正
정답 및 해설
Ⅰ 지수함수와 로그함수
1 1
1 거듭제곱과 거듭제곱근
2 지수의 확장
3 로그의 뜻과 성질
4 상용로그
5 지수함수의 뜻과 그래프
6 로그함수의 뜻과 그래프
7 지수함수와 로그함수의 활용
12
15
19
23
26
30
Ⅱ 삼각함수
1 일반각과 호도법
2 삼각함수의 뜻과 그래프
3 사인법칙과 코사인법칙
38
43
56
Ⅲ 수열
1 등차수열
2 등비수열
3 수열의 합
4 수학적 귀납법
60
65
69
73
01-09 빠답-ok.indd 1
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Ⅰ 지수함수와 로그함수
1
거듭제곱과 거듭제곱근
7쪽~10쪽
001 (1) x
6
y
15 (2) -108x
13
y
9 (3) 72x10
yÚ`à`
(4) xà`
yÝ`
002 (1) x=-1 또는 x=
3i
1Ñ
'
2
(2) x=Ñ2 또는 x=Ñ2i
(3) x=-4 또는 x=2Ñ2
3i
'
(4) x=Ñ3 또는 x=Ñ3i
003 (1) 없다. (2) -2 (3) -4, 4
004 (1) × (2) × (3) (4)
005 (1) 2 (2) -4 (3) 0.3 (4)
;5!;
(5) 3 (6) -
;5!;
(7) -2
006 (1) 5 (2) 3 (3) 125 (4) 2 (5) 2 (6) 3
007 (1) 2 (2) 2 (3) 3
008 ④ 009 ④ 010 ③ 011 ⑤ 012 ② 013 ③
3 (4) 1 (5) 7
'
2
지수의 확장
12쪽~20쪽
014 (1) 1 (2) 9 (3) 82 (4) 256
015 (1) aÜ` (2) 1
aÛ`
(3) 1
aÛ`Û`
(4) a
12 (5) aß`
016 (1) 2;4%; (2) 5;3!; (3) 3
017 (1) a;3!; (2) a;8!; (3) a
-
;3@;
-
;5@;
018 (1) Ü
'
9 (2) '
5
25 (3) 9
3
'
019 (1) 125 (2) 16
'
2 (3)
(4) 24
;5!;
020 (1) a;6%; (2) a;1!0!; (3) a;;Á3Á;;
021 (1) a;1!2#; (2) a;3!; (3) a;8&; (4) a;8&;
022 (1) 32
5 (2) 125 (3) 32 (4) 12'
'
6 (5) 324
2 (4) aß`bá` (5) aÜ`b-1
3
'
2
'
2 (2) a
023 (1) a
024 (1) 4 (2) a+a-1 (3) a-b
3 (3) a'
'
3 -
025 (1) 14 (2) 194 (3) 52
026 (1) 7 (2) 18 (3)
'
5
2 빠른 정답
027 (1) 3 (2)
;2(;
028 (1) 3 (2) 2
(2) 4
029 (1)
'
3
;;Á3¼;;
(3) 2 (4)
;9&;
3
(3) 28
'
9
3
3
'
3
(3) 26
'
9
3
'
'
2 <Ý
3 >Ü
5 (2) Ü
030 (1) 1 (2) 1 (3) -2 (4) 2
031 (1)
'
'
(4) Þ
3 <Ý
¿·'
032 (1) 330>520 (2) 218
2 <Ü
033 (1)
'
(4) Ü
'
10 <ß
5` (2) ß
<512
3 <Ý
6 <
2 <á
4
5`
'
¿·
'
'
'
'¶
'
3 (3) Ü
2 >Ý
'
6
¿·'
2 <Ü
3` (3) Ü
4 <Ý
7 <
3`
'
'
'
'
'
034 ⑤ 035 ② 036 ③ 037 ④ 038
'
6`
040 ④ 041 ④ 042 ③ 043 ⑤
039
8
1-aÛ`
044 ④ 045 ③
3
로그의 뜻과 성질
22쪽~32쪽
046 (1) log2 32=5 (2) log3 81=4 (3) log10 1000=3
(4) log2
=-2 (5) log
3
;3!;
'
;4!;
=-2 (6) log125 5=
;3!;
047 (1) 4Û`=16 (2) 81;4!;=3 (3) 5;2!;=
5`
'
048 (1) 3 (2) 9 (3)
;8Á1;
(4) 8
049 (1) x>1 (2) x<-4 또는 x>-1
(3) x<-1 또는 x>3 (4) -3-2
(5) 21}
(2) 점근선의 방정식 : y=-2, 치역 : {y|y>-2}
풀이 참고
115
116 (1) ① y=-7x ② y=
x
③ y=-
x
{;7\
!;}
{;7\
!;}
(2) ① y=3x ② y=-
x
③ y=
{;3\
!;}
{;3\
!;}
(3) ① y=-
② y=2x ③ y=-2x
x
{;2\
!;}
x
x
(4) ① y=5x ② y=-
!;}
{;5\
-2 (2) y=-2x-3
(1) y=-7-x-3
117
118 (1) (2) (3) (4) ×
x
③ y=
{;5\
!;}
119 (1) a=2, b=1 (2) a=1, b=2 (3) a=
, b=4
;2!;
120 (1) Ü
"
'¶
3Ý` <
27 (2) (0.2)
;2!;>(0.2);3@;
-
121
,
,
®;8!;`
®;4!;`
®;2!;`
+3 (3) y=-5x-1
빠른 정답 3
01-09 빠답-ok.indd 3
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4
3
;2%5!;
;;Á9¼;;
;1$6(;
;8(;
;4!;
;3!;
;25!6;
122 (1) 최댓값 : 8, 최솟값 : 1
(2) 최댓값 : 3, 최솟값 :
(3) 최댓값 : 10, 최솟값 :
(4) 최댓값 : 4, 최솟값 :
(5) 최댓값 :
, 최솟값 : -
;2#;
;1#6(;
(6) 최댓값 : 9, 최솟값 :
123 (1) 최댓값 : 4, 최솟값 :
(2) 최댓값 : 27, 최솟값 :
(3) 최댓값 : 1, 최솟값 :
124 (1) 최댓값 : 137, 최솟값 : 9
(2) 최댓값 : 3, 최솟값 : -1
(3) 최댓값 : 35, 최솟값 : -1
125 (1) 6 (2) 12
127 ④
126 ⑤
3`
(3) 4
'
128 ②
129 ⑤
130 ③
131 ②
6
로그함수의 뜻과 그래프
53쪽~62쪽
132 (1) 0 (2) 1 (3) -2
133 (1) -2 (2) 0 (3) -4
134 풀이 참고
135 (1) × (2) (3) (4) × (5)
136 (1) (2) × (3) (4)
137 (1) a=1, b=4 (2) a=4, b=2
(3) a=
, b=-1
;3!;
138 (1) y=logª (x-1)-2, 점근선의 방정식 : x=1,
정의역 : {x|x>1}
(x+2)+3, 점근선의 방정식 : x=-2,
(2) y=log
;3!;
정의역 : {x|x>-2}
(4) y=log£ (x-2)-1, 점근선의 방정식 : x=2,
정의역 : {x|x>2}
정의역 : {x|x>2}
139 풀이 참고
4 빠른 정답
140 (1) ① y=-log° x ② y=log° (-x)
③ y=-log° (-x)
(2) ① y=-log¤ (-x) ② y=log¤ x ③ y=-log¤ x
(3) ① y=log¢ x ② y=-log¢ (-x) ③ y=log¢ (-x)
(4) ① y=-log£ (x-1)-2 ② y=log£ (-x-1)+2
③ y=-log£ (-x-1)-2
(1) y=-log° (x+1)+3 (2) y=-log¢ (-x-1)+1
141
(3) y=logª (x-3)+3
(3) a=27, b=1
142 (1) (2) (3) × (4)
143 (1) a=4, b=-2 (2) a=2, b=-2
144 (1) log£ 7<3 log£ 2 (2) log
8
3>log
;5!;
;5!;
(3) log¢ 30>logª 5 (4) log
10<-logª 7
;2!;
145 (1) log£ xlog£
;[!;
(3) log£ x0)
(2) y=logª (x-1)+1 (x>1) (3) y=3x
(4) y=3x-1
+2
147 (1) 풀이 참고 (2) 대칭이다.
148 (1) 풀이 참고 (2) 대칭이다.
149 (1) 최댓값 : 4, 최솟값 : 3
(2) 최댓값 : 4, 최솟값 : 2
(3) 최댓값 : -2, 최솟값 : -3
(4) 최댓값 : logª 5, 최솟값 : 0
(5) 최댓값 : 2, 최솟값 : 0
(6) 최댓값 : -2, 최솟값 : -3
150 (1) 최댓값 : 3, 최솟값 : 2
(2) 최댓값 : 26, 최솟값 : 2
(3) 최댓값 : 0, 최솟값 : -9
151 2
152 -4
153 ④
154 ①
155 ⑤
156 ④
157 ①
158 ③
7
지수함수와 로그함수의 활용
64쪽~76쪽
(5) x=
(6) x=-7
;2!;
160 (1) x=2 (2) x=
;2!;
(3) x=-2 (4) x=-1
(5) x=0 (6) x=-1 또는 x=
;2#;
(3) y=log° (x-2)+3, 점근선의 방정식 : x=2,
159 (1) x=6 (2) x=-3 (3) x=5 (4) x=-2
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빠른 정답 161 (1) x=0 또는 x=2 (2) x=2 (3) x=-1 또는 x=-3
(4) x=0
162 (1) x=1 또는 x=3 (2) x=1 (3) x=2 또는 x=1
(4) x=5 또는 x=3
Ⅱ 삼각함수
1
일반각과 호도법
80쪽~89쪽
163 3
164 128
165 a>2
166 (1) x>2 (2) x<-2 (3) x¾4 (4) -2-
;3@;
(3) xÉ-1 (4) x>2
(5) -22 (2) 19
172 k>
;;ª4¦;;
173 (1) x=27 (2) x=
;8!;
(3) x=5 (4) x=1
174 (1) x=3 (2) x=2 (3) x=1 (4) x=8
175 (1) x=7 (2) x=6 (3) x=3 (4) x=5
176 (1) x=3 (2) x=2 (3) x=1
177 (1) x=2 또는 x=
;4!;
(2) x=
또는 x=
;3!;
;9!;
(3) x=2 또는 x=4
178 (1) x=32 또는 x=
;2!;
(2) x=3 또는 x=9
179 (1)
;2#;
2 (2) 25
181 (1)
;2%;
25 (2) 10
(2) sin h>0, cos h>0, tan h>0
(2) -
(3) -
5
13
12
5
(4) 7
13
(3) sin h>0, cos h<0, tan h<0
(4) sin h<0, cos h>0, tan h<0
030 (1) 제4사분면의 각 (2) 제2사분면의 각
(3) 제2사분면의 각 (4) 제1사분면 또는 제3사분면의 각
(5) 제2사분면 또는 제3사분면의 각
031 (1) cos h=-
;1!3@;
, tan h=-
(2) sin h=
, tan h=-2
2
2
'
3
15
032 (1) cos h=- '¶
4
, tan h= '¶
;1°2;
2
'
15
15
10
(2) sin h=- '¶
5
6
, tan h= '
3
7
033 (1) cos h= '
4
, tan h=-
3
7
'
7
6
(2) sin h=- '
3
, tan h=-
2
'
034 (1) -
;8#;
(2) -
(3) -
(4)
(5)
;3*;
;4!;
;1!6!;
;3$;
035 (1) 2 (2)
1
cos h
(3)
2
sin h cos h
036 (1) -
;8#;
(2) -
;6%;
15
037 (1) '¶
3
6
(2) '
2
(3) 2
2
'
6 빠른 정답
038 (1) 3 (2) -10 (3) -2 (4) 5
039 (1) 8 (2) 7 (3)
;2!;
(4) 1
040 (1) × (2) ◯ (3) × (4) ◯ (5) ×
041 (1) × (2) × (3) ◯ (4) × (5) ◯
042 (1) × (2) ◯ (3) ◯ (4) × (5) ×
043 (1) 풀이 참고, 치역 : {y|-3ÉyÉ3}, 주기 : 2p
(2) 풀이 참고, 치역 :
[
y
|
-
;2!;
ÉyÉ
;2!;]
, 주기 : 2p
044 (1) 풀이 참고, 치역 : {y|-1ÉyÉ1}, 주기 :
p
;3@;
(2) 풀이 참고, 치역 : {y|-1ÉyÉ1}, 주기 :
p
2
(3) 풀이 참고, 치역 : {y|-1ÉyÉ1}, 주기 : 4p
045 (1) 풀이 참고, 치역 : {y|-2ÉyÉ2}, 주기 : p
(2) 풀이 참고, 치역 : {y|-3ÉyÉ3}, 주기 : 4p
(3) 풀이 참고, 치역 :
[
y
|
-
;3!;
ÉyÉ
;3!
~;]
, 주기 :
p
;3@
~;
(4) 풀이 참고, 치역 :
[
y
|
-
;2!;
ÉyÉ
;2!;]
, 주기 :
p
2
046 (1) 치역 : {y|2ÉyÉ8}, 주기 : 2p
(2) 치역 : {y|-2ÉyÉ2}, 주기 : p
(3) 치역 :
[
y
|;2#;
ÉyÉ
;2%;]
, 주기 : 2p
(4) 치역 :
[
y
|
-
;3&;
ÉyÉ-
, 주기 : 4p
;3%;]
047 (1) a=1, b=
;2!;
, c=3 (2) a=6, b=
, c=1
;3!;
(3) a=3, b=6, c=2
048 (1) 풀이 참고, 치역 : {y|-4ÉyÉ4}, 주기 : 2p
(2) 풀이 참고, 치역 :
[
y
|
-
;2#;
ÉyÉ
;2#;]
, 주기 : 2p
049 (1) 풀이 참고, 치역 : {y|-1ÉyÉ1}, 주기 :
(2) 풀이 참고, 치역 : {y|-1ÉyÉ1}, 주기 :
p
;3@;
p
;5@;
(3) 풀이 참고, 치역 : {y|-1ÉyÉ1}, 주기 : 6p
050 (1) 풀이 참고, 치역 : {y|-3ÉyÉ3}, 주기 : p
(2) 풀이 참고, 치역 : {y|-4ÉyÉ4}, 주기 : 4p
(3) 풀이 참고, 치역 :
[
y
|
-
;2!;
ÉyÉ
;2!;]
, 주기 :
p
;3@;
(4) 풀이 참고, 치역 :
[
y
|
-
;2#;
ÉyÉ
;2#;]
, 주기 :
p
;5@;
051 (1) 치역 : {y|4ÉyÉ8}, 주기 : 2p
(2) 치역 : {y|-3ÉyÉ3}, 주기 :
p
2
(3) 치역 :
[
y
|;5$;
ÉyÉ
;5^;]
, 주기 : 2p
(4) 치역 :
[
y
|
-
13
4
ÉyÉ-
, 주기 : 12p
11
4 ]
052 (1) a=6, b=4, c=-3 (2) a=
;2#;
, b=2, c=-
;2!;
(3) a=4, b=
, c=1 (4) a=3, b=2, c=-1
;2!;
01-09 빠답-ok.indd 6
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빠른 정답 (5) 점근선의 방정식 : x=3np+
p ( n은 정수),
071 (1) x=
또는 x=
p (2) x=
또는 x=
p
053 (1) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : p
(2) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : p
p
054 (1) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 :
3
(2) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : 2p
(3) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 :
p
;3@;
p
055 (1) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 :
2
(2) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : 2p
p
(3) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 :
3
(4) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : 6p
056 (1) 점근선의 방정식 : x=np+
( n은 정수), 주기 : p
(2) 점근선의 방정식 : x=
p+
( n은 정수),
n
2
n
4
p
2
p
4
p
8
;2#;
주기 :
주기 :
p
2
p
4
주기 : 4p
주기 : 3p
(3) 점근선의 방정식 : x=
p+
( n은 정수),
(4) 점근선의 방정식 : x=4np+2p ( n은 정수),
057 (1) 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : p
p
3
(2) 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 :
(3) 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 :
p
5
(4) 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : 6p
058 (1) a=3, b=
;2!;
, c=-2
(2) a=
, b=
, c=-1
;3!;
(3) a=5
3, b=3, c=-3
4
3
'
3
'
059 (1) 풀이 참고, 치역 : {y|0ÉyÉ1}, 주기 : p
(2) 풀이 참고, 치역 : {y|y¾0}, 주기 : p
060 (1) 풀이 참고, 치역 : {y|-1ÉyÉ1}, 주기 : 2p
(2) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : 없다.
3
061 (1) '
2
2
(2) '
2
3
(3) '
3
(4) 1 (5)
(6)
;2!;
3
'
3
062 (1) - '
2
2
(2) '
2
3
(3) - '
3
2
(4) - '
2
(5) -
3
'
063 (1) -
;2!;
(2) -
3
(3) 1 (4) - '
2
3
(5) - '
2
;2!;
3
(6) '
2
(6)
3
'
064 (1)
;2!;
(2) -
3
(3) -1 (4) '
2
2
(5) - '
2
;2!;
065 (1)
2
(2) - '
2
;2!;
(3) -
2
3 (4) '
2
'
(5) -
;2!;
3
(6) - '
3
3
(6) - '
3
066 (1)
'
3 (2) 0 (3) -
3
2
2
+ '
2
067 (1)
;;¥2»;;
(2) 1
068 (1) 최댓값 : 3, 최솟값 : -1
(2) 최댓값 : 0, 최솟값 : -6
(3) 최댓값 : 1, 최솟값 : -5
(4) 최댓값 : 4, 최솟값 : 0
069 (1) 최댓값 : 4, 최솟값 : 0
(2) 최댓값 : 6, 최솟값 : 3
(3) 최댓값 : -1, 최솟값 : -4
070 (1) 최댓값 : 5, 최솟값 : 1
(2) 최댓값 : 0, 최솟값 : -4
(3) 최댓값 :
, 최솟값 : 0
;4(;
p
4
p
6
p
2
2
9
p
2
p
3
(3) x=
또는 x=
p (4) x=
또는 x=
p
072 (1) x=
p
12
또는 x=
p 또는 x=
p 또는 x=
17
12
p
3
4
11
6
5
12
8
9
7
6
5
3
4
3
p
3
p
3
13
12
14
9
p
11
6
p
(2) x=
또는 x=p
(3) x=
p 또는 x=
p 또는 x=
073 (1) x=
또는 x=
p 또는 x=
(2) x=
또는 x=
p
;3%;
074 (1) 7개 (2) 2개
075 (1)
;6&;
p1)
'
027
답
(1) 3 (2)
(3) 2 (4)
;2(;
;9&;
a2x+1
a2x-1
=
2+1
2-1
=3
=
(1) ax+a-x
ax-a-x
(2) a3x+a-3x
ax-a-x =
(3) a3x+a-x
ax+a-3x =
(4) a3x-a-3x
a3x+a-3x =
=
=
ax(ax+a-x)
ax(ax-a-x)
a3x(a3x+a-3x)
a3x(ax-a-x)
(a2x)Ü`+1
(a2x)Û`-a2x
a3x(a3x+a-x)
a3x(ax+a-3x)
(a2x)Ü`+a2x
(a2x)Û`+1
a3x(a3x-a-3x)
a3x(a3x+a-3x)
(a2x)Ü`-1
(a2x)Ü`+1
=
=
=
=
=
=
a6x+1
a4x-a2x
8+1
4-2
=
9
2
=
a6x+a2x
a4x+1
8+2
4+1
=2
=
a6x-1
a6x+1
8-1
8+1
=
7
9
028
답
(1) 3 (2) 2
3
'
3
(3) 28
'
9
3
(1) ax+a-x
ax-a-x
=
ax(ax+a-x)
ax(ax-a-x)
=
a2x+1
a2x-1
=2
a2x+1=2a2x-2 ∴ a2x=3
(2) a2x=(ax)Û`=3에서
ax=
3 (∵ a>0)
'
∴ ax-a-x=ax-(ax)-1=
3 -
'
=
2
3
'
3
1
3
'
(3) a3x+a-3x=(ax)Ü`+(ax)-3
=3
3 +
'
=
3
28
'
9
1
'
3
3
029
답
(1)
;;Á3¼;;
(1) 2x-2-x
2x+2-x
(2) 4
3
'
3
(3) 26
'
9
3
=
2x(2x-2-x)
2x(2x+2-x)
=
22x-1
22x+1
=
1
2
2_22x-2=22x+1 ∴ 22x=3
∴ 4x+4-x=22x+(22x)-1=3+
=
;3!;
;;Á3¼;;
(2) 22x=(2x)Û`=3에서 2x=
3 (∵ 2x>0)
'
∴ 2x+2-x=2x+(2x)-1=
3 +
(3) 8x-8-x=(2x)Ü`-(2x)-3=3
3 -
'
'
=
4
3
'
3
1
3
'
=
3
26
'
9
1
'
3
3
030
답
(1) 1 (2) 1 (3) -2 (4) 2
(1) 5=20;[!;, 4=20;]!; 에서
20;[!;_20;]!;=5_4, 20;[!;+;]!;=20
∴
+
=1
;]!;
;[!;
(2) 18=6;[!;, 3=6;]!; 에서
6;[!;Ö6;]!;=18Ö3, 6;[!;
;]!;=6
-
∴
-
=1
;]!;
;[!;
1단원해설-ok.indd 13
2018-04-17 오후 2:18:56
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 13
(3) 67=27;[!;=3;[#;, 603=81;]!; =3;]$;
3;[#;Ö3;]$;=67Ö603, 3;[#;
;]$;=
-
=3-2
;9!;
∴
-
=-2
;[#;
;]$;
(4) 972=8;[!;=2;[#;, 243=16;]!;=2;]$;
2;[#;Ö2;]$;=972Ö243, 2;[#;
;]$;=2Û`
-
∴
-
=2
;]$;
;[#;
031
답
(1)
3 >Ü
5 (2) Ü
2 <Ý
3 (3) Ü
2 >Ý
'
6
¿·'
'
'
'
'
3 <Ý
(4) Þ
¿·'
3 =ß
3Ü` =ß
4`
'
¿·
27 , Ü
'¶
'
(1)
'
∴
"
3 >Ü
'
2 =Ú`Û
'
2 =Û`Ý
"
2 <Ý
5
'
2Ý` =Ú`Û
3
'
2¡` =Û`Ý
'¶
'¶
"
2 >Ý
'
3 =Ú`â
6
¿·'
3 =ß`â
'
3 <Ý
"
4
'
¿·
¿·'
(2) Ü
'
∴ Ü
(3) Ü
'
∴ Ü
(4) Þ
¿·'
∴ Þ
5 =ß
5Û` =ß
25
"
'¶
16 , Ý
3 =Ú`Û
3Ü` =Ú`Û
27
'
"
'¶
256 , Ý
6 =¡
6 =Û`Ý
6Ü` =Û`Ý
216
¿·'
'
"
'¶
3ß` =ß`â
729 , Ý
4 =Ú`Û
4 =ß`â
4Þ` =ß`â
1024
¿·
'
'
"
'¶
'¶
032
답
(1) 330>520 (2) 218<512
(1) 330=(3Ü`)10=2710, 520=(5Û`)10=2510
∴ 330>520
∴ 218<512
(2) 218=(2Ü`)ß`=8ß`, 512=(5Û`)ß`=25ß`
033
답
(1)
2 <Ü
'
(4) Ü
2 <á
'
3 <Ý
'
10 <ß
5`
5` (2) ß
6 <
2 <Ü
3` (3) Ü
4 <Ý
7 <
3`
'
'
'
'
'
'
'
3 , Ý
'
'¶
5 에서 2, 3, 4의 최소공배수가 12이고
(1)
'
2 , Ü
'
2 =Ú`Û
'
2ß`, Ü
3 =Ú`Û
3Ý`, Ý
5 =Ú`Û
5Ü``
"Å
'
이때 2ß`,`3Ý`,`5Ü`의 대소를 비교하면
'
"Å
'
"Å
2ß`<3Ý`<5Ü` ∴
3 <Ý
2 <Ü
5
'
6 에서 2, 3, 6의 최소공배수가 6이고
'
'
(2)
'
2 , Ü
'
2 =ß
3 , ß
'
2Ü` , Ü
3 =ß
3Û` , ß
6`
"Å
'
이때 2Ü`,`3Û`,`6의 대소를 비교하면
'
"Å
'
6<2Ü`<3Û` ∴ ß
2 <Ü
6 <
3
'
7 에서 2, 3, 4의 최소공배수가 12이고
'
'
(3)
'
3 , Ü
'
3 =Ú`Û
4 , Ý
'
3ß` , Ü
4 =Ú`Û
4Ý` , Ý
7 =Ú`Û
7Ü`
"Å
'
이때 3ß`,`4Ý`,`7Ü`의 대소를 비교하면
'
"Å
'
"Å
4Ý`<7Ü`<3ß` ∴ Ü
4 <Ý
7 <
3`
'
'
'
14 정답 및 해설
(4) Ü
5 , á
10 에서 3, 6, 9의 최소공배수가 18이고
2 , ß
'
2 =Ú`¡
'
'
"Å
'¶
2ß` , ß
'
5 =Ú`¡
5Ü` , á
10 =Ú`¡
10Û`
"Å
'¶
"
이때 2ß`,`5Ü`,`10Û`의 대소를 비교하면
2ß`<10Û`<5Ü` ∴ Ü
2 <á
10 <ß
5`
'
'¶
'
034 ⑤
답
10
3Û`+9Û`
_
27
2-5+8-2`
=
10
3Û`+(3Û`)Û`
_
27
2-5+(2Ü`)-2
=
10
3Û`+3Ý`
27
_
2-5+2-6
=
10
3Û`(1+3Û`)
_
3Ü`
2-6(2+1)
=
_
=2ß`=64
1
3Û`
3Û`
2-6
035 ②
답
-3
①
{
-
;5!;}
=(-5)Ü`=-125 ② (-5)-3=
1
(-5)Ü`
=-
1
125
③ -30=-1 ④
=2Û`=4 ⑤ 2-2=
=
-2
{;2!;}
1
2Û`
1
4
따라서 ①<③<②<⑤<④이므로 세 번째로 큰 것은 ②이다.
