개념편
제곱근의 뜻과 성질
P. 8
개념 확인 ⑴ 3, -3 ⑵ 0 ⑶ 없다.
⑴ 3@=9, {-3}@=9
⑶ 제곱하여 음수가 되는 수는 없다.
필수 예제 1 ⑴ 5, -5 ⑵ 0.8, -0.8 ⑶ 6, -6
⑴ 5@=25, {-5}@=25이므로 x@=25를 만족하는 x의 값은
⑵ 0.8@=0.64, {-0.8}@=0.64이므로 제곱하여 0.64가 되는
5, -5이다.
수는 0.8, -0.8이다.
⑶ 6@=36, {-6}@=36이므로 36의 제곱근은 6, -6이다.
I. 제곱근과 실수
개
념
편
P. 9
개념 확인
a
1
2
3
4
j1=1
j2 k
j3 k
j4 k=2
5
j5 k
a의 양의
제곱근
a의 음의
제곱근
a의
제곱근
a
a의 양의
제곱근
a의 음의
제곱근
a의
제곱근
-j1=-1 -j2 k -j3 k -j4 k=-2 -j5 k
-1
-j2 k -j3 k
-2
-j5 k
6
j6 k
7
j7 k
8
j8 k
9
10
j9 k=3
j10 k
-j6 k -j7 k -j8 k -j9 k=-3 -j10 k
-j6 k -j7 k -j8 k
-3
-j10 k
유제 1 ㅁ
다.
ㄱ. 0의 제곱근은 0이다.
ㄴ. 제곱하여 음수가 되는 수는 없으므로 -9의 제곱근은 없
5
w ⑶ -
필수 예제 3 ⑴ j11k ⑵ -q
2
j13k ⑷ j13k
ㄷ. 0.2@=0.04, {-0.2}@=0.04이므로 제곱하여 0.04가 되
는 수는 0.2, -0.2이다.
유제 3 ⑴ j0.5k ⑵ -j17k ⑶ -
3
j21k ⑷ q
2
w
ㄹ. 모든 수는 제곱하면 0 또는 양수가 된다.
ㅁ. 49의 제곱근은 7, -7로 2개이고, 두 제곱근의 합은
유제 4 ⑴ 5 ⑵ -0.3 ⑶ -8 ⑷
1
9
7+{-7}=0이다.
필수 예제 2 ⑴ 4, -4 ⑵ 0.1, -0.1
⑶
, -
⑷ 3, -3
3
5
3
5
⑴ 4@=16, {-4}@=16이므로 16의 제곱근은 4, -4이다.
⑵ 0.1@=0.01, {-0.1}@=0.01이므로 0.01의 제곱근은
9
25
-
, [
3
5 ]@=
9
25
9
25
이므로
의 제곱근은
0.1, -0.1이다.
3
5 ]@=
⑶ [
3
3
5 , -
5
이다.
근은 3, -3이다.
⑷ {-3}@=9이고, 3@=9, {-3}@=9이므로 {-3}@의 제곱
유제 2 ⑴ 11, -11 ⑵ 2, -2 ⑶ 0.5, -0.5 ⑷
1
8
⑴ 11@=121, {-11}@=121이므로 121의 제곱근은
, -
1
8
⑵ 2@=4이고, 2@=4, {-2}@=4이므로 2@의 제곱근은 2,
11, -11이다.
-2이다.
⑶ {-0.5}@=0.25이고, 0.5@=0.25, {-0.5}@=0.25이므로
{-0.5}@의 제곱근은 0.5, -0.5이다.
⑷ [
1
64
1
8 ]@=
1
8 ]@의 제곱근은
1
8 ]@=
이고, [
1
1
8 , -
8 이다.
1
64
, [
[
-
1
8 ]@=
1
64
이므로
⑴ j25k 는 25의 양의 제곱근이므로 5이다.
⑵ -j0.09l 는 0.09의 음의 제곱근이므로 -0.3이다.
⑶ -j64k 는 64의 제곱근이므로 -8이다.
1
⑷ q
9
의 양의 제곱근이므로
1
81 e은
이다.
1
81
유제 5 2, -j2 k, 9, 3
j4 k의 음의 제곱근은 2의 음의 제곱근이므로 -j2 k이고,
{-3}@의 양의 제곱근은 9의 양의 제곱근이므로 3이다.
P. 10
개념 누르기 한판
1 ③
2 ⑴ -1
⑵ -
1
4
⑶ -0.5
⑷ -10
1
⑸ -j11k ⑹ -q
3
1
⑼ -j6
⑽ -q
2
3 ⑴ \ ⑵ \ ⑶ ⑷ \ ⑸ ⑹
4 ②
w ⑺ -j0.7k ⑻ 없다.
3
w ⑾ -j1.2k ⑿ -q
7
5 7
w
1
a {a>0}의 제곱근은 제곱하여 a가 되는 수이므로 x가 a의
제곱근임을 나타내는 것은 ③ x@=a이다.
x가 a의 제곱근{a>0} ⇨ x@=a
⇨ x=-ja k
I. 제곱근과 실수 1
중등개뿔 개념편 1,2단원 해설(001~016)ok.indd 1
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1
2
이므로
2 ⑼ j36 k=6이므로 6의 제곱근은 -j6 k이다.
1
의 제곱근은 -q
2 w이다.
1
4 w=
⑽ q
⑾ j1.44l=1.2이므로 1.2의 제곱근은 -j1.2 k이다.
3
의 제곱근은 -q
7 w이다.
⑿ q
9
49 w=
이므로
1
2
3
7
3
7
유제 8 ⑴ 2x ⑵ -2x ⑶ 2x ⑷ -2x
⑴ x>0일 때, 2x>0이므로 1{2x}@ 3=2x
⑵ x<0일 때, 2x<0이므로 1{2x}@ 3=-2x
⑶ x>0일 때, -2x<0이므로 1{-23x}@ 3=-{-2x}=2x
⑷ x<0일 때, -2x>0이므로 1{-23x}@ 3=-2x
P. 11
필수 예제 4 ⑴ 7 ⑵ 0.8 ⑶ -5 ⑷ 3 ⑸ 11 ⑹ -2
각각 양수인지 음수인지 판단할 수도 있다.
유제 6 ⑴ -10 ⑵
⑶ -13 ⑷ 0.4 ⑸ -9 ⑹ -
1
3
2
5
3 ⑴ 10의 제곱근은 -j10k이다.
⑵ j64k는 8이다.
⑶ 0의 제곱근은 0의 1개뿐이다.
⑷ 음수의 제곱근은 없다.
⑸ 양수 a의 제곱근은 -ja k이므로 절댓값이 같은 양수와
음수 2개이다.
⑹ {-5}@=25, 5@=25이므로 두 수의 제곱근은 -5로 같다.
4
5
(4의 제곱근) =(x@=4를 만족하는 x의 값)
=(2 또는 -2)
=(제곱하여 4가 되는 수)
(제곱근 4)=j4 k=2
j16 k=4이므로 4의 음의 제곱근 a=-2
{-9}@=81이므로 81의 양의 제곱근 b=9
∴ a+b=-2+9=7
필수 예제 5 ⑴ 5 ⑵ -2 ⑶ 24 ⑷ 3
⑴ (주어진 식)=2+3=5
⑵ (주어진 식)=3-5=-2
⑶ (주어진 식)=4\6=24
⑷ (주어진 식)=2_
=2\
=3
2
3
3
2
유제 7 ⑴ -2 ⑵ 4 ⑶ 3 ⑷ 0
⑴ (주어진 식)=5-7=-2
⑵ (주어진 식)=12_3=4
⑶ (주어진 식)=6+7-10=3
3
4
⑷ (주어진 식)=8\0.5-3_
=4-3\
=4-4=0
4
3
P. 12
필수 예제 6 ⑴ a, -a ⑵ a, -a
⑵ a>0일 때, -a<0이므로 1{-a}@ 3=-{-a}=a
a<0일 때, -a>0이므로 1{-a}@ 3=-a
2 정답과 해설 _ 개념편
필수 예제 7 ⑴ x-3, -x+3 ⑵ a-b, -a+b
⑴ x>3일 때, x-3>0이므로 1{x-33}@ 3=x-3
⑵ a>b일 때, a-b>0이므로 1{a-3b}@ 3=a-b
x<3일 때, x-3<0이므로
1{x-33}@ 3=-{x-3}=-x+3
a-1일 때, x+1>0이므로 1{x+31}@ 3=x+1
⑵ x<-1일 때, x+1<0이므로
1{x+31}@ 3=-{x+1}=-x-1
⑶ x<5일 때, x-5<0이므로
1{x-35}@ 3=-{x-5}=-x+5
⑷ x<5일 때, 5-x>0이므로 1{5-3x}@ 3=5-x
유제 10 ⑴ 4 ⑵ 0
⑴ -20이므로 1{x+32}@ 3=x+2
x-2<0이므로 1{x-32}@ 3=-{x-2}=-x+2
∴ (주어진 식)=x+2+{-x+2}=4
-20이므로 x+2>0이고,
x-2=1-2<0이므로 x-2<0이다.
⑵ a>0이므로 1a@2 =a, b<0이므로 1b@ 2=-b
a>0, b<0일 때, a-b>0이므로 1{a-3b}@ 3=a-b
∴ (주어진 식)=a+{-b}-{a-b}=0
P. 13
개념 확인 ⑴ 3, 16, 12, 169 ⑵ 3, 4, 25, 12, 13
필수 예제 8 3, 8, 11
j12-lxl 가 자연수가 되려면 12-x는 제곱수이어야 한다.
이때 x는 자연수이므로 12-x<12
12보다 작은 제곱수는 1, 4, 9이다.
따라서 12-x=1, 4, 9이어야 하므로 x=3, 8, 11
유제 11 6
j10+lxl 가 자연수가 되려면 10+x는 제곱수이어야 한다.
이때 x는 자연수이므로 10+x>10
10보다 큰 제곱수는 16, 25, 36, y이다.
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따라서 x의 값이 가장 작은 자연수가 되려면
10+x=16 ∴ x=6
필수 예제 9 3@, 5, 5, 5(또는 5, 3@, 5, 5)
유제 12 ⑴ 6 ⑵ 5
⑴ j24x l=12#\33\x 3가 자연수가 되려면 소인수의 지수가
모두 짝수이어야 하므로 구하는 가장 작은 자연수 x의 값
은 x=2\3=6
⑵ j180x l=12@\3@3\53\x 3가 자연수가 되려면 소인수의 지
수가 모두 짝수이어야 하므로 구하는 가장 작은 자연수 x
의 값은 5이다.
유제 13 2
18
x
2\3@
x
r
t=r
y이 자연수가 되려면 소인수의 지수가 모두
짝수이어야 하므로 구하는 가장 작은 자연수 x의 값은 2이다.
P. 14
개념 확인 ⑴ j3 k, j5 k ⑵ j3 k, j5 k
필수 예제 10 ⑴ < ⑵ < ⑶ > ⑷ <
⑴ 0.7<0.8이므로 j0.7 kj15 k에서 4>j15 k
1
=
이므로
⑷
2
w이고
3
12
8
12
1
4
2
3
=
w
,
1
=q
4
1
2
3 에서 q
4
<
1
4
2
wj8 k에서 3>j8 k ∴ -3<-j8 k
⑶ 0.1=j0.01l이므로 j0.01l-q
4
8
12
9
12
3
4
=
=
,
w
2
3
<
3
2
3
2
3
3 w>-q
3 w0이므로
(주어진 식)=-a+{-5a}=-6a
⑵ a>1일 때, a-1>0, 1-a<0이므로
(주어진 식)=a-1+9-{1-a}0=2a-2
⑶ -10이므로
(주어진 식)=-{a-3}-{a+1}=-2a+2
4 ⑴ j50-lx k가 자연수가 되려면 50-x는 제곱수이어야 한다.
이때 x는 자연수이므로 50-x<50
즉, 50-x=1, 4, 9, 16, 25, 36, 49이어야 하므로
x=1, 14, 25, 34, 41, 46, 49
따라서 구하는 가장 작은 자연수 x의 값은 1이다.
⑵ j16+lx k가 자연수가 되려면 16+x는 제곱수이어야 한다.
이때 x는 자연수이므로 16+x>16
16보다 큰 제곱수는 25, 36, 49, y이다.
따라서 x의 값이 가장 작은 자연수가 되려면
16+x=25 ∴ x=9
⑶ j240x l=12$\3\35\x 3가 자연수가 되려면 소인수의 지
수가 모두 짝수이어야 하므로 구하는 가장 작은 자연수
x의 값은 x=3\5=15
3#
27
x w=r
x
⑷ q
t이 자연수가 되려면 소인수의 지수가 모두 짝
수이어야 하므로 구하는 가장 작은 자연수 x의 값은 3이다.
I. 제곱근과 실수 3
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5
(음수)<0<(양수)이고 4=j16 k, -1=-j1이므로
-j5 k<-j2 k<-j1<0 ⑵ < ⑶ < ⑷ <
⑴ {j6 k+1}-3=j6 k-2=j6 k-j4 k>0
⑵ {5-j2 k}-4=1-j2 k=j1k-j2 k<0
∴ j6 k+1>3
∴ 5-j2 k<4
⑶ {j7 k+3}-{j8 k+3}=j7 k-j8 k<0
⑷ 3-3
⑵ -2-j8 k>-5
⑶ -j12 k-2>-j13 k-2 ⑷ j17 k-40
⑵ {-2-j8 k}-{-5}=3-j8 k=j9 k-j8 k>0
∴ j7 k-5>-3
∴ -2-j8 k>-5
⑶ {-j12 k-2}-{-j13 k-2}=-j12 k+j13 k>0
∴ -j12 k-2>-j13 k-2
⑷ 4>j15 k에서 -4<-j15 k이므로 양변에 j17 k을 더하면
j17 k-40
∴ b>c
a-c={2-j7 k}-{-1}=3-j7 k=j9 k-j7 k>0
∴ a>c
따라서 c0
② {j6 k-1}-2=j6 k-3=j6 k-j9 k<0
∴ 3>j3 k+1
∴ j6 k-1<2
③ {-j2 k+4}-{-j3 k+4}=-j2 k+j3 k>0
∴ -j2 k+4>-j3 k+4
④ 10 ∴ a>b
b-c=2-{j5 k-1}=3-j5 k=j9 k-j5 k>0 ∴ b>c
∴ c0이므로 x=j35 k
따라서 정사각형 모양의 화단의 한 변의 길이는 j35 k m이다.
j81k=9의 음의 제곱근은 -3이므로 a=-3
제곱근 100은 j100 l=10이므로 b=10
{-7}@=49의 양의 제곱근은 7이므로 c=7
∴ a+b+c=-3+10+7=14
어떤 수가 제곱인 수일 때, 그 제곱근을 근호를 사용하지 않
고 나타낼 수 있다.
8=2#, 0.1=
1000=10#,
1
10 , 1.69=1.3@,
8
64
11 ]@
121
=
[
160
25
=
=
32
5
2%
5
,
이때 제곱인 수는 1.69,
이므로 근호를 사용하지 않고
64
121
제곱근을 나타낼 수 있는 것은 2개이다.
5 ① 1a@ 2=a
② {-ja k}@={ja k}@=a
③ 1{-a3}@ 2=1a@ 2=a
④ -1a@ 2=-a
⑤ -1{-a3}@ 2=-1a@ 2=-a
6 ① {j2 k}@+{-j5 k}@=2+5=7
② 16@ 2-1{-43}@ 2=6-4=2
1
2
1
③ [q
2
w ]@\r[
\
-
4
3
=
2
3
4
3 ]@ y=
3
4
w ]@_1{-33}@ 2=
3
1
④ [q
4
4
⑤ {-j7 k}@-{-12@ 2}=7-{-2}=7+2=9
_3=
3
4
1
3
\
=
(주어진 식) =j81k_3-
11
4
=3-
1
4
=
2
3
3
8
\
=9_3-
1
4
a>b, ab<0일 때, a>0, b<0이므로
-a<0, 3a>0, 2b<0
∴ (주어진 식) =-{-a}+1{3a3}@ 2-1{2b2}@ 2
=a+3a-{-2b}=4a+2b
9 -3j24 k에서 5>j24 k
25
4 w이고 j6 k=q
5
②
2
24
4 w이므로
5
2
=q
24
4 w-j0.2 k
1
w에서
④
3
1
>-q
5 w
15
3
10 w=q
50 w이므로
3
10 w
w ∴ -
18
50 w, q
3
5
9
25 w=q
15
50 w에서
=q
18
50 w>q
1
wq
q
1
3
12 (음수)<0<(양수)이고
1
2
1
=q
4 w, 2=j4 k이므로
주어진 수를 작은 것부터 차례로 나열하면
1
3 w, 0,
-j7 k, -j2 k, -q
1
2
따라서 다섯 번째에 오는 수는
, j3 k, 2
1
2 이다.
13 j5 k0 ∴ 3>j3 k+1
② 1-{3-j2 k}=-2+j2 k<0 ∴ 1<3-j2 k
③ {j3 k+2}-{j2 k+2}=j3 k-j2 k>0
④ {j5 k-3}-{j7 k-3}=j5 k-j7 k<0
∴ j3 k+2>j2 k+2
∴ j5 k-32이므로 양변에서 j10 k을 빼면
-j10 k+j5 k>2-j10 k
21 91이므로 a<
1
a
1
a
따라서 a+
>0, a-
<0, 2a>0이므로
1
a
1
a
y`!
(주어진 식) =
a+
[
-
-
a-
-
[
1
a ]=
-2a
=a+
+a-
-2a=0
1
a ]
1
a
1
a
채점 기준
! a+
a!
a!
, a-
, 2a의 부호 판단하기
@ 주어진 식 간단히 하기
8 정답과 해설 _ 개념편
두 짝수이어야 하므로
y`!
a=3\5 또는 a=2@\3\5이어야 한다.
따라서 가장 작은 자연수 a=3\5=15
y`@
j60-lb k가 정수가 되려면 60-b는 0 또는 60보다 작은 제
곱수이어야 하므로
60-b=0, 1@, y, 7@이어야 한다.
따라서 가장 작은 자연수 b=60-7@=11
∴ a-b=15-11=4
y`#
y`$
y`%
채점 기준
! 자연수 a에 대한 조건 설명하기
@ a의 값 구하기
# 60-b에 대한 조건 설명하기
$ b의 값 구하기
% a-b의 값 구하기
25 70 ∴ 1>3-j6 k
{3-j6 k}-{3-j2 k}=-j6 k+j2 k<0
∴ 3-j6 k<3-j2 k
1-{3-j2 k}=-2+j2 k<0 ∴ 1<3-j2 k
y`@
따라서 2-j7 k<2-j6 k<3-j6 k<1<3-j2 k이므로 수직선
위의 점에 대응시킬 때 왼쪽에 있는 것부터 차례로 나열하
y`!
y`@
배점
40 %
60 %
면
2-j7 k, 2-j6 k, 3-j6 k, 1, 3-j2 k
채점 기준
! 음수끼리 대소 비교하기
@ 양수끼리 대소 비교하기
# 왼쪽에 있는 것부터 차례로 나열하기
y`#
배점
30 %
30 %
40 %
배점
20 %
20 %
30 %
20 %
10 %
배점
40 %
40 %
20 %
중등개뿔 개념편 1,2단원 해설(001~016)ok.indd 8
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Z
X
Z
Z
Z
개념편
II . 근호를 포함한 식의 계산
개
념
편
근호를 포함한 식의 계산 ⑴
P. 32
필수 예제 1 ⑴ j21k ⑵ 6 ⑶ j30k ⑷ -j2 k
⑵ j2 kj18 k=j2\1l8 k=j36 k=6
⑶ j2 kj3 kj5 k=j2\3l\5 l=j30k
5
⑷ -j3\q
3
2
w\q
5
w=-q3\
5
3 e\
2
5
e=-j2
유제 1 ⑴ 10 ⑵ j55k ⑶ 6j14k ⑷ 6j6 k
⑴ j2 kj5 kj10k=j2\5l\10l=j100k=10
⑵ {-j11k}\{-j5 k}=j11\l5k=j55k
2
⑷ 2j15k\3q
5
w=6q15\e
e=6j6 k
2
5
2
필수 예제 2 ⑴ j3 k ⑵ 3 ⑶ -q
3
w ⑷
1
5
w=j9 k=3
=q
18
⑵ j18 k_j2 k= j18k
2
j2 k
⑶ j14 k_{-j21 k}=- j14k
j21k
3
1
_j15k= j3 k
⑷ j3 k
=q
\
5
j15k
j5 k
j5 k
=-q
14
21
2
w=-q
3
w
1
15
\e
e=q
1
25
w=
1
5
유제 2 ⑴ j11k ⑵ 2 ⑶ 2j6 k ⑷ j10k
w=j4 k=2
=q
20
5
⑵ j20k_j5 k= j20k
j5
⑶ 4j42k_2j7 k=
⑷ j15k_j5 k_q
42
7
=2q
4j42k
2j7 k
3
w =j15k\
10
w=2j6 k
\q
10
3
w
=q15\
10
3
e=j10k
1
j5 k
1
5 e\
P. 33
개념 확인 2@, 2@, 2, 2j6 k
⑷ j10k
9
7
필수 예제 3 ⑴ 3j3 k ⑵ -5j2 k ⑶ j3 k
⑴ j27 k=13@\3 2=13@ 2j3 k=3j3 k
⑵ -j50k=-15@\23=-15@2j2 k=-5j2 k
w= j3 k
17@2
w= j10k
19@2
= j3 k
7
= j10k
9
10
w=q
9@
3
w=q
7@
⑶ q
⑷ q
3
49
10
81
유제 3 ⑴ 3j6 k ⑵ 4j5 k ⑶ - j5 k
⑴ j54 k=13@\36 3=13@ 2j6 k=3j6 k
⑵ j80 k=14@\5 3=14@ 2j5 k=4j5 k
6
⑷ j3 k
10
⑶ -q
5
36
5
w=-q
6@
⑷ j0.03 l=q
3
100
e=q
w=- j5 k
16@ 2
w= j3 k
110@2
=- j5 k
6
= j3 k
10
3
10@
필수 예제 4 ⑴ j20 k ⑵ q
2
25
8
w ⑶ q
3
w ⑷ -j24 k
⑴ 2j5 k=12@ 2j5 k=12@\5 3=j20 k
⑵ j2
2
=q
5
5@
w=q
2
25
w
= j2
15@2
2
w=12@2q
3
2
⑶ 2q
3
w=q2@\
2
3
8
e=q
3
w
⑷ -2j6 k=-12@2j6 k=-12@\6 3=-j24 k
3
유제 4 ⑴ j18k ⑵ q
4
w ⑶ q
w ⑷ -j160l
18
5
⑴ 3j2 k=13@ 2j2 k=13@\32 2=j18 k
⑵ j3 k
3
=q
2
2@
3
w=q
4
w
= j3 k
12@ 2
2
w=13@2q
5
2
⑶ 3q
5
w=q3@\
2
5
e=q
18
5
w
⑷ -4j10k=-14@ 2j10k=-14@\310 3=-j160k
유제 5 4j3 k, 3j5 k, 2j11k
3j5 k=13@\35 2=j45 k, 2j11k=12@\3113=j44 k,
4j3 k=14@\3 3=j48 k이므로 큰 것부터 차례로 나열하면
j48 k, j45 k, j44 k, 즉 4j3 k, 3j5 k, 2j11k이다.
P. 34
개념 확인 ⑴ j3 k, j3 k, j3 k
⑶ j3 k, j3 k, j6 k
3
3
2j3 k
3
⑵ j3 k, j3 k,
⑷ j3 k, j3 k, j6 k
6
⑶ j3 k
9
⑷ -
2j6
3
=
⑴
필수 예제 5 ⑴ j5 k
5
1\j5 k
j5 k\j5 k
= j3 k\j7 k
j7 k\j7 k
1
=
=
3j3 k
1
j5 k
⑵ j3 k
j7 k
⑶ j5 k
3j15 k
4
j6 k
⑵ j21k
7
= j5 k
5
= j21k
7
1\j3 k
3j3 k\j3 k
=-
4\j6 k
j6 k\j6 k
⑵ j3 k ⑶ j6 k
2
= j55 k
11
3j3 k
3
유제 6 ⑴ j55 k
11
= j5 k\j11k
j11k\j11k
3\j3 k
=
j3 k\j3 k
⑴ j5 k
j11k
3
j3 k
⑷ -
=-
⑵
=
=j3 k
= j3 k
9
4j6 k
6
=-
2j6 k
3
⑷ j6 k ⑸
5j6 k
6
⑹ j6 k
2
II . 근호를 포함한 식의 계산 9
중등개뿔 개념편 1,2단원 해설(001~016)ok.indd 9
2016-12-01 오후 8:54:28
3j6 k
6
= j6 k
2
=
2j6 k
2
=j6 k
=
=
⑷
⑶
6
j24k
4j3 k
j8 k
5
j2 kj3 k
⑹ j21k
j2 kj7 k
⑸
=
=
6
2j6 k
4j3 k
2j2 k
5
=
j6 k
= j3 k
j2 k
=
=
3
j6 k
2j3 k
j2 k
5\j6 k
j6 k\j6 k
= j3 k\j2 k
j2 k\j2 k
3\j6 k
j6 k\j6 k
2j3 k\j2 k
=
j2 k\j2 k
5j6 k
=
6
= j6 k
2
=
P. 35
한 번 더 연습
⑶ -j42k ⑷ 2
1 ⑴ j10k ⑵ 30
2 ⑴ j5 k ⑵ 2j2 k ⑶ -j3 k ⑷ -7
3 ⑴ 2j2 k ⑵ 3j5 k ⑶ 3j2 k ⑷ 2j5 k ⑸ 5j3 k ⑹ 4j2 k
⑺ j28k ⑻ j12k ⑼ j50k ⑽ j80k ⑾ j108k ⑿ j128k
4 ⑴ j7
7
2j21k
3 ⑹ j42k
⑷ j15k
6
⑵ j10k
2
⑶ j3 k
3
⑸
6
5 ⑴ 12j3 k ⑵ -2j2 k ⑶ 2j3 k ⑷
9j14k
7
⑸ -
10j3 k
3
⑹ 2j3 k
6
1 ⑷ q
5
w\q
10
3
6
w=q
5
10
3
\e
e=j4 k=2
2 ⑴ j15k
j3
=q
15
3 w=j5 k
4j6 k
2j3 k
6
⑵ 4j6 k_2j3 k=
=2q
3
⑶ j39 k_{-j13 k}=- j39k
j13 k
7
3
w=-q21\e
⑷ -j21k_q
3
7
w=2j2 k
=-q
39
13 w=-j3 k
e=-j49k=-7
4 ⑴
= j7
7
= j10k
2
=
=
⑶
1
j7 k
⑵ j5 k
j2 k
4
j48k
⑷ j5 k
j12 k
14
j3 kj7 k
⑹ j35k
j5 kj6 k
1\j7 k
j7 k\j7 k
= j5 k\j2 k
j2 k\j2 k
4
=
4j3 k
= j5 k
2j3 k
14
=
j21k
= j7 k
j6 k
⑸
=
= j3 k
3
1
j3 k
= j5 k\j3 k
2j3 k\j3 k
14\j21k
=
j21k\j21k
1\j3 k
j3 k\j3 k
= j15k
6
14j21k
21
=
= j7 k\j6 k
j6 k\j6 k
= j42k
6
5 ⑴ (주어진 식)=6j12k=6\2j3 k=12j3 k
⑵ (주어진 식)=-
=-
=-
8j5
2j10k
4
j2
4j2 k
2
=-2j2 k
10 정답과 해설 _ 개념편
=
9j14k
7
⑶ (주어진 식)=
6j5 k
j15k
6
⑷ (주어진 식) =3q
5
6
j3 k
15
7
\e
=
=
⑸ (주어진 식) =-10q
1
10
\e
=-
=-
10
j3 k
⑹ (주어진 식) =j2 k\ 1
j13 k
=j12k=2j3 k
6j3 k
3
=2j3 k
e=3q
18
7 w=
3\3j2 k
j7 k
1
2
3 e\5 e=-10q
3 w
10j3
3
\j78k=q2\
1
13 e\78e
P. 36
개념 누르기 한판
1 ㄱ, ㄷ, ㄴ
2 ⑴ 3j10k ⑵ j14k
2
3 ⑴ 2 ⑵
4 ③
5 12
6 j6 k cm
1
5
2 ⑴ 3j15k\j2 k_j3 k =3j15k\j2 k\
1
j3
1
e=3j10k
3
=3q 15\2e\
5
⑵ q
2
w_q
10
3
w\q
14
3
5
w =q
2
w\q
3
10
w\q
14
3
w
5
=q
2
\
3
10 e\
14
3
7
e=q
2
w= j14 k
2
3 ⑴ j60k=12@\3153=2j15k에서 2j15k=aj15k이므로 a=2
2@\3
10@
⑵ j0.12l=q
= j3 k
5
2j3 k
10
e=r
12
100
에서
y=
j3 k
5
=aj3 k이므로 a=
1
5
4
5
j6 k=j2\3l=j2 kj3 k=ab
10j2
j5 k
1
j18k
a
∴
b
10j10k
5
= j2 k
6
=
1
3j2 k
1
=2_
6
=2\6=12
=
=2j10k에서 2j10k=aj10k이므로 a=2
에서 j2 k
6
=bj2 k이므로 b=
1
6
=
2j21k
3
6 직육면체의 높이를 x cm라 하면
(직육면체의 부피)
=(밑면의 가로의 길이)\(밑면의 세로의 길이)\(높이)
이므로
j21k\3j2 k\x=18j7 k
6
18j7 k
j21k\3j2 k
j6 k
∴ x=
=
=j6 k
따라서 직육면체의 높이는 j6 k cm이다.
=
6j6 k
6
중등개뿔 개념편 1,2단원 해설(001~016)ok.indd 10
2016-12-01 오후 8:54:29
P. 37
개념 확인 ⑴ 1.030 ⑵ 3
필수 예제 6 ⑴ 100, 10, 10, 14.14
⑵ 100, 10, 10, 44.72
⑶ 100, 10, 10, 0.1414
⑷ 20, 20, 4.472, 0.4472
유제 7 ⑴ 70.71 ⑵ 22.36 ⑶ 0.7071 ⑷ 0.02236
⑴ j5000 l =j50\l100l=10j50k
=10\7.071=70.71
⑵ j500 k =j5\l100l=10j5 k
=10\2.236=22.36
⑶ j0.5 k=q
50
100 e= j50k
=
7.071
10
10
e= j5 k
100
=
5
10000
⑷ j0.00l05 l=q
=0.7071
2.236
100
=0.02236
P. 38
개념 누르기 한판
1 ⑴ 3.317 ⑵ 3.633 ⑶ 3.240
2 3009
4 ⑴ 48.37 ⑵ 0.4593
3 ㄷ, ㅂ
5 ⑴ 77.46 ⑵ 1.291
2
j5.84 l=2.417이므로 a=2.417
j5.92 l=2.433이므로 b=5.92
∴ 1000a+100b =1000\2.417+100\5.92
=2417+592=3009
35
ㄴ. j350l00 k=j3.5\1l0000 l=100j3.5k
100 e= j35k
ㄷ. j0.35 l=q
10
ㄹ. j3500l000 l=j3.5\l1l000l000l=1000j3.5k
3.5
ㅁ. j0.00l035 l=q
10000 e= j3.5k
5.916
10
=0.5916
100
=
ㅂ. j350l000 l =j35\l10l000 l=100j35 k
=100\5.916=591.6
따라서 그 값을 구할 수 있는 것은 ㄷ, ㅂ이다.
4 ⑴ j2340 l =j23.4l\l100 l=10j23.4 l
=10\4.837=48.37
⑵ j0.21l1l=q
21.1
100 e= j21.1l
10
=
4.593
10
=0.4593
5 ⑴ j6000 l =12@\3\35\10@ 3
=20j15 k
=20\3.873=77.46
⑵ j5
j3 k
= j15 k
3
=
3.873
3
=1.291
개
념
편
근호를 포함한 식의 계산 ⑵
P. 39
개념 확인 2, 3, 5(또는 3, 2, 5)
필수 예제 1 ⑴ 10j3 k ⑵ j5 k+4j6 k
⑴ (주어진 식)={2+8}j3 k=10j3 k
⑵ (주어진 식)={2-1}j5 k+{-1+5}j6 k=j5 k+4j6 k
유제 1 ⑴ -3j7 k ⑵ 2j2 k ⑶ 2j3 k-2j2 k ⑷ j2
⑴ (주어진 식)={-1-2}j7 k=-3j7 k
⑵ (주어진 식)={3+1-2}j2 k=2j2 k
⑶ (주어진 식)={5-3}j3 k+{2-4}j2 k=2j3 k-2j2 k
1
2 ]j2 k=
⑷ (주어진 식)=
6 ]j2 k= j2
4
6
2
3
-
-
6
[
[
3
6
필수 예제 2 ⑴ 0 ⑵ j2 k
⑴ (주어진 식)=j3 k+2j3 k-3j3 k=0
⑵ (주어진 식)=2j2 k-j2 k=j2 k
유제 2 ⑴ 6j2 k ⑵ 3j7 k+2j2 k ⑶
5j6
9
⑷ 0
⑴ (주어진 식)=3j2 k-2j2 k+5j2 k=6j2 k
⑵ (주어진 식)=j7 k+2j7 k+4j2 k-2j2 k=3j7 k+2j2 k
- j2 k
⑶ (주어진 식)=
3j3 k
- j6 k
9
5j6 k
9
2j6 k
3
6j6 k
9
=
=
⑷ (주어진 식)=3j5 k-j5 k-2j5 k=0
필수 예제 3 ⑴ 4j2 k ⑵ 2j2 k ⑶ 2j3 k+6 ⑷ - j6
6
⑴ (주어진 식) =j6 kj3 k+ j10 k
j5 k
=j18k+j2 k
=3j2 k+j2 k=4j2 k
2j6 k
j3 k
⑵ (주어진 식)=2j2 k\2-
=4j2 k-2j2 k=2j2 k
⑶ (주어진 식)=j2 kj6 k+j2 k\3j2 k=j12 k+6=2j3 k+6
-j12k ]
⑷ (주어진 식) =
[
\
5
j3
5
j3 kj2 k
5j6 k
6
1
j2 k
5
- j12 k
j6 k
j2 k
-j6 k=- j6 k
6
=
=
=
-j6 k
⑶ 3j3 k-2j2 k ⑷ 2j2 k+j3 k
유제 3 ⑴ 3+j3 k ⑵ j5 k
⑴ (주어진 식) = j12kj3 k
3
+
2
+
3
j3 k
= j36k
2
6
2j3 k
=3+j3 k
=
+
6
2
3j3 k
3
II . 근호를 포함한 식의 계산 11
3 ㄱ. j350 l=j3.5\l100 l=10j3.5k
P. 40
중등개뿔 개념편 1,2단원 해설(001~016)ok.indd 11
2016-12-01 오후 8:54:29
⑵ (주어진 식) = j15k
j3 k
=j5 k-
-j10k\ j2 k
3
2j5 k
= j5 k
3
3
=j5 k- j20k
3
⑶ (주어진 식) =5j3 k-2j2 k-j2 kj6 k=5j3 k-2j2 k-j12 k
=5j3 k-2j2 k-2j3 k=3j3 k-2j2 k
+2j3 k- j3 kj6 k
3
+2j3 k- j18 k
3
⑷ (주어진 식) =3j2 k- j2 kj6 k
2
=3j2 k- j12 k
2
=3j2 k-j3 k+2j3 k-j2 k=2j2 k+j3 k
필수 예제 4 ⑴
⑵ j10 k-j15 k
2j3 k+3
3
2j3 k+j2 k
2
⑶
⑷
5
4-j6 k
2
2j3 k+3
3
=
=
⑴
2+j3 k
j3 k
⑵ j2 k-j3 k
j5 k
⑶ j6 k+1
j2 k
⑷ j8 k-j3 k
j2 k
=
=
{2+j3 k}j3 k
j3 kj3 k
{j2 k-j3 k}j5 k
j5 kj5 k
{j6 k+1}j2 k
j2 kj2 k
{j8 k-j3 k}j2 k
j2 kj2 k
=
= j10k-j15k
5
= j12k+j2 k
2
= j16k-j6 k
2
=
2j3 k+j2 k
2
=
4-j6 k
2
유제 4 j3 k
3
(주어진 식) =
-
{j8-3}j6 k
j6 kj6 k
{j6 k-j3 k}j2 k
j2 kj2 k
= j12 k-j6 k
2
2j3 k-j6 k
2
=j3 k- j6 k
-
2
-
=
2
- j48 k-3j6 k
6
4j3 k-3j6 k
6
3 j3 k+ j6 k
2
= j3 k
3
⑷ -8j11k+8j6 k
P. 41
한 번 더 연습
1 ⑴ -6j2 k ⑵ -j5 k ⑶ j3 k
4
2 ⑴ 9j3 k ⑵ 2j2 k ⑶ 3j2 k ⑷ -j3 k+j6 k
2j3 k
3 ⑴ j2 k
3
4 ⑴ 3j5 k ⑵ 6
5 ⑴ 6+2j2 k
⑶ 5 ⑷ j6 k+2
⑵ 4j5 k+2j7 k ⑶
⑵ -
6 ⑴
2j10k-4j5 k
5
⑵
2j3 k-6
3
⑶
11j30k
30
2j3-3j2 k
18
1 ⑶ (주어진 식)=
3j3 k
4
-
6j3 k
4
+
4j3 k
4
= j3 k
4
2 ⑴ (주어진 식)=5j3 k+4j3 k=9j3 k
⑵ (주어진 식)=6j2 k-4j2 k=2j2 k
12 정답과 해설 _ 개념편
⑶ (주어진 식)=6j2 k+2j2 k-5j2 k=3j2 k
⑷ (주어진 식)=j3 k-5j6 k-2j3 k+6j6 k=-j3 k+j6 k
1
j2 k
4
=
j3 k
4j3 k
3
5
j5 k
3 ⑴ j18k
6
=
3j2 k
6
+
= j2 k
2
+ j2 k
2
=j2 k
+ j6 k
j12k
4
j3 k
-
⑵
6
j27 k
=
=
6
3j3 k
2j3 k
3
-
-
6j3 k
9
-
4j3 k
3
=-
2j3 k
3
4 ⑴ (주어진 식)=j2 kj10k+
=2j5 k+j5 k=3j5 k
⑵ (주어진 식) =4j2 k\j2 k- j28k
j7 k k
=4\2-j4 k=8-2=6
⑶ (주어진 식)=3\5-j100l=15-10=5
3j2 k
⑷ (주어진 식) ={3j2 k+j12 k}\
j3 k
1
j3 k
=
+j4 k
=j6 k+2
5 ⑴ (주어진 식) =2\3+2j18k-4j2 k
⑵ (주어진 식) =5j5 k+{2j21k-j15k}\
=6+6j2 k-4j2 k=6+2j2 k
1
j3 k
=5j5 k+2j7 k-j5 k=4j5 k+2j7 k
⑶ (주어진 식) =1+ j5 k
j6 k
+ j30k
5
+ j6 k
j5 k
=
= j30k
6
-1
11j30k
30
6 ⑴
=
⑵
2j2 k-4
j5 k
2{1-j3 k}
j3 k
⑶ j2 k-j3 k
3j6 k
=
=
=
{2j2 k-4}j5 k
j5 kj5 k
2{1-j3 k}j3 k
j3 kj3 k
{j2 k-j3 k}j6 k
3j6 kj6 k
2j10k-4j5 k
5
=
2j3 k-6
3
= j12k-j18k
18
=
2j3 k-3j2 k
18
P. 42
개념 누르기 한판
1 ⑴ 3j7 k ⑵ 3j3 k
3 -5
2 ⑴ a=-1, b=1 ⑵ 2
5
3
6 ⑴ {5+5j3 k} cm@ ⑵ {3j2 k+6} cm@
4 7j2 k-13
5
⑶ {3+3j3 k} cm@
1 ⑴ j112l+j28k-3j7 k=4j7 k+2j7 k-3j7 k=3j7 k
⑵ 2j48k-3j12k+j3 k=8j3 k-6j3 k+j3 k=3j3 k
중등개뿔 개념편 1,2단원 해설(001~016)ok.indd 12
2016-12-01 오후 8:54:30
2 ⑴ (좌변) =3j3 k-4j2 k-2j3 k+3j2 k
=j3 k-j2 k=-j2 k+j3 k
∴ a=-1, b=1
⑵ (좌변) =
13j10k
10
13j10k
10
20j10k
10
=
=
+ j10k
2
5j10k
10
+ j10k
5
2j10k
10
+
+
=2j10k
∴ a=2
3
j2 ka-j3 kb =j2 k{j3 k-j2 k}-j3 k{j3 k+j2 k}
=j6 k-2-3-j6 k=-5
4
(주어진 식) =6j2 k-3j16k+
=6j2 k-12+
4j3 k-2j6 k
2j6 k
{4j3 k-2j6 k}j6 k
2j6 kj6 k
4j18k-12
12
12j2 k-12
=6j2 k-12+
12
=6j2 k-12+j2 k-1
=7j2 k-13
=6j2 k-12+
5
(주어진 식)={3a-2}+{5-3a}j7 k이므로
5
5-3a=0 ∴ a=
3
a, b가 유리수이고 jmk이 무리수일 때,
a+bjmk이 유리수가 될 조건 ⇨ b=0
6 ⑴ (넓이) =
\{j5 k+j15k}\2j5 k={j5 k+j15k}\j5 k
=5+j75k=5+5j3 k {cm@}
⑵ (넓이) ={j3 k+j6 k}\j6 k=j18k+6=3j2 k+6 {cm@}
⑶ (넓이) =
\{j6 k+j18k}\j6 k
\{j6 k+3j2 k}\j6 k=
\{6+3j12k}
1
2
\{6+6j3 k}=3+3j3 k {cm@}
1
2
1
2
1
2
1
2
=
=
P. 43
필수 예제 5 ⑴ 7+4j3 k ⑵ 5-2j6 k ⑶ 2 ⑷ 16-j3 k
⑴ {2+j3 k}@=2@+2\2\j3 k+{j3 k}@
=4+4j3 k+3=7+4j3 k
⑵ {j3 k-j2 k}@={j3 k}@-2\j3 k\j2 k+{j2 k}@
=3-2j6 k+2=5-2j6 k
⑶ {3+j7 k}{3-j7 k}=3@-{j7 k}@=9-7=2
⑷ {3j3 k-2}{2j3 k+1}=6{j3 k}@+{3-4}j3 k-2
=18-j3 k-2=16-j3 k
유제 5 ⑴ 9-6j2 k ⑵ 3 ⑶ -23-3j5 k ⑷ 17+j2 k
⑴ {j6 k-j3 k}@={j6 k}@-2\j6 k\j3 k+{j3 k}@
=6-6j2 k+3=9-6j2 k
⑵ {2j7 k-5}{2j7 k+5}={2j7 k}@-5@=28-25=3
⑶ {j5 k+4}{j5 k-7}={j5 k}@+{-7+4}j5 k-28
=5-3j5 k-28=-23-3j5 k
⑷ {5j2 k+3}{2j2 k-1}=20+{-5+6}j2 k-3
=17+j2 k
필수 예제 6 ⑴ j2 k-1 ⑵ 9+4j5 k ⑶ j6 k+2
=
⑴
1
j2 k+1
⑵ j5+2
j5 k-2
j2
j3 k-j2 k
⑶
=
j2 k-1
{j2 k+1}{j2 k-1}
{j5 k+2}@
{j5 k-2}{j5 k+2}
= j2 k{j3 k+j2 k}
{j3 k-j2 k}{j3 k+j2 k}
=j2 k-1
=9+4j5 k
=j6 k+2
유제 6 ⑴ 3-j2 k ⑵ -j2 k-2 ⑶ -4+j15k
7{3-j2 k}
7
7{3-j2 k}
{3+j2 k}{3-j2 k}
=
=3-j2 k
= j2 k{1+j2 k}
{1-j2 k}{1+j2 k}
= j2 k+2
-1
=-j2 k-2
=
⑴
7
3+j2
⑵ j2 k
1-j2 k
-j5 k+j3 k
j5 k+j3 k
⑶
=
=
{-j5 k+j3 k}{j5 k-j3 k}
{j5 k+j3 k}{j5 k-j3 k}
-{j5 k-j3 k}@
2
=
-8+2j15k
2
=-4+j15k
유제 7 4
x=
y=
1
2+j3 k
1
2-j3 k
=
=
2-j3 k
{2+j3 k}{2-j3 k}
2+j3 k
{2-j3 k}{2+j3 k}
=2-j3 k
=2+j3 k
∴ x+y={2-j3 k}+{2+j3 k}=4
P. 44
개념 누르기 한판
2 a=2, b=11
1 ④
3 ⑴ 3+j3 k ⑵ 3+2j2 k ⑶ 2 ⑷ 8j3 k
4 ⑴ 2j2 k ⑵ 1 ⑶ 6
6 ⑴ j3+1
⑵ 6+3j3 k
5 3
2
1
2
(주어진 식)={2-2j2 k+1}-{4-3}=2-2j2 k
(좌변) =3a+{15-2a}j2 k-20
={3a-20}+{15-2a}j2 k
II . 근호를 포함한 식의 계산 13
개
념
편
중등개뿔 개념편 1,2단원 해설(001~016)ok.indd 13
2016-12-01 오후 8:54:31
k
3 ⑴ (주어진 식) =
따라서 3a-20=-14, 15-2a=b이므로
a=2, b=11
a, b, c, d는 유리수이고 jm k 은 무리수일 때,
a+bjm k=c+djm k이면 a=c, b=d이다.
=
=
=3+j3 k
=3+2j2 k
6{3+j3 k}
{3-j3 k}{3+j3 k}
6{3+j3 k}
6
{2+j2 k}@
{2-j2 k}{2+j2 k}
6+4j2 k
2
7{4-j2 k}
{4+j2 k}{4-j2 k}
7{4-j2}
14
{2+j3 k}@
{2-j3 k}{2+j3 k}
={2+j3 k}@-{2-j3 k}@
={7+4j3 k}-{7-4j3 k}=8j3 k
j2 kj2 k
4-j2
2
+ j2
2
+ j2
=
=
-
⑵ (주어진 식) =
⑶ (주어진 식) =
⑷ (주어진 식) =
4 x=
1
j2 k+1
1
j2 k-1
=
=
j2 k-1
{j2 k+1}{j2 k-1}
j2 k+1
{j2 k-1}{j2 k+1}
=j2 k-1
=j2 k+1
y=
⑴ x+y={j2 k-1}+{j2 k+1}=2j2 k
⑵ xy={j2 k-1}{j2 k+1}=2-1=1
{x+y}@-2xy
xy
x@+y@
xy
y
x
x
y
⑶
=
=
+
=
{2j2 k}@-2\1
1
=6
5 x=j5 k-1에서 x+1=j5 k이므로
이 식의 양변을 제곱하면
{x+1}@={j5 k}@, x@+2x+1=5, x@+2x=4
∴ x@+2x-1=4-1=3
x=j5 k-1을 x@+2x-1에 대입하면
x@+2x-1 ={j5 k-1}@+2{j5 k-1}-1
=6-2j5 k+2j5 k-2-1=3
6 ⑴ 1 j15k
5
=
ㄴ.
3
3j5 k
5
j5 k
3
= j9 k
5
5
> j3 k
> j9 k
5
5
ㄹ.
열하면 ㄴ, ㄱ, ㄹ, ㄷ이다.
이므로 큰 수부터 차례로 나
j3 k의 정수 부분 a=1, 소수 부분 b=j3 k-1
∴
=
=
j3 k+1
{j3 k-1}{j3 k+1}
1
j3 k-1
= j3 k+1
2
a
b
⑵ 10
∴ 1+2j5 k>3+j5 k
② {j5 k+j2 k}-3j2 k =j5 k-2j2 k
=j5 k-j8 k<0
∴ j5 k+j2 k<3j2 k
③ {j2 k-1}-{2-j2 k}=2j2 k-3=j8 k-j9 k<0
∴ j2 k-1<2-j2 k
④ 2+j5 k
2.y
j10k-1 ⇨ 2+j5 k > j10k-1
2.y
4.y
3.y
⑤ {3j2 k-1}-{2j3 k-1} =3j2 k-2j3 k
=j18k-j12k>0
∴ 3j2 k-1>2j3 k-1
13 j3 k-2=j3 k-j4 k<0, 2j3 k-4=j12 k-j16 k<0이므로
1{j3 k-32}@ 3-1{2j3 k-34}@ 3 =-{j3 k-2}-9-{2j3 k-4}0
=-j3 k+2+2j3 k-4
=j3 k-2
14 ABCD=4\4-4\
1
2
[
\2\2
=8이므로
]
ABCD의 한 변의 길이는 j8 k=2j2 k이다.
따라서 점 P의 좌표는 P{-1+2j2 k},
점 Q의 좌표는 Q{-1-2j2 k}이므로
PQ
={-1+2j2 k}-{-1-2j2 k}=4j2 k
18 ① (좌변)=3j2 k-
=3j2 k-
5j2 k
2
= j2 k
2
5
j2 k
② (좌변)=j12 k+j16 k=2j3 k+4
③ (좌변)= j18 k
-
3
④ (좌변)=6j6 k+6j2 k-j7 k
⑤ (좌변) ={j18 k+j3 k}\j2 k+5j6 k
6
j2 k
=j2 k-3j2 k=-2j2 k
=j36 k+j6 k+5j6 k=6+6j6 k
19 (주어진 식) =9j3 k+{j2 k-1}09j3 k-{j2 k-1}0
={j3 k}@-{j2 k-1}@
=3-{3-2j2 k}=2j2 k
20 (주어진 식) =15+{-a-6}j5 k+2a
={15+2a}+{-a-6}j5 k
이므로 -a-6=0 ∴ a=-6
= j3 k
3
21 ①
2j6 k
6
= j6 k
3
=
1
j3 k
= j5
15
1
2j3 k
1
=
3j5 k
=
=
=
②
2
j6 k
2
j12k
③ j2
3j10k
3
j2 k-1
⑤ j5 k-j3 k
j5 k+j3 k
④
=3j2 k+3
3{j2 k+1}
{j2 k-1}{j2 k+1}
{j5 k-j3 k}@
{j5 k+j3 k}{j5 k-j3 k}
8-2j15k
2
=4-j15 k
=
=
중등개뿔 개념편 1,2단원 해설(001~016)ok.indd 15
2016-12-01 오후 8:54:32
II . 근호를 포함한 식의 계산 15
Z
22 (주어진 식)
=
j1 k-j2 k
{j1+j2 k}{j1-j2 k}
+
j2 k-j3 k
{j2 k+j3 k}{j2 k-j3 k}
+y+
j99k-j100l
{j99k+j100l}{j99k-j100l}
=-{j1-j2 k}-{j2 k-j3 k}-y-{j99k-j100l}
=-j1+j2 k-j2 k+j3 k-y-j99k+j100k
=-j1+j100k
=-1+10=9
23 x=
=2+j3 k이므로
2+j3 k
{2-j3 k}{2+j3 k}
=
1
2-j3 k
x-2=j3 k
이 식의 양변을 제곱하면
{x-2}@={j3 k}@
x@-4x+4=3
x@-4x=-1
∴ x@-4x+3=-1+3=2
24 20이므로 b=4
00, x-2<0이므로
(주어진 식) =1x@2+1{x2-23}@3
=x-{x-2}=2
27x@-75y@ =3{9x@-25y@} =3{3x+5y}{3x-5y}
따라서 a=3, b=3, c=5이므로
a+b+c=3+3+5=11
5 x@-5x+6={x-2}{x-3}
2x@-3x-2={x-2}{2x+1}
따라서 두 다항식의 일차 이상의 공통인 인수는 x-2이다.
