0이므로
;2Ò;
… ❷
;2!;
비율
70`%
30`%
0818
|전략| 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프를 그린 후 서로 다른 교점의 개수
를 구한다.
방정식 cos x=
x의 실근은 함수 y=cos x의 그래프와 직선 y=
;8!;
x
;8!;
의 교점의 x좌표와 같다.
오른쪽 그림에서 두 그래프
의 교점의 개수가 5이므로
cos x=
x의 서로 다른 실
;8!;
근의 개수는 5이다.
-8
-2p
y
1
O
-1
1
y= x
8
8
x
2p
y=cos x
③
0819
방정식 sin px=
x의 실근은 함수 y=sin px의 그래프와 직선
;3!;
y=
x의 교점의 x좌표와 같다.
;3!;
오른쪽 그림에서 두 그래프의 교
점의 개수가 7이므로
sin px=
x의 서로 다른 실근
;3!;
-2
-3
의 개수는 7이다.
y
1
y=
x
1
3
O
2
3
x
-1
y=sin px
⑤
0820
방정식 cos 2x=sin 4x의 실근은 두 함
수 y=cos 2x, y=sin 4x의 그래프의
교점의 x좌표와 같다.
y
1
O
y=sin 4x
p
2
오른쪽 그림에서 두 그래프의 교점의 개
수가 4이므로 cos 2x=sin 4x의 서로
-1
y=cos 2x
다른 실근의 개수는 4이다.
p
x
④
3
0821
방정식 2 sin|x|=|x|의 실근은 두 함
수 y=2 sin|x|, y=|x|의 그래프의
교점의 x좌표와 같다.
개수가 3이므로 2 sin|x|=|x|의 서
로 다른 실근의 개수는 3이다.
y=|x|
y=2 sin|x|
y
2
②
오른쪽 그림에서 두 그래프의 교점의
-2
-p
O
2
x
p
0822
|전략| 주어진 방정식을 f(x)=k 꼴로 변형한 후 함수 y=f(x)의 그래프와 직
선 y=k가 만나도록 하는 k의 값의 범위를 구한다.
sinÛ
x-2 cos x+a+2=0에서 sinÛ
x-2 cos x+2=-a
`
방정식 sinÛ
x-2 cos x+2=-a가 실근을 가지려면
y=sinÛ
x-2 cos x+2의 그래프와 직선 y=-a가 교점을 가져야
`
`
`
6 삼각함수의 그래프 | 097
cos x=sin x
∴ x=
;4Ò;
③
한다.
085105고등유형해결6(수1)해-16.ok.indd 97
2018-03-13 오후 4:01:53
6ㅡ삼각함수의 그래프 x-2 cos x+2
y=sinÛ
`
y=(1-cosÛ
`
x)-2 cos x+2
y=-cosÛ
x-2 cos x+3
`
이때, cos x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고
y=-tÛ
-2t+3=-(t+1)Û
+4
`
`
오른쪽 그림에서 주어진 방정식이
실근을 가지려면
0É-aÉ4
∴ -4ÉaÉ0
0823
x-
=t로 놓으면 0Éx<2p에서 -
Ét<
p이고
;6Ò;
:Á6Á:
;6Ò;
주어진 부등식은 cos tÉ-
오른쪽 그림에서 cos tÉ-
의 해는
;2!;
;2!;
y
-
p
6
O
2
3
p
4
3
p
11
6
p
y=cos t
y=
-
t
1
2
y
4
y=-t2-2t+3
y=-a
-1
O 1
t
pÉtÉ
p이므로
;3$;
pÉx-
É
p
;3$;
;6Ò;
;3@;
;3@;
∴
pÉxÉ
;6%;
p
;2#;
②
따라서 a=
p, b=
p이므로
;6%;
;2#;
a+b=
p
;3&;
p
;3&;
0826
cos x¾sin x의 해는 y=cos x의 그래프가 y=sin x의 그래프와 만
나거나 그 위쪽에 있는 부분의 x의 값의
y=sin x
범위와 같으므로 오른쪽 그림에서
y
O
-
p
3
4
-p
y=2 sin x
p
-
;4#;
pÉxÉ
;4Ò;
따라서 주어진 부등식의 해가 아닌 것은 ① -p이다.
p
4
p
x
y=cos x
①
따라서 주어진 방정식이 하나의 실근을 가지려면 함수 y=2 sin x의
cos
x+
p
=sin x이므로 주어진 방정식은
{
;2#;
}
sin x=-sin x+a
∴ 2 sin x=a
그래프와 직선 y=a가 한 점에서 만나야 한다.
오른쪽 그림에서 0Éx<2p일 때,
y=2 sin x의 그래프와 직선 y=a
의 교점이 1개이려면
a=2 또는 a=-2
따라서 모든 실수 a의 값의 곱은
2´(-2)=-4
y
2
O
-2
y=a
2p
x
y=a
①
0824
cosÛ` x-sin(x+p)-k=0에서 cosÛ` x-sin(x+p)=k
방정식 cosÛ` x-sin(x+p)=k가 실근을 가지려면
y=cosÛ` x-sin(x+p)의 그래프와 직선 y=k가 교점을 가져야 한다.
cosÛ` x=1-sinÛ` x, sin(x+p)=-sin x이므로
y=cosÛ` x-sin(x+p)
y=1-sinÛ` x+sinx
y=-sinÛ` x+sinx+1
이때, sin x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고
y=-tÛ`+t+1=-
t-
{
+
;4%;
;2!;}
오른쪽 그림에서 주어진 방정식이 실
2`
근을 가지려면 -1ÉkÉ
;4%;
따라서 M=
, m=-1이므로
;4%;
M+m=
;4!;
0825
098 | II . 삼각함수
y
y=-t2+t+1
1
5
4
-1
O
1
1
2
-1
y=k
t
①
|전략| x-
=t로 놓고 함수 y=cos t의 그래프가 직선 y=-
;6Ò;
;2!;과 만나거나
그 아래쪽에 있는 t의 값의 범위를 구한다.
3에서 -
3É3 tan xÉ
3
'
0827
|3 tan x|É
'
3
∴ - '
3
'
3
Étan xÉ '
3
오른쪽 그림에서 부등식
3
- '
3
3
Étan xÉ '
3
의 해는
0ÉxÉ
또는
pÉx-1
y=1
1
y=
2
x
p
p
-p
O
p
6
p
2
5
6
따라서 a=
, b=
p이므로
;6Ò;
;6%;
sin(b-a)=sin
p-
=sin
{;6%;
;6Ò;}
3
p= '
2
;3@;
∴
Ésin xÉ1
;2!;
ÉxÉ
p
;6%;
;6Ò;
0830
이때, sin x=t로 놓으면 0ÉxÉp에서 0ÉtÉ1이고
y=-2tÛ
+t+2=-2
t-
{
+
;4!;}
:Á8¦
¶:
`
오른쪽 그림에서 t=1일 때, 최솟값 1을
2`
가지므로
17
8
2
y
1
O
y=-2t2+t+2
1
1
4
t
a>-1
0832
|전략| 이차부등식 axÛ`+bx+c>0이 모든 실수 x에 대하여 항상 성립하려면
a>0, bÛ`-4ac<0이어야 함을 이용한다.
xÛ
-4x+2 sin h+3>0이 모든 실수 x에 대하여 항상 성립하므로
xÛ
-4x+2 sin h+3=0의 판별식을 D라 하면
3
'
2
=4-2 sin h-3<0
∴ sin h>
;2!;
오른쪽 그림에서 sin h>
의 해는
;2!;
y
y=sin h
0에서 2 cosÛ` x+sin x>-a
y=2 cosÛ` x+sin x라 하면
y=2(1-sinÛ
x)+sin x=-2 sinÛ
x+sin x+2
`
`
0835
f(x)=2xÛ
-
2x cos 2h-1이라 하면 방정
`
'
식 f(x)=0의 두 근 사이에 1이 있어야 하므
로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과
같아야 한다.
085105고등유형해결6(수1)해-16.ok.indd 99
2018-03-13 오후 4:01:55
6ㅡ삼각함수의 그래프 y=tan x
p
2
2 3
②
⑤
정답과 해설
따라서 f(1)<0이어야 하므로
2-
2 cos 2h-1<0에서
2 cos 2h>1
'
'
2
∴ cos 2h> '
2
이때, 2h=t로 놓으면 -
ÉhÉ
에서 -pÉtÉp이고
;2Ò;
;2Ò;
ㄷ. 1<
<2<3 '
2
2
오른쪽 그림에서 cos t> '
2
의 해는
-
0이므로
;3@;
{
;3Ò;}
O
2
p
2
p
4
3
x
2p
a
=p
∴ a=2
ㄴ. 1<
<2<30)
aÉa
"Ã
∴ a+3Éa
`
(sin x+2)Û
"Ã
이때, 최댓값이 9이므로
`
+3É3a+3
3a+3=9
∴ a=2
따라서 f(x)=2
(sinx+2)Û
+3이므로
`
"Ã
;6Ò;
}
2`
f
`
{;6Ò;}
=2
®{É
sin
+2
+3=2´
+3=8
;2%;
④
0845
유형 14 삼각함수를 포함한 식의 최대·최소 - 이차식 꼴
|전략| sinÛ` x+cosÛ` x=1임을 이용하여 주어진 식을 한 종류의 삼각함수로 통
일한 후 삼각함수를 t로 치환한다.
y=1-2a cos x-sinÛ` x
y=1-2a cos x-(1-cosÛ
x)
`
y=cosÛ
x-2a cos x
`
cos x=t로 놓으면 0ÉxÉp에서 -1ÉtÉ1이고
①
y=tÛ
-2at=(t-a)Û
-aÛ
`
`
`
Ú 00
④
∴ 00
(cos x+3)(cos x-a)>0
이때, -1Écos xÉ1에서 cos x+3>0이므로
cos x-a>0
∴ cos x>a
모든 실수 x에 대하여 부등식
㉠이 성립하려면 오른쪽 그림
-
p
2
p
2
y
1
O
-1
a
3
- p
2
yy ㉠
y=cos x
x
3 p
2
y=a
②
0851
유형 03 삼각함수의 그래프의 대칭성 + 10 일반각에 대한 삼각함수의 성질
|전략| 삼각함수의 그래프의 대칭성을 이용하여 a와 b 사이의 관계식을 세운다.
함수 f(x)=sin kx의 주기는
… ❶
2p
k `
즉, 함수 y=f(x)의 그래프는 오
y
y=
3
4
y=f(x)
∴ f(a+b+c)=f
{
p
k +
c
=sin k
}
p
k +
{
}
c
=sin (p+kc)
∴ f(a+b+c)=-sin kc=-f(c)=-
;4#;
2p
k
0에서 a는 예각이므로
2
5
'
5
sin a=
1-cosÛ
"Ã
a=¾Ð1-
{
`
∴ tan a=
sin a
cos a
=
;2!;
2
5
'
5 }
5
= '
5
2`
한편, 사각형 ABCD가 원에 내접하므로 a+b=p
∴ tan b=tan(p-a)=-tan a=-
;2!;
채점 기준
❶ tan a의 값을 구할 수 있다.
❷ tan b의 값을 구할 수 있다.
원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합
A
은 180ù이다.
⇨ ∠A+∠C=∠B+∠D=180ù
0854
유형 07 삼각함수의 미정계수의 결정 - 조건이 주어진 경우
|전략| -1Ésin(ax+b)É1임을 이용하여 두 함수
(g ç f)(x)와 ( f ç g)(x)의 최댓값과 최솟값을 각각 구한다.
⑴ ( g ç f)(x)=g( f(x))=g(ax+b)=2 sin(ax+b)
⑴ -1Ésin(ax+b)É1에서 -2É2 sin(ax+b)É2
⑴ ∴ -2É(g ç f)(x)É2
⑴ 따라서 ( g ç f)(x)의 최댓값은 2, 최솟값은 -2이다.
⑵ ( f ç g)(x)=f( g(x))=f(2 sin x)=2a sin x+b
⑴ 이때, a>0이므로 -1Ésin xÉ1에서
⑴ -2a+bÉ2a sin x+bÉ2a+b
⑴ ∴ -2a+bÉ( f ç g)(x)É2a+b
⑴ 따라서 ( f ç g)(x)의 최댓값은 2a+b, 최솟값은 -2a+b이다.
⑶ ( g ç f)(x)와 ( f ç g)(x)의 최댓값과 최솟값이 각각 같으므로
⑴ 2a+b=2, -2a+b=-2
… ❶
… ❷
-
;2!;
배점
3점
3점
D
B
C
⑴ 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=0
⑴ 최댓값: 2, 최솟값: -2 ⑵ 최댓값: 2a+b, 최솟값: -2a+b
⑶ a=1, b=0
채점 기준
⑴ (g ç f)(x)의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.
⑵ ( f ç g)(x)의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.
⑶ a, b의 값을 구할 수 있다.
유형 22 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식의 활용
|전략| 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프가 x축에 접하면 이차방정식
axÛ`+bx+c=0이 중근을 가짐을 이용한다.
주어진 이차함수의 그래프가 x축에 접하면 이차방정식
xÛ
+2x cos h+sinÛ
h+cos h=0이 중근을 가지므로 이 이차방정식
0855
0853
`
D
4
cosÛ
`
의 판별식을 D라 하면
`
`
`
=cosÛ
`
h-(sinÛ
h+cos h)=0
… ❶
꼭짓점의 좌표를 구한다.
h-(1-cosÛ
h+cos h)=0, 2cosÛ
h-cos h-1=0
`
(2cos h+1)(cos h-1)=0
이때, 00)초 후의 y좌표를 각각 f(t), g(t)로 놓고 두 함수
y=f(t), y=g(t)의 그래프를 그려 두 그래프가 만나는 횟수를 구한다.
두 점 P, Q의 t(t>0)초 후의 y좌표를 각각 f(t), g(t)라 하면 t초 후
두 동경 OP, OQ가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 각각
pt,
pt이므로
;3@;
;3$;
f(t)=sin
pt, g(t)=sin
;3$;
;3@;
pt
이때, 두 점 P, Q의 y좌표가 같아지는 것은 f(t)=g(t)일 때이므로
두 함수 y=f(t), y=g(t)의 그래프가 만날 때이다.
2p
함수 f(t)의 최댓값은 1, 최솟값은 -1, 주기는
=3
함수 g(t)의 최댓값은 1, 최솟값은 -1, 주기는
p
;3@;
2p
p
;3$;
=
;2#;
y
1
O
-1
y=f(t)
y=g(t)
3
2
9
4
3
4
3
t
위의 그림에서 두 함수 y=f(t), y=g(t)의 그래프는 출발 후 3초가
될 때까지 4번 만나므로 출발 후 99초가 될 때까지 4´33=132 (번)만
난다. 또, 이후 1초 동안 두 함수 y=f(t), y=g(t)의 그래프는 1번
만나므로 출발 후 100초가 될 때까지 두 점 P, Q의 y좌표가 같아지는
횟수는
132+1=133 (번)
104 | II . 삼각함수
즉, 두 함수 y=f(t), y=g(t)의 그래프는 다음 그림과 같다.
용한다.
sin x=a, cos x=b로 놓으면
085105고등유형해결6(수1)해-16.ok.indd 104
2018-03-13 오후 4:01:58
정답과 해설 7 사인법칙과 코사인법칙
본책 128~143쪽
6ㅡ
삼
각
함
수
의
그
래
프
|2k-1|
kÛ`+1
"Ã
=1, |2k-1|=
kÛ
+1
"Ã
`
양변을 제곱하여 정리하면
3kÛ
-4k=0, k(3k-4)=0
`
∴ k=0 또는 k=
;3$;
따라서 구하는 최댓값과 최솟값의 합은
이다.
;3$;
;3$;
0860
|전략| 정수 n에 대하여 [sin x]=n이면 nÉsin x0
`
`
(2 sin h+1)(2 sin h-1)>0
∴ sin h<-
또는 sin h>
;2!;
오른쪽 그림에서 sin h<-
;2!;
;2!;
또는 sin h>
의 해는
;2!;
y
O
0이므로 b=
10
'¶
4
3
'
0874
코사인법칙에 의하여
cÛ`=5Û`+4Û`-2´5´4´cos 60ù
cÛ`=25+16-2´5´4´
=21
;2!;
c>0이므로 c=
21
'¶
0875
코사인법칙에 의하여
6
cos A=
3Û`+(
2)Û`-(2
'
2´3´
2
'
2)Û`
'
= 1
2
'
2
2
= '
4
0876
코사인법칙에 의하여
cos B=
5Û`+4Û`-(
'¶
2´5´4
21)Û`
=
;2!;
3
2
'
2
0877
코사인법칙에 의하여
cos C= 6Û`+7Û`-8Û`
2´6´7
=
;4!;
0878
코사인법칙에 의하여
cos A=
3Û`+(
2)Û`-(
2
'
2´3´
'
5)Û`
2
= '
2
'
0ù0이므로 a=1
0873
코사인법칙에 의하여
106 | II . 삼각함수
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여
105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 106
2018-03-13 오후 2:25:02
정답과 해설 0888
내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 △ABC의 넓이는
15
2
'
r(a+b+c)=5,
´r´15=5
∴ r=
;2!;
;2!;
;3@;
;3@;
2
6
'
따라서 삼각형 ABC의 넓이는
"Ãs(s-7)(s- ㈐ 8 )(s-9)=
'
2´5´4´3= ㈑ 12
1
5
'
㈎ 2 ㈏ 12 ㈐ 8 ㈑ 12
5
'
10
3
ABCD=5´7´ '
2
=
3
35
'
2
3
35
'
2
7ㅡ
사
인
법
칙
과
코
사
인
법
칙
0889
헤론의 공식을 적용하면
s=
7+8+9
㈎ 2
= ㈏ 12
0890
ABCD=5´7´sin 120ù
0891
B=D=60ù이므로
ABCD=6´9´sin 60ù
3
ABCD=6´9´ '
2
=27
3
'
0892
A+B=180ù이므로 A=180ù-135ù=45ù
∴ ABCD=3´4´sin 45ù
2
∴ ABCD=3´4´ '
2
=6
2
'
0893
ABCD=
´5´8´sin 30ù
ABCD=
´5´8´
=10
;2!;
;2!;
;2!;
27
3
'
6
2
'
10
△ABC=
2´4´sin C=
´
;2!;
'
6
'
3
∴ sin C= '
2
0ù0)라 하면
a+b=5k, b+c=6k, c+a=7k
yy ㉠
A
4
45ù
60ù
h
D
180ù-h
C
세 식을 모두 변끼리 더하면
2a+2b+2c=18k
∴ a+b+c=9k
㉡에서 ㉠의 각 식을 빼면
a=3k, b=2k, c=4k
∴ sin A : sin B : sin C=a : b : c=3 : 2 : 4
③
②
벤치 2
49p`mÛ`
yy ㉡
0902
△ABC에서 A+B+C=180ù
A : B : C=1 : 1 : 4이므로
⑤
A=180ù´
=30ù
B=180ù´
=30ù
C=180ù´
=120ù
사인법칙에 의하여
;6!;
;6!;
;6$;
0895
꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발
을 D라 하면 △ABD는 직각이등변삼각
형이므로
BDÓ=ADÓ=1
피타고라스 정리에 의하여
CDÓ=
5-1=2
'Ä
∴ BCÓ=1+2=3
△ABC에서 사인법칙에 의하여
5
'
sin 45ù
= 3
sin A
0896
△ADC에서 CDÓ=CAÓ=a라 하면
△ABC에서 A=60ù이므로 사인법칙에
의하여
= a
100+a
sin 60ù
sin 30ù
(100+a) sin 30ù=a sin 60ù
3
(100+a)= '
2
;2!;
a, (
3-1)a=100
'
∴ a=
100
3-1
'
=50(
3+1)
'
0897
∠ADB=h라 하면 ∠ADC=180ù-h
△ABD에서 사인법칙에 의하여
6
= 6
BDÓ
sin 60ù
BDÓ= 6
이므로
sin h
´sin 60ù= 6
sin h
sin h
B
3
´ '
2
= 3
3
'
sin h
△ADC에서 사인법칙에 의하여
=
DCÓ
sin 45ù
DCÓ= 4
sin h
4
sin (180ù-h)
´sin 45ù= 4
sin h
이므로
2
´ '
2
= 2
2
'
sin h
∴ BDÓ :
DCÓ
=
3
3
:
'
sin h
2
2
'
sin h
=3
3 : 2
2
'
'
0898
|전략| △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 할 때,
b
2R
, sin B=
, sin C=
sin A=
a
2R
c
2R
임을 이용한다.
108 | II . 삼각함수
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여
+ b
sin A+sin B+sin C= a
2R
2R
sin A+sin B+sin C= a+b+c
+ c
2R
=
=
2R
;1#2);
;2%;
;2%;
a : b : c=sin A : sin B : sin C
a : b : c=sin 30ù : sin 30ù : sin 120ù
a : b : c=
:
;2!;
3
: '
2
;2!;
=1 : 1 :
3
'
1 : 1 :
'
3
105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 108
2018-03-13 오후 2:25:04
정답과 해설 k :
'
6k :
3
6
'
2
k=8 : 6 : 9
… ❶
0907
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여
, sin C= c
sin A= a
2R
2R
, sin B= b
2R
sin A : sin B : sin C=a : b : c=8 : 6 : 9
… ❷
이것을 a sin A+b sin B=c sin C에 대입하면
따라서 sin A=8m, sin B=6m, sin C=9m(m>0)으로 놓으면
sin A
sin B+sin C
=
8m
6m+9m
=
;1¥5;
aÛ`
2R
+
bÛ`
2R
=
cÛ`
2R
∴ aÛ`+bÛ`=cÛ`
따라서 △ABC는 C=90ù인 직각삼각형이다.
0903
a+b-2c=0
a-3b+c=0
㉠-㉡을 하면 4b-3c=0
∴ b=
c
;4#;
㉠_3+㉡을 하면 4a-5c=0
∴ a=
c
;4%;
따라서 a : b : c=
c :
c : c=5 : 3 : 4이므로
;4%;
;4#;
sin A : sin B : sin C=a : b : c=5 : 3 : 4
③
0904
ab : bc : ca=8 : 9 : 12이므로
ab=8kÛ`
yy ㉠, bc=9kÛ`
yy ㉡, ca=12kÛ`
yy ㉢
으로 놓고 ㉠, ㉡, ㉢을 변끼리 곱하면
(abc)Û`=864kß`
∴ abc=12
6kÜ` (∵ abc>0)
yy ㉣
'
㉣Ö㉠에서 c= 3
㉣Ö㉡에서 a= 4
6
'
2
k
6
'
3
k
㉣Ö㉢에서 b=
'
∴ a : b : c= 4
6k
6
'
3
사인법칙에 의하여
… ❸
;1¥5;
비율
50`%
20`%
30`%
❶ a : b : c를 구할 수 있다.
❷ 사인법칙을 이용하여 sin A : sin B : sin C를 구할 수 있다.
❸ sin A, sin B, sin C를 한 종류의 문자로 나타낸 후 대입하여
❺
sin A
sin B+sin C
의 값을 구할 수 있다.
채점 기준
0905
|전략| sin A=
, sin B=
, sin C=
를 주어진 식에 대입하여
a
2R
b
2R
c
2R
a, b, c에 대한 관계식을 구하고 삼각형의 모양을 판별한다.
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여
sin A= a
2R
, sin C= c
2R
이것을 a sin A=c sin C에 대입하면
a´ a
2R
=c´ c
2R
∴ aÛ`=cÛ`
∴ a=c (∵ a>0, c>0)
yy ㉠
yy ㉡
△ABC에서
⑴ a=b ⇨ 이등변삼각형
⑵ a=b=c ⇨ 정삼각형
⑶ aÛ`=bÛ`+cÛ` ⇨ A=90ù인 직각삼각형
⑷ b=c이고 aÛ`=bÛ`+cÛ` ⇨ A=90ù인 직각이등변삼각형
0906
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여
, sin C= c
sin A= a
2R
2R
, sin B= b
2R
이것을 a sinÛ` A=b sinÛ` B=c sinÛ` C에 대입하면
a_
{
a
2R }
=b_
b
2R }
{
=c_
c
2R }
{
∴ aÜ`=bÜ`=cÜ`
2`
2`
2`
a, b, c는 실수이므로 a=b=c
따라서 △ABC는 정삼각형이다.
①
∴ △ABC=
ab
;2!;
①
0908
|전략| ABCD가 원에 내접함을 이용하여 B의 크기를 구하고, △ABC에서
코사인법칙을 이용하여 ABÓ의 길이를 구한다.
ABCD가 원에 내접하므로 B+D=180ù
∴ B=150ù
ABÓ : BCÓ=1 :
'
△ABC에서 코사인법칙에 의하여
3이므로 ABÓ=a라 하면 BCÓ=
3a
'
(
14)Û`=aÛ`+(
3a)Û`-2´a´
3a´cos 150ù, 7aÛ`=14
'
'
'¶
∴ a=
'
2 (∵ a>0)
②
0909
오른쪽 그림의 △ABD에서 BDÓ=x라 하면
코사인법칙에 의하여
xÛ`=6Û`+1Û`-2´6´1´cos h
xÛ`=37-12 cos h
A
h
x
3
1
D
5
C
6
B
7 사인법칙과 코사인법칙 | 109
따라서 △ABC는 a=c인 이등변삼각형이다.
②
ABCD가 원에 내접하므로
105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 109
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7ㅡ사인법칙과코사인법칙 ∠BCD=180ù-h
△BCD에서 코사인법칙에 의하여
xÛ`=3Û`+5Û`-2´3´5´cos(180ù-h)=34+30 cos h
즉, 37-12 cos h=34+30 cos h이므로 cos h=
;1Á4;
따라서 m=14, n=1이므로 m+n=15
15
cos C= aÛ`+bÛ`-cÛ`
2ab
= (2k)Û`+(3k)Û`-(4k)Û`
2´2k´3k
cos C= -3kÛ`
12kÛ`
=-
;4!;
-
;4!;
0914
△ABC에서 코사인법칙에 의하여
cos B= 6Û`+4Û`-6Û`
=
2´6´4
;3!;
P
2h
B
A
2
p-h
O
h
2
2
△BCD가 이등변삼각형이므로 ∠ADC=p-B
∴ sin (∠ADC)=sin (p-B)=sin B
∴ sin (∠ADC)=
1-cosÛ` B (∵ 0ù0)
③
0911
|전략| 코사인법칙을 이용하여 △ABD에서 cos B의 값을 구한 다음, △ABC
0912
a+c
b-c
= b
a-c
에서
∴ aÛ`=bÛ`+cÛ`-bc
코사인법칙에 의하여
(a+c)(a-c)=b(b-c), aÛ`-cÛ`=bÛ`-bc
cos A= bÛ`+cÛ`-aÛ`
2bc
= bÛ`+cÛ`-(bÛ`+cÛ`-bc)
2bc
=
;2!;
0913
△ABC에서 A+B+C=180ù이므로
A+B=180ù-C
즉, sin
A+B-C
2
=sin
180ù-2C
2
=sin (90ù-C)=cos C
이때, a : b : c=sin A : sin B : sin C=2 : 3 : 4이므로
a=2k, b=3k, c=4k(k>0)로 놓으면
110 | II . 삼각함수
∴ sin (∠ADC)=
1-
④
"Ã
®É
= 2
2
'
3
{;3!;}
2`
0915
△ABC에서 각의 이등분선의 성질에 의하여
ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ
이때, ACÓ=BDÓ이므로 12 : ACÓ=ACÓ : 3
즉, ACÓ Û`=36에서 ACÓ=6 (∵ ACÓ>0)
따라서 △ABC에서 BCÓ=BDÓ+DCÓ=6+3=9이므로 코사인법칙
에 의하여
cos B= 12Û`+9Û`-6Û`
=
2´12´9
;2!1*6(;
=
;8&;
;8&;
각의 이등분선의 성질
오른쪽 그림과 같은 △ABC에서 ADÓ가 ∠A의 이등
A
0916
선분 AB가 원 O의 지름이므로
∠APB=90ù
∴ BPÓ=
"Ã
∠PAB=h이므로
'
(2
3)Û`-(2
2)Û`=
4=2
'
'
∠POB=2h
cos 2h= (
'
3)Û`-2Û`
3)Û`+(
2´
'
3´
'
3
'
'
=
;3!;
한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대
한 중심각의 크기의 ;2!;이다.
즉, ∠APB=
;2!;∠AOB
B
D
C
P
2
A
2h
3
'
B
2
2
'
h
3
'
O
2
3
'
;3!;
P
O
A
B
ACÓ Û`=7Û`+9Û`-2´7´9´cos B=130-126´
=40
;7%;
∴ ACÓ=2
10 (∵ ACÓ>0)
'¶
분선일 때
ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ
②
∴ A=60ù (∵ 0ù0이므로
>0,
>0
;8{;
;2£[;
산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
cos C=
+
;8{;
;2£[;
¾æ2æ
´
®É;8{;
;2£[;
3
= '
2
135ù
이때, 등호는
=
일 때 성립하므로
;8{;
;2£[;
xÛ`=12
∴ x=2
3 (∵ x>0)
'
따라서 C의 크기가 최대일 때, x의 값은 2
3이다.
'
③
0918
sin A : sin B : sin C=3 : 5 : 7이므로
a : b : c=3 : 5 : 7
a=3k, b=5k, c=7k(k>0)라 하면
C가 최대각이므로 코사인법칙에 의하여
cos C= (3k)Û`+(5k)Û`-(7k)Û`
=-
2´3k´5k
;2!;
∴ C=120ù (∵ 0ù0)로 놓고, 최대각의 크기를
a : b : c= 1
3
'
a : b : c= 2
k :
k :
k
1
3+
3
'
3
1
2
'
3
2
'
6
3
'
6
:
:
3-
'
6
a : b : c=2
'
3 : 3
'
2 : (3-
'
2 l, c=(3-
a=2
3 l, b=3
'
'
h라 하면 코사인법칙에 의하여
'
3)
cos h=
cos h=
(2
'
3l)Û`+(3-
2´2
'
3l´(3-
3)Û`lÛ`-(3
3)l
'
2l)Û`
'
'
3)lÛ`-18lÛ`
12lÛ`+(12-6
(12
'
3-12)lÛ`
cos h=
'
3)
'
3-1)
6(1-
12(
'
=-
;2!;
∴ h=120ù (∵ 0ù0, b>0일 때,
a+b
2
'¶
¾
ab (단, 등호는 a=b일 때 성립)
0921
|전략| 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 a, b, c에 대한 관계식을 구하고 삼각
형의 모양을 판별한다.
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면
sin A=2 sin B cos C에서 사인법칙과 코사인법칙에 의하여
a
2R
=2´ b
2R
´ aÛ`+bÛ`-cÛ`
2ab
이므로
aÛ`=aÛ`+bÛ`-cÛ`, bÛ`=cÛ`
∴ b=c (∵ b>0, c>0)
따라서 △ABC는 b=c인 이등변삼각형이다.
②
0922
a cos B=b cos A에서 코사인법칙에 의하여
a´ cÛ`+aÛ`-bÛ`
2ca
=b´ bÛ`+cÛ`-aÛ`
이므로
2bc
cÛ`+aÛ`-bÛ`=bÛ`+cÛ`-aÛ`, aÛ`=bÛ`
∴ a=b (∵ a>0, b>0)
따라서 △ABC는 a=b인 이등변삼각형이다.
①
따라서 최대각의 크기는 120ù이다.
120ù
참고 a=2
3l, b=3
'
'
12=3.___, 3
2
3=
'
'¶
b>a>c
2l, c=(3-
3)l에서
'
2=
18=4.___, 3-
3=1.___이므로
'
'¶
'
0920
코사인법칙에 의하여
cos C= 4Û`+xÛ`-2Û`
2´4´x
= xÛ`+12
8x
=
+
;8{;
;2£[;
0923
tan A sinÛ` B=tan B sinÛ`A에서
sin A
cos A
_sinÛ` B=
_sinÛ` A
sin B
cos B
sin B
cos A
=
sin A
cos B
∴ sin A cos A=sin B cos B
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙과 코사인
법칙에 의하여
7 사인법칙과 코사인법칙 | 111
105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 111
2018-03-13 오후 2:25:05
7ㅡ사인법칙과코사인법칙 a
2R
´ bÛ`+cÛ`-aÛ`
2bc
= b
2R
´ cÛ`+aÛ`-bÛ`
2ca
이므로
aÛ`(bÛ`+cÛ`-aÛ`)=bÛ`(cÛ`+aÛ`-bÛ`)
aÛ`bÛ`+aÛ`cÛ`-aÝ`=bÛ`cÛ`+aÛ`bÛ`-bÝ`
(aÛ`-bÛ`)cÛ`-(aÛ`+bÛ`)(aÛ`-bÛ`)=0
(aÛ`-bÛ`)(cÛ`-aÛ`-bÛ`)=0
(a+b)(a-b)(cÛ`-aÛ`-bÛ`)=0
이때, a+b+0이므로
a=b 또는 cÛ`=aÛ`+bÛ`
따라서 △ABC는 a=b인 이등변삼각형 또는 C=90ù인 직각삼각형
이므로 △ABC의 모양이 될 수 있는 것은 ㄷ, ㄹ이다.
ㄷ, ㄹ
0924
|전략| △ABC에서 코사인법칙을 이용하여 ACÓ의 길이를 구하고,
△ABC=
ABÓ´ACÓ´sin A를 이용하여 △ABC의 넓이를 구한다.
;2!;
∴ △ABC=SÁ+Sª+S£
∴ △ABC=
´20´20´sin 90ù+
´20´20´sin120ù
;2!;
;2!;
∴ △ABC=200+100
3+100
∴ △ABC=100(3+
'
3)
'
+
´20´20´sin 150ù
;2!;
100(3+
3)
'
0927
ADÓ=x라 하면 △ABC=△ABD+△ADC이므로
´60´20´sin 120ù=
´60´x´sin 60ù+
´20´x´sin 60ù
;2!;
;2!;
;2!;
300
3=15
'
∴ x=15
'
3x+5
3x, 20
3x=300
3
'
'
'
다른 풀이 ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로
60 : 20=BDÓ : CDÓ
즉, BDÓ : CDÓ=3 : 1이므로 BDÓ=
BCÓ
;4#;
②
∴ △ABD=
;4#;△ABC=
;4#;
´
´60´20´sin 120ù
}
{;2!;
=225
3
'
①
ADÓ=x라 하면 △ABD=
´60´x´sin 60ù=225
3에서
;2!;
'
ACÓ=x라 하면 코사인법칙에 의하여
(
19)Û`=2Û`+xÛ`-2´2´x´cos 120ù
'¶
xÛ`+2x-15=0, (x-3)(x+5)=0
∴ x=3 (∵ x>0)
∴ △ABC=
´2´3´sin 120ù=
;2!;
3
3
'
2
0925
AB'Ó의 길이는 ABÓ의 길이를 10`% 늘린 것이므로
AB'Ó=
1+
{
;1Á0¼0;}
ABÓ=1.1 ABÓ
AC'Ó의 길이는 ACÓ의 길이를 10`% 줄인 것이므로
AC'Ó=
1-
{
;1Á0¼0;}
ACÓ=0.9 ACÓ
이때, △ABC=
ABÓ´ACÓ´sin A이므로
;2!;
△AB'C'=
AB'Ó´AC'Ó´sin A
;2!;
;2!;
△AB'C'=
´1.1 ABÓ´0.9 ACÓ´sin A
△AB'C'=0.99´
ABÓ´ACÓ´sin A
;2!;
△AB'C'=0.99△ABC
15
3x=225
3
'
'
∴ x=15
0928
코사인법칙에 의하여
7Û`=bÛ`+cÛ`-2bc cos 120ù
즉, 49=bÛ`+cÛ`+bc
bÛ`+cÛ`=(b+c)Û`-2bc이므로
bÛ`+cÛ`=8Û`-2bc=64-2bc
㉡을 ㉠에 대입하면
49=64-2bc+bc=64-bc
∴ bc=15
따라서 △ABC의 넓이는
따라서 △AB'C'의 넓이는 △ABC의 넓이의
배이므로 △ABC
;1»0»0;
의 넓이보다 1`% 감소한다.
