _(4+6)_10=50`(cmÛ`) 답 50`cmÛ` ;2!; 0172 △ABC≡△CDE이므로 ACÓ=CEÓ ∠ BAC+∠ACB=90ù, ∠BAC=∠DCE이므로 ∠ACB+∠ECD=90ù에서 ∠ACE=90ù 따라서 △ACE는 ACÓ=CEÓ인 직각이등변삼각형이므로 ACÓ 5)Û`, 2ACÓ Û`=80 Û`+CEÓ Û`=(4 Û`=40　　∴ ACÓ= '¶ ' ACÓ △ABC에서 BCÓ= 이때 CDÓ=ABÓ=2`cm이므로 (2 " '¶ 40=2 '¶ 10)Û`-2Û`= BDÓ=BCÓ+CDÓ=6+2=8`(cm) 또 DEÓ=BCÓ=6`cm이므로 10`(cm) (∵ ACÓ>0) 36=6`(cm) '¶  ABDE= _(2+6)_8=32`(cmÛ`) 답 32`cmÛ` ;2!; 0173 전략 PQÓ=x로 놓고 DQÓ=PQÓ임을 이용하여 QCÓ의 길이를 x 에 대한 식으로 나타낸다. ⑴ APÓ=ADÓ=10 ⑵ △ABP에서 BPÓ= 10Û`-8Û`= 36=6 '¶ ∴ CPÓ=10-6=4 " ⑶ PQÓ=x라 하면 DQÓ=PQÓ=x, QCÓ=8-x A 8 B 10 D x Q 8-x 10 x 6 P C4 △QPC에서 xÛ`=4Û`+(8-x)Û`, xÛ`=16+64-16x+xÛ` 16x=80　　∴ x=5 0174 AEÓ=ADÓ=15이므로 △ABE에서 BEÓ= 15Û`-9Û`= " 144=12 '¶ ∴ ECÓ=15-12=3 A 9 B yy ㈎ 15 9-x D F x 15 12 9-x E 3 C 28 정답과 해설 yy ㈏ yy ㈐ 답 4 비율 채점 기준 ㈎ ECÓ의 길이 구하기 ㈏ CFÓ=x로 놓고 △FEC에서 x에 대한 식 세우기 40`% 30`% ㈐ CFÓ의 길이 구하기 30`% 0175 ECÓ=BCÓ=10이므로 △ECD에서 EDÓ= 10Û`-6Û`= 64=8 " '¶ ∴ AEÓ=10-8=2 AFÓ=x라 하면 EFÓ=BFÓ=6-x A E 2 8 6-x 10 x F 6-x B 10 △AFE에서 (6-x)Û`=2Û`+xÛ`, 36-12x+xÛ`=4+xÛ` 12x=32　　∴ x= ;3*; ∴ △AFE= _2_ = ;3*; ;3*; ;2!; 답 ;3*; 0176 전략 APÓ=x로 놓고 PBÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타낸다. APÓ=x라 하면 PDÓ=8-x C′ ADÓ∥BCÓ이므로 x P 8-x ∠PDB=∠DBC (엇각), 8-x ∠ PBD=∠DBC (접은 각) 이므로 ∠PBD=∠PDB ∴ PBÓ=PDÓ=8-x △ABP에서 (8-x)Û`=4Û`+xÛ`, 64-16x+xÛ`=16+xÛ` 16x=48　　∴ x=3 ∴ APÓ=3 답 3 0177 AEÓ=x라 하면 EDÓ=4-x ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ EBD=∠DBC (접은 각) 이므로 ∠EBD=∠EDB ∴ EBÓ=EDÓ=4-x C′ x E 4-x 4-x △ABE에서 (4-x)Û`=2Û`+xÛ`, 16-8x+xÛ`=4+xÛ` 8x=12　　∴ x= ;2#; A 4 B A 2 B 8 4 D 6 C D C D C 답 ⑴ 10　⑵ 4　⑶ QCÓ=8-x, x=5 ∠EDB=∠DBC (엇각), ∴△EBD= _EDÓ_ABÓ ;2!; = _ 4- ;2!; { ;2#;} _2=  ;2%; 답 ;2%; ⑶△DEF= _EDÓ_DCÓ  = _(25-8)_15= 255 2 ;2!; ;2!                                D C′ A E x 6 8-x 8-x F 10 B 8 C 0178 AEÓ=x라하면EDÓ=8-x ADÓ∥BCÓ이므로  ∠EDB=∠DBC(엇각),  ∠EBD=∠DBC(접은각) 이므로∠EBD=∠EDB ∴EBÓ=EDÓ=8-x △ABE에서 (8-x)Û`=6Û`+xÛ`,64-16x+xÛ`=36+xÛ` 16x=28　　∴x= ;4&; 즉AEÓ= 이므로BEÓ=8- = ;4&; :ª4°: ;4&; △BCD에서BDÓ= 그런데EBÓ=EDÓ인이등변삼각형EBD의꼭짓점E에서밑 8Û`+6Û`= " 100=10 '¶ 변BD에그은수선은밑변을이등분하므로` BFÓ= BDÓ= _10=5 ;2!; ;2!; △EBF에서 EFÓ= ¾±{:ª4°:} Û`-5Û`= = ¾±:ª1ª6°: :Á4°: ∴△EBD= _BDÓ_EFÓ ;2!;  = _10_ ;2!; = :Á4°: :¦4°: 답 EFÓ= :Á4°:, △EBD= :¦4°: 전략 AEÓ=x로 놓고 EDÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타낸다. 0179  ⑴AEÓ=x라하면  A'EÓ=x,EDÓ=25-x  A'DÓ=ABÓ=15이므로  △A'ED에서  (25-x)Û`=xÛ`+15Û`  625-50x+xÛ`=xÛ`+225  50x=400　　∴x=8  ∴AEÓ=8 A′ x 15 25-x A E x 15 B F 25 D C ⑵ADÓ∥BCÓ이므로∠DEF=∠EFB(엇각)  ∠DFE=∠EFB(접은각)이므로 ∠ DEF=∠DFE　　∴DEÓ=DFÓ  즉△A'EDª△CFD(RHS합동)이므로  CFÓ=A'EÓ=8  ∴△DFC= _8_15=60 ;2!;                            답 ⑴ 8　⑵ 60　⑶ ;:@2%:%; 0180 DFÓ=x라하면BFÓ=x이므로  FCÓ=18-x A′ A E D △DFC에서DCÓ=12이므로 xÛ`=(18-x)Û`+12Û` xÛ`=324-36x+xÛ`+144 36x=468　　∴x=13 ∴DFÓ=13 12 B x x 18 C F 18-x 답 13 0181 오른쪽그림과같이점E에서  BCÓ에내린수선의발을G라하면 A′ x x E A EGÓ=ABÓ=8 △EGF에서 GFÓ= 10Û`-8Û`= " '¶ 또BGÓ=x라하면 A'EÓ=AEÓ=BGÓ=x 36=6 x+6 10 8 8 D 8 B x G 6 x F C △A'EDª△CFD(RHS합동)이므로CFÓ=A'EÓ=x DFÓ=BFÓ=x+6 △DFC에서DCÓ=8이므로 (x+6)Û`=xÛ`+8Û`,xÛ`+12x+36=xÛ`+64 12x=28　　∴x=  ∴BCÓ=2x+6=2_ +6=  :£3ª: 답 :£3ª: ;3&; ;3&; 전략 BEÓ=x로 놓고 EDÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타낸다. 0182  BEÓ=x라하면 EDÓ=AEÓ=12-x BDÓ=6이므로△EBD에서 (12-x)Û`=xÛ`+6Û`  144-24x+xÛ`=xÛ`+36 24x=108　　∴x= ;2(; ∴BEÓ=  ;2(; A 12-x  F E 12-x x B 6 D 12 0183 AEÓ=EDÓ=x라하면  EBÓ=8-x BDÓ=4이므로△EBD에서 xÛ`=(8-x)Û`+4Û` xÛ`=64-16x+xÛ`+16 16x=80　　∴x=5 ∴AEÓ=5 A x E 8-x x B 4 F D 8 C 답 ;2(; C 답 5 2. 피타고라스 정리 29                                              0184 CFÓ=x cm라 하면    FDÓ=AFÓ=(6-x) cm yy ㈎ E (6-x) cm B 3 cm D 6 cm (6-x) cm CDÓ=3`cm이므로  △FDC에서  (6-x)Û`=3Û`+xÛ` 36-12x+xÛ`=9+xÛ` 12x=27　　∴ x= `  ;4(; ∴ △FDC= _3_ = ;4(; :ª8¦: ;2!; `(cmÛ`)  채점 기준 ㈎ CFÓ=x`cm로 놓고 FDÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타내기 ㈏ 피타고라스 정리를 이용하여 x의 값 구하기 ㈐ △FDC의 넓이 구하기 0185 전략 (가장 긴 변의 길이의 제곱)=(나머지 두 변의 길이의 제 곱의 합)인지 확인한다. ① 2Û`+( 3)Û`+( 6)Û`  ' ' ③ 2Û`+3Û`+4Û`  ⑤ 3Û`+3Û`+4Û` ② 2Û`+( 5)Û`=3Û` ' ④ (2 2)Û`+3Û`=( 17)Û` ' '¶ 따라서 직각삼각형인 것은 ②, ④이다.  답 ②, ④ 0186 ① 1Û`+(   ' ③ 7Û`+24Û`=25Û`  3)Û`=2Û`  ⑤ 5Û`+7Û`+8Û` ② ( 7)Û`+3Û`=4Û` ' ④ 2Û`+4Û`=(2 5)Û` ' 따라서 직각삼각형이 아닌 것은 ⑤이다.  답 ⑤ 0188 전략 가장 긴 변의 길이를 찾은 후 (가장 긴 변의 길이의 제 곱)=(나머지 두 변의 길이의 제곱의 합)을 만족하는 x의 값을 0187 ①  ②    289=17 16=4 5Û`-3Û`= " '¶ 8Û`+15Û`= " (10 '¶ 2)Û`-10Û`= ' 265)Û`-11Û`= '¶ '¶ 10Û`-(5 " ' 2)Û`= '¶ " ( " ③  ④  ⑤  100=10 144=12 '¶ 50=5 2 ' 따라서 가장 작은 것은 ①이다.  구한다. 가장 긴 변의 길이는 x+2이므로 (x+2)Û`=(x-2)Û`+xÛ` xÛ`+4x+4=xÛ`-4x+4+xÛ` xÛ`-8x=0, x(x-8)=0 ∴ x=8 (∵ x>2)  30 정답과 해설 A F x cm C yy ㈏ yy ㈐ 답 :ª8¦: `cmÛ` 비율 30`% 40`% 30`% 0189 가장 긴 변의 길이는 x+1이므로 (x+1)Û`=(x-7)Û`+xÛ`   xÛ`+2x+1=xÛ`-14x+49+xÛ` xÛ`-16x+48=0, (x-4)(x-12)=0 ∴ x=12 (∵ x>7)  0190 가장 긴 변의 길이는 4x+1이므로  (4x+1)Û`=(4x)Û`+(x+1)Û`    16xÛ`+8x+1=16xÛ`+xÛ`+2x+1 xÛ`-6x=0, x(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ x>0)  채점 기준 ㈎ 가장 긴 변의 길이 찾기 ㈏ 직각삼각형이 되기 위한 식 세우기 ㈐ 조건에 맞는 x의 값 구하기  답 12 yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 답 6 비율 30`% 40`% 30`% 0191 Ú x가 가장 긴 변의 길이일 때    xÛ`=8Û`+10Û`, xÛ`=164　　∴ x=2 Û 10이 가장 긴 변의 길이일 때 41 (∵ x>0) '¶  10Û`=8Û`+xÛ`, xÛ`=36　　∴ x=6 (∵ x>0) Ú, Û에서 x의 값은 2 41, 6이다.  '¶ 답 2 41, 6 '¶ 0192 전략 AOÓ를 그은 후 △ABO에서 피타고라스 정리를 이용한 다. ABÓ=x cm라 하면 BCÓ=ABÓ=x cm이므로 BOÓ= `BCÓ= x (cm) ;2!; ;2!; 오른쪽 그림과 같이 AOÓ를 그으면  A D AOÓ=10 cm △ABO에서 10Û`=xÛ`+ {;2{;} Û`, 100=xÛ`+ xÛ` 4 10 cm x cm B O x cm 2 C  xÛ`=100, xÛ`=80　　∴ x=4 5 (∵ x>0) ' ;4%; 따라서 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 4 5`cm이다. 답 ① 답 8 0193 EDÓ=x라 하면 AEÓ=14-x    △ABE에서 (5 '¶ 29)Û`=25Û`+(14-x)Û` 725=625+196-28x+xÛ` xÛ`-28x+96=0 (x-4)(x-24)=0 ∴ x=4 (∵ 04Û`+4Û`이므로둔각삼각형이다. 0201 4Û`<3Û`+(2 3)Û`이므로예각삼각형이다. 0202 10Û`<6Û`+9Û`이므로예각삼각형이다. 0203 7Û`>5Û`+(2 5)Û`이므로둔각삼각형이다. 0204 13Û`=5Û`+12Û`이므로직각삼각형이다. ' '                  0194 오른쪽그림과같이두점 M,N에서BCÓ에내린수 선의발을각각D,E라하 고두점M,N에서ABÓ에 A F G B 4 7 M D N E  C 내린수선의발을각각F,G라하자. 이때AFÓ=a,BDÓ=b라하면삼각형에서평행선과선분의 길이의비에의해 AFÓ=FGÓ=GBÓ=a,BDÓ=DEÓ=ECÓ=b △MBD에서4Û`=bÛ`+(2a)Û` 4aÛ`+bÛ`=16 △NBE에서7Û`=(2b)Û`+aÛ` aÛ`+4bÛ`=49 ㉠+㉡을하면5aÛ`+5bÛ`=65 ∴aÛ`+bÛ`=13 △AFM에서AMÓ= " 13 ∴MNÓ=AMÓ= '¶ aÛ`+bÛ`= 13 '¶ yy㉠ yy㉡ 답 '¶ 13 0205 xÛ`=4_(4+8)=48  ∴x=4 3(∵ x>0) ' 0206 12Û`=8_(8+x),144=64+8x 8x=80　　∴x=10  0207 xÛ`=9_3=27 ∴x=3  3(∵ x>0) 0208 2_4=2 5_x　　∴x= 4 5` ' 5  ' ' '¶ '¶ '¶ ' 0209 3Û`+xÛ`=7Û`+5Û`,xÛ`=65 65`(∵x>0)  ∴x= 0210 4Û`+10Û`=8Û`+xÛ`,xÛ`=52 13(∵ x>0)  ∴x=2 0211 xÛ`+8Û`=6Û`+7Û`,xÛ`=21 21(∵ x>0)  '¶ ∴x= 0212 4Û`+5Û`=xÛ`+6Û`,xÛ`=5 5`(∵x>0)  ∴x= ' 0213 6Û`+8Û`=4Û`+xÛ`,xÛ`=84  ∴x=2 21`(∵x>0) '¶ 0214 3Û`+6Û`=4Û`+xÛ`,xÛ`=29 29`(∵x>0)  ∴x= 0215 3Û`+xÛ`=2Û`+5Û`,xÛ`=20 5`(∵x>0)  ∴x=2 답 둔 답 예 답 예 답 둔 답 직 답 4 3 ' 답 10 답 3 3 ' 답 4 5` ' 5 답 '¶ 65 답 2 13 '¶ 답 '¶ 21 답 ' 5 답 2 21 '¶ 답 '¶ 29 답 2 5 ' step 개념 마스터 p.39~ p.41 0195 답 14, 8, 14, 64, 10, 8, 10 0196 답 12, 7, 12, 25, 74, '¶ 74, 12 '¶ 0197 10Û`=6Û`+8Û`이므로직각삼각형이다. 0216 색칠한부분의넓이를S`cmÛ`라하면 13p+S=25p　　∴S=12p  0217 색칠한부분의넓이를ScmÛ`라하면  S=4p+10p=14p 답 12p`cmÛ` 답 14p`cmÛ` 0198 8Û`>4Û`+5Û`이므로둔각삼각형이다. 0218 (색칠한부분의넓이)=△ABC=6`cmÛ` 답 6`cmÛ` 0199 17Û`=8Û`+15Û`이므로직각삼각형이다. 답 직 0219 △ABC=7+3=10`(cmÛ`) 답 10`cmÛ` 답 직 답 둔 2. 피타고라스 정리 31 따라서 이를 만족하는 정수 a의 값은 6, 7이다. 답 6, 7 의 값의 범위 구하기 step 유형 마스터 p.42~ p.47 0225 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 8-48이므로 80) ' ㉠, ㉡에서 82Û`+3Û`이므로 둔각삼각형이다. ③ 6Û`>3Û`+4Û`이므로 둔각삼각형이다. ④ 8Û`>4Û`+5Û`이므로 둔각삼각형이다. ⑤ 12Û`<5Û`+11Û`이므로 예각삼각형이다. 답 ⑤ 0227 7Û`>3Û`+5Û`, 즉 CAÓ 이므로 △ABC는 ∠B>90ù인 둔 각삼각형이다. Û`>ABÓ Û`+BCÓ Û` A 3 cm 7 cm B 5 cm C 답 ③ 조건을 동시에 만족시키는 정수 a의 값을 구한다. 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 5-35이므로 53Û`+5Û`, aÛ`>34　　∴ a> 34 (∵ a>0) yy ㉡ '¶ ㉠, ㉡에서 3490ù이므로 △ABC는 가장 긴 변의 길이가 c인 둔각삼각형이다. 즉 a+b>c, aÛ`+bÛ`12　　 ∴ 120) ㉠, ㉡에서 126Û`+aÛ`, aÛ`<64 ∴ 00) ㉠, ㉡에서 411Û`+kÛ`, kÛ`<104 ∴ 00) '¶ ㉠, ㉡에서 4 ABÓ Û`+CAÓ Û`이다. 답 5, 2 10, '¶ 13, >, >, 둔각 '¶ yy ㉡ 답 ③ 따라서 이를 만족하는 자연수 k는 5, 6, 7, 8, 9, 10의 따라서 △ABC는 ∠A > 90ù인 둔각 삼각형이다.  0230 △ABC의 세 변의 길이를 각각 4k, 5k, 6k (k>0)라 하면 가장 긴 변의 길이는 6k이므로 (6k)Û`<(4k)Û`+(5k)Û` 따라서 △ABC는 예각삼각형이다. 답 ① 0235 △ADC에서 20=2 6Û`-4Û`= x= " ' Û`=BDÓ_CDÓ에서 ADÓ '¶ 5 (2 ' ABÓ 5)Û`=BDÓ_4　　∴ BDÓ=5 Û`=BDÓ_BCÓ에서 0231 △ABC에서 ACÓ= 8Û`-6Û`= 28=2 7 '¶ " △ACD에서 (2 따라서 △ACD는 ∠D>90ù인 둔각삼각형이다. 답 ③ ' 7)Û`>4Û`+3Û` ' 0232 Ú 세 변의 길이가 3 cm, 4 cm, 5 cm인 경우： 5Û`=3Û`+4Û`이므로 직각삼각형 Û 세 변의 길이가 3 cm, 4 cm, 6 cm인 경우： 6Û`>3Û`+4Û`이므로 둔각삼각형 Ü 세 변의 길이가 3 cm, 5 cm, 6 cm인 경우： 6Û`>3Û`+5Û`이므로 둔각삼각형 Ý 세 변의 길이가 3 cm, 5 cm, 7 cm인 경우： 7Û`>3Û`+5Û`이므로 둔각삼각형 Þ 세 변의 길이가 3 cm, 6 cm, 7 cm인 경우： 7Û`>3Û`+6Û`이므로 둔각삼각형 ß 세 변의 길이가 4 cm, 5 cm, 6 cm인 경우： 6Û`<4Û`+5Û`이므로 예각삼각형 à 세 변의 길이가 4 cm, 5 cm, 7 cm인 경우： 7Û`>4Û`+5Û`이므로 둔각삼각형 ¡ 세 변의 길이가 4 cm, 6 cm, 7 cm인 경우： 7Û`<4Û`+6Û`이므로 예각삼각형 á 세 변의 길이가 5 cm, 6 cm, 7 cm인 경우： 7Û`<5Û`+6Û`이므로 예각삼각형 따라서 예각삼각형의 개수는 3개, 둔각삼각형의 개수는 5개 yÛ`=5_(5+4)=45　　∴ y=3 5 (∵ y>0) ' ∴ x+y=2 5+3 5=5 5 ' ' ' 답 5 5 ' 0236 전략 먼저 피타고라스 정리를 이용하여 BCÓ의 길이를 구한다. △ABC에서 BCÓ= 25=5 (cm) 4Û`+3Û`= " '¶ 이때 ABÓ_ACÓ=BCÓ_ADÓ에서 4_3=5_ADÓ　　∴ ADÓ= (cm) :Á5ª: 답 :Á5ª: `cm 0237 ABÓ=2k, ACÓ=3k (k>0)라 하면 (2k)Û`+(3k)Û`= 13kÛ`= BCÓ= " '¶ 이때 ABÓ_ACÓ=BCÓ_ADÓ에서 " 13 k (∵ k>0) 2k_ACÓ= 13 k_2 3 ' ∴ ACÓ= '¶ 39 '¶ 답 '¶ 39 0238 AHÓ AHÓ Û`=BHÓ_CHÓ에서 Û`=6_2=12　　∴ AHÓ=2 3 (cm) (∵ AHÓ>0) ' 이때 점 M은 △ABC의 외심이므로 AMÓ=BMÓ=CMÓ = BCÓ= _8=4 (cm) ;2!; ;2!; MHÓ=CMÓ-CHÓ=4-2=2 (cm) 따라서 △AMH에서 MHÓ_AHÓ=AMÓ_HNÓ이므로 이므로 a=3, b=5 ∴ b-a=5-3=2 답 2 3=4_HNÓ 2_2 ' ∴ HNÓ= 3 (cm) ' 답 ' 3`cm 세 변의 길이가 3`cm, 4`cm, 7`cm인 경우에 3+4=7이므로 삼 각형을 만들 수 없다. 0239 전략 x절편, y절편을 구하여 OAÓ, OBÓ의 길이를 각각 구한 후 피타고라스 정리를 이용하여 ABÓ의 길이를 구한다. 0233 전략 먼저 피타고라스 정리를 이용하여 BCÓ의 길이를 구한다. △ABC에서 BCÓ= 이때 ACÓ Û`=CHÓ_CBÓ에서 12Û`+5Û`= 169=13 '¶ " 5Û`=CHÓ_13　　∴ CHÓ= ;1@3%; 답 ;1@3%; 0234 △BCD에서 BDÓ= 이때 CDÓ Û`=ADÓ_BDÓ에서 " 5Û`-3Û`= '¶ 16=4 x+2y-4=0에 y=0을 대입하면 x-4=0　　∴ x=4 x+2y-4=0에 x=0을 대입하면 2y-4=0　　∴ y=2 OAÓ=2, OBÓ=4 △AOB에서 ABÓ= 2Û`+4Û`= " 20=2 5 ' '¶ OAÓ_OBÓ=ABÓ_OHÓ에서 따라서 직선 x+2y-4=0의 x절편은 4, y절편은 2이므로 2. 피타고라스 정리 33 3Û`=ADÓ_4　　∴ ADÓ= ;4(; 답 ;4(; 2_4=2 ' 5_OHÓ　　∴ OHÓ= 4 5` ' 5 답 4 5` ' 5  0240 4x+3y+12=0에 y=0을 대입하면 4x+12=0　　∴ x=-3 4x+3y+12=0에 x=0을 대입하면 3y+12=0　　∴ y=-4 따라서 직선 4x+3y+12=0의 x절편은 -3, y절편은 -4 이므로 OAÓ=3, OBÓ=4 △ABO에서 ABÓ= 3Û`+4Û`= " 25=5 '¶ OAÓ_OBÓ=ABÓ_OHÓ에서 3_4=5_OHÓ　　∴ OHÓ= :Á5ª: 답 :Á5ª: 0241 x-3y-9=0에 y=0을 대입하면 x-9=0　　∴ x=9 x-3y-9=0에 x=0을 대입하면 -3y-9=0　　∴ y=-3 따라서 직선 x-3y-9=0의 x절편은 9, y절편은 -3이므로 OAÓ=9, OBÓ=3 △OBA에서 ABÓ= 9Û`+3Û`= " 90=3 10 '¶ '¶ OAÓ_OBÓ=ABÓ_OHÓ이므로 9_3=3 10_OHÓ　　∴ OHÓ= '¶ 9 10` '¶ 10 채점 기준 ㈎ OAÓ, OBÓ의 길이 구하기 ㈏ ABÓ의 길이 구하기 ㈐ OHÓ의 길이 구하기 Û`=ABÓ Û`+DEÓ Û`임을 이용한다. 0242 Û`+BEÓ 전략 ADÓ △ABC에서 ABÓ= 3Û`+4Û`= " Û`+BEÓ ∴ ADÓ 25=5 '¶ Û` =ABÓ Û`+DEÓ Û` =5Û`+2Û`=29 yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 답 9 10` '¶ 10 비율 40`% 30`% 30`% 답 29 ACÓ Û`+DEÓ Û`=AEÓ Û`+CDÓ Û`에서 (2x)Û`+xÛ`=9Û`+12Û`, 5xÛ`=225 xÛ`=45　　∴ x=3 5`(∵ x>0) ' ∴ DEÓ=3 5 ' 답 3 5 ' 0245 전략 ABÓ Û`+CDÓ ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ 4Û`+5Û`=ADÓ Û`+3Û`, ADÓ Û`+BCÓ Û`에서 Û`=32　　 Û`임을 이용한다. ∴ ADÓ=4 2 (cm) (∵ ADÓ>0) 답 4 2`cm ' 0246 ☐ABCD는 등변사다리꼴이므로 ABÓ=DCÓ Û`=ADÓ Û`+CDÓ Û`+BCÓ Û`에서 2ABÓ 따라서 ABÓ Û`=(2 ' Û`=56, ABÓ 2ABÓ 5)Û`+6Û` Û`=28 ∴ ABÓ=2 7`(cm) (∵ ABÓ>0) 답 2 7`cm ' ' ' 0247 ABÓ (3 Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`에서 10)Û`+13Û`=ADÓ Û`=34　　∴ ADÓ= '¶ ADÓ Û`+15Û` 34`(∵ ADÓ>0) '¶ △AED에서 DEÓ= ( ¿¹ ∴ △AED= '¶ 34)Û`-3Û`= 25=5 '¶ _3_5= :Á2°: ;2!; 답 :Á2°: 0248 전략 APÓ Û`+CPÓ APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`+DPÓ Û`에서 Û`임을 이용한다. 40Û`+70Û`=50Û`+PDÓ Û`, PDÓ Û`=4000 ∴ PDÓ=20 10`(m)`(∵ PDÓ>0) '¶ 답 20 10`m '¶ 0249 APÓ APÓ Û`+CPÓ Û`-DPÓ Û`=BPÓ Û` =BPÓ Û`+DPÓ Û`-CPÓ Û`에서 Û`=4Û`-3Û`=7 답 7 0243 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 0250 PBÓ=x라 하면 PDÓ=x+2 Û`+DPÓ Û`=BPÓ Û`+CPÓ APÓ Û`에서 DEÓ= ∴ AEÓ _8=4 ACÓ= ;2!; Û`+CDÓ ;2!; Û` =ACÓ Û`+DEÓ Û` =8Û`+4Û`=80 답 80 0244 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 DEÓ=x라 하면 ACÓ=2DEÓ=2x 5Û`+(3 3)Û`=xÛ`+(x+2)Û` ' 25+27=xÛ`+xÛ`+4x+4, 2xÛ`+4x-48=0 xÛ`+2x-24=0, (x+6)(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ x>0) ∴ PBÓ=4 답 4 또 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AEÓ=3GEÓ=3_3=9 CDÓ=3GDÓ=3_4=12 0251 전략 (P의 넓이)+(Q의 넓이)=(R의 넓이)임을 이용한다. (P의 넓이)+(Q의 넓이)=(R의 넓이)이므로 (P의 넓이)+(Q의 넓이)+(R의 넓이)=2_(R의 넓이) 34 정답과 해설                      이때반원R의넓이는 _p_8Û`=32p`(cmÛ`) ;2!; 따라서세반원P,Q,R의넓이의합은 2_32p=64p`(cmÛ`) 답 64p`cmÛ` 0256 오른쪽그림과같이BDÓ를그 으면 ① ③ +②=△ABD +④=△BCD A D ① 4 cm ② 8 cm ④ 0252 SÁ+Sª= p+8p= ;2(; p :ª2°: 따라서BCÓ를지름으로하는반원의넓이가 p이므로 :ª2°: _p_ ;2!; BCÓ 2 } Û`= { :ª2°: p에서BCÓ Û`=100 ∴BCÓ=10(∵BCÓ>0) 답 10 step3 내신 마스터 ∴(색칠한부분의넓이) =①+②+③+④ =△ABD+△BCD =☐ABCD =4_8=32`(cmÛ`) B C ③ 답 32`cmÛ` p.48 ~ p.51 0253 SÁ=Sª+S£이므로  Sª=SÁ-S£=50p-18p=32p`(cmÛ`) yy㈎ S£= _p_ ;2!; ACÓ { 2 } Û`=18p에서ACÓ Û`=144 전략 먼저 피타고라스 정리를 이용하여 x의 값을 구한다. 0257  (3x+1)Û`=(3x)Û`+(x-1)Û`이므로 9xÛ`+6x+1=9xÛ`+xÛ`-2x+1 xÛ`-8x=0,x(x-8)=0 ∴x=8(∵ x>1) ∴ACÓ=12`(cm)(∵ACÓ>0) yy㈏ 따라서BCÓ=3x=24,ACÓ=x-1=7이므로 Sª= _p_ ;2!; BCÓ 2 } { Û`=32p에서BCÓ Û`=256 ∴BCÓ=16`(cm)(∵ BCÓ>0) ∴△ABC= ;2!; _16_12=96`(cmÛ`) 채점 기준 ㈎ Sª의 값 구하기 ㈏ ACÓ의 길이 구하기 ㈐ BCÓ의 길이 구하기 ㈑ △ABC의 넓이 구하기 yy㈐ yy㈑ 답 96`cmÛ` 비율 20`% 30`% 30`% 20`% 0254 전략 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같음을 이용한 다. △ABC에서 ACÓ= 144=12`(cm) 13Û`-5Û`= " '¶ 이때색칠한부분의넓이는△ABC의넓이와같으므로 (색칠한부분의넓이)= _5_12 ;2!; =30(cmÛ`) 답 30`cmÛ` 면 0255 색칠한부분의넓이는△ABC의넓이와같으므로 _8_ACÓ=24　　∴ACÓ=6`(cm) ;2!; △ABC에서 BCÓ= " 8Û`+6Û`= 100=10(cm) '¶ 답 10`cm △ABC= ;2!; _24_7=84 답 84 0258 전략 잘라 낸 직각이등변삼각형의 빗변이 아닌 한 변의 길이를 잘라낸부분은직각이등변삼각형이므로빗변이아닌한변 구한다. 의길이를x`cm라하면 xÛ`+xÛ`=6Û`,2xÛ`=36 xÛ`=18　　∴x=3 2(∵ x>0) ' 따라서처음정사각형의한변의길이는 6+2x=6+6 2`(cm) ' 답 (6+6 2)`cm ' 0259 전략 건물 ㈎, ㈏의 밑면의 한 변의 길이를 각각 구한 후 FGÓ의 연장선을 긋고 피타고라스 정리를 이용한다. 건물㈎의밑면의한변의길이는 건물㈏의밑면의한변의길이는 400=20`(m) '¶ 100=10`(m) '¶ 오른쪽그림과같이FGÓ의연장 I 선이ABÓ와만나는점을J라하 JBÓ=FEÓ=10`m이므로 AJÓ=20-10=10`(m) JFÓ=BEÓ=20+10=30`(m) A 20 m J △AJF에서 AFÓ= " 10Û`+30Û`= 1000=10 10`(m) '¶ '¶ 따라서건물㈐의밑면의한변의길이는10 H F (다) D G (나) (가) C 20 m E 10 m B 10`m이다. '¶ 답 10 10`m '¶ 2. 피타고라스 정리 35                          0260 전략 △ABD에서 x의 값을 구한 후 △ADC에서 y의 값을 구한다. △ABD에서 x = 17Û`-15Û`= 64=8 Lecture 직각삼각형의 세 변을 각각 한 변으로 하는 정다각형 또는 세 변을 각각 지름으로 하는 반원의 넓이 사이에는 다음 관계가 성립한다. (가장 큰 도형의 넓이)=(다른 두 도형의 넓이의 합) '¶ " " △ADC에서 10Û`-8Û`= y = 36=6 '¶ ∴ x+y=8+6=14 0265 전략 네 직각삼각형이 합동임을 이용하여 옳지 않은 것을 찾는 답 ① 0261 전략 ACÓ, ADÓ, AEÓ, AFÓ의 길이를 차례로 구해 본다. △CBA에서 ACÓ= 4Û`+4Û`= " △DCA에서 ADÓ= △EDA에서 AEÓ= △FEA에서 AFÓ= (4 " (4 " ' 8Û`+4Û`= " ' 32=4 2 '¶ 2)Û`+4Û`= ' 48=4 '¶ 3)Û`+4Û`= 64=8 3 ' '¶ 80=4 5 ' ∴ △AGF= _AFÓ_FGÓ ;2!; ;2!; '¶ ' = _4 5_4=8 5 ' 답 8 5 ' 0262 전략 OAÓ=x`cm로 놓고, OBÓ, OCÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타내어 본다. OAÓ=x`cm라 하면 OBÓ= OBÁÓ= xÛ`+xÛ`= 2xÛ`= 2x (cm) OCÓ= OCÁÓ= 2x)Û`+xÛ`= 3x (cm) " ( " ' " ' 3xÛ`= ' " 3 3` ' = 3 ' 이때 3x=3이므로 x= ' ∴ OAÓ= 3`cm ' 답 ' 3`cm 0263 전략 점 B에서 ACÓ에 수선을 그은 후 피타고라스 정리를 이용 오른쪽 그림과 같이 점 B에서 A ACÓ에 내린 수선의 발을 H라 한다. 하면 HCÓ=BDÓ=5`m이므로 AHÓ=7-5=2`(m) HBÓ=CDÓ=8`m △AHB에서 ABÓ= 2Û`+8Û`= " 68=2 17`(m) '¶ '¶ 2 m H 5 m C 8 m 5 m B D 0264 전략 ADEB+CHIA=BFGC임을 이용한다. ADEB+CHIA=BFGC이므로 6+CHIA=21 ∴ CHIA=21-6=15`(cmÛ`) 답 15`cmÛ` 36 정답과 해설 다. ① △ABC와 △HGE에서 ACÓ=HEÓ=b, BCÓ=GEÓ=a, ∠ACB=∠HEG=90ù이므로 △ABCª△HGE (SAS 합동) ② △ABCª△BHF (SAS 합동)이므로 HBÓ=BAÓ=c ③ ∠EHG+∠EGH=90ù이고 ∠EHG=∠DGA이므로 ∠EGH+∠DGA=90ù ∴ ∠HGA=90ù ④ EFCD=4△ABC+HBAG ⑤ ∠GHB=∠HBA=∠BAG=∠AGH=90ù, HBÓ=BAÓ=AGÓ=GHÓ=c이므로 HBAG는 정사각 형이다. 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④ 0266 전략 먼저 △EBD가 직각이등변삼각형임을 이용하여 BEÓ의 길이를 구한다. △ABEª△CDB이므로 EBÓ=BDÓ ∠AEB+∠EBA=90ù, ∠AEB=∠CBD이므로 ∠EBA+∠DBC=90ù에서 ∠EBD=90ù 따라서 △EBD는 EBÓ=DBÓ인 직각이등변삼각형이므로 `BEÓ Û`=17, BEÓ Û`=34　　 ;2!; ∴ BEÓ= 34`(cm)`(∵ BEÓ>0) '¶ △ABE에서 ABÓ= ( " '¶ BCÓ=EAÓ=3`cm이므로 34)Û`-3Û`= '¶ ACÓ=ABÓ+BCÓ=5+3=8`(cm) 또 CDÓ=ABÓ=5`cm이므로 25=5`(cm) ACDE= _(3+5)_8=32`(cmÛ`) 답 32`cmÛ` ;2!; 0267 전략 EDÓ=x로 놓고 AEÓ, EBÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타 EDÓ=x라 하면 AEÓ=18-x ADÓ∥BCÓ이므로 ∠EDB=∠DBC (엇각) ∠EBD=∠DBC (접은 각)이므로 ∠EBD=∠EDB ∴ EBÓ=EDÓ=x C′ 18-x A E x 12 x B 18 D C 따라서 새가 날아간 거리는 2 17`m이다. '¶ 답 2 17`m '¶ 낸다.  전략 EBÓ=x로 놓고 EDÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타낸다. 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 0268 △ABE에서 xÛ`=(18-x)Û`+12Û`, xÛ`=324-36x+xÛ`+144 36x=468　　∴ x=13 ∴ △EBD= _EDÓ_ABÓ ;2!; ;2!; = _13_12=78 답 78 ABÓ=BCÓ=9이고 BDÓ：DCÓ=2：1이므로 BDÓ=9_ =6 ;3@; 이때 EBÓ=x라 하면 A yy`㈎ 9 9-x F EDÓ=AEÓ=9-x yy`㈏ △EBD에서 (9-x)Û`=xÛ`+6Û`, 81-18x+xÛ`=xÛ`+36 9-x E B x 6 D 3 C 18x=45　　∴ x= ;2%; ∴ △EBD= _6_ = ;2%; :Á2°: ;2!; 채점 기준 ㈎ BDÓ의 길이 구하기 ㈏ EBÓ=x로 놓고 EDÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나 타내기 ㈐ 피타고라스 정리를 이용하여 x의 값 구하기 ㈑ △EBD의 넓이 구하기 yy`㈐ yy`㈑ 답 :Á2°: 비율 30`% 20`% 30`% 20`% 0269 전략 (가장 긴 변의 길이의 제곱)+(나머지 두 변의 길이의 제 곱의 합)인 것을 찾는다. ① 2Û`+( ② 3Û`+( 5)Û`=3Û` ' 6)Û`=( ' '¶ 3)Û`+5Û`=( ③ (2 ' ④ 6Û`+8Û`+11Û` ⑤ 12Û`+16Û`=20Û` 15)Û` 37)Û` '¶ 0270 전략 가장 긴 변의 길이가 5일 때와 a일 때로 경우를 나누어 생 각한다. Ú 5가 가장 긴 변의 길이일 때 5Û`=(a-1)Û`+aÛ`, 25=aÛ`-2a+1+aÛ` 2aÛ`-2a-24=0, aÛ`-a-12=0 (a-4)(a+3)=0 　　∴ a=4 (∵ a>1) Û a가 가장 긴 변의 길이일 때 aÛ`=5Û`+(a-1)Û`, aÛ`=25+aÛ`-2a+1 2a=26　　∴ a=13 Ú, Û에서 a의 값은 4, 13이다. 답 4, 13 0271 전략 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계와 둔각삼각형이 될 조건을 동시에 만족하는 자연수 x의 값을 구한다. 20-100) yy ㉡ ∠B가 둔각이므로 20Û`>xÛ`+10Û` ㉠, ㉡에서 1012이므로 120) yy ㉡　　yy ㈏ ㉠, ㉡에서 126Û`+8Û`이므로 둔각삼각형이다. ㉣ 14Û`>8Û`+9Û`이므로 둔각삼각형이다. ㉤ 12Û`>6Û`+9Û`이므로 둔각삼각형이다. ㉥ 14Û`<9Û`+12Û`이므로 예각삼각형이다. 따라서 예각삼각형인 것은 ㉠, ㉡, ㉥이다. 답 ③ 2. 피타고라스 정리 37 따라서 직각삼각형이 아닌 것은 ④이다. 답 ④ 0273 전략 (가장 긴 변의 길이의 제곱)<(나머지 두 변의 길이의 제 BPÓ=BCÓ=5이므로 A 3 P 2 D 따라서 직선 3x-4y+12=0의 x절편은 -4, y절편은 3이 0274 전략 QCÓ=x로 놓고 PQÓ, DQÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타 낸다. △ABP에서 APÓ= 5Û`-4Û`= ' ∴ PDÓ=5-3=2 " 9=3 QCÓ=x라 하면 PQÓ=x, DQÓ=4-x 5 4 x H 4-x Q B 5 x C △DPQ에서 xÛ`=2Û`+(4-x)Û`, xÛ`=4+16-8x+xÛ` 8x=20　　∴ x= ;2%; Û`=PHÓ_PQÓ이므로 또 △DPQ에서 DPÓ 2Û`=PHÓ_ 　　∴ PHÓ= ;2%; ` ;5*; 답 ① 전략 BHÓ=x로 놓고 CHÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타낸다. 0275 BHÓ=x라 하면 CHÓ=12-x Û`=BHÓ_CHÓ에서 AHÓ (4 2)Û`=x_(12-x), 32=12x-xÛ` ' xÛ`-12x+32=0, (x-4)(x-8)=0 ∴ x=4 또는 x=8 이때 BHÓ0) 답 2`cm 0293 정삼각형ABC의한변의길이를a`cm라하면 aÛ`=8 3,aÛ`=32　　∴a=4 2(∵a>0)답 4 2`cm ' ' 0294 BHÓ= `BCÓ= _12=6`(cm) ;2!; ;2!; 답 6`cm 0295 △ABH에서 AHÓ=  8Û`-6Û`= " 28=2 7`(cm) '¶ ' 답 2 7`cm ' 0296 △ABC= _12_2 7=12 7`(cmÛ`) ' ' ;2!; 답 12 7`cmÛ` '                     S= _6_4=12 ;2!; 답 AHÓ=4, S=12 0298 BHÓ= `BCÓ= _4=2이므로 ;2!; ;2!; △ABH에서AHÓ= 6Û`-2Û`= 32=4 2 '¶ ' S= _4_4 2=8 2 ;2!; ' 답 AHÓ=4 2, S=8 2 ' ' " ' 0299 △ABC의꼭짓점A에서밑변BC에내린수선의발을H라 yy㉠ yy㉡ 하고AHÓ=hcm,BHÓ=xcm라하면 △ABH에서hÛ`= 3Û`-xÛ`  △AHC에서hÛ`= 5Û`-(6-x)Û`  ㉠,㉡에서3Û`-xÛ`=5Û`-(6-x)Û` 9-xÛ`=25-36+12x-xÛ` 12x=20　　∴x= ;3%; ∴h= 3Û`- ¾± {;3%;} ¾±:°9¤: Û`= = 2 14` '¶ 3  ∴△ABC= _6_ ;2!; 2 14` '¶ 3 = 2 14 (cmÛ`) '¶ 답 3Û`-xÛ`, 5Û`-(6-x)Û`, ;3%;, 2 14` '¶ 3 , 2 14 '¶ 0300 BHÓ=x라하면CHÓ=12-x Û`=8Û`-xÛ` △ABH에서AHÓ  Û`=(4 △AHC에서AHÓ 8Û`-xÛ`=(4 '   7)Û`-(12-x)Û`에서 ' 64-xÛ`=112-(144-24x+xÛ`) 7)Û`-(12-x)Û` 0301 △ABH에서AHÓ= 8Û`-4Û`= 48=4 3 " '¶ ' 답 4 3 ' 0302 △ABC= _12_4 3=24 3 ' ' ;2!; 답 24 3 ' 0303 5：x=1：1이므로x=5 2이므로y=5  5：y=1： ' 2 ' 0304 3 3  ' 2：x=1：1이므로x=3 2 ' 2이므로y=6 2：y=1： ' ' 0305 3：x=1： ' 3：y=1：2이므로y=6  3이므로x=3 3 ' 0306 x：8=1：2이므로x=4 3：2이므로y=4  y：8= ' 3 ' 답 x=5, y=5 2 ' 답 x=3 2, y=6 답 x=3 3, y=6 답 x=4, y=4 3 ' ' ' 3. 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 39 0291 정삼각형ABC의한변의길이를a라하면 24x=96　　∴x=4 답 4 O 1 2 3 4 5 x 답 그림 참조, PQÓ=5 0317 정사각형의한변의길이를xcm  라하면 0307 Q PQÓ= 3Û`+3Û`  " '¶ = 18=3 2 ' P O 1 2 3 4 5 x 답 그림 참조, PQÓ=3 2 ' 0308 P PQÓ= 4Û`+3Û`  " '¶ = 25=5 Q y 5 4 3 2 1 y 5 4 3 2 1 0309 ABÓ= = 10 (-2-1)Û`+(3-2)Û`  {2-(-3)}Û`+(-4-1)Û`  0310 ABÓ= = 50=5 2 ' 0311 ABÓ= = 25=5 (-3-0)Û`+(0-4)Û`  0312 ABÓ= = 17 (-1-3)Û`+{-1-(-2)}Û`  " '¶ " '¶ " '¶ " '¶ 답 '¶ 10 답 5 2 ' 답 5 답 '¶ 17 step 유형 마스터 p.57~p.66 0313 전략 텔레비전의 가로의 길이를 4a, 세로의 길이를 3a로 놓고 대각선의 길이가 34인치임을 이용한다. 텔레비전의가로의길이를4a(a>0)라하면세로의길이는 3a이므로 (4a)Û`+(3a)Û`=34,5a=34　　∴a=6.8 " 따라서텔레비전화면의가로의길이는 4_6.8=27.2(인치) 답 27.2인치 0314 직사각형의대각선의길이를l이라하면 65  7Û`+4Û`= l= " '¶ 답 '¶ 65 0315 정사각형의한변의길이를x라하면 (2x)Û`+xÛ`=2  ABÓ= 5 " 5xÛ`=20,xÛ`=4 ' ∴x=2(∵x>0) 40 정답과 해설          0316 전략 한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선의 길이는 2 a임 ' 을 이용한다. 정사각형의한변의길이를x라하면 2x=2 3　　∴x= ' ' ' ∴(정사각형의넓이)= 6 6_ 6=6 ' ' 대각선의길이를이용하면 (정사각형의넓이)= _2 3_2 3=6 ;2!; ' ' 답 6 2x=16 ' ∴x=8 2 ' 8 2`cm이다. ' 따라서정사각형의한변의길이는 16 cm x cm x cm 답 8 2`cm ' 0318 큰원의지름의길이가4`cm,즉큰정사각형의대각선의길 이가4`cm이므로큰정사각형의한변의길이는 선의길이가2 2`cm이므로작은정사각형의한변의길이 2`cm,즉작은정사각형의대각 ' 4 2` =2 2`(cm) ' ' 작은원의지름의길이가2 ' 는 =2`(cm) 2 2` ' 2` ' 따라서색칠한부분의넓이는 (큰원의넓이)-(큰정사각형의넓이)  +(작은원의넓이)-(작은정사각형의넓이) =p_2Û`-(2 2)Û`+p_( 2)Û`-2Û` ' ' =4p-8+2p-4 =6p-12`(cmÛ`) 답 (6p-12)`cmÛ` 0319 전략 BDÓ의 길이를 구한 후 ABÓ_ADÓ=BDÓ_AHÓ임을 이용 한다. △ABD에서BDÓ= 이때ABÓ_ADÓ=BDÓ_AHÓ에서 5Û`+12Û`=13`(cm) " 5_12=13_AHÓ　　∴AHÓ= `(cm) ;1^3); 답 ;1^3); `cm 0320 △BCD에서BDÓ= 이때CDÓ  Û`=DFÓ_DBÓ에서 " 4Û`+3Û`=5(cm) yy㈎ 3Û`=DFÓ_5　　∴DFÓ= (cm) ;5(; △ABEª△CDF(RHA합동)이므로                          ∴ACÓ= 6Û`+2Û`= 40=2 10 " '¶ '¶ 답 2 10 '¶ BEÓ=DFÓ= cm ;5(; yy㈏ ∴EFÓ=BDÓ-(BEÓ+DFÓ) =5- + = (cm) {;5(; ;5(;} ;5&; 0326 BEÓ=ECÓ=CFÓ= _8=4`(cm) ;2!; △GEC는한변의길이가4`cm인정삼각형이므로 (색칠한부분의넓이)=(△ABC-△GEC)_2 yy㈐ 답 ;5&; `cm 비율 30`% 50`% 20`% 채점 기준 ㈎ BDÓ의 길이 구하기 ㈏ DFÓ, BEÓ의 길이 구하기 ㈐ EFÓ의 길이 구하기 0321 △ABC에서 4Û`+(4 3)Û`= ACÓ=  Û`=AEÓ_ACÓ에서 이때ADÓ " ' '¶  64=8 (4 3)Û`=AEÓ_8　　∴AEÓ=6 ' ∴ECÓ=ACÓ-AEÓ=8-6=2 Û`=AEÓ_CEÓ에서DEÓ 또DEÓ Û`=6_2=12 ∴DEÓ=2 3(∵DEÓ>0) ' Û`+CEÓ 따라서AEÓ Û`+(2 6Û`+2Û`=BEÓ Û`=BEÓ 3)Û`,BEÓ Û`+DEÓ Û`=28 Û`에서 ' 7(∵BEÓ>0) ∴BEÓ=2 ' 0322 3` 전략 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이는 ' 2 a, 넓이는 aÛ`임을 이용한다. 정삼각형의한변의길이를x`cm라하면 3` ' 4 3` ' 2 x=6　　∴x=4 3` ' ' 3` ∴△ABC= ' 4 _(4 3)Û`=12 3`(cmÛ`) 답 12 3`cmÛ` ' ' 3` 0323 ADÓ= ' 2 _12=6 3`(cm) ' 점G는△ABC의무게중심이므로 GDÓ= ADÓ= _6 3=2 3`(cm) ;3!; ' ' ;3!; 답 2 3`cm ' 0324 정삼각형의한변의길이를x라하면 3` ' 4 ' xÛ`=9 3,xÛ`=36　　∴x=6(∵x>0) 따라서구하는정삼각형의높이는 3` ' 2 _6=3 3 '                    답 2 7 ' x=3 3　　∴x=6 AMÓ⊥BDÓ이므로BMÓ=DMÓ ∴BMÓ= _6=3`(cm) ' ;2!;                      3` ' 4 3` _8Û`- ' 4 = { _4Û` _2 } 3)_2 =(16 =24 ' 3-4 ' ' 3`(cmÛ`) 답 24 3`cmÛ ' 0327 오른쪽그림과같이APÓ를그으면 △ABC=△ABP+△APC  이므로  3` ' 4 _10Û`= _10_PQÓ ;2!; + _10_PRÓ ;2!; A 10 Q 10 R B P C 25 3=5(PQÓ+PRÓ)　　∴PQÓ+PRÓ=5 3 ' 답 5 3 ' 0328 정삼각형ABC의한변의길이를x`cm라하면 ' 3` ' 2 한편△BCD에서점M은빗변의중점이므로 BMÓ=CMÓ=DMÓ　　 _6=3`(cm) ∴CMÓ= ;2!; 따라서△BCM에서 3Û`+3Û`= BCÓ= " 18=3 2`(cm) '¶ ' 답 3 2`cm ' 0329 전략 주어진 정육각형의 넓이는 한 변의 길이가 10`cm인 정삼 각형의 넓이의 6배와 같다. 