正 정답 및 해설 Ⅰ 함수의 극한과 연속 1 함수의 극한 2 함수의 연속 6 1 1 Ⅱ 미분 1 미분계수 2 도함수 3 도함수의 활용 ⑴ 4 도함수의 활용 ⑵ Ⅲ 적분 1 부정적분 2 정적분 3 정적분의 활용 16 20 25 36 48 51 56 01-05 수학2 빠답-ok.indd 1 2018-09-28 오후 12:50:36 Ⅰ 함수의 극한과 연속 1 함수의 극한 9쪽~19쪽 001 (1) ;2#; (2) 2 (3) 5 002 (1) 1 (2) 0 003 (1) ¦ (2) -¦ 004 (1) -¦ (2) ¦ (3) -¦ 005 (1) 4 (2) -2 006 (1) 1 (2) 1 (3) 1 (4) 0 007 (1) 존재하지 않는다. (2) 0 008 (1) -4 (2) 2 (3) -6 (4) -8 (5) - ;2!; 009 (1) 5 (2) 3 (3) 16 (4) ;3!; (5) 5 010 (1) -1 (2) ;5@; (3) (4) ;4!; ;2!; 011 (1) ;2#; (2) ¦ (3) 0 (4) 2 012 (1) ¦ (2) -¦ (3) (4) ;3@; ;4!; 013 (1) -5 (2) 2 (3) ;2!; (4) ;1£6; 014 (1) a=1, b=-2 (2) a=-1, b=-2 (3) a=4, b=-8 (4) a=1, b=-1 015 (1) f(x)=2xÛ`-2x (2) f(x)=xÛ`+9x+14 016 (1) -8 (2) 18 (3) -36 017 ;3!; 018 ;3%; 019 ④ 020 ② 021 (ㄱ) 022 ① 023 24 024 -1 025 ⑤ 026 6 027 -2 028 2 029 -6 030 ④ 2 함수의 연속 22쪽~28쪽 031 (1) 연속 (2) 불연속 (3) 불연속 032 (1) (-¦, ¦) (2) (-¦, ¦) (3) (-¦, -2)'(-2, ¦) (4) [-1, ¦) 033 (1) (-¦, ¦) (2) (-¦, 5), (5, ¦) (3) (-¦, -1], [2, ¦) 034 3 035 8 036 5 037 4 2 빠른 정답 038 (1) (-¦, ¦) (2) (-¦, ¦) (3) (-¦, ¦) (4) (-¦, ¦) 039 (1) 연속 (2) 연속 (3) 불연속 (4) 불연속 040 (1) 최댓값 : 0, 최솟값 : -1 (2) 최댓값 : 4, 최솟값 : 0 (3) 최댓값 : -1, 최솟값 : - 3 (4) 최댓값 : 2 ' 3, 최솟값 : 2 ' ' (5) 최댓값 : 1, 최솟값 : (6) 최댓값 : 3, 최솟값 : ;3!; ;2#; 041 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) 풀이 참고 042 ③ 043 3 044 5 045 ① 046 6 047 ④ 048 ③ 049 ④ 050 ③ 051 ④ 052 ① Ⅱ 미분 1 미분계수 31쪽~39쪽 001 (1) 4 (2) 1 (3) 3 (4) Dx+2a 002 (1) 5 (2) 9 (3) 4 (4) 6 003 (1) 2 (2) 8 (3) 6 (4) 2 004 (1) 2 (2) -8 (3) -24 (4) -6 (5) 0 005 (1) -6 (2) -2 (3) -8 (4) -10 006 (1) 1 (2) 6 (3) -3 (4) 12 007 (1) -2 (2) 4 (3) -5 (4) -4 (5) 4 008 (ㄴ), (ㄷ) 009 (ㄷ) 010 0, 0, 연속이다., 1, -1, 존재하지 않는다., 미분가능하지 않다. 011 (1) 연속이고 미분가능하다. (2) 연속이고 미분가능하지 않다. (3) 연속이고 미분가능하지 않다. 012 (1) 연속이고 미분가능하지 않다. (2) 연속이고 미분가능하지 않다. (3) 연속이고 미분가능하지 않다. 013 (1) 연속이고 미분가능하다. (2) 연속이고 미분가능하지 않다. 014 (1) a=2, b=-1 (2) a=2, b=-2 (3) a=2, b=4 (4) a= , b= (5) a=-1, b=1 (6) a=8, b=-4 ;2!; ;2&; 015 (1) 1 (2) 4개 (3) 2개 (4) 1개 (5) 1 016 (1) ◯ (2) × (3) × (4) × (5) ◯ 017 ① 018 2 022 -10 019 ④ 020 5 021 ③ 023 5 01-05 수학2 빠답-ok.indd 2 2018-09-28 오후 12:50:37 빠른 정답 2 도함수 41쪽~49쪽 3 도함수의 활용 (1) 53쪽~71쪽 (6) y'=-10xÝ`+9xÛ`-5 (7) y '=xÛ`-x+6 (4) y=4x+8 또는 y=-4x (5) y=x+2 024 (1) f '(x)=0 (2) f '(x)=2 (3) f '(x)=2x-4 (4) f '(x)=2x+2 (5) f '(x)=3xÛ` 025 (1) f '(x)=-2, f '(1)=-2 (2) f '(x)=2x, f '(-2)=-4 (3) f '(x)=-2x+3, f '(2)=-1 (4) f '(x)=2x-2, f '(-1)=-4 (5) f '(x)=3xÛ`-1, f '(3)=26 026 f '(x)=-3x+1 027 f '(x)=2x-2 028 (1) y'=3xÛ` (2) y '=9x¡` (3) y'=10xá` 14 (5) y'=0 (6) y'=0 (4) y'=15x 029 (1) y'=4x (2) y'=3 (3) y'=2x-5 (4) y'=4xÜ`+2 (5) y'=6xÛ`-6x+4 030 (1) y'=24x+4 (2) y'=4x+9 (3) y'=45xÛ`+6x-5 (4) y'=-20xÜ`+34x (5) y'=12xÛ`+44x-6 (6) y'=5xÝ`-20xÜ`+27xÛ`-12x 031 (1) y'=3xÛ`-10x+6 (2) y'=18xÛ`+22x-3 (3) y'=-6xÛ`+10x-1 (4) y'=8xÜ`-12xÛ`-24x-8 (5) y'=30xÝ`+16xÜ`-18xÛ`-8x 032 (1) y'=18x-24 (2) y'=8x-12 (3) y'=3(x+2)Û` (4) y'=9(3x-1)Û` (5) y'=8(2x-5)Ü` (6) y'=2(xÛ`-2x+2)(2x-2) 033 -3 034 3 035 10 036 -1 037 (1) a=2, b=1, c=-1 (2) a=-1, b=3, c=2 (3) a=3, b=-4, c=3 (4) a=-5, b=-2, c=7 038 a=-4, b=7 039 a=2, b=-1 040 (1) 15 (2) -4 (3) 12 (4) 33 041 (1) a=-3, b=2 (2) a=-4, b=3 (3) a=50, b=49 042 7x-1 043 -10x-10 044 9x+12 045 ③ 046 6 047 ② 048 y '=4xÜ`+3xÛ`-24x+7 049 ① 050 -36 052 0 051 y'=4xÜ`-2x+2 053 ② 054 12 055 ⑤ 056 -12 057 (1) -4 (2) 1 (3) 6 (4) 2 (5) 7 058 (1) a=-2, b=-3 (2) a=-6, b=7 (3) a=-6, b=7 (4) a=1, b=-3 059 (1) y=2x-6 (2) y=3x-9 (3) y=8x+1 (4) y=5x-23 (5) y=7x-16 (6) y=3x+1 (7) y=-3x-11 (8) y=-5x+2 (9) y=3x-12 (10) y=-9x-7 060 (1) y=-2x-9 (2) y=x+4 (3) y=-5x+4 061 (1) y=x-9 (2) y=-x+3 (3) y=2x+5 (4) y=-2x+1 062 (1) y=-2x+1 또는 y=6x-7 (2) y=-x 또는 y=3x-4 (3) y=-3x+4 또는 y=x 063 (1) y= ;3!; ;3*; x- (2) y=- x+ ;;£4Á;; (3) y=- x+ (4) y= x-4 ;2!; ;2%; ;4!; ;2!; 064 (1) y=3x-16 (2) y=-x-1 (3) y=-2x+5 (4) y=2x+1 065 (1) ;2#; (2) 1 (3) 4 3 066 (1) ' 3 (2) 2 (3) (4) 1 (5) - ;3%; ;3%; 067 (1) ;2#; (2) (3) 1 ;2!; ' ' 3 (2) 3 (3) 2 (4) 1 (5) -1 068 (1) Ñ 069 (1) 증가한다. (2) 감소한다. (3) 증가한다. 070 1, 1, 0, 감소, 증가 071 (1) 구간 (-¦, -2]에서 감소, 구간 [-2, ¦)에서 증가 (2) 구간 (-¦, 3]에서 감소, 구간 [3, ¦)에서 증가 (3) 구간 (-¦, 2]에서 증가, 구간 [2, ¦)에서 감소 (4) 구간 (-¦, -2], [0, ¦)에서 증가, 구간 [-2, 0]에서 감소 (5) 구간 (-¦, 0], [1, ¦)에서 감소, 구간 [0, 1]에서 증가 (6) 구간 (-¦, -2], [-1, ¦)에서 증가, 구간 [-2, -1]에서 감소 072 (1) 증가상태 (2) 감소상태 (3) 감소상태 (4) 감소상태 (5) 증가상태 073 (1) a¾ ;6!; (2) -6ÉaÉ6 (3) 0ÉaÉ 074 (1) a=-6, b=-9 (2) a=- ;2#; , b=-24 (3) a=-9, b=24 (4) a=-3, b=- ;3!; ;2(; 빠른 정답 3 01-05 수학2 빠답-ok.indd 3 2018-09-28 오후 12:50:38 075 (1) 극댓값 : 4, 극솟값 : -2 (2) 극댓값 : 2, 극솟값 : 1 (3) 극댓값 : 4, 극솟값 : 1 076 (1) 극댓값 : 4, 극솟값 : 0 (2) 극댓값 : 0, 극솟값 : -32 (3) 극댓값 : -2, 극솟값 : -6 (4) 극댓값 : 17, 극솟값 : -15 (5) 극댓값 : 5, 극솟값 : -27 (6) 극댓값 : 2, 극솟값 : -25 077 (1) 극값을 갖지 않는다. (2) 극댓값 : 없다., 극솟값 : -16 (3) 극댓값 : 없다., 극솟값 : -26 (4) 극댓값 : -2, 극솟값 : 없다. 078 (1) a=0, b=3, c=-5 (2) a=3, b=9, c=3 (3) a=-3, b=-9, c=1 (4) a=9, b=24, c=2 (5) a=0, b=3, c=-1 (6) a=3, b=4, c=2 079 (1) a< ;2#; (2) a<-3 또는 a>3 (3) a<-6 또는 a>6 (4) a<0 또는 a> ;3!; (5) a<0 또는 a>3 (6) a<0 또는 a>1 080 (1) - ' 6ÉaÉ 6 (2) -3ÉaÉ3 (3) -6ÉaÉ0 ' (4) 0ÉaÉ2 (5) -9ÉaÉ0 (6) 1ÉaÉ4 081 ① 082 5 083 ② 084 y=3x+16 또는 y=3x-16 085 y=-2x+7 086 ① 087 -3 088 089 ⑤ 090 ① 091 ;3&; ;3!; 092 ④ 093 1개 094 ③ 095 증가 : -1ÉxÉ3, 감소 : xÉ-1, x¾3 097 -4 098 -10 102 ① 103 4 104 0 099 ⑤ 100 5 096 ② 101 ③ 4 도함수의 활용 (2) 74쪽~92쪽 105 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) 풀이 참고 (4) 풀이 참고 (5) 풀이 참고 106 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) 풀이 참고 (4) 풀이 참고 (5) 풀이 참고 (6) 풀이 참고 107 (1) 최댓값 : 8, 최솟값 : 4 (2) 최댓값 : 8, 최솟값 : -24 (3) 최댓값 : 4, 최솟값 : 0 108 (1) 최댓값 : 3, 최솟값 : -1 (2) 최댓값 : 5, 최솟값 : -35 (3) 최댓값 : 46, 최솟값 : -6 (4) 최댓값 : 18, 최솟값 : 1 4 빠른 정답 109 (1) a=1, b=-12 (2) a=6, b=10 110 (1) 5 (2) 3 (3) -1 111 (1) 0<a< 3 ' (3) S(a)=-2aÜ`+6a (4) 4 (2) A(-a, -aÛ`+3), B(-a, 0), C(a, 0), D(a, -aÛ`+3) 112 (1) 0<x<3 (2) y=15-5x (3) V(x)=p(15xÛ`-5xÜ`) (4) 20p 113 (1) 1개 (2) 3개 (3) 2개 (4) 1개 114 (1) 풀이 참고 (2) -4<k<0 (3) k=-4 또는 k=0 (4) k<-4 또는 k>0 115 k>0 116 0<k<1 117 -5<k<0 118 (1) -2<k<2 (2) -28<k<80 (3) k=-16 또는 k=16 (4) k=- 또는 k=9 ;3%; (5) k<0 또는 k>1 (6) k<1 또는 k>5 119 (1) -4<k<0 (2) -25<k<7 (3) k=-17 또는 k=15 (4) k=-19 또는 k=8 (5) k<-20 또는 k>7 (6) k<0 또는 k>1 120 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) 풀이 참고 (4) 풀이 참고 (5) 풀이 참고 (6) 풀이 참고 121 (1) k¾16 (2) kÉ-1 (3) k>0 122 (1) k¾4 (2) k>5 (3) k¾10 123 (1) kÉ3 (2) k¾5 (3) k¾24 124 (1) v=-9, a=6 (2) 3초 후 (3) -27 125 (1) v=-12, a=-18 (2) 1초 후 (3) -5 126 (1) 4 (2) 11 (3) 18 127 (1) v=10, a=-10 (2) 20`m 128 (1) v=-10, a=-10 (2) 90`m 129 (1) 19.6`m (2) -19.6`m/s 130 (1) 20`m (2) -20`m/s 131 (1) 5 (2) 7 (3) 17 (4) 31 132 (1) y=x (2) 2`m/s 133 8`m/s 134 (1) 10 (2) 19 (3) 53 (4) 36 (5) 66 135 (1) S=(4+2t)Û` (2) 8t+16 (3) 40`cmÛ`/s 136 8`cmÛ`/s 137 (1) 75 (2) 294 (3) 144 (4) 36 (5) 5.4 138 (1) V=(6+2t)Ü` (2) 6(6+2t)Û` (3) 600`cmÜ`/s 139 54`cmÜ`/s 140 ③ 141 ② 145 3개 146 ① 150 ⑤ 142 18 147 ;4&; 143 ⑤ 148 10 144 128`cmÜ` 149 180`m 01-05 수학2 빠답-ok.indd 4 2018-09-28 오후 12:50:39 빠른 정답 Ⅲ 적분 1 부정적분 001 (ㄱ), (ㄷ) 031 (1) 4 (2) :£6Á: (3) :¢2£: 95쪽~100쪽 032 (1) ;3$; (2) 0 (3) 2 (4) 48 033 (1) f(x)=2x-4 (2) ;4%; (3) f(x)=xÛ`-6x+9 (3) xÝ`+x+C (4) xÜ`- xÛ`+x+C (5) xÛ`+tx+C ;3!; ;2!; 3 정적분의 활용 115쪽~123쪽 002 (1) 3x+C (2) ;2!; xÛ`+C (3) xÞ`+C (4) -xÝ`+C 003 (1) 3xÛ` (2) 4x+1 (3) 3xÛ`-4x+3 (4) -2xÛ`+x+1 (5) 2x- ;2%; 004 (1) xÛ`-4x (2) xÛ`-4x+C (3) + 005 -2 006 9 007 (1) 9x+C (2) ;8!; x¡`+C (3) ;1Á1; 11 x +C (4) 36 x +C ;3Á6; (5) ;10!0; 100 x +C 008 (1) xÜ`-7x+C (2) - ;3!; xÜ`+xÛ`-x+C (3) xÞ`+2xÜ`-3x+C 009 (1) ;3@; ;2%; xÜ`+ xÛ`+3x+C (2) xÝ`+xÜ`+ xÛ`+x+C ;4!; ;2#; ;4!; ;2!; (6) xÛ`-x+C 010 18 011 f(x)=2xÝ`-xÜ`-2xÛ`+x-3 012 f(x)=6xÛ`-2x+2 013 -1 014 ② 015 ⑤ 016 ④ 017 ④ 018 ② 019 ;;ª2°;; 021 ① 022 ② 023 17 024 6 020 -13 025 10 2 정적분 103쪽~112쪽 026 (1) :¤4°: (2) 12 (3) 0 (4) 0 (5) (6) 9 (7) -28 ;3*; 028 (1) 40 (2) ;2#; (3) 16 (4) 3 (5) 4 (6) (7) 24 :£2£: (8) - :ª6»: (7) :Á6Á: 029 :ª2¦: 030 6 (4) (5) -3 :¢6»: 034 7 035 4 036 -10 037 극댓값 : 27, 극솟값 : -5 038 최댓값 : ;6%; , 최솟값 : - ;6!; 039 (1) 208 (2) -3 (3) 11 040 ③ 041 4 042 ;2!; 043 7 044 5200 045 -1 046 ① 047 6 050 -1 051 3 048 54 049 7 052 (1) ;2(; (2) ;2!; 053 (1) :ª3ª: (2) (3) :£6Á: ;4#; 054 (1) ;:!6@:%; (2) ;2(; 055 (1) :¤3¢: (2) 4 056 (1) ;1#2&; (2) (3) 8 ;1#2&; 057 ;3$; 058 4 059 1 060 1 061 -2 062 5-5 Ü ' 2` 063 ;6!; 065 128`m 066 25`m 067 -2 068 13 069 ③ 070 :¥2Á: 071 81 072 :Á3£: 073 ② 074 ;3!; 075 ;3@; 076 54 077 3 078 ⑤ 079 2 빠른 정답 5 027 (1) 4 (2) -12 (3) 20 (4) :¦3¤: (5) 24 (6) :°3¤: 064 (1) - ;2(; (2) 초 (3) 9 ;2(; 01-05 수학2 빠답-ok.indd 5 2018-09-28 오후 12:50:40 Ⅰ 함수의 극한과 연속 1 함수의 극한 001 답 (1) (2) 2 (3) 5 ;2#; y 1 3 2 y 2 1 -1 O 1 x (1) 함수 f(x)= +1의 그래프에서 ;[!; y=f(x) x의 값이 2에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 에 한없이 ;2#; -1 O 2 x 가까워지므로 lim Ú x 2{;[!; +1 = } ;2#; (2) 함수 f(x)= xÛ`-1 x-1 에서 x+1일 때 f(x)= (x+1)(x-1) x-1 =x+1 y=f(x)의 그래프에서 x의 그림과 같으므로 x의 값이 -1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 5에 한없이 가까워지므로 lim -1 x 5=5 Ú 값이 1이 아니면서 1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 2에 한없이 가까워지므로 lim 1 Ú x xÛ`-1 x-1 =2 (3) f(x)=5라 하면 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 y=f(x) 002 답 (1) 1 (2) 0 (1) f(x)=1- 이라 하면 ;[!; y=f(x) 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x의 값이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 1에 한없이 가까워지므로 lim x Ú ¦{ 1- ;[!;} =1 (2) f(x)= 이라 하면 3 1-x 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 6 정답 및 해설 y 5 y 1 y 3 O 1 x 9쪽~19쪽 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 y=f(x) 003 답 (1) ¦ (2) -¦ (1) f(x)= 이라 하면 1 (x-1)Û` 그림과 같으므로 x의 값이 1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 한없이 커지므로 1 (x-1)Û` lim x 1 Ú =¦ 1 x y O -1 (2) f(x)=- 이라 하면 1 |x+1| 함수 y=f(x)의 그래프는 -1 x y=f(x) 오른쪽 그림과 같으므로 x의 값이 -1에 한없이 y=f(x) 가까워질 때, f(x)의 값은 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지므로 lim x Ú -1{ - 1 |x+1|} =-¦ 004 답 (1) -¦ (2) ¦ (3) -¦ (1) f(x)=-x+4라 하면 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 y=f(x) -1 O x 그림과 같으므로 x의 값이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 음수이면서 y 1 O y 4 O 그 절댓값이 한없이 커지므로 4 x (-x+4)=-¦ lim x ¦ Ú (2) f(x)=xÛ`-x+1이라 하면 y y=f(x) 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 한없이 커지므로 lim -¦ x Ú (xÛ`-x+1)=¦ (3) f(x)=- 1-x 라 하면 'Ä 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x의 값이 1 O y O 1 -1 x x O 1 x 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 음수이면서 y=f(x) 커질 때, f(x)의 값은 0에 한없이 y=f(x) 가까워지므로 lim -¦ x Ú 3 1-x =0 그 절댓값이 한없이 커지므로 lim x -¦ Ú 'Ä (- 1-x )=-¦ 06-15 수학2-1단원해설-ok.indd 6 2018-09-28 오후 12:51:21 정답 및 해설 005 답 (1) 4 (2) -2 (1) 함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같다. ∴ lim 1+ x f(x)=4 Ú f(x)=-2 (2) lim x 1- Ú y=f(x) 1 x y 4 1 O -2 008 답 (1) -4 (2) 2 (3) -6 (4) -8 (5) - ;2!; 2f(x)=2 lim 1 Ú x f(x)=2´(-2)=-4 { f(x)+g(x)}=lim g(x)=-2+4=2 { f(x)-g(x)}=lim g(x)=-2-4=-6 x f(x)+lim 1 Ú f(x)-lim 1 Ú x x 1 Ú x 1 Ú f(x)g(x)=lim f(x)´lim 1 Ú x g(x)=-2´4=-8 (5) lim x 1 Ú f(x) g(x) = = -2 4 =- 1 2 x 1 Ú f(x) g(x) lim x 1 Ú lim x 1 Ú (1) lim x 1 Ú (2) lim x 1 Ú (3) lim x 1 Ú (4) lim x 1 Ú (1) lim x 2 Ú (2) lim x 1 Ú (3) lim x 3 Ú (4) lim x 2 Ú (5) lim x 3 Ú (1) lim x 2 Ú 009 답 (1) 5 (2) 3 (3) 16 (4) (5) 5 ;3!; (3x-1)=3´2-1=5 (xÛ`+2x)=1Û`+2´1=3 (x-1)(2xÛ`-3x-1) =(3-1)(2´3Û`-3´3-1) =2´8=16 2x-1 x+7 = 2´2-1 2+7 = = 3 9 1 3 xÛ`-2x+7 5-x = 3Û`-2´3+7 5-3 = =5 10 2 010 답 (1) -1 (2) (3) (4) ;5@; ;4!; ;2!; xÛ`-5x+6 x-2 (x-2)(x-3) x-2 =lim x 2 Ú =lim x 2 Ú (x-3)=-1 (2) lim x 1 Ú xÜ`-x xÛ`+3x-4 =lim x 1 Ú x(x+1)(x-1) (x+4)(x-1) (3) lim x 4 Ú x -2 '§ x-4 = 2 5 x(x+1) x+4 =lim x 1 Ú x -2)( ( '§ (x-4)( x +2) '§ x +2) '§ x-4 (x-4)( x +2) '§ = 1 4 1 x +2 '§ =lim x 4 Ú =lim x 4 Ú =lim x 4 Ú (4) lim x 2 Ú 'Ä x-1 -1 x-2 ( 'Ä x-1 -1)( (x-2)( 'Ä x-1 +1) x-1 +1) =lim x 2 Ú =lim x 2 Ú 'Ä x-2 'Ä (x-2)( x-1 +1) =lim x 2 Ú 'Ä 1 x-1 +1 = 1 2 006 답 (1) 1 (2) 1 (3) 1 (4) 0 (1) x의 값이 0보다 크면서 0에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 1에 한없이 가까워진다. ∴ lim 0+ x Ú f(x)=1 (2) x의 값이 0보다 작으면서 0에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 1에 한없이 가까워진다. ∴ lim 0- x Ú f(x)=1 (3) x의 값이 1보다 크면서 1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 1에 한없이 가까워진다. ∴ lim 1+ x Ú f(x)=1 (4) x의 값이 1보다 작으면서 1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 0에 한없이 가까워진다. ∴ lim 1- x Ú f(x)=0 y 1 O -1 y=f(x) x 007 답 (1) 존재하지 않는다. (2) 0 (1) f(x)= 의 그래프가 오른쪽 x |x| 그림과 같으므로 x 0+일 때, lim 0+ x =1 x 0-일 때, lim 0- x =-1 따라서 x=0에서 f(x)의 우극한과 x |x| x |x| Ú Ú Ú Ú 존재하지 않는다. (2) x+1일 때, xÛ`-2x+1 |x-1| = (x-1)Û` |x-1| =|x-1| 따라서 f(x)= xÛ`-2x+1 |x-1| 의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x 1+일 때, lim 1+ x x 1-일 때, lim 1- x Ú Ú xÛ`-2x+1 |x-1| =0 xÛ`-2x+1 |x-1| =0 Ú Ú y 1 좌극한이 모두 존재하지만 그 값이 서로 다르므로 극한값은 y=f(x) 011 답 ;2#; (1) (2) ¦ (3) 0 (4) 2 O 1 x (1) lim x ¦ Ú 3xÛ`+2x+1 2xÛ`+1 = lim x ¦ Ú 따라서 x=1에서 f(x)의 우극한과 좌극한이 모두 존재하고 그 값이 0으로 같으므로 lim 1 Ú x xÛ`-2x+1 |x-1| =0 (2) lim x ¦ Ú 2xÛ`-3x+1 x-2 = lim x ¦ Ú 3+ + 2 x 1 xÛ` 2+ 1 xÛ` = ;2#; 2x-3+ 1- 2 x ;[!; =¦ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 7 06-15 수학2-1단원해설-ok.indd 7 2018-09-28 오후 12:51:22 (3) lim x ¦ Ú x-2 xÛ`-x+1 = lim x ¦ Ú = 0-0 1-0+0 =0 1 x - 2 xÛ` 1- + 1 x 1 xÛ` (4) lim x ¦ Ú "à 2x xÛ`+3 = lim x ¦ Ú =2 2 1+ ®É 3 xÛ` 012 답 (1) ¦ (2) -¦ (3) (4) ;4!; ;3@; (1) lim x ¦ Ú (2xÛ`-x+1)= lim ¦ Ú x xÛ` 2- { 1 x + 1 xÛ` } =¦ (4) lim x ¦ x Ú {;2!; = lim x ¦ Ú x - '§ 4x+3 } 'Ä 4x+3 -2 2 4x+3 'Ä 'Ä x( x ) '§ = lim x ¦ Ú = lim x ¦ Ú = lim x ¦ Ú x( 'Ä 4x+3 -2 '§ 2 4x+3 ( 'Ä 'Ä x )( 'Ä 4x+3 +2 4x+3 +2 '§ x ) x ) '§ 8x+6+4 4xÛ`+3x 3x "à 3 8+ +4 4+ ;[^; ®É ;[#; = 3 8+8 = ;1£6; (2) lim x ¦ Ú (-4xÜ`+3xÛ`+x-5) = lim ¦ Ú x { (3) lim x ¦ ( "Ã Ú = lim ¦ Ú x ( "à xÜ` -4+ + - =-¦ 1 xÛ` 5 xÜ` } 4xÛ`+x -2x) 4xÛ`+x -2x)( 4xÛ`+x +2x) "à 4xÛ`+x +2x 3 x "à = lim ¦ Ú x = lim ¦ Ú x x 4xÛ`+x +2x "à 1 4+ +2 ;[!; ®É = ;4!; 1 xÛ`+3x -x (4) lim x ¦ Ú "à = lim ¦ Ú x = lim ¦ Ú x = lim ¦ Ú x ( "à ®É xÛ`+3x +x "à xÛ`+3x -x)( "à xÛ`+3x +x 3x "à xÛ`+3x +x) 1+ +1 ;[#; 3 = ;3@; 013 답 (1) -5 (2) 2 (3) (4) ;2!; ;1£6; (1) lim x Ú 0 ;[!;{ 1 x-1 + 1 4x+1 } =lim x Ú ´ 0 ;[!; 5x (x-1)(4x+1) =lim x 0 Ú 5 4xÛ`-3x-1 =-5 (2) lim x Ú 0 ;[!;[ 1- 1 (x+1)Û` ] =lim x Ú ´ 0 [;[!; (x+1)Û`-1 (x+1)Û` ] xÛ`+2x (x+1)Û` ] =lim x Ú ´ 0 [;[!; =lim x 0 Ú x+2 (x+1)Û` =2 x-1 ) (3) lim x ¦ x { Ú 1- 'Ä x-1 x } = lim ¦ Ú x = lim ¦ Ú x = lim ¦ Ú x = lim ¦ Ú x '§ x - '§ x - 'Ä x x( '§ x( '§ '§ x '§ x-1 x + 'Ä 1 '§ 1+ 1- ®É ;[!; = ;2!; 'Ä x`( x + x-1 )( '§ 'Ä x-1 ) x + 'Ä '§ x-1 ) 8 정답 및 해설 014 답 (1) a=1, b=-2 (2) a=-1, b=-2 (3) a=4, b=-8 (4) a=1, b=-1 (1) x 1일 때, (분모) 0이고 극한값이 존재하므로 Ú (분자) 0이다. Ú Ú (xÛ`+ax+b)=0이므로 1+a+b=0 즉 lim 1 Ú x (2) x 2일 때, (분자) 0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로 ∴ b=-a-1 yy ㉠ ㉠을 주어진 식의 좌변에 대입하면 xÛ`+ax+b x-1 lim x 1 Ú xÛ`+ax-a-1 x-1 =lim x 1 Ú =lim x 1 Ú =lim x 1 Ú (x-1)(x+a+1) x-1 (x+a+1)=a+2 따라서 a+2=3이므로 a=1 a=1을 ㉠에 대입하면 b=-2 Ú (분모) 0이다. Ú Ú (xÛ`+ax+b)=0이므로 4+2a+b=0 즉 lim 2 Ú x ∴ b=-2a-4 yy ㉠ ㉠을 주어진 식의 좌변에 대입하면 x-2 xÛ`+ax+b lim x 2 Ú =lim x 2 Ú x-2 xÛ`+ax-2a-4 =lim x 2 Ú =lim x 2 Ú x-2 (x-2)(x+a+2) 1 x+a+2 = 1 4+a 따라서 1 = 이므로 a=-1 4+a ;3!; a=-1을 ㉠에 대입하면 b=-2 (3) x 4일 때, (분모) 0이고 극한값이 존재하므로 Ú (분자) 0이다. Ú Ú (a '§ 즉 lim 4 Ú x ∴ b=-2a yy ㉠ x +b)=0이므로 2a+b=0 ㉠을 주어진 식의 좌변에 대입하면 a x +b '§ x-4 lim x 4 Ú =lim x 4 Ú a x -2a '§ x-4 =lim x 4 Ú a( x -2)( '§ (x-4)( x +2) '§ x +2) =lim x 4 Ú a(x -4) (x-4)( x +2) '§ =lim x 4 Ú '§ '§ a x +2 = ;4A; 06-15 수학2-1단원해설-ok.indd 8 2018-09-28 오후 12:51:23 정답 및 해설 따라서 =1이므로 a=4 ;4A; a=4를 ㉠에 대입하면 b=-8 (4) x 2일 때, (분자) 0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로 Ú (분모) 0이다. Ú Ú ( 'Ä 'Ä 즉 lim 2 Ú x x-a +b)=0이므로 2-a +b=0 'Ä ∴ b=- 2-a yy ㉠ ㉠을 주어진 식의 좌변에 대입하면 xÛ`-4 x-a +b =lim x 2 Ú lim x 2 Ú 'Ä xÛ`-4 'Ä x-a - 2-a 'Ä (xÛ`-4)( 'Ä x-a - ( (x-2)(x+2)( 'Ä x-a + 2-a ) 'Ä 2-a )( 'Ä x-a + 'Ä 2-a ) 'Ä 2-a ) x-a + 'Ä 'Ä x-2 (x+2)( x-a + 2-a ) 'Ä 'Ä 2-a 'Ä =lim x 2 Ú =lim x 2 Ú =lim x 2 Ú =4_2 따라서 8 2-a =8이므로 a=1 'Ä a=1을 ㉠에 대입하면 b=-1 016 답 (1) -8 (2) 18 (3) -36 (1) lim x ¦ Ú f(x) xÛ`-2x-3 이차식임을 알 수 있다. =2에서 f(x)는 이차항의 계수가 2인 f(x) xÛ`-2x-3 =2에서 x 3일 때 극한값이 존재하고 Ú 또, lim 3 Ú x (분모) 즉 lim 3 Ú x 0이므로 (분자) Ú f(x)=0이므로 f(3)=0 Ú 0이다. f(x)=2(x-3)(x+a) ( a는 상수)라 하면 f(x) xÛ`-2x-3 lim x 3 Ú =lim x 3 Ú 2(x-3)(x+a) (x-3)(x+1) =lim x 3 Ú 2(x+a) x+1 = 6+2a 4 즉 6+2a 4 =2이므로 a=1 따라서 f(x)=2(x-3)(x+1)이므로 f(1)=2´(-2)´2=-8 015 답 (1) f(x)=2xÛ`-2x (2) f(x)=xÛ`+9x+14 (1) lim x ¦ Ú f(x) xÛ`-1 이차식임을 알 수 있다. =2에서 f(x)는 이차항의 계수가 2인 f(x) xÛ`-1 =1에서 x 1일 때 극한값이 존재하고 Ú 또, lim 1 Ú x (분모) 즉 lim 1 Ú x 0이므로 (분자) Ú f(x)=0이므로 f(1)=0 Ú 0이다. f(x)=2(x-1)(x+a) ( a는 상수)라 하면 f(x) xÛ`-1 lim x 1 Ú =lim x 1 Ú 2(x-1)(x+a) (x-1)(x+1) =lim x 1 Ú 2(x+a) x+1 = 2(1+a) 2 =1+a 즉 1+a=1이므로 a=0 따라서 f(x)=2x(x-1)=2xÛ`-2x (2) lim x ¦ Ú f(x) xÛ`-x-6 이차식임을 알 수 있다. 