正 정답 및 해설 Ⅰ 집합과 명제 1 집합의 뜻과 표현 2 집합의 연산 3 명제 10 12 17 Ⅱ 함수 1 함수 2 합성함수와 역함수 3 유리함수 4 무리함수 25 30 37 46 Ⅲ 경우의 수 1 경우의 수 2 순열과 조합 53 59 YBM고등 2학기 빠답-재.indd 1 2017-12-21 오후 3:03:07 022 (1)á,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3} (2)á,{a},{{a,b}} 8쪽~17쪽 (3)á,{1},{3},{9},{1,3},{1,9},{3,9} 023 (1)3 (2)15 (3)7 (4)63 024 (1)4 (2)2 (3)16 (4)4 (5)8 025 (1)4 (2)4 (3)8 (4)8 (5)16 026 (1)16 (2)8 (3)4 027 (1)4 (2)8 (3)16 028 (1)4 (2)8 (3)2 029 (1)8 (2)4 (3)2 030 ④ 031 ③ 033 -3ÉkÉ-2 034 -2 032③ 035 16 빠른 정답 Ⅰ 집합과 명제 1 집합의 뜻과 표현 001 (1)× (2)◯ (3)× (4)◯ (5)◯ (6)× (7)◯ 002 (1)1,2,3,4,5,6 (2)2,3,5,7 (3)1,2,3,4,6,8,12,24 (4)4,8,12,16,… 003 (1)² (2)< (3)< (4)² 004 (1)A={1,2,3,6} (2)A={2,4,6,8} (3)A={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19} (4)A={4,5,6,7,8,9} 005 (1)A={x|x는9의양의약수} (2)A={x|x는4의배수} (3)A={x|x는100보다작은3의배수} 006 풀이참고 007 (1)A={x|x는10의양의약수} (2)A={x|x는10이하의홀수} (3)A={x|x는20이하의4의배수} 008 (1)유 (2)무 (3)유 (4)무 009 (1)× (2)× (3)◯ (4)◯ 010 (1)n(A)=6 (2)n(B)=6 (3)n(C)=9 (4)n(D)=1 011 (1)1 (2)0 (3)3 (4)1 012 (1)AøB,BøA (2)B,A (3)A,B (4)AøB,BøA 013 (1), (2), (3)ø (4)ø (5), 014 (1)á,{0} (2)á,{a},{b},{a,b} (3)á,{b},{c},{d},{b,c},{b,d},{c,d}, {b,c,d} (4)á,{1},{5},{1,5} {2,5,7},{3,5,7},{2,3,5,7} 015 (1)² (2)< (3)ø (4), 016 (1)× (2)× (3)◯ (4)× (5)× 017 (1)2 (2)-1 (3)0 018 (1)+ (2)= (3)= (4)= (5)= (6)+ (7)+ 019 (1)a=1,b=3 (2)a=8,b=2 (3)a=10,b=3 020 (1)2 (2)4 (3)3 021 (1)4 (2)8 (3)8 (4)16 (5)8 2 빠른 정답 (5)á,{2},{3},{5},{7},{2,3},{2,5},{2,7}, {3,5},{3,7},{5,7},{2,3,5},{2,3,7}, 040 (1)× (2) (3)× (4)× 2 집합의 연산 20쪽~33쪽 036 (1)A;B={3,4},A'B={1,2,3,4,5,6} (2)A;B={2,4},A'B={1,2,3,4,7,8,9} (3)A;B={1,2},A'B={1,2,4,5,10} (4)A;B={8,16,24,32,…}, A'B={4,8,12,16,20,…} 037 a=5,b=2 038 {0,1,2,3} 039 {2,5} 041 8 042 4 043 (1)A`={7,8},B`={1,2,3} (2)A`={5,6,7},B`={1,7} 044 (1)A`={1,3,5,6,7},B`={2,3,5,7,8,9} (2)A`={1,4,6,8,9},B`={3,5,6,7,9} 045 (1)A-B={2, 5, 7}, B-A={6, 9} (2)A-B={1, 5}, B-A={4, 6} 046 (1)A-B={2, 4}, B-A={6} (2)A-B={9, 18}, B-A={4, 12} YBM고등 2학기 빠답-재.indd 2 2017-12-21 오후 3:03:09 047 (1)풀이참고,A (2)풀이참고,A 048 (1) (2) (3)× 049 (1)á (2)A (3)U (4)á 050 (1)풀이참고,= (2)풀이참고,=,= 051 (1) (2)× (3) (4)× 052 (1)B` (2)B` (3)B` , B (4)A` , A` 053 (1)A (2)B (3)á (4)á (5)á (6)á (7)á 054 (1)A'B=B'A={1,2,3} (2)A'B=B'A={2,4,6,8} (3)A'B=B'A={1,2,3,4,8,9,27} 055 (1)A;B=B;A={4,6} (2)A;B=B;A={3,5} (3)A;B=B;A={3} 056 (1)풀이참고 (2)풀이참고 (3)= 057 (1){1,2,3,4,5,7,9} (2){1,2,3,4,5,7,9} (3)(A'B)'C=A'(B'C) 058 (1)풀이참고 (2)풀이참고 (3)= 059 (1){4,8} (2){4,8} (3)(A;B);C=A;(B;C) 060 (1)풀이참고 (2)풀이참고 (3)= 061 (1){1,2,3,4,5,7} (2){1,2,3,4,5,7} (3)A'(B;C)=(A'B);(A'C) 062 (1)풀이참고 (2)풀이참고 (3)= 063 (1){4,8} (2){4,8} (3)A;(B'C)=(A;B)'(A;C) 064 (1)풀이참고 (2)풀이참고 (3)= 065 (1){4} (2){4} (3)(A'B)` =A` ;B` 066 (1)풀이참고 (2)풀이참고 (3)= 067 (1){1,3,4} (2){1,3,4} (3)(A;B)` =A` 'B` 069 (1){7, 8} (2){3, 4, 5, 6, 7, 8} (3){2} (5)A;B (6)A'B (4){2, 3, 4, 5, 6} 070 (1)㉣,㉡ (2)㉣,㉢ (3)㉡,㉠,㉡ (4)㉢,㉣ 071 (1)A (2)á (3)A` 'B (4)A (5)A;B 072 (1)A,B (2)A,B (3)B,A 073 (1)4 (2)9 (3)4 (4)8 (5)23 074 (1)6 (2)9 (3)11 (4)4 075 (1)15 (2)22 (3)4 (4)33 076 (1)13 (2)13 (3)10 (4)10 077 (1)10 (2)10 (3)12 (4)12 078 (1)24 (2)27 079 (1)3 (2)5 082 (1)24 (2)6 08017 081 13 083 ③ 086 ④ 089 9 084 ③ 087 ③ 085 ⑤ 088 ③ 3 명제 38쪽~60쪽 090 (1)× (2) (3) (4) (5) (6) 091 (1)명제,참 (2)조건 (3)명제,거짓 (4)조건 (5)명제,거짓 (6)명제,거짓 (7)조건 (7)× (8)× (8)명제,참 092 (1)참,참,거짓,거짓,참,거짓,거짓 (2)1,2,3,6 (3)P={1,2,3,6} 093 (1)P={1,2,3,4} (2)P={1,2,3,4,5} (3)P={2,3,5,7} (4)P={4,8} (5)P={2} (6)P={3} (7)P={1,5} 094 (1){3,4,5,6,7,8,9,10} (2){1,2,3,4,5} (3){2,3,4,5,7} 096 (1)2는소수가아니다. (2)정사각형은직사각형이아니다. (3)2+3+5 (4) 1 5는실수가아니다. (5)4는2의배수가아니다. (6)2²{1,2} (7)0<á 097 (1)x는짝수가아니다. (2)x¾1 (3)x+0 (4)x+2그리고x+3 (5)1Éx<3 (6)x=0또는x=2 (7)xÉ1또는x¾5 빠른 정답 3 068 (1)A` ;B (2)A` 'B (3)A;B` (4)A'B` 095 (1){3,4} (2){1,2} (3){6} YBM고등 2학기 빠답-재.indd 3 2017-12-21 오후 3:03:10 (5) 가정 : △ABC에서 ∠A=∠B이다., 118 (1) A¾B (2) A¾B (3) AÉB (2) ① {x|0ÉxÉ3} ② {x|1ÉxÉ2} ③ ., 필요 (3) ① {-1, 1} ② {-1, 1} ③ =, 필요충분 (4) ① {2, 3} ② {2, 3} ③ =, 필요충분 (5) ① {(x, y)|x=y} ② {(x, y)|x=y 또는 x=-y} ③ ,, 충분 (6) ① {-1, 7} ② {-1} ③ ., 필요 (7) ① {x|x>2} ② {x|2<xÉ3} ③ ., 필요 114 115 (1) 4 (2) -2 (3) -13 (4) 4 (5) 1 (6) 2 (1) 5 (2) 1 (3) 4 (4) -1 (5) 0 (6) 5 (7) 2 116 (1) (가) 홀수 (나) 홀수 (다) 2k-1 (라) 홀수 (2) (가) 홀수 (나) 홀수 (다) 2m+1 (라) 홀수 117 (1) (가) 짝수 (나) 2k (다) 짝수 (라) 서로소 (2) (가) 배수 (나) 3k (다) 배수 (라) 서로소 119 (1) A>B (2) A>B (3) A>B (4) A, >, >, >, > 122 (1) 8 (2) 6 (3) 2 123 (1) 4 (2) 18 (3) 9 124 (1) 4 (2) 12 (3) 10 125 (1) 9 (2) 8 (3) 27 126 (1) 15 (2) -5 (3) 2 1 3 1 128 ④ 131 ④ 134 ② 137 ① 129 {3, 9} 132 2 135 ① 138 4 142 ③ 143 ② 127 ① 130 ④ 133 ③ 136 ④ 141 ④ 144 ② 빠른 정답 098 (1) 거짓, 4는 홀수가 아니다., 참 (2) 참, 2 는 무리수가 아니다., 거짓 1 (3) 거짓, 5는 10의 배수가 아니다., 참 (4) 참, 3+4+7, 거짓 (5) 참, 정삼각형은 이등변삼각형이 아니다., 거짓 (6) 거짓, 3+12É15, 참 099 (1) {1, 2} (2) {-2, -1, 1} (3) {-2, -1} (4) {-1, 2} 100 (1) 가정 : x는 4의 배수이다., 결론 : x는 2의 배수이다. (2) 가정 : x=2이다., 결론 : xÛ`=4이다. (3) 가정 : a=0 또는 b=0이다., 결론 : ab=0이다. (4) 가정 : x가 10 이하의 소수이다., 결론 : x는 홀수이다. 결론 : △ABC는 이등변삼각형이다. 101 (1) 참 (2) 거짓 (3) 거짓 (4) 참 (5) 참 102 (1) 참 (2) 거짓 (3) 참 (4) 거짓 (5) 참 (6) 거짓 103 (1) 참 (2) 참 (3) 거짓 (4) 거짓 (5) 참 104 (1) 참, 참, 거짓, 거짓, 참, 거짓, 거짓, 거짓 (2) ① 참 ② 거짓 ③ 거짓 (3) ① 참 ② 참 ③ 거짓 105 (1) 거짓 (2) 참 (3) 참 (4) 거짓 106 (1) 거짓 (2) 참 (3) 참 (4) 거짓 107 (1) 모든 자연수 x에 대하여 x≥1이다. (참) (2) 어떤 실수 x에 대하여 3xÛ`+2É0이다. (거짓) (3) 모든 소수는 짝수가 아니다. (거짓) (4) 어떤 실수 x에 대하여 xÛ`+x+1É0이다. (거짓) (7) 대우 (8) 역 109 풀이 참고 (6) (ㄱ) (4) ◯, ◯, × 111 112 110 (1) (ㅂ) (2) (ㄴ) (3) (ㅇ) (4) (ㅁ) (5) (ㄹ) (1) ×, ◯, × (2) ◯, ×, ◯ (3) ◯, ×, ◯ (1) 참, 거짓, 충분 (2) 거짓, 참, 필요 (3) 참, 참, 필요충분 (4) 참, 거짓, 충분 (5) 참, 거짓, 충분 (6) 참, 참, 필요충분 113 (1) ① {10, 20, 30, ⋯} ② {5, 10, 15, ⋯} ③ ,, 충분 4 빠른 정답 (5) 모든 실수 x에 대하여 -2<xÉ1이다. (거짓) 139 (가) 홀수 (나) 짝수 (다) 홀수 (라) 짝수 108 (1) 역 (2) 대우 (3) 대우 (4) 역 (5) 역 (6) 역 140 (가) 유리수 (나) 유리수 (다) 유리수 (라) 무리수 YBM고등 2학기 빠답-재.indd 4 2017-12-21 오후 4:21:55 2 64쪽~74쪽 (4)함수이다.,정의역:{1,2,3},공역:{a,b,c,d}, 002 (1)× (2) (3) (4)× (5) (6)× 003 (1)함수이다.,정의역:{1,2,3},공역:{1,2}, Ⅱ 함수 1 함수 001 풀이참고 치역:{1,2} (2)함수가아니다. (3)함수가아니다. 치역:{b,d} 004 (1)정의역:{x|x는모든실수}, 치역:{y|y는모든실수} (2)정의역:{x|x는모든실수}, 치역:{y|y¾0} (3)정의역:{x|x+0인실수}, 치역:{y|y+0인실수} (4)정의역:{x|x는모든실수}, 치역:{y|y는모든실수} 005 (1)1 (2)-3 3 (3)-3+3 2 (4)6+3 1 1 3 1 006 (1)4 (2)7 (3)9 007 (1)f(x)=4x+9 (2)f(x)=xÛ`-4x+3 (3)f(x)=3x-2 (4)f(x)=9xÛ`-3x 008 (1)-1 (2)-2 (3)45 (4)4 009 (1)1 (2)9 (3)81 010 (1)0 (2)3 (3)30 011 (1)서로같은함수가아니다. (2)서로같은함수가아니다. (3)서로같은함수이다. (4)서로같은함수이다. (5)서로같은함수이다. 013 풀이참고 014 (1)◯ (2)× (3)◯ (4)× (5)◯ 015 (1)일대일대응이다. (2)일대일대응이아니다. (3)일대일대응이아니다. (4)일대일대응이다. 016 (1)풀이참고,◯ (2)풀이참고,× (3)풀이참고,× 017 (1)a<0 (2)a<1 (3)a<1 (4)a>-3 018 (1)-14 (2)7 (3)-5 019 (1)a= ;3&; ,b= (2)a=- ,b= ;3&; ;3*; ;3!; 020 (1)a=2,b=3 (2)a=-2,b=1 021 (1)항등 (2)상수 (3)항등 022 (1)3 (2)7 023 (1)64개 (2)24개 024 (1)27개 (2)6개 (3)6개 025 (ㄷ),(ㄹ),(ㅂ) 027 - ;4(; 030 ③ 033 ② 028 ② 031 ② 034 10 0269 029③ 032 a<2 035④ 2 합성함수와 역함수 77쪽~90쪽 036 (1)①7 ②8 ③6 (2)①8 ②7 ③6 ④5 037 (1)2xÛ`+1 (2)-6x-1 (3)3x+5 (4)4xÛ`-14x+10 (5)6xÛ`+5 (6)xÛ`-10x+23 038 (1)-3 (2)-5 (3)-9 (4)-4 (5)-3 (6)0 (7)-3 039 (1)3 (2)4 040 (1)14 (2)1 041 (1)2x+1 (2)2x+2 (3)f½g+g½f 042 (1)4xÛ`-8x+4 (2)4xÛ`-8x+4 (3)(h½g)½f=h½(g½f) 043 (1)2 (2) ;2!; (3)0 (4)- ;2!; 044 (1)h(x)=2x+3 (2)h(x)=2x-10 (3)h(x)= x+ (4)h(x)=3x-1 ;2#; ;2#; (5)h(x)=2x-4 (3)h(x)= x+ (4)h(x)=3x-5 ;2#; ;2%; (5)h(x)=2x-11 046 (1)①fÛ`(1)=2, fÜ`(1)=1 ②1 ③2 (2)①fÛ`(2)=3, fÝ`(2)=2 ②2 ③4 047 (1)①fÛ`(x)=x+6 ②f Ü`(x)=x+9 ③f Ç`(x)=x+3n ④65 (2)①fÛ`(x)=2Û`x ②f Ü`(x)=2Ü`x ③f Ç`(x)=2Ç`x ④2¡` 048 (1)풀이참고 (2)3 (3)4 (4)1 (5)2 빠른 정답 5 012 (1)a=3,b=0 (2)a=1,b=2 (3)a=1,b=1 045 (1)h(x)=2x+5 (2)h(x)=2x-8 YBM고등 2학기 빠답-재.indd 5 2017-12-21 오후 3:03:12 빠른 정답 049 (1)1 (2)2 (3)1 (4)3 050 (1)0 (2)-9 051 (1)4 (2)-1 (3) ;4#; 052 (1)a= ;2!; ,b=2 (2)a=-1,b=3 (3)a=5,b=-2 053 (1) ;3$; (2)34 054 (1)4 (2)5 (3)-11 055 (1)a=2,b=-1 (2) (3) ;2%; ;2!; 056 (1)a=2,b=-1 (2)3 (3)3 (4)-1 057 (1)5 (2)1 (3)a<1 058 (1)a=2,b=5 (2)a=-1,b=7 (3)a=-2,b=4 (4)a=-4,b=-1 059 (1)1 (2) ;2&; 060 (1)y= ;2!; ;2!; x+ (2)y=-2x+4 (3)y=-2x+ ;2!; (4)y= 3x+ 3(x¾-1) !% 061 (1)1 (2) (3)4 ;3&; 062 (1)1 (2)-7 (3)4 (4)2 063 (1)a (2)c (3)d (4)e (5)e 064 (1)(2,2) (2) { - ;2(; ,- ;2(;} (3)(7,7) 065 (1)a=-2,b=7 (2)a=2,b=-14 (3)a= ,b=- ;3@; ;3!; 066 12 067 ④ 069 ③ 072 ④ 075 ⑤ 070 - ;;ª3£;; 073 ② 076 -5 068 ④ 071 3000 074 ② 077 16 3 유리함수 93쪽~109쪽 078 (1)분수 (2)다항 (3)다항 (4)분수 079 (1) 2xyÛ` 5a (2) (3) xÛ`+2x x-2 x-2 x-4 080 (1) 2aÛ`y 3abxÛ`yÛ` , 3bx 3abxÛ`yÛ` (2) (x-2)Û` (x+1)(x-1)(x-2) , (x+1)(x-3) (x+1)(x-1)(x-2) 081 (1) 2x (x-y)(x+y) (2) (3) 1 x+y -3x-1 x+1 (4) xÛ`+yÛ` (x-y)(x+y) (5)- 1 x+1 082 (1) ;6{; (2) x (x-1)Û` (3) (x-2)Û` (x-3)Û` (4) x-3 x-1 (5) x-2 x(x+1) (3)a=2,b=-1 083 (1)a=2,b=3 (2)a=-3,b=6 084 (1) 2 (x+1)(x+3) (2) 6 x(x+6) 085 (1)x+1 (2) ;[!; (3)-2x 086 (1) (2)-8 (3) (4) ;;Á6£;; 191 60 47 50 087 (1) ;3&; (2) (3) (4) ;1!3@; -;9%; ;2!6!; 088 (1)다항 (2)분수 (3)다항 (4)분수 089 (1){x|x+-3인실수} (2) [ x | x+ 인실수 ] ;3!; (3){x|x+-1,x+1인실수} (4){x|모든실수} 090 풀이참고 091 (1)y= +1 (2)y=- -1 1 x-2 3 x-3 2 x+2 4 x+1 (3)y= -2 (4)y=- 092 (1)p=0,q=5 (2)p=0,q=2 (3)p=3,q=0 (4)p=-1,q=0 (5)p=-1,q=-3 (6)p=-5,q=1 093 (1)①풀이참고 ②x=0,y=-1 ③{x|x+0인실수} ④{y|y+-1인실수} (2)①풀이참고 ②x=2,y=0 ③{x|x+2인실수} ④{y|y+0인실수} (3)①풀이참고 ②x=-2,y=-1 ③{x|x+-2인실수} ④{y|y+-1인실수} (4)①풀이참고 ②x=1,y=1 ③{x|x+1인실수} ④{y|y+1인실수} 6 빠른 정답 YBM고등 2학기 빠답-재.indd 6 2017-12-21 오후 3:03:13 # ③{x|x+3인실수} ④{y|y+2인실수} 4 무리함수 112쪽~124쪽 094 (1)a=3,b=4 (2)a=-2,b=1 (3)a=2,b=-3 095 (1)-5 (2)2 096 (1)◯ (2)× (3)◯ (4)× (5)× 097 (1)× (2)◯ (3)× (4)◯ (5)◯ 098 (1)y=- +2 (2)y= 7 x+2 7 x+3 (3)y= -2 (4)y= (5)y=- 2 3x+3 +2 1 x+1 +4 1 x-2 -1 099 (1)①풀이참고 ②x=2,y=1 ③{x|x+2인실수} ④{y|y+1인실수} (2)①풀이참고 ②x=-3,y=2 ③{x|x+-3인실수} ④{y|y+2인실수} (3)①풀이참고 ②x=-1,y=3 ③{x|x+-1인실수} ④{y|y+3인실수} (4)①풀이참고 ②x=3,y=2 100 (1)◯ (2)× (3)× (4)◯ 101 (1)× (2)◯ (3)× (4)◯ 102 (1)p=3,q=2,k=4 (2)p=-2,q=1,k=4 (3)p=-2,q=1,k=-2 103 (1)a=-1,b=0,c=2 (2)a=2,b=-10,c=-3 (3)a=2,b=-3,c=1 (4)a=3,b=-2,c=-1 104 (1)a=2,b=4,c=3 (2)a=1,b=-4,c=-2 (3)a=3,b=9,c=5 105 (1)최댓값:1,최솟값:-1 (2)최댓값:9,최솟값:5 (3)최댓값: ,최솟값:-3 ;3!; (4)최댓값:5,최솟값: ;;Á5£;; ;3&; (5)최댓값:1,최솟값:- (6)최댓값: ,최솟값:-1 ;3!; 106 (1)y= -x-1 x-2 (2)y= -2x+3 x+1 (3)y= -3x-4 x-2 107 (1)a=-1,b=1,c=-3 (2)a=3,b=1,c=2 (3)a=6,b=-3,c=1 (4)a=-2,b=-1,c=4 108 (1)1 (2)2 (3)-3 109 (1)2 (2) ;2!; (3)- 1 3002 (4) ;4!; 110 ① 113 ② 116 ③ 119 ② 111 ④ 114 ③ 117 1 120 ③ 121 g(x)= -x+2 2x-1 112 11 115 ③ 118 5 122 (1)무 (2)유 (3)유 (4)무 123 (1)x¾-2 (2)x<4 (3)-2ÉxÉ1 (4)-2<xÉ3 124 (1) 15 (4) x+ 1- 13 x+1+ 15 15 125 (1)xÛ`-4 (2) x (2)-1- x+1 (3) x+2+ x x-1 (5) 15 2+x+ 15 2-x 15 15 1 (3)2 x (4)2x (5)-x 1 126 (1)-4 1 3 (2)2+ 6 (3)-2-2 2 1 127 (1)무 (2)유 (3)무 (4)무 128 (1){x|x¾-2} (2){x|x는모든실수} 2 x 1 x-y 1 (3) [ x | xÉ ;2!;] (4){x|xÉ-2또는x¾3} 129 (1)풀이참고,정의역:{x|x¾0},치역:{y|y¾0} (2)풀이참고,정의역:{x|xÉ0},치역:{y|y¾0} (3)풀이참고,정의역:{x|x¾0},치역:{y|yÉ0} (4)풀이참고,정의역:{x|xÉ0},치역:{y|yÉ0} 130 (1)풀이참고,y=- 15 (3)풀이참고,y=- 2x -2x (2)풀이참고,y= 2x 14 14 3x (2)풀이참고,y= -3x 15 131 (1)풀이참고,y=- 14 (3)풀이참고,y=- -3x 15 3+2 (2)y= 132 (1)y= 3x+ 15 15 -2x + 2-3 15 15 (3)y=- 1 5x+ 0-1 (4)y=- -x + 2+3 133 (1)p=0,q=-3 (2)p=5,q=0 (3)p=2,q=0 (4)p=-2,q=1 (5)p=- ,q=4 ;2!; 134 (1)①풀이참고 ②{x|xÉ2} ③{y|y¾0} 빠른 정답 7 YBM고등 2학기 빠답-재.indd 7 2017-12-21 오후 3:03:15 3 2 4 2 3 2 4 3 (2)①풀이참고 ②{x|xÉ0} ③{y|yÉ-1} (3)①풀이참고 ②{x|x¾-2} ③{y|yÉ1} 135 (1)①풀이참고 ②{x|x¾1} ③{y|y¾-2} Ⅲ 경우의 수 1 경우의 수 127쪽~135쪽 빠른 정답 (2)①풀이참고 ② [ x | x¾ ;2!;] ③{y|y¾-1} (3)①풀이참고 ②{x|xÉ1} ③{y|y¾3} (4)①풀이참고 ②{x|x¾3} ③{y|yÉ2} (5)①풀이참고 ②{x|xÉ2} ③{y|yÉ1} (6)①풀이참고 ② [ x | xÉ ;2%;] ③{y|y¾-2} 136 (1)× (2)◯ (3)◯ (4)× 137 (1)× (2)× (3)◯ (4)◯ 138 (1)a=-2,b=4,c=-1 (2)a=- ,b= ,c=2 ;3$; ;3$; (3)a=2,b=-5,c=2 (4)a=-1,b=1,c=-2 (5)a=3,b=-2,c=-1 139 (1)최댓값:5,최솟값:3 (2)최댓값:-1,최솟값:-3 140 (1)13 (2)1 (3)7 (4)2 141 (1)①k>- ②k=- 또는k<-1 ;4#; ;4#; ③-1Ék<- ;4#; (2)①k> ②k= 또는k<1 ;4%; ;4%; ③1Ék< ;4%; 142 (1)y=(x-2)Û`+1,정의역:{x|x¾2} (2)y=(x-4)Û`+3,정의역:{x|xÉ4} 2 (2)2 2 (3)3 1 2 1 (2)66 (3)5 143 (1) 1 144 (1) ;5*; 145 ④ 148 ③ 151 ③ 146 3- 2 1 1 149 ⑤ 147 ② 150 -3 152 3Ék< ;2&; 153 - ;2%; 154 30 155 (2,2) 156 ⑤ 001 (1)2 (2)6 (3)2 (4)3 (5)3 002 (1)10 (2)12 (3)8 003 (1)9 (2)13 004 (1)4 (2)6 (3)5 005 (1)8 (2)8 (3)14 006 (1)15 (2)10 (3)6 007 32 008 (1)21 (2)20 (3)6 (4)24 (5)60 009 (1)9 (2)8 010 (1)10 (2)12 (3)30 011 (1)8 (2)8 (3)18 (4)24 (5)6 (6)12 012 (1)12 (2)9 (3)12 (4)16 013 (1)4 (2)6 (3)4 014 (1)4 (2)4 (3)8 (4)12 (5)18 015 (1)17 (2)11 (3)71 016 (1)15 (2)11 (3)24 017 (1)4 (2)6 (3)8 018 (1)9 (2)16 (3)27 019 16 020 (1)12 (2)4 021 (1)30 (2)18 022 (1)8 (2)9 (3)17 (4)289 023 (1)48 (2)108 (3)48 024 ④ 027 ⑤ 025 ④ 028 11 026 ② 029 1280 8 빠른 정답 YBM고등 2학기 빠답-재.indd 8 2017-12-21 오후 3:03:16 2 순열과 조합 137쪽~150쪽 030 (1)1 (2)120 (3)120 (4)7 (5)56 031 (1)5 (2)8 (3)10 (4)5 032 (1)2 (2)2 (3)6 033 (1)6 (2)3또는4 (3)4 (4)9 (5)6 034 (1)°Pª (2)¤P£ (3)¢P¢ (4)Á¼P° (5)Á¼P£ 070 (1)20 (2)56 (3)165 072 (1)60 (2)90 073 (1)30 (2)70 069 14 071 46 074 ③ 077 ④ 080 7 083 ⑤ 086 22 075 1440 078 ② 081 ① 084 180 076 1440 079 54번째 082 8 085 190 035 (1)24 (2)12 (3)12 036 (1)48 (2)18 (3)12 037 (1)720 (2)576 (3)288 038 (1)17280 (2)8640 (3)1728 039 (1)1440 (2)144 040 (1)72 (2)12 041 (1)20 (2)20 (3)4 042 (1)24 (2)144 043 52 044 444 045 108 046 36000 047 (1)23514 (2)34521 048 (1)14번째 (2)TAMH 049 (1)10 (2)1 (3)4 (4)21 (5)1 050 (1)5 (2)6 (3)11 051 (1)6 (2)7 (3)7 052 (1)5 (2)9 (3)4 053 (1)6 (2)5또는9 (3)3또는5 054 (1)4 (2)5 (3)8 (4)5 (6)Á¼C£´°Cª 056 (1)56 (2)21 057 (1)330 (2)120 058 (1)120 (2)45 (3)90 059 (1)924 (2)495 060 (1)185 (2)175 061 (1)24 (2)35 062 (1)6720 (2)4200 (3)960 063 (1)67200 (2)5040 064 (1)2160 (2)1080 (3)720 065 (1)6 (2)36 066 (1)35 (2)90 (3)209 067 (1)5 (2)12 (3)20 068 (1)6 (2)21 (3)45 055 (1)Á¼Cª (2)¥C° (3)°C£ (4)Á£Cª (5)¢C£´¢CÁ YBM고등 2학기 빠답-재.indd 9 2017-12-21 오후 3:03:16 빠른 정답 9 Ⅰ 집합과 명제 1 집합의 뜻과 표현 (2) B={3, 6, 9, 12, 15, 18}이므로 n(B)=6 (3) C={1, 2, 3, y, 9}이므로 n(C)=9 (4) D={2}이므로 n(D)=1 8쪽~17쪽 001 답 (1) × (2) ◯ (3) × (4) ◯ (5) ◯ (6) × (7) ◯ 002 답 (1) 1, 2, 3, 4, 5, 6 (2) 2, 3, 5, 7 (3) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (4) 4, 8, 12, 16, … 011 답 (1) 1 (2) 0 (3) 3 (4) 1 (1) 집합 {0}의 원소는 0이므로 n({0})=1 (3) n({1, 5, 25})=3 (4) n({2, 3, 4, 7})=4, n({3, 4, 7})=3이므로 n({2, 3, 4, 7})-n({3, 4, 7})=1 012 답 (1) AøB, BøA (2) B,A (3) A,B (4) AøB, BøA (4) 실수에서 유리수를 제외한 나머지가 무리수이므로 AøB, BøA 013 답 (1) , (2) , (3) ø (4) ø (5) , 014 답 (1) á, {0} (2) á, {a}, {b}, {a, b} (3) á, {b}, {c}, {d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {b, c, d} (4) á, {1}, {5}, {1, 5} (5) á, {2}, {3}, {5}, {7}, {2, 3}, {2, 5}, {2, 7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7},{2, 3, 5}, {2, 3, 7}, {2, 5, 7}, {3, 5, 7}, {2, 3, 5, 7} (4) {x|x는 5의 양의 약수}={1, 5}이므로 부분집합은 á, {1}, {5}, {1, 5} (5) {x|x는 10 이하의 소수}={2, 3, 5, 7}이므로 부분집합은 á, {2}, {3}, {5}, {7}, {2, 3}, {2, 5}, {2, 7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {2, 3, 5}, {2, 3, 7}, {2, 5, 7}, {3, 5, 7}, {2, 3, 5, 7} 015 답 (1) ² (2) < (3) ø (4) , 016 답 (1) × (2) × (3) ◯ (4) × (5) × 017 답 (1) 2 (2) -1 (3) 0 (1) A,B가 성립하려면 1<B이어야 하므로 a-1=1 또는 a-3=1 Û a-3=1, 즉 a=4일 때 A={1, 6}, B={1, 3, 4}이므로 AøB Ú, Û에서 구하는 a의 값은 2이다. 003 답 (1) ² (2) < (3) < (4) ² 004 답 (1) A={1, 2, 3, 6} (2) A={2, 4, 6, 8} (3) A= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} (4) A={4, 5, 6, 7, 8, 9} 005 답 (1) A={x|x는 9의 양의 약수} (2) A={x|x는 4의 배수} (3) A={x|x는 100보다 작은 3의 배수} 006 답 (1) (2) A 1 5 3 15 2 8 6 12 A 4 10 A 2 3 5 7 11 (3) 007 답 (1) A={x|x는 10의 양의 약수} (2) A={x|x는 10 이하의 홀수} (3) A={x|x는 20 이하의 4의 배수} 008 답 (1) 유 (2) 무 (3) 유 (4) 무 (3) {2, 4, 6, 8, 10}이므로 유한집합이다. (4) {1, 3, 5, 7, …}이므로 무한집합이다. 