①
;2!;
채점 기준
0926
부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 비
례하므로 오른쪽 그림에서 원의 중심을 O라
bcsin A=
bc´sin 120ù=
;2!;
3
´15´ '
2
;2!;
=
3
15
'
4
A
S¡
O
S™
S£
C
❶ 코사인법칙을 이용하여 b, c에 대한 관계식을 세울 수 있다.
❷ 곱셈 공식의 변형을 이용하여 b, c에 대한 관계식을 세울 수 있다.
❸ bc의 값을 구할 수 있다.
❹ △ABC의 넓이를 구할 수 있다.
B
다른 풀이 b+c=8이므로 c=8-b
코사인법칙에 의하여
7Û`=bÛ`+(8-b)Û`-2´b´(8-b)´cos 120ù
bÛ`-8b+15=0, (b-3)(b-5)=0
∴ b=3 또는 b=5
하면
∠AOB=360ù´
=90ù
∠BOC=360ù´
=120ù
∠COA=360ù´
=150ù
;1£2;
;1¢2;
;1°2;
112 | II . 삼각함수
yy ㉠
… ❶
yy ㉡
… ❷
… ❸
… ❹
15
3
'
4
비율
30`%
30`%
20`%
20`%
105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 112
2018-03-13 오후 2:25:06
정답과 해설 따라서 b=3, c=5 또는 b=5, c=3이므로
△ABC=
´3´5´sin 120ù=
;2!;
3
15
'
4
0929
오른쪽 그림에서
ADÓ=a, BEÓ=b, CFÓ=c라 하면
BDÓ=2a, CEÓ=2b, AFÓ=2c이므로
△ABC와 △ADF에서
△ABC=
´3a´3c´sin A=
ac sin A
;2(;
△ADF=
´a´2c´sin A=ac sin A
;2!;
;2!;
A
a
D
2c
2a
F
c
B
b
E
2b
C
∴ △ADF=
△ABC
;9@;
같은 방법으로
△BED=△CFE=
△ABC
;9@;
∴ △DEF=△ABC-(△ADF+△BED+△CFE)
∴ △DEF=
1-
+
+
;9@;
{;9@;
;9@;}]
△ABC
[
;3!;
∴ △DEF=
△ABC
∴ m+n=3+1=4
0930
|전략| △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 할 때,
△ABC에서 ACÓ=BCÓ이므로 B=A=30ù
∴ C=180ù-(30ù+30ù)=120ù
△ABC의 외접원의 반지름의 길이가 6이므로
0931
△ABC= abc
4´5
=6이므로 abc=120
120
0932
|전략| △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 할 때,
△ABC=
bc sin A=
r(a+b+c)임을 이용한다.
;2!;
;2!;
△ABC=
´5´8´sin 60ù=10
3
;2!;
'
한편, 코사인법칙에 의하여
aÛ`=5Û`+8Û`-2´5´8´cos 60ù=49
∴ a=7`(∵ a>0)
△ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면
△ABC=
r(7+5+8)=10r
;2!;
'
㉠=㉡에서 10
3=10r
∴ r=
3
'
yy ㉠
yy ㉡
3
'
0933
오른쪽 그림과 같이 삼각형의 세 꼭짓점을
A, B, C라 하면
cos B= 5Û`+6Û`-7Û`
2´5´6
=
;5!;
1-
{;5!;}
∴ sin B=
®É
∴ sin B= 2
2`
(∵ sin B>0)
6
'
5
;2!;
A
5
r
7
B
6
C
∴ △ABC=
´5´6´sin B=15´ 2
6
'
5
=6
6
'
이때, △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면
△ABC=
r(5+6+7)=9r
;2!;
㉠=㉡에서 6
6=9r
'
∴ r= 2
6
'
3
yy ㉠
yy ㉡
2
6
'
3
0934
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여
, sin C= c
sin A= a
2R
2R
+ c
2R
, sin B= b
2R
sin A+sin B+sin C= a
2R
= a+b+c
2R
+ b
2R
이므로
… ❶
이때, R=8이고 sin A+sin B+sin C=
이므로
;2%;
②
= a+b+c
2´8
;2%;
∴ a+b+c=40
따라서 △ABC에서 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 r=3이
… ❷
… ❸
60
비율
30`%
30`%
40`%
;1^0#;
yy ㉠
0935
|전략| △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R, 내접원의 반지름의 길이를 r라
므로
채점 기준
있다.
❷ a+b+c의 값을 구할 수 있다.
❸ △ABC의 넓이를 구할 수 있다.
;2!;
=
할 때,
abc
4R
△ABC= 4´7´9
4R
r(a+b+c)임을 이용한다.
=
r(4+7+9)이므로
;2!;
63
R
=10r
∴ Rr=
;1^0#;
0936
△ABC=2RÛ` sin A sin B sin C
한편, 사인법칙에 의하여
= c
= b
a
sin A
a=2R sin A, b=2R sin B, c=2R sin C
=2R이므로
sin B
sin C
△ABC=2RÛ` sin A sin B sin C임을 이용하여 △ABC의 넓이를 구한다.
△ABC=
r(a+b+c)=
´3´40=60
;2!;
;2!;
△ABC=2´6Û`´sin 30ù sin 30ù sin 120ù=9
3
'
9
3
'
❶ 사인법칙을 이용하여 sin A+sin B+sin C를 세 변 a, b, c로 나타낼 수
7 사인법칙과 코사인법칙 | 113
105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 113
2018-03-13 오후 2:25:06
7ㅡ사인법칙과코사인법칙 ∴ a+b+c=2R(sin A+sin B+sin C)
△ABC의 내접원의 반지름의 길이가 r이므로
△ABC=
r(a+b+c)
△ABC=
r{2R(sin A+sin B+sin C)}
;2!;
;2!;
㉠=㉡에서
2RÛ` sin A sin B sin C=Rr(sin A+sin B+sin C)
sin A+sin B+sin C
sin A sin B sin C
= 2RÛ`
Rr
= 2R
r
∴ k=2
△ABC=Rr(sin A+sin B+sin C)
yy ㉡
2R=
3
28
'
3
다른 풀이 코사인법칙에 의하여
cos A=
6Û`+10Û`-14Û`
2´6´10
=-
;2!;
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면
사인법칙에 의하여
=2R이므로
14
sin 120ù
∴ A=120ù (∵ 0ù0)로 놓고 헤론의 공식을 이용한다.
세 변의 길이를 2k, 3k, 3k(k>0)라 하면
4k(4k-2k)(4k-3k)(4k-3k)=2
2kÛ`
'
s= 2k+3k+3k
=4k이므로
2
△ABC=
"Ã
△ABC의 넓이가 18
2이므로
'
2, kÛ`=9
2
2kÛ`=18
'
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
'
∴ k=3 (∵ k>0)
2k+3k+3k=8k=8´3=24
24
0938
a+b=4k, b+c=5k, c+a=6k(k>0)라 하고 세 식을 모두 변
끼리 더하면
2a+2b+2c=15k
∴ a+b+c=
k
:Á2°:
△ABC의 둘레의 길이가 45이므로
k=45
∴ k=6
:Á2°:
따라서 a+b+c=45, a+b=24, b+c=30, c+a=36이므로
a=15, b=9, c=21
이때, s=
이므로
:¢2°:
△ABC=
®É:¢2°:{:¢2°:
-15
-9
}{:¢2°:
}{:¢2°:
-21
= 135
'
4
3
}
3
135
'
4
yy ㉡
3
28
'
3
△ABC=
15(15-6)(15-10)(15-14)=15
3
yy ㉠
'
0939
s= 6+10+14
=15이므로
2
"Ã
원의 반지름의 길이를 R라 하면
△ABC= 6´10´14
= 210
R
4R
㉠=㉡에서
210
R
=15
3
'
∴ R= 14
'
3
3
따라서 원의 지름의 길이는 2R= 28
'
3
3
114 | II . 삼각함수
이때, aÛ`=bÛ`+cÛ`이므로 A=90ù
90ù
;2!;
;2!;
;2!;
0941
|전략| △ABC=
´ABÓ´BCÓ´sin B에서 sin B의 값이 최대일 때,
;2!;
△ABC의 넓이가 최대임을 이용한다.
△ABC=
´ABÓ´BCÓ´sin B
△ABC=
´5´7´sin B=
sin B
:£2°:
sin B의 값이 최대일 때, △ABC의 넓이가 최대이므로
sin B=1 (∵ 0ù0)
'¶
74
'¶
0942
△ABC=
pq sin A에서 △ABC의 넓이가 최대이려면 pq, sin A
가 모두 최대이어야 한다.
p>0, q>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
pÛ`+qÛ`¾2
pÛ`qÛ`=2pq (단, 등호는 p=q일 때 성립)
8¾2pq
"Ã
∴ pqÉ4
따라서 pq의 최댓값은 4이고, 0ù0)
△ABD=
´ADÓ´ABÓ´sin 60ù=
'
;2!;
;2!;
△BCD=
´BCÓ´BDÓ´sin 45ù=
∴ ABCD=△ABD+△BCD
∴ ABCD=2
3+3
'
0944
오른쪽 그림에서
ABCD=△ABD+△BCD
△BCD에서 코사인법칙에 의하여
BDÓ Û`=3Û`+5Û`-2´3´5´cos 120ù
BDÓ Û`=34-30´
-
=49
{
;2!;}
∴ BDÓ=7 (∵ BDÓ>0)
△ABD에서 코사인법칙에 의하여
cos A= 3Û`+8Û`-7Û`
=
2´3´8
;2!;
sin A=
1-cosÛ` A=
1-
(∵ 0ù0)
'
A
4
2
C
B
120ù
6
60ù
D
4
ABCD가 원에 내접하므로 B+D=180ù
∴ B=120ù
ABÓ=x라 하면 △ABC에서 코사인법칙에 의하여
(2
7)Û`=xÛ`+2Û`-2´x´2´cos 120ù, xÛ`+2x-24=0
'
(x+6)(x-4)=0
∴ x=4 (∵ x>0)
∴ ABCD=△ABC+△ACD
∴ ABCD=
´4´2´sin 120ù+
´6´4´sin 60ù
;2!;
∴ ABCD=2
3+6
3=8
'
3
'
;2!;
'
0946
오른쪽 그림과 같이 사각형 ABCD를 점
O를 꼭짓점으로 갖는 삼각형 4개로 나눌
부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 비
수 있다.
례하므로
D
A
O
h
6
8
3
'
C
B
므로
B+C=180ù
∴ B=180ù-C=180ù-135ù=45ù
∴ ABCD=ABÓ´BCÓ´sin B
∴ ABCD=6´8´sin 45ù=24
2
'
0948
평행사변형 ABCD의 넓이가 12
3이므로
'
③
4´6´sin B=12
3
'
3
∴ sin B= '
2
0ù0, q>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
p+q¾æ2
pq, 6¾æ2
pq
'¶
∴ pqÉ9 (단, 등호는 p=q일 때 성립)
'¶
∴ ABCD=
pq sin 60ùÉ
;2!;
3
´9´ '
2
;2!;
=
9
3
'
4
9
3
'
4
0953
ABCD=2´4´sin 60ù=4
3
'
△ABC에서 코사인법칙에 의하여
ACÓ Û`=2Û`+4Û`-2´2´4´cos 60ù=12
∴ ACÓ=2
3 (∵ ACÓ>0)
A=180ù-B=180ù-60ù=120ù이므로
△ABD에서 코사인법칙에 의하여
BDÓ Û`=2Û`+4Û`-2´2´4´cos 120ù=28
7 (∵ BDÓ>0)
∴ BDÓ=2
'
'
따라서 ABCD=
´2
3´2
7´sin h=4
3이므로
;2!;
'
'
'
sin h=
2
7
'
7
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
0954
사인법칙에 의하여
CAÓ
sin 30ù
=
4
sin 45ù
이므로
CAÓ=
4
sin 45ù
´sin 30ù=
B
2
=2
´
;2!;
'
4
2
'
2
점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면
116 | II . 삼각함수
BCÓ=BHÓ+HCÓ=4 cos 30ù+2
2 cos 45ù
'
3
BCÓ=4´ '
2
+2
2
2´ '
2
'
BCÓ=2
3+2=2(
3+1)
'
'
0955
유형 02 사인법칙 - 외접원과의 관계
|전략| C의 크기와 AMÓ의 길이를 구하고, △ACM의 외접원의 반지름의 길이
를 R라 하면 사인법칙에 의하여
=2R임을 이용한다.
AMÓ
sin C
△ABC는 직각이등변삼각형이므로 C=45ù
=3이므로 △ABM에서 피타고라스 정리에 의하여
… ❶
… ❷
12
2
'
비율
50`%
50`%
△ACM의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여
BMÓ=6´
;2!;
AMÓ Û`=6Û`+3Û`=45
∴ AMÓ=3
5 (∵ AMÓ>0)
'
3
5
'
sin 45ù
=2R
∴ R=
3
5
'
2´sin 45ù
=
=
3
10
'¶
2
3
5
'
2
2´ '
2
0956
을 이용한다.
으면
유형 02 사인법칙 - 외접원과의 관계
|전략| A, B, C의 크기를 구하고, a+b+c=2R(sin A+sin B+sin C)임
△ABC에서 A+B+C=180ù
yy ㉠
A : B : C=1 : 2 : 3이므로 A=k, B=2k, C=3k(k>0)로 놓
A+B+C=k+2k+3k=6k
㉠=㉡에서 6k=180ù
∴ k=30ù
∴ A=30ù, B=60ù, C=90ù
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여
2
7
'
7
a=2R sin A=2R sin 30ù=R
b=2R sin B=2R sin 60ù=
3R
'
c=2R sin C=2R sin 90ù=2R
이때, a+b+c=6이므로 a+b+c=R+
3R+2R에서
'
6=(3+
∴ R=
'
3)R
6
3+
3
'
=3-
3
'
①
③
yy ㉡
②
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
유형 01 사인법칙 - 각과 변의 관계
|전략| 사인법칙을 이용하여 CAÓ의 길이를 구하고, 점 A에서 BCÓ에 수선의 발
0957
H를 내려 BCÓ=BHÓ+HCÓ임을 이용한다.
유형 03 사인법칙의 변형 - 변의 길이의 비
|전략| sin A : sin B : sin C=a：b：c임을 이용한다.
2a-b=9k, 2b-c=k, 2c-a=4k (k>0)로 놓고 세 식을 모두 변
4
30ù
A
H
45ù
C
끼리 더하면
a+b+c=14k
2a-b=9k에서 b=2a-9k
2c-a=4k에서 c=
+2k
;2A;
105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 116
2018-03-13 오후 2:25:09
㉡, ㉢을 ㉠에 대입하면
a+(2a-9k)+
+2k
=14k
∴ a=6k
{;2A;
}
a=6k를 ㉡, ㉢에 대입하면
b=2´6k-9k=3k, c= 6k
2
∴ a : b : c=6 : 3 : 5
+2k=5k
∴ sin A : sin B : sin C =a : b : c=6 : 3 : 5
④
0960
한다.
2b-a=5k
2c-b=6k
2c-a=7k
0958
유형 01 사인법칙 - 각과 변의 관계 + 05 코사인법칙
|전략| 사인법칙을 이용하여 APÓ의 길이를 구하고, 코사인법칙을 이용하여 ABÓ
유형 07 삼각형의 최대각과 최소각
|전략| 세 변의 길이의 크기를 비교하여 가장 긴 변의 대각이 최대각임을 이용
2b-a
5
=
2c-b
6
=
2c-a
7
=k(k는 실수)라 하면
가장 긴 변의 길이가 c이므로 C가 △ABC의 최대각이다.
㉡-㉢을 하면 a-b=-k
㉠, ㉣을 연립하여 풀면 a=3k, b=4k
a=3k를 ㉢에 대입하여 풀면 c=5k
코사인법칙에 의하여
cos C=
(3k)Û`+(4k)Û`-(5k)Û`
2´3k´4k
=0
∴ C=90ù (∵ 0ù0)
'
다른 풀이 △ABP에서 APÓ=BPÓ, ∠APC=60ù이므로
0961
D
4
유형 08 삼각형의 모양 결정
|전략| (판별식)=0임을 이용하여 식을 정리하고. 사인법칙을 이용하여 a, b, c에
대한 관계식을 구해 삼각형의 모양을 판별한다.
주어진 이차방정식이 중근을 가지므로 판별식을 D라 하면
=sinÛ` C-(cos A-cos B)(cos A+cos B)=0
①
즉, sinÛ` C-cosÛ` A+cosÛ` B=0
이때, cosÛ` A=1-sinÛ` A, cosÛ` B=1-sinÛ` B이므로
∠ABP=∠BAP=30ù
△ABC에서 사인법칙에 의하여
ABÓ
sin 45ù
= '
3
sin 30ù
ABÓ= '
3
sin 30ù ´sin 45ù
2
3
´ '
2
=
6
'
ABÓ= '
;2!;
0959
유형 05 코사인법칙 + 06 코사인법칙의 변형
|전략| 코사인법칙을 이용하여 △ABC에서 cos B의 값을 구하고 △ABD에서
ADÓ의 길이를 구한다.
△ABC에서 코사인법칙에 의하여
cos B= 4Û`+6Û`-5Û`
=
2´4´6
;1»6;
점 D가 BCÓ를 1:2로 내분하는 점이므로 BDÓ=2
따라서 △ABD에서 코사인법칙에 의하여
ADÓ Û`=4Û`+2Û`-2´4´2´cos B=20-16´
=11
;1»6;
∴ ADÓ=
11 (∵ ADÓ>0)
'¶
②
sinÛ` C-(1-sinÛ` A)+(1-sinÛ` B)=0
∴ sinÛ` C+sinÛ` A-sinÛ` B=0
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여
c
2R }
{
+
{
a
2R }
-
{
b
2R }
=0
2`
∴ bÛ`=aÛ`+cÛ`
2`
2`
따라서 △ABC는 B=90ù인 직각삼각형이다.
④
1-cosÛ` h임을 이용하여 sin h의 값을 구하고,
△OAB=
´AOÓ´BOÓ´sin h를 이용하여 △OAB의 넓이를 구한다.
sin h=
1-cosÛ` h (∵ 0ù0)로 놓고 △ABD, △ACD의 넓이를 구한 다음
△ABD : △ACD=BDÓ : CDÓ=3 : 2임을 이용한다.
0966
유형 16 평행사변형의 넓이
|전략| 평행사변형의 넓이를 이용하여 sin B의 값을 구하고, △ABC에서 코사
그런데 △ABD와 △ACD에서 BDÓ : CDÓ=3 : 2이고 두 삼각형의
ADÓ=l(l>0)이라 하면
△ABD=
´5´l´sin hÁ=
l sin hÁ
;2%;
△ACD=
´4´l´sin hª=2l sin hª
;2!;
;2!;
높이가 같으므로
△ABD : △ACD=3 : 2
즉,
l sin hÁ : 2l sin hª=3 : 2에서
;2%;
5 sin hÁ=6 sin hª
∴
sin hÁ
sin hª
=
;5^;
인법칙을 이용하여 ACÓ의 길이를 구한다.
평행사변형 ABCD의 넓이가 10
3이므로
'
4´5´sin B=10
3
'
3
∴ sin B= '
2
0ù0)
'¶
②
높이가 같은 삼각형의 넓이의 비
높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다.
0967
0964
유형 11 삼각형의 넓이와 내접원의 반지름의 길이
|전략| △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 할 때,
△ABC=
ac sin B=
r(a+b+c)임을 이용한다.
;2!;
;2!;
△ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면
△ABC=
´8´7´sin 120ù=
r(8+13+7)이므로
;2!;
;2!;
14
3=14r
∴ r=
3
'
'
③
0965
유형 13 삼각형의 넓이와 헤론의 공식
|전략| △ABC에서 코사인법칙을 이용하여 a의 값을 구하고, 헤론의 공식을 이
´x´x´sin 120ù=9
3
'
;2!;
3
xÛ`´ '
2
;2!;
=9
3, xÛ`=36
'
∴ x=6 (∵ x>0)
A
a-2
a-1
B
a
C
유형 17 사각형의 넓이
|전략| 등변사다리꼴의 두 대각선의 길이가 서로 같음을 이용하여 등변사다리꼴
ABCD의 넓이를 구해 본다.
ACÓ=x라 하면 등변사다리꼴의 두 대각
A
D
선의 길이가 서로 같으므로
BDÓ=x
두 대각선이 이루는 각의 크기가
120ù이고, 등변사다리꼴 ABCD의 넓이가 9
3이므로
x
120ù
C
B
'
따라서 등변사다리꼴 ABCD의 한 대각선의 길이는 6이다. ③
0968
유형 01 사인법칙 - 각과 변의 관계
|전략| 사인법칙을 이용하여 △AQB에서 AQÓ의 길이를 구한 다음, △PQA에
서 나무의 높이 PQÓ를 구한다.
∠AQB=180ù-(45ù+75ù)=60ù
△AQB에서 사인법칙에 의하여
, AQÓ sin 60ù=25 sin 45ù
AQÓ
sin 45ù
=
25
sin 60ù
3
AQÓ´ '
2
2
=25´ '
2
∴ AQÓ=
`(m)
6
25
'
3
△PQA에서 ∠PQA=90ù이므로
∠QPA=180ù-(90ù+30ù)=60ù
△PQA에서 사인법칙에 의하여
AQÓ
sin 60ù
=
PQÓ
sin 30ù
, PQÓ sin 60ù=AQÓ sin 30ù
… ❶
용하여 △ABC의 넓이를 구한다.
오른쪽 그림의 △ABC에서
코사인법칙에 의하여
cos A=
(a-1)Û`+(a-2)Û`-aÛ`
2(a-1)(a-2)
cos A=
cos A=
aÛ`-6a+5
2(a-1)(a-2)
(a-1)(a-5)
2(a-1)(a-2)
cos A=
a-5
2(a-2)
=
;5!;
5(a-5)=2(a-2)
3a=21
∴ a=7
의하여
s= 5+6+7
2
=9
118 | II . 삼각함수
따라서 △ABC의 세 변의 길이가 각각 5, 6, 7이므로 헤론의 공식에
105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 118
2018-03-13 오후 2:25:10
정답과 해설 3
PQÓ´ '
2
=
6
25
'
3
´
;2!;
∴ PQÓ=
`(m)
2
25
'
3
채점 기준
❶ AQÓ의 길이를 구할 수 있다.
❷ 나무의 높이 PQÓ를 구할 수 있다.
… ❷
2
25
'
3
m
배점
3점
3점
∠ACB=h라 하면 사인법칙에 의하여
3
'
sin 60ù
= 2
2
sin h
sin h= 2
2
'
3
이므로
´sin 60ù=
;2!;
∴ h=30ù (∵ 0ù0)
채점 기준
있다.
0970
❶ ∠BCA=∠DAC=h, ACÓ=x로 놓고 △ABC에서 cos h의 값을 구
할 수 있다.
❷ △ACD에서 cos h의 값을 구할 수 있다.
❸ ❶, ❷에서 구한 cos h의 값이 같음을 이용하여 ACÓ의 길이를 구할 수
❶ 코사인법칙을 이용하여 ACÓ의 길이를 구할 수 있다.
❷ ∠ACB=h라 할 때, 사인법칙을 이용하여 h의 크기를 구할 수 있다.
❸ ABCD=△ABC+△ACD임을 이용하여 ABCD의 넓이를 구
유형 02 사인법칙 - 외접원과의 관계 + 05 코사인법칙
|전략| 코사인법칙과 사인법칙을 이용하여 BCÓ의 길이와 외접원의 반지름의 길
이를 구하고, 이를 이용하여 호수의 넓이를 구한다.
⑴ 오른쪽 그림의 △ABC에서 코사인법
칙에 의하여
… ❶
⑴ BCÓ Û`=8Û`+10Û`-2´8´10´cos 60ù
C
8`m
⑴ BCÓ Û`=164-160´
=84
;2!;
60ù
A
10`m
B
… ❷
⑴ ∴ BCÓ=2
21 (m)
'¶
⑵ △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R`m라 하면 사인법칙에
… ❸
7
배점
2점
2점
3점
=2R
∴ R= 2
21
'¶
3
2´ '
2
=2
7 (m)
'
⑶ 호수의 넓이는 p(2
7)Û`=28p (mÛ`)
'
⑴ 2
21`m ⑵ 2
7`m ⑶ 28p`mÛ`
'¶
'
⑴ 코사인법칙을 이용하여 BCÓ의 길이를 구할 수 있다.
⑵ 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
⑶ 호수의 넓이를 구할 수 있다.
채점 기준
할 수 있다.
0971
의하여
⑴ 2
21
'¶
sin 60ù
채점 기준
0972
유형 13 삼각형의 넓이와 헤론의 공식
|전략| 삼각형의 결정 조건으로 x의 값의 범위를 구하고, 헤론의 공식을 이용하
여 △ABC의 넓이의 최댓값을 구한다.
ABCD=△ABC+△ACD임을 이용하여 ABCD의 넓이를 구한다.
⑴ 삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크므로
유형 15 사각형의 넓이 - 삼각형으로 나누기
|전략| ACÓ의 길이와 ∠ACD의 크기를 구한 다음
△ABC에서 코사인법칙에 의하여
ACÓ Û` =2Û`+4Û`-2´2´4´cos 60ù
=12
'
A
2
60ù
B
D
75ù
h
1
C
⑴ 4+(x+1)>5-x
⑴ 4+(5-x)>x+1
⑴ x+1+(5-x)>4
∴ ACÓ=2
3 (∵ ACÓ>0)
… ❶
4
⑴ ㉠, ㉡, ㉢에서 00)
'¶
0974
|전략| ∠BFE의 크기를 구하고, △EFG, △BFG, △BFE에 대하여 사인법칙,
ㄱ. △BFG에서 ∠FBG=120ù, ∠BGF=h이므로
코사인법칙을 적용한다.
ㄱ. ∠BFG=60ù-h
ㄱ. ∴∠BFE =∠EFG+∠BFG=30ù+(60ù-h)
ㄴ. △EFG에서 ∠FGE=30ù, ∠FEG=180ù-(30ù+30ù)=120ù
=90ù-h (참)
이므로 사인법칙에 의하여
ㄱ.
FGÓ
sin 120ù
= '
2
sin 30ù
ㄱ. ∴ FGÓ= '
´sin 120ù= '
2
sin 30ù
2
3
´ '
2
=
6
'
;2!;
ㄱ. 따라서 △BFG에서 사인법칙에 의하여
ㄱ. '
6
sin 120ù
=
BFÓ
sin h
ㄱ. ∴ BFÓ= '
6
sin 120ù
120 | II . 삼각함수
6
´sin h= '
3
'
2
´sin h=2
2 sin h (거짓)
'
ㄷ. △BFE에서 코사인법칙에 의하여
ㄷ. BEÓ Û`=BFÓ Û`+EFÓ Û`-2´BFÓ´EFÓ´cos (∠BFE)
ㄷ. BEÓ Û`=(2
ㄷ. BEÓ Û`=8 sinÛ` h+2-8 sinÛ` h (∵ cos (90ù-h)=sin h)
ㄷ. BEÓ Û`=2
ㄷ. 따라서 BEÓ=
2 (∵ BEÓ>0)로 항상 일정하다. (참)
2 sin h)Û`+(
2)Û`-2´2
2 sin h´
'
'
'
'
'
2´cos (90ù-h)
그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
③
0975
|전략| 직각삼각형을 이용하여 두 사각형 P, Q가 이루는 각의 sin값을 구한 후
색칠한 삼각형의 넓이를 구한다.
오른쪽 그림과 같이 직각삼각형의 세 꼭짓
점을 A, B, C라 하고, 색칠한 삼각형에서
나머지 두 꼭짓점을 D, E라 하자.
또, ∠DAE=h라 하면
∠EAC=∠DAB=
이므로
Ò;
;2Ò
h+∠BAC=p
∴ h=p-∠BAC
E
2
3
'
P
A
h
C
D
2
Q
R
B
2
2
'
C'
이때, sin(∠BAC)= 2
2
2
3
'
'
2
3
= '
'
∴ △DAE=
´ADÓ´AEÓ´sin h
;2!;
;2!;
2
3
'
3´ '
'
=2
2
'
③
0976
|전략| ∠BPC=h로 놓고 △PBC와 △ABC의 넓이가 같음을 이용하여 bc를
sin h에 대한 식으로 나타낸다.
∠BPC=h로 놓으면 △PBC의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
´6´3
;2!;
bc sin h=
;2!;
∴ bc= 18
sin h
Ú 점 P가 점 A와 일치할 때
Ú b=ABÓ=3, c=ACÓ=
3Û`+6Û`=3
5
Ú ∴ sin h=
'
"Ã
= 2
5
'
5
BCÓ
ACÓ
= 6
3
'
5
Û 점 P가 점 D와 일치할 때
Ú ∠BDE=45ù이고
Ú △BDEª△CDE이므로
Ú ∠CDE=45ù
Ú ∴ sin h =sin (∠CDB)
=sin 90ù=1
Ú, Û에서 2
5
'
5
Ésin hÉ1이므로
18ÉbcÉ9
5
'
따라서 bc의 최댓값은 9
5, 최솟값은 18이다.
'
A
3
B
3
b
D(P)
c
h
E
6
C
최댓값: 9
5, 최솟값: 18
'
105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 120
2018-03-13 오후 2:25:11
정답과 해설 aÇ=1+(n-1)´(-2)=-2n+3
aÇ=-2n+3
8 등차수열과 등비수열
본책 146~167쪽
1
개념 마스터
STEP1
0977
aÇ=10Ç`-1에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례대로 대입하면
aÁ=10Ú`-1=9, aª=10Û`-1=99, a£=10Ü`-1=999,
a¢=10Ý`-1=9999, a°=10Þ`-1=99999
0987
1, -1, -3, -5, -7, y
-2 -2 -2 -2
첫째항이 1, 공차가 -2이므로
0988
첫째항이 -1, 공차가 3이므로
aÇ=-1+(n-1)´3=3n-4
∴ aÁ¼=3´10-4=26
9, 99, 999, 9999, 99999
26
0978
aÇ=n+2Ç` 에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례대로 대입하면
aÁ=1+2Ú`=3, aª=2+2Û`=6, a£=3+2Ü`=11,
a¢=4+2Ý`=20, a°=5+2Þ`=37
3, 6, 11, 20, 37
0989
첫째항이 2, 공차가 -4이므로
aÇ=2+(n-1)´(-4)=-4n+6
∴ aÁ¼=-4´10+6=-34
-34
0979
aÇ=(n+2)(n-1)에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례대로 대입하면
aÁ=(1+2)(1-1)=0, aª=(2+2)(2-1)=4,
a£=(3+2)(3-1)=10, a¢=(4+2)(4-1)=18,
0990
공차를 d라 하면 a¥=27에서
6+7d=27, 7d=21
a°=(5+2)(5-1)=28
0, 4, 10, 18, 28
∴ d=3
0980 aÇ=(-1)Ç`
0981 aÇ=nÛ`
0982 aÇ=
n
n+1
0991
공차를 d라 하면 aÁ¼=-34에서
2+9d=-34, 9d=-36
∴ d=-4
0992
x가 5와 17의 등차중항이므로
x= 5+17
=11
2
0993
x가 3과 -7의 등차중항이므로
x= 3+(-7)
=-2
2
0983
4-1=3에서 공차가 3이므로 주어진 수열은
1, 4, 7 , 10 , 13, y
7, 10
0984
8-12=-4에서 공차가 -4이므로 주어진 수열은
20, 16 , 12, 8, 4 , y
16, 4
0985
aÇ=4n+1에서 aÁ=4´1+1=5이므로 첫째항은 5이다.
또, aª=4´2+1=9이므로 공차는
aª-aÁ=9-5=4
첫째항: 5, 공차: 4
0994
22(2+71)
2
=803
3
-4
11
-2
803
0986
첫째항이 -3, 공차가 3이므로
aÇ=-3+(n-1)´3=3n-6
0995
10{2´(-10)+(10-1)´2}`
2
aÇ=3n-6
=-10
-10
8 등차수열과 등비수열 | 121
121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 121
2018-03-13 오후 2:33:30
8ㅡ등차수열과 등비수열 주어진 등차수열의 첫째항이 2, 공차가 4이므로 이 수열의 제 n 항을
정답과 해설
0996
38이라 하면
38=2+(n-1)´4
∴ 2+6+10+ y +38= 10(2+38)
∴ n=10
1
유형 마스터
유형 마스터
STEP2
1001
|전략| 공차가 d인 등차수열 {aÇ}에서 aÇ=p이면 aÇ=aÁ+(n-1)d=p임을
이용한다.
=200
2
200
공차를 d라 하면 제4항이 log 2à`=7 log 2이므로
log 2+3d=7 log 2
3d=7 log 2-log 2=6 log 2
∴ d=2 log 2
②
0997
주어진 등차수열의 첫째항이 16, 공차가 -5이므로 이 수열의 제 n 항
을 -19라 하면
-19=16+(n-1)´(-5)
∴ 16+11+6+ y +(-19)= 8{16+(-19)}
∴ n=8
2
1002
등차수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면
{aÇ}: aÁ, aª, a£, a¢, a°, a¤, a¦, y
+d +d +d +d +d +d
∴ 16+11+6+ y +(-19)=-12
-12
{a3n+1}: a¢, a¦, aÁ¼, y ⇨ 공차가 3d인 등차수열
0998
Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=2´1Û`+3´1=5
Û n¾2일 때,
Û aÇ =SÇ-Sn-1
=2nÛ`+3n-{2(n-1)Û`+3(n-1)}
=2nÛ`+3n-(2nÛ`-n-1)
이때, aÁ=5는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
=4n+1
aÇ=4n+1
yy ㉠
aÇ=4n+1
0999
Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=1Û`-2´1+2=1
Û n¾2일 때,
Û aÇ =SÇ-Sn-1
=(nÛ`-2n+2)-{(n-1)Û`-2(n-1)+2}
=(nÛ`-2n+2)-(nÛ`-4n+5)
=2n-3
따라서 구하는 수열의 일반항은
1000
Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=1Û`+4´1=5
Û n¾2일 때,
Û aÇ =SÇ-Sn-1
=nÛ`+4n-{(n-1)Û`+4(n-1)}
=nÛ`+4n-(nÛ`+2n-3)
{a2n+1}: a£, a°, a¦, y ⇨ 공차가 2d인 등차수열
+3d +3d
+2d +2d
이때, 등차수열 {aÇ}의 공차가 2이므로 d=2
등차수열 {a3n+1}의 공차는 x=3´2=6
등차수열 {a2n+1}의 공차는 y=2´2=4
∴ x-y=6-4=2
⑤
1003
①, ② aÇ=pn+q=p+q+(n-1)p이므로 첫째항이 p+q이고 공
차가 p인 등차수열이다.
③ aÁ=p+q, a£=3p+q이므로 aÁ=a£이면 p=0이다.
④ p<0이면 aÇ>an+1이다.