036 ③
답
a Ü
"Ã
a
'§
¿¹
a =
a_a;2!; =
`
a_(a;2#;);3!;
ae
`=(a;2#;);4!;`=a;8#;
a
ae
ae
a_a;2!;
=
ae
∴ m-n=8-3=5
037 ④
답
abÜ`ÖÜ
aÛ`bÝ`_(abÞ`);6!;=(abÜ`);2!;Ö(aÛ`bÝ`);3!;_(abÞ`);6!;
"
"
=a;2!;b;2#;Öa;3@;b;3$;_a;6!;b;6%;
=a;2!;
-
+
;3@;
-
+
;3$;
;6!;b;2#;
;6%;=aâ`bÚ`=b
6 Öa3
'
6 =a2
'
6 _a2
'
6 Öa3
'
6 =a2
'
6 +2
6-3
'
'
6
6 =a'
038
답
6`
'
3 )2
(a'
'
2 _(Ü
a)6
'
'
∴ k=
6
'
039
답
8
1-aÛ`
1
+
1
+
2
1-a;4!;
1+a;4!;
1+a;2!;
+
4
1+a
1+a;4!;+1-a;4!;
2
+
+
4
1+a
(1-a;4!;)(1+a;4!;)
1+a;2!;
=
=
2
+
2
1-a;2!;
1+a;2!;
+
4
1+a
=
2(1+a;2!;)+2(1-a;2!;)
(1-a;2!;)(1+a;2!;)
+
4
1+a
=
4
1-a
+
4
1+a
=
4(1+a)+4(1-a)
(1-a)(1+a)
=
8
1-aÛ`
1단원해설-ok.indd 14
2018-04-17 오후 2:18:58
정답 및 해설Ü
Ý
4
3
4
4
Ü
Ü
Ü
에서 좌변의 분모, 분자에 ax을 곱하면
(3) 진수 조건에서 xÛ`-2x-3>0, (x+1)(x-3)>0
040 ④
답
(a;2!;+a-
;2!;)Û` =a+a-1+2=12
a>0이므로 a;2!;+a-
;2!;>0
∴ a;2!;+a-
;2!;=
12 =2
'¶
3
'
041 ④
답
(2x-2-x)Ü` =2Ü`x-2-3x-3_2x_2-x(2x-2-x)
=8x-8-x-9 (∵ 2x-2-x=3)
=27
∴ 8x-8-x=36
042 ③
답
'
3x(33x+3-3x)
3x(3x+3-x)
9x=32x=
2 -1이므로 주어진 식의 분모, 분자에 3x을 곱하면
2-1)Û`+
(
'
=
1
2-1
'
(
2-1)+1
'
=
=
34x+3-2x
32x+1
2
4-
'
2
'
=2
2 -1
'
043 ⑤
답
ax-a-x
ax+a-x =
(ax-a-x)ax
(ax+a-x)ax =
3(a2x-1)=2(a2x+1) ∴ a2x=5
, a2x-1
a2x+1
=
;3@;
;3@;
;3@;
∴ a6x=(a2x)Ü`=5Ü`=125
044 ④
답
2x=9y=18z=k (k>0)로 놓으면 xyz+0에서 k+1
2x=k에서 2=k;[!;, 9y=k에서 9=k;]!;, 18z=k에서 18=k;z!;
2_9Ö18=k;[!;_k;]!;Ök;z!;
∴ k;[!;
+
-
;]!;
;z!;=1
그런데 k+1이므로
+
-
=0
;z!;
;]!;
;[!;
045 ③
답
6 =(6;2!;);3!;=6;6!;, Ü
2 =2;3!;, Ý
12 =(12;3!;);4!;=12;1Á2;
'
¿¹
'¶
¿·'
¿·'
'
에서 지수를
로 같게 하면
;1Á2;
6 =6;6!;=6;1ª2;=(6Û`);1Á2;=36;1Á2;
2 =2;3!;=2;1¢2;=(2Ý`);1Á2;=16;1Á2;
이때 12<16<36이므로 Ý
12 <Ü
2 <Ü
¿¹
'¶
'
6
¿·'
따라서 a=Ü
6 =6;6!;이므로 aß`=(6;6!;)ß`=6
¿·'
3
로그의 뜻과 성질
22쪽~32쪽
046
답
(1) log2 32=5 (2) log3 81=4 (3) log10 1000=3
(4) log2
=-2 (5) log
3
;3!;
'
;4!;
=-2 (6) log125 5=
;3!;
047
답
(1) 4Û`=16 (2) 81;4!;=3 (3) 5;2!;=
5`
'
048
답
(1) 3 (2) 9 (3)
(4) 8
;8Á1;
(1) 2x=8, 2x=2Ü` ∴ x=3
(2) x=(
3)Ý`=3Û`=9
'
(3) x=3-4=
;8Á1;
(4) log3(log2x)=1에서 log2x=3Ú`=3
∴ x=2Ü`=8
049
답
(1) x>1 (2) x<-4 또는 x>-1
(3) x<-1 또는 x>3 (4) -3-2
(5) 20 ∴ x>1
(2) 진수 조건에서 (x+1)(x+4)>0
∴ x<-4 또는 x>-1
∴ x<-1 또는 x>3
(4) 밑 조건에서 x+3>0, x+3+1
∴ -3-2
(5) 밑 조건에서 x-2>0, x-2+1
∴ 23 yy ㉠
진수 조건에서 -xÛ`+6x-5>0, xÛ`-6x+5<0
(x-1)(x-5)<0 ∴ 10, a-5+1이어야 하므로
a>5, a+6 yy ㉠
Û -aÛ`+11a-18>0이어야 하므로
aÛ`-11a+18<0, (a-2)(a-9)<0
∴ 21}
(2) 점근선의 방정식 : y=-2, 치역 : {y|y>-2}
(1) y=2x-3+1의 그래프는 y=2x의 그래프를 x축의 방향으로
3만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
∴ 점근선의 방정식 : y=1, 치역 : {y|y>1}
x+1
(2) y=
{;3!;}
-2의 그래프는 y=
{;3!;}
x
의 그래프를 x축의 방향
으로 -1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다.
∴ 점근선의 방정식 : y=-2, 치역 : {y|y>-2}
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 23
1단원해설-ok.indd 23
2018-04-17 오후 2:19:06
115
답
풀이 참고
(1)
(2)
y
y
O
x
y=a-x=
x
{;a!;}
y=a-x
O
x
y=-ax
(3)
y
O
x
y=-a-x=-
x
{;a!;}
y=-a-x
116
답
(1) ① y=-7x ② y=
(2) ① y=3x ② y=-
③ y=
x
③ y=-
x
!;}
{;7\
x
{;3\
!;}
{;7\
!;}
x
{;3\
!;}
(3) ① y=-
② y=2x ③ y=-2x
x
{;2\
!;}
(4) ① y=5x ② y=-
x
③ y=
x
{;5\
!;}
{;5\
!;}
(3) 2-x=
{;2!;}
x
이므로
① x축에 대하여 대칭이동 : y=-
x
{;2\
!;}
② y축에 대하여 대칭이동 : y=2x
③ 원점에 대하여 대칭이동 : y=-2x
(4) -
{;5!;}
-x
=-5x이므로
① x축에 대하여 대칭이동 : y=5x
② y축에 대하여 대칭이동 : y=-
③ 원점에 대하여 대칭이동 : y=
x
{;5\
!;}
x
{;5\
!;}
117
답
(1) y=-7-x-3-2 (2) y=-2x-3+3 (3) y=-5x-1
(1) 함수 y=-7x의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면
y=-7-x
평행이동하면
다시 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 -2만큼
다시 원점에 대하여 대칭이동하면
-y=5-(-x)+1 ∴ y=-5x-1
118
답
(1) (2) (3) (4) ×
(1) y=
=
=3x-2의 그래프는 y=3x의 그래프를 x축의
3x
9
3x
3Û`
x
{;3!;}
3x+1
3
방향으로 2만큼 평행이동한 것과 같다.
(2) y=
+1의 그래프는 y=3x의 그래프를 y축에 대하여
대칭이동한 후, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것과 같다.
(3) y=
=3x-1+
의 그래프는 y=3x의 그래프를 x축의
;3!;
방향으로 1만큼, y축의 방향으로
만큼 평행이동한 것과
;3!;
같다.
(4) y=33x+1=27x+1이므로 y=3x의 그래프를 평행이동, 대칭
이동하여 겹칠 수 없다.
119
답
(1) a=2, b=1 (2) a=1, b=2 (3) a=
, b=4
;2!;
(1) 함수 y=
+b의 그래프의 점근선의 방정식이
x-a
{;2!;}
y=1이므로 b=1
즉, 함수 y=
+1의 그래프가 점 (0, 5)를 지나므로
x-a
{;2!;}
-a
5=
{;2!;}
+1 ∴ a=2
(2) 함수 y=-2x+a-b의 그래프의 점근선의 방정식이
y=-2이므로 -b=-2 ∴ b=2
즉, 함수 y=-2x+a-2의 그래프가 점 (0, -4)를 지나므로
-4=-2a-2 ∴ a=1
(3) 함수 y=-ax+1+b의 그래프의 점근선의 방정식이
y=4이므로 b=4
즉, 함수 y=-ax+1+4의 그래프가 점 (-3, 0)을 지나므로
0=-a-2+4, aÛ`=
∴ a=
(∵ a>0)
;4!;
;2!;
y=-7-(x+3)-2 ∴ y=-7-x-3-2
(2) 함수 y=2x-1-2의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼,
120
답
(1) Ü
3Ý` <
"
27 (2) (0.2)-
'¶
;2!;>(0.2);3@;
(1) Ü
3Ý` =3;3$;,
27 =
3Ü` =3;2#;이고,
<
"
'¶
"
;3$;
;2#;
y축의 방향으로 -1만큼 평행이동하면
y=2(x-2)-1-2-1 ∴ y=2x-3-3
다시 x축에 대하여 대칭이동하면
-y=2x-3-3 ∴ y=-2x-3+3
(3) 함수 y=51-x+3의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼,
y축의 방향으로 -2만큼 평행이동하면
y=51-(x+1)+3-2 ∴ y=5-x+1
이때 함수 y=3x은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로
3;3$;<3;2#;
∴ Ü
3Ý` <
27
"
'¶
(2) -
<
;3@;
;2!;
이때 함수 y=(0.2)x은 x의 값이 증가하면 y의 값은
감소하므로 (0.2)-
;2!;>(0.2);3@;
24 정답 및 해설
1단원해설-ok.indd 24
2018-04-17 오후 2:19:07
정답 및 해설 x
은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하므로
최솟값은 x=5일 때
{;2!;}
+1=
+1=
이다.
;8!;
;8(;
121
답
,
,
®;8!;`
®;4!;`
®;2!;`
=
;2!;,
=
=
;3@;,
=
;4#;
=
®;2!;`
{;2!;}
®;4!;`
``
¾¨{;2!;}
{;2!;}
®;8!;`
¾¨{;2!;}
``
{;2!;}
이고,
<
<
;3@;
;2!;
;4#;
이때 함수 y=
{;2!;}
;2!;
>
;3@;
>
{;2!;}
{;2!;}
{;2!;}
;4#;
따라서 작은 순으로 나열하면
,
,
®;8!;`
®;4!;`
®;2!;`
122
답
(1) 최댓값 : 8, 최솟값 : 1 (2) 최댓값 : 3, 최솟값 :
;2%5!;
(3) 최댓값 : 10, 최솟값 :
(4) 최댓값 : 4, 최솟값 :
;;Á9¼;;
;1$6(;
(5) 최댓값 :
, 최솟값 : -
;2#;
;1#6(;
(6) 최댓값 : 9, 최솟값 :
;8(;
(1) 함수 y=2x+1은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하고,
-1ÉxÉ2이므로
최댓값은 x=2일 때 22+1=8,
최솟값은 x=-1일 때 2-1+1=1이다.
(2) 함수 y=5x-1+2는 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하고,
-1ÉxÉ1이므로
최댓값은 x=1일 때 51-1+2=3,
최솟값은 x=-1일 때 5-1-1+2=
이다.
;2%5!;
x
+1은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하고,
(3) 함수 y=
{;3!;}
-2ÉxÉ2이므로
최댓값은 x=-2일 때
+1=3Û`+1=10,
최솟값은 x=2일 때
+1=
+1=
이다.
{;3!;}
;9!;
;;Á9¼;;
(4) 함수 y=
+3은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하고,
x+1
{;2!;}
-1ÉxÉ3이므로
-2
{;3!;}
2
-1+1
{;2!;}
4
최솟값은 x=3일 때
+3=
+3=
이다.
{;2!;}
;1Á6;
;1$6(;
(5) 함수 y=
-
는 x의 값이 증가하면 y의 값은
x+2
{;4!;}
;2%;
감소하고, -3ÉxÉ0이므로
최댓값은 x=-3일 때
-3+2
-
=4-
;2%;
=
,
;2#;
;2%;
{;4!;}
0+2
(6) 함수 y=22-x+1, 즉 y=
+1은 x의 값이 증가하면
y의 값은 감소하고, -1ÉxÉ5이므로
최댓값은 x=-1일 때
+1=2Ü`+1=9,
x-2
{;2!;}
-1-2
{;2!;}
5-2
(1) 최댓값 : 4, 최솟값 :
(2) 최댓값 : 27, 최솟값 :
;3!;
123
답
(3) 최댓값 : 1, 최솟값 :
;4!;
;25!6;
(1) f(x)=-xÛ`+6x-7=-(x-3)Û`+2로 놓으면
2ÉxÉ5일 때 -2É f(x)É2
이때 y=2 f(x)은 f(x)의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로
최댓값은 f(x)=2일 때 2Û`=4,
최솟값은 f(x)=-2일 때 2-2=
이다.
;4!;
(2) f(x)=xÛ`-6x+6=(x-3)Û`-3으로 놓으면
1ÉxÉ4일 때 -3É f(x)É1
이때 y=
은 f(x)의 값이 증가하면 y의 값은
f(x)
{;3!;}
감소하므로 최댓값은 f(x)=-3일 때
-3
=3Ü`=27,
{;3!;}
최솟값은 f(x)=1일 때
1
=
{;3!;}
;3!;
이다.
(3) f(x)=-xÛ`-4x=-(x+2)Û`+4로 놓으면
-3ÉxÉ0일 때 0É f(x)É4
이때 y=
은 f(x)의 값이 증가하면 y의 값은
f(x)
{;4!;}
감소하므로 최댓값은 f(x)=0일 때
0
=1,
{;4!;}
최솟값은 f(x)=4일 때
4
=
{;4!;}
;25!6;
이다.
124
답
(1) 최댓값 : 137, 최솟값 : 9
(2) 최댓값 : 3, 최솟값 : -1
(3) 최댓값 : 35, 최솟값 : -1
(1) y=9x+2´3x+1+2=(3x)Û`+6´3x+2에서
3x=t (t>0)로 놓으면 y=tÛ`+6t+2=(t+3)Û`-7
주어진 함수의 최댓값은 t=9일 때 137,
최솟값은 t=1일 때 9이다.
(2) y=2x+2-4x-1=-(2x)Û`+4´2x-1에서
2x=t (t>0)로 놓으면 y=-tÛ`+4t-1=-(t-2)Û`+3
이때 0ÉxÉ2에서 1ÉtÉ4이므로
주어진 함수의 최댓값은 t=2일 때 3,
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 25
최솟값은 x=0일 때
{;4!;}
-
=
;2%;
;1Á6;
-
;2%;
=-
;1#6(;
이다.
최솟값은 t=4일 때 -1이다.
최댓값은 x=-1일 때
+3=1+3=4,
이때 0ÉxÉ2에서 1ÉtÉ9이므로
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4
3
3
3
2
4
4
3
4
3
(3) y=
x
-
{;4!;}
{;2!;}
x-2
x
+3=
[{;2!;}
]
-4´
{;2!;}
x
+3에서
x
{;2!;}
=t (t>0)로 놓으면 y=tÛ`-4t+3=(t-2)Û`-1
2`
이때, -3ÉxÉ1에서
ÉtÉ8이므로
;2!;
주어진 함수의 최댓값은 t=8일 때 35,
최솟값은 t=2일 때 -1이다.
125
답
(1) 6 (2) 12
'
(1) 3x>0, 3-x+2>0이므로
(3) 4
3`
y=3x+3-x+2¾2
3x´3-x+2 =6
"Ã
(단, 등호는 3x=3-x+2일 때 성립)
따라서 주어진 함수의 최솟값은 6이다.
(2) 3x>0, 1
3x =3-x>0이므로
9
3x =2
9
3x ¾2
4´3x´
¾¨
y=4´3x+
36 =12
'¶
단, 등호는 4´3x=
{
9
3x 일 때 성립
}
따라서 주어진 함수의 최솟값은 12이다.
(3) 2-x+1>0, 2x>0이므로
y=2-x+1+6´2x¾2
2-x+1 ´6´2x =2
"Ã
'¶
12 =4
3`
'
(단, 등호는 2-x+1=6´2x 일 때 성립)
따라서 주어진 함수의 최솟값은 4
3`이다.
'
이 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하면
-y=3-x+3+2 ∴ y=-3Ü`´3-x-2=-27´
x
-2
{;3!;}
∴ a=-27, b=-2
∴ a-b=-27-(-2)=-25
130 ③
답
함수 y=2x+1+k는 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
따라서 -2ÉxÉ1에서 x=1일 때 최댓값이 5이므로
함수 y=2x+1+1은 x=-2일 때 최솟값을 가지므로
2Û`+k=5 ∴ k=1
(최솟값)=2-1+1=
;2#;
131
②
답
y=2-3x´3x, 즉 함수 y=
x
은 x의 값이 증가하면 y의 값은
{;8#;}
감소하고, -2ÉxÉ3이므로
최댓값은 x=-2일 때
-2
=
2
=
{;8#;}
{;3*;}
;;¤9¢;;
최솟값은 x=3일 때
3
=
{;8#;}
;5ª1¦2;
따라서 M=
, m=
이므로 Mm=
:¤9¢:
;5ª1¦2;
;8#;
6
로그함수의 뜻과 그래프
53쪽~62쪽
⑤ 점근선의 방정식은 y=0이다.
126 ⑤
답
127 ④
답
y=2x에서 a=2â`=1
y=x에서 b=a=1
∴ c=2Ú`=2, d=2Û`=4
∴ a+b+c+d=1+1+2+4=8
128 ②
답
y=4´22x-2=2Û`´22x-2=22(x+1)-2
∴ m=-1, n=-2
∴ m+n=-3
129 ⑤
답
2만큼 평행이동하면
y-2=3x+3 ∴ y=3x+3+2
26 정답 및 해설
y=3x의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로
132
답
(1) 0 (2) 1 (3) -2
(1) f(1)=log£ 1=0
(2) f(3)=log£ 3=1
(3) f
{;9!;}
=log£
=log£ 3-2=-2
;9!;
133
답
(1) -2 (2) 0 (3) -4
(1) f(1)=logª 2-3=1-3=-2
(2) f(7)=logª 8-3=logª 2Ü`-3=3-3=0
(3) f
{
-
;2!;}
;2!;
=logª
-3=logª 2-1-3=-1-3=-4
O
-2
-4
y
4
2
y
4
2
O
-2
-4
x
6 8 10
42
y=log3 x
x
6 8 10
42
O
-2
-4
y
4
2
y
4
2
O
-2
-4
x
6 8 10
42
y=log
x
;2!;`
42
x
6 8 10
x
y=log
;3!;`
(3)
(4)
이므로 함수 y=22x의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의
방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다.
134
답
(1)
(2)
y=log2 x
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정답 및 해설¶
135
답
(1) × (2) (3) (4) × (5)
136
답
(1) (2) × (3) (4)
137
답
(1) a=1, b=4 (2) a=4, b=2
(3) a=
, b=-1
;3!;
(1) y=logª x의 그래프가 두 점 (2, a), (b, 2)를 지나므로
(2) y=log¢ x의 그래프가 두 점 (a, 1), (16, b)를 지나므로
(3) y=log
x의 그래프가 두 점 (a, 1), (3, b)를 지나므로
;3!;
a=logª 2=1
2=logª b에서 b=2Û`=4
1=log¢ a에서 a=4
b=log¢ 16=log¢ 4Û`=2
a에서 a=
1=log
;3!;
;3!;
b=log
3=log
{;3!;}
;3!;
;3!;
-1
=-1
(1) y=logª (x-1)-2, 점근선의 방정식 : x=1,
138
답
정의역 : {x|x>1}
(x+2)+3, 점근선의 방정식 : x=-2,
(2) y=log
;3!;
정의역 : {x|x>-2}
(3) y=log° (x-2)+3, 점근선의 방정식 : x=2,
정의역 : {x|x>2}
(4) y=log£ (x-2)-1, 점근선의 방정식 : x=2,
정의역 : {x|x>2}
(4) y=log£ 27x=log£ 27+log£ x=log£ x+3
이므로 y=log£ 27x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼,
y축의 방향으로 -4만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=log£ (x-2)-1
139
답
(1)
y
(2)
y
-1
O
x
y=-loga x
O
1
x
y=loga (-x)
(3)
y
O
1
x
y=-loga (-x)
140
답
(1) ① y=-log° x ② y=log° (-x)
③ y=-log° (-x)
(2) ① y=-log¤ (-x) ② y=log¤ x ③ y=-log¤ x
(3) ① y=log¢ x ② y=-log¢ (-x) ③ y=log¢ (-x)
(4) ① y=-log£ (x-1)-2 ② y=log£ (-x-1)+2
③ y=-log£ (-x-1)-2
(3) y=log
x=-log¢ x이므로
;4!;
① x축에 대하여 대칭이동 : y=log¢ x
② y축에 대하여 대칭이동 : y=-log¢ (-x)
③ 원점에 대하여 대칭이동 : y=log¢ (-x)
(4) ① -y=log£ (x-1)+2
∴ y=-log£ (x-1)-2
③ -y=log£ (-x-1)+2
∴ y=-log£ (-x-1)-2
답
(1) y=-log° (x+1)+3 (2) y=-log¢ (-x-1)+1
141
(3) y=logª (x-3)+3
(1) 함수 y=log° (-x)의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하면
-y=log° x ∴ y=-log° x
다시 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행
이동하면 y=-log° (x+1)+3
(2) 함수 y=log¢ 16x+1=(log¢ x+2)+1=log¢ x+3이므로
x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -4만큼 평행이동하면
y=log¢ (x-1)+3-4 ∴ y=log¢ (x-1)-1
다시 원점에 대하여 대칭이동하면
-y=log¢ (-x-1)-1 ∴ y=-log¢ (-x-1)+1
(3) 함수 y=log
;2!;
(4x-8)+2=-logª 4(x-2)+2
=-logª (x-2)이므로
x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동하면
y=-logª{(x-1)-2}-3 ∴ y=-logª (x-3)-3
다시 x축에 대하여 대칭이동하면
-y=-logª (x-3)-3 ∴ y=logª (x-3)+3
142
답
(1) (2) (3) × (4)
(1) 함수 y=log° (x-3)의 그래프는 y=log° x의 그래프를
x축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것과 같다.
(2) 함수 y=log° (x-2)+1의 그래프는 y=log° x의 그래프를
x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한
것과 같다.
(3) y=log
'
5 x-3=2 log° x-3이므로
함수 y=log
'
5 x-3의 그래프는 함수 y=log° x의 그래프를
평행이동 또는 대칭이동하여도 겹쳐질 수 없다.
(4) y=log
;5!;
(x+2)-4=log°ÑÚ` (x+2)-4=-log° (x+2)-4
(x+2)-4의 그래프는 함수 y=log° x
이므로 함수 y=log
;5!;
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 27
1단원해설-ok.indd 27
2018-04-18 오후 2:15:37
의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로
4만큼 평행이동한 후 x축에 대하여 대칭이동한 그래프이다.
143
답
(1) a=4, b=-2 (2) a=2, b=-2
(3) a=27, b=1
(x+a)+b의 그래프의 점근선의 방정식이
(1) 함수 y=log
;4!;
x=-4이므로
-a=-4 ∴ a=4
145
답
(1) log£ xlog£
;[!;
(3) log£ x0
;[!;
함수 y=log£ x의 그래프는 x의 값이 증가하면 y의 값도
(2) 함수 y=2x-1+1은 치역이 {y|y>1}인 일대일대응이다.