3x@-8x+a={x-3}{3x+b}로 놓으면
-8=b-9 ∴ b=1
∴ a=-3b=-3\1=-3
2x@+7x+6={2x+3}{x+2}이고,
가로의 길이가 2x+3이므로 세로의 길이는 x+2이다.
P. 62 ~ 63
개념 확인
⑴ {x+4}{x+5}
⑵ {x-1}{y+2}
⑶ {x+y+1}{x-y-1}
⑷ {x-2}{x+y+1}
⑴ x+3=A로 놓으면
⑵ {2x-5y+2}{2x-5y-5}
⑶ {3-x}{1+x}
⑷ {x+3y-1}@
⑴ a+b=A로 놓으면
(주어진 식) =A@-2A+1={A-1}@
={a+b-1}@
⑵ 2x-5y=A로 놓으면
(주어진 식) =A{A-3}-10=A@-3A-10
={A+2}{A-5}
={2x-5y+2}{2x-5y-5}
⑶ 1-x=A로 놓으면
(주어진 식) =2@-A@={2+A}{2-A}
={2+1-x}{2-1+x}
={3-x}{1+x}
⑷ x-2=A, 3y+1=B로 놓으면
(주어진 식) =A@+2AB+B@={A+B}@
={{x-2}+{3y+1}}@
={x+3y-1}@
유제 11 ⑴ x{x-8}
⑵ {x-y-1}{x-y-2}
⑶ {x+y-1}{x-y+5}
⑷ -2{3x-2y}{x+4y}
⑴ x-2=A로 놓으면
(주어진 식) =A@-4A-12={A+2}{A-6}
={x-2+2}{x-2-6}
=x{x-8}
⑵ x-y=A로 놓으면
(주어진 식) =A{A-3}+2=A@-3A+2
={A-1}{A-2}
={x-y-1}{x-y-2}
⑶ x+2=A, y-3=B로 놓으면
(주어진 식) =A@-B@={A+B}{A-B}
{x+3}@+3{x+3}+2 =A@+3A+2
={{x+2}+{y-3}}{{x+2}-{y-3}}
={A+1}{A+2}
={x+3+1}{x+3+2}
={x+4}{x+5}
={x+y-1}{x-y+5}
⑷ x-2y=A, x+2y=B로 놓으면
(주어진 식) =2A@-5AB-3B@={2A+B}{A-3B}
⑵ xy+2x-y-2 ={xy-y}+{2x-2}
={ 2{x-2y}+{x+2y}}{{x-2y}-3{x+2y}}
=y{x-1}+2{x-1}
={x-1}{y+2}
={3x-2y}{-2x-8y}
=-2{3x-2y}{x+4y}
20 정답과 해설 _ 개념편
중등개뿔 개념편 정답 3-3(017~025)ok.indd 20
16. 12. 1. 오후 11:36
유제 12 -1
x-3=A로 놓으면
2y-1
(주어진 식) =x@+6x+9-y@+2y-1
6x+9-y
={x@+6x+9}-{y@-2y+1}
={x+3}@-{y-1}@
={{x+3}+{y-1}}{{x+3}-{y-1}}
={x+y+2}{x-y+4}
개
념
편
(주어진 식) =3A@+2A-5={A-1}{3A+5}
={x-3-1}{ 3{x-3}+5 }
={x-4}{3x-4}
따라서 a=-4, b=3이므로
a+b=-4+3=-1
필수 예제 10 ⑴ {x-1}{y-1}
⑵ {x+1}{y-z}
⑶ {x+2}{x-2}{y-2}
⑷ {x+y-3}{x-y-3}
⑴ (주어진 식) =x{y-1}-{y-1}
⑵ (주어진 식) =x{y-z}+{y-z}
={x-1}{y-1}
={x+1}{y-z}
⑶ (주어진 식) =x@{y-2}-4{y-2}
⑷ (주어진 식) ={x@-6x+9}-y@
={x@-4}{y-2}
={x+2}{x-2}{y-2}
={x-3}@-y@
={x-3+y}{x-3-y}
={x+y-3}{x-y-3}
유제 13 ⑴ {a+1}{b+1}
⑵ {x-z}{y-1}
⑶ {x+1}{x-1}{y+1}
⑷ {x+y-4}{x-y+4}
⑴ (주어진 식) =a{b+1}+{b+1}={a+1}{b+1}
⑵ (주어진 식) =y{x-z}-{x-z}={x-z}{y-1}
⑶ (주어진 식) =y{x@-1}+{x@-1}
={x@-1}{y+1}
={x+1}{x-1}{y+1}
⑷ (주어진 식) =x@-{y@-8y+16}
=x@-{y-4}@
={ x+{y-4}}{ x-{y-4}}
={x+y-4}{x-y+4}
필수 예제 11 ⑴ {x-2}{x+y-2}
⑵ {x-y+4}{x+y+2}
⑴ (주어진 식) ={x-2}y+{x@-4x+4}
={x-2}y+{x-2}@
={x-2}{x+y-2}
⑵ (주어진 식) =x@+6x-{y@-2y-8}
= x@+6x-{y-4}{y+2}
x• -{y-4} → -{y-4}x
1 #1
2
2
1
x• -{y+2} → + {y+2}x
1#
R T T T T T T
6x
={x-y+4}{x+y+2}
유제 14 ⑴ {x-3}{x+y-3}
⑵ {x-y+1}{x+y+3}
⑴ (주어진 식) ={x-3}y+{x@-6x+9}
={x-3}y+{x-3}@
={x-3}{x+y-3}
⑵ (주어진 식) =x@+4x-{y@+2y-3}
=x@+4x-{y-1}{y+3}
2
x• -{y-1} → -{y-1}x
1 #1
2
x• -{y+3} → + {y+3}x
1
#
R T T T T T T
4x
1
={x-y+1}{x+y+3}
유제 15 2x-y+3
(주어진 식) =2x@+{y+9}x-{y@-9}
=2x@+{y+9}x-{y+3}{y-3}
2x•
2x•
1 1 1 1 2 1 #
111121#
-{y-3} → -{y-3}x
-{y+3} → + 2{y+3}x
R T T T T T T
{y+9}x
={2x-y+3}{x+y+3}
=A{x+y+3}
∴ A=2x-y+3
P. 64
개념 누르기 한판
1
⑴ {x+1}@ ⑵ {2x-y+3}{2x-y-2}
⑶ {3x-2y+3}{3x-2y-5} ⑷ {x+3y}@
2 5x-6
3 ⑴ {a-6}{b+2} ⑵ {a+1}{a-1}{x+1}
⑶ {x+3y+4}{x+3y-4}
⑷ {3x+y-2}{3x-y+2}
4 ㄷ, ㅁ, ㅂ
5 ⑴ {x+1}{x+2y+3}
⑵ {x+y+3}{x-y+5}
⑶ {x-2y+2}{x-2y-4}
1 ⑴ x+3=A로 놓으면
(주어진 식) =A@-4A+4
={A-2}@={x+1}@
⑵ 2x-y=A로 놓으면
(주어진 식) ={A+1}A-6=A@+A-6
={A+3}{A-2}
={2x-y+3}{2x-y-2}
III . 인수분해 21
중등개뿔 개념편 정답 3-3(017~025)ok.indd 21
16. 12. 1. 오후 11:36
⑶ (주어진 식)={3x-2y}@-2{3x-2y}-15이므로
P. 65
3x-2y=A로 놓으면
A@-2A-15 ={A+3}{A-5}
={3x-2y+3}{3x-2y-5}
⑷ x+y=A, x-y=B로 놓으면
(주어진 식) =4A@-4AB+B@={2A-B}@
={ 2{x+y}-{x-y}}@
={x+3y}@
2 x-1=A로 놓으면
(주어진 식) =6A@-A-2={2A+1}{3A-2}
={ 2{x-1}+1}{ 3{x-1}-2 }
={2x-1}{3x-5}
/ (두 일차식의 합) ={2x-1}+{3x-5}
=5x-6
3 ⑴ (주어진 식) =a{b+2}-6{b+2}
={a-6}{b+2}
⑵ (주어진 식) ={a@-1}x+{a@-1}
={a@-1}{x+1}
={a+1}{a-1}{x+1}
⑶ (주어진 식) ={x@+6xy+9y@}-16
⑷ (주어진 식) =9x@-{y@-4y+4}
={x+3y}@-4@
={x+3y+4}{x+3y-4}
={3x}@-{y-2}@
={3x+y-2}{3x-y+2}
4 x#-2x@-xy@+2y@ =x@{x-2}-y@{x-2}
={x-2}{x@-y@}
={x-2}{x+y}{x-y}
5 ⑴ (주어진 식) =2{x+1}y+{x@+4x+3}
=2{x+1}y+{x+1}{x+3}
={x+1}{x+2y+3}
⑵ (주어진 식) =x@+8x-y@+2y+15
=x@+8x-{y@-2y-15}
=x@+8x-{y+3}{y-5}
={x+y+3}{x-y+5}
⑶ (주어진 식) =x@-2{2y+1}x+4y@+4y-8
(주어진 식) ={x@-4xy+4y@}-2x+4y-8
={x-2y}@-2{x-2y}-8
={x-2y+2}{x-2y-4}
22 정답과 해설 _ 개념편
개념 확인 ⑴ 36, 4, 100
⑶ 17, 17, 6, 240
⑵ 14, 20, 400
필수 예제 12 ⑴ 3700 ⑵ 2500 ⑶ 400
⑴ (주어진 식) =37{82+18}
=37\100=3700
⑵ (주어진 식) =49@+2\49\1+1@
={49+1}@=50@=2500
⑶ (주어진 식) ={52+48}{52-48}
=100\4=400
유제 16 ⑴ 1800 ⑵ 400 ⑶ 1980
⑴ (주어진 식) =18{119-19}
=18\100=1800
⑵ (주어진 식) =21@-2\21\1+1@
={21-1}@=20@=400
⑶ (주어진 식) =20{50@-49@}
=20{50+49}{50-49}
=20\99\1=1980
필수 예제 13 ⑴ 10000 ⑵ 4j2k
⑴ x@-8x+16 ={x-4}@
={104-4}@=100@=10000
⑵ a+b={j2+1}+{j2-1}=2j2
a-b={j2+1}-{j2-1}=2
/ a@-b@={a+b}{a-b}=2j2\2=4j2
유제 17 ⑴ 8 ⑵ -8j3k
⑴ x@-6x+9 ={x-3}@
=
={3-2j2-3}@
={-2j2}@=8
2-j3
{2+j3}{2-j3}
2+j3
{2-j3}{2+j3}
=
1
2+j3
1
2-j3
=2-j3,
=2+j3이므로
⑵ a=
b=
a+b={2-j3}+{2+j3}=4
a-b={2-j3}-{2+j3}=-2j3
/ a@-b@ ={a+b}{a-b}
=4\{-2j3}=-8j3
={x+1+y}{x+1-y}
={x+y+1}{x-y+1}
={3+1}{4+1}
=4\5=20
=x@-2{2y+1}x+4{y@+y-2}
=x@-2{2y+1}x+4{y-1}{y+2}
유제 18 ⑴ 12 ⑵ 20
⑴ x@-y@={x+y}{x-y}=3\4=12
={x-2y+2}{x-2y-4}
⑵ (주어진 식) ={x@+2x+1}-y@={x+1}@-y@
중등개뿔 개념편 정답 3-3(017~025)ok.indd 22
16. 12. 1. 오후 11:36
P. 66
개념 누르기 한판
1 ⑴ 800 ⑵ 360 ⑶ 1600
3 ⑴ 2-3j2 ⑵ -8j5 ⑶ 96
5 3
6 ⑴ 16 ⑵ -4 ⑶ -22
2 5
4 7
1 ⑴ (주어진 식) ={102+98}{102-98}
=200\4=800
⑵ (주어진 식) =12{6.5@-3.5@}
=12{6.5+3.5}{6.5-3.5}
=12\10\3=360
⑶ (주어진 식) =43@-2\43\3+3@
={43-3}@=40@=1600
2
(주어진 식) =12.5{35.53@-34.53@}3
=12.5{35.53+43.5}3{5.35-34.53}3
=j2.5k\k10k\k1k
=j25k=5
3 ⑴ a@+a-2 ={a-1}{a+2}
={1-j2-1}{1-j2+2}
=-j2{3-j2}
=2-3j2
⑵ xy={2+j5}{2-j5}=-1
x+y={2+j5}+{2-j5}=4
x-y={2+j5}-{2-j5}=2j5
⑶ x= j2-j3
j2+j3
y= j2+j3
j2-j3
={-1}\4\2j5=-8j5
{j2-j3}@
=
{j2+j3}{j2-j3}
{j2+j3}@
{j2-j3}{j2+j3}
=
x-y={-5+2j6}-{-5-2j6}=4j6
∴ x@+y@-2xy ={x-y}@
=-5+2j6,
=-5-2j6이므로
={4j6}@=96
4
20, a-3<0이므로
(주어진 식} =1{a+33}@3-1{a-33}@3
={a+3}+{a-3}
=2a
III . 인수분해 23
/ x#y-xy# =xy{x@-y@}=xy{x+y}{x-y}
⑴ A=2, B=-24 ⑵ {x-4}{x+6}
중등개뿔 개념편 정답 3-3(017~025)ok.indd 23
16. 12. 1. 오후 11:36
-1과 -18, -2와 -9, -3과 -6, 1과 18, 2와 9, 3과 6
/ (두 일차식의 합) ={x-2y+4}+{x-2y-4}
5 ax@-16 ={bx+4}{3x+c}
=3bx@+{bc+12}x+4c
즉, a=3b, 0=bc+12, -16=4c이므로
c=-4, b=3, a=9
∴ a+b-c=9+3-{-4}=16
6
{x-4}{x+2}+4x =x@-2x-8+4x
=x@+2x-8
={x+4}{x-2}
7 ab=18에서 곱이 18인 두 정수는
이다.
이때 A=a+b이므로 A의 값이 될 수 있는 수는
-19, -11, -9, 9, 11, 19이다.
8
4x@+5x-6={x+2}{4x-3}이므로
a=2, b=4, c=-3
∴ x@+{b-a}x+c =x@+2x-3
={x+3}{x-1}
9 x@+4x-21={x+7}{x-3}
3x@-11x+6={x-3}{3x-2}
따라서 두 다항식의 일차 이상의 공통인 인수는 x-3이다.
10 {2x+5y}{3x+By} =6x@+{2B+15}xy+5By@
=6x@+Axy-20y@
즉, 2B+15=A, 5B=-20이므로
B=-4, A=7
∴ A-B=7-{-4}=11
11 ① -2x@+6x=-2x{x-3}
② 9x@-169={3x+13}{3x-13}
③ x@-xy-56y@={x+7y}{x-8y}
④ 7x@+18x-9={x+3}{7x-3}
12 3x@+ax-4={x-2}{3x+m}으로 놓으면
-4=-2m이므로 m=2
/ a=m-6=2-6=-4
13 [그림 1]의 도형의 넓이는 a@-b@
[그림 2]의 도형의 넓이는 {a+b}{a-b}
이때 두 도형의 넓이가 서로 같으므로
a@-b@={a+b}{a-b}
14 (도형 A의 넓이) ={2x+5}@-4@
={2x+5+4}{2x+5-4}
={2x+9}{2x+1}
24 정답과 해설 _ 개념편
(도형 B의 넓이)=(가로의 길이)\{2x+1}
따라서 도형 B의 가로의 길이는 2x+9이다.
15 2x-y=A로 놓으면
(주어진 식) =A@-{A-4}-6
=A@-A-2
={A+1}{A-2}
={2x-y+1}{2x-y-2}
16 x@-4xy+4y@-16 ={x-2y}@-4@
={x-2y+4}{x-2y-4}
=2x-4y
17 (주어진 식) =x@+10x-{y@-2y-24}
=x@+10x-{y-6}{y+4}
={x-y+6}{x+y+4}
18 168@3-332@ 3=1{683+332}{3683-332}3
=j100l\l36l=j360k0k
=160@2=60
따라서 가장 알맞은 인수분해 공식은
③ a@-b@={a+b}{a-b}이다.
19 5.5@+5.5+0.5@ =5.5@+2\5.5\0.5+0.5@
={5.5+0.5}@=6@=36
20 (주어진 식) =
994\993+994\7
997@-3@
994{993+7}
{997+3}{997-3}
=
=
994\1000
1000\994
=1
21 x+3=A로 놓으면
(주어진 식} =A@-4A+4={A-2}@
={x+3-2}@={x+1}@
={3j2-1+1)@
={3j2}@=18
22 a=
=-2+2j2,
=
=
b=
2
1+j2
2
1-j2
2{1-j2}
{1+j2}{1-j2}
2{1+j2}
{1-j2}{1+j2}
a+b={-2+2j2}+{-2-2j2}=-4
a-b={-2+2j2}-{-2-2j2}=4j2
∴ a@-b@ ={a+b}{a-b}
=-2-2j2이므로
=-4\4j2
=-16j2
중등개뿔 개념편 정답 3-3(017~025)ok.indd 24
16. 12. 1. 오후 11:36
23 (주어진 식) ={x@-y@}-3{x-y}
따라서 새로 만든 직사각형의 가로, 세로의 길이는
={x+y}{x-y}-3{x-y}
x+1, 2x+3이므로
={x-y}{x+y-3}
={-2}\{3-3}=0
새로 만든 직사각형의 둘레의 길이는
2{{x+1}+{2x+3}} =2{3x+4}
개
념
편
24 a@-b@-10a+25 ={a@-10a+25}-b@
={a-5}@-b@
={a+b-5}{a-b-5}
즉, {a+b-5}{a-b-5}=15이므로
a+b=6을 대입하면
{6-5}{a-b-5}=15
/ a-b=20
25 ⑴ {x+8}{x-3}=x@+5x-24에서
민이는 상수항을 바르게 보았으므로
{x-10}{x+12}=x@+2x-120에서
혜나는 일차항의 계수를 바르게 보았으므로
B=-24
A=2
⑵ ⑴에서 x@+Ax+B=x@+2x-24이므로
이 식을 바르게 인수분해하면
x@+2x-24={x-4}{x+6}
채점 기준
B의 값 구하기
A의 값 구하기
!
@
#
다항식 x@+Ax+B를 바르게 인수분해하기
26 주어진 모든 직사각형의 넓이의 합은
2x@+5x+3={x+1}{2x+3}
y`!
y`@
y`#
배점
30 %
30 %
40 %
y`!
=6x+8
채점 기준
주어진 모든 직사각형의 넓이의 합을 인수분해하기
새로 만든 직사각형의 가로, 세로의 길이 구하기
새로 만든 직사각형의 둘레의 길이 구하기
!
@
#
27 xy-3y+2x-6 =y{x-3}+2{x-3}
={x-3}{y+2}
={x-A}{y+B}
따라서 A=3, B=2이므로
A-B=3-2=1
채점 기준
좌변을 인수분해하기
A, B의 값 구하기
A-B의 값 구하기
!
@
#
28 10@-9@+8@-7@+y+2@-1@
={10+9}{10-9}+{8+7}{8-7}
+y+{2+1}{2-1}
={10+9}+{8+7}+y+{2+1}
=11\5
=55
!
@
답 구하기
채점 기준
인수분해 공식을 이용하여 주어진 식을 변형하기
y`@
y`#
배점
40 %
30 %
30 %
y`!
y`@
y`#
배점
50 %
30 %
20 %
y`!
y`@
배점
60 %
40 %
중등개뿔 개념편 정답 3-3(017~025)ok.indd 25
16. 12. 1. 오후 11:36
III . 인수분해 25
개념편
이차방정식과 그 해
P. 74
개념 확인 ⑴ 3, 2, 1, 4, 1 ⑵ 4, 4, 12, 3, 8, 1
필수 예제 1 ㄴ, ㅁ, ㅂ
ㄱ. 2x+1=0 ⇨ 일차방정식
ㄴ. x@=0 ⇨ 이차방정식
ㄷ. x@-x={x-1}{x+1}에서
x@-x=x@-1
∴ -x+1=0 ⇨ 일차방정식
ㄹ. 2x@-3x+5 ⇨ 이차식
ㅁ. x{x@-4x}=x#-5x@+7에서
x#-4x@=x#-5x@+7
∴ x@-7=0 ⇨ 이차방정식
ㅂ. x@+1=3x{x-2}에서
x@+1=3x@-6x
∴ -2x@+6x+1=0 ⇨ 이차방정식
유제 1 ③
① x{x-4}=0에서 x@-4x=0 ⇨ 이차방정식
② x=2x@에서 -2x@+x=0 ⇨ 이차방정식
③ x@+4={x-2}@에서
x@+4=x@-4x+4
∴ 4x=0 ⇨ 일차방정식
④
x{x-3}
3
=20에서
x@-x=20
1
3
∴
x@-x-20=0 ⇨ 이차방정식
1
3
⑤ x#+2x-1={x-2}{x@+1}에서
x#+2x-1=x#-2x@+x-2
∴ 2x@+x+1=0 ⇨ 이차방정식
필수 예제 2 ④
[ ] 안의 수를 주어진 이차방정식의 x에 각각 대입하면
① 4@-8=0
② 3@-4\3=0
③ 2@-2\2+1=0
④ 5@-5-20=0
⑤ -1@+3\1+4=0
유제 2 x=-1 또는 x=2
x=-2일 때, {-2}@-{-2}-2=0
x=-1일 때, {-1}@-{-1}-2=0
x=0일 때, 0@-0-2=0
x=1일 때, 1@-1-2=0
x=2일 때, 2@-2-2=0
26 정답과 해설 _ 개념편
따라서 주어진 이차방정식의 해는 x=-1 또는 x=2이다.
IV . 이차방정식
P. 75 개념 누르기 한판
1 ④
5 5
2 -16
6 6
3 a=2
4 ②, ④
1 ① 2x@+3x-2=x+2x@에서 2x-2=0 ⇨ 일차방정식
② x@+3x=x#-2에서 -x#+x@+3x+2=0
⇨ 이차방정식이 아니다.
③ x{x-2}=x{x+1}에서 x@-2x=x@+x
∴ -3x=0 ⇨ 일차방정식
④ {x+1}{x-1}=-x@+1에서
x@-1=-x@+1
∴ 2x@-2=0 ⇨ 이차방정식
⑤ 3{x-1}@-1=1+3x@에서
3{x@-2x+1}-1=1+3x@
3x@-6x+2=1+3x@
∴ -6x+1=0 ⇨ 일차방정식
3{x+1}{x-2}=-2x@+7x에서
3{x@-x-2}=-2x@+7x
3x@-3x-6=-2x@+7x
∴ 5x@-10x-6=0
따라서 a=-10, b=-6이므로
a+b=-10+{-6}=-16
2
3
2{x-1}@=ax@+6x+1에서
2{x@-2x+1}=ax@+6x+1
2x@-4x+2=ax@+6x+1
∴ {2-a}x@-10x+1=0
이때 x@의 계수는 0이 아니어야 하므로
2-a=0 ∴ a=2
4 각 이차방정식에 x=2를 대입하면
① 2@-2\2-8=0
② 2{2-2}=0
③ {2+2}{2\2-1}=0
④ 3\2@-12=0
⑤ {2\2-1}@=4\2
5
2x@+ax-3=0에 x=-3을 대입하면
2\{-3}@+a\{-3}-3=0
15-3a=0, 3a=15
∴ a=5
6 x@+x-6=0에 x=a를 대입하면
a@+a-6=0
∴ a@+a=6
중등개뿔 3년 개념편 4단원-정답.indd 26
16. 12. 1. 오후 11:38
1
이차방정식의 풀이 ⑴
유제 2 x=-1
x@-4x-5=0에서 {x+1}{x-5}=0
∴ x=-1 또는 x=5
2x@+7x+5=0에서 {2x+5}{x+1}=0
∴ x=-
또는 x=-1
5
2
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-1이다.
개
념
편
⑴ x{x-3}=0에서 x=0 또는 x-3=0
∴ x=0 또는 x=3
⑵ {x+2}{x-1}=0에서 x+2=0 또는 x-1=0
∴ x=-2 또는 x=1
P. 77
⑶ {3x+1}{x-2}=0에서 3x+1=0 또는 x-2=0
∴ x=-
또는 x=2
⑷ {2x-3}{3x+4}=0에서 2x-3=0 또는 3x+4=0
P. 76
개념 확인 ⑴ x=0 또는 x=3
⑵ x=-2 또는 x=1
⑶ x=-
또는 x=2
⑷ x=
또는 x=-
4
3
1
3
3
2
1
3
3
2
∴ x=
또는 x=-
4
3
필수 예제 1 ⑴ x=0 또는 x=2
⑵ x=-4 또는 x=2
⑶ x=-
또는 x=
2
3
3
2
⑷ x=-3 또는 x=2
⑴ x@-2x=0에서 x{x-2}=0
∴ x=0 또는 x=2
⑵ x@+2x-8=0에서 {x+4}{x-2}=0
∴ x=-4 또는 x=2
⑶ 6x@=5x+6에서 6x@-5x-6=0
{3x+2}{2x-3}=0
2
3
∴ x=-
또는 x=
3
2
{x+3}{x-2}=0
∴ x=-3 또는 x=2
⑷ {x+4}{x-3}=-6에서 x@+x-6=0
유제 1 ⑴ x=0 또는 x=-5
⑶ x=-
⑵ x=-6 또는 x=5
3
1
2
3
⑷ x=-1 또는 x=10
⑴ 2x@+10x=0에서 2x{x+5}=0
또는 x=
∴ x=0 또는 x=-5
⑵ x@+x-30=0에서 {x+6}{x-5}=0
∴ x=-6 또는 x=5
⑶ 6x@-7x=3에서 6x@-7x-3=0
{3x+1}{2x-3}=0
1
3
∴ x=-
또는 x=
3
2
{x+1}{x-10}=0
∴ x=-1 또는 x=10
⑷ {x-1}{x-8}=18에서 x@-9x-10=0
필수 예제 2 ⑴ x=-2 (중근)
⑶ x=-3 (중근)
(중근)
⑵ x=
1
2
⑷ x=4 (중근)
⑴ x@+4x+4=0에서 {x+2}@=0
∴ x=-2 (중근)
⑵ 8x@-8x+2=0에서 2{4x@-4x+1}=0
2{2x-1}@=0 ∴ x=
(중근)
1
2
⑶ 3-x@=6{x+2}에서 3-x@=6x+12
x@+6x+9=0, {x+3}@=0
`∴ x=-3 (중근)
⑷ {x-2}{x-4}=2x-8에서 x@-6x+8=2x-8
x@-8x+16=0, {x-4}@=0
∴ x=4 (중근)
유제 3 ㄴ, ㄹ, ㅂ
ㄱ. x@-16=0에서 {x+4}{x-4}=0
∴ x=-4 또는 x=4
ㄴ. 7x@+14x+7=0에서 7{x@+2x+1}=0
7{x+1}@=0 ∴ x=-1 (중근)
ㄷ. x@+x-2=0에서 {x+2}{x-1}=0
∴ x=-2 또는 x=1
ㄹ. 9x@-6x+1=0에서 {3x-1}@=0
ㅁ. 3x@-4x-4=0에서 {3x+2}{x-2}=0
∴ x=
(중근)
1
3
∴ x=-
또는 x=2
2
3
ㅂ. x{x-10}=-25에서 x@-10x+25=0
{x-5}@=0 ∴ x=5 (중근)
필수 예제 3 ⑴ a=30, x=-6
⑵ a=2일 때 x=-1, a=-2일 때 x=1
⑴ 좌변이 완전제곱식이어야 하므로
12
2 ]@, 6+a=36
6+a=
[
∴ a=30
이때 x@+12x+36=0에서
{x+6}@=0 ∴ x=-6 (중근)
IV . 이차방정식 27
중등개뿔 3년 개념편 4단원-정답.indd 27
2016-12-06 오후 2:26:20
⑵ 좌변이 완전제곱식이어야 하므로
1=
a
2 ]@, 1=
a@
4
! a=2일 때, x@+2x+1=0
[
, a@=4 ∴ a=-2
{x+1}@=0 ∴ x=-1 (중근)
@ a=-2일 때, x@-2x+1=0
{x-1}@=0 ∴ x=1 (중근)
유제 4 ⑴ a=-1, x=5
⑵ a=12일 때 x=-6, a=-12일 때 x=6
⑴ 좌변이 완전제곱식이어야 하므로
-10
2 ]@, 24-a=25
24-a=
[
∴ a=-1
이때 x@-10x+25=0에서
{x-5}@=0 ∴ x=5 (중근)
⑵ 좌변이 완전제곱식이어야 하므로
36=
a
2 ]@, 36=
a@
4
[
, a@=144 ∴ a=-12
! a=12일 때, x@+12x+36=0
{x+6}@=0 ∴ x=-6 (중근)
@ a=-12일 때, x@-12x+36=0
{x-6}@=0 ∴ x=6 (중근)
유제 5 a=8, b=16
중근이 x=-4이고, 이차항의 계수가 1이므로
{x+4}@=0, x@+8x+16=0
∴ a=8, b=16
P. 78 개념 누르기 한판
1 ②
2 ⑴ x=2 또는 x=4
⑵ x=-
또는 x=
3
2
⑶ x=3 (중근)
⑷ x=
(중근)
⑸ x=-
또는 x=3 ⑹ x=-2 또는 x=2
2
3
3
2
3
2
3 -7
5 ①, ④
4 a=15, x=-5
6 a=1, x=1
2 ⑴ x@-6x+8=0에서 {x-2}{x-4}=0
∴ x=2 또는 x=4
⑵ 4x@-9=0에서 {2x+3}{2x-3}=0
∴ x=-
또는 x=
3
2
3
2
⑶ 2x@-12x+18=0에서 2{x@-6x+9}=0
2{x-3}@=0 ∴ x=3 (중근)
⑷ 4x@-12x+9=0에서 {2x-3}@=0
∴ x=
(중근)
3
2
28 정답과 해설 _ 개념편
⑸ 3x@-7x=6에서 3x@-7x-6=0
{3x+2}{x-3}=0
∴ x=-
또는 x=3
2
3
⑹ {x+1}{x-1}=2x@-5에서 x@-1=2x@-5
x@-4=0, {x+2}{x-2}=0
∴ x=-2 또는 x=2
3 x@=9x-18에서 x@-9x+18=0
{x-3}{x-6}=0 ∴ x=3 또는 x=6
두 근 중 작은 근이 x=3이므로
3x@+ax-6=0에 x=3을 대입하면
3\3@+a\3-6=0, 3a+21=0
∴ a=-7
4 x@+8x+a=0에 x=-3을 대입하면
{-3}@+8\{-3}+a=0, -15+a=0
∴ a=15
이때 x@+8x+15=0에서 {x+3}{x+5}=0
∴ x=-3 또는 x=-5
따라서 구하는 다른 한 근은 x=-5이다.
5 ① x@-4x+3=0에서 {x-1}{x-3}=0
∴ x=1 또는 x=3
② x@+10x+25=0에서 {x+5}@=0
∴ x=-5 (중근)
③ x@-14x+49=0에서 {x-7}@=0
∴ x=7 (중근)
④ 9x@+9x+2=0에서 {3x+2}{3x+1}=0
∴ x=-
또는 x=-
1
3
⑤ 9x@+12x+4=0에서 {3x+2}@=0
∴ x=-
(중근)
따라서 중근을 갖지 않는 것은 ①, ④이다.
2
3
2
3
6 좌변이 완전제곱식이어야 하므로
-2a
2 ]@, -2a+3=a@
a@+2a-3=0, {a+3}{a-1}=0
-2a+3=
[
∴ a=-3 또는 a=1
그런데 a>0이므로 a=1
x@-2ax-2a+3=0에 a=1을 대입하면
x@-2x+1=0, {x-1}@=0
∴ x=1(중근)
P. 79
필수 예제 4 ⑴ x=-4j2
⑶ x=-3-
j5
⑵ x=- 3
4
⑷ x=-2 또는 x=4
중등개뿔 3년 개념편 4단원-정답.indd 28
16. 12. 1. 오후 11:38
1
개
념
편
⑵ 9-16x@=0에서 16x@=9
x@=
∴ x=-
9
16
3
4
⑶ {x+3}@=5에서 x+3=-j5
∴ x=-3-j5
⑷ 2{x-1}@=18에서 {x-1}@=9
x-1=-3
∴ x=-2 또는 x=4
유제 6 ⑴ x=-
j6
-1-2j2
2
`
⑶ x=
⑷ x=-
또는 x=
8
3
2
3
⑵ x=- 9
2
⑴ x@-6=0에서 x@=6
∴ x=-j6
⑵ 4x@-81=0에서 4x@=81
x@=
∴ x=-
81
4
9
2
⑶ 8-{2x+1}@=0에서 {2x+1}@=8
2x+1=-2j2, 2x=-1-2j2
∴ x=
-1-2j2
2
⑷ -9{x+1}@+25=0에서 9{x+1}@=25
{x+1}@=
, x+1=-
25
9
8
3
5
3
2
3
∴ x=-
또는 x=
유제 7 3
3{x+a}@=15에서 {x+a}@=5
x+a=-j5
∴ x=-a-j5=2-jb
따라서 a=-2, b=5이므로
a+b=-2+5=3
유제 8 ⑴ q>0 ⑵ a=0, aq>0 ⑶ a=0, aq>0
q
a 에서
q
a >0이어야 하므로
⑵ 이차방정식이므로 a=0
양변을 a로 나누면 x@=
aq>0
∴ a=0, aq>0
⑶ 이차방정식이므로 a=0
aq>0
∴ a=0, aq>0
양변을 a로 나누면 {x+p}@=
q
a 에서
q
a >0이어야 하므로
유제 9 ⑴ p=1, q=3 ⑵ p=-
, q=
2
3
10
9
⑴ x@-2x=2에서
-2
2 ]@=2+
x@-2x+
[
{x-1}@=3
-2
2 ]@
[
∴ p=1, q=3
⑵ 3x@+4x-2=0에서
x@+
x-
=0
x@+
x=
4
3
4
3
4
3
2
3
2
3
4
3
[
10
9
x+
[
2
3 ]@=
2
3
∴ p=-
, q=
10
9
x@+
x+
\
1
2 ]@=
2
3
+
[
4
3
\
1
2 ]@
유제 10 ⑴ x=4-
j19k
⑶ x=-1- j7k
2
⑵ x=-2-
j6k
4-
j10k
3
⑷ x=
⑴ x@-8x=3에서
-8
2 ]@=3+
x@-8x+
[
-8
2 ]@
[
{x-4}@=19
∴ x=4-j19k
⑵ 3x@+12x-6=0에서
x@+4x-2=0
x@+4x=2
4
2 ]@=2+
[
4
2 ]@
x@+4x+
[
{x+2}@=6
∴ x=-2-j6
⑶ 4x@+8x-3=0에서
x@+2x-
=0
3
4
+
2
2 ]@
[
2
2 ]@=
7
4
3
4
3
4
[
x@+2x=
x@+2x+
{x+1}@=
∴ x=-1- j7
2
x@-
x=-
8
3
8
3
8
3
2
3
[
2
3
8
3
x-
[
∴ x=
4
10
3 ]@=
9
4-j10k
3
⑷ x@-
x+
=0에서
P. 80
필수 예제 5 ⑴ 9, 9, 3, 7, 3-
⑵ 1, 1, 1,
j7
, 1- j6
3
2
3
x@-
x+
-
\
1
2 ]@=-
2
3
+
-
\
[
8
3
1
2 ]@
IV . 이차방정식 29
중등개뿔 3년 개념편 4단원-정답.indd 29
2016-12-06 오후 2:26:20
P. 81 개념 누르기 한판
2
3
1 ⑴ x=-
⑵ x=- j5
2
⑶ x=-5 또는 x=1 ⑷ x=6-j7
5-j5
⑸ x=2- j3
4
2
⑹ x=
⑺ x=-
또는 x=
⑻ x=-
또는 x=3
7
2
9
2
1
3
2 10
3 A=4, B=2, C=7, D=2-j7
4 ⑴ x=-5-2j7
⑶ x=1- j10k
2
5 a=-6, b=10
⑵ x=
-1-j5
2
⑷ x=4-3j2
1 ⑶ {x+2}@=9에서 x+2=-3
∴ x=-5 또는 x=1
⑷ {x-6}@-7=0에서 {x-6}@=7
x-6=-j7
∴ x=6-j7
⑸ 4{x-2}@=3에서 {x-2}@=
3
4
x-2=- j3
2
∴ x=2- j3
2
⑹ {4x-5}@=5에서 4x-5=-j5
4x=5-j5
∴ x=
5-j5
4
⑺ 5
x-
[
1
2 ]@-80=0에서
[
x-
1
2 ]@=16
x-
=-4
1
2
∴ x=-
또는 x=
9
2
3x-4=-5
∴ x=-
또는 x=3
7
2
1
3
2
{x-5}@=3에서 {x-5}@=6
1
2
x-5=-j6 ∴ x=5-j6
따라서 두 근의 합은
{5-j6}+{5+j6}=10
4 ⑴ x@+10x-3=0에서 x@+10x=3
x@+10x+5@=3+5@, {x+5}@=28
∴ x=-5-2j7
⑵ x@+x-1=0에서 x@+x=1
x@+x+
1
2 ]@=1+
[
1
2 ]@
[
30 정답과 해설 _ 개념편
, x+
1
2
=- j5
2
x+
[
∴ x=
1
5
2 ]@=
4
-1-j5
2
⑶ 2x@=4x+3에서 x@=2x+
, x@-2x=
3
2
3
2
x@-2x+{-1}@=
+{-1}@
3
2
{x-1}@=
, x-1=-q
5
2
5
2
=- j10k
2
⑷
x@-4x-1=0에서 x@-8x-2=0, x@-8x=2
∴ x=1- j10k
2
1
2
x@-8x+{-4}@=2+{-4}@
{x-4}@=18 ∴ x=4-3j2
5 x@-5x+4=2x@+7x에서 x@+12x=4
x@+12x+6@=4+6@
{x+6}@=40
x+6=-2j10k ∴ x=-6-2j10k
∴ a=-6, b=10
이차방정식의 풀이 ⑵
P. 82
개념 확인 a,
[
b
2a ]@,
-b-
1b@-4ac3
2a
필수 예제 1 ⑴ x=
⑵ x=-2-2j2k
j13k
-5-
6
3-
j15k
2
⑴ 근의 공식에 a=3, b=5, c=1을 대입하면
⑵ 짝수 공식에 a=1, b'=2, c=-4를 대입하면
x =
-5-15@-4\3\13
2\3
=
-5-j13k
6
x =
-2-12@-1\{-4}3
1
=-2-j8=-2-2j2
x =
-4-14@-4\1\{-4}3
2\1
=
-4-4j2
2
=
-4-j32k
2
=-2-2j2
근의 공식에 a=1, b=4, c=-4를 대입하면
⑻ 2{3x-4}@-50=0에서 {3x-4}@=25
⑶ x=
중등개뿔 3년 개념편 4단원-정답.indd 30
16. 12. 1. 오후 11:38
1
⑶ 2x@-6x=3에서 2x@-6x-3=0이므로
짝수 공식에 a=2, b'=-3, c=-3을 대입하면
x =
-{-3}-1{-3}@-2\{-3}3
2
=
3-j15k
2
유제 1 ⑴ x=
⑵ x=
1-
j5k
4
j33k
-1-
2
7-
j13k
6
⑶ x=
⑴ 근의 공식에 a=1, b=1, c=-8을 대입하면
x =
-1-11@-4\1\{-8}3
2\1
=
-1-j33k
2
⑵ 짝수 공식에 a=4, b'=-1, c=-1을 대입하면
x =
-{-1}-1{-1}@-4\{-1}3
4
⑶ 3x@=7x-3에서 3x@-7x+3=0이므로
근의 공식에 a=3, b=-7, c=3을 대입하면
-{-7}-1{-7}@-4\3\33
2\3
x =
=
1-j5
4
=
7-j13k
6
유제 2 A=-3, B=41
근의 공식에 a=2, b=3, c=-4를 대입하면
x =
-3-13@-4\2\{-4}3
2\2
=
-3-j41k
4
∴ A=-3, B=41
=
A-jBk
4
P. 83
필수 예제 2 ⑴ x=
⑵ x=-5 또는 x=-
j10k
⑶ x=3-
-2-
6
j5k
⑴ 양변에 12를 곱하면 6x@+4x-1=0
-2-12@-6\{-1}3
6
∴ x =
1
3
=
-2-j10k
6
⑵ 양변에 10을 곱하면 6x@+32x+10=0
3x@+16x+5=0, {x+5}{3x+1}=0
∴ x=-5 또는 x=-
1
3
⑶ {3x-2}{x-2}=2x{x-1}에서
3x@-8x+4=2x@-2x, x@-6x+4=0
∴ x =-{-3}-1{-3}@-1\43=3-j5
개
념
편
유제 3 ⑴ x=-
⑶ x=
j11k ⑵ x=-
1-
j17k
2
4
5
또는 x=5
⑴ 양변에 6을 곱하면 2{x@-2}-3{x@-1}=-12
2x@-4-3x@+3=-12, x@=11
∴ x=-j11k
⑵ 양변에 10을 곱하면 5x@-21x=20
5x@-21x-20=0, {5x+4}{x-5}=0
∴ x=-
또는 x=5
4
5
⑶ 좌변을 전개하면 2x@-2x-{x@-x-6}=10
2x@-2x-x@+x+6-10=0
x@-x-4=0
∴ x =
-{-1}-1{-1}@-4\1\{-4}3
2\1
=
1-j17k
2
필수 예제 3 ⑴ x=-1 또는 x=10 ⑵ x=0 또는 x=1
⑴ {x-3}@-3{x-3}=28에서
{x-3}@-3{x-3}-28=0
x-3=A로 놓으면 A@-3A-28=0
{A+4}{A-7}=0
∴ A=-4 또는 A=7
즉, x-3=-4 또는 x-3=7
∴ x=-1 또는 x=10
⑵ x+2=A로 놓으면
A@-
A+1=0
1
6
5
6
양변에 6을 곱하면 A@-5A+6=0
{A-2}{A-3}=0 ∴ A=2 또는 A=3
즉, x+2=2 또는 x+2=3
∴ x=0 또는 x=1
유제 4 ⑴ x=
또는 x=3 ⑵ x=-1 또는 x=
1
4
⑴ x-1=A로 놓으면 3A@-5A-2=0
2
3
2
3
1
3
1
3
{3A+1}{A-2}=0
∴ A=-
또는 A=2
즉, x-1=-
또는 x-1=2
∴ x=
또는 x=3
1
2
⑵ x+
=A로 놓으면
3
16
양변에 16을 곱하면 8A@-2A-3=0
A@-
A-
1
8
1
2
=0
{2A+1}{4A-3}=0
1
2
∴ A=-
또는 A=
3
4
즉, x+
=-
또는 x+
=
1
2
1
2
1
2
3
4
∴ x=-1 또는 x=
1
4
IV . 이차방정식 31
중등개뿔 3년 개념편 4단원-정답.indd 31
2016-12-06 오후 2:26:21
P. 84
한 번 더 연습
1 ⑴ x=
-7-j5
2
⑶ x=-1-j5
5-j33k
⑸ x=
4
2 ⑴ x=-2-j7k
-5-j29k
⑶ x=
4
5-j17k
2
3 ⑴ x=
⑵ x=
-3-j29k
2
⑷ x=-3-j13k
-4-j19k
⑹ x=
3
⑵ x=2 또는 x=3
⑷ x=
⑵ x=
-1-j41k
4
-1-3j5
4
⑶ x=-2 또는 x=-1 ⑷ x=-
또는 x=5
4 ⑴ a=0 또는 a=
⑵ x=-
또는 x=0
1
2
3
2
4
3
1 ⑴ x =
-7-17@-4\1\113
2\1
=
-7-j5
2
⑵ x@-5=-3x에서 x@+3x-5=0
-3-13@-4\1\{-5}3
2\1
∴ x =
=
-3-j29k
2
⑶ x=-1-11@-1\{-4}3=-1-j5
⑷ x@+6x=4에서 x@+6x-4=0
∴ x =-3-13@-1\{-4}3=-3-j13k
-{-5}-1{-5}@-4\2\{-1}3
2\2
⑸ x =
=
5-j33k
4
⑹ x =
-4-14@-3\{-1}3
3
=
-4-j19k
3
2 ⑴ 양변에 6을 곱하면 x@+4x-3=0
∴ x=-2-12@-1\{-3}3=-2-j7k
⑵ 양변에 10을 곱하면 5x@-25x+30=0
x@-5x+6=0, {x-2}{x-3}=0
∴ x=2 또는 x=3
⑶ 양변에 10을 곱하면 4x@+10x-1=0
-5-15@-4\{-1}3
4
∴ x =
=
-5-j29k
4
⑷ 양변에 10을 곱하면 6x@-2{x@-x}=10
6x@-2x@+2x=10, 4x@+2x-10=0
2x@+x-5=0
∴ x =
-1-11@-4\2\{-5}3
2\2
=
-1-j41k
4
32 정답과 해설 _ 개념편
3 ⑴ {x-1}{x-4}=2에서 x@-5x+4=2
x@-5x+2=0
∴ x =
-{-5}-1{-5}@-4\1\23
2\1
=
5-j17k
2
⑵ 4{x-1}@+10{x-2}+5=0에서
4x@-8x+4+10x-20+5=0
4x@+2x-11=0
∴ x =
-1-11@-4\{-11}3
4
=
-1-j45k
4
=
-1-3j5
4
⑶ {x+1}@+{x+2}@={2x+3}@에서
x@+2x+1+x@+4x+4=4x@+12x+9
⑷ 양변에 15를 곱하면 3x{x-1}=5{x-3}{x+1}
2x@+6x+4=0
x@+3x+2=0
{x+2}{x+1}=0
∴ x=-2 또는 x=-1
3x@-3x=5x@-10x-15
2x@-7x-15=0
{2x+3}{x-5}=0
∴ x=-
또는 x=5
3
2
4 ⑴ 2a+1=A로 놓으면 A@-3A+2=0
{A-1}{A-2}=0
∴ A=1 또는 A=2
즉, 2a+1=1 또는 2a+1=2
∴ a=0 또는 a=
1
2
⑵ x+1=A로 놓으면
1
6
양변에 6을 곱하면 3A@-2A-1=0
A@-
A-
1
3
1
2
=0
{3A+1}{A-1}=0
∴ A=-
또는 A=1
1
3
4
3
1
3
즉, x+1=-
또는 x+1=1
∴ x=-
또는 x=0
P. 85
개념 확인
a, b, c의 값
b@-4ac의 값
근의 개수
⑴ a=3, b=4, c=-1
4@-4\3\{-1}=28
⑵ a=1, b=6, c=9
6@-4\1\9=0
⑶ a=2, b=-5, c=4
{-5}@-4\2\4=-7
2개
1개
0개
중등개뿔 3년 개념편 4단원-정답.indd 32
16. 12. 1. 오후 11:38
k
k
k
1
필수 예제 4 ㄷ, ㄹ, ㅁ
ㄱ. b@-4ac={-3}@-4\1\5=-11<0
유제 7 k=12, x=3
중근을 가지므로
b'@-ac={-3}@-1\{k-3}=0 ∴ k=12
즉, x@-6x+9=0에서 {x-3}@=0
∴ x=3 (중근)
개
념
편
ㄴ. b'@-ac={-2}@-4\1=0
∴ 근이 없다.
∴ 중근
ㄷ. b@-4ac={-7}@-4\3\{-2}=73>0
ㄹ. b@-4ac=5@-4\2\{-2}=41>0
∴ 서로 다른 두 근
∴ 서로 다른 두 근
ㅁ. {x+3}@=4x+9에서 x@+6x+9=4x+9
x@+2x=0
b'@-ac=1@-1\0=1>0
∴ 서로 다른 두 근
ㅂ. 양변에 12를 곱하면 4x@-2x+1=0
b'@-ac={-1}@-4\1=-3<0
∴ 근이 없다.
유제 5 ⑤
① b'@-ac={-4}@-1\5=11>0
∴ 서로 다른 두 근
② b@-4ac={-9}@-4\2\{-3}=105>0
∴ 서로 다른 두 근
③ b'@-ac=2@-3\{-1}=7>0
∴ 서로 다른 두 근
④ b'@-ac=1@-4\{-1}=5>0
∴ 서로 다른 두 근
⑤ b@-4ac=7@-4\5\8=-111<0
∴ 근이 없다.