오른쪽그림과같이정육각형의대 A F 각선을그으면정육각형은한변의 길이가 10`cm인정삼각형6개로 B O 60∞ 60∞ 60∞ 10 cm E 나누어지므로 (정육각형의넓이) =6△FOE 3` ' 4 =6_ { _10Û` =150 3(cmÛ`) } ' 답 150 3`cmÛ` ' C D A 60∞ 60∞ C _6Û` =18 3`(cmÛ`) 답 18 3`cmÛ` } ' ' 3. 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 41 답 3 3 ' 0330 오른쪽그림과같이ACÓ를그으 면△ABC와△ACD는모두 한변의길이가6`cm인정삼각 6 cm B 60∞ D 0325 BDÓ=  2Û`+2Û`= 8=2 2(cm) " ' 따라서정삼각형DBE의넓이는 ' 3` ' 4 _(2 2)Û`=2 3(cmÛ`) ' ' 답 2 3`cmÛ` ' 형이므로   ABCD=2△ABC 3` ' 4 =2_ { 0331 오른쪽그림과같이정육각형의대 각선을긋고정육각형의한변의길 이를 x`cm라하면정육각형은한 변의길이가x`cm인정삼각형6개 x cm 60∞ 60∞60∞ 로나누어지므로 6_ 3` ' 4 { _xÛ` =54 3 } ' xÛ`=36　　∴x=6(∵x>0) 따라서정육각형의한변의길이는6`cm이다. 답 6`cm 0332 전략 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 AHÓ의 길이를 구한다. 오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BCÓ에내 A 린수선의발을H라하면 BHÓ= `BCÓ= _6=3` ;2!; ;2!; △ABH에서 AHÓ= " ∴△ABC= 12Û`-3Û`= 135=3 15 '¶ '¶ _6_3 15=9 15 '¶ '¶ ;2!; 12 12 B C H 6 답 9 15 '¶ 0333 오른쪽그림과같이꼭짓점A에서 BCÓ에내린수선의발을H라하면 A 8 cm 8 cm _12=6(cm) B ;2!; C H 12 cm BCÓ= BHÓ= ;2!; △ABH에서 AHÓ= " ∴△ABC= '¶ ;2!; ' ' 8Û`-6Û`= 28=2 7(cm) 0334 BHÓ= BCÓ= _6=3`(cm) ;2!; ;2!; △ABH에서 ABÓ= 3Û`+6Û`= 45=3 5`(cm) '¶ ' " 이때ACÓ=ABÓ=3 5`cm이므로 ' (△ABC의둘레의길이)=3 =6 5+6+3 ' ' 5+6`(cm) 5` ' 0336 CHÓ=x라하면BHÓ=8-x이므로  9Û`-(8-x)Û`=7Û`-xÛ`,81-64+16x-xÛ`=49-xÛ` 16x=32　　∴x=2 ∴AHÓ= 7Û`-2Û`= 45=3 5 '¶ ' " ∴△AHC= _2_3 5=3 5 ' ' ;2!; 답 3 5 ' 0337 오른쪽그림과같이세변의길이가각 각13cm,14cm,15cm인삼각형  A 13 cm 15 cm ABC를그리고꼭짓점A에서BCÓ에 B H 14 cm C 내린수선의발을H라하자. BHÓ=xcm라하면  CHÓ=(14-x)cm이므로 13Û`-xÛ`=15Û`-(14-x)Û` 169-xÛ`=225-196+28x-xÛ` 28x=140　　∴x=5 ∴AHÓ= 13Û`-5Û`= 144=12`(cm) " '¶ ∴△ABC= ;2!; _14_12=84`(cmÛ`) 채점 기준 ㈎ BHÓ=x cm로 놓고 식 세우기 ㈏ x의 값 구하기 ㈐ AHÓ의 길이 구하기 ㈑ △ABC의 넓이 구하기 yy㈎ yy㈏ yy㈐ yy㈑ 답 84`cmÛ` 비율 30`% 30`% 20`% 20`% ∴AHÓ= 7Û`-5Û`= 24=2 ' 또점M은BCÓ의중점이므로 '¶ " 6(cm) BMÓ=CMÓ= BCÓ= _6=3(cm) ;2!; ;2!; ∴MHÓ=BHÓ-BMÓ=5-3=2(cm) △AMH에서 2Û`+(2 AMÓ= " 6)Û`= 28=2 7(cm) ' '¶ ' 답 2 7`cm ' _12_2 7=12 7(cmÛ`) 답 12 7`cmÛ` ' ' 12x=60　　∴x=5 0338 BHÓ=xcm라하면CHÓ=(6-x)cm이므로  7Û`-xÛ`=5Û`-(6-x)Û`,49-xÛ`=25-36+12x-xÛ` 0335 전략 AHÓ=¿¹ABÓ 세운다. Û`-BHÓ Û`=¿¹ACÓ Û`-CHÓ Û`임을 이용하여 식을 BHÓ=xcm라하면`CHÓ=(10-x)cm이므로 12Û`-xÛ`=8Û`-(10-x)Û` 144-xÛ`=64-100+20x-xÛ` 20x=180　　∴x=9 답 (6 5+6)`cm ' 0339  전략 CAÓ：BCÓ：ABÓ=1： ' 3：2임을 이용한다. 8：ACÓ=2：1이므로ACÓ=4`(cm) 3이므로BCÓ=4 3`(cm) 8：BCÓ=2： ' ∴△ABC= _4 3_4=8 3`(cmÛ`) ;2!; ' 답 8 3`cmÛ` ' ' ' 3 ' 0340 △ABC에서BCÓ：ACÓ=  BCÓ：4= 3：2　　∴BCÓ=2 ' 3：2이므로 △DBC에서BCÓ：DCÓ= 2 ' 2：1　　∴x= 3：x= ' 6 ' 2：1이므로 ' ' ∴AHÓ= 12Û`-9Û`= 63=3 7(cm) " '¶ ' 답 3 7`cm ' 답 ' 6 42 정답과 해설                                             △ABH에서AHÓ：BHÓ=1：1이므로 3：BHÓ=1：1　　∴BHÓ=3 ∴BCÓ=BHÓ+HCÓ=3+3 3 답 3 6 ' ∴△ABC= ;2!; _(3+3 3)_3 ' '  = 3) 9(1+ 2 ' 답 3) 9(1+ 2 ' 0341 △ABD에서ABÓ：BDÓ=1： ' 2　　∴BDÓ=6  6：BDÓ=1： 2 2이므로 ' △DBC에서BDÓ：BCÓ=2： ' 6 2：BCÓ=2： 3　　∴BCÓ=3 ' 3이므로 ' ' 6 ' 0342 △ABC에서ABÓ：BCÓ=1： ' 3　　∴BCÓ=3  3：BCÓ=1： ' △DBC에서BDÓ：BCÓ= BDÓ：3 3= ' ' ' 3이므로 3`(cm) ' 2：1이므로 2：1　　∴BDÓ=3 6`(cm) 답 3 6`cm ' ' 0343 △ABC에서ABÓ：ACÓ=2：1이므로 16：ACÓ=2：1　　∴ACÓ=8(cm)  ∠BAD=∠DAC이고∠BAC=60ù이므로 ∠DAC=30ù 따라서△ADC에서∠ADC=180ù-(30ù+90ù)=60ù 즉ACÓ：ADÓ= 3：2이므로 8：ADÓ= 3：2　　∴ADÓ= (cm) 3` 16 ' 3 ' ' 답 3` 16 ' 3 `cm 0344 △ABH에서ABÓ：BHÓ=2：1이므로 6：BHÓ=2：1　　∴BHÓ=3  △ABH에서ABÓ：AHÓ=2： ' 3　　∴AHÓ=3 6：AHÓ=2： 3이므로 3 ' ' 이때CHÓ=BCÓ-BHÓ=10-3=7이므로 △AHC에서 ACÓ= (3 " ' 3)Û`+7Û`= 76=2 19 '¶ '¶ 답 2 19 '¶ 0345 △ABD에서∠BAD=180ù-(45ù+90ù)=45ù ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=90ù-45ù=45ù  △ABD에서ABÓ：ADÓ= 8：ADÓ= 2：1　　∴ADÓ=4 ' 2：1이므로 2 ' ' △ADE에서ADÓ：DEÓ= ' 4 2：DEÓ= 2：1　　∴DEÓ=4 2：1이므로 ' ' 0346 전략 꼭짓점 A에서 BCÓ에 수선을 그어 특수한 직각삼각형의 A H 45∞ B 6 30∞ C 세 변의 길이의 비를 이용한다. 오른쪽그림과같이꼭짓점A 에서BCÓ에내린수선의발을 H라하면 △AHC에서 AHÓ：ACÓ=1：2이므로 AHÓ：6=1：2　　∴AHÓ=3 HCÓ：ACÓ= HCÓ：6= ' 3：2이므로 ' 3：2　　∴HCÓ=3 3 '                                                     0347 오른쪽그림과 같이 꼭짓점 A에서BCÓ에내린수선의발 A  30∞ 4 cm 60∞ H C 을H라하면△AHC에서 3`이므로 ACÓ：AHÓ=2： B 10 cm ' 3　　 ' 4：AHÓ=2： ∴AHÓ=2 3`(cm) ' ∴△ABC= ;2!; _10_2 3=10 3`(cmÛ`) 답 10 3`cmÛ` ' ' ' 0348 오른쪽그림과같이꼭짓점A에서 BCÓ의연장선에내린수선의발을 A 6 cm  H라하면∠ABH=60ù △AHB에서 AHÓ：ABÓ= AHÓ：6= ' 3：2이므로 ' 3：2　　∴AHÓ=3 3(cm) ' 120∞ 60∞ B 4 cm C H ∴△ABC= _4_3 3=6 3(cmÛ`) ' ' ;2!; 답 6 3`cmÛ` ' 0349 전략 (색칠한 부분의 넓이)=(부채꼴 AOB의 넓이)-△AOH 임을 이용한다. △AOH에서AOÓ：OHÓ=2：1이므로 AOÓ：2=2：1　　∴AOÓ=4`(cm) △AOH에서OHÓ：AHÓ=1： ' 3　　∴AHÓ=2 2：AHÓ=1： ' 3이므로 3`(cm) ' ∴(색칠한부분의넓이)  =(부채꼴AOB의넓이)-△AOH  =p_4Û`_ - _2_2 3 ;2!; ' 60 360 0350 오른쪽그림과같이꼭짓점 C에서 ADÓ에 내린 수선의 A 8 cm H  D 45∞ 8 cm 8 cm 발을H라하면△HCD에서 HCÓ：HDÓ=1：1이므로 B 8 cm C 8：HDÓ=1：1　　∴HDÓ=8`(cm) HCÓ：CDÓ=1： 8：CDÓ=1： ' 2이므로 ' 2　　∴CDÓ=8 2(cm) ' ∴(ABCD의둘레의길이)=8+8+8 2+(8+8) ' 2(cm) =32+8 ' 답 (32+8 2)`cm ' 3. 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 43 답 4  = p-2 3(cmÛ`) ;3*; ' 답 {;3*; p-2 3 ' } `cmÛ` 0351 오른쪽그림과같이점D에서 BEÓ에내린수선의발을H라 D E  이때BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로                         0352 ABCD에서 하면 DBÓ=6`cm,BEÓ=10`cm, ∠DBE=60ù A 60∞ 6 cm H 60∞ 60∞ B 10 cm C △DBH에서DBÓ：DHÓ=2： ' 3　　∴DHÓ=3 6：DHÓ=2： 3이므로 3`(cm) ' ' ∴△DBE= ;2!; _10_3 3=15 3`(cmÛ`) 답 15 3`cmÛ` ' ' ' ∠BAE=∠EAF=∠FAD= ∠BAD ;3!; 3：1이므로 = _90ù=30ù ;3!; △ABE에서ABÓ：BEÓ= ' ABÓ： 3= 3：1　　∴ABÓ=3 ' ' △AFD에서AFÓ：ADÓ=2： ' 3　　∴ADÓ=2 4：ADÓ=2： ' ∴ABCD=2 3_3=6 3 ' ' 3이므로 3 ' 채점 기준 ㈎ ∠BAE, ∠FAD의 크기 구하기 ㈏ ABÓ의 길이 구하기 ㈐ ADÓ의 길이 구하기 ㈑ ABCD의 넓이 구하기 yy㈎ yy㈏ yy㈐ yy㈑ 답 6 3 ' 비율 20`% 30`% 30`% 20`% 0353 오른쪽그림과같이점A에서 BCÓ에내린수선의발을H라 6 cm 하면AHÓ=6`cm △ABH에서 ABÓ`:`AHÓ= ' 2：1이므로 ABÓ`:`6= 2：1　　∴ABÓ=6 2`(cm) ' 한편∠DAC=∠BAC(접은각), A D  45∞ B CH ∠ DAC=∠BCA(엇각)이므로∠BAC=∠BCA ∴BCÓ=ABÓ=6 2`cm ' ∴△ABC= ;2!; ' _6 2_6=18 2`(cmÛ`) 답 18 2`cmÛ` ' ' ' 0354 오른쪽 그림과 같이 점 E에서 BCÓ에내린수선의발을H라하 고EHÓ=x`cm라하면 △EBH에서 BHÓ：EHÓ=1：1이므로 A 60∞ D E 45∞ B H 30 cm  C BHÓ：x=1：1　　∴BHÓ=x`(cm) △EHC에서EHÓ：CHÓ=1： ' ∴CHÓ= 3 x：CHÓ=1： ' ' 3이므로 3x`(cm) 44 정답과 해설                           x+ 3x=30,(1+ 3)x=30 ' ' ∴x= 30 1+ 3` = 30(1- 3`) 3`)(1- ' (1+ 3`)` ' ∴△EBC= _30_15( ;2!; ' ' 3-1) ' =15( 3-1) ' =225( 3-1)`(cmÛ`) 답 225( 3-1)`cmÛ` ' ' F x A E G B D C 0355 AEÓ=AFÓ이므로 ∠ AEF=∠AFE=45ù 정팔각형의한변의길이를x라 10 x 하면AEÓ=BGÓ이므로 AEÓ= (10-x)=5- ;2!; ;2{; △AEF에서AEÓ：EFÓ=1： ' 2이므로 5- ：x=1： ' 2 ;2{;} { x=5 2` 2- ' 2 ' x, 2` 2+ ' 2 { } x=5 2 ' ∴x= 10 ' 2+ ' 2` 2` = 10 ' (2+ ' 2`(2- ' 2`)(2- 2`) 2`)` ' =10( 2-1) ' 따라서정팔각형의한변의길이는10( 2-1)이다. ' 답 10( 2-1) ' ' '¶ 전략 좌표평면 위의 두 점 (xÁ, yÁ), (xª, yª) 사이의 거리는 0356 (xª-xÁ)Û`+(yª-yÁ)Û`이다. " ① ② ③ ④ ⑤ " " " " " (4-0)Û`+(5-0)Û`= 41 '¶ {3-(-1)}Û`+(4-1)Û`= '¶ -2)}Û`= {-1-(-3)}Û`+{-1-( 25=5 5 ' (2-1)Û`+(-3-2)Û`= 26 '¶ (3-2)Û`+{-2-(-1)}Û`= 2 따라서두점사이의거리가가장짧은것은⑤이다.답 ⑤ 0357 PQÓ= (-2-3)Û`+(-1-2)Û`= 34 " 답 '¶ 34 0358 ①ABÓ= ②ADÓ=  (2-0)Û`+{5-(-4)}Û`= " '¶ (5-0)Û`+{-3-(-4)}Û`= 85 26 ③BCÓ= ④BDÓ= " (-4-2)Û`+(1-5)Û`= " '¶ (5-2)Û`+(-3-5)Û`= '¶ 52=2 13 '¶ ⑤CDÓ= {5-(-4)}Û`+(-3-1)Û`= 97 73 '¶ '¶ " " 따라서두점사이의거리가가장먼것은⑤점C와점D이 다. 답 ⑤ 0359 두점A(2,3),B(3,a)사이의거리가 26이므로 '¶  (3-2)Û`+(a-3)Û`= 26 yy`㈎ " 양변을제곱하면1Û`+(a-3)Û`=26 '¶ 1+aÛ`-6a+9=26,aÛ`-6a-16=0 yy`㈏ (a-8)(a+2)=0　　∴a=8또는a=-2                         이때점B(3,a)가제4사분면위의점이므로a<0이다. ∴a=-2 채점 기준 ㈎ 두 점 A, B 사이의 거리에 대한 식 세우기 ㈏ a에 대한 이차방정식으로 나타내기 ㈐ a의 값 구하기 yy`㈐ 답 -2 비율 30`% 40`% 30`% 0364 ABÓ= BCÓ=  " CAÓ= " (-2-2)Û`+{3-(-2)}Û`= " {3-(-2)}Û`+(7-3)Û`= '¶ (3-2)Û`+{7-(-2)}Û`= '¶ 41 41 즉ABÓ=BCÓ이고CAÓ Û`=ABÓ 변이CAÓ인직각이등변삼각형이다. '¶ Û`+BCÓ 82 Û`이므로△ABC는빗 답 ⑤ 0365 ABÓ= BCÓ=  (-3-5)Û`+{5-(-1)}Û`= " {1-(-3)}Û`+(7-5)Û`= '¶ 20=2 100=10 5 " CAÓ= '¶ (1-5)Û`+{7-(-1)}Û`= " Û`=BCÓ 즉ABÓ ' 80=4 Û`이므로△ABC는∠C=90ù인직각 Û`+CAÓ ' '¶ 5 0360 두점A(a,3),B(5,-2a+1)사이의거리가3  (5-a)Û`+(-2a+1-3)Û`=3 " 양변을제곱하면(5-a)Û`+(-2a-2)Û`=45 ' 5  ' 5이므로 25-10a+aÛ`+4aÛ`+8a+4=45,5aÛ`-2a-16=0 ∴△ABC= _BCÓ_CAÓ = _2 5_4 5=20 ' ' 답 20 이때점B(5,-2a+1)이제1사분면위의점이므로 0366 전략 먼저 이차함수 y=xÛ`+4x+2의 그래프의 꼭짓점의 좌 삼각형이다. ;2!; ;2!; 표를 구한다. y=xÛ`+4x+2  (5a+8)(a-2)=0　　 ∴a=- 또는a=2 ;5*; -2a+1>0,즉a< ;2!; ∴a=-  ;5*; 답 - ;5*; =(xÛ`+4x+4)+2-4  =(x+2)Û`-2 0361 두점A(1,a),B(b,-10)이직선y=3x-1위의점이므로  y=3x-1에x=1,y=a를대입하면 a=3_1-1=2　　∴A(1,2) y=3x-1에x=b,y=-10을대입하면 -10=3_b-1,3b=-9 ∴b=-3　　∴B(-3,-10) ∴ABÓ= (-3-1)Û`+(-10-2)Û` " 160=4 10 = '¶ '¶  답 4 10 '¶ 0362 점P의좌표를P(a,0)이라하면APÓ=BPÓ,즉APÓ Û`=BPÓ Û` 즉꼭짓점의좌표는(-2,-2)이다. 따라서두점(-2,-2),(0,0)사이의거리는 (-2)Û`+(-2)Û`= 8=2 ' 2 ' " 답 2 2 ' 0367 y=xÛ`-6x  =(xÛ`-6x+9)-9  =(x-3)Û`-9 즉꼭짓점의좌표는(3,-9)이다. 따라서두점(3,-9),(0,0)사이의거리는 3Û`+(-9)Û`= 90=3 10 '¶ '¶ " 답 3 10 '¶ 이므로 (a-2)Û`+(0-1)Û`=(a-4)Û`+(0-5)Û` aÛ`-4a+4+1=aÛ`-8a+16+25 4a=36　　∴a=9 따라서점P의좌표는(9,0)이다. 답 (9, 0) 0368 y= xÛ`-2x+3 ;2!; ;2!; ;2!; = (xÛ`-4x+4)+3-2 = (x-2)Û`+1 0363  전략 먼저 삼각형의 세 변의 길이를 구한다. ABÓ= BCÓ= " CAÓ= {2-(-1)}Û`+(1-3)Û`= " (4-2)Û`+(4-1)Û`= '¶ 13 '¶ 13(①) 26 {4-(-1)}Û`+(4-3)Û`= '¶ Û`+BCÓ Û`=ABÓ 즉`ABÓ=BCÓ(②)이고CAÓ " 는∠B=90ù(③)인직각이등변삼각형이다.(⑤) Û`이므로△ABC ∴△ABC= _ 13_ 13= ;2!; '¶ '¶ :Á2£: 따라서옳지않은것은④이다. 즉꼭짓점의좌표는(2,1)이다. y=3xÛ`+6x-2=3(xÛ`+2x+1)-2-3 =3(x+1)Û`-5 즉꼭짓점의좌표는(-1,-5)이다. 따라서두점(2,1),(-1,-5)사이의거리는 (-1-2)Û`+(-5-1)Û`= 45=3 '¶ 5 ' " 답 3 5 ' 0369 y=-2xÛ`+8x-3  =-2(xÛ`-4x+4)-3+8  =-2(x-2)Û`+5 답 ④ ∴P(2,5) yy㈎ 3. 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 45                                         y=-2xÛ`+8x-3에x=0을대입하면 y=-3 ∴Q(0,-3) ∴PQÓ= (0-2)Û`+(-3-5)Û` " '¶ = 68=2 17 '¶ 채점 기준 ㈎ 점 P의 좌표 구하기 ㈏ 점 Q의 좌표 구하기 ㈐ PQÓ의 길이 구하기 yy㈐ 답 2 17 '¶ 비율 40`% 30`% 30`% 0370 전략 정삼각형 ADE의 한 변의 길이는 정삼각형 ABC의 높 이와 같다. 정삼각형ABC의한변의길이가4이므로 3` ADÓ= ' 2 _4=2 3 ' 3` ∴△ADE= ' 4 _(2 3)Û`=3 3 ' ' 답 3 3 ' 0371 정삼각형ABC의한변의길이를x라하면ADÓ=6이므로 3` ' 2 x=6　　∴x=4 3 ' 3` △ABC= ' 4 _(4 3)Û`=12 3 ' ' 3` △AED= ' 4 _6Û`=9 3 ' 0372 정삼각형ABC의한변의길이가12이므로 3` ADÓ= ' 2 _12=6 3 ' ∴AGÓ= `ADÓ= _6 3=4 3 ;3@; ' ' ;3@; 3` ∴△AGE= ' 4 _(4 3)Û`=12 3 ' ' 0373 전략 점 D와 BCÓ에 대하여 대칭인 점을 D'이라 하면 APÓ+DPÓ 의 최솟값은 AD'Ó의 길이와 같다. 오른쪽그림과같이점D와BCÓ에대 하여대칭인점을D'이라하면 APÓ+DPÓ=APÓ+D'PÓ ¾AD'Ó  = 14Û`+10Û` " = '¶ =2 296 74  A 6 B 8   D 8 C 8 D′ P 10 '¶ 따라서APÓ+DPÓ의최솟값은2 74이다. '¶ 답 2 74 '¶ 46 정답과 해설                   0374 오른쪽그림과같이점B 와직선모양의강가에대 A 90 m yy㈏` 하여대칭인점을B'이라 하면구하는최단거리는 60 m AB'Ó의길이와같다. AB'Ó= 150Û`+200Û`  = 62500=250`(m) " '¶ 200 m 따라서A지점에서강가를거쳐B지점으로가는최단거리 는250`m이다. 답 250`m 0375 오른쪽그림과같이두점P,Q 와상자의변에 대하여대칭인 점을각각P',Q'이라하면개미 가지나간최단거리는P'Q'Ó의 길이와같다. ∴P'Q'Ó= 7Û`+9Û`= 130 " '¶ 3 5 P 2 2 P′ B 60 m 60 m B′ Q′ 2 2 Q 3 2 9 7 답 '¶ 130 0376  전략 △ABC=△PAB+△PBC+△PCA임을 이용한다. △ABC=△PAB+△PBC+△PCA이므로 _12Û`= _12_PDÓ+ _12_PEÓ+ _12+PFÓ ;2!; ;2!; ;2!; 36 3=6(PDÓ+PEÓ+PFÓ) ∴PDÓ+PEÓ+PFÓ=6 3`(cm) ' 답 6 3`cm ' 3` ' 4 ' 므로 ADÓ⊥BCÓ,BDÓ=CDÓ= BCÓ= _8=4 ;2!; ;2!; △ABD에서 ADÓ= (2 13)Û`-4Û`= 36=6 '¶ " 또△ABD에서 AEÓ：BEÓ=DAÓ：DBÓ=6：4=3：2 '¶ 답 12 3 ' ∴△EBD= 2 3+2 △ABD = _ ;5@; {;2!; _4_6 =  :ª5¢: } 답 :ª5¢: 0378 오른쪽그림과같이점E에서 BCÓ에내린수선의발을H라 A E 하면△EBF에서 3` EHÓ= ' 2 _4=2 ' ∴DCÓ=EHÓ=2 3cm ' 3(cm) B 점G에서CDÓ에내린수선의발을I라하면 3` △GCD에서GIÓ= ' 2 _2 3=3(cm) ' D  I C J G 60∞ F H 4 cm ∴△ABC+△AED=12 3+9 3=21 3 ' ' ' 답 21 3 ' 0377 이등변삼각형의꼭지각의이등분선은밑변을수직이등분하 점F에서GIÓ에내린수선의발을J라하면 0382 전략 BDÓ의 길이를 구한 후 BDÓ_CHÓ=BCÓ_CDÓ임을 이용 step3 내신 마스터 p.67~p.69 따라서구하는정삼각형의넓이는                        JFÓ=ICÓ= `DCÓ= _2 3= 3`(cm) ;2!; ;2!; ' ' 또∠GFJ=90ù-60ù=30ù이므로 △GFJ에서GJÓ：FJÓ=1： ' 3　　∴GJÓ=1(cm) GJÓ： 3=1： 3 ' ' ∴FCÓ=JIÓ=GIÓ-GJÓ=3-1=2(cm) 따라서BCÓ=BFÓ+FCÓ=4+2=6`(cm)이므로 ☐ABCD=BCÓ_DCÓ  =6_2 3=12 3(cmÛ`) ' ' 답 12 3`cmÛ` ' 0379 전략 가로의 길이를 a`cm, 세로의 길이를 2a`cm로 놓고 대각 선의 길이가 2 10`cm임을 이용한다. '¶ 가로의길이를acm라하면세로의길이는2acm이므로 aÛ`+(2a)Û`=2 " aÛ`=8　　∴a=2 '¶ 10,5aÛ`=40 2(∵a>0) ' 따라서구하는직사각형의둘레의길이는 2_(2 2+4 2)=12 2(cm) ' ' ' 답 ④ 0380 전략 먼저 정사각형의 한 변의 길이를 구한 후 ACÓ의 길이를 구한다. 정사각형의한변의길이를x라하면 ABÓ= (3x)Û`+(2x)Û`= 65 '¶ " 13xÛ`=65,xÛ`=5 5(∵x>0) ∴x= ' ∴ACÓ= (4 " ' 5)Û`+( 5)Û`= 85 ' '¶ 채점 기준 ㈎ ABÓ= 65임을 이용하여 정사각형의 한 변의 길이 '¶ 구하기 ㈏ ACÓ의 길이 구하기 이용한다. 한변의길이가6`cm인정사각형의대각선의길이는 6Û`+6Û`= 72=6 2`(cm) " 즉이정사각형에외접하는원의지름의길이가6 '¶ ' 므로원의넓이는 p_(3 2)Û`=18p`(cmÛ`) ' yy㈎ yy㈏ 답 '¶ 85 비율 50`% 50`% 2`cm이 ' 답 ③                한다. △BCD에서 BDÓ= 6Û`+2Û`= 40=2 10(cm) " '¶ 이때BDÓ_CHÓ=BCÓ_CDÓ에서 '¶ 2 10_CHÓ=6_2 '¶ ∴CHÓ= 12 10` 2 '¶ = 3 10` '¶ 5 (cm) 답 3 10` '¶ 5 `cm 0383 3` 전략 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이는 ' 2 a, 넓이는 3` ' 4 3` ' 2 aÛ`임을 이용한다. 정삼각형의한변의길이를x라하면 x=3 3　　∴x=6 ' 3` ' 4 _6Û`=9 3 ' 답 ② 0384 전략 점 G가 정삼각형 ABC의 무게중심이므로 AGÓ= ;3@; ANÓ 임을 이용한다. 점G는△ABC의무게중심이므로 `ANÓ=2　　∴ANÓ=3 ;3@; ANÓ은△ABC의높이이므로△ABC의한변의길이를a 라하면 3` ' 2 a=3　　∴a=2 3 ' ∴BNGM= ;3!;△ABC 3` ' 4 _ _ ;3!; [ = (2 3)Û` ' ] Lecture = 3 ' 답 ' 3 ① 삼각형의 세 중선은 한 점에서 만나 A 고, 이 점을 무게중심이라 한다. ② 삼각형의 무게중심은 세 중선의 길이를 F E 꼭짓점으로부터 각각 2：1로 나눈다. 　 ➡ AGÓ：GDÓ =BGÓ：GEÓ B C G D =CGÓ：GFÓ=2：1 ③ 삼각형의 세 중선에 의해 나누어지는 6개의 삼각형의 넓이는 모 　 ➡ △GAF=△GAE=△GBF=△GBD=△GCD =△GCE= ;6!;△ABC ④ 삼각형의 무게중심과 세 꼭짓점을 이어서 생기는 세 삼각형의 넓 이는 같다. 　 ➡ △GAB=△GBC=△GCA= ;3!;△ABC 3. 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 47 0381 전략 원의 지름의 길이는 정사각형의 대각선의 길이와 같음을 두 같다. 0385 전략 한 변의 길이가 x`cm인 정육각형의 넓이는 한 변의 길이 0388 전략 꼭짓점에서 밑변에 수선을 그은 후 삼각형의 높이를 구한 가 x`cm인 정삼각형 6개의 넓이의 합과 같다. 다. 오른쪽 그림과 같이 정육각형의 대 각선을 긋고 정육각형의 한 변의 길 이를 x`cm라 하면 정육각형은 한 변의 길이가 x`cm인 정삼각형 6개 x cm 60∞ 60∞60∞ 로 나누어지므로 6_ { 3` ' 4 _xÛ` =12 3 } ' 3 3` ' 2 xÛ`=12 3, xÛ`=8　　 ' ∴ x=2 2 (∵ x>0) ' yy ㈎ 따라서 정육각형의 한 변의 길이는 2 2`cm이다. yy ㈏ ' 채점 기준 ㈎ 정육각형이 정삼각형 6개로 이루어져 있음을 이용 하여 식 세우기 ㈏ 정육각형의 한 변의 길이 구하기 답 2 2`cm ' 비율 60`% 40`% 0386 전략 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 AHÓ의 길이를 구한다. 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 A BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 BHÓ=  BCÓ= _6=3 ;2!; ;2!; △ABH에서 AHÓ= " ∴ △ABC= 7Û`-3Û`= 40=2 10 '¶ '¶ '¶ _6_2 10 ;2!; =6 10 '¶ 7 7 B C H 6 답 6 10 '¶ 0387 전략 △ABC=△ABP+△APC임을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ A 에 내린 수선의 발을 H라 하면 BHÓ=  BCÓ= '¶ ;2!; 10` 2 △ABH에서 AHÓ= 5Û`- ¾± '¶ 10` 2 } { Û`= 3 10` '¶ 2 APÓ를 그으면 5 Q B 5 R C P H 10 △ABC=△ABP+△APC이므로 _ 10_ ;2!; '¶ 3 10` '¶ 2 ;2!; = _5_PQÓ+ _5_PRÓ ;2!; = (PQÓ+PRÓ)　　 :Á2°: ;2%; ∴ PQÓ+PRÓ=3 48 정답과 해설 20 m C H 21 m ⑴ 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하고 BHÓ=x`m 라 하면 13 m B CHÓ=(21-x)`m이므로 13Û`-xÛ`=20Û`-(21-x)Û` 169-xÛ`=400-441+42x-xÛ` 42x=210　　∴ x=5 ∴ AHÓ= 13Û`-5Û`=12`(m) " ∴ △ABC= ;2!; _21_12=126`(mÛ`) 따라서 땅의 넓이는 126`mÛ`이다. ⑵ 화단으로 만드는 데 드는 총 비용은 126_10000=1260000(원) 답 ⑴ 126`mÛ`　⑵ 126만 원 0389 전략 BCÓ의 길이를 구한 후 BCÓ △ABC에서 ACÓ：BCÓ=2： ' 3　　∴ BCÓ=6 12：BCÓ=2： ' 이때 BCÓ Û`=CDÓ_CAÓ이므로 (6 3)Û`=CDÓ_12, 108=12`CDÓ ' ∴ CDÓ=9`(cm) Û`=CDÓ_CAÓ임을 이용한다. 3 3`(cm) ' yy ㈎ yy ㈏ 답 9`cm 비율 50`% 50`% 채점 기준 ㈎ BCÓ의 길이 구하기 ㈏ CDÓ의 길이 구하기 △ABC에서 ACÓ：BCÓ=2： ' 3　　∴ BCÓ=6 12：BCÓ=2： 3 ' △BCD에서 BCÓ：CDÓ=2： ' 3　　∴ CDÓ=9`(cm) 6 3：CDÓ=2： ' 3 3`(cm) ' ' 0390 전략 꼭짓점 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 BHÓ：CHÓ：BCÓ=1： 3：2임을 이용한다. ' 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서 ABÓ C 에 내린 수선의 발을 H라 하면 △CHB에서 HBÓ：CBÓ=1：2이므로 6 cm HBÓ：6=1：2　　∴ HBÓ=3`(cm) CHÓ：CBÓ= CHÓ：6= ' 3：2이므로 ' 3：2　　∴ CHÓ=3 3`(cm) ' 60∞ B A H 4 cm 답 ③ _10_4 3=20 3 ' 답 20 3 ' 한다. 0395 전략 먼저 두 점 P, Q의 좌표를 구한 후 두 점 사이의 거리를 구 AHÓ=ABÓ-HBÓ=4-3=1`(cm)이므로 △CAH에서 1Û`+(3 ACÓ= " ∴△ABC= ' ;2!; 3)Û`= 28=2 7`(cm) '¶ ' ' ' _4_3 3=6 3`(cmÛ`) 답 ③ (1-0)Û`+(3-0)Û`= 10 '¶ {3-(-1)}Û`+(4-2)Û`= '¶ {-3-(-1)}Û`+{0-(-1 20=2 )}Û`= ③ ④ ⑤ " " " 5 ' 5 ' 따라서두점사이의거리를구한것으로옳은것은②이다. 답 ②                        0391 전략 점 A에서 CEÓ에 내린 수선의 발을 H라 하고 AHÓ의 길이 를 구한다. 오른쪽그림과 같이 점A에서 CEÓ에내린수선의발을H라하 E A 면 ACÓ=8,CEÓ=10, ∠ ACE=60ù 60∞ H 60∞ 60∞ 8 C 10 B D △ACH에서ACÓ：AHÓ=2： ' 3　　∴AHÓ=4 8：AHÓ=2： 3이므로 ' ∴△ACE= ;2!; 3 ' ' 0392 전략 두 꼭짓점 A, D에서 BCÓ에 각각 수선을 그은 후 특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 이용한다. 오른쪽그림과같이두꼭짓 A 2 cm D E F 45∞ C 점A,D에서BCÓ에내린수 선의발을각각E,F라하면 △ABE에서 ABÓ：BEÓ Ó=2：1이므로 4 cm 60∞ B 4：BEÓ=2：1　　∴BEÓ=2`(cm) ABÓ：AEÓ=2： 4：AEÓ=2： ' 3이므로 ' 3　　∴AEÓ=2 3`(cm) △DFC에서DFÓ：FCÓ=1：1이므로 2 3：FCÓ=1：1　　∴FCÓ=2 3`(cm) ' ' ' ∴BCÓ=2+2+2 3=4+2 3`(cm) ' ' ∴☐ABCD= _(ADÓ+BCÓ)_AEÓ 채점 기준 ㈎ BEÓ, AEÓ, FCÓ의 길이 구하기 ㈏ BCÓ의 길이 구하기 ㈐ ☐ABCD의 넓이 구하기 비율 60`% 10`% 30`% 전략 좌표평면 위의 두 점 (xÁ, yÁ), (xª, yª) 사이의 거리는 0393 " ① ② (xª-xÁ)Û`+(yª-yÁ)Û`이다. " (2-4)Û`+(-1-5)Û`= '¶ (-2-3)Û`+(-3-4)Û`= " 74 '¶ 40=2 10 '¶                             전략 좌표평면 위의 두 점 (xÁ, yÁ), (xª, yª) 사이의 거리는 (xª-xÁ)Û`+(yª-yÁ)Û`임을 이용하여 x에 대한 방정식을 세운 0394 " 다. 두점(3,-1),(-4,x)사이의거리가 65이므로 '¶ (-4-3)Û`+{x-(-1)}Û`= " 양변을제곱하면49+xÛ`+2x+1=65 65 '¶ xÛ`+2x-15=0,(x+5)(x-3)=0 ∴x=-5또는x=3 답 ①, ④ y=4xÛ`-8x-1=4(xÛ`-2x+1)-1-4  =4(x-1)Û`-5 ∴P(1,-5) y=4xÛ`-8x-1에x=0을대입하면 y=-1　　∴Q(0,-1) ∴PQÓ= (0-1)Û`+{-1-(-5)}Û`= " '¶ 17 답 ③ 0396  전략 정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 구한 후 높이를 구한다. ⑴△ABC는한변의길이가90`cm인정삼각형이다. ⑵△ABC의높이는  3` ' 2 _90=45 3`(cm) ' ' yy㈎ yy㈏ ⑶쌓아올린통나무에서지면으로부터가장꼭대기까지의 높이는15+45 3+15=30+45 3`(cm) 답 ⑴ 90`cm　⑵ 45 3`cm　⑶ (30+45 3)`cm ' ' ' K 4 E D A B H M J I C △ACE는정삼각형이다. 오른쪽그림과같이ADÓ와CEÓ의 교점을M이라하면 AMÓ은△ACE의높이이므로 3` AMÓ= ' 2 _(4+4+4)=6 3 ' 또DMÓ은△DKJ의높이이므로 3` DMÓ= ' 2 _4=2 3 ' ∴ADÓ=AMÓ+DMÓ=6 3+2 3=8 3 ' ' ' 답 8 3 ' 3. 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 49 ;2!; ;2!; ' = _(2+4+2 3)_2 3 ' ' =6 3+6=6( 3+1)`(cmÛ`) yy㈐ ' 0397 전략 △ACE는 정삼각형이므로 구하는 거리는 △ACE의 높이와 △DKJ의 높이의 합과 같다. △ACE에서 F 답 6( 3+1)`cmÛ` ' ∠ A=∠C=∠E=60ù이므로 G 4 4 L 4  4 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 3` △BCD= ' 4 aÛ` 0410 △BCD는한변의길이가a인정삼각형이므로 step 개념 마스터 p.72 ~p.73 답 2 29 '¶ 답 4 3 ' 답 2 답 3 0398 x= = 8Û`+4Û`+6Û`  116=2 29 '¶ 0399 x= 3_4=4 3 ' " '¶ ' 0400 "  4Û`+1Û`+xÛ`= 21에서16+1+xÛ`=21 '¶ xÛ`=4　　∴`x=2`(∵x>0) 3x=3 0401 ' 0402 (높이)= ' 3에서x=3 10Û`-6Û`= 64=8 '¶ 0403 (높이)= 8Û`-3Û`= 55 '¶ (부피)= _p_3Û`_ 55=3 55p '¶ '¶ (부피)= _p_6Û`_8=96p 답 높이 :`8, 부피 : 96p 0404 밑면의반지름의길이를r라하면 2p_6_ =2pr　　∴r=3 답 3 0405 (높이)= 6Û`-3Û`= 27=3 3 '¶ ' 0406 (부피)= _p_3Û`_3 3=9 3p ' ' 0407 △BCD에서BDÓ= 2_5 2=10 ' ' _10=5 답 3 3` ' 답 9 3 p '  BDÓ= ∴ BHÓ= ;2!; ;2!; △OBH에서OHÓ= 이등분한다. 13Û`-5Û`= 144=12 " '¶ 답 12 정사각형에서 두 대각선은 그 길이가 같고 서로 다른 것을 수직 0408 (부피)= _(5 2)Û`_12=200 ;3!; ' 답 200 " ;3!; " ;3!; " ;3!; 180 360 ∴(정사면체의부피)= _△BCD_AHÓ ;3!; 　 　 = ;3!; 3` _ ' 4 6` aÛ`_ ' 3 a = ' aÜ` 2` 12 답 ' 2` 12 aÜ` D H  4 9 답 4 5 ' D H  답 9 5 ' Q 8 p 0411 오른쪽전개도에서구하는최단 A 거리는BHÓ의길이와같다. ∴BHÓ= 8Û`+4Û`  = 80=4 5 ' B 5 C 3 G 0412 오른쪽전개도에서구하는최단 A 거리는BHÓ의길이와같다. ∴BHÓ= 18Û`+9Û`    = 405=9 5 '  B 12 C 6 G 는PQÓ의길이와같다. ∴PQÓ= (12p)Û`+(8p)Û`  = 208pÛ`=4 13p '¶ 0414 오른쪽전개도에서구하는최단거리는 PQÓ의길이와같다. ∴PQÓ= (6p)Û`+(6p)Û``  = 72pÛ`=6 2p ' P 12 p 답 4 13 p '¶ Q  6 p P 6 p 답 6 2 p ' " '¶ " '¶ " " " " 답 높이 : 55, 부피 : 3 '¶ 55 p '¶ 0413 오른쪽전개도에서구하는최단거리 0409 △BCD는한변의길이가a인정삼각형이므로 step 유형 마스터 p.74 ~ p.84 0415 전략 세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체의 대각선의 길이는 aÛ`+bÛ`+cÛ`임을 이용한다. " xÛ`+3Û`+( 39)Û`=8에서 '¶ " xÛ`+9+39=64,xÛ`=16 ∴x=4(∵x>0) 답 4 답 6 5`cm ' = ¾±;3@; 6` aÛ`= ' 3 a(∵a>0) 답 ' 6` 3 a 0416 직육면체의대각선의길이는  10Û`+4Û`+8Û`= 180=6 '¶ 5(cm) ' " 3` DMÓ= ' 2 a 점H는△BCD의무게중심이므로 DHÓ= DMÓ= ;3@; 3` _ ' 2 3` a= ' 3 a ;3@; △AHD에서 AHÓ=¾±aÛ`- { 3` ' 3 Û`` a } 50 정답과 해설                             ' =5 2+5+5  =5 2+10`(cm) ' ' 답 (5 2+10)`cm ' 0424 오른쪽그림과같이EGÓ를그으면 6Û`+6Û`=6  2`(cm) EGÓ= A 6 cm " AGÓ= " 6Û`+6Û`+6Û`=6 3`(cm) ' 0417 가로의길이를x라하면세로의길이는3x,높이는4x이므 로 xÛ`+(3x)Û`+(4x)Û`=2 26 " 26xÛ`=104,xÛ`=4 '¶ ∴x=2(∵x>0) 답 2 0418 DGÓ= AGÓ=  " 3Û`+4Û`= 25=5`(cm) '¶ 5Û`+3Û`+4Û`= 50=5 " ' ∴(△AGD의둘레의길이) '¶  2`(cm) 0419 전략 먼저 한 모서리의 길이가 a인 정육면체의 대각선의 길이 는 3 a임을 이용하여 정육면체의 한 모서리의 길이를 구한다. ' 정육면체의한모서리의길이를xcm라하면 3x=3　　∴x= ' 따라서정육면체의부피는 ' 3 ( 3)Ü`=3 3(cmÜ`) ' ' 답 3 3`cmÜ` ' 0420 정육면체의한모서리의길이를x`cm라하면  3x=6　　∴x=2 3 ' 따라서정육면체의겉넓이는 ' (2 3)Û`_6=12_6=72`(cmÛ`) ' 답 72`cmÛ` 0421 정육면체의한모서리의길이를x라하면 3　　∴x=2  3x=2 ' FHÓ= ' 2Û`+2Û`=2 2 " ' △BFH에서∠BFH=90ù이므로 △BFH= _2 2_2=2 2 ;2!; ' ' 답 2 2 ' 0422  전략 BDÓ를 긋고 BDÓ_BFÓ=DFÓ_BIÓ임을 이용한다. 오른쪽그림과같이BDÓ를그으면 A D BDÓ= 6Û`+8Û` = 100=10(cm) DFÓ= 6Û`+8Û`+10Û`   " '¶ " = 200=10 2(cm) '¶ ' △BFD에서∠DBF=90ù이므로 BDÓ_BFÓ=DFÓ_BIÓ 10_10=10 2_BIÓ ' ∴BIÓ=5 2(cm) ' B C I E 10 cm H 8 cm F 6 cm G 답 5 2`cm ' 0423 △AMDª△EMFª△GNFª△CND (SAS합동)이 므로MDÓ=MFÓ=NFÓ=NDÓ 즉DMFN은마름모이다.                                            두대각선의길이를각각구하면 FDÓ= 2Û`+2Û`+2Û`=2 3`(cm) " MNÓ=ACÓ= " ' ' 2Û`+2Û`=2 2`(cm) ∴DMFN= _FDÓ_MNÓ = _2 3_2 2 ' ' =2 6`(cmÛ`) ;2!; ;2!; ' ' yy㈎ △AEG에서∠AEG=90ù이므로 AEÓ_EGÓ=AGÓ_EMÓ 2=6 6_6 ' ∴EMÓ=2 3_EMÓ ' 6`(cm) ' 채점 기준 ㈎ EGÓ, AGÓ의 길이 구하기 ㈏ EMÓ의 길이 구하기 답 2 6`cmÛ` ' D H B F C M E G yy㈏ 답 2 6`cm ' 비율 50`% 50`% 0425  전략 먼저 △BGD가 어떤 삼각형인지 알아본다. 2(cm) BDÓ= 4Û`+4Û`=4 " ' BGÓ= " DGÓ= 4Û`+4Û`=4 ' 4Û`+4Û`=4 2(cm) 2(cm) " ' 따라서△BGD는한변의길이가4 3` ∴△BGD= ' 4 2)Û`=8 _(4 ' ' ' 2cm인정삼각형이다. 3(cmÛ`) 답 8 3`cmÛ` ' 0426 △ADC에서CD Ó= △CEF에서CEÓ=  " 따라서△CDE는이등변삼각형이므로 " 4Û`+3Û`= 4Û`+3Û`= '¶ 25=5(cm) 25=5(cm) '¶  DHÓ=EHÓ= DEÓ= _4=2(cm) ;2!; ;2!; △CDH에서CHÓ= 5Û`-2Û`= " '¶ 21(cm) 답 '¶ 21`cm 0427 ACÓ= 8Û`+8Û`=8 2(cm)이므로 ' AMÓ= ACÓ= _8 2=4 2(cm) ;2!; ' ' " ;2!; 오른쪽그림과같이AFÓ,CFÓ를그으 면△AFC는이등변삼각형이므로 ∠FMA=90ù 이때AFÓ= 8Û`+8Û`=8 2(cm) " ' 이므로 D H A M C E 8 cm G B F 4. 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 51 ∴(원뿔의부피)= _p_6Û`_6 3 ' ;3!; ' =72 3p`(cmÜ`) 답 72 3 p`cmÜ` ' 답 4 6`cm '                        △AFM에서 FMÓ= (8 2)Û`-(4 2)Û`  ' 96=4 ' 6(cm) ' " '¶ = 임을 이용한다. AFÓ=FCÓ=CAÓ  = 4Û`+4Û`=4 2`(cm) " '   ' 0428 전략 (삼각뿔 B-AFC의 부피)=(삼각뿔 A-BFC의 부피)  즉△AFC는한변의길이가4 2`cm인정삼각형이므로 3` △AFC= ' 4 _(4 2)Û`=8 3`(cmÛ`) ' ' (삼각뿔B-AFC의부피)=(삼각뿔A-BFC의부피)이 므로 _8 3_BIÓ= _ _4_4 _4 ;3!; {;2!; } ;3!; ' ∴BIÓ= `(cm) 4 3` ' 3 답 4 3` ' 3 `cm 0429 정육면체의한모서리의길이를a라하면  BGÓ=GDÓ=DBÓ= aÛ`+aÛ`= 2a ' 즉△BGD는한변의길이가 " 2a인정삼각형이므로 ' 3` ' 4 _( 2a)Û`=25 3 ' ' ' aÛ`=50　　∴a=5 2(∵ a>0) 답 5 2 ' 0430 BGÓ=GDÓ=DBÓ 3Û`+3Û`=3 = "  2`(cm) ' 즉△BGD는한변의길이가3 ' 3` ' 2 3` △BGD= ' 4 2)Û`= _(3 ' 9 (cmÛ`) 2cm인정삼각형이므로 이때꼭짓점C에서△BGD까지의거리를hcm라하면 (삼각뿔C-BGD의부피)=(삼각뿔B-CGD의부피)이 므로 _ ;3!; 9 3` ' 2 ∴h= 3 ' _h= _ ;3!; {;2!; _3_3 _3 } 따라서꼭짓점C에서△BGD까지의거리는 3`cm이다. ' 답 ' 3`cm 3임을 이용하여 원뿔의 밑 0431 전략 OAÓ :`AVÓ : VOÓ=1 :`2`: ' 면의 반지름의 길이와 높이를 구한다. △VOA에서 OAÓ：AVÓ=1：2이므로 OAÓ：12=1：2　　∴OAÓ=6(cm) AVÓ：VOÓ=2： 12：VOÓ=2： ' 3이므로 ' 3　　∴VOÓ=6 3(cm) ' 52 정답과 해설                     0432 오른쪽그림에서 13Û`-5Û` (높이)=   " '¶ = 144=12`(cm) 13 cm 13 cm 5 cm 5 cm ∴(원뿔의부피)= _p_5Û`_12 ;3!; 　 =100p`(cmÜ`) 답 100p`cmÜ` 0433 원뿔의밑면의반지름의길이를r라하면  prÛ`=8p,rÛ`=8 ∴r=2 2 (∵r>0) ' ∴(원뿔의높이)= 9Û`-(2 " ' 2)Û`= 73 '¶ 답 '¶ 73 0434 △ABC를1회전시킬때생기는입체도형 은오른쪽그림과같은원뿔이다. l A _p_6Û`_ACÓ=72 3p에서 ' ;3!; ACÓ=6 3 ' △ABC에서 ABÓ= 6Û`+(6 " 3)Û`= 144=12 ' '¶ ∴(원뿔의겉넓이)=p_6Û`+p_6_12  B 6 C =36p+72p =108p 답 108p 밑면인 원의 반지름의 길이가 r, 모선의 길이가 l인 원뿔의 겉넓 이는 (밑넓이)+(옆넓이)=prÛ`+prl 0435 △ABC를1회전시킬때생기는입체 도형은오른쪽그림과같다. 