009 답 (1) × (2) × (3) ◯ (4) ◯ 010 답 (1) n(A)=6 (2) n(B)=6 (3) n(C)=9 (4) n(D)=1 10 정답 및 해설 (3) 1보다 크고 3보다 작은 홀수는 없으므로 공집합이다. Ú a-1=1, 즉 a=2일 때 (4) 2보다 작은 짝수는 없으므로 공집합이다. A={1, 4}, B={-1, 1, 4}이므로 A,B YBM(해)-01단원(10~25)OK.indd 10 2017-12-21 오후 2:34:34 정답 및 해설 (2) A,B가 성립하려면 1<B이어야 하므로 (3) A={1, 3, 9}이므로 부분집합의 개수는 2Ü`=8(개) -aÛ`+2=1 또는 -a+8=1 (4) 집합 A의 원소는 {1}, 2, 3, 4의 4개이므로 부분집합의 개수 Ú a=-1일 때, A={1, 3}, B={1, 3, 9}이므로 A,B 는 2Ý`=16(개) Û a=1일 때, A={1, 5}, B={1, 3, 7}이므로 AøB (5) 집합 A의 원소는 1, 2, {3, 4}의 3개이므로 부분집합의 개수 Ü a=7일 때, A={1, 11}, B={-47, 1, 3}이므로 AøB 는 2Ü`=8(개) 019 답 (1) a=1, b=3 (2) a=8, b=2 (3) a=10, b=3 (4) D={1, 2, 3, 4, 6, 12} ∴ 2ß`-1=63(개) Ú, Û, Ü에서 구하는 a의 값은 -1이다. (3) A,B가 성립하려면 1<B이어야 하므로 aÛ`+2=1 또는 a+1=1 Ú aÛ`+2=1일 때 aÛ`=-1을 만족시키는 실수 a의 값은 존재하지 않는다. Û a+1=1, 즉 a=0일 때 A= {1, 2}, B={1, 2, 3}이므로 A,B Ú, Û에서 구하는 a의 값은 0이다. 018 답 (1) + (2) = (3) = (4) = (5) = (6) + (7) + (2) 2<A에서 2<B이므로 b=2 6<B에서 6<A이므로 a-2=6 ∴ a=8 (3) 5<A에서 5<B이므로 b+2=5 ∴ b=3 9<B에서 9<A이므로 a-1=9 ∴ a=10 020 답 (1) 2 (2) 4 (3) 3 (2) 4<A에서 4<B이므로 aÛ`-3a=4에서 aÛ`-3a-4=0 (a+1)(a-4)=0 ∴ a=-1 또는 a=4 Ú a=-1일 때, A={-3, 0, 4}, B={2, 4, 5}이므로 Û a=4일 때, A={2, 4, 5}, B={2, 4, 5}이므로 A=B Ú, Û에서 구하는 a의 값은 4이다. (a+2)(a-3)=0 ∴ a=-2 또는 a=3 Ú a=-2일 때, A={-5, 3, 6}, B={5, 6, 8}이므로 Û a=3일 때, A={5, 6, 8}, B={5, 6, 8}이므로 A=B Ú, Û에서 구하는 a의 값은 3이다. A+B A+B 2Û`=4(개) 2Ü`=8(개) 022 답 (1) á, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} (2) á, {a}, {{a, b}} (3) á, {1}, {3}, {9}, {1, 3}, {1, 9}, {3, 9} (3) {1, 3, 9}이므로 진부분집합은 á, {1}, {3}, {9}, {1, 3}, {1, 9}, {3, 9} 023 답 (1) 3 (2) 15 (3) 7 (4) 63 (1) 2Û`-1=3(개) (2) 2Ý`-1=15(개) (3) 2Ü`-1=7(개) 024 답 (1) 4 (2) 2 (3) 16 (4) 4 (5) 8 (3) A={3, 6, 9, 12, 15, 18}이므로 (1) 24-2=4(개) (2) 22-1=2(개) ∴ 26-2=2Ý`=16(개) (4) 24-2=2Û`=4(개) (5) 27-4=2Ü`=8(개) 025 답 (1) 4 (2) 4 (3) 8 (4) 8 (5) 16 (1) 24-2=2Û`=4(개) (2) 25-3=2Û`=4(개) ∴ 26-3=2Ü`=8(개) (4) 24-1=2Ü`=8(개) (5) 25-1=2Ý`=16(개) 25-1=2Ý`=16(개) 25-2=2Ü`=8(개) 개수는 25-3=2Û`=4(개) 021 답 (1) 4 (2) 8 (3) 8 (4) 16 (5) 8 (1) 집합 A의 원소는 1, 2의 2개이므로 부분집합의 개수는 (2) 1, 4를 반드시 원소로 포함하는 집합 A의 부분집합의 개수는 026 답 (1) 16 (2) 8 (3) 4 (1) 2를 반드시 원소로 포함하는 집합 A의 부분집합의 개수는 (2) 집합 A의 원소는 á, a, b의 3개이므로 부분집합의 개수는 (3) 3, 4, 5를 반드시 원소로 포함하는 집합 A의 부분집합의 Ⅰ. 집합과 명제 11 (3) 6<A에서 6<B이므로 aÛ`-a=6에서 aÛ`-a-6=0 (3) A={1, 2, 3, 6, 9, 18}이고, 이 중 홀수는 3개이므로 YBM(해)-01단원(10~25)OK.indd 11 2017-12-21 오후 2:34:35 027 답 (1) 4 (2) 8 (3) 16 033 -3ÉkÉ-2 답 (1) 0, 1을 반드시 원소로 포함하는 집합 {0, 1, 5, 9}의 부분집 두 집합 A, B에 대하여 합의 개수는 24-2=2Û`=4(개) A,B가 되도록 수직선 (2) 3, 5를 반드시 원소로 포함하는 집합 {2, 3, 5, 7, 9}의 부분 위에 나타내면 오른쪽 그림 집합의 개수는 25-2=2Ü`=8(개) 과 같다. (3) {2, 4},X,{1, 2, 3, 4, 6, 12}이므로 2, 4를 반드시 원소 즉, -3Ék, 6É-3k ∴ -3ÉkÉ-2 로 포함하는 집합 {1, 2, 3, 4, 6, 12}의 부분집합의 개수는 26-2=2Ý`=16(개) 028 답 (1) 4 (2) 8 (3) 2 (1) 26-2-2=2Û`=4(개) (2) 26-2-1=2Ü`=8(개) (3) 집합 A의 원소 중 2의 배수는 2, 6, 8이고, 3의 약수는 1, 3 이므로 구하는 부분집합의 개수는 26-3-2=21=2(개) 029 답 (1) 8 (2) 4 (3) 2 (1) 3을 반드시 포함하고, 4를 포함하지 않는 집합 A의 부분집 합 X의 개수는 25-1-1=2Ü`=8(개) 답 034 -2 A,B, B,A이므로 A=B 7<A에서 7<B이므로 aÛ`-2a-1=7, aÛ`-2a-8=0, (a+2)(a-4)=0 ∴ a=-2 또는 a=4 Ú a=-2일 때, A={-3, 3, 7}, B={-3, 3, 7}이므로 A=B Û a=4일 때, A={3, 7, 9}, B={-3, 3, 7}이므로 A+B Ú, Û에서 구하는 a의 값은 -2이다. (2) 1, 3을 반드시 포함하고, 4를 포함하지 않는 집합 A의 부분 035 답 16 집합 X의 개수는 25-2-1=2Û`=4(개) (3) 1, 5를 반드시 포함하고, 2, 3을 포함하지 않는 집합 A의 부 A,X,B에서 분집합 X의 개수는 25-2-2=2Ú`=2(개) A={-1, 0, 1}, B={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}이므로 {-1, 0, 1},X,{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} 즉, 집합 X는 원소 -1, 0, 1을 포함하는 집합 B의 부분집합이 므로 구하는 집합 X의 개수는 27-3=2Ý`=16(개) 답 030 ④ ④ ‘작은’은 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명하게 정할 수 없으므로 집합이 아니다. ⑤ 가장 작은 자연수의 모임은 {1}이므로 집합이다. 답 031 ③ A={2}이므로 유한집합 B={y, -3, 0, 3, y}이므로 무한집합 C={1, 3}이므로 유한집합 2 집합의 연산 20쪽~33쪽 036 답 (1) A;B={3, 4}, A'B={1, 2, 3, 4, 5, 6} (2) A;B={2, 4}, A'B={1, 2, 3, 4, 7, 8, 9} (3) A;B={1, 2}, A'B={1, 2, 4, 5, 10} (4) A;B={8, 16, 24, 32, …}, xÛ`+4x+4=0에서 (x+2)Û`=0 ∴ x=-2 (중근) A'B={4, 8, 12, 16, 20, …} (3) A={1, 2, 4}, B={1, 2, 5, 10} xÛ`-4=0에서 xÛ`=4 ∴ x=Ñ2 ∴ A;B={1, 2}, A'B={1, 2, 4, 5, 10} (4) A={4, 8, 12, 16, 20, 24, …}, B={8, 16, 24, 32, …} 이때, {-2},{-2, 2},{-2, 0, 2}이므로 ∴ A;B={8, 16, 24, 32, …}, A'B={4, 8, 12, 16, 20, …} 답 032 ③ ∴ B={-2} ∴ C={-2, 2} B,C,A 12 정답 및 해설 YBM(해)-01단원(10~25)OK.indd 12 2017-12-21 오후 2:34:36 정답 및 해설-3-3kk6xBA 답 037 a=5, b=2 A;B={2, 4}에서 042 답 4 집합 A의 부분집합 중 집합 B와 서로소인 집합의 개수는 집합 집합 A는 원소 4를 포함해야 하므로 a-1=4 B의 원소 3, 4, 5를 포함하지 않는 집합 A의 부분집합의 개수 ∴ a=5 집합 B는 원소 2, 4를 포함해야 하므로 b, b+2는 2, 4이어야 한다. 그런데 b+2가 b보다 큰 수이므로 b=2 와 같으므로 25-3=2Û`=4(개) 043 답 (1) A`={7, 8}, B`={1, 2, 3} (2) A`={5, 6, 7}, B`={1, 7} 따라서 A={1, 2, 3}, B={0, 3}이므로 A'B={0, 1, 2, 3} (2) A-B={1, 5}, B-A={4, 6} 045 답 (1) A-B={2, 5, 7}, B-A={6, 9} 답 038 {0, 1, 2, 3} A;B={3}에서 집합 A는 원소 3을 포함해야 하므로 a=3 이때, B={0, b+2}이고, 집합 B도 원소 3을 포함해야 하므로 b+2=3 ∴ b=1 답 039 {2, 5} A'B={1, 2, 4, 5, 6}이므로 a=6 또는 a+1=6 ∴ a=5 또는 a=6 Ú a=5일 때, A={1, 2, 5}, B={2, 4, 5, 6} 044 답 (1) A` ={1, 3, 5, 6, 7}, B` ={2, 3, 5, 7, 8, 9} (2) A` ={1, 4, 6, 8, 9}, B` ={3, 5, 6, 7, 9} (2) A={2, 3, 5, 7}이므로 A` ={1, 4, 6, 8, 9} B={1, 2, 4, 8}이므로 B` ={3, 5, 6, 7, 9} 046 답 (1) A-B={2, 4}, B-A={6} (2) A-B={9, 18}, B-A={4, 12} (2) A={1, 2, 3, 6, 9, 18}, B={1, 2, 3, 4, 6, 12} ∴ A-B={9, 18}, B-A={4, 12} ∴ A'B={1, 2, 4, 5, 6} ⇒ 조건을 만족한다. 047 답 (1) 풀이 참고, A (2) 풀이 참고, A Û a=6일 때, (1) A B A B A B A={1, 2, 6}, B={2, 4, 5, 7} ∴ A'B={1, 2, 4, 5, 6, 7} ⇒ 조건에 맞지 않는다. Ú, Û에 의해 a=5이고, 이때 A;B={2, 5} (2) A B A B A B Õ Ö = = 040 답 (1) × (2) (3) × (4) × (1) A;B={4}이므로 두 집합 A, B는 서로소가 아니다. (2) A;B=á이므로 두 집합 A, B는 서로소이다. (3) A={2, 4, 6, 8, …}, B={3, 6, 9, 12, …}이므로 A;B={6, 12, 18, …} 따라서 두 집합 A, B는 서로소가 아니다. (4) A={1, 2, 3, 4, 5}, B={5, 6, 7, 8, …}이므로 A;B={5} 따라서 두 집합 A, B는 서로소가 아니다. 답 041 8 집합 A의 부분집합 중 집합 B와 서로소인 집합의 개수는 집합 B의 원소 6, 9를 포함하지 않는 집합 A의 부분집합의 개수와 같으므로 25-2=2Ü`=8(개) 048 답 (1) (2) (3) × (1) (A;B),A, A,(A'B) (2) (A'á);A=A;A=A (3) (A'A);á=A;á=á 049 답 (1) á (2) A (3) U (4) á 050 답 (1) 풀이 참고, = (2) 풀이 참고, =, = (1) U A B U A B (2) U A B U A B U A B Ⅰ. 집합과 명제 13 YBM(해)-01단원(10~25)OK.indd 13 2017-12-21 오후 2:34:37 051 답 (1) (2) × (3) (4) × (2) A'A` =U (4) A;B=á일 때, A` 는 오른쪽 그 림에서 색칠한 부분과 같다. U A B ∴ B,A` (1) A A A B C B C B C (2) A A A 052 답 (1) B` (2) B` (3) B` , B (4) A` , A` B C B C B C 053 답 (1) A (2) B (3) á (4) á (5) á (6) á (7) á 057 답 (1) {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} (1) A;B={3, 5}=A (2) A'B={1, 3, 5, 7}=B (3) A-(A;B)=A-A=á (4) (A'B)-B=B-B=á (5) A-B=á (6) A;B` =A-B=á (7) B`-A` ={2, 4, 6}-{1, 2, 4, 6, 7}=á (2) {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} (3) (A'B)'C=A'(B'C) (1) (A'B)'C={1, 2, 3, 4, 5, 7}'{2, 3, 7, 9} (2) A'(B'C)={1, 3, 5, 7}'{2, 3, 4, 5, 7, 9} ={1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} ={1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} (3) ( 1 ), ( 2 )에 의해 (A'B)'C=A'(B'C) 054 답 (1) A'B=B'A={1, 2, 3} (2) A'B=B'A={2, 4, 6, 8} (3) A'B=B'A={1, 2, 3, 4, 8, 9, 27} (1) A A A 058 답 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) = B C B C B C (2) A A A B C B C B C 059 답 (1) {4, 8} (2) {4, 8} (3) (A;B);C=A;(B;C) (1) (A;B);C={4, 8};{1, 4, 8} (2) A;(B;C)={2, 4, 6, 8};{4, 8} ={4, 8} ={4, 8} (3) ( 1 ), ( 2 )에 의해 (A;B);C=A;(B;C) (1) A'B={1, 2, 3}, B'A={1, 2, 3}이므로 A'B=B'A A'B=B'A (2) A'B={2, 4, 6, 8}, B'A={2, 4, 6, 8}이므로 (3) A={1, 2, 4, 8}, B={1, 3, 9, 27}이므로 A'B={1, 2, 3, 4, 8, 9, 27}, B'A={1, 2, 3, 4, 8, 9, 27} ∴ A'B=B'A 055 답 (1) A;B=B;A={4, 6} (2) A;B=B;A={3, 5} (3) A;B=B;A={3} (1) A;B={4, 6}, B;A={4, 6}이므로 (2) A;B={3, 5}, B;A={3, 5}이므로 A;B=B;A A;B=B;A 14 정답 및 해설 (3) A={1, 3, 9, 27}, B={2, 3, 5, 7, 11, …}이므로 A;B={3}, B;A={3} ∴ A;B=B;A 060 답 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) = (1) A A A 056 답 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) = B C B C B C Õ Õ Ö Ö Õ YBM(해)-01단원(10~25)OK.indd 14 2017-12-21 오후 2:34:38 정답 및 해설 (2) A A A 065 답 (1) {4} (2) {4} (3) (A'B)` =A` ;B` B C B C B C 061 답 (1) {1, 2, 3, 4, 5, 7} (2) {1, 2, 3, 4, 5, 7} (3) A'(B;C)=(A'B);(A'C) (1) A'(B;C)={1, 3, 5, 7}'{2, 4, 7} ={1, 2, 3, 4, 5, 7} (2) (A'B);(A'C)={1, 2, 3, 4, 5, 7};{1, 2, 3, 4, 5, 7} ={1, 2, 3, 4, 5, 7} (3) ( 1 ), ( 2 )에 의해 A'(B;C)=(A'B);(A'C) (1) A'B={2, 3, 5}이므로 (A'B)` ={4} (2) A` ;B` ={4, 5};{3, 4}={4} (3) ( 1 ), ( 2 )에 의해 (A'B)` =A` ;B` 066 답 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) = (1) U A B U A B (2) U A B U A B U A B Õ 062 답 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) = (1) A A A 067 답 (1) {1, 3, 4} (2) {1, 3, 4} (3) (A;B)` =A` 'B` B C B C B C 068 답 (1) A` ;B (2) A` 'B (3) A;B` (4) A'B` Ö Ö Õ B C B C B C (2) A A A 063 답 (1) {4, 8} (2) {4, 8} (3) A;(B'C)=(A;B)'(A;C) (1) A;(B'C)={2, 4, 6, 8};{1, 4, 8, 10} (2) (A;B)'(A;C)={4, 8}'{4, 8} ={4, 8} ={4, 8} 064 답 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) = (1) U A B U A B (2) U A B U A B U A B Ö (2) A` 'B` ={1, 4}'{3, 4}={1, 3, 4} (1) A;B={2, 5}이므로 (A;B)` ={1, 3, 4} (3) ( 1 ), ( 2 )에 의해 (A;B)` =A` 'B` (5) A;B (6) A'B (1) (A'B``)` =A` ;(B``)` =A` ;B (2) (A;B``)` =A` '(B``)` =A` 'B (3) (A` 'B)` =(A``)` ;B` =A;B` (4) (A` ;B)` =(A``)` 'B` =A'B` (5) (A` 'B``)` =(A``)` ;(B``)` =A;B (6) (A` ;B``)` =(A``)` '(B``)` =A'B (1) (A'B``)` =A` ;(B``)` =A` ;B ={3, 5, 7, 8};{4, 6, 7, 8}={7, 8} (2) (A;B``)` =A` '(B``)` =A` 'B ={3, 5, 7, 8}'{4, 6, 7, 8}={3, 4, 5, 6, 7, 8} (3) (A` 'B)` =(A``)` ;B` =A;B` ={2, 4, 6};{2, 3, 5}={2} (4) (A` ;B)` =(A``)` 'B` =A'B` ={2, 4, 6}'{2, 3, 5}={2, 3, 4, 5, 6} Ⅰ. 집합과 명제 15 (3) ( 1 ), ( 2 )에 의해 069 답 (1) {7, 8} (2) {3, 4, 5, 6, 7, 8} (3) {2} A;(B'C)=(A;B)'(A;C) (4) {2, 3, 4, 5, 6} YBM(해)-01단원(10~25)OK.indd 15 2017-12-21 오후 2:34:39 070 답 (1) ㉣, ㉡ (2) ㉣, ㉢ (3) ㉡, ㉠, ㉡ (4) ㉢, ㉣ 074 답 (1) 6 (2) 9 (3) 11 (4) 4 (4) (A;B)'(A;B``)=A;(B'B``) 075 답 (1) 15 (2) 22 (3) 4 (4) 33 071 답 (1) A (2) á (3) A` 'B (4) A (5) A;B (1) A;(B'B``)=A;U=A (2) A;(B;A``)=A;(A` ;B) =(A;A``);B=á;B=á (3) A` '(A;B)=(A` 'A);(A` 'B) =U;(A` 'B)=A` 'B =A;U=A (5) A;(A-B)` =A;(A;B``)` =A;{A` '(B``)` } =A;(A` 'B)=(A;A``)'(A;B) =á'(A;B)=A;B 072 답 (1) A,B (2) A,B (3) B,A (1) (A'B);B` =(A;B``)'(B;B``) =(A;B``)'á =A;B` =A-B 따라서 A-B=á이므로 A,B (2) {(A` 'B``);(A'B``)};A={(A` ;A)'B``};A =(á'B``);A=B` ;A =A-B (1) n(A``)=n(U)-n(A)=17-11=6 (2) n(B``)=n(U)-n(B)=17-8=9 (3) n((A;B)``)=n(U)-n(A;B)=17-6=11 (4) n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =11+8-6=13 ∴ n((A'B)``)=n(U)-n(A'B)=17-13=4 (1) n(A``)=n(U)-n(A)=40-25=15 (2) n(B``)=n(U)-n(B)=40-18=22 (3) n(A` ;B``)=n((A'B)``) =n(U)-n(A'B)=40-36=4 (4) n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B) =25+18-36=7 ∴ n(A` 'B``)=n((A;B)``) =n(U)-n(A;B)=40-7=33 076 답 (1) 13 (2) 13 (3) 10 (4) 10 (1) n(A-B)=n(A)-n(A;B)=23-10=13 (2) n(A;B``)=n(A-B)=13 (3) n(B-A)=n(B)-n(A;B)=20-10=10 (4) n(B;A``)=n(B-A)=10 따라서 A-B=á이므로 A,B 077 답 (1) 10 (2) 10 (3) 12 (4) 12 (3) (A'B);(A` ;B)` =(A'B);(A'B``) (1) n(A-B)=n(A'B)-n(B)=25-15=10 =A'(B;B``) =A'á=A 따라서 A=A'B이므로 B,A (2) n(A;B``)=n(A-B)=10 (3) n(B-A)=n(A'B)-n(A)=25-13=12 (4) n(B;A``)=n(B-A)=12 (2) n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) -n(A;B)-n(B;C)-n(C;A)+n(A;B;C) 073 답 (1) 4 (2) 9 (3) 4 (4) 8 (5) 23 (1) n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =3+2-1=4 =5+4-0=9 =8+6-10=4 (3) n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B) (4) n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B) =17+23-32=8 (5) n(B)=n(A'B)+n(A;B)-n(A) =48+10-35=23 16 정답 및 해설 078 답 (1) 24 (2) 27 (1) n(A'B'C) =n(A)+n(B)+n(C) =20+6+12-3-2-11+2=24 (2) n(A'B'C) =n(A)+n(B)+n(C) -n(A;B)-n(B;C)-n(C;A)+n(A;B;C) =18+5+10-2-2-4+2=27 079 답 (1) 3 (2) 5 YBM(해)-01단원(10~25)OK.indd 16 2017-12-21 오후 2:34:40 정답 및 해설 (1) n(A;B;C) 집합 B는 원소 1, 3, 4를 포함하고 원소 2, 5를 포함하지 않아 =n(A'B'C)-n(A)-n(B)-n(C) 야 한다. +n(A;B)+n(B;C)+n(C;A) 따라서 집합 B가 될 수 없는 것은 ③이다. =26-10-14-13+3+5+6=3 (2) n(A;B;C) 답 084 ③ =n(A'B'C)-n(A)-n(B)-n(C) B` ={1, 3, 5}이므로 A-B` ={2, 6} +n(A;B)+n(B;C)+n(C;A) 따라서 집합 A-B` 의 모든 원소의 합은 8이다. =23-18-12-13+8+7+10=5 답 080 17 답 085 ⑤ A-B={3}에서 A;B={1, 5, 2a-b} 인성이네 반 학생 중 독서 동아리에 가입한 학생의 집합을 A, 즉, 5<B이므로 -a+2b=5 … ㉠ 영화 감상 동아리에 가입한 학생의 집합을 B라고 하면 이때 8<A이므로 2a-b=8 … ㉡ n(A)=13, n(B)=9, n(A;B)=5 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=7, b=6 독서 동아리와 영화 감상 동아리 중 적어도 하나의 동아리에 ∴ a+b=13 =13+9-5=17 ④ (B``)` =B이므로 A` -B` =A` ;(B``)` =A` ;B 가입한 학생의 집합은 A'B이므로 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) 따라서 독서 동아리와 영화 감상 동아리 중 적어도 하나의 동아 리에 가입한 학생은 17명이다. 081 답 13 수학을 좋아하는 학생의 집합을 A, 영어를 좋아하는 학생의 집 합을 B라고 하면 수학과 영어를 모두 좋아하는 학생의 집합은 (A;B)'(A` 'B)` =(A;B)'(A;B``) =A;(B'B``) =A;U=A A;B이다. 답 088 ③ n(A)=19, n(B)=21, n(A'B)=27이므로 n(A;B)=n(A)-n(A-B)=12-8=4 n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B) ∴ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =19+21-27=13 =12+7-4=15 따라서 수학과 영어를 모두 좋아하는 학생은 13명이다. 082 답 (1) 24 (2) 6 평영을 할 수 있는 학생의 집합을 A, 접영을 할 수 있는 학생의 (1) 영지네 반 학생 전체의 집합을 U, 놀이공원을 좋아하는 학 집합을 B라고 하면 생의 집합을 A, 동물원을 좋아하는 학생의 집합을 B라고 n(A)=15, n(B)=13, n(A'B)=19 하면 평영과 접영을 모두 할 수 있는 학생의 집합은 A;B이므로 n(A)=15, n(B)=17, n(A;B)=8이므로 n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B) n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =15+13-19=9 =15+17-8=24 따라서 구하는 학생 수는 9명이다. 답 086 ④ 답 087 ③ 089 답 9 따라서 놀이공원 또는 동물원을 좋아하는 학생은 24명이다. (2) 놀이공원과 동물원 중 어느 곳도 좋아하지 않는 학생 수는 n((A'B)``)=n(U)-n(A'B) =30-24=6 답 083 ③ 3 명제 38쪽~60쪽 090 답 (1) × (2) (3) (4) (5) (6) (7) × (8) × Ⅰ. 집합과 명제 17 YBM(해)-01단원(10~25)OK.indd 17 2017-12-21 오후 2:34:41 (2) 7-x=2-x에서 7=2이므로 거짓인 명제이다. (4) 3은 짝수가 아니므로 거짓인 명제이다. 091 답 (1) 명제, 참 (2) 조건 (3) 명제, 거짓 (4) 조건 q : xÛ`-9x+14<0에서 (x-2)(x-7)<0 (5) 명제, 거짓 (6) 명제, 거짓 (7) 조건 (8) 명제, 참 093 답 (1) P={1, 2, 3, 4} (2) P={1, 2, 3, 4, 5} p : (x-1)(x-2)=0에서 x=1 또는 x=2 (3) P={2, 3, 5, 7} (4) P={4, 8} (5) P={2} ∴ P={1, 2} 095 답 (1) {3, 4} (2) {1, 2} (3) {6} (1) 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 p : xÉ4에서 P={1, 2, 3, 4} ∴ 2<x<7 ∴ Q={3, 4, 5, 6} 따라서 조건 ‘p 그리고 q’의 진리집합은 P;Q={3, 4} (2) 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 q : xÉ4에서 Q={1, 2, 3, 4} 따라서 조건 ‘p 그리고 q’의 진리집합은 P;Q={1, 2} (3) 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 P={3, 6, 9}, Q={2, 4, 6, 8, 10} 따라서 조건 ‘p 그리고 q’의 진리집합은 P;Q={6} (4) x+2 그리고 x+3 (5) 1Éx<3 (6) x=0 또는 x=2 (7) xÉ1 또는 x¾5 098 답 (1) 거짓, 4는 홀수가 아니다., 참 (2) 참, 2 는 무리수가 아니다., 거짓 1 (3) 거짓, 5는 10의 배수가 아니다., 참 (4) 참, 3+4+7, 거짓 (5) 참, 정삼각형은 이등변삼각형이 아니다., 거짓 (6) 거짓, 3+12É15, 참 099 답 (1) {1, 2} (2) {-2, -1, 1} (3) {-2, -1} (4) {-1, 2} (1) 조건 p의 진리집합을 P라고 하면 P={-2, -1, 0} 따라서 조건 ~p의 진리집합은 P` ={1, 2} (2) 조건 p의 진리집합을 P라고 하면 P={0, 2} 따라서 조건 ~p의 진리집합은 P` ={-2, -1, 1} (3) 조건 p의 진리집합을 P라고 하면 P={0, 1, 2} 092 답 (1) 참, 참, 거짓, 거짓, 참, 거짓, 거짓 (2) 1, 2, 3, 6 (3) P={1, 2, 3, 6} (6) P={3} (7) P={1, 5} (2) 2x-1É9에서 2xÉ10, 즉 xÉ5 ∴ P={1, 2, 3, 4, 5} (5) xÛ`=4에서 x=Ñ2 이때 -2²U이므로 P={2} (6) 5x-15=0에서 x=3이므로 P={3} (7) xÛ`-6x+5=0에서 (x-1)(x-5)=0이므로 x=1 또는 x=5 ∴ P={1, 5} p : 3ÉxÉ7에서 P={3, 4, 5, 6, 7} q : 3x-4¾5에서 x¾3 ∴ Q={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 따라서 조건 ‘p 또는 q’의 진리집합은 P'Q={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (2) 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 p : 2x-5=5에서 x=5 ∴ P={5} q : x-4<2에서 x<6 ∴ Q={1, 2, 3, 4, 5} 따라서 조건 ‘p 또는 q’의 진리집합은 P'Q={1, 2, 3, 4, 5} (3) 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 p : x는 소수이므로 P={2, 3, 5, 7} q : xÛ`-7x+12=0에서 (x-3)(x-4)=0 ∴ x=3 또는 x=4 ∴ Q={3, 4} 따라서 조건 ‘p 또는 q’의 진리집합은 P'Q={2, 3, 4, 5, 7} 18 정답 및 해설 094 답 (1) {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (2) {1, 2, 3, 4, 5} (3) {2, 3, 4, 5, 7} (1) 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 097 답 (1) x는 짝수가 아니다. (2) x¾1 (3) x+0 096 답 (1) 2는 소수가 아니다. (2) 정사각형은 직사각형이 아니다. (3) 2+3+5 (4) 1 5 는 실수가 아니다. (5) 4는 2의 배수가 아니다. (6) 2²{1, 2} (7) 0<á YBM(해)-01단원(10~25)OK.indd 18 2017-12-21 오후 2:34:42 정답 및 해설 따라서 조건 ~p의 진리집합은 P` ={-2, -1} (6) [반례] 밑변의 길이가 4, 높이가 1인 삼각형과 밑변의 길이가 (4) 조건 p의 진리집합을 P라고 하면 P={-2, 0, 1} 2, 높이가 2인 삼각형은 넓이가 2로 같지만 두 삼각형 따라서 조건 ~p의 진리집합은 P` ={-1, 2} 은 합동이 아니다. (거짓) 100 답 (1) 가정 : x는 4의 배수이다., 결론 : x는 2의 배수이다. 103 답 (1) 참 (2) 참 (3) 거짓 (4) 거짓 (5) 참 (2) 가정 : x=2이다., 결론 : xÛ`=4이다. (3) 가정 : a=0 또는 b=0이다., 결론 : ab=0이다. (4) 가정 : x가 10 이하의 소수이다., 결론 : x는 홀수이다. (5) 가정 : △ABC에서 ∠A=∠B이다., 결론 : △ABC는 이등변삼각형이다. (1) R,P이므로 명제 r p는 참 1Ú (2) R,Q이므로 명제 r 1Ú (3) R` øP` 이므로 명제 ~r q는 참 ~p는 거짓 (4) P` øQ` 이므로 명제 ~p ~q는 거짓 (5) Q` ,R` 이므로 명제 ~q ~r는 참 1Ú 1Ú 1Ú 101 답 (1) 참 (2) 거짓 (3) 거짓 (4) 참 (5) 참 (1) xÛ`=9에서 xÛ`-9=0, (x+3)(x-3)=0 ∴ x=-3 또는 x=3 즉, P={3}, Q={-3, 3}이므로 P,Q ∴ 참 (2) xÛ`>1에서 xÛ`-1>0, (x+1)(x-1)>0 104 답 (1) 참, 참, 거짓, 거짓, 참, 거짓, 거짓, 거짓 (2) ① 참 ② 거짓 ③ 거짓 (3) ① 참 ② 참 ③ 거짓 105 답 (1) 거짓 (2) 참 (3) 참 (4) 거짓 ∴ x<-1 또는 x>1 (1) p : xÛ`<0이라 하고 조건 p의 진리집합을 P라고 하면 즉, P={x|x<-1 또는 x>1}, Q={x|x>1}이므로 P=á (3) P={(x, y)|x=0 또는 y=0}, Q={(x, y)|x=0, y=0} (2) p : 2x-3É1이라 하고 조건 p의 진리집합을 P라고 하면 (4) P={6, 12, 18, …}, Q={2, 4, 6, …}이므로 따라서 P=U이므로 주어진 명제는 참이다. 