개념과 유형의 연계 학습서 정답 및 해설 중등 수학 -13 개념편 유형편 2 46 Ⅰ- 1제곱근과실수 제곱근과그성질 익히기 익히기 개념편 6~7쪽 Ⅰ- 1 제곱근과 실수 01 ② 확인01 (ㄱ), (ㄹ) 02 ② 확인02 -1 03 ③ 확인03 2개 12보다 큰 최소의 제곱수는 16이므로 12+x=16 ∴ x=4 10 4 개념편 8쪽 x가 자연수이므로 12+x>12 익히기 익히기 개념편 9~10쪽 06 ⑴ 6 ⑵ - ⑶ 10 ⑷ -4.3 ;1¢3; 06 -1 ⑴ 9 ⑵ -16 ⑶ 1.3 ⑷ - ;7@; 07 ⑴ -5 ⑵ 2 ⑶ 3 ⑷ 1.2 ⑴ (-10)Ö2=-5 ⑶ 5-2=3 ⑵ _6=2 ;3!; ⑷ 0.9+0.3=1.2 07 -1 ⑴ -16 ⑵ -7 ⑶ -5 ⑷ 5 ⑴ (-8)_2=-16 ⑵ 21Ö(-3)`=-7 ⑶ 2-7=-5 ⑷ 15-10=5 08 ⑴ >, 5a ⑵ <, 4a 08 -1 ⑴ <, -2a ⑵ >, -3a 09 ⑴ 35 ⑵ 6 ⑴ 'Ä 140x= 2Û`_5_7_x ∴ x=5_7=35 ®É = ⑵ 150 x 2_3_5Û` x ∴ x=2_3=6 ¾Ð 09 -1 ⑴ 15 ⑵ 3 ⑴ 'Ä 240x= 2Ý`_3_5_x ⑵ ®É 27 x = ¾Ð 3Ü` x ∴ x=3_5=15 ∴ x=3 "à "à 10 -1 6, 11, 14 근호 안의 수는 0 이상이므로 15-x¾0 ∴ xÉ15 한편, x는 자연수이므로 15-x<15이다. 15보다 작은 제곱수는 1, 4, 9이므로 15-x=1, 4, 9 ∴ x=6, 11, 14 확인하기 개념편 11~12쪽 01 ② 확인01 ④ 02 ⑴ 16 ⑵ -1 확인02 ⑴ 2 ⑵ 0.2 03 ⑴ 3a ⑵ -4a 확인03 ② 04 8 확인04 a+2 05 ⑤ 확인05 ③ 06 ④ 확인06 ③ ② - 4Û`=-4 16= 01 ① '¶ (-4)Û` = ③ " 16= 4Û` =4 '¶ " "à ⑤ -(- 4Û`)=-(-4)=4 " 4Û`=4 ④ (- " 따라서 나머지 넷과 다른 하나는 ②이다. 4)Û`=( 4)Û`=4 ' ' ③ "à ⑤ - 확인01 ① - 3Û`=-3 " (-2)Û` = (-1)Û`=- "à ' 02 ⑴ 5+11=16 4=2 ' ④ - "à 1=-1 ② (- 4)Û`=4 ' (-5)Û`=- 25 =-5 '¶ ⑵ 4-5=-1 01 ⑴ 4, -4 ⑵ 0.5, -0.5 ⑶ 9, 3, -3 01 -1 ⑴ 6, -6 ⑵ 0.7, -0.7 ⑶ 16, 4, -4 02 ⑴ Ñ9 ⑵ 0 ⑶ 없다. ⑷ Ñ 02 -1 ⑴ Ñ7 ⑵ Ñ1 ⑶ 없다. ⑷ Ñ ;3!; ;2!; 03 ⑴ Ñ 2 ⑵ Ñ 8 ⑶ Ñ 1.2 ⑷ Ñ '¶ ®Â;1£0; 03 -1 ⑴ Ñ 3 ⑵ Ñ 24 ⑶ Ñ 2.8 ⑷ Ñ ®Â;5@; 04 ⑴ 3 ⑵ -2 ⑶ Ñ6 ⑷ 04 -1 ⑴ 5 ⑵ -4 ⑶ Ñ0.4 ⑷ ;3@; 05 ⑴ 1 1 ⑵ - 1 ⑶ Ñ 1 1 ⑷ 05 -1 ⑴ 1 5 ⑵ - 5 ⑶ Ñ 1 5 ⑷ 1 1 ' 5 1 ' ' '¶ 1 ' 1 ' ' ' ' ' 확인하기 '¶ ;2%; ' ' 25=5의 제곱근은 Ñ 01 ① '¶ ③ 49의 제곱근은 Ñ7이다. ' 5이다. ④ 4는 16의 양의 제곱근이다. ⑤ 9의 음의 제곱근은 - 3이다. ' 확인01 (ㄴ) 제곱근 36은 6이다. '¶ (ㄷ) -3은 9의 음의 제곱근이다. ' ' 'Ä ' '¶ (100의 제곱근)=Ñ 100=Ñ10 ∴ a=10(∵ a>0) 16의 제곱근)=Ñ 4=Ñ2 ∴ b=-2(∵ b<0) 02 ( '¶ ∴ a+b=8 확인02 ( 625의 제곱근)=Ñ 25=Ñ5 ∴ a=5(∵ a>0) 'Ä '¶ (36의 제곱근)=Ñ 36=Ñ6 ∴ b=-6(∵ b<0) 03 ① 'Ä 0.36=0.6 ② 'Ä 0.01=0.1 ④ = ®É:Á4¼9¼: :Á7¼: ∴ a+b=-1 ⑤ - ®É:ª4°: =- ;2%; 확인03 0.H1H6= 의 제곱근 : Ñ , 11의 제곱근 : Ñ 11 ;9!9^; ®É;9!9^; '¶ 1.69의 제곱근 : Ñ1.3, ;4@9$; 따라서 1.69, 0의 2개이다. 의 제곱근 : Ñ , 0의 제곱근 : 0 ®É;4@9$; 2 Ⅰ- 1 제곱근과 실수 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 2 2014-10-22 오후 1:47:12 Ð 확인02 ⑴ 5+3-2-4=2 ⑵ 1.2-3Ö3=0.2 03 ⑴ "à ⑵ (3a)Û`- "à "à "à (2a)Û`+ (-a)Û`=2a+{-(-a)}=3a (-7a)Û`=3a-{-(-7a)}=-4a 확인03 a>0이므로 -a<0, -4a<0 ∴ (주어진 식) =-(-a)+4a-{-(-4a)} =a+4a-4a=a 04 -2<x<6이므로 x+2>0, x-6<0 ∴ (주어진 식)=(x+2)-(x-6)=8 확인04 3<a<5이므로 a>0, 3-a<0, 5-a>0 ∴ (주어진 식)=a-(3-a)+(5-a)=a+2 확인하기 01 ② 확인01 - ' 03 ① 확인03 12개 5, - 2, -1, 0, 12, 4, 17 02 ④ 확인02 0 ' '¶ '¶ 개념편 15쪽 01 ① - 2>- 4 ' ' ② < ®;9!; ®;3!; ③ 5< 25 ' '¶ ④ - ®;4!; >- ®;2!; 확인01 양수끼리 대소를 비교하면 '¶ 음수끼리 대소를 비교하면 -1>- 12< 16(=4)< 17 '¶ '¶ 2>- ' 5 ' 주어진 수를 크기가 작은 것부터 순서대로 나열하면 2Ü`_3_a가 자연수가 되려면 지수가 짝수이어야 하므 05 A= "à 로 a=2_3이다. ∴ a+A=18 a=2_3을 A에 대입하면 A= 2Ý`_3Û`= (2Û`_3)Û`= 12Û`=12 "à "à " 확인05 63x 5 ¾Ð =¾Ð 3Û`_7_x 5 이므로 x=5_7=35 35-x가 정수가 되려면 35-x는 제곱수 또는 0이어야 한다. 06 이때 x는 자연수이므로 35-x<35 'Ä - 5, - 2, -1, 0, 12, 4, 17 ' ' 02 (주어진 식)=(8- 8- ' '¶ ' 7>0, 2- 7<0이므로 7 )-(2- 7)=6 '¶ ' 5>0, 5-3<0이므로 확인02 3- ' (주어진 식)=(3- ' 5 )+( 5-3)=0 ' ' ' 3< 03 따라서 자연수 x는 10, 11, 12, y, 24이다. x<5에서 9<x<25 ' 즉, 35-x=0, 1, 4, 9, 16, 25 ∴ x=35, 34, 31, 26, 19, 10 확인03 주어진 부등식의 각 변을 제곱하면 따라서 자연수 x는 6개이다. 확인06 x가 자연수이므로 72-x<72 72보다 작은 제곱수 중 가장 큰 수는 64이므로 72-x=64 ∴ x=8 키우기 개념편 13쪽 1 ⑴ 3 ⑵ 14 ⑶ 100 ⑷ 5 ⑸ 15 ⑹ 169 ⑺ 8 ⑻ 16 ⑼ 324 ⑽ 9 ⑾ 17 ⑿ 361 ⒀ 0.25 ⒁ ⒂ :Á5ª: :£7¤: 2 ⑴ 8 ⑵ 26 ⑶ 15 ⑷ 14 ⑸ 8 ⑹ 19 ⑺ 18 ⑻ ⑼ ⑽ ;2#; ;8%; ;4#; 익히기 익히기 개념편 14쪽 11 ⑴ < ⑵ > ⑶ > ⑷ < 11 -1 ⑴ > ⑵ < ⑶ > ⑷ < 12 4개 2< x<3에서 4<x<9 ∴ x=5, 6, 7, 8 따라서 자연수 x의 개수는 4개이다. '§ '¶ 12 -1 15 2< 6x<6에서 4<6x<36, <x<6 ;3@; 이때 자연수 x는 1, 2, 3, 4, 5이므로 구하는 값은 1+2+3+4+5=15 9<6x-5<81이므로 ;3&; 따라서 자연수 x는 3, 4, y, 14의 12개이다. :¢3£: <x< 확인하기 개념편 16쪽 01 ① 02 ⑤ 03 60 04 ⑤ 05 ④ 06 ② 07 ⑤ 08 ⑤ 01 ① Ñ2 ②, ③, ④, ⑤ 2 02 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 x m라고 하면 xÛ`= _18_4=36 ;2!; ∴ x=6 03 "à 따라서 정사각형의 한 변의 길이는 6 m이다. (-81)Û`=81의 음의 제곱근은 a=-9 의 양의 제곱근은 b= :ª9°: (-4)Û`=16의 음의 제곱근은 c=-4 ;3%; ∴ abc=60 04 ① ( ② - ' (-3)Û`+ " "à (-3)Û`_(- ③ "à ④ - 5)Û`+(- 2)Û`=5+2=7 ' 7Û`=(-3)+7=4 3 )Û`=3_3=9 ' 225Ö (-5)Û`=(-15)Ö5=-3 'Ä "à ⑤ - ®É{ Ö( 5)Û`= Ö5= ' ;6%; ;6!; ;6%;} 2` 정답 및 해설 3 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 3 2014-10-22 오후 1:47:13 개념편 05 ① a>0이므로 " ② 2a>0이므로 - (2a)Û`=-2a aÛ`=a "à "à ③ -3a<0이므로 (-3a)Û`=-(-3a)=3a ④ -4a<0이므로 "à ⑤ -5a<0이므로 - "à (-4a)Û`=-(-4a)=4a (-5a)Û`=-{-(-5a)}=-5a 06 a<0, b>0에서 -12a>0, -10b<0, 9a<0, 8b>0이므로 (주어진 식)=(-12a)+{-(-10b)}-(-9a)-8b=-3a+2b 10+6=4 07 ① 'Ä 10+39=7 ③ ⑤ 10+150= 160 'Ä 'Ä 'Ä ② 10+15=5 ④ 10+90=10 'Ä 'Ä 08 주어진 부등식의 각 변을 제곱하면 5<xÛ`<40이므로 xÛ`=9, 16, 25, 36 따라서 자연수 x는 3, 4, 5, 6이므로 3+4+5+6=18 ' ' 0.9 (무리수), 8.1 (무리수) '¶ '¶ 3.24 = (1.8)Û`=1.8 (유리수) '¶ "à 따라서 무리수는 p, 0.9, 8.1 의 3개이다. '¶ '¶ 02 ④ 근호를 사용하여 나타낸다고 해서 모두 무리수는 아니다. 4=2(유리수) ⑤ p는 근호를 사용하여 표현할 수 없다. 확인02 ④ 3은 무리수이므로 기약분수로 나타낼 수 없다. 03 주어진 제곱근표에서 '¶ 또 제곱근표에서 1.81은 1.345이므로 b=1.81 1.42 는 1.192이므로 a=1.192 ∴ 1000a+100b=1000_1.192+100_1.81=1373 확인03 주어진 제곱근표에서 23.1은 4.806이므로 a=4.806 '¶ 또 제곱근표에서 26.4 는 5.138이므로 b=5.138 '¶ '¶ ∴ a+b=9.944 확인하기 개념편 20쪽 01 ⑤ 02 ④ 03 ② 04 ④, ⑤ 05 ⑤ 06 ① 개념편 17~18쪽 무리수와실수 익히기 익히기 01 ⑴ 무 ⑵ 유 ⑶ 무 ⑷ 유 ⑵ - 0.04=- (0.2)Û`=-0.2 'Ä 100= "à 10Û`=10 " ⑷ 'Ä 01 -1 ⑴ 유 ⑵ 무 ⑶ 무 ⑷ 유 ⑴ '¶ ⑷ - 49= 7Û`=7 " 81=- '¶ 9Û`=-9 " 02 ⑴ × ⑵ × ⑶ ⑴ 4=2(유리수) ' ⑵ 0.H1= (유리수) ;9!; 02 -1 ⑴ × ⑵ × ⑶ 03 2.476 03 -1 2.651 확인하기 개념편 19쪽 01 ② 확인01 3개 02 ④ 확인02 ④ 03 ② 확인03 9.944 (0.4)Û`=0.4(유리수) =- 01 - ;2!; ®;4!; 따라서 무리수는 - (유리수), 0.16= 'Ä "à 12의 2개이다. 3, '¶ ' 확인01 1.44= (1.2)Û`=1.2 (유리수) 'Ä "à p (무리수) = 9= 3Û`=3 (유리수) ®É:ª3¦: ' " 4 Ⅰ- 1 제곱근과 실수 01 ① 64의 제곱근 ⇒ Ñ8 ② 0.H9=1의 제곱근 ⇒ Ñ1 ③ 225의 제곱근 ⇒ Ñ15 ④ ;12!1; 의 제곱근 ⇒ Ñ ;1Á1; ⑤ 100=10의 제곱근 ⇒ Ñ 10 '¶ '¶ 02 ① -aÛ`=-( ② aÝ`={( ' 6)Û`}Û`=36 (유리수) 6)Û`=-6(유리수) ③ a- ' 6= ' ④ a-6= ' 6- 6=0(유리수) ' ' 6-6 (무리수) ⑤ (-a)Û`=(- 6)Û`=6 (유리수) ' ④ 0.25=0.5, 0.H2= 는 유리수이다. 'Ä ;9@; ⑤ - =- 는 유리수이다. ®É;;Á9¤;; ;3$; 05 ① 유리수는 실수이다. ② 무리수는 실수이다. ③ 순환하는 무한소수는 유리수이다. ④ 4=2(유리수) ' 06 안에 알맞은 것은 무리수이다. ② ;4#; ④ 8 03 ① ®;4!; = ;2!; 은 유리수이다. ③ 3.14는 유리수이다. 따라서 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수로만 이루어진 것은 ② 이다. 04 순환하지 않는 무한소수는 무리수이다. ④ - 4=-2 (유리수) ⑤ 1.44=1.2(유리수) ' 'Ä 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 4 2014-10-22 오후 1:47:14 수직선과실수의대소관계 익히기 익히기 개념편 21쪽 01 ⑴ × ⑵ ⑶ 01 -1 ⑴ ⑵ ⑶ × ⑶ 2+(- 2)=0 ' ' 확인하기 개념편 22쪽 01 ② 확인01 ④ 02 ② 확인02 ⑤ 03 3개 확인03 ③ 01 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 ' 2), C(2- A(- 2), B(-1+ 2), D(1+ 2) ' ' ' ' 2이므로 확인01 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 ' 2이므로 P(-1- 2), Q(-2+ 2) ' ' 02 ABCD=3_3-4_ _2_1 =5이므로 {;2!; CBÓ=CPÓ= 5 ' 따라서 P(2- ' 5)이므로 a-2=(2- 5)-2=- 5 ' 확인02 ABCO=3_3-4_ _2_1 =5이므로 {;2!; } } ' OAÓ=OPÓ= 5, OCÓ=OQÓ= ' 5), Q(- ' 5 ' 5)이다. 따라서 P( ' (ㄱ) 서로 다른 두 무리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다. 03 (ㄴ) 서로 다른 두 유리수 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다. 확인03 ③ 수직선은 유리수와 무리수, 즉 실수에 대응하는 점들로 완전히 메울 수 있다. 익히기 익히기 개념편 23쪽 ' ' ' ' ' ⑴ ( 3+4)-6= ⑵ ( 5-1)-1= ' 3-2= ' 5-2= ' ' 3+1)= 3- ' 5- 4<0 ∴ ' 4>0 ∴ 3+4<6 5-1>1 ' ⑶ ( ⑷ ( 2+ 3)-( ' 5-1)-( ' 6-1)= ' 5- ' ' 02 -1 ⑴ < ⑵ > ⑶ < ⑷ > ' ' 2-1>0 ∴ 6<0 ∴ ' 2+ 3> 3+1 ' 5-1< ' 6-1 ' ' ' ⑴ ( 5+3)-(3+ 7)= 5- 7+ ' 13- 5)-( ' 5)-( ' 7+ ' 3)= ' ' 13-2)=2- ' 7<0 ∴ ' 3>0 ∴ ' 5- 5+3<3+ 7+ ' ' 5<0 5> ' 7 ' 7+ 3 ' 5= 4- ' ' ' 3+3)= 3- 2>0 ' ' ⑵ ( ⑶ ( '¶ ∴ '¶ ⑷ (- '¶ 13-2 ' 13- 5< ' '¶ 2+3)-(- ' ∴ - ' 2+3>- ' 3+3 ' 확인하기 6)=2- 5 = 4- 5<0 ' ' ' 01 ① (2+ 6)-( ' ∴ 2+ 6 < 5+ ' 5 + ' 6 ' 3 -2)-1= ' ' 3 -3= ② ( ' ' ' 5 > ' ④ ' ⑤ ( '¶ 3 이므로 - ' ' ' ' ' 5<- 3 ' ' 10 -3= '¶ '¶ ③ ( 7 +1)-4= 7 -3= 7 - 9<0 ∴ 7+1<4 3 - 9<0 ∴ 3-2<1 ' ' 10 -1)-2= 10 - 9>0 ∴ 10-1>2 ' '¶ 확인01 ① (2- 2)-(3- 2)=-1<0 ∴ 2- 2<3- 6-2= 6 - ' ' ' ' 4>0 2 ' ' 8)-(2+ ' 8)= ② ( 6 + ' ∴ ' 6 + ' ' 2 +1)-( ③ ( 8>2+ ' 8 ' 3+1)= ' ' ' 2 - 3 <0 ∴ 2+1< ④ ( 6-3)-( 5-3)= 6- 5>0 ∴ 6-3> ' ' 3+1 ' 5-3 ' ' 2)= ' 3- ' ' 5<0 5+ ' 5 + ' 2 ' ' 3+3)-(3+ 5)= 3- 5<0 ∴ a ⑶ > ⑷ < 확인하기 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 5 2014-10-22 오후 1:47:16 개념편 05 ① 3-( ' ② ( 3+1)-( ' ③ (1+ ' 8)-5= ' ' 3+1)=2- 3>0 ∴ 3> 3 +1 ' 3+2)=-1<0 ∴ ' 3+1< 3 +2 ' 8-4<0 ∴ 1+ ' 8<5 ' ④ ' ⑤ ( ' 5-3<0 ∴ 5<3 ' 3+1)= 2+1)-( ' 2- 3<0 ∴ 2+1< 3+1 ' ' ' ' 따라서 나머지 넷과 다른 하나는 ①이다. 06 ① ' 3 2+ 2 ' =1.573, ② ' 2+0.3=1.714 ③ 3-1=0.732, ④ ' 2 3- 2 ' 3 =0.159, ⑤ ' 2 +1=1.866이므로 3 사이의 무리수인 것은 ①, ②이다. ' 2와 ' ' 개념편 26~27쪽 대비하기 01 -2a a-b<0, ab<0에서 a<b이고 부호는 서로 다르므로 a<0, b>0 따라서 -a>0, -b<0, a-b<0이다. (-a)Û`- ∴ "à =-a+(-b)-(a-b)=-2a (-b)Û`+ (a-b)Û` "à "à 채점 기준 a, b의 부호를 아는 경우 -a, -b, a-b의 부호를 아는 경우 식을 간단히 한 경우 유 사01 -4a-2b a-b<0, ab<0에서 a<b이고 부호는 서로 다르므로 a<0, b>0 따라서 2a<0, 2a-b<0, 3b>0이다. 4aÛ`+ (2a-b)Û`- 9bÛ` ∴ " = "à (2a)Û`+ " "à =-2a-(2a-b)-3b " " (2a-b)Û` - (3b)Û` =-4a-2b 채점 기준 a, b의 부호를 아는 경우 2a, 2a-b, 3b의 부호를 아는 경우 식을 간단히 한 경우 02 137 'Ä 또는 0이어야 하므로 32-x=0, 1, 4, 9, 16, 25 ∴ x=32, 31, 28, 23, 16, 7 따라서 모든 자연수 x의 값의 합은 32+31+28+23+16+7=137 채점 기준 32-x가 정수가 되는 조건을 아는 경우 'Ä x의 값을 모두 구한 경우 x의 값의 합을 구한 경우 6 Ⅰ- 1 제곱근과 실수 32-x가 정수가 되려면 32-x는 32보다 작은 제곱수 ▶`40% ▶`20% ▶`40% 배점 40% 20% 40% ▶`40% ▶`20% ▶`40% 배점 40% 20% 40% ▶`60% ▶`20% ▶`20% 배점 60% 20% 20% 유 사02 189 40-x 가 정수가 되려면 40-x는 40보다 작은 제곱수 'Ä 또는 0이어야 하므로 40-x=0, 1, 4, 9, 16, 25, 36 ∴ x=40, 39, 36, 31, 24, 15, 4 따라서 모든 자연수 x의 값의 합은 40+39+36+31+24+15+4=189 채점 기준 40-x 가 정수가 되는 조건을 아는 경우 'Ä x의 값을 모두 구한 경우 x의 값의 합을 구한 경우 03 1 (-3)Û`=9의 양의 제곱근은 3이므로 16=4의 음의 제곱근은 -2이므로 A=3 '¶ B=-2 ∴ A+B=1 A의 값을 구한 경우 B의 값을 구한 경우 A+B의 값을 구한 경우 04 60 채점 기준 A=0.5Ö0.1_10= _10_10=50 ;2!; -2_3=-4-6=-10 B=(-8)_ ;2!; ∴ A-B=60 채점 기준 A의 값을 구한 경우 B의 값을 구한 경우 A-B의 값을 구한 경우 05 2 주어진 부등식의 각 변을 제곱하면 따라서 자연수 x는 6, 7, 8, …, 12이므로 26<xÛ`<148 M=12, m=6 ∴ M m =2 채점 기준 부등식의 각 변을 제곱한 경우 M, m의 값을 구한 경우 M m 의 값을 구한 경우 06 -9 한 변의 길이가 1인 정사각형에서 대각선의 길이는 ' 2이다. 이때 ACÓ=PCÓ, BDÓ=BQÓ이므로 PCÓ=BQÓ= 2 이다. ' ▶`60% ▶`20% ▶`20% 배점 60% 20% 20% ▶`40% ▶`40% ▶`20% 배점 40% 40% 20% ▶`40% ▶`40% ▶`20% 배점 40% 40% 20% ▶`50% ▶`30% ▶`20% 배점 50% 30% 20% ▶`30% 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 6 2014-10-22 오후 1:47:18 점 P의 좌표는 -4를 기준으로 ' 2 만큼 작은 수이므로 (x-1)Û` + (x-3)Û`=(x-1)-(x-3)=2 "à 점 Q의 좌표는 -5를 기준으로 ' 2만큼 큰 수이므로 P(-4- 2) ' 2) Q(-5+ ' ∴ (-4- ' 2)+(-5+ 2)=-9 ' 채점 기준 정사각형의 대각선의 길이를 구한 경우 점 P의 좌표를 구한 경우 점 Q의 좌표를 구한 경우 두 점 P, Q에 대응하는 수의 합을 구한 경우 ▶`30% ▶`30% ▶`10% 배점 30% 30% 30% 10% "à 11 240 x = 2Ý`_3_5 x 이므로 x=3_5_(자연수)Û` 꼴이어야 한다. 따라서 가장 큰 두 자리의 자연수는 x=3_5_2Û`=60 12 ② 3= ∴ 9이므로 3- 10<0 '¶ 10)Û`=-(3- ' (3- "à '¶ 10)=-3+ 10 '¶ '¶ 2 와 13 ① ' ② 수직선은 유리수와 무리수에 대응하는 점들로 완전히 메울 수 3 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다. ' 마무리 개념편 28~30쪽 01 ② 02 ④ 03 ④ 04 ② 05 ① 06 ①, ② 08 구간 D 15 ① 16 ' 21 4 07 ③ 09 ④ 10 ⑤ 11 ④ 12 ② 13 ④ 14 ② 17 ④ 18 ③ 19 12a 20 155 1 1 01 x가 양수 a의 제곱근이므로 xÛ`=a 02 ① 제곱하여 -4가 되는 수는 없으므로 -4의 제곱근은 없다. ② 제곱하여 0이 되는 수는 0뿐이다. a (a¾0) -a (a<0) [ aÛ`= ③ " ⑤ 제곱근 16은 16이므로 4이다. '¶ 03 0.04_ 'Ä ¾Ð{;4%;} Û`+ - ¾Ð{ ;2#;} Û`Ö( 2)Û` ' =0.2_ + ;4%; ;2#; Ö2= + ;4!; ;4#; =1 04 ① 3= ' 9이고 13>9이므로 13>3 '¶ ② = ;3!; ®;9!; 이고 > ;9$; ;9!; 이므로 > ®;9$; ;3!; ' < ③ 9> 7이므로 - 9<- 7 ' ' ' ④ ®;5!; ®;3!; 이므로 - ®;5!; >- ®;3!; ⑤ 2= 4이고 4< 7이므로 -2>- ' ' ' 7 ' 05 4= ∴ 16<n<36 '¶ 16, 6= 36이므로 4< n<6에서 16< n< 36 ' '¶ ' '¶ '¶ 06 ①, ② 유한소수, 순환소수는 유리수이다. 07 제곱근표에서 '¶ 50.3=9.546 6.02+ '¶ '¶ 6.02는 2.454, 50.3은 7.092이므로 '¶ 4< 08 2+4<4+ ' 5< 9에서 2< ' ' 5<3+4 ∴ 6<4+ ' 5<3 5<7 ' 따라서 4+ 5에 대응하는 점은 구간 D에 있다. ' ' 09 11.H1= 100 9 이므로 { 100 9 의 제곱근 } =Ñ ;;Á3¼;; =Ñ3.H3 10 x-1>0, x-3<0이므로 ③ 서로 다른 두 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수와 무리수가 있다. 있다. ⑤ 무리수에 대응하는 점은 수직선 위에 나타낼 수 있다. 3+0.01=1.742, ② ' 14 ① ' 3+2 =1.866, ⑤ 2-0.01=1.99이므로 2 ③ ' 3-0.01=1.722, 3 과 2 사이에 있는 수가 아닌 것은 ②이다. ' a-b=(1+ 5)-( 5)=1- 3<0 ∴ a0) '¶ 따라서 넓이가 11인 정사각형의 한 변의 길이는 '¶ 11이다. 17 0<a<1이므로 a+ >0, >1이므로 a- <0 ;a!; ;a!; ;a!; ③ 1 aÛ` =4 ∴ ®É{ a+ Û``- ;a!;} ®É{ a- Û`` ;a!;} = a+ { + a- ;a!;} { ;a!;} =2a 18 a= ;2!; 이라 하면 ① =2 ;a!; ② a= ;2!; ④ a= ' ®;2!; ⑤ ®;a!; = 2 ' 따라서 가장 큰 수는 이다. 1 aÛ` 25aÛ`+ (-7a)Û` ∴ "à = "à "à (5a)Û`+ "à 채점 기준 5a, -7a의 부호를 아는 경우 식을 간단히 한 경우 1=1, 20 ' N(1)=N(2)=N(3)=1, 4=2, ' ' 9=3, y이므로 19 a>0이므로 5a>0, -7a<0 ▶`40% (-7a)Û` =5a-(-7a)=12a ▶`60% 배점 40% 60% 정답 및 해설 7 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 7 2014-10-22 오후 1:47:19 개념편 Ⅰ- 2 근호를 포함한 식의 계산 N(4)=N(5)=y=N(8)=2, N(9)=N(10)=y=N(15)=3, N(16)=N(17)=y=N(24)=4, N(25)=N(26)=y=N(35)=5, N(36)=N(37)=y=N(40)=6이다. ▶`80% ∴ N(1)+N(2)+N(3)+y+N(40) =1_3+2_5+3_7+4_9+5_11+6_5=155 ▶`20% 채점 기준 N(1), N(2), N(3), y N(40)의 값을 구한 경우 N(1)+N(2)+N(3)+y+N(40)의 값을 구한 경우 배점 80% 20% 21 정사각형 ABCD의 넓이가 5이므로 한 변의 길이는 다. 5이 ' ▶`40% 따라서 점 P의 좌표는 2를 기준으로 ' 5만큼 작은 수이므로 P(2- 5) ' 점 Q의 좌표는 2를 기준으로 ' 5만큼 큰 수이므로 Q(2+ 5) ∴ (2- 5)+(2+ 5)=4 ' ' 채점 기준 정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 구한 경우 점 P의 좌표를 구한 경우 점 Q의 좌표를 구한 경우 두 점 P, Q에 대응하는 수의 합을 구한 경우 배점 40% 20% 20% 20% 익히기 익히기 개념편 31쪽 Ⅰ- 2근호를포함한식의계산 제곱근의곱셈과나눗셈 01 ⑴ 6 ⑵ 210 ⑶ 2 30 ⑷ '¶ ®;2#; 01 -1 ⑴ 18 ⑵ 231 ⑶ 3 10 ⑷ '¶ ®Â;1»1; 02 ⑴ 3 ⑵ 5 ⑶ 7 ⑷ - 10 ' ' '¶ 02 -1 ⑴ 2 ⑵ 2 ⑶ -2 ⑷ -4 '¶ 'Ä ' '¶ ' 확인하기 01 ② 확인01 ② 02 ③ 확인02 ⑤ 01 5 2_ ' ®Â;1¦0; _(-2 5)=5_(-2)_ 2_ _5 ®É ;1¦0; ' =-10 7 ' 확인01 _ = _ = 4=2 ∴ a=2 ®;7^; ®Â;;Á3¢;; ®É;7^; ;;Á3¢;; ' = _ ¤;; ®;4%; ®Â;;Á5\ 따라서 ab=4 ®É;;Á5\ _ ¤;; ;4%; = ' 4=2 ∴ b=2 8 Ⅰ- 2 근호를 포함한 식의 계산 14 2 02 ① '¶ ' 2)Ö ② (- = ®Â;;Á2¢;; = 7 ' =(- 2)_ 4=- ' ' 8 ' ®;4!; ' ' ③ (- 2)Ö(- ④ 2Ö ' '¶ ⑤ ®;7@; 10= ' '§ = 2 3 Ö ' ' 2 2 2)= ' ' = ' 2 10 =1 = = _ ®;7@; ®;2#; ®;7#; ®É;1ª0; ®;5!; 확인02 ① =3 ®Â;;Á5°;; =3 3 ' 3 15 '¶ 5 ' =2 2 ② 12 '¶ 6 ' 12Ö2 ®Â;;Á6ª;; = 2 2 ` ' ③ 8 '¶ 3=4 ' ®Â;;Á3ª;; =8 ▶`20% ④ 210Ö 7= '¶ ®Â;ª;7!;¼; = 30 '¶ ' ▶`20% ▶`20% 2_ 3= 2_3= 6 ' 6<2 'Ä 2<3 ' ' '¶ ⑤ ' 즉, ' ⑤이다. 3< 30<8이므로 계산 결과가 가장 작은 것은 ' ' ' ' '¶ '¶ 익히기 익히기 개념편 33쪽 03 ⑴ 2 7 ⑵ 2 10 ⑶ 9 5 ⑷ 20 03 -1 ⑴ 3 3 ⑵ 5 2 ⑶ 6 6 ⑷ 15 '¶ ' '¶ '¶ ' ' '¶ '¶ 2 ' 2 ' '¶ '¶ 04 ⑴ 12 ⑵ 48 ⑶ 125 ⑷ 162 04 -1 ⑴ 24 ⑵ 45 ⑶ 75 ⑷ 99 확인하기 개념편 34쪽 01 ② 확인01 ② 02 ④ 확인02 ② 03 ① 확인03 ⑤ 80= 4Û`_5=4 5 ∴ a=4 ' 15 ∴ b=4 01 '¶ 240= "\ '¶ ∴ a-b=0 "\ 4Û`_15=4 '¶ 개념편 32쪽 확인01 ① 90 ② 96 ③ '¶ 따라서 가장 큰 수는 ②이다. '¶ '¶ 75 ④ 36 '¶ 02 0.48= '¶ ®É;1¢0¥0; = 4 3 ' 10 = ;5@;' 3 ∴ k= =0.4 ;5@; 확인02 = ®Â;12^8; ®;6£4; 3 64 3 = ' 8 = ' '¶ 따라서 a= 이므로 16a=16_ =2 ;8!; ;8!; 03 1.75= = "\ 5Û`_7 10 = 5 7 ' 10 = k ;2!; ®É;1!0&0%; 확인03 135= 15_9=3 15=3 3_ 5=3ab 'Ä '¶ ' ' '¶ '¶ 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 8 2014-10-22 오후 1:47:20 à à à '¶ '¶ '¶ '¶ '¶ '¶ '¶ '¶ '¶ '¶ '¶ '¶ 익히기 익히기 개념편 35쪽 05 ⑴ 0.1414 ⑵ 0.4472 ⑶ 14.14 ⑷ 44.72 ⑴ 0.02= ®Â;10@0; ⑵ 0.2= ®Â;1ª0¼0; 2 = ' 10 20 10 = '§ = = 1.414 10 4.472 10 =0.1414 =0.4472 ⑶ ⑷ 200= '¶ 2000= 2_100=10 ' 20_100=10 'Ä 2=10_1.414=14.14 20=10_4.472=44.72 05 -1 ⑴ 11.83 ⑵ 118.3 ⑶ 0.3742 ⑷ 0.01183 1.4 _100=10 1.4=10_1.183=11.83 '¶ '¶ ⑴ ⑵ 140= 'Ä 14000= ⑶ 0.14= ⑷ 0.00014= ®Â;1Á0¢0; 'Ä = '¶ 1.4_10000=100 '¶ 3.742 14 10 10 1.4 100 1.4 10000 = '¶ = ¾Ð = =0.3742 1.183 100 =0.01183 1.4=100_1.183=118.3 06 -1 ⑴ 3 2 7 = 3 3 3 ' = = 1 3 ' ⑵ = 12 2 2 ' = = 6 2 ' ' 12 8 ' 1_ 3 ' 3_ 3 ' 6_ ' 2 ' 2_ ' 2 ' 3 = ' 3 = 6 2 ' 2 = 3 2 ' 5 07 ⑴ ' 5 ⑵ 3 2 ⑶ ' 9 1 ⑷ ' 4 4 ' 5 = ' 5 5 = ' 5_ ' ⑴ 1 5 5 ' ' 3 ⑶ 1 = ' 3_ 3 3 ' ' 7 07 -1 ⑴ ' 7 3 3 ' ⑵ 3 3 ⑶ ' ' 3 = ' 9 ⑷ ®;8&; ⑵ 2 2 ' 2 ' = = 2 2 2_ ' 2_ ' 7 = ' 2 2 ' ' = ' 2 ' 6 7_ ' 2_ ' 2 2 14 = '¶ 4 ⑴ 1 7 ' 5 ⑶ ' 11 '¶ 7 = ' 7_ ' = ' '¶ 7 ' 5_ '¶ 11_ '¶ 7 = ' 7 11 11 = '¶ 55 11 ' 5 ⑷ 2 5 5 11 ⑵ 9 3 ' ⑷ 12 6 ' 5 = ' = = 3 9_ ' 3_ 3 ' 12_ ' 6_ 5 ' ' 6 6 9 3 ' 3 12 = =3 3 ' 6 = 2 6 ' 5 ' 30 확인하기 개념편 36쪽 확인하기 01 ⑤ 확인01 ① 02 ① 확인02 ⑤ 확인03 ⑤ 01 ⑤ 확인01 ① 02 ③ 확인02 03 ④ 확인03 6 ;5$; 개념편 38쪽 7 cm ' ` 2 = ' 2 ② = 6 2 ' 6_ ' 2_ ' 2 2 ' = 6 2 ' 2 =3 2 ' 300= 3_100=10 3=10_1.732=17.32 30_100=10 30=10_5.477=54.77 01 ① '¶ ② 3000= 'Ä 'Ä ③ 0.3= ®Â;1£0¼0; ④ 0.03= ®Â Â;10#0; = '¶ 30 10 3 = ' 10 = = ' '¶ 5.477 10 1.732 10 =0.5477 =0.1732 ⑤ 0.003= ®Â Â;10£0¼00; = '¶ 30 100 = 5.477 100 =0.05477 확인01 0.8602=8.602_ = 74_ ;1Á0; '¶ = 74_ ;1Á0; ®Â = 0.74 ;10!0; '¶ ∴ a=0.74 2= 5 ' 02 a=7, b=5 ' ∴ ab=7(5 ' '¶ 2-7 '¶ ' 2-7)=35 2-49 50이고 7< 50<8이므로 확인02 2< ' 따라서 4+ 5<3이므로 6<4+ 5<7 ' 5의 정수 부분은 a=6, ' 소수 부분은 b=(4+ ∴ a-2b=6-2( ' 5)-6= ' ' 5-2)=10-2 5-2 5 ' 확인03 1< 3<2이므로 a= 3-1 ' 48의 소수 부분은 6< 48<7이므로 '¶ '¶ 48-6=4 3-6=4( 3-1)-2=4a-2 ' '¶ ' ' 06 ⑴ = = = 3 1 8 ' 2 2 0 ' 3 2 ' 3 2 2 5 ' 1 2 ' 1 5 ' 2 1_ ' 2_ ' ' 1_ 5 2 ' 5_ ' 5 ' 2 = ' 2 = '5 5 ⑵ = = = = 3 3 ' 6 3 = ' 2 ∴ A= ;2!; ∴ B= ;6%; _ =-1 4 2 ' = 3 2 ' 4 10 = '¶ 8 01 ① 5 3 ④ ③ ' 2 ' 3 8 5 32 ' ⑤ ' '¶ = 1 2 ' = ' 2 ' 3 2 = ' 2_ ' 3 5_ ' 3 3_ ' 3_ = 2 2 5 2 ' = ' 4 ' 2 ' = ' 4 ' 2 ' 15 = '¶ 6 2 2 2 2 ' 2_ ' 5_ ' 2_ ' 3_ 확인01 = 3 12 5 3 2 ' = ;; 3 2 ' _ ;2!; ;6%; = 3 5_ 2 ' 2_ 3 ' = ;1°2; '¶ = 5 18 '¶ ∴ AB= 3 ' 3_ 3 ' 5 = ' 2 ' 2 2 ' 6 02 (주어진 식)= '¶ =- 확인02 (주어진 식)=2 = = 6 14 _ - ' { _ 1 ' 2 2 4 _ 3 ' 6 ' 1 =- 7 12 } 3 ' 6 ' 4 2 2 ' 6_ ' 2 1 30 '¶ 2 6_6 ' ' 3 30_ ' '¶ 12 2 12 = ' 15 '¶ _ = 6 2 ' 3 ' 2 2_6 ' 3 5_ ' 30 4 '¶ 5 = ' 30 '¶ 15 ∴ a= ;5$; ∴ h= 120 7 ' 7_5 3 ' 2 ' = 120 3 10 ' = 12 3 ' =4 3 ' 확인03 원뿔의 높이를 x`cm라 하면 _p_(4 2)Û`_x=64 7p, ' x=64 7 ' ;;£3ª;; ;3!; ∴ x=6 ' 7 ' 정답 및 해설 9 익히기 익히기 개념편 37쪽 03 직육면체의 높이를 h라 하면 2 7_5 3_h=120 ' ' 7 ' 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 9 2014-10-22 오후 1:47:22 개념편 키우기 개념편 39쪽 35 ⑵ - 22 ⑶ 42 ⑷ 6 30 ⑸ -20 21 '¶ '¶ '¶ 14 ⑻ - 3 ⑷ '¶ ' 71 ⑼ 4 '¶ 45 ⑸ - 3 ' 147 ⑹ '¶ 500 '¶ ®;2%; = '¶ { 6 ⑵ 2 ⑺ '¶ 13 ⑶ 6 '¶ 10 2 } '¶ 2 1 ⑴ '¶ ⑹ 2 ⑴ 2 ' 11 11 ⑹ - 3 26 '¶ 13 3 ⑴ '¶ ⑵ 5 14 ⑶ - '¶ 2 ' 5 ⑷ 7 5 ' 15 6 ⑸ ' 4 확인하기 개념편 40쪽 01 2 02 ① 03 8배 04 ③ 05 3 2 06 ④, ⑤ ' 07 3- ' 3 3 08 ③ 6_ 2_ k=6 2k, 3_ 48=12이므로 ' 2k=12, ' ' 2k=2, 2k=4 '¶ '¶ 01 6 '¶ ∴ k=2 '¶ (주어진 식)=8 2_(-3 6)_ =-12 ' 1 ' 4 3 ' ®É = 56_ =8 ;7*; '¶ 7 8 = 56Ö ' ' 15_ 14_ '¶ 56_ ' ' 8 7 '¶ '¶ 'Ä 30= 14_15_30= 2Û`_3Û`_5Û`_7=30 7 "à ' 02 03 04 ∴ a=30 '¶ 05 '¶ 108= '¶ 따라서 "à ab= 'Ä '¶ 06 ① 'Ä ② 5250= 'Ä 21000= ③ ④ 0.525= 'Ä 'Ä 'Ä 'Ä 63= 3Û`_7=3 7 ∴ a=3 "à 6Û`_3=6 ' 3 ∴ b=6 ' 3_6= 2_3Û`=3 2 ' "à 52500= 5.25_10000=100 5.25=100a 'Ä 52.5_100=10 '¶ 52.5_400=20 52.5 100 52.5 10 = 'Ä 'Ä ®Â '¶ = '¶ 52.5=10b 52.5=20b =0.1b b 10 a 10 ⑤ 0.0525= 5.25 100 ®Â = 'Ä 5.25 10 = =0.1a 07 ' ∴ a a+1 3=1.732이므로 소수 부분은 a= ' 3 3-1 3-1+1 = ' 3-1 3 = 3- ' 3 3-1 = ' ' (ㄴ) x y '§ = '§ k '§ x y 08 (ㄷ) '§ k '§ y y x '§ y '§ = '¶ '§ y y = x '§ y ' = xy ky ' x '§ y y (k+0) 제곱근의덧셈과뺄셈 익히기 익히기 01 ⑴ 8 2 ⑵ 2 3 ⑶ - ' ' 3 5 ⑷ - ' 3 ' 10 Ⅰ- 2 근호를 포함한 식의 계산 ⑴ 3 2+5 ' ⑵ 3 ⑶ ' 3- ' 5+3 ' ' 2=(3+5) ' 3=(3-1) 2=8 ' 3=2 2 ' 3 ' ' 5-5 5=(1+3-5) 5=- ' 5 ' ' 3 ⑷ ' 3 3 - ' 2 3 - ' 6 = - - ;6#; {;6@; ;6!;}' 3 3=- ' 3 01 -1 ⑴ -4 ⑶ -4 1 ⑷ - 11 5 ' 12 2 2 ⑵ - ' 6 ' 2=(-1-3) - {;6@; ;6#;}' 2=-4 ' 2 2=- ' 6 1 ' 2 ' 11=(1+1-6) 11=-4 11 '¶ '¶ = + - {;1¢2; ;1£2; ;1!2*;}' 5=- 11 5 ' 12 ⑴ - ' 2 ⑵ ' - ' 3 2-3 ' 2 2 = 11-6 11+ ⑶ '¶ 5 ⑷ ' 3 '¶ 5 + ' 4 - 3 '¶ 5 ' 2 02 ⑴ 4 2 ⑵ 3 ' 18+ '¶ ' 5 3 + ' 2 50- '¶ 4 3 - ' 6 ' 8=5 3 = ⑴ ⑵ ' = 02 -1 ⑴ 0 ⑵ - 2 ' 8= 10 2 ' =5 ' 확인하기 2-3 ' 3 4 2+2 ' 3 + ' 2 - ' 3 2 ' 2=4 ' 3 5 ' 6 + - ;6#; {;6*; ;6%;}' 3= 3 ' ⑴ ⑵ ' '¶ 2+ ' 50- 8- 1 ' 2- ' 2=0 2+2 ' 2- 2-3 ' 2-5 ' ' 2=- 2 ' ' 01 ④ 확인01 8 2-3 5 02 ④ 확인02 ③ ' 1 ' 2+2 2-5 01 ① ' ② -5 5+3 ' ' 5+4 ' ③ -3 3-3 3- 2=(1+2-5) ' 5=(-5+3+4) ' 3=(-3-3-1) ' 2=-2 2 ' 5 ' ' 3=-7 5=2 ' 2-3 ' 2+ ' 2=(5-3+1) ' 2=3 ' 2 ' ' ' ⑤ 5 ' 3 ' 확인01 A=10 B=3 15- '¶ '¶ ∴ A+B=8 2-3 ' 15-5 2=8 2+ ' 15=-3 2 ' 15 '¶ 2-3 15 ' ' '¶ '¶ 02 5 ' =5 3-3 12-9 45+ 80 '¶ 3-6 '¶ 3-27 '¶ 5+4 ' =(5-6) ' ' ' 3+(-27+4) 5 5 ' ' 3-23 5 ' =- ' 이므로 a=-1, b=-23 ∴ ab=(-1)_(-23)=23 개념편 42쪽 확인02 45+3 20-a 5 =3 5+6 5-a 5 =(3+6-a) 5 '¶ '¶ ' ' ' ' ' 이므로 3+6-a=0 ∴ a=9 익히기 익히기 개념편 43쪽 개념편 41쪽 03 ⑴ 6+ 15 ⑵ ' '¶ 7- '6 3 ' ⑶ 6 6-4 ⑷ 2 6- ' 3 ' ⑵ ( 21- 2)= '¶ ' _ 21- '¶ _ 2= ' ' 1 3 ' 1 3 ' 1 3 ' ' 6 7- ' 3 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 10 2014-10-22 오후 1:47:24 ⑶ 2 2( ' 3( ' ' ⑷ 27- ' '¶ 2+1)- 2)=2 2_3 3-2 2_ 2=6 6-4 ' 6- ' 3) = ' 6+ ' 3-2 ' 3+ 2( ' ' ' ' 6 ' ' =2 ' 6- ' 3 ' 03 -1 ⑴ 10- '¶ 6 2 ⑵ ' 2 ' +1 ⑶ - 6 ⑷ - 3-2 5 ' ' ' 1 2 1 2 ⑵ ( 3+ 2)= ' ' _ 3+ ' ' 3(2 ⑶ ' ' ⑷ 3( ' ' 18)= 2- '¶ ' 5-1)- 3_2 ' 5(2+ ' 2- ' 3) = '¶ =- ' 1 2 _ 6 2= ' 2 ' +1 3_3 2=2 6-3 6=- ' 15- ' 3-2 ' 5- ' 15 6 ' ' '¶ ' ' 04 ⑴ -3-3 2 ⑵ -4+ = ⑴ 3 2 1- ' 5+ ⑵ - ' 5+ ' ' 3 ' (1- 3 = 3_(1+ 2) ' 2)(1+ 5+ ' 5+ ' 2) ' 3)( ' 3)( ' ' (- ( 04 -1 ⑴ 2-1 ⑵ 9+4 5 ' = = ( ' ( ' ' 2-1) ( ' 2+1)( ( ' 5-2)( ' 5+2)Û` 5+2) ' 2-1) 1 2+1 5+2 5-2 ⑴ ' ⑵ ' ' ' 3-2 5 ' ' 15 '¶ =-3-3 2 ' 5- ' 5- ' 3)` ' 3) ' =-4+ 15 '¶ = = 2-1 ' 9+4 ' 5-4 5 =9+4 5 ' 확인하기 개념편 44~45쪽 01 ① 확인01 -6+ 확인03 6 04 ① 확인04 24 6 02 ④ 확인02 -2 5 03 ③ ' 3 05 ② 확인05 ⑤ 06 ③ 3 ' ' ' 확인06 ① 01 2(5-3 3)+3( 6- 2) =5 2-3 6+3 6-3 2 ' ' ' ' ' ' =2 ' 2 ' ' ' 확인01 3a- 2b = ' 3( ' 6+3 2+ 6)- ' ' 2-6-3 2(3 2+3) ' 2=-6+ 6 ' ' ' ' ' = 02 (3- 5)Û`=3Û`-2_3_ 5+( 5)Û`=14-6 ' ' 5 ' 확인02 ( 7- ' ' =7-2 5)Û`-(3 2- 6)(3 2+ 6) ' ' 35+5-(18-6)=-2 ' ' 35 '¶ '¶ 400)Ö 1 '¶ 3 ' 3 3-20)_ ' ( 24- 72)Ö '¶ =(2 '¶ 6-6 2-( ' 2)_ 1 2 ' ' =(2 3-6)-(6-20 12- '¶ -(2 ' 3) ' =22 3-12 ' ' ' ' 이므로 a=22, b=-12 ∴ a+b=10 확인03 2 ' { 1 2 + 1 3 } 2 ' + ' =1+ ' ' 2 3 + 3 ' { 2 2 ' 3 - 6 ' 3 6 -1= ' 3 + 1 3 } ' 6 2 ' 3 = 6 ' (직사각형의 둘레의 길이) =2{(가로의 길이)+(세로의 길이)} =2{(2+ 3)+(6-2 3)} ' ' 03 04 =2(8- 3)=16-2 3`(cm) ' ' 확인04 직육면체의 높이를 x라 하면 3_x=18 3, 9x=18 ' 3 ' 27_ ' '¶ ∴ x=2 3 ' 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 4( 27+ 3+2 3)=4(3 3+3 3)=24 '¶ ' ' ' ' 3 ' 05 3+ 3- 2 2 ' ' (3- + 3- 3+ 2 ' 2 ' 2)Û` ' 2 )(3+ (3+ 9+6 2+2 = = (3- 2)Û` ' 2 )(3- 2) ' + 2) ' 9-6 ' 7 + (3+ 2+2 ' = ;;ª7ª;; 확인05 + 1- 2+ 3 ' 3 ' (1- (2+ = ' ' 1+ 3 3 2- 3)(2- 3)(2- = 3 5-3 ' 4-3 + 3) 3) ' ' 5+3 ' 4-3 3 + (1+ (2- 3)(2+ 3)(2+ ' ' 3) 3) ' ' =10 따라서 a=10, b=0이므로 a+b=10 06 x=2 ' 양변을 제곱하여 정리하면 3-4에서 x+4=2 ' 3이므로 ' ' 7 ' ' (x+4)Û`=(2 3)Û`, xÛ`+8x+16=12 ' xÛ`+8x=-4 ∴ xÛ`+8x+11=(-4)+11=7 2+1 2-1 확인06 x= ' ' 2-1)( ' 2이므로 양변을 제곱하여 정리하면 2+1) x-3=2 =3+2 = ' ' ( ' ( 2+1)Û` 2에서 ' (x-3)Û`=(2 ' xÛ`-6x=-1 2)Û`, xÛ`-6x+9=8 ∴ xÛ`-6x-7=(-1)-7=-8 키우기 개념편 46쪽 7 7- 9 ' ' 1 ⑷ 4+ 1 0 ' 3 ⑵ 13 3 ⑶ 6 5 ⑷ -3 7 ⑸ 9 3 ⑹ 17 7 ' ' ' 1 ⑴ 8 ⑺ 6 2 ⑴ ' ⑸ 2 3 ⑴ 5 ' ' ' 2 ⑻ ' 6+ 1 ' 5-6 1 2+ ' 3 ⑼ 6 ' ' 4 ⑵ 3+3 ' 2-2 5 ' 2 ⑶ ' 1 ' 3+ 0 ⑹ 4 5 1 ' 0 ⑵ 8-3 1 ' 6 ' 17 ' 6 3 ⑵ 2+ ⑶ 3 ' 4 ⑴ 2- ' ⑸ 5+2 ' 3-5 5 ' ' 3 4 ' 3 6 + ' 3 ⑷ 2- 5- 3 ⑶ 3 2-4 ⑷ -3-2 2 ' ' 6 ⑹ 4+ ' '¶ 15 ' 1 ⑸ 2 '§ ⑹ 4 28+3 '§ '§ ⑺ 2 ⑻ 3 50- '§ 27-2 '¶ 8- ⑼ 2 ' ' 2 ⑸ ' ⑹ ( 108-2 '¶ 12+ '§ 63=8 '§ 32=10 ' ' 75=4 3+5 ' 7+9 ' 7=17 3 ' 2-4 2=6 ' ' 48=9 3-8 3= '¶ 0+ 3 ' 5(2 ' 2 =2 3- ' 2-2 ' ' 72) =2 ' 3) '¶ 17 =6 '¶ 51-2 '¶ 51=4 ' '¶ '¶ '¶ 3=9 7 ' 2 ' 3 ' 5+4 ' 15- 2=6 2-2 ' 360=2 51 '¶ '¶ 5 ' 15-6 10 '¶ 정답 및 해설 11 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 11 2014-10-22 오후 1:47:26 개념편 \ 확인하기 01 ② 02 ③ 03 ④ 04 ③ 05 ④ 06 ⑤ 07 ② 08 ④ 개념편 47쪽 a, b의 분모를 유리화 한 경우 a+b, ab의 값을 구한 경우 aÛ`+bÛ`+3ab의 값을 구한 경우 3 ⑴ ' 2( ' 5+2)+ 3(1+ ' ⑵ ' 3( ' 3-3)- 5(5- 5) =3-3 ' ' ' 6) = '¶ =5 10+2 2+ ' 3-5 2 ' 3+3 2+ ' ' 10 3+ ' '¶ 5+5 =8-3 3-5 ' ' ' 5 ' 5 6 ⑶ ' ⑷ 3 ' + 3( 6+ 8)= ' ' ' +3 2+2 6=3 2+ ' ' 5 6 ' 6 6 17 ' 6 - { ;3%; + +( 2+1)Ö ' 2 3 } ' ' 3 ' =- 5 3 ' 3 6 +2+ ' 3 3 + ' 3 =2- 4 3 ' 3 6 + ' 3 1 2 - 2= ' ' 2 2 - ' 2 2=- ' 2 6 3 3 6 = = ' ' 20-3 - ' ' 5=4 ' 5-4 ' ' 5-3 5=-3 5 ' ' 01 - ;bA; ;aB; '¶ '¶ 80-2 02 ∴ a=-3 03 xÛ`-2x-(5-2 ' ' 5) =(- ' =5+2 ' 5)Û`-2_(- 5-5+2 ' 5=4 ' 5 ' 5)-5+2 5 ' 3- 8= ' 2-3 ' 2= 12- '¶ 5-2 ' 2= 8>0 ∴ 2 3> 8 ' 8<0 ∴ ' ' ' 6)-(5- ' ' 27)=5- ' 24-5+ 5- '¶ 5+ ' ' 27- 2<3 ' 24>0 2 '¶ 27= '¶ '¶ 04 ① 2 ② 5+ ' ' ③ (5-2 ' ∴ 5-2 ④ (5 3- ' ' 6>5- ' 7)-(3 '¶ 27 '¶ 5- ' 7) =5 ' 3- ' 75- 7-3 ' 45>0 ' '¶ = '¶ 5+ 7 ' ∴ 5 3- ' 3- 7>3 ' ' 18)-( 5- 7 ' 2+ ' '¶ '¶ ⑤ (5 ' ∴ 5 18< 12 '¶ 2- ' 6 3 } 5- '¶ ' 3- Ö ' 10 5 10 5 ' = ' =2-3 _ 2+ ' 3 2 { 6 2 ' 3+ ' - 1 5 ' 2+ \05 - ( "à ' 2- 3)Û` ' + 3+( 2- 3) ' ' ' 06 a= ' =3 ' 6 ' 3 ' ∴ a-b=(3 07 (a-4 b=2 8- ' 2- 3=2-2 3( ' 6+ ' ' 12)- '¶ ' ' 2+6-6-2=3 ' 2( 18+ '¶ 2-2 ' 2 ' 2) ' 6-3)=4 + 2( ' ' ' 2-2 2-2)- ' 2)(3-3 2=2 ' ' 2) =3a-3a 2-2 3+2 3-3 2= ' ' ' 2 ' ' 2+24 =(3a+24)-(3a+12) 2-12 ' ' 2 ' 따라서 3a+12=0이어야 하므로 a=-4 1 2+1 + 1 3+ 2-1)+( ' ' =( + 2 ' 3- ' ' ' 1 4+ ' ' 2)+( ' y+( 3 4- +y+ '¶ 3)+ ' 100- '¶ '¶ 08 = 101-1 '¶ 1 101+ 100 '¶ 99)+( 101- 100) '¶ '¶ 12 Ⅰ- 2 근호를 포함한 식의 계산 개념편 48~49쪽 대비하기 01 31 2 ' (2 = a= 1 2+3 1 2-3 ' 따라서 a+b=(-2 b= = (2 ' ' 2 2 2-3 ' 2+3)(2 ' 2+3 ' 2-3)(2 2 2+3) ' 2+3)+(-2 ab=(-2 ' ' 2+3)(-2 ' aÛ`+bÛ`+3ab =(a+b)Û`+ab 2-3) =-2 2+3 ' =-2 2-3 ' 2-3)=-4 ' 2 ' =(-4 2)Û`+(-1)=31 ' 채점 기준 2-3)=8-9=-1이므로 ▶`30% 유 사01 11 a= b= 1 2+ 1 2- 5 ' 5 ' = = 5 2- ' 5 )(2- ' 2+ ' 5 )(2+ 5 (2+ (2- ' 5) ' 5) 5)+(-2- ' =-2+ 5 ' ' 따라서 a+b=(-2+ ' 5)(-2- ' 5)=4-5=-1이므로 5)=-4 ab=(-2+ ' ' ∴ aÛ`+bÛ`+7ab =(a+b)Û`+5ab =-2- 5 ▶`40% =(-4)Û`+5_(-1)=11 ▶`30% 채점 기준 a, b의 분모를 유리화 한 경우 a+b, ab의 값을 구한 경우 aÛ`+bÛ`+7ab의 값을 구한 경우 ∴ A-B=(14+6 5)=9+19 5 ' ' 5 ' =5-13 ' 5)-(5-13 ' 채점 기준 A를 간단히 한 경우 B를 간단히 한 경우 A-B의 값을 구한 경우 유 사02 5+2 A=( 3 ' 3+2)Û`=3+4 ' B=(2 ' 3+4)( 3-1) =6+2 ' 3+4=7+4 3 ' ' 3-4 ' 3 =2+2 ' 3)-(2+2 ' 채점 기준 ' ∴ A-B=(7+4 3)=5+2 3 ' A를 간단히 한 경우 B를 간단이 한 경우 A-B의 값을 구한 경우 03 1 1500+ 0.06= 15_10Û`+ 6_ '¶ '¶ " ¾Ð Û` {;1Á0;} ▶`40% ▶`30% 배점 40% 30% 30% ▶`30% 배점 40% 30% 30% ▶`40% ▶`40% ▶`20% 배점 40% 40% 20% ▶`40% ▶`40% ▶`20% 배점 40% 40% 20% 12) =5 =5 3- '¶ 3-3 18- 2- 2- '¶ 2-2 12 ' ' ' ' ' '¶ ' ' 3 ' '¶ =3 3-4 2= 27- 32<0 02 9+19 A=( 5 ' 5+3)Û`=5+6 ' B=(3 ' 5+2)( 5-5) =15-13 5+9=14+6 ' 5 ' 5-10 ' 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 12 2014-10-22 오후 1:47:29 \ 2 04 1+2 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 ' ' 2이므로 ▶`50% =10 6 15+ ' 10 '§ =10x+ y 10 따라서 a=10, b= 이므로 ;1Á0 ab=1 채점 기준 1500+ 0.06을 x, y로 나타낸 경우 '¶ 'Ä a, b의 값을 구한 경우 ab의 값을 구한 경우 a=-1- ' ∴ b-a= 2, b= 2 ' 2-(-1- ' 2)=1+2 ' 채점 기준 ' 2 정사각형의 대각선의 길이를 구한 경우 a, b의 값을 구한 경우 b-a의 값을 구한 경우 05 0 300 '¶ 6 ' =5 2-4 - '¶ ' p+q=0 96+ 6 ' 6+4 ' ' { 4 2 ' 6 ' 2-5 ' -5 } 6=9 2-9 6 ' ' 따라서 p=9, q=-9이므로 채점 기준 식을 간단히 한 경우 p+q의 값을 구한 경우 06 4 (주어진 식) =9+12 7 +28-5a-3a 7 ' =(37-5a)+(12-3a) ' 7 ' 따라서 12-3a=0이어야 하므로 a=4 채점 기준 주어진 식을 정리한 경우 a의 값을 구한 경우 ▶`70% ▶`20% ▶`10% 배점 70% 20% 10% ▶`30% ▶`20% 배점 50% 30% 20% ▶`70% ▶`30% 배점 70% 30% ▶`70% ▶`30% 배점 70% 30% 마무리 개념편 50~52쪽 1 0 01 ② 02 ' 07 ⑤ 08 ① 09 ④ 10 ③ 11 ② 12 ④ 13 ;5$; 03 ② 04 8 5 ' 1 05 ② 06 ③ 14 ① 15 ⑤ 16 ② 17 ⑤ 18 3 2 ' 19 ;9%; 20 36 3(cmÜ`) ' 01 ① ' 2_ _ 10= 2_ _10=2 ®;5!; '§ ®Â ;5!; ③ (- 3)_ - { ®;3!; } _ = 3_ ®É _ = ;6@; ;3!; ®;3!; ®;6@; ' ' { 2 7 ⑤ \ ®Â;;Á5¢;; _ ' ' ④ (- 3)_ - ®Â;1Á5 } _ - { ®;5!; } =- 3_ ®É _ =- ;1Á5; ;5!; ;5!; _ = ®;5@; ®É;;Á5¢:_;7@;_;5@; = 2 2 ' 5 + ' ( 3+ ' 6( 3- ' 2)( ' 2) ' 3- ' 2) ' 02 0.28=¾¨ '¶ 7500= 4_7 100 5Û`_3_10Û`=50 = '¶ " ' 2 7 ' 10 7 = ' 5 ∴ a= ;5!; 3 ∴ b=50 ∴ ab= '§ ®É;5!; _50= 10 '§ 03 04 05 06 84= 2Û`_3_7=2 '§ " 3 ' ' 7=2ab 1 10 '¶ =8 3 15 15 '¶ 6 3_4 50Ö 90=6 3_20 2_ ' '§ '§ ' ' = 3 = 40 '¶ 5 40 ' 5 ' 6+ 24+ 6- 96 =2 6-4 6=- 6 ' ' ' ' '¶ ' ' ' '¶ ' 3a+ 5b= 3( =3+ 3+ ' ' 15+ 5)+ 5( 3- ' ' ' 15-5=-2+2 5) '¶ '¶ 15 '¶ 07 (주어진 식)= 3 ) ' 6- 6- ' 3 )( 6 ' ' +3 3 ) ' 2-2 2( 3 ' 6+ ' 3-3 3 3- ' ( ' = 6 ' =2 ' 6+3 ' 5 2- ' 5 )(2- 3 ' 3=3 ' 2-2 ' 2- 6 ' ' =-2+ 5 ' 5) ' 5이므로 08 x= 1 2+ 5 ' = y= 1 2- = 5 (2- ' x+y=(-2+ ' (2+ ' 2+ 5 ' 5 )(2+ ' 5)+(-2- ' =-2- 5) 5)=-4, ' ' x-y=(-2+ 5 ' ∴ xÛ`-yÛ`=(x+y)(x-y)=(-4)_2 5)-(-2- 5)=2 ' ' 5=-8 5 ' ' 170= 1.7_100=10 1.7=10_1.304=13.04 '¶ ' 17_100=10 17=10_4.123=41.23 ' 1.7_10000=100 1.7=100_1.304=130.4 1.7 100 = '¶ = 1.7 10 ' 1.304 10 =0.1304 09 ① '¶ ② 1700= '¶ 17000= ③ ④ 0.017= '¶ ®É '¶ '¶ '¶ '¶ ⑤ 0.0017= 17 10000 = '¶ 17 100 ®É = 4.123 100 =0.04123 10 (삼각형의 넓이)= _ 24_x= ;2!; 8_ '¶ 48=2 ' '¶ 2_4 ' ;2!; _2 ' 3=8 ' 6 ' 6_x= 6x ' (직사각형의 넓이)= 따라서 6x=8 6 이므로 x=8 ' ' 11 (주어진 식) =6 2-5-36+15 2 ' ' 2=a+b =-41+21 2 따라서 a=-41, b=21(∵ a, b는 유리수) ∴ a+b=-20 ' ' 12 (주어진 식)=5- 2-20+7 2+ ' ' 4 2 ' 3 - 3 2 ' =-15+6 2+ 4 2 ' 3 - 3 2 ' 2 ' =-15+ 6 2=-15+ { +;3$;-;2#;}' 2 35 ' 6 13 (5-2 3)(2+a 3)=10+(5a-4) 3-6a ' ' ' =(10-6a)+(5a-4) 3 ' 정답 및 해설 13 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 13 2014-10-22 오후 1:47:30 개념편 \ Ⅱ- 1 인수분해 따라서 5a-4=0이어야 하므로 a= ;5$; Ⅱ- 1인수분해 14 (주어진 식)= 2 ' 2+2 2 3 ' = 2+ 3=3.146 ' ' 인수분해와그공식 15 ∴ a a+3 3< '¶ 12<4이므로 a= 2 12-3 = '¶ 12-3+3 '¶ 6-3 3 6 = ' = 2- ' 2 12-3 '¶ 3-3 ' 3 2 3 ' = 16 (주어진 식)=¾¨ =2 +¾¨ 8aÛ`b a 2ab+ = 2abÛ` b 2ab=3 8ab+ '¶ 2ab=3 '¶ '¶ '¶ 2ab '¶ '¶ 10 f(x)= 17 f(1)+f(2)+y+f(99) x- '¶ ' x+1이므로 = ( 1- 2)+( 2- 3)+( 3- 4)+y ' ' ' ' ' 18 6 a ' 12 '¶ a 24 '¶ 3 = ' 2 6 =1- 100=1-10=-9 6 a_ ' 6_ 6 = 6 a ' 12 a = = 2 6 ' 이므로 a 2 ' 6=6 ' ' 3 ' ∴ a= 3 ' 6 ' = 6 2 ' =3 2 ' 의 분모를 유리화 한 경우 a 24 '¶ a의 값을 구한 경우 채점 기준 = 2 2 ' 3 ∴ a= ;3@; 8 72 5 '¶ 6 ' 5 8 = = 6 2 ' ∴ b= 4 ' 3 2 ;5^; 19 6 5 = ' ∴ ;bA; =a_ = _ = ;b!; ;3@; ;6%; ;9%; 채점 기준 a의 값을 구한 경우 b의 값을 구한 경우 a b 의 값을 구한 경우 20 직육면체의 (밑면의 가로의 길이)= (밑면의 세로의 길이)= 75-2 (높이)= 3(cm) ' 따라서 직육면체의 부피는 4 3_3 3_ 3=36 3(cmÜ`) ' ' ' ' 채점 기준 직육면체의 밑면의 가로의 길이를 구한 경우 직육면체의 밑면의 세로의 길이를 구한 경우 직육면체의 높이를 구한 경우 직육면체의 부피를 구한 경우 14 Ⅱ- 1 인수분해 ▶ 30% 배점 70% 30% ▶ 40% ▶ 40% ▶ 20% 배점 40% 40% 20% ▶ 10% ▶ 30% 배점 30% 30% 10% 30% 108-2 3=6 ' 3=5 3-2 ' 3-2 3=4 ' 3=3 3(cm) ▶ 30% ' 3(cm) ▶ 30% ' ' ' ' '¶ '¶ 익히기 익히기 개념편 54쪽 01 ⑴ m(am+b) ⑵ 2x(1+2xÛ`) ⑶ ab(a-b) 01 -1 ⑴ a(b+c) ⑵ m(a+mb) ⑶ 3x(x-3) 02 y(2x+4xÛ`+8xy-1) 02 -1 3x(xy-2y+3) ' +( '¶ 98- 99)+( 99- 100) '¶ '¶ '¶ 확인하기 개념편 55쪽 01 ① 확인01 ② 확인02 ① 02 ③ 확인03 ⑤ ▶ 70% 01 ① 우변에서 2x-3이 인수이다. 02 ③ xÛ`y-xyÛ`+xy=xy(x-y+1) 확인03 a(x-2y)-b(2y-x) =a(x-2y)+b(x-2y) =(a+b)(x-2y) 익히기 익히기 개념편 56쪽 03 ⑴ (2x-1)Û` ⑵ (4x+3)Û` ⑶ (a+b)Û` ⑷ 5ab(2a+b)Û` ;3$; ⑴ 4xÛ`-4x+1=(2x)Û`-2_2x_1+1Û`=(2x-1)Û` ⑵ 16xÛ`+24x+9=(4x)Û`+2_4x_3+3Û`=(4x+3)Û` ⑶ ;3$; ⑷ 20aÜ ` aÛ`+ ab+ bÛ`= (aÛ`+2ab+bÛ`)= (a+b)Û` ;3*; ;3$; ;3$; ;3$; b+20aÛ`bÛ`+5abÜ`=5ab(4aÛ`+4ab+bÛ`)=5ab(2a+b)Û` 03 -1 ⑴ (x+3)Û` ⑵ (2x+y)Û` ⑶ xy(z-4)Û` ⑷ xy(3x-2y)Û` ;5!; ⑴ xÛ`+6x+9=xÛ`+2_x_3+3Û`=(x+3)Û` ⑵ ;5$; xÛ`+ xy+ yÛ`= (4xÛ`+4xy+yÛ`)= (2x+y)Û` ;5$; ;5!; ;5!; ;5!; ⑶ xyzÛ`-8xyz+16xy=xy(zÛ`-8z+16)=xy(z-4)Û` =xy(9xÛ`-12xy+4yÛ`)=xy(3x-2y)Û` ⑷ 9xÜ ` y-12xÛ`yÛ`+4xyÜ ` 04 ⑴ 100 ⑵ Ñ20ab ⑴ = -20 { 2 } Û`=100 ⑵ =2_5a_(Ñ2b)=Ñ20ab 04 -1 ⑴ 36 ⑵ Ñxy ⑴ = -12 { 2 } Û`=36 ⑵ =2_ x } {;2!; _(Ñy)=Ñxy 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 14 2014-10-22 오후 1:47:33 확인하기 개념편 57쪽 01 ④ 확인 01 ④ 02 ② 확인 02 -4 03 ④ 확인 03 ③ ⑵ -16aÛ`+25 =25-16aÛ` =5Û`-(4a)Û` =(5+4a)(5-4a) 01 ④ 9xÛ`-2xy+ yÛ`= 3x- { ;9!; Û` y } ;3!; 확인 01 ① 4xÛ`-12xy+9yÛ`=(2x-3y)Û` ② xÛ`+4x+36= x+6 {;3!; ;9!; Û` } ③ 4aÛ`-8a+4=(2a-2)Û` ⑤ xÛ`+16x+64=(x+8)Û` 02 16xÛ`-4x+a=(4x)Û`-2_4x_ +a ;2!; ∴ a= Û`= {;2!;} ;4!; 확인 02 (x+6)(x+10)-a=xÛ`+16x+60-a에서 이 식이 완전제곱식이 되려면 16_ ;2!;} Û`=64 60-a= { ∴ a=-4 0<x<2이므로 x-2<0 03 (주어진 식)= xÛ`+ (x-2)Û`=x-(x-2)=2 "à 확인 03 3<a<5이므로 a-3>0, a-5<0 (주어진 식 )= (a-3)Û`- (a-5)Û` "à =(a-3)+(a-5)=2a-8 "Å "à 키우기 개념편 58쪽 1 ⑴ x(x+1) ⑵ x(x+2) ⑶ x(y+2) ⑷ 3a(2+3b) ⑸ xy(x-y) ⑹ 5x(x-2) ⑺ 3a(a-2bÛ`) ⑻ a(-b+c) ⑼ -a(b+c) ⑽ -2xy(y-6) ⑾ (a-b)(x-1) ⑿ (x-y)(m-n) 2 ⑴ (a+2)Û` ⑵ (a+4)Û` ⑶ (x+5)Û` ⑷ (x+7)Û` ⑸ (x+3y)Û` ⑹ (a+4b)Û` ⑺ (x-3)Û` ⑻ (x-5)Û` ⑼ 4(x-1)Û` ⑽ (3x+2)Û` ⑾ (3a-1)Û` ⑿ (x+6y)Û` ⒀ (2a+b)Û` ⒁ (2x-7y)Û` ⒂ (3x-2y)Û` ⒃ { x- ;[!;} Û` ⒄ { x- Û` ⒅ { ;2!;} 8x- Û` y ;4!; } 05 ⑴ x+ x- ;3!;}{;2!; ;3!;} {;2!; ⑵ -(5a+4b)(5a-4b) ⑴ xÛ`- = x } {;2!; ;9!; ;4!; Û`- Û`= x+ {;3!;} {;2!; ;3!;}{;2!; ;3!;} x- ⑵ -25aÛ`+16bÛ`=-{(5a)Û`-(4b)Û`}=-(5a+4b)(5a-4b) 05 -1 ⑴ a+ b ;4!; }{;3!; a- b ;4!; } {;3!; ⑵ (5+4a)(5-4a) ⑴ aÛ`- bÛ`= a } {;3!; ;1Á6; ;9!; Û`- b } {;4!; Û`= a+ b ;4!; }{;3!; a- b } ;4!; {;3!; 06 ⑴ (x-1)(x-4) ⑵ (x+3)(x-5) ⑴ 곱이 4, 합이 -5인 두 정수는 -1, -4이므로 xÛ`-5x+4=(x-1)(x-4) ⑵ 곱이 -15, 합이 -2인 두 정수는 -5, 3이므로 xÛ`-2x-15=(x+3)(x-5) 06 -1 ⑴ (x+2y)(x-5y) ⑵ (a+3b)(a-10b) ⑴ 곱이 -10, 합이 -3인 두 정수는 -5, 2이므로 xÛ`-3xy-10yÛ`=(x+2y)(x-5y) ⑵ 곱이 -30, 합이 -7인 두 정수는 -10, 3이므로 aÛ`-7ab-30bÛ`=(a+3b)(a-10b) 확인하기 개념편 60쪽 01 ③ 확인 01 ② 02 ① 확인 02 ① 03 ② 확인 03 (x+5)(x+8) 01 54aÛ`-24bÛ` =6(9aÛ`-4bÛ`) =6{(3a)Û`-(2b)Û`} =6(3a+2b)(3a-2b) 확인 01 xÜ -xyÛ`=x(xÛ`-yÛ`)=x(x+y)(x-y) ` 따라서 ② xÛ`은 xÜ ` -xyÛ`의 인수가 아니다. 02 xÛ`+ax+10=(x-5)(x-b)=xÛ`-(5+b)x+5b 이므로 a=-5-b, 10=5b ∴ a=-7, b=2 ∴ a+b=-5 확인 02 xÛ`-2x-8=(x+2)(x-4)이므로 x의 계수가 1인 두 일차식은 x+2, x-4 ∴ (x+2)+(x-4)=2x-2 03 영희는 상수항을 제대로 보았으므로 (x+1)(x+5)=xÛ`+6x+5에서 상수항은 5이다. (x-4)(x-2)=xÛ`-6x+8에서 x의 계수는 -6이다. 따라서 처음 이차식은 xÛ`-6x+5이므로 바르게 인수분해하면 xÛ`-6x+5=(x-1)(x-5) 확인 03 수현이는 상수항을 제대로 보았으므로 (x+5)(x-8)=xÛ`-3x-40에서 상수항은 -40이다. 현주는 x의 계수를 제대로 보았으므로 (x+6)(x-3)=xÛ`+3x-18에서 x의 계수는 3이다. 따라서 처음 이차식은 xÛ`+3x-40이므로 바르게 인수분해하면 정답 및 해설 15 익히기 익히기 개념편 59쪽 철이는 x의 계수를 제대로 보았으므로 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 15 2015-01-05 오전 10:38:57 개념편 익히기 익히기 개념편 62쪽 (x+2)+(x+3)=2x+5 ⑵ 2, 3, -5, -3, -10, -13, 2x-1, 3x-5 키우기 개념편 64쪽 키우기 개념편 61쪽 1 ⑴ (x+2)(x-2) ⑵ (x+4)(x-4) ⑶ 3(x+1)(x-1) ⑷ 2(x+2)(x-2) ⑸ 4(x+2)(x-2) ⑹ (3x+7)(3x-7) ⑺ (2a+1)(2a-1) ⑻ a(a+1)(a-1) ⑼ (x+3y)(x-3y) ⑽ (2x+3y)(2x-3y) ⑾ x(2y+z)(2y-z) ⑿ { 2x+ y ;3!; }{ 2x- y ;3!; } 2 ⑴ (x+3)(x+5) ⑵ (x+2)(x+3) ⑶ (x+3)(x+4) ⑷ (x+y)(x+3y) ⑸ (x-2)(x+3) ⑹ (x-2)(x+6) ⑺ (x-4y)(x+5y) ⑻ (x-3y)(x-4y) ⑼ (x-2)(x-9) ⑽ (a-5)(a-7) ⑾ 3(x-1)(x+3) ⑿ (x+1)(x-2) ⒀ (x+y)(x-4y) ⒁ (x-2)(x+12) ⒂ 4y(x+y)(x-2y) 07 ⑴ 2, -4, 3, -8, 3, -5, x-4, 2x+3 ⑵ 1, 3, -5, 3, -10, -7, 2x+3, x-5 07 -1 ⑴ 3, 1, -2, 3, -4, -1, 2x+1, 3x-2 08 ⑴ (7x-1)(2x+3) ⑵ (3x-2)(x-5) 08 -1 ⑴ (4x+3)(x-5) ⑵ (2x-5y)(x+2y) 7` -1 -2 ⑴ 3 2 21 (+ 19 ∴ 14xÛ`+19x-3=(7x-1)(2x+3) ⑵ 3` -2 -2 1 -5 -17 -15 (+ ∴ 3xÛ`-17x+10=(3x-2)(x-5) ∴ 4xÛ`-17x-15=(4x+3)(x-5) 3 4` ⑴ 1 -5 3 -20 (+ -17 2` -5 -5 ⑵ 2 1 -1 4 (+ ∴ 2xÛ`-xy-10yÛ`=(2x-5y)(x+2y) 확인하기 01 ① 확인01 ⑤ 02 ⑤ 확인02 1 03 ⑤ 확인03 2x+5 01 axÛ`+bx-15 =(2x+3)(x+c) =2xÛ`+(2c+3)x+3c이므로 a=2, b=2c+3, -15=3c ∴ a=2, b=-7, c=-5 16 Ⅱ- 1 인수분해 ∴ a+b+c=2+(-7)+(-5)=-10 확인01 2xÛ`+5x-7=(2x+7)(x-1) 6xÛ`+19x-7=(2x+7)(3x-1) 따라서 공통인수는 ⑤ 2x+7이다. 02 x-4가 xÛ`+3x-A의 인수이므로 xÛ`+3x-A=(x-4)(x+k)(k는 상수)로 놓으면 xÛ`+3x-A=xÛ`+(k-4)x-4k ∴ k-4=3, -4k=-A 이때 k=7이므로 A=28 확인02 x+2가 xÛ`-ax-6의 인수이므로 xÛ`-ax-6=(x+2)(x+k)(k는 상수)로 놓으면 xÛ`-ax-6=xÛ`+(2+k)x+2k ∴ 2+k=-a, 2k=-6 이때 k=-3이므로 a=1 (넓이)=xÛ`+5x+6=(x+2)(x+3) 03 따라서 새로운 직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이의 합은 확인03 4xÛ`+20x+25=(2x+5)Û`이고, x>0이므로 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 2x+5 1 ⑴ (x+3)(2x+1) ⑵ (2x+1)(x+4) ⑶ (x+y)(3x+y) ⑷ (2x-1)(3x+2) ⑸ (2x+3)(2x-1) ⑹ (2x+3)(6x-5) ⑺ (3x+y)(7x-2y) ⑻ (2x-1)(3x+1) ⑼ (y-3)(3y-2) ⑽ (x-2y)(5x-3y) ⑾ (x-2y)(2x+y) ⑿ (x-4y)(3x+2y) ⒀ (a-3b)(3a+2b) ⒁ 2(x-2y)(4x+3y) ⒂ (2x+1)(3x-7) ⒃ (a-3)(6a+5) ⒄ (3x-4y)(6x+5y) ⒅ (4x-3)(5x+2) ⒆ (2x-3y)(2x-7y) ⒇ (8x-3y)(9x+5y) 확인하기 개념편 65쪽 01 ③ 02 2x-5 03 ② 04 a=16, b=Ñ42 05 ① 06 ② 07 ③ 08 ② 01 직사각형의 가로의 길이는 (2a+1), 세로의 길이는 a이므 로 a(2a+1)=2aÛ`+a 02 (x+1)(x-3)-3(x-3) =(x-3)(x+1-3) =(x-3)(x-2) 03 3xÛ`-2xy+ yÛ`=3 xÛ`- xy+ ;3!; { ;3@; yÛ` } ;9!; =3 x- Û`` y 04 완전제곱식이 되려면 a=4Û` ∴ a=16 ;3!; } { 25xÛ`-40x+a=(5x)Û`-2_5x_4+a이므로 개념편 63쪽 ∴ (x-3)+(x-2)=2x-5 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 16 2014-10-22 오후 1:47:36 ù ù ù ù 9xÛ`+bx+49=(3x)Û`+bx+7Û`이므로 bx=(Ñ2)_3x_7 ∴ b=Ñ42 4xÛ`-9=(2x)Û`-3Û`=(2x+3)(2x-3) 05 따라서 A=2, B=3이므로 AB=6 06 (x+2)(x-3)-6 =xÛ`-x-6-6 =xÛ`-x-12 =(x-4)(x+3) 07 6xÛ`+Ax-10 =(2x-5)(3x+B) =6xÛ`+(2B-15)x-5B A=2B-15, -10=-5B에서 B=2이므로 A=2_2-15=-11 ∴ 2A-B=2_(-11)-2=-24 08 ①, ③, ④, ⑤ 4, ② 5 인수분해의활용 익히기 익히기 01 ⑴ x(x-3)(x+1) ⑵ y(x-5)(x+1) ⑴ xÜ`-2xÛ`-3x=x(xÛ`-2x-3)=x(x-3)(x+1) ⑵ xÛ`y-4xy-5y=y(xÛ`-4x-5)=y(x-5)(x+1) 01 -1 ⑴ x(x-3)(x+3) ⑵ 2x(x-1)Û` ⑴ xÜ`-9x=x(xÛ`-3Û`)=x(x-3)(x+3) ⑵ 2xÜ`-4xÛ`+2x=2x(xÛ`-2x+1)=2x(x-1)Û` 02 ⑴ x-1 ⑵ a+1 02 -1 ⑴ 2x-3 ⑵ a-5 03 x-2 03 -1 a+5 02 ⑴ x-1=A로 치환하면 (주어진 식)=AÛ`+8A+16=(A+4)Û`=(x+3)Û` ⑵ a+b=A로 치환하면 (주어진 식)=AÛ`-16A+64=(A-8)Û`=(a+b-8)Û` ⑶ x+y=A로 치환하면 (주어진 식)=AÛ`-16=(A-4)(A+4)=(x+y-4)(x+y+4) 확인02 xÛ`+2x=A로 치환하면 (주어진 식) =AÛ`-11A+24=(A-8)(A-3) =(xÛ`+2x-8)(xÛ`+2x-3) =(x+4)(x-2)(x+3)(x-1) 따라서 네 일차식의 합은 4x+4이다. 03 1-aÛ`+2ab-bÛ` =1-(aÛ`-2ab+bÛ`) =1-(a-b)Û`=(1+a-b){1-(a-b)} =(1+a-b)(1-a+b) 확인03 (주어진 식) =9-(xÛ`+2xy+yÛ`) =9-(x+y)Û` =(3-x-y)(3+x+y) 04 (xÛ`+2x-7)(xÛ`+2x-4) (주어진 식) =(x-1)(x+3)(x-2)(x+4)+4 =(xÛ`+2x-3)(xÛ`+2x-8)+4 =(A-3)(A-8)+4 (∵ xÛ`+2x=A) =AÛ`-11A+28=(A-7)(A-4) =(xÛ`+2x-7)(xÛ`+2x-4) 04 -1 (x-2)(x+3)(xÛ`+x-8) (주어진 식) =(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24 =(xÛ`+x-2)(xÛ`+x-12)+24 =(A-2)(A-12)+24 (∵ xÛ`+x=A) =AÛ`-14A+48=(A-6)(A-8) =(xÛ`+x-6)(xÛ`+x-8) =(x-2)(x+3)(xÛ`+x-8) 05 (x+y+3)(x-y+1) 개념편 66쪽 익히기 익히기 개념편 68쪽 확인하기 개념편 67쪽 x, y의 차수가 2로 같으므로 x에 대하여 내림차순으로 정리하고 01 ⑴ 3a(a-1)(a-2) ⑵ (x+y)(a+1)Û` ⑶ abÛ`(a-2)Û` 확인01 ①, ② 02 ⑴ (x+3)Û` ⑵ (a+b-8)Û` ⑶ (x+y-4)(x+y+4) 확인02 ⑤ 03 ① 확인03 ①, ⑤ 01 ⑴ 3aÜ ⑵ (x+y)aÛ`+2(x+y)a+(x+y) =(x+y)(aÛ`+2a+1) -9aÛ`+6a=3a(aÛ`-3a+2)=3a(a-1)(a-2) ` 인수분해하면 xÛ`-yÛ`+4x-2y+3 =xÛ`+4x-(yÛ`+2y-3) =xÛ`+4x-(y+3)(y-1) =(x+y+3)(x-y+1) 05 -1 (x-y+4)(x+y+2) x, y의 차수가 2로 같으므로 x에 대하여 내림차순으로 정리하고 =(x+y)(a+1)Û` 인수분해하면 ⑶ aÜ ` bÛ`-4aÛ`bÛ`+4abÛ`=abÛ`(aÛ`-4a+4)=abÛ`(a-2)Û` 확인01 5xÛ`(x+y)-7xy(x+y)-6yÛ`(x+y) =(x+y)(5xÛ`-7xy-6yÛ`)=(x+y)(x-2y)(5x+3y) xÛ`-yÛ`+6x+2y+8 =xÛ`+6x-(yÛ`-2y-8) =xÛ`+6x-(y-4)(y+2) =(x-y+4)(x+y+2) 정답 및 해설 17 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 17 2014-10-22 오후 1:47:37 개념편 ⑴ 13_54-13_44=13(54-44)=13_10=130 개념편 69쪽 ⑵ 106Û`-12_106+36=(106-6)Û`=100Û`=10000 확인하기 01 ② 확인01 ②, ⑤ 02 ② 확인02 ③ 01 (주어진 식) =(xÛ`-1)(xÛ`-4)-40 =(A-1)(A-4)-40 (∵ xÛ`=A로 치환) ⑶ 25Û`-15Û`= (25+15)(25-15)= 400=20 "à 'Ä 07 ⑴ 10000 ⑵ 16 ⑶ 20 6 ' '¶ ⑴ xÛ`-10x+25=(x-5)Û`=(105-5)Û`=100Û`=10000 ⑵ aÛ`+2ab+bÛ`=(a+b)Û`=(2.3+1.7)Û`=4Û`=16 ⑶ xÛ`-yÛ`=(x+y)(x-y)=10_2 6=20 ' 6 ' 07 -1 ⑴ 200 ⑵ 190 ⑶ 2 2 ' ⑴ xÛ`+4x-21 =(x-3)(x+7)=(13-3)(13+7) ⑵ 2ab-10a+b-5 =2a(b-5)+(b-5)=(b-5)(2a+1) =10_20=200 =10_19=190 ⑶ xÛ`-yÛ` = (x+y)(x-y)= (4.5+3.5)(4.5-3.5) "à 'Ä ' = 8=2 2 ' 'Ä 확인하기 개념편 72쪽 01 ① 확인01 ④ 02 ④ 확인02 12 03 ② 확인03 ③ 01 (주어진 식) =(62+38)(62-38)+(101-1)Û` =100_24+100Û` =100_(24+100)=12400 확인01 (주어진 식) =(10+9)(10-9)+(8+7)(8-7) +y+(2+1)(2-1) =(10+9)+(8+7)+y+(2+1) =11_5=55 02 aÛ`-bÛ` =(a+b)(a-b) =( 5-4+ 5+4)( ' =2 ' ' 5_(-8)=-16 ' 5 ' 5-4- 5-4) ' 확인02 x= \ 1 ' 3- xÛ`+2xy+yÛ` =(x+y)Û`=( 3+ = ' ' ' 2 2, y= \ 1 3+ ' 2+ 2 ' 3- ' ' = 3- ' 2)Û` ' 3+ ' ' 2이므로 =(2 3)Û`=12 ' 03 aÛ`-bÛ`+8b-16 =aÛ`-(bÛ`-8b+16) 확인03 xÛ`-2x+1-yÛ` =(xÛ`-2x+1)-yÛ` =aÛ`-(b-4)Û` =(a+b-4)(a-b+4) =(5-4)(2+4)=1_6=6 =(x-1)Û`-yÛ` =(x-1+y)(x-1-y) =(7-1)(4-1)=6_3=18 확인하기 개념편 73쪽 01 ④ 02 ②, ③ 03 ① 04 ① 05 ① 06 ④ 07 ⑤ =AÛ`-5A-36 =(A-9)(A+4) =(xÛ`-9)(xÛ`+4) =(x+3)(x-3)(xÛ`+4) 확인01 (주어진 식) ={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}-24 =(xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6)-24 =(A+4)(A+6)-24 (∵ xÛ`+5x=A) =AÛ`+10A=A(A+10) =(xÛ`+5x)(xÛ`+5x+10) =x(x+5)(xÛ`+5x+10) 02 (좌변) =xÛ`-6x-(yÛ`-4y-5) =xÛ`-6x-(y-5)(y+1) ={x+(y-5)}{x-(y+1)} =(x+y-5)(x-y-1) ∴ A=x+y-5 확인02 (주어진 식) =xÛ`+x(y-5)-2(y-3) =(x-2)(x+y-3) 따라서 두 일차식의 합은 (x-2)+(x+y-3)=2x+y-5 키우기 개념편 70쪽 1 ⑴ (x+1)(y+1) ⑵ (x-2)(y-1) ⑶ (a-b)(b+c) ⑷ 3x(x+4)(x-2) ⑸ (x-1)(x+y) ⑹ (a+b)(a-b-c) ⑺ (x-2y+3)(x-2y-3) ⑻ (x+y)(x-y+2) ⑼ (5x-3)(x+7) ⑽ (3x-1)(x+3) ⑾ xÛ` ⑿ (x+2)(x-2) ⒀ (x+2)(x+8) ⒁ (x-y-1)(x-y+6) ⒂ (x-y+4)(x-y-6) ⒃ (x+y-1)(x+y-3) ⒄ (x+2y+1)(x+2y-8) ⒅ (x+2)(2x-3)(2xÛ`+x+3) 익히기 익히기 개념편 71쪽 06 ⑴ 60 ⑵ 10000 ⑶ 59 ⑴ 15_17-15_13=15(17-13)=15_4=60 ⑵ 96Û`+8_96+4Û`=(96+4)Û`=100Û`=10000 ⑶ 30Û`-29Û`=(30-29)(30+29)=59 06 -1 ⑴ 130 ⑵ 10000 ⑶ 20 18 Ⅱ- 1 인수분해 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 18 2014-10-22 오후 1:47:39 유 사01 2x-1 xÛ`+8x+16=(x+4)Û`, xÛ`-10x+25=(x-5)Û`이고 ▶ 30% 0<x<5이므로 x+4>0, x-5<0이다. ▶ 20% (주어진 식)=(A+4)(A+6)+k=AÛ`+10A+24+k = (x-2)(x+6) 01 x-2y=A로 치환하면 (주어진 식) =(A+1)(A-3)-5 =AÛ`-2A-8 =(A-4)(A+2) =(x-2y-4)(x-2y+2) 따라서 두 일차식의 합은 (x-2y-4)+(x-2y+2)=2x-4y-2 02 (주어진 식) =AÛ`-BÛ`=(A-B)(A+B) 2a-3=A, b-3=B로 치환하면 ={(2a-3)-(b-3)}{(2a-3)+(b-3)} =(2a-b)(2a+b-6) 03 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+k ={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}+k =(xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6)+k xÛ`+5x=A로 치환하면 완전제곱식이 되어야 하므로 =24+k {:Á2¼:} ∴ k=1 04 필요한 인수분해 공식은 aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b) 48Û`-2Û`=(48+2)(48-2)=50_46이므로 2` 05 06 75_12+75_18 45Û`-30Û` = 75(12+18) (45+30)(45-30) = 75_30 75_15 =2 (주어진 식) =(a+b)Û`-4ab+5ab =(a+b)Û`+ab =(-10)Û`+(-3)=97 07 a= ' (주어진 식) = 6-2, b=2이므로 a+b= 6 ' aÛ`(a+b)-4(a+b) a-2 = (a+b)(aÛ`-4) a-2 =(a+b)(a+2)= = 6_ 6=6 ' ' (a+b)(a+2)(a-2) a-2 xÛ`+8x+16- xÛ`-10x+25 ∴ "à = "à (x+4)Û`- "à "à (x-5)Û` =(x+4)-{-(x-5)} =x+4+x-5=2x-1 채점 기준 근호 안의 식을 인수분해를 한 경우 x+4, x-5의 부호를 각각 판별한 경우 제곱근의 성질을 이용하여 근호를 없앤 경우 식을 정리한 경우 02 ;4#; (x-2)(x+6) xÛ`+3x-9= (xÛ`+4x-12) ;4#; ;4#; ;4#; 채점 기준 공통인수로 묶은 경우 인수분해를 한 경우 유 사02 ;4!; (x+1)(x-3) xÛ`- x- = (xÛ`-2x-3) ;2!; ;4#; ;4!; ;4!; = (x+1)(x-3) ;4!; 채점 기준 공통인수로 묶은 경우 인수분해를 한 경우 03 19 ax=2_x_5에서 a=10 b=3Û`=9 ∴ a+b=10+9=19 채점 기준 -12xy=-2_2xy_에서 =3이므로 대비하기 개념편 74~75쪽 01 -3a+5 aÛ`-6a+9=(a-3)Û`, 4aÛ`-8a+4=4(a-1)Û`이고 1<a<3이므로 a-1>0, a-3<0이다. ∴ "à = 4aÛ`-8a+4 aÛ`-6a+9- (a-3)Û`- 4(a-1)Û` "à "à "à =-(a-3)-2(a-1) =-a+3-2a+2=-3a+5 채점 기준 근호 안의 식을 인수분해를 한 경우 a-1, b-3의 부호를 각각 판별한 경우 제곱근의 성질을 이용하여 근호를 없앤 경우 식을 정리한 경우 ▶ 30% ▶ 20% ▶ 40% ▶ 10% 배점 30% 20% 40% 10% a의 값을 구한 경우 b의 값을 구한 경우 a+b의 값을 구한 경우 04 ;3°6; 다. 곱이 24인 두 정수는 주사위를 두 번 던져서 나올 수 있는 경우의 수는 6_6=36(가지)이 24 =(-1)_(-24)=(-2)_(-12) =(-3)_(-8)=(-4)_(-6) =1_24=2_12=3_8=4_6이므로 A=-25, -14, -11, -10, 25, 14, 11, 10이다. ▶ 40% 이 A의 값 중 가능한 수는 10, 11이므로 정답 및 해설 19 ▶ 40% ▶ 10% 배점 30% 20% 40% 10% ▶ 60% ▶ 40% 배점 60% 40% ▶ 60% ▶ 40% 배점 60% 40% ▶ 40% ▶ 40% ▶ 20% 배점 40% 40% 20% ▶ 10% 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 19 2014-10-22 오후 1:47:40 개념편 Ⅲ- 1 이차방정식 Ú 합이 10인 경우：(4, 6), (5, 5), (6, 4) ⇒ 3가지 Û 합이 11인 경우：(5, 6), (6, 5) ⇒ 2가지 총 5가지이다. 