필수 예제 5 ⑴ k<
9
8
b@-4ac =3@-4\1\2k=9-8k
⑵ k=
9
8
⑶ k>
9
8
⑴ b@-4ac>0이어야 하므로
9-8k>0 ∴ k<
⑵ b@-4ac=0이어야 하므로
9-8k=0 ∴ k=
⑶ b@-4ac<0이어야 하므로
9-8k<0 ∴ k>
9
8
9
8
9
8
유제 6 ⑴ k<6 ⑵ k=6 ⑶ k>6
b'@-ac={-1}@-1\{k-5}=6-k
⑴ b'@-ac>0이어야 하므로
6-k>0 ∴ k<6
⑵ b'@-ac=0이어야 하므로
6-k=0 ∴ k=6
⑶ b'@-ac<0이어야 하므로
6-k<0 ∴ k>6
두 근을 a, b라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
P. 86
필수 예제 6 -
,
1
3
7
3
7
3
a+b=-
, ab=
1
3
유제 8 1
m=-
=
, n=
=-
-2
5
2
5
-3
5
3
5
∴ m-n=
-
-
=1
2
5
3
5 ]
[
필수 예제 7 ⑴ -
⑵ 7
1
3
-1
1
a+b
ab
a+b=-
=1, ab=
=-3이므로
-3
1
=
+
1
a
1
b
⑴
1
-3
⑵ a@+b@={a+b}@-2ab=1@-2\{-3}=7
=-
1
3
=
유제 9 ⑴ 7 ⑵ 21 ⑶
21
2
2
1
a+b=-
=5, ab=
=2이므로
-5
1
⑴ a+ab+b={a+b}+ab=5+2=7
⑵ a@+b@={a+b}@-2ab=5@-2\2=21
⑶
+
=
a
b
a@+b@
ab
=
21
2
b
a
P. 87
필수 예제 8 ⑴ x@-4x-5=0
⑵ -x@+6x-9=0
⑶ 3x@-9x-6=0
⑴ {x+1}{x-5}=0이므로
x@-4x-5=0
두 근의 합은 -1+5=4, 곱은 -1\5=-5이므로
x@의 계수가 1인 이차방정식은
x@-4x-5=0
⑵ -{x-3}@=0이므로 -{x@-6x+9}=0
∴ -x@+6x-9=0
⑶ 3{x@-3x-2}=0이므로
3x@-9x-6=0
IV . 이차방정식 33
중등개뿔 3년 개념편 4단원-정답.indd 33
2016-12-06 오후 2:26:22
유제 10 ⑴ 6x@-5x+1=0
⑵ 3x@+12x+12=0
⑶ -4x@+16x-1=0
=0이므로
[
x-
x-
⑴ 6
1
3 ]
1
2 ][
5
6
∴ 6x@-5x+1=0
1
6 ]
x@-
6
x+
[
=0
, 곱은
=
+
1
3
5
6
두 근의 합은
1
2
x@의 계수가 6인 이차방정식은
1
6 ]
5
6
∴ 6x@-5x+1=0
x@-
6
x+
=0
[
1
2
\
=
이므로
1
3
1
6
⑵ 3{x+2}@=0이므로 3{x@+4x+4}=0
∴ 3x@+12x+12=0
⑶ -4
x@-4x+
=0이므로 -4x@+16x-1=0
[
1
4 ]
필수 예제 9 x=-3-2j2k, a=1
한 근이 -3+2j2이므로 다른 한 근은 -3-2j2이다.
x@+6x+a=0에서 a는 두 근의 곱이므로
a={-3+2j2}{-3-2j2}=9-8=1
유제 11 x@-4x-1=0
한 근이 2-j5이므로 다른 한 근은 2+j5이다.
두 근의 합은 {2-j5}+{2+j5}=4
두 근의 곱은 {2-j5}{2+j5}=4-5=-1
따라서 x@의 계수가 1인 이차방정식은
x@-4x-1=0
x=2-j5에서 x-2=-j5
양변을 제곱하면 {x-2}@={-j5}@
x@-4x+4=5
∴ x@-4x-1=0
P. 88~89
개념 누르기 한판
1 ⑤
2 ⑴ x=
3-j13k
4
4 ③
3 ③
8 2x@-4x-16=0
⑵ x=5-j34k ⑶ x=-1 또는 x=8
6 ①
9 -4
5 ④
7 10
1
x =
-{-5}-1{-5}@-4\2\{-1}3
2\2
A-jBk
4
5-j33k
4
=
=
따라서 A=5, B=33이므로
A+B=5+33=38
34 정답과 해설 _ 개념편
2 ⑴ 양변에 10을 곱하면 4x@-6x=1
4x@-6x-1=0
∴ x =
-{-3}-1{-3}@-4\{-1}3
4
=
3-j13k
4
⑵ 양변에 6을 곱하면 3{x+1}{x-3}=2x{x+2}
3x@-6x-9=2x@+4x
x@-10x-9=0
∴ x =-{-5}-1{-5}@-1\{-9}3
=5-j34k
⑶ 2x-3=A로 놓으면 A@=8A+65
A@-8A-65=0, {A+5}{A-13}=0
∴ A=-5 또는 A=13
즉, 2x-3=-5 또는 2x-3=13
∴ x=-1 또는 x=8
3 x-2y=A로 놓으면 {A-3}{A-5}+1=0
A@-8A+16=0, {A-4}@=0
∴ A=4 (중근)
즉, x-2y=4이므로
2x-4y=2{x-2y}=2\4=8
b'@-ac={-2}@-2\{2k-3}>0이어야 하므로
4 해를 가지려면
10-4k>0
∴ k<
5
2
5 ① a+b=-
-4
1
=4
② ab=
=1
③
+
=
a+b
ab
=
=4
4
1
1
1
1
b
a
b
1
a
b
a
④ a@+b@={a+b}@-2ab=4@-2\1=14
⑤
+
=
a@+b@
ab
=
=14
14
1
6 두 근을 a, a+6이라 하면
두 근의 합은 a+{a+6}=-
-4
2
2a+6=2 ∴ a=-2
k
2
두 근의 곱은 a{a+6}=
-2\{-2+6}=
∴ k=-16
k
2
7
2{x-1}{x-2}=0이므로 2{x@-3x+2}=0
∴ 2x@-6x+4=0
따라서 a=6, b=4이므로
a+b=6+4=10
중등개뿔 3년 개념편 4단원-정답.indd 34
16. 12. 1. 오후 11:38
k
1
8 a+b=-
-4
1
=4, ab=
=-2이므로
-2
1
두 근이 4, -2이고 x@의 계수가 2인 이차방정식은
그런데 x>0이므로 x=15
따라서 학생 수는 15명이다.
2{x-4}{x+2}=0, 2{x@-2x-8}=0
유제 2 10명
∴ 2x@-4x-16=0
학생 수를 x명이라 하면 한 사람이 받는 사과의 개수는
개
념
편
9
한 근이 -1+j5이므로 다른 한 근은 -1-j5이다.
x@+2x+m=0에서 m은 두 근의 곱이므로
m={-1+j5}{-1-j5}=1-5=-4
이차방정식의 활용
P. 90
개념 확인 x+4, x+4, 16, 12, 12, 12, 12
10{x+4}=x@+16에서 x@-10x-24=0
{x+2}{x-12}=0 ∴ x=-2 또는 x=12
그런데 x>0이므로 x=12
따라서 동생의 나이는 12살이다.
필수 예제 1 7, 9
방법 1 두 수를 x, x+2 (x는 홀수)라 하면
방법 2 두 수를 2x-1, 2x+1( x는 자연수)이라 하면
x{x+2}=63
x@+2x-63=0, {x+9}{x-7}=0
∴ x=-9 또는 x=7
그런데 x>0이므로 x=7
따라서 구하는 두 수는 7, 9이다.
{2x-1}{2x+1}=63
4x@-1=63, 4x@=64, x@=16
∴ x=-4
그런데 x>0이므로 x=4
따라서 구하는 두 수는 7, 9이다.
유제 1 8
두 수를 x, x+4라 하면
x{x+4}=96
x@+4x-96=0, {x+12}{x-8}=0
∴ x=-12 또는 x=8
그런데 x는 자연수이므로 x=8
따라서 두 수는 8, 12이고, 이 중 작은 수는 8이다.
학생 수를 x명이라 하면 한 사람이 받는 사탕의 개수는
필수 예제 2 15명
{x-4}개이므로
x{x-4}=165
x@-4x-165=0, {x+11}{x-15}=0
∴ x=-11 또는 x=15
{x+3}개이므로
x{x+3}=130
x@+3x-130=0, {x+13}{x-10}=0
∴ x=-13 또는 x=10
그런데 x>0이므로 x=10
따라서 학생 수는 10명이다.
필수 예제 3 ⑴ 2초 후 또는 3초 후 ⑵ 5초 후
⑴ -5t@+25t=30, 5t@-25t+30=0
t@-5t+6=0, {t-2}{t-3}=0
∴ t=2 또는 t=3
P. 91
따라서 물 로켓의 높이가 30 m가 되는 것은 쏘아 올린 지
2초 후 또는 3초 후이다.
⑵ 지면에 떨어지는 것은 높이가 0 m일 때이므로
-5t@+25t=0, t@-5t=0, t{t-5}=0
∴ t=0 또는 t=5
그런데 t>0이므로 t=5
따라서 물 로켓이 지면에 떨어지는 것은 쏘아 올린 지 5초
후이다.
유제 3 3초 후
린 지 3초 후이다.
필수 예제 4 10 cm
-5x@+35x+40=100, 5x@-35x+60=0
x@-7x+12=0, {x-3}{x-4}=0
∴ x=3 또는 x=4
따라서 이 공의 높이가 처음으로 100 m가 되는 것은 쏘아 올
처음 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
{x+2}{x-4}=72
x@-2x-8=72, x@-2x-80=0
{x+8}{x-10}=0
∴ x=-8 또는 x=10
그런데 x>4이므로 x=10
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 10 cm이다.
유제 4 2 cm
색칠한 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면
p{x+2}@=4px@
x@+4x+4=4x@, 3x@-4x-4=0
{3x+2}{x-2}=0
2
3
∴ x=-
또는 x=2
IV . 이차방정식 35
중등개뿔 3년 개념편 4단원-정답.indd 35
2016-12-06 오후 2:26:23
그런데 x>0이므로 x=2
따라서 색칠한 원의 반지름의 길이는 2 cm이다.
3 -5t@+50t+5=125, 5t@-50t+120=0
t@-10t+24=0, {t-4}{t-6}=0
필수 예제 5 3
20 m
15 m
20 m
15 m
20 m
x m
15 m
x m
x m
x m
x m
x m
위의 그림의 세 직사각형에서 색칠한 부분의 넓이는 모두 같
으므로
{20-x}{15-x}=204
300-35x+x@=204, x@-35x+96=0
{x-3}{x-32}=0
∴ x=3 또는 x=32
그런데 04이므로 x=7
2 cm
{x-4}cm
{x-1} cm
위의 그림과 같이 처음 직사각형 모양의 종이의 세로의 길이를
따라서 처음 직사각형 모양의 종이의 세로의 길이는 7 cm이다.
P. 92 개념 누르기 한판
1 십각형
4 9 cm
2 -4 또는 -2 3 ②
5 3초 후 또는 7초 후
1
n{n-3}
2
=35에서 n@-3n-70=0
{n+7}{n-10}=0 ∴ n=-7 또는 n=10
그런데 n>3이므로 n=10
따라서 구하는 다각형은 십각형이다.
2 어떤 수를 x라 하면
{x+4}@=2{x+4}
x@+8x+16=2x+8, x@+6x+8=0
{x+4}{x+2}=0
∴ x=-4 또는 x=-2
36 정답과 해설 _ 개념편
따라서 이 폭죽이 처음으로 125 m의 높이에 도달하는 데 걸
∴ t=4 또는 t=6
리는 시간은 4초이다.
4 AC
BC
의 길이를 x cm라 하면
의 길이는 {12-x} cm이므로
x@+{12-x}@=90
x@+144-24x+x@=90, 2x@-24x+54=0
x@-12x+27=0, {x-3}{x-9}=0
∴ x=3 또는 x=9
그런데 60이지만 양수인 두 근을 가진다.
개
념
편
① 1@-2\1=0
② {-1}@-6\{-1}+5=0
③ {-5}@-{-5}-20=0
④ 2\
⑤ 3\
1
2 ]@+3\
1
3 ]@-3\
1
2
1
3
[
[
-2=0
-2=0
3 x@+ax-8=0에 x=4를 대입하면
4@+a\4-8=0, 4a+8=0
x@-4x-b=0에 x=4를 대입하면
∴ a=-2
4@-4\4-b=0
`∴ b=0
4 x@+5x+1=0에 x=p를 대입하면
p@+5p+1=0이므로 p@+5p=-1
∴ p@+5p-3=-1-3=-4
5
2x@-x-6=0에서 {2x+3}{x-2}=0
∴ x=-
또는 x=2
3
2
즉, x=2가 x@-5x+a-1=0의 한 근이므로
x=2를 대입하면
2@-5\2+a-1=0, a-7=0 ∴ a=7
6 ② {x-4}@=0 ∴ x=4 (중근)
7 x@+2=A{1-2x}에서 x@+2=A-2Ax
x@+2Ax+2-A=0 y ㉠
㉠이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이어야 하므로
2-A=
2A
2 ]@에서 2-A=A@
A@+A-2=0, {A+2}{A-1}=0
[
∴ A=-2 또는 A=1
그런데 A<0이므로 A=-2
이때 A=-2를 ㉠에 대입하면
x@-4x+4=0, {x-2}@=0
∴ x=2(중근)
㉠에서 b'@-ac=A@-1\{2-A}=0이어야 하므로
A@+A-2=0, {A+2}{A-1}=0
∴ A=-2 (∵ A<0)
이때 A=-2를 ㉠에 대입하면
x@-4x+4=0, {x-2}@=0
∴ x=2(중근)
8
4{x-3}@=20에서 {x-3}@=5
x-3=-j5 ∴ x=3-j5
10 x@+3x+2=0에서 x@+3x=-2
x@+3x+
x+
∴
[
3
2 ]@
[
3
2 ]@=-2+
1
4
따라서 a=
, b=
이므로
[
3
2 ]@=
3
2
1
4
a+b=
+
=
3
2
1
4
7
4
11 x =
-{-A}-1{-A}@-4\2\13
2\2
=
A-1A@-83
4
5-jBk
4
따라서 A=5, B=A@-8=5@-8=17이므로
=
A+B=5+17=22
12 양변에 6을 곱하면 2x{x-2}-3x{x+2}=2x-1
2x@-4x-3x@-6x=2x-1
x@+12x-1=0
∴ x=-6-16@-1\{-1}3=-6-j37k
13 양변에 10을 곱하면 x@-8=3x
x@-3x-8=0
∴ x =
-{-3}-1{-3}@-4\1\{-8}3
2\1
=
3-j41k
2
3-j41k
2
따라서 a=
이고,
6y이므로 x-y>0
∴ x-y=4
15 중근을 가지려면
b'@-ac=m@-1\n=0이어야 하므로
m@=n
따라서 순서쌍 {m, n}은 {1, 1}, {2, 4}의 2개이다.
IV . 이차방정식 37
중등개뿔 3년 개념편 4단원-정답.indd 37
2016-12-06 오후 2:26:24
16 해를 가지려면
b@-4ac={2k-1}@-4\1\{k@-2}>0
-4k+9>0 ∴ k<
9
4
따라서 가장 큰 정수 k의 값은 2이다.
-8
4
=2
17 ① a+b=-
1
4
② ab=-
③ a@+b@ ={a+b}@-2ab=2@-2\
④ {a-b}@ ={a+b}@-4ab=2@-4\
⑤
+
=
1
a@
1
b@
a@+b@
{ab}@
9
2
=
_
-
[
1
4 ]@=
9
2
\16=72
[
= 9
2
- 1
4 ]
1
4 ]
-
[
=5
18 두 근을 a, 3a라 하면
8
3
2
3
k
3
두 근의 합은 a+3a=-
4a=-
∴ a=-
8
3
두 근의 곱은 3a@=-
2
3 ]@=-
k
3
3\
-
[
∴ k=-4
19 a+b=-
-5
2
5
2
=
, ab=
이므로
1
2
{a-1}+{b-1} =a+b-2=
-2=
5
2
1
2
두 근의 합은
두 근의 곱은
{a-1}{b-1} =ab-{a+b}+1=
-
+1=-1
1
2
5
2
이때 x@의 계수가 2이므로 구하는 이차방정식은
2
x@-
x-1
1
2
[
∴ 2x@-x-2=0
]
=0
20 준기가 잘못 본 이차방정식은
{x+4}{x-7}=0이므로 x@-3x-28=0
선미가 잘못 본 이차방정식은
두 근의 합이
{-3+j2}+{-3-j2}=-6
두 근의 곱이
{-3+j2}{-3-j2}=9-2=7
이므로 x@+6x+7=0
보았으므로 처음의 이차방정식은
x@+6x-28=0
∴ x=-3-13@-1\{-28}3=-3-j37k
38 정답과 해설 _ 개념편
21 한 근이 2+j3이므로 다른 한 근은 2-j3이다.
x@-4x-a+3=0에서 -a+3은 두 근의 곱이므로
-a+3={2+j3}{2-j3}=4-3=1
즉, -a+3=1이므로 a=2
22 AB
：BC
=BC
：AC
이므로
{1+x}：x=x：1에서 x@=1+x
x@-x-1=0
∴ x =
-{-1}-1{-1}@-4\1\{-1}3
2\1
1+j5
2
그런데 x>0이므로 x=
=
1-j5
2
23 야구공이 지면에 떨어질 때의 높이는 0 m이므로
60t-5t@=0, t@-12t=0
t{t-12}=0 ∴ t=0 또는 t=12
그런데 t>0이므로 t=12
따라서 이 야구공이 지면에 떨어지는 것은 쏘아 올린 지
12초 후이다.
24 점 P{a, b}는 y=-2x+8의 그래프 위의 점이므로
b=-2a+8
즉, 점 P의 좌표는 {a, -2a+8}
이때 점 Q의 좌표는 {a, 0}이므로
PQ
=-2a+8, OQ
=a
또 점 A의 좌표는 {0, 8}이므로 AO
=8
1
2
1
2
f
=
\9{-2a+8}+80\a
=-a@+8a
이때
AOQP=15이므로
-a@+8a=15, a@-8a+15=0
f
b=-2a+8=-2\3+8=2
{a-3}{a-5}=0 ∴ a=3 또는 a=5
! a=3일 때,
@ a=5일 때,
그런데 a>0, b>0이므로 !, @에서 a=3, b=2
∴ a+b=3+2=5
b=-2a+8=-2\5+8=-2
25 x@-8x+15=0에서 {x-3}{x-5}=0
∴ x=3 또는 x=5
5x@-13x-6=0에서 {5x+2}{x-3}=0
∴ x=-
또는 x=3
2
5
따라서 2x@+ax-3=0에 x=3을 대입하면
2\3@+a\3-3=0, 15+3a=0
∴ a=-5
y !
y @
y #
y $
그런데 준기는 상수항을, 선미는 일차항의 계수를 바르게
이때 두 이차방정식의 공통인 근은 x=3이다.
a-1, b-1을 두 근으로 하는 이차방정식에서
∴
AOQP =
\{PQ
+AO
}\OQ
중등개뿔 3년 개념편 4단원-정답.indd 38
16. 12. 1. 오후 11:38
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1
채점 기준
이차방정식 x@-8x+15=0의 해 구하기
이차방정식 5x@-13x-6=0의 해 구하기
두 이차방정식의 공통인 근 구하기
a의 값 구하기
!
@
#
$
1
2
+
-3
2 ]@
[
26 ⑴ 2x@-6x+1=0에서
x@-3x+
=0
1
2
1
2
x@-3x=-
[
-3
2 ]@=-
7
4
에서
x@-3x+
x-
[
x-
⑵
[
x-
3
2 ]@=
3
7
2 ]@=
4
=- j7
3
2
2
3-j7
2
∴ x=
채점 기준
양변을 x@의 계수로 나누기
{x+a}@=b의 꼴로 나타내기
제곱근 구하기
이차방정식의 해 구하기
!
@
#
$
배점
30 %
30 %
20 %
20 %
y !
y @
y #
y $
배점
20 %
40 %
30 %
10 %
27 x@+ax+b=0의 두 근이 -1, 2이므로
{x+1}{x-2}=0 ∴ x@-x-2=0
∴ a=-1, b=-2
y !
개
념
편
즉, bx@+ax+2=0에서 -2x@-x+2=0이므로
2x@+x-2=0
∴ x =
-1-11@-4\2\{-2}3
2\2
=
-1-j17k
4
y @
채점 기준
a, b의 값 구하기
!
@
이차방정식 bx@+ax+2=0의 해 구하기
28 작은 정사각형의 한 변의 길이를 x m라 하면
큰 정사각형의 한 변의 길이는 {x+6} m이다.
이때 두 정사각형의 넓이의 합이 468 m@이므로
x@+{x+6}@=468
2x@+12x-432=0, x@+6x-216=0
{x+18}{x-12}=0
∴ x=-18 또는 x=12
그런데 x>0이므로 x=12
따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 12 m이다. y $
채점 기준
미지수 정하기
이차방정식 세우기
이차방정식의 해 구하기
!
@
#
$
작은 정사각형의 한 변의 길이 구하기
배점
50 %
50 %
y !
y @
y #
배점
20 %
30 %
30 %
20 %
중등개뿔 3년 개념편 4단원-정답.indd 39
2016-12-06 오후 2:26:24
IV . 이차방정식 39
1
개념편
이차함수의 뜻
P. 100
필수 예제 1 ㄷ, ㅂ
ㄴ. y=x@{2-x}=-x#+2x@ ⇨ 이차함수가 아니다.
ㄷ. y={x+2}@-4x=x@+4 ⇨ 이차함수
ㅂ. y=-2{x-2}{x+2}=-2x@+8 ⇨ 이차함수
유제 1 ⑴ y=4x, 이차함수가 아니다.
⑵ y=x#, 이차함수가 아니다.
⑶ y=x@+4x+3, 이차함수
⑷ y=px@, 이차함수
⑶ y={x+1}{x+3}=x@+4x+3 ⇨ 이차함수
f{-2}=
\{-2}@+{-2}+1=1
필수 예제 2 3
f{2}=2@+2\2-5=3
유제 2 6
1
2
1
2
f{2}=
\2@+2+1=5
/``f{-2}+f{2}=1+5=6
유제 3 1
f{3}=3@-2\3+a=4이므로
9-6+a=4 ∴ a=1
P. 101 개념 누르기 한판
1 ⑤ 2 ④ 3 ⑤ 4 -1 5 17 6 5
1 ② y=x{x+2}-x@=x@+2x-x@=2x ⇨ 일차함수
③ {2x+1}{x-3}+4=2x@-5x+1=0 ⇨ 이차방정식
2 ① y=
1
2
\x\8=4x ⇨ 일차함수
② y=2\x=2x ⇨ 일차함수
x
100
③ y=100\
=x ⇨ 일차함수
④ y=p\x@\3=3px@ ⇨ 이차함수
⑤ y=1000\x=1000x ⇨ 일차함수
3 y=3x@-ax{x-5}-8={3-a}x@+5ax-8
따라서 x@의 계수가 0이 아니어야 하므로
3-a=0 ∴ a=3
40 (cid:2687)(cid:1529)(cid:1175) (cid:3303)(cid:2232) (cid:64) (cid:1104)(cid:1435)(cid:3230)
V. 이차함수와 그 그래프
4
f{2}=-2@+5\2-4=-4+10-4=2
1
2 ]
f
[
=-
[
∴ 3 f{2}+4 f
[
1
2
1
2 ]@+5\
1
2 ]
-4=-
+
-4=-
7
4
1
4
[
5
2
7
4 ]
=3\2+4\
-
=6-7=-1
5
f{-2}=4에서
a\{-2}@+3\{-2}-6=4
4a-12=4, 4a=16 ∴ a=4
따라서 f{x}=4x@+3x-6이므로
f{1}=4\1@+3\1-6=1
f{2}=4\2@+3\2-6=16
∴ `f{1}+f{2}=1+16=17
6
f{k}=-3에서
-k@+3k+7=-3
k@-3k-10=0, {k+2}{k-5}=0
∴ k=-2 또는 k=5
그런데 k>0이므로 k=5
이차함수 y=ax@의 그래프
필수 예제 1 ⑴ x … -3 -2 -1
y … 9
4
1
0
0
1
1
2
4
3 …
9 …
P. 102
y
8
6
4
2
O-2
2
x
⑵ ㄱ. 0, 0, 아래 ㄴ. x=0 ㄷ. x
ㄹ. 증가 ㅁ. 위
③ 1={-1}@
P. 103
유제 1 ②, ③
②
=
-
3
2 ]@
[
9
4
1
9
유제 2
y=x@에 x=-
, y=a를 대입하면
1
3
a=
-
[
1
3 ]@=
1
9
181-3개념편 해설 5단원(040~046)-OK.indd 40
2016-12-05 오후 9:48:44
1
필수 예제 2 ⑴ x … -3 -2 -1
0
1
2
3 …
ㄹ. y=3x@에 x=-2를 대입하면 y=3x{-2}@=12
y … -9 -4 -1
0 -1 -4 -9 …
따라서 점 {-2, 12}를 지난다.
개
념
편
-2
2
x
y
O
-2
-4
-6
-8
⑵ ㄱ. 0, 0, 위 ㄴ. x=0 ㄷ. x
ㄹ. 감소 ㅁ. 아래
유제 3 ②, ⑤
②
=-
-
1
9
1
3 ]@
[
유제 4 -6, 6
⑤ 25=-5@
y=-x@에 x=a, y=-36을 대입하면
-36=-a@, a@=36 ∴ a=-6
P. 104
필수 예제 3 ⑴
x
… -2 -1
y=x@
y=2x@
…
…
y=
1
2 x@ …
4
8
2
1
2
1
2
0
0
0
0
1
1
2
1
2
2
4
8
2
…
…
…
…
y=2x@
y
y=x@
-4
O-2
2
4
x
8
6
4
2
y=
x@
2!
1
2
1
2
1
2
⑵ y=2x@, y=x@, y=
x@
⑵ x@의 계수의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
이차함수 y=x@, y=2x, y=
x@의 x@의 계수의 절댓값
을 차례로 구하면 1, 2,
이므로 그래프의 폭이 좁은 것부
터 차례로 나열하면 y=2x@, y=x@, y=
x@이다.
1
2
P. 105 개념 누르기 한판
-4
-2
2
4
x
1
y
O
-2
-4
-6
-8
⑴ {0, 0}, x=0
⑵ 제3, 4사분면
⑶ y=2x@
⑷ 감소한다.
2 ③, ⑤
1
2
4
0이면 아래로 볼록한 포물선이므로 x>2일 때 x의
값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
유제 9 y=-
x@+4
꼭짓점의 좌표가 {0, 4}이므로 y=ax@+4로 놓자.
이 그래프가 점 {3, 1}을 지나므로
1
3
1
3
1=9a+4 ∴ a=-
1
3
∴ y=-
x@+4
6 y=5x@의 그래프를 평행이동한 그래프의 식은
y=5{x-m}@+n
이 식이 y=5
x+
[
1
5 ]@-4와 일치해야 하므로
m=-
, n=-4
1
5
7 ③ 위로 볼록한 포물선이다.
⑤ y=-2{x-1}@+1의 그래프는 꼭짓점의 좌표가 {1, 1}
이고, 위로 볼록하며 점 {0, -1}을 지난다.
필수 예제 7 ⑴ y=-{x+3}@+8 ⑵ y=2{x-4}@-5
⑴ 축의 방정식이 x=-3이므로 y=a{x+3}@+q로 놓자.
이 그래프가 두 점 {-1, 4}, {0, -1}을 지나므로
4=4a+q
-1=9a+q
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, q=8
∴ y=-{x+3}@+8
…`㉠
…`㉡
V. 이차함수와 그 그래프 43
중등개뿔 개념편 정답(040~046)5단원-OK.indd 43
2016-12-01 오후 9:58:28
⑵ 축의 방정식이 x=4이므로 y=a{x-4}@+q로 놓자.
이 그래프가 두 점 {2, 3}, {3, -3}을 지나므로
3=4a+q
-3=a+q
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, q=-5
/ y=2{x-4}@-5
… ㉡
… ㉠
유제 10 y=-
{x-2}@+8
1
2
축의 방정식이 x=2이므로 y=a{x-2}@+q로 놓자.
이 그래프가 두 점 {6, 0}, {0, 6}을 지나므로
0=16a+q
6=4a+q
… ㉠
… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-
, q=8
1
2
/ y=-
{x-2}@+8
1
2
P. 113
개념 확인 ⑴ 아래, > ⑵ 3, <, <
필수 예제 8 a<0, p<0, q>0
그래프가 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점 {p, q}가 제 2 사분면 위에 있으므로 p<0, q>0
유제 11 a>0, p>0, q<0
그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
꼭짓점 {p, q}가 제 4 사분면 위에 있으므로 p>0, q<0
유제 12 ①, ④
그래프가 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점 {p, q}가 제 3 사분면 위에 있으므로 p<0, q<0
즉, a<0, p<0, q<0이므로
③ ap>0
④ a+q<0
⑤ a+p+q<0
⑵ 꼭짓점의 좌표가 {-2, 1}이므로 y=a{x+2}@+1로 놓자.
⑶ 축의 방정식이 x=-1이므로 y=a{x+1}@+q로 놓자.
이 그래프가 점
[
-
, 19
를 지나므로
1
2
]
19=
a+1 ∴ a=8
9
4
∴ y=8{x+2}@+1
… ㉠
이 그래프가 두 점 {0, 5}, {1, 2}를 지나므로
5=a+q
2=4a+q
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, q=6
∴ y=-{x+1}@+6
… ㉡
2 ⑴ 꼭짓점의 좌표가 {1, 0}이므로 y=a{x-1}@으로 놓자.
⑵ 꼭짓점의 좌표가 {-1, 1}이므로 y=a{x+1}@+1로 놓자.
이 그래프가 점 {0, 1}을 지나므로
a=1
∴ y={x-1}@
이 그래프가 점 {0, -1}을 지나므로
-1=a+1 ∴ a=-2
∴ y=-2{x+1}@+1
⑶ 축의 방정식이 x=-2이므로 y=a{x+2}@+q로 놓자.
… ㉠
이 그래프가 두 점 {-3, 0}, {0, 9}를 지나므로
0=a+q
9=4a+q
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, q=-3
∴ y=3{x+2}@-3
… ㉡
3 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
꼭짓점 {p, 0}이 y축보다 왼쪽에 있으므로 p<0
4 a<0이므로 위로 볼록한 포물선이다.
p>0, q>0이므로 꼭짓점 {p, q}가 제1사분면 위에 있다.
따라서 y=a{x-p}@+q의 그래프로 알맞은 것은 ⑤이다.
P. 114 개념 누르기 한판
1
⑴ y=2{x-3}@+2 ⑵ y=8{x+2}@+1
⑶ y=-{x+1}@+6
2 ⑴ y={x-1}@
⑵ y=-2{x+1}@+1
⑶ y=3{x+2}@-3
3 ②
4 ⑤
1 ⑴ 꼭짓점의 좌표가 {3, 2}이므로 y=a{x-3}@+2로 놓자.
이 그래프가 점 {4, 4}를 지나므로
4=a+2 ∴ a=2
∴ y=2{x-3}@+2
44 정답과 해설 _ 개념편
3 ⑤
4 ②
8 ㄴ, ㄷ 9 ①
2 ⑤
7 ④
12 -2 13 ③
14 ③
17 -7 18 -10 19 ②
22 ④
P. 115~118
단원 마무리
1 ㄱ, ㄷ, ㅁ
6 6
5 ④
11 ①
10 ⑤
15 ④
16 ②
20 ⑤ 21 ②
23 9, 과정은 풀이 참조
24 -6, -4, 과정은 풀이 참조
25 4
3
, 과정은 풀이 참조
26 4, 과정은 풀이 참조
중등개뿔 개념편 정답(040~046)5단원-OK.indd 44
2016-12-01 오후 9:58:29
1
1 ㄹ. y=
1
2
{x+2}{x-3}=
x@-
x-3 ⇨ 이차함수
1
2
1
2
ㅂ. y=3x{x-1}+3x=3x@ ⇨ 이차함수
2 ① y=px ⇨ 일차함수
② y=1200x ⇨ 일차함수
③ y=2x\2x\2x=8x# ⇨ 이차함수가 아니다.
④ y=
⇨ 일차함수
⑤ y=
\{x+2x}\x=
x@ ⇨ 이차함수
3
2
x
8
1
2
11 y=-3x@의 그래프를 평행이동한 그래프의 식은
y=-3{x-a}@
이 식이 y=-3{x+5}@과 같아야 하므로 a=-5
\
y=
x@의 그래프를 평행이동한 그래프의 식은
개
념
편
1
3
1
3
y=
x@+b
1
3
이 식이 y=
x@+9와 같아야 하므로 b=9
/ a-b=-5-9=-14
3 y ={2x+1}@-x{ax+3}
={4-a}x@+x+1
따라서 x@의 계수가 0이 아니어야 하므로
4-a=0 ∴ a=4
f{x}=3x@-x+a에서 f{-1}=2이므로
f{-1}=3\{-1}@-{-1}+a=2
4
/ a=-2
따라서 f{x}=3x@-x-2이므로 f{2}=b에서
f{2}=3\2@-2-2=b / b=8
/ a+b=-2+8=6
5 ④ y=-ax@의 그래프와 x축에 서로 대칭이다.
6 y=ax@의 그래프가 점 {-2, 3}을 지나므로
3
4
3=4a / a=
y=
x@의 그래프가 점 {3, b}를 지나므로
3
4
27
4
b=
/ b-a=
-
=6
27
4
3
4
7 평행이동한 그래프의 식은 y=-2x@+3
이 그래프가 점 {1, n}을 지나므로
n=-2\1@+3=1
8 ㄱ. 꼭짓점의 좌표는 {0, 7}이다.
ㅁ. y=-
x@의 그래프를 평행이동한 것이다.
7
4
12 주어진 그래프의 꼭짓점의 좌표가 {-4, 0}이므로
p=-4
따라서 y=a{x+4}@의 그래프가 점 {0, 8}을 지나므로
8=16a / a=
1
2
/ ap=
\{-4}=-2
1
2
13 각 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하면
① {2, 0}
② {0, 2}
③ {-1, 2}
④ {1, 2}
⑤ {-1, -2}
14 y=-
1
2
{x+2}@+1의 그래프는 위로 볼록하고, 꼭짓점의
좌표가 {-2, 1}인 포물선이다.
15 ① 아래로 볼록한 포물선이다.
② 축의 방정식은 x=-4이다.
③ 꼭짓점의 좌표는 {-4, -6}이다.
⑤ y=3x@의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방
향으로 -6만큼 평행이동한 그래프이다.
16 이차함수 y=a{x-p}@+q에서 x@의 계수 a의 값이 같으면
그래프를 평행이동하여 완전히 포갤 수 있다.
각 이차함수의 x@의 계수를 구하면
ㄱ. -2 ㄴ. 2 ㄷ. -1 ㄹ. 1 ㅁ. -2
따라서 그래프를 평행이동하여 완전히 포갤 수 있는 것은
ㄱ과 ㅁ이다.
9
y={x+2}@의 그래프는 아래로 볼록한 포물선이고, 축의
방정식이 x=-2이므로 x<-2일 때, x의 값이 증가하면
y의 값은 감소한다.
17 y=6x@+4에 x 대신 x-p, y 대신 y-q를 대입하면
y-q=6{x-p}@+4
∴ y=6{x-p}@+4+q
10 x@의 계수의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
-
5
4 |
|
가장 좁은 것은 ⑤ y=3{x+1}@이다.
<|-1|<
1
2 |
7
3 |
<|3|이므로 그래프의 폭이
<
|
|
이 식이 y=6{x-2}@+
과 같아야 하므로
1
2
7
2
p=2, 4+q=
에서 q=-
1
2
∴ pq=2\
[
-
7
2 ]
=-7
V. 이차함수와 그 그래프 45
181-3개념편 해설 5단원(040~046)-OK.indd 45
2016-12-05 오후 5:57:04
y+3=-
{x+1-2}@-1 ∴ y=-
{x-1}@-4
구하기
18 y 대신 -y를 대입하면
2
-y=
3
{x-2}@+1 ∴ y=-
{x-2}@-1
2
3
이 식에 x 대신 x+1, y 대신 y+3을 대입하면
2
3
2
3
이 그래프가 점 {4, k}를 지나므로
k=-
{4-1}@-4=-10‹
2
3
19 축의 방정식이 x=2이므로 y=a{x-2}@+q로 놓자.
이 그래프가 두 점 {-1, -25}, {1, -1}을 지나므로
-25=9a+q
-1=a+q
y`㉠
y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, q=2
∴ y=-3{x-2}@+2
20 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
-p>0, q<0 ∴ p<0, q<0
꼭짓점 {-p, q}가 제 4 사분면 위에 있으므로
21 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
꼭짓점 {p, q}가 제 2 사분면 위에 있으므로 p<0, q>0
∴ aq>0, pq<0
따라서 일차함수 y=aqx+pq의 그래프는 오른쪽 위로 향
하고, x축보다 아래쪽에서 y축과 만나는 직선이다.
22 두 이차함수의 x@의 계수가 -
로 같으므로 두 이차함수의
1
2
그래프는 평행이동하면 완전히 포개어진다.
따라서 다음 그림에서 빗금 친 부분의 넓이가 같으므로 색칠
한 부분의 넓이는 직사각형의 넓이와 같다.
y
8
y=-
{x-4}@+8
2!
y
8
y=-
{x-4}@+8
2!
O
4
x
O
4
x
y=-
{x-4}@
2!
y=-
{x-4}@
2!
∴ (색칠한 부분의 넓이)=4\8=32
23 y=-x@의 그래프는 y축에 대칭이고, 두 점 B, C 사이의 거
… !
리가 4이므로 점 C의 x좌표는 2이다.
즉, 점 C의 y좌표는
y=-2@=-4
… @
따라서 사다리꼴 ABCD는 윗변의 길이가 2, 아랫변의 길이
가 4, 높이가 4-1=3이므로
… #
… $
\{2+4}\3=9
ABCD=
1
2
46 정답과 해설 _ 개념편
채점 기준
! 점 C의 x좌표 구하기
@ 점 C의 y좌표 구하기
# 사다리꼴 ABCD의 윗변의 길이, 아랫변의 길이, 높이
$ 사다리꼴 ABCD의 넓이 구하기
24 평행이동한 그래프의 식은
y=-4{x+5}@+12
이 그래프가 점 {k, 8}을 지나므로
8=-4{k+5}@+12
{k+5}@=1
k+5=-1
/ k=-6 또는 k=-4
채점 기준
! 평행이동한 그래프의 식 구하기
@ k의 값 구하기
25 y=2{x-2p}@-3p@의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
{2p, -3p@}
이 점이 직선 y=-
x-4 위에 있으므로
1
2
-3p@=-
\2p-4
1
2
3p@-p-4=0
{3p-4}{p+1}=0
/ p=
또는 p=-1
4
3
그런데 p>0이므로 p=
4
3
채점 기준
! 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표 구하기
@ p에 대한 이차방정식 세우기
# p의 값 구하기
26 꼭짓점의 좌표가 {-4, 4}이므로
/ p=-4, q=4
y=a{x+4}@+4
이 그래프가 원점 {0, 0}을 지나므로
0=16a+4 / a=-
1
4
/ apq=-
\{-4}\4=4
1
4
채점 기준
! p, q의 값 구하기
@ a의 값 구하기
# apq의 값 구하기
배점
30 %
20 %
20 %
30 %
… !
… @
배점
30 %
70 %
… !
… @
… #
배점
30 %
20 %
50 %
… !
… @
… #
배점
40 %
40 %
20 %
중등개뿔 개념편 정답(040~046)5단원-OK.indd 46
2016-12-01 오후 9:58:29
1
개념편
VI . 이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프
이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프
⇨ 꼭짓점의 좌표：{1, -1}
y축과의 교점의 좌표：
[
0, -
1
2 ]
P. 122
개념 확인 ⑴ 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 0, 5
y
-2 O
2
4
6
x
⑵ 4, 4, 4, 8, 2, 7, -2, 7, 0, -1
8
6
4
2
y
8
6
4
2
-6
-2-4
O
x
⑷ y =-
x@+2x-1=-
{x@-6x+9-9}-1
1
3
1
3
1
3
=-
{x-3}@+2
⇨ 꼭짓점의 좌표 : {3, 2}
y축과의 교점의 좌표 : {0, -1}
필수 예제 2 ⑴ -5, -10 ⑵ 0, 15 ⑶ 4 ⑷ 감소
y =x@+10x+15
={x@+10x+25-25}+15
={x+5}@-10
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
⑴ 꼭짓점의 좌표는 {-5, -10}이다.
⑵ y축과의 교점의 좌표는 {0, 15}이다.
⑶ 제 4 사분면을 지나지 않는다.
⑷ x<-5일 때, x의 값이 증가하면
개
념
편
-2
O
-2
2
4 x
y
4
2
y
4
2
-2
O
-2
2
4
x
y
15
-5
O x
-10
O
2
x
y
4
-8
필수 예제 1 ⑴ 그래프는 풀이 참조, {2, -1}, {0, 3}
y의 값은 감소한다.
P. 123
⑵ 그래프는 풀이 참조,
, {0, 0}
3
[
2
,
9
2
]
⑶ 그래프는 풀이 참조, {1, -1},
0, -
1
2
]
[
⑷ 그래프는 풀이 참조, {3, 2}, {0, -1}
⑴ y=x@-4x+3={x@-4x+4-4}+3={x-2}@-1
⇨ 꼭짓점의 좌표：{2, -1}
y축과의 교점의 좌표：{0, 3}
유제 1 ㄴ, ㄷ
y =-3x@+12x-8
=-3{x@-4x+4-4}-8
=-3{x-2}@+4
y
4
2
2
4 x
-2
O
-2
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
ㄱ. 위로 볼록하다.
ㄹ. 제 1, 3, 4 사분면을 지난다.
ㅁ. x>2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값
은 감소한다.
⑵ y =-2x@+6x=-2
x@-3x+
-3
2 ]@-
[
-3
2 ]@=
[
x-
=-2
3
2 ]@+
⇨ 꼭짓점의 좌표：
9
2
[
-
9
2
3
2
[
,
]
y축과의 교점의 좌표：{0, 0}
필수 예제 3 {2, 0}, {5, 0}
y=x@-7x+10에 y=0을 대입하면
x@-7x+10=0
{x-2}{x-5}=0 ∴ x=2 또는 x=5
∴ {2, 0}, {5, 0}
⑶ y =
x@-x-
=
{x@-2x+1-1}-
1
2
1
2
1
2
1
2
=
{x-1}@-1
2
4 x
유제 2 {-1, 0}, {5, 0}
y=-2x@+8x+10에 y=0을 대입하면
-2x@+8x+10=0
x@-4x-5=0, {x+1}{x-5}=0
∴ x=-1 또는 x=5
∴ {-1, 0}, {5, 0}
y
4
2
-2
O
-2
1
2
181-3개념편 해설 6단원(047~056)-OK.indd 47
2016-12-05 오후 6:04:01
VI . 이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프
47
P. 124
P. 125
개념 확인 2, 2, 2, 2, 3, 1, 3x@+x+2
개념 확인 ⑴ 아래, > ⑵ 왼, >, > ⑶ 위, >
필수 예제 4 y=x@-4x+4
y=ax@+bx+c로 놓으면 그래프가 점 {0, 4}를 지나므로
c=4
이때 y=ax@+bx+4의 그래프가 두 점 {-1, 9}, {1, 1}을
지나므로
9=a-b+4 ∴ a-b=5
1=a+b+4 ∴ a+b=-3
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-4
∴ y=x@-4x+4
…`㉠
…`㉡
유제 3 ⑴ y=2x@-8x+5 ⑵ y=-x@+5x-9
⑴ y=ax@+bx+c로 놓으면 그래프가 점 {0, 5}를 지나므로
⑵ y=ax@+bx+c로 놓으면 그래프가 점 {0, -9}를 지나므로
c=5
이때 y=ax@+bx+5의 그래프가 두 점 {1, -1},
{2, -3}을 지나므로
-1=a+b+5 ∴ a+b=-6
-3=4a+2b+5 ∴ 2a+b=-4
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-8
∴ y=2x@-8x+5
…`㉠
…`㉡
c=-9
이때 y=ax@+bx-9의 그래프가 두 점 {-1, -15},
{1, -5}를 지나므로
-15=a-b-9 ∴ a-b=-6
-5=a+b-9 ∴ a+b=4
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=5
∴ y=-x@+5x-9
…`㉠
…`㉡
필수 예제 5 y=x@-5x+4
x축과 두 점 {1, 0}, {4, 0}에서 만나므로
y=a{x-1}{x-4}로 놓자.
이 그래프가 점 {3, -2}를 지나므로
-2=a\2\{-1} ∴ a=1
∴ y={x-1}{x-4}=x@-5x+4
유제 4 ⑴ y=2x@+6x+4 ⑵ y=-2x@-6x+20
⑴ x축과 두 점 {-2, 0}, {-1, 0}에서 만나므로
y=a{x+2}{x+1}로 놓자.
이 그래프가 점 {0, 4}를 지나므로
4=a\2\1 ∴ a=2
∴ y=2{x+2}{x+1}=2x@+6x+4
⑵ 그래프가 두 점 {-5, 0}, {2, 0}을 지나므로
y=a{x+5}{x-2}로 놓자.
이 그래프가 점 {1, 12}를 지나므로
12=a\6\{-1} ∴ a=-2
∴ y =-2{x+5}{x-2}=-2x@-6x+20
48 정답과 해설 _ 개념편
필수 예제 6 ⑴ a<0, b>0, c>0 ⑵ a>0, b>0, c<0
⑴ 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 ∴ b>0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
⑵ 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0 ∴ b>0
y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c<0
유제 5 ④
① 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
② 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0 ∴ b<0
③ y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
④ x=1일 때, y=0이므로 a+b+c=0
⑤ x=-1일 때, y>0이므로 a-b+c>0
P. 126~127 개념 누르기 한판
1 ⑴ y=-{x+3}@-3, x=-3, {-3, -3}
⑵ y=3{x-1}@-7, x=1, {1, -7}
⑶ y=-
{x-2}@+6, x=2, {2, 6}
1
4
2 ④ 3 -6 4 ②, ④
5 ⑴ A{-1, 0}, B{1, -4}, C{3, 0} ⑵ 8
6 y=
x@-
x-1 7 ② 8 ②
1
3
2
3
2 y=-x@-2x-2=-{x+1}@-1에서
꼭짓점의 좌표는 {-1, -1},
(x@의 계수)=-1<0 이므로 그래프가
위로 볼록하고, y축과의 교점의 좌표는
{0, -2}이다.
따라서 y=-x@-2x-2의 그래프는 오
른쪽 그림과 같다.
-1
y
O
-2
x
-1
3 평행이동한 그래프의 식은
{x-m}@+n
y=
이 식이 y=
x@+2x+5와 같아야 한다. 이때
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
y =
x@+2x+5
=
{x@+6x+9-9}+5
=
{x+3}@+2
따라서 m=-3, n=2이므로
mn=-3\2=-6
중등개뿔 개념편 정답(047~056)6단원-OK.indd 48
2016-12-01 오후 10:58:12
개
념
편
-1=a\1\{-3} ∴ a=
=-3{x+1}@+5
4 y =-
x@-5x+
5
2
=-
{x@+10x+25-25}+
5
2
=-
{x+5}@+15
② 꼭짓점의 좌표는 {-5, 15}이다.
1
2
1
2
1
2
1
2
④ y=-
x@의 그래프를 x축의 방향으로 -5만큼, y축의
방향으로 15만큼 평행이동한 그래프이다.
5 ⑴ y=x@-2x-3={x-1}@-4이므로
꼭짓점의 좌표는 {1, -4} ∴ B{1, -4}
또 두 점 A, C는 그래프와 x축의 교점이므로
y=x@-2x-3에 y=0을 대입하면
x@-2x-3=0
{x+1}{x-3}=0 ∴ x=-1 또는 x=3
∴ A{-1, 0}, C{3, 0}
⑵ △ABC는 밑변의 길이가 3-{-1}=4이고, 높이가
4이므로
△ABC=
\4\4=8
1
2
6 그래프가 x축 위의 두 점 {-1, 0}, {3, 0}을 지나므로
y=a{x+1}{x-3}으로 놓자.
이 그래프가 점 {0, -1}을 지나므로
∴ y =
{x+1}{x-3}=
x@-
x-1
1
3
1
3
2
3
1
3
y=ax@+bx+c로 놓으면 그래프가 점 {0, -1}을 지나므로
c=-1
이때 y=ax@+bx-1의 그래프가 두 점 {-1, 0}, {3, 0}
을 지나므로
0=a-b-1 ∴ a-b=1
0=9a+3b-1 ∴ 9a+3b=1
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=
, b=-
1
3
2
3
… ㉠
… ㉡
∴ y=
x@-
x-1
1
3
2
3
7 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 ∴ b>0
y축과의 교점이 x축의 위쪽에 있으므로 c>0
ㄱ. bc>0
ㄴ. ac<0
ㄷ. x=1일 때, y>0이므로 a+b+c>0
ㄹ. x=-2일 때, y<0이므로 4a-2b+c<0
8 y=ax+b의 그래프에서 a>0, b>0
y=x@+ax+b의 그래프는
(x@의 계수)=1>0이므로 아래로 볼록하다.
또 1\a>0이므로 축이 y축의 왼쪽에 있고,
b>0이므로 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있다.
이차함수의 최댓값과 최솟값
P. 128
개념 확인 ⑴ 최댓값 1, 최솟값은 없다.
⑵ 최솟값 2, 최댓값은 없다.
⑶ 최댓값 0, 최솟값은 없다.
필수 예제 1 ⑴ x=2에서 최솟값은 -5이고, 최댓값은 없다.
⑵ x=-4에서 최댓값은 6이고, 최솟값은 없다.
⑴ y =2x@-8x+3=2{x@-4x+4-4}+3
따라서 x=2에서 최솟값은 -5이고, 최댓값은 없다.
⑵ y =-x@-8x-10=-{x@+8x+16-16}-10
=2{x-2}@-5
=-{x+4}@+6
따라서 x=-4에서 최댓값은 6이고, 최솟값은 없다.
유제 1 ⑴ x=-1에서 최솟값은 -3이고, 최댓값은 없다.
⑵ x=1에서 최솟값은 0이고, 최댓값은 없다.
⑶ x=-1에서 최댓값은 5이고, 최솟값은 없다.
⑵ y =7x@-14x+7=7{x@-2x+1-1}+7
=7{x-1}@
따라서 x=1에서 최솟값은 0이고, 최댓값은 없다.
⑶ y =-3x@-6x+2=-3{x@+2x+1-1}+2
따라서 x=-1에서 최댓값은 5이고, 최솟값은 없다.
