. . .
.
. . .
개념에 강한
짧지만
짤강 고등수학 Ⅰ
정답과 해설
01 지수
02 로그
03 지수함수와 로그함수
04 지수함수와 로그함수의 활용
05 삼각함수
06 삼각함수의 그래프
07 사인법칙과 코사인법칙
08 등차수열
09 등비수열
10 수열의 합
11 수학적 귀납법
02
05
09
13
19
23
31
36
41
47
52
01 지수
&
기초 개념 피드백 TEST
1-1 ⑴ -6 ⑵ 5, 7
1-2 ⑴ 92=81, (-9)2=81이므로
81의 제곱근은 9, -9이다.
⑵ 122=144, (-12)2=144이므로
144의 제곱근은 12, -12이다.
⑶
{
2
=
3
10 }
9
100
,
{-
2
=
3
10 }
9
100
이므로
의 제곱근은
, -
3
10
3
10
이다.
9
100
⑷ (0.8)2=0.64, (-0.8)2=0.64이므로
0.64의 제곱근은 0.8, -0.8이다.
2-1 ⑴ 2, 3 ⑵ 50
2-2 ⑴
'
2_
10Ö
'
5
'
='
2_10Ö
5
'
=
20
5
'
'
='
4=2
6
6
'
'
'
_
=
2_
24Ö
⑵
24
'
2
'
72=6'2
='
12
3
6
5 =
⑶
12
3
18
15
'
_ '
'
'
Ö '
'
18
15
_ '
'
12
'
3
=
5
6
_ '
'
=4'3
3
'
12
3
'
=
12_
6
'
='
⑷
¾;2%;
Ö
¾Ð
10
3
_
¾Ð
14
3 =¾;2%;
_
¾Ð
3
10
_
¾Ð
14
3
=¾Ð;2%;
=¾;2&; =
_ 3
10
_ 14
3
'
14
2
3-1 ⑴ 1, 3 ⑵ 9, b
3-2 ⑴ a2b5_3ab3=3a2+1b5+3=3a3b8
⑵ (ab)5_
=a5b5_
3
{;bA;}
a3
b3 =a5+3b5-3=a8b2
⑶ 4a4b3Ö2a2b2=2a4-2b3-2=2a2b
⑷ (a2b)5Ö(a3b3)3=a10b5Öa9b9
a
b4
a10-9
b9-5 =
=
따라서 1의 세제곱근은
1,
3i
-1Ñ
2
'
본문 | 009쪽
⑵ -1의 세제곱근을 x라 하면
x3=-1, x3+1=0, (x+1)(x2-x+1)=0
∴ x=-1 또는 x
1Ñ
'
2
따라서 -1의 세제곱근은
=
3i
-1,
3i
1Ñ
'
2
⑶ 27의 세제곱근을 x라 하면
x3=27, x3-27=0, (x-3)(x2+3x+9)=0
-3Ñ3
3i
∴ x=3 또는 x
2
따라서 27의 세제곱근은
=
'
3,
-3Ñ3
3i
'
2
⑷ -27의 세제곱근을 x라 하면
x3=-27, x3+27=0, (x+3)(x2-3x+9)=0
3Ñ3
2
따라서 -27의 세제곱근은
∴ x=-3 또는 x
=
3i
'
-3,
3i
3Ñ3
2
'
2-1 2i, 2i
2-2 ⑴ 1의 네제곱근을 x라 하면
x4=1, x4-1=0
(x2-1)(x2+1)=0
∴ x
Ñ1 또는 x
Ñi
=
=
따라서 1의 네제곱근은 Ñ1, Ñi
⑵ 4의 네제곱근을 x라 하면
x4=4, x4-4=0
(x2-2)(x2+2)=0
2 또는 x
Ñ'
∴ x
=
'
따라서 4의 네제곱근은 Ñ
=
Ñ
2i
2, Ñ
2i
'
'
⑶ 81의 네제곱근을 x라 하면
x4=81, x4-81=0
(x2-9)(x2+9)=0
∴ x
Ñ3 또는 x
Ñ3i
=
=
따라서 81의 네제곱근은 Ñ3, Ñ3i
본문 | 010~014쪽
1-1 ⑴ 2, -1, 2, -1 ⑵ -2, 1, -2, 1
1-2 ⑴ 1의 세제곱근을 x라 하면
x3=1, x3-1=0, (x-1)(x2+x+1)=0
∴ x=1 또는 x
3i
-1Ñ
2
'
=
02 ⦁ 정답과 해설
3-1 ⑴ 2 ⑵ -2 ⑶ 2, -2 ⑷ 없다
3-2 ⑴ 64의 세제곱근 중에서 실수인 것은 4이므로
64=4
⑵ -64의 세제곱근 중에서 실수인 것은 -4이므로
-64=-4
3
'
3
'
⑶ 81의 네제곱근 중에서 실수인 것은 3, -3이므로
81=3, -4
4
'
'
81=-3
⑷ -81의 네제곱근 중에서 실수인 것은 없다.
4-1 ⑴ 5 ⑵ -4
4-2 ⑴ -125의 세제곱근 중에서 실수인 것은
-125=-5
⑵ 256의 네제곱근 중에서 양의 실수인 것은
⑶ 32의 다섯제곱근 중에서 실수인 것은
3
'
4
'
5
'
256=4
32=2
-6
'
64=-2
⑷ 64의 여섯제곱근 중에서 음의 실수인 것은
5-1 ⑴ 3 ⑵ 2, 9 ⑶ 6, 2 ⑷ 4, 2
5-2 ⑴ 3
8=3
2_4=3
4=3
2_3
2Ü`=2
"
'
'Ä
'
'
212=4
(2Û`)6=4
4ß`=4
⑵ (4
4)ß`=4
23_4=2Ü`=8
'
"Ã
"Ã
"Ã
"
3
4
724=12
'724=4_3
⑶
"
"Ã
"Ã
3
16
8=3
'
"
3
2
'
72_12=7Û`=49
⑷
=3
'
2Ü`=2
¾Ð:Á2¤:
3
=
6-1 ⑴ 2, 4 ⑵ 4, 0
48+3 4
6-2 ⑴ 2 4
'
'
3
16_3+3 4
3 =2 4
'
'
24_3+3 4
=2 4
3
'
"
3+3 4
=2 4
24_4
"
'
'
=4 4
3+3 4
3=7 4
'
'
'
81_3-2 4
48 =3 4
243-2 4
⑵ 3 4
16_3
'
'
'
'
81_4
=3 4
16_4
3-2 4
'
'
'
'
3-2 4
=3 4
24_4
34_4
3
"
'
"
'
3-4 4
=9 4
3=5 4
'
'
'
3
3
3
3
7-1 ⑴ 1 ⑵ 1 ⑶ 4, 16 ⑷ 3
7-2 ⑴ 30=1
⑵ (
'
⑶ 8-2
7)0=1
1
82 =
=
1
64
⑷ (-3)-3
1
=
(-3)3 =-;2Á7;
8-1 ⑴ -1, 3 ⑵ 2, 25 ⑶ 6 ⑷ 8, 12
8-2 ⑴ 76_7-4=76+(-4)=72=49
⑵ (32)-3Ö3-3=3-6Ö3-3=3-6-(-3)=3-3=
;2Á7;
⑶ (a5Öa8)-5=(a5-8)-5=(a-3)-5=a15
⑷ (a2b-4)-3=a2_(-3)b-4_(-3)=a-6b12= bÚ`Û`
aß`
9-2 ⑴ 5
a9=a;5(;
"
a-5=a-
⑵ 4
"
3
a2
⑶ a;3@;
"
4
a-3
"
=
⑷ a-;4#;
=
;4%;
'
10-1 ⑴ 4 ⑵
'
2_2'
10-2 ⑴ 23
3, 2
'
50 =23
=23
625=6
25Ö3
⑵ 6
"
'
'
'
'
3 ⑶ 3, 8 ⑷ 3, 2, 4
2_25
'
2
2=28
'
2
2+5
'
54=5;6@;Ö5;3$;
52Ö3
"
=5;3!;-;3$;=5-1=
;5!;
⑶ (4'
6)
1
3=4'
'
6_
1
3=4'
'
2
⑷ (16_25);4#;=(24_52);4#;=24_
;4#;_52_
;4#;
=23_5;2#;=8_5;2#;
집중 연습
본문 | 015~017쪽
1 ⑴ 3
43=4
64=3
4_16=3
16=3
4_3
'
"
'
'§
'
81=3
⑵ 3
33=3
32=3
3_3
34=3
3_6
3
3_"
'
"
"
'
"
'
'
(-2)3=-2
⑶ 3
-8=3
'
"Ã
34=3
(-9)2=4
⑷ 4
"
"
8)2=6
82=6
⑸ (6
26=2
'
"
"
⑹ 3
512=52=25
"'512``=6
"
5
⑺ 3
830=82=64
'830``=15
"
"
4
32
4
32
=
'§
4
2
2
'
9Ö3
'
9Ö3
'
24=2
16=4
"
'
81=3
32Ö3
'
'
1
3
3
3
=
27
81
⑼ 6
'
⑼ 6
'
¾Ð
81=6
"
3
3Ö3
'
¾Ð{;3!;}
⑻
81
3
81=
=4
=
=
;3!;
¾Ð
¾Ð
162_(3
⑽ 4
'
"
3)6Ö"
64 =4
3
'
26
36Ö6
44_3
"
"
"
=4_32Ö2=18
2
8_2+3
54 =3
16+3
⑾ 3
27_2
'
'
'
'
33_2
=3
23_2+3
"
"
=3
33_3
2+3
23_3
'
"
'
"
2+3 3
=2 3
2=5 3
2
'
'
'
27_2-3
250 =3
54-3
⑿ 3
125_2
'
'
'
'
=3
53_2
33_2-3
"
"
53_3
2-3
33_3
=3
'
'
"
"
2-5 3
=3 3
2=-2 3
'
'
'
2
2
2 ⑴ a6_a-4=a6-4=a2
⑵ a6Öa-3=a6+3=a9
⑶ (a-4)-3=a(-4)_(-3)=a12
9-1 ⑴ 2 ⑵ 6 ⑶ a ⑷ -4
⑷ (2-3_32)-2=2(-3)_(-2)_32_(-2)=26_3-4=
;8^1$;
01. 지수 ⦁ 03
⑸ (a-2_b)-3=a(-2)_(-3)_b-3=a6_b-3
aß`
bÜ`
=
⑹ (a-1)-2_a-3=a2_a-3=a-1
1
a
=
기초 개념
가평
본문 | 018, 019쪽
01 제곱근, 세제곱근
02 n제곱근
=34-4_210-6=30_24=16
기초 문제
가평
본문 | 020, 021쪽
3 ⑴ 63_22Ö33 =(2_3)3_22Ö33=23_33_22Ö33
=23+2_33-3=25_30=32
⑵ a3_a-4Öa-5=a3-4-(-5)=a4
a15
a5
b2 }
⑶ (a2b-3)2Ö
=a4b-6Ö
{
3
b6 =a4b-6_ b6
a15
3
⑼ (a2b-3)2Ö
=a4-15b-6+6=a-11=
}
⑷ (-2a2b4)3Ö6a5b2=-8a6b12Ö6a5b2
{
1
aÚ`Ú`
⑽ (-2a2b4)3Ö6a5b2=-
a6-5b12-2
;3$;
3
}
3
}
{
{
{
⑽ (-2a2b4)3Ö6a5b2
⑸ (a2b3)4Ö(a4b3)2_
-
=
ab10
;3$;
=a8b12Öa8b6_ a3
3
b9
a
b3 }
⑾ (a2b3)4Ö(a4b3)2_
=a8-8+3b12-6-9
⑾ (a2b3)4Ö(a4b3)2_
=a3b-3=
aÜ`
bÜ`
⑹ 92Ö43_(2-5_32)-2 =34Ö26_210_3-4
⑶
a3=a;4#;
4 ⑴ 4
"
1
5
a-2=a-;5@;
a2 =5
⑵
"
¾Ð
1
a-2 =
3
"
a3
8
a5 =
"
6
"
"a'a5=
3
⑸
1
a-
⑷
=a;3@;
3
¾Ða_a;2%;=
a;8#;
a;6%;
;3@;
=a;8#;-;6%;=a-;2!4!;
3
¾Ða;2&;=(a;2&;);3!;=a;6&;
3
⑹
"a 4
'a=
3
¾Ða_a;4!;=
3
¾Ða;4%;=(a;4%;);3!;=a;1°2;
5 ⑴ 2-
⑵ 3'
;3!;_4;3@;=2-
2+2Ö3'
2-1=3'
;3!;_2;3$;=2-
2+2-(
'
+
;3!;
;3$;=2
2-1)=3Ü`=27
⑶ (
8)-
;3$;=(
23)-
"
;3$;=(2;2#;)-
;3$;
⑶ (
8)-
;3$;=2;2#;_{-;3$;}=2-2=
'
'
⑷ (2;2#;_3-0.5)
=26_3-2=
4
;4!;
64
9
⑸
3
;2%;
¾;9$; }
]
[{
-;5#;
=
2`
3
¾Ð{;3@;}
;2%;
]
}
[{
-;5#;
⑸
;2%;
3
¾;9$; }
]
[{
-;5#;
=
;3@;_;2%;
]
-;5#;
=
[{;3@;}
[{;3@;}
-;5#;
;3%;
]
⑸
;2%;
3
¾;9$; }
]
[{
-;5#;
=
{;3@;}
-1
=
;2#;
a4b3=a2b;4#;Ö(aÛ`b;2#;);2!;=a2b;4#;Öab;4#;=a
a8b3Ö""
⑹ 4
"
04 ⦁ 정답과 해설
03 거듭제곱근
05 n
'
a
07 a=0
09 a
11
;bA;
13 mn
15 2
17 6
19 2
21 4
04 실근
06 a>0
08 a<0
10 ab
12 m
14 n
16 7
18 12, 6
20 2
22 3
1 ⑤ 81의 음수인 네제곱근은 -4
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
'§
81로 나타낸다.
2 5
(-2)5=-2
-32=5
"Ã
'§
-2의 세제곱근은 3개이고, 그 중 실수인 것은 3
'§
다.
∴ m=3, n=1
-2의 1개이
3_3
3 ① 3
33=3
27=3
9=3
'
'
"
'§
② (3
56=52=25
5)6=3
"
'
25-4
25_3
(25Û`)-4=3
25_6
625-4 =3
25_6
③ 3
'
"Ã
'
"Ã
'
"Ã
25-3=25-1=
625-4 =3
25+6
③ 3
'
"Ã
"Ã
34_3
3=6
81_3
3
④ "
'
'
'
"
210=2Ö22=
26Ö5
322=6
64Ö5
⑤ 3
"
"
"
;2Á5;
33=3
3=3
"
32_3
3=3
'
"
"'
;2!;
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
-8+3
4 ⑴ 3
'
'
2_3
'
4+"
26
2Ü`+6
(-2)Ü`+3
64 =3
3
"
"
"Ã
'
=-2+2+2=2
72=
34_3
21Ö3
⑵ 3
"
"
'
¾Ð
3
21_72
3
34 =
¾Ð
3
73
33 =
3
=
¾Ð{;3&;}
;3&;
5 ① a5a-5=a0=1
② (a-2)-4=a(-2)_(-4)=a8
③ (a-1b2)-3=a3b-6
a3
b6
=
④ (-a)-2Öb-2=a-2Öb-2=a-2_ 1
b-2
=a-2_b2=
2
{;aB;}
⑤ a-6b9Ö(ab2)2=a-6b9Öa2b4=a-8b5=
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
b5
a8
6 3a_3b
1
81
=
∴ a+b=-4
에서 3a+b=3-4
7 a=4
'
∴ 9;4#;
27
3;4#;
=
(3Û`);4#;=(3;4#;)2=a2
=
따라서 9;4#;과 같은 것은 ④이다.
8 3
'
a;3!;
ak 에서
="a
a
"
=¾Ða_a;2K;, a;3!;
=¾Ða
k+2
2 , a;3!;
k+2
4
a
=
이므로 3k+6=4, 3k=-2``
;3!;=
k+2
4
∴ k=-
;3@;
9 x;2!;+x-
(x;2!;+x-
1
x =7
∴ x+
;2!;=3의 양변을 제곱하면
;2!;)2=9에서 x+x-1+2=9, x+x-1=7
10 3;2!;_3mÖ3;6!;=1에서 3;2!;
즉, 3m+
;3!;=1이므로 m+
+m-
;6!;=1
=0`````````
;3!;
∴ m=-
;3!;
11 ⑴ a;3@;_a;4#;Öa-
7
12 =a;3@;+;4#;-{-
7
12 }=a;1@2$;=a2
⑵ (a;3%;b;2!;)
Ö(a;4#;)
6
12
=a10b3Öa9=a10-9b3=ab3
⑴ 2'
2+2_2'
2-1Ö4'
2+1 =2-1=
⑵ (2'
⑵ (2'
2)2-
2)2-
'
'
2Ö(22+
2Ö(22+
'
'
2)'
2)'
2=22
2=22
'
'
;2!;
2-2Ö22
2+2
'
2-2-(2
2+2)
'
⑵ (2'
2)2-
'
2Ö(22+
'
2)'
2 =2-4=
;1Á6;
13 2a=5, 3b=25이므로
25aÖ33b
=
25aÖ33b =55Ö56=5-1
(2a)5Ö(3b)3=55Ö253
=;5!;
02 로그
1-1 ⑴ 81 ⑵ 16
1-2 ⑴ 2-3=
;8!; HjK
-3=log2`;8!;
⑵ log3`'
3=
;2!; HjK
3;2!;='
3
본문 | 022~025쪽
2-1 ⑴ 3, 3 ⑵ -3, -3
2-2 ⑴ log2`16=x로 놓으면 2x=16
2x=24에서 x=4
따라서 log2`16=4이다.