따라서 주어진 명제는 거짓이다. 2x-3É1에서 2xÉ4 ∴ xÉ2 ∴ P={-2, -1, 0, 1, 2} (3) p : xÛ`É1이라 하고 조건 p의 진리집합을 P라고 하면 xÛ`É1에서 xÛ`-1É0, -1ÉxÉ1 ∴ P={-1, 0, 1} (4) p : xÛ`+yÛ`>0이라 하고 조건 p의 진리집합을 P라고 하면 x=0, y=0일 때 xÛ`+yÛ`=0 ∴ P={-2, -1, 1, 2} PøQ ∴ 거짓 이므로 PøQ ∴ 거짓 P,Q ∴ 참 P,Q ∴ 참 (5) xÛ`-4x+3=0에서 (x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3 즉, P={1, 3}, Q={x|0<x<4}이므로 따라서 P+á이므로 주어진 명제는 참이다. 102 답 (1) 참 (2) 거짓 (3) 참 (4) 거짓 (5) 참 (6) 거짓 따라서 P+U이므로 주어진 명제는 거짓이다. (1) p : x<2, q : x<3의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 P={x|x<2}, Q={x|x<3}이므로 P,Q (참) 106 답 (1) 거짓 (2) 참 (3) 참 (4) 거짓 (2) [반례] x=2일 때 xÛ`=4이지만 x+-2이다. (거짓) (1) [반례] x=0일 때, |x|>0이 성립하지 않으므로 거짓이다. (3) p : 1<x<2, q : 0<x<3의 진리집합을 각각 P, Q라고 (2) 네 변의 길이가 같은 직사각형은 정사각형이다. 하면 P={x|1<x<2}, Q={x|0<x<3}이므로 (3) xÛ`-2x+1=0에서 (x-1)Û`=0 ∴ x=1 P,Q (참) 즉, x=1이면 xÛ`-2x+1=0이므로 주어진 명제는 참이다. (4) [반례] x=12이면 x는 12의 양의 약수이지만 6의 양의 약수 (4) [반례] x=-1이면 x+1>0이 성립하지 않으므로 거짓이 가 아니다. (거짓) (5) xÛ`-5x+4=0에서 (x-1)(x-4)=0 ∴ x=1 또는 x=4 다. p : x=1, q : xÛ`-5x+4=0의 진리집합을 각각 P, Q라고 (2) 어떤 실수 x에 대하여 3xÛ`+2É0이다. (거짓) 하면 P={1}, Q={1, 4}이므로 P,Q (참) (3) 모든 소수는 짝수가 아니다. (거짓) 107 답 (1) 모든 자연수 x에 대하여 x≥1이다. (참) Ⅰ. 집합과 명제 19 YBM(해)-01단원(10~25)OK.indd 19 2017-12-21 오후 2:34:43 (4) 어떤 실수 x에 대하여 xÛ`+x+1É0이다. (거짓) (1) ② r ~q가 참이면 그 대우 q ~r가 반드시 (5) 모든 실수 x에 대하여 -2<xÉ1이다. (거짓) (1) 부정 : 모든 자연수 x에 대하여 x¾1이다. 모든 자연수 x에 대하여 x¾1이 성립하므로 참이다. (2) ① r q가 참이므로 그 대우 ~q ~r가 반드시 p 1Ú q, q 1Ú ~r가 참이므로 p ~r도 참이다. (2) 부정 : 어떤 실수 x에 대하여 3xÛ`+2É0이다. 3xÛ`+2É0을 만족하는 실수 x는 존재하지 않으므로 주어진 명제의 부정은 거짓이다. (3) 부정 : 모든 소수는 짝수가 아니다. [반례] 2는 소수이지만 짝수이다. 따라서 주어진 명제의 부정은 거짓이다. 모든 실수 x에 대하여 xÛ`+x+1= x+ `+ >0이므로 { ;2!;} ;4#; 주어진 명제의 부정은 거짓이다. (5) 부정 : 모든 실수 x에 대하여 -2<xÉ1이다. 주어진 명제의 부정은 거짓이다. (4) 부정 : 어떤 실수 x에 대하여 xÛ`+x+1É0이다. (3) ① ~p ~q가 참이면 그 대우 q p가 반드시 r 1Ú q, q 1Ú ~p가 참이므로 r ~p도 참이다. 1Ú 1Ú 1Ú 1Ú 1Ú 1Ú ~q, ~q ~r가 참이므로 p ~r도 1Ú 1Ú ③ p ~q가 참이므로 그 대우 q ~p가 반드시 r 1Ú q, q 1Ú p가 참이므로 r p도 참이다. ③ r q가 참이면 그 대우 ~q ~r가 반드시 1Ú 1Ú ~p ~q, ~q ~r가 참이므로 ~p ~r 1Ú 1Ú 1Ú 참이다. 1Ú 참이다. p 1Ú 참이다. 1Ú 참이다. 1Ú 참이다. 1Ú 참이다. 1Ú 도 참이다. 1Ú 참이다. 1Ú 참이다. 108 답 (1) 역 (2) 대우 (3) 대우 (4) 역 (5) 역 (6) 역 (7) 대우 (8) 역 (4) ① ~p q가 참이면 그 대우 ~q p가 반드시 1Ú 109 답 (1) 참, x+y=5이면 x=2이고 y=3이다., 거짓, x+y+5이면 x+2 또는 x+3이다.,참 (2) 참, x=0이고 y=0이면 xÛ`+yÛ`=0이다., 참, x+0 또는 y+0이면 xÛ`+yÛ`+0이다., 참 (3) 참, x=0 또는 x=1이면 xÛ`=x이다., 참, x+0이고 x+1이면 xÛ`+x이다., 참 (4) 참, x가 16의 약수이면 x는 8의 약수이다., 거짓, x가 16의 약수가 아니면 x는 8의 약수가 아니다., 참 ② ~r ~p, ~p q가 참이므로 ~r q도 1Ú 1Ú 112 답 (1) 참, 거짓, 충분 (2) 거짓, 참, 필요 (3) 참, 참, 필요충분 (4) 참, 거짓, 충분 (5) 참, 거짓, 충분 (6) 참, 참, 필요충분 (1) ① 명제 p q, 즉 ‘x=0이면 xÛ`=x이다.’는 참이다. ② 명제 q p, 즉 ‘xÛ`=x이면 x=0이다.’는 거짓이다. 1Ú 1Ú [반례] x=1 (5) 참, 두 삼각형의 넓이가 같으면 두 삼각형은 합동이다., ③ ①, ②에서 p q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다. 거짓, 두 삼각형의 넓이가 같지 않으면 두 삼각형은 합 (2) ① 명제 p q, 즉 ‘x>2이면 x>4이다.’는 거짓이다. 동이 아니다., 참 ② 명제 q p, 즉 ‘x>4이면 x>2이다.’는 참이다. 110 답 (1) (ㅂ) (2) (ㄴ) (3) (ㅇ) (4) (ㅁ) (5) (ㄹ) (6) (ㄱ) ③ ①, ②에서 q p이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다. (1) p q의 대우는 ~q ~p ∴ (ㅂ) (3) ① 명제 p q, 즉 ‘x=2이면 (x-2)Û`=0이다.’는 참이다. (2) ~p q의 대우는 ~q p ∴ (ㄴ) ② 명제 q p, 즉 ‘(x-2)Û`=0이면 x=2이다.’는 참이다. (3) ~p ~q의 대우는 q p ∴ (ㅇ) ③ ①, ②에서 p q이고 q p, 즉 p q이므로 jjK jjK HjjK (4) q p의 대우는 ~p ~q ∴ (ㅁ) p는 q이기 위한 필요충분조건이다. (5) ~q p의 대우는 ~p q ∴ (ㄹ) (4) ① 명제 p q, 즉 ‘△ABC가 정삼각형이면 ∠A=60°이 1Ú 1Ú 1Ú 1Ú 1Ú 1Ú 1Ú 1Ú 1Ú 1Ú 1Ú 1Ú (6) ~q ~p의 대우는 p q ∴ (ㄱ) ② 명제 q p, 즉 ‘∠A=60°이면 △ABC가 정삼각형이 1Ú [반례] x=3 jjK jjK 1Ú 1Ú 1Ú 1Ú 다.’는 참이다. 1Ú 다.’는 거짓이다. [반례] ∠A=60°, ∠B=30°, ∠C=90°이면 △ABC는 직 111 답 (1) ×, ◯, × (2) ◯, ×, ◯ (3) ◯, ×, ◯ (4) ◯, ◯, × 20 정답 및 해설 YBM(해)-01단원(10~25)OK.indd 20 2017-12-21 오후 2:34:44 정답 및 해설2 각삼각형이다. (3) 두 조건 p, q의 진리집합을 P, Q라고 할 때, P,Q가 되도 ③ ①, ②에서 p q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다. 록 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다. (5) ① 명제 p q, 즉 ‘x는 4의 배수이면 x는 2의 배수이다.’ 1Ú 는 참이다. ② 명제 q p, 즉 ‘x는 2의 배수이면 x는 4의 배수이다.’ 1Ú 는 거짓이다. [반례] x=2 ③ ①, ②에서 p q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다. (6) ① 명제 p q, 즉 ‘|x|+|y|=0이면 x=0이고 y=0이 jjK jjK 1Ú 다.’는 참이다. 1Ú 다.’는 참이다. ③ ①, ②에서 p q이고 q p, 즉 p q이므로 jjK jjK HjjK p는 q이기 위한 필요충분조건이다. 113 답 (1) ① {10, 20, 30, ⋯} ② {5, 10, 15, ⋯} ③ ,, 충분 (2) ① {x|0ÉxÉ3} ② {x|1ÉxÉ2} ③ ., 필요 (3) ① {-1, 1} ② {-1, 1} ③ =, 필요충분 -14 a 8 10 x 따라서 -14<aÉ8이므로 정수 a의 최솟값은 -13이다. (4) 두 조건 p, q의 진리집합을 P, Q라고 할 때, P,Q가 되도 록 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다. -aÉ-1, 4Éa ∴ a¾4 따라서 정수 a의 최솟값은 4이다. (5) 두 조건 p, q의 진리집합을 P, Q라고 할 때, P,Q가 되도 록 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다. ② 명제 q p, 즉 ‘x=0이고 y=0이면 |x|+|y|=0이 -a -1 4 a x 1 a 4 5 x Q P -3 0 a 2 x (4) ① {2, 3} ② {2, 3} ③ =, 필요충분 따라서 1ÉaÉ4이므로 정수 a의 최솟값은 1이다. (5) ① {(x, y)|x=y} ② {(x, y)|x=y 또는 x=-y} (6) 두 조건 p, q의 진리집합을 P, Q라고 할 때, P,Q가 되도 ③ ,, 충분 록 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다. (6) ① {-1, 7} ② {-1} ③ ., 필요 (7) ① {x|x>2} ② {x|2<xÉ3} ③ ., 필요 (3) ① xÛ`=1에서 x=Ñ1 ∴ P={-1, 1} (4) ① xÛ`-5x+6=0에서 (x-2)(x-3)=0 ∴ x=2 또는 x=3 ∴ P={2, 3} ∴ x=-1 또는 x=7 ∴ P={-1, 7} (6) ① xÛ`-6x-7=0에서 (x+1)(x-7)=0 록 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다. 따라서 0ÉaÉ2이므로 정수 a의 최댓값은 2이다. 115 답 (1) 5 (2) 1 (3) 4 (4) -1 (5) 0 (6) 5 (7) 2 (1) 두 조건 p, q의 진리집합을 P, Q라고 할 때, Q,P가 되도 114 답 (1) 4 (2) -2 (3) -13 (4) 4 (5) 1 (6) 2 따라서 a¾5이므로 정수 a의 최솟값은 5이다. (1) 두 조건 p, q의 진리집합을 P, Q라고 할 때, P,Q가 되도 (2) 두 조건 p, q의 진리집합을 P, Q라고 할 때, Q,P가 되도 록 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다. 록 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다. -3 1 5 a x Q P Q P -1 0 3 a x a 1 5 7 x 따라서 a>3이므로 정수 a의 최솟값은 4이다. 따라서 aÉ1이므로 정수 a의 최댓값은 1이다. (2) 두 조건 p, q의 진리집합을 P, Q라고 할 때, P,Q가 되도 (3) 두 조건 p, q의 진리집합을 P, Q라고 할 때, Q,P가 되도 록 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다. 록 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다. a -1 4 5 x 0 2 4 a x 따라서 a<-1이므로 정수 a의 최댓값은 -2이다. 따라서 a¾4이므로 정수 a의 최솟값은 4이다. Ⅰ. 집합과 명제 21 Q P Q P Q P P Q P Q P Q YBM(해)-01단원(10~25)OK.indd 21 2017-12-21 오후 4:21:48 P Q P Q P Q P Q (4) 두 조건 p, q의 진리집합을 P, Q라고 할 때, Q,P가 되도 119 답 (1) A>B (2) A>B (3) A>B (4) ABÛ` 이때 A>0, B>0이므로 A>B (2) AÛ`=( 7+ 1 BÛ`=( 5+ 1 8)Û`=15+2 14 10 )Û`=15+2 56 50 1 56 > 14 14 50이므로 AÛ`>BÛ` 14 14 이때 A>0, B>0이므로 A>B = {;6(;} = {;2#;} 1`5` 1`5` >1 (3) = ;bA; 3Ü`â` 6Ú`Þ` 3Û` 6 } = { 이때 A>0, B>0이므로 A>B (4) = ;bA; 2ß`â` 3Ý`â` = { 2Ü` 3Û` } = <1 {;9*;} 2`0` 이때 A>0, B>0이므로 A, >, >, >, > 단, 등호는 a= { 16 a 일 때 성립 } (1) a+ 16 a ¾2 a ´ ® 16 a =2´4=8 따라서 a+ 의 최솟값은 8이다. (2) 3a+ ¾2 3a ´ =2´3=6 3 a 3 a 16 a ® 단, 등호는 3a= { 일 때 성립 } 3 a 따라서 3a+ 의 최솟값은 6이다. ;a#; (3) b a + ¾2 a b b a É ´ a b =2 { 단, 등호는 b a ® = a b 일 때 성립 } 따라서 b a a b + 의 최솟값은 2이다. 123 답 (1) 4 (2) 18 (3) 9 118 답 (1) A¾B (2) A¾B (3) AÉB (1) A-B=xÛ`+x-(5x-4) =xÛ`-4x+4 =(x-2)Û`¾0 ∴ A¾B (2) A-B=3xÛ`-2yÛ`-(2xÛ`-2xy-3yÛ`) ∴ A¾B (3) A-B=2xÛ`+3xy-(3xÛ`+xy+yÛ`) =xÛ`+2xy+yÛ` =(x+y)Û`¾0 =-xÛ`+2xy-yÛ` =-(x-y)Û`É0 ∴ AÉB 22 정답 및 해설 YBM(해)-01단원(10~25)OK.indd 22 2017-12-21 오후 2:34:46 정답 및 해설É É (1) a+b¾2 a b이므로 bÉ a+b a = 2 =2 ;2$; 1 126 답 (1) 15 (2) -5 (3) 2 3 1 1 (단, 등호는 a=b일 때 성립) (1) a, b, x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의해 1 1 따라서 abÉ4이므로 ab의 최댓값은 4이다. (2) a+2b¾2 2 ab이므로 abÉ a+2b 2 = 2 =6 ;;Á2ª;; 1 (단, 등호는 a=2b일 때 성립) 2abÉ36 ∴ abÉ18 따라서 ab의 최댓값은 18이다. (3) aÛ`+bÛ`¾2 ab)Û`=2ab이므로 abÉ aÛ`+bÛ` ( ! 2 = ;;Á2¥;; =9 (단, 등호는 aÛ`=bÛ`, 즉 a=b일 때 성립) xÛ`+yÛ`=1이므로 (3Û`+4Û`)(xÛ`+yÛ`)¾(3x+4y)Û`에서 따라서 ab의 최댓값은 9이다. 25 ´ 1¾(3x+4y)Û`, (3x+4y)Û`É5Û` (aÛ`+bÛ`)(xÛ`+yÛ`)¾(ax+by)Û` aÛ`+bÛ`=5이고 xÛ`+yÛ`=45이므로 5 ´ 45¾(ax+by)Û`, (ax+by)Û`É15Û` ∴ -15Éax+byÉ15 (단, 등호는 ay=bx일 때 성립) 따라서 ax+by의 최댓값은 15이다. (2) x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의해 (aÛ`+bÛ`)(xÛ`+yÛ`)¾(ax+by)Û` ∴ -5É3x+4yÉ5 (단, 등호는 3y=4x일 때 성립) 따라서 3x+4y의 최솟값은 -5이다. (3) x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의해 (aÛ`+bÛ`)(xÛ`+yÛ`)¾(ax+by)Û` xÛ`+yÛ`=4이므로 (3Û`+2Û`)(xÛ`+yÛ`)¾(3x+2y)Û`에서 13 ´ 4¾(3x+2y)Û`, (3x+2y)Û`É(2 3)Û` 1 1 ∴ -2 1 3É3x+2yÉ2 3 (단, 등호는 3y=2x일 때 성립) 1 따라서 3x+2y의 최댓값은 2 3이다. 1 1 1 1 조건 p, q, r, s, t의 진리집합을 각각 P, Q, R, S, T라고 하면 ① P={-2, -1, 0, 1, 2}이므로 n(P)=5 ② Q={4}이므로 n(Q)=1 ③ x-2=Ñ2이므로 R={0, 4} ∴ n(R)=2 ④ x(x-6)=0이므로 S={0, 6} ∴ n(S)=2 ⑤ (x-1)(x-3)É0이므로 1ÉxÉ3 T={1, 2, 3} ∴ n(T)=3 따라서 원소의 개수가 가장 많은 것은 ①이다. 124 답 (1) 4 (2) 12 (3) 10 (1) a+b¾2 a b=2 4=4 (단, 등호는 a=b일 때 성립) 1 1 따라서 a+b의 최솟값은 4이다. (2) 3a+4b¾2 4b)=2 2a b=2 6=12 3a ´ ( ! 1 1 3 1 (단, 등호는 3a=4b일 때 성립) 따라서 3a+4b의 최솟값은 12이다. (3) aÛ`+bÛ`¾2 )Û`=2ab=10 ( ab ! 따라서 aÛ`+bÛ`의 최솟값은 10이다. (단, 등호는 aÛ`=bÛ`, 즉 a=b일 때 성립) 답 127 ① 125 답 (1) 9 (2) 8 (3) 27 (1) { a +;b!;}{ b +;a$;} =ab+4+1+ =ab+ +5 4 ab 4 ab ¾2 ab ´ +5=9 ¾ 단, 등호는 ab= 4 ab 일 때 성립 } 4 ab { 4 ab { 따라서 { a +;b!;}{ b +;a$;} 의 최솟값은 9이다. (2) { a +;b@;}{ b +;a@;} =ab+2+2+ =ab+ +4 4 ab 4 ab ¾2 ab ´ +4=8 ¾ 답 128 ④ 단, 등호는 ab= 4 ab 일 때 성립 } 129 답 {3, 9} 따라서 { a +;b@;}{ b +;a@;} 의 최솟값은 8이다. (3) (a+3b) {;a#;+;b$;} =3+ 4a b + 9b a +12=15+ 4a b + 9b a ¾15+2 ´ =15+12=27 4a b Ð ¾¨ 9b a 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 P={2, 4, 6, 8, 10}, Q={3, 6, 9} 구하는 집합은 P` ;Q이므로 P` ;Q={1, 3, 5, 7, 9};{3, 6, 9}={3, 9} 단, 등호는 = 4a b 9b a { 일 때 성립 } 답 130 ④ 따라서 (a+3b) 의 최솟값은 27이다. {;a#;+;b$;} (ㄱ) [반례] a= 2, b=- 2이면 a+b=0으로 유리수이지만 1 1 a, b는 모두 무리수이다. Ⅰ. 집합과 명제 23 YBM(해)-01단원(10~25)OK.indd 23 2017-12-21 오후 2:34:47 2 2 2 2 2 2 2 4 4 % 2 % $ 4 2 2 $ # Ð ¨ { Ð ¨ ¨ (ㄷ) xÛ`- x+ = x- ;1Á6; { ;4!;} ;2!; ¾0 따라서 참인 명제는 (ㄴ), (ㄷ)이다. 2` 답 135 ① 명제 q ~p가 참이므로 Q,P` 이다. 1Ú 따라서 P` ;Q=Q이므로 옳지 않은 것은 ④이다. 131 답 ④ 132 답 2 명제 ~q r가 참이므로 그 대우 ~r q도 참이다. 1Ú 1Ú 명제 p ~r, ~r q가 모두 참이므로 명제 p 1Ú 1Ú q 1Ú 도 참이다. 따라서 반드시 참인 명제는 ① p q이다. 1Ú 답 136 ④ p가 q이기 위한 충분조건이므로 p q 이때 대우인 명제도 참이므로 ~q ~p이다. jjK jjK 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 따라서 ~p는 ~q이기 위한 필요조건이다. P={x|-1<x<3}, Q={x|aÉxÉb} 명제 p q가 참이 되려면 P,Q이어야 한다. 답 137 ① Q P a -1 3 b x p는 ~q이기 위한 충분조건이므로 P,Q` 따라서 두 집합 P, Q는 서로소이므로 항상 옳은 것은 ①이다. 1Ú 오른쪽 그림에서 aÉ-1, b¾3 이어야 하므로 a의 최댓값은 -1, b의 최솟값은 3이다. ∴ -1+3=2 답 133 ③ ① [반례] 2는 소수이지만 짝수이다. ② 2x+1=4를 만족하는 자연수 x는 없으므로 주어진 명제는 거짓이다. ③ x=-2이면 xÜ`+2<0이므로 주어진 명제는 참이다. ④ [반례] x= 3이면 3x는 유리수이다. 1 1 ⑤ 3x-1=4x+(1-x)를 만족하는 실수 x는 존재하지 않으므 로 거짓인 명제이다. 138 답 4 p가 q이기 위한 충분조건이므로 p q jjK 그 대우도 참이므로 ~q ~p jjK 즉, 명제 ‘x-2=0이면 xÛ`-ax+4=0이다.’가 참이므로 x=2이면 4-2a+4=0이 성립한다. ∴ a=4 139 답 (가) 홀수 (나) 짝수 (다) 홀수 (라) 짝수 140 답 (가) 유리수 (나) 유리수 (다) 유리수 (라) 무리수 141 답 ④ ①, ③, ⑤ [반례] a=-1, b=2 ② [반례] a=1, b=-2 답 134 ② ① 역 : aÛ`=bÛ`이면 a=b이다. (거짓) ④ aÛ`=|a|Û`, bÛ`=|b|Û` 이므로 |a|Û`<|b|Û` [반례] a=-2, b=2이면 aÛ`=bÛ`이지만 a+b이다. 이때 |a|>0, |b|>0이므로 |a|<|b| ② 역 : a+c=b+c이면 a=b이다. (참) 따라서 항상 성립하는 것은 ④이다. ③ 역 : a+b>0이면 a>0이고 b>0이다. (거짓) [반례] a=2, b=-1이면 a+b>0이지만 a>0이고 답 142 ③ ④ 역 : 두 대각선의 길이가 같은 사각형은 정사각형이다. a>0, b>0이므로 a+b¾2 a b=2 1 6=12 3 1 (단, 등호는 a=b일 때 성립) [반례] 직사각형은 두 대각선의 길이가 같지만 정사각형 (거짓) 따라서 구하는 최솟값은 12이다. ⑤ 역 : a가 4의 양의 약수이면 a는 2의 양의 약수이다. (거짓) [반례] a=4이면 a는 4의 양의 약수이지만 2의 양의 약 답 143 ② a+ 1 =a-1+ 1 +1 a-1 a-1 ¾2 (a -1) ´ ¾ 1 a-1 +1 b<0이다. 은 아니다. 수는 아니다. 24 정답 및 해설 YBM(해)-01단원(10~25)OK.indd 24 2017-12-21 오후 2:34:48 정답 및 해설2 2 ¨ ¨ ¨ =3 { 단, 등호는 a-1= 1 a-1 일 때 성립 } 의 최솟값은 m=3이고, 그때의 a의 값은 따라서 a+ 1 a-1 n=2이다. ∴ m+n=3+2=5 답 144 ② x, y가 실수이므로 (2Û`+1Û`)(xÛ`+yÛ`)¾(2x+y)Û` xÛ`+yÛ`=a이므로 5a¾(2x+y)Û` ∴ - aÉ2x+yÉ 5 1 5 1 a (단, 등호는 2y=x일 때 성립) 따라서 2x+y의 최댓값은 a이므로 5 1 5 a=5 ∴ a=5 1 Ⅱ 함수 1 함수 001 답 (1) (2) (3) X 2 4 5 X 2 4 6 X 17 18 19 20 Y 1 2 3 4 Y 1 2 3 4 Y 0 1 2 3 4 64쪽~74쪽 002 답 (1) × (2) (3) (4) × (5) (6) × (1) 집합 X의 원소 2에 대응하는 집합 Y의 원소가 없으므로 함수가 아니다. 함수가 아니다. 함수가 아니다. (4) 집합 X의 원소 0에 대응하는 집합 Y의 원소가 2개이므로 (6) 집합 X의 원소 2에 대응하는 집합 Y의 원소가 2개이고, 집합 X의 원소 3에 대응하는 집합 Y의 원소는 없으므로 003 답 (1) 함수이다., 정의역 : {1, 2, 3}, 공역 : {1, 2}, 치역 : {1, 2} (2) 함수가 아니다. (3) 함수가 아니다. (4) 함수이다., 정의역 : {1, 2, 3}, 공역 : {a, b, c, d}, 치역 : {b, d} 004 답 (1) 정의역 : {x|x는 모든 실수}, 치역 : {y|y는 모든 실수} (2) 정의역 : {x|x는 모든 실수}, 치역 : {y|y¾0} (3) 정의역 : {x|x+0인 실수}, 치역 : {y|y+0인 실수} (4) 정의역 : {x|x는 모든 실수}, 치역 : {y|y는 모든 실수} (1) y=x+2는 모든 실수에서 정의되므로 정의역은 {x|x는 모든 실수}, 치역은 {y|y는 모든 실수} (2) y=xÛ`은 모든 실수에서 정의되고, xÛ`¾0이므로 정의역은 {x|x는 모든 실수}, 치역은 {y|y¾0} Ⅱ. 함수 25 YBM(해)-02-1,2단원(25~37)OK.indd 25 2017-12-21 오후 2:38:04 2 2 2 2 (3) y= 는 x+0인 실수에서 정의되고, +0이므로 ;[@; ;[@; 정의역은 {x|x+0인 실수}, 치역은 {y|y+0인 실수} (4) y=5x는 모든 실수에서 정의되므로 정의역은 {x|x는 모든 실수}, 치역은 {y|y는 모든 실수} 005 답 (1) 1 (2) -3 3 (3) -3+3 2 (4) 6+3 3 1 (1) 4는 유리수이므로 f(4)=4-3=1 1 1 3 은 무리수이므로 f( 3)=-3 1 3 1 2가 무리수이므로 f(1- 2)=-3(1- 2)=-3+3 1 1 2 1 3이 무리수이므로 (2) 1 (3) 1- 1 (4) -2- 1 f(-2- 3)=-3(-2- 3)=6+3 1 1 3 1 006 답 (1) 4 (2) 7 (3) 9 (1) f(3)=3+1=4 (2) f(22)=f(22-2)=f(20) =f(20-2)=f(18) =f(18-2)=f(16) = y =f(6)=6+1=7 (3) f(2)=2+1=3 f(19)=f(17)=f(15)= y =f(5)=5+1=6 ∴ f(2)+f(19)=3+6=9 007 답 (1) f(x)=4x+9 (2) f(x)=xÛ`-4x+3 (3) f(x)=3x-2 (4) f(x)=9xÛ`-3x (2) x+2=3에서 x=1 f(x+2)=xÛ`-3에 x=1을 대입하면 f(3)=1Û`-3=-2 (3) x-2 3 =3에서 x=11 x-2 3 } f { =4x+1에 x=11을 대입하면 f(3)=4´11+1=45 (4) x+3 2 =3에서 x=3 x+3 2 f { } f(3)=3Û`-5=4 =xÛ`-5에 x=3을 대입하면 009 답 (1) 1 (2) 9 (3) 81 (1) f(x+y)=f(x)f(y)에 x=1, y=0을 대입하면 f(1)=f(1)f(0)에서 3=3f(0) ∴ f(0)=1 (2) f(x+y)=f(x)f(y)에 x=1, y=1을 대입하면 f(2)=f(1)f(1)=3Û`=9 (3) f(x+y)=f(x)f(y)에 x=2, y=2를 대입하면 f(4)=f(2)f(2)=9Û`=81 010 답 (1) 0 (2) 3 (3) 30 (1) f(x+y)=f(x)+f(y)에 x=0, y=0을 대입하면 f(0)=f(0)+f(0) ∴ f(0)=0 (1) f(x-2)=4x+1에서 x-2=t로 놓으면 x=t+2 (2) f(x+y)=f(x)+f(y)에 x=1, y=1을 대입하면 따라서 f(t)=4(t+2)+1=4t+9 ∴ f(x)=4x+9 f(1+1)=f(1)+f(1), f(2)=2f(1) 6=2f(1) ∴ f(1)=3 (2) f(x+2)=xÛ`-1에서 x+2=t로 놓으면 x=t-2 (3) f(x+y)=f(x)+f(y)에 x=2, y=2를 대입하면 f(4)=f(2)+f(2)=6+6=12 x=4, y=4를 대입하면 f(8)=f(4)+f(4)=12+12=24 ∴ f(10)=f(8+2)=f(8)+f(2)=24+6=30 따라서 f(t)=(t-2)Û`-1=tÛ`-4t+3 ∴ f(x)=xÛ`-4x+3 (3) f { x+1 3 } x+1 3 =x-1에서 =t로 놓으면 x=3t-1 따라서 f(t)=(3t-1)-1=3t-2 ∴ f(x)=3x-2 (4) f { -x+1 3 } ∴ f(x)=9xÛ`-3x 따라서 f(t)=(-3t+1)Û`-(-3t+1)=9tÛ`-3t =xÛ`-x에서 =t로 놓으면 x=-3t+1 -x+1 3 011 답 (1) 서로 같은 함수가 아니다. (2) 서로 같은 함수가 아니다. (3) 서로 같은 함수이다. (4) 서로 같은 함수이다. (5) 서로 같은 함수이다. 008 답 (1) -1 (2) -2 (3) 45 (4) 4 (1) x+3=3에서 x=0 (1) f(x)=x, g(x)=xÛ`에서 f(-1)=-1, g(-1)=1 즉, f(-1)+g(-1)이므로 서로 같은 함수가 아니다. f(x+3)=4x-1에 x=0을 대입하면 (2) f(x)=x-1, g(x)=x+1에서 f(-1)=-2, g(-1)=0 f(3)=4´0-1=-1 즉, f(-1)+g(-1)이므로 서로 같은 함수가 아니다. 26 정답 및 해설 YBM(해)-02-1,2단원(25~37)OK.indd 26 2017-12-21 오후 2:38:05 정답 및 해설 (3) f(x)=|x|, g(x)=xÛ`에서 014 답 (1) ◯ (2) × (3) ◯ (4) × (5) ◯ f(-1)=g(-1)=1, f(0)=g(0)=0, f(1)=g(1)=1 (1) 그래프 위에 y축과 평행한 직선을 f(-1)=g(-1)=1, f(0)=g(0)=0, f(1)=g(1)=1 이므로 서로 같은 함수이다. (4) f(x)=|-x|, g(x)= !# x Û` 에서 이므로 서로 같은 함수이다. (5) f(x)=x-2, g(x)= xÛ`-4 x+2 에서 f(-1)=g(-1)=-3, f(0)=g(0)=-2, f(1)=g(1)=-1 이므로 서로 같은 함수이다. 012 답 (1) a=3, b=0 (2) a=1, b=2 (3) a=1, b=1 (1) f =g가 성립하기 위해서는 f(-2)=g(-2)에서 f(-2)=-2+a, g(-2)=-4-2b+5 ∴ a+2b=3 y ㉠ f(1)=g(1)에서 f(1)=1+a, g(1)=-1+b+5 ∴ a-b=3 y ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=0 (2) f =g가 성립하기 위해서는 f(-1)=g(-1)에서 f(-1)=-a+b, g(-1)=-1+2a ∴ 3a-b=1 y ㉠ f(1)=g(1)에서 f(1)=a+b, g(1)=1+2a ∴ a-b=-1 y ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=2 (3) f =g가 성립하기 위해서는 f(-1)=g(-1)에서 f(-1)=-a+b, g(-1)=-1+a ∴ -2a+b=-1 f(0)=g(0)에서 f(0)=b, g(0)=a ∴ b=a y ㉠ f(1)=g(1)에서 f(1)=a+b, g(1)=1+a ∴ b=1 y ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 a=1 013 답 풀이 참고 (1) 함수의 그래프가 아니다. k x 그었을 때 교점이 1개이다. (2) 그래프 위에 y축과 평행한 직선을 k 그었을 때 교점이 2개이다. O x (3) y 그래프 위에 y축과 평행한 직선을 k 그었을 때 교점이 1개이다. (4) k 그래프 위에 y축과 평행한 직선을 그었을 때 교점이 2개이다. (5) 그래프 위에 y축과 평행한 직선을 그었을 때 교점이 1개이다. y O y O y O y O x x k x 015 답 (1) 일대일대응이다. (2) 일대일대응이 아니다. (3) 일대일대응이 아니다. (4) 일대일대응이다. (1) 함수 f(x)=2x+1은 임의의 두 실수 xÁ, xª에 대하여 f(xÁ)=f(xª) 즉, 2xÁ+1=2xª+1이면 xÁ=xª이다. 또, 치역과 공역이 모두 실수 전체의 집합이다. 따라서 이 함수는 일대일대응이다. (2) 함수 f(x)=-3은 xÁ=0, xª=1일 때, f(xÁ)=f(0)=-3, f(xª)=f(1)=-3 이유 : 정의역의 원소 3에 대응하는 공역의 원소가 없으므로 즉, xÁ+xª이지만 f(xÁ)=f(xª)인 두 실수 xÁ, xª가 함수의 그래프가 아니다. 존재한다. (2) 함수의 그래프이다. 따라서 이 함수는 일대일대응이 아니다. 이유 : 정의역의 각 원소에 공역의 원소가 오직 하나씩만 대 (3) 함수 f(x)=-xÛ`-2는 xÁ=-1, xª=1일 때, 응하므로 함수의 그래프이다. f(xÁ)=f(-1)=-3, f(xª)=f(1)=-3 (3) 함수의 그래프가 아니다. 즉, xÁ+xª이지만 f(xÁ)=f(xª)인 두 실수 xÁ, xª가 이유 : 정의역의 원소 3에 대응하는 공역의 원소가 두 개이 존재한다. 므로 함수의 그래프가 아니다. 따라서 이 함수는 일대일대응이 아니다. Ⅱ. 함수 27 YBM(해)-02-1,2단원(25~37)OK.indd 27 2017-12-21 오후 2:38:06 @ (4) 함수 f(x)=xÜ`+1은 임의의 두 실수 xÁ, xª에 대하여 018 답 (1) -14 (2) 7 (3) -5 -4 -2 O 2 x 4 ∴ k=-5 f(xÁ)=f(xª) 즉, xÁÜ`+1=xªÜ`+1이면 xÁ=xª이다. 또, 치역과 공역이 모두 실수 전체의 집합이다. 따라서 이 함수는 일대일대응이다. (1) 풀이 참고, ◯ (2) 풀이 참고, × (3) 풀이 참고, × 016 답 (1) x축에 평행한 직선을 그으 면 항상 한 점에서 만나므 로 일대일대응이다. -4 -2 O 2 x 4 y 4 2 y 4 2 y 4 2 -2 -4 -2 -4 -2 -4 (2) (3) -4 -2 O 2 4 x x축에 평행한 직선 y=2 를 그으면 교점이 2개이므 로 일대일대응이 아니다. x축에 평행한 직선 y=1 을 그으면 교점이 2개이므 로 일대일대응이 아니다. 017 답 (1) a<0 (2) a<1 (3) a<1 (4) a>-3 (1) 함수 f(x)가 일대일대응이 되려면 x¾0에서 x의 값이 증가 할 때 f(x)의 값이 감소하므로 x<0에서도 x의 값이 증가할 때 f(x)의 값이 감소하여야 한다. ∴ a<0 (2) 함수 f(x)가 일대일대응이 되려면 x¾0에서 x의 값이 증가 (1) f(x)=xÛ`-2x+k=(x-1)Û`+k-1이므로 x¾5일 때, x의 값이 증가하면 f(x)의 값도 증가한다. 