또, lim -2 x Ú f(x) xÛ`-x-6 Ú Ú 존재하고 (분모) 0이므로 (분자) 0이다. Ú 즉 lim -2 x Ú f(x)=0이므로 f(-2)=0 f(x)=(x+2)(x+a) ( a는 상수)라 하면 lim x -2 Ú f(x) xÛ`-x-6 = lim x -2 Ú (x+2)(x+a) (x+2)(x-3) = lim x -2 Ú x+a x-3 =- a-2 5 즉 - =-1이므로 a=7 a-2 5 =-1에서 x -2일 때 극한값이 (2) lim x ¦ Ú f(x) xÛ`-2x+4 이차식임을 알 수 있다. =3에서 f(x)는 이차항의 계수가 3인 f(x) xÛ`+x-2 =5에서 x 1일 때 극한값이 존재하고 Ú 또, lim 1 Ú x (분모) 즉 lim 1 Ú x 0이므로 (분자) Ú f(x)=0이므로 f(1)=0 Ú 0이다. f(x)=3(x-1)(x+a) ( a는 상수)라 하면 f(x) xÛ`+x-2 lim x 1 Ú =lim x 1 Ú 3(x-1)(x+a) (x+2)(x-1) =lim x 1 Ú 3(x+a) x+2 =a+1 즉 a+1=5이므로 a=4 따라서 f(x)=3(x-1)(x+4)이므로 f(2)=3´1´6=18 (3) lim x ¦ Ú f(x) xÛ`+4 =3에서 f(x)는 이차항의 계수가 3인 또, lim 2 Ú x xÛ`-4 f(x) = 에서 x 2일 때 0이 아닌 극한값이 Ú ;6!; Ú 존재하고 (분자) 0이므로 (분모) 0이다. Ú 즉 lim 2 Ú x f(x)=0이므로 f(2)=0 f(x)=3(x-2)(x+a) ( a는 상수)라 하면 xÛ`-4 f(x) lim x 2 Ú =lim x 2 Ú (x+2)(x-2) 3(x-2)(x+a) =lim x 2 Ú x+2 3(x+a) = 4 3(2+a) 즉 4 3(2+a) = 이므로 a=6 ;6!; 따라서 f(x)=3(x-2)(x+6)이므로 Ⅰ. 함수의 극한과 연속 9 =1에서 f(x)는 이차항의 계수가 1인 이차식임을 알 수 있다. 따라서 f(x)=(x+2)(x+7)=xÛ`+9x+14 f(0)=3´(-2)´6=-36 06-15 수학2-1단원해설-ok.indd 9 2018-09-28 오후 12:51:24 (2x+1)=3 (xÛ`-1)=3 024 -1 답 x+2 3x+1 lim x ¦ Ú = ;3!; , lim x ¦ Ú xÛ`+x+4 3xÛ`+2 = ;3!; 이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 lim ¦ x f(x)= ;3!; Ú 017 답 ;3!; 018 답 ;3%; x>0이므로 주어진 부등식의 각 변에 x를 곱하면 5xÛ` 3xÛ`+x+2 <xf(x)< 10xÛ` 6xÛ`+x+3 그런데 lim ¦ x Ú 5xÛ` 3xÛ`+x+2 = ;3%; , lim x ¦ Ú 10xÛ` 6xÛ`+x+3 = ;3%; 이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 lim ¦ x xf(x)= ;3%; Ú 019 ④ 답 ① lim x 1 Ú ② lim x 2 Ú ④ lim x 3 Ú x+4 x-2 =7 ③ lim x 1 Ú (xÛ`+2x-1)=2 ⑤ lim x -1'Ä Ú -x+3 =2 따라서 극한값이 가장 큰 것은 ④이다. 020 ② 답 x의 값이 1보다 작으면서 1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 x의 값이 2보다 크면서 2에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 -1에 한없이 가까워진다. ∴ lim x 1- Ú f(x)=-1 -1에 한없이 가까워진다. f(x)=-1 ∴ lim x 2+ Ú ∴ lim x 0 Ú f(x)+ lim 1- x f(x)+ lim 2+ x f(x) Ú Ú =1+(-1)+(-1)=-1 021 답 (ㄱ) {-(x-3)}=0 (ㄱ) lim x 3+ |x-3|= lim 3+ x (x-3)=0 Ú |x-3|= lim 3- x Ú |x-3|=0 Ú lim x 3- Ú ∴ lim x 3 Ú |x-1| xÛ`-x Ú = lim x 1+ Ú (ㄴ) lim x 1+ 1 x =1 lim x 1- Ú |x-1| xÛ`-x - 1-{ 1 x } =-1 = lim x Ú |x-1| xÛ`-x x 따라서 lim 1 Ú xÛ`-16 |x+4| -4+ Ú (ㄷ) lim x lim x Ú -4- xÛ`-16 |x+4| 따라서 lim -4 x Ú -4- = lim x Ú xÛ`-16 |x+4| 의 값은 존재하지 않는다. = lim x Ú -4+ (x-4)=-8 {-(x-4)}=8 10 정답 및 해설 022 ① 답 주어진 식의 분모, 분자를 x로 각각 나누면 3xÛ`+4f(x) 2xÛ`-f(x) lim x 0 Ú =lim x 0 Ú = 0+4 0-1 =-4 3x+ 2x- 4f(x) x f(x) x 023 답 24 (x-4)f(x) x -2 lim x 4 Ú =lim x 4 Ú '§ (x-4)f(x)( ( x -2)( '§ '§ (x-4)f(x)( x-4 '§ x +2) '§ x +2) x +2) =lim x 4 Ú =lim x 4 Ú f(x)( x +2) '§ =6( 4 +2)=24 ' x=-t로 놓으면 x -¦일 때, t ¦이므로 Ú lim x -¦ Ú "à 3x xÛ`-3x + 4xÛ`-x "à =lim t ¦ Ú =lim t ¦ Ú Ú -3t tÛ`+3t + "à "à -3 4tÛ`+t 1+ + ;t#; ®É ®É 4+ ;t!; =-1 025 ⑤ 답 분자를 유리화하면 xÛ`+ax - xÛ`-ax ) "à xÛ`+ax - ( "à xÛ`-ax )( "à xÛ`+ax + "à "à "à xÛ`+ax + xÛ`-ax "à xÛ`-ax ) 2ax xÛ`+ax + "à xÛ`-ax "à 2a 1+ + ;[A; ®É 1- ;[A; ®É = 2a 1+1 =a ( lim x ¦ Ú "à = lim x ¦ Ú = lim x ¦ Ú = lim x ¦ Ú ∴ a=5 026 답 6 4 x+1 { x- 2 x-1 } lim x -1 Ú = lim x -1 Ú = lim x -1 Ú = lim x -1 Ú 4 x+1 4 x+1 ´ ´ xÛ`-x-2 x-1 (x+1)(x-2) x-1 4(x-2) x-1 =6 027 -2 답 x Ú (분자) 즉 lim x -1 Ú -1일 때, (분모) 0이고 극한값이 존재하므로 Ú 0이다. Ú (xÛ`+ax+b)=0이므로 1-a+b=0 의 값은 존재하지 않는다. ∴ b=a-1 yy ㉠ 06-15 수학2-1단원해설-ok.indd 10 2018-09-28 오후 12:51:25 정답 및 해설 ㉠을 주어진 식의 좌변에 대입하면 xÛ`+ax+b x+1 lim x -1 Ú xÛ`+ax+a-1 x+1 (x+1)(x+a-1) x+1 (x+a-1)=a-2 = lim x -1 Ú = lim x -1 Ú = lim x -1 Ú 따라서 a-2=2이므로 a=4 a=4를 ㉠에 대입하면 b=3 ∴ a-2b=4-6=-2 028 답 2 lim x ¦ Ú ( xÛ`-kx -x)= lim ¦ Ú x "à xÛ`-kx -x)( xÛ`-kx +x) ( "à "à xÛ`-kx +x = lim x ¦ Ú = lim x ¦ Ú "à -kx xÛ`-kx +x -k "à 1- +1 ;[K; ®É = -k 2 따라서 -k 2 =-1이므로 k=2 029 -6 답 xÛ`-2 f(x) lim x ¦ Ú 알 수 있다. ;2!; 또, lim x 1 Ú f(x) xÛ`-1 = 에서 f(x)는 이차항의 계수가 2인 이차식임을 =3에서 x 1일 때 (분모) 0이고 극한값이 Ú Ú 존재하므로 (분자) 0이다. Ú 즉 lim x 1 Ú f(x)=0이므로 f(1)=0 f(x)=2(x-1)(x+a) ( a는 상수)라 하면 f(x) xÛ`-1 lim x 1 Ú =lim x 1 Ú 2(x-1)(x+a) (x+1)(x-1) =lim x 1 Ú 2(x+a) x+1 =1+a 즉 1+a=3이므로 a=2 따라서 f(x)=2(x-1)(x+2)이므로 f(x) x+2 lim x -2 Ú = lim x -2 Ú 2(x-1)(x+2) x+2 = lim x -2 Ú 2(x-1)=-6 주어진 부등식의 각 변을 제곱하면 (3x+1)Û`<{ f(x)}Û`<(3x+5)Û` 각 변을 xÛ`+1로 나누면 (3x+1)Û` xÛ`+1 이때 lim ¦ x Ú < { f(x)}Û` xÛ`+1 (3x+1)Û` xÛ`+1 < (3x+5)Û` xÛ`+1 (3x+5)Û` xÛ`+1 = lim x ¦ Ú 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 { f(x)}Û` xÛ`+1 lim x ¦ Ú =9 =9이므로 2 함수의 연속 22쪽~28쪽 031 답 (1) 연속 (2) 불연속 (3) 불연속 (1) Ú f(2)=5 Û lim 2+ x f(x)= lim 2- x f(x)=5 Ú Ú, Û에서 lim 2 Ú x Ú 이다. (2) Ú f(0)=0 f(x)=f(2)이므로 f(x)는 x=2에서 연속 Û lim 0 Ú x f(x)=lim 0 Ú x xÛ`+x x =lim x 0 Ú (x+1)=1 f(x)+f(0)이므로 f(x)는 x=0에서 Ú, Û에서 lim 0 Ú x 불연속이다. (3) Ú f(1)=0 Û lim 1+ x f(x)= lim 1+ x Ú x-1 x-1 =1, lim x 1- Ú f(x)= lim 1- x -(x-1) x-1 =-1 Ú Ú 즉 lim x 1+ f(x)+ lim 1- x Ú Ú 존재하지 않는다. f(x)이므로 극한값 lim 1 Ú x f(x)가 따라서 f(x)는 x=1에서 불연속이다. 032 답 (1) (-¦, ¦) (2) (-¦, ¦) (3) (-¦, -2)'(-2, ¦) (4) [-1, ¦) (1) 주어진 함수의 정의역은 실수 전체의 집합이므로 기호로 나타내면 (-¦, ¦) (2) 주어진 함수의 정의역은 실수 전체의 집합이므로 기호로 나타내면 (-¦, ¦) (3) x+2+0, 즉 x+-2에서 정의역은 {x|x+-2인 실수}이므로 기호로 나타내면 (-¦, -2)'(-2, ¦) (4) x+1¾0에서 x¾-1 따라서 정의역은 {x|x¾-1}이므로 기호로 나타내면 [-1, ¦) (3) (-¦, -1], [2, ¦) (1) 함수 f(x)=xÛ`+2는 다항함수이므로 모든 실수 x에서 연속 이다. 따라서 연속인 구간은 (-¦, ¦)이다. (2) 함수 f(x)= 는 x+5일 때, 즉 x<5 또는 x>5일 때 x x-5 연속이므로 구간 (-¦, 5), (5, ¦)에서 연속이다. (3) 함수 f(x)= xÛ`-x-2 는 xÛ`-x-2¾0, "à 즉 (x-2)(x+1)¾0에서 Ⅰ. 함수의 극한과 연속 11 030 ④ 답 모든 양의 실수 x에 대하여 3x+1<f(x)<3x+5이므로 033 답 (1) (-¦, ¦) (2) (-¦, 5), (5, ¦) 06-15 수학2-1단원해설-ok.indd 11 2018-09-28 오후 12:51:26 xÉ-1 또는 x¾2일 때 연속이다. 따라서 연속인 구간은 (-¦, -1], [2, ¦)이다. 037 답 4 x+3일 때, f(x)= xÛ`+ax-3 x-3 034 답 3 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=3에서 연속이어야 한다. lim x 3+ Ú f(x)= lim 3- x Ú f(x)=f(3) 이때 lim 3+ x f(x)= lim 3+ x Ú Ú (x+a)=3+a, lim x 3- Ú f(x)= lim 3- x Ú 3+a=6 ∴ a=3 (xÛ`-x)=6, f(3)=6이므로 035 답 8 함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 lim 1 Ú x f(x)=f(1)이다. ∴ lim x 1 Ú a x +b '§ x-1 =2 yy ㉠ ㉠에서 x 1일 때, (분모) 0이고 극한값이 존재하므로 Ú Ú 0이다. (분자) 즉 lim x 1 Ú Ú (a '§ ∴ b=-a yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 x +b)=0이므로 a+b=0 a x -a '§ x-1 lim x 1 Ú =lim x 1 Ú a( x -1)( '§ (x-1)( x +1) '§ x +1) '§ a(x-1) =lim x 1 Ú (x-1)( x +1) '§ =lim x 1 Ú '§ a x +1 = ;2A; 따라서 =2이므로 a=4 ;2A; a=4를 ㉡에 대입하면 b=-4 ∴ a-b=8 036 답 5 x+2일 때, f(x)= xÛ`+x+a x-2 ㉠에서 x 2일 때, (분모) 0이고 극한값이 존재하므로 f(x)=f(2) lim x 2 Ú ∴ lim x 2 Ú xÛ`+x+a x-2 =f(2) yy ㉠ Ú 0이다. Ú Ú (xÛ`+x+a)=0이므로 4+2+a=0 (분자) 즉 lim x 2 Ú ∴ a=-6 a=-6을 ㉠에 대입하면 f(2)=lim 2 Ú x xÛ`+x-6 x-2 =lim x 2 Ú (x-2)(x+3) x-2 =lim x 2 Ú (x+3)=5 12 정답 및 해설 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이면 x=3에서 연속이므로 f(x)=f(3) lim x 3 Ú ∴ lim x 3 Ú xÛ`+ax-3 x-3 =f(3) yy ㉠ ㉠에서 x 3일 때, (분모) 0이고 극한값이 존재하므로 Ú 0이다. Ú Ú (xÛ`+ax-3)=0이므로 9+3a-3=0 ∴ a=-2 (분자) 즉 lim x 3 Ú a=-2를 ㉠에 대입하면 f(3)=lim 3 Ú x xÛ`-2x-3 x-3 =lim x 3 Ú (x+1)(x-3) x-3 =lim x 3 Ú (x+1)=4 038 답 (1) (-¦, ¦) (2) (-¦, ¦) (3) (-¦, ¦) (4) (-¦, ¦) (1) f(x)는 다항함수이고, g(x)도 다항함수이므로 f(x)+g(x)는 다항함수이다. 따라서 열린구간 (-¦, ¦)에서 연속이다. (2) f(x)는 다항함수이고, 2g(x)도 다항함수이므로 f(x)-2g(x)는 다항함수이다. 따라서 열린구간 (-¦, ¦)에서 연속이다. (3) f(x), g(x)가 모두 다항함수이므로 f(x)g(x)는 다항함수이다. 따라서 열린구간 (-¦, ¦)에서 연속이다. (4) f(x) g(x) = 2xÛ`-3x xÛ`+2 f(x) g(x) 따라서 는 xÛ`+2>0인 모든 실수에서 연속이므로 열린구간 (-¦, ¦)에서 연속이다. (1) 두 함수 f(x)=xÛ`-5x, g(x)=xÛ`-3은 다항함수이므로 모든 실수 x에서 연속이다. 따라서 f(x), 2g(x)는 연속함수의 성질에 의해 모든 실수 x에서 연속이므로 함수 f(x)+2g(x)도 연속함수의 성질에 의해 모든 실수 x에서 연속이다. (2) { f(x)}Û`=f(x)_f(x)이므로 연속함수의 성질에 의해 모든 실수 x에서 연속이다. (3) g(x) f(x) = xÛ`-3 xÛ`-5x = xÛ`-3 x(x-5) 이 함수는 x=0, x=5에서 정의되지 않으므로 x=0, x=5에서 불연속이다. 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이면 x=2에서 연속이므로 039 답 (1) 연속 (2) 연속 (3) 불연속 (4) 불연속 06-15 수학2-1단원해설-ok.indd 12 2018-09-28 오후 12:51:27 정답 및 해설 (4) 1 f(x)-g(x) = 1 (xÛ`-5x)-(xÛ`-3) = 1 -5x+3 이 함수는 x= 에서 정의되지 않으므로 ;5#; x= 에서 불연속이다. ;5#; 040 답 (1) 최댓값 : 0, 최솟값 : -1 (2) 최댓값 : 4, 최솟값 : 0 (3) 최댓값 : -1, 최솟값 : - 3 (4) 최댓값 : 2 ' 3 , 최솟값 : 2 ' ' (5) 최댓값 : 1, 최솟값 : (6) 최댓값 : 3, 최솟값 : ;3!; ;2#; (1) 함수 f(x)는 닫힌구간 [0, 1]에서 연속이므로 이 구간에서 y=f(x) 1 x 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이때 f(x)=x-1이고, 구간 [0, 1]에서 함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로 함수 f(x)는 x=1일 때 최댓값 0, x=0일 때 최솟값 -1 을 갖는다. 구간 [1, 4]에서 함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로 함수 f(x)는 x=2일 때 최댓값 4, x=4일 때 최솟값 0을 갖는다. y O -1 y 4 3 O (2) 함수 f(x)는 닫힌구간 [1, 4]에서 연속이므로 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이때 f(x)=-xÛ`+4x=-(x-2)Û`+4이고, (3) 함수 f(x)는 닫힌구간 [-2, 0]에서 연속이므로 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이때 f(x)=- x+3 이고, 'Ä 구간 [-2, 0]에서 -3 -2 함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로 함수 f(x)는 x=-2일 때 y O -1 - 3 ' 최댓값 -1, x=0일 때 최솟값 - 3 을 갖는다. ' (4) 함수 f(x)는 닫힌구간 [-2, 3]에서 연속이므로 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이때 f(x)= 2x+6 = 2(x+3) 이고, 구간 [-2, 3]에서 'Ä 'Ä 함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로 함수 f(x)는 x=3일 때 최댓값 2 3 , x=-2일 때 ' 2 를 갖는다. 최솟값 ' y 2 3 ' y=f(x) 2 ' -3 -2 O 3 x (5) 함수 f(x)는 닫힌구간 [-4, -2]에서 연속이므로 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖는다. y=f(x) y 이때 f(x)= 이고, 1 x+5 구간 [-4, -2]에서 함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로 함수 f(x)는 x=-4일 때 1 3 1 -4-5 -2 O x 최댓값 1, x=-2일 때 최솟값 을 갖는다. ;3!; (6) 함수 f(x)는 닫힌구간 [2, 5]에서 연속이므로 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이때 f(x)= x+1 x-1 = 2 x-1 +1이고, 구간 [2, 5]에서 y=f(x) y 3 1 3 2 O 1 2 -1 -1 5 x 함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로 함수 f(x)는 x=2일 때 최댓값 3, x=5일 때 최솟값 을 갖는다. ;2#; 041 답 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) 풀이 참고 y=f(x) (1) f(x)=xÜ`-3xÛ`+5x+6으로 놓으면 1 2 4 x 이므로 사잇값의 정리에 의하여 f(c)=0인 c가 함수 f(x)는 닫힌구간 [-1, 1]에서 연속이고 f(-1)=-3<0, f(1)=9>0 열린구간 (-1, 1)에 적어도 하나 존재한다. 따라서 방정식 xÜ`-3xÛ`+5x+6=0은 열린구간 (-1, 1)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. (2) f(x)=2xÜ`-3xÛ`-1로 놓으면 함수 f(x)는 x 닫힌구간 [1, 2]에서 연속이고 f(1)=-2<0, f(2)=3>0 y=f(x) 이므로 사잇값의 정리에 의하여 f(c)=0인 c가 열린구간 (1, 2)에 적어도 하나 존재한다. 따라서 방정식 2xÜ`-3xÛ`-1=0은 열린구간 (1, 2)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. (3) f(x)=xÝ`-4xÜ`-x-3으로 놓으면 함수 f(x)는 닫힌구간 [-1, 1]에서 연속이고 f(-1)=3>0, f(1)=-7<0 이므로 사잇값의 정리에 의하여 f(c)=0인 c가 열린구간 (-1, 1)에 적어도 하나 존재한다. 따라서 방정식 xÝ`-4xÜ`-x-3=0은 열린구간 (-1, 1)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. Ⅰ. 함수의 극한과 연속 13 06-15 수학2-1단원해설-ok.indd 13 2018-09-28 오후 12:51:28 Ü f(3)=3, lim 3+ x f(x)=3, lim 3- x f(x)=3 Ú Ú f(x)=3 ∴ lim x 3 Ú f(x)=f(3)이므로 함수 f(x)는 x=3에서 연속이다. lim x 3 Ú Ú, Û, Ü에서 a=1, b=2이므로 a+b=3 042 ③ 답 ① 함수 f(x)는 x=-1에서 정의되지 않는다. 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 불연속이다. ② x=-1에서 함숫값은 f(-1)=0 -1일 때, 극한값은 x Ú lim x Ú lim x Ú -1+ -1- 즉, lim x -1+ Ú 않는다. x Ú -1+ x -1- Ú f(x)+ lim x Ú -1- x Ú -1+ x Ú -1- 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 불연속이다. ③ x=-1에서 함숫값은 f(-1)=-3 f(x)= lim ([x]-x)= lim (-1-x)=0 f(x)= lim ([x]-x)= lim (-2-x)=-1 044 답 5 f(x)이므로 lim f(x)는 존재하지 x -1 Ú 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=-1에서 연속이어야 하므로 lim Ú -1+ x f(x)= lim f(x)=f(-1) x Ú -1- 이때 lim x -1+ f(x)= lim (xÜ`+bx+2)=1-b, x -1+ Ú f(x)= lim Ú (-xÛ`+x+a)=a-2이므로 lim Ú -1- x x Ú -1- 1-b=a-2=2 ∴ a=4, b=-1 ∴ a-b=4-(-1)=5 045 ① 답 함수 f(x)g(x)가 x=3에서 연속이므로 lim x 3+ Ú f(x)g(x)= lim f(x)g(x)=f(3)g(3) x 3- Ú 이때 f(3)g(3)=7(3-k)=21-7k이고 lim x 3+ Ú lim x 3- Ú f(x)g(x)= lim x 3+ Ú f(x)g(x)= lim x 3- Ú 따라서 -3+k=21-7k이므로 8k=24 (-x+2)(x-k)=-(3-k)=-3+k (2x+1)(x-k)=7(3-k)=21-7k 046 답 6 x+1일 때, f(x)= xÛ`+ax-3 x-1 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이면 x=1에서도 연속이므로 =f(1) yy ㉠ x 1일 때, (분모) 0이고 극한값이 존재하므로 f(x)=f(1) lim x 1 Ú ∴ lim x 1 Ú xÛ`+ax-3 x-1 Ú 0이다. Ú (분자) 즉 lim x 1 Ú Ú (xÛ`+ax-3)=0이므로 1+a-3=0 ∴ a=2 a=2를 ㉠에 대입하면 xÛ`+ax-3 x-1 lim x 1 Ú xÛ`+2x-3 x-1 =lim x 1 Ú =lim x 1 Ú ∴ f(1)=4 ∴ a+f(1)=2+4=6 (x+3)(x-1) x-1 =lim x 1 Ú (x+3)=4 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 불연속이다. ∴ k=3 = lim x -1 Ú (x+1)(x-2) x+1 = lim x -1 Ú (x-2)=-3 x -1일 때, 극한값은 Ú lim x -1 Ú f(x)= lim -1 x Ú xÛ`-x-2 x+1 lim x -1 Ú f(x)=f(-1)이므로 함수 f(x)는 x=-1에서 연속이다. ④ x=-1에서 함숫값은 f(-1)=2 x -1일 때, 극한값은 Ú lim x Ú -1+ f(x)= lim x Ú -1+ x+1 |x+1|= lim x -1+ x+1 x+1 =1 lim x Ú -1- f(x)= lim x Ú -1- x+1 |x+1|= lim x -1- x+1 -(x+1) =-1 Ú Ú f(x)+ lim f(x)이므로 lim f(x)는 존재하지 x Ú -1- x -1 Ú 즉, lim x -1+ Ú 않는다. ⑤ x=-1에서 함숫값은 f(-1)=0 -1일 때, 극한값은 f(x)= lim -1 x Ú 'Ä (- x+1 +5)=5 x Ú lim x -1 Ú lim x -1 Ú 이다. 따라서 x=-1에서 연속인 함수는 ③이다. f(x)+f(-1)이므로 함수 f(x)는 x=-1에서 불연속 043 답 3 Ú Ú lim x 1+ f(x)=2, lim 1- x f(x)=1이므로 lim 1+ x f(x)+ lim 1- x f(x) Ú Ú Ú 따라서 lim f(x)가 존재하지 않으므로 1 Ú x f(x)는 x=1에서 불연속이다. Û f(2)=3, lim 2+ x f(x)=2, lim 2- x f(x)=2 Ú Ú f(x)=2 ∴ lim x 2 Ú f(x)+f(2)이므로 함수 f(x)는 x=2에서 불연속이다. lim x 2 Ú 14 정답 및 해설 06-15 수학2-1단원해설-ok.indd 14 2018-09-28 오후 12:51:29 정답 및 해설 047 ④ 답 x+1일 때, f(x)= axÛ`-bx x-1 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이면 x=1에서도 연속이므로 f(x)=f(1) lim x 1 Ú ∴ lim x 1 Ú axÛ`-bx x-1 =3 yy ㉠ x 1일 때, (분모) 0이고 극한값이 존재하므로 Ú Ú (분자) 즉 lim x 1 Ú 0이다. Ú (axÛ`-bx)=0이므로 a-b=0 ∴ a=b yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 axÛ`-bx x-1 lim x 1 Ú =lim x 1 Ú axÛ`-ax x-1 =lim x 1 Ú ax(x-1) x-1 =lim x 1 Ú ax=a ∴ a=3, b=3 ∴ aÛ`+bÛ`=18 048 ③ 답 ①, ④, ⑤ f(x)는 주어진 구간에서 연속이므로 최대·최소 정 리에 의하여 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다. ② -4Éx<-1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하므로 최댓값은 f(-4)= 3 -4+1 =-1 ③ -1<xÉ1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하므로 최댓값은 없다. 051 ④ 답 f(x)=xÜ`+2x-5로 놓으면 f(x)는 모든 실수 x에서 연속이고 f(-2)=-17<0, f(-1)=-8<0, f(0)=-5<0, f(1)=-2<0, f(2)=7>0, f(3)=28>0 따라서 f(1)f(2)<0이므로 사잇값의 정리에 의하여 주어진 방정식의 실근이 존재하는 구간은 (1, 2)이다. ① f(x)+3g(x)=(x+2)+3(xÛ`+1)=3xÛ`+x+5이므로 052 ① 답 이 함수는 모든 실수 x에서 연속이다. f(-2)f(-1)=-4<0, f(0)f(1)=-1<0, ② f(x)g(x)=(x+2)(xÛ`+1)=xÜ`+2xÛ`+x+2이므로 f(1)f(2)=-2<0이므로 이 함수는 모든 실수 x에서 연속이다. 사잇값의 정리에 의하여 방정식 f(x)=0은 구간 (-2, -1), ③ g(x) f(x) = xÛ`+1 x+2 이고 이 함수는 x=-2에서 정의되지 않으므로 x=-2에서 불연속이다. ④ f(x) g(x) = x+2 xÛ`+1 이므로 이 함수는 모든 실수 x에서 연속이다. ⑤ g( f(x))=g(x+2)=(x+2)Û`+1=xÛ`+4x+5이므로 이 함수는 모든 실수 x에서 연속이다. (0, 1), (1, 2)에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다. 따라서 방정식 f(x)=0은 열린구간 (-2, 2)에서 적어도 3개의 실근을 가지므로 n=3 049 ④ 답 f(x)=xÛ`-4x+1, g(x)=xÛ`-5x+6에서 f(x) g(x) = xÛ`-4x+1 xÛ`-5x+6 = xÛ`-4x+1 (x-2)(x-3) 즉 함수 는 x=2, x=3에서 정의되지 않으므로 f(x) g(x) 불연속이 되는 x의 값은 2, 3이다. 따라서 모든 x의 값의 합은 2+3=5 050 ③ 답 함수 f(x)= 은 x=-1에서 불연속이고, 3 x+1 그 이외의 x의 값에서는 연속이다. 06-15 수학2-1단원해설-ok.indd 15 2018-09-28 오후 12:51:29 Ⅰ. 