⑵ log4`;6Á4;
=x로 놓으면 4x=
;6Á4;
22x=2-6에서 2x=-6
∴ x=-3
따라서 log4`;6Á4;
=-3이다.
⑶ log
;3!;
`9=x로 놓으면
x
=9
{;3!;}
3-x=32에서 -x=2
∴ x=-2
따라서 log
;3!;
`9=-2이다.
⑷ log0.1`100=x로 놓으면 (0.1)x=100
10-x=102에서 -x=2
따라서 log0.1`100=-2이다.
∴ x=-2
3-1 ⑴ 16, 4, 4 ⑵ 36, -1
3-2 ⑴ log5`'¶
125=log5`"
⑵ log2`3
2-log2`3=log2`
'
'
3
=log2`'
2
53=log5`5;2#;=;2#;
2
3
=log2`2;2!;=;2!;`
=log2`;3$;
+log2`12
_12
=log2`{;3$;
=log2`16=log2`24=4
}
⑷ 4 log5`'¶
15-
log5`27=4 log5`15;2!;-
;3@;
log5`33
;3@;
=2 log5`15-2 log5`3
=2(log5`15-log5`3)
=2 log5`:Á3°:
=2 log5`5=2
02. 로그 ⦁ 05
12 ⑴ 2'
2+2_2'
2-1Ö4'
2+2_2'
2-1Ö22(
'
2+1)
2+1 =2'
=2'
2+2+
2-1-(2
2+2)
'
'
⑶ log2`;3$;
+2 log2`'¶
12=log2`;3$;
+log2(
12 )2
'¶
4-1 ⑴ 3, 2 ⑵ 2, 3, 2
4-2 ⑴ log10`30 =log10`(3_10)=log10`3+log10`10
=b+1
⑵ log10`;5^;
=log10`;1!0@;
=log10`22
=log10`(22_3)-log10`10
`+log10`3-1=2a+b-1
⑶ log10`;5@0&;
=log10`(2_33)-log10`102
=log10`;1°0¢0;
=log10`2+log10`33-2=a+3b-2
⑷ log10`0.036=log10`;10#0^0;
=log10`62-log10`103
=2 log10`(2_3)-3
=2(log10`2+log10`3)-3
=2a+2b-3
5-1 ⑴ 5 ⑵ 2, 2
5-2 ⑴ log27`;8Á1;
=
log3`;8Á1;
log3`27
=
log3`3-4
log3`33 =-;3$;
⑵ log3`4_log4`3=log3`4_
1
log3`4
=1
⑶ log3`5_log5`'
3=
_log5`3;2!;=;2!;
1
log5`3
⑷ log27`4_log8`5_log5`3=
log3`4
log3`27
_
log3`5
log3`8
_
1
log3`5
=
log3`22
log3`33_log3`23
=
2`log3`2
3_3`log3`2
=;9@;
6-1 ⑴ 2, 2b ⑵ 2, 10, a
6-2 ⑴ log3`16=
log10`16
log10`3
=
log10`24
log10`3
=
4 log10`2
log10`3
=
4a
b
log10`3
log10`:Á2¼:
b
1-a
=
⑵ log5`3=
log10`3
log10`5
=
=
log10`3
1-log10`2
⑶ log3`'
8=log3`2;2#;=
=
;2#;
_
;2#;`log3`2
3a
2b
=
log10`2
log10`3
⑷ log2`'¶
12=log2`12;2!;=
;2!;`log2`12
=
;2!;
_
log10`12
log10`2
=
log10`(22_3)
2 log10`2
=
log10`22+log10`3
2 log10`2
=
2a+b
2a
06 ⦁ 정답과 해설
7-1 ⑴ ;2!; ⑵ -1, -1
7-2 ⑴ log`1000=log`103=3
⑵ log`3
"
104=log`10;3$;=;3$;
⑶ log`10
10=log`10;2#;=;2#;
⑷ log`0.01=log`10-2=-2
'¶
8-1 ⑴ 2, 2.5092 ⑵ -1, -0.4908
8-2 ⑴ log`236 =log`(102_2.36)=log`102+log`2.36
=2+0.3729=2.3729
⑵ log`23600 =log`(104_2.36)=log`104+log`2.36
⑶ log`23.6 =log`(10_2.36)=log`10+log`2.36
=4+0.3729=4.3729
=1+0.3729=1.3729
⑷ log`0.236 =log`(10-1_2.36)=log`10-1+log`2.36
=-1+0.3729=-0.6271
집중 연습
본문 | 026, 027쪽
1 ⑴ log10`
=log10`
1
0.001
3
'¶
1
10-3 =log10`
3
"
1
10-1
=log10`10=1
⑵ log10`;1Á0;
+log10`100=log10`{;1Á0;
_100
=log10`10=1
}
2
⑶ log3`12+2 log3`;2(;
=log3`12+log3`{;2(;}
⑷ log3`'¶
27-log3`
1
3
'
=log3`{
12_
:¥4Á:}
=log3`35=5
27+log3`'
3
27_
=log3`'¶
=log3`(
=log3`9=log3`32=2
'¶
'
3)=log3`'¶
81
⑸ 2 log2`12-log2`18=log2`122-log2`18=log2`
122
18
⑹ 2 log5`'
=log5`(
=log2`8=log2`23=3
5+3 log5`2-6 log5`'
2
5)2+log5`23-log5`(
'
2)6
'
=log5`5+log5`8-log5`8=1
2 ⑴ log5`6=log5`(2_3)=log5`2+log5`3=a+b
⑵ log5`12=log5`(22_3)=log5`22+log5`3=2a+b
⑶ log5`30=log5`(2_3_5)=log5`2+log5`3+log5`5
=a+b+1
⑷ log5`:Á5¥:
:Á5¥:
⑸ log5`:ª2¦:
100
9
⑹ log5`
=log5`18-log5`5=log5`(2_32)-1
=log5`2+log5`32-1=a+2b-1
=log5`27-log5`2=log5`33-log5`2=-a+3b
=log5`100-log5`9=log5`102-log5`32
=2(log5`2+log5`5)-2 log5`3=2a-2b+2
3 ⑴ log100`'¶
10=log10Û`
`10;2!;=
`log10`10=
log10`10=;4!;
;4!;
;2!;
2
⑵ log3`5_log5`9=
_log5`32=2
1
log5`3
⑶ log9`2_log8`9=log9`2_
1
log9`8
1
=log9`2_
log9`23 =;3!;
⑷ log2`5_log5`7_log7`8=log2`5_
log2`7
log2`5
_
log2`8
log2`7
⑸ log3`2_log8`0.2_log5`9=
=log2`8=log2`23=3
1
log2`3
_
log2`0.2
log2`8
_
log2`9
log2`5
=
1
log2`3
_
log2
`;5!;
log2`23 _
log2`32
log2`5
=
1
log2`3
_
log2`5-1
3
_
2 log2`3
log2`5
=-;3@;
⑹ log4`48+log
;2!;
`
'
3=log2Û``(24_3)+log2ÑÚ``3;2!;
=
;2!;`log2`(24_3)-
;2!;`log2`3
=
;2!;
(4+log2`3)-
;2!;`log2`3=2
4 ⑴ log2`6=
log10`6
log10`2
=
log10`2+log10`3
log10`2
=
a+b
a
⑵ log2`24=
log10`24
log10`2
=
log10`23+log10`3
log10`2
=
3a+b
a
⑶ log6`9=
log10`9
log10`6
=
log10`32
log10`2+log10`3
=
2b
a+b
⑷ log4`'
3=
log10`'
3
log10`4
=
log10`3;2!;
log10`22 =
b
;2!;
2a
=
b
4a
⑸ log9`18=
log10`18
log10`9
=
log10`2+log10`32
log10`32 =
a+2b
2b
⑹ log5`50=
log10`50
log10`5
=
log10`2+log10`5Û`
log10`5
⑹ log5`50=
log10`2+2(1-log10`2)
1-log10`2
=
2-a
1-a
기초 개념
가평
본문 | 028, 029쪽
01 a>0
02 밑, 로그, 진수
03 3
05 4
07 0, a
09 -
11 1, 1, 5
13 -3, 3
15 밑
17 가로줄, 세로줄
04 -5
06 '
08 +
5
10 k
12 8, 3, 3, 3
14 10, 10
16 0.01, 넷째
본문 | 030, 031쪽
기초 문제
가평
1 ① 35=243
② 50=1
5=log3`243
HjK
0=log5`1
HjK
3)2=3
③ (
'
2=log
'
3`3
HjK
5
④ 5;2!;=
=log5`'
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
;2!;
HjK
'
5
2 loga`16=2에서 a2=16
이때 a>0, a+1이므로 a=4
log5`b=2에서 52=b이므로 b=25
∴ a=4, b=25
3 loga-1`(5-a)에서
Ú (밑)>0, (밑)+1이므로
a-1>0, a-1+1
∴ a>1, a+2
Û (진수)>0이므로
5-a>0
Ú, Û에서 1
4-2 ⑴
'
2=2;2!;, 7
'
8=7
"
2Ü`=2;7#;
함수 y=2x은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
이때
>
이므로 2;2!;>2;7#;
∴
;2!;
;7#;
128=4
2ß`=2Û`, 4
64=3
⑵ 3
"
'§
"
'§
함수 y=2x은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
2à`=2;4&;
'
2>7
'
8
이때 2>
이므로 2Û`>2;4&;
64>4
∴ 3
'§
'§
128
;4&;
4
⑶
{;3!;}
,
{;2Á7;}
2
=
6
{;3!;}
함수 y=
{;3!;}
x
은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
이때 4<6이므로
4
>
{;3!;}
{;3!;}
6
∴
4
>
2
{;2Á7;}
{;3!;}
(0.5)Û`=(0.5);3@;, 5
0.25=3
⑷ 3
'§
"
'§
0.5=(0.5);5!;
함수 y=(0.5)x은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
이므로 (0.5);3@;<(0.5);5!;
>
이때
;3@;
;5!;
0.25<5
∴ 3
'§
'§
0.5
5-1 2, 1, -1, 27
5-2 ⑴ 함수 y=3x+1은 (밑)>1이
므로 x의 값이 증가하면 y의
값도 증가한다.
최댓값은
x=1일 때 32=9
최솟값은
x=-2일 때 3-1=
;3!;
⑵ 함수 y=23x_2-x=22x=4x
은 (밑)>1이므로 x의 값이
증가하면 y의 값도 증가한다.
최댓값은
x=1일 때 41=4
최솟값은
x=-1일 때 4-1=
;4!;
y=3Å``±Ú
y=4Å
y
9
y
4
-2
;3!;
O 1
x
;4!;
-1
O
1
x
⑶ f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4라 하면
y=2 f(x)에서 (밑)>1이므로
f(x)의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
f(x)의 최댓값은 f(2)=4,
f(x)의 최솟값은 f(0)=0이므로
함수 y=2-xÛ`+4x에서
최댓값은
f(x)가 최대, 즉 f(2)=4일 때 24=16
최솟값은
f(x)가 최소, 즉 f(0)=0일 때 20=1
03. 지수함수와 로그함수 ⦁ 09
Å
Å
6-1 3, 2, 4
6-2 ⑴ 함수 y=
x+2
은
{;2!;}
0<(밑)<1이므로 x의 값이
증가하면 y의 값은 감소한다.
최댓값은
x=-3일 때
-1
=2
{;2!;}
최솟값은
x=0일 때
2
=
{;2!;}
;4!;
0<(밑)<1이므로 x의 값이
증가하면 y의 값은 감소한다.
최댓값은
x=-1일 때
-1
=
;3$;
{;4#;}
최솟값은
x=2일 때
2
=
{;4#;}
;1»6;
⑵ 함수 y=3x_2-2x=
x
은
{;4#;}
Å`
y=
{;4#;}
y
⑶ f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2라 하면
f(x)
y=
{;3!;}
에서 0<(밑)<1이므로
f(x)의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
f(x)의 최댓값은 f(-3)=2,
f(x)의 최솟값은 f(-1)=-2이므로
xÛ`+2x-1
에서
함수 y=
{;3!;}
최댓값은
f(x)가 최소, 즉 f(-1)=-2일 때
-2
=9
{;3!;}
최솟값은
f(x)가 최대, 즉 f(-3)=2일 때
2
=
;9!;
{;3!;}
7-1 ⑴ 2, ○ ⑵ 0.5, ○ ⑶ _
7-2 ⑴ y=log5`x는 5를 밑으로 하는 로그함수이다. (○) `
⑵ y=log
`x는
을 밑으로 하는 로그함수이다. (○)
;3!;
;3!;
⑶ y=log3`2x=x`log3`2는 y=kx (k는 상수) 꼴이므로 로
그함수가 아니다. (_)
8-1 역함수, y=x
8-2 ⑴ 로그함수 y=log3`x는 지수
함수 y=3x의 역함수이므로
두 함수의 그래프는 직선
y=x에 대하여 대칭이다.
따라서 로그함수 y=log 3`x
의 그래프는 오른쪽 그림과
같다.
10 ⦁ 정답과 해설
y
3
1
y=3Å`
y=x
y=log£`x
O
1
3
x
⑵ 로그함수 y=log
`x는 지수
y=log
`x
;3!;
y=x
Å` ±Û
y=
{;2!;}
y
2
;4!;
-3
O
x
함수 y=
{;3!;}
;3!;
x
의 역함수이므
로 두 함수의 그래프는 직선
y=x에 대하여 대칭이다.
`x의
따라서 로그함수 y=log
;3!;
그래프는 오른쪽 그림과 같다.
;3$;
;1»6;
2
x
-1 O
9-1 -1, -1
9-2 ⑴ 함수 y=log2`x+1의 그래프
는 로그함수 y=log2`x의 그
래프를 y축의 방향으로 1만
큼 평행이동한 것이므로 오
른쪽 그림과 같고, 점근선은
y축이다.
y=
{;3!;}
1
x
y=logª`x+1
y=logª`x
1
2
x
y
1
O
y
2
1
O
y
1
⑵ 함수 y=-log2`x의 그래프
y=logª`x
는 로그함수 y=log2`x의 그
래프를 x축에 대하여 대칭이
동한 것이므로 오른쪽 그림
과 같고, 점근선은 y축이다.
1
2
x
O
-1
y=-logª`x
10-1 ⑴ < ⑵ >
10-2 ⑴ log2`5, 2`log2`3=log2`32=log2`9`
함수 y=log2`x는 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한
다.
다.
다.
이때 5<9이므로 log2`54이므로 log3`25>log3`4
∴ log3`25>log9`16
⑶ log
`4,
log
`5=log
;3!;
;2!;`
;3!;
5
`
'
;3!;
함수 y=log
`x는 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한
;3!;
이때 4>
5이므로 log
`44이므로 log0.2`101
이므로 x의 값이 증가하면 y
의 값도 증가한다.
최댓값은
x=9일 때 log3`9=2
최솟값은
x=3일 때 log3`3=1
⑵ 함수 y=log5`(x-2)+1은
(밑)>1이므로 x의 값이 증
가하면 y의 값도 증가한다.
최댓값은
x=127일 때
log5`125+1=4
최솟값은
y
y
4
2
2
1
O 1
3
y=log£`x
9
x
O 2
7
127
x
x=7일 때 log5`5+1=2
⑶ f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1이라 하면
y=log2`f(x)에서 (밑)>1이므로
f(x)의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
f(x)의 최댓값은 f(1)=f(3)=2,
f(x)의 최솟값은 f(2)=1이므로
함수 y=log2`(x2-4x+5)에서
최댓값은
f(x)가 최대, 즉 f(1)=f(3)=2일 때 log2`2=1
최솟값은
f(x)가 최소, 즉 f(2)=1일 때 log2`1=0
12-1 1, 7, -3
12-2 ⑴ 함수 y=log
`x+1은
;2!;
0<(밑)<1이므로 x의 값
이 증가하면 y의 값은 감소
y
1
1
O
-1
4
x
y=log
`x+1
;2!;
y
O
-1
-3
4
x
y=log
`(x+5)-1
;3!;
x=4일 때 log
`4+1=-2+1=-1
x=1일 때 log
`1+1=1
한다.
최댓값은
최솟값은
⑵ 함수
;2!;
;2!;
y=log
`(x+5)-1
;3!;
은 0<(밑)<1이므
-4
로 x의 값이 증가하면
y의 값은 감소한다.
최댓값은
x=-4일 때 log
1-1=-1
;3!;`
최솟값은
x=4일 때 log
9-1=-2-1=-3
;3!;`
⑶ f(x)=xÛ`-2x+5=(x-1)Û`+4라 하면
y=log
f(x)에서 0<(밑)<1이므로
;2!;``
f(x)의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
f(x)의 최댓값은 f(3)=8,
f(x)의 최솟값은 f(1)=4이므로
함수 y=log
(xÛ`-2x+5)에서
;2!;`
최댓값은
f(x)가 최소, 즉 f(1)=4일 때 log
4=-2
f(x)가 최대, 즉 f(3)=8일 때 log
8=-3
;2!;`
;2!;`
y=log°`(x-2)+1
최솟값은
기초 개념
가평
본문 | 038, 039쪽
01 a>0
03 실수, 양
05 감소
02 a, 지수함수
04 증가
06 x축
07 최댓값, 최솟값
08 최솟값, 최댓값
09 일대일대응
10 x=loga`y, y=loga`x
11 양, 실수
13 감소
12 증가
14 y축
15 최댓값, 최솟값
16 최솟값, 최댓값
기초 문제
가평
본문 | 040, 041쪽
1 ③ f(x)=ax에서 0f(y)이다.
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
2 함수 y=
{;3!;}
x-2
+5의 그래프는 지수함수 y=
x
의 그래
{;3!;}
프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동
한 것이다.
y=
{;3!;}
x-2
y=
{;3!;}
x
의 그래프의 점근선은 x축, 즉 y=0이므로
+5의 그래프의 점근선은 직선 y=5이다.
