이책의
정답과 해설
미적분
I 수열의 극한
수열의 극한
급수
II
여러 가지 함수의 미분
지수함수와 로그함수의 미분
삼각함수의 미분
III
미분법
여러 가지 미분법
도함수의 활용 ⑴
도함수의 활용 ⑵
IV
적분법
여러 가지 적분법
정적분
10
정적분의 활용
1
2
3
4
5
6
7
8
9
002
021
037
050
067
084
107
132
148
166
가까워짐을 알 수 있다.
1
2
3
4
n
`
따라서 lim
n` Ö ¦
;n!;
=0이다.
0
0008
수열
[
2
nÛ` ]
0009
0010
;2!;
본책 8~25쪽
0006
수열 1, 4, 7, 10, y, 3n-2, y에서 n이 한없이 커지면 3n-2의 값
도 한없이 커진다.
따라서 주어진 수열은 양의 무한대로 발산한다.
양의 무한대로 발산
0007
수열 9 , 6, 1, -6, y, 10-nÛ`, y에서 n이 한없이 커지면 10-nÛ`의 값
은 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커진다.
따라서 주어진 수열은 음의 무한대로 발산한다.
음의 무한대로 발산
에서 분자는 항상 2이고 n이 한없이 커지면 분모 nÛ`의 값
은 한없이 커지므로
의 값은 0에 한없이 가까워진다.
2
nÛ`
따라서 주어진 수열은 수렴하고, 그 극한값은 0이다.
수렴, 0
1
2
3
4
n
수열
[
10-
;n!;]
에서 n이 한없이 커지면
의 값은 0에 한없이 가까
;n!;
0
워지므로 10-
의 값은 10에 한없이 가까워진다.
;n!;
따라서 주어진 수열은 수렴하고, 그 극한값은 10이다. 수렴, 10
수열
n+1
에서 n이 한없이 커지면
]
;2!;
[;2!;
n의 값은 한없이 커지므로
n+1의 값도 한없이 커진다.
1
2
3
4
n
따라서 주어진 수열은 양의 무한대로 발산한다.
1
양의 무한대로 발산
0011
수열 {4-(-1)n}의 각 항을 첫째항부터 나열하면
5, 3, 5, 3, 5, y
이므로 n이 한없이 커지면 4-(-1)n의 값은 수렴하지도 않고, 양의
무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는다.
따라서 주어진 수열은 발산(진동)한다.
발산 (진동)
0012
⑴ lim
n` Ö ¦
⑵ lim
n` Ö ¦
⑶ lim
n` Ö ¦
`(-an+3bn)=-lim
n` Ö ¦
`(2an-bn)=2 lim
n` Ö ¦
`an_lim
n` Ö ¦
`3anbn=3`lim
n` Ö ¦
`bn=-2+3_(-5)=-17
`an+3 lim
n` Ö ¦
`bn=2_2-(-5)=9
`an-lim
n` Ö ¦
`bn=3_2_(-5)=-30
`
⑷ lim
n` Ö ¦
2an
3bn
=
2`lim
n` Ö ¦
3`lim
n` Ö ¦
`an
`bn
=
2_2
3_(-5)
=-
;1¢5;
1 수열의 극한
개념 마스터
STEP1
0001
n이 증가하면서 변화하는 an의 값을 좌표
평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로
n이 한없이 커질 때,
의 값은 0에 한없이
;n!;
0002
n이 증가하면서 변화하는 an의 값을 좌표
평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로
n이 한없이 커질 때,
의 값은 0에 한
n-1
{;2!;}
없이 가까워짐을 알 수 있다.
`
따라서 lim
n` Ö ¦
{;2!;}
n-1
=0이다.
0003
n이 증가하면서 변화하는 an의 값을 좌표
평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므
로 n이 한없이 커질 때,
의 값은 1에
n
n+1
한없이 가까워짐을 알 수 있다.
`
따라서 lim
n` Ö ¦
n
n+1
=1이다.
an
1
O
an
1
O
an
1
2
1
O
0004
n이 증가하면서 변화하는 an의 값을 좌표
평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
an
3
따라서 주어진 수열은 3에 수렴하므로
lim
n` Ö ¦
`3=3이다.
3
O
1
2
3
4
n
0005
수열
,
,
,
;3!;
;6!;
;9!;
;1Á2;
, y,
1
3n
은 0에 한없이 가까워진다.
, y에서 n이 한없이 커지면
의 값
1
3n
002 | I . 수열의 극한
따라서 주어진 수열은 수렴하고, 그 극한값은 0이다.
수렴, 0
⑴ -17 ⑵ 9 ⑶ -30 ⑷ -
;1¢5;
정답과 해설 0013
`
lim
n` Ö ¦
{
3+
;n@;}
=lim
n` Ö ¦
`
`3+2`lim
n` Ö ¦
;n!;
=3+2_0=3
0014
`
lim
n` Ö ¦
n-2
nÛ``
=lim
`
n` Ö ¦
{;n!;
-
=lim
`
n` Ö ¦
;n!;
`
-2`lim
n` Ö ¦
2
nÛ` }
1
nÛ`
=0-2_0=0
참고 두 수열 {n-2}, {nÛ`}은 수렴하지 않으므로
lim
`
n` Ö ¦
n-2
nÛ`
+
lim
n` Ö ¦
`(n-2)
lim
n` Ö ¦
`nÛ`
0021
lim
n` Ö ¦
`(
"Ã
`
nÛ`+n-n)=lim
n` Ö ¦
"Ã
(
nÛ`+n-n)(
nÛ`+n+n)
"Ã
nÛ`+n+n
"Ã
3
`
=lim
n` Ö ¦
n
nÛ`+n+n
1
"Ã
1+
+1
;n!;
®É
`
=lim
n` Ö ¦
=
;2!;
;2!;
0
0022
lim
n` Ö ¦
`
"Ã
1
nÛ`+2n-n
`
=lim
n` Ö ¦
nÛ`+2n+n
"Ã
nÛ`+2n-n)(
(
"Ã
nÛ`+2n+n)
"Ã
=lim
n` Ö ¦
` "Ã
nÛ`+2n+n
2n
=lim
`
n` Ö ¦
®É
;n@;
2
1+
+1
=
=1
;2@;
1
`
lim
n` Ö ¦
{
2+
;n!;}{;n!;
-3
`
=lim
n` Ö ¦
}
{
2+
;n!;}
`
_lim
n` Ö ¦
{;n!;
-3
}
=2_(-3)=-6
-6
0023
lim
n` Ö ¦
`(2nÛ`-5n)=lim
n` Ö ¦
`nÛ`
2-
{
;n%;}
=¦
발산
lim
`
n` Ö ¦
{
2
nÛ`
+4
}
+4
=
2-
;n!;
lim
`
n` Ö ¦
{
2-
;n!;}
=
=2
;2$;
0024
2
lim
n` Ö ¦
`(n+nÛ`-nÜ`)=lim
n` Ö ¦
`nÜ`
1
nÛ`
{
+
;n!;
-1
=-¦
}
발산
0015
0016
2
nÛ`
`
lim
n` Ö ¦
0017
`
lim
n` Ö ¦
3nÛ`-n+2
2nÛ`+3n-1
=lim
`
n` Ö ¦
=
;2#;
수렴, ;2#;
3-
+
;n!;
2+
-
;n#;
2
nÛ`
1
nÛ`
0025
nÛ`+1
2nÛ`+3
1이므로 주어진 수열은 발산한
'
'
수렴, 0
0028
주어진 수열의 공비는 2.1이고, 2.1>1이므로 주어진 수열은 발산
한다.
발산
0029
주어진 수열의 공비는 -0.8이고, -1<-0.8<1이므로 주어진 수
열은 0에 수렴한다.
수렴
1 수열의 극한 | 003
0018
`
lim
n` Ö ¦
(n+3)(n-1)
(2n+1)(n-2)
=lim
`
n` Ö ¦
nÛ`+2n-3
2nÛ`-3n-2
1+
-
;n@;
2-
-
;n#;
3
nÛ`
2
nÛ`
0019
`
lim
n` Ö ¦
2+n
1+nÜ`
=lim
`
n` Ö ¦
+
1
nÛ`
+1
2
nÜ`
1
nÜ`
=0
0020
`
lim
n` Ö ¦
2nÛ`+n-3
n+1
=lim
`
n` Ö ¦
2n+1-
;n#;
=¦
1+
;n!;
1ㅡ수열의극한 정답과 해설
0030
에 수렴한다.
주어진 수열의 공비는
이고, -1<
<1이므로 주어진 수열은 0
;3@;
;3@;
수렴
|전략| 수열의 항들이 어떤 일정한 값에 가까워지면 수렴, 그렇지 않으면 발산
유형 마스터
유형 마스터
STEP2
0038
한다.
ㄱ. 주어진 수열은 음의 무한대로 발산한다.
0031
주어진 수열의 공비는 -2이고, -2<-1이므로 주어진 수열은 발
산(진동)한다.
ㄴ. 홀수 번째 항은 -2, -
, -
, y에서 0에 수렴하고, 짝수 번째
;3@;
;5@;
, y에서 0에 수렴하므로 주어진 수열은 0에 수렴
발산
항은 1,
,
;2!;
;3!;
한다.
ㄷ. 주어진 수열은 1에 수렴한다.
ㄹ. n=1, 2, 3, 4, y를 (-1)n에 차례로 대입하면
수렴, 0
-1, 1, -1, 1, y
이므로 수열 {(-1)n}은 발산(진동)한다.
ㅁ. n=1, 2, 3, 4, y를
에 차례로 대입하면
(-1)n
n
3n`
`
lim
n` Ö ¦
`
22n-3n =lim
n` Ö ¦
=
0
1-0
=0
n
`
{;4#;}
1-
{;4#;}
n
`
0032
0033
`
lim
n` Ö ¦
(-3)n+1+2n+1
2n-(-3)n =lim
`
n` Ö ¦
-3_(-3)n+2_2n`
2n-(-3)n
-3+2_
-
{
;3@;}
n
`
;3@;}
-
{
n
-1
`
=lim
n` Ö ¦
=
-3+0
0-1
=3
수렴, 3
0039
0034
`
lim
n` Ö ¦
2_3n+5n+1
`
3n-4_5n =lim
n` Ö ¦
2_
n
+5
{;5#;}
n
-4
{;5#;}
=
0+5
0-4
=-
;4%;
수렴, -
;4%;
0035
lim
n` Ö ¦
`(3n-2n)=lim
`3n
[
1-
{;3@;}
n` Ö ¦
n
]
=¦
발산
-1,
, -
,
;3!;
;4!;
, y
;2!;
이므로 n이 한없이 커지면
의 값은 0에 한없이 가까워
(-1)n
n
진다.
그러므로 수열
[
3-
은 3에 수렴한다.
]
(-1)n
n
따라서 수렴하는 수열은 ㄴ, ㄷ, ㅁ이다.
ㄴ, ㄷ, ㅁ
① n=1, 2, 3, 4, y를
에 차례로 대입하면
-nÛ`+2
n+1
, -
;2!;
;3@;
, -
;4&;
, -
:Á5¢:
, y
이므로 n이 한없이 커지면
의 값은 음수이면서 그 절댓
-nÛ`+2
n+1
값이 한없이 커진다.
따라서 수열
[
-nÛ`+2
n+1 ]
는 음의 무한대로 발산한다.
1
n+1
'
1
3+1
② n=1, 2, 3, 4, y를
에 차례로 대입하면
1
1+1
,
1
2+1
,
'
'
이므로 수열
[
'
1
n+1 ]
'
1
4+1
,
'
, y
은 0에 수렴한다.
③ n=1, 2, 3, 4, y를 `
에 차례로 대입하면
n-1
{;2!;}
이므로 n이 한없이 커지면
의 값은 0에 한없이 가까워진다.
0036
공비가 2r이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면
-1<2rÉ1
∴ -
0)임을 이용한다.
`log an=log lim
n` Ö ¦
lim
n` Ö ¦
`{logª (2nÛ`-n+3)-2`logª (n+1)}
=lim
n` Ö ¦
`logª
2nÛ`-n+3
(n+1)Û`
=lim
n` Ö ¦
`logª
2nÛ`-n+3
nÛ`+2n+1
2-
+
;n!;
1+
+
;n@;
3
nÛ`
1
nÛ` â
=logª
`
lim
n` Ö ¦
á
=logª`2=1
②
0055
lim
n` Ö ¦
`(log»
"Ã
nÛ`+2n+5-log»
"Ã
9nÛ`-n+2 )
=lim
n` Ö ¦
`log» "Ã
"Ã
nÛ`+2n+5
9nÛ`-n+2
=log»
`
lim
n` Ö ¦
á
1+
+
;n@;
®É
9-
+
;n!;
®É
5
nÛ`
2
nÛ` â
=log»
=log3Û` 3-1=-
;3!;
;2!;
②
0059
0056
an=log
이므로
n+1
n
aÁ+aª+ y +an=log
+log
+ y +log
;1@;
;2#;
n+1
n
=log
_
_ y _
{;1@;
;2#;
n+1
n }
=log (n+1)
∴ 10aÁ+aª+ y +aÇ=10`log (n+1)=n+1
0058
Ú a+0이면
lim
n` Ö ¦
`
anÜ`+bn+3
cnÛ`-2n-4
Û a=0, c+0이면
=¦ (또는 -¦)
`
lim
n` Ö ¦
anÜ`+bn+3
cnÛ`-2n-4
=lim
`
n` Ö ¦
bn+3
cnÛ`-2n-4
=0
Ü a=0, b=0, c=0이면
`
lim
n` Ö ¦
anÜ`+bn+3
cnÛ`-2n-4
=lim
`
n` Ö ¦
3
-2n-4
=0
Ú~Ü에서 a=c=0, b+0이므로
`
lim
n` Ö ¦
anÜ`+bn+3
cnÛ`-2n-4
=lim
`
n` Ö ¦
bn+3
-2n-4
`
=lim
n` Ö ¦
=-
;2B;
b+
;n#;
-2-
;n$;
따라서 -
=-2이므로 b=4
;2B;
∴ a+b+c=0+4+0=4
`
b+0이면 lim
n` Ö ¦
anÛ`-2n-1
bnÜ`+nÛ`+3
=0이므로 b=0
`
∴` lim
n` Ö ¦
anÛ`-2n-1
bnÜ`+nÛ`+3
=lim
`
n` Ö ¦
anÛ`-2n-1
nÛ`+3
`
=lim
n` Ö ¦
a-
-
;n@;
1
nÛ`
1+
3
nÛ`
= a
∴ a=
;2!;
`
∴`lim
n` Ö ¦
nÛ`+3n-4
(an+b)Û`
=lim
`
n` Ö ¦
nÛ`+3n-4
nÛ`
;4!;
;4!;
1+
-
3
n
4
nÛ`
=4
3n-5
`
∴ lim
n` Ö ¦
`
10aÁ+aª+ y +aÇ =lim
n` Ö ¦
3n-5
n+1
=lim
`
n` Ö ¦
=3
③
3-
;n%;
1+
;n!;
`
=lim
n` Ö ¦
4
0057
|전략| 극한값이 0이 아닌 실수이므로 분모와 분자의 차수가 같다.
0060
`
a+0이면 lim
n` Ö ¦
anÛ`+bn+1
3n+5
=¦(또는 -¦)이므로 a=0
`
∴ lim
n` Ö ¦
anÛ`+bn+1
3n+5
=lim
`
n` Ö ¦
bn+1
3n+5
=lim
`
n` Ö ¦
b+
;n!;
3+
;n%;
=
;3B;
a>1이면 lim
n` Ö ¦
` "Ã
nÛ`+n+n
na
` "Ã
lim
n` Ö ¦
nÛ`+n+n
na
=¦이다.
=0이고, a<1이면
즉, 0이 아닌 상수 b로 수렴하기 위해서는 a=1이어야 한다.
1 수열의 극한 | 007
1ㅡ수열의극한 ∴ lim
n` Ö ¦
` "Ã
nÛ`+n+n
na
=lim
n` Ö ¦
` "Ã
nÛ`+n+n
n
=lim
n` Ö ¦
∴ a+b=1+2=3
1+
+1
` ®É
;n!;
1
=2=b
0061
|전략| 분모를 1로 보고 분자를 유리화한다.
lim
n` Ö ¦
`(
"Ã
4nÛ`+3n-2n)
(
4nÛ`+3n-2n)(
4nÛ`+3n+2n)
"Ã
4nÛ`+3n+2n
"Ã
3n
4nÛ`+3n+2n
`
=lim
n` Ö ¦
3
4+
+2
;n#;
®É
`
=lim
n` Ö ¦
"Ã
=lim
`
n` Ö ¦
"Ã
=
3
2+2
=
;4#;
0062
`
lim
n` Ö ¦
'
=lim
n` Ö ¦
` '
'¶
n(
'¶
n(
n+1-
n)
'
n+1-
n)(
'¶
'
n+1+
'
'¶
n)
n+1+
n
'
=lim
`
n` Ö ¦
n
'
n+1+
'¶
n
'
`
=lim
n` Ö ¦
1
'
1+
®É
+
1
'
;n!;
=
1
1+1
=
;2!;
0063
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
an+bn=4(n-
nÛ`+2n ), anbn=2
"Ã
1
bn }
1
an
+
`
=lim
n` Ö ¦
`
∴ lim
n` Ö ¦
{
an+bn
anbn
4(n-
`
=lim
n` Ö ¦
nÛ`+2n )
"Ã
2
`
=2`lim
n` Ö ¦
`
=2`lim
n` Ö ¦
(n-
"Ã
nÛ`+2n )(n+
"Ã
nÛ`+2n
n+
"Ã
-2n
n+
nÛ`+2n
"Ã
`
=2`lim
n` Ö ¦
nÛ`+2n )
-2
1+
1+
®É
;n@;
=2_
=-2
①
-2
1+1
∴ lim
n` Ö ¦
`an=lim
n` Ö ¦
`{
nÛ`+5n+4-(n+2)}
nÛ`+5n+4-(n+2)}{
nÛ`+5n+4+(n+2)}
"Ã
nÛ`+5n+4+(n+2)
"Ã
n
nÛ`+5n+4+n+2
1
4
nÛ`
+1+
1+
;n%;
+
"Ã
¾¨
;n@;
"Ã
{
"Ã
=lim
n` Ö ¦
`
=lim
n` Ö ¦
`
=lim
n` Ö ¦
`
=
1
1+1
=
;2!;
채점 기준
❶ an을 n에 대한 식으로 간단히 나타낼 수 있다.
❷ lim
n` Ö ¦
an의 값을 구할 수 있다.
… ❷
;2!;
비율
50`%
50`%
0065
`
lim
n` Ö ¦
"Ã
=lim
`
n` Ö ¦
=lim
`
n` Ö ¦
|전략| 분모를 유리화한 후 극한값을 구한다.
2
nÛ`+n-
nÛ`-3n
"Ã
2(
nÛ`+n+
"Ã
"Ã
nÛ`-3n )(
"Ã
nÛ`-3n )
nÛ`+n+
nÛ`-3n )
=lim
n` Ö ¦
` "Ã
(
"Ã
2(
nÛ`+n-
"Ã
nÛ`+n+
"Ã
4n
"Ã
nÛ`-3n )
"Ã
nÛ`+n+
"Ã
2n
nÛ`-3n
1+
+
1-
;n!;
®É
®É
;n#;
=lim
`
n` Ö ¦
2
=
1+1
2
=1
1
3
④
③
0066
n
'
n+1
n+2-
lim
n` Ö ¦
` '¶
'¶
=lim
`
n` Ö ¦
n+3-
'¶
n+2-
(
'¶
n+3-
'¶
(
'¶
n)(
'
'¶
n+1 )(
n+2+
'
n+3+
'¶
'¶
'¶
n)(
n+3+
n+1 )
n+1 )(
n+2+
n )
'
'¶
'¶
`
=lim
n` Ö ¦
2(
n+3+
'¶
n+2+
n+1 )
n )
'¶
2(
`
=lim
n` Ö ¦
'¶
'
1+
+
1+
;n#;
®É
®É
;n!;
1+
+
1
''
;n@;
®É
=
1+1
1+1
=1
1
`
lim
n` Ö ¦
n-
=lim
`
n` Ö ¦
'Än(n-1)
1
nÛ`-n
n-
"Ã
`
=lim
n` Ö ¦
n+
nÛ`-n
"Ã
nÛ`-n )(n+
nÛ`-n )
"Ã
(n-
"Ã
1+
1-
nÛ`+4n+40
`{
aÉ0이면 lim
n` Ö ¦
4nÛ`+4n-(an+b)}
`{
"Ã
∴ lim
n` Ö ¦
"Ã
{
4nÛ`+4n-(an+b)}{
4nÛ`+4n+(an+b)}
`
=lim
n` Ö ¦
"Ã
"Ã
4nÛ`+4n+(an+b)
=lim
`
n` Ö ¦
=lim
`
n` Ö ¦
"Ã
(4-aÛ`)nÛ`+(4-2ab)n-bÛ`
4nÛ`+4n+an+b
"Ã
(4-aÛ`)n+(4-2ab)-
bÛ`
n
`
4+
+a+
;n$;
;nB;
®É
이 식의 극한값이 3이므로
4-aÛ`=0,
4-2ab
2+a
=3
`3an-1
an+1
0071
|전략|
입한다.
3an-1
an+1
=bn으로 놓고 an을 bn에 대한 식으로 나타낸 다음 lim
`an에 대
n` Ö ¦
=bn으로 놓으면 3an-1=bn(an+1)에서
(3-bn)an=bn+1
∴ an=
bn+1
3-bn
이때, lim
n` Ö ¦
`bn=2이므로
lim
n` Ö ¦
`
`an=lim
n` Ö ¦
bn+1
3-bn
=
2+1
3-2
=3
다른 풀이 수열 {an}이 수렴하므로 ` lim
n` Ö ¦
`an=a(a는 실수)라 하면
3
위의 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-2 (∵ a>0)
∴ a+b=2+(-2)=0
0
3a-1=2a+2
∴ a=3
lim
`
n` Ö ¦
3an-1
an+1
=
3a-1
a+1
=2에서
0069
`(
lim
n` Ö ¦
"Ã
`
=lim
n` Ö ¦
"Ã
pnÛ`+2n-4n+q)
{
pnÛ`+2n-(4n-q)}{
pnÛ`+2n+(4n-q)}
"Ã
pnÛ`+2n+(4n-q)
=lim
`
n` Ö ¦
=lim
`
n` Ö ¦
"Ã
(p-16)nÛ`+(2+8q)n-qÛ`
pnÛ`+2n+4n-q
"Ã
(p-16)n+(2+8q)-
qÛ`
n
p+
+4-
;n@;
;nQ;
®É
이 식의 극한값이 2이므로
p-16=0,
=2
2+8q
p+4
'
위의 두 식을 연립하여 풀면 p=16, q=
;4&;
∴`pq=16_
=28
;4&;
∴`lim
n` Ö ¦
`an=3
0072
(n+1)an=bn으로 놓으면 an=
bn
n+1
이때, lim
n` Ö ¦
`bn=3이므로
lim
n` Ö ¦
`(4n+3)an=lim
n` Ö ¦
`(4n+3)_
bn
n+1
=lim
n` Ö ¦
`
4n+3
n+1
_lim
n` Ö ¦
`bn
=4_3=12
⑤
0073
(2nÛ`-n)an=cn으로 놓으면 an=
④
nÜ`+nÛ`+1
bn
=dn으로 놓으면 bn=
cn
2nÛ`-n
nÜ`+nÛ`+1
dn
1 수열의 극한 | 009
1ㅡ수열의극한 이때, lim
n` Ö ¦
`cn=2, lim
n` Ö ¦
`dn=3이므로
`
lim
n` Ö ¦
anbn
n
=lim
`
n` Ö ¦
cn
2nÛ`-n
_
nÜ`+nÛ`+1
dn
_
;n!;
`
=lim
n` Ö ¦
cn
dn
_
nÜ`+nÛ`+1
2nÜ`-nÛ`
=
lim
n` Ö ¦
lim
n` Ö ¦
`cn
`dn
`
_lim
n` Ö ¦
nÜ`+nÛ`+1
2nÜ`-nÛ`
=
_
=
;3!;
;2!;
;3@;
③
다른 풀이 lim
n` Ö ¦
`(2nÛ`-n)an=2에서 an=
1
nÛ`+pn+q
(p, q는 상수),
lim
`
n` Ö ¦
nÜ`+nÛ`+1
bn
=3에서 bn=
nÜ`+rnÛ`+sn+t (r, s, t는 상수)라 하면
;3!;
lim
`
n` Ö ¦
anbn
n
=lim
`
n` Ö ¦
;3!;
nÜ`+rnÛ`+sn+t
n(nÛ`+pn+q)
=lim
`
n` Ö ¦
nÜ`+rnÛ`+sn+t
;3!;
nÜ`+pnÛ`+qn
=
;3!;
0074
an-2bn=cn으로 놓으면 an=2bn+cn
이때, lim
n` Ö ¦
`cn=3
lim
n` Ö ¦
`
`bn=¦이므로 lim
n` Ö ¦
1
bn
=0
`
∴ lim
n` Ö ¦
bn-3
an+3
=lim
`
n` Ö ¦
bn-3
2bn+cn+3
`
=lim
n` Ö ¦
1-
3
bn
+
2+
cn
bn
3
bn
=
1-3_0
2+3_0+3_0
=
;2!;
;2!;
0075
|전략| 명제가 거짓임을 보일 때는 반례를 생각해 본다.
ㄱ. [반례] an=
, bn=
이면 lim
n` Ö ¦
`
`(an-bn)=lim
n` Ö ¦
-
{
;n!;}
;n@;
;n!;
=0이
`
지만 lim
n` Ö ¦
bn
an
=2+1이다.