필수 예제 2 -2
y =x@+4x-m
={x@+4x+4-4}-m
={x+2}@-4-m
즉, x=-2에서 최솟값은 -4-m이다.
그런데 최솟값이 -2이므로
-4-m=-2 ∴ m=-2
1
4
1
4
1
4
유제 2 6
y =-
x@-2x+1+k
=-
{x@+8x+16-16}+1+k
=-
{x+4}@+5+k
즉, x=-4에서 최댓값은 5+k이다.
그런데 최댓값이 11이므로
5+k=11 ∴ k=6
P. 129
필수 예제 3 8
x=2에서 최솟값이 -6이므로 꼭짓점의 좌표는 {2, -6}
1
이때 x@의 계수가
2
이므로
VI . 이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프
49
중등개뿔 개념편 정답(047~056)6단원-OK.indd 49
2016-12-01 오후 10:58:13
1
y=
{x-2}@-6=
x@-2x-4
1
2
1
2
따라서b=-2,c=-4이므로
bc=-2\{-4}=8
유제 3 7
x=-1에서최댓값이1이므로꼭짓점의좌표는{-1,1}
또y=-4x@의그래프와모양과폭이같으므로x@의계수는
-4이다.
∴y=-4{x+1}@+1=-4x@-8x-3
따라서a=-4,b=-8,c=-3이므로
a-b-c=-4-{-8}-{-3}=7
유제 4 7
축의 방정식이x=-3이고,최솟값이-4이므로꼭짓점의
좌표는{-3,-4}
이때x@의계수가 a이므로
y=a{x+3}@-4=ax@+6ax+9a-4
따라서b=6a,5=9a-4에서a=1,b=6
∴a+b=1+6=7
필수 예제 4 -15
y=-x@-2mx-6m-6
=-{x@+2mx+m@-m@}-6m-6
=-{x+m}@+m@-6m-6
∴M=m@-6m-6
={m@-6m+9-9}-6
={m-3}@-15
따라서M은m=3에서최솟값이-15이다.
유제 5
1
4
y=x@+2kx+k
={x@+2kx+k@-k@}+k
={x+k}@-k@+k
∴m=-k@+k
=-
k@-k+
-
1
4
1
4 ]
[
[
=-
k-
1
4
1
2 ]@+
1
2
1
4
따라서m은k=
에서최댓값이
이다.
P. 130 개념 누르기 한판
1 ④2 ④3 -34
1
4
5 y=-3x@-6x-16 6
50 정답과 해설 _ 개념편
2 ①y=4x@+4x+5
1
2 ]@+4
=4
1
2
따라서x=-
x+
[
에서최솟값은4이고,최댓값은없다.
②y=-2x@-4x-1
=-2{x+1}@+1
따라서x=-1에서최댓값은1이고,최솟값은없다.
③y=
x@-4x-1
=
{x-4}@-9
1
2
1
2
따라서x=4에서최솟값은-9이고,최댓값은없다.
④y=-3x@-6x+3
=-3{x+1}@+6
따라서x=-1에서최댓값은6이고,최솟값은없다.
2
3
2
3
⑤y=-
x@+6x-1
=-
x-
[
따라서x=
25
2
9
2 ]@+
에서최댓값은
9
2
25
2
이고,최솟값은없다.
3 y=3x@+4에x대신x-1,y대신y+7을대입하면
y+7=3{x-1}@+4
∴y=3{x-1}@-3
따라서x=1에서최솟값은-3이다.
4 y=-
x@+4kx+k
1
3
1
3
1
3
=-
{x@-12kx+36k@-36k@}+k
=-
{x-6k}@+12k@+k
즉,x=6k에서최댓값은12k@+k이다.
그런데최댓값이1이므로
12k@+k=1,12k@+k-1=0
{4k-1}{3k+1}=0 ∴ k=
또는k=-
1
4
1
3
그런데k>0이므로k=
1
4
5 x=-1에서최댓값이2이므로꼭짓점의좌표는{-1,2}
또그래프를평행이동하면y=-3x@-7x-2의그래프와
완전히포개어지므로x@의계수는-3이다.
∴y=-3{x+1}@+2=-3x@-6x-1
6 y=x@-4kx+8k+1
={x@-4kx+4k@-4k@}+8k+1
={x-2k}@-4k@+8k+1
∴m=-4k@+8k+1
=-4{k@-2k+1-1}+1
=-4{k-1}@+5
1
최댓값이존재하는이차함수의그래프는위로볼록해야하
므로x@의계수가음수인것을찾으면④이다.
따라서m은k=1에서최댓값이5이므로구하는합은
5+1=6
181-3개념편 해설 6단원(047~056)-OK.indd 50
2016-12-05 오후 5:57:13
P. 131
필수 예제 5 2
직사각형의 넓이를 y cm@라 하면
y ={8+2x}{8-x}=-2x@+8x+64
=-2{x-2}@+72
즉, x=2에서 최댓값은 72이다.
따라서 이 직사각형의 넓이가 최대일 때의 x의 값은 2이다.
유제 6 ⑴ 25 cm@ ⑵ 5 cm, 5 cm
직사각형의 둘레의 길이가 20 cm이므로 가로와 세로의 길이
의 합은 10 cm이고, 세로의 길이가 x cm이므로 가로의 길이
는 {10-x} cm이다.
이때 이 직사각형의 넓이를 y cm@라 하면
y =x{10-x}=-x@+10x
=-{x-5}@+25
즉, x=5에서 최댓값은 25이다.
⑴ 이 직사각형의 넓이의 최댓값은 25 cm@이다.
⑵ x=5일 때, 넓이가 최대이므로 그때의 세로의 길이는
5 cm, 가로의 길이는 10-5=5 {cm}이다.
필수 예제 6 ⑴ 45`m ⑵ 6초 후
⑴ y =30x-5x@=-5{x-3}@+45
즉, x=3에서 최댓값은 45이다.
따라서 이 공의 최고 높이는 45 m이다.
⑵ 이 공이 다시 지면에 떨어지는 때는 y=0일 때이므로
0=30x-5x@, x@-6x=0
x{x-6}=0 ∴ x=0 또는 x=6
그런데 x>0이므로 x=6
따라서 이 공은 쏘아 올린 지 6초 후에 다시 지면에 떨어진다.
유제 7 ⑴ 500개 ⑵ 2000만 원
y만 원이라 하면
이익금을
1
100
y =-
1
100
x@+10x-500=-
{x-500}@+2000
즉, x=500에서 최댓값은 2000이다.
⑴ 하루 이익금을 최대로 하려면 500개의 제품을 생산해야 한다.
⑵ 하루 이익금은 최대 2000만 원이다.
P. 132 개념 누르기 한판
1 100, 10, 10 `2 128 cm@ ` 3 450 m@` 4 2초
5 ⑴ {1000-x}원, {400+2x}개
⑵ y=-2x@+1600x+400000
⑶ 720000원, 600원
1 한 수를 x라 하면 다른 한 수는 20-x이므로
y =x{20-x}=-x@+20x
=-{x-10}@+100
즉, x=10에서 최댓값은 100이다.
따라서 두 수의 곱의 최댓값은 100이고, 그때의 두 수는 10,
10이다.
개
념
편
2
밑변의 길이를 x cm라 하면 높이는 {32-x} cm이므로
이때 삼각형의 넓이를 y cm@라 하면
y =
1
2 x{32-x}=-
1
2
x@+16x
=-
{x-16}@+128
1
2
즉, x=16에서 최댓값은 128이다.
따라서 이 삼각형의 넓이의 최댓값은 128 cm@이다.
3 닭장의 세로의 길이를 x m라 하면 가로의 길이는
{60-2x} m이므로
닭장의 넓이를 y m@라 하면
y =x{60-2x}=-2x@+60x
=-2{x-15}@+450
즉, x=15에서 최댓값은 450이다.
따라서 이 닭장의 최대 넓이는 450 m@이다.
4 y =-5x@+20x+10
=-5{x-2}@+30
즉, x=2에서 최댓값은 30이다.
따라서 이 물체가 최고 높이에 도달하는 데 걸리는 시간은
2초이다.
5 ⑴ 한 개에 1000원인 떡의 가격을 x원 내리면 {1000-x}원
이고, 그때의 하루 판매량은 {400+2x}개이다.
⑵ y ={1000-x}{400+2x}
=-2x@+1600x+400000
⑶ y =-2x@+1600x+400000
=-2{x-400}@+720000
즉, x=400에서 최댓값은 720000이다.
따라서 하루 총 판매 금액의 최댓값은 720000원이고,
그때의 떡 한 개의 가격은
1000-x=1000-400=600(원)
P. 133~136
단원 마무리
1 ⑤
6 ②
11 ⑤
16 ④
21 ③
2 ③
7 ③
12 ④
17 ③
22 ③
3 ④
4 ③
8 -17 9 ④
14 4
13 ③
19 ④
18 ③
5 ④
10 ②
15 ②
20 9
23 y=
1
2 x@-
24 6, 과정은 풀이 참조
1
2 x+2, 과정은 풀이 참조
25 a>
, 과정은 풀이 참조
3
4
26 과정은 풀이 참조 ⑴ -a@+2a ⑵ 1, {1, 2}
VI . 이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프
51
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1
y=-
x@-4x=-
{x+5}@+10
2
5
2
5
따라서 a=-
, p=-5, q=10이므로
2
5
2
5
apq=-
\{-5}\10=20
2 y =3x@+9x+4
3
2 ]@-
x+
=3
[
11
4
이므로 그 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 제4사분면을 지나지 않는다.
-
2#
y
4
O x
-
11
4
\\\\\\\\\\\\\\\
3 y=-2x@+4x-5=-2{x-1}@-3
① 직선 x=1을 축으로 한다.
② 꼭짓점의 좌표는 {1, -3}이다.
③ y축과 만나는 점의 좌표는 {0, -5}이다.
④ y 대신 -y를 대입하면
-y=-2x@+4x-5 ∴ y=2x@-4x+5
⑤ y=-2x@의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방
향으로 -3만큼 평행이동한 그래프이다.
4 y=4x@-ax+8의 그래프가 점 {1, 4}를 지나므로
4=4-a+8 ∴ a=8
∴ y=4x@-8x+8=4{x-1}@+4
따라서 축의 방정식은 x=1이다.
5 y=-x@+ax+b의 그래프가 점 {0, 5}를 지나므로 b=5
이때 y=-x@+ax+5의 그래프가 점 {5, 0}을 지나므로
0=-25+5a+5 ∴ a=4
∴ y=-x@+4x+5=-{x-2}@+9
따라서 꼭짓점의 좌표는 {2, 9}이다.
6 y=2x@-4x+a=2{x-1}@+a-2이므로
꼭짓점의 좌표는 {1, a-2}
y=-3x@+6x+3a=-3{x-1}@+3a+3이므로
꼭짓점의 좌표는 {1, 3a+3}
이때 두 그래프의 꼭짓점이 일치하므로
a-2=3a+3 ∴ a=-
5
2
7 y=
1
4
x@-x-8에 y=0을 대입하면
x@-x-8=0, x@-4x-32=0
1
4
{x+4}{x-8}=0 ∴ x=-4 또는 x=8
즉, A{-4, 0}, B{8, 0} 또는 A{8, 0}, B{-4, 0}이므로
AB
=12
52 정답과 해설 _ 개념편
8 y=2x@-8x+1=2{x-2}@-7
이 식에 x 대신 x-1, y 대신 y+4를 대입하면
y+4=2{x-1-2}@-7
∴ y =2{x-3}@-11
=2x@-12x+7
따라서 a=2, b=-12, c=7이므로
a+b-c=2+{-12}-7=-17
9 x축과 두 점 {-2, 0}, {3, 0}에서 만나므로
y=a{x+2}{x-3}으로 놓자.
이 그래프가 점 {0, 3}을 지나므로
1
2
1
2
3=a\2\{-3} ∴ a=-
{x+2}{x-3}=-
∴ y=-
1
2
x@+
x+3
1
2
10 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 ∴ b<0
y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c<0
ㄷ. b<0, c<0이므로 b+c<0
ㄹ. x=1일 때, y<0이므로 a+b+c<0
ㅁ. x=-1일 때, y=0이므로 a-b+c=0
ㅂ. x=-2일 때, y>0이므로 4a-2b+c>0
11 y=ax@+bx+c의 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 ∴ b>0
y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c<0
따라서 y=bx@+cx+a의 그래프는
b>0이므로 아래로 볼록하고,
bc<0이므로 축이 y축의 오른쪽에 있으며,
a<0이므로 y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있다.
따라서 y=bx@+cx+a의 그래프로 적당한 것은 ⑤이다.
12 (x@의 계수)>0이면 최솟값을 가진다.
② 최솟값은 0이다.
③ 최솟값은 1이다.
④ y=x@+2x={x+1}@-1 ⇨ 최솟값은 -1이다.
13 y=2x@-12x=2{x-3}@-18이므로
m=-18
y=-
x@+4x-3=-
{x-6}@+9이므로
1
3
1
3
M=9
∴ m+M=-18+9=-9
14 y=-x@-6x+3의 그래프를 평행이동하면 완전히 포개어
지므로 x@의 계수는 -1이다.
이때 축의 방정식이 x=1이므로
y=-{x-1}@+q로 놓자.
이 그래프가 점 {0, 3}을 지나므로
3=-1+q ∴ q=4
따라서 y=-{x-1}@+4이므로 x=1에서 최댓값은 4이다.
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Z
15 y =-3x@+18x+a
=-3{x-3}@+27+a
즉, x=3에서 최댓값이 27+a이다.
그런데 최댓값이 25이므로
27+a=25 ∴ a=-2
16 x=0에서 최댓값이 -1이므로 꼭짓점의 좌표는 {0, -1}
y=ax@-1로 놓으면 그래프가 점 {2, -3}을 지나므로
1
2
-3=4a-1 ∴ a=-
∴ y=-
x@-1
1
2
17 y =-2x@-4kx+k
=-2{x@+2kx+k@-k@}+k
=-2{x+k}@+2k@+k
1
16 ]
-
[
k+
=2
k@+
∴ M =2k@+k
1
2
1
4 ]@-
1
따라서 M은 k=-
4
=2
k+
[
1
16
1
8
에서 최솟값이 -
이다.
1
8
18 한 수를 x라 하면 다른 한 수는 x+4이고,
두 수의 곱을 y라 하면
y =x{x+4}
=x@+4x
={x+2}@-4
즉, x=-2에서 최솟값은 -4이다.
따라서 곱이 최소가 되는 두 수는 -2, -2+4=2이므로
구하는 큰 수는 2이다.
19 직사각형의 가로의 길이를 x`cm라 하면 세로의 길이는
{24-x} cm이다.
직사각형의 넓이를 y cm@라 하면
y =x{24-x}
=-x@+24x
=-{x-12}@+144
즉, x=12에서 최댓값은 144이다.
따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 144 cm@이다.
20 단면의 세로의 길이가 x cm이므로 가로의 길이는
{36-2x} cm이다.
단면의 넓이를 y cm@라 하면
y =x{36-2x}
=-2x@+36x
=-2{x-9}@+162
즉, x=9에서 최댓값은 162이다.
따라서 단면의 넓이가 최대가 되도록 하는 x의 값은 9이다.
21 h=-5t@+40t=-5{t-4}@+80
즉, t=4에서 최댓값은 80이다.
따라서 로켓이 가장 높이 올라갔을 때의 높이는 80 m이다.
개
념
편
22 점 P의 x좌표를 k라 하면 점 P는 y=x@+3의 그래프 위의
점이므로
P{k, k@+3}
점 Q는 점 P와 x좌표가 같고, 직선 y=x 위의 점이므로
Q{k, k}
=k@+3-k
∴ PQ
Z
=
k-
11
4
1
2 ]@+
에서 최솟값은
[
1
2
즉, k=
11
4
이다.
11
4
따라서 PQ
의 길이의 최솟값은
이다.
23 y=ax@+bx+c로 놓으면 그래프가 점 {0, 2}를 지나므로
c=2
… !
이때 y=ax@+bx+2의 그래프가 두 점 {-1, 3}, {3, 5}
를 지나므로
3=a-b+2 ∴ a-b=1
5=9a+3b+2 ∴ 3a+b=1
… ㉠
… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=
, b=-
1
2
1
2
∴ y=
x@-
x+2
1
2
1
2
채점 기준
! 상수항 구하기
@ x@의 계수와 x의 계수 구하기
# 이차함수의 식 구하기
24 꼭짓점의 좌표가 {1, 4}이므로 y=a{x-1}@+4로 놓자.
이 그래프가 점 {0, 3}을 지나므로
3=a+4 ∴ a=-1
즉, y=-{x-1}@+4=-x@+2x+3
이 식에 y=0을 대입하면
0=-x@+2x+3
x@-2x-3=0, {x+1}{x-3}=0
∴ x=-1 또는 x=3
따라서 x축과의 교점의 좌표는 각각
{-1, 0}, {3, 0}
∴ (삼각형의 넓이)=
\4\3=6
1
2
채점 기준
! 주어진 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식 구하기
@ x축과의 교점의 좌표 구하기
# 삼각형의 넓이 구하기
VI . 이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프
53
… @
… #
배점
20 %
60 %
20 %
… !
… @
… #
배점
40 %
40 %
20 %
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Z
25 x=2에서 최솟값이 -3이므로 꼭짓점의 좌표는 {2, -3}
x@의 계수가 a이므로 이차함수의 식을 y=a{x-2}@-3으
… !
로 놓자.
26 ⑴ 점 P는 직선 y=-2x+4 위의 점이므로
P{a, -2a+4}
∴ △POQ =
\a\{-2a+4}
이 이차함수가 최솟값을 가지므로
a>0
… ㉠
또 그래프가 제 3 사분면을 지나지 않으므
로 ( y축과의 교점의 y좌표)>0이어야 한다.
y=a{x-2}@-3에 x=0을 대입하면
y=4a-3
즉, 4a-3>0 ∴ a>
… ㉡
… @
x
y
2
4a-3
O
-3
3
4
3
4
따라서 ㉠, ㉡에서 a>
채점 기준
! y=a{x-p}@+q의 꼴로 놓기
@ a의 부호 판별하기
# a의 값의 범위 구하기
… #
배점
20 %
30 %
50 %
1
2
=-a@+2a
⑵ △POQ =-a@+2a
=-{a@-2a+1-1}
=-{a-1}@+1
즉, a=1에서 최댓값은 1이다.
따라서 △POQ의 넓이의 최댓값은 1이고,
그때의 점 P의 좌표는 {1, 2}이다.
채점 기준
! 점 P의 좌표를 a에 관한 식으로 나타내기
@ △POQ의 넓이를 a에 관한 식으로 나타내기
# △POQ의 넓이의 최댓값 구하기
$ △POQ의 넓이가 최대일 때의 점 P의 좌표 구하기
… !
… @
… #
… $
배점
10 %
30 %
30 %
30 %
54 정답과 해설 _ 개념편
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제곱근과 실수
근호를 포함한 식의 계산
유형 1 ~23
P. 6 ~18
유형 1 ~23
P. 24 ~38
정 답 만
모 아
스피드 체크
24 4a-b
29 ②
1 ⑤
3 ④
2 ④
5 ⑴ -25 ⑵ -4 6 ③
10 ④
11 ④
9 ③
3
2 16 ⑤
14 ②
15 -
4 ⑤
7 ②, ③ 8 ⑤
12 8
17 19
13 13@ 2
18 ⑤
46 ②
49 ②
48 45
38 ⑤
43 ③
27 ②
32 15
21 ③
23 ①
28 ④
34 21
35 ⑤
39 ②, ⑤ 40 ⑤
45 3
50 ③
52 ④
56 ②
57 ⑤
61 ⑴ j2 k ⑵ j2 k
20 4a+2b
19 ①
22 ⑴ 1 ⑵ 2 ⑶ 2a
26 ③
25 ③
30 ②
31 ①
33 100, 과정은 풀이 참조
36 80
37 ③
42 30
41 ②
44 1, 과정은 풀이 참조
47 ⑤
51 2, 과정은 풀이 참조
54 ③
59 ②
62 A{1-j2 k}, B{1+j2 k}, C{5-j2 k}, D{4+j2 k}
65 1-j5 k, 1+j5 k
63 ③
66 14
67 A{-j5 k}, B{5-j13 k}, C{j5 k}, D{5+j13 k}
68 ②
72 ③
77 ①
79 2-j5 k, j6 k-j5 k, j6 k+1
81 ⑴ j2 k-3 ⑵ 8-j3 k ⑶ j5 k
82 j7 k, 과정은 풀이 참조
85 ④
70 ②
69 ㄱ, ㄴ, ㄷ
73 ②
75 ③
74 ④
78 c0
10 ⑤
8 ①
15 {2, 0}, {6, 0}
14 ②
13 ②
19 1
20 ①
17 ⑤
18 ③
22 ①, ④ 23 -7 24 7
25 ②
26 ⑴ A{1, 9} ⑵ B{-2, 0}, C{4, 0} ⑶ 27
27 10, 과정은 풀이 참조
30 ③
33 ②
36 6
38 {1, 7}, 과정은 풀이 참조
41 ⑤
40 ⑤
46 ②
45 ①
25
4
53 10
31 ③
34 1
37 y=3x@-2x+1
39 ③
42 -12 43 ②
48 ④
47 ②
32 y=-x@+4x+1
35 -3, 과정은 풀이 참조
, 과정은 풀이 참조
44 ⑤
49 ⑤
51 ③
28 4
57 9
29 3
50
54 ①
7
4 , -
59
55 -5 56 ②
1
2
58 ④
60
61 ③
1
2 , 과정은 풀이 참조
63 -3, 3, 과정은 풀이 참조
64 ③
67 32`cm@
65 196 cm@
66 ②
68 8
70 14`cm
69 ③
72 6초 73 550원
71 4초 후, 100`m
62 ④
52 {0, 2}
단원 마무리
P. 101 ~103
단원 마무리
P. 118 ~120
2 1, 과정은 풀이 참조
1 ③
4 ③, ④ 5 ①
9 ①, ⑤ 10 2, 과정은 풀이 참조
3 ④
7 x>2 8 ③
11 1
6 7
12
1
4 ,
1
4 ]
[
13 -4
14 ④
15 ⑤
16 3
17 -4
18 ③
19
20 -2
1
9
21 -
0, 5a<0, 2a<0이므로
(주어진 식)=-a-{-5a}+{-2a}=2a
20 답 4a+2b
a>0, b<0에서 4a>0, -3b>0이므로
(주어진 식) =1{4a3}@ 3-1{-33b}@ 3+1b@ 2
=4a-{-3b}+{-b}
=4a+2b
21 답 ③
ab<0에서 a, b는 서로 다른 부호이다.
이때 a>b에서 a>0, b<0이므로
-a<0, 3b<0
∴ (주어진 식) ={-ja k}@-1{-a3}@ 3+1{3b2}@ 2
=a-9-{-a}0+{-3b}
=a-a-3b=-3b
22 답 ⑴ 1 ⑵ 2 ⑶ 2a
⑴ 00, x-3<0이므로
(주어진 식) =x-1+9-{x-3}0
=x-1-x+3=2
⑶ -20, a-2<0이므로
(주어진 식) =a+2-9-{a-2}0
=a+2+a-2=2a
23 답 ①
10이므로
4-2a=2{2-a}>0, 1-a<0
∴ (주어진 식) =4-2a-9-{1-a}0
=4-2a+1-a
=-3a+5
24 답 4a-b
ab<0에서 a, b는 서로 다른 부호이다.
이때 a>b에서 a>0, b<0이므로
-2a<0, b-a<0
∴ (주어진 식) =a+9-{-2a}0+9-{b-a}0
=a+2a-b+a
=4a-b
6 정답과 해설 _ 유형편 파워
a>b>c>0에서 a-b>0, b-a<0, c-a<0이므로
(주어진 식) =a-b-9-{b-a}0-9-{c-a}0
=a-b+b-a+c-a=c-a
n이 자연수이므로 j17-ln l이 자연수가 되려면 17-n은 17
보다 작은 제곱수 1, 4, 9, 16이어야 한다.
∴ n=1, 8, 13, 16
x가 자연수이므로 j20+lx l가 자연수가 되려면 20+x는 20
보다 큰 제곱수 25, 36, 49,
이어야 한다.
따라서 x의 값이 가장 작은 자연수가 되려면
20+x=25 ∴ x=5
…
n이 자연수이므로 j14-ln k이 정수가 되려면 14-n은 0 또는
14보다 작은 제곱수 1, 4, 9이어야 한다.
∴ n=5, 10, 13, 14
따라서 모든 자연수 n의 합은 5+10+13+14=42
j108kx k=12@\3#3\x 3가 자연수가 되려면 소인수의 지수가
모두 짝수이어야 하므로 구하는 가장 작은 자연수 x의 값은
3이다.
j48a l=12$\33\a 3가 자연수가 되려면 소인수의 지수가 모
두 짝수이어야 하므로 자연수 a는 a=3\(자연수)@의 꼴이
어야 한다.
① 12=3\2@ ② 18=3\6
④ 48=3\4@ ⑤ 75=3\5@
③ 27=3\3@
25 답 ③
26 답 ③
27 답 ②
28 답 ④
29 답 ②
30 답 ②
31 답 ①
j7n k이 정수가 되려면 자연수 n은 n=7\(자연수)@의 꼴이
어야 한다.
이때 10j8 k이므로 3>j8 k
② 4=j16 k이고 j16 k>j12 k이므로 4>j12 k
③ 5=j25 k이고 j26 k>j25 k이므로 j26 k>5
④ j8 k>j7 k이므로 -j8 k<-j7 k
⑤ 2=j4 k이고 j5 k>j4 k이므로 j5 k>2
∴ -j5 k<-2
40 답 ⑤
① 4=j16 k이고 j16 k
3 w>q
=q
4 w이므로 q
4 w이고 q
1
1
1
1
9 w>q
=q
10 w이므로
9 w이고 q
3
1
1
10 w
3
<-q
∴ -
1
2
>q
1
10 w
⑤ 0.5=j0.25 l이고 j0.5 k>j0.25 l이므로 j0.5 k>0.5
41 답 ②
① 5=j25 k
③ {-j7 k}@=7=j49 k
④ 1{-53.5}@ 3=15.5@ 3=j30.2l5 k
따라서 j10 k-3>-j11 k ∴ a=-j11 k
1{-43}@ 2=j16 k이므로
7
2 w<1{-43}@ 2j3 k이므로 2-j3 k>0
1{=j1 k}2{=j4 k}에서 j10 k-2>0이므로
4{j10 k-2}@ 6=j10 k-2
3{=j9 k}2{=j4 k}에서 j5 k-2>0, 2-j5 k<0이므로
(주어진 식) =j5 k-2-9-{2-j5 k}0-2+5
=j5 k-2+2-j5 k-2+5=3
채점 기준
! f{224}의 값 구하기
@ f{168}의 값 구하기
# f{224}- f{168}의 값 구하기
45 답 3
46 답 ②
47 답 ⑤
3-3
즉, -j5 k는 -3보다 큰 수이다.
③ 5는 제곱수가 아니므로 -j5 k는 근호를 사용하지 않고 나
⑤ -j5 k는 유리수가 아니므로
(정수)
(0이 아닌 정수)
의 꼴로 나
타낼 수 없다.
타낼 수 없다.
59 답 ②
안에 해당하는 수는 무리수이다.
⇨ 유리수
9
3
4 w=
① q
2
② j0.02 l ⇨ 무리수
③ 5-j4 k=5-2=3 ⇨ 유리수
④ j0.16 l=0.4 ⇨ 유리수
⑤ -
=-
⇨ 유리수
2
5
2
j25 k
60 답 ③
유리수와 무리수를 통틀어 실수라 하고, 유리수이면서 동시
에 무리수인 수는 없으므로 실수의 개수에서 유리수의 개수
를 뺀 것은 무리수의 개수와 같다.
1.333y=1.3^=
13-1
9
=
4
3
, -j36 k=-6, q
16
81 w=
4
9
따라서 주어진 수 중 무리수는 -j4.9 k, j0.00l1 k, j15 k의 3개
이므로 a-b=3이다.
61 답 ⑴ j2 k ⑵ j2 k
⑴ ABCD=2\2-4\
\1\1
=2이므로
1
2
[
]
AB
⑵ A
B'
=j2 k
=AB
=j2 k이므로 점 B'에 대응하는 수는 j2 k이다.
62 답 A{1-j2 k}, B{1+j2 k}, C{5-j2 k}, D{4+j2 k}
=2
(왼쪽 정사각형의 넓이)=2\2-4\
\1\1
1
2
[
]
이므로 한 변의 길이는 j2 k이다.
따라서 두 점 A, B의 좌표는 각각 A{1-j2 k}, B{1+j2 k}
오른쪽 정사각형의 대각선의 길이는 왼쪽 정사각형의 한 변의
길이와 같으므로 j2 k이다.
유
형
편
파
워
다섯 개의 점 A~E의 좌표는 각각 다음과 같다.
A{-j2 k}, B{-2+j2 k}, C{1-j2 k}, D{j2 k}, E{1+j2 k}
64 답 ②, ⑤
ABCD는 한 변의 길이가 1인 정사각형이므로
AC
=BD
=j2 k이다.
② PC
=AC
③ BQ
=BD
⑤ PB
=PC
=j2 k이므로 P{-1-j2 k}
=j2 k이므로 Q{-2+j2 k}
-BC
=j2 k-1
65 답 1-j5 k, 1+j5 k
ABCD=3\3-4\
\1\2
=5이므로
1
2
[
]
정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 j5 k이다.
PB
=AB
=j5 k이므로 점 P에 대응하는 수는 1-j5 k
=j5 k이므로 점 Q에 대응하는 수는 1+j5 k
BQ
=BC
66 답 14
1
2
ABCD=4\4-4\
\1\3
=10이므로
[
정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 j10 k이다.
AP
=AB
]
=j10 k이므로 점 P에 대응하는 수는 4+j10 k
따라서 a=4, b=10이므로 a+b=4+10=14
67 답 A{-j5 k}, B{5-j13 k}, C{j5 k}, D{5+j13 k}
\1\2
(왼쪽 정사각형의 넓이)=3\3-4\
1
2
[
=5
]
이므로 한 변의 길이는 j5 k이다.
따라서 두 점 A, C의 좌표는 각각
A{0-j5 k}, C{0+j5 k}, 즉 A{-j5 k}, C{j5 k}
(오른쪽 정사각형의 넓이)=5\5-4\
1
2
[
\3\2
=13
]
이므로 한 변의 길이는 j13 k이다.
따라서 두 점 B, D의 좌표는 각각
B{5-j13 k}, D{5+j13 k}
② 수직선은 유리수와 무리수, 즉 실수에 대응하는 점들로
완전히 메울 수 있다.
68 답 ②
69 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ
ㄱ. 1
2 w>q
9 w이므로 q
ㄹ. q
ㅁ. 3>j8 k에서 -3<-j8 k이므로 j10 k-30이므로
7 w+q
7 w
6 w
]
]
1
1
7 w>3-q
3-q
6 w
ㅂ.
[
-
[
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅂ의 3개이다.
77 답 ①
a-b={3-j2 k}-2=1-j2 k<0 ∴ a0
∴ a>c
따라서 c2이므로 j6 k-j5 k>2-j5 k
∴ 2-j5 k0이므로 j2 k+3>4
② {5-j3 k}-3=2-j3 k>0이므로 5-j3 k>3
③ {j3 k+2}-{j5 k+2}=j3 k-j5 k<0이므로
j3 k+2j5 k이므로 3-j2 k>j5 k-j2 k, 즉 3-j2 k>-j2 k+j5 k
⑤ 3+j5 k=3+2.y=5.y
2+j6 k=2+2.y=4.y
∴ 3+j5 k>2+j6 k
75 답 ③
① {j7 k-1}-2=j7 k-3<0 ∴ j7 k-1 < 2
② j2 k3이므로 4-j8 k > 3-j8 k
④ 3-j2 k=3-1.414y=1.y
1+j2 k=1+1.414y=2.414y
∴ 3-j2 k < 1+j2 k
10 정답과 해설 _ 유형편 파워
중등개뿔유형편파워 1,2단원해설(001~019)ok.indd 10
2016-12-01 오후 9:24:22
81 답 ⑴ j2 k-3 ⑵ 8-j3 k ⑶ j5 k
⑴ 10이므로 1{-3103a}@ 3=-10a
ㄷ. 2a<0이므로 14a@ 2=1{2a3}@ 2=-2a
ㄹ. 8a<0이므로 -164a@ 3=-1{8a3}@ 2=-{-8a}=8a
84 답 ②
20, x-1<0이므로
A =x+1-9-{x-1}0
=x+1+x-1=2x
ㄷ. x>1이면 x+1>0, x-1>0이므로
A =x+1-{x-1}
=x+1-x+1=2
85 답 ④
f{x}=8을 만족하려면 80
∴ j3 k+1>2
② j2 k+1=1.414y+1=2.414y
j3 k-1=1.732y-1=0.732y
∴ j2 k+1>j3 k-1
1
7-q
5 w
]
1
1
5 w<7-q
7-q
6 w
1
7-q
6 w
]
③
[
-
[
④ 4>j15 k이므로 j3 k+4>j3 k+j15 k
⑤ j10 k0에서 a>b이므로 a>0, b<0
따라서 -2a<0, b-a<0, 3b<0이므로
(주어진 식) =1{-23a}@ 3-1{b-3a}@ 3+1{3b2}@ 2
=-{-2a}-9-{b-a}0+{-3b}
=2a+b-a-3b
=a-2b
채점 기준
! a, b의 부호 판단하기
@ -2a, b-a, 3b의 부호 판단하기
# 주어진 식을 간단히 하기
y`!
y`@
y`#
배점
30 %
30 %
40 %
15 j225k-a l-j81+lb l 를 계산한 결과가 가장 큰 정수가 되려
면 j225k-a l 는 가장 큰 정수, j81+lb l 는 가장 작은 정수이
어야 한다.
j225k-a l가 가장 큰 정수가 될 때,
225-a=196 ∴ a=29
j81+lb l가 가장 작은 정수가 될 때,
81+b=100 ∴ b=19
∴ a+b=29+19=48
a, b가 자연수이므로 225-a=225, 81+b=81로 식을 세
우지 않고, 225-a=196, 81+b=100으로 식을 세운다.
16 01이므로 b<
00이므로
1
b
1
b
=-b+
1
b
[
r[
b-
b+
b-
1
b ]
1
b y]@ y=-
1
b y]@ y=b+
r[
a<0에서 -a>0이므로
1{-a3}@ 3=-a
1
b
중등개뿔유형편파워 1,2단원해설(005~023)ok.indd 13
2016-12-05 오후 5:57:17
I . 제곱근과 실수 13
유형편
파워
II. 근호를 포함한 식의 계산
P. 24 ~30
11 답 ②
2j5 k=12@\35 2=j20 k이므로 j17+la l=j20 k
따라서 17+a=20이므로 a=3
유형 1 ~10
1 답 ⑤
⑤ 5j3 k\2j7 k=10j21k
2 답 ②
6j6a k=6j42 k에서 6a=42
∴ a=7
1
5
3
5
3 답 ④
j7 k\{-j10 k}\
1
-q
5 w
]
[
=q7\10e\
e=j14 k
4 답 -20j6 k
5j2 k\4j5 k\
3
-q
5 w
]
[
=-20q2\5e\
e=-20j6 k
5 답 ④
④ {-j45 k}_j5 k=- j45 k
j5 k
=-q
45
5 w=-j9 k=-3
6 답 ⑤
j18 k
j3 k
∴ a=10
_ j6 k
j10 k
= j18 k
j3 k
\ j10 k
j6 k
=q
18
3
10
6 e=j10 k
\e
=q
7 답 16
j70 k
j5 k
j35 k
_ j7 k
j20 k
j8 k
∴ a+b=14+2=16
70
5 w=j14 k ∴ a=14
\ j8 k
= j35 k
35
20
j20 k
j7 k
=q
\e
8
7 e=j2 k ∴ b=2
8 답 j3 k
j15 k
j2 k
_ j20 k
j6 k
_ j18 k
j24 k
= j15 k
j2 k
15
=q
2
\ j6 k
j20 k
6
20 e\
\ j24 k
j18 k
24
18 e=j3 k
\
⑤ -3j2 k=-13@\32 2=-j18 k
9 답 ⑤
10 답 91
4j6 k=14@\36 2=j96 k ∴ a=96
j75 k=15@\33 2=5j3 k ∴ b=5
∴ a-b=96-5=91
14 정답과 해설 _ 유형편 파워
12 답 ⑤
j12 k\j15 k\j49 k =j12\15l\49 l
=12@\3\33\5\37@ 3
=12@\3@\37@\5 3=42j5 k
∴ a=42
13 답 ㄱ, ㄴ, ㄹ
ㄷ. q
28
18 w=q
ㄹ. j0.24 l=q
14
3
9 w= j14 k
24
100 w=q
6
25 w= j6 k
5
j0.00l5 k=q
50
10000 e= j50 k
100
=
5j2 k
100
= j2 k
20
14 답 ③
∴ k=
1
20
15 답 j0.12 l, q
49 w= j3 k
q
3
7
j0.12 l>q
3
9
49 w, j3 k
, j3 k
9
49 w> j3 k
3
9
, j0.12 l=q
12
100 w=q
3
25 w= j3 k
5
이므로
=q
16 답 2
= j3 k
j3 k
j18 k
3j2 k
= j2 k
j2 k
2j5 k
j20 k
∴ 6a+10b=6\
=q
1
6
1
3
18 w=q
6 w ∴ a=
1
2
20 w=q
10 w ∴ b=
1
6
+10\
1
10
=2
1
10
j108 l=12@\33# 2=12@ 2\13# 2={j2 k}@\{j3 k}#=a@b#
17 답 ②
18 답 ④
j80 k=14@\35 2=4j5 k=4y
5 w= j3 k
3
6
10 w=q
j0.6 l=q
j5 k
x
y
∴ j80 k-j0.6 k=4y-
=
x
y
중등개뿔유형편파워 1,2단원해설(001~019)ok.indd 14
2016-12-01 오후 9:24:24
19 답 ③
j0.00l082 l=q
8.2
10000 e= j8.2 k
100
=
a
100
20 답 a=10, b=
2
5
j200 l=110@\2 3=10j2 k=10x
j1.12 l=q
112
100 e=r
4@\7
10@
4j7 k
10
=
2j7 k
5
=
2
5
y
y=
2
5
y
∴ j200 l+j1.12 l=10x+
따라서 a=10, b=
이다.
2
5
=
①
21 답 ②
3
j7 k
③ j3 k
2j5 k
4
5j2 k
⑤ j6 k
j3 kj5 k
④
=
3j7 k
7
= j15 k
10
4j2 k
10
3\j7 k
j7 k\j7 k
= j3 k\j5 k
2j5 k\j5 k
4\j2 k
5j2 k\j2 k
2
6
15 w=q
=q
=
=
22 답 ③
a
③ q
b w= ja k
jb k
= ja k\jb k
jb k\jb k
= jab k
b
23 답 2, 과정은 풀이 참조
=
2j2 k
5
= j2 k\j5 k
j5 k\j5 k
5 w= j2 k
j5 k
= j10 k
5
=
2j5 k\j3 k
j3 k\j3 k
3
=
5j3 k
2j15 k
3
3\j3 k
5j3 k\j3 k
=
∴ a=
2
3
3j3 k
15
= j3 k
5
=
=
2j5 k
j3 k
3
j75 k
∴ b=3
2
3
∴ ab=
\3=2
채점 기준
! a의 값 구하기
@ b의 값 구하기
# ab의 값 구하기
24 답 15배
3x=3j5 k,
= j5 k
5
=
1
x
1
j5 k
x 의 3j5 k_ j5 k
1
5
3x는
이므로
=3j5 k\
=15(배)이다.
5
j5 k
25 답 5j3 k
4j3 k：j3600 l=1：x에서
4j3 kx=j3600 l, 4j3 kx=60이므로
=
x=
=
15j3 k
3
=5j3 k
60
4j3 k
15
j3 k
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
40 %
20 %
유
형
편
파
워
26 답 ②
j0.12l5 k =q
1
j8 k
1
125
1000 e=q
8 w=
1
a
= j2 k
4
4
2j2 k
=
=
27 답 j2 k
j3 k
, j2 k
j2 k
3
j3 k
3j3 k
3
j3 k=
j2 k
3
<
= j6 k
,
3
= j27 k
3
3 < j2 k
j3 k
<
2
이므로
2
j3 k
0이므로 x=6
따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 6 cm이다.
II . 근호를 포함한 식의 계산 15
중등개뿔유형편파워 1,2단원해설(001~019)ok.indd 15
2016-12-01 오후 9:24:24
33 답 ②
(삼각형의 넓이)=
\4j5 k\5j2 k=10j10 k
1
2
직사각형의 가로의 길이를 x라 하면
(직사각형의 넓이)=x\j20 k=2j5 kx
따라서 10j10 k=2j5 kx이므로
x=
10j10 k
2j5 k
=5j2 k
34 답
7j2 k
2
cm, 과정은 풀이 참조
직육면체의 높이를 h cm라 하면
(직육면체의 부피)=4j3 k\2j5 k\h=28j30 k
8j15 kh=28j30 k
∴ h=
=
28j30 k
8j15 k
7j2 k
2
따라서 구하는 직육면체의 높이는
7j2 k
2
cm이다. y`@
채점 기준
! 직육면체의 부피를 이용하여 식 세우기
@ 직육면체의 높이 구하기
배점
40 %
60 %
35 답 12j15 k cm@
(사각뿔의 부피)=
\(밑면의 넓이)\j6 k=12j10 k이므로
1
3
(밑면의 넓이) =
12j10 k\3
j6 k
36j5 k
=
j3 k
=
36j10 k
j6 k
=12j15 k {cm@}
36j15 k
3
=
정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
x@=96
이때 x>0이므로 x=j96 k=4j6 k
원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
pr@=6p, r@=6
이때 r>0이므로 r=j6 k
따라서 정사각형의 한 변의 길이는 원의 반지름의 길이의
4j6 k_j6 k=
=4(배)이다.
4j6 k
j6 k
37 답 16j3 kp cm
주어진 두 원의 넓이의 합과 넓이가 같은 원의 반지름의 길
이를 r cm라 하면
pr@=p\{4j5 k}@+p\{4j7 k}@, pr@=192p, r@=192
이때 r>0이므로 r=j192 l=8j3 k
따라서 구하는 원의 둘레의 길이는
2p\8j3 k=16j3 kp {cm}
16 정답과 해설 _ 유형편 파워
38 답 150j10 kp cm#
밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
10j2 kp
2pr=10j2 kp ∴ r=
2p
따라서 구하는 원기둥의 부피는
p\{5j2 k}@\3j10 k=150j10 kp {cm#}
=5j2 k
39 답 4.351
a=2.156, b=2.195이므로
a+b=2.156+2.195=4.351
y`!
40 답 1040
x=8.450, y=74.1이므로
1000x-100y =1000\8.450-100\74.1
=8450-7410=1040
41 답 ⑴ 23.71 ⑵ 0.06557
⑴ j562 l=j5.62\l100 l=10j5.62 l=10\2.371=23.71
e= j43 k
⑵ j0.00l43 l=q
=
100
43
10000
6.557
100
=0.06557
42 답 ④
① j2000l0 k=j2\10l000 l=100j2 k=100\1.414=141.4
② j200k0 k=j20\l100 l=10j20 k=10\4.472=44.72
③ j0.2 k=q
=
e= j20 k
=0.4472
4.472
10
20
100
10
④ j0.00l2 k=q
⑤ j0.00l02l=q
20
10000
2
10000
100
e= j20 k
e= j2 k
100
=
4.472
100
=
1.414
100
=0.04472
=0.01414
ㄱ. j0.03l4 l=q
34
100
3.4
100
10
e= j3.4 k
e= j34 k
=
1.844
10
=0.1844
10
ㄴ. j0.34 l=q
ㄷ. j340 l=j3.4\1l00 l=10j3.4 l=10\1.844=18.44
ㄹ. j3400 l=j34\1l00 l=10j34 k
따라서 j3.4 l의 값을 이용하여 그 값을 구할 수 없는 것은
ㄴ, ㄹ이다.
44 답 ②
29.27=2.927\10이므로
ja k=j8.57 l\10=j8.57\l100 l=j857 l
∴ a=857
45 답 ⑴ 79.38 ⑵ 0.7746
⑴ j6300 l=13@\7\3100 3=30j7 k=30\2.646=79.38
w= j3 k
=0.7746
⑵ j0.6 k=q
j5 k
= j15 k
5
3
w=q
5
3.873
5
6
10
=
36 답 ③
43 답 ㄴ, ㄹ
중등개뿔유형편파워 1,2단원해설(001~019)ok.indd 16
2016-12-01 오후 9:24:25
46 답 ③
① j0.19 l=q
19
100
e= j19 k
10
② j0.76 l=q
2j19 k
10
= j19 k
5
76
100
e=r
1.9
10000
2@\19
100
y=
e= j1.9 k
100
③ j0.000l19 l=q
이므로 j19 k의 값을 이용하여
그 값을 구할 수 없다.
④ j7600 l=12@\193\100 3=20j19 k
⑤ j1900l00 l=j19\1l0000 l=100j19 k
P. 30 ~38
유형 11 ~23
47 답 ⑤
① j5 k+j2 k=j7 k
② 5j3 k-2j3 k={5-2}j3 k=3j3 k=3
③ 4j3 k+2j2 k=6j5 k
④ j10 k-1=3
⑤ 3j6 k-5j6 k={3-5}j6 k=-2j6 k
48 답 ⑤
A={5+2-1}j3 k=6j3 k
B={2-4+5}j7 k=3j7 k
∴ AB =6j3 k\3j7 k=18j21 k
49 답
1
5
(좌변) =
-
3
2
[
4
3 ]j2 k+
6
5
, b=
1
6
따라서 a=
이므로
1
5
[
+1
]j6 k= j2 k
6
+
6j6 k
5
ab=
\
=
1
6
6
5
1
5
50 답 4
8ja k-9=3ja k+1에서 5ja k=10이므로
ja k=2=j4 k ∴ a=4
51 답 j15 k
x+y= j5 k+j3 k
x-y= j5 k+j3 k
2
2
+ j5 k-j3 k
2
- j5 k-j3 k
2
=
=
2j5 k
2
2j3 k
2
=j5 k
=j3 k
∴ {x+y}{x-y}=j5 k\j3 k=j15 k
52 답 5-j2 k
x=j2 k 를 주어진 식에 대입하면
x@+3x-4j2 k+3 ={j2 k}@+3\j2 k-4j2 k+3
=2+3j2 k-4j2 k+3=5-j2 k
53 답 ①
5-2j5 k=j25 k-j20 k>0,
3j5 k-7=j45 k-j49 k<0이므로
(주어진 식) =5-2j5 k-9-{3j5 k-7}0
=5-2j5 k+3j5 k-7
=j5 k-2
54 답 ②
다음과 같이 성립하지 않는 예가 있다.