03. 지수함수와 로그함수 ⦁ 11
3 함수 f(x)=ax+1-2의 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로
f(0)=a-2=1
∴ f(x)=3x+1-2
① f(1)=32-2=7이므로 점 (1, 6)은 함수 f(x)의 그래프
∴ a=3
8 함수 y=2x+a+3을 x에 대하여 나타내면
2x+a=y-3에서 x+a=log2`(y-3)
∴ x=log2`(y-3)-a
x와 y를 서로 바꾸면 역함수는
y=log2`(x-3)-a
a=-2, b=3
∴ a+b=1
yy㉠
위의 점이 아니다.
위의 점이다.
위의 점이 아니다.
위의 점이 아니다.
② f(1)=32-2=7이므로 점 (1, 7)은 함수 f(x)의 그래프
㉠이 y=log2`(x-b)+2와 같아야 하므로
③ f(2)=33-2=25이므로 점 (2, 1)은 함수 f(x)의 그래프
④ f(3)=34-2=79이므로 점 (3, 9)는 함수 f(x)의 그래프
x=-1이므로 a=-1
9 함수 y=log2`(x-a)+b의 그래프에서 점근선이 직선
∴ y=log2`(x+1)+b
yy㉠
⑤ f(3)=34-2=79이므로 점 (3, 11)은 함수 f(x)의 그래
㉠의 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로
프 위의 점이 아니다.
따라서 그래프 위의 점인 것은 ②이다.
2=log2`1+b
∴ b=2
∴ a+b=1
4 함수 f(x)=2x의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼 평행이동
그래프의 식은
10 로그함수 y=log2`x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한
-y=log2`x
∴ y=-log2`x
따라서 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 ③이다.
……㉡
11 y=log2`(2x-4)=log2`2(x-2)=log2`(x-2)+1이므
로 함수 y=log2`(2x-4)의 그래프는 로그함수 y=log2`x
의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼
평행이동한 것이다.
따라서 m=2, n=1이므로
m+n=2+1=3
12 f(x)=xÛ`-2x+3=(x-1)Û`+2라 하면
y=log3`f(x)에서 (밑)>1이므로
f(x)의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
f(x)의 최댓값은 f(3)=6,
f(x)의 최솟값은 f(1)=2이므로
함수 y=log3`(xÛ`-2x+3)에서
최댓값은
최솟값은
f(x)가 최대, 즉 f(3)=6일 때, M=log3`6
-xÛ`+8x+a
6 y=
{;2!;}
에서 f(x)=-xÛ`+8x+a라 하면
f(x)가 최소, 즉 f(1)=2일 때, m=log3`2
0<(밑)<1이므로 f(x)가 최대일 때, y는 최소이다.
∴ M-m=log3`6-log3`2=log3`3=1
한 그래프의 식은
y=2x-a
……㉠
또 함수 g(x)=2x-2+3의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼
평행이동한 그래프의 식은
y=2x-2+3+b
㉠과 ㉡의 그래프가 겹쳐지므로
2x-a=2x-2+3+b
∴ ab=2_(-3)=-6
∴ a=2, b=-3
5 A, B, C를 밑이 2인 거듭제곱의 꼴로 나타내면
A=2;2#;, B=2;3%;, C=(2-1)-
지수함수 y=2x은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
;4#;=2;4#;
>
>
이때
;3%;
∴ B>A>C
;2#;
;4#;
이므로 2;3%;>2;2#;>2;4#;
따라서 대소 관계를 바르게 나타낸 것은 ③이다.
f(x)=-xÛ`+8x+a=-(x-4)Û`+a+16
f(x)의 최댓값은 f(4)=a+16이고, y의 최솟값이 2이므로
a+16
a+16
-1
=2에서
=
{;2!;}
{;2!;}
즉, a+16=-1이므로 a=-17
{;2!;}
7 ② a>1일 때, x1f(x2)이다.
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
12 ⦁ 정답과 해설
04 지수함수와 로그함수의 활용
기초 개념 피드백 TEST
&
본문 | 043쪽
1-1 9, 3
1-2 ⑴ -x+3=3x-9에서 -x-3x=-9-3이므로
∴ x=3
-4x=-12
⑵ 6=9x-(2x+1)에서 6=7x-1이므로
-7x=-7
∴ x=1
2-1 2, 2
2-2 ⑴ x2=4x-4에서 x2-4x+4=0이므로
⑵ 9x2=4에서 9x2-4=0이므로
(x-2)2=0
∴ x=2
(3x+2)(3x-2)=0
∴ x=-
또는 x=
;3@;
;3@;
3-1 -2, 1
3-2 ⑴ -x-3-4
-2x<8
⑵ 2x+7É-4x-5에서 2x+4xÉ-5-7이므로
6xÉ-12
∴ xÉ-2
4-1 2, -2
4-2 ⑴ x2-2035
양변의 밑이 3으로 같고 1보다 크므로
∴ x>3
2x-1>5
⑶ 42x-3=(22)2x-3=24x-6이므로
주어진 부등식은 23x<24x-6
양변의 밑이 2로 같고 1보다 크므로
3x<4x-6
⑷ 9xÛ`+x=(32)xÛ`+x=32xÛ`+2x이므로
∴ x>6
주어진 부등식은 3x+3É32xÛ`+2x
양변의 밑이 3으로 같고 1보다 크므로
x+3É2x2+2x, 2x2+x-3¾0
(2x+3)(x-1)¾0
∴ xÉ-
또는 x¾1
;2#;
4-1 ⑴ 0.1, 3 ⑵
, -1
;7!;
x+2
4-2 ⑴
{;2!;}
<
;6Á4;
에서
=
;6Á4;
{;2!;}
6
이므로
주어진 부등식은
x+2
6
<
{;2!;}
{;2!;}
양변의 밑이
로 같고 1보다 작으므로
;2!;
x+2>6
∴ x>4
04. 지수함수와 로그함수의 활용 ⦁ 13
⑵
>0.25에서 0.25=
=
2
이므로
x
{;2!;}
주어진 부등식은
;4!;
x
>
{;2!;}
2
{;2!;}
{;2!;}
양변의 밑이
로 같고 1보다 작으므로
;2!;
x<2
2x-1
x+1
⑶
{;9!;}
{;2Á7;}
에서
É
=
2x-1
4x-2
x+1
3x+3
{;9!;}
{;3!;}
,
{;2Á7;}
4x-2
=
{;3!;}
3x+3
이므로
주어진 부등식은
{;3!;}
É
{;3!;}
양변의 밑이
로 같고 1보다 작으므로
;3!;
4x-2¾3x+3
2x
xÛ`-2
∴ x¾5
⑷
{;7!;}
{;4Á9;}
에서
{;4Á9;}
=
{;7!;}
2xÛ`-4
이므로
¾
xÛ`-2
주어진 부등식은
2x
¾
{;7!;}
{;7!;}
2xÛ`-4
양변의 밑이
로 같고 1보다 작으므로
;7!;
2xÉ2xÛ`-4, xÛ`-x-2¾0
(x+1)(x-2)¾0
∴ xÉ-1 또는 x¾2
5-1 2, 5, 5, 5
5-2 ⑴ (진수)>0에서 x>0
로그의 정의에 따라 x=4-2, x=
;1Á6;
이때 x=
은 진수 조건 x>0을 만족시키므로
;1Á6;
주어진 방정식의 해이다.
∴ x=
;1Á6;
⑵ (진수)>0에서 2x+1>0, 즉 x>-
로그의 정의에 따라 2x+1=3-1, x=-
;2!;
;3!;
이때 x=
은 진수 조건 x>-
을 만족시키므로
-;3!;
;2!;
주어진 방정식의 해이다.
∴ x=-
;3!;
⑶ (진수)>0에서 -2x+1>0, 즉 x<
로그의 정의에 따라 -2x+1=
-2x+1=27, x=-13
;2!;
-3
{;3!;}
;2!;
이때 x=-13은 진수 조건 x<
을 만족시키므로
주어진 방정식의 해이다.
∴ x=-13
14 ⦁ 정답과 해설
6-1 3x, 2, 2
6-2 ⑴ (진수)>0에서 2x-3>0, 즉 x>
;2#;
log10`(2x-3)=log10`7에서
로그함수의 성질에 따라 2x-3=7, x=5
이때 진수 조건 x>
에서 x=5
;2#;
⑵ (진수)>0에서 x+2>0, x>0, 즉 x>0
log2`(x+2)+log2`x=log2`x(x+2)이므로
log2`x(x+2)=3
로그의 정의에 따라 x(x+2)=23, x2+2x-8=0
(x+4)(x-2)=0, x=-4 또는 x=2
이때 진수 조건 x>0에서 x=2
⑶ (진수)>0에서 x-1>0, 3-x>0, 즉 10에서 2x-1>0, x+4>0, 즉
x>
;2!;
log3`(2x-1)>log3`(x+4)에서
양변의 밑이 3으로 같고 1보다 크므로
yy㉠
2x-1>x+4, x>5
㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는 x>5
yy㉡
⑵ (진수)>0에서 4-x>0, 즉 x<4
yy㉠
log2`(4-x)<1에서 1=log2`2이므로
log2`(4-x)2
㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는
⑶ (진수)>0에서 x>0, x-2>0, 즉
22
log2`x+log2`(x-2)Élog2`3에서
log2`x+log2`(x-2)=log2`x(x-2)이므로
log2`x(x-2)Élog2`3
양변의 밑이 2로 같고 1보다 크므로
x(x-2)É3, x2-2x-3É0
(x+1)(x-3)É0, -1ÉxÉ3
㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는
2
;3!;
8-2 ⑴ (진수)>0에서 3x-1>0, 2x+1>0, 즉
yy㉠
log
(3x-1)¾log
(2x+1)에서
;3!;`
;3!;`
양변의 밑이
로 같고 1보다 작으므로
;3!;
3x-1É2x+1, xÉ2
㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는
yy㉡
⑶ 5-x+1=
에서
;2Á5;
;2Á5;
=5-2이므로
주어진 방정식은 5-x+1=5-2
양변의 밑이 5로 같으므로
-x+1=-2
x
=81에서
⑷
{;9!;}
x
{;9!;}
∴ x=3
주어진 방정식은 3-2x=34
양변의 밑이 3으로 같으므로
-2x=4
∴ x=-2
⑸ 32x=9
3에서 9
3=32_3;2!;=3;2%;이므로
'
'
=(3-2)x=3-2x , 81=34이므로
⑵ (진수)>0에서 x-1>0, 즉 x>1
yy㉠
주어진 방정식은 32x=3;2%;
x-1>
㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는
;2#;
;2!;
⑶ (진수)>0에서 x>0, x-8>0, 즉
x>
;2#;
x>8
x+log
log
;3!;`
;3!;`
;3!;`
;3!;`
(x-8)É-2에서
log
x+log
(x-8)=log
x(x-8),
;3!;`
-2
=log
9이므로
;3!;`
-2=log
;3!;`{;3!;}
x(x-8)Élog
9
;3!;`
log
;3!;`
양변의 밑이
로 같고 1보다 작으므로
;3!;
x(x-8)¾9, x2-8x-9¾0
(x+1)(x-9)¾0, xÉ-1 또는 x¾9
㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는
yy㉡
x¾9
집중 연습
본문 | 048, 049쪽
1 ⑴ 3x=243에서 243=35이므로
주어진 방정식은 3x=35
양변의 밑이 3으로 같으므로 x=5
⑵ 52x+1=125에서 125=53이므로
주어진 방정식은 52x+1=53
양변의 밑이 5로 같으므로
2x+1=3
∴ x=1
9-2x+1=3-4x+2,
'¶
"
27=
3Ü`=3;2#;이므로
yy㉡
주어진 방정식은 3-4x+2=3;2#;
양변의 밑이 3으로 같으므로
2x=
;2%;
∴ x=
;4%;
⑹ 9-2x+1=
27에서
'¶
양변의 밑이 3으로 같으므로
-4x+2=
∴ x=
;2#;
;8!;
yy㉠
x+1
2x-1
2 ⑴
{;2!;}
>
{;2!;}
에서
로 같고 1보다 작으므로
양변의 밑이
;2!;
x+1<2x-1
∴ x>2
⑵ 2x+1>4에서 4=22이므로
주어진 부등식은 2x+1>22
양변의 밑이 2로 같고 1보다 크므로
x+1>2
⑶
x
É
{;4!;}
;8!;
∴ x>1
x
=
에서
{;4!;}
주어진 부등식은
2x
É
{;2!;}
{;2!;}
{;2!;}
=
,
;8!;
{;2!;}
3
이므로
2x
3
양변의 밑이
로 같고 1보다 작으므로
;2!;
2x¾3
∴ x¾
;2#;
⑷ 52xÉ625에서 625=54이므로
주어진 부등식은 52xÉ54
양변의 밑이 5로 같고 1보다 크므로
2xÉ4
∴ xÉ2
⑸ 0.2x>0.04에서 0.04=0.22이므로
주어진 부등식은 0.2x>0.22
양변의 밑이 0.2로 같고 1보다 작으므로
x<2
⑹ 22x-1<4-x+1에서 4-x+1=2-2x+2이므로
주어진 부등식은 22x-1<2-2x+2
양변의 밑이 2로 같고 1보다 크므로
2x-1<-2x+2
∴ x<
;4#;
04. 지수함수와 로그함수의 활용 ⦁ 15
이때 x=
은 진수 조건 x>0을 만족시키므로
log0.1`(x-1)>log0.1`10
⑵ (진수)>0에서 x-1>0, 즉 x>1
yy㉠
log0.1`(x-1)>-1에서
-1=log0.1`0.1-1=log0.1`10이므로
양변의 밑이 0.1로 같고 1보다 작으므로
x-1<10, x<11
yy㉡
㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는
10에서 x-5>0, 즉 x>5
yy㉠
log3`(x-5)<2에서 2=log3`32=log3`9이므로
log3`(x-5)0에서 xÛ`+3x>0, x(x+3)>0, 즉
x<-3 또는 x>0
yy㉠
양변의 밑이 3으로 같고 1보다 크므로
xÛ`+3x<4, xÛ`+3x-4<0
(x+4)(x-1)<0, -40에서 x-1>0, x-3>0, 즉 x>3 yy㉠
log
`(x-1)+log
`(x-3)<-1에서
log
`(x-1)+log
`(x-3)=log
`(x-1)(x-3),
;3!;
;3!;
;3!;
-1
;3!;
;3!;
;3!;
-1=log
`
;3!;
{;3!;}
=log
`3이므로
;3!;
log
`(x-1)(x-3)3, xÛ`-4x>0
x(x-4)>0, x<0 또는 x>4
yy㉡
㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는
x>4
⑹ (진수)>0에서 x-1>0, 2x+1>0, 즉 x>1 yy㉠
log2`(x-1)Élog4`(2x+1)에서
log2`(x-1)=2`log4`(x-1)=log4`(x-1)Û`이므로
log4`(x-1)Û`Élog4`(2x+1)
양변의 밑이 4로 같고 1보다 크므로
(x-1)Û`É2x+1, xÛ`-4xÉ0
x(x-4)É0, 0ÉxÉ4
㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는
10에서 2x>0, 즉 x>0
로그의 정의에 따라 2x=3, x=
;2#;
;2#;
주어진 방정식의 해이다.
∴ x=
;2#;
⑵ (진수)>0에서 2+x>0, 즉 x>-2
로그의 정의에 따라 2+x=34, 즉 x=79
이때 x=79는 진수 조건 x>-2를 만족시키므로 주어진
방정식의 해이다.
∴ x=79
⑶ (진수)>0에서 2-x>0, 즉 x<2
-3
로그의 정의에 따라 2-x=
{;3!;}
이때 x=-25는 진수 조건 x<2를 만족시키므로 주어진
=27, 즉 x=-25
방정식의 해이다.
∴ x=-25
⑷ (진수)>0에서 x-1>0, x+1>0, x+5>0, 즉 x>1
log3`(x-1)+log3`(x+1)=log3`(x-1)(x+1)이므로
log3`(x-1)(x+1)=log3`(x+5)
로그함수의 성질에 따라 (x-1)(x+1)=x+5
xÛ`-1=x+5, xÛ`-x-6=0,
(x+2)(x-3)=0, x=-2 또는 x=3
이때 진수 조건 x>1에서 x=3
⑸ (진수)>0에서 x>0, x-4>0, 즉 x>4
log5`x+log5`(x-4)=log5`x(x-4)이므로
log5`x(x-4)=1
로그의 정의에 따라 x(x-4)=5, xÛ`-4x-5=0
(x+1)(x-5)=0, x=-1 또는 x=5
이때 진수 조건 x>4에서 x=5
⑹ (진수)>0에서 x-2>0, 4-x>0, 즉 20에서 x>0
log10`x>3에서 3=log10`103=log10`1000이므로
log10`x>log10`1000
yy㉠
양변의 밑이 10으로 같고 1보다 크므로
x>1000
yy㉡
㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는
x>1000
16 ⦁ 정답과 해설
기초 개념
가평
본문 | 050, 051쪽
01 x1
03 밑
05 >
07 >
09 x2
11 <
13 <
02 2, 3
04 <
06 <
08 ab
10 밑
12 >
14 >
기초 문제
가평
본문 | 052, 053쪽
1 ⑴ 4x+2=8x에서 4x+2=22x+4, 8x=23x이므로
주어진 방정식은 22x+4=23x
양변의 밑이 2로 같으므로
2x+4=3x
∴ x=4
⑵ 0.75x=
에서
0.75x=
:ª8°1¤:
x
{;4#;}
주어진 방정식은
4
=
-4
이므로
,
:ª8°1¤:
=
{;3$;}
x
=
{;4#;}
-4
{;4#;}
{;4#;}
양변의 밑이
으로 같으므로 x=-4
;4#;
2 ⑴
{;2Á5;}
x
=51-xÛ`에서
x
=5-2x이므로
{;2Á5;}
주어진 방정식은 5-2x=51-xÛ`
양변의 밑이 5로 같으므로
-2x=1-xÛ`
∴ xÛ`-2x-1=0
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 이 방정
식의 모든 근의 합은 2이다.
x(x-1)
2-x
에서
⑵
{;4!;}
{;4!;}
=
=
{;8!;}
{;2!;}
x(x-1)
2xÛ`-2x
2-x
6-3x
,
{;8!;}
2xÛ`-2x
=
{;2!;}
6-3x
이므로
주어진 방정식은
{;2!;}
=
{;2!;}
양변의 밑이
로 같으므로
;2!;
2x2-2x=6-3x
∴ 2x2+x-6=0
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 이 방정식
의 모든 근의 합은 -
이다.