즉원뿔2개를밑면이맞닿게붙인것 이므로구하는입체도형의부피는원 뿔2개의부피의합과같다. 점C에서ABÓ에내린수선의발을H라하면 A H B 2 2 45∞ C 60∞ △AHC에서 AHÓ：ACÓ=1： ' 2=1： ' ' 2이므로 AHÓ：2 2　　∴AHÓ=2 또AHÓ：HCÓ=1：1이므로 2：HCÓ=1：1　　∴HCÓ=2 △CHB에서HCÓ：HBÓ= 2：HBÓ= 3：1　　∴HBÓ= ' ' 3：1이므로 3` ' 3 2 ∴(입체도형의부피) 　= _p_2Û`_2+ _p_2Û`_ ;3!; ;3!; 2 3` ' 3 　= p+ ;3*; 8 3` ' 9 p 　= 3`) 8(3+ 9 ' p 답 3) 8(3+ 9 ' p 0436 전략 먼저 밑면의 반지름의 길이를 구한 후 피타고라스 정리를 0437 옆면이반원이므로중심각의크기는180ù이고원뿔의모선 이용하여 원뿔의 높이를 구한다. 원뿔의밑면의반지름의길이를r라하면 2p_6_ =2pr　　∴r=2 ;3!6@0); 주어진전개도로만들어지는원뿔은오른쪽 그림과같으므로 (높이)= 6Û`-2Û`= 32=4 2 ' " ∴(원뿔의부피)= _p_2Û`_4 2 ' '¶ ;3!; = 2` 16 ' 3 p 의길이는 =4 ;2*; 원뿔의밑면의반지름의길이를r라하면 2p_4_ =2pr　　∴r=2 ;3!6*0); 주어진전개도로만들어지는원뿔은오른쪽 그림과같으므로 (원뿔의높이)= 4Û`-2Û`  " '¶ = 12=2 3 ' yy㈐ 채점 기준 ㈎ 원뿔의 모선의 길이 구하기 ㈏ 원뿔의 밑면의 반지름의 길이 구하기 ㈐ 원뿔의 높이 구하기 0438 원뿔의밑면의반지름의길이를r`cm라하면 2p_5_ =2pr　　∴r=3 ;3@6!0^; 만들어지는원뿔은오른쪽그림과같으 므로 (높이)= 5Û`-3Û`= 16=4`(cm) " ∴(원뿔의부피)= _p_3Û`_4 '¶ ;3!;  6 2 답 2` 16 ' 3 p yy㈎ yy㈏  4 2 ' 답 2 3 비율 20`% 30`% 50`% 5 cm 3 cm                       0439 부채꼴의반지름의길이를l`cm라하면 plÛ`_ =40p,lÛ`=100　　∴l=10(∵l>0) ;3!6$0$; 원뿔의밑면의반지름의길이를r`cm라하면 2p_10_ =2pr　　∴r=4 ;3!6$0$; 만들어지는원뿔은오른쪽그림과같으므 로 (원뿔의높이)= 10Û`-4Û`  " '¶ = 84=2 21`(cm) '¶ 10 cm 4 cm 답 2 21`cm '¶ 0440 전략 △OBH에서 피타고라스 정리를 이용하여 OHÓ의 길이 를 구한다. BDÓ= 8Û`+8Û`=8 2이므로 " ' _8 2=4 2 ;2!; ' ' BDÓ= BHÓ= ;2!; △OBH에서 OHÓ= " ∴△OBH= 12Û`-(4 2)Û`= 112=4 7 ' '¶ ' _BHÓ_OHÓ ;2!; = _4 2_4 7=8 14 ;2!; ' ' '¶ 답 8 14 '¶ 0441 BDÓ= 4Û`+4Û`=4 2`(cm)이므로 " ' _4 2=2 2`(cm) ;2!; ' ' yy㈎ BDÓ= BHÓ= ;2!; △OBH에서 OHÓ= 8Û`-(2 " 2)Û`= 56=2 14`(cm) ' '¶ '¶ yy㈏ ∴(정사각뿔의부피)= _ABCD_OHÓ ;3!; ;3!; = _4Û`_2 14 '¶ = 32 14` '¶ 3 `(cmÜ`) 채점 기준 ㈎ BHÓ의 길이 구하기 ㈏ OHÓ의 길이 구하기 ㈐ 정사각뿔의 부피 구하기 yy㈐ 답 32 14` '¶ 3 `cmÜ` 비율 30`% 30`% 40`% 0442 주어진전개도로만들어지는정사 각뿔은오른쪽그림과같다. 꼭짓점O에서밑면에내린수선의 발을H라하면 BDÓ= 10Û`+10Û`=10 2`(cm)이 ' " 므로 O 10 cm A B H 10 cm C D 10 cm                        4. 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 53 =12p`(cmÜ`) 답 12p`cmÜ` BHÓ= BDÓ= _10 2=5 2`(cm) ;2!; ' ' ;2!;                           △OBH에서 OHÓ= 10Û`-(5 " ' 2)Û`= 50=5 2`(cm) ' ∴(정사각뿔의부피)= _ABCD_OHÓ '¶ ;3!; ;3!; = _10Û`_5 2 ' = 2` 500 ' 3 `(cmÜ`) 답 2` 500 ' 3 `cmÜ` 0443 ①ACÓ= 6Û`+6Û`=6 " ' 2`(cm)이므로  CHÓ= ACÓ= _6 2=3 2(cm) ;2!; ;2!; ' ' ②△OHC에서 6Û`-(3  OHÓ= " ③△OAB에서 2)Û`= 18=3 2(cm) ' '¶ ' 3`  OEÓ= ' 2 _6=3 3(cm) ' ④(정사각뿔의겉넓이)=4△OAB+ABCD ⑤(정사각뿔의부피)= _ABCD_OHÓ _6Û` +6Û` } 3+1)(cmÛ`) 3` ' 4 { 3+36 =4_ =36 ' =36( ' ;3!; ;3!; = _6Û`_3 2 ' =36 2(cmÜ`) ' 오른쪽그림과같이두점Q,P에 Q 2 P 서ABÓ에 내린 수선의발을 각각 H,H'이라하면 2 3 2 3 AHÓ=BH'Ó= _(4-2)=1 ;2!; △QAH에서 QHÓ= (2 " ' 3)Û`-1Û`= 11 '¶ A H H′ B 4 ∴ABPQ= _(2+4)_ 11=3 11 ;2!; '¶ '¶ 답 3 11 '¶ 0446 전략 정삼각형 BCD에서 BEÓ는 높이이고, 점 H는 무게중심임 을 이용한다. 오른쪽그림과같이꼭짓점A에서 A  밑면에내린수선의발을H라하고 12 cm 꼭짓점B에서CDÓ에내린수선의 B D H E C 발을E라하면 △BCD가정삼각형이므로 3` BEÓ= ' 2 _12=6 3`(cm) ' 점H는△BCD의무게중심이므로 BHÓ= BEÓ= _6 3=4 3`(cm) ;3@; ' ' ;3@; △ABH에서 AHÓ= 12Û`-(4 " 3)Û`= 96=4 6`(cm) ' '¶ ' 답 4 6`cm ' 따라서옳지않은것은①,④이다. 답 ①, ④ 0447 정사면체의한모서리의길이를xcm라하면 2` ' 12 xÜ`= 2` 16 ' 3 ,xÜ`=64　　∴x=4 0444 정팔면체는모든모서리의길이가같은정사각뿔2개의밑 면을맞닿게붙인것과같으므로AFÓ의길이는모든모서리 6` ∴(높이)=' 3 _4= (cm) 4 6` ' 3 답 4 6` ' 3 `cm 의길이가8인정사각뿔의높이의2배이다. 오른쪽그림과같이정사각뿔의꼭 A 짓점A에서밑면에내린수선의 8 E " ;2!; 발을H라하면 BDÓ= 8Û`+8Û`=8 2이므로 ' BHÓ= BDÓ= _8 2=4 2 ;2!; ' ' △ABH에서 AHÓ= 8Û`-(4 " ' ∴AFÓ=2AHÓ=2_4 2=8 2)Û`= 32=4 '¶ ' 2 ' 2 ' B 8 H C D 8 답 8 2 ' 6` 0448 ⑴' 3 _OAÓ=6에서OAÓ=3 6(cm) ' 3` ⑵△OAB= ' 4 _(3 6)Û`= ' 3` 27 ' 2 (cmÛ`)  ∴(정사면체의겉넓이)=4_ 3` 27 ' 2 =54 3(cmÛ`) ' ⑶(정사면체의부피)=' _(3 6)Ü`=27 3(cmÜ`) ' ' 2` 12 ' 답 ⑴ 3 6`cm　⑵ 54 3`cmÛ`　⑶ 27 3`cmÜ` ' ' 0445 △VAD와△VBC는정삼각형이므로 3` AQÓ=BPÓ= ' 2 _4=2 3 '  △VDC에서두점Q,P는각각VDÓ,VCÓ의중점이므로 QPÓ= DCÓ= _4=2 ;2!; ;2!; 54 정답과 해설 3` 0449 ①CMÓ= ' 2 _6=3 3`(cm) ' ②점H는△ABC의무게중심이므로 　CHÓ= CMÓ= _3 3=2 3`(cm) ;3@; ;3@; ' ' ③△OHC에서 6Û`-(2  OHÓ= " 3)Û`= 24=2 6(cm) ' '¶ '                                           ④MHÓ= `CMÓ= _3 3= 3(cm) ;3!; ;3!; ' '  ∴△OMH= _MHÓ_OHÓ ;2!; = _ 3_2 6=3 2`(cmÛ`) ' ' ⑤△ABC는정삼각형이므로 ' ;2!; 3` △ABC= ' 4 _6Û`=9 3`(cmÛ`) ' 따라서옳은것은④이다. 답 ④ 0450 △BCD가정삼각형이므로 3` DEÓ= ' 2 3` ' 2 _9= 9  점H는△BCD의무게중심이므로 DHÓ= DEÓ= _ ;3@; ;3@; 9 3` ' 2 =3 3 ' △AHD에서 9Û`-(3 AHÓ= " 3)Û`= 54=3 6 '¶ ' ∴△AHD= _DHÓ_AHÓ ' ;2!;  = _3 3_3 6= ;2!; ' ' 2` 27 ' 2  답 2` 27 ' 2 0451 오른쪽그림과같이꼭짓점A에서 밑면에내린수선의발을H라하면 A 10 △BCD가정삼각형이므로 3` DMÓ= ' 2 _10=5 3 yy㈎ ' B 점H는△BCD의무게중심이므로 3` DHÓ= DMÓ= _5 3= ;3@; ;3@; ' 10 ' 3 △AHD에서  D H M C AHÓ=¾±10Û`- { 3` 10 ' 3 } Û``= ¾± 200 3 = 6` 10 ' 3  yy㈏ ∴△AMD= _DMÓ_AHÓ ;2!; = _5 3_ ;2!; ' 6` 10 ' 3 =25 2 ' 채점 기준 ㈎ DMÓ의 길이 구하기 ㈏ AHÓ의 길이 구하기 ㈐ △AMD의 넓이 구하기 yy㈐ 답 25 2 ' 비율 30`% 40`% 30`% 0452 ①ANÓ과BNÓ은한변의길이가4 로ANÓ=BNÓ이다. '   즉△NAB는이등변삼각형이다. 3인정삼각형의높이므                           ②이등변삼각형NAB의꼭짓점N과밑변AB의중점M 을잇는선분은밑변에수직이므로  ∠NMB=90ù ③BNÓ은한변의길이가4 3인정삼각형의높이이므로 ' 3` 　BNÓ= ' 2 _4 3=6 ' ④MBÓ= ABÓ= _4 3=2 3 ;2!; ' ' ;2!;  △NMB에서  NMÓ= 6Û`-(2 " 3)Û`= 24=2 6 ' '¶ ' ⑤△NAB= _4 3_2 6=12 2 ;2!; ' ' ' 따라서옳지않은것은④이다. 답 ④ 0453 AGÓ：GMÓ=2：1이므로AGÓ：AMÓ=2：3` 3 3：AMÓ=2：3　　∴AMÓ= ' 정사면체의한모서리의길이를x`cm라하면AMÓ은정삼 `(cm) 9 3` ' 2 각형ABC의높이이므로 3` ' 2 x= 9 3` ' 2 　　∴x=9 오른쪽그림과같이OGÓ를그 O 으면△OGA에서 ∠ OGA=90ù이므로 OGÓ= 9Û`-(3 " '¶ = 54=3  3)Û` ' 6`(cm) ' ∴(정사면체의부피) B M G C A 3 3 cm 　= _△ABC_OGÓ ;3!; 　= _ { ;3!; _9Û` _3 6 } ' 3` ' 4 　= 2` 243 ' 4 `(cmÜ`) 3` 0454 BPÓ=BQÓ= ' 2 _8=4 3`(cm) ' PQÓ= ACÓ= _8=4`(cm) ;2!; ;2!; 즉△BQP는이등변삼각형이다. 오른쪽그림과같이점B에서PQÓ에내 린수선의발을H라하면 답 2` 243 ' 4 `cmÜ` 4 cm H Q P 4 3 cm B = _4=2`(cm) PHÓ= `PQÓ ;2!; ;2!; △BHP에서 BHÓ= " ∴△BQP= (4 ' 3)Û`-2Û`= 44=2 11`(cm) '¶ '¶ _4_2 11 '¶ =4 11`(cmÛ`) ;2!; '¶ 답 4 11`cmÛ` '¶ 4. 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 55               0455 전략 피타고라스 정리를 이용하여 단면인 원의 반지름의 길이 0461 오른쪽전개도에서구하는최단거리는 단면인원의반지름의길이를rcm라하면 를 구한다. r= 10Û`-7Û`= 51 '¶ " ∴(단면인원의넓이)=p_( 51)Û``  '¶ =51p(cmÛ`) 답 51p`cmÛ` AD'Ó의길이와같다. ∴AD'Ó= 8Û`+4Û` ` " '¶ = 80=4 5 ' 0456 단면인원의반지름의길이를rcm라하면  prÛ`=48p　　∴r=4 3(∵ r>0) ' 따라서구의반지름의길이는 (4 3)Û`+4Û`= 64=8`(cm) " ' '¶ 0462 전략 필요한 부분의 전개도를 그려 실의 최소 길이를 전개도에 나타내어 본다. 오른쪽 전개도에서 구하는 실의 최소 B 답 8`cm 길이는AB'Ó의길이와같다. 0457 수면의반지름의길이를r`m라하면  10Û`-5Û`= 75=5 r= 3 " ' ∴(수면의넓이)=p_(5 '¶ 3)Û`  ' =75p`(mÛ`) ∴AB'Ó= (4p)Û`+(3p)Û`  A " " = 25pÛ`=5p 4 p 답 5p 0463 오른쪽전개도에서최단거리는AB'Ó B  의길이와같으므로 답 75p`mÛ` ABÓ= (13p)Û`-(12p)Û` " " = 25pÛ`=5p A 13 p 12 p 답 5p 0458 전략 필요한 부분의 전개도를 그려 최단 거리와 길이가 같은 선분을 찾는다. 오른쪽전개도에서구하는최단거리는FDÓ A B 의길이와같다. ∴FDÓ= 2Û`+(4 2)Û` ' " '¶ = 36=6 0464 오른쪽전개도에서구하는실의 최소길이는PQ''Ó의길이와같 다. ∴PQ''Ó= (24p)Û`+(7p)Û`  " " = 625pÛ`=25p Q P Q′ 12 p P′ 12 p 답 25p F 2 G 0465 밑면인원의둘레의길이는2p_15=30p(cm) ∴µ PA=30p_ =15p(cm) ;2!; 또AMÓ= ABÓ= _16p=8p`(cm)이므로 ;2!; ;2!; 0459 오른쪽전개도에서구하는최단거 A B C D 오른쪽전개도에서구하는최단 P 15 cm p A 리는AHÓ의길이와같다. yy㈎ ∴AHÓ= 5Û`+10Û`  " '¶ = 125=5 5 yy㈏ ' E 3 F 4 G 3 H 거리는PMÓ의길이와같다. ∴PMÓ= (15p)Û`+(8p)Û` = 289pÛ`=17p`(cm) Q D 2 C 3 2 답 6 5 답 5 5 ' 비율 50`% 50`% 채점 기준 ㈎ 전개도에 최단 거리 나타내기 ㈏ 최단 거리 구하기 " " " '¶ 0466 오른쪽전개도에서 구하는 이 동거리는ACÓ의길이와같다. ∴ACÓ= 10Û`+3Û`  = 109(m) A 10 m 0460 오른쪽전개도에서구하는최단 A 거리는AD'Ó의길이와같다. B4 5 C 6  A′ ∴AD'Ó= 8Û`+15Û` " '¶ = 289=17 8 D E F D′ 답 17 0467  전략 먼저 옆면의 전개도인 부채꼴의 중심각의 크기를 구한다. 옆면의전개도인부채꼴의중심각의크기를xù라하면 2p_12_ x 360 =2p_4　　∴x=120 56 정답과 해설 A 2 B 2 F 2 E 2 A′ 4 D′ 답 4 5 ' D  C G H B′ 3 p A′ B′ A′  Q″ 7 p P″ 8 cm p M B 답 17p`cm 3 m C B 답 '¶ 109`m                  오른쪽 전개도에서 구하는 최단 거리는 AA'Ó의 길이와 같다. 점 O에서 AA'Ó에 내린 수선의 발 12 cm A O 60∞ H A′ 0471 EGÓ= 4Û`+4Û`=4 2이므로 ' OEÓ= EGÓ= _4 2=2 2 ;2!; ' ' " ;2!; 을 H라 하면 ∠AOH=120ù_ =60ù ;2!; △OAH에서 OAÓ：AHÓ=2： ' 3　　∴ AHÓ=6 12：AHÓ=2： ' ∴ AA'Ó=2AHÓ=2_6 3=12 ' ' 3이므로 3`(cm) ' 3`(cm) 답 12 3`cm ' 0468 옆면의 전개도인 부채꼴의 중심각의 크기를 xù라 하면 2p_8_ x 360 =2p_2　　∴ x=90 yy ㈎ 오른쪽 전개도에서 구하는 실의 O 최소 길이는 AA'Ó의 길이와 같 8 cm A A′ 다. 이때 △OAA'은 직각이등변삼 각형이므로 AA'Ó = 8Û`+8Û`=8 2 (cm) " ' 채점 기준 ㈎ 옆면의 전개도인 부채꼴의 중심각의 크기 구하기 50`% ㈏ 실의 최소 길이 구하기 yy ㈏ 답 8 2`cm ' 비율 50`% 0469 옆면의 전개도인 부채꼴의 중심각의 크기를 xù라 하면 2p_16_ x 360 =2p_4　　∴ x=90 오른쪽 전개도에서 구하는 최단 A 거리는 BMÓ의 길이와 같다. 16 cm 이때 △ABM은 직각삼각형이 므로 B BMÓ= 16Û`+8Û`= 320=8 5`(cm) " '¶ ' 답 8 5`cm ' 0470 전략 먼저 △PAG가 어떤 삼각형인지 알아본다. 점 P가 CDÓ의 중점이므로 DPÓ=CPÓ=1 cm △APD에서 PAÓ= △CGP에서 PGÓ= AGÓ= 2Û`+2Û`+2Û`=2 2Û`+1Û`= " 2Û`+1Û`= " ' 3 (cm) 5 (cm) ' 5 (cm) " ' 즉 △PAG는 PAÓ=PGÓ인 이등변삼각형이다. 오른쪽 그림과 같이 점 P에서 AGÓ P 에 내린 수선의 발을 I라 하면 △AEO에서 OAÓ= " 같은 방법으로 OBÓ=2 등변삼각형이다. 4Û`+(2 2)Û`= 24=2 6 ' '¶ ' 6이므로 △OAB는 OAÓ=OBÓ인 이 ' 오른쪽 그림과 같이 점 O에서 ABÓ에 내린 O 수선의 발을 I라 하면 _4=2 ;2!;  ABÓ= AIÓ= ;2!; △OAI에서 (2 OIÓ= " ∴ △OAB= ' 6)Û`-2Û`= 20=2 5 '¶ ' _4_2 5=4 5 ' ' ;2!; 2 6 A 2 6 B I 4 답 4 5 ' 0472 오른쪽 그림과 같이 PFÓ를 그으면 A 8 cm D 8Û`+4Û`= 80=4 5`(cm) '¶ ' △BFP에서 PFÓ = " △PFQ에서 PQÓ = (4 5)Û`+4Û` 6`(cm) ' 96=4 " '¶ ' = P B F E Q R H C G 같은 방법으로 QRÓ=4 6`cm, RPÓ=4 ' 6`cm이므로 △PQR ' 는 PQÓ=QRÓ=RPÓ인 정삼각형이다. 3` ∴ △PQR= ' 4 _(4 6)Û`=24 3`(cmÛ`) 답 24 3`cmÛ` ' ' ' 0473 전략 (원뿔대의 부피)=(큰 원뿔의 부피)-(작은 원뿔의 부피) 8 cm M B′ 임을 이용한다. 오른쪽 그림에서 △ABC»△ADE (AA 닮음) 이므로 A C E B D 10 cm ABÓ：ADÓ=BCÓ：DEÓ=1：2 13 cm 5 cm ABÓ：(ABÓ+13)=1：2 ∴ ABÓ=13`(cm) △ABC에서 ACÓ= 이때 ACÓ：AEÓ=1：2에서 13Û`-5Û`= " '¶ 144=12`(cm) 12：AEÓ=1：2　　∴ AEÓ=24`(cm)　 ∴ (원뿔대의 부피)= _p_10Û`_24- _p_5Û`_12 ;3!; ;3!; =800p-100p =700p`(cmÜ`) 답 700p`cmÜ` cm5 A cm5 G 0474 오른쪽 그림에서 △ABC»△ADE (AA 닮음) 이므로 AIÓ= AGÓ= _2 3= 3 (cm) ;2!; ' ' ;2!; I 2 3 cm △PAI에서 PIÓ= ( " ' 5)Û`-( 3)Û`= 2 (cm) ' ' ∴ △PAG= _2 3_ 2= 6 (cmÛ`) ' ' ' ;2!; 답 ' 6`cmÛ` ABÓ：ADÓ=BCÓ：DEÓ=1：2 ABÓ：(ABÓ+3 5)=1：2 ' ∴ ABÓ=3 5 ' A C E B 3 6 3 5 D 4. 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 57  △ABC에서 ACÓ= 이때 ACÓ：AEÓ=1：2에서 (3 " ' 5)Û`-3Û`= 36=6 '¶ 6：AEÓ=1：2　　∴ AEÓ=12　　 ∴ (원뿔대의 부피)= _p_6Û`_12- _p_3Û`_6 ;3!; ;3!; =144p-18p =126p 답 126p 0475 원뿔대의 아랫면의 반지름의 길이를 rÁ, 윗면의 반지름의 길 이를 rª라 하면 2prÁ=18p에서 rÁ=9 2prª=6p에서 rª=3 오른쪽 그림에서 △ABC»△ADE (AA 닮음) 이므로 ABÓ：ADÓ=BCÓ：DEÓ=1：3 ABÓ：(ABÓ+10)=1：3 ∴ ABÓ=5 △ABC에서 ACÓ= 이때 ACÓ：AEÓ=1：3에서 5Û`-3Û`= " '¶ 16=4 4：AEÓ=1：3　　∴ AEÓ=12 A B 10 C3 D 9 E yy ㉠ yy ㉡ 0478 OHÓ=x라 하면 AOÓ=COÓ=6이므로 △OHC에서 HCÓ △AHC에서 HCÓ ㉠, ㉡에서 6Û`-xÛ`=(4 Û`=6Û`-xÛ` Û`=(4 36-xÛ`=96-36-12x-xÛ` 6)Û`-(6+x)Û` ' 6)Û`-(6+x)Û` ' 12x=24　　∴ x=2 ∴ AHÓ=AOÓ+OHÓ=6+2=8 △OHC에서 HCÓ= 6Û`-2Û`= " '¶ 32=4 2 ' ∴ (원뿔의 부피)= _p_(4 2)Û`_8 ;3!; ' = 256 3 p 답 256 3 p 0479 전략 최단 거리를 전개도에 나타내어 본다. 오른쪽 전개도에서 구하는 최단 V 거리는 AA'Ó의 길이와 같다. 5 2 cm VAÓ=VBÓ이므로 ∠AVB =180ù-(75ù+75ù) 30∞ 75∞ A A′ B C =30ù △VABª△VBCª△VCA' (SSS 합동)이므로 ∠AVA'=30ù_3=90ù ∴ AA'Ó = (5 2)Û`+(5 2)Û`= 100=10`(cm) " ' ' '¶ 따라서 원뿔대의 높이는 AEÓ-ACÓ=12-4=8 답 8 답 10`cm 0476 전략 HCÓ=¿¹OCÓ 세운다. Û`-OHÓ Û`=¿¹ACÓ Û`-AHÓ Û` 임을 이용하여 식을 0480 오른쪽 전개도에서 구하는 최단 거리는 AA'Ó의 길이와 같다. ∠APB=30ù이므로 ∠APA'=30ù_4=120ù 또 PAÓ=PA'Ó이므로 A 4 B P E C A′ D yy ㉠ yy ㉡ OHÓ=x라 하면 AOÓ=COÓ=6이므로 △OHC에서 HCÓ △AHC에서 HCÓ ㉠, ㉡에서 6Û`-xÛ`=(2 Û`=6Û`-xÛ` Û`=(2 30)Û`-(6+x)Û` '¶ 30)Û`-(6+x)Û` '¶ 36-xÛ`=120-36-12x-xÛ` 12x=48　　∴ x=4 ∴ AHÓ=AOÓ+OHÓ=6+4=10 △OHC에서 HCÓ= 6Û`-4Û`= 20=2 5 ' ∴ (원뿔의 부피)= _p_(2 5)Û`_10 " ;3!; '¶ ' 0477 △OHC에서 OHÓ= 5Û`-3Û`= " 16=4`(cm) '¶ ∴ AHÓ=AOÓ+OHÓ=5+4=9`(cm) ∴ (원뿔의 부피)= _p_3Û`_9 ;3!; 58 정답과 해설 ∠PAA'= _(180ù-120ù)=30ù ;2!; 이때 PCÓ와 AA'Ó의 교점을 E라 하면 ∠APE=60ù, ∠AEP=90ù이므로 △PAE에서 PAÓ：AEÓ=2： ' 3　　∴ AEÓ=2 4：AEÓ=2： 3 3 ' △PAEª△PA'E (SAS 합동)이므로 A'EÓ=AEÓ=2 3 ' ' = 200 3 p 답 200 3 p ∴ AA'Ó=AEÓ+A'EÓ=2 3+2 3=4 3 ' ' ' 답 4 3 ' 0481 오른쪽 전개도에서 구하는 최 단 거리는 BMÓ의 길이와 같 다. OAÓ=x cm라 하고 부채꼴 B 의 중심각의 크기를 yù라 하면 x cm A O y∞ A′ 8 cm M B′ 원뿔대의 두 밑면의 반지름의 길이의 비가 1：3이므로 =27p`(cmÜ`) 답 27p`cmÜ` x：(x+8)=1：3　　∴ x=4                    ¨ AA'=2p_1=2p(cm)이므로 2p_4_ =2p　　∴y=90 ;36}0; 즉△OBM은직각삼각형이므로 (4+8)Û`+(4+4)Û` BMÓ =  " '¶ = 208=4 13(cm) '¶ 채점 기준 ㈎ AMGN이 마름모임을 알기 ㈏ AGÓ, MNÓ의 길이 구하기 ㈐ AMGN의 넓이 구하기 비율 30`% 40`% 30`% 답 4 13`cm '¶ Lecture ⑴ 마름모 : 네 변의 길이가 같은 사각형 ⑵ 마름모의 성질 : 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다. step3 내신 마스터 p.85 ~ p.87 0487  전략 CHÓ를 긋고 ∠BCH=90ù임을 이용한다. 오른쪽그림과같이CHÓ를그으면 A 0482  전략 정육면체와 직육면체의 대각선의 길이를 알아본다. ⑤세모서리의길이가각각a,b,c인직육면체의대각선의 길이는 aÛ`+bÛ`+cÛ`이다. " 답 ⑤ 0483 전략 세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체의 대각선의 길이는 aÛ`+bÛ`+cÛ`임을 이용한다. " GHÓ=xcm라하면 5 2= 3Û`+xÛ`+4Û` " ' 50=9+xÛ`+16,xÛ`=25　　∴x=5`(∵x>0) ∴GHÓ=5`cm 답 5`cm 0484  전략 피타고라스 정리를 이용하여 FHÓ의 길이를 구한다. 3Û`+2Û`= 13(cm)이므로 '¶ FHÓ= " △DFH= _ 13_2= 13(cmÛ`) ;2!; '¶ '¶ 답 ③ 0485 전략 축구공의 지름의 길이는 정육면체의 한 모서리의 길이와 같다. 정육면체의한모서리의길이를xcm라하면 3x=30　　∴x=10 ' 즉축구공의지름의길이는10 ' 3 름의길이는5 3cm이다. ' 3cm이므로축구공의반지 ' 답 5 3`cm ' 므로 0486  전략 먼저 AMGN이 어떤 사각형인지 알아본다. AMÓ=MGÓ=GNÓ=NAÓ= " 즉AMGN은마름모이다. 10Û`+5Û`= 125=5 5 '¶ ' yy㈎ 이때AMGN의두대각선의길이를구하면 CHÓ= 12Û`+12Û`=12 2 ' BHÓ= 12Û`+12Û`+12Û`=12 3 " " ' 꼭짓점 C에서 대각선 BH에 내린 수선의발을I라하면 B F C D H E I 12 G ∠ BCH=90ù이므로△BHC에서 BCÓ_CHÓ=BHÓ_CIÓ,12_12 2=12 3_CIÓ ' ' ∴CIÓ=4 6 ' 이다. 따라서꼭짓점C에서대각선BH에이르는최단거리는4 6 ' ' 답 4 6 0488 전략 ABÓ의 길이는 세 모서리의 길이가 각각 6, 2, 4인 직육면 체의 대각선의 길이와 같다. ABÓ의길이는가로의길이,세로의길이,높이가각각6,2,4 인직육면체의대각선의길이와같으므로 ABÓ= 6Û`+2Û`+4Û`= 56=2 14 '¶ '¶ " 답 2 14 '¶ 0489 전략 (삼각뿔 C-BGD의 부피)=(삼각뿔 B-CGD의 부피) 임을 이용한다. BGÓ=GDÓ=DBÓ= 6Û`+6Û`=6 2`(cm) " ' 즉△BGD는정삼각형이므로 3` △BGD= ' 4 2)Û`=18 _(6 ' ' 3`(cmÛ`) yy㈎ 이때꼭짓점C에서△BGD까지의거리를h`cm라하면 (삼각뿔C-BGD의부피)=(삼각뿔B-CGD의부피)이 _18 3_h= _ _6_6 _6 ;3!; {;2!; } ;3!; yy㈏ ' ' ∴h=2 3` 따라서꼭짓점C에서△BGD까지의거리는2 3`cm이다.                    ' yy㈐ 답 2 3`cm ' 비율 30`% 50`% 20`% 4. 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 59 AGÓ= " MNÓ=FHÓ= 10Û`+10Û`+10Û`=10 3 ' 10Û`+10Û`=10 " 2 ' ∴AMGN= _10 3_10 2 ;2!; ' ' =50 6 ' yy㈏ yy㈐ 답 50 6 ' 채점 기준 ㈎ △BGD의 넓이 구하기 ㈏ (삼각뿔 C-BGD의 부피)=(삼각뿔 B-CGD의 부피)임을 이용하여 식 세우기 ㈐ 꼭짓점 C에서 △BGD까지의 거리 구하기 0490 전략 피타고라스 정리를 이용하여 밑면의 반지름의 길이를 구 한다. 원뿔의밑면의반지름의길이를r`cm라하면 r= 12Û`-(3 15)Û`= 9=3 '¶ ' " ∴(원뿔의부피)= _p_3Û`_3 15 '¶ ;3!; '¶ =9 15p`(cmÜ`) 답 9 15 p`cmÜ` '¶ 다. ⑤(부피)= _4_4_2 7= (cmÜ`) ;3!; 7` 32 ' 3 ' 따라서옳은것은⑤이다. 답 ⑤ 0494 전략 (정팔면체의 부피)=2_(정사각뿔의 부피)임을 이용한                             0491  전략 먼저 피타고라스 정리를 이용하여 BDÓ의 길이를 구한다. △ABC를1회전시킬때생기는입 체도형은오른쪽그림과같다. l A BDÓ= 15Û`-12Û`= " '¶ ∴(입체도형의부피) 81=9 =(큰원뿔의부피) 15 B 6 C 6 D -(작은원뿔의부피) = _p_9Û`_12- _p_9Û`_6 ;3!; ;3!; =324p-162p =162p 답 ① 0492 전략 먼저 원뿔 모양의 용기의 밑면의 반지름의 길이를 구한 후 피타고라스 정리를 이용하여 높이를 구한다. 원뿔의밑면의반지름의길이를r`cm라하면 2p_9_ =2pr　　∴r=3 120 360 이때원뿔의높이는 9Û`-3Û`= 72=6 2`(cm) '¶ ' " ∴(원뿔의부피)= _p_3Û`_6 2=18 2p`(cmÜ`) ;3!; ' ' 한편아이스크림의가격이 2p`cmÜ` 당200원이므로이용 ' 기에담겨진아이스크림의판매가격은 18_200=3600(원) 답 3600원 0493  전략 점 H는 ACÓ와 BDÓ의 교점이다. ①ACÓ= 4Û`+4Û`=4 " ' 2`(cm)이므로  CHÓ= ACÓ= _4 2=2 2(cm) ;2!; ;2!; ' ' ②△OHC에서  OHÓ= 6Û`-(2 2)Û`= 28=2 7(cm) " ' ③△OAB는이등변삼각형이므로 　오른쪽그림과같이점O에서ABÓ에 '¶ ' 　내린수선의발을I라하면  AIÓ= ABÓ= _4=2`(cm) ;2!; ;2!; 6Û`-2Û`=  OIÓ= "  ∴△OAB= '¶ ;2!; _4_4 2=8 2(cmÛ`) 32=4 2(cm) ' ' ' ' '¶ ④△OAH= _2 2_2 7=2 14(cmÛ`) ;2!; ' O 6 cm 6 cm A B I 4 cm 60 정답과 해설                        주어진정팔면체는모든모서리의길이가2 6`cm인정사각 ' 뿔2개의밑면을맞닿게붙인것과같다. 오른쪽그림의정사각뿔에서 A BDÓ= 2_2 6=4 3`(cm) ' ' ' 2 6 cm ∴BHÓ= BDÓ ;2!; ;2!; = _4 3=2 3`(cm) ' ' B D E H C △ABH에서 AHÓ= (2 6)Û`-(2 3)Û`= 12=2 3`(cm) '¶ ' " ' 이때정사각뿔의부피는 ' _BCDE_AHÓ= _(2 6)Û`_2 3 ;3!; ' ' ;3!; =16 3`(cmÜ`) ' 따라서구하는정팔면체의부피는 16 3_2=32 3`(cmÜ`) ' ' 0495 전략 먼저 APÓ, DPÓ를 그은 후 △APD가 어떤 삼각형인지 알 아본다. 오른쪽그림과같이APÓ,DPÓ를그 A 으면 6 cm Q 3` APÓ=DPÓ= ' 2 _6=3 3`(cm) ' B yy㈎ P 즉 △APD는APÓ=DPÓ인이등변 삼각형이므로PQÓ⊥ADÓ _6=3`(cm)이므로 ;2!; ADÓ= AQÓ= ;2!; △APQ에서 PQÓ= (3 " ' 3)Û`-3Û`= 18=3 2`(cm) '¶ ' yy㈐ 답 3 2`cm ' 채점 기준 ㈎ APÓ, DPÓ의 길이 구하기 ㈏ PQÓ⊥ADÓ임을 알기 ㈐ PQÓ의 길이 구하기 Lecture 이등변삼각형에서 (꼭지각의 이등분선) =(밑변의 수직이등분선) =(꼭짓점에서 밑변에 내린 수선) =(꼭짓점과 밑변의 중점을 잇는 선분) 답 ③ D C yy㈏ 비율 40`% 20`% 40`%                                               0496 전략 피타고라스 정리를 이용하여 단면인 원의 반지름의 길이 를 구한다. 단면인 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 r= 9Û`-6Û`= 45=3 " '¶ ∴ (단면인 원의 넓이) =p_(3 ' 5 5)Û`  '   5 삼각비 =45p`(cmÛ`)  답 ④ step 개념 마스터 0497 전략 필요한 부분의 전개도를 그려 최단 거리와 길이가 같은 선분을 찾는다. 오른쪽 전개도에서 구하는 최단 B C D   거리는 BHÓ의 길이와 같다. 5 cm ∴ BHÓ = 5Û`+12Û`    = 169=13`(cm) " '¶ F 8 cm G 4 cm H 0500 sin B= ACÓ ABÓ = =   ;5#; ;1¤0; 0501 cos B= = =   ;5$; ;1¥0; 답 ③ 0502 tan B= = =   ;4#; ;8^; 0498   전략 최단 거리를 전개도에 나타내어 본다. 오른쪽 전개도에서 실의 최소 길이 는  AB"Ó 의 길이와 같으므로  ∴ ABÓ = (9p)Û`-(8p)Û`    AB"Ó=9p " '¶ = 17p B A B′ 9 p 4 p A′ 4 p B″ A″ 0503 sin A= BCÓ ABÓ = =   ;5$; ;1¥0; 0504 cos A= = =   ;5#; ;1¤0; 답 '¶ 17p 0505 tan A= = =   ;3$; ;6*; 0499 전략 최단 거리를 이용하여 옆면의 전개도인 부채꼴의 중심각 의 크기를 구한다. 오른쪽 전개도에서 최단 거리   는 AA'Ó의 길이와 같으므로 AA'Ó=8 3`cm ' 점 O에서 AA'Ó에 내린 수선의  8 cm A O H 8 3 cm A′ 0506 ACÓ = = " '¶ 17Û`-8Û`    225=15  0507 sin A= BCÓ ABÓ =   ;1¥7; BCÓ ABÓ ACÓ BCÓ ACÓ ABÓ BCÓ ACÓ _8 3=4 3`(cm) ' ' 발을 H라 하면 ;2!; AHÓ=  AA'Ó= ;2!; △OAH에서 OAÓ：AHÓ=8：4 3=2： 3 ' ' 즉 ∠AOH=60ù이므로  ∠AOA'=2∠AOH=2_60ù=120ù 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 2p_8_ =2p_r　　∴ r= ;3*; 120 360 따라서 구하는 밑면의 반지름의 길이는  `cm이다. ;3*; Lecture 세 각의 크기가 각각 30ù, 60ù, 90ù인 직각삼각형 에서 세 변의 길이의 비는 1：' 3：2이다. 0508 cos A= ACÓ ABÓ =   ;1!7%; 0509 tan A= BCÓ ACÓ =   ;1¥5; 0510 답 ABÓ, DEÓ, AFÓ 0511 답 ABÓ, ADÓ, AFÓ 답 ;3*; `cm 0512 답 ACÓ, AEÓ, FGÓ 2 30∞ 3 60∞ 1 0513 답 ACÓ, BDÓ, BCÓ 0514 답 ACÓ, ADÓ, BCÓ 0515 답 BCÓ, ADÓ, BDÓ p.90   답 ;5#;  답 ;5$;   답 ;4#;  답 ;5$;  답 ;5#;  답 ;3$;  답 15 답 ;1¥7; 답 ;1!7%; 답 ;1¥5; 5. 삼각비 61 step 유형 마스터 p.91 ~ p.96 0516 전략 기준각에 따라 밑변의 길이, 높이가 달라진다. 45=3   C 5이므로  9Û`-6Û`= ACÓ= " '¶ ' 채점 기준 ㈎ ABÓ, BCÓ, CAÓ를 k를 사용하여 나타내기 ㈏ sin`B, sin`C의 값 구하기 ㈐ sin`B sin`C 의 값 구하기 비율 30`% 40`% 30`%                                 3 5 6 A B 9 ① sin A= ② cos A= ③ tan A= ④ sin B= ;9^; 3 = ;3@; 5` ' 9 3 3 6 5` ' 5` ' 9 5` = ' 3 2 = 5` ' 5 5` = ' 3 ⑤ cos B= = ;9^; ;3@; 따라서 옳은 것은 ④이다.  0517 ① sin A= , cos A= 이므로 sin A+cos A ② sin B= , cos B= 이므로 sin B+cos B ③ tan A= , tan B= 이므로 tan A+tan B ④ sin A= , tan B= 이므로 sin A+tan B ;cA; ;cB; ;bA; ;cA; ;cB; ;cB; ;cA; ;aB; ;aB; ;cB; ⑤ cos A= , sin B= 이므로 cos A=sin B 따라서 옳은 것은 ⑤이다.  답 ⑤ 0518 ⑴ ACÓ= 13Û`-5Û`= " '¶ 144=12 ⑵ sin A= , cos A= 이므로 ;1°3; ;1!3@;   sin A+cos A= + =   ;1!3&; ;1!3@; ;1°3;   답 ⑴ 12　⑵ ;1!3&; 0519 △ABD에서 ADÓ=4이므로  3Û`+4Û`=   25=5 BDÓ= " ADÓ BDÓ '¶ ;5$; sin x= = , cos x= ABÓ BDÓ = ;5#; ∴ sin x-cos x= - =   ;5!; ;5#; ;5$;  답 ;5!; 0520 ABÓ=2k, BCÓ=5k (k>0)라 하면   (5k)Û`-(2k)Û`= ACÓ= 21 k '¶ ¿¹ sin B= ACÓ BCÓ = '¶ 21 k` 5k = '¶ 21` 5 sin C= ABÓ BCÓ = 2k 5k = ;5@; ∴ sin B sin C = '¶ Ö ;5@; 21` 5 21` 5 = '¶ _ = '¶ ;2%; 21` 2 62 정답과 해설 0521 △ABC에서 BCÓ= 3Û`-1Û`= 8=2 2 ' ' "   BDÓ= `BCÓ= _2 2= 2 ;2!; ' ' ;2!; ∴ tan`x= BDÓ ABÓ 2` = ' 1 = 2  ' 답 ' 2 답 ④ 0522 전략 cos`B= 이므로 먼저 BCÓ의 길이와 cos`B의 값을 BCÓ ABÓ 이용하여 ABÓ의 길이를 구한다. cos`B= = 이므로 ABÓ=9 (cm) 6 ABÓ ;3@; ∴ ACÓ= 9Û`-6Û`= " '¶ 45=3 5 (cm)  '  답 3 5`cm ' 0523 sin`B= ACÓ 20 = 이므로 ACÓ=12 ;5#; ∴ BCÓ= 20Û`-12Û`= " '¶ 256=16 ∴ △ABC= ;2!; _16_12=96     ;5#; = 0524 cos B= BHÓ 15 △ABH에서 AHÓ= ∴ sin`C= AHÓ 13 =   "   ;1!3@; 이므로 BHÓ=9 15Û`-9Û`= 144=12 '¶ 0525 ①`tan`A= BCÓ 3 = 이므로 BCÓ=1 ;3!; ② △ABC= _3_1= ;2!; ;2#; 답 96 답 ;1!3@; ③ ACÓ= 3Û`+1Û`= " 　 3+1+ '¶ 10=4+ 10 이므로 △ABC의 둘레의 길이는 10 ④ sin`A= = '¶ BCÓ ACÓ ABÓ ACÓ '¶ 1 10` '¶ 3 10` '¶ = '¶ 10` 10 = 3 10` '¶ 10 yy ㈎ ⑤ cos`A= = 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.  답 ⑤ yy ㈏ 0526 tan`B= = 이므로 BCÓ=6 ;2!; 3 BCÓ yy ㈐ 답 '¶ 21` 2 ∴ CDÓ= `BCÓ= _6=3 ;2!; ;2!; △ADC에서 ADÓ= 3Û`+3Û`=3 2 ∴ sin x= CDÓ ADÓ = '   2` = ' 2 " 3 2` ' 3 2` 답 ' 2                         0527 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 A 6 7` ⑤ tan C= ' 3   C 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.  답 ④ cos`B= BHÓ 6 = ;3@; 이므로  B H 10 BHÓ=4 △ABH에서 AHÓ= 6Û`-4Û`= 20=2 5 '¶ ' " ∴ △ABC= ;2!; _10_2 5=10 5   ' '  답 10 5 ' cos`A= 인 직각삼각형 ABC를 그리 ;7%;                                         0528 전략 먼저 cos`A= ;3@; 를 만족하는 직각삼각형을 그린다. cos A= 인 직각삼각형 ABC를 그리  C ;3@; 면 오른쪽 그림과 같다. 3 이때 BCÓ= " 5` sin`A= ' 3 3Û`-2Û`= 5이므로 ' 5` , tan`A= ' 2 A B 2 5` ∴ 6 sin`A_tan`A=6_ ' 3 5` _ ' 2 =5  답 5 0529 ∠B=90ù이고 tan A= 인 직각 ;2!; 삼각형 ABC를 그리면 오른쪽 그림  과 같다.   yy ㈎ A 2 이때 ACÓ= 2Û`+1Û`= 5이므로 ' " 1 5` ' 5` = ' 5 5` ∴ sin A+cos A= ' 5 + 2 5` = 2 5` ' 5 = 3 5` ' 5   2 ' 5` ' 5 sin`A= , cos`A=   yy ㈏ 채점 기준 ㈎ tan`A= 을 만족하는 직각삼각형 그리기 ;2!; ㈏ sin`A, cos`A의 값 구하기 ㈐ sin`A+cos`A의 값 구하기 C 1 B yy ㈐ 답 3 5` ' 5 비율 30`% 40`% 30`% 0530 ∠B=90ù이고 sin A= 인 직각삼각형  ;4#; ABC를 그리면 오른쪽 그림과 같다.  이때 ABÓ= 4Û`-3Û`= 7이므로 " ' C 3 B 4 A 3 7` = 3 7` ' 7 7` ① cos A= ' 4 ② tan A= ' 7` ③ sin C= ' 4   ④ cos C= ;4#;                                             0531 7 cos`A-5=0에서 cos`A=   ;7%; C 7 면 오른쪽 그림과 같다. 이때 BCÓ= 7Û`-5Û`= 24=2 6이므로 '¶ ' tan`A= " 2 6` ' 5   A 5 B 답 2 6` ' 5 C 1 B C 3 B 답 ;3!; 답 1 C 2 B 0532 3`sin`A-1=0에서 sin`A=   ;3!; 3 sin`A= 인 직각삼각형 ABC를  A ;3!; 그리면 오른쪽 그림과 같다. 이때 ABÓ= 3Û`-1Û`= 8=2 2이므로  cos`A= , tan`A= 2 " 2` ' 3 ' ' 1 2` 2 ' 2` = ' 4 2 2` ' 3 2` _ ' 4 =   ;3!; ∴ cos`A_tan`A= 0533 tan A= 인 직각삼각형 ABC를 그 ;4#; " 리면 오른쪽 그림과 같다.  이때 ACÓ= 4Û`+3Û`= 25=5이므로 sin A= , cos A= ;5#; '¶ ;5$; A 4 ∴  (2 sin A+cos A)Û`- " " (sin A-2 cos A)Û`  = + ¾±{;5^; ;5$;} ¾±{;5#; ;5*;} - Û`-  =2-1=1  0534 sin A= 인 직각삼각형 ABC ;5@; 5 를 그리면 오른쪽 그림과 같다. 이때 ABÓ= 5Û`-2Û`= 21이므로 A '¶ cos A= '¶ , tan A= " 21` 5 1+cos`A_tan`A=1+ '¶ _ '¶ 2 21` 21` 5 = 2 21` '¶ 21 2 21` '¶ 21 =1+ = ;5@; ;5&; sinÛ``A+cosÛ``A= + ;2¢5; ;2@5!; =1 ∴  1+cos A_tan A sinÛ` A+cosÛ` A = Ö1= ;5&;   ;5&;  답 ;5&; 5. 