正 정답 및 해설 Ⅰ 다항식 1 다항식의 연산 2 항등식과 나머지정리 3 인수분해 12 19 21 Ⅱ 방정식과 부등식 1 복소수 2 이차방정식 3 이차방정식과 이차함수 4 여러 가지 방정식 5 연립일차부등식 6 이차부등식과 연립이차부등식 Ⅲ 도형의 방정식 1 평면좌표 2 직선의 방정식 3 원의 방정식 4 도형의 이동 26 30 38 46 57 61 65 72 78 85 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 1 2017-09-18 오후 7:42:56 빠른 정답 Ⅰ 다항식 1 다항식의 연산 8쪽~23쪽 001 (1) xÛ`+2x-1 (2) 2xÜ`+xÛ`-3x+2 (3) -xÜ`+2xÛ`+xy+y 002 (1) -1+2x+xÛ` (2) 2-3x+xÛ`+2xÜ` (3) y+xy+2xÛ`-xÜ` 003 (1) x+y (2) -a+3c (3) c-10 017 (1) xÛ`+yÛ`+zÛ`-2xy-2yz+2zx (2) xÛ`+4yÛ`+4xy-2x-4y+1 (3) xÛ`+4yÛ`+9zÛ`+4xy+12yz+6zx (4) xÜ`+yÜ`-3xy+1 (5) xÜ`+8yÜ`-6xy+1 018 (1) 5 (2) 40 (3) 13 (4) 29 (5) 48 019 (1) 7 (2) 14 (3) 21 (4) 3 (5) 38 (6) 20 020 (1) 40 (2) -36 (3) 18 (4) 7 (5) 20 021 (1) 2 (2) 18 (3) -52 (4) 36 (5) -14 022 (1) 14 (2) 11 (3) 7 (4) -6 (5) 7 023 (1) yz-2xyÛ`z (2) -2x+ yß`zÜ` (3) 3bcÛ`+2b-c ;3&; 004 (1) 3xÛ`+2x+2 (2) 3xÛ`+4x+11 (3) -2xÜ`+xÛ`-5 (4) 6xÜ`-5xÛ`+x-3 (4) -5xÜ`+xÛ`-2x-7 005 (1) -xÛ`-4x+4 (2) 5xÛ`+4x+4 (3) xÛ`+2xy-4yÛ` (4) 32x+16y 024 (1) 몫 : 2xÛ`-x+2, 나머지 : -3 (2) 몫 : xÛ`-2x-1, 나머지 : -2 006 (1) 3xÛ`-2x+2 (2) xÛ`-6x+4 (3) 5xÛ`-6x+5 (4) -xÛ`-10x+6 (5) 5xÛ`-14x+10 (3) 몫 : xÛ`-2x+3, 나머지 : 5 007 (1) 3xÛ`+3xy-2yÛ` (2) -xÛ`+xy-4yÛ` 025 (1) 몫 : x+3, 나머지 : -8x+5 (3) 5xÛ`+4xy-yÛ` (4) 3xy-7yÛ` (5) -4xÛ`+xy-9yÛ` (2) 몫 : 3x-5, 나머지 : 5x+6 008 (1) -xÜ`+7xÛ`-9x-15 (2) 5xÜ`-3xÛ`+5x-5 (3) 몫 : 2x-3, 나머지 : 11x-7 (3) -8xÜ`+4xÛ`-7x+10 (4) -6xÜ`+2xÛ`-4x+10 026 (1) xÜ`+xÛ`-5x+6=(xÛ`+2x-1)(x-1)-2x+5 (2) 2xÜ`-3xÛ`+1=(xÛ`-2x-1)(2x+1)+4x+2 (3) 4xÜ`-xÛ`+2x-5=(xÛ`-2)(4x-1)+10x-7 (3) 3aÛ`-9aÛ`b+4ab+6abÛ`-4bÛ` (4) xÜ`-2xÛ`y+2xyÛ`-yÜ` (5) 몫 : 2xÛ`-x-1, 나머지 : -3 027 (1) 몫 : xÛ`+x-2, 나머지 : 3 (2) 몫 : xÛ`-3x-3, 나머지 : -2 (3) 몫 : 2xÛ`+x+4, 나머지 : 9 (4) 몫 : 3xÛ`+4x+5, 나머지 : 12 (6) 몫 : xÛ`-2x+2, 나머지 : -1 (7) 몫 : 4xÛ`-5x+5, 나머지 : -3 028 (1) 몫 : xÛ`-x, 나머지 : -1 (2) 몫 : xÛ`-x+1, 나머지 : -3 ;2!; 029 ⑤ 030 ④ 031 ④ 032 ⑤ 033 9 034 14 035 ④ 036 ⑤ 037 몫 : 2x-7, 나머지 : 18 038 4 039 ⑤ 040 ① (5) xÜ`-3xÛ`+4x+5 009 (1) 4xÜ`-3xÛ`-2x-2 (2) 3xÛ`+6x-2 (3) -10xÛ`-10x+8 (4) -3xÜ`+9xÛ`-5 (5) 3xÜ`-xÛ`-4x-3 010 (1) 12x7y6 (2) 18aÞ`bÝ` 011 (1) 6xÛ`-13x-5 (2) 3xÛ`+23xy+14yÛ` (5) xÝ`+xÛ`+1 012 (1) xÛ`+x+ ;4!; (2) 9xÛ`+12x+4 (3) xÛ`-6x+9 (4) xÛ`-4xy+4yÛ` (5) 9xÛ`-3x+ ;4!; 013 (1) xÛ`-4 (2) 4xÛ`-9yÛ` (3) xÛ`+2x-15 (4) xÛ`+x-12 (5) 6xÛ`-13x-5 (6) 6xÛ`+x-2 014 (1) xÜ`+6xÛ`+12x+8 (2) xÜ`+12xÛ`+48x+64 (3) 8xÜ`+12xÛ`+6x+1 (4) xÜ`+6xÛ`y+12xyÛ`+8yÜ` (5) 27xÜ`+27xÛ`y+9xyÛ`+yÜ` 015 (1) xÜ`-9xÛ`+27x-27 (2) 27xÜ`-54xÛ`+36x-8 (3) 8xÜ`-36xÛ`+54x-27 (4) 27xÜ`-9xÛ`y+xyÛ`- yÜ` ;2Á7; (5) xÜ`-9xÛ`y+27xyÛ`-27yÜ` (6) 64xÜ`-48xÛ`y+12xyÛ`-yÜ` 016 (1) xÜ`+27 (2) 27xÜ`+1 (3) xÜ`+8yÜ` (4) xÜ`-8 (5) 8xÜ`-1 (6) 27xÜ`-64yÜ` 2 빠른 정답 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 2 2017-09-18 오후 7:43:00 2 항등식과 나머지정리 25쪽~30쪽 (5) (4x+3y)(16xÛ`-12xy+9yÛ`)` (6) 2(a+3)(aÛ`-3a+9) 041 (1) × (2) (3) (4) × (5) (6) 063 (1) (x-1)(xÛ`+x+1) (2) (x-4)(xÛ`+4x+16) 042 (1) a=3, b=1 (2) a=2, b=-3 (3) a=1, b=1 (4) a=2, b=2 043 (1) -4 (2) 5 (3) 4 044 (1) a=4, b=-1 (2) a=1, b=4 (3) a=2, b=3 (3) (2x-y)(4xÛ`+2xy+yÛ`) (4) (2x-3y)(4xÛ`+6xy+9yÛ`) (5) (a-3b)(aÛ`+3ab+9bÛ`) (6) ab(2a-3b)(4aÛ`+6ab+9bÛ`) 045 (1) a=7, b=-5 (2) a=-2, b=4 (3) a=4, b=2 064 (1) (x+y-z)Û` (2) (a+b+3c)Û` (3) (x-2y+3z)Û` (4) a=1, b=1 046 (1) -9 (2) 4 047 (1) 3 (2) 3 (3) - :£9ª: 048 (1) 7 (2) 4 (3) -1 (4) 9 (5) - ;2!; 049 (1) x+3 (2) 3x-11 (3) x+2 (4) 3x+2 (5) -x-9 050 (1) 6 (2) 3 (3) -1 051 ② 052 ④ 053 ⑤ 054 ③ 055 ⑤ 056 ① (4) (2a+b+2c)Û` (5) (a+b-1)Û` 065 (1) (a+b-3c)(aÛ`+bÛ`+9cÛ`-ab+3bc+3ca) (2) (x+y-2)(xÛ`+yÛ`-xy+2x+2y+4) (3) (a-2b+c)(aÛ`+4bÛ`+cÛ`+2ab+2bc-ca) (4) (a-b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`+ab+bc-ca) (5) (x+y+1)(xÛ`+yÛ`-xy-x-y+1) 066 (1) (x+y+1)(x+y-3) (2) (xÛ`+3x+7)(xÛ`+3x-5) (3) (x+y+2)(x+y-5) 067 (1) (xÛ`+3x+5)(xÛ`+3x-3) (2) (x-1)Û`(xÛ`-2x-12) (3) (xÛ`-3x+1)Û` 068 (1) (xÛ`+1)(xÛ`-3) (2) (x+1)(x-1)(x+3)(x-3) (3) (xÛ`+2)(x+1)(x-1) 069 (1) (xÛ`+x-1)(xÛ`-x-1) (2) (xÛ`+x-4)(xÛ`-x-4) (3) (xÛ`+x-3)(xÛ`-x-3) (4) (xÛ`+2x+2)(xÛ`-2x+2) 072 (1) (x-1)Û`(x+2) (2) (x-1)(x+2)(x-3) (3) (x+2)(xÛ`-x+1) (4) (x-1)Û`(x+3) (5) (x-2)(2xÛ`+5x+8) (6) (x+1)(3xÛ`+2x-2) 073 (1) (x-1)Û`(x+1)(x+2) (2) (x-1)Ü`(x+1) (3) (x+1)Û`(x-1)(x+3) (4) (x-1)(x-2)(x+2)(x-3) (5) (x+1)(x-2)(x+3)(x-4) 074 (1) 100 (2) -160 (3) 1000 075 -9 076 ① 077 -505 078 ③ 079 ③ 3 인수분해 33쪽~43쪽 057 (1) x(2x+5) (2) (a+b)(x+2) (3) (x+1)Û` 070 (1) (a+b)(a-b)(a+c) (2) (x-y)(x-y+z) (4) (a-3)Û` (5) (4x+1)Û` (6) (5a-b)Û` (3) (aÛ`+b)(c-ab) (4) (y-x+1)(y-xÛ`-x-1) 058 (1) (x+2y)(x-2y) (2) (a+4b)(a-4b) 071 (1) (x+2y-1)(x-2y+1) (2) (x+y+1)(x+y+3) (3) (2x+6y)(2x-6y) (4) (3x+5y)(9x-5y) (3) (x-y+2)(x+2y-4) (4) -(a-b)(b-c)(c-a) (5) x+ y ;4!; {;3!; }{;3!; x- y ;4!; } (6) (a-b+c-d)(a-b-c+d) 059 (1) (x-3)(x+1) (2) (a+5b)(a-3b) (3) (x+3y)(x+7y) (4) (3x-y)(x-4y) (5) (5a+b)(2a-b) (6) (2x+1)(x+3) 060 (1) (x+4)Ü` (2) (3x+1)Ü` (3) (3x+2y)Ü` (4) 3(a+2)Ü` 061 (1) (x-3)Ü` (2) (2x-3)Ü` (3) (4x-1)Ü` (4) (2x-y)Ü` (5) (a-2b)Ü` (3) (x+4y)(xÛ`-4xy+16yÛ`) (4) (2x+1)(4xÛ`-2x+1)` 062 (1) (x+2)(xÛ`-2x+4) (2) (3x+1)(9xÛ`-3x+1) 080 271 빠른 정답 3 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 3 2017-09-18 오후 7:43:03 빠른 정답 Ⅱ 방정식과 부등식 1 복소수 48쪽~60쪽 001 (1) ' 3 i (2) 3i (3) 15 i (4) -2 6 i (5) '¶ ' i ;3@; 002 (1) 실수부분`: 2, 허수부분`:`-3 (2) 실수부분`: 2, 허수부분`:`2 (3) 실수부분`: 5 , 허수부분`:` ' 2 ' 3 2 (4) 실수부분`: 3, 허수부분`:`1 (5) 실수부분`: 8, 허수부분`:`0 (6) 실수부분`: 0, 허수부분`:`5 (7) 실수부분`: -1, 허수부분`:`-1 003 (1) ' 9 i Û `, 0, ( -5)Û`, 2i Û`, 2- '¶ 3 (2) -i, ' ' 2 i, -4 '¶ (3) i-1, 3+2i ' 004 (1) x=-2, y=-2 (2) x=-1, y=3 (3) x=10, y=-1 (4) x=3, y=2 (5) x=- , y= ;2#; ;2!; 005 (1) 1-2i (2) -2-3i (3) 2 (4) 3i (5) - 2-i ' (6) 3i-4 (7) 3+ 7 ' 006 (1) 7+3i (2) 1+3i (3) -2 (4) -9-3i 007 (1) -3-4i (2) -11+5i (3) 4+i (4) 3-3i (5) -3+6i 008 (1) 10-5i (2) -13i (3) -2 3-6i (4) 41 ' 009 (1) + ;2¢5; ;2£5; i (2) + (3) 5-2i i 2 3 2 6 5 i 3 5 (4) 2-i (5) + 010 (1) 2 (2) 2 (3) 1 (4) 0 (5) 0 (6) -4 012 (1) x=3, y=-4 (2) x=2, y=1 (3) x=5, y=-2 (4) x=3, y=-5 013 (1) 1-2i (2) 2 (3) 4i (4) 5 014 (1) 3+2i (2) 6 (3) 5 13 12 13 - i (4) 20 015 (1) 1-2i (2) 2-i (3) 1+i (4) 3i (5) 1+i (6) 3+4i 016 (1) -i (2) i (3) -i (4) i (5) -i 017 (1) -8i (2) -64 (3) i (4) i (5) 1 (6) 0 018 (1) i (2) -1 (3) i (4) -1 (5) -2i 019 (1) Ñ ' 2 i (2) Ñ2i (3) Ñ 7 i (4) Ñ2 2 i ' ' 3 (5) Ñ ' 3 3 i (6) Ñ ' 2 i 4 빠른 정답 020 (1) 4 ' 3 i (2) 7i (3) 3i (4) -3 2 i (5) ( 7-7)i ' 6 (4) -6 (5) -6 ' 2 ' 021 (1) 4i (2) 9i (3) - ' (6) - 15 '¶ 022 (1) 2i (2) (3) -2i (4) - 6 i (5) 3 (6) 2 ' ' 023 (1) -2 ' 6- 3 i (2) -2 2 i (3) -9-8i (4) ' + i ;5#; ;5!; 024 (1) -a-b (2) ab (3) -a-b 025 (1) a-b (2) -ab (3) a-b 026 ⑤ 027 ① 028 ② 029 ④ 030 ② 031 ④ 032 i 033 -i i 2 ' 2 이차방정식 63쪽~76쪽 034 (1) a+1일 때, x= 2+2a a-1 a=1일 때, 해는 없다. (2) a+1일 때, x= -a-5 a-1 a=1일 때, 해는 없다. (3) a+Ñ1일 때, x= 1 a-1 a=-1일 때, 해는 무수히 많다. a=1일 때, 해는 없다. 035 (1) x= ;3!; 또는 x=1 (2) x=0 (3) x=- 또는 x= ;2#; ;2%; (4) x=-2 또는 x=- ;3@; (3) x= 또는 x=2 (4) x=-2 또는 x=2 ;3!; ;2#; (5) x= (중근) 037 (1) x= 5 3Ñ ' 2 `(실근) (2) x= 17 -5Ñ 4 '¶ `(실근) (3) x= 7 i 1Ñ ' 4 `(허근) (4) x= 5 i 2Ñ ' 3 `(허근) (5) x= 23 i -3Ñ '¶ 4 `(허근) 038 (1) x=-1 또는 x=1 (2) x=-2 또는 x=2 (3) x=1- 2 또는 x=1 ' 039 (1) k=-1 (2) k=-2 (3) k=-3 2 (4) k=1 ' 040 12`cm 011 (1) a=Ñ2, b=-1 (2) a=4, b=1 (3) a=Ñ2, b=1 036 (1) x=1 또는 x=4 (2) x=-4 또는 x=5 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 4 2017-09-18 오후 7:43:06 041 5초 042 5`cm 043 5초후 044 (1)서로다른두실근 (2)중근 (3)서로다른두실근 (4)서로다른두허근 (5)서로다른두실근 045 (1)k< ;4(; (2)k<4 (3)k>2 046 (1)k=9 (2)k=-6또는k=2 (3)k=1 047 (1)k<- ;4(; (2)k> ;5!; (3)k<2 048 (1)kÉ ;4!; (2)kÉ :Á4£: (3)kÉ4 049 (1)k=-2 (2)k=3 (3)- <k<0또는k>0 ;4!; 050 (1)a=0,b=1 (2)a=1,b=- ;4!; (3)a=-2,b=4 051 (1)a= ;4!; (2)a=3 (3)a=-4또는a=4 (4)a=-4또는a=6 052 (1)a+b=3,ab=-5 (2)a+b=2,ab=-5 (3)a+b=0,ab=9 (4)a+b= ,ab=-3 ;2#; (5)a+b= 2,ab=1 ' 053 (1) ;5@; (2)24 (3)- :Á5¢; (4)-70 054 (1) :ª3£: (2) :Á3»: (3)-2 (4)21 055 (1)11 (2)-11 056 (1)a=1,b=-4 (2)a=-3,b=0 057 (1)k=-16 (2)k=12 (3)k= 또는k=2 ;2!; (4)k=-1 058 (1)k=1 (2)k=-3또는k=7 (3)k=-6또는k=8 (4)k=-1또는k=3 059 (1)xÛ`-8x+12=0 (2)xÛ`-2x-24=0 (3)xÛ`- x+ ;1¦0; ;1Á0; =0 (4)xÛ`-2x-1=0 (5)xÛ`-6x+7=0 (6)xÛ`+4=0 (4)xÛ`+ x+ =0 (5)xÛ`+4x+16=0 ;2!; ;4!; (6)xÛ`+x+1=0 061 (1) { x- 5 1+ ' 2 x- }{ 5 1- ' 2 } (2)(x+3- 2i)(x+3+ 2i) ' (3)3(x+ 3i)(x- 3i) ' (4)3 x- { 2i x- }{ 2i 1- ' 3 } ' ' 1+ ' 3 062 (1)a=-2,b=-1 (2)a=4,b=-1 063 (1)a=-2,b=2 (2)a=-2,b=5 064 ④ 065 ⑤ 066 ② 067 070 ⑤ 071 ;3!; 072 40 073 3 075 ① ;2(; 068 ⑤ 069 ⑤ 074 4xÛ`+8x+3=0 3 이차방정식과 이차함수 80쪽~94쪽 076 (1)꼭짓점의좌표:(1,-1),축의방정식:x=1 (2)꼭짓점의좌표:(2,8),축의방정식:x=2 (3)꼭짓점의좌표: { - ;2!; } ,1 ,축의방정식:x=- ;2!; (4)꼭짓점의좌표: { 1, ;2#;} ,축의방정식:x=1 077 (1)풀이참고 (2)풀이참고 (3)풀이참고 (4)풀이참고 078 (1)a>0,b<0,c>0 (2)a<0,b<0,c>0 (3)a>0,b>0,c<0 079 (1)a<0 (2)b>0 (3)c=0 (4)a-b+c<0 (5)4a+2b+c=0 (6)a+2b+4c>0 080 (1)y=3xÛ`+2 (2)y=6(x-1)Û`-2 (3)y=-2(x+1)Û`-3 (4)y=- (x+1)Û`+1 ;2!; 081 (1)y=xÛ`-x-2 (2)y=-xÛ`-4x-4 (3)y=xÛ`-2x-2 (4)y=xÛ`+4x-1 (5)y=xÛ`-3x+2 (6)y=-xÛ`-2x+5 082 (1)-6,0 (2)-2,1 (3) ;2!; (4)- ;2#; ,1 083 (1)a=-1,b=-12 (2)a=-3,b=-6 (3)a=-1,b=-6 (4)a=-6,b=-8 085 (1)k>-4 (2)k>- :ª8°: (3)k>- ;2&; (4)k>3 086 (1)k= ;4(; (2)k=-6또는k=2 (3)k=2 087 (1)k<- ;1@2%; (2)k<- ;3@; (3)k>-2 088 (1)한점에서만난다. (2)만나지않는다. (3)서로다른두점에서만난다. 빠른 정답 5 060 (1)xÛ`+4x+16=0 (2)xÛ`-2x-8=0 (3)xÛ`+3=0 (3)만나지않는다. 084 (1)서로다른두점에서만난다. (2)한점에서만난다. YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 5 2017-09-18 오후 8:39:25 빠른 정답 089 (1) k>- ;4!; (2) k>-1 (3) k>- ;2#; 090 (1) k= :Á4°: (2) k=-1 (3) k=-7 또는 k=5 091 (1) k>- ;8!; (2) k>2 (3) k>- ;4#; 092 (1) k¾-6 (2) kÉ3 (3) k¾- ;4(; 093 (1) a=3, b=1 (2) a=-3, b=6 (3) a=-6, b=9 094 (1) a=-1, b=7 (2) a=1, b=4 095 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) 풀이 참고 (4) 풀이 참고 096 (1) x=-1일 때 최솟값은 -1 (2) x=2일 때 최댓값은 1 (3) x=3일 때 최댓값은 4 (4) x=1일 때 최솟값은 3 (5) x=1일 때 최댓값은 3 097 (1) a=-5 또는 a=3 (2) a=-8, b=19 (3) a=2, b=14 (4) a=4, b=7 098 (1) 최댓값 : 6, 최솟값 : -3 (2) 최댓값 : 5, 최솟값 : -4 (3) 최댓값 : 4, 최솟값 : -5 (4) 최댓값 : 2, 최솟값 : -6 102 (1) 최댓값 : 38, 최솟값 : 2 (2) 최댓값 : 3, 최솟값 : -6 (5) 최댓값 : 13, 최솟값 : -8 099 (1) 4 (2) 8 (3) 2 (4) -1 100 (1) 3 (2) -1 101 (1) -4 (2) -2 (3) 최댓값 : 20, 최솟값 : -4 (4) 최댓값 : 4, 최솟값 : -5 103 400`mÛ` 104 288`mÛ` 105 -4 106 10 107 45`m 108 ⑤ 109 ① 110 ⑤ 111 ① 112 ③ 113 ① 114 ③ 115 ② 116 ⑤ 117 ② 118 ⑤ (4) x=-4 또는 x=0 또는 x=4 (5) x=-1 또는 x=0 또는 x=2 120 (1) x=1 또는 x=2Ñ ' 2 (2) x=-1 또는 x=Ñ 5 ' (3) x=-1 또는 x=1 또는 x=2 (4) x=1 또는 x= (5) x=2 또는 x=1Ñi 17 -3Ñ 2 '¶ 2 (6) x=1 또는 x=Ñ ' 2 i (7) x=2 또는 x=-2Ñ2i 121 (1) x=-2 또는 x=4 (2) x=-1Ñ 3 i ' (3) x=-3 또는 x=1 122 (1) x=Ñ2i 또는 x=-2 또는 x=2 (2) x=0`(중근) 또는 x=-2 또는 x=1 (3) x=Ñ1 또는 x=2 또는 x=-3 (4) x=-1 또는 x=2 또는 x=Ñi (5) x=1 또는 x=-2 또는 x=Ñ 2 i ' (6) x=Ñ1 또는 x=1Ñ 3 i ' 123 (1) x=2`(중근) 또는 x=-1 또는 x=5 (2) x=-1 또는 x=1 또는 x=2 또는 x=4 (3) x=-1 또는 x=2 또는 x=-2 또는 x=3 124 (1) x=-4 또는 x=-1 또는 x= (2) x=-6 또는 x=-2 또는 x=-4Ñ 17 -5Ñ 2 '¶ 6 ' 125 (1) x=Ñ1 또는 x=Ñ2 (2) x=Ñi 또는 x=Ñ3 (3) x=Ñi 또는 x=Ñ2 (4) x=Ñ 2 i 또는 x=Ñ ' 5 ' 126 (1) x= -1Ñ 2 5 ' 또는 x= 5 1Ñ ' 2 (2) x= 15 i -1Ñ '¶ 2 또는 x= 1Ñ 15 i '¶ 2 (3) x= 17 -3Ñ 2 '¶ 또는 x= 17 3Ñ '¶ 2 (4) x=-1Ñ 2 또는 x=1Ñ ' 2 ' 127 (1) a+b+c=3, ab+bc+ca=4, abc=-2 (2) a+b+c=-2, ab+bc+ca=3, abc=5 (3) a+b+c=- , ab+bc+ca=-6, abc= ;2#; ;2%; (4) a+b+c=0, ab+bc+ca=2, abc= ;2#; 128 (1) 3 (2) 2 (3) -6 (4) - ;3!; (5) - ;2!; (6) 5 129 (1) xÜ`-5xÛ`+2x+8=0 (2) xÜ`+xÛ`-14x-24=0 (3) xÜ`+3xÛ`-4x=0 (4) xÜ`-5xÛ`+3x+1=0 130 (1) xÜ`+4xÛ`+2x-4=0 (2) xÜ`-7xÛ`+13x-3=0 (3) xÜ`+ xÛ`-x+ =0 (4) xÜ`-2xÛ`-16x-16=0 ;2!; ;4!; 4 여러 가지 방정식 98쪽~115쪽 (7) -9 119 (1) x=1 또는 x= 3 i -1Ñ 2 ' (2) x=-2 또는 x=1Ñ 3 i (3) x=3 또는 x= ' -3Ñ3 2 3 i ' 6 빠른 정답 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 6 2017-09-18 오후 7:43:12 131 (1) a=0, b=-6 (2) a=-5, b=-2 (3) a=1, b=-7 132 (1) a=-1, b=0 (2) a=-4, b=6 (3) a=- , b= :ª5ª: :£5£: 133 (1) 1 (2) -1 (3) 0 (4) -1 (5) 1 134 (1) -1 (2) 0 (3) 0 (4) 0 (5) 1 141 (1) [ x=1 y=5 또는 [ x=5 y=1 (2) [ x=-2 y=4 또는 [ x=4 y=-2 (3) [ x=-6 y=1 또는 [ x=1 y=-6 142 (1) [ x=1 y=3 또는 [ x=3 y=1 (2) [ x=4 y=5 또는 [ x=5 y=4 또는 [ x=-5 y=-4 또는 [ x=-4 y=-5 135 (1) x=2, y=-1 (2) x=-2, y=4 (3) x=1, y=2 143 (1) x=2 (2) x=-3 (3) x=3 136 (1) x=5, y=2 (2) x=-1, y=-1 (3) x=-2, y=3 137 (1) [ x=-1 y=-3 또는 [ (2) [ x=0 y=5 또는 [ x=4 y=-3 (3) [ x=-1 y=-3 또는 [ (4) [ x=-1 y=5 또는 [ x=5 y=-1 x=3 y=1 x=5 y=9 144 9`cm, 12`cm 145 48`cm2 146 38 또는 83 147 12`cm (5) x=-1, y=-1 (6) [ x=-5 y=-7 또는 [ x=3 y=1 148 (1) [ x=-5 y=0 또는 [ x=-3 y=-1 또는 [ x=-2 y=-3 또는 [ x=0 y=5 (7) [ x=-9 y=-5 또는 [ x=5 y=2 138 (1) [ x=1 y=-1 또는 [ x=-1 y=1 또는 [ x= y= 2 ' 2 ' 또는 [ x=- y=- 2 ' 2 ' (2) [ x= 3 ' y=- ' 또는 [ 3 3 ' x=- y= 3 ' 또는 [ x=1 y=1 또는 [ x=-1 y=-1 ' x=-3 y=-1 또는 [ ' x=-2 y=-1 또는 [ (3) [ x=2 ' y= 3 3 또는 [ 3 x=-2 ' 또는 [ 3 y=- x=3 y=1 ' (4) [ 3 ' x=- y= 3 또는 [ x= 3 ' y=- 또는 [ 3 ' x=2 y=1 (5) [ x=1 y=1 또는 [ x=-1 y=-1 또는 [ x=2 y=4 또는 [ x=-2 y=-4 x= 2 7 ' 7 4 y=- ' 7 (6) [ 7 또는 [ 2 7 ' 7 x=- 4 y= 7 ' 7 또는 [ x=2 y=2 또는 [ x=-2 y=-2 139 (1) [ x=2 y=1 또는 [ x=-2 y=-1 또는 [ 또는 [ x=-i y=-3i (2) [ x=2 y=1 또는 [ x=-2 y=-1 또는 [ 또는 [ x=-1 y=-3 x=i y=3i x=1 y=3 140 (1) [ x=-1 y=0 또는 [ (2) [ x=-2 y=-1 또는 [ x=1 y=2 x= ;2!; y= ;2#; (3) [ x=1 y=0 또는 [ x=2 y=-1 또는 [ x=1 y=3 또는 [ x=3 y=2 (2) [ x=-2 y=1 또는 [ x=0 y=-1 또는 [ x=2 y=5 또는 [ x=4 y=3 149 (1) x=2, y=3 (2) x=-1, y=2 (3) x=3, y=2 150 ④ 151 2 152 14 153 ② 154 -2 155 14 156 ⑤ 157 ④ 158 ② 159 ③ 160 ② 161 ③ 5 연립일차부등식 117쪽~123쪽 162 (1) > (2) É (3) < (4) É (5) ¾ (6) < 163 (1) xÉ-5 (2) x¾2 (3) xÉ10 (4) x¾6 164 (1) Ú a>2일 때, x>- Û a<2일 때, x<- Ü a=2일 때, 해는 모든 실수이다. 3 a-2 3 a-2 a-1 a+1 a-1 a+1 (2) Ú a>-1일 때, x< Û a<-1일 때, x> Ü a=-1일 때, 해는 없다. (3) Ú a>1일 때, x>2 Û a<1일 때, x<2 Ü a=1일 때, 해는 없다. (4) Ú a>1일 때, x>a Û a<1일 때, x-6 (3) x<1 (3) a=1, b=-6 167 (1) 3Éx<5 (2) -5Éx<-3 (3) x¾1 191 (1) 0<k<4 (2) k¾1 (3) 0<k<3 (4) -2ÉkÉ2 168 (1) a=3, b=8 (2) a=1, b=7 (3) a=16, b=2 192 (1) -3<kÉ0 (2) -1Ék<4 (3) 1Ék<3 169 (1) 해는 없다. (2) x=2 (3) x=1 170 (1) a<- :Á3¼: (2) a<2 (3) a>1 171 (1) aÉ9 (2) a¾1 (3) a>-1 172 (1) -3ÉxÉ7 (2) x<-2 또는 x>8 (3) -4<x<-1 173 (1) x< ;3@; (2) - ;3$; ÉxÉ8 174 (1) xÉ-1 (2) - ;3&; ÉxÉ3 (3) - <x<14 ;;5@; 175 ㈁ 176 6 177 -48 178 ② 179 ① 180 ⑤ 193 (1) xÉ-2 (2) -5<xÉ-3 또는 Éx<9 ;2!; (3) - Éx<2 (4) 0<x<2 (5) -1<xÉ4 ;3!; (6) 4<x<6 (7) -3<xÉ-1 또는 Éx<5 ;2#; 194 (1) -3Éx<-2 또는 1<xÉ2 (2) 4<x<5 (3) xÉ-1 또는 4Éx<5 195 (1) kÉ-1 (2) k¾2 (3) kÉ-1 196 (1) - ;2#; <kÉ0 (2) -2<k<2 197 ② 198 x<-2 또는 x>6 200 6 201 -6ÉaÉ-2 199 3개 202 -10 6 이차부등식과 연립이차부등식 126쪽~134쪽 181 (1) 풀이 참고, -1<x<3 (2) 풀이 참고, xÉ-2 또는 x¾1 182 (1) xÉ-4 또는 x¾2 (2) -4<x<2 183 (1) x<1 또는 x>5 (2) 3ÉxÉ7 184 (1) ① 1<x<4 ② x<1 또는 x>4 (2) ① xÉ-1 또는 x¾2 ② -1ÉxÉ2 185 (1) ① x<-1 또는 x>4 ② -1ÉxÉ4 (2) ① xÉ0 또는 x¾3 ② 0<x<3 186 (1) -6ÉxÉ2 (2) x<2 또는 x>3 (3) <x<3 ;2!; (4) xÉ- 또는 x¾1 (5) -6<x<3 ;3!; (6) x<- 7 또는 x> 7 ' 187 (1) x+1인 모든 실수 (2) 해는 없다. (3) 모든 실수 ' 188 (1) 모든 실수 (2) 해는 없다. (3) 모든 실수 (4) 해는 없다. (5) 모든 실수 (6) 해는 없다. 189 (1) xÛ`-7x+10<0 (2) xÛ`-4x-5<0 (3) xÛ`+x-6É0 (4) xÛ`-6x+8>0 (5) xÛ`+5x+4>0 (6) xÛ`+2x-15¾0 (7) xÛ`-x-6>0 8 빠른 정답 Ⅲ 도형의 방정식 1 평면좌표 137쪽~150쪽 001 (1) 5 (2) 3 (3) ' 2 (4) 5 2 ' 002 (1) -1 또는 5 (2) 2 또는 6 (3) -11 또는 -1 003 (1) '¶ 004 (1) '¶ 10 (2) 29 (3) 41 (4) 5 (5) '¶ '¶ 5 ' 10 (2) 5 (3) 4 (4) 3 2 (5) 5 (6) ' 5 ' 005 (1) 6 (2) 3 (3) 3 또는 7 (4) 3 006 (1) P(5, 0) (2) P(-2, 0) (3) P(3, 0) (4) P , 0 } {;2#; 007 (1) P(0, 3) (2) P(0, 2) (3) P(0, -1) (4) P(0, 1) 26 ④ ∠B=90ù인 직각삼각형 (4) P(-3, 5) 009 (1) ① 3 (2) ① 2 2 ② 2 ' 5 ② 5 2 ③ '¶ 2 ③ 5 ' ' ' 2 ' ④ BCÓ=CAÓ인 이등변삼각형 010 (1) 1 (2) 6 011 (1) 8 (2) 3 (4) x= 3 (5) 해는 없다. (6) x+ 인 모든 실수 ;2!; ' 008 (1) P(1, 1) (2) P(-1, 0) (3) P(2, 1) YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 8 2017-09-18 오후 7:43:17 012 (1) 2 29 (3) 5 2 ' 5 (2) ' '¶ 61 (2) 4 013 (1) '¶ ' 014 (1) 최솟값`:`26, 점 P의 좌표`:`(1, 3) ' 2 (3) 3 5 (4) 5 (2) 최솟값`:`29, 점 P의 좌표 : , {;2!; ;2&;} 015 (1) 1 (2) 2 (3) 2 (4) 3 (5) 3 2 직선의 방정식 153쪽~164쪽 040 (1) y=2x-1 (2) y=2x+4 (3) y=2x+6 (4) y=-x+5 (5) y=x-5 041 (1) y=-2x+3 (2) y=-2x+8 (3) y=-x-1 (4) y=2x-7 016 (1) P {:Á3¦:} (2) P(5) (3) P(0) (4) P(3) (5) P(4) 042 (1) x=-3 (2) x=1 (3) x=5 (4) y=1 (5) y=-4 017 (1) P { 4, ;3%;} (2) P(2, -4) (3) P , {;3@; ;3&;} 043 (1) y= ;2!; x-1 (2) y=2x-6 (3) y=2x+4 019 (1) M ;2(;} (2) M , {;2#; {;2&; , - ;2#;} (3) M(3, 3) 046 (1) 제1, 2, 3사분면 (2) 제1, 3, 4사분면 (4) P {:Á5¤: :Á5£:} (5) P , , {;7#; :Á7¼:} 018 (1) M(4) (2) M {-;2#;} (3) M(2) 020 (1) 3 (2) 5 (3) 4 (4) 5 (5) 2 021 (1) Q(7) (2) Q(8) (3) Q(-8) (4) Q(16) (5) Q(15) 022 (1) Q(-7, 6) (2) Q(-8, 13) (3) Q(7, -4) (4) Q(1, -14) (5) Q(17, -14) 023 {;2!; , -4 } 024 4 5 ' 025 , {-;3*; ;3%;} 026 (1) 0<t< ;3@; (2) ;4!; <t< ;2!; 027 (1) ;6%; (2) ;5@; (3) ;2!; 028 (1) ;4#; (2) ;9$; (3) ;1¤3; 029 (1) G(2, 1) (2) G(1, 2) (3) G(1, 2) (4) G { 4, - ;3%;} (5) G(2, -2) (6) G(5, 5) 030 (1) a=6, b=-8 (2) a=5, b=-2 (3) a=-8, b=3 (4) a=8, b=5 031 (1) a=4, b=1 (2) a=7, b=5 (3) a=-1, b=4 (4) a=1, b=3 032 (1) a=5, b=-1 (2) a=4, b=3 (3) a=9, b=-1 (4) a=0, b=4 또는 a=4, b=8 033 4 034 ④ 035 ① 036 39 037 ① 038 ;3%; 039 (2, -1) (4) y=-4x-4 044 (1) 5 (2) 6 (3) -3 또는 3 045 (1) y=-3x+1 (2) y=2x-3 (3) 제2, 3, 4사분면 047 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) 풀이 참고 (4) 풀이 참고 048 (1) 2 (2) 0 (3) 4 (4) 2 049 (1) y=2x-1 (2) y=-3x-5 (3) y= x- ;5$; ;`Á5£`;` (4) y=2x-7 050 (1) - ;2!; (2) ;5@; (3) -2 (4) 3 051 (1) y=- x+ ;3&; (2) y=-2x-1 (3) y=2x+4 ;3!; (4) y=-3x+1 052 (1) ① -3 ② 2 ③ - ;5#; (2) ① -1 ② 3 ③ 0 또는 -2 053 (1) y=x-3 (2) y=x-1 (3) y=- x+2 ;2!; 054 (1) (2, -4) (2) (3, 6) (3) (-4, -3) 055 (1) x-y+1=0 (2) x-2y+3=0 (3) 4x-7y-5=0 056 (1) ' 2 (2) 13 (3) 3 (4) '¶ 9 5 5 (5) ' '¶ 10 057 (1) 3x+4y+4=0 또는 3x+4y-16=0 (2) 2x-y+5=0 또는 2x-y-5=0 (3) 3x-4y+20=0 또는 3x-4y-20=0 058 (1) 2 5 (2) 13 (3) 1 ' '¶ 059 (1) k=8, d=2 (2) k=-2, d= ' 5 (3) k=4, d= 5 ' (4) k=6, d=2 060 (1) 3x-y+2=0 (2) x+y-5=0 061 (1) x-y+2=0 또는 x+y=0 (2) 2x+2y+1=0 또는 6x-6y-5=0 062 (1) x-3y+4=0 또는 3x+y=0 빠른 정답 9 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 9 2017-09-18 오후 7:43:19 빠른 정답 (2) x-5y+5=0 또는 5x+y+3=0 (3) x-3y+3=0 또는 3x+y-7=0 067 ④ 068 ④ 069 -2 063 ④ 064 -1 065 제1, 2, 3사분면 066 ② 087 (1) 만나지 않는다. (2) 서로 다른 두 점에서 만난다. 3 원의 방정식 167쪽~180쪽 090 (1) ① -5<k<5 ② k=Ñ5 ③ k<-5 또는 k>5 086 (1) xÛ`+yÛ`+4x-8y+4=0 (2) xÛ`+yÛ`-x+3y-4=0 (3) xÛ`+yÛ`-x-y=0 (3) 한 점에서 만난다. 088 (1) ① -3 ' 2<k<3 2 ② k=Ñ3 2 ' ' ③ k<-3 2 또는 k>3 2 ' (2) ① -4<k<4 ② k=Ñ4 ③ k<-4 또는 k>4 ' 089 (1) 만나지 않는다. (2) 서로 다른 두 점에서 만난다. (3) 한 점에서 만난다. (2) ① k<- 3 또는 k> 3 ③ 3 ② k=Ñ ' ' -' 3<k< 3 ' ' 10 '¶ 091 (1) 8 (2) 3 092 (1) 4 (2) 5 (3) 5 093 (1) 최댓값`:`9, 최솟값`:`1 (2) 최댓값`:` ' 094 (1) y=3xÑ2 2+1, 최솟값`:` ' 10 (2) y=2xÑ 2-1 ' '¶ 2 (5) y= ' 5xÑ6 ' (4) y=xÑ3 5 (3) y=-2xÑ4 5 ' 095 (1) y=x-1 또는 y=x-5 (2) y=2xÑ2 5 ' (3) y=-3xÑ4 10 '¶ 096 (1) x-y-2=0 (2) 3x+2y-13=0 (3) x+3y+10=0 (4) 3x-4y-25=0 (5) 3x-y-10=0 097 (1) y=x+4 (2) y=-x-1 (3) y= x- ;3*; ;3!; 098 (1) x+y+2=0 또는 7x-y-10=0 (2) y+1=0 또는 3x+4y-5=0 (3) 3x+4y+25=0 또는 4x-3y-25=0 (4) y-2=0 또는 3x-4y+5=0 099 ② 100 3+ 5 ' 101 ③ 102 ④ 103 ② 104 - ;5^; 4 도형의 이동 182쪽~190쪽 105 (1) (4, 1) (2) (2, -7) (3) (-1, 0) (4) (0, -5) 106 (1) (7, 4) (2) (2, 7) (3) (8, 0) (4) (1, -1) 107 (1) (2, 3) (2) (8, -6) (3) (5, 0) (4) (-3, 2) 070 (1) C(0, 0), r=3 (2) C(1, 0), r=1 (3) C(0, 1), r= 3 (4) C(2, -1), r= ' (5) C(-3, -2), r=4 (6) C(-4, 1), r=2 2 ' 3 ' 071 (1) xÛ`+yÛ`=4 (2) (x-1)Û`+(y-1)Û`=4 (3) (x-3)Û`+(y+2)Û`=25 (4) (x-2)Û`+(y-3)Û`=2 (5) (x-2)Û`+(y+1)Û`=9 (6) (x+1)Û`+(y+5)Û`=1 072 (1) (x+2)Û`+(y-3)Û`=13 (2) (x-1)Û`+(y-3)Û`=5 (3) (x-2)Û`+(y-5)Û`=25 (4) (x+1)Û`+(y+2)Û`=18 073 (1) (x-2)Û`+(y+1)Û`=10 (2) (x-3)Û`+(y-5)Û`=8 (3) (x-1)Û`+yÛ`=5 (4) (x+1)Û`+(y+2)Û`=25 074 (1) C(1, -3), r=2 (2) C(1, -4), r=4 (3) C(2, -1), r=3 (4) C - , ;2!; ;2#;} , r=2 { 075 (1) k<3 (2) k<4 (3) k>-10 (4) k<-2 3 또는 k>2 ' 3 ' 076 (1) xÛ`+yÛ`-4x-2y=0 (2) xÛ`+yÛ`-4x-6y=0 (3) xÛ`+yÛ`-x-3y=0 077 (1) (x-1)Û`+(y+3)Û`=9 (2) (x-3)Û`+(y-4)Û`=16 (3) (x+5)Û`+(y-1)Û`=1 078 (1) (x+1)Û`+(y-2)Û`=4 (2) (x-2)Û`+(y+1)Û`=1 079 (1) (x-2)Û`+yÛ`=4 (2) (x+4)Û`+(y+2)Û`=16 (3) (x+3)Û`+(y-4)Û`=9 080 (1) (x+3)Û`+(y-1)Û`=9 (2) (x-1)Û`+(y+4)Û`=1 081 (1) (x-2)Û`+(y-2)Û`=4 (2) (x+3)Û`+(y-3)Û`=9 (3) (x+4)Û`+(y+4)Û`=16 (4) (x-1)Û`+(y+1)Û`=1 082 (1) a=3, b=11 (2) a=2, b=8 (3) a=1, b=8 084 (1) x-y=0 (2) 2x-y+4=0 (3) 4x+y+1=0 083 (1) 4 ' 2 (2) 8 2 ' 085 (1) -1 (2) - ;5@; 10 빠른 정답 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 10 2017-09-18 오후 7:43:23 108 (1) x+2y-8=0 (2) 3x-2y+10=0 (3) 5x+y+4=0 (4) 4x-2y+11=0 120 (1) Q(-4, 4) (2) Q(0, 1) (3) Q(6, 2) 121 (1) Q(-1, 8) (2) Q(-1, 4) 109 (1) x-y-3=0 (2) x+3y+1=0 (3) 2x-3y-9=0 122 (1) (x-4)Û`+(y-2)Û`=5 (2) (x+2)Û`+(y-3)Û`=4 123 (1) 4 ' 5 (2) 2 124 (1) 3 125 ② '¶ 5 (2) ' 126 ① 34 '¶ 73 13 (3) '¶ 29 (3) '¶ 127 ② 128 -6 129 ① 130 ⑤ 112 113 114 115 (4) y=4x-10 110 (1) x-2y+2=0 (2) 2x+3y-15=0 (3) 3x-y-11=0 (4) 4x+y-16=0 111 (1) y=xÛ`+4x+2 (2) xÛ`+yÛ`=11 (3) (x+1)Û`+(y-1)Û`=4 (1) y=xÛ`-4x-4 (2) (x-6)Û`+(y+2)Û`=6 (3) (x-5)Û`+(y+5)Û`=9 (1) ① x축`:`(-1, -3) ② y축`:`(1, 3) ③ 원점`:`(1, -3) ④ 직선 y=x`:`(3, -1) ⑤ 직선 y=-x`:`(-3, 1) (2) ① x축`:`(-2, 5) ② y축`:`(2, -5) ③ 원점`:`(2, 5) ④ 직선 y=x`:`(-5, -2) ⑤ 직선 y=-x`:`(5, 2) (1) (-1, 5) (2) (3, 2) (1) 2 5 (2) 5 2 (3) 2 (4) 5 ' ' 2 ' 116 (1) ① 4x-y-1=0 ② 4x-y+1=0 ③ 4x+y+1=0 ④ x+4y-1=0 ⑤ x+4y+1=0 (2) ① 3x-5y-1=0 ② 3x-5y+1=0 ③ 3x+5y+1=0 ④ 5x+3y-1=0 ⑤ 5x+3y+1=0 117 (1) ① (x-3)Û`+(y-1)Û`=9 (2) ① (x-2)Û`+(y-5)Û`=6 ② (x+3)Û`+ (y+1)Û`=9 ③ (x+3)Û`+(y-1)Û`=9 ④ (x+1)Û`+(y-3)Û`=9 ⑤ (x-1)Û`+(y+3)Û`=9 ② (x+2)Û`+(y+5)Û`=6 ③ (x+2)Û`+(y-5)Û`=6 ④ (x+5)Û`+(y-2)Û`=6 ⑤ (x-5)Û`+(y+2)Û`=6 (3) ① y=-xÛ`+2x-3 ② y=xÛ`+2x+3 ③ y=-xÛ`-2x-3 ④ x=yÛ`-2y+3 ⑤ x=-yÛ`-2y-3 118 (1) x+2y-5=0 (2) (x+1)Û`+(y+3)Û`=1 (3) (x+1)Û`+(y-2)Û`=6 119 (1) x-3y-5=0 (2) (x-4)Û`+(y+4)Û`=4 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 11 2017-09-18 오후 7:43:24 빠른 정답 11 Ⅰ 다항식 1 다항식의 연산 001 답 (1) xÛ`+2x-1 (2) 2xÜ`+xÛ`-3x+2 (3) -xÜ`+2xÛ`+xy+y 002 답 (1) -1+2x+xÛ` (2) 2-3x+xÛ`+2xÜ` (3) y+xy+2xÛ`-xÜ` 8쪽~23쪽 (3) (2xÛ`+xy-5yÛ`)-(xÛ`-xy-yÛ`) =2xÛ`+xy-5yÛ`-xÛ`+xy+yÛ` =(2xÛ`-xÛ`)+(xy+xy)+(-5yÛ`+yÛ`)=xÛ`+2xy-4yÛ` (4) (-xÜ`+3xÛ`-x-5)-(4xÜ`+2xÛ`+x+2) =-xÜ`+3xÛ`-x-5-4xÜ`-2xÛ`-x-2 =(-xÜ`-4xÜ`)+(3xÛ`-2xÛ`)+(-x-x)+(-5-2) =-5xÜ`+xÛ`-2x-7 006 답 (1) 3xÛ`-2x+2 (2) xÛ`-6x+4 (3) 5xÛ`-6x+5 003 답 (1) x+y (2) -a+3c (3) c-10 (1) x-y-{x-(2y+x)} =x-y-(-2y) =x-y+2y=x+y (2) a-b-{a-3c+(a-b)} =a-b-(2a-b-3c) =a-b-2a+b+3c=-a+3c (3) a-{8-b-2c+(a+b+c)+2} =a-(8-b-2c+a+b+c+2) =a-(a-c+10) =c-10 004 답 (1) 3xÛ`+2x+2 (2) 3xÛ`+4x+11 (3) -2xÜ`+xÛ`-5 (4) 6xÜ`-5xÛ`+x-3 (1) (xÛ`-x+3)+(2xÛ`+3x-1) =(xÛ`+2xÛ`)+(-x+3x)+(3-1)=3xÛ`+2x+2 (2) (-xÛ`-x+10)+(4xÛ`+5x+1) =(-xÛ`+4xÛ`)+(-x+5x)+(10+1)=3xÛ`+4x+11 (3) (-xÜ`+2xÛ`-3)+(-xÜ`-xÛ`-2) =(-xÜ`-xÜ`)+(2xÛ`-xÛ`)+(-3-2) =-2xÜ`+xÛ`-5 (4) (xÜ`-xÛ`-1)+(5xÜ`-4xÛ`+x-2) =(xÜ`+5xÜ`)+(-xÛ`-4xÛ`)+x+(-1-2) =6xÜ`-5xÛ`+x-3 (4) -xÛ`-10x+6 (5) 5xÛ`-14x+10 (1) A+B =(2xÛ`-4x+3)+(xÛ`+2x-1) =(2xÛ`+xÛ`)+(-4x+2x)+(3-1) =3xÛ`-2x+2 (2) A-B =(2xÛ`-4x+3)-(xÛ`+2x-1) =(2xÛ`-xÛ`)+(-4x-2x)+(3+1) =xÛ`-6x+4 (3) 2A+B =2(2xÛ`-4x+3)+(xÛ`+2x-1) =(4xÛ`+xÛ`)+(-8x+2x)+(6-1) =5xÛ`-6x+5 (4) A-3B =(2xÛ`-4x+3)-3(xÛ`+2x-1) =(2xÛ`-3xÛ`)+(-4x-6x)+(3+3) =-xÛ`-10x+6 (5) 2A-(-A+B) =2A+A-B=3A-B =3(2xÛ`-4x+3)-(xÛ`+2x-1) =(6xÛ`-xÛ`)+(-12x-2x)+(9+1) =5xÛ`-14x+10 007 답 (1) 3xÛ`+3xy-2yÛ` (2) -xÛ`+xy-4yÛ` (3) 5xÛ`+4xy-yÛ` (4) 3xy-7yÛ` (5) -4xÛ`+xy-9yÛ` (1) A+B =(xÛ`+2xy-3yÛ`)+(2xÛ`+xy+yÛ`) =(xÛ`+2xÛ`)+(2xy+xy)+(-3yÛ`+yÛ`) =3xÛ`+3xy-2yÛ` (2) A-B =(xÛ`+2xy-3yÛ`)-(2xÛ`+xy+yÛ`) =-xÛ`+xy-4yÛ` (3) A+2B =(xÛ`+2xy-3yÛ`)+2(2xÛ`+xy+yÛ`) =(xÛ`+4xÛ`)+(2xy+2xy)+(-3yÛ`+2yÛ`) (4) 2A-B =2(xÛ`+2xy-3yÛ`)-(2xÛ`+xy+yÛ`) =(2xÛ`-2xÛ`)+(4xy-xy)+(-6yÛ`-yÛ`) 005 답 (1) -xÛ`-4x+4 (2) 5xÛ`+4x+4 (3) xÛ`+2xy-4yÛ` =(xÛ`-2xÛ`)+(2xy-xy)+(-3yÛ`-yÛ`) (4) -5xÜ`+xÛ`-2x-7 (1) (xÛ`-x+5)-(2xÛ`+3x+1) =xÛ`-x+5-2xÛ`-3x-1 (2) (10xÛ`+x+3)-(5xÛ`-3x-1) =10xÛ`+x+3-5xÛ`+3x+1 12 정답 및 해설 =(xÛ`-2xÛ`)+(-x-3x)+(5-1)=-xÛ`-4x+4 =5xÛ`+4xy-yÛ` =(10xÛ`-5xÛ`)+(x+3x)+(3+1)=5xÛ`+4x+4 =3xy-7yÛ` YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 12 2017-09-18 오후 7:43:26 정답 및 해설 (5) -A-3(B-A) =-A-3B+3A=2A-3B (2) A-B+C =2(xÛ`+2xy-3yÛ`)-3(2xÛ`+xy+yÛ`) =(xÜ`-2xÛ`+2x+1)-(2xÜ`-3xÛ`-4x)+(xÜ`+2xÛ`-3) =(2xÛ`-6xÛ`)+(4xy-3xy)+(-6yÛ`-3yÛ`) =(xÜ`-2xÜ`+xÜ`)+(-2xÛ`+3xÛ`+2xÛ`)+(2x+4x)+(1-3) =-4xÛ`+xy-9yÛ` =3xÛ`+6x-2 (3) -A+2B-3C =-(xÜ`-2xÛ`+2x+1)+2(2xÜ`-3xÛ`-4x)-3(xÜ`+2xÛ`-3) = (-xÜ`+4xÜ`-3xÜ`)+(2xÛ`-6xÛ`-6xÛ`)+(-2x-8x) +(-1+9) =-10xÛ`-10x+8 (4) C-(2A+B) =-2A-B+C (4) C-(2A+B)=-2(xÜ`-2xÛ`+2x+1)-(2xÜ`-3xÛ`-4x) 4) C-(2A+B)= (-2xÜ`-2xÜ`+xÜ`)+(4xÛ`+3xÛ`+2xÛ`) +(xÜ`+2xÛ`-3) +(-4x+4x)+(-3-2) 4) C-(2A+B)=-3xÜ`+9xÛ`-5 (5) A+B-(A-C) =A+B-A+C=B+C =(2xÜ`-3xÛ`-4x)+(xÜ`+2xÛ`-3) =(2xÜ`+xÜ`)+(-3xÛ`+2xÛ`)-4x-3 =3xÜ`-xÛ`-4x-3 008 답 (1) -xÜ`+7xÛ`-9x-15 (2) 5xÜ`-3xÛ`+5x-5 (3) -8xÜ`+4xÛ`-7x+10 (4) -6xÜ`+2xÛ`-4x+10 (5) xÜ`-3xÛ`+4x+5 (1) A+2(A-B) =A+2A-2B=3A-2B (2) 3A+2(B-A) =3A+2B-2A=A+2B (3) B-(2A+4B) =B-2A-4B=-2A-3B =3(xÜ`+xÛ`-x-5)-2(2xÜ`-2xÛ`+3x) =(3xÜ`-4xÜ`)+(3xÛ`+4xÛ`)+(-3x-6x)-15 =-xÜ`+7xÛ`-9x-15 =(xÜ`+xÛ`-x-5)+2(2xÜ`-2xÛ`+3x) =(xÜ`+4xÜ`)+(xÛ`-4xÛ`)+(-x+6x)-5 =5xÜ`-3xÛ`+5x-5 =-2(xÜ`+xÛ`-x-5)-3(2xÜ`-2xÛ`+3x) = (-2xÜ`-6xÜ`)+(-2xÛ`+6xÛ`) +(2x-9x)+10 =-2(xÜ`+xÛ`-x-5)-2(2xÜ`-2xÛ`+3x) =(-2xÜ`-4xÜ`)+(-2xÛ`+4xÛ`) +(2x-6x)+10 =-(xÜ`+xÛ`-x-5)+(2xÜ`-2xÛ`+3x) =(-xÜ`+2xÜ`)+(-xÛ`-2xÛ`) +(x+3x)+5 (5) A+2B-(2A+B) =xÜ`-3xÛ`+4x+5 =-8xÜ`+4xÛ`-7x+10 010 답 (1) 12x7y6 (2) 18aÞ`bÝ` (4) -A-(2B+A) =-A-2B-A=-2A-2B (2) (-3aÛ`b)Û`_2abÛ`=(-3)Û`aÝ`bÛ`_2abÛ`=18aÞ`bÝ` (4) -A-(2B+A) =-6xÜ`+2xÛ`-4x+10 (5) A+2B-(2A+B) =A+2B-2A-B=-A+B 011 답 (1) 6xÛ`-13x-5 (2) 3xÛ`+23xy+14yÛ` (3) 3aÛ`-9aÛ`b+4ab+6abÛ`-4bÛ` (4) xÜ`-2xÛ`y+2xyÛ`-yÜ` (5) xÝ`+xÛ`+1 (1) (2x-5)(3x+1) =6xÛ`+2x-15x-5 =6xÛ`-13x-5 (2) (3x+2y)(x+7y) =3xÛ`+21xy+2xy+14yÛ` =3xÛ`+23xy+14yÛ` (3) (3a-2b)(a-3ab+2b) =3aÛ`-9aÛ`b+6ab-2ab+6abÛ`-4bÛ` =3aÛ`-9aÛ`b+4ab+6abÛ`-4bÛ` =xÜ`-2xÛ`y+2xyÛ`-yÜ` (5) (xÛ`+x+1)(xÛ`-x+1) (3) -10xÛ`-10x+8 (4) -3xÜ`+9xÛ`-5 (4) (xÛ`-xy+yÛ`)(x-y) =xÜ`-xÛ`y-xÛ`y+xyÛ`+xyÛ`-yÜ` 009 답 (1) 4xÜ`-3xÛ`-2x-2 (2) 3xÛ`+6x-2 (5) 3xÜ`-xÛ`-4x-3 (1) A+B+C =(xÜ`-2xÛ`+2x+1)+(2xÜ`-3xÛ`-4x)+(xÜ`+2xÛ`-3) =xÛ`(xÛ`-x+1)+x(xÛ`-x+1)+(xÛ`-x+1) =(xÜ`+2xÜ`+xÜ`)+(-2xÛ`-3xÛ`+2xÛ`)+(2x-4x)+(1-3) =xÝ`-xÜ`+xÛ`+xÜ`-xÛ`+x+xÛ`-x+1 =4xÜ`-3xÛ`-2x-2 =xÝ`+xÛ`+1 Ⅰ. 