;2!;
3 4x=2xÛ`+a에서 22x=2xÛ`+a이므로 2x=x2+a
즉, x2-2x+a=0의 한 근이 -1이므로
x=-1을 대입하면 1+2+a=0
∴ a=-3
a=-3을 이차방정식 x2-2x+a=0에 대입하면
x2-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
따라서 다른 한 근은 3이다.
4 ⑴ 23x¾42x-3에서 42x-3=24x-6이므로
주어진 부등식은 23x¾24x-6
양변의 밑이 2로 같고 1보다 크므로
3x¾4x-6
2x
∴ xÉ6
3x-1
⑵
<
{;3@;}
{;9$;}
에서
주어진 부등식은
3x-1
6x-2
=
{;3@;}
6x-2
이므로
{;9$;}
2x
<
{;3@;}
{;3@;}
양변의 밑이
로 같고 1보다 작으므로
;3@;
2x>6x-2
∴ x<
;2!;
⑶ 5-4+xÛ`É125x에서 125x=53x이므로
주어진 부등식은 5-4+xÛ`É53x
양변의 밑이 5로 같고 1보다 크므로
-4+xÛ`É3x, xÛ`-3x-4É0
(x+1)(x-4)É0
∴ -1ÉxÉ4
⑷
2x
>
xÛ`-2
에서
{;7!;}
{;4Á9;}
xÛ`-2
2xÛ`-4
{;4Á9;}
=
{;7!;}
이므로
주어진 부등식은
2x
>
{;7!;}
{;7!;}
2xÛ`-4
양변의 밑이
로 같고 1보다 작으므로
;7!;
2x<2xÛ`-4, xÛ`-x-2>0
(x+1)(x-2)>0
∴ x<-1 또는 x>2
f(x)
g(x)
5 {;3!;}
>
{;3!;}
에서
양변의 밑이
로 같고 1보다 작으므로 f(x)0에서 x-2>0, x>0, 즉 x>2
log
`x+1=log
`x+log
;5!;
`
;5!;
;5!;
=log
`
이므로
;5!;
;5{;
;5!;
;5!;
log
`(x-2)=log
`
;5!;
;5{;
로그함수의 성질에 따라 x-2=
, x=
;5{;
;2%;
이때 x=
는 진수 조건 x>2를 만족시키므로
;2%;
주어진 방정식의 해이다.
∴ x=
;2%;
04. 지수함수와 로그함수의 활용 ⦁ 17
⑵ (진수)>0에서 x>0, x+3>0, x+8>0, 즉 x>0
⑶ (진수)>0에서 x-1>0, 3-x>0, 즉
log`x+log`(x+3)=log`x(x+3)이므로
1log4`(3-x)에서
log2`(x-1)=2`log4`(x-1)=log4`(x-1)2이므로
log4`(x-1)2>log4`(3-x)
양변의 밑이 4로 같고 1보다 크므로
(x-1)2>3-x, x2-x-2>0
(x+1)(x-2)>0, x<-1 또는 x>2
yy㉡
㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는
20에서 x-3>0, x+1>0, 즉
x>3
yy㉠
log3`(x-3)+log3`(x+1)0에서 x+3>0, 1-x>0, 즉
-3loga`(1-x)+1에서
loga`(x+3)>loga`a(1-x)
양변의 밑이 a로 같고 1보다 크므로
x+3>a(1-x), (a+1)x>a-3
a-3
a+1
;3!;
주어진 부등식의 해가 -
1이므로 x>
yy㉡
log`x(x+3)=log`(x+8)
로그함수의 성질에 따라 x(x+3)=x+8
xÛ`+2x-8=0, (x+4)(x-2)=0
x=-4 또는 x=2
이때 진수 조건 x>0에서 x=2
⑶ (진수)>0에서 x-5>0, x-2>0, 즉 x>5
log2`(x-5)=2`log4`(x-5)=log4`(x-5)2,
log4`(x-2)+1 =log4`(x-2)+log4`4
=log4`4(x-2)
이므로 log4`(x-5)2=log4`4(x-2)
로그함수의 성질에 따라 (x-5)2=4(x-2)
x2-14x+33=0, (x-3)(x-11)=0
x=3 또는 x=11
이때 진수 조건 x>5에서 x=11
7 log`x+log`(x+a)=1+log`(a+1)의 근이 4이므로
x=4를 대입하면
log`4+log`(4+a)=1+log`(a+1)
log`4(4+a)=log`10(a+1)
로그함수의 성질에 따라 4(4+a)=10(a+1)
16+4a=10a+10
∴ a=1
8 g(9)=f -1(9)=k라 하면 f(k)=9
f(k)=5`log3`(k+3)-1이므로
5`log3`(k+3)-1=9, 5`log3`(k+3)=10
log3`(k+3)=2, k+3=32, k=6
∴ g(9)=6
9 ⑴ (진수)>0에서 x+4>0, 즉 x>-4
`(x+4)>-2에서
log
;2!;
;2!;
-2=log
`
;2!;
{;2!;}
=log
`4이므로
;2!;
-2
log
`(x+4)>log
`4
;2!;
양변의 밑이
로 같고 1보다 작으므로
;2!;
x+4<4, x<0
yy㉡
㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는
-40에서 x+1>0, 즉 x>-1
yy㉠
2`log`(x+1)Élog`(x+1)+1에서
2`log`(x+1)=log`(x+1)2,
log`(x+1)+1=log`10(x+1)이므로
log`(x+1)2Élog`10(x+1)
양변의 밑이 10으로 같고 1보다 크므로
(x+1)2É10(x+1), x2-8x-9É0
(x+1)(x-9)É0, -1ÉxÉ9
㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는
-1 ⑵ 2, <
:Á6£:
;3$;
9-2 ⑴
:Á6£:
p=2p_1+
는 제1사분면의 각이다.
;6Ò;
∴ sin`
p>0, cos`
p>0, tan`
p>0
:Á6£:
:Á6£:
⑵ -
p=2p_(-1)+
p는 제3사분면의 각이다.
∴ sin`
-
p
}
;3@;
<0, cos`
-
p
<0,
{
;3@;
}
;3@;
{
{
tan`
-
p
>0
;3@;
}
⑶ -300ù=360ù_(-1)+60ù는 제1사분면의 각이다.
∴ sin`(-300ù)>0, cos`(-300ù)>0,
tan`(-300ù)>0
⑷ 700ù=360ù_1+340ù는 제4사분면의 각이다.
∴ sin`700ù<0, cos`700ù>0, tan`700ù<0
10-1 1, 2, 2
10-2 ⑴ Ú cos`h<0 ⇨ 제2사분면의 각 또는 제3사분면의 각
Û tan`h>0 ⇨ 제1사분면의 각 또는 제3사분면의 각
Ú, Û에서 각 h는 제3사분면의 각이다.
⑵ Ú sin`h>0, cos`h>0일 때
sin`h>0 ⇨ 제1사분면의 각 또는 제2사분면의 각
cos`h>0 ⇨ 제1사분면의 각 또는 제4사분면의 각
```
따라서 sin`h>0, cos`h>0을 만족시키는 각 h는
제1사분면의 각이다.
기초 문제
가평
본문 | 066, 067쪽
1 ① 120ù는 제2사분면의 각이다.
②
p는 제3사분면의 각이다.
;6&;
③ 510ù=360ù_1+150ù는 제2사분면의 각이다.
④ -
p=2p_(-1)+
p는 제2사분면의 각이다.
;3$;
;3@;
⑤ -585ù=360ù_(-2)+135ù는 제2사분면의 각이다.
따라서 나머지 넷과 다른 사분면에 속하는 것은 ②이다.
2 ①
p
12
p
12
=
_1=
_
p
12
180ù
p =15ù
②
p=
p_1=
p_
;4#;
;4#;
180ù
p =135ù
③
p=
p_1=
p_
;3@;
;3@;
180ù
p =120ù
④
p=
p_1=
p_
;4%;
;4%;
180ù
p =225ù
;4#;
;3@;
;4%;
⑤
=
_1=
_
;6Ò;
;6Ò;
;6Ò;
180ù
p =30ù
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
⑵ Û sin`h<0, cos`h<0일 때
sin`h<0 ⇨ 제3사분면의 각 또는 제4사분면의 각
cos`h<0 ⇨ 제2사분면의 각 또는 제3사분면의 각
따라서 sin`h<0, cos`h<0을 만족시키는 각 h는
제3사분면의 각이다.
⑵ Ú, Û에서 각 h는 제1사분면 또는 제3사분면의 각이다.
11-1 <, 4
11-2 sin2`h+cos2`h=1에서
sin2`h=1-cos2`h=1-
-
2
=
{
;4#;}
;1¦6;
이때 각 h가 제3사분면의 각이므로 sin`h<0이다.
따라서 sin2`h=
7
에서 sin`h=- '
4
;1¦6;
또 tan`h=
이므로
sin`h
cos`h
7
tan`h=- '
4
Ö
-
{
;4#;}
7
= '
3
12-1 4, 1, 3
12-2 ⑴ sin`h-cos`h=
의 양변을 제곱하면
;3!;
sin2`h-2`sin`h`cos`h+cos2`h=
;9!;
이때 sin2`h+cos2`h=1이므로
1-2`sin`h cos`h=
∴ sin`h`cos`h=
;9!;
;9$;
⑵ sin3`h-cos3 `h
=(sin`h-cos`h)(sin2`h+sin`h`cos`h+cos2`h)
즉, h=
p이고 00, tan`h<0일 때
```
sin`h>0 ⇨ 제1사분면의 각 또는 제2사분면의 각
tan`h<0 ⇨ 제2사분면의 각 또는 제4사분면의 각
따라서 sin`h>0, tan`h<0을 만족시키는 각 h는 제2사분
면의 각이다.
Û sin`h<0, tan`h>0일 때
sin`h<0 ⇨ 제3사분면의 각 또는 제4사분면의 각
tan`h>0 ⇨ 제1사분면의 각 또는 제3사분면의 각
따라서 sin`h<0, tan`h>0을 만족시키는 각 h는 제3사분
면의 각이다.
Ú, Û에서 각 h는 제2사분면 또는 제3사분면의 각이다.
10 ;2#;
p0이므로
sin`h-cos`h<0
∴ |sin`h-cos`h|-
sin2`h
"Ã
=|sin`h-cos`h|`-|sin`h|
=-(sin`h-cos`h)-(-sin`h)=cos`h
`` 따라서 간단히 한 것은 ②이다.
22 ⦁ 정답과 해설
06 삼각함수의 그래프
본문 | 068~073쪽
1-1 2p, -2, -2
1-2 ⑴ 2`cos`x=2`cos`(x+2p)이므로 주기는 2p이다.
-2É2`cos`xÉ2이므로 치역은 {y|-2ÉyÉ2}
따라서 함수 y=2`cos`x의 그래프는 다음 그림과 같다.
-p
-;2Ò;
y=2`cos`x
y=cos`x
p
;2Ò;
2p
x
p
;2#;
y
2
1
O
-1
-2
;2!;`
⑵
sin`x=
sin`(x+2p)이므로 주기는 2p이다.
;2!;`
-
É
;2!;
;2!;`
sin`xÉ
이므로 치역은
[
y
|
-
;2!;
;2!;
ÉyÉ
;2!;]
따라서 함수 y=
sin`x의 그래프는 다음 그림과 같다.
;2!;`
-;2Ò;
O
;2Ò;
p
-1
-;2!;
p
;2#;
2p
x
3-1 4p, 3, 3
3-2 ⑴ 2`sin`
=2`sin`
;3{;
주기는 6p이다.
=2`sin`
x+2p
}
;3!;
{;3!;
(x+6p)이므로
-2É2`sin`
É2이므로 치역은 {y|-2ÉyÉ2}
;3{;
따라서 함수 y=2`sin`
의 그래프는 다음 그림과 같다.
;3{;
y
2
1
p
-;2#;
y=2`sin`
;3{;
O
3p
-1
-2
p
;2#;
y=sin`x
p
;2(;
6p
x
참고 y=a`sin`bx 꼴의 그래프는 y=sin`x의 그래프를
x축의 방향으로
배, y축의 방향으로 |a|배한 그래프
1
|b|
이다.
➊ 최댓값 : |a|, 최솟값 : -|a| ➋ 주기 :
2p
|b|
⑵ 2`cos`2x=2`cos`(2x+2p)=2`cos`2(x+p)이므로
-2É2`cos`2xÉ2이므로 치역은 {y|-2ÉyÉ2}
따라서 함수 y=2`cos`2x의 그래프는 다음 그림과 같다.
y=2`cos`2x
y=cos`x
;2Ò;
p
p
;2#;
2p
x
y
2
1
O
-1
-2
y
1
;2!;
y=sin`x
y=
sin`x
;2!;`
주기는 p이다.
2-1 4p, -1, -1
2-2 ⑴ sin`
=sin`
;2{;
는 4p이다.
x+2p
=sin`
(x+4p)이므로 주기
{;2!;
}
;2!;
이다.
참고 y=a`cos`bx 꼴의 그래프는 y=cos`x의 그래프를
x축의 방향으로
배, y축의 방향으로 |a|배한 그래프
1
|b|
➊ 최댓값 : |a|, 최솟값 : -|a| ➋ 주기 :
2p
|b|
y
1
-1
p이다.
-1Ésin`
É1이므로 치역은 {y|-1ÉyÉ1}
;2{;
따라서 함수 y=sin`
의 그래프는 다음 그림과 같다.
;2{;
y=sin`
;2{;
y=sin`x
-p
O
p
2p
3p
4p
x
⑵ cos`2x=cos`(2x+2p)=cos`2(x+p)이므로 주기는
-1Écos`2xÉ1이므로 치역은 {y|-1ÉÉyÉ1}
따라서 함수 y=cos`2x의 그래프는 다음 그림과 같다.
y=cos`x
y=cos`2x
-;2Ò;
;2Ò;
p
p
;2#;
2p
x
y
1
O
-1
4-1 -
;2Ò;
, 2p, -1, -1
4-2 ⑴ y=cos`
x-
{
;2Ò;}
의 그래프는 y=cos`x의 그래프를
x축의 방향으로
만큼 평행이동한 것이므로 주기는 2p
;2Ò;
이다.
-1Écos`
x-
{
;2Ò;}
É1이므로 치역은 {y|-1ÉyÉ1}
따라서 함수 y=cos`
x-
의 그래프는 다음 그림과
{
;2Ò;}
같다.
y
1
O
;2Ò;
-1
y=cos`
x-
{
;2Ò;}
y=cos`x
p
p
;2#;
2p
x
p
;2%;
06. 삼각함수의 그래프 ⦁ 23
⑵ y=2`sin`
x+
의 그래프는 y=2`sin`x의 그래프를
⑵ 3`tan`x=3`tan`(x+p)이므로 주기는 p이다.
{
;3Ò;}
점근선은 직선 x=np+
` (n은 정수)
;2Ò;
따라서 함수 y=3`tan`x의 그래프는 다음 그림과 같다.
y=tan`x
y=3`tan`x
y
-p
-;2Ò;
;2Ò;
O
p
x
참고 y=a`tan`bx 꼴의 그래프는 y=tan`x의 그래프를
x축의 방향으로
배, y축의 방향으로 |a|배한 그래프
1
|b|
이다.
➊ 최댓값, 최솟값은 없다.
➋ 주기 :
p
|b|
➌ 점근선 : 직선 x=
1
|b| {
np
+;2Ò;}
(n은 정수)
x축의 방향으로 -
만큼 평행이동한 것이므로 주기는
;3Ò;
2p이다.
-2É2`sin`
x+
{
;3Ò;}
É2이므로 치역은 {y|-2ÉyÉ2}
따라서 함수 y=2`sin`
의 그래프는 다음 그림과
x+
{
;3Ò;}
같다.
y=2`sin`{x+
;3Ò;}
y=2`sin`x
p
O
-;3Ò;
p
;3@;
2p
x
p
;3%;
y
2
-2
⑶ y=cos`2x+1의 그래프는 y=cos`2x의 그래프를 y축
의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 주기는 p이다.
-1+1Écos`2x+1É1+1이므로
치역은 {y|0ÉyÉ2}
따라서 함수 y=cos`2x+1의 그래프는 다음 그림과 같다.
y
2
1
O
-1
y=cos`2x+1
;2Ò;
p
y=cos`2x
p
;2#;
x
참고 y=a`sin`(bx+c)+d 꼴의 그래프는
y=a`sin`bx의 그래프를 x축의 방향으로 -
만큼,
;bC;
y축의 방향으로 d만큼 평행이동한 것이다.
➊ 최댓값 : |a|+d, 최솟값 : -|a|+d
=tan
=tan
+p
}
`;2!;
`{;2{;
(x+2p)이므로 주기는
6-1
, p
;2Ò;
6-2 ⑴ y=tan`
x
{
+;4Ò;}
의 그래프는 y=tan`x의 그래프를
x축의 방향으로 -
만큼 평행이동한 것이므로 주기는
;4Ò;
p이다.
점근선은 직선 x=np+
-
;2Ò;
;4Ò;
즉, x=np+
(n은 정수)
;4Ò;
y=tan`{x+
y
;4Ò;} y=tan`x
의 그래프는 다음 그림과 같다.
같다.
따라서 함수 y=tan`
x
의 그래프는 다음 그림과
{
+;4Ò;}
➋ 주기 :
2p
|b|
5-1
,
;4Ò;
;2Ò;
5-2 ⑴ tan
`;2{;
2p이다.