⑤ 2aÁ-aª=2(p+q)-(2p+q)=q
④
1004
등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a£-aÁ=a¢-aª= y =a99-a97=a100-a98=2d
이므로
a100+a99-a98-a97=(a100-a98)+(a99-a97)=4d=8
aÁ¼-a¦ =(a+9d)-(a+6d)=3d=6
6
1005
|전략| 첫째항을 a, 공차를 d라 하고 주어진 조건을 이용하여 방정식을 세운다.
등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a°=4a£에서 a+4d=4(a+2d)
∴`3a+4d=0
aÁ=1, aÇ=2n-3 (단, n¾2) aÁ=1, aÇ=2n-3 (단, n¾2)
따라서 d=2이므로
=2n+3
yy ㉠
aª+a¢=4에서 (a+d)+(a+3d)=4
이때, aÁ=5는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
∴`2a+4d=4
aÇ=2n+3
∴ aÁ¼=2´10+3=23
다른 풀이 aÁ¼=SÁ¼-S»=(10Û`+4´10)-(9Û`+4´9)=23
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, d=3
23
따라서 aÇ=-4+(n-1)´3=3n-7이므로
a¤=3´6-7=11
yy`㉠
yy`㉡
③
122 | III . 수열
121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 122
2018-03-13 오후 2:33:31
1006
등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a£=35에서 a+2d=35
a¦=71에서 a+6d=71
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=17, d=9
aÇ=17+(n-1)´9=9n+8이므로 제 n 항이 197이라 하면
9n+8=197, 9n=189
∴ n=21
따라서 197은 제21항이다.
제 21 항
1010
첫째항이 -40, 공차가 3인 등차수열의 일반항 aÇ은
aÇ=-40+(n-1)´3=3n-43
제 n 항에서 처음으로 양수가 나온다고 하면
yy ㉠
yy ㉡
3n-43>0에서 3n>43
∴`n>
=14.3___
:¢3£:
따라서 처음으로 양수가 되는 항은 제 15 항이다.
⑤
1007
등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a£=11에서 a+2d=11
a¤ : aÁ¼=5 : 8에서 8a¤=5aÁ¼
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, d=3
따라서 aÇ=5+(n-1)´3=3n+2이므로
aª¼=3´20+2=62
8(a+5d)=5(a+9d)
∴ `3a-5d=0
yy ㉡
yy ㉠
1011
등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
aÁ+aª+a£=-15에서
a+(a+d)+(a+2d)=-15
∴ a+d=-5
또, a¢+a°+a¤=48에서
(a+3d)+(a+4d)+(a+5d)=48
②
∴ a+4d=16
yy ㉠
yy ㉡
1008
등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a°와 aÁÁ은 절댓값이
같고 부호가 반대이므로
a°+aÁÁ=0에서 (a+4d)+(a+10d)=0
∴`a+7d=0
a¦=4에서 a+6d=4
yy`㉠
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=28, d=-4
∴`aÇ=28+(n-1)´(-4)=-4n+32
∴`aÁ¼=-4´10+32=-8
따라서 제 10 항은 -8이다.
채점 기준
❶ a, d에 대한 연립방정식을 세울 수 있다.
❷ a, d의 값을 구할 수 있다.
❸ aÇ을 구할 수 있다.
❹ 제 10 항을 구할 수 있다.
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-12, d=7
∴ aÇ=-12+(n-1)´7=7n-19
7n-19>100에서 7n>119
∴ n>
=17
;:!7!:(;
따라서 처음으로 100보다 커지는 항은 제18항이다.
제 18 항
1012
A={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, y}, B={3, 6, 9, 12, 15, y}이므로
A;B={3, 9, 15, y}
따라서 수열 {cÇ}은 첫째항이 3, 공차가 6인 등차수열이므로
cÇ=3+(n-1)´6=6n-3
6n-3>50에서 6n>53
∴ n>
=8.8___
:°6£:
따라서 처음으로 50보다 커질 때의 n의 값은 9이다.
9
1009
|전략| 첫째항이 a, 공차가 d인 등차수열 {aÇ}에서 a+(n-1)d>0을 만족시
키는 자연수 n의 최솟값을 구한다.
1013
|전략| 두 수 a, b 사이에 n개의 수를 넣어서 등차수열을 만들면 a는 첫째항이고,
b는 제 (n+2)항임을 이용한다.
등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a¤=17에서 a+5d=17
aª¼=-25에서 a+19d=-25
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=32, d=-3
∴`aÇ=32+(n-1)´(-3)=-3n+35
제n항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면
등차수열 23, xÁ, xª, y, xÇ, 35의 공차를 d라 하면 35는 제(n+2)
항이므로
23+(n+1)d=35
(n+1)d=12
∴ d= 12
n+1
yy`㉠
이때, xÁ, xª, y, xÇ이 자연수이므로 d는 자연수이다.
㉠을 만족시키는 자연수 n, d의 값을 순서쌍 (n, d)로 나타내면
-3n+35<0에서 3n>35
∴ `n>
=11.6___
:£3°:
(1, 6), (2, 4), (3, 3), (5, 2), (11, 1)
따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제 12 항이다.
②
따라서 공차가 될 수 없는 것은 ⑤이다.
⑤
… ❶
… ❷
… ❸
… ❹
-8
비율
40`%
20`%
20`%
20`%
yy`㉠
yy`㉡
8 등차수열과 등비수열 | 123
121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 123
2018-03-13 오후 2:33:31
8ㅡ등차수열과 등비수열 1
a
1
b
1
a
채점 기준
1014
첫째항이 4, 공차가 2인 등차수열의 제(n+2)항이 34이므로
4+(n+1)´2=34, 2(n+1)=30, n+1=15
n은
,
의 등차중항이므로
n=
;2!;{
+
1
b }
=
a+b
2ab
=
8
2´(-4)
=-1
∴`n=14
14
∴ mn=-4
1015
주어진 등차수열의 공차를 d라 하면
수열 0, aÁ, aª, y, aµ, 10에서 10은 제(m+2)항이므로
∴ d= 10
m+1
0+(m+1)d=10
yy`㉠
또, 수열 10, bÁ, bª, y, bÇ, 30에서 10을 첫째항으로 보면 30은
제(n+2)항이므로
10+(n+1)d=30
∴ d= 20
n+1
㉠, ㉡에서
10
m+1
= 20
n+1
이므로
10(n+1)=20(m+1), n+1=2m+2
∴ n=2m+1
❶ 근과 계수의 관계를 이용하여 a+b, ab의 값을 구할 수 있다.
❷ a, b의 등차중항인 m의 값을 구할 수 있다.
❸ ;!;, ;º!;의 등차중항인 n의 값을 구할 수 있다.
❹ mn의 값을 구할 수 있다.
yy`㉡
1019
a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
∴ b= a+c
2
또, cÛ`, aÛ`, bÛ`이 이 순서대로 등차수열을 이루므로
2b=a+c
②
2aÛ`=cÛ`+bÛ`
㉠을 ㉡에 대입하면
… ❸
… ❹
-4
비율
30`%
30`%
30`%
10`%
yy`㉠
yy`㉡
1016
|전략| 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 2b=a+c임을 이용한다.
세 수 x-1, xÛ`+1, 3x+1이 이 순서대로 등차수열을 이루므로
2aÛ`=cÛ`+
`, 7aÛ`-2ac-5cÛ`=0
a+c
{
2 }
2`
(7a+5c)(a-c)=0
∴ c=-
a`(∵ a+c)
;5&;
a, b, c는 서로 다른
세 정수이다.
이때, c가 정수이므로 a는 5의 배수이고 00)로 놓으면
(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=120
5a=120
∴ `a=24
또, (a-2d)+(a-d)=
{a+(a+d)+(a+2d)}이므로
;7!;
7(2a-3d)=3a+3d
∴ 11a=24d
yy`㉠
a=24를 ㉠에 대입하면 11´24=24d
∴ d=11
따라서 가장 많이 받은 학생의 빵의 개수는
a+2d=24+2´11=46
③
… ❶
… ❷
-5
비율
50`%
50`%
yy`㉠
yy`㉡
k(100+0)
2
=1050
∴ k=21
즉, aªÁ=0이므로 등차수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면
100+20d=0
∴ d=-5
yy`㉠
yy`㉡
따라서 공차는 -5이다.
채점 기준
❶ k의 값을 구할 수 있다.
❷ 공차를 구할 수 있다.
1027
등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a¢+aÁ¼=(a+3d)+(a+9d)=2a+12d=42
∴ a+6d=21
∴ a+9d=30
a¤+aÁ¢=(a+5d)+(a+13d)=2a+18d=60
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, d=3
따라서 aÁ+aª+ y +aÇ= n{2´3+(n-1)´3}
2
nÛ`+n-110=0, (n-10)(n+11)=0
=165에서
∴ n=10 ( ∵ n은 자연수)
10
1028
등차수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면
∴ d=-3
aÁ¼=31+9d=4
1024
|전략| 주어진 항을 이용하여 첫째항 a와 공차 d를 구한 다음 등차수열의 첫째
∴ aÇ=31+(n-1)´(-3)=-3n+34
제 n 항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면
항부터 제 n 항까지의 합은
n{2a+(n-1)d}
2
임을 이용한다.
등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a£=11에서 a+2d=11
a¦=35에서 a+6d=35
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, d=6
따라서 첫째항부터 제 10 항까지의 합은
10{2´(-1)+(10-1)´6}
2
=260
yy`㉠
yy`㉡
④
aÇ<0에서 -3n+34<0
∴ `n>
=11.3___
:£3¢:
즉, 수열 {aÇ}은 첫째항부터 제 11 항까지는 양수이고, 제 12 항부터
음수이다.
aÁÁ=1, aÁª=-2, aÁ°=-11이므로
|aÁ|+|aª|+|a£|+ y +|aÁ°|
=(aÁ+aª+a£+ y +aÁÁ)-(aÁª+aÁ£+aÁ¢+aÁ°)
- 4{-2+(-11)}
= 11(31+1)
2
2
=176+26=202
④
1025
첫째항이 3, 공차가 4인 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합이
210이므로
n{2´3+(n-1)´4}
2
=210
2nÛ`+n-210=0, (2n+21)(n-10)=0
1029
aÁ+bÁ=3, 항수가 100인 등차수열의 합이 550이므로
S100+T100=
100{(aÁ+bÁ)+(aÁ¼¼+bÁ¼¼)}
2
S100+T100=50{3+(aÁ¼¼+bÁ¼¼)}=550
∴`n=10`(∵`n은 자연수)
③
에서 3+(aÁ¼¼+bÁ¼¼)=11
∴ aÁ¼¼+bÁ¼¼=8
①
8 등차수열과 등비수열 | 125
121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 125
2018-03-13 오후 2:33:32
8ㅡ등차수열과 등비수열 다른 풀이 S100+T100=
100(aÁ+aÁ¼¼)
2
+
100(bÁ+bÁ¼¼)
2
1034
|전략| 주어진 등차수열의 합을 이용하여 첫째항과 공차를 구한 다음 제 30항까
=
=
=
=50(aÁ+aÁ¼¼)+50(bÁ+bÁ¼¼)
=50{(aÁ+aÁ¼¼)+(bÁ+bÁ¼¼)}
=50{(aÁ+bÁ)+(aÁ¼¼+bÁ¼¼)}
=50{3+(aÁ¼¼+bÁ¼¼)}=550
이므로 3+(aÁ¼¼+bÁ¼¼)=11
∴ aÁ¼¼+bÁ¼¼=8
1030
등차수열 {aÇ}, {bÇ}의 공차를 각각 d, d'이라 하면
aÁ+bÁ=12, d+d'=5
∴ (aÁ+aª+ y +a£¼)+(bÁ+bª+ y +b£¼)
∴ =(aÁ+bÁ)+(aª+bª)+ y +(a£¼+b£¼)
∴ = 30{2´12+(30-1)´5}
=2535
2
다른 풀이 (aÁ+aª+ y +a£¼)+(bÁ+bª+ y +b£¼)
30(2bÁ+29d')
30(2aÁ+29d)
2
2
+
30{2(aÁ+bÁ)+29(d+d')}
2
30(2´12+29´5)
2
=2535
1031
|전략| 두 수 a, b 사이에 n개의 수를 넣어서 만든 등차수열의 합은
(n+2)(a+b)
2
임을 이용한다.
첫째항이 1, 끝항이 39, 항수가 n+2인 등차수열의 합이 400이므로
(n+2)(1+39)
2
이때, 39는 제20항이므로
=400, n+2=20
∴ `n=18
1+(20-1)d=39
∴ `d=2
n=18, d=2
1032
수열 52, aÁ, aª, a£, y, aÁ¼, 8은 12개의 항으로 이루어진 등차수열이
므로
52+aÁ+aª+a£+ y +aÁ¼+8= 12(52+8)
=360
2
∴`aÁ+aª+a£+ y +aÁ¼=360-(52+8)=300
③
지의 합을 구한다.
등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
SÁ¼= 10{2a+(10-1)d}
=10에서
2
2
2a+9d=2
Sª¼= 20{2a+(20-1)d}
=40에서
2a+19d=4
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=
, d=
;1Á0;
;5!;
30
2´
[
;1Á0;
+(30-1)´
;5!;]
∴`S£¼=
2
=90
⑤
2535
1035
등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d, 첫째항부터 제n항까지의 합
을 SÇ이라 하면
S°= 5{2a+(5-1)d}
=50에서
2
2a+4d=20
SÁ¼-S°= 10{2a+(10-1)d}
-50=125에서
2a+9d=35
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, d=3
따라서 제 11 항부터 제 15 항까지의 합은
SÁ°-SÁ¼= 15{2´4+(15-1)´3}
-(50+125)
2
2
SÁ°-SÁ¼=375-175=200
⑤
yy`㉠
yy`㉡
yy`㉠
yy`㉡
1036
등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
SÁ¼=
10{2a+(10-1)d}
2
=120에서
2a+9d=24
yy`㉠`
Sª¼=
20{2a+(20-1)d}
2
=440에서
2a+19d=44
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, d=2
∴`aÁÁ+aÁª+ y +a£¼=S£¼-SÁ¼
yy`㉡`
… ❶
… ❷
1033
첫째항이 24, 끝항이 -44, 항수가 n+2인 등차수열의 합은
(n+2){24+(-44)}
2
=-10(n+2)
한편,
24+(aÁ+aª+a£+ y +aÇ)+(-44)
=24-120-44=-140
㉠=㉡이므로 -10(n+2)=-140, n+2=14
∴`aÁÁ+aÁª+ y +a£¼=
30{2´3+(30-1)´2}
2
-120
yy`㉠
∴`aÁÁ+aÁª+ y +a£¼=960-120=840
채점 기준
yy`㉡
③
❶ a, d에 대한 연립방정식을 세울 수 있다.
❷ a, d의 값을 구할 수 있다.
❸ aÁÁ+aÁª+ y +a£¼의 값을 구할 수 있다.
… ❸
840
비율
50`%
10`%
40`%
∴ n=12
126 | III . 수열
121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 126
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정답과 해설 1037
|전략| 등차수열 {aÇ}의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 SÇ이라 할 때 aû>0,
ak+1<0이면 SÇ의 최댓값은 Sû임을 이용한다.
등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a¦=4에서 a+6d=4
yy`㉠
aÁ¼=-5에서 a+9d=-5
yy`㉡
1040
등차수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면
aÇ=17+(n-1)d
이때, S»의 값이 최대이므로 a»>0, aÁ¼<0이어야 한다.
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=22, d=-3
∴`aÇ=22+(n-1)´(-3)=-3n+25
제n항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면
-3n+25<0에서 3n>25
∴`n>
=8.3___
:ª3°:
즉, 수열 {aÇ}은 제9항부터 음수이므로 첫째항부터 제8항까지의 합
이 최대이다.
따라서 구하는 최댓값은
S¥= 8{2´22+7´(-3)}
2
=92
1041
|전략| 자연수 d로 나누었을 때의 나머지가 a(0Éa0에서 d>-
aÁ¼=17+9d<0에서 d<-
:Á8¦:
:Á9¦:
∴ -
34
∴ n>
=8.5
:£4¢:
따라서 수열 {aÇ}은 제9항부터 음수이므로 SÇ이 최대가 되는 n의 값
은 8이다.
②
다른 풀이 SÇ=
n{2´30+(n-1)´(-4)}
2
=-2nÛ`+32n=-2(n-8)Û`+128
따라서 SÇ이 최대가 되는 n의 값은 8이다.
1039
등차수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면
S¢= 4(2´10+3d)
=6d+40
S¦= 7(2´10+6d)
=21d+70
S¢=S¦에서 6d+40=21d+70
-15d=30
∴ d=-2
2
2
∴ aÇ=10+(n-1)´(-2)=-2n+12
제 n 항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면
-2n+12<0에서 n>6
즉, 수열 {aÇ}은 제7항부터 음수이므로 첫째항부터 제6항까지의 합
이 최대이다.
그 합은
33(102+198)
2
=4950
끝항이 198이므로
102+(n-1)´3=198에서 n=33
따라서 항수는 33이다.
이 수열은 첫째항이 102, 끝항이 198, 항수가 33인 등차수열이므로
따라서 구하는 최댓값은
S¤=
6{2´10+5´(-2)}
2
=30
100부터 200까지의 자연수 중에서 4의 배수는
⑤
100, 104, 108, y, 200
8 등차수열과 등비수열 | 127
121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 127
2018-03-13 오후 2:33:33
8ㅡ등차수열과 등비수열 이 수열은 첫째항이 100, 끝항이 200, 항수가 26인 등차수열이므로
끝항이 200이므로
100+(n-1)´4=200에서
n=26
따라서 항수는 26이다.
= 2c
d
;cD;
에서
=2
dÛ`
cÛ`
∴`
=
2 (∵`c>0, d>0)
;cD;
'
한편, 100부터 200까지의 자연수 중에서 12의 배수는
따라서 직선 AB의 기울기는
=
=
2
'
;cD;
;aB;
2
'
그 합은
26(100+200)
2
=3900
108, 120, 132, y, 192
합은
8(108+192)
2
=1200
는 수의 총합은
4950+3900-1200=7650
이 수열은 첫째항이 108, 끝항이 192, 항수가 8인 등차수열이므로 그
끝항이 192이므로
108+(n-1)´12=192에서
n=8
따라서 항수는 8이다.
따라서 100부터 200까지의 자연수 중에서 3 또는 4로 나누어떨어지
1044
|전략| n각형의 외각의 크기의 총합은 360ù임을 이용한다.
n각형의 내각의 크기는 공차가 10ù인 등차수열을 이루고 최대각의
크기가 170ù이므로 n개의 외각의 크기는 첫째항이
180ù-170ù=10ù, 공차가 10ù인 등차수열을 이룬다.
(외각의 크기의 총합)= n{2_10ù+(n-1)_10ù}
=360ù
2
이므로 n(n+1)=72, nÛ`+n-72=0, (n+9)(n-8)=0
그런데 n은 3보다 크거나 같은 자연수이므로 n=8
8
1045
직선 x=n(n=1, 2, y, 10)과 두 곡선 y=xÛ`+10,
y=xÛ`-4x+10과의 교점을 이은 선분의 길이는
(nÛ`+10)-(nÛ`-4n+10)=4n
따라서 직선 x=1, x=2, y, x=10과 두 곡선의 교점을 이은 10개
의 선분의 길이는 첫째항이 4, 공차가 4인 등차수열을 이룬다.
이때 첫째항은 4, 끝항은 40, 항수는 10이므로 등차수열의 합은
10(4+40)
2
=220
따라서 구하는 선분의 길이의 합은 220이다.
②
1046
점 A, B, C, D, E의 좌표를 각각
A(-a, 0), B(0, b), C(c, 0), D(0, -d), E(-e, 0)
이라 하면
a>0, d>0, e>0으로 하기 위해
-a, -d, -e로 놓는다.
△ABO, △BCO, △CDO, △DEO는 서로 닮음이므로
OAÓ, OCÓ, EAÓ의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
yy`㉠
OBÓ
OAÓ
=
OCÓ
OBÓ
=
ODÓ
OCÓ
=
OEÓ
ODÓ
에서
=
;bC:=;cD;=;dE;
;aB;
OAÓ+EAÓ=2OCÓ, 즉 OEÓ=2OCÓ
∴`e=2c
e=2c를 ㉠의
=
에 대입하면
;cD;
;dE;
128 | III . 수열
1047
|전략| aÁ`=SÁ이고, aÇ=SÇ-Sn-1(n¾2)임을 이용한다.
SÇ=-2nÛ`+3n이므로
aÁ=SÁ=-2´1Û`+3´1=1
aÁ¼ =SÁ¼-S»
④
=(-2´10Û`+3´10)-(-2´9Û`+3´9)=-35
∴`aÁ+aÁ¼=1-35=-34
다른 풀이 Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=-2´1Û`+3´1=1
Û n¾2일 때,
aÇ=SÇ-Sn-1
②
=-2nÛ`+3n-{-2(n-1)Û`+3(n-1)}
=-2nÛ`+3n-(-2nÛ`+7n-5)
=-4n+5
yy ㉠
이때, aÁ=1은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
aÇ=-4n+5
∴ aÁ+aÁ¼=1+(-4´10+5)=-34
1048
SÇ=nÛ`+n이라 하면
a°=S°-S¢=(5Û`+5)-(4Û`+4)=10
TÇ=2nÛ`-kn이라 하면
b°=T°-T¢=(2´5Û`-k´5)-(2´4Û`-k´4)=18-k
이때, a°=b°이므로
10=18-k
∴ `k=8
1049
SÇ=nÛ`+3n에서
Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=1Û`+3´1=4
Û n¾2일 때,
Û aÇ =SÇ-Sn-1
=2n+2
=nÛ`+3n-{(n-1)Û`+3(n-1)}
8
yy`㉠
이때, aÁ=4는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
∴ `aªÇ=4n+2
aÇ=2n+2
aª+a¢+a¤+ y +aªÇ은 첫째항이 aª=6, 끝항이 aªÇ=4n+2, 항
수가 n인 등차수열의 합이고, 그 값은 336이므로
aª+a¢+a¤+ y +aªÇ= n{6+(4n+2)}
2
aª+a¢+a¤+ y +aªÇ=2nÛ`+4n=336
121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 128
2018-03-13 오후 2:33:33
정답과 해설 ∴ a¥=64´
-
{
;2!;}
=2ß`´
{
- 1
=-
;2!;
2à` }
-
;2!;
16
;5!;
-4 또는 4
nÛ`+2n-168=0, (n+14)(n-12)=0
∴`n=12`(∵ n은 자연수)
1055
②
1050
ㄱ. n=1일 때, aÁ=SÁ=-2´1Û`+11´1-7=2 (참)
ㄴ. n¾2일 때,
ㄴ. aÇ =SÇ-Sn-1
=(-2nÛ`+11n-7)-{-2(n-1)Û`+11(n-1)-7}
=(-2nÛ`+11n-7)-(-2nÛ`+15n-20)
=-4n+13
ㄴ. 따라서 구하는 수열의 일반항은
ㄴ. aÁ=2, aÇ=-4n+13(n¾2)이므로 수열 {aÇ}은 제2항부터 등
차수열이다. (거짓)
ㄷ. 제n항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면
ㄴ. -4n+13<0에서 4n>13
ㄴ. 즉, 수열 {aÇ}은 제4항부터 음수이므로 첫째항부터 제3항까지의
ㄴ. ∴ n>
=3.25
:Á4£:
합이 최대이다. (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ이다.
개념 마스터
2
=2에서 공비가 2이므로 주어진 수열은
①
1058
공비를 r라 하면 a°=-128에서
첫째항이 64, 공비가 -
이므로
;2!;
aÇ=64´
-
{
;2!;}
n-1
7`
1056
첫째항이
'
2´(
2, 공비가
2)n-1=(
'
aÇ=
'
∴ a¥=(
'
'
2)¡`={(
'
2이므로
2)Ç`
'
2)Û`}Ý`=16
1057
공비를 r라 하면 a¢=5에서
625´rÜ`=5, rÜ`=
;12!5;
이때, r는 실수이므로 r=
;5!;
-
{
;2!;}
´rÝ`=-128, rÝ`=256
이때, r는 실수이므로 r=Ñ4
1059
x가 3과 75의 등비중항이므로
1060
x가 1과
의 등비중항이므로
;9!;
1061
2(3Þ`-1)
3-1
1062
이므로
STEP1
1051
;2$;
1052
-2
2
1054
2, 4, 8 , 16 , 32, y
8, 16
xÛ`=3´75=225
∴ x=Ñ15
-15 또는 15
x=15이면 공비가 5
x=-15이면 공비가 -5
인 등비수열이다.
=-1에서 공비가 -1이므로 주어진 수열은
2, -2 , 2, -2, 2 , y
-2, 2
xÛ`=1´
=
;9!;
;9!;
∴ x=Ñ
;3!;
-
;3!; 또는
;3!;
1053
첫째항이 -1, 공비가 4이므로
aÇ=-1´4n-1=-4n-1
aÇ=-4n-1
=3Þ`-1=242
242
첫째항이 1, 공비가 -
인 등비수열의 첫째항부터 제10항까지의 합
;3!;
1, ` ` -
, ` `
, ` ` -
, ` `
, ` `y
;2!;
;4!;
;8!;
;1Á6;
_
-
{
;2!;}
_
-
{
;2!;}
_
-
{
;2!;}
_
-
{
;2!;}
첫째항이 1, 공비가 -
이므로
;2!;
aÇ=1´
-
{
;2!;}
=
-
{
;2!;}
n-1
n-1
1-
+
-
;3!;
;9!;
;2Á7;
+ y +
-
{
;3!;}
9`
1-
1´
[
-
{
;3!;}
10
]
=
1-
{-;3!;}
=
1-
-
{
;3!;}
;4#;[
10
]
;4#;[
1-
-
{
;3!;}
]
10
aÇ={
-
;2!;}
n-1
8 등차수열과 등비수열 | 129
121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 129
2018-03-13 오후 2:33:33
8ㅡ등차수열과 등비수열 정답과 해설
이므로
= 0.2(1-0.1¡`)
1-0.1
=
(1-0.1¡`)
;9@;
1063
첫째항이 0.2, 공비가 0.1인 등비수열의 첫째항부터 제 8 항까지의 합
0.2+0.02+0.002+ y +0.00000002
;9@;
(1-0.1¡`)
따라서 등비수열 {aÇ}의 첫째항과 공비는 각각
,
;2#;
;4!;
이다. ②
유형 마스터
유형 마스터
2
STEP2
1064
|전략| 등비수열 {aÇ}의 공비는 r=
임을 이용한다.
aª
aÁ
aÇ=3_ 1
22n-1 에서
aÁ=3_ 1
2Ú`
=
;2#;
, aª=3_ 1
2Ü`
=
;8#;
이때, 공비는
=
aª
aÁ
=
;4!;
;8#;
;2#;
첫째항이 8, 공비가
이므로 일반항을 aÇ이라 하면
2, 4, y
1065
8, 4
'
_
1
2
'
_
1
2
'
n-1
1
2 }
aÇ=8´
{
'
∴`a»= 8
('
즉, sin h=
;2!;
=
;2!;
2)¡`
1
2
'
= 8
('
2)n-1
n-1
=
;12!8;
64´
{;2!;}
n-1
{;2!;}
n-1=13
=
;12!8;
´
;6Á4;
= 1
2à`
∴ n=14
따라서
은 제14항이다.
;12!8;
´ 1
2ß`
= 1
213 =
{;2!;}
13
1067
등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r(r>0)라 하면
a°=24에서 arÝ`=24
a¦=96에서 arß`=96
㉡Ö㉠을 하면 rÛ`=4
∴`r=2 (∵`r>0)
r=2를 ㉠에 대입하면 a´2Ý`=24
∴`a=
;2#;
따라서 aÇ=
;2#;
´2n-1이므로
aÁ¼=
´2á`=768
;2#;
1068
등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a(a>0), 공비를 r(r>0)라 하면
aÁÛ`+aªÛ`=10에서 aÛ`+(ar)Û`=10
∴ aÛ`(1+rÛ`)=10
a£Û`+a¢Û`=160에서 (arÛ`)Û`+(arÜ`)Û`=160
∴ aÛ`rÝ`(1+rÛ`)=160
㉡Ö㉠을 하면 rÝ`=16
∴ r=2 (∵ r>0)
r=2를 ㉠에 대입하면
aÛ`(1+4)=10, aÛ`=2
= (arÝ`)Û`
ar
a°Û`
aª
∴
∴ a=
2 (∵ a>0)
'
=arà`=
2´2à`=128
2
'
'
128
2
'
에서 0ùk를 만족시키는 자연
수 n의 최솟값을 구한다.
등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
aª=9에서 ar=9
a°=243에서 arÝ`=243
㉡Ö㉠을 하면 rÜ`=27
∴ `r=3 ( ∵ r는 실수)
r=3을 ㉠에 대입하면 a´3=9
∴ aÇ=3´3n-1=3Ç`
3Ç`>3000에서 3à`=2187, 3¡`=6561이므로 n¾8
∴ `a=3
yy`㉠
yy`㉡
따라서 처음으로 3000보다 커지는 항은 제8항이다.
③
따라서 처음으로 1000보다 커지는 항은 제11항이다.
②
1072
등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
aª+a¢=10에서 ar+arÜ`=10
∴ ar(1+rÛ`)=10
a£+a°=20에서 arÛ`+arÝ`=20
∴ arÛ`(1+rÛ`)=20
㉡Ö㉠을 하면 r=2
r=2를 ㉠에 대입하면 10a=10
∴`aÇ=1´2n-1=2n-1
2n-1>1000에서 2á`=512, 210=1024이므로
∴ `a=1
n-1¾10
∴ n¾11
등비수열 {aÇ}의 첫째항이 1, 공비가
이므로
;2!;
1073
n-1
aÇ=
{;2!;}
|an+1-aÇ|<
에서
;50!0;
n-1
n
-
|{;2!;}
{;2!;}
<
|
,
;50!0;
|{;2!;}
n
-2´
n
<
{;2!;}
|
;50!0;
n
<
,
n
<
{;2!;}
|
;50!0;
{;2!;}
;50!0;
-
|
, 2Ç`>500
이때, 2¡`=256, 2á`=512이므로 n¾9
따라서 구하는 자연수 n의 최솟값은 9이다.
1074
|전략| 두 수 a, b 사이에 n개의 수를 넣어서 등비수열을 만들면 a는 첫째항이고,
b는 제(n+2)항임을 이용한다.
공비를 r라 하면 첫째항이 3, 제12항이 30이므로
3r11=30
∴ `r11=10
이때, aÁ, a10은 각각 제2항, 제11항이므로
aÁ=3r, a10=3r10
∴ aÁa10=3r´3r10=9r11=9´10=90
③
1075
는 제(n+2)항이므로 36´
n+1
=
{;3!;}
;72$9;
;72$9;
{;3!;}
n+1
n+1=8
´
= 1
= 4
3ß`
3ß`
∴ n=7
;3Á6;
´ 1
3Û`
= 1
3¡`
=
{;3!;}
8`
⑤
②
1076
공비를 r(r>0)라 하면 첫째항이 12, 제5항이 972이므로
12rÝ`=972, rÝ`=81
∴ `r=3 (∵ r>0)
∴ c-a=12´3Ü`-12´3=288
288
1077
공비를 r라 하면 첫째항이 8, 제(n+2)항이 128이므로
8´rn+1=128
∴ rn+1=16=2Ý`
yy`㉠
이를 만족시키는 자연수 r과 n의 순서쌍 (r, n)은
(2, 3), (4, 1)
yy`㉡
이때, aÁ=8r이므로 r의 값이 최대일 때, aÁ의 값이 최대이다.
따라서 r=4이므로 aÁ=8´4=32
32
1078
|전략| 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등비수열을 이루면 bÛ`=ac임을 이용한다.
x, x+6, 9x가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
(x+6)Û`=x´9x, xÛ`+12x+36=9xÛ`
8xÛ`-12x-36=0, 2xÛ`-3x-9=0
(2x+3)(x-3)=0 ∴ x=3 (∵ x>0)
③
1079
cos h, 2 sin h,
이 이 순서대로 등비수열을 이루므로
1
cos h
(2 sin h)Û`=cos h´
4 sinÛ` h=1, sinÛ` h=
1
cos h
;4!;
그런데 0ù0)
채점 기준
❶ 근과 계수의 관계를 이용하여 a+b, ab의 값을 구할 수 있다.
❷ 등비중항을 이용하여 a, b 사이의 관계식을 구할 수 있다.
❸ k의 값을 구할 수 있다.
… ❷
… ❸
25
비율
30`%
30`%
40`%
1081
다항식 f(x)를 x+1, x-1, x-2로 나누었을 때의 나머지는 나머
지정리에 의해 각각 f(-1), f(1), f(2)이고 이 세 수가 이 순서대
로 등비수열을 이루므로
{ f(1)}Û`=f(-1)´f(2)
f(x)=xÛ`+2x+a에서 (a+3)Û`=(a-1)(a+8)
aÛ`+6a+9=aÛ`+7a-8
∴ `a=17
(b+6)(b-8)=0
∴ `b=8 (∵`b는 자연수)
b=8을 ㉡에 대입하면 2a=32
∴ a=16
②
1084
a, x, b가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2x=a+b
a, y, b가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 yÛ`=ab
,
,
;a!;
;z!;
;b!;
이 이 순서대로 등차수열을 이루므로
= a+b
ab
∴ z= 2ab
a+b
=ab=yÛ`이므로
에서
=
+
;b!;
;a!;
;z@;
이때, xz= a+b
2
;z@;
´ 2ab
a+b
yÛ`-xz=0
참고 yÛ`=xz에서 y는 x와 z의 등비중항이므로 세 수 x, y, z (또는 z, y, x)는
이 순서대로 등비수열을 이루고 있음을 알 수 있다.
0
1085
|전략| 등비수열을 이루는 세 수를 a, ar, arÛ`으로 놓는다.
세 실수를 a, ar, arÛ`으로 놓으면
a+ar+arÛ`=26
∴ a(1+r+rÛ`)=26
a´ar´arÛ`=216, (ar)Ü`=216
∴ ar=6
yy`㉠
yy`㉡
㉡에서 a=
을 ㉠에 대입하면
;r^;
(1+r+rÛ`)=26, 3rÛ`-10r+3=0
;r^;
따라서 f(x)=xÛ`+2x+17이므로 f(x)를 x+2로 나누었을 때의
나머지는 f(-2)=17
②
(3r-1)(r-3)=0
∴ r=
또는 r=3
;3!;
r=
일 때 a=18, r=3일 때 a=2이므로 세 실수는 2, 6, 18이다.
;3!;
따라서 가장 큰 수는 18이다.
18
1082
|전략| 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 2b=a+c이고, 등비수열
을 이루면 bÛ`=ac임을 이용한다.