함수의 극한과 연속 15 (3) Dy Dx = f(a)-f(1) a-1 = (aÛ`+2a+1)-4 a-1 = (a+3)(a-1) a-1 005 답 (1) -6 (2) -2 (3) -8 (4) -10 Ⅱ 미분 1 미분계수 001 답 (1) 4 (2) 1 (3) 3 (4) Dx+2a = f(3)-f(1) 3-1 = 9-1 2 =4 = f(2)-f(1) 2-1 = 0-(-1) 1 =1 = f(2)-f(0) 2-0 = 6-0 2 =3 (1) (2) (3) (4) Dy Dx Dy Dx Dy Dx Dy Dx =Dx+2a = f(a+Dx)-f(a) (a+Dx)-a = aÛ`+2a_Dx+(Dx)Û`-aÛ` Dx 002 답 (1) 5 (2) 9 (3) 4 (4) 6 (1) Dy Dx = f(a)-f(1) a-1 = (aÛ`-6)+5 a-1 = (a+1)(a-1) a-1 (2) Dy Dx = f(a)-f(1) a-1 = (aÛ`+a)-2 a-1 = (a+2)(a-1) a-1 =a+1=6 ∴ a=5 =a+2=11 ∴ a=9 =a+3=7 ∴ a=4 =a+4=10 ∴ a=6 (4) Dy Dx = f(a)-f(1) a-1 = (aÛ`+3a-1)-3 a-1 = (a+4)(a-1) a-1 003 답 (1) 2 (2) 8 (3) 6 (4) 2 (1) f '(1)= lim 0 Ú Dx f(1+Dx)-f(1) Dx {(Dx)Û`+2Dx+2}-2 Dx (Dx+2)=2 = lim Dx 0 Ú = lim Dx 0 Ú = lim Dx 0 Ú = lim Dx 0 Ú (2) f '(2)= lim 0 Ú Dx f(2+Dx)-f(2) Dx {2(Dx)Û`+8Dx+5}-5 Dx (2Dx+8)=8 (3) f '(-1)= lim 0 Ú Dx f(-1+Dx)-f(-1) Dx {-3(Dx)Û`+6Dx+1}-1 Dx (-3Dx+6)=6 = lim Dx 0 Ú = lim Dx 0 Ú 16 정답 및 해설 31쪽~39쪽 (4) f '(-2)= lim 0 Ú Dx f(-2+Dx)-f(-2) Dx - {(Dx)Û`-4Dx+4}-(-2) 1 2 = lim Dx 0 Ú Dx = lim Dx Ú 0{ - Dx+2 } ;2!; =2 004 답 (1) 2 (2) -8 (3) -24 (4) -6 (5) 0 (1) lim h 0 Ú f(a+2h)-f(a) h =lim h 0 Ú f(a+2h)-f(a) 2h _2 =f '(a)_2=2 (2) lim h 0 Ú f(a+4h)-f(a) h =lim h 0 Ú f(a+4h)-f(a) 4h _4 =f '(a)_4=-8 (3) lim h 0 Ú f(a+8h)-f(a) h =lim h 0 Ú f(a+8h)-f(a) 8h _8 =f '(a)_8=-24 (4) lim h 0 Ú f(a-3h)-f(a) h =lim h 0 Ú f(a-3h)-f(a) -3h _(-3) =f '(a)_(-3)=-6 (5) lim h 0 Ú f(a-hÛ`)-f(a) 5h =lim h 0 Ú f(a-hÛ`)-f(a) -hÛ` _ - { h 5 } =f '(a)_0=0 (1) lim h 0 Ú f(a+2h)-f(a-h) h =lim 0 Ú h =lim 0 Ú h f(a+2h)-f(a)+f(a)-f(a-h) h f(a+2h)-f(a) 2h _2-lim 0 Ú h f(a-h)-f(a) -h _(-1) =2f '(a)+f '(a) =3f '(a)=-6 (2) lim h 0 Ú f(a-h)-f(a-2h) h f(a-h)-f(a)+f(a)-f(a-2h) h f(a-h)-f(a) -h _(-1) =lim 0 Ú h =lim 0 Ú h -lim h 0 Ú f(a-2h)-f(a) -2h _(-2) =-f '(a)+2f '(a) =f '(a)=-2 (3) lim h 0 Ú f(a+3h)-f(a-h) h =lim 0 Ú h =lim 0 Ú h =3f '(a)+f '(a) =4f '(a)=-8 f(a+3h)-f(a)+f(a)-f(a-h) h f(a+3h)-f(a) 3h _3-lim 0 Ú h f(a-h)-f(a) -h _(-1) 2단원(1), (2)해설-OK.indd 16 2018-09-28 오후 12:52:51 정답 및 해설 (4) lim h 0 Ú f(a+2h)-f(a-3h) h =lim 0 Ú h =lim 0 Ú h f(a+2h)-f(a)+f(a)-f(a-3h) h - f(a+2h)-f(a) 2h _2-lim 0 Ú h f(a-3h)-f(a) -3h _(-3) =2f '(a)+3f '(a)=5f '(a)=-10 (5) 점 (1, 4)에서의 접선의 기울기는 f '(1)과 같으므로 f '(1)= lim 0 Ú Dx f(1+Dx)-f(1) Dx {(Dx)Û`+4Dx+4}-4 Dx (Dx+4)=4 = lim Dx 0 Ú = lim Dx 0 Ú =f '(1)_2=3_2=6 O a b x 007 답 (1) -2 (2) 4 (3) -5 (4) -4 (5) 4 (1) 점 (-1, 1)에서의 접선의 기울기는 f '(-1)과 같으므로 (ㄷ) f '(a)는 점 A에서의 접선의 기울기이고, f '(b)는 점 B에서의 접선의 기울기이므로 f'(a)>f'(b) 따라서 옳은 것은 (ㄴ), (ㄷ)이다. 006 답 (1) 1 (2) 6 (3) -3 (4) 12 (1) lim x 1 Ú f(x)-f(1) xÛ`-1 =lim x Ú 1 [ f(x)-f(1) x-1 _ 1 x+1 ] =f '(1)_ =2_ =1 ;2!; ;2!; (2) lim x 1 Ú f(xÛ`)-f(1) x-1 =lim x Ú 1 [ f(xÛ`)-f(1) xÛ`-1 _(x+1) ] (3) lim x 1 Ú f(x)-f(1) xÜ`-1 =lim x Ú 1 [ f(x)-f(1) x-1 _ 1 xÛ`+x+1 ] =f '(1)_ =-9_ =-3 ;3!; ;3!; (4) lim x 1 Ú f(xÜ`)-f(1) x-1 =lim x Ú 1 [ f(xÜ`)-f(1) xÜ`-1 _(xÛ`+x+1) ] =f '(1)_3=4_3=12 (2) 점 (1, 3)에서의 접선의 기울기는 f '(1)과 같으므로 f '(-1)= lim 0 Ú Dx f(-1+Dx)-f(-1) Dx {(Dx)Û`-2Dx+1}-1 Dx (Dx-2)=-2 = lim Dx 0 Ú = lim Dx 0 Ú f '(1)= lim 0 Ú Dx f(1+Dx)-f(1) Dx {2(Dx)Û`+4Dx+3}-3 Dx (2Dx+4)=4 = lim Dx 0 Ú = lim Dx 0 Ú f '(-1)= lim 0 Ú Dx f(-1+Dx)-f(-1) Dx {3(Dx)Û`-5Dx+2}-2 Dx (3Dx-5)=-5 = lim Dx 0 Ú = lim Dx 0 Ú (3) 점 (-1, 2)에서의 접선의 기울기는 f '(-1)과 같으므로 (4) 점 (2, -3)에서의 접선의 기울기는 f '(2)와 같으므로 f '(2)= lim 0 Ú Dx f(2+Dx)-f(2) Dx {-(Dx)Û`-4Dx-3}-(-3) Dx (-Dx-4)=-4 = lim Dx 0 Ú = lim Dx 0 Ú 008 답 (ㄴ), (ㄷ) 함수 y=f(x)의 그래프 위의 두 점 A, B의 좌표를 (a, f(a)), (b, f(b))라 하자. y=x y=f(x) A B y f(b) f(a) (ㄱ) f(a) a 는 직선 OA의 기울기, f(b) b 는 직선 OB의 기울기 (ㄴ) 직선 AB의 기울기는 직선 y=x의 기울기보다 작으므로 이므로 f(a) a > f(b) b f(b)-f(a) b-a <1 ∴ f(b)-f(a)1 ∴ f(b)-f(a)>b-a (ㄷ) f '(a)는 점 A에서의 접선의 기울기이고, f '(b)는 점 B에 서의 접선의 기울기이므로 f '(a)<f '(b) 따라서 옳은 것은 (ㄷ)이다. 0, 0, 연속이다., 1, -1, 존재하지 않는다., 010 답 미분가능하지 않다. Ⅱ. 미분 17 2단원(1), (2)해설-OK.indd 17 2018-09-28 오후 12:52:52 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 연속이다. 이므로 f '(1)이 존재하지 않는다. 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 연속이다. 이므로 f '(2)가 존재하지 않는다. 011 답 (1) 연속이고 미분가능하다. (2) 연속이고 미분가능하지 않다. (3) 연속이고 미분가능하지 않다. (1) f(0)=0이고 lim 0 Ú f(x)=f(0) x lim x 0 Ú f(x)=lim 0 Ú x x|x|=0이므로 lim x 0+ Ú lim x 0- Ú f(x)-f(0) x-0 = lim x 0+ Ú xÛ` x = lim x 0+ Ú x=0, f(x)-f(0) x-0 = lim x 0- Ú -xÛ` x = lim x 0- Ú (-x)=0이므로 즉, 함수 f(x)는 x=0에서 연속이고 미분가능하다. f(x)=lim 0 Ú x (x+|x|)=0이므로 f '(0)이 존재한다. (2) f(0)=0이고 lim 0 Ú f(x)=f(0) x lim x 0 Ú lim x 0+ Ú lim x 0- Ú f(x)-f(0) x-0 f(x)-f(0) x-0 = lim x 0+ Ú = lim x 0- Ú x+|x| x x+|x| x = lim x 0+ Ú = lim x 0- Ú x+x x x-x x =2, =0이므로 f '(0)이 존재하지 않는다. 즉, 함수 f(x)는 x=0에서 연속이고 미분가능하지 않다. (3) f(0)=0이고 lim 0 Ú f(x)=f(0) x lim x 0 Ú f(x)=lim 0 Ú x (2xÛ`-|x|)=0이므로 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 연속이다. lim x 0+ Ú lim x 0- Ú f(x)-f(0) x-0 f(x)-f(0) x-0 = lim x 0+ Ú = lim x 0- Ú 2xÛ`-x x = lim x 0+ Ú 2xÛ`-(-x) x (2x-1)=-1, = lim x 0- Ú (2x+1)=1 이므로 f '(0)이 존재하지 않는다. 즉, 함수 f(x)는 x=0에서 연속이고 미분가능하지 않다. 012 답 (1) 연속이고 미분가능하지 않다. (2) 연속이고 미분가능하지 않다. (3) 연속이고 미분가능하지 않다. (1) f(1)=0이고 lim 1 Ú f(x)=f(1) x lim x 1 Ú f(x)=lim 1 Ú x |3x-3|=0이므로 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 연속이다. lim x 1+ Ú lim x 1- Ú f(x)-f(1) x-1 f(x)-f(1) x-1 = lim x 1+ Ú = lim x 1- Ú 3x-3 x-1 = lim x 1+ Ú -3(x-1) x-1 3(x-1) x-1 =3, =-3이므로 f '(1)이 존재하지 않는다. 즉, 함수 f(x)는 x=1에서 연속이고 미분가능하지 않다. (2) f(1)=0이고 lim 1 Ú f(x)=f(1) x lim x 1 Ú f(x)=lim 1 Ú x |xÛ`-1|=0이므로 18 정답 및 해설 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 연속이다. f(x)-f(1) x-1 f(x)-f(1) x-1 lim x 1+ Ú lim x 1- Ú xÛ`-1 x-1 = lim x 1+ Ú -(xÛ`-1) x-1 (-x-1)=-2 = lim x 1+ Ú = lim x 1- Ú = lim x 1- Ú (x+1)=2, 즉, 함수 f(x)는 x=1에서 연속이고 미분가능하지 않다. (3) f(2)=0이고 lim 2 Ú f(x)=f(2) x lim x 2 Ú f(x)=lim 2 Ú x |xÛ`-2x|=0이므로 따라서 함수 f(x)는 x=2에서 연속이다. lim x 2+ Ú lim x 2- Ú f(x)-f(2) x-2 = lim x 2+ Ú f(x)-f(2) x-2 = lim x 2- Ú xÛ`-2x x-2 = lim x 2+ Ú -(xÛ`-2x) x-2 x=2, = lim x 2- Ú (-x)=-2 즉, 함수 f(x)는 x=2에서 연속이고 미분가능하지 않다. 013 답 (1) 연속이고 미분가능하다. (2) 연속이고 미분가능하지 않다. (1) f(1)=-1이고 lim x 1+ Ú Ú (2x-3)=-1이므로 lim 1 Ú x f(x)= lim 1- f(x)= lim 1+ lim x 1- Ú x x Ú (xÛ`-2)=-1, f(x)=f(1) 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 연속이다. f(x)-f(1) x-1 lim x 1+ Ú f(x)-f(1) x-1 lim x 1- Ú (xÛ`-2)-(-1) x-1 (x+1)=2, (2x-3)-(-1) x-1 2=2 = lim x 1+ Ú = lim x 1+ Ú = lim x 1- Ú = lim x 1- Ú 이므로 f '(1)이 존재한다. 즉, 함수 f(x)는 x=1에서 연속이고 미분가능하다. (2) f(2)=6이고 lim 2+ x f(x)= lim 2+ x (2xÛ`+x-4)=6, Ú Ú f(x)= lim 2- x Ú lim x 2- Ú 3x=6이므로 lim 2 Ú x f(x)=f(2) 따라서 함수 f(x)는 x=2에서 연속이다. f(x)-f(2) x-2 lim x 2+ Ú (2xÛ`+x-4)-6 x-2 (2x+5)=9, f(x)-f(2) x-2 lim x 2- Ú 3x-6 x-2 = lim x 2- Ú 3=3 이므로 f '(2)는 존재하지 않는다. = lim x 2+ Ú = lim x 2+ Ú = lim x 2- Ú 즉, 함수 f(x)는 x=2에서 연속이고 미분가능하지 않다. 014 답 (1) a=2, b=-1 (2) a=2, b=-2 (3) a=2, b=4 (4) a= , b= (5) a=-1, b=1 (6) a=8, b=-4 ;2!; ;2&; 2단원(1), (2)해설-OK.indd 18 2018-09-28 오후 12:52:54 정답 및 해설 (1) 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이므로 lim x 1+ Ú xÛ`= lim x 1- Ú ∴ a+b=1 yy ㉠ (ax+b)=f(1) lim x 1+ Ú f(x)-f(1) x-1 = lim x 1- Ú f(x)-f(1) x-1 이므로 2a=1 ∴ a= ;2!; 또, f(x)의 x=1에서의 미분계수가 존재하므로 이것을 ㉠에 대입하면 b= ;2&; (5) 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이므로 f(x)-f(1) x-1 = lim x 1+ Ú xÛ`-1 x-1 = lim x 1+ Ú (x+1)=2, lim x 1+ Ú lim x 1- Ú f(x)-f(1) x-1 (ax+b)-(a+b) x-1 a(x-1) x-1 =a에서 = lim x 1- Ú = lim x 1- Ú = lim x 1- Ú f(x)-f(1) x-1 lim x 1+ Ú f(x)-f(1) x-1 이므로 a=2 이것을 ㉠에 대입하면 b=-1 (2) 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이므로 lim x 1+ Ú (xÛ`+3)= lim 1- x Ú (ax-b)=f(1) ∴ a-b=4 yy ㉠ 또, f(x)의 x=1에서의 미분계수가 존재하므로 f(x)-f(1) x-1 = lim x 1+ Ú (xÛ`+3)-4 x-1 = lim x 1+ Ú (x+1)=2, lim x 1+ Ú lim x 1- Ú f(x)-f(1) x-1 (ax-b)-(a-b) x-1 a(x-1) x-1 =a에서 = lim x 1- Ú = lim x 1- Ú = lim x 1- Ú f(x)-f(1) x-1 lim x 1+ Ú f(x)-f(1) x-1 이므로 a=2 이것을 ㉠에 대입하면 b=-2 (3) 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이므로 lim x 1+ Ú (ax-5)= lim 1- x Ú (xÛ`-b)=f(1), a-5=1-b ∴ a+b=6 yy ㉠ 또, f(x)의 x=1에서의 미분계수가 존재하므로 f(x)-f(1) x-1 lim x 1+ Ú (ax-5)-(a-5) x-1 f(x)-f(1) x-1 lim x 1- Ú a(x-1) x-1 =a, (xÛ`-b)-(1-b) x-1 (x+1)=2에서 f(x)-f(1) x-1 lim x 1+ Ú f(x)-f(1) x-1 이므로 a=2 이것을 ㉠에 대입하면 b=4 (4) 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이므로 lim x 1+ Ú (axÛ`-3)= lim 1- x Ú ∴ a+b=4 yy ㉠ (x-b)=f(1), a-3=1-b 또, f(x)의 x=1에서의 미분계수가 존재하므로 f(x)-f(1) x-1 lim x 1+ Ú (axÛ`-3)-(a-3) x-1 a(x+1)=2a, f(x)-f(1) x-1 lim x 1- Ú (x-b)-(1-b) x-1 =1에서 = lim x 1+ Ú = lim x 1+ Ú = lim x 1- Ú = lim x 1- Ú = lim x 1- Ú = lim x 1+ Ú = lim x 1+ Ú = lim x 1- Ú lim x 1+ Ú (axÛ`-bx)= lim 1- x Ú (-3x+b)=f(1) a-b=-3+b ∴ a-2b=-3 yy ㉠ 또, f(x)의 x=1에서의 미분계수가 존재하므로 f(x)-f(1) x-1 lim x 1+ Ú f(x)-f(1) x-1 lim x 1- Ú = lim x 1+ Ú = lim x 1+ Ú = lim x 1+ Ú = lim x 1- Ú = lim x 1- Ú (axÛ`-bx)-(a-b) x-1 (x-1)(ax+a-b) x-1 (ax+a-b)=2a-b, (-3x+b)-(-3+b) x-1 -3(x-1) x-1 =-3에서 lim x 1+ Ú f(x)-f(1) x-1 = lim x 1- Ú f(x)-f(1) x-1 이므로 2a-b=-3 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=1 (6) 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이므로 lim x 1+ Ú (xÛ`+ax-3)= lim 1- x Ú a-2=-b+2 ∴ a+b=4 yy ㉠ (-bxÛ`+2x)=f(1) 또, f(x)의 x=1에서의 미분계수가 존재하므로 f(x)-f(1) x-1 lim x 1+ Ú (xÛ`+ax-3)-(a-2) x-1 f(x)-f(1) x-1 lim x 1- Ú (x-1)(x+a+1) x-1 (x+a+1)=a+2, (-bxÛ`+2x)-(-b+2) x-1 (x-1)(-bx-b+2) x-1 (-bx-b+2)=-2b+2에서 = lim x 1+ Ú = lim x 1+ Ú = lim x 1+ Ú = lim x 1- Ú = lim x 1- Ú = lim x 1- Ú = lim x 1- Ú f(x)-f(1) x-1 lim x 1+ Ú f(x)-f(1) x-1 이므로 a+2=-2b+2 ∴ a+2b=0 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=8, b=-4 015 답 (1) 1 (2) 4개 (3) 2개 (4) 1개 (5) 1 (2) x=-3, x=-1, x=0, x=1에서 미분가능하지 않으므로 미분가능하지 않은 점은 4개이다. (3) x=-3, x=1에서 불연속이므로 불연속인 점은 2개이다. (4) f '(x)=0인 점은 x=-2일 때의 1개이다. (5) 점 (2, 2)에서의 접선의 기울기이므로 2-1 2-1 =1 Ⅱ. 미분 19 2단원(1), (2)해설-OK.indd 19 2018-09-28 오후 12:52:55 016 답 (1) ◯ (2) × (3) × (4) × (5) ◯ (1) x=1, x=2, x=4에서 미분가능하지 않으므로 미분가능하지 않은 점은 3개이다. (2) x=2, x=4에서 불연속이므로 불연속인 점은 2개이다. (3) x=3에서의 접선의 기울기는 음수이므로 f '(3)<0 (4) lim x 2+ f(x)= lim 2- x f(x)이므로 lim f(x)의 값이 존재한다. 2 Ú x Ú Ú f(a+2)-f(a) (a+2)-a = (aÛ`+4a)-(aÛ`-4) 2 = 4a+4 2 017 ① 답 Dy Dx = =2a+2=4 ∴ a=1 018 답 2 019 ④ 답 020 답 5 f '(2)= lim 0 Ú Dx f(2+Dx)-f(2) Dx = lim Dx 0 Ú {(Dx)Û`+2Dx+1}-1 Dx 023 답 5 = lim Dx 0 Ú (Dx+2)=2 f(a+7h)-f(a) 2h lim h 0 Ú =lim h 0 Ú f(a+7h)-f(a) 7h _ = ;2&; ;2&; f '(a) ∴ m+n=5 2f(x)-xf(2) x-2 lim x 2 Ú =lim x 2 Ú 2f(x)-2f(2)+2f(2)-xf(2) x-2 =2 lim x 2 Ú f(x)-f(2) x-2 -lim x 2 Ú f(2)(x-2) x-2 =2f '(2)-f(2)=2_3-1=5 2 도함수 024 답 021 ③ 답 f '(a)는 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기이고, 평균변화율은 두 점을 이은 직선의 기울기이다. y ① b a O ② y=f(x) ③ ⑤ c x ④ 따라서 기울기의 값이 가장 큰 것은 ③이다. 022 -10 답 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이므로 lim x 1+ Ú (xÛ`+ax+4)= lim 1- x Ú ∴ a+b=-4 yy ㉠ (-bxÛ`+x)=f(1) 또, f(x)의 x=1에서의 미분계수가 존재하므로 20 정답 및 해설 f(x)-f(1) x-1 lim x 1- Ú f(x)-f(1) x-1 lim x 1+ Ú (xÛ`+ax+4)-(a+5) x-1 (x-1)(x+a+1) x-1 (x+a+1)=2+a (-bxÛ`+x)-(-b+1) x-1 (x-1)(-bx-b+1) x-1 (-bx-b+1)=-2b+1에서 = lim x 1+ Ú = lim x 1+ Ú = lim x 1+ Ú = lim x 1- Ú = lim x 1- Ú = lim x 1- Ú = lim x 1- Ú f(x)-f(1) x-1 lim x 1+ Ú f(x)-f(1) x-1 이므로 2+a=-2b+1 ∴ a+2b=-1 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-7, b=3 ∴ a-b=-10 x=b, x=c에서 불연속이므로 불연속인 점의 개수는 2개 ∴ m=2 x=a, x=b, x=c에서 미분가능하지 않으므로 미분가능하지 않은 점의 개수는 3개 ∴ n=3 41쪽~49쪽 (1) f '(x)=0 (2) f '(x)=2 (3) f '(x)=2x-4 (4) f '(x)=2x+2 (5) f '(x)=3xÛ` (1) f '(x)=lim 0 Ú h f(x+h)-f(x) h =lim h 0 Ú 3-3 h =lim h 0 Ú 0 h =0 (2) f '(x)=lim 0 Ú h f(x+h)-f(x) h =lim h 0 Ú (2x+2h+6)-(2x+6) h =lim h 0 Ú 2h h =lim h 0 Ú 2=2 (3) f '(x)=lim 0 Ú h f(x+h)-f(x) h (xÛ`+2hx+hÛ`-4x-4h)-(xÛ`-4x) h 2hx+hÛ`-4h h =lim h 0 Ú (2x+h-4)=2x-4 (4) f '(x)=lim 0 Ú h f(x+h)-f(x) h (xÛ`+2hx+hÛ`+2x+2h-1)-(xÛ`+2x-1) h 2hx+hÛ`+2h h =lim h 0 Ú (2x+h+2)=2x+2 (5) f '(x)=lim 0 Ú h f(x+h)-f(x) h (xÜ`+3xÛ`h+3xhÛ`+hÜ`+3)-(xÜ`+3) h 3xÛ`h+3xhÛ`+hÜ` h =lim h 0 Ú (3xÛ`+3xh+hÛ`)=3xÛ` =lim h 0 Ú =lim h 0 Ú =lim h 0 Ú =lim h 0 Ú =lim h 0 Ú =lim h 0 Ú 2단원(1), (2)해설-OK.indd 20 2018-09-28 오후 12:52:56 정답 및 해설 025 답 (1) f '(x)=-2, f '(1)=-2 (2) f '(x)=2x, f '(-2)=-4 (3) f '(x)=-2x+3, f '(2)=-1 (4) f '(x)=2x-2, f '(-1)=-4 (5) f '(x)=3xÛ`-1, f '(3)=26 (1) f '(x)=lim 0 Ú h f(x+h)-f(x) h =lim h 0 Ú (-2x-2h+5)-(-2x+5) h =lim h 0 Ú -2h h =lim h 0 Ú (-2)=-2 ∴ f '(1)=-2 (2) f '(x)=lim 0 Ú h f(x+h)-f(x) h =lim h 0 Ú =lim h 0 Ú (xÛ`+2hx+hÛ`+8)-(xÛ`+8) h 2hx+hÛ` h =lim h 0 Ú (2x+h)=2x ∴ f '(-2)=-4 (3) f '(x)=lim 0 Ú h f(x+h)-f(x) h f(0)=0이므로 f '(x)=lim 0 Ú h f(0+h)-f(0) h -3x=f '(0)-3x=-3x+1 027 답 f '(x)=2x-2 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1에 x=0, y=0을 대입하면 f(0)=f(0)+f(0)-1 ∴ f(0)=1 f '(x)=lim 0 Ú h f(x+h)-f(x) h =lim h 0 Ú =lim h 0 Ú f(x)+f(h)+2xh-1-f(x) h f(h)+2xh-1 h =lim h Ú 0 [ f(h)-1 h +2x ] f(0)=1이므로 f '(x)=lim 0 Ú h f(0+h)-f(0) h +2x=f '(0)+2x=2x-2 028 답 (1) y'=3xÛ` (2) y '=9x¡` (3) y '=10xá` (4) y'=15x14 (5) y'=0 (6) y'=0 (-xÛ`-2hx-hÛ`+3x+3h)-(-xÛ`+3x) h -2hx-hÛ`+3h h =lim h 0 Ú (-2x-h+3) =lim h 0 Ú =lim h 0 Ú =-2x+3 (1) y'=3x3-1=3xÛ` (2) y'=9x9-1=9x¡` (3) y'=10x10-1=10xá` (4) y'=15x15-1=15x14 029 답 (1) y'=4x (2) y'=3 (3) y'=2x-5 (4) y '=4xÜ`+2 (5) y'=6xÛ`-6x+4 (6) y'=-10xÝ`+9xÛ`-5 (xÛ`+2hx+hÛ`-2x-2h+3)-(xÛ`-2x+3) h 2hx+hÛ`-2h h =lim h 0 Ú (2x+h-2)=2x-2 (7) y'=xÛ`-x+6 (1) y'=2(xÛ`)'=4x (2) y'=(3x)'+(2)'=3 ∴ f '(2)=-1 (4) f '(x)=lim 0 Ú h f(x+h)-f(x) h ∴ f '(-1)=-4 (5) f '(x)=lim 0 Ú h f(x+h)-f(x) h =lim h 0 Ú =lim h 0 Ú =lim h 0 Ú =lim h 0 Ú =lim h 0 Ú ∴ f '(3)=26 026 답 f '(x)=-3x+1 f(0)=f(0)+f(0) ∴ f(0)=0 (xÜ`+3xÛ`h+3xhÛ`+hÜ`-x-h)-(xÜ`-x) h 3xÛ`h+3xhÛ`+hÜ`-h h (3xÛ`+3xh+hÛ`-1)=3xÛ`-1 f '(x)=lim 0 Ú h f(x+h)-f(x) h f(x)+f(h)-3xh-f(x) h =lim h 0 Ú f(h)-3xh h =lim h Ú =lim h 0 Ú f(h) h 0 [ -3x ] (3) y'=(xÛ`)'-(5x)'+(1)'=2x-5 (4) y'=(xÝ`)'+(2x)'=4xÜ`+2 (5) y'=(2xÜ`)'-(3xÛ`)'+(4x)'-(1)'=6xÛ`-6x+4 (6) y'=(-2xÞ`)'+(3xÜ`)'-(5x)'+(7)'=-10xÝ`+9xÛ`-5 (7) y'= xÜ` } {;3!; '- xÛ` } {;2!; '+(6x)'-(10)'=xÛ`-x+6 030 답 (1) y'=24x+4 (2) y'=4x+9 (3) y'=45xÛ`+6x-5 (4) y'=-20xÜ`+34x (5) y'=12xÛ`+44x-6 (6) y'=5xÝ`-20xÜ`+27xÛ`-12x =4_(3x+1)+4x_3 =(12x+4)+12x=24x+4 (2) y' =(2x-1)'(x+5)+(2x-1)(x+5)' =2_(x+5)+(2x-1)_1 =(2x+10)+(2x-1)=4x+9 Ⅱ. 미분 21 f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy에 x=0, y=0을 대입하면 (1) y' =(4x)'(3x+1)+4x(3x+1)' 2단원(1), (2)해설-OK.indd 21 2018-09-28 오후 12:52:57 (3) y' =(3xÛ`-1)'(5x+1)+(3xÛ`-1)(5x+1)' (5) y' =(2xÛ`)'(xÛ`-1)(3x+2)+2xÛ`(xÛ`-1)'(3x+2) =6x_(5x+1)+(3xÛ`-1)_5 (4) y' =(-5xÛ`+2)'(xÛ`-3)+(-5xÛ`+2)(xÛ`-3)' +2xÛ`(xÛ`-1)(3x+2)' +2xÛ`(xÛ`-1)_3 =(30xÛ`+6x)+(15xÛ`-5)=45xÛ`+6x-5 =4x(xÛ`-1)(3x+2)+2xÛ`_2x_(3x+2) =-10x_(xÛ`-3)+(-5xÛ`+2)_2x =(12xÝ`+8xÜ`-12xÛ`-8x)+(12xÝ`+8xÜ`)+(6xÝ`-6xÛ`) =(-10xÜ`+30x)+(-10xÜ`+4x)=-20xÜ`+34x =30xÝ`+16xÜ`-18xÛ`-8x (6) y' =(xÜ`-2xÛ`)'(xÛ`-3x+3)+(xÜ`-2xÛ`)(xÛ`-3x+3)' (1) y'=2(3x-4)(3x-4)'=2(3x-4)_3=18x-24 (5) y' =(xÛ`+5x-4)'(4x+2)+(xÛ`+5x-4)(4x+2)' =(2x+5)(4x+2)+(xÛ`+5x-4)_4 =(8xÛ`+24x+10)+(4xÛ`+20x-16) =12xÛ`+44x-6 =(3xÛ`-4x)(xÛ`-3x+3)+(xÜ`-2xÛ`)(2x-3) =(3xÝ`-13xÜ`+21xÛ`-12x)+(2xÝ`-7xÜ`+6xÛ`) =5xÝ`-20xÜ`+27xÛ`-12x 032 답 (1) y'=18x-24 (2) y'=8x-12 (3) y'=3(x+2)Û` (4) y'=9(3x-1)Û` (5) y '=8(2x-5)Ü` (6) y'=2(xÛ`-2x+2)(2x-2) (2) y' =2(-2x+3)(-2x+3)' =2(-2x+3)_(-2) (3) y' =3(x+2)Û`(x+2)'=3(x+2)Û`_1 (4) y' =3(3x-1)Û`(3x-1)'=3(3x-1)Û`_3 =8x-12 =3(x+2)Û` =9(3x-1)Û` =8(2x-5)Ü` (6) y' =2(xÛ`-2x+2)(xÛ`-2x+2)' =2(xÛ`-2x+2)(2x-2) 031 답 (1) y'=3xÛ`-10x+6 (2) y'=18xÛ`+22x-3 (3) y'=-6xÛ`+10x-1 (4) y '=8xÜ`-12xÛ`-24x-8 (5) y'=30xÝ`+16xÜ`-18xÛ`-8x (5) y' =4(2x-5)Ü`(2x-5)'=4(2x-5)Ü`_2 (1) y' =(x)'(x-2)(x-3)+x(x-2)'(x-3)+x(x-2)(x-3)' =(x-2)(x-3)+x(x-3)+x(x-2) =(xÛ`-5x+6)+(xÛ`-3x)+(xÛ`-2x) =3xÛ`-10x+6 (2) y' =(x+2)'(2x-1)(3x+1)+(x+2)(2x-1)'(3x+1) +(x+2)(2x-1)(3x+1)' 033 -3 답 =(2x-1)(3x+1)+(x+2)_2_(3x+1) f(1+3h)-f(1) h lim h 0 Ú =lim h 0 Ú f(1+3h)-f(1) 3h _3=3 f '(1) =(6xÛ`-x-1)+(6xÛ`+14x+4)+(6xÛ`+9x-6) ∴ (주어진 식)=3 f '(1)=-3 +(x+2)(2x-1)_3 이때 f '(x)=2x-3이므로 f '(1)=-1 =18xÛ`+22x-3 (3) y' =(x-1)'(2x+1)(-x+2)+(x-1)(2x+1)'(-x+2) 034 답 3 +(x-1)(2x+1)(-x+2)' =(2x+1)(-x+2)+(x-1)_2_(-x+2) =(-2xÛ`+3x+2)+(-2xÛ`+6x-4)+(-2xÛ`+x+1) +(x-1)(2x+1)_(-1) =-6xÛ`+10x-1 (4) y' =(xÛ`+2)'(x-4)(2x+4)+(xÛ`+2)(x-4)'(2x+4) 035 답 10 f(2+3h)-f(2-2h) h lim h 0 Ú f(3)-f(3-h) h lim h 0 Ú =lim h 0 Ú f(3-h)-f(3) -h =f '(3) 이때 f '(x)=3xÛ`-8x이므로 f '(3)=3 =2x(x-4)(2x+4)+(xÛ`+2)_1_(2x+4) +(xÛ`+2)(x-4)(2x+4)' +(xÛ`+2)(x-4)_2 =lim h 0 Ú =lim h 0 Ú f(2+3h)-f(2)+f(2)-f(2-2h) h f(2+3h)-f(2) 3h _3-lim 0 Ú h f(2-2h)-f(2) -2h _(-2) =(4xÜ`-8xÛ`-32x)+(2xÜ`+4xÛ`+4x+8) =3 f '(2)+2 f '(2)=5 f '(2) =8xÜ`-12xÛ`-24x-8 ∴ (주어진 식)=5 f '(2)=10 +(2xÜ`-8xÛ`+4x-16) 이때 f '(x)=4x-6이므로 f '(2)=2 22 정답 및 해설 2단원(1), (2)해설-OK.indd 22 2018-09-28 오후 12:52:58 정답 및 해설 036 -1 답 이때 f '(x)=3xÛ`+2ax이므로 f '(1)=3+2a=7 f(x)-f(1) xÛ`-1 lim x 1 Ú =lim x Ú 1 [ f(x)-f(1) x-1 _ 1 x+1 ] = f '(1) ;2!; 이때 f '(x)=2x(3x+2)+(xÛ`-5)_3=9xÛ`+4x-15이므로 ∴ a=2 a=2를 ㉠에 대입하면 b=-1 f '(1)=-2 ∴ (주어진 식)= f '(1)=-1 ;2!; 037 답 (1) a=2, b=1, c=-1 (2) a=-1, b=3, c=2 (3) a=3, b=-4, c=3 (4) a=-5, b=-2, c=7 (1) f(x)=axÛ`+bx+c에서 f(0)=-1이므로 c=-1 f '(1)=10+5=15 040 답 (1) 15 (2) -4 (3) 12 (4) 33 (1) f(x)=xÚ`â`+xÞ`이라 하면 f(1)=2 lim x 1 Ú xÚ`â`+xÞ`-2 x-1 =lim x 1 Ú f(x)-f(1) x-1 =f '(1) 이때 f '(x)=10xá`+5xÝ`이므로 이때 f '(x)=2ax+b이므로 f '(1)=2a+b=5 yy ㉠ f '(-1)=-2a+b=-3 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=1 (2) f(x)=axÛ`+bx+c에서 f(0)=2이므로 c=2 이때 f '(x)=2ax+b이므로 f '(1)=2a+b=1 yy ㉠ f '(-1)=-2a+b=5 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=3 (3) f(x)=axÛ`+bx+c에서 f(0)=3이므로 c=3 이때 f '(x)=2ax+b이므로 f '(1)=2a+b=2 yy ㉠ f '(2)=4a+b=8 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-4 (4) f(x)=axÛ`+bx+c에서 f(0)=7이므로 c=7 이때 f '(x)=2ax+b이므로 f '(1)=2a+b=-12 yy ㉠ f '(-2)=-4a+b=18 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-5, b=-2 038 답 a=-4, b=7 f(1)=4이므로 f(1)=1+a+b=4 ∴ a+b=3 yy ㉠ f(x)-4 x-1 lim x 1 Ú =lim x 1 Ú f(x)-f(1) x-1 =f '(1)=2 이때 f '(x)=3xÛ`+2ax+b이므로 f '(1)=3+2a+b=2 ∴ 2a+b=-1 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=7 039 답 a=2, b=-1 f(1)=2이므로 f(1)=1+a+b=2 ∴ a+b=1 yy ㉠ f(x)-2 xÛ`-1 lim x 1 Ú =lim x Ú 1 [ f(x)-f(1) x-1 _ 1 x+1 ] = f '(1)= ;2!; ;2&; (2) f(x)=xß`+2x라 하면 f(-1)=-1 lim x -1 Ú xß`+2x+1 x+1 = lim x -1 Ú f(x)-f(-1) x-(-1) =f '(-1) 이때 f '(x)=6xÞ`+2이므로 f '(-1)=-6+2=-4 (3) f(x)=x¡`+xÜ`+x라 하면 f(1)=3 lim x 1 Ú x¡`+xÜ`+x-3 x-1 =lim x 1 Ú f(x)-f(1) x-1 =f '(1) 이때 f '(x)=8xà`+3xÛ`+1이므로 f '(1)=8+3+1=12 (4) f(x)=xÚ`Û`+xÚ`â`+xá`+xÛ`이라 하면 f(1)=4 lim x 1 Ú xÚ`Û`+xÚ`â`+xá`+xÛ`-4 x-1 =lim x 1 Ú f(x)-f(1) x-1 =f '(1) 이때 f '(x)=12xÚ`Ú`+10xá`+9x¡`+2x이므로 f '(1)=12+10+9+2=33 (1) a=-3, b=2 (2) a=-4, b=3 041 답 (3) a=50, b=49 (1) 다항식 xß`+axÛ`+b를 (x-1)Û`으로 나눌 때의 몫을 Q(x)라 하면 xß`+axÛ`+b=(x-1)Û`Q(x) yy ㉠ ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 1+a+b=0 ∴ a+b=-1 yy ㉡ ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 6xÞ`+2ax=2(x-1)Q(x)+(x-1)Û`Q'(x) 이 식의 양변에 x=1을 대입하면 6+2a=0 ∴ a=-3 이것을 ㉡에 대입하면 b=2 (2) 다항식 xÚ`Û`+axÜ`+b를 (x-1)Û`으로 나눌 때의 몫을 Q(x)라 하면 xÚ`Û`+axÜ`+b=(x-1)Û`Q(x) yy ㉠ ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 1+a+b=0 ∴ a+b=-1 yy ㉡ ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 12xÚ`Ú`+3axÛ`=2(x-1)Q(x)+(x-1)Û`Q'(x) 이 식의 양변에 x=1을 대입하면 12+3a=0 ∴ a=-4 Ⅱ. 