다항식 13 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 13 2017-09-18 오후 7:43:28 012 답 (1) xÛ`+x+ ;4!; (2) 9xÛ`+12x+4 (3) xÛ`-6x+9 (4) xÛ`-4xy+4yÛ` (5) 9xÛ`-3x+ ;4!; (1) { x+ ;2!;} Û`=xÛ`+2´x´ + ;2!; {;2!;} Û`=xÛ`+x+ ;4!; (2) (3x+2)Û`=(3x)Û`+2´3x´2+2Û`=9xÛ`+12x+4 (3) (x-3)Û`=xÛ`-2´x´3+(-3)Û`=xÛ`-6x+9 (4) (x-2y)Û`=xÛ`-2´x´2y+(-2y)Û`=xÛ`-4xy+4yÛ` (5) { 3x- ;2!;} Û`=(3x)Û`-2´3x´ + - { ;2!; ;2!;} Û`=9xÛ`-3x+ ;4!; (1) (x-3)Ü` =xÜ`+3´xÛ`´(-3)+3´x´(-3)Û`+(-3)Ü` =xÜ`-9xÛ`+27x-27 (2) (3x-2)Ü` =(3x)Ü`+3´(3x)Û`´(-2)+3´3x´(-2)Û`+(-2)Ü` =27xÜ`-54xÛ`+36x-8 (3) (2x-3)Ü` =(2x)Ü`+3´(2x)Û`´(-3)+3´2x´(-3)Û`+(-3)Ü` =8xÜ`-36xÛ`+54x-27 (4) { 3x- y ;3!; } Ü` =(3x)Ü`+3´(3x)Û`´ - { +3´3x´ y } ;3!; - { Û` - + y { } ;3!; Ü` y } ;3!; 013 답 (1) xÛ`-4 (2) 4xÛ`-9yÛ` (3) xÛ`+2x-15 =27xÜ`-9xÛ`y+xyÛ`- yÜ` ;2Á7; (4) xÛ`+x-12 (5) 6xÛ`-13x-5 (6) 6xÛ`+x-2 (5) (x-3y)Ü` =xÜ`+3´xÛ`´(-3y)+3´x´(-3y)Û`+(-3y)Ü` (1) (x+2)(x-2)=xÛ`-2Û`=xÛ`-4 =xÜ`-9xÛ`y+27xyÛ`-27yÜ` (2) (2x+3y)(2x-3y)=(2x)Û`-(3y)Û`=4xÛ`-9yÛ` (6) (4x-y)Ü` (3) (x-3)(x+5)=xÛ`+(-3+5)x+(-3)´5=xÛ`+2x-15 =(4x)Ü`+3´(4x)Û`´(-y)+3´4x´(-y)Û`+(-y)Ü` (4) (x+4)(x-3)=xÛ`+(4-3)x+4´(-3)=xÛ`+x-12 =64xÜ`-48xÛ`y+12xyÛ`-yÜ` =3´2´xÛ`+{3´(-5)+1´2}x+1´(-5) (5) (3x+1)(2x-5) =6xÛ`-13x-5 (6) (2x-1)(3x+2) =6xÛ`+x-2 =2´3´xÛ`+{2´2+(-1)´3}x+(-1)´2 (1) (x+3)(xÛ`-3x+9) =(x+3)(xÛ`-x´3+3Û`) 016 답 (1) xÜ`+27 (2) 27xÜ`+1 (3) xÜ`+8yÜ` (4) xÜ`-8 (5) 8xÜ`-1 (6) 27xÜ`-64yÜ` (2) (3x+1)(9xÛ`-3x+1) =(3x+1){(3x)Û`-3x´1+1Û`} =xÜ`+3Ü`=xÜ`+27 =(3x)Ü`+1Ü`=27xÜ`+1 (3) (x+2y)(xÛ`-2xy+4yÛ`)=xÜ`+8yÜ` (4) (x-2)(xÛ`+2x+4) =(x-2)(xÛ`+x´2+2Û`) (5) (2x-1)(4xÛ`+2x+1) =(2x-1){(2x)Û`+2x´1+1Û`} =xÜ`-2Ü`=xÜ`-8 =(2x)Ü`-1Ü`=8xÜ`-1 (6) (3x-4y)(9xÛ`+12xy+16yÛ`) =(3x-4y){(3x)Û`+3x´4y+(4y)Û`} =(3x)Ü`-(4y)Ü`=27xÜ`-64yÜ` (2) xÛ`+4yÛ`+4xy-2x-4y+1 (3) xÛ`+4yÛ`+9zÛ`+4xy+12yz+6zx (4) xÜ`+yÜ`-3xy+1 (5) xÜ`+8yÜ`-6xy+1 (1) (x-y+z)Û` ={x+(-y)+z}Û` 014 답 (1) xÜ`+6xÛ`+12x+8 (2) xÜ`+12xÛ`+48x+64 (3) 8xÜ`+12xÛ`+6x+1 (4) xÜ`+6xÛ`y+12xyÛ`+8yÜ` (5) 27xÜ`+27xÛ`y+9xyÛ`+yÜ` (1) (x+2)Ü` =xÜ`+3´xÛ`´2+3´x´2Û`+2Ü` =xÜ`+6xÛ`+12x+8 (2) (x+4)Ü` =xÜ`+3´xÛ`´4+3´x´4Û`+4Ü` =xÜ`+12xÛ`+48x+64 (3) (2x+1)Ü` =(2x)Ü`+3´(2x)Û`´1+3´2x´1Û`+1Ü` =8xÜ`+12xÛ`+6x+1 (4) (x+2y)Ü` =xÜ`+3´xÛ`´2y+3´x´(2y)Û`+(2y)Ü` (5) (3x+y)Ü` =(3x)Ü`+3´(3x)Û`´y+3´3x´yÛ`+yÜ` =27xÜ`+27xÛ`y+9xyÛ`+yÜ` =xÜ`+6xÛ`y+12xyÛ`+8yÜ` 017 답 (1) xÛ`+yÛ`+zÛ`-2xy-2yz+2zx (1) xÜ`-9xÛ`+27x-27 (2) 27xÜ`-54xÛ`+36x-8 (3) 8xÜ`-36xÛ`+54x-27 (4) 27xÜ`-9xÛ`y+xyÛ`- yÜ` ;2Á7; =xÛ`+(-y)Û`+zÛ`+2´x´(-y)+2´(-y)´z+2´z´x (5) xÜ`-9xÛ`y+27xyÛ`-27yÜ` (6) 64xÜ`-48xÛ`y+12xyÛ`-yÜ` =xÛ`+yÛ`+zÛ`-2xy-2yz+2zx 015 답 14 정답 및 해설 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 14 2017-09-18 오후 7:43:31 정답 및 해설 = xÛ`+(2y)Û`+(-1)Û`+2´x´2y+2´2y´(-1)+2´(-1)´x ∴ aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b)=1Ü`-3´(-2)´1=7 =xÛ`+(2y)Û`+(3z)Û`+2´x´2y+2´2y´3z+2´3z´x ∴ xÜ`-yÜ`=(x-y)Ü`+3xy(x-y)=2Ü`+3´2´2=20 =(x+y+1)(xÛ`+yÛ`+1Û`-x´y-y´1-1´x) 021 답 (1) 2 (2) 18 (3) -52 (4) 36 (5) -14 (2) (x+2y-1)Û` ={x+2y+(-1)}Û` =xÛ`+4yÛ`+4xy-2x-4y+1 (3) (x+2y+3z)Û` =xÛ`+4yÛ`+9zÛ`+4xy+12yz+6zx (4) (x+y+1)(xÛ`+yÛ`+1-xy-y-x) =xÜ`+yÜ`+1Ü`-3´x´y´1 =xÜ`+yÜ`-3xy+1 (5) (x+2y+1)(xÛ`+4yÛ`-2xy-x-2y+1) =(x+2y+1){xÛ`+(2y)Û`+1Û`-x´2y-2y´1-1´x} =xÜ`+(2y)Ü`+1Ü`-3´x´2y´1 =xÜ`+8yÜ`-6xy+1 018 답 (1) 5 (2) 40 (3) 13 (4) 29 (5) 48 (1) xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=3Û`-2´2=5 (2) (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab=(-6)Û`-4´(-1)=40 (3) xÛ`+yÛ` =(x-y)Û`+2xy=3Û`+2´2=13 (4) aÛ`+bÛ`=(a-b)Û`+2ab=5Û`+2´2=29 (5) (a+b)Û`=(a-b)Û`+4ab=6Û`+4´3=48 019 답 (1) 7 (2) 14 (3) 21 (4) 3 (5) 38 (6) 20 1 xÛ` 1 aÛ` 1 aÛ` 1 xÛ` 1 x } 1 a } 1 a } 1 x } (1) xÛ`+ = x+ { Û`-2=3Û`-2=7 (2) aÛ`+ = a+ { Û`-2=4Û`-2=14 (3) { x- 1 x } Û`= { x+ 1 x } Û`-4=5Û`-4=21 (4) aÛ`+ = a- { Û`+2=1Û`+2=3 (5) xÛ`+ = x- { Û`+2=6Û`+2=38 (6) { a+ Û`= 1 a } { a- 1 a } Û`+4=4Û`+4=20 020 답 (1) 40 (2) -36 (3) 18 (4) 7 (5) 20 (1) xÜ`+yÜ`=(x+y)Ü`-3xy(x+y)=4Ü`-3´2´4=40 (2) xÜ`-yÜ` =(x-y)Ü`+3xy(x-y) =(-3)Ü`+3´1´(-3)=-36 (3) xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy에서 7=3Û`-2xy ∴ xy=1 ∴ xÜ`+yÜ` =(x+y)Ü`-3xy(x+y) =3Ü`-3´1´3=18 (4) aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab에서 5=1Û`-2ab ∴ ab=-2 (5) xÛ`+yÛ`=(x-y)Û`+2xy에서 8=2Û`+2xy ∴ xy=2 (1) xÜ`+ 1 xÜ` = x+ { 1 x } Ü`-3 x+ { 1 x } =2Ü`-3´2=2 (2) xÜ`+ 1 xÜ` = x+ { 1 x } Ü`-3 x+ { 1 x } =3Ü`-3´3=18 (3) aÜ`+ = a+ { 1 a } Ü`-3 a+ { 1 a } =(-4)Ü`-3´(-4)=-52 (4) aÜ`- = a- { 1 a } Ü`+3 a- { 1 a } =3Ü`+3´3=36 (5) xÜ`- 1 xÜ` = x- { 1 x } Ü`+3 x- { 1 x } =(-2)Ü`+3´(-2)=-14 1 aÜ` 1 aÜ` 022 답 (1) 14 (2) 11 (3) 7 (4) -6 (5) 7 (1) aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca) (2) aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca) =4Û`-2´1=14 =3Û`-2´(-1)=11 (3) aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca) =(-1)Û`-2´(-3)=7 (4) xÛ`+yÛ`+zÛ`=(x+y+z)Û`-2(xy+yz+zx)에서 16=2Û`-2(xy+yz+zx) ∴ xy+yz+zx=-6 (5) xÛ`+yÛ`+zÛ`=(x+y+z)Û`-2(xy+yz+zx)에서 2=(-4)Û`-2(xy+yz+zx) ∴ xy+yz+zx=7 023 답 (1) yz-2xyÛ`z (2) -2x+ yß`zÜ` (3) 3bcÛ`+2b-c ;3&; (4) 32x+16y (1) (5xyz-10xÛ`yÛ`z)Ö5x= 5xyz 5x - 10xÛ`yÛ`z 5x (5xyz-10xÛ`yÛ`z)Ö5x=yz-2xyÛ`z Ⅰ. 다항식 15 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 15 2017-09-18 오후 7:43:34 (2) (6xÛ`yzÛ`-7xyà`zÞ`)Ö(-3xyzÛ`)=- 6xÛ`yzÛ` 3xyzÛ` + 7xyà`zÞ` 3xyzÛ` (6xÛ`yzÛ`-7xyà`zÞ`)Ö3xyzÛ` =-2x+ yß`zÜ` ;3&; (3) (3abÜ`cÜ`+2abÜ`c-abÛ`cÛ`)ÖabÛ`c= 3abÜ`cÜ` abÛ`c + 2abÜ`c abÛ`c - abÛ`cÛ` abÛ`c (3abÜ`cÜ`+2abÜ`c-abÛ`cÛ`)aÖbÛ`c =3bcÛ`+2b-c (4) (8xÛ`+4xy)Ö x=(8xÛ`+4xy)´ =32x+16y 1 4 4 x 024 답 (1) 몫 : 2xÛ`-x+2, 나머지 : -3 (2) 몫 : xÛ`-2x-1, 나머지 : -2 (3) 몫 : xÛ`-2x+3, 나머지 : 5 (1) 2xÛ`-2xÛ`+2 x+2 2xÜ`+3xÛ`-2x+1 <Ô 2xÜ`+4xÛ` 2xÜ`-1xÛ`-2x+1 2xÜ`-1xÛ`-2x 2xÜ`-xÛ`1-2x+1 2xÜ`-xÛ`1-2x+4 2xÜ`-xÛ`1-2x-3 ∴ 몫 : 2xÛ`-x+2, 나머지 : -3 (2) 2xÛ`-2xÛ`-1 2xÜ`-5xÛ`-5x-1 2x-1 <Ô 2xÜ`-2xÛ` 2xÜ`-4xÛ`-5x-1 2xÜ`-4xÛ`+2x 2xÜ`-4xÛ`-2x-1 2xÜ`-4xÛ`-2x+1 2xÜ`-4xÛ`-2x-2 ∴ 몫 : xÛ`-2x-1, 나머지 : -2 (3) xÛ`-2xÛ`+3 x-1 xÜ`-3xÛ`+5x+2 <Ô xÜ`-1xÛ` xÜ`-2xÛ`+5x+2 xÜ`-2xÛ`+2x xÜ`-xÛ`1-3x+2 xÜ`-xÛ`1-3x-3 xÜ`-xÛ`1-2x-5 ∴ 몫 : xÛ`-2x+3, 나머지 : 5 025 답 (1) 몫 : x+3, 나머지 : -8x+5 (2) 몫 : 3x-5, 나머지 : 5x+6 (3) 몫 : 2x-3, 나머지 : 11x-7 16 정답 및 해설 (1) xÛ`+3 xÛ`+2x-1 xÜ`+5xÛ`-3x+2 <Ô xÜ`+2xÛ`-1x xÜ`+3xÛ`-2x+2 xÜ`+3xÛ`+6x-3 xÜ`+3xÛ`-8x+5 ∴ 몫 : x+3, 나머지 : -8x+5 (2) 3xÛ`-5 xÛ`+2x+1 3xÜ`+1xÛ`-12x+1 <Ô 3xÜ`+6xÛ`+13x 3xÜ`-5xÛ`-15x+1 3xÜ`-5xÛ`-10x-5 3xÜ`-5xÛ`-15x+6 ∴ 몫 : 3x-5, 나머지 : 5x+6 (3) 2xÛ`-3 2xÛ`+2x-1 4xÜ`-2xÛ`+13x-4 <Ô 4xÜ`+4xÛ`-12x 4xÜ`-6xÛ`+15x-4 4xÜ`-6xÛ`-16x+3 4xÜ`-6xÛ`-11x-7 ∴ 몫 : 2x-3, 나머지 : 11x-7 026 답 (1) xÜ`+xÛ`-5x+6=(xÛ`+2x-1)(x-1)-2x+5 (2) 2xÜ`-3xÛ`+1=(xÛ`-2x-1)(2x+1)+4x+2 (3) 4xÜ`-xÛ`+2x-5=(xÛ`-2)(4x-1)+10x-7 (1) xÛ`-1 xÛ`+2x-1 xÜ`+1xÛ`-5x+6 <Ô xÜ`+2xÛ`-1x xÜ`-1xÛ`-4x+6 xÜ`-1xÛ`-2x+1 xÜ`-1xÛ`-2x+5 (2) 2xÛ`+1 xÛ`-2x-1 2xÜ`-3xÛ`+2x+1 <Ô 2xÜ`-4xÛ`-2x 2xÜ`-4xÛ`+2x+1 2xÜ`-4xÛ`-2x-1 2xÜ`-4xÛ`-4x+2 따라서 Q=x-1, R=-2x+5이므로 xÜ`+xÛ`-5x+6= (xÛ`+2x-1)(x-1)-2x+5 따라서 Q=2x+1, R=4x+2이므로 2xÜ`-3xÛ`+1=(xÛ`-2x-1)(2x+1)+4x+2 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 16 2017-09-18 오후 7:43:35 정답 및 해설Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô (3) 4xÛ`-1 xÛ`-2 4xÜ`-xÛ`+12x-5 <Ô 4xÜ`-xÛ`-18x 4xÜ`-xÛ`+10x-5 4xÜ`-xÛ`10x-+2 4xÜ`-xÛ`+10x-7 따라서 Q=4x-1, R=10x-7이므로 4xÜ`-xÛ`+2x-5=(xÛ`-2)(4x-1)+10x-7 027 답 (1) 몫 : xÛ`+x-2, 나머지 : -3 (2) 몫 : xÛ`-3x-3, 나머지 : -2 (3) 몫 : 2xÛ`+x+4, 나머지 : 9 (4) 몫 : 3xÛ`+4x+5, 나머지 : 12 (5) 몫 : 2xÛ`-x-1, 나머지 : -3 (6) 몫 : xÛ`-2x+2, 나머지 : -1 (7) 몫 : 4xÛ`-5x+5, 나머지 : -3 (1) -1 1 -2 -1 -5 -1 -1 -2 1 -1 -2 -3 ∴ 몫 : xÛ`+x-2, 나머지 : -3 (2) 2 1 -5 -3 -4 -2 -6 -6 1 -3 -3 -2 ∴ 몫 : xÛ`-3x-3, 나머지 : -2 (3) 3 2 -5 1 -3 -6 3 12 2 -1 4 -9 ∴ 몫 : 2xÛ`+x+4, 나머지 : 9 (4) 2 3 -2 -3 -6 -8 3 -4 -5 22 10 12 ∴ 몫 : 3xÛ`+4x+5, 나머지 : 12 (5) 3 2 -7 -2 -0 -6 -3 -3 2 -1 -1 -3 ∴ 몫 : 2xÛ`-x-1, 나머지 : -3 (6) -2 1 -0 -2 -3 -2 -4 -4 1 -2 -2 -1 ∴ 몫 : xÛ`-2x+2, 나머지 : -1 (7) -1 4 -1 0 -2 -4 5 -5 4 -5 5 -3 ∴ 몫 : 4xÛ`-5x+5, 나머지 : -3 028 답 (1) 몫 : xÛ`-x, 나머지 : -1 (2) 몫 : xÛ`-x+1, 나머지 : -3 ;2!; (1) - ;3!; 3 -2 -1 -1 -1 -1 -0 3 -3 -0 -1 3xÜ`-2xÛ`-x-1= x+ (3xÛ`-3x)-1 { ;3!;} 3xÜ`-2xÛ`-x-1=(3x+1)(xÛ`-x)-1 ∴ 몫 : xÛ`-x, 나머지 : -1 (2) -2 1 -0 -2 -1 -2 -4 -4 1 -2 -2 -3 xÜ`-2x+1=(x+2)(xÛ`-2x+2)-3 xÜ`-2x+1=(2x+4) xÛ`-x+1 -3 {;2!; } ∴ 몫 : xÛ`-x+1, 나머지 : -3 ;2!; 029 답 ⑤ 2A-(A-B) =2A-A+B=A+B =(xÛ`-2x+3)+(xÛ`+5x-2)=2xÛ`+3x+1 030 답 ④ A-B =(2xÛ`+5x+3)-(xÛ`-x+7) =2xÛ`+5x+3-xÛ`+x-7 =xÛ`+6x-4 따라서 일차항의 계수는 6, 상수항은 -4이므로 그 합은 주어진 식에서 xÜ`항이 나오는 항들만 전개하면 6+(-4)=2 031 답 ④ 2x´xÛ`=2xÜ` ∴ a=2 x항이 나오는 항들만 전개하면 2x´3+(-1)´(-x)=7x Ⅰ. 다항식 17 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 17 2017-09-18 오후 7:43:36 Ô Ô ∴ b=7 ∴ a+b=2+7=9 032 답 ⑤ (3x-2)(xÛ`+5x) =3xÜ`+15xÛ`-2xÛ`-10x =3xÜ`+13xÛ`-10x ∴ a=3, b=13, c=-10 ∴ a+b+c=3+13+(-10)=6 답 033 9 (좌변)=4xÛ`+yÛ`-4xy+12x-6y+9이므로 a=1, b=-4, c=12 ∴ a+b+c=9 답 034 14 xÜ`+yÜ`=(x+y)Ü`-3xy(x+y)에서 52=4Ü`-3xy_4, 12xy=12 ∴ xy=1 ∴ xÛ`+yÛ` =(x+y)Û`-2xy =4Û`-2_1=14 035 답 ④ a+b=4, ab=1이므로 b aÛ` + = a bÛ` bÜ`+aÜ` aÛ`bÛ` = (a+b)Ü`-3ab(a+b) (ab)Û` = 4Ü`-3´1´4 1Û` =52 036 답 ⑤ (a+b)Û`+(b+c)Û`+(c+a)Û` =(aÛ`+2ab+bÛ`)+(bÛ`+2bc+cÛ`)+(cÛ`+2ca+aÛ`) =2aÛ`+2bÛ`+2cÛ`+2ab+2bc+2ca =2(aÛ`+bÛ`+cÛ`+ab+bc+ca) =2{(a+b+c)Û`-(ab+bc+ca)} =2{3Û`-(-1)}=20 037 답 몫 : 2x-7, 나머지 : 18 A=(2x+3)(x-2)+3=2xÛ`-x-3이므로 A를 x+3으로 나누면 18 정답 및 해설 따라서 A를 x+3으로 나누었을 때의 몫은 2x-7, 나머지는 18 x+3 2xÛ`-1x-23 2xÛ`-27 <Ô 2xÛ`+6x 2xÛ`-7x-23 2xÛ`-7x-21 2xÛ`-7x-18 이다. 답 038 4 x+1 xÜ`-3xÛ`+4x+1 xÛ`-4xÛ`+8 <Ô xÜ`+1xÛ` xÜ`-4xÛ`+4x xÜ`-4xÛ`-4x xÜ`-4xÛ`-8x+1 xÜ`-4xÛ`-8x+8 xÜ`-4xÛ`-8x-7 ∴ a+b=4 039 답 ⑤ 따라서 몫이 xÛ`-4x+8이므로 a=-4, b=8 xÜ`-xÛ`-2x+1=A(x+2)+3x-1이므로 A(x+2) =xÜ`-xÛ`-2x+1-3x+1 =xÜ`-xÛ`-5x+2 ∴ A=(xÜ`-xÛ`-5x+2)Ö(x+2) x+2 xÜ`-2xÛ`-5x+2 xÛ`-3xÛ`+1 <Ô xÜ`+2xÛ` xÜ`-3xÛ`-5x xÜ`-3xÛ`-6x xÜ`-3xÛ`-6x+2 xÜ`-3xÛ`-6x+2 xÜ`-3xÛ`-6x+0 040 답 ① -2 2 -2 0 -1 -4 4 -8 2 -2 4 -9 ∴ (가)+(나)+(다)+(라)=0+(-2)+4+(-9)=-7 =2{aÛ`+bÛ`+cÛ`+2ab+2bc+2ca-(ab+bc+ca)} ∴ A=xÛ`-3x+1 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 18 2017-09-18 오후 7:43:38 정답 및 해설Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô 2 항등식과 나머지정리 045 답 (1) a=7, b=-5 (2) a=-2, b=4 (3) a=4, b=2 25쪽~30쪽 (4) a=1, b=1 041 답 (1) × (2) (3) (4) × (5) (6) (1) x=1을 대입하면 -b=5 ∴ b=-5 (4) xÛ`-2x=0이므로 방정식이다. (5) 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면 x=2를 대입하면 a=7 (2) x=1을 대입하면 4=b (x-1)Û`-(x+1)=xÛ`-2x+1-x-1=xÛ`-3x이므로 x=0을 대입하면 7=1-a+b ∴ a=-2 x의 값에 관계없이 등식이 항상 성립한다. (6) 주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면 (x-2)(x+5)=xÛ`+3x-10이므로 x의 값에 관계없이 등식이 항상 성립한다. (3) x=0을 대입하면 3=1+b ∴ b=2 x=1을 대입하면 6=a+b, 6=a+2 ∴ a=4 (4) x=-1을 대입하면 -2a=-2 ∴ a=1 x=2를 대입하면 a+3b=4, 1+3b=4 ∴ b=1 042 답 (1) a=3, b=1 (2) a=2, b=-3 (3) a=1, b=1 046 답 (1) -9 (2) 4 (1) 다항식 2xÛ`+ax+1을 x+4로 나누었을 때의 몫이 2x-17, (4) a=2, b=2 (1) 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a=3, b=1 (4) 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면 (x+1)Û`+1=xÛ`+2x+2이므로 a=2, b=2 043 답 (1) -4 (2) 5 (3) 4 (1) a=1, b=0, c=-5이므로 a-b+c=1-0-5=-4 (2) a=2, b-1=-3, c=5이므로 a+b+c=2+(-2)+5=5 (3) a=3, b-3=-5, c=1이므로 a-b-c=3-(-2)-1=4 (1) 양변의 동류항의 계수를 비교하면 5=a-b, 3=a+b 두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=-1 (2) 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면 axÛ`+(-a+b)x-2 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a=1, -a+b=3 ∴ a=1, b=4 (3) 주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면 axÛ`+(-2a+b)x+a-2b 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a=2, -2a+b=-1, a-2b=-4 ∴ a=2, b=3 나머지가 69이므로 2xÛ`+ax+1=(x+4)(2x-17)+69 우변을 전개하여 정리하면 2xÛ`+ax+1=2xÛ`-9x+1 교하면 a=-9 이 등식은 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비 (2) 다항식 xÜ`+2xÛ`+ax+2를 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 몫이 x+1, 나머지가 2x+1이므로 xÜ`+2xÛ`+ax+2=(xÛ`+x+1)(x+1)+2x+1 x에 대한 항등식이므로 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 -1+2-a+2=-2+1 ∴ a=4 (1) 다항식 f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 f(2)=16-12-2+1=3 (2) 다항식 f(x)를 2x-1로 나누었을 때의 나머지는 f {;2!;} = ;2!; - ;2!; -2+5=3 (3) 다항식 f(x)를 3x+1로 나누었을 때의 나머지는 f {-;3!;} = -;9!;-;9!; ;3$; - -2=- :£9ª: 048 답 (1) 7 (2) 4 (3) -1 (4) 9 (5) - ;2!; (1) 다항식 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 5이므로 f(1)=1-4+1+a=5 ∴ a=7 Ⅰ. 다항식 19 044 답 (1) a=4, b=-1 (2) a=1, b=4 (3) a=2, b=3 047 답 (1) 3 (2) 3 (3) - :£9ª: YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 19 2017-09-18 오후 7:43:39 (2) 다항식 f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 -2이므로 050 답 (1) 6 (2) 3 (3) -1 (1) 다항식 f(x)가 x+2로 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여 (3) 다항식 f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 -7이므로 (-2)Ü`-(-2)+a=0, -6+a=0 (4) 다항식 f(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 3이므로 (2) 다항식 f(x)가 2x+1로 나누어떨어지므로 인수정리에 의하 (5) 다항식 f(x)를 x- 로 나누었을 때의 나머지는 - 이므로 ;2!; ;8&; (3) 다항식 f(x)가 x+3으로 나누어떨어지므로 인수정리에 의하 f(2)=8-16+2+a=-2 ∴ a=4 f(3)=27-36+3+a=-7 ∴ a=-1 f(-1)=-1-4-1+a=3 ∴ a=9 f {;2!;} = ;8!; -1+ +a=- ;2!; ;8&; ∴ a=- ;2!; f(-2)=0, 즉 ∴ a=6 여 f { - ;2!;} =0, 즉 4´ - { ;2!;} Ü`-a´ { - ;2!;} -1=0 ∴ a=3 여 f(-3)=0, 즉 (-3)Ü`+3´(-3)Û`-a´(-3)+3=0 ∴ a=-1 049 답 (1) x+3 (2) 3x-11 (3) x+2 (4) 3x+2 (5) -x-9 axÛ`+bx+c=3xÛ`+x-5가 x에 대한 항등식이므로 (1) f(x)=(x-2)(x-4)Q(x)+ax+b(a, b는 상수) 로 놓으면 f(2)=5, f(4)=7이므로 f(2)=2a+b=5, f(4)=4a+b=7 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=3 따라서 구하는 나머지는 x+3이다. (2) f(x)=(x-3)(x-5)Q(x)+ax+b(a, b는 상수) 로 놓으면 f(3)=-2, f(5)=4이므로 f(3)=3a+b=-2, f(5)=5a+b=4 두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=-11 따라서 구하는 나머지는 3x-11이다. 로 놓으면 f(-1)=1, f(3)=5이므로 f(-1)=-a+b=1, f(3)=3a+b=5 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=2 따라서 구하는 나머지는 x+2이다. (3) f(x)=(x+1)(x-3)Q(x)+ax+b(a, b는 상수) (4) f(x)=(x-1)(x+3)Q(x)+ax+b(a, b는 상수) 로 놓으면 f(1)=5, f(-3)=-7이므로 f(1)=a+b=5, f(-3)=-3a+b=-7 두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=2 따라서 구하는 나머지는 3x+2이다. (5) f(x)=(x+2)(x+5)Q(x)+ax+b(a, b는 상수) 051 답 ② a=3, b=1, c=-5 ∴ a+b+c=3+1+(-5)=-1 052 답 ④ (x+1)(x-2)f(x)=xÝ`-axÛ`-x+b의 양변에 x=-1을 대입하면 0=1-a+1+b ∴ a-b=2 … ㉠ x=2를 대입하면 0=16-4a-2+b ∴ 4a-b=14 … ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=2 ∴ ab=8 053 답 ⑤ f(x)=xÜ`+axÛ`+8x+1로 놓으면 f(x)를 x-2, x+1로 각각 나누었을 때의 나머지가 같으므로 나머지정리에 의하여 f(2)= f(-1)이다. 8+4a+16+1=-1+a-8+1 3a=-33 ∴ a=-11 054 답 ③ 로 놓으면 f(-2)=-7, f(-5)=-4이므로 다항식 f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지가 2이므로 f(-2)=-2a+b=-7, f(-5)=-5a+b=-4 나머지정리에 의하여 f(3)=2이다. 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=-9 따라서 (x-1)f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 따라서 구하는 나머지는 -x-9이다. (3-1)f(3)=2f(3)=2_2=4 20 정답 및 해설 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 20 2017-09-18 오후 7:43:40 정답 및 해설 055 답 ⑤ 059 답 (1) (x-3)(x+1) (2) (a+5b)(a-3b) 다항식 f(x)를 (x-2)(x+2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), (3) (x+3y)(x+7y) (4) (3x-y)(x-4y) 나머지를 R(x)=ax+b(a, b는 상수)라 하면 (5) (5a+b)(2a-b) (6) (2x+1)(x+3) 056 답 ① (3) 27xÜ`+54xÛ`y+36xyÛ`+8yÜ` 다항식 f(x)=2xÜ`+3xÛ`+ax-6이 x-1을 인수로 가지므로 =(3x)Ü`+3´(3x)Û`´2y+3´3x´(2y)Û`+(2y)Ü` f(x)=(x-2)(x+2)Q(x)+ax+b 이때, f(2)=2, f(-2)=4이므로 f(2)=2a+b=2, f(-2)=-2a+b=4 두 식을 연립하여 풀면 a=- , b=3 ;2!; 따라서 R(x)=- x+3이므로 R(8)=-1 ;2!; f(x)는 x-1로 나누어떨어진다. 즉, 인수정리에 의하여 f(1)=0이므로 2+3+a-6=0 ∴ a=1 f(x)=2xÜ`+3xÛ`+x-6이므로 x+2로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의하여 f(-2)=-16+12-2-6=-12 060 답 (1) (x+4)Ü` (2) (3x+1)Ü` (3) (3x+2y)Ü` (4) 3(a+2)Ü` (1) xÜ`+12xÛ`+48x+64 =xÜ`+3´xÛ`´4+3´x´4Û`+4Ü` (2) 27xÜ`+27xÛ`+9x+1 =(3x)Ü`+3´(3x)Û`´1+3´3x´1Û`+1Ü` =(x+4)Ü` =(3x+1)Ü` =(3x+2y)Ü` (4) 3aÜ`+18aÛ`+36a+24 =3(a+2)Ü` =3(aÜ`+6aÛ`+12a+8)=3(aÜ`+3´aÛ`´2+3´a´2Û`+2Ü`) 061 답 (1) (x-3)Ü` (2) (2x-3)Ü` (3) (4x-1)Ü` (4) (2x-y)Ü` (5) (a-2b)Ü` (1) xÜ`-9xÛ`+27x-27 =xÜ`-3´xÛ`´3+3´x´3Û`-3Ü` =(x-3)Ü` (2) 8xÜ`-36xÛ`+54x-27 3 인수분해 33쪽~43쪽 =(2x)Ü`-3´(2x)Û`´3+3´2x´3Û`-3Ü`=(2x-3)Ü` 057 답 (1) x(2x+5) (2) (a+b)(x+2) (3) (x+1)Û` (3) 64xÜ`-48xÛ`+12x-1 (4) (a-3)Û` (5) (4x+1)Û` (6) (5a-b)Û` =(4x)Ü`-3´(4x)Û`´1+3´4x´1Û`-1Ü`=(4x-1)Ü` (1) 공통인수로 묶으면 2xÛ`+5x=x(2x+5) (4) 8xÜ`-12xÛ`y+6xyÛ`-yÜ` (2) 공통인수로 묶으면 a(x+2)+b(x+2)=(a+b)(x+2) =(2x)Ü`-3´(2x)Û`´y+3´2x´yÛ`-yÜ`=(2x-y)Ü` 058 답 (1) (x+2y)(x-2y) (2) (a+4b)(a-4b) (3) (2x+6y)(2x-6y) (4) (3x+5y)(3x-5y) (5) x+ y ;4!; }{;3!; x- y ;4!; } {;3!; (6) (a-b+c-d)(a-b-c+d) (1) xÛ`-4yÛ`=xÛ`-(2y)Û`=(x+2y)(x-2y) (2) aÛ`-16bÛ`=aÛ`-(4b)Û`=(a+4b)(a-4b) (3) 4xÛ`-36yÛ`=(2x)Û`-(6y)Û`=(2x+6y)(2x-6y) (4) 9xÛ`-25yÛ`=(3x)Û`-(5y)Û`=(3x+5y)(3x-5y) (5) xÛ`- ;9!; yÛ`= x } {;3!; ;1Á6; Û`- y {;4!; } Û`= x+ y ;4!; {;3!; }{;3!; x- y ;4!; } (5) aÜ`-6aÛ`b+12abÛ`-8bÜ` =aÜ`-3´aÛ`´2b+3´a´(2b)Û`-(2b)Ü`=(a-2b)Ü` 062 답 (1) (x+2)(xÛ`-2x+4) (2) (3x+1)(9xÛ`-3x+1) (3) (x+4y)(xÛ`-4xy+16yÛ`) (4) (2x+1)(4xÛ`-2x+1)` (5) (4x+3y)(16xÛ`-12xy+9yÛ`)` (6) 2(a+3)(aÛ`-3a+9) (1) xÜ`+8 =xÜ`+2Ü`=(x+2)(xÛ`-2x+4) (2) 27xÜ`+1 =(3x)Ü`+1Ü`=(3x+1)(9xÛ`-3x+1) (3) xÜ`+64yÜ` =xÜ`+(4y)Ü` =(x+4y)(xÛ`-4xy+16yÛ`) (6) (a-b)Û`-(c-d)Û` ={(a-b)+(c-d)}{(a-b)-(c-d)} (4) 8xÜ`+1 =(2x)Ü`+1Ü` =(a-b+c-d)(a-b-c+d) =(2x+1)(4xÛ`-2x+1) Ⅰ. 다항식 21 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 21 2017-09-18 오후 7:43:42 (5) 64xÜ`+27yÜ` =(4x)Ü`+(3y)Ü` (4) (a-b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`+ab+bc-ca) =(4x+3y)(16xÛ`-12xy+9yÛ`) (5) (x+y+1)(xÛ`+yÛ`-xy-x-y+1) (6) 2aÜ`+54 =2(aÜ`+27)=2(aÜ`+3Ü`) (1) aÜ`+bÜ`-27cÜ`+9abc =2(a+3)(aÛ`-3a+9) =aÜ`+bÜ`+(-3c)Ü`-3´a´b´(-3c) 063 답 (1) (x-1)(xÛ`+x+1) (2) (x-4)(xÛ`+4x+16) (3) (2x-y)(4xÛ`+2xy+yÛ`) (4) (2x-3y)(4xÛ`+6xy+9yÛ`) (5) (a-3b)(aÛ`+3ab+9bÛ`) (6) ab(2a-3b)(4aÛ`+6ab+9bÛ`) (1) xÜ`-1=xÜ`-1Ü`=(x-1)(xÛ`+x+1) (2) xÜ`-64=xÜ`-4Ü`=(x-4)(xÛ`+4x+16) (3) 8xÜ`-yÜ`=(2x)Ü`-yÜ`=(2x-y)(4xÛ`+2xy+yÛ`) (4) 8xÜ`-27yÜ`=(2x)Ü`-(3y)Ü`=(2x-3y)(4xÛ`+6xy+9yÛ`) (5) aÜ`-27bÜ`=aÜ`-(3b)Ü`=(a-3b)(aÛ`+3ab+9bÛ`) (6) 8aÝ`b-27abÝ` =ab(8aÜ`-27bÜ`)=ab{(2a)Ü`-(3b)Ü`} =ab(2a-3b)(4aÛ`+6ab+9bÛ`) 064 답 (1) (x+y-z)Û` (2) (a+b+3c)Û` (3) (x-2y+3z)Û` (4) (2a+b+2c)Û` (5) (a+b-1)Û` (1) xÛ`+yÛ`+zÛ`+2xy-2yz-2zx =xÛ`+yÛ`+(-z)Û`+2´x´y+2´y´(-z)+2´(-z)´x =(x+y-z)Û` (2) aÛ`+bÛ`+9cÛ`+2ab+6bc+6ca =aÛ`+bÛ`+(3c)Û`+2´a´b+2´b´3c+2´3c´a =(a+b+3c)Û` (3) xÛ`+4yÛ`+9zÛ`-4xy-12yz+6zx = xÛ`+(-2y)Û`+(3z)Û`+2´x´(-2y)+2´(-2y)´3z +2´3z´x =(x-2y+3z)Û` (4) 4aÛ`+bÛ`+4cÛ`+4ab+4bc+8ca =(2a)Û`+bÛ`+(2c)Û`+2´2a´b+2´b´2c+2´2c´2a =(2a+b+2c)Û` (5) aÛ`+bÛ`+2ab-2a-2b+1 =aÛ`+bÛ`+1+2ab-2b-2a =aÛ`+bÛ`+(-1)Û`+2´a´b+2´b´(-1)+2´(-1)´a =(a+b-1)Û` =(a+b-3c)(aÛ`+bÛ`+9cÛ`-ab+3bc+3ca) (2) xÜ`+yÜ`-8+6xy =xÜ`+yÜ`+(-2)Ü`-3´x´y´(-2) =(x+y-2)(xÛ`+yÛ`-xy+2x+2y+4) (3) aÜ`-8bÜ`+cÜ`+6abc =aÜ`+(-2b)Ü`+cÜ`-3´a´(-2b)´c =(a-2b+c)(aÛ`+4bÛ`+cÛ`+2ab+2bc-ca) (4) aÜ`-bÜ`+cÜ`+3abc =aÜ`+(-b)Ü`+cÜ`-3´a´(-b)´c = {a+(-b)+c}{aÛ`+(-b)Û`+cÛ`-a´(-b)-(-b)´c -c´a} =(a-b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`+ab+bc-ca) (5) xÜ`+yÜ`-3xy+1 =xÜ`+yÜ`+1-3xy =xÜ`+yÜ`+1Ü`-3´x´y´1 =(x+y+1)(xÛ`+yÛ`-xy-x-y+1) 066 답 (1) (x+y+1)(x+y-3) (2) (xÛ`+3x+7)(xÛ`+3x-5) (3) (x+y+2)(x+y-5) (1) x+y=X로 놓으면 (x+y)Û`-2(x+y)-3 =XÛ`-2X-3=(X+1)(X-3) =(x+y+1)(x+y-3) (2) xÛ`+3x=X로 놓으면 (xÛ`+3x-2)(xÛ`+3x+4)-27 =(X-2)(X+4)-27 =XÛ`+2X-35=(X+7)(X-5) =(xÛ`+3x+7)(xÛ`+3x-5) (3) x+y=X로 놓으면 (x+y)Û`-3x-3y-10 =(x+y)Û`-3(x+y)-10 =XÛ`-3X-10=(X+2)(X-5) =(x+y+2)(x+y-5) 065 답 (1) (a+b-3c)(aÛ`+bÛ`+9cÛ`-ab+3bc+3ca) (2) (x+y-2)(xÛ`+yÛ`-xy+2x+2y+4) 067 답 (1) (xÛ`+3x+5)(xÛ`+3x-3) (3) (a-2b+c)(aÛ`+4bÛ`+cÛ`+2ab+2bc-ca) (2) (x-1)Û`(xÛ`-2x-12) (3) (xÛ`-3x+1)Û` 22 정답 및 해설 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 22 2017-09-18 오후 7:43:44 정답 및 해설 =(xÛ`+3x+5)(xÛ`+3x-3) ← X=xÛ`+3x 대입 =(xÛ`+x-3)(xÛ`-x-3) (1) x(x+1)(x+2)(x+3)-15 ={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}-15 =(xÛ`+3x)(xÛ`+3x+2)-15 =X(X+2)-15 ← xÛ`+3x=X로 치환 =XÛ`+2X-15=(X+5)(X-3) (2) (x+1)(x+2)(x-3)(x-4)-36 ={(x+1)(x-3)}{(x+2)(x-4)}-36 =(xÛ`-2x-3)(xÛ`-2x-8)-36 =(X-3)(X-8)-36 ← xÛ`-2x=X로 치환 =XÛ`-11X-12=(X+1)(X-12) =(xÛ`-2x+1)(xÛ`-2x-12) ← X=xÛ`-2x 대입 =(x-1)Û`(xÛ`-2x-12) (3) x(x-1)(x-2)(x-3)+1 ={x(x-3)}{(x-1)(x-2)}+1 =(xÛ`-3x)(xÛ`-3x+2)+1 =X(X+2)+1=XÛ`+2X+1 ← xÛ`-3x=X로 치환 =(X+1)Û`=(xÛ`-3x+1)Û` ← X=xÛ`-3x 대입 (3) (xÛ`+2)(x+1)(x-1) (1) xÝ`-2xÛ`-3 =XÛ`-2X-3 ← xÛ`=X로 치환 =(X+1)(X-3) =(xÛ`+1)(xÛ`-3) ← X=xÛ` 대입 (2) xÝ`-10xÛ`+9 =XÛ`-10X+9 ← xÛ`=X로 치환 =(X-1)(X-9) =(xÛ`-1)(xÛ`-9) ← X=xÛ` 대입 =(x+1)(x-1)(x+3)(x-3) (3) xÝ`+xÛ`-2 =XÛ`+X-2 ← xÛ`=X로 치환 =(X+2)(X-1) =(xÛ`+2)(xÛ`-1) ← X=xÛ` 대입 =(xÛ`+2)(x+1)(x-1) =(xÛ`-4)Û`-xÛ` ← AÛ`-BÛ` 꼴로 변형 =(xÛ`+x-4)(xÛ`-x-4) (3) xÝ`-7xÛ`+9 =(xÝ`-6xÛ`+9)-xÛ` =(xÛ`-3)Û`-xÛ` ← AÛ`-BÛ` 꼴로 변형 ← -7xÛ`을 -6xÛ`과 -xÛ`으로 분리하기 (4) xÝ`+4 =(xÝ`+4xÛ`+4)-4xÛ` ← 4xÛ` 더하고 빼기 =(xÛ`+2)Û`-(2x)Û` ← AÛ`-BÛ` 꼴로 변형 =(xÛ`+2x+2)(xÛ`-2x+2) 070 답 (1) (a+b)(a-b)(a+c) (2) (x-y)(x-y+z) (3) (aÛ`+b)(c-ab) (4) (y-x+1)(y-xÛ`-x-1) (1) aÜ`-abÛ`-bÛ`c+aÛ`c =(aÛ`-bÛ`)c+a(aÛ`-bÛ`) (2) xÛ`+yÛ`+xz-yz-2xy =(x-y)z+xÛ`-2xy+yÛ` =(aÛ`-bÛ`)(a+c) =(a+b)(a-b)(a+c) =(x-y)z+(x-y)Û` =(x-y)(x-y+z) =(aÛ`+b)c-ab(aÛ`+b) =(aÛ`+b)(c-ab) (4) xÜ`-xÛ`y-2xy+yÛ`-1 =yÛ`-(xÛ`+2x)y+xÜ`-1 =yÛ`-(xÛ`+2x)y+(x-1)(xÛ`+x+1) ={y-(x-1)}{y-(xÛ`+x+1)} =(y-x+1)(y-xÛ`-x-1) 071 답 (1) (x+2y-1)(x-2y+1) (2) (x+y+1)(x+y+3) (3) (x-y+2)(x+2y-4) (4) -(a-b)(b-c)(c-a) (1) xÛ`-4yÛ`+4y-1 =xÛ`-(4yÛ`-4y+1) =xÛ`-(2y-1)Û` =(x+2y-1)(x-2y+1) 068 답 (1) (xÛ`+1)(xÛ`-3) (2) (x+1)(x-1)(x+3)(x-3) (3) aÛ`c-abÛ`-aÜ`b+bc =(aÛ`+b)c-aÜ`b-abÛ` 069 답 (1) (xÛ`+x-1)(xÛ`-x-1) (2) (xÛ`+x-4)(xÛ`-x-4) (2) xÛ`+yÛ`+2xy+4x+4y+3 (3) (xÛ`+x-3)(xÛ`-x-3) (4) (xÛ`+2x+2)(xÛ`-2x+2) (1) xÝ`-3xÛ`+1 =(xÝ`-2xÛ`+1)-xÛ` ← -3xÛ`을 -2xÛ`과 -xÛ`으로 분리하기 =(xÛ`-1)Û`-xÛ` ← AÛ`-BÛ` 꼴로 변형 =(xÛ`+x-1)(xÛ`-x-1) (2) xÝ`-9xÛ`+16 =(xÝ`-8xÛ`+16)-xÛ` =xÛ`+(2y+4)x+yÛ`+4y+3 =xÛ`+(2y+4)x+(y+1)(y+3) ={x+(y+1)}{x+(y+3)} =(x+y+1)(x+y+3) (3) xÛ`+xy-2yÛ`-2x+8y-8 =xÛ`+(y-2)x-2(yÛ`-4y+4) =xÛ`+(y-2)x-2(y-2)Û` ← -9xÛ`을 -8xÛ`과 -xÛ`으로 분리하기 =(x-y+2)(x+2y-4) Ⅰ. 