ㄴ.
bn
an
=cn이라 하면 bn=ancn이고 lim
n` Ö ¦
`cn=1이므로
lim
n` Ö ¦
`(an-bn)=lim
n` Ö ¦
`(an-ancn)=lim
n` Ö ¦
`an-lim
n` Ö ¦
`an_lim
n` Ö ¦
`cn
bn
an
an
bn
=0-0_1=0 (참)
`
ㄷ. lim
n` Ö ¦
=1+0이므로
`
lim
n` Ö ¦
=lim
n` Ö ¦
`
=
=
=1 (참)
;1!;
1
bn
an
lim
n` Ö ¦
`1
lim
n` Ö ¦
`
bn
an
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
010 | I . 수열의 극한
ㄴ. [반례] an=(-1)n이면 lim
`anÛ`=1이지만 수열 {an}은 발산(진
n` Ö ¦
`(an-bn)=0이고 수열 {an}이 수렴하므로
`{an-(an-bn)}
`an-lim
n` Ö ¦
`(an-bn)=lim
n` Ö ¦
`an (참)
0076
ㄱ. lim
n` Ö ¦
lim
n` Ö ¦
`bn=lim
n` Ö ¦
=lim
n` Ö ¦
동)한다.
ㄷ. [반례] an=1+(-1)n, bn=1-(-1)n이면
{an}: 0, 2, 0, 2, 0, 2, y
{bn}: 2, 0, 2, 0, 2, 0, y
{anbn}: 0, 0, 0, 0, 0, 0, y
`anbn=0이지만 수열 {an}과 {bn}은 모두 발산(진동)한다.
lim
n` Ö ¦
즉, lim
n` Ö ¦
`an+0, lim
n` Ö ¦
`bn+0이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ이다.
①
0077
|전략| 각 변을 n(n+1)로 나눈 후 극한값을 구한다.
2nÛ`+n+1|b|이므로
`
lim
n` Ö ¦
{
n
b
=0
a }
… ❶
… ❷
0
비율
50`%
50`%
0084
`
00에서
xÛ`-x+2=
x-
`+
>0이므로 항상 성립한다.
{
;2!;}
;4&;
0092
Û xÛ`-xÉ2, 즉 `xÛ`-x-2É0에서
(x+1)(x-2)É0
∴ -1ÉxÉ2
Ú, Û에서 -1ÉxÉ2
따라서 주어진 등비수열이 수렴하도록 하는 정수 x는 -1, 0, 1, 2이
므로 구하는 합은 2이다.
2
logª x=7, x=2à`
∴ 8x=2Ü`_2à`=2Ú`â`
③
0091
주어진 수열 {(x+1)(2-x)n-1}은 첫째항이 x+1, 공비가 2-x
인 등비수열이므로 이 수열이 수렴하려면
(첫째항)=0 또는 -1<(공비)É1이어야 한다.
Ú (첫째항)=0인 경우
x+1=0에서 x=-1
Û -1<(공비)É1인 경우
-1<2-xÉ1에서 -3<-xÉ-1
∴ 1Éx<3
로 구하는 합은 2이다.
채점 기준
❶ (첫째항)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다.
❷ -1<(공비)É1을 만족시키는 x의 값의 범위를 구할 수 있다.
❸ 주어진 수열이 수렴하도록 하는 x의 값의 범위를 구할 수 있다.
… ❶
… ❷
… ❸
… ❹
2
비율
30`%
30`%
30`%
10`%
수열
5n+2
(logª x-2)n ]
[
은 첫째항이
, 공비가
5Ü`
logª x-2
5
logª x-2
인 등비수열이므로 0이 아닌 극한값을 가지려면 공비가 1이어야 한다.
따라서
5
logª x-2
=1에서
참고 -1<
5
logª x-2
<1이면
5n+2
lim
`
n` Ö ¦
(logª x-2)n = lim
5
logª x-2
=1이면
n` Ö ¦
`25
{
5
logª x-2 }
n
=25_0=0
5n+2
lim
`
n` Ö ¦
(logª x-2)n = lim
n` Ö ¦
`25
{
n
5
logª x-2 }
=25_1=25
0093
등비수열 `{rn}이 수렴하므로 -11, 즉 1Ék<5일 때 lim
n` Ö ¦
n
=¦이므로
{;k%;}
①
`
ak=lim
n` Ö ¦
n+1
{;k%;}
n
+4
{;k%;}
`
=lim
n` Ö ¦
1+
=
;k%;
;k%;
4
n
{;k%;}
∴
kak=1_aÁ+2_aª+ y +15_a15
|전략| |r|>1일 때, -1<
<1이므로 lim
`
n` Ö ¦
;r!;
1
rn =0임을 이용한다.
=1_
+2_
+3_
+4_
+5_
;1%;
;2%;
;3%;
;4%;
;5!;
=5+5+5+5+1=21
21
+6_0+7_0+8_0+ y +15_0
;K+!1`5
0097
0094
Ú |r|<1일 때, lim
n` Ö ¦
`rn=0이므로
`
a=lim
n` Ö ¦
rn-1
rn+1
Û r=1일 때, lim
n` Ö ¦
=-1
`rn=1이므로
`
b=lim
n` Ö ¦
rn-1
rn+1
=0
Ü |r|>1일 때, lim
n` Ö ¦
`|rn|=¦이므로
`
c=lim
n` Ö ¦
rn-1
rn+1
`
=lim
n` Ö ¦
1-
1+
1
rn
1
rn
=1
∴`a+b+c=-1+0+1=0
0
0095
Ú 01일 때, lim
n` Ö ¦
`rn+1=¦이므로
`
lim
n` Ö ¦
rn-5
rn+1+1
`
=lim
n` Ö ¦
-
;r!;
1+
5
rn+1
1
rn+1
=
;r!;
Ú~Ü에서 극한값 중 정수는 -5, -2의 2개이다.
②
|전략| |x|<1일 때는 lim
`xn=0, |x|>1일 때는 lim
`
n` Ö ¦
1
xn =0임을 이용한다.
n` Ö ¦
-
f
{
;3!;}
`
=lim
n` Ö ¦
n+1
-
{
;3!;}
+
-
{
;3!;}
2
`-1
n
+
-
{
;3!;}
-
{
;3!;}
+1
-
;9*;
=
;3@;
=-
;3$;
f(1)=lim
`
n` Ö ¦
1n+1+1Û`-1
1n+1+1
=
;3!;
f(2)=lim
`
n` Ö ¦
2n+1+2Û`-1
2n+2+1
=lim
`
n` Ö ¦
2+2Û`_
1+2_
n
-
{;2!;}
n
+
{;2!;}
n
{;2!;}
{;2!;}
n =2
∴ f
{
-
;3!;}
+f(1)+f(2)=-
+
;3$;
;3!;
+2=1
1
다른 풀이 Ú |x|<1일 때, lim
n` Ö ¦
`xn=lim
n` Ö ¦
`xn+1=0이므로
f(x)=lim
`
n` Ö ¦
xn+1+xÛ`-1
xn+x+1
=
xÛ`-1
x+1
=x-1
Û x=1일 때, lim
n` Ö ¦
`xn=lim
n` Ö ¦
`xn+1=1이므로
f(x)=lim
`
n` Ö ¦
xn+1+xÛ`-1
xn+x+1
=
1+1Û`-1
1+1+1
=
;3!;
Ü |x|>1일 때, lim
n` Ö ¦
`|xn|=¦이므로
f(x)=lim
`
n` Ö ¦
xn+1+xÛ`-1
xn+x+1
= lim
n` Ö ¦
`
x+
1+
1
xn-2 -
1
xn-1 +
1
xn
1
xn
=x
1 수열의 극한 | 013
0096
Ú 0<
`
<1, 즉 k>5일 때 lim
n` Ö ¦
;k%;
n
`
=lim
{;k%;}
n` Ö ¦
{;k%;}
n+1
=0이므로
∴ f
{
-
;3!;}
+f(1)+f(2)=
-
-1
+
+2=1
{
;3!;
}
;3!;
1ㅡ수열의극한 ∴ f(-3)+f
+f(1)=-3+(-2)+
-
=-
{
;2!;}
①
:Á2Á:
{;5!;}
⇨ an+2-an+1=
(an+1-an) 꼴로 변형하여 수열 {an+1-an}은 첫
;pR;
-3-2_
-
n
{
;3!;}
n =-3
1+
-
{
;3!;}
0098
`
f(-3)=lim
n` Ö ¦
(-3)n+1-2
(-3)n+1
`
=lim
n` Ö ¦
n+1
-2
{;5!;}
=-2
n
+1
f
{;5!;}
`
=lim
n` Ö ¦
{;5!
\;}
1n+1-2
1n+1
f(1)=lim
`
n` Ö ¦
=-
;2!;
0099
`
ㄱ. `f(1)=lim
n` Ö ¦
12n-1-2
1+12n =-
(-1)2n-1-2
1+(-1)2n =-
;2!;
;2#;
`
f(-1)=lim
n` Ö ¦
∴ f(1)+f(-1) (거짓)
ㄴ. |x|<1일 때, lim
n` Ö ¦
`x2n-1=lim
`x2n=0이므로
n` Ö ¦
`
f(x)=lim
n` Ö ¦
ㄷ. |x|>1일 때, lim
n` Ö ¦
x2n-1-2
1+x2n =-2 (참)
`x2n=¦이므로
`
f(x)=lim
n` Ö ¦
x2n-1-2
1+x2n =lim
n` Ö ¦
`
=
;[!;
(참)
-
2
;[!;
x2n
1
x2n +1
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
ㄴ, ㄷ
0100
|전략| an+1=
an+10을 an+1-20=
(an-20)으로 변형한다.
;2!;
an+1=
an+10에서 an+1-20=
(an-20)
;2!;
;2!;
;2!;
∴ lim
n` Ö ¦
`
`an=lim
n` Ö ¦
[
-19_
{;2!;}
+20
=20
]
n-1
⑤
다른 풀이 수열 {an}이 수렴하므로 lim
n` Ö ¦
`an=a(a는 실수)라 하면
비수열이므로
an-20=-19_
n-1
`
{;2!;}
∴ an=-19_
n-1
+20
{;2!;}
lim
n` Ö ¦
`an+1=a
lim
n` Ö ¦
`an+1=lim
`
n` Ö ¦
{;2!;
an+10
에서
}
a=
a+10,
a=10
∴ a=20
;2!;
;2!;
014 | I . 수열의 극한
여러 가지 수열의 귀납적 정의
⑴ an+1=an+f(n) 꼴
⇨ n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더한다.
⑵ an+1=an`f(n) 꼴
⇨ n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱한다.
⑶ an+1=pan+q(p+1, pq+0) 꼴
⇨ an+1-a=p(an-a) 꼴로 변형하여 수열 {an-a}는 첫째항이 aÁ-a,
공비가 p인 등비수열임을 이용한다.
⑷ pan+2+qan+1+ran=0(p+q+r=0, pqr+0) 꼴
째항이 aª-aÁ, 공비가 ;pR;인 등비수열임을 이용한다.
0101
an+1=an+2n의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더
하면
aª=aÁ+2Ú``
a£=aª+2Û``
a¢=a£+2Ü``
⋮
an=an-1+2n-1
+>`³
an=aÁ+2Ú`+2Û`+2Ü`+ y +2n-1
2(2n-1-1)
2-1
∴ an=aÁ+
2k=1+
`
∴`lim
n` Ö ¦
nK-+1!
4an
2n+1
=lim
`
n` Ö ¦
4(2n-1)
2n+1
=2n-1
`
=lim
n` Ö ¦
4
1-
{
1+
1
2n }
1
2n
=4
0102
이차방정식 xÛ`-
'§
방정식의 판별식을 D라 하면
∴ an+1=
an+1
;4!;
이때, an+1-
=
;3$;
;4!;{
an-
이므로 수열
[
;3$;}
an-
;3$;]
는 첫째항이
aÁ-
=2-
;3$;
=
;3$;
;3@;
, 공비가
인 등비수열이다.
;4!;
즉, an-
=
_
;3@;
;3$;
{;4!;}
n-1
에서
n-1
an=
_
;3@;
{;4!;}
+
;3$;
∴ lim
n` Ö ¦
`an=lim
n` Ö ¦
`
_
[;3@;
{;4!;}
+
=
;3$;
;3$;]
n-1
4
… ❶
… ❷
… ❸
;3$;
수열 {an-20}은 첫째항이 aÁ-20=1-20=-19, 공비가 `
인 등
;2!;
D=(
an)Û`-4(an+1-1)=0, an-4an+1+4=0
'§
an x+(an+1-1)=0이 중근을 가지므로 이 이차
정답과 해설;
채점 기준
❶ an과 an+1 사이의 관계식을 구할 수 있다.
❷ 일반항 an을 구할 수 있다.
❸ lim
n` Ö ¦
an의 값을 구할 수 있다.
비율
30`%
40`%
30`%
0103
|전략| OPnÓ=
"Ã
nÛ`+n+1, OQnÓ=n임을 이용한다.
OPnÓ=
nÛ`+n+1, OQnÓ=n이므로
"Ã
lim
n` Ö ¦
`(OPnÓ-OQnÓ)=lim
n` Ö ¦
`(
nÛ`+n+1-n)
`
=lim
n` Ö ¦
nÛ`+n+1-n)(
nÛ`+n+1+n)
"Ã
nÛ`+n+1+n
`
=lim
n` Ö ¦
`
=lim
n` Ö ¦
0104
xn=OAÁÓ+AÁAªÓ+AªA£Ó+ y +An-1AnÓ
"Ã
(
"Ã
"Ã
"Ã
n+1
nÛ`+n+1+n
1+
;n!;
1
nÛ`
+
1+
¾Ð
;n!;
=
;2!;
+1
1-
n
`
{;2!;}
n-1
=
1-
;2!;
n-1
`(n¾2)
yÁ=1, yn=AnBnÓ=An-1AnÓ=
이때, an=(직선 OBn의 기울기)=
이므로
lim
n` Ö ¦
`2nan=lim
`
n` Ö ¦
{
2n_
yn
xn }
`
=lim
n` Ö ¦
2n_
`
=lim
n` Ö ¦
2
n-1 =1
2-
{;2!;}
n-1
{;2!;}
n-1
2-
{;2!;}
(
{
9
{;2!;}
yn
xn
(
{
9
0106
|전략| n번째 시행 후 A그릇에 들어 있는 물의 양을 an`L라 하고 an과 an+1 사
이의 관계식을 구한 후 일반항 an을 구한다.
n번째 시행 후 A그릇에 들어 있는 물의 양을 an`L라 하면 물의 총량
은 1`L이므로 B그릇에 들어 있는 물의 양은 (1-an)`L이다.
이때, A그릇에 담긴 물의
을 퍼내어 B그릇에 부으면 A그릇에 들
;4!;
어 있는 물의 양은
an`L, B그릇에 들어 있는 물의 양은
{
;4#;
1-
an}
;4#;
`L
이다.
다시 B그릇에 담긴 물의
을 퍼내어 A그릇에 부으면
;4!;
an+1=
an+
1-
an}
;4#;
;4!;{
;4#;
∴ an+1=
an+
;4!;
;1»6;
②
∴ an+1-
=
;7$;
;1»6;{
an-
;7$;}
즉, 수열
an-
[
;7$;]
는 첫째항이 aÁ-
이고 공비가
인 등비수열
;7$;
;1»6;
이므로
an-
=
aÁ-
;7$;
{
_
;7$;}
{;1»6;}
n-1
n-1
∴ lim
n` Ö ¦
`
`an=lim
n` Ö ¦
[{
aÁ-
_
;7$;}
{;1»6;}
+
=
;7$;
;7$;]
n-1
따라서 A그릇에 들어 있는 물의 양은
`L에 가까워진다. ;7$;
`L
;7$;
0107
두 점 An(xn), An+1(xn+1)에 대하여 AnAn+1Ó을 2：1로 내분하는
점이 An+2(xn+2)이므로
①
xn+2=
2_xn+1+1_xn
2+1
=
;3@;
xn+1+
xn (n=1, 2, 3, …)
;3!;
∴ xn+2-xn+1=-
(xn+1-xn)
;3!;
즉, 수열 {xn+1-xn}은 첫째항이 xª-xÁ=4-1=3, 공비가 -
인
;3!;
=1+
+
;2!;
{;2!;}
`+ y +
{;2!;}
=2-
{;2!;}
n-1`
`
∴ an=
aÁ-
{
_
;7$;}
{;1»6;}
+
;7$;
0105
OCnÓ=ABnÓ=n, BnCnÓ=OAÓ=20이므로
ACnÓ="ÃOAÓ Û`+OCnÓ Û`=
또, △ABÁDn»△ABnCn이므로
20Û`+nÛ`=
"Ã
"Ã
400+nÛ``
ABÁÓ：ABnÓ=BÁDnÓ：BnCnÓ
1：n=BÁDnÓ：20
∴ BÁDnÓ=
20
n
`
∴`lim
n` Ö ¦
ACnÓ-OCnÓ
BÁDnÓ
=lim
n` Ö ¦
` "Ã
400+nÛ`-n
20
n
`
=lim
n` Ö ¦
"Ã
n(
400+nÛ`-n)(
400+nÛ`+n)
"Ã
400+nÛ`+n)
20(
"Ã
`
=lim
n` Ö ¦
`
=lim
n` Ö ¦
=10
10
20n
400+nÛ`+n
20
"Ã
400
nÛ`
¾Ð
+1+1
등비수열이므로
xn+1-xn=3_
-
{
;3!;}
n-1
xª-xÁ=3
x£-xª=3_
-
x¢-x£=3_
-
⋮
{
{
;3!;}
`
;3!;}
+
xn-xn-1=3_
}³
{
-
;3!;}
n-2
위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면
xn-xÁ=3
1+
-
[
{
+
-
{
;3!;}
2
+ y +
;3!;}
{
-
;3!;}
n-2
]
1 수열의 극한 | 015
1ㅡ수열의극한2
2
정답과 해설
∴ xn=xÁ+
3_
-
{
;3!;}
k-1
=1+
nK-+1!
=
-
_
-
:Á4£:
;4(;
{
;3!;}
n-1
3
1-
-
[
{
;3!;}
n-1
]
1-
-
{
;3!;}
∴ lim
n` Ö ¦
`
`xn=lim
n` Ö ¦
-
_
-
[:Á4£:
;4(;
{
;3!;}
n-1
]
=
:Á4£:
⑤
Sn=
n{2a+(n-1)d}
2
=
n(dn+2a-d)
2
=
;2D;
nÛ`+
2a-d
2
n
`
lim
n` Ö ¦
Sn
2nÛ`+2n-1
=3에서
nÛ`+
;2D;
2a-d
2
n
2nÛ`+2n-1
`
lim
n` Ö ¦
=lim
`
n` Ö ¦
+
;2D;
2+
2a-d
2n
1
nÛ`
;n@;-
=
=3
;4D;
③
유형 02 수열의 극한에 대한 기본 성질
|전략| lim
`an=a, lim
n` Ö ¦
n` Ö ¦
`bn=b (a, b는 실수)로 놓고 극한에 대한 기본 성질을 이
이때, a¢+aÁ¼=14이므로
a¢+aÁ¼=(log£ a+3d)+(log£ a+9d)=2 log£ a+12d
2 log£ a+12d=14
∴ log£ a+6d=7
yy ㉠
∴ d=12
0111
유형 06
꼴의 극한 - 로그를 포함한 식
¦
¦
이용하여 log£ a, d의 값을 각각 구한다.
등차수열 {an}의 공차를 d라 하면
|전략| 공차를 d로 놓고 a¢=log£ a+3d, aÁ¼=log£ a+9d와 주어진 극한값을
an=log£ a+(n-1)d이므로
`
lim
n` Ö ¦
an
2n+1
=lim
n` Ö ¦
`
log£ a+(n-1)d
2n+1
d+
log£ a-d
n
2+
;n!;
=
;2D;
=lim
n` Ö ¦
`
=
;2D;
;3!;
에서 d=
;3@;
㉡을 ㉠에 대입하면
⑤
log£ a+6_
=7
∴ log£ a=3
;3@;
yy ㉡
②
∴ aÁ»=3+18_
=15
;3@;
0112
유형 08 ¦-¦ 꼴의 극한
"Ã
자연수 n에 대하여
|전략| n+1<
nÛ`+4n+24, |x|<4일 때로 나누어 극한값을 구한다.
Ú |x|>4일 때, lim
n` Ö ¦
`
n
=0이므로
{;[$;}
`
lim
n` Ö ¦
xn+4n
xn-4n =lim
n` Ö ¦
`
1+
1-
n
{;[$;}
n
{;[$;}
=1
Û |x|<4일 때, lim
n` Ö ¦
`
{;4{;}
n
=0이므로
`
lim
n` Ö ¦
xn+4n
xn-4n =lim
n` Ö ¦
`
n
+1
{;4{;}
n
-1
{;4{;}
=-1
Ú, Û에서 극한값이 -1이 되는 x의 값의 범위는 |x|<4, 즉
-42이므로 00)라 하면 lim
n` Ö ¦
`an+1=a이다.
㉠에서 lim
n` Ö ¦
`
`an+1=lim
n` Ö ¦
1
2+an
a=
1
2+a
, aÛ`+2a-1=0
∴ a=-1+
2 (∵ a>0)
'
이때, 주어진 수열은 {1+an}이므로
`(1+an)=1+a=1+(-1+
2)=
'
2
'
2이므로 mÛ`=(
2)Û`=2
'
lim
n` Ö ¦
따라서 m=
'
0119
유형 19 수열의 극한의 활용 ⑴
|전략| 방정식 f(x)=k의 실근은 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=k의 교점
의 x좌표와 같음을 이용한다. (단, k는 실수)
Ú 2nf(a)-1æ¾0일 때
`
lim
n` Ö ¦
|2nf(a)-1|-nf(a)
3n-2
=lim
`
n` Ö ¦
2nf(a)-1-nf(a)
3n-2
`
=lim
n` Ö ¦
nf(a)-1
3n-2
=
;3!;
f(a)
이때, 점 (3n, 4n)과 점 (-1, 0) 사이의 거리는
(3n+1)Û`+(4n)Û`=
25nÛ`+6n+1
"Ã
"Ã
이므로
an=
bn=
"Ã
"Ã
25nÛ`+6n+1+4n
25nÛ`+6n+1-4n
yy ㉠
`
∴ lim
n` Ö ¦
=lim
n` Ö ¦
an
bn
25nÛ`+6n+1+4n
25nÛ`+6n+1-4n
` "Ã
"Ã
25+
+
;n^;
¾Ð
25+
+
;n^;
¾Ð
1
nÛ`
1
nÛ`
+4
-4
=lim
n` Ö ¦
`
=
5+4
5-4
=9
⑴ 좌표축에 접하는 원의 방정식
① 중심의 좌표가 (a, b)이고 x축에 접하는 원의 방정식
④
⇨ (x-a)Û`+(y-b)Û`=bÛ`
② 중심의 좌표가 (a, b)이고 y축에 접하는 원의 방정식
⇨ (x-a)Û`+(y-b)Û`=aÛ`
③ 중심의 좌표가 (a, a)이고 제1사분면에서 x축과 y축에 동시에 접하는
원의 방정식 ⇨ (x-a)Û`+(y-a)Û`=aÛ`
⑵ 원 밖의 한 점과 원 위의 점 사이의 거리
① 최댓값 ⇨ POÓ+OBÓ=d+r
② 최솟값 ⇨ POÓ-AOÓ=d-r
r
B
d
A
O
r
P
그런데 f(a)=6은 정의되어 있지 않으므로 f(a)=6은 모순이다.
0121
따라서 방정식 f(a)=-2의 실근의 개수는 2이므로 Ú, Û에서 구
`
lim
n` Ö ¦
=1
y
3
O
-2
-3
-3
y=f (x)
4
x
y=-2
유형 11 일반항 an을 포함한 식의 극한값
|전략| an-bn=cn으로 놓고 lim
`
=0임을 이용하여 lim
`
의 값을 구한다.
cn
an
n` Ö ¦
bn
an
n` Ö ¦
an-bn=cn으로 놓으면 lim
n` Ö ¦
`cn=2, lim
n` Ö ¦
`an=¦이므로
`
lim
n` Ö ¦
=0
cn
an
cn
an
bn
an
`
lim
n` Ö ¦
=lim
n` Ö ¦
`
an-bn
an
`
=lim
n` Ö ¦
{
1-
bn
an }
=0에서
②
`
따라서 lim
n` Ö ¦
=lim
n` Ö ¦
`
=1이므로
an
bn
1
bn
an
`
lim
n` Ö ¦
{
anÛ`
bn -
bnÛ`
an }
`
=lim
n` Ö ¦
anÜ`-bnÜ`
anbn
|전략| 반지름의 길이가 r인 원의 중심과 점 (-1, 0) 사이의 거리가 d일 때, 원
위의 점과 점 (-1, 0) 사이의 최대, 최소 거리는 각각 d+r, d-r이다.
자연수 n에 대하여 점 (3n, 4n)을 중심으
y
로 하고 x축에 접하는 원 On의 반지름의
길이는 4n이다.
4n
an
bn
O-1
3n
x
`
=lim
n` Ö ¦
=lim
n` Ö ¦
=lim
n` Ö ¦
(an-bn)(anÛ`+anbn+bnÛ`)
anbn
anÛ`
anbn
an
bn
anbn
anbn
bn
an }
+1+
+
+
`(an-bn)
`(an-bn)
{
{
bnÛ`
anbn }
=2_(1+1+1)=6
f(a)=2에서 f(a)=6
;3!;
Û 2nf(a)-1<0일 때
`
lim
n` Ö ¦
|2nf(a)-1|-nf(a)
3n-2
`
=lim
n` Ö ¦
-2nf(a)+1-nf(a)
3n-2
`
=lim
n` Ö ¦
-3nf(a)+1
3n-2
=-f(a)
-f(a)=2에서 f(a)=-2
하는 실수 a의 개수는 2이다.
0120
유형 19 수열의 극한의 활용 ⑴
018 | I . 수열의 극한
①
… ❶
… ❷
… ❸
6
정답과 해설 … ❷
… ❸
6p
배점
2점
3점
2점
채점 기준
❶ lim
`
n` Ö ¦
❷ lim
`
n` Ö ¦
cn
an
bn
an
의 값을 구할 수 있다.
의 값을 구할 수 있다.
❸ lim
n` Ö ¦
` {
anÛ`
bn
-
bnÛ`
an }의 값을 구할 수 있다.