삼각비 63 Û 0535 전략 닮은 직각삼각형에서 ∠A의 대응각에 대한 삼각비의 값 을 구한다. △ABC와 △EBD에서   ∠ B는 공통,  0539 △ABC와 △HBA에서  B는 공통,   ∠ A  ∠ BAC=∠BHA=90ù이므로 B 12 A x 5 C x H ∠BCA=∠BDE=90ù이므로 △ABC»△EBD (AA 닮음)   ∴ ∠BAC=∠BED D 4 B 5 E C 이때 DEÓ= 5Û`-4Û`= " ' 9=3이므로 sin A+cos A=sin (∠BED)+cos`(∠BED) = + =   ;5&; ;5#; ;5$;  답 ;5&; 0536 △ABC와 △EDC에서  C는 공통,   ∠  ∠ CAB=∠CED=90ù이므로 A 4 x B D 8 x E C  △ABC»△EDC (AA 닮음)   ∴ ∠ABC=∠EDC=x 이때 BCÓ= 4Û`+8Û`= " '¶ 80=4 5이므로 sin x=sin B= = 2 ' 5` ' 5   8 5` ' 4 답 2 5` ' 5 0537 △ABC와 △AED에서    ∠A는 공통, ∠ACB=∠ADE=90ù이므로 △ABC»△AED (AA 닮음)  ∴ ∠ABC=∠AED 이때 ABÓ= 6Û`+9Û`= 117=3 13이므로 '¶ sin`x= = " 9 13` '¶ 6 13` '¶ 3 3 3 '¶ 13` '¶ 13 = 2 13` '¶ 13 cos`y= ∴ sin x+cos y= 3 13` '¶ 13 + 2 13` '¶ 13 = 5 13` '¶ 13   답 5 13` '¶ 13 0538 전략 닮은 직각삼각형에서 크기가 같은 각을 찾고 삼각비의 값 을 구한다. △ABC와 △HBA에서   ∠ B는 공통,  15 cm A x 8 cm x H C ∠BAC=∠BHA=90ù이므로 B △ABC»△HBA (AA 닮음) ∴ ∠BCA=∠BAH=x 이때 BCÓ= 15Û`+8Û`= 289=17`(cm)이므로 " '¶ sin`x=sin`C= , cos`x=cos`C= ;1!7%; ;1¥7;                                                 64 정답과 해설 △ABC»△HBA (AA 닮음) ∴ ∠BCA=∠BAH=x 이때 BCÓ= 12Û`+5Û`= 169=13이므로  " '¶ ① sin`B=   ;1°3; ② cos`B= ;1!3@; ③ tan`B=   ;1°2; ④ sin`x=sin`C= ;1!3@; ⑤ cos`x=cos`C= ;1°3; 따라서 옳은 것은 ⑤이다.  0540 △ABC와 △HBA에서  B는 공통,   ∠  ∠ BAC=∠BHA=90ù이므로  2 y B  ∠ C는 공통, ∠BAC=∠AHC=90ù이므로  △ABC»△HBA (AA 닮음) ∴ ∠BCA=∠BAH=x 또, △ABC와 △HAC에서 △ABC»△HAC (AA 닮음) ∴ ∠ABC=∠HAC=y  이때 BCÓ= 2Û`+1Û`= 5이므로  " sin x=sin`C= sin y=sin`B= ' = 2 5` ' 5 5` = ' 5 2 5` ' 1 5` ' ∴ sin x-sin y= 2 5` ' 5 5` - ' 5 5` = ' 5   채점 기준 ㈎ ∠BCA=x, ∠ABC=y임을 알기 ㈏ BCÓ의 길이 구하기 ㈐ sin`x-sin`y의 값 구하기 0541 △ABD와 △HAD에서  D는 공통,   ∠  ∠ BAD=∠AHD=90ù이므로 A x 9 cm △ABD»△HAD`(AA 닮음) ∴ ∠ABD=∠HAD=x x H B 12 cm 이때 BDÓ= 12Û`+9Û`= 225=15`(cm)이므로 " '¶ sin x=sin`B= = ;1!5@; ;5$; , cos x=cos`B= = ;1»5; ;5#; 답 ⑤ A x y 1 x H C yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 5` 답 ' 5 비율 40`% 20`% 40`% D C                                           ∴  sin x cos x = Ö = _ =   :Á8°: :Á8¦: ;1!7%; ;1¥7; ;1!7%;  답 :Á8°: ∴ sin x-cos x= - =   ;5!; ;5#; ;5$; 답 ;5!; 0542 ABÓ Û`=BHÓ_BCÓ에서 ABÓ Û`=2_6=12 ∴ ABÓ=2 3 (∵ ABÓ>0) Û`=CHÓ_CBÓ에서 ACÓ ' ACÓ Û`=4_6=24 ∴ ACÓ=2 6 (∵ ACÓ>0) ' △ABC»△HBA»△HAC (AA 닮음)이므로 ∠ABC=∠HAC=y, ∠ACB=∠HAB=x A y x 2 3 y H2 B 2 6 x 4 C ① sin`B= 2 6` ' 6 6` = ' 3 , cos`C= 2 6` ' 6 6` = ' 3 ∴ sin`B=cos`C ② tan`C= 3` 6` = 3 2` ' 6 2` = ' 2 3` 6` 2 2 ' ' = ' ' 2 ③ sin`x=sin`C= ④ cos`y=cos`B= ⑤ tan`y=tan`B= 3` ' 6 3` = ' 3 2 3` ' 6 3` = ' 3 6` 3` 2 2 ' ' = 2 ' 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④ 0543 △ABC»△DBA (AA 닮음) 이므로 2 10 cm 4 cm E A y x D 6 cm x C B ADÓ ∠BCA=∠BAD=x Û`=AEÓ_ACÓ에서 Û`=4_10=40 ADÓ ∴ ADÓ=2 10`(cm) (∵ ADÓ>0) '¶ 이때 sin x= 2 10` '¶ 10 = '¶ 10` 5 , cos y= = '¶ 이므로 2 10` '¶ 10 10` 5 sin x+cos y= '¶ + '¶ = 10` 5 10` 5 2 10` '¶ 5 답 2 10` '¶ 5 전략 먼저 그래프가 x축, y축과 만나는 점의 좌표를 구한다. y 3 B x -4 a A O 3x-4y+12=0 0544 자. 3x-4y+12=0의 그래프가 x축, y축과 만나는 점을 각각 A, B라 하 3x-4y+12=0에 y=0을 대입하면 3x+12=0　　∴ x=-4 ∴ A(-4, 0) 3x-4y+12=0에 x=0을 대입하면 -4y+12=0　　∴ y=3 ∴ B(0, 3) △AOB에서 ABÓ= 4Û`+3Û`= " 25=5 '¶ 이때 sin a= , cos a= 이므로 ;5#; ;5$; sin a+cos a= + = ;5&; ;5$; ;5#; 답 ;5&; 0545 y= ;2!; x+2의 그래프가 x축, y축과 만나는 점을 각각 A, B라 하자. y= x+2에 y=0을 대입하면 y 2 1 y= x+2 2 B -4 A a O x ;2!; ;2!; ;2!; 0= x+2　　∴ x=-4 ∴ A(-4, 0) y= x+2에 x=0을 대입하면 y=2 ∴ B(0, 2) △AOB에서 ABÓ= 4Û`+2Û`= " ∴ cos`a= 20=2 5 '¶ = 2 ' 5` ' 5 4 5` ' 2 답 2 5` ' 5 0546 3x+2y-12=0의 그래프가 x축, y축 y B 6 과 만나는 점을 각각 A, B라 하자. 3x+2 y-12=0에 y=0을 대입하면 3x-12=0　　∴ x=4 ∴ A(4, 0) 3x+2 y-12=0에 x=0을 대입하면 2y-12=0　　∴ y=6 a 4 A x O 3x+2y-12=0 ∴ B(0, 6) △BOA에서 ABÓ= 4Û`+6Û`= " 52=2 13 '¶ 2 13` '¶ 13 '¶ 4 13` 2 '¶ 이때 cos a= = , tan`a= = 이므로 ;4^; ;2#; cos a_tan`a= 2 13` '¶ 13 _ = ;2#; 3 13` '¶ 13 답 3 13` '¶ 13 0547 일차함수 y= x+3의 그래프는 오른 ;2#; 쪽 그림과 같고 그래프가 x축, y축과 만나는 점을 각각 A, B라 하자. y= x+3에 y=0을 대입하면 ;2#; ;2#; ;2#; 0= x+3　　∴ x=-2 ∴ A(-2, 0) y= x+3에 x=0을 대입하면 y=3 ∴ B(0, 3) y B 3 aA -2 3 y= x+3 2 O x 5. 삼각비 65  △AOB에서 ABÓ= 2Û`+3Û`= 13 " '¶ 3 13` '¶ 이때 sin`a= , cos`a= 이므로 2 13` '¶ { '¶ sinÛ``a-cosÛ``a= 3 13` } Û`- 2 13` } Û`= - = ;1»3; ;1¢3; ;1°3; { '¶ 0552 ∠APQ=∠CPQ (접은 각), ∠ APQ=∠CQP (엇각)이므로 ∠ CPQ=∠CQP ∴ CQÓ=CPÓ=APÓ=3 이때 △CQR는 직각삼각형이고 CRÓ=ABÓ=2이므로 A 2 B 3 PH x x 3 5 Q x 5 3 R 2 D C 답 ;1°3; QRÓ= 3Û`-2Û`= 5　　∴ BQÓ=QRÓ= 5 " ' ' 위 그림과 같이 점 Q에서 APÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 5, HQÓ=2이므로 △PHQ에서 PHÓ=3- HQÓ PHÓ 2 3- tan x= = 5` ' 2(3+ ' 5) ' 5)(3+ = (3- ' 5) ' = 5` 3+ ' 2 답 5` 3+ ' 2 0553 sin`x= ;2!; = = 　　∴ ABÓ=4 BCÓ 2 ABÓ ABÓ △ABC에서 ACÓ= △ABC와 △DBE에서 ∠C=∠E=90ù, ∠ABC=∠DBE (맞꼭지각)이므로 4Û`-2Û`= 12=2 " '¶ ' 3 △ABC»△DBE (AA 닮음) 따라서 ABÓ：DBÓ=ACÓ：DEÓ에서 4：2=2 3：DEÓ　　∴ DEÓ= 3 ' ' 또 ABÓ：DBÓ=BCÓ：BEÓ에서 4：2=2：BEÓ　　∴ BEÓ=1 ∴ tan y= DEÓ AEÓ = ' 3` 4+1 3` = ' 5 3` 답 ' 5 0548 전략 직각삼각형 BFH에서 각 변의 길이를 구한다. △BFH에서 ∠BFH=90ù이므로 FHÓ= 4Û`+4Û`=4 2 " " BHÓ= 4Û`+4Û`+4Û`=4 3 ' ' tan`x= , cos`x= 2` = ' 2 4 2` ' 4 6` = ' 3 2` 3` 4 4 ' ' 2` ∴ tan x_cos x= ' 2 6` _ ' 3 = 2 3` ' 6 3` = ' 3 3` 답 ' 3 A 6 D B x H M C 0549 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 서 △BCD에 내린 수선의 발을 H 라 하면 점 H는 △BCD의 무게 중심이므로 3` DMÓ= ' 2 _6=3 3 ' ∴ MHÓ= `DMÓ= _3 3= 3 ;3!; ' ' ;3!; 3` AMÓ= ' 2 _6=3 3이므로 ' cos x= MHÓ AMÓ 3` 3` = ' 3 ' = ;3!; 0550 BDÓ= 8Û`+8Û`=8 2`(cm)이므로 ' ODÓ= BDÓ= _8 2=4 2`(cm) ;2!; ' " ;2!; ' ' △VOD에서 VOÓ= 9Û`-(4 2)Û`= 49=7`(cm) '¶ ∴ sin x= " VOÓ VDÓ = ;9&; 답 ;9&; a b x c sin`x= , cos`x= 이므로 ;bA; ;bC; sin`x：cos`x= =a：c=5：12 ： ;bC; ;bA; 이때 a=5k, c=12k (k>0)라 하면 b= (12k)Û`+(5k)Û`= 169kÛ`=13k " " 66 정답과 해설 답 ;3!; step 개념 마스터 p.97~p.98 0554 sin`45ù= x 12 2` 에서 ' 2 = x 12 　　∴ x=6 2 cos`45ù= y 12 2` 에서 ' 2 y 12 = 　　∴ y=6 2 ' ' 전략 먼저 세 변의 길이가 a, b, c인 직각삼각형을 그린다. 0551 오른쪽 그림에서 0555 tan`45ù= 에서 1= 　　∴ x=5 ;5{; ;5{; cos 45ù= 2` 에서 ' 2 ;]%; = 　　∴ y=5 2 ;]%; ' ∴ cos`x= = ;bC; ;1!3@kK; = ;1!3@; 답 ;1!3@; 답 x=2, y=2 0556 cos 45ù= x 2` 2 ' sin`45ù= y 2` 2 ' 2` 에서 ' 2 2` 에서 ' 2 = x 2` 2 ' = y 2` 2 ' 　　∴ x=2 　　∴ y=2 답 x=6 2, y=6 ' 2 ' 답 x=5, y=5 2 ' 0557 ∠DBC=45ù이므로 tan 45ù= 에서 1= 　　∴ x=3 ;[#; ;[#; sin 45ù= 2` 에서  ' 2 ;]#; = 　　∴ y=3 2 ;]#; ' 3` 0571 (주어진 식)= ' 2 3` _ ' 3 3` + ' 2 3` _ ' 3 = + ;2!; ;2!; =1       답 x=3, y=3 2 ' 3` 0572 (주어진 식)=2_ ' 2 - 3_1+ 3 ' ' = 3- 3+ 3= ' ' ' 3  '                       0558 cos 60ù= 에서  = ;2!; ;[#; ;[#; 　　∴ x=6 tan 60ù= 에서  3= 　　∴ y=3 3  ;3}; ' ;3}; '  답 x=6, y=3 3 ' 0559 tan`30ù= = 　　∴ x=3 3 3` 에서  ' 3 ;9{; 9 y 3` 에서  ' 2 ;9{; 9 y ' ' cos`30ù= = 　　∴ y=6 3  답 x=3 3, y=6 3 ' ' ' 0560 sin 30ù= x 12 ' cos 30ù= y 12 '   에서  ;2!; 3` 3` 에서  ' 2 3` 3` = x 12 ' = y 12 ' 3` 　　∴ x=6 3 　　∴ y=18   답 x=6 3, y=18 ' 0561 ∠ABD=60ù이므로 sin 60ù= 2 3` ' x 3` 에서  ' 2 = 2 3` ' x 　　∴ x=4 tan 60ù= 2 3` ' y 에서  3= ' 2 3` ' y 　　∴ y=2  답 x=4, y=2 0562 답 45 0563 답 30 0564 답 60 0565 10ù+xù=30ù에서 x=20  0566 20ù+xù=45ù에서 x=25  0567 90ù-xù=45ù에서 x=45   답 20  답 25  답 45 0568 (주어진 식)= + ;2!; ;2!; 2` - ' 2 = 2` 2- ' 2   답 2` 2- ' 2 2` 0569 (주어진 식)= ' 2 _ 6` 3= ' 2 '   6` 답 ' 2 0573 sin x= BCÓ ACÓ = BCÓ 1 =BCÓ  0574 cos x= ABÓ ACÓ = ABÓ 1 =ABÓ  0575 tan x= DEÓ ADÓ = DEÓ 1 =DEÓ  0576 sin y= ABÓ ACÓ = ABÓ 1 =ABÓ  0577 cos y= BCÓ ACÓ = BCÓ 1 =BCÓ  0578 tan y=tan z= ADÓ DEÓ = 1 DEÓ   0579 sin z=sin y= ABÓ ACÓ = ABÓ 1 =ABÓ  0580 cos z=cos y= BCÓ ACÓ = BCÓ 1 =BCÓ  0581 (주어진 식)=0_0-1=-1  0582 (주어진 식)=1_0+0=0  0583 답 0.3420 0584 답 0.3420 0585 답 57.2900 0586 답 0.9848 0587 답 10ù 0588 답 89ù 0589 답 20ù 답 1  답 ' 3 답 BCÓ  답 ABÓ 답 DEÓ 답 ABÓ 답 BCÓ 답 1 DEÓ 답 ABÓ 답 BCÓ 답 -1 답 0 5. 삼각비 67 3` 0570 (주어진 식)= ' 2 _ { 3` ' 3 + ' 3` 2 } 3` ' 2 _ 5 3` ' 6 = =    ;4%; 답 ;4%; 0590 답 70ù step 유형 마스터 p.99 ~ p.106 0591 전략 특수한 각에 대한 삼각비의 값을 주어진 식에 대입하여 ㈏ 주어진 식의 값 구하기 채점 기준 ㈎ 주어진 식에 삼각비의 값 대입하기 비율 40`% 60`% 등식이 성립하는지 확인한다. ㉠ sin`30ù+cos`60ù= + =1 ;2!; ;2!; 2` ㉡ cos 45ù= ' 2 2` , sin 45ù= ' 2 이므로 　 cos 45ù=sin 45ù  ㉢ sin 30ù= 3` , cos 30ù= ' 2 3` , tan 30ù= ' 3 ;2!; 이므로  ㉣ sin 30ù= 2` , sin 45ù= ' 2 3` , sin 60ù= ' 2 ;2!; 이므로  　  3` = ' 2 3` _ ' 3 ;2!; 　  2` + ' 2 3` + ' 2 ;2!; 3` 　 1- ' 3 3` + ' 2 3` ㉤ tan 30ù= ' 3 3` , cos 30ù= ' 2 이므로  3` ㉥ tan 30ù= ' 3 ,  1 tan 60ù = 3` = ' 3 1 3` ' 이므로  　 tan 30ù= 1 tan 60ù 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉢, ㉥이다.   답 ㉠, ㉡, ㉢, ㉥ 0592 ① (주어진 식)= 3` -' 3 ;2!; _ 3+ = -1+ =0 ' ;2!; ;2!; ;2!; ② (주어진 식)= 3` 3_' 3 ' - 2` 2_1_ ' 2 ' =1-1=0 ③ (주어진 식)= + ;2!; ;2!; 2` -2_' 2 2` _ ' 2 = + -1=0 ;2!; ;2!; 3` ④ (주어진 식)= ' 2 3` - ' 2 3` _ ' 3 + ;2!; 3` = ' 2 - + ;2!; ;2!; 3` = ' 2 ⑤ (주어진 식)= 2` ' 2 } Û`+ { 2` ' 2 } Û` ] _ [{ 2` ' 2 } Û`- { 2` ' 2 } Û` ] [{ =1_0=0 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.  답 ③ 0593 (주어진 식)= + _1  yy ㈎ +' 3` 2 } _ {;2!; 1 3` ' 3 á 3` ' 2 ;2!; â                                             68 정답과 해설 0594 1 sin B-tan A + 1 tan A-cos B = 1 sin 60ù-tan 45ù + 1 tan 45ù-cos 60ù = = = 1 + 1- ;2!; -1 1 3` ' 2 2 3-2` +2 ' ( ' 3+2) 2( ' 3-2)( 3+2) +2 ' =-2( 3+2)+2=-2 3-2   ' ' 답 -2 3-2 ' 2` 0595 (좌변)= ' 2 2` _ ' 2 3` + ' 3 3` _ ' 2 = + =1 ;2!; ;2!; 이때 tan`A=1을 만족하는 A의 값은 45ù이다.  답 45ù 0596 sin 30ù= ;2!; 이므로 2xÛ`+ax-3=0에 x= 을 대입하면 ;2!; 2_ + ;4!; ;2!; a-3=0,  a= ;2!; ;2%; ∴ a=5   답 5 0597   전략 tan`45ù=1임을 이용하여 x의 값을 구한다. tan`(x+15ù)=1에서 x+15ù=45ù이므로 x=30ù ∴ sin x+cos x=sin 30ù+cos 30ù = ;2!; 3` + ' 2 = 3` 1+ ' 2   0598 cos`(2x+40ù)= 에서  ;2!; 2x+40ù=60ù이므로 x=10ù ∴ tan 6x=tan 60ù= 3  ' 답 3` 1+ ' 2 답 ' 3                             = 3` 1+ ' 2 _( 3+ 3)_1= ' ' 3` 1+ ' 2 _2 3 ' 2` 0599 sin`(2x-15ù)= ' 2 에서  = 3(1+ 3)= 3+3  ' ' ' yy ㈏ 답 ' 3+3 2x-15ù=45ù이므로 2x=60ù　　∴ x=30ù ∴ 6 sin x+2 cos x 3 tan x-2 sin x = 6 sin 30ù+2 cos 30ù 3 tan 30ù-2 sin 30ù = 6_ 3` +2_ ' 2 ;2!; 3` 3_ ' 3 -2_ ;2!; = 3+ 3` ' 3-1 ' = (3+ ( 3)( ' ' 3-1)( ' ' 3+1)` 3+1) = 3` 6+4 2 ' =3+2 3 답 3+2 3 ' ' 0600 tan A= = 3에서 A=60ù 3 3` ' ' A 2 60ù 2 ∴ sin =sin =sin 30ù= ;2!; 답 60ù, ;2!; 2` 0601 cos`45ù=sin`45ù= ' 2 이므로 x=45ù ∴ tan`x+2`sin` (x-15ù)=tan`45ù+2`sin`30ù =1+2_ ;2!; =2 0602 4xÛ`-4x+1=0에서 (2x-1)Û`=0 ∴ x= (중근) ;2!; 즉 cos`A= 이므로 ∠A=60ù ;2!; 채점 기준 ㈎ 4xÛ`-4x+1=0의 해 구하기 ㈏ ∠A의 크기 구하기 답 2 yy ㈎ yy ㈏ 답 60ù 비율 60`% 40`% 0603 sin A= 에서 A=30ù ;2!; ∴ tanÛ` A- 3`tan A+1=tanÛ``30ù- 3`tan`30ù+1 ' ' 3` ' 3 } Û`- 3` 3_ ' 3 ' = { +1 = -1+1= ;3!; ;3!; 답 ;3!; 0604 tan`A= 3에서 A=60ù ∴ sinÛ``A+ 3`sin`A-1= 3` ' 2 } { Û`+ 3` 3_ ' 2 ' -1 ' ' 0605 전략 △ABC와 △DBC의 공통변인 BCÓ의 길이를 특수한 각 에 대한 삼각비의 값, 즉 tan`60ù= △ABC에서 3임을 이용하여 구한다. ' tan`60ù= = 3　　∴ BCÓ= 3 ' BCÓ 1 ' △DBC에서 3` BDÓ sin`45ù= ' 2` = ' 2 　　∴ BDÓ= 6 ' 답 ' 6 0606 cos 60ù= = ;]#; ;2!; 이므로 y=6 tan 60ù= = 3이므로 x=3 3 ;3{; ' ' ∴ x+y=3 3+6=3( 3+2) ' ' 답 3( 3+2) ' 0607 △ABC에서 6 ABÓ cos 60ù= △BCH에서 = 　　∴ ABÓ=12 ;2!; cos 60ù= = 　　∴ BHÓ=3 BHÓ 6 ;2!; ∴ AHÓ=ABÓ-BHÓ=12-3=9 답 9 0608 △AHD에서 cos 30ù= 3` = ' 2 ;]^; 　　∴ y=4 3 ' △ABD에서 tan 30ù= x 3` 4 ' 3` = ' 3 　　∴ x=4 ∴ x+y=4+4 3=4(1+ 3) ' ' 답 4(1+ 3) ' 0609 △ABC에서 sin`30ù= = 　　∴ ACÓ=4 yy ㈎ ACÓ 8 ;2!; △ADC에서 4 CDÓ tan`45ù= =1　　∴ CDÓ=4 채점 기준 ㈎ ACÓ의 길이 구하기 ㈏ CDÓ의 길이 구하기 yy ㈏ 답 4 비율 50`% 50`% 0610 △ABC에서 ACÓ 6 sin`30ù= = 　　∴ ACÓ=3 ;2!; cos`30ù= BCÓ 6 3` = ' 2 　　∴ BCÓ=3 3 ' ∠DAC= ∠BAC= _60ù=30ù ;2!; ;2!; △ADC에서 tan 30ù= CDÓ 3 3` = ' 3 　　∴ CDÓ= 3 ' ∴ BDÓ=BCÓ-CDÓ=3 3- 3=2 3 ' ' ' 답 2 3 ' 5. 삼각비 69 = + -1= ;4#; ;2#; ;4%; 답 ;4%; 이때 ∠BAC=60ù이므로                                     0611 △ABC에서  sin 30ù= = 　　∴ BCÓ=5 BCÓ 10 ;2!; △BCD에서 ∠C=60ù이므로 sin 60ù= 　　∴ BDÓ= BDÓ 5 3` = ' 2 5 3` ' 2 △DEB에서 ∠DBE=60ù이므로 sin 60ù= 3` = ' 2       DEÓ 3` 5 ' 2 3` ∴ DEÓ= ' 2 _ 5 3` ' 2 =   :Á4°: 0616 전략 ∠y=∠z임을 이용한다. ③ sin y= OBÓ OAÓ = OBÓ 1 =OBÓ ④ ∠y=∠z이므로  = ABÓ 1 =ABÓ   cos z=cos`y= ⑤ tan z= ODÓ CDÓ = ABÓ OAÓ 1 CDÓ 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.  답 :Á4°: 0617 △COD에서 tan`x= CDÓ ODÓ = CDÓ 1 =CDÓ  0618  cos 48ù+tan 48ù=0.67+1.11=1.78  답 1.78 답 ⑤ 답 ③ 전략 직선의 방정식을 y=ax+b의 꼴로 바꾸고 0612 tan`a=(기울기)임을 이용한다. 3x-y+3=0에서 y= ' 이때 tan a=(기울기)이므로  ' 3x+3  tan`a= 3　　∴ a=60ù  ' 답 60ù 0619 ① sin 90ù+cos 0ù=1+1=2 ② sin 0ù+sin 90ù=0+1=1   ③ cos 0ù+tan 0ù=1+0=1 ④ sin 90ù+2 cos 0ù=1+2_1=3 ⑤ 2 cos 90ù+tan 0ù=2_0+0=0 0613  3x-4y+12=0에서 y= x+3 ;4#; 이때 tan a=(기울기)이므로 tan a=   ;4#;   답 ;4#; 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.  답 ⑤ 2` 0620 (주어진 식)=' 2 _1_ 3` 3- ' 2 ' _1_0 6` = ' 2 6` -0= ' 2   6` 답 ' 2 0614 tan 45ù=1이므로 직선의 기울기는 1이다.   x절편이 -1이므로 y=x+b에 x=-1, y=0을 대입하면  0=-1+b　　∴ b=1 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=x+1  답 y=x+1 0621 ① (좌변)=1-1=0 ② (좌변)= + =1 ;2!; ;2!; ③ (좌변)= 2` -' 2 ;2!; = 2` 1- ' 2 ④ (좌변)=1_1+0_0=1   y B 6 2` ⑤ (좌변)=' 2 2` _ ' 2 + 3` 3_ ' 3 ' = +1= ;2!; ;2#; 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.  답 ④ 그래프가 x축, y축과 만나는 점을 각 0622 전략 x의 값이 90ù에 가까워질 때, sin`x는 1, cos`x는 0에 가 0615  tan`60ù= 3이고  y절편이  6이므로 yy ㈎ ' 직선의 방정식은 y= 3x+6  ' 각 A, B라 하면 tan`60ù= 6 OAÓ = 3이므로  ' OAÓ=2 3  ' ∴ △AOB= _2 3_6=6 3  ;2!; ' ' 채점 기준 ㈎ 직선의 방정식 구하기 ㈏ OAÓ의 길이 구하기 ㈐ △AOB의 넓이 구하기 A 60∞ O x 답 y= 3x+6, 6 ' 3 ' yy ㈏ yy ㈐ 비율 50`% 30`% 20`% 70 정답과 해설 까워지고 tan`x는 무한히 커짐을 이용한다. 0ùÉxÉ90ù인 범위에서 x의 값이 증가하면 sin x의 값은 0에서 1까지 증가하므로 sin 90ù>sin 70ù, 즉 ㉠>㉢ cos x의 값은 1에서 0까지 감소하므로 cos 90ùcos x이므로 sin 70ù>cos 70ù, 즉 ㉢>㉣ ∴ ㉡<㉣<㉢<㉠<㉤  답 ③                                                    0623 0ùÉAÉ90ù일 때 ① A의 값이 커지면 sin`A의 값은 커진다. 0629 ② cos`41ù=0.7547 ④ cos`40ù+tan`41ù=0.7660+0.8693=1.6353 ② A의 값이 커지면 cos`A의 값은 작아진다. ⑤ sin`38ù=0.6157, tan 39ù=0.8098이므로 그 차는 ④ cos`A의 최댓값은 1이다. 0.8098-0.6157=0.1941 답 ②, ④ ⑤ tan`A의 최댓값은 알 수 없다. 답 ③ 3` 0624 A=sin`61ù>sin`60ù= ' 2 3` B=cos`35ùtan`45ù=1 따라서 cos`35ù0, sin x-1<0 ∴ (sin x+1)Û`+ (sin x-1)Û` " " =(sin x+1)-(sin x-1)=2 0626 45ù1이므로 1-tan x<0, tan`x>0 2` ' 2 답 2 ∴ BCÓ=20 tan`50ù=20_1.1918=23.836 0631 ⑴ ∠A=180ù-(40ù+90ù)=50ù tan`50ù= BCÓ 20 ⑵ ∠A=180ù-(90ù+35ù)=55ù cos`55ù= 이므로 ABÓ 100 BCÓ 100 0 yy ㈎ ABÓ=100_cos`55ù=100_0.5736=57.36 ∴ (1-tan x)Û`- " " tanÛ` x+ (1-sin x)Û` " 　 =-(1-tan x)-tan x+(1-sin x) yy ㈏ 　 =-1+tan x-tan x+1-sin x 　 =-sin x sin`55ù= 이므로 BCÓ=100_sin`55ù=100_0.8192=81.92 ∴ ABÓ+BCÓ=57.36+81.92=139.28 답 ⑴ 23.836 ⑵ 139.28 yy ㈐ 답 -sin`x 비율 50`% 30`% 20`% 채점 기준 ㈎ 1-tan`x, tan`x, 1-sin`x의 부호 알기 ㈏ 제곱근의 성질을 이용하여 근호 벗기기 ㈐ 식 간단히 하기 0627 45ùcos A>0이므로 sin A+cos A>0, cos A-sin A<0 ∴ (sin A+cos A)Û`+ " " (cos A-sin A)Û` 　 =(sin A+cos A)-(cos A-sin A) 　 =2 sin A 즉 2`sin`A= 3` 3에서 sin A= ' 2 ' 따라서 A=60ù이므로 cos A=cos`60ù= ;2!; 답 ;2!; 0628 전략 sin, cos의 세로줄에서 주어진 삼각비의 값의 가로줄의 각도를 읽는다. sin`23ù=0.3907이므로 x=23 cos`20ù=0.9397이므로 y=20 0632 전략 점 E에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하고 BCÓ=BHÓ+CHÓ임을 이용하여 EHÓ의 길이를 구한다. 오른쪽 그림과 같이 점 E에서 A BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하 60∞ E 고 EHÓ=x라 하면 D x H 10 45∞ B 30∞ C =1 △EBH에서 tan 45ù= x BHÓ ∴ BHÓ=x △EHC에서 tan 30ù= x CHÓ 3` = ' 3 　　∴ CHÓ= 3x ' BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 10=x+ 3x ∴ x= 10 1+ 3` = 10(1- 3) ' 3)(1- (1+ ' ' ∴ △EBC= _10_5( 3-1) ' ;2!; ' 3) ' =5( 3-1) ' 답 25( 3-1) ' 5. 삼각비 71 ∴ x+y=23+20=43 답 43 =25( 3-1) ' 0633 오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점 A, D에서 BCÓ에 내린 수선의 A D 4 60∞ C B H H′ 6 발을 각각 H, H'이라 하면 △DH'C에서 sin 60ù= DH'Ó 4 3` = ' 2 ∴ DH'Ó=2 3 ' CH'Ó 4 cos 60ù= = 　　∴ CH'Ó=2 ;2!; 이때 ABCD는 등변사다리꼴이므로 BHÓ=CH'Ó=2 ∴ ADÓ=HH'Ó=6-(2+2)=2 ∴ ABCD= _(2+6)_2 3=8 3 ;2!; ' ' 답 8 3 ' 0634 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A 에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 M이라 하면 △ABM에서 A H 2 cos 60ù= BMÓ 2 = ;2!; ∴ BMÓ=1 sin 60ù= AMÓ 2 3` = ' 2 　　∴ AMÓ= 3 ' △AMC에서 3` tan 45ù= ' CMÓ △BCH에서 =1　　∴ CMÓ= 3 ' 꼭짓점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 sin 45ù= BHÓ BCÓ = BHÓ 1+ 2` = ' 2 　　∴ BHÓ= ' 6` 2+ 2 ' 3` ' 2+ 2 2 ' 6` ' ∴ sin A= BHÓ ABÓ = = ' 6` 2+ 4 ' 답 ' 6` 2+ 4 ' 0635 전략 △ABD에서 ADÓ의 길이를 구하고 △ADC에서 CDÓ, ACÓ의 길이를 구한다. △ABD에서 ∠BAD=30ù-15ù=15ù ∴ ADÓ=BDÓ=4 △ADC에서 CDÓ 4 cos 30ù= 3` = ' 2 　　∴ CDÓ=2 3 ' sin 30ù= = 　　∴ ACÓ=2 ACÓ 4 ;2!; ∴ tan 15ù= ACÓ BCÓ = 2 4+2 3` ' = (2+ ' 3 2- ' 3)(2- 3) ' = 1 2+ =2- 3` ' 3 ' 답 2- 3 ' 72 정답과 해설 0636 △DAB에서 1 ADÓ cos`60ù= ;2!; ' BDÓ 1 = 　　∴ ADÓ=2`(cm) tan`60ù= = 3　　∴ BDÓ= 3`(cm) ' △DCA가 이등변삼각형이므로 CDÓ=ADÓ=2 cm이고 ∠ADB=30ù이므로 ∠DAC=∠DCA=15ù 따라서 ∠CAB=75ù이므로 tan 75ù= BCÓ ABÓ = 3` 2+ ' 1 =2+ 3 ' 답 2+ 3 ' 0637 CDÓ=a라 하면 △ADC에서 tan`45ù= ACÓ a cos`45ù= a ADÓ =1　　∴ ACÓ=a 2` = ' 2 　　∴ ADÓ= 2 a ' 60∞ B M 45∞ C ∴ tan 22.5ù= ' ACÓ BCÓ = a ' 2a+a 이때 BDÓ=ADÓ= 2a이므로 ∠DAB=∠DBA=22.5ù = 2-1 ' 2+1)( ' ( ' 2-1) 1 2+1` ' 2-1 = = ' 답 2-1  ' 0638 전략 색칠한 부분의 넓이는 부채꼴의 넓이에서 삼각형의 넓이 를 빼서 구한다. µAB=2p_OAÓ_ =4p 45 360 OAÓ 4 p=4p　　∴ OAÓ=16 △AOH에서 AHÓ 16 sin 45ù= 2` = ' 2 　　∴ AHÓ=8 2 ' ' cos 45ù= 　　∴ OHÓ=8 2 OHÓ 16 2` = ' 2 ∴ (색칠한 부분의 넓이) =(부채꼴 AOB의 넓이)-△AOH =p_16Û`_ 45 360 - _8 2_8 2 ;2!; ' ' =32p-64=32(p-2) 답 32(p-2) 0639 오른쪽 그림과 같이 AEÓ를 그으 C′ 면 △ADE와 △AB'E에서 AEÓ는 공통, ADÓ=AB'Ó, D′ D ∠ ADE=∠AB'E=90ù이므로 △ADEª△AB'E` E C B′ B A 30∞ 2 (RHS 합동) yy ㈎ ∴ ∠EAD=∠EAB'= ∠DAB'= _60ù=30ù ;2!; ;2!;                                       C B 9 7 yy ㈐ 답 8 2` ' 63 비율 30`% 20`% 50`% 2 A 1 B 이때 △AED에서 tan`30ù= 　　∴ DEÓ= DEÓ 2 3` = ' 3 2 3` ' 3 ∴ B'EÓ=DEÓ= 2 3` ' 3   따라서 AB'ED에 대하여 (둘레의 길이)=2+2+ 2 3` ' 3 + 2 3` ' 3 =4+ 4 3` ' 3 (넓이)=2_ _2_ {;2!; 2 3` ' 3 } = 4 3` ' 3   ACÓ ABÓ ;4#; ACÓ 8 0642 전략 sin B= 임을 이용하여 ACÓ의 길이를 구한다. sin B= = 이므로 ACÓ=6`(cm) yy ㈏ ∴ BCÓ= 8Û`-6Û`= 28=2 7`(cm)  " '¶ ' 답 ② 0643 전략 주어진 삼각비의 값을 갖는 직각삼각형을 그린다. cos`A= 인 직각삼각형 ABC를 그 ;9&; yy ㈐ 리면 오른쪽 그림과 같다. yy ㈎ 답 둘레의 길이 : 4+   4 3` 3 , 넓이 : ' 4 3` ' 3 채점 기준 ㈎ △ADE와 △AB'E가 합동임을 보이기 ㈏ DEÓ, B'EÓ의 길이 구하기 ㈐ AB'ED의 둘레의 길이와 넓이 구하기 비율 30`% 30`% 40`% 이때 BCÓ= 9Û`-7Û`= 32=4 " '¶ 로   2이므 ' yy ㈏ A tan`A-sin`A= 4 2` ' 7 - 4 2` ' 9 = 36 2` ' 63 - 28 2` ' 63 = 8 2` ' 63 0644   전략 주어진 삼각비의 값을 갖는 직각삼각형을 그린다. tan A=2인 직각삼각형 ABC를 그리면 C   0640  △CFG에서  6 CFÓ cos 60ù=   = 　　∴ CFÓ=12 tan 60ù= = 3　　∴ CGÓ=6 3 △AEF에서  tan 45ù= =1　　∴ EFÓ=6 3 ' ' ;2!; ' CGÓ 6 6 3` ' EFÓ sin`45ù= 3` 6 ' AFÓ 2` = ' 2 　　∴ AFÓ=6 6 ' 오른쪽 그림과 같이 ∠ACF의 이등분  A D 선이 AFÓ와 만나는 점을 M이라 하면  △CAF는 CAÓ=CFÓ인 이등변삼각형 이므로 MFÓ=  AFÓ= _6 6=3 6 ;2!; ' ' ;2!; △CMF에서 CMÓ = 12Û`-(3 6)Û`= 90=3 ' '¶ ∴ cos  =cos (∠MCF)= " ;2{; 10 '¶ CMÓ CFÓ M E 45∞ B H 60∞ 6 F C G = 3 10` '¶ 12 = '¶ 10` 4 답 '¶ 10` 4 채점 기준 ㈎ 직각삼각형 ABC 그리기 ㈏ BCÓ의 길이 구하기 ㈐ tan A-sin A의 값 구하기 오른쪽 그림과 같다.  이때 ACÓ= 5이므로 sin`A= cos`A= 1Û`+2Û`= " 2 5` 5` ' 5 = 2 ' ,  ' 1 5` ' 5` = ' 5 ∴  sin A-cos A sin A+cos A = 2 2 5` ' 5` 5` ' 5` 5` - ' 5` 5` + ' 5` 5` ' 5 5` ' 5 3     = =   ;3!; 답 ④ 0645 전략 △BED와 닮음인 삼각형을 찾아 x와 크기가 같은 각을 찾는다. △BED와 △BAC에서  A p.107 ~ p.109 BED=∠BAC=90ù이므로  B B는 공통,   ∠  ∠ 12 D x E x 5 C 전략 ABÓ의 길이를 구한 후 각각의 삼각비의 값을 구한다. step3 내신 마스터 0641   ABÓ= ( " '¶ 10)Û`-1Û`= 9=3 ' 10` 10   1 10` '¶   ④ cos C= = '¶ △BED»△BAC (AA 닮음) ∴ ∠ACB=∠EDB=x  △ABC에서 BCÓ= 12Û`+5Û`= " '¶ 169=13 답 ④ ∴ cos`x=cos`C=   ;1°3; 답 ① 5. 삼각비 73                                                                         0646   전략 닮음인 삼각형을 찾아 x, y와 크기가 같은 각을 각각 찾는다. △ABC»△HBA`  A (AA 닮음)이므로 6 cm x y 8 cm  ∠ ACB=∠HAB=x y B H x C 채점 기준 ㈎ 그래프가 x축, y축과 만나는 점의 좌표 구하기 ㈏ ABÓ의 길이 구하기 ㈐ sin a+cos a의 값 구하기 비율 30`% 30`% 40`% △ABC»△HAC`(AA 닮음)  이므로  ∠ABC=∠HAC=y  이때 BCÓ= 6Û`+8Û`=10`(cm)이므로  " sin`x=sin`C= = ;1¤0; ;5#; cos`y=cos`B= = ;5#; ;1¤0; ∴ sin x+cos y= + =   ;5^; ;5#; ;5#; 채점 기준 ㈎ ∠ACB=x, ∠ABC=y임을 보이기 ㈏ BCÓ의 길이 구하기 ㈐ sin x+cos y의 값 구하기 Lecture ∠A=90ù인 직각삼각형 ABC에서 AHÓ⊥BCÓ일 때, △ABC»△HBA»△HAC (AA 닮음) A H  A H  B C B C B A ∽ B ∽ C H A H C A H A H  B C 0648 Û`, DFÓ=¿¹ FGÓ 전략 FHÓ=¿¹ FGÓ 용하여 FHÓ, DFÓ의 길이를 각각 구한다. Û`+GHÓ Û`+GHÓ Û`+DHÓ Û`임을 이 FHÓ= 4Û`+3Û`= 25=5`(cm) '¶ DFÓ= 4Û`+3Û`+5Û`= 50=5 2`(cm) " " FHÓ DFÓ = ' 2` = ' 2   '¶ 5 2` ' 5 ∴ cos x= 답 ④ 0649 전략 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 E라 할 때, △ABE에서 BEÓ, AEÓ의 길이를 각각 구하여 sin B의 값을 구 한다. 오른쪽  그림과  같이  두  꼭짓점 A 4 D   A, D에서 BCÓ에 내린 수선의 발 6 을  각각 E, F라 하면  EFÓ=ADÓ=4 △ABEª△DCF (RHA 합동) 이므로  BEÓ=CFÓ= _(8-4)=2 ;2!; 따라서 △ABE에서  AEÓ= 6Û`-2Û`= " ∴ sin`B= 32=4 2 '¶ = 4 ' 2` ' 6 = AEÓ ABÓ 2 2` ' 3   E B F C 8 답 2 2` ' 3 0650   ' = 전략 특수한 각에 대한 삼각비의 값을 주어진 식에 대입한다. 2`sin`45ù+tan`60ù_cos`30ù-tan`45ù_sin`30ù 2` 2_ ' 2 ' + 3` 3_ ' 2 ' -1_ ;2!; =1+ - ;2#; ;2!; =2  답 2 전략 먼저 그래프가 x축, y축과 만나는 점의 좌표를 구한다. 0647   12x-5y+60=0의  그래프가  x축,  y 축과 만나는 점을 각각 A, B라 하자. 12x-5y+60=0에 y=0을 대입하면   12x+60=0　　∴ x=-5 ∴ A(-5, 0) 12x-5y+60=0에 x=0을 대입하면  -5y+60=0　　∴ y=12 ∴ B(0, 12)  △AOB에서  ABÓ= 5Û`+12Û`= " 169=13  '¶ ∴ sin`a+cos`a= + =   ;1!3&; ;1°3; ;1!3@; 74 정답과 해설 A a -5 O x 12x-5y+60=0 0651 전략 △ABC에서 ∠A+∠B+∠C=180ù이므로 a a+b+c : c이면 ∠A=180ù_   : ∠C=a :    ∠B ∠A : b   이다.  ∠ A：∠B：∠C=1：2：3이므로 ∠A=180ù_ ∠B=180ù_ 1 1+2+3 =30ù 2 1+2+3 =60ù ∴ sin`B+tan`A=sin`60ù+tan`30ù 3` = ' 2 3` + ' 3 = 5 3` ' 6   답 ① yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 답 ;5^; 비율 40`% 20`% 40`% C B A y B 12 yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 답 ;1!3&;                                   0652 3` 전략 0ù0 ∴  (cos A-1)Û`+ " " (1+cos A)Û` 　 =-(cos A-1)+(1+cos A) 　 =-cos A+1+1+cos A 0659 전략 비탈길의 경사도를 x라 하면 sin x= ;2¢0°0;이다. 200 m B x A C 45 m 위의 그림에서 ∠ABC=x라 하면 sin x= = ;2¢0°0; =0.225 ACÓ ABÓ 주어진 삼각비의 표에서 sin 13ù=0.2250이므로 x=13ù =0.73+0.81=1.54  답 ③ 따라서 비탈길의 경사도는 13ù이다.   답 13ù 5. 삼각비 75 6 삼각비의 활용 step 개념 마스터 p.112 ~ p.114 0670 x=10`cos`35ù=10_0.82=8.2 y=10`sin`35ù=10_0.57=5.7 답 x=8.2, y=5.7 0671 x=5`cos`40ù=5_0.77=3.85 y=5`sin`40ù=5_0.64=3.2 답 x=3.85, y=3.2 0660 답 c`sin`A 0661 답 ;cB; , c`cos`A 0662 답 ;bA; , b`tan`A 0663 답 c`sin`B 0664 답 ;cA; , c`cos`B 0665 답 ;aB; , a`tan`B 0672 CHÓ=4`cos`60ù=4_ =2 ;2!; 3 0673 AHÓ=4`sin`60ù=4_ ' 2 =2 3 ' 0674 BHÓ=BCÓ-CHÓ=6-2=4 0675 △ABH에서 ABÓ= 4Û "à ` +(2 3)Û = 28=2 ' ` '¶ 7 ' 답 2 7 ' 3 0676 CHÓ=10`sin`60ù=10_ ' 2 =5 3 ' 0677 ∠A=180ù-(60ù+75ù)=45ù이므로 ACÓ= CHÓ sin`45ù =5 2 3Ö ' 2 ' =5 6 ' 답 2 답 2 3 ' 답 4 답 5 3 ' 답 5 6 ' 0666 cos`60ù= 이므로 ;6{; x=6`cos`60ù=6_;2!;=3 sin`60ù= 이므로 ;6}; 3 y=6`sin`60ù=6_ ' 2 =3 3 ' 0667 sin`45ù= 이므로 ;[&; x= 7 sin`45ù 2 =7Ö ' 2 =7_ 2 2 ' =7 2 ' tan`45ù= 이므로 ;]&; y= 7 tan`45ù = =7 ;1&; 0668 cos`37ù= 이므로 x= 8 cos`37ù tan`37ù= 이므로 y=8`tan`37ù 0678 ∠BAH=55ù이므로 BHÓ=h`tan`55ù 답 BHÓ=h`tan`55ù 답 6, 3, 6, 3 3 ' 0679 ∠CAH=20ù이므로 CHÓ=h`tan`20ù 답 CHÓ=h`tan`20ù 0680 BCÓ=BHÓ+CHÓ에서 8 =h`tan`55ù+h`tan`20ù =h(tan`55ù+tan`20ù) ∴ h= 8 tan`55ù+tan`20ù 답 h= 8 tan`55ù+tan`20ù 답 7, 7 2, 7, 7 ' 0681 ∠BAH=40ù이므로 BHÓ=h`tan`40ù 답 BHÓ=h`tan`40ù 답 CHÓ=h`tan`20ù 답 x= 8 cos`37ù , y=8`tan`37ù 0682 ∠CAH=20ù이므로 CHÓ=h`tan`20ù 0669 sin`23ù= 이므로 x= tan`23ù= 이므로 y= 4 sin`23ù 4 tan`23ù 0683 BCÓ=BHÓ-CHÓ에서 10 =h`tan`40ù-h`tan`20ù =h(tan`40ù-tan`20ù) 답 x= 4` sin`23ù , y= 4` tan`23ù ∴ h= 10 tan`40ù-tan`20ù 답 h= 10` tan`40ù-tan`20ù 8 x y 8 ;[$; ;]$; 76 정답과 해설  step 유형 마스터 p.115 ~ p.119 0684 전략 한 변의 길이 10과 한 예각의 크기 50ù(또는 40ù)에 대한 Ó의 길이를 구한다. 삼각비를 이용하여 ABÓ sin 50ù= 에서 ABÓ= cos 40ù= 에서 ABÓ= ` ` 10 ABÓ 10 ABÓ 10 sin`50ù 10 cos`40ù 0690 전략 나무의 높이는 CHÓ=BCÓ+BHÓ임을 이용한다. BCÓ=10`tan`40ù=10_0.84=8.4`(m) ∴ (나무의 높이) =BCÓ+BHÓ =8.4+1.7=10.1`(m) 답 10.1`m 0691 (탑의 높이)=20`tan`25ù=20_0.47=9.4`(m) 답 9.4`m 따라서 ABÓ의 길이를 나타내는 것은 ③, ④이다. 