정답과
해설
수학의 힘 유형 β
I경우의 수
II확률
III통계
1
2
여러 가지 순열
중복조합과 이항정리
002
011
3
4
확률의 뜻과 활용
조건부확률
022
035
5
6
7
이산확률분포
연속확률분포
통계적 추정
046
060
076
0013 8
서로 다른 2개의 우체통에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으
본책 6쪽~16쪽
므로
ªP£=2Ü`=8
1
여러 가지 순열
STEP1
기초
Build
0001 120
(6-1)!=5!=5´4´3´2´1=120
0002 24
(5-1)!=4!=4´3´2´1=24
0003 12
A, B를 한 명으로 생각하여 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는
(4-1)!=3!=3´2´1=6
이때, 각 경우에 대하여 A, B 두 사람이 자리를 바꾸는 경우의 수가
2!=2이므로 구하는 경우의 수는
6´2=12
0004 6
원탁에 4명이 둘러앉는 경우의 수와 같으므로
(4-1)!=3!=3´2´1=6
0005 81
£P¢=3Ý`=81
0006 32
ªP°=2Þ`=32
0007 256
¢P¢=4Ý`=256
0008 1
°P¼=5â`=1
0009 n=6
ÇP£=nÜ`이므로 nÜ`=216=6Ü`
∴ n=6
0010 r=3
¢P¨=4¨`이므로 4¨`=64=4Ü`
∴ r=3
0011 r=9
ªP¨=2¨`이므로 2¨`=512=2á`
∴ r=9
0012 9
1, 2, 3의 3개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로
£Pª=3Û`=9
002 | Ⅰ 경우의 수
0014 30
5개의 숫자 중 2가 2개, 3이 2개 있으므로 구하는 경우의 수는
5!
2!2!
= 5´4´3´2´1
2´1´2´1
=30
0015 60
6개의 문자 중 a가 3개, n이 2개 있으므로 구하는 경우의 수는
6!
3!2!
= 6´5´4´3´2´1
3´2´1´2´1
=60
0016 30
하나의 a를 제외한 5개의 문자를 일렬로 나열하면 된다. 이때, 5개
의 문자 중 a가 2개, n이 2개 있으므로 구하는 경우의 수는
5!
2!2!
= 5´4´3´2´1
2´1´2´1
=30
0017 35
최단 거리로 가려면 오른쪽으로 4칸, 아래쪽으로 3칸을 가야 한다.
오른쪽으로 가는 것을 a, 아래쪽으로 가는 것을 b로 나타내면 구하
는 경우의 수는 a, a, a, a, b, b, b를 일렬로 나열하는 경우의 수와
같다. 이때, 7개의 문자 중 a가 4개, b가 3개 있으므로 구하는 경우
의 수는
7!
4!3!
= 7´6´5´4´3´2´1
4´3´2´1´3´2´1
=35
STEP2
유형
Drill
유형 01 원탁에 둘러앉는 경우의 수
본책 8쪽
서로 다른 n개를 원형으로 배열하는 경우의 수는
⇨ n!
n
=(n-1)!
0018 ④
여학생 3명을 한 명으로 생각하여 6명이 원탁에 둘러앉는 경우의
수는
(6-1)!=5!=120
여학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 3!=6
따라서 구하는 경우의 수는
120´6=720
0019 96
부부 2명을 한 명으로 생각하여 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는
(4-1)!=3!=6
부부끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 각각
2!=2
따라서 구하는 경우의 수는
6´2´2´2´2=96
0020 12
어른 3명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는
(3-1)!=2!=2
어른들 사이사이의 3개의 자리에 아이 3명을 앉히는 경우의 수는
3!=6
따라서 구하는 경우의 수는
2´6=12
0021 ⑤
여자 5명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는
(5-1)!=4!=24
여자들 사이사이의 5개의 자리에 남자 3명을 앉히는 경우의 수는
°P£=60
따라서 구하는 경우의 수는
24´60=1440
0022 24
아버지의 자리가 결정되면 어머니의 자리는 마주 보는 자리로 고정
되므로 구하는 경우의 수는 5명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수와 같
다.
∴ (5-1)!=4!=24
자식 4명과 아버지
다른 풀이 부모님이 마주 보도록 원탁에 앉은 다음 나머지 네 자리에 4명
을 앉히면 되므로 구하는 경우의 수는
4!=24
0023 1440
중학생 2명, 고등학생 3명을 각각 한 명으로 생각하여 6명이 원탁에
둘러앉는 경우의 수는
(6-1)!=5!=120
중학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는
2!=2
고등학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는
3!=6
따라서 구하는 경우의 수는
120´2´6=1440
유형 02 다각형 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수
본책 8쪽
Ú 원형으로 배열하는 경우의 수를 구한다.
Û 주어진 다각형을 회전시켰을 때 겹치지 않는 자리의 수를 구한다.
Ü Ú, Û에서 구한 값을 곱한다.
0024 ②
8명을 원형으로 배열하는 경우의 수는
(8-1)!=7!
이때, 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 직사각형 모양의
탁자에서는 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 4가지씩 존재한다.
7 6 5
6 5 4
5 4 3
4 3 2
8
4
7
3
6
2
5
1
1 2 3
8 1 2
7 8 1
6 7 8
따라서 구하는 경우의 수는
4´7!
0025 240
6명을 원형으로 배열하는 경우의 수는
(6-1)!=5!=120
이때, 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 정삼각형 모양의
탁자에서는 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 2가지씩 존재한다.
1
6
6
5
2
5
1
4
3
4
2
3
따라서 구하는 경우의 수는
120´2=240
0026 ②
10명을 원형으로 배열하는 경우의 수는
(10-1)!=9!
이때, 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 마름모 모양의 탁
자에서는 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 5가지씩 존재한다.
10
1
2
9
3
8
5
4
7
6
2
3
4
1
9
10
1
5
8
2
10
6
7
3
8
7
9
6
5
4
10
1
2
3
8
9
10
4
7
1
9
5
6
8
7
6
5
4
3
2
따라서 구하는 경우의 수는
9!´5=9!´10´
=
;2!;
;2!;
´10!
∴ a=
;2!;
0027 ③
15명을 원형으로 배열하는 경우의 수는
(15-1)!=14!
이때, 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 정오각형 모양의
탁자에서는 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 3가지씩 존재한다.
1
15
2
3
14
13
15
14
1
2
13
12
14
13
15
1
12
11
4
5
6
12
11
10
3
4
5
11
10
9
2
3
4
10
9
8
987
876
765
따라서 구하는 경우의 수는
3´14!
1 여러 가지 순열 | 003
여러가지 순열1 유형 03 도형에 색칠하는 경우의 수 ; 원순열
본책 9쪽
유형 04 중복순열
본책 10쪽
Ú 기준이 되는 영역에 색을 칠하는 경우의 수를 구한다.
Û 원순열을 이용하여 나머지 부분에 색을 칠하는 경우의 수를 구한다.
서로 다른 n개에서 r개를 택하는 중복순열의 수는
⇨ ÇP¨=n¨`
Ü Ú, Û에서 구한 값을 곱한다.
0028 30
가운데 원을 칠하는 경우의 수는 5이고, 나머지 4개의 도형을 칠하
0033 243
서로 다른 3명의 학생에서 5명을 택하는 중복순열의 수와 같으므로
£P°=3Þ`=243
는 경우의 수는
(4-1)!=3!=6
따라서 구하는 경우의 수는
5´6=30
0034 ②
구하는 경우의 수는 A와 B를 한 사람으로 생각하여 3명이 1동, 2동
에 나누어 투숙하는 경우의 수와 같다.
즉, 서로 다른 2개의 동에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으
0029 48
빨간색과 노란색을 한 가지 색으로 생각하여 5가지 색을 원판에 칠
므로
ªP£=2Ü`=8
하는 경우의 수는
(5-1)!=4!=24
빨간색과 노란색으로 칠하는 영역을 바꾸는 경우의 수는
2!=2
따라서 구하는 경우의 수는
24´2=48
0030 120
서로 다른 6가지 색 중에서 4가지 색을 고르는 경우의 수는
¤C¢=¤Cª=15
가운데 삼각형을 칠하는 경우의 수는 4이고, 나머지 3개의 도형을
0035 112
주어진 기호를 4번 이용하여 만들 수 있는 신호의 개수는
ªP¢=2Ý`=16
기호를 5번 이용하여 만들 수 있는 신호의 개수는
ªP°=2Þ`=32
기호를 6번 이용하여 만들 수 있는 신호의 개수는
ªP¤=2ß`=64
따라서 구하는 신호의 개수는
16+32+64=112
칠하는 경우의 수는
(3-1)!=2!=2
따라서 구하는 경우의 수는
15´4´2=120
0031 20
두 밑면을 칠하는 경우의 수는 °Cª=10
두 밑면에 칠한 색을 제외한 3가지 색을 옆면에 칠하는 경우의 수는
(3-1)!=2!=2
따라서 구하는 경우의 수는
10´2=20
0032 ④
TIP 정사각형 모양의 탁자에 둘러앉는 방법의 수를 이용한다.
가운데 정사각형을 칠하는 경우의 수는 9이고, 나머지 8개의 정사
각형을 칠하는 경우의 수는
(8-1)!=7!
이때, 8개의 정사각형을 칠하는 한 가지 방법에 대하여 다음 그림과
3
4
5
2
1
6
9
8
7
2
3
4
9
1
5
8
7
6
따라서 구하는 경우의 수는
9´7!´2=18´7!
004 | Ⅰ 경우의 수
0036 810
Ú 두 자리의 자연수가 적힌 공 중에서 숫자 0이 적혀 있지 않은 공
의 개수는 1, 2, y, 9의 9개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와
Û 세 자리의 자연수가 적힌 공 중에서 숫자 0이 적혀 있지 않은 공
의 개수는 1, 2, y, 9의 9개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와
같으므로
»Pª=9Û`=81
같으므로
»P£=9Ü`=729
Ú, Û에서 구하는 공의 개수는
81+729=810
유형 05 중복순열 ; 정수의 개수
본책 10쪽
자연수 m, n에 대하여
⑴ 1, 2, 3, y, n의 n개의 숫자에서 중복을 허용하여 만들 수 있는 m자
⑵ 0, 1, 2, y, n의 n+1개의 숫자에서 중복을 허용하여 만들 수 있는 m
자리 정수의 개수는 ⇨ n´n+1Pm-1=n(n+1)m-1
0037 ④
일의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 1, 3, 5의 3개
백의 자리, 십의 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5의 5
개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로
같이 서로 다른 경우가 2가지씩 존재한다.
리 정수의 개수는 ⇨ ÇPµ=nµ``
°Pª=5Û`=25
따라서 구하는 세 자리 자연수의 개수는
3´25=75
0038 ③
한 자리 자연수의 개수는 ¢PÁ=4
두 자리 자연수의 개수는 ¢Pª=4Û`=16
세 자리 자연수의 개수는 ¢P£=4Ü`=64
따라서 구하는 자연수의 개수는
4+16+64=84
0039 31
백의 자리의 숫자가 될 수 있는 것은 2, 3의 2개
십의 자리, 일의 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 0, 1, 2, 3의 4개
에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로
¢Pª=4Û`=16
이때, 200은 제외해야 하므로 구하는 자연수의 개수는
2´16-1=31
0040 61
5개의 숫자에서 3개를 택하는 중복순열의 수는
°P£=5Ü`=125
3을 제외한 나머지 4개의 숫자에서 3개를 택하는 중복순열의 수는
¢P£=4Ü`=64
따라서 구하는 세 자리 자연수의 개수는
125-64=61
0041 ③
3, 6, 9를 제외한 일곱 개의 숫자 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8에서 중복을 허용
하여 만들 수 있는 500 이하의 자연수의 개수는
Ú 한 자리 자연수 ⇨ 6
Û 두 자리 자연수 ⇨ 6´¦PÁ=6´7=42
Ü 세 자리 자연수 ⇨ 3´¦Pª+1 =3´7Û`+1=148
500
백의 자리 숫자가 1, 2, 4인 세 자리 자연수의 개수
Ú~Ü에서 1부터 500까지의 자연수 중에서 3, 6, 9가 들어 있지
않은 수의 개수는
6+42+148=196
따라서 3 또는 6 또는 9가 들어가는 수의 개수는
500-196=304
이므로 박수를 모두 304번 친다.
0042 28
X에서 Y로의 함수의 개수는 Y의 원소 1, 2, 3, 4의 4개에서 2개를
택하는 중복순열의 수와 같으므로
a=¢Pª=4Û`=16
X에서 Y로의 일대일함수의 개수는 Y의 원소 1, 2, 3, 4의 4개에서
2개를 택하는 순열의 수와 같으므로
b=¢Pª=12
∴ a+b=28
0043 192
X={2, 3, 5, 7}, Y={1, 2, 5, 10}이고 X에서 Y로의 함수 f
의 개수는 Y의 원소 1, 2, 5, 10의 4개에서 4개를 택하는 중복순열
의 수와 같으므로
¢P¢=4Ý`=256
X에서 Y로의 함수 f 중에서 f(2)=1인 함수의 개수는 Y의 원소
1, 2, 5, 10의 4개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로
¢P£=4Ü`=64
따라서 구하는 함수의 개수는
256-64=192
유형 07 같은 것이 있는 순열 ; 문자의 나열
본책 11쪽
n개 중에서 서로 같은 것이 각각 p개, q개, y, r개씩 있을 때, n개를 일
렬로 나열하는 경우의 수는
⇨
n!
p!q!yr!
(단, p+q+y+r=n )
0044 ⑤
모음 e, o, e를 한 문자 A로 생각하여 4개의 문자 A, p, p, l을 일렬
로 나열하는 경우의 수는
=12
4!
2!
모음끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는
=3
3!
2!
따라서 구하는 경우의 수는
12´3=36
6!
2!2!
=180
양 끝에 f와 t를 나열하는 경우의 수는
2!=2
따라서 구하는 경우의 수는
180´2=360
0045 360
f와 t를 제외한 6개의 문자 o, o, b, a, l, l을 일렬로 나열하는 경우
의 수는
유형 06 중복순열 ; 함수의 개수
본책 11쪽
원소의 개수가 각각 m, n인 두 집합 X, Y에 대하여
⑴ X에서 Y로의 함수의 개수는 ⇨ ÇPµ=nµ``
⑵ X에서 Y로의 일대일함수의 개수는 ⇨ ÇPµ (단, n¾m)
0046 900
7개의 문자 c, l, a, s, s, i, c를 일렬로 나열하는 경우의 수는
7!
2!2!
=1260
1 여러 가지 순열 | 005
여러가지 순열1 s끼리 이웃하게 나열하는 경우의 수는 s, s를 한 문자 A로 생각하
여 6개의 문자 A, c, l, a, i, c를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으
므로
=360
6!
2!
따라서 구하는 경우의 수는
1260-360=900
0047 ④
양 끝에 올 수 있는 것은 d, d, t, n이므로
Ú 양 끝에 모두 d가 오는 경우
Ú a, i, t, i, o, n을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
Ú
=360
6!
2!
Û 한쪽 끝에만 d가 오는 경우
다른 한쪽 끝의 문자가 될 수 있는 것은 t, n의 2개
Ú 양 끝의 문자가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!
Ú 나머지 6개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는
a, d, i, i, o, n 또는 a, d, i, t, i, o
6!
2!
Ú ∴ 2´2!´ 6!
2!
=1440
Ü 양 끝에 d가 오지 않는 경우, 즉 t, n이 오는 경우
양 끝의 문자가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!
Ú 6개의 문자 a, d, d, i, i, o를 일렬로 나열하는 경우의 수는
Ú
6!
2!2!
Ú ∴ 2!´ 6!
2!2!
=360
Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는
360+1440+360=2160
0049 12
5개의 숫자 1, 1, 1, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는
5!
3!
2와 3을 한 숫자로 생각하여 4개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의
=20
수는
이고, 2와 3이 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!이므로
4!
3!
´2!=8
4!
3!
따라서 구하는 경우의 수는
20-8=12
다른 풀이 먼저 1, 1, 1을 일렬로 나열한 다음 그 사이 ☐ 1 ☐ 1 ☐ 1 ☐
사이와 양 끝에 2와 3을 나열하는 경우의 수와 같으
므로
¢Pª=12
Ú
=12
Ú
=12
4!
2!
4!
2!
0050 24
각 자리 숫자의 합이 3의 배수일 때 그 수는 3의 배수이다.
6개의 숫자 1, 1, 2, 3, 4, 4 중에서 4개를 택하여 그 합이 9가 되는
경우는 1, 1, 3, 4이고, 12가 되는 경우는 1, 3, 4, 4이다.
Ú 4개의 숫자 1, 1, 3, 4를 일렬로 나열하는 경우의 수는
Û 4개의 숫자 1, 3, 4, 4를 일렬로 나열하는 경우의 수는
Ú, Û에서 구하는 3의 배수의 개수는
12+12=24
유형 08 같은 것이 있는 순열 ; 정수의 개수
본책 12쪽
Ú 기준이 되는 n번째 자리 숫자를 정하는 경우의 수를 구한다.
Û 나머지 자리의 숫자를 정하는 경우의 수는 같은 것이 있는 순열의 수
를 이용하여 구한다.
Ü Ú, Û에서 구한 값을 곱한다.
0051 20
TIP xÔ (i=1, 2, y, 5) 중에서 -1, 1, 2를 값으로 갖는 것의 개수를 각각 a,
b, c라 하고 주어진 조건을 방정식으로 나타낸다.
xÔ (i=1, 2, y, 5) 중에서 -1, 1, 2를 값으로 갖는 것의 개수를 각
각 a, b, c (a, b, c는 음이 아닌 정수)라 하면
0048 ⑤
일의 자리의 숫자가 0 또는 2일 때 그 수는 짝수이다.
Ú 일의 자리의 숫자가 0인 경우
6개의 숫자 1, 1, 1, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는
Ú
6!
3!2!
=60
Û 일의 자리의 숫자가 2인 경우
6개의 숫자 0, 1, 1, 1, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는
6!
3!
=120
Ú
Ú 이때, 맨 앞자리에 0이 오는 경우의 수는
Ú
=20
5!
3!
Ú 이므로 120-20=100
Ú, Û에서 구하는 짝수의 개수는
60+100=160
006 | Ⅰ 경우의 수
a+b+c=5
-a+b+2c=0
[
㉠+㉡을 하면
2b+3c=5
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
즉, 2b=5-3c¾0에서 cÉ
;3%;
이때, c는 음이 아닌 정수이므로 c=0 또는 c=1
c=0 또는 c=1을 ㉢에 각각 대입하면
b=
, c=0 또는 b=1, c=1
;2%;
이때, b는 음이 아닌 정수이므로 b=1, c=1
b=1, c=1을 ㉠에 대입하면 a=3
따라서 xÔ 중에서 그 값이 -1인 것이 3개, 1인 것이 1개, 2인 것이
1개 있고 이들을 일렬로 배열하는 경우의 수가 구하는 방정식의 근
의 개수와 같으므로
5!
3!
=20
유형 09 순서가 정해진 순열
본책 12쪽
서로 다른 n개의 문자를 일렬로 나열할 때, 특정한 r(01일 때,
r<1일 때,
a(rÇ`-1)
r-1
a(1-rÇ`)
1-r
`
`
`
`
`
`
항의 계수는 ¢C¢´2Ý
항의 계수는 °C¢´2Ý
항의 계수는 ¤C¢´2Ý
0146 ⑤
(1+2x)Ç`의 전개식의 일반항은 ÇC¨(2x)¨`=ÇC¨ 2¨`x¨`이고,
(1+2x)Ý
의 전개식에서 xÝ
`
(1+2x)Þ
의 전개식에서 xÝ
`
(1+2x)ß
의 전개식에서 xÝ
`
⋮
(1+2x)Ú
`
따라서 구하는 xÝ
¢C¢´2Ý
=16(¢C¢+°C¢+¤C¢+y+ÁªC¢)
=16(°C°+°C¢+¤C¢+y+ÁªC¢)
=16(¤C°+¤C¢+y+ÁªC¢)
⋮
=16(ÁªC°+ÁªC¢)
=16·Á£C°
의 전개식에서 xÝ
`
의 계수는
`
+¤C¢´2Ý
항의 계수는 ÁªC¢´2Ý
+y+ÁªC¢´2Ý
+°C¢´2Ý
`
`
`
`
`
`
참고
(1+2x), (1+2x)Û`, (1+2x)Ü`의 전개식에서 xÝ` 항은 존재하지 않는
다.
다른 풀이 수학Ⅰ 연계
(1+2x)+(1+2x)Û`+y+(1+2x)Ú`Û`
yy ㉠
㉠은 첫째항이 1+2x, 공비가 1+2x, 항의 개수가 12인 등비수열의 합이
므로
(1+2x){(1+2x)Ú`Û`-1}
(1+2x)-1
=
㉠의 전개식에서 xÝ`의 계수는 ㉡의
의 전개식에서 xÝ`의 계수와
(1+2x)Ú`Ü`-(1+2x)
2x
(1+2x)Ú`Ü`
2x
yy ㉡
같다.