배점
1점
3점
3점
이와 같은 방법으로 계속하면
an=n
æ(6p)Û`+
¾Ð
8
n }
{
`æ
∴ lim
n` Ö ¦
an
n
=lim
`
n` Ö ¦
¾Ð
2
æ(6p)Û`+
8
n }
{
=6p
2`
채점 기준
❶ aÁ의 값을 구할 수 있다.
❷ 일반항 an을 구할 수 있다.
❸ lim
`
n` Ö ¦
an
n
의 값을 구할 수 있다.
0124
0122
유형 14 등비수열의 극한
|전략| 다항식 f(x)를 이차식으로 나누었을 때의 나머지는 일차 이하의 다항식
이므로 Rn(x)=ax+b(a, b는 상수)로 놓는다.
다항식 (x+1)n을 xÛ`-x로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를
=x(x-1)Q(x)+ax+b
yy ㉠
… ❶
Rn(x)=ax+b (a, b는 상수)라 하면
(x+1)n =(xÛ`-x)Q(x)+ax+b
㉠의 양변에 x=0을 대입하면 1=b
㉠의 양변에 x=1을 대입하면 2n=a+b
∴ a=2n-1
따라서 Rn(x)=(2n-1)x+1이므로
Rn(2)=(2n-1)_2+1=2n+1-1
2n+2+1
2n+2n+1-1
1
2n
2n+2+1
2n+Rn(2)
`
∴ lim
n` Ö ¦
`
=lim
n` Ö ¦
4+
`
=lim
n` Ö ¦
=
;3$;
1+2-
1
2n
❶ 몫과 나머지를 이용하여 항등식을 세울 수 있다.
❷ Rn(x)를 구할 수 있다.
❸ lim
`
n` Ö ¦
2n+2+1
2n+Rn(2)
의 값을 구할 수 있다.
채점 기준
0123
유형 19 수열의 극한의 활용 ⑴
|전략| 피타고라스 정리를 이용하여 일반항 an을 구한다.
오른쪽 그림과 같이 직원기둥의 옆면의 전
개도에서 직사각형의 가로의 길이는 직원
기둥의 밑면의 둘레의 길이와 같으므로
A
6p
이때, 옆면을 한 바퀴 돌아 점 B까지 가는 최단 거리는 직사각형의 대
2p_3=6p
각선의 길이와 같으므로
aÁ=
(6p)Û`+8Û`
"Ã
까지 가는 최단 거리는
aª=2
æ(6p)Û`+
¾Ð
{;2*;}
또, 오른쪽 그림과 같이 두 바퀴 돌아 점 B
유형 13 수열의 극한의 대소 관계 + 18 귀납적으로 정의된 수열의 극한
|전략| 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 axÛ`+bx+c>0이 항상 성립하려면
a>0이고 bÛ`-4ac<0이어야 한다.
⑴ 이차부등식 anxÛ`-2an+1x+
an>0(an>0)이 항상 성립하려면
… ❷
이차방정식 anxÛ`-2an+1x+
an=0이 실근을 갖지 않아야 한다.
;9$;
;9$;
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4
=an+1Û`-
anÛ`<0
;9$;
an+1+
an}{
;3@;
an+1-
an}
;3@;
<0
{
그런데 an+1+
an>0(∵ an>0)이므로
;3@;
an+1-
an<0
∴ an+1<
;3@;
an
;3@;
⑵ ⑴의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하
… ❸
;3$;
배점
2점
2점
2점
B
8
… ❶
B
4
4
면
aª<
aÁ
;3@;
a£<
aª
;3@;
⋮
_
an<
}³
;3@;
an-1
an<
{;3@;}
n-1
_aÁ
∴ 00)
④
개념 마스터
2 급수
본책 28~41쪽
0129
|전략| n년 차 연말에 남아 있는 와인의 양 an과 (n+1)년 차 연말에 남아 있는
와인의 양 an+1 사이의 관계식을 구한다.
an+1=(1-0.4)an+200=
an+200에서
;5#;
an+1-500=
(an-500)
;5#;
수열 {an-500}은 첫째항이 aÁ-500=800-500=300, 공비가
;5#;
인 등비수열이므로
an-500=300_
∴ an=500+300_
n-1
{;5#;}
n-1
{;5#;}
∴ lim
n` Ö ¦
an=lim
[
n` Ö ¦
500+300_
n-1
]
{;5#;}
=500
500
|전략| 내분점의 공식을 이용하여 주어진 규칙을 수식으로 변형한 후 xn-1과 xn
㈎에서 xÁ=2이고 ㈏에서 주어진 규칙에 따라 xn은 점 Pn-1(xn-1)
과 점 P(4)를 1 : n으로 내분하는 점 Pn의 좌표이므로
0130
사이의 규칙을 찾는다.
xn=
n_xn-1+4
n+1
=
n
n+1
4
n+1
xn-1+
(n=2, 3, 4, y)
∴ xn-4=
(xn-1-4) (n=2, 3, 4, y)
n
n+1
n
n+1
n
n+1
2
n+1
이때, xn-4=yn(n=2, 3, 4, y)이라 하면
yn=
yn-1이고 yn-1=
yn-2이므로
n-1
n
yn=
_
n-1
n
_
n-2
n-1
_ y _
_yÁ
;3@;
=
(xÁ-4)=-
(∵ xÁ=2)
4
n+1
yn=xn-4=-
이므로 xn=4-
4
n+1
4
n+1
∴ lim
n` Ö ¦
xn=lim
{
n` Ö ¦
4-
4
n+1 }
=4
an= lim
¦
n`
Ú
Sn= lim
¦
Ú
n`
n=1
n+2
2n+1
=
;2!;
an= lim
¦
n`
Ú
Sn= lim
¦
Ú
n`
[
n=1
1-
n
{;2!;}
]
=1
an= lim
¦
n`
Ú
Sn= lim
¦
Ú
n`
10-nÛ
`
n(n-3)
= lim
¦
n`
Ú
-nÛ
nÛ
+10
`
-3n
`
=-1
an= lim
¦
n`
Ú
Sn= lim
¦
Ú
n`
n=1
(-3)n
{;5!;}
¦{-;5#;}
n
= lim
n`
Ú
n
=0
0
0135
주어진 급수는 첫째항이 2, 공차가 3인 등차수열의 합이므로 제 n 항
까지의 부분합을 Sn이라 하면
Sn= n{2_2+(n-1)_3}
2
= 3nÛ
+n
`
2
∴ lim
¦
n`
Ú
Sn= lim
¦
Ú
따라서 주어진 급수는 발산한다.
=¦
n`
3nÛ
+n
`
2
;2!;
1
-1
발산
STEP1
0131
¦
0132
¦
0133
¦
n=1
0134
¦
0136
주어진 급수는 첫째항이 1, 공비가
인 등비수열의 합이므로 제 n 항
;3!;
까지의 부분합을 Sn이라 하면
n
1-
1_
[
{;3!;}
]
Sn=
1-
;3!;
=
;2#;[
1-
{;3!;}
n
]
∴ lim
¦
n`
Ú
Sn= lim
¦
Ú
n`
;2#;[
1-
n
{;3!;}
]
=
;2#;
따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은
;2#;
이다.
수렴, ;2#;
0137
주어진 급수의 제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면
SÁ=2, Sª=0, S£=2, S¢=0, y
④
따라서 수열 {Sn}이 진동하므로 주어진 급수는 발산한다. 발산
2 급수 | 021
2ㅡ급수;
;
;
;
+
-
{;2!;
;3!;}
{;3!;
;4!;}
+
-
+ y +
1
n
{
- 1
n+1 }
0138
제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면
- 1
=
Sn=
n
n
1
k(k+1)
{;k!;
k=1
k=1
k+1 }
=
1-
{
;2!;}
=1- 1
n+1
∴ lim
¦
n`
Ú
Sn= lim
n`
Ú
¦{
1- 1
n+1 }
=1
0139
제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면
Sn=
n
k=1
k
k+1
- k+1
k+2 }
{
∴ lim
¦
n`
Ú
1- 1
'Ä
따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 1이다.
Sn= lim
n`
Ú
n+1 }
=1
¦{
수렴, 1
0143
주어진 급수는 첫째항이 2, 공차가 2인 등차수열의 합이므로 제 n 항
을 an이라 하면
∴ lim
¦
n`
Ú
an= lim
¦
n`
Ú
따라서 주어진 급수는 발산한다.
2n=¦+0
풀이 참조
따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 1이다.
수렴, 1
an=2+(n-1)_2=2n
-
{;3@;
;4#;}
{;4#;
;5$;}
+
-
+ y +
n
n+1
- n+1
n+2 }
{
=
{;2!;
=
;2!;
+
-
;3@;}
- n+1
n+2
∴ lim
¦
n`
Ú
Sn= lim
n`
Ú
¦{;2!;
- n+1
n+2 }
=
-1=-
;2!;
;2!;
따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 -
이다. 수렴, -
;2!;
;2!;
0144
주어진 급수는 첫째항이 -2, 공차가 3인 등차수열의 합이므로 제 n
항을 an이라 하면
an=-2+(n-1)_3=3n-5
∴ lim
¦
n`
Ú
an= lim
¦
n`
Ú
따라서 주어진 급수는 발산한다.
(3n-5)=¦+0
풀이 참조
=(
2-
1)+(
3-
2)+(
4-
3)+ y +(
n+1-
n)
'
'
'
'Ä
'
제 n 항을 an이라 하면
0140
제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면
Sn=
log
n
k=1
k+1
k
=log 2+log
+log
+ y +log
;2#;
;3$;
_ y _ n+1
n }
=log
{
2_
;2#;
_
;3$;
=log (n+1)
n+1
n
∴ lim
¦
n`
Ú
Sn= lim
¦
n`
Ú
따라서 주어진 급수는 발산한다.
log (n+1)=¦
0141
제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면
n
Sn=
(
k+1-
k)
k=1
'Ä
'
'
'
'
n+1-1
=
'Ä
∴ lim
¦
n`
Ú
Sn= lim
¦
n`
Ú
따라서 주어진 급수는 발산한다.
n+1-1)=¦
'Ä
(
0142
제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면
Sn=
n
k=1
=
{
{
'
1
k -
1
2 }
1
k+1 }
'Ä
1
+
2 -
{
1
1 -
'
'
'
'
=1- 1
n+1
'Ä
022 | I . 수열의 극한
0145
주어진 급수는 첫째항이 5, 공비가 1인 등비수열의 합이므로 제 n 항
을 an이라 하면 an=5
∴ lim
¦
n`
Ú
an=5+0
따라서 주어진 급수는 발산한다.
풀이 참조
발산
주어진 급수는 첫째항이
, 공차가 -
인 등차수열의 합이므로
0146
7
3
'
∴ lim
¦
n`
Ú
an=
+(n-1)_
-
=-
7
3
'
2
3
'
2
3 }
'
n+3
{
2
3
2
3
n+3
3
'
'
=-¦+0
발산
an= lim
n`
Ú
따라서 주어진 급수는 발산한다.
¦{-
'
'
3
}
풀이 참조
1
3 }
+
{
1
3 -
1
4 }
'
'
+ y +
1
n -
1
n+1 }
'Ä
{
'
0147
제 n 항을 an이라 하면 an= nÛ
`
n(n+2)
lim
¦
n`
Ú
an= lim
¦
n`
Ú
= lim
¦
n`
Ú
따라서 주어진 급수는 발산한다.
nÛ
`
n(n+2)
nÛ
`
+2n
nÛ
`
=1+0
풀이 참조
정답과 해설;
;
;
;
;
;
따라서 주어진 급수는 발산한다.
풀이 참조
에서 첫째항이 3, 공비가
이고, -1<
<1이므로
;2!;
;2!;
0148
제 n 항을 an이라 하면 an=
nÛ
+2n-n
"Ã
`
+2n-n)
lim
¦
n`
Ú
an= lim
¦
n`
Ú
(
nÛ
`
"Ã
= lim
¦
Ú
n`
"Ã
`
= lim
¦
Ú
n`
"Ã
(
nÛ
+2n-n)(
nÛ
+2n+n)
"Ã
`
nÛ`+2n+n
"Ã
2n
nÛ`+2n+n
= lim
¦
n`
Ú
2
1+
+1
;n@;
¾Ð
=
=1+0
2
1+1
0149
제 n 항을 an이라 하면 an=logª
n
2n-1
lim
¦
n`
Ú
an= lim
¦
n`
Ú
logª
n
2n-1
=logª
{
lim
¦
n`
Ú
n
2n-1 }
=logª
=-1+0
;2!;
따라서 주어진 급수는 발산한다.
풀이 참조
0150
제 n 항을 an이라 하면 an=
3n+1+1
3n+2n
lim
¦
n`
Ú
an= lim
¦
n`
Ú
3n+1+1
3n+2n = lim
n`
¦
3+
n
{;3!;}
n
{;3@;}
Ú
1+
=3+0
따라서 주어진 급수는 발산한다.
풀이 참조
(an+2bn)=
an+2
bn=2+2_3=8
¦
¦
n=1
n=1
¦
¦
-4bn}
=
;2!;
n=1
an-4
n=1
bn=
;2!;
_2-4_3=-11
⑴ 8 ⑵ -11
수렴, ;5#;
수렴, 6
에서 첫째항이 1, 공비가 -
이고, -1<-
<1이
;3@;
;3@;
0155
¦
n-1
-
{
;3@;}
n=1
므로 주어진 등비급수는 수렴한다.
따라서 그 합은
1
1
=
=
;5#;
1-
{-;3@;}
;3%;
0156
¦
n-1
3_
{;2!;}
n=1
주어진 등비급수는 수렴한다.
따라서 그 합은
3
3
=
=6
1-
;2!;
;2!;
0157
¦
n
+
[{;3!;}
n
¦
=
n=1
n
+
{;3!;}
¦
n=1
n
{;5!;}
{;5!;}
]
n=1
=
;3!;
+
;5!;
1-
;3!;
1-
;5!;
=
+
=
;4#;
;4!;
;2!;
;4#;
0158
¦
3
2n -
5
4n }
{
=3
¦
n=1
n
-5
{;2!;}
¦
n
{;4!;}
n=1
n=1
=3_
-5_
;2!;
1-
;2!;
;4!;
1-
;4!;
=3_1-5_
=
;3$;
;3!;
;3$;
첫째항이 1, 공비가
이고, -1<
<1이므로 주어진 등비급수는
;4!;
;4!;
0159
¦
2n-3n
4n =
¦
{;2!;}
n=1
¦
n
-
{;4#;}
n=1
n
n=1
수렴한다.
따라서 그 합은
1
1
=
1-
;4!;
;4#;
=
;3$;
수렴, ;3$;
=
;2!;
-
;4#;
1-
;2!;
1-
;4#;
=1-3=-2
-2
2이고, -
2<-1이므로 주어진 등비급수는 발산한다.
'
발산
0160
¦
공비가 -
이고, -
<-1이므로 주어진 등비급수는 발산한다.
;2#;
;2#;
발산
=3_1+4_5=23
23
3
2n +
{
4n
5n-1 }
n=1
¦
=3
{;2!;}
n=1
¦
n
+4
{;5$;}
n=1
n-1
=3_
+4_
;2!;
1-
;2!;
1
1-
;5$;
0151
¦
⑴
n=1
¦
n=1
an
2
{
⑵
0152
0153
공비가 -
'
0154
2 급수 | 023
2ㅡ급수;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
정답과 해설
0161
¦
(1-
2)n-1=
n=1
'
1
1-(1-
2)
''
=
1
2
'
2
= '
2
2
'
2
sin
+
3p
2
sin
5p
2
+ y
]
0162
¦
n=1
=2
¦
n=1
=2
[;3@;
2n+1
3n sin
(2n-1)p
2
(2n-1)p
2
n
sin
{;3@;}
p
2
sin
+
{;3@;}
+
2`
{;3@;}
{;3@;}
3`
+ y
]
=2
-
[;3@;
{;3@;}
-
{;3@;}
2`
3`
4`
2
=
[;3@;+;3@;_{-;3@;}+;3@;_{-;3@;}
=2_
;3@;
1-
{-;3@;}
=2_
=
;5$;
;5@;
+ y
]
2`
0163
공비가 2x이므로 주어진 등비급수가 수렴하려면
-1<2x<1
∴ -
2+1+
+
{;4@;
;4@;}+{;8@;
+
+
;8@;
;8@;
+
;8@;}
+ y
=2+1+1+1+ y=¦
이므로 주어진 급수는 발산한다.
② 주어진 급수의 제 n 항을 an이라 하면 an=
2n
2n+1
=1+0이므로
은 발산한다.
=1+0이므로
은 발산한다.
n=1
¦
2n
2n+1
nÛ
`
n(n+5)
¦
n=1
2n
2n+1
③ lim
¦
n`
Ú
¦
n`
이때, lim
¦
Ú
nÛ
`
n(n+5)
1
2n(2n+2)
n
n=1
④
= lim
¦
n`
Ú
k=1
;2!;
{
1
2k -
1
2k+2 }
;2!;[{;2!;
-
;4!;}+{;4!;
;6!;}
-
+ y +
1
2n -
{
1
2n+2 }]
= lim
¦
n`
Ú
= lim
¦
n`
Ú
{;2!;
;2!;
-
1
2n+2 }
=
;4!;
(수렴)
⑤ lim
¦
n`
Ú
2nÛ
1+2+3+ y +n
`
= lim
¦
n`
Ú
2nÛ
`
n(n+1)
2
4nÛ
n(n+1)
`
= lim
¦
n`
Ú
=4+0
이므로
¦
n=1
2nÛ
1+2+3+ y +n
`
은 발산한다.
따라서 주어진 급수 중 수렴하는 것은 ④이다.
④
0184
한다.
¦
n=1
¦
n=1
an=a,
bn=b로 놓으면
¦
n=1
(3an+2bn)=3
an+2
bn=12에서
n=1
n=1
¦
¦
3a+2b=12
yy ㉠
또,
(-5an+7bn)=-5
an+7
bn=11에서
¦
¦
n=1
n=1
¦
n=1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3
∴
(an-bn)=
an-
bn=a-b=2-3=-1
-1
¦
n=1
¦
¦
n=1
n=1
0185
3an-5bn=cn으로 놓으면 3an=5bn+cn
∴ an=
bn+
cn
;3!;
;3%;
이때,
bn=3,
cn=12이므로
¦
n=1
¦
n=1
¦
¦
an=
n=1
n=1
{;3%;
bn+
cn}
;3!;
=
;3%;
¦
n=1
bn+
¦
n=1
cn
;3!;
=
_3+
_12=9
;3%;
;3!;
❶ 3an-5bn=cn으로 놓고 an을 bn과 cn을 사용하여 나타낼 수 있다.
❷
an의 합을 구할 수 있다.
¦
n=1
… ❶
… ❷
9
비율
40`%
60`%
an=a,
bn=b로 놓으면
¦
n=1
¦
n=1
an+bn
2
¦
¦
=
;2!;{
n=1
an+
=
bn}
;2!;
n=1
(a+b) (수렴)
an이 수렴하므로 lim
¦
Ú
n`
an= lim
¦
n`
Ú
an+1=0
n=1
∴
(an-an+1)= lim
¦
Ú
= lim
¦
Ú
n`
n`
n
k=1
(ak-ak+1)
{(aÁ-aª)+(aª-a£)
+ y +(an-an+1)}
= lim
¦
Ú
n`
(aÁ-an+1)
=aÁ-0=aÁ (수렴)
ㄷ. [반례]
`
bn=
1
n(n+1)
¦
n=1
이면
bn=1로 수렴하지만
1
bn
lim
¦
n`
Ú
= lim
¦
n`
Ú
따라서 수렴하는 것은 ㄱ, ㄴ이다.
n(n+1)=¦+0이므로
은 발산한다.
¦
n=1
1
bn
ㄱ, ㄴ
채점 기준
0186
¦
ㄱ.
n=1
ㄴ.
¦
n=1
¦
0187
¦
ㄱ.
n=1
¦
n=1
¦
n=1
¦
n=1
an=a,
(an+bn)=b로 놓으면
bn=
{(an+bn)-an}=
(an+bn)-
an
¦
n=1
ㄴ.
an과
¦
n=1
¦
bn이 수렴하므로 lim
an= lim
¦
¦
n`
Ú
Ú
bn=0 (참)
n`
an_ lim
¦
n`
Ú
n=1
an bn= lim
¦
Ú
n`
∴ lim
¦
n`
Ú
ㄷ. [반례] {an}：1, 0, 1, 0, y, {bn}：0, 1, 0, 1, y이면
¦
n=1
lim
¦
n`
Ú
an bn=0으로 수렴하고 lim
¦
Ú
n`
an+0이지만
bn+0이다.
¦
n=1
bn=0
2 급수 | 027
|전략|
an=a,
bn=b로 놓고 a, b의 값을 구한 후 주어진 급수의 합을 구
¦
n=1
¦
n=1
=b-a (수렴) (참)
-5a+7b=11
yy ㉡
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
ㄱ, ㄴ
2ㅡ급수;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
|전략| 주어진 급수를
arn-1(a+0)의 꼴로 나타낸 다음 -10
이때, n은 홀수이므로 실근의 개수는 1이다.
(3n+1-1)이므로
=
;2!;
Ú, Û에서 an=
(k=1, 2, 3, y)
∴ a2k+1=1
∴
¦
n=2
2an
5n =
=
0 (n=2k)
[
1 (n=2k+1)
2a¢
5Ý
2a£
5Ü
+
+
`
+
2
5à`
`
+ y
2aª
5Û
2
5Ü
`
+
`
2
5Þ
`
;12@5;
1-
;2Á5;
+
+ y
2a°
5Þ
`
=
=
;6Á0;
;6Á0;
=
=
n=1
¦
n=1
n
n
-;2!;_{;9!;}
]
[;2#;_{;3!;}
¦
=
;2#;
n=1
{;3!;}
n
-
¦
n
;2!;
n=1
{;9!;}
=
_
;2#;
-
_
;2!;
;3!;
1-
;3!;
;9!;
1-
;9!;
=
-
=
;1!6!;
;1Á6;
;4#;
;1!6!;
0192
|전략| 등비수열 {an}의 첫째항이 a, 공비가 r(-11이므로
;r!;
;r!;
r-1
2 }
n
의 공비는
r-1
2
이고 -1<
<0이므로 수렴
r-1
2
ㄹ.
-1
{;2R;
}
n=1
n
의 공비는
;2R;
-1이고 -
<
-1<-
이므로
;2#;
;2R;
;2!;
반드시 수렴하는 것은 아니다.
따라서 반드시 수렴하는 것은 ㄱ, ㄷ이다.
ㄱ, ㄷ
0199
¦
n=1
r
1-r
등비급수
rn이 수렴하므로 -1
;2!;
∴-1+
1
1-r
>-
;2!;
따라서 그 합이 될 수 없는 것은 ① -1이다.
①
Û 등비급수
¦
n=1
5-x
3
{
}
n
의 공비가
5-x
3
이므로 수렴하려면
-1<
<1, -3<5-x<3, -8<-x<-2
¦
n=1
rn=-1+
1
1-r
=a라 하면
-1-
;2!;
∴ -1+
1
1-r
>-
;2!;
따라서 조건을 만족시키는 정수 x는 6, 7이므로 구하는 합은
6+7=13
13
a
O-1
-1
1
2-
1
r
2 급수 | 029
2ㅡ급수;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
0200
|전략| 2an+1=an-3을 an+1+3=
(an+3)으로 변형한다.
2an+1=an-3에서 an+1+3=
(an+3)
;2!;
;2!;
수열 {an+3}은 첫째항이 aÁ+3=-5+3=-2, 공비가
인 등비
;2!;
수열이므로
an+3=-2_
∴
(an+3)=
(-2)_
¦
n=1
n-1
{;2!;}
=-4
n-1
{;2!;}
¦
n=1
-2
=
1-
;2!;
0201
an+1=an+n+1의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼
리 더하면
aª=aÁ+1+1
a£=aª+2+1
a¢=a£+3+1
⋮
+
>³`
an=an-1+n-1+1
n-1
an=aÁ+
k+(n-1)
=1+
+n-1
k=1
n(n-1)
2
=
+n=
nÛ
`
-n
2
n(n+1)
2
∴
¦
n=1
1
an
n
k=1
1
ak
= lim
¦
n`
Ú
= lim
¦
Ú
n`
k=1
= lim
¦
n`
Ú
1
k+1 }
-
n
2
k=1
{;k!;
n
2
k(k+1)
= lim
¦
Ú
n`
2
[{
1-
;2!;}+{;2!;
;3!;}
-
+ y +
1
-
{;n!;
n+1 }]
= lim
¦
Ú
n`
2
1-
{
1
n+1 }
=2
채점 기준
❷
¦
n=1
1
an
❶ 일반항 an을 구할 수 있다.
의 합을 구할 수 있다.
… ❷
2
비율
50`%
50`%
0202
aÁ=1, aª=2, an+2=an+1+an이므로 임의의 자연수 n에 대하여
anæ¾n
이때, lim
¦
Ú
n`
an=¦이므로 lim
¦
Ú
n`
1
an
=0
an+2=an+1+an에서 an=an+2-an+1이므로
an
an+1 an+2
=
an+2-an+1
an+1 an+2
=
1
an+1
-
1
an+2
030 | I . 수열의 극한
1
a¢ }
+ y +
1
1
{
an+1 -
an+2 }]
③
①
0203
|전략| aÁ=SÁ, an=Sn-Sn-1(n¾2)임을 이용하여 일반항 an을 구한다.