따라서 구하는 확률은 이다. ;3°6; 채점 기준 A의 값을 구한 경우 경우의 수를 구한 경우 인수분해 될 확률을 구한 경우 주사위를 두 번 던져서 나올 수 있는 경우의 수를 구한 경우 ▶ 40% ▶ 10% 배점 10% 40% 40% 10% 05 6xÛ`+4xy-8 xÜ`+xÛ`y-4x-4y =xÛ`(x+y)-4(x+y) =(x+y)(xÛ`-4) =(x+y)(x+2)(x-2) 03 ② 9xÛ`+6x+1=(3x+1)Û` ③ 16xÛ`-25yÛ`=(4x+5y)(4x-5y) ⑤ 2xÛ`-5x-12=(2x+3)(x-4) 04 4xÛ`+(2a+7)x-6 =(x-2)(4x+b) =4xÛ`+(b-8)x-2b이므로 b-8=2a+7, -2b=-6 ∴ a=-6, b=3 ∴ a+b=-3 05 ① xÛ`-9=(x+3)(x-3) ② 2xÛ`+9x+9=(2x+3)(x+3) ③ 2xÛ`+5x-3=(2x-1)(x+3) ④ xÛ`-5x+6=(x-3)(x-2) ⑤ 3xÛ`+10x+3=(3x+1)(x+3) 이므로 직육면체의 높이는 x+2 ▶ 50% 따라서 겉넓이는 2{(x+y)(x-2)+(x+y)(x+2)+(x+2)(x-2)} =2{(xÛ`+xy-2x-2y)+(xÛ`+xy+2x+2y)+(xÛ`-4)} 06 (주어진 식) =10.5(5.5Û`-4.5Û`) =10.5(5.5+4.5)(5.5-4.5) =10.5_10_1=105 =2(3xÛ`+2xy-4) =6xÛ`+4xy-8 채점 기준 직육면체의 높이를 구한 경우 직육면체의 겉넓이를 구한 경우 06 36개 7Ý`-1 =(7Û`+1)(7Û`-1) =(7Û`+1)(7+1)(7-1) =50_8_6=2Þ _3_5Û` ` ∴ (5+1)(1+1)(2+1)=36(개) 채점 기준 인수분해를 한 경우 약수의 개수를 구한 경우 ▶ 50% 배점 50% 50% ▶ 70% ▶ 30% 배점 70% 30% 마무리 개념편 76~78쪽 01 ③ 02 ② 03 ①, ④ 08 ① 09 ④ 10 ② 11 ② 12 ② 13 ⑤ 14 ② 04 ② 05 ④ 06 ④ 07 ③ 1+ 15 ⑴ { 1- ;[@;} ;[@;}{ 17 m=-16 또는 m=14 19 (2, 2), (4, 1) ⑵ ;1»3; 16 4444 18 (x-6)(x+3) 01 xÛ`- x+9= ;1Á6; ;2#; x } {;4!; -2_ _3_x+3Û` ;4!; = {;4!; 2` x-3 } 02 a=5, b=-2 ∴ a+b=3 20 Ⅲ- 1 이차방정식 07 (주어진 식)=(x+y)Û` =(1999+8001)Û`=10000Û` =(10Ý`)Û`=10¡` (x+4)(2x+k)=2xÛ`+(8+k)x+4k=2xÛ`+5x+a이므로 08 8+k=5 ∴ k=-3 따라서 a=4k=4_(-3)=-12 09 정사각형의 네 변의 길이는 같다. 25xÛ`+10x+1=(5x+1)Û`이고, x>0이므로 한 변의 길이는 5x+1이다. ∴ (둘레의 길이)=4(5x+1)=20x+4 10 x-y=A로 치환하면 (x-y)Û`-6(x-y)z+5zÛ` =AÛ`-6Az+5zÛ` =(A-z)(A-5z) =(x-y-z)(x-y-5z) (주어진 식) 11 ={(x-1)(x+2)}{(x-4)(x+5)}+17 =(xÛ`+x-2)(xÛ`+x-20)+17 =(A-2)(A-20)+17 (∵ xÛ`+x=A로 치환) =AÛ`-22A+57=(A-3)(A-19) =(xÛ`+x-3)(xÛ`+x-19) 2 2 3+ 3- ' ' 12 x= ' ' 2 2 3- 3+ =( y= ' ' ' ' x+y=10, xy=1 ' =( 3+ 2)Û`=5+2 6, ' ' ' 3- 2)Û`=5-2 6이므로 ' ' =(x+y)(xy-1) =10_0=0 2` 25xÛ`-4yÛ`=(5x)Û`-(2y)Û`=(5x+2y)(5x-2y)이므로 ∴ xÛ`y+xyÛ`-x-y =xy(x+y)-(x+y) 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 20 2014-10-22 오후 1:47:41 13 (주어진 식) =aÛ`-(4bÛ`-12b+9) Ⅲ- 1 이차방정식 =aÛ`-(2b-3)Û` =(a+2b-3)(a-2b+3) =(5-3)(2+3)=2_5=10 이차방정식과 그 풀이 ⑴ 익히기 익히기 개념편 80쪽 14 0<4x<1, 즉 0<x< 이므로 x- <0, x+ >0 ;4!; ;4!; ;4!; ∴ (주어진 식)= x- ;4!;} - ®É{ x+ ;4!;} ®É{ =- x- { 2` - ;4!;} { x+ ;4!;} 2` =-2x 15 ⑴ f(x)=1- =1- {;[@;} = 1- { ;[@;}{ 1+ ;[@;} 4 xÛ` ⑵ (주어진 식) 2` = 1- { ;5@;}{ 1+ _ 1- ;5@;} { ;7@;}{ 1+ ;7@;} _ y_ 1- 1+ { ;1ª3;}{ ;1ª3;} = _ ;5#; 7 5 5 7 9 7 _ _ _y_ 11 13 _ ;1!3%; = _ ;5#; ;1!3%; = ;1»3; 01 ⑴ × ⑵ ⑶ ⑷ × 01 -1 ⑴ × ⑵ × ⑶ ⑷ 02 ⑴ ⑵ × ⑶ ⑴ (- 5)Û`-5=0 ' ⑵ 1_8+4 ⑶ - ;2!; ;2#; +2=1 02 -1 ⑴ ⑵ × ⑶ × ⑴ 7_0=0 ⑵ 4Û`-6_4-2+0 ⑶ 1_4+-2-4 16 (주어진 식) =502Û`-498Û`+52Û`-48Û`+7Û`-3Û`+4 확인하기 개념편 81쪽 =(502-498)(502+498) +(52-48)(52+48)+(7-3)(7+3)+4 01 ① 확인 01 ① 02 ⑤ 확인 02 a+3 03 ④ 확인 03 ⑤ =4000+400+40+4=4444 17 =(3x)Û`+2_3x_(Ñ5y)+(Ñ5y)Û` 9xÛ`+2(m+1)xy+25yÛ` =9xÛ`Ñ30xy+25yÛ` 에서 2(m+1)=Ñ30, m+1=Ñ15 ∴ m=-16 또는 m=14 채점 기준 완전제곱식을 만든 경우 m의 값을 구한 경우 18 선미는 상수항을 제대로 보았으므로 (x+2)(x-9)=xÛ`-7x-18에서 상수항은 - 18이다. ▶ 35% 미현이는 x의 계수를 제대로 보았으므로 (x-1)(x-2)=xÛ`-3x+2에서 x의 계수는 -3이다. ▶ 35% 따라서 처음 이차식은 xÛ`-3x-18이므로 바르게 인수분해하면 xÛ`-3x-18=(x-6)(x+3) 채점 기준 상수항을 구한 경우 x의 계수를 구한 경우 처음 주어진 이차식을 인수분해한 경우 배점 70% 30% 배점 35% 35% 30% (ㄱ) xÛ`-2x-5=0 (ㄴ) 3xÛ`-6x+3=0 (ㄹ) xÜ`-2x-2=0 01 (ㄷ) 3x-7=0 (ㅁ) xy=1 따라서 이차방정식인 것은 (ㄱ), (ㄴ)이다. ▶ 70% ▶ 30% 확인 01 ① 2xÛ`=xÛ`-3x,``xÛ`+3x=0 ② xÜ`-2xÛ`-x+2=0 ⇒ 이차방정식이 아니다. ③ 2xÛ`-2x=x+2xÛ`,`3x=0 ⇒ 일차방정식 ④ xÛ`+3x=xÛ`-x-6, 4x+6=0 ⇒ 일차방정식 ⑤ 5x-1=3x+3,`2x-4=0 ⇒ 일차방정식 02 -3x(2ax+1)=4xÛ`-3, -6axÛ`-3x=4xÛ`-3 (-6a-4)xÛ`-3x+3=0 (이차항의 계수)+0이므로 -6a-4+0 ▶ 30% ∴a+- ;3@; 확인 02 axÛ`+4x-2=3xÛ`-5x+1에서 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하면 (a-3)xÛ`+9x-3=0 이 방정식이 x에 대한 이차방정식이 되려면 19 2xy-x-2y+1 =x(2y-1)-(2y-1) a-3 +0 ∴ a+3 =(x-1)(2y-1)=3 ▶ 50% Ú x-1=1, 2y-1=3일 때, x=2, y=2 Û x-1=3, 2y-1=1일 때, x=4, y=1 ∴ (2, 2), (4, 1) 채점 기준 주어진 식의 좌변을 인수분해한 경우 자연수 x, y의 순서쌍 (x, y)를 구한 경우 03 ① 2_(2+2)=8+0 ③ 0-7_0+6=6+0 ② 3Û`-3=6+0 ④ (4-1)Û`-9=0 ⑤ (-1)Û`+2_(-1)+3=2+0 확인 03 ① 3Û`+3=12+2 ② 3Û`-3-2=4+0 ③ 3Û`-3+3=9+0 ⑤ 3Û`+5_3-24=0 ④ 2_3Û`+3-1=20+0 ▶ 50% 배점 50% 50% 정답 및 해설 21 수플러스(중3)개념편해설(ok).indd 21 2014-10-22 오후 2:18:55 개념편X X X X X X Y Y Ⅲ- 1 이차방정식 ⑶ x=-4 또는 x= ⑷ x=- 또는 x= 확인 02 (x+4)Û`-25=0, xÛ`+8x-9=0 익히기 익히기 개념편 82~83쪽 03 ⑴ x=0 또는 x=2 ⑵ x=5 또는 x=-2 ⑶ x=-1 또는 x=- ⑷ x=- 또는 x= 03 -1 ⑴ x=0 또는 x=1 ⑵ x=3 또는 x=-2 ;3!; ;3@; ;2#; ;5^; ;3%; ;2!; 04 ⑴ x=2 또는 x=3 ⑵ x=0 또는 x=-4 ⑶ x=-2 또는 x= ;2!; ⑷ x= 또는 x=-1 ;3!; ⑴ (x-2)(x-3)=0 ∴ x=2 또는 x=3 ⑵ x(x+4)=0 ∴ x=0 또는 x=-4 ⑶ (x+2)(2x-1)=0 ∴ x=-2 또는 x= ;2!; ⑷ (3x-1)(x+1)=0 ∴ x= 또는 x=-1 ;3!; 04 -1 ⑴ x=-2 또는 x=7 ⑵ x=0 또는 x=5 ⑶ x= 또는 x=- ⑷ x=- 또는 x= ;2!; ;3@; ;3!; ;2#; ⑴ (x+2)(x-7)=0 ∴ x=-2 또는 x=7 ⑵ x(x-5)=0 ∴ x=0 또는 x=5 ⑶ (2x-1)(3x+2)=0 ∴ x= 또는 x=- ⑷ (3x+1)(2x-3)=0 ∴ x=- 또는 x= ;2!; ;3!; ;3@; ;2#; 05 ⑴ x=-4 (중근) ⑵ x=-3 (중근) ⑶ x=4 (중근) ⑷ x= (중근) ;2!; ⑵ (x+3)Û`=0 ∴ x=-3(중근) ⑶ 3(xÛ`-8x+16)=0,``3(x-4)Û`=0 ∴ x=4 (중근) ⑷ 4xÛ`-4x+1=0,``4 xÛ`-x+ =0 { ;4!;} 4 x- {\ ;2!;} Û`=0 ∴ x= (중근) ;2!; 05 -1 ⑴ x=5 (중근) ⑵ x=-2 (중근) ⑶ x=- (중근) ;2!; ⑷ x= (중근) ;3@; ⑴ (x-5)Û`=0 ∴ x=5 (중근) ⑵ (x+2)Û`=0 ∴ x=-2 (중근) Û`=0 ∴ x=- (중근) ⑶ { x+ ;2!;} ;2!; ⑷ 9xÛ`-12x+4=0,`(3x-2)Û`=0 ∴ x= (중근) ;3@; 확인 01 ①, ③, ④, ⑤ x=-5 또는 x=3 ② x=-3 또는 x=5 02 xÛ`-10x+24=0, (x-4)(x-6)=0 x-4=0 또는 x-6=0 ∴ x=4 또는 x=6 (x+9)(x-1)=0 ∴ x=-9 또는 x=1 03 x=4를 axÛ`-(a+1)x-8=0에 대입하면 a_4Û`-4(a+1)-8=0, 12a-12=0 ∴ a=1 즉, 주어진 이차방정식은 xÛ`-2x-8=0이므로 (x-4)(x+2)=0 ∴ x=4 또는 x=-2 따라서 다른 한 근은 -2이다. 확인 03 한 근이 3이므로 x=3을 대입하면 9+3a+6a=0 ∴ a=-1 xÛ`-x-6=0,`(x+2)(x-3)=0 x=-2 또는 x=3 ∴ b=-2 따라서 a+b=-3 04 xÛ`-9x+18=0에서 (x-3)(x-6)=0이므로 x=3 또는 x=6 2xÛ`-9x+9=0에서 (x-3)(2x-3)=0이므로 x=3 또는 x= ;2#; 따라서 공통인 해는 x=3이다. 확인 04 두 이차방정식의 공통인 근이 3이므로 18+3m-15=0에서 m=-1 9n-24-n=0에서 n=3 ∴ mn=-3 (ㄴ) (x-3)Û`=0 ∴ x=3(중근) 05 (ㄷ) (x-4)Û`=0 ∴ x=4(중근) 확인 05 ① (x+8)(x-8)=0 ∴ x=-8 또는 x=8 ② xÛ`+6x+9-9=0,` x(x+6)=0 ∴ x=-6 또는 x=0 ③ xÛ`-4x+4=0,`(x-2)Û`=0 ∴ x=2 (중근) ④ (2x+3)(x+1)=0 ∴ x=- 또는 x=-1 ;2#; ⑤ (4x-1)Û`=0 ∴ x= (중근) ;4!; 06 25-m= {;;Á2ª;;} Û`=36이므로 m=-11 확인 06 xÛ`+6x-k+5=0에서 -k+5= Û`이므로 {;2^;} 즉, xÛ`+6x+9=0에서 (x+3)Û`=0, x=-3(중근)이므로 ∴ k+m=-4+(-3)=-7 확인하기 개념편 84~85쪽 k=-4 01 ③ 확인 01 ② 02 ⑤ 확인 02 ① 03 ① 확인 03 -3 04 ③ 확인 04 -3 05 ③ 확인 05 ③, ⑤ 06 -11 확인 06 ① m=-3 22 Ⅲ- 1 이차방정식 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 22 2014-10-23 오전 11:25:09 ⑿ (2x-1)(x-2)=0 ∴ x= 또는 x=2 따라서 a=2 키우기 개념편 86쪽 1 ⑴ x=0 또는 x=3 ⑶ x=-2 또는 x=-1 ⑸ x=2 또는 x=-3 ⑺ x=3 또는 x=4 ⑼ x=0 또는 x= ;5@; ⑾ x=-7 또는 x=8 ⑵ x=-2 또는 x=0 ⑷ x=-3 또는 x=4 ⑹ x=-1 또는 x=2 ⑻ x=2 또는 x=6 ⑽ x=-2 또는 x=4 ⑿ x= 또는 x=2 ;2!; ⒀ x=- 또는 x=3 ⒁ x=-5 또는 x=5 ;3@; ⒂ x=1 (중근) ⒄ x=-2 또는 x=3 ⒃ x=-2 또는 x=5 ⒅ x=-3 또는 x=2 1 ⑸ (x-2)(x+3)=0 ∴ x=2 또는 x=-3 ⑹ xÛ`-x-2=0,`(x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 ⑺ (x-3)(x-4)=0 ∴ x=3 또는 x=4 ⑻ (x-2)(x-6)=0 ∴ x=2 또는 x=6 ⑼ x(5x-2)=0 ∴ x=0 또는 x= ;5@; ⑽ xÛ`-2x-8=0,`(x+2)(x-4)=0 ∴ x=-2 또는 x=4 ⑾ xÛ`-x-56=0, (x+7)(x-8)=0 ∴ x=-7 또는 x=8 ;2!; ;3@; ⒀ (3x+2)(x-3)=0 ∴ x=- 또는 x=3 ⒁ (x+5)(x-5)=0 ∴ x=-5 또는 x=5 ⒂ xÛ`-1=2x-2,`xÛ`-2x+1=0 (x-1)Û`=0 ∴ x=1 (중근) ⒃ xÛ`-3x-10=0, (x+2)(x-5)=0 ∴ x=-2 또는 x=5 ⒄ xÛ`-x-6=0,`(x+2)(x-3)=0 ∴ x=-2 또는 x=3 ⒅ xÛ`+x-6=0,`(x+3)(x-2)=0 ∴ x=-3 또는 x=2 01 ③ 02 -4 03 ③ 04 ② 05 ③ 06 ④ 07 3 01 x=2를 대입하면 2Û`-2_a_2+a+5=0, 9-3a=0 ∴ a=3 02 x=1이 해이므로 두 이차방정식에 각각 대입하면 1+2a+b=0 ⇒ 2a+b=-1 … ㉠ 1-2b+3a=0 ⇒ 3a-2b=-1 … ㉡ ㉠_2+㉡을 하면 7a=-3 ∴ a=- ;7#; a=- 을 ㉠에 대입하면 ;7#; 2_ - { ;7#;} +b=-1 ∴ b=- ;7!; 따라서 7a+7b=7_ - { ;7#;} +7_ - { ;7!;} =-4 (x+3)Û`=x+7에서 xÛ`+5x+2=0 03 x=a를 대입하면 aÛ`+5a+2=0 ∴ aÛ`+5a=-2 04 xÛ`=4x+12이므로 xÛ`-4x-12=0 (x+2)(x-6)=0 ∴ x=-2 또는 x=6 ∴ pÛ`+qÛ`=(-2)Û`+6Û`=40 3(2x-1)(x+1)=2xÛ`-2에서 05 6xÛ`+3x-3=2xÛ`-2,`4xÛ`+3x-1=0 (x+1)(4x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x= ;4!; 06 x=-1을 주어진 이차방정식에 대입하면 (a-1)+(aÛ`-3)-2(2a-3)=0 aÛ`-3a+2=0, (a-1)(a-2)=0 ∴ a=1 또는 a=2 그런데 이차방정식이므로 a=1이 될 수 없다. 07 3xÛ`+x-10=0에서 (x+2)(3x-5)=0이므로 x=-2 또는 x= ;3%; 두 근 중 음수인 근이 2xÛ`+ax+a-5=0의 근이므로 x=-2 x=-2를 2xÛ`+ax+a-5=0에 대입하면 8-2a+a-5=0 ∴ a=3 이차방정식과 그 풀이 ⑵ 익히기 익히기 개념편 88쪽 01 ⑴ x=Ñ2 3 5 ⑵ x=Ñ ' 3 ⑶ x=-3Ñ 7 ⑷ x=-3 또는 x=1 ' ' ⑵ 9xÛ`=5,`xÛ`= ⑶ x+3=Ñ ' ;9%; 5 ∴ x=Ñ ' 3 7 ∴ x=-3Ñ 7 ' 01 -1 ⑴ x=Ñ2 2 ' ⑵ x=1Ñ 2 ' ⑶ x=-1Ñ3 3 ⑷ x=-4Ñ2 5 ' ⑴ xÛ`=8 ∴ x=Ñ2 2 ' ' ⑵ x-1=Ñ 2 ∴ x=1Ñ ' ⑶ (x+1)Û`=27,`x+1=Ñ3 2 ' 3 ∴ x=-1Ñ3 ' 3 ' 정답 및 해설 23 확인하기 개념편 87쪽 ⑷ (x+1)Û`=4,`x+1=Ñ2 ∴ x=-3 또는 x=1 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 23 2014-10-23 오전 11:25:11 개념편 ⑷ (x+4)Û`=20,`x+4=Ñ2 5 ∴ x=-4Ñ2 5 ' 02 4, 4, 4, 2, 6, 2, Ñ 6 , 2Ñ 6 ' ' 02 -1 16, 16, 16, 4, 20, 4, Ñ2 5, -4Ñ2 5 ' ' ' 확인하기 개념편 89쪽 01 ⑤ 확인 01 ① 02 31 확인 02 ① 03 ;3!; 확인 03 -4 2(x+2)Û`=10에서 (x+2)Û`=5 01 x+2=Ñ ' 5 ∴ x=-2Ñ 5 ' 따라서 a=2,`b=5이므로 a+b=7 확인 01 x+4=Ñ q 이므로 x=-4Ñ q ' 주어진 이차방정식의 한 근이 x= ' 2 -4이므로 q=2 따라서 다른 한 근은 x=-4- 2이다. ' ' 02 xÛ`-25=6x 에서 xÛ`-6x=25 xÛ`-6x+9=25+9,`(x-3)Û`=34 따라서 p=-3,`q=34이므로 p+q=31 확인 02 4xÛ`-16x+13=0에서 xÛ`-4x=- xÛ`-4x+4=- +4 ∴ (x-2)Û`= ;;Á4£;; ;;Á4£;; ;4#; 따라서 a=-2,`b= 이므로 ab=(-2)_ =- ;4#; ;4#; ;2#; 03 3xÛ`-8x+1=0, xÛ`- x+ ;3*; ;3!; =0, xÛ`- x=- ;3*; ;3!; xÛ`- x+ ;3*; ;;Á9¤;; =- + , { ;;Á9¤;; ;3!; x- ;3$;} 이므로 ;;Á9£;; Û`= A= , B= ∴ A-B= ;;Á9¤;; ;;Á9£;; ;3!; 확인 03 xÛ`-8x-a=0에서 xÛ`-8x=a xÛ`-8x+16=a+16, (x-4)Û`=a+16 ∴ x=4Ñ a+16 'Ä 따라서 a+16=12이므로 a=-4 24 Ⅲ- 1 이차방정식 개념편 90쪽 ⑶ x=Ñ2 2 ⑹ x=Ñ ' 2 6 ⑼ x=Ñ ' 2 2 ⑵ x=Ñ ' ⑸ x=Ñ9 ⑻ x=Ñ 6 ' 2 5 ⑾ x=Ñ 키우기 1 ⑴ x=Ñ1 3 ⑷ x=Ñ3 ' 10 ⑺ x=Ñ '§ 2 3 ⑽ x=Ñ ' 2 6 ⒂ x= ⒀ x=-2 또는 x=0 1Ñ2 2 1Ñ ' 2 ⒄ x= ' 3 ⑿ x=Ñ6 ' 5 ⒁ x=0 또는 x=4 ⒃ x= 또는 x= ;2!; ;2%; ⒅ x=0 또는 x=24 2 ⑴ x=-1Ñ 2 ⑵ x=1Ñ ⑶ x=3Ñ2 3 ⑷ x=-2Ñ 3 ⑸ x= ⑹ x=2Ñ ' ' 3 14 '¶ ' -2Ñ 2 ⑺ x=4Ñ 26 ⑻ x=-5Ñ 31 ⑼ x= '¶ '¶ 15Ñ4 5 15 '¶ ⑽ x= ' 5 ' 6Ñ '¶ 3 42 2 ⑴ xÛ`+2x=1,`xÛ`+2x+1=1+1 (x+1)Û`=2 ∴ x=-1Ñ 2 ' 3 ' 3 ' 3 ' ⑵ xÛ`-2x=2,`xÛ`-2x+1=2+1 ( x-1)Û`=3 ∴ x=1Ñ ⑶ xÛ`-6x=3,`xÛ`-6x+9=3+9 ( x-3)Û`=12 ∴ x=3Ñ2 ⑷ xÛ`+4x=-1,`xÛ`+4x+4=-1+4 ( x+2)Û`=3 ∴ x=-2Ñ ⑸ xÛ`+2x= , xÛ`+2x+1= +1 ( x+1)Û`= ∴ x= ;2%; ;2&; ;2%; -2Ñ 2 14 '¶ ⑹ xÛ`-4x+4=1+4,`(x-2)Û`=5 ∴ x=2Ñ 5 ' ⑺ xÛ`-8x+16=10+16,`(x-4)Û`=26 ∴ x=4Ñ 26 '¶ ⑻ xÛ`+10x+25=6+25,`(x+5)Û`=31 ∴ x=-5Ñ 31 '¶ ⑼ xÛ`-4x= , xÛ`-4x+4= +4 ( x-2)Û`= ∴ x= ;3@; ;;Á3¢;; ;5#; ;;¢5¥;; ;3@; 6Ñ '¶ 3 42 ;5#; 15Ñ4 5 15 '¶ ⑽ xÛ`-6x= , xÛ`-6x+9= +9 ( x-3)Û`= ∴ x= 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 24 2014-10-23 오전 11:25:12 ¶ 익히기 익히기 개념편 91~92쪽 ;2!; ⑴ x- =A로 치환하면 3AÛ`+A-4=0 (3A+4)(A-1)=0이므로 A=- 또는 A=1 ;3$; ∴ x=- 또는 x= ;6%; ;2#; ⑵ x+1=A,`x-3=B로 치환하면 2AÛ`+AB-BÛ`=0 (2A-B)(A+B)=0, {2(x+1)-(x-3)}(x+1+x-3)=0 2(x+5)(x-1)=0 ∴ x=-5 또는 x=1 "à (-7)Û` -4_4_2 2_4 확인하기 개념편 93쪽 01 8 확인 01 ③ 02 12 확인 02 ② 03 ⑤ 확인 03 ⑤ 03 1, -5, 3, 1, 3, 13 5Ñ '¶ 2 03 -1 2, -3, 3, 3, -3, 3, 3 3Ñ ' 2 04 ⑴ x=-1Ñ 3 ⑵ x= ' 3 1Ñ ' 2 ⑴ x=-1Ñ "à -(-1)Ñ 1Û`-1_(-2) ∴ x=-1Ñ (-1)Û`-2_(-1) 3 ' ⑵ x= "à 2 ∴ x= 3 1Ñ ' 2 04 -1 ⑴ x= ⑵ x= -5Ñ ⑴ x= ∴ x= 17 '¶ '¶ 17 -5Ñ 2 5Û` -4_2 2 "à 17 7Ñ '¶ 8 -5Ñ 2 -(-7)Ñ ⑵ 4xÛ`-7x+2=0이므로 x= ∴ x= 17 7Ñ '¶ 8 05 ⑴ x=-3 또는 x=1 ⑵ x=1 또는 x=3 ⑶ x=-9 또는 x=5 ⑷ x= (중근) ;3!; ⑴ 양변에 2를 곱하면 xÛ`+2x-3=0 ( x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1 ⑵ 양변에 2를 곱하면 xÛ`-4x+3=0 ( x-3)(x-1)=0 ∴ x=1 또는 x=3 ⑶ 양변에 10을 곱하여 정리하면 xÛ`+4x-45=0 ( x+9)(x-5)=0 ∴ x=-9 또는 x=5 ⑷ 양변에 100을 곱하여 정리하면 9xÛ`-6x+1=0 (3x-1)Û`=0 ∴ x= (중근) ;3!; 05 -1 ⑴ x=2Ñ 7 ⑵ x=-3 또는 x=1 ' ⑶ x=-4 또는 x=1 ⑷ x=1 또는 x=5 ⑴ xÛ`-2x+1=2x+4,`xÛ`-4x-3=0 ∴ x=2Ñ 7 ' ⑵ xÛ`+xÛ`+4x+4=10,`xÛ`+2x-3=0 ( x-1)(x+3)=0 ∴ x=-3 또는 x=1 ⑶ 4xÛ`+12x-16=0,`xÛ`+3x-4=0,`(x+4)(x-1)=0 ∴ x=-4 또는 x=1 ⑷ 5xÛ`-10x+5=4xÛ`-4x,`xÛ`-6x+5=0 ( x-1)(x-5)=0 ∴ x=1 또는 x=5 06 ⑴ x=-3 또는 x=8 ⑵ x=-3 또는 x=1 ⑴ x-1=A로 치환하면 AÛ`-3A-28=0 ( A+4)(A-7)=0이므로 A=-4 또는 A=7 ∴ x=-3 또는 x=8 ⑵ x+2=A로 치환하면 AÛ`-2A-3=0 ( A+1)(A-3)=0이므로 A=-1 또는 A=3 ∴ x=-3 또는 x=1 06 -1 ⑴ x=- 또는 x= ⑵ x=-5 또는 x=1 ;6%; ;2#; 01 x= -(-6)Ñ (-6)Û` -4_3_(-5) = 6Ñ4 6 6 ' "à 2_3 24 = 3Ñ2 3 6 ' = 3Ñ '¶ 3 ∴ p=3,`q=24 ∴ =8 ;pQ; 확인 01 xÛ`-5x+2=0이므로 근의 공식에 대입하면 (-5)Û`-4_1_2 -(-5)Ñ 17 x= "à 2 따라서 A=5,`B=17이므로 A+B=22 = 5Ñ '¶ 2 02 양변에 10을 곱하면 2xÛ`-4x-25=0 2Ñ '¶ 2 4+50 'Ä 2 2Ñ3 2 x= 2Ñ 54 = = ' 6 따라서 A=2,`B=6이므로 AB=12 확인 02 양변에 2를 곱하면 6x-xÛ`+1=4x-4 xÛ`-2x-5=0 ∴ x=1Ñ 따라서 두 근의 곱은 (1+ 6 ' 6)(1- ' 6)=-5 ' 03 x- =A로 치환하면 2AÛ`-4A+1=0 ;2!; 2Ñ ' 2 2 ∴ A= 즉, x- = ;2!; 2 2Ñ ' 2 이므로 ∴ x= 2 3Ñ ' 2 확인 03 x+7=A로 치환하면 AÛ`+5A-36=0 (A+9)(A-4)=0, (x+7+9)(x+7-4)=0 (x+16)(x+3)=0 ∴ x=-16 또는 x=-3 따라서 a-b=13 (∵ a>b) 정답 및 해설 25 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 25 2014-10-23 오전 11:25:14 개념편Å Å 키우기 1 ⑴ x= 3Ñ '¶ 2 13 ⑷ x=2Ñ '¶ ⑺ x=3Ñ2 ⑽ x= 2Ñ ' 2 10 2 ' 2 ⑵ x=1Ñ 5 ⑶ x= ⑸ x=3Ñ 2 ⑹ x=6Ñ ⑻ x=4Ñ 11 ⑼ x= ' ' '¶ 4Ñ3 2 2 ' ⑾ x= ⑿ x= 개념편 94쪽 13 41 '¶ -1Ñ 2 30 '¶ -7Ñ 4 10 2Ñ '¶ 3 '¶ ⒀ x=-3 또는 x= ⒁ x=-4Ñ2 ⒂ x=- ;2#; 또는 x= ;5!; ⒄ x=- 또는 x=3 ;2!; ;3@; 5 ' 30 '¶ 10 ⒃ x=-5Ñ ⒅ x= 4Ñ '¶ 3 ⑸ x= ⑹ x= ⑺ x= ⑻ x= ⑾ x= ⑿ x= 1 ⑴ x= -(-3)Ñ "à (-3)Û`-4_(-1) 2_1 = 3Ñ '¶ 2 13 -(-2)Ñ ⑵ x= "à (-2)Û`-4_(-4) 2_1 = 20 2Ñ '¶ 2 =1Ñ 5 ' ⑶ x= -1Ñ "à 1Û`-4_(-3) 2_1 = 13 -1Ñ 2 '¶ -(-4)Ñ ⑷ x= "à (-4)Û`-4_(-6) 2_1 = 40 4Ñ '¶ 2 =2Ñ 10 '¶ -(-6)Ñ (-6)Û`-4_7 = 8 6Ñ ' 2 =3Ñ 2 ' -(-12)Ñ (-12)Û`-4_6 = 12Ñ '¶ 2 120 =6Ñ 30 '¶ -(-6)Ñ (-6)Û`-4_1 -(-8)Ñ (-8)Û`-4_5 = 32 6Ñ '¶ 2 =3Ñ2 2 ' = 44 8Ñ '¶ 2 =4Ñ 11 '¶ "à 2_1 "à 2_1 "à 2_1 "à 2_1 ⑼ x= -7Ñ "à 7Û`-4_2_1 2_2 = 41 -7Ñ 4 '¶ -(-4)Ñ ⑽ x= "à (-4)Û`-4_2_1 2_2 = 8 4Ñ ' 4 = 2 2Ñ ' 2 -(-8)Ñ (-8)Û`-4_2_(-1) "à "à 2_2 2_3 = 72 8Ñ '¶ 4 = 4Ñ3 2 2 ' = 40 4Ñ '¶ 6 = 10 2Ñ '¶ 3 ⒀ xÛ`-3x=3xÛ`-9,`2xÛ`+3x-9=0, (x+3)(2x-3)=0 ∴ x=-3 또는 x= ;2#; ⒁ xÛ`-4x+4=2xÛ`+4x,`xÛ`+8x-4=0 80 -8Ñ "à 8Û`-4_(-4) 2_1 = -8Ñ 2 '¶ x= =-4Ñ2 5 ' ⒂ 양변에 10을 곱하면 10xÛ`+3x-1=0, (2x+1)(5x-1)=0 ∴ x=- 또는 x= ;2!; ;5!; ⒃ 양변에 10을 곱하면 xÛ`+10x-5=0 -10Ñ x= "à 10Û`-4_(-5) 2_1 = -10Ñ 2 '¶ 120 =-5Ñ 30 '¶ 26 Ⅲ- 1 이차방정식 ⒄ 양변에 3을 곱하면 3xÛ`-7x-6=0, (3x+2)(x-3)=0 ∴ x=- 또는 x=3 ;3@; ⒅ 양변에 4를 곱하면 3xÛ`-8x+2=0 (-8)Û`-4_3_2 2_3 -(-8)Ñ x= "à = 40 8Ñ '¶ 6 = 10 4Ñ '¶ 3 익히기 익히기 개념편 95쪽 07 ⑴ 0개 ⑵ 1개 ⑶ 2개 ⑷ 1개 ⑴ (-1)Û`-4_1_1=-3<0 ⑵ 8Û`-4_1_16=0 ⑶ (-4)Û`-4_1_(-5)=36>0 ⑷ (-4)Û`-4_4_1=0 07 -1 ⑴ 1개 ⑵ 0개 ⑶ 2개 ⑷ 1개 ⑴ (-2)Û`-4_1_1=0 ⑵ 6Û`-4_1_36=-108<0 ⑶ (-10)Û`-4_1_9=64>0 ⑷ (-8)Û`-4_16_1=0 08 ⑴ 두 근의 합 : 3, 두 근의 곱 : -5 ⑵ 두 근의 합 : , 두 근의 곱 : -1 ;2#; ⑶ 두 근의 합 : 0, 두 근의 곱 : - ⑷ 두 근의 합 : 2, 두 근의 곱 : - ;3!; ;4!; ⑴ (두 근의 합)=- =3, (두 근의 곱)= =-5 ⑵ (두 근의 합)=- = , (두 근의 곱)= =-1 ;2#; ⑶ (두 근의 합)=- =0, (두 근의 곱)= =- ;3!; ;4!; 08 -1 ⑴ 두 근의 합 : 7, 두 근의 곱 : -5 ⑵ 두 근의 합 : , 두 근의 곱 : -2 ;3@; ⑶ 두 근의 합 : 0, 두 근의 곱 : - ;2&; ⑷ 두 근의 합 : -2, 두 근의 곱 : -7 ⑴ (두 근의 합)=- =7, (두 근의 곱)= =-5 ⑵ (두 근의 합)=- = , (두 근의 곱)= =-2 ;3@; ⑶ (두 근의 합)=- =0, (두 근의 곱)= =- ;2&; ⑷ (두 근의 합)=- =-2, (두 근의 곱)= =-7 -5 1 -2 2 1 -3 -1 4 -5 1 -6 3 7 -2 -7 1 -3 1 -3 2 0 -3 -8 4 -7 1 -2 3 0 -2 ;1@; -(-4)Ñ (-4)Û`-4_3_(-2) ⑷ (두 근의 합)=- =2, (두 근의 곱)= =- 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 26 2014-10-23 오전 11:25:16 확인하기 01 ⑤ 확인 01 ④ 02 ③ 확인 02 ⑤ 03 40 확인 03 ③ 개념편 96쪽 ∴ B A =12 -A=-5, B 3 =20 ∴ A=5,`B=60 (두 근의 곱)=B= =-40 (ㄹ) A=-5, B=6이면 (-5)Û`-4_6=1>0이므로 서로 다른 01 ① 0Û`-4_4_(-9)=144>0 ∴ 2개 ② (-6)Û`-4_1_1=32>0 ∴ 2개 ③ (-6)Û`-4_2_3=12>0 ∴ 2개 ④ 양변에 4를 곱하여 정리하면 6xÛ`-8x-1=0 ( -8)Û`-4_6_(-1)=88>0 ∴ 2개 ⑤ 양변에 10을 곱하여 정리하면 xÛ`-10x+25=0 ( -10)Û`-4_1_25=0 ∴ 1개 (중근) 확인 01 ① 5Û`-4_1_3=13>0 ∴ 2개 ② 1Û`-4_1_(-6)=25>0 ∴ 2개 ③ (-6)Û`-4_1_9=0 ∴ 1개 (중근) ④ (-3)Û`-4_1_5=-11<0 ∴ 근이 없다. ⑤ (-10)Û`-4_1_10=60>0 ∴ 2개 02 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 (두 근의 합)=A=- =-12 ;;Á1ª;; -40 1 ∴ B-A=-28 확인 02 (두 근의 합)=(1+ 2 )+(1- 2 )=2=-a이므로 ' ' (두 근의 곱)=(1+ 2 )(1- 2 )=-1=b이므로 ' ' a=-2 b=-1 ∴ ab=2 03 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 a+b=-4,` ab=-12 ∴ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=16+24=40 확인 03 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 ① a+b=7 ② ab=3 ③ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=7Û`-2_3=43 ④ (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab=7Û`-4_3=37 37 ⑤ ∴ a-b=Ñ 1 1 b a '¶ a+b ab 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 7 3 = = + 확인하기 01 ⑤ 02 ⑤ 03 ④ 04 ④ 05 ③ 06 ① 01 3(x+A)Û`=B, (x+A)Û`= , x+A=Ñ B 3 B 3 ¾Ð x=-AÑ B 3 =-5Ñ2 ' ¾Ð 5 이므로 02 ① xÛ`=0 ∴ x=0 (중근) ② xÛ`=1 ∴ x=Ñ1 ③ x=Ñ k '¶ ④ k<0이면 근이 없다. 03 xÛ`-4x-3=0에서 x=2Ñ 2x-3>3에서 x>3 ' 7 … ㉠ … ㉡ ㉠, ㉡에서 p=2+ 7 ' 04 주어진 식의 좌변을 전개하여 정리하면 4xÛ`-5x-6=0,`(x-2)(4x+3)=0 ∴ x=- 또는 x=2 ;4#; 따라서 a=- ,` b=2이므로 b-4a=2+3=5 ;4#; (ㄱ) B<0이면 AÛ`-4B>0이므로 서로 다른 두 근을 갖는다. 05 (ㄴ) A=0,`B=4이면 0Û`-4_4<0이므로 근이 없다. (ㄷ) A=B=1이면 1Û`-4_1<0이므로 근이 없다. 두 근을 갖는다. 따라서 옳은 것은 (ㄱ), (ㄹ)이다. 06 -0.5xÛ`- ;2%; xÛ`+5x+4m-1=0 x-2m+ =0의 양변에 -2를 곱하면 ;2!; 근과 계수의 관계에 의해 a+b=-5,`ab=4m-1 aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=43 25-2(4m-1)=43 ∴ m=-2 이차방정식의 활용 익히기 익히기 개념편 98쪽 01 ⑴ 1- 3 ⑵ 3- 5 ⑶ 2+ 2 ⑷ 5+2 01 -1 ⑴ 2- 3 ⑵ 3+ 7 ⑶ 4+ 5 ⑷ 3-4 ' ' ' ' 3 ' 2 ' 02 ⑴ xÛ`-5x+6=0 ⑵ xÛ`-4x=0 ⑶ xÛ`+10x+25=0 ⑷ xÛ`- =0 ⑴ (x-2)(x-3)=0이므로 xÛ`-5x+6=0 ⑵ x(x-4)=0이므로 xÛ`-4x=0 ' ' ;9!/ ⑷ { x+ ;3!;}{ x- ;3!;} =0이므로 xÛ`- =0 ;9!; 02 -1 ⑴ xÛ`-12x+35=0 ⑵ xÛ`-4x-12=0 ⑶ xÛ`+6x+9=0 ⑷ xÛ`- x- =0 ;2%; ;2#; ⑴ (x-5)(x-7)=0이므로 xÛ`-12x+35=0 개념편 97쪽 ⑶ (x+5)Û`=0이므로 xÛ`+10x+25=0 정답 및 해설 27 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 27 2014-10-23 오전 11:25:17 개념편± ± ⑵ (x+2)(x-6)=0이므로 xÛ`-4x-12=0 ⑵ xÛ`-3x-10=0에서 (x+2)(x-5)=0 ⑶ (x+3)Û`=0이므로 xÛ`+6x+9=0 ∴ x=-2 또는 x=5 ⑷ { x+ ;2!;} (x-3)=0이므로 xÛ`- x- =0 ;2%; ;2#; 04 -1 ⑴ xÛ`-5x-14=0 ⑵ x=-2 또는 x=7 ⑴ (x+4)Û`=13x+30에서 xÛ`-5x-14=0 ⑵ xÛ`-5x-14=0에서 (x+2)(x-7)=0 ∴ x=-2 또는 x=7 05 ⑴ 12 ⑵ 15초 ⑴ -2Û`+16=12 05 -1 ⑴ 21 ⑵ 12초 ⑴ -3Û`+30=21 ⑵ -tÛ`+10t=-24이므로 tÛ`-10t-24=0 ( t-12)(t+2)=0 ∴ t=12 (∵ t>0) 01 ④ 확인 01 ② 02 ① 확인 02 ② 03 ⑤ 확인 03 xÛ`-x- =0 개념편 99쪽 ;4!; ⑵ -tÛ`+8t=-105이므로 tÛ`-8t-105=0 ( t-15)(t+7)=0 ∴ t=15 (∵ t>0) 따라서 15초 후에 점 P의 위치가 -105이다. 확인 01 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 다른 한 근은 x=1- 3 이므 따라서 12초 후에 점 P의 위치가 -24이다. ' 03 xÛ`-4x-7=0 03 -1 xÛ`-8x+3=0 확인하기 01 다른 한 근은 2+3 3)(2+3 k-8=(2-3 3 이므로 ' 3)=-23 ' ' ∴ k=-15 로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 (두 근의 합)=(1+ 3 )+(1- 3 )=2이므로 (두 근의 곱)=(1+ 3 )(1- 3 )=-2이므로 a=-2 b=-2 ' ' ' ' ∴ a+b=(-2)+(-2)=-4 02 두 근이 2,` ;5@; 5(x-2) x- { ∴ 5xÛ`-12x+4=0 ;5@;} 이고 xÛ`의 계수가 5인 이차방정식은 =0,`5 xÛ`- { x+ ;;Á5ª;; ;5$;} =0 따라서 a=-12,`b=4이므로 a+b=-8 확인 02 xÛ`의 계수가 3이고 중근 x=-5를 갖는 이차방정식은 3(x+5)Û`=0 ∴ 3xÛ`+30x+75=0 따라서 A=30,`B=15이므로 A-B=15 03 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 a+b=-3,` ab=-10이므로 구하는 이차방정식은 (x+3)(x+10)=0 ∴ xÛ`+13x+30=0 확인 03 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 a+b=-4,` ab=-4 1 b a+b ab 이때 1 a = + = -4 -4 =1, _ = =- 1 a 1 b 1 ab 1 4 이므로 ,` 을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 1 a 1 b xÛ`-x- =0 ;4!; 확인하기 개념편 101~102쪽 01 팔각형 확인 01 22 02 ⑤ 확인 02 ⑤ 03 18명 확인 03 ② 04 ⑤ 확인 04 ② 05 ② 확인 05 5`cm 06 ④ 확인 06 ⑤ 01 구하는 다각형을 n각형이라 하면 n(n-3) 2 =20,`nÛ`-3n-40=0 (n+5)(n-8)=0 ∴ n=8 (∵ n¾3) 따라서 구하는 다각형은 팔각형이다. 확인 01 자연수 1부터 n까지의 합을 253이라 하면 n(n+1) 2 =253,`n(n+1)=506 nÛ`+n-506=0,`(n-22)(n+23)=0 ∴ n=22 (∵ n은 자연수) 따라서 1부터 22까지 더해야 한다. 02 연속하는 두 홀수를 x,`x+2라 하면 x(x+2)=195, xÛ`+2x-195=0 (x-13)(x+15)=0 ∴ x=13 (∵`x는 홀수) 따라서 구하는 연속하는 두 홀수는 13, 15이므로 두 홀수의 합은 28이다. 확인 02 연속하는 세 자연수를 x-1,`x,`x+1이라 하면 (x-1)Û`+xÛ`+(x+1)Û`=50, 3xÛ`=48 xÛ`=16 ∴ x=4 (∵ x>1) 익히기 익히기 개념편 100쪽 04 ⑴ xÛ`-3x-10=0 ⑵ x=-2 또는 x=5 따라서 연속하는 세 자연수는 3, 4, 5이므로 ⑴ (x+2)Û`=7x+14에서 xÛ`-3x-10=0 곱은 3_4_5=60이다. 28 Ⅲ- 1 이차방정식 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 28 2014-10-23 오전 11:25:19 확인 03 형의 나이를 x살이라 하면 동생의 나이는 (x-4)살 지숙 : (x+4)(x+2)=0,`xÛ`+6x+8=0이므로 04 -5tÛ`+75t+80=0이므로 tÛ`-15t-16=0 (t-16)(t+1)=0, t=-1 또는 t=16 ∴ t=16 (∵ t>0) 따라서 던져 올린 지 16초 후이다. 02 3(x+1) x- =0에서 3xÛ`+2x-1=0 { ;3!;} 따라서 a=2,`b=-1이므로 -xÛ`+2x+5=0에서 xÛ`-2x-5=0 03 학생 수를 x명이라 하면 한 사람이 갖는 곶감의 개수는 (x-9)개이므로 x(x-9)=162,`xÛ`-9x-162=0 (x+9)(x-18)=0 ∴ x=18 (∵ x>0) 따라서 학생 수는 18명이다. xÛ`=3(x-4)Û`-8,`2xÛ`-24x+40=0 xÛ`-12x+20=0, (x-2)(x-10)=0 ∴ x=10 (∵ x>4) 따라서 형의 나이는 10살이다. 확인 04 -5tÛ`-10t+30=15,`tÛ`+2t-3=0 (t+3)(t-1)=0, t=-3 또는 t=1 ∴ t=1 (∵ t>0) 따라서 던진 후 1초 후이다. 05 작은 정사각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 큰 정사각형의 한 변의 길이는 (8-x) cm이므로 xÛ`+(8-x)Û`=34,`2xÛ`-16x+30=0 xÛ`-8x+15=0,`(x-3)(x-5)=0, x=3 또는 x=5 ∴ x=3 (∵ 0<x<4) 따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 3`cm이다. p(x+5)Û``cmÛ`이므로 p(x+5)Û`=4pxÛ` xÛ`+10x+25=4xÛ`,`3xÛ`-10x-25=0 (3x+5)(x-5)=0, x=- 또는 x=5 ;3%; ∴ x=5 (∵ x>0) 따라서 처음 원의 반지름의 길이는 5`cm이다. 06 도로의 폭을 x`m라 하면 (30-x)(20-x)=375이므로 xÛ`-50x+225=0,`(x-5)(x-45)=0, x=5 또는 x=45 ∴ x=5 (∵ 0<x<20) 따라서 도로의 폭은 5`m로 해야 한다. 확인하기 개념편 103쪽 01 ① 02 ③ 03 ④ 04 69 05 ③ 06 ③ 01 민호는 상수항을 지숙이는 일차항의 계수를 바르게 보았다. 민호 : (x-1)(x-5)=0,`xÛ`-6x+5=0이므로 상수항은 5이다. 일차항의 계수는 6이다. 따라서 처음에 주어진 이차방정식은 xÛ`+6x+5=(x+5)(x+1)=0이므로 x=-5 또는 x=-1이다. ∴ x=-(-1)Ñ (-1)Û`-1_(-5)=1Ñ "à 03 Û`+4-12=0에서 (+6)(-2)=0, =-6 또는 =2이므로 ' 6 =2 (∵ >0) ∴ x=2,`3,`5, 7 따라서 자연수 x의 값의 합은 2+3+5+7=17이다. 04 십의 자리의 숫자를 x라 하면 일의 자리의 숫자는 (15-x) 이므로 x(15-x)=(10x+15-x)-15 -xÛ`+15x=9x,`xÛ`-6x=0 x(x-6)=0, x=0 또는 x=6 ∴ x=6 (∵ x는 자연수) 05 정현이가 출발한 날짜를 x일이라 하면 돌아올 날짜는 (x+3)일이므로 (x+3)Û`=9x+27,`xÛ`-3x-18=0 (x-6)(x+3)=0, x=-3 또는 x=6 ∴ x=6 (∵ x는 자연수) 따라서 정현이가 출발할 날짜는 8월 6일이다. xÛ`+100x-309=0, (x+103)(x-3)=0, x=-103 또는 x=3 06 길의 폭을 x`m라 하면 (50+x)Û`p-50Û`p=309p ∴ x=3 (∵ x>0) 따라서 길의 폭은 3`m이다. 01 4 3xÛ`+12x-2k+20=0에서 xÛ`+4x+ -2k+20 3 } { =0 개념편 104~105쪽 ▶ 40% 정답 및 해설 29 확인 06 길의 폭을 x`m라 하면 남은 땅은 가로, 세로의 길이가 각각 (15-x)`m, (12-2x)`m인 직사각형 모양이므로 대비하기 (15-x)(12-2x)=20,`xÛ`-21x+80=0 (x-5)(x-16)=0, x=5 또는 x=16 ∴ x=5 (∵ 0<x<6) 따라서 길의 폭은 5`m이다. 확인 05 처음 원의 반지름의 길이를 x`cm라 하면 처음 원의 넓이 따라서 구하는 수는 69이다. 는 pxÛ``cmÛ`이고 반지름의 길이를 5`cm만큼 늘인 원의 넓이는 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 29 2014-10-23 오전 11:25:20 개념편 채점 기준 x=k를 대입하여 k에 관한 이차방정식을 구한 경우 채점 기준 중근을 가지려면 -2k+20 = 3 Û`=4 {;2$;} -2k+20=12 ∴ k=4 xÛ`의 계수를 1로 바꾼 경우 채점 기준 이차방정식의 중근을 가질 조건을 이용하여 k의 값을 구한 경우 유 사01 -4 xÛ`-(3a-2)x+2aÛ`-5a-3=0에서 중근을 가지려면 2aÛ`-5a-3= { 8aÛ`-20a-12=9aÛ`-12a+4 } -3a+2 2 Û` aÛ`+8a+16=0,`(a+4)Û`=0 ∴ a=-4 이차방정식의 중근을 가질 조건을 이용하여 식을 세운 경우 a의 값을 구한 경우 02 0<kÉ ;3@; (-1)Û`-3(2k-1)¾0이므로 4-6k¾0 ∴ kÉ ;3@; (-1)Û`-(k+1)<0이므로 1-k-1<0 ∴ k>0 … ㉡ ㉠, ㉡에서 0<kÉ ;3@; 채점 기준 3xÛ`-2x+2k-1=0이 해를 갖도록 하는 k의 값의 범위를 구한 경우 (k+1)xÛ`-2x+1=0이 해를 갖지 않도록 하는 k의 값의 범위를 구 한 경우 k의 값의 범위를 구한 경우 … ㉠ ▶ 40% 유 사02 - Ék< ;2!; ;8(; 1Û`-4_2_(-k-1)¾0이므로 8k+9`¾0 ∴ k`¾`- … ㉠ ;8(; 1Û`-(k-1)_(-2)<0이므로 2k-1<0 ∴ k< … ㉡ ㉠, ㉡에서 - Ék< ;8(; ;2!; ;2!; 채점 기준 2xÛ`+x-k-1=0이 해를 갖도록 하는 k의 값의 범위를 구한 경우 (k-1)xÛ`+2x-2=0이 해를 갖지 않도록 하는 k의 값의 범위를 구 한 경우 k의 값의 범위를 구한 경우 03 7 x=a를 xÛ`+3x+1=0에 대입하면 aÛ`+3a+1=0 a+0이므로 양변을 a로 나누면 30 Ⅲ- 1 이차방정식 ▶ 60% 배점 40% 60% ▶ 60% ▶ 40% 배점 60% 40% ▶ 40% ▶ 20% 배점 40% 40% 20% ▶ 40% ▶ 40% ▶ 20% 배점 40% 40% 20% a+3+ =0,`a+ =-3 ';a!; ∴ aÛ`+ = a+ { ';a!;} Û`-2=(-3)Û`-2=7 ';a!; 1 aÛ` 채점 기준 a+ ;a!; 의 값을 구한 경우 aÛ`+ 의 값을 구한 경우 1 aÛ` 04 1 2xÛ`-kx+6k-7=0에서 kÛ`+6k-7=0 (k+7)(k-1)=0 ∴ k=-7 또는 k=1 이때 k는 양수이므로 k=1 k의 값을 구한 경우 05 - ;;ª3ª;; xÛ`+4x-3=0의 근과 계수의 관계에서 a+b=-4, ab=-3이므로 ∴ b a a b = = + aÛ`+bÛ` ab (a+b)Û`-2ab ab (-4)Û`-2_(-3) -3 =- = ;;ª3ª;; 근과 계수의 관계를 이해하고 있는 경우 채점 기준 b a a b + 의 값을 구한 경우 06 3초 후 10+30t-5tÛ`=55이므로 tÛ`-6t+9=0 (t-3)Û`=0 ∴ t=3 (중근) 따라서 축구공을 차 올린 지 3초 후이다. 