이때, (1+2x)Ú`Ü`의 전개식의 일반항은 Á£C¨(2x)¨`=Á£C¨ 2¨`x¨`이므로
(1+2x)Ú`Ü`
2x
의 전개식의 일반항은
Á£C¨ 2¨`x¨`·(2x)-1=Á£C¨ 2r-1xr-1
xr-1=xÝ`에서 r-1=4
따라서 구하는 계수는
∴ r=5
Á£C°´2Ý`=16´Á£C°
`
(1+xÛ
`
)Ç`의 전개식의 일반항은
`
)¨`=ÇC¨ xÛ
`
)Ç`의 전개식에서 xß
0147 ④
(1+xÛ
ÇC¨(xÛ
xÛ
과 ㉠의 xÝ
`
`
나고, 이때 r=2이므로 그 계수는 ÇCª이다. 즉,
(1+xÛ
(1+xÛ
의 전개식에서 xÝ
`
의 전개식에서 xÝ
항의 계수는 ªCª
항의 계수는 £Cª
항은 xÛ
`
`
)Ü
)Û
`
`
`
`
`
`
018 | Ⅰ 경우의 수
…… ㉠
항이 곱해질 때 나타
0149 ④
£ÁC¨=£ÁC31-r이므로
£ÁC¼+£ÁCÁ+£ÁCª+y+£ÁCÁ°=£ÁC£Á+£ÁC£¼+£ÁCª»+y+£ÁCÁ¤
한편, £ÁC¼+£ÁCÁ+£ÁCª+y+£ÁC£Á=2Ü
£ÁC¼+£ÁCÁ+£ÁCª+y+£ÁCÁ°=
이므로
`
`
=2Ü
`
`
·2Ü
`
`
;2!;
Û
¨
â
â
Ú
Ú
â
0150 ②
ㄱ. Á¼C¼-Á¼CÁ+Á¼Cª-y+Á¼CÁ¼=0이므로
Á¼C¼=Á¼CÁ-Á¼Cª+y-Á¼CÁ¼
∴ Á¼CÁ-Á¼Cª+Á¼C£-y+Á¼C»-Á¼CÁ¼=1
ㄴ. ÁÁC¼-ÁÁCÁ+ÁÁCª-y-ÁÁCÁÁ=0이므로
즉, ÁÁCÁ+ÁÁC£+y+ÁÁC»+1=1+ÁÁCª+ÁÁC¢+y+ÁÁCÁ¼
∴ ÁÁCÁ+ÁÁC£+y+ÁÁC»=ÁÁCª+ÁÁC¢+y+ÁÁCÁ¼
ㄷ. £ÇC¼+£ÇCÁ+£ÇCª+y+£ÇC£Ç=2Ü
따라서 옳은 것은 ㄴ이다.
ÁÁCÁ+ÁÁC£+y+ÁÁC»+ÁÁCÁÁ=ÁÁC¼+ÁÁCª+ÁÁC¢+y+ÁÁCÁ¼
`
`
0151 682
f(n)=ªÇCÁ+ªÇC£+ªÇC°+y+ªÇC2n-1=22n-1이므로
f(1)+f(2)+y+f(5) =2Ú
+2à
+2á
+2Þ
+2Ü
`
`
`
`
=2+8+32+128+512
=682
`
0152 ①
원소의 개수가 2인 부분집합의 개수는 °¼Cª
원소의 개수가 4인 부분집합의 개수는 °¼C¢
⋮
원소의 개수가 50인 부분집합의 개수는 °¼C°¼
이므로 원소의 개수가 짝수인 부분집합의 개수는
°¼Cª+°¼C¢+°¼C¤+y+°¼C°¼
이때, °¼C¼+°¼Cª+°¼C¢+°¼C¤+y+°¼C°¼=2Ý
∴ °¼Cª+°¼C¢+°¼C¤+y+°¼C°¼=2Ý
-1
`
`
`
`
0153 968
10개의 점 중에서
3개의 점을 이어서 만들 수 있는 삼각형의 개수는 Á¼C£
4개의 점을 이어서 만들 수 있는 사각형의 개수는 Á¼C¢
⋮
10개의 점을 이어서 만들 수 있는 십각형의 개수는 Á¼CÁ¼
이때,
Á¼C¼+Á¼CÁ+Á¼Cª+Á¼C£+Á¼C¢+y+Á¼CÁ¼=2Ú
이므로
a£+a¢+y+aÁ¼ =Á¼C£+Á¼C¢+y+Á¼CÁ¼
`
`
=(Á¼C¼+Á¼CÁ+y+Á¼CÁ¼)-(Á¼C¼+Á¼CÁ+Á¼Cª)
=2Ú
-Á¼C¼-Á¼CÁ-Á¼Cª
`
`
=1024-1-10-45
=968
유형 11
이항계수의 성질 ; (1+x)2n
본책 28쪽
(1+x)Û
=(1+x)Ç`(1+x)Ç`이므로 (1+x)Û
의 전개식에서 xÇ`의 계
`
`
수는
ÇC¼´ÇCÇ+ÇCÁ´ÇCn-1+ÇCª´ÇCn-2+y+ÇCÇ´ÇC¼
=(ÇC¼)Û
+y+(ÇCÇ)Û
+(ÇCª)Û
+(ÇCÁ)Û
`
`
(∵ ÇC¨=ÇCn-r)
`
`
`
`
0154 ⑤
(¦C¼)Û
+(¦CÁ)Û
+(¦Cª)Û
+y+(¦C¦)Û
`
`
`
=¦C¼·¦C¦+¦CÁ·¦C¤+¦Cª·¦C°+y+¦C¦·¦C¼
이므로 주어진 식은 (1+x)à
(1+x)à
`
`
, 즉 (1+x)Ú
`
의 전개식에서
`
`
(1+x)Ú
, 즉 (1+x)Û
`
`
의 전개식에서
`
`
의 계수와 같다.
`
xà
따라서 구하는 값은 Á¢C¦
0155 10
주어진 식의 좌변은 (1+x)Ú
의 계수와 같으므로 ª¼CÁ¼
xÚ
`
즉, ª¼CÁ¼=ª¼C¨이므로 r=10
`
`
`
0156 ③
두 다항식의 곱
(1+x)m(1+x)Ç`
=(µC¼+µCÁ x+µCª xÛ
`
+y+µCµ xm)
_(ÇC¼+ÇCÁ x+ÇCª xÛ
+y+ÇCÇ xÇ`)
`
에서 ㈎ x¨` 의 계수는
µC¼´ÇC¨+µCÁ´ÇCr-1+µCª´ÇCr-2+y+µC¨´ÇC¼
이다.
한편, (1+x)m(1+x)Ç`= ㈏ (1+x)m+n 이고,
㈏ (1+x)m+n 의 전개식에서 x¨`의 계수는 ㈐ m+nC¨ 이다.
∴ µC¼´ÇC¨+µCÁ´ÇCr-1+y+µC¨´ÇC¼= ㈐ m+nC¨
STEP3
심화
Master
0157 105
TIP 서로 다른 n개에서 r개를 택하는 중복조합의 수는 ÇH¨이다.
`
`
의 서로
`
(x+2y-3z)Þ
과 (x+2y-3z)Þ
`
의 서로 다른 항의 개수의 곱과 같
`
의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 2개의 문자 a, -b 중
`
의 전개식에서 (a-b)Ý
`
(a-b)Ý
이 동류항을 갖지 않으므로 서로 다른 항의 개수는 (a-b)Ý
다른 항의 개수와 (x+2y-3z)Þ
다.
(a-b)Ý
에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
ªH¢=°C¢=°CÁ=5
또, (x+2y-3z)Þ
자 x, 2y, -3z 중에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
£H°=¦C°=¦Cª=21
따라서 구하는 서로 다른 항의 개수는
5´21=105
의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 3개의 문
`
2 중복조합과 이항정리 | 019
중복조합과 이항정리2Ç
á
á
â
â
Ç
Ç
Ý
â
â
â
â
0158 ①
TIP 한 가지 색의 공을 담는 경우가 결정되면 다른 색의 공을 담는 경우가 1
조건 ㈏에서 a, b, c는 15 이하의 자연수이고, 이 중 짝수는 2, 4, y,
14의 7개이다.
가지로 결정됨을 이해한다.
빨간 공 5개 중 x개를 파란 상자, y개를 노란 상자에 담으면
x+y=5 (단, x, y는 음이 아닌 정수)이므로 그 경우의 수는
ªH°=¤C°=¤CÁ=6
이때, 각 상자에는 상자의 색과 다른 색의 공을 담아야 하므로 빨간
공을 담는 경우가 결정되면 다른 색의 공을 담는 경우는 1가지로 결
정된다.
따라서 구하는 경우의 수는 6
개수는 다음과 같다.
다른 풀이 파란 상자에 빨간 공을 x개 담으면 각 상자에 담을 수 있는 공의
빨간 상자
파란 상자
노란 상자
계
빨간 공
5-x
x
5
파란 공
5-x
x
5
노란 공
5-x
x
5
계
5
5
5
Ú a, b, c가 모두 짝수인 경우
구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 서로 다른 7개 중에서 3개를
택하는 중복조합의 수와 같으므로
¦H£=»C£=84
Û a, b, c 중 한 개만 짝수인 경우
짝수 7개 중에서 1개를 택하는 경우의 수는 ¦CÁ=7
홀수 8개 중에서 2개를 택하는 중복조합의 수는 ¥Hª=»Cª=36
택한 세 수를 크기 순으로 나열하는 경우의 수는 1이므로
7´36´1=252
Ú, Û에서 구하는 경우의 수는
84+252=336
0162 33
TIP (a+b)Ç`=ÇC¼ aÇ`bâ`+ÇCÁ an-1bÚ`+y+ÇCÇ aâ`bÇ`=
을 이용한다.
;Rn+)
ÇC¨ an-rb¨`임
이때, x=0 또는 x=1 또는 x=2 또는 x=3 또는 x=4 또는 x=5이므
로 구하는 경우의 수는 6
°Cû{:Á4£:}
5-k
{;4#;}
=
0159 35
TIP 60을 소인수분해하고, 2, 3, 5, 7이 소수임을 이용한다.
´3´5이므로 선택된 8개의 수의 곱이
2, 3, 5, 7은 소수이고 60=2Û
`
60의 배수가 되려면 2, 2, 3, 5를 반드시 포함하여야 한다.
즉, 구하는 경우의 수는 네 개의 자연수 2, 3, 5, 7 중에서 중복을 허
락하여 4개를 선택하는 경우의 수와 같으므로
¢H¢=¦C¢=¦C£=35
0160 68
TIP 전체 경우의 수에서 x=u인 경우의 수를 뺀다.
조건 ㈎에서 x+y+z+u=6을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y,
z, u의 순서쌍 (x, y, z, u)의 개수는
¢H¤=»C¤=»C£=84
이때, 조건 ㈏를 만족시키지 않는 경우는 x=u일 때이므로
x+y+z+u=6, 즉 2x+y+z=6을 만족시키는 음이 아닌 정수
x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는
Ú x=0일 때, ªH¤=¦C¤=¦CÁ=7
Û x=1일 때, ªH¢=°C¢=°CÁ=5
Ü x=2일 때, ªHª=£Cª=£CÁ=3
Ý x=3일 때, ªH¼=ÁC¼=1
Ú~Ý에서 7+5+3+1=16
따라서 구하는 경우의 수는
84-16=68
0161 ⑤
TIP 세 자연수의 합이 짝수이므로 세 수가 모두 짝수이거나 한 개만 짝수이
다.
조건 ㈎에서 a+b+c가 짝수이려면 세 수 a, b, c가 모두 짝수이거
나 세 수 a, b, c 중 한 개만 짝수이어야 한다.
020 | Ⅰ 경우의 수
+
{:Á4£:
=2Ú
`
`
`
;4#;}
5`
k`
=4Þ
;K5+)
∴
°Cû{:Á4£:}
;K5+!
=
°Cû{:Á4£:}
5-k
{;4#;}
k`
5-k
{;4#;}
-°C¼
{:Á4£:}
{;4#;}
k`
5`
0`
5`
-
{:Á4£:}
=
=2Ú
;K5+)
`
`
2Û`â`-13Þ`
2Ú`â`
2Û`â`-13Þ`
2Ú`â`
a=20, b=13
따라서
Lecture
이므로
=
2`-bÞ`
2Ú`â`
∴ a+b=33
와 지수의 확장
합의 기호
⑴ 수열 {aÇ}의 첫째항부터 제 n 항까지의 합 aÁ+aª+a£+y+aÇ을 합
;
의 기호
를 사용하여
aû로 나타낸다.
⇨
aû=aÁ+aª+a£+y+aÇ
;Kn+!
;
⑵ a+0일 때 aâ`=1
;Kn+!
0163 12
TIP 두 다항식의 전개식에서 xn-1의 계수를 구하여 두 자연수 a, n 사이의
관계식을 찾는다.
2(x+a)Ç`의 전개식의 일반항은
2´ÇC¨ xn-ra¨`
xn-r=xn-1에서 r=1이므로
xn-1의 계수는 2´ÇCÁ´a=2na
한편, (x-1)(x+a)Ç`=x(x+a)Ç`-(x+a)Ç` 에서
(x+a)Ç`의 전개식의 일반항은
ÇC§ xn-sa§`
…… ㉠
…… ㉡
â
â
이때, (x-1)(x+a)Ç`의 전개식에서 xn-1항은 x와 ㉡의 xn-2항,
-1과 ㉡의 xn-1항이 곱해질 때 나타나므로 xn-1의 계수는
ÇCª´aÛ
-ÇCÁ´a=
`
aÛ
-na
n(n-1)
2
n(n-1)
2
`
`
㉠, ㉢에서 2na=
aÛ
-na
…… ㉢
A+b+c=1일 때, £HÁ
A+b+c=0일 때, £H¼
에서
£HÁ+£H¼=£CÁ+ªC¼=¢CÁ=4
Ú~Ü에서 구하는 모든 자연수의 개수는
56+20+4=80
`
`
n(n-1)
n(n-1)-2na, 6na=aÛ
4na=aÛ
na{6-a(n-1)}=0
∴ 6=a(n-1) (∵ n¾2, a>0)
이를 만족시키는 순서쌍 (a, n)은 (6, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 7)
이므로 an의 최댓값은 (a, n)이 (6, 2)일 때 12이다.
0164 80
TIP 일의 자리의 숫자가 1 또는 3 또는 5인 경우로 나누어 생각한다.
`
`
네 자리의 자연수를 a_10Ü
+c_10+d (a¾1)로 놓으
+b_10Û
면 조건 ㈏에서 a+b+c+d<8이고 조건 ㈎에서 d=1 또는 d=3
또는 d=5이다.
이때, A=a-1(A¾0)로 놓으면 a+b+c+d<8에서
A+b+c+d<7
Ú d=1인 경우
부등식 A+b+c<6을 만족시키는 음이 아닌 정수의 순서쌍
(A, b, c)의 개수는
A+b+c=5일 때, £H°
A+b+c=4일 때, £H¢
A+b+c=0일 때, £H¼
에서
⋮
£H°+£H¢+£H£+£Hª+£HÁ+£H¼
=¦C°+¤C¢+°C£+¢Cª+£CÁ+ªC¼
=¦C°+¤C¢+°C£+¢Cª+£CÁ+£C¼
=¦C°+¤C¢+°C£+¢Cª+¢CÁ
=¦C°+¦C¢
=¥C°=¥C£=56
Û d=3인 경우
⋮
부등식 A+b+c<4를 만족시키는 음이 아닌 정수의 순서쌍
(A, b, c)의 개수는
A+b+c=3일 때, £H£
A+b+c=0일 때, £H¼
에서
⋮
£H£+£Hª+£HÁ+£H¼
=°C£+¢Cª+£CÁ+ªC¼
=¤C£=20
Ü d=5인 경우
부등식 A+b+c<2를 만족시키는 음이 아닌 정수의 순서쌍
(A, b, c)의 개수는
∴ k=20
0165 255
TIP 점선을 택하는 경우의 수로 생각한다.
주어진 숫자 카드를 2장 이상으로 분리하는 경우의 수는 점선 8개
중에서 r(1ÉrÉ8)개를 택하는 모든 경우의 수의 합과 같다.
따라서 구하는 경우의 수는
¥CÁ+¥Cª+¥C£+y+¥C¥ =(¥C¼+¥CÁ+y+¥C¥)-¥C¼
=2¡
-1=255
0166 64
TIP 연필은 모두 똑같으므로 B에게 주는 지우개의 개수가 정해지면 연필을
주는 경우의 수는 1이다.
B에게 주는 지우개의 개수를 r(r=0, 1, 2, y, 6)라 하면 B에게 주
는 연필의 개수는 (6-r)
서로 다른 지우개 6개 중에서 r개를 택하는 경우의 수는 ¤C¨이고, 똑
같은 연필 6개 중에서 (6-r)개를 택하는 경우의 수는 1
따라서 구하는 경우의 수는
¤C¼+¤CÁ+¤Cª+y+¤C¤=2ß
=64
`
`
0167 20
TIP ÇC¨=ÇCn-r이고, ÇC¼+ÇCÁ+ÇCª+y+ÇCÇ=2Ç`임을 이용한다.
조건 ㈎에서 집합 A는 1, 2, 3은 원소로 갖고, 4는 원소로 갖지 않는
다.
조건 ㈏에서 n(A)¾14이므로 구하는 부분집합 A의 개수는
{5, 6, 7, y, 25} 중 원소가 각각 11개, 12개, y, 21개인 부분집
합의 개수의 합과 같으므로
ªÁCÁÁ+ªÁCÁª+ªÁCÁ£+y+ªÁCªÁ
이때, ªÁC¨=ªÁC21-r이므로
ªÁCÁÁ+ªÁCÁª+ªÁCÁ£+y+ªÁCªÁ=ªÁCÁ¼+ªÁC»+ªÁC¥+y+ªÁC¼
또, ªÁC¼+ªÁCÁ+ªÁCª+y+ªÁCªÁ=2Û
ªÁCÁÁ+ªÁCÁª+ªÁCÁ£+y+ªÁCªÁ=
이므로
`
`
·2Û
=2Û
;2!;
`
`
`
`
2 중복조합과 이항정리 | 021
중복조합과 이항정리2Ú
Ú
â
3
확률의 뜻과 활용
본책 32쪽~48쪽
0175 ;5@;
5명을 일렬로 세우는 경우의 수는 5!=120
A, B를 한 명으로 생각하여 4명을 일렬로 세우는 경우의 수는 4!이
고, A, B가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수가 2!이므로 A, B가 이
STEP1
기초
Build
0168 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
0169 {1, 2, 3, 6}
⑷ {3, 6, 9, 12}
0170 ⑴ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12} ⑵ Z/
⑶ {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}
A={3, 6, 9, 12}, B={1, 2, 4, 5, 10}이므로
⑴ A'B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12}
⑵ A;B=Z/
⑶ A` ={1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}
⑷ B` ={3, 6, 7, 8, 9, 11, 12}이므로
A;B` ={3, 6, 9, 12}
0171 ⑴ {1, 2, 5, 10} ⑵ {5, 10}
⑶ {3, 4, 6, 7, 8, 9} ⑷ A와 B
A={5, 10}, B={1, 2}, C={1, 2, 5, 10}이므로
⑴ A'B={1, 2, 5, 10}
⑵ A;C={5, 10}
⑶ C` ={3, 4, 6, 7, 8, 9}
⑷ A∩B=Z/ 이므로 A와 B는 서로 배반사건이다.
0172 ;6!;
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 모든 경우의 수는
6´6=36
두 눈의 수가 같을 확률은
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)의 6가지이므로
구하는 확률은
=
;3¤6;
;6!;
0173 ;9!;
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 모든 경우의 수는
6´6=36
두 눈의 수의 합이 5인 경우는
(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4가지이므로 구하는 확률은
=
;3¢6;
;9!;
0174 ;5!;
5명을 일렬로 세우는 경우의 수는 5!=120
A를 가장 앞에 세우는 경우의 수는 4!=24
따라서 구하는 확률은
=
;1ª2¢0;
;5!;
022 | Ⅱ 확률
웃하게 세우는 경우의 수는
4!´2!=48
따라서 구하는 확률은
=
;1¢2¥0;
;5@;
0176 ;1Á2;
9명 중에서 대표 2명을 뽑는 경우의 수는
»Cª=36
중학생 3명 중에서 대표 2명을 뽑는 경우의 수는
£Cª=3
따라서 구하는 확률은
=
;3£6;
;1Á2;
0177 ;9@;
9명 중에서 대표 2명을 뽑는 경우의 수는
»Cª=36
고등학생 4명 중에서 대표 1명, 대학생 2명 중에서 대표 1명을 뽑는
경우의 수는
¢CÁ´ªCÁ=8
따라서 구하는 확률은
=
;3¥6;
;9@;
0178 ;4!;
임의로 택한 한 환자가 남성일 확률은
=
;1ª0°0¼0¼0;
;4!;
0179 ;5#;
주어진 수 중에서 4의 약수는 1, 2, 4이므로
(4의 약수가 적힌 영역의 넓이)
(전체 과녁의 넓이)
=
;5#;
0180 1
눈의 수가 6 이하의 자연수인 사건은 반드시 일어나므로 구하는 확
률은 1이다.
0181 0
눈의 수가 10인 사건은 절대로 일어날 수 없으므로 구하는 확률은 0
이다.
0182 ;2!;
6 이하의 수는 1, 2, y, 6의 6개이므로
P(A)=
=
;2!;
;1¤2;
0183 1
카드에 적힌 수가 6 이하이거나 7 이상인 사건은 반드시 일어나므로
P(A'B)=1
0191 ;3@;
P(A)=
=
;6@;
;3!;
이므로
0184 0
A;B
=
Z/ 이므로 P(A;B)=0
0185 ;1°2;
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=
+
;3!;
;4!;
-
;6!;
=
;1°2;
0186 0.2
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서
0.6=0.5+0.3-P(A;B)
∴ P(A;B)=0.2
0187 ;4!;
두 사건 A와 B는 서로 배반사건이므로
P(A'B)=P(A)+P(B)에서
=
;2!;
;4!;
+P(B)
∴ P(B)=
;4!;
0188 ;5@0#;
카드에 적힌 수가 3의 배수인 사건을 A, 5의 배수인 사건을 B라 하
면
15의 배수인 사건
P(A)=
, P(B)=
, P(A;B)
;5!0^;
=;5£0;
∴ P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
;5!0);
=
+
;5!0^;
;5!0);
;5£0;
;5@0#;
-
=
0189 ;2¤5;
카드에 적힌 수가 7의 배수인 사건을 A, 9의 배수인 사건을 B라
하면
P(A)=
, P(B)=
;5¦0;
;5°0;
두 사건 A와 B는 서로 배반사건이므로
P(A'B)=P(A)+P(B)
=
+
=
;5¦0;
;5°0;
;2¤5;
0190 ;9&;
9명 중에서 뽑은 대표 한 명이 1학년인 사건을 A, 3학년인 사건을
B라 하면
P(A)=
, P(B)=
;9#;
;9$;
두 사건 A와 B는 서로 배반사건이므로
P(A'B)=P(A)+P(B)
=
+
;9#;
;9$;
=
;9&;
P(A``)=1-P(A)=1-
=
;3!;
;3@;
0192 ;3@0#;
4의 배수가 아닌 사건을 A라 하면 A``는 4의 배수인 사건이므로
P(A``)=
;3¦0;
∴ P(A)=1-P(A``)=1-
=
;3¦0;
;3@0#;
0193 ⑴ ;4!; ⑵ ;4#;
서로 다른 2개의 동전을 동시에 던질 때, 모든 경우의 수는
2´2=4
모두 앞면이 나오는 사건을 A라 하면 A``는 적어도 한 개는 뒷면이
나오는 사건이다.