① j2 k+{-j2 k}=0 ⇨ 유리수
③ j2 k\j2 k=2 ⇨ 유리수
④ j2 k_j2 k=1 ⇨ 유리수
⑤ 0\j2 k=0 ⇨ 유리수
55 답 ⑴ 3j7 k ⑵ -2j2 k+2j3 k
⑴ (주어진 식)=2j7 k-3j7 k+4j7 k=3j7 k
⑵ (주어진 식) =5j2 k+4j3 k-7j2 k-2j3 k
=-2j2 k+2j3 k
56 답 ⑴ 5 ⑵ 7
⑴ j80 k-3j20 k+aj5 k =4j5 k-6j5 k+aj5 k
따라서 -2+a=3이므로 a=5
⑵ j54 k+2j24 k-aj6 k =3j6 k+4j6 k-aj6 k
={4-6+a}j5 k
={-2+a}j5 k
={3+4-a}j6 k
={7-a}j6 k
따라서 7-a=0이므로 a=7
유
형
편
파
워
57 답 2, 과정은 풀이 참조
7j5 k+j72 k-j45 k-j32 k =7j5 k+6j2 k-3j5 k-4j2 k
=2j2 k+4j5 k
따라서 a=2, b=4이므로
3a-b=3\2-4=2
채점 기준
! 주어진 식의 좌변을 간단히 하기
@ a, b의 값 구하기
# 3a-b의 값 구하기
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
40 %
20 %
58 답 ⑴
12j5 k
5
⑵ - j2 k
2
⑴ (주어진 식)=2j5 k+
⑶ 10j2 k-3 ⑷ j3 k-3j2 k
2j5 k
5
12j5 k
5
=
⑵ (주어진 식)=
-
2
j2 k
6
2j2 k
=j2 k-
3j2 k
2
=- j2 k
2
⑶ (주어진 식)=5j2 k-3+5j2 k=10j2 k-3
⑷ (주어진 식) =4j3 k-6j2 k-3j3 k+3j2 k=j3 k-3j2 k
II . 근호를 포함한 식의 계산 17
중등개뿔유형편파워 1,2단원해설(001~019)ok.indd 17
2016-12-01 오후 9:24:25
59 답 ⑴ 4 ⑵ -
11
4
66 답
2j5 k-5
3
⑴ (좌변)=5j3 k+j3 k-2j3 k=4j3 k ∴ a=4
⑵ (좌변) =
1
2j2 k
= j2 k
4
-4j2 k+
6
3j2 k
-4j2 k+j2 k=-
11j2 k
4
∴ b=-
11
4
60 답 ④
(좌변)=2j6 k-7j5 k-3j6 k+4j5 k=-3j5 k-j6 k
따라서 a=-3, b=-1이므로
ab=-3\{-1}=3
61 답 ⑤
a
b
+
b
a
= j7 k
j3 k
7
21
= j21 k
3
+ j3 k
j7 k
3
21 ]j21 k=
+ j21 k
7
10j21 k
21
+
=
[
b
a
+
=
a
b
a@+b@
ab
=
{j3 k}@+{j7 k}@
j3 kj7 k
=
10
j21k
=
10j21 k
21
62 답 ⑴ 8+j6 k ⑵ 2 ⑶ 6-2j2 k ⑷ -9
⑴ (주어진 식) =j2 k{2j2 k+2j2 k+j3 k}
=j2 k{4j2 k+j3 k}=8+j6 k
⑵ (주어진 식)=2j2 k-2j2 k+2=2
1
⑶ (주어진 식) ={6j3 k+3j6 k}\
j3 k
-5j2 k
⑷ (주어진 식) =6+8-j3 k[
=6+3j2 k-5j2 k=6-2j2 k
8j3 k-
1
j3 k ]
=6+8-24+1=-9
63 답 ⑤
(좌변)=4j2 k-4j6 k-j2 k-2j6 k=3j2 k-6j6 k
따라서 a=3, b=-6이므로
a-b=3-{-6}=9
j3 kA-j5 kB=j3 k{j5 k-j3 k}-j5 k{j5 k+j3 k}
=j15 k-3-5-j15 k=-8
64 답 -8
65 답 ④
(좌변) =
{12+3j6 k}\j3 k
j3 k\j3 k
=
12j3 k+9j2 k
3
=4j3 k+3j2 k
따라서 a=4, b=3이므로
a-b=4-3=1
18 정답과 해설 _ 유형편 파워
10-j125 l
3j5 k
=
{10-5j5 k}\j5 k
3j5 k\j5 k
=
10j5 k-25
15
=
2j5 k-5
3
{3j3 k+2j2 k}\j2 k
j2 k\j2 k
67 답 -
, 과정은 풀이 참조
11j6 k
6
- j27 k+j8 k
j12 k-j2 k
j3 k
j2 k
{2j3 k-j2 k}\j3 k
j3 k\j3 k
-
-
=
3j6 k+4
2
3j6 k
2
-2
=
6-j6 k
3
=2- j6 k
3
11j6 k
6
=-
-
채점 기준
! 분모를 각각 유리화하기
@ 계산하기
68 답 ②
(주어진 식) =1+ j3 k
j5 k
+
= j15 k
5
-1+
3j15 k
5
3j15 k
5
4j15 k
5
=
69 답 2j6 k-5j2 k
(주어진 식) =4j6 k-4j2 k-2j6 k-
2
j2 k
=4j6 k-4j2 k-2j6 k-j2 k
=2j6 k-5j2 k
70 답 ②
(주어진 식) =6-
6j2 k
j3 k
+
{2j2 k-2j3 k}\j2 k
j2 k\j2 k
4-2j6 k
2
=6-2j6 k+
=6-2j6 k+2-j6 k
=8-3j6 k
71 답
32j3 k
3
-
7j5 k
2
(주어진 식) =j5 k{2j15 k-3}+
3j5 k
2 ]
\
1
3
2j3 k-
- j5 k
2
[
2j3 k
3
=10j3 k-3j5 k+
7j5 k
2
32j3 k
3
=
-
y`!
y`@
배점
60 %
40 %
중등개뿔유형편파워 1,2단원해설(001~019)ok.indd 18
2016-12-01 오후 9:24:26
72 답
5j6 k
2
cm@
(사다리꼴의 넓이) =
\9j8 k+{j8 k+j2 k}0\j3 k
1
2
1
2
1
2
=
=
\{2j2 k+2j2 k+j2 k}\j3 k
\5j2 k\j3 k=
5j6 k
2
{cm@}
73 답 10j3 k, 과정은 풀이 참조
=j12 k=2j3 k, AD
AB
(ABCD의 둘레의 길이) =2\{3j3 k+2j3 k}
=j27 k=3j3 k이므로
=2\5j3 k
=10j3 k
채점 기준
, AD
의 길이 구하기
! AB
@ ABCD의 둘레의 길이 구하기
y`!
y`@
배점
40 %
60 %
74 답 {24+6j35 k} cm@
(직육면체의 겉넓이)
=29{j5 k+j7 k}\j7 k+{j5 k+j7 k}\j5 k+j7 k\j5 k0
=2{j35 k+7+5+j35 k+j35 k}
=2{12+3j35 k}
=24+6j35 k {cm@}
75 답 ⑤
(정사각형 ㈎의 한 변의 길이)=j8 k=2j2 k {cm}
(정사각형 ㈏의 한 변의 길이)=j18 k=3j2 k {cm}
(정사각형 ㈐의 한 변의 길이)=j32 k=4j2 k {cm}
=2j2 k+3j2 k+4j2 k=9j2 k {cm}
∴ AB
76 답 36j3 k cm#
(상자의 밑면의 가로의 길이) =j108 l-2j3 k=6j3 k-2j3 k
=4j3 k {cm}
=3j3 k {cm}
(상자의 밑면의 세로의 길이) =j75 k-2j3 k=5j3 k-2j3 k
(상자의 높이)=j3 k {cm}
∴ (상자의 부피)=4j3 k\3j3 k\j3 k=36j3 k {cm#}
유
형
편
파
워
78 답 1-2j2 k
BP
=BD
=j2 k이므로 a=3-j2 k
AQ
=j2 k이므로 b=2+j2 k
∴ a-b={3-j2 k}-{2+j2 k}=1-2j2 k
=AC
79 답 ⑤
PA
=RS
=PQ
=j2 k이므로 a=-2-j2 k
=j2 k이므로 b=1+j2 k
RB
∴ 2a-b =2\{-2-j2 k}-{1+j2 k}
=-4-2j2 k-1-j2 k
=-5-3j2 k
80 답 2j5 k
ABCD=3\3-4\
\2\1
=5이므로
1
2
[
]
정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 j5 k이다.
따라서 점 P의 좌표는 P{1-j5 k}, 점 Q의 좌표는 Q{1+j5 k}
이므로
PQ
={1+j5 k}-{1-j5 k}=2j5 k
81 답 ④
① {j3 k+1}-{j2 k+1} =j3 k+1-j2 k-1
=j3 k-j2 k>0
∴ j3 k+1>j2 k+1
② 4j2 k-{1+2j2 k} =4j2 k-1-2j2 k
=2j2 k-1=j8 k-1>0
∴ 4j2 k>1+2j2 k
③ 3j2 k-{5-j2 k} =3j2 k-5+j2 k
=4j2 k-5=j32 k-j25 k>0
∴ 3j2 k>5-j2 k
④ {2j3 k-1}-{3j2 k-1} =2j3 k-1-3j2 k+1
∴ 2j3 k-1<3j2 k-1
⑤ {4j6 k-3j5 k}-{j5 k+2j6 k} =4j6 k-3j5 k-j5 k-2j6 k
=2j3 k-3j2 k
=j12 k-j18 k<0
=2j6 k-4j5 k
=j24 k-j80 k<0
∴ 4j6 k-3j5 k0
∴ a>b
a-c ={3j2 k-2}-{2j5 k-2}=3j2 k-2-2j5 k+2
=3j2 k-2j5 k=j18 k-j20 k<0
따라서 주어진 도형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길
이는 j17 k이다.
∴ a0
=-j5 k+2
=-j5 k+j4 k<0
∴ 3j3 k-j5 k>5-j5 k
{3j3 k-j5 k}-{j27 k-2} =3j3 k-j5 k-3j3 k+2
y`!
∴ 3j3 k-j5 ky에서 x-y>0이므로 x-y=j8 k=2j2 k
x+y-2jxy k
∴ jx k-jy k
x-y
jx k+jy k
x+y-2jxy k
x-y
=
=
=
4-2j2 k
2j2 k
=j2 k-1
=
2-j2 k
j2 k
=
2j2 k-2
2
II . 근호를 포함한 식의 계산 21
중등개뿔유형편파워 1,2단원해설(001~019)ok.indd 21
2016-12-01 오후 9:24:27
단원 마무리
P. 39 ~ 41
4 ④
2 ③
6 ⑤
1 ④
5 -3j2 k
8 1, 과정은 풀이 참조
11 ②
14 ⑤
3 ⑤
7 ①
9 3
10 ④
12 -1, 과정은 풀이 참조 13 ②
15 ①, ④
16 j2 k-1, 과정은 풀이 참조
18 -
2
3
19 ③
20 j2 k
4
cm
17 ④
21 j6 k-2
2
22 j2 k+1
1
1 ④ j5 k_q
2 w=j5 k_
1
j2 k
=j5 k\j2 k=j10 k
2 3j5 k=13@\35 3=j45 k ∴ a=45
j52 k=12@\313 3=2j13 k ∴ b=2, c=13
∴ a+b+c=45+2+13=60
3 j84 k=12@\33\7 3=2j3 kj7 k=2ab
4
=
5j2 k
6
∴ a=
5
6
=
5
3j2 k
= j3 k
6
5
j18 k
1
2j3 k
∴ a-b=
5
6
∴ b=
1
6
-
=
=
1
6
4
6
2
3
5
(주어진 식) =8j3 k\
1
2j12 k
1
4j3 k
\
\
[
-
3
j2 k ]
3
j2 k ]
=-3j2 k
-
[
=8j3 k\
=-
6
j2 k
5.5
100 e= j5.5 k
2.345
10
10
=
=0.2345
6 ① j0.05l5 l=q
② j5.73 l=2.394
③ j560 l=j5.6\l100 l=10j5.6 l=10\2.366=23.66
④ j583 l=j5.83\l100 l=10j5.83 l=10\2.415=24.15
⑤ j5600 l=j56\k100 k=10j56 k이므로 주어진 제곱근표를
이용하여 그 값을 구할 수 없다.
따라서 a=-2, b=
a+2b=-2+2\
3
2
이므로
3
2
=1
채점 기준
! 주어진 식의 좌변을 간단히 하기
@ a, b의 값 구하기
# a+2b의 값 구하기
y`@
y`#
배점
50 %
30 %
20 %
9
오른쪽 그림에서 색칠한 부
j6k
분은 밑변의 길이가
j24 k-j6 k이고, 높이가 j6 k인
직각삼각형이므로
1
2
\{j24 k-j6 k}\j6 k
(넓이) =
j6 k
j6 k
24-j6k
24
\{2j6 k-j6 k}\j6 k
\j6 k\j6 k
색칠한 부분의 넓이는 사다리꼴의 넓이에서 정사각형의 넓
이를 뺀 것과 같으므로
(넓이) =
\{j6 k+j24 k}\j6 k-{j6 k}@
=
\3j6 k\j6 k-6
=9-6=3
=
=
1
2
1
2
=3
1
2
1
2
10 ① {j5 k+j10 k}-{3+j5 k}=j10 k-3=j10 k-j9 k>0`
∴ j5 k+j10 k>3+j5 k`
② {2j3 k+1}-{j3 k+3}=j3 k-2=j3 k-j4 k<0
∴ 2j3 k+10
∴ j7 k+2>2j7 k-1
⑤ {j2 k+1}-{2j2 k-1}=2-j2 k=j4 k-j2 k>0
∴ j2 k+1>2j2 k-1
7
(주어진 식)=8j3 k-2j6 k-2j3 k+j6 k=6j3 k-j6 k
11 (주어진 식) ={3-2j3 k+1}+{5-4}
=5-2j3 k
8
1
j2 k
-3j2 k+2j6 k
(좌변) ={2-j3 k}\
2
- j3 k
j2 k
j2 k
=j2 k- j6 k
=
2
=-2j2 k+
-3j2 k+2j6 k
-3j2 k+2j6 k
3j6 k
2
22 정답과 해설 _ 유형편 파워
12 x=
2
j3 k+1
=
2{j3 k-1}
{j3 k+1}{j3 k-1}
=j3 k-1
y`!
이때 x+1=j3 k이므로
이 식의 양변을 제곱하면
{x+1}@={j3 k}@, x@+2x+1=3
x@+2x=2
∴ x@+2x-3=2-3=-1
y`!
y`@
중등개뿔유형편파워 1,2단원해설(001~019)ok.indd 22
2016-12-01 오후 9:24:27
채점 기준
! x의 분모를 유리화하기
@ 주어진 식의 값 구하기
x=
2
j3 k+1
=
2{j3 k-1}
{j3 k+1}{j3 k-1}
x@+2x-3 ={j3 k-1}@+2{j3 k-1}-3
=3-2j3 k+1+2j3 k-2-3
=-1
채점 기준
! x의 분모를 유리화하기
@ 주어진 식의 값 구하기
배점
40 %
60 %
y`@
배점
40 %
60 %
=j3 k-1이므로 y`!
④ PA
⑤ PQ
-AB
=PB
=j2 k-1
={3+j2 k}-{4-j2 k}=2j2 k-1
18 (주어진 식) =j2 k+j36 k-j4 ka+
3a
j2 k
3aj2 k
2
3a
2 ]j2 k
=j2 k+6-2a+
={6-2a}+
1+
[
이 식이 유리수가 되려면
1+
=0,
=-1 ∴ a=-
3a
2
3a
2
2
3
유
형
편
파
워
19
5ajb k
ja k
-
2bja k
jb k
=
5ajab k
a
-
2bjab k
b
=5jab k-2jab k
=3jab k=3j25 k=3\5=15
20 정사각형 A, B, C, D의 넓이를 각각 a, b, c, d라 하면
a=2b=2\2c=2\2\2d=8d
이때 정사각형 D의 한 변의 길이를 x cm라 하면
a=8d에서 1=8x@, x@=
1
8
=
1
j8 k
x>0이므로 x=
= j2 k
4
따라서 D의 한 변의 길이는 j2 k
4
1
2j2 k
cm이다.
21 (그릇 A에 담긴 물의 부피)
\{j2 k}@\{j2 k+j3 k}-
=
1
3
1
3
\92{j3 k-j2 k}0@\j2 k
2
3
4j2 k
3
=
=
2
3
j3 k
20
3
j2 k+
j3 k-
{5-2j6 k}
16
3
{j2 k+j3 k}-
2
j2 k+
3
=6j3 k-6j2 k
(그릇 B에 담긴 물의 부피)
=j12 k\j6 k\(그릇 B에 담긴 물의 높이)
=6j2 k\(그릇 B에 담긴 물의 높이)
이때 두 그릇 A, B에 담긴 물의 부피는 서로 같으므로
6j3 k-6j2 k=6j2 k\(그릇 B에 담긴 물의 높이)
∴ (그릇 B에 담긴 물의 높이) =
6j3 k-6j2 k
6j2 k
= j3 k-j2 k
j2 k
= j6 k-2
2
22 jx+k1 k+jx-k1 k
=
jx+k1 k-jx-k1 k
{jx+k1 k+jx-k1 k}@
{jx+k1 k-jx-k1 k}{jx+k1 k+jx-k1 k}
x+1+2jx+k1 kjx-k1 k+x-1
{x+1}-{x-1}
=
=
2x+21x@-31 3
2
=x+1x@-31 3
=j2 k+1{j2 k}@3-1 3=j2 k+1
II . 근호를 포함한 식의 계산 23
13 (좌변)=j2\5\al\5la\50 l
=125020a@ 3=1{502a}@ 3
이때 a>0에서 50a>0이므로
1{502a}@ 3=50a
따라서 50a=250이므로 a=5
14 원뿔의 높이를 h cm라 하면
\p\{3j6 k}@\h=72j10 kp
1
3
18h=72j10 k
72j10 k
18
∴ h=
=4j10 k
따라서 원뿔의 높이는 4j10 k cm이다.
15 ① j3160l0 l=j3.16\1l0000 l=100j3.16 l=100a
② j316l0 l=j31.6\1l00 l=10j31.6 l=10b
③ j1264 l=j3.16\l400 l=20j3.16 l=20a
100 e= j31.6 l
=0.1b
④ j0.31l6 l=q
100 e= j3.16 l
⑤ j0.03l16 l=q
=0.1a
a
10
b
10
3.16
31.6
=
10
=
10
16 50이므로
B=3
∴ A-B=4-3=1
중등개뿔 파워 정답 3-3(024~033)ok.indd 24
16. 12. 1. 오후 11:41
9x@+{m-1}xy+16y@={3x}@+{m-1}xy+{-4y}@
x$-16 ={x@+4}{x@-4}={x@+4}{x+2}{x-2}
22 답 ③
14 답 ②
이므로
m-1=2\3\{-4}=-24
즉, m-1=24에서 m=25이고,
m-1=-24에서 m=-23이다.
따라서 구하는 모든 상수 m의 합은 25+{-23}=2
23 답 -2{3a+2b}{3a-2b}
-18a@+8b@=-2{9a@-4b@}=-2{3a+2b}{3a-2b}
15 답 4
(주어진 식)=4x@+4x-3+k
={2x}@+2\2x\1+{-3+k}
이 식이 완전제곱식이 되려면
-3+k=1@ ∴ k=4
16 답 ③
30, x-5<0이므로
(주어진 식)=1{x2-53}@3-1{x2-33}@3
=-{x-5}-{x-3}=-2x+8
17 답 ④
a<0, b>0에서 a-b<0이므로
(주어진 식)=1a@2-1{a-3b}@3
=-a+{a-b}=-b
19 답 ①, ⑤
② 49x@-9={7x+3}{7x-3}
③ -4x@+y@=y@-4x@={y+2x}{y-2x}
④ a@-
b@=
1
9
1
3
a+
[
b
a-
][
1
3
b
]
20 답 14x
49x@-16={7x+4}{7x-4}
따라서 두 일차식의 합은
{7x+4}+{7x-4}=14x
21 답 ①
ax@-25={bx+5}{3x+c}
=3bx@+{bc+15}x+5c
즉, a=3b, 0=bc+15, -25=5c이므로
c=-5, b=3, a=9
∴ a+b+c=9+3+{-5}=7
유
형
편
파
워
y`!
y`@
배점
40 %
60 %
24 답 3x@y@{x+2y}{x-2y}, 과정은 풀이 참조
3x$y@-12x@y$=3x@y@{x@-4y@}
=3x@y@{x+2y}{x-2y}
채점 기준
! 공통인 인수로 묶어 내기
@ 주어진 식을 인수분해하기
25 답 ㄱ, ㄹ, ㅂ
a#-4a=a{a@-4}=a{a+2}{a-2}
26 답 ④
x*-1 ={x$+1}{x$-1}
={x$+1}{x@+1}{x@-1}
={x$+1}{x@+1}{x+1}{x-1}
27 답 ⑴ {x+2}{x+3}
⑵ {y-3}{y+5}
⑶ {x-y}{x+4y} ⑷ a{b-3}{b-9}
⑷ (주어진 식)=a{b@-12b+27}=a{b-3}{b-9}
29 답 ②
x@+Ax-6={x+B}{x+3}=x@+{3+B}x+3B
즉, A=3+B, -6=3B이므로
B=-2, A=1
∴ AB=1\{-2}=-2
30 답 ②
{x+4}{x-6}-8x =x@-10x-24
={x+2}{x-12}
31 답 ②
x@+kx-20={x+a}{x+b}=x@+{a+b}x+ab
ab=-20에서 곱이 -20이 되는 두 정수는
-1과 20, 1과 -20, -2와 10, 2와 -10,
-4와 5, 4와 -5이다.
이때 k=a+b이므로 k의 값이 될 수 있는 수는
19, -19, 8, -8, 1, -1이다.
III . 인수분해 25
18 답 ④
0<2a<1에서 00
1
2
1
2
∴ (주어진 식)=
a-
a[
-
a+
a[
1
2 d]@d
=-
a-
[
-
a+
[
1
2 ]
=-2a
1
2
1
2 d]@d
1
2 ]
28 답 ④
x@+2x-3={x-1}{x+3}
따라서 두 일차식의 합은
{x-1}+{x+3}=2x+2
중등개뿔 파워 정답 3-3(024~033)ok.indd 25
16. 12. 1. 오후 11:41
d
d
32 답 {x-2}{x-3}, 과정은 풀이 참조
{x+3}{x-8}=x@-5x-24에서
38 답 ②
연주는 x의 계수를 바르게 보았으므로
처음의 이차식의 x의 계수는 -5이다.
{x+2}{x+3}=x@+5x+6에서
해준이는 상수항을 바르게 보았으므로
처음의 이차식의 상수항은 6이다.
따라서 처음의 이차식은 x@-5x+6이므로
이 식을 바르게 인수분해하면
x@-5x+6={x-2}{x-3}
채점 기준
! 처음의 이차식의 x의 계수, 상수항 구하기
@ 처음의 이차식 구하기
# 처음의 이차식을 바르게 인수분해하기
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
20 %
40 %
33 답 ⑴ {3x+4}{x+2} ⑵ {x+2y}{2x-5y}
⑶ a{2x-1}{x-3} ⑷ 2{2x-3}{3x+5}
⑶ (주어진 식) =a{2x@-7x+3}
=a{2x-1}{x-3}
⑷ (주어진 식)=2{6x@+x-15}
=2{2x-3}{3x+5}
34 답 ②, ⑤
6x@-5x-6={2x-3}{3x+2}
35 답 ①
좌변을 인수분해하면
12x@-17xy-5y@={3x-5y}{4x+y}이므로
{3x-5y}{4x+y}={ax+by}{cx+y}
따라서 a=3, b=-5, c=4이므로
a-b+c=3-{-5}+4=12
36 답 5x+1, 과정은 풀이 참조
6x@+7x-20={2x+5}{3x-4}
따라서 두 일차식은 2x+5, 3x-4이므로
두 일차식의 합은
{2x+5}+{3x-4}=5x+1
채점 기준
! 주어진 식을 인수분해하기
@ 두 일차식 구하기
# 두 일차식의 합 구하기
3x@+ax-4 ={3x+b}{cx+2}
=3cx@+{6+bc}x+2b
즉, 3=3c, a=6+bc, -4=2b이므로
c=1, b=-2, a=4
∴ abc=4\{-2}\1=-8
39 답 a=3, b=4
f{x} =6x@-x-12
={2x-3}{3x+4}
∴
f{x}
g{x}
=
6x@-x-12
2x-3
=
{2x-3}{3x+4}
2x-3
=3x+4
/ a=3, b=4
40 답 ①, ④
② x@y-2xy@=xy{x-2y}
x@
4
x
2
x
2
③
-y@=
+y
-y
][
⑤ a{x+y}-4{x+y}={x+y}{a-4}
[
]
41 답 ②
① 3x@-75 =3{x@-25}
=3{x+5}{x- 5 }
② 4a@-49 ={2a+ 7 }{2a-7}
③ 8x@-2x-3={4x- 3 }{2x+1}
④ 3x@-18x+27 =3{x@-6x+9}
= 3 {x-3}@
⑤ 4ab@- 4 ab+a=a{2b-1}@
y`!
y`@
y`#
배점
60 %
20 %
20 %
42 답 ②, ⑤
① x@-x=x{x-1}
② x$-1 ={x@+1}{x@-1}
={x@+1}{x+1}{x-1}
③ x@-2x+1={x-1}@
④ x@+4x-5={x-1}{x+5}
⑤ 3x@+2x-1={3x-1}{x+1}
따라서 x+1을 인수로 갖는 것은 ②, ⑤이다.
37 답 ①
2x@+{3k-2}x-15 ={2x-3}{x+5}
=2x@+7x-15
43 답 ①
x@-x-12={x+3}{x-4}
2x@-5x-12={2x+3}{x-4}
즉, 3k-2=7이므로 k=3
따라서 두 다항식의 공통인 인수는 x-4이다.
26 정답과 해설 _ 유형편 파워
중등개뿔 파워 정답 3-3(024~033)ok.indd 26
16. 12. 1. 오후 11:41
44 답 6, 과정은 풀이 참조
4x@-100y@=4{x@-25y@}=4{x+5y}{x-5y}
∴ (둘레의 길이) =2{{2x+1}+{3x+2}}
=2{5x+3}=10x+6
x@-xy-20y@={x+4y}{x-5y}
y`!
따라서 두 다항식의 공통인 인수가 x-5y이므로 y`@
a=1, b=-5
∴ a-b=1-{-5}=6
채점 기준
! 두 다항식을 각각 인수분해하기
@ 공통인 인수 찾기
# a-b의 값 구하기
45 답 ④
① x@-x-2={x+1}{x-2}
② x@-4x+4={x-2}@
③ x@+x-6={x-2}{x+3}
④ 2x@-3x+1={2x-1}{x-1}
⑤ x@-4={x+2}{x-2}
46 답 ③
x@-Ax-8={x+2}{x+m}이라 하면
x@-Ax-8=x@+{m+2}x+2m
즉, -A=m+2, -8=2m이므로
m=-4, A=2
47 답 ⑤
2x@+ax+6={2x+3}{x+m}이라 하면
2x@+ax+6=2x@+{2m+3}x+3m
즉, a=2m+3, 6=3m이므로
m=2, a=7
48 답 ③
x@-4x+a={x-3}{x+m}이라 하면
x@-4x+a=x@+{m-3}x-3m
즉, -4=m-3, a=-3m이므로
m=-1, a=3
2x@+bx-9={x-3}{2x+n}이라 하면
2x@+bx-9=2x@+{n-6}x-3n
즉, b=n-6, -9=-3n이므로
n=3, b=-3
/ a+b=3+{-3}=0
4x@+12x+9={2x+3}@이고, x>0이므로
구하는 한 변의 길이는 {2x+3} cm이다.
49 답 ②
50 답 ⑤
y`#
배점
50 %
30 %
20 %
새로 만든 직사각형의 넓이는 주어진 9개의 직사각형의 넓
51 답 ④
이의 합과 같으므로
2x@+5x+2
2x@+5x+2={2x+1}{x+2}이므로 가로, 세로의 길이는
각각 2x+1, x+2 또는 x+2, 2x+1이다.
∴ (새로 만든 직사각형의 둘레의 길이)
=2{{2x+1}+{x+2}}
=2{3x+3}=6x+6
유
형
편
파
워
52 답 ②
(도형 ㈎의 넓이)={2x+3}@-2@
=4x@+12x+5
={2x+5}{2x+1}
이때 도형 ㈏의 가로의 길이가 2x+5이므로 세로의 길이는
2x+1이다.
53 답 ④
(길의 넓이)
4a
2
+2b
=p
]@-p
=p{{2a+2b}+2a}{{2a+2b}-2a}
[
[
4a
2 ]@=p{2a+2b}@-p{2a}@
=p{4a+2b}\2b
=4pb{2a+b} {m@}
54 답 5
두 정사각형의 둘레의 길이의 합이 80이므로
4x+4y=80, 4{x+y}=80
∴ x+y=20
두 정사각형의 넓이의 차가 100이므로
x@-y@=100 {? x>y}
{x+y}{x-y}=100, 20{x-y}=100
∴ x-y=5
따라서 두 정사각형의 한 변의 길이의 차는 5이다.
55 답 {a+1}@
a+3=A로 놓으면
(주어진 식) =A@-4A+4={A-2}@
={a+3-2}@={a+1}@
56 답 {5+a+b}{5-a-b}
a+b=A로 놓으면
(주어진 식)=25-A@={5+A}{5-A}
6x@+7x+2={2x+1}{3x+2}이고, 가로의 길이가
2x+1이므로 세로의 길이는 3x+2이다.
={5+a+b}{ 5-{a+b}}
={5+a+b}{5-a-b}
III . 인수분해 27
중등개뿔 파워 정답 3-3(024~033)ok.indd 27
16. 12. 1. 오후 11:41
57 답 ①
x-2=A로 놓으면
(주어진 식)={x-2}@+2{x-2}-24
63 답 ①
(주어진 식)={{x+1}{x+6}}{{x+2}{x+5}}-12
={x@+7x+6}{x@+7x+10}-12
=A@+2A-24={A+6}{A-4}
={A+6}{A+10}-12
x@+7x=A로 놓기
={x-2+6}{x-2-4}
={x+4}{x-6}
따라서 두 일차식의 합은 {x+4}+{x-6}=2x-2
58 답 ②
x-2y=A로 놓으면
(주어진 식)=A{A+2}-15=A@+2A-15
={A-3}{A+5}
={x-2y-3}{x-2y+5}
59 답 ①
x-1=A로 놓으면
2{x-1}@-3{x-1}-9
=2A@-3A-9={2A+3}{A-3}
={ 2{x-1}+3 }{x-1-3}
={2x+1}{x-4}
따라서 a=1, b=-4이므로
a+b=1+{-4}=-3
60 답 a=4, b=-1
3x-2=A, x+1=B로 놓으면
{3x-2}@-{x+1}@
=A@-B @={A+B}{A-B}
={4x-1}{2x-3}
/ a=4, b=-1
61 답 21
x+1=A, x-3=B로 놓으면
(주어진 식)=A@-9AB+20B@
={A-5B}{A-4B}
={{3x-2}+{x+1}}{{3x-2}-{x+1}}
={{x+1}-5{x-3}}{{x+1}-4{x-3}}
={-4x+16}{-3x+13}
=4{x-4}{3x-13}
따라서 a=4, b=-4, c=-13이므로
a-b-c=4-{-4}-{-13}=21
=A@+16A+60-12
=A@+16A+48
={A+4}{A+12}
={x@+7x+4}{x@+7x+12}
={x@+7x+4}{x+3}{x+4}
64 답 {x@+3x+7}{x@+3x-5}
(주어진 식)={ x{x+3}}{{x+1}{x+2}}-35
={x@+3x}{x@+3x+2}-35
=A{A+2}-35
x@+3x=A로 놓기
=A@+2A-35
={A+7}{A-5}
={x@+3x+7}{x@+3x-5}
65 답 ⑤
(좌변)={{x-5}{x+3}}{{x-3}{x+1}}+36
={x@-2x-15}{x@-2x-3}+36
={A-15}{A-3}+36
x@-2x=A로 놓기
=A@-18A+45+36
=A@-18A+81
={A-9}@
={x@-2x-9}@
따라서 a=-2, b=-9이므로
ab={-2}\{-9}=18
66 답 ⑴ {b+1}{a-1}
⑵ {a-b}{a+1}{a-1}
⑶ {a+b}{a-b-c}
⑴ ab+a-b-1 =a{b+1}-{b+1}
={b+1}{a-1}
⑵ a#-a@b-a+b =a@{a-b}-{a-b}
={a-b}{a@-1}
={a-b}{a+1}{a-1}
⑶ a@-ac-b@-bc =a@-b@-ac-bc
={a+b}{a-b}-c{a+b}
={a+b}{a-b-c}
62 답 -2{x+4y}{3x-2y}
x-2y=A, x+2y=B로 놓으면
(주어진 식)=2A@-5AB-3B@
={A-3B}{2A+B}
={{x-2y}-3{x+2y}}{ 2{x-2y}+{x+2y}}
={-2x-8y}{3x-2y}
=-2{x+4y}{3x-2y}
67 답 ①, ⑤
x@y-4+x@-4y =x@y+x@-4y-4
=x@{y+1}-4{y+1}
={y+1}{x@-4}
={y+1}{x+2}{x-2}
28 정답과 해설 _ 유형편 파워
중등개뿔 파워 정답 3-3(024~033)ok.indd 28
16. 12. 1. 오후 11:41
68 답 3x-3
x#-3x@-25x+75 =x@{x-3}-25{x-3}
(주어진 식)={x-3}y+x@-5x+6
74 답 ⑤
={x-3}{x@-25}
={x-3}{x+5}{x-5}
따라서 세 일차식의 합은
{x-3}+{x+5}+{x-5}=3x-3
69 답 ②
ab+3a-b-3 =a{b+3}-{b+3}
a@-ab-a+b =a{a-b}-{a-b}
={b+3}{a-1}
={a-b}{a-1}
70 답 ⑴ {x-2y+3}{x-2y-3}
⑵ {x+y+z}{x-y-z}
⑶ {1+x-y}{1-x+y}
⑴ (주어진 식)={x@-4xy+4y@}-9
={x-2y}@-3@
={x-2y+3}{x-2y-3}
⑵ (주어진 식)=x@-{y@+2yz+z@}
⑶ (주어진 식)=1-{x@-2xy+y@}
=x@-{y+z}@
={x+y+z}{x-y-z}
=1@-{x-y}@
={1+x-y}{1-x+y}
71 답 ②
(주어진 식)=x@-{9y@-6y+1}
=x@-{3y-1}@
={x+3y-1}{x-3y+1}
72 답 2x-8y
(주어진 식)={x@-8xy+16y@}-9
={x-4y}@-3@
={x-4y+3}{x-4y-3}
따라서 두 일차식의 합은
{x-4y+3}+{x-4y-3}=2x-8y
73 답 2, 과정은 풀이 참조
(주어진 식)={25x@-10xy+y@}-4
={5x-y}@-2@
={5x-y+2}{5x-y-2}
따라서 a=5, b=-1, c=-2이므로
a+b+c=5+{-1}+{-2}=2
채점 기준
! 주어진 식을 인수분해하기
@ a, b, c의 값 구하기
# a+b+c의 값 구하기
유
형
편
파
워
={x-3}y+{x-3}{x-2}
={x-3}{x+y-2}
75 답 x+y+1
(주어진 식)=x@+5x-{y@-3y-4}
=x@+5x-{y+1}{y-4}
={ x+{y+1}}{ x-{y-4}}
={x+y+1}{x-y+4}
따라서 일차식인 다른 한 인수는 x+y+1이다.
76 답 ④
(주어진 식)=x@-{4y+6}x+3y@+2y-16
=x@-{4y+6}x+{y-2}{3y+8}
={ x-{y-2}}{ x-{3y+8}}
={x-y+2}{x-3y-8}
따라서 두 일차식의 합은
{x-y+2}+{x-3y-8}=2x-4y-6
77 답 {x+3y-2}{2x-y+3}
(주어진 식)=2x@+{5y-1}x-{3y@-11y+6}
=2x@+{5y-1}x-{3y-2}{y-3}
={ x+{3y-2}}{ 2x-{y-3}}
={x+3y-2}{2x-y+3}
78 답 ③
163@-162@ ={163+162}{163-162}
=163+162
79 답 ⑴ 4000 ⑵ 30 ⑶ 10000
⑴ 502@-498@ ={502+498}{502-498}
=1000\4=4000
⑵ 7.5@\
-2.5@\
=
{7.5@-2.5@}
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
=
{7.5+2.5}{7.5-2.5}
=
\10\5=30
=100@=10000
⑶ 53@+2\53\47+47@ ={53+47}@
y`!
y`@
y`#
배점
60 %
30 %
10 %
80 답 4916
A =72.5@-2\72.5\2.5+2.5@
={72.5-2.5}@=70@=4900
B =1{343+330}3{334-3303}3
=j64k\4l=j256l=16
∴ A+B=4900+16=4916
III . 인수분해 29
중등개뿔 파워 정답 3-3(024~033)ok.indd 29
16. 12. 1. 오후 11:41
=
\
\
\
\y\
(주어진 식) =A@-2A-3
81 답 ②
2018\2019+2018
2019@-1
=
2018{2019+1}
{2019+1}{2019-1}
=
2018
2019-1
=1
82 답 ①
1@-2@+3@-4@+y+19@-20@
={1@-2@}+{3@-4@}+y+{19@-20@}
={1+2}{1-2}+{3+4}{3-4}
+y+{19+20}{19-20}
={1+2+3+4+y+19+20}\{-1}
={21\10}\{-1}=-210
, 과정은 풀이 참조
83 답 6
11
1
2@ ][
1
2 ][
=
1-
1-
[
[
2
3
[
3
2
12
11
6
11
1
2
1
2
=
\
=
1-
1-
1-
[
1+
1-
1+
1
3@ ][
1
2 ][
1
10 ][
4
3
\
y
1
4@ ]
1
3 ][
1
10 ][
5
4
\
3
4
1-
1-
1+
1
11@ ]
1
4 ]
1
10@ ][
1
4 ][
1
y`!
11 ]
12
10
11
11
1
3 ][
1
11 ][
9
10
11
10
1+
\
\
\
\y\
1-
1+
1-
채점 기준
! 주어진 식을 인수분해하기
@ 계산하기
84 답 ③
2!^-1 ={2*+1}{2*-1}
={2*+1}{2$+1}{2$-1}
={2*+1}{2$+1}{2@+1}{2@-1}
={2*+1}{2$+1}{2@+1}{2+1}{2-1}
=257\17\5\3\1
따라서 2!^-1의 약수가 아닌 것은 ③ 11이다.
85 답 ⑤
a@-6a+9={a-3}@={23-3}@=20@=400
86 답 3+7j3
x@+3x-10 ={x-2}{x+5}
={j3+2-2}{j3+2+5}
=j3{j3+7}=3+7j3
87 답 ④
2x@-8xy+6y@ =2{x@-4xy+3y@}
=2{x-y}{x-3y}
=2{5.75-0.25}{5.75-3\0.25}
=2\5.5\5=55
30 정답과 해설 _ 유형편 파워
88 답 -8j5, 과정은 풀이 참조
=
x=
1
j5+2
1
j5-2
j5-2
{j5+2}{j5-2}
j5+2
{j5-2}{j5+2}
y=
=
=j5-2,
=j5+2이므로
y`!
x+y={j5-2}+{j5+2}=2j5
x-y={j5-2}-{j5+2}=-4
xy={j5-2}{j5+2}=5-4=1
∴ x #y-xy #=xy{x @-y @}
=xy{x+y}{x-y}
=1\2j5\{-4}
=-8j5
채점 기준
! x, y의 분모를 유리화하기
@ 주어진 식을 인수분해하기
# 주어진 식의 값 구하기
89 답 ②
x+2=A로 놓으면
y`@
y`#
배점
30 %
30 %
40 %
y`@
배점
60 %
40 %
={A-3}{A+1}
={x+2-3}{x+2+1}
={x-1}{x+3}
={j3-1-1}{j3-1+3}
={j3-2}{j3+2}
=3-4=-1
90 답 -4
x+y=A, x-y=B로 놓으면
(주어진 식) =A@-B@
={A+B}{A-B}
={{x+y}+{x-y}}{{x+y}-{x-y}}
=4\
=2x\2y=4xy
1
j5-1
1
j5-1
=4\
=-4
\{1-j5}
\{-{j5-1}}
91 답 2j2-1
x+y={j2+1}+{j2-1}=2j2,
x-y={j2+1}-{j2-1}=2이므로
(주어진 식)={x-1}@-y@
={x-1+y}{x-1-y}
={x+y-1}{x-y-1}
={2j2-1}{2-1}
=2j2-1
중등개뿔 파워 정답 3-3(024~033)ok.indd 30
16. 12. 1. 오후 11:41
92 답 2, 과정은 풀이 참조
10이므로 a=2\1\6=12
4x@+bxy+
y@={2x}@+bxy+
1
3
-
[
y
]@에서
b>0이므로 b=2\2\
=
1
3
4
3
∴ ab=12\
=16
17 -30, x-4<0이므로
(주어진 식)=1{x2+33}@3+1{x2-43}@3
={x+3}-{x-4}
1
9
4
3
=7
y`!
y`@
y`#
배점
50 %
30 %
20 %
18 {x+3}{x-2}=x@+x-6에서
혜리는 상수항을 바르게 보았으므로
처음의 이차식의 상수항은 -6이다.
{x+4}{x+1}=x@+5x+4에서
상우는 x의 계수를 바르게 보았으므로
처음의 이차식의 x의 계수는 5이다.
따라서 처음의 이차식은 x@+5x-6이므로
이 식을 바르게 인수분해하면
x@+5x-6={x-1}{x+6}
y`!
y`@
y`#
중등개뿔 파워 정답 3-3(024~033)ok.indd 32
16. 12. 1. 오후 11:41
채점 기준
! 처음의 이차식의 x의 계수, 상수항 구하기
@ 처음의 이차식 구하기
# 처음의 이차식을 바르게 인수분해하기
배점
40 %
20 %
40 %
24 1@-3@+5@-7@+y+17@-19@
={1+3}{1-3}+{5+7}{5-7}+y+{17+19}{17-19}
={1+3+5+7+y+17+19}\{-2}
={20\5}\{-2}
=-200
19 3x@+{a+12}xy+8y@ ={3x+by}{cx+4y}
=3cx@+{12+bc}xy+4by@
즉, 3=3c, a+12=12+bc, 8=4b이므로
c=1, b=2, a=2
∴ a+b+c=2+2+1=5
20 x@+ax-8={x-2}{x+m}이라 하면
x@+ax-8=x@+{m-2}x-2m
즉, a=m-2, -8=-2m이므로
m=4, a=2
2x@-3x+b={x-2}{2x+n}이라 하면
2x@-3x+b=2x@+{n-4}x-2n
즉, -3=n-4, b=-2n이므로 n=1, b=-2
∴ a-b=2-{-2}=4
유
형
편
파
워
25 x-3=A로 놓으면
(주어진 식) =A@-2A-3={A+1}{A-3}
={x-3+1}{x-3-3}
={x-2}{x-6}
={4+j3-2}{4+j3-6}
={j3+2}{j3-2}
=3-4=-1
26 x@+9x+k={x+a}{x+b}=x@+{a+b}x+ab
a+b=9이고, a, b는 자연수이므로 가능한 순서쌍 {a, b}는
{1, 8}, {2, 7}, {3, 6}, {4, 5}, y, {8, 1}이다.
이때 k=ab이므로 k의 값이 될 수 있는 수는 8, 14, 18, 20
이다.
따라서 k의 최댓값은 20이다.
21 잔디밭의 반지름의 길이를 r m라 하면 산책로의 한가운데를
r+
지나는 원의 반지름의 길이는
[
a
2 ]
m이므로
L=2p\
=2pr+pa=p{2r+a}
{m}
r+
[
a
2 ]
27 < x, y, z >+< y, z, x >+< z, x, y >
=x@{y-z}+y@{z-x}+z@{x-y}
={y-z}x@-{y@-z@}x+y@z-z@y
∴ (산책로의 넓이)=p{r+a}@-pr@=p{{r+a}@-r@ }
={y-z}x@-{y+z}{y-z}x+yz{y-z}
=p{r+a+r}{r+a-r}
=p{2r+a}\a
=L\a=aL {m@}
={y-z}{ x@-{y+z}x+yz }
={y-z}{x-y}{x-z}
={x-y}{y-z}{x-z}
22 (주어진 식)={{x-1}{x+2}}{{x-3}{x+4}}+k
={x@+x-2}{x@+x-12}+k
={A-2}{A-12}+k
x@+x=A로 놓기
=A@-14A+24+k
이 식이 완전제곱식이어야 하므로
-14
2 ]@=49
24+k=
[
∴ k=25
23 x#+5x@-4x-20 =x@{x+5}-4{x+5}
={x+5}{x@-4}
={x+5}{x+2}{x-2}
따라서 세 일차식은 x+5, x+2, x-2이므로
세 일차식의 합은
{x+5}+{x+2}+{x-2}=3x+5
채점 기준
! 주어진 식을 인수분해하기
@ 세 일차식 구하기
# 세 일차식의 합 구하기
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
30 %
30 %
28 2@)-1={2!)+1}{2!)-1}
={2!)+1}{2%+1}{2%-1}
=1025\33\31
=5@\41\3\11\31
=3\5@\11\31\41
따라서 2!)-1은 30보다 크고 40보다 작은 두 자연수 31과
33으로 나누어떨어지므로 이 두 자연수의 합은
31+33=64
29 {a+b}@-{a-b}@ ={a+b+a-b}{a+b-a+b}
=2a\2b
=4ab=12
∴ ab=3
{a-2}{b-2} =ab-2{a+b}+4
=3-2{a+b}+4=-1
∴ a+b=4
∴ -2a@b-2ab@ =-2ab{a+b}
=-2\3\4
=-24
III . 인수분해 33
중등개뿔 파워 정답 3-3(024~033)ok.indd 33
16. 12. 1. 오후 11:41
유형편
파워
P. 64 ~ 65
유형 1 ~ 4
1
답 ④
1
2
1
2
② x@+
x+4=x@에서
x+4=0 ⇨ 일차방정식
④ {x-1}{x-2}=0에서
x@-3x+2=0 ⇨ 이차방정식
2
답 ④
ㄴ. x@=x-2에서 x@-x+2=0 ⇨ 이차방정식
ㄷ. x{x-1}=x@에서 x@-x=x@
-x=0 ⇨ 일차방정식
ㄹ. x={x-1}@에서 x=x@-2x+1
-x@+3x-1=0 ⇨ 이차방정식
ㅁ. x@{1+x}=4에서 x@+x#=4
x#+x@-4=0 ⇨ 이차방정식이 아니다.
ㅂ. {1+x}{1-x}=x@에서 1-x@=x@
1-2x@=0 ⇨ 이차방정식
3
답 ③
{ax-1}{x+4}=3x@에서
ax@+{4a-1}x-4=3x@
{a-3}x@+{4a-1}x-4=0
이때 x@의 계수가 0이 아니어야 하므로
a-3=0 ∴ a=3
4
답 ⑤
각 이차방정식에 x=1을 대입하면
① {1-1}@=1
② 1\{1-1}=1
③ {1+1}@=0
④ {1+1}{1-2}=0
⑤ {1-1}{1-2}=0
② {-7}@-3\{-7}-28=0
③ 2\{-5}@-10\{-5}=0
④ 2\
1
2 ]@-5\
1
2
[
+2=0
⑤ 3\{-2}@+7\{-2}-2=0
6
답 x=2
x=-2일 때, {-2}@+{-2}-6=0
x=-1일 때, {-1}@+{-1}-6=0
34 정답과 해설 _ 유형편 파워
5
답 ④
[ ] 안의 수를 주어진 이차방정식의 x에 각각 대입하면
① {-1}@-2\{-1}+1=0
IV. 이차방정식
x=0일 때, 0@+0-6=0
x=1일 때, 1@+1-6=0
x=2일 때, 2@+2-6=0
x=3일 때, 3@+3-6=0
따라서 주어진 이차방정식의 해는 x=2이다.
7
답 ③
2x@+ax-10=0에 x=2를 대입하면
2\2@+a\2-10=0
2a-2=0, 2a=2
∴ a=1
8
답 ④
ax@-{a-3}x+a-17=0에 x=-3을 대입하면
a\{-3}@-{a-3}\{-3}+a-17=0
9a+3a-9+a-17=0
13a=26 ∴ a=2
9
답 24, 과정은 풀이 참조
x@+ax-3=0에 x=-1을 대입하면
{-1}@+a\{-1}-3=0, -a-2=0
∴ a=-2
x@+x+b=0에 x=-4를 대입하면
{-4}@+{-4}+b=0, 12+b=0
∴ b=-12
∴ ab=-2\{-12}=24
채점 기준
! a의 값 구하기
@ b의 값 구하기
# ab의 값 구하기
10
답 5
x@+3x-1=0에 x=a를 대입하면
a@+3a-1=0 ∴ a@+3a=1
∴ a@+3a+4=1+4=5
11
답 ⑤
x@+2x-4=0에 x=a를 대입하면
a@+2a-4=0 ∴ a@+2a=4
2x@-3x-6=0에 x=b를 대입하면
2b@-3b-6=0 ∴ 2b@-3b=6
∴ 2a@+4a-2b@+3b+5
=2{a@+2a}-{2b@-3b}+5
=2\4-6+5
=7
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
40 %
20 %
중등개뿔유형편파워-정답-4단원.indd 34
16. 12. 1. 오후 11:58
12
답 -5
x@+5x-1=0에 x=a를 대입하면
a@+5a-1=0
a=0이므로 이 식의 양변을 a로 나누면
a+5-
=0 ∴ a-
=-5
13
답 ④
x@-4x-3=0에 x=a를 대입하면
a@-4a-3=0
a=0이므로 이 식의 양변을 a로 나누면
a-4-
=0 ∴ a-
=4
∴ a@+
=
a-
3
a ]@+6=4@+6=22
[
1
a
3
a
9
a@
1
a
3
a
유형 5 ~12
14
답 ④
{x+4}{x+1}=0에서
x+4=0 또는 x+1=0
∴ x=-4 또는 x=-1
1 15
답 ③
① x=0 또는 x=
1
2
② x=0 또는 x=-
③ x=-3 또는 x=
④ x=-3 또는 x=-
⑤ x=3 또는 x=-
1
2
1
2
1
2
1
2
16
답 ①, ⑤
① x=0 또는 x=3 ⇨ 0+3=3
② x=-2 또는 x=-1 ⇨ -2+{-1}=-3
③ x=-4 또는 x=1 ⇨ -4+1=-3
④ x=
또는 x=2 ⇨
+2=
1
3
1
2
1
3
1
2
7
3
5
2
5
2
⑤ x=
또는 x=
⇨
+
=3
17
답 ⑴ x=-1 또는 x=10 ⑵ x=-1 또는 x=-
4
5
⑶ x=1 또는 x=3 ⑷ x=-4 또는 x=3
⑴ x@-9x-10=0에서 {x+1}{x-10}=0
∴ x=-1 또는 x=10
⑵ 5x@+9x+4=0에서 {x+1}{5x+4}=0
∴ x=-1 또는 x=-
4
5
⑶ x@+2x-3=6{x-1}에서 x@+2x-3=6x-6
x@-4x+3=0, {x-1}{x-3}=0
∴ x=1 또는 x=3
⑷ {x+3}{x-2}=6에서 x@+x-6=6
x@+x-12=0, {x+4}{x-3}=0
∴ x=-4 또는 x=3
18
답 ④
x@-8=2x에서 x@-2x-8=0
{x+2}{x-4}=0
∴ x=-2 또는 x=4
이때 a>b이므로 a=4, b=-2
∴ a-b=4-{-2}=6
유
형
편
파
워
19
답 ⑤
6x@-11x-30=0에서 {2x+3}{3x-10}=0
P. 66 ~70
∴ x=-
또는 x=
3
2
10
3
따라서 두 근 사이에 있는 정수는 -1, 0, 1, 2, 3의 5개이다.
20
답 ①
2x@-21=x{x+4}에서
2x@-21=x@+4x, x@-4x-21=0
{x+3}{x-7}=0
즉, a=3, b=-7 또는 a=-7, b=3이므로
a+b=-4
21
답 ⑤
x：{2x-3}=4：x에서 x@=4{2x-3}
x@=8x-12, x@-8x+12=0
{x-2}{x-6}=0
∴ x=2 또는 x=6
따라서 모든 x의 값의 합은 2+6=8
22
답 x=-4 또는 x=-1, 과정은 풀이 참조
x@=3x+10에서 x@-3x-10=0
{x+2}{x-5}=0
∴ x=-2 또는 x=5
이때 a>b이므로 a=5, b=-2
x@+ax-2b=0에서 x@+5x+4=0
{x+4}{x+1}=0
∴ x=-4 또는 x=-1
채점 기준
! a, b의 값 구하기
@ 이차방정식 x@+ax-2b=0 구하기
# 이차방정식 x@+ax-2b=0의 해 구하기
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
20 %
40 %
IV. 이차방정식 35
중등개뿔유형편파워-정답-4단원.indd 35
16. 12. 1. 오후 11:58
23
답 8
3A=2B에서
27
답 ⑤
x@-ax-a{a-2}=0에 x=2를 대입하면
3{x@-3x-18}=2{x@-2x-15}
3x@-9x-54=2x@-4x-30
x@-5x-24=0, {x+3}{x-8}=0
∴ x=-3 또는 x=8
! x=-3일 때,
A, B에 각각 x=-3을 대입하면
A=9+9-18=0
B=9+6-15=0
않는다.