점 (0, -3)을 지나므로
4+b, -3=-1+b ∴ b=-2
-3=log
;4!;
(2) 함수 y=log
;2!;
(-x+a)+b의 그래프의 점근선의 방정식이
x=2이므로 a=2
(-x+2)+b의 그래프가
즉, 함수 y=log
;2!;
점 (0, -3)을 지나므로
2+b, -3=-1+b ∴ b=-2
-3=log
;2!;
(3) 함수 y=log£ a(b-x)의 그래프의 점근선의 방정식이 x=1
이므로 b=1
3=log£ a ∴ a=27
즉, 함수 y=log£ a(1-x)의 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로
144
답
(1) log£ 7<3 log£ 2 (2) log
3>log
;5!;
;5!;
8
(3) log¢ 30>logª 5 (4) log
10<-logª 7
;2!;
(1) 3 log£ 2=log£ 2Ü`=log£ 8
x의 그래프는 x의 값이 증가하면 y의 값은
(2) 함수 y=log
;5!;
증가한다.
이때 7<8이므로
log£ 7<3 log£ 2
감소한다.
이때 3<8이므로
log
8
3>log
;5!;
;5!;
(3) log¢ 30, logª 5=log2Û` 5Û`=log¢ 25
함수 y=log¢ x의 그래프는 x의 값이 증가하면 y의 값도
증가한다.
이때 30>25이므로
log¢ 30>log¢ 25 ∴ log¢ 30>logª 5
(4) log
10, -logª 7=log2ÑÚ` 7=log
7
;2!;
;2!;
x의 그래프는 x의 값이 증가하면 y의 값은
함수 y=log
;2!;
감소한다.
이때 10>7이므로
log
10log£
;[!;
(3) log£ x>0, logx 3>0이므로
log£ x
logx 3
=
log£ x
1
log£ x
=(log£ x)Û`<1 ∴ log£ x0) (2) y=logª (x-1)+1 (x>1)
(3) y=3x (4) y=3x-1+2
(1) 함수 y=3´5x+2은 치역이 {y|y>0}인 일대일대응이다.
y=3´5x+2에서 x와 y를 서로 바꾸고 양변을 3으로 나누면
x=3´5y+2 ∴
=5y+2
;3{;
양변에 밑이 5인 로그를 취하면
log°
=log° 5y+2, log°
;3{;
;3{;
=y+2
따라서 구하는 역함수는 y=log°
-2 (x>0)
;3{;
y=2x-1+1에서 x와 y를 서로 바꾸면
x=2y-1+1 ∴ x-1=2y-1
양변에 밑이 2인 로그를 취하면
logª (x-1)=logª 2y-1, logª (x-1)=y-1
따라서 구하는 역함수는 y=logª (x-1)+1 (x>1)
(3) y=log£ x에서 x와 y를 서로 바꾸면
x=log£ y, log£ 3x=log£ y ∴ y=3x
(4) y=log£ (x-2)+1에서 x와 y를 서로 바꾸면
x=log£ (y-2)+1, log£ (y-2)=x-1
log£ (y-2)=log£ 3x-1, y-2=3x-1
∴ y=3x-1+2
147
답
(1)
y=3x
y=x
(2) 대칭이다.
y
3
1
y=log3 x
O
1
3
x
1단원해설-ok.indd 28
2018-04-17 오후 2:19:10
정답 및 해설 (2) 함수 y=3x의 그래프와 함수 y=log£ x의 그래프는
이때 함수 y=log£ f(x)는 f(x)의 값이 증가하면 y의 값도
직선 y=x에 대하여 대칭이다.
증가하므로
148
답
(1)
x
y=
{;2!;}
y=x
(2) 대칭이다.
y
2
1
O
1
2
x
y=log
x
;2!;
(2) 함수 y=
x
{;2!;}
의 그래프와 함수 y=log
;2!;
x의 그래프는
직선 y=x에 대하여 대칭이다.
(1) 최댓값 : 4, 최솟값 : 3 (2) 최댓값 : 4, 최솟값 : 2
149
답
(3) 최댓값 : -2, 최솟값 : -3
(4) 최댓값 : logª 5, 최솟값 : 0
(5) 최댓값 : 2, 최솟값 : 0
(6) 최댓값 : -2, 최솟값 : -3
(1) 함수 y=log£ 9x=log£ x+2는 x의 값이 증가하면 y의 값도
증가하고, 3ÉxÉ9이므로
최댓값은 x=9일 때 log£ 9+2=log£ 3Û`+2=4
최솟값은 x=3일 때 log£ 3+2=1+2=3
(2) 함수 y=log£ (x-1)+1은 x의 값이 증가하면 y의 값도
증가하고, 4ÉxÉ28이므로
최댓값은 x=28일 때 log£ 27+1=log£ 3Ü`+1=3+1=4
최솟값은 x=4일 때 log£ 3+1=1+1=2
(3x+1)-1은 x의 값이 증가하면 y의 값은
(3) 함수 y=log
;3!;
감소하고,
ÉxÉ
이므로
;3@;
;3*;
최댓값은 x=
일 때
;3@;
;3*;
-1
-2
log
3-1=log
{;3!;}
;3!;
;3!;
-1=-1-1=-2
최솟값은 x=
일 때
log
9-1=log
{;3!;}
;3!;
;3!;
-1=-2-1=-3
(4) y=logª (xÛ`-6x+10)에서
f(x)=xÛ`-6x+10=(x-3)Û`+1로 놓으면
2ÉxÉ5일 때, 1É f(x)É5
최댓값은 f(x)=9일 때 log£ 9=log£ 3Û`=2
최솟값은 f(x)=1일 때 log£ 1=0
(-xÛ`+4x+4)에서
(6) y=log
;2!;
f(x)=-xÛ`+4x+4=-(x-2)Û`+8로 놓으면
0ÉxÉ4일 때, 4É f(x)É8
이때 함수 y=log
;2!;
f(x)는 f(x)의 값이 증가하면 y의
값은 감소하므로
최댓값은 f(x)=4일 때 log
4=-2
;2!;
최솟값은 f(x)=8일 때 log
8=-3
;2!;
(1) 최댓값 : 3, 최솟값 : 2 (2) 최댓값 : 26, 최솟값 : 2
150
답
(3) 최댓값 : 0, 최솟값 : -9
(1) y=(log£ x)Û`-log£ xÛ`+3=(log£ x)Û`-2 log£ x+3에서
log£ x=t로 놓으면 y=tÛ`-2t+3=(t-1)Û`+2
이때 1ÉxÉ9에서 0ÉtÉ2이므로
주어진 함수의 최댓값은 t=0 또는 t=2일 때 3,
최솟값은 t=1일 때 2이다.
xÛ`+2=(logª x)Û`+2 logª x+2에서
(2) y=(logª x)Û`-log
;2!;
logª x=t로 놓으면 y=tÛ`+2t+2=(t+1)Û`+1
이때 1ÉxÉ16에서 0ÉtÉ4이므로
주어진 함수의 최댓값은 t=4일 때 26,
최솟값은 t=0일 때 2이다.
x에서
x)Û`+6 log
x)Û`+3 log
(3) y=(log
xÛ`=(log
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
log
x=t로 놓으면 y=tÛ`+6t=(t+3)Û`-9
;2!;
이때 1ÉxÉ16에서 -4ÉtÉ0이므로
주어진 함수의 최댓값은 t=0일 때 0,
최솟값은 t=-3일 때 -9이다.
151
답
2
log¦
{
x+;]^;}
+log¦
{;[!;+6y
}
=log¦
{
x+
;]^;}{;[!;
+6y
=log¦
{
}
6xy+
;[¤];
+37
}
이때 x>0, y>0에서 6xy>0,
>0이므로
;[¤];
산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
이때 함수 y=logª f(x)는 f(x)의 값이 증가하면 y의 값도
증가하므로 최댓값은 f(x)=5일 때 logª 5
6xy+
+37¾2
6xy´
+37=49
;[¤];
;[¤];
단, 등호는 6xy=
, 즉 xy=1일 때 성립
}
;[¤];
®É
{
최솟값은 f(x)=1일 때 logª 1=0
(5) y=log£ (-xÛ`+2x+9)에서
f(x)=-xÛ`+2x+9=-(x-1)Û`+10으로 놓으면
2ÉxÉ4일 때, 1É f(x)É9
∴ log¦
{
6xy+
;[¤];
}
+37
¾log¦ 49=2
따라서 구하는 최솟값은 2이다.
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 29
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2018-04-17 오후 2:19:11
단, 등호는 3xy=
, 즉 xy=1일 때 성립
}
;[£];
157 ①
답
152 -4
답
log
{
;2!;
3x+
+log
;2!;
{;[#;
;]!;}
+y
}
=log
{
;2!;
3x+
;]!;}{;[#;
+y
=log
{
;2!;
}
3xy+
;[£];
+10
}
이때 x>0, y>0에서 3xy>0,
>0이므로
;[£];
산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
3xy+
+10¾2
3xy´
+10=16
;[£];
;[£];
®É
{
∴ log
3xy+
{
;2!;
;[£];
+10
Élog
16=-4
;2!;
}
따라서 구하는 최댓값은 -4이다.
153 ④
답
① 그래프는 원점을 지나지 않는다.
② 그래프는 점 (1, 0)을 지난다.
집합이다.
⑤ 그래프의 점근선의 방정식은 x=0이다.
따라서 옳은 것은 ④이다.
154 ①
답
y=log£ x의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼 평행이동한
그래프의 식은 y=log£ (x-a)
이 그래프가 점 (5, 1)을 지나므로
1=log£ (5-a), 5-a=3 ∴ a=2
또 y=logb x의 그래프가 점 (5, 1)을 지나므로
1=logb 5 ∴ b=5
∴ a+b=7
156 ④
답
y=
logª (x-3)+1에서 logª (x-3)=2(y-1)
;2!;
로그의 정의에 의하여 x-3=22(y-1)
∴ x=4y-1+3
x와 y를 바꾸어 역함수를 구하면 y=4x-1+3
∴ a=4, b=-1, c=3
∴ a-b+c=8
(x-1)+b에서 밑이 0<
y=log
;3!;
;3!;
<1이므로
x=a일 때 최댓값이 1이고, x=10일 때 최솟값이 -3이다.
즉, log
9+b=-3에서
(a-1)+b=1, log
;3!;
;3!;
b=-1, a=
∴ 18ab=-20
;;Á9¼;;
y=loga (xÛ`-2x+3)에서 xÛ`-2x+3=t라 하면
t=(x-1)Û`+2 ∴ t¾2
한편 y=loga t의 밑이 a이므로
Ú a>1일 때
함수 y=loga t는 t의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로
t=2일 때 최솟값을 가지고, 최댓값은 없다.
Û 00)로 놓으면 t+
=2
;t!;
양변에 t를 곱하면
tÛ`+1=2t, tÛ`-2t+1=0
(t-1)Û`=0 ∴ t=1
즉, 5x=1이므로 x=0
(1) x=1 또는 x=3 (2) x=1 (3) x=2 또는 x=1
162
답
(4) x=5 또는 x=3
(1) Ú 밑이 1일 때
x=1이면 주어진 방정식은 1Ü`=1á` 이므로 성립한다.
Û 지수가 같을 때
4x-1=x+8 ∴ x=3
Ú , Û에서 x=1 또는 x=3
(2) Ú 밑이 1일 때
x=1이면 주어진 방정식은 1à`=1Ú`이므로 성립한다.
Û 지수가 같을 때
3x+4=-x+2 ∴ x=-
;2!;
그런데 x>0이므로 만족하는 x의 값은 없다.
Ú , Û에서 x=1
(3) (x+2)x-1=4x-1 에서
Ú 밑이 같을 때
Û 지수가 0일 때
이므로 성립한다.
Ú , Û에서 x=2 또는 x=1
(4) (x-1)x-3=4x-3 에서
Ú 밑이 같을 때
x-1=4 ∴ x=5
Û 지수가 0일 때
이므로 성립한다.
Ú , Û에서 x=5 또는 x=3
x-3=0, 즉 x=3이면 주어진 방정식은 2â`=4â`=1
9x-5´3x+1+27=0, 즉 (3x)Û`-15´3x+27=0 yy ㉠에서
3x=t (t>0)로 놓으면 tÛ`-15t+27=0 yy ㉡
이때 ㉠의 두 근이 a, b이므로 ㉡의 두 근은 3a, 3b이다.
3a´3b=27, 3a+b=3Ü` ∴ a+b=3
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 31
(1) x=0 또는 x=2 (2) x=2 (3) x=-1 또는 x=-3
x+2=4 ∴ x=2
161
답
(4) x=0
(1) (2x)Û`-5´2x+4=0에서 2x=t (t>0)로 놓으면
x-1=0, 즉 x=1이면 주어진 방정식은 3â`=4â`=1
(2) (2x)Û`-2´2x-8=0에서 2x=t (t>0)로 놓으면
tÛ`-5t+4=0, (t-1)(t-4)=0
∴ t=1 또는 t=4
즉, 2x=1 또는 2x=4이므로
x=0 또는 x=2
tÛ`-2t-8=0, (t+2)(t-4)=0
∴ t=4 (∵ t>0)
즉, 2x=4이므로 x=2
(3)
{;4!;}
x
-5´
{;2!;}
x-1
+16=0, 즉
2`
x
∴ t=2 또는 t=8
즉,
=2 또는
=8이므로
{;2!;}
x
{;2!;}
x=-1 또는 x=-3
x
[{;2!;}
]
-5´2´
{;2!;}
x
+16=0에서
x
=t (t>0)로
{;2!;}
놓으면 tÛ`-10t+16=0, (t-2)(t-8)=0
163
답
3
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164
답
128
4x-3´2x+2+8=0, 즉 (2x)Û`-12´2x+8=0 yy ㉠에서
2x=t (t>0)로 놓으면 tÛ`-12t+8=0 yy ㉡
이때 ㉠의 두 근이 a, b이므로 ㉡의 두 근은 2a,`2b이다.
2a+2b=12, 2a´2b=8
∴ 22a+22b =(2a+2b)Û`-2´2a´2b
=12Û`-2´8=128
165
답
a>2
4x-a´2x+2+16=0, 즉 (2x)Û`-4a´2x+16=0 yy ㉠에서
2x=t (t>0)로 놓으면 tÛ`-4at+16=0 yy ㉡
이때 ㉠이 서로 다른 두 실근을 가지려면 ㉡이 서로 다른
(3)
3x
¾
{;3@;}
{;2#;}
2-x
에서
3x
¾
{;3@;}
{;3@;}
x-2
밑이 1보다 작으므로
3xÉx-2, 2xÉ-2 ∴ xÉ-1
(4) 57-2x<(
5)3x에서
"
5)2(7-2x)<(
"
(
밑이 1보다 크므로
5)3x ∴ (
"
5)14-4x<(
"
"
5)3x
14-4x<3x, 7x>14 ∴ x>2
(5) 9x(x-1)<272-x에서
(3Û`)x(x-1)<(3Ü`)2-x ∴ 32xÛ`-2x<36-3x
밑이 1보다 크므로
2xÛ`-2x<6-3x, 2xÛ`+x-6<0
(x+2)(2x-3)<0 ∴ -22 (2) 10, 즉 (2x)Û`+4´2x-32>0에서
2x=t (t>0)로 놓으면 tÛ`+4t-32>0
(t+8)(t-4)>0
이때 t>0에서 t+8>0이므로
t-4>0 ∴ t>4
즉, 2x>2Û` 이고, 밑이 1보다 크므로 x>2
(2) 9x-10´3x+1+81<0, 즉 (3x)Û`-30´3x+81<0에서
3x=t (t>0)로 놓으면 tÛ`-30t+81<0
(t-3)(t-27)<0 ∴ 30)로 놓으면 tÛ`-4t+3É0
2`
x
x
{;3!;}
(t-1)(t-3)É0 ∴ 1ÉtÉ3
즉, 1É
x
É3,
0
É
x
É
-1
이고,
{;3!;}
{;3!;}
{;3!;}
{;3!;}
밑이 1보다 작으므로 -1ÉxÉ0
(4) 72x+1-50´7x+7É0, 즉 7´(7x)Û`-50´7x+7É0에서
7x=t (t>0)로 놓으면 7tÛ`-50t+7É0
(7t-1)(t-7)É0 ∴
ÉtÉ7
;7!;
즉, 7-1É7xÉ7이고, 밑이 1보다 크므로 -1ÉxÉ1
169
답
(1) 1x+3 ∴ x>2
그런데 00, aÛ`-4>0, (a+2)(a-2)>0
∴ a<-2 또는 a>2
Û (두 근의 합)>0에서 4a>0 ∴ a>0
Ü (두 근의 곱)>0에서 16>0
Ú, Û, Ü을 동시에 만족하는 a의 값의 범위는 a>2
166
답
(1) x>2 (2) x<-2 (3) x¾4 (4) -281에서 32x>3Ý`
밑이 1보다 크므로 2x>4 ∴ x>2
x
(2)
{;5!;}
>25에서 5-x>5Û`
밑이 1보다 크므로 -x>2 ∴ x<-2
(3)
x-2
É
에서
x-2
É
2
{;1Á0;}
;10!0;
{;1Á0;}
{;1Á0;}
밑이 1보다 작으므로 x-2¾2 ∴ x¾4
(4)
<3x<27에서 3-2<3x<3Ü`
;9!;
밑이 1보다 크므로 -2-
(3) xÉ-1 (4) x>2
;3@;
(5) -2-
;3@;
32 정답 및 해설
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정답 및 해설 Ü x>1일 때, 3x-11이므로 17
그런데 01Ú` 이므로 주어진 부등식은 성립하지 않는다.
Ü x>1일 때, 2x+5>3x-2 ∴ x<7
그런데 x>1이므로 1x3x-2의 해는 11일 때,
1Ú`¾1Þ` 이므로 주어진 부등식은 성립한다.
3x-2¾x+4 ∴ x¾3
그런데 x>1이므로 x¾3
Ú , Û, Ü에서 x3x-2¾xx+4의 해는 00 yy ㉡
㉠은 ㉡을 만족하므로 주어진 방정식의 해는 x=27이다.
(2) log
x=3에서 x=
;2!;
{;2!;}
=
;8!;
yy ㉠
이때 진수의 조건에서 x>0 yy ㉡
3`
㉠은 ㉡을 만족하므로 주어진 방정식의 해는 x=
이다.
;8!;
(3) logª (3x+1)=4에서 3x+1=2Ý`, 3x=15
∴ x=5 yy ㉠
이때 진수의 조건에서 3x+1>0 ∴ x>-
yy ㉡
;3!;
㉠은 ㉡을 만족하므로 주어진 방정식의 해는 x=5이다.
(4) log¢ (5x-3)=
에서 5x-3=4;2!;=2
;2!;
∴ x=1 yy ㉠
이때 진수의 조건에서 5x-3>0 ∴ x>
yy ㉡
;5#;
㉠은 ㉡을 만족하므로 주어진 방정식의 해는 x=1이다.
170
답
k<-1
4x-2x+1-k>0, 즉 (2x)Û`-2´2x-k>0에서
2x=t (t>0)로 놓으면
tÛ`-2t-k>0 ∴ (t-1)Û`-1-k>0
174
답
(1) x=3 (2) x=2 (3) x=1 (4) x=8
(1) log£ (x+2)=log£ 5에서
x+2=5 ∴ x=3 yy ㉠
이때 진수의 조건에서
위의 부등식이 t>0인 모든 실수 t에 대하여 성립해야 하므로
x+2>0 ∴ x>-2 yy ㉡
-1-k>0 ∴ k<-1
㉠은 ㉡을 만족하므로 주어진 방정식의 해는 x=3이다.
171
답
k>9
32x-2´3x+1+k>0, 즉 (3x)Û`-6´3x+k>0에서
이때 진수의 조건에서
(2) logª (3x+1)=logª (x+5)에서
3x+1=x+5 ∴ x=2 yy ㉠
3x=t (t>0)로 놓으면
tÛ`-6t+k>0 ∴ (t-3)Û`+k-9>0
위의 부등식이 t>0인 모든 실수 t에 대하여 성립해야 하므로
k-9>0 ∴ k>9
172
답
k>
;;ª4¦;;
x
-
{;9!;}
{;3!;}
x-2
+3k>0, 즉
x
2
x
[{;3!;}
]
-9´
{;3!;}
+3k>0에서
x
=t (t>0)로 놓으면
{;3!;}
tÛ`-9t+3k>0 ∴
{
t-
;2(;}
2
-
;;¥4Á;;
+3k>0
위의 부등식이 t>0인 모든 실수 t에 대하여 성립해야 하므로
-
:¥4Á:
+3k>0 ∴ k>
:ª4¦:
3x+1>0, x+5>0 ∴ x>-
yy ㉡
;3!;
㉠은 ㉡을 만족하므로 주어진 방정식의 해는 x=2이다.
(3) log
(6-x)에서
(x+4)=log
;2!;
;2!;
x+4=6-x ∴ x=1 yy ㉠
이때 진수의 조건에서
x+4>0, 6-x>0 ∴ -40, 3x+5>0 ∴ x>
yy ㉡
;4#;
㉠은 ㉡을 만족하므로 주어진 방정식의 해는 x=8이다.
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 33
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2018-04-17 오후 2:19:14
2x+3>0, x-3>0 ∴ x>3 yy ㉡
이때 진수의 조건에서
㉠은 ㉡을 만족하므로 주어진 방정식의 해는 x=6이다.
x>0, (x+8)Û`>0 ∴ x>0 yy ㉡
㉠에서 ㉡을 만족하는 것은 x=3이므로
주어진 방정식의 해는 x=3이다.
(2) log
(x+4)=-log£ (8-x), 즉
;3!;
-log£ (x+4)=-log£ (8-x)에서
x+4=8-x ∴ x=2 yy ㉠
이때 진수의 조건에서
x+4>0, 8-x>0 ∴ -40, x-3>0 ∴ x>3 yy ㉡
㉠에서 ㉡을 만족하는 것은 x=7이므로
주어진 방정식의 해는 x=7이다.
(2) log° (2x+3)=1+log° (x-3), 즉
log° (2x+3)=log° 5(x-3)에서
2x+3=5x-15 ∴ x=6 yy ㉠
이때 진수의 조건에서
(3) log
(x+6)=-2, 즉
(x-2)+log
;3!;
;3!;
log
(x-2)(x+6)=-2에서
;3!;
(x-2)(x+6)=
, xÛ`+4x-21=0
-2
{;3!;}
이때 진수의 조건에서
x-2>0, x+6>0 ∴ x>2 yy ㉡
㉠에서 ㉡을 만족하는 것은 x=3이므로
주어진 방정식의 해는 x=3이다.
(4) 2 logª (x+1)=logª (x+4)+2, 즉
logª (x+1)Û`=logª 4(x+4)에서
(x+1)Û`=4(x+4), xÛ`-2x-15=0
(x+7)(x-3)=0 ∴ x=-7 또는 x=3 yy ㉠
(x+3)(x-5)=0 ∴ x=-3 또는 x=5 yy ㉠
이때 진수의 조건에서
x+1>0, x+4>0 ∴ x>-1 yy ㉡
㉠에서 ㉡을 만족하는 것은 x=5이므로
주어진 방정식의 해는 x=5이다.