답 ③, ④ 0692 x =80`tan(90ù-35ù)=80`tan`55ù =80_1.43=114.4 답 114.4 0685 BCÓ=8`tan`64ù=8_2.05=16.4 답 16.4 0686 ACÓ=12`sin`42ù=12_0.67=8.04`(cm) 답 8.04`cm 0693 ABÓ=10`cos`50ù=10_0.6428=6.428`(m) BCÓ=10`sin`50ù=10_0.7660=7.660`(m) ∴ (나무의 높이) =ABÓ+BCÓ =6.428+7.660=14.088`(m) 답 14.088`m 0687 전략 △DFH는 ∠DHF=90ù, ∠DFH=60ù, FHÓ=5`cm인 직각삼각형이다. FHÓ= 4Û`+3Û`= 25=5`(cm) "à '¶ cos`60ù= 에서 5 DFÓ 5 cos`60ù DFÓ= =5Ö ;2!; =5_2=10`(cm) 0694 △ADB에서 BDÓ=4`tan`60ù=4_ 3=4 3`(m) ' ' △ADC에서 CDÓ=4`tan`45ù=4_1=4`(m) ∴ (나무의 높이) =BDÓ-CDÓ 답 10`cm =4 3-4=4( 3-1)`(m) ' ' 답 4( 3-1)`m ' 2 2 2 2 ' ' 0688 AOÓ=6`sin`45ù=6_ ' =3 2`(cm) yy ㈎ BOÓ=6`cos`45ù=6_ ' =3 2`(cm) yy ㈏ 따라서 원뿔의 부피는 _p_(3 2)Û`_3 2=18 2 p`(cmÜ`) ' ' ' ;3!; yy ㈐ 0695 DCÓ=ABÓ=10 △BCD에서 BCÓ=10 3`m ' △DCE에서 3`tan`45ù=10 3`(m) ' ' ' ECÓ=10 3`tan`30ù=10 =10`(m) 3 3_ ' 3 ' ∴ (은행의 높이) =BCÓ+ECÓ 채점 기준 ㈎ AOÓ의 길이 구하기 ㈏ BOÓ의 길이 구하기 ㈐ 원뿔의 부피 구하기 답 18 2 p`cmÜ` ' 비율 30`% 30`% 40`% 0689 ACÓ=8`sin`30ù=8_ =4`(cm) ;2!; 3 BCÓ=8`cos`30ù=8_ ' 2 =4 3`(cm) ' 따라서 삼각기둥의 겉넓이는 2_ _4 3_4` +(8+4 3+4)_10 {;2~ !; ' ' } ' =16 3+120+40 3 =56 3+120`(cmÛ`) ' ' 답 (56 3+120)`cmÛ` ' =10 3+10=10( 3+1)`(m) ' ' 답 10( 3+1)`m ' 0696 △ABH에서 AHÓ=100`sin`30ù=100_ =50`(m) ;2!; △AHC에서 CHÓ=50`tan`45ù=50_1=50`(m) 0697 오른쪽 그림과 같이 점 B에서 OAÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 OHÓ=30`cos`30ù 3 =30_ ' 2 =15 3`(cm) ' 답 50`m O H A 30∞ 30 cm B 6. 삼각비의 활용 77  따라서 구하는 높이는 AHÓ의 길이이므로 AHÓ =OAÓ-OHÓ =30-15 3=15(2- 3)(cm) 답 15(2- 3)`cm ' ' ' 0698 CDÓ=3 3`m, ∠BDC=30ù이므로 ACÓ =3 3`tan`60ù 3 =3 3_ ' ' =9`(m) ' ' ' D 30∞ 30∞ m3 3 A B C A 6 H B 120∞ 4 C 0701 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하면 ∠ACH=60ù이므로 3 AHÓ=6`sin`60ù=6_ ' 2 =3 3 ' CHÓ=6`cos`60ù=6_ =3 ;2!; BHÓ=BCÓ+CHÓ=4+3=7 △ABH에서 BCÓ=3 3`tan`30ù=3 =3`(m) 3 3_ ' 3 ' ∴ ABÓ=ACÓ-BCÓ=9-3=6`(m) 따라서 자동차의 속력은 =20`(m/s), 즉 초속 20`m이다. 6 0.3 ABÓ = 7Û`+(3 3)Û` = 76=2 19 ' '¶ '¶ "à 답 2 19 '¶ 0702 전략 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 AHÓ의 길이를 구한 후 ABÓ의 길이를 구한다. 답 초속 20`m 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 A BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 0699 전략 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 AHÓ, CHÓ, BHÓ의 길이를 각각 구한 후 피타고라스 정리를 이용하여 ABÓ의 길이를 구한다. 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 A BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 10 30∞ H 7 3 B C AHÓ=10`sin`30ù=10_ =5 ;2!; 3 CHÓ=10`cos`30ù=10_ ' 2 =5 3 BHÓ=BCÓ-CHÓ=7 3-5 3=2 3 ' ' ' ' △ABH에서 ABÓ= (2 3)Û`+5Û`= 37 "à ' '¶ 0700 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 A 8 cm ∠C=45ù이므로 AHÓ=6 2`sin`45ù ' =6 2 2_ ' 2 ' =6 ∴ ABÓ= 6 sin`60ù 3 =6Ö ' 2 =6_ =4 3 ' 2 3 ' 0703 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 A 2 BHÓ=2`sin`45ù=2_ ' 2 = 2 ' 답 37 '¶ ∠ A=30ù이므로 ABÓ= ' 2 sin`30ù = 2Ö ' ;2!; = 2_2=2 2 ' ' 45∞ 6 2 45∞ C 30∞ 60∞ H B 답 4 3 ' 30∞ H 60∞ B 45∞ 45∞ 2 C 답 2 2 ' 하면 AHÓ=8`sin`60ù 3 =8_ ' 2 =4 3`(cm) ' BHÓ=8`cos`60ù=8_ =4`(cm) ;2!; CHÓ=BCÓ-BHÓ=12-4=8`(cm) △AHC에서 ACÓ= (4 3)Û`+8Û` ' 112=4 "à '¶ ' = 7`(cm) 채점 기준 ㈎ AHÓ, BHÓ의 길이 구하기 ㈏ CHÓ의 길이 구하기 ㈐ ACÓ의 길이 구하기 B 60∞ H 12 cm C 0704 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 C 60∞ H 12 m ∠C=60ù이므로 AHÓ=12`sin`60ù 3 =12_ ' 2 =6 3`(m) ' ∴ ABÓ= 6 3 ' sin`45ù =6 2 3Ö ' 2 ' 75∞ A 45∞ B =6 3_ ' =6 6`(m) ' 답 6 6`m ' 2 2 ' 0705 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C 에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 AHÓ=50`cos`45ù 2 =50_ ' 2 =25 2`(m) ' 50 m 45∞ A C H 105∞ 30∞ B yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 답 4 7`cm ' 비율 50`% 20`% 30`% 78 정답과 해설  2 CHÓ=50`sin`45ù=50_ ' 2 =25 2`(m) ' ∠ B=30ù이므로 BHÓ= 25 2 ' tan`30ù =25 3 2Ö ' 3 ' =25 2_ =25 6`(m) ' ' 3 3 ' ∴ ABÓ =AHÓ+BHÓ =25 2+25 6=25( 2+ 6)`(m) ' ' ' ' 답 25( 2+ 6)`m ' ' 0706 전략 BHÓ와 CHÓ를 AHÓ와 tan를 이용하여 나타내고 BCÓ=BHÓ+CHÓ임을 이용한다. AHÓ=h라 하면 ∠ BAH=45ù이므로 0709 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하고 AHÓ=h라 하면 ∠ BAH=30ù이므로 3 BHÓ=h`tan`30ù= ' 3 h A 30∞ 45∞ h 60∞ B 45∞ C H 3 +1 ∠CAH=45ù이므로 CHÓ=h`tan`45ù=h 3+3 3 h= 3+1 ' BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 3 ' 3 h+h= 3+1, ' ' 3+1) 3( ' 3+ 3 3 =' ∴ h= ' ∴ △ABC= _( 3+1)_ 3= ;2!; ' ' 3 3+ ' 2 답 3 3+ ' 2 BHÓ=h`tan`45ù=h ∠CAH=30ù이므로 3 CHÓ=h`tan`30ù= ' 3 h BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 3 h+ ' 3 ∴ h= h=20, h=20 3+ 3 ' 3 60 3+ 3 ' =10(3- 3) ' ∴ AHÓ=10(3- 3) ' A 45∞ h 30∞ 45∞ B 60∞ C H 20 0710 전략 ACÓ와 BCÓ를 CDÓ와 tan를 이용하여 나타내고 ABÓ=ACÓ-BCÓ임을 이용한다. CDÓ=h`m라 하면 ∠ ∠ ADC=60ù이므로 `ACÓ=h`tan`60ù= 3h`(m) ' BDC=45ù이므로 `BCÓ=h`tan`45ù=h`(m) ABÓ=ACÓ-BCÓ이므로 3h-h=100, ( 3-1)h=100 ' ' ∴ h= 100 3-1 ' =50( 3+1) ' 답 10(3- 3) ' 따라서 지면에서 기구까지의 높이는 50( 3+1)`m이다. ' 답 50( 3+1)`m ' 0707 ∠BAH=40ù이므로 BHÓ=AHÓ`tan`40ù ∠CAH=55ù이므로 CHÓ=AHÓ`tan`55ù BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 AHÓ`tan`40ù+AHÓ`tan`55ù=12 ∴ AHÓ= 12 tan`40ù+tan`55ù 0708 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에 서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하고 CHÓ=h`m라 하면 ∠ACH=45ù이므로 AHÓ=h`tan`45ù=h`(m) ∠BCH=60ù이므로 BHÓ=h`tan`60ù= 3h`(m) ' ABÓ=AHÓ+BHÓ이므로 h+ 3h=200, (1+ 3)h=200 ' ∴ h= =100( 3-1) ' ' 200 1+ 3 ' 답 ④ 45∞ 45∞ A 60∞ C h m H 200 m 30∞ B 따라서 지면으로부터 기구까지의 높이는 100( 3-1)`m이 ' 답 100( 3-1)`m ' 다. 0711 ∠BAH=55ù이므로 `BHÓ=AHÓ`tan`55ù CAH=25ù이므로 `CHÓ=AHÓ`tan`25ù ∠ BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로 AHÓ`tan`55ù-AHÓ`tan`25ù=15 ∴ AHÓ= 15 tan`55ù-tan`25ù 답 ③ 0712 BCÓ=h라 하면 ∠ACB=60ù이므로 ABÓ=h`tan`60ù= 3h ' 3 ∠DCB=30ù이므로 DBÓ=h`tan`30ù= ' 3 h ADÓ=ABÓ-DBÓ이므로 3 3h- ' 3 ' h=10, h=10 2 3 ' 3 ∴ h=10_ 3 ' 2 3 =5 3 ' ∠ ACD=30ù이므로 CDÓ=ADÓ=10 △CDB에서 BCÓ=10`sin`60ù 3 =10_ ' 2 =5 3 ' 답 5 3 ' C 30∞ 30∞ 60∞ D B A 30∞ 10 6. 삼각비의 활용 79  0713 AHÓ=h라 하면 ∠CAH=45ù이므로 CHÓ=h`tan`45ù=h = h ∠ABH=23ù이므로 BHÓ= h 0.4 tan`23ù = ;2%; h …… ㈎ BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로 h-h=9, h=9 ∴ h=6 ;2%; ∴ △ABC= _9_6=27 ;2#; ;2!; 채점 기준 ㈎ CHÓ, BHÓ의 길이를 h에 대한 식으로 나타내기 ㈏ h의 값 구하기 ㈐ △ABC의 넓이 구하기 …… ㈏ …… ㈐ 답 27 비율 40`% 30`% 30`% 0723 ABCD=7_4_sin`(180ù-120ù) 3 =7_4_ ' 2 =14 3 ' 답 14 3 ' 0724 ABCD= _10_12_sin`45ù = 2 _10_12_ ' 2 ;2!; =30 2 ' 답 30 2 ' 0725 ABCD= _12_16_sin`(180ù-120ù) = 3 _12_16_ ' 2 ;2!; =48 3 ' 답 48 3 ' ;2!; ;2!; step 유형 마스터 p.121 ~ p.124 step 개념 마스터 p.120 0726 전략 △ABC= _ABÓ_BCÓ_sin`B임을 이용한다. ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; 0714 △ABC= _4_5_sin 30ù ` = _4_5_ =5 ;2!; 답 5 0715 △ABC= _6_10_sin`45ù = 2 _6_10_ ' 2 ;2!; =15 2 ' 답 15 2 ' 0716 △ABC= _4_6_sin`60ù = 3 _4_6_ ' 2 ;2!; =6 3 ' 답 6 3 ' 0717 △ABC= ;2!; _9_6_sin`(180ù-135ù) △ABC= ;2!; _8_12_sin`60ù = 3 _8_12_ ' 2 ;2!; =24 3 (cmÛ ` ` ' ) 0727 △ABC= _4 5_BCÓ_sin 30ù=20에서 ;2!; ' ` _4 5_BCÓ_ =20, 5 BCÓ=20 ;2!; ' ;2!; ' ∴ BCÓ= 20 5 ' =4 5 ' 0728 ∠C=∠B=75ù이므로 ∠A=30ù ∴ △ABC= _6_6_sin`30ù ;2!; ;2!; 답 24 3 cmÛ ' ` 답 4 5 ' = 2 _9_6_ ' 2 ;2!; = 2 27 ' 2 답 2 27 ' 2 = _6_6_ =9`(cmÛ`) 답 9`cmÛ ;2!; 0718 △ABC= ;2!; _10_9_sin`(180ù-120ù) = 3 _10_9_ ' 2 ;2!; = 3 45 ' 2 답 3 45 ' 2 0729 △ABC= _6_8_sin`x=8 2에서 ;2!; ' 24_sin`x=8 2 2 ∴ sin`x= ' 3 ' 0719 △ABC= _4_8_sin`(180ù-150ù) ;2!; ;2!; = _4_8_ =8 ;2!; 0720 ABCD=3_4_sin`60ù 3 =3_4_ ' 2 =6 3 ' 0721 ABCD=7_6_sin`45ù 2 =7_6_ ' 2 =21 2 ' 0722 ABCD=8_10_sin`(180ù-135ù) 2 =8_10_ ' 2 =40 2 ' 80 정답과 해설 이때 오른쪽 그림에서 QRÓ= 3Û - ( "à ` ∴ tan`x= ' ' 2)Û = 7 ` ' 14 = '¶ 7 ' 2 7 3 7 x Q P 2 R 14 답 '¶ 7 0730 AEÓ∥DCÓ이므로 △AED=△AEC ∴ ABED =△ABE+△AED=△ABE+△AEC =△ABC = _10_12_sin`45ù ;2!; = 2 _10_12_ ' 2 ;2!; =30 2 ' 답 30 2 ' 답 8 답 6 3 ' 답 21 2 ' 답 40 2 ' à  0731 ADÓ=x라 하면 △ABC=△ABD+△ADC 이므로 30∞ 10 A 8 x 30∞ _10_8_sin`60ù ;2!; B D C = _10_x_sin`30ù+ _x_8_sin`30ù …… ㈎ ;2!; ;2!; 3 _10_8_ ' 2 ;2!; = _10_x_ ;2!; + ;2!; ;2!; _x_8_ ;2!; 20 3= x+2x, 20 3= x ∴ x= ' ;2%; ' ;2(; 3 40 ' 9 ∴ ADÓ= 3 40 ' 9 0736 전략 ABCD=△ABC+△ACD임을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면 A  ABCD =△ABC+△ACD = _2 3_4 ;2!; ' cm 2 3 B 4 cm C 150∞ 6 cm 60∞ D 8 cm _sin`(180ù-150ù)+ _8_6_sin`60ù ;2!; = _2 3_4_ + ;2!; ' ;2!; ;2!; 3 _8_6_ ' 2 답 14 3 cmÛ ` ` ' 채점 기준 ㈎ △ABC, △ABD, △ADC의 넓이를 이용하여 식 세우기 ㈏ ADÓ의 길이 구하기 …… ㈏ 답 3 40 ' 9 비율 60`% 40`% =2 ' =14 3+12 3 ' (cmÛ 3 ` ' ) ` 0737 △ABC에서  ABCD =△ABC+△ACD 3 ACÓ=20`sin`60ù=20_ ' 2 =10 3 (cm) ' ` …… ㈎ = _10_20_sin`60ù+ _10 3_12_sin`30ù ;2!; ' ;2!; = 3 _10_20_ ' 2 ;2!; + _10 3_12_ ;2!; ' ;2!; =50 =80 3+30 3 ' ) (cmÛ ' ' 3 ` ` 채점 기준 ㈎ ACÓ의 길이 구하기 ㈏ ABCD의 넓이 구하는 식 세우기 ㈐ ABCD의 넓이 구하기 …… ㈏ …… ㈐ 답 80 3 cmÛ ` ` ' 비율 20 % 40 % 40 % 0738 오른쪽 그림과 같이 정육각형은 6개의 합동인 정삼각형으로 나누어지므로 4 60∞ 4 (정육각형의 넓이) =6_ _4_4_sin`60ù =6_ _4_4_ ' {;2!; {;2!; =24 3 ' } 3 2 } 0739 오른쪽 그림과 같이 정육각형은 6개의 합동인 정삼각형으로 나누어지므로 (정육각형의 넓이) =6_ _6_6_sin`60ù {;2!; {;2!; } 3 2 } =6_ _6_6_ ' 답 24 3 ' 6 60∞ O 6 답 54 3 ' 6. 삼각비의 활용 81 0732 전략 △ABC= ;2!; _BCÓ_ACÓ_sin`(180ù-C)임을 이용한다. △ABC= _3_4 2_sin`(180ù-135ù) ' 2 2_ ' 2 ' = _3_4 =6 (cmÛ ) ` ;2!; ;2!; ` ;2!; = 3 _20_8_ ' 2 ;2!; =40 3 (cmÛ ) ' ` ` 답 6`cmÛ` 답 40 3`cmÛ` ' 0733 △ABC= _20_8_sin`(180ù-120ù) 0734 △ABC= ;2!; _8_ACÓ_sin`(180ù-150ù)=6 2에서 ' _8_ACÓ_ =6 ∴ ACÓ=3 ;2!; 2 ' (cm) 답 3 2 ` ' ' 2 cm ` ;2!; 0735 오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면 ∠ AOC=120ù C B 30∞ 120∞ O 30∞ 4 3 A (색칠한 부분의 넓이) =(부채꼴 AOC의 넓이) -△AOC =p_(4 3)Û _ ' ` 120 360 - _4 3_4 3_sin`(180ù-120ù) ;2!; ' ' =p_48_ - _4 3_4 ;3!; ;2!; ' 3 3_ ' 2 ' =16p-12 3 ' 답 16p-12 3 ' =54 3 ' 0740 오른쪽 그림과 같이 정팔각형은 8개 의 합동인 이등변삼각형으로 나누어 지므로 원의 반지름의 길이를 x`cm x cm 45∞ x cm 0747 전략 △AMN=ABCD-(△ABM+△AND +△NMC)임을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면 A  ABCD= _ACÓ ;2!; `_sin`(180ù-135ù)=20 2에서 ' 0748 △ABD는 직각이등변삼각형이므로 ∠DAB=45ù이고 3 =3_3_ ' 2 = 9 3 ' 2 답 9 3 ' 2 =ABCD-(△ABM+△AND+△NMC) 라 하면 (정팔각형의 넓이) =8_ _x_x_sin`45ù } {;2!; =32 2 ' 8_ _x_x_ ' {;2!; 2 2 } =32 2 ' 2 2xÛ`=32 2, xÛ`=16 ' 따라서 원의 반지름의 길이는 4`cm이다. ' ∴ x=4`(∵ x>0) 답 4`cm 0741  전략 ABCD=ABÓ_BCÓ_sin`B임을 이용한다. ABCD=6_8_sin`60ù 3 =6_8_ ' 2 =24 3 (cmÛ ) ' ` ` 답 24 3 cmÛ ` ` ' 0742 ABCD=3_3_sin`(180ù-120ù) 0743 ABCD=5 3_ABÓ_sin`(180ù-120ù)=30에서 ' 3 3_ABÓ_ ' 2 5 ' ∴ ABÓ=4 =30, ABÓ=30 ;;Á2°;; 답 4 0744 전략 등변사다리꼴의 두 대각선의 길이는 같음을 이용한다. 등변사다리꼴의 두 대각선의 길이는 같으므로 ACÓ=BDÓ _ACÓ ;2!; 2 _ ' 2 ` =20 2 ' ACÓ =80 ∴ ACÓ=4 5 (∵ ACÓ>0) ` ' 답 4 5 ' 0745 △BCO에서 ∠BOC=180ù-(40ù+80ù)=60ù ∴ ABCD= _9_12_sin`60ù ;2!; 0746 △ABC에서 +8Û ACÓ= 6Û "à ` ∴ ABCD= _10_16_sin`45ù = 3 _9_12_ ' 2 ;2!; =27 3 (cmÛ ) ' ` ` = 100=10 (cm) ` ` '¶ ;2!; = 2 _10_16_ ' 2 ;2!; =40 2 (cmÛ ` ` ' ) 채점 기준 ㈎ ACÓ의 길이 구하기 ㈏ ABCD의 넓이 구하는 식 세우기 ㈐ ABCD의 넓이 구하기 82 정답과 해설 …… ㈎ …… ㈏ …… ㈐ 답 40 2 cmÛ ` ` ' 비율 30 % 40 % 30 % D N 6 cm 60∞ B M 10 cm C △ABM= ;2!;△ABC = _ ;2!; ;2!; ABCD = ABCD ;4!; △AND= ;2!;△ACD= ;2!; _ ;2!; ABCD △NMC= ;2!;△DMC= ;2!; _ ;4!; ABCD = ABCD ;4!; DMÓ을 그으면 = ABCD ;8!; ∴ △AMN =ABCD - {;4!; ABCD+ ABCD+ ABCD ;8!; } ;4!; = ABCD= _10_6_sin`60ù ;8#; ;8#; = 3 _10_6_ ' 2 ;8#; = 3 45 ' 4 `(cmÛ`) 답 3 45 ' 4 `cmÛ` ABÓ=2 2`cos`45ù=2 ' 2 2_ ' 2 ' =2 ∴ ABÓ=BDÓ=DCÓ=2 이때 ∠ADC=135ù이므로 △ADC= ;2!; ' _2 2_2_sin`(180ù-135ù) = _2 ;2!; 2 2_2_ ' 2 ' =2 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ACÓ에 내 △ADC= _ACÓ_DHÓ=2 이때 ACÓ= 2Û`+4Û`= 20=2 5이므로 '¶ ' ;2!; "à _2 5_DHÓ=2 ;2!; ' ∴ DHÓ= 2 ' 5 △ADH에서 5 C 2 D 2 B H 135∞ a 2 2 A 2 AHÓ= (2 2)Û`- ¾Ð ' 2 5 ' 5 } Û`= ®Â:£5¤: = 6 5 ' 5 ∴ cos`a= AHÓ ADÓ 5 ' 5 = 6 { = 6 ' 5 1 ' 5 Ö2 2 ' _ 2 2 = 3 10 '¶ 10 답 3 10 '¶ 10 답 27 3`cmÛ ' ` 린 수선의 발을 H라 하면 Û Û Û 0749 오른쪽 그림에서 ADÓ∥BCÓ, ABÓ∥DCÓ이므로 ABCD는 평행사변형이고 ∠ ABH =∠DAB =∠ADH'=a H′ a D 5 cm A 5 cm a a H B C 3`tan`45ù=3 3_1=3 3`(m) …… ㈏ △BCD에서 BDÓ=3 ' ∴ ABÓ =ADÓ+BDÓ ' ' =3+3 3=3(1+ 3)`(m) ' ' 채점 기준 ㈎ ADÓ, CDÓ의 길이 구하기 ㈏ BDÓ의 길이 구하기 ㈐ ABÓ의 길이 구하기 …… ㈐ 답 3(1+ 3)`m ' 비율 50 % 30 % 20 % △AHB에서 ABÓ= `(cm) △ADH'에서 ADÓ= (cm) ∴ ABCD=ABÓ_ADÓ_sin`a 5 sin`a 5 sin`a ` _ 5 sin`a _sin`a = = 5 sin`a 25 sin`a ` (cmÛ ) ` 답 25 sin`a ` cmÛ ` 0754 전략 삼각비를 이용하여 ADÓ, CDÓ의 길이를 구하고 피타고라 스 정리를 이용하여 ABÓ의 길이를 구한다. △ADC에서 step3 내신 마스터 p.125 ~ p.127 21`(cm) 답 ④ 0750 전략 cos 58ù= 이다. BCÓ ABÓ cos`58ù= 이므로 ABÓ= 답 ⑤ 9 ABÓ 9 cos`58ù 0751 전략 ∠APB=90ù임을 이용하여 APÓ의 길이를 구한다. 3 ⑴ APÓ=ABÓ cos`30ù=8_ ' 2 =4 3`(cm) ' ∴ PRÓ=APÓ sin`30ù=4 3_ =2 3`(cm) ' ;2!; ' ⑵ ARÓ=APÓ Ó cos`30ù=4 =6`(cm) 3 3_ ' 2 ' ∴ RBÓ=ABÓ-ARÓ=8-6=2`(cm) ⑶ PRBQ=PRÓ_RBÓ=2 3_2=4 3`(cmÛ`) ' 0752 전략 사람의 눈높이가 1.5`m이므로 나무의 높이는 (BCÓ+1.5) m이다. BCÓ=10`tan`35ù=10_0.7002=7.002`(m) ∴ (나무의 높이)=7.002+1.5=8.502`(m) 답 8.502`m 0753 전략 ABÓ=ADÓ+BDÓ이므로 △CAD, △BCD에서 삼각비 를 이용하여 ADÓ, BDÓ의 길이를 각각 구한다. △CAD에서 ∠CAD=60ù이므로 ADÓ=6`cos`60ù=6_ =3`(m) ;2!; 3 CDÓ=6`sin`60=6_ ' 2 =3 3`(m) ' …… ㈎ 3 ADÓ=4`sin`60ù=4_ ' 2 =2 3`(cm) ' CDÓ=4`cos`60ù=4_ =2`(cm) ;2!; ∴ BDÓ=BCÓ-CDÓ=5-2=3`(cm) △ABD에서 ABÓ= 3Û`+(2 3)Û` = ' '¶ "\ 0755 전략 보조선을 그어 특수한 각을 한 내각으로 하는 직각삼각형 을 만든다. 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에서 C ACÓ에 내린 수선의 발을 H라 하 H 60∞ 10 m 45∞ A 75∞ B 면 ∠C=60ù이므로 BHÓ=10`sin`60ù 3 =10_ ' 2 ∴ ABÓ= 5 3 =5 3`(m) ' ' sin`45ù =5 3_ ' =5 6`(m) 답 5 6`m ' ' 2 2 ' N 40∞ O P 12 km 20∞ Q 16 km H ⑵ 오른쪽 그림에서 OHÓ=12`cos`60ù =12_ =6`(km) ;2!; PHÓ=12`sin`60ù 3 =12_ ' 2 =6 3`(km) ' HQÓ=OQÓ-OHÓ=16-6=10`(km) ⑶ △PHQ에서 PQÓ = (6 3)Û`+10Û`= "à ' 208=4 13`(km) '¶ 답 ⑴ OPÓ=12`km, OQÓ=16`km '¶ ⑵ PHÓ=6 3`km, HQÓ=10`km ' 13`km ⑶ 4 '¶ 6. 삼각비의 활용 83 답 ⑴ 2 3`cm ⑵ 2`cm ⑶ 4 3`cmÛ` ' ' ' 0756 전략 (거리)=(속력)_(시간)임을 이용하여 OPÓ, OQÓ의 길이를 구한다. ⑴ OPÓ=6_2=12`(km), OQÓ=8_2=16`(km)  \ 0757 전략 인공위성에서 지면에 수선을 그어 삼각비를 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 점 P에서 P 0760 h km 30∞ 100 km B A 45∞ h km H 전략 평행선의 성질을 이용하여 △ACD와 넓이가 같은 삼각 형을 찾는다. ACÓ∥DEÓ이므로 △ACD=△ACE ∴ ABCD=△ABC+△ACD =△ABC+△ACE =△ABE …… ㈎ =2h=100( 3+1)(km) 답  100( 3+1)`km ' ' 0758 전략 ∠B가 예각이므로 △ABC= _ABÓ_BCÓ_sin`B이다. A D l = _5_8_sin`60ù ;2!; = 3 _5_8_ ' 2 ;2!; =10 3`(cmÛ`) ' 채점 기준 ㈎ △ACD=△ACE임을 알기 ㈏ ABCD의 넓이 구하기 Lecture 평행선과 삼각형의 넓이 두 직선 l과 m이 평행할 때, △ABC와 △DBC는 밑변 BC 가 공통이고 높이는 h로 같으므로 …… ㈏ 답  10 3`cmÛ` ' 비율 30 % 70 % 넓이가 서로 같다. ➡ l∥m이면 △ABC=△DBC m B h C 답  60ù 지면에 내린 수선의 발을 H라 하고 PHÓ=h`km라 하면 ∠BPH=45ù이므로 BHÓ=h`tan`45ù=h`(km) ∠APH=60ù이므로 AHÓ=h`tan`60ù= 3h`(km) ABÓ=AHÓ-BHÓ이므로 3h-h=100, ( 3-1)h=100 ' ' ' ∴ h= 100 3-1 ' ∴ APÓ= h =50( 3+1) ' sin`30ù =hÖ ;2!; △ABC= ;2!; _8_10_sin`B=20 3에서 40`sin`B=20 3 3, sin`B= ' 2 ' ;2!; ' ∴ ∠B=60ù Lecture ⑴ ∠B가 예각인 경우 3 sin`B= ' 2 에서 ∠B=60ù ⑵ ∠B가 둔각인 경우 3 sin`(180ù-B)= ' 2 ∴ ∠B=120ù 에서 180ù-∠B=60ù 0761 전략 △ABC=△ABD+△ADC임을 이용한다. △ABC=△ABD+△ADC 이므로 6 cm A 45∞45∞ 4 cm D C B = _6_ADÓ_sin`45ù+ _ADÓ_4_sin`45ù ;2!; 2 _6_ADÓ_ ' 2 + 2 _ADÓ_4_ ' 2 ;2!; _6_4 ;2!; ;2!; 12= ;2!; 12= 3 2 2 ' 2 ' 2 12= 5 ADÓ ADÓ+ 2 ADÓ ' ∴ ADÓ=12_ `(cm) = 2 12 ' 5 2 ' 5 2 답  2 12 ' 5 `cm 0762 전략 ∠B가 둔각이므로 _ABÓ_BCÓ_sin`(180ù-B)이다. _x_4_sin`(180ù-120ù)=6에서 △ABC= ;2!; △ABC= ;2!; 3 _x_4_ ' 2 ;2!; =6 3x=6 ∴ x=2 3 ' ' 답  2 3 ' 0759 전략 △ABC=60 3`cmÛ`임을 이용하여 ABÓ의 길이를 구한다. ' △ABC= ;2!; _ABÓ_20_sin`60ù=60 3`에서 ' 3 _ABÓ_20_ ' 2 ;2!; =60 3 ' 5 3_ABÓ=60 3 ∴ ABÓ=12`(cm) ' ' 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 A 서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 12 cm 하면 AHÓ=12`sin`60ù 3 =12_ ' 2 =6 3`(cm) ' B 60∞ H 20 cm C BHÓ=12`cos`60ù=12_ =6`(cm) ;2!; ∴ CHÓ =BCÓ-BHÓ=20-6=14`(cm) △AHC에서 3)Û` ACÓ= +14Û`= 304=4 (6 "à ' '¶ '¶ 19`(cm) 답  4 19`cm '¶ 84 정답과 해설 à  0763 전략 ABCD를 2개의 삼각형으로 나누어 넓이를 구한다. 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면 D ABCD =△ABD+△BCD …… ㈎ = _2 ;2!; 3_2_sin`(180ù-150ù) ' + _2 7_2 7_sin`60ù ;2!; ' ' 2 A 2 3 B 2 7 150∞ 2 7 60∞ C …… ㈏ = _2 3_2_ + _2 7_2 ;2!; ;2!; ' ;2!; ' ' ' = 3+7 3=8 3 ' 3 7_ ' 2 ' 채점 기준 ㈎ ABCD를 2개의 삼각형으로 나누기 ㈏ ABCD의 넓이 구하는 식 세우기 ㈐ ABCD의 넓이 구하기 …… ㈐ 답 8 3 ' 비율 30 % 40 % 30 % 0764 전략 정팔각형은 8개의 합동인 이등변삼각형으로 나눌 수 있다. 오른쪽 그림과 같이 정팔각형은 8개 의 합동인 이등변삼각형으로 나누어 8 cm O 45∞ 지므로 (정팔각형의 넓이) =8_ _8_8_sin`45ù {;2!; {;2!; } 2 2 } ' =8_ _8_8_ ' =128 2`(cmÛ`) 답 128 2`cmÛ` ' 0765 전략 △AOD= ;4!;ABCD임을 이용한다.  ABCD는 평행사변형이므로 △AOD= ;4!; ABCD= _(4_6_sin`60ù) = _ 4_6_ ' ;4!; { ' =3 3`(cmÛ`) 답 3 3`cmÛ` ' ;4!; 3 2 } Lecture 평행사변형의 넓이 평행사변형의 넓이는 두 대각선에 의 A D 해 사등분된다. ➡ △ABO =△BCO=△CDO =△DAO O B C 7 원과 직선 step 개념 마스터 0767 BMÓ=AMÓ=7 ∴ x=7 0768 ABÓ=2BMÓ=2_6=12 ∴ x=12 0769 △OAM에서 r= 5Û`+3Û`= 34 0770 △OMB에서 r= 2Û`+4Û`=2 5 " " '¶ ' 0771 ABÓ=CDÓ=12이므로 AMÓ= ABÓ= _12=6 ∴ x=6 ;2!; ;2!; 0772 ABÓ=2BMÓ=2_4=8이므로 ACÓ=ABÓ=8 ∴ x=8 0773 CDÓ=2CNÓ=2_5=10이므로 ABÓ=CDÓ 따라서 ONÓ=OMÓ=6이므로 x=6 p.130 답 7 답 12 답 '¶ 34 답 2 5 ' 답 6 답 8 답 6 0774 ABÓ=2AMÓ=2_4=8, CDÓ=2DNÓ=2_4=8이므로 ABÓ=CDÓ 따라서 OMÓ=ONÓ=5이므로 x=5 답 5 step 유형 마스터 p.131 ~ p.135 0775 전략 한 원에서 중심각의 크기와 현의 길이는 정비례하지 않 는다. ④ ABÓ=CDÓ=DEÓ이므로 2ABÓ=CDÓ+DEÓ>CEÓ 답 ④ 0776 ⑴ xù：40ù=6：2 ⑵ (180ù-60ù)：60ù=x：5 ∴ x=120 ∴ x=10 답 ⑴ 120 ⑵ 10 0777 ∠AOB`:`∠BOC`:`∠COA =µAB`:`µ BC`:`µ CA ∴ ∠AOB=360ù_ 답 144ù =6`:`5`:`4 6 6+5+4 =144ù 전략 ∠AOB : ∠BOD=µAB : µ BD임을 이용한다. 0778 ABÓ∥CDÓ이므로 7. 원과 직선 85 0766 전략 ABCD= _ACÓ_BDÓ_sin`a임을 이용한다. ;2!; ABCD= _8_10_sin`a  ;2!; ;2!; = _8_10_ =24 ;5#; 답 ① ∠OBA =∠DOB=40ù (엇각) △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB =∠OBA=40ù ∠AOB=180ù-(40ù+40ù)=100ù이므로 100ù :`40ù =µAB`:`8 ∴ µAB=20`(cm) 답 20`cm 0784 전략 직각삼각형 OBD에서 OBÓ, ODÓ의 길이를 r를 사용하여 나타내고 피타고라스 정리를 이용한다. ABÓ⊥OCÓ이므로 BDÓ=ADÓ=4 이때 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 OBÓ=r, ODÓ=r-2 △OBD에서 rÛ`=(r-2)Û`+4Û` ∴ r=5` 4r=20 답 5 A 5 cm B D O 45∞ 45∞ 45∞ C 0785 OCÓ=8`cm이므로 OHÓ= OCÓ= _8=4`(cm) ;2!; ;2!; △OAH에서 AHÓ= 8Û`-4Û`=4 " ∴ ABÓ=2AHÓ=2_4 3=8 ' 3`(cm) 3`(cm) ' ' 답 8 3`cm ' 0779 AOÓ∥DCÓ이므로 ∠DCO=∠AOB=45ù (동위각) 오른쪽 그림과 같이 ODÓ를 그 으면 △DOC에서 OCÓ=ODÓ이 므로 ∠ODC =∠OCD=45ù ∠DOC =180ù-(45ù+45ù) =90ù 45ù :`90ù=5`:`µ CD ∴ µ µ CD=10`(cm) 채점 기준 ㈎ ∠DOC의 크기 구하기 ㈏ µ CD의 길이 구하기 0780 △ODE에서 DOÓ=DEÓ이므로 ∠DOE=∠DEO=15ù ∠ODC=15ù+15ù=30ù △OCD에서 OCÓ=ODÓ이므로 ∠OCD=∠ODC=30ù △OCE에서 ∠AOC=30ù+15ù=45ù 45ù :`15ù=12`:`µ BD ∴ `µ BD=4`(cm) yy`㈎ yy`㈏ 답 10`cm 비율 50`% 50`% 0781 전략 OHÓ⊥ABÓ이면 AHÓ=BHÓ이므로 ABÓ=2AHÓ이다. △OAH에서 AHÓ= 6Û`-3Û`=3 3`(cm) " ' ∴ ABÓ=2AHÓ=2_3 3=6 3`(cm) ' ' 답 6 3`cm ' 0782 AHÓ= ABÓ= _24=12`(cm) ;2!; ;2!; △OAH에서 OAÓ= " 12Û`+5Û`=13`(cm) 답 13`cm 0783 구하는 거리는 오른쪽 그림에서 OHÓ _8=4`(cm) ;2!; 5 cm A O H 8 cm B 의 길이와 같다. ABÓ= AHÓ= ;2!; △OAH에서 OHÓ= " 86 정답과 해설 답 4`cm 0788 전략 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지남을 이용하여 원 0786 ABÓ⊥ODÓ이므로 BCÓ=ACÓ=5 이때 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 OBÓ=r, OCÓ=r-3 △OCB에서 rÛ`=(r-3)Û`+5Û` 6r=34 ∴ r= ;;Á3¦;; 0787 ∠BOH=180ù-120ù=60ù이므로 △OHB에서 OHÓ : HBÓ=1 : ' ∴ HBÓ=5 3 5`:`HBÓ=1`:` 3 3 ' 이때 ABÓ⊥ODÓ이므로 AHÓ=HBÓ=5 3 ' ' 답 ;;Á3¦;; 답 5 3 ' 원의 중심을 O, 반지름의 길이 A B 의 중심을 찾는다. 오른쪽 그림에서 CDÓ의 연장 선은 원의 중심을 지난다. 를 r라 하면 OAÓ=r, ODÓ=r-4 △AOD에서 rÛ`=(r-4)Û`+6Û` 8r=52 ∴ r= Á2£;; ;;Á C 4 D r-4 O 6 r 답 Á2£;; ;;Á 0789 오른쪽 그림에서 CDÓ의 연장선 은 원의 중심을 지난다. 원의 중심을 O라 하면 OAÓ=OCÓ=5`cm이므로 5 cm A B C D 1 cm 4 cm O ODÓ=5-1=4`(cm) △AOD에서 ADÓ= " 5Û`-4Û`=3`(cm) 5Û`-4Û`=3`(cm) 답 3`cm ∴ ABÓ=2ADÓ=2_3=6`(cm) 답 6`cm  0791 오른쪽 그림에서 CDÓ의 연장선은 4 cm C 답 6 B △OAH에서 AH Ó= " 10Û`-5Û`=5 3`(cm) ' ∴ ABÓ=2AHÓ=2_5 3=10 3`(cm) ' ' 답 10 3`cm ' 0794 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O 에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하고 OHÓ의 연장선과 원 O가 만나 는 점을 C라 하면 O A 3 3 r H C 1 r 2 B AHÓ= ABÓ= _6 3=3 3 ;2!; ' ' ;2!; 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 OAÓ=OCÓ=r, OHÓ=HCÓ= OCÓ= ;2!; r ;2!; △OAH에서 rÛ`=(3 3)Û`+ r , rÛ`=36 ' {;2!; } ∴ r=6 (∵ r>0) 0795 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에 서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하 고 OHÓ의 연장선과 원 O가 만나는 점을 C라 하면 A O 2 4 H C B OHÓ=HCÓ= OCÓ= _4=2 ;2!; ;2!; △OAH에서 OAÓ : OHÓ=4 : 2=2 : 1이므로 ∠AOH=60ù 이때 △OAHª△OBH (RHS 합동)이므로 ∠BOH=∠AOH=60ù ∴ ∠AOB=2∠AOH=2_60ù=120ù 답 120ù 0796 전략 OMÓ=ONÓ이면 ABÓ=CDÓ이고 ONÓ⊥CDÓ이면 CNÓ=DNÓ 이다. OMÓ=ONÓ이므로 CDÓ=ABÓ=8`cm 이때 ONÓ⊥CDÓ이므로 CDÓ= _8=4`(cm) ;2!; CNÓ=DNÓ= ;2!; △OCN에서 OCÓ= 5Û`+4Û`= " 41`(cm) '¶ 답 '¶ 41`cm 0790 오른쪽 그림에서 CDÓ의 연장선 은 원의 중심을 지난다. 원의 중심을 O라 하면 yy`㈎ OAÓ=OCÓ=15`cm A 12 cm D 15 cm C O ABÓ= _24=12`(cm)이므로 ;2!; ADÓ= ;2!; △AOD에서 ODÓ= " 15Û`-12Û`=9`(cm) ∴ CDÓ=OCÓ-ODÓ=15-9=6`(cm) yy`㈏ yy`㈐ 답 6`cm 비율 30`% 40`% 30`% 8 cm A D 16 cm B r cm (r-4) cm O 채점 기준 ㈎ 그림에 원의 중심 O 표시하기 ㈏ ODÓ의 길이 구하기 ㈐ CDÓ의 길이 구하기 원의 중심을 지난다. 원의 중심을 O, 반지름의 길이를 r`cm라 하면 OAÓ=r`cm, ODÓ=(r-4)`cm _16=8`(cm) ADÓ= ABÓ= ;2!; ;2!; △AOD에서 rÛ`=(r-4)Û`+8Û` ∴ r=10 8r=80 따라서 접시의 지름의 길이는 20`cm이다. 답 20`cm 0792 오른쪽 그림에서 HPÓ의 연장 선은 원의 중심을 지난다. 10 cm 원의 중심을 O라 하면 A B 6 cm 4 cm H O P OAÓ=OPÓ=10`cm이므로 OHÓ=10-4=6`(cm) △OAH에서 AHÓ= ∴ ABÓ=2AHÓ=2_8=16`(cm) 10Û`-6Û`=8`(cm) " ∴ △APB= ;2!; _16_4=32`(cmÛ`) 답 32`cmÛ` 0793 전략 원의 중심 O에서 ABÓ에 수선을 긋고 피타고라스 정리를 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에 서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하 고 OHÓ의 연장선과 원 O가 만나는 점을 C라 하면 OAÓ=OCÓ=10`cm OHÓ=HCÓ= OCÓ= _10=5`(cm) ;2!; ;2!; 10 cm O A 5 cm B H C 0797 OMÓ⊥ABÓ이므로 AMÓ=BMÓ=5`cm △OAM에서 OMÓ= 6Û`-5Û`= " 11`(cm) '¶ 이때 ABÓ=CDÓ=10`cm이므로 ONÓ=OMÓ= 11`cm '¶ 답 '¶ 11`cm 7. 