다항식 23 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 23 2017-09-18 오후 7:43:45 (4) ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) =aÛ`b-abÛ`+bÛ`c-bcÛ`+cÛ`a-caÛ` f(x) =(x-1)(xÛ`+2x-3) =(x-1)Û`(x+3) =(b-c)aÛ`-(bÛ`-cÛ`)a+bc(b-c) (5) f(x)=2xÜ`+xÛ`-2x-16이라 하면 =(b-c)aÛ`-(b+c)(b-c)a+bc(b-c) f(2)=16+4-4-16=0이므로 =(b-c){aÛ`-(b+c)a+bc} 조립제법을 이용하여 인수분해하면 =(b-c)(a-b)(a-c)=-(a-b)(b-c)(c-a) 072 답 (1) (x-1)Û`(x+2) (2) (x-1)(x+2)(x-3) (3) (x+2)(xÛ`-x+1) (4) (x-1)Û`(x+3) f(x)=(x-2)(2xÛ`+5x+8) (5) (x-2)(2xÛ`+5x+8) (6) (x+1)(3xÛ`+2x-2) (6) f(x)=3xÜ`+5xÛ`-2라 하면 073 답 (1) (x-1)Û`(x+1)(x+2) (2) (x-1)Ü`(x+1) (3) (x+1)Û`(x-1)(x+3) (4) (x-1)(x-2)(x+2)(x-3) (5) (x+1)(x-2)(x+3)(x-4) 2 2 1 -2 -16 4 110 1116 2 5 -8 -10 f(-1)=-3+5-2=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 -1 3 -5 -0 -2 -3 -2 -2 3 -2 -2 -0 f(x)=(x+1)(3xÛ`+2x-2) (1) f(x)=xÝ`+xÜ`-3xÛ`-x+2라 하면 f(1)=0, f(-1)=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 -1 1 -1 -3 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 1 -2 -1 -2 -0 -1 -1 -2 1 -1 -2 -0 f(x) =(x-1)(x+1)(xÛ`+x-2) =(x-1)Û`(x+1)(x+2) (2) f(x)=xÝ`-2xÜ`+2x-1이라 하면 f(1)=0, f(-1)=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 -1 1 -2 -0 -2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -0 -1 -2 -1 1 -2 -1 -0 (1) f(x)=xÜ`-3x+2라 하면 f(1)=1-3+2=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 1 1 0 -3 -2 1 -1 -2 1 1 -2 -0 f(x) =(x-1)(xÛ`+x-2) =(x-1)Û`(x+2) (2) f(x)=xÜ`-2xÛ`-5x+6이라 하면 f(1)=1-2-5+6=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 1 1 -2 -5 -6 -1 -1 -6 1 -1 -6 -0 f(x) =(x-1)(xÛ`-x-6) =(x-1)(x+2)(x-3) (3) f(x)=xÜ`+xÛ`-x+2라 하면 f(-2)=-8+4+2+2=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 -2 1 -1 -1 -2 -2 -2 -2 1 -1 -1 -0 f(x)=(x+2)(xÛ`-x+1) (4) f(x)=xÜ`+xÛ`-5x+3이라 하면 f(1)=1+1-5+3=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 1 1 1 -5 -3 1 -2 -3 1 2 -3 -0 24 정답 및 해설 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 24 2017-09-18 오후 7:43:47 정답 및 해설 f(x) =(x-1)(x+1)(xÛ`-2x+1) (2) 3Û`-5Û`+7Û`-9Û`+11Û`-13Û`+15Û`-17Û` f(x) =(x-1)Ü`(x+1) = (3+5)(3-5)+(7+9)(7-9)+(11+13)(11-13) (3) f(x)=xÝ`+4xÜ`+2xÛ`-4x-3이라 하면 +(15+17)(15-17) f(1)=0, f(-1)=0이므로 =(-2)_8+(-2)_16+(-2)_24+(-2)_32 조립제법을 이용하여 인수분해하면 =-2(8+16+24+32)=-2_80=-160 -1 1 -4 -2 -4 -3 -1 -5 -7 -3 -1 1 -5 -7 -3 -0 -1 -4 -3 1 -4 -3 -0 f(x) =(x-1)(x+1)(xÛ`+4x+3) f(x) =(x+1)Û`(x-1)(x+3) (4) f(x)=xÝ`-4xÜ`-xÛ`+16x-12라 하면 f(1)=0, f(2)=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 1 1 -4 -1 -16 -12 -1 -3 1-4 -12 2 1 -3 -4 -12 -10 -2 -2 -12 1 -1 -6 -10 f(x) =(x-1)(x-2)(xÛ`-x-6) f(x) =(x-1)(x-2)(x+2)(x-3) (5) f(x)=xÝ`-2xÜ`-13xÛ`+14x+24라 하면 f(-1)=0, f(2)=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 -1 1 -2 -13 -14 -24 -1 1-3 -10 -24 -2 1 -3 -10 -24 -10 -2 1-2 -24 1 -1 -12 -10 f(x) =(x+1)(x-2)(xÛ`-x-12) f(x) =(x+1)(x-2)(x+3)(x-4) 074 답 (1) 100 (2) -160 (3) 1000 (1) 99=x로 놓으면 99Ü`+1 98_99+1 = xÜ`+1 (x-1)x+1 = (x+1)(xÛ`-x+1) xÛ`-x+1 =x+1 =99+1=100 (3) 1004=a, 4=b로 놓으면 1004Ü`-64 1004_1008+16 = aÜ`-bÜ` a_(a+b)+bÛ` = (a-b)(aÛ`+ab+bÛ`) aÛ`+ab+bÛ` =a-b=1000 답 075 -9 xÜ`-27=xÜ`-3Ü`=(x-3)(xÛ`+3x+9) ∴ a=-3, b=3, c=9 ∴ a+b-c=-9 076 답 ① (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+k ={(x+2)(x+5)}{(x+3)(x+4)}+k =(xÛ`+7x+10)(xÛ`+7x+12)+k =(X+10)(X+12)+k (∵ xÛ`+7x=X로 치환) =XÛ`+22X+120+k … ㉠ 주어진 식이 x에 대한 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되려 면 ㉠이 X에 대한 완전제곱식으로 인수분해되어야 한다. Û`=120+k이므로 121=120+k {:ª2ª:} ∴ k=1 답 077 -505 xÛ`=X로 놓으면 xÝ`-8xÛ`+16 =XÛ`-8X+16 =(X-4)Û` =(xÛ`-4)Û` =(x+2)Û`(x-2)Û` 이때, a>b이므로 a=2, b=-2 ∴ 2020 b-a = 2020 -2-2 =-505 078 답 ③ 주어진 식을 b에 대하여 내림차순으로 정리하면 Ⅰ. 다항식 25 YBM(해)-01단원(001~025)-ok.indd 25 2017-09-18 오후 7:43:48 aÛ`b-aÜ`c+bc-acÛ` =(aÛ`+c)b-(aÜ`c+acÛ`) aÛ`b-aÜ`c+bc-acÛ` =(aÛ`+c)b-ac(aÛ`+c) =(aÛ`+c)(b-ac) 따라서 인수인 것은 ③ b-ac이다. 079 답 ③ f(x)=xÝ`+2xÜ`+2xÛ`-2x-3이라 하면 f(1)=0, f(-1)=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 -1 1 -2 -2 -2 -3 -1 -3 -5 -3 -1 1 -3 -5 -3 -0 -1 -2 -3 1 -2 -3 -0 f(x)=(x-1)(x+1)(xÛ`+2x+3) 따라서 인수인 것은 ③ xÛ`+2x+3이다. 080 답 271 15=x로 놓으면 =XÛ`+2X+1 15_16_17_18+1 =(X+1)Û` =(xÛ`+3x+1)Û` =(225+45+1)Û`=271Û` ∴ '¶15_16_17_18+1='¶271Û`=271 Ⅱ 방정식과 부등식 1 복소수 48쪽~60쪽 001 답 ' (1) 3 i (2) 3i (3) 15 i (4) -2 6 i (5) '¶ ' i ;3@; (2) '¶ (4) - -9= 9 i=3i ' -24=- '¶ 24 i=-2 6 i ' '¶ (5) ®É - ;9$; = i= i ;3@; ®;9$; 002 답 (1) 실수부분`: 2, 허수부분`:`-3 (2) 실수부분`: 2, 허수부분`:`2 (3) 실수부분`: 5 , 허수부분`:` ' 2 ' 3 2 (4) 실수부분`: 3, 허수부분`:`1 (5) 실수부분`: 8, 허수부분`:`0 (6) 실수부분`: 0, 허수부분`:`5 (7) 실수부분`: -1, 허수부분`:`-1 (6) i Û`-i=-1-i이므로 실수부분은 -1, 허수부분은 -1이다. 004 답 (1) x=-2, y=-2 (2) x=-1, y=3 (3) x=10, y=-1 (4) x=3, y=2 (5) x=- , y= ;2#; ;2!; (2) x+1=0, y-3=0 ∴ x=-1, y=3 (3) x-4=6, y+2=1 ∴ x=10, y=-1 (4) 3-x=0, y-2=0 ∴ x=3, y=2 (5) x+y+1=0, x-y+2=0에서 x+y=-1, x-y=-2 ∴ x=- , y= ;2#; ;2!; 005 답 (1) 1-2i (2) -2-3i (3) 2 (4) 3i (5) - 2-i ' (6) 3i-4 (7) 3+ 7 ' 15_16_17_18+1 =x(x+1)(x+2)(x+3)+1 003 답 (1) 9 i Û `, 0, ( -5)Û`, 2i Û`, 2- 3 (2) -i, 2 i, -4 ' ' '¶ ={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}+1 =(xÛ`+3x)(xÛ`+3x+2)+1 =X(X+2)+1 (∵ xÛ`+3x=X로 치환) ' (3) i-1, '¶ 3+2i ' 9 i Û`=3´(-1)=-3, ( (1) ' 2i Û`=2´(-1)=-2 '¶ (2) '¶ -4= 4 i=2i ' -5)Û`=( 5 i)Û`=-5, ' 26 정답 및 해설 YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 26 2017-09-18 오후 7:47:25 정답 및 해설 006 답 (1) 7+3i (2) 1+3i (3) -2 (4) -9-3i (1) (4+2i)+(3+i)=(4+3)+(2+1)i=7+3i (2) (-1+2i)+(2+i)=(-1+2)+(2+1)i=1+3i (3) (-i-1)+(-1+i)=(-1-1)+(-1+1)i=-2 1 (3) x + = = =1 x+y xy 2 2 (4) xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=2Û`-2´2=0 x (5) y + = xÛ`+yÛ` xy = =0 0 2 1 y y x (4) (-5-2i)+(-4-i)=(-5-4)+(-2-1)i=-9-3i (6) xÜ`+yÜ`=(x+y)Ü`-3xy(x+y)=2Ü`-3´2´2=-4 007 답 (1) -3-4i (2) -11+5i (3) 4+i (4) 3-3i (5) -3+6i (1) (1+3i)-(4+7i)=(1-4)+(3-7)i=-3-4i (2) (-9+i)-(2-4i)=(-9-2)+{1-(-4)}i=-11+5i (3) (9-6i)-(5-7i) =(9-5)+{-6-(-7)}i=4+i (4) (7-2i)-(4+i)=(7-4)+(-2-1)i=3-3i (5) (7-6i)-2(5-6i)=(7-10)+(-6+12)i=-3+6i 008 답 (1) 10-5i (2) -13i (3) -2 3-6i (4) 41 ' (1) (2+i)(3-4i) =6-8i+3i-4i Û`=(6+4)+(-8+3)i =10-5i =-13i ' =( ' (2) (2+3i)(-3-2i) =-6-4i-9i-6i Û` =(-6+6)+(-4-9)i (3) (1- 3 i)( 3-3i) = 3-3i-3i+3 ' ' 3 i Û` ' 3-3 3)+(-3-3)i=-2 3-6i ' ' (4) (4+5i)(4-5i) =16-20i+20i-25i Û` =(16+25)+(-20+20)i=41 009 답 (1) + ;2¢5; ;2£5; i (2) + (3) 5-2i (4) 2-i (5) + i 2 3 2 6 5 i 3 5 (1) 1 4-3i = 1_(4+3i) (4-3i)(4+3i) = 4+3i 4Û`-(3i)Û` = + 4 25 3 25 i (3) 2+5i i = i(2+5i) i Û` =-(2i+5i Û`)=5-2i (4) 4+3i 1+2i = (4+3i)(1-2i) (1+2i)(1-2i) = 10-5i 5 =2-i (5) 3i 2+i = 3i(2-i) (2+i)(2-i) = 6i+3 5 = + 3 5 6 5 i 010 답 (1) 2 (2) 2 (3) 1 (4) 0 (5) 0 (6) -4 (1) x+y=(1+i)+(1-i)=2 (2) xy=(1+i)(1-i)=1Û`-i Û`=2 011 답 (1) a=Ñ2, b=-1 (2) a=4, b=1 (3) a=Ñ2, b=1 (1) z가 실수가 되려면 (허수부분)=0이어야 하므로 xÛ`-4=0, x=Ñ2 ∴ a=Ñ2 z가 순허수가 되려면 (실수부분)=0, (허수부분)+0이어야 하 므로 xÛ`-x-2=0, (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 그런데 xÛ`-4+0 ∴ x+Ñ2 ∴ b=-1 (2) 주어진 복소수를 i에 대하여 정리하면 z=x(2-i)+2(-1+2i)=(2x-2)+(-x+4)i z가 실수가 되려면 (허수부분)=0이어야 하므로 -x+4=0, x=4 ∴ a=4 z가 순허수가 되려면 (실수부분)=0, (허수부분)+0이어야 하 므로 ∴ b=1 2x-2=0, -x+4+0 ∴ x=1, x+4 (3) 주어진 복소수를 i에 대하여 정리하면 z=(1-i)xÛ`-3x+2+4i=(xÛ`-3x+2)+(-xÛ`+4)i z가 실수가 되려면 (허수부분)=0이어야 하므로 -xÛ`+4=0, x=Ñ2 ∴ a=Ñ2 z가 순허수가 되려면 (실수부분)=0, (허수부분)+0이어야 하 므로 xÛ`-3x+2=0, (x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2 그런데 -xÛ`+4+0 ∴ x+Ñ2 012 답 (1) x=3, y=-4 (2) x=2, y=1 (3) x=5, y=-2 (4) x=3, y=-5 (1) 주어진 식의 좌변을 정리하면 (x+2y)+(2x-y)i=-5+10i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x+2y=-5, 2x-y=10 위의 두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=-4 Ⅱ. 방정식과 부등식 27 (2) 1+2i 1+i = (1+2i)(1-i) (1+i)(1-i) = 1-i+2i-2i Û` 1Û`-i Û` = 3+i 2 = + 3 2 i 2 ∴ b=1 YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 27 2017-09-18 오후 7:47:26 (2) 주어진 식의 좌변을 정리하면 (3x+2y)+(2x-3y)i=8+i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 (3) 주어진 식의 좌변을 정리하면 (x+y)+(x-y)i=3+7i (2) z=a+bi(a, b는 실수)라고 하면 z=a-bi이므로 (3+i)z+2i z =(3+i)(a+bi)+2i(a-bi) =(3a+b)+(3a+3b)i 3a+b=5, 3a+3b=3 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-1 3x+2y=8, 2x-3y=1 따라서 (3a+b)+(3a+3b)i=5+3i이므로 위의 두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=1 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x+y=3, x-y=7 ∴ z=2-i 위의 두 식을 연립하여 풀면 x=5, y=-2 (3) z=a+bi(a, b는 실수)라고 하면 z=a-bi이므로 (4) 주어진 식의 좌변을 정리하면 (x+2)+(-2x+1)i=5+yi (1+2i)z+3i z =(1+2i)(a+bi)+3i(a-bi) =(a+b)+(5a+b)i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 따라서 (a+b)+(5a+b)i=2+6i이므로 x+2=5, -2x+1=y 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 a+b=2, 5a+b=6 위의 두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=-5 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=1 013 답 (1) 1-2i (2) 2 (3) 4i (4) 5 (1) z=1+2i이므로 z=1-2i (2) z+ z=(1+2i)+(1-2i)=2 (3) z- z=(1+2i)-(1-2i)=4i (4) z z=(1+2i)(1-2i)=1Û`-(2i)Û`=5 014 답 (1) 3+2i (2) 6 (3) - i (4) 20 5 13 12 13 (1) z=3-2i이므로 z=3+2i (2) z+ z=(3-2i)+(3+2i)=6 z (3) z = 3-2i 3+2i = (3-2i)(3-2i) (3+2i)(3-2i) = (3-2i)Û` 3Û`-(2i)Û` = 5-12i 13 = - 5 13 12 13 i (4) (z+1)( z+1) =(3-2i+1)(3+2i+1) =(4-2i)(4+2i)=4Û`-(2i)Û`=20 [다른 풀이] (z+1)( z+1) =z z+(z+ z)+1 =(3-2i)(3+2i)+(3-2i+3+2i)+1 =9+4+6+1=20 015 답 (1) 1-2i (2) 2-i (3) 1+i (4) 3i (5) 1+i (6) 3+4i (1) z=a+bi(a, b는 실수)라고 하면 z=a-bi이므로 5z+2 z=5(a+bi)+2(a-bi)=7a+3bi 따라서 7a+3bi=7-6i이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 a=1, b=-2 ∴ z=1-2i 28 정답 및 해설 ∴ z=1+i (4) z=a+bi(a, b는 실수)라고 하면 z=a-bi이므로 (1+i)z+3i z =(1+i)(a+bi)+3i(a-bi) =(a+2b)+(4a+b)i 따라서 (a+2b)+(4a+b)i=6+3i이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 a+2b=6, 4a+b=3 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=0, b=3 ∴ z=3i (5) z=a+bi(a, b는 실수)라고 하면 z=a-bi이므로 (2+i)z+(3-2i) z =(2+i)(a+bi)+(3-2i)(a-bi) =(5a-3b)-(a+b)i 따라서 (5a-3b)-(a+b)i=2-2i이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 5a-3b=2, a+b=2 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=1 ∴ z=1+i (6) z=a+bi(a, b는 실수)라고 하면 z=a-bi이므로 (2+i)z+(1-i) z =(2+i)(a+bi)+(1-i)(a-bi) =(3a-2b)+bi 따라서 (3a-2b)+bi=1+4i이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 3a-2b=1, b=4 ∴ a=3, b=4 ∴ z=3+4i 016 답 (1) -i (2) i (3) -i (4) i (5) -i YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 28 2017-09-18 오후 7:47:27 정답 및 해설Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ (1) i 43=i 4_10+3=(i 4)10´i 3=110´(-i)=-i (2) i 121=i 4_30+1=(i 4)30´i=130´i=i (3) (-i)Þ`=-i Þ`=-i Ý`´i=-i (4) { Ü`= 1 i } 1Ü` i 3 = 1 -i = i -i´i =i (5) {- 23 1 i } =- 123` i 23` 1 1 =- i 4_5+3 =- (i 4)5´i 3 =- 1 i 3 =- 1 -i = = =-i 1 i i i´i 019 답 (1) Ñ 2 i (2) Ñ2i (3) Ñ 7 i (4) Ñ2 2 i ' ' ' 3 (5) Ñ ' 3 3 i (6) Ñ ' 2 i (2) Ñ 4 i=Ñ2i (4) Ñ 8 i=Ñ2 2 i ' ' (5) Ñ i=Ñ ®;3!; (6) Ñ ®;4#; i=Ñ ' ' ' 1 3 ' 3 4 3 i=Ñ ' 3 i 3 i=Ñ ' 2 i (3) i+i Û`+i Ü`+i Ý`+i Þ`=i+(-1)+(-i)+1+i Ý`´i=i 021 답 (1) 4i (2) 9i (3) - 6 (4) -6 (5) -6 2 (6) - 15 ' '¶ ' 017 답 (1) -8i (2) -64 (3) i (4) i (5) 1 (6) 0 (1) (1+i)Û`=1+2i+i Û`=2i이므로 (1+i)ß` ={(1+i)Û`}Ü` =(2i)Ü`=8i Ü`=8´(-i)=-8i (2) (1-i)Û`=1-2i+i Û`=-2i이므로 (1-i)12 ={(1-i)Û`}ß` =(-2i)ß`=64i ß`=64´i Ý`´i Û`=-64 (4) i+i Û`+i Ü`+i Ý`+y+i 25 =(i+i Û`+i Ü`+i Ý`)+y+(i 21+i 22+i 23+i 24)+i 25 =(i-1-i+1)+y+(i-1-i+1)+i =i (5) 1+i+i Û`+y+i 100 =(1+i+i Û`+i Ü`)+y+(i 96+i 97+i 98+i 99)+i 100 =(1+i-1-i)+y+(1+i-1-i)+1=1 1 (6) i + 1 i 2 + 1 i 3 + 1 i 4 = 1 i -1- +1=0 1 i 018 답 (1) i (2) -1 (3) i (4) -1 (5) -2i (1) { 5 1+i 1-i } =i 5=i (2) { 106 1+i 1-i } =i 106=i 4_26+2=i Û`=-1 (3) 1-i 1+i = (1-i)Û` (1+i)(1-i) = -2i 2 =-i ∴ (주어진 식)=(-i)7=-i 4´i 3=i (4) 1-i 1+i = (1-i)Û` (1+i)(1-i) = -2i 2 =-i ∴ (주어진 식)=(-i)2018=i 2018=i 4_504+2=i 2=-1 (5) 1-i 1+i =-i, 1+i 1-i =i ∴ (주어진 식) =(-i)Þ`+i 15=-i Ý`´i+(i Ý`)Ü`´i Ü` =-i-i=-2i 020 답 3 i (2) 7i (3) 3i (4) -3 2 i (5) ( 7-7)i ' ' (1) 4 ' -3+ '¶ -25+ '¶ -16- '¶ -2-3 '¶ -7- '¶ (1) '¶ (2) '¶ (3) '¶ (4) 3 (5) '¶ -27= 3 i+3 3 i=4 3 i ' ' ' -4=5i+2i=7i -1=4i-i=3i -8=3 '¶ -49= 2 i-6 ' ' 7 i-7i=( 2 i=-3 2 i ' 7-7)i ' ' 022 답 (1) 2i (2) (3) -2i (4) - 6 i (5) 3 (6) 2 ' ' '¶ -3 -2 -4 (1) 2 ' (2) '¶ (3) '¶ (4) '¶ (5) '¶ (6) '¶ '¶ '¶ '¶ '¶ '¶ -8= 2´2 2 i=4i ' 3 i´3 ' 27= ' -3= 3=9i ' 2 i´ 3 i= 6 i Û `=- ' ' -9=2i´3i=6i Û`=-6 ' 6 ' -8 -9=2 2 i´3 i=6 ' 5 i´ ' 3 i= '¶ ' 2 i Û `=-6 ' 15 i Û `=- 2 ' 15 '¶ -5 -3= 2 = =2i i 2 2 i ' 2 ' 2 i 2 = i 2 -8 2 (1) '¶ ' -2 8 (2) '¶ ' 16 -4 (3) '¶ '¶ 18 -3 -9 -3 (4) '¶ '¶ (5) '¶ '¶ = ' 2 ' 4 2i = = 3 2 ' 3 i ' 3 i 3 i ' 2 = = = 3 3 ' 3 = 3 ' 3 3 ' =2 -12 -3 (6) '¶ '¶ = 3 i ' 3 i ' = = =-2i 2 i 2 i i Û` = 3 i 3 ' 2´ ' 3i Û` =- 6 i ' 023 답 (1) -2 6- 3 i (2) -2 2 i (3) -9-8i (4) ' ' ' + i ;5#; ;5!; (1) '¶ '¶ -4 -6+ '¶ '¶ =-2 =2i´ ' 12 -4 6 i+ 2 3 ' 2i 6- 3 i ' ' Ⅱ. 방정식과 부등식 29 YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 29 2017-09-18 오후 7:47:30 029 답 ④ 2 i+2 2 i- 18 i+ ' '¶ 2 2 ' i a=1+7i, a=1-7i, b=3-4i, b=3+4i이므로 a a+ ab+a b+b b=(a+b) a+(a+b) b =(a+b)( a+ b) =(4+3i)(4-3i)=4Û`-(3i)Û`=25 (2) '¶ -2+ -8- -3 '¶ ' '¶ = 2 i+ 8 i- 3 i´ ' ' 16 -2 6+ '¶ '¶ 16 2 i ' = 6+ '¶ ' 2 i=-2 ' = 2 i+2 2 i-3 2 i-2 ' ' ' 2 i ' ' ' (3) '¶ '¶ -3 -12- -5 '¶ = 3 i´ 12 i- 5 i´ ' '¶ ' -27 -3 ' 5- '¶ '¶ 27 i 3 i 5- '¶ ' 27 -3 + '¶ '¶ 27 3 i + '¶ ' ' 3 i = 36 i Û`-5i-3+ =-6-5i-3-3i=-9-8i '¶ 1+ 2- -1 -1 '¶ '¶ (4) = 1+i 2-i = (1+i)(2+i) (2-i)(2+i) = 2+i+2i+i Û` 4-i Û` = 1+3i 5 = + i ;5#; ;5!; 030 답 ② z=a+bi(a, b는 실수)에서 z=a-bi이므로 (1+i)z+2i z =(1+i)(a+bi)+2i(a-bi) =a+bi+ai-b+2ai+2b =(a+b)+(3a+b)i 따라서 (a+b)+(3a+b)i=-1+5i이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 a+b=-1, 3a+b=5 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=-4 ∴ a-b=3-(-4)=7 031 답 ④ i Û`=-1, i Ü`=-i, i Ý`=1, i Þ`=i이므로 i+2i Û`+3i Ü`+4i Ý`+5i Þ` =i+2´(-1)+3´(-i)+4´1+5´i =2+3i 032 답 i x= 1+i 1-i = (1+i)Û` (1-i)(1+i) 2i 2 = =i이므로 1+x+xÛ`+xÜ`+y+x50 =1+i+i Û`+i Ü`+y+i 50 =1+(i+i Û`+i Ü `+i Ý `)+y+i 44(i+i Û`+i Ü `+i Ý`)+i 49+i 50 =1+0+y+0+(i Ý`)12´i+(i Ý `)12´i Û ` =1+i+i Û`=1+i-1=i 033 답 -i zÛ`= 2 2 ' 1+i } { = 2 2i 1 i = =-i zÝ`=(-i)Û`=-1 z¡`=(-1)Û`=1 ∴ z2018=(z8)252´zÛ`=zÛ`=-i 024 답 (1) -a-b (2) ab (3) -a-b a ' b=- (1) ' |a|+|b|=(-a)+(-b)=-a-b ab 일 때, a<0, b<0이므로 '¶ (2) "à aÛ` "à bÛ`=(-a)´(-b)=ab (3) |a+b|=-(a+b)=-a-b 025 답 (1) a-b (2) -ab (3) a-b a b 일 때, a>0, b<0이므로 =- (1) ' ' |a|+|b|=a+(-b)=a-b ® a b (2) "à aÛ` "à bÛ`=a´(-b)=-ab (3) |b-a|=-(b-a)=a-b 026 답 ⑤ (x-2)+(y+5)i=8i에서 x, y가 실수이므로 x-2=0, y+5=8 ∴ x=2, y=3 ∴ x+y=5 027 답 ① z=2-3i의 켤레복소수는 z=2+3i이므로 z+2 z =(2-3i)+2(2+3i)=2-3i+4+6i =6+3i ∴ a=6, b=3 ∴ a-b=3 028 답 ② 30 정답 및 해설 zÁzª =(2- 3 i)(2+ 3 i)=2Û`-( 3 i)Û`=4+3=7 ' ' ' 답 034 (1) a+1일 때, x= 2+2a a-1 a=1일 때, 해는 없다. 2 이차방정식 63쪽~76쪽 YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 30 2017-09-18 오후 7:47:32 정답 및 해설§ § § § § § § § § § Õ Õ Õ Õ (2) a+1일 때, x= -a-5 a-1 a=1일 때, 해는 없다. (3) a+Ñ1일 때, x= 1 a-1 a=-1일 때, 해는 무수히 많다. a=1일 때, 해는 없다. (1) a(x-2)=x+2, ax-2a=x+2, (a-1)x=2+2a Ú a+1일 때, x= 2+2a a-1 Û a=1일 때, 0´x=4 ∴ 해는 없다. (2) a(x+1)=x-5, (a-1)x=-a-5 Ú a+1일 때, x= -a-5 a-1 Û a=1일 때, 0´x=-6 ∴ 해는 없다. (3) (aÛ`-1)x=a+1, (a+1)(a-1)x=a+1 Ú a+Ñ1일 때, x= 1 a-1 Û a=-1일 때, 0´x=0 ∴ 해는 무수히 많다. Ü a=1일 때, 0´x=2 ∴ 해는 없다. ;2!; ;2!; Û x¾ 일 때, 2x-1=x ∴ x=1 Ú , Û에서 x= 또는 x=1 ;3!; (2) |x-1|=3x+1에서 Ú x<1일 때, -x+1=3x+1, 4x=0 ∴ x=0 Û x¾1일 때, x-1=3x+1 ∴ x=-1 그런데 x¾1이므로 해는 없다. Ú, Û에서 x=0 (3) |x+1|+|x-2|=4에서 Ú x<-1일 때, -x-1-x+2=4, 2x=-3 Û -1Éx<2일 때, x+1-x+2=4, 0´x=1 Ü x¾2일 때, x+1+x-2=4, 2x=5 ∴ x=- ;2#; ∴ 해는 없다. ∴ x= ;2%; Ú , Û, Ü에서 x=- 또는 x= ;2#; ;2%; (4) |x-2|-2|x+1|=2에서 Ú x<-1일 때, -(x-2)+2(x+1)=2 ∴ x=-2 Û -1Éx<2일 때, -(x-2)-2(x+1)=2, -3x=2 ∴ x=- ;3@; ∴ x=-6 Ü x¾2일 때, (x-2)-2(x+1)=2, -x=6 그런데 x¾2이므로 x=-6은 해가 아니다. Ú , Û, Ü에서 x=-2 또는 x=- ;3@; 036 답 (1) x=1 또는 x=4 (2) x=-4 또는 x=5 (3) x= 또는 x=2 (4) x=-2 또는 x=2 ;3!; ;2#; (5) x= (중근) (1) xÛ`-5x+4=0에서 (x-1)(x-4)=0 ∴ x=1 또는 x=4 (2) xÛ`-x-20=0에서 (x+4)(x-5)=0 ∴ x=-4 또는 x=5 (3) 3xÛ`-7x+2=0에서 (3x-1)(x-2)=0 ∴ x= 또는 x=2 ;3!; (4) xÛ`-4=0에서 (x+2)(x-2)=0 ∴ x=-2 또는 x=2 (5) 4xÛ`-12x+9=0에서 (2x-3)Û`=0 037 답 (1) x= 5 3Ñ ' 2 `(실근) (2) x= 17 -5Ñ 4 '¶ `(실근) (3) x= 7 i 1Ñ ' 4 `(허근) (4) x= 5 i 2Ñ ' 3 `(허근) (5) x= 23 i -3Ñ '¶ 4 `(허근) -(-3)Ñ (1) x= (-3)Û`-4´1´1 "à 2´1 = `(실근) 5 3Ñ ' 2 -5Ñ (2) x= 5Û`-4´2´1 "à 2´2 = 17 -5Ñ 4 '¶ `(실근) -(-1)Ñ (3) x= (-1)Û`-4´2´1 "à 2´2 = 1Ñ -7 '¶ 4 = 7 i 1Ñ ' 4 `(허근) (4) 3xÛ`-2´2x+3=0에서 근의 공식을 이용하면 -(-2)Ñ x= (-2)Û`-3´3 "à 3 Ⅱ. 방정식과 부등식 31 035 답 (1) x= 또는 x=1 (2) x=0 (3) x=- 또는 x= ;2#; ;2%; ;3!; (4) x=-2 또는 x=- ;3@; (1) |2x-1|=x에서 Ú x< 일 때, -2x+1=x, 3x=1 ∴ x= ;3!; ∴ x= (중근) ;2#; YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 31 2017-09-18 오후 7:47:34 = 2Ñ -5 '¶ 3 = 5 i 2Ñ ' 3 `(허근) (5) 양변에 10을 곱하면 2xÛ`+3x+4=0 ∴ x= -3Ñ 3Û`-4´2´4 "à 2´2 = -23 -3Ñ '¶ 4 = 23 i -3Ñ '¶ 4 `(허근) 038 답 (1) x=-1 또는 x=1 (2) x=-2 또는 x=2 (3) x=1- 2 또는 x=1 ' (1) Ú x<0일 때, xÛ`-3x-4=0, (x+1)(x-4)=0 Û x¾0일 때, xÛ`+3x-4=0, (x+4)(x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x=4 그런데 x<0이므로 x=-1 ∴ x=-4 또는 x=1 그런데 x¾0이므로 x=1 Ú, Û에서 x=-1 또는 x=1 (2) Ú x<0일 때, 3xÛ`-x-14=0, (x+2)(3x-7)=0 ∴ x=-2 또는 x= ;3&; 그런데 x<0이므로 x=-2 Û x¾0일 때, 3xÛ`+x-14=0, (3x+7)(x-2)=0 ∴ x=- 또는 x=2 ;3&; 그런데 x¾0이므로 x=2 Ú , Û에서 x=-2 또는 x=2 ∴ x=1Ñ 2 ' ;2!; 그런데 x< 이므로 x=1- 2 ' ;2!; ;2!; Û x¾ 일 때, xÛ`+(2x-1)-2=0, xÛ`+2x-3=0 (x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1 그런데 x¾ 이므로 x=1 ;2!; Ú , Û에서 x=1- 2 또는 x=1 ' 039 답 (1) k=-1 (2) k=-2 (3) k=-3 ' (1) x=1을 xÛ`+kx-3k-3=0에 대입하면 2 (4) k=1 1Û`+k-3k-3=0 -2k=2 ∴ k=-1 (2) x=-1을 xÛ`-2kx-k+1=0에 대입하면 (-1)Û`-2k´(-1)-k+1=0 ∴ k=-2 (3) x= 2를 2xÛ`+x+k=0에 대입하면 ' 2´( ' 2)Û`+ ' ' ' 2+k=0 ∴ k=-3 2 ' 32 정답 및 해설 (4) x=-1+ 2를 xÛ`+kx+ 2-2=0에 대입하면 (-1+ 2)Û`+k(-1+ 2-2=0 ' ' ' 2)+ ' ' 1- 2+k(-1+ 2)=0, k(-1+ 2)=-1+ ' ' ' 2 ' ∴ k=1 040 답 12`cm 넓이는 xÛ``cmÛ` 이다. 처음 정사각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 처음 정사각형의 또한, 새로 만들어진 직사각형의 가로의 길이는 (x+6)cm, 세로의 길이는 (x+4)cm이므로 새로 만들어진 직사각형의 넓이는 (x+6)(x+4)cmÛ`이다. (x+6)(x+4)=2xÛ`, xÛ`+10x+24=2xÛ` xÛ`-10x-24=0, (x-12)(x+2)=0 ∴ x=12 (∵ x>0) 따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 12`cm이다. 041 답 5초 물체가 지면에 떨어지면 높이가 0이므로 -5tÛ`+20t+25=0, tÛ`-4t-5=0 (t+1)(t-5)=0 ∴ t=5 (∵ t>0) 따라서 이 물체가 지면에 떨어질 때까지 걸린 시간은 5초이다. 사다리꼴의 윗변의 길이를 x`cm라고 하면 높이는 x`cm, 아랫변 의 길이는 (x+2)cm이므로 사다리꼴의 넓이는 _{x+(x+2)}_x=30 ;2!; xÛ`+x-30=0, (x+6)(x-5)=0 ∴ x=5 (∵ x>0) 따라서 사다리꼴의 윗변의 길이는 5`cm이다. 043 답 5초 후 직사각형의 넓이가 100`cmÛ`가 되는 시간을 t초 후라고 하면 가로의 길이는 (10+2t)cm, 세로의 길이는 (10-t)cm이다. (10+2t)(10-t)=100, 100+10t-2tÛ`=100 tÛ`-5t=0, t(t-5)=0 ∴ t=5 (∵ t>0) 따라서 직사각형의 넓이가 100`cmÛ`가 되는 것은 5초 후이다. 044 답 (1) 서로 다른 두 실근 (2) 중근 (3) 서로 다른 두 실근 (4) 서로 다른 두 허근 (5) 서로 다른 두 실근 (3) Ú x< 일 때, xÛ`-(2x-1)-2=0, xÛ`-2x-1=0 042 답 5`cm YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 32 2017-09-18 오후 7:47:35 정답 및 해설 (1) 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 (1) 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=(-5)Û`-4´1´2=17>0 ∴ 서로 다른 두 실근 (2) 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 =6Û`-4´9=0 D 4 ∴ 중근 (3) 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=(-5)Û`-4´1´(-1)=29>0 ∴ 서로 다른 두 실근 (4) 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=3Û`-4´1´5=-11<0 ∴ 서로 다른 두 허근 (5) 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 =(-1)Û`-2´(-1)=3>0 D 4 ∴ 서로 다른 두 실근 045 답 (1) k< ;4(; (2) k<4 (3) k>2 (1) 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=3Û`-4´1´k=9-4k>0 ∴ k< ;4(; (2) 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 =(-2)Û`-1´k=4-k>0 ∴ k<4 (3) 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 =1Û`-1´(5-2k)=-4+2k>0 ∴ k>2 D={-(k+2)}Û`-4´2´2=0 kÛ`+4k-12=0, (k+6)(k-2)=0 ∴ k=-6 또는 k=2 (3) 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 ={-(k-2)}Û`-1´kÛ`=-4k+4=0 ∴ k=1 047 답 (1) k<- ;4(; (2) k> ;5!; (3) k<2 D 4 D 4 D 4 D 4 D=3Û`-4´1´(-k)=9+4k<0 ∴ k<- ;4(; (2) 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 =1Û`-5´k=1-5k<0 ∴ k> ;5!; (3) 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D 4 D 4 =(-2k)Û`-1´(4kÛ`-k+2)=k-2<0 ∴ k<2 048 답 (1) kÉ ;4!; (2) kÉ :Á4£: (3) kÉ4 (1) 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D={-(2k-1)}Û`-4´1´kÛ`=-4k+1¾0 ∴ kÉ (2) 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=(-3)Û`-4´1´(k-1)=-4k+13¾0 ∴ kÉ ;4!; :Á4£: (3) 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 =(-3)Û`-1´(k+5)=-k+4¾0 D 4 ∴ kÉ4 049 답 (1) k=-2 (2) k=3 (3) - <k<0 또는 k>0 ;4!; (1) Ú kxÛ`+2kx-2=0이 이차방정식이므로 k+0 Û 중근을 가지므로 =kÛ`-k´(-2)=0, kÛ`+2k=0, k(k+2)=0 ∴ k=0 또는 k=-2 Ú, Û에서 k=-2 D 4 D 4 kÛ`+4k+4-5kÛ`+20=0, -4kÛ`+4k+24=0 kÛ`-k-6=0, (k+2)(k-3)=0 ∴ k=-2 또는 k=3 Ú, Û에서 k=3 (3) Ú 주어진 방정식이 이차방정식이므로 k+0 Û 중근을 가지므로 D=(2k-1)Û`-4´k´(k-2)>0 4k+1>0 ∴ k>- ;4!; Ú , Û에서 - <k<0 또는 k>0 ;4!; Ⅱ. 