8, a, b가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
1086
곡선 y=-xÜ`+6xÛ`+24x와 직선 y=k의 교점의 x좌표는 방정식
2a=8+b
yy`㉠
-xÜ`+6xÛ`+24x=k, 즉 xÜ`-6xÛ`-24x+k=0의 실근이다.
a, b, 36이 이 순서대로 등비수열을 이루므로
삼차방정식 xÜ`-6xÛ`-24x+k=0의 서로 다른 세 실근을 a, ar, arÛ`
yy`㉡
이라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
bÛ`=36a
㉠을 ㉡에 대입하면
bÛ`=18(8+b), bÛ`-18b-144=0
(b+6)(b-24)=0
∴ `b=24`(∵ b>0)
b=24를 ㉠에 대입하면 2a=32
∴ a=16
1083
a, b, 4가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
bÛ`=4a
24, a, b가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
2a=24+b
㉡을 ㉠에 대입하면
bÛ`=2(24+b), bÛ`-2b-48=0
132 | III . 수열
a+ar+arÛ`=6
∴ a(1+r+rÛ`)=6
yy`㉠
aÛ`r+aÛ`rÛ`+aÛ`rÜ`=-24
∴ aÛ`r(1+r+rÛ`)=-24 yy`㉡
a´ar´arÛ`=-k, aÜ`rÜ`=-k
∴ (ar)Ü`=-k
yy`㉢
㉡Ö㉠을 하면 ar=-4
(-4)Ü`=-k
∴ k=64
64
yy`㉠
yy`㉡
1087
|전략| 삼각형의 닮음비를 이용하여 수열 {aÇ}을 구한다.
오른쪽 그림의 색칠한 삼각형 TÁ과 삼
A
2-a¡
각형 ABC는 닮음이므로
(2-aÁ) : aÁ
2 : 4에서
=
8-4aÁ=2aÁ
∴ aÁ=
;3$;
T¡
a¡
2
B
T™
a£
a™
T£
...
4
C
∴ a+b=16+24=40
40
ar=-4를 ㉢에 대입하면
121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 132
2018-03-13 오후 2:33:35
정답과 해설 삼각형 Tª와 삼각형 ABC는 닮음이므로
한 변의 길이가 1인 정삼각형의 넓이는
(aÁ-aª) : aª=2 : 4에서
4aÁ-4aª=2aª
∴ aª=
aÁ=
´
;3@;
;3$;
;3@;
같은 방법으로 (aª-a£) : a£=2 : 4에서
4aª-4a£=2a£
∴ a£=
aª=
;3@;
`´
{;3@;}
;3$;
따라서 수열 {aÇ}은 첫째항이
, 공비가
인 등비수열이므로
;3$;
;3@;
n-1
aÇ=
´
;3$;
{;3@;}
∴ a¦=
´
;3$;
{;3@;}
`=2´
`
{;3@;}
7`
2´
{;3@;}
7`
1088
정사각형 TÁ의 넓이가 4이므로 한 변의 길이는
'
정사각형 Tª의 넓이가 2이므로 한 변의 길이는
'
정사각형 T£의 넓이가 1이므로 한 변의 길이는 1
2
4=2
8´
=4
;2!;
4´
=2
;2!;
⋮
2´
=1
;2!;
따라서 정사각형 TÇ의 한 변의 길이는 2´
n-1
1
2 }
'
{
∴ a= 1
2
'
2
= '
2
다른 풀이 주어진 정사각형의 넓이가 8이므로 한 변의 길이는
'
8=2
2
'
2
'
2
정사각형 TÁ의 한 변의 길이는
"
정사각형 Tª의 한 변의 길이는
"Ã
정사각형 T£의 한 변의 길이는 ¾Ð{
⋮
2)Û`=2
2)Û`+(
(
Ã'
1Û`+1Û`=
'
2
'
2
'
2 }
`+
{
2
'
2 }
`=1
따라서 정사각형 TÇ의 한 변의 길이는 2´
n-1
1
2 }
'
{
이므로
2
a= '
2
1089
1090
;2!;
;2!;
사각형 AÁ의 넓이는
´2´1=1
사각형 Aª의 넓이는
´1=
;2!;
사각형 A£의 넓이는
´
;2!;
;2!;
=
{;2!;}
사각형 A¢의 넓이는
´
;2!;
{;2!;}
⋮
=
2`
{;2!;}
3`
2`
n-1
사각형 AÇ의 넓이는
{;2!;}
n-1
이때
{;2!;}
<
;10!0;
n-1¾7
∴ n¾8
1회 시행에서 색칠하게 되는 정삼각형의 넓이는
2회 시행에서 색칠하게 되는 정삼각형의 넓이는
3회 시행에서 색칠하게 되는 정삼각형의 넓이는
n회 시행에서 색칠하게 되는 정삼각형의 넓이는
3
'
4
3
'
4
´
;4!;
3
= '
16
3
'
16
´
;4#;
2
3
'
16
´
{;4#;}
⋮
n-1
3
'
16
´
{;4#;}
따라서 11회 시행에서 색칠하게 되는 정삼각형의 넓이는
10
3
'
16
´
{;4#;}
이므로 n=10
10
1091
|전략| 처음의 양 a가 매일 일정한 비율 p %로 감소하면 n일 후의 양은
1-
a
{
;10P0;}
임을 이용한다.
처음 사용 가능한 시간은 20시간이고 한 번 충전할 때마다 성능이
n`
1`%씩 감소하므로 100번 충전할 때 사용 가능한 시간은
100
20
1-
{
;10!0;}
=20_0.99100=20_0.36=7.2(시간)
따라서 사용 가능한 시간은 7시간 12분이다.
②
1092
처음 개체의 수를 a, 매일 증가하는 비율을 p`%라 하면 n일간 증가
한 개체의 수는
1+
a
{
;10P0;}
n
20
10
20일간 44`% 증가하였으므로
1+
a
{
;10P0;}
=1.44a,
{
1+
;10P0;}
20
=1.44
또, 10일 후의 개체의 수는 a
1+
10
이므로
1+
a
{
;10P0;}
=a
1+
®É{
;10P0;}
{
;10P0;}
20
=1.2a
즉, 10일 후의 개체의 수는 1.2a가 되었으므로 증가율은
1093
여과 장치를 통과하기 전의 처음 유해 세포 A의 양을 a개, 여과 장치
를 통과할 때마다 매회 감소되는 일정한 비율을 r라 하면 n회 통과했
8 등차수열과 등비수열 | 133
, 즉 2n-1>100에서 2ß`=64, 2à`=128이므로
(1.2-1)_100=20`(%)
②
따라서 구하는 n의 값은 8이다.
8
3
|전략| 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이는 '
4
aÛ`임을 이용한다.
을 때의 유해 세포 A의 양은 arÇ` 개이다.
121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 133
2018-03-13 오후 2:33:36
8ㅡ등차수열과 등비수열2
6
2
2
㉢을 ㉠에 대입하면
a=1.6_10Þ`
∴ a=2.56_10ß`
⇨ 공비가 rÛ`인 등비수열
10회 통과했을 때의 유해 세포 A의 양은 16만 개이므로
ar10=1.6_10Þ`
20회 통과했을 때의 유해 세포 A의 양은 1만 개이므로
ar20=0.1_10Þ`
yy`㉠
yy`㉡
yy`㉢
㉡Ö㉠을 하면 r10=
;1Á6;
∴ rÞ`=
;4!;
따라서 15회 통과했을 때의 유해 세포 A의 양은
ar15=2.56_10ß`_
=0.4_10Þ`
;1Á6;
{;4!;}
3`
이므로 4만 개로 예상할 수 있다.
4만 개
1094
|전략| 첫째항이 a이고, 공비가 r(r+1)인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지
의 합은
a(1-rÇ`)
1-r
임을 이용한다.
등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r(r<0)라 하면
a¢=24에서 arÜ`=24
a¥=384에서 arà`=384
㉡Ö㉠을 하면 rÝ`=16
∴ r=-2 (∵ r<0)
r=-2를 ㉠에 대입하면 -8a=24
∴ a=-3
따라서 주어진 수열의 첫째항부터 제8항까지의 합은
-3{1-(-2)¡`}
1-(-2)
=255
yy`㉠
yy`㉡
255
1095
첫째항이 1이고, 공비가 1+x(x+0)인 등비수열의 첫째항부터 제n
항까지의 합이므로
1+(1+x)+(1+x)Û`+(1+x)Ü`+ y +(1+x)n-1
=
1{(1+x)Ç`-1}
(1+x)-1
=
(1+x)Ç`-1
x
④
따라서 주어진 수열의 첫째항부터 제11항까지의 합은
4(311-1)
3-1
=2(311-1)
③
등비수열 {aÇ}의 공비가 r일 때
⑴ 수열 {aÇ+an+1}：aÁ+aª, aª+a£, a£+a¢, y
⇨ 공비가 r인 등비수열
⑵ 수열 {a2n-1+a2n}：aÁ+aª, a£+a¢, a°+a¤, y
1098
등차수열 {aÇ}의 일반항이 aÇ=1+(n-1)´2=2n-1이므로 수열
{bÇ}의 일반항은 bÇ=32n-1
bÁ=3, bª=3Ü`, b£=3Þ`, y, bÁ¼=319
따라서 수열 {bÇ}은 첫째항이 3, 공비가 3Û`인 등비수열이므로
bÁ+bª+b£+ y +bÁ¼=
3{(3Û`)10-1}
3Û`-1
=
321-3
8
∴ p=21
21
1099
주어진 수열에서 첫째항부터 제10항까지 더하면
2+
+
4+
;2!;}
{
+
6+
;4!;}
{
;8!;}
{
+ y +
20+
{
1
210 }
=(2+4+6+ y +20)+
+
+
;4!;
;8!;
{;2!;
+ y +
1
210 }
=
10(2+20)
2
+
10
1-
;2!;[
{;2!;}
]
1-
;2!;
=110+1-
10
=111-
1
210
{;2!;}
1100
주어진 수열에서 첫째항부터 제10항까지 더하면
9+99+999+ y +99 y 9
[
10개
=(10-1)+(10Û`-1)+(10Ü`-1)+ y +(1010-1)
=(10+10Û`+10Ü`+ y +1010)-10
②
①
1096
등비수열의 첫째항을 a라 하면 공비가 4이므로 첫째항부터 제5항까
지의 합은
a(4Þ`-1)
4-1
∴ a=3
=1023,
a=1023
:Á;;¼3ª:£:
=
10(1010-1)
10-1
-10
③
=
;:!9):);
(10á`-1)
1097
등비수열 {aÇ}의 첫째항이 1, 공비가 3이므로 수열 aÁ+aª, aª+a£,
a£+a¢, y는 첫째항이 aÁ+aª=1+1´3=4,
공비가
aª+a£
aÁ+aª
=
1´3+1´3Û`
1+1´3
=3인 등비수열이다.
1101
|전략| S2nÖSÇ=rÇ`+1(r+1)임을 이용한다.
등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제n항까지의 합
을 SÇ이라 하면
134 | III . 수열
121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 134
2018-03-13 오후 2:33:36
정답과 해설 ´rÇ`=20´3=60
①
S°=
=10
a(rÞ`-1)
r-1
a(r10-1)
r-1
SÁ¼=
=
a(rÞ`-1)
r-1
㉠, ㉡에서 10(rÞ`+1)=30
rÞ`+1=3
∴ `rÞ`=2
yy`㉠
㉠, ㉡에서 26rß`=702, rß`=27
rÛ`=3 (∵ r는 실수)
∴ r=
3 `(∵ r>0)
'
´(rÞ`+1)=30
yy`㉡
1104
등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r(r>0)라 하면
∴`SÁ°=
a(r15-1)
r-1
=
a(r5-1)
r-1
´(r10+rÞ`+1)
∴`SÁ°=10(2Û`+2+1)=10´7=70
70
1102
등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r(r>0), 첫째항부터 제n항까
지의 합을 SÇ이라 하면
a(rÝ`-1)
r-1
a(r¡`-1)
r-1
´(rÝ`+1)=765 yy`㉡
a(rÝ`-1)
r-1
yy`㉠
… ❶
=45
S¥=
S¢=
=
㉠, ㉡에서 45(rÝ`+1)=765, rÝ`+1=17
rÝ`=16
∴ r=2 (∵ r>0)
r=2를 ㉠에 대입하여 정리하면
∴ a=3
15a=45
따라서 aÇ=3´2n-1이므로
a£=3´2Û`=12
채점 기준
❶ S¢, S¥을 a, r에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
❷ r의 값을 구할 수 있다.
❸ a의 값을 구할 수 있다.
❹ a£의 값을 구할 수 있다.
1103
등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r(r>0), 첫째항부터 제n항까
지의 합을 SÇ이라 하면
aÁ+aª+ y +a¤=S¤=
a(rß`-1)
r-1
=26
이때, a¦+a¥+ y +aÁª=SÁª-S¤이므로
SÁª=S¤+702=26+702=728
a(rß`-1)
r-1
a(r12-1)
r-1
∴ SÁª=
=
㉠, ㉡에서 26(rß`+1)=728, rß`+1=28
rß`=27, rÛ`=3 ( ∵ r는 실수)
∴ r=
3 (∵ r>0)
'
´(rß`+1)=728
yy`㉡
… ❷
… ❸
… ❹
12
비율
40 %
20 %
20 %
20 %
yy`㉠
3
'
aÁ+aª+a£+ y +aÇ=
a(1-rÇ`)
1-r
a2n+1+a2n+2+a2n+3+ y +a3n
=ar2n+ar2n+1+ar2n+2+ y +ar3n-1
=20
=
ar2n(1-rÇ`)
1-r
=
a(1-rÇ`)
1-r
´r2n=180
㉠, ㉡에서 20r2n=180, r2n=9, (rÇ`)Û`=9
등비수열 {aÇ}의 공비가 양수이므로 rÇ`=3
∴ an+1+an+2+an+3+ y +a2n
∴ =arÇ`+arn+1+arn+2+ y +ar2n-1
∴ =
arn(1-rÇ`)
1-r
=
a(1-rÇ`)
1-r
1105
|전략| aÇ=SÇ-Sn-1(n¾2)임을 이용한다.
SÇ=2Ç`-1이므로
aÁ¼
aª
(210-1)-(2á`-1)
(2Û`-1)-(2Ú`-1)
=
=
SÁ¼-S»
Sª-SÁ
210-2á`
2Û`-2Ú`
=
=
2á`(2-1)
2(2-1)
=2¡`
1106
ㄱ. Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=3Ú``-1=2
ㄱ. Û n¾2일 때,
ㄱ. Û aÇ =SÇ-Sn-1=(3Ç`-1)-(3n-1-1)
=3n-1(3-1)=2´3n-1
ㄱ. 이때, aÁ=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
ㄱ. aÇ=2´3n-1 (참)
ㄴ. aÁ+a£+a°+a¦=2+2´3Û`+2´3Ý`+2´3ß``
ㄴ. aÁ+a£+a°+a¦=2(1+3Û`+3Ý`+3ß`)
1´{(3Û`)Ý`-1}
3Û`-1
ㄴ. aÁ+a£+a°+a¦=2´
ㄴ. aÁ+a£+a°+a¦=
(3¡`-1) (참)
;4!;
ㄷ. 수열 {aªÇ} : aª, a¢, a¤, y의 공비는
ㄴ.
a¢
aª
= 2´3Ü`
2´3
=3Û`=9 (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
다른 풀이 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r(r>0)라 하면
aÁ+aª+ y +a¤ =a+ar+ y +arÞ
=a(1+r+ y +rÞ`)=26
yy`㉠
a¦+a¥+ y +aÁª =arß`+arà`+ y +ar11
`
`
1107
logª SÇ=n+1에서 SÇ=2n+1
Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=4
Û n¾2일 때,
=arß`(1+r+ y +rÞ`)=702
yy`㉡
aÇ=SÇ-Sn-1=2n+1-2Ç`=2Ç`
yy`㉠
yy`㉡
③
yy`㉠
④
8 등차수열과 등비수열 | 135
121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 135
2018-03-13 오후 2:33:36
8ㅡ등차수열과 등비수열 따라서 aÁ=4, a°=2Þ`, aÁ¼=210이므로
aÁ+a°+aÁ¼=4+2Þ`+210
1108
Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=3´2Û`+k=12+k yy`㉠
… ❶
Û n¾2일 때,
Û aÇ =SÇ-Sn-1=3´2n+1+k-(3´2Ç`+k)
1111
=3´2Ç`(2-1)=3´2Ç`
yy`㉡
… ❷
이때, 이 수열이 첫째항부터 등비수열을 이루려면 ㉡에 n=1을 대입
한 것과 ㉠이 같아야 하므로
3´2=12+k
∴ k=-6
채점 기준
❶ aÁ을 k에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
❷ n¾2일 때, aÇ을 구할 수 있다.
❸ k의 값을 구할 수 있다.
768+768r+768rÛ`+ y +768rà`=
④
768+768r+768rÛ`+ y +768rà`=
768(1-r¡`)
1-r
768
[
1-
{;2!;}
1-
;2!;
]
8`
=1530(톤)
1530톤
1회 시행 시 버린 조각의 넓이는
´4´4=4
2회 시행 시 버린 조각의 넓이는 4´
3회 시행 시 버린 조각의 넓이는 4´
⋮
n회 시행 시 버린 조각의 넓이는 4´
;4!;
;4#;
{;4#;}
2`
n-1
{;4#;}
… ❸
-6
비율
30 %
30 %
40 %
따라서 10회 시행하였을 때, 버린 조각의 넓이의 합은
10
4´
1-
[
{;4#;}
]
1-
;4#;
=16´
1-
[
{;4#;}
10
]
④
1112
|전략| 연이율 r의 복리로 매년 초에 a원씩 n년간 적립할 때, n년 후의 원리합계
는 a(1+r)+a(1+r)Û`+ y +a(1+r)Ç` 임을 이용한다.
매년 초에 a원씩 적립한다고 하면 12년 후의 원리합계는
a(1+0.06)+a(1+0.06)Û`+ y +a(1+0.06)12
yy`㉠
=
a_1.06(1.0612-1)
0.06
=
a_1.06(2.01-1)
0.06
=1000000
= 1.06_1.01_a
0.06
∴`a= 1000000_0.06
1.06_1.01
?56000(원)
=
a(1-r¡`)
1-r
´(1+r¡`)=
;2(;
yy`㉡
따라서 매년 초에 56000원씩 적립하면 된다.
③
1109
|전략| 파이프의 길이가 일정하게 감소하므로 등비수열임을 알고, 주어진 조건을
이용하여 공비를 구해 본다.
팬파이프의 첫 번째 파이프의 길이를 a`m, 전 파이프에 비해 감소하
는 길이의 비를 r, 첫 번째 파이프부터 n번째 파이프까지의 길이의 합
또, ar¡`+ará`+ y +ar15=SÁ¤-S¥이므로
을 SÇ`m라 하면
a(1-r¡`)
1-r
S¥=
=3
SÁ¤=
+3=
;2#;
∴ SÁ¤=
;2(;
a(1-r16)
1-r
㉠, ㉡에서 3(1+r¡`)=
;2(;
1+r¡`=
∴ Sª¢=
∴ r¡`=
;2#;
a(1-r24)
1-r
=
;2!;
a(1-r¡`)
1-r
´(1+r¡`+r16)
∴ Sª¢=3
1+
+
[
;2!;
{;2!;}
]
:ª4Á:
=
`(m)
따라서 첫 번째 파이프부터 24번째 파이프까지의 길이의 합은
2`
이므로 파이프의 총 길이는
`m이다.
:ª4Á:
`m
:ª4Á:
:ª4Á:
`m
1113
매년 초에 적립하는 10만 원의 원리합계를 그림으로 나타내면
초1 초
초2 초 초3 초
고2 초 고3 초 고3 말
10
10
10
10
10
y
y
(단위: 만 원)
10(1+0.05)12
10(1+0.05)11
10(1+0.05)10
y
10(1+0.05)2
10(1+0.05)
1110
A지역의 연간 자동차 휘발유 소비량이 매년 r배 감소한다고 하면
4년 후의 휘발유의 소비량은 768rÝ`톤이므로
768rÝ`=48, rÝ`=
∴ r=
(∵ r>0)
;1Á6;
;2!;
따라서 고등학교 3학년 연말에 은정이가 찾을 돈은
10(1+0.05)+10(1+0.05)Û`+ y +10(1+0.05)12
=
10_1.05(1.0512-1)
0.05
=
10_1.05(1.8-1)
0.05
따라서 8년 동안 사용되는 자동차 휘발유 소비량의 총합은
=168(만 원)
168만 원
136 | III . 수열
121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 136
2018-03-13 오후 2:33:37
정답과 해설 1114
매년 1월 1일에 적립하는 금액의 원리합계를 그림으로 나타내면
2011
1
1
10
2012
1
1
2013
1
1
2020
1
1
2020
12
31
10^1.06
10^1.06#¤####
10^1.06#·#####
...
...
올해 말부터 a만 원씩 12년 동안 갚는다고 할 때의 원리합계는
a+a(1+0.06)+ y +a(1+0.06)11
= a(1.0612-1)
1.06-1
= a(2-1)
0.06
yy ㉡
=
:°3¼:
a(만 원)
㉠과 ㉡이 같아야 하므로
6000=
a
∴ a=360(만 원)
:°3¼:
따라서 매년 말에 갚아야 할 금액은 360만 원이다.
360만 원
(단위: 조 원)
10^1.06#⁄#####‚#####
10^1.#06#⁄#####‚#####
10^1.#06#⁄#####‚#####
.
.
.
10^1.#06#⁄#####‚#####
따라서 2020년 12월 31일까지 적립되는 금액의 원리합계는
10_1.0610_10=10_1.8_10=180(조 원)
③
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
1118
1115
|전략| a원을 n년에 걸쳐 상환할 때
(a원의 n년 후의 원리합계)=(n년 동안 상환한 금액의 원리합계)임을 이용한다.
갚아야 할 100만 원의 10개월 후의 원리합계는
100(1+0.02)10 =100_1.0210
=100_1.2=120(만 원)
yy ㉠
매달 초에 a만 원씩 10개월 동안 갚는다고 할 때의 원리합계는
a+a(1+0.02)+ y +a(1+0.02)á`
= a(1.0210-1)
1.02-1
= a(1.2-1)
0.02
=10a(만 원)
㉠과 ㉡이 같아야 하므로
120=10a
∴ a=12(만 원)
따라서 매달 갚아야 할 금액은 12만 원이다.
12만 원
1116
매년 말에 800만 원씩 10년 동안 연이율 5`%의 복리로 적립한 금액
의 원리합계는
800+800_1.05+ y +800_1.05á`
= 800(1.0510-1)
= 800(1.6-1)
1.05-1
0.05
=9600(만 원)
의 원리합계는
a_1.0510=1.6a(만 원)
㉠과 ㉡이 같아야 하므로
9600=1.6a
∴ a=6000(만 원)
올해 초에 한꺼번에 연금 a만 원을 받는다고 하면 a만 원의 10년 후
따라서 올해 초에 한꺼번에 받는 금액은 6000만 원이다.
①
1117
3000만 원을 12년 동안 예금할 때의 원리합계는
3000(1+0.06)12 =3000_1.0612
=3000_2=6000(만 원)
유형 02 항 또는 항 사이의 관계가 주어진 등차수열
|전략| 첫째항을 a, 공차를 d라 하고 주어진 조건을 이용하여 방정식을 세운다.
등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a£=11에서 a+2d=11
aÁ¼=32에서 a+9d=32
㉠, ㉡을 연립하여 풀면`a=5, d=3
yy ㉠
yy ㉡
aÇ=5+(n-1)´3=3n+2이므로 제n항이 1211이라 하면
3n+2=1211, 3n=1209 ∴ n=403
따라서 1211은 제403항이다.
③
yy ㉡
1119
유형 03 조건을 만족시키는 등차수열
|전략| 등차수열 {aÇ}의 일반항을 구하고, 부등식을 이용하여 처음으로 100보다
크게 되는 항을 찾는다.
등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a¦=24에서 a+6d=24
a° : aÁ°
3 : 8에서 8a°=3aÁ°, 8(a+4d)=3(a+14d)
=
yy ㉠
yy ㉡
5a-10d=0 ∴ a-2d=0
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=6, d=3
∴`aÇ=6+(n-1)´3=3n+3
yy ㉠
3n+3>100에서 3n>97 ∴`n>
=32.3___
:»3¦:
따라서 처음으로 100보다 크게 되는 항은 제33항이다.
③
yy ㉡
1120
유형 04 두 수 사이에 수를 넣어서 만든 등차수열
|전략| 두 수 a, b 사이에 n개의 수를 넣어서 등차수열을 만들면 a는 첫째항이고,
b는 제(n+2)항임을 이용한다.
등차수열 2, aÁ, aª, a£, y, aÁ¼¼, 305에서 공차를 dÁ이라 하면 305는
제102항이므로 305=2+101dÁ
∴ dÁ=3
등차수열 3, bÁ, bª, b£, y, b50, 309에서 공차를 dª라 하면 309는 제52
항이므로 309=3+51dª
∴ dª=6
`
yy ㉠
∴
bª-bÁ
a100-a99
= dª
dÁ
=
=2
;3^;
②
8 등차수열과 등비수열 | 137
8ㅡ
등
차
수
열
과
등
비
수
열
121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 137
2018-03-13 오후 2:33:38
|전략| 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 2b=a+c임을 이용한다.
등차수열 {aÇ}, {bÇ}, {cÇ}의 공차가 각각 dÁ, dª, d£일 때
⑴ 수열 {aÇ+bÇ+cÇ}：aÁ+bÁ+cÁ, aª+bª+cª, a£+b£+c£, y
정답과 해설
1121
유형 05 등차중항
a, b, d가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
2b=a+d
또, b, c, d가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
2c=b+d
∴ b=2c-d
㉡을 ㉠에 대입하여 d에 대하여 풀면
2(2c-d)=a+d, 3d=4c-a
∴ d= 4c-a
= 4c-a
4-1
따라서 점 D(d)는 ACÓ를 4 : 1로 외분한다.
3
다른 풀이 a, b, d가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
b-a=d-b에서 ABÓ=BDÓ
또, b, c, d가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
c-b=d-c 에서 `BCÓ=CDÓ
⇨ 공차가 dÁ+dª+d£인 등차수열
⑵ 수열 {a2n-1}：aÁ, a£, a°, y
수열 {a2n}：aª, a¢, a¤, y
⇨ 공차가 2dÁ인 등차수열
yy ㉠
yy ㉡
1124
유형 11 등차수열과 배수의 합
①
|전략| 자연수 d로 나누었을 때의 나머지가 a(0Éaa+d ∴ 00)
조건 ㈏에서 a+d=25이므로
4d+d=25, 5d=25 ∴ d=5
넓이는
´15´20=150
;2!;
1123
유형 07 등차수열의 합
|전략| 세 수열 {aÇ}, {bÇ}, {cÇ}이 등차수열이면 {aÇ+bÇ+cÇ}도 등차수열임
을 이용한다.
세 수열 {aÇ}, {bÇ}, {cÇ}이 등차수열이므로 수열
{aÇ+bÇ+cÇ}도 등차수열이다.
(aÁ+aª+ y +aÁ¼¼)+(bÁ+bª+ y +bÁ¼¼)+(cÁ+cª+ y +cÁ¼¼)
=(aÁ+bÁ+cÁ)+(aª+bª+cª)+ y +(aÁ¼¼+bÁ¼¼+cÁ¼¼)
이므로 주어진 식은 첫째항이 24, 끝항이 26, 항수가 100인 등차수열
1127
의 합이다.
∴ (주어진 식)= 100(24+26)
=50Û`
2
유형 16 조건을 만족시키는 등비수열
|전략| 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열 {aÇ}에서 arn-13000
n-1¾12
∴ n¾13
yy ㉠
yy ㉡
a(1-rÞ`)(1+rÞ`)
1-r
=3´ a(1-rÞ`)
1-r
∴ `rÞ`=2
1+rÞ`=3
Sª¼= a(1-r20)
1-r
Sª¼= a(1-rÞ`)
1-r
= a(1-r10)(1+r10)
1-r
´(1+rÞ`)(1+r10)
Sª¼ =S°(1+2)(1+2Û`) (∵ ㉠)
=15S°
∴ k=15
1131
유형 28 상환·연금과 등비수열
|전략| ( a원씩 n년 동안 적립한 금액의 원리합계)
따라서 처음으로
보다 작아지는 항은 제13항이다.
③
=(일시불로 받은 금액의 n년 후의 원리합계)임을 이용한다.
;10Á00;
매년 초에 900만 원씩 20년 동안 연이율 6`%의 복리로 적립한 금액
|전략| 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등비수열을 이루면 bÛ`=ac임을 이용한다.
의 원리합계는
900+900_1.06+ y +900_1.0619
= 900(1.0620-1)
= 900(3.2-1)
0.06
1.06-1
2021년 초에 한꺼번에 연금 a만 원을 받는다고 하면 a만 원의 19년
=33000(만 원)
yy ㉠
후의 원리합계는
a_1.0619=3.0a(만 원)
㉠과 ㉡이 같아야 하므로
yy ㉠
④
=Ñ192 (복호동순)
33000=3.0a ∴ a=11000(만 원)
따라서 2021년 초에 한꺼번에 받는 금액은 1억 1천만 원이다. ①
1132
유형 10 등차수열의 합의 최대´최소
|전략| 등차수열 {aÇ}의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이라 할 때 aû>0,
ak+1<0이면 SÇ의 최댓값은 Sû임을 이용한다.
S402´S404<0에서 d<0이므로 S402>0, S404<0
S402=
402(2´2011+401d)
2
∴`d>-10.0___
S404=
404(2´2011+403d)
2
∴`d<-9.9___
>0, 401d>-4022
<0, 403d<-4022
n회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 9´
이때, d는 정수이므로 d=-10
따라서 10회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 9´
10
= 810
9á`
{;9*;}
∴`aÇ=2011+(n-1)´(-10)=-10n+2021
제n항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면
②
-10n+2021<0에서 10n>2021 ∴`n>202.1
따라서 수열 {aÇ}은 제203항부터 음수이므로 SÇ이 최대가 되는 n의
값은 202이다.
… ❸
유형 24 부분의 합이 주어진 등비수열의 합
|전략| S2nÖSÇ=rÇ
+1(r+1)임을 이용한다.
`
등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r(r+1)라 하면
SÁ¼=3S°에서
a(1-r10)
1-r
=3´ a(1-rÞ`)
1-r
채점 기준
❶ d의 값을 구할 수 있다.
❷ aÇ을 구할 수 있다.
❸ SÇ이 최대가 되는 n의 값을 구할 수 있다.
8 등차수열과 등비수열 | 139
1128
유형 18 등비중항
x가 3과 48의 등비중항이므로
xÛ`=3´48
∴ x=Ñ12
48이 x와 y의 등비중항이므로
48Û`=xy
∴ y= 48Û`
x
㉠에 x=Ñ12를 대입하면 y=Ñ 48Û`
12
따라서 양의 실수 y의 값은 192이다.
1129
유형 21 등비수열의 활용 - 도형
|전략| 몇 개의 항을 나열하여 규칙성을 파악한다.
처음 정사각형의 넓이는 3´3=9
1회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 9´
2회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 9´
3회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 9´
;9*;
{;9*;}
2`
{;9*;}
3`
n
{;9*;}
⋮
1130
yy ㉠
③
yy ㉡
… ❶
… ❷
202
배점
3점
1점
3점
121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 139
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8ㅡ등차수열과 등비수열 배점
4점
6점
배점
5점
5점
2점
1133
유형 19 등차중항과 등비중항
|전략| 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 2b=a+c이고, 등비수열
을 이루면 bÛ`=ac임을 이용한다.
4, a, b가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
2a=4+b
∴ b=2a-4
yy ㉠
a, b, 4가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
yy ㉡
… ❶
bÛ`=4a
㉠을 ㉡에 대입하면
(2a-4)Û`=4a, aÛ`-5a+4=0
(a-1)(a-4)=0
∴ a=1 또는 a=4
a=1을 ㉠에 대입하면 b=-2
a=4를 ㉠에 대입하면 b=4
이때, 4, a, b는 서로 다른 수이므로
⑴ aÁ+a£+a°+ y +a¢¦= 24{2a+(24-1)´2d}
=1272
⑴ ∴ a+23d=53
⑵ aÁ+aª+a£+ y +a¢¦= 47{2a+(47-1)´d}
⑵ aÁ+aª+a£+ y +a¢¦=47(a+23d)=47´53=2491
2
2
⑴ a+23d=53 ⑵ 2491
⑴ a, d 사이의 관계식을 구할 수 있다.
⑵ 첫째항부터 제47항까지의 합을 구할 수 있다.
채점 기준
1136
유형 24 부분의 합이 주어진 등비수열의 합
|전략| 제 m 항부터 제 n 항까지의 합은 SÇ-Sm-1임을 이용한다.
⑴ 제m항부터 제n항까지의 합이 720이므로 SÇ-Sm-1=720
a=1, b=-2
∴ ab=-2
채점 기준
❶ a, b에 대한 연립방정식을 세울 수 있다.
❷ a, b의 값을 구할 수 있다.
❸ ab의 값을 구할 수 있다.
1134
유형 23 등비수열의 합
… ❷
… ❸
-2
배점
3점
2점
1점
=720
⑴
- 2(3m-1-1)
3-1
2(3Ç`-1)
3-1
⑴ 3Ç`-3m-1=720
⑴ 3m-1(3n-m+1-1)=3Û`´80
⑵ m은 자연수이므로 3m-1=3Û`
⑴ 따라서 m-1=2
⑶ n은 자연수이므로 3n-m+1=81=3Ý`
∴ m=3
⑴ 따라서 n-m+1=4이고, m=3이므로 n=6
⑴ 3m-1(3n-m+1-1)=3Û`´80 ⑵ 3 ⑶ 6
|전략| 다항식 f(x)를 x-a로 나눌 때의 나머지는 f(a)임을 이용한다.
f(x)=1+x+xÛ`+xÜ`+ y +x2046이라 하면
f(x)를 2x-1로 나눈 나머지는 나머지정리에 의하여
f
{;2!;}
=1+
+
;2!;
{;2!;}
+
+ y +
2046
{;2!;}
… ❶
{;2!;}
3`
2`
위의 식의 우변은 첫째항이 1, 공비가
인 등비수열의 첫째항부터
;2!;
제2047항까지의 합이므로 구하는 나머지는
2047
1´
1-
[
{;2!;}
]
1-
;2!;
=2-
{;2!;}
2046
채점 기준
⑴ m, n 사이의 관계식을 구할 수 있다.
⑵ m의 값을 구할 수 있다.
⑶ n의 값을 구할 수 있다.
창의·융합 교과서 속 심화문제
1137
❶ 나머지정리를 이용하여 나머지를 식으로 나타낼 수 있다.
❷ 나머지를 구할 수 있다.
또, 가장 큰 부채꼴의 넓이가 가장 작은 부채꼴의 넓이의 2배이므로
… ❷
|전략| 등차수열을 이루는 다섯 수를 a-2d, a-d, a, a+d, a+2d로 놓는다.
5개의 부채꼴의 넓이를 작은 것부터 차례대로
a-2d, a-d, a, a+d, a+2d(d>0)라 하면 5개의 부채꼴의 넓이
2046
2-
{;2!;}
배점
4점
3점
의 합은 원의 넓이이므로
5a=15Û`p
∴ a=45p
a+2d=2(a-2d)에서 d=
=
;6A;
:Á2°:
p
따라서 가장 큰 부채꼴의 넓이는
유형 09 부분의 합이 주어진 등차수열의 합
|전략| 등차수열의 공차가 d일 때, 홀수 번째 항으로 이루어진 수열은 공차가 2d
a+2d=45p+2´
p=60p
∴ k=60
:Á2°:
60
⑴ 주어진 등차수열의 홀수 번째 항으로 이루어진 수열
1138
⑴ aÁ, a£, a°, y, a¢¦은 첫째항이 a, 공차가 2d, 항수가 24개인 등차
|전략| 등차수열 {aÇ}에 대하여 aÁ>0이고, Sª¼=S¢¼이려면 d<0이고, aû>0,
ak+1<0이면 SÇ의 최댓값은 Sû임을 이용한다.