채점 기준 이차방정식을 세운 경우 몇 초 후에 높이가 55 m가 되는지를 구한 경우 ▶ 60% ▶ 40% 배점 60% 40% ▶ 40% ▶ 60% 배점 40% 60% ▶ 40% ▶ 60% 배점 40% 60% ▶ 70% ▶ 30% 배점 70% 30% 마무리 개념편 106~108쪽 01 ④, ⑤ 02 ④ 03 ⑤ 04 x=-3 또는 x=7 05 ④ 06 -3 07 ④ 08 ③ 09 ③ 10 ③ 11 ⑤ 12 ② 13 ④ 14 69 15 ② 16 ④ 17 1 18 11명 19 30 01 ① 2x+1=0 (일차방정식) ② 2xÛ`-3x+5 (이차식) ③ -x+1=0 (일차방정식) ④ xÛ`=0 (이차방정식) ⑤ xÛ`-7=0 (이차방정식) 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 30 2014-10-23 오전 11:25:22 02 x는 절댓값이 3보다 작거나 같은 정수이므로 x=-3,`-2,`-1, 0, 1,` 2, 3 이차방정식 (x-2)Û`=1의 x에 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3을 차례 ∴ m=1 또는 m=4 10 다른 한 근은 x=-6+4 2(k-3)=(-6-4 ∴ k=-3 ' ' 6)+(-6+4 6)=-12 ' 6 이므로 근과 계수의 관계에 의해 대로 대입하면 x=-3일 때, (-3-2)Û`=25+1 x=-2일 때, (-2-2)Û`=16+1 x=-1일 때, (-1-2)Û`=9+1 x=0일 때, (0-2)Û`=4+1 x=1일 때, (1-2)Û`=1 x=2일 때, (2-2)Û`=0+1 x=3일 때, (3-2)Û`=1 따라서 x=1 또는 x=3이다. 03 x=a를 주어진 방정식에 대입하면 aÛ`-5a-1=0 양변을 a로 나누면 a-5- =0 ;!; ∴ a- =5 ;!; 04 xÛ`-4x-21=0에서 (x+3)(x-7)=0 x+3=0 또는 x-7=0 ∴ x=-3 또는 x=7 05 ① (x+2)Û`=0 ∴ x=-2 ② (x-1)Û`=0 ∴ x=1 (중근) Û`=0 ∴ x=- ③ { x+ ;2!;} (중근) ;2!; (중근) ④ (x-2)(x-4)=0 ∴ x=2 또는 x=4 ⑤ (x+5)Û`=0 ∴ x=-5 (중근) 06 x+ 3 { ;5@;} Û`=2, { x+ Û`= ;3@; x+ =Ñ ;5@; ®;3@; ,`x=- ;5@; 따라서 A=-2,`B=6이므로 ;5@;} 6 Ñ ' 3 =-3 ;aB; 07 xÛ`-5x-4=0, xÛ`-5x=4 xÛ`-5x+ =4+ ;;ª4°;; ;;ª4°;; Û`= ;;¢4Á;; 41 =Ñ '¶ 2 41 5Ñ '¶ 2 x- { ;2%;} x- ;2%; ∴ x= 08 x= -3Ñ 3Û`-4_1_(-5) "à 2_1 = 29 -3Ñ 2 " 09 xÛ`+2mx+5m-4=0에서 (2m)Û`-4_1_(5m-4)=0 4mÛ`-20m+16=0,`mÛ`-5m+4=0 (m-1)(m-4)=0 2(x+1)Û`-2=axÛ`+5x+3에서 11 2xÛ`+4x+2-2=axÛ`+5x+3,`(2-a)xÛ`-x-3=0 따라서 a=2이면 이차방정식이 아니다. 12 ㉠식을 인수분해하면 (x-2)(x-3)=0 ∴ x=2 또는 x=3 두 근을 ㉡식에 각각 대입하면 Ú x=2일 때, 2Û`+a_2-3=0 ∴ a=- ;2!; a는 정수이므로 적합하지 않다. Û x=3일 때, 3Û`+a_3-3=0 ∴ a=-2 따라서 Ú, Û에 의해서 a=-2이다. 13 두 근을 4a, 3a라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 4a+3a=2k-1,`4a_3a=3k k=4aÛ`이므로 8aÛ`-7a-1=0 (8a+1)(a-1)=0, a=- 또는 a=1 ;8!; ∴ k= 또는 k=4 ;1Á6; 이때 k는 정수이므로 k=4 14 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 a+b=7,` ab=-5이므로 (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab=49+20=69 15 주사위를 2번 던져 나올 수 있는 모든 경우의 수는 36가지이 다. 이차방정식 xÛ`-2ax+4b=0이 중근을 가지려면 (-a)Û`-1_4b=0 ∴ aÛ`=4b 따라서 첫 번째 나온 눈의 수와 두 번째 나온 눈의 수를 순서쌍 (a,`b)로 나타내면 (2, 1), (4, 4)의 2가지이므로 구하는 확률은 = ;3ª6; ;1Á8; 16 두 점 P, Q가 출발한 지 x초 후에 Õ=2x`cm이므로 BPÓ Õ=(24-x)`cm, BQÓ △PBQ= (24-x)_2x=135 ;2!;_ xÛ`-24x+135=0, (x-9)(x-15)=0 ∴ x=9 또는 x=15 따라서 △PBQ의 넓이가 처음으로 135`cmÛ`가 되는 것은 출발한 지 9초 후이다. 17 x(x-2)=15에서 xÛ`-2x-15=0 (x-5)(x+3)=0 ∴ x=5 또는 x=-3 따라서 2xÛ`+(k+4)x-3k=0의 한 근이 x=-3이므로 18-3(k+4)-3k=0 ∴ k=1 ▶ 60% ▶ 40% 정답 및 해설 31 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 31 2014-10-23 오전 11:25:23 개념편 Ⅳ- 1 이차함수와 그래프 채점 기준 이차방정식 x(x-2)=15의 근을 구한 경우 k의 값을 구한 경우 18 학생 수를 n이라 하면 n(n-1) 2 =55에서 nÛ`-n=110,`nÛ`-n-110=0 (n+10)(n-11)=0 ∴ n=-10 또는 n=11 이때 n은 자연수이므로 n=11 채점 기준 식을 세운 경우 이차방정식의 해를 구한 경우 파티에 참가한 학생 수를 구한 경우 19 두 번째로 작은 수를 x라 하면 네 수는 x-1,`x,`x+1,`x+2이므로 (x-1)Û`+(x+2)Û`=x(x+1)+61 따라서 파티에 참가한 학생 수는 11명이다. xÛ`+x-56=0, (x+8)(x-7)=0, x=-8 또는 x=7 ∴ x=7 (∵ x는 자연수) 따라서 연속하는 네 자연수는 6, 7, 8, 9이므로 합은 6+7+8+9=30 채점 기준 식을 세운 경우 두 번째로 작은 수를 구한 경우 네 수의 합을 구한 경우 ▶ 40% ▶ 30% 배점 30% 40% 30% ▶ 40% ▶ 10% 배점 50% 40% 10% 배점 60% 40% Ⅳ- 1 이차함수와 그래프 이차함수와 그래프 ⑴ 익히기 익히기 개념편 110~112쪽 01 ⑴ × ⑵ ⑶ × ⑷ ▶ 30% ⑴ y=-x+2이므로 이차함수가 아니다. ▶ 50% 02 ⑴ -3 ⑵ ⑶ 3 ⑷ -2 ;;ª4Á;; ⑶ y=-3x이므로 이차함수가 아니다. ⑷ y= xÛ`- x-1이므로 이차함수이다. ;2!; ;2!; 01 -1 ⑴ ⑵ × ⑶ × ⑷ × ⑴ y=-3xÛ`-12x-14이므로 이차함수이다. ⑵ 이차방정식이다. ⑶ y= xÜ`-4xÛ`+4x 3 이므로 이차함수가 아니다. ⑷ y=3x이므로 이차함수가 아니다. ⑴ f(1)=-1Û`-5+3=-3 ⑵ f { - ;2!;} =- - { ;2!;} - { ;2!;} +3= ;;ª4Á;; Û`-5 ⑷ f(-2)=-(-2)Û`-5(-2)+3=9 f(2)=-2Û`-5_2+3=-11 ∴ f(-2)+ f(2)=9+(-11)=-2 02 -1 ⑴ 7 ⑵ ⑶ 5 ⑷ 8 ;;°9£;; ⑴ f(-2)=-(-2)Û`-3(-2)+5=7 ⑵ f { - ;3!;} =- - { ;3!;} - { ;3!;} +5= ;;°9£;; Û`-3 ⑷ f(-1)=-(-1)Û`-3(-1)+5=7 f(1)=-1Û`-3_1+5=1 ∴ f(-1)+f(1)=7+1=8 ⑴ ⑵ ⑴ 03 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑶ (ㄱ) 0, 0, 아래 (ㄴ) x=0 (ㄷ) 증가 (ㄹ) ¾ (ㅁ) 1, 2 x … -3 -2 -1 y … 9 4 1 0 0 1 1 2 4 3 … 9 … 03 -1 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑶ (ㄱ) 0, 0, 위 (ㄴ) x=0 (ㄷ) 감소 (ㄹ) É (ㅁ) 3, 4 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … 32 Ⅳ- 1 이차함수와 그래프 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 32 2014-10-23 오전 11:25:24 ⑵ 06 이차함수 y=axÛ`의 그래프가 점 (5, 2)를 지나므로 04 ⑴ (0, 0) ⑵ x=0 ⑶ y= 04 -1 ⑴ (0, 0) ⑵ x=0 ⑶ y= xÛ` ;7@; xÛ` ;3!; 05 ⑴ (ㄱ), (ㄹ) ⑵ (ㄱ) ⑶ (ㄴ), (ㄹ) 05 -1 ⑴ (ㄱ), (ㄷ) ⑵ (ㄷ) ⑶ (ㄱ), (ㄹ) 2=a_5Û` ∴ a= ;2ª5; 확인 06 x=-3, y=15를 대입하면 15=a_(-3)Û` ∴ a= ;3%; x=1, y=b를 y= xÛ`에 대입하면 ;3%; b= _1Û` ∴ b= ;3%; ;3%; ∴ a+b= + = ;3%; ;3%; ;;Á3¼;; 확인하기 개념편 113~114쪽 01 ③ 확인 01 ②, ⑤ 02 ③ 확인 02 ④ 03 ③, ⑤ 확인 03 ② 익히기 익히기 개념편 115쪽 06 ⑴ y= xÛ`-1 ⑵ x=0, 0, -1 ⑶ 아래 04 ⑤ 확인 04 ④ 05 ②, ④ 확인 05 ③ 06 ② 확인 06 ;;Á3¼;; 06 -1 ⑴ y=- xÛ`+3 ⑵ x=0, 0, 3 ⑶ 위 ;2#; ;2&; ;3!; ;4!; 07 ⑴ y= (x+2)Û` ⑵ x=-2, -2, 0 ⑶ 아래 07 -1 ⑴ y=- (x-1)Û` ⑵ x=1, 1, 0 ⑶ 위 01 ③ y=x(x+4)-4x=xÛ`이므로 이차함수이다. ④ y=x(x+1)(x-1)=xÜ`-x이므로 이차함수가 아니다. ⑤ y=(x+2)Û`-(x-1)Û`=6x+3이므로 일차함수이다. 확인 01 ① y=3x ② y= pxÛ` ③ y=60x ;4!; ④ y=xÜ` ⑤ y=(1+x)Û`=xÛ`+2x+1 f(-2)=2_(-2)Û`+5_(-2)-1=8-10-1=-3 02 f(1)=2_1Û`+5_1-1=2+5-1=6 ∴ f(-2)+f(1)=3 확인 02 f(-1)=a_(-1)Û`-5_(-1)-4=3이므로 y=axÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 1만큼 평행이동시킨 그 확인하기 개념편 116~117쪽 01 - 확인 01 9 02 ⑤ 확인 02 ③ 03 ② 확인 03 ⑤ ;3!; 04 ① 확인 04 ⑤ 05 ③ 확인 05 ④ 06 ② 확인 06 ④ 01 래프의 관계식은 y=axÛ`+1이다. 점 (3, -2)를 지나므로 x=3, y=-2를 대입하면 a의 값을 구할 수 있다. 확인 01 이차함수 y=- xÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 n만큼 ;5!; 평행이동시킨 포물선은 y=- xÛ`+n이고, 이 포물선이 ;5!; 점 (5, -2)를 지나므로 -2=- _5Û`+n, n=3 ∴ nÛ`=9 ;5!; ;2!; ④ y=xÛ`의 그래프와 x축에 대하여 대칭이다. -2=a_3Û`+1, 9a=-3 ∴ a=- ;3!; 확인 03 (ㄴ) y=- xÛ`의 그래프는 위로 볼록하다. ;3!; (ㄹ) y=- xÛ`의 그래프는 x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값 a+1=3 ∴ a=2 03 ① 제3, 4사분면을 지난다. ② 축의 방정식은 x=0이다. ;3!; 도 증가한다. 04 -3<a<- ;2#; 프의 폭이 넓어진다. 확인 04 이차함수 y=axÛ`의 그래프에서 a의 절댓값이 작을수록 그래 02 y= xÛ`+q에 x=-2, y=-5를 대입하면 따라서 그래프의 폭이 가장 넓은 것은 ④이다. -5= _(-2)Û`+q ∴ q=-7 ;2!; 05 x축에 대하여 대칭인 그래프는 xÛ`의 계수의 절댓값이 같고, 부호가 서로 다른 함수이다. 이다. 따라서 이차함수는 y= xÛ`-7이므로 꼭짓점의 좌표는 (0, -7) ;2!; 확인 05 이차함수 y=- xÛ`의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래 ;7!; 확인 02 12=aÛ`+3이므로 aÛ`=9 ∴ a=3 (∵ a>0) 프는 y= xÛ`이다. ;7!; b=(-1)Û`+3=4 ∴ a+b=7 정답 및 해설 33 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 33 2014-10-23 오전 11:25:25 개념편 확인 04 이차함수 y=axÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼 평행이 확인 01 y= xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으 y=2xÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 그 확인하기 03 래프의 식은 y=2xÛ`-3 ② 꼭짓점의 좌표가 (0, -3)이고 아래로 볼록이므로 모든 사분면 01 ① 확인 01 ① 02 ④ 확인 02 ③ 03 ④ 확인 03 ③ 04 ② 확인 04 ⑤ 05 ③ 확인 05 ③ 06 ④ 확인 06 ⑤ 개념편 119~120쪽 확인 03 ⑤ x의 값이 증가할 때, x<0인 범위에서 y의 값은 감소한 01 y=-3xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으 로 q만큼 평행이동한 그래프의 식 을 지난다. 다. 1-p=Ñ1 ∴ p=2 (∵ p>0) 04 y=-3(x-p)Û`의 그래프가 점 (1, -3)을 지나므로 -3=-3(1-p)Û`, (1-p)Û`=1 동하면 y=a(x-4)Û`이고 점 (3, 5)를 지나므로 5=a(3-4)Û` ∴ a=5 05 y=a(x-p)Û`의 그래프의 꼭짓점이 (1, 0)이므로 y=a(x-1)Û` ∴ p=1 y=a(x-1)Û`의 그래프가 점 (-1, 8)을 지나므로 확인 05 꼭짓점의 좌표가 x축 위에 있다는 것은 y의 좌표가 0인 것을 8=a(-1-1)Û` ∴ a=2 ∴ a+p=3 찾으면 된다. (ㄱ) 꼭짓점의 좌표는 (3, 0) (ㄴ) 꼭짓점의 좌표는 (0, 0) (ㄷ) 꼭짓점의 좌표는 (0, -2) (ㄹ) 꼭짓점의 좌표는 (8, 0) (ㅁ) 꼭짓점의 좌표는 (3, 0) 따라서 (ㄱ), (ㄴ), (ㄹ), (ㅁ)의 4개이다. 06 ② 함숫값의 범위는 y¾0이다. ;2!; y=- (x-3)Û` ;2!; ④ 꼭짓점의 좌표는 (3, 0)이다. 확인 06 y=- xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼 평행이동하면 익히기 익히기 개념편 118쪽 08 ⑴ y=- (x+3)Û`+2 ⑵ x=-3, -3, 2 ;3@; 09 ⑴ y=5(x-2)Û`+4, x=2, (2, 4) ⑵ y=-(x+4)Û`-2, x=-4, (-4, -2) 09 -1 ⑴ y=4(x-1)Û`-3, x=1, (1, -3) ⑵ y=-3(x+5)Û`-2, x=-5, (-5, -2) 34 Ⅳ- 1 이차함수와 그래프 y=-3(x-p)Û`+q …… ㉠ ㉠이 y=a(x-1)Û`-2와 같으므로 a=-3, p=1, q=-2 ∴ a-p+q=-6 ;2#; 로 -1만큼 평행이동하면 y= (x-2)Û`-1이고 점 (2, a)를 지나므로 ;2#; ;2#; a= _(2-2)Û`-1=-1 02 꼭짓점의 좌표는 (4, 3) 확인 02 축의 방정식이 x=-3이므로 -b=-3 ∴ b=3 2=a(-2+3)Û`+4 ∴ a=-2 ∴ ab=-6 y=a(x+3)Û`+4의 그래프가 점 (-2, 2)를 지나므로 03 꼭짓점의 좌표가 (2, 3)이므로 p=2, q=3 y=a(x-2)Û`+3의 그래프가 점 { 0, ;;Á3£;;} 을 지나므로 =a(-2)Û`+3 ∴ a= ;3!; ;;Á3£;; ∴ a+p+q= ;;Á3¤;; 확인 03 꼭짓점의 좌표가 (2, -1)이므로 p=2, q=-1 y=a(x-2)Û`-1의 그래프가 점 (0, -3)을 지나므로 -3=4a-1 ∴ a=- ;2!; ∴ 2a+p+q=0 04 y=- (x-3)Û`+5의 그래프는 오른쪽 ;4!; 그림과 같으므로 x<3이다. x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가하는 범위는 05 y=- (x-2)Û`+1의 그래프를 그리면 ;2!; 오른쪽 그림과 같다. ③ 제2사분면을 지나지 않는다. ④ xÛ`의 계수가 |1|> - | ;2!;| 이므로 y=xÛ`의 08 -1 ⑴ y=2(x+1)Û`-2 ⑵ x=-1, -1, -2 때 y의 값은 감소하는 x의 값의 범위는 x>-1이다. 확인 04 y=-2(x+1)Û`+2이므로 이 그래프에서 x의 값이 증가할 ⑶ 위 ⑷ -4, 2, 3, 4 ⑶ 아래 ⑷ 0, 1, 2, 3 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 34 2014-10-23 오전 11:25:27 ⑤ y=xÛ`의 그래프를 평행이동시킨 것으로 y=3xÛ`의 그래프보다 01 (가) -4 (나) 4 (다) -2 (라) 10 01 -1 (가) -8 (나) 16 (다) -4 (라) 33 이차함수와 그래프 ⑵ 익히기 익히기 개념편 122~123쪽 02 >, >, >, > 02 -1 <, <, >, < 확인하기 01 ③ 확인 01 25 개념편 124~126쪽 개념편 121쪽 02 ⑴ 꼭짓점의 좌표 : { - , ;2#; ;1!2!;} , 축의 방정식 : x=- ;2#; ⑵ 꼭짓점의 좌표 : , , 축의 방정식 : x= 확인 02 16 {;4#; ;8(;} ;4#; 03 -6 확인 03 1 04 ⑤ 확인 04 ② 05 ① 확인 05 ④ 06 ① 확인 06 ② 07 ④ 확인 07 ② 08 ④ 확인 08 15 09 a>0, b<0, c>0 확인 09 ④ 그래프보다 폭이 넓다. 확인 05 ① 점 (0, 3)을 지난다. ② 아래로 볼록한 포물선이다. ④ 꼭짓점의 좌표는 (1, 2)이다. 폭이 넓다. 06 그래프가 위로 볼록하므로 a<0 꼭짓점 (p, q)가 제2사분면 위에 있으므로 p<0, q>0 확인 06 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 꼭짓점 (p, q)가 제3사분면 위에 있으므로 p<0, q<0 ⑤ y=a(x-p)Û`+q에서 x=0이면 y=apÛ`+q ∴ apÛ`+q>0 확인하기 01 ④ 02 ③ 03 ⑤ 04 ② 05 3 06 ③ f(x)=3xÛ`-ax+4에서 f(-2)=18이므로 01 18=3_(-2)Û`-a_(-2)+4, 18=16+2a, 2=2a ∴ a=1 ∴ a+b=9 f(x)=3xÛ`-x+4에서 f(-1)=b이므로 b=3_(-1)Û`-(-1)+4 ∴ b=8 y=axÛ`의 그래프가 점 (1, 4)를 지나므로 02 4=a_1Û` ∴ a=4 따라서 주어진 그림은 y=4xÛ`의 그래프이다. ③ y=4xÛ`의 그래프는 y=xÛ`의 그래프보다 폭이 좁다. 01 y=- xÛ`-8x-12=- (x+8)Û`+20이므로 ;2!; ;2!; , p=-8, q=20 a=- ;2!; ∴ aÛ`pq=-40 확인 01 y=- (x-6)Û`+b=- (xÛ`-12x+36)+b ;3!; =- xÛ`+4x-12+b=- xÛ`-ax-9 ;3!; ;3!; ;3!; 이므로 a=-4, b=3 ∴ aÛ`+bÛ`=25 02 ⑴ y= xÛ`+x+ = ;3%; ;3!;{ x+ ;2#;} ;3!; Û`+ ;1!2!; ⑵ y=-2xÛ`+3x=-2 x- Û`+ ;4#;} ;8(; { 확인 02 꼭짓점의 좌표가 (6, 8)이므로 y= (x-6)Û`+8= (xÛ`-12x+36)+8 ;3!; = xÛ`-4x+12+8= xÛ`-4x+20 ;3!; ;3!; ;3!; = xÛ`+ax-b ;3!; 이므로 a=-4, b=-20 y=axÛ`+4의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 03 그래프의 식은 y=axÛ`+4+q …… ㉠ ㉠이 y=2xÛ`-3과 같으므로 a=2, 4+q=-3 ∴ q=-7 ∴ a-q=9 04 꼭짓점의 좌표가 (-1, 0)이므로 이차함수는 y=a(x+1)Û` 이 그래프가 점 (0, -3)을 지나므로 -3=a(0+1)Û` ∴ a=-3 05 로 따라서 이차함수의 식은 y=-3(x+1)Û`이다. y=(x-2k+2)Û`-2+k의 그래프가 점 (1, 10)을 지나므 ∴ a-b=16 10=(1-2k+2)Û`-2+k 4kÛ`-11k-3=0, (4k+1)(k-3)=0 ∴ k=3 (∵ k>0) 06 a>0, p>0, q<0이므로 -a<0, -q>0, p>0이다. 따라서 y=-a(x+q)Û`+p의 그래프의 꼭짓점은 제1사분면에 위 03 즉, y= ;3!; y= xÛ`-2x+1= (x-3)Û`-2 ;3!; xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 ;3!; -2만큼 평행이동한 것이다. ∴ a=3, b=-2 따라서 ab=-6 치하고, 위로 볼록한 그래프이다. 확인 03 y=-2xÛ`+8x-5=-2(x-2)Û`+3에서 정답 및 해설 35 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 35 2014-10-23 오전 11:25:28 개념편 x축의 방향으로 3만큼 평행이동하면 y=-2(x-3-2)Û`+3=-2(x-5)Û`+3 이 그래프가 점 (4, m)을 지나므로 m=-2(4-5)Û`+3=1 04 이차함수 y=axÛ`+bx+c에서 a<0이면 그래프는 위로 볼 록하고, |a|가 클수록 폭이 좁다. 확인 04 ② y=-(2x-1)Û`+xÛ`=-3xÛ`+4x-1 y=-3xÛ`+6x+4=-3(x-1)Û`+7 05 따라서 x>1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 확인 05 y=3xÛ`-2x-7=3 x- Û`- { ;3!;} ;;ª3ª;; 따라서 x< 일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. ;3!; ;3!; 06 y= xÛ`-2x+2= (x-3)Û`-1 ;3!; ∴ (△ABC의 넓이)= _5_6=15 ;2!; 09 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 b<0 y축과 원점의 위쪽에서 만나므로 c>0 확인 09 ① 위로 볼록하므로 a<0 ② 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 - <0 ∴ b<0 b 2a ③ 그래프가 y축과 원점의 위쪽에서 만나므로 c>0 ∴ abc>0 ④ a+b-c<0 ⑤ ab+c>0 익히기 익히기 개념편 127~128쪽 따라서 꼭짓점의 좌표가 (3, -1)이고, y축과의 교점이 2인 그래 03 (가) x+1 (나) -3 (다) 2 (라) - (마) y=- xÛ`- x+ ;4!; ;4!; ;2!; ;;Á4Á;; 프이므로 ①이다. 확인 06 ① 꼭짓점의 좌표 : (0, 0) 따라서 제1, 2사분면을 지난다. ② y=(x-2)Û`-5이므로 꼭짓점의 좌표 : (2, -5) y축과의 교점의 좌표 : (0, -1) 따라서 모든 사분면을 지난다. ③ y=(x+1)Û`+2이므로 꼭짓점의 좌표 : (-1, 2) y축과의 교점의 좌표 : (0, 3) 따라서 제1, 2사분면을 지난다. 03 -1 (가) x-1 (나) -1 (다) 1 (라) 1 (마) y=xÛ`-2x-2 04 (가) x-2 (나) 4 (다) 1 (라) -5 (마) y=xÛ`-4x-1 04 -1 (가) x-5 (나) -3 (다) (라) - (마) y= xÛ`-5x+9 ;2!; ;2&; ;2!; 05 (가) a+b+c (나) 10 (다) 1 (라) 7 (마) y=xÛ`+7x-8 ④ y=(x+3)Û`-8이므로 꼭짓점의 좌표 : (-3, -8) 05 -1 (가) -7 (나) 9a+3b+c (다) 1 (라) 2 (마) y=xÛ`+2x-15 y축과의 교점의 좌표 : (0, 1) 따라서 제1, 2, 3사분면을 지난 다. ⑤ 꼭짓점의 좌표 : (1, -2), y축과의 교점의 좌표 : (0, 0) 06 (가) x-3 (나) 0 (다) 6 (라) -1 (마) y=-xÛ`+x+6 06 -1 (가) x-2 (나) 0 (다) 10 (라) -1 (마) y=-xÛ`-3x+10 따라서 제1, 2, 4사분면을 지난다. y=-2xÛ`+4x-5=-2(x-1)Û`-3 07 ① 축의 방정식은 x=1이다. ② 꼭짓점의 좌표는 (1, -3)이다. ③ y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -5)이다. ④ x축에 대하여 대칭인 그래프의 식은 y=2xÛ`-4x+5이다. ⑤ y=-2xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다. 확인 07 y=-xÛ`-6x+1=-(x+3)Û`+10 ② 꼭짓점의 좌표가 (-3, 10)이다. y=-xÛ`-2x+8에 y=0을 대입하면 08 -xÛ`-2x+8=0, (x+4)(x-2)=0이므로 x=-4 또는 x=2 ∴ A(-4, 0), B(2, 0) y=-xÛ`-2x+8에 x=0을 대입하면 y=8 ∴ C(0, 8) ∴ (△ABC의 넓이)= _6_8=24 ;2!; 확인 08 x=0을 대입하면 y=-6 ∴ C(0, -6) y=0을 대입하면 xÛ`+x-6=0 (x+3)(x-2)=0이므로 x=-3 또는 x=2 ∴ A(-3, 0), B(2, 0) 36 Ⅳ- 1 이차함수와 그래프 확인하기 개념편 129쪽 01 ② 확인 01 ⑤ 02 ② 확인 02 2 03 ② 확인 03 ② 01 꼭짓점의 좌표가 (3, 4)이므로 y=a(x-3)Û`+4 한편, 함수의 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로 1=9a+4 ∴ a=- ;3!; 따라서 y=- (x-3)Û`+4=- xÛ`+2x+1 ;3!; ;3!; 확인 01 y=axÛ`+bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-1, 5)이므 로 y=a(x+1)Û`+5로 놓을 수 있다. 이 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로 3=a+5 ∴ a=-2 따라서 y=-2(x+1)Û`+5=-2xÛ`-4x+3이므로 a=-2, b=-4, c=3 ∴ 2a-b+c=3 02 축의 방정식이 x=2이므로 이차함수의 식을 y=a(x-2)Û`+q로 놓자. 그래프가 점 (1, 0)을 지나므로 0=a+q …… ㉠ 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 36 2014-10-23 오전 11:25:30 그래프가 점 (0, -6)을 지나므로 -6=4a+q …… ㉡ ∴ x=1 또는 x=-4 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, q=2 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-2(x-2)Û`+2=-2xÛ`+8x-6 따라서 두 점 사이의 거리는 1-(-4)=5 y=-xÛ`+6x+5-2k=-(x-3)Û`+14-2k의 그래프가 04 x축과 서로 다른 두 점에서 만나기 위해서는 확인 02 y=xÛ`+bx+c의 그래프의 축의 방정식이 x=3이므로 14-2k>0 ∴ k<7 y=(x-3)Û`+q로 놓을 수 있다. 이 그래프가 점 (1, 3)을 지나므로 3=4+q ∴ q=-1 따라서 y=(x-3)Û`-1=xÛ`-6x+8이므로 b=-6, c=8 ∴ b+c=2 03 구하는 이차함수의 식을 y=axÛ`+bx+c로 놓자. x=0, y=-1을 대입하면 -1=c …… ㉠ x=3, y=2를 대입하면 2=9a+3b+c …… ㉡ x=4, y=-1을 대입하면 -1=16a+4b+c …… ㉢ ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-1, b=4, c=-1 ∴ y=-xÛ`+4x-1 확인 03 y=axÛ`+bx+c의 그래프가 지나는 세 점 (0, 2), (1, 17), (-1, -7)을 차례로 대입하면 2=c …… ㉠ 17=a+b+c …… ㉡ -7=a-b+c …… ㉢ ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=3, b=12, c=2 ∴ y=3xÛ`+12x+2=3(x+2)Û`-10 따라서 꼭짓점의 좌표는 (-2, -10)이다. 05 그래프가 원점을 지나므로 c=0 축의 방정식이 x=4이므로 B(8, 0) - _8Û`+8b=0이므로 b=2 ;4!; 즉, y=- xÛ`+2x=- (x-4)Û`+4 ;4!; ;4!; 이므로 A(4, 4) ∴ (△ABC의 넓이)= _8_4=16 ;2!; 06 a<0, b<0, c>0이므로 ① abc>0 ③ x=-1일 때, y>0이므로 a-b+c>0 ④ x=1일 때, y=0이므로 a+b+c=0 ⑤ x=2일 때, y<0이므로 4a+2b+c<0 y=a(x-2)Û`+q라 놓고 07 지나는 점 (0, 0), (1, 3)을 차례로 대입하면 0=4a+q, 3=a+q ∴ a=-1, q=4 확인하기 01 ⑤ 02 ⑤ 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ③ 07 ⑤ 개념편 130쪽 01 ⑴ 최솟값 : 5, x=0 ⑵ 최솟값 : 0, x=-1 01 -1 ⑴ 최댓값 : 2, x=0 ⑵ 최댓값 : 0, x=-1 따라서 y=-(x-2)Û`+4의 그래프가 점 (2, k)를 지나므로 k=4 이차함수의 활용 익히기 익히기 개념편 131~132쪽 02 ⑴ y= (x-6)Û`-11 ⑵ 최솟값 : -11, x=6 ;3!; ⑴ y = xÛ`-4x+1= (xÛ`-12x+36-36)+1 ;3!; ;3!; ;3!; = (x-6)Û`-11 02 -1 ⑴ y=-2(x-2)Û`+3 ⑵ 최댓값 : 3, x=2 ⑴ y =-2xÛ`+8x-5=-2(xÛ`-4x+4-4)-5 =-2(x-2)Û`+3 03 ⑴ y=-xÛ`+14x ⑴ 한 수를 x라고 하면 다른 한 수는 14-x이므로 ⑶ 7, 7 ⑵ 49 y=x(14-x)=-xÛ`+14x ⑵ y =-xÛ`+14x=-(xÛ`-14x+49-49) =-(x-7)Û`+49 따라서 x=7일 때 최댓값 49를 가진다. ⑶ x=7일 때, y의 값이 최대이므로 구하는 두 수는 7, 7이다. 03 -1 ⑴ y=xÛ`-4x ⑵ -4 ⑶ -2, 2 ⑴ 큰 수를 x라고 하면 다른 한 수는 x-4이므로 정답 및 해설 37 y=-2xÛ`-4x+2=-2(x+1)Û`+4이므로 01 꼭짓점의 좌표는 (-1, 4) y=6xÛ`+ax+b=6(x+1)Û`+4 =6(xÛ`+2x+1)+4=6xÛ`+12x+10 이므로 a=12, b=10 ∴ a-b=2 02 y=- xÛ`-3x+1=- (x+3)Û`+ ;2!; ;;Á2Á;; ;2!; y축의 방향으로 k만큼 평행이동하면 y=- (x+3)Û`+ +k ;2!; ;;Á2Á;; 이 그래프가 x축에 접하므로 +k=0 ;;Á2Á;; ∴ k=- ;;Á2Á;; y=0을 대입하면 03 -2xÛ`-6x+8=0, xÛ`+3x-4=0 (x-1)(x+4)=0 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 37 2014-10-23 오전 11:25:31 개념편 y=x(x-4)=xÛ`-4x ⑵ y =xÛ`-4x=xÛ`-4x+4-4 =(x-2)Û`-4 따라서 x=2일 때 최솟값 -4를 가진다. ⑶ x=2일 때, y의 값이 최소이므로 구하는 두 수는 -2, 2이다. 05 y =-5xÛ`+20x+30=-5(xÛ`-4x+4-4)+30 =-5(x-2)Û`+50 따라서 2초 후에 최고 높이 50 m에 도달한다. 확인 05 h=-4tÛ`+32t+10=-4(t-4)Û`+74 따라서 폭죽이 가장 높이 올라갔을 때의 지면으로부터의 높이는 74 m이다. 확인하기 개념편 133~134쪽 06 가로의 길이를 x m라 하면 세로의 길이는 (20-x) m이다. 이때 직사각형의 넓이를 y mÛ`라 하면 확인 02 5 03 ③ 확인 03 y=2xÛ`-8x+8 01 ② 확인 01 ③ 02 ;3%; 04 ③ 확인 04 -81 05 ② 확인 05 ① 06 ③ 확인 06 부채꼴의 최대 넓이 : 100 cmÛ`, 반지름의 길이 : 10 cm 07 ② 확인 07 ⑤ (ㄱ) x=0일 때 최댓값 3을 갖는다. 01 (ㄴ) x=0일 때 최솟값 3을 갖는다. (ㄷ) x=2일 때 최솟값 3을 갖는다. (ㄹ) x=3일 때 최솟값 0을 갖는다. (ㅁ) y=-xÛ`-4x+3=-(x+2)Û`+7은 x=-2일 때 최댓값 7 (ㅂ) y=-3xÛ`-6x=-3(x+1)Û`+3은 x=-1일 때 최댓값 3을 을 갖는다. 갖는다. 따라서 최솟값이 3인 것은 (ㄴ), (ㄷ)의 2개이다. 확인 01 y=-xÛ`-6x-5=-(x+3)Û`+4이므로 x=-3일 때 최댓값 4를 갖는다. M=4 y=xÛ`+4x-3=(x+2)Û`-7이므로 x=-2일 때 최솟값 -7을 갖는다. m=-7 ∴ M+m=-3 02 y=-2xÛ`+ x+kÛ`=-2 x- ;3$; Û`+ +kÛ` { ;3!;} ;9@; 따라서 +kÛ`=3, kÛ`= ;9@; ;;ª9°;; k= ∴ ;3%; (∵ k>0) 확인 02 이차함수 y=-xÛ`+ax+b가 x=2일 때 최댓값 3을 가지므 로 y=-(x-2)Û`+3=-xÛ`+4x-1 따라서 a=4, b=-1이므로 a-b=5 확인 03 조건 (가), (나)에서 이차함수가 x=2에서 최솟값 0을 가지 므로 y=a(x-2)Û`으로 놓을 수 있다. 조건 (다)에서 이 그래프가 점 (-1, 18)을 지나므로 18=9a ∴ a=2 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=2(x-2)Û`=2xÛ`-8x+8 y =x(20-x)=-xÛ`+20x =-(xÛ`-20x+100-100)=-(x-10)Û`+100 따라서 x=10일 때 닭장의 넓이의 최댓값은 100 mÛ`이다. 확인 06 부채꼴의 반지름의 길이를 x cm, 넓이를 y cmÛ`라 하면 y= x(40-2x)=-xÛ`+20x=-(x-10)Û`+100 ;2!; 따라서 부채꼴의 넓이의 최댓값은 100 cmÛ`, 그때의 반지름의 길이 는 10 cm이다. 07 새로운 직사각형의 가로의 길이는 (14-x) cm, 세로의 길 이는 (8+x) cm이므로 y =(14-x)(8+x)=-xÛ`+6x+112 =-(x-3)Û`+121 따라서 x=3일 때 직사각형의 넓이가 최대가 된다. 확인 07 새로운 삼각형의 넓이를 y cmÛ`라 하면 y= (8+x)(12-x)= (-xÛ`+4x+96) ;2!; ;2!; =- (x-2)Û`+50 ;2!; 따라서 삼각형의 최대 넓이는 50 cmÛ`이다. 확인하기 개념편 135쪽 01 ⑤ 02 ⑤ 03 ① 04 -1 05 ⑤ 06 ⑤ 01 ① y=-(x-1)Û`+1이므로 이차함수의 최댓값은 1이다. ② y=-(x+1)Û`이므로 이차함수의 최댓값은 0이다. ③ y=-2 x- { ;2#;} ;;Á2°;; Û`+ 이므로 이차함수의 최댓값은 이다. ;;Á2°;; ④ y=- (x-3)Û`+5이므로 이차함수의 최댓값은 5이다. ;2!; ⑤ y=-3(x+2)Û`+27이므로 이차함수의 최댓값은 27이다 y=-xÛ`-4px-2p=-(x+2p)Û`-2p+4pÛ`의 최댓값이 6 02 이므로 04 합이 22인 두 수를 x, 22-x라 하고 두 수의 곱을 y라 하면 y=x(22-x)=-xÛ`+22x=-(x-11)Û`+121 4pÛ`-2p=6, (p+1)(2p-3)=0 ∴ p=-1 (∵ p<0) 따라서 x=11일 때 최댓값 121을 갖는다. 확인 04 두 수를 x, x-18이라 하고 두 수의 곱을 y라 하면 y=x(x-18)=xÛ`-18x=(x-9)Û`-81 따라서 x=9일 때 최솟값 -81을 갖는다. y=3xÛ`+4ax+7은 x=2일 때 최솟값이 m이므로 03 y=3(x-2)Û`+m=3xÛ`-12x+12+m=3xÛ`+4ax+7 이므로 a=-3, m=-5 ∴ am=15 38 Ⅳ- 1 이차함수와 그래프 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 38 2014-10-23 오전 11:25:32 y=-xÛ`+4px+q-4pÛ`=-(x-2p)Û`+q 04 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (2p, q)이므로 q= _(2p)Û`-2_2p+1=2pÛ`-4p+1 ;2!; =2(p-1)Û`-1 따라서 q의 최솟값은 -1이다. 05 APÓ=x cm로 놓으면 BPÓ=(18-x) cm이므로 넓이의 합 을 y cmÛ`라 하면 y=xÛ`+ (18-x)Û`= xÛ`-18x+162= (x-6)Û`+108 ;2!; ;2#; ;2#; 즉, y는 x=6일 때 최솟값 108을 갖는다. 따라서 넓이의 합이 최소가 되도록 하는 선분 AP의 길이는 6 cm 이다. 06 x초 후에 APÓ=3x cm, BQÓ=4x cm이므로 PBÓ=(30-3x) cm이고, △PBQ의 넓이를 y cmÛ`라 하면 y= _PBÓ_BQÓ= _(30-3x)_4x ;2!; ;2!; =-6xÛ`+60x=-6(x-5)Û`+150 따라서 5초 후에 △PBQ의 넓이는 최대가 된다. 대비하기 개념편 136~137쪽 01 2 y=-(x-3)Û`+2의 그래프를 y축의 방향으로 a만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=-(x-3)Û`+2+a 이 그래프가 점 (4, 5)를 지나므로 5=-(4-3)Û`+2+a ∴ a=4 y=-(x-3)Û`+2의 그래프를 x축의 방향으로 b만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=-(x-b-3)Û`+2 이 그래프가 점 (3, -2)를 지나므로 -2=-(3-b-3)Û`+2 유 사01 -1 y=-3(x+1)Û`-2의 그래프를 y축의 방향으로 a만큼 평행이동한 bÛ`=4 ∴ b=-2 (∵ b<0) ∴ a+b=2 채점 기준 a의 값을 구한 경우 b의 값을 구한 경우 a+b의 값을 구한 경우 그래프의 식은 y=-3(x+1)Û`-2+a 이 그래프가 점 (-2, -3)을 지나므로 -3=-3(-2+1)Û`-2+a ∴ a=2 그래프의 식은 y=-3(x-b+1)Û`-2 이 그래프가 점 (-2, -14)를 지나므로 -14=-3(-2-b+1)Û`-2 (1+b)Û`=4, 1+b=Ñ2 ∴ b=-3 (∵ b<0) ∴ a+b=-1 a의 값을 구한 경우 b의 값을 구한 경우 a+b의 값을 구한 경우 채점 기준 02 -4 조건 (가), (나)에서 구하는 이차함수의 식을 y= (x-2)Û`+q로 놓으면 ;2!; 조건 (다)에서 4=8+q ∴ q=-4 조건 (가), (나)에 맞게 이차함수의 식을 구한 경우 채점 기준 조건 (다)에 의해서 q의 값을 구한 경우 이차함수의 최솟값을 구한 경우 유 사02 6 조건 (가), (나)에서 구하는 이차함수의 식을 y=- (x-1)Û`+q로 놓으면 ;2!; 조건 (다)에서 4=-2+q ∴ q=6 따라서 y= (x-2)Û`-4이므로 최솟값은 -4이다. ▶ 20% ;2!; 따라서 y=- (x-1)Û`+6이므로 최댓값은 6이다. ▶ 20% ;2!; 조건 (가), (나)에 맞게 이차함수의 식을 구한 경우 채점 기준 ▶ 40% 조건 (다)에 의해서 q의 값을 구한 경우 이차함수의 최댓값을 구한 경우 ▶ 40% ▶ 20% 배점 40% 40% 20% 03 20 y=4xÛ`의 그래프가 점 (-2, a)를 지나므로 y=4xÛ`의 그래프는 y=-4xÛ`의 그래프와 x축에 대하여 a=4_(-2)Û`=16 대칭이므로 b=-4 ∴ a-b=20 a의 값을 구한 경우 b의 값을 구한 경우 a-b의 값을 구한 경우 채점 기준 04 1 y=axÛ`+q의 그래프가 두 점 (-2, -6), (1, -3)을 지나므로 4a+q=-6, a+q=-3 ▶ 40% 이 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, q=-2 채점 기준 a, q에 대한 식을 세운 경우 a, q의 값을 구한 경우 a-q의 값을 구한 경우 정답 및 해설 39 ▶ 40% ▶ 20% 배점 40% 40% 20% ▶ 40% ▶ 40% 배점 40% 40% 20% ▶ 40% ▶ 40% 배점 40% 40% 20% ▶ 40% ▶ 40% ▶ 20% 배점 40% 40% 20% ▶ 40% ▶ 40% ▶ 20% 배점 40% 40% 20% y=-3(x+1)Û`-2의 그래프를 x축의 방향으로 b만큼 평행이동한 ∴ a-q=1 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 39 2014-10-23 오전 11:25:33 개념편 05 y=2xÛ`+8x+9 y =2xÛ`-4x+5=2(xÛ`-2x)+5 07 구하는 이차함수의 식을 y=a(x+2)Û`-3으로 놓으면 그래프가 점 (0, -1)을 지나므로 =2(xÛ`-2x+1-1)+5=2(x-1)Û`+3 ▶ 40% 이 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평 행이동한 그래프의 식은 y =2(x+3-1)Û`+3-2=2(x+2)Û`+1 -1=4a-3 ∴ a= ;2!; ∴ y= (x+2)Û`-3 ;2!; 마무리 개념편 138~140쪽 ⑤ 그래프의 폭은 같으나 모양은 각각 아래로 볼록, 위로 볼록한 =2xÛ`+8x+9 채점 기준 y=a(x-p)Û`+q 꼴로 변형한 경우 평행이동한 이차함수의 식을 구한 경우 06 300원 총 판매 금액을 y원이라 하면 y =(200+2x)(600-3x) =-6xÛ`+600x+120000 =-6(x-50)Û`+135000 의 가격은 200+2_50=300(원) 채점 기준 이차함수의 식을 세운 경우 사탕 한 개의 가격을 구한 경우 따라서 x=50일 때 총 판매 금액이 최대이므로 그때의 사탕 한 개 03 ③ 01 ③, ⑤ 02 ④ 07 y= 11 ② (x+2)Û`-3 12 -2 13 ③ ;2!; 04 ① 08 6 14 ③ 05 ① 06 ② 09 -3 10 ⑤ 16 ④ 15 ⑤ 01 ① 일차함수 ② y=-x이므로 일차함수 ③ y=xÛ`+3x+1이므로 이차함수 ④ 이차함수가 아니다. ⑤ 이차함수 f(a)=-aÛ`+5a+a=9이므로 02 aÛ`-6a+9=0, (a-3)Û`=0 ∴ a=3 y=- xÛ`이다. ;4#; 므로 04 점 (0, -2)가 이차함수 y=-2xÛ`+ 의 그래프 위의 점이 ;3Q; x=0, y=-2를 대입하여 q의 값을 구할 수 있다. y=-2xÛ`-8x-6=-2(x+2)Û`+2 -2=0+ ;3Q; ∴ q=-6 06 ∴ p=-2, q=2 따라서 p+q=0 40 Ⅳ- 1 이차함수와 그래프 y=4xÛ`+24x=4(xÛ`+6x+9-9)=4(x+3)Û`-36 08 따라서 이차함수 y=4xÛ`+24x의 그래프는 x=-3일 때 최솟값 -36을 가지므로 p=-3, q=-36 ∴ =6 q 2p 09 Ú aÛ`-1+0이어야 하므로 a+-1이고 a+1 Û aÛ`+2a-3=0이어야 하므로 (a+3)(a-1)=0 ∴ a=-3 또는 a=1 Ú, Û에서 a=-3 10 이차함수의 식을 y=axÛ`이라 하면 -1<a< ;3!; ▶ 60% 배점 40% 60% ▶ 70% ▶ 30% 배점 70% 30% 11 ① y=- (x+2)Û` 의 그래프는 점 { ;4!; 1, - ;4(;} 를 지난다. ③ y=- (x+2)Û` 은 y=- xÛ`의 그래프를 평행이동한 것이다. ;4!; ;4!; ④ 축의 방정식은 각각 x=0, x=-2이다. 포물선이다. 12 이차함수 y=3(x-1)Û`의 그래프를 x축의 방향으로 -3만 큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동하면 y=a(x+p)Û`-q의 그래프가 오른쪽 x=-1, y=m을 대입하면 m=3(-1+2)Û`-5=-2 13 그림과 같아야 하므로 a>0, -p>0, -q<0 ∴ a>0, p<0, q>0 14 8만큼 평행이동하면 y=a(x-4)Û`+8=a(xÛ`-8x+16)+8 =axÛ`-8ax+16a+8=- xÛ`+bx+c ;2!; 이므로 a=- , b=4, c=0 ;2!; ∴ abc=0 15 삼각형의 밑변의 길이를 x cm, 넓이를 y cmÛ`라 하면 y= x(60-x)= (-xÛ`+60x)=- (x-30)Û`+450 ;2!; ;2!; ;2!; 따라서 삼각형의 최대 넓이는 450 cmÛ`이다. 17 ②, ⑤ 18 ④ 19 (-3, 0) 20 { 2, ;2&;} 21 200 cmÛ` y=3(x+3-1)Û`-5=3(x+2)Û`-5 03 xÛ`의 계수의 부호가 음수이면서 절댓값이 가장 작은 것이므로 y=axÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 40 2014-10-23 오전 11:25:35 Ⅴ- 1 대푯값과 산포도 y=a(x-p)Û`+q로 놓으면 조건 (가), (다)에 의하여 Ⅴ- 1 대푯값과 산포도 16 a=-2 조건 (나)에 의하여 p>0, q>0 따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 이차함수의 식은 ④이다. 