∴
¦
n=1
an
an+1 an+2
n
1
ak+2 }
1
a£ -
1
k=1{
1
a2 -
¦[{
1
a2 -
¦{
= lim
¦
n`
Ú
= lim
n`
Ú
= lim
n`
Ú
1
a2
=
- lim
¦
n`
Ú
ak+1 -
1
a£ }+{
1
an+2 }
1
an+2
1
an+2
=
lim
¦
n`
Ú
;2!;
= lim
¦
n`
Ú
1
an
=0
Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=
;3!;
Û n¾æ2일 때,
an=Sn-Sn-1
=1-
{;3@;}
1-
[
{;3@;}
n
-
=-
_
;3@;
{;3@;}
n-1
+
{;3@;}
n-1
]
n-1
n-1
=
_
;3!;
{;3@;}
이때, aÁ=
은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
;3!;
an=
_
;3!;
{;3@;}
n-1
… ❶
∴ aÁ+a£+a°+ y=
+
_
;3!;
;3!;
{;3@;}
+
_
;3!;
{;3@;}
+ y
2`
4`
;3!;
=
1-
;9$;
=
;5#;
0204
수열 {an}의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 Sn이라 하면 Sn=nÛ
`
Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=1
Û n¾æ2일 때,
an =Sn-Sn-1=nÛ
-(n-1)Û
`
`
=2n-1
이때, aÁ=1은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
an=2n-1
¦
1
an an+1
∴
n=1
= lim
¦
n`
Ú
n
k=1
n
k=1
1
(2k-1)(2k+1)
1
2k+1 }
2k-1 -
{
;2!;
1
= lim
¦
Ú
n`
= lim
¦
Ú
n`
;2!;
[{
1-
;3!;}+{;3!;
;5!;}
-
+ y +
1
1
{
2n-1 -
2n+1 }]
= lim
¦
Ú
n`
;2!;
{
1-
1
2n+1 }
=
;2!;
;2!;
yy ㉠
①
yy ㉠
정답과 해설;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
0205
log (Sn+1)=n에서
Sn+1=10n
Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=9
∴ Sn=10n-1
Û n¾æ2일 때,
an =Sn-Sn-1=10n-1-(10n-1-1)
=9_10n-1
yy ㉠
이때, aÁ=9는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
an=9_10n-1
∴
+
+
+ y=
1
aÁ
1
aª
1
a£
¦
n=1
1
an
¦
n-1
=
;9!;_{;1Á0;}
n=1
=
;9!;
1-
;1Á0;
=
;8!1);
0209
=
;3¢3;
;9!9@;
=0.H1H2=0.121212y이므로
aÁ=1, aª=2, a£=1, a¢=2, y
∴
¦
n=1
an
2n =
+
;2!;
2
2Û
1
2Ü
2
2Ý
+
+
+
+
+ y
`
`
+2_
`
+2_
1
2Ü
`
=
;3$;
=2_
;2!;
= 1
1-
;4!;
2
2ß
`
+ y
1
2Þ
`
1
2Þ
`
0206
an+1=Sn+3
an=Sn-1+3
㉠-㉡을 하면
an+1-an=Sn-Sn-1=an
∴ an+1=2an (n¾2)
따라서 수열 {an}은 제 2 항부터 공비가 2인 등비수열이다.
한편, aÁ=SÁ이므로 ㉠에서
aª=SÁ+3=aÁ+3=6
∴ an=3_2n-1 (n¾2)
이때, aÁ=3은 ㉢에 n=1을 대입한 것과 같으므로
an=3_2n-1
∴
¦
n=1
1
an
¦
=
_
;3!;
{;2!;}
n=1
n-1
=
;3!;
=
;3@;
1-
;2!;
0207
|전략| 0.H4=
;9$;, 0.0H5=
;9°0;임을 이용한다.
0.H4=
, 0.0H5=
;9$;
=
;9°0;
;1Á8;
이므로 공비를 r라 하면
=
rÜ
`
;9$;
;1Á8;
, rÜ
=
`
;8!;
∴ r=
;2!;
따라서 구하는 등비급수의 합은
=
=0.H8
;9*;
;9$;
1-
;2!;
0208
공비가 0.H3=
=
이므로
;9#;
;3!;
¦
n=1
an=
aÁ
1-
;3!;
=0.H1H8,
aÁ=
;2#;
;9!9*;
∴ aÁ=
_
=
;3@;
;9!9*;
;9!9@;
=0.H1H2
0210
an은 7n+1을 5로 나누었을 때의 나머지이므로
aÁ=3, aª=0, a£=4, a¢=2,
a°=3, a¤=0, a¦=4, a¥=2, y
¦
∴
an
10n =
4
10Ü
=0.3+0+0.004+0.0002+0.00003+ y
+ y
3
10Þ
2
10Ý
0
10Û
;1£0;
+
+
+
+
n=1
`
`
`
`
=0.H304H2
②
0211
다.
|전략| a, b를 각각 선분의 길이의 합, 차로 나타낸 후 등비급수의 합을 이용한
;8!1);
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
a=OPÁÓ-PªP£Ó+P¢P°Ó-P¤P¦Ó+ y
=1-
+
-
{;4#;}
{;4#;}
+ y
{;4#;}
1
2`
=
1-
{-;1»6;}
=
4`
;2!5^;
6`
;3@;
b=PÁPªÓ-P£P¢Ó+P°P¤Ó-P¦P¥Ó+ y
=
-
;4#;
{;4#;}
+{;4#;}
-{;4#;}
+ y
3`
5`
7`
=
;4#;
1-
{-;1»6;}
=
;2!5@;
∴
=
a
b
=
;3$;
;2!5^;
;2!5@;
;3$;
;3$;
②
0212
점 Pn이 한없이 가까워지는 점의 좌표를 (x, y)라 하면
x=PÁPªÓ+P£P¢Ó+P°P¤Ó+ y
=
+
;3@;
{;3@;}
+{;3@;}
+ y=
3`
y=OPÁÓ+PªP£Ó+P¢P°Ó+ y
5`
;3@;
1-
;9$;
=
;5^;
=1+
+ y=
{;3@;}
+{;3@;}
2`
4`
1
1-
;9$;
=
;5(;
③
2 급수 | 031
2ㅡ급수;
;
;
;
;
;
;
따라서 점 Pn은 점
,
{;5^;
;5(;}
에 한없이 가까워진다.
{;5^;, ;5(;}
0213
점 Pn이 한없이 가까워지는 점의 좌표를 (x, y)라 하면
x=OPÁÓ cos 30ù-PÁPªÓ cos 30ù+PªP£Ó cos 30ù- y
3
=1_ '
2
-
;2!;
3
_ '
2
+
{;2!;}
3
_ '
2
- y
2`
3
'
2
=
1-
{-;2!;}
3
= '
3
y=OPÁÓ sin 30ù+PÁPªÓ sin 30ù+PªP£Ó sin 30ù+ y
=1_
+
_
;2!;
;2!;
;2!;
+
{;2!;}
_
+ y
;2!;
;2!;
=
=1
1-
;2!;
2`
}
0214
높이의 두 배를 해야 한다.
따라서 점 Pn은 점
{
3
'
3
, 1
에 한없이 가까워진다.
{
3
3 , 1
'
}
|전략| 두 번째부터는 공이 튀어 올랐다가 떨어지므로 공이 움직인 거리는 공의
5 m
2
5_ m
3
5_
2
3
{
}
m
5_
2
3
{
}
m
…
지할 때까지 움직인 거리는
5+2
5_
+5_
[
;3@;
{;3@;}
+5_
{;3@;}
+ y
]
2`
3`
=5+2_
=5+20=25 (m)
②
:Á3¼:
1-
;3@;
0215
lÁ=30_
+1=21이고
;3@;
ln+1=
ln+1(n=1, 2, 3, y)이므로
;3@;
ln+1-3=
(ln-3)
;3@;
0216
추가 n번째 움직인 거리를 ln`cm라 하면
lÁ=60이고 ln+1=
ln (n=1, 2, 3, y)
;1»0;
즉, 수열 {ln}은 첫째항이 60, 공비가
인 등비수열이므로
;1»0;
¦
n=1
ln=
60
1-
;1»0;
=600
따라서 추가 정지할 때까지 움직인 거리는 600`cm이다. 600`cm
0217
3
|전략| 첫째항이 1, 공비가 '
2
∠POPÁ=∠PPÁPª=∠PÁPªP£=y=30ù이므로
임을 구한 후 등비급수의 합을 이용한다.
PPÁÓ=OPÓ sin 30ù=2_
=1
;2!;
3
PÁPªÓ=PPÁÓ cos 30ù=1_ '
2
3
= '
2
3
PªP£Ó=PÁPªÓ cos 30ù= '
2
3
_ '
2
=
{
3
'
2 }
⋮
3
∴ PPÁÓ+PÁPªÓ+PªP£Ó+ y=1+ '
2
+
{
+ y
=
2`
3
'
2 }
2
2-
2`
3
'
1
=
3
1- '
2
3
'
=4+2
4+2
3
'
0218
△AnBnCn과 △An+1Bn+1Cn+1은 닮음비가 2：1이므로
따라서 수열 {an}은 첫째항이 1, 공비가
인 등비수열이므로
;2!;
¦
n=1
an=
1
=2
1-
;2!;
0219
오른쪽 그림에서
AnBnÓ=ln, An+1Bn+1Ó=ln+1이라 하면
△AnBnC, △An+1Bn+1C가 직각이등
변삼각형이므로 An+1CÓ=ln+1이고
AnCÓ：AnBnÓ=
'
(ln+ln+1)：ln=
2：1
2：1
'
∴ ln+1=(
2-1)ln, l¼=ABÓ=2
'
2
Bn+1
B
n
C
n+1
l
A n+1
l
n+1
l
n
A
n
nl
위의 그림과 같이 높이가 5 m인 곳에서 수직으로 떨어뜨린 공이 정
aÁ=2_
=1이고 an+1=
an (n=1, 2, 3, y)
;2!;
;2!;
따라서 수열 {ln-3}은 첫째항이 lÁ-3=21-3=18, 공비가
인
;3@;
따라서 ln=2_(
2-1)n(n=0, 1, 2, y)이므로
'
등비수열이므로
ln-3=18_
∴
(ln-3)=
=54
54
n-1
{;3@;}
¦
n=1
18
1-
;3@;
ABÓ+AÁBÁÓ+AªBªÓ+ y=
=
¦
¦
ln=
n=0
n=0
2_(
2-1)n
'
2
2-1)
=2+
2
'
1-(
'
2+
2
'
032 | I . 수열의 극한
정답과 해설Ü
Û
;
;
;
;
;
…
S£
Sª
2
1
SÁ
1
2
1
2{ }
…
Sª
S£
2
0220
|전략| S=SÁ+2Sª+2S£+ y임을 이용한다.
SÁ=1_1=1
Sª=
_
=
;2!;
;2!;
{;2!;}
{;2!;}
_{;2!;}
2`
={;2!;}
2`
2`
4`
S£=
⋮
따라서 모든 정사각형의 넓이의 합 S는
S=SÁ+2Sª+2S£+ …
=1Û
+2
`
+
[{;2!;}
{;2!;}
+ …
]
2`
;4!;
4`
=
;3%;
1-
;4!;
=1+2_
∴ 6S=10
0221
오른쪽 그림과 같이 n번째 정사각형의 한 변의
길이를 an이라 하면
aÁ=1이고
'
an=
{
n-1
1
2 }
'
2an+1=an, 즉 an+1=
an이므로
1
2
'
(n=1, 2, 3, y)
이때, 색칠한 부분의 넓이는
p
4
anÛ`-
anÛ`=
;2!;
p
4
{
-
anÛ`
;2!;}
따라서 구하는 넓이의 합은
¦
n=1
p
4
{
-
;2!;}
anÛ`=
¦
p
4
{
-
;2!;}
_
n-1
n=1
p
4
{
-
_
;2!;}
{;2!;}
1
1-
;2!;
=
=
-1
p
2
-1
p
2
0222
선분 AnBn 위에 빗변이 놓여 있는 직각이등변삼각형의 넓이의 합을
Sn이라 하면
SÁ=
_2_1=1
;2!;
;2!;
Sª=
_1_
_2=
;2!;
;2!;
S£=
_
_
;2!;
;2!;
;4!;
_4=
;4!;
⋮
¦
n=1
따라서 구하는 넓이의 합은
Sn=1+
+
+ y=
;2!;
;4!;
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
0223
가 f(n)임을 이용한다.
`
나머지가 15이므로
유형 01 부분분수를 이용하는 급수
|전략| f(x)=anxÛ`+anx+5로 놓고 f(x)를 x-n으로 나누었을 때의 나머지
f(x)=anxÛ
+anx+5로 놓으면 f(x)를 x-n으로 나누었을 때의
f(n)=annÛ
∴ an=
+ann+5=15, (nÛ
`
10
n(n+1)
`
+n)an=10
이때, 제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면
Sn=
n
k=1
10
k(k+1)
n
=10
-
{;k!;
k=1
1
k+1 }
2ㅡ
급
수
=10
1-
[{
;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}
+ y +
-
{;n!;
n+1 }]
1
10
=10
1-
{
1
n+1 }
∴
¦
n=1
an= lim
¦
n`
Ú
Sn= lim
¦
n`
Ú
10
1-
{
1
n+1 }
=10
①
na
0224
n+1a
2
n+1a
=
na
유형 02 로그를 포함한 급수
|전략| 로그의 성질을 이용하여 an을 변형하면 an=log£ (n+1)(n+3)
(n+2)(n+2)
이다.
an=log£
-log£
=log£
n+2
n+1
(n+1)(n+3)
(n+2)(n+2)
n+3
n+2
n
Sn=
이때, 제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면
(k+1)(k+3)
(k+2)(k+2)
3_5
4_4
2_4
3_3
=log£
+log£
+log£
log£
k=1
4_6
5_5
+ y +log£
(n+1)(n+3)
(n+2)(n+2)
3_5
4_4 _
4_6
5_5 _
y
_
(n+1)(n+3)
(n+2)(n+2) ]
=log£
[
=log£
2_4
3_3 _
2(n+3)
3(n+2)
∴
¦
n=1
an= lim
¦
n`
Ú
Sn= lim
¦
Ú
n`
log£
2(n+3)
3(n+2)
=log£
=log£ 2-1
;3@;
①
다른 풀이 an=log£
-log£
n+3
n+2
n+2
n+1 에서 제 n 항까지의 부분합을 Sn
이라 하면
n
Sn=
log£
{
k=1
k+3
k+2
-log£
k+2
k+1 }
=
log£
-log£
+
log£
-log£
;2#;}
{
;4%;
{
;3$;
;3$;}
+ y +
log£
{
n+3
n+2
-log£
n+2
n+1 }
1
=2
1-
;2!;
=-log£
+log£
;2#;
n+3
n+2
2
∴
¦
n=1
an= lim
¦
Ú
n`
=-log£
;2#;
n`
-log£
Sn= lim
Ú
+log£ 1=log£ 2-1
+log£
¦{
;2#;
n+3
n+2 }
2 급수 | 033
Û
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
0225
이용한다.
유형 04 급수와 수열의 극한값 사이의 관계
|전략| an-
=cn, an+2bn=dn으로 놓고 lim
n Ö ¦
cn=0, lim
n Ö ¦
dn=0임을
2n
n+1
급수
¦
n=1{
an-
2n
n+1 }
이 수렴하므로 lim
Ú
n`
¦{
an-
2n
n+1 }
=0
이때, an-
=cn으로 놓으면
0228
유형 09 귀납적으로 정의된 수열의 급수
|전략| 수열 {an}의 일반항을 구하여 bÁ, bª, b£, b¢, y를 차례로 구한다.
수열 {an}은 첫째항이 1, 공비가 2인 등비수열이므로
an=1_2n-1=2n-1
an을 3으로 나누었을 때의 나머지가 bn이므로
{an}：1, 2, 4, 8, 16, 32, y
{bn}：1, 2, 1, 2, 1, 2, y
an=cn+
cn=0이므로
즉, 수열 {bn}은 1, 2가 이 순서대로 반복되는 수열이다.
2n
n+1
2n
n+1
, lim
¦
n`
Ú
cn+
lim
¦
n`
Ú
또, 급수
2n
n+1 }
¦{
=0+2=2
an= lim
n`
Ú
(an+2bn)이 수렴하므로 lim
¦
Ú
n=1
n`
¦
이때, an+2bn=dn으로 놓으면
(an+2bn)=0
bn=-
an+
;2!;
;2!;
dn=0이므로
dn, lim
¦
n`
Ú
an+
-
;2!;
2+3
-1+2
=5
lim
¦
n`
Ú
∴ lim
¦
n`
Ú
¦{
bn= lim
n`
Ú
an+3
bn+2
=
dn}
;2!;
;2!;
=-
_2+0=-1
0226
유형 05 급수의 성질
|전략| 2an-5와 2bn+5의 합에서 상수항이 소거됨을 이용한다.
두 급수
(2an-5),
(2bn+5)가 모두 수렴하므로
¦
n=1
¦
n=1
¦
n=1
¦
n=1
(2an-5)+
(2bn+5)=
{(2an-5)+(2bn+5)}
=
(2an+2bn)=2
(an+bn)
¦
n=1
¦
n=1
¦
n=1
=380
∴
(an+bn)=190
¦
n=1
0227
유형 07 합이 주어진 등비급수
|전략| 등비수열 {an}의 공비가 r이면 수열 {a3n-1}, {a3n}의 공비는 rÜ`이다.
첫째항이 2인 등비수열 {an}의 공비를 r라 하면
¦
an=6에서
=6
∴ r=
2
1-r
n=1
수열 {a3n-1}은 첫째항이 aª=2r=
, 공비가 rÜ
=
인 등비수열
`
;2¥7;
이고, 수열 {a3n}은 첫째항이 a£=2rÛ
=
, 공비가 rÜ
=
인 등비
`
;9*;
`
;2¥7;
;3@;
;3$;
수열이다.
∴
(a£n-1-a3n)=
a3n-1-
a3n
¦
n=1
¦
n=1
¦
n=1
③
∴
¦
n=1{
bn
n
=
5 }
+
;5!;
=
{;5@;}
+{;5!;}
+{;5@;}
2`
[;5!;+{;5!;}
3`
+{;5!;}
4`
+ y
]
+ y
3`
5`
+
[{;5@;}
+{;5@;}
2`
+ y
]
+{;5@;}
6`
4`
=
;5!;
;2¢5;
+
1-
;2Á5;
1-
;2Á5;
=
+
=
;6!;
;8#;
;2°4;
⑤
따라서 S=
이므로 16S=16_
=6
;¶8#;
;¶8#;
0229
유형 09 귀납적으로 정의된 수열의 급수
+ 10 Sn과 an 사이의 관계를 이용하는 급수
|전략| Sn+1=
Sn+1을 Sn+1-2=
(Sn-2)로 변형한다.
;2!;
Sn+1=
Sn+1에서 Sn+1-2=
(Sn-2)
;2!;
;2!;
;2!;
수열 {Sn-2}는 첫째항이 SÁ-2=10-2=8, 공비가
인 등비수
;2!;
열이므로
Sn-2=8_
∴ Sn=8_
n-1
{;2!;}
n-1
+2
{;2!;}
④
an=Sn-Sn-1
n-1
n-2
=8_
{;2!;}
+2-
8_
[
{;2!;}
+2
]
=8_
{;2!;}
n-1
-8_
n-2
{;2!;}
=-4_
{;2!;}
n-2
(n¾æ2)
∴ aª+a¢+a¤+ y=-4+
-4_
[
{;2!;}
]+[
{;2!;}
]
-4_
+ y
=
-4
1-
;4!;
2`
=-
:Á3¤:
4`
①
0230
유형 11 순환소수와 등비급수
|전략|
=0.H12H3임을 이용한다.
;9!9@9#;
=
;3$;
-
;9*;
1-
;2¥7;
1-
;2¥7;
=
;1!9@;
②
;9!9@9#;
=0.H12H3=0.123123123y이므로
aÁ=1, aª=2, a£=3, a¢=1, a°=2, a¤=3, y
034 | I . 수열의 극한
정답과 해설;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
∴
¦
n=1
an
3n =
+
;3!;
2
3Û
=
+
{;3!;
+
+
+
+
+ y
3
3Ü
`
+ y
1
3Ý
`
+2
}
{
`
2
3Þ
1
3Û
`
`
1
3Ý
`
`
3
3ß
1
3Þ
`
+
+ y
}
+3
{
+
+ y
}
1
3Ü
`
1
3ß
`
오른쪽 그림에서 PQÓ∥BCÓ이면 △APQ와
△ABC는 서로 닮음이다.
⑴ APÓ`:`ABÓ=AQÓ`:`ACÓ=PQÓ`:`BCÓ
⑵ APÓ`:`PBÓ=AQÓ`:`QCÓ
⑶ ABÓ`:`BPÓ=ACÓ`:`CQÓ
A
P
Q
B
C
=
+2_
+3_
;3!;
;9!;
1-;2Á7;
1-;2Á7;
;2Á7;
1-;2Á7;
=
+
+
=
;1»3;
;2£6;
;2¤
§6;
;2»6;
0233
⑤
OAnÓ=
1
4n-1 이고 AnBnÓ은 점 An{
1
4n-1 , 0
}
과 직선 3x+4y=0 사
x-2=0에서 x=2
-1<3x-2É1에서 1<3xÉ3
유형 08 등비급수의 수렴 조건
|전략| 등비수열 {arn-1}의 수렴 조건은 a=0 또는 -1-1에서 xÛ
-x+2>0
`
이때, xÛ
-x+2=
x-
{
+
>0
;4&;
;2!;}
`
따라서 모든 실수 x에 대하여 성립한다. yy ㉢
2`
xÛ
-x+1<1에서 xÛ
-x<0, x(x-1)<0
`
yy ㉣
④
∴ 0-
에서연속이므로x=0에서도연속이다.
;3!;
즉,lim
x` Ö 0
`f(x)=f(0)이므로
`
f(0)=lim
x` Ö 0
ln(3x+1)
ex-1
=lim
`
x` Ö 0
ln(3x+1)
3x
_
x
ex-1
_3
=1_1_3=3
3
함수f(x)g(x)가열린구간
-
,¦
에서연속이므로x=0에서
{
;2!;
}
0325
f(x)=x+a(a는상수)로놓으면f(0)=a이므로
f(0)g(0)=6a
(
∴`f(x)g(x)=
{
9
x(x+a)
ln (1+2x)
(x+0)
6a
(x=0)
도연속이다.
즉,lim
x` Ö 0
`f(x)g(x)=f(0)g(0)이므로
`
lim
x` Ö 0
x(x+a)
ln (1+2x)
=lim
`
x` Ö 0
2x
ln (1+2x)
_(x+a)_
;2!;
=1_a_
=
;2!;
;2!;
a=6a
11a=0
∴ a=0
`
=lim
h` Ö 0
`f(1-h)-f(1)-{`f(1+h)-f(1)}
h
`
=lim
h` Ö 0
`f(1-h)-f(1)
-h
_(-1)-lim
`
h` Ö 0
`f(1+h)-f(1)
h
=-f'(1)-f'(1)=-2f'(1)
이때,f(x)=5_3x+1=5_3_3x=15_3x에서
`f'(x)=15_3xln3
∴-2f'(1)=-2_15_3_ln3=-90ln3
-90 ln 3
미분계수의 정의
함수 f(x)의 x=a에서의 미분계수는
`
`f '(a)=lim
h` Ö 0
`f(a+h)-f(a)
h
`
=lim
x` Ö a
`f(x)-f(a)
x-a
|전략| y=ln x일 때, y '=
;[!;임을 이용한다.
`f'(x)=3xÛ`lnx+xÜ`_
=xÛ`(3lnx+1)
;[!;
∴f'(e)=4eÛ`
⑤
따라서f(x)=x이므로f(4)=4
4
y=ln2x=ln2+lnx이므로y'=
;[!;
0326
|전략| y=ex일 때, y'=ex임을 이용한다.
`f(x)=(x+a)ex+b=(x+a)eb_ex이므로
`f'(x)=eb_ex+(x+a)eb_ex
=ex+b(x+a+1)
`f'(0)=0에서eb(a+1)=0
∴a=-1(∵eb+0)
`f'(-1)=-1에서-eb-1=-1
b-1=0
∴ b=1
∴a+b=-1+1=0
0327
`f(x)=2x+1=2_2x이므로
`f'(x)=2_2xln2=2x+1ln2
이때,x=1에서의미분계수가aln2이므로
`f'(1)=4ln2=aln2
∴a=4
이때,함수y=ln2x의그래프위의점
,1
에서의접선의기울기
는x=
에서의미분계수와같으므로
;2E;
;e@;
{;2E;
}
1
;2E;
=
;e@;
접선의 기울기와 미분계수의 관계
함수 f(x)가 미분가능할 때, 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선
의 기울기는 x=a에서의 미분계수 f '(a)와 같다.
①
`f(x)=xÜ`log¢8x=xÜ`(log¢8+log¢x)=xÜ`
+log¢x
{;2#;
이므로
}
`f'(x)=3xÛ`
+log¢x
+xÜ`_
{;2#;
}
1
xln4
=
xÛ`+3xÛ`log¢x+
;2(;
;2(;
xÛ`
ln4
4
ln4
f'(2)=
_4+12log¢2+
=18+6+
=24+
2
ln2
2
ln2
이므로a=24,b=2
②
∴a+b=24+2=26
26
3 지수함수와 로그함수의 미분 | 045
0329
0330
0331
3ㅡ지수함수와로그함수의 미분 정답과 해설
0332
`
lim
h` Ö 0
`f(1+2h)-f(1-h)
h
`
=lim
h` Ö 0
{`f(1+2h)-f(1)}-{`f(1-h)-f(1)}
h
`
=lim
h` Ö 0
`f(1+2h)-f(1)
2h
_2+lim
`
h` Ö 0
`f(1-h)-f(1)
-h
=2f'(1)+f'(1)=3f'(1)
이때,f(x)=xÛ`+xlnx에서
`f'(x)=2x+1_lnx+x_
;[!;
=2x+lnx+1
∴3f'(1)=3_(2+ln1+1)=9
④
e+a=1+a+b
∴b=e-1
또,f'(1)이존재하므로
`f'(x)=
에서 lim
x` Ö 1+
e=2+a
(x>1)
ex`
[
2x+a (x<1)
`ex= lim
`(2x+a)
x` Ö 1-
∴a=e-2
∴a-b=(e-2)-(e-1)=-1
②
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
0336
|전략| 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하므로 x=1에서 연속이고 f '(1)이 존
유형 02 로그함수의 극한
함수f(x)가x=1에서미분가능하므로x=1에서연속이다.
`(bxÛ`+3)=f(1)이므로
|전략| ;[!;
=t로 놓고 lim
`log° t=¦임을 이용한다.