따라서 함수 f(x)가 일대일대응이 되려면 f(5)=1이어야 하므로 5Û`-2´5+k=1 ∴ k=-14 (2) f(x)=xÛ`-4x+k=(x-2)Û`+k-4이므로 x¾3일 때, x의 값이 증가하면 f(x)의 값도 증가한다. 따라서 함수 f(x)가 일대일대응이 되려면 f(3)=4이어야 하므로 3Û`-4´3+k=4 ∴ k=7 (3) f(x)=xÛ`+2x+k=(x+1)Û`+k-1이므로 x¾2일 때, x의 값이 증가하면 f(x)의 값도 증가한다. 따라서 함수 f(x)가 일대일대응이 되려면 f(2)=3이어야 하므로 2Û`+2´2+k=3 019 답 (1) a= , b= (2) a=- , b= ;3&; ;3!; ;3&; ;3*; (1) a>0이므로 함수 f(x)는 증가함수이고, 이 함수가 일대일대응이 되려면 f(-1)=-2에서 -a+b=-2 … ㉠ f(2)=5에서 2a+b=5 … ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a= , b= ;3&; ;3!; (2) a<0이므로 함수 f(x)는 감소함수이고, 이 함수가 일대일대응이 되려면 f(-1)=5에서 -a+b=5 … ㉠ f(2)=-2에서 2a+b=-2 … ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=- , b= ;3&; ;3*; 할 때 f(x)의 값이 증가하므로 x<0에서도 x의 값이 증가할 020 답 (1) a=2, b=3 (2) a=-2, b=1 때 f(x)의 값이 증가하여야 한다. 1-a>0 ∴ a<1 (1) a>0이므로 함수 f(x)는 증가함수이고, 이 함수가 일대일대응이 되려면 (3) 함수 f(x)가 일대일대응이 되려면 x<2에서 x의 값이 증가 f(-2)=-1에서 -2a+b=-1 … ㉠ 할 때 f(x)의 값이 감소하므로 x¾2에서도 x의 값이 증가할 f(1)=5에서 a+b=5 … ㉡ 때 f(x)의 값이 감소하여야 한다. a-1<0 ∴ a<1 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3 (2) a<0이므로 함수 f(x)는 감소함수이고, (4) 함수 f(x)가 일대일대응이 되려면 x¾-1에서 x의 값이 증 이 함수가 일대일대응이 되려면 가할 때 f(x)의 값이 증가하므로 x<-1에서도 x의 값이 증 f(-2)=5에서 -2a+b=5 … ㉠ 가할 때 f(x)의 값이 증가하여야 한다. a+3>0 ∴ a>-3 f(1)=-1에서 a+b=-1 … ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=1 28 정답 및 해설 YBM(해)-02-1,2단원(25~37)OK.indd 28 2017-12-21 오후 2:38:07 정답 및 해설 021 답 (1) 항등 (2) 상수 (3) 항등 (1) f(-1)=-1, f(1)=1이므로 항등함수이다. (2) f(-1)=1, f(1)=1이므로 상수함수이다. (3) f(-1)=-1, f(1)=1이므로 항등함수이다. 022 답 (1) 3 (2) 7 (1) g(x)는 항등함수이므로 g(2)=2 (3) 주어진 함수를 f : X Y라고 하면 1Ú f(a)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3의 3개 f(b)의 값이 될 수 있는 것은 f(a)의 값을 제외한 2개 f(c)의 값이 될 수 있는 것은 f(a), f(b)의 값을 제외한 1개이므로 일대일대응의 개수는 3´2´1=6(개) f(x)는 상수함수이고 f(0)=g(2)이므로 f(x)=2 025 답 (ㄷ), (ㄹ), (ㅂ) h(x)는 일대일대응이고, h(1)=2이므로 (ㄱ), (ㄴ) 집합 X의 원소 -1에 대응하는 집합 Y의 원소가 없 2h(2)=h(0)+h(1)을 만족하려면 h(0)=0, h(2)=1 으므로 함수가 아니다. ∴ f(2)+g(1)+h(0)=2+1+0=3 (2) g(x)는 항등함수이므로 g(2)=2 (ㄷ), (ㄹ), (ㅂ) 집합 X의 각 원소에 집합 Y의 원소가 오직 하 나씩 대응하므로 함수이다. f(x)는 상수함수이고, f(1)=g(2)이므로 f(x)=2 (ㅁ) 집합 X의 원소 1에 대응하는 집합 Y의 원소가 2개이므로 h(x)는 일대일대응이고, h(3)=2이므로 함수가 아니다. h(1)-h(2)=h(3)을 만족하려면 h(1)=3, h(2)=1 따라서 X에서 Y로의 함수인 것은 (ㄷ), (ㄹ), (ㅂ)이다. ∴ f(3)+g(2)+h(1)=2+2+3=7 023 답 (1) 64개 (2) 24개 (1) 주어진 함수를 f : X Y라고 하면 1Ú f(1)의 값이 될 수 있는 것은 a, b, c, d의 4개 f(2)의 값이 될 수 있는 것은 a, b, c, d의 4개 f(3)의 값이 될 수 있는 것은 a, b, c, d의 4개 함수의 개수는 4´4´4=4Ü`=64(개) (2) 주어진 함수를 f : X Y라고 하면 1Ú f(1)의 값이 될 수 있는 것은 a, b, c, d의 4개 2개이므로 일대일함수의 개수는 4´3´2=24(개) 024 답 (1) 27개 (2) 6개 (3) 6개 (1) 주어진 함수를 f : X Y라고 하면 1Ú f(a)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3의 3개 f(b)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3의 3개 f(c)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3의 3개 함수의 개수는 3´3´3=3Ü`=27(개) (2) 주어진 함수를 f : X Y라고 하면 1Ú f(a)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3의 3개 f(2)의 값이 될 수 있는 것은 f(1)의 값을 제외한 3개 f(3)의 값이 될 수 있는 것은 f(1), f(2)의 값을 제외한 답 027 - ;4(; 답 026 9 1의 양의 약수는 1의 1개이므로 f(1)=1 2Û`=4의 양의 약수는 1, 2, 4의 3개이므로 f(2)=3 3Û`=9의 양의 약수는 1, 3, 9의 3개이므로 f(3)=3 4Û`=16의 양의 약수는 1, 2, 4, 8, 16의 5개이므로 f(4)=5 5Û`=25의 양의 약수는 1, 5, 25의 3개이므로 f(5)=3 따라서 함수 f 의 치역은 {1, 3, 5}이므로 치역의 모든 원소의 합은 1+3+5=9 함수 y=- x+2의 기울기가 음수이므로 ;2!; 이 함수의 최댓값은 x=-5일 때이다. y=- ´(-5)+2= ;2!; ;2(; 또, 이 함수의 최솟값은 x=5일 때이므로 y=- ´5+2=- ;2!; ;2!; 따라서 이 함수의 치역은 Y= y [ | - ;2!; ÉyÉ ;2(; ] 이므로 a=- , b= ;2!; ;2(; ∴ ab=- ;4(; f(b)의 값이 될 수 있는 것은 f(a)의 값을 제외한 2개 답 028 ② f(c)의 값이 될 수 있는 것은 f(a), f(b)의 값을 제외한 f(x)=x+a, g(x)=xÛ`-bx+1에서 1개이므로 f(-1)=g(-1)이므로 -1+a=1+b+1 일대일함수의 개수는 3´2´1=6(개) ∴ a-b=3 … ㉠ Ⅱ. 함수 29 YBM(해)-02-1,2단원(25~37)OK.indd 29 2017-12-21 오후 2:38:07 f(1)=g(1)이므로 1+a=1-b+1 ∴ a+b=1 … ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-1 ∴ ab=-2 1, 2, 3 중 하나이므로 상수함수의 개수는 3 ∴ b=3 Ü f(1)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3의 3개 f(2)의 값이 될 수 있는 것은 f(1)의 값을 제외한 2개 f(3)의 값이 될 수 있는 것은 f(1), f(2)의 값을 제외한 1개이므로 ①, ②, ④, ⑤는 y축에 평행한 직선을 그었을 때, 오직 한 점에 일대일대응의 개수는 3´2´1=6 ∴ c=6 서만 만나므로 함수의 그래프이다. ∴ a+b+c=1+3+6=10 ③은 y축에 평행한 직선을 그었을 때, 2개의 점에서 만나는 경 우가 있으므로 함수의 그래프가 아니다. 답 035 ④ f(a)=1, f(d)=2이므로 정의역의 나머지 두 원소 b, c에 대하여 주어진 두 조건을 모두 만족하는 함수 f 는 일대일대응이다. Ú b에 대응할 수 있는 집합 Y의 원소는 4개 ③ -2+2이지만 f(-2)=f(2)=-2이므로 일대일대응이 아 Û c에 대응할 수 있는 집합 Y의 원소는 4개 Ú, Û에 의해 함수 f 의 개수는 4´4=16(개) 답 029 ③ 답 030 ③ 니다. 답 031 ② 함수 f(x)=-2x+b는 감소함수이고, 이 함수가 일대일대응이 되려면 f(-1)=7에서 2+b=7 … ㉠ f(a)=-1에서 -2a+b=-1 … ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=5 ∴ a-b=-2 032 답 a<2 함수 f(x)가 일대일대응이려 면 오른쪽 그림과 같이 각 구 간의 직선의 기울기의 부호가 같아야 한다. 즉, x<0일 때의 직선의 기 울기가 양수이어야 하므로 2-a>0 ∴ a<2 답 033 ② 함수 f 는 항등함수이므로 f(5)=5 ∴ f(5)=g(5)=5 Ú 항등함수의 개수는 f(x)=x로 1개이므로 a=1 Û f(x)=k (k는 상수)에서 k가 될 수 있는 수는 034 답 10 30 정답 및 해설 2 합성함수와 역함수 77쪽~90쪽 036 답 (1) ① 7 ② 8 ③ 6 (2) ① 8 ② 7 ③ 6 ④ 5 (1) ① (g½f )(1)=g( f(1))=g(a)=7 ② (g½f )(2)=g( f(2))=g(c)=8 ③ (g½f )(3)=g( f(3))=g(b)=6 (2) ① (g½f )(1)=g( f(1))=g(b)=8 ② (g½f )(2)=g( f(2))=g(c)=7 ③ (g½f )(3)=g( f(3))=g(a)=6 x ④ (g½f )(4)=g( f(4))=g(d)=5 y y=2x+1 {x 0} 1 O y={2-a}x+1 {x<0} 037 답 (1) 2xÛ`+1 (2) -6x-1 (3) 3x+5 (4) 4xÛ`-14x+10 (5) 6xÛ`+5 (6) xÛ`-10x+23 (1) (g½f )(x)=g( f(x))=g(xÛ`)=2xÛ`+1 (2) (g½f )(x)=g( f(x))=g(3x+2) =-2(3x+2)+3=-6x-1 (3) (g½f )(x)=g( f(x))=g(x+1)=3(x+1)+2=3x+5 (5) (g½f )(x)=g( f(x))=g(3xÛ`+1) =2(3xÛ`+1)+3=6xÛ`+5 (6) (g½f )(x)=g( f(x))=g(-x+5) ( g½f )(x)=(-x+5)Û`-2=xÛ`-10x+23 한편, 함수 g는 상수함수이므로 g(5)=g(7)=5 (4) (g½f )(x)=g( f(x))=g(-2x+2) ∴ f(7)+g(7)=7+5=12 =(-2x+2)Û`+3(-2x+2)=4xÛ`-14x+10 YBM(해)-02-1,2단원(25~37)OK.indd 30 2017-12-21 오후 2:38:08 정답 및 해설 (h½g) {;2!;} =h {g{;2!;}} =h(-2)=-(-2)Û`+1=-3 (3) ( f ½g)(x)=f(g(x))=f(2x+3)=2x+3+k 038 답 (1) -3 (2) -5 (3) -9 (4) -4 (5) -3 (6) 0 (7) -3 (1) f(-1)=-1-1=-2이므로 ∴ (h½(g½f ))(x)=h((g½f )(x)) =h(-2x+2) =(-2x+2)Û`=4xÛ`-8x+4 ( f ½f )(-1)=f( f(-1))=f(-2)=-2-1=-3 (3) (1), (2)에서 (h½g)½f =h½(g½f )이다. (2) g{ - ;2!;} =2´ - { ;2!;} -3=-4이므로 ( f ½g) - { =f - {g{ ;2!;} ;2!;}} =f(-4)=-4-1=-5 (3) f(-2)=-2-1=-3이므로 (g½f )(-2)=g( f(-2))=g(-3)=2´(-3)-3=-9 (4) h(2)=-2Û`+1=-3이므로 ( f ½h)(2)=f(h(2))=f(-3)=-3-1=-4 (5) h(-1)=-(-1)Û`+1=0이므로 (g½h)(-1)=g(h(-1))=g(0)=2´0-3=-3 (6) f(2)=2-1=1이므로 (h½f )(2)=h( f(2))=h(1)=-1Û`+1=0 (7) g{;2!;} ;2!; =2´ -3=-2이므로 039 답 (1) 3 (2) 4 (1) ( f ½f )(5)=f( f(5))=f(6)=3 (2) ( f ½f ½f )(12)=f( f( f(12)))=f( f(6))=f(3)=4 040 답 (1) 14 (2) 1 (1) g(-1)=4이므로 ( f ½g)(-1)=f(g(-1))=f(4)=4Û`-2=14 (2) f(2)=2Û`-2=2이므로 (g½f )(2)=g( f(2))=g(2)=-2+3=1 041 답 (1) 2x+1 (2) 2x+2 (3) f ½g+g½f (1) ( f ½g)(x)=f(g(x))=f(2x)=2x+1 (2) (g½f )(x)=g( f(x))=g(x+1)=2(x+1)=2x+2 (3) (1), (2)에서 f ½g+g½f 이다. 042 답 (1) 4xÛ`-8x+4 (2) 4xÛ`-8x+4 (3) (h½g)½f =h½(g½f ) 043 답 (1) 2 (2) (3) 0 (4) - ;2!; ;2!; (1) ( f ½g)(x)=f(g(x))=f(-x-k) =2(-x-k)+1=-2x-2k+1 (g½f )(x)=g( f(x))=g(2x+1) =-(2x+1)-k=-2x-1-k f ½g=g½f 이므로 -2k+1=-1-k ∴ k=2 (2) ( f ½g)(x)=f(g(x))=f(2x+k) =-(2x+k)-1=-2x-k-1 (g½f )(x)=g( f(x))=g(-x-1) =2(-x-1)+k=-2x-2+k f ½g=g½f 이므로 -k-1=-2+k ∴ k= ;2!; (g½f )(x)=g( f(x))=g(x+k) =2(x+k)+3=2x+2k+3 f ½g=g½f 이므로 3+k=2k+3 ∴ k=0 (4) ( f ½g)(x)=f(g(x))=f(-x+4) =k(-x+4)+3=-kx+4k+3 (g½f )(x)=g( f(x))=g(kx+3) =-(kx+3)+4=-kx+1 f ½g=g½f 이므로 -kx+4k+3=-kx+1 ∴ k= -;2!; 044 답 (1) h(x)=2x+3 (2) h(x)=2x-10 (3) h(x)= x+ (4) h(x)=3x-1 ;2#; ;2#; (5) h(x)=2x-4 (1) f(h(x))=g(x)이므로 h(x)-2=2x+1 ∴ h(x)=2x+3 (2) f(h(x))=g(x)이므로 h(x)+3=x-2 ;2!; ∴ h(x)=2x-10 (3) f(h(x))=g(x)이므로 2h(x)-1=3x+2 (1) (h½g)(x)=h(g(x))=h(-2x)=(-2x)Û`=4xÛ` ∴ h(x)= x+ ;2#; ;2#; ∴ ((h½g)½f )(x)=(h½g)( f(x)) (4) f(h(x))=g(x)이므로 h(x)+2=3x+1 =(h½g)(x-1) =4(x-1)Û`=4xÛ`-8x+4 ∴ h(x)=3x-1 (5) f(h(x))=g(x)이므로 2h(x)+3=4x-5 (2) (g½f )(x)=g( f(x))=g(x-1)=-2(x-1)=-2x+2 ∴ h(x)=2x-4 Ⅱ. 함수 31 YBM(해)-02-1,2단원(25~37)OK.indd 31 2017-12-21 오후 2:38:09 045 답 (1) h(x)=2x+5 (2) h(x)=2x-8 x+ (3) h(x)= ;2%; (5) h(x)=2x-11 ;2#; (4) h(x)=3x-5 047 답 (1) ① f Û`(x)=x+6 ② f Ü`(x)=x+9 ③ f Ç`(x)=x+3n ④ 65 (2) ① f Û`(x)=2Û`x ② f Ü`(x)=2Ü`x (1) h( f(x))=g(x)이므로 h(x-2)=2x+1 ③ f Ç`(x)=2Ç`x ④ 2¡` x-2=t로 놓으면 x=t+2 h(t)=2(t+2)+1=2t+5 ∴ h(x)=2x+5 (2) h( f(x))=g(x)이므로 h x+3 } {;2!; =x-2 x+3=t로 놓으면 x=2t-6 ;2!; h(t)=(2t-6)-2=2t-8 ∴ h(x)=2x-8 (3) h( f(x))=g(x)이므로 h(2x-1)=3x+1 2x-1=t로 놓으면 x= t+1 2 h(t)=3´ t+1 2 +1= t+ ;2#; ;2%; ∴ h(x)= x+ ;2#; ;2%; x+2=t로 놓으면 x=t-2 h(t)=3(t-2)+1=3t-5 ∴ h(x)=3x-5 2x+3=t로 놓으면 x= t-3 2 h(t)=4´ -5=2t-11 t-3 2 ∴ h(x)=2x-11 (5) h( f(x))=g(x)이므로 h(2x+3)=4x-5 (4) h( f(x))=g(x)이므로 h(x+2)=3x+1 048 답 (1) 풀이 참고 (2) 3 (3) 4 (4) 1 (5) 2 (1) ① f Û`(x)=f( f(x))=f(x+3)=(x+3)+3=x+6 ② f Ü`(x)=f( f Û`(x))=f(x+6)=(x+6)+3=x+9 ③ f Ú`(x)=x+3=x+3´1, f Û`(x)=x+6=x+3´2, f Ü`(x)=x+9=x+3´3, …이므로 f Ç`(x)=x+3n ④ f 20(5)=5+3´20=65 (2) ① f Û`(x)=f( f(x))=f(2x)=2Û`x ② f Ü`(x)=f( f Û`(x))=f(2Û`x)=2Ü`x ③ f Ú`(x)=2x, f Û`(x)=2Û`x, f Ü`(x)=2Ü`x, …이므로 f Ç`(x)=2Ç`x ④ f ¡`(1)=2¡`´1=2¡` (1) f -1 Y 5 6 7 8 X 1 2 3 4 (2) f -1(5)=3 (3) f -1(6)=4 (4) f -1(7)=1 (5) f -1(8)=2 (4) f -1(5)=k-1이므로 f(k-1)=5 4(k-1)-3=5, 4k-7=5 ∴ k=3 f -1(-2)=k로 놓으면 f(k)=-2 -5k+3=-2, k=1 ∴ g(-2)=1 f -1(8)=l로 놓으면 f(l)=8 049 답 (1) 1 (2) 2 (3) 1 (4) 3 (1) f -1(1)=k이므로 f(k)=1 046 답 (1) ① f Û`(1)=2, f Ü`(1)=1 ② 1 ③ 2 (2) ① f Û`(2)=3, f Ý`(2)=2 ② 2 ③ 4 4k-3=1, 4k=4 ∴ k=1 (1) ① f Û`(1)=f( f(1))=f(3)=2, f Ü`(1)=f( f Û`(1))=f(2)=1 (2) f -1(5)=k이므로 f(k)=5 ② f Ú`(1)=3, f Û`(1)=2, f Ü`(1)=1, 4k-3=5, 4k=8 ∴ k=2 f Ý`(1)=3, f Þ`(1)=2, f ß`(1)=1, …이므로 f 3n(1)=1 (3) f -1(k)=1이므로 f(1)=k ③ f 3n+2(1)=f Û`( f Ü`Ç`(1))=f Û`(1)=2 ∴ k=4´1-3=1 ② f Ú`(2)=1, f Û`(2)=3, f Ü`(2)=4, f Ý`(2)=2, 050 답 (1) 0 (2) -9 f Þ`(2)=1, f ß`(2)=3, f à`(2)=4, f ¡`(2)=2, …이므로 (1) g(-2)=f -1(-2), g(8)=f -1(8)이므로 ∴ f Û`â`(1)=f 3´6+2(1)=2 (2) ① f Û`(2)=f( f(2))=f(1)=3 f Ý`(2)=f( f Ü`(2))=f Û`( f Û`(2))=f Û`(3)=f(4)=2 f 4n(2)=2 ③ f 4n+3(2)=f Ü`( f 4n(2))=f Ü`(2)=4 ∴ f Ü`Ú`(2)=f 4´7+3(2)=4 32 정답 및 해설 YBM(해)-02-1,2단원(25~37)OK.indd 32 2017-12-21 오후 2:38:11 정답 및 해설 -5l+3=8, l=-1 ∴ g(8)=-1 (1) f -1(a)=k로 놓으면 f(k)=a이므로 ∴ g(-2)+g(8)=1+(-1)=0 (2) g(3)=f -1(3), g(6)=f -1(6)이므로 f -1(3)=k로 놓으면 f(k)=3 k-1=3, k=12 ∴ g(3)=12 ;3!; f -1(6)=l로 놓으면 f(l)=6 l-1=6, l=21 ∴ g(6)=21 ;3!; ∴ g(3)-g(6)=12-21=-9 051 답 (1) 4 (2) -1 (3) ;4#; (1) f -1(3)=2에서 f(2)=3이므로 2a-5=3 ∴ a=4 (2) f -1(-6)=1에서 f(1)=-6이므로 a-5=-6 ∴ a=-1 (3) f -1(-2)=4에서 f(4)=-2이므로 4a-5=-2 ∴ a= ;4#; 052 답 ;2!; (1) a= , b=2 (2) a=-1, b=3 (3) a=5, b=-2 (1) g(2)=0에서 f(0)=2이므로 b=2 … ㉠ g(3)=2에서 f(2)=3이므로 2a+b=3 … ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하여 풀면 a= ;2!; (2) g(2)=1에서 f(1)=2이므로 a+b=2 … ㉠ g(5)=-2에서 f(-2)=5이므로 -2a+b=5 … ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=3 (3) g(8)=2에서 f(2)=8이므로 2a+b=8 … ㉠ g(-7)=-1에서 f(-1)=-7이므로 -a+b=-7 … ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=-2 053 답 (1) (2) 34 ;3$; (1) ( f -1½g)(4)=f -1(g(4))=k로 놓으면 f(k)=g(4)이므로 3k-2=2 ∴ k= ;3$; 즉, ( f -1½g)(4)= ;3$; (2) g -1(4)=k로 놓으면 g(k)=4 k+1=4이므로 k=12 ;4!; ∴ ( f ½g -1)(4)=f(g -1(4))=f(12)=34 054 답 (1) 4 (2) 5 (3) -11 k+1=a에서 k=a-1 (g½f -1)(a)=g( f -1(a))=g(a-1) =2(a-1)-3=2a-5 따라서 2a-5=3이므로 a=4 (2) f -1(a)=k로 놓으면 f(k)=a이므로 k+1=a에서 k=a-1 (g½f -1)(a)=g( f -1(a))=g(a-1) =2(a-1)-3=2a-5 따라서 2a-5=5이므로 a=5 (3) g -1(a)=k로 놓으면 g(k)=a이므로 2k-3=a에서 k= a+3 2 ( f ½g -1)(a)=f(g -1(a))=f { a+3 2 } = a+3 2 +1= a+5 2 따라서 =-3이므로 a+5=-6 ∴ a=-11 a+5 2 055 답 (1) a=2, b=-1 (2) (3) ;2!; ;2%; (1) f(g(x))=f(2x+2)=a(2x+2)+b =2ax+2a+b=4x+3 에서 2a=4, 2a+b=3 ∴ a=2, b=-1 (2) f(x)=2x-1, g(x)=2x+2이므로 (g -1½f )(2)=g -1( f(2))=g -1(3) g -1(3)=k라 하면 g(k)=3에서 2k+2=3 ∴ k= ;2!; 즉, (g -1½f )(2)=g -1(3)= ;2!; (3) ( f -1½g)(1)=f -1(g(1))=f -1(4)이므로 f -1(4)=k라 하면 f(k)=4에서 2k-1=4 ∴ k= ;2%; 즉, ( f -1½g)(1)=f -1(4)= ;2%; 056 답 (1) a=2, b=-1 (2) 3 (3) 3 (4) -1 (1) (g -1½f )(x)=g -1( f(x))=g -1(ax+b)이므로 (g -1½f )(x)=2x-3에서 g -1(ax+b)=2x-3 즉, g(2x-3)=ax+b이고, g(2x-3)=(2x-3)+2=2x-1이므로 ax+b=2x-1 ∴ a=2, b=-1 (2) f(x)=2x-1이므로 f -1(5)=k라 하면 f(k)=5에서 2k-1=5, k=3 ∴ f -1(5)=k=3 Ⅱ. 함수 33 YBM(해)-02-1,2단원(25~37)OK.indd 33 2017-12-21 오후 2:38:12 (3) 함수 f(x)는 일대일대응이어야 하므로 치역과 공역이 같아야 한다. 이때 f(x)가 감소함수이므로 f(5)=a에서 a=-1´5+3=-2 f(-1)=b에서 b=-1´(-1)+3=4 (4) 함수 f(x)는 일대일대응이어야 하므로 치역과 공역이 같아야 한다. 이때 f(x)가 감소함수이므로 f(a)=10에서 -3a-2=10 ∴ a=-4 f(b)=1에서 -3b-2=1 ∴ b=-1 059 답 (1) 1 (2) ;2&; (1) f(x)=xÛ`+4x-4=(x+2)Û`-8 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같 y y=f{x} 으므로 정의역이 x¾-2일 때 함수 f(x)의 역함수가 존재한다. ∴ k¾-2 또, 함수 f(x)는 일대일대응이어야 하 -2 O x -4 -8 (3) g -1(4)=k로 놓으면 g(k)=4이므로 k+2=4, k=2 ∴ g -1(4)=2 즉, ( f½g -1)(4)=f(g -1(4))=f(2)=2´2-1=3 (4) ( f -1½g)(-5)=f -1(g(-5))=f -1(-3)이므로 f -1(-3)=k라 하면 f(k)=-3에서 2k-1=-3 ∴ k=-1 즉, ( f -1½g)(-5)=f -1(-3)=-1 O 3 x y=x+a y=3x-1 y=x+2 y 8 y 3 057 답 (1) 5 (2) 1 (3) a<1 (1) 함수 f(x)는 일대일대응이어야 하므로 y=f(x)의 그래프는 오 른쪽 그림과 같아야 한다. 즉, 직선 y=x+a가 점 (3, 8)을 지나야 하므로 3+a=8 ∴ a=5 (2) 함수 f(x)는 일대일대응이어야 하므로 y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같아야 한다. 을 지나야 하므로 2´1+a=3 ∴ a=1 (3) 함수 f(x)는 일대일대응이 어야 하므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같아야 한다. x¾1에서 f(x)=2x의 그래프가 즉, 직선 y=2x+a가 점 (1, 3) O1 x 므로 공역과 치역이 같아야 한다. y=2x+a 이때 f(k)=k에서 y=2x y 2 kÛ`+4k-4=k, kÛ`+3k-4=0 (k+4)(k-1)=0 ∴ k=1 (∵ k¾-2) (2) f(x)=2xÛ`-8x+7=2(x-2)Û`-1 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 O 1 x 같으므로 정의역이 x¾2일 때 함수 y 7 y=f{x} 2 O -1 x 증가하므로 x<1에서의 y=2{1-a}x+2a 함수 y=f(x)의 그래프도 증가해야 한다. 즉, 직선 y=2(1-a)x+2a의 기울기가 양수이어야 하므로 2(1-a)>0 ∴ a<1 f(x)의 역함수가 존재한다. ∴ k¾2 또, 함수 f(x)는 일대일대응이어야 하므로 공역과 치역이 같아야 한다. 이때 f(k)=k에서 058 답 (1) a=2, b=5 (2) a=-1, b=7 (3) a=-2, b=4 2kÛ`-8k+7=k, 2kÛ`-9k+7=0 (4) a=-4, b=-1 (1) 함수 f(x)는 일대일대응이어야 하므로 치역과 공역이 (k-1)(2k-7)=0 ∴ k= (∵ k¾2) ;2&; (2) 함수 f(x)는 일대일대응이어야 하므로 치역과 공역이 2x=y+1, x= y+ ;2!; ;2!; 060 답 (1) y= x+ (2) y=-2x+4 (3) y=-2x+ ;2!; ;2!; ;2!; (4) y= 3x+ 3 (x¾-1) !% (1) y=2x-1을 x에 대하여 풀면 x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y= x+ ;2!; ;2!; (2) y=- x+2를 x에 대하여 풀면 ;2!; x=-2y+4 같아야 한다. 이때, f(x)가 증가함수이므로 f(0)=a에서 a=3´0+2=2 f(1)=b에서 b=3´1+2=5 같아야 한다. 이때 f(x)가 증가함수이므로 f(1)=a에서 a=2´1-3=-1 f(5)=b에서 b=2´5-3=7 34 정답 및 해설 YBM(해)-02-1,2단원(25~37)OK.indd 34 2017-12-21 오후 2:38:12 정답 및 해설# x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y=-2x+4 (4) (g½f )(x)=x에서 g는 f의 역함수, 즉 g=f -1이므로 (4) y= xÛ`-1은 정의역이 {x|x¾0}, 치역이 {y|y¾-1}인 따라서 구하는 함숫값은 2 (3) 2x+4y-1=0을 x에 대하여 풀면 2x=-4y+1, x=-2y+ ;2!; x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y=-2x+ ;2!; ;3!; ;3!; !% 일대일대응이므로 역함수가 존재한다. y= xÛ`-1을 x에 대하여 풀면 x=Ñ 3 3y+ !% 그런데 x¾0이므로 x= 3 3y+ !% x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y= 3x+ 3 (x¾-1) 061 답 (1) 1 (2) (3) 4 ;3&; (1) ( f ½( f ½g) -1½f )(1)=( f ½g -1½f -1½f )(1) =( f ½g -1)(1)=f(g -1(1)) g -1(1)=k로 놓으면 g(k)=1에서 kÛ`+1=1 ∴ k=0 따라서 구하는 함숫값은 f(0)=1 (2) ( f ½( f ½g) -1½f )(2)=( f ½g -1½f -1½f )(2) =( f ½g -1)(2)=f(g -1(2)) g -1(2)=k로 놓으면 g(k)=2에서 3k-2=2 ∴ k= ;3$; 따라서 구하는 함숫값은 f = {;3$;} ;3&; (3) ( f ½(g½f ) -1½f )(1)=( f ½f -1½g -1½f )(1) =(g -1½f )(1)=g -1( f(1)) =g -1(4) g -1(4)=k로 놓으면 g(k)=4에서 2k-4=4 ∴ k=4 따라서 구하는 함숫값은 4 062 답 (1) 1 (2) -7 (3) 4 (4) 2 (1) (g½f )(x)=x에서 g는 f 의 역함수, 즉 g=f -1이므로 ( f -1½g -1½f )(3)=(g½g -1½f )(3) =f(3)=1 (2) (g½f )(x)=x에서 g는 f 의 역함수, 즉 g=f -1이므로 ( f -1½g -1½f )(-1)=(g½g -1½f )(-1) =f(-1)=-7 (3) (g½f )(x)=x에서 g는 f의 역함수, 즉 g=f -1이므로 (g½f -1½g -1)(3)=(g½g½g -1)(3) =g(3) g(3)=k, 즉 f -1(3)=k로 놓으면 f(k)=3에서 2k-5=3 ∴ k=4 따라서 구하는 함숫값은 4 (g½f -1½g -1)(-1)=(g½g½g -1)(-1) =g(-1) g(-1)=k, 즉 f -1(-1)=k로 놓으면 f(k)=-1에서 2k-5=-1 ∴ k=2 063 답 (1) a (2) c (3) d (4) e (5) e (1) ( f ½f )(c)=f( f(c))=f(b)=a y=f{x} y=x y d c b a O a b c d e x (2) f(c)=b이므로 f -1(b)=c (3) ( f -1½f -1)(b)=f -1( f -1(b)) (4) ( f -1½f -1)(c)=f -1( f -1(c)) =f -1(c) (∵ f(c)=b에서 f -1(b)=c) =d (∵ f(d)=c에서 f -1(c)=d) =f -1(d) (∵ f(d)=c에서 f -1(c)=d) =e (∵ f(e)=d에서 f -1(d)=e) (5) ( f -1½f -1½f -1)(b)=f -1( f -1( f -1(b))) =f -1( f -1(c)) =f -1(d)=e 064 답 (1) (2, 2) (2) { - ;2(;} (1) 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f -1(x)의 그래프의 ;2(; , - (3) (7, 7) 교점은 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으므로 -2x+6=x, 3x=6 ∴ x=2 따라서 구하는 교점의 좌표는 (2, 2)이다. (2) x-3=x, x=-3 ∴ x=- ;3!; ;3@; ;2(; 따라서 구하는 교점의 좌표는 { - ;2(; , - ;2(;} 이다. (3) xÛ`-6x=x에서 xÛ`-7x=0 x(x-7)=0 ∴ x=7 (∵ x¾3) 따라서 구하는 교점의 좌표는 (7, 7)이다. 065 답 (1) a=-2, b=7 (2) a=2, b=-14 (3) a= , b=- ;3@; ;3!; Ⅱ. 