@ x=8일 때,
A, B에 각각 x=8을 대입하면
A=64-24-18=22
B=64-16-15=33
A=0, B=0이어야 하므로 x=-3은 조건을 만족하지
즉, A=0, B=0이므로 x=8은 조건을 만족한다.
따라서 !, @에 의해 x의 값은 8이다.
24
답 ④
3x@+ax-4=0에 x=-2를 대입하면
12-2a-4=0, -2a=-8 ∴ a=4
즉, 3x@+4x-4=0에서 {x+2}{3x-2}=0
∴ x=-2 또는 x=
따라서 다른 한 근은 x=
이다.
2
3
2
3
즉, x@-10x+24=0에서 {x-4}{x-6}=0
30
답 4
25
답 a=24, x=4, 과정은 풀이 참조
x@-10x+a=0에 x=6을 대입하면
36-60+a=0
∴ a=24
∴ x=4 또는 x=6
따라서 다른 한 근은 x=4이다.
채점 기준
! a의 값 구하기
@ 다른 한 근 구하기
y`!
y`@
배점
50 %
50 %
26
답 ③
3x@-10x+2a=0에 x=3을 대입하면
27-30+2a=0, 2a=3 ∴ a=
3
2
즉, 3x@-10x+3=0에서 {3x-1}{x-3}=0
∴ x=
또는 x=3
1
3
따라서 b=
이므로 ab=
\
=
3
2
1
3
1
2
1
3
36 정답과 해설 _ 유형편 파워
4-2a-a{a-2}=0, 4-a@=0
a@-4=0, {a+2}{a-2}=0
∴ a=-2 또는 a=2
그런데 a>0이므로 a=2
즉, x@-2x=0에서
x{x-2}=0 ∴ x=0 또는 x=2
따라서 b=0이므로
a+b=2+0=2
28
답 ③
{a-2}x@+a@x+4=0에 x=-1을 대입하면
{a-2}-a@+4=0, a@-a-2=0
{a+1}{a-2}=0 ∴ a=-1 또는 a=2
그런데 주어진 식은 이차방정식이므로 a-2=0에서 a=2
∴ a=-1
즉, -3x@+x+4=0에서 3x@-x-4=0
{x+1}{3x-4}=0 ∴ x=-1 또는 x=
4
3
따라서 다른 한 근은 x=
이다.
4
3
29
답 ②
x@+x-42=0에서 {x+7}{x-6}=0
∴ x=-7 또는 x=6
즉, 큰 근은 x=6이므로
x@-ax-12=0에 x=6을 대입하면
36-6a-12=0, -6a=-24 ∴ a=4
이때 x@-4x-12=0에서 {x+2}{x-6}=0
∴ x=-2 또는 x=6
따라서 다른 한 근은 x=-2이다.
x@+ax-6=0에 x=-3을 대입하면
9-3a-6=0, -3a=-3 ∴ a=1
즉, x@+x-6=0에서 {x+3}{x-2}=0
∴ x=-3 또는 x=2
이때 다른 한 근은 x=2이므로
3x@-8x+b=0에 x=2를 대입하면
12-16+b=0 ∴ b=4
31
답 ①
① x@=1에서 x@-1=0
{x+1}{x-1}=0 ∴ x=-1 또는 x=1
② x@=14x-49에서 x@-14x+49=0
{x-7}@=0 ∴ x=7 (중근)
③ x@+10x=-25에서 x@+10x+25=0
{x+5}@=0 ∴ x=-5 (중근)
중등개뿔유형편파워-정답-4단원.indd 36
16. 12. 1. 오후 11:58
④ -8x+16=-x@에서 x@-8x+16=0
{x-4}@=0 ∴ x=4 (중근)
⑤ x@-16x=-64에서 x@-16x+64=0
{x-8}@=0 ∴ x=8 (중근)
32
답 ②
ㄱ. x@-4=0에서 {x+2}{x-2}=0
∴ x=-2 또는 x=2
ㄴ. x{x-2}=-1에서 x@-2x+1=0
{x-1}@=0 ∴ x=1 (중근)
ㄷ. x@=-12{x+3}에서 x@+12x+36=0
{x+6}@=0 ∴ x=-6 (중근)
ㄹ. 2x@+2x={x-3}@에서 2x@+2x=x@-6x+9
x@+8x-9=0, {x+9}{x-1}=0
∴ x=-9 또는 x=1
33
답 ③
중근 x=-3을 갖고 x@의 계수가 1이므로
{x+3}@=0 ∴ x@+6x+9=0
따라서 m=6, n=9이므로 m-n=6-9=-3
34
답 ⑴ -1 ⑵
4
9
⑴ x@+8x+15=a에서 x@+8x+15-a=0
이 이차방정식이 중근을 가지려면
15-a=
8
2 ]@, 15-a=16 ∴ a=-1
[
⑵ x@+
x+a=0이 중근을 가지려면
4
3
4
3
[
a=
\
1
2 ]@=
[
2
3 ]@=
4
9
35
답 ①, ④
x@+2ax-7a+18=0이 중근을 가지려면
-7a+18=
2a
2 ]@, a@+7a-18=0
[
{a+9}{a-2}=0 ∴ a=-9 또는 a=2
36
답 ①
x@-10x+a=0이 중근을 가지므로 a=
[
즉, x@-10x+25=0에서 {x-5}@=0
-10
2 ]@=25
∴ x=5 (중근) ∴ b=5
∴ a-3b=25-3\5=10
37
답 k=2, x=1
x@-kx+k-1=0이 중근을 가지므로
[
k@
4
k-1=
에서 k@-4k+4=0
-k
2 ]@=
{k-2}@=0 ∴ k=2 (중근)
즉, x@-2x+1=0에서 {x-1}@=0
∴ x=1 (중근)
38
답 3
x@+3x-18=0에서 {x+6}{x-3}=0
∴ x=-6 또는 x=3
2x@-9x+9=0에서 {2x-3}{x-3}=0
∴ x=
또는 x=3
3
2
따라서 두 이차방정식을 동시에 만족하는 x의 값은 3이다.
유
형
편
파
워
39
답 ⑤
2x@+5x+2=0에서 {x+2}{2x+1}=0
∴ x=-2 또는 x=-
1
2
x@-x-6=0에서 {x+2}{x-3}=0
∴ x=-2 또는 x=3
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-2이므로
x@+ax+2=0에 x=-2를 대입하면
4-2a+2=0, -2a=-6
∴ a=3
40
답 20
2x@+ax-8=0에 x=-4를 대입하면
32-4a-8=0, -4a=-24 ∴ a=6
x@-3x-2b=0에 x=-4를 대입하면
16+12-2b=0, -2b=-28 ∴ b=14
∴ a+b=6+14=20
41
답 x=5
x@+6x+k=0이 중근을 가지므로 k=
6
2 ]@=9
[
x@+{1-k}x+15=0에서 x@-8x+15=0
{x-3}{x-5}=0 ∴ x=3 또는 x=5
2x@-{2k-9}x-5=0에서 2x@-9x-5=0
{2x+1}{x-5}=0 ∴ x=-
또는 x=5
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=5이다.
1
2
42
답 ④
x@-8=0에서 x@=8
∴ x=-j8=-2j2
43
답 x=5-j3
{x-5}@=3에서 x-5=-j3
∴ x=5-j3
44
답 ⑤
2{x+a}@=14에서 {x+a}@=7
x+a=-j7 ∴ x=-a-j7
따라서 -a=1에서 a=-1이고, b=7이므로
b-a=7-{-1}=8
IV. 이차방정식 37
중등개뿔유형편파워-정답-4단원.indd 37
16. 12. 1. 오후 11:58
45
답 ③
{x+A}@=B에서 x+A=-jBk
∴ x=-A-jBk
따라서 -A=3에서 A=-3이고, B=10이므로
A+B=-3+10=7
x=3-j10k에서 x-3=-j10k
양변을 제곱하면 {x-3}@=10
따라서 A=-3, B=10이므로
A+B=-3+10=7
46
답 A=5, B=-
3
5
5x@+9x+3=0에서
, C=
, D=21, E=-9
양변을 5A 로 나누면 x@+
x+
=0
상수항을 우변으로 이항하면 x@+
x= -
3
5
9
5
B
5#
9
10
9
5
9
5
C
x@+
x+
x+
[
9
10
[
B
9
10 ]@= -
60
100
]@=-
5#
+
+
9
10 ]@
[
81
100
=
21D
100
x+
C
9
10
=-q
21
100 e=- 7
21D
10
9
∴ x=
-9E -
7
10
21D
9
상수항을 우변으로 이항하기
x의 계수
2
양변에
[
]@을 더하기
좌변을 완전제곱식으로 고치기
47
답 9
x@+4x-3=0에서
x@+4x=3
x@+4x+4=3+4
{x+2}@=7
따라서 a=2, b=7이므로
a+b=2+7=9
48
답 x=2- j14k
2
2x@-8x+1=0에서
x@-4x+
=0
x@-4x=-
1
2
1
2
x@-4x+4=-
+4
1
2
7
2
7
=- j14k
2
2
{x-2}@=
x-2=-q
∴ x=2- j14k
2
x@의 계수를 1로 만들기
상수항을 우변으로 이항하기
양변에
[
x의 계수
2
]@을 더하기
좌변을 완전제곱식으로 고치기
제곱근 이용하기
해 구하기
38 정답과 해설 _ 유형편 파워
49
답 -16
1
2
x@-4x+b=0에서
{x@-8x}+b=0
1
2
{x@-8x}=-b
{x@-8x+16-16}=-b
1
2
1
2
1
2
따라서 a=-4, -b+8=4에서 b=4이므로
{x-4}@=-b+8
ab=-4\4=-16
유형 13 ~25
P. 71 ~78
50
답 ㈎ x@+
x+
=0 ㈏ x@+
x=-
b
a
c
a
c
a
b
a
b
a
㈐ x@+
x+
b
2a ]@=-
c
a
[
x+
㈑
[
b
2a ]@
[
+
b
2a ]@
-b-1b@-4ac3
2a
㈒
51
답 ⑴ x=
-1-j21k
2
⑵ x=
1-j2
3
⑴ x=
-1-11@-4\1\{-5}3
2\1
=
-1-j21k
2
⑵ x =
-{-3}-1{-3}@-9\{-1}3
9
3-3j2
9
3-j18k
9
1-j2
3
=
=
=
52
답 j7
x=
-{-3}-1{-3}@-2\13
2
=
이때 a>b이므로 a=
, b=
3-j7
2
3-j7
2
3+j7
2
3-j7
2
=j7
∴ a-b=
3+j7
2
-
53
답 ①
x=
-3-13@-4\1\13
2\1
따라서 A=-3, B=5이므로
=
-3-j5
2
A-B=-3-5=-8
54
답 ②
x =
-{-2}-1{-2}@-3\p3
3
=
2-j4-3pk
3
따라서 q=2, 4-3p=13이므로 p=-3
∴ p+q=-3+2=-1
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16. 12. 1. 오후 11:58
55
답 x=
2-j2
2
x@+2x-k=0이 중근을 가지므로
-k=
2
2 ]@ ∴ k=-1
따라서 2x@-4x+1=0에서
[
x=
-{-2}-1{-2}@-2\13
2
=
2-j2
2
x@-6x+4=0에서
x=-{-3}-1{-3}@-1\43=3-j5
∴ a=3+j5
2y이므로 x-y>0
∴ x-y=4
y`!
IV. 이차방정식 39
중등개뿔유형편파워-정답-4단원.indd 39
16. 12. 1. 오후 11:58
65
답 3개, 과정은 풀이 참조
x@+2xy+y@-x-y-12=0에서
{x+y}@-{x+y}-12=0
x+y=A로 놓으면
A@-A-12=0
{A+3}{A-4}=0
∴ A=-3 또는 A=4
즉, x+y=-3 또는 x+y=4
그런데 x, y가 자연수이므로 x+y=4
따라서 x+y=4를 만족하는 순서쌍 {x, y}는
{1, 3}, {2, 2}, {3, 1}의 3개이다.
채점 기준
! 공통부분을 A로 놓기
@ A의 값 구하기
# x+y의 값 구하기
$ 순서쌍 {x, y}의 개수 구하기
y`!
y`@
y`#
y`$
배점
20 %
30 %
20 %
30 %
66
답 ⑤
① x@=4에서 x@-4=0이므로
b@-4ac=0@-4\1\{-4}=16>0 ⇨ 2개
② b@-4ac={-5}@-4\1\{-3}=37>0 ⇨ 2개
③ x{x-6}=9에서 x@-6x-9=0
b'@-ac={-3}@-1\{-9}=18>0 ⇨ 2개
④ b'@-ac={-6}@-1\0=36>0 ⇨ 2개
⑤ b'@-ac=4@-1\17=-1<0 ⇨ 0개
67
답 2개
ㄱ. b@-4ac=0@-4\9\{-2}=72>0
∴ 서로 다른 두 근
ㄴ. b@-4ac=3@-4\2\{-1}=17>0
∴ 서로 다른 두 근
ㄷ. b'@-ac={-5}@-1\25=0 ∴ 중근
ㄹ. b@-4ac={-5}@-4\1\8=-7<0
∴ 근이 없다.
따라서 서로 다른 두 근을 갖는 것은 ㄱ, ㄴ의 2개이다.
68
답 ⑤
① b@-4ac={-1}@-4\2\0=1>0
∴ 서로 다른 두 근
② b'@-ac={-2}@-1\1=3>0
∴ 서로 다른 두 근
③ b'@-ac=2@-3\{-2}=10>0
∴ 서로 다른 두 근
④ x@=8x-16에서 x@-8x+16=0이므로
b'@-ac={-4}@-1\16=0 ∴ 중근
⑤ b@-4ac={-1}@-4\1\3=-11<0
∴ 근이 없다.
40 정답과 해설 _ 유형편 파워
69
답 ③
중근을 가지므로
k@-4\1\{3+k}=0
k@-4k-12=0, {k+2}{k-6}=0
∴ k=-2 또는 k=6
좌변이 완전제곱식이어야 하므로
3+k=
k
2 ]@, k@-4k-12=0
[
{k+2}{k-6}=0 ∴ k=-2 또는 k=6
70
답 ④
중근을 가지려면
{-m}@-4\4\16=0
m@=16@ ∴ m=-16
! m=16일 때,
4x@-16x+16=0, 4{x@-4x+4}=0
4{x-2}@=0 ∴ x=2 (중근)
@ m=-16일 때,
4x@+16x+16=0, 4{x@+4x+4}=0
4{x+2}@=0 ∴ x=-2 (중근)
따라서 양수인 중근을 갖도록 하는 m의 값은 16이다.
71
답 ②
중근을 가지므로
k@-1\{2k-1}=0, k@-2k+1=0
{k-1}@=0 ∴ k=1(중근)
3x@-2kx-5=0에 k=1을 대입하면
3x@-2x-5=0, {x+1}{3x-5}=0
∴ x=-1 또는 x=
5
3
72
답 ④
서로 다른 두 근을 가지므로
{-2}@-2k>0, -2k>-4 ∴ k<2
73
답 ④
해를 가지므로
2@-{2k-4}>0, -2k+8>0
-2k>-8 ∴ k<4
따라서 정수 k의 값 중 가장 큰 수는 4이다.
74
답 ⑤
해가 없으므로
{2k-1}@-4{k@+3}<0, 4k@-4k+1-4k@-12<0
-4k-11<0, -4k<11 ∴ k>-
11
4
따라서 상수 k의 값이 될 수 있는 것은 ⑤ -2이다.
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y`!
y`@
y`#
배점
40 %
40 %
20 %
유
형
편
파
워
75
답 ①
{m@+1}x@+2{m-3}x+2=0이 중근을 가지므로
{m-3}@-2{m@+1}=0
m@-6m+9-2m@-2=0, m@+6m-7=0
{m+7}{m-1}=0
∴ m=-7 또는 m=1
y ㉠
x@-6x-m+3=0이 근을 갖지 않으므로
{-3}@-{-m+3}<0
m+6<0 ∴ m<-6
따라서 ㉠, ㉡에 의해 m=-7
y ㉡
{x-3}@=5에서 x@-6x+9=5, x@-6x+4=0
∴ (두 근의 합)=-
=6, (두 근의 곱)=
=4
-6
1
4
1
양변에 2를 곱하면 2x-{x@+1}=6{x-2}
2x-x@-1=6x-12, x@+4x-11=0
따라서 두 근의 합은 a=-4, 두 근의 곱은 b=-11이므로
a-b=-4-{-11}=7
76
답 ⑤
77
답 7
78
답 16
82
답 6, 과정은 풀이 참조
a+b=4, ab=2이므로
b
a
+
=
a
b
a@+b@
ab
=
{a+b}@-2ab
ab
=
4@-2\2
2
=6
채점 기준
! a+b, ab의 값 구하기
+
를 a+b, ab를 이용하여 나타내기
,>
.<
@
#
+
의 값 구하기
,>
.<
83
답 ②
a+b=3, ab=-2이므로
b
a+1
+
a
b+1
=
b{b+1}+a{a+1}
{a+1}{b+1}
=
a@+b@+a+b
ab+a+b+1
=
{a+b}@-2ab+{a+b}
ab+{a+b}+1
=
3@-2\{-2}+3
-2+3+1
=
=8
16
2
두 근의 합이 -6이므로 -
=-6 ∴ a=4
두 근의 곱이 -10이므로
=-10 ∴ b=4
3a
2
-5b
2
∴ ab=4\4=16
84
답 10
나므로
79
답 ④
x@-2x-2=0의 두 근의 합이 2이므로
x@-5x+a=0에 x=2를 대입하면
4-10+a=0 ∴ a=6
80
답
3
2
81
답 ⑤
a+b=-
, ab=-1이므로
1
a
+
=
1
b
=-
\
3
2
1
-1
=
3
2
3
2
a+b
ab
a+b=3(①), ab=-1(②)이므로
③
+
=
1
a
1
b
a+b
ab
=
3
-1
=-3
④ a@+b@ ={a+b}@-2ab
=3@-2\{-1}=11
⑤ {a-b}@ ={a+b}@-4ab
=3@-4\{-1}=13
주어진 일차함수의 그래프가 두 점 {3, 0}, {0, -6}을 지
(기울기)=a=
=2, ( y절편)=b=-6
0-{-6}
3-0
따라서 x@+2x-6=0의 두 근이 a, b이므로
a+b=-2, ab=-6
∴ a@+ab+b@ ={a+b}@-ab
={-2}@-{-6}
=10
85
답 16, 과정은 풀이 참조
x@-5x+2=0의 두 근이 a, b이므로
a+b=5, ab=2
x@-9x+m=0의 두 근이 a+2, b+2이므로
m =(두 근의 곱)={a+2}{b+2}
=ab+2a+2b+4
=ab+2{a+b}+4
=2+2\5+4
=16
채점 기준
! a+b, ab의 값 구하기
@ m을 a+2, b+2를 이용하여 나타내기
# m의 값 구하기
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
20 %
40 %
IV. 이차방정식 41
중등개뿔유형편파워-정답-4단원.indd 41
16. 12. 1. 오후 11:58
86
답 ①
두 근을 a, 3a라 하면
두 근의 합에서 a+3a=
, 4a=
∴ a=
8
3
8
3
2
3
즉, 두 근이
, 2이므로
2
3
2
3
두 근의 곱에서
\2=-
, -
=
∴ k=-4
k
3
k
3
4
3
92
답 ②
두 근이 -2, 3이고, x@의 계수가 1이므로
{x+2}{x-3}=0 ∴ x@-x-6=0
∴ a=-1, b=-6
두 근의 합에서 -2+3=-a ∴ a=-1
두 근의 곱에서 -2\3=b ∴ b=-6
87
답 ②
두 근을 a, a+5라 하면
두 근의 합에서 a+{a+5}=3, 2a+5=3 ∴ a=-1
즉, 두 근이 -1, 4이므로
두 근의 곱에서 -1\4=m ∴ m=-4
88
답 -12
두 근을 2a, 3a라 하면
두 근의 합에서 2a+3a=10, 5a=10 ∴ a=2
즉, 두 근이 4, 6이므로
두 근의 곱에서 4\6=-2n ∴ n=-12
89
답 6
두 근을 a, a+6이라 하면
a+6이 두 근 중 큰 근이므로
a+6=4a, 3a=6 ∴ a=2
즉, 두 근이 2, 8이므로
두 근의 합에서 2+8=-m ∴ m=-10
두 근의 곱에서 2\8=n ∴ n=16
∴ m+n=-10+16=6
90
답 -3x@+9x+30=0
-3{x+2}{x-5}=0, -3{x@-3x-10}=0
∴ -3x@+9x+30=0
93
답 -2
두 근이
, -
이고, x@의 계수가 10이므로
1
5
1
2
10
x-
1
1
2 ]
5 ][
∴ 10x@+3x-1=0
x+
[
=0, 10
x@+
x-
3
10
1
10 ]
=0
[
따라서 a=-3, b=1이므로 a+b=-3+1=-2
두 근의 합에서
+
-
=
∴ a=-3
1
5
1
5
1
2 ]
1
2 ]
a
10
-b
10
[
[
두 근의 곱에서
\
-
=
∴ b=1
∴ a+b=-3+1=-2
94
답 x@+2x-8=0
a+b=-4, ab=2이므로
두 근이 -4, 2이고, x@의 계수가 1인 이차방정식은
{x+4}{x-2}=0 ∴ x@+2x-8=0
95
답 ①
{x-2}{x-3}=0에서 x=2 또는 x=3
즉, 두 근이 2, 3이고, x@의 계수가 2인 이차방정식은
2{x-2}{x-3}=0, 2{x@-5x+6}=0
∴ 2x@-10x+12=0
따라서 a=-10, b=12이므로 a+b=-10+12=2
두 근의 합은 -2+5=3, 두 근의 곱은 -2\5=-10이
두 근의 합에서 2+3=-
∴ a=-10
a
2
므로 x@의 계수가 -3인 이차방정식은
-3{x@-3x-10}=0 ∴ -3x@+9x+30=0
{x-2}{x-3}=0에서 x=2 또는 x=3
두 근의 곱에서 2\3=
b
2
∴ a+b=-10+12=2
∴ b=12
91
답 ④
6
x+
x-
1
1
3 ]
2 ][
[
∴ 6x@+x-1=0
=0, 6
x@+
x-
=0
1
6
1
6 ]
[
두 근의 합은 -
+
=-
1
2
1
3
1
6
,
두 근의 곱은 -
1
6
x@의 계수가 6인 이차방정식은
=-
1
2
1
3
\
이므로
6
x@+
x-
=0 ∴ 6x@+x-1=0
1
6
1
6 ]
[
42 정답과 해설 _ 유형편 파워
96
답 ②
x@+ax-b=0의 두 근이 -1, 5이고, x@의 계수가 1이므로
{x+1}{x-5}=0, x@-4x-5=0 ∴ a=-4, b=5
즉, x@+bx-a=0에서 x@+5x+4=0
{x+4}{x+1}=0 ∴ x=-4 또는 x=-1
두 근의 합에서 -1+5=-a ∴ a=-4
두 근의 곱에서 -1\5=-b ∴ b=5
즉, x@+bx-a=0에서 x@+5x+4=0
{x+4}{x+1}=0 ∴ x=-4 또는 x=-1
중등개뿔유형편파워-정답-4단원.indd 42
16. 12. 1. 오후 11:58
97
답 ②
a+b=A로 놓으면
{A-1}{A+2}-10=0, A@+A-12=0
{A+4}{A-3}=0 ∴ A=-4 또는 A=3
즉, a+b=-4 또는 a+b=3
그런데 a+b>0이므로 a+b=3
이때 a, b는 자연수이므로 a=1, b=2 또는 a=2, b=1
따라서 두 근이 1, 2이고, x@의 계수가 1인 이차방정식은
{x-1}{x-2}=0 ∴ x@-3x+2=0
102
답 2
다른 한 근은 1+j2이므로
두 근의 합에서 a={1-j2}+{1+j2}=2
103
답 4
다른 한 근은 -1-j3이므로 두 근의 합에서
-a={-1+j3}+{-1-j3}=-2 ∴ a=2
두 근의 곱에서
b={-1+j3}{-1-j3}=1-3=-2
∴ a-b=2-{-2}=4
유
형
편
파
워
98
답 ②
10
x@+
x-
=0
3
5
1
2 ]
[
∴ 10x@+6x-5=0
99
답 ②
a+b=4, ab=3이므로
=
4
3
a+b
ab
1
ab
=
1
3
1
a
1
a
+
=
\
=
1
b
1
b
1
a
1
b
4
3
[
즉,
,
을 두 근으로 하는 이차방정식은
a
x@-
x+
=0{a=0}의 꼴이고
1
3 ]
[
4
3
1
3 ]
a=3일 때, 3
x@-
x+
=0, 3x@-4x+1=0
이므로 구하는 이차방정식은 ②이다.
100
답 2x@+x-6=0, 과정은 풀이 참조
a+b=-
, ab=-
이므로
5
2
3
2
{a+1}+{b+1} ={a+b}+2
1
2
{a+1}{b+1} =ab+{a+b}+1
+2=-
=-
5
2
=-
y`#
따라서 a+1, b+1을 두 근으로 하고, x@의 계수가 2인 이
+1=-3
+
-
[
3
2
5
2 ]
차방정식은
1
2
[
]
2
x@+
x-3
=0 ∴ 2x@+x-6=0
채점 기준
! a+b, ab의 값 구하기
@ 두 근 a+1, b+1의 합 구하기
# 두 근 a+1, b+1의 곱 구하기
$ 이차방정식 구하기
101
답 ③
다른 한 근은 3-j2이므로 두 근의 곱에서
k={3+j2}{3-j2}=9-2=7
y`!
y`@
y`$
배점
30 %
20 %
20 %
30 %
104
답 ③
13이므로 n=9
따라서 구하는 다각형은 구각형이다.
109
답 ①
n{n+1}
2
=105에서 n@+n-210=0
{n+15}{n-14}=0
∴ n=-15 또는 n=14
그런데 n>0이므로 n=14
따라서 1부터 14까지의 자연수를 더해야 한다.
110
답 ③
n{n-1}
2
=190에서 n@-n-380=0
{n+19}{n-20}=0
∴ n=-19 또는 n=20
그런데 n>0이므로 n=20
따라서 모임에 참석한 학생 수는 20명이다.
111
답 24
연속하는 두 홀수를 x, x+2 ( x는 홀수)라 하면
x{x+2}=143
x@+2x-143=0
{x+13}{x-11}=0
∴ x=-13 또는 x=11
그런데 x>0이므로 x=11
11+13=24
연속하는 두 홀수를 2x-1, 2x+1( x는 자연수)이라 하면
{2x-1}{2x+1}=143, 4x@=144
x@=36 ∴ x=-6
그런데 x>0이므로 x=6
44 정답과 해설 _ 유형편 파워
따라서 연속하는 두 홀수는 11, 13이므로 합을 구하면
11+13=24
112
답 8, 11
두 수를 x, x+3 ( x는 자연수)이라 하면
x@+{x+3}@=185
x@+x@+6x+9=185
2x@+6x-176=0
x@+3x-88=0
{x+11}{x-8}=0
∴ x=-11 또는 x=8
그런데 x>0이므로 x=8
따라서 두 자연수는 8, 11이다.
113
답 9, 과정은 풀이 참조
이라 하면
연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1( x는 1보다 큰 자연수)
y`!
y`@
{x+1}@={x-1}@+x@-32
x@+2x+1=x@-2x+1+x@-32
따라서 세 자연수는 7, 8, 9이므로 가장 큰 수는 9이다.
x@-4x-32=0
{x+4}{x-8}=0
∴ x=-4 또는 x=8
그런데 x>1이므로 x=8
채점 기준
! 세 자연수를 x를 사용하여 나타내기
@ x에 관한 이차방정식 세우기
# 이차방정식의 해 구하기
$ 가장 큰 수 구하기
y`#
y`$
배점
20 %
20 %
40 %
20 %
114
답 -6, 3
어떤 수를 x라 하면
{x+3}@=3{x+9}
x@+6x+9=3x+27, x@+3x-18=0
{x+6}{x-3}=0
∴ x=-6 또는 x=3
따라서 어떤 수를 모두 구하면 -6, 3이다.
115
답 ④
유리의 언니의 나이를 x살이라 하면
x@=2{x-3}@-7
x@=2x@-12x+18-7, x@-12x+11=0
{x-1}{x-11}=0
∴ x=1 또는 x=11
그런데 x>3이므로 x=11
따라서 유리의 언니의 나이는 11살이다.
따라서 연속하는 두 홀수는 11, 13이므로 합을 구하면
유리의 나이는 {x-3}살이므로
중등개뿔유형편파워-정답-4단원.indd 44
16. 12. 5. 오후 7:01
116
답 9명
전체 탐험 대원의 수를 x명이라 하면
각 대원이 가진 보물의 수는 {x-3}개이므로
121
답 11 m
x{x+5}=176
세로의 길이를 x m라 하면 가로의 길이는 {x+5} m이므로
x{x-3}=54
x@-3x-54=0
{x+6}{x-9}=0
∴ x=-6 또는 x=9
그런데 x>3이므로 x=9
따라서 전체 탐험 대원의 수는 9명이다.
117
답 ③
셋째 주 토요일을 x일이라 하면
첫째 주 토요일은 {x-14}일이므로
x{x-14}=51
x@-14x-51=0
{x+3}{x-17}=0
∴ x=-3 또는 x=17
그런데 x>14이므로 x=17
따라서 다음 달 셋째 주 토요일은 17일이다.
x@+5x-176=0, {x+16}{x-11}=0
∴ x=-16 또는 x=11
그런데 x>0이므로 x=11
따라서 놀이터의 세로의 길이는 11 m이다.
122
답 ③
가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는 {13-x} cm이
유
형
편
파
워
므로
x{13-x}=40
x@-13x+40=0
{x-5}{x-8}=0
∴ x=5 또는 x=8
따라서 가로의 길이가 5 cm일 때 세로의 길이는 8 cm이고,
가로의 길이가 8 cm일 때 세로의 길이는 5 cm이므로
가로의 길이와 세로의 길이의 차는
8-5=3 {cm}
따라서 물체의 높이가 50 m가 되는 것은 쏘아 올린 지 1초
따라서 처음의 정사각형 모양의 밭의 한 변의 길이는 6 m이
y`#
다.
118
답 ①
30+25t-5t@=50
5t@-25t+20=0
t@-5t+4=0
{t-1}{t-4}=0
∴ t=1 또는 t=4
후 또는 4초 후이다.
119
답 ②
30t-5t@+80=120
5t@-30t+40=0
t@-6t+8=0
{t-2}{t-4}=0
∴ t=2 또는 t=4
지 2초 후이다.
y`!
y`@
배점
30 %
40 %
30 %
123
답 6 m, 과정은 풀이 참조
직사각형 모양의 밭의 넓이는
{x+3}{x-1}=45
x@+2x-48=0
{x+8}{x-6}=0
∴ x=-8 또는 x=6
그런데 x>1이므로 x=6
채점 기준
! 이차방정식 세우기
@ 이차방정식의 해 구하기
# 정사각형 모양의 밭의 한 변의 길이 구하기
124
답 ③
△AED에서 ∠A=45!이고
∠AED=90!이므로 △AED는
A
45!
x cm
직각이등변삼각형이다.
이때 BF
=x cm라 하면
AE
=ED
=BF
=x cm
즉, BE
={10-x} cm이므로
x{10-x}=21
x@-10x+21=0
{x-3}{x-7}=0
∴ x=3 또는 x=7
그런데 BF
>BE
이므로 x=7
E
{10-x} cm
x cm
D
B
x cm
F
C
IV. 이차방정식 45
따라서 처음으로 120 m의 높이에 도달하는 것은 쏘아 올린
120
답 ③
물체가 지면에 떨어질 때의 높이는 0 m이므로
65t-5t@=0
t@-13t=0
t{t-13}=0
∴ t=0 또는 t=13
그런데 t>0이므로 t=13
따라서 지면에 떨어질 때까지 걸리는 시간은 13초이다.
따라서 BF
의 길이는 7 cm이다.
중등개뿔유형편파워-정답-4단원.indd 45
16. 12. 1. 오후 11:58
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
125
답 ③
점 A에서 BC
에 내린 수선의 발을
E라 하자. CD
△ABE는 직각이등변삼각형이므
=x cm라 하면
A
2 cm
D
x cm x cm
B
45!
x cm
2 cm
C
E
129
답 28 cm@, 과정은 풀이 참조
타일의 짧은 변의 길이를 x cm라 하면
로
1
2
AE
=BE
=CD
=x cm
즉,
\92+{x+2}0\x=16이므로
x@+4x-32=0
{x+8}{x-4}=0
∴ x=-8 또는 x=4
그런데 x>0이므로 x=4
따라서 CD
의 길이는 4 cm이다.
126
답 1 cm
OP
=x cm라 하면
AO
=BO
=3 cm이므로
={3+x} cm, PB
AP
즉, {3+x}@=4{3-x}@이므로
={3-x} cm
9+6x+x@=36-24x+4x@
x@-10x+9=0, {x-1}{x-9}=0
∴ x=1 또는 x=9
그런데 0
이므로 x=4
11
3
1
2
7 cm이므로 타일 한 개의 넓이는
4\7=28 {cm@}
채점 기준
! 이차방정식 세우기
@ 이차방정식의 해 구하기
# 타일 한 개의 넓이 구하기
따라서 타일의 짧은 변의 길이는 4 cm, 긴 변의 길이는
y`!
y`@
y`#
배점
30 %
30 %
40 %
130
답 96p cm#
원기둥의 높이를 3x cm, 밑면의 반지름의 길이를 2x cm라
하면 이 원기둥의 옆넓이는
{2p\2x}\3x=48p
12px@=48p, x@=4 ∴ x=-2
그런데 x>0이므로 x=2
4 cm이므로 부피는
p\4@\6=96p {cm#}
따라서 이 원기둥의 높이는 6 cm, 밑면의 반지름의 길이는
131
답 ②
AB
=x cm라 하면
OA
={x+1} cm이므로
색칠한 부분의 넓이는
p9{x+1}+x0@-p{x+1}@=40p
4x@+4x+1-{x@+2x+1}=40
3x@+2x-40=0
{x+4}{3x-10}=0
∴ x=-4 또는 x=
그런데 x>0이므로 x=
10
3
10
3
10
3
따라서 △PCQ의 넓이가 300 cm@가 되는 것은 10초 후이다.
따라서 AB
의 길이는
cm이다.
중등개뿔유형편파워-정답-4단원.indd 46
16. 12. 1. 오후 11:58
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
y`#
배점
30 %
40 %
30 %
유
형
편
파
워
135
답 ①, ⑤
물받이의 단면은 세로의 길이가 x cm, 가로의 길이가
{48-2x} cm인 직사각형이므로
그런데 04이므로 x=12
이다.
136
답 ③
처음 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이를 x cm라 하면
따라서 처음 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이는 12 cm
132
답 6
AC
=x라 하면
CB
=20-x이므로
(색칠한 부분의 넓이)
= (AB
를 지름으로 하는 반원의 넓이)
-( AC
를 지름으로 하는 반원의 넓이)
-( CB
를 지름으로 하는 반원의 넓이)
1
21p=
2
\p\
[
\p\
x
2 ]@
[
1
2
20
2 ]@-
20-x
2
[
]@
{20-x}@
8
-
\p\
1
2
x@
8
21=50-
-
x@
8
+
{20-x}@
8
-29=0
x@+{20-x}@-232=0
x@+400-40x+x@-232=0
2x@-40x+168=0
x@-20x+84=0
{x-6}{x-14}=0
∴ x=6 또는 x=14
그런데 AC
0
-3k>-4 ∴ k<
4
3
8
x@+3x-10=0에서 {x+5}{x-2}=0
∴ x=-5 또는 x=2
5x@-7x=6에서 5x@-7x-6=0
{5x+3}{x-2}=0
3
5
∴ x=-
또는 x=2
y`@
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=2이다. y`#
48 정답과 해설 _ 유형편 파워
15
a+b=3(①), ab=-2이므로
②
+
=
1
a
1
b
a+b
ab
=
3
-2
=-
3
2
y`!
③ {a-b}@={a+b}@-4ab=3@-4\{-2}=17
∴ a-b=-j17k
④ a@+b@={a+b}@-2ab=3@-2\{-2}=13
⑤
b
a
+
a
b
=
a@+b@
ab
=
13
-2
=-
13
2
중등개뿔유형편파워-정답-4단원.indd 48
16. 12. 1. 오후 11:58
y`#
배점
30 %
40 %
30 %
유
형
편
파
워
3\{-1}@+8\{-1}+b=0
-5+b=0 ∴ b=5
채점 기준
! a의 값 구하기
@ 다른 한 근 구하기
# b의 값 구하기
22
x@+{a-1}x-a=0에서
x =
-{a-1}-1{a-1}@-4\1\{-a}3
2\1
=
-{a-1}-1a@-2a+1+4a3
2
=
=
{-a+1}-1{a+1}@3
2
{-a+1}-{a+1}
2
∴ x=-a 또는 x=1
a는 자연수이므로 a+1>0
이때 a는 자연수이므로 a=4일 때 두 근 사이의 정수는
-3, -2, -1, 0의 4개가 된다.
∴ a=4
16
두 근이 -4, 2이고, x@의 계수가 2이므로
2{x+4}{x-2}=0, 2{x@+2x-8}=0
∴ 2x@+4x-16=0
따라서 a=4, b=-16이므로
a+b=4+{-16}=-12
두 근의 합에서 -4+2=-
∴ a=4
a
2
두 근의 곱에서 -4\2=
b
2
∴ a+b=4+{-16}=-12
∴ b=-16
17
어떤 자연수를 x라 하면
2x=x@-15
x@-2x-15=0, {x+3}{x-5}=0
∴ x=-3 또는 x=5
그런데 x>0이므로 x=5
따라서 어떤 자연수는 5이다.
18
x@+x-1=0에 x=a를 대입하면
a@+a-1=0 ∴ a@+a=1
∴ (주어진 식) =a#{a@+a-1}+{a@+a}+5
=a#\0+1+5
=6
19
2x@-x-10=0에서 {x+2}{2x-5}=0
5
2
5
2
이때 a>b이므로 a=
, b=-2
즉, x@-2ax-2b=0에서 x@-5x+4=0
{x-1}{x-4}=0
∴ x=1 또는 x=4
∴ x=-2 또는 x=
그런데 a0이므로 x=30
50 정답과 해설 _ 유형편 파워
중등개뿔유형편파워-정답-4단원.indd 50
16. 12. 1. 오후 11:58
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
유형편
파워
V. 이차함수와 그 그래프
P. 90 ~91
즉, f{x}=-
x@-2x+3이므로
1
3
1
3
f{-3} =-
\{-3}@-2\{-3}+3
=-3+6+3=6
유
형
편
파
워
유형 1 ~2
1 답 ③
① y=2x+1 ⇨ 일차함수
② {x+2}@=x+3에서 x@+3x+1=0 ⇨ 이차방정식
③ y=5+x@ ⇨ 이차함수
④ y=x@-x{x+1}=-x ⇨ 일차함수
⑤ y=
⇨ 이차함수가 아니다.
5
x@
2 답 ①
ㄱ. y=p\
1
x
2
]@=
1
4
[
px@ ⇨ 이차함수
ㄴ. y=
\9{x+1}+{x+3}0\6=6x+12
1
2
⇨ 일차함수
ㄷ. y=
\px@\12=4px@ ⇨ 이차함수
ㄹ. y=24-x ⇨ 일차함수
ㅁ. y=
⇨ 이차함수가 아니다.
1
3
5
x
3 답 ②
y =5-4x@+ax{x+2}
=5-4x@+ax@+2ax
={a-4}x@+2ax+5
따라서 x@의 계수가 0이 아니어야 하므로
a-4=0 ∴ a=4
4 답 6
f{2} =-2@-5\2+7
=-4-10+7
=-7
f{-2} =-{-2}@-5\{-2}+7
=-4+10+7
=13
∴ f{2}+f{-2}=-7+13=6
5 답 ④
6 답 6
f{-1}=4\{-1}@-a\{-1}+1=6이므로
a+5=6 ∴ a=1
f{-6}=-
\{-6}@+b\{-6}+c=3이므로
-12-6b+c=3 ∴ -6b+c=15
… ㉠
f{3}=-
\3@+b\3+c=-6이므로
1
3
1
3
7 답 ②
f{a}=2a@-3a-1=1이므로
2a@-3a-2=0
{2a+1}{a-2}=0
1
2
∴ a=-
또는 a=2
그런데 a는 정수이므로 a=2
8 답 ㄷ, ㅂ
ㄱ. y=3x{x+1}=3x@+3x ⇨ 이차함수
ㄴ. y=2x@-5x+1 ⇨ 이차함수
ㄷ. y=x{x-4}-x@=-4x ⇨ 일차함수
ㄹ. y={x-2}{x+7}=x@+5x-14 ⇨ 이차함수
1
2
x@-1
2
⇨ 이차함수
ㅁ. y=
x@-
1
2
=
ㅂ. x@+3x=0 ⇨ 이차방정식
9 답 ④, ⑤
1
① y=
2
x ⇨ 일차함수
② y=
\100=
100x
500+x
x
500+x
③ y=10x ⇨ 일차함수
④ y={x+3}{x+2}=x@+5x+6 ⇨ 이차함수
⑤ y=6x@ ⇨ 이차함수
⇨ 이차함수가 아니다.
10 답 ②, ③
y =k@x@+k{x-4}@
=k@x@+k{x@-8x+16}
=k@x@+kx@-8kx+16k
={k@+k}x@-8kx+16k
따라서 x@의 계수가 0이 아니어야 하므로
k@+k=0, k{k+1}=0
∴ k=-1이고 k=0
11 답 ④
f{-2}=2\{-2}@-a\{-2}+1=-1이므로
8+2a+1=-1, 2a=-10
∴ a=-5
즉, f{x}=2x@+5x+1이므로
f{1}=2\1@+5\1+1=b에서
-3+3b+c=-6 ∴ 3b+c=-3
… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 b=-2, c=3
2+5+1=b ∴ b=8
∴ a+b=-5+8=3
V. 이차함수와 그 그래프 51
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2016-12-01 오후 10:00:00
채점 기준
로 ㅂ이다.
P. 91 ~93
20 답 ㉢
y=-3x@의 그래프는 위로 볼록하면서 y=-x@의 그래프
보다 폭이 좁아야 하므로 ㉢이다.
21 답 ⑤
a가 양수이고, y=ax@의 그래프가 y=
x@의 그래프보다
1
4
폭이 좁고 y=4x@의 그래프보다 폭이 넓으므로
1
4
0이면 아래로 볼록한 포물선이다.
④ a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
⑤ a=
일 때, 점 {2, 2}를 지난다.
25 답 ③
y의 값이 x@의 값에 정비례하므로 y=ax@으로 놓자.
이 그래프가 점 {3, -6}을 지나므로
-6=a\3@ ∴ a=-
2
3
∴ y=-
x@
2
3
26 답 16, 과정은 풀이 참조
포물선의 꼭짓점이 원점이므로 y=ax@으로 놓자. y !
이 그래프가 점 {-1, 4}를 지나므로
4=a\{-1}@ ∴ a=4
즉, y=4x@의 그래프가 점 {2, m}을 지나므로
m=4\2@=16
y @
y #
유형 3 ~7
12 답 ③
y=-2x@에 주어진 점의 좌표를 각각 대입하면
① -8=-2\{-2}@
③ -2=-2\0@
⑤ -18=-2\3@
② -2=-2\{-1}@
④ -2=-2\1@
13 답 ③
1
y=
3
k=
\6@=12
1
3
x@의 그래프가 점 {6, k}를 지나므로
14 답 1, 과정은 풀이 참조
y=ax@의 그래프가 점 {4, 8}을 지나므로
즉, y=
x@의 그래프가 점 {-2, b}를 지나므로
8=a\4@ ∴ a=
1
2
1
2
1
2
b=
\{-2}@=2
1
2
∴ ab=
\2=1
! a의 값 구하기
@ b의 값 구하기
# ab의 값 구하기
y !
y @
y #
배점
40 %
40 %
20 %
15 답 ③
16 답 2쌍
17 답 ②
7
3
18 답
19 답 ③
y=-3x@과 y=3x@, y=-
x@과 y=
x@의 2쌍이다.
1
3
1
3
y=x@의 그래프가 점 {m, m+2}를 지나므로
m+2=m@, m@-m-2=0
{m+1}{m-2}=0 ∴ m=-1 또는 m=2
그런데 m>0이므로 m=2
y=-ax@의 그래프가 점 {-3, -21}을 지나므로
-21=-a\{-3}@ ∴ a=
7
3
52 정답과 해설 _ 유형편 파워
1
4 |
즉,
|
<|1|<
x@의 계수의 절댓값이 작을수록 그래프의 폭이 넓어진다.
7
3 |
1
4
폭이 가장 넓은 것은 ③ y=
<|-3|이므로 그래프의
x@이다.
3
2 |
<
-
|
|
채점 기준
! 이차함수의 식을 y=ax@으로 놓기
@ a의 값 구하기
# m의 값 구하기
배점
20 %
40 %
40 %
중등개뿔 유형편파워 정답(051~057)5단원-OK.indd 52
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27 답 y=-
1
3
x@
포물선의 꼭짓점이 원점이므로 y=ax@으로 놓자.
이 그래프가 점 {6, -12}를 지나므로
-12=a\6@ ∴ a=-
1
3
∴ y=-
1
3
x@
0=a\2@+2 ∴ a=-
1
2
∴ aq=-
\2=-1
1
2
y=2{x+1}@의 그래프는 아래로 볼록한 포물선이고, 꼭짓
점의 좌표가 {-1, 0}이므로 그래프로 적당한 것은 ②이다.
유
형
편
파
워
y=2x@+1의 그래프는 아래로 볼록한 포물선이고, 꼭짓점
의 좌표가 {0, 1}이므로 그래프로 적당한 것은 ④이다.
P. 94 ~100
y=-{x+2}@=9x-{-2}0@의 그래프는 y=-x@의 그래
프를 x축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이고, 꼭짓점
의 좌표는 {-2, 0}이므로
a=-2, b=-2, c=0
∴ a+b+c=-2+{-2}+0=-4
유형 8 ~14
28 답 ④
29 답 ①
30 답 1
평행이동한 그래프의 식은 y=3x@-2
이 그래프가 점 {-1, k}를 지나므로
k=3\{-1}@-2=1
31 답 -5
평행이동한 그래프의 식은 y=
x@+a
2
3
이 그래프가 점 {6, 19}를 지나므로
19=
\6@+a ∴ a=-5
2
3
32 답 -1, 과정은 풀이 참조
y=ax@+q의 그래프가 두 점 {1, -3}, {-2, 3}을 지나
므로
-3=a\1@+q ∴ -3=a+q
3=a\{-2}@+q ∴ 3=4a+q
y`㉠
y`㉡ y !
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=2, q=-5
∴ 2a+q=2\2+{-5}=-1
채점 기준
! a, q에 관한 연립방정식 세우기
@ a, q의 값 구하기
# 2a+q의 값 구하기
y @
y #
배점
40 %
40 %
20 %
④ x@의 계수가 다르므로 평행이동하여 완전히 포갤 수 없다.
33 답 ④
34 답 -1
꼭짓점의 좌표가 {0, 2}이므로 q=2
즉, y=ax@+2의 그래프가 점 {2, 0}을 지나므로
35 답 ②
36 답 -4
37 답 ⑤
38 답 5
39 답 ④
그래프가 아래로 볼록하고, 축의 방정식이 x=1이므로
x>1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
평행이동한 그래프의 식은 y=5{x+2}@
이 그래프가 점 {-3, k}를 지나므로
k=5\{-3+2}@=5
y={x-p}@의 그래프가 점 {1, 4}를 지나므로
4={1-p}@, 1-p=-2 ∴ p=-1 또는 p=3
그런데 p>0이므로 p=3
즉, y={x-3}@의 그래프의 축의 방정식은 x=3
40 답 ①, ④
② 축의 방정식은 x=2이다.
③ 꼭짓점의 좌표는 {2, 0}이다.
⑤ y=-4x@의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한
그래프이다.
41 답 a=-
1
2
, p=4
꼭짓점의 좌표가 {4, 0}이므로 p=4
즉, y=a{x-4}@의 그래프가 점 `{0, -8}을 지나므로
-8=a{0-4}@ ∴ a=-
1
2
42 답 {0, -5}, 과정은 풀이 참조
평행이동한 그래프의 식은 y=-
1
2
x@+a
이 그래프가 점 {-2, -7}을 지나므로
-7=-
\{-2}@+a ∴ a=-5
1
2
따라서 y=-
1
2
{0, -5}이다.
x@-5의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
y !
y @
y #
V. 이차함수와 그 그래프 53
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채점 기준
! 평행이동한 그래프의 식 세우기
@ a의 값 구하기
# 꼭짓점의 좌표 구하기
배점
30 %
40 %
30 %
43 답 ④
① y축에 대칭이다.
② 꼭짓점의 좌표는 {0, -2}이다.
③ |1|>
이므로 y=x@-2의 그래프보다 폭이 넓다.
1
2 |
|
④ 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로 모
y
든 사분면을 지난다.
그래프가 위로 볼록하고, 축의 방정식이 x=-1이므로
x<-1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
{x+4}@-3=-
9x-{-4}0@-3의 그래프는
1
12
y=-
x@의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방
향으로 -3만큼 평행이동한 것이다.
∴ m=-4, n=-3
⑤ x@의 계수가 다르므로 평행이동하여 완전히 포갤 수 없다.
x
O
-2
평행이동한 그래프의 식은 y=2{x-1}@-2
이 그래프가 점 {3, a}를 지나므로
a=2\{3-1}@-2=6
50 답 ①
51 답 ②
y=-
1
12
1
12
52 답 6
53 답 ⑤
54 답 ③
55 답 ②
x@의 계수가 같으면 평행이동하여 완전히 포갤 수 있다.
③ 꼭짓점의 좌표는 {-3, -4}이다.