채점 기준
1135
임을 이용한다.
수열이므로
140 | III . 수열
121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 140
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정답과 해설 ㄱ. Sª¼=S¢¼이므로
ㄱ. aªÁ+aªª+aª£+ y +a¢¼=S¢¼-Sª¼=0 (참)
ㄴ. aªÁ+aªª+aª£+ y +a¢¼ =10(aªÁ+a¢¼)
㉠, ㉢에서 bd=
=1 (∵ c=-a)
a+c
{;2!;}
b, 2c, 5d가 이 순서대로 등비수열이므로 4cÛ`=5bd=5
=y
=y
=10(aª°+a£¤)
=10(a£¼+a£Á)=0
∴ aÛ`=cÛ`=
(∵ c=-a)
;4%;
5
∴ a=- '
2
(∵ a<0)
㉠ 이때, aª°+a£¤=0이므로 |aª°|=|a£¤| (참)
ㄷ. aÁ>0이고 ㄴ에 의하여 등차수열 {aÇ}의 공차 d는 d<0이다.
d¾0이면
ㄱ. 이때, a£¼+a£Á=0이므로
aª°+a£¤>0
ㄱ. aÁ>aª> y >a£¼>0>a£Á>a£ª> y
ㄱ. 가 성립한다.
ㄱ. 즉, n=30일 때, SÇ은 최댓값을 갖는다. (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
②
②
1141
|전략| 연속한 세 원의 반지름의 길이를 각각 rÁ, rª, r£으로 놓고, 직각삼각형의
닮음비를 이용한다.
다음 그림과 같이 연속한 세 원의 중심을 각각 OÁ, Oª, O£이라 하고
반지름의 길이를 각각 rÁ, rª, r£(rÁTÁ¥이므로 aÁ¦>0, aÁ¥<0
㉠에서 aÁ¦=50+16d>0이므로 d>-
:ª8°:
aÁ¥=50+17d<0이므로 d<-
;1%7);
따라서 -
0)
12
34<
:Á;3):#;
<35이므로 TÇ은 n=34 또
1O
x
103
3
는 n=35일 때 최솟값을 갖는다.
T£¢= |3´34Û`-103´34|
2
=17, T£°= |3´35Û`-103´35|
=35
2
등비수열 {aÇ}의 공비가 r일 때
수열 {a2n-1}：aÁ, a£, a°, y
수열 {a2n}：aª, a¢, a¤, y
⇨ 공비가 rÛ`인 등비수열
㉠, ㉡에서 TÇ>Tn+1을 만족시키는 n은
n=17, 18, 19, y, 33
yy ㉡
1142
따라서 구하는 n의 최댓값은 33이다.
33
|전략| 주어진 지수함수와 로그함수의 그래프를 이용하여 a, b, c, d 사이의 관계
1140
식을 찾는다.
;2!;
;2!;
log
d=a에서 d=
yy ㉠, 2`=d
yy ㉡
log
b=c에서 b=
yy ㉢
㉠, ㉡에서 c=-a
{;2!;}
{;2!;}
a`
c`
|전략| N=pÂ`´qµ``(p, q는 서로 다른 소수, l, m은 자연수)일 때, N의 양의 약수
의 총합은 (1+p+ y +pÂ`)(1+q+ y +qµ``)임을 이용한다.
ab=2100´3100의 양의 약수의 총합은
(1+2+ y +2100)(1+3+ y +3100)
= 1´(2101-1)
2-1
=(2101-1)´ 3101-1
´ 1´(3101-1)
3-1
2
(2´2100-1)(3´3100-1)
=
;2!;
=
;2!;
(2a-1)(3b-1)
①
8 등차수열과 등비수열 | 141
121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 141
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8ㅡ등차수열과 등비수열 9 수열의 합
본책 170~183쪽
개념 마스터
1
STEP1
1143
3k=3´1+3´2+3´3+3´4+3´5
1151
주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면
aû=3´3k-1=3û`
3û`=729=3ß`에서 k=6
∴ 3+9+27+ y +729=
3û`
;K6+!
10
10
;K+!
;K+!
;K5+!
=3+6+9+12+15
3+6+9+12+15
(5aû+2)=5
aû+
2=5´3+2´10=35
35
3û`
;K6+!
2Ç`=2Ú`+2Û`+2Ü`+ y +2¡`
(2aû+bû)=2
aû+
bû=2´3+2=8
10
10
8
;N8+!
=2+4+8+ y +256
2+4+8+ y +256
;K+!
;K+!
1152
10
;K+!
1153
10
;K+!
1154
10
1155
1156
10
;K+!
=
1157
10
;K+!
1158
10
;K+!
1159
20
;K+!
(aû-bû+1)=
aû-
bû+
10
10
10
1
;K+!
;K+!
;K+!
=3-2+1´10=11
;K+!
11
10
10
(3aû+2bû-2)=3
10
aû+2
bû-
10
2
;K+!
;K+!
=3´3+2´2-2´10=-7
;K+!
;K+!
-7
(aû+1)(aû-1)=
(aûÛ`-1)
10
10
;K+!
aûÛ`-
10
1
=20-1´10=10
;K+!
;K+!
(2aû-1)Û`=
(4aûÛ`-4aû+1)
10
10
;K+!
=4
10
aûÛ`-4
aû+
10
1
;K+!
=4´20-4´10+1´10=50
;K+!
;K+!
50
(kÛ`+1)-
(kÛ`-3)=
{(kÛ`+1)-(kÛ`-3)}
10
;K+!
=
4=4´10=40
40
10
;K+!
20
;K+!
10
;K+!
20
20
;K+!
=
20
;K+!
=
;K+!
kÛ`
;Kn+!
;k!;
;Kn+!
10
2k
;K+!
(5i-2)=(5´1-2)+(5´2-2)+(5´3-2)+ y +(5n-2)
=3+8+13+ y +(5n-2)
3+8+13+ y +(5n-2)
j(2j+1)=1´3+2´5+3´7+ y +n(2n+1)
=3+10+21+ y +n(2n+1)
3+10+21+ y +n(2n+1)
1144
1145
;In+!
;Jn+!
1146
1147
1148
;Kn+!
;Kn+!
1+
+
+ y +
;2!;
;3!;
;n!;
=
;k!;
1149
주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면
aû=2+(k-1)´2=2k
2k=20에서 k=10
∴ 2+4+6+ y +20=
10
2k
;K+!
1150
주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면
aû=1+(k-1)´3=3k-2
3k-2=100에서 3k=102
∴ 1+4+7+ y +100=
142 | III . 수열
∴ k=34
34
(3k-2)
;K+!
34
(3k-2)
;K+!
(k-1)Û`-
(kÛ`-2k)=
{(k-1)Û`-(kÛ`-2k)}
{(kÛ`-2k+1)-(kÛ`-2k)}
1=1´20=20
20
1+4+9+16+ y +nÛ`=
kÛ`
10
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정답과 해설 1160
10
;K+!
1161
10
;K+!
;K+!
1162
10
(2k-1)=2
k-
10
10
1=2´ 10´11
-1´10
2
;K+!
;K+!
=110-10=100
100
(kÜ`+kÛ`-4)=
kÜ`+
kÛ`-
4
10
10
10
=
;K+!
{
10´11
2
;K+!
}
;K+!
Û`+ 10´11´21
-4´10
6
=3025+385-40=3370
3370
다른 풀이
4Û`+5Û`+6Û`+ y +15Û`=
kÛ`=
kÛ`-
kÛ`
15
15
;K+$
;K+!
= 15´16´31
6
;K3+!
- 3´4´7
6
=1240-14=1226
1
1´2
+ 1
2´3
+ 1
3´4
+ y + 1
n(n+1)
1
k(k+1)
=
{;k!;-
1
k+1 }
;Kn+!
-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}
+ y +
{;n!;-
1
n+1 }
(2k+3)Û`=
(4kÛ`+12k+9)=4
kÛ`+12
k+
9
10
10
10
10
=1- 1
n+1 =
n
n+1
n
n+1
;K+!
=4´ 10´11´21
;K+!
2
=1540+660+90=2290
+12´ 10´11
6
;K+!
+9´10
;K+!
2290
1163
⑴ aÇ=n(n+1)
⑵ aû=110에서 k(k+1)=110=10´11
∴ k=10
⑶ 1´2+2´3+3´4+ y +10´11=
k(k+1)=
(kÛ`+k)
10
10
1
1´3
+ 1
3´5
+ 1
5´7
+ y +
=
1
(2k-1)(2k+1)
=
;2!;
1
(2n-1)(2n+1)
- 1
1
2k-1
{
2k+1 }
;Kn+!
=
1-
;2!;[{
;3!;}+{;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;}
;Kn+!
+ y +
{
1
2n-1
- 1
2n+1 }]
=
;2!;{
1- 1
2n+1 }
= n
2n+1
n
2n+1
1166
=
;Kn+!
1
{
=
1167
1168
10
;K+!
=
10
kÛ`+
k
;K+!
;K+!
;K+!
= 10´11´21
6
=385+55=440
+ 10´11
2
⑴ aÇ=n(n+1) ⑵ 10 ⑶ 440
1
2´4
+ 1
3´5
+ 1
4´6
+ y +
1
(n+1)(n+3)
=
1
(k+1)(k+3)
=
;2!;
1
k+1
{
-
1
k+3 }
;Kn+!
;Kn+!
=;2!;[{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}+{;4!;-;6!;}
1164
주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면 aû=2k
2k=30에서 k=15
15
15
∴ (주어진 식)=
2k=2
k
;K+!
=2´ 15´16
;K+!
=240
2
1165
주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면 aû=(k+3)Û`
(k+3)Û`=15Û`에서 k+3=15
∴ (주어진 식)=
(k+3)Û`=
(kÛ`+6k+9)
12
∴ k=12
12
12
;K+!
=
kÛ`+6
12
12
;K+!
k+
9
;K+!
;K+!
= 12´13´25
6
;K+!
+6´ 12´13
2
+9´12
=650+468+108=1226
1226
y
+
1
1
1
+{;n!;-
n+2 }+{
n+1 -
n+3 }]
=
;2!;{;2!;+;3!;
-
1
n+2
-
1
n+3 }
=
´
;2!;
5(n+2)(n+3)-6(n+3)-6(n+2)
6(n+2)(n+3)
240
= 5nÛ`+13n
12(n+2)(n+3)
5nÛ`+13n
12(n+2)(n+3)
1169
2
1+
2
'
=
;Kn+!
=2
;Kn+!
=2{(
=2(
'Ä
3
'
+ 2
2+
'
2
k+
k+1
'Ä
k+1-
'
(
'Ä
k)
'
2-1)+(
'
n+1-1)
'
+ 2
3+
'
4
'
+ y +
=2
(
k+
'
'Ä
;Kn+!
k-
'
'Ä
k+1)(
2
'Ä
'Ä
n+
'
k+1
k-
'
n+1
k+1)
3-
2)+(
4-
3)+ y +(
n+1-
n)}
'
'
'
'
'Ä
2(
'Ä
n+1-1)
9 수열의 합 | 143
142157고유형해결수1-06(9해).indd 143
2018-03-13 오후 3:44:04
9ㅡ수열의합 정답과 해설
1170
1
1+
=
+ 1
3+
'
1
2k-1+
3
'
'Ä
+ 1
5+
'
7
'
5
'
+ y +
1
2n-1+
'Ä
2n+1
'Ä
2k+1
'Ä
=
;Kn+!
(
=
;Kn+!
;2!;
2k-1+
'Ä
'Ä
2k+1-
'Ä
(
'Ä
2k-1-
2k+1)(
'Ä
'Ä
2k-1)
'Ä
2k+1
2k-1-
2k+1)
'Ä
;Kn+!
{(
'
=
;2!;
3-1)+(
5-
3)+(
7-
5)
'
'
'
'
=
(
;2!;
'Ä
2n+1-1)
+ y +(
2n+1-
2n-1)}
'Ä
'Ä
;2!;
(
'Ä
2n+1-1)
1171
10
;K+!
=
2
(2k+1)(2k+3)
- 1
1
2k+1
{
10
2k+3 }
;K+!
{;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;}+{;7!;-;9!;}
=
+ y +
{;1Á9;-;2Á1;}+{;2Á1;-;2Á3;}
=;3!;-;2Á3;=;6@9);
;6@9);
1172
20
1
k(k+2)
;K+!
=
20
;2!;
{;k!;-
1
k+2 }
=
;K+!
;2!;[{
1-
1
k+
'Ä
k+1
1173
15
'
15
;K+!
=
;K+!
15
=
k-
'
'Ä
k+1)(
k+1
k-
'
'Ä
k+1)
(
(
k+
'Ä
'
k+1-
'Ä
2-1)+(
k)
'
3-
'
'
=(
;K+!
'
=-1+
'
1
6=-1+4=3
144 | III . 수열
2)+(
4-
3)+ y +(
1
6-
1
5)
'
'
'
'
3
;Kn+!
이므로
2n
aû=3nÛ`
;K+!
2
k+
'Ä
'
k+2
1174
;K7+!
=
;K7+!
(
k+
'
2(
k-
'
'Ä
k+2)(
'
k+2)
k-
'Ä
'Ä
k+2)
=
(
k+2-
k)
'Ä
'
=(
;K7+!
'
3-1)+(
4-
2)+(
5-
3)
'
'
=-1-
2+
8+
9=2+
2
'
'
'
'
'
'
+ y +(
8-
6)+(
'
'
9-
'
'
2+
7)
2
'
1175
주어진 식을 S로 놓으면
S=1´2+2´2Û`+3´2Ü`+ y +n´2Ç`
㉠의 양변에 ㈎ 2 를 곱하면
㈎ 2 S=1´2Û`+2´2Ü`+ y +(n-1)´2Ç`+n´2n+1
yy ㉠
yy ㉡
㉠-㉡을 하면
-S=2+2Û`+2Ü`+ y + ㈏ 2Ç` -n´2n+1
=
2(2Ç`-1)
2-1
-n´2n+1=(1-n)´2n+1-2
∴ S= ㈐ (n-1)´2n+1+2
㈎ 2 ㈏ 2Ç` ㈐ (n-1)´2n+1+2
1176
⑴ 제 n 군의 첫째항은 n이므로 제 10 군의 첫째항은 10이다.
⑵ 제 n 군은 첫째항이 n, 공차가 -1이고, 항수가 n인 등차수열이므
로 제 n 군의 합을 SÇ이라 하면
SÇ=
n{2´n+(n-1)´(-1)}
2
=
nÛ`+n
2
따라서 제 10 군의 합은
10Û`+10
2
=55
유형 마스터
유형 마스터
STEP2
1177
사용하여 간단히 정리한다.
;Kn+!
|전략|
(a2k-1+a2k)를
를 사용하지 않은 합의 꼴로 나타내어 보고,
를
(a2k-1+a2k)=(aÁ+aª)+(a£+a¢)+ y +(a2n-1+a2n)=
2n
aû
;K+!
;3!;}+{;2!:-;4!;}+{;3!;-;5!;}
는 n이므로 제 1 군부터 제 7 군까지의 항수는
+ y +
{;1Á9;-;2Á1;}+{;2Á0;-;2Á2;}]
k= 7´8
2
=28
=
;2!;{
1+
;2!;-;2Á1;-;2Á2;}=;4#6@2%;
;4#6@2%;
;K7+!
따라서 8이 처음으로 나타나는 것은 제 29 항이다.
⑴ 10 ⑵ 55 ⑶ 제 29 항
⑶ 8이 처음으로 나타나는 것은 제 8 군의 첫째항이고, 제 n 군의 항수
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2018-03-13 오후 3:44:06
;
;
;Kn+!
채점 기준
;Kn+!
;Kn+!
1183
20
;K+!
∴
;K+!
1184
20
k=11
;
1185
;K+!
;K+!
1178
199
;K+!
1179
200
;K+@
;Kn+!
∴
kÛ`=
kÛ`
;Kn+!
∴
2û`+
2û`
ㄷ.
m
;Kn+!
ai+
aj
n
;Kn+)
j=m+1
;
=
aû
이 식의 양변에 n=5를 대입하면
10
aû=3´5Û`=75
이므로 50=30+2
aûbû
①
∴
aûbû=10
;Kn+!
ak+1-
ak-1=(aª+a£+ y +a200)-(aÁ+aª+ y +a199)
❶
(aû+bû)Û`을 변형할 수 있다.
=a200-aÁ=55-5=50
50
❷
aûbû의 값을 구할 수 있다.
… ❷
10
비율
50 %
50 %
ㄱ.
kÛ`=1Û`+2Û`+3Û`+ y +nÛ`,
kÛ`=0Û`+1Û`+2Û`+3Û`+ y +nÛ`
ㄴ.
;Kn+!
2û`=2Ú`+2Û`+2Ü`+ y +2Ç`,
;Kn+)
2û`=1+2Ú`+2Û`+2Ü`+ y +2Ç`
;Kn+)
;Kn+)
aû=nÛ`,
bû=2n에 n=20을 각각 대입하면
20
;Kn+!
aû=20Û`=400,
;Kn+!
20
bû=2´20=40
(aû-6bû+2)=
aû-6
bû+
20
;K+!
20
20
2
=400-6´40+2´20=200
;K+!
;K+!
;K+!
200
=(aÁ+aª+ y +aµ)+(am+1+am+2+ y +aÇ)
;I+!
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ의 2개이다.
;Kn+!
2
;K+!
=(2Û`+4Û`+6Û`+ y +20Û`)+(1Û`+3Û`+5Û`+ y +19Û`)
;K+!
1180
10
10
(2k)Û`+
(2k-1)Û`
=1Û`+2Û`+3Û`+ y +19Û`+20Û`
20
19
=
kÛ`=
(k+1)Û`
;K+!
;K+)
1181
|전략|
의 성질을 이용한다.
10
;
(2aû+1)=2
10
10
10
aû+
1=2
aû+1´10=30
10
;K+!
에서
aû=10
;K+!
;K+!
;K+!
10
;K+!
(aû+1)(aû-1)=
(aûÛ`-1)=
aûÛ`-
10
10
;K+!
10
;K+!
=
;K+!
aûÛ`-1´10=50
10
1
;K+!
10
에서
aûÛ`=60
;K+!
∴
10
;K+!
(2aû+1)Û`=
10
(4aûÛ`+4aû+1)=4
aûÛ`+4
aû+
10
10
10
1
;K+!
=4´60+4´10+1´10=290
;K+!
;K+!
;K+!
;K+!
290
1182
;Kn+!
(aû+bû)Û`=
(aûÛ`+2aûbû+bûÛ`)
(aûÛ`+bûÛ`)+2
aûbû
… ❶
;Kn+!
=
;Kn+!
;Kn+!
(2aû+bû)=2
aû+
20
k=11
20
;
{
20
bû
k=11
10
;
aû}
=2
aû-
+
{
20
10
bû-
bû}
;K+!
=2(45-25)+(30-15)
;K+!
;K+!
;K+!
=40+15=55
⑤
|전략|
의 성질과 등비수열의 합의 공식을 이용하여 수열의 합을 구한다.
②
;
2û`+(-1)û`
2010
3û`
2010
=
{;3@;}
2010
û`+
û`
{-;3!;}
;K+!
1-
;3@;[
=
;K+!
2010
{;3@;}
]
-;3!;[
{-;3!;}
]
1-
2010
+
1-
;3@;
2010
2010
=2
1-
[
{;3@;}
]-;4!;[
1-
=
-2
;4&;
{;3@;}
+;4!;{-;3!;}
1
-{-;3!;}
2010
]
{-;3!;}
2010
따라서 a=7, b=2, c=1이므로
a+b+c=10
1186
주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면
첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열의
첫째항부터 제 k 항까지의 합이다.
aû=1+3+3Û`+ y +3k-1=
1´(3û`-1)
3-1
= 3û`-1
2
따라서 주어진 수열의 합은 첫째항부터 제 11 항까지의 합이므로
11
aû=
11
;K+!
;K+!
=
;2!;[
;2!;{
=
3û`-1
2
3(311-1)
3-1
11
11
3û`-
1
;K+!
-1´11
}
;K+!
= 312-25
4
]
10
②
9 수열의 합 | 145
142157고유형해결수1-06(9해).indd 145
2018-03-13 오후 3:44:06
9ㅡ수열의합 1187
4+44+444+ y +444 y 4
( { 9
20개
=
(9+99+999+ y +999 y 9)
( { 9
20개
{(10-1)+(10Û`-1)+(10Ü`-1)+ y +(1020-1)}
;9$;
=
;9$;
20
=
;9$;
(10û`-1)=
;9$;{
20
20
10û`-
1
;K+!
10(1020-1)
10-1
=
;9$;[
;K+!
-1´20
}
= 40´1020-760
81
;K+!
]
따라서 a=40, b=760이므로 a+b=800
a가 한 자리의 자연수일 때,
a+aa+aaa+ y +aaa y a
( { 9
n개
=
;9A;
(9+99+999+ y +999 y 9)
( { 9
n개
{(10-1)+(10Û`-1)+(10Ü`-1)+ y +(10Ç`-1)}
(10û`-1)
=
=
;9A;
;9A;
;Kn+!
1188
을 이용한다.
log¢ 2+log¢ 2Û`+log¢ 2Ü`+ y +log¢ 220
=log¢ (2´2Û`´2Ü`´ y ´220)=log¢ 21+2+3+ y +20
=log¢ 2
20
k=
;K+!
;2!;
20
k=
´ 20´21
2
;2!;
=105
;K+!
1189
nK-+1!
(2k+3)=2
k+
3
nK-+1!
nK-+1!
=2´ n(n-1)
2
=nÛ`+2n-3
+3(n-1)
|전략| 로그의 성질을 이용하여 식을 간단히 정리하고, 자연수의 거듭제곱의 합
즉, nÛ`+2n-3=96이므로 nÛ`+2n-99=0
(n-9)(n+11)=0
∴ n=9 (∵ n은 자연수)
②
1190
이차방정식 xÛ`-(n+1)x-(n+2)=0의 두 근이 aÇ, bÇ이므로 근
과 계수의 관계에 의하여
aÇ+bÇ=n+1, aÇbÇ=-(n+2)
∴ aÇÛ`+bÇÛ`=(aÇ+bÇ)Û`-2aÇbÇ
=(n+1)Û`+2(n+2)=nÛ`+4n+5
∴
(aÇÛ`+bÇÛ`)=
(nÛ`+4n+5)
10
10
;N+!
10
nÛ`+4
=
10
n+
5
;N+!
;N+!
= 10´11´21
6
;N+!
+4´ 10´11
2
+5´10
=385+220+50=655
655
10
;N+!
146 | III . 수열
146 | III . 수열
1191
11
;K+!
11
f(x)=
(x-k)Û`=
(kÛ`-2xk+xÛ`)
11
=
kÛ`-2x
11
;K+!
k+
11
xÛ`
;K+!
;K+!
;K+!
-2x´ 11´12
= 11´12´23
+11xÛ
6
2
=11xÛ`-132x+506=11(x-6)Û`+110
따라서 f(x)가 최소가 되도록 하는 x의 값은 6이다.
③
③
1192
|전략| 일반항에서 상수인 것과 상수가 아닌 것을 구별하여 안쪽에 있는
부터
차례로 계산한다.
;
{
mn
=
}
n
{
m
=
}
n´
[
n(n+1)
2
]
;Mn+!
;N5+!
=
;N5+!
;2!;{
;Mn+!
nÜ`+
;N5+!
nÛ`
}
=
;2!;[{
;N5+!
5´6
2 }
;N5+!
Û`+
5´6´11
6
]
=140
⑤
{
=
k
}
m(m+1)
2
=
;2!;{
mÛ`+
m
}
;Km+!
;Mn+!
;Mn+!
;2!;[
=
n(n+1)(2n+1)
6
;Mn+!
+
;Mn+!
n(n+1)
2
]
=
n(n+1)(n+2)
6
=120
105
즉, n(n+1)(n+2)=720=8´9´10이므로
③
{
12
}]=
{
12l
}
[
;Lm+!
;Kl+!
;Mn+!
;Mn+!
=
;Lm+!
12´
[
m(m+1)
2
=6
{
]
mÛ`+
m
}
;Mn+!
=6
[
n(n+1)(2n+1)
6
+
;Mn+!
n(n+1)
2
;Mn+!
]
=2n(n+1)(n+2)
①
1195
이차방정식 xÛ`-8x+12=0의 두 근이 m, n이므로 근과 계수의 관
계에 의하여 m+n=8, mn=12
∴
(k+l)
=
]
{
[
k+
=
l
}
kn+
[
;Km+!
;Ln+!
;Km+!
=n
;Ln+!
k+
;Ln+!
;Km+!
n(n+1)
2
… ❶
n(n+1)
2
]
=n´
;Km+!
;Km+!
m(m+1)
2
+
n(n+1)
2
´m
= mn
2
(m+n+2)
=
:Á2ª:
(8+2)=60
… ❷
… ❸
60
1193
n=8
1194
142157고유형해결수1-06(9해).indd 146
2018-03-13 오후 3:44:07
9 수열의 합 | 147
정답과 해설;
;
;
❶ m+n, mn의 값을 구할 수 있다.
(k+l)
]을 m, n에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
(k+l)
]의 값을 구할 수 있다.
채점 기준
❷
❸
[
[
;Km+!
;Ln+!
;Km+!
;Ln+!
1196
비율
20`%
60`%
20`%
따라서 주어진 수열의 합은
aû=
kÛ`
nÛ`
+ 2k
n
{
+1
= 1
nÛ`
}
kÛ`+
;n@;
k+
1
;Kn+!
;Kn+!
= 1
nÛ`
´
n(n+1)(2n+1)
6
;Kn+!
+
´
;n@;
;Kn+!
n(n+1)
2
;Kn+!
+1´n
=
(2n+1)(7n+1)
6n
(2n+1)(7n+1)
6n
|전략| 주어진 수열의 제 k 항 aû를 k에 대한 식으로 나타내고,
수의 거듭제곱의 합을 이용하여 수열의 합을 구한다.
;
의 성질과 자연
주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면
aû=k(k+1)=kÛ`+k
주어진 식은 수열 {aÇ}의 첫째항부터 제 20 항까지의 합이므로
(주어진 식)=
20
20
aû=
(kÛ`+k)=
kÛ`+
k
20
20
;K+!
;K+!
= 20´21´41
6
+ 20´21
2
;K+!
;K+!
=2870+210=3080
1200
|전략| 수열 {xi}의 100개의 항 중 1,`2의 값을 갖는 항수를 각각 a,`b로 놓고 생
xÁ, xª, x£, y, x100의 100개의 항 중 1이 a개, 2가 b개 있다고 하면
100
xi=1´a+2´b=95
∴ a+2b=95
100
;I+!
xiÛ`=1Û`´a+2Û`´b=145
∴ a+4b=145
;I+!
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=45, b=25
yy ㉠
yy ㉡
각한다.
100
;I+!
3080
∴
xiÜ`=1Ü`´a+2Ü`´b=1´45+8´25=245
②
1197
주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면
aû=(2k-1)´(3k)Û`=18kÜ`-9kÛ`
주어진 식은 수열 {aÇ}의 첫째항부터 제 5 항까지의 합이므로
(주어진 식)=
aû=
(18kÜ`-9kÛ`)
;K5+!
=18
;K5+!
kÜ`-9
kÛ`
=18´
;K5+!
{
5´6
2 }
;K5+!
Û`-9´ 5´6´11
6
=4050-495=3555
1198
|전략|
aû에서 aû가 n을 포함한 식인 경우에는 n을 상수로 생각한다.
;Kn+!
주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면
aû=k{n-(k-1)}
따라서 주어진 수열의 합은
aû=
k{n-(k-1)}
;Kn+!
;Kn+!
=
(nk-kÛ`+k)
;Kn+!
=(n+1)
k-
kÛ`
1199
주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면
Û`= kÛ`
nÛ`
n }
aû=
k+n
Û`=
{;nK;
+1
{
}
+ 2k
n
+1
1201
3Ú`=3을 5로 나누었을 때의 나머지는 3이므로 aÁ=3
3Û`=9를 5로 나누었을 때의 나머지는 4이므로 aª=4
3Ü`=27을 5로 나누었을 때의 나머지는 2이므로 a£=2
3Ý`=81을 5로 나누었을 때의 나머지는 1이므로 a¢=1
3Þ`=243을 5로 나누었을 때의 나머지는 3이므로 a°=3
3ß`=729를 5로 나누었을 때의 나머지는 4이므로 a¤=4
①
즉, a4k-3=3, a4k-2=4, a4k-1=2, a4k=1
(a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k)
3Ç`을 5로 나누었을 때의 나머지
는 3, 4, 2, 1이 이 순서대로 반
복됨을 나타낸다.
(3+4+2+1)=
10=10´25=250
④
25
;K+!
⋮
100
25
∴
aû=
;K+!
25
;K+!
=
;K+!
1202
1Ék<3일 때,
É
<1이므로
=0
;3!;
;3K;
3Ék<6일 때, 1É
<2이므로
6Ék<9일 때, 2É
[
<3이므로
;3K;
;3K;
⋮
;3K;
[
;3K;
;3K;
]
]
[
]
=1
=2
;3K;
[
=33
]
96Ék<99일 때, 32É
<33이므로
=32
;3K;
;3K;
[
]
99
∴
;3K;
;K+!
[
=0´2+1´3+2´3+ y +32´3+33
]
=3(1+2+ y +32)+33
n+33=3´ 32´33
=3
32
+33=1617
2
;N+!
… ❶
… ❷
1617
9 수열의 합 | 147
=(n+1)´
;Kn+!
;Kn+!
n(n+1)
2
-
n(n+1)(2n+1)
6
=
n(n+1)(n+2)
6
n(n+1)(n+2)
6
k=99일 때,
=33이므로
;3K;
146 | III . 수열
142157고유형해결수1-06(9해).indd 147
2018-03-13 오후 3:44:07
9ㅡ수열의합 ❶ k의 값의 범위에 따른
의 값을 구할 수 있다.
;3K;
[
]
의 값을 구할 수 있다.
채점 기준
99
❷
;3K;
;K+!
[
]
1203
|전략| 주어진 수열의 제 k항 aû를 구하고, 부분분수로 변형한다.
주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면
aû=
1
(2k+1)Û`-1
= 1
4kÛ`+4k
=
1
4k(k+1)
따라서 주어진 수열의 첫째항부터 제 20 항까지의 합은
20
aû=
20
1
4k(k+1)
20
=
;4!;
{;k!;-
1
k+1 }
;K+!
=
;K+!
;4!;[{
1-
;K+!
y
;2!;}+{;2!;-;3!;}+
+{;2Á0;-;2Á1;}]
=
1-
;4!;{
;2Á1;}=;4!;
´
;2@1);=;2°1;
;2°1;
1204
aÇ=
kÛ`=
n(n+1)(2n+1)
6
이므로
;Kn+!
(주어진 식)=
10
2k+1
aû
10
=
;K+!
;K+!
2k+1
k(k+1)(2k+1)
6
10
=
6
k(k+1)
10
=6
{;k!;-
1
k+1 }
;K+!
=6
1-
[{
;K+!
;2!;}+{;2!;-;3!;}+
+{;1Á0;-;1Á1;}]
y
=6
1-
{
;1Á1;}=;1^1);
1205
이차방정식 xÛ`+4x-(4nÛ`-1)=0의 두 근이 aÇ, bÇ이므로 근과 계
수의 관계에 의하여
aÇ+bÇ=-4, aÇbÇ=-(4nÛ`-1)
이때,
1
aÇ
+ 1
bÇ
+ 1
∴
10
{
1
aÇ
10
=
bÇ }
=
aÇ+bÇ
aÇbÇ
=
-4
-(4nÛ`-1)
=
4
(2n-1)(2n+1)
4
(2n-1)(2n+1)
- 1
1
2n-1
{
2n+1 }
;N+!
10
;2$;
=
;N+!
1
=2
[{
-;3!;}+{;3!;-;5!;}+
+{;1Á9;-;2Á1;}]
y
=2
1-
{
;2Á1;}=;2$1);
;2$1);
;N+!
1206
( f½g)(n) =f(g(n))=f(2n+1)
=(2n+1+3)(2n+1-1)
=(2n+4)´2n=4n(n+2)
148 | III . 수열
1207
1
3+
'
하면
aû=
1208
;Kn+!
비율
40`%
60`%
10
∴
8
( f½g)(n)
;N+!
=
10
8
4n(n+2)
=
10
{;n!;-
1
n+2 }
=
;N+!
1-
{
;N+!
;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}
y
+
+{;9!;-;1Á1;}+{;1Á0;-;1Á2;}
=1+
;2!;-;1Á1;-;1Á2;
;1!3&2%;
=
;1!3&2%;
|전략| 주어진 수열의 제 k 항 aû를 구하고, aû의 분모를 유리화한다.
,
1
4+
'
5
'
,
1
5+
'
6
'
4
'
, y,
1
0+
5
'
5
1
'
의 제 k 항을 aû라
1
k+2+
'Ä
k+3
'Ä
=
(
k+2+
'Ä
k+3-
'Ä
=
'Ä
k+2-
k+3)(
'Ä
'Ä
k+2
'Ä
'Ä
k+3
k+2-
k+3)
'Ä
주어진 식은 수열 {aÇ}의 첫째항부터 제 48 항까지의 합이므로
48
48
aû=
;K+!
=(
(
k+3-
k+2)
'Ä
4-
'Ä
3)+(
;K+!
'
5
'
'
'
=
1-
3
5-
4)+ y +(
5
1-
5
0)
'
'
'
'
5
1-
'
3
'
⑤
1
f(k)
=
1
k+1+
k+2
'Ä
'Ä
;Kn+!
=
=
'Ä
(
;Kn+!
(
'Ä
=(
3-
;Kn+!
'
n+2-
'
k+1+
k+1-
k+2)(
k+2
k+1-
'Ä
'Ä
k+2)
'Ä
k+2-
k+1)
'Ä
'Ä
'Ä
2)+(
4-
3)+ y +(
n+2-
n+1)
'Ä
'Ä
'
'
∴ n=16
⑤
=
'Ä
n+2-
즉,
'Ä
n+2=3
'Ä
'
2
'
2이므로
2=2
'
'
2, n+2=18
1209
오른쪽 그림과 같이 네 점
(k, 0), (k+1, 0),
(k,
k), (k+1,
k+1)
'
'Ä
을 꼭짓점으로 하는 사각형은 윗변의
길이가
k, 아랫변의 길이가
k+1,
'Ä
'
높이가 1인 사다리꼴이므로 넓이 Sû는
Sû=
´(
k+
k+1)´1
;2!;
'
'Ä
= '
k+
'Ä
2
k+1
y
k+1
k
'
y=
x
'
Sû
O
k
k+1
x
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9 수열의 합 | 149
정답과 해설;
k-
'Ä
'
k+1)(
'
k+1)
k-
'Ä
k+1)
99
=
;K+!
99
=
;K+!
99
=2
;K+!
=2{(
=2(
'Ä
2
k+
'
k+1
'Ä
2(
(
'
(
k+
'Ä
k+1-
'Ä
'
2-1)+(
k)
'
100-1)=18
'
'
99
∴
1
Sû
;K+!
1210
3-
2)+ y +(
100-
9
9)}
'Ä
'
18
|전략| 일반항을 두 로그의 차로 나타내고, k=1, 2, y, 99를 대입하여 주어진
식의 값을 구한다.
log
{
1+
;k!;}=
99
log
k+1
k
=
{log (k+1)-log k}
;K+!
=(log 2-log 1)+(log 3-log 2)
99
;K+!