⑴ 모두 앞면이 나오는 경우의 수는 1이므로 구하는 확률은
P(A)=
;4!;
⑵ 적어도 한 개는 뒷면이 나올 확률은 P(A``)이므로
P(A``)=1-P(A)=1-
=
;4!;
;4#;
0194 ;5$;
6개의 구슬 중에서 2개를 동시에 꺼내는 경우의 수는
¤Cª=15
적어도 한 개는 파란 구슬인 사건을 A라 하면 A``는 모두 흰 구슬인
사건이므로
P(A``)=
£Cª
15
=
;5!;
∴ P(A)=1-P(A``)=1-
=
;5!;
;5$;
STEP2
유형
Drill
유형 01 시행과 사건
본책 36쪽
표본공간 S의 두 사건 A, B에 대하여
⑴ A 또는 B가 일어나는 사건 ⇨ A'B
⑵ A와 B가 동시에 일어나는 사건 ⇨ A;B
⑶ 배반사건 : 동시에 일어나지 않는 두 사건 A, B ⇨ A;B=Z/
⑷ 여사건 : 사건 A가 일어나지 않는 사건 ⇨ A``
0195 ㄴ
A={2, 4, y, 20}, B={5, 10, 15, 20}, C={1, 3, y, 19}
이므로
A;B={10, 20}, A;C=Z/ , B;C={5, 15}
따라서 두 사건 A와 C는 서로 배반사건이다.
3 확률의 뜻과 활용 | 023
확률의 뜻과 활용3 0196 ⑤
표본공간을 S라 하면 S={1, 2, 3, 4, 5, 6},
A={2, 3, 5}, B={1, 2, 3, 6}, A` ={1, 4, 6}, B` ={4, 5}
이므로
⑤ A;B` ={5}
0197 ③
사건 A와 배반인 사건은 사건 A` 의 부분집합이고, 사건 B와 배반
인 사건은 사건 B` 의 부분집합이므로 사건 A, B와 모두 배반인 사
건은 A` ;B` 의 부분집합이다. 이때,
A``={3, 5, 7, 9}, B``={2, 7, 9}이므로
A` ;B` ={7, 9}
따라서 구하는 사건의 개수는 2Û`=4
Lecture
부분집합의 개수
원소의 개수가 n인 집합의 부분집합의 개수는 ⇨ 2Ç`
유형 02 수학적 확률
본책 36쪽
사건 A가 일어날 확률 P(A)는
n(A)
n(S)
⇨ P(A)=
=
(사건 A가 일어나는 경우의 수)
(일어날 수 있는 모든 경우의 수)
0198 ;1!8!;
두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 모든 경우의 수는
6´6=36
Ú 두 눈의 수가 같은 경우
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)의 6가지
Û 두 눈의 수가 다른 경우
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 6),
(3, 6), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (4, 2),
(6, 2), (6, 3)의 16가지
Ú, Û에서 한 주사위의 눈의 수가 다른 주사위의 눈의 수의 배수가
되는 경우의 수는
6+16=22
따라서 구하는 확률은
=
;3@6@;
;1!8!;
0199 ;5@;
A에서 D로 가는 경우는 A → B → D 또는 A → C → D이므로 그
경우의 수는
2´3+2´2=10
이때, C를 거쳐서 가는 경우의 수는 2´2=4
따라서 구하는 확률은
=
;1¢0;
;5@;
0200 ;1ª5;
6장의 카드에서 2장을 뽑는 경우의 수는 ¤Cª=15
Ú 1이 적힌 카드 두 장을 뽑는 경우의 수는 1
Û 3이 적힌 카드 두 장을 뽑는 경우의 수는 1
024 | Ⅱ 확률
Ú, Û에서 두 카드에 적힌 숫자가 같을 경우의 수는
1+1=2
따라서 구하는 확률은
;1ª5;
0201 ;3!1);
집합 A의 공집합이 아닌 부분집합의 개수는 2Þ`-1=31
Ú 가장 큰 원소가 5, 가장 작은 원소가 1인 경우
1과 5를 반드시 원소로 가지고, 2, 3, 4를 원소로 가질 수 있으므
로 부분집합의 개수는 2Ü`=8
Û 가장 큰 원소가 4, 가장 작은 원소가 2인 경우
2와 4를 반드시 원소로 가지고, 3을 원소로 가질 수 있으므로 부
분집합의 개수는 2Ú`=2
Ú, Û에서 부분집합의 개수는 8+2=10
따라서 구하는 확률은
;3!1);
0202 ③
한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 모든 경우의 수는
6´6=36
이때,
f(1)=-2<0, f(2)=-2<0, f(3)=0,
f(4)=4>0, f(5)=10>0, f(6)=18>0
이므로 f(a)f(b)<0을 만족시키는 순서쌍 (a, b)는
(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(4, 1), (5, 1), (6, 1), (4, 2), (5, 2), (6, 2)의 12가지
따라서 구하는 확률은
=
;3!6@;
;3!;
유형 03 순열을 이용하는 확률
본책 37쪽
⑴ 서로 다른 n개를 순서를 생각하여 일렬로 나열하는 방법의 수는
⇨ ÇPÇ=n!=n(n-1)(n-2)´ y ´2´1
⑵ 서로 다른 n개 중에서 r개를 뽑아 일렬로 나열하는 방법의 수는
⇨ ÇP¨=n(n-1)(n-2)y(n-r+1)
=
n!
(n-r)!
(단, 00, a+1, b>0일 때, logaµ`` bÇ`=
log b (단, m+0)
;mN:
0263 ;3!;
TIP 앞에서 3번째에 놓을 수 있는 컵은 물이 가장 많이 든 컵 또는 물이 두 번
째로 많이 든 컵이다.
컵 4개를 일렬로 놓는 경우의 수는
4!=24
앞에서 3번째에 놓은 컵의 물의 양이 2번째와 4번째에 놓은 컵의 물
의 양보다 많으므로 3번째에는 물이 가장 많이 든 컵 또는 물이 두
번째로 많이 든 컵을 놓을 수 있다.
Ú 물이 가장 많이 든 컵을 3번째에 놓는 경우
나머지 컵 3개를 일렬로 놓으면 되므로 경우의 수는
3!=6
Û 물이 두 번째로 많이 든 컵을 3번째에 놓는 경우
물이 가장 많이 든 컵을 1번째에 놓고 나머지 2개의 컵을 일렬로
놓으면 되므로 경우의 수는
2!=2
Ú, Û에서 6+2=8
따라서 구하는 확률은
=
;2¥4;
;3!;
0264 ;3£5;
TIP 정팔각형의 가장 긴 대각선 2개를 택하여 그것을 대각선으로 갖는 사각
형을 그리면 직사각형이 된다.
8개의 꼭짓점 중에서 4개를 택하는 경우의 수는
¥C¢=70
오른쪽 그림과 같이 정팔각형의 가장 긴 대
각선 4개 중에서 2개를 택하여 그것을 대각
선으로 갖는 사각형을 그리면 직사각형이
된다. 즉, 직사각형이 만들어지는 경우의 수
는
¢Cª=6
따라서 구하는 확률은
=
;7¤0;
;3£5;
0265 103
TIP aÁ+0이고 aÁ0 )
P(A;B)
P(A)
0297 0.8
P(A``)=1-P(A)=1-0.4=0.6
P(A;B)=P(B)P(A|B)=0.6_0.2=0.12이므로
P(A``;B)=P(B)-P(A;B)=0.6-0.12=0.48
;B)
P(A
``
P(A``)
=
0.48
0.6
=0.8
∴ P(B|A``)=
036 | Ⅱ 확률
⇨ P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
0302 ⑤
아동을 택하는 사건을 A, 내국인을 택하는 사건을 B라 하면
P(A)=
;1ª9¥2;, P(A;B)=
;1ª9Á2;
따라서 구하는 확률은
내국인인 아동을 택하는 사건
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;1ª9Á2;;
;1ª9¥2;
=
;4#;
2
2
3
2
0303 ;1¥5;
야구를 좋아하지 않는 학생을 택하는 사건을 A, 고등학생을 택하는
사건을 B라 하면
P(A)=
;5#0);, P(A;B)=
;5!0^;
따라서 구하는 확률은
야구를 좋아하지 않는 고등학생을 택하는 사건
유형 03
확률의 곱셈정리 ; P(A;B)=P(A)P(B|A) 본책 53쪽
두 사건 A, B에 대하여 A와 B가 동시에 일어날 확률은
⇨ P(A;B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
0307 ;1°2;
첫 번째 꺼낸 바둑돌이 흰색인 사건을 A, 두 번째 꺼낸 바둑돌이 흰
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
=
;1¥5;
;5!0^;
;5#0);
0304 ;1£0;
A가 선물을 받는 사건을 A, 빨간 공을 뽑는 사건을 B라 하면
P(A)=1-
=
;3@;, P(A;B)=
¤Cª
Á¼Cª
ÁCÁ´»CÁ
Á¼Cª
=
;5!;
따라서 구하는 확률은
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
=
;1£0;
;5!;
;3@;
0305 ;1%2%;
음식 A를 먹은 사람을 선택하는 사건을 A, 식중독에 걸린 사람을
선택하는 사건을 B라 하면 음식 A를 먹지 않은 사람을 선택하는 사
건은 A``이므로
P(A)=
, P(A``)=
;3°0¼0;
,
;3@0%0);
P(A;B)=
;3ª0ª0;, P(A``;B)=
;3ª0¢0;
즉,
pÁ=P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;3ª0ª0;
;3°0¼0;
=
;2!5!;
pª=P(B|A``)=
P(A
;B)
``
P(A``)
=
;3ª0¢0;
;3@0%0);
=
;1Á2ª5;
∴
=
pÁ
pª
;2!5!;
;1Á2ª5;
=
;1%2%;
0306 4
운동 동호회의 전체 회원 수는 x+32이고, 여자 회원을 뽑는 사건
을 A, 테니스를 선호하는 회원을 뽑는 사건을 B라 하면
P(A)= x+12
, P(A;B)= x
x+32
x+32
∴ P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
= x
x+12
x
x+32
x+12
x+32
따라서
x
x+12
=
;4!;이므로 4x=x+12
3x=12
∴ x=4
색인 사건을 B라 하면
=
;3@;, P(B|A)=
;8%;
P(A)=
;9^;
따라서 구하는 확률은
P(A;B)=P(A)P(B|A)=
´
;3@;
;8%;
=
;1°2;
0308 ;2£0;
A 상자를 택하는 사건을 A, 당첨 제비를 뽑는 사건을 B라 하면
P(A)=
;2!;, P(B|A)=
;1£0;
따라서 구하는 확률은
P(A;B)=P(A)P(B|A)=
´
;2!;
;1£0;
=
;2£0;
0309 ;2°1;
첫 번째 꺼낸 제품이 정상인 사건을 A, 두 번째 꺼낸 제품이 불량품
인 사건을 B라 하면
P(A)=
;1!5);
따라서 구하는 확률은
=
;3@;, P(B|A)=
;1°4;
P(A;B)=P(A)P(B|A)=
´
;3@;
;1°4;
=
;2°1;
0310 13
첫 번째 꺼낸 과일이 오렌지인 사건을 A, 두 번째 꺼낸 과일이 한라
봉인 사건을 B라 하면
P(A)= n
n+4
, P(B|A)=
4
n+3
따라서 첫 번째는 오렌지, 두 번째는 한라봉을 꺼낼 확률은
P(A;B)=P(A)P(B|A)
= n
=
´
4n
(n+4)(n+3)
4
n+3
n+4
=
즉,
;5!;이므로
4n
(n+4)(n+3)
(n+4)(n+3)=20n, nÛ
(n-1)(n-12)=0
따라서 모든 n의 값의 합은 13이다.
`
-13n+12=0
∴ n=1 또는 n=12
4 조건부확률 | 037
조건부확률4 유형 04 확률의 곱셈정리
; P(E)=P(A;E)+P(A``;E)
본책 54쪽
두 사건 A, E에 대하여
P(E) =P(A;E)+P(A``;E)
=P(A)P(E|A)+P(A``)P(E|A``)
0311 ;5@;
A가 레몬 사탕을 꺼내는 사건을 A, B가 레몬 사탕을 꺼내는 사건
을 E라 하면 A가 박하 사탕을 꺼내는 사건은 A``이므로
P(A)=
=
;5@;, P(A``)=1-
;5@;
=
;5#;,
;1¢0;
P(E|A)=
=
;3!;, P(E|A``)=
;9$;
;9#;
따라서 구하는 확률은
P(E)=P(A;E)+P(A``;E)
=P(A)P(E|A)+P(A``)P(E|A``)
=
´
;5@;
;3!;
+
´
;5#;
;9$;
=
;5@;
참고
확률이 0이 아닌 두 사건 A, E에 대하여 두 사건 A;E와 A``;E는
서로 배반사건이다.
따라서 E=(A;E)'(A``;E)와 확률의 덧셈정리에 의하여
P(E)=P(A;E)+P(A``;E)
0312 ;8#;
주사위를 던져서 5 이상의 눈이 나오는 사건을 A, 동전을 던져서 뒷
면이 두 번 나오는 사건을 E라 하면 주사위를 던져서 4 이하의 눈이
나오는 사건은 A``이므로
P(A)=
=
;3!;, P(A``)=
;3@;,
;6@;
P(E|A)=¢Cª
{;2!;}
동전을 4번 던질 때 뒷면이 두 번 나오는 사건
{;2!;}
=
;8#;,
2`
2`
=
P(E|A``)=£Cª
{;2!;}
따라서 구하는 확률은
P(E)=P(A;E)+P(A``;E)
1`
=P(A)P(E|A)+P(A``)P(E|A``)
;8#;
{;2!;}
동전을 3번 던질 때 뒷면이 두 번 나오는 사건
2`
=
´
;3!;
;8#;
+
´
;3@;
;8#;
=
;8#;
0313 ③
내일 비가 내리는 사건을 A, 내일 경기에서 지는 사건을 E라 하면
내일 비가 내리지 않는 사건은 A``이므로
P(A)=0.3, P(A``)=0.7, P(E|A)=0.6, P(E|A``)=0.4
따라서 구하는 확률은
P(E) =P(A;E)+P(A``;E)
=P(A)P(E|A)+P(A``)P(E|A``)
=0.3_0.6+0.7_0.4=0.46
;5#;, P(E|A)=
;5$;, P(E|A``)=
;5!;
P(A)=
;5@;, P(A``)=
따라서 구하는 확률은
P(E)=P(A;E)+P(A``;E)
=P(A)P(E|A)+P(A``)P(E|A``)
=
´
;5@;
;5$;
+
´
;5#;
;5!;
=
;2!5!;
유형 05
P(A|E)=
P(A;E)
P(A;E)+P(A``;E)
본책 54쪽
사건 E가 일어났다고 가정할 때 사건 A의 조건부확률
⇨ P(A|E)=
P(A;E)
P(E)
=
P(A;E)
P(A;E)+P(A``;E)
0315 ①
첫 번째 호빵에 야채가 들어 있는 사건을 A, 두 번째 호빵에 팥이 들
어 있는 사건을 E라 하면
P(A;E)=P(A)P(E|A)=
´
;6$;
;5@;
=
;1¢5;
P(A``;E)=P(A``)P(E|A``)=
´
;6@;
;5!;
=
;1Á5;
∴ P(E)=P(A;E)+P(A``;E)=
+
=
;1¢5;
;1Á5;
;3!;
따라서 구하는 확률은
P(A|E)=
P(A;E)
P(E)
;1¢5;
=
=
;5$;
;3!;
0316 ;1»3;
남학생을 택하는 사건을 A, 안경을 쓴 학생을 택하는 사건을 E라
하면
P(A;E)=P(A)P(E|A)=
´
=
;1¤0¼0;
;1£0¼0;
;5»0;
P(A``;E)=P(A``)P(E|A``)=
´
=
;1¢0¼0;
;1ª0¼0;
;2ª5;
∴ P(E)=P(A;E)+P(A``;E)=
+
=
;5»0;
;2ª5;
;5!0#;
따라서 구하는 확률은
P(A|E)=
P(A;E)
P(E)
;5»0;;
=
=
;1»3;
;5!0#;
0317 ;5%9^;
용의자가 말한 문항이 거짓말인 사건을 A, 거짓말 탐지기가 거짓이
라고 판단하는 사건을 E라 하면
P(A;E)=P(A)P(E|A)=
´
=
;1¦0;
;1¥0;
;1°0¤0;
P(A``;E)=P(A``)P(E|A``)=
´
=
;1£0;
;1Á0;
;10#0;
∴ P(E)=P(A;E)+P(A``;E)=
+
=
;1°0¤0;
;10#0;
;1°0»0;
0314 ;2!5!;
사과를 꺼내어 보여 주는 사건을 A, 사과라고 대답하는 사건을 E
라 하면 배를 꺼내어 보여 주는 사건은 A``이므로
따라서 구하는 확률은
038 | Ⅱ 확률
P(A|E)=
P(A;E)
P(E)
=
;1°0¤0;
;1°0»0;
=
;5%9^;
0318 ;3@;
양면이 모두 노란색인 색종이, 양면이 모두 보라색인 색종이, 한쪽
면은 노란색, 다른 쪽 면은 보라색인 색종이를 꺼내는 사건을 각각
A, B, C, 탁자에 놓여 있는 색종이의 윗면이 노란색인 사건을 E라
하면
P(A;E)=P(A)P(E|A)=
´1=
;3!;
P(B;E)=P(B)P(E|B)=
´0=0
;3!;
;3!;
P(C;E)=P(C)P(E|C)=
´
;3!;
;2!;
=
;6!;
∴ P(E)=P(A;E)+P(B;E)+P(C;E)
=
+0+
=
;6!;
;2!;
;3!;
따라서 구하는 확률은
P(A|E)=
P(A;E)
P(E)
=
=
;3@;
;3!;
;2!;
0319 ④
갑이 붉은 공 1개, 흰 공 1개를 꺼내는 사건을 A, 붉은 공 2개를 꺼
내는 사건을 B, 갑이 이기는 사건을 E라 하면
P(A;E)=P(A)P(E|A)
=
¢CÁ´¤CÁ
Á¼Cª
´
°Cª
¥Cª
=
;2¢1;
을이 흰 공 2개를 꺼낼 확률
P(B;E)=P(B)P(E|B)
=
¢Cª
Á¼Cª {
¤Cª
¥Cª
+
ªCÁ´¤CÁ
¥Cª
=
}
;7»0;
을이 흰 공 2개 또는 붉은 공 1개,
흰 공 1개를 꺼낼 확률
∴ P(E)=P(A;E)+P(B;E)=
+
;2¢1;
=
;7»0;
;2¤1¦0;
따라서 구하는 확률은
P(B|E)=
P(B;E)
P(E)
=
;7»0;
;2¤1¦0;
=
;6@7&;
두 사건 A, B에 대하여
⑴ P(A;B)=P(A)P(B)이면 ⇨ 독립
⑵ P(A;B)+P(A)P(B)이면 ⇨ 종속
P(A)=
0320 ⑤
3´6
6Û`
3´3+3´3
6Û`
P(C)=
=
=
;2!;
;2!;, P(B)=
6´3
6Û`
=
;2!;,
ㄱ. P(A;B)=
3´3
6Û`
=
;4!;이므로
P(A;B)=P(A)P(B)
즉, A와 B는 서로 독립이다.
ㄴ. P(B;C)=
3´3
6Û`
=
;4!;이므로
P(B;C)=P(B)P(C)
즉, B와 C는 서로 독립이다.
ㄷ. P(A;C)=
3´3
6Û`
=
;4!;이므로
P(A;C)=P(A)P(C)
즉, A와 C는 서로 독립이다.
따라서 서로 독립인 사건은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
0321 ㄷ, ㄹ
P(A)=
;2!;, P(B)=
;3!;, P(C)=
;3@;, P(D)=
;2!;
ㄱ. A;D=Z/`이므로 P(A;D)=0
∴ P(A;D)+P(A)P(D)
즉, A와 B는 서로 종속이다.
ㄴ. B;C=Z/`이므로 P(B;C)=0
∴ P(B;C)+P(B)P(C)
즉, B와 C는 서로 종속이다.
ㄷ. P(B``)=
;3@;이고,
A;B``={a, c}이므로 P(A;B``)=
;3!;
∴ P(A;B``)=P(A)P(B``)
즉, A와 B``는 서로 독립이다.
ㄹ. P(C``)=
;3!;, P(D``)=
;2!;
이고,
C``;D``={b}이므로 P(C``;D``)=
;6!;
∴ P(C``;D``)=P(C``)P(D``)
즉, C``와 D``는 서로 독립이다.
따라서 서로 독립인 사건은 ㄷ, ㄹ이다.
0322 ㄷ
P(A)=
P(C)=
°Cª+°Cª
Á¼Cª
¢Cª
Á¼Cª
=
;1ª5;
=
, P(B)=
;9$;
°Cª
Á¼Cª
=
,
;9@;
ㄴ. P(B;C)=
£Cª
Á¼Cª
=
;1Á5;이므로
P(B;C)+P(B)P(C)
즉, B와 C는 서로 종속이다.
ㄷ. P(A;C)=
£Cª
Á¼Cª
=
;1Á5;이므로
P(A;C)+P(A)P(C)
즉, A와 C는 서로 종속이다.
따라서 옳은 것은 ㄷ이다.
유형 06
사건의 독립과 종속의 판정
본책 55쪽
ㄱ. A;B+Z/`이므로 A와 B는 서로 배반사건이 아니다.