대푯값 익히기 익히기 개념편 142쪽 17 ② y=- ;2!; (x+1)Û`-1의 그래프는 꼭짓점이 (-1, -1)이 고 위로 볼록하므로 제1사분면과 제2사분면을 지나지 않 (평균)= 75+80+92+79+84 5 = 410 5 =82 01 82 01 -1 7 02 15 02 -1 ;1¦6; (평균)= 6+6+6+7+7+8+9 7 = =7 49 7 19 ;3@; y= xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼 평행이동한 03 ⑴ 수학 ⑵ 54, 87 03 -1 ⑴ 8 ⑵ 최빈값은 없다. 는다. ⑤ y=-2xÛ`의 그래프의 함숫값의 범위는 yÉ0이다. y=xÛ`-2kx+kÛ`-3k+1=(x-k)Û`-3k+1 18 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (k, -3k+1) 따라서 k<0, -3k+1>0이므로 k<0 그래프의 식은 y= (x-p)Û` ;3@; 이 그래프가 점 (0, 6)을 지나므로 6= (0-p)Û`, pÛ`=9 ;3@; ∴ p=-3 (∵ p<0) ;3@; 평행이동한 이차함수의 식을 구한 경우 채점 기준 p의 값을 구한 경우 꼭짓점의 좌표를 구한 경우 따라서 y= (x+3)Û`의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-3, 0)이다. 20 y=- xÛ`+ mx+4m-1 ;2!; ;8!; ;8!; =- (x-2m)Û`+ +4m-1 mÛ` 2 그래프의 축의 방정식이 x=2이므로 m=1 따라서 mÛ` 2 +4m-1= 이므로 꼭짓점의 좌표는 { ;2&; 2, ;2&;} ▶ 20% 채점 기준 y=a(x-p)Û`+q 꼴로 변형한 경우 m의 값을 구한 경우 꼭짓점의 좌표를 구한 경우 ▶ 30% ▶ 50% ▶ 20% 배점 30% 50% 20% ▶ 50% ▶ 30% 배점 50% 30% 20% ▶ 80% ▶ 20% 배점 80% 20% 21 직사각형의 넓이 y를 x에 대한 함수로 나타내면 y=x(40-2x)=-2(x-10)Û`+200 이므로 x=10일 때 직사각형의 넓이의 최댓값은 200 cmÛ`이다. =67, x+71=134 채점 기준 이차함수의 식을 구한 경우 직사각형의 넓이의 최댓값을 구한 경우 확인하기 개념편 143쪽 01 11.5 확인 01 96점 02 ⑤ 확인 02 ② 03 ③ 확인 03 ③ 01 a+b+c+d 4 4개의 변량 a, b, c, d의 평균이 12이므로 =12 ∴ a+b+c+d=48 따라서 구하는 6개의 변량의 평균은 (a+b+c+d)+10+11 6 = 48+10+11 6 69 6 = =11.5 확인 01 8회에 걸친 국어 성적의 합은 8_87=696(점)이고 9회의 국어 성적을 x점이라 하면 696+x 9 ∴ x=96 =88, 696+x=792 따라서 9회의 국어 성적은 96점이다. 02 남학생이 영화를 감상한 횟수를 작은 값부터 차례로 나열하면 1회, 1회, 2회, 2회, 3회, 3회, 4회, 4회, 5회, 5회이다. 따라서 남학생이 영화를 감상한 횟수의 중앙값은 3회이다. 또한, 여학생이 영화를 감상한 횟수를 작은 값부터 차례로 나열하면 0회, 1회, 1회, 1회, 2회, 2회, 3회, 9회, 10회이다. 따라서 여학생이 영화를 감상한 횟수의 중앙값은 2회이다. 확인 02 나머지 변량을 x라고 하면 중앙값이 67이므로 x는 58과 71 사이에 있다. 이때 중앙값은 2번째와 3번째 변량의 평균이므로 x+71 2 ∴ x=63 회이다. 03 자료의 작은 값부터 차례로 나열하면 60회, 68회, 69회, 69 회, 69회, 71회, 72회, 72회, 73회, 74회, 75회이므로 최빈값은 69 정답 및 해설 41 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 41 2014-10-23 오전 11:25:36 개념편 확인 03 분식점 메뉴에서 학생들의 선호도 조사의 최빈값은 떡볶이 2시간, -2시간, 5시간, -1시간, -4시간 이다. 확인하기 개념편 144쪽 01 ① 02 ② 03 ⑤ 04 ① 05 12회 06 ③ 01 (평균)= 4+5+6+3+5+5+7 7 = 35 7 =5(개) 40명의 몸무게의 총합은 52_40=2080 (kg)이고 전학을 02 간 두 학생의 몸무게의 합을 x kg이라 하면 전학을 간 후 38명의 몸무게의 총합은 (2080-x) kg이다. 이때, 38명의 몸무게의 평균이 51.5 kg이므로 =51.5, 2080-x=1957 2080-x 38 ∴ x=123 따라서 전학을 간 두 학생의 몸무게의 평균은 =61.5 (kg) 123 2 03 자료의 개수가 23개로 홀수이므로 중앙값은 작은 값으로부 터 12번째 자료의 값인 54회이다. 04 학생 21명의 하루 컴퓨터 사용 시간의 중앙값은 작은 값부터 차례로 나열할 때, 11번째 학생의 시간인 90분이다. 이때, 하루 컴퓨터 사용 시간이 89분, 91분인 학생을 포함한 23명 의 하루 컴퓨터 사용 시간을 작은 값부터 차례로 나열할 때, 12번 째 학생의 시간인 90분이다. 11회, 12회, 12회, 12회, 14회, 15회이다. 따라서 중앙값은 다섯 번째 값인 12회이다. 06 평균이 -1이므로 -5+6+9+a+b+6+(-1)+(-10)+(-1)+0 10 =-1 4+a+b=-10 ∴ a+b=-14 이때 최빈값이 -1이므로 a=-1 또는 b=-1 이때 a>b이고 a+b=-14이므로 a=-1, b=-13 ∴ a-b=12 산포도 익히기 익히기 개념편 145~146쪽 01 ⑴ 10시간 ⑵ 2시간, -2시간, 5시간, -1시간, -4시간 ⑴ (평균)= 12+8+15+9+6 5 50 5 = =10(시간) ⑵ 평균이 10시간이므로 각 자료에 대한 편차를 구하면 42 Ⅴ- 1 대푯값과 산포도 01 -1 ⑴ 28 m ⑵ -1 m, 3 m, -4 m, 0 m, 2 m ⑴ (평균)= 27+31+24+28+30 5 = 140 5 =28 (m) ⑵ 평균이 28 m이므로 각 자료에 대한 편차를 구하면 -1 m, 3 m, -4 m, 0 m, 2 m 02 ⑴ 3 ⑵ 11 '¶ ⑴ (평균)= 7+9+9+15 4 = 40 4 =10 각각의 값에 대한 편차는 -3, -1, -1, 5이므로 분산은 (-3)Û`+(-1)Û`+(-1)Û`+5Û` 4 = 36 4 =9 따라서 구하는 표준편차는 9 =3 ' ⑵ (평균)= 1+2+3+4+5+5+8+12 8 = 40 8 =5 각각의 값에 대한 편차는 -4, -3, -2, -1, 0, 0, 3, 7이므로 분산은 (-4)Û`+(-3)Û`+(-2)Û`+(-1)Û`+0Û`+0Û`+3Û`+7Û` 8 따라서 구하는 표준편차는 11 = =11 88 8 2 ⑵ 분산 : 1, 표준편차 : 1 '¶ 02 -1 ⑴ 분산 : 2, 표준편차 : ⑴ (평균)= ' 1+2+3+4+5 5 = =3 15 5 (분산)= (-2)Û`+(-1)Û`+0Û`+1Û`+2Û` 5 =2 따라서 표준편차는 2 ' ⑵ (평균)= 4+4+4+6+6+6 6 = 30 6 =5 계급(점) 도수(명) 계급값 (점) (계급값) _(도수) 편차 (점) (편차)Û` _(도수) 60이상~ 70미만 70이상~ 80미만 80이상~ 90미만 90이상~100미만 합계 65 75 85 95 130 -16 600 -6 4 14 510 380 1620 512 288 96 784 1680 (평균)= {(계급값)_(도수)}의 총합 (도수)의 총합 = ∴ (분산)= {(편차)Û`_(도수)}의 총합 (도수)의 총합 = 1620 20 1680 20 =81(점) =84 03 -1 풀이 참조, 49 계급(점) 도수(명) 계급값 (점) (계급값) _(도수) 편차 (점) (편차)Û` _(도수) 70이상~ 80미만 80 ~ 90 90 ~100 합계 75 85 95 225 -9 1 11 425 190 840 243 5 242 490 2 8 6 4 20 3 5 2 10 05 x의 값을 제외한 변량 8회, 9회, 11회, 12회, 14회, 15회의 개수는 각각 1개, 1개, 2개, 2개, 1개, 1개로 11회와 12회의 개수 (분산)= (-1)Û`+(-1)Û`+(-1)Û`+1Û`+1Û`+1Û` 6 = =1 6 6 가 2로 같다. 이때, 이 자료의 최빈값이 12회이므로 x=12이다. 따라서 표준편차는 1 즉, 9개의 변량을 작은 값부터 차례로 나열하면 8회, 9회, 11회, 03 풀이 참조, 84 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 42 2014-10-23 오전 11:25:37 (평균)= {(계급값)_(도수)}의 총합 (도수)의 총합 = =84(점) ∴ (분산)= {(편차)Û`_(도수)}의 총합 (도수)의 총합 = =49 840 10 490 10 04 남학생과 여학생의 수학 성적의 평균이 같으므로 (분산)= 20_4Û`+20_6Û` 40 = 1040 40 =26 ∴ (표준편차)= 26 (점) '¶ 확인 04 남, 여학생의 (편차)Û`의 총합은 각각 4_3=12, 6_8=48 확인하기 개념편 147~148쪽 그러므로 전체 학생의 (편차)Û`의 총합은 12+48=60 01 ③ 확인 01 -1분 02 ② 확인 02 ③ 03 640 확인 03 ⑤ 04 ⑤ 확인 04 ① 05 ① 확인 05 ⑤ 06 ④ 확인 06 ⑤ 따라서 전체 학생의 분산은 =6이다. ;1^0); ∴ (표준편차)= 6 (점) ' 01 편차의 합은 0이므로 3회의 편차를 x점이라 하면 (-2)+1+x+0=0 ∴ x=1 05 가장 불규칙하게 운동한 사람은 표준편차가 가장 큰 사람이 므로 A이다. 따라서 3회의 영어 시험 점수는 1+82=83(점) 확인 05 표준편차가 작을수록 자료는 평균 주위에 모여 있으므로 분 확인 01 4명의 학생 A, B, C, D의 등교 시간의 평균은 25+33+30+28 4 = 116 4 =29(분) 이때 편차는 변량에서 평균을 뺀 값이므로 학생 D의 등교 시간의 편차는 28-29=-1(분)이다. 02 편차의 합은 항상 0이므로 -1+1+0+x+2=0 ∴ x=-2 ∴ (분산)= (-1)Û`+1Û`+0Û`+(-2)Û`+2Û` 5 = =2 10 5 확인 02 편차의 합은 0이므로 -2+1+3+(-1)+x=0 ∴ x=-1 (분산)= (-2)Û`+1Û`+3Û`+(-1)Û`+(-1)Û` 5 = 16 5 따라서 표준편차는 16 5 ¾¨ = 4 5 ' 5 점 6개의 변량 15, x, 12, y, 16, 11의 평균이 15이므로 03 15+x+12+y+16+11 6 ∴ x+y=36 =15, x+y+54=90 …… ㉠ 이때 6개의 변량의 분산이 6이므로 (x-15)Û`+(-3)Û`+(y-15)Û`+1Û`+(-4)Û` 6 =6 (x-15)Û`+(-3)Û`+(y-15)Û`+1Û`+(-4)Û`=36 xÛ`+yÛ`-30(x+y)+440=0 …… ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 xÛ`+yÛ`-30_36+440=0 ∴ xÛ`+yÛ`=640 m= a+b+c 3 =7 ∴ a+b+c=21 sÛ`= (a-m)Û`+(b-m)Û`+(c-m)Û` 3 =6이므로 aÛ`+bÛ`+cÛ`-2m(a+b+c)+3mÛ`=18 …… ㉠ ㉠에 m=7, a+b+c=21을 대입하면 aÛ`+bÛ`+cÛ`-2_7_21+3_49=18 ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=165 포 상태는 고르다고 말할 수 있다. 따라서 옳은 설명은 ⑤이다. 06 영미네 반 학생 40명의 수학 성적의 평균은 65_8+75_10+85_16+95_6 40 3200 40 = =80(점) 이때 각 계급의 편차는 -15점, -5점, 5점, 15점이므로 수학 성적의 분산은 (-15)Û`_8+(-5)Û`_10+5Û`_16+15Û`_6 40 = 3800 40 =95 따라서 구하는 표준편차는 95(점) '¶ 확인 06 110 130 150 170 190 계급값 도수(일) (계급값)_(도수) 편차 (편차)Û`_(도수) 2 5 6 4 3 110_2=220 -41 (-41)Û`_2=3362 130_5=650 -21 (-21)Û`_5=2205 150_6=900 -1 (-1)Û`_6=6 170_4=680 190_3=570 19 39 19Û`_4=1444 39Û`_3=4563 11580 합계 20 3020 (평균)= =151(개) 3020 20 ∴ (분산)= =579 11580 20 01 정엽이의 6회에 걸친 100 m 달리기 기록의 편차의 합은 0초 이므로 5회의 100 m 달리기 기록의 편차를 x초라 하면 7+(-5)+(-2)+(-6)+x+8=0, x+2=0 ∴ x=-2 따라서 5회의 100 m 달리기 기록은 편차와 평균의 합이므로 (-2)+23=21(초)이다. 정답 및 해설 43 확인 03 세 수 a, b, c의 평균을 m, 분산을 sÛ`이라고 하면 01 ② 02 ③ 03 ③ 04 ① 05 4 06 ③ 확인하기 개념편 149쪽 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 43 2014-10-23 오전 11:25:39 개념편 02 경미의 6회에 걸친 줄넘기 횟수의 편차의 합은 0회이므로 (-9)+15+x+10+y+6=0, x+y+22=0 ∴ x+y=-22 03 ③ 편차의 합은 항상 0이다. 04 연속하는 세 자연수를 x, x+1, x+2라 하면 평균은 3x+3 x+(x+1)+(x+2) 3 3 =x+1 = 이때 연속하는 세 자연수의 편차는 각각 -1, 0, 1이므로 분산은 (-1)Û`+1Û` 3 2 3 \ = 6 따라서 구하는 표준편차는 ' 3 이다. 05 변량 a, b, c의 평균이 5이므로 a+b+c =5 3 또, 분산이 4이므로 (a-5)Û`+(b-5)Û`+(c-5)Û` 3 =4 변량 2a+3, 2b+3, 2c+3의 평균을 m, 표준편차를 s라 하면 m= (2a+3)+(2b+3)+(2c+3) 3 = 2(a+b+c) 3 +3 =2_5+3=13 sÛ`= (2a-10)Û`+(2b-10)Û`+(2c-10)Û` 3 = 4{(a-5)Û`+(b-5)Û`+(c-5)Û`} 3 =4_4=16 ∴ s=4 06 주어진 히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다. 계급값 도수(명) (계급값)_(도수) 편차 (편차)Û`_(도수) 1 3 5 7 9 2 11 3 3 1 1_2=2 3_11=33 5_3=15 7_3=21 9_1=9 합계 20 80 -3 -1 (-3)Û`_2=18 (-1)Û`_11=11 1 3 5 1Û`_3=3 3Û`_3=27 5Û`_1=25 84 (평균)= =4(분), (분산)= =4.2 ;2*0$; ;2*0); ∴ (표준편차)= 4.2 (분) '¶ ▶ 60% 배점 40% 60% ▶ 40% ▶ 60% 배점 40% 60% ▶ 70% 배점 70% 30% ∴ 2ab =(a+b)Û`-(aÛ`+bÛ`) =16Û`-146=256-146=110 따라서 ab=55 채점 기준 a+b의 값을 구한 경우 ab의 값을 구한 경우 유 사01 23 두 수 a, b의 평균이 5이므로 a+b 2 =5 ∴ a+b=10 또, 두 수 a, b의 표준편차가 (a-5)Û`+(b-5)Û` 2 =2 ' aÛ`+bÛ`-10(a+b)+50=4 따라서 ab=23 a+b의 값을 구한 경우 ab의 값을 구한 경우 채점 기준 2이므로 분산은 2가 되어 aÛ`+bÛ`=10(a+b)-46=10_10-46=100-46=54 ∴ 2ab=(a+b)Û`-(aÛ`+bÛ`)=10Û`-54=46 02 80.5 kg (40명의 몸무게의 총합)=40_60=2400 (kg) 신입 회원의 몸무게를 x kg이라 하면 2400+x 41 =60.5 2400+x=2480.5 ∴ x=80.5 채점 기준 방정식을 세운 경우 신입 회원의 몸무게를 구한 경우 3.4 회 03 '¶ 전체 학생 수가 10명이므로 x+5+y+2=10 ∴ x+y=3 …… ㉠ 하루 동안 매점 이용 횟수의 평균이 4회이므로 x+3_5+5y+7_2 10 =4 따라서 신입 회원의 몸무게는 80.5 kg이다. ▶ 30% 대비하기 01 55 두 수 a, b의 평균이 8이므로 a+b 2 =8 ∴ a+b=16 또, 두 수 a, b의 표준편차가 3이므로 분산은 9가 되어 (a-8)Û`+(b-8)Û` 2 =9 aÛ`+bÛ`-16(a+b)+128=18 aÛ`+bÛ`=16(a+b)-110=16_16-110=256-110=146 44 Ⅴ- 1 대푯값과 산포도 개념편 150쪽 x+5y+29=40 ∴ x+5y=11 …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=1, y=2 ▶ 60% 이때 각 계급의 편차는 각각 -3회, -1회, 1회, 3회이므로 이 자료의 분산은 ▶ 40% (-3)Û`_1+(-1)Û`_5+1Û`_2+3Û`_2 10 = 34 10 =3.4 따라서 구하는 표준편차는 3.4회이다. '¶ 채점 기준 x, y의 값을 구한 경우 표준편차를 구한 경우 ▶ 40% 배점 60% 40% 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 44 2014-10-23 오전 11:25:40 마무리 개념편 151~152쪽 반의 성적보다 고르다. 01 ① 07 ① 13 4 03 ① 09 ④ 02 ④ 08 ③ 14 18살 15 aÛ`-4b 4 04 ③ 10 ② 05 ② 11 1 06 ① 12 ① 10명이 30초 동안 줄넘기를 한 횟수의 평균은 01 68+59+91+120+80+100+79+97+86+71 10 = 851 10 =85.1(회) 02 자료를 작은 값부터 차례로 나열하면 15회, 17회, 18회, 19 회, 20회, 21회, 21회, 23회이고 자료의 개수는 8개이므로 중앙값은 4번째와 5번째의 값의 평균인 19+20 2 =19.5(회) 03 편차의 합은 항상 0이므로 -3+2+x+(-1)+4+1=0 ∴ x=-3 04 ③ (편차)=(변량)-(평균)이므로 평균보다 큰 변량의 편차 는 양수이고, 평균보다 작은 변량의 편차는 음수이다. 10명의 학생들의 키의 총합은 165_10=1650(cm)이고 05 162 cm를 152 cm로 잘못 본 것이므로 실제 총합은 1650+(162-152)=1660(cm) ∴ (평균)= =166(cm) 1660 10 2, 6, a의 중앙값이 6이므로 a¾6 06 15, 19, a의 중앙값이 15이므로 aÉ15 ∴ 6ÉaÉ15 따라서 6ÉaÉ15에 속하지 않는 것은 5이다. 07 변량의 개수는 15개이므로 중앙값은 8번째 변량인 a=27이고, ∴ a+b=50 3개의 변량 5-a, 5, 5+a의 평균은 08 (5-a)+5+(5+a) 3 = =5 15 3 또, 표준편차가 6 이므로 분산은 6이 되어 ' (-a)Û`+aÛ` 3 =6, 2aÛ`=18, aÛ`=9 ∴ a=3 (∵ a>0) 11 A, B, C, D, E 5명의 학생에 대한 키의 편차의 합은 0 cm 이므로 (a+8)+a+(a-9)+(a+6)+(a-10)=0, 5a=5 ∴ a=1 6개의 변량 a, 4, 5, 8, 8, 11-a의 평균은 12 a+4+5+8+8+(11-a) 6 = =6 36 6 이때 6개의 변량의 분산이 9이므로 (a-6)Û`+(-2)Û`+(-1)Û`+2Û`+2Û`+(5-a)Û` 6 =9 2aÛ`-22a+74=54, 2aÛ`-22a+20=0 aÛ`-11a+10=0, (a-1)(a-10)=0 ∴ a=1 또는 a=10 따라서 가능한 모든 a의 값의 합은 11이다. 13 a, b, c, d, e의 평균이 3이므로 a+b+c+d+e =3 5 즉, a+b+c+d+e=15 ▶ 50% 따라서 a+5, b+4, c-3, d-2, e+1의 평균은 (a+5)+(b+4)+(c-3)+(d-2)+(e+1) 5 = a+b+c+d+e+5 5 = =4 20 5 채점 기준 a+b+c+d+e의 값을 구한 경우 a+5, b+4, c-3, d-2, e+1의 평균을 구한 경우 ▶ 50% 배점 50% 50% 14 조건 (가), (다), (라)에 의하여 4명의 회원의 나이는 각각 12 ▶ 50% 살, 15살, 15살, 17살이다. 나머지 한 회원의 나이를 x살이라 할 때, 조건 (나)에 의하여 12+15+15+17+x 5 =15.4 ▶ 30% 59+x=77 ∴ x=18 따라서 나머지 한 회원의 나이는 18살이다. ▶ 20% 채점 기준 조건 (나)를 이용하여 방정식의 식을 세운 경우 나머지 한 회원의 나이를 구한 경우 배점 50% 30% 20% 15 이차방정식 xÛ`-ax+b=0의 두 근을 a, b라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=a, ab=b ∴ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=aÛ`-2b ▶ 50% 이때 a, b의 평균은 = 이므로 분산은 = aÛ`-2b-aÛ`+ aÛ` 2 ] 1 2 { aÛ` 2 aÛ` 2 } = a+b 2 a 2 1 2 [ 1 { 2 aÛ`-4b 4 = 채점 기준 -2b } ▶ 50% 배점 50% 50% 정답 및 해설 45 최빈값은 가장 자주 나타나는 변량인 b=23이다. 조건 (가), (다), (라)를 이용하여 4명의 나이를 구한 경우 09 동규네 반 학생 수의 총합은 1+3+9+7+5=25(명) 따라서 동규네 반 학생들이 지난 여름방학 동안 도서관에 간 횟수 1 2 [{ a- a 2 } Û`+ { b- Û` a 2 } ] = aÛ`+bÛ`-a(a+b)+ 의 분산은 (-3)Û`_1+(-2)Û`_3+4Û`_9+1Û`_5 25 = 170 25 =6.8 10 (ㄴ) 그래프의 폭이 넓을수록 표준편차가 크므로 표준편차는 A반이 B반보다 더 크다. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 aÛ`+bÛ`의 값을 구한 경우 (ㄷ) 그래프의 폭이 좁을수록 성적이 더 고르므로 B반의 성적이 A 두 근의 분산을 a, b로 나타낸 경우 수플러스중3-3개념해설_ok.indd 45 2014-10-23 오전 11:25:41 개념편 한눈에 정답 찾기 한눈에 찾기 Ⅰ- 1 제곱근과 실수 제곱근과 실수 Ⅰ- 2 근호를 포함한 식의 계산 제곱근의 곱셈과 나눗셈 006~013쪽 001 ① 002 1 003 ①, ③ 004 ④ 026~031쪽 118 ④ 119 ⑤ 120 ⑤ 121 ① 122 ④ 005 ④ 006 ④ 007 ③ 008 2 009 ⑤ 010 ②, ④ 123 ③ 124 ④ 125 ③ 126 ⑤ 127 7 128 ③ 129 ④ ' 011 4 012 ② 013 6 014 ① 015 ③ 016 ④, ⑤ 15 131 ④ 132 ② 133 ③ 134 ② 017 ① 018 ② 019 ③ 020 (ㄴ), (ㄷ) 021 5 022 ⑤ , 0.08 , 'Ä ®É;4ª9; 136 5 137 ② 138 ⑤ 139 ③ 023 32 024 ④ 025 4.3 026 Ñ4 027 028 6a 029 ⑤ ;2#; 140 ③ 141 ④ 142 ④ 143 ① 144 ④ 145 ④ 146 ③ 130 - '¶ 2 135 ' 4 030 ②, ④ 031 8a 032 ① 033 ③ 034 -28aÛ` 035 5 036 ① 037 ① 038 7 039 - 13, - 3, 0, 1.3, 5 ' 040 ② 041 ⑤ 042 ③ 043 ③ 044 20 045 ② 046 ② ' '¶ '¶ 147 ③ 148 2 5 ' 3 154 2 2 155 ② ' 149 24 150 151 ① 152 15 153 ③ ;5!; '¶ 047 ③ 048 300 무리수와 실수 014~018쪽 049 ④ 050 ② 051 ④ 052 ③ 053 ① 054 (ㄴ), (ㄷ) 055 ④ 056 12.915 057 ③ 058 ① 059 ③ 060 ③, ④ 061 ① 062 ③ 063 ② 064 13 065 ⑤ 066 1개 067 ③ 068 ④ 069 ③ 070 ④ 071 ①, ③ 072 A0) 001 x가 a의 제곱근이므로 xÛ`=a 또는 x=Ñ a '§ 따라서 넓이가 16인 정사각형의 한 변의 길이는 4이다. 002 aÛ`=8, bÛ`=7이므로 aÛ`-bÛ`=1 013 (사다리꼴의 넓이)= _(5+7)_6=36 ▶ 50% ;2!; 003 음수의 제곱근은 없다. ①, ③ 따라서 넓이가 36인 정사각형의 한 변의 길이는 6이다. ▶ 50% 정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면 xÛ`=36 ∴ x=6(∵ x>0) 채점 기준 사다리꼴의 넓이를 구한 경우 정사각형의 한 변의 길이를 구한 경우 004 ② "à '¶ (-5)Û`= 25=5 ③ 9의 제곱근 ⇒ Ñ 9=Ñ3 ' ④ 제곱근 9 ⇒ 9=3 ' ④ 006 ① 제곱근 '¶ ② 3.H9=4이므로 3.H9의 제곱근 ⇒ Ñ 36 ⇒ 제곱근 6 ⇒ 6 ' 4=Ñ2 ' 81=9의 제곱근 ⇒ Ñ 9=Ñ3 ③ '¶ ④ - ⑤ ' (-4)Û`은 음수이므로 제곱근이 존재하지 않는다. "à 9=3의 제곱근 ⇒ Ñ ' 3 ' 007 제곱근 aÛ`이 9이므로 aÛ`=9Û`=81 ∴ a=Ñ9 008 ®É;;Á8ª1Á;; = ;;Á9Á;; 이므로 a=9, b=11 ∴ b-a=2 009 (-4)Û`=16의 양의 제곱근은 4이므로 A=4 25=5의 음의 제곱근은 - 5이므로 B=- 5 ' '¶ ∴ A+BÛ`=4+(- ' ' 5)Û`=9 010 ① 225의 제곱근 ⇒ Ñ15 ③ ' ⑤ 196의 제곱근 ⇒ Ñ14 4=2의 제곱근 ⇒ Ñ 2 ' 011 225 4 - { ;2&;} Û`= ;;¢4»;; 의 양의 제곱근은 이므로 a= ;;Á2°;; ;;Á2°;; 의 음의 제곱근은 - 이므로 b=- ▶ 40% ;2&; ;2&; ∴ a+b= + - { ;;Á2°;; ;2&;} =4 채점 기준 a의 값을 구한 경우 b의 값을 구한 경우 a+b의 값을 구한 경우 015 주어진 수의 제곱근을 각각 구해 보면 10 ⇒ Ñ 10, '¶ ;3£6¤1; (-6)Û`=36 ⇒ Ñ6 ⇒ Ñ , 4.H9=5 ⇒ Ñ 5, 144 ⇒ Ñ12, ;1¤9; ' 따라서 제곱근을 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 있는 수는 , 144, (-6)Û`의 3개이다. ;3£6¤1; 016 ④ Ñ " 5Û`=Ñ5 ⑤ Ñ =Ñ ®É;1»6; ;4#; 017 ① '¶ 81=9 018 ①, ③, ④, ⑤ -3 ② 3 019 ① 3 ② 3 ③ 4 ④ -6 ⑤ -7 020 (ㄱ) (- 'Ä 0.5)Û`=0.5 (ㄹ) (-13)Û`=13 "à 021 (- (-1)Û`=1의 음의 제곱근은 -1이므로 b=-1 16)Û`=16의 양의 제곱근은 4이므로 a=4 '¶ "à ∴ a-b=5 022 (- 'Ä 0.04)Û`=0.04의 제곱근은 Ñ 0.04=Ñ0.2 'Ä 023 (주어진 식)=30-3+5=32 ② 배점 50% 50% 6 ① ③ ④, ⑤ ① ② ③ (ㄴ), (ㄷ) 5 ⑤ 32 정답 및 해설 49 ① 1 ④ ③ 2 ⑤ ②, ④ ▶ 40% ▶ 20% 배점 40% 40% 20% 4 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 49 2015-01-05 오전 10:41:34 유형편 024 (주어진 식)=6Ö3+8_ =3 ;8!; =(-16a)_ - a } ;4&; { -(-16a)_ - a } ;2&; { ▶ 60% ④ 4.3 Ñ4 ▶ 40% ▶ 40% ▶ 20% 배점 40% 40% 20% ;2#; 6a ②, ④ 8a ① ③ 025 (주어진 식)=0.2_ +12Ö3=0.3+4=4.3 ;2#; 026 a=2+5+13-4=16 따라서 16의 제곱근은 Ñ4이다. 027 A=0.5_0.3Ö = ;1Á0; ;2#; B=(-9)Ö3+ _6= ;2!; ;1¦2; ∴ 5A+2B=5_ +2_ = ;2#; ;2!; ;1Á0; 채점 기준 A의 값을 구한 경우 B의 값을 구한 경우 5A+2B의 값을 구한 경우 028 -6a<0이므로 "à (-6a)Û`=-(-6a)=6a 029 (ㄱ) a<0이므로 - (ㄴ) 2a<0이므로 " (2a)Û`=-2a "à (ㄷ) -7a>0이므로 (-7a)Û`=-7a aÛ`=-(-a)=a (ㄹ) 4a<0이므로 - 16aÛ`=- (4a)Û`=-(-4a)=4a "à 030 ① -a>0이므로 "à ② -2a>0이므로 (-2a)Û`=-2a (-a)Û`=-a ③ -3a>0이므로 (-3a)Û`=-3a ④ 2a<0이므로 - " ⑤ -5a>0이므로 - 4aÛ`=- (2a)Û`=-(-2a)=2a " (-5a)Û`=-(-5a)=5a " "à "à "à "à 031 a>0이므로 -5a<0, 3a>0 ∴ (주어진 식)=-(-5a)+3a=8a 032 a>0이므로 3a>0, -2a<0 b<0이므로 6b<0 ∴ (주어진 식)=3a-(-2a)-(-6b)=5a+6b 033 a<0이므로 -2a>0 ∴ (주어진 식)=-2a-3_b=-2a-3b 034 a<0이므로 -16a>0, - a>0, 16a<0, a<0 ;4&; ;2&; ∴ (주어진 식)= (-16a)Û`_ "à - a ;4&; } ®É{ Û`- "à (16a)Û`_ a Û` ®É{;2&; } 50 Ⅰ- 1 제곱근과 실수 ▶ 40% 배점 60% 40% -28aÛ` 5 ① ① ▶ 40% ▶ 20% ▶ 20% 배점 40% 20% 20% 20% 7 =28aÛ`-56aÛ`=-28aÛ` 채점 기준 근호를 없앤 경우 식을 간단히 한 경우 035 -1<x<4이므로 x+1>0, x-4<0 ∴ (주어진 식)=(x+1)-(x-4)=5 036 a<-2이므로 a+2<0, a-2<0 ∴ (주어진 식)=-(a+2)+(a-2)=-4 037 2<x<6이므로 2-x<0, x-6<0 ∴ (주어진 식) = {3(x-6)}Û` (2-x)Û`+ "à "à =-(2-x)-3(x-6) =-2+x-3x+18 =-2x+16 038 x<12이므로 x-16<0, x-12<0 ∴ (x-16)Û`+ "à "à (x-12)Û` =-(x-16)-(x-12) ▶ 20% =-x+16-x+12 =-2x+28=14 따라서 x=7이다. ⑤ x-16, x-12의 부호를 결정한 경우 채점 기준 근호를 없앤 경우 식을 간단히 한 경우 x의 값을 구한 경우 039 (음수)<0<(양수)이므로 음수와 양수로 나누어 비교한다. Ú 음수 : 13 이므로 - 3>- 3< 13 ' '¶ Û 양수 : 1.3<5이므로 Ú, Û에서 - 13<- '¶ '¶ ' 1.3< 5 ' '¶ 3<0< '¶ ' 1.3< 5 ' - 040 ① 7= ② 3= '¶ 9이고 ' 49이고 47< 49이므로 47<7 '¶ '¶ 9이므로 -3<- '¶ 8 ③ = ;2!; ®;4!; > ®;4!; ®;6!; 이므로 ;2!; ®;6!; 8< ' ' 이고 ' > = ④ ;2!; ⑤ 7= 이고 ®;4!; 49이고 ®;4!; 49< < 이므로 ;2!; ®;3!; 64이므로 7< '¶ '¶ '¶ 64 '¶ < ®;3!; 13, - 3, 0, 1.3, 5 '¶ ' ' '¶ 041 ① - ' (음수)<0<(양수)이므로 음수 ①, ③, ⑤를 비교하면 9 ④ (- (-3)Û`=- 6)Û`=6 ' "à < 9< 12 ∴ - ' ®;5!; 따라서 가장 작은 수는 ⑤이다. ®;5!; '¶ >- 9>- 12 ' '¶ ② ⑤ 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 50 2014-10-23 오전 11:09:06 045 5< 3x<6에서 각 변을 제곱하면 25<3x<36 '¶ <x<12 ∴ ;;ª3°;; 따라서 만족하는 자연수 x는 9, 10, 11의 3개이다. ② 053 ② 유리수는 정수, 유한소수, 순환소수가 있다. ③ 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니므로 분수로 나타낼 수 없다. ④ 순환소수는 모두 유리수이다. ⑤ 유리수 중에는 무한소수(순환소수)도 있다. 042 '¶ ∴ 4- '¶ 16> '¶ 15>0, '¶ 15이므로 4> 15 '¶ 15-4<0 ∴ (주어진 식)=(4- 15)+( 15-4)=0 043 ' ∴ 2- ' 1< 3< ' ' 3>0, 1- 3<0 ' 4이므로 1< 3<2 ∴ (주어진 식)=(2- 3)-(1- 3)=1 ' '¶ ' '¶ ' 044 x+y=10+(3+ x-y=10-(3+ '¶ 50)=7- '¶ 50<0 50)=13+ 50>0 ∴ (주어진 식)=(13+ '¶ '¶ 50)+(7- '¶ 50)=20 '¶ 046 주어진 부등식의 각 변을 제곱하면 49<x+5<100 ∴ 44<x<95 따라서 자연수 x는 45, 46, y, 94의 50개이다. 047 주어진 부등식의 각 변을 제곱하면 3<xÛ`<10 따라서 만족시키는 자연수 x는 2, 3이다. ∴ 2+3=5 048 ;;Á2°;; 225 4 ∴ <x<100 그 합은 60+70+80+90=300 채점 기준 x의 값의 범위를 구한 경우 x의 값 중에서 10의 배수를 구한 경우 x의 값 중에서 10의 배수의 합을 구한 경우 049 ®;4!; = ;2!; '¶ , -15, - 0.16=-0.4는 유리수이다. 따라서 3+1, , 48, p의 4개이다. ' ®;2!; '¶ 050 ① 361의 제곱근 ⇒ Ñ19 ② 49의 제곱근 ⇒ 7의 제곱근 ⇒ Ñ 7 ' 81의 제곱근 ⇒ 9의 제곱근 ⇒ Ñ3 ③ '¶ '¶ ④ 11.H1의 제곱근 ⇒ 의 제곱근 ⇒ Ñ ;;Á3¼;; 100 9 ③ ③ 20 ③ ▶ 50% ▶ 20% 배점 50% 30% 20% 300 ④ ② ④ ③ ① (ㄴ), (ㄷ) ④ 12.915 ③ ① ③ ⑤ ;;Á3¤6»;; 의 제곱근 ⇒ Ñ ;;Á6£;; 051 ① 0이 유리수 16=4가 유리수 ③ '¶ ② ' ⑤ - ' 4=2가 유리수 9=-3이 유리수 10-a= 10- 10=0 ⇒ 유리수 '¶ '¶ 10)Û`}Û`=100 ⇒ 유리수 052 ① '¶ ② aÝ`={( '¶ ③ a+10= 10+10 ⇒ 무리수 '¶ ④ (-a)Û`=(- ⑤ aÛ`+10=( '¶ 10)Û`=10 ⇒ 유리수 '¶ 10)Û`+10=20 ⇒ 유리수 054 (ㄱ) 소수는 유한소수, 순환소수, 순환하지 않는 무한소수로 ② 이루어져 있다. (ㄹ) x가 어떤 유리수의 제곱이면 x는 유리수이다. '§ 055 ①, ③, ⑤는 유리수에 대한 설명이다. ② 7은 2와 3 사이의 무리수이다. ' ④ 순환하지 않는 무한소수는 무리수이다. 057 제곱근표에서 '¶ 제곱근표에서 '¶ 3.23은 1.797이므로 a=1.797 3.02 는 1.738이므로 b=3.02 ∴ 1000a+100b =1000_1.797+100_3.02 =2099 058 1- ' 2는 1에서 왼쪽으로 2만큼 이동한 점 A에 대응한다. ' 2, BDÓ=BPÓ= 2 ' 060 ① ACÓ=AQÓ= ② 점 P의 좌표는 2- ' ③ 점 Q의 좌표는 1+ ' ④ AQÓ= 2 ' ⑤ PAÓ=PBÓ-ABÓ= 2이다. 2이다. ' 2-1 ' 061 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 ' BPÓ=BDÓ= 2 ' ③, ④ 2이므로 정답 및 해설 51 < x<10에서 '§ Û`<( '§ {;;Á2°;;} x)Û`<10Û` 056 a=6.411, b=6.504이므로 a+b=12.915 따라서 x의 값 중에서 10의 배수는 60, 70, 80, 90이므로 ▶ 30% 무리수와 실수 059 B(-1+ 2), D(2+ 2) ' ' 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 51 2014-10-23 오전 11:09:07 유형편 점 P는 점 B에서 왼쪽으로 2 만큼 간 거리에 있으므로 점 P에 대 ' 응하는 수는 3- 2 ' 062 ABCD=3_3-4_ _1_2 =5이므로 ABÓ= BPÓ=ABÓ= ' {;2!; 5이므로 점 P에 대응하는 수는 2- } 5 ' 063 ABCD=4_4-4_ _1_3 =10이므로 {;2!; } CBÓ=CPÓ= 10, CDÓ=CQÓ= 10 '¶ 따라서 P(-1- a+b=(-1- '¶ 10), Q(-1+ '¶ 10)+(-1+ '¶ 10)=-2 10)이므로 '¶ '¶ ③ ' 10 5+ 2 '¶ =2.699 ④ '¶ ⑤ '¶ 10-2=1.162이므로 10+3 2 =3.081 ' 5와 10 사이에 있는 수가 아니다. '¶ 071 ① ' ② ' ③ ' ④ ' ⑤ ' 2+ 2 2와 ' 5 ' ' 2+1=2.414는 두 수 사이에 있는 수가 아니다. 5-1.3=0.936은 두 수 사이에 있는 수가 아니다. 2와 5 사이의 정수는 2이다. 는 2와 5의 평균값이므로 두 수 사이에 있는 수이다. ' ' 5 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다. 064 ABCD=4_4-4_ _1_3 =10이므로 {;2!; } 072 A-B=( ∴ A 3< ' 10 ④ '¶ ⑤ ( 0.25 '¶ 11-1)-( ③ '¶ ∴ '¶ 11-1< '¶ 13-1 '¶ 3+3)=1- 3<0 ∴ 4< 3+3 ' ' 5<0 3)=2- 5= 4- ' ' ' 13-1)= 11- 13<0 '¶ '¶ 074 ① 2-( ② ( 3+3)-4= ' ' ③ ( ' ④ 1+ 2+2)-( ' 10-5= '¶ '¶ 3-2<0 ∴ ⑤ ' 2+1)=1- 2<0 ∴ 2< 2+1 ' ' 3+3>4 3-1>0 ∴ ' 3+2)= 2- ' ' ' 3<0 ∴ 10-4<0 ∴ 1+ ' 10<5 '¶ 2+2< 3+2 ' 3<2 ' 075 160x=2Þ`_5_x이므로 x=2_5=10 067 '¶ 따라서 '¶ 16< 22< 25에서 4< 22<5 '¶ '¶ '¶ 22에 대응하는 점은 점 C이다. 068 ' 2+1< ' 따라서 ' 4< 6< 9에서 2< 6<3 ' ' ' 6+1<3+1 ∴ 3< 6+1<4 ' 6+1에 대응하는 점은 점 D이다. 069 3= 9, 4= 16이므로 3과 4 사이에 있는 수는 ' 14.7, '¶ , ®É;;ª3¥;; ®É;;Á2»;; 15, 'Ä '¶ 의 4개이다. 070 ② ' 5+0.5=2.736 52 Ⅰ- 1 제곱근과 실수 1개 076 x=2_5_(자연수)Û`꼴이어야 한다. ② 90=2_5_3Û` ① 10=2_5_1Û` ③ 100=2_5_10 ④ 160=2_5_4Û` ③ ⑤ 250=2_5_5Û` 077 ®É;;Á2ª1¼;; 분자의 소인수의 지수가 모두 짝수이고, 분모가 1이어야 한다. 가 자연수가 되려면 x =¾Ð 2Ü`_3_5_x 3_7 ∴ x=2_5_7=70 360x = 078 'Ä x=2_5_(자연수)Û` 꼴이어야 한다. 2Ü`_3Û`_5_x이므로 "à ∴ x=2_5_3Û`=90 ① 5 ' ③ ② ▶ 40% ▶ 40% ▶ 20% 배점 40% 40% 20% 13 ⑤ ④ ③ ④ ①, ③ A0이므로 b>c 090 a-b=(3- b-c=2-(3- ' ' a-c=(3- 5)-(3- ' ∴ a<c0이므로 a>b 2- 3<0이므로 a0 ∴ (주어진 식)=-(2-a)-(3-a)=-2+a-3+a=2a-5 100 0<x<1이므로 -x<0, x- <0, x+ >0 ;[!; ;[!; ∴ (주어진 식)=-(-x)+ x- { - x+ ;[!;} { ;[!;} =x- ;[@; 250 6 101 ¾Ð 분자의 소인수의 지수가 짝수이고, 분모가 1이어야 한다. 가 자연수가 되려면 x=¾Ð 5Ü`_2_x 2_3 ∴ x=3_5=15 ② 정수가 아닌 유리수가 존재한다. ④ ③ 유한소수는 모두 유리수이다. ④ 순환하지 않는 무한소수는 모두 무리수이다. ④ ① ④ ③ ② 107 (ㄱ) ' (ㄴ) 서로 다른 두 무리수 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다. 10 사이의 정수는 2와 3의 2개이다. 3과 '¶ (ㄷ) - 2와 1 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다. ' =2.28 ② 3+1=2.732 ④ 8-0.1=2.728 ' ' 108 ① ' 8 ' 3+ 2 8-0.02=2.808 ⑤ ' ' ③ 3+2=3.732이므로 3과 8 사이에 있는 수가 아니다. ' ' 0.01이므로 0.1< 9이므로 3< 10 '¶ 6<- ' 5 ' 0.1 '¶ 3)= '¶ ' 5이므로 - ' 109 ① 3= ② 6> ' ' ③ 0.1= 'Ä 10- '¶ 10- '¶ ' ⑤ 2< ' ' 3<4- ' 3이므로 3 ' 1 2 ' > ∴ - <- 1 2 ' 1 3 ' 1 3 ' ④ ( 3)-(4- 10-4= 10- 16<0이므로 '¶ '¶ 110 n=3_(자연수)Û` 꼴이어야 하므로 n=3_4Û`, 3_5Û` ③ 따라서 모든 n의 값의 합은 48+75=123 150xy= 102 'Ä xy=2_3_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다. "à 2_3_5Û`_xy가 자연수가 되기 위해서는 150xy가 가장 작은 자연수가 되기 위해서는 6-8<0, 111 ' ' ∴ (주어진 식)=-( 6-2>0이므로 6-8)+( 6-2)=6 ' ' 32-x가 자연수가 되려면 32-x는 32보다 작은 제곱수이 ④ 112 AOCB=3_3-4_ _2_1 =5이므로 {;2!; } 따라서 'Ä xy=2_3=6 103 'Ä 어야 하므로 32-x=1, 4, 9, 16, 25 ∴ x=31, 28, 23, 16, 7 따라서 a=31, b=7이므로 a+b=38 104 주어진 부등식의 각 변을 제곱하면 169É10x+22<196이므로 14.7Éx<17.4 따라서 자연수 x는 15, 16, 17이다. ∴ 15+16+17=48 105 순환하지 않는 무한소수는 무리수이다. ① = ®;9$; ;3@; (유리수) ② 0.16=0.4(유리수) 'Ä ④ = (유리수) ®É;2Á5; ;5!; 106 ① 순환하는 무한소수는 유리수이다. 