+ y +(log 100-log 99)
=log 100-log 1
=log 10Û`-0=2-0=2
⑤
다른 풀이
log
{
1+
;k!;}=
99
log
k+1
k
;K+!
log
;1@;+
log
;2#;+
log
;3$;+ y +
log
:Á9¼9¼:
log
´
´
{;1@;
;2#;
;3$;
´ y ´
:Á9¼9¼:}
log 100=log 10Û`=2
1211
logª 'Ä
k+1
k
'
=
(logª
'Ä
k+1-logª
'
k)
;Kn+!
=(logª
'
1)+(logª
'
2-logª
'
+ y +(logª
'Ä
3-logª
'
n+1-logª
'
2)
n)
=logª
'Ä
=logª
'Ä
n+1=3이므로
n+1-logª
'
1
n+1
n+1=2Ü`, n+1=2ß`
∴ n=63
즉, logª
'Ä
1212
log
{
1-
1
kÛ` }
50
=
log
(k-1)(k+1)
kÛ`
=
log
+log
;K+@
50
{
;K+@
50
{
k-1
k
k-1
k
=
log
-log
k+1
k }
k
k+1 }
=
;K+@
log
{
;2!;-
log
+
log
;3@;}
{
;3@;-
log
;4#;}
+ y +
log
;5$0(;-
log
;5%1);}
{
99
;K+!
99
;K+!
=
=
=
;Kn+!
'Ä
50
;K+@
다른 풀이
log
{
1-
50
1
kÛ` }=
log
(k-1)(k+1)
kÛ`
´ k+1
k-1
k
k }
;K+@
50
log
{
;K+@
log
=
=
´
{;2!;
;2#;}+
log
´
{;3@;
;3$;}+
log
´
{;4#;
;4%;}
y +
log
´
{;5$0(;
+
;5%0!;}
=log
´
´
´
[{;2!;
;2#;}
{;3@;
;3$;}
´
´
{;4#;
;4%;}
´ y ´
´
{;5$0(;
;5%0!;}]
=log
´
{;2!;
;5%0!;}
=log
;1°0Á0;
=log 51-2
1213
a2n-1=2Ç`, a2n=5Ç` 이므로
10
log aû=
(log a2k-1+
log 2û`
+
;K5+!
=
log a2k)=
log a2k-1+
log a2k
log 5û`=
;K5+!
k log 2
+
;K5+!
k log 5
;K5+!
=log 2´
;K5+!
k+log 5´
;K5+!
k=(log 2+log 5)
;K5+!
k
;K5+!
=log 10´
k=
k
;K5+!
;K5+!
;K5+!
=15
5´6
2
;K5+!
15
다른 풀이 a2n-1a2n=2Ç`´5Ç`=10Ç`
10
∴
log aû=log aÁ+log aª+ y +log a10
;K+!
=(log aÁ+log aª)+(log a£+log a¢)
+ y +(log a»+log aÁ¼)
=log aÁaª+log a£ a¢+ y +log a» aÁ¼
=log 10+log 10Û`+ y +log 10Þ`
=1+2+3+4+5=15
50
;K+@
;K+!
=
1214
③
;Kn+!
항 aÇ을 구한다.
|전략| SÇ=
aû 로 놓고 aÁ=SÁ, aÇ=SÇ-Sn-1(n¾2)임을 이용하여 일반
SÇ=
aû=nÛ`+2n이라 하면
Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=1Û`+2´1=3
;Kn+!
Û n¾æ2일 때,
aÇ=SÇ-Sn-1
=nÛ`+2n-{(n-1)Û`+2(n-1)}
=2n+1
yy ㉠
이때, aÁ=3은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
aÇ=2n+1
따라서 a3n=2´3n+1=6n+1이므로
10
10
10
10
ka3k=
k(6k+1)=6
kÛ`+
k
=log
-log
=log
=log 51-2 ②
;2!;
;5%1);
;1°0Á0;
;K+!
;K+!
=6´ 10´11´21
6
;K+!
+ 10´11
2
;K+!
=2365
④
148 | III . 수열
9 수열의 합 | 149
142157고유형해결수1-06(9해).indd 149
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9ㅡ수열의합
1215
SÇ=
aû= n
n+1
이라 하면
;Kn+!
Ú n=1일 때, aÁ=SÁ= 1
1+1
=
;2!;
Û n¾æ2일 때,
aÇ=SÇ-Sn-1
= n
n+1
- n-1
n
=
nÛ`-(n+1)(n-1)
n(n+1)
=
nÛ`-(nÛ`-1)
n(n+1)
= 1
n(n+1)
은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
이때, aÁ=
;2!;
aÇ= 1
n(n+1)
1
aû
∴
=
k(k+1)=
kÛ`+
k
;K6+!
;K6+!
= 6´7´13
6
;K6+!
;K6+!
=112
+ 6´7
2
1216
SÇ=
aû=nÛ`+3n이라 하면
Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=1Û`+3´1=4
;Kn+!
Û næ¾2일 때,
aÇ=SÇ-Sn-1
=2n+2
=nÛ`+3n-{(n-1)Û`+3(n-1)}
이때, aÁ=4는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
aÇ=2n+2
따라서 anan+1=(2n+2)(2n+4)=4(n+1)(n+2)이므로
… ❶
;4!;[{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+
+{;9!;-;1Á0;}]
y
1
ak ak+1
=
1
4(k+1)(k+2)
- 1
1
k+1
{
k+2 }
;K8+!
;4!;
=
;K8+!
=
=;4!;{;2!;-;1Á0;}=;1Á0;
;K8+!
채점 기준
❶ SÇ=
aû로 놓고 일반항 aÇ을 구할 수 있다.
❷ an an+1을 구할 수 있다.
;Kn+!
❸
1
ak ak+1
;K8+!
의 값을 구할 수 있다.
1217
SÇ=aÁ+2aª+3a£+ y +naÇ=n(n+1)(n+2)라 하면
Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=6
150 | III . 수열
Û n¾2일 때,
naÇ=SÇ-Sn-1
=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
=3n(n+1)
…… ㉠
이때, aÁ=6은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
naÇ=3n(n+1)
따라서 aÇ=3(n+1)이므로
10
10
aû=
3(k+1)=3
k+
3
10
10
yy ㉠
;K+!
;K+!
=3´ 10´11
;K+!
;K+!
+3´10=195
2
195
1218
③
|전략| 주어진 수열의 합 S에 등비수열의 공비 ;2!;을 곱하고 S-
S의 값을 구한다.
;2!;
S를 계산하여
S=
10
k
2k-1 이므로
+ 3
2Û`
;2@;
;K+!
S=1+
㉠의 양변에
을 곱하면
;2!;
+ 4
2Ü`
+ y + 10
2á`
S=
;2!;
+ 2
2Û`
+ 3
2Ü`
+ y + 9
2á`
+ 10
210
;2!;
㉠-㉡을 하면
yy ㉠
S=1+
;2!;
+ 1
2Û`
+ 1
2Ü`
+ y + 1
2á`
- 10
210
;2!;
1´
1-
[
{;2!;}
10
]
=
- 10
210 =2
[
1-
10
{;2!;}
]-
10
210
… ❷
=2- 12
¡`
{;2!;}
12
210 =
3´4
210 =
3´2Û`
210 =
3
2¡`
1-;2!;
210 =2-3
à`
{;2!;}
∴ S=4-3
따라서 a=4, b=7이므로
|a-b|=3
… ❸
;1Á0;
비율
40`%
20`%
40`%
1219
S=1+2´2+3´2Û`+4´2Ü`+ y +10´2á`
㉠의 양변에 2를 곱하면
2S= 1´2+2´2Û`+3´2Ü`+ y +9´2á`+10´210
㉠-㉡을 하면
-S=1+2+2Û`+2Ü`+ y +2á`-10´210
= 1´(210-1)
2-1
=-9´210-1
-10´210
∴ S=1+9´210
a+b+c=20
따라서 a=1, b=9, c=10이므로
yy ㉠
yy ㉡
3
yy ㉠
yy ㉡
20
142157고유형해결수1-06(9해).indd 150
2018-03-13 오후 3:44:09
9 수열의 합 | 151
정답과 해설 1220
이다.
a90=9
1221
주어진 수열을
k=
n(n+1)
2
|전략| 주어진 수열을 각 군의 첫째항과 끝항이 1이 되도록 군으로 묶는다.
이때, 제 n 군의 항수는 n+1이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는
과 같이 군으로 묶으면 제 n 군에 있는 각 항의 차수는 n이다.
과 같이 군으로 묶으면 제 n 군은 (1, 2, y, n-1, n, n-1, y, 2, 1)
=54이므로 제 60 항은 제 10 군의 6번째 항이다.
(k+1)=
n(n+1)
2
+n= nÛ`+3n
2
;Kn+!
n=9일 때,
9Û`+3´9
2
따라서 제 n 군의 k번째 항은 an-k+1bk-1이므로 제 10 군의 6번째 항은
a10-6+1b6-1=aÞ`bÞ`
⑤
주어진 수열을 각 군의 첫째항과 끝항이 1이 되도록
(1), (1, 2, 1), (1, 2, 3, 2, 1), (1, 2, 3, 4, 3, 2, 1), y
제 n 군의 항수는 2n-1이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는
(2k-1)=2´
-1´n=nÛ`
n(n+1)
2
;Kn+!
n=9일 때, 9Û`=81이므로 a90은 제 10 군의 9번째 항이다.
이때, 제 10 군은 (1, 2, y, 9, 10, 9, y, 2, 1)이므로
1224
9
|전략| 주어진 수열을 분모가 같은 항끼리 군으로 묶는다.
주어진 수열을 분모가 같은 항끼리 군으로 묶으면
,
,
,
,
,
,
{;2!;}
{;3!;
;3@;}
{;4!;
;4@;
;4#;}
{;5!;
;5@;
;5#;
;5$;}
,
,
,
, y
제 n 군의 항수는 n이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는
(1), (3, 3), (5, 5, 5), (7, 7, 7, 7), y
과 같이 군으로 묶으면 제 n 군의 첫째항은 2n-1이고, 제 n 군의 항
수는 n이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는
k=
n(n+1)
2
;Kn+!
n=15일 때,
15´16
2
이다.
=120이므로 제 125 항은 제 16 군의 5번째 항
;Kn+!
한편, 19=2n-1에서 n=10이므로 19는 제 10 군이고, 제 10 군의 첫
이때, 제 16 군은
,
,
{;1Á7;
;1ª7;
;1£7;
, y,
,
;1!7%;
;1!7^;}
이므로 제 125 항은
째항부터 10번째 항까지 계속된다.
따라서 제 1 군부터 제 9 군까지의 항수는
=45이므로
9´10
2
a=45+1=46, b=45+10=55
∴ a+b=101
제 9 군
(17, 17, y, 17)
제 10 군
(19, 19, y, 19)
10개
( { 9
45번째 46번째
1222
주어진 수열을 각 군의 첫째항과 끝항이 1이 되도록
(1), (1, 2, 1), (1, 2, 2Û`, 2, 1), (1, 2, 2Û`, 2Ü`, 2Û`, 2, 1), y
이다.
;1°7;
;1°7;
참고 제 n 군의 k번째 항은
이고, 제 125 항은 제 16 군의 5번째 항이므
k
n+1
101
로
5
16+1
=
;1°7;
1225
주어진 수열을 분모가 같은 항끼리 군으로 묶으면
과 같이 군으로 묶으면 2Ç`은 제(n+1)군에서 처음으로 나타나므로
210은 제 11 군에서 처음으로 나타난다.
,
,
,
,
,
,
, y
{;4#;
;4!;}
;8!;}
{;2!;}
제 n 군의 항수는 2n-1이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는
{;8&;
;8#;
;8%;
이때, 제 11 군에서 제 13 군까지 살펴보면
210
제 11 군 (1, 2, y, 210, y, 2, 1)
제 12 군 (1, 2, y, 210, 211, 210, y, 2, 1)
210
210
제 13 군 (1, 2, y, 210, 211, 212, 211, 210, y, 2, 1)
이므로 210이 다섯 번째로 나타나는 항은 제 13 군의 15번째 항이다.
210
210
제 n 군의 항수는 2n-1이므로 제 1 군부터 제 12 군까지의 항수는
12
(2k-1)=2´ 12´13
-1´12=144
2
;K+!
따라서 210이 다섯 번째로 나타나는 항은
∴ (1, 2, y, 211
13개
(\{\9
( \ { \ 9
n개
, 212
, 211
, 210
14번째
, y, 2, 1)
15번째
제 n 군 (1, 2, y, 2n-2
, 2n-1
, 2n-2
, y, 2, 1)
144+15=159이므로 제 159 항이다.
제 159 항
2k-1=
1´(2Ç`-1)
2-1
=2Ç`-1
;Kn+!
n=6일 때, 2ß`-1=63이므로 제 100 항은 제 7 군의 37번째 항이다.
이때, 제 7 군은 첫째항이
2à`-1
2à`
=
;1!2@8&;
이고, 공차가 -
;12@8;=-;6Á4;
인 등차수열을 이루므로 제 100 항은
;1!2@8&;
+(37-1)´
{-;6Á4;}
=
;1°2°8;
①
참고 제 n 군은 첫째항이
이고, 공차가 -
인 등차수열을 이룬다.
2Ç`-1
2Ç`
2
2Ç`
1223
주어진 수열을 각 군의 차수가 같도록
(a, b), (aÛ`, ab, bÛ`), (aÜ`, aÛ`b, abÛ`, bÜ`), y
1226
주어진 수열을 (분모)+(분자)의 값이 같은 항끼리 군으로 묶으면
{;1!;}
{;1@;
;2!;}
{;1#;
;2@;
;3!;}
{;1$;
,
,
,
,
,
,
,
,
;2#;
;3@;
,
;4!;}
, y
… ❶
9ㅡ
수
열
의
합
150 | III . 수열
9 수열의 합 | 151
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제 n 군의 k번째 항은 분모와 분자의 합이 n+1이고 분모가 k이므로
는 제 21 군의 18번째 항이다.
;1¢8;
… ❷
이때, 제 n 군의 항수는 n이므로 제 1 군부터 제 20 군까지의 항수는
20
k= 20´21
=210
2
;K+!
따라서 210+18=228이므로
채점 기준
는 제 228 항이다.
;1¢8;
… ❸
제 228 항
❶ 주어진 수열을 (분모)+(분자)의 값이 같은 항끼리 군으로 묶을 수 있다.
❷ ;1¢8;가 제몇 군의 몇 번째 항인지 구할 수 있다.
❸ ;1¢8;가 제몇 항인지 구할 수 있다.
비율
20`%
40`%
40`%
1229
주어진 수열을 두 수의 곱이 같은 순서쌍끼리 군으로 묶으면
{(1, 3), (3, 1)}, {(1, 9), (3, 3), (9, 1)},
{(1, 27), (3, 9), (9, 3), (27, 1)}, y
제 n 군의 항수는 n+1이고 순서쌍의 두 수의 곱은 3Ç`이다.
따라서 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는
(k+1)=
n(n+1)
2
+n=
n(n+3)
2
;Kn+!
n=8일 때,
8´11
2
=44이므로 제 50 항은 제 9 군의 6번째 항이다.
이때, 제 n 군의 k번째 항은 (3k-1, 3n-k+1)이므로 제 9 군의 6번째 항
은 (3Þ`, 3Ý`), 즉 (243, 81)이다.
(243, 81)
1227
주어진 수열을 분모가 같은 항끼리 군으로 묶으면
,
,
,
,
,
,
,
,
,
{;2!;}
{;3@;
;3!;}
{;4#;
;4@;
;4!;}
{;5$;
;5#;
;5@;
;5!;}
, y
1230
|전략| 각 줄을 하나의 군으로 묶는다.
각 줄을 군으로 묶으면
제 n 군의 항수는 n이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는
제 n군의 항수는 2n-1이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는
(1), (2, 3, 4), (9, 8, 7, 6, 5), (10, 11, 12, 13, 14, 15, 16), y
=55이므로 제 55 항은 제 10 군의 10번째 항이다.
;Kn+!
n=10일 때, nÛ`=100이므로 111은 제 11 군에 속한다.
(2k-1)=2´
-1´n=nÛ`
n(n+1)
2
k=
n(n+1)
2
;Kn+!
n=10일 때,
10´11
2
이때, 제 n 군은
n
n+1
,
n-1
n+1
,
n-2
n+1
{
, y,
1
n+1 }
이므로 제 n 군의 항의 합을 aÇ이라 하면
k
aÇ=
=
n+1
;Kn+!
n(n+1)
2
n+1
=
;2N;
10
10
aû=
;2K;=;2!;
´ 10´11
2
=
:°2°:
의 합이므로
;K+!
;K+!
1228
따라서 첫째항부터 제 55 항까지의 합은 제 1 군부터 제 10 군까지 항
그런데 제 11 군의 첫째항은 11Û`=121이고 홀수 번째 군에서는 첫째
항부터 차례로 1씩 감소하므로 111은 제 11 군의 11번째 항이다.
따라서 111은 위에서 11번째 줄의 왼쪽에서 11번째에 있으므로
22
p=11, q=11
∴ p+q=22
1231
각 줄을 군으로 묶으면
:°2°:
(1),` (2,` 3,` 4),` (5,` 6,` 7,` 8,` 9),` y
이때, 제 n 군의 항수는 2n-1이므로 제 1 군부터 제 9 군까지의 항수는
(2k-1)=2´ 9´10
2
-1´9=81
;K9+!
따라서 위에서부터 10번째 줄의 왼쪽에서 7번째에 있는 수는 제 10 군
의 7번째 항이므로 81+7=88이다.
88
이때, 제 n군의 항수는 n이므로 제 1 군부터 제 29 군까지의 항수는
(1),` (2,` 4),` (3,` 6,` 9),` (4,` 8,` 12,` 16),` y
이때, 제 n 군은 첫째항이 n, 공차가 n이고, 항수가 n인 등차수열이므
|전략| 주어진 수열을 두 수의 합이 같은 순서쌍끼리 군으로 묶는다.
주어진 수열을 두 수의 합이 같은 순서쌍끼리 군으로 묶으면
{(1, 1)}, {(2, 1), (1, 2)}, {(3, 1), (2, 2), (1, 3)},
{(4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4)}, y
제 n 군의 순서쌍의 두 수의 합은 n+1이므로 (14, 17)은 제 30 군의
;K+!
따라서 435+17=452이므로 (14, 17)은 제 452 항이다.
참고 순서쌍 (a, b)에서 a+b-1은 제몇 군인지, b는 군 안에서의 순서를 나
제 452 항
17번째 항이다.
29
k= 29´30
=435
2
타낸다.
152 | III . 수열
1232
각 줄을 군으로 묶으면
로 제 n 군의 항의 합을 aÇ이라 하면
aÇ=n+2n+3n+ y +n´n
=n(1+2+3+ y +n)
=n
k=n´
n(n+1)
2
=
nÜ`+nÛ`
2
;Kn+!
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9 수열의 합 | 153
정답과 해설 STEP3
1236
유형 01 합의 기호
100
;Kn+!
99
;K+!
;K+!
㉠-㉡을 하면
100
;K+!
1237
따라서 첫 번째 줄부터 10번째 줄까지 나열된 수의 합은 제 1 군부터
내신 마스터
내신 마스터
제 10 군까지의 수의 합이므로
10
aû=
10
kÜ`+kÛ`
2
=
;2!; {
10
10
kÜ`+
kÛ`
}
;K+!
;K+!
=
;2!;[{
10´11
2
}
;K+!
;K+!
Û`+ 10´11´21
6
=1705
]
1233
|전략| 수가 나열되는 방향에 따른 규칙을 찾는다.
|전략|
aû=aÁ+aª+a£+ y +aÇ임을 이용한다.
;
1705
kaû=aÁ+2aª+3a£+ y +99a99+100a100=200
…… ㉠
kak+1=aª+2a£+3a¢+ y +98a99+99a100=100
…… ㉡
첫 번째 줄의 수는 왼쪽에서부터 차례로 1, 4, 9, 16, y, 즉 1Û`, 2Û`, 3Û`,
4Û`, y이므로 첫 번째 줄의 왼쪽에서 15번째에 있는 수는 15Û`이다.
∴
ak=100
aÁ+aª+a£+ y +a99+a100=100
②
첫 번째 줄의 15번째에 있는 수부터 15번째 줄의 15번째에 있는 수
까지 각 줄의 15번째에 있는 수는 1씩 작아지므로 9번째 줄의 15번째
에 있는 수는
15Û`-8=217
1234
2번째 줄부터 나열된 수의 규칙을 살펴보면
2번째 줄: 1, 2, 3, 4, 5, y 공차가 1인 등차수열
3번째 줄: 1, 3, 5, 7, 9, y 공차가 2인 등차수열
4번째 줄: 1, 4, 7, 10, 13, y 공차가 3인 등차수열
⋮
③
유형 03 rÇ` 을 포함한 수열의 합
|전략| 나머지정리를 이용하여 aÇ을 구한다.
다항식 f(x)=xn-1(x-3)을 x-5로 나누었을 때의 나머지는 나머
지정리에 의하여 f(5)이므로
aÇ=5n-1´(5-3)=2´5n-1
∴
aû=
2´5k-1=2
5k-1=2´
1´(5Ç`-1)
5-1
= 5Ç`-1
2
①
;Kn+!
;Kn+!
;Kn+!
이므로 10번째 줄에 나열된 수는 공차가 9인 등차수열을 이룬다.
다항식 f(x)를 일차식 x-a로 나누었을 때의 나머지 R는
10번째 줄의 왼쪽에서 n번째에 나열된 수를 aÇ이라 하면
aÇ=1+(n-1)´9=9n-8
따라서 10번째 줄의 왼쪽에서 8번째에 있는 수는
a¥=9´8-8=64
④
1238
나머지정리
⇨ R=f(a)
유형 04 자연수의 거듭제곱의 합
|전략|
의 성질을 이용하여 식을 간단히 정리하고, 자연수의 거듭제곱의 합을
이용한다.
;
20
aû=aÁ+aª+a£+a¢+ y +a19+a20
;K+!
=(aÁ+a£+ y +a19)+(aª+a¢+ y +a20)
=(2´1+2´3+ y +2´19)+{-2+(-4)+ y +(-20)}
9ㅡ
수
열
의
합
y
a
b
c d
10
=
2(2k-1)+
(-2k)
=4
k-
2-2
k=2
k-2´10
10
;K+!
10
10
10
;K+!
10
;K+!
;K+!
;K+!
=2´ 10´11
;K+!
-20=90
2
③
3Û`, 4Û`, y, nÛ`이고, nÛ`의 위와 왼
10 15 20 5Û`
2
2Û`
6
8
3
6
4
8
5 y
10
3Û` 12 15
12 4Û` 20
1Û`
2
3
4
5
⋮
1235
가로줄의 개수와 세로줄의 개수
를 각각 n이라 하면 오른쪽과 같
이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로
의 대각선의 수는 차례로 1Û` , 2Û`,
쪽에 있는 수는 각각 nÛ`-n이
다.
즉, a=(n-1)Û`, b=nÛ`-n,
c=nÛ`-n, d=nÛ`이므로
a+b+c+d =(n-1)Û`+2(nÛ`-n)+nÛ`
=4nÛ`-4n+1
이때, a+b+c+d=361이므로
n(n-1)=10´9
∴ n=10
유형 05 여러 개의
를 포함한 식의 계산
4nÛ`-4n+1=361, 4nÛ`-4n=360, nÛ`-n=90
|전략| 일반항에서 상수인 것과 상수가 아닌 것을 구별하여 안쪽에 있는
;
부
따라서 a, b, c, d 중 가장 큰 수는 d=100, 가장 작은 수는 a=81이
(-1)n-1´(2k-1)
=
(-1)n-1
(2k-1)
므로 구하는 값은
100-81=19
19
;N+!
;Kn+!
(2k-1)=2´
n(n+1)
2
;N+!
;Kn+!
-1´n=nÛ`이므로
20
[
]
;
]
터 계산한다.
1239
20
[
;Kn+!
152 | III . 수열
9 수열의 합 | 153
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(주어진 식)=
{(-1)n-1´nÛ`}
20
;N+!
=1Û`-2Û`+3Û`-4Û`+ y +19Û`-20Û`
=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)
+ y +(19-20)(19+20)
=-(1+2+3+4+ y +19+20)
=- 20´21
=-210
k
20
;K+!
2
③
1240
유형 07 제 k 항이 n에 대한 식일 때의 수열의 합
|전략| 주어진 수열의 제 k 항 aû를 k와 n에 대한 식으로 나타내고,
aû에서 n
은 상수임에 유의하여 수열의 합을 구한다.
;Kn+!
수열의 합 1´(2n-1)+2´(2n-3)+3´(2n-5)+ y +n´1에
서 수열의 제 k 항을 aû라 하면 aû=k{2n-(2k-1)}
이때, 수열의 합은
aû=
k{2n-(2k-1)}=
{(2n+1)k-2kÛ`}
;Kn+!
;Kn+!
=(2n+1)
k-2
kÛ`
;Kn+!
=(2n+1)´
;Kn+!
;Kn+!
n(n+1)
2
-2´
n(n+1)(2n+1)
6
=
n(n+1)(2n+1)
6
따라서 a=1, b=2, c=1이므로 a+b+c=4
②
1241
유형 08 여러 가지 수열의 합
|전략| k의 값의 범위에 따른 [
k]의 값을 구한 다음
[
k]의 값을 구한다.
50
'
1Ék<4일 때, 1É
'
k<2이므로 [
4Ék<9일 때, 2É
'
9Ék<16일 때, 3É
k<3이므로 [
'
k<4이므로 [
'
'
k]=1
;K+!
'
k]=2
k]=3
'
36Ék<49일 때, 6É
k<7이므로 [
k]=6
'
k=49, 50일 때, [
'
k]=7
'
∴
[
k]=1´3+2´5+3´7+ y +6´13+7´2
=
k(2k+1)+14=2
kÛ`+
k+14
;K6+!
=2´
6´7´13
6
+
6´7
2
;K6+!
+14
;K6+!
=182+21+14=217
⋮
50
;K+!
'
1242
유형 10 분모에 근호가 포함된 수열의 합
|전략| 주어진 등차수열의 일반항 aÇ을 구하고, 이를 이용하여 수열
1
aÇ+
'Ä
[
an+1 ]
'Ä
1
aû+
'Ä
ak+1
'Ä
의 제 k 항
의 분모를 유리화한다.
154 | III . 수열
첫째항이 9, 공차가 3인 등차수열 {aÇ}의 일반항 aÇ은
aÇ=9+(n-1)´3=3n+6이므로
1
ak+
'¶
ak+1
'Ä
1
3k+6+
=
=
'Ä
(
= 'Ä
3k+9
'Ä
3k+6-
3k+9)(
'Ä
'Ä
3k+6
'Ä
'Ä
3k+6+
'Ä
3k+9-
3
'Ä
∴ S»=
=
'Ä
1
aû+'Äak+1
3k+9-
(
'Ä
;K9+!
;3!;
3k+6)
'Ä
3k+9
3k+6-
3k+9)
'Ä
=
1
2-
9)+(
1
5-
1
2)+ y +(
3
6-
3
3)}
'
'
'
'
'
;K9+!
{(
'
;3!;
=;3!;
'
'
(
3
6-
9)=1
②
1243
구한다.
유형 11 로그가 포함된 수열의 합
|전략| 일반항 aÇ의 로그의 진수를 변형하고, k=1, 2, y, n을 대입하여
aû를
;Kn+!
aÇ=logª
{
1+
;n! ;}
=logª
n+1
n
∴
aû=
logª
k+1
k
;Kn+!
;Kn+!
=logª
;1@;+
logª
;2#;+
logª
;3$;+
y +logª
n+1
n
=logª
´
´
{;1@;
;2#;
;3$;
´ y ´
n+1
n }
=logª (n+1)
이때,
aû=5이므로 logª (n+1)=5
로그의 정의에 의하여 n+1=2Þ`=32
;Kn+!
③
유형 12
로 표현된 수열의 합과 일반항 사이의 관계
aû로 놓고 aÁ=SÁ, aÇ=SÇ-Sn-1(n¾2)임을 이용하여 일반
∴ n=31
1244
;
|전략| SÇ=
;Kn+!
항 aÇ을 구한다.
Û n¾2일 때,
aÇ=SÇ-Sn-1
=
n(n+1)(n+2)-
(n-1)n(n+1)
;3!;
=
n(n+1){n+2-(n-1)}
;3!;
;3!;
=n(n+1)
…… ㉠
SÇ=
aû=
;3!;
n(n+1)(n+2)라 하면
④
Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=
´1´(1+1)(1+2)=2
;3!;
;Kn+!
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9 수열의 합 | 155
정답과 해설
이때, aÁ=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
a¢=4+2´4+3´4+4´4
;Kn+!
1-
{
=
+
;2!;}
{;2!;-;3!;}
+ y +
{;n! ;-
1
n+1 }
=1- 1
n+1
= n
n+1
⑤
∴
aû=
kÜ`+kÛ`
2
=
;2!;{
kÜ`
+
kÛ`
}
aÇ=n(n+1)
1
aû
∴
=
1
k(k+1)
;Kn+!
;Kn+!
{;k!;-
=
1
k+1 }
1245
유형 14 정수로 이루어진 군수열
|전략| 주어진 수열을 자릿수에 따라 군으로 묶는다.
주어진 수열을 자릿수에 따라
(1), (10, 11), (100, 101, 110, 111), y
과 같이 군으로 묶으면 제 n 군은 0과 1로 이루어진 n자리의 수이다.
제 n 군의 항수는 2n-1이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는
2k-1=
1´(2Ç`-1)
2-1
=2Ç`-1
⋮
이므로
aÇ=n+2n+3n+ y +n´n
=
kn=n
k
;Kn+!
;Kn+!
=n´ n(n+1)
2
= nÜ`+nÛ`
2
;K9+!
;K9+!
=
;2!;[{
9´10
2
Û`
}
+
;K9+!
;K9+!
9´10´19
6
]
=
(2025+285)=1155
;2!;
채점 기준
❶ aÇ을 구할 수 있다.
❷
aû의 값을 구할 수 있다.
;K9+!
1248
;Kn+!
n=6일 때, 2ß`-1=63이므로 제 65 항은 제 7 군의 2번째 항이다.
유형 16 순서쌍으로 이루어진 군수열
이때, 제 7 군은 (1000000, 1000001, y)이므로 제 65 항은
1000001이다.
|전략| x좌표와 y좌표의 합이 같은 순서쌍끼리 군으로 묶는다.
④
x좌표와 y좌표의 합이 같은 순서쌍끼리 군으로 묶으면
{(1, 1)}, {(1, 2), (2, 1)}, {(1, 3), (2, 2), (3, 1)},
1246
칙을 찾는다.
유형 18 바둑판 모양으로 주어진 군수열
|전략| 1에서부터 1의 오른쪽 대각선 아래 방향에 적힌 수를 차례로 살펴보고 규
1에서부터 1의 오른쪽 대각선 아래 방향에 적힌 수는 차례로 1, 9, 25,
y, 즉 1Û`, 3Û`, 5Û`, y이므로 k번째 수는 (2k-1)Û`이다.
또, k-1번째 수는 (2k-3)Û`이므로 (2k-1)Û`의 바로 위에 오는 수
는 (2k-3)Û`+1이다.
이때, 121=11Û`이므로 2k-1=11
∴ k=6
따라서 121 바로 위에 오는 수는 (2k-3)Û`+1에 k=6을 대입한 것
과 같으므로
(2´6-3)Û`+1=82
{(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}, y
점 A°¼은 주어진 수열의 제 50 항, 점 Aª¼¼은 제 200 항이다.
제 n 군의 항수는 n이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는
k=
n(n+1)
2
;Kn+!
n=9일 때
9´10
2
19´20
2
=45이므로 제 50 항은 제 10 군의 5번째 항이고,
n=19일 때
=190이므로 제 200 항은 제 20 군의 10번째 항
이때, 제 n 군의 k번째 항은 (k, n-k+1)이므로 제 10 군의 5번째
항은 (5, 6)이고, 제 20 군의 10번째 항은 (10, 11)이다.
… ❷
따라서 두 점 A°¼(5, 6)과 Aª¼¼(10, 11) 사이의 거리는
②
(10-5)Û`+(11-6)Û`=5
2
'
이다.
"Ã
채점 기준
1247
유형 06 제 k 항을 찾아 수열의 합 구하기
|전략| 주어진 수열의 제 k 항 aû를 k에 대한 식으로 나타내고,
하여 수열의 합을 구한다.
;
의 성질을 이용
aÁ=1
aª=2+2´2
a£=3+2´3+3´3
❶ 제 50 항과 제 200 항이 제몇 군의 몇 번째 항인지 구할 수 있다.
❷ 제 50 항과 제 200 항을 구할 수 있다.
❸ 두 점 A°¼과 Aª¼¼ 사이의 거리를 구할 수 있다.
두 점 사이의 거리
좌표평면 위의 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)에 대하여
⇨ ABÓ=
(xª-xÁ)Û`+(yª-yÁ)Û`
"Ã
… ❶
… ❷
1155
배점
3점
3점
… ❶
… ❸
5
2
'
배점
3점
2점
2점
154 | III . 수열
9 수열의 합 | 155
142157고유형해결수1-06(9해).indd 155
2018-03-13 오후 3:44:13
9ㅡ수열의합 n=5일 때, {3, 3Ü`, 3Þ`, 3à`, 3á`}에서 S={3Ý`, 3ß`, 3¡`, 310, 312, 314, 316}이
므로
f(5)=7
⋮
∴ f(n)=1+(n-2)´2=2n-3 (n¾2)
11
11
∴
f(n)=
(2n-3)
;N+@
=1+3+5+ y +19
;N+@
=
10(1+19)
2
=100
다른 풀이
11
11
10
f(n)=
(2n-3)=
(2n-1)
;N+@
;N+@
10
=2
n-
10
;N+!
1=2´
10´11
2
-1´10=100
;N+!
;N+!
100
|전략| 1이 첫째항이 되도록 하나의 군으로 묶어 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수
과 같이 군으로 묶으면 제 n 군의 항수는 n+1이므로 제 1 군부터
;Kn+!
10´13
2
n=10일 때,
=65이므로 제 65 항은 제 10 군의 마지막 항,
1249
유형 15 분수로 이루어진 군수열
를 파악한다.
⑴ 주어진 수열을 1이 첫째항이 되도록
1,
1,
,
{
;3!;}
{
,
;3!;
;9!;}
1,
,
{
,
,
;3!;
;9!;
;2Á7;}
, y
제 n 군까지의 항수는
(k+1)=
n(n+1)
2
+n=
n(n+3)
2
즉 제 10 군의 11번째 항이다.
⑵ 제 1 군부터 제 10 군까지의 항의 곱은
10
´
{;3!;}
{
9
1
3Û` }
´
{
8
1
3Ü` }
´ y ´
1
1
310 }
{
1´10+2´9+3´8+ y +10´1
=
{;3!;}
∴ a=1´10+2´9+3´8+ y +10´1
10
10
10
=
k(11-k)=11
k-
kÛ
|전략| n이 홀수일 때와 짝수일 때로 나누어 aÇ(n은 자연수)을 각각 구한다.
함수 y=k
x의 그래프가 정사각형 AÇ과 만날 필요충분조건은 두 점
(4nÛ`, nÛ`), (nÛ`, 4nÛ`)을 양 끝점으로 하는 선분과 만날 때이다.