미분 23 ∴ f '(1)=7 이것을 ㉡에 대입하면 b=3 2단원(1), (2)해설-OK.indd 23 2018-09-28 오후 12:52:59 (3) 다항식 x50-ax+b를 (x-1)Û`으로 나눌 때의 몫을 Q(x)라 045 ③ 답 042 답 7x-1 다항식 x¡`-x+6을 (x-1)Û`으로 나눌 때의 몫을 Q(x), 046 답 6 f '(x)=xÜ`-xÛ`+x이므로 f '(2)=8-4+2=6 ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 a+b=6 yy ㉡ 047 ② 답 하면 x50-ax+b=(x-1)Û`Q(x) yy ㉠ ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 1-a+b=0 ∴ -a+b=-1 yy ㉡ ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 50x49-a=2(x-1)Q(x)+(x-1)Û`Q'(x) 이 식의 양변에 x=1을 대입하면 50-a=0 ∴ a=50 이것을 ㉡에 대입하면 b=49 나머지를 R(x)=ax+b ( a, b는 상수)라 하면 x¡`-x+6=(x-1)Û`Q(x)+ax+b yy ㉠ ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 8xà`-1=2(x-1)Q(x)+(x-1)Û`Q'(x)+a 이 식의 양변에 x=1을 대입하면 a=7 이것을 ㉡에 대입하면 b=-1 ∴ R(x)=7x-1 043 -10x-10 답 다항식 x10-1을 (x+1)Û`으로 나눌 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=ax+b ( a, b는 상수)라 하면 x10-1=(x+1)Û`Q(x)+ax+b yy ㉠ ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 -a+b=0 yy ㉡ ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 10xá`=2(x+1)Q(x)+(x+1)Û`Q'(x)+a 이 식의 양변에 x=-1을 대입하면 a=-10 이것을 ㉡에 대입하면 b=-10 ∴ R(x)=-10x-10 f(x+y)=f(x)+f(y)+1에 x=0, y=0을 대입하면 f '(x)=lim 0 Ú h f(x+h)-f(x) h =lim h 0 Ú f(x)+f(h)+1-f(x) h f(0)=f(0)+f(0)+1 ∴ f(0)=-1 =lim h 0 Ú f(h)+1 h f(0)=-1이므로 f '(x)=lim 0 Ú h ∴ f '(1)=3 f(0+h)-f(0) h =f '(0)=3 f '(x)=3xÛ`+2이므로 f '(a)=14에서 3aÛ`+2=14, aÛ`=4 ∴ a=2 (∵ a>0) 048 답 y '=4xÜ`+3xÛ`-24x+7 y' =(xÛ`-3x+1)'(xÛ`+4x-1)+(xÛ`-3x+1)(xÛ`+4x-1)' =(2x-3)(xÛ`+4x-1)+(xÛ`-3x+1)(2x+4) =(2xÜ`+5xÛ`-14x+3)+(2xÜ`-2xÛ`-10x+4) =4xÜ`+3xÛ`-24x+7 049 ① 답 f '(x)=2x-6이므로 f '(a)=-2에서 2a-6=-2, 2a=4 ∴ a=2 b=2Û`-6_2=-8 ∴ ab=-16 044 답 9x+12 050 -36 답 다항식 x15-2xÜ`+2를 (x+1)Û`으로 나눌 때의 몫을 Q(x), f '(x) =3(xÛ`-x)Û`(xÛ`-x)' 나머지를 R(x)=ax+b ( a, b는 상수)라 하면 x15-2xÜ`+2=(x+1)Û`Q(x)+ax+b yy ㉠ =3(xÛ`-x)Û`(2x-1)=3(2x-1)(xÛ`-x)Û` f '(-1)=3´(-3)´2Û`=-36, f '(1)=3´1´0=0 ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 -a+b=3 yy ㉡ ∴ f '(-1)+ f '(1)=-36 ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 15x14-6xÛ`=2(x+1)Q(x)+(x+1)Û`Q'(x)+a 051 답 y'=4xÜ`-2x+2 이 식의 양변에 x=-1을 대입하면 a=9 y' ={(x+1)Û`}'(xÛ`-2x+2)+(x+1)Û`(xÛ`-2x+2)' =2(x+1)(xÛ`-2x+2)+(x+1)Û`(2x-2) =(2xÜ`-2xÛ`+4)+(2xÜ`+2xÛ`-2x-2)=4xÜ`-2x+2 이것을 ㉡에 대입하면 b=12 ∴ R(x)=9x+12 24 정답 및 해설 2단원(1), (2)해설-OK.indd 24 2018-09-28 오후 12:53:00 정답 및 해설 052 답 0 f(1+h)-f(1) h lim h 0 Ú =f '(1)=4이고 f(x)=2xÛ`-ax에서 f '(x)=4x-a이므로 f '(1)=4-a=4 ∴ a=0 053 ② 답 f(x)=axÛ`+bx+c에서 f(1)=-2이므로 a+b+c=-2 yy ㉠ 이때 f '(x)=2ax+b이므로 f '(0)=b=4, f '(-2)=-4a+b=8 ∴ a=-1 a=-1, b=4를 ㉠에 대입하면 c=-5 ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=1+16+25=42 054 답 12 f(x)-5 x-2 f(x)-5 x-2 lim x 2 Ú lim x 2 Ú 의 극한값이 존재하므로 f(2)=5 =lim x 2 Ú f(x)-f(2) x-2 =f '(2)=7 ∴ f(2)+f '(2)=5+7=12 055 ⑤ 답 f(-1)=-1+a+b=3 ∴ a+b=4 yy ㉠ f(x)-f(1) xÛ`-1 lim x 1 Ú =lim x Ú 1 [ f(x)-f(1) x-1 _ 1 x+1 ] = f '(1)=2 ;2!; ∴ f '(1)=4 이때 f '(x)=3xÛ`+2ax이므로 f '(1)=3+2a=4 ∴ a= a= 을 ㉠에 대입하면 b= ;2!; ∴ b-a=3 ;2!; ;2&; 056 -12 답 라 하면 다항식 xÜ`+axÛ`+bx-5를 (x+1)Û`으로 나눌 때의 몫을 Q(x) xÜ`+axÛ`+bx-5=(x+1)Û`Q(x) yy ㉠ ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 -1+a-b-5=0 ∴ a-b=6 yy ㉡ ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 3xÛ`+2ax+b=2(x+1)Q(x)+(x+1)Û`Q'(x) 이 식의 양변에 x=-1을 대입하면 3-2a+b=0 ∴ -2a+b=-3 yy ㉢ ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-3, b=-9 ∴ a+b=-12 3 도함수의 활용 (1) 53쪽~71쪽 057 답 (1) -4 (2) 1 (3) 6 (4) 2 (5) 7 (1) f(x)=xÛ`-6x라 하면 f '(x)=2x-6이므로 점 (1, -5)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=-4 (2) f(x)=-xÛ`+5x라 하면 f '(x)=-2x+5이므로 점 (2, 6)에서의 접선의 기울기는 f '(2)=1 (3) f(x)=xÛ`+4x-10이라 하면 f '(x)=2x+4이므로 점 (1, -5)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=6 (4) f(x)=2xÛ`+2x+5라 하면 f '(x)=4x+2이므로 점 (0, 5)에서의 접선의 기울기는 f '(0)=2 (5) f(x)=xÜ`-2xÛ`+4라 하면 f '(x)=3xÛ`-4x이므로 점 (-1, 1)에서의 접선의 기울기는 f '(-1)=7 058 답 (1) a=-2, b=-3 (2) a=-6, b=7 (3) a=-6, b=7 (4) a=1, b=-3 (1) f(x)=xÛ`+ax+b라 하면 f '(x)=2x+a 점 (3, 0)을 지나므로 f(3)=9+3a+b=0 ∴ 3a+b=-9 yy ㉠ 또한 점 (3, 0)에서의 접선의 기울기가 4이므로 f '(3)=6+a=4 ∴ a=-2 이것을 ㉠에 대입하면 b=-3 (2) f(x)=xÛ`+ax+b라 하면 f '(x)=2x+a 점 (2, -1)을 지나므로 f(2)=4+2a+b=-1 ∴ 2a+b=-5 yy ㉠ 또한 점 (2, -1)에서의 접선의 기울기가 -2이므로 f '(2)=4+a=-2 ∴ a=-6 이것을 ㉠에 대입하면 b=7 (3) f(x)=xÜ`+ax+b라 하면 f '(x)=3xÛ`+a 점 (1, 2)를 지나므로 f(1)=1+a+b=2 ∴ a+b=1 yy ㉠ 또한 점 (1, 2)에서의 접선의 기울기가 -3이므로 f '(1)=3+a=-3 ∴ a=-6 이것을 ㉠에 대입하면 b=7 (4) f(x)=xÜ`+ax+b라 하면 f '(x)=3xÛ`+a 점 (1, -1)을 지나므로 f(1)=1+a+b=-1 ∴ a+b=-2 yy ㉠ 또한 점 (1, -1)에서의 접선의 기울기가 4이므로 f '(1)=3+a=4 ∴ a=1 이것을 ㉠에 대입하면 b=-3 Ⅱ. 미분 25 2단원(1), (2)해설-OK.indd 25 2018-09-28 오후 12:53:01 059 답 (1) y=2x-6 (2) y=3x-9 (3) y=8x+1 060 답 (1) y=-2x-9 (2) y=x+4 (3) y=-5x+4 (4) y=5x-23 (5) y=7x-16 (6) y=3x+1 (1) f(x)=xÛ`+4x라 하면 f '(x)=2x+4 (7) y=-3x-11 (8) y=-5x+2 (9) y=3x-12 (10) y=-9x-7 이때 접점의 좌표를 (a, aÛ`+4a)라 하면 접선의 기울기가 -2이므로 (1) f(x)=xÛ`-5라 하면 f '(x)=2x이므로 f '(1)=2 f '(a)=2a+4=-2 ∴ a=-3 따라서 구하는 접선의 방정식은 따라서 구하는 접선은 기울기가 -2이고 점 (-3, -3)을 y-(-4)=2(x-1) ∴ y=2x-6 지나므로 접선의 방정식은 y-(-3)=-2{x-(-3)} (2) f(x)=xÛ`-3x라 하면 f '(x)=2x-3이므로 f '(3)=3 ∴ y=-2x-9 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-0=3(x-3) ∴ y=3x-9 f '(-1)=8 따라서 구하는 접선의 방정식은 (2) f(x)=-xÛ`+3x+3이라 하면 f '(x)=-2x+3 이때 접점의 좌표를 (a, -aÛ`+3a+3)이라 하면 f '(a)=-2a+3=1 ∴ a=1 따라서 구하는 접선은 기울기가 1이고 점 (1, 5)를 지나므로 (3) f(x)=-xÛ`+6x라 하면 f '(x)=-2x+6이므로 접선의 기울기가 1이므로 y-(-7)=8{x-(-1)} ∴ y=8x+1 접선의 방정식은 y-5=x-1 (4) f(x)=xÛ`-5x+2라 하면 f '(x)=2x-5이므로 f '(5)=5 ∴ y=x+4 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-2=5(x-5) ∴ y=5x-23 (3) f(x)=-2xÛ`+3x-4라 하면 f '(x)=-4x+3 이때 접점의 좌표를 (a, -2aÛ`+3a-4)라 하면 (5) f(x)=xÜ`-5x라 하면 f '(x)=3xÛ`-5이므로 f '(2)=7 접선의 기울기가 -5이므로 f '(a)=-4a+3=-5 따라서 구하는 접선의 방정식은 ∴ a=2 y-(-2)=7(x-2) ∴ y=7x-16 따라서 구하는 접선은 기울기가 -5이고 점 (2, -6)을 (6) f(x)=-xÜ`+3xÛ`+2라 하면 f '(x)=-3xÛ`+6x 지나므로 접선의 방정식은 이므로 f '(1)=3 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-4=3(x-1) ∴ y=3x+1 이므로 f '(-2)=-3 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-(-6)=-5(x-2) ∴ y=-5x+4 061 답 (4) y=-2x+1 (1) f(x)=xÛ`-5x라 하면 f '(x)=2x-5 (7) f(x)=-xÜ`-2xÛ`+x-3이라 하면 f '(x)=-3xÛ`-4x+1 (1) y=x-9 (2) y=-x+3 (3) y=2x+5 y-(-5)=-3{x-(-2)} ∴ y=-3x-11 이때 접점의 좌표를 (a, aÛ`-5a)라 하면 (9) f(x)=xÝ`+2xÛ`-5x-7이라 하면 f '(x)=4xÜ`+4x-5 ∴ y=x-9 (8) f(x)= xÜ`+2xÛ`-5x+2라 하면 f '(x)=xÛ`+4x-5 ;3!; 이므로 f '(0)=-5 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-2=-5(x-0) ∴ y=-5x+2 이므로 f '(1)=3 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-(-9)=3(x-1) ∴ y=3x-12 (10) f(x)=xÝ`-xÜ`-2xÛ`-6x-4라 하면 f '(x)=4xÜ`-3xÛ`-4x-6이므로 f '(-1)=-9 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-2=-9{x-(-1)} ∴ y=-9x-7 26 정답 및 해설 직선 y=x+4와 평행한 접선의 기울기는 1이므로 f '(a)=2a-5=1 ∴ a=3 따라서 구하는 접선은 기울기가 1이고 점 (3, -6)을 지나므로 접선의 방정식은 y-(-6)=x-3 (2) f(x)=xÛ`-5x+7이라 하면 f '(x)=2x-5 이때 접점의 좌표를 (a, aÛ`-5a+7)이라 하면 직선 y=-x+5와 평행한 접선의 기울기는 -1이므로 f '(a)=2a-5=-1 ∴ a=2 따라서 구하는 접선은 기울기가 -1이고 점 (2, 1)을 지나므로 접선의 방정식은 y-1=-(x-2) ∴ y=-x+3 (3) f(x)=-xÛ`+6x+1이라 하면 f '(x)=-2x+6 이때 접점의 좌표를 (a, -aÛ`+6a+1)이라 하면 2단원(3), (4)해설-OK.indd 26 2018-09-28 오후 12:54:07 정답 및 해설 직선 y=2x-8과 평행한 접선의 기울기는 2이므로 (4) f(x)=-2xÛ`-4x라 하면 f '(x)=-4x-4 f '(a)=-2a+6=2 ∴ a=2 이때 접점의 좌표를 (a, -2aÛ`-4a)라 하면 따라서 구하는 접선은 기울기가 2이고 점 (2, 9)를 지나므로 f '(a)=-4a-4이므로 접선의 방정식은 접선의 방정식은 y-9=2(x-2) ∴ y=2x+5 y-(-2aÛ`-4a)=(-4a-4)(x-a) yy ㉠ 이 접선이 점 (-1, 4)를 지나므로 (4) f(x)=2xÛ`-2x+1이라 하면 f '(x)=4x-2 2aÛ`+4a+4=4aÛ`+8a+4 이때 접점의 좌표를 (a, 2aÛ`-2a+1)이라 하면 aÛ`+2a=0, a(a+2)=0 ∴ a=-2 또는 a=0 직선 y=-2x+12와 평행한 접선의 기울기는 -2이므로 이것을 ㉠에 각각 대입하면 구하는 접선의 방정식은 f '(a)=4a-2=-2 ∴ a=0 y=4x+8 또는 y=-4x 따라서 구하는 접선은 기울기가 -2이고 점 (0, 1)을 (5) f(x)=xÜ`-2x라 하면 f '(x)=3xÛ`-2 이 접선이 점 (1, -1)을 지나므로 -aÛ`-3=-2aÛ`+2a aÛ`-2a-3=0, (a-3)(a+1)=0 ∴ a=-1 또는 a=3 (1) f(x)=-xÛ`+x라 하면 f '(x)=-2x+1이므로 063 답 (1) y= x- (2) y=- x+ ;3!; ;3*; ;4!; ;;£4Á;; (3) y=- x+ (4) y= x-4 ;2!; ;2%; ;2!; 이때 접점의 좌표를 (a, aÜ`-2a)라 하면 f '(a)=3aÛ`-2이므로 접선의 방정식은 y-(aÜ`-2a)=(3aÛ`-2)(x-a) yy ㉠ 이 접선이 점 (0, 2)를 지나므로 -aÜ`+2a+2=-3aÜ`+2a 2aÜ`=-2, aÜ`=-1 ∴ a=-1 이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 y=x+2 점 (2, -2)에서의 접선에 수직인 직선의 기울기는 f '(2)=-3 - 1 f '(2) = ;3!; 따라서 구하는 직선의 방정식은 y-(-2)= (x-2) ∴ y= x- ;3!; ;3*; ;3!; (2) f(x)=xÛ`-2x+4라 하면 f '(x)=2x-2이므로 f '(3)=4 점 (3, 7)에서의 접선에 수직인 직선의 기울기는 - 1 f '(3) =- ;4!; 따라서 구하는 직선의 방정식은 y-7=- (x-3) ∴ y=- x+ ;4!; ;;£4Á;; ;4!; (3) f(x)=3xÛ`-4x+3이라 하면 f '(x)=6x-4 점 (1, 2)에서의 접선에 수직인 직선의 기울기는 이므로 f '(1)=2 - 1 f '(1) =- ;2!; 따라서 구하는 직선의 방정식은 지나므로 접선의 방정식은 y-1=-2(x-0) ∴ y=-2x+1 (1) y=-2x+1 또는 y=6x-7 (2) y=-x 또는 y=3x-4 (3) y=-3x+4 또는 y=x 062 답 (4) y=4x+8 또는 y=-4x (5) y=x+2 (1) f(x)=xÛ`+2라 하면 f '(x)=2x 이때 접점의 좌표를 (a, aÛ`+2)라 하면 f '(a)=2a이므로 접선의 방정식은 y-(aÛ`+2)=2a(x-a) yy ㉠ 이것을 ㉠에 각각 대입하면 구하는 접선의 방정식은 y=-2x+1 또는 y=6x-7 (2) f(x)=xÛ`-x라 하면 f '(x)=2x-1 이때 접점의 좌표를 (a, aÛ`-a)라 하면 f '(a)=2a-1이므로 접선의 방정식은 y-(aÛ`-a)=(2a-1)(x-a) yy ㉠ 이 접선이 점 (1, -1)을 지나므로 -aÛ`+a-1=-2aÛ`+3a-1 aÛ`-2a=0, a(a-2)=0 ∴ a=0 또는 a=2 이것을 ㉠에 각각 대입하면 구하는 접선의 방정식은 y=-x 또는 y=3x-4 (3) f(x)=xÛ`-3x+4라 하면 f '(x)=2x-3 이때 접점의 좌표를 (a, aÛ`-3a+4)라 하면 f '(a)=2a-3이므로 접선의 방정식은 y-(aÛ`-3a+4)=(2a-3)(x-a) yy ㉠ 이 접선이 점 (1, 1)을 지나므로 -aÛ`+3a-3=-2aÛ`+5a-3 aÛ`-2a=0, a(a-2)=0 ∴ a=0 또는 a=2 y-2=- (x-1) ∴ y=- x+ ;2!; ;2%; ;2!; 이것을 ㉠에 각각 대입하면 구하는 접선의 방정식은 (4) f(x)=-2xÛ`+6x-7이라 하면 f '(x)=-4x+6 y=-3x+4 또는 y=x 이므로 f '(2)=-2 Ⅱ. 미분 27 2단원(3), (4)해설-OK.indd 27 2018-09-28 오후 12:54:08 ∴ c= ;2#; ∴ c=1 ∴ c=4 점 (2, -3)에서의 접선에 수직인 직선의 기울기는 f '(x)=3-2x이므로 f '(c)=3-2c=0 - 1 f '(2) = ;2!; 064 답 (4) y=2x+1 따라서 구하는 직선의 방정식은 (2) 함수 f(x)=xÛ`-2x+5는 닫힌구간 [0, 2]에서 연속이고, y-(-3)= (x-2) ∴ y= x-4 ;2!; ;2!; 열린구간 (0, 2)에서 미분가능하며 f(0)=f(2)=5이므로 f '(c)=0인 c(0<c<2)가 적어도 하나 존재한다. (1) y=3x-16 (2) y=-x-1 (3) y=-2x+5 f '(x)=2x-2이므로 f '(c)=2c-2=0 (1) f(x)=xÛ`-5x라 하면 f '(x)=2x-5 이때 접점의 좌표를 (a, aÛ`-5a)라 하면 직선 y=- x+2에 수직인 직선의 기울기는 3이므로 ;3!; f '(a)=2a-5=3 ∴ a=4 따라서 구하는 접선은 기울기가 3이고 점 (4, -4)를 지나므로 직선의 방정식은 y-(-4)=3(x-4) ∴ y=3x-16 (2) f(x)=2xÛ`-5x+1이라 하면 f '(x)=4x-5 이때 접점의 좌표를 (a, 2aÛ`-5a+1)이라 하면 직선 y=x-5에 수직인 직선의 기울기는 -1이므로 f '(a)=4a-5=-1 ∴ a=1 따라서 구하는 접선은 기울기가 -1이고 점 (1, -2)를 지나므로 직선의 방정식은 y-(-2)=-(x-1) ∴ y=-x-1 (3) f(x)=-2xÛ`+6x-3이라 하면 f '(x)=-4x+6 이때 접점의 좌표를 (a, -2aÛ`+6a-3)이라 하면 (3) 함수 f(x)=xÛ`-8x+15는 닫힌구간 [3, 5]에서 연속이고, 열린구간 (3, 5)에서 미분가능하며 f(3)=f(5)=0이므로 f '(c)=0인 c(3<c<5)가 적어도 하나 존재한다. f '(x)=2x-8이므로 f '(c)=2c-8=0 066 답 3 (1) ' 3 (2) 2 (3) (4) 1 (5) - ;3%; ;3%; (1) 함수 f(x)=xÜ`-x는 닫힌구간 [0, 1]에서 연속이고, 열린구간 (0, 1)에서 미분가능하며 f(0)=f(1)=0이므로 f '(c)=0인 c(0<c<1)가 적어도 하나 존재한다. f '(x)=3xÛ`-1이므로 f '(c)=3cÛ`-1=0, cÛ`= ;3!; 3 ∴ c= ' 3 (∵ 0<c<1) (2) 함수 f(x)=xÜ`-3xÛ`은 닫힌구간 [0, 3]에서 연속이고, 열린구간 (0, 3)에서 미분가능하며 f(0)=f(3)=0이므로 f '(c)=0인 c(0<c<3)가 적어도 하나 존재한다. 직선 y= x+3에 수직인 직선의 기울기는 -2이므로 f '(x)=3xÛ`-6x이므로 f '(c)=3cÛ`-6c=0 ;2!; f '(a)=-4a+6=-2 ∴ a=2 따라서 구하는 접선은 기울기가 -2이고 점 (2, 1)을 3c(c-2)=0 ∴ c=2 (∵ 0<c<3) 지나므로 직선의 방정식은 y-1=-2(x-2) ∴ y=-2x+5 (4) f(x)=-xÛ`+4x라 하면 f '(x)=-2x+4 이때 접점의 좌표를 (a, -aÛ`+4a)라 하면 직선 x+2y-6=0은 y=- x+3이고 ;2!; 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 2이므로 f '(a)=-2a+4=2 ∴ a=1 (3) 함수 f(x)=xÜ`-xÛ`-5x+2는 닫힌구간 [-1, 3]에서 연속 이고, 열린구간 (-1, 3)에서 미분가능하며 f(-1)=f(3)=5이므로 f '(c)=0인 c(-1<c<3)가 적어도 하나 존재한다. f '(x)=3xÛ`-2x-5이므로 f '(c)=3cÛ`-2c-5=0 (c+1)(3c-5)=0 ∴ c= (∵ -1<c<3) ;3%; 연속이고,열린구간 (-3, 3)에서 미분가능하며 f(-3)=f(3)=10이므로 f '(c)=0인 c(-3<c<3)가 적어도 하나 존재한다. 따라서 구하는 접선은 기울기가 2이고 점 (1, 3)을 지나므로 (4) 함수 f(x)= xÜ`+xÛ`-3x+1은 닫힌구간 [-3, 3]에서 ;3!; 직선의 방정식은 y-3=2(x-1) ∴ y=2x+1 (1) 함수 f(x)=3x-xÛ`은 닫힌구간 [1, 2]에서 연속이고, f '(x)=xÛ`+2x-3이므로 f '(c)=cÛ`+2c-3=0 열린구간 (1, 2)에서 미분가능하며 f(1)=f(2)=2이므로 (c+3)(c-1)=0 f '(c)=0인 c(1<c<2)가 적어도 하나 존재한다. ∴ c=1 (∵ -3<c<3) 065 답 (1) (2) 1 (3) 4 ;2#; 28 정답 및 해설 2단원(3), (4)해설-OK.indd 28 2018-09-28 오후 12:54:08 정답 및 해설 f '(c)= 인 c(1<c<2)가 적어도 하나 존재한다. =7이고 f '(x)=3xÛ`-5이므로 (5) 함수 f(x)=xÜ`+4xÛ`+5x+2는 닫힌구간 [-2, -1]에서 (2) 함수 f(x)=xÜ`-2x는 닫힌구간 [0, 3]에서 연속이고, 연속이고, 열린구간 (-2, -1)에서 미분가능하며 열린구간 (0, 3)에서 미분가능하므로 f(-2)=f(-1)=0이므로 f '(c)=0인 c(-2<c<-1)가 적어도 하나 존재한다. f '(x)=3xÛ`+8x+5이므로 f '(c)=3cÛ`+8c+5=0 f '(c)= 인 c(0<c<3)가 적어도 하나 존재한다. f(3)-f(0) 3-0 f(3)-f(0) 3-0 = 21 3 =7이고 f '(x)=3xÛ`-2이므로 (c+1)(3c+5)=0 ∴ c=- (∵ -2<c<-1) ;3%; 067 답 (1) (2) (3) 1 ;2#; ;2!; (1) 함수 f(x)=xÛ`+1은 닫힌구간 [1, 2]에서 연속이고, 열린구간 (1, 2)에서 미분가능하므로 =3이고 f '(x)=2x이므로 f(2)-f(1) 2-1 f(2)-f(1) 2-1 = 5-2 1 f '(c)=2c=3 ∴ c= ;2#; f '(c)= f(2)-f(-1) 2-(-1) 한다. f(2)-f(-1) 2-(-1) = 6-3 3 f '(c)=4c-1=1 ∴ c= ;2!; (2) 함수 f(x)=2xÛ`-x는 닫힌구간 [-1, 2]에서 연속이고, 열린구간 (-1, 2)에서 미분가능하므로 인 c(-1<c<2)가 적어도 하나 존재 =1이고 f '(x)=4x-1이므로 열린구간 (-1, 3)에서 미분가능하므로 인 c(-1<c<3)가 적어도 하나 존재 f '(c)= f(3)-f(-1) 3-(-1) 한다. f(3)-f(-1) 3-(-1) = 12-(-4) 4 f '(c)=2c+2=4 ∴ c=1 068 답 (1) Ñ 3 (2) 3 (3) 2 (4) 1 (5) -1 ' ' (1) 함수 f(x)=xÜ`은 닫힌구간 [-3, 3]에서 연속이고, 열린구간 (-3, 3)에서 미분가능하므로 인 c(-3<c<3)가 적어도 하나 존재 =9이고 f '(x)=3xÛ`이므로 f '(c)= f(3)-f(-3) 3-(-3) 한다. f(3)-f(-3) 3-(-3) = 27+27 6 f '(c)=3cÛ`=9, cÛ`=3 ∴ c=Ñ 3 ' (3) 함수 f(x)=xÜ`-5x는 닫힌구간 [-2, 4]에서 연속이고, 열린구간 (-2, 4)에서 미분가능하므로 인 c(-2<c<4)가 적어도 하나 존재 f '(c)=3cÛ`-2=7, cÛ`=3 ∴ c= 3 (∵ 0<c<3) ' f '(c)= f(4)-f(-2) 4-(-2) 한다. f(4)-f(-2) 4-(-2) = 44-2 6 f '(c)=3cÛ`-5=7, cÛ`=4 ∴ c=2 (∵ -2<c<4) f '(c)= f(2)-f(-1) 2-(-1) 한다. f(2)-f(-1) 2-(-1) = 6-3 3 f '(c)=6cÛ`-5=1, cÛ`=1 ∴ c=1 (∵ -1<c<2) (4) 함수 f(x)=2xÜ`-5x는 닫힌구간 [-1, 2]에서 연속이고, 열린구간 (-1, 2)에서 미분가능하므로 인 c(-1<c<2)가 적어도 하나 존재 =1이고 f '(x)=6xÛ`-5이므로 (5) 함수 f(x)=- xÜ`+xÛ`-4는 닫힌구간 [-3, 3]에서 연속 ;3!; 이고, 열린구간 (-3, 3)에서 미분가능하므로 f '(c)= f(3)-f(-3) 3-(-3) 한다. f(3)-f(-3) 3-(-3) = -4-14 6 =-3이고 f '(x)=-xÛ`+2x이므로 ∴ c=-1 (∵ -3<c<3) 069 답 (1) 증가한다. (2) 감소한다. (3) 증가한다. (1) xÁ<xª인 임의의 두 양수 xÁ, xª에 대하여 f(xÁ)-f(xª) =xÁÛ`-xªÛ` =(xÁ+xª)(xÁ-xª)<0 (∵ 0<xÁ<xª) ∴ f(xÁ)<f(xª) 따라서 함수 f(x)=xÛ`은 구간 (0, ¦)에서 증가한다. y O y=f(x) x Ⅱ. 