=t로놓으면x
0+일때t
¦이므로
;[!;
Ú
t` Ö ¦
Ú
yy㉠
lim
x` Ö 0+
`
`f(x)
g(x)
= lim
`
x` Ö 0+
`
=lim
t` Ö ¦
log°2t
log° (3t+1)
x>1일 때
`f(x)=ln ax=ln a+ln x이므로
`f '(x)=
;[!;
`
=lim
t` Ö ¦
log£
;[@;
log°
+1
}
{;[#;
log°t+log°2
log° t+log°
{
3+
;t!;}
1+
log°
log°2
log°t
3+
{
log°t
;t!;}
1+
`
=lim
t` Ö ¦
=
=1
;1!;
③
⑤
0337
0334
함수f(x)가x=2에서미분가능하므로x=2에서연속이다.
즉, lim
x` Ö 2+
`(axÛ`-3x-1)= lim
x` Ö 2-
`(ex-2+b)=f(2)이므로
4a-7=1+b
∴b=4a-8
yy㉠
유형 04 lim
`
x` Ö ¦
{
1+
x
=e를 이용한 함수의 극한
;[!;}
|전략| lim
`
x` Ö ¦
1+
{
;aÁ[;}
ax
=e임을 이용한다.
ㄱ.lim
x` Ö ¦
`f(x)=lim
{
x` Ö ¦
x-1
x
x }
=lim
x` Ö ¦
{
1-
;[!;}
x
=lim
[{
x` Ö ¦
1-
;[!;}
-1
-x
]
=e-1=
(참)
;e!;
ㄴ. f(x-1)=
x-1
x-2
x-1 }
{
=
1-
{
x-1
1
x-1}
x-1=t로놓으면x
¦일때t
¦이므로
lim
x` Ö ¦
`f(x-1)=lim
{
x` Ö ¦
1-
Ú
Ú
x-1
1
x-1}
=lim
{
t` Ö ¦
1-
;t!;}
t
0333
재한다.
`lnax= lim
x` Ö 1-
즉, lim
x` Ö 1+
lna=b+3
또,f'(1)이존재하므로
`f'(x)=(
{
9
(x>1)
;[!;
2bx (x<1)
에서 lim
x` Ö 1+
`
= lim
x` Ö 1-
;[!;
`2bx
1=2b
∴b=
;2!;
b=
을㉠에대입하면lna=
;2!;
;2&;
∴lna+b=
+
;2&;
;2!;
=4
또,f'(2)가존재하므로
f'(x)=
2ax-3 (x>æ2)
[
ex-2
(x<2)
에서 lim
x` Ö 2+
4a-3=1
`(2ax-3)= lim
x` Ö 2-
`ex-2
∴a=1
a=1을㉠에대입하면b=-4
∴aÛ`+bÛ`=1Û`+(-4)Û`=17
046 | II. 여러 가지 함수의 미분
⑤
-t
-1
=lim
[{
t` Ö ¦
1-
;t!;}
]
0335
함수f(x)가모든실수x에서미분가능하면x=1에서도미분가능하
=e-1=
;e!;
므로x=1에서연속이다.
`(ex+a)= lim
즉, lim
x` Ö 1+
x` Ö 1-
`(xÛ`+ax+b)=f(1)이므로
∴lim
x` Ö ¦
`f(x)f(x-1)=lim
x` Ö ¦
`f(x)_lim
x` Ö ¦
`f(x-1)
=
_
=
;e!;
;e!;
1
eÛ`
(참)
ㄷ.k¾æ2에서x
¦일때kx
¦이므로
lim
x` Ö ¦
`f(kx)=lim
{
x` Ö ¦
Ú`
Ú`
kx
kx-1
kx }
=lim
[{
x` Ö ¦
1-
-1
1
kx }
-kx
]
=e-1=
(거짓)
;e!;
따라서옳은것은ㄱ,ㄴ이다.
0338
유형 05 lim
`
x` Ö 0
ln (1+x)
x
|전략| lim
`
x` Ö 0
ln (1+ax)
ax
=1을 이용한 함수의 극한
=1임을 이용한다.
`
lim
x` Ö 0
ln(1+5x)+7x
2x
=lim
x` Ö 0
`
[
ln(1+5x)
2x
+
;2&;]
`
=lim
x` Ö 0
ln(1+5x)
5x
[
_
+
;2%;
;2&;]
=1_
+
;2%;
;2&;
=6
④
다른 풀이 5x=t로 놓으면 x
0이므로
lim
`
x` Ö 0
ln(1+5x)+7x
2x
=lim
`
x` Ö 0
[
=lim
t` Ö 0
0일 때 t
Ú
ln(1+5x)
2x
Ú
+
ln(1+t)
+
;2&;
t
;5@;
;2&;]
(
{
9
+
`(
{
9
[
=lim
`
t` Ö 0
ln(1+t)
t
_
;2%;
;2&;]
=1_
+
;2%;
;2&;
=6
0339
유형 06 lim
`
x` Ö 0
=1을 이용한 함수의 극한
ex-1
x
eax-1
ax
|전략| lim
`
x` Ö 0
=1임을 이용한다.
`
lim
x` Ö 0
e3x+9x-1
x
=lim
x` Ö 0
`
{
+9
}
e3x-1
x
e3x-1
3x
`
=lim
x` Ö 0
{
_3+9
}
=1_3+9=12
0340
ex-1
유형 06 lim
`
x
x` Ö 0
ax-1
x
eax-1
ax
|전략| lim
`
+ 08 lim
`
x` Ö 0
x` Ö 0
=1을 이용한 함수의 극한
=ln a를 이용한 함수의 극한
=1, lim
`
x` Ö 0
bx-1
x
=ln b임을 이용한다.
`
lim
x` Ö 0
e2x-1
27x-1
=lim
`
x` Ö 0
e2x-1
2x
_
x
27x-1
_2
=1_
_2=
1
ln27
2
3ln3
0341
유형 09 지수함수와 로그함수의 극한 - 미정계수의 결정
|전략| x
0일 때 (분자)
0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로 (분모)
0
Ú
Ú
임을 이용한다.
x
0일때(분자)
0이고0이아닌극한값이존재하므로
Ú
Ú
Ú
(분모)
즉,lim
x` Ö 0
0이다.
Ú
`(bx-c)=0이므로c=0
c=0을주어진식에대입하면
③
`
lim
x` Ö 0
ln(1+ax)
bx
=lim
`
x` Ö 0
ln(1+ax)
ax
_
=1_
;bA;
=
;bA;
;bA;
∴
=10
;bA;
∴
+c=10+0=10
;bA;
0342
유형 10 극한의 변형
|전략| g(x)Éf(x)Éh(x)이고 lim
lim
x` Ö a
`f(x)=a이다.
x` Ö a
④
`g(x)=lim
x` Ö a
`h(x)=a(a는 실수)이면
Ú-10일때,주어진부등식의각변을x로나누면
ln(1+x)
x
É
`f(x)
x
É
e2x-1
2x
`
이때,lim
x` Ö 0+
ln(1+x)
x
=1,lim
`
x` Ö 0+
e2x-1
2x
=1이므로
`
lim
x` Ö 0+
`f(x)
x
=1
Ú,Û에서lim
x` Ö 0
`
`f(x)
x
=1
∴lim
x` Ö 0
`
`f(ex)
x
=lim
`
x` Ö 0
`f(ex)
ex
_e=e
②
yy ㉠
②
다른 풀이 ln(1+x)Éf(x)É
(e2x-1)에서
;2!;
ln (1+ex)É f(ex)É
(e2ex-1)
;2!;
Ú -10일 때, 부등식 ㉠의 각 변을 ex로 나누면
⑤
ln(1+ex)
ex
É
`f(ex)
ex
É
e2ex-1
2ex
3 지수함수와 로그함수의 미분 | 047
3ㅡ지수함수와로그함수의 미분 1+3a=b
㉠,㉡을연립하여풀면a=-
,b=-
;2!;
;2!;
∴a+b=-
+
-
{
;2!;
;2!;}
=-1
yy㉡
②
㉠에서x
0+일때(분모)
0이고극한값이존재하므로
yy㉠
0346
유형 12 지수함수와 로그함수의 연속
|전략| lim
`f(x)=lim
x` Ö 0+
x` Ö 0-
`f(x)=f(0)임을 이용한다.
함수`f(x)가x=0에서연속이므로
`f(x)= lim
x` Ö 0-
lim
x` Ö 0+
이때,f(0)=6이므로
`f(x)=f(0)
`
lim
x` Ö 0+
ln (a+x)
ebx-1
=6
Ú
0이다.
Ú
`ln(a+x)=0이므로
Ú
(분자)
즉,lim
x` Ö 0+
lna=0
∴a=1
a=1을㉠에대입하면
`
lim
x` Ö 0+
ln (1+x)
ebx-1
`
= lim
x` Ö 0+
ln (1+x)
x
_
bx
ebx-1
_
;b!;
=1_1_
=6
;b!;
이때, lim
`
x` Ö 0+
ln(1+ex)
ex
=1, lim
`
x` Ö 0+
e2ex-1
2ex
=1이므로
lim
`
x` Ö 0+
`f(ex)
ex
=1
∴
lim
`
x` Ö 0+
`f(ex)
x
=e
Ú, Û에서 lim
`
x` Ö 0
`f(ex)
x
=e
0343
유형 11 지수함수와 로그함수의 극한 - 도형에의 활용
|전략| PQÓ를 a에 대한 식으로 나타낸 후 극한값을 구한다.
두점P,Q의좌표는P(a,4a),Q(a,3a)이므로PQÓ=4a-3a
`
∴lim
a` Ö 0+
PQÓ
a
= lim
a` Ö 0+
`
4a-3a
a
`
= lim
a` Ö 0+
`
= lim
a` Ö 0+
(4a-1)-(3a-1)
a
4a-1
a
- lim
a` Ö 0+
`
3a-1
a
=ln4-ln3=ln
;3$;
①
0344
유형 14 로그함수의 도함수
`f(a+h)-f(a)
h
|전략| lim
`
h` Ö 0
`
lim
h` Ö 0
`f(1+3h)-f(1-h)
h
=f '(a)임을 이용한다.
`
=lim
h` Ö 0
{f(1+3h)-f(1)}-{f(1-h)-f(1)}
h
`
=lim
h` Ö 0
`f(1+3h)-f(1)
3h
_3+lim
`
h` Ö 0
`f(1-h)-f(1)
-h
=3f'(1)+f'(1)=4f'(1)
한편,f(x)=xÜ`-xÛ`lnx에서
`f'(x)=3xÛ`-
2x_lnx+xÛ`_
{
;[!;}
=3xÛ`-2xlnx-x
∴4f'(1)=4_(3-2ln1-1)=8
∴b=
;6!;
∴
=1_6=6
;bA;
채점 기준
❶ a의 값을 구할 수 있다.
❷ b의 값을 구할 수 있다.
❸ ;bA;의 값을 구할 수 있다.
④
0347
유형 14 로그함수의 도함수
0345
재한다.
유형 15 지수함수와 로그함수의 도함수 - 미분가능성
|전략| 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하므로 x=1에서 연속이고 f '(1)이 존
함수f(x)가x=1에서미분가능하므로x=1에서연속이다.
`(lnx+axÜ`)= lim
x` Ö 1-
`bex-1=f(1)이므로
즉, lim
x` Ö 1+
ln`1+a=b
∴ b=a
|전략| y=loga x(a>0, a+1)이면 y '=
임을 이용한다.
1
x ln a
삼각형PAQ의넓이S(t)는
S(t)=
_OQÓ_PQÓ=
_t_logªt
;2!;
S'(t)=
1_logªt+t_
1
t ln2 }
;2!;
;2!;{
yy㉠
=
;2!;{
logªt+
ln2 }
1
∴S'(16)=
logª16+
;2!;{
1
ln2 }
=
;2!;{
4+
1
ln2 }
=2+
1
2 ln2
… ❸
1
2 ln2
2+
또,f'(1)이존재하므로
+3axÛ` (x>1)
```bex-1
(x<1)
`f'(x)=
;[!;
(
{
9
`
에서lim
x` Ö 1+
{;[!;
+3axÛ`
= lim
x` Ö 1-
}
`bex-1
048 | II. 여러 가지 함수의 미분
… ❶
… ❷
… ❸
6
배점
3점
3점
1점
… ❶
… ❷
정답과 해설 채점 기준
❶ S(t)를 t에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
❷ S'(t)를 구할 수 있다.
❸ S'(16)의 값을 구할 수 있다.
배점
2점
2점
2점
점 P가 점 A(-1, 0)에 한없이 가까워질 때 t
-1-이므로
Ú
PQÓ
lim
AQÓ
t` Ö -1-
ln tÛ`
= lim
-1-t
t` Ö -1-
2 ln (-t)
= lim
-1-t
t` Ö -1-
(∵ t<-1)
이때, t+1=h로 놓으면 t
-1-일 때 h
0-이므로
2 ln (-t)
lim
-1-t
t` Ö -1-
Ú
2 ln (1-h)
= lim
-h
h` Ö 0-
=2
Ú
③
유형 09 지수함수와 로그함수의 극한 - 미정계수의 결정
+ 13 지수함수의 도함수
|전략|x
2일 때 (분모)
0이고 극한값이 존재하므로 (분자)
0임을
Ú
0350
⑴ x
2일 때 (분모)
0이고 극한값이 존재하므로 (분자)
0
Ú
Ú
Ú
0348
Ú
이용한다.
Ú
이다.
즉, lim
x` Ö 2
lim
x` Ö 2
∴ a=1
`{`f(x)-2}=0이므로
`(2x-ax-2)=4-2a-2=0
`
⑵ lim
x` Ö 2
`f(x)-2
xÛ`-4
=lim
`
x` Ö 2
`f(x)-f(2)
(x-2)(x+2)
`
=lim
x` Ö 2
`f(x)-f(2)
x-2
_
1
x+2
=
f '(2)=b
;4!;
f(x)=2x-x에서 f '(x)=2x ln 2-1이므로
|전략| lim
`
x` Ö 0
ln (1+ax)
ax
=1임을 이용한다.
An=lim
x` Ö 0
`
;[!;
ln (1+x)(1+2x)(1+3x)`y`(1+nx)
=lim
x` Ö 0
`
;[!;
{ln (1+x)+ln (1+2x)+ln (1+3x)`
+`y`+ln (1+nx)}
=lim
x` Ö 0
`
ln (1+x)
x
`
+lim
x` Ö 0
ln (1+2x)
2x
_2
`
+lim
x` Ö 0
ln (1+3x)
3x
_3+`y`+lim
`
x` Ö 0
ln (1+nx)
nx
_n
=1+2+3+ y +n
=
n(n+1)
2
f '(2)=4 ln 2-1
∴ b=
_(4 ln 2-1)=ln 2-
;4!;
;4!;
Bn=lim
x` Ö 0
`
;[!;
ln (1+x)(1+3x)(1+5x)`y`{1+(2n-1)x}
⑶ a+b=1+
ln 2-
{
=
+ln 2
;4!;}
;4#;
채점 기준
⑴ a의 값을 구할 수 있다.
⑵ b의 값을 구할 수 있다.
⑶ a+b의 값을 구할 수 있다.
⑴ 1 ⑵ ln 2-
;4!; ⑶ ;4#;
+ln 2
배점
4점
6점
2점
=lim
x` Ö 0
`
;[!; [ln (1+x)+ln (1+3x)+ln (1+5x)`
+`y`+ln {1+(2n-1)x}]
=lim
x` Ö 0
`
ln (1+x)
x
`
+lim
x` Ö 0
ln (1+3x)
3x
`
_3+lim
x` Ö 0
ln (1+5x)
5x
_5
`
+`y`+lim
x` Ö 0
ln {1+(2n-1)x}
(2n-1)x
_(2n-1)
창의·융합 교과서 속 심화문제
0349
|전략| 점 P의 좌표를 (t, ln tÛ`)이라 하고, 점 P가 제 2 사분면 위의 점임을 이용
하여 t의 값의 범위를 구한다.
점 P가 제 2 사분면 위의 점이므로
t<0, ln tÛ`>0에서 t<0이고 tÛ`>1
t<0이고 (t-1)(t+1)>0
∴ t<-1
∴ PQÓ=ln tÛ`, AQÓ=-1-t
점 P의 좌표를 (t, ln tÛ`)이라 하면 점 Q의 좌표는 Q(t, 0)
|전략| 곡선 y=f(x) 위의 점과 직선 y=2x 사이의 거리를 이용하여 dk를 구한
=1+3+5+ y +(2n-1)
=
n{1+(2n-1)}
2
=nÛ`
`
∴ lim
n` Ö ¦
`
=lim
n` Ö ¦
An
Bn
n(n+1)
2
nÛ`
=lim
n` Ö ¦
`
nÛ`+n
2nÛ`
=
;2!;
;2!;
곡선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 직선 y=2x에 대하여 대칭이동한
것이므로 dk는 곡선 y=f(x)의 접선 중 기울기가 2인 접점에서 직선
y=2x까지의 거리의 두 배이다.
3 지수함수와 로그함수의 미분 | 049
0351
다.
3ㅡ지수함수와로그함수의 미분 `f(x)=ln
=ln x-ln k에서
y
y=2x
;k{;
;[!;
`f '(x)=
이므로 `f '(x)=2인 접점의
좌표는
, ln
{;2!;
;2Ák;}
이 접점
, ln
{;2!;
;2Ák;}
에서 직선 y=2x,
y=f(x)
O
1
2
{
, ln
1
2k
}
x
즉 -2x+y=0까지의 거리는
;2Ák;|
|-1+ln
2Û`+1Û`
"Ã
∴ dk=2_
=
1+ln 2k
5
1+ln 2k
5
'
=
2
5
'
5
'
2
'
5
5
따라서 k의 최솟값은
이다.
eÝ`
2
(1+ln 2k)
dk¾2
5에서
'
(1+ln 2k)¾2
5, ln 2k¾4
∴ k¾
'
0352
|전략| 주어진 방정식의 실근이 이차함수와 로그함수의 그래프의 교점의 x좌표
와 같음을 이용하여 lim
`xn의 값을 구한다.
xÛ`-2x+ln xn=0에서 x(x-2)=-n ln x (∵ x>0)
n` Ö ¦
4 삼각함수의 미분
본책 60~75쪽
개념 마스터
STEP1
0353
sin 15ù=sin (45ù-30ù)
=sin 45ùcos 30ù-cos 45ùsin 30ù
2
= '
2
3
_ '
2
2
- '
2
_
;2!;
= '
2
'
6-
4
'
2
'
6-
4
0354
cos 105ù=cos (60ù+45ù)
eÝ`
2
③
=cos 60ùcos 45ù-sin 60ùsin 45ù
=
;2!;
2
_ '
2
3
- '
2
2
_ '
2
= '
6
'
2-
4
'
6
'
2-
4
0355
tan 75ù=tan(45ù+30ù)=
tan 45ù+tan 30ù
1-tan 45ù tan 30ù
=
1+
3
'
3
125
3
111112
1-1_
'
3
125
=2+
3
'
tan
p
12
=tan
{
p
3
-
p
4 }
=
p
tan
3
p
-tan
4
p
p
11111112
tan
1+tan
4
3
y
1
n
y=
-x(x-2)
n
y=ln x
2
0356
O
1
xn
x
ln x=
-x(x-2)
n
오른쪽 그림에서 방정식
fn(x)=0의 실근 xn은 두 함수
y=ln x, y=
-x(x-2)
n
의 그래프
의 교점의 x좌표와 같다. 이때,
y=
-x(x-2)
n
=
-(x-1)Û`+1
n
= '
1+
3-1
3_1
'
=2-
3
'
0357
sin 85ùcos 40ù-cos 85ùsin 40ù
=sin (85ù-40ù)
2
=sin 45ù= '
2
0358
cos 50ùcos 20ù+sin 50ùsin 20ù
=cos (50ù-20ù)
3
=cos 30ù= '
2
에서 꼭짓점의 좌표가
{
1,
;n!;}
이므로 n
¦이면 함수
Ú
의 그래프의 꼭짓점은 점 (1, 0)에 한없이 가까워진
따라서 두 그래프의 교점의 x좌표인 xn도 1에 한없이 가까워진다.
-x(x-2)
n
y=
다.
즉, lim
n` Ö ¦
`xn=1
fn(xn)=x`nÛ`-2xn+n ln xn=0에서 n=
-xn(xn-2)
ln xn
∴ lim
n` Ö ¦
`
`n(xn-1)=lim
xn` Ö 1
-xn(xn-2)(xn-1)
ln xn
`
=lim
xn` Ö 1
_{-xn(xn-2)}
xn-1
ln xn
이때, xn-1=yn이라 하면 xn
1일 때 yn
0이므로
Ú
Ú
`
lim
xn` Ö 1
xn-1
ln xn
_{-xn(xn-2)}
`
=lim
yn` Ö 0
yn
ln (1+yn)
=1_1=1
_{-(yn+1)(yn-1)}
050 | II . 여러 가지 함수의 미분
0359
tan 75ù-tan 15ù
1+tan 75ùtan 15ù
=tan (75ù-15ù)
1
=tan 60ù=
3
'
3
'
2+
3
'
2-
3
'
2
'
2
3
'
2
정답과 해설 =5
2 sin
{
'
h+
p
}
;4&;
5
2 sin
{
'
h+
p
;4&;
}
0360
"Ã2Û
'
2 sin h+2
+(2
`
3)Û
=4이므로
`
3 cos h
'
=4
sin h_
+cos h_ '
;2!;
3
2 }
=4
sin h cos
+cos h sin
;3Ò;
;3Ò;}
{
{
=4 sin
{
h+
;3Ò;}
0361
5Û
"Ã
5 sin h-5 cos h
+(-5)Û
=5
`
`
'
2이므로
=5
2
[
'
=5
2
{
'
sin h_
+cos h_
{-
1
2 }]
'
sin h cos
p+cos h sin
p
;4&;
}
0362
y=sin x+cos x
=
2
{
'
=
2
{
'
sin x_
+cos x_
sin x cos
+cos x sin
1
2 }
'
;4Ò;}
=
2 sin
{
'
x+
;4Ò;}
1
2
'
;4&;
1
2
'
;4Ò;
0363
y=-sin x+
3 cos x
'
=2
sin x_
+cos x_ '
{-;2!;}
=2
sin x cos
p+cos x sin
;3@;
[
{
3
2 ]
p
}
;3@;
=2 sin
{
x+
p
}
;3@;
0364
;2Ò;
0이므로
sin a=
1-cosÛ
a=
1-
-
``
¾Ð
{
;5#;}
"Ã
=
;5$;
2`
tan a=
sin a
cos a
=
;5$;
=-
;3$;
-;5#;
⑴ sin 2a=2 sin a cos a=2_
_
-
{
;5$;
;5#;}
=-
;2@5$;
4 sin
{
h+
;3Ò;}
⑵ cos 2a=cosÛ
a-sinÛ
a=
-
-
`
{
;5#;}
{;5$;}
`
=-
;2¦5;
⑶ tan 2a=
2 tan a
1-tanÛ
=
a
`
2_
2`
{-;3$;}
1-
{-;3$;}
2`
=
:ª7¢:
2`
⑴ -
⑵ -
;2@5$;
⑶
:ª7¢:
;2¦5;
0365
lim
`x
`2°`;6Ò;
0366
lim
`x
`2°`;8Ò;
0367
0369
0370
0371
3 sin 3x=3 sin
=3
;2Ò;
3
-2 tan 2x=-2 tan
=-2
;4Ò;
-2
x
sinÛ
`
cos x-1
lim
0
x
`2°`
=lim
0
x
`2°`
1-cosÛ
x
cos x-1
`
=lim
0
x
(1+cos x)(1-cos x)
cos x-1
(-1-cos x)=-1-1=-2
=lim
0
x
-2
`2°`
`2°`
2
'
;3@;
;5#;
sin 2x
3x
`
lim
0
x
`2°`
=lim
`
0
x
`2°`
sin 2x
2x
_
=1_
;3@;
=
;3@;
;3@;
3x
tan 5x
`
lim
0
x
`2°`
=lim
`
0
x
`2°`
5x
tan 5x
_
=1_
;5#;
=
;5#;
;5#;
sin x+tan 3x
2x
`
lim
0
x
`2°`
=lim
`
{
0
x
`2°`
+
tan 3x
2x }
=lim
`
{
0
x
`2°`
_
+
;2!;
tan 3x
3x
_
;2#;}
sin x
2x
sin x
x
=1_
+1_
=2
;2!;
;2#;
2
4 삼각함수의 미분 | 051
따라서 주어진 함수의 최댓값은
2, 최솟값은 -
2, 주기는 2p이다.
'
최댓값:
'
'
2, 최솟값: -
'
2, 주기: 2p
0368
참고 y=
2 sin
{
'
x+
;4Ò;}
의 그래프는 y=
2 sin x의 그래프를 x축의 방향
'
으로 -
;4Ò;만큼 평행이동한 것이므로 함수 y=
2 sin
{
'
x+
;4Ò;}의 최댓값, 최솟
값, 주기는 함수 y=
2 sin x의 최댓값, 최솟값, 주기와 같다.
'
sin 2x
cos x
lim
`
`x
`2°`;4Ò;
= lim
`
`x
`2°`;4Ò;
2 sin x cos x
cos x
= lim
`
`2°`;4Ò;
`x
2 sin x=2_ '
2
2
=
2
'
따라서 주어진 함수의 최댓값은 2, 최솟값은 -2, 주기는 2p이다.
최댓값：2, 최솟값：-2, 주기: 2p
4ㅡ삼각함수의미분 유형 마스터
유형 마스터
STEP2
0381
|전략| sinÛ` h+cosÛ` h=1임을 이용하여 cos a의 값과 sin b의 값을 구한다.