원과 직선 87 2 0798 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에 서 ABÓ에 내린 수선의 발을 N이라 N 3 2 A B O 3 yy`㈎ C M D 하면 ABÓ=CDÓ이므로 ONÓ=OMÓ=3 △AON에서 ANÓ= (3 2)Û`-3Û`=3이므로 " ' ABÓ=2ANÓ=2_3=6 ∴ △OBA= _6_3=9 ;2!; 0803 ⑴ AMON에서 ∠MAN=360ù-(90ù+120ù+90ù)=60ù yy`㈎ OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ ∴ ∠ABC= _(180ù-60ù)=60ù yy`㈏ ;2!; ⑵ 오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면 △OAMª△OAN (RHS 합동) 이므로 ∠OAM=∠OAN A 120∞ M O N B C yy`㈏ yy`㈐ 답 9 비율 35`% 35`% 30`% 채점 기준 ㈎ 원의 중심 O에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 N이라 할 때, ONÓ의 길이 구하기 ㈏ ABÓ의 길이 구하기 ㈐ △OBA의 넓이 구하기 0799 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 두 현 AB, CD에 내린 수선의 발을 각 12 cm A 각 M, N이라 하면 ABÓ=CDÓ이므로 OMÓ=ONÓ BMÓ= ABÓ= _12=6`(cm) ;2!; ;2!; B 10 cm M O N D C 12 cm △OBM에서 OMÓ= 따라서 ABÓ와 CDÓ 사이의 거리는 MNÓ의 길이와 같으므로 10Û`-6Û`=8`(cm) " MNÓ=2OMÓ=2_8=16`(cm) 답 16`cm 0800 전략 OMÓ=ONÓ이면 ABÓ=ACÓ이므로 △ABC는 이등변삼 각형이다. OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ 따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠ABC= _(180ù-50ù)=65ù ;2!; 답 65ù 0801 OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ 따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠ACB=∠ABC=55ù ∴ ∠BAC=180ù-2_55ù=70ù 답 70ù 0802 ODÓ=OEÓ=OFÓ이므로 ABÓ=BCÓ=CAÓ=6`cm 따라서 △ABC는 정삼각형이므로 3 △ABC= ' 4 _6Û`=9 3`(cmÛ`) ' 답 9 3`cmÛ` ' Lecture 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이는 ' aÛ` 3 4 88 정답과 해설 = _60ù=30ù ;2!; △OAM에서 ∠MOA=180ù-(90ù+30ù)=60ù 이때 OAÓ=10`cm이므로 OAÓ：AMÓ=2： 3, 10：AMÓ=2： 3 ' ' ∴ AMÓ=5 3`(cm) ' ∴ ABÓ=2AMÓ=2_5 ' 이때 △ABC는 정삼각형이므로 ABÓ=BCÓ=CAÓ=10 3=10 3`cm ' ' 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 10 3_3=30 3`(cm) ' ' 3`(cm) yy`㈐ yy`㈑ 답 ⑴ 60ù ⑵ 30 3`cm 채점 기준 ㈎ ∠MAN의 크기 구하기 ㈏ ∠ABC의 크기 구하기 ㈐ ABÓ의 길이 구하기 ㈑ △ABC의 둘레의 길이 구하기 ' 비율 20`% 20`% 40`% 20`% 0804 ①, ②, ④ OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=BCÓ 따라서 ∠ACB=∠BAC=60ù(④)이므로 ∠ABC=180ù-(60ù+60ù)=60ù 즉 △ABC는 정삼각형이다. △OBMª△OBN (RHS 합동)이므로 ∠OBN= ∠ABC= _60ù=30ù ;2!; ;2!; △OBN에서 ONÓ：BNÓ=1： ' ∴ BNÓ=3 3：BNÓ=1： 3 3 ' 3`(cm) ' ∴ BCÓ=2BNÓ=2_3 3=6 3`(cm)(②) ' ' AMÓ= ABÓ= BCÓ ;2!; ;2!; = _6 3=3 3`(cm)(①) ;2!; ' ' ③ △OBN에서 OBÓ：ONÓ=2：1 OBÓ：3=2：1 ∴ OBÓ=6`(cm) 3 ⑤ △ABC= ' 4 _(6 3)Û`=27 3`(cmÛ`) ' ' 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 답 ③ step 개념 마스터 p.136 0814 전략 ABÓ는 작은 원의 접선이므로 OPÓ⊥ABÓ이고 ABÓ는 큰 원 0805 △PBA에서 PAÓ=PBÓ이므로 ∠PAB=∠PBA ∴ ∠x= _(180ù-50ù)=65ù ;2!; 답 65ù 0806 ∠OAP=90ù이므로 △OPA에서 13Û`-5Û`=12`(cm) PAÓ= " ∴ PBÓ=PAÓ=12`cm 0807 AFÓ=ADÓ=3, CEÓ=CFÓ=8-3=5이므로 BDÓ=BEÓ=9-5=4 ∴ x=4 0808 ADÓ=AFÓ=3, BEÓ=BDÓ=7-3=4, CEÓ=CFÓ=2이므로 BCÓ=BEÓ+CEÓ=4+2=6 ∴ x=6 0809 7+x=6+9 ∴ x=8 0810 7+5=3+x ∴ x=9 답 12`cm 답 4 답 6 답 8 답 9 step 유형 마스터 p.137 ~ p.146 0811 전략 원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름에 수직이므로 △OPT는 ∠OTP=90ù인 직각삼각형이다. 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 OTÓ=OBÓ=r`cm, OPÓ=(r+2)`cm ∠OTP=90ù이므로 △OPT에서 (r+2)Û`=rÛ`+4Û`, 4r=12 ∴ r=3 따라서 원 O의 반지름의 길이는 3`cm이다. 답 3`cm 0812 OQÓ=OTÓ=4`cm이므로 POÓ=2OQÓ=2_4=8`(cm) ∠PTO=90ù이므로 △TPO에서 PTÓ= 8Û`-4Û`=4 3`(cm) " ' 답 4 3`cm ' 0813 ∠PTO=90ù이므로 △POT에서 PTÓ : OTÓ= 3`:`OTÓ= 3 : 1, 2 ' ' 3`:`1 ' ∴ OTÓ=2`(cm) POÓ`= (2 3)Û`+2Û`=4`(cm) " ' 이때 OAÓ=OTÓ=2`cm이므로 PAÓ=POÓ-OAÓ=4-2=2`(cm) 채점 기준 ㈎ OTÓ의 길이 구하기 ㈏ POÓ의 길이 구하기 ㈐ PAÓ의 길이 구하기 yy`㈎ yy`㈏ yy`㈐ 답 2`cm 비율 40`% 20`% 40`% 의 현이므로 ABÓ=2APÓ이다. ∠OPA=90ù이므로 △OAP에서 5Û`-4Û`=3`(cm) APÓ= " ∴ ABÓ=2APÓ=2_3=6`(cm) 답 6`cm 0815 오른쪽 그림과 같이 작은 원과 ABÓ의 접점을 H라 하고 OHÓ를 그으면 ∠OHB=90ù, OHÓ=6`cm이므로 △OHB에서 HBÓ= 8Û`-6Û`=2 7`(cm) " ' 8 cm 6 cm A B O H ∴ ABÓ=2HBÓ=2_2 7=4 7`(cm) ' ' 답 4 7`cm ' 0816 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 r¡ cm r™ cm O AHÓ= ABÓ= _12=6`(cm) ;2!; ;2!; A 큰 원의 반지름의 길이를 rÁ`cm, 작 B H 12 cm 은 원의 반지름의 길이를 rª`cm라 하면 OAÓ=rÁ`cm, OHÓ=rª`cm이므로 △OAH에서 rÁÛ`=6Û`+rªÛ`　　∴ rÁÛ`-rªÛ`=36 ∴ (색칠한 부분의 넓이) =prÁÛ`-prªÛ` =p(rÁÛ`-rªÛ`)=36p`(cmÛ`) 답 36p`cmÛ` 0817 전략 PA³, PB³가 원 O의 접선이므로 ∠PAO=∠PBO=90ù 이다. ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 ∠P+135ù=180ù ∴ ∠P=45ù 답 45ù 0818 ∠OAP=∠OBP=90ù이므로 ∠AOB+42ù=180ù OAÓ=OBÓ이므로 △OBA에서 ∴ ∠AOB=138ù ∠OBA= _(180ù-138ù)=21ù ;2!; 답 21ù 0819 ⑴ ∠PTO=∠PT'O=90ù이므로 80ù+∠TOT'=180ù ∴ ∠TOT'=100ù ⑵ 색칠한 부채꼴의 중심각의 크기는 360ù-100ù=260ù이 므로 (색칠한 부분의 넓이)=p_6Û`_ 260 360 =26p`(cmÛ`) 답 ⑴ 100ù ⑵ 26p`cmÛ` 0820 ∠PAO=90ù이므로 ∠PAB=90ù-24ù=66ù 이때 PAÓ=PBÓ이므로 △PBA에서 ∠PBA=∠PAB=66ù ∴ ∠P=180ù-2_66ù=48ù 답 48ù 7. 원과 직선 89 0821 PAÓ=PBÓ이고 ∠P=60ù이므로 △PBA에서 ∠PAB=∠PBA= _(180ù-60ù)=60ù yy`㈎ ;2!; ⑤ ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 APBO에서 ∠APB+∠AOB=360ù-(90ù+90ù)=180ù 따라서 옳지 않은 것은 ①이다. 답 ① 따라서 △PBA는 정삼각형이므로 3 △PBA= ' 4 _8Û`=16 3`(cmÛ`) ' 채점 기준 ㈎ △PBA에서 ∠PAB, ∠PBA의 크기 구하기 ㈏ △PBA가 어떤 삼각형인지 말하기 ㈐ △PBA의 넓이 구하기 yy`㈏ yy`㈐ 답 16 3`cmÛ` ' 비율 40`% 20`% 40`% A 30∞ B 0822 오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OBÓ를 그으면 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 O 120∞ C P ∠OAC=90ù-30ù=60ù 이때 ACÓ=BCÓ, OAÓ=OBÓ이므 로 AOBC에서 ∠OBC=∠OAC=60ù ∴ ∠AOB=360ù-(60ù+60ù+120ù)=120ù 따라서 120ù+∠P=180ù이므로 ∠P=60ù 답 60ù 오른쪽 그림과 같이 ABÓ를 그으면 △ABC에서 CAÓ=CBÓ이므로 ∠CAB= _(180ù-120ù)=30ù ;2!; 이때 ∠PAB=30ù+30ù=60ù이고 PAÓ=PBÓ이므로 △PAB에서 ∠PBA=∠PAB=60ù ∴ ∠P=180ù-2_60ù=60ù A 30∞ C P 30∞ O 120∞ B 전략 PAÓ=PBÓ임을 이용한다. 0823 OCÓ=OBÓ=4`cm이므로 POÓ=6+4=10`(cm) 이때 ∠PBO=90ù이므로 △PBO에서 PBÓ= 10Û`-4Û`=2 21`(cm) " ∴ PAÓ=PBÓ=2 '¶ 21`cm '¶ 답 2 21`cm '¶ 0826 BPÓ=APÓ=6 ' 3`cm 이때 ∠OBP=90ù, ∠POB=60ù이므로 △POB에서 OBÓ：BPÓ=1 : 3, OBÓ：6 3=1： 3 ' ' ' ∴ OBÓ=6`(cm) 답 6`cm 0827 ① ∠APB+120ù=180ù이므로 ∠APB=60ù ② △PAOª△PBO (RHS 합동)이므로 ∠APO= ∠APB= _60ù=30ù ;2!; OAÓ=OBÓ이므로 △OAB에서 ∠OAB= _(180ù-120ù)=30ù ;2!; ;2!; ∴ ∠APO=∠OAB=30ù ③ ∠PAO=90ù, ∠APO=30ù이므로 △APO에서 POÓ`: OAÓ=2 : 1, POÓ`:`12=2`:`1 ∴ POÓ=24`(cm) ④ PAÓ`: OAÓ= 3 : 1, PAÓ`:`12= 3`:`1 ' ∴ PAÓ=12 ' 3`(cm) ' ⑤ ∠APB=60ù이고 PAÓ=PBÓ이므로 △PBA는 정삼각 형이다. ∴ ABÓ=PAÓ=12 3`cm ' 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 0828 ∠PAO=90ù이므로 △APO에서 10Û`-6Û`=8`(cm) PAÓ= " 이때 AHÓ⊥POÓ이므로 APÓ_AOÓ=POÓ_AHÓ에서 8_6=10_AHÓ ∴ AHÓ= `(cm) ;;ª5¢;; ∴ ABÓ=2AHÓ=2_ = ;;ª5¢;; ;;¢5¥;; `(cm) 답 ;;¢5¥;; `cm △APH와 △BPH에서 PAÓ=PBÓ, ∠APH=∠BPH, PHÓ는 공통이므로 △APHª△BPH`(SAS 합동) 따라서 ∠AHP=∠BHP=90ù이므로 AHÓ⊥POÓ 전략 ADÓ=AFÓ, CEÓ=CDÓ, BEÓ=BFÓ임을 이용한다. AFÓ=ADÓ=8`cm이므로 BEÓ=BFÓ=8-6=2`(cm) CEÓ=CDÓ=8-5=3`(cm) ∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ=2+3=5`(cm) 답 5`cm 0824 ∠PAO=90ù이므로 △APO에서 17Û`-8Û`=15`(cm) PAÓ= " ∴ PBÓ=PAÓ=15`cm 0829 답 15`cm 0825 ① AOÓ의 길이는 알 수 없다. ② ∠PAO=∠PBO=90ù 90 정답과 해설 ③ PBÓ=PAÓ=10`cm ④ △PAOª△PBO (RHS 합동)이므로 ∠APO=∠BPO BEÓ=BFÓ, CEÓ=CDÓ이므로 ABÓ+BCÓ+CAÓ=ADÓ+AFÓ=2ADÓ, 6+BCÓ+5=2_8 ∴ ∠APB=2∠APO ∴ BCÓ=5`(cm) 0830 BEÓ=BFÓ ABÓ+BCÓ+CAÓ =ADÓ+AFÓ=2ADÓ Ó, CEÓ=CDÓ이므로 △ABC의 둘레의 길이는 0836 CPÓ=CAÓ=5`cm, DPÓ=DBÓ=8`cm이므로 CDÓ=5+8=13`(cm) yy`㈎ 0833 BFÓ=BEÓ, CDÓ=CEÓ이므로 ADÓ+AFÓ =ABÓ+BCÓ+CAÓ ㈏ 꼭짓점 C에서 DBÓ에 내린 수선의 발을 H라 할 때, =2_10=20`(cm) 답 20`cm 0831 ∠ADO=90ù이므로 △AOD에서 13Û`-5Û`=12`(cm) ADÓ= " BEÓ=BFÓ, CEÓ=CDÓ이므로 △ABC의 둘레의 길이는 ABÓ+BCÓ+CAÓ =ADÓ+AFÓ=2ADÓ =2_12=24`(cm) 답 24`cm 0832 ④ BEÓ=CEÓ인 경우에만 △OBEª△OCE가 성립한다. 답 ④ =10+8+8=26`(cm) yy`㈎ 이때 ADÓ=AFÓ이므로 ADÓ=AFÓ= _26=13`(cm) ;2!; yy`㈏ ∴ BFÓ=AFÓ-ABÓ=13-10=3`(cm) 　 CDÓ=ADÓ-ACÓ=13-8=5`(cm) yy`㈐ 답 BFÓ=3`cm, CDÓ=5`cm 채점 기준 ㈎ ADÓ+AFÓ의 길이 구하기 ㈏ ADÓ, AFÓ의 길이 구하기 ㈐ BFÓ, CDÓ의 길이 구하기 비율 40`% 20`% 40`% 0834 ∠ABC=90ù이므로 △ABC에서 20Û`-16Û`=12`(cm) BCÓ= " ADÓ+AFÓ =ABÓ+BCÓ+CAÓ =16+12+20=48`(cm) 이때 ADÓ=AFÓ이므로 AFÓ= _48=24`(cm) ;2!; ∴ BEÓ=BFÓ=AFÓ-ABÓ=24-16=8`(cm) 답 8`cm 0835 전략 원의 접선의 성질을 이용하여 ADÓ의 길이를 구한 후 꼭짓 점 D에서 ABÓ에 수선을 그어 피타고라스 정리를 이용한다. AEÓ=ABÓ=9`cm, DEÓ=DCÓ=4`cm이므로 ADÓ=9+4=13`(cm) 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A D에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 HBÓ=DCÓ=4`cm이므로 AHÓ=9-4=5`(cm) 5 cm H 4 cm B 9 cm E 4 cm D 4 cm C O △AHD에서 DHÓ= 13Û`-5Û`=12`(cm) " ∴ ABCD= _(4+9)_12=78`(cmÛ`) 답 78`cmÛ` ;2!; 8 cm D 5 cm P 5 cm C A O 3 cm H 5 cm B yy`㈏ yy`㈐ 답 4 10`cm '¶ 비율 40`% 40`% 20`% 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서 DBÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 HBÓ=CAÓ=5`cm이므로 DHÓ=8-5=3`(cm) △CHD에서 CHÓ= " ∴ ABÓ=CHÓ=4 13Û`-3Û`=4 10`(cm) '¶ 10`cm '¶ 채점 기준 ㈎ CDÓ의 길이 구하기 CHÓ의 길이 구하기 ㈐ ABÓ의 길이 구하기 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C 에서 BFÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 FHÓ=ECÓ=2`cm이므로 BHÓ=6-2=4`(cm) △CHB에서 CHÓ= " 즉 EFÓ=CHÓ=4 8Û`-4Û`=4 ' 2 3`cm이다. ' ∴ (원 O의 넓이)=p_(2 ' 0837 BGÓ=BFÓ=6`cm이므로 CGÓ=8-6=2`(cm) ∴ CEÓ=CGÓ=2`cm 2 cm C D E 2 cm G O 6 cm A B 4 cm F H 2 cm 3`(cm) ' 3`cm이므로 원 O의 반지름의 길이는 3)Û`=12p`(cmÛ`) 답 12p`cmÛ` 0838 ② ACÓ+BDÓ=PCÓ+PDÓ=CDÓ A C O B P D 이때 CDÓ+ABÓ이므로 ACÓ+BDÓ+ABÓ ③ △OBD와 △OPD에서 ∠OBD=∠OPD=90ù, ODÓ는 공통, OBÓ=OPÓ이므로 △OBDª△OPD (RHS 합동) ∴ ∠BDO=∠PDO ④ ABDC에서 ∠CAB=∠ABD=90ù이므로 ∠ACD+∠CDB=360ù-(90ù+90ù)=180ù 이때 △OACª△OPC, △OBDª△OPD이므로 ∠ACO+∠BDO= ∠ACD+ ∠CDB ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; = (∠ACD+∠CDB) = _180ù=90ù 7. 원과 직선 91 ⑤ ∠AOC=∠POC, ∠BOD=∠POD이므로 ∠COD= _180ù=90ù ;2!; 따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 답 ② 0843 ADÓ=x`cm라 하면 AFÓ=ADÓ=x`cm이므로 BEÓ=BDÓ=(14-x)`cm, CEÓ=CFÓ=(12-x)`cm A H B D 10 cm 10 cm O 10 cm F x cm E x cm C 0839 ECÓ=EFÓ=x`cm라 하고 오른쪽 그림과 같이 점 E에 서 ABÓ에 내린 수선의 발을 10 cm H라 하면 AFÓ=ABÓ=10`cm이므로 AEÓ=(10+x)`cm HBÓ=ECÓ=x`cm이므로 AHÓ=(10-x)`cm △AHE에서 (10+x)Û`=(10-x)Û`+10Û` 40x=100　　∴ x= ;2%; ∴ AEÓ=10+ = `(cm) ;2%; :ª2°: 답 :ª2°: `cm 0840 AEÓ=ABÓ=2`cm, DEÓ=DCÓ=8`cm이므로 ADÓ=2+8=10`(cm) 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 DCÓ에 내린 수선의 발 8 cm 을 H라 하면 HCÓ=ABÓ=2`cm이므로 DHÓ=8-2=6`(cm) 2 cm E A 2 cm B △AHD에서 AHÓ= 이때 BCÓ=AHÓ=8`cm이므로 10Û`-6Û`=8`(cm) " OEÓ= BCÓ= _8=4`(cm) ;2!; ;2!; ;2!; ∴ △AOD= _10_4=20`(cmÛ`) 답 20`cmÛ` 0841 전략 BEÓ=BDÓ, AFÓ=ADÓ, CFÓ=CEÓ이고 ACÓ=AFÓ+CFÓ임을 이용한다. BDÓ=x`cm라 하면 BEÓ=BDÓ=x`cm이므로 AFÓ=ADÓ=(10-x)`cm, CFÓ=CEÓ=(12-x)`cm 이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ에서 (10-x)+(12-x)=8` 2x=14 ∴ x=7 ∴ BDÓ=7`cm 답 7`cm 0842 AFÓ=ADÓ=12-7=5`(cm)이고 BEÓ=BDÓ=7`cm이므로 CFÓ=CEÓ=11-7=4`(cm) 92 정답과 해설 이때 BCÓ=BEÓ+CEÓ에서 (14-x)+(12-x)=16 2x=10 ∴ x=5 ∴ ADÓ=5`cm 채점 기준 ㈎ ADÓ=x`cm라 할 때, AFÓ, BEÓ, CEÓ의 길이를 x에 ㈏ BCÓ=BEÓ+CEÓ임을 이용하여 x에 대한 식 세우기 20`% 대한 식으로 나타내기 ㈐ ADÓ의 길이 구하기 0844 ADÓ=x`cm라 하면 AFÓ=ADÓ=x`cm BEÓ=BDÓ=6`cm, CEÓ=CFÓ=5`cm이므로 ABÓ+BCÓ+CAÓ=30에서 2(x+6+5)=30 2x=8 ∴ x=4` ∴ ADÓ=4`cm yy`㈎ yy`㈏ yy`㈐ 답 5`cm 비율 60`% 20`% 답 4`cm D 6 cm H 2 cm O C 0845 BDÓ=BEÓ=6`cm이므로 ADÓ=10-6=4`(cm) A 오른쪽 그림과 같이 ODÓ를 그 으면 ∠ADO=90ù이므로 △ADO에서 AOÓ= 4Û`+3Û`=5`(cm) " ∴ AGÓ =AOÓ-GOÓ =5-3=2`(cm) D G F 10 cm O 3 cm B 6 cm E C 답 2`cm 0846 BHÓ=x라 하면 BFÓ=BHÓ=x이므로 AIÓ=AFÓ=8-x, CIÓ=CHÓ=10-x 이때 ACÓ=AIÓ+CIÓ에서 (8-x)+(10-x)=6 ∴ x=6 2x=12 ∴ (△DBE의 둘레의 길이) =DBÓ+BEÓ+EDÓ=2BHÓ =2_6=12 답 12 0847 전략 OEÓ, OFÓ를 긋고 OECF는 정사각형임을 이용한다. △ABC에서 ACÓ= 원 O의 반지름의 길이를 r라 13Û`-12Û`=5` " A F C D O E 13 12 하고 오른쪽 그림과 같이 OEÓ, OFÓ를 그으면 OECF가 정 B 사각형이므로 CEÓ=CFÓ=r 이때 BDÓ=BEÓ=12-r, ADÓ=AFÓ=5-r이므로 ABÓ=ADÓ+BDÓ에서 (5-r)+(12-r)=13 ∴ ACÓ=AFÓ+CFÓ=5+4=9`(cm) 답 9`cm 2r=4 ∴ r=2 답 2 0848 △ABC에서 BCÓ= 원 O의 반지름의 길이를 r라 8Û`+15Û`=17 " 하고 오른쪽 그림과 같이 ODÓ, D 8 OCÓ를 그으면 ADOF가 정 F 15 A O B E C 0851 오른쪽 그림과 같이 OFÓ를 그으 면 OECF가 정사각형이므로 CEÓ=CFÓ=OEÓ=4`cm AFÓ=x`cm라 하면 ACÓ=(x+4)`cm 20 cm D 4 cm B A F C O E 사각형이므로 ADÓ=AFÓ=r 이때 BEÓ=BDÓ=8-r, CEÓ=CFÓ=15-r이므로 BCÓ=BEÓ+CEÓ에서 (8-r)+(15-r)=17 2r=6 ∴ r=3 ∴ OECF=2△OEC =2_ _(15-3)_3 =36 답 36 [;2!; ] 0849 BDÓ=BEÓ=4, CFÓ=CEÓ=6 원 O의 반지름의 길이를 r라 A F D 4 O E 하고 오른쪽 그림과 같이 ODÓ, OFÓ를 그으면 ADOF가 정 사각형이므로 B ADÓ=AFÓ=r △ABC에서 (4+6)Û`=(r+4)Û`+(r+6)Û` rÛ`+10r-24=0 (r+12)(r-2)=0 ∴ r=2 (∵ r>0) yy`㈐ 채점 기준 ㈎ BDÓ, CFÓ의 길이 구하기 ㈏ △ABC에서 피타고라스 정리를 이용하여 r에 대 한 식 세우기 ㈐ 원 O의 반지름의 길이 구하기 yy`㈎ C 6 yy`㈏ 답 2 비율 30`% 40`% 30`% 0850 ACÓ：BCÓ=1： ' ∴ ACÓ=2`(cm) 3에서 ACÓ：2 3=1： 3 ' ' ABÓ：ACÓ=2：1에서 ABÓ：2=2：1 ∴ ABÓ=4`(cm) 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하고 오른쪽 그림과 같이 OEÓ, OFÓ를 그으면 OECF가 정사각형이므로 B 30∞ CEÓ=CFÓ=r`cm 이때 BDÓ=BEÓ=(2 3-r)`cm, ' ADÓ=AFÓ=(2-r)`cm이므로 ABÓ=ADÓ+BDÓ에서 (2-r)+(2 3-r)=4 2r=2 3-2 ∴ r= 3-1 ' ' 따라서 원 O의 반지름의 길이는 ( 3-1)`cm이다. ' ' ADÓ=AFÓ=x`cm이므로 BEÓ=BDÓ=(20-x)`cm ∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ=(20-x)+4=24-x`(cm) 이때 △ABC에서 20Û`=(24-x)Û`+(x+4)Û` xÛ`-20x+96=0, (x-12)(x-8)=0 ∴ x=8`(∵ BCÓ>ACÓ) 따라서 BCÓ=24-8=16`(cm), ACÓ=8+4=12`(cm)이므로 △ABC= ;2!; _16_12=96`(cmÛ`) 답 96`cmÛ` 0852 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 O'EÓ를 그 으면 O'ECF는 정사각형이 므로 CEÓ=CFÓ=O'FÓ=2`cm 따라서 △ABC의 둘레의 길 이는 A 2 cm D O 5 cm B O′ E F C ABÓ+BCÓ+CAÓ=ABÓ+(BEÓ+ECÓ)+(AFÓ+FCÓ) =ABÓ+(BDÓ+ECÓ)+(ADÓ+FCÓ) =ABÓ+(BDÓ+ADÓ)+(ECÓ+FCÓ) =2ABÓ+2ECÓ =2_10+2_2=24`(cm) ⑵ O'DÓ를 그으면 O'DÓ=O'EÓ=O'FÓ=2`cm이므로 △ABC=△O'AB+△O'BC+△O'CA = _ABÓ_O'DÓ+ _BCÓ_O'EÓ ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; = _(ABÓ+BCÓ+CAÓ)_O'DÓ = _24_2=24`(cmÛ`) + _CAÓ_O'FÓ ;2!; 답 ⑴ 24`cm ⑵ 24`cmÛ` A F C D O E 2 3 cm 0853 전략 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ임을 이용한다. △ABC에서 BCÓ= ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 15Û`-9Û`=12`(cm) " 9+CDÓ=8+12 ∴ CDÓ=11`(cm) 답 11`cm 0854 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 (ABCD의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CDÓ+DAÓ 답 ( 3-1)`cm ' =2(ABÓ+CDÓ)=2_(7+8) =2_15=30`(cm) 답 30`cm 7. 원과 직선 93  0855 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 (x+2)+(x+1)=x+(2x-1) ∴ x=4 한다. 0859 전략 원 O에서 CAÓ=CPÓ이고 원 O'에서 CPÓ=CBÓ임을 이용 따라서 ADÓ=x=4, BCÓ=2x-1=2_4-1=7이므로 CAÓ=CPÓ, CPÓ=CBÓ이므로 CAÓ=CPÓ=CBÓ (ABCD의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CDÓ+DAÓ ∴ CPÓ= ABÓ= _16=8`(cm) ;2!; ;2!; 답 8`cm =2(ADÓ+BCÓ)=2_(4+7) =2_11=22 답 22 0856 오른쪽 그림과 같이 ORÓ를 그으 면 QBRO가 정사각형이므로 QBÓ=ORÓ=6`cm 이때 AQÓ=APÓ=4`cm이므로 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ에서 (4+6)+15=(4+DPÓ)+13 D P 4 cm A 15 cm S 6 cm O 6 cm Q B R 13 cm C 25=17+DPÓ ∴ DPÓ=8`(cm) 답 8`cm 0857 원 O의 반지름의 길이가 5`cm이므로 ABÓ=2_5=10`(cm) ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 ADÓ+BCÓ=ABÓ+CDÓ=10+12=22`(cm) 0860 ①, ② CAÓ=CTÓ=CBÓ이므로 CTÓ= ABÓ ;2!; ③ ∠CBT=60ù인지 알 수 없다. ④ CAÓ=CTÓ이므로 ∠CAT=∠CTA ⑤ CAÓ=CTÓ=CBÓ이므로 △CAT, △CTB는 모두 이등 변삼각형이다. 이때 ∠CAT=∠CTA=∠x, ∠CTB=∠CBT=∠y 라 하면 △ATB에서 2(∠x+∠y)=180ù ∴ ∠x+∠y=90ù ∴ ∠ATB=∠x+∠y=90ù 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 답 ③ ∴ ABCD= _22_10=110`(cmÛ`) 답 110`cmÛ` ;2!; 0861 QAÓ=QPÓ=QBÓ 0858 ⑴ ABÓ+CDÓ =ADÓ+BCÓ=6+16=22`(cm) 이때 ABCD는 등변사다리꼴이므로 ABÓ=CDÓ= _22=11`(cm) ;2!; yy`㈎ 즉 △QAP, △QPB는 모두 이등변삼각형이므로 ∠QAP=∠QPA=∠x, ∠QPB=∠QBP=∠y라 하면 △APB에서 2∠x+2∠y=180ù ∴ ∠x+∠y=90ù 따라서 ∠APB=∠x+∠y=90ù이므로 ⑵ 오른쪽 그림과 같이 두 꼭 A 6 cm D ∠QPB=∠APB-∠APQ=90ù-43ù=47ù 답 47ù 짓점 A, D에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 각각 E, F라 O 하면 EFÓ=ADÓ=6`cm이 므로 B C E F 16 cm BEÓ=CFÓ= _(16-6)=5`(cm) ;2!; △ABE에서 AEÓ= 따라서 원 O의 반지름의 길이는 11Û`-5Û`=4 " ' AEÓ= _4 6=2 6`(cm) ;2!; ' ' ;2!; yy`㈐ ⑶ ABCD= _(6+16)_4 6=44 6`(cmÛ`)이므로 ;2!; ' (색칠한 부분의 넓이) =ABCD-(원 O의 넓이) =44 6-p_(2 6)Û`` =44 6-24p`(cmÛ`) yy`㈑ 6`cm ⑶ (44 6-24p)`cmÛ` ' ' ' ' 답 ⑴ 11`cm ⑵ 2 채점 기준 ' ' ㈎ ABÓ의 길이 구하기 ㈏ 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 E라 할 때, AEÓ의 길이 구하기 ㈐ 원 O의 반지름의 길이 구하기 ㈑ 색칠한 부분의 넓이 구하기 비율 30`% 30`% 10`% 30`% 94 정답과 해설 0862 전략 가장 짧은 선분인 EFÓ의 길이를 x로 놓고 DEÓ, CEÓ를 x에 대한 식으로 나타낸 후 △DEC에서 피타고라스 정리를 이 용한다. EFÓ=x라 하면 EGÓ=EFÓ=x 6`(cm) yy`㈏ 원 O의 반지름의 길이가 2이므로 AHÓ=BFÓ=2 DGÓ=DHÓ=6-2=4 CEÓ=6-(2+x)=4-x 이때 DEÓ=4+x이므로 △DEC에서 (4+x)Û`=(4-x)Û`+4Û` 16x=16 ∴ x=1 ∴ DEÓ=4+x=4+1=5 답 5 DEÓ=x라 하면 ABED가 원 O에 외접하므로 ABÓ+DEÓ=ADÓ+BEÓ에서 4+x=6+BEÓ ∴ BEÓ=x-2 이때 CEÓ=6-(x-2)=8-x이므로 △DEC에서 xÛ`=(8-x)Û`+4Û` ∴ x=5 16x=80 ∴ DEÓ=5 0863 △DEC에서 CEÓ= " BEÓ=x`cm라 하면 ADÓ=BCÓ=(x+9)`cm 15Û`-12Û`=9`(cm) 이때 ABED가 원 O에 외접하므로 ADÓ+BEÓ=ABÓ+DEÓ에서 (x+9)+x=12+15 2x=18 ∴ x=9 ∴ BEÓ=9`cm 답 9`cm 0864 ⑴ IDÓ=GCÓ=5`cm이므로 AFÓ=AIÓ=15-5=10`(cm) EFÓ=x`cm라 하면 AEÓ=AFÓ+EFÓ=10+x`(cm) 또 EGÓ=EFÓ=x`cm이므로 BEÓ=BCÓ-ECÓ=15-(x+5)=10-x`(cm) △ABE에서 (10+x)Û`=10Û`+(10-x)Û` 40x=100 ∴ x= ;2%; ∴ EFÓ= `cm ;2%; ⑵ BEÓ=10-x=10- = `(cm)이므로 ;2%; ;;Á2°;; △ABE= _ ;2!; ;;Á2°;; _10= `(cmÛ`) ;;¦2°;; 답 ⑴ ;2%; `cm ⑵ ;;¦2°;; `cmÛ` 0865 전략 점 O'에서 OEÓ에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 직각삼각 형 OHO'에서 피타고라스 정리를 이용한다. ⑴ 원 O의 지름의 길이는 ABÓ의 길이와 같으므로 원 O의 반지름의 길이는 ABÓ= _8=4 ∴ OEÓ=4 ;2!; ;2!; ⑵ O'FÓ=x라 하면 원 O'의 반지름의 길이는 x이고 원 O의 반지름의 길이는 4이므로 =4+x ⑶ EFÓ =BCÓ-(BEÓ+FCÓ) =10-(4+x)=6-x ⑷ 오른쪽 그림과 같이 점 O'에 서 OEÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 OHÓ=4-x, HO'Ó=EFÓ=6-x이므로 △OHO'에서 (4+x)Û`=(4-x)Û`+(6-x)Û` A 8 10 D O 4-x H O′ 4 6-x x E x x F x C B 4 0866 오른쪽 그림에서 OEÓ= ABÓ= _18=9 ;2!; ;2!; 점 O'에서 OEÓ에 내린 수선의 발을 H라 하고 원 O'의 반지 름의 길이를 x라 하면 OO'Ó=9+x, OHÓ=9-x, 25 9 A 18 O 9-x H x 16-x B 9 E D x F O′ x x C HO'Ó=EFÓ=BCÓ-(BEÓ+FCÓ)=25-(9+x)=16-x 따라서 △OHO'에서 (9+x)Û`=(9-x)Û`+(16-x)Û` xÛ`-68x+256=0, (x-4)(x-64)=0 ∴ x=4 (∵ 00)라 하면 △ABC에서 (5a)Û`=16Û`+(3a)Û`이므로 16aÛ`=256, aÛ`=16 ∴ a=4 (∵ a>0) ∴ ABÓ=5_4=20`(cm), ACÓ=3_4=12`(cm) 내접원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하고 오른쪽 그림과 같이 OFÓ, OGÓ를 그으면 OFCG는 정사각형이므로 CFÓ=CGÓ=OFÓ=r`cm A E O G C F 6 cm B 10 cm D 이때 AEÓ=AGÓ=(12-r)`cm, BEÓ=BFÓ=(16-r)`cm 이므로 ABÓ=AEÓ+BEÓ에서 (12-r)+(16-r)=20 ∴ r=4 따라서 내접원 O의 반지름의 길이는 4`cm이다. 답 4`cm Lecture 삼각형의 내각의 이등분선 △ABC에서 ∠A의 이등분선이 BCÓ와 만나는 점을 D라 하면 ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ A B C D 0871 전략 OCÓ=OBÓ= CDÓ이고, AMÓ=BMÓ= ABÓ임을 이용 ;2!; ;2!; 한다. 오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면 OBÓ=OCÓ= CDÓ= _30=15, ;2!; ;2!; OMÓ=15-6=9이므로 △OBM에서 BMÓ= ∴ ABÓ=2BMÓ=2_12=24 " 15Û`-9Û`=12 A B 9 30 15 C 6 M O D 답 ⑤ 0872 전략 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지남을 이용하여 원 의 중심을 찾는다. 오른쪽 그림에서 CDÓ의 연장선은 원의 중심을 지난다. 원의 중심을 O라 하면 OAÓ=OCÓ= _10=5`(cm), 4 cm 4 cm A B C D O 5 cm ;2!; ;2!; ADÓ=BDÓ= ABÓ= _8=4`(cm)이므로 ;2!; △AOD에서 ODÓ= ∴ CDÓ=OCÓ-ODÓ=5-3=2`(cm) 5Û`-4Û`=3`(cm) " 답 2`cm 0873 전략 원의 중심 O에서 ABÓ에 수선을 긋고 피타고라스 정리를 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 6 cm A ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하고 OHÓ의 연장선과 원 O가 만나는 점을 H r cm C B O r cm 1 2 step3 내신 마스터 p.147 ~ p.149 C라 하면 0870 전략 한 원에서 중심각의 크기와 호의 길이는 정비례하지만 중 심각의 크기와 현의 길이는 정비례하지 않는다. AHÓ= ABÓ= _12=6`(cm) ;2!; ;2!; 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 ㉠ 한 원에서 현의 길이는 중심각의 크기와 정비례하지 않 OAÓ=OCÓ=r`cm, 따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢, ㉣이다. 답 ④ 는다. Lecture 중심각의 크기와 호, 현의 길이 사이의 관계 ⑴ 크기가 같은 두 중심각에 대한 호(현)의 길이는 같다. ➡ ∠AOB=∠COD이면 µAB=µ CD ∠AOB=∠COD이면 ABÓ=CDÓ O C D E ⑵ 길이가 같은 두 호(현)에 대한 중심각의 크기는 같다. ➡ µAB=µ CD이면 ∠AOB=∠COD ABÓ=CDÓ이면 ∠AOB=∠COD ⑶ 중심각의 크기와 호의 길이는 정비례한다. ➡ ∠COE=2∠AOB이면 µ CE=2µ AB ⑷ 중심각의 크기와 현의 길이는 정비례하지 않는다. ➡ ∠COE=2∠AOB이면 CEÓ+2ABÓ A B OHÓ=HCÓ= OCÓ= r`(cm)이므로 ;2!; ;2!; △OAH에서 rÛ`=6Û`+ r {;2!; } rÛ`=48 ∴ r=4 3` (∵ r>0) ' 따라서 구하는 원 O의 넓이는 p_(4 3)Û`=48p`(cmÛ`) ' 답 ③ 0874 0875 전략 원 O에서 OHÓ=OIÓ이면 ABÓ=CDÓ이다. ④ AHÓ=OHÓ인지는 알 수 없다. 답 ④ 전략 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다. 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에 서 ABÓ, CDÓ에 내린 수선의 발을 각각 E, F라 하면 ABÓ=CDÓ이므로 OEÓ=OFÓ= _12=6`(cm) ;2!; 12 cm A C E F 6 cm O 6 cm B D 96 정답과 해설 2  △OAE에서 AEÓ= " 12Û`-6Û`=6 3`(cm) ' ∴ ABÓ =2AEÓ=2_6 ' 따라서 두 철사의 길이의 합은 3=12 ' 3`(cm) ABÓ+CDÓ=2ABÓ=2_12 3=24 3`(cm) 답 24 3`cm ' ' ' 0876 전략 ODÓ=OEÓ=OFÓ이면 ABÓ=BCÓ=CAÓ이므로 △ABC는 정삼각형임을 이용한다. ODÓ=OEÓ=OFÓ이므로 ABÓ=BCÓ=CAÓ=8`cm 즉 △ABC는 정삼각형이므로 BEÓ= BCÓ= _8=4`(cm) ;2!; ;2!; 오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면 △OBDª△OBE (RHS 합동)이 므로 8 cm A O D F ∠OBE=∠OBD= ∠ABC ;2!; B 30∞ 4 cm E C = _60ù=30ù ;2!; 3 △OBE에서 OBÓ：BEÓ=2： ' 8 ∴ OBÓ= OBÓ：4=2： ' 3 8 따라서 원 O의 반지름의 길이는 3 ' 3 `(cm) 3 ' 3 `cm이다. 답 8 3 ' 3 `cm 0877 전략 PTÓ가 원 C의 접선이므로 △CPT는 직각삼각형임을 이 용한다. 오른쪽 그림에서 CPÓ " = {3-(-2)}Û`+{2-(-3)}Û` -2 y 2 O C 1 T 3 x 큰 원의 반지름의 길이를 R`cm, 작은 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 △AOM에서 RÛ`=rÛ`+10Û` ∴ RÛ`-rÛ`=100 ∴ (색칠된 부분의 넓이) =pRÛ`-prÛ` =p(RÛ`-rÛ`) =100p`(cmÛ`) yy`㈏ 답 100p`cmÛ` 채점 기준 ㈎ ABÓ와 작은 원의 접점을 M이라 할 때, AMÓ의 길 이 구하기 ㈏ 색칠된 부분의 넓이 구하기 비율 30`% 70`% 0879 전략 길이가 6인 현은 원의 중심이 같고 반지름의 길이가 다른 두 원에서 큰 원의 현이면서 작은 원의 접선이 된다. 한 원에서 길이가 같은 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 원 O의 내부에 그 거리를 반지름으로 하는 원이 그 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O 에서 현 AB에 내린 수선의 발을 려진다. H라 하면 AHÓ=BHÓ= ABÓ= _6=3 ;2!; ;2!; △AHO에서 AOÓ Û`=3Û`+HOÓ Û`, AOÓ Û`-HOÓ Û`=9 따라서 현이 지나간 부분의 넓이는 p_AOÓ Û`-p_HOÓ A O H 6 B Û`-HOÓ Û` =p(AOÓ =p_9=9p Û`) 답 9p = 50=5 2 '¶ ' 이때 △CPT에서 CTÓ=1이고 ∠PTC=90ù이므로 PTÓ= (5 2)Û`-1Û`=7 " Lecture ' 두 점 P(xÁ, yÁ), Q(xª, yª) 사이의 거리는 PQÓ= (xª-xÁ)Û`+(yª-yÁ)Û` "à P -3 0880 답 ③ 전략 ADÓ=AEÓ이므로 △ADE는 이등변삼각형임을 이용한 다. △ABC에서 ∠A=180ù-(50ù+70ù)=60ù △ADE에서 ADÓ=AEÓ이므로 ∠x= _(180ù-60ù)=60ù ;2!; 답 ② 0878 전략 원의 중심 O에서 ABÓ에 수선을 긋고 피타고라스 정리를 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 ABÓ와 작은 원 의 접점을 M이라 하면 ABÓ⊥OMÓ이므로 AMÓ=BMÓ= ABÓ ;2!; R cm 10 cm10 cm O r cm M A B 0881 전략 BDÓ=BFÓ, CDÓ=CEÓ이고 AFÓ+AEÓ=2AFÓ임을 이용 한다. BDÓ=BFÓ, CDÓ=CEÓ이므로 AFÓ+AEÓ =ABÓ+BCÓ+ACÓ =11+10+13=34 이때 AFÓ=AEÓ이므로 AFÓ= _34=17 ;2!; = _20=10`(cm) ;2!; yy`㈎ ∴ BFÓ=AFÓ-ABÓ=17-11=6 답 6 7. 원과 직선 97 답 ⑴ 4 3`cm ⑵ PAÓ=12`cm, PBÓ=12`cm ⑶ 24`cm ' ∴ r=3`(∵ r>0) 0882 전략 ∠PAO=∠PBO=90ù이고 PAÓ=PBÓ임을 이용한다. 채점 기준 3`cm이다. yy`㈎ 0885 전략 APÓ=ARÓ, BPÓ=BQÓ, CQÓ=CRÓ이고, OQCR는 정사 ⑴ ∠OPA=∠OPB= _60ù=30ù이고 ;2!; ∠PAO=90ù이므로 △AOP에서 3=1 : 2 AOÓ : OPÓ=1 : 2, AOÓ : 8 ' ∴ AOÓ=4 3`(cm) ' 따라서 원 O의 반지름의 길이는 4 ⑵ △AOP에서 PAÓ= 3)Û`-(4 3)Û`=12`(cm) (8 ' " ' ' ∴ PBÓ=PAÓ=12`cm ⑶ (△PQR의 둘레의 길이) =PQÓ+QRÓ+PRÓ =2PAÓ=2_12=24`(cm) 채점 기준 ㈎ 원 O의 반지름의 길이 구하기 ㈏ PAÓ, PBÓ의 길이 구하기 ㈐ △PQR의 둘레의 길이 구하기 yy`㈏ yy`㈐ 비율 40`% 30`% 30`% 0883 전략 꼭짓점 C에서 BDÓ에 수선을 그어 직각삼각형이 생기면 피타고라스 정리를 이용한다. ① CPÓ=CAÓ=4`cm ② DPÓ=DBÓ=9`cm이므로 CDÓ=4+9=13`(cm) ③ 오른쪽 그림과 같이 꼭짓 점 C에서 BDÓ에 내린 수 P D 9 cm H 4 cm C A O B 선의 발을 H라 하면 BHÓ=ACÓ=4`cm DHÓ=9-4=5`(cm) △DCH에서 CHÓ= 13Û`-5Û`=12`(cm) " ∴ ABÓ=CHÓ=12`cm ④ OAÓ= ABÓ= _12=6`(cm)이므로 ;2!; ;2!; △CAO에서 OCÓ= ⑤ OPÓ=OAÓ=6`cm " 4Û`+6Û`=2 13`(cm) '¶ 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 0884 전략 APÓ=ARÓ, BPÓ=BQÓ, CRÓ=CQÓ임을 이용한다. CQÓ=x`cm라 하면 CRÓ=CQÓ=x`cm BPÓ=BQÓ=(11-x)`cm, APÓ=ARÓ=(7-x)`cm ABÓ=APÓ+BPÓ에서 (7-x)+(11-x)=8 2x=10 ∴ x=5 ∴ CQÓ=5`cm 98 정답과 해설 ㈎ CQÓ=x`cm라 하고 BPÓ, APÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타내기 ㈏ CQÓ의 길이 구하기 비율 50`% 50`% 각형임을 이용한다. ⑴ 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 CQÓ=CRÓ=r BQÓ=BPÓ=6이므로 BCÓ=6+r ARÓ=APÓ=9이므로 ACÓ=9+r 이때 △ABC에서 (9+6)Û`=(6+r)Û`+(9+r)Û` rÛ`+15r-54=0, (r+18)(r-3)=0 ⑵ BCÓ=6+r=6+3=9, ACÓ=9+r=9+3=12이므로 △ABC= _9_12=54 ;2!; 답 ⑴ 3 ⑵ 54 Lecture △ABC의 넓이는 내접원의 반지름의 길이를 이용하여 구할 수도 있다. △ABC=△OAB+△OBC+△OCA = _ABÓ_OPÓ+ _BCÓ_OQÓ+ _CAÓ_ORÓ ;2!; ;2!; = _ABÓ_r+ _BCÓ_r+ _CAÓ_r ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; = ;2!; r(ABÓ+BCÓ+CAÓ) 0886 전략 원 O에 외접하는 ABCD에서 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ 임을 이용한다. ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 7+10=6+BCÓ　　∴ BCÓ=11 답 11 0887 전략 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 E라 할 때, (원 O의 반지름의 길이)= AEÓ이다. ;2!; 오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점 A 8 cm D A, D에서 BCÓ에 내린 수선의 O 발을 각각 E, F라 하면 EFÓ=ADÓ=8`cm이므로 BEÓ=CFÓ= _(18-8) ;2!; =5`(cm) B E 18 cm F C yy`㈎ yy`㈏ 답 5`cm ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ=8+18=26`(cm) ABÓ=CDÓ이므로 ABÓ= _26=13`(cm) ;2!; △ABE에서 AEÓ= 13Û`-5Û`=12`(cm) " ∴ (원 O의 반지름의 길이)= AEÓ= _12=6`(cm) ;2!; ;2!; 답 ④ step 개념 마스터 p.152 ~ p.153 위에 있다. 0888 ∠x= ∠AOB= _100ù=50ù 답 50ù 0905 ∠BAC+∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있 지 않다. 0906 △ABP에서 ∠ABP=180ù-(60ù+80ù)=40ù 따라서 ∠ABD=∠ACD이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 답 × 답 ◯ 0907 △PCD에서 110ù=80ù+∠D ∴ ∠D=30ù 따라서 ∠BAC+∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있지 않다. 