미분 29 (3) 함수 f(x)=xÛ`+2x-3은 닫힌구간 [-1, 3]에서 연속이고, 인 c(-3<c<3)가 적어도 하나 존재 =4이고 f '(x)=2x+2이므로 f '(c)=-cÛ`+2c=-3, cÛ`-2c-3=0, (c+1)(c-3)=0 2단원(3), (4)해설-OK.indd 29 2018-09-28 오후 12:54:09 (2) xÁ<xª인 임의의 두 음수 y=f(x) y xÁ, xª에 대하여 f(xÁ)-f(xª) =(xÁÛ`+4)-(xªÛ`+4) =(xÁ+xª)(xÁ-xª)>0 (∵ xÁ<xª<0) ∴ f(xÁ)>f(xª) 따라서 함수 f(x)=xÛ`+4는 구간 (-¦, 0)에서 감소한다. (3) xÁ<xª인 임의의 두 음수 xÁ, xª에 대하여 f(xÁ)-f(xª) =(-xÁÛ`-3)-(-xªÛ`-3) y=f(x) =(xª+xÁ)(xª-xÁ)<0 (∵ xÁ<xª<0) ∴ f(xÁ)<f(xª) 따라서 함수 f(x)=-xÛ`-3은 구간 (-¦, 0)에서 증가한다. 4 O x y O -3 x f '(x) f(x) y + ↗ 2 0 1 y - ↘ 따라서 함수 f(x)는 구간 (-¦, 2]에서 f '(x)>0이므로 증가하고, 구간 [2, ¦)에서 f '(x)<0이므로 감소한다. (4) f(x)=xÜ`+3xÛ`+2에서 f '(x)=3xÛ`+6x f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 x f '(x) f(x) y + ↗ -2 0 6 y - ↘ 0 0 2 1 0 6 y + ↗ y - ↘ x 따라서 함수 f(x)는 구간 (-¦, -2], [0, ¦)에서 f '(x)>0이므로 증가하고, 구간 [-2, 0]에서 f '(x)<0이 므로 감소한다. (5) f(x)=-2xÜ`+3xÛ`+5에서 f '(x)=-6xÛ`+6x f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1 x f '(x) f(x) y - ↘ 0 0 5 y + ↗ 따라서 함수 f(x)는 구간 (-¦, 0], [1, ¦)에서 f '(x)<0이므로 감소하고, 구간 [0, 1]에서 f '(x)>0이므 (1) 구간 (-¦, -2]에서 감소, 구간 [-2, ¦)에서 증가 (2) 구간 (-¦, 3]에서 감소, 구간 [3, ¦)에서 증가 (6) f(x)=xÜ`+ xÛ`+6x-2에서 f '(x)=3xÛ`+9x+6 (3) 구간 (-¦, 2]에서 증가, 구간 [2, ¦)에서 감소 f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=-1 (4) 구간 (-¦, -2], [0, ¦)에서 증가, 구간 [-2, 0]에서 로 증가한다. ;2(; y + ↗ x f '(x) f(x) -2 0 -4 y - ↘ -1 0 - ;2(; y + ↗ (5) 구간 (-¦, 0], [1, ¦)에서 감소, 구간 [0, 1]에서 증가 (6) 구간 (-¦, -2], [-1, ¦)에서 증가, 구간 [-2, -1] 따라서 함수 f(x)는 구간 (-¦, -2], [-1, ¦)에서 f '(x)>0이므로 증가하고, 구간 [-2, -1]에서 f '(x)<0 (1) f(x)=xÛ`+4x에서 f '(x)=2x+4 이므로 감소한다. f '(x)=0에서 x=-2 따라서 함수 f(x)는 구간 (-¦, -2]에서 f '(x)<0이므로 감소하고, 구간 [-2, ¦)에서 f '(x)>0이므로 증가한다. (2) f(x)=xÛ`-6x+2에서 f '(x)=2x-6 f '(x)=0에서 x=3 y - ↘ y - ↘ -2 0 -4 3 0 -7 y + ↗ y + ↗ (1) 증가상태 (2) 감소상태 (3) 감소상태 072 답 (4) 감소상태 (5) 증가상태 (1) f(x)=xÛ`-6에서 f '(x)=2x f '(1)=2>0 따라서 f(x)는 x=1에서 증가상태에 있다. (2) f(x)=xÛ`-8x+1에서 f '(x)=2x-8 f '(2)=-4<0 따라서 f(x)는 x=2에서 감소상태에 있다. (3) f(x)=-2xÛ`-8x-3에서 f '(x)=-4x-8 따라서 함수 f(x)는 구간 (-¦, 3]에서 f '(x)<0이므로 f '(-1)=-4<0 감소하고, 구간 [3, ¦)에서 f '(x)>0이므로 증가한다. 따라서 f(x)는 x=-1에서 감소상태에 있다. (3) f(x)=-xÛ`+4x-3에서 f '(x)=-2x+4 (4) f(x)=xÜ`-3xÛ`+1에서 f '(x)=3xÛ`-6x f '(x)=0에서 x=2 f '(1)=-3<0 070 답 1, 1, 0, 감소, 증가 071 답 감소 에서 감소 x f '(x) f(x) x f '(x) f(x) 30 정답 및 해설 2단원(3), (4)해설-OK.indd 30 2018-09-28 오후 12:54:10 정답 및 해설 따라서 f(x)는 x=1에서 감소상태에 있다. 이 부등식의 해가 -2ÉxÉ4이므로 -3(x+2)(x-4)¾0 (5) f(x)=-xÜ`+5xÛ`-2x+2에서 f '(x)=-3xÛ`+10x-2 -3xÛ`-4ax-b=-3(x+2)(x-4)=-3xÛ`+6x+24 (3) f(x)=xÜ`+3axÛ`+ax-3에서 f '(x)=3xÛ`+6ax+a (3) 극댓값 : 4, 극솟값 : 1 f '(2)=6>0 따라서 f(x)는 x=2에서 증가상태에 있다. 073 답 ;6!; (1) a¾ (2) -6ÉaÉ6 (3) 0ÉaÉ ;3!; (1) f(x)=2xÜ`-xÛ`+ax-4에서 f '(x)=6xÛ`-2x+a f(x)가 구간 (-¦, ¦)에서 증가하기 위한 조건은 f '(x)¾0이어야 하므로 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =1-6aÉ0 ∴ a¾ ;6!; (2) f(x)=-xÜ`+axÛ`-12x+3에서 f '(x)=-3xÛ`+2ax-12 f(x)가 구간 (-¦, ¦)에서 감소하기 위한 조건은 f '(x)É0이어야 하므로 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 ∴ -6ÉaÉ6 =aÛ`-36É0, (a+6)(a-6)É0 f(x)가 구간 (-¦, ¦)에서 증가하기 위한 조건은 f '(x)¾0이어야 하므로 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 =9aÛ`-3aÉ0, 3a(3a-1)É0 D라 하면 D 4 ∴ 0ÉaÉ ;3!; 074 답 (1) a=-6, b=-9 (2) a=- , b=-24 ;2#; (3) a=-9, b=24 (4) a=-3, b=- ;2(; (1) f(x)=-xÜ`-axÛ`+bx+1에서 f '(x)=-3xÛ`-2ax+b f(x)가 증가하는 구간이 [1, 3]이므로 f '(x)¾0이어야 한다. f '(x)=-3xÛ`-2ax+b¾0 이 부등식의 해가 1ÉxÉ3이므로 -3(x-1)(x-3)¾0 -3xÛ`-2ax+b=-3(x-1)(x-3)=-3xÛ`+12x-9 ∴ a=-6, b=-9 (2) f(x)=-xÜ`-2axÛ`-bx+2에서 f '(x)=-3xÛ`-4ax-b f(x)가 증가하는 구간이 [-2, 4]이므로 f '(x)¾0이어야 한다. f '(x)=-3xÛ`-4ax-b¾0 ∴ a=- , b=-24 ;2#; (3) f(x)=xÜ`+axÛ`+bx-3에서 f '(x)=3xÛ`+2ax+b f(x)가 감소하는 구간이 [2, 4]이므로 f '(x)É0이어야 한다. f '(x)=3xÛ`+2ax+bÉ0 이 부등식의 해가 2ÉxÉ4이므로 3(x-2)(x-4)É0 3xÛ`+2ax+b=3(x-2)(x-4)=3xÛ`-18x+24 ∴ a=-9, b=24 (4) f(x)=xÜ`-axÛ`+2bx-5에서 f '(x)=3xÛ`-2ax+2b f(x)가 감소하는 구간이 [-3, 1]이므로 f '(x)É0이어야 한다. f '(x)=3xÛ`-2ax+2bÉ0 이 부등식의 해가 -3ÉxÉ1이므로 3(x+3)(x-1)É0 3xÛ`-2ax+2b=3(x+3)(x-1)=3xÛ`+6x-9 ∴ a=-3, b=- ;2(; 075 답 (1) 극댓값 : 4, 극솟값 : -2 (2) 극댓값 : 2, 극솟값 : 1 076 답 (1) 극댓값 : 4, 극솟값 : 0 (2) 극댓값 : 0, 극솟값 : -32 (3) 극댓값 : -2, 극솟값 : -6 (4) 극댓값 : 17, 극솟값 : -15 (5) 극댓값 : 5, 극솟값 : -27 (6) 극댓값 : 2, 극솟값 : -25 (1) f(x)=xÜ`+3xÛ`에서 f '(x)=3xÛ`+6x=3x(x+2) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 따라서 함수 f(x)는 x=-2에서 극대이고 극댓값은 4, x=0에서 극소이고 극솟값은 0이다. (2) f(x)=xÜ`-6xÛ`에서 f '(x)=3xÛ`-12x=3x(x-4) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=4 x f '(x) f(x) x f '(x) f(x) y + ↗ y + ↗ -2 0 4 0 0 0 y - ↘ y - ↘ 0 0 0 4 0 -32 y + ↗ y + ↗ 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 극대이고 극댓값은 0, x=4 에서 극소이고 극솟값은 -32이다. Ⅱ. 미분 31 2단원(3), (4)해설-OK.indd 31 2018-09-28 오후 12:54:11 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극소이고 극솟값은 -6, f '(x)=0에서 x=0 또는 x=3 (3) f(x)=-xÜ`+3x-4에서 f '(x)=-3xÛ`+3=-3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 x f '(x) f(x) x f '(x) f(x) y - ↘ y + ↗ -1 0 -6 -2 0 17 y + ↗ y - ↘ 1 0 -2 2 0 -15 x=1에서 극대이고 극댓값은 -2이다. (4) f(x)=xÜ`-12x+1에서 f '(x)=3xÛ`-12=3(x+2)(x-2) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=2 따라서 함수 f(x)는 x=-2에서 극대이고 극댓값은 17, 따라서 함수 f(x)는 x=-3에서 극소이고 극솟값은 -27, x=2에서 극소이고 극솟값은 -15이다. (5) f(x)=-xÜ`-3xÛ`+9x에서 f '(x)=-3xÛ`-6x+9=-3(x+3)(x-1) f '(x)=0에서 x=-3 또는 x=1 x f '(x) f(x) y - ↘ -3 0 -27 y + ↗ 1 0 5 x=1에서 극대이고 극댓값은 5이다. (6) f(x)=2xÜ`-3xÛ`-12x-5에서 f '(x)=6xÛ`-6x-12=6(x+1)(x-2) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2 x f '(x) f(x) y + ↗ -1 0 2 y - ↘ 2 0 -25 y - ↘ y + ↗ y - ↘ y + ↗ 077 답 (1) 극값을 갖지 않는다. (2) 극댓값 : 없다., 극솟값 : -16 (3) 극댓값 : 없다., 극솟값 : -26 (4) 극댓값 : -2, 극솟값 : 없다. (1) f(x)=xÜ`-3xÛ`+3x에서 f '(x)=3xÛ`-6x+3=3(x-1)Û` f '(x)=0에서 x=1 x f '(x) f(x) y + ↗ 1 0 1 y + ↗ 따라서 함수 f(x)는 x=-2에서 극소이고 극솟값은 -16, (3) f(x)=xÝ`-4xÜ`+1에서 f '(x)=4xÜ`-12xÛ`=4xÛ`(x-3) 극댓값은 없다. x f '(x) f(x) x f '(x) f(x) y - ↘ y - ↘ -2 0 -16 0 0 1 따라서 함수 f(x)는 x=3에서 극소이고 극솟값은 -26, 극 댓값은 없다. (4) f(x)=-3xÝ`+4xÜ`-3에서 f '(x)=-12xÜ`+12xÛ`=-12xÛ`(x-1) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1 x f '(x) f(x) y + ↗ 0 0 -3 솟값은 없다. 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극대이고 극댓값은 -2, 극 y + ↗ y - ↘ y + ↗ 0 0 0 3 0 -26 1 0 -2 y + ↗ y + ↗ y - ↘ 078 답 (1) a=0, b=3, c=-5 (2) a=3, b=9, c=3 (3) a=-3, b=-9, c=1 (4) a=9, b=24, c=2 (5) a=0, b=3, c=-1 (6) a=3, b=4, c=2 (1) f(x)=-xÜ`+axÛ`+bx-c에서 f '(x)=-3xÛ`+2ax+b 함수 f(x)가 x=-1, x=1에서 극값을 가지므로 f '(-1)=-3-2a+b=0 ∴ -2a+b=3 yy ㉠ 또한 f(1)=7이므로 -1+a+b-c=7 ∴ c=-5 (2) f(x)=xÜ`+axÛ`-bx+c에서 f '(x)=3xÛ`+2ax-b 함수 f(x)가 x=-3, x=1에서 극값을 가지므로 f '(-3)=27-6a-b=0 ∴ 6a+b=27 yy ㉠ f '(1)=3+2a-b=0 ∴ 2a-b=-3 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=9 또한 f(1)=-2이므로 1+a-b+c=-2 ∴ c=3 (3) f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+c에서 f '(x)=3xÛ`+2ax+b 함수 f(x)가 x=-1, x=3에서 극값을 가지므로 f '(-1)=3-2a+b=0 ∴ 2a-b=3 yy ㉠ 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극대이고 극댓값은 2, f '(1)=-3+2a+b=0 ∴ 2a+b=3 yy ㉡ x=2에서 극소이고 극솟값은 -25이다. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=3 따라서 함수 f(x)는 극값을 갖지 않는다. f '(3)=27+6a+b=0 ∴ 6a+b=-27 yy ㉡ (2) f(x)=3xÝ`+8xÜ`에서 f '(x)=12xÜ`+24xÛ`=12xÛ`(x+2) ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=-9 f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 또한 f(-1)=6이므로 -1+a-b+c=6 ∴ c=1 32 정답 및 해설 2단원(3), (4)해설-OK.indd 32 2018-09-28 오후 12:54:12 정답 및 해설 (4) f(x)=xÜ`-axÛ`+bx+c에서 f '(x)=3xÛ`-2ax+b (4) f(x)=xÜ`+3axÛ`+ax-2에서 f '(x)=3xÛ`+6ax+a 함수 f(x)가 x=2, x=4에서 극값을 가지므로 삼차함수 f(x)가 극값을 가지려면 f '(2)=12-4a+b=0 ∴ 4a-b=12 yy ㉠ f '(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 f '(4)=48-8a+b=0 ∴ 8a-b=48 yy ㉡ 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=9, b=24 또한 f(4)=18이므로 64-16a+4b+c=18 ∴ c=2 (5) f(x)=-2xÜ`+axÛ`+2bx-c에서 f '(x)=-6xÛ`+2ax+2b D 4 =9aÛ`-3a>0, 3a(3a-1)>0 ∴ a<0 또는 a> ;3!; 함수 f(x)가 x=-1, x=1에서 극값을 가지므로 (5) f(x)=-xÜ`+axÛ`-ax+6에서 f '(x)=-3xÛ`+2ax-a f '(-1)=-6-2a+2b=0 ∴ a-b=-3 yy ㉠ 삼차함수 f(x)가 극값을 가지려면 f '(1)=-6+2a+2b=0 ∴ a+b=3 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=3 또한 f(1)=5이므로 -2+a+2b-c=5 ∴ c=-1 (6) f(x)=-2xÜ`-axÛ`+3bx+c에서 f '(x)=-6xÛ`-2ax+3b 함수 f(x)가 x=-2, x=1에서 극값을 가지므로 f '(-2)=-24+4a+3b=0 ∴ 4a+3b=24 yy ㉠ f '(1)=-6-2a+3b=0 ∴ 2a-3b=-6 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=4 또한 f(1)=9이므로 -2-a+3b+c=9 ∴ c=2 f '(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =aÛ`-3a>0, a(a-3)>0 ∴ a<0 또는 a>3 (6) f(x)= xÜ`+axÛ`+ax에서 f '(x)=xÛ`+2ax+a ;3!; 삼차함수 f(x)가 극값을 가지려면 f '(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =aÛ`-a>0, a(a-1)>0 ∴ a<0 또는 a>1 079 답 (1) a< (2) a<-3 또는 a>3 (3) a<-6 또는 a>6 ;2#; (4) a<0 또는 a> (5) a<0 또는 a>3 ;3!; (6) a<0 또는 a>1 080 답 (1) - 6ÉaÉ 6 (2) -3ÉaÉ3 (3) -6ÉaÉ0 ' ' (4) 0ÉaÉ2 (5) -9ÉaÉ0 (6) 1ÉaÉ4 (1) f(x)=xÜ`+axÛ`+2x-3에서 f '(x)=3xÛ`+2ax+2 (1) f(x)=2xÜ`-3xÛ`+ax+2에서 f '(x)=6xÛ`-6x+a 삼차함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 삼차함수 f(x)가 극값을 가지려면 f '(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 하므로 f '(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =9-6a>0 ∴ a< 3 2 D 4 =aÛ`-6É0, (a+ 6 )(a- 6 )É0 ' ' ∴ - 6ÉaÉ ' 6 ' (2) f(x)=xÜ`+axÛ`+3x-1에서 f '(x)=3xÛ`+2ax+3 (2) f(x)=xÜ`+axÛ`+3x+1에서 f '(x)=3xÛ`+2ax+3 삼차함수 f(x)가 극값을 가지려면 삼차함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 f '(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 f '(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 하므로 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =aÛ`-9>0, (a+3)(a-3)>0 ∴ a<-3 또는 a>3 D 4 =aÛ`-9É0, (a+3)(a-3)É0 ∴ -3ÉaÉ3 (3) f(x)=xÜ`+axÛ`+12x+4에서 f '(x)=3xÛ`+2ax+12 (3) f(x)=2xÜ`+axÛ`-ax-2에서 f '(x)=6xÛ`+2ax-a 삼차함수 f(x)가 극값을 가지려면 삼차함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 f '(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 f '(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 하므로 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =aÛ`-36>0, (a+6)(a-6)>0 ∴ a<-6 또는 a>6 D 4 =aÛ`+6aÉ0, a(a+6)É0 ∴ -6ÉaÉ0 Ⅱ. 미분 33 2단원(3), (4)해설-OK.indd 33 2018-09-28 오후 12:54:13 (4) f(x)= xÜ`+axÛ`+2ax-5에서 f '(x)=xÛ`+2ax+2a ;3!; 삼차함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 f '(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 하므로 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =aÛ`-2aÉ0, a(a-2)É0 ∴ 0ÉaÉ2 또, 점 (-1, -1)에서의 접선의 기울기가 -1이므로 f '(-1)=3-2a=-1 ∴ a=2 이것을 ㉠에 대입하면 b=-2 ∴ aÛ`+bÛ`=8 084 답 y=3x+16 또는 y=3x-16 f(x)=xÜ`-9x라 하면 f '(x)=3xÛ`-9 (5) f(x)=-xÜ`+axÛ`+3ax+4에서 f '(x)=-3xÛ`+2ax+3a 이때 접점의 좌표를 (a, aÜ`-9a)라 하면 삼차함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 직선 y=3x-2와 평행한 접선의 기울기는 3이므로 =(a+2)Û`-9aÉ0, aÛ`-5a+4É0, (a-1)(a-4)É0 f '(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 하므로 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =aÛ`+9aÉ0, a(a+9)É0 ∴ -9ÉaÉ0 (6) f(x)=3xÜ`-(a+2)xÛ`+ax-3에서 f '(x)=9xÛ`-2(a+2)x+a 삼차함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 f '(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 하므로 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 ∴ 1ÉaÉ4 081 ① 답 f(x)=2xÜ`+ax+b라 하면 f '(x)=6xÛ`+a 점 (1, 3)을 지나므로 f(1)=2+a+b=3 ∴ a+b=1 yy ㉠ 또한 점 (1, 3)에서의 접선의 기울기가 3이므로 f '(1)=6+a=3 ∴ a=-3 이것을 ㉠에 대입하면 b=4 ∴ a-b=-7 082 답 5 f(x)=-xÜ`+xÛ`+4라 하면 f '(x)=-3xÛ`+2x이므로 f '(1)=-1 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-4=-(x-1) ∴ y=-x+5 따라서 y=-x+5의 y절편은 5이다. 083 ② 답 f(x)=xÜ`+axÛ`+b라 하면 f '(x)=3xÛ`+2ax 점 (-1, -1)이 곡선 y=f(x) 위의 점이므로 f(-1)=-1+a+b=-1 ∴ a+b=0 yy ㉠ 34 정답 및 해설 f '(a)=3aÛ`-9=3, aÛ`=4 ∴ a=-2 또는 a=2 따라서 구하는 접선은 기울기가 3이고 점 (-2, 10) 또는 (2, -10)을 지나므로 접선의 방정식은 y-10=3{x-(-2)} 또는 y-(-10)=3(x-2) ∴ y=3x+16 또는 y=3x-16 085 답 y=-2x+7 두 점 A(-1, 2), B(2, -4)를 지나는 직선의 기울기는 -4-2 2-(-1) = -6 3 =-2 f(x)=-xÛ`+2x+3이라 하면 f '(x)=-2x+2 이때 접점의 좌표를 (a, -aÛ`+2a+3)이라 하면 접선의 기울기는 -2이므로 f '(a)=-2a+2=-2 ∴ a=2 따라서 구하는 접선은 기울기가 -2이고 점 (2, 3)을 지나므로 접선의 방정식은 y-3=-2(x-2) ∴ y=-2x+7 086 ① 답 f(x)=xÜ`이라 하면 f '(x)=3xÛ` 접점의 좌표를 (a, aÜ`)이라 하면 접선의 기울기가 3이므로 f '(a)=3aÛ`=3 ∴ a=-1 또는 a=1 따라서 접점의 좌표는 (-1, -1), (1, 1)이므로 접선의 방정식은 y-(-1)=3{x-(-1)}, y-1=3(x-1) ∴ y=3x+2, y=3x-2 이때 a는 양수이므로 a=2 087 -3 답 f(x)=xÛ`+x+2라 하면 f '(x)=2x+1 이때 접점의 좌표를 (a, aÛ`+a+2)라 하면 f '(a)=2a+1이므로 접선의 방정식은 y-(aÛ`+a+2)=(2a+1)(x-a) 이 접선이 점 (-1, 1)을 지나므로 -aÛ`-a-1=-2aÛ`-3a-1 aÛ`+2a=0, a(a+2)=0 ∴ a=-2 또는 a=0 2단원(3), (4)해설-OK.indd 34 2018-09-28 오후 12:54:14 정답 및 해설 따라서 두 접선의 기울기는 f '(-2)=-3, f '(0)=1 092 ④ 답 이므로 f '(-2) f '(0)=-3 이 접선이 점 (0, -7)을 지나므로 -tÜ`-2=-3tÜ`, tÜ`=1 093 답 1개 ∴ t=1 함수 f(x)=xÜ`-4x는 닫힌구간 [-1, 2]에서 연속이고, 이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 y=3x-7 열린구간 (-1, 2)에서 미분가능하므로 088 답 ;3&; f(x)=xÜ`-5라 하면 f '(x)=3xÛ` 이때 접점의 좌표를 (t, tÜ`-5)라 하면 f '(t)=3tÛ`이므로 접선의 방정식은 y-(tÜ`-5)=3tÛ`(x-t) yy ㉠ x=a, y=0을 y=3x-7에 대입하면 a= ;3&; 089 ⑤ 답 f(x)=xÛ`+ax+b라 하면 f '(x)=2x+a 점 (3, 1)이 곡선 y=f(x) 위의 점이므로 f(3)=9+3a+b=1 ∴ 3a+b=-8 yy ㉠ (6+a)_ { - ;2!;} =-1, a+6=2 ∴ a=-4 이것을 ㉠에 대입하면 b=4 ∴ a+b=0 090 ① 답 f(x)=-xÜ`+xÛ`+2x라 하면 f '(x)=-3xÛ`+2x+2이므로 f '(2)=-6 또, 점 (3, 1)에서의 접선의 기울기는 f '(3)=6+a 094 ③ 답 함수 f(x)=-xÛ`+kx+12는 닫힌구간 [-2, 6]에서 연속이고, 열린구간 (-2, 6)에서 미분가능하며 f(-2)=f(6)이므로 f(-2)=-2k+8, f(6)=6k-24에서 -2k+8=6k-24, 8k=32 ∴ k=4 인 c(-1<c<2)가 적어도 하나 존재한다. =-1이고 f '(x)=3xÛ`-4이므로 f '(c)= f(2)-f(-1) 2-(-1) f(2)-f(-1) 2-(-1) = 0-3 3 f '(c)=3cÛ`-4=-1, cÛ`=1 ∴ c=1 (∵ -1<c<2) 따라서 상수 c의 개수는 1개이다. f(x)=-xÛ`+6x+2에서 f '(x)=-2x+6 닫힌구간 [a, 2]에서 x=-1이 평균값 정리를 만족시키므로 f(2)-f(a) 2-a =f '(-1) aÛ`-6a+8 2-a =- (a-2)(a-4) a-2 =4-a=8 ∴ a=-4 점 (2, 0)에서의 접선에 수직인 직선의 기울기는 - 1 f '(2) = ;6!; 095 답 증가 : -1ÉxÉ3, 감소 : xÉ-1, x¾3 따라서 구하는 직선의 방정식은 f(x)=-xÜ`+3xÛ`+9x-1에서 y-0= (x-2) ∴ y= x- ;6!; ;3!; ;6!; 따라서 a= , b=- 이므로 a+b=- ;6!; ;3!; ;6!; 091 답 ;3!; 함수 f(x)=(x+1)(x-3)Û`은 닫힌구간 [-1, 3]에서 연속이고, 열린구간 (-1, 3)에서 미분가능하며 f(-1)=f(3)=0이므로 f '(c)=0인 c(-1<c<3)가 적어도 하나 존재한다. f '(x) =(x-3)Û`+2(x+1)(x-3)=(x-3){x-3+2(x+1)} =(x-3)(3x-1)=0이므로 f '(c)=(c-3)(3c-1)=0 ∴ c= (∵ -1<c<3) ;3!; f '(x)=-3xÛ`+6x+9=-3(x+1)(x-3) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3 x f '(x) f(x) y - ↘ -1 0 -6 y + ↗ 3 0 26 y - ↘ 따라서 함수 f(x)는 구간 (-¦, -1], [3, ¦)에서 f '(x)<0 이므로 감소하고, 구간 [-1, 3]에서 f '(x)>0이므로 증가한다. 096 ② 답 ① 구간 (-¦, -2)에서 f '(x)>0이므로 증가한다. ② 구간 (-2, -1)에서 f '(x)<0이므로 감소한다. ③ 구간 (-1, 0)에서 f '(x)<0이므로 감소한다. ④ 구간 (0, 2)에서 f '(x)>0이므로 증가한다. ⑤ 구간 (2, ¦)에서 f '(x)<0이므로 감소한다. Ⅱ. 미분 35 2단원(3), (4)해설-OK.indd 35 2018-09-28 오후 12:54:15 097 -4 답 f(x)=- xÜ`+4xÛ`+ax+5에서 f '(x)=-4xÛ`+8x+a ;3$; f(x)가 구간 (-¦, ¦)에서 감소하기 위한 조건은 f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3 따라서 f(x)=xÜ`-6xÛ`+9x-2이므로 극댓값은 f(1)=1-6+9-2=2 f '(x)É0이어야 하므로 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =16+4aÉ0 ∴ aÉ-4 따라서 상수 a의 최댓값은 -4이다. 098 -10 답 f(x)=-xÜ`- xÛ`+30x에서 ;2(; 102 ① 답 f(x)=xÜ`+axÛ`+3ax+2에서 f '(x)=3xÛ`+2ax+3a 삼차함수 f(x)가 극값을 가지려면 f '(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 =aÛ`-9a>0, a(a-9)>0 ∴ a<0 또는 a>9 f '(x)=-3xÛ`-9x+30=-3(x+5)(x-2) 103 답 4 이때 f '(x)>0인 구간에서 함수 f(x)가 증가하므로 f(x)=xÜ`-axÛ`+ax에서 f '(x)=3xÛ`-2ax+a -3(x+5)(x-2)>0, (x+5)(x-2)<0 삼차함수 f(x)가 극값을 가지려면 ∴ -5<x<2 f '(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 따라서 a=-5, b=2이므로 ab=-10 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 D 4 099 ⑤ 답 f(x)=-2xÜ`+6x+5에서 f '(x)=-6xÛ`+6=-6(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 x f '(x) f(x) y - ↘ -1 0 1 y + ↗ 1 0 9 y - ↘ 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극소이고 극솟값은 1, x=1에 서 극대이고 극댓값은 9이다. ∴ M+m=9+1=10 100 답 5 f(x)=-2xÜ`-3xÛ`+ax+b에서 f '(x)=-6xÛ`-6x+a 함수 f(x)가 x=1에서 극댓값 14를 가지므로 f(1)=-2-3+a+b=14 ∴ a+b=19 yy ㉠ f '(1)=-6-6+a=0 ∴ a=12 이것을 ㉠에 대입하면 b=7 ∴ a-b=5 101 ③ 답 f(x)=xÜ`+axÛ`+bx-2에서 f '(x)=3xÛ`+2ax+b 함수 f(x)가 x=3에서 극솟값 -2를 가지므로 f(3)=27+9a+3b-2=-2 ∴ 3a+b=-9 yy ㉠ f '(3)=27+6a+b=0 ∴ 6a+b=-27 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-6, b=9 ∴ f '(x)=3xÛ`-12x+9=3(x-1)(x-3) 36 정답 및 해설 =aÛ`-3a>0, a(a-3)>0 ∴ a<0 또는 a>3 따라서 자연수 a의 최솟값은 4이다. 104 답 0 D 4 0이다. f(x)= xÜ`+axÛ`+8x-1에서 f '(x)=2xÛ`+2ax+8 ;3@; 삼차함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 f '(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 하므로 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 =aÛ`-16É0, (a+4)(a-4)É0 ∴ -4ÉaÉ4 따라서 실수 a의 최댓값은 4, 최솟값은 -4이므로 구하는 합은 4 도함수의 활용 (2) 74쪽~92쪽 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) 풀이 참고 105 답 (4) 풀이 참고 (5) 풀이 참고 (1) f(x)=xÜ`-3x에서 f '(x)=3xÛ Û`-3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 x f '(x) f(x) y + ↗ -1 0 2 y - ↘ 1 0 -2 y + ↗ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. 