방정식과 부등식 33 046 답 (1) k=9 (2) k=-6 또는 k=2 (3) k=1 (1) 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 (2) Ú 주어진 방정식이 이차방정식이므로 kÛ`-4+0, (k+2)(k-2)+0 ∴ k+Ñ2 =(-3)Û`-1´k=9-k=0 ∴ k=9 Û 중근을 가지므로 (2) 주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 =(k+2)Û`-(kÛ`-4)´5=0 YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 33 2017-09-18 오후 7:47:36 이 등식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 (3) aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab =(-2)Û`-2´(-5)=14이므로 050 답 (1) a=0, b=1 (2) a=1, b=- ;4!; (3) a=-2, b=4 (1) 이차방정식 xÛ`+2(k+a)x+kÛ`+aÛ`+b-1=0의 (a+4)(a-6)=0 ∴ a=-4 또는 a=6 이 등식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 (5) a+b= 2, ab=1 (1) a+b=3, ab=-5 (2) a+b=2, ab=-5 (3) a+b=0, ab=9 (4) a+b= , ab=-3 ;2#; 052 답 ' -3 1 -2 1 ;1); -3 2 (1) a+b=- =3, ab= =-5 (2) a+b=- =2, ab= =-5 -5 1 -5 1 (3) a+b=- =0, ab= =9 ;1(; (4) a+b=- = , ab= ;2#; -6 2 =-3 (5) a+b=- = 2, ab= =1 2 - ' 1 ' 1 1 053 답 (1) ;5@; (2) 24 (3) - :Á5¢; (4) -70 (1) 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-2, ab=-5 ∴ + = 1 a 1 b a+b ab = -2 -5 = 2 5 (2) (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab =(-2)Û`-4´(-5)=24 b a + = a b aÛ`+bÛ` ab = 14 -5 =- 14 5 (4) aÜ`b+abÜ`=ab(aÛ`+bÛ`)=(-5)´14=-70 054 답 (1) :ª3£: (2) :Á3»: (3) -2 (4) 21 (1) 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=3, ab= ;3@; ∴ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=3Û`-2´ = ;3@; :ª3£: = ;3@; :Á3»: (2) (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab=3Û`-4´ (3) (3a-1)(3b-1)=9ab-3(a+b)+1 (3a-1)(3b-1)=9´ -3´3+1=-2 ;3@; (4) aÜ`+bÜ`=(a+b)Ü`-3ab(a+b) aÜ`+bÜ`=3Ü`-3´ ´3=21 ;3@; 판별식을 D라고 하면 =(k+a)Û`-1´(kÛ`+aÛ`+b-1) D 4 =kÛ`+2ak+aÛ`-kÛ`-aÛ`-b+1=2ak-b+1=0 2a=0, -b+1=0 ∴ a=0, b=1 (2) 이차방정식 xÛ`+(2k-1)x+kÛ`-ak-b=0의 판별식을 D라고 하면 D=(2k-1)Û`-4´1´(kÛ`-ak-b) D=4kÛ`-4k+1-4kÛ`+4ak+4b D=4(a-1)k+4b+1=0 이 등식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 a-1=0, 4b+1=0 ∴ a=1, b=- ;4!; (3) 이차방정식 xÛ`-2(k+a)x+kÛ`-4k+b=0의 판별식을 D라고 하면 D 4 ={-(k+a)}Û`-1´(kÛ`-4k+b) =kÛ`+2ak+aÛ`-kÛ`+4k-b =(2a+4)k+aÛ`-b=0 2a+4=0, aÛ`-b=0 ∴ a=-2, b=4 051 답 (1) a= ;4!; (2) a=3 (3) a=-4 또는 a=4 (4) a=-4 또는 a=6 (1) 이차방정식 axÛ`-x+1=0의 판별식을 D라고 하면 중근을 가져야 하므로 D=(-1)Û`-4´a´1=0 ∴ a= ;4!; (2) 이차방정식 3xÛ`+6x+a=0의 판별식을 D라고 하면 (3) 이차방정식 axÛ`-8x+a=0의 판별식을 D라고 하면 중근을 가져야 하므로 =3Û`-3´a=0 ∴ a=3 중근을 가져야 하므로 =(-4)Û`-a´a=16-aÛ`=0 ∴ a=-4 또는 a=4 D 4 D 4 D 4 34 정답 및 해설 (4) 이차방정식 5xÛ`-2(a-1)x+5=0의 판별식을 D라고 하면 (1) xÛ`+5x-3=0의 두 근이 a, b이므로 중근을 가져야 하므로 a Û`+5a-3=0, bÛ`+5b-3=0 055 답 (1) 11 (2) -11 ={-(a-1)}Û`-5´5=aÛ`-2a-24=0 한편, 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-5, ab=-3 YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 34 2017-09-18 오후 7:47:38 정답 및 해설 a Û`+6a-5=(aÛ`+5a-3)+a-2=a-2 b Û`+6b-5=(bÛ`+5b-3)+b-2=b-2 (3) 두 근의 비가 1`:`2이므로 두 근을 a, 2a로 놓으면 근과 계수의 관계 의하여 ∴ (aÛ`+6a-5)(bÛ`+6b-5) =(a-2)(b-2) (두 근의 합)=a+2a=k+1 ∴ k=3a-1 … ㉠ ㉠을 ㉡에 대입하면 -a+3=- , -3a=-3 058 답 (1) k=1 (2) k=-3 또는 k=7 (3) k=-6 또는 k=8 b 2 (2) aÛ`+2a-2=(aÛ`+5a-3)-3a+1=-3a+1 b Û`+2b-2=(bÛ`+5b-3)-3b+1=-3b+1 ∴ (aÛ`+2a-2)(bÛ`+2b-2) =(-3a+1)(-3b+1) =ab-2(a+b)+4 =(-3)-2´(-5)+4 =11 =9ab-3(a+b)+1 =9´(-3)-3´(-5)+1 =-11 056 답 (1) a=1, b=-4 (2) a=-3, b=0 (1) 이차방정식 xÛ`+ax+3=0의 두 근이 a, b이므로 a +b=-a, ab=3 … ㉠ 또, 이차방정식 2xÛ`+bx-6=0의 두 근이 a+b, ab이므로 (a+b)+ab=- , (a+b)ab=-3 … ㉡ b 2 ∴ a=1, b=-4 (2) 이차방정식 xÛ`-2x+a=0의 두 근이 a, b이므로 a +b=2, ab=a … ㉠ 또, 이차방정식 xÛ`+bx-4=0의 두 근이 a-1, b-1이므로 (a-1)+(b-1)=-b, (a-1)(b-1)=-4 ∴ a+b-2=-b, ab-(a+b)+1=-4 … ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 2-2=-b, a-2+1=-4 ∴ a=-3, b=0 057 답 (1) k=-16 (2) k=12 (3) k= 또는 k=2 ;2!; (4) k=-1 근과 계수의 관계에 의하여 (두 근의 합)=2a+a=12, 3a=12 ∴ a=4 (두 근의 곱)=2a´a=-2k ∴ k=-aÛ`=-16 근과 계수의 관계에 의하여 (두 근의 합)=a+3a=8, 4a=8 ∴ a=2 (두 근의 곱)=a´3a=k ∴ k=3aÛ`=3_2Û`=12 (두 근의 곱)=a´2a=k ∴ 2aÛ`=k … ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 2aÛ`=3a-1이므로 2aÛ`-3a+1=0, (2a-1)(a-1)=0 ∴ a= 또는 a=1 ;2!; 이것을 ㉠에 대입하면 k= 또는 k=2 ;2!; (4) 두 근의 비가 4`:`1이므로 두 근을 4a, a로 놓으면 근과 계수의 관계에 의하여 (두 근의 합)=4a+a=5(k-1) ∴ a=k-1 … ㉠ (두 근의 곱)=4a´a=-16k, aÛ`=-4k … ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 (k-1)Û`=-4k kÛ`+2k+1=0, (k+1)Û`=0 ∴ k=-1 (4) k=-1 또는 k=3 (1) 두 근의 차가 3이므로 두 근을 a, a+3으로 놓으면 (두 근의 합)=a+(a+3)=7, 2a=4 ∴ a=2 (두 근의 곱)=a(a+3)=2k+8, 2k+8=10 ∴ k=1 (2) 두 근의 차가 1이므로 두 근을 a, a+1로 놓으면 (두 근의 합)=a+(a+1)=k ∴ k=2a+1 … ㉠ (두 근의 곱)=a(a+1)=k+5 … ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 a(a+1)=(2a+1)+5이므로 aÛ`-a-6=0, (a+2)(a-3)=0 ∴ a=-2 또는 a=3 이것을 ㉠에 대입하면 k=-3 또는 k=7 (두 근의 합)=a+(a+3)=k-1 ∴ k=2a+4 … ㉠ (두 근의 곱)=a(a+3)=10, aÛ`+3a-10=0 (a+5)(a-2)=0 ∴ a=-5 또는 a=2 이것을 각각 ㉠에 대입하면 k=-6 또는 k=8 (두 근의 합)=a+(a+2)=4, 2a=2 ∴ a=1 (두 근의 곱)=a(a+2)=kÛ`-2k … ㉠ a=1을 ㉠에 대입하면 kÛ`-2k=3, (k+1)(k-3)=0 ∴ k=-1 또는 k=3 Ⅱ. 방정식과 부등식 35 (1) 두 근의 비가 2`:`1이므로 두 근을 2a, a로 놓으면 (3) 두 근의 차가 3이므로 두 근을 a, a+3으로 놓으면 (2) 두 근의 비가 1`:`3이므로 두 근을 a, 3a로 놓으면 (4) 두 근의 차가 2이므로 두 근을 a, a+2로 놓으면 YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 35 2017-09-18 오후 7:47:40 059 답 (1) xÛ`-8x+12=0 (2) xÛ`-2x-24=0 (3) xÛ`- x+ ;1¦0; ;1Á0; =0 (4) xÛ`-2x-1=0 (5) xÛ`-6x+7=0 (6) xÛ`+4=0 (1) (두 근의 합)=2+6=8, (두 근의 곱)=2´6=12 따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`-8x+12=0 (2) (두 근의 합)=-4+6=2, (두 근의 곱)=(-4)´6=-24 따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`-2x-24=0 (3) (두 근의 합)= + = ;5!; ;2!; ;1¦0; , (두 근의 곱)= ´ ;2!; ;5!; = ;1Á0; 따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`- x+ =0 ;1Á0; ;1¦0; (4) (두 근의 합)=(1+ 2)+(1- (두 근의 곱)=(1+ 2)(1- ' 따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`-2x-1=0 ' (5) (두 근의 합)=(3+ 2)+(3- 2)=6 (두 근의 곱)=(3+ 2)(3- ' 따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`-6x+7=0 ' 2)=2 ' 2)=-1 ' 2)=7 ' ' (6) (두 근의 합)=-2i+2i=0, (두 근의 곱)=(-2i)´2i=4 따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`+4=0 (4) xÛ`+ x+ =0 (5) xÛ`+4x+16=0 ;2!; ;4!; (6) xÛ`+x+1=0 (1) 이차방정식 xÛ`+2x+4=0의 두 근이 a, b이므로 a+b=-2, ab=4 (두 근의 합)=2a+2b=2(a+b)=2´(-2)=-4 (두 근의 곱)=2a´2b=4ab=4´4=16 ∴ xÛ`+4x+16=0 (2) (두 근의 합)=(a+b)+ab=-2+4=2 (두 근의 곱)=(a+b)´ab=(-2)´4=-8 ∴ xÛ`-2x-8=0 (3) (두 근의 합)=(a+1)+(b+1)=(a+b)+2=-2+2=0 (두 근의 곱)=(a+1)(b+1)=ab+(a+b)+1 (두 근의 곱)=4+(-2)+1=3 ∴ xÛ`+3=0 (4) (두 근의 합)= + = (두 근의 곱)= ´ = ∴ xÛ`+ x+ =0 ;2!; ;4!; 1 a 1 a 1 b 1 b a+b ab =- ;2!; 1 ab = ;4!; 36 정답 및 해설 (5) (두 근의 합)=aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=(-2)Û`-2´4=-4 (두 근의 곱)=aÛ`bÛ`=(ab)Û`=4Û`=16 ∴ xÛ`+4x+16=0 (6) (두 근의 합)= + = b a a b aÛ`+bÛ` ab = (a+b)Û`-2ab ab (두 근의 합)= (-2)Û`-2´4 4 =-1 (두 근의 곱)= b a ´ a b =1 ∴ xÛ`+x+1=0 061 답 (1) { x- 5 1+ ' 2 x- }{ 5 1- ' 2 } (2) (x+3- 2 i)(x+3+ 2 i) ' 3 i)(x- 3 i) ' ' (3) 3(x+ (4) 3 x- { ' 1+ ' 3 2 i x- }{ 2 i 1- ' 3 } (1) 이차방정식 xÛ`-x-1=0의 근은 x= -(-1)Ñ )Û`-4´1´(-1) "à (-1 2 = 5 1Ñ ' 2 ∴ xÛ`-x-1= x- 5 1+ ' 2 x- }{ 5 1- ' 2 } { (2) 이차방정식 xÛ`+6x+11=0의 근은 x= -3Ñ "à 3Û`-1´11 1 =-3Ñ 2 i ' ' ∴ xÛ`+6x+11 ={x-(-3+ 2 i)}{x-(-3- 2 i)} (3) 이차방정식 3xÛ`+9=0, 즉 xÛ`+3=0의 근은 x=Ñ 3 i ∴ 3xÛ`+9 =3{x-(- 3 i)}(x- 3 i) ' ' =3(x+ 3 i)(x- 3 i) ' ' (4) 이차방정식 3xÛ`-2x+1=0의 근은 -(-1)Ñ x= (-1)Û`-3´1 "à 3 = 2 i 1Ñ ' 3 ∴ 3xÛ`-2x+1=3 { x- 2 i 1+ ' 3 x- }{ 2 i 1- ' 3 } ' ' 062 답 (1) a=-2, b=-1 (2) a=4, b=-1 (1) 계수가 유리수이고 한 근이 1+ 2이므로 다른 한 근은 ' 1- 2이다. ' 근과 계수의 관계에 의하여 (1+ 2)+(1- 2)=-a ∴ a=-2 ' ' 2)=b ∴ b=-1 (1+ 2)(1- ' ' (2) 계수가 유리수이고 한 근이 -2+ 5이므로 다른 한 근은 ' -2- 5이다. ' 근과 계수의 관계에 의하여 (-2+ 5)+(-2- (-2+ 5)(-2- ' ' ' 5)=-a ∴ a=4 ' 5)=b ∴ b=-1 060 답 (1) xÛ`+4x+16=0 (2) xÛ`-2x-8=0 (3) xÛ`+3=0 =(x+3- 2 i)(x+3+ 2 i) ' ' YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 36 2017-09-18 오후 7:47:42 정답 및 해설à 063 답 (1) a=-2, b=2 (2) a=-2, b=5 (1) 계수가 실수이고 한 근이 1-i이므로 다른 한 근은 1+i이다. 따라서 2a+b=0, b-3=0이므로 a=- , b=3 ;2#; ∴ b-a=3- = {-;2#;} ;2(; 근과 계수의 관계에 의하여 (1-i)+(1+i)=-a ∴ a=-2 (1-i)(1+i)=b ∴ b=2 (2) 계수가 실수이고 한 근이 1+2i이므로 다른 한 근은 1-2i이다. 근과 계수의 관계에 의하여 (1+2i)+(1-2i)=-a ∴ a=-2 (1+2i)(1-2i)=b ∴ b=5 064 답 ④ |4x+a|=3에서 4x+a=Ñ3 4x=-3-a 또는 4x=3-a ∴ x= 또는 x= -3-a 4 3-a 4 따라서 두 근의 합은 -3-a 4 + 3-a 4 = -2a 4 =- a 2 이므로 - =-2 ∴ a=4 a 2 068 답 ⑤ 주어진 이차식이 완전제곱식이 되므로 이차방정식 xÛ`-4ax+ka-4k+b=0은 중근을 갖는다. 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =(-2a)Û`-1´(ka-4k+b)=0, (4-a)k+4aÛ`-b=0 이 식이 k에 대한 항등식이므로 4-a=0, 4aÛ`-b=0 ∴ a=4, b=64 ∴ a+b=68 069 답 ⑤ 근과 계수의 관계에 의하여 -a=2+3=5, b=2´3=6 ∴ a=-5, b=6 따라서 이차방정식 axÛ`+bx+2=0의 두 근을 a, b라 하면 a+b=- =- b a 6 -5 = ;5^; 065 답 ⑤ 이차방정식 2xÛ`+mx-10=0의 한 근이 1이므로 x=1을 대입하면 2+m-10=0 ∴ m=8 070 답 ⑤ 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-5, ab=-4 ∴ aÛ`-ab+bÛ`=(a+b)Û`-3ab=(-5)Û`-3´(-4)=37 066 답 ② 071 답 ;3!; 이차방정식 xÛ`+(5-2k)x+kÛ`=0의 판별식을 D라 하면 이차방정식 2xÛ`-4x+k=0의 두 근이 a, b이므로 D=(5-2k)Û`-4kÛ`<0 25-20k<0 ∴ k> ;4%; 따라서 정수 k의 최솟값은 2이다. 067 답 ;2(; 이차방정식 xÛ`+2(k+a)x+kÛ`+aÛ`-bk-b+3=0이 중근을 가질 때 판별식 D=0이므로 D 4 =(k+a)Û`-1´(kÛ`+aÛ`-bk-b+3)=0 kÛ`+2ak+aÛ`-kÛ`-aÛ`+bk+b-3=0 ∴ (2a+b)k+b-3=0 … ㉠ 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=- =2, ab= -4 2 k 2 aÜ`+bÜ`=(a+b)Ü`-3ab(a+b)=7에서 2Ü`-3´ ´2=7, 8-3k=7, 3k=1 k 2 ∴ k= ;3!; 072 답 40 이차방정식 xÛ`-ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=a, ab=b … ㉠ ㉠이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 k에 대한 항등식이다. 이차방정식 xÛ`-4x+2=0의 두 근이 a+b, ab이므로 Ⅱ. 방정식과 부등식 37 YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 37 2017-09-18 오후 7:47:43 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+ab=4, (a+b)ab=2 … ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 a+b=4, ab=2 ∴ aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b) =4Ü`-3´2´4=40 073 답 3 두 근의 차가 2이므로 두 근을 a, a+2라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 a+(a+2)=2k … ㉠ a(a+2)=k+5 … ㉡ ㉠에서 a=k-1이므로 이것을 ㉡에 대입하면 (k-1)(k+1)=k+5, kÛ`-k-6=0 (k+2)(k-3)=0 ∴ k=-2 또는 k=3 따라서 구하는 k의 값은 3이다. 074 답 4xÛ`+8x+3=0 이차방정식 2xÛ`+3x-1=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=- , ab=- ;2#; ;;2!; 구하는 이차방정식의 두 근이 a+b, ab이므로 (두 근의 합)=(a+b)+ab=- + - { ;2#; ;2!;} =-2 (두 근의 곱)=(a+b)ab=- ´ - ;2#; { ;2!;} = ;4#; 따라서 구하는 이차방정식은 4 xÛ`-(-2)x+ =0 [ ;4#;] ∴ 4xÛ`+8x+3=0 075 답 ① 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 계수가 모두 실수이고 한 근이 2+i 이므로 다른 한 근은 2-i이다. 근과 계수의 관계에 의하여 (2+i)+(2-i)=-a ∴ a=-4 (2+i)(2-i)=b ∴ b=5 ∴ ab=-20 3 이차방정식과 이차함수 80쪽~94쪽 076 답 (1) 꼭짓점의 좌표 : (1, -1), 축의 방정식 : x=1 (2) 꼭짓점의 좌표 : (2, 8), 축의 방정식 : x=2 38 정답 및 해설 (3) 꼭짓점의 좌표 : { - ;2!; } , 1 , 축의 방정식 : x=- ;2!; (4) 꼭짓점의 좌표 : { 1, ;2#;} , 축의 방정식 : x=1 (1) y =2xÛ`-4x+1=2(xÛ`-2x)+1=2(xÛ`-2x+1-1)+1 =2(x-1)Û`-1 x=1이다. 따라서 꼭짓점의 좌표는 (1, -1)이고 축의 방정식은 (2) y=-xÛ`+4x+4=-(xÛ`-4x+4-4)+4=-(x-2)Û`+8 따라서 꼭짓점의 좌표는 (2, 8)이고 축의 방정식은 x=2이다. (3) y=-xÛ`-x+ xÛ`+x+ =- { ;4!; ;4#; - + =- x+ { ;4#; ;4!;} Û` +1 ;2!;} 따라서 꼭짓점의 좌표는 { - ;2!; , 1 } 이고 축의 방정식은 (4) y=- xÛ`+x+1=- (xÛ`-2x+1-1)+1 ;2!; x=- 이다. ;2!; ;2!; ;2!; =- (x-1)Û`+ ;2#; 1, 따라서 꼭짓점의 좌표는 { ;2#;} 이고 축의 방정식은 x=1이다. 077 답 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) 풀이 참고 (4) 풀이 참고 (1) y =xÛ`-4x+2 =(xÛ`-4x+4-4)+2 =(x-2)Û`-2 (2) y =xÛ`+4x+3 =(xÛ`+4x+4-4)+3 =(x+2)Û`-1 -4 -2 O 2 x 4 -4 -2 O 2 x 4 (3) y =-xÛ`-4x-3 =-(xÛ`+4x+4-4)-3 =-(x+2)Û`+1 -4 -2 O 2 x 4 (4) y =-2xÛ`-4x+1 =-2(xÛ`+2x+1-1)+1 =-2(x+1)Û`+3 -4 -2 O 2 x 4 y 4 2 y 4 2 y 4 2 y 4 2 -2 -4 -2 -4 -2 -4 -2 -4 YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 38 2017-09-18 오후 7:47:45 정답 및 해설 078 답 (1) a>0, b<0, c>0 (2) a<0, b<0, c>0 그래프가 점 (-2, -5)를 지나므로 -5=a-3 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a, b는 서로 다른 부호 (4) 꼭짓점의 좌표가 (-1, 1)인 이차함수의 식은 (3) a>0, b>0, c<0 (1) 아래로 볼록하므로 a>0 즉, a>0이므로 b<0 y절편이 x축의 위쪽에 있으므로 c>0 (2) 위로 볼록하므로 a<0 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a, b는 같은 부호 즉, a<0이므로 b<0 y절편이 x축의 위쪽에 있으므로 c>0 (3) 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a, b는 같은 부호 즉, a>0이므로 b>0 y절편이 x축의 아래쪽에 있으므로 c<0 079 답 (1) a<0 (2) b>0 (3) c=0 (4) a-b+c<0 (5) 4a+2b+c=0 (6) a+2b+4c>0 (1) 그래프가 위로 볼록하므로 a<0 즉, a<0이므로 b>0 (3) y절편이 0이므로 c=0 a-b+c<0 4a+2b+c=0 (6) a+2b+4c=4 a+ b+c } ;2!; {;4!; 이고, a+ b+c는 ;4!; ;2!; x= 일 때의 함숫값이므로 a+ b+c>0 ;4!; ;2!; ;2!; ∴ a+2b+4c>0 080 답 (1) y=3xÛ`+2 (2) y=6(x-1)Û`-2 (3) y=-2(x+1)Û`-3 (4) y=- (x+1)Û`+1 ;2!; ∴ a=-2 ∴ y=-2(x+1)Û`-3 y=a(x+1)Û`+1 ∴ y=- (x+1)Û`+1 ;2!; 그래프가 점 (1, -1)을 지나므로 -1=4a+1 ∴ a=- ;2!; 081 답 (1) y=xÛ`-x-2 (2) y=-xÛ`-4x-4 (3) y=xÛ`-2x-2 (4) y=xÛ`+4x-1 (5) y=xÛ`-3x+2 (6) y=-xÛ`-2x+5 (1) x축과 두 점 (-1, 0), (2, 0)에서 만나는 이차함수의 식은 y=a(x+1)(x-2) 그래프가 점 (0, -2)를 지나므로 -2=-2a ∴ a=1 ∴ y=(x+1)(x-2)=xÛ`-x-2 (2) y=-(x+2)Û`=-xÛ`-4x-4 (3) 축의 방정식이 x=1인 이차함수의 식은 y=a(x-1)Û`+q 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=1, q=-3 ∴ y=(x-1)Û`-3=xÛ`-2x-2 두 점의 좌표를 각각 대입하면 4=9a+q, -4=a+q ∴ y=(x+2)Û`-5=xÛ`+4x-1 (5) x축과 두 점 (1, 0), (2, 0)에서 만나는 이차함수의 식은 y=a(x-1)(x-2) 그래프가 점 (3, 2)를 지나므로 2=2a ∴ a=1 ∴ y=(x-1)(x-2)=xÛ`-3x+2 (6) 점 (0, 5)를 지나는 이차함수의 식은 y=axÛ`+bx+5 그래프가 두 점 (-1, 6), (2, -3)을 지나므로 6=a-b+5, -3=4a+2b+5 a-b=1, 2a+b=-4 (2) 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a, b는 서로 다른 부호 두 점의 좌표를 각각 대입하면 -2=a+q, 1=4a+q (4) a-b+c는 x=-1일 때의 함숫값이므로 (4) 축의 방정식이 x=-2인 이차함수의 식은 y=a(x+2)Û`+q (5) 4a+2b+c는 x=2일 때의 함숫값이므로 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=1, q=-5 (1) 꼭짓점의 좌표가 (0, 2)인 이차함수의 식은 y=axÛ`+2 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=-2 그래프가 점 (1, 5)를 지나므로 5=a+2 ∴ a=3 ∴ y=-xÛ`-2x+5 ∴ y=3xÛ`+2 y=a(x-1)Û`-2 (2) 꼭짓점의 좌표가 (1, -2)인 이차함수의 식은 그래프가 점 (2, 4)를 지나므로 4=a-2 ∴ a=6 (1) 이차방정식 xÛ`+6x=0에서 x(x+6)=0 ∴ y=6(x-1)Û`-2 ∴ x=-6 또는 x=0 (3) 꼭짓점의 좌표가 (-1, -3)인 이차함수의 식은 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는 y=a(x+1)Û`-3 -6, 0이다. 082 답 (1) -6, 0 (2) -2, 1 (3) ;2!; (4) - ;2#; , 1 Ⅱ. 방정식과 부등식 39 YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 39 2017-09-18 오후 7:47:46 (2) 이차방정식 xÛ`+x-2=0에서 (x+2)(x-1)=0 D=3Û`-4´1´(-3)=21>0 ∴ x=-2 또는 x=1 따라서 이차함수 y=xÛ`+3x-3의 그래프는 x축과 서로 다른 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는 두 점에서 만난다. (3) 이차방정식 -4xÛ`+4x-1=0에서 -(2x-1)Û`=0 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는 -2, 1이다. ∴ x= (중근) ;2!;` 이다. ;2!; ∴ x=- 또는 x=1 ;2#; - , 1이다. ;2#; (4) 이차방정식 -2xÛ`-x+3=0에서 -(2x+3)(x-1)=0 D=1Û`-4´(-2)´(-3)=-23<0 따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는 않는다. (2) 이차방정식 4xÛ`+4x+1=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =2Û`-4´1=0 서 만난다. 따라서 이차함수 y=4xÛ`+4x+1의 그래프는 x축과 한 점에 (3) 이차방정식 -2xÛ`+x-3=0의 판별식을 D라 하면 따라서 이차함수 y=-2xÛ`+x-3의 그래프는 x축과 만나지 083 답 (1) a=-1, b=-12 (2) a=-3, b=-6 (3) a=-1, b=-6 (4) a=-6, b=-8 (1) 이차함수 y=xÛ`+ax+b의 그래프가 x축과 두 점 (-3, 0), (4, 0)에서 만나므로 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근은 -3, 4이다. 085 답 (1) k>-4 (2) k>- :ª8°: (3) k>- ;2&; (4) k>3 (1) 이차방정식 -xÛ`+4x+k=0의 판별식을 D라 하면 =2Û`-(-1)´k>0 ∴ k>-4 (2) 이차방정식 2xÛ`+5x-k=0의 판별식을 D라 하면 D=5Û`-4´2´(-k)=25+8k>0 근과 계수의 관계에 의하여 -3+4=-a, -3´4=b ∴ k>- :ª8°: ∴ a=-1, b=-12 (3) 이차방정식 2xÛ`-6x+1-k=0의 판별식을 D라 하면 (2) 이차함수 y=3xÛ`+ax+b의 그래프가 x축과 두 점 (-1, 0), (2, 0)에서 만나므로 이차방정식 3xÛ`+ax+b=0의 두 근은 -1, 2이다. ∴ k>- ;2&; =(-3)Û`-2(1-k)=2k+7>0 근과 계수의 관계에 의하여 -1+2=- , -1´2= ;3A; ;3B; ∴ a=-3, b=-6 (4) 이차방정식 xÛ`-2kx+kÛ`-k+3=0의 판별식을 D라 하면 =(-k)Û`-(kÛ`-k+3)=k-3>0 (3) 이차함수 y=xÛ`+ax+b의 그래프가 x축과 두 점 (-2, 0), ∴ k>3 (3, 0)에서 만나므로 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근은 근과 계수의 관계에 의하여 -2+3=-a, -2´3=b -2, 3이다. ∴ a=-1, b=-6 086 답 (1) k= ;4(; (2) k=-6 또는 k=2 (3) k=2 (1) 이차방정식 xÛ`+3x+k=0의 판별식을 D라 하면 (4) 이차함수 y=2xÛ`+ax+b의 그래프가 x축과 두 점 (-1, 0), D=3Û`-4´1´k=9-4k=0 (4, 0)에서 만나므로 이차방정식 2xÛ`+ax+b=0의 두 근은 ∴ k= ;4(; -1, 4이다. (2) 이차방정식 xÛ`+kx-k+3=0의 판별식을 D라 하면 D 4 D 4 D 4 근과 계수의 관계에 의하여 -1+4=- , -1´4= ;2A; ;2B; ∴ a=-6, b=-8 084 답 (1) 서로 다른 두 점에서 만난다. (2) 한 점에서 만난다. (3) 만나지 않는다. (1) 이차방정식 xÛ`+3x-3=0의 판별식을 D라 하면 40 정답 및 해설 D=kÛ`-4´1´(-k+3)=0 kÛ`+4k-12=0, (k+6)( k-2)=0 ∴ k=-6 또는 k=2 =kÛ`-(kÛ`-k+2)=k-2=0 D 4 ∴ k=2 (3) 이차방정식 xÛ`+2kx+kÛ`-k+2=0의 판별식을 D라 하면 YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 40 2017-09-18 오후 7:47:48 정답 및 해설 (3) 이차방정식 xÛ`-2(k-1)x+kÛ`+5=0의 판별식을 D라 하면 ={-(k-1)}Û`-(kÛ`+5)=-2k-4<0 (k+7)(k-5)=0 ∴ k=-7 또는 k=5 087 답 (1) k<- ;1@2%; (2) k<- ;3@; (3) k>-2 (1) 이차방정식 -3xÛ`-5x+k=0의 판별식을 D라 하면 D=(-5)Û`-4´(-3)´k=25+12k<0 (2) 이차방정식 -2xÛ`+4x+3k=0의 판별식을 D라 하면 =2Û`-(-2)´3k=4+6k<0 ∴ k<- ;1@2%; ∴ k<- ;3@; ∴ k>-2 D 4 D 4 D 4 D 4 088 답 (1) 한 점에서 만난다. (2) 만나지 않는다. (3) 서로 다른 두 점에서 만난다. (1) 이차방정식 2xÛ`-10x+3=-2x-5에서 xÛ`-4x+4=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 =(-2)Û`-1´4=0이므로 한 점에서 만난다. (2) 이차방정식 xÛ`+2x-1=3x-2에서 xÛ`-x+1=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=(-1)Û`-4´1´1=-3<0이므로 만나지 않는다. (3) 이차방정식 xÛ`+x+1=-x+2에서 xÛ`+2x-1=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 =1Û`-1´(-1)=2>0이므로 서로 다른 두 점에서 만난다. 089 답 (1) k>- ;4!; (2) k>-1 (3) k>- ;2#; (1) 이차방정식 xÛ`+4x+2=x+k 즉, xÛ`+3x+2-k=0의 판별식을 D라 하면 D=3Û`-4´1´(2-k)=1+4k>0 ∴ k>- ;4!; (2) 이차방정식 2xÛ`-3x+1=x+k D 4 D 4 (3) 이차방정식 2xÛ`+4x+3=-2x+k 즉, 2xÛ`+6x+3-k=0의 판별식을 D라 하면 =3Û`-2(3-k)=2k+3>0 ∴ k>- ;2#; 090 답 (1) k= :Á4°: (2) k=-1 (3) k=-7 또는 k=5 (1) 이차방정식 xÛ`+2x+4=x+k 즉, xÛ`+x+4-k=0의 판별식을 D라 하면 D=1Û`-4´1´(4-k)=-15+4k=0 ∴ k= :Á4°: (2) 이차방정식 -xÛ`+x-k=-x+2 즉, xÛ`-2x+k+2=0의 판별식을 D라 하면 =(-1)Û`-(k+2)=-1-k=0 ∴ k=-1 D 4 (3) 이차방정식 -3xÛ`-x+2=kx+5 즉, 3xÛ`+(k+1)x+3=0의 판별식을 D라 하면 D=(k+1)Û`-4´3´3=0, kÛ`+2k-35=0 091 답 (1) k>- ;8!; (2) k>2 (3) k>- ;4#; (1) 이차방정식 3xÛ`+2x+1=-x-2k 즉, 3xÛ`+3x+1+2k=0의 판별식을 D라 하면 D=3Û`-4´3´(1+2k)=-3-24k<0 ∴ k>- ;8!; (2) 이차방정식 xÛ`-3x+2=x-k 즉, xÛ`-4x+2+k=0의 판별식을 D라 하면 =(-2)Û`-(2+k)=2-k<0 ∴ k>2 (3) 이차방정식 -4xÛ`+4x-1=2x+k 즉, -4xÛ`+2x-1-k=0의 판별식을 D라 하면 =1Û`+4(-1-k)=-3-4k<0 ∴ k>- ;4#; 092 답 (1) k¾-6 (2) kÉ3 (3) k¾- ;4(; (1) 이차방정식 -xÛ`+x+5=-x-k 즉, -xÛ`+2x+5+k=0의 판별식을 D라 하면 =1Û`+5+k=6+k¾0 ∴ k¾-6 (2) 이차방정식 xÛ`-2x+k=2x-1 즉, xÛ`-4x+k+1=0의 판별식을 D라 하면 D 4 D 4 D 4 D 4 즉, xÛ`-x-k-2=0의 판별식을 D라 하면 D=(-1)Û`-4´1´(-k-2)=4k+9¾0 ∴ k¾- ;4(; 093 답 (1) a=3, b=1 (2) a=-3, b=6 (3) a=-6, b=9 (1) 이차방정식 -xÛ`+2x+3=ax+b 즉, xÛ`+(a-2)x+b-3=0의 두 근이 -2, 1이므로 Ⅱ. 방정식과 부등식 41 즉, 2xÛ`-4x+1-k=0의 판별식을 D라 하면 =(-2)Û`-(k+1)=3-k¾0 ∴ kÉ3 =(-2)Û`-2(1-k)=2+2k>0 ∴ k>-1 (3) 이차방정식 xÛ`+2x-1=3x+k+1 YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 41 2017-09-18 오후 7:47:49 즉, xÛ`-(a+4)x-b+4=0의 두 근이 -1, 2이므로 근과 계수의 관계에 의하여 -2+1=-(a-2) ∴ a=3 (-2)´1=b-3 ∴ b=1 (2) 이차방정식 xÛ`-4x+4=ax+b 근과 계수의 관계에 의하여 -1+2=a+4 ∴ a=-3 (-1)´2=-b+4 ∴ b=6 (3) 이차방정식 -2xÛ`+6x-7=ax+b 근과 계수의 관계에 의하여 2+4=- ∴ a=-6 6-a -2 2´4= -7-b -2 ∴ b=9 (3) y =xÛ`+2x+4 =(x+1)Û`+3 최솟값은 3이고 최댓값은 없다. (4) y=-2xÛ`+x+1 =-2 x- { Û` ;4!;} + ;8(; y 3 y 9 8 -1 O x O 1 4 x 096 답 (1) x=-1일 때 최솟값은 -1 (2) x=2일 때 최댓값은 1 (3) x=3일 때 최댓값은 4 (4) x=1일 때 최솟값은 3 즉, -2xÛ`+(6-a)x-7-b=0의 두 근이 2, 4이므로 최솟값은 없고 최댓값은 이다. ;8(; 094 답 (1) a=-1, b=7 (2) a=1, b=4 (1) 이차방정식 xÛ`+ax-1=x+b (5) x=1일 때 최댓값은 3 (1) y=xÛ`+2x=(x+1)Û`-1 즉, xÛ`+(a-1)x-1-b=0의 두 실근이 -2, 4이므로 따라서 x=-1일 때 최솟값은 -1이다. 근과 계수의 관계에 의하여 -2+4=-(a-1) ∴ a=-1 (-2)´4=-1-b ∴ b=7 (2) 이차방정식 -xÛ`+3ax+1=-x+b 근과 계수의 관계에 의하여 1+3=3a+1 ∴ a=1 1´3=b-1 ∴ b=4 즉, xÛ`-(3a+1)x+b-1=0의 두 실근이 1, 3이므로 (2) y=-xÛ`+4x-3=-(x-2)Û`+1 따라서 x=2일 때 최댓값은 1이다. (3) y=-xÛ`+6x-5=-(x-3)Û`+4 따라서 x=3일 때 최댓값은 4이다. (4) y=2xÛ`-4x+5=2(x-1)Û`+3 따라서 x=1일 때 최솟값은 3이다. (5) y=-2xÛ`+4x+1=-2(x-1)Û`+3 따라서 x=1일 때 최댓값은 3이다. 095 답 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) 풀이 참고 (4) 풀이 참고 최솟값 : -4, 최댓값 : 없다. (2) 이차항의 계수가 1이고, x=4에서 최솟값 3을 가지는 이차함 097 답 (1) a=-5 또는 a=3 (2) a=-8, b=19 (3) a=2, b=14 (4) a=4, b=7 (1) y=-xÛ`+2ax+2a+2=-(x-a)Û`+aÛ`+2a+2 이 이차함수의 최댓값이 17이므로 aÛ`+2a+2=17, aÛ`+2a-15=0 (a+5)(a-3)=0 ∴ a=-5 또는 a=3 수의 식은 y=(x-4)Û`+3=xÛ`-8x+19 즉, xÛ`+ax+b=xÛ`-8x+19이므로 a=-8, b=19 (3) 이차항의 계수가 -1이고, x=4에서 최댓값 b를 가지는 이차 함수의 식은 y=-(x-4)Û`+b=-xÛ`+8x+b-16 즉, -xÛ`+4ax-2=-xÛ`+8x+b-16이므로 1 x (1) y O -4 (2) y 2 O 1 x 최솟값 : 없다., 최댓값 : 2 42 정답 및 해설 YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 42 2017-09-18 오후 7:47:51 정답 및 해설 4a=8, -2=b-16 ∴ a=2, b=14 (1) y=xÛ`-2x+k=(x-1)Û`-1+k (4) 이차항의 계수가 -2이고, x=-1에서 최댓값 b를 가지는 이 이때, 꼭짓점의 x좌표 1은 x의 값의 범위에 속하므로 차함수의 식은 y=-2(x+1)Û`+b=-2xÛ`-4x-2+b x=1에서 최솟값 -1+k를 갖는다. 즉, -2xÛ`-ax+5=-2xÛ`-4x-2+b이므로 따라서 -1+k=3이므로 k=4 -a=-4, 5=-2+b ∴ a=4, b=7 (2) y=-xÛ`-4x+k=-(x+2)Û`+4+k 이때, 꼭짓점의 x좌표 -2는 x의 값의 범위에 속하므로 x=-2에서 최댓값 4+k를 갖는다. 따라서 4+k=12이므로 k=8 (3) y=-2xÛ`-4x+k=-2(x+1)Û`+k+2 않으므로 x=0에서 최댓값 k를 갖는다. ∴ k=2 (4) y=2xÛ`+8x+k=2(x+2)Û`-8+k 이때, 꼭짓점의 x좌표 -1은 x의 값의 범위에 속하지 이때, 꼭짓점의 x좌표 -2는 x의 값의 범위에 속하지 않으므로 x=-1에서 최솟값 -6+k를 갖는다. 따라서 -6+k=-7이므로 k=-1 098 답 (1) 최댓값 : 6, 최솟값 : -3 (2) 최댓값 : 5, 최솟값 : -4 (3) 최댓값 : 4, 최솟값 : -5 (4) 최댓값 : 2, 최솟값 : -6 2 5 x (2) f(x)=xÛ`-2x-3=(x-1)Û`-4 이때, 꼭짓점의 x좌표 1은 x의 y 5 (5) 최댓값 : 13, 최솟값 : -8 (1) f(x)=xÛ`-4x+1=(x-2)Û`-3 이때, 꼭짓점의 x좌표 2는 x의 값의 범위에 포함되고 f(0)=1, f(2)=-3, f(5)=6이므로 0ÉxÉ5에서 최댓값은 6, 최솟값 은 -3이다. 값의 범위에 포함되고 f(1)=-4, f(-2)=5, f(2)=-3이므로 -2ÉxÉ2에서 최댓값은 5, 최솟 값은 -4이다. (3) f(x)=-xÛ`+6x-5=-(x-3)Û`+4 이때, 꼭짓점의 x좌표 3은 x의 값의 범위에 포함되고 f(2)=3, f(3)=4, f(6)=-5이므로 은 -5이다. (4) f(x)=-xÛ`+2x+2=-(x-1)Û`+3 이때, 꼭짓점의 x좌표 1은 x의 값 의 범위에 포함되지 않고, f(2)=2, f(4)=-6이므로 2ÉxÉ4에서 최 댓값은 2, 최솟값은 -6이다. (5) f(x)=xÛ`-6x-3=(x-3)Û`-12 이때, 꼭짓점의 x좌표 3은 x의 값의 범위에 포함되지 않고, f(-2)=13, f(1)=-8이므로 -2ÉxÉ1에서 최댓값은 13, 최솟값은 -8이다. y 6 1 O -3 -3 -4 y 4 3 y 3 2 -6 y 13 -2 1 3 O -8 -12 2ÉxÉ6에서 최댓값은 4, 최솟값 -5 100 답 (1) 3 (2) -1 1 2 -2 O x (1) xÛ`+2x=t로 놓으면 t=(x+1)Û`-1이므로 t¾-1 O 2 3 6 x (2) xÛ`-4x=t로 놓으면 t=(x-2)Û`-4이므로 t¾-4 이때, 주어진 함수는 y =-(t-1)Û`-4t+3=-tÛ`-2t+2 =-(t+1)Û`+3 (t¾-1) 따라서 t=-1에서 최댓값은 3이다. 이때, 주어진 함수는 y =-(t+5)Û`+6t+20=-tÛ`-4t-5 =-(t+2)Û`-1 (t¾-4) 따라서 t=-2에서 최댓값은 -1이다. O 1 2 4 x 101 답 (1) -4 (2) -2 (1) xÛ`+4x=t로 놓으면 t=(x+2)Û`-4이므로 t¾-4 이때, 주어진 함수는 y=tÛ`-2t-3=(t-1)Û`-4 (t¾-4) 따라서 t=1에서 최솟값은 -4이다. (2) xÛ`-2x+3=t로 놓으면 t=(x-1)Û`+2이므로 t¾2 이때, 주어진 함수는 x y=tÛ`-6t+7=(t-3)Û`-2 (t¾2) 따라서 t=3에서 최솟값은 -2이다. 099 답 (1) 4 (2) 8 (3) 2 (4) -1 (3) 최댓값 : 20, 최솟값 : -4 102 답 (1) 최댓값 : 38, 최솟값 : 2 (2) 최댓값 : 3, 최솟값 : -6 Ⅱ. 방정식과 부등식 43 YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 43 2017-09-18 오후 7:47:53 (4) 최댓값 : 4, 최솟값 : -5 y =x(48-2x)=-2xÛ`+48x=-2(xÛ`-24x) (1) xÛ`-4x+2=t로 놓으면 t=(x-2)Û`-2이므로 =-2(xÛ`-24x+144-144)=-2(x-12)Û`+288`(0<x<24) -1ÉxÉ3에서 -2ÉtÉ7 … ㉠ 이므로 x=12일 때 y의 최댓값은 288이다. 따라서 텃밭의 넓이의 최댓값은 288`mÛ`이다. 이때, 주어진 함수는 y=tÛ`-2t+3=(t-1)Û`+2이므로 ㉠의 범위에서 2ÉyÉ38 따라서 주어진 함수의 최댓값은 38, 최솟값은 2이다. (2) xÛ`+4x=t로 놓으면 t=(x+2)Û`-4이므로 -2ÉxÉ0에서 -4ÉtÉ0 … ㉠ 이때, 주어진 함수는 y=tÛ`+6t+3=(t+3)Û`-6이므로 ㉠의 범위에서 -6ÉyÉ3 -1ÉxÉ1에서 2ÉtÉ6 … ㉠ 이때, 주어진 함수는 y=tÛ`-2t-4=(t-1)Û`-5이므로 ㉠의 범위에서 -4ÉyÉ20 따라서 주어진 함수의 최댓값은 3, 최솟값은 -6이다. (3) xÛ`-2x+3=t로 놓으면 t=(x-1)Û`+2이므로 차가 4인 두 수를 x, x+4라 하고 두 수의 곱을 y라 하면 y=x(x+4)=xÛ`+4x=(x+2)Û`-4 따라서 두 수의 곱의 최솟값은 x=-2일 때 -4이다. 105 답 -4 106 답 10 점 A(a, 0)(0<a<2)이라 하면 B(4-a, 0), D(a, -aÛ`+4a)이므로 AB=4-2a, AD=-aÛ`+4a y a y=-x@+4x D C a 직사각형 ABCD의 둘레의 길이는 O A 2 B 4 x 2{(4-2a)+(-aÛ`+4a)} =-2aÛ`+4a+8=-2(a-1)Û`+10 따라서 주어진 함수의 최댓값은 20, 최솟값은 -4이다. (4) xÛ`+2x+2=t로 놓으면 t=(x+1)Û`+1이므로 이때, 0<a<2이므로 a=1일 때 최댓값 10을 갖는다. 따라서 직사각형 ABCD의 둘레의 길이의 최댓값은 10이다. -2ÉxÉ1에서 1ÉtÉ5 … ㉠ 이때, 주어진 함수는 y=tÛ`-8(t-2)-5=(t-4)Û`-5이므로 ㉠의 범위에서 -5ÉyÉ4 107 답 45`m y=-5tÛ`+30t=-5(t-3)Û`+45 즉, t=3일 때 최댓값은 45이므로 따라서 주어진 함수의 최댓값은 4, 최솟값은 -5이다. 물체가 가장 높이 올라갔을 때의 높이는 45`m이다. 103 답 400`mÛ` (40-x)m이다. 울타리의 가로의 길이를 x`m라 하면 세로의 길이는 이때, 길이는 양수이므로 x>0, 40-x>0 ∴ 0<x<40 울타리 안의 넓이를 y`mÛ`라 하면 y=x(40-x)=-xÛ`+40x=-(x-20)Û`+400`(0<x<40) 108 답 ⑤ 꼭짓점의 좌표가 (3, 2)이고 이차항의 계수가 1이므로 y=(x-3)Û`+2=xÛ`-6x+11 ∴ a=1, b=-6, c=11 ∴ a-b+c=1-(-6)+11=18 이므로 x=20일 때 y의 최댓값은 400이다. 109 답 ① 따라서 울타리 안의 넓이의 최댓값은 400`mÛ`이다. Ú 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 Û 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 - >0 ∴ b<0 b 2a Ü 그래프가 y축과 원점에서 만나므로 c=0 따라서 y=cxÛ`+ax+b, 즉 y=ax+b의 그래프는 기울기 a가 양 수, y절편 b가 음수이므로 그래프의 모양은 ①과 같다. 104 답 288`mÛ` 철망의 길이가 48`m이므로 텃밭의 세로의 길이를 x`m라고 하면 텃밭의 가로의 길이는 (48-2x)m이다. 이때, 길이는 양수이므로 x>0, 48-2x>0 ∴ 0<x<24 텃밭의 넓이를 y`mÛ`라 하면 110 답 ⑤ 44 정답 및 해설 YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 44 2017-09-18 오후 7:47:54 정답 및 해설¶ ¶ x축과 만나는 점의 좌표가 (-2, 0), (3, 0)이므로 이차항의 계수가 -2이고, x=-2에서 최댓값 9를 가지는 이차함수의 식은 이차함수의 식은 y =2(x+2)(x-3)=2(xÛ`-x-6)=2xÛ`-2x-12 y=-2(x+2)Û`+9=-2xÛ`-8x+1 ∴ a=-2, b=-12 ∴ b-a=-12-(-2)=-10 즉, -2xÛ`+ax+b=-2xÛ`-8x+1이므로 a=-8, b=1 ∴ a+b=-7 111 답 ① |a-b|=5 x축과 만나는 두 점의 좌표를 (a, 0), (b, 0)이라 하면 116 답 ⑤ (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab=25 … ㉠ 이때, a, b는 이차방정식 xÛ`+x+k=0의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-1, ab=k … ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 (-1)Û`-4k=25, -4k=24 ∴ k=-6 112 답 ③ 이차방정식 -xÛ`+3x-k=0의 판별식을 D라 하면 D=9-4k<0 ∴ k> ;4(; 따라서 정수 k의 최솟값은 3이다. 113 답 ① 이차함수의 그래프가 직선 y=0, 즉 x축과 한 점에서 만나려면 이차방정식 xÛ`+(a-1)x+1-a=0이 중근을 가져야 한다. 판별식을 D라 하면 D=(a-1)Û`-4(1-a)=0 aÛ`+2a-3=0, (a+3)(a-1)=0 ∴ a=1`(∵ a>0) 114 답 ③ 이차함수 y=xÛ`-ax+9의 그래프와 직선 y=2x-b의 교점의 x좌표는 이차방정식 xÛ`-ax+9=2x-b 즉, xÛ`-(a+2)x+9+b=0의 두 근과 같다. 근과 계수의 관계에 의하여 a+2=6, 9+b=10 ∴ a=4, b=1 ∴ a-b=3 115 답 ② f(x)=xÛ`+8x+k=(x+4)Û`+k-16 그래프의 꼭짓점의 x좌표 -4가 -2ÉxÉ1에 속하지 않으므로 f(-2), f(1) 중 큰 값이 최댓값, 작은 값이 최솟값이다. f(-2)=k-12, f(1)=k+9이므로 최솟값은 k-12, 최댓값은 k+9이다. 이때, 최솟값이 -2이므로 k-12=-2 ∴ k=10 따라서 f(x)의 최댓값은 k+9=10+9=19 117 답 ② y=(xÛ`-2x)Û`+2xÛ`-4x=(xÛ`-2x)Û`+2(xÛ`-2x) xÛ`-2x=t로 놓으면 t=xÛ`-2x=(x-1)Û`-1이므로 t¾-1 이때, 주어진 함수는 y=tÛ`+2t=(t+1)Û`-1 (t¾-1) 이므로 오른쪽 그림에서 t=-1일 때 최솟값 -1을 갖는다. t=-1에서 xÛ`-2x=-1 xÛ`-2x+1=0, (x-1)Û`=0 ∴ x=1 따라서 a=1, b=-1이므로 a+b=0 y y=t@+2t -1 O -1 t 118 답 ⑤ 입장료를 100x원 올릴 때의 수입을 y원이라 하면 (수입)=(입장료)_(관람객의 수)이므로 y =(4000+100x)(3000-50x) =5000(40+x)(60-x) =5000(-xÛ`+20x+2400) =5000{-(x-10)Û`+2500} 이때, 0ÉxÉ60이므로 x=10일 때 y가 최대이다. 따라서 수입을 최대로 하는 입장료는 4000+100´10=5000(원) Ⅱ. 