176
답
(1) x=3 (2) x=2 (3) x=1
(1) logª (x-1)=log¢ (4-x)+1, 즉
logª (x-1)=
logª (4-x)+logª 2,
;2!;
2 logª (x-1)=logª (4-x)+2 logª 2,
logª (x-1)Û`=logª 4(4-x)에서
(x-1)Û`=4(4-x), xÛ`+2x-15=0
34 정답 및 해설
(x+5)(x-3)=0 ∴ x=-5 또는 x=3 yy ㉠
(1) xlogª x=32xÝ`의 양변에 밑이 2인 로그를 취하면
이때 진수의 조건에서
logª xlogª x=logª 32xÝ`, (logª x)Û`=logª 2Þ`+logª xÝ`
x-1>0, 4-x>0 ∴ 1log3 (6-x)에서 밑이 1보다 크므로
tÛ`-4t-5=0, (t-5)(t+1)=0
3x-2>6-x ∴ x>2 yy ㉠
의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면
(3) log
(x+3)에서 밑이 1보다 작으므로
(3x-1)>log
;5!;
;5!;
, (log£ x)Û`=log£ xÜ`-log£ 9
3x-10, x+3>0
∴ t=5 또는 t=-1
즉, logª x=5 또는 logª x=-1
∴ x=2Þ`=32 또는 x=2-1=
;2!;
(2) xlog£ x=
xÜ`
9
log£ xlog£ x=log£ xÜ`
9
∴ (log£ x)Û`-3 log£ x+2=0
log£ x=t로 놓으면
tÛ`-3t+2=0, (t-1)(t-2)=0
∴ t=1 또는 t=2
즉, log£ x=1 또는 log£ x=2이므로
x=3 또는 x=3Û`=9
179
답
(1)
0 ∴ x>
yy ㉡
㉠, ㉡에서
1, 즉 log
(2x-1)>log
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
에서
밑이 1보다 작으므로 2x-1<
∴ x<
yy ㉠
;2!;
이때 진수의 조건에서 2x-1>0 ∴ x>
yy ㉡
㉠, ㉡에서
0, (x+1)(x-2)>0
∴ x<-1 또는 x>2 yy ㉡
㉠, ㉡에서 -2Éx<-1 또는 22 (2) 25
;3!;
(1) log
3에서 밑이 1보다 작으므로
(x+1)3 ∴ x>2 yy ㉠
이때 진수의 조건에서 3x-2>0, 6-x>0
∴
yy ㉡
;3!;
㉠, ㉡에서
log0.1 (2x+1)에서 밑이 1보다 작으므로
x+6<2x+1 ∴ x>5 yy ㉠
이때 진수의 조건에서 x+6>0, 2x+1>0
∴ x>-
yy ㉡
;2!;
㉠, ㉡에서 x>5
(1) log£ (x-1)>1+log£ (3-x), 즉
log£ (x-1)>log£ 3(3-x)에서
밑이 1보다 크므로 x-1>9-3x, 4x>10
∴ x>
yy ㉠
;2%;
이때 진수의 조건에서
x-1>0, 3-x>0 ∴ 10, x-5>0 ∴ x>5 yy ㉡
㉠, ㉡에서 x¾7
(3) log
(x+5), 즉
12-log
(x+1)>log
;2!;
;2!;
;2!;
log
12,
(x+5)>log
(x+1)+log
;2!;
;2!;
;2!;
log
12
(x+1)(x+5)>log
;2!;
;2!;
log
12에서
(xÛ`+6x+5)>log
;2!;
;2!;
밑이 1보다 크므로 2x-3<4 ∴ x<
yy ㉠
181
답
;2%;
(1)
0 ∴ x>-1 yy ㉡
밑이 1보다 작으므로 xÛ`+6x+5<12, xÛ`+6x-7<0
㉠, ㉡에서 x>2
(x+7)(x-1)<0 ∴ -70, x+5>0 ∴ x>-1 yy ㉡
tÛ`-t-2<0, (t+1)(t-2)<0
㉠, ㉡에서 -15-x,
x>6 ∴ x>4 yy ㉠
;2!;
;2#;
이때 진수의 조건에서
2x-4>0, 5-x>0 ∴ 20, x+8>0 ∴ x>4 yy ㉡
㉠, ㉡에서 4log
;9!;
;3!;
log
(x+4)에서
(x-2)Û`>log
;9!;
;9!;
밑이 1보다 작으므로
(x-2)Û`0, x+4>0 ∴ x>2 yy ㉡
㉠, ㉡에서 2log
;4!;
;2!;
log
(7-2x)에서
(x-2)Û`>log
;4!;
;4!;
밑이 1보다 작으므로
(x-2)Û`<7-2x, xÛ`-2x-3<0
(x+1)(x-3)<0 ∴ -10, 7-2x>0 ∴ 20 yy ㉡
㉠, ㉡에
0 yy ㉡
㉠, ㉡에서 00 yy ㉡
㉠, ㉡에서
0 yy ㉡
㉠, ㉡에서
9xÜ`의 양변에 밑이
인 로그를 취하면
;3!;
log
xlog
;3!;
x0 yy ㉡
㉠, ㉡에서
25 (2) 11, 즉
logª (log° x)>logª 2에서 밑이 1보다 크므로
log° x>2
log° x>log° 25에서 밑이 1보다 크므로
log° x>0, x>0이므로 x>1 yy ㉡
x>25 yy ㉠
이때 진수의 조건에서
㉠, ㉡에서 x>25
(2) log
(log£ x)>-2, 즉
;2!;
x=0 yy ㉠에서
x-1)Û`+k log
(log
;2!;
;2!;
log
x=t로 놓으면
;2!;
(t-1)Û`+kt=0, tÛ`-(2-k)t+1=0 yy ㉡
㉠의 두 근을 a, b라 하면 ab=
이고,
;1Á6;
㉡의 두 근은 log
b이다.
a, log
;2!;
;2!;
방정식 ㉡에서 근과 계수의 관계에 의하여
log
ab=2-k이므로
b=2-k, 즉 log
a+log
;2!;
;2!;
;2!;
2-k=log
;1Á6;
;2!;
=4 ∴ k=-2
188 -12(27x)k의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면
log£ xlog£ x>log£ (27x)k, (log£ x)Û`>k(3+log£ x)
∴ (log£ x)Û`-k log£ x-3k>0
log£ x=t로 놓으면
tÛ`-kt-3k>0 yy ㉠
log
4에서 밑이 1보다 작으므로
(log£ x)>log
;2!;
;2!;
x가 양수이면 t는 모든 실수이므로 모든 실수 t에 대하여
log£ x<4
㉠이 성립해야 한다.
log£ x0, x>0이므로 x>1 yy ㉡
x<81 yy ㉠
이때 진수의 조건에서
㉠, ㉡에서 10, x>0이므로 x>1 yy ㉡
㉠, ㉡에서 10)라 하면 tÛ`+
{;3!;}
=9t+1
;9T;
9tÛ`-80t-9=0, (9t+1)(t-9)=0
∴ t=9 (∵ t>0)
x
이므로
t=
{;3!;}
x
=9,
x
=
{;3!;}
{;3!;}
{;3!;}
-2
∴ x=-2
따라서 a=-2이므로 logª aÝ`=logª(-2)Ý`=4
186
답
2
190 ④
답
(log° x)Û`-k log° x-6=0 yy ㉠에서
log° x=t로 놓으면 tÛ`-kt-6=0 yy ㉡
㉠의 두 근을 a, b라 하면 ab=25이고,
㉡의 두 근은 log° a, log° b이다.
방정식 ㉡에서 근과 계수의 관계에 의하여
a2x-5ax+6=0, 즉 (ax)Û`-5ax+6=0 yy ㉠에서
ax=t (t>0)로 놓으면 tÛ`-5t+6=0 yy ㉡
㉠의 두 근을 a, b라 하면 ㉡의 두 근은 aa,`ab이므로 근과 계수
의 관계에 의하여
aa´ab=6, 즉 aa+b=6이다.
log° a+log° b=k, 즉 log° ab=k이므로
이때 ㉠의 두 근의 합이 2이므로 a+b=2
k=log° 25=2
따라서 aÛ`=6이므로 a=
6 (∵ a>1)
'
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 37
1단원해설-ok.indd 37
2018-04-17 오후 2:19:17
2
따라서 x의 최댓값은
, 최솟값은 -
이므로
;3$;
;3$;
(3) 270ù
193 ②
답
(logª x)Û`-3 logª x+2=0에서 logª x=t로 놓으면
003
답
(1) 360ù_n+150ù ( n은 정수)
(2) 360ù_n+230ù ( n은 정수)
191 ③
답
2x+1
3x-9
{;8!;}
É32É
{;2!;}
을 변형하면
2-3(2x+1)É2Þ`É2-(3x-9) ∴ 2-6x-3É2Þ`É2-3x+9
밑이 1보다 크므로 -6x-3É5É-3x+9
Ú -6x-3É5에서 x¾-
yy ㉠
Û 5É-3x+9에서 xÉ
yy ㉡
;3$;
;3$;
㉠, ㉡에 의해 -
ÉxÉ
;3$;
;3$;
그 합은
+
-
{
;3$;
;3$;}
=0
192 ⑤
답
log° x=t로 놓으면 t+
-5=0, tÛ`-5t+6=0
;t^;
(t-2)(t-3)=0 ∴ t=2 또는 t=3
t=log° x이므로 log° x=2 또는 log° x=3
∴ x=25 또는 x=125
따라서 두 근의 차는 125-25=100
tÛ`-3t+2=0, (t-1)(t-2)=0
∴ t=1 또는 t=2
즉, logª x=1 또는 logª x=2이므로
x=2 또는 x=4 yy ㉠
이때 진수의 조건에서 x>0 yy ㉡
㉠, ㉡에서 x=2 또는 x=4
따라서 a=2, b=4이므로 2a+b=8
194 ①
답
logª {log£ (log¢ x)}É0에서
logª {log£ (log¢ x)}Élogª 1에서 밑이 1보다 크므로
log£ (log¢ x)Élog£ 3에서 밑이 1보다 크므로
log£ (log¢ x)É1
log¢ xÉ3
log¢ xÉlog¢ 64에서 밑이 1보다 크므로
xÉ64 yy ㉠
이때 진수의 조건에서
Ⅱ 삼각함수
1
일반각과 호도법
001
답
(1)
P
(2)
O
X
-100ùæ
80쪽~89쪽
45ù
O
X
P
(4)
X
O
-350ù
P
X
O
P
002
답
(1) h=360ù_n+120ù ( n은 정수)
(2) h=360ù_n+20ù ( n은 정수)
(3) h=360ù_n+40ù ( n은 정수)
(3) 360ù_n+90ù ( n은 정수)
(4) 360ù_n+220ù ( n은 정수)
(5) 360ù_n+120ù ( n은 정수)
(6) 360ù_n+80ù ( n은 정수)
(2) -130ù=360ù_(-1)+230ù이므로
360ù_n+230ù ( n은 정수)
(3) 450ù=360ù_1+90ù이므로
360ù_n+90ù ( n은 정수)
(4) -500ù=360ù_(-2)+220ù이므로
360ù_n+220ù ( n은 정수)
(5) 1200ù=360ù_3+120ù이므로
360ù_n+120ù ( n은 정수)
(6) -1000ù=360ù_(-3)+80ù이므로
360ù_n+80ù ( n은 정수)
004
답
(1) 제3사분면의 각 (2) 제1사분면의 각
(3) 제2사분면의 각 (4) 제4사분면의 각
x>0, log¢ x>0, log£ (log¢ x)>0이므로 x>4 yy ㉡
(5) 제3사분면의 각
㉠, ㉡에서 40, l>0이므로 00, l>0이므로 00, l>0이므로 00
∴ sin h=
2
2
'
3
∴ tan h=
sin h
cos h
=
=-2
2
'
2
2
'
3
-
1
3
032
답
15
(1) cos h=- '¶
4
, tan h= '¶
15
15
10
(2) sin h=- '¶
5
6
, tan h= '
3
(1) sinÛ` h+cosÛ` h=1이므로
2`
2`
cosÛ` h=1-sinÛ` h=1-
-
=
{
;4!;}
;1!6%;
이때 각 h가 제3사분면의 각이므로 cos h<0
15
∴ cos h=- '¶
4
∴ tan h=
sin h
cos h
=
-
- '¶
1
4
15
4
15
15
= '¶
(2) sinÛ` h+cosÛ` h=1이므로
sinÛ` h=1-cosÛ` h=1-
- '¶
15
5 }
=
;2!5);
{
2`
이때 각 h가 제3사분면의 각이므로 sin h<0
10
∴ sin h=- '¶
5
∴ tan h=
sin h
cos h
=
- '¶
10
5
15
- '¶
5
6
= '
3
033
답
7
(1) cos h= '
4
, tan h=-
3
7
'
7
6
(2) sin h=- '
3
, tan h=-
2
'
(1) sinÛ` h+cosÛ` h=1이므로
cosÛ` h=1-sinÛ` h=1-
-
=
;1¦6;
{
;4#;}
2`
44 정답 및 해설
이때 각 h가 제4사분면의 각이므로 cos h>0
7
∴ cos h= '
4
-
∴ tan h=
3
4
7
'
4
(2) sinÛ` h+cosÛ` h=1이므로
sin h
cos h
=
=-
3
7
'
7
sinÛ` h=1-cosÛ` h=1-
3
'
3 }
{
=
;9^;
2`
이때 각 h가 제4사분면의 각이므로 sin h<0
6
∴ sin h=- '
3
∴ tan h=
sin h
cos h
=
=-
2
"
6
- '
3
3
'
3
034
답
(1) -
(2) -
(3) -
(4)
(5)
;3$;
;3*;
;4!;
;1!6!;
;8#;
(1) sin h+cos h=
의 양변을 제곱하면
;2!;
sinÛ` h+2 sin h cos h+cosÛ` h=
;4!;
sinÛ` h+cosÛ` h=1이므로 2 sin h cos h=-
;4#;
∴ sin h cos h=-
;8#;
(2) 1
sin h
+
1
cos h
=
sin h+cos h
sin h cos h
=
(3)
sin h
cos h
+
cos h
sin h
=
sinÛ` h+cosÛ` h
sin h cos h
1
2
-
3
8
=-
;3$;
=
1
sin h cos h
=
1
3
8
-
=-
;3*;
(4) (sin h+cos h)Û`=sinÛ` h+cosÛ` h+2 sin h cos h
=1+2_
-
=
;8#;}
;4!;
{
(5) sinÜ` h+cosÜ` h
=(sin h+cos h)Ü`-3 sin h cos h(sin h+cos h)
-3_
-
{
_
=
+
;8!;
;2!;
;8#;}
;1»6;
=
;1!6!;
=
{;2!;}
3`
035
답
(1) 2 (2)
(3)
1
cos h
2
sin h cos h
(1) (sin h+cos h)Û`+(sin h-cos h)Û`
=sinÛ` h+2 sin h cos h+cosÛ` h+sinÛ` h-2 sin h cos h+cosÛ` h
=2(sinÛ` h+cosÛ` h)=2
(2)
cos h
1-sin h
-tan h
=
cos h
1-sin h
-
sin h
cos h
=
cosÛ` h-sin h(1-sin h)
cos h(1-sin h)
=
(sinÛ` h+cosÛ` h)-sin h
cos h(1-sin h) =
1-sin h
cos h(1-sin h) =
1
cos h
2단원해설-OK.indd 44
2018-04-17 오후 2:17:33
정답 및 해설 sin h+cos h=
의 양변을 제곱하면
(1) f(x+3)=f(x)이므로 f(8)=f(5)=f(2)=8
(3) 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
sin h+cos h=
, sin h cos h=
sin h+cos h=
의 양변을 제곱하면
k
2
k
2
sinÛ` h+2 sin h cos h+cosÛ` h=
;2!;
kÛ`
4
1+2 sin h cos h=
에 sin h cos h=
을 대입하면
;2!;
kÛ`
4
1+1=
∴ k=2
2 (∵ k>0)
'
kÛ`
4
038
답
(1) 3 (2) -10 (3) -2 (4) 5
(1) 함수 f(x)의 주기가 2이므로 f(x+2)=f(x)
∴ f(3)=f(1+2)=f(1)=3
(2) 함수 f(x)의 주기가 3이므로 f(x+3)=f(x)
∴ f(5)=f(2+3)=f(2)=-10
(3) 함수 f(x)의 주기가 4이므로 f(x+4)=f(x)
∴ f(10)=f(6+4)=f(6)=f(2+4)=f(2)=-2
(4) 함수 f(x)의 주기가 p이므로 f(x+p)=f(x)
∴ f(2p)=f(p+p)=f(p)=f(0+p)=f(0)=5
039
답
(1) 8 (2) 7 (3)
(4) 1
;2!;
(2) f(x+4)=f(x)이므로 f(15)=f(11)=f(7)=f(3)=7
(3) f(x+2p)=f(x)이므로 f
5
2
{
p
=f
}
{
+2p
=f
}
p
2
p
2 }
{
=
1
2
(4) f(x+2p)=f(x)이므로
f(6p) =f(4p+2p)=f(4p)
=f(2p+2p)=f(2p)
=f(0+2p)=f(0)=1
040
답
(1) × (2) ◯ (3) × (4) ◯ (5) ×
(1) 정의역은 실수 전체의 집합이다.
(3) 원점에 대하여 대칭이다.
(5) 00)
042
답
(1) × (2) ◯ (3) ◯ (4) × (5) ×
(1) 정의역은 x=np+
( n은 정수)를 제외한 실수 전체의 집합
p
2
이다.
(4) 최댓값, 최솟값은 없다.
(5) 점근선의 방정식은 x=np+
이다. (단, n은 정수)
p
2
Ⅱ. 삼각함수 45
2단원해설-OK.indd 45
2018-04-17 오후 2:17:34
043
답
(1)
(1) 풀이 참고, 치역 : {y|-3ÉyÉ3}, 주기 : 2p
(2) 풀이 참고, 치역 :
[
y
|
-
;2!;
ÉyÉ
;2!;]
, 주기 : 2p
(2)
y
p
;2#;
2p
x
p
p
;2;
p
;2;
1
2
O
- 1
2
p
2p
x
p
;2#;
(1) 치역 : {y|2ÉyÉ8}, 주기 : 2p
(2) 치역 : {y|-2ÉyÉ2}, 주기 : p
(3) 치역 :
[
y
|;2#;
ÉyÉ
;2%;]
, 주기 : 2p
046
답
(4) 치역 :
[
y
|
-
;3&;
ÉyÉ-
, 주기 : 4p
;3%;]
(1) 최댓값은 3+5=8, 최솟값은 -3+5=2이므로
044
답
(1) 풀이 참고, 치역 : {y|-1ÉyÉ1}, 주기 :
p
;3@;
p
2
(2) 풀이 참고, 치역 : {y|-1ÉyÉ1}, 주기 :
(3) 풀이 참고, 치역 : {y|-1ÉyÉ1}, 주기 : 4p
(1)
p
;2;
p
;6;
p
;3;
p
;3@;
x
(2)
y
1
O
-1
p
;8#;
p
;2;
p
;8;
p
;4;
(3) 최댓값은
+2=
, 최솟값은 -
+2=
이므로
;2!;
;2%;
;2!;
;2#;
치역 : {y|2ÉyÉ8}
주기 : 2p
(2) 최댓값은 2, 최솟값은 -2이므로
치역 : {y|-2ÉyÉ2}
주기 : 2p
2
=p
치역 :
[
y
|;2#;
ÉyÉ
;2%;]
주기 : 2p
치역 :
[
y
|
-
;3&;
ÉyÉ-
;3%;]
주기 : 2p
=4p
1
2
x
(4) 최댓값은
-2=-
, 최솟값은 -
-2=-
이므로
;3!;
;3%;
;3!;
;3&;
p
2p
3p
4p
x
047
답
(1) a=1, b=
, c=3 (2) a=6, b=
, c=1
;2!;
;3!;
045
답
(1) 풀이 참고, 치역 : {y|-2ÉyÉ2}, 주기 : p
(2) 풀이 참고, 치역 : {y|-3ÉyÉ3}, 주기 : 4p
(3) 풀이 참고, 치역 :
[
y
|
-
;3!;
ÉyÉ
;3!
~;]
, 주기 :
p
;3@
~;
(4) 풀이 참고, 치역 :
[
y
|
-
;2!;
ÉyÉ
;2!;]
, 주기 :
p
2
(2)
y
3
O
-3
(4)
y
p
;8;
;2!;
O
x
p
4
p
;2;
x
p
;8#;
-;2!;
(3) a=3, b=6, c=2
(1) 주기가 4p이므로
2p
b
=4p ∴ b=
1
2
1
3
f(0)=a sin 0+c=c ∴ c=3
f(x)=a sin x
2
+3의 최댓값이 4이므로
a+3=4 ∴ a=1
(2) 주기가 6p이므로
2p
b
=6p ∴ b=
f(0)=a sin 0+c=c ∴ c=1
-a+1=-5 ∴ a=6
(3) 주기가
이므로
p
3
=
∴ b=6
2p
b
p
3
f(x)=a sin 6x+c의
최댓값이 5이므로 a+c=5 yy ㉠
최솟값이 -1이므로 -a+c=-1 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, c=2
x
p
2p
3p 4p
x
f(x)=a sin x
3
+1의 최솟값이 -5이므로
y
3
O
-3
y
1
O
-1
1
O
-1
(3)
y
(1)
y
2
O
p
;4#;
p
p
;4;
-2
p
;2;
(3)
y
p
;6;
;3!;
O
p
;3@;
p
;3;
p
;2;
-;3!;
46 정답 및 해설
2단원해설-OK.indd 46
2018-04-17 오후 2:17:35
정답 및 해설 (1) 풀이 참고, 치역 : {y|-4ÉyÉ4}, 주기 : 2p
(2) 풀이 참고, 치역 :
[
y
|
-
;2#;
ÉyÉ
;2#;]
, 주기 : 2p
051
답
(1) 치역 : {y|4ÉyÉ8}, 주기 : 2p
(2) 치역 : {y|-3ÉyÉ3}, 주기 :
p
2
048
답
(1)
y
4
(3) 치역 :
[
y
|;5$;
ÉyÉ
;5^;]
, 주기 : 2p
(4) 치역 :
[
y
|
-
13
4
ÉyÉ-
, 주기 : 12p
11
4 ]
(1) 최댓값은 2+6=8, 최솟값은 -2+6=4이므로
O
p
;2;
p
2p
x
p
;2#;
p
;2;
p
2p
x
p
;2#;
(2)
y
;2#;
O
-;2#;
(3) 풀이 참고, 치역 : {y|-1ÉyÉ1}, 주기 : 6p
(3) 최댓값은
+1=
, 최솟값은 -
+1=
이므로
;5!;
;5^;
;5!;
;5$;
x
(4) 최댓값은
-3=-
, 최솟값은 -
-3=-
이므로
;4!
!;
:Á4Á:
;4!;
:Á4£:
052
답
(1) a=6, b=4, c=-3 (2) a=
, b=2, c=-
;2#;
;2!;
(3) a=4, b=
, c=1 (4) a=3, b=2, c=-1
-4
O
-1
y
1
y
1
O
-1
049
답
(1) 풀이 참고, 치역 : {y|-1ÉyÉ1}, 주기 :
(2) 풀이 참고, 치역 : {y|-1ÉyÉ1}, 주기 :
p
;3@;
p
;5@;
(1)
p
;6;
p
;3;
p
;3@;
x
p
;2;
(2)
y
1
p
;5@;
p
;5;
p
;1£0;
O
p
;10;
-1
(3)
p
;2#;
3p
6p
x
p
;2(;
050
답
(1) 풀이 참고, 치역 : {y|-3ÉyÉ3}, 주기 : p
(2) 풀이 참고, 치역 : {y|-4ÉyÉ4}, 주기 : 4p
(3) 풀이 참고, 치역 :
[
y
|
-
;2!;
ÉyÉ
;2!;]
, 주기 :
p
;3@;
(4) 풀이 참고, 치역 :
[
y
|
-
;2#;
ÉyÉ
;2#;]
, 주기 :
p
;5@;
(1)
y
3
(2)
y
4
O
-3
p
;2;
p
p
;4;
p
;4#;
(3)
y
;2!;
O
-;2!;
p
;3@;
x
p
;6;
p
;3;
p
;2;
-4
(4)
y
;2#;
p
;5@;
p
;5;
O
p
;10;
p
;1£0;
x
-;2#;
치역 : {y|4ÉyÉ8}
주기 : 2p
(2) 최댓값은 3, 최솟값은 -3이므로
치역 : {y|-3ÉyÉ3}
주기 :
2p
4
=
p
2
치역 :
[
y
|;5$;
ÉyÉ
;5^;]
주기 : 2p
치역 :
[
y
|
-
13
4
ÉyÉ-
11
4 ]
주기 : 2p
1
6
=12p
p
8 }
f
{
=a cos
+c=c ∴ c=-3
f(x)=a cos 4x-3의 최댓값이 3이므로
(1) 주기가
이므로
p
2
2p
b
p
2
=
∴ b=4
;2!;
p
2
a-3=3 ∴ a=6
(2) 주기가 p이므로
2p
b
=p ∴ b=2
-a+c=-2 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=
, c=-
;2#;
;2!;
(3) 주기가 4p이므로
2p
b
=4p ∴ b=
;2!;
f(x)=a cos x
2
+c의
x
2p
O
p
3p 4p
x
f(0)=a cos 0+c=a+c=1 yy ㉠
f(x)=a cos 2x+c의 최솟값이 -2이므로
Ⅱ. 삼각함수 47
2단원해설-OK.indd 47
2018-04-18 오후 2:17:35
최댓값이 5이므로 a+c=5 yy ㉠
(3)
y
최솟값이 -3이므로 -a+c=-3 yy ㉡
p
;3;
p
p
;3%;
x
p
-;3;
O
p
;3@;
p
;3$;
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=4, c=1
(4) 주기가 p이므로
2p
b
=p ∴ b=2
f(x)=a cos 2x+c의
최댓값이 2이므로 a+c=2 yy ㉠
최솟값이 -4이므로 -a+c=-4 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=3, c=-1
055
답
p
(1) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 :
2
(2) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : 2p
p
(3) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 :
3
(4) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : 6p
(1)
y
(1) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : p
(2) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : p
053
답
(1)
y
p
;4;
p
;4#;
p
;4%;
p
x
p
-;4;
O
p
;2;
p
;2;
O
p
p
;2#;
x
(2)
y
(2)
y
p
-;2;
p
-;2;
p
;2;
O
p
p
;2#;
x
답
054
p
(1) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 :
3
(2) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : 2p
(3) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 :
p
;3@;
(1)
y
p
;6;
p
;2;
p
;6%;
x
p
-;6;
O
p
;3;
p
;3@;
(2)
y
-p
O
p
2p
3p
x
48 정답 및 해설
-p
O
p
2π
3p
x
(3)
y
p
;6;
p
;2;
p
;6%;
x
p
-;6;
O
p
;3;
p
;3@;
(4)
y
-3p
O
6p
9p
x
3p
056
답
(1) 점근선의 방정식 : x=np+
( n은 정수), 주기 : p
(2) 점근선의 방정식 : x=
p+
( n은 정수), 주기 :
(3) 점근선의 방정식 : x=
p+
( n은 정수), 주기 :
p
2
p
4
(4) 점근선의 방정식 : x=4np+2p ( n은 정수), 주기 : 4p
(5) 점근선의 방정식 : x=3np+
p ( n은 정수), 주기 : 3p
n
2
n
4
p
2
p
4
p
8
;2#;
2단원해설-OK.indd 48
2018-04-17 오후 2:17:36
정답 및 해설 (3) 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 :
(2)
(4) 주기 : p
1
4
(5) 주기 : p
1
3
=4p
=3p
057
답
(1) 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : p
(2) 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 :
(4) 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : 6p
(4) 주기 : p
1
6
=6p
058
답
(1) a=3, b=
, c=-2
;2!;
(2) a=
, b=
, c=-1
;3!;
(3) a=5
3, b=3, c=-3
4
3
'
3
'
p
3
p
5
;2!;
;3!;
(1) 주기가 2p이므로
=2p ∴ b=
f(0)=a tan 0+c=c ∴ c=-2
p
2 }
f
{
p
4
=a tan
-2=a-2=1 ∴ a=3
(2) 주기가 3p이므로
=3p ∴ b=
f(0)=a tan 0+c=c ∴ c=-1
f(p)=a tan
-1=
3a-1=3 ∴ a=
4
3
'
3
p
3
p
3
'
p
3
(3) 주기가
이므로
=
∴ b=3
f(0)=a tan 0+c=c ∴ c=-3
p
18 }
f
{
=a tan
p
6
3
-3= '
3
a-3=2 ∴ a=5
3
'
059
답
(1)
(2)
-p
p
-;2;
O
p
;2;
p
x
p
b
p
b
p
b
y
1
-1
y
(1) 풀이 참고, 치역 : {y|-1ÉyÉ1}, 주기 : 2p
(2) 풀이 참고, 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : 없다.