4 조건부확률 | 039
조건부확률4 유형 07
독립과 종속의 성질
본책 56쪽
두 사건 A, B가 서로
⑴ 독립이면 ⇨ P(B|A)=P(B|A``)=P(B),
P(A|B)=P(A|B``)=P(A)
⑵ 종속이면 ⇨ P(B|A)+P(B|A``), P(A|B)+P(A|B``)
0325 ㄴ, ㄷ
ㄱ. A,B이면 A;B=A이므로
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
P(A)
P(A)
=1
ㄴ. P(A;B)=P(B)P(A|B)이므로
P(A'B) =P(A)+P(B)-P(A;B)
0323 ⑤
ㄱ. P(A;B)=P(A)P(B)+0이므로 두 사건 A, B는 서로 배
반사건이 아니다.
ㄴ. [반례] 표본공간 S={1, 2, 3, 4, 5, 6}에 대하여 두 사건
A={1, 2, 3}, B={1, 4}라 하면
P(A;B)=P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B가 서로 독립이
지만 P(A|B)=P(A)=
, P(B)=
이므로
;2!;
;3!;
P(A|B)+1-P(B)
ㄷ. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 A``, B``도 서로 독립이므로
P(A``|B``)=P(A``)
또, 1-P(A|B)=1-P(A)=P(A``)
∴ P(A``|B``)=1-P(A|B)
ㄹ. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 A``, B도 서로 독립이므로
P(B) =P(A;B)+P(A``;B)
=P(A)P(B)+P(A``)P(B)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
참고
두 사건 A, B가 서로 독립이면
P(A;B)=P(A)P(B)
이다. 이때, 여사건 A``와 B``의 관계를 알아보면
P(A``)P(B``) ={1-P(A)}{1-P(B)}
=1-{P(A)+P(B)}+P(A)P(B)
=1-{P(A'B)+P(A;B)}+P(A;B)
에서
=1-P(A'B)=P((A'B)``)=P(A``;B``)
따라서 두 사건 A, B가 서로 독립이면 A``, B``도 서로 독립이다.
0324 ㄷ
ㄱ. [반례] 한 개의 주사위를 던질 때, 6의 약수의 눈이 나오는 사건
을 A, 4 이상의 눈이 나오는 사건을 B라 하면 P(A'B)=1이
지만 A;B={6}이므로 B는 A의 여사건이 아니다.
ㄴ. [반례] 표본공간 S={1, 2, 3, 4, 5, 6}에 대하여 두 사건
A={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, 5}라 하면
P(A;B)=P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B가 서로 독립이
지만 P(A|B)=P(A)=
;3@;, P(B|A)=P(B)=
;2!;이므로
P(A|B)+P(B|A)
ㄷ. A와 B가 서로 배반사건이므로
P(A'B)=P(A)+P(B)
이때, 확률의 성질에 의하여 P(A'B)É1
∴ P(A)+P(B)É1
따라서 옳은 것은 ㄷ이다.
040 | Ⅱ 확률
=P(A)+P(B)-P(B)P(A|B)
ㄷ. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 P(A;B)=P(A)P(B)이므
로
{1-P(A)}{1-P(B)}
=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)
=1-P(A)-P(B)+P(A;B)
=1-{P(A)+P(B)-P(A;B)}
=1-P(A'B)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
유형 08
독립인 사건의 확률의 계산
본책 56쪽
두 사건 A, B가 서로 독립이다.
P(A;B)=P(A)P(B) (단, P(A)>0, P(B)>0)
HjK
0326 ;4#;
두 사건 A, B가 서로 독립이므로
P(B|A)=P(B)
P(A'B) =P(A)+P(B)-P(A;B)
∴ P(A)=P(B)
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
=P(B)+P(B)-{P(B)}Û
=2P(B)-{P(B)}Û
`
`
=2P(B)-{P(B)}Û
;1!6%;
16{P(B)}Û
-32P(B)+15=0
{4P(B)-3}{4P(B)-5}=0
`
`
∴ P(B)=
;4#; (∵ 0-2인 사건을 A라 하면 A``는 aÉ-2인 사건이다.
즉, -2x+4yÉ-2이므로 x-2y¾1
㉠에서 y=-x+6이므로 ㉡에 대입하면
yy ㉡
yy ㉠
x-2(-x+6)¾1
∴ x¾
:Á3£:
∴ x=5 또는 x=6
Ú x=5, y=1, 즉 홀수의 눈이 5번, 짝수의 눈이 1번 나오는 경우
¤C°
{;2!;}
{;2!;}
;3£2;
=
5`
1`
P(A|E)=
P(A;E)
P(E)
=
;30A0;
;3@0)0);
=
;20A0;
P(B|E``)=
P(B;E``)
P(E``)
=
;30B0;
=
;10B0;
;3!0)0);
이때, P(A|E)=P(B|E``)이므로
=
;10B0;
;20A0;
∴ a=2b
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=48, b=24이므로
a+b=72
yy ㉡
4 조건부확률 | 043
조건부확률4 0351 ②
TIP 주어진 영역에 있는 15개의 점 중에서 임의로 서로 다른 두 점을 선택하
0354 ②
TIP P(A;B)=P(A)P(B|A)임을 이용한다.
는 경우의 수는 Á°Cª이다.
y좌표가 같은 두 점을 선택하는 사건을 A, y좌표가 2인 두 점을 선
택하는 사건을 B라 하면
¦Cª+°Cª+£Cª
Á°Cª
, P(A;B)=
°Cª
Á°Cª
P(A)=
;1£0¢5;
;1Á0¼5;
=
=
따라서 구하는 확률은
조건 ㈎, ㈏에 의하여
P(S)=P(A)+P(B)+P(C)=1
P(A)=2P(B)=4P(C)에서
P(B)=
P(A), P(C)=
P(A)
;4!;
㉡을 ㉠에 대입하면
yy ㉠
yy ㉡
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;1Á0¼5;
;1£0¢5;
=
;1°7;
0352 43
TIP m=0, 1, 2, 3, n=0, 1, 2, 3, 4이므로 m+n=3, 2m¾n을 만족시키
Ú m=1, n=2일 확률은
는 m과 n의 값을 먼저 구한다.
2m¾n인 사건을 A, 꺼낸 흰 공의 개수가 2인 사건을 B라 하자.
£CÁ´¢Cª
¦C£
£Cª´¢CÁ
¦C£
£C£´¢C¼
¦C£
Û m=2, n=1일 확률은
Ü m=3, n=0일 확률은
;3!5@;
;3!5*;
;3Á5;
=
=
=
Ú~Ü에서
+
P(A)=
;3!5*;
따라서 구하는 확률은
;3!5@;
+
=
;3Á5;
;3#5!;
, P(A;B)=
;3!5@;
P(B|A)=
P(A;B)
P(A)
=
;3!5@;
;3#5!;
=
;3!1@;
즉, p=31, q=12이므로 p+q=43
;2!;
;2!;
P(A)+
P(A)+
P(A)=1, ;4&;
;4!;
P(A)=1
∴ P(A)=
;7$;, P(B)=
;7@;, P(C)=
;7!;
P(D;A)=P(A)P(D|A)=
´
;7$;
;1Á0;
=
;3ª5;
P(D;B)=P(B)P(D|B)=
P(D;C)=P(C)P(D|C)=
´
;7@;
;5!;
=
;3ª5;
´
;7!;
;1£0;
=
;7£0;
∴ P(D)=P(D;A)+P(D;B)+P(D;C)
=
+
+
;3ª5;
;3ª5;
;7£0;
;7!0!;
=
0355 ;3»7;
TIP 친구 A, B, C의 집에 우산을 두고 올 확률을 각각 구한다.
진실이가 우산을 잃어버리는 사건을 E, 친구 A, B, C의 집에 방문
하는 사건을 각각 A, B, C라 하면
P(E;A)=
;4!;
P(E;B)=
´
;4#;
;4!;
=
;1£6;
P(E;C)=
´
´
;4#;
;4#;
;4!;
=
;6»4;
∴ P(E)=P(E;A)+P(E;B)+P(E;C)
0353 7
TIP 주머니 B에 처음 들어 있던 검은 구슬의 개수를 x로 놓는다.
=
+
;4!;
;1£6;
+
;6»4;
=
;6#4&;
따라서 구하는 확률은
주머니 B에 처음 들어 있던 검은 구슬의 개수를 x라 하면 흰 구슬의
개수는 (10-x)이다.
Ú 주머니 A에서 흰 구슬을 꺼내고, 주머니 B에서 검은 구슬을 꺼
P(C|E)=
P(E;C)
P(E)
=
=
;3»7;
;6»4;
;6#4&;
Û 주머니 A에서 검은 구슬을 꺼내고, 주머니 B에서도 검은 구슬
낼 확률은
´
;1£0;
;1Ó1;
=
3x
110
을 꺼낼 확률은
´ x+1
11
;1¦0;
=
7(x+1)
110
0356 ④
TIP 두 사건의 포함 관계를 알아보고 P(B|A)=
임을 이용한
P(A;B)
P(A)
다.
ㄱ. [반례] 한 개의 주사위를 던질 때, 3의 배수의 눈이 나오는 사건
주머니 A에서 한 개의 구슬을 꺼내어 주머니 B에 넣은 다음 주머니
을 A, 홀수의 눈이 나오는 사건을 B, 짝수의 눈이 나오는 사건
B에서 한 개의 구슬을 꺼낼 때, 그것이 검은 구슬일 확률이
이므
;1¦0;
로 Ú, Û에서
3x
110
따라서 주머니 B에 처음 들어 있던 검은 구슬의 개수는 7이다.
7(x+1)
110
, 10x=70
∴ x=7
;1¦0;
=
+
을 C라 하면
P(A)=
;3!;, P(B)=
;2!;, P(C)=
;2!;
P(A;C)=
;6!;, P(B;C)=0
이때, P(A)ÉP(B)이지만
044 | Ⅱ 확률
P(A|C)=
P(A;C)
P(C)
=
=
;3!;
;6!;
;2!;
P(B|C)=
P(B;C)
P(C)
=0
이므로 P(A|C)>P(B|C)
ㄴ. A'B=D에서 (A;C),(D;C)이므로
P(A;C)ÉP(D;C)
이때, 양변을 P(C)로 나누면
É
P(A;C)
P(C)
P(D;C)
P(C)
∴ P(A|C)ÉP(D|C)
ㄷ. A;B=E에서 (E;C),(A;C)이므로
P(E;C)ÉP(A;C)
이때, 양변을 P(C)로 나누면
É
P(E;C)
P(C)
P(A;C)
P(C)
∴ P(E|C)ÉP(A|C)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
-8x+12=0에서 (x-2)(x-6)=0
0357 ;9%;
TIP f(a)f(b)=0이려면 f(a)=0 또는 f(b)=0임을 이용한다.
f(a)f(b)=0이려면 f(a)=0 또는 f(b)=0이어야 한다.
xÛ
∴ x=2 또는 x=6
즉, f(2)=0 또는 f(6)=0
f(a)=0인 사건을 A, f(b)=0인 사건을 B라 하면
Ú a=2 또는 a=6일 때 f(a)=0이므로
`
Û b=2 또는 b=6일 때 f(b)=0이므로
P(A)=
=
;6@;
;3!;
P(B)=
=
;6@;
;3!;
이때, 두 사건 A, B는 서로 독립이므로
P(A;B)=P(A)P(B)=
´
;3!;
;3!;
=
;9!;
따라서 구하는 확률은
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=
+
-
=
;9!;
;9%;
;3!;
;3!;
A={3, 6, 9, 12}이므로 P(A)=
=
;3!;
;1¢2;
n(A;X)=3이므로 P(A;X)=
;1£2;
이때, 두 사건 A, X는 서로 독립이므로
P(A;X)=P(A)P(X)에서
=
;4!;
=
;4!;
;3!;
P(X)
∴ P(X)=
;4#;
∴ n(X)=12´
=9
;4#;
0358 9
TIP 두 사건 A, X가 서로 독립임을 이용하여 P(X)의 값을 먼저 구한다.
0359 ;9$;
TIP 독립시행의 확률과 P(A|E)=
P(A;E)
P(A;E)+P(AC;E)
임을 이용
한다.
A가 동전을 3개 던져서 앞면이 1개 나오는 사건을 AÁ, 2개 나오는
사건을 Aª, 3개 나오는 사건을 A£, B가 동전을 던져서 뒷면이 1개
나오는 사건을 E라 하자.
Ú P(AÁ;E)=P(AÁ)P(E|AÁ)
=£CÁ
;2!;
Û P(Aª;E)=P(Aª)P(E|Aª)
{;2!;}
{;2!;}
2`
1`
´
=
;1£6;
=£Cª
´ªCÁ
{;2!;}
{;2!;}
{;2!;}
{;2!;}
;1£6;
=
1`
Ü P(A£;E)=P(A£)P(E|A£)
2`
1`
=£C£
´£CÁ
{;2!;}
{;2!;}
{;2!;}
;6£4;
=
Ú~Ü에서
P(E)=P(AÁ;E)+P(Aª;E)+P(A£;E)
3`
1`
1`
2`
=
+
;1£6;
따라서 구하는 확률은
;1£6;
+
=
;6£4;
;6@4&;
P(Aª|E)=
P(Aª;E)
P(E)
=
;1£6;
;6@4&;
=
;9$;
0360 ②
TIP 독립시행의 확률을 이용하여 P(k)를 구한 후 이항정리를 이용한다.
100-k
{;3@;}
(k=0, 1, y, 100)
P(k)=Á¼¼Cû{;3!;}
이므로
50
k`
{P(2k-1)-P(2k)}
;K+!
={P(1)-P(2)}+{P(3)-P(4)}+y+{P(99)-P(100)}
(-1)k+1P(k)
100
=
;K+!
100
=
;K+!
100
=
(-1)k+1Á¼¼Cû{;3!;}
{;3@;}
100-k
k`
{;3@;}
100-k
]
100-k
{;3@;}
k`
;3!;}
100
k`
-
100
{;3@;}
]
-Á¼¼Cû{
[
-
;3!;}
100
;K+!
=-
[
Á¼¼Cû{
-
=-
;K+)
-
[{
+
;3!;
100
-
=
{;3@;}
{;3!;}
;3@;}
100
Lecture
이항정리
자연수 n에 대하여 (a+b)Ç`=
ÇC¨ an-rb¨`
;Rn+)
-Á¼¼C¼
100
{;3@;}
]
4 조건부확률 | 045
조건부확률4 5
이산확률분포
STEP1
기초
Build
본책 64쪽~78쪽
확률의 총합은 1이므로
+
;1°2;
;3!;
+a+2a=1
0365 ;1Á2;
3a=
;4!;
∴ a=
;1Á2;
0361 ㄱ, ㄹ
이산확률변수는 확률변수가 가질 수 있는 값이 셀 수 있어야 하므로
이산확률변수인 것은 ㄱ, ㄹ이다.
참고
ㄴ. 어떤 사람이 비를 맞은 시간을 확률변수 X라 하면 X가 가질 수 있
는 값은 0ÉXÉ10인 모든 실수이므로 이산확률변수가 아니다.
ㄷ. 미세먼지의 농도를 확률변수 X라 하면 X가 가질 수 있는 값은 X¾0인
모든 실수이므로 이산확률변수가 아니다.
0362 풀이 참조
한 개의 주사위를 한 번 던질 때 홀수의 눈이 나올 확률은
, 짝수
;2!;
의 눈이 나올 확률은
이므로
;2!;
P(X=0)=
´
;2!;
;2!;
=
;4!;
P(X=1)=
´
;2!;
;2!;
+
´
;2!;
;2!;
=
;2!;
P(X=2)=
´
;2!;
;2!;
=
;4!;
따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P(X=x)
0
;4!;
1
;2!;
2
;4!;
합계
1
⑵ P(X=0)=
0363 ⑴ 0, 1, 2 ⑵ 풀이 참조
⑴ 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2
£C¼´ªCª
°Cª
£CÁ´ªCÁ
°Cª
£Cª´ªC¼
°Cª
P(X=1)=
P(X=2)=
;1Á0;
;1£0;
=
=
=
;5#;
X
P(X=x)
0
;1Á0;
1
;5#;
2
;1£0;
합계
1
0364 x, 4-x, 9
9개의 과일 중에서 4개를 꺼내는 경우의 수는 »C¢
꺼낸 4개의 과일 중에서 사과가 x개 포함되는 경우의 수는
°C®´¢C4-x
따라서 X의 확률질량함수는
P(X=x)=
(x=0, 1, 2, 3, 4)
°C x ´¢C 4-x
9 C¢
046 | Ⅲ 통계
0366 ;4#;
P(X=0 또는 X=2)=P(X=0)+P(X=2)
=
+
=
;3!;
;4#;
;1°2;
0367 ;1¦2;
P(2ÉXÉ6)=1-P(X=0)
=1-
=
;1°2;
;1¦2;
14
0368 ⑴ :Á3¼: ⑵ :Á9¢: ⑶ '¶
3
⑴ E(X)=2´
+3´
+5´
=
;3!;
;3!;
;3!;
:Á3¼:
⑵ E(XÛ
)=2Û
´
+3Û
´
+5Û
´
=
`
;3!;
`
;3!;
`
;3!;
:£3¥:
`
이므로
V(X)=E(XÛ
)-{E(X)}Û
=
-
`
`
:£3¥:
{:Á3¼:}
:Á9¢:
⑶ r(X)=
V(X)=
"Ã
14
= '¶
3
®É:Á9¢:
=
2`
0369 ⑴ 풀이 참조
⑵ E(X)=
;2#;, V(X)=
3
;4#;, r(X)= '
2
⑴ 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라 하면
X=0인 경우는 TTT의 1가지이므로 P(X=0)=
;8!;
X=1인 경우는 HTT, THT, TTH의 3가지이므로
X=2인 경우는 THH, HTH, HHT의 3가지이므로
P(X=1)=
P(X=2)=
;8#;
;8#;
따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P(X=x)
0
;8!;
1
;8#;
2
;8#;
3
;8!;
;8!;
합계
1
⑵ E(X)=0´
+1´
+2´
+3´
=
;8!;
;8#;
;8#;
;8!;
;2#;
E(XÛ
)=0´
+1Û
´
+2Û
´
+3Û
´
=3이므로
;8!;
`
;8#;
`
;8#;
`
;8!;
`
V(X)=E(XÛ
)-{E(X)}Û
=3-
`
{;2#;}
=
;4#;
2`
`
3
= '
2
r(X)=
V(X)=
"Ã
®;4#;
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X=3인 경우는 HHH의 1가지이므로 P(X=3)=
0370 500원
확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 500, 1000이고, 그 확률은 각각
0374 B
10,
{
;3!;}
P(X=0)=
´
;2!;
;2!;
=
;4!;
P(X=500)=
´
;2!;
;2!;
+
´
;2!;
;2!;
=
;2!;
P(X=1000)=
´
=
;4!;
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
;2!;
;2!;
X
500
1000
P(X=x)
;2!;
;4!;
0
;4!;
합계
1
∴ E(X)=0´
+500´
+1000´
=500
;4!;
;2!;
;4!;
따라서 구하는 기댓값은 500원이다.
0371 평균：8, 분산：18, 표준편차：3
E(6X+2)=6E(X)+2=6´1+2=8
2
'
V(6X+2)=6Û
V(X)=36´
`
;2!;
=18
r(X)=
2
V(X)= '
2
"Ã
이므로
2
r(6X+2)=6r(X)=6´ '
2
=3
2
'
2
0372 평균：:Á4Á:, 분산：;3Á2;, 표준편차： '
8
E
-
{
;4!;
V
-
{
;4!;
r(X)=
X+3
=-
E(X)+3=-
´1+3=
;4!;
:Á4Á:
}
;4!;
V(X)=
´
;1Á6;
;2!;
=
;3Á2;
X+3
=
-
{
}
;4!;}
2
V(X)= '
2
2`
"Ã
이므로
r
-
{
;4!;
X+3
=
}
-
|
;4!;|
r(X)=
2
´ '
2
2
= '
8
;4!;
0373 ⑴ 3 ⑵ ;5¦0; ⑶ 2
'¶
14
E(X)=0´
+1´
+2´
;6!;
;2!;
+3´
=
;3Á0;
;5^;
;1£0;
E(XÛ
)=0´
+1Û
´
+2Û
´
;6!;
`
;2!;
`
;1£0;
+3Û
´
`
;3Á0;
`
=2이므로
V(X)=E(XÛ
)-{E(X)}Û
=2-
`
{;5^;}
=
;2!5$;
`
r(X)=
14
V(X)= '¶
5
"Ã
2`
⑴ E(5X-3)=5E(X)-3=5´
-3=3
;5^;
X+1
2
=
⑵ V
V(X)=
`
´
=
}
{
{;2!;}
;5¦0;
14
⑶ r(-10X+2)=|-10|r(X)=10´ '¶
5
;2!5$;
;4!;
2`
=2
14
'¶
3의 배수의 눈이 나올 확률은
이므로 3의 배수의 눈이 나오는 주
사위의 개수 X는 이항분포 B
10,
을 따른다.
;3!;
{
;3!;}
0375 이항분포를 따르지 않는다.
2개를 꺼낼 때, 처음 1개를 꺼내는 시행과 다음에 1개를 꺼내는 시
행은 서로 독립이 아니므로 이항분포를 따르지 않는다.
자유투를 성공할 확률이
이므로 자유투를 성공하는 횟수 X는 이
;5$;
0376 B
20,
{
;5$;}
항분포 B
20,
를 따른다.
{
;5$;}
0377 ⑴ 풀이 참조 ⑵ ;6!4%;
⑴ P(X=x)=
¤C®
(x=1, 2, y, 5)
⑵ P(X=2)=¤Cª
0378 ⑴ B
5,
{
;4#;}
6`
⑵ 풀이 참조 ⑶ ;5!1#2%;
⑴ 확률변수 X는 이항분포 B
5,
을 따른다.