방정식과 부등식 45 YBM(해)-02-1단원(026~045)-ok.indd 45 2017-09-18 오후 7:47:55 (4) xÜ`-16x=0에서 x(xÛ`-16)=0, x(x+4)(x-4)=0 ∴ x=-4 또는 x=0 또는 x=4 (5) xÜ`-xÛ`-2x=0에서 x(xÛ`-x-2)=0, x(x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=2 (3) x=-1 또는 x=1 또는 x=2 (4) x=1 또는 x= (5) x=2 또는 x=1Ñi 17 -3Ñ 2 '¶ 2 (6) x=1 또는 x=Ñ ' 2 i (7) x=2 또는 x=-2Ñ2i 120 답 (1) x=1 또는 x=2Ñ 2 (2) x=-1 또는 x=Ñ ' 5 ' f(2)=0이므로 4 여러 가지 방정식 119 답 (1) x=1 또는 x= (2) x=-2 또는 x=1Ñ 3 i (3) x=3 또는 x= 3 i -1Ñ 2 ' ' -3Ñ3 2 3 i ' (4) x=-4 또는 x=0 또는 x=4 (5) x=-1 또는 x=0 또는 x=2 (1) xÜ`-1=0에서 (x-1)(xÛ`+x+1)=0 ∴ x=1 또는 x= 3 i -1Ñ 2 ' (2) xÜ`+8=0에서 (x+2)(xÛ`-2x+4)=0 ∴ x=-2 또는 x=1Ñ 3 i ' (3) xÜ`-27=0에서 (x-3)(xÛ`+3x+9)=0 ∴ x=3 또는 x= -3Ñ3 2 ' 3 i (1) f(x)=xÜ`-5xÛ`+6x-2로 놓으면 f(1)=0이므로 1 1 -5 -6 -2 -1 -4 -2 1 -4 -2 -0 f(x)=(x-1)(xÛ`-4x+2) 즉, (x-1)(xÛ`-4x+2)=0이므로 x=1 또는 x=2Ñ 2 ' (2) f(x)=xÜ`+xÛ`-5x-5로 놓으면 f(-1)=0이므로 -1 1 -1 -5 -5 -1 -0 -5 1 -0 -5 -0 f(x)=(x+1)(xÛ`-5) 즉, (x+1)(xÛ`-5)=0이므로 x=-1 또는 x=Ñ 5 ' 46 정답 및 해설 (3) f(x)=xÜ`-2xÛ`-x+2로 놓으면 98쪽~115쪽 f(1)=0이므로 1 1 -2 -1 -2 -1 -1 -2 1 -1 -2 -0 f(x) =(x-1)(xÛ`-x-2) f(x) =(x-1)(x-2)(x+1) 즉, (x-1)(x-2)(x+1)=0이므로 x=-1 또는 x=1 또는 x=2 (4) f(x)=xÜ`+2xÛ`-5x+2로 놓으면 f(1)=0이므로 1 1 2 -5 -2 1 -3 -2 1 3 -2 -0 f(x)=(x-1)(xÛ`+3x-2) 즉, (x-1)(xÛ`+3x-2)=0이므로 x=1 또는 x= 17 -3Ñ 2 '¶ (5) f(x)=xÜ`-4xÛ`+6x-4로 놓으면 2 1 -4 -6 -4 -2 -4 -4 1 -2 -2 -0 f(x)=(x-2)(xÛ`-2x+2) 즉, (x-2)(xÛ`-2x+2)=0이므로 x=2 또는 x=1Ñi (6) f(x)=2xÜ`-2xÛ`+x-1로 놓으면 f(1)=0이므로 1 2 -2 1 -1 -2 0 -1 2 -0 1 -0 f(x)=(x-1)(2xÛ`+1) 즉, (x-1)(2xÛ`+1)=0이므로 2 x=1 또는 x=Ñ ' 2 i (7) f(x)=xÜ`+2xÛ`-16으로 놓으면 f(2)=0이므로 2 1 1 2 2 4 0 -16 8 -16 8 -10 YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 46 2017-09-18 오후 7:48:44 정답 및 해설 f(x)=(x-2)(xÛ`+4x+8) 즉, (x-2)(xÛ`+4x+8)=0이므로 x=2 또는 x=-2Ñ2i 121 답 (1) x=-2 또는 x=4 (2) x=-1Ñ 3 i ' (3) x=-3 또는 x=1 (1) f(x)=xÜ`-axÛ`-6x+8로 놓으면 f(1)=0이므로 1-a-6+8=0 ∴ a=3 즉, f(x)=xÜ`-3xÛ`-6x+8이고 f(1)=0이므로 1 1 -3 -6 -8 -1 -2 -8 1 -2 -8 -0 f(x) =(x-1)(xÛ`-2x-8) f(x) =(x-1)(x+2)(x-4) 즉, (x-1)(x+2)(x-4)=0이므로 x=1 또는 x=-2 또는 x=4 따라서 나머지 두 근은 x=-2 또는 x=4이다. (2) f(x)=xÜ`+3xÛ`+ax+4로 놓으면 f(-1)=0이므로 -1+3-a+4=0 ∴ a=6 즉, f(x)=xÜ`+3xÛ`+6x+4이고 f(-1)=0이므로 -1 1 -3 -6 -4 -1 -2 -4 1 -2 -4 -0 f(x)=(x+1)(xÛ`+2x+4) 즉, (x+1)(xÛ`+2x+4)=0이므로 x=-1 또는 x=-1Ñ 3 i ' 따라서 나머지 두 근은 x=-1Ñ ' (3) f(x)=xÜ`+4xÛ`+ax-6으로 놓으면 3 i이다. f(-2)=0이므로 -8+16-2a-6=0 ∴ a=1 즉, f(x)=xÜ`+4xÛ`+x-6이고 f(-2)=0이므로 -2 1 -4 -1 -6 -2 -4 -6 1 -2 -3 -0 f(x) =(x+2)(xÛ`+2x-3) f(x) =(x+2)(x+3)(x-1) 즉, (x+2)(x+3)(x-1)=0이므로 x=-2 또는 x=-3 또는 x=1 따라서 나머지 두 근은 x=-3 또는 x=1이다. 122 답 (1) x=Ñ2i 또는 x=-2 또는 x=2 (2) x=0`(중근) 또는 x=-2 또는 x=1 (3) x=Ñ1 또는 x=2 또는 x=-3 (4) x=-1 또는 x=2 또는 x=Ñi (5) x=1 또는 x=-2 또는 x=Ñ 2 i ' (6) x=Ñ1 또는 x=1Ñ 3 i ' (1) xÝ`-16=0에서 (xÛ`+4)(xÛ`-4)=0 (xÛ`+4)(x+2)(x-2)=0 ∴ x=Ñ2i 또는 x=-2 또는 x=2 (2) xÝ`+xÜ`-2xÛ`=0에서 xÛ`(xÛ`+x-2)=0 xÛ`(x+2)(x-1)=0 ∴ x=0`(중근) 또는 x=-2 또는 x=1 (3) f(x)=xÝ`+xÜ`-7xÛ`-x+6으로 놓으면 f(1)=0, f(2)=0이므로 1 2 1 1 1 -7 -1 -6 1 -2 -5 -6 2 -5 -6 -0 2 -8 -6 1 4 -3 -0 f(x) =(x-1)(x-2)(xÛ`+4x+3) f(x)=(x-1)(x-2)(x+1)(x+3) 즉, (x-1)(x-2)(x+1)(x+3)=0이므로 x=Ñ1 또는 x=2 또는 x=-3 (4) f(x)=xÝ`-xÜ`-xÛ`-x-2로 놓으면 f(-1)=0, f(2)=0이므로 -1 1 -1 -1 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -2 1 -2 -1 -2 -0 -2 -0 -2 1 -0 -1 -0 f(x)=(x+1)(x-2)(xÛ`+1) 즉, (x+1)(x-2)(xÛ`+1)=0이므로 x=-1 또는 x=2 또는 x=Ñi YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 47 2017-09-18 오후 7:48:46 Ⅱ. 방정식과 부등식 47 (5) f(x)=xÝ`+xÜ`+2x-4로 놓으면 f(1)=0, f(-2)=0이므로 (3) xÛ`-x=X로 놓으면 XÛ`-8X+12=0 -1 1 -1 0 -2 -4 -1 2 -2 -4 -2 1 -2 2 -4 -0 -2 0 -4 1 -0 2 -0 f(x)=(x-1)(x+2)(xÛ`+2) 즉, (x-1)(x+2)(xÛ`+2)=0이므로 x=1 또는 x=-2 또는 x=Ñ 2 i ' (6) f(x)=xÝ`-2xÜ`+3xÛ`+2x-4로 놓으면 f(-1)=0, f(1)=0이므로 -1 1 -2 -3 -2 -4 -1 -1 -2 -4 -1 1 -1 -2 -4 -0 -1 -2 -4 1 -2 -4 -0 f(x)=(x-1)(x+1)(xÛ`-2x+4) 즉, (x-1)(x+1)(xÛ`-2x+4)=0이므로 x=Ñ1 또는 x=1Ñ 3 i ' 123 답 (1) x=2`(중근) 또는 x=-1 또는 x=5 (2) x=-1 또는 x=1 또는 x=2 또는 x=4 (3) x=-1 또는 x=2 또는 x=-2 또는 x=3 (1) xÛ`-4x=X로 놓으면 XÛ`-X-20=0 Ú X=-4일 때, xÛ`-4x=-4에서 xÛ`-4x+4=0, (x-2)Û`=0 ∴ x=2`(중근) Û X=5일 때, xÛ`-4x=5에서 xÛ`-4x-5=0, (x+1)(x-5)=0 ∴ x=-1 또는 x=5 Ú, Û에서 x=2`(중근) 또는 x=-1 또는 x=5 (X+2)(X-4)=0 ∴ X=-2 또는 X=4 Ú X=-2일 때, xÛ`-3x=-2에서 xÛ`-3x+2=0, (x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2 Û X=4일 때, xÛ`-3x=4에서 xÛ`-3x-4=0, (x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4 48 정답 및 해설 (X-2)(X-6)=0 ∴ X=2 또는 X=6 Ú X=2일 때, xÛ`-x=2에서 xÛ`-x-2=0, (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 Û X=6일 때, xÛ`-x=6에서 xÛ`-x-6=0, (x+2)(x-3)=0 ∴ x=-2 또는 x=3 Ú, Û에서 x=-1 또는 x=2 또는 x=-2 또는 x=3 124 답 (1) x=-4 또는 x=-1 또는 x= (2) x=-6 또는 x=-2 또는 x=-4Ñ 17 -5Ñ 2 '¶ 6 ' (1) {x(x+5)}{(x+2)(x+3)}+8=0 (xÛ`+5x)(xÛ`+5x+6)+8=0 xÛ`+5x=X로 놓으면 X(X+6)+8=0, XÛ`+6X+8=0 (X+4)(X+2)=0 ∴ X=-4 또는 X=-2 Ú X=-4일 때, xÛ`+5x=-4, xÛ`+5x+4=0 (x+4)(x+1)=0 ∴ x=-4 또는 x=-1 Û X=-2일 때, xÛ`+5x=-2, xÛ`+5x+2=0 ∴ x= 17 -5Ñ 2 '¶ Ú, Û에서 x=-4 또는 x=-1 또는 x= 17 -5Ñ 2 '¶ (2) {(x+1)(x+7)}{(x+3)(x+5)}+15=0 (xÛ`+8x+7)(xÛ`+8x+15)+15=0 xÛ`+8x=X로 놓으면 (X+7)(X+15)+15=0 XÛ`+22X+120=0, (X+12)(X+10)=0 Ú X=-12일 때, xÛ`+8x=-12, xÛ`+8x+12=0 (x+6)(x+2)=0 ∴ x=-6 또는 x=-2 Û X=-10일 때, xÛ`+8x=-10, xÛ`+8x+10=0 ∴ x=-4Ñ 6 ' Ú, Û에서 x=-6 또는 x=-2 또는 x=-4Ñ 6 ' (3) x=Ñi 또는 x=Ñ2 (4) x=Ñ 2 i 또는 x=Ñ ' 5 ' (1) xÛ`=X로 놓으면 XÛ`-5X+4=0 (X-1)(X-4)=0 ∴ X=1 또는 X=4 Ú X=1일 때, xÛ`=1 ∴ x=Ñ1 Û X=4일 때, xÛ`=4 ∴ x=Ñ2 Ú, Û에서 x=Ñ1 또는 x=Ñ2 (2) xÛ`=X로 놓으면 XÛ`-8X-9=0 (X+4)(X-5)=0 ∴ X=-4 또는 X=5 ∴ X=-12 또는 X=-10 (2) xÛ`-3x=X로 놓으면 XÛ`-2X-8=0 125 답 (1) x=Ñ1 또는 x=Ñ2 (2) x=Ñi 또는 x=Ñ3 Ú, Û에서 x=-1 또는 x=1 또는 x=2 또는 x=4 (X+1)(X-9)=0 ∴ X=-1 또는 X=9 YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 48 2017-09-18 오후 7:48:48 정답 및 해설 Ú X=-1일 때, xÛ`=-1 ∴ x=Ñi Ú xÛ`+2x-1=0에서 x=-1Ñ Û X=9일 때, xÛ`=9 ∴ x=Ñ3 Û xÛ`-2x-1=0에서 x=1Ñ Ú, Û에서 x=-1Ñ 2 ' 2 ' 2 또는 x=1Ñ ' 2 ' 126 답 (1) x= -1Ñ 2 5 ' 또는 x= 5 1Ñ ' 2 (3) a+b+c=- , ab+bc+ca= =-6, -12 2 Ú, Û에서 x=Ñi 또는 x=Ñ3 (3) xÛ`=X로 놓으면 XÛ`-3X-4=0 (X+1)(X-4)=0 ∴ X=-1 또는 X=4 Ú X=-1일 때, xÛ`=-1 ∴ x=Ñi Û X=4일 때, xÛ`=4 ∴ x=Ñ2 Ú, Û에서 x=Ñi 또는 x=Ñ2 (4) xÛ`=X로 놓으면 XÛ`-3X-10=0 (X+2)(X-5)=0 ∴ X=-2 또는 X=5 Ú X=-2일 때, xÛ`=-2 ∴ x=Ñ 2 i Û X=5일 때, xÛ`=5 ∴ x=Ñ Ú, Û에서 x=Ñ 2 i 또는 x=Ñ ' ' 5 ' 5 ' (2) x= 15 i -1Ñ '¶ 2 또는 x= 1Ñ 15 i '¶ 2 (3) x= 17 -3Ñ 2 '¶ 또는 x= 17 3Ñ '¶ 2 (4) x=-1Ñ 2 또는 x=1Ñ ' 2 ' (1) xÝ`-3xÛ`+1=0에서 (xÝ`-2xÛ`+1)-xÛ`=0 (xÛ`-1)Û`-xÛ`=0, (xÛ`+x-1)(xÛ`-x-1)=0 Ú xÛ`+x-1=0에서 x= Û xÛ`-x-1=0에서 x= -1Ñ 2 5 ' 5 1Ñ ' 2 Ú, Û에서 x= 또는 x= -1Ñ 2 5 ' 1Ñ 5 ' 2 (2) xÝ`+7xÛ`+16=0에서 (xÝ`+8xÛ`+16)-xÛ`=0 (xÛ`+4)Û`-xÛ`=0, (xÛ`+x+4)(xÛ`-x+4)=0 Ú xÛ`+x+4=0에서 x= Û xÛ`-x+4=0에서 x= 15 i -1Ñ '¶ 2 1Ñ 15 i '¶ 2 Ú, Û에서 x= 15 i -1Ñ '¶ 2 또는 x= 1Ñ 15 i '¶ 2 Ú xÛ`+3x-2=0에서 x= Û xÛ`-3x-2=0에서 x= 17 -3Ñ 2 '¶ 17 3Ñ '¶ 2 Ú, Û에서 x= 또는 x= 17 -3Ñ 2 '¶ 17 3Ñ '¶ 2 127 답 (1) a+b+c=3, ab+bc+ca=4, abc=-2 (2) a+b+c=-2, ab+bc+ca=3, abc=5 (3) a+b+c=- , ab+bc+ca=-6, abc= ;2#; ;2%; (4) a+b+c=0, ab+bc+ca=2, abc= ;2#; (1) a+b+c=- =3, ab+bc+ca= =4, (2) a+b+c=- =-2, ab+bc+ca= =3, ;1$; ;1#; -3 1 ;1@; ;2#; ;2); abc=- =-2 ;1@; abc=- =5 -5 1 abc=- -5 2 = ;2%; abc=- -3 2 = ;2#; (4) a+b+c=- =0, ab+bc+ca= =2, ;2$; 128 답 (1) 3 (2) 2 (3) -6 (4) - ;3!; (5) - ;2!; (6) 5 (7) -9 (1) a+b+c=- =3 (2) ab+bc+ca= =2 -3 1 ;1@; (3) abc=- =-6 ;1^; 1 c 1 (4) a 1 b + + = ab+bc+ca abc = 2 -6 =- (5) + 1 ab 1 bc + = 1 ca a+b+c abc = 3 -6 =- 1 3 1 2 (6) aÛ`+bÛ`+cÛ`=(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)=3Û`-2´2=5 (3) xÝ`-13xÛ`+4=0에서 (xÝ`-4xÛ`+4)-9xÛ`=0 (7) aÜ`+bÜ`+cÜ`=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)+3abc (xÛ`-2)Û`-(3x)Û`=0, (xÛ`+3x-2)(xÛ`-3x-2)=0 =3´(5-2)+3´(-6)=-9 129 답 (1) xÜ`-5xÛ`+2x+8=0 (2) xÜ`+xÛ`-14x-24=0 (3) xÜ`+3xÛ`-4x=0 (4) xÜ`-5xÛ`+3x+1=0 (1) (세 근의 합)=-1+2+4=5 (4) xÝ`-6xÛ`+1=0에서 (xÝ`-2xÛ`+1)-4xÛ`=0 (두 근끼리의 곱의 합)=(-1)´2+2´4+4´(-1)=2 (xÛ`-1)Û`-(2x)Û`=0, (xÛ`+2x-1)(xÛ`-2x-1)=0 (세 근의 곱)=(-1)´2´4=-8 Ⅱ. 방정식과 부등식 49 YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 49 2017-09-18 오후 7:48:50 따라서 구하는 방정식은 xÜ`-5xÛ`+2x+8=0 ab´bc+bc´ca+ca´ab=abc(a+b+c)=(-4)´4=-16 (2) (세 근의 합)=-3+(-2)+4=-1 ab´bc´ca=(abc)Û`=(-4)Û`=16 (두 근끼리의 곱의 합)=(-3)´(-2)+(-2)´4+4´(-3) ∴ xÜ`-2xÛ`-16x-16=0 따라서 구하는 방정식은 xÜ`+xÛ`-14x-24=0 131 답 (1) a=0, b=-6 (2) a=-5, b=-2 (두 근끼리의 곱의 합)=0´1+1´(-4)+(-4)´0=-4 (1) a, b가 유리수이고 주어진 방정식의 한 근이 1+ 3이므로 (두 근끼리의 곱의 합)=-14 (세 근의 곱)=(-3)´(-2)´4=24 (3) (세 근의 합)=0+1+(-4)=-3 (세 근의 곱)=0´1´(-4)=0 따라서 구하는 방정식은 xÜ`+3xÛ`-4x=0 (4) (세 근의 합)=(2+ 5)+(2- 5)+1=5 ' (두 근끼리의 곱의 합)= (2+ ' 5)(2- ' ' 5)+(2- 5)´1 ' +1´(2+ 5) ' (두 근끼리의 곱의 합)=3 (세 근의 곱)=(2+ 5)(2- ' 따라서 구하는 방정식은 xÜ`-5xÛ`+3x+1=0 ' 5)´1=-1 (3) a=1, b=-7 1- 3도 근이다. ' ' ' 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 -2+(1+ 3)+(1- 3)=-a ∴ a=0 ' 3)+(1+ ' 3)(1- ' ' 3)+(1- 3)´(-2)=b ' -2(1+ ' ∴ b=-6 (2) a, b가 유리수이고 주어진 방정식의 한 근이 1+ 2이므로 1- 2도 근이다. ' 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 -2(1+ ' ∴ a=-5 2)+(1+ 2)(1- 2)+(1- 2)´(-2)=a ' ' ' -2(1+ 2)(1- 2)=-b ∴ b=-2 ' ' (3) 계수가 모두 유리수이므로 1+ 2가 근이면 1- 2도 근이다. ' ' 나머지 한 근을 a라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a(1+ 2)(1- 2)=3, -a=3 ∴ a=-3 ' ' 따라서 세 근이 -3, 1+ 2, 1- 2이므로 ' ' 2)=-a ∴ a=1 -3+(1+ 2)+(1- ' 2)+(1+ ' 2)(1- ' ' -3(1+ ' ∴ b=-7 2)+(1- 2)´(-3)=b ' =(ab+bc+ca)+2(a+b+c)+3=2+2´4+3=13 (3) a=- , b= :ª5ª: :£5£: (a+1)(b+1)(c+1) (1) 계수가 모두 실수이므로 1+i가 근이면 1-i도 근이다. =abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 132 답 (1) a=-1, b=0 (2) a=-4, b=6 130 답 (1) xÜ`+4xÛ`+2x-4=0 (2) xÜ`-7xÛ`+13x-3=0 (3) xÜ`+ xÛ`-x+ =0 (4) xÜ`-2xÛ`-16x-16=0 ;2!; ;4!; (1) a+b+c=4, ab+bc+ca=2, abc=-4이므로 (-a)+(-b)+(-c)=-(a+b+c)=-4 (-a)´(-b)+(-b)´(-c)+(-c)´(-a) =ab+bc+ca=2 (-a)´(-b)´(-c)=-abc=4 ∴ xÜ`+4xÛ`+2x-4=0 (2) (a+1)+(b+1)+(c+1)=a+b+c+3=4+3=7 (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1) =(ab+a+b+1)+(bc+b+c+1)+(ca+c+a+1) =-4+2+4+1=3 ∴ xÜ`-7xÛ`+13x-3=0 1 (3) a 1 b + + = 1 c ab+bc+ca abc = 2 -4 =- 1 2 + 1 b ´ 1 c + 1 c ´ 1 a = a+b+c abc = 4 -4 =-1 1 a 1 a ´ ´ 1 b 1 b ´ 1 c = 1 abc =- 1 4 ∴ xÜ`+ xÛ`-x+ =0 ;2!; ;4!; (4) ab+bc+ca=2 50 정답 및 해설 -1+(1+i)+(1-i)=-a ∴ a=-1 -(1+i)+(1+i)(1-i)+(1-i)´(-1)=b ∴ b=0 (2) 계수가 모두 실수이므로 1-i가 근이면 1+i도 근이다. 나머지 한 근을 a라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a(1-i)(1+i)=4, 2a=4 ∴ a=2 따라서 세 근이 2, 1-i, 1+i이므로 2+(1-i)+(1+i)=-a ∴ a=-4 2(1-i)+(1-i)(1+i)+(1+i)´2=b ∴ b=6 YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 50 2017-09-18 오후 7:48:52 정답 및 해설 (3) 계수가 모두 실수이므로 2-i가 근이면 2+i도 근이다. 136 답 (1) x=5, y=2 (2) x=-1, y=-1 (3) x=-2, y=3 나머지 한 근을 a라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a(2-i)(2+i)=2, 5a=2 ∴ a= ;5@; 따라서 세 근이 , 2-i, 2+i이므로 ;5@; ;5@; ;5@; +(2-i)+(2+i)=-a ∴ a=- :ª5ª: (2-i)+(2-i)(2+i)+(2+i)´ =b ∴ b= ;5@; :£5£: 133 답 (1) 1 (2) -1 (3) 0 (4) -1 (5) 1 (1) x15=(xÜ`)Þ`=1 (2) xÞ`+x10=xÜ`´xÛ`+(xÜ`)Ü`´x=xÛ`+x=-1 (3) 1+x+xÛ`+y+x50 =(1+x+xÛ`)+(xÜ`+xÝ`+xÞ`)+y+(x48+x49+x50) =(1+x+xÛ`)+xÜ`(1+x+xÛ`)+y+x48(1+x+xÛ`) xÛ`+x+1=0이므로 1+x+xÛ`+y+x50=0 (4) x+ = 1 x xÛ`+1 x = -x x =-1 (5) 1 1-x + 1 1- x = 1- (1-x)(1- x+1-x x) = 2-(x+ x) x)+x x 1-(x+ = 2-(-1) 1-(-1)+1 =1 (∵ x+ x=-1, x x=1) 134 답 (1) -1 (2) 0 (3) 0 (4) 0 (5) 1 (1) x21=(xÜ`)7=(-1)7=-1 (2) x20+x10+1=(xÜ`)6´xÛ`+(xÜ`)Ü`´x+1=xÛ`-x+1=0 (3) 1-x+xÛ`-xÜ`+xÝ`-xÞ`=(1-x+xÛ`)-xÜ`(1-x+xÛ`)=0 (4) xÛ`-x+1=0에서 -x+1=-xÛ`, xÛ`+1=x ∴ xÛ` 1-x + 1+xÛ` x = xÛ` -xÛ` x x + =-1+1=0 (5) 1 1+x + 1 1+ x = 1+x+1+ (1+x)(1+ x x) = 2+(x+ x) x)+x x 1+(x+ = =1 (∵ x+ x=1, x x=1) 2+1 1+1+1 135 답 (1) x=2, y=-1 (2) x=-2, y=4 (3) x=1, y=2 (1) ㉠+㉡을 하면 2x=4 ∴ x=2 x=2를 ㉠에 대입하여 풀면 y=-1 (2) ㉠_3+㉡을 하면 5x=-10 ∴ x=-2 x=-2를 ㉠에 대입하면 -2-y=-6 ∴ y=4 (3) ㉠_5-㉡_3을 하면 16y=32 ∴ y=2 y=2를 ㉠에 대입하면 3x+10=13 ∴ x=1 (1) ㉠을 x에 대하여 정리하면 x=y+3 … ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하면 2(y+3)-3y=4 -y+6=4 ∴ y=2 y=2를 ㉢에 대입하면 x=5 (2) ㉡을 x에 대하여 정리하면 x=-2y-3 … ㉢ ㉢을 ㉠에 대입하면 9(-2y-3)-4y=-5 -22y-27=-5 ∴ y=-1 y=-1을 ㉢에 대입하면 x=-1 (3) ㉠을 y에 대하여 정리하면 y=-2x-1 … ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하면 x+2(-2x-1)=4 -3x-2=4 ∴ x=-2 x=-2를 ㉢에 대입하면 y=3 137 답 (1) [ x=-1 y=-3 또는 [ (2) [ x=0 y=5 또는 [ x=4 y=-3 (3) [ x=-1 y=-3 또는 [ (4) [ x=-1 y=5 또는 [ x=5 y=-1 (5) x=-1, y=-1 (6) [ x=-5 y=-7 또는 [ x=3 y=1 x=3 y=1 x=5 y=9 (7) [ x=-9 y=-5 또는 [ x=5 y=2 (1) ㉠을 x에 대하여 정리하면 x=y+2 … ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하면 (y+2)Û`+yÛ`=10 yÛ`+2y-3=0, (y+3)(y-1)=0 ∴ y=-3 또는 y=1 y=-3을 ㉢에 대입하면 x=-1 y=1을 ㉢에 대입하면 x=3 따라서 구하는 연립방정식의 해는 [ x=-1 y=-3 또는 [ x=3 y=1 (2) ㉠을 y에 대하여 정리하면 y=-2x+5 … ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하면 xÛ`+(-2x+5)Û`=25 xÛ`-4x=0, x(x-4)=0 ∴ x=0 또는 x=4 x=0을 ㉢에 대입하면 y=5 x=4를 ㉢에 대입하면 y=-3 따라서 구하는 연립방정식의 해는 [ x=0 y=5 또는 [ x=4 y=-3 (3) ㉠을 y에 대하여 정리하면 y=2x-1 … ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하면 3xÛ`-(2x-1)Û`=-6 xÛ`-4x-5=0, (x+1)(x-5)=0 ∴ x=-1 또는 x=5 x=-1을 ㉢에 대입하면 y=-3 x=5를 ㉢에 대입하면 y=9 따라서 구하는 연립방정식의 해는 [ x=-1 y=-3 또는 [ x=5 y=9 Ⅱ. 방정식과 부등식 51 YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 51 2017-09-18 오후 7:48:55 Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ Õ (4) ㉠을 y에 대하여 정리하면 y=-x+4 … ㉢ ∴ y=-x 또는 y=x ㉢을 ㉡에 대입하면 xÛ`+x(-x+4)+(-x+4)Û`=21 Ú y=-x를 ㉡에 대입하면 2xÛ`+xÛ`+xÛ`=4, xÛ`=1 xÛ`-4x-5=0, (x+1)(x-5)=0 ∴ x=Ñ1 ∴ x=-1 또는 x=5 x=-1을 ㉢에 대입하면 y=5 x=5를 ㉢에 대입하면 y=-1 따라서 구하는 연립방정식의 해는 [ x=-1 y=5 또는 [ x=5 y=-1 (5) ㉠을 y에 대하여 정리하면 y=-x-2 … ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하면 xÛ`+3x(-x-2)+(-x-2)Û`=5 xÛ`+2x+1=0, (x+1)Û`=0 ∴ x=-1 ∴ x=Ñ1, y=Ð1`(복호동순) Û y=x를 ㉡에 대입하면 2xÛ`-xÛ`+xÛ`=4, xÛ`=2 ∴ x=Ñ 2 ' ' ∴ x=Ñ 2, y=Ñ 2`(복호동순) Ú, Û에서 구하는 연립방정식의 해는 [ x=1 y=-1 2 ' 2 ' (2) ㉠을 인수분해하면 (x+y)(x-y)=0 x=-1 y=1 또는 [ 또는 [ x= y= 또는 [ x=- y=- 2 ' 2 ' x=-1을 ㉢에 대입하면 y=-1 ∴ y=-x 또는 y=x 따라서 구하는 연립방정식의 해는 x=-1, y=-1 Ú y=-x를 ㉡에 대입하면 xÛ`-xÛ`+xÛ`=3, xÛ`=3 (6) ㉠을 x에 대하여 정리하면 x=y+2 … ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하면 (y+2)Û`+y(y+2)-yÛ`=11 ∴ x=Ñ 3, y=Ð 3`(복호동순) Û y=x를 ㉡에 대입하면 xÛ`+xÛ`+xÛ`=3, xÛ`=1 ∴ x=Ñ 3 ' ' ∴ x=Ñ1 ' ' yÛ`+6y-7=0, (y+7)(y-1)=0 ∴ y=-7 또는 y=1 y=-7을 ㉢에 대입하면 x=-5 y=1을 ㉢에 대입하면 x=3 ∴ x=Ñ1, y=Ñ1`(복호동순) Ú, Û에서 구하는 연립방정식의 해는 따라서 구하는 연립방정식의 해는 [ x=-5 y=-7 또는 [ x=3 y=1 x= 3 ' y=- [ ' 또는 [ 3 3 ' x=- y= 3 ' 또는 [ x=1 y=1 또는 [ x=-1 y=-1 (7) ㉠을 x에 대하여 정리하면 x=2y+1 … ㉢ (3) ㉠을 인수분해하면 (x-2y)(x-3y)=0 ㉢을 ㉡에 대입하면 (2y+1)Û`-y(2y+1)-yÛ`=11 ∴ x=2y 또는 x=3y yÛ`+3y-10=0, (y+5)(y-2)=0 ∴ y=-5 또는 y=2 y=-5를 ㉢에 대입하면 x=-9 y=2를 ㉢에 대입하면 x=5 따라서 구하는 연립방정식의 해는 [ x=-9 y=-5 또는 [ x=5 y=2 138 답 (1) [ x=1 y=-1 또는 [ x=-1 y=1 또는 [ x= y= 또는 [ x=- y=- 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' x=1 y=1 또는 [ 또는 [ 또는 [ 3 ' 3 또는 [ 3 ' 또는 [ 3 ' x=- y= 3 ' ' x= 3 ' y=- 3 x=-2 ' 또는 [ 3 y=- x=3 y=1 또는 [ 또는 [ 3 ' x=2 y=1 또는 [ x=-1 y=-1 x=-3 y=-1 x=-2 y=-1 또는 [ x=-1 y=-1 또는 [ x=2 y=4 또는 [ x=-2 y=-4 (2) [ (3) [ (4) [ (5) [ x= 3 ' y=- x=2 ' y= 3 ' x=- y= 3 ' x=1 y=1 x= 2 7 ' 7 4 y=- ' 7 (6) [ 7 또는 [ 2 7 ' 7 x=- 4 y= 7 ' 7 또는 [ x=2 y=2 또는 [ x=-2 y=-2 (1) ㉠을 인수분해하면 (x+y)(x-y)=0 52 정답 및 해설 Ú x=2y를 ㉡에 대입하면 4yÛ`+2yÛ`-3yÛ`=9, yÛ`=3 3, y=Ñ 3`(복호동순) ' Û x=3y를 ㉡에 대입하면 9yÛ`+3yÛ`-3yÛ`=9, yÛ`=1 ∴ y=Ñ 3 ' ∴ x=Ñ2 ' ∴ y=Ñ1 ∴ x=Ñ3, y=Ñ1`(복호동순) Ú, Û에서 구하는 연립방정식의 해는 3 x=2 ' 또는 [ y= 3 3 x=-2 ' 또는 [ 3 y=- x=3 y=1 [ 또는 [ x=-3 y=-1 ' ' (4) ㉠을 인수분해하면 (x+y)(x-2y)=0 ∴ x=-y 또는 x=2y Ú x=-y를 ㉡에 대입하면 3yÛ`=9, yÛ`=3 ∴ y=Ñ 3 ' ∴ x=Ð 3, y=Ñ 3`(복호동순) ' ' Û x=2y를 ㉡에 대입하면 9yÛ`=9, yÛ`=1 ∴ y=Ñ1 ∴ x=Ñ2, y=Ñ1`(복호동순) Ú, Û에서 구하는 연립방정식의 해는 3 ' x=- y= 3 ' [ 또는 [ x= 3 ' y=- 또는 [ 3 ' x=2 y=1 또는 [ x=-2 y=-1 (5) ㉠을 인수분해하면 (x-y)(2x-y)=0 ∴ y=x 또는 y=2x Ú y=x를 ㉡에 대입하면 4xÛ`=4, xÛ`=1 ∴ x=Ñ1 YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 52 2017-09-18 오후 7:48:57 정답 및 해설 ∴ x=Ñ1, y=Ñ1`(복호동순) Ú, Û에서 구하는 연립방정식의 해는 x=2 y=1 [ 또는 [ x=-2 y=-1 또는 [ x=1 y=3 또는 [ x=-1 y=-3 Û y=2x를 ㉡에 대입하면 xÛ`=4 ∴ x=Ñ2 ∴ x=Ñ2, y=Ñ4`(복호동순) Ú, Û에서 구하는 연립방정식의 해는 x=1 y=1 [ 또는 [ x=-1 y=-1 또는 [ x=2 y=4 또는 [ x=-2 y=-4 (6) ㉠을 인수분해하면 (2x+y)(x-y)=0 ∴ y=-2x 또는 y=x Ú y=-2x를 ㉡에 대입하면 xÛ`+2xÛ`+4xÛ`=4, xÛ`= ;7$; ∴ x=Ñ 2 7 ' 7 2 7 ' 7 ∴ x=Ñ , y=Ð `(복호동순) 4 7 ' 7 Û y=x를 ㉡에 대입하면 xÛ`-xÛ`+xÛ`=4, xÛ`=4 ∴ x=Ñ2 ∴ x=Ñ2, y=Ñ2`(복호동순) Ú, Û에서 구하는 연립방정식의 해는 x= [ y=- 2 7 ' 7 4 ' 7 7 또는 [ 2 7 ' 7 x=- 4 y= 7 ' 7 또는 [ x=2 y=2 또는 [ x=-2 y=-2 139 답 (1) [ x=2 y=1 또는 [ (2) [ x=2 y=1 또는 [ x=-2 y=-1 x=-2 y=-1 또는 [ 또는 [ x=i y=3i x=1 y=3 또는 [ x=-i y=-3i 또는 [ x=-1 y=-3 (1) ㉠_3-㉡_2에서 3xÛ`-7xy+2yÛ`=0 ;2!; ∴ x=Ñ2 ∴ x=Ñi ∴ x=Ñ2, y=Ñ1`(복호동순) Û y=3x를 ㉠에 대입하면 xÛ`-3xÛ`=2, xÛ`=-1 ∴ x=Ñi, y=Ñ3i`(복호동순) Ú, Û에서 구하는 연립방정식의 해는 x=2 y=1 [ 또는 [ x=-2 y=-1 또는 [ x=i y=3i 또는 [ x=-i y=-3i (2) ㉡-㉠_2에서 3xÛ`-7xy+2yÛ`=0 (x-2y)(3x-y)=0 ∴ x=2y 또는 y=3x Ú x=2y를 ㉠에 대입하면 8yÛ`-4yÛ`+yÛ`=5, yÛ`=1 Û y=3x를 ㉠에 대입하면 2xÛ`-6xÛ`+9xÛ`=5, xÛ`=1 ∴ y=Ñ1 ∴ x=Ñ2, y=Ñ1`(복호동순) ∴ x=Ñ1 ∴ x=Ñ1, y=Ñ3`(복호동순) 140 답 (1) [ x=-1 y=0 또는 [ (2) [ x=-2 y=-1 또는 [ x=1 y=2 x= ;2!; y= ;2#; (3) [ x=1 y=0 또는 [ x=2 y=-1 (1) ㉠-㉡을 하면 -x+y=1 ∴ y=x+1 … ㉢ ㉢을 ㉠에 대입하면 xÛ`+(x+1)Û`-x=2 2xÛ`+x-1=0, (x+1)(2x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x= ;2!; x=-1을 ㉢에 대입하면 y=0 x= 을 ㉢에 대입하면 y= ;2!; ;2#; 따라서 구하는 연립방정식의 해는 [ (2) ㉠_2-㉡_3을 하면 19x-19y=-19 x=-1 y=0 또는 [ x= ;2!; y= ;2#; ∴ y=x+1 … ㉢ ㉢을 ㉠에 대입하여 정리하면 xÛ`+x-2=0 (x+2)(x-1)=0 ∴ x=-2 또는 x=1 x=-2를 ㉢에 대입하면 y=-1 x=1을 ㉢에 대입하면 y=2 따라서 구하는 연립방정식의 해는 [ x=-2 y=-1 또는 [ x=1 y=2 xÛ`-3x+2=0, (x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2 x=1을 ㉢에 대입하면 y=0 x=2를 ㉢에 대입하면 y=-1 따라서 구하는 연립방정식의 해는 [ x=1 y=0 또는 [ x=2 y=-1 141 답 (1) [ x=1 y=5 또는 [ x=5 y=1 (2) [ x=-2 y=4 또는 [ x=4 y=-2 (3) [ x=-6 y=1 또는 [ x=1 y=-6 (1) x, y는 이차방정식 tÛ`-6t+5=0의 두 근이므로 (t-1)(t-5)=0 ∴ t=1 또는 t=5 따라서 구하는 연립방정식의 해는 [ x=1 y=5 또는 [ x=5 y=1 (2) x, y는 이차방정식 tÛ`-2t-8=0의 두 근이므로 (t+2)(t-4)=0 ∴ t=-2 또는 t=4 Ⅱ. 방정식과 부등식 53 (x-2y)(3x-y)=0 ∴ y= x 또는 y=3x (3) ㉠-㉡을 하면 -x-y=-1 ∴ y=-x+1 … ㉢ Ú y= x를 ㉠에 대입하면 xÛ`- xÛ`=2, xÛ`=4 ㉢을 ㉠에 대입하면 xÛ`+(-x+1)Û`-4x=-3 ;2!; ;2!; YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 53 2017-09-18 오후 7:48:59 따라서 구하는 연립방정식의 해는 [ x=-2 y=4 또는 [ x=4 y=-2 (3) x, y는 이차방정식 tÛ`+5t-6=0의 두 근이므로 (t+6)(t-1)=0 ∴ t=-6 또는 t=1 따라서 구하는 연립방정식의 해는 [ x=-6 y=1 또는 [ x=1 y=-6 따라서 두 이차방정식의 공통근은 x=-3이다. (3) xÛ`-3x=0, 즉 x(x-3)=0의 근은 x=0 또는 x=3 xÛ`-2x-3=0, 즉 (x+1)(x-3)=0의 근은 x=-1 또는 x=3 따라서 두 이차방정식의 공통근은 x=3이다. 142 답 (1) [ x=1 y=3 또는 [ x=3 y=1 x=5 y=4 (2) [ x=4 y=5 또는 [ 또는 [ x=-5 y=-4 또는 [ x=-4 y=-5 (1) x+y=p, xy=q로 놓으면 [ p+2q=10 2p-q=5 y ㉠ y ㉡ ㉠+㉡_2에서 5p=20 ∴ p=4 p=4를 ㉠에 대입하면 4+2q=10 ∴ q=3 즉, x+y=4, xy=3이므로 x, y는 t에 대한 이차방정식 tÛ`-4t+3=0의 두 근이다. tÛ`-4t+3=0에서 (t-1)(t-3)=0 ∴ t=1 또는 t=3 ∴ [ x=1 y=3 또는 [ x=3 y=1 (2) x+y=p, xy=q로 놓으면 [ pÛ`-2q=41 q=20 y ㉠ y ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 pÛ`=81 ∴ p=Ñ9 Ú p=9, q=20이면 x, y는 tÛ`-9t+20=0의 두 근이다. (t-4)(t-5)=0에서 t=4 또는 t=5 ∴ [ x=4 y=5 또는 [ x=5 y=4 Û p=-9, q=20이면 x, y는 tÛ`+9t+20=0의 두 근이다. (t+5)(t+4)=0에서 t=-5 또는 t=-4 ∴ [ x=-5 y=-4 또는 [ x=-4 y=-5 Ú, Û에서 구하는 연립방정식의 해는 x=4 y=5 [ 또는 [ x=5 y=4 또는 [ x=-5 y=-4 또는 [ x=-4 y=-5 xÛ`-3x+2=0, 즉 (x-1)(x-2)=0의 근은 x=-1 또는 x=2 x=1 또는 x=2 따라서 두 이차방정식의 공통근은 x=2이다. (2) xÛ`+x-6=0, 즉 (x+3)(x-2)=0의 근은 xÛ`+5x+6=0, 즉 (x+3)(x+2)=0의 근은 x=-3 또는 x=2 x=-3 또는 x=-2 54 정답 및 해설 답 144 9`cm, 12`cm 나머지 두 변의 길이를 x`cm, y`cm라 하면 직각삼각형의 둘레의 길이가 36`cm이므로 x+y=21 빗변의 길이가 15`cm이므로 xÛ`+yÛ`=225 ∴ [ x+y=21 xÛ`+yÛ`=225 y ㉠ y ㉡ ㉠에서 y=21-x이므로 이를 ㉡에 대입하면 xÛ`+(21-x)Û`=225, xÛ`-21x+108=0 (x-9)(x-12)=0 ∴ x=9 또는 x=12 ㉠에서 [ x=9 y=12 또는 [ x=12 y=9 따라서 나머지 두 변의 길이는 9`cm, 12`cm이다. 145 답 48`cm2 직사각형의 가로의 길이를 x`cm, 세로의 길이를 y`cm라 하면 직사각형의 둘레의 길이가 28`cm이므로 2(x+y)=28 ∴ x+y=14 … ㉠ 대각선의 길이가 10`cm이므로 xÛ`+yÛ`=10Û` ∴ xÛ`+yÛ`=100 … ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=6, y=8 또는 x=8, y=6 따라서 직사각형의 넓이는 6´8=48(cm2) 답 146 38 또는 83 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자를 y라 하면 xÛ`+yÛ`=73 (10y+x)+(10x+y)=121 [ y ㉠ y ㉡ ㉢을 ㉠에 대입하면 xÛ`+(11-x)Û`=73 xÛ`-11x+24=0, (x-3)(x-8)=0 ∴ x=3 또는 x=8 ∴ [ x=3 y=8 또는 [ x=8 y=3 따라서 처음 자연수는 38 또는 83이다. 답 147 12`cm 143 답 (1) x=2 (2) x=-3 (3) x=3 (1) xÛ`-x-2=0, 즉 (x+1)(x-2)=0의 근은 ㉡에서 y=11-x … ㉢ YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 54 2017-09-18 오후 7:49:01 정답 및 해설 처음 직사각형의 가로의 길이를 x`cm, 세로의 길이를 y`cm라 하 면 대각선의 길이가 15`cm이므로 xÛ`+yÛ`=15Û` ∴ xÛ`+yÛ`=225 … ㉠ =(-2)Û`-(yÛ`-6y+13)¾0 D 4 ` 즉, (y-3)Û`É0이므로 y-3=0 ∴ y=3 y=3을 ㉠에 대입하면 xÛ`-4x+4=0, (x-2)Û`=0 직사각형의 가로와 세로의 길이를 각각 2`cm씩 늘였더니 직사각 형의 넓이가 처음보다 46`cm2만큼 넓어졌으므로 ∴ x=2 (2) 주어진 방정식을 AÛ`+BÛ`=0 꼴로 변형하면 (4xÛ`+4xy+yÛ`)+(yÛ`-4y+4)=0 ∴ (2x+y)Û`+(y-2)Û`=0 이때, x, y가 실수이므로 2x+y=0, y-2=0 ∴ x=-1, y=2 [다른 풀이] D 4 D 4 주어진 방정식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 4xÛ`+4yx+(2yÛ`-4y+4)=0 y ㉠ 이때, x가 실수이므로 이차방정식의 판별식을 D라 하면 =(2y)Û`-4(2yÛ`-4y+4)¾0 ` 즉, (y-2)Û`É0이므로 y-2=0 ∴ y=2 y=2를 ㉠에 대입하면 4xÛ`+8x+4=0, xÛ`+2x+1=0 (x+1)Û`=0 ∴ x=-1 (3) 주어진 방정식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 xÛ`+2(1-2y)x+5yÛ`-8y+5=0 … ㉠ 이때, x가 실수이므로 이차방정식의 판별식을 D라 하면 =(1-2y)Û`-5yÛ`+8y-5¾0 (x+2)(y+2)=xy+46 ∴ x+y=21 … ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=12, y=9`(∵ x>y) 따라서 처음 직사각형의 가로의 길이는 12`cm이다. 148 답 (1) [ x=-5 y=0 또는 [ x=-3 y=-1 또는 [ x=-2 y=-3 또는 [ x=0 y=5 또는 [ x=1 y=3 또는 [ x=3 y=2 (2) [ x=-2 y=1 또는 [ x=0 y=-1 또는 [ x=2 y=5 또는 [ x=4 y=3 (1) x, y가 정수이므로 x+1, y-1의 값은 다음 표와 같다. x+1 -4 y-1 -1 -2 -2 -1 -4 1 4 2 2 4 1 x=-5 y=0 ∴ [ 또는 [ x=-3 y=-1 또는 [ x=-2 y=-3 또는 [ x=0 y=5 또는 [ x=1 y=3 또는 [ x=3 y=2 x-1 y-2 -3 -1 -1 -3 1 3 3 1 x=-2 y=1 ∴ [ 또는 [ x=0 y=-1 또는 [ x=2 y=5 또는 [ x=4 y=3 (2) xy-2x-y-1=0에서 x(y-2)-(y-2)-3=0 즉, (y-2)Û`É0이므로 y-2=0 ∴ y=2 ∴ (x-1)(y-2)=3 y=2를 ㉠에 대입하면 xÛ`-6x+9=0, (x-3)Û`=0 이때, x, y가 정수이므로 x-1, y-2의 값은 다음 표와 같다. ∴ x=3 150 답 ④ f(x)=xÜ`-3xÛ`-x+3으로 놓으면 f(1)=0 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 1 1 -3 -1 -3 -1 -2 -3 1 -2 -3 -0 149 답 (1) x=2, y=3 (2) x=-1, y=2 (3) x=3, y=2 (1) 주어진 방정식을 AÛ`+BÛ`=0 꼴로 변형하면 (xÛ`-4x+4)+(yÛ`-6y+9)=0 ∴ (x-2)Û`+(y-3)Û`=0 f(x)=(x-1)(xÛ`-2x-3)=(x-1)(x+1)(x-3) 즉, 주어진 방정식은 (x+1)(x-1)(x-3)=0 이때, x, y가 실수이므로 x-2=0, y-3=0 ∴ x=-1 또는 x=1 또는 x=3 ∴ b=1`(∵ a<b<c) ∴ x=2, y=3 [다른 풀이] 주어진 방정식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 xÛ`-4x+(yÛ`-6y+13)=0 y ㉠ 151 답 2 이때, x가 실수이므로 이차방정식의 판별식을 D라 하면 f(x)=xÝ`-2xÜ`-5xÛ`+2x+4로 놓으면 Ⅱ. 방정식과 부등식 55 YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 55 2017-09-18 오후 7:49:02 f(1)=0, f(-1)=0이므로 -1 1 -2 -5 -2 -4 -1 -1 -6 -4 -1 1 -1 -6 -4 -0 -1 -2 -4 1 -2 -4 -0 f(x)=(x-1)(x+1)(xÛ`-2x-4) 즉, (x-1)(x+1)(xÛ`-2x-4)=0에서 x=1 또는 x=-1 또는 x=1Ñ 5 ' 답 155 14 2-i도 근이다. xÜ`-5xÛ`+ax+b=0에서 a, b가 실수이고 한 근이 2+i이므로 따라서 주어진 방정식의 세 근이 1, 2+i, 2-i이므로 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 1´(2+i)+(2+i)(2-i)+(2-i)´1=a ∴ a=9 1´(2+i)(2-i)=-b ∴ b=-5 ∴ a-b=9-(-5)=14 따라서 모든 실근의 합은 1+(-1)+(1+ 5)+(1- 5)=2 ' ' 156 답 ⑤ x-y=2 xÛ`+yÛ`=20 [ y ㉠ y ㉡ 답 152 14 xÝ`-3xÛ`-28=0에서 xÛ`=X로 치환하면 XÛ`-3X-28=0 (X+4)(X-7)=0 ∴ X=-4 또는 X=7 이때, X=xÛ`이므로 xÛ`=-4 또는 xÛ`=7 ∴ x=Ñ2i 또는 x=Ñ ∴ aÛ`+bÛ`=( 7)Û`+(- ' 7 ' 7)Û`=14 ' ㉠에서 y=x-2를 ㉡에 대입하면 xÛ`+(x-2)Û`=20 xÛ`-2x-8=0, (x+2)(x-4)=0 ∴ x=-2 또는 x=4 x=-2일 때 y=-4, x=4일 때 y=2 따라서 주어진 연립방정식을 만족시키는 양수 x, y는 x=4, y=2 ∴ 2x+y=2´4+2=10 157 답 ④ 2x+y=k xÛ`+yÛ`=5 [ y ㉠ y ㉡ 153 답 ② 삼차방정식 xÜ`+axÛ`+bx+c=0의 세 근이 -3, -1, 2이므로 근과 계수의 관계에 의하여 -3+(-1)+2=-a ∴ a=2 (-3)´(-1)+(-1)´2+2´(-3)=b ∴ b=-5 ㉠에서 y=-2x+k를 ㉡에 대입하면 xÛ`+(-2x+k)Û`=5, 5xÛ`-4kx+kÛ`-5=0 … ㉢ 주어진 연립방정식이 오직 한 쌍의 해를 가지려면 x에 대한 이차 방정식 ㉢이 중근을 가져야 한다. ㉢의 판별식을 D라 하면 =(-2k)Û`-5(kÛ`-5)=0, kÛ`=25 D 4 (-3)´(-1)´2=-c ∴ c=-6 ∴ k=5`(∵ k>0) ∴ a+b+c=-9 답 154 -2 삼차방정식 xÜ`+xÛ`-4x+1=0의 세 근이 a, b, c이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=-1, ab+bc+ca=-4, abc=-1 ∴ + + = 1 b 1 c ab+bc+ca abc = -4 -1 =4 1 a 1 ab + 1 bc + = 1 ca a+b+c abc = -1 -1 =1 따라서 구하는 삼차방정식은 xÜ`-4xÛ`+x+1=0이므로 1 abc = 1 -1 =-1 a=-4, b=1, c=1 ∴ a+b+c=-2 56 정답 및 해설 158 답 ② 2xÛ`+2yÛ`+3x-y=12 xÛ`+yÛ`+2x-y=6 [ y ㉠ y ㉡ ㉠-㉡_2를 하면 -x+y=0 ∴ y=x … ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하면 xÛ`+xÛ`+2x-x=6, 2xÛ`+x-6=0 (x+2)(2x-3)=0 ∴ x=-2 또는 x= ;2#; 이때, x는 정수이므로 x=-2, y=-2 ∴ x+y=-4 159 답 ③ xÛ`+yÛ`=5 xy=2 [ 에서 x+y=p, xy=q라 하면 [ pÛ`-2q=5 q=2 y ㉠ y ㉡ YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 56 2017-09-18 오후 7:49:04 정답 및 해설 ㉡을 ㉠에 대입하면 pÛ`=9 ∴ p=Ñ3 Ú p=-3, q=2, 즉 x+y=-3, xy=2일 때, x, y는 이차방정식 tÛ`+3t+2=0의 두 근이다. (t+2)(t+1)=0에서 t=-2 또는 t=-1 ∴ [ x=-2 y=-1 또는 [ x=-1 y=-2 Û p=3, q=2, 즉 x+y=3, xy=2일 때, x, y는 이차방정식 tÛ`-3t+2=0의 두 근이다. (t-1)(t-2)=0에서 t=1 또는 t=2 ∴ [ x=1 y=2 또는 [ x=2 y=1 Ú, Û에서 연립방정식의 해는 [ x=-2 y=-1 또는 [ x=-1 y=-2 또는 [ x=1 y=2 또는 [ x=2 y=1 따라서 x-y의 최댓값 M=1, 최솟값 m=-1이므로 M+m=0 160 답 ② 두 이차방정식의 공통근을 a라 하면 aÛ`+(k-1)a+2k=0 … ㉠ aÛ`-(k-3)a-2k=0 … ㉡ ㉠+㉡을 하면 aÛ`+a=0, a(a+1)=0 ∴ a=-1 또는 a=0 Ú a=-1일 때, 이 값을 ㉠에 대입하면 (-1)Û`-(k-1)+2k=0 ∴ k=-2 Û a=0일 때, 이 값을 ㉠에 대입하면 2k=0 ∴ k=0 Ú, Û에서 k=-2`(∵ k+0) 161 답 ③ xy-4x-3y+7=0, x(y-4)-3(y-4)-5=0 x-3 y-4 1 5 5 1 ∴ [ x=4 y=9 또는 [ x=8 y=5 ∴ x+y=13 163 답 (1) xÉ-5 (2) x¾2 (3) xÉ10 (4) x¾6 (1) 7x-3É5x-13에서 2xÉ-10 ∴ xÉ-5 (2) 5-(3-x)É2x에서 5-3+xÉ2x -xÉ-2 ∴ x¾2 (3) 0.2x+1¾0.5x-2의 양변에 10을 곱하면 2x+10¾5x-20, -3x¾-30 ∴ xÉ10 (4) x+6É2(x-2)의 양변에 3을 곱하면 ;3!; x+18É6(x-2), x+18É6x-12 -5xÉ-30 ∴ x¾6 3 a-2 3 a-2 a-1 a+1 a-1 a+1 164 답 (1) Ú a>2일 때, x>- Û a<2일 때, x<- Ü a=2일 때, 해는 모든 실수이다. (2) Ú a>-1일 때, x< Û a<-1일 때, x> Ü a=-1일 때, 해는 없다. (3) Ú a>1일 때, x>2 Û a<1일 때, x<2 Ü a=1일 때, 해는 없다. (4) Ú a>1일 때, x>a Û a<1일 때, x2x에서 (a-2)x>-3 Ú a>2일 때, x>- Û a<2일 때, x<- 3 a-2 3 a-2 a-1 a+1 a-1 a+1 Ú a>-1일 때, x< Û a<-1일 때, x> Ü a=-1일 때, 0´x<-2이므로 해는 없다. (3) ax+2>x+2a에서 (a-1)x>2(a-1) Ú a>1일 때, x>2 Û a<1일 때, x<2 ∴ (x-3)(y-4)=5 Ü a=2일 때, 0´x>-3이므로 해는 모든 실수이다. 