꼭짓점의 좌표가 {-p, 2p@-1}이고,
꼭짓점이 직선 y=5x+2 위에 있으므로
2p@-1=5\{-p}+2, 2p@+5p-3=0
{p+3}{2p-1}=0 ∴ p=-3 또는 p=
1
2
그런데 p>0이므로 p=
1
2
56 답 ③
57 답 ⑤
⇨ ①, ③, ⑤
그래프가 아래로 볼록하므로 x@의 계수는 양수이어야 한다.
이때 꼭짓점의 좌표를 각각 구해 보면
① {0, -1} : y축 위의 점
③ {2, -2} : 제4사분면 위의 점
⑤ {-2, -2} : 제3사분면 위의 점
따라서 그래프가 아래로 볼록하고, 꼭짓점이 제3사분면 위에
있는 것은 ⑤이다.
꼭짓점의 좌표가 {1, -1}로 제4사분면 위
에 있고, 위로 볼록한 포물선이므로 그래
프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 그래프가 지나지 않는 사분면은 제
1, 2사분면이다.
y
O
-1
1
x
y=x@의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동하였으
므로 그래프의 식은 y=x@-3
이 그래프가 점 {3, a}를 지나므로
a=3@-3=6
44 답 6
45 답 ②
1
2
46 답
y=-29x-{-3}0@=-2{x+3}@
따라서 꼭짓점의 좌표는 {-3, 0}이다.
평행이동한 그래프의 식은 y=a{x+4}@
이 그래프가 점 {-2, 2}를 지나므로
2=a{-2+4}@ ∴ a=
1
2
47 답 2, 4
평행이동한 그래프의 식은 y=-3{x-m}@
이 그래프가 점 {3, -3}을 지나므로
-3=-3{3-m}@, {3-m}@=1
3-m=-1 ∴ m=2 또는 m=4
48 답 ㄴ, ㄹ
ㄱ. 점 {-2, 0}을 꼭짓점으로 한다.
ㄷ. x<-2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
ㅁ. y=3x@의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼 평행이동
한 그래프이다.
58 답 ①
49 답 ④
y={x-3}@+4의 그래프는 아래로 볼록한 포물선이고, 꼭
짓점의 좌표가 {3, 4}이므로 그래프로 적당한 것은 ④이다.
54 정답과 해설 _ 유형편 파워
중등개뿔 유형편파워 정답(051~057)5단원-OK.indd 54
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59 답 ②, ⑤
② 축의 방정식은 x=0이다.
④ 꼭짓점의 좌표가 {4, 3}으로 제1사분면 위에 있고, 아래
로 볼록한 포물선이므로 그래프는 제 3, 4 사분면을 지나
지 않는다.
⑤ 축의 방정식이 x=-1이고, 아래로 볼록한 포물선이므
로 x<-1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
이 그래프가 점 {1, m}을 지나므로
m=-2\{1+1}@=-8
66 답 ①
꼭짓점의 좌표가 {1, 1}이므로 y=a{x-1}@+1로 놓자.
이 그래프가 점 {2, -2}를 지나므로
-2=a{2-1}@+1 ∴ a=-3
∴ y=-3{x-1}@+1
{x+1}@+3에 x 대신 x-2, y 대신 y+5를 대입
67 답 ⑴ y={x-2}@-3 ⑵ y=-2{x-1}@+3
⑴ 꼭짓점의 좌표가 {2, -3}이므로 y=a{x-2}@-3으로
유
형
편
파
워
60 답 x=1, {1, -2}
1
2
y=-
하면
1
2
y+5=-
{x-2+1}@+3 ∴ y=-
{x-1}@-2
따라서 축의 방정식은 x=1, 꼭짓점의 좌표는 {1, -2}
1
2
61 답 -2
y=ax@-3에 x 대신 x+2, y 대신 y+1을 대입하면
y+1=a{x+2}@-3 ∴ y=a{x+2}@-4
이 그래프가 점 {1, -22}를 지나므로
-22=a{1+2}@-4, -22=9a-4 ∴ a=-2
62 답 ③
y={x-3}@-1에 x 대신 x-a, y 대신 y-b를 대입하면
y-b={x-a-3}@-1 ∴ y=9x-{a+3}0@+b-1
이때 꼭짓점의 좌표는 {a+3, b-1}이므로
a+3=0, b-1=0 ∴ a=-3, b=1
∴ a+b=-3+1=-2
63 답 ②
y=3{x+1}@+4에 y 대신 -y를 대입하면
-y=3{x+1}@+4 ∴ y=-3{x+1}@-4
64 답 ⑤
① y={x-3}@에 y 대신 -y를 대입하면
-y={x-3}@ ∴ y=-{x-3}@
2
3
2
3
② y=
x@에 y 대신 -y를 대입하면
-y=
x@ ∴ y=-
2
3
x@
③ y=3x@에 y 대신 -y를 대입하면
-y=3x@ ∴ y=-3x@
④ y=-{x+4}@-2에 y 대신 -y를 대입하면
-y=-{x+4}@-2 ∴ y={x+4}@+2
⑤ y=2{x-1}@-4에 y 대신 -y를 대입하면
-y=2{x-1}@-4 ∴ y=-2{x-1}@+4
따라서 x축에 대칭인 것끼리 바르게 짝지어진 것은 ⑤이다.
65 답 ①
y=-2{x-1}@에 x 대신 -x를 대입하면
y=-2{-x-1}@ ∴ y=-2{x+1}@
놓자.
이 그래프가 점 {0, 1}을 지나므로
1=a{0-2}@-3 ∴ a=1
∴ y={x-2}@-3
이 그래프가 점 {0, 1}을 지나므로
1=a{0-1}@+3 ∴ a=-2
∴ y=-2{x-1}@+3
⑵ 꼭짓점의 좌표가 {1, 3}이므로 y=a{x-1}@+3으로 놓자.
68 답 y= 1
2
{x-1}@+5
축의 방정식이 x=1이므로 y=a{x-1}@+q로 놓자.
이 그래프가 두 점 {-1, 7}, {5, 13}을 지나므로
7=a{-1-1}@+q ∴ 7=4a+q
13=a{5-1}@+q ∴ 13=16a+q
y`㉠
y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=
, q=5
1
2
∴ y=
{x-1}@+5
1
2
그래프가 위로 볼록한 포물선이므로 a<0
꼭짓점 {0, b}에서 y좌표가 양수이므로 b>0
그래프가 아래로 볼록한 포물선이므로 a>0
꼭짓점 {p, q}가 제3사분면 위에 있으므로 p<0, q<0
③ pq>0
④ a>0, q@>0이므로 a+q@>0
⑤ a>0, p+q<0이므로 a{p+q}<0
a>0이므로 아래로 볼록한 포물선이다.
또 p>0, q<0이므로 꼭짓점 {p, q}는 제4사분면 위에 있다.
주어진 일차함수의 그래프에서 a>0, b<0
즉, y=bx@-a의 그래프는 b<0이므로 위로 볼록한 포물선
이고, -a<0이므로 꼭짓점 {0, -a}는 y축 위에 있으면서
x축보다 아래쪽에 있다.
V. 이차함수와 그 그래프 55
69 답 ④
70 답 ④
71 답 ③
72 답 ⑤
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73 답 ②
y=a{x+p}@+q의 그래프가 아래로 볼록한 포물선이므로
a>0
a=
\3@=6
3 y=
x@의 그래프가 점 {3, a}를 지나므로
꼭짓점 {-p, q}가 제1사분면 위에 있으므로
-p>0, q>0 ∴ p<0, q>0
즉, y=p{x-q}@-a의 그래프는 p<0이므로 위로 볼록한
포물선이고, q>0, -a<0이므로 꼭짓점 {q, -a}는 제4사
분면 위에 있다.
따라서 y=p{x-q}@-a의 그래프는
오른쪽 그림과 같이 제3, 4사분면을 지
y
O
x
난다.
74 답 ㄱ, ㄷ
y=a{x-p}@+q의 그래프가 제1, 2, 3
사분면만 지나려면 오른쪽 그림과 같아
야 하므로 a>0, p<0, q<0
ㄱ. 아래로 볼록한 포물선이다.
ㄷ. 꼭짓점은 제3사분면 위에 있다.
ㄹ. a>0, p<0, q<0이므로 apq>0
단원 마무리
1 ③
5 ① 6 7
2 1, 과정은 풀이 참조
7 x>2
10 2, 과정은 풀이 참조
11 1
P. 101 ~103
3 ④
8 ③
4 ③, ④
9 ①, ⑤
1
1
4
4
[
17 -4
12
]
,
13 -4 14 ④ 15 ⑤ 16 3
1
9 20 -2 21 -
18 ③ 19
5
4
0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
y
xO
6 평행이동한 그래프의 식은 y=ax@-2
이 그래프가 점 {1, 5}를 지나므로
5=a\1@-2 ∴ a=7
7
그래프가 위로 볼록한 포물선이고 축의 방정식이 x=2이므
로 x>2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
8 꼭짓점이 x축 위에 있고, 축의 방정식이 x=-3이므로
y=a{x+3}@으로 놓자.
이 그래프가 점 {1, -8}을 지나므로
-8=a{1+3}@ ∴ a=-
1
2
∴ y=-
{x+3}@
1
2
9 ① y=3x@의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방
향으로 1만큼 평행이동한 그래프이다.
⑤ 제3, 4사분면을 지나지 않는다.
10 꼭짓점의 좌표가 {2, -1}이므로
p=2, q=-1
즉, y=a{x-2}@-1의 그래프가 점 {0, 3}을 지나므로
3=a{0-2}@-1 ∴ a=1
∴ a+p+q=1+2+{-1}=2
y !
y @
y #
채점 기준
! p, q의 값 구하기
@ a의 값 구하기
# a+p+q의 값 구하기
배점
30 %
40 %
30 %
11 f{a}=3a@-7a+2=-2이므로
3a@-7a+4=0
{a-1}{3a-4}=0 ∴ a=1 또는 a=
4
3
그런데 a는 정수이므로 a=1
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2016-12-01 오후 10:00:02
12 y=4x@의 그래프 위의 점 A의 좌표를 {a, a}라 하면
a=4a@
1=
{a-3}@+1
3
2
3
2
{a-3}@=0 ∴ a=3 (중근)
4a@-a=0, a{4a-1}=0
∴ a=0 또는 a=
1
4
그런데 점 A는 원점이 아니므로 a=
따라서 점 A의 좌표는
1
4
[
,
1
4 ]
이다.
1
4
13 꼭짓점이 원점이므로 y=ax@으로 놓자.
이 그래프가 점 {2, -1}을 지나므로
-1=a\2@ ∴ a=-
1
4
즉, f{x}=-
x@이므로
f{4}=-
\4@=-4
1
4
1
4
14 ㈎에서 꼭짓점의 좌표가 {0, -1}이므로 y=ax@-1로 놓자.
㈏에서 그래프가 제1, 2사분면을 지나지 않으므로 그래프의
y`㉠
모양은 위로 볼록한 포물선이다.
∴ a<0
㈐에서 y=x@의 그래프보다 폭이 넓으므로
00, q<0
즉, y=-a{x-q}@-p의 그래프는 -a>0이므로 아래로
볼록한 포물선이고, q<0, -p<0이므로 꼭짓점 {q, -p}
는 제3사분면 위에 있다.
19 점 B의 x좌표를 k라 하면 B{k, 4}
y=x@의 그래프가 점 B{k, 4}를 지나므로
4=k@ ∴ k=-2
그런데 점 B는 제1사분면 위의 점이므로 k=2
∴ B{2, 4}
즉, AB
2`:`BC
이때 점 C의 x좌표는 2+4=6이므로 C{6, 4}
y=ax@의 그래프가 점 C{6, 4}를 지나므로
1
9
=2이므로 AB
=1`:`2 ∴ BC
4=a\6@ ∴ a=
`:`BC
=4
=1`:`2에서
20 y=-
x@+8, y=a{x-p}@의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
1
2
1
2
1
2
각각 {0, 8}, {p, 0}이다.
y=-
x@+8의 그래프가 점 {p, 0}을 지나므로
0=-
p@+8, p@=16 ∴ p=-4
그런데 p<0이므로 p=-4
y=a{x+4}@의 그래프가 점 {0, 8}을 지나므로
8=a{0+4}@ ∴ a=
∴ ap=
\{-4}=-2
1
2
1
2
21 꼭짓점의 좌표가 {-2, 5}이므로 그래프가 모든 사분면을
지나려면 위로 볼록한 포물선이어야 한다.
∴ a<0
또 y축과 만나는 점이 x축보다 위쪽에 있어야 한다.
즉, x=0일 때, y=a{0+2}@+5>0이어야 하므로
5
4
4a+5>0 ∴ a>-
y`㉡
y`㉠
따라서 ㉠, ㉡에서 -
0
y =x@-2kx+k@+2k+3
={x@-2kx+k@}+2k+3
={x-k}@+2k+3
이므로 꼭짓점의 좌표는 {k, 2k+3}
이 꼭짓점은 제1사분면 위에 있으므로
k>0, 2k+3>0에서 k>-
3
2
∴ k>0
y !
y @
y #
배점
40 %
40 %
20 %
10 답 ⑤
y =x@-2x+a={x-1}@+a-1
이므로 꼭짓점의 좌표는 {1, a-1}
y =-x@+bx+3
=-
x@-bx+
-
+3
b@
4
b@
4 ]
[
[
=-
x-
b
2 ]@+
b@
4
+3
이므로 꼭짓점의 좌표는
[
b
2
,
b@
4
+3
]
두 그래프의 꼭짓점이 일치하므로
b@
4
, a-1=
1=
b
2
+3 ∴ b=2, a=5
꼭짓점의 좌표는 {-3, -2} ⇨ 제3사분면
∴ a+b=5+2=7
181-3유형편 파워 해설 6단원(058~068)-OK.indd 58
2016-12-05 오후 6:34:24
11 답 4
y=x@+2ax+b의 그래프가 점 {-2, 3}을 지나므로
3=4-4a+b ∴ b=4a-1
y =x@+2ax+b
={x@+2ax+a@-a@}+b
={x+a}@-a@+b
y`㉠
이므로 꼭짓점의 좌표는 {-a, -a@+b}
이때 꼭짓점이 직선 y=-2x 위에 있으므로
y`㉡
-a@+b=2a ∴ b=a@+2a
㉠, ㉡에서 4a-1=a@+2a
a@-2a+1=0, {a-1}@=0
∴ a=1
이때 ㉠에서 b=4-1=3
∴ a+b=1+3=4
y =-x@-4x-5=-{x+2}@-1
꼭짓점의 좌표는 {-2, -1}이고, y축과의 교점의 좌표는
{0, -5}이며, 위로 볼록하므로 주어진 이차함수의 그래프
12 답 ①
는 ①이다.
13 답 ②
y =-2x@+8x-3=-2{x-2}@+5
꼭짓점의 좌표는 {2, 5}이고, y축과의 교
점의 좌표는 {0, -3}이며, 위로 볼록하
므로 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같
다.
따라서 제2사분면을 지나지 않는다.
y
5
-3
O
2
x
14 답 ②
① y=-x@-8x-10=-{x+4}@+6
꼭짓점의 좌표는 {-4, 6}이고, y축과
의 교점의 좌표는 {0, -10}이며, 위
y
6
-4
xO
로 볼록하므로 그래프를 그리면 오른
-10
쪽 그림과 같다.
따라서 제1사분면을 지나지 않는다.
② y=-x@-2x+1=-{x+1}@+2
꼭짓점의 좌표는 {-1, 2}이고, y축과
의 교점의 좌표는 {0, 1}이며, 위로 볼
록하므로 그래프를 그리면 오른쪽 그
림과 같다.
따라서 모든 사분면을 지난다.
③ y=x@+6x+9={x+3}@
꼭짓점의 좌표는 {-3, 0}이고, y축과
의 교점의 좌표는 {0, 9}이며, 아래로
볼록하므로 그래프를 그리면 오른쪽
그림과 같다.
따라서 제3, 4사분면을 지나지 않는다.
-1
O
x
y
2
1
y
9
-3
O
x
y
4
O
y
2#
O
x
x
④ y=2x@+4
꼭짓점의 좌표는 {0, 4}이고, 아래로
볼록하므로 그래프를 그리면 오른쪽
그림과 같다.
따라서 제3, 4사분면을 지나지 않는다.
⑤ y=3x@-9x=3
x-
[
27
4
3
2 ]@-
27
4 ]
꼭짓점의 좌표는
[
3
2
과의 교점의 좌표는 {0, 0}이며, 아래
이고, y축
, -
로 볼록하므로 그래프를 그리면 오른쪽
-
27
4
\\\\\\\\\\\\\\\\
그림과 같다.
따라서 제3사분면을 지나지 않는다.
유
형
편
파
워
15 답 {2, 0}, {6, 0}
1
2
y=-
x@+4x-6에 y=0을 대입하면
-
x@+4x-6=0, x@-8x+12=0
1
2
{x-2}{x-6}=0 ∴ x=2 또는 x=6
따라서 x축과 만나는 점의 좌표는 {2, 0}, {6, 0}이다.
16 답 4
17 답 ⑤
y=x@+2x-3에 y=0을 대입하면 x@+2x-3=0
{x+3}{x-1}=0 ∴ x=-3 또는 x=1
따라서 A{-3, 0}, B{1, 0}이므로 AB
=4이다.
y=x@-6x+8에 y=0을 대입하면 x@-6x+8=0
{x-2}{x-4}=0 ∴ x=2 또는 x=4
즉, A{2, 0}, C{4, 0}이다.
y=x@-6x+8={x-3}@-1이므로 B{3, -1}
y=x@-6x+8에 x=0을 대입하면 y=8이므로 D{0, 8}
이때 점 E의 y좌표가 8이므로 y=8을 대입하면
8=x@-6x+8, x@-6x=0, x{x-6}=0
∴ x=0 또는 x=6 ∴ E{6, 8}
18 답 ③
y=x@+3x+1=
x+
3
2 ]@-
5
4
[
이 식에 x 대신 x-2를 대입하면
1
2 ]@-
3
2 ]@-
x-2+
x-
y =
5
4
=
[
[
5
4
=x@-x-1
19 답 1
y=-x@+6x-6=-{x-3}@+3
이 식에 x 대신 x+1, y 대신 y+1을 대입하면
y+1=-{x+1-3}@+3 ∴ y=-{x-2}@+2
이 그래프가 점 {1, k}를 지나므로
k=-{1-2}@+2=1
VI . 이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프 59
중등개뿔 유형편파워 정답(058~068)6단원-사.indd 59
2016-12-01 오후 10:55:06
Z
20 답 ①
y=2x@-4x+3=2{x-1}@+1
이 식에 x 대신 x-p, y 대신 y-q를 대입하면
y-q=2{x-p-1}@+1
∴ y=29x-{p+1}0@+q+1
이 식이 y=2x@-12x+3=2{x-3}@-15와 같아야 하므로
p+1=3, q+1=-15 ∴ p=2, q=-16
∴ pq=2\{-16}=-32
25 답 ②
y =ax@+bx+c
+c
=a
x@+
x+
b
a
=a
x+
b
2a ]@-
[
[
b@
4a@ ]
-
b@
4a@
b@-4ac
4a
ㄱ. 축의 방정식은 x=-
이다.
b
2a
21 답 ⑤
1
y =
2
x@-4x+3=
1
2
① 그래프는 오른쪽 그림과 같이 제3사
{x-4}@-5
분면을 지나지 않는다.
⑤ y=
x@의 그래프를 x축의 방향으로
1
2
4만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행
y
3
O
-5
이동한 것이다.
4
x
22 답 ①, ④
y =-x@+2x+3=-{x-1}@+4
① 직선 x=1을 축으로 한다.
③ x@의 계수가 같으므로 그래프의 모양과 폭이 같다.
④ x>1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
⑤ y=-x@+2x+3에 y=0을 대입하면
-x@+2x+3=0, x@-2x-3=0
{x+1}{x-3}=0 ∴ x=-1 또는 x=3
따라서 x축과 두 점 {-1, 0}, {3, 0}에서 만난다.
23 답 -7
-x@+8x-15=0, x@-8x+15=0
y=-x@+8x-15에 y=0을 대입하면
{x-3}{x-5}=0 ∴ x=3 또는 x=5
∴ p=3, q=5 또는 p=5, q=3
y=-x@+8x-15에 x=0을 대입하면 y=-15이므로
r=-15
∴ p+q+r=8+{-15}=-7
24 답 7
y=x@+5x-3=
x+
5
2 ]@-
37
4
이 식에 x 대신 x+
, y 대신 y-
을 대입하면
[
1
2
1
4
[
+
=
1
4
y-
x+
37
4
5
2 ]@-
1
2
∴ y ={x+3}@-9=x@+6x
이 식이 y=ax@+bx+c와 같아야 하므로
a=1, b=6, c=0
∴ a+b+c=1+6+0=7
60 정답과 해설 _ 유형편 파워
ㅁ. y=ax@+bx+c에 x 대신 -x를 대입하면
y=ax@-bx+c
26 답 ⑴ A{1, 9} ⑵ B{-2, 0}, C{4, 0} ⑶ 27
⑴ y=-x@+2x+8=-{x-1}@+9 ∴ A{1, 9}
⑵ y=-x@+2x+8에 y=0을 대입하면
-x@+2x+8=0, x@-2x-8=0
{x+2}{x-4}=0 ∴ x=-2 또는 x=4
∴ B{-2, 0}, C{4, 0}
1
2
⑶ △ABC=
\6\9=27
27 답 10, 과정은 풀이 참조
y=x@+3x-4에 y=0을 대입하면 x@+3x-4=0
{x+4}{x-1}=0 ∴ x=-4 또는 x=1
∴ A{-4, 0}, B{1, 0}
y=x@+3x-4에 x=0을 대입하면 y=-4이므로
C{0, -4}
∴ △ACB=
\5\4=10
채점 기준
! 두 점 A, B의 좌표 구하기
@ 점 C의 좌표 구하기
# △ACB의 넓이 구하기
y !
y @
y #
배점
40 %
30 %
30 %
x@-
28 답 4
1
y=
3
A{0, -4}
1
3
x@-
y=
4
3
4
3
x-4에 x=0을 대입하면 y=-4이므로
x-4=
{x-2}@-
에서 B
2, -
16
3
16
3 ]
[
1
3
∴ △OAB=
\4\2=4
29 답 3
y=-x@+2x+3=-{x-1}@+4에서
A{1, 4}
y=-x@+2x+3에 x=0을 대입하면 y=3이므로
B{0, 3}
y=-x@+2x+3에 y=0을 대입하면
-x@+2x+3=0, x@-2x-3=0
{x+1}{x-3}=0 ∴ x=-1 또는 x=3
점 C의 x좌표가 양수이므로 C{3, 0}
1
2
1
2
중등개뿔 유형편파워 정답(058~068)6단원-사.indd 60
2016-12-01 오후 10:55:07
∴ △ABC =△ABO+△AOC-△BOC
=
\3\1+
\3\4-
\3\3
1
2
1
2
1
2
=3
30 답 ③
y=-x@-4x+k=-{x+2}@+4+k이므로
축의 방정식은 x=-2
이때 두 점 A, B는 축에 서로 대칭이며 AB
으로부터 각각 3만큼 떨어져 있다.
∴ A{-5, 0}, B{1, 0}
y=-x@-4x+k의 그래프가 점 B{1, 0}을 지나므로
0=-1-4+k ∴ k=5
즉, y=-x@-4x+5=-{x+2}@+9에서 C{-2, 9}
=6이므로 축
∴ △ABC=
\6\9=27
1
2
31 답 ③
꼭짓점의 좌표가 {-2, 1}이므로 y=a{x+2}@+1로 놓자.
이 그래프가 점 {-3, 2}를 지나므로
2=a{-3+2}@+1 ∴ a=1
즉, y={x+2}@+1=x@+4x+5이므로 b=4, c=5
∴ a+b-c=1+4-5=0
32 답 y=-x@+4x+1
꼭짓점의 좌표가 {2, 5}이므로 y=a{x-2}@+5로 놓자.
이 그래프가 점 {0, 1}을 지나므로
1=a{0-2}@+5, 4a=-4 ∴ a=-1
∴ y=-{x-2}@+5=-x@+4x+1
33 답 ②
y=4x@+24x+41=4{x+3}@+5
꼭짓점의 좌표가 {-3, 5}이므로 구하는 이차함수의 식을
y=a{x+3}@+5로 놓자.
y=
x@-x-4의 그래프와 y축의 교점의 좌표는 {0, -4}
1
3
즉, y=a{x+3}@+5의 그래프가 점 {0, -4}를 지나므로
-4=a{0+3}@+5, 9a=-9 ∴ a=-1
∴ y=-{x+3}@+5=-x@-6x-4
34 답 1
축의 방정식이 x=3이므로 y=a{x-3}@+q로 놓자.
이 그래프가 두 점 {0, 13}, {1, 3}을 지나므로
13=a{0-3}@+q ∴ 13=9a+q
3=a{1-3}@+q ∴ 3=4a+q
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, q=-5
즉, y=2{x-3}@-5=2x@-12x+13이므로
a=2, b=-12, c=13
∴ a-b-c=2-{-12}-13=1
y`㉠
y`㉡
35 답 -3, 과정은 풀이 참조
축의 방정식이 x=4이고, x@의 계수가 1이므로
y={x-4}@+q로 놓자.
이 그래프가 점 {0, 5}를 지나므로
5={0-4}@+q ∴ q=-11
즉, y={x-4}@-11=x@-8x+5이므로
b=-8, c=5
∴ b+c=-8+5=-3
채점 기준
! 이차함수의 식을 y=a{x-p}@+q의 꼴로 놓기
@ q의 값 구하기
# b, c의 값 구하기
$ b+c의 값 구하기
y !
y @
y #
y $
배점
20 %
30 %
40 %
10 %
유
형
편
파
워
36 답 6
축의 방정식이 x=-2이므로 y=a{x+2}@+q로 놓자.
이 그래프가 두 점 {0, 6}, {2, 0}을 지나므로
6=a{0+2}@+q ∴ 6=4a+q
0=a{2+2}@+q ∴ 0=16a+q
… ㉡
… ㉠
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-
, q=8
즉, y=-
{x+2}@+8=-
x@-2x+6이므로
1
2
1
2
1
2
1
2
a=-
, b=-2, c=6
1
2
∴ abc=-
\{-2}\6=6
37 답 y=3x@-2x+1
y=ax@+bx+c로 놓으면 그래프가 점 {0, 1}을 지나므로
c=1
이때 y=ax@+bx+1의 그래프가 두 점 {-1, 6}, {1, 2}
를 지나므로
6=a-b+1 ∴ a-b=5
2=a+b+1 ∴ a+b=1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-2
∴ y=3x@-2x+1
… ㉠
… ㉡
38 답 {1, 7}, 과정은 풀이 참조
y=ax@+bx+c로 놓으면 그래프가 점 {0, 8}을 지나므로
c=8
y !
이때 y=ax@+bx+8의 그래프가 두 점 {-1, 11},
{4, 16}을 지나므로
11=a-b+8 ∴ a-b=3
16=16a+4b+8 ∴ 4a+b=2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-2
즉, y=x@-2x+8={x-1}@+7이므로
꼭짓점의 좌표는 {1, 7}
y`㉠
y`㉡
y @
y #
VI . 이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프 61
중등개뿔 유형편파워 정답(058~068)6단원-사.indd 61
2016-12-01 오후 10:55:07
Z
채점 기준
! c의 값 구하기
@ a, b의 값 구하기
# 꼭짓점의 좌표 구하기
44 답 ⑤
배점
30 %
50 %
20 %
그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 ∴ b<0
y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c<0
① ab<0
② ac<0
③ bc>0
④ x=-1일 때, y=a-b+c>0
⑤ x=1일 때, y=a+b+c<0
45 답 ①
a<0, ab>0에서 b<0
b<0, bc>0에서 c<0
y=ax@-bx-c에서
a<0이므로 그래프는 위로 볼록하다.
-b>0이므로 a, -b는 부호가 서로 다르다.
따라서 축은 y축의 오른쪽에 있다.
-c>0이므로 y축과의 교점은 x축보다 위쪽에 있다.
46 답 ②
y=ax@+bx+c의 그래프에서
그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0 ∴ b>0
y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c<0
c
b
따라서 a>0,
<0이므로 y=ax+
의
그래프는 오른쪽 그림과 같이 제2사분면
c
b
y
O
x
47 답 ②
y=ax+b의 그래프에서 a<0, b>0
y=x@+ax-b에서
x@의 계수가 양수이므로 그래프는 아래로 볼록하다.
a<0이므로 x@의 계수와 부호가 서로 다르다.
따라서 축은 y축의 오른쪽에 있다.
-b<0이므로 y축과의 교점은 x축보다 아래쪽에 있다.
P. 114 ~117
유형 13 ~19
48 답 ④
y =x@+6x+11={x+3}@+2
따라서 x=-3에서 최솟값은 2이므로 m=2
y =-3x@-6x+2=-3{x+1}@+5
따라서 x=-1에서 최댓값은 5이므로 M=5
∴ m+M=2+5=7
39 답 ③
y=ax@+bx+c로 놓으면 그래프가 점 {0, 3}을 지나므로
c=3
이때 y=ax@+bx+3의 그래프가 두 점 {-3, 0}, {-2, 7}
을 지나므로
0=9a-3b+3 ∴ 3a-b=-1 … ㉠
7=4a-2b+3 ∴ 2a-b=2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=-8
∴ y=-3x@-8x+3
… ㉡
40 답 ⑤
x축과 두 점 {-2, 0}, {3, 0}에서 만나므로
y=a{x+2}{x-3}으로 놓자.
이 그래프가 점 {1, -12}를 지나므로
-12=a\3\{-2} ∴ a=2
즉, y=2{x+2}{x-3}=2x@-2x-12이므로
b=-2, c=-12
∴ ab-c=2\{-2}-{-12}=8
로
y={x-1}{x-5}=x@-6x+5
∴ b=-6, c=5
이 그래프가 점 {4, k}를 지나므로
k=16-24+5=-3
∴ b+c-k=-6+5-{-3}=2
42 답 -12
x축과 두 점 {1, 0}, {3, 0}에서 만나므로
y=a{x-1}{x-3}으로 놓자.
이 그래프가 점 {0, 3}을 지나므로
3=a\{-1}\{-3} ∴ a=1
즉, y={x-1}{x-3}=x@-4x+3이므로
b=-4, c=3
∴ abc=1\{-4}\3=-12
43 답 ②
그래프가 위로 볼록하므로 a<0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0 ∴ b<0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
62 정답과 해설 _ 유형편 파워
41 답 ⑤
x축과 두 점 {1, 0}, {5, 0}에서 만나고, x@의 계수가 1이므
을 지나지 않는다.
중등개뿔 유형편파워 정답(058~068)6단원-사.indd 62
2016-12-01 오후 10:55:08
49 답 ⑤
① y=-x@-5 ⇨ 최댓값은 -5
② y=x@+4x+9 ⇨ 최댓값은 없다.
③ y=-x@-4x-4=-{x+2}@ ⇨ 최댓값은 0
④ y=2x@-8x+13 ⇨ 최댓값은 없다.
⑤ y=-
x@+2x+3=-
{x-2}@+5 ⇨ 최댓값은 5
1
2
1
2
50 답
25
4
, 과정은 풀이 참조
y=-x@+ax+b의 그래프가 점 {0, 4}를 지나므로 b=4
y=-x@+ax+4의 그래프가 점 {4, 0}을 지나므로
0=-16+4a+4 ∴ a=3
∴ y =-x@+3x+4=-
x-
따라서 x=
에서 최댓값은
3
2
[
25
4
3
2 ]@+
25
4
이다.
채점 기준
! a, b의 값 구하기
@ y=a{x-p}@+q의 꼴로 변형하기
# 최댓값 구하기
y !
y @
y #
배점
50 %
30 %
20 %
51 답 ③
y=x@+2ax+b는 x=1에서 최솟값이 3이므로
y={x-1}@+3=x@-2x+4
따라서 2a=-2에서 a=-1, b=4
∴ 4a+b=4\{-1}+4=0
52 답 {0, 2}
x=-1에서 최댓값이 6이고 x@의 계수가 -4이므로
y=-4{x+1}@+6=-4x@-8x+2
x=0을 대입하면 y=2이므로 y축과의 교점의 좌표는
{0, 2}이다.
53 답 10
그래프가 x축과 만나는 두 점이 {0, 0}, {4, 0}이므로
이 그래프의 축의 방정식은 x=2
이때 최솟값이 -8이므로 꼭짓점의 좌표는 {2, -8}
y=a{x-2}@-8로 놓으면 그래프가 점 {0, 0}을 지나므로
0=a{0-2}@-8, 4a=8 ∴ a=2
즉, y=2{x-2}@-8=2x@-8x이므로 b=-8, c=0
∴ a-b-c=2-{-8}-0=10
54 답 ①
x=-2에서 최댓값이 4이므로
y=a{x+2}@+4
y`㉠
최댓값을 가지므로 a<0 y`㉡
따라서 그래프가 제1사분면을 지나지
않으려면 오른쪽 그림과 같이 y축과의
교점이 원점이거나 x축보다 아래쪽에
있어야 하므로 ㉠에 x=0을 대입하면
y=a{0+2}@+4<0
4a<-4 ∴ a<-1 y`㉢
㉡, ㉢에서 a<-1
y
4
-2
O x
유
형
편
파
워
55 답 -5
y=
1
2
x@-3에 x 대신 x-1, y 대신 y-2를 대입하면
1
2
1
2
y-2=
{x-1}@-3 ∴ y=
{x-1}@-1
1
2
따라서 x=1에서 최솟값은 -1이므로 m=-1
y=-
x@+4x-3=-
{x-4}@+5
1
2
따라서 x=4에서 최댓값은 5이므로 M=5
∴ Mm=5\{-1}=-5
56 답 ②
y=-x@+4x+k=-{x-2}@+4+k
즉, x=2에서 최댓값은 4+k이다.
그런데 최댓값이 7이므로
4+k=7 ∴ k=3
57 답 9
y=ax@+bx-7은 x=-1에서 최솟값이 -10이므로
y=a{x+1}@-10=ax@+2ax+a-10
따라서 b=2a, -7=a-10에서 a=3, b=6
∴ a+b=3+6=9
58 답 ④
x=3에서 최솟값이 -16이므로
y=a{x-3}@-16으로 놓자.
이 그래프가 점 {2, -13}을 지나므로
-13=a{2-3}@-16 ∴ a=3
∴ y=3{x-3}@-16=3x@-18x+11
59 답
7
4
, -
1
2
y =-x@+2kx+k+2
=-{x@-2kx+k@-k@}+k+2
=-{x-k}@+k@+k+2
1
2 ]@+
∴ M=k@+k+2=
k+
7
4
따라서 M은 k=-
에서 최솟값이
이다.
7
4
[
1
2
VI . 이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프 63
중등개뿔 유형편파워 정답(058~068)6단원-사.indd 63
2016-12-01 오후 10:55:08
+k
1
2
60 답
, 과정은 풀이 참조
y =2x@-2kx+k
k@
4
x@-kx+
=2
[
=2
x-
[
∴ m =-
k@
2
k
2 ]@-
k@
2
+k
-
k@
4 ]
+k
=-
{k-1}@+
1
2
1
2
따라서 m은 k=1에서 최댓값이
이다.
1
2
채점 기준
! 이차함수의 식을 y=a{x-p}@+q의 꼴로 변형하기
@ m을 k에 관한 식으로 나타내기
# m=(완전제곱식)+(상수)의 꼴로 변형하기
$ m의 최댓값 구하기
61 답 ③
y =-3x@+6mx-6m+1
=-3{x@-2mx+m@-m@}-6m+1
=-3{x-m}@+3m@-6m+1
∴ f{m}=3m@-6m+1=3{m-1}@-2
따라서 f{m}은 m=1에서 최솟값이 -2이다.
62 답 ④
두 수를 x, 30-x라 하고, 두 수의 곱을 y라 하면
y =x{30-x}=-x@+30x
=-{x-15}@+225
즉, x=15에서 최댓값은 225이다.
따라서 두 수의 곱의 최댓값은 225이다.
63 답 -3, 3, 과정은 풀이 참조
두 수를 x, x+6이라 하고, 두 수의 곱을 y라 하면
y =x{x+6}=x@+6x
={x+3}@-9
따라서 x=-3일 때, 두 수의 곱은 최소가 되므로
구하는 두 수는 -3, 3이다.
채점 기준
! 이차함수의 식 세우기
@ y=a{x-p}@+q의 꼴로 변형하기
# 두 수 구하기
64 답 ③
2x+y=8에서 y=8-2x이므로
xy =x{8-2x}=-2x@+8x
=-2{x-2}@+8
따라서 xy는 x=2에서 최댓값이 8이다.
64 정답과 해설 _ 유형편 파워
y !
y @
y #
y $
배점
30 %
20 %
30 %
20 %
y !
y @
y #
배점
30 %
40 %
30 %
65 답 196 cm@
가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는 {28-x} cm이다.
직사각형의 넓이를 y`cm@라 하면
y =x{28-x}=-x@+28x
=-{x-14}@+196
즉, x=14에서 최댓값은 196이다.
따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 196 cm@이다.
66 답 ②
부채꼴의 반지름의 길이를 x cm라 하면
호의 길이는 {40-2x} cm이다.
부채꼴의 넓이를 y cm@라 하면
y =
x{40-2x}=-x@+20x
1
2
=-{x-10}@+100
{40-2x} cm
x cm
x cm
즉, x=10일 때, 부채꼴의 넓이는 최대가 되므로 구하는 반
지름의 길이는 10 cm이다.
(부채꼴의 넓이)=
\(반지름의 길이)\(호의 길이)
1
2
67 답 32 cm@
새로운 직사각형의 넓이를 y cm@라 하면
y ={10-2x}{3+x}=-2x@+4x+30
=-2{x-1}@+32
즉, x=1에서 최댓값은 32이다.
따라서 구하는 직사각형의 최대 넓이는 32 cm@이다.
68 답 8
점 P의 좌표를 {a, -a+8}이라 하면
△POA =
a{-a+8}=-
a@+4a
1
2
1
2
=-
{a-4}@+8
1
2
즉, a=4에서 최댓값은 8이다.
따라서 △POA의 넓이의 최댓값은 8이다.
69 답 ③
점 P의 좌표를 {a, -2a+12}라 하면
ROQP =a{-2a+12}=-2a@+12a
=-2{a-3}@+18
즉, a=3에서 최댓값은 18이다.
따라서 구하는 점 P의 좌표는 {3, 6}이다.
=x cm라 하면 BQ
70 답 14 cm
QC
이때 △ABCT△PBQ(AA 닮음)이므로
BC
={8-x} cm
：BQ
=AC
：PQ
8：{8-x}=6：PQ
∴ PQ
=
6{8-x}
8
3
4
=
{8-x}{cm}
중등개뿔 유형편파워 정답(058~068)6단원-사.indd 64
2016-12-01 오후 10:55:08
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
∴ PQCR =QC
\PQ
3
4
3
4
=x\
{8-x}=-
x@+6x
3
4
=-
{x-4}@+12
즉, x=4일 때, PQCR의 넓이가 최대이므로
(PQCR의 둘레의 길이) =2{QC
+PQ
}
\{8-4}
4+
=2
3
4
=2\7=14 {cm}
-
=
71 답 4초 후, 100 m
y =-5x@+40x+20=-5{x-4}@+100
즉, x=4에서 최댓값은 100이다.
따라서 쏘아 올린 지 4초 후에 최고 높이 100 m에 도달한다.
72 답 6초
h=60t-5t@=-5{t-6}@+180
즉, 쏘아 올린 지 6초 후에 최고 높이에 도달한다.
한편 지면에 떨어질 때는 h=0일 때이므로
0=60t-5t@, -5t{t-12}=0
∴ t=0 또는 t=12
따라서 쏘아 올린 지 12초 후에 지면에 떨어지므로 최고 높
이에 도달했을 때부터 지면에 떨어질 때까지 걸린 시간은
12-6=6(초)
73 답 550원
볼펜의 가격을 10x원씩 내릴 때마다 판매량은 2x자루씩 늘
어나므로 볼펜의 하루 동안의 총 판매 금액을 y원이라 하면
y =(볼펜의 가격)\(하루 판매량)
={600-10x}{100+2x}
=-20x@+200x+60000
=-20{x-5}@+60500
따라서 x=5일 때, 하루 동안의 총 판매 금액이 최대가 되
므로 이때의 볼펜 한 자루의 가격은
600-10\5=550(원)
단원 마무리
P. 118 ~120
9 -
1
4
1 ④
2 ⑤ 3 2
4 ② 5 ② 6 1
7 -22, 과정은 풀이 참조 8 ①, ④
10 4
11
m (또는 11.25 m)
12 ④ 13 4
45
4
14
3
2 , 과정은 풀이 참조
15 ④ 16 최댓값 3
17 ④ 18 50 m@
19 36 20
21 20
15
8
1
y =-3x@+12x-6=-3{x-2}@+6
따라서 축의 방정식은 x=2이고, 꼭짓점의 좌표는 {2, 6}
이다.
2 y =
1
2
x@-x+2=
{x-1}@+
1
2
3
2
꼭짓점의 좌표는
[
1,
3
2 ]
이므로 꼭짓점은 제1사분면 위에
있고, 아래로 볼록하며, y절편은 양수인 그래프이다.
따라서 주어진 이차함수의 그래프로 가장 적당한 것은 ⑤이다.
유
형
편
파
워
3 y=-x@+10x-19=-{x-5}@+6
이 식에 x 대신 x+3, y 대신 y+6을 대입하면
y+6=-{x+3-5}@+6
∴ y=-{x-2}@
따라서 꼭짓점의 좌표는 {2, 0}이므로 p=2, q=0
∴ p+q=2+0=2
4
즉,
|
1
3 |
<
|
1
2 |
x@의 계수의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
<|-1|<|-3|<|4|이므로 그래프의 폭
이 가장 좁은 것은 ② y=4{x-1}@이다.
5
꼭짓점의 좌표가 {-1, -2}이므로
y=a{x+1}@-2로 놓자.
이 그래프가 점 {0, -1}을 지나므로
-1=a{0+1}@-2 ∴ a=1
∴ y ={x+1}@-2=x@+2x-1
6 축의 방정식이 x=1이고, x@의 계수가 -2이므로
y=-2{x-1}@+q로 놓자.
이 그래프가 점 {-2, -7}을 지나므로
-7=-2{-2-1}@+q ∴ q=11
∴ y=-2{x-1}@+11=-2x@+4x+9
따라서 a=-2, b=4, c=9이므로
ab+c=-2\4+9=1
7
y=ax@+bx+c의 그래프가 점 {0, 16}을 지나므로
c=16
이때 y=ax@+bx+16의 그래프가 두 점 {1, 10},
{3, -14}를 지나므로
10=a+b+16 ∴ a+b=-6
-14=9a+3b+16 ∴ 3a+b=-10
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=-4
∴ a+b-c=-2+{-4}-16=-22
y ㉡
y ㉠
y !
채점 기준
! c의 값 구하기
@ a, b의 값 구하기
# a+b-c의 값 구하기
y @
y #
배점
30 %
50 %
20 %
VI . 이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프 65
중등개뿔 유형편파워 정답(058~068)6단원-사.indd 65
2016-12-01 오후 10:55:09
Z
Z
Z
Z
이때 y=-
x@+bx+c는 x=-2에서 최댓값이 6이므로
△ABD-△ABC=
-12=
27
2
3
2
8 y =2x@+4x-3=2{x+1}@-5
① 축의 방정식은 x=-1이다.
③ y=2x@+4x-3에 y 대신 -y를 대입하면
-y=2x@+4x-3 ∴ y=-2x@-4x+3
④ y=2x@의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방
향으로 -5만큼 평행이동한 그래프이다.
14 y=-
1
2
x@+x+4에 y=0을 대입하면
-
x@+x+4=0
1
2
x@-2x-8=0, {x+2}{x-4}=0
∴ x=-2 또는 x=4
∴ A{-2, 0}, B{4, 0}
y=-
x@+x+4에 x=0을 대입하면 y=4이므로
1
2
1
2
1
2
C{0, 4}
y =-
x@+x+4
=-
{x-1}@+
9
2
이므로 D
1,
[
9
2 ]
1
2
1
2
∴ △ABC=
\6\4=12,
△ABD=
\6\
=
9
2
27
2
따라서 구하는 넓이의 차는
채점 기준
! 두 점 A, B의 좌표 구하기
@ 점 C의 좌표 구하기
# 점 D의 좌표 구하기
$ △ABC, △ABD의 넓이 구하기
% 두 삼각형의 넓이의 차 구하기
y !
y @
y #
y $
y %
배점
20 %
10 %
20 %
30 %
20 %
15 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 ∴ b>0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
① bc>0
② abc<0
a
b
<0
③
④ x=-
일 때, y=
a-
b+c>0
1
4
1
2
⑤ x=2일 때, y=4a+2b+c>0
16 x축과 두 점 {-1, 0}, {5, 0}에서 만나므로
y=a{x+1}{x-5}로 놓자.
이 그래프가 점 {2, 3}을 지나므로
1
3
3=a\3\{-3} ∴ a=-
∴ y =-
{x+1}{x-5}
=-
x@+
x+
4
3
5
3
=-
{x-2}@+3
따라서 x=2에서 최댓값이 3이다.
1
2
1
3
1
3
1
3
9 y=3x@-3x+a=3
1
2
즉, x=
x-
[
3
4
+a
1
2 ]@-
3
4
에서 최솟값이 -
+a이다.
그런데 최솟값이 -1이므로
-
+a=-1 ∴ a=-
3
4
1
4
x@의 그래프와 폭이 같고, a<0이므로
10 y=
1
2
a=-
1
2
1
2
1
2
1
2
y=-
{x+2}@+6=-
x@-2x+4
1
2
따라서 a=-
, b=-2, c=4이므로
abc=-
\{-2}\4=4
1
2
11 y=15x-5x@=-5
3
2
즉, x=
x-
[
에서 최댓값이
이다.
45
4
3
2 ]@+
45
4
따라서 물 로켓의 최고 높이는
m (또는 11.25 m)이다.
45
4
12 y =x@-2ax+3a+4
={x@-2ax+a@-a@}+3a+4
={x-a}@-a@+3a+4
이때 꼭짓점 {a, -a@+3a+4}가 x축 위에 있으므로
-a@+3a+4=0, a@-3a-4=0
{a+1}{a-4}=0 ∴ a=-1 또는 a=4
그런데 a>0이므로 a=4
13 y=-2x@-4x+1=-2{x+1}@+3
이 식에 x 대신 x-p, y 대신 y-q를 대입하면
y-q=-2{x-p+1}@+3
∴ y=-29x-{p-1}0@+q+3
이 식이 y=-2x@+8x-6=-2{x-2}@+2와 같아야 하
므로
p-1=2, q+3=2 ∴ p=3, q=-1
∴ p-q=3-{-1}=4
66 정답과 해설 _ 유형편 파워
중등개뿔 유형편파워 정답(058~068)6단원-사.indd 66
2016-12-01 오후 10:55:09
1
2
1
2
1
2
17 y =
x@+2kx+8k
=
{x@+4kx+4k@-4k@}+8k
=
{x+2k}@-2k@+8k
∴ m=-2k@+8k=-2{k-2}@+8
따라서 m은 k=2에서 최댓값이 8이다.
18 오른쪽 그림과 같이 사육장의 가로의
길이를 x m라 하면 세로의 길이는
{20-2x}m이므로 사육장의 넓이를
y m@라 하면
y =x{20-2x}=-2x@+20x
=-2{x-5}@+50
즉, x=5에서 최댓값은 50이다.
따라서 사육장의 최대 넓이는 50 m@이다.
벽
사육장
x m
19 y =-x@+2x+8=-{x-1}@+9 ∴ A{1, 9}
y =-x@+10x-16=-{x-5}@+9 ∴ B{5, 9}
y=-x@+2x+8에 y=0을 대입하면
-x@+2x+8=0, x@-2x-8=0
{x+2}{x-4}=0 ∴ x=-2 또는 x=4
∴ C{-2, 0}
y=-x@+10x-16에 y=0을 대입하면
-x@+10x-16=0, x@-10x+16=0
{x-2}{x-8}=0 ∴ x=2 또는 x=8
∴ D{2, 0}
따라서 AB
ACDB는 평행사변형이다.
∴ ACDB=4\9=36
이고 AB
=4이므로
|CD
=CD
20 점 P의 x좌표를 a라 하면
P{a, a+7}, Q{a, -2a@+5}이므로
PQ
=a+7-{-2a@+5}
Z
=2a@+a+2
=2
a+
[
1
4 ]@+
15
8
즉, a=-
에서 최솟값은
이다.
1
4
15
8
15
8
따라서 PQ
의 길이의 최솟값은
이다.
유
형
편
파
워
21 y=-x@+6x=-{x-3}@+9
이므로 축의 방정식은 x=3이다.
점 C의 x좌표를 a라 하면 오른쪽 그
림과 같이 점 C와 축 사이의 거리는
a-3이고, 점 B와 점 C는 축에 대하
y
A
D
한편 점 D의 좌표는 {a, -a@+6a}
O
B 3
C
a-3
x
여 대칭이므로
=2{a-3}
BC
이므로
CD
=-a@+6a
직사각형 ABCD의 둘레의 길이를 L이라 하면
L =2{BC
}
=292{a-3}+{-a@+6a}0
+CD
=-2a@+16a-12
=-2{a-4}@+20
즉, a=4에서 최댓값은 20이다.
따라서 직사각형 ABCD의 둘레의 길이의 최댓값은 20이다.
중등개뿔 유형편파워 정답(058~068)6단원-사.indd 67
2016-12-01 오후 10:55:10
VI . 이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프 67
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
중등개뿔 유형편파워 정답(058~068)6단원-사.indd 68
2016-12-01 오후 10:55:10
정답과 해설
제곱근과 실수
1 단계
보고 따라 하기
P. 6 ~ 7
1 -a
3 P：-3-j5 k, Q：-3+j5 k
2 24, 54, 96
4 j7 k-1
1
1 단계 a>0에서
-a<0이므로 1{-a3}@ 3=-{-a}=a
2a>0이므로 14a@ 2=1{2a3}@ 2=2a
2 단계 ∴ 1{-a3}@ 3-14a@ 2=a-2a=-a
채점 기준
! 근호를 사용하지 않고 나타내기
@ 주어진 식을 간단히 하기
2
1 단계 q
50
3
2\5@
3
n e=r
y\n y이 자연수가 되려면 자연수 n은
2\3\(자연수)@, 즉 6\(자연수)@의 꼴이어야 한다.
y`!