;2Ò;
"Ã
00이고, sin a=
이므로
;5#;
cos a=
1-sinÛ
a=
1-
¾Ð
{;5#;}
=
;5$;
2`
0이고, cos b=-
이므로
;1°3;
;2Ò;
`
`
sin b=
1-cosÛ
b=
1-
-
¾Ð
{
;1°3;}
=
;1!3@;
"Ã
1
∴ sin (a+b)=sin a cos b+cos a sin b
2`
=
_
-
{
;5#;
;1°3;}
+
_
;5$;
;1!3@;
=-
+
=
;6#5#;
;6$5*;
;6!5%;
③
2x+sin 3x
tan x
`
lim
0
x
`2°`
=lim
`
{
0
x
`2°`
+
sin 3x
tan x }
2x
tan x
x
tan x
=lim
`
{
0
x
`2°`
_2+
sin 3x
3x
_
x
tan x
_3
}
=1_2+1_1_3=5
5
정답과 해설
0372
0373
0374
=t로 놓으면 x
`¦일 때 t
0이므로
`2°
`2°`
;[!;
lim
x
x
`¦
`2°
sin
;[!;
=lim
0`
t
`2°`
sin t
t
=1
-x=t로 놓으면 x
일 때 t
0이므로
`2°`;4Ò;
`2°`
;4Ò;
tan
-x
}
{;4Ò;
p-4x
tan
t
4t
=lim
t
0`
`2°`
=lim
t
0`
`2°`
tan
t
t
_
;4!;
lim
x
`2°`;4Ò;
0375 y'=1-2 cos x
0376 y'=-sin x-ex
0377 y'=cos x+3 sin x
0378
y' =(sin x)'cos x+sin x(cos x)'
=cosÛ
x-sinÛ
x
`
`
0379
y'=(cos x)'_ln x+cos x_(ln x)'
-sin x_ln x+
=
x
cos
x
y'=cosÛ` x-sinÛ` x
0383
y'=-sin x_ln x+
cos x
x
0382
sin 70ù sin 140ù+sin 20ù sin 50ù
=sin 70ù cos 50ù+cos 70ù sin 50ù
3
=sin (70ù+50ù)=sin 120ù= '
2
Ñh의 삼각함수
;2Ò;
⑴ sin {;2Ò;
Ñh
=cos h
}
}
}
⑵ cos {;2Ò;
Ñh
=Ðsin h (복호동순)
⑶ tan {;2Ò;
Ñh
=Ð
1
tan h
(복호동순)
tan (a+b)=tan
=1에서
;4Ò;
tan a+tan b
1-tan a tan b
=1
즉, tan a+tan b=1-tan a tan b
∴ (1+tan a)(1+tan b)
=1+tan a+tan b+tan a tan b
=1_
=
;4!;
;4!;
;4!;
=sin 70ù sin (90ù+50ù)+sin (90ù-70ù) sin 50ù
⑤
0380
y=sinÛ` x-cosÛ` x=sin x sin x-cos x cos x이므로
y' =cos x sin x+sin x cos x-{-sin x cos x+cos x(-sin x)}
=cos x sin x+sin x cos x+sin x cos x+cos x sin x
0384
=4 sin x cos x
y'=4 sin x cos x
다른 풀이 y =sinÛ` x-cosÛ` x=sinÛ` x-(1-sinÛ` x)
=2 sinÛ` x-1=2 sin x sin x-1
이므로
y'=2 cos x sin x+2 sin x cos x=4 sin x cos x
052 | II . 여러 가지 함수의 미분
=1+(1-tan a tan b)+tan a tan b=2
2
sin a+sin b=
의 양변을 제곱하면
;2!;
sinÛ
a+2 sin a sin b+sinÛ
b=
`
;4!;
`
3
cos a+cos b= '
2
의 양변을 제곱하면
yy ㉠
cosÛ
a+2 cos a cos b+cosÛ
b=
`
;4#;
`
yy ㉡
tan a=2, tan b=-
;3!;
㉠+㉡을 하면
(sinÛ` a+cosÛ` a)+(sinÛ` b+cosÛ` b)=1+1=2
2+2(sin a sin b+cos a cos b)=1
tan h=|tan (a-b)|=
∴
`
tan a-tan b
1+tan a tan b |
|
sin a sin b+cos a cos b=-
;2!;
∴ cos (a-b)=-
;2!;
0385
|전략| 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
tan a+tan b=
, tan a tan b=
;2%;
;2!;
∴ tan (a+b)=
tan a+tan b
1-tan a tan b
=
;2%;
=5
1-
;2!;
0386
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
tan a+tan b=2a, tan a tan b=aÛ
-4이므로
(tan a-tan b)Û
∴ tan a-tan b=4
`
∴ tan (a-b)=
`
-4
tan a tan b
=(tan a+tan b)Û
`
=(2a)Û
-4(aÛ
`
`
-4)=16
`
`
(∵ tan a>tan b)
tan a-tan b
1+tan a tan b
=
4
1+aÛ
=
4
-3
aÛ
`
-4
`
이때, tan (a-b)=tan
=1이므로
;4Ò;
0387
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
tan a+tan b=4, tan a tan b=-2
∴ tan (a+b)=
tan a+tan b
1-tan a tan b
=
4
1+2
=
;3$;
오른쪽 그림의 직각삼각형에서 빗변의 길이는 5이고
00
;2Ò;
∴ sin (a+b)=
;5$;
2-
{-;3!;}
1+2_
{-;3!;}
=
ì
ì
f
=
=7
;3&;
;3!;
ì
ì
f
③
오른쪽 그림의 직각삼각형에서 빗변의 길이는 5
2이
'
고 00
;2Ò;
sin h=
∴
`
=
7
2
'
10
7
5
2
'
25
7
q
1
7
2
'
10
⑤
0389
kx-y-1=0에서 y=kx-1
x+2y+3=0에서 y=-
x-
;2!;
;2#;
두 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면
tan a=k, tan b=-
;2!;
이때, 두 직선이 이루는 예각의 크기가
이므로
;4Ò;
|tan (a-b)|=tan
=1에서
;4Ò;
tan a-tan b
1+tan a tan b |
|
=1,
k+
1-
;2!;
;2K;
=Ñ1
0390
;3!;
tan h=
;3!;
h+45ù이므로
직선 y=
x가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 h라 하면
이때, 직선 y=ax+b가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는
5
4
a+b
3
a=tan (h+45ù)=
tan h+tan 45ù
1-tan h tan 45ù
=
직선 y=2x+b가 점 (3, 1)을 지나므로
+1
;3!;
1-
_1
;3!;
=2 … ❷
;5$;
1=2_3+b
∴ b=-5
∴ a+b=2+(-5)=-3
4
-3
aÛ
`
=1에서 aÛ
=7
∴ a=
7
(∵ a>0)
`
'
`
④
k+
=Ñ
1-
;2!;
{
;2K;}
∴
k=
`(∵
`
;3!;
`
k>0)
①
0388
|전략| tan(a-b)=
tan a-tan b
1+tan a tan b
임을 이용한다.
두 직선 y=2x+2, y=-
x-
이 x축의 양의 방향과 이루는 각
;3!;
;3!;
의 크기를 각각 a, b라 하면
채점 기준
❶ tan h의 값을 구할 수 있다.
❷ a의 값을 구할 수 있다.
❸ b의 값을 구할 수 있다.
❹ a+b의 값을 구할 수 있다.
… ❶
… ❸
… ❹
-3
비율
30`%
40`%
20`%
10`%
4 삼각함수의 미분 | 053
4ㅡ삼각함수의미분 0391
|전략| tan (a+b)=
tan a+tan b
1-tan a tan b
임을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 ∠PAQ=h라 하고 정
사각형 ABCD의 한 변의 길이를 a라 하면
a
3
Q
D
이때, -1Ésin (x+a)É1이므로
-
3+kÛ
-1É
"Ã
`
이고, 최댓값이 3이므로
"Ã
``
3+kÛ
sin (x+a)-1É
3+kÛ
-1
"Ã
-1=3에서
`
3+kÛ
=16
∴
k=
(∵ k>0)
`
`
3+kÛ
`
"Ã
13
`
'¶
②
C
P
a
2
B
a
a
h
b
A
a
1
tan
=1
[;2Ò;
-(a+b)
=
]
1
tan (a+b)
BPÓ=
, DQÓ=
;2A;
;3A;
또한, ∠QAD=a, ∠PAB=b라 하면
tan a=
=
, tan b=
;3A;
a
;3!;
;2A;
a
=
;2!;
∴
`
tan h=tan
-a-b
=
{;2Ò;
}
1
tan (a+b)
=
1
tan a+tan b
1-tan a tan b
1111113
=
;3!;+;2!;
11115
1-
;3!;_;2!;
0395
`f(x)=sin x+
7 cos x-a
'
=2
2
{
'
sin x_
1
2
2
'
+cos x_ '
2
'
7
2 }
-a
=2
2 sin (x+a)-a
{
'
단, sin a= '
2
'
7
2
, cos a=
1
'
2
2 }
이때, -1Ésin (x+a)É1이므로
-2
2-aÉ2
'
'
이고, 최댓값이 2
2 sin (x+a)-aÉ2
2-a
'
2-a=
2이므로 a=
'
'
2
'
따라서 f(x)의 최솟값은
∴ ∠PAQ=
∵ 00)라 하면
`-ACÓ Û
BCÓ="ÃABÓ Û
또, ∠BAD=∠ABD=h라 하면
(3t)Û`-(2t)Û
`=
=
5t
"Ã
'
`
= '
5t
3t
cos h=
5
= '
3
BCÓ
ABÓ
이때, △ABD에서
∠ADC =∠BAD+∠ABD=h+h=2h
이므로
cos (∠ADC)=cos 2h=2 cosÛ
h-1
`
=2_
5
'
3 }
{
-1=
;9!;
2`
;9!;
… ❸
☐ ABCD가 직사각형이고 ∠ADB=
이므로
;8Ò;
ADÓ=BDÓ
cos
=2
cos
, ABÓ=BDÓ
sin
=2
sin
`
;8Ò;
`
;8Ò;
`
;8Ò;
`
;8Ò;
∴ ☐ ABCD=ADÓ_ABÓ
… ❷
0403
;4#;
비율
30`%
30`%
40`%
=2
cos
;8Ò;_
2 sin
;8Ò;
=4
sin
cos
;8Ò;`
;8Ò;
=2
sin
2
=2_ '
2
;4Ò;
=
2
'
`
`
`
따라서 직사각형 ABCD의 넓이는
2이다.
②
'
0404
오른쪽 그림과 같이
∠PAB=h라 하면 ∠QAB=2h
이때, △APB에서 ∠APB=90ù이므로
cos h=
=
;1¥0;
;5$;
∴ cos 2h=2 cosÛ
h-1
`
=2_
{;5$;}
-1=
;2¦5;
2`
또, △AQB에서 ∠AQB=90ù이므로
Q
A
2h
h
8
10
B
P
AQÓ=ABÓ cos 2h=10_
=
:Á5¢:
;2¦5;
:Á5¢:
4 삼각함수의 미분 | 055
4ㅡ삼각함수의미분 0405
한 원에서 호 AB에 대한 원주각 ∠ACB의 크기는 중심각 ∠AOB
x
cosÛ
`
1-sin x
lim
`
x
`2°`;2Ò;
= lim
`
x
`2°`;2Ò;
x
1-sinÛ
1-sin x
`
= lim
`
x
`2°`;2Ò;
= lim
`
x
`2°`;2Ò;
(1+sin x)(1-sin x)
1-sin x
(1+sin x)=2
∴ lim
0`
x
`2°`
sinÛ
x
`
1-cos x
+ lim
`
x
`2°`;2Ò;
cosÛ
x
`
1-sin x
=2+2=4
④
0409
sin ax
|전략| lim
`0
x`
2°
ax =1임을 이용한다.
⑤
-x)
sin (3xÛ
xÛ
`
+4x
lim
0`
x
`2°`
=lim
x
0`
`2°`
-x)
sin (3xÛ
3xÛ
`
-x
_
`
3xÛ
xÛ
-x
`
+4x
`
=1_lim
0`
x
`2°`
3x-1
x+4
=lim
0`
x
`2°`
`
x(3x-1)
x(x+4)
=-
;4!;
-
;4!;
0410
sin 2x+1-e5x
sin 3x
lim
0`
x
`2°`
sin 2x
sin 3x
-
e5x-1
sin 3x }
=lim
0`{
x
`2°`
=lim
x
0`{
`2°`
sin 2x
2x
_
3x
sin 3x
_
-
;3@;
e5x-1
5x
_
3x
sin 3x
_
;3%;}
=1_1_
-1_1_
=-1
;3@;
;3%;
-1
②
지수함수, 로그함수의 극한
a>0, a+1일 때
⑴ lim
0`
x
`2°`
ln (1+x)
x
=1
⑵ lim
0`
x
`2°`
eÅ`-1
x
=1
⑶ lim
0`
x
`2°`
log (1+x)
x
=
1
ln a
⑷ lim
0`
x
`2°`
aÅ`-1
x
=ln a
의 크기 h의
배이므로 ∠ACB=
;2!;
h
2
이때, △ABC의 넓이가 2이므로
h
_4_3_sin
2
h
∴ sin
2
=2
;2!;
=
;3!;
또, 00
h
∴ cos
2
=
1-sinÛ
¾Ð
=
1-
¾Ð
{;3!;}
=
h
2
``
2
2
'
3
h
∴ sin h=2 sin
2 `
h
cos
2
2`
=2_
_
;3!;
2
2
'
3
=
4
2
'
9
⑴ 원주각과 중심각의 크기
한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는
AB의
원주각
중심각의 크기의
배이다.
;2!;
즉, ∠APB=
∠AOB
;2!;
⑵ 삼각형의 넓이
△ ABC의 넓이 S는
S=
bc sin A=
ac sin B=
ab sin C
;2!;
;2!;
;2!;
P
O
C
A
AB의
중심각
B
b
A
a
B
c
0406
cos x=cos a임을 이용한다.
|전략| 주어진 식을 간단히 하고, lim
`a
x`
tanÛ
x
`
1-cos 2x
lim
0`
x
`2°`
=lim
x
0`
`2°`
=lim
0`
x
`2°`
=lim
0`
x
`2°`
2°
sinÛ
x
`
111cosÛ
x
`
x-1)
1-(2 cosÛ
11111112
`
sinÛ
x
``
x)cosÛ
2(1-cosÛ
`
1
2 cosÛ
x
`
=
;2!;
x
`
sinÛ` x
0407
1-tan x
sin x-cos x
lim
`
x
`2°`;4Ò;
1-
sin x
cos x
111
=lim
x
sin x-cos x
111111
`2°`;4Ò;
=lim
`
x
`2°`;4Ò;
cos x-sin x
cos x(sin x-cos x)
=lim
`
x
`2°`;4Ò;
-1
cos x
=-
2
'
0408
sinÛ
x
`
1-cos x
=lim
lim
x
0`
x
0`
`2°`
`2°`
=lim
0`
x
`2°`
`
x
1-cosÛ
1-cos x
=lim
x
0`
`2°`
(1+cos x)=2
056 | II . 여러 가지 함수의 미분
0411
①
1-cos x
x sin 4x
lim
0`
x
`2°`
=lim
x
0`
`2°`
(1-cos x)(1+cos x)
x sin 4x(1+cos x)
=lim
0`
x
`2°`
sinÛ
`
x sin 4x(1+cos x)
x
(1+cos x)(1-cos x)
1-cos x
=lim
0`{
x
`2°`
_
4x
sin 4x
_
1
4(1+cos x)
sin x
x }
2`
1
4_2
=1Û
_1_
`
=
;8!;
;8!;
정답과 해설 cos
px
sin
{
xÛ
;2#;
-1
}
lim
-1
x
`
`2°`
`
sin
{
cos
px
;2#;
}
(x+1)(x-1)
=
lim
-1
x
`
`2°`
cos
pt-
p
=cos
p-
pt
=-sin
pt
{;2#;
;2#;
}
{;2#;
;2#;
}
;2#;
sin
cos
p(t-1)
[
;2#;
t(t-2)
]
=lim
`
t
0
`2°`
sin
cos
[
pt-
p
;2#;
}]
{;2#;
t(t-2)
-sin
sin
{
;2#;
t(t-2)
pt
}
=lim
`
t
0
`2°`
=lim
`
t
0
`2°`
=lim
`
t
0
`2°`
sin
{
-sin
pt
;2#;
}
sin
pt
;2#;
_
-sin
pt
;2#;
pt
;2#;
-
p
;2#;
t-2
_
①
=1_1_
p=
p
;4#;
;4#;
;4#;
p
0412
1-cos kx
2xÛ
lim
0`
x
`2°`
`
=lim
x
0`
`2°`
=lim
0`
x
`2°`
2xÛ
`
=lim
0`{
x
`2°`
(1-cos kx)(1+cos kx)
2xÛ
(1+cos kx)
`
sinÛ
kx
(1+cos kx)
`
sin kx
kx }
_
_
kÛ
`
2
1
1+cos kx
=1Û
_
kÛ
`
2
_
;2!;
2`
=
kÛ
`
4
`
kÛ
`
4
즉,
=9에서 kÛ
=36
`
∴ k=6 (∵ k>0)
0413
tan ax
|전략| lim
`0
x`
2°
ax =1임을 이용한다.
tan (tan 5x)
tan 4x
lim
0`
x
`2°`
=lim
x
0`
`2°`
tan (tan 5x)
tan 5x
_
4x
tan 4x
_
tan 5x
5x
_
;4%;
0417
;2Ò;
2x-p
lim
x
cos x
`2°`;2Ò;
=lim
t
0`
`2°`
x-
=t로 놓으면 x
일 때 t
0이므로
2°
=lim
0`
t
`2°`
2t
-sin t
;2Ò;
2°
2t
cos
+t
}
{;2Ò;
t
sin t
lim
0`
t
`2°`
`
=1_1_1_
=
;4%;
;4%;
⑤
=-2
=-2_1=-2
-2
0414
e2xÛ
`-1
tan x sin 2x
lim
0`
x
`2°`
=1_1_1=1
=lim
x
0`
`2°`
`
_
e2xÛ
`-1
2xÛ
x
tan x
_
2x
sin 2x
0418
③
sin x-
3 cos x=2 sin
{
'
x-
;3Ò;}
이므로
0415
`f(n)=lim
0`
x
`2°`
=lim
0`
x
`2°`
=lim
0`
x
`2°`
x
tan x+tan 2x+tan 3x+ y +tan nx
1
tan x+tan 2x+tan 3x+ y +tan nx
x
11111111111111111
1
tan 3x
3x
_2+
_3+ y +
tan nx
nx
_n
+
tan 2x
2x
tan x
x
1
1+2+3+ y +n
2
n(n+1)
=
1
n(n+1)
2
2
3_4
=
;6!;
=
=
∴ f(3)=
0416
|전략| x+1=t로 놓은 다음 lim
`
`0
t`
=1임을 이용한다.
sin t
t
2°
x+1=t로 놓으면 x
-1일 때 t
0이므로
`2°`
`2°`
sin x-
3 cos x
'
3x-p
lim
`
x
`2°`;3Ò;
=lim
x
`
`2°`;3Ò;
2 sin
{
x-
;3Ò;}
3
x-
{
;3Ò;}
이때, x-
=t로 놓으면 x
일 때 t
0이므로
`2°`;3Ò;
`2°`
;3Ò;
lim
`
x
`2°`;3Ò;
2
sin
{
`
x-
;3Ò;}
3
x-
{
;3Ò;}
2
=lim
t
0`
`2°`
`
sin t
3t
=
;3@;`
lim
t
0`
`2°`
sin t
t
=
_1=
;3@;
;3@;
따라서 p=3, q=2이므로 p+q=5
5
0419
`f(x)f(-x)=
1+sin 3x
1+sin x
_
1+sin (-3x)
1+sin (-x)
;6!;
=
1+sin 3x
1+sin x
_
1-sin 3x
1-sin x
=
=
=
cosÛ
``
cosÛ
``
3x
x
3x
x
1-sinÛ
``
1-sinÛ
``
cos 3x
cos x }
{
2`
;2Ò;
2°
x-
=t로 놓으면 x
일 때 t
0이므로
;2Ò;
2°
4 삼각함수의 미분 | 057
4ㅡ삼각함수의미분 lim
`
x
`2°`;2Ò;
f(x)f(-x)=lim
{
x
`2°`;2Ò;
cos 3x
cos x }
(
=lim
t
0`
{
`2°`
cos
2`
{;2#;
p+3t
}
cos
+t
{;2Ò;
}
9
sin 3t
-sin t }
=lim
0`{
t
`2°`
=lim
0`{
t
`2°`
sin 3t
3t
=(1_1_3)Û
=lim
t
0`{
`2°`
2`
t
sin t
_
_3
=9
`
(
{
`
}
2`
9
sin 3t
sin t }
2`
0420
|전략| ;[!;
=t로 놓은 다음 lim
`
`0
t`
=1임을 이용한다.
sin t
t
2°
=t로 놓으면 x
¦일 때 t
0이므로
`2°`
`2°`
;[!;
sin
lim
x
x`
`¦
2°
`
1
2x
=lim
t
0`
`2°`
t
=lim
t
0`
`2°`
sin
;2T;
sin
;2T;
;2T;
_
;2!;
0이고 극한값이 존재하므로 (분자)
0이다.
`2°`
0424
x
a일 때 (분모)
`2°`
`2°`
(3x-1)=0이므로
즉, lim
a
x
`2°`
3a-1=0
a=0
∴
`
a=0을 주어진 식에 대입하면
lim
0`
x
`2°`
3x-1
sin x
2
`
=lim
0`
x
`2°`
3x-1
x
_
x
sin x
_
;2!;
=ln
3_1_
;2!;
=
ln
3
;2!;`
③
즉, b
ln
3=
;2!;`
ln
3에서 b=
;2!;
a-b=0-
=-
;2!;
;2!;
∴
`
채점 기준
❶ a의 값을 구할 수 있다.
❷ b의 값을 구할 수 있다.
❸ a-b의 값을 구할 수 있다.
0425
x
`2°`;2Ò;
즉, lim
x
`2°`;2Ò;
일 때 (분모)
0이고 극한값이 존재하므로 (분자)
0이다.
`2°`
`2°`
(ax+b)=0이므로
=1_
=
;2!;
;2!;
;2!;
=t로 놓으면 x`
`¦일 때 t`
`0이므로
2°
2°
;[!;
lim
x`
`¦
2°
xù tan
;[!;
p
180
x`tan
;[!;
=lim
t
0`
`2°`
p
180
_
tan t
t
=lim
x`
`¦
2°
p
180
=
_1=
p
180
③
0421
0422
3
x-2
=t로 놓으면 x`
¦일 때 t`
`0이므로
2°`
2°
2x-1
3
lim
x`
`¦
2°
`tan
3
x-2
=lim
t
0`
`2°`
t+2
t
`tan t
=lim
0`
t
`2°`
(t+2)_
=2_1=2
tan t
t
|전략| x`
`0일 때 (분자)`
`0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로 (분모)`
`0
0일 때 (분자)
0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로
0423
x
`2°`
(분모)
2°
임을 이용한다.
2°
`2°`
0이다.
`2°`
`ln (x+b)=0이므로
즉, lim
0
x
`2°`
ln b=0
∴ b=1
b=1을 주어진 식에 대입하면
sin ax
ax
lim
0
x
`2°`
=1_1_a=a
sin ax
ln (1+x)
=lim
0
x
`2°`
즉, a=2
a+b=2+1=3
∴
`
058 | II . 여러 가지 함수의 미분
_
x
ln (1+x)
_a
p+b=0
∴ b=-
p
;2A;
;2A;
b=-
p를 주어진 식에 대입하면
;2A;
ax-
p
;2A;
cos x
`
lim
x
`2°`;2Ò;
=lim
`
x
`2°`;2Ò;
a
x-
{
cos x
;2Ò;}
이때, x-
=t로 놓으면 x
일 때 t
0이므로
`2°`;2Ò;
`2°`
;2Ò;
a
x-
{
cos x
;2Ò;}
`
lim
x
`2°`;2Ò;
=lim
`
t
0
`2°`
cos
+t
}
{;2Ò;
at
t
sin t
`
=-lim
t
0
`2°`
at
sin t
=-a_1=-a
②
2°
` =-a lim
0`
t
`2°`
즉, -a=3에서 a=-3
a=-3을 ㉠에 대입하면 b=
p
;2#;
∴ ab=-3_
p=-
;2#;
p
;2(;
0426
`
lim
0
x
`2°`
=lim
`
0
x
`2°`
=lim
`
0
x
`2°`
=lim
`
0
x
`2°`
ln (xa+1)
(1-cos x)tan bx
ln (xa+1)_(1+cos x)
(1-cos x)(1+cos x)tan bx
ln (xa+1)_(1+cos x)
sinÛ
`
ln (xa+1)
xa
_
x tan bx
x
sin x }
xa
x3 =
`
_lim
0
x
`2°`
{
2`
;b@;
_
bx
tan bx
xa
x3
`
`lim
0
x
`2°`
③
=1_1Û
_1_
`
;b@;
_
1+cos x
b
_
xa
x3
yy`㉠
… ❶
… ❷
… ❸
-
;2!;
비율
40`%
50`%
10`%
yy`㉠
-
p
;2(;
정답과 해설2
이때, ㉠이 0이 아닌 값에 수렴하므로 분자, 분모의 차수가 같아야 한
다. 즉, a=3
a=3을 ㉠에 대입하면
;b@;
`
`lim
0
x
`2°`
xÜ
`
x3 =
;b@;
_1=
;b@;
즉,
=
;b@;
;4!;
이므로 b=8
∴ a+b=3+8=11
∴ lim
h
`0+
`2°
ACÓ
ABÓ
=lim
h
`0+
`2°
=lim
h
`0+
`2°
sin h
sin 3h
AHÓ
sin 3h
AHÓ
sin h
=lim
h
`0+
`2°
sin h
h
_
3h
sin 3h
_
;3!;
11
=1_1_
=
;3!;
;3!;
;3!;
0427
|전략| BCÓ=4`tan h, BHÓ=4`sin h와 삼각함수의 극한을 이용하여 주어진 식
의 값을 구한다.