060
답
(1)
-p
p
-2p
2p
x
y
1
y
O
-1
p
-;2;
p
;2;
-p
O
p
x
061
답
3
(1) '
2
2
(2) '
2
3
(3) '
3
(4) 1 (5)
(6)
;2!;
3
'
(2) cos
p=cos
2p+
=cos
(1) sin
p=sin
4p+
=sin
13
3
9
4
13
6
p
3 }
p
4 }
p
6 }
{
{
{
p
3
3
= '
2
p
4
2
= '
2
p
6
3
= '
3
(3) tan
p=tan
2p+
=tan
(4) sin 450ù=sin(360ù+90ù)=sin 90ù=1
(5) cos 780ù=cos(720ù+60ù)=cos 60ù=
(6) tan 420ù=tan(360ù+60ù)=tan 60ù=
;2!;
3
'
062
답
3
(1) - '
2
2
(2) '
2
3
(3) - '
3
2
(4) - '
2
(5) -
3
3 (6) '
2
'
(1) sin
-
=-sin
p
3
3
=- '
2
p
4
2
= '
2
{
{
p
3 }
p
4 }
p
6 }
{
-
(3) tan
=-tan
3
=- '
3
2
(4) sin(-45ù)=-sin 45ù=- '
2
p
6
(5) tan(-60ù)=-tan 60ù=-
3
'
답
063
(1) -
(2) -
;2!;
3
(3) 1 (4) - '
2
;2!;
3
(5) - '
2
(6)
3
'
p=sin
p+
=-sin
=-
(1) sin 7
6
(2) cos 4
3
p
6 }
p
3 }
{
{
p
6
p
3
1
2
1
2
p=cos
p+
=-cos
=-
Ⅱ. 삼각함수 49
(1) 풀이 참고, 치역 : {y|0ÉyÉ1}, 주기 : p
(2) cos
-
=cos
(2) 풀이 참고, 치역 : {y|y¾0}, 주기 : p
-2p
-p
O
p
2p
x
3
(6) cos(-390ù)=cos 390ù=cos(360ù+30ù)=cos 30ù= '
2
2단원해설-OK.indd 49
2018-04-17 오후 2:17:37
(3) tan 5
4
p=tan
p+
=tan
=1
p
4 }
{
p
4
3
(4) sin 240ù=sin(180ù+60ù)=-sin 60ù=- '
2
3
(5) cos 210ù=cos(180ù+30ù)=-cos 30ù=- '
2
(6) tan 240ù=tan(180ù+60ù)=tan 60ù=
3
'
064
답
(1)
(2) -
;2!;
3
(3) -1 (4) '
2
;2!;
2
(5) - '
2
3
(6) - '
3
(1) sin
p=sin
p-
=sin
=
(2) cos
p=cos
p-
=-cos
=-
5
6
2
3
3
4
p
6 }
p
3 }
p
4 }
{
{
{
p
6
1
2
p
3
p
4
1
2
(3) tan
p=tan
p-
=-tan
=-1
3
(4) sin 120ù=sin(180ù-60ù)=sin 60ù= '
2
2
(5) cos 135ù=cos(180ù-45ù)=-cos 45ù=- '
2
3
(6) tan 150ù=tan(180ù-30ù)=-tan 30ù=- '
3
065
답
(1)
2
(2) - '
2
;2!;
(3) -
2
3 (4) '
2
'
(5) -
3
(6) - '
3
;2!;
(1) sin 5
6
p=sin
p
2
{
+
p
3 }
=cos
=
p
3
1
2
(2) cos 3
4
(3) tan 2
3
p=cos
p
2
{
+
p
4 }
=-sin
p
4
2
=- '
2
p=tan
p
2
{
+
p
6 }
=-
1
tan
p
6
=-
3
'
2
(4) sin 135ù=sin(90ù+45ù)=cos 45ù= '
2
(5) cos 120ù=cos(90ù+30ù)=-sin 30ù=-
(6) tan 150ù=tan(90ù+60ù)=-
;2!;
1
3
tan 60ù =- '
3
066
답
(1)
3 (2) 0 (3) -
'
3
2
2
+ '
2
(1) sin 2
3
tan 5
4
cos 5
6
p=sin
p-
=sin
p
3 }
p
4 }
{
{
p
3
3
= '
2
p
4
p=tan
p+
=tan
=1
p=cos
p
2
{
+
p
3 }
=-sin
p
3
3
=- '
2
∴ sin 2
3
p tan 5
4
p-cos 5
6
3
p= '
2
3
_1+ '
2
=
3
'
(2) sin
-
{
17
6
p
=-sin 17
6
}
p=-sin
3p-
{
p
6 }
=-sin
=-
p
6
1
2
50 정답 및 해설
tan
-
=-tan
=-1
p
4 }
p
4
cos
-
10
3
p
=cos 10
3
}
p=cos
3p+
p
3 }
{
{
=-cos
=-
∴ sin
-
p
-tan
-
17
6
}
{
p
4 }
+cos
-
{
10
3
p
}
{
1
2
p
3
{
=-
+1-
=0
1
2
1
2
(3) sin(-750ù)=-sin 750ù=-sin(720ù+30ù)
=-sin 30ù=-
1
2
2
cos 315ù=cos(360ù-45ù)=cos(-45ù)=cos 45ù= '
2
tan 135ù=tan(90ù+45ù)=-
1
tan 45ù =-1
∴ sin(-750ù)+cos 315ù+tan 135ù
=-
-1=-
1
2
2
+ '
2
3
2
2
+ '
2
067
답
(1)
(2) 1
;;¥2»;;
(1) cos 89ù=cos(90ù-1ù)=sin 1ù,
cos 88ù=cos(90ù-2ù)=sin 2ù,
⋮
cos 46ù=cos(90ù-44ù)=sin 44ù이므로
cosÛ` 1ù+cosÛ` 2ù+y+cosÛ` 89ù+cosÛ` 90ù
=(cosÛ` 1ù+cosÛ` 89ù)+(cosÛ` 2ù+cosÛ` 88ù)+y
+(cosÛ` 44ù+cosÛ` 46ù)+cosÛ` 45ù+cosÛ` 90ù
=(cosÛ` 1ù+sinÛ` 1ù)+(cosÛ` 2ù+sinÛ` 2ù)+y
+(cosÛ` 44ù+sinÛ` 44ù)+
2
'
2 }
{
2`
=1+1+y+1+
=
;2!;
;;¥2»;;
44개
(2) tan 80ù=tan(90ù-10ù)=
tan 70ù=tan(90ù-20ù)=
tan 60ù=tan(90ù-30ù)=
,
,
,
1
tan 10ù
1
tan 20ù
1
tan 30ù
1
tan 40ù
tan 50ù=tan(90ù-40ù)=
이므로
tan 10ù_tan 20ù_y_tan 70ù_tan 80ù
=(tan 10ù_tan 80ù)_(tan 20ù_tan 70ù)
_(tan 30ù_tan 60ù)_(tan 40ù_tan 50ù)
=
{
tan 10ù_ 1
tan 10ù }
_
{
tan 20ù_ 1
tan 20ù }
tan 30ù_ 1
tan 30ù }
_
{
_
{
tan 40ù_ 1
tan 40ù }
=1_1_1_1=1
2단원해설-OK.indd 50
2018-04-17 오후 2:17:39
정답 및 해설 068
답
(1) 최댓값 : 3, 최솟값 : -1
(2) 최댓값 : 0, 최솟값 : -6
(3) 최댓값 : 1, 최솟값 : -5
(4) 최댓값 : 4, 최솟값 : 0
(1) sin
p
2
{
+x
}
=cos x이므로 y=2 cos x+1
cos x=t로 치환하면 y=2t+1
이때 -1ÉtÉ1이므로 -1É2t+1É3
따라서 최댓값은 3, 최솟값은 -1이다.
(2) sin
p
2
{
-x
}
=cos x이므로 y=3 cos x-3
cos x=t로 치환하면 y=3t-3
이때 -1ÉtÉ1이므로 -6É3t-3É0
따라서 최댓값은 0, 최솟값은 -6이다.
(3) cos
p
2
{
+x
}
=-sin x이므로 y=3 sin x-2
sin x=t로 치환하면 y=3t-2
이때 -1ÉtÉ1이므로 -5É3t-2É1
따라서 최댓값은 1, 최솟값은 -5이다.
(4) cos
p
2
{
-x
}
=sin x이므로 y=2 sin x+2
sin x=t로 치환하면 y=2t+2
이때 -1ÉtÉ1이므로 0É2t+2É4
따라서 최댓값은 4, 최솟값은 0이다.
069
답
(1) 최댓값 : 4, 최솟값 : 0
(2) 최댓값 : 6, 최솟값 : 3
(3) 최댓값 : -1, 최솟값 : -4
(1) y=2|sin x-1|에서
-2Ésin x-1É0,
0É|sin x-1|É2이므로
0É2|sin x-1|É4
따라서 최댓값은 4, 최솟값은 0이다.
(2) y=|2 sin x-1|+3에서
3É|2 sin x-1|+3É6
따라서 최댓값은 6, 최솟값은 3이다.
(3) y=-2
|
cos x-
-1에서
;2!;|
-
Écos x-
;2#;
É
;2!;
;2!;
, 0É
cos x-
|
É
,
;2#;
;2!;|
-3É-2
cos x-
É0이므로
-4É-2
cos x-
-1É-1
|
|
;2!;|
;2!;|
따라서 최댓값은 -1, 최솟값은 -4이다.
070
답
(1) 최댓값 : 5, 최솟값 : 1
(2) 최댓값 : 0, 최솟값 : -4
(3) 최댓값 :
, 최솟값 : 0
;4(;
(1) sinÛ` x+cosÛ` x=1이므로
y=-sinÛ` x+2 sin x+4
sin x=t로 치환하면
y =-tÛ`+2t+4
=-(t-1)Û`+5
이때 -1ÉtÉ1이므로
오른쪽 그림에서
t=1일 때 최댓값은 5,
t=-1일 때 최솟값은 1이다.
(2) sinÛ` x+cosÛ` x=1이므로
y=sinÛ` x-2 sin x-3
sin x=t로 치환하면
y=tÛ`-2t-3=(t-1)Û`-4
y
5
4
1
-1
O
1
t
y=-t2+2t+4
y
1
y=t2-2t-3
-1
O
t
이때 -1ÉtÉ1이므로
오른쪽 그림에서
-3
-4
t=-1일 때 최댓값은 0,
t=1일 때 최솟값은 -4이다.
(3) sinÛ` x+cosÛ` x=1이므로
y
y=cosÛ` x-cos x+
;4!;
cos x=t로 치환하면
y=tÛ`-t+
=
t-
;4!;
{
이때 -1ÉtÉ1이므로
;2!;}
2`
오른쪽 그림에서
y=t2-t+
;4!;
;4(;
;4!;
;2!;
-1
O
1
t
t=-1일 때 최댓값은
, t=
일 때 최솟값은 0이다.
;4(;
;2!;
071
답
(1) x=
또는 x=
p (2) x=
또는 x=
p
p
4
p
6
3
4
11
6
p
3
p
3
5
3
4
3
(1) 2 sin x-
2
2=0 즉, sin x= '
2
'
의 해는
2
함수 y=sin x (0Éx<2p)의 그래프와 직선 y= '
2
의
교점의 x좌표이므로 x=
또는 x=
p
p
4
3
4
y
1
p
;4;
O
-1
p
p
;4#;
y=
2
'
;;2;;
x
2p
y=sin`x
Ⅱ. 삼각함수 51
-3É2 sin x-1É1, 0É|2 sin x-1|É3이므로
(3) x=
또는 x=
p (4) x=
또는 x=
p
2단원해설-OK.indd 51
2018-04-17 오후 2:17:40
(2) 2 cos x-1=0, 즉 cos x=
의 해는
0Éx<2p이므로
Ét<
p
p
4
9
4
함수 y=cos x (0Éx<2p)의 그래프와 직선 y=
의
따라서 구하는 해는 함수 y=cos t
Ét<
1
2
교점의 x좌표이므로 x=
또는 x=
p
y
1
O
-1
p
;3;
y=
;2!;
2p
x
p
;3%;
y=cos`x
(3) 2 cos x-
3
3=0, 즉 cos x= '
2
'
의 해는
3
함수 y=cos x (0Éx<2p)의 그래프와 직선 y= '
2
의
교점의 x좌표이므로 x=
또는 x=
1
2
p
3
p
6
p
3
5
3
4
3
11
6
p
y=
3
'
;;2;;
x
p
2p
;;Á6Á;;
p
;2;
p
p
;3;
p
;3$;
p
;2#;
y=
3
'
x
2p
y=tan`x
y
1
O
-1
'
p
;6;
y
O
y=cos`x
(4) 2 tan x-2
3=0, 즉 tan x=
3의 해는
'
함수 y=tan x (0Éx<2p)의 그래프와 직선 y=
3의
'
교점의 x좌표이므로 x=
또는 x=
p
p
4
{
의 그래프와
p
}
9
4
3
4
의 교점의 t좌표이므로 t=
p 또는 t=
p
5
4
2
직선 y=- '
2
∴ x=
또는 x=p
p
2
(3) tan
x=
3에서
x=t로 치환하면 tan t=
;2#;
'
;2#;
3
'
0Éx<2p이므로 0Ét<3p
따라서 구하는 해는 함수 y=tan t (0Ét<3p)의 그래프와
직선 y=
3의 교점의 t좌표이므로
t=
또는 t=
p 또는 t=
p
4
3
7
3
∴ x=
p 또는 x=
p 또는 x=
p
8
9
7
6
14
9
11
6
p
073
답
(1) x=
또는 x=
p 또는 x=
p
3
'
2
9
p
2
p
3
(2) x=
또는 x=
p
;3%;
(1) 2 sinÛ` x-sin x-1=0
(2 sin x+1)(sin x-1)=0
∴ sin x=-
또는 sin x=1
0Éx<2p에서
;2!;
;2!;
Ú sin x=-
일 때, x=
p 또는 x=
p
;;Á6Á;;
Û sin x=1일 때, x=
;6&;
p
2
∴ x=
또는 x=
p 또는 x=
p
2
7
6
11
6
p
(2) sinÛ` x+cosÛ` x=1이므로 2 sinÛ` x-5 cos x+1=0
2(1-cosÛ` x)-5 cos x+1=0
(2 cos x-1)(cos x+3)=0
∴ cos x=
(∵ -1Écos xÉ1)
;2!;
0Éx<2p에서 cos x=
일 때, x=
또는 x=
;2!;
p
3
p
;3%;
(1) x=
또는 x=
p 또는 x=
p 또는 x=
2 cosÛ` x+5 cos x-3=0
17
12
p
072
답
p
12
p
2
2
9
5
12
8
9
(2) x=
또는 x=p
(3) x=
p 또는 x=
p 또는 x=
13
12
14
9
p
;2!;
11
6
(1) sin(2x+p)=-
에서 2x+p=t로 치환하면 sin t=-
;2!;
0Éx<2p이므로 pÉt<5p
따라서 구하는 해는 함수 y=sin t (pÉt<5p)의 그래프와
직선 y=-
의 교점의 t좌표이므로
;2!;
t=
p 또는 t=
p 또는 t=
p 또는 t=
23
6
p
∴ x=
또는 x=
p 또는 x=
p 또는 x=
5
12
13
12
17
12
p
7
6
p
12
(2) cos
x+
{
p
4 }
2
=- '
2
에서 x+
=t로 치환하면
19
6
p
4
074
답
(1) 7개 (2) 2개
(1) sin px=
의 서로 다른 실근의 개수는 함수 y=sin px의
x
4
그래프와 직선 y=
의 교점의 개수와 같다.
x
4
y=sin`px
y=
x
;4;
-4
-2
-1
-3
O
1
2
3
4
x
y
1
-1
2
cos t=- '
2
52 정답 및 해설
2단원해설-OK.indd 52
2018-04-17 오후 2:17:41
정답 및 해설 위의 그림에서 교점의 개수가 7개이므로
sin px=
의 서로 다른 실근의 개수는 7개이다.
x
4
(2) cos px=|x|의 서로 다른 실근의 개수는 함수 y=cos px의
그래프와 y=|x|의 그래프의 교점의 개수와 같다.
0ÉxÉ
또는
pÉx<2p
;3@;
p
3
(3) 2 cos x+1¾0에서 cos x¾-
;2!;
함수 y=cos x (0Éx<2p)의 그래프와 직선 y=-
의
;2!;
그래프는 다음 그림과 같다.
y=|x|
y
1
y=cos`px
-2
-1
O
1
2
3
x
-1
위의 그림에서 교점의 개수가 2개이므로 cos px=|x|의
서로 다른 실근의 개수는 2개이다.
075
답
(1)
pcos h이므로 sin h>0, cos h<0
084
답
;9$;
따라서 각 h는 제2사분면의 각이므로 tan h<0
함수 y=a sin 3x의 최댓값이
이므로 |a|=
;3@;
;3@;
∴ a=
(∵ a>0)
;3@;
주기가 bp이므로
=bp ∴ b=
;3@;
2p
3
h는 제4사분면의 각이므로 sin h<0, cos h>0, tan h<0
(sin h-cos h)Û`=sinÛ` h+cosÛ` h-2 sin h cos h
∴ ab=
;9$;
=1-2_
-
=2
{
;2!;}
sin h<0, cos h>0이므로 sin h-cos h=-
2
'
085
답
a=1, b=2, c=p, d=2
주어진 그래프에서 함수의 최댓값이 3, 최솟값이 1이고
080
답
1-2 cosÛ` h
sinÝ` h-cosÝ` h =(sinÛ` h)Û`-(cosÛ` h)Û`
=(sinÛ` h+cosÛ` h)(sinÛ` h-cosÛ` h)
=sinÛ` h-cosÛ` h=(1-cosÛ` h)-cosÛ` h
=1-2 cosÛ` h
081 -
답
,
;4#;
;1!6!;
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
sin h+cos h=
, sin h cos h=
;2!;
k
2
54 정답 및 해설
a>0이므로
최댓값 : a+d=3 yy ㉠
최솟값 : -a+d=1 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, d=2
주기는 p이고 b>0이므로
=p ∴ b=2
2p
b
따라서 주어진 함수의 식은 y=cos(2x+c)+2이고,
점
{
p
2
, 3
을 지나므로
}
3=cos(p+c)+2 ∴ cos(p+c)=1
p
2
0)
'
=(2
2 )Û`+3Û`-2´2
2´3´cos 45ù
'
'
=17-12=5
∴ x=
5 (∵ x>0)
'
103
답
(1)
39 (2)
7 (3) 2 (4) 13
'¶
'
(1) aÛ` =bÛ`+cÛ`-2bc cos A
=5Û`+7Û`-2´5´7´cos 60ù
=74-35=39
∴ a=
39 (∵ a>0)
(2) cÛ` =aÛ`+bÛ`-2ab cos C
=4Û`+(3
3 )Û`-2´4´3
3´cos 30ù
'
'
=43-36=7
∴ c=
7 (∵ c>0)
(3) bÛ` =cÛ`+aÛ`-2ca cos B
'¶
'
=(1+
=6+2
3 )Û`+(
'
3-2-2
'
'
3=4
'
2 )Û`-2´(1+
3 )´
2´cos45ù
'
'
∴ b=2 (∵ b>0)
(4) aÛ` =bÛ`+cÛ`-2bc cos A
=8Û`+7Û`-2´8´7´cos 120ù
=113+56=169
∴ a=13 (∵ a>0)
104
답
(1)
;4#;
(2) 5
3
'
9
(3)
;1¥5;
(1) cos A=
bÛ`+cÛ`-aÛ`
2bc
=
5Û`+6Û`-4Û`
2´5´6
=
=
45
60
3
4
(2) cos C=
aÛ`+bÛ`-cÛ`
2ab
=
3Û`+(2
'
2´3´2
3 )Û`-1Û`
3
=
20
12
3
'
=
5
3
'
9
(3) cos B=
cÛ`+aÛ`-bÛ`
2ca
=
'
3Û`+5Û`-(3
2´3´5
2)Û`
'
=
16
30
=
8
15
105
답
(1)
(2)
(3) 45ù (4) 120ù
;1!6!;
;8%;
(1) a=2k, b=3k, c=4k라 하면
cos B=
cÛ`+aÛ`-bÛ`
2ca
=
(4k)Û`+(2k)Û`-(3k)Û`
2´4k´2k
=
11kÛ`
16kÛ`
=
11
16
(2) a=2k, b=6k, c=5k라 하면
cos C=
aÛ`+bÛ`-cÛ`
2ab
=
(2k)Û`+(6k)Û`-(5k)Û`
2´2k´6k
=
15kÛ`
24kÛ`
=
5
8
(3) cosC=
aÛ`+bÛ`-cÛ`
2ab
=
'
(2
2 )Û`+6Û`-(2
5 )Û`
'
2
= '
2
2´2
2´6
'
∴ C=45ù (∵ 0ù0, b>0, c>0)
따라서 삼각형 ABC는 정삼각형이다.
(2) 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면
sin A=
, sin B=
, sin C=
이므로
b
2R
c
2R
a
2R
a
2R }
{
+
{
b
2R }
=
{
c
2R }
∴ aÛ`+bÛ`=cÛ`
따라서 삼각형 ABC는 C=90ù인 직각삼각형이다.
2`
2`
2`
107
답
(1) A=90ù인 직각삼각형 (2) b=c인 이등변삼각형
(1) cos B=
cÛ`+aÛ`-bÛ`
2ca
, cos A=
bÛ`+cÛ`-aÛ`
2bc
이므로
a´
cÛ`+aÛ`-bÛ`
2ca
=b´
bÛ`+cÛ`-aÛ`
2bc
+c
양변에 2c를 곱하여 정리하면 bÛ`+cÛ`=aÛ`
따라서 삼각형 ABC는 A=90ù인 직각삼각형이다.
(2) 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면
sin A=
, sin C=
, cos B=
a
2R
c
2R
cÛ`+aÛ`-bÛ`
2ca
이므로
a
2R
=2´
cÛ`+aÛ`-bÛ`
2ca
´
c
2R
, aÛ`=cÛ`+aÛ`-bÛ`
bÛ`-cÛ`=0, (b+c)(b-c)=0 ∴ b=c (∵ b+c>0)
따라서 삼각형 ABC는 b=c인 이등변삼각형이다.