답 × 0908 △APC에서 65ù=35ù+∠C ∴ ∠C=30ù 따라서 ∠ADB=∠ACB이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다. 답 ◯ 0895 △ABC에서 ∠BAC=180ù-(80ù+65ù)=35ù ∴ ∠x=∠BAC=35ù 답 35ù step 유형 마스터 p.154 ~ p.160 0909 전략 (원주각의 크기)= _(중심각의 크기)임을 이용한다. ;2!; 8 원주각 ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; 0889 ∠x= ∠AOB= _96ù=48ù 0890 ∠x=2∠APB=2_55ù=110ù 0891 ∠x=2∠APB=2_120ù=240ù 0892 ∠x=∠CBD=40ù 0893 ∠x=∠ACB=30ù 0894 ∠x=∠DBC=56ù 0896 BCÓ가 원 O의 지름이므로 ∠BAC=90ù ∴ ∠x=180ù-(90ù+60ù)=30ù 0897 ACÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ABC=90ù ∴ ∠x=180ù-(15ù+90ù)=75ù 0898 µAB=µ CD이므로 ∠CQD=∠APB=20ù ∴ x=20 0899 ∠APB=∠CQD이므로 µAB=µ CD=4`cm ∴ x=4 0900 25ù`:`75ù=5`:`x이므로 1`:`3=5`:`x ∴ x=15 0901 30ù`:`xù=2`:`4이므로 30`:`x=1`:`2 ∴ x=60 0902 µAB=µ BC이므로 ∠ADB=∠BDC=35ù` ∠ACD=∠ABD=50ù` △ACD에서 ∠x=180ù-(50ù+35ù+35ù)=60ù 0903 ∠x=∠BDC=35ù 0904 ∠ACD=∠ABD=60ù이므로 ∠x=180ù-(90ù+60ù)=30ù 답 48ù 답 110ù 답 240ù 답 40ù 답 30ù 답 56ù 답 30ù 답 75ù 답 20 답 4 답 15 답 60 답 60ù 답 35ù 답 30ù ∠y= _(360ù-140ù)=110ù 답 ∠x=70ù, ∠y=110ù ∠x= _140ù=70ù ;2!; ;2!; 0910 360ù-∠x=2_105ù ∴ ∠x=150ù ∠AOE =2∠ADE =2_20ù=40ù ∠EOB =2∠ECB =2_40ù=80ù 0911 오른쪽 그림과 같이 OEÓ를 그으면 D C 답 150ù 20∞ O 40∞ A E B ∴ ∠AOB =∠AOE+∠EOB =40ù+80ù=120ù 답 120ù 0912 ∠AOB=2∠APB=2_50ù=100ù 이때 △OAB는 OAÓ=OBÓ인 이등변삼각형이므로 ∠OAB= _(180ù-100ù)=40ù ;2!; 답 40ù 0913 ∠BOC=2∠BAC=2_75ù=150ù ∴ △OBC= _8_8_sin`(180ù-150ù) = _8_8_sin`30ù ;2!; ;2!; ;2!; = _8_8_ =16`(cmÛ`) 답 16`cmÛ` ;2!; 8. 원주각 99 0914 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 O라 ∴ ∠AQB= ∠AOB= _128ù=64ù 답 64ù ;2!; ;2!; 하고 OAÓ, OCÓ를 그으면 ∠AOC =2∠ABC 이때 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OAC=∠OCA =2_30ù=60ù yy`㈎ = _(180ù-60ù)=60ù ;2!; 즉 △AOC는 정삼각형이므로 OAÓ=ACÓ=15`m 채점 기준 ㈎ ∠AOC의 크기 구하기 ㈏ △AOC가 정삼각형임을 알기 ㈐ 공연장의 반지름의 길이 구하기 따라서 공연장의 반지름의 길이는 15`m이다. yy``㈐ 0915 오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 그 A B 50∞ D 65∞ O 25∞ 130∞ C Px 으면 ∠BCD= ∠BOD = _50ù=25ù ;2!; ;2!; ;2!; 따라서 △BCP에서 65ù=25ù+∠x ∠ABC= ∠AOC= _130ù=65ù ;2!; ∴ ∠x=40ù 답 40ù 0916 전략 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 ∠P+∠AOB=180ù 이고 (원주각의 크기)= _(중심각의 크기)임을 이용한다. ;2!; A 무대 15 m C 60∞ 30∞ O B 0918 오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OBÓ를 그으면 360ù-∠AOB=2_110ù ∴ ∠AOB=140ù yy`㈎ P O Q 110∞ A B 이때 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 yy`㈏ ∠P+∠AOB=180ù에서 ∠P+140ù=180ù ∴ ∠P=40ù 답 15`m 비율 50`% 30`% 20`% 채점 기준 ㈎ ∠AOB의 크기 구하기 ㈏ ∠P의 크기 구하기 yy`㈏ 답 40ù 비율 50`% 50`% 0919 전략 ∠ADB=∠ACB이고 삼각형의 한 외각의 크기는 이와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같음을 이용한다. ∠ADB=∠ACB=35ù △APD에서 ∠DPC=23ù+35ù=58ù 답 58ù 0920 ∠x=2∠AQB=2_30ù=60ù ∠y=∠AQB=30ù ∴ ∠x-∠y=60ù-30ù=30ù 답 30ù 0921 오른쪽 그림과 같이 QBÓ를 그으면 ∠BQC= ∠BOC ;2!; ;2!; = _80ù=40ù P x A Q 30∞ 40∞ O 80∞ ∠AQB=70ù-40ù=30ù이므로 ∠x=∠AQB=30ù B C 답 30ù 오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OBÓ를 그으면 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 ∠P+∠AOB=180ù에서 70ù+∠AOB=180ù ∴ ∠AOB=110ù ∠y= ∠AOB= _110ù=55ù ;2!; ∠x= _(360ù-110ù)=125ù ;2!; ;2!; A x D 70∞ P B O y C 0922 오른쪽 그림과 같이 PBÓ를 그으면 ∠APB=∠AQB=28ù ∠BPC=∠BRC=34ù ∴ ∠x =∠APB+∠BPC =28ù+34ù =62ù P 34∞ Q R 28∞ 28∞ A B 34∞ C 답 62ù ∴ ∠x-∠y=125ù-55ù=70ù 답 70ù 0917 오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OBÓ 를 그으면 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 Q ∠AOB+∠P=180ù에서 ∠AOB+52ù=180ù ∴ ∠AOB=128ù A O B 52∞ P 0923 ∠x=∠BAC=32ù △PCD에서 75ù=∠y+32ù　　∴ ∠y=43ù ∴ ∠y-∠x=43ù-32ù=11ù 답 11ù 0924 ∠BDC=∠x라 하면 ∠BAC=∠BDC=∠x △AQC에서 ∠ACD=∠x+30ù △PCD에서 (∠x+30ù)+∠x=70ù 2∠x=40ù ∴ ∠x=20ù 답 20ù 100 정답과 해설  전략 반원에 대한 원주각의 크기는 90ù임을 이용한다. 0925 0931 오른쪽 그림과 같이 CBÓ를 그으 면 ABÓ가 반원 O의 지름이므로 오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 그으 면 ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù △ACB에서 ∠ABC =180ù-(37ù+90ù) =53ù ∴ ∠x=∠ABC=53ù D x O A 37∞ B 53∞ C 답 53ù 0926 오른쪽 그림과 같이 AEÓ를 그으 면 ABÓ가 원 O의 지름이므로 C x A E 36∞ 54∞ O B ∠AEB=90ù ∠AED=90ù-54ù=36ù ∴ ∠x=∠AED=36ù D 0927 ADÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ABD=90ù ∠BAC=∠BEC=20ù 따라서 △ABF에서 ∠AFB =180ù-(20ù+90ù)=70ù 답 70ù 0928 ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ADB=90ù ∴ ∠ADC=90ù-40ù=50ù 이때 ∠ABC=∠ADC=50ù이므로 △PCB에서 ∠CPB =180ù-(25ù+50ù)=105ù 답 105ù 0929 BDÓ가 원 O의 지름이므로 ∠BCD=90ù ∴ ∠y=90ù-38ù=52ù △DBC에서 ∠BDC=180ù-(42ù+90ù)=48ù이므로 ∠x=∠BDC=48ù ∴ ∠y-∠x=52ù-48ù=4ù 답 4ù 0930 오른쪽 그림과 같이 AEÓ를 그으 yy`㈎ 면 ∠DAE= ∠DOE ;2!; D E C x O 20∞ A = _40ù ;2!; =20ù yy`㈏ ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠AEB=90ù 따라서 △CAE에서 90ù=∠x+20ù　　∴ ∠x=70ù 채점 기준 ㈎ AEÓ 긋기 ㈏ ∠DAE의 크기 구하기 ㈐ ∠AEB의 크기 구하기 ㈑ ∠x의 크기 구하기 40∞ B yy`㈐ yy`㈑ 답 70ù 비율 20`% 30`% 30`% 20`% P x C x O D 1 x 2 42∞ B ∠ACB=90ù △ABC에서 ∠ABC =180ù-(90ù+48ù) 48∞ A =42ù ∠CPD=∠COD=∠x라 하면 ∠COD= ∠x ;2!; ∠CBD= ;2!; △PCB에서 90ù=∠x+ ∠x ∴ ∠x=60ù ;2!; △OBD에서 OBÓ=ODÓ이므로 ∠ODB=∠OBD 답 36ù =42ù+ ∠x=42ù+ _60ù=72ù 답 72ù ;2!; ;2!; 0932 전략 ∠BAC=∠BA'C가 되도록 원의 중심 O를 지나는 A'BÓ와 A'CÓ를 긋고 tan`A=tan`A'임을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 BOÓ의 연장 A 선이 원 O와 만나는 점을 A'이라 하면 ∠A'CB=90ù이고 ∠BAC=∠BA'C이므로 B tan`A=tan`A'=2 3 ' △A'BC에서 tan`A'= 이므로 BCÓ A'CÓ 2 3= ' 4 3 ' A'CÓ ∴ A'CÓ=2 ∴ A'BÓ= (4 3)Û`+2Û`=2 13 " ' '¶ 따라서 원 O의 반지름의 길이는 A'BÓ= _2 13= 13 ;2!; '¶ '¶ ;2!; 0933 오른쪽 그림과 같이 COÓ의 연장선 이 원 O와 만나는 점을 A'이라 하 면 ∠A'BC=90ù이고 ∠A'=∠A=30ù이므로 △A'BC에서 CBÓ CA'Ó 2 ∴ CA'Ó=12 sin`30ù= = ;2!; , 2 6 ' CA'Ó ' O 4 3 A′ C 답 '¶ 13 C 6 2 B 30∞ O A 30∞ A′ 따라서 원 O의 지름의 길이는 12 2이다. ' 답 12 2 ' COÓ의 연장선이 원 O와 만나는 점을 A'이라 하면 ∠A'BC=90ù이고 ∠A'=∠A=30ù이므로 △A'BC에서 A'CÓ : BCÓ=2 : 1 A'CÓ ∴ A'CÓ=12 2=2 : 1 Ó : 6 2 ' 따라서 원 O의 지름의 길이는 12 ' 2이다. ' 8. 원주각 101 0934 오른쪽 그림과 같이 AOÓ의 연장선 이 원 O와 만나는 점을 B'이라 하 고 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 D라 하면 ∠B'CA=90ù이 B 60∞ D A 4 O 45∞ C 60∞ B′ sin`60ù= 고 ∠B'=∠B=60ù이므로 △AB'C에서 ACÓ AB'Ó △ADC에서 ADÓ ACÓ 2 , ' 2 3 , ' 2 sin`45ù= ADÓ 3 4 ACÓ 8 = = ' 6 ' ∴ DCÓ=ADÓ=2 △ABD에서 ADÓ BDÓ ∴ BCÓ =BDÓ+DCÓ tan`60ù= 3= ' , 2 6 ' BDÓ ∴ ACÓ=4 3 ∴ ADÓ=2 6 ' ' ∴ BDÓ=2 2 ' ' =2 2+2 6=2( 2+ 6) ' ' ' 답 2( 2+ 6) ' ' AOÓ의 연장선이 원 O와 만나는 점을 B'이라 하고 점 A에서 BCÓ 에 내린 수선의 발을 D라 하면 ∠B'CA=90ù이고 ∠B'=∠B=60ù이므로 △AB'C에서 ACÓ : AB'Ó= ACÓ : 8= ∴ ACÓ=4 3 : 2 △ADC에서 ADÓ : ACÓ=1 : ' ADÓ : 4 3=1 : 2 ' ' ∴ ADÓ=2 3 : 2이므로 3 ' 2이므로 6 ' 6 ' ' ' ∴ DCÓ=ADÓ=2 △ABD에서 ADÓ : BDÓ= 2 6 : BDÓ= 3 : 1 ' ∴ BCÓ=BDÓ+DCÓ=2 ' 3 : 1이므로 ' ∴ BDÓ=2 2 ' 6=2( 2+2 ' ' 2+ 6) ' ' 0935 전략 한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 서로 같음을 이용한다. µAC=µ BD이므로 ∠DCB=∠ABC=25ù ∴ ∠APD=∠CPB=180ù-(25ù+25ù)=130ù 답 130ù 0936 µ BC=µ CD이므로 ∠CBD=∠BAC=30ù 따라서 △BCA에서 ∠BCA=180ù-(30ù+45ù+30ù)=75ù 0937 µ PQ=µ QR이므로 ∠QAR=∠PAQ=21ù 따라서 △ASP에서 ∠ASB=37ù+21ù+21ù=79ù 0938 PCÓ가 원 O의 지름이므로 ∠PDC=90ù △PCD에서 ∠CPD=180ù-(55ù+90ù)=35ù 이때 µAB=µ CD이므로 ∠APB=∠CPD=35ù 답 79ù 답 35ù 102 정답과 해설 0939 오른쪽 그림과 같이 CBÓ를 그으 D 면 ABÓ는 원 O의 지름이므로 C 32∞ ∠ACB=90ù 또 µBC=µ`CD이므로 A 32∞ O B ∠DBC=∠CAB=32ù 따라서 △ABC에서 ∠ABD=180ù-(90ù+32ù+32ù)=26ù 답 26ù 0940 오른쪽 그림과 같이 APÓ, BPÓ를 그으면 ABÓ는 원 O의 지름이므로 R Q A O B ∠APB=90ù 또 µAR=µ`RQ=µ`QB이므로 ∠APR=∠RPQ=∠QPB ∴ ∠RPQ= ∠APB= _90ù=30ù ;3!; ;3!; 답 30ù P 0941 오른쪽 그림과 같이 AEÓ, EBÓ를 그으면 ABÓ는 원 O의 지름이므 로 ∠AEB=90ù 또 µAD=µ`BF이므로 C E G A 23∞ O 23∞ B ∠BEF=∠ACD=23ù이고 D F ∠AED=∠ACD=23ù이므로 ∠DEF =∠AEB-(∠AED+∠BEF) =90ù-(23ù+23ù)=44ù 답 44ù 0942 전략 한 원에서 호의 길이는 그 호에 대한 원주각의 크기에 정 비례함을 이용한다. µ BC=3µAD이므로 ∠BAC=3∠ABD=3∠x △ABP에서 80ù=3∠x+∠x 4∠x=80ù　　∴ ∠x=20ù 답 20ù 0943 ∠ADB : ∠DBC=µAB : µCD=3 : 1이므로 ∠DBC= ∠ADB= ∠x ;3!; ;3!; 답 75ù △DBE에서 ∠x= ∠x+32ù ;3!; ∠x=32ù ∴ ∠x=48ù ;3@; 답 48ù 0944 △ACP에서 75ù=∠CAP+30ù　　 ∴ ∠CAP=45ù µAD`:`9=30ù :`45ù이므로 µAD`:`9=2`:`3 ∴ µAD=6`(cm) yy`㈎ yy`㈏ yy`㈐ 답 6`cm 채점 기준 ㈎ ∠CAP의 크기 구하기 ㈏ 원주각의 크기와 호의 길이에 대한 비례식 세우기 40`% ㈐ µAD의 길이 구하기 비율 40`% 20`% 한편 µAC：µ CB=2：3이므로 ∠CAB=90ù_ =54ù yy`㈐ 3 2+3 △CAP에서 ∠APC=180ù-(30ù+54ù)=96ù ∴ ∠BPD=∠APC=96ù 답 ∠A=60ù, ∠B=45ù, ∠C=75ù 0951 ⑴ ∠ABC：∠DCB=µAC`:`µ DB=3p：5p=3：5 △PCB에서 ∠PCB+∠PBC=40ù이므로 0945 전략 ADÓ를 그어 µAC, µ BD에 대한 원주각의 크기를 각각 구 한다. 오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면 ∠ADC=180ù_ =30ù ∠DAB=180ù_ =45ù ;6!; ;4!; △APD에서 ∠x=180ù-(30ù+45ù)=105ù 45∞ x 30∞ P A C D B 답 105ù 0946 ∠C`:`∠A`:`∠B=µAB`:`µ BC`:`µ CA=5`:`4`:`3이므로 ∠A=180ù_ 4 5+4+3 =60ù ∠B=180ù_ =45ù 3 5+4+3 5 5+4+3 ∠C=180ù_ =75ù 0947 ∠ABC=180ù_ =45ù ;4!; ;1Á0; ∠BCD=180ù_ =18ù △BCP에서 45ù=18ù+∠P ∴ ∠P=27ù 답 27ù 0948 오른쪽 그림과 같이 CBÓ를 그으면 A ∠BCD=180ù_ =30ù ;6!; ∠ABC`:`∠BCD=µAC`:`µ BD에서 30∞ C P 45∞ D B ∠ABC`:`30ù=3`:`2 ∴ ∠ABC=45ù 따라서 △PCB에서 ∠APC=30ù+45ù=75ù 0949 오른쪽 그림과 같이 ACÓ, CBÓ를 그으면 ABÓ가 원 O의 지름이므로 C 30∞ ∠ACB=90ù yy`㈎ µAD=µ DE=µ EB이므로 ∠ACD=∠DCE=∠ECB =90ù_ =30ù ;3!; 54∞ A QP O B D E yy`㈏ yy`㈑ 답 96ù 비율 20`% 30`% 30`% 20`% D 채점 기준 ㈎ ACÓ, CBÓ를 긋고 ∠ACB의 크기 구하기 ㈏ ∠ACD의 크기 구하기 ㈐ ∠CAB의 크기 구하기 ㈑ ∠BPD의 크기 구하기 0950 오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 그으면 △PCB에서 ∠PBC+∠PCB=60ù 원 O의 둘레의 길이는 2p_4=8p`(cm)이므로 (µAC+µ BD)`:`8p=60ù :`180ù (µAC+µ BD)`:`8p=1`:`3 A 4 cm O P 60∞ B C ∴ µAC+µ BD= p`(cm) ;3*; 답 ;3*; p`cm 3 3+5 5 3+5 ∠ABC=40ù_ =15ù ∠DCB=40ù_ =25ù ⑵ 오른쪽 그림과 같이 OBÓ, ODÓ를 그으면 ∠DOB =2∠DCB =2_25ù=50ù 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 부채꼴 DOB에서 2pr_ =5p ∴ r=18 50 360 A 3 p C P O 40∞ D B 5 p 답 ⑴ ∠ABC=15ù, ∠DCB=25ù ⑵ 18 답 75ù 0952 전략 한 선분 PQ에 대하여 같은 쪽에 두 점 M, N이 있을 때, ∠PMQ=∠PNQ인지 확인한다. ① ∠ADB=∠ACB이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 ② ∠ADB=∠ACB이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 ③ ∠BDC=110ù-70ù=40ù 　 이때 ∠BAC=∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 있다. 있다. 위에 있다. 8. 원주각 103 ④ ∠BAC, ∠BDC의 크기를 알 수 없으므로 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는지 알 수 없다. ⑤ ∠BAC=180ù-(40ù+60ù+40ù)=40ù 　 이때 ∠BAC=∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있지 않은 것은 ④이다. 위에 있다. 0953 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 ∠BDC=∠BAC=65ù 따라서 △BCD에서 ∠ACD=180ù-(30ù+42ù+65ù)=43ù 0954 △ABP에서 ∠BAP=180ù-(60ù+75ù)=45ù 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 ∠x=∠BAC=45ù 또 ∠DBC=∠DAC=30ù이므로 △PBC에서 75ù=30ù+∠y ∴ ∠y=45ù step 개념 마스터 p.161 0955 ∠x+85ù=180ù에서 ∠x=95ù 120ù+∠y=180ù에서 ∠y=60ù 0956 ∠BDC=90ù이므로 △BCD에서 ∠x=180ù-(90ù+20ù)=70ù ∠y+70ù=180ù에서 ∠y=110ù 답 ∠x=70ù, ∠y=110ù 0957 ∠x+75ù=180ù에서 ∠x=105ù ∠y=100ù 답 ∠x=105ù, ∠y=100ù 0958 ABCE에서 (∠x+30ù)+80ù=180ù ∴ ∠x=70ù ABCD에서 ∠y=∠x=70ù 답 ∠x=70ù, ∠y=70ù 0959 ∠x=∠ACB=60ù 0960 ∠x=∠CBT=54ù 0961 ∠BAT=∠BTP=45ù 따라서 △ABT에서 ∠x=180ù-(45ù+55ù)=80ù 답 60ù 답 54ù 답 80ù 0962 △ABT에서 ∠ABT=180ù-(70ù+50ù)=60ù ∴ ∠x=∠ABT=60ù 답 60ù 104 정답과 해설 step 유형 마스터 p.162 ~ p.170 0963 전략 ABCD가 원 O에 내접하므로 ∠ABC+∠ADC=180ù임을 이용한다. ∠ABC+∠ADC=180ù에서 ∴ ∠ABC=100ù ∠ABC+80ù=180ù 따라서 △ABC에서 ∠BCA=180ù-(35ù+100ù)=45ù 0964 ∠A+∠C=180ù이고, ∠A`:`∠C=3：2이므로 ∠A=180ù_ =108ù 3 3+2 답 ④ 답 43ù 답 45ù 답 108ù yy`㉠ yy`㉡ 0965 ∠BAD+∠BCD=180ù에서 ∠x+(2∠y+12ù)=180ù ∴ ∠x+2∠y=168ù ∠ABC+∠ADC=180ù에서 ∠y+2∠x=180ù ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 답 ∠x=45ù, ∠y=45ù 답 ∠x=95ù, ∠y=60ù ∠APB+62ù=180ù　　∴ ∠APB=118ù 답 118ù ∠x=64ù, ∠y=52ù 답 ∠x=64ù, ∠y=52ù 0966 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠ABC= _(180ù-56ù)=62ù ;2!; ∠APB+∠ACB=180ù에서 0967 ∠BAD+∠BCD=180ù에서 55ù+∠BCD=180ù ∴ ∠BCD=125ù ∠BOD=2∠BAD=2_55ù=110ù BCDO에서 ∠x+∠BCD+∠y+∠BOD=360ù이므로 ∠x+125ù+∠y+110ù=360ù ∴ ∠x+∠y=125ù 답 125ù 0968 ABÓ는 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù △ABC에서 ∠ABC=180ù-(90ù+30ù)=60ù yy`㈎ ∠ADC+∠ABC=180ù에서 ∠ADC+60ù=180ù ∴ ∠ADC=120ù yy`㈏ 이때 µ`AD=µ`CD이므로 ∠DCA=∠DAC ∴ ∠DAC= _(180ù-120ù)=30ù yy`㈐ ;2!; 채점 기준 ㈎ ∠ABC의 크기 구하기 ㈏ ∠ADC의 크기 구하기 ㈐ ∠DAC의 크기 구하기 답 30ù 비율 40`% 30`% 30`%  0969 ∠ABC+∠ADC=180ù에서 ∠x+75ù=180ù ∴ ∠x=105ù ∠ECD=∠EAD=31ù이므로 ∠y=31ù+75ù=106ù ∴ ∠x+∠y=105ù+106ù=211ù 답 211ù 0970 전략 ∠ABC+∠ADC=180ù, ∠DCE=∠BAD임을 이용 한다. ∠ABC+∠ADC=180ù에서 84ù+∠x=180ù ∴ ∠x=96ù ∠y=∠BAD=108ù ∴ ∠x+∠y=96ù+108ù=204ù 답 204ù ∴ ∠ABC=50ù 0977 ∠ABC+∠ADC=180ù에서 ∠ABC+130ù=180ù △QBC에서 ∠DCP=50ù+25ù=75ù ∠CDP=180ù-130ù=50ù △DCP에서 50ù+75ù+∠x=180ù ∴ ∠x=55ù 0978 ∠BCE=∠A △FAB에서 ∠CBE=∠A+32ù △CBE에서 ∠A+(∠A+32ù)+56ù=180ù 2∠A=92ù ∴ ∠A=46ù 따라서 △FAB에서 ∠ABC=180ù-(46ù+32ù)=102ù 답 55ù 답 102ù 0971 ∠PAB=∠BCD=80ù 따라서 △APB에서 ∠ABP=180ù-(80ù+30ù)=70ù 0972 ∠BAD=∠DCE=80ù ∠DAC=∠DBC=35ù ∴ ∠BAC =∠BAD-∠DAC =80ù-35ù=45ù 답 45ù 0973 ∠A+∠C=180ù이고, ∠A：∠C=2：1이므로 ∠A=180ù_ =120ù 2 2+1 이때 ∠D=∠A-20ù=120ù-20ù=100ù이므로 ∠ABE=∠D=100ù 답 100ù 0974 ∠x=∠BAD=110ù 이때 ∠BCD=180ù-110ù=70ù이므로 ∠y=2∠BCD=2_70ù=140ù ∴ ∠x+∠y=110ù+140ù=250ù 답 250ù 0975 ∠DAB=∠DCE이므로 ∠y+30ù=65ù ∴ ∠y=35ù ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù △ABC에서 ∠ABC=180ù-(90ù+30ù)=60ù ∠ADC+∠ABC=180ù이므로 ∠x+60ù=180ù ∴ ∠x=120ù ∴ ∠x-∠y=120ù-35ù=85ù 답 85ù 답 70ù 0979 전략 ADÓ를 긋고 ∠ADE= ∠AOE, ;2!; ∠ABC+∠ADC=180ù임을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면 ∠ADE= ∠AOE ;2!; ;2!; = _80ù=40ù A B x E 80∞ O 100∞ D ∴ ∠ADC=100ù-40ù=60ù C ABCD가 원 O에 내접하므로 ∠ABC+∠ADC=180ù에서 ∠x+60ù=180ù ∴ ∠x=120ù 답 120ù A 88∞ O x 0980 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면 yy`㈎ ABDE가 원 O에 내접하므로 B ∠BAE+∠BDE=180ù에서 88ù+∠BDE=180ù ∴ ∠BDE=92ù yy`㈏ 이때 ∠BDC=150ù-92ù=58ù이므로 ∠x=2∠BDC=2_58ù=116ù 채점 기준 ㈎ BDÓ 긋기 ㈏ ∠BDE의 크기 구하기 ㈐ ∠x의 크기 구하기 E 150∞ D C yy`㈐ 답 116ù 비율 20`% 40`% 40`% A 110∞ 125∞ C D F E 8. 원주각 105 0976 전략 ∠CDP, ∠DCP의 크기를 각각 ∠x에 대한 식으로 나타 낸 후 △DCP의 세 내각의 크기의 합은 180ù임을 이용한다. ∠CDP=∠ABC=∠x △QBC에서 ∠DCP=∠x+23ù △DCP에서 ∠x+(∠x+23ù)+35ù=180ù ∴ ∠x=61ù 2∠x=122ù 답 61ù 0981 오른쪽 그림과 같이 CFÓ를 그으면 ABCF가 원에 내접하므로 ∠A+∠BCF=180ù에서 B 110ù+∠BCF=180ù ∴ ∠BCF=70ù  이때 ∠DCF=125ù-70ù=55ù이고 CDEF가 원에 내접하므로 0988 ③ 등변사다리꼴은 아랫변의 양 끝각의 크기가 서로 같고 윗변의 양 끝각의 ∠DCF+∠E=180ù에서 55ù+∠E=180ù 크기가 서로 같으므로 대각의 크기 ∴ ∠E=125ù 답 125ù 0982 전략 원 O에서 ∠CAP+∠CQP=180ù이고 원 O'에서 ⑤ 직사각형의 네 내각의 크기는 모두 90ù이므로 대각의 크 의 합은 180ù이다. 따라서 항상 원에 내접한다. 기의 합은 180ù이다. 따라서 항상 원에 내접한다. 답 ③, ⑤ ∠CQP=∠PBD임을 이용한다. PQDB가 원 O'에 내접하므로 ∠y=∠PBD=98ù ACQP가 원 O에 내접하므로 ∠CAP+∠y=180ù에서 ∠CAP+98ù=180ù ∴ ∠CAP=82ù ∴ ∠x=2∠CAP=2_82ù=164ù 0989 △QBC에서 ∠QBP=23ù+58ù=81ù 또 ABCD가 원에 내접하려 ∴ ∠x+∠y=164ù+98ù=262ù 답 262ù 면 Q D 23∞ A 58∞ 0983 ABQP가 원 O에 내접하므로 ∠BAP+∠BQP=180ù에서 95ù+∠BQP=180ù ∴ ∠BQP=85ù 이때 PQCD가 원 O'에 내접하므로 ∠x=∠BQP=85ù 답 85ù 0984 ABQP와 PQCD가 각각 두 원 O, O'에 내접하므로 ∠x=∠QPD=∠DCR=87ù 답 87ù 한다. ∠PAB=∠C=58ù 따라서 △APB에서 ∠x=180ù-(58ù+81ù)=41ù x P 81∞ B 58∞ C 답 41ù 0990 ∠AEB=∠ADB=90ù이므로 ABDE는 원에 내접한 다. 마찬가지로 BCEF, CAFD도 원에 내접한다. 또 ∠AFG+∠AEG=180ù이므로 AFGE는 원에 내접 마찬가지로 BDGF, CEGD도 원에 내접한다. 따라서 원에 내접하는 사각형은 모두 6개이다. 답 6개 0991 전략 ∠BCA=∠BAT임을 이용한다. ∠BCA=∠BAT=70ù 따라서 △ABC에서 ∠x=180ù-(35ù+70ù)=75ù 답 75ù 0992 △CPA에서 70ù=30ù+∠CAP ∴ ∠CAP=40ù ∴ ∠x=∠CAP=40ù 답 40ù 0993 ∠CAB=∠CBT'=70ù, ∠BCA=∠BAT=65ù 따라서 △ABC에서 ∠ABC=180ù-(70ù+65ù)=45ù 답 45ù 0994 ∠CPD=∠BPA=110ù이므로 △CPD에서 ∠PCD=180ù-(110ù+25ù)=45ù ∴ ∠DAT'=∠DCA=45ù 답 45ù 0995 오른쪽 그림과 같이 원 O 위에 P 점 P를 잡고 PAÓ, PBÓ를 그으면 ∠APB=∠BAT=42ù ∠AOB =2∠APB =2_42ù=84ù 42∞ O B x 84∞ A 42∞ T 0985 전략 ABCD가 원에 내접하기 위한 조건을 만족하는지 알 ① ∠A+∠C=∠B+∠D=180ù이므로 ABCD는 원 ② ∠BAC=∠BDC=40ù이므로 ABCD는 원에 내접 ③ ∠BAD=∠DCE=100ù이므로 ABCD는 원에 내접 아본다. 에 내접한다. 한다. 한다. ④ ∠B=180ù-(60ù+60ù)=60ù이므로 ∠B+∠D=60ù+100ù=160ù+180ù 따라서 ABCD는 원에 내접하지 않는다. ⑤ ∠A+∠C=∠B+∠D=180ù이므로 ABCD는 원 에 내접한다. 따라서 ABCD가 원에 내접하지 않는 것은 ④이다. 답 ④ 0986 답 ⑤ 0987 ABCD가 원에 내접하므로 ∠CBD=∠CAD=65ù, ∠ABC=∠ADE=100ù ∴ ∠x=∠ABC-∠CBD=100ù-65ù=35ù ∠BAC=∠BDC=45ù이므로 △BFA에서 ∠y=∠ABF+∠BAF=35ù+45ù=80ù ∴ ∠x+∠y=35ù+80ù=115ù 답 115ù 106 정답과 해설  이때 △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 1001 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 긋 ∠x= _(180ù-84ù)=48ù ;2!; 답 48ù B O x A 2x x P x C T 고 ∠ACP=∠x라 하면 ∠ABC=∠ACP=∠x 이때 PCÓ=BCÓ이므로 ∠CPB=∠CBP=∠x △APC에서 ∠BAC=∠x+∠x=2∠x ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù 따라서 △ACB에서 ∠x+2∠x+90ù=180ù 3∠x=90ù ∴ ∠x=30ù ∴ ∠BCT=∠BAC=2∠x=2_30ù=60ù 답 60ù yy`㈐ 답 9 3`cmÛ` ' 비율 30`% 40`% 30`% 1002 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그 으면 DCÓ가 반원 O의 지름이 A B 60∞ 므로 ∠DBC=90ù ∠BDC =180ù-(90ù+30ù) =60ù DCÓ=2DOÓ=2_8=16 sin`60ù= 이므로 ' = 3 2 BCÓ 16 D 60∞ 8 30∞ O C BCÓ DCÓ 3 ABÓ BCÓ 3 ' ;2!; ;2!; ' ∴ BCÓ=8 이때 ∠ABC=∠BDC=60ù이므로 △ABC에서 ABÓ 3 8 cos`60ù= = ;2!; , ' ∴ △ABC= _ABÓ_BCÓ_sin`60ù = _4 3_8 3_ ' =24 3 ' ' ' 답 24 3 ' 3 2 O ∴ ABÓ=4 0996 ∠BCA=180ù_ 3 3+4+5 =45ù ∴ ∠BAT=∠BCA=45ù 답 45ù 0997 ∠BCA=∠BAT=60ù µAB=µ BC이므로 ∠CAB=∠BCA=60ù 따라서 △ABC는 한 변의 길이가 6`cm인 정삼각형이므로 yy`㈏ yy`㈎ △ABC= ' _6Û`=9 3`(cmÛ`) ' 3 4 채점 기준 ㈎ ∠BCA의 크기 구하기 ㈏ △ABC가 정삼각형임을 알기 ㈐ △ABC의 넓이 구하기 0998 전략 CAÓ를 그어 ∠BAC=90ù, ∠BCA=∠BAQ임을 이용 한다. 오른쪽 그림과 같이 CAÓ를 그으면 B BCÓ가 원 O의 지름이므로 ∠CAB=90ù ∠CAP =180ù-(90ù+68ù) C x 22∞ ∠BCA=∠BAQ=68ù이므로 △CPA에서 68ù=∠x+22ù ∴ ∠x=46ù =22ù P 68∞ 68∞ A Q 답 46ù 0999 ACÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ADC=90ù ∠ACB=∠ADB=90ù-50ù=40ù 이때 ∠DCB=∠DBT=70ù이므로 ∠x=∠DCB-∠ACB=70ù-40ù=30ù 답 30ù C 30∞ 30∞ A P 60∞ 6 30∞ 6 O B 1003 오른쪽 그림과 같이 CAÓ를 그 으면 ABÓ가 원 O의 지름이므 로 ∠ACB=90ù ∠CAB =180ù-(90ù+30ù) =60ù ABÓ=2AOÓ=2_6=12 ACÓ ABÓ 이므로 = ;2!; ACÓ 12 cos`60ù= ∴ ACÓ=6 BCÓ= 12Û`-6Û`=6 3 ' "à 1000 오른쪽 그림과 같이 ATÓ 를 그으면 ∠BAT=∠BCT=55ù ABÓ는 원 O의 지름이므 C 55∞ O 55∞ A T 35∞ B 35∞ x P 로 ∠ATB=90ù △ATB에서 ∠ABT=180ù-(55ù+90ù)=35ù ∠ATP=∠ABT=35ù이므로 △APT에서 55ù=∠x+35ù ∴ ∠x=20ù 이때 ∠PCA=∠ABC=30ù이므로 △CPA에서 60ù=30ù+∠CPA 따라서 △PBC는 PCÓ=BCÓ=6 ∴ ∠CPA=30ù 3인 이등변삼각형이므로 △PBC= _PCÓ_BCÓ_sin`(180ù-120ù) ;2!; ;2!; ' 3 2 답 20ù = _6 3_6 3_ ' =27 3 ' ' ' 답 27 3 ' 8. 원주각 107 △ABD에서 ∠DAB=180ù-(34ù+51ù)=95ù ∠DAB+∠DCB=180ù에서 95ù+∠DCB=180ù ∴ ∠DCB=85ù 답 85ù 1009 ∠BCP=∠x라 하면 ∠BAC=∠BCP=∠x △BPC에서 ∠ABC=30ù+∠x 이때 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠ABC=30ù+∠x △ABC에서 ∠x+(30ù+∠x)+(30ù+∠x)=180ù 3∠x=120ù ∴ ∠x=40ù 따라서 ∠ABC=30ù+∠x=30ù+40ù=70ù이므로 ∴ ∠x=35ù ∠ABC+∠ADC=180ù에서 70ù+∠ADC=180ù ∴ ∠ADC=110ù 답 110ù 답 ∠x=35ù, ∠y=105ù 1010 전략 △BDF가 이등변삼각형이므로 ∠BDF=∠BFD이고, BCÓ가 원의 접선이므로 ∠EDC=∠EFD임을 이용한다. 1005 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으 BDÓ=BFÓ이므로 ∠BDF=∠BFD= _(180ù-50ù)=65ù ;2!; 이때 ∠EDC=∠EFD=60ù이므로 ∠x=180ù-(65ù+60ù)=55ù 답 55ù 1006 ∠ABT+∠ACT=180ù에서 ∠ABT+100ù=180ù ∴ ∠ABT=80ù 답 120ù 1011 ∠y=∠ACB=68ù PAÓ=PBÓ이므로 ∠PAB=∠y=68ù 따라서 △APB에서 ∠x=180ù-(68ù+68ù)=44ù 답 ∠x=44ù, ∠y=68ù Lecture •둔각이 주어질 때, 삼각형의 넓이 △ABC에서 ∠B가 둔각일 때 △ABC A = ;2!; _ABÓ_BCÓ_sin (180ù-B) B C 1004 전략 BTê가 원 O의 접선이므로 ∠CAB=∠CBT이고, ABCD가 원 O에 내접하므로 ∠DAB+∠DCB=180ù임 을 이용한다. ∠CAB=∠CBT=40ù ∠DAB+∠DCB=180ù에서 (30ù+40ù)+(75ù+∠x)=180ù 따라서 △ABC에서 ∠y=180ù-(40ù+35ù)=105ù 면 ∠ACB=∠ABP=∠x ∠ACD=∠ADQ=∠y ∠BAD+∠BCD=180ù에서 60ù+(∠x+∠y)=180ù ∴ ∠x+∠y=120ù 60∞ l P x B A O x y C m Q y D ∠BTP=∠BAT=40ù △BPT에서 80ù=∠BPT+40ù ∴ ∠BPT=40ù 채점 기준 ㈎ ∠ABT의 크기 구하기 ㈏ ∠BTP의 크기 구하기 ㈐ ∠BPT의 크기 구하기 yy`㈎ yy`㈏ yy`㈐ 답 40ù 비율 30`% 30`% 40`% 1007 µAB=µ`BC이므로 △BCA에서 ∠x= _(180ù-110ù)=35ù ;2!; ∠B+∠D=180ù에서 ∴ ∠D=70ù 110ù+∠D=180ù △ACD에서 ∠DAC=180ù-(64ù+70ù)=46ù ∴ ∠y=∠DAC=46ù ∴ ∠x+∠y=35ù+46ù=81ù 답 81ù 1008 ∠DBA=∠DAT=51ù µAB : µ`AD=2 : 3이므로 ∠BDA : ∠DBA=2 : 3 ∠BDA : 51ù=2 : 3 ∴ ∠BDA=34ù 108 정답과 해설 1012 PAÓ=PBÓ이므로 ∠PBA=∠PAB= _(180ù-58ù)=61ù ;2!; 이때 ∠ABC=∠DAC=73ù이므로 ∠CBE=180ù-(61ù+73ù)=46ù 답 46ù 1013 전략 작은 원에서 ∠BTQ=∠BAT이고 큰 원에서 ∠CTQ=∠CDT임을 이용한다. ∠BTQ=∠BAT=75ù, ∠CTQ=∠CDT=55ù이므로 ∠x=180ù-(75ù+55ù)=50ù 답 50ù 1014 오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 그 yy`㈎ 으면 ∠ABC=∠GAC=54ù 이때 BCED는 큰 원에 내 접하므로 ∠CED=∠ABC=54ù 따라서 △AED에서 ∠x =180ù-(66ù+54ù)=60ù B D 66∞ F A 54∞ x C G 54∞ 54∞ E yy`㈏ yy`㈐ 답 60ù 1017 ∠ABC=∠a, ∠ADE=∠EDB=∠b라 하면 ADÓ가 원의 접선이므로 ∴ (색칠한 부분의 넓이) =(부채꼴 AOB의 넓이)-△OAB 채점 기준 ㈎ BCÓ 긋기 ㈏ ∠CED의 크기 구하기 ㈐ ∠x의 크기 구하기 비율 30`% 50`% 20`% ③ 84ù=∠x+18ù ∴ ∠x=66ù ④ ∠x= _100ù=50ù ;2!; ⑤ ∠x=90ù 따라서 ∠x의 크기가 가장 큰 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 1015 ∠ABT=∠ATP=∠CDT (④), ∠BAT=∠BTQ=∠DCT (②) 즉 동위각의 크기가 같으므로 ABÓ∥CDÓ (①) 이때 △ABT∽△CDT (AA 닮음)이므로 (⑤) TAÓ`:`TBÓ=TCÓ`:`TDÓ 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 답 ③ 1016 전략 PCÓ를 긋고 반원에 대한 원주각의 크기는 90ù임을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 PCÓ를 그 으면 ACÓ가 작은 반원의 지름 이므로 ∠APC=90ù ∠CPB =180ù-(55ù+90ù) =35ù Q 55∞ P 35∞ A 55∞ C x B ∠PCA =∠QPA=55ù △PCB에서 55ù=35ù+∠x　　∴ ∠x=20ù 답 20ù ∠CAD=∠ABC=∠a △ABD에서 (50ù+∠a)+∠a+(∠b+∠b)=180ù 2∠a+2∠b=130ù 따라서 △EBD에서 ∠AED=∠a+∠b=65ù ∴ ∠a+∠b=65ù 답 65ù 1018 ∠CBY=∠CAB=60ù 오른쪽 그림과 같이 DEÓ를 그으면 ∠EDB=∠EBY=60ù ∠DBE=∠x라 하면 ∠CDE=∠DBE=∠x △DBC에서 (60ù+∠x)+∠x+34ù=180ù 2∠x=86ù ∴ ∠x=43ù C D 60∞ 34∞ E x 60∞ x B A X 60∞ Y 답 43ù step3 내신 마스터 p.171 ~ p.173 1019 전략 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크 기의 ;2!;이다. ① ∠x= _140ù=70ù ;2!; ② ∠x=2_40ù=80ù 1020 전략 ∠AOD=2∠ACD, ∠DEB= ∠DOB임을 이용한다. ;2!; 오른쪽 그림과 같이 ODÓ를 그으면 ∠AOD =2∠ACD =2_20ù=40ù ∠DOB=110ù-40ù=70ù이므로 ∠DEB= ∠DOB C A E 20∞ O 110∞ B D = _70ù=35ù 답 ② ;2!; ;2!; 1021 전략 (색칠한 부분의 넓이)=(부채꼴 AOB의 넓이)-△OAB 임을 이용한다. ∠AOB=2∠ACB=2_60ù=120ù yy`㈎ 비율 30`% 70`% A 600 m =p_6Û`_ - _6_6_sin`(180ù-120ù) ;3!6@0); ;2!; =p_36_ - _6_6_ ' ;3!; ;2!; 3 2 =12p-9 3`(cmÛ`) ' yy`㈏ 답 (12p-9 3)`cmÛ` ' 채점 기준 ㈎ ∠AOB의 크기 구하기 ㈏ 색칠한 부분의 넓이 구하기 1022 전략 원의 중심을 O라 하고, ∠ACB=45ù임을 이용하여 ∠AOB의 크기를 구한다. 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 O라 하면 ∠AOB =2∠ACB =2_45ù=90ù 이때 OAÓ=OBÓ이므로 O C 45∞ B ∠OAB=∠OBA= _(180ù-90ù)=45ù ;2!; △AOB에서 sin`45ù= OAÓ ABÓ 이므로 ' = 2 2 OAÓ 600 ∴ OAÓ=300 2`(m) ' 따라서 위험 지역의 지름의 길이는 2_300 2=600 2`(m) ' ' 답 600 2`m ' 8. 원주각 109  1023 전략 한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같음을 이 용한다. ∠x=∠ACB=15ù ∠BDC=∠BAC=45ù이므로 △DBC에서 ∠y=180ù-(45ù+55ù+15ù)=65ù ∴ ∠x+∠y=15ù+65ù=80ù 답 80ù 1024 전략 ADÓ를 그은 후 반원에 대한 원주각의 크기는 90ù임을 이 △APD에서 ∠APC =∠ADP+∠DAP =36ù+27ù=63ù 채점 기준 ㈎ ADÓ를 긋고, ∠ADC의 크기 구하기 ㈏ ∠DAB의 크기 구하기 ㈐ ∠APC의 크기 구하기 yy`㈐ 답 63ù 비율 40`% 40`% 20`% 용한다. 오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으 면 ABÓ가 반원 O의 지름이므로 ∠ADB=90ù △PAD에서 90ù=66ù+∠PAD ∴ ∠PAD=24ù C D P 66∞ x O A 24∞ B ∠AOC=2∠ABC=2_60ù=120ù 임을 이용한다. ∠ABC+∠ADC=180ù에서 60ù+∠x=180ù ∴ ∠x=120ù AOCD에서 1028 전략 ABCD가 원에 내접하므로 ∠ABC+∠ADC=180ù ∴ ∠x=2∠CAD=2_24ù=48ù 답 48ù ∠y=360ù-(120ù+65ù+120ù)=55ù ∴ ∠x-∠y=120ù-55ù=65ù 답 65ù 1025 전략 한 원에서 호의 길이는 그 호에 대한 원주각의 크기에 정 비례함을 이용한다. △ACP에서 57ù=∠CAB+27ù ∴ ∠CAB=30ù 원의 둘레의 길이를 l`cm이라 하면 30ù`:`180ù=4p`:`l, 1 : 6=4 p : l　　 ∴ l=24p 따라서 원의 둘레의 길이는 24p`cm이다. 