점근선은 직선 x=2
;2Ò;}
즉, x=2npp+p (n은 정수)
np+
{
따라서 함수 y=tan
`;2{;
y=tan`x
y=tan`
y
;2{;
24 ⦁ 정답과 해설
-p
-;2Ò;
;2Ò;
p
O
p
;2#;
p
;2%;
2p
3p
x
-;4Ò;
;2Ò;
-;2Ò;
O
;4Ò;
p
;2#;
x
p
;4%;
⑵ y=tan`
2x
{
+;2Ò;}
=tan`2
x
{
+;4Ò;}
의 그래프는
10-1 cos`x, -sin`x,`cos`x, 2`cos`x
y=tan`2x의 그래프를 x축의 방향으로 -
만큼 평행
;4Ò;
따라서 함수 y=tan`
의 그래프는 다음 그림과
2x
{
+;2Ò;}
sinÛ``
-x
+cosÛ``
+x
=cos2`x+sinÛ``x=1
{;2Ò;
}
이동한 것이므로 주기는
이다.
;2Ò;
점근선은 직선 x=
np+
;2Ò;}-;4Ò;
;2!; {
.p (n은 정수)
n
2
즉, x=
같다.
y=tan`2x
y=tan`{2x+
;2Ò;}
y
O
-;4Ò;
;4Ò;
;2Ò;
p
x
p
;4#;
7-1 ⑴ 6, 6, -
⑵ 3, 3, -
⑶ 4, 4, 1
;2!;
;2!;
7-2 ⑴ sin`
p=sin`
p
{
+;4Ò;}
=-sin`
=
;4Ò;
-
⑵ cos`
p=cos`
p
{
+;6Ò;}
=-cos`
=
;6Ò;
-
2
'
2
3
'
2
⑶ tan`
p=tan`
p
{
+;3Ò;}
=tan`
=
3
'
;3Ò;
8-1 ⑴ 6, 6,
2
⑵ 4, 4, - '
2
;2!;
⑶ 3, 3, -
3
8-2 ⑴ sin`
p=sin`
p
{
-;3Ò;}
;3Ò;
=sin`
=
⑵ cos`
p=cos`
p
{
-;6Ò;}
=-cos`
=
;6Ò;
-
3
'
2
⑶ tan`
p=tan`
p
=-tan`
=-1
{
-;4Ò;}
;4Ò;
'
3
'
2
3
9-1 ⑴ 6, 6, '
2
3
⑵ 3, 3, - '
2
⑶ 4,
, -1
;4Ò;
9-2 ⑴ sin`
p=sin`
{;2Ò;+;4Ò;}
=cos`
2
= '
2
;4Ò;
;4%;
;6&;
;3$;
;3@;
;6%;
;4#;
;4#;
;3@;
;6%;
10-2 ⑴ sin`
{;2Ò;
+x
=cos`x, cos`
-x
=sin`x,
{;2Ò;
}
sin`(x-p)=-sin`(p-x)=-sin`x이므로
sin`
+x
+cos`
-x
+sin(x-p)
{;2Ò;
{;2Ò;
}
=cos`x+sin`x-sin`x=cos`x
⑵ sinÛ``
-x
=cosÛ``x, cosÛ``
+x
sinÛ``x이므로
{;2Ò;
}=
}
}
}
}
{;2Ò;
{;2Ò;
11-1
,
;6Ò;
;2!;
11-2 ⑴ 2`sin`x-
3
3=0에서 sin`x= '
2
'
y
1
3
;;;2;;;!
O
-1
y=sin`x
p
;3Ò;
p
;3@;
y=
3
;;;2;;;!
x
2p
구하는 방정식의 해는 함수 y=sin`x의 그래프와 직선
3
y= '
2
의 교점의 x좌표와 같으므로
x=
또는 x=
p
;3Ò;
;3@;
⑵ 2`cos`x+1=0에서 `cos`x=-
;2!;
y
1
O
-;;2!;
-1
p
;3@;
p
p
;3$;
y=cos`x
x
2p
y=
-;2!;
y=-
의 교점의 x좌표와 같으므로
;2!;
;3@;
'
x=
p 또는 x=
p
;3$;
⑶ tan`x-
3=0에서 tan`x=
3
'
y=tan`x
y
3
1
O
;2Ò;
;3Ò;
p
p
;3$;
y=
3
1
2p
x
p
;2#;
구하는 방정식의 해는 함수 y=cos`x의 그래프와 직선
⑵ cos`
p=cos`
{;2Ò;+;6Ò;}
=-sin`
=-
;6Ò;
;2!;
구하는 방정식의 해는 함수 y=tan`x의 그래프와 직선
⑶ tan`
p=tan`
{;2Ò;+;3Ò;}
=-
1
tan`
;3Ò;
=
-
3
'
3
y=
3의 교점의 x좌표와 같으므로
'
;3Ò;
x=
또는 x=
p
;3$;
06. 삼각함수의 그래프 ⦁ 25
\
y=-
보다 아래쪽에 있는 x의 값의 범위와 같으므로
;2!;
⑽ tan`
p=tan`
3p+
p
=tan`
;4#;
}
p
;4#;
12-1 아래쪽,
p
,
;3%;
;3Ò;
12-2 ⑴ 2`sin`x>
2
2에서 sin`x> '
2
'
`
y=sin`x
p
;4Ò;
p
;4#;
y
1
2
;;;2;;;!
O
-1
y=
2
;;;2;;;!
x
2p
구하는 부등식의 해는 함수 y=sin`x의 그래프가 직선
2
y= '
2
보다 위쪽에 있는 x의 값의 범위와 같으므로
<
x<
p
;4#;
;4Ò;
⑵ 2`cos`x+1<0에서 cos`x<-
;2!;
y
1
O
-;;2!;
-1
p
;3@;
p
p
;3$;
y=cos`x
x
2p
y=
-;2!;
구하는 부등식의 해는 함수 y=cos`x의 그래프가 직선
p0이므로
sin`A=
1-cos2`A=
"Ã
¾Ð
1-
-
{
;2!;}
2
3
= '
2
`
따라서 삼각형 ABC의 넓이는
bc`sin`A=
;2!;
3
_6_10_ '
2
;2!;
=15
3
'
다른 풀이 s=
a+b+c
2
=
14+6+10
2
=15
따라서 삼각형 ABC의 넓이는
15_(15-14)_(15-6)_(15-10)=15
3
'
"Ã
⑵ 코사인법칙에 의해
cos`A=
bÛ`+cÛ`-aÛ`
2bc
cos`A=
4Û`+6Û`-8Û`
2_4_6
=-
;4!;
sin`A>0이므로
sin`A=
1-cos2`A=
"Ã
¾Ð
1-
-
{
;4!;}
2
15
= '¶
4
`
따라서 삼각형 ABC의 넓이는
bc`sin`A=
;2!;
15
_4_6_ '¶
4
;2!;
=3
15
'¶
다른 풀이 s=
a+b+c
2
=
8+4+6
2
=9
따라서 삼각형 ABC의 넓이는
9_(9-8)_(9-4)_(9-6)=3
15
'¶
"Ã
7-1 16
7-2 평행사변형 ABCD의 넓이를 S라 하면
S=ABÓ_BCÓ_sin`45ù
이때 b>0, c>0이므로 b=c이다.
따라서 삼각형 ABC는 b=c인 이등변삼각형이다.
2
S=4_3_ '
2
=6
2
'
5-1
, 5
;2!;
5-2 ⑴ 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=
bc`sin`A=
_4_6_sin`60ù
;2!;
;2!;
S=
3
_4_6_ '
2
;2!;
=6
3`
'
8-1
3,
'
3
35
'
4
8-2 사각형 ABCD의 넓이를 S라 하면
S=
;2!;_
ACÓ_BDÓ_sin`60ù
S=
;2!;_
3
5_8_ '
2
=10
3
'
07. 사인법칙과 코사인법칙 ⦁ 31
Ð
Ð
집중 연습
본문 | 084, 085쪽
⑵ 삼각형의 내각의 크기의 합은 180ù이므로
⑷ 삼각형의 내각의 크기의 합은 180ù이므로
1 ⑴ 사인법칙에 의해
∴ b=sin`30ù_
10
sin`45ù
=
b
sin`30ù
10
sin`45ù
=5
2
'
B=180ù-(30ù+15ù)=135ù
사인법칙에 의해
∴ b=sin`135ù_
6
sin`30ù
=
b
sin`135ù
6
sin`30ù
=6
2
'
⑶ 삼각형의 내각의 크기의 합은 180ù이므로
C=180ù-(60ù+75ù)=45ù
사인법칙에 의해
∴ a=sin`60ù_
a
sin`60ù
=
6
sin`45ù
6
sin`45ù
=3
6
'
⑷ 삼각형의 내각의 크기의 합은 180ù이므로
C=180ù-(75ù+45ù)=60ù
사인법칙에 의해
∴ c=sin`60ù_
4
sin`45ù
=
c
sin`60ù
4
sin`45ù
=2
6
'
2 ⑴ 사인법칙에 의해
10
sin`A
=
10
2
'
sin`135ù
sin`A=
10`sin`135ù
10
2
'
=
;2!;
이때 0ù0)로 놓으면
aÛ`+bÛ`+cÛ`
(a+b+c)Û`
=
(2k)Û`+(3k)Û`+(4k)Û`
(2k+3k+4k)Û`
=
29kÛ`
81kÛ`
=
;8@1(;
⑵ A`:`B`:`C=1`:`2`:`9에서
C=180ù_
9
1+2+9
=135ù
사인법칙에 의해
=2_1
c
sin`135ù
2
∴ c=2_ '
2
=
2
'
5 ⑴ 코사인법칙에 의해
a2=b2+c2-2bc`cos`A
a2=52+62-2_5_6_cos`60ù
a2=25+36-60
=31
_;2!;
31 (∵ a>0)
∴ a=
'¶
⑵ 코사인법칙에 의해
c2=a2+b2-2ab`cos`C
2)2-2_3_
c2=32+(
'
c2=9+2-6
2
2_ '
2
'
=5
∴`c=
5 (∵ c>0)
'
⑶ 코사인법칙에 의해
2_cos`45ù
'
b2=c2+a2-2ca`cos`B
c2=102+62-2_10_6_cos`120ù
c2=100+36-120_
=196
{-;2!;}
∴`b=14 (∵ b>0)
⑷ 코사인법칙에 의해
a2=b2+c2-2bc`cos`A
c2=22+32-2_2_3_cos`120ù
c2=4+9-12_
=19
{-;2!;}
∴ a=
19 (∵ a>0)
'¶
6 ⑴ `cos`A=
bÛ`+cÛ`-aÛ`
2bc
=
7Û`+5Û`-8Û`
2_7_5
=
;7!;
⑵ `cos`C=
aÛ`+bÛ`-cÛ`
2ab
=
13Û`+8Û`-7Û`
2_13_8
=
;2@6#;
7 ⑴ `cos`A=
bÛ`+cÛ`-aÛ`
2bc
=
5Û`+3Û`-7Û`
2_5_3
=-
;2!;
이때 0ù0)로 놓으면
cos`C=
aÛ`+bÛ`-cÛ`
2ab
cos`C=
(3k)Û`+(5k)Û`-(7k)Û`
2_3k_5k
cos`C=
-15kÛ`
30kÛ`
=-
;2!;
이때 0ù0)로 놓으면
cos`B=
cÛ`+aÛ`-bÛ`
2ca
=
(8k)Û`+(5k)Û`-(7k)Û`
2_8k_5k
cos`B=
40kÛ`
80kÛ`
=
;2!;
이때 0ù0이므로 AMÓ=2
7
'
12 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=
ab`sin`C
;2!;
15
3=
_6_10_sin`C, 30`sin`C=15
3
'
;2!;
'
3
∴ sin`C= '
2
이때 0ù0)
한편 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S=
bc`sin`A
;2!;
;2!;
S=
_10_16_sin`60ù
3
S=80_ '
2
=40
3
'
S=
a+b+c
2
r에서
14+10+16
2
r=40
'
3, 20r=40
3
'
∴ r=2
3
'
따라서 내접원의 반지름의 길이는 2
3이다.
'
15 삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의해
cos`60ù=
ABÓ Û`+10Û`-(2
'¶
2_ABÓ_10
19)Û`
;2!;
=
ABÓ Û`+24
20ABÓ
ABÓ Û`-10ABÓ+24=0
(ABÓ-4)(ABÓ-6)=0
이때 ABÓ>5이므로 ABÓ=6
따라서 구하는 평행사변형 ABCD의 넓이는
3
6_10_sin`60ù=60_ '
2
=30
3
'
16 삼각형 BCD에서 코사인법칙에 의해
BDÓ Û`=42+62-2_4_6_cos`60ù
BDÓ Û`=16+36-48_
=28
;2!;
'
BDÓ>0이므로 BDÓ=2
7
따라서 사각형 ABCD의 넓이는
△ABD+△BCD`
=
_5_2
7_sin`30ù+
_4_6_sin`60ù
;2!;
'
;2!;
=5
7_
3
+12_ '
2
;2!;
'
5
'
2
7
=
+6
3
'
07. 사인법칙과 코사인법칙 ⦁ 35
08 등차수열
1-1 ⑴ 2, 5, 1 ⑵ 3, 242
1-2 ⑴ a1=3_1+2=5, a2=3_2+2=8,
a3=3_3+2=11, a4=3_4+2=14,
a5=3_5+2=17
⑵ a1=12+2=3, a2=22+2=6, a3=32+2=11,
a4=42+2=18, a5=52+2=27
2-1 ⑴ 3n ⑵ 2
2-2 ⑴ a1=2_1=2, a2=2_2=4, a3=2_3=6,
a4=2_4=8, y
따라서 주어진 수열 {an}의 일반항은 an=2n
⑵ a1=
=
;2!;
, a2=
=
;3@;
2
2+1
,
a3=
=
;4#;
, a4=
=
;5$;
4
4+1
, y
1
1+1
3
3+1
따라서 주어진 수열 {an}의 일반항은 an=
n
n+1
3-1 2, -3
3-2 ⑴ 공차가 21-16=5인 등차수열이므로
안에 알맞은 수는 6+5=11
⑵ 공차가 5-2=3인 등차수열이므로
안에 알맞은 수는 8+3=11
4-1 -4, 5, 9
4-2 ⑴ an=3+(n-1)_(-2)=-2n+5
⑵ 첫째항이 -1, 공차가 1-(-1)=2이므로
an=-1+(n-1)_2=2n-3
5-1 9, 1, 1
5-2 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a3=a+2d=23
a12=a+11d=-4
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=29, d=-3
∴ an=29+(n-1)_(-3)=-3n+32
yy㉠
yy㉡
6-1 3, 11
6-2 첫째항이 -45, 공차가 6인 등차수열 {an}의 일반항은
an=-45+(n-1)_6=6n-51
⑴ an>0에서 an=6n-51>0, n>
=8.5
:°6Á:
따라서 처음으로 양수가 되는 항은 제9항이다.
⑵ an>50에서 an=6n-51>50, n>
=16.___
101
6
따라서 처음으로 50보다 커지는 항은 제17항이다.
36 ⦁ 정답과 해설
7-1 17, 18
7-2 첫째항이 50, 공차가 -4인 등차수열 {an}의 일반항은
an=50+(n-1)_(-4)=-4n+54
본문 | 092~097쪽
⑴ an<0에서 an=-4n+54<0, n>
=13.5
:°4¢:
따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제14항이다.
104
4
⑵ an<-50에서 an=-4n+54<-50, n>
=26
따라서 처음으로 -50보다 작아지는 항은 제27항이다.
8-1 ⑴ 2 ⑵ 12, 12
-1+9
2
8-2 ⑴ x=
=4
⑵ x, 10, y가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
10=
∴ x+y=20
yy㉠
x+y
2
10, y, -2가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
y=
10-2
2
=4
y=4를 ㉠에 대입하면 x=16
∴ x=16, y=4
9-1 5, 8, 5
9-2 등차수열을 이루는 세 수를 a-d, a, a+d로 놓으면
세 수의 합이 21이므로
(a-d)+a+(a+d)=21, 3a=21
∴ a=7
세 수의 곱이 91이므로
(a-d)_a_(a+d)=91, a(a2-d2)=91
이 식에 a=7을 대입하면 7_(49-d2)=91, d2=36
∴ d=-6 또는 d=6
Ú a=7, d=-6일 때, 세 수는 13, 7, 1
Û a=7, d=6일 때, 세 수는 1, 7, 13
Ú, Û에서 구하는 세 수는 1, 7, 13
10-1 ⑴ 20 ⑵ 19, -530
10-2 ⑴ 구하는 합은
10_(2+74)
2
=380
⑵ 구하는 합은
10_{2_(-1)+9_4}
2
=170
11-1 6, 816
11-2 ⑴ 100 이하의 자연수 중에서 3의 배수는
3, 6, 9, 12, y, 99
이 수열은 첫째항이 3, 공차가 3인 등차수열이므로 99
를 제n항이라 하면
3+(n-1)_3=99, 3n=99
∴ n=33
따라서 구하는 합은 첫째항이 3, 제33항이 99, 항수가
33인 등차수열의 합이므로
33_(3+99)
2
=1683
⑵ 100 이하의 자연수 중에서 3으로 나눈 나머지가 1인
Û n=1일 때
수는
1, 4, 7, 10, y, 100
a1=S1=4_12+3_1+1=8
이때 a1=8은 ㉠에 n=1을 대입한 값 7과 같지 않
이 수열은 첫째항이 1, 공차가 3인 등차수열이므로 100
다.