54 Ⅰ- 1 제곱근과 실수 한 변의 길이는 따라서 P(3- ' ∴ a+b=(3- 5이다. ' 5), Q(3+ ' 5)+(3+ ' 5) 5)=6 ' ④ 113 a+b=15+ ∴ (a+b)Û`- 11>0, a-b=3- 11<0 '¶ '¶ (a-b)Û`=(a+b)+(a-b)=2a=2_9=18 "à "à 114 a<0이므로 -4a>0, - a>0, 11a<0, 0.6a<0 ;5@; ④ ∴ (주어진 식)= (-4a)Û`_ "à - a } ;5@; ®É{ Û`- "à (11a)Û`_ (0.6a)Û` "à =(-4a)_ - { ;5@; -(-11a)_(-0.6a) ▶ 60% a } = aÛ`-6.6aÛ`=-5aÛ` ;5*; 채점 기준 ③ 근호를 없앤 경우 식을 간단히 한 경우 ⑤ ③ ③ ③ 123 6 6 18 ▶ 40% 배점 60% 40% -5aÛ` 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 54 2014-10-23 오전 11:09:10 123 'Ä 30000= 3_10000=100 3 ' 'Ä 124 ① '¶ ③ 32= 45= "à 4Û`_2=4 ⑤ 24= 2Û`_6 =2 "à "à '¶ '¶ 2 ' 6 ' 3Û`_5 =3 5 ② 2 3= 2Û`_3 = 12 ' ' ④ -2 "à 5=- ' "à '¶ 2Û`_5=- 20 '¶ 근호를 포함한 식의 계산 Ⅰ- 2 115 Ú 음수 : (-1.1)Û`=1.21,(- 1.3)Û`=1.3이고 '¶ 1.3>1.21이므로 -1.1>- 1.3 ▶ 40% = (20a)Û`=20a (∵ a>0) "à 따라서 20a=60이므로 a=3 Û 양수 : ( 3)Û`=3, ' {®É;;Á3¼;;} Û`= , { ;;Á3¼;; ' >3>2.3이므로 , ( 2.3)Û`=2.3 ;;ª3°;; 'Ä > > 3> 2.3 ®É;;Á3¼;; ' 'Ä 이고 > ;;ª3°;; ;;Á3¼;; 'Ä Û`= 5 3 } 5 3 ' 2.3>-1.1>- 1.3이므로 'Ä 따라서 5 ®É;;Á3¼;; 3 ' 세 번째로 큰 수는 > > 3> ' 'Ä 3이다. ' 채점 기준 음수의 대소 관계를 나타낸 경우 양수의 대소 관계를 나타낸 경우 답을 구한 경우 116 OPÓ=ODÓ= OQÓ=OCÓ= ' ∴ P(-1- 2이므로 점 P의 좌표는 -1- 2 ' 2이므로 점 Q의 좌표는 -1+ 2 ' ' 2), Q(-1+ ' 2) ' 채점 기준 점 P의 좌표를 구한 경우 점 Q의 좌표를 구한 경우 P(-1- 2), Q(-1+ 2) ' ' 117 b-a=(2+ ' 7)-( 5+ 7)=2- 5<0 ∴ b 0.08> 'Ä ®É;4ª9; 2 ' 4 , 0.08 , 'Ä ®É;4ª9; 146 ①, ②, ④, ⑤ 3 2 ③ ' = 3 6 ' 3 = 6 ' 3 2 ' 3 ' ② = 3에서 a=1, =3 5에서 b=3 147 3 3 ' ∴ ab=3 ' 15 5 ' ' 5 3 148 ®;3%; 20 5 2 = '¶ 3 = ' ' , ' 3 '¶ = ' ' 15= 5_ 3_ 3 3 ' 3 ' 15 '¶ 3 15 = '¶ 3 135 3 = '¶ , = 5 3 ' ' 이므로 5_ ' 3_ ' 3 3 = 5 3 ' 3 75 = '¶ 3 , 큰 수부터 차례로 나열하면 15, 5 3 , 2 5 ' 3 , 5 , ' 3 ®;3%; 이다. 따라서 세 번째로 오는 수는 '¶ ' 이다. 2 5 ' 3 136 ®É;2@5*; = ;5@;' 7에서 a= ;5@; 0.0192= 'Ä ®É;10!0(0@0; ;2ª5;' = 3에서 b= ;2ª5; ∴ ;bA; =a_ = _ ;b!; ;5@; ;;ª2°;; =5 137 '¶ 60= 2Û`_3_5=2 "à 3 ' ' 5=2ab 138 ① '¶ 0.2= ③ ®É;1ª0¼0; 200=10 ② 2000=10 2=10a ' 20 10 = = '¶ ;1Á0; 20 100 = '¶ = '¶ '¶ b b ④ 0.02= ⑤ 0.002= ®É;10ª0¼00; ;10!0; '¶ '¶ '¶ 20=10b 2 = ' 10 ®É;10@0; = a ;1Á0; 139 '¶ 75+ 0.72=5 3+ 'Ä =5 3+ ' 6 2 ' 10 ' ' ®É;1¦0ª0; 2 3 ' 5 =5 3+ =5b+ a= 3a+25b 5 ;5#; 140 'Ä 2.07= ®É;1@0)0&; = "à 23_3Û` 10 = ;1£0;'¶ 23= a ;1£0; 141 'Ä 'Ä 3120= 31.2_100=10 31.2 =10_5.586=55.86 '¶ 142 ④ 'Ä 0.0483= 4.83 100 ¾Ñ = 'Ä 4.83 10 = 2.198 10 =0.2198 143 0.4243=4.243_ = 18_ ;1Á0; '¶ = 18_ ;1Á0; ®É = 0.18 ;10!0; '¶ 5 ② ⑤ ③ ③ ④ ④ ① ④ 149 (주어진 식)=8 2_ ' _9 3=24 ' 1 ' 3 6 150 (주어진 식)=2 _ 2 5 ' 4 1 ' 5 7 14_ '¶ 10 = '¶ 5 ∴ a= ;5!; 151 (주어진 식)=- 2 2 ' 3 15 2 _ '¶ 2 ' 2 3 ' _ =- 2 5 ' 3 152 '¶ 21_ 80Ö4 7= 21_ 80_ ' '¶ '¶ '¶ = 15 '¶ 1 ' 4 7 153 정사각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 xÛ`=6_8=48 ∴ x= 48=4 3 (∵ x>0) '¶ ' 154 (삼각형의 넓이)= 20_ 8=2 10 ' '¶ (직사각형의 넓이)=x_ ' 2 10이므로 x= 5x=2 ' '¶ _ ;2!; '¶ 5= 10 '¶ 5 ' 5x ' =2 2 ' ③ 50000= 5_10000=100 5 ④ 0.5= 'Ä ' = '¶ 50 10 ®É;1°0¼0; '¶ '¶ 144 ① 1 5 ' = ' 5 5 'Ä 'Ä ⑤ 0.05= 5 = ' 10 ®É;10%0; ' ' '¶ 18p+27p=prÛ`, rÛ`=45 ∴ r= 45=3 5 (∵ r>0) ' ② 500= 5_100=10 5 'Ä ' 155 구하는 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 3)Û`=prÛ` p_(3 2)Û`+p_(3 145 ④ 3 ' 2 3 = 3_ ' 3_ 2 ' 3 ' 3 3 = ' 2 56 Ⅰ- 2 근호를 포함한 식의 계산 제곱근의 덧셈과 뺄셈 ④ 156 A=11 '§ 13-3 13+ 13=(11-3+1) 13=9 13, '§ '§ '§ '§ ③ ③ 2 5 ' 3 24 ;5!; ① 15 '¶ ③ 2 2 ' ② 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 56 2014-10-23 오전 11:09:12 Ä ¨ ¶ 5+ B=5 ' A+B=9 5-4 ' ' 13+2 '¶ 5 ' 5=(5+1-4) 5=2 5이므로 ' ' 169 (주어진 식)=3 따라서 a=8, b=-4이므로 a+b=4 2+6+5 ' ' 2-10=8 2-4 ' 157 (주어진 식)= -3+ +1 5=- ;2!; }' {;4!; 5 5 ' 4 9 13+2 '¶ 5 ' ① 158 (좌변)= - {;2#; ;4!}' 5+ - { + ;5!; ;1Á0;}' 3= 5 5 ' 4 3 - ' 10 이므로 a= , b=- ;4%; 1Á0; ∴ a-b= - - { ;4%; = ;1Á0;} ;2@0&; 159 양변에 3을 곱하면 6 6 x-2 '§ '§ ∴ x=9 x=3+9, 4 '§ '§ x=12, '§ x-9=2 x+3 '§ x=3 160 (주어진 식)=5 2-4 2+4 2=5 ' ' ' 2 ' 161 (좌변)=7 ' 따라서 a=4, b=7이므로 a+b=11 5-3 2+4 5+3 ' ' ' 2=4 2+7 ' 5 ' 162 (좌변)=2 즉, 10 ' a=7 7- ' a=3 '§ 7= ' '¶ '§ ' 63 ∴ a=63 7+8 7- a=10 7- ' a '§ ' ' 7이므로 163 (주어진 식)=-4 3+2 3-2 5+2 5=-2 3 ' ' ' ' ' 164 (주어진 식)= 5 5- ' 2 ' + 2 5 ' 5 = 9 5 ' 10 ∴ = ;1»0; 1 3 = 3 3- ' 3 ' = 2 3 ' 3 165 b= ' 3- ' 따라서 b는 a의 배이다. ;3@; 166 ;aB; + ;bA; 3 2 = ' ' + ' ' 2 3 6 = ' 2 6 + ' 3 = 5 6 ' 6 167 (주어진 식) = '¶ =3 18+ 3-3 2- 2+ 3-3 2- ' ' 6 ' 6 ' ' ' 6 ' 3- ' = ' 168 (주어진 식)=2 5-4 5+4 5=2 5 ' ' ' ' ⑤ ④ ⑤ ⑤ ④ ;1»0; ① ④ 170 ' 5a+ 7b = ' 5- 7) ' 5( ' =5+ 5+ ' ' 35+ '¶ =-2+2 7( 7)+ ' ' 35-7 '¶ 35 '¶ 171 '¶ 10- '¶ 5 ' 15 ( 10- = '¶ 15)_ 5 '¶ 5_ 5 ' = 5 ' 2-5 5 3 ' = 2- 3 ' ' ' ' ⑤ 172 (주어진 식)= (2 3- ' ' 2_ 2 ' = ' 6-2 2 2)_ 2 ' 3 + ' 2 ' + (3 ' 2+ 3)_ 3 ' 3_ 3 ' 6+3 3 = ' ' ' 6-1+ ' 6+1=2 6 ' ⑤ ;2!; 4 5 ' 5 ;5$; 3 3 ' 15 '¶ 5 3 ' 5 173 (주어진 식)= (3 2- ' ' 3_ 3 ' = ' 6-3 3 3 ' 3 )_ 3 ' 6+ - ' 2 6 (3 2+ - ' ' 2_ 6 =-4+ ' 2 ' 2 ' 3)_ 2 ' 따라서 a=-4, b= 이므로 a+2b=-4+2_ =-3 ;2!; 174 (주어진 식)= -2 3-2 5+10 3=- ' ' ' 6 5 ' 5 +8 3 ' 175 (좌변)= -12- +7 4 5 ' 2 ' =2 '¶ 6 2 ' 5 ' 10 6 '¶ 5 10-12- +7= 4 10 '¶ 5 -5 따라서 a=-5, b= 이므로 ab=-4 176 (주어진 식)= + 10 3 - ' 5 ' 15-2 + 30 15 '¶ 15+ 2 5 ' 5 5 2 ' 5 '¶ = 5 ' = +2 '¶ 177 2 ' 2A-3 5B=2 ' 2 ' { 2 5- 1 2 } 10-2-15- ' ' {' -3 5 ' 10=3 '¶ '¶ 5+ ' 2 3 } 10-17 =4 '¶ 178 (사다리꼴의 넓이)= _(4 2+ 2+2 3)_ 12 ;2!; ' ' ' '¶ 2+2 3)_2 ' 3 ' = ;2!; =5 _(5 ' 6+6 ' ② ③ ① ① ④ ② 5 ' ⑤ ⑤ ③ 3- ' 6 ' ④ 179 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 4( 27)=4( 3+2 3+2 3+ 3+ 3+ 3+3 ' ' ' '¶ ' ' ' 3)=28 3 ' ' 정답 및 해설 57 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 57 2014-10-23 오전 11:09:14 유형편 180 ;2!; 15+ a _(a ' 6=5 5+ ' 15+ ' '¶ '¶ ' 식을 세운 경우 유리수 a의 값을 구한 경우 2)_ 12=a 15+ 6이므로 '¶ '¶ ' 6 ∴ a=5 채점 기준 채점 기준 x+y의 값을 구한 경우 xy의 값을 구한 경우 곱셈 공식의 변형을 이용하여 식을 구한 경우 xÛ`+yÛ`의 값을 구한 경우 ▶ 50% ▶ 50% 배점 50% 50% 5 ⑤ ② ④ ⑤ ③ ② ⑤ 181 (주어진 식)=4Û`-2_4_2 2+(2 2)Û`=24-16 2 ' ' ' 182 (주어진 식) =24+12 3-30 3-45` ' =-21-18 3 ' ' 따라서 a=-21, b=-18 이므로 a-b=-3 183 (주어진 식)=(5-4 10+8)-(25-12)=-4 10 '¶ '¶ -4 10 '¶ 184 (주어진 식)= 14(3+ 2) ' 2)(3+ (3- ' 2) ' =2(3+ 2) ' 185 (좌변)= 6) (3+ ∴ a=5, b=-2 ∴ a+b=3 ' ' (3- 6)Û` ' 6)(3- =5-2 6 ' 186 (주어진 식)= ( 2-1)Û` ' 2+1)( 2-1) 2+1+2+2 ' ( ' =2-2 ( 2+1)Û` + ' 2-1)( ( ' 2+1=6 ' 2+1) ' ' 187 (주어진 식)= ' 6 ' 2+ 2 = 1.414+2.449 2 = 3.863 2 =1.9315 188 1 5 ' - 1 7 ' 5 = ' 5 7 - ' 7 ;5!; = _2.236- _2.646 ;7!; =0.4472-0.378=0.0692 189 (주어진 식)=10 20+100 '¶ 2 =10_4.472+100_1.414 ' =44.72+141.4=186.12 190 a+b=(4+2 ' 2)(4-2 ab=(4+2 bÛ`+aÛ` ab ∴ + = ;aB; ;bA; ' = ' = 8Û`-2_8 8 2)+(4-2 2)=8 ' 2)=16-8=8 (a+b)Û`-2ab ab 64-16 8 =6 = 191 x+y=( ' 3-1)( xy=( ' 3-1)+( 3+1)=2 3 ' ' 3+1)=3-1=2 ∴ xÛ`+yÛ` =(x+y)Û`-2xy =(2 3)Û`-2_2=12-4=8 ' ' 58 Ⅰ- 2 근호를 포함한 식의 계산 192 x= 1 2- 3 ' = y= 1 2+ = 3 ' x+y=4, xy=1 (2+ ' 3 2+ ' 3)(2+ (2- ' 2- 3 ' 3)(2- 3) ' 3) ' =2- =2+ 3 ' 3이므로 ' ∴ xÛ`-4xy+yÛ`=(x+y)Û`-6xy=4Û`-6_1=10 ③ 193 (주어진 식)=aÛ`-bÛ` =( 3+ ' =5+2 2)Û`-( ' ' 6-(5-2 3- ' 6)=4 2)Û` 6 ' ' ' 194 (주어진 식) =(xÛ`-2xy+yÛ`)-(xÛ`+2xy+yÛ`) =-4xy=-4_ 3_(2- ' 2) ' =-8 3+4 ' 6 ' 195 (주어진 식) =3xÛ`-2xy+6xy-4yÛ`-(5xÛ`-5xy+7xy-7yÛ`)-2xy =-2xÛ`+3yÛ`=-2_( 5)Û`+3_( 3)Û` ' ' =-10+9=-1 196 x=3+ ' xÛ`-6x+9=5, xÛ`-6x=-4 5이므로 (x-3)Û`=( ' 5)Û` ∴ xÛ`-6x+10=-4+10=6 2 이므로 (x+1)Û`=( 2)Û` ' 197 x+1= ' xÛ`+2x+1=2, xÛ`+2x=1 ∴ xÛ`+2x+3 x+1 1+3 2 =2 = 2 ' ' 198 x+1=2 ∴ xÛ`+2x+7= ' "à 11+7= 18=3 '¶ 2 ' 'Ä 3이므로 xÛ`+2x+1=12, xÛ`+2x=11 199 ④ '¶ 18 -(5- 2) =3 2-5+ 2=4 ' ' 32- ' 25>0 '¶ = '¶ 2-5 ' ∴ 18 >5- '¶ 2 ' 200 (ㄱ) ( 5 + 2)-( 5 +1)= 2-1>0 ' ② ▶ 20% ▶ 20% ▶ 40% ▶ 20% ' 5+1 ' ∴ ' 5+ ' ' 3)-(1+ 3<1+ (ㄴ) (2+ ' ∴ 2+ ' 5 + (ㄷ) (2 ' ∴ 2 ' 5+ ' 6)-( 6 < ' ' 2 > ' '¶ 12 '¶ 5+2 ' 5 +2 ' 6 ' 12)=2+ 3-1-2 3=1- 3<0 ' ' ' 6)= 5- 6<0 ' ' 배점 20% 20% 40% 20% 8 ③ ④ ① ② ③ ③ ⑤ ④ 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 58 2014-10-23 오전 11:09:15 (ㄹ) (5 3- 18)-( 12+ 2) =5 3-3 2-2 ' '¶ '¶ ' =3 3-4 2= ' ' 3- ' ' 27 - '¶ '¶ 2 32<0 ' ' ∴ 5 3- 18< 12+ ' '¶ '¶ 2 ' (ㄴ), (ㄷ) 201 A-B=(4 B-C=4-(3 ' ' ∴ C<B0 ∴ A>B 2-1)=5-3 2>0 ∴ B>C ' ' ∴ ab=5(4 2 -5)=20 2-25 ' ' ' 3<2에서 2< 3 +1<3이므로 210 1< ' a=2, b= 3 -1 ' ' ∴ a-b=2-( 3 -1)=3- 3 ' 20 2-25 ' 211 4É 따라서 부등식을 만족시키는 자연수 a는 16, 17, 18, y, 24의 9개 a <5의 각 변을 제곱하면 16Éa<25 '§ 202 (주어진 식)= aÛ`_ 75b a 3a b + bÛ`_ = 75ab+ 3ab ¾¨ 3_48=60+12=72 'Ä '¶ ¾¨ 'Ä = 75_48+ 'Ä 이다. 203 (주어진 식)= _ + ®É ;bA; _ ;aB; = + ®Â;aÁb; ®Â;a¢b; 4 bÛ` 1 ®É aÛ` 1 ab '¶ = + = + ;2!; ;2@; = ;2#; 2 ab '¶ ⑤ ⑤ ;2#; ⑤ ① ⑤ ▶ 50% ▶ 30% ▶ 20% 배점 50% 30% 20% 3 212 2< ∴ a a+b = ' 5<3이므로 a=2, b= ' 2 5-2 5 2 5-2) = = ' 5 2 5 ' 2+( ' 7<3이므로 a= 7-2 ' 12-3 ' 213 2< 3< '¶ ∴ 7a- ' = 7( 12<4이므로 b= '¶ 12b+a+b '¶ 7-2)- ' ' =7-2 '¶ 7-12+6 ' 3- =8 ' 7-10 ' 214 ② '¶ 0.3_ 3= 0.9 ' '¶ 50= 215 '¶ 80= '¶ "à ∴ a+b=9 "à 4Û`_5=4 ' 5Û`_2=5 2이므로 a=5 ' 5이므로 b=4 12( 12-3)+ ' 7-2+2 '¶ 3+ ' ' ' 7-2+ 12-3 '¶ 3-3 8 3- 7-10 ' ' 3+a 3-5 3=(3+a-5) 3이므로 ' ' ' 217 (좌변)=3 3+a-5=-1 ' ∴ a=1 218 (주어진 식)= 6 2 ' 3 - 1 + 1 2 2 4 ' 2 2 2- ' + ' 4 8 2 ' = =2 ' 2 17 ' 8 ;3@; 219 (주어진 식)= 7 ' (21 3- ' 14)_ 7 ' 98 = '¶ 7_ ' 21- 7 '¶ 21 '¶ = 21 '¶ 21-7 7 2 ' =3 21- '¶ 2 ' 정답 및 해설 59 ④ 9개 ④ ② ④ ③ ③ ② ③ 204 a=2- b-a=(1+ 2, b=1+ ' 2)-(2- 2이므로 ' 2)=-1+2 ' ' 2 ' 2, b=-2+ 2, c= 2이므로 205 a=-1- c(a-b) = ' 2{(-1- ' ' = 2(1-2 ' ' 2)-(-2+ ' 2)} ' 2)=-4+ ' 2 ' 206 (주어진 식) =24-2a ' 3+3a ' =(24+3a)+(-2a-12) 3-12 따라서 -2a-12=0이어야 하므로 a=-6 3 ' 따라서 3-a=0이어야 하므로 a=3 채점 기준 주어진 식을 간단히 한 경우 유리수가 되는 조건을 아는 경우 a의 값을 구한 경우 208 (주어진 식) =3-3a ' 6+2 6-12a ' =(3-12a)+(-3a+2) 6 ' 따라서 -3a+2=0이어야 하므로 a= ;3@; 2= 209 4 a=5, b=4 ' '¶ 2-5 ' 32이고 5< 32<6이므로 '¶ 207 ' 8+5 2- 32-a ' '¶ ' 2 =2 2+5 2-4 ' ' =(2+5-4-a) ' 2 ' 2-a 2 ' =(3-a) 2 ' 216 'Ä 216+ 1.75=6 'Ä =6 7 6+ ' 2 ' ®É;1!0&0%; 6+ ' 12a+b 2 = 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 59 2014-10-23 오전 11:09:16 유형편 ② ④ ② ⑤ 220 (좌변)=8 2-4 5- 2 ' +12 5 5 ' 5 5_ ' 5 5_ ' ' 5+12 ' ' +12 2 ' ' ' ' =8 2-4 5- =8 2-4 5- ' ' ' 2=-5 5+20 ' 2 ' 따라서 a=-5, b=20이므로 a+b=15 221 (주어진 식) =36+18 =21+16 '¶ '¶ 15 따라서 a=21, b=16이므로 a-b=5 15-2 15-15 '¶ 2 2 4 6 ' ' = 8= ' = ;3@; 222 ① 4 2Ö3 =6 ' 2 15 '¶ 12-5 '¶ 12- 3 6 + ' ② 3 5_ ' 27+ ③ '¶ ④ 6( ⑤ ' 12 2 ' '¶ - ' ' 6 3 ' 3+2 =2 3 ' 3-5 ¾¨;1°5; 3=3 ' 8)= 2 8 '¶ =6 ' ' 72- '¶ 2- ' ' 48=6 ' 1 1 2 2 + ' ' 3=0 ' 2-4 3 ' =6 2 ' ' ' 229 ① '¶ ② (1+3 24-(2 ' 3)-(2 ' ∴ 1+3 ' 6+1 3 >2 ' ' 48-2)=3 ' ③ 3 3-( ' ∴ 3 '¶ 3> 48-2 '¶ ' 10 +2)-(2+3 ④ (4 '¶ ∴ 4 ⑤ (2 ' ∴ 2 ' '¶ 17 10 +2>2+3 '¶ 3+5)-(3 '¶ 2+5)=2 3+5<3 ' 2+5 ' 6 +1)=-1<0 ∴ 24<2 6+1 6+1)=3 3-2 6 = ' '¶ ' '¶ 27 - '¶ 24>0 3-4 3+2=2- 3>0 ' 17)=4 10 -3 17= 160- 153>0 '¶ '¶ '¶ '¶ 3-3 2= 12 - 18 <0 ' ' '¶ '¶ 230 3< ∴ a a+b '¶ = 10< 4이므로 a=3, b= 3 10-3) = 3 10 '¶ 3+( '¶ 10-3 '¶ 10 3 = '¶ 10 231 ABÓ를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 10이므로 ABÓ= 10 '¶ BCÓ를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 80이므로 BCÓ= 80 ④ ∴ ABCD=ABÓ_BCÓ= 10_ 80 = 800 =20 '¶ '¶ '¶ 223 (주어진 식) ={(7+4 ' =(49-48)(8-9)=-1 3)(7-4 3)}{(2 2-3)(2 2 +3)} ' ' ' 232 ' 2x+ 3y = ' 2( ' 6-2 ' ' ' 3- 6)+ 3(3 ' 3+3 ' 6- 2-1) ' 6-3 3=4 ' ' ' 3 ' = 224 (주어진 식) =33a+24 11-4a '¶ =(33a-32)+(24-4a) 11-32 '¶ 11 '¶ 따라서 24-4a=0이어야 하므로 a=6 = 7 = ' 10 8.367 10 = 2.646 10 =0.2646 =0.8367 7=10_2.646=26.46 0.07= ®É;10&0; 70 10 7_100=10 = '¶ ®É;1¦0¼0; 225 ① '¶ ② 0.7= '¶ '¶ 'Ä 'Ä ③ ④ ⑤ 700= 'Ä 7000= 'Ä 70000= 'Ä ' '¶ 70_100=10 70=10_8.367=83.67 7_10000=100 7=100_2.646=264.6 ' 233 { x+ 1 x } Û`=xÛ`+ 1 xÛ` +2=25+2=27 이때 x>0이므로 x+ >0 ;[!; ∴ x+ = 27=3 3 ;[!; '¶ ' 234 ®;]{; + ®;[}; = '§ '§ x y y x + '§ '§ = x+y xy '¶ = = 7 5 ' 7 5 ' 5 ④ 235 (주어진 식)=9-2 3- ' a ' 3-3a 6 226 (주어진 식)= ' (3+ 3 = ' 5(3- 5) 5)(3- ' ' 5-5 4 3 ' + 5) ' 5+5 4 5(3+ ' 5) 5)(3+ 3 5 + ' (3- ' 5 6 = = ' 5) ' 4 ' 2 =9+ + -2- ;2A; { ;6A;}' 3 ▶ 50% -2- { ;6A;}' 3=0에서 -2- =0이어야 하므로 ▶ 30% ;6A; 227 x= 5+1) 4( ' 5-1)( 5+1) = 5+1 ' ' y= ( 5-1) ∴ x(y+5)-y(x+5) =5(x-y) ' ' ' = 5-1 ( ' 5-1) 4( ' 5+1)( ' 5+1)-( 5-1)} =5{( ' =5_2=10 228 2{(1+ ' 7)+(4- 7)}=2_5=10 ' 60 Ⅰ- 2 근호를 포함한 식의 계산 ① - ;6A; =2 ∴ a=-12 채점 기준 주어진 식을 간단히 한 경우 유리수가 되는 조건을 아는 경우 a의 값을 구한 경우 ③ ② 236 x= (2- 3)Û` ' 3)(2- (2+ ' 3) ' =7-4 3 ' x-7=-4 3이므로 양변을 제곱하여 정리하면 ' xÛ`-14x+49=48, xÛ`-14x=-1 ② ② '¶ 2 ' 20 2 ' 4 6-3 ' 3 ' 3 3 ' 7 5 ' 5 ▶ 20% 배점 50% 30% 20% -12 ▶ 30% ▶ 50% 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 60 2014-10-23 오전 11:09:18 § \ § Ⅱ- 1 인수분해 237 A-B =(3 2- 5)-(2 5-2 2)=5 2 -3 ' ' ' 5 ' 240 2xÛ`y-6xyÛ`=2xy(x-3y) B-C=(2 5-2 2)-(2 5-3)=-2 2+3=- 8+ ' ' ' ' ' Ⅱ- 1 인수분해 인수분해와 그 공식 239 ④ 3ax, 5bx의 공통인수는 x이다. 241 ① 2mÛ`n+6mÛ`=2mÛ`(n+3) 242 xy(3x+2y)-xy(2x-3y) =xy{(3x+2y)-(2x-3y)} =xy(3x+2y-2x+3y)=xy(x+5y) 2<2에서 2<4- 2<3이므로 C<B0 '¶ = '¶ ∴ A>B ∴ B>C ∴ C<B0, x-4<0이므로 (주어진 식) = (x-1)Û`- (x-4)Û` "à "à =2x-5 324 4xÛ`-4x-8=4(xÛ`-x-2)=4(x-2)(x+1) ③ ① ② ③ Û` Û` ③ ④ ④ ① 315 (주어진 식) =(xÛ`-2x+1)-yÛ`=(x-1)Û`-yÛ` =(x+y-1)(x-y-1) 325 xÛ`+mx-12=(x+a)(x+b)=xÛ`+(a+b)x+ab에서 m=a+b, ab=-12이므로 m은 곱해서 -12가 되는 두 정수 a, ②, ④ b의 합이다. 정답 및 해설 65 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 65 2014-10-23 오전 11:09:23 유형편 곱해서 -12가 되는 두 정수를 찾아 순서쌍 (a, b)로 나타내면 (1, -12), (2, -6), (3, -4), (4, -3), (6, -2), (12, -1) 336 a=6, b= '¶ (주어진 식) =aÛ`-(bÛ`+6b+9)=aÛ`-(b+3)Û` 10-3이므로 이므로 m의 값이 될 수 있는 것은 -11, -4, -1, 1, 4, 11이다. =(a-b-3)(a+b+3) =(6- 10)(6+ 10)=36-10=26 '¶ '¶ 326 ④ xÛ`-3x-10=(x+2)(x-5) 327 ① xÛ`+2x=x(x+2) ② xÛ`-4=(x+2)(x-2) ③ xÛ`-x-6=(x+2)(x-3) ④ 2xÛ`-5x+2=(x-2)(2x-1) ⑤ xÛ`+4x+4=(x+2)Û` 328 xÛ`+2x-15= 2xÛ`-3x-9=(2x+3) (x-3) (x-3)(x+5) 따라서 두 다항식의 공통인수는 x-3이다. 329 ② 2xÛ`-18yÛ`=2(xÛ`-9yÛ`)=2(x+3y)(x-3y) ③ xÛ`-4x-5=(x-5)(x+1) ④ 2xÛ`-5x-3=(x-3)(2x+1) ⑤ 6xÛ`+13x+5=(2x+1)(3x+5) 330 3xÛ`+22x+35=(x+5)(3x+7)이므로 세로의 길이는 3x+7이다. ∴ (직사각형의 둘레의 길이)=2{(x+5)+(3x+7)}=8x+24 332 x-2=A로 치환하면 (주어진 식 ) =AÛ`-4A-12=(A-6)(A+2) =(x-2-6)(x-2+2)=x(x-8) 333 x에 관하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =xÛ`+(2-5y)x+4yÛ`+y-3 =xÛ`+(2-5y)x+(y+1)(4y-3) ={x-(y+1)}{x-(4y-3)} =(x-y-1)(x-4y+3) 334 97Û`-3Û`=(97+3)(97-3)=100_94 따라서 인수분해 공식 aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)를 이용하였다. 335 207Û`-134Û` 52Û`-21Û` = (207+134)(207-134) (52+21)(52-21) = 341_73 73_31 =11 66 Ⅱ- 1 인수분해 ③ ④ ④ ① ② ⑤ ④ 337 xÛ`+2x=3이므로 2xÜ`+4xÛ`-6 x-1 2x(xÛ`+2x)-6 x-1 = = 6x-6 x-1 = 6(x-1) x-1 =6 338 0<2x<1, 즉 0<x< 이므로 x- <0, x+ >0 ;2!; ;2!; ∴ (주어진 식)= x- ®É{ ;2!;} ®É{ x+ Û` ;2!;} ;2!; Û`- =- x- { - x+ ;2!;} { ;2!;} =-2x 339 진아는 상수항을 제대로 보았으므로 (x+3)(x-5)=xÛ`-2x-15에서 상수항은 -15이다. 민서는 x의 계수를 제대로 보았으므로 (x-7)Û`=xÛ`-14x+49에서 x의 계수는 -14이다. 따라서 처음에 주어진 이차식은 xÛ`-14x-15이다. ① ∴ xÛ`-14x-15=(x+1)(x-15) (x+1)(x-15) 340 (좌변) =(xÛ`-x)(xÛ`-x-12)+36 ④ =A(A-12)+36`(∵ xÛ`-x=A로 치환) =AÛ`-12A+36=(A-6)Û`=(xÛ`-x-6)Û` =(2Û`â`+1)(2Ú`â`+1)(2Ú`â`-1) +1)(2Þ =(2Û`â`+1)(2Ú`â`+1)(2Þ ` -1) ` ` 따라서 2Ý`â -1은 30과 40 사이의 두 자연수 2Þ +1=33, 2Þ -1=31 ` ① 로 나누어떨어지므로 그 합은 33+31=64 342 2xÛ`+x=A로 치환하면 (주어진 식) =(A-3)(A-13)-24=AÛ`-16A+15 ▶`20% =(A-1)(A-15) =(2xÛ`+x-1)(2xÛ`+x-15) =(2x-1)(x+1)(2x-5)(x+3) ▶`50% 따라서 네 일차식의 합은 (2x-1)+(x+1)+(2x-5)+(x+3)=6x-2 ▶`30% 채점 기준 치환을 이용한 경우 식을 인수분해를 한 경우 네 일차식의 합을 구한 경우 ④ ③ -2x -7 ` 64 배점 20% 50% 30% 6x-2 331 3xÛ`-3-y+xÛ`y =xÛ`(3+y)-(3+y) =(xÛ`-1)(3+y)=(x+1)(x-1)(3+y) ① 따라서 a=-1, b=-6이므로 a+b=-7 341 2Ý`â`-1 =(2Û`â`+1)(2Û`â`-1) 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 66 2014-10-23 오전 11:09:25 ² ² 343 (주어진 식) =(1Û`-3Û`)+(5Û`-7Û`)+(9Û`-11Û`)+(13Û`-15Û`) =(1+3)(1-3)+(5+7)(5-7)+(9+11)(9-11) +(13+15)(13-15) =4_(-2)+12_(-2)+20_(-2)+28_(-2) =-2(4+12+20+28)=-128 채점 기준 인수분해 공식을 이용한 경우 값을 구한 경우 3 2- ' 3)(2- 344 x= y= 1 2- = 3 ' 1 2+ = (2+ ' 2+ 3 ' 3)(2+ 3 x+y=4, x-y=-2 (2- ' ' 3) ' 3이므로 ' 3) ' =2+ =2- 3 ' 3이고 ' xÛ`-yÛ`-2y-1 =xÛ`-(yÛ`+2y+1) =xÛ`-(y+1)Û`=(x+y+1)(x-y-1) ▶`40% =(4+1)_(-2 3-1)=-10 3-5 ▶`30% ' ' 채점 기준 분모를 유리화 한 경우 식을 인수분해를 한 경우 식의 값을 구한 경우 345 (주어진 식) =(aÛ`-10a+25)-bÛ`=(a-5)Û`-bÛ` =(a-5+b)(a-5-b) =(a+b-5)(a-b-5) =(3-5)(2-5)=6 채점 기준 식을 인수분해를 한 경우 식의 값을 구한 경우 ▶`70% ▶`30% 배점 70% 30% -128 ▶`30% 배점 30% 40% 30% ' ▶`70% ▶`30% 배점 70% 30% 6 Ⅲ- 1 이차방정식 이차방정식과 그 풀이 ⑴ 346 ⑤ (1+x)(1-x)=x-xÛ`에서 x-1=0 (일차방정식) 347 xÛ`-5x+6=6 ∴ xÛ`-5x=0 따라서 a=1, b=-5, c=0이므로 a+b+c=-4 348 3axÛ`-3x=9xÛ`+5, 3(a-3)xÛ`-3x-5=0이므로 a+3 349 ① 0Û`-3_0+4=4+0 ② 2_(2-1)=2+0 ④ 2_3Û`+3_(3-3) ③ 2Û`-4_2+4=0 ⑤ 2Û`-2_2=0+3 350 x=2를 대입하면 ① 2Û`-3_2+2=0 ⑤ (2-2)(2-3)=0 ③ (2-1)(2+3)=5+0 ④ 2Û`+2_2=8+0 ② 2Û`+2_2+3=11+0 351 ① (-3)Û`-(-3)-2=10+0 ② (-2)Û`-(-2)-2=4+0 ③ (-1)Û`-(-1)-2=0 ④ 0Û`-0-2=-2+0 ⑤ 1Û`-1-2=-2+0 따라서 해는 ③ x=-1이다. 352 x=-2를 대입하면 (-2)Û`+a_(-2)-6=0이므로 4-2a-6=0 ∴ a=-1 -10 3-5 ①, ⑤ Ⅲ- 1 이차방정식 ⑤ ② ⑤ ③ ③ ② ③ ① ② 정답 및 해설 67 353 x=1을 xÛ`-ax+2a=0에 대입하면 1Û`-a_1+2_a=0이므로 a=-1 x=-2를 2xÛ`+8x+b=0에 대입하면 2_(-2)Û`+8_(-2)+b=0이므로 b=8 ∴ a+b=7 354 x=-1을 xÛ`+ax=0에 대입하면 (-1)Û`+a_(-1)=0이므로 a=1 x=-1을 xÛ`-2x+b=0에 대입하면 (-1)Û`-2_(-1)+b=0이므로 b=-3 ∴ a+b=-2 355 2x-3=0 또는 x+8=0이므로 x= 또는 x=-8 ;2#; 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 67 2014-10-23 오전 11:09:26 유형편 356 a, b 중 어느 하나만 0이면 ab=0이다. 따라서 공통인 근은 x=6이다. ⑤ 357 ①, ③, ④, ⑤ x=- 또는 x= ;2#; ;3!; ② x=- 또는 x= ;3!; ;2#; 358 3xÛ`-14x-5=0에서 (3x+1)(x-5)=0 ∴ x=- 또는 x=5 ;3!; 359 2xÛ`+6x=xÛ`+7이므로 xÛ`+6x-7=0 (x+7)(x-1)=0 ∴ x=-7 또는 x=1 360 2xÛ`+12x+18=7x+21이므로 2xÛ`+5x-3=0 (2x-1)(x+3)=0 ∴ x= 또는 x=-3 ;2!; 따라서 2ab=2_ _(-3)=-3 ;2!; 361 2xÛ`-13x+15=0에서 (2x-3)(x-5)=0 ∴ x= 또는 x=5 ;2#; 과 5 사이에 있는 정수는 2, 3, 4이므로 ;2#; 이들의 합은 2+3+4=9 채점 기준 이차방정식의 해를 구한 경우 두 근 사이에 있는 모든 정수의 합을 구한 경우 ① ▶`60% ▶`40% 배점 60% 40% 365 두 이차방정식의 공통인 근이 x=-2이므로 4-18+a=0 ∴ a=14 4-2b+10=0 ∴ b=7 ② 따라서 a+b=21 366 3xÛ`-2x-16=0, (x+2)(3x-8)=0 ④ ∴ x=-2 또는 x= ;3*; xÛ`-4x-12=0, (x+2)(x-6)=0 ∴ x=-2 또는 x=6 ① 따라서 공통이 아닌 두 근의 곱은 _6=16 ;3*; 채점 기준 -3xÛ`+2x+16=0의 해를 구한 경우 xÛ`-4x-12=0의 해를 구한 경우 공통이 아닌 두 근의 곱을 구한 경우 367 2xÛ`+7x-4=0에서 (2x-1)(x+4)=0 ∴ x=-4 또는 x= ;2!; 따라서 xÛ`+2x+a=0의 한 근이 x=-4이므로 (-4)Û`+2_(-4)+a=0 ∴ a=-8 368 xÛ`-x-6=0에서 (x+2)(x-3)=0 ∴ x=-2 또는 x=3 따라서 xÛ`-(a-1)x-(a+3)=0의 한 근이 x=-2이므로 9 4-(a-1)_(-2)-(a+3)=0 ∴ a=1 369 3xÛ`-2x-8=0에서 (x-2)(3x+4)=0 ∴ x=- 또는 x=2 ;3$; ④ 따라서 xÛ`-(m+4)x+m+9=0의 한 근이 x=2이므로 4-2(m+4)+m+9=0 ∴ m=5 또 3xÛ`+nx+12=0의 한 근이 x=- 이므로 ;3$; - n+12=0 ∴ n=13 ;3$; ;;Á3¤;; ∴ m-n=5-13=-8 370 ③ xÛ`+8x+16=0에서 (x+4)Û`=0 ∴ x=-4(중근) ④ 371 (ㄷ) 2(xÛ`-8x+16)=0이므로 2(x-4)Û`=0 ∴ x=4(중근) (ㄹ) xÛ`+2x+1=0이므로 (x+1)Û`=0 ∴ x=-1(중근) 362 x=2를 대입하면 4+6a-2a=0이므로 a=-1 즉, xÛ`-3x+2=0이므로 (x-2)(x-1)=0 ∴ x=1 또는 x=2 따라서 다른 한 근은 x=1 363 3xÛ`+(a+1)x+a+4=0에 x=2를 대입하면 12+2a+2+a+4=0 3a+18=0 ∴ a=-6 3xÛ`+(a+1)x+a+4=0에 a=-6을 대입하면 3xÛ`-5x-2=0, (x-2)(3x+1)=0 ∴ x=- 또는 x=2 ;3!; 따라서 b=- 이므로 ab=-6_ - =2 { ;3!;} ;3!; 364 xÛ`-4x-12=0에서 (x+2)(x-6)=0 ∴ x=-2 또는 x=6 2xÛ`-13x+6=0에서 (2x-1)(x-6)=0 ∴ x= 또는 x=6 ;2!; 68 Ⅲ- 1 이차방정식 ⑤ ④ ▶`40% ▶`40% ▶`20% 배점 40% 40% 20% 16 ④ ④ ① ③ ③ 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 68 2014-10-23 오전 11:09:27 372 중근 x=3을 해로 갖는 이차방정식은 (x-3)Û`=0, 즉 xÛ`-6x+9=0 따라서 a=-6, b=9이므로 a+b=3 373 a-2= - { ;2*;} Û`=16이므로 ∴ a=18 374 xÛ`+2ax-2a+8=0에서 -2a+8= Û`=aÛ` {;;ª2;;} aÛ`+2a-8=0, (a+4)(a-2)=0 ∴ a=-4 또는 a=2 375 8-a= - { ;2$;} Û`=4이므로 a=4 ∴ aÛ`-2a+1=4Û`-2_4+1=9 376 (완전제곱식)=0일 때 중근을 가지므로 x+2a와 x+a-6이 같아야 한다. x+2a=x+a-6 ∴ a=-6 (x-12)(x-6-6)=(x-12)Û`=0, x=12(중근) ∴ b=12 따라서 a+b=6 이차방정식과 그 풀이 ⑵ 379 (x+3)Û`=5이므로 x+3=Ñ ∴ x=-3Ñ 5 ' 5 ' 따라서 a, b는 유리수이므로 a=-3, b=5 380 (x+a)Û`=5이므로 x=-aÑ 따라서 a=-2, b=5이므로 a+b=-2+5=3 5 ' 381 (4x-3)Û`=8이므로 4x-3=Ñ 8=Ñ2 ' 2 ' 4x=3Ñ2 2 ∴ x= ' 따라서 ab= 3+2 4 2 ' _ 2 ' 3Ñ2 4 3-2 4 ' 2 = ;1Á6; ⑤ 382 xÛ`+3x-10=0에서 (x+5)(x-2)=0 ∴ x=-5 또는 x=2 2(x+2)Û`=18에서 (x+2)Û`=9, x+2=Ñ3 ∴ x=-5 또는 x=1 따라서 공통인 해는 x=-5 377 이차방정식 xÛ`-3x+k=0이 중근을 가지므로 즉, xÛ`-3x+ =0이므로 { ;4(; x- ;2#;} =0, x= (중근) ;2#; 2` k= { -3 2 } = ;4(; 2` ∴ a= ;2#; k의 값을 구한 경우 a의 값을 구한 경우 의 값을 구한 경우 ;kA; 따라서 = _ = ;3@; ;9$; ;2#; ;kA; 채점 기준 378 xÛ`-2x-m=0이 중근을 가지므로 -m= { - ;2@;} Û` ∴ m=-1 즉, xÛ`-3x-4=0이므로 (x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4 따라서 두 근의 곱은 -1_4=-4 채점 기준 m의 값을 구한 경우 이차방정식의 해를 구한 경우 두 근의 곱을 구한 경우 383 b>0이면 서로 다른 두 근을 갖고, b=0이면 중근을 가지므 로 해를 가질 조건은 b¾0 384 이차방정식 (x+p)Û`=q에서 서로 다른 두 근을 가지려면 q>0이어야 한다. ▶`60% 7-a 6 >0이어야 하므로 a<7 ▶`40% 따라서 채점 기준 이차방정식이 서로 다른 두 근을 가질 조건을 아는 경우 실수 a의 값의 범위를 구한 경우 385 3xÛ`+18x-6=0의 양변을 3으로 나누면 xÛ`+6x-2=0, xÛ`+6x=2 xÛ`+6x+9=2+9 ∴ (x+3)Û`=11 따라서 p=3, q=11이므로 p+q=14 386 이차방정식 3xÛ`-8x+1=0의 양변을 3으로 나누면 xÛ`- x+ =0, xÛ`- x=- ;3*; ;3!; ;3*; ;3!; xÛ`- x+ =- + ;3!; ;;Á9¤;; ;;Á9¤;; ;3*; ∴ { x- ;3$;} Û`= ;;Á9£;; 따라서 k= ;;Á9£;; -4 387 xÛ`-6x+5=2에서 xÛ`-6x+9=-3+9 ② 정답 및 해설 69 3 ⑤ ①, ④ ③ ▶`40% ▶`40% ▶`20% 배점 40% 40% 20% ;3@; ▶`40% ▶`40% ▶`20% 배점 40% 40% 20% ② ⑤ ③ ② ③ 배점 60% 40% a<7 ⑤ 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 69 2014-10-23 오전 11:09:28 유형편 ∴ (x-3)Û`=6 따라서 a=-3, b=6이므로 a+b=3 388 xÛ`+4x=-1이므로 xÛ`+4x+4=-1+4 (x+2)Û`=3, x+2=Ñ 3 ' ∴ x=-2Ñ 3 ' 따라서 a=4, b=2, c=3이므로 a+b+c=9 389 ② 2xÛ`-4x=-1이므로 xÛ`-2x+1=- +1 ;2!; , x-1=Ñ ®;2!; (x-1)Û`= ;2!; 2 ∴ x=1Ñ ' 2 ⑤ 2xÛ`-6x=9이므로 xÛ`-3x+ = + ;2(; ;4(; ;4(; 3 3 ' 2 x- { ;2#;} Û`= ∴ x= Ñ ;2#; , x- =Ñ ;;ª4¦;; 3 3 ' 2 = ;2#; 3Ñ3 2 3 ' 390 ① (x-1)Û`=0 ∴ x=1(중근) ② (x+5)(x-6)=0 ∴ x=-5 또는 x=6 ③ 3xÛ`-10x=-5에서 xÛ`- x+ =- + ;3%; ;;ª9°;; x- { ;3%;} Û`= ;;Á9¼;; ∴ x= ;;ª9°;; 10 ;;Á3¼;; 5Ñ '¶ 3 ④ (2x+3)(x-1)=0 ∴ x=- 또는 x=1 ;2#; ⑤ xÛ`+5x+6=-xÛ`+9에서 2xÛ`+5x-3=0 (x+3)(2x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x= ;2!; 394 x= -(-3)Ñ "à (-3)Û`-4_5_m 2_5 ③ = 3Ñ 'Ä 9-20m 10 = 3Ñ 19 '¶ 10 9-20m=19 ∴ m=- ;2!; ⑤ 395 2xÛ`-5x-1=0에서 -(-5)Ñ (-5)Û`-4_2_(-1) x= "à 2_2 = 33 5Ñ '¶ 4 따라서 A=5, B=33이므로 B-2A=33-2_5=23 396 xÛ`-7x-3=0에서 -(-7)Ñ (-7)Û`-4_(-3) x= "à 2 = 61 7Ñ '¶ 2 ∴ k= 61 7- '¶ 2 따라서 = ;k^; 6_2 61 7- '¶ =-7- 61 '¶ ②, ⑤ = 12(7+ 61) '¶ 61)(7+ (7- '¶ 61) '¶ = 12(7+ 61) '¶ -12 397 양변에 10을 곱하면 3xÛ`-2x-4=0 ∴ x= 13 1Ñ '¶ 3 ∴ x= 10 2Ñ '¶ 3 398 양변에 12를 곱하면 3xÛ`-4x-2=0 따라서 m=2, n=10이므로 m+n=12 391 2xÛ`+2x-1=0에서 xÛ`+x= ;2!; xÛ`+x+ = + , { ;4!; x+ ;4!; ;2!; 3 =Ñ ' 2 x+ ;2!; ∴ x= Û`= ;2!;} -1Ñ 2 ;4#; 3 ' 따라서 a=-1, b=3이므로 a+b=2 392 xÛ`+12x-m=0에서 xÛ`+12x=m xÛ`+12x+36=m+36, (x+6)Û`=m+36 x+6=Ñ m+36 ∴ x=-6Ñ m+36=-6Ñ 12 'Ä '¶ 'Ä 따라서 m+36=12이므로 m=-24 ② ③ ③ 399 양변에 12를 곱하여 정리하면 4(x+1)(x-3)=3x(x+1) 4xÛ`-8x-12=3xÛ`+3x, xÛ` -11x-12=0 (x+1)(x-12)=0 ∴ x=-1 또는 x=12 400 양변에 10을 곱하여 정리하면 4xÛ`+14x+12=5xÛ`-10x xÛ`-24x-12=0 ∴ x=12Ñ2 39 따라서 a=12+2 39이므로 a-12=2 39 '¶ '¶ '¶ 401 x+1=A로 치환하면 AÛ`+A-6=0, (A-2)(A+3)=0 ∴ A=-3 또는 A=2 즉, x+1=-3 또는 x+1=2 따라서 x=-4 또는 x=1 393 2xÛ`+6x-1=0에서 -6Ñ 6Û`-4_2_(-1) x= "Ô 2 ∴ a=11 = 44 -6Ñ 4 '¶ = 11 -3Ñ 2 '¶ 402 x-3=A로 치환하면 AÛ`-2A-15=0 (A-5)(A+3)=0 ∴ A=-3 또는 A=5 즉, x-3=-3 또는 x-3=5 ② ∴ x=0 또는 x=8 - ;2!; ① ⑤ ① ③ ③ 2 39 '¶ ③ ▶`40% ▶`40% 70 Ⅲ- 1 이차방정식 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 70 2014-10-23 오전 11:09:29 Ô Ô Ô Ô 따라서 a+b=8 채점 기준 치환을 이용하여 방정식을 푼 경우 이차방정식의 해를 구한 경우 a+b의 값을 구한 경우 403 3x-1=A로 치환하면 0.2AÛ`+ A=0.6 ;1Á0; 양변에 10을 곱하면 2AÛ`+A-6=0 (A+2)(2A-3)=0 ∴ A=-2 또는 A= ;2#; 즉, 3x-1=-2 또는 3x-1= 이므로 ;2#; x=- 또는 x= ;3!; ;6%; 따라서 음수인 해는 x=- ;3!; 404 a-b=A로 치환하면 A(A-6)=16, AÛ`-6A-16=0 (A+2)(A-8)=0 ∴ A=-2 또는 A=8 이때 a>b에서 a-b>0이므로 A>0 따라서 a-b=8 405 xÛ`-4x-3=0에서 두 근의 합은 4이므로 x=4를 2xÛ`-3x+k=0에 대입하면 2_4Û`-3_4+k=0 ∴ k=-20 406 근과 계수의 관계에 의해 (두 근의 합)=A=- =- ;aB; -8 1 } { =8 (두 근의 곱)=B= = ;aC; ;1&; =7 ∴ A+B=15 407 근과 계수의 관계에 의해 -n=2이므로 n=-2 9m+1=-8이므로 m=-1 ∴ m-n=-1-(-2)=1 408 ① a+b=2 ② ab= ;4!; |a-b|= 3 ' ③ (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab=2Û`-4_ =3이므로 ;4!; ④ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=2Û`-2_ = ;4!; ;2&; ⑤ + = ;º!; ;!; a+b ab =2_4=8 ▶`20% 배점 40% 40% 20% 8 409 근과 계수의 관계에 의해 m+n=2, mn=-1이므로 mÛ`+nÛ`=(m+n)Û`-2mn=2Û`-2_(-1)=6 ∴ n m mÛ`+nÛ` mn =-6 m n = + 410 양변에 5를 곱하여 정리하면 3xÛ`-8x-9=0 근과 계수의 관계에 의해 m+n= , mn=-3 ;3*; ∴ + = 1 m 1 n m+n mn = _ - { ;3*; ;3!;} =- ;9*; 이차방정식의 활용 411 n각형이라 하면 n(n-3) =14이므로 2 nÛ`-3n-28=0, (n+4)(n-7)=0 x=- ;3!; ∴ n=7`(∵ n>3) 따라서 칠각형이다. 