{
;4#;}
⑵ P(X=x)=
°C®
(x=1, 2, 3, 4)
¤C¼
{;2!;}
(x=0)
{;2!;}
6`
6`
¤C¤
{;2!;}
(x=6)
à
6`
=
;6!4%;
{;2!;}
°C¼
(x=0)
{;4!;}
5
x
{;4!;}
{;4#;}
5-x
°C°
{;4#;}
(x=5)
à
5
{;4!;}
`
`
=
{;4#;}
;5!1#2%;
⑶ P(X=3)=°C£
0379 평균：3, 분산：2.1, 표준편차：
'¶
E(X)=10_0.3=3
V(X)=10_0.3_0.7=2.1
2.1
r(X)=
V(X)=
2.1
0380 평균：6, 분산：5, 표준편차：
'
5
E(X)=36´
=6, V(X)=36´
;6!;
´
;6!;
;6%;
=5
"Ã
"Ã
'¶
'
r(X)=
V(X)=
5
0381 ⑴ 10 ⑵ 8 ⑶ 2
'
확률변수 X는 이항분포 B
2
⑴ E(X)=50´
=10
;5!;
⑵ V(X)=50´
´
;5!;
;5$;
=8
⑶ r(X)=
V(X)=
8=2
2
'
'
"Ã
50,
{
;5!;}
을 따르므로
5 이산확률분포 | 047
이산확률분포53
2
STEP2
유형
Drill
유형 01
확률질량함수의 성질 ; pÁ+pª+y+pÇ=1
본책 68쪽
확률변수 X의 확률질량함수 P(X=xÔ)=pÔ (i=1, 2, y, n)에 대하
여 pÁ+pª+y+pÇ=1
0382 ;2ª5;
확률의 총합은 1이므로
P(X=-2)+P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)
+P(X=2)=1
k+
{
+
k+
;1ª0;}
{
;1Á0;}
+k+
k+
{
+
k+
;1Á0;}
{
;1ª0;}
=1
5k+
=1, 5k=
∴ k=
;5@;
;5#;
;2ª5;
0383 ④
확률의 총합은 1이므로
P(X=1)+P(X=2)+y+P(X=10)=1
k
1´2
+ k
2´3
+y+ k
10´11
=1
1-
k
[{
;2!;}
+
{;2!;
-
;3!;}
+y+
-
{;1Á0;
;1Á1;}]
=1
1-
k
{
;1Á1;}
=1,
;1!1);
k=1
∴ k=
;1!0!;
∴ P(X=1)=
´
;1!0!;
1
1´2
=
;2!0!;
0384 ;4!;
P(X=x)=
k
x+1+
'¶
k(
'Ä
x+1+
'¶
x+1-
'¶
x
x+1-
x )(
x )
'Ä
'Ä
=
(
'Ä
=k(
'Ä
x )
'¶
x+1-
x )
'¶
확률의 총합은 1이므로
P(X=1)+P(X=2)+y+P(X=24)=1
k{(
2)+y+(
1)+(
25-
2-
3-
'
k(-1+
'
'
25)=1, 4k=1
'
'¶
∴ k=
'¶
;4!;
'¶
∴ P(X=16)+P(X=17)+y+P(X=24)
24)}=1
0385 ;5#;
확률의 총합은 1이므로
10kÛ
+20kÛ
`
`
+
;5@;
+3k=1
30kÛ
+3k-
=0, 50kÛ
+5k-1=0
`
;5#;
`
(5k+1)(10k-1)=0
∴ k=-
또는 k=
;1Á0;
이때, 0ÉP(X=x)É1이므로 k=
-4X+3=0에서
`
한편, XÛ
(X-1)(X-3)=0
∴ P(XÛ
`
-4X+3=0)=P(X=1 또는 X=3)
=P(X=1)+P(X=3)
∴ X=1 또는 X=3
;5!;
;1Á0;
=20kÛ
+
=20´
`
;5@;
+
;10!0;
;5@;
=
;5#;
0386 ;2!;
확률의 총합은 1이므로
;8#;
∴ k=
+2k+
+k=1, 3k=
;4!;
;8#;
한편, |X-1|<3에서 -30 ⇨ 서로 다른 두 점에서 만난다.
0424 5
(x+5)개의 구슬이 들어 있는 주머니에서 한 개의 구슬을 꺼낼 때
⑵ D=0 ⇨ 한 점에서 만난다.(접한다.)
⑶ D<0 ⇨ 만나지 않는다.
5 이산확률분포 | 055
이산확률분포5 유형 12 이산확률변수 aX+b의 평균, 분산, 표준편차
; 이항분포를 따르는 경우
본책 74쪽
STEP3
심화
Master
Ú 확률변수 X가 따르는 이항분포를 구한다. ⇨ B(n, p)
Û 확률변수 X의 평균, 분산, 표준편차를 구한다.
⇨ E(X)=np, V(X)=np(1-p), r(X)=
np(1-p)
Ü aX+b(a, b는 상수, a+0)의 평균, 분산, 표준편차를 구한다.
⇨ E(aX+b)=aE(X)+b, V(aX+b)=aÛ
"Ã
V(X)
`
r(aX+b)=|a|r(X)
0427 ⑤
주머니에서 한 개의 공을 꺼낼 때 흰 공이 나올 확률은
이므로 확
;5#;
E(X)=pÁ+2pª+3p£+4p¢+5p°=4
0430 28
TIP 확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=xÔ)=pÔ(i=1, 2, y, n)일 때
E(X)=xÁ pÁ+xª pª+y+xÇ pÇ임을 이용한다.
P(X=k)=pû (k=1, 2, 3, 4, 5)인 확률변수 X의 확률분포를
표로 나타내면 다음과 같다.
X
P(X=k)
1
pÁ
2
pª
3
p£
4
p¢
5
p°
합계
1
한편, P(Y=k)=
P(X=k)+
(k=1, 2, 3, 4, 5)이므로
;2!;
;1Á0;
E(Y)=
pÁ+
{;2!;
;1Á0;}
+2
pª+
{;2!;
;1Á0;}
+3
{;2!;
p£+
;1Á0;}
+4
p¢+
{;2!;
+5
p°+
{;2!;
;1Á0;}
1+2+3+4+5
10
;1Á0;}
률변수 X는 이항분포 B
10,
을 따른다.
{
;5#;}
V(X)=10´
´
;5#;
;5@;
=
:Á5ª:
이므로
V(5X+3)=5Û
V(X)=25´
`
:Á5ª:
=60
0428 16
4개의 동전을 한 번 던질 때, 1개는 앞면, 3개는 뒷면이 나올 확률은
¢CÁ
{;2!;}
{;2!;}
=
;4!;
1`
3`
이므로 확률변수 X는 이항분포 B
20,
을 따르고
{
;4!;}
=
(pÁ+2pª+3p£+4p¢+5p°)+
;2!;
;2!;
=
´4+
=
;2#;
;2&;
따라서 a=
이므로 8a=28
;2&;
참고
Y의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
E(X)=20´
=5
;4!;
∴ E(3X+1)=3E(X)+1=16
따라서 구하는 기댓값은 16이다.
Y
1
2
3
4
5
합계
P(Y=k)
pÁ+
;2!;
;1Á0; ;2!;
pª+
;1Á0; ;2!;
p£+
;1Á0; ;2!;
p¢+
;1Á0; ;2!;
p°+
;1Á0;
1
0429 -6
TIP 점 P가 움직이는 횟수를 확률변수 Y로 놓고 X와 Y의 관계식을 찾는
다.
주사위를 12번 던질 때 점 P가 양의 방향으로 2만큼 움직이는 횟수
를 확률변수 Y라 하면 음의 방향으로 1만큼 움직이는 횟수는
12-Y이므로
X=2Y-(12-Y)=3Y-12
한편, 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나오는 눈의 수를 a, b라 하
면 순서쌍 (a, b)에 대하여 두 수의 합이 4 이하인 경우는 (1, 1),
(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)의 6가지이므로 그 확률은
=
;3¤6;
;6!;
따라서 점 P가 양의 방향으로 2만큼 움직일 확률은
이므로 Y는
;6!;
0431 2
TIP 확률의 총합은 1임을 이용하여 a의 값을 먼저 구한다.
확률의 총합은 1이므로
a
log
{
;1@;
+log
+log
+y+log
;2#;
;3$;
=1
:Á9¼9¼:}
a log
´
´
´y´
{;1@;
;2#;
;3$;
:Á9¼9¼:}
=1
a log 100=1, 2a=1
∴ a=
;2!;
∴ P(X=4)=
log
=
(log 5-2 log 2)
;4%;
;2!;
=
(1-3 log 2)=
-
log 2
;2!;
;2#;
;2!;
;2!;
따라서 p=
, q=-
이므로 p-q=2
;2!;
;2#;
이항분포 B
12,
을 따른다.
{
;6!;}
∴ E(Y)=12´
=2
;6!;
∴ E(X) =E(3Y-12)=3E(Y)-12
=3´2-12=-6
056 | Ⅲ 통계
Lecture
로그의 기본 성질과 상용로그
⑴ a>0, a+1, M>0, N>0일 때
① log 1=0, log a=1
② log MN=log M+log N
③ log
=log M-log N
M
N
④ log Nû`=k log N (단, k는 실수)
⑵ 상용로그：10을 밑으로 하는 로그를 상용로그라 하며 상용로그
logÁ¼ N은 보통 밑 10을 생략하여 log N과 같이 나타낸다.
0432 83
TIP
P(X=k)=1,
kP(X=k)=E(X)임을 이용한다.
확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
;K4+)
;K4+)
X
0
1
2
3
4
합계
P(X=x)
;7Á0;
;3¥5;
;3!5*;
;3¥5;
;7Á0;
1
E(X)=0´
+1´
+2´
+3´
+4´
;7Á0;
;3¥5;
;3!5*;
;3¥5;
;7Á0;
=2
한편,
{(7x+70)P(X=x)}
{7xP(X=x)+70P(X=x)}
xP(X=x)+70
P(X=x)
;?4+!
;?4+!
=
;?4+!
=7
;?4+!
이때,
;?4+!
;?4+!
이므로
(주어진 식)=7´2+70´
=14+69
;7^0(;
=83
Lecture
xP(X=x)=
xP(X=x)=E(X)=2
P(X=x)=
;?4+)
P(X=x)-P(X=0)=1-P(X=0)
;?4+)
=1-
=
;7Á0;
;7^0(;
기호
를 사용하여
로 나타낸다.
⑴
;
(aû+bû)=(aÁ+bÁ)+(aª+bª)+y+(aÇ+bÇ)
;Kn+!
;Kn+!
=(aÁ+aª+y+aÇ)+(bÁ+bª+y+bÇ)
=
aû+
bû
⑵
(aû-bû)=
;Kn+!
aû-
;Kn+!
bû
;Kn+!
⑶
;Kn+!
caû=caÁ+caª+y+caÇ=c(aÁ+aª+y+aÇ)
;Kn+!
;Kn+!
=c
aû (단, c는 상수)
;Kn+!
V(X) =E(XÛ
=(24Û
)-{E(X)}Û
)-24Û
`
+2bÛ
`
=18이므로 bÛ
`
=2bÛ
`
∴ b=3 (∵ b>0)
`
=9
`
`
따라서 2bÛ
∴ a+b=27
`
0434 :Á5¦:
TIP 확률변수 X가 가질 수 있는 값들을 먼저 구해본다.
두 장의 종이를 꺼내어 얻을 수 있는 점수의
합은 오른쪽 표와 같으므로 확률변수 X가
가질 수 있는 값은 2, 3, 4, 5, 6이고, 그 확률
○ ☆ △
○ 2
☆ 3
△ 4
3
4
5
4
5
6
은 각각
P(X=2)=
P(X=3)=
P(X=4)=
P(X=5)=
P(X=6)=
;9@;
=
°Cª
Á¼Cª
°CÁ´£CÁ
Á¼Cª
=
;3!;
°CÁ´ªCÁ+£Cª
Á¼Cª
£CÁ´ªCÁ
Á¼Cª
=
;1ª5;
ªCª
Á¼Cª
=
;4Á5;
=
;4!5#;
따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P(X=x)
2
;9@;
3
;3!;
4
5
6
합계
;4!5#;
;1ª5;
;4Á5;
1
0435 1600원
TIP 수형도를 이용하여 수요일에 이용할 교통수단과 그 확률을 먼저 구한다.
월요일, 화요일, 수요일에 이용할 교통수단과 각각의 확률은 다음과
같다.
월요일
버스
화요일
수요일
확률
지하철
택시
버스 ⇨
택시 ⇨
_
=
;2!;
;8#;
;4#;
_
=
;2!;
;8#;
;4#;
버스 ⇨
_
=
;3!;
`;4!;
;1Á2;
지하철 ⇨
_
=
;3@;
;6!;
;4!;
0433 27
TIP V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û` 임을 이용한다.
E(X)=
(a-2b)+
(a-b)+
a+
(a+b)+
(a+2b)
;5!;
;5!;
;5!;
;5!;
;5!;
=a
∴ a=24
E(XÛ
)=
(a-2b)Û
+
(a-b)Û
+
`
;5!;
`
;5!;
aÛ
+
;5!;
`
;5!;
(a+b)Û
`
`
=aÛ
+2bÛ
=24Û
+2bÛ
`
`
`
`
따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P(X=x)
900
;6!;
1200
2400
합계
+
=
;8#;
;1Á2;
;2!4!;
1
;8#;
;8#;
+
(a+2b)Û
;5!;
`
∴ E(X)=900´
;6!;
따라서 구하는 기댓값은 1600원이다.
;2!4!;
+1200´
+2400´
=1600
5 이산확률분포 | 057
의 뜻과 성질
합의 기호
수열 {aÇ}의 첫째항부터 제 n 항까지의 합 aÁ+aª+a£+y+aÇ을 합의
;
∴ E(X)=2´
+3´
+4´
;9@;
;3!;
+5´
+6´
=
;4Á5;
:Á5¦:
;1ª5;
;4!5#;
이산확률분포5 0436 19점
TIP 좌표평면에서 원점과 점 (p, q) 사이의 거리는
"Ã
원점을 O라 하면
pÛ`+qÛ` 임을 이용한다.
8개의 지점 A, B, C, D, E, F, G, H에 각각 연결된 도로의 개수는
2, 4, 4, 2, 3, 5, 2, 2이므로 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 2, 3,
4, 5이고 그 확률은 각각
OPÓ=
(a+b)Û
+(a-b)Û
=
2(aÛ
+bÛ
)
`
`
`
"Ã
+bÛ
`
2(aÛ
`
)É4
"Ã
OPÓÉ4에서
"Ã
É8
+bÛ
∴ aÛ
두 개의 주사위를 동시에 던져서 나오는 눈의 수 a, b의 순서쌍
(a, b)에 대하여 aÛ
É8을 만족시키는 경우는 (1, 1),
+bÛ
`
`
`
`
`
(1, 2), (2, 1), (2, 2)의 4가지이므로 그 확률은
=
;3¢6;
;9!;
이때, 두 개의 주사위를 한 번 던져 얻을 수 있는 점수를 확률변수 X
라 하면 X가 가질 수 있는 값은 27, 18이고 그 확률은 각각
P(X=2)=
, P(X=3)=
P(X=4)=
, P(X=5)=
;2!;
;4!;
X
P(X=x)
2
;2!;
3
;8!;
확률변수 X에 대하여
;8!;
;8!;
4
;4!;
5
;8!;
합계
1
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
P(X=27)=
;9!;
P(X=18)=1-P(X=27)=
;9*;
∴ E(X)=27´
;9!;
따라서 구하는 기댓값은 19점이다.
;9*;
+18´
=19
참고
X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P(X=x)
18
;9*;
27
;9!;
합계
1
0437 ①
TIP 순열을 이용하여 P(X=1)=a를 먼저 구하고 확률의 총합이 1임을 이
용한다.
세 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수들 중에서 두 수의 차의 최댓
값이 1이 되는 경우는 세 개 중 두 주사위의 눈의 차가 1이고, 나머
지 한 주사위의 수는 중복된 경우이다.
즉, (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)에 대하여
(1, 1, 2), (2, 2, 3), (3, 3, 4), (4, 4, 5), (5, 5, 6),
(1, 2, 2), (2, 3, 3), (3, 4, 4), (4, 5, 5), (5, 6, 6)
의 10가지이므로 두 수의 차의 최댓값이 1인 경우의 수는
3!
2!
´10=30
∴ a=P(X=1)=
30
6Ü`
확률의 총합은 1이므로
=
;3°6;
+a+
+b+
;9@;
+
;9@;
;3°6;
=1에서
;3Á6;
b+
=1
∴ b=
;4#;
;4!;
확률변수 X에 대하여
E(X)=0´
+1´
+2´
+3´
+4´
+5´
;3Á6;
;3°6;
;9@;
;4!;
;9@;
;3°6;
=
;1#2%;
∴ E(Y)=E(12X+5)=12E(X)+5=40
E(X)=2´
+3´
+4´
+5´
=3
;2!;
;8!;
;4!;
;8!;
∴ E(3X+1)=3E(X)+1=10
0439 105
TIP 확률변수 X와 Y 사이의 관계식을 찾는다.
확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6이고 그 확률은 각
각
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
;6!;
X
1
2
3
4
5
6 합계
P(X=x)
;6!;
;6!;
;6!;
;6!;
;6!;
;6!;
1
E(X)=1´
+2´
+3´
+4´
+5´
+6´
;6!;
;6!;
;6!;
;6!;
;6!;
;6!;
=
;2&;
=
:»6Á:
E(XÛ
)=1Û
´
+2Û
´
+3Û
´
+4Û
´
+5Û
´
+6Û
´
`
;6!;
`
;6!;
`
;6!;
`
;6!;
`
;6!;
`
;6!;
`
∴ V(X)=E(XÛ
)-{E(X)}Û
;1#2%;
한편, 10Y=10(aX+9)-300이므로 Y=aX-21
{;2&;}
:»6Á:
2`
`
`
-
=
=
E(Y)=E(aX-21)=aE(X)-21=
a-21
;2&;
즉,
a-21=0이므로 a=6
;2&;
∴ V(Y)=V(6X-21)=6Û
V(X)=36´
`
;1#2%;
=105
0440 5
TIP 갑이 얻는 점수를 확률변수 X, 을이 얻는 점수를 확률변수 Y로 놓고
E(X), E(Y)의 값을 각각 구한다.
두 개의 주사위를 동시에 던져서 나오는 눈의 수를 a, b라 하면 순서
쌍 (a, b)에 대하여 두 수의 차가
0인 경우는 (1, 1), (2, 2), y, (6, 6)의 6가지
1인 경우는 (1, 2), (2, 3), y, (5, 6),
(2, 1), (3, 2), y, (6, 5)의 10가지
이므로 두 주사위의 눈의 수의 차가 2보다 작은 경우의 수는 16이고
0438 ③
TIP 확률변수 X가 가질 수 있는 값들을 먼저 구하고, 두 상수 a, b (a+0)에
대하여 E(aX+b)=aE(X)+b임을 이용한다.
그 확률은
=
;3!6^;
;9$;
058 | Ⅲ 통계
따라서 갑이 1점을 얻을 확률은
이고, 을이 1점을 얻을 확률은
;9$;
;9%;
이다. 갑이 얻는 점수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포
B
45,
{
;9$;}
를 따르고, 을이 얻는 점수를 확률변수 Y라 하면 Y는 이
항분포 B
45,
를 따른다.
{
;9%;}
∴ E(X)=45´
;9$;
즉, a=20, b=25이므로 b-a=5
=20, E(Y)=45´
=25
;9%;
0441 -6000원
TIP 풍선을 맞히는 횟수를 확률변수 X, 얻을 수 있는 금액을 확률변수 Y로
놓고 X와 Y 사이의 관계식을 찾는다.
∴ E(X)
풍선을 맞히는 횟수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포
다른 풀이 풍선을 맞힐 확률은 ;6!;, 맞히지 못할 확률은 ;6%;이므로 한 번의
게임에서 얻을 수 있는 금액의 기댓값은 1000´
-500´
=-250(원)
a+0일 때 aâ`=1
;6!;
;6%;
B
24,
{
;6!;}
을 따른다.
∴ E(X)=24´
=4
;6!;
한편, 얻을 수 있는 금액을 확률변수 Y라 하면
Y=1000X-500(24-X)=1500X-12000
이므로
E(Y) =E(1500X-12000)=1500E(X)-12000
=-6000
따라서 구하는 기댓값은 -6000원이다.
이다.
따라서 24번의 게임에서 얻을 수 있는 금액의 기댓값은
-250´24=-6000(원)
0442 47
TIP m, n이 6 이하의 자연수임을 이용하여 사건 P(E)를 먼저 구한다.
É25이어야 하므로
`
`
`
`
+nÛ
É21이므로 n=1, 2, 3, 4의 4가지
É24이므로 n=1, 2, 3, 4의 4가지
1ÉmÉ6, 1ÉnÉ6인 자연수이고 mÛ
Ú m=1일 때
nÛ
Û m=2일 때
nÛ
Ü m=3일 때
nÛ
Ý m=4일 때
nÛ
Ú~Ý에서 사건 E가 일어나는 경우의 수는
4+4+4+3=15
É16이므로 n=1, 2, 3, 4의 4가지
É9이므로 n=1, 2, 3의 3가지
`
`
따라서 P(E)=
=
;3!6%;
;1°2;
이므로 확률변수 X는 이항분포
B
12,
{
;1°2;}
를 따른다.
∴ V(X)=12´
´
=
;1°2;
;1¦2;
;1#2%;
따라서 p=12, q=35이므로 p+q=47
0443 1024원
TIP (a+b)Ç`=ÇC¼ bÇ`+ÇCÁ abn-1+y+ÇCÇ aÇ` 임을 이용한다.
받을 수 있는 상금을 확률변수 X라 할 때, X가 가질 수 있는 값은
7â
`
다.
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같
, y, 7Ú
, 7Ú
, 7Û
`
`
`
`
X
7â`
7Ú`
7Û`
P(X=x)
Á¼C¼
{;6%;}
Á¼CÁ
{;6!;}
{;6%;}
Á¼Cª
{;6!;}
{;6%;}
y
y
1`0`
7á`
9`
1`
7Ú`â`
Á¼C»
{;6!;}
{;6%;}
Á¼CÁ¼
{;6!;}
9`
1`
1`0`
2`
8`
합계
1
=7â
´Á¼C¼
`
{;6%;}
+7Ú
´Á¼CÁ
`
{;6!;}
{;6%;}
+7Û
´Á¼Cª
`
{;6!;}
{;6%;}
1`0`
+y+7á
1`
´Á¼C»
9`
{;6!;}
`
+7Ú
`
`
2`
´Á¼CÁ¼
8`
{;6!;}
{;6%;}
=Á¼C¼
+Á¼CÁ
{;6%;}
{;6&;}
{;6%;}
+Á¼Cª
9`
{;6&;}
1`
{;6%;}
1`
9`
+y+Á¼C»
2`
{;6&;}
8`
{;6%;}
`
+Á¼CÁ¼
{;6&;}
9`
1`0`
1`0`
=
+
{;6&;
;6%;}
=2Ú
`
`
1`0`
1`0`
Lecture
지수의 확장
따라서 구하는 기댓값은 1024원이다.