이때, x, y가 자연수이므로 x-3, y-4의 값은 다음 표와 같다. (2) ax-a<-x-1에서 (a+1)x0이므로 해는 없다. (4) ax+a>aÛ`+x에서 (a-1)x>a(a-1) 162 답 (1) > (2) É (3) < (4) É (5) ¾ (6) < Ú a>1일 때, x>a Ⅱ. 방정식과 부등식 57 YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 57 2017-09-18 오후 7:49:05 Û a<1일 때, x0이므로 해는 없다. 따라서 주어진 연립부등식의 해는 -3<xÉ3 -3 3 x -5Éx<-3 -5 -3 x 165 답 (1) -3<xÉ3 (2) -3Éx<2 (3) x¾4 (1) 2x-5É1에서 2xÉ6 ∴ xÉ3 x-2<2x+1에서 -x<3 ∴ x>-3 따라서 주어진 연립부등식의 해는 (2) 8x-5É10x+1에서 -2xÉ6 ∴ x¾-3 2+6x<3x+8에서 3x<6 ∴ x<2 따라서 주어진 연립부등식의 해는 -3Éx<2 -3 2 x (3) x+2>0에서 x>-2 2x-1¾x+3에서 x¾4 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x¾4 -2 4 x 3Éx<5 3 5 x (2) [ 2(x-1)-3 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x¾1 -3 1 x 168 답 (1) a=3, b=8 (2) a=1, b=7 (3) a=16, b=2 (1) 2x+1>2a-3에서 2x>2a-4 ∴ x>a-2 166 답 (1) x<-2 (2) x>-6 (3) x<1 (1) -2x+1>x+7에서 -3x>6 ∴ x<-2 3x+5¾5(x-1)에서 3x+5¾5x-5 -2x¾-10 ∴ xÉ5 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x<-2 -2 5 x (2) 0.2x-1.2<0.5x+0.6의 양변에 10을 곱하면 2x-12<5x+6, -3x<18 ∴ x>-6 0.4x+1¾0.2x-0.4의 양변에 10을 곱하면 4x+10¾2x-4, 2x¾-14 ∴ x¾-7 따라서 주어진 연립부등식의 해는 3(x-2)Éx+10에서 2xÉ16 ∴ xÉ8 주어진 연립부등식의 해가 1<xÉb이므로 a-2<xÉ8 따라서 a-2=1, b=8이므로 a=3, b=8 (2) 3x-a<11에서 x< a+11 3 x-b<3(x-3)에서 x> b-9 -2 주어진 연립부등식의 해가 1<x<4이므로 a+11 3 =4, b-9 -2 =1 ∴ a=1, b=7 x>-6 -7 -6 x (3) 3(5-x)<x+7에서 15-3x<x+7, -4x<-8 (3) 2(5-x)+2¾x-3에서 10-2x+2¾x-3 ∴ x>2 -3x¾-15 ∴ xÉ5 x-2 3 > 5x-7 6 의 양변에 6을 곱하면 2x-4>5x-7, -3x>-3 ∴ x<1 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x<1 1 5 x 4x+1<x+a에서 3x0 따라서 주어진 연립부등식의 해는 없다. 0 x YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 58 2017-09-18 오후 7:49:08 정답 및 해설 (2) x+2¾2x에서 -x¾-2 ∴ xÉ2 으려면 오른쪽 그림에서 -a-1É-2 3(5-x)Éx+7에서 15-3xÉx+7, -4xÉ-8 ∴ a¾1 따라서 주어진 연립부등식의 해는 ∴ x¾2 x=2 (3) 0.4xÉx- 에서 2xÉ5x-3 ∴ x¾1 ;5#; 2 x (3) 2-x¾a에서 xÉ2-a x 3 + 5-x 2 É2에서 2x+3(5-x)É12 2x+15-3xÉ12 ∴ x¾3 주어진 연립부등식이 해를 갖지 않으려면 -4+x¾3(x-2)에서 -2x¾-2 ∴ xÉ1 오른쪽 그림에서 2-a<3 따라서 주어진 연립부등식의 해는 ∴ a>-1 2-a 3 x x=1 1 x 170 답 (1) a<- :Á3¼: (2) a<2 (3) a>1 (1) 3(x+a)É2에서 3xÉ2-3a ∴ xÉ 2-3a 3 2x+3<3x-1에서 -x<-4 ∴ x>4 주어진 연립부등식이 해를 가지려면 172 답 (1) -3ÉxÉ7 (2) x<-2 또는 x>8 (3) -4<x<-1 (1) |x-2|É5에서 -5Éx-2É5 ∴ -3ÉxÉ7 (2) |x-3|>5에서 x-3<-5 또는 x-3>5 ∴ x<-2 또는 x>8 (3) |2x+5|<3에서 -3<2x+5<3 오른쪽 그림에서 >4, -3a>10 2-3a 3 4 x 2-3a 3 ∴ -4<x<-1 ∴ a<- :Á3¼: (2) x+4 3 <x에서 x+4<3x, -2x<-4 ∴ x>2 x-a>2x-4에서 -x>a-4 ∴ x<4-a 주어진 연립부등식이 해를 가지려면 오른쪽 그림에서 2<4-a 2 4-a x ∴ a<2 (3) 5x+6É4x+2에서 xÉ-4 2x-a<3(x+1)에서 -x<a+3 ∴ x>-a-3 주어진 연립부등식이 해를 가지려면 오른쪽 그림에서 -a-3<-4 -a<-1 ∴ a>1 -a-3 -4 x 171 답 (1) aÉ9 (2) a¾1 (3) a>-1 (1) 3x+a<2a에서 3x3x+1에서 -x>a+1 ∴ x<-a-1 주어진 연립부등식이 해를 갖지 않 173 답 (1) x< ;3@; (2) - ;3$; ÉxÉ8 (1) |x+1|<3-2x에서 Ú x<-1일 때, -(x+1)<3-2x ∴ x<4 그런데 x<-1이므로 x<-1 Û x¾-1일 때, x+1<3-2x, 3x<2 ∴ x< ;3@; 그런데 x¾-1이므로 -1Éx< ;3@; Ú, Û에서 x< ;3@; (2) |x-1|É x+3에서 ;2!; Ú x<1일 때, -(x-1)É x+3, - xÉ2 ∴ x¾- ;2#; ;3$; 그런데 x<1이므로 - Éx<1 ;2!; ;3$; Û x¾1일 때, x-1É x+3, xÉ4 ∴ xÉ8 ;2!; ;2!; 그런데 x¾1이므로 1ÉxÉ8 Ú, Û에서 - ÉxÉ8 ;3$; 174 답 (1) xÉ-1 (2) - ÉxÉ3 (3) - <x<14 ;3&; ;;5@; (1) |x-2|-|x+3|¾1에서 Ú x<-3일 때, -(x-2)+(x+3)¾1 이때, 5¾1은 항상 성립하므로 x<-3 -a-1 -2 x Û -3Éx<2일 때, -(x-2)-(x+3)¾1, -2x¾2 Ⅱ. 방정식과 부등식 59 YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 59 2017-09-18 오후 7:49:10 ∴ xÉ-1 따라서 연립부등식의 해는 4Éx<11 그런데 -3Éx<2이므로 -3ÉxÉ-1 이므로 가장 큰 정수는 10, 가장 작은 4 11 x Ü x¾2일 때, (x-2)-(x+3)¾1 이때, -5¾1이므로 성립하지 않는다. Ú, Û, Ü에서 xÉ-1 (2) |x+1|+2|x-1|É8에서 Ú x<-1일 때, -(x+1)-2(x-1)É8, -3xÉ7 답 177 -48 ∴ x¾- ;3&; 그런데 x<-1이므로 - Éx<-1 ;3&; Û -1Éx<1일 때, (x+1)-2(x-1)É8, -xÉ5 ∴ x¾-5 그런데 -1Éx<1이므로 -1Éx<1 Ü x¾1일 때, (x+1)+2(x-1)É8, 3xÉ9 ∴ xÉ3 그런데 x¾1이므로 1ÉxÉ3 Ú, Û, Ü에서 - ÉxÉ3 ;3&; (3) 3|x-2|-2|x+1|<6에서 Ú x<-1일 때, -3(x-2)+2(x+1)<6 ∴ x>2 그런데 x<-1이므로 해는 없다. Û -1Éx<2일 때, -3(x-2)-2(x+1)<6 ∴ x>- ;5@; 그런데 -1Éx<2이므로 - <x<2 ;5@; 그런데 x¾2이므로 2Éx<14 Ú, Û, Ü에서 - <x<14 ;;5@; 175 답 ㈁ ㈁ a<b이면 -2a>-2b ∴ -2a+1>-2b+1 ㈂ a<b이므로 < ∴ -4< -4 ;6A; ;6B; ;6A; ;6B; ㈃ a<b, c<0이므로 > ∴ +2> +2 a c b c a c b c 따라서 옳은 것은 ㈁이다. 176 답 6 3(x-2)-1¾1+x에서 2x¾8 ∴ x¾4 2x-7 3 < x-3 2 +1의 양변에 6을 곱하면 ∴ x<11 60 정답 및 해설 정수는 4이다. ∴ a-b=10-4=6 2(x-2)+1<3x+3 y ㉠ y ㉡ 3x+3<2x+11 [ ㉠에서 -x<6 ∴ x>-6 ㉡에서 x<8 따라서 주어진 연립부등식의 해는 -6<x<8이므로 a=-6, b=8 ∴ ab=-48 -6 8 x 178 답 ② x-4 3 <a에서 x<3a+4 2(x-3)É5(x+1)+4에서 -3xÉ15 ∴ x¾-5 이때, 연립부등식의 해가 없으려면 오른쪽 그림과 같아야 하므로 3a+4 -5 x 3a+4É-5, 3aÉ-9 ∴ aÉ-3 179 답 ① |3x-2|<4에서 -4<3x-2<4 ∴ - <x<2 ;3@; 180 답 ⑤ 3|x+1|-2|x-1|<8에서 Ú x<-1일 때, -3(x+1)+2(x-1)<8, -x<13 ∴ x>-13 그런데 x<-1이므로 -13<x<-1 Û -1Éx<1일 때, 3(x+1)+2(x-1)<8, 5x<7 ∴ x< ;5&; 그런데 -1Éx<1이므로 -1Éx<1 그런데 x¾1이므로 1Éx<3 2(2x-7)<3(x-3)+6, 4x-14<3x-9+6 Ü x¾1일 때, 3(x+1)-2(x-1)<8 ∴ x<3 ㈀ a=-2, b=1이면 a<b이지만 aÛ`>bÛ` 이를 만족시키는 정수 x는 0, 1이므로 그 합은 1이다. Ü x¾2일 때, 3(x-2)-2(x+1)<6 ∴ x<14 따라서 정수 a의 최댓값은 -3이다. YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 60 2017-09-18 오후 7:49:12 정답 및 해설 Ú, Û, Ü에서 -13<x<3 따라서 a=-13, b=3이므로 b-a=3-(-13)=16 (2) f(x-2)É0에서 x-2=t로 놓으면 y=f(x)의 그래프에서 f(t)É0의 해는 1ÉtÉ5이므로 1Éx-2É5 ∴ 3ÉxÉ7 6 이차부등식과 연립이차부등식 126쪽~134쪽 184 답 (1) ① 1<x<4 ② x<1 또는 x>4 (2) ① xÉ-1 또는 x¾2 ② -1ÉxÉ2 (1) ① y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 위쪽에 있는 181 답 (1) 풀이 참고, -1<x<3 x의 값의 범위는 1<x<4 (2) 풀이 참고, xÉ-2 또는 x¾1 ② y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 아래쪽에 있 (1) x의 값의 범위 x+1 x-3 (x+1)(x-3) xÛ`-2x-3=(x+1)(x-3) 이차부등식 xÛ`-2x-3<0의 해는 (x+1)(x-3)의 부호가 음인 x의 값의 범위이므로 위의 표에서 -1<x<3이다. 185 답 (1) ① x<-1 또는 x>4 ② -1ÉxÉ4 (2) ① xÉ0 또는 x¾3 ② 0<x<3 (2) x의 값의 범위 x+2 x-1 (x+2)(x-1) (1) ① y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 위쪽에 있는 는 x의 값의 범위는 x<1 또는 x>4 (2) ① y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 위쪽에 있거 나 y=g(x)의 그래프와 만나는 x의 값의 범위는 xÉ-1 또는 x¾2 ② y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 아래쪽에 있 거나 y=g(x)의 그래프와 만나는 x의 값의 범위는 -1ÉxÉ2 x의 값의 범위는 x<-1 또는 x>4 ② y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 아래쪽에 있 거나 y=g(x)의 그래프와 만나는 x의 값의 범위는 -1ÉxÉ4 (2) ① y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 위쪽에 있거 나 y=g(x)의 그래프와 만나는 x의 값의 범위는 - 0 + + + - 0 + + + - - - 0 + - - - 0 + + 0 - 0 + + - 0 0 + x<-1 x=-1 -1<x<3 x=3 x>3 x<-2 x=-2 -2<x<1 x=1 x>1 이다. xÛ`+x-2=(x+2)(x-1) xÉ0 또는 x¾3 이차부등식 xÛ`+x-2¾0의 해는 (x+2)(x-1)의 부호가 0 ② y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 아래쪽에 있 보다 크거나 같은 x의 값의 범위이므로 xÉ-2 또는 x¾1 는 x의 값의 범위는 0<x<3 182 답 (1) xÉ-4 또는 x¾2 (2) -4<x<2 (1) y=xÛ`+2x-8의 그래프가 x축보다 위쪽에 있거나 x축과 만 나는 x의 값의 범위는 xÉ-4 또는 x¾2 186 답 (1) -6ÉxÉ2 (2) x<2 또는 x>3 (3) <x<3 ;2!; (4) xÉ- 또는 x¾1 (5) -6<x<3 ;3!; ' (6) x<- 7 또는 x> 7 ' (2) y=xÛ`+2x-8의 그래프가 x축보다 아래쪽에 있는 x의 값의 (1) xÛ`+4x-12É0에서 (x+6)(x-2)É0 범위는 -4<x<2 183 답 (1) x<1 또는 x>5 (2) 3ÉxÉ7 (1) y=f(x)의 그래프에서 f(x)>0의 해는 x<1 또는 x>5 ∴ -6ÉxÉ2 (2) xÛ`-5x+6>0에서 (x-2)(x-3)>0 ∴ x<2 또는 x>3 (3) 2xÛ`-7x+3<0에서 (2x-1)(x-3)<0 ∴ <x<3 ;2!; Ⅱ. 방정식과 부등식 61 YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 61 2017-09-18 오후 7:49:13 (5) 12x-4>9xÛ`에서 9xÛ`-12x+4<0, (3x-2)Û`<0 ㉠과 주어진 이차부등식의 부등호의 방향이 다르므로 a<0 187 답 (1) x+1인 모든 실수 (2) 해는 없다. (3) 모든 실수 (7) (x+2)(x-3)>0에서 xÛ`-x-6>0 (4) x= 3 (5) 해는 없다. (6) x+ 인 모든 실수 ;2!; (1) xÛ`-2x+1>0에서 (x-1)Û`>0 190 답 (1) a=-2, b=-12 (2) a=-2, b=5 따라서 부등식의 해는 x+1인 모든 실수이다. (3) a=1, b=-6 (4) 3xÛ`-2x-1¾0에서 (3x+1)(x-1)¾0 ∴xÉ- 또는 x¾1 ;3!; (5) -xÛ`-3x+18>0에서 xÛ`+3x-18<0 (x+6)(x-3)<0 ∴ -6<x<3 (6) 7-xÛ`<0에서 xÛ`-7>0 (x+ 7)(x- 7)>0 ' ' ∴ x<- 7 또는 x> 7 ' ' ' (2) xÛ`-10x+25<0에서 (x-5)Û`<0 따라서 부등식의 해는 없다. (3) xÛ`+4x+4¾0에서 (x+2)Û`¾0 따라서 부등식의 해는 모든 실수이다. (4) xÛ`-2 3x+3É0에서 (x- ' 따라서 부등식의 해는 x= 3)Û`É0 ' 3 이다. ' 따라서 부등식의 해는 없다. (6) -4xÛ`+4x-1<0에서 4xÛ`-4x+1>0, (2x-1)Û`>0 따라서 부등식의 해는 x+ 인 모든 실수이다. ;2!; 188 답 (1) 모든 실수 (2) 해는 없다. (3) 모든 실수 (4) 해는 없다. (5) 모든 실수 (6) 해는 없다. (1) xÛ`-x+1>0에서 { x- Û` ;2!;} + >0 ;4#; 따라서 부등식의 해는 모든 실수이다. (2) xÛ`-x+3<0에서 { x- Û` ;2!;} + :Á4Á: <0 따라서 부등식의 해는 없다. (3) 2xÛ`-4x+5¾0에서 2(x-1)Û`+3¾0 따라서 부등식의 해는 모든 실수이다. (4) 2xÛ`-x+5É0에서 2 x- Û` ;4!;} + :£8»: É0 { 따라서 부등식의 해는 없다. (5) -xÛ`+3x-4<0에서 xÛ`-3x+4>0, { x- ;2#;} Û` + >0 ;4&; 따라서 부등식의 해는 모든 실수이다. (6) 5x¾xÛ`+9에서 xÛ`-5x+9É0, { x- ;2%;} É0 :Á4Á: Û` + 62 정답 및 해설 189 답 (1) xÛ`-7x+10<0 (2) xÛ`-4x-5<0 (3) xÛ`+x-6É0 (4) xÛ`-6x+8>0 (5) xÛ`+5x+4>0 (6) xÛ`+2x-15¾0 (7) xÛ`-x-6>0 (1) (x-2)(x-5)<0에서 xÛ`-7x+10<0 (2) (x+1)(x-5)<0에서 xÛ`-4x-5<0 (3) (x+3)(x-2)É0에서 xÛ`+x-6É0 (4) (x-2)(x-4)>0에서 xÛ`-6x+8>0 (5) (x+4)(x+1)>0에서 xÛ`+5x+4>0 (6) (x+5)(x-3)¾0에서 xÛ`+2x-15¾0 (1) 해가 -2ÉxÉ3이고 xÛ`의 계수가 2인 이차부등식은 2(x+2)(x-3)É0 ∴ 2xÛ`-2x-12É0 … ㉠ ㉠이 2xÛ`+ax+bÉ0과 일치하므로 a=-2, b=-12 (2) 해가 - <x<5이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은 ;2!; { ;2!;} x+ (x-5)<0 ∴ xÛ`- x- <0 … ㉠ ;2(; ;2%; ㉠의 양변에 a를 곱하면 axÛ`- ax- a>0 ;2(; ;2%; 이 부등식이 axÛ`+9x+b>0과 일치하므로 - a=9, - a=b ∴ a=-2, b=5 ;2(; ;2%; (3) 해가 xÉ-2 또는 x¾3이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은 (x+2)(x-3)¾0 ∴ xÛ`-x-6¾0 … ㉠ ㉠과 주어진 이차부등식의 부등호의 방향이 같으므로 a>0 ㉠의 양변에 a를 곱하면 axÛ`-ax-6a¾0 이 부등식이 axÛ`-x+b¾0과 일치하므로 -a=-1, -6a=b ∴ a=1, b=-6 191 답 (1) 0<k<4 (2) k¾1 (3) 0<k<3 (4) -2ÉkÉ2 (1) 이차방정식 xÛ`-kx+k=0의 판별식을 D라 하면 D=(-k)Û`-4´1´k<0 k(k-4)<0 ∴ 0<k<4 (2) 이차방정식 xÛ`+2x+k=0의 판별식을 D라 하면 =1Û`-1´kÉ0 ∴ k¾1 (3) 이차방정식 xÛ`-2kx+3k=0의 판별식을 D라 하면 D 4 D 4 =(-k)Û`-3k<0 따라서 부등식의 해는 없다. kÛ`-3k<0, k(k-3)<0 ∴ 0<k<3 YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 62 2017-09-18 오후 7:49:15 정답 및 해설 (4) 이차방정식 -xÛ`+kx-1=0의 판별식을 D라 하면 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 D=kÛ`-4´(-1)´(-1)É0 kÛ`-4É0, (k+2)(k-2)É0 ∴ -2ÉkÉ2 -5<xÉ-3 또는 Éx<9 ;2!; -5 -3 1 2 9 x (3) 3xÛ`-5x-2É0에서 (3x+1)(x-2)É0 ∴ - ÉxÉ2 … ㉠ ;3!; xÛ`+2x-8<0에서 (x+4)(x-2)<0 192 답 (1) -3<kÉ0 (2) -1Ék<4 (3) 1Ék<3 ∴ -4<x<2 … ㉡ (1) Ú k=0일 때, -3<0이므로 주어진 부등식은 항상 성립한다. ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 Û k+0일 때, k<0이어야 한다. 이때, kxÛ`+2kx-3=0의 판별식을 D라 하면 =kÛ`-k´(-3)<0 D 4 k(k+3)<0 ∴ -3<k<0 Ú, Û에서 -3<kÉ0 - Éx<2 ;3!; -4 - 1 3 2 x (4) |x+1|<3에서 -3<x+1<3 ∴ -4<x<2 … ㉠ xÛ`+2x>-3x에서 xÛ`+5x>0, x(x+5)>0 ∴ x<-5 또는 x>0 … ㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 (2) Ú k=-1일 때, 5>0이므로 주어진 부등식은 항상 성립한다. 0<x<2 -5-4 0 2 x Û k+-1일 때, k+1>0, 즉 k>-1이어야 한다. (5) |x-1|É3에서 -3Éx-1É3 ∴ -2ÉxÉ4 … ㉠ 이때, (k+1)xÛ`+2(k+1)x+5=0의 판별식을 D라 하면 -xÛ`+4x+5>0에서 xÛ`-4x-5<0, (x+1)(x-5)<0 ={-(k-1)}Û`-2(k-1)<0 4<x<6 -3 -2 4 6 x kÛ`-4k+3<0, (k-1)(k-3)<0 ∴ 1<k<3 (7) |x-1|<4에서 -4<x-1<4 ∴ -3<x<5 … ㉠ =(k+1)Û`-5(k+1)<0 kÛ`-3k-4<0, (k+1)(k-4)<0 ∴ -1<k<4 Ú, Û에서 -1Ék<4 (3) Ú k=1일 때, 2>0이므로 주어진 부등식은 항상 성립한다. Û k+1일 때, k-1>0, 즉 k>1이어야 한다. 이때, (k-1)xÛ`-2(k-1)x+2=0의 판별식을 D라 하면 D 4 D 4 Ú, Û에서 1Ék<3 193 답 (1) xÉ-2 (2) -5<xÉ-3 또는 Éx<9 ;2!; (3) - Éx<2 (4) 0<x<2 (5) -1<xÉ4 ;3!; (6) 4<x<6 (7) -3<xÉ-1 또는 Éx<5 ;2#; (1) 2x-4<0에서 2x<4 ∴ x<2 … ㉠ xÛ`-4x-12¾0에서 (x+2)(x-6)¾0 ∴ xÉ-2 또는 x¾6 … ㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 (2) 2xÛ`+5x-3¾0에서 (x+3)(2x-1)¾0 ∴ xÉ-3 또는 x¾ … ㉠ ;2!; -xÛ`+4x+45>0에서 xÛ`-4x-45<0 (x+5)(x-9)<0 ∴ -5<x<9 … ㉡ ∴ -1<x<5 … ㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -1<xÉ4 -2-1 54 x (6) |x-2|<4에서 -4<x-2<4 ∴ -2<x<6 … ㉠ -xÛ`+x+12<0에서 xÛ`-x-12>0, (x+3)(x-4)>0 ∴ x<-3 또는 x>4 … ㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 xÛ`- x¾ 에서 2xÛ`-x-3¾0, (x+1)(2x-3)¾0 ;2!; ;2#; ∴ xÉ-1 또는 x¾ … ㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;2#; ;2#; -3<xÉ-1 또는 Éx<5 -3 -1 5 x 3 2 194 답 (1) -3Éx<-2 또는 1<xÉ2 (2) 4<x<5 (3) xÉ-1 또는 4Éx<5 (1) [ 2<xÛ`+x xÛ`+xÉ6 y ㉠ y ㉡ ㉠에서 xÛ`+x-2>0, (x+2)(x-1)>0 ㉡에서 xÛ`+x-6É0, (x+3)(x-2)É0 ∴ -3ÉxÉ2 -3Éx<-2 또는 1<xÉ2 -3-2 21 x 공통 범위를 구하면 (2) [ 2x+3ÉxÛ` xÛ`<9x-20 y ㉠ y ㉡ Ⅱ. 방정식과 부등식 63 xÉ-2 -2 2 6 x ∴ x<-2 또는 x>1 YBM(해)-02-2단원(046~063)-ok.indd 63 2017-09-18 오후 7:49:17 ㉠에서 xÛ`-2x-3¾0, (x+1)(x-3)¾0 ∴ xÉ-1 또는 x¾3 ㉡에서 xÛ`-9x+20<0, (x-4)(x-5)<0 ∴ 4<x<5 -1 543 x 공통 범위를 구하면 4<x<5 (3) [ 4x-1<3x+4 3x+4ÉxÛ` y ㉠ y ㉡ ㉠에서 x<5 ∴ xÉ-1 또는 x¾4 공통 범위를 구하면 xÉ-1 또는 4Éx<5 -1 54 x Ú, Û에서 - <kÉ0 ;2#; - 3 2 0 3 2 4 x (2) Ú 이차방정식 xÛ`-kx+k+3=0의 판별식을 DÁ이라 하면 이 방정식이 허근을 가지므로 DÁ=(-k)Û`-4(k+3)<0 kÛ`-4k-12<0, (k+2)(k-6)<0 ∴ -2<k<6 이 방정식이 허근을 가지므로 =kÛ`-(-2k+8)<0 Dª 4 kÛ`+2k-8<0, (k+4)(k-2)<0 ∴ -4<k<2 Ú, Û에서 -2<k<2 -4 -2 2 6 x ㉡에서 xÛ`-3x-4¾0, (x+1)(x-4)¾0 Û 이차방정식 xÛ`+2kx-2k+8=0의 판별식을 Dª라 하면 195 답 (1) kÉ-1 (2) k¾2 (3) kÉ-1 (1) xÛ`-2x-8<0에서 (x+2)(x-4)<0 ∴ -2<x<4 … ㉠ 197 답 ② xÛ`-(2k-1)x-2k¾0에서 (x+1)(x-2k)¾0 … ㉡ 주어진 그래프에서 f(x)<0의 해는 y=f(x)의 그래프가 x축보 ㉠, ㉡의 공통부분이 -1Éx<4이려면 다 아래쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이다. 오른쪽 그림과 같아야 하므로 ∴ 2<x<5 2kÉ-2 ∴ kÉ-1 2k -2 -1 4 x (2) xÛ`-x-2É0에서 (x+1)(x-2)É0 ∴ -1ÉxÉ2 … ㉠ xÛ`-(1+k)x+kÉ0에서 (x-1)(x-k)É0 … ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분이 1ÉxÉ2이려면 오른쪽 그림과 같아야 하므로 k¾2 -1 1 2 k x (3) xÛ`-5x-6<0에서 (x+1)(x-6)<0 ∴ -1<x<6 … ㉠ xÛ`-(k+1)x+k¾0에서 (x-k)(x-1)¾0 … ㉡ 답 198 x<-2 또는 x>6 해가 -1<x<4이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은 (x+1)(x-4)<0 ∴ xÛ`-3x-4<0 이 부등식이 xÛ`+ax+b<0과 일치하므로 a=-3, b=-4 이것을 xÛ`+bx+4a>0에 대입하면 xÛ`-4x-12>0, (x+2)(x-6)>0 ∴ x<-2 또는 x>6 ㉠, ㉡의 공통부분이 1Éx<6이려면 답 199 3개 오른쪽 그림과 같아야 하므로 k -1 1 6 x -xÛ`+2(k-3)xÉ1, -xÛ`+2(k-3)x-1É0이 kÉ-1 196 답 (1) - <kÉ0 (2) -2<k<2 ;2#; (1) Ú 이차방정식 3xÛ`+4kx+3=0의 판별식을 DÁ이라 하면 이 방정식이 허근을 가지므로 DÁ 4 ∴ - <k< ;2#; ;2#; =(2k)Û`-3´3<0, 4kÛ`-9<0, (2k+3)(2k-3)<0 따라서 구하는 자연수 k의 개수는 2, 3, 4의 3개이다. 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 이차방정식 -xÛ`+2(k-3)x-1=0의 판별식을 D라 하면 DÉ0이어야 한다. D 4 =(k-3)Û`-1É0, kÛ`-6k+8É0 (k-2)(k-4)É0 ∴ 2ÉkÉ4 Û 이차방정식 xÛ`-kx+k=0의 판별식을 Dª라 하면 답 200 6 이 방정식이 실근을 가지므로 xÛ`-x-2>0에서 (x+1)(x-2)>0 Dª=kÛ`-4k¾0, k(k-4)¾0 ∴ kÉ0 또는 k¾4 ∴ x<-1 또는 x>2 … ㉠ 64 정답 및 해설 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 64 2017-09-18 오후 7:50:22 정답 및 해설 xÛ`-5x+4É0에서 (x-1)(x-4)É0 ∴ 1ÉxÉ4 … ㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 Ⅲ 도형의 방정식 2<xÉ4 -1 1 2 4 x 1 평면좌표 따라서 a=2, b=4이므로 a+b=6 137쪽~150쪽 201 -6ÉaÉ-2 답 -xÛ`-2(a+2)x+4(a+2)>0에서 xÛ`+2(a+2)x-4(a+2)<0 이 부등식의 해가 존재하지 않으려면 모든 실수 x에 대하여 xÛ`+2(a+2)x-4(a+2)¾0이 성립해야 한다. 따라서 이차방정식 xÛ`+2(a+2)x-4(a+2)=0의 판별식을 D라 하면 DÉ0이어야 하므로 D 4 =(a+2)Û`+4(a+2)É0 aÛ`+8a+12É0, (a+6)(a+2)É0 ∴ -6ÉaÉ-2 답 202 -10 이차방정식 xÛ`+(k+1)x-k+2=0은 허근을 갖고, 이차방정식 xÛ`+2kx+k+12=0은 서로 다른 두 실근을 가지므 로 두 이차방정식의 판별식을 각각 DÁ, Dª라 하면 DÁ=(k+1)Û`-4(-k+2)<0 kÛ`+6k-7<0, (k+7)(k-1)<0 ∴ -7<k<1 … ㉠ Dª 4 =kÛ`-(k+12)>0, (k+3)(k-4)>0 ∴ k<-3 또는 k>4 … ㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -7<k<-3 따라서 a=-7, b=-3이므로 a+b=-10 -7 -3 1 4 x 001 답 (1) 5 (2) 3 (3) ' AB=|3-(-2)|=5 (1) 2 (4) 5 2 ' (2) AB=|-4-(-1)|=3 (3) AB=| 2-0|= ' (4) AB=|-2 2-3 2|=5 ' 2 ' 2 ' ' 002 답 (1) -1 또는 5 (2) 2 또는 6 (3) -11 또는 -1 (1) 점 Q의 좌표를 x라 하면 |x-2|=3에서 x-2=Ñ3 ∴ x=-1 또는 x=5 따라서 점 Q의 좌표는 -1 또는 5이다. (2) 점 Q의 좌표를 x라 하면 |x-4|=2에서 x-4=Ñ2 ∴ x=2 또는 x=6 따라서 점 Q의 좌표는 2 또는 6이다. (3) 점 Q의 좌표를 x라 하면 |x+6|=5에서 x+6=Ñ5 ∴ x=-11 또는 x=-1 따라서 점 Q의 좌표는 -11 또는 -1이다. 003 답 (1) '¶ OA= 10 (2) '¶ (-3)Û`+1Û` = 29 (3) '¶ 10 (1) '¶ 5 41 (4) 5 (5) ' (2) OA= (3) OA= 29 2Û`+5Û` = '¶ (-4)Û`+(-5)Û`= 41 '¶ (4) OA= (-4)Û`+3Û`=5 (5) OA= 2Û`+(-1)Û`= 5 ' 004 답 (1) '¶ AB= (1) 10 (2) 5 (3) 4 (4) 3 (3-2)Û` ' +{2-(-1)}Û` = '¶ 4)Û`+{2-(-2)}Û` =5 10 (2) AB= (1- 5 2 (5) 5 (6) ' (3) AB= (4 -2)Û`+(0-2 3)Û`=4 ' (4) AB= {1-(-2)}Û` +{2-(-1)}Û`=3 2 ' (5) AB= (5-2)Û` +{3-(-1)}Û`=5 (6) AB= {-1-(-3)}Û` +(5-4)Û` = 5 ' "à "à "à "à "à "à "à "à "à "à "à 005 답 (1) 6 (2) 3 (3) 3 또는 7 (4) 3 (1) AB=11에서 ABÓ Û`=121이므로 (-5-a)Û`+{-3-(-3)}Û`=121 aÛ`+10a-96=0, (a+16)(a-6)=0 Ⅲ. 도형의 방정식 65 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 65 2017-09-18 오후 7:50:24 Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ã Ã Ò Ã Ò Ã Ò Ã Ã Ò Ò Ã Ã Ò Ò Ã Ã Ò aÛ`-10a+21=0, (a-3)(a-7)=0 aÛ`-2a+10=aÛ`+2a+2, -4a=-8 ∴ a=2 006 답 (1) P(5, 0) (2) P(-2, 0) (3) P(3, 0) (4) P , 0 } {;2#; ∴ a=6`(∵ a>0) (2) AB=2 5에서 ABÓ Û`=20이므로 ' {-4-(-2)}Û`+(-1-a)Û`=20 aÛ`+2a-15=0, (a+5)(a-3)=0 ∴ a=3`(∵ a>0) (3) AB= 13에서 ABÓ Û`=13이므로 '¶ (5-a)Û`+{-4-(-1)}Û`=13 ∴ a=3 또는 a=7 (4) AB= 10에서 ABÓ Û`=10이므로 '¶ (a+1-1)Û`+(2-3)Û`=10 aÛ`-9=0, (a+3)(a-3)=0 ∴ a=3`(∵ a>0) (1) 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 {a-(-1)}Û`+(0-3)Û`=(a-2)Û`+(0-6)Û` aÛ`+2a+10=aÛ`-4a+40 6a=30 ∴ a=5 따라서 점 P의 좌표는 (5, 0)이다. (2) 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 {a-(-4)}Û`+(0-1)Û`=(a+3)Û`+(0+2)Û` aÛ`+8a+17=aÛ`+6a+13 2a=-4 ∴ a=-2 따라서 점 P의 좌표는 (-2, 0)이다. (3) 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 {a-(-1)}Û`+(0-2)Û`=(a-5)Û`+(0-4)Û` aÛ`+2a+5=aÛ`-10a+41, 12a=36 ∴ a=3 따라서 점 P의 좌표는 (3, 0)이다. (4) 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 {a-(-2)}Û`+(0-3)Û`={a-(-3)}Û`+(0-1)Û` aÛ`+4a+13=aÛ`+6a+10 -2a=-3 ∴ a= ;2#; 따라서 점 P의 좌표는 , 0 이다. {;2#; } APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 {0-(-2)}Û`+(a-0)Û`=(0-3)Û`+(a-1)Û` aÛ`+4=aÛ`-2a+10, 2a=6 ∴ a=3 따라서 점 P의 좌표는 (0, 3)이다. (2) 점 P의 좌표를 (0, a)라 하면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 {0-(-3)}Û`+(a-1)Û`=(0-1)Û`+{a-(-1)}Û` 따라서 점 P의 좌표는 (0, 2)이다. (3) 점 P의 좌표를 (0, a)라 하면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 (0-2)Û`+(a-3)Û`=(0-4)Û`+(a-1)Û` aÛ`-6a+13=aÛ`-2a+17, -4a=4 ∴ a=-1 따라서 점 P의 좌표는 (0, -1)이다. (4) 점 P의 좌표를 (0, a)라 하면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 {0-(-1)}Û`+{a-(-2)}Û`=(0-3)Û`+(a-0)Û` 1+aÛ`+4a+4=9+aÛ`, 4a=4 ∴ a=1 따라서 점 P의 좌표는 (0, 1)이다. (1) 점 P의 좌표를 (a, a)라 하면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 (a+2)Û`+(a-0)Û`=(a-4)Û`+(a-2)Û` 2aÛ`+4a+4=2aÛ`-12a+20, 16a=16 ∴ a=1 따라서 점 P의 좌표는 (1, 1)이다. (2) 점 P의 좌표를 (a, a+1)이라 하면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 (a-1)Û`+(a+1-4)Û`=(a-3)Û`+(a+1+2)Û` 2aÛ`-8a+10=2aÛ`+18, -8a=8 ∴ a=-1 따라서 점 P의 좌표는 (-1, 0)이다. (3) 점 P의 좌표를 (a, a-1)이라 하면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 (a-1)Û`+(a-1+2)Û`=(a-5)Û`+(a-1-2)Û` 2aÛ`+2=2aÛ`-16a+34, 16a=32 ∴ a=2 따라서 점 P의 좌표는 (2, 1)이다. (4) 점 P의 좌표를 (a, -a+2)라 하면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 (a-2)Û`+(-a+2-0)Û`=(a-4)Û`+(-a+2-6)Û` 008 답 (1) P(1, 1) (2) P(-1, 0) (3) P(2, 1) (4) P(-3, 5) 007 답 (1) P(0, 3) (2) P(0, 2) (3) P(0, -1) (4) P(0, 1) 2aÛ`-8a+8=2aÛ`+32, -8a=24 ∴ a=-3 (1) 점 P의 좌표를 (0, a)라 하면 따라서 점 P의 좌표는 (-3, 5)이다. 66 정답 및 해설 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 66 2017-09-18 오후 7:50:26 정답 및 해설Ò Ò Ò 26 ④ ∠B=90ù인 직각삼각형 (1) 오른쪽 그림과 같이 점 B의 x축에 A{2,3} ④ ABÓ Û`+BCÓ Û`=CAÓ Û`이므로 삼각형 ABC는 ∠B=90ù인 = (4-2)Û` +( -1-3)Û` 009 답 (1) ① 3 ' (2) ① 2 2 ② 2 ' 5 ② 5 2 ③ '¶ 2 ③ 5 2 ' ' ④ BCÓ=CAÓ인 이등변삼각형 ' (1) ① ABÓ= ② BCÓ= "à ③ CAÓ= "à {1-(-2)}Û`+{1-(-2)}Û`= "à (3-1)Û`+(-1-1)Û`= '¶ 2 ' (-2-3)Û`+{-2-(-1)}Û`= 8=2 ' 26 '¶ 18=3 2 ' 직각삼각형이다. (2) ① ABÓ= -1)}Û`+ {1- (-3)}Û`= 20=2 5 ' ② BCÓ= "à ③ CAÓ= )}Û`+ (2-1)Û`= '¶ )Û`+(-3-2)Û`= {-3-( "à {4-(-3 (-1-4 "à 50=5 '¶ 2 ' 50=5 2 ' '¶ ④ 삼각형 ABC는 BCÓ=CAÓ인 이등변삼각형이다. 010 답 (1) 1 (2) 6 (1) 삼각형 ABC가 ∠A=90ù인 직각삼각형이므로 ABÓ Û`+CAÓ Û`=BCÓ Û` ABÓ Û`=(0-3)Û`+(2-5)Û`=18 CAÓ Û`=(3-7)Û`+(5-k)Û`=kÛ`-10k+41 BCÓ Û`=(7-0)Û`+(k-2)Û`=kÛ`-4k+53 이므로 18+kÛ`-10k+41=kÛ`-4k+53 -6k=-6 ∴ k=1 (2) 삼각형 ABC가 ∠A=90ù인 직각삼각형이므로 ABÓ Û`+CAÓ Û`=BCÓ Û` ABÓ Û`=(-1-2)Û`+(-1-3)Û`=25 CAÓ Û`=(2-k)Û`+(3-0)Û`=kÛ`-4k+13 BCÓ Û`={k-(-1)}Û`+{0-(-1)}Û`=kÛ`+2k+2 이므로 25+kÛ`-4k+13=kÛ`+2k+2 -6k=-36 ∴ k=6 011 답 (1) 8 (2) 3 (1) ABÓ=ACÓ에서 ABÓ Û`=ACÓ Û`이므로 (-1-3)Û`+{0-(-5)}Û`=(k-3)Û`+{-1-(-5)}Û` 41=kÛ`-6k+25, kÛ`-6k-16=0, (k+2)(k-8)=0 ∴ k=8 (∵ k>0) (2) ABÓ=ACÓ에서 ABÓ Û`=ACÓ Û`이므로 (1-3)Û`+{k-(-2)}Û`=(-2-3)Û`+{0-(-2)}Û` kÛ`+4k+8=29, kÛ`+4k-21=0, (k+7)(k-3)=0 ∴ k=3 (∵ k>0) 012 답 (1) 2 5 (2) '¶ ' 29 (3) 5 2 ' B{4,1} P x B' 대한 대칭점을 B'이라 하면 B'(4, -1) 이때, PBÓ=PB'Ó이므로 APÓ+PBÓ =APÓ+PB'Ó ¾AB'Ó "à '¶ = 20=2 5 ' 따라서 APÓ+PBÓ의 최솟값은 2 5이다. ' (2) 오른쪽 그림과 같이 점 B의 x축에 대한 대칭점을 B'이라 하면 B'(3, 1) 이때, PBÓ=PB'Ó이므로 APÓ+PBÓ =APÓ+PB'Ó B' P x B{3,-1} A{1,-4} = (3-1)Û`+{1-(-4)}Û` ¾AB'Ó "à '¶ = 29 (3) 오른쪽 그림과 같이 점 B의 x축에 대한 대칭점을 B'이라 하면 B'(3, -4) 이때, PBÓ=PB'Ó이므로 APÓ+PBÓ =APÓ+PB'Ó A{-2,1} P = {3-(- 2)}Û`+( -4-1)Û` ¾AB'Ó "à '¶ = 50=5 2 ' 013 답 (1) 61 (2) 4 2 (3) 3 5 (4) 5 ' ' '¶ (1) 오른쪽 그림과 같이 점 B의 y축에 대한 대칭점을 B'이라 B' B{1,7} y P y P 하면 B'(-1, 7) 이때, PBÓ=PB'Ó이므로 APÓ+PBÓ =APÓ+PB'Ó ¾AB'Ó "à = 61 = (-1-5)Û`+(7-2)Û` '¶ (2) 오른쪽 그림과 같이 점 B의 하면 B'(-1, 5) 이때, PBÓ=PB'Ó이므로 APÓ+PBÓ =APÓ+PB'Ó ¾AB'Ó y축에 대한 대칭점을 B'이라 B' B{1,5} Ⅲ. 도형의 방정식 67 B{3,4} x B' A{5,2} A{3,1} YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 67 2017-09-18 오후 7:50:29 à à à à à à à à à à = (-1-3)Û`+(5-1)Û` "à '¶ = 32=4 2 ' (3) 오른쪽 그림과 같이 점 B의 y축에 대한 대칭점을 B'이라 하면 015 답 (1) 1 (2) 2 (3) 2 (4) 3 (5) 3 016 답 (1) P {:Á3¦:} (2) P(5) (3) P(0) (4) P(3) (5) P(4) = {1-(-3 )}Û`+{-4-(-1)}Û` B{-1,-4} B' 017 답 (1) P 4, { ;3%;} (2) P(2, -4) (3) P , {;3@; ;3&;} (4) P {:Á5¤: :Á5£:} (5) P , , {;7#; :Á7¼:} (1) 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 x= 2_5+1_2 2+1 =4, y= 2_1+1_3 2+1 = ;3%; = {4-(-2)}Û`+{ -5-(-2)}Û` (4) 오른쪽 그림과 같이 점 B의 y축에 대한 대칭점을 B'이라 하면 A{-3,-1} y P B'(4, -5) 이때, PBÓ=PB'Ó이므로 APÓ+PBÓ =APÓ+PB'Ó ¾AB'Ó "à '¶ = 45=3 5 ' B'(1, -4) 이때, PBÓ=PB'Ó이므로 APÓ+PBÓ =APÓ+PB'Ó ¾AB'Ó "à '¶ = 25=5 014 답 (1) 최솟값`:`26, 점 P의 좌표`:`(1, 3) (2) 최솟값`:`29, 점 P의 좌표 : , {;2!; ;2&;} (1) 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 APÓ Û`+BPÓ Û` ={(x+1)Û`+yÛ`}+{(x-3)Û`+(y-6)Û`} =(xÛ`+2x+yÛ`+1)+(xÛ`-6x+yÛ`-12y+45) =2xÛ`-4x+2yÛ`-12y+46 =2(xÛ`-2x+1)+2(yÛ`-6y+9)+26 =2(x-1)Û`+2(y-3)Û`+26 따라서 x=1, y=3, 즉 점 P의 좌표가 (1, 3)일 때 APÓ Û`+BPÓ Û`은 최솟값 26을 갖는다. (2) 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 APÓ Û`+BPÓ Û` ={(x+3)Û`+(y-2)Û`}+{(x-4)Û`+(y-5)Û`} (1) P 2_9+1_(-1) 2+1 } , 즉 P {:Á3¦:} { { { { { (2) P 3_7+2_2 3+2 } , 즉 P(5) (3) P 3_1+1_(-3) 3+1 } , 즉 P(0) (4) P 2_4+1_1 2+1 } , 즉 P(3) (5) P 3_6+1_(-2) 3+1 } , 즉 P(4) 따라서 점 P의 좌표는 { 4, ;3%;} 이다. (2) 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 x= 3_6+2_(-4) 3+2 =2, y= 3_(-8)+2_2 3+2 =-4 따라서 점 P의 좌표는 (2, -4)이다. (3) 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 x= 1_4+2_(-1) 1+2 = , y= ;3@; 1_3+2_2 1+2 = ;3&; 따라서 점 P의 좌표는 , {;3@; ;3&;} 이다. (4) 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 x= 2_2+3_4 2+3 = :Á5¤: , y= 2_5+3_1 2+3 = :Á5£: 따라서 점 P의 좌표는 , {:Á5¤: :Á5£:} 이다. (5) 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 x= 3_5+4_(-3) 3+4 = ;7#; , y= 3_(-2)+4_4 3+4 = :Á7¼: =(xÛ`+6x+yÛ`-4y+13) 따라서 점 P의 좌표는 , 이다. {;7#; :Á7¼:} +(xÛ`-8x+yÛ`-10y+41) =2xÛ`-2x+2yÛ`-14y+54 =2 xÛ`-x+ +2 yÛ`-7y+ +29 ;4!;} { :¢4»:} =2 x- Û` ;2!;} +2 y- { ;2&;} Û` +29 { { 따라서 x= , y= , 즉 점 P의 좌표가 ;2!; ;2&; , {;2!; ;2&;} 일 때 APÓ Û`+BPÓ Û`은 최솟값 29를 갖는다. 018 답 (1) M(4) (2) M {-;2#;} (3) M(2) (1) M , 즉 M(4) -1+9 2 -5+2 2 -3+7 2 } } } { { { (2) M , 즉 M {-;2#;} (3) M , 즉 M(2) 68 정답 및 해설 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 68 2017-09-18 오후 7:50:31 정답 및 해설yPA{-2,-2}B{-4,-5}B'à à 019 답 (1) M ;2(;} (2) M , {;2#; {;2&; , - ;2#;} (3) M(3, 3) (1) M -1+4 2 , 7+2 2 } , 즉 M , {;2#; ;2(;} (2) M 6+1 2 , -4+1 2 } , 즉 M , - {;2&; ;2#;} (3) M 4+2 2 , 1+5 2 } , 즉 M(3, 3) { { { 020 답 (1) 3 (2) 5 (3) 4 (4) 5 (5) 2 021 답 (1) Q(7) (2) Q(8) (3) Q(-8) (4) Q(16) (5) Q(15) (1) Q { 2_5-1_3 2-1 } , 즉 Q(7) (2) Q { 3_5-1_(-1) 3-1 } , 즉 Q(8) (3) Q { 2_7-3_2 2-3 } , 즉 Q(-8) (4) Q { 3_4-2_(-2) 3-2 } 즉, Q(16) (5) Q { 2_6-1_(-3) 2-1 } 즉, Q(15) 022 답 (1) Q(-7, 6) (2) Q(-8, 13) (3) Q(7, -4) (4) Q(1, -14) (5) Q(17, -14) (1) 점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면 x= 1_5-3_(-3) 1-3 =-7, y= 1_3-3_5 1-3 =6 따라서 점 Q의 좌표는 (-7, 6)이다. (2) 점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면 x= 3_(-4)-1_4 3-1 =-8, y= 3_7-1_(-5) 3-1 =13 따라서 점 Q의 좌표는 (-8, 13)이다. (3) 점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면 x= 3_5-1_1 3-1 =7, y= 3_(-2)-1_2 3-1 =-4 따라서 점 Q의 좌표는 (7, -4)이다. (4) 점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면 x= 2_3-1_5 2-1 =1, y= 2_(-6)-1_2 2-1 =-14 따라서 점 Q의 좌표는 (1, -14)이다. (5) 점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면 x= 3_5-2_(-1) 3-2 =17, y= 3_(-2)-2_4 3-2 =-14 따라서 점 Q의 좌표는 (17, -14)이다. 