412 자연수 1부터 n까지의 합이 120이라 하면 n(n+1) 2 =120이므로 nÛ`+n-240=0 (n-15)(n+16)=0 ∴ n=15`(∵ n은 자연수) ④ 따라서 1부터 15까지 더해야 한다. ① ④ 413 (xÛ`-10)+(2x-3)+4=2+9+4이므로 xÛ`+2x-24=0, (x+6)(x-4)=0 ∴ x=4`(∵ x는 자연수) 414 연속하는 세 정수를 x-1, x, x+1이라 놓으면 (x+1)Û`=x(x-1)+16, xÛ`+2x+1=xÛ`-x+16 ∴ x=5 따라서 세 정수는 4, 5, 6이므로 4+5+6=15 415 연속하는 두 자연수를 x, x+1이라 하면 x(x+1)=132, xÛ`+x-132=0 (x+12)(x-11)=0 ∴ x=11 (∵ x는 자연수) ② 따라서 두 자연수는 11, 12이므로 구하는 합은 11+12=23 416 어떤 자연수를 x라 하면 3x=xÛ`-4, xÛ`-3x-4=0 (x+1)(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ x는 자연수) 따라서 어떤 수는 4이다. ⑤ 417 현선이의 나이를 x살이라 하면 현경이의 나이는 (x-6)살 이므로 정답 및 해설 71 ① ① ③ ③ ④ ④ ④ ④ 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 71 2014-10-23 오전 11:09:30 유형편 3x=(x-6)Û`, xÛ`-15x+36=0 (x-3)(x-12)=0 ∴ x=12 (∵ x>6) 따라서 현선이의 나이는 12살이다. 426 (x+6)Û`=2x(2x+3)이므로 xÛ`-2x-12=0, x=1Ñ ∴ x=1+ 13` (∵ x>0) 13 '¶ '¶ ② 418 동아리 회원 수를 x명이라 하면 털모자의 개수는 (x-8)개 이므로 x(x-8)=x+22, xÛ`-9x-22=0 (x-11)(x+2)=0 ∴ x=11 (∵ x>0) 따라서 동아리 회원 수는 11명이다. ③ 427 작은 정사각형의 한 변의 길이를 x ` 큰 정사각형의 한 변의 길이는 (12-x)cm이다. cm라 하면 xÛ`+(12-x)Û`=74, 2xÛ`-24x+70=0 xÛ`-12x+35=0, (x-5)(x-7)=0 ∴ x=5 (∵ 0<x<6) 따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 5 cm이다. ` 11명 419 학생 수를 x명이라 하면 한 학생이 받는 책의 수는 (x+3) 권이므로 428 처음 원의 반지름의 길이를 x ` 의 길이를 (x-3)cm이므로 5 cm ` cm라 하면 나중 원의 반지름 x(x+3)=180, xÛ`+3x-180=0 (x+15)(x-12)=0 ∴ x=12`(∵ x는 자연수) 따라서 구하는 학생은 모두 12명이다. 420 60t-5tÛ`=0이므로 tÛ`-12t=0 t(t-12)=0 ∴ t=12 (∵ t>0) 따라서 12초 후에 지면에 떨어진다. 421 50t-5tÛ`=125이므로 tÛ`-10t+25=0 (t-5)Û`=0 ∴ t=5`(중근) 따라서 5초 후이다. p(x-3)Û`= pxÛ`, xÛ`-6x+9= xÛ` ;2!; xÛ`-12x+18=0, x=6Ñ3 ;2!; 따라서 처음 원의 반지름의 길이는 (6+3 2) cm이다. 2 ∴ x=6+3 2 (x>3) ' ' ' ` (6+3 2) cm ' ` 429 ACÓ=x`cm라 하면 CBÓ=(20-x)cm이므로 _10Û`_p= _ ;2!; {;2{;} ;2!; Û`_p+ _ { ;2!; 20-x 2 } Û`_p+21p +42, 400=xÛ`+400-40x+xÛ`+168 + xÛ` 4 100= 400-40x+xÛ` 4 xÛ`-20x+84=0, (x-6)(x-14)=0 ∴ x=14`(∵ ACÓ>CBÓ) 따라서 ACÓ의 길이는 14`cm이다. 422 32t-4tÛ`=60이므로 tÛ`-8t+15=0 (t-3)(t-5)=0 ∴ t=3 또는 t=5 따라서 높이가 60`m 이상인 지점을 지나는 시간은 3초부터 5초까지이므로 2초 동안이다. 430 걸리는 시간을 t초라 하면 (10-0.5t)(5+t)=5_10, 0.5tÛ`-7.5t=0 5tÛ`-75t=0, 5t(t-15)=0 ∴ t=0 또는 t=15 2초 따라서 처음 넓이와 같아지는데 15초가 걸린다. 423 가로의 길이를 x`m라 하면 세로의 길이는 (15-x)m이므로 x(15-x)=56, xÛ`-15x+56=0 (x-7)(x-8)=0 ∴ x=7 또는 x=8 따라서 두 변의 길이는 7`m, 8`m이므로 두 변의 길이의 차는 8-7=1(m) 431 늘어난 길이를 x`m라 하면 (x+9)(x+6)=9_6+54, xÛ`+15x-54=0 (x+18)(x-3)=0 ∴ x=3 (∵ x>0) 따라서 세로의 길이는 3`m 늘어났다. 424 BEÓ=x ` x(18-x)=56, xÛ`-18x+56=0 cm라 하면 CEÓ=(18-x)cm이므로 (x-14)(x-4)=0 ∴ x=14 (∵ 9<x<18) 따라서 BEÓ의 길이는 14 cm이다. ` 425 두 변의 길이를 각각 3x`cm, 5x`cm라 하면 3x_5x=135, xÛ`=9 ∴ x=3 (∵ x>0) 따라서 가로의 길이는 15`cm이다. 72 Ⅲ- 1 이차방정식 432 두 꽃밭의 넓이의 차는 20Û`-(20+x)(20-x)=400-(400-xÛ`)=xÛ`(mÛ`) 433 물받이의 높이를 x ` 2xÛ`-40x+200=0, (x-10)Û`=0 ∴ x=10`(중근) cm라고 두면 x(40-2x)=200 따라서 물받이의 높이는 10`cm이다. 434 도로를 제외한 나머지 부분의 넓이 는 가로의 길이가 (50-x)`m, 세로의 길이가 (30-x)m ③ ⑤ ⑤ ① ④ ③ ③ ③ ③ ② ⑤ 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 72 2014-10-23 오전 11:09:32 인 직사각형의 넓이와 같으므로 (50-x)(30-x)=1196, xÛ`-80x+304=0 (x-76)(x-4)=0 ∴ x=4`(∵ 0<x<30) ∴ aÛ`+ 1 aÛ` = a+ { ;a!;} Û`-2=4Û`-2=14 ③ 443 ① (-2)Û`-4_1_(-1)=8>0 ∴ 2개 ② 0Û`-4_1_(-6)=24>0 ∴ 2개 435 길을 제외한 나머지 부분의 넓이는 가로의 길이가 (21-x)`m, 세로의 길이가 (16-x)`m인 직사각형의 넓이와 같 으므로 (21-x)(16-x)=266, xÛ`-37x+70=0 (x-35)(x-2)=0 ∴ x=2`(∵ 0<x<16) Û`-4_1_ ③ { - ;2#;} ;2!; ④ (-4)Û`-4_1_(-1)=20>0 ∴ 2개 ;4!; = >0 ∴ 2개 ⑤ 양변에 10을 곱하여 정리하면 xÛ`-10x+25=0 (-10)Û`-4_1_25=0 ∴ 1개 (중근) 436 길의 너비를 x`m라 하면 꽃밭의 가로의 길이는 (20-2x)`m, 세로의 길이는 (10-2x)`m 이므로 (20-2x)(10-2x)=119 4xÛ`-60x+81=0, (2x-3)(2x-27)=0 ∴ x= (∵ 0<x<5) ;2#;` 따라서 길의 너비는 `m이다. ;2#; 437 x=a를 대입하면 aÛ`-2a-1=0 ∴ aÛ`-2a=1 438 x=a를 xÛ`+5x-6=0에 대입하면 aÛ`+5a-6=0이므로 aÛ`+5a=6 x=b를 3xÛ`-4x-1=0에 대입하면 3bÛ`-4b-1=0이므로 3bÛ`-4b=1 ∴ (aÛ`+5a+1)(3bÛ`-4b+1)=(6+1)(1+1)=14 439 x=p를 대입하면 apÛ`+bp+3=0이므로 apÛ`+bp=-3 ∴ apÛ`+bp-3=-6 ① ② ③ ④ -6 440 x=a를 대입하면 aÛ`-3a+1=0 a+0이므로 양변을 a로 나누면 a-3+ =0 ;a!; ∴ a+ =3 ;a!; 441 x=a를 대입하면 aÛ`-10a+3=0 a+0이므로 양변을 a로 나누면 a-10+ =0 ∴ a+ =10 ;a#; ;a#; ① { a- ;a#;} = a+ { ;a#;} -12=100-12=88 ② aÛ`-10a=-3이므로 2aÛ`-20a=-6 2` 2` ③ aÛ`-10a+3+7=7 ⑤ aÛ`+ 9 aÛ` = a+ { ;a#;} Û`-6=100-6=94 444 ① (-4)Û`-4_1_(-5)=36>0 ∴ 2개 ② (-5)Û`-4_3_(-2)=49>0 ∴ 2개 ③ (-1)Û`-4_(-1)_3=13>0 ∴ 2개 ④ (-2)Û`-4_1_1=0 ∴ 1개 (중근) ⑤ (-1)Û`-4_2_1=-7<0 ∴ 근이 없다. 445 (-4)Û`-4_2_3=-8<0이므로 a=0 Û`-4_ ;9$; {;3$;} _1=0이므로 b=1 xÛ`-x- =0에서 (-1)Û`-4_1_ - =12>0이므로 { ;;Á4Á;;} ;;Á4Á;; c=2 ∴ a-b+c=1 a의 값을 구한 경우 b의 값을 구한 경우 c의 값을 구한 경우 a-b+c의 값을 구한 경우 채점 기준 446 (a-1)Û`-4=0이므로 aÛ`-2a-3=0 (a-3)(a+1)=0 ∴ a=-1 또는 a=3 447 이차방정식 3xÛ`+(k-5)x+3=0이 중근을 가져야 하므로 (k-5)Û`-4_3_3=0, kÛ`-10k-11=0 ② (k+1)(k-11)=0 ∴ k=-1 또는 k=11 따라서 모든 상수 k의 값의 합은 10이다. 448 (-2)Û`-4_1_(-p)=0이므로 p=-1 {-4(p-1)}Û`-4_1_2q=0이므로 q=8 ∴ p+q=7 ⑤ 449 4Û`-4_4_(-k)=0이므로 16+16k=0 ∴ k=-1 즉, -2xÛ`+3x-1=0이므로 (2x-1)(x-1)=0 14 ⑤ ⑤ ▶ 30% ▶ 30% ▶ 30% ▶ 10% 배점 30% 30% 30% 10% 1 ②, ④ ⑤ 7 ⑤ 정답 및 해설 73 442 x=a를 대입하면 aÛ`-4a+1=0 a+0이므로 양변을 a로 나누면 a-4+ =0 ∴ a+ =4 ;a!; ;a!; ∴ x= 또는 x=1 ;2!; 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 73 2014-10-23 오전 11:09:33 유형편 450 {-(k-4)}Û`-4=0이므로 kÛ`-8k+12=0 (k-6)(k-2)=0 ∴ k=2 또는 k=6 따라서 3xÛ`-2ax+aÛ`-8=0의 한 근이 x=2이므로 12-4a+aÛ`-8=0, (a-2)Û`=0 ∴ a=2 따라서 aÛ`+a-12=0, (a-3)(a+4)=0 ∴ a=-4 또는 a=3 Ú a=-4일 때, -4+(-4+1)=-k ∴ k=7 Û a=3일 때, 3+(3+1)=-k ∴ k=-7 따라서 Ú, Û에 의해서 k=Ñ7 451 2Û`-4_(3k-2)=0이므로 k=1 즉, 3xÛ`+5x-2=0이므로 (x+2)(3x-1)=0 459 두 근을 2a, 3a로 놓으면 2a+3a=10 ∴ a=2 따라서 두 근이 4, 6이므로 k=24 ④ ▶ 40% ▶ 40% ▶ 20% 배점 40% 40% 20% - ;3%; ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ③ ② ∴ x=-2 또는 x= ;3!; 따라서 두 근의 합은 -2+ =- ;3!; 채점 기준 ;3%; k의 값을 구한 경우 이차방정식의 해를 구한 경우 두 근의 합을 구한 경우 452 (-4)Û`-4_1_k>0이므로 k<4 453 (mÛ`-1)xÛ`-2(m+2) +1=0에서 해가 없으므로 {-2(m+2)}Û`-4_(mÛ`-1)_1<0, 16m+20<0 x ∴ m<- ;4%; 454 4Û`-4_(m-1)_(-2)>0이므로 m>-1 (m-1)xÛ`+4x-2=0이 이차방정식이므로 m-1+0 ∴ m+1 ∴ -1<m<1 또는 m>1 455 -p=-8+6=-2 ∴ p=2 q=-8_6=-48 따라서 2xÛ`-48x+6=0의 두 근의 합은 24이다. 456 xÛ`-3x+2=0의 두 근의 합이 3이므로 x=3을 xÛ`-2x+k=0에 대입하면 3Û`-2_3+k=0 ∴ k=-3 457 - ;2A; =- +2= 이므로 a=-3 ;2!; ;2#; =- _2=-1이므로 b=-2 ;2B; ;2!; 따라서 2xÛ`+3x-2=0이므로 (2x-1)(x+2)=0 ∴ x=-2 또는 x= ;2!; 458 두 근을 a, a+1로 놓으면 a+(a+1)=-k, a(a+1)=12 74 Ⅲ- 1 이차방정식 ① ④ ③ ① ① ▶ 20% ▶ 20% ▶ 40% ▶ 20% 배점 20% 20% 40% 20% 4 460 두 근을 a, 3a로 놓으면 a+3a=2 ∴ a= ;2!; 따라서 두 근은 , ;2!; ;2#; 이므로 a= _ = ;2#; ;4#; ;2!; 461 다른 한 근은 x=3- 2 )(3- a=(3+ 2)=7 ' ' ' 2이므로 462 다른 한 근이 x=-1- k+1=(-1+ 2)+(-1- ∴ k=-3 ' ' 2이므로 ' 2 )=-2 15 )+(4- 15 )=8 '¶ 15 )(4- 15 )=1 '¶ '¶ =(4+ 16 m n m ∴ m=2, n=2 =(4+ '¶ 따라서 mn=4 채점 기준 분모를 유리화한 경우 다른 한 근을 구한 경우 m, n의 값을 각각 구한 경우 mn의 값을 구한 경우 463 1 4- 15 '¶ = (4- '¶ 15 4+ '¶ 15)(4+ 15) '¶ =4+ 15 '¶ 따라서 mxÛ`-16x+n=0의 다른 한 근은 x=4- 15이므로 '¶ 464 a+b=-4, ab=2이므로 구하는 이차방정식은 (x+4)(x-2)=0 ∴ xÛ`+2x-8=0 465 두 근의 합이 3, 곱이 -8이므로 xÛ`-3x-8=0 xÛ`+2x-8=0 ④ 466 (-8)Û`-4_2_m=0이므로 m=8 따라서 두 근이 8과 3이고 xÛ`의 계수가 3인 이차방정식은 3(x-8)(x-3)=0 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 74 2014-10-23 오전 11:09:34 ∴ 3xÛ`-33x+72=0 467 2xÛ`-4x-5=0의 두 근이 a, b이므로 a+b=2, ab=- ;2%; 따라서 { a+ ;!;} + b+ { ;º!;} =a+b+ ;!; + ;º!; a+b ab } = ;5^; =a+b+ { 1 `ab` a+ { ;!;}{ b+ ;º!;} =ab+ + ;©; ;ºÄ; + = -;;Á2£;; ∴ xÛ`- x ;5^; -;;Á2£;; =0 (x-3)=0이므로 3xÛ`-11x+6=0 x- 468 3 { ∴ a=-11, b=6 ;3@;} 따라서 a+b=-5 469 xÛ`의 계수가 5이고 중근 -2를 갖는 이차방정식은 5(x+2)Û`=0 ∴ 5xÛ`+20x+20=0 따라서 A=20, B=-10이므로 A+B=10 470 (x-5)ãx=23에서 (x-5)x+(x-5)+x=23, xÛ`-3x-28=0 (x-7)(x+4)=0 ∴ x=-4 또는 x=7 따라서 자연수 x는 7이다. ③ 2Û`-4_2-4=-8+0 ① ④ (-1)Û`-4_(-1)-5=0 ⑤ (-3)Û`-(-3)-6=6+0 475 ④ ;3!; x-1=0 또는 x+ =0 ∴ x=3 또는 x=- ;4!; ;4!; 476 ① (x+6)Û`=0 ∴ x=-6(중근) ② xÛ`+8x+12=0, (x+2)(x+6)=0 xÛ`- x- =0 ;5^; ;;Á2£;; ③ (x-2)Û`=0 ∴ x=2(중근) ∴ x=-6 또는 x=-2 ④ xÛ`-1=0, (x+1)(x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x=1 ⑤ (x+3)Û`=0 ∴ x=-3(중근) ②, ④ 477 xÛ`-ax+2a+5=0에서 2a+5= - { ;2A;} Û` , aÛ`-8a-20=0 (a+2)(a-10)=0 ∴ a=-2 또는 a=10 따라서 합은 8이다. 478 4xÛ`+2x-1=0의 양변을 4로 나누면 xÛ`+ x= , xÛ`+ ;2!; ;4!; x+ = + ;4!; ;1Á6; ;1Á6; ;2!; , x+ 5 =Ñ ' 4 ;4!; x+ { ;4!;} ∴ x= Û`= ;1°6; -1Ñ 4 ' 5 -5 ③ ⑤ 471 (2x-1)△x=3xÛ`-1에서 (2x-1)(2x-1+x)=3xÛ`-1, 3xÛ`-5x+2=0 479 m= -6 2 } { Û`=9 (3x-2)(x-1)=0 ∴ x= 또는 x=1 ;3@; xÛ`-8x+12=0에서 (x-6)(x-2)=0 ∴ x=2 또는 x=6 3xÛ`-5x-2=0에서 (x-2)(3x+1)=0 또는 1 ;3@; ∴ x=- 또는 x=2 ;3!; 따라서 공통인 근은 x=2이다. 472 (x+2)ã(x-1)=0에서 (x+2)Û`-(x+2)-(x-1)-6=0, xÛ`+2x-3=0 (x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1 480 3xÛ`-7x+3=0을 근의 공식에 대입하면 13 -(-7)Ñ "à (-7)Û`-4_3_3 2_3 = 7Ñ '¶ 6 x= ①, ④ 473 ① xÛ`-5=0(이차방정식) ② 6x+1=0(일차방정식) ③ xÛ`-5x-3=0(이차방정식) ④ xÛ`+2x+5=0(이차방정식) ⑤ 2xÛ`-3x+2=0(이차방정식) 481 2xÛ`-5x+1=0을 근의 공식에 대입하면 17 -(-5)Ñ "à (-5)Û`-4_2_1 2_2 = 5Ñ '¶ 4 x= ∴ A=17 ② 474 [ ] 안의 수를 대입하면 ① 1_2=2+0 ② (-3+3)(-3-4)=0+2 482 xÛ`-3x-A=0이 중근을 가지므로 (-3)Û`-4_(-A)=0 ∴ A=- ;4(; 정답 및 해설 75 ④ ④ ③ ③ ④ ⑤ ④ 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 75 2014-10-23 오전 11:09:35 유형편 따라서 xÛ`-3x+ =0이므로 { ;4(; x- =0, x= (중근) ;2#; ;2#;} 2` 4-a+2-a+8=0, -2a=-14 ∴ a=7 ∴ B= ;2#; =A_ 1 B ∴ ;bA; =- _ =- ;4(; ;3@; ;2#; 483 근과 계수의 관계에 의해 a+b=8, ab=10 ∴ (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab=64-40=24 484 두 근을 a, a+5로 놓으면 a+(a+5)=3 ∴ a=-1 따라서 두 근이 -1, 4이므로 2m-mÛ` 2 -1_4= , mÛ`-2m-8=0 (m-4)(m+2)=0 ∴ m=4`(∵ m>0) 485 근을 가질 조건은 bÛ`-4ac¾0이어야 한다. (-5)Û`-4_2_k¾0이므로 25-8k¾0, -8k¾-25 ∴ kÉ ;;ª8°;; 486 a+b= , ab= 이므로 ;2!; ;2%; a+b ab + = =5, =2 ;!; ;º!; ;Áº; 따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`-5x+2=0 487 연속하는 세 짝수를 x-2, x, x+2라 하면 (x+2)Û`=xÛ`+(x-2)Û`, xÛ`-8x=0 x(x-8)=0 ∴ x=8`(∵ x는 자연수) 따라서 세 짝수는 6, 8, 10이므로 가장 큰 짝수는 10이다. 488 60x-5xÛ`=175, xÛ`-12x+35=0 (x-5)(x-7)=0 ∴ x=5 또는 x=7 따라서 처음 도달하는 시간은 5초 후이다. 489 도로의 폭을 x`m라 하면 (30-x)(24-x)=520, xÛ`-54x+200=0 (x-4)(x-50)=0 ∴ x=4`(∵ 0<x<24) 따라서 도로의 폭은 4`m이다. 490 x=-1을 주어진 방정식에 대입하면 4_(-1)Û`+(a-2)_(-1)-a+8=0 76 Ⅲ- 1 이차방정식 ④ ① ① ① ⑤ ② 491 서로 다른 두 개의 주사위를 던져 나올 수 있는 모든 경우의 수는 36가지이다. xÛ`-9x+18=0, (x-3)(x-6)=0 ∴ x=3 또는 x=6 따라서 xÛ`-9x+18=0을 만족하는 순서쌍은 ⑤ (1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)이므로 구하는 확률은 이다. ;3¦6; 492 x(x-3) = 4 (x-2)(x+4) 3 3x(x-3)=4(x-2)(x+4) 의 양변에 12를 곱하면 xÛ`+17x-32=0 ∴ x= -17Ñ 2 '¶ 417 x= -17Ñ 2 '¶ 417 493 다른 한 근은 6+5 -56-6k=(6-5 ' 2)(6+5 2 이므로 ' 2)=-14 ' ∴ k=-7 494 xÛ`+(3a-1)x-7a=0에 x=-7을 대입하면 49-21a+7-7a=0 ∴ a=2 xÛ`+(3a-1)x-7a=0에 a=2를 대입하면 xÛ`+5x-14=0, (x+7)(x-2)=0 ∴ x=-7 또는 x=2 따라서 b=2 ③ ∴ =1 ;aB; 채점 기준 a의 값을 구한 경우 b의 값을 구한 경우 의 값을 구한 경우 ;aB; 495 이차방정식 4xÛ`-16x+3=0의 양변을 4로 나누면 xÛ`-4x+ =0, xÛ`-4x=- ;4#; ;4#; 이 식의 양변에 { -4 2 } `을 더하면 xÛ`-4x+4=- +4 ∴ (x-2)Û`= ;4#; ;;Á4£;; 따라서 a=-2, b= 이므로 ;;Á4£;; ab=- ;;Á2£;; 7 ;3¦6; -7 ▶ 40% ▶ 40% ▶ 20% 배점 40% 40% 20% 1 ▶ 60% ▶ 20% ▶ 20% 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 76 2014-10-23 오전 11:09:36 2 Ⅳ- 1 이차함수와 그래프 채점 기준 (x+a)Û`=b의 꼴로 나타낸 경우 a, b의 값을 구한 경우 ab의 값을 구한 경우 배점 60% 20% 20% Ⅳ- 1 이차함수와 그래프 이차함수와 그래프 ⑴ - ;;Á2£;; 498 ③ y=(x-1)(x+2)=xÛ`+x-2이므로 이차함수이다. ④ y=x(x+1)-xÛ`=xÛ`+x-xÛ`=x이므로 일차함수이다. ⑤ 이차방정식이다. 496 학생 수를 x명이라 하면 한 학생이 받는 사과의 개수는 (x-3)개이므로 x(x-3)=180 xÛ`-3x-180=0, (x+12)(x-15)=0 ∴ x=15`(∵ x는 자연수) 따라서 학생 수는 15명이다. 채점 기준 이차방정식을 세운 경우 학생 수를 구한 경우 497 처음 삼각형의 밑변의 길이를 x ` cm라 하면 (x+4)(x+2)=3_ _x_x ;2!; } xÛ`-3x-4=0, (x+1)(x-4)=0 {;2!; ∴ x=4`(∵ x>0) 이차방정식을 세운 경우 해를 구한 경우 처음 삼각형의 넓이를 구한 경우 ▶ 40% ▶ 60% 배점 40% 60% 15명 ▶ 50% ▶ 30% ▶ 20% 배점 50% 30% 20% 8 cmÛ` ` 따라서 처음 삼각형의 넓이는 _4_4=8(cmÛ`) ;2!; 채점 기준 502 y =kx(x+1)-3xÛ`+2x =(k-3)xÛ`+(k+2)x 499 (ㄹ) y=xÛ`-x(x-3)=3x (일차함수) (ㅁ) y=-xÜ`-x(x-3)=-xÜ`-xÛ`+3x (이차함수가 아니다.) 500 ① y=2px (일차함수) ② y=xÜ` (이차함수가 아니다.) ③ y= _4_2x=4x (일차함수) ④ y=x(5-x)=-xÛ`+5x (이차함수) ⑤ y= _(x+4x)_6=15x (일차함수) ;2!; ;2!; 501 y=(a-2)xÛ`+x+a가 이차함수이려면 a-2+0 ∴ a+2 따라서 주어진 식이 이차함수가 되려면 k+3이어야 한다. 503 f(4)=-5_4Û`+8_4+15=-33 504 f(-3)=(-3)Û`+2=11, f(3)=3Û`+2=11이므로 f(-3)- f(3)=11-11=0 505 f(3)=2_3Û`-a_3+3=6이므로 3a=15 ∴ a=5 506 ③ a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다. 507 ① 위로 볼록한 포물선이다. ② 제3사분면과 제4사분면을 지난다. ③ 원점을 꼭짓점으로 한다. ④ y= xÛ`의 그래프와 x축에 대하여 대칭이다. ;2#; 508 이차함수의 식을 y=axÛ`으로 놓으면 이 그래프가 점 (4, 4) 를 지나므로 4=a_16 ∴ a= ;4!; ∴ y= xÛ` ;4!; 정답 및 해설 77 ②, ③ ④ ④ a+2 ⑤ ③ ④ ⑤ ③ ⑤ ③ 수플러스(중3)해설-유형편(046~077)_OK.indd 77 2014-10-23 오전 11:09:37 유형편 Ⅳ- 1 이차함수와 그래프 ③ ② ④ ③ ⑤ ③ ① 509 f(x)=axÛ`으로 놓으면 y= f(x)의 그래프가 점 (3, 2)를 지나므로 518 x=-3, y=18을 y=axÛ`에 대입하면 18=9a ∴ a=2 f(3)=9a=2 ∴ a= ;9@; 따라서 f(x)= xÛ`이므로 f(9)= _9Û`=18 ;9@; ;9@; 510 y=axÛ`의 그래프가 점 (-1, 25)를 지나므로 25=a_(-1)Û` ∴ a=25 따라서 y=25xÛ`의 그래프가 점 (k, 5)를 지나므로 5=25kÛ`, kÛ`= ;5!; 5 ∴ k= ' 5 (∵ k>0) 채점 기준 a의 값을 구한 경우 k의 값을 구한 경우 511 -2<a<- ;2!; 512 0<3a<4이므로 0<a< ;3$; 519 x=2, y=12를 대입하면 12=a_2Û` ∴ a=3 즉, y=3xÛ`에 x=-1, y=b를 대입하면 b=3_(-1)Û` ∴ b=3 ② ∴ a+b=6 ▶ 50% ▶ 50% 배점 50% 50% 5 ' 5 520 y=axÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동하면 y=axÛ`-3 이 그래프가 점 (1, -1)을 지나므로 -1=a-3 ∴ a=2 521 꼭짓점의 좌표는 (0, 7)이다. 522 ⑤ y=-xÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동 한 것이다. ③ 523 주어진 그래프의 식은 y=- xÛ`+3 ;2!; 따라서 f(x)=- xÛ`+3이므로 f(2)=1, f(4)=-5 ;2!; ⑤ ∴ f(2)- f(4)=1-(-5)=6 513 아래로 볼록한 것은 y= xÛ`, y=2xÛ`, y= xÛ`이고, ;4#; ;6%; 이 중 폭이 가장 넓은 것은 xÛ`의 계수의 절댓값이 가장 작은 y= xÛ`의 그래프이다. ;4#; 524 y=axÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동하면 y=a(x-1)Û` 이 그래프가 점 (3, -8)을 지나므로 -8=a(3-1)Û`, -8=4a ① ∴ a=-2 xÛ`의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 이차함수의 식은 514 y= ;4#; ① y=- xÛ`이다. ;4#; 515 x축에 대칭인 그래프는 xÛ`의 계수의 절댓값이 같고, 부호가 서로 다른 함수이다. 525 (ㄷ) 이차함수 y=- ;3@; xÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평행이동하면 y=- xÛ`+3과 포개어진다. ;3@; (ㅂ) 이차함수 y=- xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼 평행 이동하면 y=- (x-1)Û`과 포개어진다. ;3@; ;3@; ① ②, ④ 516 y=2xÛ`의 그래프가 점 (-2, a)를 지나므로 x=-2, y=a를 대입하면 y=-2xÛ`의 그래프는 y=2xÛ`의 그래프와 x축에 대칭이므로 a=2_(-2)Û`=8 b=-2 ∴ a+b=6 517 ④ x=-1, y=2를 y=2xÛ`에 대입하면 만족되므로 (-1, 2)는 y=2xÛ`의 그래프 위의 점이다. 526 축의 방정식이 x=-1이므로 p=-1 y=a(x+1)Û`에 x=-3, y=4를 대입하면 a=1 ∴ a+p=0 (ㄷ), (ㅂ) ③ 527 ② y= ;3!; xÛ`-2의 축의 방정식은 x=0이고, ① y=- (x+2)Û`의 축의 방정식은 x=-2이다. ;3!; ③ 꼭짓점의 좌표는 각각 (0, -2), (-2, 0)으로 서로 다르다. ④ ④ y= xÛ`-2의 그래프는 점 { ;3!; 1, - ;3%;} 를 지난다. 78 Ⅳ- 1 이차함수와 그래프 수플러스 해설-유형편78~_ok.indd 78 2014-10-23 오전 10:25:13 ⑤ y=- (x+2)Û`은 y=- xÛ`의 그래프를 평행이동한 것이다. ;3!; ;3!; 535 y=2xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으 로 3만큼 평행이동하면 이상에서 그래프의 꼭짓점이 제2사분면에 있는 이차함수는 (ㄴ)뿐 k=- _2Û`+3=2 ① ① ② y=2(x+2)Û`+3 이 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면 y=2(-x+2)Û`+3 ∴ y=2(x-2)Û`+3 (x-2)Û`-3의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그 536 y= ;4!; 래프의 식은 ;4!; ;4!; -y= (x-2)Û`-3 ∴ y=- (x-2)Û`+3 ;4!; 이 그래프가 점 (4, k)를 지나므로 537 y=a(x+3)Û`의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하면 -y=a(x+3)Û` ∴ y=-a(x+3)Û` ▶ 40% 이 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면 y=-a(-x+3)Û` ∴ y=-a(x-3)Û` ▶ 40% 제3사분면 채점 기준 이 그래프가 점 (1, -4)를 지나므로 -4=-a_4 ∴ a=1 x축에 대하여 대칭이동시킨 함수식을 구한 경우 y축에 대하여 대칭이동시킨 함수식을 구한 경우 a의 값을 구한 경우 528 이차함수 y=a(x-1)Û`의 그래프가 점 (2, -3)을 지나므로 -3=a(2-1)Û` ∴ a=-3 ∴ y=-3(x-1)Û` 따라서 x>1일 때 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 529 주어진 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하면 (ㄱ) (3, 1) ⇒ 제1사분면 (ㄴ) (-2, 2) ⇒ 제2사분면 (ㄷ) (-1, -4) ⇒ 제3사분면 (ㄹ) (2, -1) ⇒ 제4사분면 이다. 530 y=(x-5)Û`-3의 그래프의 꼭짓점의 좌표 는 (5, -3)이고 아래로 볼록하므로 그래프는 오 른쪽 그림과 같다. 면이다. 따라서 그래프가 지나지 않는 사분면은 제3사분 531 ② 위로 볼록한 포물선이다. ③ 꼭짓점의 좌표는 (2, 1)이다. ④ y=-3xÛ`의 그래프를 평행이동시킨 것이다. ⑤ x>2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 532 y=-2(x-2-3)Û`+4+3=-2(x-5)Û`+7 ① ② 538 꼭짓점의 좌표가 (-2, 4)이므로 -p=-2 ∴ p=2, q=4 즉, y=a(x+2)Û`+4의 그래프가 점 (-1, 0)을 지나므로 533 y=3(x-p-2)Û`-2+q와 y=3xÛ`의 그래프가 일치하므로 -p-2=0, -2+q=0 0=a+4 ∴ a=-4 ∴ a+p+q=2 따라서 p=-2, q=2이므로 p-q=-4 534 이차함수 y=-3(x+4)Û`+5의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동시키면 ① 539 y=a(x-p)Û`+q에서 꼭짓점의 좌표가 (-2, 5)이므로 y=a(x+2)Û`+5이다. 한편, 그래프가 점 (-1, 3)을 지나므로 y=-3(x+2+4)Û`+5+3=-3(x+6)Û`+8 ▶ 40% 3=a(-1+2)Û`+5, 3=a+5 ∴ a=-2 ④ 2 ▶ 20% 배점 40% 40% 20% 1 2 -3 ∴ y=-2(x+2)Û`+5 따라서 y축과 만나는 점의 y좌표는 x=0일 때, y=-2_(0+2)Û`+5=-3 한편, 이 그래프가 점 { k, ;3*;} 을 지나므로 =-3(k+6)Û`+8, 3(k+6)Û`=8- ;3*; ;3*; k+6=Ñ ;3$; ∴ k=- 또는 k=- ;;ª3ª;; ;;Á3¢;; 채점 기준 평행이동한 그래프의 함수식을 구한 경우 k의 값을 구한 경우 ▶ 60% 배점 40% 60% 540 주어진 그래프에서 꼭짓점의 좌표가 (-3, 5)이므로 p=-3, q=5 즉, y=a(x+3)Û`+5의 그래프가 점 (0, -4)를 지나므로 -4=9a+5 ∴ a=-1 ∴ a+p+q=1 k=- 또는 k=- ;;ª3ª;; ;;Á3¢;; ③ 정답 및 해설 79 수플러스 해설-유형편78~_ok.indd 79 2014-10-23 오전 10:25:15 유형편 541 그래프가 위로 볼록하므로 a<0 꼭짓점 (p, q)가 제2사분면 위에 있으므로 p<0, q>0 542 이차함수 y=axÛ`-q의 그래프가 제1, 2사 분면만을 지나기 위해서는 오른쪽 그림과 같아야 하므로 ∴ aqÉ0 a>0이고 -q¾0, 즉 qÉ0 이차함수와 그래프 ⑵ 543 y=- xÛ`+2x+1 =- (xÛ`-6x)+1 =- (xÛ`-6x+9-9)+1 =- (xÛ`-6x+9)+3+1 =- (x-3)Û`+4 ;3!; ;3!; ;3!; ;3!; ;3!; 544 y=-xÛ`+2x+3=-(x-1)Û`+4 따라서 a=-1, p=1, q=4이므로 a+p+q=4 545 y=-2xÛ`-x+3=-2 xÛ`+ x+ ;2!; - ;1Á6; ;1Á6;} +3 { =-2 x+ { Û`+ ;4!;} ;;ª8°;; 따라서 p=- , ;4!; ;q!; = ;;ª8°;; 이므로 p=- , q= ;4!; ;2¥5; ∴ pq=- ;2ª5; 채점 기준 y=a(x-p)Û`+q 꼴로 나타낸 경우 p, q의 값을 각각 구한 경우 pq의 값을 구한 경우 547 ① x=0 ② x=-3 ③ x=-6 ④ y= x- { ;2#;} ;4%; Û`- 이므로 x= ;2#; ⑤ y= (x+3)Û`- 이므로 x=-3 ;2!; ;2!; 따라서 그래프의 축이 가장 왼쪽에 있는 것은 ③이다. 80 Ⅳ- 1 이차함수와 그래프 ③ ▶ 40% ▶ 20% 배점 40% 40% 20% 21 ④ ① 548 y=-3(x-3)Û`-1=-3(xÛ`-6x+9)-1 =-3xÛ`+18x-27-1=-3xÛ`+18x-28 ⑤ =-3xÛ`+ax+b ∴ a=18, b=-28 따라서 a+b=-10 549 y=-xÛ`+6x=-(x-3)Û`+9의 그래프의 꼭짓점의 좌표 ▶ 40% 는 (3, 9) y=xÛ`-2px+q=(x-p)Û`-pÛ`+q의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 ① (p, -pÛ`+q) 따라서 p=3, -pÛ`+q=9이므로 q=18 ∴ p+q=21 채점 기준 y=-xÛ`+6x의 꼭짓점의 좌표를 구한 경우 y=xÛ`-2px+q의 꼭짓점의 좌표를 구한 경우 p+q의 값을 구한 경우 550 ① 꼭짓점의 좌표는 (0, -3) : y축 위에 있으므로 어느 사 분면에도 속하지 않는다. (ㄷ) ② 꼭짓점의 좌표는 (-1, -3) : 제3사분면 Û`+ ③ y=- x- 이므로 꼭짓점의 좌표는 ;2#;} ;;ª4£;; , {;2#; ;;ª4£;;} : ;3!;{ 제1사분면 ④ 꼭짓점의 좌표는 (1, -3) : 제4사분면 ⑤ y=- (x+6)Û`+15이므로 꼭짓점의 좌표는 (-6, 15) : ④ ;2!; 제2사분면 50% ▶ 40% ▶ 10% ▶ 배점 50% 40% 10% - ;2ª5; 551 y=2xÛ`-8x+5=2(x-2)Û`-3의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=2(x-m-2)Û`-3+n y=2xÛ`+4x=2(x+1)Û`-2이므로 -m-2=1, -3+n=-2 따라서 m=-3, n=1이므로 m-n=-4 552 y= ;2!; xÛ`-5x+5= (x-5)Û`- ;2!; ;;Á2°;; 이 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행 ③ y= (x+2-5)Û`- +3= (x-3)Û`- 이므로 ;;Á2°;; ;2!; ;2(; ;2!; 꼭짓점의 좌표는 { 3, - ;2(;} 553 y=axÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으 로 -5만큼 평행이동하면 ③ y =a(x+1)Û`-5=a(xÛ`+2x+1)-5 { 3, - ;2(;} 546 y=xÛ`-6x+1=(x-3)Û`-8 ∴ 꼭짓점의 좌표 : (3, -8), 축의 방정식 : x=3 이동하면 수플러스 해설-유형편78~_ok.indd 80 2014-10-23 오전 10:25:16 =axÛ`+2ax+a-5=-2xÛ`+bx+c 따라서 a=-2, b=-4, c=-7이므로 a+b-c=1 561 y=-xÛ`-6x-2=-(x+3)Û`+7 ① 축의 방정식은 x=-3이다. ③ y축과 점 (0, -2)에서 만난다. ③ ④ 꼭짓점의 좌표는 (-3, 7)이다. 554 y=- xÛ`-2x-5=- (xÛ`+4x)-5 ;2!; ;2!; ;2!; =- (x+2)Û`-3 따라서 꼭짓점의 좌표가 (-2, -3)이고, 위로 볼록하면서 y축과 의 교점이 (0, -5)인 그래프이므로 ③이다. ⑤ y=-xÛ`-6x-2의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래프는 -y=-xÛ`-6x-2 ∴ y=xÛ`+6x+2 ②, ⑤ 562 y=4x Û`-8x+1=4(x-1)Û`-3의 그래프를 x축의 방향 으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 식은 ③ y=4(x+1)Û` 555 y=3xÛ`+6x+1=3(x+1)Û`-2 꼭짓점의 좌표가 (-1, -2)이고 아래로 볼록 하면서 y축과의 교점이 (0, 1)이다. 따라서 제4사분면을 지나지 않는다. 556 y=3xÛ`-12x+5=3(x-2)Û`-7이므로 구하는 범위가 될 수 있는 것은 x<2 557 y=- xÛ`+ax-3 ;2!; ;2!; =- (x-a)Û`+ -3 aÛ` 2 이때 축의 방정식이 x=a이므로 a=2 채점 기준 y=a(x-p)+q 꼴로 나타낸 경우 a의 값을 구한 경우 558 y=0을 대입하면 xÛ`-3x-4=0, (x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4 ∴ p=-1, q=4 또는 p=4, q=-1 x=0을 대입하면 y=-4 ∴ r=-4 ∴ p+q+r=-1 559 y=0을 대입하면 xÛ`-2x- =0 ;;Á3¤;; ;3!; xÛ`-6x-16=0, (x+2)(x-8)=0 ∴ x=-2 또는 x=8 따라서 A(-2, 0), B(8, 0)으로 놓으면 ABÓ=10 560 점 (4, 0)을 지나므로 x=4, y=0을 대입하면 0=32+4a-24 ∴ a=-2 y=2xÛ`-2x-24=2(x+3)(x-4) 따라서 다른 한 점의 좌표는 (-3, 0)이다. (ㄱ) 꼭짓점의 좌표는 (-1, 0)이므로 x축 위에 있다. (ㄴ) y축과의 교점의 좌표는 (0, 4)이다. (ㄹ) 모든 x의 값에 대하여 y의 값은 항상 0 또는 양수이다. (ㄱ), (ㄷ) 563 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0 ∴ b>0 y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 있으므로 c<0 564 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 ∴ b<0 y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 있으므로 c<0 ① ac<0 ② ab<0 ③ abc>0 ④ x=1을 대입하면 y=a+b+c<0 ⑤ x=-1을 대입하면 y=a-b+c>0 565 일차함수 y=ax+b의 그래프에서 a<0, b<0 따라서 y=-xÛ`+ax+b의 그래프는 이차항의 계수가 음수이므로 위로 볼록하고 -1_a>0이므로 축이 y축의 왼쪽에 있으며 b<0이므로 y축과 원점의 아래쪽에서 만나므로 그래프는 ⑤이다. ⑤ 566 y=axÛ`-bx+c=a { xÛ`- x } ;aB; +c =a { x- Û`- b 2a } b 2a bÛ`-4ac 4a bÛ`-4ac 4a , - 꼭짓점의 좌표가 { bÛ`-4ac 4a <0, - b 2a 따라서 꼭짓점은 제2사분면에 있다. >0 } 이므로 567 꼭짓점의 좌표가 (2, 5)이므로 이차함수의 식을 y=a(x-2)Û`+5로 놓을 수 있다. 이 그래프가 점 (3, 0)을 지나므로 0=a+5 ∴ a=-5 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-5(x-2)Û`+5=-5xÛ`+20x-15이므로 이 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -15)이다. ② ④ ③ (0, -15) 정답 및 해설 81 ④ ② ▶ 80% ▶ 20% 배점 80% 20% 2 ③ 10 ⑤ 수플러스 해설-유형편78~_ok.indd 81 2014-10-23 오전 10:25:17 유형편 568 y=axÛ`+bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (1, -3)이므 로 y=a(x-1)Û`-3으로 놓을 수 있다. y=a(x-2)Û`+q로 놓을 수 있다. 