108
답
(1) 12
2 (2) 3
'
'
2
2
(3) 2
3 (4) 12
'
3
'
(1) 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=
´6´8´sin 45ù=
;2!;
2
´6´8´ '
2
;2!;
=12
2
'
(2) 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=
´
3´2
2´sin60ù=
;2!;
'
'
´
3´2
;2!;
'
3
2´ '
2
'
=
3
2
'
2
(3) 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=
´
8´2
6´sin150ù=
´2
2´2
6´
;2!;
'
'
=2
3
'
;2!;
;2!;
'
'
(4) 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=
´8´3
6´sin135ù=
´8´3
;2!;
'
;2!;
2
6´ '
2
'
=12
3
'
109
답
(1) 6 (2) 4
2 (3) 6
3 (4) 2
'
'
6
'
(1) S=
´2
5´c´sin 30ù=3
;2!;
'
5
'
c=3
5 ∴ c=6
5
'
2
'
58 정답 및 해설
110
답
(1) 4
6 (2) 4
5 (3) 6
6 (4) 10
3 (5) 12
5
'
'
'
'
'
(2) S=
´
6´b´sin45ù=2
;2!;
'
3
'
2
b=2
6 ∴ b=4
'
6
'
2
'
(3) S=
´8´c´sin 60ù=36
;2!;
3c=36 ∴ c=6
2
'
3
'
(4) S=
´a´3
2´sin 120ù=9
;2!;
'
3
6
'
4
a=9 ∴ a=2
6
'
(1) s=
4+5+7
2
=8이므로
삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=
8(8-4)(8-5)(8-7)=4
(2) s=
=8이므로
삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=
8(8-3)(8-7)(8-6)=4
(3) s=
=9이므로
삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=
9(9-5)(9-6)(9-7)=6
(4) s=
=10이므로
6
'
5
'
6
'
"Ã
3+7+6
2
"Ã
5+6+7
2
"Ã
5+7+8
2
"Ã
7+8+9
2
삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=
10(10-5)(10-7)(10-8)=10
(5) s=
=12이므로
삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=
12(12-7)(12-8)(12-9)=12
3
'
5
'
"Ã
"Ã
"Ã
111
답
(1) 9
2
(2) 9
'
8
5
'
5
(3) 27
'
8
2
(1) s=
2+3+3
2
=4이므로
삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=
4(4-2)(4-3)(4-3)=2
2
'
외접원의 반지름의 길이를 R라 하면
2´3´3
4R
=2
2 ∴ R=
'
9
2
'
8
(2) s=
6+6+8
2
=10이므로
삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=
10(10-6)(10-6)(10-8)=8
5
'
외접원의 반지름의 길이를 R라 하면
6´6´8
4R
=8
5 ∴ R=
'
9
5
'
5
2단원해설-OK.indd 58
2018-04-17 오후 2:17:47
정답 및 해설 (3) s=
5+6+9
2
=10이므로
삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=
10(10-5)(10-6)(10-9)=10
"Ã
2
'
외접원의 반지름의 길이를 R라 하면
5´6´9
4R
=10
2 ∴ R=
'
2
27
'
8
112
답
(1) 7+6
3 (2) 20
3
'
(1) △ABD=
´4´7´sin 30ù=7
'
;2!;
"Ã
'
;2!;
;2!;
△BCD에서 s=
=9이므로
7+8+3
2
△BCD=
9(9-7)(9-8)(9-3)=6
3
"
사각형 ABCD의 넓이를 S라 하면
S=△ABD+△BCD=7+6
3
'
(2) △BCD에서 코사인법칙에 의하여
BDÓ
Û`=10Û`+5Û`-2´10´5´cos 60ù=75
∴ BDÓ=5
3 (∵ BDÓ>0)
△ABD=
´6´5
3´sin 30ù=
'
△BCD=
´5´10´sin 60ù=
3
15
'
2
3
25
'
2
사각형 ABCD의 넓이를 S라 하면
S=△ABD+△BCD=
3
15
'
2
+
3
25
'
2
=20
3
'
113
답
(1) 12 (2) 21
2 (3) 16
'
(1) 평행사변형 ABCD의 넓이를 S라 하면
'
3
S=4´6´sin 30ù=4´6´
=12
;2!;
(2) B=45ù이므로 평행사변형 ABCD의 넓이를 S라 하면
2
S=6´7´sin 45ù=6´7´ '
2
=21
2
'
(3) ADÓ=8이므로 평행사변형 ABCD의 넓이를 S라 하면
3
S=4´8´sin 120ù=4´8´ '
2
=16
3
'
114
답
(1) 15 (2)
(3) 12
2 (4) 18
;2(;
'
(1) 사각형 ABCD의 넓이를 S라 하면
S=
´6´10´sin 30ù=
´6´10´
=15
;2!;
;2!;
;2!;
(2) 사각형 ABCD의 넓이를 S라 하면
S=
´3´2
3´sin60ù=
´3´2
;2!;
'
;2!;
3
3´ '
2
'
=
;2(;
(3) 사각형 ABCD의 넓이를 S라 하면
S=
´6´8´sin 135ù
;2!
2
´6´8´ '
2
=;2!;
=12
2
'
(4) 사각형 ABCD의 넓이를 S라 하면
S=
´4
3´6´sin 120ù=
´4
;2!;
'
3
3´6´ '
2
'
=18
;2!;
115
③
답
외접원의 반지름의 길이를 R라 하면
사인법칙에 의하여
3
sin 60ù =2R이므로
3
3
'
2
=2R ∴ R=
3
'
따라서 외접원의 넓이는 p_(
3 )Û`=3p
'
116
답
2
외접원의 반지름의 길이를 R라 하면
sin A+sin B+sin C=
a
2R
+
b
2R
+
c
2R
=
a+b+c
2R
이때 외접원의 반지름의 길이가 4이고
삼각형 ABC의 둘레의 길이가 16이므로
sin A+sin B+sin C=
16
2´4
=2
117
답
100`m
원 모양의 호수의 반지름의 길이를 R라 하면
사인법칙에 의하여
=2R
ABÓ
sin C
이때 ABÓ=50`m, C=180ù-(45ù+105ù)=30ù이므로
50
2R=
sin 30ù =100(m)
따라서 호수의 지름의 길이는 100`m이다.
118
답
7
'
코사인법칙에 의하여
BCÓ
Û` =4Û`+5Û`-2´4´5´cos 60ù=16+25-20=21
∴ BCÓ=
21 (∵ BCÓ>0)
'¶
따라서 사인법칙에 의하여
21
21
sin 60ù =2R, '¶
'¶
3
'
2
=2R ∴ R=
7
'
119
답
;7%;
sin A
5 =
sin B
7 =
sin C
6 =k라 하면
sin A=5k, sin B=7k, sin C=6k
∴ a`:`b`:`c=sin A`:`sin B`:`sin C=5`:`7`:`6
a=5m, b=7m, c=6m이라 하면
cos A=
bÛ`+cÛ`-aÛ`
2bc
=
(7m)Û`+(6m)Û`-(5m)Û`
2´7m´6m
=
60mÛ`
84mÛ`
=
5
7
Ⅱ. 삼각함수 59
2단원해설-OK.indd 59
2018-04-17 오후 2:17:48
120 ⑤
답
코사인법칙에 의하여
ABÓ
Û`=ACÓ
Û`+BCÓ
Û`-2´ACÓ´BCÓ´cos C
=3Û`+4Û`-2´3´4´cos 60ù=25-12=13
∴ ABÓ=
13 (∵ ABÓ>0)
'¶
따라서 두 건물 A, B 사이의 거리는
'¶
13`km이다.
121
답
a=c인 이등변삼각형
코사인법칙에 의하여 b=2a´
, bÛ`=aÛ`+bÛ`-cÛ`
aÛ`+bÛ`-cÛ`
2ab
aÛ`-cÛ`=0, (a+c)(a-c)=0 ∴ a=c (∵ a+c>0)
따라서 삼각형 ABC는 a=c인 이등변삼각형이다.
122
답
60ù
´6´4
;2!;
3
3´sin C=18 ∴ sin C= '
2
'
∴ C=60ù (∵ 0ù0)
이때 삼각형 ABC의 넓이는
´4´4
2 ´sin 45ù=8
;2!;
'
외접원의 반지름의 길이를 R라 하면
4´4´4
4R
2
'
=8 ∴ R=2
2
'
125
답
45ù
평행사변형 ABCD의 넓이를 S라 하면
S=ab sin h=4
2´6´sin h=24
2 sin h=24
'
'
2
∴ sin h= '
2
∴ h=45ù (∵ 0ù0에서 3n-14>0, 3n>14 ∴ n>
;;Á3¢;;
;;¢5¢;;
(2) an>0에서 5n-44>0, 5n>44 ∴ n>
따라서 처음으로 양수가 되는 항은 제9항이다.
(3) 공차가 -47-(-53)=6이므로
an=-53+(n-1)_6=6n-59
an>0에서 6n-59>0, 6n>59 ∴ n>
;;°6»;;
따라서 처음으로 양수가 되는 항은 제10항이다.
(4) 공차가 -93-(-97)=4이므로
an=-97+(n-1)_4=4n-101
an>0에서 4n-101>0, 4n>101 ∴ n>
101
4
따라서 처음으로 양수가 되는 항은 제26항이다.
62 정답 및 해설
(1) an<0에서 -2n+31<0, 2n>31 ∴ n>
따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제16항이다.
(2) an<0에서 -3n+49<0, 3n>49 ∴ n>
따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제17항이다.
(3) 공차가 58-62=-4이므로
an=62+(n-1)_(-4)=-4n+66
an<0에서 -4n+66<0, 4n>66 ∴ n>
;;£2Á;;
;;¢3»;;
;;£2£;;
따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제17항이다.
(4) 공차가 92-99=-7이므로
an=99+(n-1)_(-7)=-7n+106
an<0에서 -7n+106<0, 7n>106 ∴ n>
따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제16항이다.
(5) 공차가 91-100=-9이므로
an=100+(n-1)_(-9)=-9n+109
an<0에서 -9n+109<0, 9n>109 ∴ n>
따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제13항이다.
106
7
109
9
014
답
(1) 3 (2) 5 (3) 7 (4) -2
(1) 19는 제7항이므로
19=1+6d ∴ d=3
(2) 39는 제8항이므로
39=4+7d ∴ d=5
(3) 30은 제6항이므로
30=-5+5d ∴ d=7
(4) -8은 제10항이므로
015
답
(1) x=5, y=9 (2) x=-2, y=4 (3) x=16, y=2
(1) x는 3과 7의 등차중항이므로 x=
y는 7과 11의 등차중항이므로 y=
(2) x는 -5와 1의 등차중항이므로 x=
-5+1
2
=-2
y는 1과 7의 등차중항이므로 y=
(3) x는 23과 9의 등차중항이므로 x=
y는 9와 -5의 등차중항이므로 y=
3+7
2
=5
7+11
2
=9
1+7
2
=4
23+9
2
=16
9-5
2
=2
따라서 처음으로 양수가 되는 항은 제5항이다.
-8=10+9d ∴ d=-2
3단원해설-ok.indd 62
2018-04-17 오후 2:20:01
정답 및 해설 016
답
(1) 6 (2) 5 (3) 5
(1) 15는 x와 4x의 등차중항이므로 15=
x+4x
2
5x=30 ∴ x=6
(2) 3x-1은 x와 4x+3의 등차중항이므로
3x-1=
x+(4x+3)
2
6x-2=5x+3 ∴ x=5
(3) 4x-5는 x+2와 5x-2의 등차중항이므로
4x-5=
(x+2)+(5x-2)
2
8x-10=6x, 2x=10 ∴ x=5
017 -9
답
다항식 f(x)=xÛ`+ax-2를 x-1, x-2, x-4로
나누었을 때의 나머지는 각각
f(1)=a-1, f(2)=2a+2, f(4)=4a+14
따라서 세 수 a-1, 2a+2, 4a+14가
이 순서로 등차수열을 이루므로
2(2a+2)=(a-1)+(4a+14) ∴ a=-9
018
답
;3!;
다항식 f(x)=axÛ`+x-1을 x-2, x-1, x+1로
나누었을 때의 나머지는 각각
f(2)=4a+1, f(1)=a, f(-1)=a-2
따라서 세 수 4a+1, a, a-2가
이 순서로 등차수열을 이루므로
2a=(4a+1)+(a-2) ∴ a=
;3!;
019 -
답
;8(;
다항식 f(x)=-xÛ`+2ax-3을 x-1, x-2, x+5로
나누었을 때의 나머지는 각각
f(1)=2a-4, f(2)=4a-7, f(-5)=-10a-28
따라서 세 수 2a-4, 4a-7, -10a-28이
이 순서로 등차수열을 이루므로
2(4a-7)=(2a-4)+(-10a-28) ∴ a=-
;8(;
020
답
(1) -2, 1, 4 (2) 1, 4, 7
(1) 세 수를 a-d, a, a+d로 놓으면
세 수의 합이 3이므로
1-dÛ`=-8, dÛ`=9 ∴ d=Ñ3
따라서 구하는 세 수는 -2, 1, 4이다.
(2) 세 수를 a-d, a, a+d로 놓으면
세 수의 합이 12이므로
(a-d)+a+(a+d)=12, 3a=12 ∴ a=4
세 수는 4-d, 4, 4+d이고
세 수의 곱이 28이므로 (4-d)_4_(4+d)=28
64-4dÛ`=28, dÛ`=9 ∴ d=Ñ3
따라서 구하는 세 수는 1, 4, 7이다.
021
답
(1) 1, 5, 9, 13 (2) -4, 2, 8, 14
(1) 네 수를 a-3d, a-d, a+d, a+3d로 놓으면
네 수의 합이 28이므로
(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=28
4a=28 ∴ a=7
네 수는 7-3d, 7-d, 7+d, 7+3d이고
가운데 두 수의 곱이 처음 수와 마지막 수의 곱보다 32가
크므로
(7-d)(7+d)=(7-3d)(7+3d)+32
49-dÛ`=49-9dÛ`+32, dÛ`=4 ∴ d=Ñ2
따라서 구하는 네 수는 1, 5, 9, 13이다.
(2) 네 수를 a-3d, a-d, a+d, a+3d로 놓으면
네 수의 합이 20이므로
(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=20
4a=20 ∴ a=5
네 수는 5-3d, 5-d, 5+d, 5+3d이고
크므로
(5-d)(5+d)=(5-3d)(5+3d)+72
25-dÛ`=25-9dÛ`+72, dÛ`=9 ∴ d=Ñ3
따라서 구하는 네 수는 -4, 2, 8, 14이다.
가운데 두 수의 곱이 처음 수와 마지막 수의 곱보다 72가
022
답
(1) 72 (2) 95 (3) 21
(1) S¤=
6(3+21)
2
=72
(2) S10=
10(2+17)
2
=95
(3) S7=
7(-8+14)
2
=21
(a-d)+a+(a+d)=3, 3a=3 ∴ a=1
세 수는 1-d, 1, 1+d이고
세 수의 곱이 -8이므로 (1-d)_1_(1+d)=-8
023
답
(1) 185 (2) 12 (3) -210
(1) S10=
10{2_5+(10-1)_3}
2
=185
Ⅲ. 수열 63
3단원해설-ok.indd 63
2018-04-17 오후 2:20:02
(2) S12=
12{2_(-10)+(12-1)_2}
2
=12
(3) S14=
14{2_11+(14-1)_(-4)}
2
=-210
027
답
(1) -100 (2) -288 (3) -133 (4) -162
(1) an=-19+(n-1)_2=2n-21이므로
an<0에서 2n-21<0 ∴ n<10.5
즉, 등차수열 {an}은 첫째항부터 제10항까지가 음수이고,
제11항부터 양수이므로 첫째항부터 제10항까지의 합이 최소
024
답
(1) 23 (2) 16 (3) -12 (4) -4
이다.
(1) S10=
=130에서 3+a10=26 ∴ a10=23
따라서 Sn의 최솟값은
10(3+a10)
2
14(9+a14)
2
18(24+a18)
2
20(30+a20)
2
(2) S14=
=175에서 9+a14=25 ∴ a14=16
(3) S18=
=108에서 24+a18=12 ∴ a18=-12
S10=
10{2_(-19)+(10-1)_2}
2
=-100
(2) an=-46+(n-1)_4=4n-50이므로
an<0에서 4n-50<0 ∴ n<12.5
(4) S20=
=260에서 30+a20=26 ∴ a20=-4
즉, 등차수열 {an}은 첫째항부터 제12항까지가 음수이고,
025
답
(1) 2 (2) 7 (3) 3 (4) -3
(1) S10=
10{2_3+(10-1)d}
2
=5(6+9d)=120에서
6+9d=24 ∴ d=2
(2) S10=
10{2_(-3)+(10-1)d}
2
=5(-6+9d)=285에서
-6+9d=57 ∴ d=7
(3) S12=
12{2_4+(12-1)d}
2
=6(8+11d)=246에서
8+11d=41 ∴ d=3
(4) S20=
20{2_2+(20-1)d}
2
=10(4+19d)=-530에서
4+19d=-53 ∴ d=-3
026
답
(1) 49 (2) 242
(1) an=13+(n-1)_(-2)=-2n+15이므로
an>0에서 -2n+15>0 ∴ n<7.5
제13항부터 양수이므로 첫째항부터 제12항까지의 합이 최소
이다.
따라서 Sn의 최솟값은
S12=
12{2_(-46)+(12-1)_4}
2
=-288
(3) an=-34+(n-1)_5=5n-39이므로
an<0에서 5n-39<0 ∴ n<7.8
즉, 등차수열 {an}은 첫째항부터 제7항까지가 음수이고,
제8항부터 양수이므로 첫째항부터 제7항까지의 합이
최소이다.
따라서 Sn의 최솟값은
S7=
7{2_(-34)+(7-1)_5}
2
=-133
(4) an=-52+(n-1)_10=10n-62이므로
an<0에서 10n-62<0 ∴ n<6.2
즉, 등차수열 {an}은 첫째항부터 제6항까지가 음수이고,
제7항부터 양수이므로 첫째항부터 제6항까지의 합이
최소이다.
따라서 Sn의 최솟값은
즉, 등차수열 {an}은 첫째항부터 제7항까지가 양수이고,
제8항부터 음수이므로 첫째항부터 제7항까지의 합이
S6=
6{2_(-52)+(6-1)_10}
2
=-162
최대이다.
따라서 Sn의 최댓값은
S7=
7{2_13+(7-1)_(-2)}
2
=49
(2) an=42+(n-1)_(-4)=-4n+46이므로
an>0에서 -4n+46>0 ∴ n<11.5
즉, 등차수열 {an}은 첫째항부터 제11항까지가 양수이고,
제12항부터 음수이므로 첫째항부터 제11항까지의 합이 최대
이다.
따라서 Sn의 최댓값은
028 ②
답
a=5_1-4=1, d=5이므로 a+d=6
029 제9항
답
a=-8, d=4이므로
an=-8+(n-1)_4=4n-12
4n-12=24, 4n=36 ∴ n=9
따라서 24는 제9항이다.
S11=
11{2_42+(11-1)_(-4)}
2
=242
030 ④
답
64 정답 및 해설
3단원해설-ok.indd 64
2018-04-17 오후 2:20:02
정답 및 해설 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a¢=a+3d=52 yy ㉠
a¥=a+7d=32 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=67, d=-5
∴ an=67+(n-1)_(-5)=-5n+72
an<0에서 -5n+72<0, 5n>72
∴ n>
;;¦5ª;;
따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제15항이다.
031
답
14
33은 제(n+2)항이므로
33=3+2(n+1) ∴ n=14
032
답
;5#;
b는 2와 3의 등차중항이므로 b=
2는 a와 b의 등차중항이므로 2=
∴ a=
;2#;
2+3
2
=
5
2
a+
;2%;
2
∴
=
;bA;
=
;5#;
;2#;
;2%;
033
답
450
a°=a+4d=18 yy ㉠
a20=a+19d=78 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, d=4
∴ aÁ+aª+a£+y+a15=S15=
15{2_2+(15-1)_4}
2
=450
034
답
16
S£=
3{2_7+(3-1)d}
2
=21+3d
S°=
5{2_7+(5-1)d}
2
=35+10d
이때 S£=S°이므로 21+3d=35+10d
∴ d=-2
an=7+(n-1)_(-2)=-2n+9이므로
an>0에서 -2n+9>0
∴ n<4.5
2
등비수열
150쪽~157쪽
035
답
(1) 첫째항`:`2, 공비`:`2 (2) 첫째항`:`3, 공비`:`
3
'
(3) 첫째항`:`2, 공비`:`-
;2!;
(1) 첫째항 : 2, 공비 :
=2
;2$;
(2) 첫째항`:`3, 공비`: 3
3
'
3
=
3
'
(3) 첫째항`:`2, 공비`: -1
2
=-
;2!;
036
답
(1) 18, 54 (2) 1,
(3) -12, 24 (4) -
;3!;
,
;2!;
;4!;
(1)
=3에서 공비가 3이므로 주어진 수열은
;2^;
2, 6, 18, 54, 162, y
따라서 차례로 18, 54이다.
(2)
=
;9#;
;3!;
에서 공비가
이므로 주어진 수열은
;3!;
9, 3, 1,
,
;3!;
;9!;
, y
따라서 차례로 1,
이다.
;3!;
(3) 6
-3
=-2에서 공비가 -2이므로 주어진 수열은
-3, 6, -12, 24, -48, y
따라서 차례로 -12, 24이다.
(4) ;1Á6;
-
;8!;
=-
에서 공비가 -
이므로 주어진 수열은
;2!;
;2!;
1, -
,
;2!;
;4!;
, -
,
;8!;
;1Á6;
, y
따라서 차례로 -
,
;2!;
;4!;
이다.
037
답
(1) an=5´2n-1 (2) an=3´(-2)n-1
(3) an=(-1)´
(4) an=16´
n-2
{;3!;}
n-1
{;2#;}
(1) a=5, r=2이므로 an=5´2n-1
(2) a=3, r=-2이므로 an=3´(-2)n-1
(3) a=-3, r=
이므로 an=-3´
n-1
=(-1)´
n-2
{;3!;}
(4) a=16, r=
이므로 an=16´
;3!;
;2#;
{;3!;}
n-1
{;2#;}
즉, 등차수열 {an}은 첫째항부터 제4항까지가 양수이고,
제5항부터 음수이므로 첫째항부터 제4항까지의 합이 최대이다.