을 제n항이라 하면
Ú, Û에서 a1=8, an=8n-1 (n¾2)
1+(n-1)_3=100, 3n=102
∴ n=34
따라서 구하는 합은 첫째항이 1, 제34항이 100, 항수가
34인 등차수열의 합이므로
34_(1+100)
2
=1717
12-1 1, 1
12-2 ⑴ Ú n¾2일 때
an =Sn-Sn-1
=2n2-n-{2(n-1)2-(n-1)}
=2n2-n-(2n2-5n+3)
=4n-3
yy㉠
Û n=1일 때
a1=S1=2_12-1=1
이때 a1=1은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같다.
Ú, Û에서 an=4n-3
⑵ Ú n¾2일 때
an =Sn-Sn-1
=4n2+3n-{4(n-1)2+3(n-1)}
=4n2+3n-(4n2-5n+1)
=8n-1
yy㉠
Û n=1일 때
a1=S1=4_12+3_1=7
이때 a1=7은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같다.
Ú, Û에서 an=8n-1
13-1 1, 2
13-2 ⑴ Ú n¾2일 때
an =Sn-Sn-1
=n2-n-1-{(n-1)2-(n-1)-1}
=n2-n-1-(n2-3n+1)
=2n-2
yy㉠
Û n=1일 때
집중 연습
본문 | 098, 099쪽
1 ⑴ 2, 4, 7, 11, 16, 22, y
+2 +3 +4 +5 +6
∴ a7=22+7=29
⑵ 10, 8, 6, 4, 2, 0, y
-2 -2 -2 -2 -2
∴ a7=0-2=-2
⑶ 1, 3, 9, 27, 81, 243, y
_3 _3 _3 _3 _3
∴ a7=243_3=729
⑷ a1=1, a2=-22=-4, a3=32=9, a4=-42=-16,
a5=52=25, a6=-62=-36
∴ a7=72=49
2 ⑴ 등차수열 {an}의 첫째항이 3, 공차가 4이므로
an=3+(n-1)_4=4n-1
⑵ 등차수열 {an}의 첫째항이 2, 공차가 5이므로
an=2+(n-1)_5=5n-3
⑶ 등차수열 {an}의 첫째항이 100, 공차가 -5이므로
an=100+(n-1)_(-5)=-5n+105
⑷ 등차수열 {an}의 첫째항이 -3, 공차가 2이므로
an=-3+(n-1)_2=2n-5
a1=S1=12-1-1=-1
이때 a1=-1은 ㉠에 n=1을 대입한 값 0과 같지
3 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
⑴ a5=a+4d=3
않다.
Ú, Û에서 a1=-1, an=2n-2 (n¾2)
⑵ Ú n¾2일 때
an =Sn-Sn-1
=4n2+3n+1-{4(n-1)2+3(n-1)+1}
=4n2+3n+1-(4n2-5n+2)
=8n-1
yy㉠
a10=a+9d=18
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-9, d=3
∴ an=-9+(n-1)_3=3n-12
⑵ a15=a+14d=33
a45=a+44d=153
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-23, d=4
∴ an=-23+(n-1)_4=4n-27
yy㉠
yy㉡
yy㉠
yy㉡
08. 등차수열 ⦁ 37
⑶ a5=a+4d=21
a12=a+11d=49
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, d=4
∴ an=5+(n-1)_4=4n+1
⑷ a3=a+2d=2
a9=a+8d=-16
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=8, d=-3
∴ an=8+(n-1)_(-3)=-3n+11
yy㉠
yy㉡
yy㉠
yy㉡
7 ⑴ 첫째항이 2, 공차가 5인 등차수열이므로 72를 제n항이라
하면
2+(n-1)_5=72, 5n=75
∴ n=15
따라서 구하는 합은 첫째항이 2, 제15항이 72, 항수가 15
인 등차수열의 합이므로
15_(2+72)
2
=555
⑵ 첫째항이 -2, 공차가 -3인 등차수열이므로 -53을 제n
-2+(n-1)_(-3)=-53, -3n=-54
항이라 하면
∴ n=18
따라서 구하는 합은 첫째항이 -2, 제18항이 -53, 항수가
18인 등차수열의 합이므로
18_(-2-53)
2
=-495
4 ⑴ x=
=11
⑵ x=
=3
2+20
2
10-4
2
1+y
2
⑶ 1, x, y가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
하면
⑶ 첫째항이 1, 공차가 6인 등차수열이므로 91을 제n항이라
x=
∴ 2x-y=1
yy㉠
1+(n-1)_6=91, 6n=96
∴ n=16
x, y, -11이 이 순서대로 등차수열을 이루므로
따라서 구하는 합은 첫째항이 1, 제16항이 91, 항수가 16
∴ x-2y=11
yy㉡
y=
x-11
2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
x=-3, y=-7
⑷ x, 14, y가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
14=
∴ x+y=28
yy㉠
x+y
2
14, y, -2가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
y=
14-2
2
=6
y=6을 ㉠에 대입하면 x=22
∴ x=22, y=6
인 등차수열의 합이므로
16_(1+91)
2
=736
8 ⑴ 첫째항이 8, 공차가 -2인 등차수열이므로 구하는 합은
n{2_8+(n-1)_(-2)}
2
=-n2+9n
⑵ 첫째항이 8, 공차가 -6인 등차수열이므로 구하는 합은
n{2_8+(n-1)_(-6)}
2
=-3n2+11n
⑶ 첫째항이 -2, 공차가 5인 등차수열이므로 구하는 합은
n{2_(-2)+(n-1)_5}
2
=
5n2-9n
2
5 ⑴ 구하는 합은
⑵ 구하는 합은
⑶ 구하는 합은
12_(-2+53)
2
15_(10+52)
2
=306
=465
27_(9+113)
2
=1647
6 ⑴ 구하는 합은
⑵ 구하는 합은
17_{2_5+16_(-2)}
2
20_{2_3+19_(-5)}
2
=-187
=-890
⑶ 구하는 합은
16_(2_3+15_6)
2
=768
38 ⦁ 정답과 해설
기초 개념
가평
본문 | 100, 101쪽
07 a10=a+9d
08 an=a+(n-1)d
09 등차중항
10 2b=a+c
01 수열
03 일반항
05 등차수열
11 a
13 S1
15 Sn
02 항
04 {an}
06 +d
12 2a
14 S2
기초 문제
가평
1 ⑴ 1, 4, 7 , 10, 13, 16 , 19
⑵ 12, 9, 6 , 3, 0, -3
⑶ 4, 8, 16, 32, 64 , 128
⑷ 1, -3, 9, -27, 81 , -243
본문 | 102, 103쪽
an=-15+(n-1)_5=5n-20
등차수열 {an}의 일반항은
∴ a10=5_10-20=30
다른 풀이 a=-15, d=5이므로
aÁ¼=a+9d=-15+9_5=30
2 aÁ은 1을 5로 나눈 나머지이므로 aÁ=1
aª는 2를 5로 나눈 나머지이므로 aª=2
a3은 3을 5로 나눈 나머지이므로 a3=3
a4는 4를 5로 나눈 나머지이므로 a4=4
a°는 5를 5로 나눈 나머지이므로 a°=0
a¤은 6을 5로 나눈 나머지이므로 a¤=1
⋮
따라서
a1=1, a2=2, a3=3, a4=4, a5=0,
a6=1, a7=2, a8=3, a9=4, a10=0
3
b
e
a
c
11
7
d
f
3 a는 3과 7의 등차중항이므로
a=
3+7
2
=5
c는 a와 11, 3과 f, 7과 e의
등차중항이므로
c=
a+11
2
=
5+11
2
=8
c=
에서 3+f=2c=16
∴ f=13
c=
에서 7+e=2c=16
∴ e=9
3+f
2
7+e
2
b는 3과 e의 등차중항이므로
b=
3+e
2
=
3+9
2
=6
d는 7과 f의 등차중항이므로
d=
7+f
2
=
7+13
2
=10
∴ a=5, b=6, c=8, d=10, e=9, f=13
∴ a+b+c+d+e+f=51
yy㉠
yy㉡
yy㉠
yy㉡
5 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a10+a6=6에서 (a+9d)+(a+5d)=6
∴ a+7d=3
a10-a6=-12에서 (a+9d)-(a+5d)=-12
4d=-12
∴ d=-3
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=24, d=-3
∴ a2=a+d=21
6 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a3=a+2d=32
a8=a+7d=92
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=8, d=12
∴ an=8+(n-1)_12=12n-4
anÉ400에서 12n-4É400, nÉ
=33.___
101
3
따라서 400을 넘지 않는 최대의 항은 제33항이다.
참고 a33=12_33-4=392, a34=12_34-4=404
이므로 400을 넘지 않는 최대의 항은 제33항이다.
7 1-a, 10, 2+2a가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
10=
(1-a)+(2+2a)
2
, a+3=20
∴ a=17
8 등차수열을 이루는 세 수를 a-d, a, a+d로 놓으면
세 수의 합이 6이므로
(a-d)+a+(a+d)=6, 3a=6
∴ a=2
세 수의 곱이 -24이므로
(a-d)_a_(a+d)=-24, a(a2-d2)=-24
이 식에 a=2를 대입하면
2(4-d2)=-24, d2=16
∴ d=-4 또는 d=4
Ú a=2, d=-4일 때, 세 수는 6, 2, -2
Û a=2, d=4일 때, 세 수는 -2, 2, 6
4 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
제8항이 20이므로 a+7d=20
이때 d=5이므로 a=-15
Ú, Û에서 세 수는 -2, 2, 6
따라서 세 수의 제곱의 합은
(-2)2+22+62=44
08. 등차수열 ⦁ 39
9 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a10=a+9d=-1
a16=a+15d=5
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-10, d=1
yy㉠
yy㉡
따라서 등차수열 {an}의 첫째항부터 제22항까지의 합은
22_{2_(-10)+21_1}
2
=11
⑵ 1부터 100까지의 자연수의 합은
100_(1+100)
2
=5050
합은
5050-624=4426
따라서 100 이하의 자연수 중에서 8의 배수가 아닌 수의
14 Ú n¾2일 때
an =Sn-Sn-1
=3n2-2n-{3(n-1)2-2(n-1)}
=3n2-2n-(3n2-8n+5)
=6n-5
yy㉠
Û n=1일 때
a1=S1=3_12-2_1=1
이때 a1=1은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같다.
Ú , Û에서 an=6n-5
a1=1, a2=6_2-5=7이므로 d=a2-a1=7-1=6
a=1, d=6이므로 a+d=7
다른 풀이 a+d=a2이므로
a2 =S2-S1
=8-1=7
=(3_22-2_2)-(3_12-2_1)
10 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
첫째항부터 제5항까지의 합이 20이므로
5(2a+4d)
2
=20
∴ a+2d=4
yy㉠
제3항부터 제7항까지의 합이 -10이므로
5{2(a+2d)+4d}
2
=-10
∴ a+4d=-2 yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=10, d=-3
따라서 첫째항은 10, 공차는 -3이다.
참고 제3항부터 제7항까지의 합은 첫째항이 a3=a+2d,
항수가 5인 등차수열의 합이다.
11 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
첫째항부터 제5항까지의 합이 125이므로
=125
∴ a+2d=25
yy㉠
첫째항부터 제10항까지의 합이 500이므로
=500
∴ 2a+9d=100
yy㉡
5(2a+4d)
2
10(2a+9d)
2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, d=10
따라서 등차수열 {an}의 일반항은
an=5+(n-1)_10=10n-5
12 수열 1, a1, a2, … , an, 2는 첫째항이 1, 제(n+2)항이 2, 항
수가 (n+2)이므로
(n+2)(1+2)
2
=24, n+2=16
∴ n=14
13 ⑴ 100 이하의 자연수 중에서 8의 배수는
8, 16, 24, 32, y, 96
이 수열은 첫째항이 8, 공차가 8인 등차수열이므로 96을
제n항이라 하면
8+(n-1)_8=96, 8n=96
∴ n=12
따라서 구하는 합은 첫째항이 8, 제12항이 96, 항수가
12인 등차수열의 합이므로
12_(8+96)
2
=624
40 ⦁ 정답과 해설
본문 | 104~109쪽
∴ a(1+r+r2)=21 yy㉠
안에 알맞은 수는 64_
=-32
{-;2!;}
(4r-1)(r-4)=0
∴ r=
또는 r=4
;4!;
09 등비수열
1-1 ⑴ 4 ⑵ 27
1-2 ⑴ 공비가
'
1
3
인 등비수열이므로
안에 알맞은 수는 3
3_
'
'
인 등비수열이므로
=3
1
3
⑵ 공비가 -
;2!;
2-1 ⑴ 2, 2 ⑵ 2, 2
2-2 ⑴ 등비수열 {an}의 첫째항이 -2, 공비가 -2이므로
an=(-2)_(-2)n-1=(-2)n
⑵ 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
제3항이 12이므로 ar2=12
r=3이므로 9a=12
∴ a=
;3$;
∴ an=
_3n-1=4_3n-2
;3$;
3-1 2, 3
3-2 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
제3항이 12이므로
a3=ar2=12
제6항이 -96이므로
a6=ar5=-96
㉡을 ㉠으로 나누면 r3=-8
이때 r는 실수이므로 r=-2
이것을 ㉠에 대입하면 a=3
∴ an=3_(-2)n-1
yy㉠
yy㉡
4-1 7, 8
4-2 첫째항이 5, 공비가 3인 등비수열 {an}의 일반항은
an=5_3n-1
an>1000에서 an=5_3n-1>1000
3n-1>200
이때 34=81, 35=243이므로 n-1¾5
따라서 처음으로 1000보다 커지는 항은 제6항이다.
5-1 4, 4
5-2 3과 27의 등비중항을 x라 하면
x2=3_27=81
∴ x=-9 또는 x=9
따라서 구하는 등비중항은 -9 또는 9이다.
6-1 4, 4
6-2 ⑴ 등비수열을 이루는 세 수를 a, ar, ar2으로 놓으면
세 수의 합이 21이므로
a+ar+ar2=21
세 수의 곱이 64이므로
a_ar_ar2=64, a3r3=(ar)3=64
이때 ar는 실수이므로 ar=4
㉡에서 a=
를 ㉠에 대입하면
;r$;
;r$;
(1+r+r2)=21, 4r2-17r+4=0
yy㉡
따라서 공비는
또는 4이다.
;4!;
⑵ Ú r=
일 때, a=16이므로 세 수는 16, 4, 1
;4!;
Û r=4일 때, a=1이므로 세 수는 1, 4, 16
Ú, Û에서 구하는 세 수는 1, 4, 16
yy㉠
yy㉡
yy㉢
등비수열을 이루는 세 수를 a, b, c (a1000
1
1000
이때 29=512, 210=1024이므로
n-1¾10
∴ n¾11
다.
44 ⦁ 정답과 해설
따라서 처음으로 1보다 작은 수가 나타나는 항은 제11항이
yy㉠
yy㉡
yy㉠
yy㉡
4 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
제3항이 12이므로 ar2=12
제6항이 -96이므로 ar5=-96
㉡을 ㉠으로 나누면 r3=-8
이때 r는 실수이므로 r=-2
따라서 구하는 공비는 -2이다.
5 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
a1+a2=60이므로
a+ar=60, a(1+r)=60
a3+a4=240이므로
ar2+ar3=240, ar2(1+r)=240
㉡을 ㉠으로 나누면 r2=4
∴ r=-2 또는 r=2
이때 r>0이므로 r=2
이것을 ㉠에 대입하면 a=20
an=20_2n-1이므로
a10=20_29=10240
6 등비수열의 공비를 r라 하면 첫째항이 2, 제5항이 162이므로
162=2r4에서 r4=81
(rÛ`+9)(rÛ`-9)=0
공비는 실수이므로 r2-9=0
∴ r=-3 또는 r=3
Ú r=-3일 때
a=2_(-3)=-6, b=-6_(-3)=18,
c=18_(-3)=-54
Û r=3일 때
a=2_3=6, b=6_3=18, c=18_3=54
a=-6, b=18, c=-54 또는 a=6, b=18, c=54
7 x, 12, y가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
122=xy
68, y, x가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
∴ xy=144
2y=68+x
㉡에서 x=2y-68을 ㉠에 대입하면
(2y-68)y=144, y2-34y-72=0
(y+2)(y-36)=0
yy㉠
yy㉡
∴ y=-2 또는 y=36
이때 y>0이므로 y=36
y=36을 ㉡에 대입하면
72=68+x
∴ x=4
∴ x=4, y=36
이때 1+2+3+ y +19=
=190이므로
Ú, Û에서
8 등비수열을 이루는 가로, 세로, 높이를 각각 a, ar, ar2으로 놓
∴ (1+a+a2+ y +a100)(1+b+b2+ y +b100)
yy㉠
yy㉡
∴ =
∴ =
1-b101
1-b
_
1-a101
1-a
1-(a3)33a2
1-a
_
1-(b3)33b2
1-b
∴ =
1-b2
1-a2
1-b
1-a
∴ =(1+a)(1+b)
_
∴ =1+b+a+ab
∴ =a+b+ab+1
∴ =-1+1+1=1
으면 부피가 8이므로
a_ar_ar2=a3r3=(ar)3=8
이때 ar는 실수이므로 ar=2
겉넓이가 28이므로
2(a_ar+ar_ar2+ar2_a)=28
a2r+a2r3+a2r2=14
∴ a2r(1+r+r2)=14
㉠에서 a=
를 ㉡에 대입하면
;r@;
_r(1+r+r2)=14,
4
rÛ`
2(1+r+rÛ`)
r
=7
2(1+r+r2)=7r, 2r2-5r+2=0
(2r-1)(r-2)=0
∴ r=
또는 r=2
;2!;
이때 공비는 1보다 크므로 r=2
r=2일 때, a=1이므로 세 수는 1, 2, 4
따라서 직육면체의 가로, 세로, 높이는 1, 2, 4이므로 제곱의
합은
12+22+42=21
9 첫째항이 2, 공비가 4인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의
합을 Sn이라 하면
2_(4n-1)
4-1
Sn=
=
;3@;
(4n-1)
Sn>1000에서
(4n-1)>1000
;3@;
4n-1>1500, 4n>1501
이때 45=1024, 46=4096이므로
첫째항부터 제6항까지의 합이 처음으로 1000보다 커진다.