오른쪽 그림의△ABC에서
BCÓ=4`tan h, BHÓ=4`sin h
lim
∴
`0+`
h
`
`2°
BCÓ-BHÓ
hÜ
`
tan h-4
4
`
sin h
`
4_
4_
`
-4
sin h
hÜ
`
sin h
cos h
111
hÜ
`
sin h-sin h
cos h
cos h
11111111
hÜ
`
`
sin h(1-cos h)
hÜ
cos h
``
=
lim
h
`
`0+
`2°
=
lim
h
`
`0+
`2°
=
lim
h
`
`0+
`2°
=4
=4
=4
lim
h
`
`0+
`2°
lim
h
`
`0+
`2°
lim
h
`
`0+
`2°
sin h(1-cos h)(1+cos h)
hÜ
cos h(1+cos h)
``
sinÜ
h
``
cos h(1+cos h)
_
1
cos h(1+cos h)
h }
hÜ
``
sin h
=4
lim
`0+{
h
`
`2°
=4_1Ü`_
=2
;2!;
3`
0428
OHÓ=OAÓ
`
BHÓ=1-cos h
cos h=cos h이므로
lim
∴
h
`
`0+
`2°
BHÓ
hÛ
`
=lim
h
`0+
`2°
1-cos h
hÛ
`
=lim
h
`0+
`2°
(1-cos h)(1+cos h)
(1+cos h)
hÛ
=lim
h
`0+
`2°
hÛ
``
(1+cos h)
`
sinÛ
h
`
sin h
h }
2`
_
1
1+cos h
=lim
`0+{
h
`2°
=1Û
_
=
;2!;
;2!;
`
C
B
4 tan`h
4 sin`h
H
h
A
4
=2
lim
`0+{
h
`
`2°
h }
=2_1Û
=2
`
2
0430
△OAQ에서 OAÓ=OQÓ
`
cos h=2 cos h이므로
S(h)=
_2Û
_h-
_4 cosÛ
h_h
;2!;
`
;2!;
=2h(1-cosÛ
h)=2h sinÛ
h
``
lim
∴
h
`
`0+
`2°
S(h)
hÜ
``
=lim
h
`0+
`2°
h
2h sinÛ
hÜ
`
``
sin h
``
``
2`
0431
OPÓ=a에서 OBÓ=a
cos h, PBÓ=a
sin h이므로
(△OBP의 넓이)=
_OBÓ_PBÓ
`
;2!;
`
`
=
_a
cos h_a
sin h
;2!;
`
=
aÛ
``
;2!;
sin h
cos h
`
(부채꼴 OPA의 넓이)=
aÛ
h
;2!;
`
2
lim
∴
h
`
`0+
`2°
(부채꼴 OPA의 넓이)
(△OBP의 넓이)
=
lim
h
`
`0+
`2°
=
aÛ
h
`
;2!;
aÛ
sin h
`
``
;2!;
cos h
h
sin h
_
1
cos h
lim
h
`
`0+
`2°
=1_
=1
1
;1!;
0432
오른쪽 그림의 △ABC에서
∠B=∠C=h이므로
∠A=p-2h
☐ ADOE에서
E
A
2h
O
H
h
2
D
h
1
B
C
;2!;
∠ADO=∠AEO=
이므로
;2Ò;
∠DOE=p-∠DAE=p-(p-2h)=2h
점 O에서 변 BC에 내린 수선의 발을 H라 하고 선분 OB를 그으면
0429
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 변 BC
에 내린 수선의 발을 H라 하면
ABÓ=
, ACÓ=
AHÓ
sin h
AHÓ
sin 3h
B
q
A
3q
C
H
∠OBH=
, BHÓ=1이므로
h
2
△ODBª△OHB이므로
∠OBH=
;2!;∠DBH=
;2Ç;;
4 삼각함수의 미분 | 059
4ㅡ삼각함수의미분 0435
함수 f(x)가 x=0에서 연속이므로 lim
`
0
x
`2°`
f(x)=f(0)
yy ㉠
0이고 극한값이 존재하므로 (분자)
`0이다.
`2°
∴ lim
0
x
`2°`
eÅ`-sin 2x-a
3x
=b
x
0일 때 (분모)
`2°`
(eÅ`-sin 2x-a)=0이므로
즉, lim
0
x
`2°`
`2°`
1-0-a=0
∴ a=1
a=1을 ㉠에 대입하면
eÅ`-sin 2x-1
3x
lim
0
x
`2°`
=lim
{
0
x
`2°`
eÅ`-1
3x
-
sin 2x
3x }
=lim
{
0
x
`2°`
eÅ`-1
x
_
-
1
3
sin 2x
2x
_
2
3 }
=1_
-1_
=-
;3!;
;3@;
;3!;
즉, b=-
;3!;
∴ a-b=1-
-
=
;3$;
;3!;}
{
④
0436
|전략| {f(x)g(x)}'=f '(x)g(x)+f(x)g '(x)임을 이용한다.
sin x이므로
`f(x)=eÅ`
`
`f '(x)=eÅ
``
∴ f '(0) =eâ
`
sin x+eÅ
cos x=eÅ
(sin x+cos x)
``
`
(sin 0+cos 0)=1
h
OHÓ=BHÓ tan
2
h
=1_tan
2
h
=tan
2
h
즉, 내접원의 반지름의 길이가 tan
2
이므로
S(h)=
_ODÓ_OEÓ_sin 2h=
;2!;
tanÛ
`
;2!;
h
2
sin 2h
lim
∴
h
`
`0+
`2°
S(h)
hÜ
`
=
lim
h
`
`0+
`2°
tanÛ
;2!;`
sin 2h
h
2 `
``
hÜ
`
=
h
tan
2
2`
h
2 ¼
lim
`0+`
h
`
`2°
»
_
_
;4!;
sin 2h
2h
=1Û
_
_1=
`
;4!;
;4!;
;4!;
0433
|전략| 함수 f(x)가 x=1에서 연속이면 lim
`f(x)=f(1)임을 이용한다.
`1
x`
`f(x)=f(1)
함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 lim
1
x
2°
`2°`
`2°`
이때, x-1=t로 놓으면 x
1일 때 t
0이므로
`
∴ lim
1
x
`2°`
sin 2(x-1)
x-1
=k
sin 2(x-1)
x-1
`
lim
1
x
`2°`
=lim
t
0`
`2°`
`2°`
sin 2t
t
sin 2t
2t
=lim
0`
t
`2°`
_2
=1_2=2
∴ k=2
함수 f(x)가 열린구간
{
-
,
;2Ò;}
;2Ò;
에서 연속이므로 x=0에서도 연속
②
`
`
0437
f(x)=3x sin x+2 cos x에서
f '(x) =3 sin x+3x cos x-2 sin x
=sin x+3x cos x
∴ f '
=sin
+3_
{;3Ò;}
;3Ò;
_cos
=
;3Ò;
;2Ò;
;3Ò;
3
+ '
2
0434
이다.
`
lim
0
x
`2°`
x
`f(x)=f(0)이므로
즉, lim
0
x
`2°`
eax+b
tan x
=2
0일 때 (분모)
`2°`
(eax+b)=0이므로
즉, lim
0
x
`2°`
`2°`
1+b=0 ∴ b=-1
b=-1을 ㉠에 대입하면
eax-1
tan x
`
lim
0
x
`2°`
=1_1_a=a
=lim
`
0
x
`2°`
_
eax-1
ax
즉, a=2
∴ a+b=2+(-1)=1
060 | II . 여러 가지 함수의 미분
0438
f(x)=eÅ
``
f '(x) =eÅ
`
`
=eÅ
`
cos x에서
(-sin x)
cos x+eÅ
``
(cos x-sin x)
`
f '(x)=0에서 cos x-sin x=0
(∵ eÅ`>0)
`
`
∴ cos x=sin x
이때, 00)
f '(x)=
`
`
2x+a
[
(x<0)
(cos x-sin x)=`lim
x
`0-
`2°
`
(2x+a)
에서 `lim
eÅ
x
`0+
`2°
∴ a=1
∴ ab=1_1=1
0443
함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하므로 x=0에서 연속이다.
0440
`
lim
h
0`
`2°`
{
=lim
h
0`
`2°`
`
=lim
h
0`[
`2°`
=2f
f(p+2h)-f(p-3h)
h
f(p+2h)-f(p)}-{
f(p-3h)-f(p)}
`
h
`
f(p+2h)-f(p)
2h
_2+ `
f(p-3h)-f(p)
-3h
_3
]
'(p)=5f
'(p)+3f
`f(x)=x
'(p)
sin x에서 f '(x)=sin x+x
`
cos x
`
따라서`f '(p)=sin p+p cos p=-p이므로
5f
'(p)=5_(-p)=-5p
즉, lim
x
0``
`2°`
f(x)=f(0)이므로 a=1
또, f '(0)이 존재하므로
cos x (x>0)
[
`
b (x<0)
`cos x=`lim
x
`0-
`2°
`b
`f '(x)=
에서 `lim
x
`0+
`2°
∴ b=1
∴ a+b=1+1=2
⑤
다른 풀이 x=0에서 미분가능하므로
`
`lim
`0+
h`
2°
`lim
`
`0+
h`
2°
`f(h)-f(0)
h
=`lim
`
`0-
h`
2°
`f(h)-f(0)
h
sin h
h
=`lim
`
`0-
h`
2°
bh
h
∴ b=1
∴ a+b=1+1=2
3
①
2
=3에서 x
`p일 때 (분모)
`0이고 극한값이 존재
`2°
`2°
0444
함수 f(x)가 모든 실수 x에서 미분가능하면 x=0에서도 미분가능하
0441
2 f(x)-1
x-p
lim
x
p
`2°`
하므로 (분자)
`0이다.
`2°
{2
즉, lim
x
p`
`2°`
f(x)-1}=0이므로
2
f(p)-1=0
∴ f(p)=
;2!;
2
lim
x
p`
`2°`
f(x)-1
x-p
`
=lim
x
p`
`2°`
2
f(x)-2
x-p
f(p)
=2
=2
f(x)-f(p)
x-p
`
lim
x
p`
`2°`
f '(p)=3
∴ f '(p)=
;2#;
므로 x=0에서 연속이다.
즉, lim
x
0``
`2°`
f(x)=f(0)이므로 b=-1
또, f '(0)이 존재하므로
cos x+sin x (x>0)
f '(x)=
`
[
a
(x<0)
에서 `lim
x
`0+
`2°
∴ a=1
(cos x+sin x)=`lim
x
`0-
`2°
`a
∴ a+b=1+(-1)=0
0
4 삼각함수의 미분 | 061
4ㅡ삼각함수의미분 정답과 해설
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
0445
유형 01 삼각함수의 덧셈정리
|전략| 주어진 식의 양변을 각각 제곱한 후
sin (a+b)=sin a`cos b+cos a`sin b임을 이용한다.
sin a+cos b=
, cos a+sin b=
의 양변을 각각 제곱하면
;2!;
1
2
'
sinÛ
a+2
sin a
cos b+cosÛ
b=
``
;2!;
`
cosÛ
a+2
cos a
sin b+sinÛ
``
`
b=
;4!;
``
``
`
`
㉠+㉡을 하면
2+2(sin a
cos b+cos a
sin b)=
`
;4#;
`
2+2
sin(a+b)=
∴ sin(a+b)=-
;4#;
;8%;
`
①
0446
유형 02 삼각함수의 덧셈정리 - 방정식에의 활용
|전략| 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
tan a+tan b=4, tan a
tan b=2
∴ tan (a+b)=
`
tan a+tan b
tan b
1-tan a
`
=
4
1-2
=-4
0447
유형 04 삼각함수의 덧셈정리 - 도형에의 활용
|전략| tan (a-b)=
임을 이용한다.
tan a-tan b
1+tan a`tan b
오른쪽 그림과 같이 ∠CAB=a,
∠EAD=b라 하면
tan a=
, tan b=
이므로
;3$;
;4#;
tan h=tan(a-b)
=
tan a-tan b
tan b
1+tan a
`
;3$;-;4#;
=
1+
;3$;_;4#;
=
;2¦4;
∴ 48 tan h=48_
=14
;2¦4;
yy
㉠
yy
㉡
`
`
=
19
sin (x+a)
{
``
'¶
단, sin a= '
'¶
, cos a=
4
19 }
'¶
따라서 f(x)의 최댓값은
19이다.
'¶
④
`f(x)=2 cos
{
x
-;6Ò;}
+3
sin x
`
=2
cos x
cos
+sin x
sin
+3
sin x
`
;6Ò;}
`
``
`
;6Ò;
`{
=
=
3
`
3
`
'
'
cos x+sin x+3 sin x
``
cos x+4
sin x
=
19
sin x
'¶
`{
_
cos x
_
`
``
4
19 +
'¶
3
'
19 }
'¶
3
19
0449
유형 05 삼각함수의 합성
|전략| a sin h+b cos h=
aÛ`+bÛ` sin (h+a)임을 이용한다.
3 cos h-sin h=2
{
'
cos h-
sin h
;2!;
"Ã
3
'
2
}
;3@;
=2
{
;3@;
sin
p cos h+cos
p sin h
}
=2 sin
{
h+
p
=
}
;2!;
;3@;
∴ sin
{
h+
p
=
}
;4!;
;3@;
이때, 00, cos a>0이므로
;2Ò;
x-sinÛ
x
``
``
①
cos a=sin a
∴ a=
;4Ò;
⑤
4 삼각함수의 미분 | 063
4ㅡ삼각함수의미분 채점 기준
¦
n=1
Á
❶ f(n)을 n에 관한 식으로 간단히 나타낼 수 있다.
❷ `
`f(n)의 값을 구할 수 있다.
참고
1
AB
=
1
{
B-A
1
A -
1
B }
(단, A+B)
배점
4점
3점
유형 18 사인함수와 코사인함수의 도함수 - 미분가능성
|전략| 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 x=0에서 연속임을 이용한다.
함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하므로 x=0에서 연속이다.
f(x)=f(0)이므로 3a=b
yy`㉠
… ❶
=b에서 f(b)=
, 즉 cos b=
… ❶
0460
0458
유형 01 삼각함수의 덧셈정리
|전략| cos (a+b)=cos a`cos b-sin a`sin b임을 이용한다.
함수 g(x)는 함수
`
f(x)의 역함수이므로
=a에서 f(a)=
, 즉 cos a=
g{;1¥7;}
g{;1!7%;}
;1¥7;
;1!7%;
;1¥7;
;1!7%;
이때, 00, sin b>0이므로
sin a=
1-
¾Ð
{;1¥7;}
=
;1!7%;
, sin b=
1-
¾Ð
{;1!7%;}
=
;1¥7;
∴ f(a+b) =cos(a+b)
2`
2`
=cos a
cos b-sin a
`
`
sin b
=
_
-
;1¥7;
;1!7%;
;1!7%;
;1¥7;
_
=0
채점 기준
❶ cos a, cos b의 값을 구할 수 있다.
❷ sin a, sin b의 값을 구할 수 있다.
❸ f(a+b)의 값을 구할 수 있다.
함수 f(x)와 그 역함수 g(x)에 대하여
g(b)=a
`f(a)=b`
HjK
… ❷
… ❸
0
배점
2점
2점
2점
즉, lim
0`
x
`2°`
또, f '(0)이 존재하므로
3aex (x>0)
f '(x)=
`
에서 `lim
x
`0+
`2°
[
cos x (x<0)
3aex=`lim
x
`0-
`2°
cos x
3a=1
∴ a=
;3!;
a=
을 ㉠에 대입하면 b=1
;3!;
∴ a+b=
+1=
;3!;
;3$;
채점 기준
❶ a, b 사이의 관계식을 구할 수 있다.
❷ a의 값을 구할 수 있다.
❸ b의 값을 구할 수 있다.
❹ a+b의 값을 구할 수 있다.
0459
유형 09 lim
`
`0
x`
2°
sin x
x
=1을 이용한 함수의 극한
|전략| lim
`0
x`
2°
sin`ax
ax =1임을 이용한다.
`f(n)=lim
0`
x
`2°`
x
sin x+sin 2x+sin 3x+ y +sin nx
=lim
x
0`
`2°`
1
sin x+sin 2x+sin 3x+ y +sin nx
x
122111111111111113
_2+
_3+ y +
sin nx
nx
1212
_n
=lim
0`
x
`2°`
sin x sin 2x
+
2x
x
131
1212
1
1+2+3+ y +n
=
1
sin 3x
3x
1212
=
1
n(n+1)
11113
11112
=
2
n(n+1)
¦
∴ `
`
`f(n)=lim
n
¦
k=1
`2°`
Á
n=1
Á
=2
n
2
k(k+1)
-
n
=2`lim
`
k=1{;k!;
n
¦
`2°`
Á
+ y +
-
lim
n
`
`2°`
¦[{
1-
;2!;}+{;2!;
;3!;}
1
k+1 }
1
-
{;n!;
n+1 }]
=2
=2_1=2
1-
lim
¦{
n
`
`2°`
1
n+1 }
064 | II . 여러 가지 함수의 미분
0461
유형 14 삼각함수의 극한 - 도형에의 활용
|전략| ACÓ를 삼각함수를 이용하여 나타낸 다음
S(h)=
_BCÓ_DCÓ_sin`h임을 이용한다.
;2!;
⑴ 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을
O, 원과 ACÓ가 만나는 점을 M
이라 하고, 선분 AO를 그으면
점 O는 삼각형 ABC의 내심이
A
므로
∠MAO=
∠CAB=
;2!;
h
2
C
1
M
h
h
O
B
2h 3h
D
H
h
2
h
… ❶
∠ CBD=∠CAB+∠BCA=h+h=2h
또, 점 C에서 선분 AD의 연장선 위에 내린 수선의 발을 H라 하면
∠ CDH=∠CBD+∠BCD=2h+h=3h
△AOM에서 ∠MAO=
이므로
h
2
… ❷
2
AMÓ=
∴ ACÓ=2AMÓ=
OMÓ
h
tan
2
1
=
h
tan
2
2
h
tan
2
… ❷
… ❸
… ❹
;3$;
배점
2점
3점
1점
1점
정답과 해설 ⑵ △CAH에서 ∠CAH=h이므로
CHÓ=ACÓ sin h=
2
_sin h=
h
tan
2
2
sin h
`
h
tan
2
△CBH에서 ∠CBH=2h이므로
BCÓ=
CHÓ
sin 2h
=
2
sin h
`
_
h
tan
2
1
sin 2h
=
2
sin h
`
h
tan
2 `
sin 2h
△CDH에서 ∠CDH=3h이므로
DCÓ=
CHÓ
sin 3h
=
2
sin h
`
_
h
tan
2
1
sin 3h
=
2
sin h
`
h
tan
2 `
sin 3h
∴ S(h)=
_BCÓ_DCÓ_sin h
;2!;
=
_
;2!;
2
sin h
`
h
tan
2 `
sin 2h
_
2
sin h
`
h
tan
2 `
sin 3h
_sin h
=
h
sinÜ
`
``
sin 2h
2
h
2 `
`
tanÛ
``
sin 3h
⑶ `lim
h
`0+
`2°
hS(h)
=`lim
h
`0+
`2°
h_
h
sinÜ
`
`
sin 2h
2
h
2 `
tanÛ
``
sin 3h
`
h
2
=2 `lim
`0+{
h
`2°
sin h
h }
_
h
tan
¼
2
2`
3`
»
_
2h
sin 2h
_
3h
sin 3h
_
;6$;
=2_1Ü`_1Û
_1_1_
=
;3@;
;3$;
`
⑴ ACÓ=
⑵ S(h)=
2
tan ;2Ç;;
2 sinÜ` h
tanÛ` ;2Ç;; sin 2h sin 3h
⑶
;3$;
채점 기준
⑴ ACÓ를 삼각함수를 이용하여 나타낼 수 있다.
⑵ S(h)를 삼각함수를 이용하여 나타낼 수 있다.
⑶ `lim
h`
`0+
2°
hS(h)의 값을 구할 수 있다.
배점
4점
5점
3점
`f(x)-f(a)
|전략| lim
`a
x`
2°
x-a
=f '(a)임을 이용한다.
t
⑴ f(x)=lim
t
x
`2°`
`
sin x-x
t-x
`
sin t
t
=lim
t
x
`2°`
`
sin x-x
`
sin x+x
t-x
`
sin x-x
sin t
`
(t-x)
sin x
`
t-x
-
x(sin t-sin x)
]
t-x
sin x-x_
sin t-sin x
t-x
}
=lim
t
x [
`2°`
=lim
t
x {
`2°`
g(t)=sin t로 놓으면
f(x)=lim
x [
t
`2°`
sin x-x_ `g(t)-g(x)
t-x
]
=sin x-xg'(x)=sin x-x
cos x
⑵ f '(x)=cos x-(cos x-x
sin x)=x
sin x
⑶ f '
{;6Ò;}
=
sin
=
;6Ò;
;6Ò;`
`
p
12
`
`
⑴ f(x)=sin x-x cos x ⑵ f '(x)=x sin x ⑶
;1É2;
채점 기준
⑴ f(x)를 간단히 할 수 있다.
⑵ f '(x)를 구할 수 있다.
⑶ f '
{;6Ò;}의 값을 구할 수 있다.
배점
5점
3점
2점
다른 풀이 ⑴ f(x)=lim
x {
t
`2°`
sin x-x_
t-x=a로 놓으면 t → x일 때 a → 0 이므로
sin t-sin x
t-x
에서
}
sin (a+x)-sin x
a
sin t-sin x
t-x
=lim
lim
x
t
0
a
`2°`
`2°`
g(x)=sin x로 놓으면
sin (a+x)-sin x
a
lim
0
a
`2°`
∴ f(x)=sin x-x`cos x
g(x+a)-g(x)
a
=lim
0
a
`2°`
=g'(x)=cos x
|전략| 삼각함수의 합성, 배각의 공식 등을 이용하여 주어진 함수를 최댓값, 최솟
창의·융합 교과서 속 심화문제
0463
값, 주기를 판단하기 쉬운 꼴로 변형한다.
ㄱ. y= `
f(x)
g(x)
=
3 sin x
4 cos x
=
tan x
;4#;
이므로 함수 y=
f(x)
g(x)
ㄴ. y=f(x)+g(x)+2=3 sin x+4 cos x+2
의 주기는 p이다. (참)
=5
sin x_
+cos x_
+2
{
;5#;
;5$;}
-3É5 sin (x+a)+2É7
그러므로 함수 y=f(x)+g(x)+2의 최솟값은 -3이다. (거짓)
ㄷ. y=f(x)g(x)=3 sin x_4 cos x=6 sin 2x
함수 y=f(px)g(px)=6 sin 2px의 주기는
=1이므로
y=|f(px)g(px)|=|6 sin 2px|의 주기는
이때, 0É|6 sin 2px|É6이므로 y=|f(px)g(px)|의 최댓값
은 6이다.
2p
2p
;2!;
4 삼각함수의 미분 | 065
0462
=5 sin (x+a)+2
{
단,`sin a=
, cos a=
;5$;
;5#;}
유형 17 사인함수와 코사인함수의 도함수 - 미분계수를 이용한 극한값의 계산
이때, -1Ésin (x+a)É1이므로
4ㅡ삼각함수의미분 그러므로 함수 y=|f(px)g(px)|의 주기와 최댓값의 곱은
Ú r=1, 2, 3, 4인 경우
aÛ`+bÛ`=rÛ`을 만족시키는 순서쌍은
(r, 0),`(-r, 0),`(0, r),`(0, -r)
③
의 4개이므로 조건을 만족시키지 않는다.
Û r=5인 경우
aÛ`+bÛ`=5Û`을 만족시키는 순서쌍은
0464
|전략| 삼각함수의 덧셈정리와 배각의 공식을 이용하여 삼각형 OPªQª의 넓이를
y
2h
Pª
O
h
PÁ
QÁ
Qª
x
_6=3이다. (참)
;2!;
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
A를 사용하여 나타낸다.
오른쪽 그림에서
∠OPÁQÁ=∠OPªQª=90ù
이므로 직각삼각형 OPÁQÁ의 넓이는
_OPÁÓ_PÁQÁÓ=
_1_tan h
;2!;
=
tan h
;2!;
;2!;
따라서
tan h=A에서 tan h=2A
;2!;
직각삼각형 OPªQª의 넓이는
_OPªÓ_PªQªÓ=
_1_tan 3h=
tan 3h`
;2!;
;2!;
;2!;
이때,
이므로
tan 2h=
2 tan h
1-tanÛ` h
=
2_2A
1-(2A)Û`
=
4A
1-4AÛ`
tan 3h=tan (2h+h)=
tan 2h+tan h
tan h
1-tan 2h
`
=
4A
1-4AÛ
1211
`
4A
1-
1121
1-4AÛ`
+2A
=
_2A
4A+2A-8AÜ`
1-4AÛ
12111211
1-4AÛ`-8AÛ`
1121111
1-4AÛ`
`
=
6A-8AÜ`
1-12AÛ`
따라서 삼각형 OPªQª의 넓이는
tan 3h=
_
;2!;
;2!;
6A-8AÜ`
1-12AÛ`
=
3A-4AÜ`
1-12AÛ`
3A-4AÜ`
1-12AÛ`
0465
|전략| △APB는 ∠APB=90ù인 직각삼각형이므로 APÓ, BPÓ를 삼각함수를
이용하여 나타낸 후 삼각함수의 합성을 이용하여 r의 최솟값을 구한다.
반원에 대한 원주각의 크기는 90ù이므로 ∠APB=90ù
오른쪽 그림에서 ∠PAB=h라 하면
P
APÓ=r`cos h, BPÓ=r`sin h
∴ a APÓ+b BPÓ
=ar cos h+br sin h
=r
aÛ`+bÛ`
{
"Ã
a
aÛ`+bÛ`
"Ã
cos h+
hA
r
B
sin h
}
"Ã
b
aÛ`+bÛ`
a
aÛ`+bÛ`
"Ã
b
aÛ`+bÛ` }
"Ã
=r
단, sin a=
aÛ`+bÛ` sin (h+a)
{
"Ã
, cos a=
이때, -1Ésin (h+a)É1이므로
-r
aÛ`+bÛ``Ér
"Ã
"Ã
이고, 최댓값이 r
"Ã
aÛ`+bÛ` sin (h+a)Ér
aÛ`+bÛ``
"Ã
aÛ`+bÛ` =rÛ`이므로 aÛ`+bÛ`=rÛ`
066 | III . 미분법
5
(5, 0), (4, 3), (3, 4), (0, 5), (-5, 0), (-4, -3),
(-3, -4), (0, -5), (-4, 3), (-3, 4), (4, -3), (3, -4)
의 12개이므로 조건을 만족시킨다.
따라서 자연수 r의 최솟값은 5이다.