따라서 Sn의 최댓값은
S4=
4{2_7+(4-1)_(-2)}
2
=16
038
답
(1) an=3n-1 (2) an=
n-3
(3) an=0.1n
(4) an=(-1)n-1´
'
(1) 첫째항이 1, 공비가 3이므로 an=1´3n-1=3n-1
{;2!;}
n-5
1
2 }
{
(2) 첫째항이 4, 공비가
이므로 an=4´
;2!;
n-1
n-3
{;2!;}
=
{;2!;}
Ⅲ. 수열 65
3단원해설-ok.indd 65
2018-04-17 오후 2:20:03
039
답
(1) an=2n+1, a6=128 (2) an=(-1)´3n-4, a6=-9
041
답
(1) an=9n-3 (2) an=3´2n-1 (3) an=(-1)´
n-8
{;2!;}
(3) 첫째항이 0.1, 공비가 0.1이므로 an=0.1´(0.1)n-1=(0.1)n
(3) a£=arÛ`=-6 yy ㉠
(4) 첫째항이 4, 공비가 -
이므로
1
2
n-1
'
=(-1)n-1´
an=4´
-
{
1
2 }
'
n-5
1
2 }
'
{
(3) an=(-1)n-1´
n-6
, a6=-1
{;2!;}
n-1
(4) an=
´
;8#1@;
{;2#;}
(6) an=(-1)n-1´
n-2
1
5 }
'
{
, a6=-
;2Á5;
(1) a=4, r=2이므로 an=4´2n-1=2n+1
, a6=3 (5) an=(-1)n, a6=1
∴ a6=128
∴ a6=-9
(2) a=-
, r=3이므로 an=-
´3n-1=(-1)´3n-4
;2Á7;
;2Á7;
(3) a=32, r=-
이므로
;2!;
n-1
an=32´
-
{
;2!;}
=(-1)n-1´
n-6
{;2!;}
∴ a6=-1
(4) a=
, r=
;8#1@;
=
;2#;
이므로 an=
´
;8#1@;
{;2#;}
n-1
;3$;
;9*;
1
-1
-1
5
'
1
5 }
'
∴ a6=3
(5) a=-1, r=
=-1이므로
an=-1´(-1)n-1=(-1)n
∴ a6=1
(6) a=
5 , r=
=-
이므로
'
1
5
'
an=
5 ´
-
'
{
∴ a6=-
;2Á5;
n-1
=(-1)n-1´
n-2
1
5 }
'
{
(1) aª=ar=2 yy ㉠
a°=arÝ`=54 yy ㉡
㉡Ö㉠을 하면 rÜ`=27 ∴ r=3 (∵ r>0)
r=3을 ㉠에 대입하면 a=
;3@;
(2) aª=ar=32 yy ㉠
a°=arÝ`=4 yy ㉡
a°=arÝ`=-96 yy ㉡
㉡Ö㉠을 하면 rÛ`=16 ∴ r=4 (∵ r>0)
r=4를 ㉠에 대입하면 a=-
;8#;
(1) a£=arÛ`=1 yy ㉠
a°=arÝ`=81 yy ㉡
㉡Ö㉠을 하면 rÛ`=81 ∴ r=9 (∵ r>0)
r=9를 ㉠에 대입하면 a=
;8Á1;
∴ an=
´9n-1=9n-3
;8Á1;
(2) a¢=arÜ`=24 yy ㉠
a¦=arß`=192 yy ㉡
r=2를 ㉠에 대입하면 a=3
∴ an=3´2n-1
(3) a°=arÝ`=-8 yy ㉠
a¥=arà`=-1 yy ㉡
㉡Ö㉠을 하면 rÜ`=8 ∴ r=2 (∵ r>0)
㉡Ö㉠을 하면 rÜ`=
∴ r=
(∵ r>0)
;8!;
;2!;
r=
을 ㉠에 대입하면 a=-128
;2!;
∴ an=-128´
n-1
=(-1)´
n-8
{;2!;}
{;2!;}
(1) an=(-1)´2n (2) an=3n-2 (3) an=2n-2
042
답
(4) an=81´
{;3@;}
n-1
(1) aÁ+aª=a+ar=-6
a(1+r)=-6 yy ㉠
a£+a¢=arÛ`+arÜ`=-24
arÛ`(1+r)=-24 yy ㉡
r=2를 ㉠에 대입하면 a=-2
∴ an=-2´2n-1=(-1)´2n
(2) aª+a£=ar+arÛ`=4
ar(1+r)=4 yy ㉠
a¢+a°=arÜ`+arÝ`=36
arÜ`(1+r)=36 yy ㉡
㉡Ö㉠을 하면 rÛ`=9 ∴ r=3 (∵ r>0)
040
답
(1) a=
, r=3 (2) a=64, r=
(3) a=-
, r=4
;2!;
;8#;
;3@;
㉡Ö㉠을 하면 rÛ`=4 ∴ r=2 (∵ r>0)
㉡Ö㉠을 하면 rÜ`=
∴ r=
(∵ r>0)
;8!;
;2!;
r=3을 ㉠에 대입하면 a=
;3!;
r=
을 ㉠에 대입하면 a=64
;2!;
∴ an=
´3n-1=3n-2
;3!;
66 정답 및 해설
3단원해설-ok.indd 66
2018-04-17 오후 2:20:04
정답 및 해설 (3) aª+a¢=ar+arÜ`=5
ar(1+rÛ`)=5 yy ㉠
a°+a¦=arÝ`+arß`=40
arÝ`(1+rÛ`)=40 yy ㉡
(4) aª+a£=ar+arÛ`=90
ar(1+r)=90 yy ㉠
a¢+a°=arÜ`+arÝ`=40
arÜ`(1+r)=40 yy ㉡
㉡Ö㉠을 하면 rÜ`=8 ∴ r=2 (∵ r>0)
r=2를 ㉠에 대입하면 a=
∴ an=
´2n-1=2n-2
;2!;
;2!;
㉡Ö㉠을 하면 rÛ`=
∴ r=
(∵ r>0)
;9$;
;3@;
r=
를 ㉠에 대입하면 a=81
;3@;
∴ an=81´
n-1
{;3@;}
045
답
(1) 1 또는 -
(2) 1 (3) 0 또는 5
;4#;
(1) 4xÛ`=x+3, 4xÛ`-x-3=0
(x-1)(4x+3)=0 ∴ x=1 또는 x=-
;4#;
(2) (x+1)Û`=(x-2)(x-5), xÛ`+2x+1=xÛ`-7x+10
9x=9 ∴ x=1
(3) (x+1)Û`=(x-1)(2x-1), xÛ`+2x+1=2xÛ`-3x+1
xÛ`-5x=0, x(x-5)=0 ∴ x=0 또는 x=5
046
답
a=6, b=12
a, b, 18이 등차수열을 이루므로 2b=a+18 yy ㉠
3, a, b가 등비수열을 이루므로
aÛ`=3b, b=
을 ㉠에 대입하여 정리하면
aÛ`
3
2aÛ`-3a-54=0, (a-6)(2a+9)=0
∴ a=6, b=12 (∵ a>0, b>0)
043
답
(1) a=6, b=12, c=24 (2) a=5, b=10, c=20
(3) a=4, b=12, c=36 (4) a=18, b=6, c=2
(1) 3, a, b, c, 48은 첫째항이 3, 제5항이 48인 등비수열이므로
047
답
a=-1, b=-3
1, a, b가 등차수열을 이루므로
2a=b+1, b=2a-1 yy ㉠
48=3_rÝ` ∴ r=2 (∵ r>0)
∴ a=3_2=6, b=3_2Û`=12, c=3_2Ü`=24
(2)
, a, b, c, 40은 첫째항이
, 제5항이 40인
;2%;
등비수열이므로
40=
_rÝ` ∴ r=2 (∵ r>0)
∴ a=
_2=5, b=
_2Û`=10, c=
_2Ü`=20
;2%;
;2%;
(3)
, a, b, c, 108은 첫째항이
, 제5항이 108인
;3$;
등비수열이므로
108=
_rÝ` ∴ r=3 (∵ r>0)
∴ a=
_3=4, b=
_3Û`=12, c=
_3Ü`=36
;3$;
(4) 54, a, b, c,
는 첫째항이 54, 제5항이
인
;3@;
등비수열이므로
;3$;
;3@;
;2%;
;3$;
;2%;
;2%;
;3$;
;3$;
=54_rÝ` ∴ r=
(∵ r>0)
;3@;
;3!;
∴ a=54_
=18, b=54_
=6, c=54_
;3!;
2
{;3!;}
3
=2
{;3!;}
044
답
(1) Ñ4 (2) Ñ15 (3) Ñ4
(1) xÛ`=
_64=16 ∴ x=Ñ4
;4!;
(2) xÛ`=3_75=225 ∴ x=Ñ15
(3) xÛ`=6_
=16 ∴ x=Ñ4
;3*;
a,
3 , b가 등비수열을 이루므로 (
3)Û`=ab
"
'
3=ab에 ㉠을 대입하여 정리하면
2aÛ`-a-3=0, (2a-3)(a+1)=0
∴ a=-1, b=-3`(∵ a, b는 정수)
048
답
(1) 2(2n-1) (2)
(3n-1) (3)
;9!;
n
1-
-
{
;2!;}
]
;3*;[
(4) 5n
(1) 첫째항이 2, 공비가 2이므로 Sn=
2(2n-1)
2-1
=2(2n-1)
(3n-1)
;9@;
3-1
(3n-1)
=
;9!;
(2) 첫째항이
, 공비가 3이므로 Sn=
;9@;
(3) 첫째항이 4, 공비가 -
이므로
;2!;
Sn=
n
4
1-
-
[
;2!;}
]
{
{
1-
-
;2!;}
=
;3*;[
1-
-
{
;2!;}
]
n
(4) 첫째항이 5, 공비가 1이므로 Sn=5n
049
답
(1) 75 (2) 244 (3)
;;ª6°4°;;
(1) S¢=
5(2Ý`-1)
2-1
=5(2Ý`-1)=75
(2) S°=
4{1-(-3)Þ`}
1-(-3)
=1-(-3)Þ`=244
(3) S¥=
8
2
1-
[
{;2!;}
]
1-
;2!;
=4
1-
[
{;2!;}
]
;;ª6°4°;;
8
=
Ⅲ. 수열 67
3단원해설-ok.indd 67
2018-04-17 오후 2:20:05
050
답
13
첫째항을 a, 공비를 r라 하면
S£=1에서 a(rÜ`-1)
r-1
S¤=4에서 a(rß`-1)
r-1
=1 yy ㉠
=4 yy ㉡
㉡Ö㉠을 하면 rÜ`+1=4 ∴ rÜ`=3
∴ S»=
a(rá`-1)
r-1
=
a(rÜ`-1)(rß`+rÜ`+1)
r-1
=rß`+rÜ`+1=3Û`+3+1=13
051
답
26
첫째항을 a, 공비를 r라 하면
S¢=2에서 a(rÝ`-1)
r-1
S¥=8에서 a(r¡`-1)
r-1
=2 yy ㉠
=8 yy ㉡
㉡Ö㉠을 하면 rÝ`+1=4 ∴ rÝ`=3
∴ S12=
a(r12-1)
r-1
=
a(rÝ`-1)(r¡`+rÝ`+1)
r-1
=2(r¡`+rÝ`+1)=2(3Û`+3+1)=26
052
답
(1) 16만 원 (2) 17.9만 원
(1) 10(1+10_0.06)=10_1.6=16(만 원)
(2) 10(1+0.06)10=10_1.79=17.9(만 원)
053
답
(1) 196만 원 (2) 252만 원
(1) 100(1+12_0.08)=100_1.96=196(만 원)
(2) 100(1+0.08)12=100_2.52=252(만 원)
054
답
(1) 1122만 원 (2) 1100만 원
(1) 100(1+0.02)+100(1+0.02)Û`+y+100(1+0.02)10
=
100(1+0.02){(1+0.02)10-1}
(1+0.02)-1
=
100_1.02_0.22
0.02
=1122(만 원)
(2) 100+100(1+0.02)+100(1+0.02)Û`+y+100(1+0.02)á`
=
100{(1+0.02)10-1}
(1+0.02)-1
=
100_0.22
0.02
=1100(만 원)
055
답
(1) 1040만 원 (2) 1000만 원
(1) 50(1+0.04)+50(1+0.04)Û`+y+50(1+0.04)15
=
50(1+0.04){(1+0.04)15-1}
(1+0.04)-1
=
50_1.04_0.8
0.04
=1040(만 원)
(2) 50+50(1+0.04)+50(1+0.04)Û`+y+50(1+0.04)14
=
50{(1+0.04)15-1}
(1+0.04)-1
=
50_0.8
0.04
=1000(만 원)
68 정답 및 해설
056
답
(1) an=2n+1 (단, n¾1)
(2) aÁ=-1, an=2n-4 (단, n¾2)
(3) an=2n-1 (단, n¾1)
(1) an =Sn-Sn-1
=nÛ`+2n-{(n-1)Û`+2(n-1)}
=2n+1 (단, n¾2)
이때 SÁ=3과 an=2n+1에 n=1을 대입한 것이 같으므로
일반항 an은
an=2n+1 (단, n¾1)
(2) an =Sn-Sn-1
=nÛ`-3n+1-{(n-1)Û`-3(n-1)+1}
=2n-4 (단, n¾2)
이때 SÁ=-1과 an=2n-4에 n=1을 대입한 것이 같지
않으므로 일반항 an은
aÁ=-1, an=2n-4 (단, n¾2)
(3) an =Sn-Sn-1
=2n-1-(2n-1-1)
=2n-1 (단, n¾2)
일반항 an은
an=2n-1 (단, n¾1)
이때 SÁ=1과 an=2n-1에 n=1을 대입한 것이 같으므로
057 제6항
답
a=-
, r=-3이므로 an=-
_(-3)n-1
;2Á7;
;2Á7;
-
;2Á7;
_(-3)n-1=9, (-3)n-1=-3Þ` ∴ n=6
따라서 9는 제6항이다.
058 ②
답
, a, b, c, 56은 첫째항이
, 제5항이 56인 등비수열이므로
;2&;
;2&;
56=
_rÝ` ∴ r=2 (∵ r>0)
;2&;
;2&;
∴ a+b+c=49
∴ a=
_2=7, b=
_2Û`=14, c=
_2Ü`=28
;2&;
;2&;
059
답
5
∴ xÛ`-5x-3=0
(x+1)Û`=(x-2)(2x+1), xÛ`+2x+1=2xÛ`-3x-2
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 x의 값의 합은 5이다.
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정답 및 해설 060
답
189
8
a£=arÛ`=3 yy ㉠
a°=arÝ`=
yy ㉡
;4#;
㉡Ö㉠을 하면 rÛ`=
∴ r=
(∵ r>0)
;4!;
;2!;
r=
을 ㉠에 대입하면 a=12
;2!;
∴ aÁ+aª+a£+y+a¤=S¤=
6
12
1-
[
{;2!;}
]
1-
;2!;
=
189
8
061 ③
답
30+30(1+0.05)+30(1+0.05)Û`+y+30(1+0.05)á`
=
30{(1+0.05)10-1}
(1+0.05)-1
=
30_0.6
0.05
=360(만 원)
062
답
363
an =Sn-Sn-1
=2_3n-3-(2_3n-1-3)
=4_3n-1 (단, n¾2)
이때 SÁ=3과 an=4_3n-1에 n=1을 대입한 것이 같지 않으므로
일반항 an은 aÁ=3, an=4_3n-1 (단, n¾2)
∴ aÁ+a£+a°=3+36+324=363
3
수열의 합
160쪽~168쪽
063
답
(1)
ak (2)
2k (3)
(4)
kÛ`
n
k=1
Á
n
k=1;k!;
Á
9
k=1
Á
(5)
(4k-2) (6)
k(2k-1)
10
k=1
Á
21
k=1
Á
50
k=1
Á
10
k=1
Á
2k
n
k=1
Á
=
1
n
n
k=1;k!;
Á
9
(1) a1+a2+a3+y+a10=
ak
(2) 2+4+6+y+2n=
(3) 1+
+
+y+
;2!;
;3!;
(4) 1Û`+2Û`+3Û`+y+9Û`=
kÛ`
(5) an=4n-2, 4n-2=82 ∴ n=21
첫째항부터 제21항까지의 합이므로
2+6+10+y+82=
(4k-2)
(6) an=n(2n-1)
k=1
Á
21
k=1
Á
064
답
(1) 3+6+9+y+24 (2) 2+2Û`+2Ü`+y+2à`
(3) 3+5+7+y+21
(4) 1_3+2_4+3_5+y+8_10
(5) 1
3_5
+
1
4_6
+
1
5_7
+y+
1
13_15
(6) -1+2-3+4-y-19+20
(1)
3k=3+6+9+y+24
(2)
2k=2+2Û`+2Ü`+y+2à`
(3)
(2k+1)=3+5+7+y+21
(4)
(k-1)(k+1)=1_3+2_4+3_5+y+8_10
(5)
1
k(k+2)
=
1
3_5
+
1
4_6
+
1
5_7
+y+
1
13_15
(6)
(-1)k_k=-1+2-3+4-y-19+20
065
답
(1) 7 (2) 3 (3) -1 (4) 28 (5) 29
(1)
(ak+bk)=
ak+
bk=5+2=7
10
10
(2)
(ak-bk)=
ak-
bk=5-2=3
(3)
(ak+2bk-1)=
(4)
(2ak-bk+2)=2
k=1
Á
10
k=1
Á
k=1
Á
10
k=1
Á
ak+2
10
10
10
bk-
1
k=1
Á
=5+2_2-10=-1
k=1
Á
k=1
Á
10
10
10
bk+
ak-
2
k=1
Á
=2_5-2+20=28
k=1
Á
k=1
Á
(5)
(5ak-3bk+1)=5
ak-3
bk+
10
k=1
Á
10
k=1
Á
10
1
k=1
Á
=5_5-3_2+10=29
066
답
(1) 12 (2) 7 (3) -3 (4) 17 (5) 1 (6) -27
(1)
(akÛ`+2ak)=
akÛ`+2
ak=6+2_3=12
5
(2)
(2akÛ`-5ak+2)=2
5
k=1
Á
k=1
Á
akÛ`-5
5
5
5
ak+
2
k=1
Á
=2_6-5_3+10=7
k=1
Á
k=1
Á
(3)
ak(ak-3)=
akÛ`-3
ak=6-3_3=-3
5
5
k=1
Á
5
(akÛ`+2ak+1)
k=1
Á
(4)
(ak+1)Û`=
=
akÛ`+2
ak+
1=6+2_3+5=17
5
5
k=1
Á
5
k=1
Á
(5)
(ak-1)(ak+1)=
akÛ`-
1=6-5=1
k=1
Á
(akÛ`-1)=
k=1
Á
5
5
k=1
Á
(akÛ`-ak-6)
5
k=1
Á
5
5
k=1
Á
k=1
Á
k=1
Á
5
k=1
5
Á
k=1
Á
Ⅲ. 수열 69
8
k=1
Á
7
k=1
Á
10
k=1
Á
9
k=2
Á
13
k=3
Á
20
k=1
Á
10
k=1
Á
10
k=1
Á
10
k=1
Á
10
k=1
Á
10
k=1
Á
5
k=1
Á
5
k=1
Á
5
k=1
Á
5
k=1
Á
5
k=1
Á
5
k=1
Á
첫째항부터 제50항까지의 합이므로
(6)
(ak+2)(ak-3)=
1_1+2_3+3_5+y+50_99=
k(2k-1)
=
akÛ`-
ak-
6=6-3-30=-27
50
k=1
Á
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10
k=1
Á
10
k=1
Á
10
k=1
Á
10
k=1
Á
10
k=1
Á
10
k=1
Á
k=1
Á
n
n
k=1
Á
n
k=1
Á
n
k=1
Á
10
k=4
Á
067
답
(1) 65 (2) 110 (3) 385 (4) 335 (5) 3025 (6) 1870
(1)
(k+1)=
k+
1=
+10=55+10=65
10
10
k=1
Á
k=2_
k=1
Á
10_11
2
10_11
2
=110
(2)
2k=2
10
k=1
Á
(3)
kÛ`=
10_11_21
6
=385
(4)
(kÛ`-5)=
kÛ`-
5=
10
10
10_11_21
6
-50=335
k=1
Á
10_11
2
k=1
Á
=55Û`=3025
(5)
kÜ`=
{
(6)
k(kÛ`-3k)=
(kÜ``-3kÛ`)=
kÜ`-3
kÛ`
10
k=1
Á
-3_
2
10
k=1
Á
=
{
10_11
2
}
10_11_21
6
2
}
10
k=1
Á
=3025-1155=1870
068
답
(1) n(2n-1) (2) n(n+1)(n+2)
3
(3) n(n-1)(2n-1)
(4) n(n-1)(n+1)(n+2)
6
4
(1)
(4k-3)=4
k-
3=4_
n
n
n(n+1)
2
-3n
k=1
Á
k=1
Á
=2nÛ`-n=n(2n-1)
(2)
k(k+1)=
(kÛ`+k)=
kÛ`+
k
n
n
n
k=1
Á
n(n+1)(2n+1)
6
k=1
Á
k=1
Á
n(n+1)
2
+
=
(3)
(k-1)Û`=
=
n(n+1){(2n+1)+3}
6
=
n(n+1)(n+2)
3
n
(kÛ`-2k+1)=
k=1
Á
n(n+1)(2n+1)
6
=
n
n
n
k+
kÛ`-2
1
k=1
k=1
k=1
Á
Á
Á
-2_ n(n+1)
+n
2
=
n{(n+1)(2n+1)-6(n+1)+6}
6
=
n(n-1)(2n-1)
6
(4)
k(k+1)(k-1)=
(kÜ`-k)=
kÜ`-
k
]
2`
-
n
k=1
Á
=
[
n(n+1)
2
n
n
k=1
Á
-
k=1
Á
n(n+1)
2
=
nÛ`(n+1)Û`
4
2n(n+1)
4
=
n(n+1){n(n+1)-2}
4
=
n(n-1)(n+1)(n+2)
4
069
답
(1) 133 (2) 265 (3) 432 (4) 852
(1)
(3k-2)=
(3k-2)-
(3k-2)
10
k=1
Á
3_
{
=
3
k=1
Á
-20
=145-12=133
10_11
2
-
3_
}
{
3_4
2
-6
}
70 정답 및 해설
(kÛ`-2k)
10
(2)
k=5
Á
=
10
k=1
Á
(kÛ`-2k)-
(kÛ`-2k)
4
k=1
Á
-2_
=
{
10_11_21
6
10_11
2
-
}
{
4_5_9
6
-2_
4_5
2 }
(kÛ`+k)=
(kÛ`+k)-
(kÛ`+k)
=
{
10_11_21
6
10_11
2
}
2_3_5
6
+
2_3
2 }
=275-10=265
k(k+1)
10
(3)
k=3
Á
=
10
k=3
Á
10
k=1
Á
+
5
k=1
Á
-
2
=440-8=432
k(2k-1)(2k+1)
5
(4)
k=3
Á
=
5
k=3
Á
4_
[
=
=885-33=852
2
k=1
Á
-
{
2
k=1
Á
(4kÜ`-k)=
(4kÜ`-k)-
(4kÜ`-k)
5_6
{
2 }
5_6
2 ]
-
4_
{
[
2_3
2 }
2_3
2
-
2 ]
070
답
(1) 495 (2) 1100 (3) 2845 (4) 220
(1) 일반항이 n(n+2)=nÛ`+2n이므로
(kÛ`+2k)=
kÛ`+2
k
10
10
k=1
Á
k=1
Á
10_11_21
6
=
+2_
10_11
2
=495
10
k=1
Á
10
k=1
Á
10
k=1
Á
(2) 일반항이 2n(n+3)=2nÛ`+6n이므로
(2kÛ`+6k)=2
kÛ`+6
k
10
10
k=1
Á
=2_
k=1
Á
10_11_21
6
+6_
10_11
2
=1100
(3) 일반항이 (3n-2)Û`=9nÛ`-12n+4이므로
(9kÛ`-12k+4)=9
kÛ`-12
k+
10
10
10
k=1
Á
=9_
k=1
Á
10_11_21
6
4
k=1
Á
-12_
10_11
2
+40
=2845
(4) 일반항이 n(n+1)
=
2
nÛ`+n
2
이므로
kÛ`+k
2
=
}
;2!;{
10
k=1{
Á
k
}
10
10
kÛ`+
k=1
Á
k=1
Á
10_11_21
6
=
;2!;{
+
10_11
2
}
=220
071
답
;2!;
(1)
(311-3) (2) 3
-1
(3) 211+53
]
(4) 3_210+217 (5) 773-311
[{;2#;}
1`0`
2
(1)
3k=3+3Û`+3Ü`+y+310
10
k=1
Á
=
3(310-1)
3-1
=
;2!;
(311-3)
3단원해설-ok.indd 70
2018-04-17 오후 2:20:08
정답 및 해설 10
(2)
k=1{;2#;}
Á
k
=
+
;2#;
{;2#;}
2
+
{;2#;}
3
+y+
{;2#;}
10
=3
[{;2#;}
10
-1
]
10
-1
]
;2#;[{;2#;}
=
-1
;2#;
10
2k+
10
k
k=1
k=1
Á
Á
2(210-1)
2-1
=
(3)
(2k+k)=
(4)
(3_2k-1+4k)=
3_2k-1+4
10
10
k
+
10_11
2
=211+53
k=1
Á
3(210-1)
2-1
k=1
Á
+4_
=
10_11
2
=3_210+217
10
k=1
Á
10
k=1
Á
10
k=1
Á
(5)
(kÛ`-3k)=
10
kÛ`-
10
3k
k=1
Á
k=1
Á
10_11_21
6
=
-
3(310-1)
3-1
=
773-311
2
072
답
(1)
(2)
(3)
;2!0(;
;1¦8;
;1¤8¦0;
(1) 1
1_2
+
1
2_3
+
1
3_4
+y+
1
19_20
=
-
{;1!;
;2!;}
{;2!;
;3!;}
{;3!;
;4!;}
+
-
+
-
+y+
-
{;1Á9;
;2Á0;}
=
-
+
-
+
{;2!;
;3!;}
{;3!;
;4!;}
{;4!;
;5!;}
-
+y+
-
{;8!;
;9!;}
=1-
=
;2Á0;
;2!0(;
1
(k+1)(k+2)
1
k+1
-
1
k+2 }
7
(2)
k=1
Á
=
7
k=1{
Á
=
-
=
;9!;
;2!;
;1¦8;
2
(k+2)(k+4)
6
(3)
k=1
Á
=
6
k=1;2@;{
Á
1
k+2
-
1
k+4 }
=
-
+
-
+
-
{;3!;
;5!;}
{;4!;
;6!;}
{;5!;
;7!;}
+
y+
-
+
-
{;7!;
;9!;}
{;8!;
;1Á0;}
=
+
-
-
;9!;
;4!;
;3!;
;1Á0;
=
;1¤8¦0;
073
답
(1) 6 (2) 7 (3) 4 (4)
(4+
15 -
2 -
3)
;2!;
'¶
'
'
(1)
2
3 +1
+
2
5 +
'
=(
'
3 -1)+(
'
=7-1=6
2
7 +
'
'
3)+(
5
+
3
'
5-
'
'
7-
'
'
+y+
2
49 +
47
'¶
'¶
5)+y+(
49 -
47)
'¶
'¶
(2)
3
4 +1
+
3
7 +
'
=(
'
4 -1)+(
'
=8-1=7
+
4
'
7-
'
'
3
10 +
7
+y+
3
64 +
61
'¶
4)+(
'
10-
'¶
'¶
7)+y+(
'¶
'
64 -
61)
'¶
'¶
1
k+1 +
k
'§
24
(3)
k=1
Á
=
'Ä
24
k=1
Á
24
'Ä
=
(
k=1
Á
'
=5-1=4
=(
1
k+3 +
k+1
'§
13
(4)
k=1
Á
=
=
'Ä
13
k=1
Á
;2!;
(
'Ä
13
(
k=1
Á
{(
'
'Ä
(
'Ä
k+1 +
'Ä
k+1 -
k+1 -
k)(
'Ä
'§
k)
'§
k
'§
k+1 -
k)
'§
2 -1)+(
3-
2)+(
4-
3)+y+(
25 -
24)
'
'
'
'
'¶
'¶
k+3 +
k+3 -
'§
'Ä
k+1)(
'Ä
'§
k+3 -
k+1)
'§
k+1
k+3 -
k+1)
'Ä
=
;2!;
4 -
2)+(
5-
3)+(
6-
4)+
'
'
'
'
'
y+(
15 -
13)+(
16 -
14)}
'¶
'¶
'¶
'¶
=
(
;2!;
'¶
15 +
16-
'
2-
'
'¶
3)=
(4+
;2!;
15-
'
2-
'
'¶
3)
074
답
(1)
:Á4»:
;4#;
_311+
(2) 2-13_
(3) 8_210+2
11
{;2!;}
(1) S=1_3+2_3Û`+3_3Ü`+y+10_310
-
-2S= 3+ 3Û`+ 3Ü`+y+
1_3Û`+2_
+ 9_
3Ü`+y
3S=
>³
310+10_311
310-10_311
=
3(310-1)
3-1
-10_311
∴ S=
_311+
:Á4»:
;4#;
(2)
S=1_
1
2 S=
-
>³
1
2 S=
1
2 +2_
{
1_
{
1
2 +
{
1
2
+3_
2 }
{
1
2
+2_
2 }
{
1
2
+
2 }
11
{
1
3
+y+11_
2 }
{
1
3
+y+10
2 }
1
3
+y+
2 }
_
{
{
1
11
2 }
1
11
`
+11_
2 }
{
1
11
-11_
2 }
{
1
12
2 }
1
12
`
2 }
`
=
1-
;2!;[
{;2!;}
]
12
-11_
{;2!;}
∴ S=2-13_
1-
;2!;
11
{;2!;}
(3) S=1_2+2_2Û`+3_2Ü`+y+9_2á` 이므로
-
S=1_2+2_2Û`+3_2Ü`+y+9_2á`
1_2Û`+2_
2á`+9_210
-S= 2+ 2Û`+ 2Ü`+y+ 2á`-9_210
2Ü`+y+8_
2S=
>³
=
2(2á`-1)
2-1
-9_210
∴ S=8_210+2
075 제46항
답
주어진 수열을 군수열로 나타내면
(1), (2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4, 4), y
10은 10군의 1번째 항이다.