이 그래프가 두 점 (0, 5), (5, 0)을 지나므로 이 그래프가 점 (0, -1)을 지나므로 -1=a-3 ∴ a=2 따라서 y=2(x-1)Û`-3=2xÛ`-4x-1이므로 a=2, b=-4, c=-1 ∴ a+b-c=2+(-4)-(-1)=-1 x=0, y=5를 대입하면 5=4a+q …… ㉠ x=5, y=0를 대입하면 0=9a+q …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, q=9 따라서 y=-(x-2)Û`+9=-xÛ`+4x+5이므로 b=4, c=5 ② ∴ abc=-20 569 꼭짓점의 좌표가 (-2, 6)이므로 y=a(x+2)Û`+6으로 놓 고, x=2, y=-10을 대입하면 -10=16a+6 ∴ a=-1 ∴ y=-(x+2)Û`+6=-xÛ`-4x+2 576 y=axÛ`+2x+b의 그래프가 세 점 (-1, 0), (0, -1), (1, c)를 지나므로 x=-1, y=0을 대입하면 0=a-2+b …… ㉠ y=-xÛ`-4x+2 x=0, y=-1을 대입하면 -1=b …… ㉡ 570 꼭짓점의 좌표가 (0, -4)이므로 이차함수의 식을 y=axÛ`-4로 놓을 수 있다. 이 그래프가 점 (3, 0)을 지나므로 0=9a-4 ∴ a= ;9$; 따라서 y= xÛ`-4의 그래프가 점 (6, k)를 지나므로 ;9$; k= _6Û`-4=12 ;9$; 571 꼭짓점의 좌표가 (-1, -2)이므로 y=a(x+1)Û`-2 이 그래프가 점 (0, -1)을 지나므로 -1=a-2 ∴ a=1 즉, y=(x+1)Û`-2=xÛ`+2x-1이므로 a=1, b=2, c=-1 ∴ a+b+c=1+2+(-1)=2 ③ ⑤ 572 y=xÛ`+bx+c의 그래프의 축의 방정식이 x=-4이므로 y=(x+4)Û`+q로 놓을 수 있다. 이 그래프가 점 (-2, 2)를 지나므로 x=-2, y=2를 대입하면 2=4+q ∴ q=-2 따라서 y=(x+4)Û`-2=xÛ`+8x+14이므로 b=8, c=14 ∴ b+c=22 x=1, y=c를 대입하면 c=a+2+b …… ㉢ ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=3, b=-1, c=4 ∴ a+b+c=6 577 세 점 (0, 4), (-1, 6), (-2, 2)를 차례로 대입하면 4=c …… ㉠ 6=a-b+c …… ㉡ 2=4a-2b+c …… ㉢ ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-3, b=-5, c=4 ∴ abc=60 578 y=axÛ`+bx+c로 놓고 x=1, y=4를 대입하면 4=a+b+c …… ㉠ x=-1, y=10을 대입하면 10=a-b+c …… ㉡ x=0, y=6을 대입하면 6=c …… ㉢ ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=1, b=-3, c=6 ∴ y=xÛ`-3x+6= xÛ`-3x+ { - ;4(; ;4(;} +6 = x- { ;2#;} Û`+ ;;Á4°;; 22 따라서 꼭짓점의 좌표는 , {;2#; ;;Á4°;;} 이다. 573 x축에 접하고 축의 방정식이 x=1이므로 y=a(x-1)Û`이다. 그리고 점 (0, -2)를 지나므로 x=0, y=-2를 대입하면 a=-2 ∴ y=-2(x-1)Û`=-2xÛ`+4x-2 채점 기준 x=1, y=4를 대입하여 식을 세운 경우 x=-1, y=10을 대입하여 식을 세운 경우 574 y=a(x+1)Û`+q라 하고 x=1, y=11을 대입하면 11=4a+q …… ㉠ x=-4, y=21을 대입하면 21=9a+q …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, q=3 ∴ y=2(x+1)Û`+3 따라서 꼭짓점의 좌표는 (-1, 3)이다. 575 y=axÛ`+bx+c의 그래프의 축의 방정식이 x=2이므로 82 Ⅳ- 1 이차함수와 그래프 ⑤ x=0, y=6을 대입하여 식을 세운 경우 a, b, c의 값을 각각 구한 경우 y=a(x-p)Û`+q 꼴로 나타낸 경우 꼭짓점의 좌표를 구한 경우 ③ 579 y=axÛ`+bx+c의 그래프에서 x축과의 교점이 (-1, 0), (2, 0)이므로 y=a(x+1)(x-2)=axÛ`-ax-2a 이때 y축과의 교점이 (0, 4)이므로 -20 6 ① ▶ 10% ▶ 10% ▶ 10% ▶ 20% ▶ 40% ▶ 10% 배점 10% 10% 10% 20% 40% 10% , {;2#; ;;Á4°;;} 수플러스 해설-유형편78~_ok.indd 82 2014-10-23 오전 10:25:19 4 ② ④ 4=-2a ∴ a=-2 따라서 y=-2xÛ`+2x+4 ∴ b=2, c=4 ∴ a+b+c=4 m=-11 ∴ M+m=-7 M의 값을 구한 경우 m의 값을 구한 경우 M+m의 값을 구한 경우 채점 기준 580 y=-2(x+3)(x-5)=-2xÛ`+4x+30 581 y=axÛ`+bx+c의 그래프가 x축과 두 점 (-4, 0), (3, 0) 에서 만나므로 y=a(x+4)(x-3)으로 놓을 수 있다. 이 그래프가 점 (0, 12)를 지나므로 12=-12a ∴ a=-1 따라서 y=-(x+4)(x-3)=-xÛ`-x+12이므로 b=-1, c=12 ∴ abc=12 587 y= ;2!; (x+3-3)Û`+ +2= xÛ`+ ;5$; ;2!; ;;Á5¢;; 따라서 이차함수의 최솟값은 이다. ;;Á5¢;; 588 y=axÛ`+2ax-7=a(x+1)Û`-a-7 이 함수의 최댓값이 -3이므로 ④ -a-7=-3 ∴ a=-4 582 y=a(x-1)(x-8)=a(xÛ`-9x+8)이므로 x=3, y=20을 대입하면 -10a=20 ∴ a=-2 y=-2(xÛ`-9x+8)=-2xÛ`+18x-16 따라서 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -16)이다. 583 y=a(x+5)(x-3)=a(xÛ`+2x-15)이므로 x=4, y=3을 대입하면 3=9a ∴ a= ;3!; y= (xÛ`+2x-15)= (xÛ`+2x)-5 ;3!; ;3!; ;3!; = (x+1)Û`- ;;Á3¤;; 따라서 꼭짓점의 좌표는 { -1, - ;;Á3¤;;} 이차함수의 활용 584 y=2xÛ`-4x+6=2(xÛ`-2x)+6 =2(xÛ`-2x+1-1)+6=2(x-1)Û`+4 따라서 x=1일 때, 최솟값 4를 갖는다. 585 y= xÛ`+4x= (xÛ`+10x+25-25) ;5@; ;5@; ;5@; = (x+5)Û`-10 따라서 x=-5일 때 최솟값 -10을 가지므로 p=-5, 2q=-10, q=-5 ∴ =1 ;pQ; 586 y=-2xÛ`+8x-4=-2(x-2)Û`+4이므로 M=4 y=xÛ`+6x-2=(x+3)Û`-11이므로 589 y=- ;3!; xÛ`+2x+k=- (x-3)Û`+3+k ;3!; x=3일 때, 최댓값 3+k를 가지므로 3+k=5 ∴ k=2 590 y=2x Û`+4x+2k=2(x+1)Û`-2+2k이므로 최솟값은 -2+2k y=-xÛ`-4x+2+k=-(x+2)Û`+6+k이므로 최댓값은 6+k 따라서 -2+2k=6+k이므로 k=8 591 y=-xÛ`+5ax=- { x- a ;2%; } Û`+ aÛ` ;;ª4°;; 이 함수의 최댓값이 25이므로 { -1, - ;;Á3¤;;} aÛ`=25 ∴ a=2 (∵ a>0) ;;ª4°;; 따라서 y=-xÛ`+10x의 그래프가 점 (1, k)를 지나므로 k=-1Û`+10_1=9 채점 기준 a의 값을 구한 경우 k의 값을 구한 경우 ④ 592 y=-xÛ`+2ax-b가 x=4에서 최댓값 2를 가지므로 y=-(x-4)Û`+2=-xÛ`+8x-14 따라서 2a=8, -b=-14이므로 a=4, b=14 ∴ b-a=10 593 y= ;2!; xÛ`+kx-1이 x=-2에서 최솟값 p를 가지므로 ② y= (x+2)Û`+p= (xÛ`+4x+4)+p ;2!; ;2!; ;2!; = xÛ`+2x+2+p ▶ 40% 따라서 k=2, 2+p=-1이므로 k=2, p=-3이다. ④ 정답 및 해설 83 ▶ 40% ▶ 20% 배점 40% 40% 20% -7 ⑤ ④ ① ④ ▶50% ▶ 50% 배점 50% 50% 9 ③ 수플러스 해설-유형편78~_ok.indd 83 2014-10-23 오전 10:25:20 유형편 594 y=xÛ`-4ax+b의 그래프의 축의 방정식이 x=4이고, 최솟값이 2이므로 y=(x-4)Û`+2=xÛ`-8x+18 따라서 -4a=-8, b=18이므로 a=2, b=18 ∴ a+b=20 595 채점 기준 y를 x에 대한 식으로 나타낸 경우 제곱의 합의 최솟값을 구한 경우 20 ② 602 직사각형의 세로의 길이를 x cm, 넓이를 y cmÛ`라고 하면 가로의 길이는 (14-x) cm이므로 y =x(14-x)=-xÛ`+14x=-(x-7)Û`+49 따라서 x=7일 때 직사각형의 넓이는 최대이므로 세로의 길이는 7 cm이다. 596 y=axÛ`+bx+c가 x=-3일 때, 최솟값 -6을 가지므로 y=a(x+3)Û`-6으로 놓을 수 있다. 이 그래프가 점 (0, -3)을 지나므로 -3=9a-6 ∴ a= ;3!; 따라서 y= (x+3)Û`-6= xÛ`+2x-3이므로 ;3!; ;3!; b=2, c=-3 ∴ abc=-2 597 축의 방정식이 x=-3이고 최댓값이 18이므로 이차함수의 식을 y=a(x+3)Û`+18으로 놓을 수 있다. 이 그래프가 점 (0, 0)을 지나므로 0=9a+18 ∴ a=-2 ∴ y=-2(x+3)Û`+18=-2xÛ`-12x 603 화단 한 변의 길이를 x m, 넓이를 y mÛ`라 하면 y=x(28-x)=-xÛ`+28x =-(x-14)Û`+196 따라서 화단의 최대 넓이는 196 mÛ`이다. ③ 604 삼각형의 밑변의 길이를 x cm, 넓이를 y cmÛ`라 하면 y= x(40-x)=- (xÛ`-40x) ;2!; ;2!; =- (x-20)Û`+200 ;2!; 따라서 삼각형의 최대 넓이는 200 cmÛ`이다. ⑤ 605 색칠한 부분의 세로의 길이가 x cm이므로 색칠한 부분의 가로의 길이는 (36-2x) cm이다. 598 조건 (가), (나)에서 이차함수가 x=-3에서 최솟값 0을 가 지므로 y=a(x+3)Û`으로 놓을 수 있다. 색칠한 부분의 넓이를 S cmÛ`라 하면 S=x(36-2x)=-2xÛ`+36x 조건 (다)에서 이 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로 =-2(x-9)Û`+162 3=9a ∴ a= ∴ y= (x+3)Û`= xÛ`+2x+3 ;3!; ;3!; ;3!; 599 합이 10인 두 수를 x, 10-x라 하고, 두 수의 곱을 y라 하면 y =x(10-x)=-xÛ`+10x =-(x-5)Û`+25 따라서 두 수의 곱의 최댓값은 25이다. y= xÛ`+2x+3 ;3!; 따라서 x=9일 때 색칠한 부분의 넓이는 최대이다. 606 새로운 직사각형의 가로의 길이는 (11-x) cm, 세로의 길이는 (3+x) cm이므로 y =(11-x)(3+x)=-xÛ`+8x+33 =-(xÛ`-8x+16-16)+33=-(x-4)Û`+49 따라서 x=4일 때 직사각형의 넓이는 최대이다. 607 (직사각형의 넓이) =(20-x)(16+2x) 25 =-2xÛ`+24x+320=-2(x-6)Û`+392 따라서 x=6일 때 직사각형의 넓이는 최대이다. 608 새로운 삼각형의 넓이를 y cmÛ`라 하면 이 삼각형의 밑변의 길이는 (16+x) cm, 높이는 (20-x) cm이 므로 ;2!; y = (16+x)(20-x)= (-xÛ`+4x+320) ;2!; =- (x-2)Û`+162 ;2!; 따라서 삼각형의 최대 넓이는 162 cmÛ`이다. 600 두 수를 x, x+14라 하고, 두 수의 곱을 y라 하면 y =x(x+14)=xÛ`+14x =(x+7)Û`-49 따라서 두 수의 곱이 최소가 될 때의 두 수는 -7, 7이다. 601 두 수를 x, 8-x라 하고, 두 수의 제곱의 합을 y라 하면 y =xÛ`+(8-x)Û`=2xÛ`-16x+64 =2(x-4)Û`+32 따라서 두 수의 제곱의 합의 최솟값은 32이다. -7, 7 ▶ 70% ▶ 30% 84 Ⅳ- 1 이차함수와 그래프 배점 70% 30% 32 ③ ③ ⑤ ④ ② ③ ⑤ 수플러스 해설-유형편78~_ok.indd 84 2014-10-23 오전 10:25:21 609 부채꼴의 반지름의 길이를 x cm, 넓이를 y cmÛ`라 하면 y= x(16-2x)=-xÛ`+8x ;2!; =-(x-4)Û`+16 따라서 반지름의 길이가 4 cm일 때 부채꼴의 넓이는 최대이다. ③ 610 부채꼴의 반지름의 길이를 x cm, 넓이를 y cmÛ`라 하면 y= x(20-2x)=-xÛ`+10x ;2!; =-(x-5)Û`+25 길이는 5 cm이다. 따라서 부채꼴의 넓이의 최댓값은 25 cmÛ`이고, 그때의 반지름의 최댓값 : 25 cmÛ`, 반지름의 길이 : 5 cm 611 직선 y=-x+8 위의 점 P의 x좌표를 k라 하면 P(k, -k+8) ☐ OQPR의 넓이를 S라고 두면 S=k(-k+8)=-(k-4)Û`+16 따라서 ☐ OQPR의 최대 넓이는 16이다. 채점 기준 물 로켓이 최고 높이에 도달한 시간을 구한 경우 물 로켓이 다시 지면에 떨어진 시간을 구한 경우 물 로켓이 최고 높이에 도달한 지 다시 지면에 떨어지는 시간을 구한 경우 배점 40% 40% 20% 3초 후 616 y=0을 대입하면 -xÛ`-5x+14=0 (x+7)(x-2)=0 ∴ x=-7 또는 x=2 ∴ A(-7, 0), B(2, 0) x=0을 대입하면 y=14 ∴ C(0, 14) ∴ △ABC= _9_14=63 ;2!; 617 x=0을 대입하면 y=15 ∴ y축과의 교점은 A(0, 15) y=xÛ`-10x+15=(x-5)Û`-10 ∴ 꼭짓점 B(5, -10) A(0, 15), B(5, -10), O(0, 0)이므로 ∴ △ABO= _15_5= ;2!; ;;¦2°;; ④ ▶ 40% 배점 60% 40% (1, 2) 612 점 P의 좌표를 (x, -2x+4)라 하고, △POA의 넓이를 y라 하면 618 y=-2xÛ`+2ax+a=-2 x- a ;2!; } { Û`+ aÛ` 2 +a M= aÛ`+a= (a+1)Û`- 이므로 M은 a=-1일 때 ;2!; ;2!; ;2!; y= x(-2x+4)=-xÛ`+2x=-(x-1)Û`+1 ▶ 60% ;2!; 따라서 x=1일 때 △ POA의 최대 넓이는 1이므로 최솟값이 - 이다. ;2!; 점 P의 좌표는 (1, 2) 채점 기준 y를 x에 대한 식으로 나타낸 경우 점 P의 좌표를 구한 경우 613 h =-5xÛ`+30x+20=-5(xÛ`-6x+9-9)+20 =-5(x-3)Û`+65 즉, x=3일 때 높이 h는 최대가 된다. 따라서 가장 높이 올라갈 때까지 걸린 시간은 3초이다. 614 y=- ;4!; xÛ`+4x=- (x-8)Û`+16 ;4!; 즉, x=8일 때 높이 y는 최대가 된다. 따라서 농구공이 가장 높이 올라갔을 때의 높이는 16 m이다. 615 y=30x-5xÛ`=-5(x-3)Û`+45이므로 3초 후에 최고 높이에 도달한다. 물 로켓이 x초 후에 다시 지면에 떨어진다고 하면 30x-5xÛ`=0, x(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ x>0) 떨어진다. ▶ 40% ▶ 20% 619 y=xÛ`+2ax-4a+6=(x+a)Û`-aÛ`-4a+6 ∴ m=-aÛ`-4a+6=-(a+2)Û`+10 따라서 m의 최댓값은 10이고, 그때의 a의 값은 -2이다. 최댓값 : 10, a=-2 620 이익을 y만 원이라 하면 y=- xÛ`+60x-100=- (x-300)Û`+8900 ;1Á0; ;1Á0; 따라서 하루에 300개를 생산할 때 이익은 최대가 된다. ① 621 ① 이차함수가 아니다. ② 일차함수 ③ y=2x+1(일차함수) ④ y=-3xÛ`-4x-1(이차함수) ⑤ y=xÜ`-x(이차함수가 아니다.) 16 m 622 f(-1)=a_(-1)Û`-5_(-1)-4=3이므로 a=2 즉, f(x)=2xÛ`-5x-4이므로 b= f(2)=2_2Û`-5_2-4=-6 ▶ 40% ∴ a-b=8 623 이차함수 y=axÛ`의 그래프에서 a의 절댓값이 클수록 그래프 의 폭이 좁아진다. 따라서 최고 높이에 도달한 지 3초 후에 다시 지면에 따라서 그래프의 폭이 가장 좁은 것은 ①이다. 63 ⑤ ① ④ ④ ⑤ ① 정답 및 해설 85 수플러스 해설-유형편78~_ok.indd 85 2015-01-05 오전 10:43:46 유형편 624 ⑤ y=-axÛ`의 그래프와 x축에 대하여 대칭이다. ⑤ 634 이차함수 y=2xÛ`+8x+6=2(x+2)Û`-2이므로 ① 제4사분면을 지나지 않는다. 625 y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프의 이차함수의 식 은 y=-3xÛ`+q 이 그래프가 점 (-2, 5)를 지나므로 5=-3_(-2)Û`+q ∴ q=17 ② 축의 방정식은 x=-2이다. ③ 꼭짓점의 좌표는 (-2, -2)이다. ④ 2xÛ`+8x+6=0, 2(x+3)(x+1)=0 ∴ x=-3 또는 x=-1 따라서 x축과의 교점의 좌표는 (-3, 0), (-1, 0)이다. 626 꼭짓점의 좌표가 (3, 0)이므로 p=3 따라서 y=a(x-3)Û`의 그래프가 점 (5, 2)를 지나므로 2=a(5-3)Û` ∴ a= ;2!; ∴ p-2a=3-2_ =2 ;2!; 635 y=3xÛ`-12x+4=3(x-2)Û`-8을 x축의 방향으로 k만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=3(x-k-2)Û`-8 축의 방정식이 x=k+2이므로 k+2=3 ∴ k=1 627 a<0, b>0이므로 y=a(x-b)Û`의 그래프로 적당한 것은 ⑤ 이다. 628 y=2xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼 평행이동시키고 y축의 방향으로 n만큼 평행이동시킨 그래프의 관계식은 y=2(x-m)Û`+n이므로 y=2(x-m)Û`+n=2(x-3)Û`-5 ∴ m=3, n=-5 ∴ m+n=-2 629 ③ 제1, 2사분면을 지난다. ⑤ y=2xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 5만큼, y축의 방향으로 2만 큼 평행이동한 것이다. 636 y=2axÛ`-8ax-3=2a(x-2)Û`-8a-3 이 함수의 최댓값이 21이므로 -8a-3=21 ∴ a=-3 637 닭장의 둘레의 길이가 20 m이므로 가로의 길이는 (20-2x) m이다. 닭장의 넓이를 y mÛ`이라 하면 y =x(20-2x)=-2xÛ`+20x ① =-2(xÛ`-10x+25-25)=-2(x-5)Û`+50 따라서 x=5일 때 넓이는 최대가 된다. 638 y=axÛ`+q의 그래프가 두 점 (-2, -2), (1, 1)을 지나므로 x=-2, y=-2를 대입하면 4a+q=-2 …… ㉠ ③, ⑤ x=1, y=1을 대입하면 a+q=1 …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, q=2 630 꼭짓점의 좌표가 (-3, -5)이므로 p=-3, q=-5 y=a(x+3)Û`-5의 그래프가 점 (0, -2)를 지나므로 ∴ a-q=-3 -2=a_3Û`-5 ∴ a= ;3!; ∴ apq= _(-3)_(-5)=5 ;3!; 631 y= ;3!; 그림과 같다. (x-2)Û`- 의 그래프는 오른쪽 ;3$; 따라서 지나지 않는 사분면은 제3사분면이다. 639 a=2, b=-3이므로 a-b=5 640 y=-3xÛ`+2x=-3 x- { ;3!;} Û`+ ;3!; 의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=-3 x+2- { ;3!;} =-3xÛ`-10x-9 Û`-1+ ;3!; =-3 x+ { ;3%;} ;3@; Û`- 따라서 a=-3, b=-10, c=-9이므로 a+b-c=-4 632 y=2(x-5)Û`+3의 그래프는 x>5일 때, x의 값이 증가하 면 y의 값도 증가한다. 633 ⑤ y=(2+x)(2-x)-2xÛ`=4-xÛ`-2xÛ`=-3xÛ`+4 641 y=-4tÛ`+32t=-4(t-4)Û`+64이므로 물체의 높이는 4초 후에 64 m로 최대가 된다. 86 Ⅳ- 1 이차함수와 그래프 ⑤ ① ④ ③ -3 5 -4 4초 후 ③ ④ ⑤ ④ ③ ① ⑤ 수플러스 해설-유형편78~_ok.indd 86 2014-10-23 오전 10:25:24 ▶`50% 648 a, b, c, d, e의 평균이 30이므로 a+b+c+d+e =30 5 V- 1 대푯값과 산포도 642 y=2(x-1)Û`+3+q의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, 3+q)이므로 Ⅴ- 1 대푯값과 산포도 p=1, q=-3 ∴ p+q=-2 채점 기준 꼭짓점의 좌표를 구한 경우 p, q의 값을 각각 구한 경우 p+q의 값을 구한 경우 643 y =2xÛ`-4x+a=2(xÛ`-2x)+a =2(xÛ`-2x+1-1)+a =2(x-1)Û`-2+a 따라서 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, -2+a)이므로 1=b, -2+a=3 따라서 a=5, b=1이므로 a+b=6 채점 기준 y=a(x-p)Û`+q 꼴로 나타낸 경우 a, b의 값을 각각 구한 경우 a+b의 값을 구한 경우 644 y=xÛ`-x-6에 y=0을 대입하면 xÛ`-x-6=0, (x+2)(x-3)=0 ∴ x=-2 또는 x=3 ∴ A(-2, 0), B(3, 0) 또, y=xÛ`-x-6에 x=0을 대입하면 y=-6 ∴ C(0, -6) ∴ △ABC= _5_6=15 ;2!; 채점 기준 x축과의 교점을 구한 경우 점 A, B의 좌표를 구한 경우 점 C의 좌표를 구한 경우 △ABC의 넓이를 구한 경우 645 y =xÛ`-2mx-8m-19 =(x-m)Û`-mÛ`-8m-19 ∴ f(m)=-mÛ`-8m-19 f(m)=-mÛ`-8m-19=-(m+4)Û`-3 따라서 f(m)의 최댓값은 -3이다. 채점 기준 y=a(x-p)Û`+q 꼴로 나타낸 경우 f(m)을 구한 경우 f(m)을 y=a(x-p)Û`+q 꼴로 나타낸 경우 최댓값을 구한 경우 ▶`50% ▶`30% ▶`20% 배점 50% 30% 20% -2 ▶`30% ▶`20% 배점 50% 30% 20% 6 ▶`45% ▶`30% ▶`15% ▶`10% 배점 45% 30% 15% 10% 15 ▶30% ▶20% ▶30% ▶20% 배점 30% 20% 30% 20% -3 대푯값 646 6명의 등교 시간의 평균은 31+37+28+32+29+35 6 = 192 6 =32(분) 647 a+b+c 3 =10이므로 a+b+c=30 ∴ (평균)= 9+a+b+c+11 5 = 50 5 =10 ∴ a+b+c+d+e=150 따라서 3a-2, 3b-2, 3c-2, 3d-2, 3e-2의 평균은 (3a-2)+(3b-2)+(3c-2)+(3d-2)+(3e-2) 5 = 3(a+b+c+d+e)-5_2 5 = 3_150-10 5 = 440 5 =88 649 4회에 걸친 국어 성적의 합은 4_91=364(점)이고 5회의 국어 성적을 x점이라 하면 364+x 5 ∴ x=96 =92, 364+x=460 따라서 5회의 국어 성적은 96점이다. 650 학생 30명의 몸무게의 평균이 50 kg이므로 총합은 50_30=1500 (kg)이다. 이때 전학 간 학생의 몸무게를 x kg이라 하면 1500-x 29 ∴ x=64.5 =49.5, 1500-x=1435.5 따라서 전학 간 학생의 몸무게는 64.5 kg이다. 651 292+x+308+287+300 =304 5 1187+x=1520 ∴ x=333 32분 ① ④ ② ② 333 652 5회의 영어 성적을 x점이라 하면 6회에 걸친 영어 성적의 평 균이 90점이므로 97+100+78+89+x+91 6 =90 455+x 6 =90, 455+x=540 ∴ x=85 따라서 5회의 영어 성적은 85점이다. ⑤ 정답 및 해설 87 수플러스 해설-유형편78~_ok.indd 87 2014-10-23 오전 10:25:25 유형편 653 남학생의 수학 성적의 총합은 95_25=2375(점) 여학생의 수를 x명이라 하면 여학생의 수학 성적의 총합은 89x(점) 즉, 이 반 전체의 수학 성적의 총합은 2375+89x(점) 이때 이 반 전체의 수학 성적의 평균이 92.75점이므로 2375+89x 25+x =92.75 2375+89x=2318.75+92.75x, 3.75x=56.25 ∴ x=15 따라서 여학생의 수는 15명이다. 654 자료를 작은 값부터 차례로 나열하면 17회, 19회, 21회, 22 회, 27회, 28회, 29회, 33회이고 자료의 개수는 8개이므로 중앙값은 4번째와 5번째의 값의 평균인 22+27 2 =24.5(회) ① 2, 3, 3, 4, 6, 8이므로 (중앙값)= ② 3, 4, 4, 5, 7, 8이므로 (중앙값)= 655 주어진 자료를 크기순으로 나열하면 3+4 2 4+5 2 4+7 2 3+5 2 4+6 2 ③ 2, 3, 4, 7, 7, 8이므로 (중앙값)= ④ 2, 3, 3, 5, 6, 6이므로 (중앙값)= ⑤ 1, 3, 4, 6, 8, 9이므로 (중앙값)= =3.5 =4.5 =5.5 =4 =5 656 1모둠의 필기구의 개수를 크기순으로 나열하면 1, 2, 3, 4, 6, 7, 7, 8, 9, 15 이므로 중앙값은 a= 6+7 2 2모둠의 필기구의 개수를 크기순으로 나열하면 =6.5(개) 2, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 10, 11, 14 이므로 중앙값은 b= =7(개) 7+7 2 ∴ a+b=13.5 채점 기준 중앙값을 구한 경우 x의 값을 구한 경우 659 후식의 최빈값은 아이스크림이다. ③ 660 8회에 걸친 50 m 수영 경기에서 4회에 받은 기록을 제외한 기록을 작은 값부터 차례로 나열하면 17초, 18초, 19초, 19초, 21 초, 21초, 25초이다. 이때 최빈값이 21초이므로 4회에 받은 기록은 21초이다. 24.5회 661 ① A모둠의 평균은 82점, B모둠의 평균은 84점이므로 평균 은 같지 않다. ② A모둠의 평균은 82점, 중앙값은 80점, 최빈값은 80점이므로 같지 않다. 않다. 않다. ③ A모둠의 중앙값은 80점, B모둠의 중앙값은 84점이므로 같지 ④ A모둠의 최빈값은 80점, B모둠의 최빈값은 84점이므로 같지 ⑤ B모둠의 평균, 중앙값, 최빈값은 84점이므로 같다. 662 최빈값 a=6, 중앙값 b= 3+6 2 =4.5 ③ 평균 c= 1+1+2+3+6+6+6+7 8 = =4 32 8 ∴ a+b+c=14.5 663 평균이 6이므로 9+1+a+b+7+(-5)+6+8 8 =6 26+a+b=48 ∴ a+b=22 이때 최빈값이 6이므로 a=6 또는 b=6 따라서 a>b이고 a+b=22이므로 a=16, b=6 ∴ a-b=10 664 4회에 걸쳐 치른 영어 성적이 모두 다르므로 최빈값을 x로 놓으면 657 나머지 변량을 x라고 하면 중앙값이 63이므로 x는 59와 71 사이에 있다. 이때 중앙값은 3번째와 4번째 변량의 평균이므로 59+x 2 =63, 59+x=126 ∴ x=67 90+84+76+86+x 5 336+x=5x, 4x=336 =x ∴ x=84 658 중앙값은 3번째 자료의 값이므로 6이다. 이때 평균과 중앙값이 같으므로 665 도수의 총합이 25이므로 중앙값은 턱걸이 기록이 낮은 쪽에 서 13번째인 학생이 속하는 계급, 즉 5회 이상 10회 미만인 계급에 속한다. 따라서 구하는 중앙값은 =7.5(회) 5+10 2 3+5+6+8+x 5 =6 22+x=30 ∴ x=8 88 V- 1 대푯값과 산포도 배점 40% 60% 8 ④ ③ ⑤ ② 10 ② 7.5회 ④ ① ▶ 40% ▶ 60% 수플러스 해설-유형편78~_ok.indd 88 2014-10-23 오전 10:25:26 666 도수분포표에서 최빈값은 도수가 가장 큰 계급의 계급값이 다. 따라서 이 자료의 최빈값은 도수가 7명으로 가장 큰 계급 230 mm 이상 240 mm 미만의 계급값인 235 mm이다. 이때 각 계급의 편차는 -20점,-10점, 0점, 10점, 20점이므로 수학 성적의 분산은 (-20)Û`_6+(-10)Û`_12+10Û`_12+20Û`_6 50 = 7200 50 =144 산포도 667 편차의 합은 0이므로 4+(-3)+5+(-4)+x=0 ∴ x=-2 ① 668 편차의 합은 0이므로 학생 D의 편차를 x점이라고 하면 4+(-1)+3+x=0 ∴ x=-6 따라서 학생 D의 국어 성적은 84+(-6)=78(점) 669 점수의 평균을 구하면 15+19+14+17+12+13 6 각 변량의 편차를 구하면 = =15(점) 90 6 0점, 4점,-1점, 2점,-3점,-2점이다. 따라서 편차가 될 수 없는 것은 ⑤이다. 670 유빈이가 5회에 걸쳐 받은 수학 성적의 평균은 66+73+69+70+77 5 =71(점) 355 5 = 각 회에 받은 수학 성적의 편차는 각각 -5점, 2점,-2점,-1점, 6점이므로 수학 성적의 분산은 (-5)Û`+2Û`+(-2)Û`+(-1)Û`+6Û` 5 70 5 =14 = ③ 따라서 구하는 표준편차는 12점이다. 12점 674 횟수(번) 도수(명) (편차)Û`_(도수) (계급값) _(도수) 7 18 12 7 3 3 50 5_7=35 (-18)Û`_7=2268 15_18=270 (-8)Û`_18=1152 25_12=300 2Û`_12=48 35_7=245 12Û`_7=1008 45_3=135 22Û`_3=1452 55_3=165 32Û`_3=3072 1150 9000 0이상 ~ 10미만 10이상 ~ 20미만 20이상 ~ 30미만 30이상 ~ 40미만 40이상 ~ 50미만 50이상 ~ 60미만 합계 1150 50 ① (평균)= =23(번) ∴ (분산)= =180 9000 50 675 전체 학생 수가 10명이므로 x+2+y+4=10 ∴ x+y=4 …… ㉠ ▶ 20% 하루 동안 매점 이용 횟수의 평균이 5회이므로 ⑤ x+3_2+5y+7_4 10 ∴ x+5y=16 …… ㉡ =5, x+5y+34=50 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=1, y=3 이때 각 계급의 편차는 각각 -4회,-2회, 0회, 2회이므로 이 자료의 분산은 (-4)Û`_1+(-2)Û`_2+2Û`_4 10 = 40 10 =4 ④ 따라서 구하는 표준편차는 2회이다. 채점 기준 671 편차의 합은 0이므로 3+(-1)+2+x+0+1+(-3)=0 ∴ x=-2 (분산)= 3Û`+(-1)Û`+2Û`+(-2)Û`+0Û`+1Û`+(-3)Û` 7 = 28 7 =4 ∴ (표준편차)= 4=2(회) ' ④ ㉠의 식을 세운 경우 ㉡의 식을 세운 경우 x, y의 값을 각각 구한 경우 분산을 구한 경우 표준편차를 구한 경우 ② ▶ 20% ▶ 10% ▶ 30% ▶ 20% 배점 20% 20% 10% 30% 20% 2회 672 민정이네 모둠 5명의 영어 성적의 평균이 87점이므로 영어 성적의 총합은 5_87=435(점)이므로 676 주어진 히스토그램을 이용하여 도수분포표를 만들면 다음과 같다. x=435-(96+77+85+82)=95 영어 성적에 대한 편차는 각각 9점,-10점, 8점,-2점,-5점이므 계급값(kg) 도수(개) 4 3 6 1 8 4 10 2 로 영어 성적의 분산은 9Û`+(-10)Û`+8Û`+(-2)Û`+(-5)Û` 5 = 274 5 =54.8 이 참외 10개의 무게의 평균은 4_3+6_1+8_4+10_2 10 70 10 = =7(kg) ④ 따라서 분산은 673 보현이네 반 학생 50명의 수학 성적의 평균은 55_6+65_12+75_14+85_12+95_6 50 3750 50 = =75(점) (4-7)Û`_3+(6-7)Û`_1+(8-7)Û`_4+(10-7)Û`_2 10 = =5 50 10 ② 정답 및 해설 89 수플러스 해설-유형편78~_ok.indd 89 2014-10-23 오전 10:25:28 유형편 677 도서관을 방문하는 횟수의 평균은 320 2_8+6_11+10_14+14_7 40 40 이 자료의 분산은 = =8(회) (-6)Û`_8+(-2)Û`_11+2Û`_14+6Û`_7 40 = 640 40 =16 따라서 이 자료의 표준편차는 4회이다. 678 계급값 75점에 대한 도수를 x명이라 하면 도수의 합은 10명이므로 1+2+x+2=10 ∴ x=5 ▶ 20% 이때 주어진 자료의 평균은 55_1+65_2+75_5+85_2 10 = 730 10 =73(점) ▶ 40% (55-73)Û`_1+(65-73)Û`_2+(75-73)Û`_5+(85-73)Û`_2 10 따라서 분산은 = 760 10 =76 x의 값을 구한 경우 평균을 구한 경우 분산을 구한 경우 채점 기준 679 ①, ②, ③, ④, ⑤의 평균은 3이다. (편차)=(변량)-(평균)이고, 변량이 평균을 중심으로 넓게 흩어져 있을수록 표준편차가 크므로 표준편차가 가장 큰 것은 ①이다. 680 단체 줄넘기의 횟수의 격차가 작을수록 표준편차가 작으므 로 두 반 중 단체 줄넘기의 횟수의 표준편차가 작은 반은 2반이다. 2반 681 6개의 변량 7, x, 11, y, 10, 14의 평균이 12이므로 7+x+11+y+10+14 6 ∴ x+y=30 =12, x+y+42=72 …… ㉠ 이때 6개의 변량의 분산이 4이므로 (-5)Û`+(x-12)Û`+(-1)Û`+(y-12)Û`+(-2)Û`+2Û` 6 =4 xÛ`+yÛ`-24(x+y)+298=0 …… ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 xÛ`+yÛ`-24_30+298=0 ∴ xÛ`+yÛ`=422 682 편차의 합은 0이므로 (-1)+(-3)+a+2+b=0 ∴ a+b=2 이때 표준편차가 6 이므로 분산은 ' (-1)Û`+(-3)Û`+aÛ`+2Û`+bÛ` 5 =6 ∴ aÛ`+bÛ`=16 ∴ ab=-6 따라서 (a+b)Û`=aÛ`+2ab+bÛ`이므로 2Û`=16+2ab 90 V- 1 대푯값과 산포도 683 세 수 a, b, c의 평균이 10이므로 a+b+c ∴ a+b+c=30 3 =10 또, 세 수 a, b, c의 표준편차가 4이므로 분산은 16이 되어 (a-10)Û`+(b-10)Û`+(c-10)Û` 3 =16 4회 aÛ`+bÛ`+cÛ`-20(a+b+c)+300=48 aÛ`+bÛ`+cÛ` =20(a+b+c)-252 =20_30-252=600-252=348 ∴ ab+bc+ca= {(a+b+c)Û`-(aÛ`+bÛ`+cÛ`)} ;2!; ;2!; = (30Û`-348)=276 따라서 세 수 ab, bc, ca의 평균은 ab+bc+ca =92 3 ▶ 40% 배점 20% 40% 40% 76 ① 684 3개의 변량 a, b, c의 평균이 10이므로 a+b+c =10 …… ㉠ 3 또한, 표준편차가 2이면 분산은 4이므로 (a-10)Û`+(b-10)Û`+(c-10)Û` 3 =4 따라서 변량 a+4, b+4, c+4의 평균은 (a+4)+(b+4)+(c+4) 3 또한, 분산은 ㉡에 의하여 a+b+c 3 = (a+4-14)Û`+(b+4-14)Û`+(c+4-14)Û` 3 = (a-10)Û`+(b-10)Û`+(c-10)Û` 3 =4 따라서 변량 a+4, b+4, c+4의 표준편차는 2이다. +4=10+4=14 685 각 변량에 일정한 수를 더하면 평균은 변하여도 표준편차는 ▶ 60% 변하지 않으므로 변량 a+6, 7, 8, 9, 10의 표준편차는 a, 1, 2, 3, 4의 표준편차와 같다. 따라서 구하는 표준편차는 ' 채점 기준 2 이다 각 변량에 일정한 수를 더하면 평균은 변하여도 표준편차는 변하지 않음을 아는 경우 표준편차를 구한 경우 686 A, B 두 반의 평균이 같고 분산이 각각 ( ' 즉, 7, 4이므로 7)Û`, 2Û` ② A반의 (편차)Û`의 총합은 7_10=70 B반의 (편차)Û`의 총합은 4_20=80 따라서 전체 30명에 대한 (편차)Û`의 총합은 80+70=150이므로 (분산)= =5 150 30 ∴ (표준편차)= 5 (점) ' 687 두 반을 합친 전체의 줄넘기 횟수의 평균은 8500 85_20+85_80 100 100 =85(회) = ① 92 …… ㉡ ② ▶ 40% 배점 60% 40% 2 ' ⑤ 수플러스 해설-유형편78~_ok.indd 90 2014-10-23 오전 10:25:29 전체 평균이 각 반의 평균과 같으므로 편차 역시 반별로 구한 편차 이때 이 자료의 최빈값이 13회이므로 x=13이다. 와 같다. 연아네 반의 줄넘기 횟수의 편차의 제곱의 합은 분산이 즉 8개의 변량을 작은 값부터 차례로 나열하면 300이므로 20_300=6000 8회, 10회, 12회, 13회, 13회, 13회, 15회, 15회이다. 태진이네 반의 줄넘기 횟수의 편차의 제곱의 합은 분산이 700이므 따라서 중앙값은 네 번째와 다섯 번째 값의 평균인 13회이다. 로 80_700=56000 두 반을 합친 전체 편차의 제곱의 합은 6000+56000=62000 따라서 두 반을 합친 전체의 줄넘기 횟수의 분산은 62000 100 =620 696 도수분포표에서 도수의 총합이 25명으로 홀수이므로 중앙 값은 작은 값으로부터 13번째 학생이 속하는 계급 170만 원 이상 180만 원 미만의 계급값인 175만 원이다. 688 성적이 가장 고른 반은 표준편차가 가장 작은 반이므로 2반 이다. 최빈값은 도수가 9명으로 가장 큰 계급 190만 원 이상 200만 원 미 만의 계급값인 195만 원이다. ③ ∴ a=175 ② ∴ b=195 ∴ b-a=20 689 (ㄱ) A반의 성적의 평균과 B반의 성적의 평균은 같지만 표 준편차는 B반이 A반보다 더 작으므로 B반의 성적이 A반의 성적보다 고르다. (ㄴ) A반과 B반의 성적 중 어느 것이 우수한지 알 수 없다. 따라서 옳은 것은 (ㄷ)이다. 690 ② 2반과 3반의 성적이 평균은 같고, 3반의 성적의 표준편차 가 더 작으므로 3반의 성적이 고르다. 의 2명이다. 691 8명이 2분 동안 줄넘기를 한 횟수의 평균은 784 101+97+92+113+96+85+107+93 8 8 = =98(회) 692 n개의 변량 xÁ, xª, x£, y, xÇ의 평균이 5이므로 xÁ+xª+x£+y+xÇ n =5 따라서 n개의 변량 5xÁ-3, 5xª-3, 5x£-3, y, 5xÇ-3의 평균은 (5xÁ-3)+(5xª-3)+(5x£-3)+y+(5xÇ-3) n xÁ+xª+x£+y+xÇ n -3=5_5-3=22 =5_ 다. 한다. ② ② ④ ② ③ 697 ①, ② 편차의 총합은 0이므로 (-1)+x+3+(-2)+5=0 ∴ x=-5 ③ (편차)=(변량)-(평균)이므로 D의 맥박 수는 54회이다. ④ (편차)=(변량)-(평균)이고 A의 편차가 -1이므로 A는 평균 보다 맥박 수가 적다. ⑤ 평균보다 맥박 수가 많은 사람은 편차가 양수로 나타난 C와 E 698 ① 표준편차는 산포도의 일종이다. ③ 대푯값에는 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있다. 또한, 산포도에는 분산, 표준편차 등이 있다. ④ 자료 전체의 특징을 대표적으로 나타내는 값을 대푯값이라고 한 ⑤ 편차는 어떤 자료의 각 변량에서 그 자료의 평균을 뺀 값을 말 699 (평균)= 4+6+8+10+12 5 =8이므로 (표준편차)= (-4)Û`+(-2)Û`+2Û`+4Û` 5 ¾¨ = ¾¨ 40 5 = 8 =2 2 ' ' 700 ① (평균)= 9+10+10+8+7+8+10+9+9+10 10 ② (분산) = =9 90 10 = 0Û`+1Û`+1Û`+(-1)Û`+(-2)Û`+(-1)Û`+1Û`+0Û`+0Û`+1Û` 10 693 가장 좋아하는 과목을 쉽게 알 수 있는 것은 최빈값이다. 694 주어진 자료 12개를 크기순으로 나열하면 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 이므로 중앙값은 6번째 값 6과 7번째 값 6의 평균 6이고, 최빈값은 가장 많이 나오는 값인 7이다. 따라서 a=6, b=7이므로 b-a=1 695 x의 값을 제외한 변량 8회, 10회, 12회, 13회, 15회의 개수 는 각각 1개, 1개, 1개, 2개, 2개로 13회와 15회의 개수가 같다. ④ 편차의 합은 항상 0이다. ⑤ 편차의 제곱의 합은 ② = =1 10 10 ③ (표준편차)= 1=1 ' ④ ④ ③ ② ④ 정답 및 해설 91 수플러스 해설-유형편78~_ok.indd 91 2014-10-23 오전 10:25:30 유형편 ④ 706 나머지 변량을 x라고 하면 중앙값이 30이므로 x는 26과 32 사이에 있다. 이때 중앙값은 2번째와 3번째 변량의 평균이므로 =30, x+32=60 x+32 2 ∴ x=28 채점 기준 나머지 변량의 구간을 구한 경우 나머지 변량을 구한 경우 ② 707 5명의 학생들의 키의 편차의 합은 0이므로 D의 키의 편차를 x라 하면 10+3+(-6)+x+2=0 ∴ x=-9 ▶ 30% 따라서 D의 키는 편차와 평균의 합이므로 170+(-9)=161(cm)이다. 채점 기준 편차의 합을 구한 경우 x의 값을 구한 경우 학생 D의 키를 구한 경우 ⑤ 708 (표준편차) = ¾¨ (a-10)Û`+(b-10)Û`+(c-10)Û`+(d-10)Û` 4 =2 ∴ (a-10)Û`+(b-10)Û`+(c-10)Û`+(d-10)Û`=16 식을 세운 경우 채점 기준 (a-10)Û`+(b-10)Û`+(c-10)Û`+(d-10)Û`의 값을 구한 경우 ▶ 50% ▶ 50% 배점 50% 50% 28 ▶ 40% ▶ 30% 배점 40% 30% 30% 161 cm ▶ 70% ▶ 30% 배점 70% 30% 16 0Û`+1Û`+1Û`+(-1)Û`+(-2)Û`+(-1)Û`+1Û`+0Û`+0Û`+1Û`=10 701 어느 선수가 4회에 걸친 경기에서 얻은 점수의 평균은 19+22+27+24 =23(점) 4 ∴ a=23 92 4 = 이때 각 회에서 얻은 점수의 편차는 각각 -4점,-1점, 4점, 1점이 므로 점수의 분산은 (-4)Û`+(-1)Û`+4Û`+1Û` 4 34 4 = =8.5 ∴ b=8.5 ∴ a-b=14.5 702 a, b, c의 평균이 6이므로 a+b+c =6 3 ∴ a+b+c=18 a, b, c의 분산이 16이므로 (a-6)Û`+(b-6)Û`+(c-6)Û` 3 =16 ∴ (a-6)Û`+(b-6)Û`+(c-6)Û`=48 2, a, b, c, 10의 평균을 구하면 2+a+b+c+10 5 = 30 5 =6 따라서 분산을 구하면 (-4)Û`+(a-6)Û`+(b-6)Û`+(c-6)Û`+4Û` 5 = =16 80 5 703 남학생의 수학 성적의 총합은 77_24=1848(점) 여학생의 수를 x명이라 하면 여학생의 수학 성적의 총합은 86x(점) 즉, 이 반 전체의 수학 성적의 총합은 1848+86x(점) 이때 이 반 전체의 수학 성적의 평균이 80.6점이므로 1848+86x 24+x =80.6, 1848+86x=1934.4+80.6x 5.4x=86.4 ∴ x=16 따라서 여학생의 수는 16명이다. 16명 704 (평균)= 1+3+8+8+12+12+12+16+17+20+23 11 = 132 11 =12(회) 중앙값은 자료를 작은 값에서부터 차례로 나열할 때, 6번째 자료의 값인 12회이다. 최빈값은 도수가 3명으로 가장 큰 12회이다. ∴ (평균)=(중앙값)=(최빈값) (평균)=(중앙값)=(최빈값) 705 (평균)= (10-a)+10+(10+a) 3 편차는 각각 -a, 0, a이므로 분산은 = =10 30 3 (-a)Û`+0Û`+aÛ` 3 = aÛ` 2 3 6 이므로 분산은 6이다. 표준편차가 ' aÛ`=6이므로 aÛ`=9 2 3 ∴ a=3 (∵ a>0) 3 92 V- 1 대푯값과 산포도 수플러스 해설-유형편78~_ok.indd 92 2014-10-23 오전 10:25:32
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