∴ n=6
10 x3-1=0에서 (x-1)(x2+x+1)=0
삼차방정식 x3-1=0의 두 허근이 a, b이므로
a3=1, b3=1
또한 a, b는 이차방정식 x2+x+1=0의 두 근이므로
이차방정식의 근과 계수의 관계에서
a+b=-1, ab=1
이때 1+a+a2+ y +a100은 첫째항이 1, 공비가 a인 등비
수열의 첫째항부터 제101항까지의 합이고
1+b+b2+ y +b100은 첫째항이 1, 공비가 b인 등비수열
의 첫째항부터 제101항까지의 합이다.
11 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
제2항이 6이므로 ar=6
yy㉠
첫째항부터 제3항까지의 합이 26이므로
yy㉡
a(r3-1)
r-1
=26
a(r-1)(rÛ`+r+1)
r-1
a(r2+r+1)=26
=26
㉠에서 a=
을 ㉡에 대입하면
;r^;
3(r2+r+1)
r
(r2+r+1)=26,
;r^;
3(rÛ`+r+1)=13r, 3r2-10r+3=0
(3r-1)(r-3)=0
=13
∴ r=
또는 r=3
Ú r=
일 때, a=18
Û r=3일 때, a=2
;3!;
;3!;
Ú, Û에서 등비수열 {an}의 일반항은
n-1
an=18_
{;3!;}
또는 an=2_3n-1
12 수열 1, 3, 9, 27, y 은 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열이
다.
제6항부터 제9항까지의 합은 제6항이 1_35=35, 항수가 4,
공비가 3이므로
35_(34-1)
3-1
243_80
2
=9720
=
다른 풀이 등비수열 1, 3, 9, 27, y 의
첫째항부터 제9항까지의 합은
1_(39-1)
3-1
=
;2!;_
(39-1)
첫째항부터 제5항까지의 합은
1_(35-1)
3-1
=
;2!;_
(35-1)
09. 등비수열 ⦁ 45
15 Ú n¾2일 때
an =Sn-Sn-1
=(3n+1+k)-(3n+k)
=3n+1-3n
=2_3n
Û n=1일 때
a1=S1=32+k=9+k
yy㉠
13 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
첫째항부터 제3항까지의 합이 6이므로
수열 {an}이 첫째항부터 등비수열을 이루므로
a1=9+k는 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같아야 한다.
yy㉠
9+k=2_3
∴ k=-3
따라서 제6항부터 제9항까지의 합은
(39-1)-
(35-1)
;2!;_
;2!;_
35
2 _
=
(39-35)=
(34-1)
;2!;_
243
2 _
=
80=9720
제2항부터 제4항까지의 합이 -12이므로
a(1-r3)
1-r
=6
ar(1-r3)
1-r
=-12
㉠을 ㉡에 대입하면
6r=-12
∴ r=-2
yy㉡
yy㉠
yy㉠
r=-2를 ㉠에 대입하면
=6
∴ a=2
9a
3
따라서 첫째항은 2, 공비는 -2이다.
참고 제2항부터 제4항까지의 합은 첫째항이 ar, 공비가 r,
항수가 3인 등비수열의 합이다.
다른 풀이 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
첫째항부터 제3항까지의 합이 6이므로
a+ar+ar2=6, a(1+r+r2)=6
제2항부터 제4항까지의 합이 -12이므로
ar+ar2+ar3=-12, ar(1+r+r2)=-12 yy㉡
㉡을 ㉠으로 나누면 r=-2
r=-2를 ㉠에 대입하면 a=2
14 첫째항부터 제4항까지의 합이 30이므로
첫째항부터 제8항까지의 합이 510이므로
a(r4-1)
r-1
=30
a(r8-1)
r-1
=510
a(r4-1)(r4+1)
r-1
=510
yy㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
30(r4+1)=510, r4=16
(rÛ`+4)(rÛ`-4)=0
이때 r는 실수이므로 rÛ`=4
∴ r=-2 또는 r=2
Ú r=-2일 때, ㉠에 대입하면
15a
-3
=30
∴ a=-6
Û r=2일 때, ㉠에 대입하면
15a=30
∴ a=2
Ú, Û에서 a는 음수이므로
a=-6, r=-2
∴ a+r=-8
46 ⦁ 정답과 해설
10 수열의 합
1-1 1, k
1-2 ⑴ 수열 2, 4, 6, y, 2n은 첫째항이 2, 공차가 2인 등차수열
본문 | 116~119쪽
⑵
k2=
. ⑵ 수열 1, 3, 3Û`, y, 3n-1은 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수
이므로 일반항 an을 구하면
an=2+(n-1)_2=2n
∴ 2+4+6+ y +2n=
2k
열이므로 일반항 an을 구하면
an=1_3n-1=3n-1
∴ 1+3+3Û`+ y +3n-1=
3k-1
n
k=1
Á
n
k=1
Á
2-1 10, 20, 21
2-2 ⑴ 일반항 3k-1의 k에 1, 2, 3, y, 15를 차례로 대입하면
(3k-1)=(3-1)+(6-1)+(9-1)
+ y +(45-1)
(3k-1)=2+5+8+ y +44
⑵ 일반항 2k의 k에 1, 2, 3, y, 20을 차례로 대입하면
2k=2+22+23+ y +220
3-1 3, 10, 25
3-2 ⑴
(ak+2bk)=
ak+
2bk
20
k=1
Á
20
20
k=1
Á
20
⑴
(2ak-3bk=
ak+2
bk
⑴
k=1
(2ak-3bk=3+2_8=19
Á
k=1
Á
⑵
(2ak-3bk+2)=
2ak-
3bk+
⑴
(2ak-3bk+2)=2
ak-3
bk+
⑴
(2ak-3bk+2)=2_3-3_8+2_20=22
20
k=1
Á
20
k=1
Á
20
k=1
Á
20
k=1
Á
2
2
20
k=1
Á
20
k=1
Á
4-1 20, 4
10
k=1
Á
10
k=1
Á
4-2 ⑴
(2ak+3)2=
(4ak
2+12ak+9)
⑴
⑴
10
4ak
2+
12ak+
(2ak+3)2=
k=1
Á
10
(2ak+3)2=4
k=1
Á
2+12
ak
9
9
10
k=1
Á
10
k=1
Á
ak+
10
k=1
Á
⑴
(2ak+3)2=4_10+12_5+9_10=190
. ⑵
(ak-1)(ak+1)=
(ak
2-1)
⑴
(ak-1)(ak+1)=
⑴
(ak-1)(ak+1)=10-1_10=0
10
k=1
10
Á
k=1
Á
ak
2-
10
1
k=1
Á
15
k=1
Á
20
k=1
Á
20
k=1
Á
20
k=1
Á
10
k=1
Á
10
k=1
Á
5-1 ⑵ 21 ⑶ 2
5-2 ⑴
k=
=36
8_9
2
8
k=1
Á
8
k=1
Á
8
k=1
Á
n
k=1
Á
⑶
k3=
6-1 6, 6
8_9_17
6
=204
8_9
2
{
2 }
=1296
참고
(k2+k)=
n
k2+
n
k
=
k=1
k=1
Á
Á
n(n+1)(2n+1)
6
+
n(n+1)
2
=
n(n+1)(2n+1+3)
6
=
n(n+1)(n+2)
3
5
(k2+k)=
5_6_7
3
=70
이므로
k=1
Á
6-2 ⑴
10
k=1
Á
10
k=1
Á
(k+1)(k-1)=
10
(k2-1)=
10
k2-
10
1
k=1
Á
10_11_21
6
k=1
Á
-1_10=375
k=1
Á
⑴
(k+1)(k-1)=
⑵
(k+1)(2k-1)=
(2k2+k-1)
⑴
(k+1)(2k-1)=
⑴
⑴
(k+1)(2k-1)=2
k=1
Á
(k+1)(2k-1)=2_
2k2+
10
10
k-
k=1
Á
10
1
1
k=1
Á
10
k2+
k-
k=1
Á
10_11_21
6
k=1
Á
+
10_11
2
10
k=1
Á
10
k=1
Á
10
⑴
(k+1)(2k-1)=815
⑴
(k+1)(2k-1)=-1_10
(i+2k)
5i+2_
=
(5i+30)
5
=
{
i=1
Á
=5_
]
]
5_6
2
5_6
5
2 }
i=1
Á
+30_5=225
(i+2k)
7-1 6, 2
7-2
5
[
i=1
Á
5
k=1
Á
[
8-1 21, 20
8-2 ⑴
1
(k+2)(k+3)
=
1
k+2 -
1
k+3
이 성립하므로
9
1
(k+2)(k+3)
k=1
Á
=
1
k+2 -
9
1
k+3 }
{
k=1
Á
{;3!;-;4!;}+{;4!;-;5!;}+{;5!;-;6!;}
=
=
;3!;-;1Á2;=;4!;
y +
+
{;1Á1;-;1Á2;}
10. 수열의 합 ⦁ 47
⑵
1
(2k-1)(2k+1)
=
1
(2k+1)-(2k-1)
{
1
2k-1 -
1
2k+1 }
=
;2!; {
1
2k-1 -
1
2k+1 }
이 성립하므로
10
1
(2k-1)(2k+1)
k=1
Á
=
1
2k-1 -
;2!;
10
1
2k+1 }
{
k=1
Á
1
=
;2!;[{
-;3!;}+{;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;}
y +
+
{;1Á9;-;2Á1;}]
=
1
;2!;_{
-;2Á1;}=;2!1);
9-1 k+1, 11, 11
9-2 ⑴
1
k+2+
'Ä
k+1
'Ä
=
= 'Ä
k+2-
k+1)(
(
k+2+
'Ä
'Ä
k+1
(k+2)-(k+1)
'Ä
k+2-
'Ä
'Ä
'Ä
=
k+2-
k+1
'Ä
'Ä
이 성립하므로
k+1
'Ä
k+2-
k+1)
'Ä
2)+(
1
k+2+
14
k=1
'Ä
Á
14
(
=
k=1
Á
'
16-
'Ä
3-
=(
=
=4-
'¶
'
2
2
2k+1+
'
'
2
⑵
'Ä
=
=
2k-1
'Ä
(
2(
2k+1+
2k+1-
'Ä
2k-1)(
'Ä
2k+1-
'Ä
2(
2k-1)
(2k+1)-(2k-1)
'Ä
'Ä
=
2k+1-
'Ä
'Ä
이 성립하므로
2k-1
12
'Ä
2
2k+1+
k=1
'Ä
Á
12
(
=
k=1
Á
'
25-1=4
=(
=
'Ä
3-1)+(
'¶
2k-1
'Ä
5-
'
'
2k+1-
2k-1)
48 ⦁ 정답과 해설
k+1
k+2-
k+1)
'Ä
2k-1)
'Ä
2k+1-
'Ä
'Ä
2k-1)
3)+ y +(
25-
23)
'¶
'¶
본문 | 120, 121쪽
집중 연습
10
1 ⑴
10
(2k+1)=2
k=1
Á
k=1
Á
(2k+1)=2_
⑴
10
k+
1
k=1
Á
10_11
2
+1_10=120
⑵
(1-3k)=
1-3
k
8
8
k=1
Á
k=1
Á
(1-3k)=1_8-3_
k=1
Á
⑵
8_9
2
=-100
⑶
⑶
k=1
Á
(4k-2)=4
k=1
Á
(4k-2)=4_
7
7
k-
7_8
2
2
k=1
Á
-2_7=98
2 ⑴
(k2-k)=
⑴
(k2-k)=
10
k2-
10
k
k=1
Á
k=1
Á
10_11_21
6
⑵
(k2+1)=
6
k2+
6
1
⑵
(k2+1)=
+1_6=97
k=1
k=1
Á
Á
6_7_13
6
-
10_11
2
=330
⑶
⑶
9
(6k2+5)=6
k=1
Á
(6k2+5)=6_
k=1
Á
9
k2+
5
k=1
Á
9_10_19
6
+5_9=1755
3 ⑴
(k3-2k)=
8
k3-2
8
k
⑴
(k3-2k)=
⑵
(k3+4)=
k=1
Á
-2_
2
8_9
2
=1224
⑵
k(k2-3=
2
+4_10=3065
k=1
Á
{
10
8_9
2 }
k=1
Á
10
k3+
4
k=1
Á
10_11
2
}
{
5
k=1
Á
2
-
5
k=1
Á
12
k=1
Á
12
⑶
k(k+1)=
5_6
{
2 }
5_6_11
6
=170
(k+5)2=
(k2+10k+25)
4 ⑴
12
k=1
Á
⑴
(k+5)2=
⑴
(k+5)2=
⑴
(k+5)2=1730
k2+10
12
12
k+
25
k=1
k=1
Á
Á
12_13_25
6
k=1
Á
+10_
12_13
2
+25_12
⑵
(k+2)(k-2)=
(k2-4)
⑵
(k+2)(k-2)=
10
k=1
Á
10
10
k2-
4
k=1
Á
k=1
Á
10_11_21
6
⑵
(k+2)(k-2)=
-4_10=345
8
7
10
k=1
Á
k=1
Á
6
9
8
k=1
Á
10
k=1
Á
5
k=1
Á
10
k=1
Á
4-
3)+ y +(
16-
15)
'¶
'¶
'
'
⑶
(k3-kÛ`)=
k3-
kÛ`
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
⑶ 수열 1, 3, 5, y의 일반항은 1+(n-1)_2=2n-1,
수열 2, 4, 6, y의 일반항은 2+(n-1)_2=2n
⑵
1
(3k-1)(3k+2)
=
1
;3!;{
3k-1 -
1
3k+2 }
⑶
k(k-1)2=
k(k2-2k+1)
6
k=1
Á
⑶ k(k-1)2=
(k3-2k2+k)
⑶ k(k-1)2=
k3-2
6
k2+
6
k
⑶ k(k-1)2=
k=1
Á
-2_
2
k=1
Á
6_7_13
6
6_7
{
2 }
+
6_7
2
=280
6
k=1
Á
6
k=1
Á
6
k=1
Á
5 ⑴ 수열 1, 2, 3, y의 일반항은 1+(n-1)_1=n,
수열 2, 3, 4, y의 일반항은 2+(n-1)_1=n+1
이므로
1_2+2_3+3_4+ y +10_11
10
=
k(k+1)=
10
k2+
10
k
k=1
Á
10_11_21
6
k=1
Á
10_11
2
⑵ 수열 1, 2, 3, y의 일반항은 1+(n-1)_1=n,
=440
k=1
Á
=
+
수열 3, 4, 5, y의 일반항은 3+(n-1)_1=n+2
이므로
1_3+2_4+3_5+ y +12_14
12
=
k(k+2)=
12
k2+2
12
k
k=1
Á
12_13_25
6
k=1
Á
+2_
k=1
Á
12_13
2
=
=806
2n-1=15에서 n=8이므로
1_2+3_4+5_6+ y +15_16
8
=
(2k-1)2k=4
8
k2-2
8
k
k=1
Á
=4_
8_9_17
6
k=1
Á
-2_
8_9
2
k=1
Á
=744
6 ⑴ 수열 1, 4, 7, y의 일반항은 1+(n-1)_3=3n-2
3n-2=28에서 n=10이므로
12+42+72+ y +282
10
=
(3k-2)2=
(9k2-12k+4)
10
k=1
Á
k+
k=1
Á
10
=9
k=1
Á
=9_
k2-12
10
k=1
Á
10
4
k=1
Á
-12_
10_11_21
6
10_11
2
+4_10=2845
⑵ 수열 1, 3, 5, y의 일반항은 1+(n-1)_2=2n-1
2n-1=25에서 n=13이므로
12+32+52+ y +252
=
(2k-1)2=
(4k2-4k+1)
13
k=1
Á
13
13
k=1
Á
13
k+
=4
k=1
Á
=4_
13
k2-4
k=1
Á
13_14_27
6
1
k=1
Á
-4_
13_14
2
+1_13=2925
(n+k)=
n+
k
n
n
k=1
Á
k=1
Á
⑴
(n+k)=n2+
n(n+1)
2
=
3nÛ`+n
2
1
i+1
_
i(i+1)
2
]
1
i+1
10
i=1{
Á
k
i
k=1
Á
k
=
}
10
i=1[
Á
=
}
;2!;
10
i
i=1
Á
7 ⑴
n
k=1
Á
⑵
⑵
⑵
{
{
k
=
}
;2!;_
10_11
2 =:°2°:
⑶
(i+j)
=
5
j=1[
Á
5
i=1
Á
[
5_6
2
+5j
}
5
j=1{
Á
5_6
2
]
]
⑶
(i+j)
=15_5+5_
=150
8 ⑴
1
(k+1)(k+2)
=
1
k+1 -
1
k+2
이 성립하므로
20
1
(k+1)(k+2)
k=1
Á
=
=
20
k=1{
Á
1
k+1 -
1
k+2 }
=
;2!;-;2Á2;=;1°1;
이 성립하므로
12
1
(3k-1)(3k+2)
;3!;
3k-1 -
1
12
k=1{
Á
1
3k+2 }
k=1
Á
=
=
=
;3!;_{;2!;-;3Á8;}=;1£9;
;3!;[{;2!;-;5!;}+{;5!;-;8!;}+{;8!;-;1Á1;}
y +
+
{;3Á5;-;3Á8;}]
{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+{;4!;-;5!;}+
{;2Á1;-;2Á2;}
y +
기초 개념
가평
본문 | 122, 123쪽
01 n
03 합
05 -
07 cn
09 6
11 d
13 k
02 m
04 +
06 c
08 2
10 n(n+1)
12 b-a
10. 수열의 합 ⦁ 49
기초 문제
가평
본문 | 124, 125쪽
1 수열 3, 5, 7, y의 일반항은 3+(n-1)_2=2n+1
2n+1=15에서 n=7이므로
33+53+73+93+113+133+153=
(2k+1)3
따라서 옳은 답은 ④이다.