2단원(3), (4)해설-OK.indd 36 2018-09-28 오후 12:54:16 정답 및 해설 y 2 y=f(x) O 1 -1 x (2) f(x)=xÜ`-3xÛ`+2에서 f '(x)=3xÛ`-6x=3x(x-2) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2 x f '(x) f(x) y + ↗ y - ↘ 2 0 -2 y + ↗ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. y=f(x) 2 x (3) f(x)=-xÜ`+6xÛ`-2에서 f '(x)=-3xÛ`+12x=-3x(x-4) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=4 x f '(x) f(x) y - ↘ y + ↗ 4 0 30 y - ↘ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. O -2 4 x y=f(x) (4) f(x)=xÜ`-6xÛ`+9x+3에서 f '(x)=3xÛ`-12x+9=3(x-1)(x-3) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3 x f '(x) f(x) y + ↗ y - ↘ 3 0 3 y + ↗ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. y=f(x) -2 0 0 2 y 2 O -2 0 0 -2 y 30 1 0 7 y 7 3 O 1 3 x (5) f(x)=2xÜ`-9xÛ`+12x-5에서 f '(x)=6xÛ`-18x+12=6(x-1)(x-2) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=2 x f '(x) f(x) y + ↗ y - ↘ 2 0 -1 y + ↗ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. y=f(x) 1 2 x y O -1 106 답 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) 풀이 참고 (4) 풀이 참고 (5) 풀이 참고 (6) 풀이 참고 (1) f(x)=3xÝ`-4xÜ`에서 f '(x)=12xÜ`-12xÛ`=12xÛ`(x-1) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1 x f '(x) f(x) y - ↘ y - ↘ 1 0 -1 y + ↗ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. y y=f(x) 1 0 0 0 0 0 1 x O -1 (2) f(x)=xÝ`-4xÜ`+10에서 f '(x)=4xÜ`-12xÛ`=4xÛ`(x-3) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=3 x f '(x) f(x) y - ↘ 0 0 10 y - ↘ 3 0 -17 y + ↗ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. y=f(x) 3 x y 10 O -17 (3) f(x)=3xÝ`-8xÜ`+6에서 f '(x)=12xÜ`-24xÛ`=12xÛ`(x-2) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2 x f '(x) f(x) y - ↘ 0 0 6 y - ↘ 2 0 -10 y + ↗ Ⅱ. 미분 37 2단원(3), (4)해설-OK.indd 37 2018-09-28 오후 12:54:17 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. 일 때 최솟값 4를 갖는다. 따라서 함수 f(x)는 x=2일 때 최댓값 8, x=0 또는 x=3 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. (4) f(x)=-xÝ`+2xÜ`-1에서 f '(x)=-4xÜ`+6xÛ`=-2xÛ`(2x-3) f '(x)=0에서 x=0 또는 x= ;2#; x f '(x) f(x) y + ↗ 0 0 -1 y + ↗ ;2#; 0 ;1!6!; y - ↘ (5) f(x)=-xÝ`+6xÛ`-8x-8에서 f '(x)=-4xÜ`+12x-8=-4(x-1)Û`(x+2) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=1 x f '(x) f(x) y + ↗ -2 0 16 y - ↘ 1 0 -11 y - ↘ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. y=f(x) 2 x y 6 O -10 y 11 16 O -1 y=f(x) x 3 2 y 16 1 O -2 x -11 y=f(x) (6) f(x)= xÝ`-2xÜ`+7에서 ;2!; f '(x)=2xÜ`-6xÛ`=2xÛ`(x-3) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=3 x f '(x) f(x) y - ↘ 0 0 7 y - ↘ 3 0 - ;;Á2£;; y + ↗ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. 38 정답 및 해설 y=f(x) 3 x y 7 O 13 2 - (1) 최댓값 : 8, 최솟값 : 4 (2) 최댓값 : 8, 최솟값 : -24 107 답 (3) 최댓값 : 4, 최솟값 : 0 (1) f(x)=-xÜ`+3xÛ`+4에서 f '(x)=-3xÛ`+6x=-3x(x-2) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2 x f '(x) f(x) 0 0 4 y + ↗ y - ↘ y + ↗ 2 0 8 1 0 4 y - ↘ y + ↗ y - ↘ 3 4 4 2 2 -17 (2) f(x)=xÜ`-3xÛ`-9x+3에서 f '(x)=3xÛ`-6x-9=3(x+1)(x-3) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3 x f '(x) f(x) -1 0 8 3 0 -24 솟값 -24를 갖는다. (3) f(x)=xÜ`-6xÛ`+9x에서 f '(x)=3xÛ`-12x+9=3(x-1)(x-3) f '(x)=0에서 x=1 (∵ 0ÉxÉ2) x f '(x) f(x) 0 0 0을 갖는다. 따라서 함수 f(x)는 x=-1일 때 최댓값 8, x=3일 때 최 따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최댓값 4, x=0일 때 최솟값 108 답 (1) 최댓값 : 3, 최솟값 : -1 (2) 최댓값 : 5, 최솟값 : -35 (3) 최댓값 : 46, 최솟값 : -6 (4) 최댓값 : 18, 최솟값 : 1 (1) f(x)=xÜ`-6xÛ`+9x-1에서 f '(x)=3xÛ`-12x+9=3(x-1)(x-3) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3 0 x f '(x) f(x) -1 y + ↗ 1 0 3 y 3 0 - ↘ -1 y + ↗ 4 3 2단원(3), (4)해설-OK.indd 38 2018-09-28 오후 12:54:17 정답 및 해설 따라서 함수 f(x)는 x=1 또는 x=4일 때 최댓값 3, x=0 이때 a>0이므로 - a+b<- a+b0이므로 b<16a+b<32a+b 따라서 함수 f(x)는 x=2에서 최댓값 32a+b, x=0에서 최 솟값 b를 갖는다. 즉, b=-12, 32a+b=20 ∴ a=1, b=-12 따라서 함수 f(x)는 x=3에서 최댓값 b, x=2에서 최솟값 - a+b를 갖는다. ;3$; 즉, b=10, - a+b=2 ∴ a=6, b=10 ;3$; 110 답 (1) 5 (2) 3 (3) -1 (1) f(x)=3xÝ`-4xÜ`+6xÛ`-12x+a에서 f '(x)=12xÜ`-12xÛ`+12x-12=12(x-1)(xÛ`+1) f '(x)=0에서 x=1 (∵ xÛ`+1>0) 따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최솟값 a-7을 가지므로 a-7=-2 ∴ a=5 (2) f(x)=xÝ`- xÜ`+4xÛ`-8x+a에서 ;3$; f '(x)=4xÜ`-4xÛ`+8x-8=4(x-1)(xÛ`+2) f '(x)=0에서 x=1 (∵ xÛ`+2>0) x f '(x) f(x) x f '(x) f(x) x f '(x) f(x) y - ↘ y - ↘ y + ↗ 1 0 a-7 1 0 a- ;;Á3£;; 2 0 a+40 y + ↗ y + ↗ y - ↘ 따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최솟값 a- 을 가지므로 ;;Á3£;; a- ;;Á3£;;=-;3$; ∴ a=3 (3) f(x)=-3xÝ`+8xÜ`-6xÛ`+24x+a에서 f '(x)=-12xÜ`+24xÛ`-12x+24=-12(x-2)(xÛ`+1) f '(x)=0에서 x=2 (∵ xÛ`+1>0) 따라서 함수 f(x)는 x=2일 때 최댓값 a+40을 가지므로 a+40=39 ∴ a=-1 111 답 (1) 0<a< 3 ' (2) A(-a, -aÛ`+3), B(-a, 0), C(a, 0), D(a, -aÛ`+3) (3) S(a)=-2aÜ`+6a (4) 4 (2) 점 D의 x좌표가 a이므로 점 D의 좌표는 (a, -aÛ`+3)이다. 즉, A(-a, -aÛ`+3), B(-a, 0), C(a, 0) (2) f(x)= axÜ`-axÛ`+b에서 f '(x)=axÛ`-2ax=ax(x-2) ;3!; (3) ADÓ=2a, ABÓ=-aÛ`+3 f '(x)=0에서 x=2 (∵ 1ÉxÉ3) x f '(x) 1 ;3@; y - 2 0 ;3$; f(x) - a+b ↘ - a+b ↗ y + 3 b 직사각형의 넓이를 S(a)라 하면 S(a)=2a(-aÛ`+3)=-2aÜ`+6a (4) S'(a)=-6aÛ`+6=-6(a+1)(a-1) S'(a)=0에서 a=1 (∵ 0<a< 3) ' Ⅱ. 미분 39 2단원(3), (4)해설-OK.indd 39 2018-09-28 오후 12:54:19 0 a S'(a) S(a) y + ↗ 1 0 4 y - ↘ 3 ' 따라서 직사각형의 넓이는 a=1일 때, 최댓값 4를 갖는다. (1) 0<x<3 (2) y=15-5x (3) V(x)=p(15xÛ`-5xÜ`) 112 답 (4) 20p (2) 오른쪽 그림에서 15`:`(15-y)=3`:`x 15-y 3(15-y)=15x ∴ y=15-5x x y 3 (3) 원기둥의 부피를 V(x)라 하면 V(x)=prÛ`h=pxÛ`(15-5x)=p(15xÛ`-5xÜ`) (4) V'(x)=p(30x-15xÛ`)=15px(2-x) V'(x)=0에서 x=2 (∵ 0<x<3) 0 x V'(x) V(x) y + ↗ 2 0 20p y - ↘ 3 따라서 원기둥의 부피는 x=2일 때, 최댓값 20p를 갖는다. 113 답 (1) 1개 (2) 3개 (3) 2개 (4) 1개 (1) f(x)=xÜ`+3xÛ`-5라 하면 f '(x)=3xÛ`+6x=3x(x+2) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 (3) f(x)=xÜ`-3x+2라 하면 f '(x)=3xÛ`-3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 x f '(x) f(x) y + ↗ -1 0 4 y - ↘ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같으므로 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 2개이다. (4) f(x)=2xÜ`-9xÛ`+12x라 하면 f '(x)=6xÛ`-18x+12=6(x-1)(x-2) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=2 x f '(x) f(x) y + ↗ 1 0 5 y - ↘ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같으므로 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 y 5 4 1개이다. y + ↗ y=f(x) y 4 -1 O 1 x 1 0 0 2 0 4 y + ↗ y=f(x) O 1` 2 x x f '(x) f(x) y + ↗ -2 0 -1 y - ↘ 0 0 -5 y + ↗ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같으므로 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 y y=f(x) x -2 O -1 1개이다. (1) 풀이 참고 (2) -4<k<0 (3) k=-4 또는 k=0 114 답 (4) k<-4 또는 k>0 (1) f(x)=xÜ`-3xÛ`이라 하면 f '(x)=3xÛ`-6x=3x(x-2) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2 x f '(x) f(x) y + ↗ y - ↘ 2 0 -4 y + ↗ -5 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. (2) f(x)=xÜ`-6xÛ`+4라 하면 f '(x)=3xÛ`-12x=3x(x-4) 0 0 0 y O -4 y=f(x) 2 x (2) 방정식 f(x)=k가 서로 다른 세 실근을 가지려면 (3) 방정식 f(x)=k가 중근과 다른 한 실근을 가지려면 -4<k<0 k=-4 또는 k=0 k<-4 또는 k>0 (4) 방정식 f(x)=k가 한 실근과 두 허근을 가지려면 f '(x)=0에서 x=0 또는 x=4 x f '(x) f(x) y + ↗ 0 0 4 y - ↘ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같으므로 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 3개이다. 4 0 -28 y 4 O y + ↗ y=f(x) 4 x -28 40 정답 및 해설 2단원(3), (4)해설-OK.indd 40 2018-09-28 오후 12:54:20 정답 및 해설 115 답 k>0 xÜ`- xÛ`-k=0에서 xÜ`- xÛ`=k ;2#; ;2#; f(x)=xÜ`- xÛ`이라 하면 ;2#; f '(x)=3xÛ`-3x=3x(x-1) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1 x f '(x) f(x) y + ↗ 0 0 0 y - ↘ 1 0 - ;2!; y + ↗ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. y O 1 2 - y=f(x) 1 y=k x 주어진 방정식이 한 개의 양근을 갖도록 하는 실수 k의 값의 범 위는 k>0 116 답 0<k<1 f(x)=4xÜ`-3x라 하면 f '(x)=12xÛ`-3=3(2x+1)(2x-1) f '(x)=0에서 x=- 또는 x= ;2!; ;2!; y=f(x) y 1 y=k x O - 1 2 -1 1 2 주어진 방정식이 한 개의 양근과 서로 다른 두 개의 음근을 갖도 록 하는 실수 k의 값의 범위는 0<k<1 117 -5<k<0 답 f(x)=xÜ`+3xÛ`-9x라 하면 f '(x)=3xÛ`+6x-9=3(x+3)(x-1) f '(x)=0에서 x=-3 또는 x=1 x f '(x) f(x) y + ↗ -3 0 27 y - ↘ 1 0 -5 y + ↗ y 27 y=f(x) 1 -3 O -5 x y=k 주어진 방정식이 서로 다른 두 개의 양근과 한 개의 음근을 갖도 록 하는 실수 k의 값의 범위는 -5<k<0 118 답 (1) -2<k<2 (2) -28<k<80 (3) k=-16 또는 k=16 (4) k=- 또는 k=9 ;3%; (5) k<0 또는 k>1 (6) k<1 또는 k>5 (1) f(x)=xÜ`-3x+k라 하면 f '(x)=3xÛ`-3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 방정식 f(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 f(-1) f(1)<0이어야 하므로 (k+2)(k-2)<0 ∴ -2<k<2 (2) f(x)=xÜ`-3xÛ`-24x+k라 하면 f '(x)=3xÛ`-6x-24=3(x+2)(x-4) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=4 방정식 f(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 f(-2) f(4)<0이어야 하므로 (k+28)(k-80)<0 방정식 f(x)=0이 중근과 다른 한 실근을 가지려면 f(-2) f(2)=0이어야 하므로 (k+16)(k-16)=0 ∴ k=-16 또는 k=16 (4) f(x)= xÜ`-xÛ`-3x+k라 하면 ;3!; f '(x)=xÛ`-2x-3=(x+1)(x-3) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3 방정식 f(x)=0이 중근과 다른 한 실근을 가지려면 f(-1) f(3)=0이어야 하므로 { k+ ;3%;} (k-9)=0 ∴ k=- 또는 k=9 ;3%; (5) f(x)=2xÜ`-3xÛ`+k라 하면 f '(x)=6xÛ`-6x=6x(x-1) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1 방정식 f(x)=0이 한 실근과 두 허근을 가지려면 f(0) f(1)>0이어야 하므로 k(k-1)>0 Ⅱ. 미분 41 x f '(x) f(x) y + ↗ - ;2!; 0 1 y - ↘ ;2!; 0 -1 y + ↗ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. ∴ -28<k<80 (3) f(x)=xÜ`-12x+k라 하면 f '(x)=3xÛ`-12=3(x+2)(x-2) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=2 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. ∴ k<0 또는 k>1 2단원(3), (4)해설-OK.indd 41 2018-09-28 오후 12:54:20 (6) f(x)=xÜ`-3x+3-k라 하면 f '(x)=3xÛ`-3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 f(x)=2xÜ`-3xÛ`-12x+1-k라 하면 f '(x)=6xÛ`-6x-12=6(x+1)(x-2) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2 방정식 f(x)=0이 한 실근과 두 허근을 가지려면 방정식 f(x)=0이 중근과 다른 한 실근을 가지려면 f(-1) f(1)>0이어야 하므로 (k-1)(k-5)>0 f(-1) f(2)=0이어야 하므로 (k+19)(k-8)=0 ∴ k<1 또는 k>5 (1) -4<k<0 (2) -25<k<7 119 답 ∴ k=-19 또는 k=8 (5) 두 곡선이 오직 한 점에서 만나려면 방정식 2xÜ`-2xÛ`-6x=xÛ`+6x+k, (3) k=-17 또는 k=15 (4) k=-19 또는 k=8 즉 2xÜ`-3xÛ`-12x-k=0이 한 실근과 두 허근을 가져야 한다. (5) k<-20 또는 k>7 (6) k<0 또는 k>1 f(x)=2xÜ`-3xÛ`-12x-k라 하면 (1) 두 곡선이 서로 다른 세 점에서 만나려면 f '(x)=6xÛ`-6x-12=6(x+1)(x-2) 방정식 xÜ`-5xÛ`+9x=xÛ`-k, f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2 즉 xÜ`-6xÛ`+9x+k=0이 서로 다른 세 실근을 가져야 한다. 방정식 f(x)=0이 한 실근과 두 허근을 가지려면 f(x)=xÜ`-6xÛ`+9x+k라 하면 f(-1) f(2)>0이어야 하므로 (k+20)(k-7)>0 f '(x)=3xÛ`-12x+9=3(x-1)(x-3) ∴ k<-20 또는 k>7 f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3 (6) 두 곡선이 오직 한 점에서 만나려면 방정식 f(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 방정식 xÜ`-2xÛ`+4x=4xÛ`-5x+4k, f(1) f(3)<0이어야 하므로 k(k+4)<0 ∴ -4<k<0 즉 xÜ`-6xÛ`+9x-4k=0이 한 실근과 두 허근을 가져야 한다. (2) 두 곡선이 서로 다른 세 점에서 만나려면 f(x)=xÜ`-6xÛ`+9x-4k라 하면 방정식 xÜ`+2xÛ`-6x+k=-xÛ`+3x+2, f '(x)=3xÛ`-12x+9=3(x-1)(x-3) 즉 xÜ`+3xÛ`-9x+k-2=0이 서로 다른 세 실근을 가져야 f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3 한다. 방정식 f(x)=0이 한 실근과 두 허근을 가지려면 f(x)=xÜ`+3xÛ`-9x+k-2라 하면 f(1) f(3)>0이어야 하므로 k(k-1)>0 f '(x)=3xÛ`+6x-9=3(x+3)(x-1) ∴ k<0 또는 k>1 즉 xÜ`+3xÛ`-9x-12-k=0이 중근과 다른 한 실근을 가져 f '(x)=0에서 x=1 (∵ x¾0) f '(x)=0에서 x=-3 또는 x=1 방정식 f(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 f(-3) f(1)<0이어야 하므로 (k+25)(k-7)<0 ∴ -25<k<7 (3) 두 곡선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 방정식 xÜ`-5x-12=-3xÛ`+4x+k, 야 한다. f(x)=xÜ`+3xÛ`-9x-12-k라 하면 f '(x)=3xÛ`+6x-9=3(x+3)(x-1) f '(x)=0에서 x=-3 또는 x=1 방정식 f(x)=0이 중근과 다른 한 실근을 가지려면 f(-3) f(1)=0이어야 하므로 (k+17)(k-15)=0 ∴ k=-17 또는 k=15 (4) 두 곡선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 방정식 xÜ`+2xÛ`-4x-k=-xÜ`+5xÛ`+8x-1, 즉 2xÜ`-3xÛ`-12x+1-k=0이 중근과 다른 한 실근을 가져 야 한다. 42 정답 및 해설 120 답 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) 풀이 참고 (4) 풀이 참고 (5) 풀이 참고 (6) 풀이 참고 (1) f(x)=xÜ`-3x+4라 하면 f '(x)=3xÛ`-3=3(x+1)(x-1) x f '(x) f(x) x f '(x) f(x) 0 4 0 4 x¾0일 때, 함수 f(x)의 최솟값은 2이므로 f(x)¾0, 즉, xÜ`-3x+4¾0 따라서 x¾0일 때, 부등식 xÜ`-3x+4¾0이 성립한다. (2) f(x)=xÜ`-xÛ`-x+4라 하면 f '(x)=3xÛ`-2x-1=(3x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=1 (∵ x¾0) y - ↘ y - ↘ 1 0 2 1 0 3 y + ↗ y + ↗ 2단원(3), (4)해설-OK.indd 42 2018-09-28 오후 12:54:21 정답 및 해설 x¾0일 때, 함수 f(x)의 최솟값은 3이므로 f '(x)=12xÜ`-24xÛ`=12xÛ`(x-2) f(x)¾0, xÜ`-xÛ`-x+4¾0 f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2 따라서 x¾0일 때, 부등식 xÜ`-xÛ`-x+4¾0이 성립한다. (3) f(x)=xÜ`-6xÛ`+9x+2라 하면 f '(x)=3xÛ`-12x+9=3(x-1)(x-3) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3 x f '(x) f(x) y - ↘ 0 0 k y - ↘ 2 0 k-16 y + ↗ 따라서 함수 f(x)의 최솟값은 f(2)=k-16이므로 모든 실수 x에 대하여 f(x)¾0이 성립하려면 x f '(x) f(x) 0 2 y + ↗ 1 0 6 y - ↘ 3 0 2 y + ↗ k-16¾0 ∴ k¾16 (2) f(x)=xÝ`-2xÛ`-k라 하면 x¾0일 때, 함수 f(x)의 최솟값은 2이므로 f '(x)=4xÜ`-4x=4x(x+1)(x-1) f(x)>0, xÜ`-6xÛ`+9x+2>0 f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=1 따라서 x¾0일 때, 부등식 xÜ`+9x>6xÛ`-2가 성립한다. x y -1 y 0 y 1 y (4) f(x)=2xÜ`-9xÛ`+12x+2라 하면 f '(x)=6xÛ`-18x+12=6(x-1)(x-2) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=2 y - ↘ 2 0 6 y + ↗ 3 11 1ÉxÉ3일 때, 함수 f(x)의 최솟값은 6이므로 f(x)¾0, 2xÜ`-9xÛ`+12x+2¾0 따라서 1ÉxÉ3일 때, 부등식 2xÜ`-9xÛ`+12x+2¾0이 성 (5) f(x)=-xÜ`+12x-4라 하면 f '(x)=-3xÛ`+12=-3(x+2)(x-2) f '(x)=0에서 x=2 (∵ 1ÉxÉ3) y + ↗ 2 0 12 y - ↘ 3 5 1ÉxÉ3일 때, 함수 f(x)의 최솟값은 5이므로 f(x)¾0, -xÜ`+12x-4¾0 따라서 1ÉxÉ3일 때, 부등식 xÜ`+6x-4¾2xÜ`-6x가 성립 x f '(x) f(x) 립한다. x f '(x) f(x) 한다. 1 0 7 1 7 f '(x)=4xÜ`+4=4(x+1)(xÛ`-x+1) f '(x)=0에서 x=-1 (∵ xÛ`-x+1>0) x f '(x) f(x) y - ↘ -1 0 0 y + ↗ 모든 실수 x에 대하여 함수 f(x)의 최솟값은 0이므로 f(x)¾0, xÝ`+4x+3¾0 따라서 모든 실수 x에 대하여 xÝ`+4x+3¾0이 성립한다. f '(x) - 0 0 f(x) ↘ -k-1 ↗ -k + + 0 - ↘ -k-1 ↗ 따라서 함수 f(x)의 최솟값은 f(-1)=f(1)=-k-1 이므로 모든 실수 x에 대하여 f(x)¾0이 성립하려면 -k-1¾0 ∴ kÉ-1 (3) f(x)= xÝ`-xÜ`+xÛ`+k라 하면 ;4!; f '(x)=xÜ`-3xÛ`+2x=x(x-1)(x-2) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1 또는 x=2 x y f '(x) - f(x) ↘ 0 0 k y + 1 0 ↗ k+ ;4!; y - ↘ 2 0 k y + ↗ 따라서 함수 f(x)의 최솟값은 f(0)=f(2)=k이므로 모든 실수 x에 대하여 f(x)>0이 성립하려면 k>0 122 답 (1) k¾4 (2) k>5 (3) k¾10 (1) f(x)=xÜ`-3xÛ`+k라 하면 f '(x)=3xÛ`-6x=3x(x-2) f '(x)=0에서 x=2 (∵ x¾1) x f '(x) f(x) 1 k-2 y - ↘ 2 0 k-4 y + ↗ f(x)¾0이 성립하려면 k-4¾0 ∴ k¾4 (2) f(x)=xÜ`+3xÛ`-9x+k라 하면 f '(x)=3xÛ`+6x-9=3(x+3)(x-1) f '(x)=0에서 x=1 (∵ x¾1) x f '(x) f(x) y - ↘ 1 0 k-5 y + ↗ 따라서 x¾1에서 함수 f(x)의 최솟값은 f(1)=k-5이므로 Ⅱ. 미분 43 (6) f(x)=xÝ`+4x+3이라 하면 따라서 x¾1에서 함수 f(x)의 최솟값은 f(2)=k-4이므로 121 답 (1) k¾16 (2) kÉ-1 (3) k>0 (1) f(x)=3xÝ`-8xÜ`+k라 하면 f(x)>0이 성립하려면 k-5>0 ∴ k>5 2단원(3), (4)해설-OK.indd 43 2018-09-28 오후 12:54:22 (3) f(x)=xÜ`- xÛ`-6x+k라 하면 ;2#; f '(x)=3xÛ`-3x-6=3(x+1)(x-2) f '(x)=0에서 x=2 (∵ 0ÉxÉ2) x f '(x) f(x) 0 k y - ↘ 2 0 k-10 y + ↗ 따라서 0ÉxÉ2에서 함수 f(x)의 최솟값은 f(2)=k-10 이므로 f(x)¾0이 성립하려면 k-10¾0 ∴ k¾10 123 답 (1) kÉ3 (2) k¾5 (3) k¾24 (1) f(x)¾g(x)에서 3xÝ`+3x+4¾4xÜ`+3x+k ∴ 3xÝ`-4xÜ`+4-k¾0 F(x)=3xÝ`-4xÜ`+4-k라 하면 F'(x)=12xÜ`-12xÛ`=12xÛ`(x-1) F'(x)=0에서 x=0 또는 x=1 x F'(x) F(x) y - ↘ 0 0 y - ↘ 1 0 y + ↗ -k+4 -k+3 따라서 함수 F(x)의 최솟값은 F(1)=-k+3이므로 모든 실수 x에 대하여 F(x)¾0이 성립하려면 -k+3¾0 ∴ kÉ3 (2) f(x)¾g(x)에서 4xÜ`-2xÛ`-2x¾xÛ`+4x-k ∴ 4xÜ`-3xÛ`-6x+k¾0 F(x)=4xÜ`-3xÛ`-6x+k라 하면 F'(x)=12xÛ`-6x-6=6(2x+1)(x-1) F'(x)=0에서 x=1 (∵ x¾0) x F'(x) F(x) 0 k y - ↘ 1 0 k-5 y + ↗ 따라서 x¾0에서 함수 F(x)의 최솟값은 F(1)=k-5이므 로 F(x)¾0이 성립하려면 k-5¾0 ∴ k¾5 (3) f(x)Ég(x)에서 xÝ`+2xÜ`É2xÜ`-2xÛ`+k ∴ xÝ`+2xÛ`-kÉ0 F(x)=xÝ`+2xÛ`-k라 하면 F'(x)=4xÜ`+4x=4x(xÛ`+1) x F'(x) -1 F(x) -k+3 y - ↘ 0 0 -k y 2 + ↗ -k+24 따라서 -1ÉxÉ2에서 함수 F(x)의 최댓값은 F(2)=-k+24이므로 F(x)É0이 성립하려면 -k+24É0 ∴ k¾24 44 정답 및 해설 124 답 (1) v=-9, a=6 (2) 3초 후 (3) -27 (1) t초 후의 속도를 v라 하면 v= =3tÛ`-6t-9 t초 후의 가속도를 a라 하면 a= =6t-6 따라서 t=2일 때의 속도와 가속도는 각각 v=3_2Û`-6_2-9=-9, a=6_2-6=6 (2) 점 P가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로 3tÛ`-6t-9=3(t+1)(t-3)=0 ∴ t=3 (∵ t>0) 0<t<3일 때 v<0이고, t>3일 때 v>0이므로 운동 방향을 바꾸는 시각은 출발한 지 3초 후이다. (3) t=3에서의 점 P의 위치 x는 3Ü`-3_3Û`-9_3=-27 125 답 (1) v=-12, a=-18 (2) 1초 후 (3) -5 (1) t초 후의 속도를 v라 하면 v= =-6tÛ`+6t t초 후의 가속도를 a라 하면 a= =-12t+6 따라서 t=2일 때의 속도와 가속도는 각각 v=-6_2Û`+6_2=-12, a=-12_2+6=-18 (2) 점 P가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로 -6tÛ`+6t=-6t(t-1)=0 ∴ t=1 (∵ t>0) 0<t<1일 때 v>0이고, t>1일 때 v<0이므로 운동 방향을 바꾸는 시각은 출발한 지 1초 후이다. (3) t=1에서의 점 P의 위치 x는 -2_1Ü`+3_1Û`-6=-5 126 답 (1) 4 (2) 11 (3) 18 (1) 점 P가 원점을 지나는 순간은 x=0일 때이므로 tÜ`-4tÛ`+4t=0, t(t-2)Û`=0 ∴ t=0 또는 t=2 따라서 점 P가 출발 후 다시 원점을 지나는 순간은 t=2일 때이다. t초 후의 속도를 v라 하면 v= =3tÛ`-8t+4 dx dt dv dt dx dt dv dt dx dt dv dt t=2에서의 점 P의 가속도 a는 6_2-8=4 (2) t초 후의 속도를 v라 하면 v= =-3tÛ`+10t-3=-(3t-1)(t-3) dx dt 점 P가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로 v=0에서 t= 또는 t=3 ;3!; F'(x)=0에서 x=0 (∵ xÛ`+1>0) t초 후의 가속도를 a라 하면 a= =6t-8이므로 2단원(3), (4)해설-OK.indd 44 2018-09-28 오후 12:54:23 정답 및 해설 따라서 점 P가 t=3일 때 두 번째로 운동 방향을 바꾸므로 ∴ t=4 (∵ t>0) t=3에서의 점 P의 위치 x는 -3Ü`+5_3Û`-3_3+2=11 따라서 t=4일 때의 물체의 속도 v는 (3) t초 후의 속도를 v라 하면 v= =3tÛ`-6t 19.6-9.8_4=-19.6(m/s) t초 후의 가속도를 a라 하면 a= =6t-6 v=24에서 3tÛ`-6t=24, 3tÛ`-6t-24=3(t+2)(t-4)=0 130 답 (1) 20`m (2) -20`m/s (1) t초 후의 속도를 v라 하면 v= =20-10t 따라서 물체가 최고 지점에 도달할 때의 높이는 dx dt dv dt dx dt dv dt dx dt dv dt ∴ t=4 (∵ t>0) 따라서 t=4일 때의 가속도 a는 6_4-6=18 127 답 (1) v=10, a=-10 (2) 20`m t초 후의 가속도를 a라 하면 a= =-10 따라서 t=1일 때의 속도와 가속도는 각각 v=20-10_1=10, a=-10 (2) 공이 최고 지점에 도달할 때의 속도는 0이므로 20-10t=0, 10t=20 ∴ t=2 따라서 공이 최고 지점에 도달할 때의 높이는 20_2-5_2Û`=20(m)이다. 128 답 (1) v=-10, a=-10 (2) 90`m (1) t초 후의 속도를 v라 하면 v= =30-10t t초 후의 가속도를 a라 하면 a= =-10 따라서 t=4일 때의 속도와 가속도는 각각 v=30-10_4=-10, a=-10 (2) 공이 최고 지점에 도달할 때의 속도는 0이므로 30-10t=0, 10t=30 ∴ t=3 따라서 공이 최고 지점에 도달할 때의 높이는 45+30_3-5_3Û`=90(m)이다. 129 답 (1) 19.6`m (2) -19.6`m/s (1) t초 후의 속도를 v라 하면 v= =19.6-9.8t dx dt 물체가 최고 지점에 도달할 때의 속도는 0이므로 19.6-9.8t=0, 9.8t=19.6 ∴ t=2 따라서 물체가 최고 지점에 도달할 때의 높이는 19.6_2-4.9_2Û`=19.6(m)이다. (2) 지면에 떨어지는 순간의 높이는 0이므로 (1) t초 후의 속도를 v라 하면 v= =10-10t dx dt 물체가 최고 지점에 도달할 때의 속도는 0이므로 10-10t=0, 10t=10 ∴ t=1 15+10_1-5_1Û`=20(m)이다. (2) 지면에 떨어지는 순간의 높이는 0이므로 15+10t-5tÛ`=-5(t+1)(t-3)=0 ∴ t=3 (∵ t>0) 따라서 t=3일 때의 물체의 속도 v는 10-10_3=-20(m/s) 131 답 (1) 5 (2) 7 (3) 17 (4) 31 (1) dl dt =2t+3이므로 t=1에서의 물체의 길이의 변화율은 2_1+3=5 t=2에서의 물체의 길이의 변화율은 4_2-1=7 (2) dl dt =4t-1이므로 (3) dl dt =10t-3이므로 (4) dl dt =12t-5이므로 t=2에서의 물체의 길이의 변화율은 10_2-3=17 t=3에서의 물체의 길이의 변화율은 12_3-5=31 A 3`m D 1.5`m B y E x C 132 답 (1) y=x (2) 2`m/s (1) 오른쪽 그림에서 △ABC »△DBE이므로 3`:`1.5 =(x+y)`:`y 3y=1.5x+1.5y 1.5y=1.5x ∴ y=x (2) x=2t이므로 y=2t ∴ dy dt =2 Ⅱ. 