0444 412
50
;K+)
TIP
kÛ` P(X=k)=E(XÛ`)임을 이용한다.
확률변수 X가 이항분포 B
50,
를 따르므로
{
;5@;}
E(X)=50´
=20, V(X)=50´
=12이고, X의 확률질
´
;5@;
;5#;
;5@;
50-k
{;5#;}
(k=0, 1, 2, y, 50)
량함수는
P(X=k)=°¼Cû{;5@;}
이때,
50
k`
kÛ
P(X=k)
`
`
)
=0´P(X=0)+1Û
;K+)
=E(XÛ
이므로
V(X)=E(XÛ
12=E(XÛ
∴ E(XÛ
`
)-20Û
)=412
`
`
`
)-{E(X)}Û
에서
`
`
´P(X=1)+2Û
+3Û
´P(X=2)
´P(X=3)+y+50Û
`
`
´P(X=50)
`
5 이산확률분포 | 059
이산확률분포5â
â
1
â
0445 340
100
TIP
P(X=k)=1,
kP(X=k)=E(X),
100
;K+)
kÛ` P(X=k)=E(XÛ`)임을 이용한다.
100
;K+)
;K+)
확률변수 X가 이항분포 B
100,
{
;5!;}
을 따르므로
E(X)=100´
=20, V(X)=100´
;5!;
´
;5!;
;5$;
=16
)-{E(X)}Û
에서
`
)=416
∴ E(XÛ
`
100-k
{;5$;}
`
V(X)=E(XÛ
16=E(XÛ
`
)-20Û
`
P(X=k)=Á¼¼Cû{;5!;}
4100-k
k`
5100
=Á¼¼Cû
(k=0, 1, 2, y, 100)
(k-2)Û
Á¼¼Cû
`
4100-k
5100
(kÛ
-4k+4)P(X=k)
이므로
100
100
;K+)
=
;K+)
100
`
kÛ
=
P(X=k)-4
`
;K+)
=E(XÛ
`
=340
100
100
kP(X=k)+4
P(X=k)
)-4E(X)+4=416-4´20+4
;K+)
;K+)
0446 5
36
TIP
P(X=k)=1,
kP(X=k)=E(X),
36
;K+)
kÛ` P(X=k)=E(XÛ`)임을 이용한다.
36
;K+)
;K+)
확률변수 X가 이항분포 B
36,
{
;6!;}
을 따르므로
E(X)=36´
;6!;
V(X)=E(XÛ
)-6Û
5=E(XÛ
이때,
`
=6, V(X)=36´
´
;6!;
;6%;
=5
)-{E(X)}Û
`
∴ E(XÛ
`
`
에서
`
)=41
f(x)=
(x-k)Û
P(X=k)
`
36
;K+)
36
=
(xÛ
-2kx+kÛ
)P(X=k)
`
`
36
36
36
kP(X=k)+
P(X=k)-2x
;K+)
=xÛ
`
;K+)
;K+)
-2xE(X)+E(XÛ
)
`
-12x+41
=xÛ
=xÛ
=(x-6)Û
따라서 함수 f(x)는 x=6일 때 최솟값 5를 갖는다.
+5
;K+)
`
`
`
kÛ
P(X=k)
`
060 | Ⅲ 통계
6
연속확률분포
본책 80쪽~96쪽
STEP1
기초
Build
0447 ㄱ, ㄷ, ㄹ
연속확률변수는 어떤 범위에 속하는 모든 실수의 값을 가지므로 연
속확률변수인 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
0448 ;3@;
확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)의 그
래프는 오른쪽 그림과 같다. 이때,
P
X¾
{
;3@;}
는 오른쪽 그림의 색칠한 직
사각형의 넓이와 같으므로
P
X¾
{
=
2-
;3@;}
{
´
=
;3@;}
;2!;
;3@;
0449 ;4#;
확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)의 그
래프는 오른쪽 그림과 같다. 이때,
P(XÉ1)은 오른쪽 그림의 색칠한 사
다리꼴의 넓이와 같으므로
P(XÉ1)=
´
1+
;2!;
{
;2!;}
´1=
;4#;
0450 ;4!;
확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)의 그
래프는 오른쪽 그림과 같다. 이때,
P
-
{
;2!;
ÉXÉ
;2!;}
은 오른쪽 그림의 색
칠한 도형의 넓이와 같으므로
P
-
{
;2!;
ÉXÉ
=2´
´
´
;2!;
;2!;
;2!;
=
;4!;
;2!;}
0451 ⑴ ;4!; ⑵ ;4!;
⑴ 확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)의
그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이때,
f(x)=k의 그래프와 x축 및 두 직선
x=-2, x=2로 둘러싸인 직사각형
의 넓이가 1이므로
⑴ 4´k=1
∴ k=
;4!;
y
;2!;
O
y
1
;2!;
O
y=f(x)
2
x
;3@;
y=f(x)
1
2
x
y
y
k
;2!; 1
y=f(x)
-1-
O
;2!;
;2!;
1
x
y=f(x)
-2
O
1
2
x
⑵ P(X¾1)은 위의 그림의 색칠한 직사각형의 넓이와 같으므로
⑴ P(X¾1)=(2-1)´
=
;4!;
;4!;
0452 ⑴ 8 ⑵ ;1£6;
⑴ 확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)의
그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이때,
f(x)=kx의 그래프와 x축 및 직선
로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 1
y
k
k
k
O
;2!;
;4!;
;8!;
⑴
´
´
;2!;
;2!;
;2!;
k=1,
k=1
∴ k=8
;8!;
⑴ x=
;2!;
⑴ 이므로
⑵ P
{;8!;
⑴ 므로
⑴ P
ÉXÉ
=
´(1+2)´
{;8!;
;4!;}
;2!;
-
{;4!;
;8!;}
=
;1£6;
ÉXÉ
은 위의 그림의 색칠한 사다리꼴의 넓이와 같으
;4!;}
0453 ⑴ f(x)=
;2!;
x (0ÉxÉ2) ⑵ ;2!; ⑶ ;4!;
y
⑴ f(x)=kx라 하면 f(x)=kx의 그래
프와 x축 및 직선 x=2로 둘러싸인
삼각형의 넓이가 1이므로
⑴
´2´2k=1
∴ k=
;2!;
;2!;
⑴ ∴ f(x)=
x (0ÉxÉ2)
;2!;
;2#;
;2!;
k
k
k
O
2k
y=f(x)
1
2
x
;2!;
;2#;
g(xª)이므로
ㄹ. f(E(XÁ))>g(E(Xª))
ㄷ. 확률변수 XÁ의 확률밀도함수의 그래프의 가운데 부분의 높이
가 확률변수 Xª의 확률밀도함수의 그래프보다 더 높으므로
r(XÁ)0일 때
ㄷ. Ú 확률변수 X의 확률밀도함수의 그
래프는 오른쪽 그림과 같다.
k
5-k
k
5+k
x
5
0486 29
정규분포의 확률밀도함수의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이
고, P(XÉ3)=P(X¾7)이므로
m=
3+7
2
=5
따라서 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서
2Û`=E(XÛ`)-5Û`
∴ E(XÛ`)=29
유형 04 정규분포에서 확률 구하기
본책 86쪽
확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따를 때, 확률밀도함수 f(x)의 그
-k -k
5
5+k
5-k
x
래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이므로
⑴ P(X¾m)=P(XÉm)=0.5
⑵ P(m-rÉXÉm)= P(mÉXÉm+r)
ㄹ. Û k=0일 때
ㄹ. Û P(XÉ5)=P(X¾5)=0.5
ㄹ. Ü k<0일 때
ㄹ. Û 확률변수 X의 확률밀도함수의 그
래프는 오른쪽 그림과 같다.
ㄹ. Ú~Ü에서 임의의 상수 k에 대하여
ㄹ. P(XÉ5-k)=P(X¾5+k)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
색칠한 부분과 같다.
참고
ㄴ. 2P(5ÉXÉ5+r)와 P(5ÉXÉ5+2r)는 각각 다음 그림의
5-r
5 5+r
x
5 5+2r x
2P(5ÉXÉ5+r) P(5ÉXÉ5+2r)
0484 16
정규분포의 확률밀도함수의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이
고, P(XÉ6)=P(X¾14)이므로
m=
6+14
2
=10
또, V
X
=9에서
{;2!;
}
{;2!;}
V(X)=9
2`
∴ V(X)=36
즉, rÛ`=36이므로 r=6
∴ m+r=16
0485 6
확률변수 X의 평균이 10이므로 X의 확률밀도함수는 x=10에서
최댓값을 갖고, 정규분포의 확률밀도함수의 그래프는 직선 x=10
에 대하여 대칭이다.
따라서 P(7-2kÉXÉ7+3k)의 값이 최대가 되려면
(7-2k)+(7+3k)
2
=10, 14+k=20
∴ k=6
참고
확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을
따를 때, X의 확률밀도함수는 x=m에 대하여
대칭이다. 따라서 b-a의 값이 일정할 때
P(aÉXÉb)의 값이 최대이려면 오른쪽 그림
과 같아야 하므로
a+b
2
=m (단, a, b는 상수)
064 | Ⅲ 통계
0487 0.6826
확률변수 X가 정규분포 N(15, 3Û`)을 따르므로
m=15, r=3
∴ P(12ÉXÉ18)=P(15-3ÉXÉ15+3)
∴ P(12ÉXÉ18)=P(m-rÉXÉm+r)
∴ P(12ÉXÉ18)=2P(mÉXÉm+r)
∴ P(12ÉXÉ18)=2_0.3413
∴ P(12ÉXÉ18)=0.6826
0488 ②
P(m-rÉXÉm+r)=a에서
2P(mÉXÉm+r)=a
∴ P(mÉXÉm+r)=
;2A;
또, P(m-2rÉXÉm+2r)=b에서
2P(mÉXÉm+2r)=b
∴ P(mÉXÉm+2r)=
;2B;
∴ P(m+rÉXÉm+2r)
∴ =P(mÉXÉm+2r)-P(mÉXÉm+r)
∴ =
b-a
2
0489 0.6915
확률변수 X가 정규분포 N(60, 4Û`)을 따르므로
m=60, r=4
∴ P(X¾58)=P(X¾60-2)
∴ P(X¾58)=P(X¾m-0.5r)
∴ P(X¾58)=P(XÉm+0.5r)
∴ P(X¾58)=P(XÉm)+P(mÉXÉm+0.5r)
∴ P(X¾58)=0.5+0.1915
∴ P(X¾58)=0.6915
a
m b
x
본책 86쪽
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
m=30, r=6
∴ m+r=36
유형 05 정규분포의 표준화
확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따를 때
⑴ 확률변수 Z= X-m
은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
r
⑵ P(aÉXÉb)=P
a-m
r
{
ÉZÉ b-m
r
}
0490 -18
확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(12, 5Û`), N(6, 2Û`)을 따르므
으로 놓으면 Zþ, Zç는 모두 표준
, Zç=
로 Zþ=
Y-6
X-12
2
5
정규분포 N(0, 1)을 따른다.
P(X¾k)=P(YÉ-k)에서
P
{
Zþ¾
k-12
5
}
=P
ZçÉ
{
-k-6
2
이므로
}
k-12
5
=-
-k-6
2
3k=-54
∴ k=-18
, 2(k-12)=5(k+6)
0491 ①
확률변수 X가 정규분포 N(m, 3Û`)을 따르므로 Z=
X-m
3
으로
놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ P(4ÉXÉ2m-4)=P
ÉZÉ
{
4-m
3
m-4
3
{-
m-4
}
3
m-4
3
}
ÉZÉ
m-4
3
}
∴ P(4ÉXÉ2m-4)=P
∴ P(4ÉXÉ2m-4)=2P
0ÉZÉ
{
따라서
=2에서 m=10
m-4
3
P(X¾24)=P(XÉ36)이므로 m=
24+36
2
=30
이때, 확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르므로
0492 36
Z=
X-m
r
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ P(X¾24)=P
Z¾
{
24-30
r
}
=P
Z¾
{
-6
r }
따라서
=-1이므로 r=6
-6
r
∴ m+r=36
다른 풀이 확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르므로
Z=
X-m
r
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
P(X¾24)=P
Z¾
=P(Z¾-1)에서
24-m
r
}
{
{
24-m
r
=-1
36-m
r
=1
한편, P(Z¾-1)=P(ZÉ1)이고
P(XÉ36)=P
ZÉ
=P(ZÉ1)에서
36-m
r
}
유형 06 표준화하여 확률 구하기
본책 87쪽
확률변수 Z가 표준정규분포를 따를 때, a0
∴ X<1
이때, 확률변수 X는 정규분포 N(3, 1)을 따르므로
Z=X-3으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ P(X<1)=P(Z<1-3)=P(Z<-2)
∴ P(X<1)=P(Z>2)
∴ P(X<1)=0.5-P(0ÉZÉ2)
∴ P(X<1)=0.5-0.4772=0.0228
Lecture
이차방정식의 실근의 부호
이차방정식 axÛ`+bx+c=0 (a, b, c는 실수)의 두 실근을 a, b라 하면
⑴ 두 근이 모두 양
D=bÛ`-4ac¾0, a+b>0, ab>0
⑵ 두 근이 모두 음
D=bÛ`-4ac¾0, a+b<0, ab>0
HjK
HjK
⑶ 두 근이 서로 다른 부호
ab<0
HjK
유형 07 표준화하여 미지수의 값 구하기
본책 87쪽
정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 확률변수 X에 대하여
P(mÉXÉa)=k를 만족시키는 a의 값을 구할 때에는 확률변수 X를
으로 표준화한 P
0ÉZÉ a-m
r
}
{
=k에서 표준정규분
Z= X-m
r
포표를 이용한다.
0497 4
X-10
2
Z=
P(-aÉX-10Éa)=0.95에서
P(10-aÉXÉ10+a)=0.95
P
{
10-a-10
2
ÉZÉ
10+a-10
2
}
=0.95
P
-
{
;2A;
ÉZÉ
=0.95
;2A;}
066 | Ⅲ 통계
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
2P
0ÉZÉ
=0.95
;2A;}
{
{
∴ P
0ÉZÉ
=0.475
;2A;}
이때, P(0ÉZÉ2)=0.475이므로
=2
∴ a=4
;2A;
0498 ②
X-36
4
Z=
P
ZÉ
P(XÉa)=0.0228에서
a-36
4
36-a
4
Z¾
P
{
}
}
{
=0.0228
=0.0228
P(Z¾0)-P
0ÉZÉ
{
36-a
4
}
=0.0228
}
{
∴ P
0.5-P
0ÉZÉ
0ÉZÉ
=0.0228
36-a
4
36-a
4
이때, P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로
36-a
4
∴ a=28
=0.4772
=2
}
{
0499 0.67
Z=
X-m
r
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
P(m-2krÉXÉm+kr)=0.6585에서
m-2kr-m
r
P
{
ÉZÉ
m+kr-m
r
}
=0.6585
P(-2kÉZÉk)=0.6585
P(-2kÉZÉ0)+P(0ÉZÉk)=0.6585
P(0ÉZÉ2k)+P(0ÉZÉk)=0.6585
이때, P(0ÉZÉ1.34)+P(0ÉZÉ0.67)=0.6585이므로
k=0.67
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
0500 0.0013
X-m
r
Z=
P(mÉXÉ4)=0.4772에서
m-m
r
P
{
ÉZÉ
=0.4772
4-m
r
}
∴ P
0ÉZÉ
{
4-m
r
}
=0.4772
∴ m+2r=4
한편, P(-2ÉXÉ4)=0.8185에서
-2-m
r
P
{
-2-m
r
P
{
ÉZÉ
=0.8185
4-m
r
}
ÉZÉ2
=0.8185
}
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
이때, P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로
=2
4-m
r
…… ㉠
ÉZÉ0
+P(0ÉZÉ2)=0.8185
-2-m
r
P
{
-2-m
r
P
{
}
}
ÉZÉ0
+0.4772=0.8185
∴ P
0ÉZÉ
{
2+m
r
}
=0.3413
이때, P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로
=1
2+m
r
∴ m-r=-2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=0, r=2
따라서 확률변수 X는 정규분포 N(0, 2Û`)을 따르므로
…… ㉡
다른 학생들이 현수보다 국어, 수학, 영어 점수가 높을 확률은 각각
P(X>78)=P
Z>
=P(Z>1.5)
78-72
4
}
66-60
3
80-75
5
}
}
{
{
{
P(Xõ>66)=P
Zõ>
=P(Zõ>2)
P(X>80)=P
Z>
=P(Z>1)
이때, P(Zõ>2)1.5)1)이므로
P(Xõ>66)78)80)
따라서 현수가 상대적으로 점수가 높은 과목부터 순서대로 나열하
면 수학, 국어, 영어이다.
P(X¾6)=P
Z¾
{
6-0
2
}
P(X¾6)=P(Z¾3)
P(X¾6)=0.5-P(0ÉZÉ3)
P(X¾6)=0.5-0.4987=0.0013
P(-2ÉXÉ4)=0.8185에서
참고
0.8185=P(-2ÉXÉm)+0.4772
∴ P(-2ÉXÉm)=0.3413
이를 이용하여 ㉡을 구할 수도 있다.
P(-2ÉXÉ4)=P(-2ÉXÉm)+P(mÉXÉ4)
0501 0.6247
TIP f(x)= f(2a-x)이면 f(x)의 그래프는 직선 x=a에 대하여 대칭이다.
f(x)= f(8-x)에서 y=f(x)의 그래프는 직선 x=4에 대하여
대칭이므로 m=4
X-4
2
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
Z=
P(3ÉXÉ7)=P
ÉZÉ
3-4
2
{
7-4
2
}
P(3ÉXÉ7)=P(-0.5ÉZÉ1.5)
P(3ÉXÉ7)=P(-0.5ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1.5)
P(3ÉXÉ7)=P(0ÉZÉ0.5)+P(0ÉZÉ1.5)
P(3ÉXÉ7)=0.1915+0.4332
P(3ÉXÉ7)=0.6247
참고
f(x)=f(8-x)에 x대신 4-x를 대입하면 f(4-x)=f(4+x)이
므로 f(x)의 그래프는 직선 x=4에 대하여 대칭이다.
유형 08 표준화하여 자료 분석하기
본책 88쪽
두 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(mþ, rþÛ`), N(mç, rçÛ`)을 따
를 때, 확률변수 X와 Y를 각각 Zþ= X-mþ
, Zç= Y-mç
로 표
rþ
rç
준화하여 확률을 비교한다.
0502 수학, 국어, 영어
전체 학생의 국어, 수학, 영어 점수를 각각 확률변수 X, Xõ, X
라 하면 X, Xõ, X는 각각 정규분포 N(72, 4Û`), N(60, 3Û`),
N(75, 5Û`)을 따르므로
X-72
4
Xõ-60
3
X-75
5
, Zõ=
, Z=
Z=
로 놓으면 Z, Zõ, Z는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
0503 ③
Zã=
W-54
4
X-60
5
Zã, Zþ, Zç는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
Y-62
6
, Zþ=
, Zç=
로 놓으면
a=P(W¾60)=P
Zã¾
{
60-54
4
}
=P
Zã¾
{
;2#;}
b=P(XÉ52)=P
ZþÉ
52-60
5
}
=P
ZþÉ-
{
;5*;}
b=P(XÉ52)=P
Zþ¾
;5*;}
c=P(Y¾58)=P
Zç¾
58-62
6
}
=P
Zç¾-
{
;3@;}
c=P(Y¾68)=P
ZçÉ
;3@;}
이때, P
Zþ¾
{
20)=P
Z>
20-15
10
}
=P
Z>
{
;2!;}
P(Xõ>35)=P
Zõ>
=P
Zõ>
{
;3!;}
{
{
{
35-30
15
60-40
20
}
}
P(X>60)=P
Z>
=P(Z>1)
이때, P(Z>1)
;2!;}
{
P(X>60)20)35)
따라서 각각 자기 학년에서 상대적으로 하루에 푸는 수학 문제의 개
수가 많은 학생부터 순서대로 나열하면 C, A, B이다.
;3!;}
{
이므로
6 연속확률분포 | 067
연속확률분포6 유형 09 정규분포의 활용 ; 확률 구하기
본책 89쪽
Ú 확률변수 X가 따르는 정규분포 N(m, rÛ`)을 구한다.
Û 확률변수 X를 Z= X-m
으로 표준화한다.
r
Ü 표준정규분포표를 이용하여 확률을 구한다.
0508 0.1587
수하물의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(18, 2Û`)을
따르므로 Z=
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을
X-18
2
따른다. 수하물의 무게가 20`kg 이상, 즉 X¾20이면 추가 요금이
부과되므로 구하는 확률은
0505 0.0668
응시자의 점수를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(44, 8Û`)을
따르므로 Z=
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을
X-44
8
P(X¾20)=P
Z¾
{
20-18
2
}
=P(Z¾1)
P(X¾20)=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1)
P(X¾20)=0.5-0.3413
P(X¾20)=0.1587
따른다. 따라서 구하는 확률은
P(X¾56)=P
Z¾
{
56-44
8
}
=P(Z¾1.5)
P(X¾56)=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1.5)
P(X¾56)=0.5-0.4332=0.0668
0506 0.1574
과자 한 개의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(12, 2Û`)
을 따른다.
이때, 과자 한 상자의 무게를 확률변수 Y라 하면
E(Y)=E(6X)=6E(X)=6´12=72
r(Y)=r(6X)=6r(X)=6´2=12
이므로 Y는 정규분포 N(72, 12Û`)을 따른다.