함수 35 YBM(해)-02-1,2단원(25~37)OK.indd 35 2017-12-21 오후 2:38:14 # # # (1) y=f -1(x)의 그래프가 두 점 P(5, 1), Q(3, 2)를 f(2x-1)=x+3에서 지나므로 f -1(5)=1, f -1(3)=2 즉, f(1)=5, f(2)=3이므로 a+b=5, 2a+b=3 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=7 (2) y=f -1(x)의 그래프가 두 점 P(-2, 6), Q(2, 8)을 지나므로 f -1(-2)=6, f -1(2)=8 즉, f(6)=-2, f(8)=2이므로 6a+b=-2, 8a+b=2 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-14 지나므로 f -1(-3)=-4, f -1(3)=5 즉, f(-4)=-3, f(5)=3이므로 -4a+b=-3, 5a+b=3 두 식을 연립하여 풀면 a= , b=- ;3@; ;3!; (3) y=f -1(x)의 그래프가 두 점 P(-3, -4), Q(3, 5)를 답 070 - ;;ª3£;; 2x-1=t로 놓으면 x= 이므로 t+1 2 f(t)= t+1 2 +3= t+ ;2!; ;2&; t 대신 x-1을 대입하면 ;2!; f {;2!; x-1 } = ;2!;{;2!; x-1 } + ;2&; = ;4!; x+3 따라서 a= , b=3이므로 =12 ;4!; ;aB; (h½f )(x)=h( f(x))=h(3x+2) (h½f )(x)=g(x)이므로 h(3x+2)=2x-5 이때 3x+2=t로 놓으면 x= 이므로 t-2 3 h(t)=2´ t-2 3 -5= t- ;3@; ;;Á3»;; 따라서 h(x)= x- 이므로 h(-2)=- ;3@; ;;Á3»;; 23 3 071 답 3000 f Ú`(x)=f(x)=x+4 f Û`(x)=f( f(x))=f(x+4)=x+4´2 f Ü`(x)=f( f Û`(x))=f(x+4´2)=x+4´3 ⋮ 따라서 f Ç`(x)=x+4n이므로 f 1000(x)=x+4000 ∴ f 1000(-1000)=3000 066 답 12 ( f ½g)( 3)=f(g( 1 1 3))=f(2)=4 (g½f )(3)=g( f(3))=g(-3)=8 ∴ ( f ½g)( 3)+(g½f )(3)=4+8=12 1 답 067 ④ (h½(g½f ))(3)=((h½g)½f )(3) =(h½g)( f(3)) =(h½g)(12)=6 답 068 ④ f(1)=3이므로 a+1=3 ∴ a=2 ∴ f(x)=2x+1 한편, ( f ½g)(x)와 (g½f )(x)를 구하면 ( f ½g)(x)=f(g(x))=f(2x+b) =2(2x+b)+1=4x+2b+1 (g½f )(x)=g( f(x))=g(2x+1) =2(2x+1)+b=4x+b+2 이때 f ½g=g½f 이므로 4x+2b+1=4x+b+2 따라서 2b+1=b+2이므로 b=1 ∴ a-b=2-1=1 답 069 ③ 36 정답 및 해설 답 072 ④ g -1(1)=2에서 g(2)=1이므로 2+a=1 ∴ a=-1 ∴ f(x)=-x+1, g(x)=x-1 이때 f -1(2)=k (k는 상수)라 하면 f(k)=2이므로 -k+1=2 ∴ k=-1 ∴ f -1(2)+g(3)=-1+2=1 =t로 놓으면 x=5t-2이므로 답 073 ② x+2 5 f { } =-x+4에서 x+2 5 f(t)=-(5t-2)+4=-5t+6 ∴ f(x)=-5x+6 이때 f -1(1)=k (k는 상수)라 하면 f(k)=1 -5k+6=1, k=1 ∴ f -1(1)=1 YBM(해)-02-1,2단원(25~37)OK.indd 36 2017-12-21 오후 2:38:14 정답 및 해설 역함수가 존재하려면 주어진 함수가 일대일대응이어야 한다. 3 유리함수 93쪽~109쪽 따라서 역함수가 존재하는 함수의 그래프는 ②이다. 078 답 (1) 분수 (2) 다항 (3) 다항 (4) 분수 답 074 ② 답 075 ⑤ f(x)=2x+1에서 y=2x+1로 놓고 x에 대하여 정리하면 2x=y-1 ∴ x= y- ;2!; ;2!; x와 y를 서로 바꾸면 f -1(x)= x- ;2!; ;2!; g{;4!; x-1 } = ;2!; x- ;2!; ;4!; 이고, x-1=t로 놓으면 x=4t+4이므로 g(t)= ;2!; (4t+4)- =2t+ ∴ g(x)=2x+ ;2!; ;2#; ;2#; 답 076 -5 ( f ½(g½f ) -1½f )(x)=( f ½f -1½g -1½f )(x) =(g -1½f )(x) g(x)=x+4에서 y=g(x)로 놓으면 y=x+4 ∴ x=y-4 x와 y를 서로 바꾸면 y=x-4 ∴ g -1(x)=x-4 ∴ (g -1½f )(x)=g -1( f(x))=g -1(-2x+1) =(-2x+1)-4=-2x-3 따라서 a=-2, b=-3이므로 a+b=-5 077 답 16 같으므로 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f -1(x)의 그래프의 교점은 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점과 x+4=x, - x=-4 ∴ x=8 ;2!; ;2!; 따라서 교점의 좌표는 (8, 8)이므로 a=8, b=8 ∴ a+b=16 079 답 (1) 2xyÛ` 5a (2) (3) xÛ`+2x x-2 x-2 x-4 (2) xÜ`+3xÛ`+2x xÛ`-x-2 = x(x+1)(x+2) (x+1)(x-2) = xÛ`+2x x-2 (3) xÛ`-5x+6 xÛ`-7x+12 = (x-2)(x-3) (x-3)(x-4) = x-2 x-4 080 답 (1) 2aÛ`y 3abxÛ`yÛ` , 3bx 3abxÛ`yÛ` (2) (x-2)Û` (x+1)(x-1)(x-2) , (x+1)(x-3) (x+1)(x-1)(x-2) 081 답 (1) 2x (x-y)(x+y) (2) 1 x+y (3) -3x-1 x+1 (4) xÛ`+yÛ` (x-y)(x+y) (5) - 1 x+1 (1) 1 x-y + 1 x+y = x+y+(x-y) (x-y)(x+y) = 2x (x-y)(x+y) (2) x xÛ`-yÛ` + y yÛ`-xÛ` = x-y xÛ`-yÛ` = x-y (x+y)(x-y) = 1 x+y (3) -3= 2-3(x+1) x+1 = -3x-1 x+1 2 x+1 x x-y 1 x-2 (4) (5) - y x+y = x(x+y)-y(x-y) (x-y)(x+y) = xÛ`+yÛ` (x-y)(x+y) - 2x-1 xÛ`-x-2 = 1 x-2 - 2x-1 (x+1)(x-2) = x+1-(2x-1) (x+1)(x-2) = -(x-2) (x+1)(x-2) =- 1 x+1 082 답 (1) (2) ;6{; x (x-1)Û` (3) (x-2)Û` (x-3)Û` (4) x-3 x-1 (5) x-2 x(x+1) (1) 2x 3x+6 _ x+2 4 = 2x 3(x+2) _ x+2 4 = ;6{; (2) x xÛ`-1 _ x+1 x-1 = x (x+1)(x-1) _ x+1 x-1 = x (x-1)Û` (3) xÛ`-3x+2 xÛ`-x-6 _ xÛ`-4 xÛ`-4x+3 = (x-1)(x-2) (x+2)(x-3) _ (x+2)(x-2) (x-1)(x-3) = (x-2)Û` (x-3)Û` (4) x-2 x Ö xÛ`-3x+2 xÛ`-3x = _ xÛ`-3x xÛ`-3x+2 x-2 x x-2 x = _ x(x-3) (x-1)(x-2) = x-3 x-1 Ⅱ. 함수 37 YBM(해)-02-3,4단원(37~53)OK.indd 37 2017-12-21 오후 2:37:06 (5) x-1 xÛ`+3x+2 Ö xÛ`-x xÛ`-4 = x-1 xÛ`+3x+2 _ xÛ`-4 xÛ`-x 085 답 (1) x+1 (2) (3) -2x = x-1 (x+1)(x+2) _ (x+2)(x-2) x(x-1) = x-2 x(x+1) 083 답 (1) a=2, b=3 (2) a=-3, b=6 (3) a=2, b=-1 (1) 1 xÛ`+x + 1 xÛ`+4x+3 = ax+b xÜ`+4xÛ`+3x 의 양변에 xÜ`+4xÛ`+3x, 즉 x(x+1)(x+3)을 곱하면 x+3+x=ax+b ∴ 2x+3=ax+b 이 식이 x에 대한 항등식이므로 a=2, b=3 (2) a x-1 + b x-2 = 3x xÛ`-3x+2 의 양변에 xÛ`-3x+2, 즉 (x-1)(x-2)를 곱하면 a(x-2)+b(x-1)=3x ∴ (a+b)x+(-2a-b)=3x 이 식이 x에 대한 항등식이므로 a+b=3, -2a-b=0 ∴ a=-3, b=6 (3) a x-2 + x+b xÛ`-2x = 3x-1 xÛ`-2x 의 양변에 xÛ`-2x, 즉 x(x-2)를 곱하면 ax+x+b=3x-1 ∴ (a+1)x+b=3x-1 이 식이 x에 대한 항등식이므로 a+1=3, b=-1 ∴ a=2, b=-1 084 답 (1) 2 (x+1)(x+3) (2) 6 x(x+6) (1) 1 (x+1)(x+2) + 1 (x+2)(x+3) = 1 (x+2)-(x+1) { x+1 - 1 1 x+2 } 1 (x+3)-(x+2) { + 1 x+2 - 1 x+3 } = 1 x+1 - 1 x+2 + 1 x+2 - 1 x+3 = 1 x+1 - 1 x+3 = 2 (x+1)(x+3) (2) 2 x(x+2) + 2 (x+2)(x+4) + 2 (x+4)(x+6) = 2 (x+2)-x {;[!;- 1 x+2 } 2 (x+4)-(x+2) { + x+2 - 2 (x+6)-(x+4) { + x+4 - 1 1 1 x+4 } 1 x+6 } + 1 x+2 - 1 x+4 + 1 x+4 - 1 x+6 = - ;[!; = - ;[!; 1 x+2 1 x+6 = 6 x(x+6) 38 정답 및 해설 (1) 1- 1 1 1+ 1 x = = ;[!; 1- 1 1 x+1 x 1 (x+1)-x x+1 = 1- 1 x x+1 =x+1 (2) 1- =1- 1 1 1-x 1- 1 (1-x)-1 1-x =1+ 1-x x = x+(1-x) x = ;[!; (3) 1- 2 1 = 1- 1- 1 1+x 2 1 (1+x)-1 1+x = 1- 2 1+x x = 2 x-(1+x) x = 2x -1 =-2x 086 답 (1) (2) -8 (3) (4) ;;Á6£;; 191 60 47 50 (1) x : y : z=3 : 4 : 5에서 x=3k, y=4k, z=5k (k+0) 라 하면 ;[}; + + = ;z{; ;]Z; 4k 3k + + 5k 4k 3k 5k = + ;3$; ;4%; + ;5#; = 191 60 (2) x+z x-y = 3k+5k 3k-4k = 8k -k =-8 (3) x+2y+3z x+y+z = 3k+2´4k+3´5k 3k+4k+5k = 26k 12k = ;;Á6£;; (4) xy+yz+zx xÛ`+yÛ`+zÛ` = 3k´4k+4k´5k+5k´3k (3k)Û`+(4k)Û`+(5k)Û` = 12kÛ`+20kÛ`+15kÛ` 50kÛ` = 47 50 087 답 (1) (2) (3) (4) ;1!3@; -;9%; ;3&; ;2!6!; (1) ;2{;=;3};=;4Z; 에서 x=2k, y=3k, z=4k (k+0)라 하면 ;[}; + - = ;z{; ;]Z; + - = ;2#;+;3$;-;4@; ;3&; = 3k 2k 4k 3k 2k 4k (2) 2xy xÛ`+yÛ` = 2´2k´3k (2k)Û`+(3k)Û` = 12kÛ` 13kÛ` = ;1!3@; (3) x-y-z x+y+z = 2k-3k-4k 2k+3k+4k = -5k 9k =- ;9%; (4) xÛ`-yÛ`+zÛ` xy+yz+zx = (2k)Û`-(3k)Û`+(4k)Û` 2k´3k+3k´4k+4k´2k = 11kÛ` 26kÛ` = ;2!6!; 088 답 (1) 다항 (2) 분수 (3) 다항 (4) 분수 089 답 (1) {x|x+-3인 실수} (2) [ x | x+ 인 실수 ] ;3!; (3) {x|x+-1, x+1인 실수} (4) {x|x는 모든 실수} YBM(해)-02-3,4단원(37~53)OK.indd 38 2017-12-21 오후 2:37:08 정답 및 해설 (3) y= 에서 (분모)=xÛ`-1=(x+1)(x-1)이므로 (3) 함수 y= 의 그래프는 함수 y= 의 그래프를 x축의 ;[!; 정의역은 {x|x+-1, x+1인 실수} 방향으로 3만큼 평행이동한 것이므로 (4) y= 에서 모든 실수 x에 대하여 (분모)=xÛ`+6>0 p=3, q=0 이므로 정의역은 {x|x는 모든 실수} (4) 함수 y=- 의 그래프는 함수 y=- 의 그래프를 x축 x-1 xÛ`-1 4x xÛ`+6 O -1 -2 -3 O -1 -2 -3 y 3 2 1 y 3 2 1 O -1 -2 -3 답 090 풀이 참고 y 3 2 1 (1) -2-3 -1 21 x 3 (2) (3) -2-3 -1 21 x 3 -2-3 -1 21 x 3 091 답 (1) y= +1 (2) y=- -1 (3) y= -2 (4) y=- 1 x-2 3 x-3 1 x-2 2 x+2 3 x-3 4 x+1 (1) y-1= ∴ y= (2) y+1=- ∴ y=- (3) y+2= ∴ y= (4) y-0=- ∴ y=- 2 x+2 4 x+1 1 x-2 +1 2 x+2 -1 3 x-3 -2 4 x+1 092 답 (1) p=0, q=5 (2) p=0, q=2 (3) p=3, q=0 (4) p=-1, q=0 (5) p=-1, q=-3 (6) p=-5, q=1 (1) 함수 y= +5의 그래프는 함수 y= 의 그래프를 y축의 ;[!; ;[!; 방향으로 5만큼 평행이동한 것이므로 p=0, q=5 (2) 함수 y=2- 의 그래프는 함수 y=- 의 그래프를 y축의 ;[#; ;[#; 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 p=0, q=2 1 x-3 3 x+1 1 x+1 것이므로 p=-1, q=-3 것이므로 p=-5, q=1 의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 p=-1, q=0 (5) 함수 y= -3의 그래프는 함수 y= 의 그래프를 x축 의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 ;[#; ;[!; (6) 함수 y=1- 의 그래프는 함수 y=- 의 그래프를 ;[#; 3 x+5 x축의 방향으로 -5만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 093 답 (1) ① 풀이 참고 ② x=0, y=-1 ③ {x|x+0인 실수} ④ {y|y+-1인 실수} (2) ① 풀이 참고 ② x=2, y=0 ③ {x|x+2인 실수} ④ {y|y+0인 실수} (3) ① 풀이 참고 ② x=-2, y=-1 ③ {x|x+-2인 실수} ④ {y|y+-1인 실수} (4) ① 풀이 참고 ② x=1, y=1 ③ {x|x+1인 실수} ④ {y|y+1인 실수} (1) -1-2-3-4 4321 x y 3 2 1 O -1 -2 -3 -4 -5 y 4 3 2 1 O -1 -2 -3 -4 함수 y=;[!;-1의 그래프는 함수 y=;[!; 의 그래프를 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다. (2) -1-2 321 4 5 6 x 함수 y= 의 그래프는 함수 y= 의 그래프를 x축의 ;[!; 1 x-2 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. Ⅱ. 함수 39 YBM(해)-02-3,4단원(37~53)OK.indd 39 2017-12-21 오후 2:37:09 함수 y=- +1의 그래프는 함수 y=- 의 그래프를 ;[!; 1 x-1 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. -2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행 -2 x 094 답 (1) a=3, b=4 (2) a=-2, b=1 (3) a=2, b=-3 (1) 함수 y= +4= +4에서 점근선의 방정식이 1 2x-6 1 2(x-3) x=3, y=4이므로 이 함수의 그래프는 점 (3, 4)에 대하여 (3) y= -2 (4) y= 함수 y= -1의 그래프는 함수 y= 의 그래프를 x축 ;[!; 1 x+2 의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 (3) -4-5-6 -3-2-1 O 21 x y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 것이다. (4) y 5 4 3 2 1 O-1 -1 -2 -3 -2-3-4 1 2 3 4 x (2) 함수 y=- +1=- +1에서 점근선의 방정 1 3x+6 1 3(x+2) 식이 x=-2, y=1이므로 이 함수의 그래프는 점 (-2, 1) (3) 함수 y=- -3=- -3에서 점근선의 방정 1 2x-4 1 2(x-2) 식이 x=2, y=-3이므로 이 함수의 그래프는 점 (2, -3) 대칭이다. ∴ a=3, b=4 에 대하여 대칭이다. ∴ a=-2, b=1 에 대하여 대칭이다. ∴ a=2, b=-3 (2) 함수 y= +1의 그래프가 직선 y=-x+k에 대하여 1 x-1 대칭이려면 직선 y=-x+k가 이 그래프의 두 점근선 x=1, y=1의 교점 (1, 1)을 지나야 한다. 즉, 1=-1+k에서 k=2 096 답 (1) ◯ (2) × (3) ◯ (4) × (5) × 함수 y= +3의 그래프는 함수 3 x-1 y= 의 그래프를 x축의 방향으로 1 ;[#; 만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동 한 것이다. y 3 O 1 x 097 답 (1) × (2) ◯ (3) × (4) ◯ (5) ◯ 함수 y=- +2의 그래프는 함수 3 x+2 y=- 의 그래프를 x축의 방향으로 ;[#; 이동한 것이다. y 2 O 098 답 (1) y=- +2 (2) y= 7 x+2 7 x+3 1 x+1 +4 1 x-2 -1 (5) y=- 2 3x+3 +2 (1) y= 2x-3 x+2 = 2(x+2)-7 x+2 =- 7 x+2 +2 (2) y= 4x+5 x+1 = 4(x+1)+1 x+1 = 1 x+1 +4 (3) y= -2x+1 x+3 = -2(x+3)+7 x+3 = 7 x+3 -2 (4) y= 3-x x-2 = -(x-2)+1 x-2 = 1 x-2 -1 (5) y= 6x+4 3x+3 = 6(x+1)-2 3(x+1) =- 2 3x+3 +2 099 답 (1) ① 풀이 참고 ② x=2, y=1 ③ {x|x+2인 실수} ④ {y|y+1인 실수} (2) ① 풀이 참고 ② x=-3, y=2 (3) ① 풀이 참고 ② x=-1, y=3 ③ {x|x+-1인 실수} ④ {y|y+3인 실수} (4) ① 풀이 참고 ② x=3, y=2 ③ {x|x+3인 실수} ④ {y|y+2인 실수} (1) 함수 y= -3의 그래프가 직선 y=x+k에 대하여 대칭 ③ {x|x+-3인 실수} ④ {y|y+2인 실수} 이려면 직선 y=x+k가 이 그래프의 두 점근선 x=2, y=-3의 교점 (2, -3)을 지나야 한다. 즉, -3=2+k에서 095 답 (1) -5 (2) 2 1 x-2 k=-5 40 정답 및 해설 YBM(해)-02-3,4단원(37~53)OK.indd 40 2017-12-21 오후 2:37:10 정답 및 해설 -2-3-4-5-6-7 -1 x1 즉, 이 함수의 그래프는 함수 y=- 의 그래프를 x축의 방 y= x+1 x-2 = (x-2)+3 x-2 = 3 x-2 +1 즉, 함수 y= x+1 x-2 의 그래프는 함수 y= 의 그래프를 x축 ;[#; 의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. y= 2x+1 x+3 = 2(x+3)-5 x+3 =- 5 x+3 +2 즉, 함수 y= 의 그래프는 함수 y=- 의 그래프를 ;[%; 2x+1 x+3 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 -1-2 O 1 2 3 4 5 6 x y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 (1) (2) y 6 5 4 3 2 1 O -1 -2 것이다. (3) y 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3-4 -2 -1 O 1 2 3 4 x y= 3x+7 x+1 = 3(x+1)+4 x+1 = 4 x+1 +3 즉, 함수 y= 의 그래프는 함수 y= 의 그래프를 x ;[$; 3x+7 x+1 축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. (4) y 6 5 4 3 2 1 -1 O -1 -2 것이다. 21 43 5 6 7 x y= 2x-7 x-3 = 2(x-3)-1 x-3 =- 1 x-3 +2 즉, 함수 y= 의 그래프는 함수 y=- 의 그래프를 ;[!; 2x-7 x-3 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 100 답 (1) ◯ (2) × (3) × (4) ◯ (1) y= 2x-3 x-2 = 2(x-2)+1 x-2 = 1 x-2 +2 즉, 이 함수의 그래프는 함수 y= 의 그래프를 x축의 방향 ;[!; 으로 2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 평 행이동하여 함수 y= 의 그래프와 겹칠 수 있다. ;[!; (2) y= 1-4x x-2 = -4(x-2)-7 x-2 =- 7 x-2 -4 즉, 이 함수의 그래프는 함수 y=- 의 그래프를 x축의 방 향으로 2만큼, y축의 방향으로 -4만큼 평행이동한 것이므 로 평행이동하여 함수 y= 의 그래프와 겹칠 수 없다. (3) y= -2x+1 x-3 = -2(x-3)-5 x-3 =- 5 x-3 -2 향으로 3만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이므 로 평행이동하여 함수 y= 의 그래프와 겹칠 수 없다. (4) y= x+4 x+3 = (x+3)+1 x+3 = 1 x+3 +1 즉, 이 함수의 그래프는 함수 y= 의 그래프를 x축의 방향 ;[!; 으로 -3만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 평행이동하여 함수 y= 의 그래프와 겹칠 수 있다. ;[!; ;[!; ;[!; 101 답 (1) × (2) ◯ (3) × (4) ◯ (1) y= -x-1 x-1 = -(x-1)-2 x-1 2 x-1 =- -1이므로 평행이동 하여 y=- 의 그래프와 겹쳐지는 함수의 그래프를 찾으면 ;[@; 된다. y= -x-2 x-1 = -(x-1)-3 x-1 =- 3 x-1 -1 즉, 이 함수의 그래프는 함수 y=- 의 그래프를 x축의 방 향으로 1만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므 로 평행이동하여 함수 y= 의 그래프와 겹칠 수 없다. -x-1 x-1 (2) y= 2x x+1 = 2(x+1)-2 x+1 =- 2 x+1 +2 즉, 이 함수의 그래프는 함수 y=- 의 그래프를 x축의 방 향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 평행이동하여 함수 y= 의 그래프와 겹칠 수 있다. -x-1 x-1 (3) y= 3x-3 x-2 = 3(x-2)+3 x-2 = 3 x-2 +3 즉, 이 함수의 그래프는 함수 y= 의 그래프를 x축의 방향 ;[#; Ⅱ. 함수 41 ;[&; ;[%; ;[#; ;[@; YBM(해)-02-3,4단원(37~53)OK.indd 41 2017-12-21 오후 2:37:11 으로 2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이므로 평 따라서 그래프의 방정식은 행이동하여 함수 y= 의 그래프와 겹칠 수 없다. -x-1 x-1 (4) y= -x+1 x-3 = -(x-3)-2 x-3 =- 2 x-3 -1 즉, 이 함수의 그래프는 함수 y=- 의 그래프를 x축의 방 ;[@; 향으로 3만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므 로 평행이동하여 함수 y= 의 그래프와 겹칠 수 있다. -x-1 x-1 102 답 (1) p=3, q=2, k=4 (2) p=-2, q=1, k=4 (3) p=-2, q=1, k=-2 (1) 점근선의 방정식이 x=3, y=2이므로 y= +2 ∴ p=3, q=2 이 그래프가 점 (1, 0)을 지나므로 0= +2 ∴ k=4 (2) 점근선의 방정식이 x=-2, y=1이므로 y= +1 ∴ p=-2, q=1 이 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로 3= +1 ∴ k=4 (3) 점근선의 방정식이 x=-2, y=1이므로 y= +1 ∴ p=-2, q=1 이 그래프가 점 (0, 0)을 지나므로 0= +1 ∴ k=-2 k x-3 k 1-3 k x+2 k 0+2 k x+2 k 0+2 103 답 (1) a=-1, b=0, c=2 (2) a=2, b=-10, c=-3 (3) a=2, b=-3, c=1 (4) a=3, b=-2, c=-1 그래프가 점 P(0, 0)을 지나므로 0= -1 ∴ k=2 k 0+2 따라서 그래프의 방정식은 y= -1= 2 x+2 2-(x+2) x+2 = -x x+2 ∴ a=-1, b=0, c=2 (2) 점근선의 방정식이 x=3, y=2이므로 y= k x-3 +2 그래프가 점 P(2, 6)을 지나므로 6= +2 ∴ k=-4 k 2-3 42 정답 및 해설 y= +2= -4 x-3 -4+2(x-3) x-3 = 2x-10 x-3 ∴ a=2, b=-10, c=-3 (3) 점근선의 방정식이 x=-1, y=2이므로 y= k x+1 +2 그래프가 점 P(4, 1)을 지나므로 1= +2 ∴ k=-5 k 4+1 따라서 그래프의 방정식은 y= +2= -5 x+1 -5+2(x+1) x+1 = 2x-3 x+1 ∴ a=2, b=-3, c=1 (4) 점근선의 방정식이 x=1, y=3이므로 y= k x-1 +3 그래프가 점 P(0, 2)를 지나므로 2= +3 ∴ k=1 k 0-1 따라서 그래프의 방정식은 y= +3= 1 x-1 1+3(x-1) x-1 = 3x-2 x-1 ∴ a=3, b=-2, c=-1 104 답 (1) a=2, b=4, c=3 (2) a=1, b=-4, c=-2 (3) a=3, b=9, c=5 (1) 점근선의 방정식이 x=-3, y=2이므로 y= k x+3 +2 그래프가 점 (-2, 0)을 지나므로 0= +2 ∴ k=-2 k -2+3 즉, 주어진 함수의 그래프는 y= +2= -2 x+3 -2+2(x+3) x+3 = 2x+4 x+3 ∴ a=2, b=4, c=3 (2) 점근선의 방정식이 x=2, y=1이므로 y= k x-2 +1 2= +1 ∴ k=-2 k 0-2 즉, 주어진 함수의 그래프는 y= +1= -2 x-2 -2+x-2 x-2 = x-4 x-2 ∴ a=1, b=-4, c=-2 (3) 점근선의 방정식이 x=-5, y=3이므로 y= k x+5 +3 그래프가 점 (-3, 0)을 지나므로 0= +3 ∴ k=-6 k -3+5 즉, 주어진 함수의 그래프는 (1) 점근선의 방정식이 x=-2, y=-1이므로 y= 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로 k x+2 -1 YBM(해)-02-3,4단원(37~53)OK.indd 42 2017-12-21 오후 2:37:11 정답 및 해설 y= +3= -6 x+5 -6+3(x+5) x+5 = 3x+9 x+5 ∴ a=3, b=9, c=5 105 답 (1) 최댓값 : 1, 최솟값 : -1 (2) 최댓값 : 9, 최솟값 : 5 (3) 최댓값 : , 최솟값 : -3 ;3!; (4) 최댓값 : 5, 최솟값 : (5) 최댓값 : 1, 최솟값 : - ;;Á5£;; ;3&; (6) 최댓값 : , 최솟값 : -1 ;3!; (1) y= 2x+1 x-1 = 2(x-1)+3 x-1 = 3 x-1 +2 (4) y= 2x+5 x+1 = 2(x+1)+3 x+1 = 3 x+1 +2 즉, 주어진 함수의 그래프는 함수 y= 의 그래프를 x축의 ;[#; 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이 다. 이때 0ÉxÉ4에서 함수 y= 의 그래프가 2x+5 x+1 오른쪽 그림과 같으므로 최댓값은 x=0일 때 5, 최솟값은 x=4일 때 ;;Á5£;; y 13 5 -1 5 2 O - 5 2 x4 (5) y= 4x+1 1-x = 4(x-1)+5 -(x-1) =- 5 x-1 -4 즉, 주어진 함수의 그래프는 함수 y= 의 그래프를 x축의 즉, 주어진 함수의 그래프는 함수 y=- 의 그래프를 x축 ;[%; ;[#; 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. 의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -4만큼 평행이동한 것 이때 -2ÉxÉ0에서 함수 y= 의 그래프가 오른쪽 2x+1 x-1 그림과 같으므로 최댓값은 x=-2일 때 1, 최솟값은 x=0일 때 -1 y 2 1 O 1 -2 -1 x 이다. 이때 -2ÉxÉ0에서 함수 y= 의 그래프가 오른쪽 4x+1 1-x 그림과 같으므로 최댓값은 x=0일 때 1, y 1 -4 -2 1 O x - 7 3 (2) y= 3x+12 x+2 = 3(x+2)+6 x+2 = 6 x+2 +3 즉, 주어진 함수의 그래프는 함수 y= 의 그래프를 x축의 ;[^; 최솟값은 x=-2일 때 - ;3&; (6) y= 3x+2 x-2 = 3(x-2)+8 x-2 = 8 x-2 +3 즉, 주어진 함수의 그래프는 함수 y= 의 그래프를 x축의 ;[*; 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. 이때 -1ÉxÉ0에서 함수 y= 의 그래프가 오른쪽 3x+2 x-2 y 3 최댓값은 x=-1일 때 , ;3!; 최솟값은 x=0일 때 -1 1 3 O 2 -1 -1 x 1-1-2-4 x 그림과 같으므로 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. 이때 -1ÉxÉ1에서 함수 y= 의 그래프가 오른쪽 그림 3x+12 x+2 과 같으므로 최댓값은 x=-1일 때 9, 최솟값은 x=1일 때 5 y 9 6 5 3 O (3) y= 2x-3 x+1 = 2(x+1)-5 x+1 =- 5 x+1 +2 즉, 주어진 함수의 그래프는 함수 y=- 의 그래프를 x축 ;[%; 의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것 이다. 이때 0ÉxÉ2에서 함수 y= 의 그래프가 오른쪽 그림 2x-3 x+1 과 같으므로 최댓값은 x=2일 때 , ;3!; 최솟값은 x=0일 때 -3 y 2 1 3 -3 -1 O 2 x 106 답 (1) y= -x-1 x-2 (2) y= (3) y= -2x+3 x+1 -3x-4 x-2 (1) y= 2x-1 x+1 을 x에 대하여 풀면 y(x+1)=2x-1, xy+y=2x-1 (y-2)x=-y-1 ∴ x= -y-1 y-2 x와 y를 바꾸어 역함수를 구하면 y= -x-1 x-2 Ⅱ. 