미분 45 19.6t-4.9tÛ`=-4.9t(t-4)=0 따라서 그림자의 길이의 변화율은 2`m/s이다. 2단원(3), (4)해설-OK.indd 45 2018-09-28 오후 12:54:24 133 답 8`m/s 따라서 t=4에서 정사각형의 넓이의 변화율은 t초 후에 혜민이가 움직인 거리를 x`m, 혜민이의 그림자의 길이 0.5_4+6=8(cmÛ`/s)이다. 를 y`m라 할 때 다음 그림에서 △ABC »△DBE이므로 A D 2.4`m 1.6`m B y E x C 2.4`:`1.6=(x+y)`:`y, 2.4y=1.6x+1.6y 0.8y=1.6x ∴ y=2x x=4t이므로 y=8t ∴ dy dt =8 따라서 그림자의 길이의 변화율은 8`m/s이다. 134 답 (1) 10 (2) 19 (3) 53 (4) 36 (5) 66 =(3t+1)+3(t+1)=6t+4이므로 t=1에서의 도형의 넓이의 변화율은 6_1+4=10 =2(t+4)+(2t+3)=4t+11이므로 t=2에서의 도형의 넓이의 변화율은 4_2+11=19 =4(5t+2)+5(4t+1)=40t+13이므로 t=1에서의 도형의 넓이의 변화율은 40_1+13=53 =2(2t+3)_2=8t+12이므로 (1) dS dt (2) dS dt (3) dS dt (4) dS dt (5) dS dt t=2에서의 도형의 넓이의 변화율은 18_2+30=66 137 답 (1) 75 (2) 294 (3) 144 (4) 36 (5) 5.4 (1) dV dt =3(4+t)Û`이므로 t=1에서의 도형의 부피의 변화율은 3_5Û`=75 =3(3+2t)Û`_2=6(3+2t)Û`이므로 t=2에서의 도형의 부피의 변화율은 6_7Û`=294 =3(1+3t)Û`_3=9(1+3t)Û`이므로 (2) dV dt (3) dV dt t=1에서의 도형의 부피의 변화율은 9_4Û`=144 (4) dV dt =3 5+ { _ = 5+ ;3!; { 이므로 t 3 } 2` t 3 } 2` t=3에서의 도형의 부피의 변화율은 6Û`=36 (5) dV dt =3(2+0.2t)Û`_0.2=0.6(2+0.2t)Û`이므로 t=5에서의 도형의 부피의 변화율은 0.6_3Û`=5.4 138 답 (1) V=(6+2t)Ü` (2) 6(6+2t)Û` (3) 600`cmÜ`/s (1) 정육면체의 한 모서리의 길이는 (6+2t)`cm이므로 V=(6+2t)Ü` (2) V=(6+2t)Ü`의 양변을 t에 대하여 미분하면 dV dt =3(6+2t)Û`_2=6(6+2t)Û` (3) 6(6+2t)Û`에 t=2를 대입하면 t=3에서의 도형의 넓이의 변화율은 8_3+12=36 2초 후의 정육면체의 부피의 변화율은 =2(3t+5)_3=18t+30이므로 6_10Û`=600`(cmÜ`/s)이다. 135 답 (1) S=(4+2t)Û` (2) 8t+16 (3) 40`cmÛ`/s (1) 정사각형의 한 변의 길이는 (4+2t)`cm이므로 S=(4+2t)Û` (2) S=(4+2t)Û`의 양변을 t에 대하여 미분하면 dS dt =2(4+2t)_2=8t+16 (3) 8t+16에 t=3을 대입하면 3초 후의 정사각형의 넓이의 변화율은 8_3+16=40(cmÛ`/s)이다. 139 답 54`cmÜ`/s t초 후의 정육면체의 부피를 V`cmÜ`라 할 때 정육면체의 한 모서리의 길이는 (4+0.5t)`cm이므로 V=(4+0.5t)Ü` ∴ dV dt =3(4+0.5t)Û`_0.5=1.5(4+0.5t)Û` 따라서 t=4에서의 정육면체의 부피의 변화율은 1.5_6Û`=54(cmÜ`/s)이다. 136 답 8`cmÛ`/s t초 후의 정사각형의 넓이를 S`cmÛ`라 할 때 정사각형의 한 변의 길이는 (6+0.5t)`cm이므로 S=(6+0.5t)Û` ∴ dS dt =2(6+0.5t)_0.5=0.5t+6 140 ③ 답 f '(x)=0에서 x=0 또는 x=a x f '(x) f(x) y - ↘ 0 0 y - ↘ a 0 극소 y + ↗ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형이 될 수 있는 것은 ③이다. 46 정답 및 해설 2단원(3), (4)해설-OK.indd 46 2018-09-28 오후 12:54:24 정답 및 해설 141 ② 답 145 답 3개 f(x)=2xÜ`-9xÛ`+12x-7에서 f(x)=3xÝ`+4xÜ`-12xÛ`이라 하면 f '(x)=6xÛ`-18x+12=6(x-1)(x-2) f '(x)=12xÜ`+12xÛ`-24x=12x(x+2)(x-1) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=2 f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 또는 x=1 x f '(x) f(x) 0 -7 y + ↗ 1 0 -2 y - ↘ 2 0 -3 x -2 y f '(x) - + f(x) ↘ -32 ↗ y 0 0 0 0 y - ↘ 1 0 -5 y + ↗ 따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최댓값 -2, 따라서 함수 y=f(x)의 그래프를 y y=f(x) x=0일 때 최솟값 -7을 가지므로 M=-2, m=-7 그리면 오른쪽 그림과 같으므로 -2 O 1 ∴ M+m=-9 142 답 18 f(x)=-3xÝ`+4xÜ`+12xÛ`-16에서 f '(x)=-12xÜ`+12xÛ`+24x=-12x(x+1)(x-2) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=2 x -1 y f '(x) + + f(x) ↗ -11 ↘ -16 ↗ - y y 0 0 0 2 0 16 y - ↘ 따라서 함수 f(x)는 x=2일 때 최댓값 16을 가지므로 a=2, b=16 ∴ a+b=18 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 3개이다. x -5 -32 146 ① 답 xÜ`-2xÛ`-6x+2=xÛ`+3x+k에서 xÜ`-3xÛ`-9x+2-k=0 f(x)=xÜ`-3xÛ`-9x+2-k라 하면 f '(x)=3xÛ`-6x-9=3(x+1)(x-3) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3 방정식 f(x)=0이 한 실근과 두 허근을 가지려면 f(-1) f(3)>0이어야 하므로 (k+25)(k-7)>0 143 ⑤ 답 f(x)=axÝ`-4axÜ`+b에서 f '(x)=4axÜ`-12axÛ`=4axÛ`(x-3) ∴ k<-25 또는 k>7 f '(x)=0에서 x=3 (∵ 1ÉxÉ4) 따라서 a=-25, b=7이므로 a+b=-18 즉, b=6, b-27a=-12이므로 a= , b=6 ∴ ab=4 F'(x)=12xÛ`+6x-6=6(x+1)(2x-1) 1 x f '(x) f(x) y - ↘ b-3a b-27a y + ↗ 이때 a>0이므로 b-27a<b-3a0, 12-2x>0이므로 0<x<6 상자의 부피를 V(x)라 하면 4 b 6 V(x)=x(12-2x)Û`=4xÜ`-48xÛ`+144x 는다. ∴ V'(x)=12xÛ`-96x+144=12(x-2)(x-6) V'(x)=0에서 x=2 (∵ 0<x<6) 0 x V '(x) V (x) y + ↗ 2 0 128 y - ↘ 따라서 상자의 부피는 x=2일 때, 최댓값 128`cmÜ`을 갖는다. 즉 실수 k의 최솟값은 이다. ;4&; 147 답 ;4&; f(x)¾g(x)에서 4xÜ`-6x¾-3xÛ`-k ∴ 4xÜ`+3xÛ`-6x+k¾0 F(x)=4xÜ`+3xÛ`-6x+k라 하면 F'(x)=0에서 x=-1 또는 x= ;2!; x F'(x) -1 0 F(x) k+5 y - ↘ ;2!; 0 ;2!; k- ;4&; y + ↗ 2 k+32 ;4&; -1ÉxÉ2일 때, 함수 F(x)는 x= 에서 최솟값 k- 을 갖 따라서 -1ÉxÉ2일 때 F(x)¾0이려면 F ¾0이어야 {;2!;} 하므로 k- ¾0 ;4&; ∴ k¾ ;4&; Ⅱ. 미분 47 2단원(3), (4)해설-OK.indd 47 2018-09-28 오후 12:54:25 148 답 10 점 P가 원점을 지나는 순간은 x=0일 때이므로 tÜ`-7tÛ`+12t=0, t(t-3)(t-4)=0 ∴ t=0 또는 t=3 또는 t=4 따라서 점 P가 출발 후 마지막으로 원점을 지나는 순간은 t=4 일 때이다. t초 후의 속도를 v라 하면 v= =3tÛ`-14t+12 t초 후의 가속도를 a라 하면 a= =6t-14 dx dt dv dt Ⅲ 적분 1 부정적분 001 답 (ㄱ), (ㄷ) 이므로 t=4에서의 점 P의 가속도 a는 6_4-14=10 002 답 (1) 3x+C (2) xÛ`+C (3) xÞ`+C (4) -xÝ`+C 149 답 180`m t초 후의 속도를 v라 하면 v= =60-2at dx dt 물체가 최고 지점에 도달할 때의 속도는 0이고 걸리는 시간이 6초이므로 60-12a=0, 12a=60 ∴ a=5 따라서 x=60t-5tÛ`이므로 물체가 최고 지점에 도달할 때의 높이는 60_6-5_6Û`=180`(m)이다. 150 ⑤ 답 t초 후의 풍선의 겉넓이를 S`cmÛ`라 할 때 풍선의 반지름의 길이가 4`cm가 될 때의 시각은 3+0.2t=4 ∴ t=5 풍선의 반지름의 길이는 (3+0.2t)`cm이므로 S=4prÛ`=4p(3+0.2t)Û` ∴ dS dt =8p(3+0.2t)_0.2=1.6p(3+0.2t) 따라서 t=5에서 풍선의 겉넓이의 변화율은 1.6p_(3+0.2_5)=6.4p(cmÛ`/s)이다. 95쪽~100쪽 (ㄱ) (xÝ`)'=4xÜ` (ㄴ) (-xÝ`)=-4xÜ` (ㄷ) (xÝ`+50)'=4xÜ` (ㄹ) (xÝ`+x)'=4xÜ`+1 따라서 함수 4xÜ`의 부정적분인 것은 (ㄱ), (ㄷ)이다. (1) (3x)'=3이므로 3dx=3x+C :` '=x이므로 (2) xÛ` } {;2!; `xdx= xÛ`+C ;2!; (3) (xÞ`)'=5xÝ`이므로 5xÝ`dx=xÞ`+C (4) (-xÝ`)'=-4xÜ`이므로 (-4xÜ`)dx=-xÝ`+C ;2!; : :` :` 003 답 (1) 3xÛ` (2) 4x+1 (3) 3xÛ`-4x+3 (4) -2xÛ`+x+1 (5) 2x- ;2%; (1) f(x)=(xÜ`+C)'=3xÛ` (2) f(x)=(2xÛ`+x+C)'=4x+1 (3) f(x)=(xÜ`-2xÛ`+3x+C)'=3xÛ`-4x+3 - (4) f(x)= { xÛ`+x+C } ;3@; (5) (2xÛ`-5x+C)'=4x-5이므로 xÜ`+ ;2!; '=-2xÛ`+x+1 2f(x)=4x-5 ∴ f(x)=2x- ;2%; 004 답 (1) xÛ`-4x (2) xÛ`-4x+C (3) + (1) d (2) : dx [ :` d dx [ ` f(x)dx ] =f(x)=xÛ`-4x f(x) ] dx=xÛ`-4x+C 005 -2 답 d dx [ :` 006 답 9 f(x)dx ] =xÜ`-5xÛ`+2이므로 f(x)=xÜ`-5xÛ`+2 ∴ f(1)=1-5+2=-2 F(x)= d dx (xÜ`+4x) ] dx=xÜ`+4x+C [ :` 이때 F(1)=-2이므로 5+C=-2 ∴ C=-7 따라서 F(x)=xÜ`+4x-7이므로 F(2)=8+8-7=9 48 정답 및 해설 48-61 수학2-3단원해설-ok.indd 48 2018-09-28 오후 12:51:58 정답 및 해설 007 답 (1) 9x+C (2) x¡`+C (3) x11+C (4) x36+C ;8!; ;1Á1; ;3Á6; (4) ` xÜ`+1 x+1 dx= ` (x+1)(xÛ`-x+1) x+1 dx (5) x100+C ;10!0; (1) 9dx= x0+1+C=9x+C 9 0+1 1 7+1 1 10+1 1 35+1 1 99+1 (2) xà`dx= x7+1+C= x¡`+C ;8!; (3) x10dx= x10+1+C= x11+C (4) x35dx= x35+1+C= x36+C ;1Á1; ;3Á6; (5) x99dx= x99+1+C= x100+C ;10!0; 008 답 (1) xÜ`-7x+C (2) - xÜ`+xÛ`-x+C ;3!; (3) xÞ`+2xÜ`-3x+C (1) (3xÛ`-7)dx=3 xÛ`dx- 7dx :` :` =3 xÜ`+CÁ } {;3!; -(7x+Cª) =xÜ`-7x+C (2) (-xÛ`+2x-1)dx :` =- xÛ`dx+2 xdx- dx =- xÜ`+CÁ } {;3!; :` +2 :` xÛ`+Cª } {;2!; -(x+C£) :` ;3!; =- xÜ`+xÛ`-x+C (3) (5xÝ`+6xÛ`-3)dx :` =5 xÝ`dx+6 xÛ`dx- 3dx :` =5 xÞ`+CÁ } {;5!; :` +6 :` xÜ`+Cª } {;3!; -(3x+C£) =xÞ`+2xÜ`-3x+C (1) (x+1)(2x+3)dx= (2xÛ`+5x+3)dx :` ;3@; = xÜ`+ xÛ`+3x+C ;2%; (2) (x+1)Ü`dx= (xÜ`+3xÛ`+3x+1)dx (3) (x+1)(xÛ`-x+1)dx= (xÜ`+1)dx = xÝ`+xÜ`+ xÛ`+x+C :` ;4!; ;2#; :` ;4!; = xÝ`+x+C :` :` :` :` :` :` :` :` :` = `(xÛ`-x+1)dx= xÜ`- xÛ`+x+C ;3!; ;2!; : (2x+t)dx=2 (5) xdx+t dx=xÛ`+tx+C (6) :` ` xÛ` x+1 dx- ` :` 1 x+1 :` dx= ` xÛ`-1 x+1 dx : : : : = (x-1)dx= xÛ`-x+C ;2!; = ` (x+1)(x-1) (x+1) dx : : :` 010 답 18 f(x)= f '(x)dx= (xÛ`-2x+5)dx= xÜ`-xÛ`+5x+C ;3!; :` f(0)=3에서 C=3 :` 따라서 f(x)= xÜ`-xÛ`+5x+3이므로 ;3!; f(3)=9-9+15+3=18 011 답 f(x)=2xÝ`-xÜ`-2xÛ`+x-3 곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기 는 f '(x)이므로 f '(x)=8xÜ`-3xÛ`-4x+1 ∴ f(x)= f '(x)dx= (8xÜ`-3xÛ`-4x+1)dx :` =2xÝ`-xÜ`-2xÛ`+x+C :` 곡선 y=f(x)가 점 (1, -3)을 지나므로 f(1)=-3 ∴ C=-3 ∴ f(x)=2xÝ`-xÜ`-2xÛ`+x-3 012 답 f(x)=6xÛ`-2x+2 f(x)dx=xf(x)-4xÜ`+xÛ`+C의 양변을 x에 대하여 미분하면 :` f(x)=f(x)+xf '(x)-12xÛ`+2x 013 -1 답 :` 미분하면 f(x)dx=xf(x)-3xÝ`+5xÛ`-10의 양변을 x에 대하여 f(x)=f(x)+xf '(x)-12xÜ`+10x xf '(x)=12xÜ`-10x=x(12xÛ`-10) ∴ f '(x)=12xÛ`-10 Ⅲ. 적분 49 009 답 (1) xÜ`+ xÛ`+3x+C (2) xÝ`+xÜ`+ xÛ`+x+C ;4!; ;2#; ;3@; ;2%; xf '(x)=12xÛ`-2x=x(12x-2) ∴ f '(x)=12x-2 (3) xÝ`+x+C (4) xÜ`- xÛ`+x+C (5) xÛ`+tx+C ;3!; ;2!; ;4!; ;2!; (6) xÛ`-x+C ∴ f(x)= ` f '(x)dx= (12x-2)dx=6xÛ`-2x+CÁ :` 이때 f(1)=6이므로 6-2+CÁ=6 ∴ CÁ=2 : ∴ f(x)=6xÛ`-2x+2 48-61 수학2-3단원해설-ok.indd 49 2018-09-28 오후 12:51:59 ∴ f(x)= f '(x)dx= (12xÛ`-10)dx=4xÜ`-10x+C 019 답 ;;ª2°;; :` 이때 f(0)=5이므로 C=5 :` 따라서 f(x)=4xÜ`-10x+5이므로 f(1)=4-10+5=-1 014 ② 답 xf(x)= xÝ`+xÜ`-xÛ`+C {;4!; '이므로 } xf(x)=xÜ`+3xÛ`-2x=x(xÛ`+3x-2) 따라서 f(x)=xÛ`+3x-2이므로 f(1)=1+3-2=2 015 ⑤ 답 6xÛ`+ax-3=(bxÜ`+2xÛ`-cx+2)'이므로 6xÛ`+ax-3=3bxÛ`+4x-c 위의 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 6=3b, a=4, -3=-c ∴ a=4, b=2, c=3 ∴ abc=24 016 ④ 답 d dx [ :` (axÛ`+4x+5)dx ] =axÛ`+4x+5이므로 axÛ`+4x+5=6xÛ`+bx+c 위의 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 a=6, b=4, c=5 ∴ a-b+c=7 017 ④ 답 d dx (xÛ`-4x) ] [ :` f(x)=xÛ`-4x+C=(x-2)Û`-4+C dx=xÛ`-4x+C이므로 이때 함수 f(x)의 최솟값이 5이므로 -4+C=5 ∴ C=9 따라서 f(x)=xÛ`-4x+9이므로 f(1)=1-4+9=6 f(x)= x +1)Û`dx+ x -1)Û`dx ( '§ ( '§ = {( x +1)Û`+( '§ :` x -1)Û`}dx '§ = (2x+2)dx=xÛ`+2x+C :` :` :` 이때 f(0)=2이므로 C=2 따라서 f(x)=xÛ`+2x+2이므로 f(2)=4+4+2=10 50 정답 및 해설 f(x)= (1+2x+3xÛ`+y+10xá`)dx :` =x+xÛ`+xÜ`+y+x10+C 이때 f(0)= 이므로 C= ;2%; ;2%; 따라서 f(x)=x+xÛ`+y+x10+ 이므로 ;2%; f(1)=1+1+y+1+ =10+ = ;2%; ;2%; ;;ª2°;; 020 -13 답 f(x)= f '(x)dx= (3xÛ`+2ax-1)dx=xÜ`+axÛ`-x+C 이때 f(0)=1이므로 C=1 :` :` 따라서 f(x)=xÜ`+axÛ`-x+1이므로 f(1)=-1에서 1+a-1+1=-1 ∴ a=-2 즉 f(x)=xÜ`-2xÛ`-x+1이므로 f(-2)=-8-8-(-2)+1=-13 021 ① 답 f '(x)=8x-3이므로 f(x)= f '(x)dx= (8x-3)dx=4xÛ`-3x+CÁ 이때 f(0)=1이므로 CÁ=1 :` :` 따라서 f(x)=4xÛ`-3x+1이므로 f(x)dx= (4xÛ`-3x+1)dx= xÜ`- xÛ`+x+C ;3$; ;2#; :` :` 022 ② 답 f '(x)=-2x+6이므로 f(x)= (-2x+6)dx=-xÛ`+6x+C=-(x-3)Û`+9+C 이때 함수 f(x)의 최댓값이 7이므로 :` 9+C=7 ∴ C=-2 따라서 f(x)=-xÛ`+6x-2이므로 f(-1)=-1-6-2=-9 F(x)는 함수 f(x)의 부정적분이므로 F'(x)=f(x) xf(x)-F(x)=2xÜ`+xÛ`의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)+xf '(x)-f(x)=6xÛ`+2x xf '(x)=x(6x+2) ∴ f '(x)=6x+2 ∴ f(x)= f '(x)dx= `(6x+2)dx=3xÛ`+2x+C 이때 f(1)=6이므로 5+C=6 ∴ C=1 :` : 따라서 f(x)=3xÛ`+2x+1이므로 f(2)=12+4+1=17 018 ② 답 023 답 17 48-61 수학2-3단원해설-ok.indd 50 2018-09-28 오후 12:51:59 정답 및 해설 f(x)= (-3x-6)dx=- xÛ`-6x+CÁ (3) (주어진 식)= (2xÛ`+6x)dx- 2(xÛ`-3x-1)dx 2 정적분 103쪽~112쪽 = {(4xÛ`-4x+1)+(4x-1)}dx :@3` (4) (주어진 식)= (4xÛ`-4x+1)dx+ (4x-1)dx 024 답 6 025 답 10 : 미분하면 g(x)dx=xÝ`f(x)+C의 양변을 x에 대하여 미분하면 :` g(x)=4xÜ`f(x)+xÝ`f '(x) ∴ g(1)=4f(1)+f '(1)=4+2=6 ` f(x)dx=(x-2)f(x)+xÜ`-12x+C의 양변을 x에 대하여 f(x)=f(x)+(x-2)f '(x)+3xÛ`-12 (x-2)f '(x)=-3xÛ`+12=-3(x+2)(x-2) ∴ f '(x)=-3(x+2)=-3x-6 이때 f(x)= f '(x)dx이므로 :` ;2#; 이때 f(0)=4이므로 CÁ=4 :` ∴ f(x)=- xÛ`-6x+4=- (x+2)Û`+10 따라서 f(x)는 x=-2일 때, 최댓값이 10이다. ;2#; ;2#; 026 답 :¤4°: (1) (2) 12 (3) 0 (4) 0 (5) (6) 9 (7) -28 ;3*; (8) - :ª6»: (1) xÜ`dx= xÝ` = (3Ý`-2Ý`)= ;4!; ;4!; ;;¤4°;; (2) (2x+1)dx= xÛ`+x =(9+3)-(0+0)=12 [ ]3@ (3) (tÛ`-2t)dt= ]3) tÜ`-tÛ` [ ;3!; :_2! [ (5xÛ`-2)dx=0 (4) ]2_! = -4 - - -1 =0 } { ;3!; } {;3*; (5) (xÛ`-2x+1)dx= xÜ`-xÛ`+x ;3!; [ =(9-9+3)- ]3! {;3!; -1+1 = } ;3*; (x+1)Û`dx= (xÛ`+2x+1)dx :@3`` :)3` :%5` :!3` (6) :_2! :_2!` ;3!; = [ xÜ`+xÛ`+x ]2_! = {;3*; +4+2 }-{-;3!; +1-1 =9 } (7) (x-2)(3x+2)dx :!-` 3` =- (3xÛ`-4x-4)dx= xÜ`-2xÛ`-4x :_1# =-{(1-2-4)-(-27-18+12)} ]1_# - [ =-28 xÜ`-1 x-1 dx= (x-1)(xÛ`+x+1) x-1 dx (8) ` :@1` :@1`` =- =- :!2` [{;3*; (xÛ`+x+1)dx=- xÜ`+ xÛ`+x ;2!; ;3!; [ +1 ]2! +2+2 - + {;3!; ;2!; } =- }] ;;ª6»;; 027 답 (1) 4 (2) -12 (3) 20 (4) (5) 24 (6) (7) :¦3¤: :°3¤: :Á6Á: (1) (주어진 식)=2 (3xÛ`+4x)dx=2 xÜ`+2xÛ` :_1! =2{(1+2)-(-1+2)}=4 [ ]1_! (2) (주어진 식)= {(2x-3)-(-2x+3)}dx = (4x-6)dx= 2xÛ`-6x =(8-12)-(2+6)=-12 [ ]2_! = {(2xÛ`+6x)-(2xÛ`-6x-2)}dx :!2` = (12x+2)dx= 6xÛ`+2x =(24+4)-(6+2)=20 [ ]2! :_2! :_2! :!2` :!2` :!2` :@3` :@3` :@3` = 4xÛ`dx= xÜ` =36- ;;£3ª;;=;;¦3¤;; ;3$; [ ]3@ (5) (주어진 식) = (xÜ`+3xÛ`+3x+1)dx- (xÜ`-3xÛ`+3x-1)dx = (xÜ`+3xÛ`+3x+1-xÜ`+3xÛ`-3x+1)dx :_1@ :_1@ :_1@ :_1@ = (6xÛ`+2)dx= 2xÜ`+2x =(2+2)-(-16-4)=24 [ ]1_@ (6) (주어진 식)= (x+3)Û`dx+ (x-3)Û`dx = {(x+3)Û`+(x-3)Û`}dx :_0! :_0! :_0! = (2xÛ`+18)dx= xÜ`+18x ;3@; [ ]0_! :_0! =- - { ;3@; -18 = } ;;°3¤;; (7) (주어진 식)= xÜ` x+1 dx+ 1 x+1 dx :_0! { xÜ` x+1 = + :_0! 1 x+1 } dx :_0! (x+1)(xÛ`-x+1) x+1 = dx :_0! :_0! =- = (xÛ`-x+1)dx= xÜ`- xÛ`+x ;3!; ;2!; - { ;3!; - ;2!; -1 = } ;;Á6Á;; [ ]0_! Ⅲ. 적분 51 48-61 수학2-3단원해설-ok.indd 51 2018-09-28 오후 12:52:00 ] ] ] ] ] 028 답 ;2#; (1) 40 (2) (3) 16 (4) 3 (5) 4 (6) (7) 24 :£2£: 030 답 6 (1) (주어진 식)= (3xÛ`+1)dx= xÜ`+x :_3@ =(27+3)-(-8-2)=40 [ ]3_@ (2) (주어진 식)= (xÛ`+3x+1)dx = xÜ`+ xÛ`+x ;2#; = + +1 - {;3!; ;2#; } +6-2 = } ;2#; ]1_@ - { ;3*; (3) (주어진 식)= (xÜ`+3xÛ`)dx+ (xÜ`+3xÛ`)dx = (xÜ`+3xÛ`)dx :!2` = xÝ`+xÜ` =(4+8)-(4-8)=16 ]2_@ (4) (주어진 식)= (x-1)Û`dx+ (x-1)Û`dx :_1@ ;3!; [ :_1@ :_2@ ;4!; [ :)1` :)3` ;3!; [ = (x-1)Û`dx= (xÛ`-2x+1)dx :!3` :)3` = xÜ`-xÛ`+x =9-9+3=3 ]3) :!2` :!3` ;4!; [ =- (xÜ`-3xÛ`+1)dx :@3` =- xÝ`-xÜ`+x =- [{:¥4Á: -27+3 - -1+1 =4 {;4!; }] ]3! } (6) (주어진 식)= (3xÛ`-x+3)dx (7) (주어진 식)= (3xÛ`-1)dx- (3xÛ`-1)dx :_2! xÜ`- = xÛ`+3x ;2!; [ =(8-2+6)- ]2_! -1- { -3 = } ;;£2£;; ;2!; = (3xÛ`-1)dx+ (3xÛ`-1)dx :_2# :_2# :_1# :!2` :@1` xÜ`-x = (3xÛ`-1)dx= =(1-1)-(-27+3)=24 [ ]1_# f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx :_3#` :_0#` :)3`` = (3xÛ`+4x+1)dx+ (-2x+1)dx :_0# xÜ`+2xÛ`+x = :)3` -xÛ`+x + [ =-(-27+18-3)+(-9+3)=6 ]0_# [ ]3) 031 답 (1) 4 (2) (3) :£6Á: :¢2£: (1) |2-x|= 2-x (xÉ2) [ -2+x (x¾2) 이므로 |2-x|dx= (2-x)dx+ (-2+x)dx :)4` = 2x- xÛ` + ;2!; :@4` -2x+ xÛ` ;2!; :)2` [ =(4-2)+{(-8+8)-(-4+2)}=4 ]2) [ ]4@ (2) xÛ`-x-2=0, 즉 (x+1)(x-2)=0에서 x=-1 또는 x=2이므로 xÛ`-x-2 (xÉ-1 또는 x¾2) |xÛ`-x-2|= [ -xÛ`+x+2 (-1ÉxÉ2) :)3` = :)2` - = ;3!; ;3*; [ { (-xÛ`+x+2)dx+ (xÛ`-x-2)dx xÜ`+ xÛ`+2x ;2!; xÜ`- xÛ`-2x ;3!; ;2!; :@3` + = - +2+4 + } [{ ]2) 9- [ -6 ;2(; - } {;3*; ]3@ -2-4 = }] ;;£6Á;; (3) x|5-x|= -xÛ`+5x (xÉ5) [ xÛ`-5x (x¾5) 이므로 x|5-x|dx (-xÛ`+5x)dx+ (xÛ`-5x)dx xÜ`+ xÛ` + ;3!; ;2%; xÜ`- xÛ` ;2%; :%6` ;3!; = - + [{ ;:!3@:%; ;:!2@:%;} - { ;3!; + ;2%;}] ]5! [ - ]6% :!6` = :!5` - = [ = ;;¢2£;; + (72-90)- [ - {;:!3@:%; ;:!2@:%;}] (5) (주어진 식)=- (xÜ`-3xÛ`+1)dx- (xÜ`-3xÛ`+1)dx ∴ |xÛ`-x-2|dx 029 답 :ª2¦: 52 정답 및 해설 f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx :_2#` :_0#` :)2`` (-x+1)dx+ = (2x+1)dx 032 답 ;3$; (1) (2) 0 (3) 2 (4) 48 (1) (xÛ`-1)dx=2 (xÛ`-1)dx :_0# - = ;2!; [ =- xÛ`+x + :)2` xÛ`+x - { ;2(; -3 } ]0_# [ ]2) +(4+2)= ;;ª2¦;; :)2` ;3!; =2 xÜ`-x =2 -2 = } ;3$; {;3*; (2) [ (xÜ`+x)dx=0 ]2) :_2@ :_5% 48-61 수학2-3단원해설-ok.indd 52 2018-09-28 오후 12:52:01 정답 및 해설 (xà`-4xÞ`+2xÜ`+x)dx+ (3xÛ`-1)dx :)1`` 로 놓으면 f(x)=-3xÛ`+kx-k =0+2 (3xÛ`-1)dx=2 =2(27-3)=48 f(t)=-3tÛ`+kt-k를 ㉠의 좌변에 대입하면 033 답 (1) f(x)=2x-4 (2) (3) f(x)=xÛ`-6x+9 ;4%; (4) (5) -3 :¢6»: (3) (xÜ`-3xÛ`+x+2)dx :_1! = (xÜ`+x)dx+ (-3xÛ`+2)dx :_1! =0+2 :_1! (-3xÛ`+2)dx=2 -xÜ`+2x :)1` =2(-1+2)=2 [ ]1) (4) (xà`-4xÞ`+2xÜ`+3xÛ`+x-1)dx :_3# = :_3# :)3` :_3# xÜ`-x [ ]3) (1) f(t)dt=k ( k는 상수) yy ㉠ :)2` 로 놓으면 f(x)=2x+k f(t)=2t+k를 ㉠의 좌변에 대입하면 (2t+k)dt= tÛ`+kt =4+2k :)2` 즉 4+2k=k이므로 k=-4 ]2) [ ∴ f(x)=2x-4 (2) f(t)dt=k ( k는 상수) yy ㉠ :)1` 로 놓으면 f(x)=2x-3k f(t)=2t-3k를 ㉠의 좌변에 대입하면 :)1` 즉 1-3k=k이므로 k= [ ]1) ;4!; 따라서 f(x)=2x- 이므로 f(1)= ;4#; ;4%; (3) f(t)dt=k ( k는 상수) yy ㉠ :)3` 로 놓으면 f(x)=xÛ`-6x+k f(t)=tÛ`-6t+k를 ㉠의 좌변에 대입하면 (tÛ`-6t+k)dt= tÜ`-3tÛ`+kt =-18+3k ;3!; :)3` 즉 -18+3k=k이므로 k=9 ∴ f(x)=xÛ`-6x+9 ]3) [ (4) tf(t)dt=k ( k는 상수) yy ㉠ :)1` 로 놓으면 f(x)=3xÛ`-2x+k f(t)=3tÛ`-2t+k를 ㉠의 좌변에 대입하면 따라서 f(x)=3xÛ`-2x+ 이므로 ;6!; f(2)=12-4+ = ;6!; ;;¢6»;; (5) f(x)=-3xÛ`+ (x-1)f(t)dt :)1` =-3xÛ`+x f(t)dt- f(t)dt f(t)dt=k ( k는 상수) yy ㉠ :)1`` :)1`` (-3tÛ`+kt-k)dt= -tÜ`+ tÛ`-kt =-1- ;2K; ;2K; :)1` 즉 -1- ;2K; =k이므로 k=- ;3@; [ ]1) 따라서 f(x)=-3xÛ`- x+ 이므로 ;3@; ;3@; f(1)=-3- + =-3 ;3@; ;3@; 034 답 7 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=4xÜ`-2ax+3 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 0=1-a+3 ∴ a=4 따라서 f(x)=4xÜ`-8x+3이므로 f(-1)=-4+8+3=7 035 답 4 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 주어진 등식의 양변에 x=3을 대입하면 0=27-3a-3 ∴ a=8 따라서 f(x)=3xÛ`-8이므로 f(2)=12-8=4 036 -10 답 (x-t)f(t)dt=xÝ`+2xÜ`+axÛ`+2에서 :!