따라서 Z=
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르
Y-72
12
므로 구하는 확률은
P(84ÉYÉ108)=P
84-72
12
{
ÉZÉ
108-72
12
}
P(84ÉYÉ108)=P(1ÉZÉ3)
P(84ÉYÉ108)=P(0ÉZÉ3)-P(0ÉZÉ1)
P(84ÉYÉ108)=0.4987-0.3413=0.1574
다른 풀이 Z=
X-12
2 로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므
로 구하는 확률은
P(84É6XÉ108)=P(14ÉXÉ18)
P(84É6XÉ108)=P
{
14-12
2
ÉZÉ
18-12
2
}
P(84É6XÉ108)=P(1ÉZÉ3)=0.1574
0507 ②
주스 한 잔의 양을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(900, 50Û`)
을 따르므로 Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분포
X-900
50
N(0, 1)을 따른다. 따라서 구하는 확률은
P(XÉ880)=P
ZÉ
{
880-900
50
}
=P(ZÉ-0.4)
P(XÉ880)=P(Z¾0.4)
P(XÉ880)=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ0.4)
P(XÉ880)=0.5-0.1554=0.3446
068 | Ⅲ 통계
0509 ②
학생들의 몸무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(65, 3Û`)
을 따르므로 Z=
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)
X-65
3
을 따른다.
∴ P(68ÉXÉ71)=P
68-65
3
{
ÉZÉ
71-65
3
}
∴ P(68ÉXÉ71)=P(1ÉZÉ2)
∴ P(68ÉXÉ71)=P(0ÉZÉ2)-P(0ÉZÉ1)
∴ P(68ÉXÉ71)=0.48-0.34=0.14
따라서 몸무게가 68`kg 이상 71`kg 이하인 학생은 전체의 14`%
이다.
0510 4
과일의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(400, 20Û`)을
따르므로 Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)
X-400
20
을 따른다. ‘상’ 등급으로 분류되려면 X¾440이어야 하므로
P(X¾440)=P
Z¾
{
440-400
20
}
=P(Z¾2)
P(X¾440)=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2)
P(X¾440)=0.5-0.48=0.02
이때, 두 과일 A, B의 무게는 서로 독립이므로 구하는 확률은
(0.02)Û`=4´10-4
∴ k=4
유형 10 정규분포의 활용 ; 도수 구하기
본책 90쪽
Ú 학생들의 키, 몸무게, 성적 등을 확률변수X로 놓는다.
Û 확률변수X가 따르는 정규분포 N(m, rÛ`)을 구한다.
Ü 확률변수 X를 표준화한 다음 표준정규분포표를 이용하여 X가 특정
범위에 포함될 확률을 구한다.
Ý 구한 확률과 전체 학생 수를 곱한다.
0511 533
계란의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(53, 8Û`)을 따
르므로 Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을
X-53
8
따른다.
∴ P(45ÉXÉ57)=P
45-53
8
{
ÉZÉ
57-53
8
}
∴ P(45ÉXÉ57)=P(-1ÉZÉ0.5)
∴ P(45ÉXÉ57)=P(-1ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ0.5)
∴ P(45ÉXÉ57)=P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ0.5)
∴ P(45ÉXÉ57)=0.341+0.192
∴ P(45ÉXÉ57)=0.533
따라서 구하는 계란의 개수는
1000_0.533=533(개)
0515 35
기말고사 점수를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(m, rÛ`)을
따르므로 Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을
X-m
r
따른다.
P(mÉXÉ70)=
=0.34에서
;5!0&0);
m-m
r
P
{
ÉZÉ
70-m
r
}
=0.34
∴ P
0ÉZÉ
{
70-m
r
}
=0.34
0512 15
학생들의 키를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(172, 4Û`)을
이때, P(0ÉZÉ1)=0.34이므로
70-m
r
=1
∴ m+r=70
…… ㉠
따르므로 Z=
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을
X-172
4
따른다.
∴ P(X¾182)=P
Z¾
{
182-172
4
}
=P(Z¾2.5)
∴ P(X¾182)=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2.5)
∴ P(X¾182)=0.5-0.49
∴ P(X¾182)=0.01
따라서 구하는 학생의 수는
1500_0.01=15(명)
0513 ①
놀이기구의 운행 시간을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포
N(40, 5Û`)을 따르므로 Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분
X-40
5
포 N(0, 1)을 따른다.
}
{
ZÉ
=P(ZÉ-2)
∴ P(XÉ30)=P
30-40
5
∴ P(XÉ30)=P(Z¾2)=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2)
∴ P(XÉ30)=0.5-0.48
∴ P(XÉ30)=0.02
따라서 구하는 횟수는
100_0.02=2(번)
0514 1637
배터리가 충전한 후 완전히 방전되는 데까지 걸리는 시간을 확률변
수 X라 하면 X는 정규분포 N(120, 10Û`)을 따르므로
Z=
X-120
10
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ P(100ÉXÉ130)=P
{
100-120
10
ÉZÉ
130-120
10
}
∴ P(100ÉXÉ130)=P(-2ÉZÉ1)
∴ P(100ÉXÉ130)=P(-2ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1)
∴ P(100ÉXÉ130)=P(0ÉZÉ2)+P(0ÉZÉ1)
∴ P(100ÉXÉ130)=0.4772+0.3413
∴ P(100ÉXÉ130)=0.8185
따라서 구하는 배터리의 개수는
2000_0.8185=1637(개)
한편, P(40ÉXÉ70)=
=0.82에서
;5$0!0);
ÉZÉ
70-m
r
}
=0.82
ÉZÉ1
=0.82
40-m
r
P
{
40-m
r
P
{
40-m
r
P
{
}
}
ÉZÉ0
+P(0ÉZÉ1)=0.82
∴ P
0ÉZÉ
{
m-40
r
}
=0.82-0.34=0.48
이때, P(0ÉZÉ2)=0.48이므로
m-40
r
=2
∴ m-2r=40
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=60, r=10
∴ P(X¾75)=P
Z¾
=P(Z¾1.5)
75-60
10
}
{
∴ P(X¾75)=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1.5)
∴ P(X¾75)=0.5-0.43
∴ P(X¾75)=0.07
따라서 구하는 학생의 수는
500_0.07=35(명)
…… ㉡
유형 11 정규분포의 활용
; 최대·최소를 만족시키는 값 구하기
본책 90쪽
Ú 확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따를 때, 상위 k`% 안에 드
Û 는 X의 최솟값을 a라 하면 P(X¾a)=
;10K0;
Û 확률변수 Z= X-m
에 대한 식으로 변형하면
r
Û P
{
Z¾ a-m
r
=
}
;10K0;
Ü 이를 만족시키는 a의 값을 찾는다.
0516 86점
응시자의 점수를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(74, 10Û`)을
따르므로 Z=
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을
X-74
10
따른다.
6 연속확률분포 | 069
연속확률분포6 합격자의 최저 점수를 a점이라 하면
P(X¾a)=
=0.12에서
;5¤0¼0;
P
Z¾
{
a-74
10
}
=0.12
=0.12
a-74
10
}
{
∴ P
0ÉZÉ
P(Z¾0)-P
0ÉZÉ
{
a-74
10
이때, P(0ÉZÉ1.2)=0.38이므로
a-74
10
=1.2, a-74=12
}
∴ a=86
=0.5-0.12=0.38
따라서 합격자의 최저 점수는 86점이다.
0517 620.8점
응시자의 점수를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(600, 20Û`)을
따르므로 Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)
X-600
20
을 따른다.
상위 15`% 이내에 속하는 사람의 최저 점수를 a점이라 하면
P(X¾a)=0.15에서 P
Z¾
a-600
20
}
=0.15
{
P(Z¾0)-P
0ÉZÉ
{
a-600
20
}
=0.15
∴ P
0ÉZÉ
{
a-600
20
}
=0.5-0.15=0.35
이때, P(0ÉZÉ1.04)=0.35이므로
a-600
20
=1.04, a-600=20.8
∴ a=620.8
따라서 상위 15`% 이내에 속하는 사람의 최저 점수는 620.8점이다.
X-360
30
을 따른다.
50번째로 높이가 낮은 나무의 높이를 a라 하면
P(XÉa)=
=0.1에서
;5°0¼0;
P
ZÉ
P
Z¾
{
{
a-360
30
360-a
30
}
}
=0.1
=0.1
P(Z¾0)-P
0ÉZÉ
{
360-a
30
}
=0.1
∴ P
0ÉZÉ
{
360-a
30
}
=0.5-0.1=0.4
이때, P(0ÉZÉ1.3)=0.4이므로
360-a
30
=1.3, 360-a=39
∴ a=321
따라서 영양분을 공급받을 나무의 높이의 최댓값은 321이다.
070 | Ⅲ 통계
0519 ②
A 농장에서 생산하는 귤의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규
분포 N(84, 10Û`)을 따르므로 Zþ=
로 놓으면 Zþ는 표준
X-84
10
정규분포 N(0, 1)을 따른다.
A 농장에서 생산하는 귤의 무게가 98 이상일 확률은
P(X¾98)=P
Zþ¾
{
98-84
10
}
=P(Zþ¾1.4)
P(X¾90)=P(Zþ¾0)-P(0ÉZþÉ1.4)
P(X¾90)=0.5-0.42=0.08
한편, B 농장에서 생산하는 귤의 무게를 확률변수 Y라 하면 Y는
정규분포 N(79, 20Û`)을 따르므로 Zç=
로 놓으면 Zç는
Y-79
20
표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
이때, B 농장에서 무게가 a 이하인 귤의 개수는 A 농장에서 무게가
98 이상인 귤의 개수의 2배이므로 B 농장에서 생산하는 귤의 무게
가 a 이하일 확률은 A 농장에서 생산하는 귤의 무게가 98 이상일
확률의 2배이다. 즉,
P(YÉa)=2P(X¾98)
=2_0.08=0.16
P
{
ZçÉ
P
{
Zç¾
a-79
20
79-a
20
}
}
=0.16
P(Zç¾0)-P
0ÉZçÉ
{
79-a
20
}
=0.16
∴ P
0ÉZçÉ
{
79-a
20
}
=0.5-0.16=0.34
이때, P(0ÉZçÉ1)=0.34이므로
79-a
20
=1, 79-a=20
∴ a=59
⇨ n이 충분히 크면 X는 근사적으로 정규분포 N(np, npq)를 따른다.
(단, q=1-p )
0520 0.8413
확률변수 X에 대하여
E(X)=162´
=54, V(X)=162´
;3!;
´
;3!;
;3@;
=36
따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(54, 6Û`)을 따르므로
Z=
X-54
6
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ P(X¾48)=P
Z¾
=P(Z¾-1)
48-54
6
}
{
∴ P(X¾48)=P(-1ÉZÉ0)+P(Z¾0)
∴ P(X¾48)=P(0ÉZÉ1)+0.5
∴ P(X¾48)=0.3413+0.5
∴ P(X¾48)=0.8413
0518 321
사과 나무의 높이를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(360, 30Û`)
유형 12 이항분포와 정규분포의 관계
본책 91쪽
을 따르므로 Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)
확률변수X가 이항분포 B(n, p)를 따를 때,
0521 ④
확률변수 X는 이항분포 B
100,
를 따르므로
{
;1»0;}
E(X)=100´
=90, V(X)=100´
;1»0;
´
;1»0;
;1Á0;
=9
따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(90, 3Û`)을 따르므로
Z=
X-90
3
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(810, 9Û`)을 따르므로
Z=
X-810
9
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ P(XÉ819)=P
ZÉ
{
819-810
9
}
=P(ZÉ1)
∴ P(XÉ913)=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1)
∴ P(XÉ913)=0.5+P(0ÉZÉ1)
∴ P(XÉ931)=0.5+0.3413=0.8413
192-x
(x=1, 2, y, 191)
Z=
X-108
9
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ P(81ÉXÉ99)=P
81-90
3
{
ÉZÉ
99-90
3
}
∴ P(81ÉXÉ10)=P(-3ÉZÉ3)
∴ P(81ÉXÉ09)=2P(0ÉZÉ3)
∴ P(81ÉXÉ10)=2_0.4987=0.9974
(
Á»ªC¼
(x=0)
0522 0.1587
192
{;4#;}
x
{;4#;}
192
{;4!;}
|
P(X=x)=
{
Á»ªCx{;4!;}
|
Á»ªCÁ»ª
9
확률변수 X는 이항분포 B
(x=192)
192,
{
;4!;}
을 따르므로
E(X)=192´
=48, V(X)=192´
;4!;
´
;4!;
;4#;
=36
따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(48, 6Û`)을 따르므로
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
0525 ①
{;4!;}
2
+Á»ªC°°
+y
191
1
{;4#;}
55
{;4!;}
{;4#;}
137
+Á»ªC°¢
54
138
{;4!;}
{;4#;}
Z=
X-48
6
∴ Á»ªCÁ»ª
{;4!;}
192
+Á»ªCÁ»Á
∴ =P(X¾54)
∴ =P
Z¾
{
54-48
6
}
=P(Z¾1)
∴ =P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1)
∴ =0.5-0.3413=0.1587
유형 13 이항분포와 정규분포의 관계의 활용
; 확률 구하기
본책 92쪽
n번의 독립시행에서 사건 A가 a 번 이상 b 번 이하로 일어날 확률은
Ú 사건 A가 일어나는 횟수를 확률변수 X라 하고, 주어진 상황을 이
항분포 B(n, p)로 나타낸다.
Û 확률변수 X의 평균과 분산을 구한다.
Ü 확률변수 X가 근사적으로 정규분포를 따름을 이용하여 X를 표준
화한다.
구한다.
Ý 표준정규분포표를 이용하여 P(aÉXÉb)의 값을 구한다.
0523 0.8413
시험에 합격할 확률은
=
이므로 시험에 합격한 사람의
;1»0¼0¼0¼0;
;1»0;
수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B
900,
를 따른다.
∴ E(X)=900´
=810, V(X)=900´
;1»0;
{
;1»0;}
´
;1»0;
;1Á0;
=81
0524 0.6826
기숙사에 살 확률은
이므로 기숙사에 사는 학생의 수를 확
=
;1ª0°0;
;4!;
률변수 X라 하면 X는 이항분포 B
432,
을 따른다.
{
;4!;}
∴ E(X)=432´
=108, V(X)=432´
;4!;
´
;4!;
;4#;
=81
따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(108, 9Û`)을 따르므로
∴ P(99ÉXÉ117)=P
99-108
9
{
ÉZÉ
117-108
9
}
∴ P(99ÉXÉ117)=P(-1ÉZÉ1)
∴ P(99ÉXÉ117)=2P(0ÉZÉ1)
∴ P(99ÉXÉ117)=2_0.3413=0.6826
입장하지 않을 확률은
=
이므로 입장하는 사람의 수를 확
;1Á0ª0°0;
;8!;
률변수 X라 하면 X는 이항분포 B
448,
을 따른다.
{
;8&;}
∴ E(X)=448´
=392, V(X)=448´
;8&;
´
;8&;
;8!;
=49
따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(392, 7Û`)을 따르므로
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
좌석이 부족한 경우는 입장하는 사람의 수가 406명 이상일 때이므
Z=
X-392
7
로 구하는 확률은
P(X¾406)=P
Z¾
{
406-392
7
}
=P(Z¾2)
P(X¾406)=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ2)
P(X¾406)=0.5-0.4772
P(X¾406)=0.0228
0526 0.3085
TIP 435점 이상을 얻으려면 3 이상의 눈이 몇 번 이상 나와야 하는지를 먼저
3 이상의 눈이 나오는 확률은
이므로 3 이상의 눈이 나오는
=
;6$;
;3@;
횟수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B
162,
를 따른다.
{
;3@;}
´
;3@;
;3!;
=36
∴ E(X)=162´
=108, V(X)=162´
;3@;
즉, X는 근사적으로 정규분포 N(108, 6Û`)을 따르므로
Z=
X-108
6
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
6 연속확률분포 | 071
연속확률분포6 한편, 2 이하의 눈이 나오는 횟수는 162-X이므로
2(162-X)+3X¾435, 324+X¾435
∴ X¾111
따라서 구하는 확률은
P(X¾111)=P
Z¾
{
111-108
6
}
=P(Z¾0.5)
P(X¾111)=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ0.5)
P(X¾111)=0.5-0.1915
P(X¾111)=0.3085
유형 14 이항분포와 정규분포의 관계의 활용
; 미지수의 값 구하기
본책 92쪽
확률변수X가 이항분포 B(n, p)를 따를 때, P(X¾æa)=k`( k는 상수)
를 만족시키는 a의 값을 구할 때에는
⇨ X가 근사적으로 정규분포 N(np, np(1-p))를 따름을 이용하여
X를 표준화하고 표준정규분포표를 이용한다.
0527 18
른다.
두 개의 동전이 모두 앞면이 나올 확률은
이므로 두 개 모두 앞면
;4!;
이 나온 횟수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B
48,
을 따
{
;4!;}
∴ E(X)=48´
=12, V(X)=48´
;4!;
´
;4!;
;4#;
=9
따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(12, 3Û`)을 따르므로
Z=
X-12
3
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
P(X¾a)=0.0228에서 P
Z¾
=0.0228
a-12
3
}
=0.0228
{
a-12
3
=0.5-0.0228=0.4772
P(Z¾0)-P
0ÉZÉ
{
}
∴ P
0ÉZÉ
{
a-12
3
이때, P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로
a-12
3
=2, a-12=6
}
∴ a=18
0528 22
확률변수 X가 이항분포 B
100,
을 따르므로
{
;5!;}
E(X)=100´
=20, V(X)=100´
;5!;
´
;5!;
;5$;
=16
따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(20, 4Û`)을 따르므로
P(XÉa)=0.6915에서 P
ZÉ
=0.6915
a-20
4
}
=0.6915
{
a-20
4
P(ZÉ0)+P
0ÉZÉ
}
{
∴ P
0ÉZÉ
{
a-20
4
이때, P(0ÉZÉ0.5)=0.1915이므로
a-20
4
=0.5, a-20=2
}
∴ a=22
=0.6915-0.5=0.1915
072 | Ⅲ 통계
STEP3
심화
Master
0529 10
TIP P(0ÉXÉ3)=1임을 이용하여 a의 값을 먼저 구한다.
확률변수 X가 0ÉxÉ3에서 모든 실수 값을 가지므로
P(0ÉXÉ3)=1이어야 한다.
P(xÉXÉ3)=a(3-x)(0ÉxÉ3)에 x=0을 대입하면
P(0ÉXÉ3)=3a=1
∴ a=
;3!;
∴ P
0ÉXÉ
=P(0ÉXÉ3)-P
ÉXÉ3
{
;3!;}
{;3!;
}
∴ P
0ÉXÉ
=1-
3-
{
;3!;}
따라서 p=9, q=1이므로 p+q=10
;3!;}
;3!;{
=
;9!;
참고 P(xÉXÉ3)=
(3-x)이므로
;3!;
P
{;3!;
ÉXÉ3
=
3-
}
;3!;{
;3!;}=;9*;
0530 ;2!;
TIP y=f(x)의 그래프를 그려 a의 값을 먼저 구한다.
확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)의
그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이때,
y= f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸
인 부분의 넓이가 1이므로
y
2a
a
O
y=f(x)
2a
4a
5a
6a
x
´4a´2a+
´2a´a=1, 5aÛ`=1
;2!;
;2!;
∴ a= 1
5
'
(∵ a>0)
P(2aÉXÉ5a)는 위의 그림의 색칠한 도형의 넓이와 같으므로
P(2aÉXÉ5a)=
´2a´2a+
´a´a
;2!;
P(2aÉXÉ5a)=
P(2aÉXÉ5a)=
;2!;
aÛ`
;2%;
;2%;{
=
;2!;
1
5 }
'
2`
0531 ④
TIP y=f(x)의 그래프를 그려 a의 값을 먼저 구한다.
확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)의 그
래프는 오른쪽 그림과 같다. 이때,
y= f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인
부분의 넓이가 1이므로
∴ f(x)=
x
(0ÉxÉ1)
(
-x+2 (1ÉxÉ2)
{
9
0
(xÉ0 또는 x¾2)
Ú 0ÉtÉ1일 때
Ú F(t)=P(XÉt)
Ú F(t)=
´t´t=
;2!;
tÛ`
;2!;
y
a
O
y
1
t
y=f(x)
1
2
x
y=f(x)
O
t
1
2
x
Z=
X-20
4
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
´2´a=1
∴ a=1
;2!;
Ú F(t)=
+
;2!;
;2!;
(1-t+2)´(t-1)
-t+2
y=f(x)
1
t
2
x
Û 1ÉtÉ2일 때
Ú F(t)=P(XÉt)
tÛ`+2t-1
Ú F(t)=-
;2!;
Ü 2ÉtÉ3일 때
Ú F(t)=P(XÉt)=1
Ú~Ü에서
(
\
F(t)=
{
9
tÛ`
;2!;
(0ÉtÉ1)
-
tÛ`+2t-1 (1ÉtÉ2)
;2!;
1
(2ÉtÉ3)
이므로 y=F(t)의 그래프는 오른쪽 그림
과 같다. 따라서 구하는 그래프는 ④이다.
y
1
O
y
1
;2!;
O
y
1
O
;2!;
y=F(t)
1
2
3
t
y=f(x)
1
2
x
0532 ;1!0)2@4#;
TIP y=f(x)의 그래프를 그려 P(A)의 값을 먼저 구한다.
확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)의 그
래프는 오른쪽 그림과 같다. 이때, 사건
A가 일어날 확률은 오른쪽 그림의 색칠
한 사다리꼴의 넓이와 같으므로
P(A)=P(0ÉXÉ1)
P(A)=
´
1+
;2!;
{
;2!;}
´1=
;4#;
이므로 확률변수 X는 이항분포 B
;4#;}
따라서 사건 A가 1회 이상 일어날 확률은
5,
{
을 따른다.
1-P(X=0)=1-°C¼
=1-
{;4!;}
{;4!;}
1-P(X=0)=1-
5`
=
;1!0)2@4#;
;10Á24;
5`
0533 ;4#;
TIP 확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따를 때,
P(XÉa)=P(X¾b)이면 m=
임을 이용한다.
a+b
2
확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따른다고 하면
P(XÉ20)=P(X¾30)이므로
m= 20+30
=25
2
0534 ④
TIP 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수의 그래프
는 직선 x=m에 대하여 대칭임을 이용하여 m의 값을 먼저 구한다.
m 64
x
조건 ㈎에서 P(X¾64)=P(XÉ56)이므로
m=E(X)= 64+56
=60
2
'¶
56
16=4
조건 ㈏에서 E(XÛ`)=3616이므로
V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`
V(X)=3616-60Û`=16
∴ r(X)=
즉, 확률변수 X가 정규분포 N(60, 4Û`)을 따르므로
P(XÉ68)=P(XÉ60+8)
P(XÉ68)=P(XÉm+2r)
P(XÉ68)=P(XÉm)+P(mÉXÉm+2r)
P(XÉ68)=0.5+0.4772
P(XÉ68)=0.9772
참고
주어진 표를 표준화하면
P(mÉXÉm+2r)=P(0ÉZÉ2)=0.4772이고,
확률변수 X가 정규분포 N(60, 4Û`)을 따르므로 Z=
으로 놓으면 Z
X-60
4
는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ P(XÉ68)=P
ZÉ
{
68-60
4
}
=P(ZÉ2)
∴ P(XÉ68)=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ2)=0.9772
0535 ④
TIP 확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따를 때 확률변수 Z=
X-m
r
은 표준정규분포 N(0, 1)을 따름을 이용한다.