함수 43 YBM(해)-02-3,4단원(37~53)OK.indd 43 2017-12-21 오후 2:37:12 107 답 (1) a=-1, b=1, c=-3 (2) a=3, b=1, c=2 (3) a=6, b=-3, c=1 (4) a=-2, b=-1, c=4 (2) y= 을 x에 대하여 풀면 -x+3 x+2 y(x+2)=-x+3, xy+2y=-x+3 (y+1)x=-2y+3 ∴ x= -2y+3 y+1 -2x+3 x+1 x와 y를 바꾸어 역함수를 구하면 y= (3) y= 를 x에 대하여 풀면 2x-4 x+3 y(x+3)=2x-4, xy+3y=2x-4 (y-2)x=-3y-4 ∴ x= -3y-4 y-2 x와 y를 바꾸어 역함수를 구하면 y= -3x-4 x-2 (1) y= 를 x에 대하여 풀면 3x+a x+2 y(x+2)=3x+a, (y-3)x=-2y+a ∴ x= -2y+a y-3 x와 y를 바꾸어 역함수를 구하면 y= -2x+a x-3 이 식이 y= 과 같으므로 -2x-1 bx+c a=-1, b=1, c=-3 (2) y= 2x-1 -x+a 을 x에 대하여 풀면 y(-x+a)=2x-1, (y+2)x=ay+1 ∴ x= ay+1 y+2 x와 y를 바꾸어 역함수를 구하면 y= ax+1 x+2 이 식이 y= 과 같으므로 3x+1 bx+c a=3, b=1, c=2 (3) y= 을 x에 대하여 풀면 ax+1 2x+3 y(2x+3)=ax+1, (2y-a)x=-3y+1 ∴ x= -3y+1 2y-a x와 y를 바꾸어 역함수를 구하면 y= -3x+1 2x-a 이 식이 y= 와 같으므로 bx+c 2x-6 a=6, b=-3, c=1 (4) y= 를 x에 대하여 풀면 ax+4 x+b y(x+b)=ax+4, (y-a)x=-by+4 ∴ x= -by+4 y-a 44 정답 및 해설 x와 y를 바꾸어 역함수를 구하면 y= -bx+4 x-a 이 식이 y= 와 같으므로 x+c x+2 a=-2, b=-1, c=4 108 답 (1) 1 (2) 2 (3) -3 (1) ( f½f -1½f -1)(-2)=(( f½f -1)½f -1)(-2) =f -1(-2) 이때 f -1(-2)=k로 놓으면 f(k)=-2 따라서 =-2에서 3k-1=-2k+4 ∴ k=1 3k-1 k-2 2k+1 k-1 ∴ ( f½f -1½f -1)(-2)=f -1(-2)=1 (2) ( f -1½f -1½f )(5)=( f -1½( f -1½f ))(5) =f -1(5) 이때 f -1(5)=k로 놓으면 f(k)=5 따라서 =5에서 2k+1=5k-5 ∴ k=2 ∴ ( f -1½f -1½f )(5)=f -1(5)=2 (3) ( f -1½f½f -1) =( f -1½( f½f -1)) 11 8 } { 11 8 } { =f -1 11 8 } { 이때 f -1 =k로 놓으면 f(k)= 11 8 11 8 } { 3k-2 3k+1 11 8 따라서 = 에서 24k-16=33k+11 ∴ k=-3 ∴ ( f -1½f½f -1) 11 8 } { =f -1 11 8 } { =-3 109 답 (1) 2 (2) (3) - ;2!; 1 3002 (4) ;4!; (1) f(x)= 이므로 1 1-x f Û`(x)=f( f(x))= 1 1 1-x = 1 (1-x)-1 1-x 1- = 1 -x 1-x = x-1 x f Ü`(x)=f( f Û`(x))= 1 x-1 x 따라서 f Ü`(x)=f ß`(x)=f á`(x)=⋯=f Ü`n(x)(n은 자연수) 1 1 x =x 1- = 는 항등함수이다. f Û`à`(x)=f 3´9(x)=f Ü`(x)=x이므로 f Û`à`(2)=2 (2) f Û`â`(x)=f 3´6+2(x)=f Û`(x)= 이므로 f Û`â`(2)= 2-1 2 = ;2!; (3) f 1000(x)=f 333´3+1(x)=f(x)= 이므로 x-1 x 1 1-x YBM(해)-02-3,4단원(37~53)OK.indd 44 2017-12-21 오후 2:37:13 정답 및 해설 a+1=0, a+b-1=0, b+1=3 ∴ a=-1, b=2 따라서 제3사분면을 지나지 않는다. xÛ`-5x+6 xÛ`-16 _ xÛ`+5x+4 xÛ`-4 Ö x-3 x-4 = (x-2)(x-3) (x+4)(x-4) _ (x+1)(x+4) (x+2)(x-2) _ x-4 x-3 = x+1 x+2 따라서 a=2, b=1이므로 a+b=3 답 116 ③ f 1000(3003)=- 1 3002 (4) f 1234(x)=f 411´3+1(x)=f(x)= 이므로 1 1-x f 1234(-3)= ;4!; 답 110 ① 111 답 ④ ∴ a+b=1 112 답 11 1 x+1 + ax+b xÛ`-x+1 = 3 xÜ`+1 의 양변에 xÜ`+1, 즉 (x+1)(xÛ`-x+1)을 곱하면 xÛ`-x+1+(ax+b)(x+1)=3 ∴ (a+1)xÛ`+(a+b-1)x+b+1=3 이 식이 x에 대한 항등식이므로 1 (x+1)(x+3) + 1 (x+3)(x+5) + 1 (x+5)(x+7) = ;2!;{ 1 x+1 - 1 x+3 } + ;2!;{ 1 x+3 - 1 x+5 } + ;2!;{ 1 x+5 - 1 x+7 } = ;2!;{ 1 x+1 - 1 x+7 } = ´ ;2!; x+7-(x+1) (x+1)(x+7) = 3 (x+1)(x+7) 따라서 a=1, b=7, c=3 또는 a=7, b=1, c=3이므로 = = 4+ 4+ 1 1 17 4 1 1 4+ 1 4 a+b+c=11 113 답 ② = ;7!2&; = 1 72 17 1 4+ 4 17 ∴ a=4, b=4, c=4 ∴ a+b+c=12 114 답 ③ 라 하자. ∴ x+y+z=6k ⋯ ㉣ ㉣-㉡, ㉣-㉢, ㉣-㉠을 하면 x=k, y=2k, z=3k ∴ (x+y+z)Ü` xÜ`+yÜ`+zÜ` = (6k)Ü` kÜ`+(2k)Ü`+(3k)Ü` = 216kÜ` 36kÜ` =6 115 답 ③ ③ 점 { 0, ;2!;} 을 지난다. y - 1 21 3 -2 3 O x y= 2x-4 x-1 = 2(x-1)-2 x-1 =- 2 x-1 +2 따라서 함수 y= 의 그래프는 2x-4 x-1 함수 y=- 의 그래프를 x축의 방향 ;[@; 으로 1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평 행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같 다. y 4 2 O 1 2 x 117 답 1 y= 2x+1 x+1 1 x+1 =- +2의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동하면 y=- 1 x-a+1 +2+b 이 함수의 그래프가 함수 y= =- -1의 그래프와 일치하므로 -x+2 x-3 1 x-3 -a+1=-3, 2+b=-1 따라서 a=4, b=-3이므로 a+b=1 118 답 5 y= 3x-1 x+2 = 3(x+2)-7 x+2 =- 7 x+2 +3 함수 y= 의 그래프에서 점근선의 방정식은 3x-1 x+2 x=-2, y=3 즉, 그래프는 두 점근선의 교점 (-2, 3)에 대하여 대칭이다. 이때 이 그래프가 직선 y=x+a에 대하여 대칭이므로 이 직선 (x+y) : (y+z) : (z+x)=3 : 5 : 4에서 x+y=3k ⋯ ㉠, y+z=5k ⋯ ㉡, z+x=4k ⋯ ㉢ (k+0) 은 점 (-2, 3)을 지난다. 3=-2+a ∴ a=5 ㉠+㉡+㉢을 하면 2(x+y+z)=12k 119 답 ② Ⅱ. 함수 45 YBM(해)-02-3,4단원(37~53)OK.indd 45 2017-12-21 오후 2:37:14 -1 (k+0)이라 하면 이 함수의 그래프가 점 (4, 2) y= k x-3 를 지나므로 2= k 4-3 -1 ∴ k=3 따라서 y= -1= 이므로 3 x-3 -x+6 x-3 a=-1, b=6, c=-3 ∴ a+b+c=2 답 120 ③ y= 2x-1 x-1 = 2(x-1)+1 x-1 = 1 x-1 +2이므로 2ÉxÉa에서 x=2일 때 최댓값이 3, x=a일 때 최솟값이 이다. 2a-1 a-1 ∴ b=3, 2a-1 a-1 = ;3&; 따라서 a=4, b=3이므로 a+b=7 121 답 g(x)= -x+2 2x-1 ( f½g)(x)=x에서 f(g(x))=x g(x)=f -1(x) HjjK 즉, 함수 g는 함수 f의 역함수이다. y= x+2 2x+1 를 x에 대하여 풀면 y(2x+1)=x+2, x(2y-1)=-y+2 ∴ x= -y+2 2y-1 x와 y를 서로 바꾸면 y= -x+2 2x-1 ∴ g(x)= -x+2 2x-1 4 무리함수 112쪽~124쪽 122 답 (1) 무 (2) 유 (3) 유 (4) 무 123 답 (1) x¾-2 (2) x<4 (3) -2ÉxÉ1 (4) -2<xÉ3 (1) x+2¾0이어야 하므로 x¾-2 (2) 4-x>0이어야 하므로 x<4 (3) 1-x¾0이고 2x+4¾0이어야 하므로 -2ÉxÉ1 (4) 3-x¾0이고 x+2>0이어야 하므로 -2<xÉ3 124 답 (1) x+1- x (2) -1- x+1 (3) x+2+ x 15 (4) 13 x+1+ 15 15 x-1 (5) 15 2+x+ 15 2-x 15 15 1 46 정답 및 해설 (1) 1 x+1 + 15 = x 1 15 x+1 + ( 1 15 x+1`- x 1 (x+1)-x = 15 x x+1- x)( 1 x+1 - x) 15 x+1- 1 x 1 = 15 x x+1 = (2) 1- 15 (1- 15 x(1+ = x+1) x(1+ 15 x+1)(1+ x+1) 15 =-1- x+1) 15 -x x+1 15 (3) 2 x+2- x 1 = = ( 15 2( 15 x+2`- 1 x+2+ 1 15 (x+2)-x 2( x+2`+ x)( x) x+2`+ 1 x) 15 = 1 x+2+ 15 x) x 1 (4) 2 x+1- x-1 15 ( 2( x+1- x+1+ 15 x-1)( 15 x+1+ 15 x-1) 2( (x+1)-(x-1) 15 15 x-1) 15 x+1+ 15 = 15 15 x+1+ x-1 15 x-1) (5) 2x 2+x- 15 2-x ( 2+x- 2x( 2+x+ 15 2-x)( 2-x) 15 2+x+ 2-x) 15 2x( 15 15 2-x) 2+x+ (2+x)-(2-x) 15 15 = 15 15 2+x+ 2-x 15 = = = = 15 15 15 125 답 (1) xÛ`-4 (2) x (4) 2x (5) -x x 2 x-y (3) 2 1 1 x+3-1)(x-2) (1) ( x+3+1)( 15 15 ={( 15 x+3)Û`-1Û`}(x-2) =(x+2)(x-2)=xÛ`-4 (2) 1 x+ 1 y 1 + 1 x- 1 y 1 ( = y)+( y)( x- 1 x+ 1 x+ 1 x- 1 y) 1 y) 1 1 ( 1 2 x 1 x-y = 1 1 + (3) 1 = x+ x-1 x- x-1 1 x-1)+( x-1)( ( 1 ( 1 15 x- 15 x+ 15 x 2 15 x+ 1 x- 1 x x-1) 15 x-1) 15 = 1 x-(x-1) =2 1 (4) x+ 1 xÛ`-1 + x- 1 xÛ`-1 = = !% !% x- (x+ xÛ`-1+x+ !% xÛ`-1 )(x- !% 2x xÛ`-(xÛ`-1 ) =2x !% !% xÛ`-1 xÛ`-1 ) 1 xÛ`+1 - xÛ`+1 !% (5) x+ !% = = x- xÛ`+1 !% xÛ`+1 )(x- (x+ !% xÛ`+1 x- !% xÛ`-(xÛ`+1) !% xÛ`+1 - !% - xÛ`+1 xÛ`+1 ) !% =(-x+ xÛ`+1 )- xÛ`+1=-x !% !% 126 답 (1) -4 3 (2) 2+ 6 (3) -2-2 1 1 1 xÛ`+ + 1 1 1 xÛ`+ x- !% (1) x+ !% = (x- !% (x+ !% 1 )+(x+ 1 )(x- 1 ) 1 ) xÛ`+ !% xÛ`+ !% 2 1 xÛ`+ xÛ`+ YBM(해)-02-3,4단원(37~53)OK.indd 46 2017-12-21 오후 2:37:15 정답 및 해설# # # # # # 이때, x=2 3이므로 1 (주어진 식)=-4 1 x+1 + (2) 1- 15 1+ 15 3 1 1 x+1 = 2x xÛ`-(xÛ`+1) =-2x x+1)+(1- x+1)(1+ x+1) 15 x+1) 15 = = (1+ 15 (1- 15 2 1-(x+1) =- ;[@; 이때 x=2- 6이므로 1 (주어진 식)=- =- 2(2+ 6) 1 6)(2+ (2- 6) 1 2 2- 1 4+2 6 1 4-6 =- 6 =2+ x-1 x+1 (3) 1 1 + 1 1 x+1 x-1 = ( x-1)Û`+( 1 x+1)( ( x+1)Û` 1 x-1) 1 6 1 1 x+1)+(x+2 x-1 1 1 x+1) 1 (x-2 = = 2x+2 x-1 이때 x= 1 1+ = 2 (1+ 2 1- 1 2)(1- = 2-1이므로 1 1 2( (주어진 식)= ( = 2-1)+2 1 2-1)-1 1 2 2( 1 1 2-2)( 2+2) 2+2) 1 1 = ( 1 2) 1 2 2 1 2-2 1 =-2-2 2 1 127 답 (1) 무 (2) 유 (3) 무 (4) 무 128 답 (1) {x|x¾-2} (2) {x|x는 모든 실수} (3) [ x | xÉ ;2!;] (4) {x|xÉ-2 또는 x¾3} (1) x+2¾0에서 정의역은 {x|x¾-2} (2) 모든 실수 x에 대하여 xÛ`+2>0이므로 정의역은 {x|x는 모든 실수} (3) 1-2x¾0에서 정의역은 [ ;2!;] (4) xÛ`-x-6¾0에서 (x+2)(x-3)¾0 x | xÉ ∴ xÉ-2 또는 x¾3 따라서 정의역은 {x|xÉ-2 또는 x¾3} (2) y= - x의 그래프는 오른쪽 그림과 y y= -x 14 같고, 정의역 : {x|xÉ0}, 치역 : {y|y¾0}이다. 1 14 (3) y=- x의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, 정의역 : {x|x¾0}, 치역 : {y|yÉ0}이다. y O (4) y=- - x의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, 정의역 : {x|xÉ0}, 치역 : {y|yÉ0}이다. xO x y=- x y xO y=- -x 130 답 (1) 풀이 참고, y=- 15 (3) 풀이 참고, y=- 2x 14 (1) y 대신 -y를 대입하면 -y= -2x -2x (2) 풀이 참고, y= 2x 14 ∴ y=- -2x 15 (2) x 대신 -x를 대입하면 y= -2 ´(- x) 15 !% ∴ y= 2x 14 !% (3) x 대신 -x, y 대신 -y를 대입하면 -y= -2 ´( - x) ∴ y=- 2x 14 y= -2x (2) y 4 2 -2 -4 -4 -2 O 2 4 x (1) (3) 129 답 (1) 풀이 참고, 정의역 : {x|x¾0}, 치역 : {y|y¾0} (2) 풀이 참고, 정의역 : {x|xÉ0}, 치역 : {y|y¾0} (3) 풀이 참고, 정의역 : {x|x¾0}, 치역 : {y|yÉ0} (4) 풀이 참고, 정의역 : {x|xÉ0}, 치역 : {y|yÉ0} (1) y= x의 그래프는 오른쪽 그림과 y 1 같고, 정의역 : {x|x¾0}, 치역 : {y|y¾0}이다. 131 답 (1) 풀이 참고, y=- 14 (3) 풀이 참고, y=- -3x 15 (1) y 대신 -y를 대입하면 -y= 3x 3x (2) 풀이 참고, y= -3x 15 x ∴ y=- 3x 14 ∴ y= -3x (2) x 대신 -x를 대입하면 y= 3´( - x) (3) x 대신 -x, y 대신 -y를 대입하면 -y= 3´( - x) ∴ y=- -3x 15 !% !% 14 15 O x Ⅱ. 함수 47 YBM(해)-02-3,4단원(37~53)OK.indd 47 2017-12-21 오후 2:37:17 3 3 % # % $ # $ # $ # -4 -2 O 2 4 x (2) (3) y= 3x (1) y 4 2 -2 -4 15 15 132 답 (1) y= 3x+ 3+2 (2) y= -2x + 2-3 (3) y=- 1 5x+ 0-1 (4) y=- -x + 2+3 15 15 (1) y= 3 x에서 y-2= 3(x + 1) !% ∴ y= 3x+ 3+2 (2) y= 15 2x에서 y-(-3)= - 13 14 ∴ y= -2x + 2-3 (3) y=- 15 5x에서 y-(-1)=- 14 14 ∴ y=- 1 5x+ 0-1 (4) y=- 15 x에서 y-3=- - ∴ y=- -x + 2+3 15 -2( x- 1) !% 5(x + 2) !% -( ) 2 x- !% 133 답 (1) p=0, q=-3 (2) p=5, q=0 (3) p=2, q=0 (4) p=-2, q=1 (5) p=- , q=4 ;2!; 2 1 1 (1) y= x-3의 그래프는 함수 y= x의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다. ∴ p=0, q=-3 (2) y= x-5의 그래프는 함수 y= x의 그래프를 x축의 2 1 15 방향으로 5만큼 평행이동한 것이다. ∴ p=5, q=0 ∴ p=2, q=0 (4) y=- 3x+ 6+1=- 3(x + 2)+1의 그래프는 함수 y=- 3x의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향 15 14 !% 으로 1만큼 평행이동한 것이다. ∴ p=-2, q=1 (5) y= 2x+ 1+4= 2 ®É { x + ;2!;} 15 +4의 그래프는 함수 y= 2x의 14 그래프를 x축의 방향으로 - 만큼, y축의 방향으로 4만큼 ;2!; 평행이동한 것이다. ∴ p=- , q=4 ;2!; 134 답 (1) ① 풀이 참고 ② {x|xÉ2} ③ {y|y¾0} (2) ① 풀이 참고 ② {x|xÉ0} ③ {y|yÉ-1} (3) ① 풀이 참고 ② {x|x¾-2} ③ {y|yÉ1} 48 정답 및 해설 (1) y= 2-x= -(x - 2) 15 !% -2-3 -1 1 2 3 4 x -5 -4-3 -2-1 1 2 x (2) (3) y 3 2 1 O -1 -2 y 2 1 O -1 -2 -3 y 3 2 1 O -1 -2 -2-3-4 -1 1 2 3 x 135 답 (1) ① 풀이 참고 ② {x|x¾1} ③ {y|y¾-2} (2) ① 풀이 참고 ② [ x | x¾ ;2!;] ③ {y|y¾-1} (3) ① 풀이 참고 ② {x|xÉ1} ③ {y|y¾3} (4) ① 풀이 참고 ② {x|x¾3} ③ {y|yÉ2} (5) ① 풀이 참고 ② {x|xÉ2} ③ {y|yÉ1} (6) ① 풀이 참고 ② [ x | xÉ ;2%;] ③ {y|y¾-2} 321 4 5 6 x (1) (2) -1 O -1 -2 y 3 2 1 y 3 2 1 1 2 -1 O -1 -2 (3) (4) y 3 2 1 O -1 -2 (5) y 6 5 4 3 2 1 y 3 2 1 O -1 -2 -1-2-3-4-5 O 21 x 321 4 5 6 7 x -5-4 -1-2-3 1 2 x y= 3x- 3-2 = 3(x - 1)-2 y= 2x- 1-1 = 2 ® É{ x- Â;2!;} -1 y= 2-2 x+3 = -2( x-1)+3 y=- 2x- 6+2 =- 2(x - 3)+2 y=- -x + 2+1 =- -( x- 2)+1 15 !% 15 15 !% 15 !% 15 !% (3) y= -5x + 1 0= -5( x- 2)의 그래프는 함수 y= -5x의 15 15 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. !% 321 4 5 6 x YBM(해)-02-3,4단원(37~53)OK.indd 48 2017-12-21 오후 2:37:18 정답 및 해설$ # 2 $ # 2 2 % 2 $ # 4 2 % # 2 4 2 3 2 4 2 3 $ # 2 4 % # 4 2 $ # 3 2 2 % # \ 4 2 2 2 4 3 2 % # 3 $ # # 2 É y 3 1 O y 2 O 2 x (6) -1-2-3-4-5 1 2 5 2 x y 3 2 1 O -1 -2 y= 5-2 x-2 15 ®É = -2 x- -2 {É ;2%;} 136 답 (1) × (2) ◯ (3) ◯ (4) × y= 4-2 x+1= -2 (x- 2)+1이므로 15 !% 그래프는 y= - 2x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 아래 그림과 같고, 제1, 2 14 사분면을 지난다. 정의역은 {x|xÉ2}, 치역은 {y|y¾1}이다. 또, 주어진 함수의 y=- - (x- 1)+2=- - x + +2 ¾ ¨;3$; Ñ;3$; ¾ Ð;3$;¨ 2 x 이 그래프가 점 , 0 을 지나므로 0=- 2a+2 {;2(; } 14 137 답 (1) × (2) × (3) ◯ (4) ◯ y=- 6-3 x+2=- -3( x-2)+2이므로 !% 정의역은 {x|xÉ2}, 치역은 {y|yÉ2}이다. 또, y=0일 때, ∴ b=-5, c=2 15 ;3@; 지 않는다. x= 이므로 그래프는 점 , 0 을 지난다. {;3@; } 주어진 함수의 그래프는 아래 그림과 같고, 제2사분면을 지나 14 14 14 (2) 주어진 무리함수의 그래프는 y=- ax (a<0)의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 y=- a(x - 1)+2 !% 이 그래프가 점 (-2, 0)을 지나므로 0=- -3a+2, -3a=4 ∴ a=- ;3$; 15 따라서 무리함수의 그래프는 ∴ b= , c=2 ;3$; (3) 주어진 무리함수의 그래프는 y=- ax (a>0)의 그래프를 x축의 방향으로 만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 ;2%; 것 이므로 y=- a É{ ® x- Â;2%;} +2 2a=4 ∴ a=2 따라서 무리함수의 그래프는 y=- 2 x- ® É{ Â;2%;} +2=- 2x- 5+2 15 (4) 주어진 무리함수의 그래프는 y=- ax (a<0)의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이므로 y=- a(x - 1)-2 !% 이 그래프가 점 (0, -3)을 지나므로 -3=- - a-2 14 -a=1 ∴ a=-1 따라서 무리함수의 그래프는 y=- -( x- 1)-2=- -x + 1-2 !% ∴ b=1, c=-2 15 (5) 주어진 무리함수의 그래프는 y= ax (a>0)의 그래프를 14 x축의 방향으로 만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동 ;3@; 한 것이므로 y= a É{ ® x- Â;3@;} -1 이 그래프가 점 (1, 0)을 지나므로 0= a-1, a=1 ®;3!;Æ ;3!; ∴ a=3 138 답 (1) a=-2, b=4, c=-1 (2) a=- , b= ;3$; (3) a=2, b=-5, c=2 ;3$; , c=2 (4) a=-1, b=1, c=-2 (5) a=3, b=-2, c=-1 (1) 주어진 무리함수의 그래프는 y= ax (a<0)의 그래프를 14 따라서 무리함수의 그래프는 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 y= a(x - 2)-1 !% 이 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로 1= -2a-1 15 -2a=4 ∴ a=-2 따라서 무리함수의 그래프는 y= -2 (x- 2)-1= -2 x+4-1 !% 15 ∴ b=4, c=-1 y= 3 x- ® É{ Â;3@;} -1= 3x- 2-1 15 ∴ b=-2, c=-1 139 답 (1) 최댓값 : 5, 최솟값 : 3 (2) 최댓값 : -1, 최솟값 : -3 YBM(해)-02-3,4단원(37~53)OK.indd 49 2017-12-21 오후 2:37:19 Ⅱ. 함수 49 $ # Ñ Ð 2 $ # 3 % # 4 2 2 3 3 % # 4 3 2 % $ # % # 5 (1) 함수 y= 3-x+2= -(x - 3)+2의 그래프는 y= - x의 x=-3, y=1을 주어진 함수의 식에 대입하면 15 !% 14 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평 1=- 2´( -3) + k+2, 1=-6+k ∴ k=7 (4) 함수 y= 4-x+k= -( x-4)+k의 그래프는 15 15 !% y= - x의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으 로 k만큼 평행이동한 것이고, x의 값이 증가할 때, y의 값은 감소한다. 14 15 따라서 x=3일 때 최솟값 3을 갖는다. x=3, y=3을 주어진 함수의 식에 대입하면 3= 4-3+k, 3=1+k ∴ k=2 141 답 (1) ① k>- ② k=- 또는 k<-1 ;4#; ;4#; ③ -1Ék<- ;4#; (2) ① k> ② k= 또는 k<1 ;4%; ;4%; ③ 1Ék< ;4%; (1) 함수 y= 수 y= 1 x-1의 그래프는 함 15 x의 그래프를 x축의 방 향으로 1만큼 평행이동한 것이 고 직선 y=x+k는 기울기가 1 이고 y절편이 k이다. Ú 직선 y=x+k가 점 (1, 0) 을 지날 때 k=-1 y y=x+k y= x-1 x O 1 -1 {ii} {i} Û 함수 y= x-1의 그래프와 직선 y=x+k가 접할 때 15 15 x-1=x+k의 양변을 제곱하여 정리하면 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=0이므로 (2k-1)Û`-4(kÛ`+1)=0, -4k-3=0 ∴ k=- ;4#; ① 만나지 않는다. ⇒ k>- ;4#; ;4#; ③ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⇒ -1Ék<- (2) 함수 y= 1-x의 그래프는 함수 y=-x+k y= - x의 그래프를 x축의 방향 15 14 으로 1만큼 평행이동한 것이고 직 선 y=-x+k는 기울기가 -1이 y= 1-x 고 y절편이 k이다. Ú 직선 y=-x+k가 점 (1, 0) ;4#; y 1 O 1 x {ii} {i} 행이동한 것이다. 정의역 {x|-6ÉxÉ2}에서 함수의 그래프는 오른쪽 그 림과 같으므로 최댓값은 x=-6일 때 3-( - 6)+2=5 !% 최솟값은 x=2일 때 5 y 3 2 O -6 2 3 x 3-2+2=3 15 (2) 함수 y=- 15 14 2x+ 4+1=- 2(x + 2)+1의 그래프는 !% y=- 2x의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향 으로 1만큼 평행이동한 것이다. 정의역 {x|0ÉxÉ6}에서 함수의 그래프는 오른쪽 그 림과 같으므로 최댓값은 x=0일 때 - 2´0 + 4+1=-1 최솟값은 x=6일 때 - 2´6 + 4+1=-3 15 15 y 1 O -2 -1 -3 6 x 140 답 (1) 13 (2) 1 (3) 7 (4) 2 (1) 함수 y= k-x-2= -( x-k)-2의 그래프는 15 !% y= - x의 그래프를 x축의 방향으로 k만큼, y축의 방향으 14 15 14 15 은 감소한다. 따라서 x=-3일 때 최댓값 2를 갖는다. x=-3, y=2를 주어진 함수의 식에 대입하면 2= k+3-2, k+3=4 ∴ k=13 15 9+2k= !% 15 y= 3x의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2k만큼 평행이동한 것이고, x의 값이 증가할 때, y의 값도 증가한다. 따라서 x=6일 때 최댓값 5를 갖는다. x=6, y=5를 주어진 함수의 식에 대입하면 5= 3´6 - 9+2k, 5=3+2k ∴ k=1 (3) 함수 y=- 2x+ k+2=- 2 ® {É x+ Â;2K;} +2의 그래프는 15 y=- 2x의 그래프를 x축의 방향으로 - 만큼, y축의 방 ;2K; 14 50 정답 및 해설 향으로 2만큼 평행이동한 것이고, x의 값이 증가할 때, y의 Û 함수 y= 1-x의 그래프와 직선 y=-x+k가 접할 때 값은 감소한다. 1-x=-x+k의 양변을 제곱하여 정리하면 따라서 x=-3일 때 최댓값 1을 갖는다. 1-x=xÛ`-2kx+kÛ`, xÛ`-(2k-1)x+kÛ`-1=0 을 지날 때 k=1 15 15 로 -2만큼 평행이동한 것이고, x의 값이 증가할 때, y의 값 x-1=xÛ`+2kx+kÛ`, xÛ`+(2k-1)x+kÛ`+1=0 (2) 함수 y= 3x- 3(x - 3)+2k의 그래프는 ② 한 점에서 만난다. ⇒ k=- 또는 k<-1 YBM(해)-02-3,4단원(37~53)OK.indd 50 2017-12-21 오후 2:37:20 정답 및 해설5 4 3 % 3 3 $ # 3 $ # 2 $ # 4 2 4 2 % 2 2 $ # 4 2 2 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=0이므로 따라서 두 교점이 (0, 0), (3, 3)이므로 두 점 사이의 거리는 {-(2k-1)}Û`-4(kÛ`-1)=0, -4k+5=0 ∴ k= ;4%; !% (3- 0)Û` +(3 -0)Û`=3 2 1 x-1, (y-2)Û`=x-1 ∴ x=(y-2)Û`+1 이때 g -1(8)=k로 놓으면 g(k)=8에서 ① 만나지 않는다. ⇒ k> ;4%; ;4%; ② 한 점에서 만난다. ⇒ k= 또는 k<1 ③ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⇒ 1Ék< ;4%; 142 답 (1) y=(x-2)Û`+1, 정의역 : {x|x¾2} (2) y=(x-4)Û`+3, 정의역 : {x|xÉ4} (1) y= x-1+2를 x에 대하여 풀면 15 y-2= 15 x와 y를 서로 바꾸어 역함수를 구하면 y=(x-2)Û`+1 한편, y= x-1+2의 치역이 {y|y¾2}이므로 15 역함수의 정의역은 {x|x¾2}이다. (2) y=- x-3+4를 x에 대하여 풀면 15 4-y= x-3, (4-y)Û`=x-3 15 ∴ x=(y-4)Û`+3 한편, y=- x-3+4의 치역이 {y|yÉ4}이므로 15 역함수의 정의역은 {x|xÉ4}이다. 144 답 (1) (2) 66 (3) 5 ;5*; (1) (g½f -1) -1(3)=( f½g -1)(3)=f(g -1(3)) 이때 g -1(3)=k로 놓으면 g(k)=3에서 k+2=3, k+2=9 ∴ k=7 15 따라서 구하는 함숫값은 f(g -1(3))=f(7)= ;5*; (2) ( f½(g½f ) -1½f )(5)=( f½f -1½g -1½f )(5) =(g -1½f )(5) =g -1( f(5))=g -1(8) k-2=8, k-2=64 ∴ k=66 15 따라서 구하는 함숫값은 ( f½(g½f ) -1½f )(5)=g -1(8)=66 (3) ( f½(g½f ) -1½f )(3)=( f½f -1½g -1½f )(3) =(g -1½f )(3) =g -1( f(3))=g -1(3) 2k- 1=3, 2k-1=9 ∴ k=5 15 따라서 구하는 함숫값은 ( f½(g½f ) -1½f )(3)=g -1(3)=5 x와 y를 서로 바꾸어 역함수를 구하면 y=(x-4)Û`+3 이때 g -1(3)=k로 놓으면 g(k)=3에서 143 답 (1) 2 (2) 2 2 (3) 3 1 1 2 1 (1) 함수 y= x-4+4의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점 15 x-4+4의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으므로 은 y= 15 x-4+4=x, x-4=x-4 15 양변을 제곱하여 정리하면 x-4=xÛ`-8x+16 15 답 145 ④ f(n)= 1 n+1+ = n 1 n n+1- (n+1)-n 1 = 15 15 = 15 15 n+1+ ( 15 n+1- 1 n 1 n n+1- n)( 1 n+1- n) 15 1 xÛ`-9x+20=0, (x-4)(x-5)=0 ∴ x=4 또는 x=5 ∴ f(1)+f(2)+ ⋯ +f(24) 따라서 두 교점이 (4, 4), (5, 5)이므로 두 점 사이의 거리는 (5- 4)Û` +(5 -4)Û`= 2 1 !% (2) 함수 y= 15 2x- 은 y= 15 2x- 로 2x- 2+1의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점 2+1의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으므 2+1=x, 2x- 2=x-1 15 15 양변을 제곱하여 정리하면 2x-2=xÛ`-2x+1 =( 2-1)+( 3- 2)+ ⋯ +( 5- 2 13 4) 2 13 = 5-1=4 1 2 13 1 1 146 답 3- 2 1 x+y=2 1 3, xy=2이므로 1 (x-y)Û`=(x+y)Û`-4xy=12-8=4 xÛ`-4x+3=0, (x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3 ∴ x-y=2 (∵ x>y) 따라서 두 교점이 (1, 1), (3, 3)이므로 두 점 사이의 거리는 (3- 1)Û` +(3 -1)Û`=2 2 1 ~!% (3) 함수 y=- 9-3 x+3의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교 점은 y=- 9-3 x+3의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같 15 15 9-3 15 ∴ 1 1 x- x+ y y 1 1 = = x- 1 y)( 1 xy ( 1 x+ ( 1 1 x+y-2 14 x-y y)Û` x- 1 2 = y) 2 3-2 2 1 1 = 3- 1 2 1 으므로 - x+3=x, - 9-3 x=x-3 15 답 147 ② 양변을 제곱하여 정리하면 9-3x=xÛ`-6x+9 5-x¾0에서 xÉ5이므로 주어진 함수의 정의역은 xÛ`-3x=0, x(x-3)=0 ∴ x=0 또는 x=3 {x|xÉ5} ∴ b=5 YBM(해)-02-3,4단원(37~53)OK.indd 51 2017-12-21 오후 2:37:21 Ⅱ. 함수 51 % % % 2 2 2 2 % % % 2 2 2 2 % % % 3 3 3 3 또, 주어진 함수의 치역은 {y|yÉa}이므로 a=2 ∴ a=17 ∴ a+b=7 답 148 ③ ∴ a+b=6 답 149 ⑤ 함수 y= x-3의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, 2 13 y축의 방향으로 b만큼 평행이동하면 y= 2(x - a)+b-3 ∴ y= 2 2x- a+b-3 !% 15 이 그래프가 y= 2x- 4+1의 그래프와 겹쳐지므로 15 2a=4, b-3=1 ∴ a=2, b=4 y=- 2x- 4+1=- 2(x - 2)+1 15 !% 이므로 이 함수의 그래프는 오른쪽 그 림과 같다. ① 2x-4¾0에서 x¾2이므로 정의역 은 {x|x¾2}이다. y 1 O 5 2 2 x ② - 2x- 4É0에서 yÉ1이므로 치역은 {y|yÉ1}이다. 15 ;2%; ③ x= 를 대입하면 y=- - 4+1=0 5 14 따라서 그래프는 점 , 0 을 지난다. {;2%; } ④ 그래프는 제1, 4사분면을 지난다. ⑤ y=- 2x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으 로 1만큼 평행이동한 것이다. 이상에서 옳지 않은 것은 ⑤이다. f(x)=- a(x + 4)+3 (a>0)이라 하면 이 함수의 그래프가 점 (0, -1)을 지나므로 -1=- 4a+3 ∴ a=4 따라서 f(x)=- 4(x + 4)+3이므로 !% f(5)=- 4´( 5+4)+3=-3 14 14 !