/` x f(t)dt- tf(t)dt=xÝ`+2xÜ`+axÛ`+2 :!/` :!/` 양변을 x에 대하여 미분하면 f(t)dt+xf(x)-xf(x)=4xÜ`+6xÛ`+2ax f(t)dt=4xÜ`+6xÛ`+2ax :!/` ∴ :!/` 양변을 다시 x에 대하여 미분하면 f(x)=12xÛ`+12x+2a (2t-3k)dt= tÛ`-3kt =1-3k f(x)=3xÛ`-a t(3tÛ`-2t+k)dt= (3tÜ`-2tÛ`+kt)dt 한편 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 :)1` :)1` ;4#; [ = tÝ`- tÜ`+ ktÛ` ;3@; ;2!; = + k ;2!; ;1Á2; ]1) 즉 + ;1Á2; ;2!; k=k이므로 k= ;6!; 0=1+2+a+2 ∴ a=-5 따라서 f(x)=12xÛ`+12x-10이므로 f(-1)=12-12-10=-10 Ⅲ. 적분 53 48-61 수학2-3단원해설-ok.indd 53 2018-09-28 오후 12:52:01 ] ] 037 극댓값 : 27, 극솟값 : -5 답 (2) f(t)=tÜ`-4tÛ`+t-1로 놓고, f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 038 최댓값 : 답 ;6%; , 최솟값 : - ;6!; 040 ③ 답 f(x)= (3tÛ`+6t-9)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=3xÛ`+6x-9=3(xÛ`+2x-3)=3(x+3)(x-1) :)/` f '(x)=0에서 x=-3 또는 x=1 함수 f(x)의 증감표는 아래와 같다. x f '(x) f(x) y + ↗ -3 0 극대 y - ↘ 1 0 극소 y + ↗ 따라서 f(x)는 x=-3에서 극대, x=1에서 극소이고 f(-3)= `(3tÛ`+6t-9)dt= tÜ`+3tÛ`-9t `=27, f(1)= :)-`3 (3tÛ`+6t-9)dt= [ tÜ`+3tÛ`-9t ]-)3 =-5 이므로 극댓값은 27, 극솟값은 -5이다. [ ]1) :)1` x+1 :? f(x)= (tÛ`-t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)={(x+1)Û`-(x+1)}-(xÛ`-x)=2x f '(x)=0에서 x=0 -1ÉxÉ1에서 함수 f(x)의 증감표는 다음과 같다. -1 y - ↘ 0 0 극소 y + ↗ 1 x f '(x) f(x) 이때 f(-1)= (tÛ`-t)dt= tÜ`- tÛ` ;2!; ;3!; `= , ;6%; f(0)= :_0! (tÛ`-t)dt= [ tÜ`- ;3!; tÛ` ;2!; ]0_! =- , ;6!; :)1` f(1)= (tÛ`-t)dt= tÜ`- tÛ` ;2!; ;3!; = ;6%; :!2` 이므로 최댓값은 , 최솟값은 - 이다. ;6%; ]1) ]2! ;6!; [ [ 039 답 (1) 208 (2) -3 (3) 11 (1) f(t)=tÜ`-tÛ`+t로 놓고, f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면 주어진 식은 1 x-2 lim x 2 Ú xÛ` f(t)dt=lim 2 Ú x 1 x-2 xÛ` F(t) :$ [ ]$ F(xÛ`)-F(4) x-2 F(xÛ`)-F(4) xÛ`-4 =lim x 2 Ú =lim x 2 Ú ´ (x+2) 이때 xÛ`=a로 놓으면 x 2일 때 a 4이므로 (주어진 식)=lim 4 Ú a #Ú F(a)-F(4) a-4 #Ú ´ 4=4F'(4) =4f(4)=4´52 =208 54 정답 및 해설 (3) f(x)=3xÛ`-x+1로 놓고, f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 하면 주어진 식은 1+x 1 x lim x 0 Ú f(t)dt=lim 0 Ú x 1 x 1+x F(t) [ ]! F(1+x)-F(1) x =lim x 0 Ú =F'(1)=f(1)=-3 하면 주어진 식은 2+h 1 h lim h 0 Ú f(x)dx=lim 0 Ú h 1 h 2+h F(x) :! :@ [ ]@ F(2+h)-F(2) h =lim h 0 Ú =F'(2)=f(2) =12-2+1=11 (2x-1)dx= xÛ`-x =kÛ`-k :)k` [ 즉 kÛ`-k=6이므로 ]k) kÛ`-k-6=0, (k+2)(k-3)=0 ∴ k=3 (∵ k>0) `(x+2)f(x)dx= `(x+2)(xÛ`-2x+4)dx :_-!3 :_-!3 = `(xÜ`+8)dx= xÝ`+8x ;4!; [ -8 ]-_3! = {:¥4Á: -24 - } {;4!; =4 } 041 답 4 :_-!3 042 답 ;2!; (2x+k)Û`dx- (2x-k)Û`dx :!3` = :!3` {(2x+k)Û`-(2x-k)Û`}dx :!3` = 8kxdx= 4kxÛ` =32k :!3` ]3! 즉 32k=16이므로 k= [ ;2!; 043 답 7 f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx :_2!` :!2` :_1!` = [ f(x)dx+ f(x)dx + f(x)dx :_3!` :#1` = f(x)dx- f(x)dx + :!2` f(x)dx \] :!2` :_3!` =10-5+2=7 :!3` 48-61 수학2-3단원해설-ok.indd 54 2018-09-28 오후 12:52:02 정답 및 해설] ] \ \ ! ! 044 답 5200 :)1`0` 045 -1 답 f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dx+y+ f(x)dx :)1` = f(x)dx :!2` :@3` :(1`0` :)1`0` f(x)=2xÜ`+4x이므로 (2xÜ`+4x)dx= xÝ`+2xÛ` =5000+200=5200 ;2!; [ ]1)0` 6 (xÉ0) f(x)= [ -3x+6 (x¾0) 이므로 xf(x)= 6x (xÉ0) [ -3xÛ`+6x (x¾0) ∴ xf(x)dx= xf(x)dx+ xf(x)dx :_1! :_0! = 6xdx+ :)1` (-3xÛ`+6x)dx :_0! 3xÛ` = :)1` -xÜ`+3xÛ` + [ ]0_! [ =-3+(-1+3)=-1 ]1) 046 ① 답 x-3 (x¾3) |x-3|= [ -x+3 (xÉ3) 이므로 |x-3|dx= (-x+3)dx+ (x-3)dx :)a` :)3` - = ;2!; xÛ`+3x + xÛ`-3x :#a` ;2!; = - +9 + ;2(; } [{;2!; ]3) ]a# [ aÛ`-3a } - {;2(; -9 }] [ { = aÛ`-3a+9 ;2!; 즉 aÛ`-3a+9=5이므로 aÛ`-6a+8=0, (a-2)(a-4)=0 ;2!; ∴ a=4 (∵ a>3) 047 답 6 g(x)는 기함수이므로 f(-x)=f(x)에서 f(x)는 우함수이고, g(-x)=-g(x)에서 { f(x)+g(x)}dx= ` f(x)dx+ `g(x)dx =2 f(x)dx=2´3=6 :_2@ :_2@ :)2` :_2@ 048 답 54 f '(t)dt=k ( k는 상수) yy ㉠ :!3` 로 놓으면 f(x)=2xÜ`+4x+k ∴ f '(x)=6xÛ`+4 f '(t)=6tÛ`+4를 ㉠의 좌변에 대입하면 (6tÛ`+4)dt= 2tÜ`+4t =(54+12)-(2+4)=60 :!3` [ ]3! 즉 k=60이므로 f(x)=2xÜ`+4x+60 ∴ f(-1)=-2-4+60=54 f(t)dt=xÛ`+3x-10의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(t)dt=xÛ`+3x-10의 양변에 x=a를 대입하면 :A/` 0=aÛ`+3a-10, (a+5)(a-2)=0 049 답 7 :A/` f(x)=2x+3 ∴ a=2 (∵ a>0) ∴ f(a)=f(2)=7 050 -1 답 f(x)= (tÜ`-4t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=xÜ`-4x=x(x+2)(x-2) :!/` f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 또는 x=2 함수 f(x)의 증감표는 아래와 같다. x y f '(x) - f(x) ↘ -2 0 극소 y + ↗ 0 0 극대 y - ↘ 2 0 극소 y + ↗ 따라서 f(x)는 x=0에서 극대, x=-2, x=2에서 극소이고 f(0)= `(tÜ`-4t)dt= tÝ`-2tÛ` `= ;4&; :!0 f(-2)= `(tÜ`-4t)dt= ]0! tÝ`-2tÛ` ;4!; `=- ;4(; f(2)= :!-` 2 (tÜ`-4t)dt= [ tÝ`-2tÛ` ]-!2 =- 이므로 ;4(; ;4!; [ ;4!; :!2` 극댓값은 [ , 극솟값은 - ;4&; ]2! 이다. ;4(; 따라서 a= , b=- 이므로 2(a+b)=-1 ;4&; ;4(; 051 답 3 함수 f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 하면 f(x)dx :!1_Ñ#Hh`` 1 h F(x) [ ]1!Ñ_#Hh F(1+h)-F(1-3h) h F(1+h)-F(1)+F(1)-F(1-3h) h F(1+h)-F(1) h +3 lim h 0 Ú F(1-3h)-F(1) -3h =F'(1)+3F'(1)=4F'(1)=4f(1)=-4+4a 즉 -4+4a=8이므로 4a=12 1 h lim h 0 Ú =lim h 0 Ú =lim h 0 Ú =lim h 0 Ú =lim h 0 Ú ∴ a=3 Ⅲ. 적분 55 48-61 수학2-3단원해설-ok.indd 55 2018-09-28 오후 12:52:03 ] [ [ [ 3 정적분의 활용 052 답 (1) (2) ;2(; ;2!; (1) 곡선 y=xÛ`-x-2와 x축의 교점의 y y=xÛ -x-2 115쪽~123쪽 구하는 넓이를 S라 하면 S=- `(-xÛ`-x+2)dx+ (-xÛ`-x+2)dx xÜ`- xÛ`+2x + - xÜ`- xÛ`+2x ;3!; ;2!; ;3!; ;2!; :_-#2 - =- [ = ;;Á6Á;;+;;Á3¼;;=;;£6Á;; :_0@ ]-_2# [ ]0_@ (3) 곡선 y=-2xÛ`+x+1과 x축의 -1 O 2 x 교점의 x좌표는 -2xÛ`+x+1=0 -2 에서 (2x+1)(x-1)=0 -1` 1 y 1 x O - 1 2 y=-2xÛ +x+1 ∴ x=- 또는 x=1 ;2!; 따라서 곡선 y=-2xÛ`+x+1과 x축으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림의 색칠한 부분과 같다. x좌표는 xÛ`-x-2=0에서 (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 -1ÉxÉ2일 때 yÉ0이므로 구하는 넓이를 S라 하면 S= (-xÛ`+x+2)dx :_2! - = [ xÜ`+ xÛ`+2x ;3!; ;2!; = ;2(; (2) 곡선 y=xÜ`-3xÛ`+2x와 x축의 y ]2_! 교점의 x좌표는 xÜ`-3xÛ`+2x=0에서 x(x-1)(x-2)=0 ∴ x=0 또는 x=1 또는 x=2 0ÉxÉ1일 때 y¾0이고, 1ÉxÉ2일 때 yÉ0이므로 구하는 넓이를 S라 하면 y=xÜ -3xÛ +2x -1ÉxÉ- 일 때 yÉ0, - ÉxÉ0일 때 y¾0이므로 ;2!; ;2!; O 1 2 x 구하는 넓이를 S라 하면 S=- ;2!;(-2xÛ`+x+1)dx+ (-2xÛ`+x+1)dx ;2!; :_0` - xÛ`+x xÜ`+ ;3@; ;2!; ;2!; ]0_` ]-_! [ =- xÜ`+ xÛ`+x ;2!;+ ;3@; ;2!; :_-!` - [ + = ;2!4!; = ;2¦4; ;4#; S= (xÜ`-3xÛ`+2x)dx- (xÜ`-3xÛ`+2x)dx = xÝ`-xÜ`+xÛ` - :)1` ;4!; [ :!2` xÝ`-xÜ`+xÛ` ;4!; = ;2!; ]1) [ ]2! 053 답 (1) (2) (3) :£6Á: ;4#; :ª3ª: (1) 곡선 y=xÛ`-4x와 x축의 교점의 y y=xÛ -4x x좌표는 xÛ`-4x=0에서 x(x-4)=0 ∴ x=0 또는 x=4 따라서 곡선 y=xÛ`-4x와 x축으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림의 색칠한 부분과 같다. 1 3 O 4 x 1ÉxÉ3일 때 yÉ0이므로 구하는 넓이를 S라 하면 S=- (xÛ`-4x)dx=- xÜ`-2xÛ` = (2) 곡선 y=-xÛ`-x+2와 x축의 :!3` 교점의 x좌표는 -xÛ`-x+2=0 ;3!; [ :ª3ª: ]3! y=-xÛ -x+2 y 2 -3 -2 O 1 x 에서 (x+2)(x-1)=0 ∴ x=-2 또는 x=1 따라서 곡선 y=-xÛ`-x+2와 x축으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림의 색칠한 부분과 같다. -3ÉxÉ-2일 때 yÉ0, -2ÉxÉ0일 때 y¾0이므로 56 정답 및 해설 054 답 (1) (2) ;:!6@:%; ;2(; (1) 곡선 y=-xÛ`+6x와 직선 y=x의 y y=x O 5 6 x y=-xÛ +6x y y=xÛ -1 -2 O x 1 y=-x+1 교점의 x좌표는 -xÛ`+6x=x에서 xÛ`-5x=0, x(x-5)=0 ∴ x=0 또는 x=5 따라서 구하는 넓이를 S라 하면 S= {(-xÛ`+6x)-x}dx = (-xÛ`+5x)dx :)5` :)5` - = [ xÜ`+ xÛ` = ;3!; ;2%; ;:!6@:%; (2) 곡선 y=xÛ`-1과 직선 y=-x+1 ]5) 의 교점의 x좌표는 xÛ`-1=-x+1에서 xÛ`+x-2=0 (x+2)(x-1)=0 ∴ x=-2 또는 x=1 따라서 구하는 넓이를 S라 하면 S= {(-x+1)-(xÛ`-1)}dx :_1@ :_1@ - = [ = (-xÛ`-x+2)dx xÜ`- xÛ`+2x ;3!; ;2!; = ;2(; ]1_@ 48-61 수학2-3단원해설-ok.indd 56 2018-09-28 오후 12:52:04 정답 및 해설 055 답 (1) (2) 4 :¤3¢: (1) 두 곡선 y=xÛ`-4x, y=-xÛ`+6의 교점의 x좌표는 xÛ`-4x=-xÛ`+6 y=xÛ -4x y 6 O 3 -1 x y=-xÛ +6 에서 2xÛ`-4x-6=0 2(x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 따라서 구하는 넓이를 S라 하면 S= {(-xÛ`+6)-(xÛ`-4x)}dx = (-2xÛ`+4x+6)dx :_3! :_3! - = ;3@; [ xÜ`+2xÛ`+6x = ;;¤3¢;; ]3_! (2) 두 곡선 y=-2xÛ`+x, y=xÛ`-5x의 교점의 x좌표는 -2xÛ`+x=xÛ`-5x y O y=xÛ -5x 2 x 에서 3xÛ`-6x=0 3x(x-2)=0 ∴ x=0 또는 x=2 따라서 구하는 넓이를 S라 하면 S= {(-2xÛ`+x)-(xÛ`-5x)}dx :)2` :)2` = (-3xÛ`+6x)dx= -xÜ`+3xÛ` =4 [ ]2) y=-2xÛ +x 056 답 (1) (2) (3) 8 ;1#2&; ;1#2&; (1) 두 곡선 y=xÛ`, y=xÜ`-2x의 y=xÛ 교점의 x좌표는 xÜ`-2x=xÛ`에서 xÜ`-xÛ`-2x=0 x(x+1)(x-2)=0 y 4 1 ∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=2 따라서 구하는 넓이를 S라 하면 y=xÜ -2x S= {(xÜ`-2x)-xÛ`}dx+ {xÛ`-(xÜ`-2x)}dx :_0! :_0! ;4!; [ = (xÜ`-xÛ`-2x)dx+ :)2` (-xÜ`+xÛ`+2x)dx = xÝ`- xÜ`-xÛ` + ;3!; xÝ`+ xÜ`+xÛ` ;4!; ;3!; :)2` - ]0_! [ ]2) = + = ;3*; ;1#2&; ;1°2; (2) 두 곡선 y=xÜ`, y=-xÛ`+2x의 교점의 x좌표는 xÜ`=-xÛ`+2x에서 y y=xÜ O-2 2 1 1 x xÜ`+xÛ`-2x=0 x(x+2)(x-1)=0 ∴ x=-2 또는 x=0 또는 x=1 따라서 구하는 넓이를 S라 하면 -8 y=-xÛ +2x S= {xÜ`-(-xÛ`+2x)}dx+ {(-xÛ`+2x)-xÜ`}dx = (xÜ`+xÛ`-2x)dx+ (-xÜ`-xÛ`+2x)dx :)1` = xÝ`+ xÜ`-xÛ` + ;3!; xÝ`- xÜ`+xÛ` ;4!; ;3!; :)1` - ]0_@ [ ]1) = + = ;1°2; ;1#2&; :_0@ :_0@ ;4!; [ ;3*; (3) 두 곡선 y=xÛ`-2x, y=-xÜ`+xÛ`+2x y y=xÛ -2x 의 교점의 x좌표는 xÛ`-2x=-xÜ`+xÛ`+2x에서 xÜ`-4x=0 x(x+2)(x-2)=0 ∴ x=-2 또는 x=0 또는 x=2 따라서 구하는 넓이를 S라 하면 8 -2 O 2 x y=-xÜ +xÛ +2x S= {(xÛ`-2x)-(-xÜ`+xÛ`+2x)}dx :_0@ + {(-xÜ`+xÛ`+2x)-(xÛ`-2x)}dx = (xÜ`-4x)dx+ :)2` (-xÜ`+4x)dx :_0@ ;4!; [ = xÝ`-2xÛ` + xÝ`+2xÛ` =4+4=8 ]0_@ [ ]2) :)2` - ;4!; 057 답 ;3$; f(x)=xÜ`-xÛ`+2로 놓으면 y=xÜ -xÛ +2 f '(x)=3xÛ`-2x이므로 곡선 위의 점 (1, 2)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=1 y 2 -1 O 1 x -1 O 2 x 따라서 곡선 y=xÜ`-xÛ`+2 위의 점 (1, 2)에서의 접선의 방정식은 y=x+1 y-2=x-1 ∴ y=x+1 곡선 y=xÜ`-xÛ`+2와 직선 y=x+1의 교점의 x좌표는 xÜ`-xÛ`+2=x+1에서 xÜ`-xÛ`-x+1=0 (x+1)(x-1)Û`=0 ∴ x=-1 또는 x=1 따라서 구하는 넓이를 S라 하면 S= {(xÜ`-xÛ`+2)-(x+1)}dx = (xÜ`-xÛ`-x+1)dx :_1! :_1! =2 (-xÛ`+1)dx :)1` - =2 xÜ`+x = ;3!; ;3$; [ ]1) Ⅲ. 적분 57 48-61 수학2-3단원해설-ok.indd 57 2018-09-28 오후 12:52:05 058 답 4 061 -2 답 곡선 y=x(x-4)(x-2a)와 x축의 교점의 x좌표는 색칠한 두 부분의 넓이가 같으므로 x(x-4)(x-2a)=0에서 x=0 또는 x=4 또는 x=2a 오른쪽 그림에서 색칠한 두 부분의 y y=x(x-4)(x-2a) 넓이가 서로 같으므로 4 2a x x(x-4)(x-2a)dx=0 :)2`a` {xÜ`-(2a+4)xÛ`+8ax}dx=0 :)2`a` ;4!; xÝ`- 2a+4 3 [ 4aÝ`- 8(2a+4)aÜ` 3 ∴ a=4 (∵ a>2) xÜ`+4axÛ` =0 ])2`a` +16aÜ`=0, 4aÜ`(a-4)=0 059 답 1 곡선 y=xÜ`-(a-1)xÛ`-ax와 x축의 교점의 x좌표는 xÜ`-(a-1)xÛ`-ax=0에서 x(x+1)(x-a)=0 ∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=a 오른쪽 그림에서 색칠한 두 부분의 넓이가 서로 같으므로 y O -1 {xÜ`-(a-1)xÛ`-ax}dx a x y=xÜ -(a-1)xÛ -ax :_a! =0 [ - xÝ`- ;4!; a-1 3 a 2 xÜ`- xÛ` =0 aÝ`- aÜ`+ a+ =0, aÝ`+2aÜ`-2a-1=0 ;1Á2; ;6!; ;6!; ]a_! ;1Á2; (a+1)Ü`(a-1)=0 ∴ a=1 (∵ a>0) 060 답 1 곡선 y=x(x+2)와 x축의 교점의 y y=x(x+2) x좌표는 x(x+2)=0 ∴ x=-2 또는 x=0 {-xÛ`(x-4)-ax(x-4)}dx=0 :)4` {-xÜ`+(4-a)xÛ`+4ax}dx=0 :)4` - xÝ`+ ;4!; 4-a 3 [ ∴ a=-2 xÜ`+2axÛ` =0, a+ =0 :¤3¢: :£3ª: ]4) 062 답 5-5 Ü ' 2` 곡선 y=-xÛ`+5x와 직선 y=mx의 교점의 x좌표는 -xÛ`+5x=mx에서 xÛ`+(m-5)x=0, x(x+m-5)=0 ∴ x=0 또는 x=5-m 따라서 오른쪽 그림의 색칠한 부분의 y y=-xÛ +5x 넓이는 5-m :) = 5-m :) - = [ {(-xÛ`+5x)-mx}dx {-xÛ`+(5-m)x}dx 5-m O 5 x xÜ`+ ;3!; 5-m 2 xÛ` 5-m = (5-m)Ü` 6 y=mx 한편 곡선 y=-xÛ`+5x와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 ]) (-xÛ`+5x)dx= - xÜ`+ xÛ` = ;3!; ;2%; ;:!6@:%; :)5` 이므로 (5-m)Ü` 6 [ =2 ´ ;:!6@:%; ]5) , (5-m)Ü`=250 5-m=5 Ü ' 2` ∴ m=5-5 Ü ' 2` 063 답 ;6!; 두 곡선 y=f(x), y=g(x)는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 교점의 x좌표는 곡선 y=f(x)와 직선 y=x의 교점의 x좌표와 같다. xÜ`-2xÛ`+2x=x에서 xÜ`-2xÛ`+x=0, x(x-1)Û`=0 ∴ x=0 또는 x=1 y 1 y=g(x) y=x y=f(x) 곡선과 x축 및 직선 x=k로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 서로 같으므로 -2 O k x x=k 이때 두 곡선 y=f(x), y=g(x)로 둘러싸인 도형의 넓이는 O 1 x 곡선 y=f(x)와 직선 y=x로 둘러싸인 도형의 넓이의 x(x+2)dx=0 :_k@ :_k@ ;3!; (xÛ`+2x)dx=0, xÜ`+xÛ` =0 ;3!; kÜ`+kÛ`- ;3$; ]k_@ =0, kÜ`+3kÛ`-4=0 [ (k+2)Û`(k-1)=0 ∴ k=1 (∵ k>0) 58 정답 및 해설 2배이므로 구하는 넓이를 S라 하면 S=2 {(xÜ`-2xÛ`+2x)-x}dx =2 (xÜ`-2xÛ`+x)dx =2 xÝ`- xÜ`+ xÛ` =2´ ;3@; ;2!; = ;1Á2; ;6!; ]1) :)1` :)1` ;4!; [ 48-61 수학2-3단원해설-ok.indd 58 2018-09-28 오후 12:52:06 정답 및 해설] ;2(;|tÛ`-3t|dt= (-tÛ`+3t)dt+ ;2(;(tÛ`-3t)dt 곡선 y=-xÛ`+ax와 x축의 교점의 y y=-xÛ +ax 064 답 (1) - (2) 초 (3) 9 ;2(; ;2(; 068 답 13 (1) 점 P의 운동 방향이 바뀔 때 v(t)=0이므로 tÛ`-3t=0 곡선 y=-xÛ`+2x와 x축의 교점의 y x좌표는 -xÛ`+2x=0에서 x(x-2)=0 t=0에서 t=a까지 점 P의 위치의 변화량이 0이므로 곡선 y=xÛ`-3x와 x축의 교점의 x좌표는 xÛ`-3x=0에서 y=-xÛ +2x SÁ 2 x y=xÛ -3x 3 x Sª O y O ∴ x=0 또는 x=2 ∴ SÁ= (-xÛ`+2x)dx :)2` - = ;3!; [ xÜ`+xÛ` = ;3$; ]2) x(x-3)=0 ∴ x=0 또는 x=3 ∴ Sª= (-xÛ`+3x)dx :)3` - = xÜ`+ xÛ` = ;3!; ;2#; ;2(; [ ∴ 3SÁ+2Sª=3 ´ ]3) +2 ´ ;3$; =13 ;2(; 069 ③ 답 x좌표는 -xÛ`+ax=0에서 -x(x-a)=0 ∴ x=0 또는 x=a 구하는 넓이를 S라 하면 S= (-xÛ`+ax)dx= - xÜ`+ xÛ` = ;3!; ;2A; [ ]a) aÜ` 6 = 이므로 aÜ`=27 ;2(; :)a` 따라서 aÜ` 6 ∴ a=3 O a x 070 답 :¥2Á: y=x(x+3)(x-3)=xÜ`-9x 따라서 구하는 넓이는 |xÜ`-9x|dx -3 3 x y=xÜ -9x y O :_3# = :_0# [ (xÜ`-9x)dx+ (-xÜ`+9x)dx = xÝ`- xÛ` ;2(; ;4!; xÝ`+ xÛ` = ;4!; ;2(; ;;¥2Á;; :)3` - + ]0_# [ ]3) t(t-3)=0 ∴ t=3 (∵ t>0) 따라서 t=3에서의 점 P의 위치는 0+ (tÛ`-3t)dt= tÜ`- tÛ` ;2#; ;3!; =- ;2(; :)3` [ ]3) (2) 점 P가 원점으로 다시 돌아오는 데 걸리는 시간을 a라 하면 (tÛ`-3t)dt=0, tÜ`- tÛ` ;2#; ;3!; =0 :)a` ;3!; aÜ`- aÛ`=0, aÛ` a- {;3!; ;2#;} [ ]a) =0 ;2#; ;2(; ∴ a= (∵ a>0) (3) 0ÉtÉ3에서 v(t)É0, 3ÉtÉ 에서 v(t)¾0이므로 ;2(; t=0에서 t= 까지 ;2(; 점 P가 움직인 거리는 :) :)3` - = :# tÜ`+ tÛ` ;2#; ;3!; + tÜ`- tÛ` ;2#; ;3!; [ = + =9 ;2(; ;2(; ]3) [ ;2(; ]# 065 답 128`m 열차가 정지할 때 v(t)=0이므로 32-4t=0 ∴ t=8 따라서 t=0에서 t=8까지 열차가 달린 거리는 (32-4t)dt= 32t-2tÛ` =128(m) :)8` [ ]8) 066 답 25`m v(t)=20-10t=0에서 t=2 따라서 t=2일 때 물체가 최고 지점에 도달하게 되므로 구하는 높이는 x(2)=5+ (20-10t)dt :)2` 20t-5tÛ` =5+ =25(m) [ ]2) 0+ v(t)dt :)1`0` = v(t)dt+ v(t)dt :)4` =△OAB-BCDE :$1`0` = ´ 4 ´ 3- ´ (2+6) ´ 2 ;2!; ;2!; =-2 067 -2 답 071 답 81 A v(t) 3 O -2 B 6 8 10 2 4 E t C D 곡선 y=xÜ`-8x와 직선 y=x의 교점의 y y=xÜ -8x x좌표는 xÜ`-8x=x에서 xÜ`-9x=0, x(x+3)(x-3)=0 ∴ x=-3 또는 x=0 또는 x=3 -3 y=x O x 3 Ⅲ. 적분 59 48-61 수학2-3단원해설-ok.indd 59 2018-09-28 오후 12:52:07 ] 따라서 구하는 넓이는 {(xÜ`-8x)-x}dx+ {x-(xÜ`-8x)}dx :_0# = (xÜ`-9x)dx+ :)3` (-xÜ`+9x)dx = xÝ`- xÛ` ;2(; ;4!; xÝ`+ xÛ` = ;4!; ;2(; ;;¥4Á;;+;;¥4Á;;=;;¥2Á;; :)3` - + :_0# [ ∴ 2S=2 ´ ;;¥ ¥2Á;; [ ]0_# =81 ]3) 074 답 ;3!; f(x)=xÛ`+3x+1에서 f '(x)=2x+3이므로 곡선 위의 점 (-1, -1)에서 그은 접선의 기울기는 f '(-1)=1이고 접선의 방정식은 y=xÛ +3x+1 y y-(-1)=x-(-1) ∴ y=x 따라서 구하는 넓이를 S라 하면 -1 O x S= {(xÛ`+3x+1)-x}dx y=x 072 답 :Á3£: x-3=0에서 x=3이므로 y=x|x-3|= y=x|x-3|의 그래프와 직선 y=x의 교점의 x좌표는 Ú x¾3일 때, xÛ`-3x=x에서 xÛ`-4x=0, x(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ x¾3) Û xÉ3일 때, -xÛ`+3x=x에서 xÛ`-3x (x¾3) [ -xÛ`+3x (xÉ3) y=x|x-3| y y=x = (xÛ`+2x+1)dx xÜ`+xÛ`+x ]0_! :_0! :_0! ;3!; = [ ;3!; = O 32 4 x 075 답 ;3@; xÛ`-2x=0, x(x-2)=0 ∴ x=0 또는 x=2 Ú, Û에서 구하는 넓이는 {(-xÛ`+3x)-x}dx+ {x-(-xÛ`+3x)}dx :)2` :@3` = (-xÛ`+2x)dx+ (xÛ`-2x)dx+ :#4` (-xÛ`+4x)dx 넓이가 같으므로 + {x-(xÛ`-3x)}dx 직선 x=1로 둘러싸인 두 도형의 :)2` - = ;3!; xÜ`+xÛ` + [ ;3$; = + + ;3$; ;3%; ;;Á3£;; ]2) = ;3!; [ :@3` xÜ`-xÛ` + - ;3!; ]3@ [ :#4` xÜ`+2xÛ` ]4# (xÛ`-2x+p)dx=0, xÜ`-xÛ`+px =0 :)1` [ -1+p=0 ∴ p= ;3!; ;3!; ;3@; A`:`B=1`:`2에서 B=2A 곡선 y=xÛ`-2x+p가 직선 x=1에 y y=xÛ -2x+p 대하여 대칭이므로 오른쪽 그림에서 빗금친 도형의 넓이는 A와 같다. 즉 곡선 y=xÛ`-2x+p와 x축, y축 및 A O B x=1 x 076 답 54 곡선 y=xÛ`-3x와 직선 y=ax의 교점의 x좌표는 y=-xÜ +2xÛ xÛ`-3x=ax에서 xÛ`-(a+3)x=0, x(x-a-3)=0 073 ② 답 두 곡선 y=-xÜ`+2xÛ`, y y=-xÛ`+2x의 교점의 x좌표는 -xÜ`+2xÛ`=-xÛ`+2x에서 xÜ`-3xÛ`+2x=0 x(xÛ`-3x+2)=0 x(x-1)(x-2)=0 ∴ x=0 또는 x=1 또는 x=2 따라서 구하는 넓이를 S라 하면 S= {(-xÛ`+2x)-(-xÜ`+2xÛ`)}dx O 1 2 x y=-xÛ +2x + {(-xÜ`+2xÛ`)-(-xÛ`+2x)}dx :)1` :)1` ;4!; [ = (xÜ`-3xÛ`+2x)dx+ (-xÜ`+3xÛ`-2x)dx :!2` = xÝ`-xÜ`+xÛ` + - :!2` xÝ`+xÜ`-xÛ` ;4!; = + ;4!; ;4!; = ;2!; ]1) [ ]2! 60 정답 및 해설 ]1) y O y=xÛ -3x y=ax 3 a+3 x ∴ x=0 또는 x=a+3 따라서 오른쪽 그림의 색칠한 부분의 넓이는 a+3 {ax-(xÛ`-3x)}dx :) = a+3 :) - = [ {-xÛ`+(a+3)x}dx xÜ`+ ;3!; a+3 2 xÛ` a+3 = (a+3)Ü` 6 (-xÛ`+3x)dx= - xÜ`+ xÛ` = ;3!; ;2#; ;2(; :)3` 이므로 (a+3)Ü` 6 [ =2 ´ =9 ;2(; ]3) ∴ (a+3)Ü`=54 이때 곡선 y=xÛ`-3x와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 ]) 48-61 수학2-3단원해설-ok.indd 60 2018-09-28 오후 12:52:08 정답 및 해설] [ 077 답 3 넓이는 오른쪽 그림에서 빗금친 부분의 y=f(x) y=x y 3 1 O y=g(x) 1 3 x x {x-f(x)}dx :!3` = xdx- f(x)dx = xÛ` - =4- = ;2%; ;2#; :!3` ;2%; :!3` ;2!; [ ]3! 이때 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)로 둘러싸인 도형의 넓이는 빗금친 부분의 넓이의 2배이므로 구하는 넓이는 2´ =3 ;2#; 078 ⑤ 답 t=4에서 점 P의 위치는 0+ v(t)dt= (-tÛ`+2t)dt+ (tÛ`-5t+6)dt :)4` :)2` - = tÜ`+tÛ` + ;3!; :@4` tÜ`- ;3!; ;2%; tÛ`+6t [ ;3$; = + =2 ;3@; ]2) [ ]4@ SÁ 1 2 3 4 5 Sª t 079 답 2 t=5에서 물체의 위치는 v(t)dt=SÁ-Sª이므로 ´ 2 ´ 1- ´ (1+3) ´ 1 ;2!; :)5` a= ;2!; =-1 v(t) 1 O -1 또, t=0에서 t=5까지 물체가 움직인 거리는 |v(t)|dt=SÁ+Sª이므로 :)5` b= ;2!; ´ 2 ´ 1+ ´ (1+3) ´ 1=3 ;2!; ∴ a+b=(-1)+3=2 48-61 수학2-3단원해설-ok.indd 61 2018-09-28 오후 12:52:08 Ⅲ. 적분 61 MEMO 48-61 수학2-3단원해설-ok.indd 62 2018-09-28 오후 12:52:08 MEMO 48-61 수학2-3단원해설-ok.indd 63 2018-09-28 오후 12:52:08 MEMO 48-61 수학2-3단원해설-ok.indd 64 2018-09-28 오후 12:52:08
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