, Zç= Y-1
확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(1, aÛ`), N(1, bÛ`)을 따르므
로 Zþ= X-1
a
분포 N(0, 1)을 따른다.
ㄱ. 확률변수 X의 평균이 1이므로 확률변
ㄱ. 수 X의 확률밀도함수 f(x)의 그래프
로 놓으면 Zþ, Zç는 모두 표준정규
b
는 오른쪽 그림과 같다.
ㄱ. ∴ P(0ÉXÉ1)>P(2ÉXÉ3)
0
1
2
x
3
ㄴ. P(-a+1ÉXÉ1)=P
-a+1-1
a
ÉZþÉ 1-1
a }
{
ㄴ. P(-a+1ÉXÉ1)=P(-1ÉZþÉ0)
ㄴ. P(-a+1ÉXÉ1)=P(0ÉZþÉ1)
ㄱ. P(1ÉYÉb+1)=P
1-1
b
{
ÉZçÉ b+1-1
b
}
m=25이므로 P(20ÉXÉ25)=P(25ÉXÉ30)이고,
P(XÉ20)=P(X¾30)=P(20ÉXÉ25)
P(XÉ20)=P(25ÉXÉ30)=
;4!;
∴ P(X¾20)=P(20ÉXÉ25)+P(X¾25)
∴ P(X¾20)=
+
=
;2!;
;4#;
;4!;
ㄱ. P(1ÉYÉb+1)=P(0ÉZçÉ1)
ㄱ. ∴ P(-a+1ÉXÉ1)=P(1ÉYÉb+1)
ㄷ. P(0ÉXÉ2)=P
0-1
a
ÉZþÉ 2-1
a }
ㄷ. P(0ÉXÉ2)=P
-
ÉZþÉ
;a!;
;a!;}
ㄷ. P(0ÉXÉ2)=2P
0ÉZþÉ
{
;a!;}
{
{
6 연속확률분포 | 073
연속확률분포6 ㄱ. P(-1ÉYÉ3)=P
-1-1
b
ÉZçÉ 3-1
b }
{
ㄱ. P(-1ÉYÉ3)=P
{-;b@;
ÉZçÉ
;b@;}
ㄱ. P(-1ÉYÉ3)=2P
0ÉZçÉ
{
;b@;}
ㄱ. 이므로
=
;a!;
;b@;
, 즉 2a=b
∴ ab
ㄴ.
=b이므로 P
Y>
=P(Y>b)
;2A;
{
ㄴ. 이때, P(Y>b)=P
이므로
;2A;}
Zç> 2b
r }
{
Z> 2b
ㄴ. P
{
P
Y>
r }=
{
;2A;}
ㄷ. P(0ÉYÉb) =P(YÉb)-P(YÉ0)
=0.7-0.5=0.2
ㄴ. 이므로
ㄴ. P(|Y|Éb) =P(-bÉYÉb)=2P(0ÉYÉb)
=0.4
ㄴ. ∴ P(|X|Éa)=P(|Y|Éb)=0.4
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
0537 0.1359
TIP 두 곡선과 x축 및 두 직선 x=30, x=m으로 둘러싸인 도형의 넓이를
이용하여 SÁ, Sª를 나타낸다.
E(X)=30, r(X)=10이고, Y=aX-10이므로
E(Y)=E(aX-10)=aE(X)-10=30a-10
r(Y)=r(aX-10)=ar(X)=10a
이때, 10a=20이므로 a=2
∴ E(Y)=30´2-10=50, r(Y)=20
따라서 확률변수 X와 Y는 각각 정규분포 N(30, 10Û`),
, Zç= Y-50
N(50, 20Û`)을 따르므로 Zþ= X-30
20
면 Zþ, Zç는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
오른쪽 그림과 같이 두 곡선과 x축 및
두 직선 x=30, x=m, 즉 x=50으로
둘러싸인 도형의 넓이를 S라 하면
SÁ=P(30ÉXÉ50)-S
f(x)
10
S
074 | Ⅲ 통계
TIP 확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따를 때 확률변수 Z=
는 표준정규분포 N(0, 1)을 따름을 이용하여 F(x)를 정리한다.
확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르므로 Z= X-m
X-m
r
으로
r
놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ F(x)=P(XÉx)=P
ZÉ x-m
r
}
{
이때,
F
=P
XÉ
{:Á2£:}
{
:Á2£:}
=P
-m
ZÉ :Á2£:
r
¦
0ÉZÉ :Á2£:
r
¥
-m
F
{:Á2£:}
=P(ZÉ0)+P
∴ P
0ÉZÉ :Á2£:
r
-m
¦
=F
¥
-P(ZÉ0)
{:Á2£:}
¦
이때, P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로
¥
=0.8413-0.5=0.3413
-m
:Á2£:
r
=1
∴ r=
-m
:Á2£:
…… ㉠
또, 0.5É F
É0.6915에서
{:Á2Á:}
=0.5+0.1915=P(ZÉ0.5)
P(ZÉ0)ÉP
ÉP(ZÉ0.5)
-m
ZÉ :Á2Á:
r
이므로
¦
¥
-m
0É :Á2Á:
r
É0.5
㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면
…… ㉡
으로 놓으
:Á2Á:
;2(;
한편,
ÉmÉ
이고 m은 자연수이므로 m=5, r=
;2#;
SÁ
Sª
F(k)=P(XÉk)=P
ZÉ
g(x)
30
50
x
F(k)=P(ZÉ0)+P
k-5
;2#;
¦
0ÉZÉ
¥
k-5
¦
;2#;
¥
k-5
;2#;
¥
∴ P
0ÉZÉ
=F(k)-P(ZÉ0)
¦
이때, P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로
=0.9772-0.5=0.4772
=2, k-5=3
∴ k=8
k-5
;2#;
0539 ③
TIP 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수의 그래프
는 직선 x=m에 대하여 대칭임을 이용하여 m의 값을 먼저 구한다.
확률변수 X가 정규분포 N(m, 5Û`)을 따르므로 확률밀도함수
f(x)의 그래프는 x=m에 대하여 대칭이고 m의 값에서 멀어질수
록 함숫값은 더 작아진다. 조건 ㈎에
서 f(10)> f(20)이므로 오른쪽 그림
에서
|m-10|<|m-20|
m-10<20-m, 2m<30
∴ m<15 …… ㉠
조건 ㈏에서 f(4)< f(22)이므로 오른
쪽 그림에서 |m-4|>|m-22|
m-4>22-m, 2m>26
∴ m>13 ……㉡
㉠, ㉡에서 130)이라 하면 G(t)=P(ZÉ f(t))이고
⑵ 5장의 카드 중에서 2장의 카드를 꺼내는 순열의 수와 같으므로
0543 ③
TIP P(ZÉa)의 값은 a의 값이 커질수록 크다.
확률변수 X가 정규분포 N
t,
1
tÛ` }
{
{
을 따르므로
}
Z= X-t
2`
로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ G(t)=P
XÉ
=P
ZÉ
;2#;}
∴ G(t)=P
ZÉ
tÛ`-tÜ`
;2#;
»
}
-t
;2#;
1
tÛ` ¼
1
tÛ`
{
{
;2#;
f(t)의 값이 커질수록 함수 G(t)의 값도 커지므로 함수 f(t)가 최
대일 때, 함수 G(t)도 최댓값을 갖는다.
f '(t)=3t-3tÛ`=3t(1-t)(t>0)
f '(t)=0에서 t=1
0
f '(t)
f(t)
y
+
↗
1
0
;2!;
y
-
↘
따라서 함수 f(t)는 t=1일 때, 최댓값
을 가지므로 함수 G(t)도
;2!;
t=1일 때 최댓값을 갖는다.
∴ G(1)=P
ZÉ
{
;2!;}
∴ G(1)=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ0.5)
∴ G(1)=0.5+0.1915=0.6915
Lecture
미분법과 함수의 최대·최소
⇨ f '(x)=ncxn-1
⇨ y'=f '(x)+g '(x)
⑵ 두 함수 f(x), g(x)가 미분가능할 때, y=f(x)+g(x)를 미분하면
⑶ 미분가능한 함수 f(x)에 대하여 f '(a)=0을 만족시키는 a의 값의 좌
우에서 f '(x)의 부호가 바뀌면 f(a)를 극값이라고 한다. 이때, f '(x)
의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 극대, 음에서 양으로 바뀌면 극소이다.
⑷ aÉxÉb에서 미분가능한 함수 f(x)의 최댓값은 다음과 같이 구한다.
Ú a0)
;9!;
;3!;
이 값을 ㉠에 대입하면 b=
;1°2;
XÁ+Xª
2
한편, XÕ=3일 때는 XÕ=
=3에서 XÁ+Xª=6,
즉 XÁ=2, Xª=4 또는 XÁ=4, Xª=2
∴ P(XÕ=3)=ab+ba=2ab=
;1°8;
7 통계적 추정 | 085
통계적 추정7 0602 26
TIP 임의추출한 2개의 표본을 각각 XÁ, Xª라 하면 XÕ=
XÁ+Xª
2
임을 이
용하여 XÕ의 확률분포표를 그린다.
첫 번째 시행에서 나온 숫자를 XÁ, 두 번째 시행에서 나온 숫자를
Xª라 하면
XÕ=
XÁ+Xª
2
이때, XÕ의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
XÕ
P(XÕ=x Õ)
1
1
(n+1)Û`
2
2n
(n+1)Û`
3
nÛ`
(n+1)Û`
합계
1
이때, P(XÕ=1)=
에서
;4Á9;
=
;4Á9;
, (n+1)Û`=49
1
(n+1)Û`
∴ n=6 (∵ n은 자연수)
한편, E(XÕ)는 모평균과 같으므로 1의 숫자가 적혀 있는 공 1개, 3
의 숫자가 적혀 있는 공 6개에 적힌 숫자의 평균과 같다.
∴ E(XÕ)=
1´1+3´6
7
따라서 p=7, q=19이므로 p+q=26
:Á7»:
=
다른 풀이 XÕ의 확률분포표를 완성해 보면 다음과 같다.
XÕ
P(XÕ=x Õ)
1
;4Á9;
2
;4!9@;
3
;4#9^;
합계
1
∴ E(XÕ)=1´
+2´
+3´
=
;4#9^;
:Á7»:
;4!9@;
;4Á9;
0603 ①
TIP 전체 학생의 발의 크기를 확률변수 X, 표본으로 추출된 학생들의 발의
크기의 평균을 확률변수 XÕ로 놓는다.
학생들의 발의 크기를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포
N(250, 10Û`)을 따르므로 Z=
으로 놓으면 Z는 표준정
X-250
10
규분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ pÁ=P(X¾240)=P
{Z¾
=P(ZÉ1)=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1)
=0.5+0.34=0.84
}
240-250
10
한편, 크기가 25인 표본의 표본평균을 XÕ라 하면 XÕ는 정규분포
N
250,
{
10Û`
25 }
, 즉 N(250, 2Û`)을 따르므로 Z'=
XÕ-250
2
으로 놓
으면 Z'은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ pª=P(XÕÉ245)=P
{Z'É
=P(Z'¾2.5)=P(Z'¾0)-P(0ÉZ'É2.5)
=0.5-0.49=0.01
}
245-250
2
=P(Z'É-2.5)
∴ pÁ-pª=0.83
086 | Ⅲ 통계
0604 ②
TIP A와 B가 각각 추출한 표본의 표본평균을 XÕ, YÕ로 놓으면 10ÉXÕÉ14
일 사건과 10ÉYÕÉ14일 사건은 서로 독립임을 이용한다.
제품의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(11, 2Û`)을 따
르고, A와 B가 각각 추출한 크기가 4인 표본의 표본평균을 XÕ, YÕ
라 하면 XÕ, YÕ는 정규분포 N
11,
, 즉 N(11, 1)을 따른다.
2Û`
4 }
{
이때, ZX=XÕ-11, ZY=YÕ-11로 놓으면 ZX, ZY는 각각 표준정
규분포 N(0, 1)을 따른다.
∴ P(10ÉXÕÉ14)=P(10-11ÉZXÉ14-11)
=P(-1ÉZXÉ3)
=P(0ÉZXÉ1)+P(0ÉZXÉ3)
=0.3413+0.4987=0.84
=P(10ÉYÕÉ14)
한편, A와 B 두 사람은 각각 독립적으로 표본을 추출하였으므로 두
사건은 서로 독립이다.
따라서 구하는 확률은
0.84_0.84=0.7056
0605 0.9408
TIP 표준정규분포표를 이용하여 각각의 확률을 구한 후 확률의 곱셈정리를
이용한다.
A 상자에 들어 있는 과자의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규
분포 N(16.2, 6Û`)을 따르고 표본의 크기가 9이므로 표본평균 XÕ는
정규분포 N
16.2,
, 즉 N(16.2, 2Û`)을 따른다.
6Û`
9 }
{
B 상자에 들어 있는 과자의 무게를 확률변수 Y라 하면 Y는 정규분
포 N(8.6, 6Û`)을 따르고 표본의 크기가 9이므로 표본평균 YÕ는 정
, 즉 N(8.6, 2Û`)을 따른다.
{
8.6,
규분포 N
6Û`
9 }
YÕ-8.6
XÕ-16.2
2
2
표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
이때, ZX=
, ZY=
으로 놓으면 ZX, ZY는 각각
}
{ZX¾
12.6-16.2
2
=P(ZX¾-1.8)=P(ZXÉ1.8)
=P(ZXÉ0)+P(0ÉZXÉ1.8)
=0.5+0.46=0.96
P(YÕ<12.6)=P
{ZY<
12.6-8.6
2
}
=P(ZY<2)=P(ZYÉ2)
=P(ZYÉ0)+P(0ÉZYÉ2)
=0.5+0.48=0.98
따라서 A 상자는 정상 판매되고, B 상자는 할인 판매될 확률은
0.96_0.98=0.9408
=P(Z¾-1)
P(XÕ¾12.6)=P
0606 ⑤
TIP 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추
출할 때, 표본평균 XÕ는 정규분포 N
m,
{
Û`
r
n }
{
'
을 따름을 이용한다.
}
모집단이 정규분포 N(10, 2Û`)을 따르고 표본의 크기가 n이므로 표
본평균 XÕ는 정규분포 N
10,
{
2Û`
n }
, 즉 N
10,
{
Û`
2
n }
}
{
'
을 따른다.
이때, Z=
으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따
XÕ-10
2
n
'
른다.
ㄱ. V(XÕ)=
2Û`
n
=
;n$;
-a
2
n
'
a
2
n
ㄴ. P(XÕÉ10-a)=P
ZÉ
=P
{ZÉ
n
-a
'
2
}
¦
P(XÕ¾10+a)=P
Z¾
¥
=P
{Z¾
a
n
'
2 }
이때, P
{ZÉ
-a
'§
2
¦
n
}
=P
'
¥
{Z¾
a
n
'§
2 }
이므로
P(XÕÉ10-a)=P(XÕ¾10+a)
ㄷ. P(XÕ¾a)=P
Z¾
=P
{Z¾
(a-10)
n
'§
}
2
a-10
2
n
¥
(10-a)
'
=P
¦
{ZÉ
n
'§
}
2
P(XÕ¾a)=P(ZÉb)이려면
n
2b
n
=b, 10-a=
(10-a)
'§
2
'
∴ a+
b=10
2
n
'
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
이때, P(0ÉZÉ1.96)=0.475이므로
0.196
'§
따라서 자연수 n의 최솟값은 100이다.
n¾1.96,
n¾10
∴ n¾100
'§
0608 25
TIP 표본평균 x Õ로 추정한 모평균 m의 신뢰도 a`%인 신뢰구간은
x Õ-k
ÉmÉx Õ+k
단, P(|Z|Ék)=
r
n
'
r
n
'
{
a
100 }
이다.
x Õ-1.96_
ÉmÉx Õ+1.96_
표본평균이 x Õ, 모표준편차가 r, 표본의 크기가 49이므로 모평균 m
의 신뢰도 95`%인 신뢰구간은
r
9
4
이때, 1.73ÉmÉ1.87이므로
r
4
'
r
4
x Õ-1.96_
x Õ+1.96_
=1.73
=1.87
…… ㉠
…… ㉡
r
4
'
'
9
9
9
∴ x Õ
Õ=1.8
'
㉠+㉡에서
2x Õ=3.6
㉡-㉠에서
r
7
r
x Õ
따라서 k=
2_1.96_
=0.14
∴ r=0.25
=
0.25
1.8
=
;3°6;
이므로 180k=25
0609 19.64ÉmÉ29.96
TIP 표본평균 XÕ의 값 x Õ를 먼저 구한다.
임의로 추출한 표본 25명의 평균은
15´4+20´5+25´4+30´12
25
x Õ=
=
=24.8
:¤2ª5¼:
0607 100
TIP 표본평균 XÕ가 따르는 정규분포를 구하여 표준화한다.
모집단이 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르고 표본의 크기가 n이므로
24.8-2.58_
ÉmÉ24.8+2.58_
10
5
2
'
∴ 19.64ÉmÉ29.96
10
5
2
'
즉, 표본평균이 24.8, 모표준편차가 10, 표본의 크기가 25이므로 모
평균 m의 신뢰도 99`%인 신뢰구간은
표본평균 XÕ는 정규분포 N
m,
을 따른다.
{
rÛ`
n }
n(XÕ-m)
r
XÕ-m
r
n
'
이때, Z=
, 즉 Z= '
으로 놓으면 Z는 표준정
규분포 N(0, 1)을 따르므로 P
XÕ-m
{|
2r |
É0.098
¾0.95에서
}
P
{|
XÕ-m
r
|
É0.196
¾0.95
}
É0.196
n
}
'§
¾0.95
n)¾0.95
nÉZÉ0.196
n)¾0.95
P
{|
'§
n(XÕ-m)
r
|
'§
P(|Z|É0.196
P(-0.196
2P(0ÉZÉ0.196
'§
∴ P(0ÉZÉ0.196
'§
'§
n)¾0.95
n)¾0.475
'§
0610 ③
TIP 표본평균 XÕ를 이용하여 c의 값을 먼저 구하고 P(XÉm+c)의 값을
구한다.
x Õ
Õ-1.96_
모표준편차를 r라 하면 표본평균이 x Õ, 표본의 크기가 16이므로 모
평균 m의 신뢰도 95`%인 신뢰구간은
r
1
r
1
'
x Õ-0.49rÉmÉx Õ+0.49r
∴ c=0.49r
한편, 작년에 운행된 택시의 연간 주행거리를 확률변수 X라 하면
ÉmÉx Õ+1.96_
'
6
6
X는 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르므로 Z=
으로 놓으면 Z
X-m
r
는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
7 통계적 추정 | 087
통계적 추정7
0612 ③
TIP XAÓ, XBÓ가 각각 정규분포를 따름을 이용한다.
ㄱ. E(XAÓ)=mÁ, E(XBÓ)=mª이므로 mÁ=mª이면
E(XAÓ)=E(XBÓ)이다.
ㄴ. 모집단 B는 정규분포 N
mª,
을 따르고 표본의 크기가
Û`
r
2 }
}
{
{
nª이므로 표본평균 XBÓ는 정규분포 N
mª,
{
Û`
r
nª }
}
, 즉
{
2
'¶
N
mª,
{
rÛ`
4nª }
을 따른다.
ㄷ. P(|Z|Ék)=0.95라 하면 모표준편차가 r, 표본의 크기가 nÁ
일 때 모평균 mÁ의 신뢰도 95`%인 신뢰구간의 길이는
b-a=2k
r
nÁ
'¶
모표준편차가 r, 표본의 크기가 nª일 때 모평균 mª의 신뢰도
95`%인 신뢰구간의 길이는
r
nª
r
nª
=k
2
d-c=2k
이때, nÁ=4nª이므로
'¶
'¶
b-a=2k
r
4nª
'¶
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
r
nÁ
=2k
'¶
=k
=d-c
r
nª
'¶
∴ P(XÉm+c)=P
{ZÉ
m+c-m
r
}
=P
{ZÉ
c
r }
0.49r
=P
r }
{ZÉ
=P(ZÉ0.49)
=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ0.49)
=0.5+0.1879
=0.6879
0611 xÛ`-20x+100=0
TIP 두 수 a, b를 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은
xÛ`-(a+b)x+ab=0이다.
표본평균이 117, 모표준편차가 rA, 표본의 크기가 100이므로 모평
균 mA의 신뢰도 95`%인 신뢰구간은
117-2_
'¶
∴ a=117-
rA
100
rA
5
ÉmAÉ117+2_
, b=117+
rA
5
rA
100
'¶
표본평균이 135, 모표준편차가 rB, 표본의 크기가 100이므로 모평
균 mB의 신뢰도 95`%인 신뢰구간은
135-2_
'¶
∴ c=135-
rB
100
rB
5
ÉmBÉ135+2_
, d=135+
rB
5
rB
100
'¶
이때, a-c=-18에서
rB
5 }
117-
135-
rA
5
-
{
=-18
-18-
(rA-rB)=-18
;5!;
∴ rA=rB
또, b+d=256에서
117+
+
135+
=256
rA
5
{
rB
5 }
…… ㉠
252+
(rA+rB)=256
;5!;
∴ rA+rB=20
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 rA=10, rB=10
따라서 rA, rB를 두 근으로 하는 최고차항의 계수가 1인 이차방정
식은 xÛ`-(10+10)x+10´10=0, 즉
xÛ`-20x+100=0
…… ㉡
088 | Ⅲ 통계