% !% 답 150 -3 151 답 ③ y= 3x- 2-5= 3 ® {É x- Â;3@;} 15 -5의 그래프는 y= 3x의 그래프 14 를 x축의 방향으로 만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동 ;3@; 한 것이다. 따라서 2ÉxÉa에서 y= 3x- 2-5의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. x=a일 때 최댓값이 2이므로 2= 3a- 2-5, 3a-2=49 15 15 2 3 2 y 2 O m -5 52 정답 및 해설 x=2일 때, 최솟값이 m이므로 m= 4-5=-3 1 ∴ a+m=17+(-3)=14 152 답 3Ék< ;2&; y= 6-2 x= -2( x-3)의 그래프 !% 15 는 y= 15 -2x의 그래프를 x축의 방 향으로 3만큼 평행이동한 것이고, 직선 y=-x+k는 기울기가 -1이 y {ii} {i} y= 6-2x y=-x+k O 3 x 고 y절편이 k이다. Ú 직선 y=-x+k가 점 (3, 0)을 지날 때 0=-3+k ∴ k=3 Û y= 6-2 x의 그래프와 직선 y=-x+k가 접할 때, x=-x+k의 양변을 제곱하여 정리하면 15 6-2 15 xÛ`-2(k-1)x+kÛ`-6=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 ;4;D =(k-1)Û`-(kÛ`-6)=0, -2k+7=0 ∴ k= ;2&; 이상에서 함수의 그래프와 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려 면 3Ék< ;2&; 답 153 - ;2%; y=- 2x- 4+1의 치역이 {y|yÉ1}이므로 역함수의 15 15 정의역은 {x|xÉ1}이다. y=- 2x- 4+1을 x에 대하여 풀면 y-1=- 2x- 4, (y-1)Û`=2x-4 15 (y-1)Û`+2 ∴ x= ;2!; x와 y를 서로 바꾸어 역함수를 구하면 y= (x-1)Û`+2= xÛ`-x+ (xÉ1) ;2%; ;2!; ;2!; , c=1 ;2%; ∴ a=-1, b= ∴ abc=- ;2%; 154 답 30 f(1)=4이므로 a+b=4 15 ∴ a+b=16 ⋯ ㉠ f -1(3)=2에서 f(2)=3이므로 2a+ b=3 ∴ 2a+b=9 ⋯ ㉡ 15 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-7, b=23 9 a x ∴ b-a=23-(-7)=30 155 답 (2, 2) YBM(해)-02-3,4단원(37~53)OK.indd 52 2017-12-21 오후 2:37:22 정답 및 해설3 % 3 3 2 2 2 2 2 $ # 3 2 2 2 $ # 2 4 2 $ # $ # % 2 2 2 y=x Ⅲ 경우의 수 y= 2+x의 그래프와 직선 y=x의 y= 2+x 1 경우의 수 127쪽~135쪽 O-2 x 001 답 (1) 2 (2) 6 (3) 2 (4) 3 (5) 3 함수 y= 2+x의 그래프와 그 역함 y 15 수의 그래프의 교점은 함수 15 교점과 같다. 2+x=x의 양변을 제곱하여 풀면 15 2+x=xÛ`, xÛ`-x-2=0 (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 그런데 x¾0이므로 x=2 따라서 교점의 좌표는 (2, 2)이다. 답 156 ⑤ ( f½(g½f ) -1½f )(3)=( f½f -1½g -1½f )(3) =(g -1½f )(3)=g -1( f(3))=g -1(2) 이때 g -1(2)=k로 놓으면 g(k)=2에서 2k- 2=2, 2k-2=4 ∴ k=3 15 따라서 구하는 함숫값은 ( f½(g½f ) -1½f )(3)=g -1(2)=3 (1) 3의 배수는 3, 6이므로 구하는 경우의 수는 2 (2) 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이므로 경우의 수는 6 (3) (앞, 뒤), (뒤, 앞)이므로 경우의 수는 2 (4) 순서쌍 (태현, 미진)으로 나타내면 태현이가 이기는 경우는 (가위, 보), (바위, 가위), (보, 바위) 이므로 경우의 수는 3 (5) 돈을 지불할 때 사용할 동전의 개수를 순서쌍 (100원짜리, 50원짜리, 10원짜리)로 나타내면 (3, 0, 2), (2, 2, 2), (1, 4, 2)이므로 방법의 수는 3 002 답 (1) 10 (2) 12 (3) 8 (1) 4+6=10 (2) 7+5=12 (3) 3+5=8 003 답 (1) 9 (2) 13 (1) 4의 배수가 적힌 카드의 집합을 A, 7의 배수가 적힌 카드의 집합을 B라 하면 A={4, 8, 12, 16, 20, 24} ⇒ n(A)=6 B={7, 14, 21} ⇒ n(B)=3 이때 A;B=á이므로 구하는 경우의 수는 n(A'B)=n(A)+n(B)=6+3=9 (2) 소수가 적힌 카드의 집합을 A, 6의 배수가 적힌 카드의 집합 을 B라 하면 A={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} ⇒ n(A)=9 B={6, 12, 18, 24} ⇒ n(B)=4 이때 A;B=á이므로 구하는 경우의 수는 n(A'B)=n(A)+n(B)=9+4=13 004 답 (1) 4 (2) 6 (3) 5 (1) 두 주사위의 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 Ú 눈의 수의 합이 3인 경우 (1, 2), (2, 1)의 2가지 Û 눈의 수의 합이 11인 경우 (5, 6), (6, 5)의 2가지 Ú, Û는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 2+2=4 Ⅲ. 경우의 수 53 YBM(해)-03단원(53~67)OK.indd 53 2017-12-21 오후 2:36:30 2 (2) 두 주사위의 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 A;B는 12의 배수의 집합이고 Ú 눈의 수의 합이 6인 경우 n(A)=10, n(B)=7, n(A;B)=2 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)의 5가지 ∴ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) Û 눈의 수의 합이 12인 경우 (6, 6)의 1가지 =10+7-2=15 (2) 5의 배수의 집합을 A, 6의 배수의 집합을 B라 하면 Ú, Û는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 A;B는 30의 배수의 집합이고 5+1=6 n(A)=6, n(B)=5, n(A;B)=1 (3) 두 주사위의 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 ∴ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) Ú 눈의 수의 곱이 12인 경우 =6+5-1=10 (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)의 4가지 (3) 10의 약수의 집합을 A, 15의 약수의 집합을 B라 하면 Û 눈의 수의 곱이 16인 경우 A;B는 10과 15의 최대공약수인 5의 약수의 집합이고 (4, 4)의 1가지 n(A)=4, n(B)=4, n(A;B)=2 Ú, Û는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 ∴ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) 4+1=5 =4+4-2=6 005 답 (1) 8 (2) 8 (3) 14 007 답 32 (1) 두 공에 적힌 수를 순서쌍으로 나타내면 1부터 100까지의 자연수 중에서 Ú 두 수의 합이 4인 경우 Ú 5로 나누어떨어지는 수, 즉 5의 배수는 (1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지 5, 10, 15, …, 100으로 20개 Û 두 수의 합이 6인 경우 Û 7로 나누어떨어지는 수, 즉 7의 배수는 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)의 5가지 7, 14, 21, …, 98로 14개 Ú, Û는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 Ü 5와 7의 공배수, 즉 최소공배수인 35의 배수는 3+5=8 35, 70으로 2개 (2) 두 공에 적힌 수를 순서쌍으로 나타내면 Ú, Û, Ü에서 5 또는 7로 나누어떨어지는 자연수의 개수는 Ú 두 수의 곱이 10인 경우 20+14-2=32 (1, 10), (2, 5), (5, 2), (10, 1)의 4가지 Û 두 수의 곱이 20인 경우 008 답 (1) 21 (2) 20 (3) 6 (4) 24 (5) 60 (2, 10), (4, 5), (5, 4), (10, 2)의 4가지 Ú, Û는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 4+4=8 (3) 두 공에 적힌 수를 순서쌍으로 나타내면 Ú 두 수의 차가 6인 경우 (1, 7), (2, 8), (3, 9), (4, 10), (7, 1), (8, 2), (1) 7_3=21 (2) 4_5=20 (3) 3_2=6 (4) 4_2_3=24 (5) 4_3_5=60 (9, 3), (10, 4)의 8가지 Û 두 수의 차가 7인 경우 009 답 (1) 9 (2) 8 (1) 홀수의 눈이 나오는 경우의 수는 3가지 (1, 8), (2, 9), (3, 10), (8, 1), (9, 2), (10, 3) 소수의 눈이 나오는 경우의 수는 3가지 Ú, Û는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 (2) 3의 배수의 눈이 나오는 경우의 수는 2가지 따라서 구하는 경우의 수는 3_3=9 6의 약수의 눈이 나오는 경우의 수는 4가지 따라서 구하는 경우의 수는 2_4=8 (1) 3의 배수의 집합을 A, 4의 배수의 집합을 B라 하면 010 답 (1) 10 (2) 12 (3) 30 의 6가지 8+6=14 006 답 (1) 15 (2) 10 (3) 6 54 정답 및 해설 YBM(해)-03단원(53~67)OK.indd 54 2017-12-21 오후 2:36:31 정답 및 해설 (1) 십의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 4, 8의 2개 (3) 105를 소인수분해하면 3_5_7이고, 일의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 1, 3, 5, 7, 9의 5개 3의 배수는 3을 소인수로 가지므로 105의 양의 약수 중 3의 따라서 구하는 자연수의 개수는 2_5=10 배수의 개수는 5_7의 양의 약수의 개수와 같다. (2) 십의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 3, 6, 9의 3개 따라서 105의 양의 약수 중 3의 배수의 개수는 2_2=4 일의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 2, 3, 5, 7의 4개 따라서 구하는 자연수의 개수는 3_4=12 014 답 (1) 4 (2) 4 (3) 8 (4) 12 (5) 18 (3) 십의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 4, 5, 6, 7, 8, 9의 6개 (1) 64를 소인수분해하면 2ß` 일의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 1, 3, 5, 7, 9의 5개 72를 소인수분해하면 2Ü`_3Û` 따라서 구하는 자연수의 개수는 6_5=30 64와 72의 공약수의 개수는 최대공약수 2Ü`의 양의 약수의 011 답 (1) 8 (2) 8 (3) 18 (4) 24 (5) 6 (6) 12 (1) x, y 중 어느 하나를 택하고 그 각각에 대하여 a, b, c, d의 4가지 중 하나를 선택할 수 있으므로 주어진 다항식의 전개 식에서 서로 다른 항의 개수는 곱의 법칙에 의해 2_4=8 (2) a, b 각각에 곱해지는 항이 x, y이고 그것에 다시 p, q를 개수와 같다. 곱하여 항이 만들어지므로 서로 다른 항의 개수는 2_2_2=8 (3) 3_3_2=18 (4) 2_4_3=24 (5) (a+b)(x+y)Û`=(a+b)(xÛ`+2xy+yÛ`)이므로 서로 다른 항의 개수는 2_3=6 (6) (a+b)Û`(x+y)Ü`=(aÛ`+2ab+bÛ`)(xÜ`+3xÛ`y+3xyÛ`+yÜ`) 이므로 서로 다른 항의 개수는 3_4=12 012 답 (1) 12 (2) 9 (3) 12 (4) 16 (1) 72를 소인수분해하면 2Ü`_3Û` 72의 양의 약수의 개수는 4_3=12 (2) 100을 소인수분해하면 2Û`_5Û` 100의 양의 약수의 개수는 3_3=9 (3) 108을 소인수분해하면 2Û`_3Ü` 108의 양의 약수의 개수는 3_4=12 (4) 216을 소인수분해하면 2Ü`_3Ü` 216의 양의 약수의 개수는 4_4=16 013 답 (1) 4 (2) 6 (3) 4 (1) 30을 소인수분해하면 2_3_5이고, 개수와 같다. 따라서 구하는 공약수의 개수는 4 (2) 75를 소인수분해하면 3_5Û` 90을 소인수분해하면 2_3Û`_5 75와 90의 공약수의 개수는 최대공약수 3_5의 양의 약수의 120과 320의 공약수의 개수는 최대공약수 2Ü`_5의 양의 따라서 구하는 공약수의 개수는 2_2=4 (3) 120을 소인수분해하면 2Ü`_3_5 320을 소인수분해하면 2ß`_5 약수의 개수와 같다. 따라서 구하는 공약수의 개수는 4_2=8 (4) 280을 소인수분해하면 2Ü`_5_7 420을 소인수분해하면 2Û`_3_5_7 280과 420의 공약수의 개수는 최대공약수 2Û`_5_7의 양의 약수의 개수와 같다. 따라서 구하는 공약수의 개수는 3_2_2=12 (5) 360을 소인수분해하면 2Ü`_3Û`_5 540을 소인수분해하면 2Û`_3Ü`_5 360과 540의 공약수의 개수는 최대공약수 2Û`_3Û`_5의 양의 약수의 개수와 같다. 따라서 구하는 공약수의 개수는 3_3_2=18 015 답 (1) 17 (2) 11 (3) 71 (1) 500원짜리 동전을 지불하는 방법은 0, 1, 2, 3, 4, 5의 6가지 1000원짜리 지폐를 지불하는 방법은 0, 1, 2의 3가지 3의 배수는 3을 소인수로 가지므로 30의 양의 약수 중 3의 이때 0원을 지불하는 경우는 제외해야 하므로 배수의 개수는 2_5의 양의 약수의 개수와 같다. 구하는 방법의 수는 6_3-1=17 따라서 30의 양의 약수 중 3의 배수의 개수는 2_2=4 (2) 96을 소인수분해하면 2Þ`_3이고, (2) 100원짜리 동전을 지불하는 방법은 0, 1, 2의 3가지 1000원짜리 지폐를 지불하는 방법은 0, 1, 2, 3의 4가지 3의 배수는 3을 소인수로 가지므로 96의 양의 약수 중 3의 이때 0원을 지불하는 경우는 제외해야 하므로 배수의 개수는 2Þ`의 양의 약수의 개수와 같다. 따라서 96의 양의 약수 중 3의 배수의 개수는 6 구하는 방법의 수는 3_4-1=11 (3) 10원짜리 동전을 지불하는 방법은 0, 1, 2, 3의 4가지 Ⅲ. 경우의 수 55 YBM(해)-03단원(53~67)OK.indd 55 2017-12-21 오후 2:36:32 50원짜리 동전을 지불하는 방법은 0, 1, 2, 3, 4, 5의 6가지 순서쌍 (y, z)는 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4개 100원짜리 동전을 지불하는 방법은 0, 1, 2의 3가지 Û x=2일 때, y+z=3이므로 이때 0원을 지불하는 경우는 제외해야 하므로 순서쌍 (y, z)는 (1, 2), (2, 1)의 2개 구하는 방법의 수는 4_6_3-1=71 Ü x=3일 때, y+z=1이므로 016 답 (1) 15 (2) 11 (3) 24 순서쌍 (y, z)는 없다. 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 4+2=6 (1) 100원짜리 동전 5개와 500원짜리 동전 1개로 지불하는 금액 (3) 2x+3y+z=13에서 x, y, z가 자연수이므로 이 같으므로 500원짜리 동전 2개를 100원짜리 동전 10개로 Ú y=1일 때, 2x+z=10이므로 바꾸어 지불할 수 있는 금액의 수는 100원짜리 동전 15개로 순서쌍 (x, z)는 (1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2)의 4개 지불하는 방법의 수와 같다. Û y=2일 때, 2x+z=7이므로 이때 100원짜리 동전 15개로 지불하는 방법은 16가지이고, 순서쌍 (x, z)는 (1, 5), (2, 3), (3, 1)의 3개 0원을 지불하는 경우는 제외해야 하므로 Ü y=3일 때, 2x+z=4이므로 구하는 방법의 수는 16-1=15 순서쌍 (x, z)는 (1, 2)의 1개 (2) 50원짜리 동전 2개와 100원짜리 동전 1개로 지불하는 금액 Ý y=4일 때, 2x+z=1이므로 이 같으므로 100원짜리 동전 4개를 50원짜리 동전 8개로 바 순서쌍 (x, z)는 없다. 꾸어 지불할 수 있는 금액의 수는 50원짜리 동전 11개로 지 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 4+3+1=8 불하는 방법의 수와 같다. 이때 50원짜리 동전 11개로 지불하는 방법은 12가지이고, 018 답 (1) 9 (2) 16 (3) 27 0원을 지불하는 경우는 제외해야 하므로 (1) x+2y+4z=9에서 x, y, z가 음이 아닌 정수이므로 구하는 방법의 수는 12-1=11 Ú z=0일 때, x+2y=9이므로 (3) 500원짜리 동전 2개와 1000원짜리 지폐 1장으로 지불하는 순서쌍 (x, y)는 (9, 0), (7, 1), (5, 2), (3, 3), (1, 4) 금액이 같으므로 1000원짜리 지폐 1장을 500원짜리 동전 2 의 5개 개로 바꾸면 지불할 수 있는 금액의 수는 100원짜리 동전 4 Û z=1일 때, x+2y=5이므로 개와 500원짜리 동전 4개로 지불하는 방법의 수와 같다. 순서쌍 (x, y)는 (5, 0), (3, 1), (1, 2)의 3개 100원짜리 동전 4개로 지불할 수 있는 방법은 Ü z=2일 때, x+2y=1이므로 0원, 100원, 200원, 300원, 400원의 5가지 순서쌍 (x, y)는 (1, 0)의 1개 500원짜리 동전 4개로 지불할 수 있는 방법은 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 5+3+1=9 0원, 500원, 1000원, 1500원, 2000원의 5가지 (2) x+2y+3z=11에서 x, y, z가 음이 아닌 정수이므로 이때 0원을 지불하는 경우는 제외해야 하므로 Ú z=0일 때, x+2y=11이므로 구하는 방법의 수는 5_5-1=24 순서쌍 (x, y)는 (11, 0), (9, 1), (7, 2), (5, 3), 017 답 (1) 4 (2) 6 (3) 8 (3, 4), (1, 5)의 6개 Û z=1일 때, x+2y=8이므로 (1) x+2y+3z=10에서 x, y, z가 자연수이므로 순서쌍 (x, y)는 (8, 0), (6, 1), (4, 2), (2, 3), (0, 4) Ú z=1일 때, x+2y=7이므로 의 5개 순서쌍 (x, y)는 (5, 1), (3, 2), (1, 3)의 3개 Ü z=2일 때, x+2y=5이므로 Û z=2일 때, x+2y=4이므로 순서쌍 (x, y)는 (5, 0), (3, 1), (1, 2)의 3개 순서쌍 (x, y)는 (2, 1)의 1개 Ý z=3일 때, x+2y=2이므로 Ü z=3일 때, x+2y=1이므로 순서쌍 (x, y)는 없다. 순서쌍 (x, y)는 (2, 0), (0, 1)의 2개 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 6+5+3+2=16 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 3+1=4 (3) 3x+y+2z=15에서 x, y, z가 음이 아닌 정수이므로 (2) 2x+y+z=7에서 x, y, z가 자연수이므로 Ú x=0일 때, y+2z=15이므로 Ú x=1일 때, y+z=5이므로 순서쌍 (y, z)는 (15, 0), (13, 1), (11, 2), (9, 3), 56 정답 및 해설 YBM(해)-03단원(53~67)OK.indd 56 2017-12-21 오후 2:36:34 정답 및 해설 (7, 4), (5, 5), (3, 6), (1, 7)의 8개 Û x=2일 때, yÉ1이므로 순서쌍 (x, y)는 (2, 1)의 1개 Û x=1일 때, y+2z=12이므로 따라서 구하는 순서쌍 (x, y)의 개수는 3+1=4 순서쌍 (y, z)는 (12, 0), (10, 1), (8, 2), (6, 3), (4, 4), (2, 5), (0, 6)의 7개 Ü x=2일 때, y+2z=9이므로 의 5개 Ý x=3일 때, y+2z=6이므로 021 답 (1) 30 (2) 18 (1) 2x+y<10에서 x, y가 음이 아닌 정수이므로 Û x=1일 때, y<8이므로 순서쌍 (x, y)는 8개 Ü x=2일 때, y<6이므로 순서쌍 (x, y)는 6개 순서쌍 (y, z)는 (9, 0), (7, 1), (5, 2), (3, 3), (1, 4) Ú x=0일 때, y<10이므로 순서쌍 (x, y)는 10개 순서쌍 (y, z)는 (6, 0), (4, 1), (2, 2), (0, 3)의 4개 Ý x=3일 때, y<4이므로 순서쌍 (x, y)는 4개 Þ x=4일 때, y+2z=3이므로 Þ x=4일 때, y<2이므로 순서쌍 (x, y)는 2개 순서쌍 (y, z)는 (3, 0), (1, 1)의 2개 따라서 구하는 순서쌍 (x, y)의 개수는 ß x=5일 때, y+2z=0이므로 순서쌍 (y, z)는 (0, 0)의 1개 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 8+7+5+4+2+1=27 019 답 16 500원, 1000원, 2000원짜리 과자를 각각 x개, y개, z개 산다고 하면 500x+1000y+2000z=10000에서 x+2y+4z=20 Ú z=1일 때, x+2y=16이므로 순서쌍 (x, y)는 (14, 1), (12, 2), (10, 3), (8, 4), (6, 5), (4, 6), (2, 7)의 7개 Û z=2일 때, x+2y=12이므로 의 5개 Ü z=3일 때, x+2y=8이므로 순서쌍 (x, y)는 (10, 1), (8, 2), (6, 3), (4, 4), (2, 5) 순서쌍 (x, y)는 (6, 1), (4, 2), (2, 3)의 3개 Ý z=4일 때, x+2y=4이므로 순서쌍 (x, y)는 (2, 1)의 1개 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 7+5+3+1=16 020 답 (1) 12 (2) 4 (1) 3x+yÉ10에서 x, y가 자연수이므로 Ú x=1일 때, yÉ7이므로 (1, 5), (1, 6), (1, 7)의 7개 Û x=2일 때, yÉ4이므로 순서쌍 (x, y)는 (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)의 4개 Ü x=3일 때, yÉ1이므로 순서쌍 (x, y)는 (3, 1)의 1개 따라서 구하는 순서쌍 (x, y)의 개수는 7+4+1=12 (2) 2x+yÉ5에서 x, y가 자연수이므로 Ú x=1일 때, yÉ3이므로 순서쌍 (x, y)는 (1, 1), (1, 2), (1, 3)의 3개 10+8+6+4+2=30 (2) 2x+5yÉ15에서 x, y가 음이 아닌 정수이므로 Ú y=0일 때, xÉ 이므로 순서쌍 (x, y)는 8개 Û y=1일 때, xÉ5이므로 순서쌍 (x, y)는 6개 Ü y=2일 때, xÉ 이므로 순서쌍 (x, y)는 3개 ;;Á2°;; ;2%; Ý y=3일 때, xÉ0이므로 순서쌍 (x, y)는 1개 따라서 구하는 순서쌍 (x, y)의 개수는 8+6+3+1=18 022 답 (1) 8 (2) 9 (3) 17 (4) 289 (1) A 지점에서 B 지점까지 가는 방법의 수가 4가지, B 지점에서 C 지점까지 가는 방법의 수가 2가지이므로 (2) A 지점에서 D 지점까지 가는 방법의 수가 3가지, D 지점에서 C 지점까지 가는 방법의 수가 3가지이므로 4_2=8 3_3=9 (3) Ú C → B → A로 가는 방법의 수는 2_4=8 Û C → D → A로 가는 방법의 수는 3_3=9 따라서 구하는 방법의 수는 8+9=17 (4) Ú A → B → C로 가는 방법의 수는 4_2=8 Û A → D → C로 가는 방법의 수는 3_3=9이므로 A 지점에서 C 지점까지 가는 방법의 수는 8+9=17 C 지점에서 A 지점으로 돌아오는 방법의 수도 17 따라서 구하는 방법의 수는 17_17=289 023 답 (1) 48 (2) 108 (3) 48 (1) B에 칠할 수 있는 색은 4가지 A에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 3가지 C에 칠할 수 있는 색은 A, B에 칠한 색을 제외한 2가지 D에 칠할 수 있는 색은 B, C에 칠한 색을 제외한 2가지이다. Ⅲ. 경우의 수 57 순서쌍 (x, y)는 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), 같은 방법으로 YBM(해)-03단원(53~67)OK.indd 57 2017-12-21 오후 2:36:35 따라서 구하는 방법의 수는 4_3_2_2=48 0장, 1장, 2장의 3가지 (2) A에 칠할 수 있는 색은 4가지 10000원짜리 지폐 3장으로 지불할 수 있는 방법은 B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지 0장, 1장, 2장, 3장의 4가지 C에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 3가지 이때 0원을 지불하는 1가지 경우를 빼주어야 하므로 구하는 D에 칠할 수 있는 색은 C에 칠한 색을 제외한 3가지이다. 방법의 수는 따라서 구하는 방법의 수는 4_3_3_3=108 (3) D에 칠할 수 있는 색은 4가지 a=3_3_4-1=35 Û 지불할 수 있는 금액의 수 A에 칠할 수 있는 색은 D에 칠한 색을 제외한 3가지 5000원짜리 2장으로 지불하는 금액과 10000원짜리 1장으로 B에 칠할 수 있는 색은 A, D에 칠한 색을 제외한 2가지 지불하는 금액이 같으므로 10000원짜리 지폐 3장을 5000원 C에 칠할 수 있는 색은 B, D에 칠한 색을 제외한 2가지이다. 짜리 지폐 6장으로 바꾸어 생각하면 지불할 수 있는 금액의 따라서 구하는 방법의 수는 4_3_2_2=48 수는 1000원짜리 지폐 2장과 5000원짜리 지폐 8장으로 지불 답 024 ④ 할 수 있는 방법의 수와 같다. 1000원짜리 지폐 2장으로 지불할 수 있는 방법은 0장, 1장, 공을 세 번 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적힌 세 수의 합은 3 이상 24 2장의 3가지 이하의 자연수이다. 5000원짜리 지폐 8장으로 지불할 수 있는 0장, 1장, y ,8장 따라서 꺼낸 공에 적힌 세 수의 합이 5 이하인 경우는 세 수의 의 9가지 합이 3 또는 4 또는 5인 경우이다. Ú 3인 경우는 (1, 1, 1)의 1가지 이때 0원을 지불하는 1가지 경우를 빼주어야 하므로 구하는 금액의 수는 b=3_9-1=26 Û 4인 경우는 (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)의 3가지 Ú, Û에서 a=35, b=26이므로 a-b=9 Ü 5인 경우는 (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)의 6가지 028 답 11 Ú, Û, Ü에 의해 구하는 경우의 수는 1+3+6=10 200원, 300원, 500원짜리 연필을 각각 x개, y개, z개 산다고 하면 그 금액의 합이 3000원이므로 200x+300y+500z=3000에서 2x+3y+5z=30 Ú 백의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 2, 4, 6, 8의 4개 Ú z=1일 때, 2x+3y=25이므로 Û 십의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 1, 3, 5, 7, 9의 5개 순서쌍 (x, y)는 (2, 7), (5, 5), (8, 3), (11, 1)의 4개 Ü 일의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 2, 3, 5, 7의 4개 Û z=2일 때, 2x+3y=20이므로 Ú, Û, Ü에 의해 구하는 자연수의 개수는 순서쌍 (x, y)는 (1, 6), (4, 4), (7, 2)의 3개 504를 소인수분해하면 504=2Ü`_3Û`_7이므로 504의 양의 약수의 개수는 4_3_2=24 이 중에서 홀수인 약수는 3Û`_7의 약수이므로 그 개수는 Ú ~ Þ에 의해 구하는 방법의 수는 4+3+2+1+1=11 Þ z=5일 때, 2x+3y=5이므로 순서쌍 (x, y)는 (1, 1)의 1개 Ü z=3일 때, 2x+3y=15이므로 순서쌍 (x, y)는 (3, 3), (6, 1)의 2개 Ý z=4일 때, 2x+3y=10이므로 순서쌍 (x, y)는 (2, 2)의 1개 따라서 구하는 짝수인 양의 약수의 개수는 24-6=18 029 답 1280 답 027 ⑤ Ú 지불할 수 있는 방법의 수 A에 칠할 수 있는 색은 5가지 B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 4가지 C에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 4가지 1000원짜리 지폐 2장으로 지불할 수 있는 방법은 D에 칠할 수 있는 색은 C에 칠한 색을 제외한 4가지 0장, 1장, 2장의 3가지 E에 칠할 수 있는 색은 D에 칠한 색을 제외한 4가지 5000원짜리 지폐 2장으로 지불할 수 있는 방법은 따라서 구하는 모든 방법의 수는 5_4_4_4_4=1280 답 025 ④ 4_5_4=80 답 026 ② 3_2=6 58 정답 및 해설 YBM(해)-03단원(53~67)OK.indd 58 2017-12-21 오후 2:36:36 정답 및 해설 2 순열과 조합 137쪽~150쪽 030 답 (1) 1 (2) 120 (3) 120 (4) 7 (5) 56 (1) £P¼=1 (2) ¤P£=6´5´4=120 (3) °P°=5!=5´4´3´2´1=120 (4) ¦PÁ=7 (5) ¥Pª=8´7=56 031 답 (1) 5 (2) 8 (3) 10 (4) 5 (1) ÇP¢=n(n-1)(n-2)(n-3)이므로 n(n-1)(n-2)(n-3)=120=5´4´3´2 ∴ n=5 (2) ÇP£=n(n-1)(n-2)이므로 n(n-1)(n-2)=336=8´7´6 ∴ n=8 (3) ÇPª=n(n-1)이므로 n(n-1)=90=10´9 ∴ n=10 (4) ÇP£=3ÇPª에서 n(n-1)(n-2)=3n(n-1) ÇP£에서 n¾3이므로 양변을 n(n-1)로 나누면 n-2=3 ∴ n=5 032 답 (1) 2 (2) 2 (3) 6 (1) °P¨=20에서 20=5´4이므로 °Pª=20 ∴ r=2 (2) ¤P¨=30에서 30=6´5이므로 ¤Pª=30 ∴ r=2 (3) ¨P¨=720에서 ¨P¨=r!, 720=6´5´4´3´2´1=6!이므로 r!