함수 y=k
x의 그래프가 점 (4nÛ`, nÛ`)을 지날 조건은
정사각형 AÇ의 대각선
1251
'
'
"Ã
'
nÛ`
"Ã
;K+!
=11´ 10´11
2
;K+!
- 10´11´21
6
;K+!
=605-385=220
⑴ 제10군의 11번째 항 ⑵ 220
nÛ`=k
4nÛ`
∴ k=
(∵ n은 자연수)
;2N;
함수 y=k
x의 그래프가 점 (nÛ`, 4nÛ`)을 지날 조건은
4nÛ`=k
∴ k=4n (∵ n은 자연수)
채점 기준
⑴ 제 65 항이 제몇 군의 몇 번째 항인지 구할 수 있다.
⑵ a의 값을 구할 수 있다.
배점
4점
6점
다른 풀이 ⑵ 제 n 군의 항의 곱은
1´
´
;3!;
1
3Û`
´ y ´
1
3Ç`
=
{;3!;}
y
+n
1+2+
=
{;3!;}
n(n+1)
2
이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항의 곱은
따라서 aÇ은 부등식
;2N;
ÉkÉ4n을 만족시키는 자연수 k의 개수이다.
Ú n이 홀수일 때,
이 자연수가 아니므로 aÇ은
;2N;
;2N;+;2!;
,
;2N;+;2!;
+1,
y, 4n의 개수이다.
∴ aÇ=4n-
{;2N;+;2!;}
+1
=;2&;
n+
;2!;
Û n이 짝수일 때,
이 자연수이므로 aÇ은
,
1, y, 4n의 개수
;2N;
;2N;+
;2N;
1´2
2 ´
{;3!;}
{;3!;}
2´3
2 ´ y ´
n(n+1)
2 =
{;3!;}
{;3!;}
1´2
2
+
2´3
2
+`y`+
n(n+1)
2
이다.
∴ a=
10
k(k+1)
2
=
;2!;{
10
10
k Û ` +
k
}
=
;K+!
;2!;{
10´11´21
6
+
;K+!
10´11
2
;K+!
}=;2!;
(385+55)=220
창의·융합 교과서 속 심화문제
9
10
aû=(aÁ+aª)+(a£+a¢)+ y +(a»+aÁ¼)
∴
∴ aÇ=4n-
+1
;2N;
=;2&;
n+1
Ú, Û에 의하여
aÇ=
(
{
;2&;
;2&;
n+
( n은 홀수)
;2!;
n+1 ( n은 짝수)
;K+!
=
(a2k-1+a2k)
a2k-1=
;2&;
;K5+!
(2k-1)+
=7k-3,
;2!;
a2k=
;2&;
´2k+1=7k+1
이므로 a2k-1+a2k=14k-2
∴
(a2k-1+a2k)=
(14k-2)
;K5+!
;K5+!
=14´ 5´6
2
-2´5=200
200
|전략| n=2, 3, 4, y일 때, f(n)의 값을 구하여 규칙을 찾는다.
n=2일 때, {3, 3Ü`}에서 S={3Ý`}이므로
n=3일 때, {3, 3Ü`, 3Þ`}에서 S={3Ý`, 3ß`, 3¡`}이므로
f(3)=3
n=4일 때, {3, 3Ü`, 3Þ`, 3à`}에서 S={3Ý`, 3ß`, 3¡`, 310, 312}이므로
1250
f(2)=1
f(4)=5
156 | III . 수열
142157고유형해결수1-06(9해).indd 156
2018-03-13 오후 3:44:14
9 수열의 합 | 157
정답과 해설 |전략| 2Ç`을 10으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 가우스 기호를 사용하여 나타
|전략| f(x)=
(x-aû)Û`이라 하고, f(x)가 최솟값을 가질 때의 x의 값을 구
1252
내어 본다.
2Ç`을 10으로 나누었을 때
은 몫이 되고
2Ç`
10
2Ç`=10´(몫)+(나머지)에서
[
]
2Ç`
10
[
]
2Ç`=10
+(나머지)이므로 aÇ=2Ç`-10
은 2Ç`을 10으로
나누었을 때의 나머지, 즉 2Ç`의 일의 자리의 숫자를 나타낸다.
이때, 2Ú`, 2Û`, 2Ü`, 2Ý`, y을 10으로 나누었을 때의 나머지를 차례로 구해
2Ç`
10
[
]
보면 2, 4, 8, 6이 이 순서대로 반복되므로
40
aû=(2+4+8+6)´10=200
;K+!
가우스 기호를 사용한 나머지의 표현
두 자연수 m, n에 대하여 m을 n(n+0)으로 나누었을 때의 몫을 q, 나머지
를 r라 하면
m=nq+r (단, 0Ér³
aÇ=aÁ+
(2k+1)
an+1=
aÇ에서 주어진 수열은 공비가
인 등비수열이다.
;4!;
;4!;
1279
이때, 첫째항이 aÁ=4이므로
n-1
aÇ=4´
{;4!;}
=
{;4!;}
n-2
n-2
aÇ=
{;4!;}
nK-+1!
=1+2´
(n-1)n
2
+(n-1)
=nÛ`
aÇ=nÛ`
1280
an+1=-5aÇ에서 주어진 수열은 공비가 -5인 등비수열이다.
이때, 첫째항이 aÁ=3이므로
aÇ=3´(-5)n-1
aÇ=3´(-5)n-1
1285
an+1-aÇ=2Ç`의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더
하면
1281
an+1
aÇ
=
an+2
an+1
에서 주어진 수열은 등비수열이고,
aÁ=-48, aªÖaÁ=16Ö(-48)=-
;3!;
이므로 첫째항이 -48, 공비가 -
이다.
;3!;
aª-aÁ=2
a£-aª=2Û`
a¢-a£=2Ü`
⋮
aÇ-an-1=2n-1
+
>³
aÇ-aÁ=
2û`
=
2(2n-1-1)
nK-+1!
2-1
=2Ç`-2
∴ aÇ=-48´
-
{
;3!;}
n-1
aÇ=-48´
-
{
;3!;}
n-1
∴ aÇ=2+2Ç`-2=2Ç`
aÇ=2Ç`
aÇ의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리
1282
an+1Û`=aÇ an+2에서 주어진 수열은 등비수열이고,
aÁ=1, aªÖaÁ=5Ö1=5
이므로 첫째항이 1, 공비가 5이다.
∴ aÇ=1´5n-1=5n-1
aÇ=5n-1
1283
an+1=aÇ+n의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더
하면
1286
an+1= n
n+1
곱하면
aª=
aÁ
;2!;
a£=
;3@;aª
a¢=
a£
;4#;
⋮
aÇ= n-1
n
aª=aÁ+1
a£=aª+2
a¢=a£+3
⋮
+
aÇ=an-1+n-1
>³
aÇ=aÁ+
k=1+
(n-1)n
2
nK-+1!
nÛ`-n+2
2
=
160 | III . 수열
_
³
an-1
aÇ=
´
´
´y ´
;2!;
;3@;
;4#;
n-1
n
´aÁ
=
´3=
;n#;
;n!;
aÇ=
;n#;
aÇ=
nÛ`-n+2
2
1287
an+1=3Ç` aÇ의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱
하면
158176고유형해결수1-18(10해).indd 160
2018-03-13 오후 3:45:32
정답과 해설;
;
;
aª=3aÁ
a£=3Û`aª
a¢=3Ü`a£
_
>³
⋮
aÇ=3n-1an-1
aÇ=3´3Û`´3Ü`´y ´3n-1´aÁ=31+2+3+`y`+(n-1)´1
n(n-1)
2
=3
1292
2an+2-3an+1+aÇ=0에서 2(an+2-an+1)=an+1-aÇ
∴ an+2-an+1=
(an+1-aÇ)
;2!;
수열 {an+1-aÇ}은 첫째항이 aª-aÁ=1이고 공비가
인 등비수열
;2!;
aÇ=3
n(n-1)
2
이므로
an+1-aÇ=1´
{;2!;}
=
{;2!;}
n-1
n-1
이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면
1288
⑴ an+1=3aÇ+2에서 an+1+1=3(aÇ+1)
∴ a=-1
⑵ 수열 {aÇ+1}은 첫째항이 aÁ+1=3이고 공비가 3인 등비수열이
므로
aÇ+1=3´3n-1=3Ç`
∴ aÇ=3Ç`-1
⑴ -1 ⑵ aÇ=3Ç`-1
+
aÇ-an-1=
{;2!;}
n-2
â`=1
{;2!;}
aª-aÁ=1
a£-aª=
;2!;
a¢-a£=
Û`
{;2!;}
⋮
1289
an+1=2aÇ+1에서 an+1+1=2(aÇ+1)
수열 {aÇ+1}은 첫째항이 aÁ+1=3이고 공비가 2인 등비수열이
므로
aÇ+1=3´2n-1
∴ aÇ=3´2n-1-1
aÇ=3´2n-1-1
aÇ-aÁ=
k-1
=
{;2!;}
n-1
1´
1-
[
{;2!;}
]
1-
;2!;
nK-+1!
n-1
n-2
=2-2´
{;2!;}
=2-
{;2!;}
∴ aÇ=1+2-
{;2!;}
=3-
{;2!;}
n-2
n-2
n-2
aÇ=3-
{;2!;}
1290
an+1=
aÇ+2에서 an+1-3=
(aÇ-3)
;3!;
;3!;
1293
an+1=
aÇ
1+3aÇ
에서
1
an+1
=
1+3aÇ
aÇ
= 1
aÇ
+3
수열 {aÇ-3}은 첫째항이 aÁ-3=1, 공비가
인 등비수열이므로
;3!;
n-1
n-1
=
{;3!;}
aÇ-3=1´
{;3!;}
n-1
∴ aÇ=
{;3!;}
+3
aÇ=
{;3!;}
n-1
+3
1291
an+2-4an+1+3aÇ=0에서 an+2-an+1=3(an+1-aÇ)
수열 {an+1-aÇ}은 첫째항이 aª-aÁ=1이고 공비가 3인 등비수열
이므로
an+1-aÇ=1´3n-1=3n-1
이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면
3â`=1
aª-aÁ=1
a£-aª=3
a¢-a£=3Û`
⋮
aÇ-an-1=3n-2
+
>³
aÇ-aÁ=
3k-1=
1´(3n-1-1)
3-1
= 3n-1-1
2
nK-+1!
∴ aÇ=1+ 3n-1-1
2
= 3n-1+1
2
aÇ=
3n-1+1
2
=bÇ으로 놓으면 bn+1=bÇ+3
1
aÇ
수열 {bÇ}은 첫째항이 bÁ= 1
aÁ
bÇ=1+(n-1)´3=3n-2
= 1
∴ aÇ= 1
bÇ
3n-2
=1이고 공차가 3인 등차수열이므로
aÇ=
1
3n-2
1294
an+1=
aÇ
aÇ+2
에서
1
an+1
=
aÇ+2
aÇ
= 2
aÇ
+1
=bÇ으로 놓으면 bn+1=2bÇ+1
1
aÇ
∴ bn+1+1=2(bÇ+1)
수열 {bÇ+1}은 첫째항이 bÁ+1= 1
aÁ
수열이므로
bÇ+1=3´2n-1
∴ bÇ=3´2n-1-1
∴ aÇ= 1
bÇ
=
1
3´2n-1-1
+1=3이고 공비가 2인 등비
aÇ=
1
3´2n-1-1
10 수학적 귀납법 | 161
158176고유형해결수1-18(10해).indd 161
2018-03-13 오후 3:45:32
10ㅡ수학적귀납법;
³
;
정답과 해설
1295
Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면
1+3+5+ y +(2k-1)=kÛ`
yy ㉡
참고 부분분수로의 변형
1
AB
= 1
B-A {
1
A -
1
B }
(단, A+B)
이므로 ㉡의 양변에 ㈎ 2k+1 을 더하면
1+3+5+ y +(2k-1)+( ㈎ 2k+1 )
=kÛ`+ ㈎ 2k+1 = ㈏ (k+1)Û`
따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다. ㈎ 2k+1 ㈏ (k+1)Û`
1296
Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면
1+2+3+ y +k=
k(k+1)
2
이므로 ㉡의 양변에 ㈎ k+1 을 더하면
1+2+3+ y +k+ ㈎ k+1
=
k(k+1)
2
+ ㈎ k+1
=( ㈎ k+1 )
㈏
;2K;
+1
}
{
= ㈐
(k+1)(k+2)
2
따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.
㈎ k+1 ㈏ ;2K; ㈐
(k+1)(k+2)
2
1299
an+2-an+1=an+1-aÇ에서 수열 {aÇ}은 등차수열이므로 첫째항을
a, 공차를 d라 하면
aª=a+d=-16
a°=a+4d=-7
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-19, d=3
∴ aÇ=-19+(n-1)´3=3n-22
이때, 3n-22>0에서 n>
=7.3___
:ª3ª:
따라서 수열 {aÇ}은 제8항부터 양수이므로 첫째항부터 제7항까지의
합이 최소가 된다.
음수인 항만 모두 더한 것
∴ n=7
③
1300
|전략| an+1=raÇ에서 수열 {aÇ}은 공비가 r인 등비수열임을 이용한다.
an+1=2aÇ에서 수열 {aÇ}은 공비가 2인 등비수열이다.
이때, 첫째항이 aÁ=4이므로
aÇ=4´2n-1=2n+1
a¥=2á`=512, a»=210=1024이므로 처음으로 1000 이상이 되는 항
은 제9항이다.
유형 마스터
유형 마스터
STEP2
1297
|전략| an+1-aÇ=d이면 수열 {aÇ}은 공차가 d인 등차수열임을 이용한다.
an+1-aÇ=-4이므로 수열 {aÇ}은 공차가 -4인 등차수열이다.
이때, 첫째항이 aÁ=300이므로
aÇ=300+(n-1)´(-4)=-4n+304
aû=88에서 -4k+304=88
4k=216
∴ k=54
1301
an+1Û`=aÇan+2에서 수열 {aÇ}은 등비수열이다.
수열 {aÇ}의 공비를 r라 하면
aÁ°
aÁÁ
a°
aÁ
=r10이므로
aÁ£
a£
=
=
④
aÁÁ
aÁ
+
+
aÁ£
a£
aÁ°
a°
=r10+r10+r10=9
∴ r10=3
1298
an+2-2an+1+aÇ=0에서 an+2-an+1=an+1-aÇ이므로 수열 {aÇ}
은 등차수열이고
=r20=(r10)Û`=3Û`=9
∴
a£¼
aÁ¼
채점 기준
❶ 수열 {aÇ}이 등비수열임을 알 수 있다.
❷ r10의 값을 구할 수 있다.
❸
a£¼
aÁ¼ 의 값을 구할 수 있다.
②
… ❶
… ❷
… ❸
9
비율
40 %
30 %
30 %
=
;4!;[{
1-
+
-
;2!;}
{;2!;
;3!;}
+ y +
-
{;2Á0;
;2Á1;}]
③
비가 3이다.
∴ aÇ=1´3n-1=3n-1
1302
2 log an+1=log aÇ+log an+2에서 an+1Û`=aÇan+2
즉, 수열 {aÇ}은 등비수열이고 aÁ=1,
=3이므로 첫째항이 1, 공
aª
aÁ
aÁ=2, aª-aÁ=4-2=2
이므로 첫째항이 2, 공차가 2이다.
∴ aÇ=2+(n-1)´2=2n
1
2k´2(k+1)
1
ak ak+1
∴
=
20
20
;K+!
;K+!
20
=
;4!;
{;k!;
- 1
k+1 }
;K+!
=
1-
;2Á1;}
=
;2°1;
;4!;{
162 | III . 수열
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따라서 a2k-1=3(2k-1)-1=9k-1이므로
10
a2k-1=
10
9k-1=
1´(910-1)
9-1
=
;8!;
(910-1)
(910-1)
;8!;
1305
an+1=aÇ-f(n)의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리
더하면
;K+!
;K+!
1303
이차방정식 aÇxÛ`-2an+1x+an+2=0이 중근을 가지므로 이 이차방
정식의 판별식을 D라 하면
D
4
=an+1Û`-anan+2=0
∴ an+1Û`=anan+2
∴
an+1
aÇ
=
;2!;
즉, 수열 {aÇ}은 등비수열이고
aª
aÁ
=
;2!;
이므로 공비가
이다.
;2!;
주어진 이차방정식에서 근은 근의 공식에 의하여
an+1Ñ"Ã
x=
an+1Û`-anan+2
aÇ
=
an+1
aÇ
(∵ ㉠)=
(중근)
;2!;
이때, 주어진 이차방정식의 중근이 bÇ이므로 bÇ=
;2!;
100
100
∴
bû=
;2!;
=100´
=50
;2!;
n-1
;K+!
;K+!
다른 풀이 aÇ=2´
{;2!;}
=
{;2!;}
n-2
이므로
an+1=
{;2!;}
n-1
, an+2=
Ç`
{;2!;}
따라서 주어진 이차방정식은
n-2
n-1
{;2!;}
xÛ`-2´
{;2!;}
x+
{;2!;}
Ç`
=0
이 식의 양변에 2Ç`을 곱하면
4xÛ`-4x+1=0, (2x-1)Û`=0
∴ x=bÇ=
;2!;
|전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더한다.
an+1=aÇ+2n-1의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼
리 더하면
1304
aª=aÁ+2´1-1
a£=aª+2´2-1
a¢=a£+2´3-1
⋮
+
aÇ=an-1+2´(n-1)-1
>³
aÇ=aÁ+
(2k-1)
nK-+1!
=aÁ+2´
(n-1)n
2
-(n-1)
=aÁ+(n-1)Û`
a¥=50에서 aÁ+(8-1)Û`=50
∴ aÁ=1
∴ aÇ=(n-1)Û`+1
∴ a¢=(4-1)Û`+1=10
aª=aÁ-f(1)
a£=aª-f(2)
a¢=a£-f(3)
⋮
+
aÇ=an-1-f(n-1)
>³
aÇ=aÁ-
`f(k)=-1-{(n-1)Û`-1}
yy ㉠
=-(n-1)Û`
nK-+1!
∴ a20=-(20-1)Û`=-361
-361
1306
an+1=aÇ+2Ç`의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더
하면
50
aª=aÁ+2Ú`
a£=aª+2Û`
a¢=a£+2Ü`
⋮
aÇ=an-1+2n-1
+
>³
aÇ=aÁ+
2û`=1+
2(2n-1-1)
2-1
=2Ç`-1
nK-+1!
aû=1023에서 2û`-1=1023
2û`=1024=210
∴ k=10
=
'Ä
n+1+
n+1-
n)(
n
'
n+1-
'
'Ä
(
'Ä
n)
'
=
n+1-
n
'Ä
'
n+1-
n의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여
'
1307
1
n+1+
n
'Ä
'
an+1=aÇ+
'Ä
변끼리 더하면
aª=aÁ+
2-
a£=aª+
3-
a¢=a£+
4-
'
'
'
1
'
2
'
3
'
⋮
+
>³
n-
aÇ=an-1+
aÇ=aÁ+
'
n-
n-1
'Ä
1=1+
'
'
100=10
∴ a100=
'¶
n-1=
n
'
'
10
⑤
1308
an+1= n+2
n+1
③
곱하면
|전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱한다.
aÇ의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리
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10ㅡ수학적귀납법;
;
;
aª=
aÁ
;2#;
a£=
aª
;3$;
a¢=
a£
;4%;
⋮
aÇ= n+1
n
_
an-1
aª=
aÁ
®;2!;
a£=
aª
®;3@;
a¢=
a£
®;4#;
⋮
_
aÇ=
®É
n-1
n
an-1
10
;K+!
1310
an+1
aÇ
aª=2aÁ
a£=2Û`aª
a¢=2Ü`a£
164 | III . 수열
aÇ=
´
´
;2#;
;3$;
;4%;
´y ´
n+1
n
´aÁ=
´2=n+1
n+1
2
∴ a99=99+1=100
③
1309
n+1 an+1=
naÇ에서 an+1=æ®É
'
'Ä
n
n+1
aÇ
이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면
aÇ=
´
®;2!;
®;3@;
®;4#;
´ y ´
n-1
n
®É
´aÁ=
®;n!;
´1= 1
n
'
∴
(akak+1)Û` =
{
1
'k
´
{;k!;-
1
'Äk+1 }
1
k+1 }
10
Û`=
1
k(k+1)
;K+!
´
10
;K+!
10
=
;K+!
1-
{
=
=2Ç`에서 an+1=2Ç`aÇ`
이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면
_
>³
⋮
aÇ=2n-1an-1
aÇ=2´2Û`´2Ü`´y ´2n-1´aÁ=21+2+3+`y`+(n-1)´1
n(n-1)
2
=2
k(k-1)
2 =255
aû=255에서 2
k(k-1)
2
=55, kÛ`-k-110=0
(k+10)(k-11)=0
∴ k=11 (∵ k는 자연수)
11
1311
an+1= nÛ`+2n
(n+1)Û`
an=
n(n+2)
(n+1)Û`
an=
n
n+1
´
n+2
n+1
an
이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면
aª=
´
;2!;
;2#;
aÁ
a£=
´
;3@;
;3$;
aª
a¢=
´
;4#;
;4%;
a£
⋮
∴ a10=
;1!0!;
1312
_
aÇ=
n-1
n
´
n+1
n
an-1
aÇ=
´
´
´
´
´
;2!;
;2#;
;3@;
;3$;
;4#;
;4%;
´y ´ n-1
n
´ n+1
n
´aÁ
= n+1
2n
´2= n+1
n
;1!0!;
|전략| 주어진 식을 an+1-a=p(aÇ-a) 꼴로 변형한다.
an+1=3aÇ+2에서 an+1+1=3(aÇ+1)
수열 {aÇ+1}은 첫째항이 aÁ+1=2이고 공비가 3인 등비수열이므로
aÇ+1=2´3n-1
∴ a10=2´3á`-1
∴ aÇ=2´3n-1-1
③
1313
an+1=
aÇ+1에서 an+1-2=
(aÇ-2)
;2!;
;2!;
따라서 p=2, q=
이므로 p+q=
;2!;
;2%;
;2%;
1314
an+1-2an=-1에서 an+1-1=2(aÇ-1)
수열 {aÇ-1}은 첫째항이 aÁ-1=2이고 공비가 2인 등비수열이므로
aÇ-1=2´2n-1=2Ç`
∴ aÇ=2Ç`+1
(2û`+1)= 2(2Ç`-1)
2-1
+n=2n+1+n-2
∴ SÇ=
;Kn+!
SÇ=2n+1+n-2
1315
an+1-3an+4=0에서 an+1-2=3(aÇ-2)
수열 {aÇ-2}는 첫째항이 aÁ-2=2이고 공비가 3인 등비수열이므로
aÇ-2=2´3n-1
∴ aÇ=2´3n-1+2
+
;2!;}
{;2!;-;3!;}
+ y +
{;1Á0;-;1Á1;}
수열 {aÇ-2}는 첫째항이 aÁ-2=1이고 공비가
인 등비수열이므로
=1-
=
;1!1);
;1Á1;
;1!1);
aÇ-2=1´
n-1
n-1
=
{;2!;}
{;2!;}
∴ aÇ=2+
{;2!;}
;2!;
n-1
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정답과 해설³
³
³
이때, an+1-aǾæ100에서
(2´3Ç`+2)-(2´3n-1+2)=(6-2)´3n-1=4´3n-1¾æ100
2´3Ç`-2´3n-1=6´3n-1-2´3n-1=(6-2)´3n-1
∴ 3n-1¾æ25
3Û`=9, 3Ü`=27이므로 an+1-aÇæ¾100을 만족시키는 자연수 n의 최
솟값은 4이다.
④
1316
|전략| 주어진 식을 an+2-an+1=
(an+1-aÇ) 꼴로 변형한다.
;pR;
3an+2=5an+1-2aÇ에서 3(an+2-an+1)=2(an+1-aÇ)
∴ an+2-an+1=
(an+1-aÇ)
;3@;
수열 {an+1-aÇ}은 첫째항이 aª-aÁ=1이고 공비가
인 등비수열
;3@;
이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면
이므로
an+1-aÇ=1´
{;3@;}
=
{;3@;}
n-1
n-1
aª-aÁ=1
a£-aª=
;3@;
â`
{;3@;}
=1
a¢-a£=
Û`
{;3@;}
⋮
+
aÇ-an-1=
{;3@;}
n-2
n-1
1´
1-
[
{;3@;}
]
1-
;3@;
aÇ-aÁ=
k-1
=
{;3@;}
nK-+1!
=3
1-
[
n-1
]
{;3@;}
n-1
∴ aÇ=1+3
1-
[
{;3@;}
]
=4-3´
{;3@;}
aÇ=4-3´
{;3@;}
n-1
n-1
1317
an+2=5an+1-4aÇ에서 an+2-an+1=4(an+1-aÇ)
수열 {an+1-aÇ}은 첫째항이 aª-aÁ=3이고 공비가 4인 등비수열
이므로
an+1-aÇ=3´4n-1
이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면
aª-aÁ=3´1
a£-aª=3´4
a¢-a£=3´4Û`
4â`=1
⋮
aÇ-an-1=3´4n-2
+
>³
aÇ-aÁ=
3´4k-1=
3(4n-1-1)
4-1
nK-+1!
=4n-1-1
∴ aÇ=1+4n-1-1=4n-1
aû=256에서 4k-1=256=4Ý`
k-1=4
∴ k=5
①
1318
an+2-3an+1+2aÇ=0에서 an+2-an+1=2(an+1-aÇ)
수열 {an+1-aÇ}은 첫째항이 aª-aÁ=3aÁ-aÁ=2aÁ이고 공비가 2
인 등비수열이므로
an+1-aÇ=2aÁ´2n-1=aÁ´2Ç`
이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면
aª-aÁ=aÁ´2
a£-aª=aÁ´2Û`
a¢-a£=aÁ´2Ü`
⋮
+
aÇ-an-1=aÁ´2n-1
>³
aÇ-aÁ=
aÁ´2û`=aÁ´
2(2n-1-1)
2-1
nK-+1!
=aÁ(2Ç`-2)
∴ aÇ=aÁ+aÁ(2Ç`-2)=aÁ(2Ç`-1)
이때, a¤=21이므로 aÁ(2ß`-1)=21
63aÁ=21
∴ aÁ=
;3!;
따라서 aÇ=
(2Ç`-1)이므로
;3!;
a¢=
(2Ý`-1)=
´15=5
;3!;
;3!;
1319
=bÇ으로 놓으면 bn+1=bÇ+2
1
aÇ
수열 {bÇ}은 첫째항이 bÁ= 1
aÁ
bÇ=3+(n-1)´2=2n+1
따라서 aÇ= 1
bÇ
= 1
2n+1
이므로
a10= 1
2´10+1
=
;2Á1;
1320
an+1=
aÇ
3-2aÇ
에서
1
an+1
=
3-2aÇ
an
=3´ 1
an
-2
=bÇ으로 놓으면 bn+1=3bÇ-2
1
an
∴ bn+1-1=3(bÇ-1)
수열 {bÇ-1}은 첫째항이 bÁ-1= 1
aÁ
수열이므로
|전략| 주어진 식의 양변에 역수를 취하여 수열
[
의 일반항을 구한다.
1
aÇ ]
an+1=
aÇ
1+2aÇ
에서 1
an+1
=
1+2aÇ
aÇ
= 1
aÇ
+2
=3이고 공차가 2인 등차수열이므로
③
④
… ❶
-1=1이고 공비가 3인 등비
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10ㅡ수학적귀납법³
;
;
;
yy ㉡
bÇ-1=1´3n-1=3n-1
∴ aÇ= 1
bÇ
= 1
3n-1+1
∴ bÇ=3n-1+1
❶ 주어진 식의 양변에 역수를 취하여
1
an+1
´
=;rQ;
1
an
+;rP; 꼴로 변형할 수
=bÇ으로 놓고, 수열 {bÇ}의 일반항을 구할 수 있다.
❸ 수열 {aÇ}의 일반항을 구할 수 있다.
… ❷
… ❸
aÇ=
1
3n-1+1
비율
30 %
50 %
20 %
aª+a£=1
a¢+a°=1
a¤+a¦=1
+
a¥+a»=1
>³
aª+a£+ y +a»=4
㉠-㉡을 하면
aÁ+aÁ¼=-9
∴ aÁ¼=-9-1=-10
aÇ
1+naÇ
에서 1
an+1
= 1+naÇ
aÇ
= 1
aÇ
+n
=bÇ으로 놓으면 bn+1=bÇ+n
이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면
a¦=a¤-a°=-1-(-2)=1
a¥=a¦-a¤=1-(-1)=2
연속한 두 값이 aÁ, aª와 같은
값이 나올 때까지 구한다.
1323
aÁ=1, aª=2이므로 an+2=an+1-aÇ에서
a£=aª-aÁ=2-1=1
a¢=a£-aª=1-2=-1
a°=a¢-a£=-1-1=-2
a¤=a°-a¢=-2-(-1)=-1
채점 기준
있다.
❷
1
an
1321
an+1=
1
aÇ
bª=bÁ+1
b£=bª+2
b¢=b£+3
⋮
따라서 수열 {aÇ}은 1, 2, 1, -1, -2, -1이 이 순서대로 반복되고,
2018=6´336+2이므로
aû=336{1+2+1+(-1)+(-2)+(-1)}+1+2=3
3
⋮
2018
;K+!
1324
③
aÁ=3, aª=2이므로 an+2=
an+1+1
aÇ
에서
(n-1)n
2
=
2+(n-1)n
2
+
bÇ=bn-1+(n-1)
>³
bÇ=bÁ+
k=1+
bÁ=
1
aÁ =1
nK-+1!
따라서 aÇ= 1
bÇ
=
2
2+(n-1)n
이므로
a200=
2
2+199´200
=
1
1+100´199
|전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 항의 규칙을 찾
다른 풀이 an+an+1=(-1)Ç` 에 n=1, 3, 5, 7, 9를 차례로 대입하여 변
-10
따라서 수열 {aÇ}은 3, 2, 1, 1, 2가 이 순서대로 반복되고,
111=5´22+1이므로 a111=aÁ=3
3
1322
는다.
aÁ+aª=-1에서 aª=-2
aª+a£=1에서 a£=3
a£+a¢=-1에서 a¢=-4
⋮
따라서 aÇ=(-1)n-1´n이므로
aÁ¼=-10
끼리 더하면
aÁ+aª=-1
a£+a¢=-1
a°+a¤=-1
a¦+a¥=-1
+
a»+aÁ¼=-1
>³
aÁ+aª+ y +aÁ¼=-5
166 | III . 수열
166 | III . 수열
a£=
aª+1
aÁ
= 2+1
3
=1
a¢=
a£+1
aª
= 1+1
2
=1
a°=
a¢+1
a£
= 1+1
1
=2
a¤=
a°+1
a¢
= 2+1
1
=3
a¤+1
a°
= 3+1
2
=2
a¦=
⋮
1325
aÁaªa£=aªa£a¢=1이므로 aÁ=a¢
aªa£a¢=a£a¢a°=1이므로 aª=a°
a£a¢a°=a¢a°a¤=1이므로 a£=a¤
yy ㉠
⋮
aÇ+an+1=(-1)Ç` 에 n=2, 4, 6, 8을 차례로 대입하여 변끼리 더하면
따라서 수열 {aÇ}은 aÁ, aª, a£이 이 순서대로 반복된다.
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10 수학적 귀납법 | 167
정답과 해설;
③
∴ log£ (1+2 log¢ a10)=log£
[
2´
{;2!;+
log¢ aÁ¼}]
=log£ 310=10
❶ 양변에 밑이 4인 로그를 취하여 aÇ과 an+1 사이의 관계식을 구할 수 있다.
40 %
❷ 수열
[
log¢ aÇ+;2!;]
의 일반항을 구할 수 있다.
❸ log£ (1+2 log¢ a10)의 값을 구할 수 있다.
등비수열이므로
bÇ+
=
;2!;
;2#;
´3n-1=
´3Ç`
;2!;
따라서 log¢ aÇ=bÇ이므로
log¢ aÇ+
´3Ç`
;2!;=;2!;
채점 기준
로그의 성질
a>0, a+1, x>0, y>0일 때
⑴ log 1=0, log a=1
⑵ log xy=log x+log y
⑶ log
;]{;
=log x-log y
⑷ log xÇ`=n log x (단, n은 실수)
1329
an+1=aÁ+2aª+ y +naÇ
㉠의 n 대신 n-1을 대입하면
aÇ=aÁ+2aª+ y +(n-1)an-1
㉠-㉡을 하면
an+1-aÇ=naÇ, an+1=(n+1)aÇ
∴
an+1
aÇ
=n+1
∴
=49+1=50
a50
a49
이때, 10=3´3+1, 17=3´5+2이므로
aÁ=a10=1, aª=a17=4
한편, aÁaªa£=1에서
a£= 1
aÁaª
= 1
1´4
=
;4!;
따라서 200=3´66+2, 201=3´67이므로
a200 a201=aª a£=4´
=1
;4!;
1326
|전략| 주어진 식의 양변을 2n+1으로 나누어 식을 변형한다.
an+1=2aÇ+2n+1의 양변을 2n+1으로 나누면
an+1
2n+1 =
an
2n =bÇ으로 놓으면
bn+1=bÇ+1
an
2n +1
수열 {bÇ}은 첫째항이 bÁ=
=2이고 공차가 1인 등차수열이므로
aÁ
2
bÇ=2+(n-1)´1=n+1
따라서 aÇ`=2Ç` bÇ=2Ç` (n+1)이므로
a50=250(50+1)=51´250
51´250
+9=10이고 공비가 2인 등비
1327
9aÇan+1=aÇ-2an+1의 양변을 aÇan+1로 나누면
9= 1
an+1
-2´ 1
an
1
an
=bÇ으로 놓으면 9=bn+1-2bÇ
∴ bn+1+9=2(bÇ+9)
수열 {bÇ+9}는 첫째항이 bÁ+9= 1
aÁ
수열이므로
bÇ+9=10´2n-1
= 1
∴ aÇ= 1
bÇ
5´2Ç`-9
∴ bÇ=5´2Ç`-9
1328
aÁ=4, an+1=4aÇÜ`이므로 aÇ>0 (단, n¾1)
an+1=4aÇÜ`의 양변에 밑이 4인 로그를 취하면
log¢ an+1=log¢ 4aÇÜ`, log¢ an+1=log¢ 4+log¢ aÇÜ`
log¢ an+1=1+3 log¢ aÇ
log¢ aÇ=bÇ으로 놓으면 bn+1=3bÇ+1
∴ bn+1+
=3
bÇ+
{
;2!;
;2!;}
수열
bÇ+
[
;2!;]
은 첫째항이 bÁ+
=log¢ aÁ+
, 공비가 3인
;2!;
;2!;=;2#;
②
… ❶
1330
|전략| aÁ=SÁ, an+1=Sn+1-Sn(n¾1)임을 이용하여 주어진 등식을 aÇ, an+1
에 대한 식으로 변형한다.