답 023 , -4 } {;2!; 선분 AB를 1`:`3으로 내분하는 점은 1_5+3_1 1+3 P { , 1_5+3_(-3) 1+3 } , 즉 P(2, -1) 선분 AB를 1`:`3으로 외분하는 점은 1_5-3_1 1-3 Q { , 1_5-3_(-3) 1-3 , 즉 Q(-1, -7) } 따라서 선분 PQ의 중점의 좌표는 { 2-1 2 , -1-7 2 , } 즉 , -4 } {;2!; 024 답 4 5 ' 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점은 2_5+1_2 2+1 P { , 2_2+1_(-4) 2+1 } , 즉 P(4, 0) 선분 AB를 2`:`1로 외분하는 점은 2_5-1_2 2-1 Q { , 2_2-1_(-4) 2-1 } , 즉 Q(8, 8) 따라서 선분 PQ의 길이는 (8-4)Û`+(8-0)Û`= 80=4 '¶ 5 ' "à 답 025 , {-;3*; ;3%;} 선분 AB를 1`:`2로 내분하는 점은 1_4+2_(-1) 1+2 P { , 1_3+2_2 1+2 } , 즉 P , {;3@; ;3&;} 선분 AB를 1`:`2로 외분하는 점은 1_4-2_(-1) 1-2 Q { , 1_3-2_2 1-2 } , 즉 Q(-6, 1) 따라서 선분 PQ의 중점의 좌표는 { +1 -6 ;3@; 2 , ;3&; 2 }, 즉 , {-;3*; ;3%;} 026 답 (1) 0<t< ;3@; (2) ;4!; <t< ;2!; (1) 선분 AB를 t`:`(1-t)로 내분하는 점 P의 좌표는 P { t_1+(1-t)_(-2) t+(1-t) , t_(-1)+(1-t)_4 t+(1-t) } ∴ P(3t-2, 4-5t) 점 P가 제2사분면 위에 있으므로 3t-2<0, 4-5t>0 또, 점 P는 선분 AB를 t`:`(1-t)로 내분하므로 ∴ t< … ㉠ ;3@; t>0, 1-t>0 ∴ 0<t<1 … ㉡ ㉠, ㉡에서 0<t< ;3@; Ⅲ. 도형의 방정식 69 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 69 2017-09-18 오후 7:50:33 (2) 선분 AB를 t`:`(1-t)로 내분하는 점 P의 좌표는 P { t_2+(1-t)_(-2) t+(1-t) , t_(-3)+(1-t)_1 t+(1-t) } ∴ P(4t-2, 1-4t) 점 P가 제3사분면 위에 있으므로 4t-2<0, 1-4t<0 또, 점 P는 선분 AB를 t`:`(1-t)로 내분하므로 ∴ <t< … ㉠ ;4!; ;2!; t>0, 1-t>0 ∴ 0<t<1 … ㉡ ㉠ , ㉡에서 <t< ;4!; ;2!; (3) G { -2+4+1 3 , 3+(-5)+8 3 } , 즉 G(1, 2) (4) G { 5+4+3 3 , 3+(-10)+2 3 , 즉 G { } 4, - ;3%;} (5) G { 2+5+(-1) 3 , -1+(-6)+1 3 } , 즉 G(2, -2) (6) G { 1+6+8 3 , 1+5+9 3 } , 즉 G(5, 5) 030 답 (1) a=6, b=-8 (2) a=5, b=-2 (3) a=-8, b=3 (4) a=8, b=5 027 답 (1) ;6%; (2) ;5@; (3) ;2!; (1) 선분 AB를 t`:`(1-t)로 내분하는 점 P의 좌표는 P t_(-3)+(1-t)_2 t+(1-t) { , t_(-1)+(1-t)_5 t+(1-t) } ∴ P(2-5t, 5-6t) 점 P가 x축 위에 있으므로 5-6t=0 ∴ t= (2) 점 P가 y축 위에 있으므로 2-5t=0 ∴ t= (3) 점 P가 직선 y=2x+3 위에 있으므로 5-6t=2(2-5t)+3, 5-6t=7-10t, 4t=2 ∴ t= ;2!; 028 답 (1) ;4#; (2) ;9$; (3) ;1¤3; (1) 선분 AB를 t`:`(1-t)로 내분하는 점 P의 좌표는 P { t_(-5)+(1-t)_4 t+(1-t) , t_1+(1-t)_(-3) t+(1-t) } ∴ P(4-9t, 4t-3) 점 P가 x축 위에 있으므로 4t-3=0 ∴ t= (2) 점 P가 y축 위에 있으므로 4-9t=0 ∴ t= ;6%; ;5@; ;4#; ;9$; 4t-3=(4-9t)-1, 13t=6 ∴ t= ;1¤3; 029 답 (1) G(2, 1) (2) G(1, 2) (3) G(1, 2) (4) G { 4, - ;3%;} (5) G(2, -2) (6) G(5, 5) (1) G 5+(-1)+2 3 , 1+5+(-3) 3 } , 즉 G(2, 1) (2) G -2+2+3 3 , 2+5+(-1) 3 } , 즉 G(1, 2) { { 70 정답 및 해설 (1) -2+(-4)+a 3 =0에서 a=6 1+7+b 3 =0에서 b=-8 ∴ a=6, b=-8 (2) 2+5+a 3 =4에서 a=5 3+(-1)+b 3 =0에서 b=-2 ∴ a=5, b=-2 (3) 4+(-5)+a 3 =-3에서 a=-8 -5+2+b 3 =0에서 b=3 ∴ a=-8, b=3 (4) -1+2+a 3 =3에서 a=8 -2+3+b 3 =2에서 b=5 ∴ a=8, b=5 031 답 (1) a=4, b=1 (2) a=7, b=5 (3) a=-1, b=4 (4) a=1, b=3 (1) 두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로 3+(-1) 2 = -2+a 2 , 1+5 2 = 5+b 2 ∴ a=4, b=1 3+5 2 = 1+a 2 , 4+0 2 = -1+b 2 ∴ a=7, b=5 (3) 두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로 3+(-3) 2 = 1+a 2 , 3+(-1) 2 = -2+b 2 ∴ a=-1, b=4 (4) 두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로 a+4 2 = 2+3 2 , 2+2 2 = 1+b 2 (3) 점 P가 직선 y=x-1 위에 있으므로 (2) 두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 70 2017-09-18 오후 7:50:35 정답 및 해설 ∴ a=1, b=3 BCÓ= {a-(-2)}Û`+{a-(-5)}Û`= 2aÛ`+14a+29 "à "à 032 답 (1) a=5, b=-1 (2) a=4, b=3 (3) a=9, b=-1 (4) a=0, b=4 또는 a=4, b=8 (1) 두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로 이때, ACÓ=BCÓ이어야 하므로 2aÛ`-10a+17= 2aÛ`+14a+29 "à "à 양변을 제곱하여 정리하면 24a=-12 ∴ a=- ;2!; (2) 두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로 1+7 2 = a+3 2 , 1+3 2 = b+5 2 ∴ a=5, b=-1 1+a 2 = 3+2 2 , 0+b 2 = 1+2 2 ∴ a=4, b=3 5+7 2 = 3+a 2 , 1+3 2 = 5+b 2 ∴ a=9, b=-1 (3) 두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로 (4) 두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로 a+6 2 = 2+b 2 에서 a+6=2+b ∴ a-b=-4 … ㉠ 또, 마름모의 정의에 의하여 ABÓ=BCÓ이므로 (2-a) Û`+(6-2)Û`= (6-2)Û` +(4-6)Û` "à aÛ`-4a+20=20, a(a-4)=0 ∴ a=0 또는 a=4 "à 이때, ㉠에서 b=4 또는 b=8 ∴ a=0, b=4 또는 a=4, b=8 답 033 4 답 038 ;3%; 두 점 A(3, a), B(-1, 2) 사이의 거리가 2 5이므로 ' (-1- 3)Û`+(2-a)Û``=2 "à aÛ`-4a=0, a(a-4)=0 ∴ a=0 또는 a=4 5 ' 따라서 모든 실수 a의 값의 합은 4이다. 034 답 ④ 점 P의 좌표를 (a, a)라 하면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 (a-2)Û`+(a+1)Û`=(a+1)Û`+(a-4)Û` 2aÛ`-2a+5=2aÛ`-6a+17, 4a=12 ∴ a=3 따라서 점 P의 좌표는 (3, 3)이므로 APÓ= (3-2)Û`+ {3-(-1)}Û`= 17 '¶ 035 답 ① "à "à 세 점 A(4, 1), B(-2, -5), C(a, a)에 대하여 ACÓ= (a-4)Û`+(a-1)Û`= 2aÛ`-10a+17 "à APÓ Û`+BPÓ Û` ={(a+3)Û`+(-1)Û`}+{(a-2)Û`+(-5)Û`} 답 036 39 점 P의 좌표가 (a, 0)이므로 =2aÛ`+2a+39 =2 a+ Û`+ { ;2!;} :¦2¦: 따라서 APÓ Û`+BPÓ Û`은 a=- 일 때 최솟값 m= 을 가지므로 ;2!; :¦2¦: m-a=39 037 답 ① 선분 AB를 1`:`2로 내분하는 점의 좌표는 1_3+2_a 1+2 { , 1_b+2_1 1+2 } 이므로 =1, =-1 2a+3 3 b+2 3 2a+3=3, b+2=-3 ∴ a=0, b=-5 ∴ a+b=-5 선분 AB를 5`:`3으로 외분하는 점을 Q라고 하면 5_b-3_a 5-3 Q { , 5_4-3_6 5-3 ∴ Q { } 5b-3a 2 , 1 } 이때, 점 Q가 y축 위에 있으므로 5b-3a=0 ∴ a= b ;3%; ∴ = ;bA; b ;3%; b = ;3%; 답 039 (2, -1) 선분 BC의 중점 D의 좌표는 { 2+6 2 , 1+1 2 } 선분 CA의 중점 E의 좌표는 { 6+(-2) 2 , 1+(-5) 2 } 선분 AB의 중점 F의 좌표는 { -2+2 2 , -5+1 2 } ∴ D(4, 1) ∴ E(2, -2) ∴ F(0, -2) Ⅲ. 도형의 방정식 71 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 71 2017-09-18 오후 7:50:37 à à à à 따라서 삼각형 DEF의 무게중심의 좌표는 4+2+0 3 { , 1+(-2)+(-2) 3 } ∴ (2, -1) 2 직선의 방정식 153쪽~164쪽 040 답 (1) y=2x-1 (2) y=2x+4 (3) y=2x+6 (4) y=-x+5 (5) y=x-5 (2) y-2=2{x-(-1)} ∴ y=2x+4 (3) y-0=2{x-(-3)} ∴ y=2x+6 (4) y-3=-1(x-2) ∴ y=-x+5 (5) (기울기)=tan`45ù=1이므로 y-(-2)=x-3 ∴ y=x-5 043 답 (1) y= x-1 (2) y=2x-6 (3) y=2x+4 ;2!; (4) y=-4x-4 (1) x절편이 2, y절편이 -1인 직선의 방정식은 x 2 + y -1 =1, x-2y=2 ∴ y= x-1 ;2!; (2) x절편이 3, y절편이 -6인 직선의 방정식은 x 3 + y -6 =1, 2x-y=6 ∴ y=2x-6 x -2 + y 4 =1, -2x+y=4 ∴ y=2x+4 (3) x절편이 -2, y절편이 4인 직선의 방정식은 (4) x절편이 -1, y절편이 -4인 직선의 방정식은 x -1 + y -4 =1, -4x-y=4 ∴ y=-4x-4 041 답 (1) y=-2x+3 (2) y=-2x+8 (3) y=-x-1 044 답 (1) 5 (2) 6 (3) -3 또는 3 (4) y-(-1)= (x-3), y+1=2(x-3) ( 직선 BC의 기울기)= (1) y-1= (x-1), y-1=-2(x-1) (2) y-4= (x-2), y-4=-2(x-2) (4) y=2x-7 ∴ y=-2x+3 -5-1 4-1 0-4 4-2 ∴ y=-2x+8 1-(-3) -2-2 3-(-1) 5-3 ∴ y=-x-1 ∴ y=2x-7 (3) y-(-3)= (x-2), y+3=-(x-2) 042 답 (1) x=-3 (2) x=1 (3) x=5 (4) y=1 (5) y=-4 (1) 두 점 A, B의 x좌표가 같으므로 직선의 방정식은 (2) 두 점 A, B의 x좌표가 같으므로 직선의 방정식은 (3) 두 점 A, B의 x좌표가 같으므로 직선의 방정식은 (4) 두 점 A, B의 y좌표가 같으므로 직선의 방정식은 (5) 두 점 A, B의 y좌표가 같으므로 직선의 방정식은 x=-3 x=1 x=5 y=1 y=-4 72 정답 및 해설 (1) 직선 AB의 기울기와 직선 CA의 기울기가 같아야 한다. ( 직선 AB의 기울기)= ( 직선 CA의 기울기)= -1-2 -2-1 =1 2-k 1-4 = 2-k -3 즉, 1= 이므로 -3=2-k ∴ k=5 2-k -3 (2) 직선 AB의 기울기와 직선 BC의 기울기가 같아야 한다. ( 직선 AB의 기울기)= 0-(-2) 2-k = 2 2-k -1-0 4-2 =- ;2!; 즉, 2 2-k ;2!; =- 이므로 k-2=4 ∴ k=6 (3) 직선 AB의 기울기와 직선 CA의 기울기가 같아야 한다. ( 직선 AB의 기울기)= ( 직선 CA의 기울기)= 즉, k+1 2 = 4 -1+k ∴ k=-3 또는 k=3 k-(-1) 1-(-1) = k+1 2 -1-(-5) -1-(-k) = 4 -1+k 이므로 kÛ`-1=8, kÛ`=9 045 답 (1) y=-3x+1 (2) y=2x-3 (1) 점 A를 지나면서 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하는 직선 l은 변 BC의 중점을 지난다. 변 BC의 중점의 좌표는 { 2+(-4) 2 , 3+5 2 } , 즉 (-1, 4) YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 72 2017-09-18 오후 7:50:39 정답 및 해설 따라서 점 A(1, -2)와 변 BC의 중점 (-1, 4)를 지나는 y-(-2)= (x-1), y+2=-3(x-1) 4-(-2) -1-1 직선의 방정식은 ∴ y=-3x+1 (2) 점 A를 지나면서 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하는 직선 l은 변 BC의 중점을 지난다. 변 BC의 중점의 좌표는 { -1+3 2 , 2+(-4) 2 } , 즉 (1, -1) 따라서 점 A(3, 3)과 변 BC의 중점 (1, -1)을 지나는 y-3= (x-3), y-3=2(x-3) 직선의 방정식은 -1-3 1-3 ∴ y=2x-3 y O x 046 답 (1) 제1, 2, 3사분면 (2) 제1, 3, 4사분면 (3) 제2, 3, 4사분면 (1) ax+by+c=0에서 b+0이므로 y=- x- ;bA; ;bC; a<0, b>0이므로 (기울기)=- >0 b>0, c<0이므로 (y절편)=- >0 따라서 직선 ax+by+c=0은 오른쪽 그림과 같으므로 제1, 2, 3사분면을 지난다. (2) ax+by+c=0에서 b+0이므로 y=- x- ;bA; ;bC; a<0, b>0이므로 (기울기)=- >0 b>0, c>0이므로 (y절편)=- <0 따라서 직선 ax+by+c=0은 오른쪽 그림과 같으므로 제1, 3, 4사분면을 지난다. y O (3) ax+by+c=0에서 b+0이므로 y=- x- ;bA; ;bC; a<0, b<0이므로 (기울기)=- <0 ;bA; ;bC; ;bA; ;bC; ;bA; ;bC; b<0, c<0이므로 (y절편)=- <0 따라서 직선 ax+by+c=0은 오른쪽 그림과 같으므로 제2, 3, 4사분면을 지난다. ;bA; ;bC; ab>0이므로 (기울기)=- <0 bc>0이므로 (y절편)=- <0 따라서 조건을 만족시키는 직선의 개형은 오른쪽 그림과 같다. (2) ab=0에서 a=0 또는 b=0 그런데 bc<0이므로 b+0 ∴ a=0 ax+by+c=0에서 a=0이므로 by+c=0 ∴ y=- 이때, bc<0이므로 - >0 ;bC; ;bC; 따라서 조건을 만족시키는 직선의 개형은 오른쪽 그림과 같다. (3) ax+by+c=0에서 b+0이므로 y=- x- ;bA; ;bC; ab>0이므로 (기울기)=- <0 ;bA; ;cB <0이므로 (y절편)=- C; ;bC; >0 따라서 조건을 만족시키는 직선의 개형은 오른쪽 그림과 같다. ab<0이므로 (기울기)=- >0 ;bA; ;bC >0이므로 (y절편)=- C; ;bC; <0 따라서 조건을 만족시키는 직선의 개형은 오른쪽 그림과 같다. (4) ax+by+c=0에서 b+0이므로 y=- x- ;bA; ;bC; y O y O y O y O x x x x x 048 답 (1) 2 (2) 0 (3) 4 (4) 2 (1) 두 직선이 평행하려면 기울기가 같아야 하므로 3=2k-1 ∴ k=2 (2) 두 직선이 평행하려면 기울기가 같아야 하므로 1=k+1 ∴ k=0 (3) 두 직선이 평행하려면 2 2k = -1 -4 + -1 1 ∴ k=4 x (4) 두 직선이 평행하려면 1 1 = -2 -k + 2 -1 ∴ k=2 y O 047 답 (1) 풀이 참고 (2) 풀이 참고 (3) 풀이 참고 (4) 풀이 참고 (4) y=2x-7 (1) ax+by+c=0에서 b+0이므로 y=- x- ;bA; ;bC; (1) 직선 y=2x+5에 평행한 직선의 기울기는 2이므로 049 답 (1) y=2x-1 (2) y=-3x-5 (3) y= x- ;5$; ;`Á5£`;` Ⅲ. 도형의 방정식 73 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 73 2017-09-18 오후 7:50:42 구하는 직선의 방정식은 y-5=2(x-3) 구하는 직선의 방정식은 y-4=2(x-0) ∴ y=2x-1 ∴ y=2x+4 (2) 직선 y=-3x+1에 평행한 직선의 기울기는 -3이므로 구하는 직선의 방정식은 y-1=-3{x-(-2)} ∴ y=-3x-5 (3) 4x-5y+10=0에서 y= x+2 ;5$; 이 직선에 평행한 직선의 기울기는 이므로 구하는 직선의 방정식은 y-(-1)= (x-2) ;5$; ;5$; ∴ y= x- ;5$; ;`Á5£`; (4) 4x-2y+3=0에서 y=2x+ ;2#; 이 직선에 평행한 직선의 기울기는 2이므로 구하는 직선의 방정식은 y-(-3)=2(x-2) ∴ y=2x-7 050 답 (1) - ;2!; (2) ;5@; (3) -2 (4) 3 (1) 두 직선이 수직이려면 기울기의 곱이 -1이어야 하므로 ;3@; ´3k=-1 ∴ k=- ;2!; (2) 두 직선이 수직이려면 기울기의 곱이 -1이어야 하므로 5´(2k-1)=-1 ∴ k= ;5@; (3) 두 직선이 수직이려면 2´k+(-1)´(-4)=0 ∴ k=-2 (4) 두 직선이 수직이려면 1´k+(k-4)´3=0, 4k=12 ∴ k=3 (4) x-3y+1=0에서 y= x+ ;3!; ;3!; 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 -3이므로 구하는 직선의 방정식은 y-(-2)=-3(x-1) ∴ y=-3x+1 052 답 (1) ① -3 ② 2 ③ - ;5#; (2) ① -1 ② 3 ③ 0 또는 -2 (1) ① 두 직선이 평행하려면 k -2 = -3 k+1 + -1 1 … ㉠ kÛ`+k-6=0, (k+3)(k-2)=0 ∴ k=-3 또는 k=2 ㉠에서 k+2이므로 k=-3 ② 두 직선이 일치하려면 k -2 = -3 k+1 = -1 1 ∴ k=2 ③ 두 직선이 수직이려면 k´(-2)+(-3)´(k+1)=0, -5k-3=0 ∴ k=- ;5#; (2) ① 두 직선이 평행하려면 1 k = k 2k+3 + -1 -3 … ㉠ kÛ`-2k-3=0, (k+1)(k-3)=0 ∴ k=-1 또는 k=3 ㉠에서 k+3이므로 k=-1 ② 두 직선이 일치하려면 1 k = k 2k+3 = -1 -3 ∴ k=3 051 답 (1) y=- x+ ;3&; (2) y=-2x-1 (3) y=2x+4 ;3!; ③ 두 직선이 수직이려면 (4) y=-3x+1 1´k+k´(2k+3)=0, 2kÛ`+4k=0, 2k(k+2)=0 (1) 직선 y=3x+1에 수직인 직선의 기울기는 - 이므로 ;3!; ∴ k=0 또는 k=-2 구하는 직선의 방정식은 y-2=- (x-1) ;3!; ∴ y=- x+ ;3!; ;3&; 053 답 (1) y=x-3 (2) y=x-1 (3) y=- x+2 ;2!; (1) 선분 AB의 중점의 좌표는 { -1+5 2 , 2+(-4) 2 , } (2) 직선 y= x+1에 수직인 직선의 기울기는 -2이므로 ;2!; 구하는 직선의 방정식은 y-1=-2(x+1) 즉 (2, -1) ∴ y=-2x-1 (3) x+2y-5=0에서 y=- x+ ;2!; ;2%; 직선 AB의 기울기는 -4-2 5-(-1) =-1 따라서 선분 AB의 수직이등분선은 점 (2, -1)을 지나고 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 2이므로 기울기가 1인 직선이므로 방정식은 y-(-1)=x-2 74 정답 및 해설 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 74 2017-09-18 오후 7:50:43 정답 및 해설 ∴ y=x-3 (2) 선분 AB의 중점의 좌표는 { 3+0 1+4 2 , 2 } , 즉 , {;2%; ;2#;} 직선 AB의 기울기는 =-1 0-3 4-1 따라서 선분 AB의 수직이등분선은 점 , {;2%; ;2#;} 을 지나고 기울기가 1인 직선이므로 방정식은 y- =x- ;2#; ;2%; ∴ y=x-1 (3) 선분 AB의 중점의 좌표는 { 3+5 2 , -2+2 2 } , 즉 (4, 0) 직선 AB의 기울기는 2-(-2) 5-3 =2 따라서 선분 AB의 수직이등분선은 점 (4, 0)을 지나고 기울기가 - 인 직선이므로 방정식은 y-0=- (x-4) ;2!; ;2!; ∴ y=- x+2 ;2!; 054 답 (1) (2, -4) (2) (3, 6) (3) (-4, -3) (1) 주어진 식을 k에 대하여 정리하면 (2x+y)+k(x+y+2)=0 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면 2x+y=0, x+y+2=0 두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=-4 따라서 구하는 점의 좌표는 (2, -4)이다. (2) 주어진 식을 k에 대하여 정리하면 (-x+y-3)+k(x-3)=0 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면 x-3=0, -x+y-3=0 ∴ x=3, y=6 따라서 구하는 점의 좌표는 (3, 6)이다. (3) 주어진 식을 k에 대하여 정리하면 (2x-y+5)+k(x-3y-5)=0 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면 2x-y+5=0, x-3y-5=0 두 식을 연립하여 풀면 x=-4, y=-3 따라서 구하는 점의 좌표는 (-4, -3)이다. 055 답 (1) x-y+1=0 (2) x-2y+3=0 (3) 4x-7y-5=0 (1) 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식은 (2x+y-4)+k(x-2y+3)=0 (단, k는 실수) 이 직선이 점 (2, 3)을 지나므로 2´2+3-4+k(2-2´3+3)=0 ∴ k=3 따라서 구하는 직선의 방정식은 (2x+y-4)+3´(x-2y+3)=0 ∴ x-y+1=0 (2) 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식은 (x+3y-2)+k(2x-y+3)=0 (단, k는 실수) 이 직선이 점 (1, 2)를 지나므로 1+3´2-2+k(2´1-2+3)=0 ∴ k=- ;3%; 따라서 구하는 직선의 방정식은 (x+3y-2)+ - ´(2x-y+3)=0 { ;3%;} ∴ x-2y+3=0 (3) 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식은 (2x+y-3)+k(x-4y-1)=0 (단, k는 실수) 이 직선이 점 (3, 1)을 지나므로 2´3+1-3+k(3-4´1-1)=0 ∴ k=2 따라서 구하는 직선의 방정식은 (2x+y-3)+2´(x-4y-1)=0 ∴ 4x-7y-5=0 056 답 (1) 2 (2) '¶ ' 13 (3) 3 (4) 9 5 5 (5) ' '¶ 10 = 2 ' = 2 2 |2| 1Û`+1Û` (1) "à |2´1+3´3+2| 2Û`+3Û` (2) ' "à '¶ |4´3-3´(-5)-12| 4Û`+(-3)Û` (3) = 13 13 = 13 '¶ = =3 15 5 "à "à (4) y=-2x-4에서 2x+y+4=0이므로 |2´3+(-1)+4| 2Û`+1Û` = = 9 5 ' 5 9 5 ' (5) y=- x+ 에서 x+3y-2=0이므로 ;3!; ;3@; |1´1+3´(-3)-2| 1Û`+3Û` = "à 10 10 '¶ = 10 '¶ 057 답 (1) 3x+4y+4=0 또는 3x+4y-16=0 (2) 2x-y+5=0 또는 2x-y-5=0 (3) 3x-4y+20=0 또는 3x-4y-20=0 (1) 직선 3x+4y+2=0, 즉 y=- x- 에 평행한 직선의 ;4#; ;2!; 방정식을 y=- x+a로 놓으면 ;4#; 점 P(-2, 3)과 직선 3x+4y-4a=0 사이의 거리가 2이므로 |3´(-2)+4´3-4a| 3Û`+4Û` "à ∴ a=-1 또는 a=4 =2, |6-4a|=10, 6-4a=Ñ10 따라서 구하는 직선의 방정식은 3x+4y+4=0 또는 3x+4y-16=0 Ⅲ. 도형의 방정식 75 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 75 2017-09-18 오후 7:50:45 (3) 직선 4x+3y-2=0, 즉 y=- x+ 에 수직인 직선의 ;3$; ;3@; 2x-y-4=0 (2) 직선 x+2y+5=0, 즉 y=- x- 에 수직인 직선의 ;2!; ;2%; 방정식을 y=2x+a로 놓으면 원점과 직선 2x-y+a=0 사이의 거리가 ' 5이므로 |a| 2Û`+(-1)Û` ' = 5 ∴ a=Ñ5 "à 따라서 구하는 직선의 방정식은 2x-y+5=0 또는 2x-y-5=0 방정식을 y= x+a로 놓으면 ;4#; 원점과 직선 3x-4y+4a=0 사이의 거리가 4이므로 |4a| 3Û`+(-4)Û` =4 ∴ a=Ñ5 "à 따라서 구하는 직선의 방정식은 3x-4y+20=0 또는 3x-4y-20=0 058 답 (1) 2 5 (2) '¶ ' 13 (3) 1 (1) 두 직선이 평행하므로 두 직선 사이의 거리는 직선 x-2y+4=0 위의 한 점 (0, 2)와 직선 x-2y-6=0 사이의 거리와 같다. 따라서 구하는 두 직선 사이의 거리는 |0-2´2-6| 1Û`+(-2)Û` = "à 10 5 ' =2 5 ' (2) 두 직선이 평행하므로 두 직선 사이의 거리는 직선 3x+2y-6=0 위의 한 점 (2, 0)과 직선 3x+2y+7=0 사이의 거리와 같다. 따라서 구하는 두 직선 사이의 거리는 |3´2+2´0+7| 3Û`+2Û` = 13 13 = 13 '¶ '¶ (3) 두 직선이 평행하므로 두 직선 사이의 거리는 "à 직선 5x+12y-17=0 위의 한 점 (1, 1)과 직선 5x+12y-4=0 사이의 거리와 같다. 따라서 구하는 두 직선 사이의 거리는 |5´1+12´1-4| 5Û`+12Û` = =1 13 13 "à 직선 3x+4y-4=0 위의 한 점 (0, 1)과 직선 3x+4y+6=0 사이의 거리와 같으므로 d= |3´0+4´1+6| 3Û`+4Û` = =2 10 5 "à (2) 두 직선이 평행하므로 = -1 k + 1 -8 ;4@; ∴ k=-2 k=-2를 4x+ky-8=0에 대입하여 정리하면 따라서 평행한 두 직선 사이의 거리는 직선 2x-y+1=0 위의 한 점 (0, 1)과 직선 2x-y-4=0 사이의 거리와 같으므로 d= |2´0-1-4| 2Û`+(-1)Û` = 5 5 = 5 ' ' (3) 두 직선이 평행하므로 "à = + ∴ k=4 2 k -3 4 ;2!; k=4를 2x+ky+4=0에 대입하여 정리하면 x+2y+2=0 따라서 평행한 두 직선 사이의 거리는 직선 x+2y-3=0 위의 한 점 (1, 1)과 직선 x+2y+2=0 사이의 거리와 같으므로 d= |1+2´1+2| 1Û`+2Û` = 5 5 = 5 ' ' "à (4) 두 직선이 평행하므로 3 k = 4 k+2 + 1 -18 ∴ k=6 k=6을 kx+(k+2)y-18=0에 대입하여 정리하면 3x+4y-9=0 따라서 평행한 두 직선 사이의 거리는 직선 3x+4y+1=0 위의 한 점 (1, -1)과 직선 3x+4y-9=0 사이의 거리와 같으므로 d= |3´1+4´(-1)-9| 3Û`+4Û` = =2 10 5 "à 059 답 (1) k=8, d=2 (2) k=-2, d= 5 (3) k=4, d= ' 5 ' (4) k=6, d=2 (1) 두 직선이 평행하므로 ;6#; = ;k$; + -4 12 ∴ k=8 060 답 (1) 3x-y+2=0 (2) x+y-5=0 (1) 점 P(x, y)로 놓으면 APÓ=BPÓ이므로 APÓ Û`=BPÓ Û`에서 (x-2)Û`+(y-3)Û`=(x+1)Û`+(y-4)Û` xÛ`-4x+4+yÛ`-6y+9=xÛ`+2x+1+yÛ`-8y+16 6x-2y+4=0 ∴ 3x-y+2=0 (2) 점 P(x, y)로 놓으면 APÓ=BPÓ이므로 APÓ Û`=BPÓ Û`에서 k=8을 6x+ky+12=0에 대입하여 정리하면 (x-1)Û`+(y-2)Û`=(x-3)Û`+(y-4)Û` 3x+4y+6=0 xÛ`-2x+1+yÛ`-4y+4=xÛ`-6x+9+yÛ`-8y+16 따라서 평행한 두 직선 사이의 거리는 4x+4y-20=0 ∴ x+y-5=0 76 정답 및 해설 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 76 2017-09-18 오후 7:50:47 정답 및 해설 061 답 (1) x-y+2=0 또는 x+y=0 063 답 ④ (2) 2x+2y+1=0 또는 6x-6y-5=0 점 (2, -4)를 지나고 기울기가 -5인 직선의 방정식은 (1) 점 P(x, y)로 놓으면 y-(-4)=-5(x-2) ∴ y=-5x+6 점 P에서 두 직선 x+2y-1=0, 2x+y+1=0에 이르는 따라서 a=-5, b=6이므로 a+b=1 |x+2y-1|=|2x+y+1|, x+2y-1=Ñ(2x+y+1) 두 점 A(-4, 1), B(2, -2)에 대하여 답 064 -1 거리가 같으므로 |x+2y-1| 1Û`+2Û` = |2x+y+1| 2Û`+1Û` "à "à ∴ x-y+2=0 또는 x+y=0 (2) 점 P(x, y)로 놓으면 거리가 같으므로 |2x-y-1| 2Û`+(-1)Û` = |2x-4y-3| 2Û`+(-4)Û` "à 2|2x-y-1|=|2x-4y-3| "à 2(2x-y-1)=Ñ(2x-4y -3) ∴ 2x+2y+1=0 또는 6x-6y-5=0 점 P에서 두 직선 2x-y-1=0, 2x-4y-3=0에 이르는 062 답 (1) x-3y+4=0 또는 3x+y=0 (2) x-5y+5=0 또는 5x+y+3=0 (3) x-3y+3=0 또는 3x+y-7=0 (1) 두 직선 2x-y+2=0, x+2y-2=0이 이루는 각을 이등분 하는 직선 위의 한 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 직선에 이르는 거리가 같으므로 |2x-y+2| 2Û`+(-1)Û` = |x+2y-2| 1Û`+2Û` "à |2x-y+2|=|x+2y-2|, 2x-y+2=Ñ(x+2y-2) "à ∴ x-3y+4=0 또는 3x+y=0 분하는 직선 위의 한 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 직선에 이르는 거리가 같으므로 |2x+3y-1| 2Û`+3Û` = |3x-2y+4| 3Û`+(-2)Û` "à "à |2x+3y-1|=|3x-2y+4|, 2x+3y-1=Ñ(3x-2y+4) ∴ x-5y+5=0 또는 5x+y+3=0 (3) 두 직선 x+2y-5=0, 2x-y-2=0이 이루는 각을 이등분하 (2) 두 직선 2x+3y-1=0, 3x-2y+4=0이 이루는 각을 이등 066 답 ② 선분 AB를 1`:`2로 내분하는 점의 좌표는 1´2+2´(-4) 1+2 { , 1´(-2)+2´1 1+2 } , 즉 (-2, 0) 두 점 (-2, 0), (1, 3)을 지나는 직선의 방정식은 y-0= 3-0 1-(-2) ` (x+2) ∴ y=x+2 따라서 a=1, b=2이므로 a-b=-1 065 답 제1, 2, 3사분면 주어진 그림에서 b+0이므로 ax+by+c=0에서 y=- x- ;bA; ;bC; 이때, (기울기)<0이므로 - <0 … ㉠ ;bA; (y절편)>0이므로 - >0 … ㉡ ;bC; c+0이므로 bx+cy+a=0에서 y=- x- ;cB; ;cA; ㉠, ㉡에서 a, b는 같은 부호이고 c는 다른 부호이므로 (기울기)=- >0, (y절편)=- >0 ;cB; ;cA; 따라서 직선 bx+cy+a=0의 개형은 오른쪽 그림과 같으므로 제1, 2, 3사분면을 지난다. y O x 두 직선 x+ay+2=0, 3x-by+5=0이 서로 수직이므로 1´3+a´(-b)=0 ∴ ab=3 … ㉠ 두 직선 x+ay+2=0, x-(b-4)y=0이 평행하므로 1 1 = -b+4 a 0 2 + , a=-b+4 ∴ a+b=4 … ㉡ ㉠, ㉡에서 aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=4Û`-2´3=10 는 직선 위의 한 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 직선에 이르는 거리가 같으므로 067 답 ④ |x+2y-5| 1Û`+2Û` = |2x-y-2| 2Û`+(-1)Û` "à "à |x+2y-5|=|2x-y-2|, x+2y-5=Ñ(2x-y-2) 선분 AB의 중점의 좌표는 { 2+4 2 , 3+5 2 } , 즉 (3, 4) 직선 AB의 기울기는 5-3 4-2 =1 ∴ x-3y+3=0 또는 3x+y-7=0 즉, 선분 AB의 수직이등분선은 점 (3, 4)를 지나고 Ⅲ. 도형의 방정식 77 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 77 2017-09-18 오후 7:50:50 기울기가 -1인 직선이므로 방정식은 y-4=-(x-3) ∴ y=-x+7 ∴ a-b=-1-7=-8 068 답 ④ 점 (2, 3)과 직선 mx-y+2=0 사이의 거리가 2이므로 |2m-3+2| mÛ`+(-1)Û` =2, 2 mÛ`+1`=|2m-1| "à "à 양변을 제곱하면 4mÛ`+4=4mÛ`-4m+1, 4m=-3 ∴ m=- ;4#; 답 069 -2 2x-3y-a=0 사이의 거리와 같다. 두 직선 사이의 거리가 '¶ 13이므로 = 13, |a+1|=13, a+1=Ñ13 |2-3-a| 2Û`+(-3)Û` '¶ "à ∴ a=12 또는 a=-14 따라서 모든 실수 a의 값의 합은 12+(-14)=-2 (x+2)Û`+(y-3)Û`=rÛ` 원이 점 A(0, 0)을 지나므로 (0+2)Û`+(0-3)Û`=rÛ` ∴ rÛ`=13 ∴ (x+2)Û`+(y-3)Û`=13 (2) 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은 (x-1)Û`+(y-3)Û`=rÛ` 원이 점 A(3, 2)를 지나므로 (3-1)Û`+(2-3)Û`=rÛ` ∴ rÛ`=5 ∴ (x-1)Û`+(y-3)Û`=5 (3) 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은 (x-2)Û`+(y-5)Û`=rÛ` 원이 점 A(6, 8)을 지나므로 (6-2)Û`+(8-5)Û`=rÛ` ∴ rÛ`=25 (x+1)Û`+(y+2)Û`=rÛ` 원이 점 A(2, 1)을 지나므로 (2+1)Û`+(1+2)Û`=rÛ` ∴ rÛ`=18 ∴ (x+1)Û`+(y+2)Û`=18 두 직선 2x-3y+1=0, 2x-3y-a=0이 평행하므로 두 직선 ∴ (x-2)Û`+(y-5)Û`=25 사이의 거리는 직선 2x-3y+1=0 위의 한 점 (1, 1)과 직선 (4) 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은 3 원의 방정식 167쪽~180쪽 070 답 (1) C(0, 0), r=3 (2) C(1, 0), r=1 (3) C(0, 1), r= 3 (4) C(2, -1), r= ' (5) C(-3, -2), r=4 (6) C(-4, 1), r=2 2 ' 3 ' (1) xÛ`+yÛ`=3Û` 에서 C(0, 0), r=3 (2) (x-1)Û`+yÛ`=1Û` 에서 C(1, 0), r=1 (3) xÛ`+(y-1)Û`=( 3)Û` 에서 C(0, 1), r= ' 3 ' (4) (x-2)Û`+(y+1)Û`=( 2)Û` 에서 C(2, -1), r= ' (5) (x+3)Û`+(y+2)Û`=4Û` 에서 C(-3, -2), r=4 2 ' (6) (x+4)Û`+(y-1)Û`=(2 3)Û` 에서 C(-4, 1), r=2 ' 3 ' 071 답 (1) xÛ`+yÛ`=4 (2) (x-1)Û`+(y-1)Û`=4 (3) (x-3)Û`+(y+2)Û`=25 (4) (x-2)Û`+(y-3)Û`=2 (5) (x-2)Û`+(y+1)Û`=9 (6) (x+1)Û`+(y+5)Û`=1 073 답 (1) (x-2)Û`+(y+1)Û`=10 (2) (x-3)Û`+(y-5)Û`=8 (3) (x-1)Û`+yÛ`=5 (4) (x+1)Û`+(y+2)Û`=25 (1) 원의 중심의 좌표는 { 1+3 2 , 2+(-4) 2 } , 즉 (2, -1) 반지름의 길이는 ABÓ= (3-1)Û`+ (-4-2)Û``= 10 ;2!; ;2!;"à '¶ 따라서 구하는 원의 방정식은 (x-2)Û`+(y+1)Û`=10 (2) 원의 중심의 좌표는 { 1+5 2 , 3+7 2 } , 즉 (3, 5) 반지름의 길이는 ABÓ= (5-1)Û`+ (7-3)Û`=2 ;2!; ;2!;"à 2 ' 따라서 구하는 원의 방정식은 (x-3)Û`+(y-5)Û`=8 (3) 원의 중심의 좌표는 { -1+3 2 , 1+(-1) 2 } , 즉 (1, 0) 반지름의 길이는 ABÓ= (3+1)Û`+ (-1-1)Û`= ;2!; ;2!;"à 5 ' 따라서 구하는 원의 방정식은 (x-1)Û`+yÛ`=5 (4) 원의 중심의 좌표는 { -4+2 2 , 2+(-6) 2 } , 즉 (-1, -2) 반지름의 길이는 ABÓ= (2+4)Û`+ (-6-2)Û`=5 ;2!; ;2!;"à 따라서 구하는 원의 방정식은 (x+1)Û`+(y+2)Û`=25 072 답 (1) (x+2)Û`+(y-3)Û`=13 (2) (x-1)Û`+(y-3)Û`=5 (3) (x-2)Û`+(y-5)Û`=25 (4) (x+1)Û`+(y+2)Û`=18 (1) 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은 074 답 (1) C(1, -3), r=2 (2) C(1, -4), r=4 (3) C(2, -1), r=3 (4) C - , ;2!; ;2#;} , r=2 { 78 정답 및 해설 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 78 2017-09-18 오후 7:50:53 정답 및 해설à à à à (1) xÛ`+yÛ`-2x+6y+6=0에서 (1) 원의 방정식을 xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0으로 놓고 (xÛ`-2x+1)+(yÛ`+6y+9)=4, (x-1)Û`+(y+3)Û`=2Û` 주어진 세 점의 좌표를 각각 대입하여 정리하면 ∴ C(1, -3), r=2 (2) xÛ`+yÛ`-2x+8y+1=0에서 ∴ C(1, -4), r=4 (3) xÛ`+yÛ`-4x+2y-4=0에서 (0, 0) ⇒ C=0 … ㉠ (1, 3) ⇒ 10+A+3B+C=0 … ㉡ ㉠을 ㉡과 ㉢에 대입하여 정리하면 A=-4, B=-2 따라서 구하는 원의 방정식은 xÛ`+yÛ`-4x-2y=0 (xÛ`-2x+1)+(yÛ`+8y+16)=16, (x-1)Û`+(y+4)Û`=4Û` (4, 2) ⇒ 20+4A+2B+C=0 … ㉢ (xÛ`-4x+4)+(yÛ`+2y+1)=9, (x-2)Û`+(y+1)Û`=3Û` (2) 원의 방정식을 xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0으로 놓고 ∴ C(2, -1), r=3 주어진 세 점의 좌표를 각각 대입하여 정리하면 (4) 2xÛ`+2yÛ`+2x-6y-3=0에서 xÛ`+yÛ`+x-3y- =0 ;2#; { xÛ`+x+ + yÛ`-3y+ ;4!;} { =4, { ;4(;} x+ Û` ;2!;} + y- { ;2#;} Û` =2Û` (0, 0) ⇒ C=0 … ㉠ (-1, 1) ⇒ 2-A+B+C=0 … ㉡ (5, 1) ⇒ 26+5A+B+C=0 … ㉢ ∴ C - , ;2!; ;2#;} , r=2 { 075 답 (1) k<3 (2) k<4 (3) k>-10 (4) k<-2 3 또는 k>2 3 ' (1) xÛ`+yÛ`-2y+k-2=0에서 xÛ`+(yÛ`-2y+1)-1+k-2=0 ' ∴ xÛ`+(y-1)Û`=3-k 이 방정식이 원을 나타내려면 3-k>0 ∴ k<3 (2) xÛ`+yÛ`-2x+4y+k+1=0에서 (xÛ`-2x+1)-1+(yÛ`+4y+4)-4+k+1=0 ∴ (x-1)Û`+(y+2)Û`=4-k 이 방정식이 원을 나타내려면 4-k>0 ∴ k<4 (3) xÛ`+yÛ`-2x+6y-k=0에서 (xÛ`-2x+1)-1+(yÛ`+6y+9)-9-k=0 ∴ (x-1)Û`+(y+3)Û`=k+10 이 방정식이 원을 나타내려면 k+10>0 ∴ k>-10 (4) xÛ`+yÛ`+2x-ky+4=0에서 (xÛ`+2x+1)-1+ yÛ`-ky+ { kÛ` 4 } - kÛ` 4 +4=0 ∴ (x+1)Û`+ y- Û` k 2 } = kÛ` 4 -3 { 이 방정식이 원을 나타내려면 -3>0 kÛ` 4 kÛ`-12>0, (k+2 3)(k-2 3)>0 ∴ k<-2 ' ' 3 또는 k>2 3 ' ' ㉠을 ㉡과 ㉢에 대입하여 정리하면 A=-4, B=-6 따라서 구하는 원의 방정식은 xÛ`+yÛ`-4x-6y=0 (3) 원의 방정식을 xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0으로 놓고 주어진 세 점의 좌표를 각각 대입하여 정리하면 (0, 0) ⇒ C=0 … ㉠ (1, 0) ⇒ 1+A+C=0 … ㉡ (2, 1) ⇒ 5+2A+B+C=0 … ㉢ ㉠을 ㉡과 ㉢에 대입하여 정리하면 A=-1, B=-3 따라서 구하는 원의 방정식은 xÛ`+yÛ`-x-3y=0 077 답 (1) (x-1)Û`+(y+3)Û`=9 (2) (x-3)Û`+(y-4)Û`=16 (3) (x+5)Û`+(y-1)Û`=1 (1) 중심이 점 (1, -3)인 원이 x축에 접하므로 (2) 중심이 점 (3, 4)인 원이 x축에 접하므로 (3) 중심이 점 (-5, 1)인 원이 x축에 접하므로 반지름의 길이는 3이다. ∴ (x-1)Û`+(y+3)Û`=9 반지름의 길이는 4이다. ∴ (x-3)Û`+(y-4)Û`=16 반지름의 길이는 1이다. ∴ (x+5)Û`+(y-1)Û`=1 078 답 (1) (x+1)Û`+(y-2)Û`=4 (2) (x-2)Û`+(y+1)Û`=1 (1) xÛ`+yÛ`+2x-4y+4=0에서 (x+1)Û`+(y-2)Û`=1 즉, 구하는 원은 중심이 (-1, 2)이고 x축에 접하므로 반지름의 길이가 2이다. ∴ (x+1)Û`+(y-2)Û`=4 076 답 (1) xÛ`+yÛ`-4x-2y=0 (2) xÛ`+yÛ`-4x-6y=0 (2) xÛ`+yÛ`-4x+2y-11=0에서 (x-2)Û`+(y+1)Û`=16 (3) xÛ`+yÛ`-x-3y=0 즉, 구하는 원은 중심이 (2, -1)이고 x축에 접하므로 Ⅲ. 