=6! ∴ r=6 033 답 (1) 6 (2) 3 또는 4 (3) 4 (4) 9 (5) 6 (1) ÇPª=n(n-1)=5n에서 n¾2이므로 양변을 n으로 나누면 n-1=5 ∴ n=6 (2) Ç*ªP£=10ÇPª에서 (n+2)(n+1)n=10n(n-1) n¾2이므로 양변을 n으로 나누면 nÛ`+3n+2=10n-10, nÛ`-7n+12=0 (n-3)(n-4)=0 ∴ n=3 또는 n=4 (3) ÇPª+4ÇPÁ=28에서 n(n-1)+4n=28, nÛ`+3n-28=0 (n+7)(n-4)=0 ∴ n=4 (∵ n¾2) (4) Ç*ÁPª+ÇPª=162에서 (n+1)n+n(n-1)=162 2nÛ`-162=0, nÛ`-81=0 (n+9)(n-9)=0 ∴ n=9 (∵ n¾2) (5) ÇP£ : ÇPª=4 : 1, 즉 ÇP£=4ÇPª에서 n(n-1)(n-2)=4n(n-1) 이때 n¾3, n¾2에서 n¾3이므로 양변을 n(n-1)로 나누면 n-2=4 ∴ n=6 034 답 (1) °Pª (2) ¤P£ (3) ¢P¢ (4) Á¼P° (5) Á¼P£ (1) 5명의 학생 중에서 2명을 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수와 (2) 6명의 학생 중에서 3명을 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 °Pª 같으므로 ¤P£ 와 같으므로 Á¼P° 와 같으므로 Á¼P£ (3) 4명의 학생을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 ¢P¢ (4) 10명의 선수 중에서 5명을 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수 (5) 서로 다른 10개에서 3개를 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수 035 답 (1) 24 (2) 12 (3) 12 (1) 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4의 4개, 나머지 자리에는 백의 자리의 숫자를 제외한 3개의 숫자 중 에서 2개가 올 수 있으므로 £Pª=3´2=6 따라서 구하는 자연수의 개수는 4´6=24 (2) 짝수이려면 일의 자리 숫자가 짝수이어야 한다. Ú 일의 자리 숫자가 2인 경우 나머지 자리에는 3개의 숫자 중에서 2개가 올 수 있으므로 £Pª=3´2=6 Û 일의 자리 숫자가 4인 경우 나머지 자리에는 3개의 숫자 중에서 2개가 올 수 있으므로 £Pª=3´2=6 Ú, Û에서 구하는 짝수의 개수는 6+6=12 (3) 홀수이려면 일의 자리 숫자가 홀수이어야 한다. Ú 일의 자리 숫자가 1인 경우 나머지 자리에는 3개의 숫자 중에서 2개가 올 수 있으므로 £Pª=3´2=6 Û 일의 자리 숫자가 3인 경우 나머지 자리에는 3개의 숫자 중에서 2개가 올 수 있으므로 £Pª=3´2=6 Ú, Û에서 구하는 홀수의 개수는 6+6=12 036 답 (1) 48 (2) 18 (3) 12 Ⅲ. 경우의 수 59 YBM(해)-03단원(53~67)OK.indd 59 2017-12-21 오후 2:36:37 (1) 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4의 4개 따라서 구하는 경우의 수는 720´6´2=8640 나머지 자리에는 백의 자리의 숫자를 제외한 4개의 숫자 중 (3) 1반 학생 3명, 2반 학생 4명, 3반 학생 2명을 각각 한 에서 2개가 올 수 있으므로 ¢Pª=4´3=12 따라서 구하는 자연수의 개수는 4´12=48 묶음으로 생각하여 3명을 일렬로 세우는 방법의 수는 3!=3´2´1=6 (2) 홀수이려면 일의 자리 숫자가 홀수이어야 한다. 1반 학생 3명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 3!=3´2´1=6 Ú 일의 자리 숫자가 1인 경우 2반 학생 4명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 1을 제외한 3개, 4!=4´3´2´1=24 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리 숫자와 일의 자 3반 학생 2명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2´1=2 리 숫자 1을 제외한 3개이므로 3´3=9 따라서 구하는 경우의 수는 6´6´24´2=1728 Û 일의 자리 숫자가 3인 경우 일의 자리 숫자가 1인 경우와 마찬가지로 3´3=9 039 답 (1) 1440 (2) 144 Ú, Û에서 구하는 홀수의 개수는 9+9=18 (1) 영어책 4권을 책꽂이에 일렬로 꽂는 방법의 수는 (3) 5의 배수이려면 일의 자리 숫자가 0이어야 한다. 4!=4´3´2´1=24 이때 나머지 자리에는 0을 제외한 4개의 숫자 중에서 2개가 양 끝과 영어책 사이사이의 5개의 자리 중 3자리를 올 수 있으므로 ¢Pª=4´3=12 037 답 (1) 720 (2) 576 (3) 288 택하여 수학책을 꽂는 방법의 수는 ◯ ◯ ◯ ◯ °P£=5´4´3=60 따라서 구하는 경우의 수는 24´60=1440 (2) 수학책 3권을 책꽂이에 일렬로 꽂는 방법의 수는 (1) 여학생 3명을 한 묶음으로 생각하여 5명을 일렬로 세우는 방 3!=3´2´1=6 법의 수는 5!=5´4´3´2´1=120 양 끝과 수학책 사이사이의 4개의 자리 중 ◯ ◯ ◯ 여학생 3명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 3!=3´2´1=6 4자리를 택하여 영어책을 꽂는 방법의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 120´6=720 ¢P¢=4!=4´3´2´1=24 (2) 남학생 4명을 한 묶음으로 생각하여 4명을 일렬로 세우는 방 따라서 구하는 경우의 수는 6´24=144 법의 수는 4!=4´3´2´1=24 남학생 4명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 4!=4´3´2´1=24 040 답 (1) 72 (2) 12 따라서 구하는 경우의 수는 24´24=576 (1) 남학생 3명을 일렬로 세우는 방법의 수는 3!=3´2´1=6 (3) 여학생 3명, 남학생 4명을 각각 한 묶음으로 생각하여 2명을 남학생 사이사이와 양 끝 4자리 중에서 ◯ ◯ ◯ 일렬로 세우는 방법의 수는 2!=2´1=2 2자리에 여학생 2명을 일렬로 세우는 방법의 수는 여학생 3명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 3!=3´2´1=6 ¢Pª=4´3=12 남학생 4명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 4!=4´3´2´1=24 따라서 구하는 경우의 수는 6´12=72 따라서 구하는 경우의 수는 2´6´24=288 (2) 남학생 3명, 여학생 2명이 교대로 서려면 남학생 3명을 일렬 038 답 (1) 17280 (2) 8640 (3) 1728 로 세운 후 남학생 사이사이에 여학생 2명을 세우면 된다. 남학생 3명을 일렬로 세우는 방법의 수는 3!=3´2´1=6 (1) 2반 학생 4명을 한 묶음으로 생각하여 6명을 일렬로 세우는 여학생 2명을 일렬로 세우는 방법의 수는 2!=2´1=2 방법의 수는 6!=6´5´4´3´2´1=720 따라서 구하는 경우의 수는 6´2=12 2반 학생 4명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 4!=4´3´2´1=24 041 답 (1) 20 (2) 20 (3) 4 따라서 구하는 경우의 수는 720´24=17280 (1) B를 회장으로 뽑고, 남은 5명 중에서 2명을 뽑아 일렬로 나 (2) 1반 학생 3명, 3반 학생 2명을 각각 한 묶음으로 생각하여 열하는 것과 같으므로 구하는 방법의 수는 6명을 일렬로 세우는 방법의 수는 6!=6´5´4´3´2´1=720 °Pª=5´4=20 1반 학생 3명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 3!=3´2´1=6 (2) D를 부회장으로 뽑고, 남은 5명 중에서 2명을 뽑아 일렬로 3반 학생 2명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2´1=2 나열하는 것과 같으므로 구하는 방법의 수는 60 정답 및 해설 YBM(해)-03단원(53~67)OK.indd 60 2017-12-21 오후 2:36:39 정답 및 해설 °Pª=5´4=20 양 끝에 모음인 I, A, E의 3개의 문자 중에서 2개를 나열하는 (3) A를 회장으로, C를 부회장으로 뽑고, 남은 4명 중에서 1명 방법의 수는 £Pª=3´2=6 을 뽑는 것과 같으므로 구하는 방법의 수는 가운데에 나머지 6개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 ¢PÁ=4 6!=720이므로 양 끝에 모두 모음이 오는 경우의 수는 042 답 (1) 24 (2) 144 (1) A로 시작하여 G로 끝나는 경우는 A와 G를 제외한 나머지 6´720=4320 따라서 구하는 경우의 수는 40320-4320=36000 4개의 문자를 A와 G 사이에 일렬로 나열하는 경우와 같으 047 답 (1) 23514 (2) 34521 므로 구하는 경우의 수는 4!=4´3´2´1=24 (1) 1 꼴인 자연수의 개수는 4!=24 (2) R와 E를 제외한 나머지 4개의 문자 중 2개를 선택하여 R와 21 꼴인 자연수의 개수는 3!=6 E 사이에 일렬로 나열하는 방법의 수는 ¢Pª=4´3=12 231 꼴인 자연수의 개수는 2!=2 RE를 한 문자로 생각하고 3개의 문자를 일렬로 나열하 234 꼴인 자연수의 개수는 2!=2 는 방법의 수는 3!=3´2´1=6 235 꼴인 자연수는 작은 순서대로 23514이고 R 와 E를 서로 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2´1=2 24+6+2+2+1=35 따라서 구하는 경우의 수는 12´6´2=144 따라서 35번째로 작은 수는 23514이다. 9명의 학생 중에서 회장 1명, 부회장 1명을 뽑는 방법의 수는 35 꼴인 자연수의 개수는 3!=6 회장, 부회장을 모두 남학생으로 뽑는 방법의 수는 24+24+6+1=55 따라서 구하는 경우의 수는 72-20=52 (2) 5 꼴인 자연수의 개수는 4!=24 4 꼴인 자연수의 개수는 4!=24 345 꼴인 자연수는 큰 순서대로 34521이고 따라서 55번째로 큰 수는 34521이다. 048 답 (1) 14번째 (2) TAMH (1) A 꼴인 단어의 개수는 3!=6 043 답 52 »Pª=9´8=72 °Pª=5´4=20 044 답 444 9장의 카드에서 3장을 택하여 일렬로 나열하는 방법의 수는 H 꼴인 단어의 개수는 3!=6 »P£=9´8´7=504 MA 꼴인 단어는 순서대로 MAHT, MATH이고, 2의 배수 2, 4, 6, 8이 적힌 카드를 제외한 5장의 카드에서 3장 6+6+2=14 을 택하여 일렬로 나열하는 방법의 수는 따라서 MATH는 14번째에 배열된다. °P£=5´4´3=60 따라서 구하는 경우의 수는 504-60=444 (2) A 꼴인 단어의 개수는 3!=6 H 꼴인 단어의 개수는 3!=6 M 꼴인 단어의 개수는 3!=6 045 답 108 TA 꼴인 단어는 순서대로 TAHM, TAMH이고, 5개의 숫자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 5!=120 6+6+6+2=20 1, 2, 3의 3개의 숫자 중에서 어느 2개도 이웃하지 않도록 나열 따라서 20번째에 배열되는 단어는 TAMH이다. 하는 방법의 수를 구하면 1, 2, 3을 일렬로 나열하는 방법의 수는 3!=6 049 답 (1) 10 (2) 1 (3) 4 (4) 21 (5) 1 1, 2, 3의 사이사이에 4, 5가 오도록 나열하는 방법의 수는 2!=2이므로 6´2=12 따라서 구하는 경우의 수는 120-12=108 046 답 36000 8개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 8!=40320 (1) °Cª= °Pª 2! = 5´4 2´1 =10 (2) £C¼=1 (3) ¢CÁ= = =4 ;1$; (4) ¦Cª= = 7´6 2´1 =21 ¢PÁ 1! ¦Pª 2! Ⅲ. 경우의 수 61 YBM(해)-03단원(53~67)OK.indd 61 2017-12-21 오후 2:36:40 n(n-1)(n-2)(n-3)=360=6´5´4´3 ∴ n=6 Û Á¤C¨*ª=Á¤CÁ¤Ð[¨*ª]=Á¤CÁ¢Ð¨이므로 (5) ¤C¤=1 050 답 (1) 5 (2) 6 (3) 11 (1) ÇC£=10에서 n(n-1)(n-2) 3´2´1 =10 n(n-1)(n-2)=60=5´4´3 ∴ n=5 (2) ÇC¢=15에서 n(n-1)(n-2)(n-3) 4´3´2´1 =15 (3) ÇC£=165에서 n(n-1)(n-2) 3´2´1 =165 n(n-1)(n-2)=990=11´10´9 ∴ n=11 051 답 (1) 6 (2) 7 (3) 7 (1) Ç*ÁCª+Ç*ÁC£=56에서 (n+1)n 2´1 + (n+1)n(n-1) 3´2´1 =56 3(n+1)n+(n+1)n(n-1)=336 (n+1)n{3+(n-1)}=336 n(n+1)(n+2)=336=6´7´8 ∴ n=6 (2) ÇCª+ÇÐÁCª=Ç*ªCª에서 n(n-1) + 2´1 (n-1)(n-2) 2´1 = (n+2)(n+1) 2´1 n(n-1)+(n-1)(n-2)=(n+2)(n+1) nÛ`-7n=0, n(n-7)=0 ∴ n=7 (3) ÇCª+ÇC£=4ªÇCÁ에서 n(n-1) 2´1 + n(n-1)(n-2) 3´2´1 =4´2n 3(n-1)+(n-1)(n-2)=48 nÛ`=49 ∴ n=7 (∵ n¾3) 052 답 (1) 5 (2) 9 (3) 4 (1) ÇC£=ÇCª에서 ÇC£=ÇCÇУ이므로 ÇCÇУ=ÇCª n-3=2 ∴ n=5 (2) ÇC°=ÇC¢에서 ÇC°=ÇCÇа이므로 ÇCÇа=ÇC¢ n-5=4 ∴ n=9 (3) Ç*ªCÇ=15에서 Ç*ªCÇ=Ç*ªC[Ç*ª]ÐÇ=Ç*ªCª이므로 Ç*ªCª=15, (n+2)(n+1) 2´1 =15 (n+2)(n+1)=30=6´5 ∴ n=4 053 답 (1) 6 (2) 5 또는 9 (3) 3 또는 5 (1) Ú Á¼C¨=Á¼C¨Ðª에서 r=r-2 이 식을 만족시키는 r의 값은 존재하지 않는다. Û Á¼C¨=Á¼CÁ¼Ð¨이므로 Á¼CÁ¼Ð¨=Á¼C¨Ðª에서 62 정답 및 해설 10-r=r-2 ∴ r=6 Ú, Û에서 r=6 (2) ÇC¨=ÇÐÁC¨+ÇÐÁC¨ÐÁ이므로 Á£C°+Á£C¢=Á¢C°=Á¢C» ∴ r=5 또는 r=9 (3) Ú Á¤C¨*ª=Á¤Cª¨ÐÁ에서 r+2=2r-1 ∴ r=3 ∴ r=5 Á¤CÁ¢Ð¨=Á¤Cª¨ÐÁ에서 14-r=2r-1 Ú, Û에서 r=3 또는 r=5 054 답 (1) 4 (2) 5 (3) 8 (4) 5 (1) ÇPª+ÇCª=18에서 n(n-1)+ n(n-1) 2´1 =18 2n(n-1)+n(n-1)=36 3n(n-1)=36 n(n-1)=12=4´3 ∴ n=4 (2) ÇPª+4ÇCª=60에서 n(n-1)+4´ n(n-1) 2´1 =60 n(n-1)+2n(n-1)=60, n(n-1)=20 nÛ`-n-20=0, (n+4)(n-5)=0 ∴ n=5 (∵ n¾2) (3) ÇCª+Ç*ÁC£=2ÇPª에서 n(n-1) + 2´1 (n+1)n(n-1) 3´2´1 =2n(n-1) n¾2이므로 양변에 을 곱하면 6 n(n-1) 3+(n+1)=12 ∴ n=8 (4) ÇPª+4ÇC£=ÇP£에서 n(n-1)+4´ n(n-1)(n-2) =n(n-1)(n-2) 3´2´1 n¾3이므로 양변을 n(n-1)로 나누면 1+ 2(n-2) 3 ∴ n=5 =n-2, 3+2n-4=3n-6 055 답 (1) Á¼Cª (2) ¥C° (3) °C£ (4) Á£Cª (5) ¢C£´¢CÁ (6) Á¼C£´°Cª 방법의 수는 Á¼Cª 방법의 수는 ¥C° (1) 10명의 학생 중에서 순서를 생각하지 않고 대표 2명을 뽑는 (2) 8가지의 반찬 중에서 순서를 생각하지 않고 5가지를 뽑는 (3) 5개의 토핑 중에서 순서를 생각하지 않고 3개를 선택하는 YBM(해)-03단원(53~67)OK.indd 62 2017-12-21 오후 2:36:41 정답 및 해설 (6) 10종류의 빵 중에서 3종류의 빵을 선택하는 방법의 수는 (1) A, B, C를 제외한 남은 12명의 학생 중에서 6명을 뽑으면 방법의 수는 °C£ (4) 동호회 회원 13명 중에서 순서를 생각하지 않고 2명을 선택 하면 되므로 구하는 횟수는 Á£Cª (5) 남자 4명 중에서 3명의 대표를 뽑는 방법의 수는 ¢C£ 여자 4명 중에서 1명의 대표를 뽑는 방법의 수는 ¢CÁ 따라서 구하는 방법의 수는 ¢C£´¢CÁ 5종류의 음료수 중에서 2종류의 음료수를 선택하는 방법의 Á¼C£ 수는 °Cª 따라서 구하는 방법의 수는 Á¼C£´°Cª 056 답 (1) 56 (2) 21 (1) A를 뽑고 남은 8명의 학생 중에서 3명을 뽑으면 되므로 구 하는 경우의 수는 ¥C£= 8´7´6 3´2´1 =56 (2) A, B를 뽑고 남은 7명의 학생 중에서 2명을 뽑으면 되므로 구하는 경우의 수는 ¦Cª= =21 7´6 2´1 을 뽑는 경우의 수는 Á¼Cª= 10´9 2´1 =45 Ú, Û에서 A, B 중 한 명만 뽑히는 경우의 수는 45+45=90 059 답 (1) 924 (2) 495 되므로 구하는 경우의 수는 ÁªC¤= 12´11´10´9´8´7 6´5´4´3´2´1 =924 (2) C를 제외한 14명의 학생 중에서 A, B를 먼저 선발한 다음 남은 12명의 학생 중에서 4명을 선발하면 되므로 구하는 방법의 수는 ÁªC¢= 12´11´10´9 4´3´2´1 =495 (1) 야구 선수 12명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는 따라서 구하는 방법의 수는 220-35=185 농구 선수 5명 중에서 1명을 뽑는 경우의 수는 °CÁ=5 따라서 구하는 경우의 수는 66´5=330 남학생 7명 중에서 대표 3명을 뽑는 방법의 수는 (2) 특정한 1명을 제외하고 나머지 16명 중에서 2명을 뽑는 경우 057 답 (1) 330 (2) 120 ÁªCª= 12´11 2´1 =66 의 수와 같으므로 Á¤Cª= 16´15 2´1 =120 060 답 (1) 185 (2) 175 (1) 전체 12명 중에서 대표 3명을 뽑는 방법의 수는 ÁªC£= 12´11´10 3´2´1 =220 ¦C£= 7´6´5 3´2´1 =35 남학생 7명 중에서 대표 3명을 뽑는 방법의 수는 (2) 전체 12명 중에서 대표 3명을 뽑는 방법의 수는 ÁªC£= 12´11´10 3´2´1 =220 ¦C£= 7´6´5 3´2´1 =35 °C£= 5´4´3 3´2´1 =10 여학생 5명 중에서 대표 3명을 뽑는 방법의 수는 따라서 구하는 방법의 수는 220-35-10=175 058 답 (1) 120 (2) 45 (3) 90 (1) A, B를 제외한 남은 10명의 학생 중에서 대표 3명을 뽑으면 (2) A를 뽑고 B를 제외한 남은 10명의 학생 중에서 대표 2명을 (3) Ú A를 뽑고 B를 제외한 남은 10명의 학생 중에서 대표 2명 되므로 구하는 경우의 수는 Á¼C£= 10´9´8 3´2´1 =120 뽑으면 되므로 구하는 경우의 수는 Á¼Cª= 10´9 2´1 =45 을 뽑는 경우의 수는 Á¼Cª= 10´9 2´1 =45 (1) 10장의 카드 중에서 두 장을 뽑는 방법의 수는 061 답 (1) 24 (2) 35 Á¼Cª= 10´9 2´1 =45 3보다 큰 수가 적혀 있는 7장의 카드 중에서 두 장을 뽑는 방 법의 수는 ¦Cª= =21 7´6 2´1 따라서 구하는 방법의 수는 45-21=24 (2) 적어도 한 장은 짝수이어야 하므로 전체 경우의 수에서 모두 홀수인 경우의 수를 빼면 된다. 10장의 카드 중에서 두 장을 뽑는 방법의 수는 Û B를 뽑고 A를 제외한 남은 10명의 학생 중에서 대표 2명 Á¼Cª= 10´9 2´1 =45 Ⅲ. 경우의 수 63 YBM(해)-03단원(53~67)OK.indd 63 2017-12-21 오후 2:36:42 홀수가 적혀 있는 5장의 카드 중에서 두 장을 뽑는 방법의 4명을 일렬로 세우는 방법의 수는 4!=24 수는 °Cª= =10 5´4 2´1 따라서 구하는 방법의 수는 45-10=35 062 답 (1) 6720 (2) 4200 (3) 960 (1) 학생 8명 중에서 5명을 뽑는 방법의 수는 ¥C°=¥C£= 8´7´6 3´2´1 =56 5명을 일렬로 세우는 방법의 수는 5!=120 따라서 구하는 경우의 수는 56´120=6720 (2) A를 뽑고 남은 7명의 학생 중에서 4명을 뽑는 방법의 수는 ¦C¢=¦C£= 7´6´5 3´2´1 =35 5명을 일렬로 세우는 방법의 수는 5!=120 따라서 구하는 경우의 수는 35´120=4200 (3) A, B를 뽑고 남은 6명의 학생 중에서 3명을 뽑는 방법의 수 는 ¤C£= 6´5´4 3´2´1 =20 따라서 구하는 경우의 수는 15´6´24=2160 (2) 2반 학생 2명을 한 묶음으로 생각하고 3명을 일렬로 세우는 방법의 수는 3!=6 2반 학생 2명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 2! = 2 따라서 구하는 경우의 수는 15´6´6´2=1080 (3) 1반 학생 2명과 2반 학생 2명을 각각 한 묶음으로 생각하고 2명을 일렬로 세우는 방법의 수는 2!=2 1반 학생 2명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2 2반 학생 2명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2 따라서 구하는 경우의 수는 15´6´2´2´2=720 065 답 (1) 6 (2) 36 (1) 홀수 3개 중에서 3개를 뽑는 방법의 수는 £C£=1 3개의 숫자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 3!=6 따라서 구하는 경우의 수는 1´6=6 (2) 5, 6을 제외한 4개의 숫자 중에서 2개를 뽑는 방법의 수는 A, B를 한 사람으로 생각하고 4명을 일렬로 세우는 방법의 ¢Cª= 4´3 2´1 =6 수는 4!=24 A, B가 순서를 바꾸는 방법의 수는 2!=2 따라서 구하는 경우의 수는 20´24´2=960 3개의 숫자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 3!=6 따라서 구하는 경우의 수는 6´6=36 066 답 (1) 35 (2) 90 (3) 209 063 답 (1) 67200 (2) 5040 (1) 구하는 대각선의 개수는 10개의 꼭짓점 중에서 2개를 택하 (1) 남학생 8명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는 는 경우의 수에서 변의 개수인 10을 뺀 값과 같으므로 ¥C£= 8´7´6 3´2´1 =56 여학생 5명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수는 °Cª= =10 5´4 2´1 뽑힌 5명을 일렬로 세우는 방법의 수는 5!=120 따라서 구하는 경우의 수는 56´10´120=67200 Á¼Cª-10= -10=45-10=35 10´9 2´1 (2) 구하는 대각선의 개수는 15개의 꼭짓점 중에서 2개를 택하 는 경우의 수에서 변의 개수인 15를 뺀 값과 같으므로 Á°Cª-15= -15=105-15=90 15´14 2´1 (2) 특정한 남학생 1명을 뽑고, 나머지 남학생 7명 중에서 1명을 (3) 구하는 대각선의 개수는 22개의 꼭짓점 중에서 2개를 택하 뽑는 방법의 수는 ¦CÁ=7 는 경우의 수에서 변의 개수인 22를 뺀 값과 같으므로 특정한 여학생 1명을 뽑고, 나머지 여학생 4명 중에서 2명을 ªªCª-22= -22=231-22=209 22´21 2´1 뽑는 방법의 수는 ¢Cª= 4´3 2´1 =6 뽑힌 5명을 일렬로 세우는 방법의 수는 5!=120 따라서 구하는 경우의 수는 7´6´120=5040 064 답 (1) 2160 (2) 1080 (3) 720 (1) 1반 학생 6명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수는 ¤Cª= 6´5 2´1 =15 64 정답 및 해설 067 답 (1) 5 (2) 12 (3) 20 (1) 구하는 볼록다각형을 n각형이라 하면 ÇCª-n=5, n(n-1) 2 -n=5 nÛ`-3n-10=0, (n+2)(n-5)=0 ∴ n=5 (∵ n¾3) (2) 구하는 볼록다각형을 n각형이라 하면 2반 학생 4명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수는 ¢Cª= 4´3 2´1 =6 ÇCª-n=54, n(n-1) 2 -n=54 YBM(해)-03단원(53~67)OK.indd 64 2017-12-21 오후 2:36:43 정답 및 해설 nÛ`-3n-108=0, (n+9)(n-12)=0 일직선 위에 있는 5개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는 ∴ n=12 (∵ n¾3) (3) 구하는 볼록다각형을 n각형이라 하면 ÇCª-n=170, n(n-1) 2 -n=170 nÛ`-3n-340=0, (n+17)(n-20)=0 ∴ n=20 (∵ n¾3) °C£= 5´4´3 3´2´1 =10 그런데 일직선 위에 있는 5개의 점으로는 삼각형을 만들 수 없 으므로 구하는 삼각형의 개수는 56-10=46 072 답 (1) 60 (2) 90 (1) 가로로 놓인 평행선 중에서 2개, 세로로 놓인 평행선 중에서 2개를 택하면 한 개의 평행사변형이 결정되므로 068 답 (1) 6 (2) 21 (3) 45 (1) 4개의 점 중에서 어느 세 점도 일직선 위에 있지 않으므로 °Cª´¢Cª=10´6=60 구하는 직선의 개수는 ¢Cª= 4´3 2´1 =6 (2) 7개의 점 중에서 어느 세 점도 일직선 위에 있지 않으므로 구하는 직선의 개수는 ¦Cª= =21 7´6 2´1 (2) 가로로 놓인 평행선 중에서 2개, 세로로 놓인 평행선 중에서 2개를 택하면 한 개의 평행사변형이 결정되므로 ¢Cª´¤Cª=6´15=90 (3) 10개의 점 중에서 어느 세 점도 일직선 위에 있지 않으므로 073 답 (1) 30 (2) 70 구하는 직선의 개수는 Á¼Cª= 10´9 2´1 =45 069 답 14 ¦Cª=21 £Cª=3 ¢Cª=6 7개의 점 중에서 2개를 택하여 만들 수 있는 직선의 개수는 일직선 위에 있는 3개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수는 일직선 위에 있는 4개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수는 그런데 일직선 위에 있는 점들을 연결하여 만들 수 있는 직선은 1개뿐이므로 구하는 직선의 개수는 21-3-6+1+1=14 070 답 (1) 20 (2) 56 (3) 165 (1) 6개의 점 중에서 어느 세 점도 일직선 위에 있지 않으므로 구하는 삼각형의 개수는 ¤C£= 6´5´4 3´2´1 =20 (1) 가로줄과 세로줄의 간격을 1이라 할 때 한 변의 길이가 1인 정사각형의 개수는 4´4=16 한 변의 길이가 2인 정사각형의 개수는 3´3=9 한 변의 길이가 3인 정사각형의 개수는 2´2=4 한 변의 길이가 4인 정사각형의 개수는 1 따라서 정사각형의 개수는 16+9+4+1=30 (2) 가로줄 5개 중 2개, 세로줄 5개 중 2개를 택하면 하나의 직 사각형이 결정되므로 직사각형의 개수는 °Cª´°Cª=10´10=100 따라서 정사각형이 아닌 직사각형의 개수는 100-30=70 답 074 ③ °P¨´4!=1440에서 양변을 4!=24로 나누면 °P¨=60=5´4´3 ∴ r=3 075 답 1440 방법의 수는 6!=720 T와 D를 한 묶음으로 생각하여 6개의 문자를 일렬로 나열하는 (2) 8개의 점 중에서 어느 세 점도 일직선 위에 있지 않으므로 T와 D의 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2 구하는 삼각형의 개수는 ¥C£= 8´7´6 3´2´1 =56 따라서 구하는 방법의 수는 720´2=1440 (3) 11개의 점 중에서 어느 세 점도 일직선 위에 있지 않으므로 구하는 삼각형의 개수는 ÁÁC£= 11´10´9 3´2´1 =165 076 답 1440 071 답 46 ¥C£= 8´7´6 3´2´1 =56 반원 위의 8개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는 수는 °P£=60 4개의 문자 d, e, f, g를 일렬로 배열하는 방법의 수는 4!=24 그 사이사이와 양 끝의 5개의 자리 중 3개의 자리에 a, b, c를 배열하는 방법의 ◯ ◯ ◯ ◯ 따라서 구하는 방법의 수는 4!´°P£=24´60=1440 Ⅲ. 경우의 수 65 YBM(해)-03단원(53~67)OK.indd 65 2017-12-21 오후 2:36:44 답 077 ④ 082 답 8 남자 4명 중 2명을 뽑아 앞에서 두 번째와 네 번째에 세우는 방 n자루의 볼펜 중 빨간색 볼펜을 이미 택했다고 생각하면 구하는 경우의 수는 남은 (n-1)자루의 볼펜 중 3자루의 볼펜을 택하 남은 4개의 자리에 나머지 4명을 일렬로 세우는 방법의 수는 는 경우의 수와 같으므로 법의 수는 ¢Pª=12 4!=24 따라서 구하는 방법의 수는 12´24=288 ÇÐÁC£= (n-1)(n-2)(n-3) =35 3´2´1 (n-1)(n-2)(n-3)=210=7´6´5 ∴ n=8 답 078 ② 5개의 숫자를 일렬로 배열하는 전체 방법의 수는 5!=120 1, 2, 3의 3개의 숫자 중에서 어느 2개도 이웃하지 않도록 배열 답 083 ⑤ 하는 방법의 수를 구하면 1, 2, 3을 일렬로 배열하는 방법의 수는 3!=6이고, 1, 2, 3의 사이사이에 4, 5가 오도록 배열하는 방법의 수는 수는 Á¼C£= 10´9´8 3´2´1 =120 1학년 학생 6명과 2학년 학생 4명 중 3명을 뽑는 전체 경우의 ㄷㄱㅁ 꼴인 문자열에서 순서대로 ㄷㄱㅁㄴㄹ, ㄷㄱㅁㄹㄴ 따라서 ㄷㄱㅁㄹㄴ이 나타나는 순서는 24+24+2+2+2=54 ¤Cª= 6´5 2´1 =15 2!=2이므로 6´2=12 따라서 구하는 방법의 수는 120-12=108 079 답 54번째 ㄱ 꼴인 문자열의 개수는 4!=24 ㄴ 꼴인 문자열의 개수는 4!=24 ㄷㄱㄴ 꼴인 문자열의 개수는 2!=2 ㄷㄱㄹ 꼴인 문자열의 개수는 2!=2 (번째)이다. 080 답 7 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 -4+2=- ÇC¨ 5 , (-4)´2=- 2ÇP¨ 5 ∴ ÇC¨=10, ÇP¨=20 이때 ÇC¨=10에서 ÇC¨= ÇP¨ r! r!=2 ∴ r=2 또, ÇPª=20에서 n(n-1)=20=5´4이므로 n=5 ∴ n+r=5+2=7 = =10이므로 20 r! 085 답 190 답 081 ① 모임에 참석한 봉사활동 동아리의 회원을 n명이라 할 때, n명 의 회원들끼리 한 번씩만 악수를 하는 경우의 수는 ÇCª이므로 ÇCª=78 n(n-1) 2´1 ∴ n=13 (∵ n¾2) =78, nÛ`-n-156=0, (n+12)(n-13)=0 따라서 봉사활동 동아리 회원은 13명이다. 086 답 22 66 정답 및 해설 1학년 학생만 3명을 뽑는 경우의 수는 ¤C£= 6´5´4 3´2´1 =20 2학년 학생만 3명을 뽑는 경우의 수는 ¢C£= 4´3´2 3´2´1 =4 따라서 구하는 경우의 수는 120-(20+4)=96 084 답 180 혜림이와 미선이를 이미 뽑았다고 생각하면 2명을 제외한 6명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수는 혜림이와 미선이를 한 묶음으로 생각하여 3명을 일렬로 세우는 방법의 수는 3!=6 혜림이와 미선이가 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2이므로 4명을 일렬로 세우는 방법의 수는 6´2=12 따라서 구하는 방법의 수는 ¤Cª´3!´2!=15´12=180 12개의 점 중에서 3개를 택하는 경우의 수는 ÁªC£= 12´11´10 3´2´1 =220 이 중 한 직선 위에 있는 5개의 점 중에서 3개를 택하는 경우에 는 삼각형을 만들지 못하고, 삼각형을 만들지 못하는 직선이 3 개 있으므로 3´°C£=3´ 5´4´3 3´2´1 =30 따라서 구하는 삼각형의 개수는 ÁªC£-3´°C£=220-30=190 YBM(해)-03단원(53~67)OK.indd 66 2017-12-21 오후 2:36:44 정답 및 해설 Ú 가로 방향으로 놓인 선 4개 중 2개, 세로 방향으로 놓인 선 4개 중 2개를 택하면 직사각형이 만들어지므로 직사각형의 개수는 ¢Cª´¢Cª=6´6=36 Û 작은 정사각형의 한 변의 길이를 a라 하면 정사각형의 개수 는 한 변의 길이가 a인 것이 9개, 2a인 것이 4개, 3a인 것이 1개이므로 9+4+1=14 Ú, Û에 의해 정사각형이 아닌 직사각형의 개수는 36-14=22 YBM(해)-03단원(53~67)OK.indd 67 2017-12-21 오후 2:36:45 Ⅲ. 경우의 수 67 MEMO YBM(해)-03단원(53~67)OK.indd 68 2017-12-21 오후 2:36:45
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