각 군의 항의 개수는 1, 2, 3, 4, y이므로
제9군까지의 항의 개수는 9_10
=45(개)
2
따라서 10은 45+1=46번째 항에서 처음으로 나타난다.
Ⅲ. 수열 71
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2018-04-17 오후 2:20:09
Ä
Ä
Ä
§
Ä
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
076 제31항
답
079
답
(1) (1), (2, 3), (4, 5, 6, 7),
주어진 수열을 군수열로 나타내면
(8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15), y
,
,
,
,
,
,
{;1!;}
{;2!;
;2@;}
{;3!;
;3@;
;3#;}
{;4!;
;4@;
;4#;
;4$;}
,
,
,
, y
(2) 2n-1개 (3) 32 (4) 36
은 8군의 3번째 항이다.
;8#;
각 군의 항의 개수는 1, 2, 3, 4, y이므로
제7군까지의 항의 개수는 7_8
2
=28(개)
따라서
은 28+3=31번째 항에서 처음으로 나타난다.
;8#;
077
답
(1) 385 (2) 120 (3)
;4#;_{;3!;}
+;;°4Á;;
9
(1) 제n군의 항의 개수는 n개이므로
제n군의 항의 합은 n_n=nÛ`
또한 제10군까지의 합이므로
1+(2+2)+(3+3+3)+y+(10+10+y+10)
=
kÛ`=
10_11_21
6
=385
10
k=1
Á
(2) 1+(1+2)+(1+2+4)+y+(1+2+4+y+64)
=1+(1+2Û`)+(1+2+2Û`)+y+(1+2+2Û`+y+2ß`)
제n군의 항의 개수는 n개이므로
제n군의 항의 합은 1(2n-1)
2-1 =2n-1
또한 제6군까지의 합이므로
1+(1+2)+(1+2+4)+y+(1+2+4+y+64)
=
(2k-1)=
2k-
1=
6
6
2(2ß`-1)
2-1
-6=120
(3) 제n군의 항의 개수는 n개이므로
k=1
Á
k=1
Á
6
k=1
Á
제n군의 항의 합은
n
1_
1-
[
{;3!;}
]
1-
;3!;
n
=
;2#;[
1-
{;3!;}
]
또한 제9군까지의 합이므로
;3!;
=
k
=
9
1-
;2#;
k=1[
Á
=
9-
;2#;
{;3!;}
]
;2#;[
9
9
1-
k=1
Á
9
]
k=1{;3!;}
k`
Á
1-
;3!;[
{;3!;}
]
1-
;3!;
=;4#;_{;3!;}
9`
+;;°4Á;;
078
답
[
]
(1) (1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), y
(2) n개 (3) 23 (4) 27
(2) 제1군부터 항의 개수는 1, 2, 3, y이므로
제n군의 항의 개수는 n개이다.
(3) 제6군까지의 항의 개수는
k=
=21(개)
6_7
2
6
k=1
Á
따라서 제7군의 2번째 항은 21+2=23
(4) 제7군의 2번째 항이 23이므로
제7군의 6번째 항은 23+4=27
72 정답 및 해설
(2) 제1군부터 항의 개수는 1, 2Ú`, 2Û`, y이므로
제n군의 항의 개수는 2n-1개이다.
(3) 제5군까지의 항의 개수는
2k-1=
1(2Þ`-1)
2-1
=31(개)
따라서 제6군의 첫 번째 항은 31+1=32
5
k=1
Á
(4) 제6군의 첫 번째 항이 32이므로
제6군의 5번째 항은 32+4=36
080
답
24
10
10
5
ak=
ak-
ak=32-8=24
k=6
Á
k=1
Á
k=1
Á
081
답
155
a+b=4, ab=-1이므로
10
k=1
Á
(k-a)(k-b)=
(kÛ`-4k-1)=
kÛ`-4
k-
10
10
10
k=1
Á
10_11_21
6
=
k=1
Á
10_11
2
k=1
Á
-10
-4_
=385-220-10=155
10
1
k=1
Á
082 ①
답
n
2
k(k+1)
k=1
Á
=2
n
k=1{
Á
1
k
-
1
k+1 }
=
2n
n+1
=
17
9
∴ n=17
=2
-
+
-
+
-
[{;1!;
;2!;}
{;2!;
;3!;}
{;3!;
;4!;}
+y+
-
{;n!;
n+1 }]
1
1
2k+1 +
2k-1
'Ä
24
'Ä
24
k=1
Á
=
k=1
Á
(
'Ä
24
=
;2!;
=
;2!;
'Ä
(
k=1
Á
{(
'
2k+1 +
2k+1 -
'Ä
2k-1)(
'Ä
'Ä
'Ä
2k-1
2k+1 -
2k-1)
'Ä
2k+1 -
2k-1)
'Ä
3 -
1)+(
5-
3)+(
7-
5)+y+(
49 -
47)}
'
'
'
'
'
'¶
'¶
=
;2!;
_(7-1)=3
084
답
2n+1-n-2
S=n+(n-1)_2+(n-2)_2Û`+y+ 2n-1
-
2S=
-S=n-
=n-(2+2Û`+y+2n-1+2n)
2n-1+2n
2Û`-y- 2n-1-2n
n_2+
2-
(n-1)_2Û`
+y+2_
>³
∴ S=
2(2n-1)
2-1
-n=2n+1-n-2
1+
{
1+
;3!;}
{
+
1+
+
+y+
{
1+
;3!;
+
+y+
1
3Û`
1
3á` }
1
3Û` }
083
답
3
3단원해설-ok.indd 72
2018-04-17 오후 2:20:10
정답 및 해설³
³
³
³
085 ⑤
답
주어진 수열을 군수열로 나타내면
088
답
(1) an=-3n-1 (2) an=
n-3
(3) an=3n-1
{;3!;}
(1) an+1=3an이므로 {an}은 공비가 3인 등비수열이다.
{;2!;}
{;3!;
;3@;}
{;4!;
;4@;
;4#;}
{;5!;
;5@;
;5#;
;5$;}
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, y
제n군의 분모는 n+1이므로
는 11군의 5번째 항이다.
각 군의 항의 개수는 1, 2, 3, 4, y이므로
제10군까지의 항의 개수는 10_11
=55(개)
;1°2;
2
따라서
는 55+5=60번째 항에서 처음으로 나타난다.
;1°2;
4
수학적 귀납법
170쪽~176쪽
086
답
(1) 10 (2) 41 (3) -46 (4) 11
(1) aª=aÁ+2=2+2=4
a£=aª+2=4+2=6
a¢=a£+2=6+2=8
∴ a°=a¢+2=8+2=10
(2) aª=3aÁ-1=3-1=2
a£=3aª-1=6-1=5
a¢=3a£-1=15-1=14
∴ a°=3a¢-1=42-1=41
(3) aª=3aÁ+2=-6+2=-4
a£=3aª+4=-12+4=-8
a¢=3a£+6=-24+6=-18
∴ a°=3a¢+8=-54+8=-46
(4) a£=aª+aÁ=3+1=4
a¢=a£+aª=4+3=7
∴ a°=a¢+a£=7+4=11
087
답
(1) an=5n-2 (2) an=-3n+13 (3) an=4n-3
(1) an+1=an+5이므로 {an}은 공차가 5인 등차수열이다.
aÁ=3이므로 an=3+(n-1)_5=5n-2
(2) an+2-an+1=an+1-an이므로 {an}은 두 항 사이의 차가 일정
한 등차수열이다.
이때 aª-aÁ=-3, 즉 공차가 -3이고 aÁ=10이므로
an=10+(n-1)_(-3)=-3n+13
(3) 2an+1=an+an+2에서 an+1은 an과 an+2의 등차중항임을 알
수 있다.
이때 aª-aÁ=4, aÁ=1이므로 {an}은 첫째항이 1,
공차가 4인 등차수열이다.
∴ an=1+(n-1)_4=4n-3
aÁ=-1이므로 an=-3n-1
(2)
an+2
an+1
=
an+1
an
등비수열이다.
이므로 {an}은 두 항 사이의 비가 일정한
이때
, 즉 공비가
이고 aÁ=9이므로
;3!;
a2
aÁ
=
;3!;
an=9´
{;3!;}
=
{;3!;}
n-1
n-3
(3) an+1Û`=an`an+2에서 an+1은 an과 an+2의 등비중항임을 알 수
이때
=3, aÁ=1이므로 {an}의 첫째항이 1, 공비가 3인
있다.
a2
aÁ
등비수열이다.
∴ an=3n-1
답
089
(1) an=nÛ`-n+5 (2) an=
3nÛ`-3n-6
2
(3) an=
3n-1
n
(1) an+1=an+2n의 n에
1, 2, 3, y, n-1을 차례로
대입하여 변끼리 각각 더하면
an=aÁ+2+4+6+y+2(n-1)
=5+2{1+2+3+y+(n-1)}
=5+2_
=nÛ`-n+5
(n-1)n
2
(2) an+1=an+3n의 n에
1, 2, 3, y, n-1을 차례로
대입하여 변끼리 각각 더하면
an=aÁ+3+6+9+y+3(n-1)
=-3+3{1+2+3+y+(n-1)}
aª=aÁ+2
a£=aª+4
a¢=a£+6
⋮
aª=aÁ+3
a£=aª+6
a¢=a£+9
⋮
an=an-1+2(n-1)
an=an-1+3(n-1)
=-3+3_
(n-1)n
2
=
3nÛ`-3n-6
2
(3) an+1=an+
=an+
1
nÛ`+n
1
n(n+1)
=an+
1
n -
1
n+1 }
{
의 n에 1, 2, 3, y, n-1을
차례로 대입하여 변끼리
각각 더하면
aª=aÁ+
1-
{
;2!;}
an=aÁ+
{
1-
;2!;}
+
{;2!;
-
;3!;}
a£=aª+
-
{;2!;
;3!;}
{;3!;
;4!;}
+
-
+y
a¢=a£+
-
{;3!;
;4!;}
+
{
1
n-1
-
1
n }
⋮
=2+1-
1
n =
3n-1
n
an=an-1+
1
n-1
{
-
1
n }
Ⅲ. 수열 73
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2018-04-17 오후 2:20:11
091
답
(1) an=2n+1 (2) an=3n-1
(1) an+1=2an-1을 an+1-a=2(an-a) 꼴로 변형하면
(3) (k+1)Û`, (k+1)Û`, (k+1)Û`, (k+1), 2(k+1)+1
답
090
(1) an=-
(2) an=
2
n+1
4
nÛ`+n
(1) an+1=
an의 n에
n+1
n+2
(2) p(2)가 참이면 p(3´2)=p(6)이 참
p(6)이 참이면 p(3´6)=p(18)이 참
p(18)이 참이면 p(3´18)=p(54)가 참
1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여
⋮
변끼리 각각 곱하면
an=
n
n+1
´`y`´
´
;5$;
´
;4#;
;3@;
´aÁ
=
2
n+1
´(-1)=-
2
n+1
(2) an+1=
an의 n에
n
n+2
1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여
변끼리 각각 곱하면
an=
n-1
n+1
´
n-2
n
´`y`´
´
;5#;
´
;4@;
;3!;
´aÁ
=
2
n(n+1)
´2=
4
nÛ`+n
n
n+1
an-1
aª=
aÁ
;3@;
a£=
aª
;4#;
a¢=
a£
;5$;
⋮
an=
aª=
aÁ
;3!;
a£=
aª
;4@;
a¢=
a£
;5#;
⋮
an=
n-1
n+1
an-1
an+1=2an-a에서 a=1
∴ an+1-1=2(an-1)
등비수열이다.
이때 aÁ-1=2이므로
따라서 수열 {an-1}은 첫째항이 aÁ-1, 공비가 2인
an-1=2´2n-1=2n ∴ an=2n+1
(2) an+1=3an+2를 an+1-a=3(an-a) 꼴로 변형하면
an+1=3an-2a에서 a=-1
∴ an+1+1=3(an+1)
따라서 수열 {an+1}은 첫째항이 aÁ+1, 공비가 3인
등비수열이다.
이때 aÁ+1=3이므로
an+1=3´3n-1=3n ∴ an=3n-1
092
답
(1) × (2) (3) ×
(1) p(1)이 참이면 p(3´1)=p(3)이 참
p(3)이 참이면 p(3´3)=p(9)가 참
p(9)가 참이면 p(3´9)=p(27)이 참
⋮
74 정답 및 해설
p(2´3k-1)이 참이면 p(3´2´3k-1)=p(2´3k)이 참이다.
즉, n=2´3k인 p(n)이 참이다. (k=0, 1, 2, 3, y)
이때, 162=2´3Ý` 이므로 p(162)는 참이다.
(3) 소수 k에 대하여 p(k)가 참이라고 하면
p(3k), p(3Û`´k), p(3Ü`´k), …가 참이다.
p(3m-1´k)가 참이면 p(3´3m-1´k)=p(3m´k)가 참이다.
즉, n=3m´k인 p(n)이 참이다.
(k는 소수, m=0, 1, 2, 3, y)
그런데 4는 3의 거듭제곱과 소수의 곱으로 나타낼 수 없으므
로 p(4)의 참, 거짓을 알 수 없다.
093
답
(1) k(k+1)
2
, k(k+1)
2
, (k+1){(k+1)+1}
2
, k+1
(2) 2k+1, 2k+1, 2k+1, (k+1)Û`
(4) 2k, 2k, 2k, 2k+1-1
(1) Ú n=1일 때,
(좌변)=1, (우변)=
1_2
2
=1
따라서 n=1일 때, 주어진 등식이 성립한다.
Û n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면
1+2+3+y+k= k(k+1)
yy ㉠
2
㉠의 양변에 k+1을 더하면
1+2+3+y+k+k+1= k(k+1)
+k+1
2
= (k+1){(k+1)+1}
2
따라서 n= k+1 일 때도 주어진 등식이 성립한다.
Ú, Û에 의해 주어진 등식은 모든 자연수 n에 대하여
성립한다.
(2) Ú n=1일 때,
(좌변)=1, (우변)=1Û`=1
따라서 n=1일 때, 주어진 등식이 성립한다.
Û n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면
1+3+5+y+(2k-1)=kÛ` yy ㉠
㉠의 양변에 2k+1 을 더하면
p(3k-1)이 참이면 p(3´3k-1)=p(3k)이 참
1+3+5+y+(2k-1)+ 2k+1 =kÛ`+ 2k+1
즉, n=3k인 p(n)이 참이다. (k=0, 1, 2, 3, y)
= (k+1)Û`
따라서 p(72)는 참인지 알 수 없다.
따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.
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정답 및 해설
Ú, Û에 의해 주어진 등식은 모든 자연수 n에 대하여 성립
095
답
2´5k-1, 2´5k-1, 7N-5k-1
(좌변)=1, (우변)=2Ú`-1=1
Û n=k (k¾2)일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면
한다.
(3) Ú n=1일 때,
(좌변)=1, (우변)=
1_2_3
6
=1
따라서 n=1일 때, 주어진 등식이 성립한다.
Û n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면
1Û`+2Û`+3Û`+y+kÛ`=
k(k+1)(2k+1)
6
yy ㉠
㉠의 양변에 (k+1)Û` 을 더하면
1Û`+2Û`+3Û`+y+kÛ`+ (k+1)Û`
=
k(k+1)(2k+1)
6
+ (k+1)Û`
=
(k+1){k(2k+1)+6 (k+1) }
=
(k+1)(k+2)(2k+3)
;6!;
;6!;
;6!;
=
(k+1){(k+1)+1}{ 2(k+1)+1 }
따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.
Ú, Û에 의해 주어진 등식은 모든 자연수 n에 대하여 성립
한다.
(4) Ú n=1일 때,
따라서 n=1일 때, 주어진 등식이 성립한다.
Û n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면
1+2+2Û`+y+2k-1=2k-1 yy ㉠
㉠의 양변에 2k 을 더하면
1+2+2Û`+y+2k-1+ 2k =2k-1+ 2k
= 2k+1-1
한다.
094
답
9, 9k-1
Ú n=1일 때,
9Ú`-1=8
따라서 n=1일 때 9n-1은 8의 배수이다.
Û n=k일 때, 9k-1이 8의 배수라고 가정하면
n=k+1이면
9k+1-1= 9 _9k-1
=8_9k+ 9k-1 =8(9k+N)
따라서 n=k+1일 때도 9n-1은 8의 배수이다.
Ú n=1일 때,
71+51-1=7+1=8
따라서 n=1일 때, 7n+5n-1은 2의 배수이다.
Û n=k일 때, 7k+5k-1이 2의 배수라고 가정하면
7k+5k-1=2N ( N은 자연수)으로 놓을 수 있다.
n=k+1이면
7k+1+5k=7´7k+5´5k-1=7(7k+5k-1)- 2´5k-1
=7´2N- 2´5k-1 =2( 7N-5k-1 )
따라서 n=k+1일 때도 7n+5n-1은 2의 배수이다.
Ú, Û에 의해 모든 자연수 n에 대하여 7n+5n-1은 2의 배수이다.
096
답
(1)
1
(k+1)Û`
,
1
(k+1)Û`
,
1
(k+1)Û`
, 2-
1
k+1
, 0
(2) 1+h, k+1 (3) 2, (k+1)Û`, (k+1)Û`
(4) 2, 2, 2, 4k+2, 4k+2
(1) Ú n=2일 때,
(좌변)=1+
=
, (우변)=2-
=
;2!;
;2#;
1
2Û`
;4%;
<
;4%;
;2#;
이므로 n=2일 때, 주어진 부등식이 성립한다.
1+
+
+y+
<2-
yy ㉠
1
2Û`
1
3Û`
1
kÛ`
1
k
㉠의 양변에
을 더하면
1+ 1
2Û`
이때
[
+ 1
3Û`
2- 1
k
+
1
(k+1)Û`
<2- 1
k
+
1
(k+1)Û`
1
-
{ 2-
k+1 }
1
(k+1)Û`
+y+ 1
kÛ`
+ 1
(k+1)Û` ]
1
k(k+1)Û`
1
1
kÛ`
3Û`
+y+
+
1+
+
1
2Û`
1
(k+1)Û`
<2-
1
k+1
따라서 n=k+1일 때도 주어진 부등식이 성립한다.
Ú, Û에 의해 주어진 부등식은 n¾2인 모든 자연수 n에 대
하여 성립한다.
(2) Ú n=2일 때,
(좌변)=(1+h)Û`=1+2h+hÛ`, (우변)=1+2h
1+2h+hÛ`>1+2h이므로 주어진 부등식이 성립한다.
Û n=k (k¾2)일 때, 주어진 부등식이 성립한다고
㉠의 양변에 1+h 를 곱하면
(1+h)k+1>(1+kh)(1+h)
=1+(k+1)h+khÛ`
>1+( k+1 )h (∵ khÛ`>0 )
Ⅲ. 수열 75
`
따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.
=-
< 0 이므로
Ú, Û에 의해 주어진 등식은 모든 자연수 n에 대하여 성립
Ú, Û에 의해 모든 자연수 n에 대하여 9n-1은 8의 배수이다.
따라서 n=k+1일 때도 주어진 부등식이 성립한다.
9k-1=8N ( N은 자연수)으로 놓을 수 있다.
가정하면 (1+h)k>1+kh yy ㉠
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Ú, Û에 의해 주어진 부등식은 n¾2인 모든 자연수 n에 대
이때 2á`=512, 210=1024이므로 처음으로 1000보다 커지는 항은
제13항이다.
32>25이므로 n=5일 때, 주어진 부등식이 성립한다.
099 ②
답
Û n=k (k¾5)일 때, 주어진 부등식이 성립한다고
aÁ=2, an+1=an+2n이므로
한편 2kÛ`-(k+1)Û`=kÛ`-2k-1=(k-1)Û`-2>0
a°=a¢+2Ý`=16+16=32
하여 성립한다.
(3) Ú n=5일 때,
(좌변)=2Þ`=32, (우변)=5Û`=25
가정하면 2k>kÛ yy ㉠
㉠의 양변에 2 를 곱하면
2k+1>2kÛ` yy ㉡
이므로 2kÛ`> (k+1)Û` yy ㉢
㉡, ㉢에서 2k+1> (k+1)Û`
따라서 n=k+1일 때도 주어진 부등식이 성립한다.
Ú, Û에 의해 주어진 부등식은 n¾5인 모든 자연수 n에 대
하여 성립한다.
(4) Ú n=3일 때,
(좌변)=2Ü`=8, (우변)=2´3+1=7
8>7이므로 n=3일 때, 주어진 부등식이 성립한다.
Û n=k (k¾3)일 때, 주어진 부등식이 성립한다고
가정하면 2k>2k+1 yy ㉠
㉠의 양변에 2 를 곱하면
2k_ 2 >(2k+1)_ 2
2k+1> 4k+2
이때 ( 4k+2 )-{2(k+1)+1}=2k-1>0이므로
2k+1>2(k+1)+1
따라서 n=k+1일 때도 주어진 부등식이 성립한다.
101 ⑤
답
Ú, Û에 의해 주어진 부등식은 n¾3인 모든 자연수 n에
(ㄱ) p(1)이 참이면 p(1+3)=p(4)도 참이다.
aª=aÁ+2=2+2=4
a£=aª+2Û`=4+4=8
a¢=a£+2Ü`=8+8=16
ak=2+4+8+16+32=62
5
∴
k=1
Á
100 ①
답
an+1=
2n-1
2n+1
an의 n에
1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여
변끼리 각각 곱하면
an=
2n-3
2n-1
´`y`´
´
´
;5#;
;7%;
;3!;
´aÁ
∴ an=
3
2n-1
∴ a°+
=
+
=8
1
a12
1
3
23
3
aª=
aÁ
;3!;
a£=
aª
;5#;
a¢=
a£,
;7%;
⋮
an=
2n-3
2n-1
an-1
p(4)가 참이면 p(4+3)=p(7)도 참이다.
p(7)이 참이면 p(7+3)=p(10)도 참이다.
즉, p(1)이 참이면 p(4), p(7), p(10), y 도 참이므로
p(6)이 참이면 p(6+3)=p(9)도 참이다.
p(9)가 참이면 p(9+3)=p(12)도 참이다.
즉, p(3)이 참이면 p(6), p(9), p(12), y도 참이므로
모든 자연수 k에 대하여 p(3k)도 참이다.
(ㄷ) p(1)이 참이면 p(4), p(7), p(10), y도 참이다.
p(2)가 참이면 p(5), p(8), p(11), y도 참이다.
p(3)이 참이면 p(6), p(9), p(12), y도 참이다.
즉, p(1), p(2), p(3)이 참이면 p(4), p(5), p(6), p(7),
따라서 옳은 것은 (ㄱ), (ㄴ), (ㄷ)이다.
수열 {an}은 첫째항이
, 공비가 2인 등비수열이므로
;4!;
이때 제k항에서 처음으로 1000보다 커진다고 하면
y도 참이므로 모든 자연수 k에 대하여 p(k)도 참이다.
an+1=an+d에서 an+1-an=d (d는 상수)이므로
모든 자연수 k에 대하여 p(3k+1)도 참이다.
수열 {an}은 공차가 d인 등차수열이다.
(ㄴ) p(3)이 참이면 p(3+3)=p(6)도 참이다.
대하여 성립한다.
097 ③
답
a£=2+2d=8이므로 d=3
∴ an=2+(n-1)_3=3n-1
∴ a30=3_30-1=89
098 ①
답
an=
´2n-1=2n-3
;4!;
2k-3>1000
76 정답 및 해설
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정답 및 해설