도형의 방정식 79 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 79 2017-09-18 오후 7:50:55 반지름의 길이가 1이다. ∴ (x-2)Û`+(y+1)Û`=1 082 답 (1) a=3, b=11 (2) a=2, b=8 (3) a=1, b=8 079 답 (1) (x-2)Û`+yÛ`=4 (2) (x+4)Û`+(y+2)Û`=16 (3) (x+3)Û`+(y-4)Û`=9 (1) 중심이 점 (2, 0)인 원이 y축에 접하므로 (2) 중심이 점 (-4, -2)인 원이 y축에 접하므로 (3) 중심이 점 (-3, 4)인 원이 y축에 접하므로 반지름의 길이는 2이다. ∴ (x-2)Û`+yÛ`=4 반지름의 길이는 4이다. ∴ (x+4)Û`+(y+2)Û`=16 반지름의 길이는 3이다. ∴ (x+3)Û`+(y-4)Û`=9 080 답 (1) (x+3)Û`+(y-1)Û`=9 (2) (x-1)Û`+(y+4)Û`=1 (1) xÛ`+yÛ`+6x-2y+6=0에서 (x+3)Û`+(y-1)Û`=4 즉, 구하는 원은 중심이 (-3, 1)이고 y축에 접하므로 (2) xÛ`+yÛ`-2x+8y+1=0에서 (x-1)Û`+(y+4)Û`=16 즉, 구하는 원은 중심이 (1, -4)이고 y축에 접하므로 반지름의 길이가 3이다. ∴ (x+3)Û`+(y-1)Û`=9 반지름의 길이가 1이다. ∴ (x-1)Û`+(y+4)Û`=1 081 답 (1) (x-2)Û`+(y-2)Û`=4 (2) (x+3)Û`+(y-3)Û`=9 (3) (x+4)Û`+(y+4)Û`=16 (4) (x-1)Û`+(y+1)Û`=1 (1) 원의 중심이 제1사분면 위에 있고 반지름의 길이가 2이므로 (2) 원의 중심이 제2사분면 위에 있고 반지름의 길이가 3이므로 중심의 좌표는 (2, 2)이다. ∴ (x-2)Û`+(y-2)Û`=4 중심의 좌표는 (-3, 3)이다. ∴ (x+3)Û`+(y-3)Û`=9 중심의 좌표는 (-4, -4)이다. ∴ (x+4)Û`+(y+4)Û`=16 중심의 좌표는 (1, -1)이다. ∴ (x-1)Û`+(y+1)Û`=1 80 정답 및 해설 (4) 원의 중심이 제4사분면 위에 있고 반지름의 길이가 1이므로 (1) xÛ`+yÛ`+6x-2ay+20-b=0에서 (x+3)Û`+(y-a)Û`=aÛ`+ b-11 이 원이 x축과 y축에 동시에 접하므로 aÛ`+b-11=|-3|Û`=|a|Û` ∴ a=3, b=11`(∵ a>0) (2) xÛ`+yÛ`+8x+4ay+24-b=0에서 (x+4)Û`+(y+2a)Û`=4aÛ` +b-8 이 원이 x축과 y축에 동시에 접하므로 4aÛ`+b-8=|-4|Û`=|-2a|Û` ∴ a=2, b=8`(∵ a>0) (3) xÛ`+yÛ`-4x+4ay+12-b=0에서 (x-2)Û`+(y+2a)Û`=4aÛ`+ b-8 이 원이 x축과 y축에 동시에 접하므로 4aÛ`+b-8=|2|Û`=|-2a|Û` ∴ a=1, b=8`(∵ a>0) 083 답 (1) 4 2 (2) 8 ' 2 ' (1) 원의 중심이 제4사분면 위에 있어야 하므로 원의 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은 (x-r)Û`+(y+r)Û`=rÛ` 이 원이 점 (1, -2)를 지나므로 (1-r)Û`+(-2+r)Û`=rÛ`, rÛ`-6r+5=0 (r-1)(r-5)=0 ∴ r=1 또는 r=5 따라서 두 원의 중심의 좌표는 각각 (1, -1), (5, -5) 이므로 두 원의 중심 사이의 거리는 (5-1)Û`+(-5+1)Û`=4 2 ' "à (2) 원의 중심이 제2사분면 위에 있어야 하므로 원의 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은 (x+r)Û`+(y-r)Û`=rÛ` 이 원이 점 (-4, 2)를 지나므로 (-4+r)Û`+(2-r)Û`=rÛ`, rÛ`-12r+20=0 (r-2)(r-10)=0 ∴ r=2 또는 r=10 이므로 두 원의 중심 사이의 거리는 (-10+2)Û`+(10-2)Û`=8 2 ' "à 084 답 (1) x-y=0 (2) 2x-y+4=0 (3) 4x+y+1=0 (1) (xÛ`+yÛ`-2x)-(xÛ`+yÛ`-2y)=0 (3) 원의 중심이 제3사분면 위에 있고 반지름의 길이가 4이므로 따라서 두 원의 중심의 좌표는 각각 (-2, 2), (-10, 10) YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 80 2017-09-18 오후 7:50:57 정답 및 해설 ∴ x-y=0 (2) (xÛ`+yÛ`-4)-(xÛ`+yÛ`+4x-2y+4)=0 4x-2y+8=0 ∴ 2x-y+4=0 (3) (xÛ`+yÛ`-4x-6)-(xÛ`+yÛ`+y-5)=0 ∴ 4x+y+1=0 이 원이 점 A(1, 1)을 지나므로 1+1-1+k´(-1)=0, 1-k=0 ∴ k=1 k=1을 ㉠에 대입하여 정리하면 구하는 원의 방정식은 2xÛ`+2yÛ`-2x-2y=0 ∴ xÛ`+yÛ`-x-y=0 085 답 (1) -1 (2) - ;5@; (1) 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 (xÛ`+yÛ`-x)-(xÛ`+yÛ`+2x-y-1)=0 ∴ 3x-y-1=0 ∴ k=-1 이 직선이 점 (0, k)를 지나므로 3´0-k-1=0 (2) 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 (xÛ`+yÛ`-16x)-(xÛ`+yÛ`-6x-4y+3)=0 -10x+4y-3=0 ∴ y= x+ ;2%; ;4#; 이 직선이 직선 y=kx+6과 수직이므로 ;2%; ´k=-1 ∴ k=- ;5@; 086 답 (1) xÛ`+yÛ`+4x-8y+4=0 (2) xÛ`+yÛ`-x+3y-4=0 (3) xÛ`+yÛ`-x-y=0 (1) 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 (xÛ`+yÛ`-2)+k(xÛ`+yÛ`+2x-4y+1)=0`(단, k+-1) … ㉠ 이 원이 점 A(-2, 0)을 지나므로 (4-2)+k(4-4+1)=0 ∴ k=-2 k=-2를 ㉠에 대입하여 정리하면 구하는 원의 방정식은 -xÛ`-yÛ`-4x+8y-4=0 ∴ xÛ`+yÛ`+4x-8y+4=0 (2) 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 (xÛ`+yÛ`-2x)+k(xÛ`+yÛ`-4x-6y+8)=0`(단, k+-1) 087 답 (1) 만나지 않는다. (2) 서로 다른 두 점에서 만난다. (3) 한 점에서 만난다. (1) y=-x+4를 xÛ`+yÛ`=4에 대입하면 xÛ`+(-x+4)Û`=4, 2xÛ`-8x+12=0 ∴ xÛ`-4x+6=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =(-2)Û`-1´6=-2<0 따라서 원과 직선은 만나지 않는다. (2) y=x-1을 xÛ`+yÛ`=10에 대입하면 xÛ`+(x-1)Û`=10 ∴ 2xÛ`-2x-9=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =(-1)Û`-2´(-9)=19>0 (3) y=x-4를 xÛ`+yÛ`=8에 대입하면 xÛ`+(x-4)Û`=8 ∴ xÛ`-4x+4=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =(-2)Û`-1´4=0 따라서 원과 직선은 한 점에서 만난다. 따라서 원과 직선은 서로 다른 두 점에서 만난다. 088 답 (1) ① -3 2<k<3 2 ② k=Ñ3 2 ' ' ' 2 또는 k>3 ③ k<-3 2 ' (2) ① -4<k<4 ② k=Ñ4 ③ k<-4 또는 k>4 ' (1) ① y=-x+k를 xÛ`+yÛ`=9에 대입하여 정리하면 xÛ`+(-x+k)Û`=9 ∴ 2xÛ`-2kx+kÛ`-9=0 … ㉠ 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나므로 이 원이 점 A(0, 1)을 지나므로 1+k(1-6+8)=0, 3k+1=0 ∴ k=- ;3!; k=- 을 ㉠에 대입하여 정리하면 구하는 원의 방정식은 ;3!; 2xÛ`+2yÛ`-2x+6y-8=0 ∴ xÛ`+yÛ`-x+3y-4=0 =(-k)Û`-2(kÛ`-9)>0, -kÛ`+18>0, kÛ`<18 ∴ -3 2<k<3 ' 2 ' ② =0이므로 -kÛ`+18=0 ∴ k=Ñ3 2 ' ③ <0에서 -kÛ`+18<0, kÛ`>18 D 4 D 4 D 4 (3) 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 (xÛ`+yÛ`-1)+k{(x-1)Û`+(y-1)Û`-1}=0`(단, k+-1) ∴ k<-3 ' 2 또는 k>3 2 ' 3x+k를 xÛ`+yÛ`=4에 대입하여 정리하면 … ㉠ 3x+k)Û`=4 ∴ 4xÛ`+2 3kx+kÛ`-4=0 ' (2) ① y= ' xÛ`+( ' Ⅲ. 도형의 방정식 81 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 81 2017-09-18 오후 7:50:59 089 답 (1) 만나지 않는다. (2) 서로 다른 두 점에서 만난다. ③ 원의 반지름의 길이가 1이므로 (2) 원의 중심 (1, -2)와 직선 x+y+3=0 사이의 거리 d는 (1) 오른쪽 그림과 같이 주어진 091 답 (1) 8 (2) 3 10 '¶ d= |2| kÛ`+1Û` = 2 kÛ`+1` "à "à 원의 반지름의 길이가 1이므로 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 2 kÛ`+1` "à <1, kÛ`+1>4 ∴ k<- 3 또는 k> ' 3 ' ② 원의 반지름의 길이가 1이므로 원과 직선이 한 점에서 만나려면 2 kÛ`+1` "à =1, kÛ`+1=4 ∴ k=Ñ 원과 직선이 만나지 않으려면 2 kÛ`+1` "à >1, kÛ`+1<4 ∴ - 3<k< ' 3 ' 3 ' y A 5 원과 직선의 교점을 A, B, 원의 중심 O(0, 0)에서 직선 4x+3y-15=0에 내린 수선 -5 O H x 5 B -5 4x+3y-15=0 의 발을 H라 하면 OHÓ= |-15| 4Û`+3Û` "à =3 AHÓ= 5Û`-3Û``=4 "à 직각삼각형 OAH에서 OAÓ=5이므로 따라서 구하는 현의 길이는 ABÓ=2AHÓ=8 (2) 오른쪽 그림과 같이 주어진 원과 y y=3x-2 직선의 교점을 A, B, 원의 중심 A C(-1, 0)에서 직선 3x-y-2=0에 내린 수선의 발 을 H라 하면 C -1 O H -6 4 x B CHÓ= |3´(-1)-0-2| 3Û`+(-1)Û` 10 = '¶ 2 "à 직각삼각형 CAH에서 CAÓ=5이므로 AHÓ=®É5Û`- { '¶ Û` 10 2 } =®É 45 2 = 3 10 '¶ 2 따라서 구하는 현의 길이는 ABÓ=2AHÓ=3 10 '¶ 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나므로 =( 3k)Û`-4(kÛ`-4)>0, kÛ`<16 ' ∴ -4<k<4 ② =0이므로 kÛ`-16=0 ∴ k=Ñ4 ③ <0에서 kÛ`>16 ∴ k<-4 또는 k>4 D 4 D 4 D 4 (3) 한 점에서 만난다. (1) 원의 중심 (0, 0)과 직선 x-y+3=0 사이의 거리 d는 d= |3| 1Û`+(-1)Û` = 3 2 ' 2 "à 이때, 원의 반지름의 길이가 r= 2이므로 d>r 따라서 원과 직선은 만나지 않는다. d= |1-2+3| 1Û`+1Û` "à = 2 ' 이때, 원의 반지름의 길이가 r= 5이므로 d5 (2) ① k<- 3 ' (1) ① 원의 중심 (0, 0)과 직선 2x-y+k=0 사이의 거리 d는 3 ③ 3 ② k=Ñ ' ' 3 또는 k> 3<k< -' ' d= |k| 2Û`+(-1)Û` = |k| 5 "à ' 원의 반지름의 길이가 ' 5이므로 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 |k| 5 ' < 5 ' ∴ -5<k<5 ② 원의 반지름의 길이가 ' 5이므로 원과 직선이 한 점에서 만나려면 = 5 ∴ k=Ñ5 ③ 원의 반지름의 길이가 ' 5이므로 원과 직선이 만나지 않으려면 |k| 5 ' |k| 5 ' ' ' > 5 ∴ k<-5 또는 k>5 82 정답 및 해설 (2) ① 원의 중심 (0, 0)과 직선 kx+y+2=0 사이의 거리 d는 PTÓ= 5Û`-3Û`=4 092 답 (1) 4 (2) 5 (3) 5 (1) 오른쪽 그림에서 T P{5,4} CPÓ= (5-1)Û`+(4-1)Û`=5 직각삼각형 CTP에서 CTÓ=3이므로 C{1,1} "à "à YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 82 2017-09-18 오후 7:51:01 정답 및 해설¶ ¶ ¶ ¶ 원의 중심 (1, -2)와 직선 3x-4y+14=0 사이의 거리는 원의 중심 (-1, 3)과 직선 y=-3x+n, (2) 오른쪽 그림에서 P{-2,3} 095 답 (1) y=x-1 또는 y=x-5 (2) y=2xÑ2 5 ' (3) y=-3xÑ4 10 '¶ T C{1,-2} (1) 구하는 직선의 방정식을 y=x+n이라 하면 원의 중심 (2, -1)과 직선 y=x+n, CPÓ= (-2-1)Û`+(3+2)Û`= 34 "à '¶ 직각삼각형 CTP에서 CTÓ=3이므로 PTÓ= ( "à '¶ 34)Û`-3Û` =5 오른쪽 그림에서 CPÓ = (7-1)Û`+(3-1)Û` "à = 40=2 10 '¶ '¶ 직각삼각형 CTP에서 CTÓ= PTÓ= (2 10)Û`-( 15)Û`=5 "à '¶ '¶ 15이므로 '¶ (3) xÛ`+yÛ`-2x-2y-13=0에서 (x-1)Û`+(y-1)Û`=15 T C{1,1} P{7,3} 093 답 (1) 최댓값`:`9, 최솟값`:`1 (2) 최댓값`:` 2+1, 최솟값`:` 2-1 ' ' (1) xÛ`+yÛ`-2x+4y-11=0에서 (x-1)Û`+(y+2)Û`=16 |3+8+14| 3Û`+(-4)Û` = =5 25 5 "à 이때, 원의 반지름의 길이가 4이므로 원 위의 점과 직선 사이의 거리의 최댓 {1,-2} 4 값은 9, 최솟값은 1 3x-4y+14=0 (2) xÛ`+yÛ`-2x-2y+1=0에서 (x-1)Û`+(y-1)Û`=1 원의 중심 (1, 1)과 직선 x+y-4=0 사이의 거리는 |1+1-4| 1Û`+1Û` "à = 2 2 ' = 2 ' 이때, 원의 반지름의 길이가 1이므로 원 위의 점과 직선 사이의 거리의 최댓 {1,1} 1 값은 2+1, 최솟값은 ' ' 2-1 x+y-4=0 094 답 (1) y=3xÑ2 10 (2) y=2xÑ 5 (3) y=-2xÑ4 5 ' '¶ 2 (5) y= ' 5xÑ6 ' ' 3Û`+1 10 '¶ 2Û`+1 (4) y=xÑ3 (1) y=3´xÑ2 "à ∴ y=3xÑ2 (2) y=2´xÑ1 "à ∴ y=2xÑ ' (3) y=-2´xÑ4 5 "à ∴ y=-2xÑ4 5 ' 1Û`+1 2 ' 6´ (4) y=1´xÑ3 "à ∴ y=xÑ3 (5) y= 5´xÑ ' ∴ y= ' 5xÑ6 ' (-2)Û`+1 5)Û`+1 ( ' "à 즉 x-y+n=0 사이의 거리가 반지름의 길이와 같으므로 |2+1+n| 1Û`+(-1)Û` = |n+3| 2 = 2 ' "à " |n+3|=2 ∴ n=-1 또는 n=-5 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=x-1 또는 y=x-5 (2) 구하는 직선의 방정식을 y=2x+n이라 하면 원의 중심 (1, 2)와 직선 y=2x+n, 즉 2x-y+n=0 사이의 거리가 반지름의 길이와 같으므로 |2-2+n| 2Û`+(-1)Û` = |n| 5 "à |n|=2 " 5 ∴ n=Ñ2 =2 ' 5 ' 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=2xÑ2 5 ' (3) 구하는 직선의 방정식을 y=-3x+n이라 하면 즉 3x+y-n=0 사이의 거리가 반지름의 길이와 같으므로 |-3+3-n| 3Û`+1Û` = |n| 10 "à |n|=4 '¶ 10 ∴ n=Ñ4 =4 '¶ 10 '¶ 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=-3xÑ4 10 '¶ 096 답 (1) x-y-2=0 (2) 3x+2y-13=0 (3) x+3y+10=0 (4) 3x-4y-25=0 (5) 3x-y-10=0 (1) 1´x+(-1)´y=2 ∴ x-y-2=0 (2) 3´x+2´y=13 ∴ 3x+2y-13=0 (3) (-1)´x+(-3)´y=10 ∴ x+3y+10=0 (4) 3´x+(-4)´y=25 ∴ 3x-4y-25=0 (5) 3´x+(-1)´y=10 ∴ 3x-y-10=0 097 답 (1) y=x+4 (2) y=-x-1 (3) y= x- ;3!; ;3*; (1) 원의 중심 (1, 3)과 접점 P(0, 4)를 지나는 직선의 기울기는 4-3 0-1 =-1이므로 이와 수직인 접선의 기울기는 1이다. 접선의 방정식을 y=x+a라 하면 Ⅲ. 도형의 방정식 83 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 83 2017-09-18 오후 7:51:03 이 접선이 점 P(0, 4)를 지나므로 4=0+a ∴ a=4 따라서 접선의 방정식은 y=x+4이다. (2) 원의 중심 (1, -4)와 접점 P(2, -3)을 지나는 직선의 기울기는 -3+4 2-1 =1이므로 이와 수직인 접선의 기울기는 -1이다. 접선의 방정식을 y=-x+a라 하면 이 접선이 점 P(2, -3)을 지나므로 -3=-1´2+a ∴ a=-1 y-(-7)=m(x-1) ∴ mx-y-m-7=0 원의 중심 (0, 0)과 접선 mx-y-m-7=0 사이의 거리는 반지름의 길이 5와 같으므로 |-m-7| mÛ`+(-1)Û` =5, |-m-7|=5 mÛ`+1 "à "à 양변을 제곱하여 정리하면 12mÛ`-7m-12=0 (4m+3)(3m-4)=0 ∴ m=- 또는 m= ;4#; ;3$; 따라서 접선의 방정식은 3x+4y+25=0 또는 4x-3y-25=0 따라서 접선의 방정식은 y=-x-1이다. (4) 접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식은 (3) 원의 중심 (1, 1)과 접점 P(2, -2)를 지나는 직선의 기울기는 y-2=m(x-1) ∴ mx-y-m+2=0 -2-1 2-1 =-3이므로 이와 수직인 접선의 기울기는 이다. ;3!; 원의 중심 (-2, 1)과 접선 mx-y-m+2=0 사이의 접선의 방정식을 y= x+a라 하면 ;3!; 이 접선이 점 P(2, -2)를 지나므로 -2= ´2+a ∴ a=- ;3!; ;3*; 따라서 접선의 방정식은 y= x- 이다. ;3!; ;3*; 098 답 (1) x+y+2=0 또는 7x-y-10=0 (2) y+1=0 또는 3x+4y-5=0 (3) 3x+4y+25=0 또는 4x-3y-25=0 (4) y-2=0 또는 3x-4y+5=0 (1) 접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식은 y-(-3)=m(x-1) ∴ mx-y-m-3=0 원의 중심 (0, 0)과 접선 mx-y-m-3=0 사이의 거리는 반지름의 길이 2와 같으므로 ' ' |-m-3| mÛ`+(-1)Û` = 2, |-m-3|= 2mÛ`+2 "à "à 양변을 제곱하여 정리하면 mÛ`-6m-7=0 (m+1)(m-7)=0 ∴ m=-1 또는 m=7 따라서 접선의 방정식은 x+y+2=0 또는 7x-y-10=0 (2) 접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식은 y-(-1)=m(x-3) ∴ mx-y-3m-1=0 원의 중심 (0, 0)과 접선 mx-y-3m-1=0 사이의 거리는 반지름의 길이 1과 같으므로 |-3m-1| mÛ`+(-1)Û` =1, |-3m-1|= mÛ`+1 "à "à 양변을 제곱하여 정리하면 4mÛ`+3m=0 m(4m+3)=0 ∴ m=0 또는 m=- ;4#; 거리는 반지름의 길이 1과 같으므로 |-2m-1-m+2| mÛ`+(-1)Û` "à 양변을 제곱하여 정리하면 =1, |1-3m|= mÛ`+1 "à 1-6m+9mÛ`=mÛ`+1, 4mÛ`-3m=0 m(4m-3)=0 ∴ m=0 또는 m= ;4#; 따라서 접선의 방정식은 y-2=0 또는 3x-4y+5=0 099 답 ② 중심의 좌표가 (-2, 1)이고 반지름의 길이가 2인 원의 방정식은 (x+2)Û`+(y-1)Û`=4 이 원이 x축과 만나는 점의 x좌표는 y=0을 대입하면 (x+2)Û`+1=4 ∴ xÛ`+4x+1=0 따라서 a, b는 이차방정식 xÛ`+4x+1=0의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-4 답 100 3+ 5 ' 원의 방정식을 xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0으로 놓고 주어진 세 점의 좌표를 각각 대입하여 정리하면 (0, 0) ⇒ C=0 (1, 3) ⇒ 10+A+3B=0 … ㉠ (3, -1) ⇒ 10+3A-B=0 … ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 A=-4, B=-2 따라서 구하는 원의 방정식은 xÛ`+yÛ`-4x-2y=0 즉 (x-2)Û`+(y-1)Û`=5 ∴ a+b+r=2+1+ 5=3+ ' 5 ' 따라서 접선의 방정식은 y+1=0 또는 3x+4y-5=0 101 답 ③ (3) 접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식은 원의 반지름의 길이를 r(r>0)라 하면 (x-r)Û`+(y-r)Û`=rÛ` 84 정답 및 해설 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 84 2017-09-18 오후 7:51:05 정답 및 해설 이 원이 점 (3, 5)를 지나므로 (3-r)Û`+(5-r)Û`=rÛ` ∴ rÛ`-16r+34=0 따라서 두 원의 반지름의 길이의 합은 근과 계수의 관계에 의하 여 16이다. 106 답 (1) (7, 4) (2) (2, 7) (3) (8, 0) (4) (1, -1) (1) (4+3, 2+2), 즉 (7, 4) (2) (-1+3, 5+2), 즉 (2, 7) (3) (5+3, -2+2), 즉 (8, 0) (4) (-2+3, -3+2), 즉 (1, -1) 102 답 ④ y= ' xÛ`+( ' 2x+k를 xÛ`+yÛ`=4에 대입하면 2x+k)Û`=4, 3xÛ`+2 2kx+kÛ`-4=0 ' 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 ' =( 2k)Û`-3(kÛ`-4)=-kÛ`+12 이때, 원과 직선이 접하므로 -kÛ`+12=0, kÛ`=12 ∴ k=2 3`(∵ k>0) ' 103 답 ② x-2y+3=0에서 y= x+ ;2!; ;2#; 즉, 반지름의 길이가 ' 5이고, 기울기가 -2인 접선의 방정식은 y=-2xÑ 5´ (-2)Û`+1 ∴ y=-2xÑ5 ' "à 따라서 a=-2, b=5`(∵ b>0)이므로 a+b=3 107 답 (1) (2, 3) (2) (8, -6) (3) (5, 0) (4) (-3, 2) (1) 점 A(3, -2)를 점 B(4, 1)로 옮기는 평행이동을 (x, y) → (x+a, y+b)라 하면 3+a=4, -2+b=1 ∴ a=1, b=3 따라서 평행이동 (x, y) → (x+1, y+3)에 의하여 점 P(1, 0)이 옮겨지는 점의 좌표는 (1+1, 0+3) ∴ (2, 3) (2) 점 A(-5, 7)을 점 B(-1, 1)로 옮기는 평행이동을 (x, y) → (x+a, y+b)라 하면 -5+a=-1, 7+b=1 ∴ a=4, b=-6 따라서 평행이동 (x, y) → (x+4, y-6)에 의하여 점 P(4, 0)이 옮겨지는 점의 좌표는 (4+4, 0-6) ∴ (8, -6) (3) 점 A(3, 5)를 점 B(6, 4)로 옮기는 평행이동을 (x, y) → (x+a, y+b)라 하면 답 104 - ;5^; 접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식은 y-1=m(x+3) ∴ mx-y+3m+1=0 3+a=6, 5+b=4 ∴ a=3, b=-1 원의 중심 (0, 0)과 접선 mx-y+3m+1=0 사이의 거리는 따라서 평행이동 (x, y) → (x+3, y-1)에 의하여 반지름의 길이 2와 같으므로 |3m+1| mÛ`+(-1)Û` =2, |3m+1|=2 mÛ`+1 "à "à 양변을 제곱하여 정리하면 5mÛ`+6m-3=0 점 P(2, 1)이 옮겨지는 점의 좌표는 (2+3, 1-1) ∴ (5, 0) (4) 점 A(-1, -3)을 점 B(-3, -2)로 옮기는 평행이동을 (x, y) → (x+a, y+b)라 하면 따라서 근과 계수의 관계에 의해 두 접선의 기울기의 합은 - ;5^; -1+a=-3, -3+b=-2 이다. ∴ a=-2, b=1 4 도형의 이동 182쪽~190쪽 105 답 (1) (4, 1) (2) (2, -7) (3) (-1, 0) (4) (0, -5) 108 답 (1) x+2y-8=0 (2) 3x-2y+10=0 (3) 5x+y+4=0 (1) (3+1, 4-3), 즉 (4, 1) (2) (1+1, -4-3), 즉 (2, -7) (3) (-2+1, 3-3), 즉 (-1, 0) (4) (-1+1, -2-3), 즉 (0, -5) 따라서 평행이동 (x, y) → (x-2, y+1)에 의하여 점 P(-1, 1)이 옮겨지는 점의 좌표는 (-1-2, 1+1) ∴ (-3, 2) (4) 4x-2y+11=0 (1) (x+1)+2(y-3)-3=0, 즉 x+2y-8=0 (2) 3(x+1)-2(y-3)+1=0, 즉 3x-2y+10=0 (3) 5(x+1)+(y-3)+2=0, 즉 5x+y+4=0 Ⅲ. 도형의 방정식 85 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 85 2017-09-18 오후 7:51:08 (4) 4(x+1)-2(y-3)+1=0, 즉 4x-2y+11=0 ∴ a=4, b=-5 109 답 (1) x-y-3=0 (2) x+3y+1=0 (3) 2x-3y-9=0 (4) y=4x-10 (1) (x-1)-(y+3)+1=0, 즉 x-y-3=0 (2) (x-1)+3(y+3)-7=0, 즉 x+3y+1=0 (3) 2(x-1)-3(y+3)+2=0, 즉 2x-3y-9=0 (4) y+3=4(x-1)-3, 즉 y=4x-10 110 답 (1) x-2y+2=0 (2) 2x+3y-15=0 (3) 3x-y-11=0 (4) 4x+y-16=0 (1) 점 A(3, 2)를 점 B(2, 5)로 옮기는 평행이동을 (x, y) → (x+a, y+b)라 하면 3+a=2, 2+b=5 ∴ a=-1, b=3 즉, (x, y) → (x-1, y+3)이므로 직선 x-2y-5=0을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 (2) 점 A(-1, -3)을 점 B(3, -1)로 옮기는 평행이동을 즉, (x, y) → (x+4, y+2)이므로 직선 2x+3y-1=0을 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 직선의 방정식은 (x+1)-2(y-3)-5=0 ∴ x-2y+2=0 (x, y) → (x+a, y+b)라 하면 -1+a=3, -3+b=-1 ∴ a=4, b=2 직선의 방정식은 2(x-4)+3(y-2)-1=0 ∴ 2x+3y-15=0 (x, y) → (x+a, y+b)라 하면 -3+a=-1, 4+b=1 ∴ a=2, b=-3 (3) 점 A(-3, 4)를 점 B(-1, 1)로 옮기는 평행이동을 즉, (x, y) → (x+4, y-5)이므로 직선 4x+y-5=0을 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 직선의 방정식은 4(x-4)+(y+5)-5=0 ∴ 4x+y-16=0 111 답 (1) y=xÛ`+4x+2 (2) xÛ`+yÛ`=11 (3) (x+1)Û`+(y-1)Û`=4 (1) y-3=(x+2)Û`-5 ∴ y=xÛ`+4x+2 (2) {(x+2)-2}Û`+{(y-3)+3}Û`=11 ∴ xÛ`+yÛ`=11 (3) xÛ`+yÛ`-2x+4y+1=0에서 (x-1)Û`+(y+2)Û`=4 이 방정식에 x 대신 x+2, y 대신 y-3을 대입하면 (x+2-1)Û`+(y-3+2)Û`=4 ∴ (x+1)Û`+(y-1)Û`=4 112 답 (1) y=xÛ`-4x-4 (2) (x-6)Û`+(y+2)Û`=6 (3) (x-5)Û`+(y+5)Û`=9 (1) y=(x+1)Û`-6에 x 대신 x-3, y 대신 y+2를 대입하면 (2) (x-3)Û`+yÛ`=6에 x 대신 x-3, y 대신 y+2를 대입하면 y+2=(x-3+1)Û`-6 ∴ y=(x-2)Û`-8=xÛ`-4x-4 (x-3-3)Û`+(y+2)Û`=6 ∴ (x-6)Û`+(y+2)Û`=6 (3) xÛ`+yÛ`-4x+6y+4=0에서 (x-2)Û`+(y+3)Û`=9 이 방정식에 x 대신 x-3, y 대신 y+2를 대입하면 (x-3-2)Û`+(y+2+3)Û`=9 ∴ (x-5)Û`+(y+5)Û`=9 즉, (x, y) → (x+2, y-3)이므로 직선 3x-y-2=0을 ③ 원점`:`(1, -3) ④ 직선 y=x`:`(3, -1) x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 ⑤ 직선 y=-x`:`(-3, 1) 113 답 (1) ① x축`:`(-1, -3) ② y축`:`(1, 3) 직선의 방정식은 3(x-2)-(y+3)-2=0 ∴ 3x-y-11=0 (4) 점 A(1, 6)을 점 B(5, 1)로 옮기는 평행이동을 (x, y) → (x+a, y+b)라 하면 1+a=5, 6+b=1 86 정답 및 해설 (2) ① x축`:`(-2, 5) ② y축`:`(2, -5) ③ 원점`:`(2, 5) ④ 직선 y=x`:`(-5, -2) ⑤ 직선 y=-x`:`(5, 2) 114 답 (1) (-1, 5) (2) (3, 2) YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 86 2017-09-18 오후 7:51:10 정답 및 해설 (1) (1, 5) x축에 대하여 대칭이동 111111° (1, -5) 원점에 대하여 대칭이동 111111° (-1, 5) (2) (-2, 3) y축에 대하여 대칭이동 111111° (2, 3) 직선 y=x에 대하여 대칭이동 11111111° (3, 2) 115 답 (1) 2 5 (2) 5 2 (3) 2 (4) 5 ' ' 2 ' (1) 점 A(-1, 2)를 x축에 대하여 대칭이동한 점은 P(-1, -2), y축에 대하여 대칭이동한 점은 Q(1, 2) ∴ PQÓ= {1-(-1)}Û`+{2-(-2)}Û`= 5 ' (2) 점 A(3, -4)를 y축에 대하여 대칭이동한 점은 20=2 '¶ "à P(-3, -4), 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점은 Q(-4, 3) ∴ PQÓ= {-4-(-3)}Û`+{3-(-4)}Û`= 2 ' (3) 점 A(-1, -3)을 x축에 대하여 대칭이동한 점은 50=5 '¶ "à P(-1, 3), 원점에 대하여 대칭이동한 점은 Q(1, 3) ∴ PQÓ= {1-(-1)}Û`+(3-3)Û`= 4=2 ' (4) 점 A(1, -4)를 원점에 대하여 대칭이동한 점은 P(-1, 4), 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 점은 Q(4, -1) ∴ PQÓ= {4-(-1)}Û`+(-1-4)Û`= 50=5 '¶ 2 ' "à "à 116 답 (1) ① 4x-y-1=0 ② 4x-y+1=0 ③ 4x+y+1=0 ④ x+4y-1=0 ⑤ x+4y+1=0 (2) ① 3x-5y-1=0 ② 3x-5y+1=0 ③ 3x+5y+1=0 ④ 5x+3y-1=0 ⑤ 5x+3y+1=0 (1) ① x축`:`4x+(-y)-1=0, 즉 4x-y-1=0 ② y축`:`4(-x)+y-1=0, 즉 4x-y+1=0 ③ 원점`:`4(-x)+(-y)-1=0, 즉 4x+y+1=0 ④ 직선 y=x`:`4y+x-1=0, 즉 x+4y-1=0 ⑤ 직선 y=-x`:` 4(-y)+(-x)-1=0, 즉 x+4y+ 1=0 (2) ① x축`:`3x+5(-y)-1=0, 즉 3x-5y-1=0 ② y축`:`3(-x)+5y-1=0, 즉 3x-5y+1=0 ③ 원점`:`3(-x)+5(-y)-1=0, 즉 3x+5y+1=0 ④ 직선 y=x`:`3y+5x-1=0, 즉 5x+3y-1=0 ⑤ 직선 y=-x`:` 3(-y)+5(-x)-1=0, 즉 5x+3y +1=0 (2) `① (x-2)Û`+(y-5)Û`=6 ② (x+2)Û`+(y+5)Û`=6 `③ (x+2)Û`+(y-5)Û`=6 ④ (x+5)Û`+(y-2)Û`=6 `⑤ (x-5)Û`+(y+2)Û`=6 (3) `① y=-xÛ`+2x-3 ② y=xÛ`+2x+3 `③ y=-xÛ`-2x-3 ④ x=yÛ`-2y+3 `⑤ x=-yÛ`-2y-3 (1) ① x축`:` (x-3)Û`+{(-y)+1}Û`=9 즉, (x-3)Û`+(y-1)Û`=9 ② y축`:` {(-x)-3}Û`+(y+1)Û`=9 즉, (x+3)Û`+ (y+1)Û`=9 ③ 원점`:` {(-x)-3}Û`+{(-y)+1}Û`=9 즉, (x+3)Û`+(y-1)Û`=9 ④ 직선 y=x`:` (y-3)Û`+(x+1)Û`=9 즉, (x+1)Û`+(y-3)Û`=9 ⑤ 직선 y=-x`:` {(-y)-3}Û`+{(-x)+1}Û`=9 즉, (x-1)Û`+(y+3)Û`=9 (2) ① xÛ`+yÛ`-4x+10y+23=0에서 (x-2)Û`+(y+5)Û`=6 x축`:` (x-2)Û`+{(-y)+5}Û`=6 즉, (x-2)Û`+(y-5)Û`=6 ② y축`:` {(-x)-2}Û`+(y+5)Û`=6 즉, (x+2)Û`+(y+5)Û`=6 ③ 원점`:` {(-x)-2}Û`+{(-y)+5}Û`=6 즉, (x+2)Û`+(y-5)Û`=6 ④ 직선 y=x`:` (y-2)Û`+(x+5)Û`=6 즉, (x+5)Û`+(y-2)Û`=6 ⑤ 직선 y=-x`:` {(-y)-2}Û`+{(-x)+5}Û`=6 즉, (x-5)Û`+(y+2)Û`=6 (3) ① x축`:` -y=xÛ`-2x+3 즉, y=-xÛ`+2x-3 ② y축`:` y=(-x)Û`-2´(-x)+3 즉, y=xÛ`+2x+3 ③ 원점`:` -y=(-x)Û`-2´(-x)+3, -y=xÛ`+2x+3 즉, y=-xÛ`-2x-3 ④ 직선 y=x`:`x=yÛ`-2y+3 ⑤ 직선 y=-x`:` -x=(-y)Û`-2´(-y)+3 -x=yÛ`+2y+3 즉, x=-yÛ`-2y-3 117 답 (1) ① (x-3)Û`+(y-1)Û`=9 ② (x+3)Û`+ (y+1)Û`=9 (3) (x+1)Û`+(y-2)Û`=6 ③ (x+3)Û`+(y-1)Û`=9 ④ (x+1)Û`+(y-3)Û`=9 (1) 직선 2x-y+5=0을 y축에 대하여 대칭이동한 ⑤ (x-1)Û`+(y+3)Û`=9 직선의 방정식은 -2x-y+5=0 118 답 (1) x+2y-5=0 (2) (x+1)Û`+(y+3)Û`=1 Ⅲ. 도형의 방정식 87 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 87 2017-09-18 오후 7:51:14 이 직선을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 -2+x =2, 2 -4+y 2 =-1 -2y-x+5=0 따라서 구하는 직선의 방정식은 x+2y-5=0 (2) 원 (x-1)Û`+(y+3)Û`=1을 원점에 대하여 대칭이동한 원의 따라서 x=6, y=2이므로 점 Q의 좌표는 (6, 2)이다. 방정식은 (-x-1)Û`+(-y+3)Û`=1, 즉 (x+1)Û`+(y-3)Û` =1 121 답 (1) Q(-1, 8) (2) Q(-1, 4) (1) 점 Q의 좌표를 (a, b)라 하면 이 원을 x축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 두 점 P(3, 4), Q(a, b)에 대하여 선분 PQ의 중점 (x+1)Û`+(-y-3)Û`=1 따라서 구하는 원의 방정식은 (x+1)Û`+(y+3)Û`=1 (3) xÛ`+yÛ`+4x+2y-1=0에서 (x+2)Û`+(y+1)Û`=6 3+a 2 , 4+b 2 } { 4+b 2 = 3+a 2 가 직선 y=x+5 위의 점이므로 +5 ∴ a-b=-9 … ㉠ 원 (x+2)Û`+(y+1)Û`=6을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동 또, 직선 PQ와 직선 y=x+5는 서로 수직이므로 한 원의 방정식은 (-y+2)Û`+(-x+1)Û`=6, 즉 (x-1)Û`+(y-2)Û`=6 이 원을 y축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 (-x-1)Û`+(y-2)Û`=6 따라서 구하는 원의 방정식은 (x+1)Û`+(y-2)Û`=6 119 답 (1) x-3y-5=0 (2) (x-4)Û`+(y+4)Û`=4 (1) 직선 x+3y-2=0을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정 식은 -x+3y-2=0 -3만큼 평행이동한 직선의 방정식은 -(x+2)+3(y+3)-2=0 ∴ x-3y-5=0 (2) xÛ`+yÛ`-10x-4y+25=0에서 (x-5)Û`+(y-2)Û`=4 b-4 a-3 ´1=-1 ∴ a+b=7 … ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=8 따라서 점 Q의 좌표는 (-1, 8)이다. (2) 점 Q의 좌표를 (a, b)라 하면 두 점 P(-4, 3), Q(a, b)에 대하여 선분 PQ의 중점 -4+a 2 , 3+b 2 } { 가 직선 y=-3x-4 위의 점이므로 =(-3)´ -4 ∴ 3a+b=1 … ㉠ -4+a 2 또, 직선 PQ와 직선 y=-3x-4는 서로 수직이므로 3+b 2 b-3 a+4 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=4 따라서 점 Q의 좌표는 (-1, 4)이다. 이 직선을 다시 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 ´(-3)=-1 ∴ a-3b=-13 … ㉡ 원 (x-5)Û`+(y-2)Û`=4를 x축의 방향으로 -1만큼, 122 답 (1) (x-4)Û`+(y-2)Û`=5 (2) (x+2)Û`+(y-3)Û`=4 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 원의 방정식은 (1) 원의 중심 (0, 0)을 직선 y=-2x+5에 대하여 대칭이동한 (x+1-5)Û`+(y-2-2)Û`=4, 즉 (x-4)Û`+(y-4)Û`=4 점의 좌표를 (a, b)라 하면 두 점 (0, 0), (a, b)을 이은 선분 이 원을 x축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 (x-4)Û`+(-y-4)Û`=4 따라서 구하는 원의 방정식은 (x-4)Û`+(y+4)Û`=4 120 답 (1) Q(-4, 4) (2) Q(0, 1) (3) Q(6, 2) (1) 점 Q(x, y)라 하면 점 M(2, 0)은 선분 PQ의 중점이므로 8+x 2 =2, -4+y 2 =0 따라서 x=-4, y=4이므로 점 Q의 좌표는 (-4, 4)이다. 의 중점 , {;2A; ;2B;} 가 직선 y=-2x+5 위의 점이므로 =(-2)´ +5 ∴ 2a+b=10 … ㉠ ;2B; ;2A; 또, 두 점을 지나는 직선과 직선 y=-2x+5는 서로 수직이므로 ´(-2)=-1 ∴ a-2b=0 … ㉡ ;aB; ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=2 따라서 중심이 (4, 2)이고 반지름의 길이가 ' 5인 원의 방정식은 (x-4)Û``+(y-2)Û`=5 (2) 점 Q(x, y)라 하면 점 M(1, -2)는 선분 PQ의 중점이므로 (2) xÛ`+yÛ`+2y-3=0에서 xÛ`+(y+1)Û`=4 2+x 2 =1, -5+y 2 =-2 따라서 x=0, y=1이므로 점 Q의 좌표는 (0, 1)이다. (3) 점 Q(x, y)라 하면 점 M(2, -1)은 선분 PQ의 중점이므로 원의 중심 (0, -1)을 직선 x-2y+3=0에 대하여 대칭이동 한 점의 좌표를 (a, b)라 하면 두 점 (0, -1), (a, b)를 이 은 선분의 중점 , {;2A; -1+b 2 } 가 직선 x-2y+3=0 위의 점 88 정답 및 해설 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 88 2017-09-18 오후 7:51:16 정답 및 해설 이므로 -2´ ;2A; -1+b 2 +3=0 ∴ a-2b=-8 … ㉠ 또, 두 점을 지나는 직선과 직선 x-2y+3=0, 즉 y= x+ 은 서로 수직이므로 ;2!; ;2#; b+1 ´ a ;2!; =-1 ∴ 2a+b=-1 … ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=3 따라서 중심이 (-2, 3)이고 반지름의 길이가 2인 원의 방정식은 (x+2)Û`+(y-3)Û`=4 (2) 점 A(-4, 2)를 y축에 대하여 대칭이동한 점을 B{-1,4} A'이라 하면 A'(4, 2) A{-4,2} APÓ=A'PÓ이므로 APÓ+BPÓ =A'PÓ+BPÓ y P O A'{4,2} x ¾A'BÓ "à APÓ+BPÓ= (-1-4)Û`+(4-2)Û`= 29 (3) 점 A(-4, 2)를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 A{-4,2} '¶ B{-1,4} y O P y=x x A'{2,-4} 점을 A'이라 하면 A'(2, -4) APÓ=A'PÓ이므로 APÓ+BPÓ =A'PÓ+BPÓ ¾A'BÓ "à APÓ+BPÓ= (-1-2)Û`+(4+4)Û`= 73 '¶ 123 답 (1) 4 5 (2) 2 ' '¶ (1) 점 A(1, 2)를 x축에 대하여 대칭이동 13 (3) '¶ 34 한 점을 A'이라 하면 A'(1, -2) y A{1,2} B{5,6} O P A'{1,-2} x APÓ+BPÓ="à (5-1)Û`+(6+2)Û`=4 5 ' (2) 점 A(1, 2)를 y축에 대하여 대칭이동한 점을 A'이라 하면 y P APÓ=A'PÓ이므로 APÓ+BPÓ =A'PÓ+BPÓ ¾A'BÓ A'(-1, 2) APÓ=A'PÓ이므로 APÓ+BPÓ =A'PÓ+BPÓ ¾A'BÓ A'{-1,2} A{1,2} O x APÓ+BPÓ= (5+1)Û`+(6-2)Û`=2 '¶ (3) 점 A(1, 2)를 직선 y=x에 대하여 "à 13 대칭이동한 점을 A'이라 하면 A'(2, 1) APÓ=A'PÓ이므로 APÓ+BPÓ =A'PÓ+BPÓ ¾A'BÓ "à APÓ+BPÓ= (5-2)Û`+(6-1)Û`= 34 '¶ A{1,2} P A'{2,1} x O 124 답 (1) 3 5 (2) '¶ (1) 점 A(-4, 2)를 x축에 대하여 29 (3) '¶ 73 ' 대칭이동한 점을 A'이라 하면 y B{-1,4} A{-4,2} A'(-4, -2) APÓ=A'PÓ이므로 125 답 ② 점 (2, -1)을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 -3만큼 B{5,6} 평행이동한 점의 좌표는 (2+a, -1-3), 즉 (2+a, -4) 이 점이 점 (5, b)와 일치하므로 2+a=5, -4=b ∴ a=3, b=-4 ∴ a+b=3+(-4)=-1 y B{5,6} y=x 126 답 ① 직선 3x+y-5=0을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 a만큼 평행이동하므로 x 대신 x-1, y 대신 y-a를 대입하면 3(x-1)+(y-a)-5=0 ∴ 3x+y-a-8=0 이 직선이 점 (2, 8)을 지나므로 6+8-a-8=0 ∴ a=6 127 답 ② xÛ`+yÛ`-4x+6y-12=0에서 (x-2)Û`+(y+3)Û`=25 xÛ`+yÛ`+2x+10y+a=0에서 (x+1)Û`+(y+5)Û`=26-a 이때, 원 (x-2)Û`+(y+3)Û`=25를 x축의 방향으로 m만큼, P O x y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 원의 방정식은 APÓ+BPÓ =A'PÓ+BPÓ A'{-4,-2} (x-m-2)Û`+(y-n+3)Û`=25 ¾A'BÓ "à APÓ+BPÓ= (-1+4)Û`+(4+2)Û`=3 5 ' 이 원이 원 (x+1)Û`+(y+5)Û`=26-a와 일치하므로 -m-2=1, -n+3=5, 25=26-a Ⅲ. 도형의 방정식 89 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 89 2017-09-18 오후 7:51:18 ∴ m=-3, n=-2, a=1 ∴ a-m+n=1-(-3)-2=2 직선 2x-3y+1=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 2y-3x+1=0, 즉 3x-2y-1=0 이 직선이 ax+by-1=0과 같으므로 답 128 -6 a=3, b=-2 ∴ ab=-6 129 답 ① (-7, -1) -1=-7a+6 ∴ a=1 130 답 ⑤ 점 (-1, 5)를 x축에 대하여 대칭이동하면 (-1, -5) 점 (-1, -5)를 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 (-5, -1) 점 (-5, -1)을 x축의 방향으로 -2만큼 평행이동하면 점 (-7, -1)이 직선 y=ax+6 위의 점이므로 점 P(-4, 1)과 점 Q(a, b)는 점 (-1, -2)에 대하여 대칭이므 로 두 점 P(-4, 1), Q(a, b)를 이은 선분의 중점은 점 (-1, -2)이다. 즉, { -4+a 2 , 1+b 2 } =(-1, -2)이므로 -4+a 2 1+b 2 =-1, =-2 ∴ a=2, b=-5 ∴ a+b=2+(-5)=-3 90 정답 및 해설 YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 90 2017-09-18 오후 7:51:19 정답 및 해설 MEMO YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 91 2017-09-18 오후 7:51:19 MEMO YBM(해)-03단원(064~092)-ok.indd 92 2017-09-18 오후 7:51:19
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