SÇ=2aÇ+2n(n=1, 2, 3, y)에서
Sn+1=2an+1+2(n+1)
이때, an+1=Sn+1-SÇ(n=1, 2, 3, y)이므로
an+1=2an+1+2(n+1)-(2aÇ+2n)
an+1=2aÇ-2
수열 {aÇ-2}는 첫째항이 aÁ-2=-4이고 공비가 2인 등비수열이
므로
aÇ-2=-4´2n-1=-2n+1
∴ a20=2-221
∴ an+1-2=2(aÇ-2)
∴ aÇ=2-2n+1
2-221
… ❷
… ❸
10
배점
40 %
20 %
yy ㉠
yy ㉡
50
166 | III . 수열
10 수학적 귀납법 | 167
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10ㅡ수학적귀납법 1331
Sn+1=3SÇ+2(n=1, 2, 3, y)에서 Sn+1+1=3(SÇ+1)
수열 {SÇ+1}은 첫째항이 SÁ+1=3이고 공비가 3인 등비수열이
므로
SÇ+1=3´3n-1=3Ç`
∴ a49=S49-S48=349-1-(348-1)=2´348
∴ SÇ=3Ç`-1
2´348
1332
aÁ+aª+a£+ y +aÇ=SÇ이라 하면
SÁ=aÁ=3, an+1=SÇ(n=1, 2, 3, y)
이때, an+1=Sn+1-SÇ(n=1, 2, 3, y)이므로
SÇ=Sn+1-SÇ ∴ Sn+1=2SÇ(n=1, 2, 3, y)
수열 {SÇ}은 첫째항이 SÁ=3이고 공비가 2인 등비수열이므로
SÇ=3´2n-1
∴ a»+aÁ¼ =(S»-S¥)+(SÁ¼-S»)=SÁ¼-S¥
=3´2á`-3´2à`=9´2à`=1152
③
다른 풀이 an+1=SÇ(n=1, 2, 3, y)이므로
a»+aÁ¼ =S¥+S»=3´2à`+3´2¡`
=9´2à`=1152
1333
2SÇ=nan+1(n¾1)
2Sn-1=(n-1)aÇ(n¾2)
㉠-㉡을 하면
2(SÇ-Sn-1)=nan+1-(n-1)aÇ(n¾2)
2aÇ=nan+1-(n-1)aÇ, nan+1=(n+1)aÇ
∴ an+1= n+1
n
aÇ(n¾2)
… ❶
이 식의 n에 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면
a£=
aª
;2#;
a¢=
a£
;3$;
a°=
a¢
;4%;
⋮
aÇ= n
n-1
=
aª
;2N;
_
an-1
aÇ=
´
´
;2#;
;3$;
;4%;
´y ´
n
n-1
´aª
2SÇ=nan+1에 n=1을 대입하면 2SÁ=aª
SÁ=aÁ이므로 aª=2SÁ=2aÁ=2
∴ aÇ=
´2=n
;2N;
aû=100에서 k=100
168 | III . 수열
채점 기준
❶ aÇ과 an+1 사이의 관계식을 구할 수 있다.
❷ 수열 {aÇ}의 일반항을 구할 수 있다.
❸ k의 값을 구할 수 있다.
비율
40`%
40`%
20`%
1334
|전략| n일째 되는 날 물탱크 속의 물의 양을 aÇ`L로 놓고, aÇ과 an+1 사이의 관
계식을 구한다.
n일째 되는 날 물탱크 속의 물의 양을 aÇ`L라 하면
an+1=2(aÇ-3)
∴ an+1-6=2(aÇ-6)
수열 {aÇ-6}은 첫째항이 aÁ-6=10-6=4이고 공비가 2인 등비
수열이므로
aÇ-6=4´2n-1=2n+1
∴ aÇ=2n+1+6
이때, a¥=2á`+6=518, a»=210+6=1030이므로 1000`L들이 물탱
크를 가득 채울 수 있는 것은 9일째이다.
9일째
1335
x=aÇ을 y=2x에 대입했을 때의 y의 값과 x=an+1을 y=x+1에
대입했을 때의 y의 값이 같으므로
∴ an+1-1=2(aÇ-1)
2aÇ=an+1+1
수열 {aÇ-1}은 첫째항이 aÁ-1=1이고 공비가 2인 등비수열이므로
∴ aÇ=2n-1+1
aÇ-1=1´2n-1=2n-1
yy ㉠
yy ㉡
10
10
∴ S10=
aû=
(2k-1+1)
=
;K+!
1´(210-1)
;K+!
2-1
+10=1033
①
1336
n시간 후 측정한 세포의 수를 aÇ이라 하면
an+1=2(aÇ-2)
∴ an+1-4=2(aÇ-4)
수열 {aÇ-4}는 첫째항이 aÁ-4=2이고 공비가 2인 등비수열이므로
aÇ-4=2´2n-1
이때, 2Ç`+4=2052에서
2Ç`=2048=211
∴ aÇ=2Ç`+4
∴ n=11
(5-2)´2=6
따라서 세포의 수가 2052개가 되는 것은 11시간 후이다.
11시간 후
1337
점 PÇ의 좌표를 aÇ이라 하면
3an+1-2aÇ
3-2
an+2=
=3an+1-2aÇ
∴ an+2-an+1=2(an+1-aÇ)
수열 {an+1-aÇ}은 첫째항이 aª-aÁ=4이고 공비가 2인 등비수열
이므로
an+1-aÇ=4´2n-1=2n+1
이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면
… ❷
… ❸
100
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10 수학적 귀납법 | 169
정답과 해설³
aª-aÁ=2Û`
a£-aª=2Ü`
a¢-a£=2Ý`
⋮
+
aÇ-an-1=2Ç`
>³
주어진 조건에 의하여 음이 아닌 정수 a, b에 대하여 p(3`´5º`)은 참
이다.
① p(30)=p(2´3´5)
② p(60)=p(2Û`´3´5)
③ p(75)=p(3´5Û`)
④ p(90)=p(2´3Û`´5)
⑤ p(105)=p(3´5´7)
따라서 반드시 참인 명제는 ③ p(75)이다.
③
aÇ-aÁ=
2k+1=
4(2n-1-1)
2-1 =2n+1-4
nK-+1!
∴ aÇ=1+2n+1-4=2n+1-3
이때, a°=2ß`-3=61, a¤=2à`-3=125이므로 좌표가 처음으로 100
보다 큰 값이 되는 점은 P¤이다.
㈎, ㈏에서 p(1), p(3), p(3Û`), y이 참이다.
이때, ㈐에서
②
p(1), p(5), p(5Û`), y이 참이다.
p(3), p(3´5), p(3´5Û`), y이 참이다.
p(3Û`), p(3Û`´5), p(3Û`´5Û`), y이 참이다.
1338
n개의 직선이 그려진 평면에 조건에 알맞은 1개의 직선을 추가하면
⋮
따라서 음이 아닌 정수 a, b에 대하여 p(3`´5º`)이 참이다.
이 직선은 기존의 n개의 직선과 각각 한 번씩 만나므로 (n+1)개의
새로운 평면이 생긴다. 즉, (n+1)개의 직선에 의해 분할된 평면은 n
개의 직선에 의해 분할된 평면보다 (n+1)개가 많으므로
an+1=aÇ+n+1
이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면
aª=aÁ+1+1
a£=aª+2+1
a¢=a£+3+1
⋮
+
aÇ=an-1+(n-1)+1
>³
aÇ=aÁ+
2
nK-+1!
∴ aÁ°= 15´14
2
+15+1=121
(k+1)=
n(n-1)
2
+n+1
1341
ㄱ. p(1)이 참이면 주어진 조건에 의하여
p(3), p(5), p(7), y
는 알 수 없다.
ㄴ. p(2)가 참이면 주어진 조건에 의하여
이 모두 참이지만 모든 2의 양의 배수 k에 대하여 p(k)가 참인지
p(3), p(4), p(5), y가 모두 참이므로 모든 2의 양의 배수 k에
대하여 p(k)가 참이다.
ㄷ. p(2)가 참이면 ㄴ에서 2 이상인 모든 자연수 m에 대하여 p(m)
이 참이므로 p(1)이 참이면 모든 자연수 k에 대하여 p(k)가 참
④
이다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
ㄴ, ㄷ
즉, 수열 {aÇ-30}은 첫째항이 aÁ-30=10이고 공비가
인 등비수
f(a)=f(3)=5
5
1339
aÇ`%의 소금물 100`g에 들어 있는 소금의 양은 aÇ`g, 30`%의 소금물
100`g에 들어 있는 소금의 양은 30`g이므로
an+1=
aÇ+30
200
´100=
aÇ+15
;2!;
∴ an+1-30=
(aÇ-30)
;2!;
50+30
200
´100=40
;2!;
열이므로
aÇ-30=10´
{;2!;}
∴ aÇ=10´
{;2!;}
n-1
n-1
+30
따라서 aÁ¼=10´
á`+30=5
6+ 1
{
2¡` }
{;2!;}
이므로
p=5, q=8
∴ p+q=13
13
1340
이용한다.
|전략| 주어진 조건에 의하여 음이 아닌 정수 a, b에 대하여 p(3`´5º`)은 참임을
1342
명제 p(n)이 n=3, 5, 7, 9, y일 때 참임을 보이려면
Ú n= ㈎ 3 일 때, p(n)이 참이다.
Û 5=3+2, 7=5+2, 9=7+2이므로
n=k(k¾ ㈎ 3 )일 때 p(n)이 참이라 가정하면
n= ㈏ k+2 일 때도 p(n)이 참임을 보인다.
따라서 a=3, f(k)=k+2이므로
1343
|전략| n=k일 때 주어진 식의 양변에 (k+1)(k+2)를 더하여 n=k+1일 때
에도 식이 성립함을 보인다.
Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면
1´2+2´3+3´4+ y +k(k+1)=
k(k+1)(k+2) yy ㉡
;3!;
㉡의 양변에 ㈎ (k+1)(k+2) 를 더하면
1´2+2´3+3´4+ … +k(k+1)+ ㈎ (k+1)(k+2)
=
k(k+1)(k+2)+ ㈎ (k+1)(k+2)
;3!;
10 수학적 귀납법 | 169
168 | III . 수열
158176고유형해결수1-18(10해).indd 169
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10ㅡ수학적귀납법;
;
1+
;1!;}{
1+
;2!;}{
1+
y
{
;3!;}
1+
;n!;}
{
=n+1
yy ㉠
으로 놓을 수 있다.
=(k+1)(k+2)
k+1
}
{;3!;
= ㈏
(k+1)(k+2)(k+3)
;3!;
따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.
④
1344
Ú n=1일 때,
(좌변)=1+
=2, (우변)=1+1=2
;1!;
따라서 n=1일 때 ㉠이 성립한다.
Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면
1+
1+
{
;1!;}{
;2!;}{
㉡의 양변에 1+ 1
을 곱하면
k+1
1+
y
{
;3!;}
1+
;k!;}
=k+1
yy ㉡
1+
;1!;}{
1+
;2!;}{
1+
y
{
;3!;}
1+
{
;k!;}{
1+ 1
k+1 }
=(k+1)
{
1+ 1
k+1 }
=(k+1)+1
따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.
Ú, Û에 의하여 ㉠은 모든 자연수 n에 대하여 성립한다.
1345
Û n=k일 때, aû= ㈎
라 가정하면
ak+1= 1
=
2-aû
k
k+1
1
2- ㈎
k
k+1
2(k+1)-k
= k+1
= k+1
㈏ k+2
따라서 n=k+1일 때도 aÇ= n
n+1
이때, f(k)= k
k+1
, g(k)=k+2이므로
이 성립한다.
f(3)g(6)=
´8=6
;4#;
히 변형한다.
Û n=k일 때, 42n+1+3n+2이 13의 배수라 가정하면
42k+1+3k+2=13N(N은 자연수)
으로 놓을 수 있다.
이때, n=k+1이면
42k+3+3k+3 =4Û`´42k+1+3´ ㈎ 3k+2
=16(42k+1+3k+2)-13´3k+2
=16´ ㈏ 13N -13´ ㈎ 3k+2
=13( ㈐ 16N-3k+2 )
170 | III . 수열
1346
|전략| 42k+1+3k+2=13N (N은 자연수)을 이용하기 위해 42k+3+3k+3을 적절
따라서 n=k+1일 때도 42n+1+3n+2이 13의 배수이다. ④
1347
Û n=k(k¾2)일 때, 4Ç`-3n-1이 9의 배수라 가정하면
4û`-3k-1=9N(N은 자연수)
이때, n=k+1이면
4k+1-3(k+1)-1 = ㈎ 4´4û` -3k-4
=4(4û`-3k-1)+ ㈏ 9k
=4´9N+ ㈏ 9k
=9( ㈐ 4N+k )
따라서 n=k+1일 때도 4Ç`-3n-1이 9의 배수이다.
⑤
1348
Ú n=1일 때,
7+1=8=2´4
5â`=1
이므로 2의 배수이다.
Û n=k일 때, 7n+5n-1이 2의 배수라 가정하면
7k+5k-1=2N(N은 자연수)
풀이 참조
으로 놓을 수 있다.
이때, n=k+1이면
7k+1+5k =7´7k+5´5k-1
=7(7k+5k-1)-2´5k-1
=7´2N-2´5k-1
=2(7N-5k-1)
따라서 n=k+1일 때도 7n+5n-1이 2의 배수이다.
Ú, Û에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 7n+5n-1은 2의 배수이다.
풀이 참조
1349
①
|전략| n=k(k¾2)일 때 주어진 부등식의 양변에 1+h를 곱하여 n=k+1일
때도 부등식이 성립함을 보인다.
Ú n= ㈎ 2 일 때,
(좌변)=(1+h)Û`=1+2h+hÛ`>1+2h=(우변)
따라서 n= ㈎ 2 일 때 ㉠이 성립한다.
Û n=k(kæ¾2)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면
(1+h)û`>1+kh
yy ㉡
㉡의 양변에 ㈏ 1+h 를 곱하면
(1+h)k+1>(1+kh)( ㈏ 1+h )=1+(k+1)h+khÛ``
그런데 khÛ`>0이므로
1+(k+1)h+khÛ`>1+(k+1)h
∴ (1+h)k+1> ㈐ 1+(k+1)h
따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.
⑤
158176고유형해결수1-18(10해).indd 170
2018-03-13 오후 3:45:38
10 수학적 귀납법 | 171
정답과 해설 =
k
(k+1)(k+2)
>0 (∵ k¾æ2)
즉, 수열 {aÇ}은 등비수열이고 첫째항이 aÁ=3, 공비가
=2이므
1350
Û n=k(kæ¾2)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면
a°=a+4d=11
a»=a+8d=19
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, d=2
∴ an=3+(n-1)´2=2n+1
∴ a20=2´20+1=41
yy ㉠
yy ㉡
①
aª
aÁ
④
에서 수열 {aÇ}은 등비수열임을 이용한다.
1353
유형 02 등비수열의 귀납적 정의
|전략|
an+1
aÇ
=
an+2
an+1
an+1
aÇ
=
an+2
an+1
에서 an+1Û`=aÇ an+2
로 aÇ=3´2n-1
이때, aû=3´2k-1=768이므로
2k-1=256=2¡`
∴ k=9
1+
+
+ y +
;2!;
;3!;
> 2k
k+1
;k!;
㉡의 양변에 ㈎
을 더하면
1
k+1
1+
+
+ y +
+ ㈎
;2!;
;3!;
;k!;
1
k+1
> 2k
k+1
+ ㈎
1
k+1
= 2k+1
k+1
2k+1
k+1
- ㈏
2(k+1)
(k+1)+1
=
(2k+1)(k+2)-2(k+1)Û`
(k+1)(k+2)
그런데
이므로
> ㈏
2k+1
k+1
2(k+1)
(k+1)+1
∴ 1+
+
+ y +
+ ㈎
> ㈏
;2!;
;3!;
;k!;
1
k+1
2(k+1)
(k+1)+1
따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.
②
1351
Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면
´
´
;2!;
;4#;
;6%;
´ y ´ 2k-1
<æ
2k
1
2k+1
®É
㉡의 양변에 ㈎
을 곱하면
2k+1
2k+2
´
´
;2!;
;4#;
;6%;
´ y ´ 2k-1
´ ㈎
2k
2k+1
2k+2
<
1
2k+1
®É
æ´ ㈎
2k+1
2k+2
=æ
æ®É
2k+1
4(k+1)Û`
그런데
2k+1
4(k+1)Û`
- ㈏
1
2k+3
=
(2k+1)(2k+3)-4(k+1)Û`
4(k+1)Û`(2k+3)
=
-1
4(k+1)Û`(2k+3)
<0
이므로
2k+1
4(k+1)Û`
< ㈏
1
2k+3
∴
´
´
;2!;
;4#;
;6%;
´ y ´ 2k-1
´ ㈎
2k
2k+1
2k+2
<¾Ð
æ ㈏
1
2k+3
따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.
⑤
1354
유형 03 an+1=aÇ+f(n) 꼴로 정의된 수열
|전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더한다.
an+1=an+ 1
n(n+1)
에서 an+1=an+
- 1
n+1
;n!;
yy ㉡
이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면
aª=aÁ+1-
;2!;
a£=aª+
-
;2!;
;3!;
a¢=a£+
-
;3!;
;4!;
⋮
aÇ=an-1+ 1
n-1
+
-
;n!;
aÇ=aÁ+1-
=-2+1-
;n!;
=- n+1
n
;n!;
(∵ k는 자연수)
∴ a20-a10=-
-
-
{
;2@0!;
;1!0!;}
=
;2Á0;
①
1355
유형 04 an+1=aÇ`f(n) 꼴로 정의된 수열
|전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱한다.
an+1=(n+1)aÇ의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼
리 곱하면
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
1352
유형 01 등차수열의 귀납적 정의
aª=2aÁ`
a£=3aª
a¢=4a£
|전략| 2an+1=aÇ+an+2이면 수열 {aÇ}은 등차수열임을 이용한다.
⋮
2an+1=an+an+2에서 수열 {an}은 등차수열이다.
수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
_
>³
aÇ=nan-1
aÇ=2´3´4´ y ´n´aÁ=1´2´3´4´ y ´n (∵ aÁ=1)
10ㅡ
수
학
적
귀
납
법
170 | III . 수열
10 수학적 귀납법 | 171
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³
æ
æ
유형 06 pan+2+qan+1+raÇ=0(p+q+r=0, pqr+0) 꼴로 정의된 수열
+1=16이고 공비가 4인 등비
이때, næ¾5인 aÇ은 모두 10의 배수이므로 a£+a¢+a°+ y +a2018
을 10으로 나누었을 때의 나머지는 a£+a¢를 10으로 나누었을 때의
따라서 a£+a¢=6+24=30이므로 구하는 나머지는 0이다. ①
나머지와 같다.
1356
|전략| 주어진 식을 an+2-an+1=
(an+1-aÇ) 꼴로 변형한다.
;pR;
수열 {an+1-aÇ}은 첫째항이 aª-aÁ=1이고 공비가
인 등비수열
;3!;
an+1=
에서
aÇ
3aÇ+4
3aÇ+4
an
1
an+1
=
= 4
an
+3
=bÇ으로 놓으면
1
an
bn+1=4bÇ+3
수열 {bÇ+1}은 첫째항이 bÁ+1= 1
aÁ
∴ bn+1+1=4(bÇ+1)
수열이므로
bÇ+1=16´4n-1=4n+1
∴ aÇ= 1
4n+1-1
∴ bÇ=4n+1-1
<
;10Á00;
에서
;10Á00;
이때, aû<
1
4k+1-1
4k+1-1>1000, 22k+2>1001
그런데 2á`<1001<210이므로
2k+2¾10
∴ k¾4
이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면
따라서 구하는 자연수 k의 최솟값은 4이다.
④
3an+2-4an+1+aÇ=0에서
3(an+2-an+1)=an+1-aÇ
∴ an+2-an+1=
(an+1-aÇ)
;3!;
이므로
an+1-aÇ=1´
{;3!;}
=
{;3!;}
n-1
n-1
aª-aÁ=1
a£-aª=
;3!;
a¢-a£=
Û`
{;3!;}
⋮
+
aÇ-an-1=
{;3!;}
n-2
n-1
1´
1-
[
{;3!;}
]
1-
;3!;
aÇ-aÁ=
k-1
=
{;3!;}
nK-+1!
=
;2#;[
1-
n-1
]
{;3!;}
n-1
∴ aÇ=1+
1-
;2#;[
{;3!;}
=
]
;2%;
-
´
;2#;
{;3!;}
n-1
5-2aÇ=5-5+3´
{;3!;}
=
{;3!;}
n-1
n-2
log£ (5-2aÇ)=log£
{;3!;}
n-2
=2-n
10
∴
log£ (5-2ak)=
(2-k)
이때,
이므로
10
;K+!
1357
;K+!
=2´10- 10´11
2
=-35
②
유형 07 an+1=
(pqr+0) 꼴로 정의된 수열
raÇ
paÇ+q
|전략| 주어진 식의 양변에 역수를 취하여 수열
[
의 일반항을 구한다.
1
an ]
172 | III . 수열
유형 08 특수한 꼴 - 항이 반복되는 경우
|전략| 주어진 식의 n에 5, 6, 7, 8, y을 차례로 대입하여 수열의 항의 규칙을 찾
a¤=a°+3=8, a¦=
a¤=4, a¥=
a¦=2, a»=
a¥=1,
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
a10=a»+3=4, a11=
a10=2, a12=
a11=1, y
;2!;
따라서 수열 {aÇ}은 a¦부터 4, 2, 1이 반복되므로
4 (n=3m-2)
2 (n=3m-1)
(m¾3인 자연수)
1 (n=3m)
∴ a101+a102+a103+ y +a120
=(a101+a102+a103)+(a104+a105+a106)+ y +
=(2+1+4)´6+2+1=45
⑤
(a116+a117+a118)+a119+a120
1358
는다.
a°=5에서
aÇ=
{
(
9
1359
유형 09 특수한 꼴 - 식을 변형하는 경우
|전략| 주어진 식의 양변을 n(n+1)로 나누어 식을 변형한다.
(n+1)aÇ=nan+1-1의 양변을 n(n+1)로 나누면
aÇ
n
- 1
an+1
n+1
=
n(n+1)
=bÇ으로 놓으면 bÇ=bn+1- 1
aÇ
n
n(n+1)
∴ bn+1-bÇ=
- 1
n+1
;n!;
이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면
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10 수학적 귀납법 | 173
정답과 해설³
;
bª-bÁ=1-
;2!;
b£-bª=
-
;2!;
;3!;
b¢-b£=
-
;3!;
;4!;
⋮
bÇ-bn-1= 1
+
n-1 -;n!;
bÁ=
aÁ
1
bÇ-bÁ=1-
=1
;n!;
∴ bÇ=1+1-
= 2n-1
n
;n!;
따라서 aÇ=nbÇ=2n-1이므로
10
10
aû=
(2k-1)
;K+!
;K+!
=2´ 10´11
2
-10=100
1360
1362
절히 변형한다.
유형 14 수학적 귀납법을 이용한 배수의 증명
|전략| k(kÛ`+5)가 6의 배수임을 이용하기 위해 (k+1){(k+1)Û`+5}를 적
Û n=k일 때, n(nÛ`+5)가 6의 배수라 가정하면
k(kÛ`+5)=6N(N은 자연수)
으로 놓을 수 있다.
이때, n=k+1이면
(k+1){(k+1)Û`+5} =kÜ`+3kÛ`+ ㈎ 8k+6
= ㈏ kÜ`+5k +6+3k(k+1)
=6N+6+3k(k+1)
= ㈐ 6 (N+1)+3k(k+1)
이고, 3k(k+1)이 ㈐ 6 의 배수이므로 n=k+1일 때도
⑤
n(nÛ`+5)가 6의 배수이다.
④
참고 3k(k+1)에서 k(k+1)은 연속하는 두 자연수의 곱이므로 2의 배수이
다. 따라서 3k(k+1)은 6의 배수이다.
유형 10 수열의 합 SÇ이 포함된 귀납적 정의
1363
|전략| Sn+2-SÇ=an+2+an+1임을 이용한다.
Sn+2-SÇ=an+2+an+1이므로 (Sn+2-SÇ)Û`=4an+1an+2+9에서
(an+2+an+1)Û`=4an+1an+2+9
an+2Û`+2an+2an+1+an+1Û`=4an+2an+1+9
an+2Û`-2an+2an+1+an+1Û`=9
(an+2-an+1)Û`=9
∴ an+2-an+1=3 (∵ an+2-an+1>0)
따라서 수열 {aÇ}은 첫째항이 1이고 공차가 3인 등차수열이므로
aÇ=1+(n-1)´3=3n-2
∴ a10=3´10-2=28
④
유형 15 수학적 귀납법을 이용한 부등식의 증명
|전략| n=k(k¾4)일 때 주어진 부등식의 양변에 2를 곱하여 n=k+1일 때
도 부등식이 성립함을 보인다.
Û n=k(k¾4)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면
…… ㉡
2û`¾kÛ`
㉡의 양변에 2를 곱하면 2k+1¾2kÛ`
그런데 k¾4이면
kÛ`-2k-1= ㈎ (k-1)Û` -2>0
이므로 kÛ`>2k+1
∴ 2k+1 ¾2kÛ`=kÛ`+kÛ`
>kÛ`+2k+1= ㈏ (k+1)Û`
따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.
④
|전략| 주어진 조건에 의하여 음이 아닌 정수 a, b에 대하여 p(3`´4º`)은 참임을
1364
주어진 조건에 의하여 음이 아닌 정수 a, b에 대하여 p(3`´4º`)은 참
1361
유형 12 수학적 귀납법
이용한다.
이다.
① p(120)=p(2´3´4´5)
② p(130)=p(2´5´13)
③ p(144)=p(3Û`´4Û`)
④ p(216)=p(2´3Ü`´4)
⑤ p(288)=p(2´3Û`´4Û`)
따라서 반드시 참인 명제는 ③ p(144)이다.
③
p(1)이 참이면 p(3´1), 즉 p(3)이 참이다.
p(3)이 참이면 p(3´3), 즉 `p(9)가 참이다.
p(9)가 참이면 p(4´9), 즉 p(36)이 참이다.
p(36)이 참이면 p(4´36), 즉 p(144)가 참이다.
유형 05 an+1=paÇ+q(p+1, pq+0) 꼴로 정의된 수열
|전략| 주어진 관계식을 an+1-a=p(aÇ-a) 꼴로 변형한다.
an+1=2an+2에서 an+1+2=2(an+2)
수열 {an+2}는 첫째항이 aÁ+2=5이고 공비가 2인 등비수열이므로
an+2=5´2n-1
∴ an=5´2n-1-2
ak+1-aû=160에서
(5´2û`-2)-(5´2k-1-2)=160
5´2k-1=160, 2k-1=32=2Þ`, k-1=5
∴ k=6
… ❷
… ❶
… ❸
채점 기준
❶ 수열 {aÇ+2}의 일반항을 구할 수 있다.
❷ 수열 {aÇ}의 일반항을 구할 수 있다.
❸ k의 값을 구할 수 있다.
6
배점
3점
1점
2점
10 수학적 귀납법 | 173
172 | III . 수열
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10ㅡ수학적귀납법³
1365
유형 11 수열의 귀납적 정의의 활용
|전략| aÇ과 an+1 사이의 관계식을 구한다.
n개의 원이 그려진 평면에 조건에 알맞은 1개의 원을 추가하면 이 원
은 기존의 n개의 원과 각각 2개의 점에서 만나므로 2n개의 새로운 교
점이 생긴다. 즉, (n+1)개의 원의 교점은 n개의 원의 교점보다 2n
채점 기준
⑴ n=1일 때, 주어진 등식이 성립함을 보일 수 있다.
⑵ n=k일 때 주어진 등식이 성립한다고 가정하고, n=k+1일 때도 등식
이 성립함을 보일 수 있다.
배점
3점
7점
개가 많으므로
창의·융합 교과서 속 심화문제
an+1=aÇ+2n
이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면
… ❶
1367
aª=aÁ+2´1
a£=aª+2´2
a¢=a£+2´3
⋮
+
aÇ=an-1+2´(n-1)
>³
aÇ=aÁ+
0
∴ a10=10´9=90
nK-+1!
채점 기준
❶ aÇ과 an+1 사이의 관계식을 구할 수 있다.
❷ 수열 {aÇ}의 일반항을 구할 수 있다.
❸ a10의 값을 구할 수 있다.
2k=2´
(n-1)n
2 =n(n-1)
|전략| 주어진 두 등식을 더하고 빼서 수열 {aÇ+bÇ}, {aÇ-bÇ}의 일반항을 구
한다.
an+1=3aÇ+2bÇ
bn+1=2aÇ+3bÇ
㉠+㉡을 하면
…… ㉠
…… ㉡
… ❷
… ❸
90
배점
3점
3점
1점
an+1+bn+1=5(aÇ+bÇ)
따라서 수열 {aÇ+bÇ}은 첫째항이 aÁ+bÁ=5이고 공비가 5인 등비
수열이므로
aÇ+bÇ=5´5n-1=5Ç`
㉠-㉡을 하면
…… ㉢
an+1-bn+1=aÇ-bÇ
따라서 수열 {aÇ-bÇ}은 첫째항이 aÁ-bÁ=1이고 공비가 1인 등비
수열이므로
…… ㉣
1366
유형 13 수학적 귀납법을 이용한 등식의 증명
|전략| n=1일 때 주어진 등식이 성립함을 보인 다음 n=k일 때 주어진 등식이
성립한다고 가정하고 n=k+1일 때도 등식이 성립함을 보인다.
1
1´2
+ 1
2´3
+ 1
3´4
+ y + 1
n(n+1)
= n
n+1
yy ㉠
∴ aÁ¼+bÁÁ= 510+1
2
2
+ 511-1
2
=
510(1+5)
2
=3´510
3´510
aÇ-bÇ=1
㉢+㉣을 하면
2an=5Ç`+1
∴ an= 5Ç`+1
2
㉢-㉣을 하면
2bn=5Ç`-1
∴ bn= 5Ç`-1
1368
|전략| PÇPn+1Ó=aÇ으로 놓고 SÇ을 구한다.
PÇPn+1Ó=aÇ(n=1, 2, 3, y)이라 하면
Pn+1Pn+2Ó= n`
n+2
PnPn+1Ó에서 an+1= n
n+2
aÇ
yy ㉠
㉠의 n에 1, 2, 3, y , n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면
1
1´2
+ 1
2´3
+ 1
3´4
+ y + 1
k(k+1)
= k
k+1
yy ㉡
+
1
(k+1)(k+2)
⑴ n=1일 때,
(좌변)= 1
1´2
=
, (우변)= 1
1+1
;2!;
=
;2!;
따라서 n=1일 때 ㉠이 성립한다.
⑵ n=k일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면
㉡의 양변에
1
1´2
+ 1
2´3
을 더하면
1
(k+1)(k+2)
+ 1
3´4
+ y + 1
k(k+1)
= k
k+1
+
1
(k+1)(k+2)
= kÛ`+2k+1
(k+1)(k+2)
=
(k+1)Û`
(k+1)(k+2)
= k+1
k+2
따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.
174 | III . 수열
aª=
aÁ
;3!;
a£=
aª
;4@;
a¢=
a£
;5#;
⋮
an-1= n-2
n an-2
_
aÇ=
n-1
n+1 an-1
⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
aÇ=
´
´
;3!;
;4@;
;5#;
´y ´ n-2
n
´ n-1
n+1
´aÁ=
2
n(n+1)
aÁ
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10 수학적 귀납법 | 175
정답과 해설;
³
이때, aÁ=PÁPªÓ=1이므로
aÇ= 2
n(n+1)
∴ SÇ=
´aÇ´1=
;2!;
´
;2!;
2
n(n+1)
´1
= 1
n(n+1)
50
∴
SÇ=
50
1
n(n+1)
50
=
{;n!;-
1
n+1 }
;N+!
=
;N+!
1-
{
+
;2!;}
{;2!;
;N+!
;3!;}
-
+ y +
-
{;5Á0;
;5Á1;}
=1-
=
;5Á1;
;5%1);
따라서 p=51, q=50이므로
p+q=101
1370
|전략| 주어진 과정을 따라가면서 빈칸에 알맞은 식을 추론한다.
n¾2인 자연수 n에 대하여 an+1=Sn+1-SÇ이므로 주어진 식
∴ Sn+1=
+2nSn(n¾2)
yy ㉠
an+1=
+(2n-1)SÇ으로부터
SÇÛ`
Sn-1
Sn+1-Sn=
+(2n-1)Sn
SÇÛ`
Sn-1
SÇÛ`
Sn-1
㉠의 양변을 Sn으로 나누면
Sn+1
Sn
SÇ
Sn-1
+2n
=
bÇ=
Sn+1
Sn
로 놓으면
101
SÁ=aÁ=1, Sª=aÁ+aª=1+1=2이므로
bÁ=
=2, bÇ=bn-1+2n(n¾2)
yy ㉡
Sª
SÁ
㉡의 n에 2, 3, 4, y, n을 차례로 대입하여 변끼리 더하면
1369
|전략| 제품 PÇ을 한 개 만드는 데 필요한 비용을 aÇ으로 놓고 aÇ과 an+1 사이의
관계식을 세운다.
제품 PÇ을 한 개 만드는 데 필요한 비용을 aÇ(n=1, 2, 3, y)이라
하면
bª=bÁ+2´2
b£=bª+2´3
b¢=b£+2´4
⋮
aÁ=1, an+1=3aÇ+2Ç`
an+1=3aÇ+2Ç`의 양변을 3n+1으로 나누면
an+1
3n+1 =
an
3n =bÇ으로 놓으면
3n + 2Ç`
3n+1
이때,
an
bn+1=bÇ+
´
;3!;
{;3@;}
Ç`
bª=bÁ+
´
;3!;
;3@;
b£=bª+
´
Û`
{;3@;}
;3!;
b¢=b£+
´
;3!;
{;3@;}
Ü`
⋮
+
bÇ=bn-1+
´
;3!;
{;3@;}
n-1
bÇ=bÁ+
k
´
;3!;
{;3@;}
nK-+1!
=
aÁ
3
+
´
;3!;
n-1
1-
;3@;[
{;3@;}
]
1-
;3@;
=
+
;3!;
;3@;
-
Ç`
{;3@;}
=1-
Ç`
{;3@;}
이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면
+
>³
bÇ=bn-1+2n
bÇ =bÁ+2´2+2´3+2´4+ y +2n
2
=2(1+2+3+4+ y +n)
=2´
n(n+1)
2
=n(n+1)(n¾2)
yy ㉢
이때, bÁ=2는 ㉢에 n=1을 대입한 것과 같으므로
Sn+1=bÇSÇ ∴ Sn+1=n(n+1)´SÇ
㉣의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면
yy ㉣
bÇ= ㈎ n ´(n+1)(n¾1)
bÇ=
Sn+1
SÇ
에서
Sª=1´2´SÁ
S£=2´3´Sª
S¢=3´4´S£
⋮
_
>³
SÇ=(n-1)´n´Sn-1
SÇ =SÁ´1´2Û`´3Û`´4Û`´ y ´(n-1)Û`´n
= ㈎ n ´{(n-1)!}Û`(n¾1)
SÁ=aÁ=1
따라서 aÁ=1이고, n¾2일 때
aÇ =SÇ-Sn-1
=n{(n-1)!}Û`-(n-1){(n-2)!}Û`
={n(n-1)Û`-(n-1)}´{(n-2)!}Û`
=[(n-1){n(n-1)-1}]´{(n-2)!}Û`
= ㈏ (n-1)(nÛ`-n-1) ´{(n-2)!}Û`
∴ aÇ=3Ç`´bÇ=3Ç`-2Ç`
따라서 제품 P10을 한 개 만드는 데 필요한 비용은
a10=310-210
따라서 f(n)=n, g(n)=(n-1)(nÛ`-n-1)이므로
f(10)+g(6) =10+(6-1)(6Û`-6-1)
310-210
=10+5´29=155
④
174 | III . 수열
10 수학적 귀납법 | 175
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10ㅡ수학적귀납법³
;
Memo
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