7
k=1
Á
12
⑵
(k2+1)-
(k2-1)
9
k=1
Á
-
}
k=1
Á
=
{
=
{
12
k=1
Á
12
=
k=10
Á
k2+12
k2-
9
k2
}
k=1
Á
12
k=1
Á
k2+21
9
k2-9
}
{
k=1
Á
+21
=102+112+122+21=386
m
k=1
Á
6
(k2-1)=
m(m+1)(2m+1)
6
-m
(k2-1)=
m{(m+1)(2m+1)-6}
6
(k2-1)=
(k2-1)=
m(2mÛ`+3m-5)
6
2mÜ`+3mÛ`-5m
6
(kÛ`-1)
]
(2m3+3mÛ`-5m)
∴
9
m=1[
Á
=
m
k=1
Á
9
;6!;
m=1
Á
2_
=
;6!;[
=780
2
9_10
2
}
{
+3_
9_10_19
6
-5_
9_10
2
]
kn+
n(n+1)
2
]
n
(k+l)
]
7
m
k=1[
Á
=
l=1
Á
m
k=1[
Á
;2!;
m
k=1
Á
2n_
=
;2!;[
=
{2kn+n(n+1)}
m(m+1)
2
+mn(n+1)
]
;2!;
;2!;
;2!;
=
mn(m+n+2)
=
_20_(12+2)=140
8 ⑴ 수열 2, 4, 6, y의 일반항은 2+(n-1)_2=2n,
수열 5, 7, 9, y의 일반항은 5+(n-1)_2=2n+3
이므로 구하는 합은
n
k=1
Á
n
k=1
Á
n
2k(2k+3)=
(4k2+6k)
2k(2k+3)=4
k=1
Á
2k(2k+3)=4_
k2+6
n
k
k=1
Á
n(n+1)(2n+1)
6
n(n+1){(4n+2)+9}
3
+6_
n(n+1)
2
2k(2k+3)=
2k(2k+3)=
n(n+1)(4n+11)
3
(ak
2-2ak+1)=
ak
2-2
10
ak+1_10=100
따라서 구하는 식의 값은 ②이다.
⑴
(k+2)=2+
+2_10=77
=
{mn(m+1)+mn(n+1)}
yy㉠
yy㉡
(ak
2+2ak+1)=
ak
2+2
10
ak+1_10=200
2
(ak+1)(ak-2)=
(ak
2-ak-2)
(ak+1)(ak-2)=
ak
2-
8
ak-
k=1
(ak+1)(ak-2)=40-10-2_8=14
Á
k=1
Á
8
2
k=1
Á
8
k=1
Á
8
8
k=1
Á
10
k=1
Á
10
10
k=1
Á
10
10
k=1
Á
10
k=0
Á
3
(ak+1)2=200에서
k=1
Á
∴
k=1
Á
ak=190
10
ak
2+2
10
k=1
k=1
Á
Á
(ak-1)2=100에서
k=1
Á
∴
10
ak
2-2
10
k=1
Á
㉠-㉡을 하면
k=1
Á
k=1
Á
ak=90
4
ak=100
∴
ak=25
10
k=1
Á
10
k=1
Á
4 ⑴
(k+2)=2+
(k+2)
10
k=1
Á
10
k=1
Á
10_11
2
10
다른 풀이
(k+2)=
k+
10
k=0
Á
10
10
2=
k+
10
2
k=0
k=0
k=1
Á
Á
Á
+2_11=77
k=0
Á
10_11
2
⑴
(k+2)=
n-1
⑵
(2i-5)=2_
(n-1)_n
2
-5(n-1)
i=1
Á
⑵
(2i-5)=nÛ`-6n+5
5 ⑴
10
(k+1)2-
(k-1)2
10
k=1
Á
=
k=1
Á
{(k+1)2-(k-1)2}
=
{(k2+2k+1)-(k2-2k+1)}
10
k=1
Á
10
k=1
Á
10
10
k
=
4k=4
k=1
Á
=4_
k=1
Á
10_11
2
=220
50 ⦁ 정답과 해설
⑵ 수열 12, 12+22, 12+22+32, y의 일반항은
11 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 a+b=3, ab=2
an=12+22+32+ y +n2=
n(n+1)(2n+1)
6
이므로 구하는 합은
n
k(k+1)(2k+1)
6
(2k3+3k2+k)
k=1
Á
=
=
n
;6!;
k=1
Á
2
;6!; {
=
;3!;_[
n
k3+3
n
k2+
n
k=1
k=1
Á
Á
n(n+1)
]
2
2
k=1
Á
;2!;
_
+
k
}
n(n+1)(2n+1)
6
=
n(n+1){n(n+1)+(2n+1)+1}
12
=
n(n+1)(nÛ`+3n+2)
12
=
n(n+1)Û`(n+2)
12
+
_
;6!;
n(n+1)
2
9 1+2+3+ y +n=
n
k=
n(n+1)
2
1+(1+2)+(1+2+3)+ y +(1+2+3+ y +n)
k=1
Á
k=1
Á
=
k(k+1)
2
=
;2!;
n
(k2+k)
=
_
n(n+1)(n+2)
3
n
k=1
Á
;2!;
=
n(n+1)(n+2)
6
n(n+1)(n+2)
6
=120에서
n(n+1)(n+2)=6_120=720
이때 720=8_9_10이므로
n(n+1)(n+2)=8_9_10
∴ n=8
따라서 자연수 n의 값은 ⑤이다.
10
1
(2n+1)Û`-1
=
1
2n(2n+2)
=
1
4n(n+1)
+
1
7Û`-1
+ y +
1
(2n+1)Û`-1
이 성립하므로
+
1
5Û`-1
1
4k(k+1)
1
3Û`-1
=
=
n
k=1
Á
;4!;
=
1
k+1 }
n
k=1{;k!;-
Á
1
;4!;[{
(k-a)(k-b)
{k2-(a+b)k+ab}
10
k=1
Á
=
10
k=1
Á
10
=
(k2-3k+2)
k=1
Á
10_11_21
6
=
-3_
10_11
2
+2_10=240
12
1
k+2+
'Ä
=
k+2-
k+1
'Ä
k+1
'Ä
'Ä
이 성립하므로 구하는 합은
48
(
k=1
=(
Á
k+2-
k+1)
'Ä
3-
'
'
'Ä
2)+(
'
4-
3)+(
5-
4)
'
'
'
=
50-
2=5
2-
2=4
2
'¶
'
'
'
'
13 1+2+3+ y +n=
n(n+1)
2
이므로
10
1
1+2+3+ y +n
n=1
Á
=
10
n=1
Á
[{
2
n(n+1)
=2
1
1
n -
n+1 }
10
n=1{
Á
-
=2
1-
;2!;}+{;2!;
;3!;}+{;3!;
;4!;}
-
+ y +(
50-
49)
'¶
'¶
y
+
-
+{;1Á0;
;1Á1;}]
14 수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면
2_
1
=
{
-;1Á1;}=;1@1);
Sn=
ak=n2+2n
n
k=1
Á
Ú n¾2일 때
an =Sn-Sn-1
=n2+2n-{(n-1)2+2(n-1)}
=n2+2n-(n2-1)=2n+1
yy㉠
Û n=1일 때
a1=S1=12+2_1=3
이때 a1=3은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같다.
Ú, Û에서 an=2n+1
n
k=1
Á
∴
∴
∴
1
ak ak+1
=
n
k=1
Á
;2!;
1
(2k+1)(2k+3)
1
2k+3 }
1
2k+1 -
n
k=1{
Á
=
=
-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}
y
+
+{;n!;-
n+1 }]
1
;2!;[{;3!;-;5!;}
{;5!;-;7!;}
{;7!;-;9!;}
+
+
1
+ y +
{
2n+1 -
2n+3 }]
1
=
1
1
;4!; {
-
n+1 }=
n
4(n+1)
∴
=
;2!;{;3!;-
1
2n+3 }
=
n
3(2n+3)
10. 수열의 합 ⦁ 51
11 수학적 귀납법
본문 | 126~129쪽
an+1=2an+1에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면
1-1 ⑴ 7, 9 ⑵ 27, 81
1-2 ⑴ a1=3이므로
a2=2a1+1=2_3+1=7,
a3=2a2+1=2_7+1=15,
a4=2a3+1=2_15+1=31,
a5=2a4+1=2_31+1=63
⑵ a1=3이므로
a2=-a1+2=-3+2=-1,
a3=-a2+2=-(-1)+2=3,
a4=-a3+2=-3+2=-1,
a5=-a4+2=-(-1)+2=3
⑶ a1=2이므로
an+1=-an+2에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면
an+1=an+3에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면
a2=a1+3=2+3=5,
a3=a2+3=5+3=8,
a4=a3+3=8+3=11,
a5=a4+3=11+3=14
⑷ a1=1이므로
a2=2_a1=2_1=2,
a3=2_a2=2_2=4,
a4=2_a3=2_4=8,
a5=2_a4=2_8=16
이므로 일반항은
an=1_2n-1=2n-1
∴ a5=25-1=16
an+1=2an에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면
다른 풀이 수열 {an}은 첫째항이 1, 공비가 2인 등비수열
다음 변끼리 더하면
aª=aÁ+3_1-1
a£=aª+3_2-1
a¢=a£+3_3-1
⋮
a10=a9+3_9-1
+>³
a10=aÁ+3(1+2+3+.y.+9)-9
9
=1+3
k=1
Á
=1+3_
k-9
9_10
2
-9=127
52 ⦁ 정답과 해설
⑵ an+1=an+3n에 n=1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입한 다
+>³
a10=aÁ+(3+32+33+.y.+39)
=1+
9
3k
k=1
Á
3_(3á`-1)
3-1
=1+
=
;2!;_
(310-1)
⑶ an+1=an+nÛ`-n에 n=1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입한
음 변끼리 더하면
aª=aÁ+3
a£=aª+32
a¢=a£+33
⋮
a10=a9+39
다음 변끼리 더하면
aª=aÁ+1Û`-1
a£=aª+2Û`-2
a¢=a£+3Û`-3
⋮
a10=a9+9Û`-9
+>³
a10=aÁ+(1Û`+22+.y.+92)-(1+2+.y.+9)
9
=3+
kÛ`-
9
k
k=1
Á
k=1
Á
9_10_19
6
=3+
-
9_10
2
=243
⑷ an+1=an+2n-1에 n=1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입한
다음 변끼리 더하면
aª=aÁ+1
a£=aª+2
a¢=a£+22
⋮
a10=a9+28
+>³
a10=aÁ+(1+2+22+.y.+28)
=2+
9
2k-1
k=1
Á
1_(2á`-1)
2-1
=2+
=513
3-1 ⑴ 20, 20 ⑵ 1, 190
3-2 ⑴ an+1=
n+1
n+2
다음 변끼리 곱하면
aÁ
;3@;
aª
;4#;
a£
;5$;
aª=
a£=
a¢=
⋮
a20=
a19
;2@1);
_
>³
a20=aÁ_
{;3@;_;4#;_;5$;
_.y._
;2@1);}
=1_
=
;2ª1;
;2ª1;
2-1 ⑴ 1, 1, 91 ⑵ 2, 1023
2-2 ⑴ an+1=an+3n-1에 n=1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입한
an에 n=1, 2, 3, y, 19를 차례로 대입한
⑵ an+1=3n-1an에 n=1, 2, 3, y, 19를 차례로 대입한 다
기초 개념
가평
본문 | 130, 131쪽
음 변끼리 곱하면
aª=aÁ
a£=3aª
a¢=32a£
⋮
a20=318a19
_>³
a20=aÁ_(1_3_32_y_318)
=1_31+2+3+ y +18
=3
18_19
2 =3171
⑶ an+1=
an에 n=1, 2, 3, y, 19를 차례로 대입한
2n+1
2n-1
다음 변끼리 곱하면
a20=aÁ_
{;1#;_;3%;_;5&;
_.y._
;3#7(;}
=2_39=78
⑷ 2nan+1=an, 즉 an+1=
an에 n=1, 2, 3, y, 19를 차
1
2n
례로 대입한 다음 변끼리 곱하면
aÁ
;1#;
aª
;3%;
a£
;5&;
aª=
a£=
a¢=
⋮
a20=
a19
;3#7(;
_
>³
aÁ
;2!;
1
aª
22
1
a£
23
aª=
a£=
a¢=
⋮
a20=
1
219
a19
_
>³
a20=aÁ_
1
22 _
1
23 _.y._
1
219 }
{;2!;_
=1_
1+2+3+
y
+19
{;2!;}
19_20
2
=
{;2!;}
=
{;2!;}
190
4-1 ㈎ k(k+1)
2
㈏ k
2
㈐ (k+1)(k+2)
2
4-2 ㈎ 2k2+7k+6 ㈏ 2k+3 ㈐ k+1
01 귀납적
03 a, r
05 k
07 f(n-1)
09 n=2
02 a, d
04 더한다
06 곱한다
08 n=1
10 n=k+1
기초 문제
가평
본문 | 132, 133쪽
1 ⑴ a1=2이므로
an+1=-an+3에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면
a2=-a1+3=-2+3=1,
a3=-a2+3=-1+3=2,
a4=-a3+3=-2+3=1,
a5=-a4+3=-1+3=2
⑵ a1=4이므로
an+1=-2n-1an+n에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면
a2=-21-1a1+1=-1_4+1=-3,
a3=-22-1a2+2=-2_(-3)+2=8,
a4=-23-1a3+3=-4_8+3=-29,
a5=-24-1a4+4=-8_(-29)+4=236
an+1=
+n2에 n=1, 2, 3을 차례로 대입하면
2 a1=1이므로
1
an
1
a1
1
a2
1
a3
a2=
+12=1+1=2,
a3=
+22=
+4=
a4=
+32=
+9=
;2!;
;9@;
;2(;,
83
9
3 수열 {an}은 첫째항이 4, 공차가 3인 등차수열이므로
an=4+(n-1)_3=3n+1
∴ a20=3_20+1=61
4 2an+1=an+an+2에서 an+2-an+1=an+1-an
즉, 수열 {an}은 첫째항이 1, 공차가 a2-a1=4인 등차수열이
므로
an=1+(n-1)_4=4n-3
10
10
∴
ak=
k=1
Á
=4_
k=1
Á
(4k-3)
10_11
2
-3_10=190
11. 수학적 귀납법 ⦁ 53
(좌변)=13= 1 , (우변)=
1_2
2
{
2 }
= 1
따라서 n=1일 때 등식 ㉠이 성립한다.
❷ n=k일 때
등식 ㉠이 성립한다고 가정하면
13+23+33+ y +k3=
2
k(k+1)
2
]
[
위의 등식의 좌변에 (k+1)3 을 더하면
13+23+33+ y +k3+ (k+1)3
=
2
k(k+1)
2
]
[
+ (k+1)3
=(k+1)Û`_
+(k+1)
kÛ`
4
[
( k+2
4
2
]
2
)
=(k+1)Û`_
=
(k+1)(k+2)
2
]
[
위 등식은 등식 ㉠에 n=k+1을 대입한 것과 같다.
따라서 n=k+1일 때도 등식 ㉠이 성립한다.
❶, ❷에서 모든 자연수 n에 대하여 등식 ㉠이 성립한다.
∴ ㈎ 1 ㈏ (k+1)3 ㈐ k+2
10 ❶ n=2일 때
(좌변)=(1+h)2=1+2h+h2,
(우변)= 1+2h
이때 1+2h+h2>1+2h이므로 부등식 ㉠이 성립한다.
❷ n=k (k¾2)일 때
부등식 ㉠이 성립한다고 가정하면
(1+h)k>1+kh
yy㉡
위의 부등식의 양변에 1+h를 곱하면
(1+h)k+1=(1+h)k ( 1+h )
(1+h)k+1 >(1+kh)(1+h)
(1+h)k+1 =1+(k+1)h+kh2
(1+h)k+
따라서 n=k+1일 때도 부등식 ㉠이 성립한다.
❶, ❷에서 n¾2인 모든 자연수 n에 대하여 부등식 ㉠이 성
1> 1+(k+1)h
립한다.
∴ ㈎ 1+2h ㈏ 1+h ㈐ 1+(k+1)h
5 수열 {an}은 첫째항이
, 공비가
인 등비수열이므로
9 ❶ n=1일 때
;2!;
n
;2!;
an=
n-1
=
;2!;_{;2!;}
{;2!;}
따라서 이 수열의 첫째항부터 제12항까지의 합은
k
=
12
k=1{;2!;}
Á
12
1
;2!;_[
-{;2!;}
]
1-
;2!;
=1-
{;2!;}
12
6 an+1
2=anan+2에서
an+2
an+1
=
an+1
an
즉, 수열 {an}은 첫째항이 1, 공비가
=3인 등비수열이므로
a2
a1
an=1_3n-1=3n-1
∴ a2+a4+a6=3+33+35=273
7 an+1=an+2n+1에 n=1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입한
다음 변끼리 더하면
aª=aÁ+2_1+1
a£=aª+2_2+1
a¢=a£+2_3+1
⋮
an=an-1+2_(n-1)+1
+>³
an=a1+2_{1+2+3+ y +(n-1)}+(n-1)
n-1
=2+2
k=1
Á
=2+2_
k+(n-1)
(n-1)n
2
+(n-1)
=n2+1
n2+1=145에서 n2=144
∴ n=12
an에 n=1, 2, 3, y, 8을 차례로 대입한 다음
8 an+1=
3n+2
3n-1
변끼리 곱하면
aª=
a£=
aÁ
;2%;
aª
;5*;
a¢=
a£
:Á8Á:
⋮
a9=
a8
;2@3^;
_
>³
a9=aÁ_
=4_
=52
:ª2¤:
54 ⦁ 정답과 해설
{;2%;_;5*;_:Á8Á:
_.y._
;2@3^;}
memo
짧지만 개념에 강한 짤강!
memo
짧지만 개념에 강한 짤강!