2 단계 따라서 구하는 두 자리의 자연수 n의 값은
6\2@=24, 6\3@=54, 6\4@=96이다.
채점 기준
! 자연수 n에 대한 조건 설명하기
@ 두 자리의 자연수 n의 값 구하기
3
1 단계
ABCD=3\3-4\
]
ABCD의 한 변의 길이는 j5 k이다.
\1\2
[
f
1
2
=5이므로
y`!
=AD
=j5 k이므로
f
2 단계 따라서 AP
점 P에 대응하는 수는 -3-j5 k이고,
A
점 Q에 대응하는 수는 -3+j5 k이다.
=j5 k이므로
=A
Q
B
채점 기준
ABCD의 한 변의 길이 구하기
!
@ 두 점 P, Q에 대응하는 수 구하기
f
4 2B ⑵ A2일 때, x+2>0, x-2>0이므로
1{x+32}@ 3-1{x-32}@ 3=x-1에서
{x+2}-{x-2}=x-1
4=x-1 ∴ x=5
⑵ -20, x-2<0이므로
1{x+32}@ 3-1{x-32}@ 3=x-1에서
{x+2}+{x-2}=x-1
2x=x-1 ∴ x=-1
⑶ x<-2일 때, x+2<0, x-2<0이므로
1{x+32}@ 3-1{x-32}@ 3=x-1에서
-{x+2}+{x-2}=x-1
-4=x-1 ∴ x=-3
y`!
y`@
y`#
y`$
y`%
y`^
채점 기준
! x>2일 때, 주어진 식을 근호를 사용하지 않고 나타내기
@ 방정식을 풀어 x의 값 구하기
# -20, 즉 a>b이므로 a>0, b<0이다. y`!
-a<0이므로 1{-a3}@ 3=-{-a}=a
b-2a<0이므로 1{b-32a}@ 3=-{b-2a}=-b+2a
4b<0이므로 116b@ 3=1{4b2}@ 2=-4b
∴ (주어진 식) =a-{-b+2a}+{-4b}
y`@
=a+b-2a-4b
=-a-3b
채점 기준
! a, b의 부호 판단하기
@ 1{-3a}@ 3, 1{b-32a}@ 3, 116b@ 3 을 근호를 사용하지 않
고 나타내기
# 주어진 식을 간단히 하기
y`#
배점
30 %
50 %
20 %
6 ⑴ q
162
a e=r
2\3$
a y이 자연수가 되려면 자연수 a는
2\3$의 약수이면서 2\(자연수)@의 꼴이어야 한다.
따라서 구하는 자연수 a의 값은
a=2\1@, 2\3@, 2\{3@}@
즉, a=2, 18, 162
7 양수는 {j2 k}@=2=j4 k, 1{-35}@ 3=j25 k, 4=j16 k, j15 k이고,
⑵ a=2일 때, b=j81k=9
a=18일 때, b=j9 k=3
a=162일 때, b=j1 k=1
따라서 구하는 순서쌍 {a, b}는
{2, 9}, {18, 3}, {162, 1}이다.
채점 기준
! 자연수 a의 값 모두 구하기
@ a의 값에 따른 b의 값 구하기
# 순서쌍 {a, b} 구하기
1
음수는 -j3 k, -q
2 w이다.
양수끼리 대소를 비교하면
j4 kq
2 w이므로
b=-j3 k
∴ a@-b@ =91{-35}@ 30@-{-j3 k}@
=25-3=22
채점 기준
! a의 값 구하기
@ b의 값 구하기
# a@-b@의 값 구하기
y`@
y`#
배점
40 %
40 %
20 %
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
40 %
20 %
y`!
y`@
y`#
배점
50 %
30 %
20 %
x-3
x-3
8 3j15 k이므로 양변에 j13 k을 더하면
j13 k+4>j13 k+j15 k
∴ A>B
⑵ A=j13 k+4, C=4+j15 k에서
j13 k0, b>0에서 a=1a@ 2, b=1b@ 2이므로
b w- ja k
b
a
ar
a +bq
ajb k
b w- ja k
b
a
=1a@ 2r
a +1b@ 2q
1a@ 2jb k
a
b
a y+q b@\e
a@\b e
1
1ab 2
=1ab 2+1ab 2-
a
b e-q
=r a@\y
1
=j5 k+j5 k-
j5 k
=j5 k+j5 k- j5 k
5
1
5 ]j5 k
=
1+1-
[
9j5 k
5
=
채점 기준
! 주어진 식을 ab를 포함한 식으로 정리하기
@ 주어진 식의 값 구하기
2 혜나의 방의 한 변의 길이는
j18 k=3j2 k {m}이므로
혜나의 방에 필요한 띠 벽지의 길이는
4\3j2 k-j2 k=11j2 k {m}
부모님의 방의 한 변의 길이는
j27 k=3j3 k {m}이므로
58 정답과 해설
y`!
y`@
배점
60 %
40 %
y`!
4 1=6
-2<-j3 k<-1이므로 3<5-j3 k<4에서
5-j3 k의 소수 부분은 {5-j3 k}-3=2-j3 k이다.
∴ N5-j3 kM=2-j3 k
2
∴ <5+j3 k>+
N5-j3 kM
2
2-j3 k
=6+
=6+
2{2+j3 k}
{2-j3 k}{2+j3 k}
=6+2{2+j3 k}
=6+4+2j3 k
=10+2j3 k
따라서 a=10, b=2이다.
채점 기준
! <5+j3 k>의 값 구하기
@ N5-j3 kM의 값 구하기
# 주어진 식의 좌변을 간단히 하기
$ a, b의 값 구하기
y`@
y`#
배점
40 %
40 %
20 %
y`!
y`@
y`#
y`$
y`%
배점
10 %
20 %
20 %
20 %
30 %
y`!
y`@
y`#
y`$
배점
20 %
20 %
40 %
20 %
중등개뿔 학생용 해설1,2단원(52~58)ok.indd 58
2016-12-01 오후 9:07:54
인수분해
1 단계
보고 따라 하기
P. 22 ~ 23
1 4
2 {x-3}{2x-1} 3 4j15k 4 1.2
1
1 단계 {x+b}{cx+2}=cx@+{2+bc}x+2b
y`!
2 단계 즉, 5x@-3x+a=cx@+{2+bc}x+2b이므로
4
13\1.58@-3\1.42@3
=13{1.58@-1.42@}3
=13{1.58+1.42}{1.58-1.42}3
=j3\3\0.16k
=j1.44k=11.2@3
=1.2
채점 기준
! 인수분해 공식을 이용하여 근호 안의 수를 변형하기
@ 계산하기
x@의 계수에서
5=c
x의 계수에서 -3=2+bc이므로
-3=2+b\5, 5b=-5
∴ b=-1
상수항에서
a=2b=2\{-1}=-2
3 단계 ∴ a-b+c=-2-{-1}+5=4
채점 기준
! 인수분해 결과를 전개하기
@ a, b, c의 값 구하기
# a-b+c의 값 구하기
2
1 단계 {x-4}{2x+1}=2x@-7x-4에서
지연이는 x의 계수를 바르게 보았으므로
a=-7
2 단계 {x+1}{2x+3}=2x@+5x+3에서
수호는 상수항을 바르게 보았으므로
b=3
3 단계 따라서 2x@+ax+b=2x@-7x+3이므로
이 식을 바르게 인수분해하면
{x-3}{2x-1}이다.
채점 기준
! a의 값 구하기
@ b의 값 구하기
# 처음의 이차식을 바르게 인수분해하기
2 단계 x+y={j5+j3}+{j5-j3}=2j5
x-y={j5+j3}-{j5-j3}=2j3
3 단계 ∴ x@-y@ ={x+y}{x-y}
=2j5\2j3=4j15k
채점 기준
! 주어진 식을 인수분해하기
@ x+y, x-y의 값 구하기
# 주어진 식의 값 구하기
y`@
y`#
배점
20 %
60 %
20 %
y`!
y`@
y`#
배점
30 %
30 %
40 %
y`@
y`#
배점
20 %
40 %
40 %
3
1 단계 x@-y@={x+y}{x-y}
y`!
2
y`!
y`@
배점
60 %
40 %
y`!
y`@
배점
60 %
40 %
y`!
y`@
y`#
y`$
2 단계
스스로 해결하기
P. 24 ~ 26
3 4개
1 8, 32 2 2
4 ⑴ {x-3}{3x-1} ⑵ {2x+5}{3x-1} ⑶ 3x-1
5 -12 6 x+7 7 4x-2
8 ⑴ {x+3y-1}{x-y+1}
⑵ a=3, b=-1, c=-1
⑶ 1
9 1002
10 144
11 ⑴ x=j10k+3, y=j10k-3
⑵ x+y=2j10k, x-y=6 ⑶ 6j10k
12 3j17k+8
1
{2x-1}{2x-9}+kx =4x@-20x+9+kx
=4x@+{k-20}x+9
={2x}@+{k-20}x+{-3}@
이 식이 완전제곱식이 되려면
k-20=2\2\{-3}=-12이어야 한다.
즉, k-20=12에서 k=32이고,
k-20=-12에서 k=8이다.
따라서 구하는 상수 k의 값은 8, 32이다.
채점 기준
! 완전제곱식이 되기 위한 k의 조건 설명하기
@ k의 값 구하기
jxk=a-2의 양변을 제곱하면
{jxk}@={a-2}@에서 x=a@-4a+4이므로
jx+2a-3l+jx-2a+5l
=1a@-4a+4+2a-33+1a@-4a+4-2a+53
=1a@-2a+13+1a@-6a+93
=1{a-1}@3+1{a-3}@3
이때 20, a-3<0
∴ (주어진 식) ={a-1}-{a-3}
=a-1-a+3=2
III . 인수분해 59
중등개뿔3年 서술형부록-정답.indd 59
16. 12. 2. 오전 12:11
정답과 해설 채점 기준
! 근호 안의 식을 a에 관한 식으로 나타내기
@ 근호 안의 식을 인수분해하기
# a-1, a-3의 부호 판단하기
$ 주어진 식을 간단히 하기
배점
20 %
30 %
20 %
30 %
3
x@+kx-10={x+a}{x+b}라 하자.(단, a>b)
이때 {x+a}{x+b}=x@+{a+b}x+ab에서
k=a+b, ab=-10
y`!
ab=-10을 만족하는 정수 a, b의 순서쌍 {a, b}와 그에 따
른 k의 값을 구하면 다음과 같다.
㈎ {a, b}가 {1, -10}일 때, k=1+{-10}=-9
㈏ {a, b}가 {2, -5}일 때, k=2+{-5}=-3
㈐ {a, b}가 {5, -2}일 때, k=5+{-2}=3
㈑ {a, b}가 {10, -1}일 때, k=10+{-1}=9
따라서 ㈎ ~ ㈑에 의해 상수 k는
-9, -3, 3, 9의 4개이다.
채점 기준
! 주어진 조건을 만족하는 a, b와 k의 조건 알기
@ 순서쌍 {a, b}와 그에 따른 k의 값 구하기
# k의 개수 구하기
4
⑴ 3x@-10x+3={x-3}{3x-1}
⑵ 6x@+13x-5={2x+5}{3x-1}
⑶ 두 다항식의 공통인 인수는 3x-1이다.
채점 기준
! 3x@-10x+3을 인수분해하기
@ 6x@+13x-5를 인수분해하기
# 공통인 인수 구하기
5
x-4가 2x@-5x+a의 인수이므로
2x@-5x+a={x-4}{2x+b}라 하면
2x@-5x+a=2x@+{b-8}x-4b이므로
x의 계수에서
-5=b-8 ∴ b=3
상수항에서
a=-4b=-4\3=-12
채점 기준
! 2x@-5x+a={x-4}{2x+b}로 놓기
@ !의 식의 우변을 전개하기
# b의 값 구하기
$ a의 값 구하기
6
(도형 A의 넓이) ={x+5}@-2@
=9{x+5}+209{x+5}-20
={x+7}{x+3}
60 정답과 해설
y`@
y`#
배점
20 %
60 %
20 %
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
40 %
20 %
y`!
y`@
y`#
y`$
배점
20 %
20 %
30 %
30 %
y`!
y`@
이때 두 도형 A, B의 넓이가 서로 같고, 도형 B의 세로의 길
y`#
이가 x+3이므로 가로의 길이는 x+7이다.
채점 기준
! 도형 A의 넓이를 x에 관한 식으로 나타내기
@ !의 식을 인수분해하기
# 도형 B의 가로의 길이 구하기
배점
30 %
40 %
30 %
7
2x+1=A, 3y-2=B로 놓으면
(주어진 식)
=A@-B@-4A+4
=A@-4A+4-B@
={A-2}@-B@
={A-2+B}{A-2-B}
=9{2x+1}-2+{3y-2}09{2x+1}-2-{3y-2}0
y`!
={2x+3y-3}{2x-3y+1}
따라서 두 일차식은 2x+3y-3, 2x-3y+1이므로 y`@
합을 구하면
{2x+3y-3}+{2x-3y+1}=4x-2
채점 기준
! 주어진 식을 인수분해하기
@ 두 일차식 구하기
# 두 일차식의 합 구하기
8
⑴ 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해
하면
(주어진 식) =x@+2yx-{3y@-4y+1}
=x@+2yx-{3y-1}{y-1}
=9x+{3y-1}09x-{y-1}0
={x+3y-1}{x-y+1}
⑵ a=3, b=-1, c=-1
⑶ a+b+c =3+{-1}+{-1}=1
채점 기준
! 주어진 식을 인수분해하기
@ a, b, c의 값 구하기
# a+b+c의 값 구하기
9
(좌변) ={1004-6}{1004+2}+16
=1004@-4\1004-12+16
=1004@-4\1004+4
=1004@-2\1004\2+2@
={1004-2}@
=1002@
∴ N=1002
채점 기준
! 인수분해 공식을 이용하여 좌변을 변형하기
@ 자연수 N의 값 구하기
y`#
배점
60 %
20 %
20 %
y`!
y`@
y`#
배점
60 %
20 %
20 %
y`!
y`@
배점
60 %
40 %
중등개뿔3年 서술형부록-정답.indd 60
16. 12. 2. 오전 12:11
10
16@-14@+12@-10@+8@-6@+4@-2@
={16@-14@}+{12@-10@}+{8@-6@}+{4@-2@} y`!
= {16+14}{16-14}+{12+10}{12-10}
y`@
+{8+6}{8-6}+{4+2}{4-2}
=2\{16+14+12+10+8+6+4+2}
=2\{18\4}
=144
채점 기준
! 인수분해 공식을 적용할 수 있도록 적절한 항끼리 묶기
@ 인수분해하기
# 계산하기
11
⑴ x =
y =
1
j10k-3
1
j10k+3
=
=
j10k+3
{j10k-3}{j10k+3}
j10k-3
{j10k+3}{j10k-3}
=j10k+3
⑵ x+y={j10k+3}+{j10k-3}=2j10k
x-y={j10k+3}-{j10k-3}=6
⑶ x@-y@-3x-3y ={x+y}{x-y}-3{x+y}
=j10k-3 y`!
={x+y}{x-y-3}
=2j10k\{6-3}
=6j10k
채점 기준
! x, y의 분모를 유리화하기
@ x+y, x-y의 값 구하기
# 주어진 식을 인수분해하기
$ 주어진 식의 값 구하기
12
a@-b@+8b-16=3에서
(좌변) =a@-{b@-8b+16}
=a@-{b-4}@
=9a+{b-4}09a-{b-4}0
={a+b-4}{a-b+4}
즉, {a+b-4}{a-b+4}=3이므로
a+b=j17k을 대입하면
{j17k-4}{a-b+4}=3에서
3
a-b+4 =
j17k-4
=
3{j17k+4}
{j17k-4}{j17k+4}
=3{j17k+4}
=3j17k+12
∴ a-b =3j17k+12-4=3j17k+8
채점 기준
! 주어진 식의 좌변을 인수분해하기
@ a-b의 값 구하기
3 단계
한 걸음 더 도전하기
P. 27
2 ⑴ {x+3y-5}{x+3y+7} ⑵ {3, 1}
1 -a
3 ⑴ 5\11\73 ⑵ 3개
4 5
1
a+
[
1
a ]@-4 =a@+2+
-4
1
a@
1
a@
1
a ]@
1
a@
1
a@
=a@-2+
=a@-2\a\
+
1
a
1
a@
=
a-
[
=a@+2+
=a@+2\a\
+
1
a
1
a@
=
a+
[
1
a ]@
a-
[
1
a ]@+4 =a@-2+
+4
1
a
1
a
이때 01이므로
a-
<0, a+
>0, -a<0
1
a
∴ r[
a+
1
a ]@-4y-r[
a-
a-
=r[
=-
a-
[
=-a+
a+
a+
1
a ]@y-r[
1
a ]
1
a
-a-
-
[
1
a
+a
=-a
1
a ]@+4y+1{-a}@3
1
a ]@y+1{-a}@3
1
a ]
-{-a}
채점 기준
! 근호 안의 식을 완전제곱식으로 고치기
@ a+
a!
a!
, a-
, -a의 부호 정하기
# 주어진 식을 간단히 하기
y`!
y`@
y`#
배점
30 %
30 %
40 %
2
⑴ 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해
하면
x@+6xy+9y@+2x+6y-35
=x@+{6y+2}x+9y@+6y-35
=x@+{6y+2}x+{3y-5}{3y+7}
={x+3y-5}{x+3y+7}
y`!
⑵ 주어진 식의 값이 소수가 되려면
x+3y-5=1, x+3y+7=(소수)이어야 한다. y`@
x+3y-5=1에서 x+3y=6이므로
x+3y+7=6+7=13으로 소수이다.
따라서 x+3y=6을 만족하는 자연수 x, y의 순서쌍
{x, y}를 구하면 {3, 1}뿐이다.
y`#
III . 인수분해 61
y`#
배점
30 %
40 %
30 %
y`@
y`#
y`$
배점
40 %
30 %
20 %
10 %
y`!
y`@
배점
40 %
60 %
중등개뿔3年 서술형부록-정답.indd 61
16. 12. 2. 오전 12:11
정답과 해설 IV
채점 기준
! 주어진 식을 인수분해하기
@ !의 식이 소수가 되기 위한 조건 설명하기
# 순서쌍 {x, y} 구하기
배점
40 %
40 %
20 %
이차방정식
1 단계
보고 따라 하기
P. 30 ~ 31
1 x=2 2 x=
-4-j13k
3
3 x=
-1-j41k
4
5\11\73이다.
y`@
⑵ 8$-81=5\11\73이므로 8$-81을 나누어떨어지도록 하
2 단계 a=2를 주어진 이차방정식에 대입하면
는 두 자리의 자연수는 8$-81의 약수 중 두 자리의 수이
x@-5x+6=0
채점 기준
따라서 다른 한 근은 x=2이다.
3
⑴ 8$-81 =8$-3$
={8@}@-{3@}@
={8@+3@}{8@-3@}
={8@+3@}{8+3}{8-3}
=73\11\5
따라서 8$-81을 소인수분해하면
므로
11, 73, 11\5=55의 3개이다.
! 인수분해 공식을 이용하여 8$-81을 변형하기
@ 8$-81을 소인수분해하기
# 8$-81을 나누어떨어지도록 하는 두 자리의 자연수의 개
수 구하기
4
=
주어진 수의 분모를 유리화하면
4-j6
j6-2
{4-j6}{j6+2}
{j6-2}{j6+2}
4j6+8-6-2j6
6-4
=
=
2j6+2
2
=j6+1
의 정수 부분 a=3,
이때 24이므로 x=18
채점 기준
! 이차방정식 세우기
@ 이차방정식 풀기
# x의 값 구하기
2 단계
스스로 해결하기
P. 32 ~ 34
1 1
2 x=-3 또는 x=
2
5
3 m=2, x=3
5 a=2, b=-4
7 ⑴ x=
7-j49-4kl
2
4 ⑴ x=-1-j7k ⑵ -4j7k
6 x=-4-j10k
⑵ 6, 10, 12
8 x=-1 또는 x=3
9 2j26k
10 ⑴ 2-j2 ⑵ a=-6, b=6 11 12
12 8 cm
1
x@+ax-2=0에 x=2를 대입하면
3x@-7x+b=0에 x=2를 대입하면
2@+a\2-2=0
2a+2=0
∴ a=-1
3\2@-7\2+b=0
-2+b=0
∴ b=2
∴ a+b=-1+2=1
채점 기준
! a의 값 구하기
@ b의 값 구하기
# a+b의 값 구하기
2
{x-8}{x-10}=15에서 x@-18x+65=0
{x-5}{x-13}=0
∴ x=5 또는 x=13
이때 a0이므로 m=2
m=2를 주어진 이차방정식에 대입하면
x@-6x+9=0, {x-3}@=0
∴ x=3 (중근)
채점 기준
! 중근을 갖기 위한 m의 조건 설명하기
@ m의 값 구하기
# 중근 구하기
4
⑴ x@+2x-6=0에서 x@+2x=6
x@+2x+1=6+1, {x+1}@=7
x+1=-j7
∴ x=-1-j7k
⑵ a>b이므로 a=-1+j7k, b=-1-j7k
a+b={-1+j7k}+{-1-j7k}=-2,
a-b={-1+j7k}-{-1-j7k}=2j7k이므로
a@-b@ ={a+b}{a-b}
=-2\2j7k=-4j7k
채점 기준
! 완전제곱식을 이용하여 이차방정식 풀기
@ a, b의 값 구하기
# a@-b@의 값 구하기
5
x=
-4-14@-3\a3
3
b-j10k
3
이때 x=
이므로
=
-4-j16-3al
3
b=-4
10=16-3a ∴ a=2
채점 기준
! 근의 공식을 이용하여 이차방정식 풀기
@ b의 값 구하기
# a의 값 구하기
y`@
배점
40 %
60 %
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
30 %
30 %
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
20 %
40 %
y`!
y`@
y`#
배점
60 %
20 %
20 %
IV . 이차방정식 63
중등개뿔3年 서술형부록-정답.indd 63
16. 12. 2. 오전 12:11
정답과 해설 6
x@+kx+{k+2}=0에 x=-2를 대입하면
{-2}@+k\{-2}+{k+2}=0
-k+6=0
∴ k=6
y`!
처음의 이차방정식 x@+{k+2}x+k=0에 k=6을 대입하면
y`@
y`#
x@+8x+6=0
∴ x =-4-14@-1\63
=-4-j10k
채점 기준
! k의 값 구하기
@ 처음의 이차방정식 구하기
# 처음의 이차방정식 풀기
배점
40 %
20 %
40 %
7
⑴ x =
-{-7}-1{-7}@-4\1\3k3
2\1
7-j49-4lkk
2
=
y`!
⑵ ⑴에서 구한 해가 유리수가 되려면 k는 자연수이므로 근호
안의 수 49-4k가 0 또는 49보다 작은 제곱수이어야 한다.
y`@
즉, 49-4k=0, 1, 4, 9, 16, 25, 36에서
4k=49, 48, 45, 40, 33, 24, 13
∴ k=
, 12,
, 10,
, 6,
49
4
45
4
33
4
13
4
그런데 k는 자연수이므로
k=6, 10, 12
채점 기준
! 근의 공식을 이용하여 이차방정식 풀기
@ 해가 유리수가 되기 위한 조건 설명하기
# 자연수 k의 값 구하기
8
주어진 이차방정식의 양변에 6을 곱하면
2x{x-2}-{x+1}{x-3}=6
2x@-4x-{x@-2x-3}=6
x@-2x-3=0
{x+1}{x-3}=0
∴ x=-1 또는 x=3
채점 기준
! 양변에 분모의 최소공배수 곱하기
@ ax@+bx+c=0의 꼴로 나타내기
# 이차방정식 풀기
9
두 근이 -
, 2이고, x@의 계수가 2인 이차방정식은
5
2
2
[
x+
{x-2}=0
5
2 ]
2x@+x-10=0
이 식이 2x@+mx+n=0과 같아야 하므로
m=1, n=-10
64 정답과 해설
y`#
배점
40 %
20 %
40 %
y`!
y`@
y`#
배점
20 %
20 %
60 %
y`!
즉, x@+10x-1=0의 두 근을 구하면
x=-5-15@-1\{-1}3=-5-j26k
따라서 구하는 두 근의 차는
{-5+j26k}-{-5-j26k}=2j26k
채점 기준
! m, n의 값 구하기
@ x@-nx-m=0의 두 근 구하기
# x@-nx-m=0의 두 근의 차 구하기
y`@
y`#
배점
40 %
40 %
20 %
y`#
y`$
배점
20 %
20 %
30 %
30 %
y`@
y`#
y`$
배점
20 %
30 %
30 %
20 %
10
⑴ 10이므로 t=12
채점 기준
! t초 후 직사각형의 가로와 세로의 길이를 t에 관한 식
으로 나타내기
@ 이차방정식 세우기
# 이차방정식 풀기
$ t의 값 구하기
12
BF
=x cm라 하면 DE
=BF
=x cm
△ABCT△ADE (AA 닮음)이므로
AB
：AD
=BC
：DE
에서
20：AD
=10：x
중등개뿔3年 서술형부록-정답.indd 64
16. 12. 2. 오전 12:11
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
3 단계
한 걸음 더 도전하기
P. 35
따라서 원숭이는 모두 16마리 또는 48마리이다.
10AD
∴ DB
=20x ∴ AD
-AD
=AB
=20-2x {cm}
=2x {cm}
이때
DBFE=32 cm@이므로
x{20-2x}=32에서
f
-2x@+20x-32=0
x@-10x+16=0
{x-2}{x-8}=0
∴ x=2 또는 x=8
그런데 BF
>DB
이므로 x=8
따라서 BF
의 길이는 8 cm이다.
채점 기준
의 길이를 문자를 사용하여 나타내기
, DB
! BF
@ 이차방정식 세우기
# 이차방정식 풀기
$ BF
의 길이 구하기
1 3 2 2 3 16마리 또는 48마리 4 5 cm
1
5{x-1}@+4x={2x-3}{3x+1}에서
5{x@-2x+1}+4x=6x@-7x-3
x@-x-8=0
∴ x =
-{-1}-1{-1}@-4\1\{-8}3
2\1
=
∴ a=
1-j33k
2
1+j33k
2
이때 50이므로 x=5
따라서 과자 틀의 긴 변의 길이는 5 cm이다.
채점 기준
! 과자 틀의 긴 변, 짧은 변의 길이를 문자를 사용하여 나
타내기
@ 이차방정식 세우기
# 이차방정식 풀기
$ 과자 틀의 긴 변의 길이 구하기
IV . 이차방정식 65
y`#
배점
20 %
20 %
60 %
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
50 %
10 %
D
x cm
y`!
y`@
y`#
y`$
배점
30 %
20 %
30 %
20 %
중등개뿔3年 서술형부록-정답.indd 65
16. 12. 2. 오전 12:11
정답과 해설Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
이차함수와 그 그래프
∴ a+p-q=-
+3-4=-
2
3
5
3
1 단계
보고 따라 하기
P. 38 ~ 39
1 k=2
2 -5
3 2
4 -
5
3
1
1 단계 주어진 함수의 식을 y=ax@+bx+c의 꼴로 정리하면
y ={kx-1}{x+3}-2x{x-3}+6
=kx@+3kx-x-3-2x@+6x+6
={k-2}x@+{3k+5}x+3
y`!
2 단계 이 함수가 이차함수이려면 (x@의 계수)=0이어야 하므
로
k-2=0 ∴ k=2
채점 기준
! 주어진 함수의 식 정리하기
@ k의 조건 구하기
2
1 단계 이차함수 y=ax@의 그래프가 점 {-2, -2}를 지나
2 단계 즉, y=-
x@의 그래프가 점 {3, b}를 지나므로
므로
-2=a\{-2}@ ∴ a=-
1
2
1
2
b=-
\3@=-
1
2
9
2
3 단계 ∴ a+b=-
+
-
=-5
1
2
9
2 ]
[
채점 기준
! a의 값 구하기
@ b의 값 구하기
# a+b의 값 구하기
3
1 단계 이차함수 y=ax@의 그래프를 x축의 방향으로 -2만
큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 그래프의 식은
y`!
y=a{x+2}@+1
2 단계 이 그래프가 점 {-1, 3}을 지나므로
3=a{-1+2}@+1, 3=a+1 ∴ a=2 y`@
채점 기준
! 평행이동한 그래프의 식 구하기
@ a의 값 구하기
4 꼭짓점의 좌표가 {3, 4}이므로
y=a{x-3}@+4에서 p=3, q=4
이 그래프가 점 {0, -2}를 지나므로
-2=a{0-3}@+4 ∴ a=-
2
3
66 정답과 해설
y`@
배점
50 %
50 %
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
40 %
20 %
배점
50 %
50 %
y`!
y`@
채점 기준
! p, q의 값 구하기
@ a의 값 구하기
# a+p-q의 값 구하기
y`#
배점
40 %
40 %
20 %
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
40 %
20 %
y`!
y`@
배점
50 %
50 %
2 단계
스스로 해결하기
P. 40 ~42
2 2
1 12
3 ⑴ ㄹ, ㅁ, ㅂ ⑵ ㄷ ⑶ ㄴ과 ㅁ ⑷ ㄱ, ㄴ, ㄷ
4 y=-
2
3 x@
5 ⑴ B{-4, -4}, C{4, -4} ⑵ 18
6 -6
7
3
4
8 0
9 -2
10 ⑴ y=3{x-1}@-7 ⑵ 20
11 -
1
2 ,
2
3
12 제1, 2사분면
1 f{1}=-
\1@+3\1-1=
3
2
1
2
1
2
f{-2}=-
\{-2}@+3\{-2}-1=-9
∴ 2 f{1}-f{-2}=2\
-{-9}=12 `‹
3
2
채점 기준
! f{1}의 값 구하기
@ f{-2}의 값 구하기
# 2f{1}-f{-2}의 값 구하기
2 이차함수 y=
1
2 x@의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그래프의
식은 y=-
x@
1
2
이 그래프가 점 {k, -2}를 지나므로
-2=-
k@, k@=4 ∴ k=-2
1
2
그런데 k는 양수이므로 k=2
채점 기준
! x축에 서로 대칭인 그래프의 식 구하기
@ k의 값 구하기
3 ⑴ (x@의 계수)>0이면 그래프가 아래로 볼록하므로 ㄹ, ㅁ,
y`!
⑵ x@의 계수의 절댓값이 작을수록 그래프의 폭이 넓어진다.
ㅂ이다.
x@의 계수의 절댓값을 각각 구하면
ㄱ. 10 ㄴ.
7
2
ㄷ.
1
4
ㄹ. 1 ㅁ.
7
2
ㅂ.
15
2
따라서 폭이 가장 넓은 것은 ㄷ이다.
y`@
중등개뿔 서술형정답(000~000)5,6단원-OK.indd 66
2016-12-01 오후 8:48:59
대칭이므로 ㄴ과 ㅁ이다.
⑶ x@의 계수의 절댓값이 같고 부호가 반대이면 x축에 서로
y`#
⑷ (x@의 계수)<0이면 x>0에서 x의 값이 증가할 때 y의 값
y`$
은 감소하므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
채점 기준
! 아래로 볼록한 그래프 찾기
@ 폭이 가장 넓은 그래프 찾기
# x축에 서로 대칭인 그래프끼리 짝짓기
$ x>0에서 x의 값이 증가할 때, y의 값은 감소하는 그
래프 찾기
배점
25 %
25 %
25 %
25 %
4 꼭짓점이 원점이므로 이차함수의 식을 y=ax@으로 놓자.
이 그래프가 점 {3, -6}을 지나므로
y`!
-6=a\3@ ∴ a=-
2
3
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-
x@
2
3
채점 기준
! 이차함수의 식을 y=ax@으로 놓기
@ a의 값 구하기
# 이차함수의 식 구하기
5 ⑴ 이차함수 y=ax@의 그래프가 점 A{-2, -1}을 지나므로
-1=a\{-2}@ ∴ a=-
1
4
두 점 B, C의 y좌표가 -4이므로
y=-
x@에 y=-4를 대입하면
1
4
1
4
-4=-
x@, x@=16 ∴ x=-4
∴ B{-4, -4}, C{4, -4}
⑵ 사다리꼴 ABCD는 윗변의 길이가 AD
y`@
=4, 아랫변의 길
7 꼭짓점의 좌표가 {-2, 0}이므로 이차함수의 식을
f{x}=a{x+2}@으로 놓자.
이 그래프가 점 {0, 3}을 지나므로
3=a{0+2}@
3
4
∴ a=
따라서 f{x}=
{x+2}@이므로
f{-3}=
{-3+2}@=
3
4
3
4
3
4
채점 기준
! 이차함수의 식을 y=a{x-p}@의 꼴로 놓기
@ 상수 a의 값 구하기
# f{-3}의 값 구하기
8 이차함수 y=ax@의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의
방향으로 -3만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=a{x-2}@-3
이 식이 y=-{x+b}@-c와 같아야 하므로
a=-1, -2=b, -3=-c
따라서 a=-1, b=-2, c=3이므로
a+b+c=-1+{-2}+3=0
채점 기준
! 평행이동한 그래프의 식 구하기
@ a, b, c의 값 구하기
# a+b+c의 값 구하기
9 이차함수 y=-
1
2 x@-1의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼,
y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-
x@-1에 x 대신 x-a, y 대신 y-2를 대입하면
이가 BC
=8, 높이가 3이므로
ABCD=
\{4+8}\3=18
1
2
y-2=-
{x-a}@-1
y`#
∴ y=-
{x-a}@+1
1
2
1
2
1
2
1
2
이 그래프가 점 {2, -7}을 지나므로
-7=-
{2-a}@+1
1
2
{2-a}@=8
{2-a}@=16
y`!
2-a=-4
∴ a=-2 또는 a=6
y`@
∴ a=-2
채점 기준
! 평행이동한 그래프의 식 구하기
@ a의 값 구하기
6 이차함수 y=-2x@의 그래프를 y축의 방향으로 a만큼 평행
채점 기준
! a의 값 구하기
@ 두 점 B, C의 좌표 구하기
# 사다리꼴 ABCD의 넓이 구하기
이동한 그래프의 식은
y=-2x@+a
이 그래프가 점 {1, -8}을 지나므로
-8=-2\1@+a
∴ a=-6
채점 기준
! 평행이동한 그래프의 식 구하기
@ a의 값 구하기
y`!
y`@
y`#
배점
30 %
30 %
40 %
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
40 %
20 %
y`!
y`@
배점
30 %
70 %
y`@
y`#
배점
30 %
50 %
20 %
y`!
배점
20 %
40 %
40 %
배점
40 %
60 %
그런데 꼭짓점의 좌표가 {a, 1}이고, 제2사분면 위에 있으므
로 a<0이다.
V . 이차함수와 그 그래프 67
중등개뿔 서술형정답(000~000)5,6단원-OK.indd 67
2016-12-01 오후 8:48:59
정답과 해설Z
Z
10 ⑴ 꼭짓점의 좌표가 {1, -7}이므로 이차함수의 식을
이때 AB
=2a, BC
=a@-
-
a@
=
a@이고,
1
3
]
4
3
y`!
⑵ 이차함수 y=3{x-1}@-7의 그래프가 점 {4, k}를 지나
∴ a=0 또는 a=
3
2
y=a{x-1}@-7로 놓자.
이 그래프가 점 {-1, 5}를 지나므로
5=a{-1-1}@-7, 4a=12 ∴ a=3
∴ y=3{x-1}@-7
므로
k=3\{4-1}@-7=20
채점 기준
! 이차함수의 식을 y=a{x-p}@+q의 꼴로 나타내기
@ k의 값 구하기
y`@
배점
60 %
40 %
y`@
y`#
배점
20 %
30 %
50 %
11 꼭짓점의 좌표가 {p, 2p@-p}이고,
이 점이 이차함수 y=-4x@+2의 그래프 위에 있으므로
y`!
2p@-p=-4p@+2
6p@-p-2=0, {2p+1}{3p-2}=0
∴ p=-
또는 p=
1
2
2
3
채점 기준
! 꼭짓점의 좌표 구하기
@ p에 관한 식 세우기
# p의 값 구하기
12 주어진 그래프의 모양이 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점 {p, q}가 제1사분면 위에 있으므로
p>0, q>0
y=p{x-q}@-a에서
p>0이므로 그래프는 아래로 볼록하고,
q>0, -a>0이므로 꼭짓점 {q, -a}는
제1사분면 위에 있다.
따라서 y=p{x-q}@-a의 그래프는 오
른쪽 그림과 같으므로 제1, 2사분면을 지
y`@
난다.
y`!
x
y
O
채점 기준
! a, p, q의 부호 판별하기
@ y=p{x-q}@-a의 그래프가 지나는 사분면 구하기
배점
40 %
60 %
AB
=BC
이므로 2a=
2a@-3a=0, a{2a-3}=0
[
4
3
a@
3
2
그런데 a>0이므로 a=
따라서 정사각형 ADCB의 한 변의 길이는
AB
=2a=2\
=3이므로
3
2
ADCB=3\3=9
채점 기준
! 점 B의 x좌표를 a로 놓았을 때, 네 점 A, B, C, D의
좌표를 a에 대하여 나타내기
@ a의 값 구하기
#
ADCB의 넓이 구하기
f
2 점 A의 x좌표를 a{a>0}로 놓으면
AB
=2이므로
A{a, 2a@}, B
a+2,
{a+2}@
1
2
[
]
이때 두 점 A, B의 y좌표가 k로 같으므로
2a@=
{a+2}@
1
2
3a@-4a-4=0
∴ a=-
,
또는 a=2
{3a+2}{a-2}=0
2
3
그런데 a>0이므로 a=2
∴ k=2a@=2\2@=8
채점 기준
! 점 A의 x좌표를 a로 놓았을 때, 두 점 A, B의 좌표를
a에 대하여 나타내기
@ a의 값 구하기
# k의 값 구하기
3 | 예시 답안 |
호수의 수면을 x축, 지점 O를
원점으로 하여 호수의 단면인
포물선을 좌표평면 위에 나타
-20
A
내면 오른쪽 그림과 같다.
y
O
-18
이때 꼭짓점의 좌표가 {0, -18}이므로 이차함수의 식을
y=ax@-18로 놓자.
y`!
3 단계
한 걸음 더 도전하기
P. 43
1 9
2 8
3
27
2 m(또는 13.5 m)
4 18
1 점 B의 x좌표를 a{a>0}로 놓으면
1
3
A{-a, a@}, B{a, a@}, C
a, -
[
a@
, D
]
[
-a, -
이 그래프가 점 {20, 0}을 지나므로
0=a\20@-18 ∴ a=
9
200
∴ y=
x@-18
9
200
1
3
a@
]
y`!
68 정답과 해설
y`@
y`#
배점
30 %
50 %
20 %
y`!
y`@
y`#
배점
30 %
40 %
30 %
20
B
x
y`@
중등개뿔 서술형정답(000~000)5,6단원-OK.indd 68
2016-12-01 오후 8:49:00
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1
따라서 지점 O에서 B의 방향으로 10 m만큼 떨어진 지점에서
P. 46 ~ 47
위의 식에 x=10을 대입하면
y =
9
200
\10@-18=-
27
2
의 수심은
m(또는 13.5 m)이다.
27
2
채점 기준
! 호수의 단면인 포물선을 좌표평면 위에 나타내기
@ 이차함수의 식 구하기
# 수심 구하기
y`#
배점
20 %
40 %
40 %
4 오른쪽 그림과 같이 이차함수
y=
{x+2}@+1
2!
1
2
1
2
y=
{x+2}@+1의 그래프
는 y=
{x+2}@-5의 그래
프를 y축의 방향으로 6만큼
평행이동한 것과 같으므로 빗
금 친 부분의 넓이는 서로 같
y
O
다.
따라서 색칠한 부분의 넓이는 가로의 길이가 3, 세로의 길이
y`!
가 6인 직사각형의 넓이와 같으므로
y`@
(색칠한 부분의 넓이)=3\6=18
채점 기준
! 색칠한 부분과 넓이가 같은 사각형에 대하여 설명하기
@ 색칠한 부분의 넓이 구하기
배점
60 %
40 %
x
채점 기준
y=
{x+2}@-5
2!
x=-3
! 이차함수의 식을 y=a{x-p}@+q의 꼴로 놓기
@ a의 값 구하기
# b, c의 값 구하기
이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프
1 단계
보고 따라 하기
1 a=2, b=8, c=11
4 195 m, 6초
2 8
3 -7
1
1 단계 꼭짓점의 좌표가 {-2, 3}이므로 이차함수의 식을
y=a{x+2}@+3으로 놓자.
2 단계 이 그래프가 점 {-1, 5}를 지나므로
5=a{-1+2}@+3 ∴ a=2
3 단계 y=2{x+2}@+3=2x@+8x+11이므로
b=8, c=11
y`!
y`@
y`#
배점
30 %
30 %
40 %
y`!
y`@
y`#
배점
30 %
40 %
30 %
y`@
y`#
배점
40 %
40 %
20 %
1 단계 y=x@+2x-3={x+1}@-4에서
A{-1, -4}
2 단계 y=x@+2x-3에 y=0을 대입하면
x@+2x-3=0
{x+3}{x-1}=0
∴ x=-3 또는 x=1
∴ B{-3, 0}, C{1, 0}
3 단계 △ABC=
\4\4=8
1
2
채점 기준
! 점 A의 좌표 구하기
@ 두 점 B, C의 좌표 구하기
#
ABC의 넓이 구하기
s
3
1 단계 x=3에서 최솟값이 -1이므로 꼭짓점의 좌표는
{3, -1}
즉, 이차함수의 식을 y=a{x-3}@-1로 놓자. y`!
2 단계 이 그래프가 점 {1, 7}을 지나므로
7=a{1-3}@-1 ∴ a=2
즉, y=2{x-3}@-1=2x@-12x+17이므로
b=-12, c=17
3 단계 ∴ ab+c=2\{-12}+17=-7
채점 기준
! 이차함수의 식을 y=a{x-p}@+q의 꼴로 놓기
@ a, b, c의 값 구하기
# ab+c의 값 구하기
VI . 이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프 69
2
181-3학생용 해설5,6단원(066~072)원-OK.indd 69
2016-12-05 오후 6:39:49
정답과 해설 y`@
y`#
배점
60 %
30 %
10 %
y`@
y`#
배점
30 %
30 %
40 %
4 y=-5x@+60x+15=-5{x-6}@+195
즉, x=6에서 최댓값이 195이다.
y`!
따라서 로켓의 최고 높이는 195 m이고, 최고 높이에 도달할
y`@
때까지 걸린 시간은 6초이다.
채점 기준
! 이차함수의 식을 y=a{x-p}@+q의 꼴로 나타내기
@ 최고 높이와 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간 구
배점
40 %
60 %
하기
한편 y=2x@+14x+12에 x=0을 대입하면 y=12이므로
r=12
∴ p-q+r=-1-{-6}+12=17
채점 기준
! p, q의 값 구하기
@ r의 값 구하기
# p-q+r의 값 구하기
4 ⑴ y=-2x@+4x+1=-2{x-1}@+3에서
A{1, 3}
y=-2x@+4x+1에 x=0을 대입하면 y=1이므로
B{0, 1}
y`!
2 단계
스스로 해결하기
P. 48 ~50
1 {-2, 7} 2 ⑴ {k, k@+k} ⑵ -1 3 17
4 ⑴ A{1, 3}, B{0, 1} ⑵
6 y=2x@-x+2
1
2 5 -4
8 4
9 -1
10 ⑴ m=-8k@+4k ⑵
11 -49, -7과 7
7 18
1
2
12 121 cm@
⑵ △ABO=
\1\1=
1
2
1
2
채점 기준
! 점 A의 좌표 구하기
@ 점 B의 좌표 구하기
#
ABO의 넓이 구하기
s
1
이차함수 y=-2x@+ax-1의 그래프가 점 {-1, 5}를 지나
므로
5=-2-a-1 ∴ a=-8
∴ y=-2x@-8x-1=-2{x+2}@+7
따라서 꼭짓점의 좌표는 {-2, 7}이다.
채점 기준
! a의 값 구하기
@ 이차함수의 식을 y=a{x-p}@+q의 꼴로 나타내기
# 꼭짓점의 좌표 구하기
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
40 %
20 %
2 ⑴ y =-x@+2kx+k
=-{x@-2kx+k@-k@}+k
=-{x-k}@+k@+k
이므로 꼭짓점의 좌표는 {k, k@+k}
⑵ 꼭짓점이 x축 위에 있으면 y좌표가 0이므로
y`!
y`@
k@+k=0, k{k+1}=0 ∴ k=0 또는 k=-1
그런데 k=0이므로 k=-1
y`#
채점 기준
! 이차함수의 식을 y=a{x-p}@+q의 꼴로 나타내기
@ 꼭짓점의 좌표를 k를 사용하여 나타내기
# k의 값 구하기
배점
30 %
20 %
50 %
3 y=2x@+14x+12에 y=0을 대입하면
2x@+14x+12=0
x@+7x+6=0, {x+6}{x+1}=0
∴ x=-6 또는 x=-1
그런데 p>q이므로 p=-1, q=-6
70 정답과 해설
5 y =-3x@+12x-5=-3{x-2}@+7
이 식에 x 대신 x-m, y 대신 y-n을 대입하면
y`!
y-n=-3{x-m-2}@+7
∴ y=-39x-{m+2}0@+7+n
y`@
이 그래프가 y=-3x@+5의 그래프와 완전히 포개어지므로
y`#
m+2=0, 7+n=5 ∴ m=-2, n=-2
y`$
∴ m+n=-2+{-2}=-4
채점 기준
! 이차함수의 식을 y=a{x-p}@+q의 꼴로 나타내기
@ 평행이동한 그래프의 식 구하기
# m, n의 값 구하기
$ m+n의 값 구하기
배점
20 %
30 %
30 %
20 %
6 구하는 이차함수의 식을 y=ax@+bx+c로 놓자.
y=ax@+bx+c의 그래프가 점 {0, 2}를 지나므로
c=2
y`!
이때 y=ax@+bx+2의 그래프가 두 점 {1, 3}, {-1, 5}를
지나므로
3=a+b+2 ∴ a+b=1
5=a-b+2 ∴ a-b=3
y`㉠
y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=2, b=-1
따라서 구하는 이차함수의 식은
y =2x@-x+2
채점 기준
y`@
y`#
배점
20 %
40 %
40 %
! c의 값 구하기
@ a, b의 값 구하기
# 이차함수의 식 구하기
y`!
중등개뿔 서술형정답(000~000)5,6단원-OK.indd 70
2016-12-01 오후 8:49:01
7 y =-x@-6x+1=-{x+3}@+10
즉, x=-3에서 최댓값은 10이므로
M=10
y=2x@-8x=2{x-2}@-8
즉, x=2에서 최솟값은 -8이므로
m=-8
∴ M-m=10-{-8}=18
채점 기준
! M의 값 구하기
@ m의 값 구하기
# M-m의 값 구하기
8 y =-4x@+16x+k-4
=-4{x@-4x+4-4}+k-4
=-4{x-2}@+k+12
즉, x=2에서 최댓값은 k+12이다.
그런데 최댓값이 16이므로
∴ k=4
k+12=16
채점 기준
! 이차함수의 식을 y=a{x-p}@+q의 꼴로 나타내기
@ k의 값 구하기
9 ㈎에서 이차함수 y=-x@의 그래프와 모양이 같으므로
y`!
a=-1
㈏에서 꼭짓점의 x좌표는 -2이고, ㈐에서 꼭짓점의 y좌표는
y`@
8이므로 꼭짓점의 좌표는 {-2, 8}이다.
따라서 y =-{x+2}@+8=-x@-4x+4이므로
b=-4, c=4
∴ a-b-c=-1-{-4}-4=-1
채점 기준
! a의 값 구하기
@ 꼭짓점의 좌표 구하기
# b, c의 값 구하기
$ a-b-c의 값 구하기
10 ⑴ y =2x@-8kx+4k
=2{x@-4kx+4k@-4k@}+4k
=2{x-2k}@-8k@+4k
즉, x=2k에서 최솟값은 -8k@+4k이므로
m=-8k@+4k
⑵ m =-8k@+4k
1
2
=-8
k@-
k+
-
1
16
1
16 ]
=-8
k-
1
4 ]@+
1
2
[
[
1
4
따라서 k=
에서 최댓값은
이다.
1
2
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
40 %
20 %
y`!
y`@
배점
30 %
70 %
y`#
y`$
배점
20 %
30 %
30 %
20 %
y`!
y`@
y`#
y`$
채점 기준
! 이차함수의 식을 y=a{x-p}@+q의 꼴로 나타내기
@ m을 k에 관한 식으로 나타내기
# @의 식을 m=a{k-p}@+q의 꼴로 나타내기
$ m의 최댓값 구하기
배점
20 %
30 %
20 %
30 %
11 한 수를 x라 하면 다른 한 수는 x+14이므로
두 수의 곱을 y라 하면
y =x{x+14}=x@+14x
={x+7}@-49
즉, x=-7에서 최솟값은 -49이다.
따라서 두 수의 곱의 최솟값은 -49이고,
그때의 두 수는 -7과 -7+14=7이다.
채점 기준
! 두 수의 곱에 대한 식 세우기
@ 두 수의 곱의 최솟값 구하기
# 두 수 구하기
y`!
y`@
y`#
배점
40 %
40 %
20 %
12 새로운 직사각형의 가로의 길이는 {14-x} cm, 세로의 길이는
y`!
{8+x} cm이므로
이 직사각형의 넓이를 y cm@라 하면
y ={14-x}{8+x}=-x@+6x+112
=-{x-3}@+121
y`@
즉, x=3에서 최댓값은 121이다.
따라서 새로운 직사각형의 넓이의 최댓값은 121 cm@이다.
y`#
채점 기준
! 새로운 직사각형의 가로, 세로의 길이를 각각 x에 관한
식으로 나타내기
@ 새로운 직사각형의 넓이에 대한 식 세우기
# 새로운 직사각형의 넓이의 최댓값 구하기
배점
20 %
30 %
50 %
3 단계
한 걸음 더 도전하기
P. 51
1
35
2
2 00
y`@
또 그래프가 모든 사분면을 지나므로 y축과의 교점이 x축보
다 아래쪽에 있어야 한다.
y=a{x-2}@-3에 x=0을 대입하면 y=4a-3이므로
4a-3<0
∴ a<
y`㉡
3
4
따라서 ㉠, ㉡에서 0