답 ⑤ 1026 전략 µAB의 길이가 원주의 ;k!;이면 µAB에 대한 원주각의 크기 1029 전략 ABCD가 원에 내접하므로 ∠CDP=∠ABC임을 이 용한다. ABCD가 원에 내접하므로 ∠CDP=∠ABC=∠x △QBC에서 ∠DCP=∠x+26ù △DCP에서 ∠x+(∠x+26ù)+40ù=180ù 2∠x=114ù　　∴ ∠x=57ù 는 180ù_ ;k!;임을 이용한다. ∠BAD는 `µ BCD에 대한 원주각이므로 ∠BAD=180ù_ 4+2 3+4+2+3 =90ù 1030 전략 BDÓ를 긋고 ∠A+∠BDE=180ù임을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면 A 답 ③ ABDE가 원 O에 내접하므로 ∠A+∠BDE=180ù yy`㈎ 70∞ O B 전략 ADÓ를 긋고 µAC에 대한 원주각의 크기를 먼저 구한다. = _70ù=35ù yy`㈏ 1027 오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면 A ∠ADC=180ù_ =36ù ;5!; yy`㈎ C 27∞ P 36∞ D ∠BDC= ∠BOC ;2!; ;2!; ∴ ∠A+∠D =∠A+∠BDE+∠BDC =180ù+35ù=215ù ∠ADC : ∠DAB =µAC : µBD B 채점 기준 =4 : 3 36ù : ∠DAB=4 : 3 ∴ ∠DAB=27ù ㈎ BDÓ를 긋고, ∠A+∠BDE의 크기 구하기 ㈏ ∠BDC의 크기 구하기 ㈐ ∠A+∠D의 크기 구하기 yy`㈏ 110 정답과 해설 답 ① E 35∞ D C yy`㈐ 답 215ù 비율 40`% 30`% 30`%  1031 전략 원 O에서 ∠BAP+∠BQP=180ù이고 원 O'에서 ∠BQP=∠PDC임을 이용한다. PQCD가 원 O'에 내접하므로 ∠y=∠PDC=104ù ABQP가 원 O에 내접하므로 ∠BAP+∠BQP=180ù에서 ∠BAP+104ù=180ù ∴ ∠BAP=76ù ∴ ∠x=2∠BAP=2_76ù=152ù ∴ ∠x+∠y=152ù+104ù=256ù 답 256ù 1034 전략 ACÓ를 그은 후 ∠BAC=90ù임을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면 B BCÓ가 원 O의 지름이므로 ∠BAC=90ù ∠BCA=∠BAT=67ù △BAC에서 ∠x =180ù-(90ù+67ù)=23ù △BAT'에서 67ù=23ù+∠y ∴ ∠y=44ù ∴ ∠y-∠x=44ù-23ù=21ù x O 67∞ 67∞ C y T A T′ 답 21ù 전략 ABCD가 원에 내접하는 조건을 만족하는지 알아본다. ㉠ ∠A+∠C=75ù+105ù=180ù이므로 ABCD는 원에 1035 전략 할선이 원의 중심을 지나도록 보조선을 그은 후 반원에 1032 내접한다. ㉥ ∠ADB=∠ACB이므로 ABCD는 원에 내접한다. Lecture 따라서 ABCD가 원에 내접하는 것은 ㉠, ㉢, ㉤, ㉥ ㉡ ∠BAD=180ù-85ù=95ù이므로 ABCD의 한 외각 의 크기와 그 외각에 이웃한 내각에 대한 대각의 크기가 서로 같지 않다. 따라서 ABCD는 원에 내접하지 않는다. ㉢ ∠BAC=∠BDC이므로 ABCD는 원에 내접한다. ㉣ ∠B+∠D=85ù+90ù=175ù+180ù이므로 ABCD 는 원에 내접하지 않는다. ㉤ ∠ADC=180ù-130ù=50ù이므로 ABCD의 한 외각 의 크기와 그 외각에 이웃한 내각에 대한 대각의 크기가 서로 같다. 따라서 ABCD는 원에 내접한다. 이다. Lecture 답 ④ A D 오른쪽 그림에서 다음 중 하나를 만족하 면 ABCD는 원에 내접한다. ⑴ ∠BAD+∠BCD=180ù 또는 ∠ABC+∠ADC=180ù B ⑵ ∠DCE=∠BAD ⑶ ∠BAC=∠BDC 또는 ∠ABD=∠ACD 또는 ∠ADB=∠ACB 또는 ∠DAC=∠DBC C E 1033 전략 ADÓ를 그은 후 ∠BAD=∠BDT임을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그 P 으면 ∠ADC`:`∠BAD =µAC`:`µ BD=1`:`3 ∠ADC=∠x라 하면 ∠BAD=3∠x A 3x C B O x 51∞ D T ∠BAD=∠BDT=51ù이므로 3∠x=51ù　　∴ ∠x=17ù △APD에서 51ù=∠P+17ù　　∴ ∠P=34ù 답 ⑤ 대한 원주각을 찾는다. 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O를 지나도록 BC'Ó을 그으면 A C′ 60∞ C 6 O 60∞ P B ∠AC'B=∠ABP=60ù C'BÓ는 원 O의 지름이므로 ∠C'AB=90ù △ABC'에서 ABÓ C'BÓ 3 ∴ C'BÓ=4 sin`60ù= ' 이므로 ' = 3 2 6 C'BÓ 따라서 원 O의 반지름의 길이는 _4 3=2 3이므로 원 O ;2!; ' ' 의 둘레의 길이는 2p_2 3=4 3p ' ' 답 4 3p ' 오른쪽 그림과 같이 ∠C=90ù인 직각삼각형 ABC에서 sin`A= ➡ ABÓ= a ABÓ a sin`A 또 특수한 각에서 sin의 값은 다음과 같다. A B a C A sin`A 30ù ;2!; 45ù 2 ' 2 60ù 3 ' 2 1036 전략 ABCD가 원에 내접하므로 ∠DAB+∠DCB=180ù 임을 이용한다. ∠DAB+∠DCB=180ù에서 ∠DAB+110ù=180ù △APB에서 70ù=30ù+∠x ∠y=∠CBT=50ù ∴ ∠x+∠y=40ù+50ù=90ù 채점 기준 ㈎ ∠x의 크기 구하기 ㈏ ∠y의 크기 구하기 ㈐ ∠x+∠y의 크기 구하기 ∴ ∠DAB=70ù ∴ ∠x=40ù yy`㈎ yy`㈏ yy`㈐ 답 90ù 비율 50`% 30`% 20`% 8. 원주각 111 9 원주각의 활용 1047 PCÓ=POÓ-OCÓ=7-x 이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 3_(3+5)=(7-x)(7+x), 24=49-xÛ` xÛ`=25 ∴ x=5 (∵ x>0) 답 5 step 개념 마스터 p.176 ~ p.177 1037 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 6_5=x_3, 3x=30　　∴ x=10 1048 PBÓ=OBÓ=OAÓ=x 이때 PDÓ_PCÓ=PBÓ_PAÓ이므로 12_(12+13)=x_(x+x+x), xÛ`=100 ∴ x=10 (∵ x>0) 1038 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 3_8=4_x, 4x=24　　∴ x=6 1049 PAÓ_PCÓ=PBÓ_PDÓ이어야 하므로 2_x=6_3, 2x=18　　∴ x=9 답 10 답 6 답 6 답 3 답 7 1039 PBÓ=PAÓ=x PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 x_x=2_8, xÛ`=16　　∴ x=4`(∵ x>0) 답 4 1040 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 x_(12-x)=9_4, xÛ`-12x+36=0 (x-6)Û`=0　　∴ x=6 1041 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 4_(4+5)=x_12, 12x=36　　∴ x=3 1042 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 2_(2+x)=3_(3+3), 4+2x=18 2x=14　　∴ x=7 1043 ABÓ⊥CDÓ이므로 PCÓ=PDÓ 이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ Û`이므로 x_9=6Û`, 9x=36　　∴ x=4 답 4 1044 ABÓ⊥CDÓ이므로 PDÓ=PCÓ=x OPÓ=OBÓ-PBÓ=4-2=2 이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ Û`이므로 1050 PAÓ_PCÓ=PBÓ_PDÓ이어야 하므로 4_7=x_2, 2x=28　　∴ x=14 1051 PAÓ_PCÓ=PBÓ_PDÓ이어야 하므로 2_6=4_x, 4x=12 ∴ x=3 1052 PAÓ_PDÓ=PBÓ_PCÓ이어야 하므로 4_(4+3)=x_14, 14x=28 ∴ x=2 1053 PAÓ_PDÓ=PBÓ_PCÓ이어야 하므로 4_(4+5)=x_(x+9), xÛ`+9x-36=0 (x+12)(x-3)=0　　∴ x=3 (∵ x>0) 답 3 1054 PCÓ_PBÓ=PDÓ_PAÓ이어야 하므로 8_(8+7)=(12-x)_12, 120=144-12x 12x=24　　∴ x=2 답 2 1055 접선과 현이 이루는 각에 의하여 ∠PTA=∠ABT 답 ∠ABT 1056 △PTA와 △PBT에서 ∠PTA=∠PBT, ∠P는 공통이므로 △PTA»△PBT`(AA 닮음) 답 △PBT (4+2)_2=xÛ`, xÛ`=12　　∴ x=2 3 (∵ x>0) ' 답 2 3 ' 1057 △PAT»△PTB이므로 PAÓ`:`PTÓ=PTÓ`:`PBÓ에서 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ 1045 OPÓ=ODÓ-PDÓ=7-2=5 이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 x_8=(5+7)_2, 8x=24　　∴ x=3 답 3 1046 PCÓ=OCÓ-OPÓ=9-x 이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 4_8=(9-x)(9+x), 32=81-xÛ` xÛ`=49　　∴ x=7 (∵ x>0) 112 정답과 해설 xÛ`=4_(4+5), xÛ`=36 ∴ x=6 (∵ x>0) 1058 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 xÛ`=8_(8+10), xÛ`=144　　 ∴ x=12 (∵ x>0) 1059 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 4Û`=2_(2+x), 16=4+2x 답 7 2x=12　　∴ x=6 답 10 답 9 답 14 답 3 답 2 답 6 답 12 답 6 Û`=PAÓ_PBÓ이므로 1060 PTÓ 6Û`=x_(x+8+8), xÛ`+16x-36=0 1067 PBÓ : PDÓ=2 : 1이므로 PDÓ=x, PBÓ=2x라 하면 PCÓ=x-2이고 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 (x+18)(x-2)=0　　∴ x=2 (∵ x>0) 답 2 2_2x=(x-2)_x, 4x=xÛ`-2x xÛ`-6x=0, x(x-6)=0 ∴ x=6`(∵ x>2) 따라서 PBÓ=2x=2_6=12이므로 ABÓ=PBÓ-PAÓ=12-2=10 답 10 1068 전략 PAÓ_PBÓ=PCÓ Û`임을 이용한다. ABÓ⊥CDÓ이고 ABÓ는 원 O의 지름이므로 PCÓ= `CDÓ= _8=4`(cm) ;2!; ;2!; Û`이므로 ∴ PAÓ=8`(cm) 이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ PAÓ_2=4Û` 따라서 △APC에서 ACÓ= 8Û`+4Û`=4 " 5`(cm) ' 답 4 5`cm ' 1069 APÓ`:`PBÓ=3`:`1이고 ABÓ=2 OAÓ=2_6=12`(cm)이므로 APÓ=12_ =9`(cm) 3 3+1 ∴ PBÓ=ABÓ-APÓ=12-9=3`(cm) 이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ Û` 9_3=PCÓ Û`이므로 ' ∴ PCÓ=3 3`(cm) (∵ PCÓ>0) 답 3 3`cm ' 1070 ABÓ⊥CDÓ이고 ABÓ는 원 O의 지름이므로 PCÓ= CDÓ= _12=6`(cm) ;2!; ;2!; yy`㈎ PAÓ=x`cm라 하면 PBÓ=(20-x)`cm 이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ Û`이므로 x_(20-x)=6Û` yy`㈏ xÛ`-20x+36=0, (x-18)(x-2)=0 ∴ x=2`(∵ 00) ' ∴ CDÓ=k+2k=3k=3_4 3=12 3 ' ' 답 12 3 ' 1064 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지나므로 CDÓ는 원의 지 름이다. 이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 6_6=9_PDÓ, 9PDÓ=36 ∴ PDÓ=4`(cm) 이므로 원의 둘레의 길이는 2p_ =13p`(cm) ;;Á2£;; 1065 전략 PBÓ_PAÓ=PDÓ_PCÓ 임을 이용한다. PBÓ_PAÓ=PDÓ_PCÓ이므로 6_(6+2)=4_(4+CDÓ), 48=16+4CDÓ 4CDÓ=32 ∴ CDÓ=8`(cm) 답 8`cm 1066 DPÓ=x라 하면 PBÓ_PAÓ=PDÓ_PCÓ이므로 5_(5+7)=x_(x+4), xÛ`+4x-60=0 (x+10)(x-6)=0 ∴ x=6`(∵ x>0) 따라서 CDÓ=9+4=13`(cm)이고 반지름의 길이는 cm ∴ PAÓ=2`cm ;;Á2£;; 답 13p`cm 채점 기준 ㈎ PCÓ의 길이 구하기 ㈏ PAÓ=x`cm로 놓고 원에서 선분의 길이 사이의 관 계를 이용하여 x에 대한 식 세우기 ㈐ PAÓ의 길이 구하기 yy`㈐ 답 2`cm 비율 20`% 40`% 40`% ∴ DPÓ=6 답 6 xÛ`=25 ∴ x=5`(∵ x>0) 답 5 전략 PCÓ, PDÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타낸 후 1071 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ 임을 이용한다. PCÓ=9-x, PDÓ=9+x이고 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 8_7=(9-x)(9+x), 56=81-xÛ` 9. 원주각의 활용 113 1072 OPÓ=x`cm라 하면 PCÓ=(6+x)`cm, PDÓ=(6-x)`cm 이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 1077 전략 원 O에서 PAÓ_PBÓ=PEÓ_PFÓ이고 원 O'에서 PCÓ_PDÓ=PEÓ_PFÓ이므로 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ임을 이용 3_5=(6+x)(6-x), 15=36-xÛ` xÛ`=21 ∴ x= 21`(∵ x>0) '¶ ∴ OPÓ= 21`cm '¶ 답 '¶ 21`cm 한다. PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 6_PBÓ=3_8 ∴ PBÓ=4 yy`㈎ yy`㈏ yy`㈐ 답 7 비율 20`% 40`% 40`% 1073 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 PCÓ=r-5, PDÓ=r+5 이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 6_4=(r-5)(r+5) 24=rÛ`-25, rÛ`=49 ∴ r=7`(∵ r>0) 따라서 원 O의 반지름의 길이는 7이다. 채점 기준 ㈎ 원 O의 반지름의 길이를 r로 놓고 PCÓ, PDÓ의 길이 를 r에 대한 식으로 나타내기 ㈏ 원에서 선분의 길이 사이의 관계를 이용하여 r에 대한 식 세우기 ㈐ 원 O의 반지름의 길이 구하기 1074 전략 POÓ의 연장선과 원 O의 교점을 D라 하고, PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ 임을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 POÓ의 연장 선과 원 O의 교점을 D라 하고 OCÓ=x라 하면 PCÓ=11-x, PDÓ=11+x A 6 C P B 6 x O 11 이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 6_(6+6)=(11-x)(11+x) 72=121-xÛ`, xÛ`=49 ∴ x=7 (∵ x>0) 1075 오른쪽 그림과 같이 POÓ의 연 장선과 원 O의 교점을 D라 하 고 OCÓ=x`cm라 하면 PDÓ=(3+2x)`cm 3 cm P 4 cm x cm C O 5 cm A B 이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 4_(4+5)=3_(3+2x), 36=9+6x 6x=27　　∴ x= ;2(; 따라서 원 O의 지름의 길이는 7_2=14 답 14 답 4 답 ;3*; 1078 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 (9+4)_x=4_(x+6), 13x=4x+24 9x=24 ∴ x= ;3*; 1079 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 2_(2+x)=5_(5+3), 4+2x=40 2x=36 ∴ x=18 PEÓ_PFÓ=PCÓ_PDÓ이므로 4_(4+y)=5_(5+3), 16+4y=40 는다. 는다. 는다. 한다. 4y=24　　∴ y=6 답 x=18, y=6 1080 전략 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있을 조건을 만족시키는 지 확인한다. ① ∠BAC+∠BDC이므로 ABCD는 원에 내접하지 않 ② ∠B+∠D+180ù이므로 ABCD는 원에 내접하지 않 D ③ ∠BCD=180ù-85ù=95ù 즉 한 외각의 크기와 그 외각에 이웃한 내각에 대한 대각 의 크기가 같지 않으므로 ABCD는 원에 내접하지 않 ④ 2_8+6_3이므로 ABCD는 원에 내접하지 않는다. ⑤ 5_(5+3)=4_(4+6)이므로 ABCD는 원에 내접 따라서 ABCD가 원에 내접하는 것은 ⑤이다. 답 ⑤ D 1081 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ가 성립하는 것을 찾는다. ② 10_10+12_8 ① 3_11+5_6 ③ 2_(2+6)+3_(3+3) ④ 3_(3+5)=4_(4+2) ⑤ 4_(4+4)+2_(2+8) 따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은 ④이다. 답 ④ 따라서 원 O의 반지름의 길이는 `cm이다. ;2(; 답 `cm ;2(; 1082 ④ PAÓ_PDÓ=PBÓ_PCÓ가 성립해야 ABCD가 원에 내 답 ④ 접한다. 1076 POÓ=x라 하면 PCÓ=x-4, PDÓ=x+4 이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 6_(6+2)=(x-4)(x+4), 48=xÛ`-16 xÛ`=64 ∴ x=8`(∵ x>0) 1083 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있을 때 PAÓ_PDÓ=PBÓ_PCÓ가 성립한다. 즉 5_(5+3)=4_(4+x)이므로 ∴ POÓ=8 답 8 40=16+4x, 4x=24 ∴ x=6 답 6 114 정답과 해설  1084 PAÓ=8_ =2`(cm)이므로 1 1+3 PBÓ=8-2=6`(cm) 이때 PCÓ=x`cm라 하면 PDÓ=(7-x)`cm 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ가 성립한다. 즉 2_6=x_(7-x)이므로 12=7x-xÛ` xÛ`-7x+12=0, (x-4)(x-3)=0 ∴ x=3 (∵ PCÓ0) Û`=PAÓ_PBÓ이므로 Û`=4_9=36 △PCT와 △PDB에서 ∠PCT=∠PDB=90ù, ∠P는 공통이므로 △PCT»△PDB (AA 닮음) 따라서 PTÓ`:`PBÓ=TCÓ`:`BDÓ이므로 6`:`9=2`:`BDÓ, 6BDÓ=18 ∴ BDÓ=3 답 3 1085 ∠AEC=∠ADC=90ù이므로 네 점 A, E, D, C는 한 원 yy`㈎ 위에 있다. 이때 BEÓ_BAÓ=BDÓ_BCÓ이므로 8_(8+2)=5_(5+DCÓ) 80=25+5DCÓ, 5DCÓ=55 ∴ DCÓ=11 답 3`cm 1092 전략 피타고라스 정리를 이용하여 PBÓ의 길이를 구한 후 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ임을 이용한다. BTÓ=2OBÓ=2_ 3=2 3`(cm)이고 ∠PTB=90ù이므로 ' ' PBÓ= " 2Û`+(2 3)Û`=4`(cm) Û`=PAÓ_PBÓ이므로 ' 이때 PTÓ 2Û`=PAÓ_4 ∴ PAÓ=1`(cm) ∴ ABÓ=PBÓ-PAÓ=4-1=3`(cm) 답 3`cm yy`㈏ yy`㈐ 답 11 비율 30`% 30`% 답 5 채점 기준 ㈎ 네 점 A, E, D, C가 한 원 위에 있음을 파악하기 40`% ㈏ 원에서 선분의 길이 사이의 관계를 이용하여 DCÓ에 대한 식 세우기 ㈐ DCÓ의 길이 구하기 1086 전략 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ임을 이용한다. PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 6Û`=4_(4+x), 36=16+4x 4x=20 ∴ x=5 1087 답 ㈎ ∠PBT ㈏ ∠P ㈐ AA ㈑ PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 1088 PTÓ 4Û`=x_(x+6), xÛ`+6x-16=0 (x+8)(x-2)=0 ∴ x=2`(∵ x>0) 답 2 1089 PQÓ=PTÓ=12`cm (∵ 작은 원의 접선) PAÓ=x`cm라 하면 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 1093 BTÓ=2OTÓ=2_3=6`(cm)이고 ∠BTP=90ù이므로 6Û`+8Û`=10`(cm) BPÓ= yy`㈎ " 이때 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 8Û`=PAÓ_10 ∴ PAÓ= `(cm) yy`㈏ :£5ª: ∴ ABÓ=PBÓ-PAÓ=10- = :£5ª: :Á5¥: `(cm) yy`㈐ 채점 기준 ㈎ BPÓ의 길이 구하기 ㈏ PAÓ의 길이 구하기 ㈐ ABÓ의 길이 구하기 답 :Á5¥: `cm 비율 40`% 40`% 20`% 3`(cm)이고 ∠BTP=90ù이므로 1094 BTÓ=2OBÓ=2_2 PBÓ : BTÓ=2 : ' 3에서 3=4 ' ' ' PBÓ : 4 3=2 : ' PTÓ : BTÓ=1 : 3에서 ' 3=1 : 3 Û`=PAÓ_PBÓ이므로 ' PTÓ : 4 ' 이때 PTÓ 3 ∴ PBÓ=8`(cm) ∴ PTÓ=4`(cm) 12Û`=x_(12+6), 144=18x ∴ x=8 4Û`=PAÓ_8 ∴ PAÓ=2`(cm) ∴ PAÓ=8`cm 답 8`cm ∴ ABÓ=PBÓ-PAÓ=8-2=6`(cm) 답 6`cm 1090 PTÓ PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 Û`=4_(4+12)=64 ∴ PTÓ=8`(cm) (∵ PTÓ>0) 1095 전략 ∠APT=∠ABT=∠ATP에서 APÓ=ATÓ이므로 PAÓ의 길이를 구한 후 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ임을 이용한다. ∴ △BAT=△BPT-△APT ∠APT=∠ABT=∠ATP이므로 ;2!; ;2!; = _16_8_sin`30ù- _4_8_sin`30ù ;2!; = _16_8_ - _4_8_ ;2!; ;2!; ;2!; =32-8=24`(cmÛ`) 답 24`cmÛ` APÓ=ATÓ=6 이때 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 PTÓ Û`=6_(6+8)=84　　 21 (∵ PTÓ>0) '¶ ∴ PTÓ=2 답 2 21 '¶ 9. 원주각의 활용 115 ∴ ATÓ=APÓ=4 답 4 ∴ BTÓ=3x=3_5=15 답 15 1096 ∠APT=∠ABT=∠ATP이므로 APÓ=ATÓ APÓ=x라 하면 Û`=PAÓ_PBÓ이므로 10)Û`=x_(x+6), xÛ`+6x-40=0 PTÓ (2 '¶ (x+10)(x-4)=0　　∴ x=4 (∵ x>0) 1097 ∠ATP=∠ABT=30ù 또 △PTB에서 PTÓ=BTÓ이므로 ∠APT=∠ABT=30ù 즉 ∠APT=∠ATP=30ù이므로 APÓ=ATÓ=6 이때 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 PTÓ Û`=6_(6+12)=108 ∴ PTÓ=6 3 (∵ PTÓ>0) ' 따라서 PBÓ=PAÓ+ABÓ=6+12=18이므로 △BPT= ;2!; _18_6 3_sin`30ù ' ' = _18_6 3_ ;2!; ;2!; =27 3 ' 답 27 3 ' 1098 전략 PBÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타낸 후 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ임을 이용한다. ABÓ=2OBÓ=2x이고 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 7Û`=5_(5+2x), 49=25+10x 10x=24 ∴ x= :Á5ª: 답 :Á5ª: 1099 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 3Û`=PAÓ_9　　∴ PAÓ=1 이때 ABÓ=PBÓ-PAÓ=9-1=8이고 ABÓ는 원 O의 지름 이므로 원 O의 반지름의 길이는 _8=4 답 4 ;2!; 1100 ABÓ=x라 하면 ATÓ Û`=ABÓ_ACÓ이므로 1101 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으 면 BCÓ가 원 O의 지름이므로 ∠BAC=90ù 30∞ 5 3 A T 30∞ C 60∞ O 30∞ ∠ACB =180ù-(90ù+30ù) B =60ù 이때 ∠TAC=∠ABC=30ù이므로 △ACT에서 60ù=30ù+∠ATC ∴ ∠ATC=30ù ∴ ACÓ=TCÓ 116 정답과 해설 △ABC에서 ACÓ：BCÓ=1：2이므로 TCÓ=x라 하면 ACÓ=TCÓ=x, BCÓ=2x Û`=TCÓ_TBÓ이므로 3)Û`=x_(x+2x), 3xÛ`=75 이때 TAÓ (5 ' xÛ`=25 ∴ x=5 (∵ x>0) 오른쪽 그림과 같이 AOÓ를 그으면 ∠OAT=90ù ∠AOC =2∠ABC =2_30ù=60ù ∠ATO =180ù-(90ù+60ù) =30ù △AOT에서 AOÓ：ATÓ=1： ' AOÓ：5 3=1： ∴ AOÓ=5 3 3이므로 ' ' AOÓ：TOÓ=1：2이므로 5：TOÓ=1：2 ∴ TOÓ=10 ∴ BTÓ=BOÓ+TOÓ=5+10=15 A 5 3 T 30∞ C 60∞ O 30∞ B 1102 오른쪽 그림과 같이 CBÓ를 그 으면 ABÓ가 원 O의 지름이므 로 ∠ACB=90ù ∠ABC =180ù-(30ù+90ù) =60ù C 30∞ A O30∞ 6 cm 60∞ 30∞ B D △ABC에서 ABÓ : BCÓ=2 : 1이므로 6 : BCÓ=2 : 1 ∴ BCÓ=3`(cm) 이때 ∠BCD=∠CAB=30ù이므로 △BDC에서 60ù=30ù+∠BDC 즉 △BDC는 ∠BCD=∠BDC=30ù인 이등변삼각형이므 로 BDÓ=BCÓ=3`cm ∴ ∠BDC=30ù CDÓ Û`=DBÓ_DAÓ=3_(3+6)=27 ∴ CDÓ=3 3`(cm) (∵ CDÓ>0) ' 답 3 3`cm ' OTÓ=OAÓ= ABÓ A ;2!; ' = _10 3=5 3 ;2!; ' ∠OTA=∠OAT=15ù이므로 △AOT에서 ∠TOP=15ù+15ù=30ù 한편 점 T는 반원 O의 접점이므로 ∠OTP=90ù △TOP에서 OTÓ : PTÓ= 5 3 : PTÓ= 3 : 1 ' ∴ PAÓ_PBÓ=PTÓ ' Û`=5Û`=25 ' ∴ PTÓ=5 3 : 1이므로 15∞ T 15∞ O 30∞ 10 3 P B 답 25 8Û`=x_(x+12), xÛ`+12x-64=0 1103 오른쪽 그림과 같이 OTÓ를 (x+16)(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ x>0) 답 4 그으면  1104 전략 QAÓ_QCÓ=QBÓ_QTÓ임을 이용하여 QAÓ의 길이를 구 한 후 PTÓ Û`=PAÓ_PCÓ임을 이용하여 PAÓ의 길이를 구한다. QAÓ_QCÓ=QBÓ_QTÓ이므로 QAÓ_8=6_4 ∴ QAÓ=3 Û`=PAÓ_PCÓ이므로 PAÓ=x라 하면 또 PTÓ (2 15)Û`=x_(x+3+8) '¶ xÛ`+11x-60=0, (x+15)(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ x>0) ∴ PAÓ=4 1105 QAÓ_QBÓ=QCÓ_QTÓ이므로 ∴ QAÓ=6 QAÓ_3=2_9 이때 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 △PBT와 △PTA에서 ∠PBT=∠PTA, ∠P는 공통이므로 △PBT»△PTA`(AA 닮음) 따라서 PTÓ：PAÓ=BTÓ：TAÓ이므로 답 4 8`:`4=`BTÓ :`5 ∴ BTÓ=10`(cm) 답 10` cm 1110 전략 원 O에서 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ, 원 O'에서 PT'Ó Û`=PAÓ_PBÓ 이므로 PTÓ=PT'Ó임을 이용한다. PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ, PT'Ó Û`=PAÓ_PBÓ에서 PTÓ=PT'Ó (∵ PTÓ>0, PT'Ó>0) PTÓ Û`=4_(4+3)=28에서 PTÓ=2 7`(∵ PTÓ>0) ' ∴ PTÓ+PT'Ó=2 7+2 7=4 7 ' ' ' xÛ`=6_(6+6+3)=90 ∴ x=3 10 (∵ x>0) '¶ 답 3 10 '¶ 1111 오른쪽 그림과 같이 PO'Ó의 연 장선과 원 O'의 교점을 D라 하 Û`=PAÓ_PBÓ이므로 1106 PTÓ 12Û`=8_(8+3+QBÓ), 144=88+8QBÓ 8QBÓ=56 ∴ QBÓ=7 이때 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 QCÓ=r+5, QDÓ=r-5 QAÓ_QBÓ=QCÓ_QDÓ이므로 3_7=(r+5)(r-5), 21=rÛ`-25 rÛ`=46 ∴ r= 46 (∵ r>0) '¶ 따라서 원 O의 반지름의 길이는 46이다. '¶ 답 '¶ 46 1107 전략 ∠PBT=∠PTA임을 이용하여 닮음인 두 삼각형을 찾 는다. △PBT와 △PTA에서 ∠PBT=∠PTA, ∠P는 공통이므로 △PBT»△PTA`(AA 닮음) 따라서 PBÓ：PTÓ=TBÓ：ATÓ이므로 9：6=6：ATÓ ∴ ATÓ=4 답 4 1108 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 PAÓ=x라 하면 ∴ x=3 (∵ x>0) 6Û`=x_(x+9), xÛ`+9x-36=0 (x+12)(x-3)=0 △PBT와 △PTA에서 ∠PBT=∠PTA, ∠P는 공통이므로 △PBT»△PTA`(AA 닮음) 따라서 PTÓ`:`PAÓ=TBÓ`:`ATÓ이므로 면 PTÓ PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ, Û`=PCÓ_PDÓ에서 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ 6x=27　　∴ x= ;2(; PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 4_(4+5)=3_(3+x+x), 36=9+6x yÛ`=4_(4+5)=36　　∴ y=6 (∵ y>0) yy`㈏ 답 4 7 ' D O′ x B O 5 T C 3 P y A 4 yy`㈎ 답 x= , y=6 ;2(; 비율 60`% 40`% 채점 기준 ㈎ x의 값 구하기 ㈏ y의 값 구하기 1112 PAÓ Û`=PQÓ_PRÓ, PBÓ Û`=PQÓ_PRÓ에서 PAÓ=PBÓ (∵ PAÓ>0, PBÓ>0) ∴ PAÓ= ABÓ= _16=8 ;2!; ;2!; 이때 PQÓ=x라 하면 PAÓ Û`=PQÓ_PRÓ에서 8Û`=x_(x+12), xÛ`+12x-64=0 (x+16)(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ x>0) ∴ PQÓ=4 답 4 1113 전략 크기가 같은 각을 찾아 ABÓ가 세 점 B, P, Q를 지나는 원 의 접선임을 알아낸다. 오른쪽 그림에서 ABÓ=ACÓ이므로 A 6 cm 6 cm ∠ABC=∠ACB 6`:`3=TBÓ`:`4 ∴ TBÓ=8 답 8 이때∠AQB=∠ACB이므로 5 cm 1109 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 PTÓ ∴ PTÓ=8`(cm) (∵ PTÓ>0) Û`=4_(4+12)=64 ∠ABC=∠AQB B C 따라서 ABÓ는 세 점 B, P, Q를 지 나는 원의 접선이다. P Q 9. 원주각의 활용 117 이때 ABÓ Û`=APÓ_AQÓ이므로 6Û`=5_(5+PQÓ), 36=25+5PQÓ 5PQÓ=11 ∴ PQÓ= `(cm) ;;Á5Á;; 답 ;;Á5Á;; `cm PTÓ 1117 ABÓ=2OBÓ=2_3=6이므로 Û`=PAÓ_PBÓ에서 Û`=2_(2+6)=16 오른쪽 그림과 같이 TOÓ를 그으 PTÓ ∴ PTÓ=4`(∵ PTÓ>0) T 1114 ∠BAD=∠CAD이고 ∠EBC=∠CAE이므로 ∠BAD=∠EBC A 따라서 BEÓ는 세 점 A, B, D를 지나는 원의 접선이다. 6 cm B D C 이때 EBÓ Û`=EDÓ_EAÓ이므로 4 cm E DEÓ=x`cm라 하면 4Û`=x_(x+6), xÛ`+6x-16=0 (x+8)(x-2)=0　　∴ x=2 (∵ x>0) ∴ DEÓ=2`cm 답 2`cm 1115 오른쪽 그림에서 ADÓ는 원 O의 지 3 cm A H 6 cm B 2 cm O D 름이므로 ∠ACD=90ù △ABH와 △ADC에서 ∠AHB=∠ACD=90ù, ∠ABH=∠ADC이므로 △ABH»△ADC`(AA 닮음) 따라서 ABÓ`:`ADÓ=AHÓ`:`ACÓ이므로 3 : 6=2 : ACÓ, 3ACÓ=12 ∴ ACÓ=4`(cm) 따라서 △ADC에서 CDÓ= 6Û`-4Û`=2 " 5`(cm) ' 답 ACÓ=4`cm, CDÓ=2 5`cm ' 1116 전략 먼저 ECÓ의 길이를 구한 후 이를 이용하여 AFÓ의 길이를 구하여 △ABF에서 피타고라스 정리를 이용한다. EAÓ_EBÓ=ECÓ_EDÓ이므로 4_3=ECÓ_6 ∴ ECÓ=2 오른쪽 그림과 같이 점 F를 지나 고 ABÓ에 평행한 직선이 CDÓ와 만나는 점을 G, 원과 만나는 점을 H라 하자. 이때 GDÓ=x라 하면 GCÓ=8-x GCÓ_GDÓ=GFÓ_GHÓ이므로 (8-x)_x=4_3, xÛ`-8x+12=0 C 6 D G A 4 E 3 B F H (x-6)(x-2)=0 ∴ x=2 (∵ 00) ' 1120 DBÓ DBÓ Û`=DCÓ_DAÓ이므로 Û`=3_(3+6)=27  오른쪽 그림과 같이 CBÓ를 그 으면 ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù 즉 △BCD는 직각삼각형이고 원 밖의 한 점에서 그은 두 접 C 6 cm O D 3 cm E B 선의 길이는 같으므로 CEÓ=BEÓ 따라서 점 E는 △BCD의 외심이므로 CEÓ=DEÓ=BEÓ= DBÓ= `(cm) ;2!; 3 3 ' 2 답 3 3 ' 2 `cm 하면 오른쪽 그림과 같이 CBÓ를 그으면 A ∠ACB=∠ABD=90ù ∠CAB=∠a, ∠CBA=∠b라 C 3 cm D bb a 6 cm a O E a b B ∠EBC=∠ECB=∠a y ㉠ ∠EDC=∠ECD=∠b y ㉡ ㉠, ㉡에서 △EBC와 △ECD는 모두 이등변삼각형이므로 EBÓ=ECÓ=EDÓ 한편 DBÓ DBÓ=3 Û`=DCÓ_DAÓ=3_(3+6)=27이므로 3`(cm)`(∵ DBÓ>0) 3 3 ' ∴ CEÓ= ;2!; DBÓ= ;2!; _3 3= ' ' 2 `(cm) A 1123 전략 POÓ=x`cm로 놓고 PAÓ, PBÓ의 길이를 각각 x에 대한 식 으로 나타낸 후 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ임을 이용한다. POÓ=x`cm라 하면 PAÓ=(5-x)`cm, PBÓ=(5+x)`cm 이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 (5-x)(5+x)=2_6, 25-xÛ`=12 xÛ`=13 ∴ x= 13 (∵ x>0) '¶ ∴ POÓ= 13`cm '¶ 답 '¶ 13`cm 1124 전략 원 O의 반지름의 길이를 r`cm로 놓고 PCÓ, PDÓ의 길이를 각각 r에 대한 식으로 나타낸 후 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ임을 이 용한다. 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 PCÓ=(7-r)`cm, PDÓ=(7+r)`cm yy`㈎ 이때 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 4_(4+5)=(7-r)(7+r) yy`㈏ 36=49-rÛ`, rÛ`=13 ∴ r= 13`(∵ r>0) '¶ 따라서 원 O의 반지름의 길이는 13`cm이다. yy`㈐ '¶ step3 내신 마스터 채점 기준 ㈎ 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 할 때, PCÓ, PDÓ의 p.188 ~ p.189 길이를 r에 대한 식으로 나타내기 ㈏ 원에서 선분의 길이 사이의 관계를 이용하여 r에 1121 전략 PAÓ_PBÓ=PDÓ_PEÓ, PBÓ_PCÓ=PEÓ_PFÓ임을 이용 대한 식 세우기 ㈐ 원 O의 반지름의 길이 구하기 답 '¶ 13`cm 비율 30`% 40`% 30`% 한다. PAÓ_PBÓ=PDÓ_PEÓ이므로 6_(6+10)=8_(8+y), 96=64+8y 8y=32 ∴ y=4 PBÓ_PCÓ=PEÓ_PFÓ이므로 (6+10)_(6+10+x)=(8+4)_(8+4+16) 256+16x=336, 16x=80 ∴ x=5 ∴ x+y=5+4=9 답 ① 1122 전략 DAÓ_DBÓ=DCÓ Û`임을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 CDÓ의 연장선 이 원 O와 만나는 점을 E라 하면 ODÓ⊥CEÓ이므로 CDÓ=EDÓ DAÓ_DBÓ=DCÓ 3_BDÓ=6Û` Û`이므로 ∴ BDÓ=12 C 6 E A 3 D O B 답 ③ Lecture 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다. 즉 ODÓ⊥CEÓ이므로 CDÓ=EDÓ이다. 1125 전략 네 점이 한 원 위에 있을 조건을 이용하여 원에 내접하는 사각형을 찾는다. ⑴ ABDE： ∠AEB=∠ADB, 즉 원주각의 크기가 같 으므로 ABDE는 원에 내접한다. PDCE： ∠PDB=∠PEC, 즉 한 외각의 크기와 그 외 각에 이웃한 내각에 대한 대각의 크기가 같으 므로 PDCE는 원에 내접한다. 또는 ∠PDC+∠PEC=180ù, 즉 한 쌍의 대 각의 크기의 합이 180ù이므로 PDCE는 원 에 내접한다. ⑵ 네 점 A, B, D, E를 지나는 원에 대하여 CEÓ_CAÓ=CDÓ_CBÓ가 성립하므로 5_(5+3)=x_(x+6) xÛ`+6x-40=0, (x+10)(x-4)=0 ∴ x=4`(∵ x>0) 답 ⑴ ABDE, PDCE ⑵ 4 9. 원주각의 활용 119 1126 전략 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ임을 이용하여 x, y의 값 yÛ`=4_(4+5)=36 ∴ y=6 (∵ y>0) 을 구한다. PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 PTÓ Û`=PCÓ_PDÓ이므로 6Û`=3_(3+x), 36=9+3x 3x=27 ∴ x=9 ∴ x+y=9+6=15 이때 PBÓ Û`=PCÓ_PAÓ이므로 PBÓ Û`=2_(2+3)=10 ∴ PBÓ= 10 (∵ PBÓ>0) '¶ △PBC에서 BCÓ= ( "à '¶ ;2!;△PBC ∴ △PDC= 10)Û`-2Û` = 6 ' = _ ;2!; {;2!; _2_ = ' 6 ' } 6 2 답 ' 6 2 1127 전략 피타고라스정리를 이용하여 △OAH에서 AHÓ의 길이를 Û`=PBÓ_PAÓ임을 이용하여 PTÓ의 길이를 구한다. 구한 후 PTÓ △OAH에서 AHÓ= 이때 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 10Û`-6Û`=8 " ABÓ=2AHÓ=2_8=16 또한 PTÓ Û`=PBÓ_PAÓ이므로 PTÓ Û`=8_(8+16)=192 ∴ PTÓ=8 3 (∵ PTÓ>0) ' 1128 전략 PCÓ의 길이를 구한 후 △ACB=△BPC-△APC임 을 이용하여 △ACB의 넓이를 구한다. PCÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 PCÓ Û`=7_(7+9)=112 7 (∵ `PCÓ>0) yy`㈎ ∴`PCÓ=4 ' ∴ △ACB =△BPC-△APC = _16_4 7_sin`30ù- _7_4 7_sin`30ù ;2!; ' = _16_4 7_ - _7_4 7_ ;2!; ;2!; ' ;2!; ;2!; ;2!; ' ' =16 7-7 7 ' =9 ' 7 ' 채점 기준 ㈎ PCÓ의 길이 구하기 ㈏ △ACB의 넓이 구하기 답 15 답 8 3 ' yy`㈏ 답 9 7 ' 비율 40`% 60`% A 3 O 면 ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù 즉 △PBC는 직각삼각형이고 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선 P C 2 D B 의 길이는 같으므로 DCÓ=DBÓ 따라서 점 D는 △PBC의 외심이므로 PDÓ=DBÓ 120 정답과 해설 1130 전략 먼저 ∠BTA=90ù, ∠ABT=∠ATP=30ù임을 이용 하여 △ABT에서 ATÓ의 길이를 구한다. ABÓ는 원 O의 지름이므로 ∠BTA=90ù ∠ABT=∠ATP=30ù이므로 ∠BAT=180ù-(30ù+90ù)=60ù △ABT에서 ATÓ : ABÓ=1 : 2이므로 ATÓ : 20=1 : 2 ∴ ATÓ=10`(cm) △ATP에서 60ù=30ù+∠APT ∴ ∠APT=30ù ∠ATP=∠APT이므로 APÓ=ATÓ=10`cm 이때 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 Û`=10_(10+20)=300 PTÓ ∴ PTÓ=10 3`(cm) (∵ PTÓ>0) ' 답 ③ 1131 전략 QAÓ_QBÓ=QCÓ_QDÓ임을 이용하여 QAÓ의 길이를 구 한 후 PCÓ Û`=PAÓ_PBÓ임을 이용하여 PCÓ의 길이를 구한다. QAÓ_QBÓ=QCÓ_QDÓ이므로 QAÓ_2=4_3　　∴ QAÓ=6 이때 PCÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 PCÓ Û`=4_(4+6+2)=48 ∴ PCÓ=4 3 (∵ PCÓ>0) ' 채점 기준 ㈎ QAÓ의 길이 구하기 ㈏ PCÓ의 길이 구하기 yy`㈎ yy`㈏ 답 4 3 ' 비율 50`% 50`% ∴ PTÓ=6`(cm) (∵ PTÓ>0) PTÓ PTÓ 닮은 두 삼각형을 찾는다. Û`=PAÓ_PBÓ이므로 Û`=3_(3+9)=36 △PBT와 △PTA에서 ∠PBT=∠PTA, ∠P는 공통이므로 △PBT»△PTA`(AA 닮음) 따라서 PTÓ：PAÓ=BTÓ：TAÓ이므로 6：3=BTÓ：5 ∴ BTÓ=10`(cm) 답 ② 1129 전략 CBÓ를 긋고 △PBC가 직각삼각형임을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 CBÓ를 그으 1132 전략 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ임을 이용하여 PTÓ의 길이를 구한 후