0466
|전략| CHÓ=k라 하고 AHÓ, BHÓ, BCÓ, BDÓ, CDÓ를 각각 k와 삼각함수를 이
용하여 나타낸다.
직각삼각형 AHC에서 CHÓ=k라 하면 AHÓ=k tan 3h
직각삼각형 ABH에서 BHÓ=
AHÓ
tan 2h
=
k tan 3h
tan 2h
이므로
BCÓ=BHÓ+CHÓ=
k tan 3h
tan 2h
+k=k
{
1+
tan 3h
tan 2h }
직각삼각형 BCD에서
BDÓ=BCÓ cos h=k
{
1+
CDÓ=BCÓ sin h=k
{
1+
tan 3h
tan 2h }
cos h
tan 3h
tan 2h }
sin h
SÁ=
_BHÓ_AHÓ, Sª=
_CHÓ_AHÓ, S£=
_BDÓ_CDÓ
;2!;
;2!;
이때,
;2!;
이므로
SÁ+S£
Sª
=
+
=
SÁ
Sª
S£
Sª
BHÓ
CHÓ
+
BDÓ_CDÓ
CHÓ_AHÓ
k
1+
{
tan 3h
tan 2h }
cos h_k
1+
{
tan 3h
tan 2h }
sin h
k_k tan 3h
1+
{
tan 3h
tan 2h }
cos h sin h
tan 3h
2`
k tan 3h
tan 2h
k
+
=
=
tan 3h
tan 2h
+
∴ `lim
`0+
h`
2°
SÁ+S£
Sª
(
= lim
{
`0+
h`
9
2°
tan 3h
tan 2h
+
1+
{
tan 3h
tan 2h }
cos h sin h
tan 3h
2`
= lim
`0+
h`
2°
tan 3h
3h
_
2h
tan 2h
_
;2#;
+ lim
`0+
h`
2°
(
{
9
1+
sin 2h
{
2 tan 3h
tan 3h
tan 2h }
2`
=1_1_
;2#;
+ lim
_
`0+;3!;
h`
2°
sin 2h
2h
_
3h
tan 3h {
1+
_
;2#;
2h
tan 2h
_
tan 3h
3h }
=
+
;2#;
;3!;
_1_1_
1+
_1_1
{
;2#;
=
;1$2#;
}
2`
2`
;1$2#;
정답과 해설 5 여러 가지 미분법
본책 78~95쪽
0474
y=
xÛ`+1
xÝ`
=
1
xÛ`
+
1
xÝ`
=x-2+x-4이므로
y'=-2x-2-1+(-4)_x-4-1=-2x-3-4x-5
개념 마스터
(x-1)'
(x-1)Û`
=-
1
(x-1)Û`
y'=-
1
(x-1)Û`
(ln x)'
(ln x)Û`
=-
1
x(ln x)Û`
y'=-
1
x(ln x)Û`
=-
-
2
xÜ`
4
xÞ`
0475
OPÓ=
"Ã
(-3)Û`+4Û`=5
⑴ csc h=
;4%;
⑵ sec h=
⑶ cot h=
5
-3
-3
4
=-
;3%;
=-
;4#;
y'=-
-
2
xÜ`
4
xÞ`
⑴ ;4%; ⑵ -
;3%; ⑶ -
;4#;
y'=
5
(x+2)Û`
⑴ csc
=
;6Ò;
=
=2
0476
sin
;6Ò;
1
1
cos
;4Ò;
1
1
;2!;
1
1
2
'
=
⑵ sec
=
;4Ò;
=
=
2
'
⑶ cot
`p=
;3@;
tan
p
;3@;
1
3
'
-
3
=- '
3
y'=
(2x-1)'(x+2)-(2x-1)(x+2)'
(x+2)Û``
=
2(x+2)-(2x-1)
(x+2)Û``
=
5
(x+2)Û`
y'=
(xÛ`-2)'(2x+1)-(xÛ`-2)(2x+1)'
(2x+1)Û`
=
2x(2x+1)-(xÛ`-2)_2
(2x+1)Û`
=
2xÛ`+2x+4
(2x+1)Û`
y'=
2xÛ`+2x+4
(2x+1)Û`
y'=
(x)'eÅ`-x(eÅ`)'
(eÅ`)Û`
=
eÅ`-xeÅ`
eÛ`Å`
=
eÅ`(1-x)
eÛ`Å`
=
1-x
eÅ`
y'=
1-x
eÅ`
⑴ 2 ⑵
'
3
2 ⑶ - '
3
0477
tan h+cot h=
sin h
cos h
+
cos h
sin h
=
sinÛ` h+cosÛ` h
sin h`cos h
=
1
sin h cos h
sin h+cos h=
의 양변을 제곱하면
;2!;
sinÛ` h+2sin h cos h+cosÛ` h=
;4!;
1+2sin h cos h=
∴ sin h`cos h=-
;4!;
;8#;
∴ tan h+cot h=
1
sin h cos h
=-
;3*;
-
;3*;
y'=
(sin x+1)'cos x-(sin x+1)(cos x)'
(cos x)Û`
cos x cos x-(sin x+1)(-sin x)
cosÛ` x
cosÛ` x+sinÛ` x+sin x
cosÛ` x
1+sin x
cosÛ` x
y'=
1+sin x
cosÛ` x
0478
cot h=
1
tan h
=
;3!;
이므로
y'=3_(-5)_x-5-1=-15x-6=-
15
xß`
y'=-
15
xß`
0479 y'=secÛ` x-sin x
2`
cscÛ` h=1+cotÛ` h=1+
{;3!;}
=
:Á9¼:
:Á9¼:
5 여러 가지 미분법 | 067
STEP1
0467
y'=-
0468
y'=-
0469
0470
0471
0472
=
=
=
0473
5ㅡ여러가지 미분법
0494
0495
0496
0497
dx
dt
0480 y'=sec x tan x-csc x cot x
0488
y'=-cscÛ` xÛ`_(xÛ`)'=-2x cscÛ` xÛ``
y'=-2x cscÛ` xÛ
0481
y' =(x)' cot x+x(cot x)'=cot x+x(-cscÛ` x)
=cot x-x cscÛ` x
y'=cot x-x cscÛ` x
0489
y'=cos (tan x)_(tan x)'=cos (tan x) secÛ` x
y'=cos (tan x) secÛ` x
0482
y' =3(2x-1)Û`_(2x-1)'=3(2x-1)Û`_2
=6(2x-1)Û`
y'=6(2x-1)Û`
0490
y'=exÛ`-x_(xÛ`-x)'=(2x-1)exÛ`-x
y'=(2x-1)exÛ`-x
=(2-x)-3이므로
y'=-3(2-x)-4_(2-x)'=-3(2-x)-4_(-1)
0483
y=
1
(2-x)Ü``
=
3
(2-x)Ý``
0491
y'=55x+1 ln 5_(5x+1)'=55x+2 ln 5
y'=55x+2 ln 5
0492
y'=2cos x ln 2_(cos x)'=-2cos x ln 2_sin x
y'=
3
(2-x)Ý`
y'=-2cos x ln 2_sin x
0484
y'={(3x+1)Û`}'(xÛ`-1)+(3x+1)Û`(xÛ`-1)'
=2(3x+1)_(3x+1)'_(xÛ`-1)+(3x+1)Û`_2x
=6(3x+1)(xÛ`-1)+2x(3x+1)Û``
=2(3x+1)(6xÛ`+x-3)
y'=2(3x+1)(6xÛ`+x-3)
0493
y'=(x)' ln |x|+x(ln |x|)'
=ln |x|+x_
=ln |x|+1
;[!;
y'=ln |x|+1
y'=
(x-1)'(xÜ`+1)Û`-(x-1){(xÜ`+1)Û`}'
(xÜ`+1)Ý`
(xÜ`+1)Û`-(x-1){2(xÜ`+1)_(xÜ`+1)'}
(xÜ`+1)Ý`
(xÜ`+1)Û``-(x-1)_6xÛ`(xÜ`+1)
(xÜ`+1)Ý`
0485
=
=
=
y'=
(3x+1)'
(3x+1) ln 2
=
3
(3x+1) ln 2
y'=
3
(3x+1) ln 2
y'=
(eÅ`+1)'
eÅ`+1
=
eÅ`
eÅ`+1
y'=
eÅ`
eÅ`+1
-5xÜ`+6xÛ`+1
(xÜ`+1)Ü`
y'=
-5xÜ`+6xÛ`+1
(xÜ`+1)Ü`
y'=
(sin x)'
sin x
=
cos x
sin x
=cot x
y'=cot x
0486
y'=3 sin2 x_(sin x)'=3 sinÛ` x cos x
y'=3 sinÛ` x cos x
함수 f(x)가 미분가능할 때
⑴ y=sin f(x) ⇨ y'=cos f(x)_f '(x)`
⑵ y=cos f(x) ⇨ y'=-sin f(x)_f '(x)
⑶ y=sinÇ` f(x) ⇨ y'=n sinn-1 f(x)_cos f(x)_f '(x)
⑷ y=cosÇ` f(x) ⇨ y'=n cosn-1 f(x)_{-sin f(x)}_f '(x)
(단, n은 정수)
0487
y'=-sin (2x+3)_(2x+3)'=-2 sin (2x+3)
y'=-2 sin (2x+3)
=3,
=4t이므로
dy
dx
=
=
4t
3
=
t
;3$;
dy
dt
dy
12dt
122dx
12dt
0498
dx
dt
dy
dx
=
=2t,
=-
이므로
1
tÛ`
1
-
tÛ``
1
1122t
dy
dt
dy
12dt
122dx
12dt
=
=-
1
2tÜ`
068 | III . 미분법
dy
dx
=
t
;3$;
dy
dx
=-
1
2tÜ`
정답과 해설 y'=
3
x
'§
2
y'=-
e
xe+1
dy
dx
=-
x+1
y-3
`(y+3)
x
1-xÛ``
"Ã
y'=-
x
1-xÛ``
"Ã
dy
dx
=2et+2
0499
dx
dt
=et+1,
=2e2t+3이므로
dy
dt
dy
dx
=
=
2e2t+3
et+1 =2et+2
0500
dx
dh
=1-cos h,
=sin h이므로
dy
dh
dy
12dt
122dx
12dt
dy
12dh
122dx
12dh
dy
dx
=
=
sin h
1-cos h
dy
dx
=
sin h
1-cos h
0509
0501
(x+1)Û`+(y-3)Û`=2의 각 항을 x에 대하여 미분하면
2(x+1)+2(y-3)
=0
dy
dx
∴
=-
`(y+3)
dy
dx
x+1
y-3
0502
xy=4의 각 항을 x에 대하여 미분하면
y+x
dy
dx
=0
∴
=-
;[};
dy
dx
dy
dx
=-
;[};
dy
dx
dy
dx
2x-3yÛ`
+6xy+3xÛ`
=0
dy
dx
(3xÛ`-3yÛ`)
=-2x-6xy
∴
=-
dy
dx
2x+6xy
3xÛ`-3yÛ`
`(xÛ`+yÛ`)
0504
sin x+cos y=1의 각 항을 x에 대하여 미분하면
cos x-sin y
=0
dy
dx
dy
dx
=-
2x+6xy
3xÛ`-3yÛ`
`(xÛ`+yÛ`)
0505
1
x
y=
'§
=x-
;5!;이므로
y'=-
x-
;5!;
-1=-
x-
;5^;=-
;5!;
;5!;
1
5x Þ
'§
x
y'=-
1
5x Þ
'
x
0506
y=x
'§
;2#;
x=x;2#;이므로
y'=
x;2#;
-1=
x;2!;=
3
x
'§
2
;2#;
'
0507 y'=
3-1
3x'
0508
y'=-ex-e-1=-
e
xe+1
y=
1-xÛ`=(1-xÛ`);2!;이므로
y'=
(1-xÛ`);2!;
-1_(1-xÛ`)'
(1-xÛ`)-
;2!;_(-2x)
y=Ü
2x-5=(2x-5);3!;이므로
y'=
(2x-5);3!;
-1_(2x-5)'
(2x-5)-
;3@;_2
2
(2x-5)Û``
3 Ü
"Ã
0511
x=yÜ`의 양변을 y에 대하여 미분하면
"Ã
;2!;
=
;2!;
=-
0510
'Ä
;3!;
=
;3!;
=
dx
dy
=3yÛ``
∴
dy
dx
=
0512
y=ß
'
dx
dy
=6yÞ`
0513
y=Ü
'Ä
dx
dy
=3yÛ``
=
1
3yÛ``
=
1
x)Û`
=
3(Ü
'§
1
3 Ü
xÛ`
"
1
dx
dy
x=yÜ`에서 y=Ü
3yÛ`=3(Ü
x)Û`
'
'
x이므로
dy
dx
=
1
xÛ`
3 Ü
"
x에서 x=yß`이므로 양변을 y에 대하여 미분하면
x-3에서 x=yÜ`+3이므로 양변을 y에 대하여 미분하면
5 여러 가지 미분법 | 069
∴
dy
dx
=
cos x
sin y
`(sin y+0)
dy
dx
=
cos x
sin y
`(sin y+0)
∴
dy
dx
=
1
dx
dy
=
1
6yÞ``
=
1
x)Þ`
=
6(ß
'§
1
6 ß
xÞ`
"
dy
dx
=
1
xÞ`
6 ß
"
0503
xÛ`-yÜ`+3xÛ`y-1=0의 각 항을 x에 대하여 미분하면
y'=
2
(2x-5)Û``
3 Ü
"Ã
5ㅡ여러가지 미분법Þ
∴
dy
dx
=
=
1
3yÛ``
=
1
dx
dy
1
x-3)Û`
=
3(Ü
'Ä
1
(x-3)Û`
3 Ü
"Ã
유형 마스터
유형 마스터
STEP2
0522
dy
dx
=
1
(x-3)Û`
3 Ü
"Ã
|전략| 함수 g(x)(g(x)+0)가 미분가능할 때,
[
'
1
g(x) ]
=-
g'(x)
{g(x)}Û`
임을
y"=24x
이용한다.
f(1+h)-f(1-h)
lim
h
`0
h`
2°
{`f(1+h)-f(1)}-{ f(1-h)-f(1)}
=lim
h
h`
`0
2°
`f(1+h)-f(1)
=lim
h
h`
`0
2°
`f(1-h)-f(1)
+lim
-h
h`
`0
2°
=f '(1)+f '(1)=2f '(1)
y"=
2
xÜ`
`f(x)=
에서 `f '(x)=-
1
xÛ`+1
2x
(xÛ`+1)Û`
다른 풀이 y=
=x-1에서 y'=-x-2이므로
;[!;
∴ 2f '(1)=2_
-
=-1
{
;2!;}
①
0523
`f(x)=
에서 `f '(x)=-
1
eÅ`-1
eÅ`
(eÅ`-1)Û`
∴ f '(ln 2)=-
eln 2
(eln 2-1)Û`
=-
2
(2-1)Û`
=-2
④
1
4(x+1)
x+1
'Ä
y"=-
1
4(x+1)
x+1
'Ä
0524
`f(1)=1이므로
`f(x)-1
lim
xÛ`-1
`1
x`
2°
`f(x)-f(1)
=lim
xÛ`-1
x`
`1
2°
y"=4e-2x
=lim
`1[
x`
`f(x)-f(1)
x-1
_
1
x+1 ]
=
f '(1)
2°
;2!;
y"=-
1
xÛ`
`f(x)=-
에서 `f '(x)=-
2
xÛ`-3
2_2x
(xÛ`-3)Û` ]
=
4x
(xÛ`-3)Û`
[-
∴
f '(1)=
_
;2!;
;2!;
4
(1-3)Û`
=
;2!;
;2!;
y'=ln x+x_
=ln x+1이므로
;[!;
0520
y"=
;[!;
y"=-9 sin 3x
0525
|전략| 두 함수 f(x), g(x) (g(x)+0)가 미분가능할 때,
'
f(x)
g(x) ]
[
=
f '(x)g(x)-f(x)g'(x)
{g(x)}Û`
임을 이용한다.
`f(x)=
ax+b
xÛ`+x+1
에서
y"=
;[!;
`f '(x)=
a(xÛ`+x+1)-(ax+b)(2x+1)
(xÛ`+x+1)Û`
`
0521
y'=eÅ` cos x+eÅ`(-sin x)=eÅ`(cos x-sin x)이므로
y"=eÅ`(cos x-sin x)+eÅ`(-sin x-cos x)
`f '(0)=-3에서 a-b=-3
yy`㉠
`f '(-1)=1에서 a+(-a+b)=1
∴ b=1
b=1을 ㉠에 대입하면 a=-2
=-2eÅ` sin x
y"=-2eÅ` sin x
∴ a+b=-1
-1
정답과 해설
0514
y'=12xÛ`+2이므로
y"=24x
0515
y'=-
이므로
1
xÛ`
y"=-
-
{
2x
xÝ` }
=
2
xÜ`
y"=2x-3=
2
xÜ`
0516
y=
'Ä
x+1=(x+1);2!;에서
y'=
(x+1)-
;2!;이므로
;2!;
y"=-
(x+1)-
;2#;=-
;4!;
0517
y'=-2e-2x이므로
y"=4e-2x
0518
5
5x
y'=
y"=-
1
xÛ`
=
;[!;
이므로
0519
y'=3 cos 3x이므로
y"=-9 sin 3x
070 | III . 미분법
0526
1
g(0)+3
0527
에서 `f '(x)= g(x)+3-xg'(x)
{g(x)+3}Û``
`f(x)=
x
g(x)+3
`f '(0)=1에서 g(0)+3
{g(0)+3}Û`
=1
=1, g(0)+3=1
∴ g(0)=-2
①
다른 풀이 y'=
0530
y=
xÞ`-3x+1
xÛ``
=xÜ`-
+
;[#;
1
xÛ``
=xÜ`-3x-1+x-2에서
y'=3xÛ`+3x-2-2x-3=3xÛ`+
3
xÛ`
-
2
xÜ`
y'=3xÛ`+
3
xÛ`
-
2
xÜ`
(5xÝ`-3)xÛ`-(xÞ`-3x+1)_2x
xÝ`
=
3xÞ`+3x-2
xÜ`
=3xÛ``+
-
3
xÛ`
2
xÜ`
`f(x)=
xÛ`-3x+5
xÛ`+1
에서
`f '(x)=
(2x-3)(xÛ`+1)-(xÛ`-3x+5)_2x
(xÛ`+1)Û``
`
=
(x-3)(3x+1)
(xÛ`+1)Û``
`
이때, (xÛ`+1)Û`>0이므로 `f '(x)É0에서
(x-3)(3x+1)É0
∴ -
ÉxÉ3
;3!;
따라서 `f '(x)É0을 만족시키는 정수 x는 0, 1, 2, 3의 4개이다.
채점 기준
❶ f '(x)를 구할 수 있다.
❷ f '(x)É0을 만족시키는 x의 값의 범위를 구할 수 있다.
❸ f '(x)É0을 만족시키는 정수 x의 개수를 구할 수 있다.
0528
`f
{;3Ò;}
=
1-sin
;3Ò;
=
cos
;3Ò;
1-
3
'
2
12
;2!;
=2-
3이므로
'
`f(x)-2+
lim
`
x`
;3Ò;
2°
x-
3
'
`f(x)-f
= lim
x`
;3Ò;
2°
x-
`
;3Ò;
{;3Ò;}
=f '
{;3Ò;}
;3Ò;
1-sin x
cos x
`f(x)=
에서
`f '(x)=
(-cos x)cos x-(1-sin x)(-sin x)
(cos x)Û`
=
-cosÛ` x+sin x-sinÛ` x
cosÛ` x
=
sin x-1
cosÛ` x
∴ f '
=
{;3Ò;}
=2
3-4
'
2
3-4
'
sin
-1
;3Ò;
=
cosÛ`
;3Ò;
3
'
2
-1
;4!;
0529
|전략| n이 정수일 때, (xÇ`)'=nxÇ` ÑÚ`임을 이용한다.
… ❶
… ❷
… ❸
4
비율
50`%
30`%
20`%
0531
|전략| sinÛ` h+cosÛ` h=1, 1+tanÛ` h=secÛ` h임을 이용한다.
csc h
sec h-tan h
+
csc h
sec h+tan h
=
csc h(sec h+tan h)+csc h(sec h-tan h)
(sec h-tan h)(sec h+tan h)
=
2 csc h sec h
secÛ` h-tanÛ` h
=2 csc h sec h=
1+tanÛ` h=secÛ` h이므로
secÛ` h-tanÛ` h=1
2
sin h cos h
이때, sin h+cos h=
의 양변을 제곱하면
;3!;
sinÛ` h+2 sin h cos h+cosÛ` h=
;9!;
1+2 sin h cos h=
∴ sin h cos h=-
;9$;
∴
2
sin h cos h
=
=-
;2(;
;9!;
2
-;9$;
0532
(1+tan h+sec h)(1+cot h-csc h)
=
1+
{
sin h
cos h
+
1
cos h }{
1+
cos h
sin h
-
1
sin h }
=
cos h+sin h+1
cos h
_
sin h+cos h-1
sin h
=
(cos h+sin h)Û`-1
cos h`sin h
=
cosÛ` h+2 cos h sin h+sinÛ` h-1
cos h sin h
=
2 cos h sin h
cos h sin h
=2
`f(x)=
+
+
+
=x-2+2x-3+3x-4+4x-5에서
1
xÛ`
2
xÜ`
3
xÝ`
4
xÞ`
`f '(x) =-2x-3+2_(-3)x-4+3_(-4)x-5+4_(-5)x-6
0533
secÛ` h+cscÛ` h=
1
cosÛ` h
+
1
sinÛ` h
=
sinÛ` h+cosÛ` h
cosÛ` h sinÛ` h
=-2x-3-6x-4-12x-5-20x-6
∴ f '(1) =-2-6-12-20=-40
②
=
1
(cos h sin h)Û`
①
④
5 여러 가지 미분법 | 071
5ㅡ여러가지 미분법 ∴ f '
{;4Ò;}
=sec
sec
-tan
;4Ò;{
;4Ò;
;4Ò;}
=
1
1
cos
;4Ò;
cos
;4Ò;
-tan
;4Ò;
=
2(
2-1)=2-
2
'
'
'
¥
¦
①
0537
f(p+h)-f(p)
lim
h
`0
h`
2°
`f(x)=sin x+tan x에서 f '(x)=cos x+secÛ` x이므로
=f '(p)
`f '(p)=cos`p+secÛ``p=-1+(-1)Û`=0
④
0538
`f(x)=tan x에서 f '(x)=secÛ` x이므로
`f '(a)+f '(b)+f '(c)
=secÛ` a+secÛ` b+secÛ` c
=(1+tanÛ` a)+(1+tanÛ` b)+(1+tanÛ` c)=3
∴ tanÛ` a+tanÛ` b+tanÛ` c=0
이때, tanÛ` a¾0, tanÛ` b¾0, tanÛ` c¾0이므로
20
tanÛ` a=tanÛ` b=tanÛ` c=0
∴ tan a=tan b=tan c=0
∴ f(a)+f(b)+f(c)=tan a+tan b+tan c=0
①
0539
yy`㉠
|전략| 두 함수 y=f(u), u=g(x)가 미분가능할 때, 합성함수 h(x)=f(g(x))
의 도함수는 h'(x)=f '(g(x))g'(x)임을 이용한다.
yy`㉡
yy`㉢
h(x)=( f½g)(x)=f(g(x))에서
h'(x)=f '(g(x))g'(x)
∴ h'(0) =f '(g(0))g'(0)=f '(-1)g'(0)
5
(x+1)Û`
4(x+1)-(4x-1)
(x+1)Û`
이때, g'(x)=
=
g'(0)=5
따라서 h'(0)=15, g'(0)=5를 ㉠에 대입하면
5f '(-1)=15
`f '(-1)=3
∴
yy`㉠
이므로
=6Û`=36
36
이때, tan h+cot h=6에서
sin h
cos h
+
cos h
sin h
=6,
sinÛ` h+cosÛ` h
cos h sin h
=6
∴
1
cos h sin h
=6
∴
1
(cos h sin h)Û`
0534
1-cot h
1+tan h
+
1+cot h
1-tan h
(1-cot h)(1-tan h)+(1+cot h)(1+tan h)
(1+tan h)(1-tan h)
2+2 cot h tan h
1-tanÛ` h
cot h tan h=
_tan h=1
1
tan h
=
=
=
4
1-tanÛ` h
이때, sin h=-
에서 sinÛ` h=
;3@;
;9$;
또, cosÛ` h=1-sinÛ` h=1-
=
;9$;
;9%;
이므로
tanÛ` h=
sinÛ` h
cosÛ` h
=
=
;5$;
∴
4
1-tanÛ` h
=
=20
1-
;5$;
;9$;
;9%;
4
0535
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
sec h+csc h=
1
cos h
+
1
sin h
=a에서
sin h+cos h
cos h sin h
=a
sec h`csc h=
1
cos h sin h
=2에서
cos h sin h=
;2!;
㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면
sin h+cos h=
;2A;
㉢의 양변을 제곱하면
sinÛ` h+2 sin h cos h+cosÛ` h=
aÛ`
4
'
072 | III . 미분법
1+2_
=
, aÛ`=8
∴ a=2
2 (∵ a는 양수)
④
aÛ`
4
;2!;
0536
|전략| 주어진 함수를 간단히 한 후 (tan x)'=secÛ` x, (sec x)'=sec x`tan x
임을 이용한다.
`f(x)=
1-csc x
cot x
=
1
cot x
-
csc x
cot x
csc x
cot x
=
1
sin x
_
sin x
cos x
=
1
cos x
=sec x
0540
h(x)=( f½g)(x)=f(g(x))에서
h'(x)=f '(g(x))g'(x)
∴ h'(1) =f '(g(1))g'(1)=f '(0)g'(1)
`f '(x)=secÛ` x-sec x tan x=sec x(sec x-tan x)
`f '(0)=1
=tan x-sec x이므로
이때, `f '(x)=
xÛ`+1-x_2x
(xÛ`+1)Û`
=
-xÛ`+1
(xÛ`+1)Û`
이므로
3
yy`㉠
정답과 해설 g'(x)=2x-5이므로 g'(1)=-3
따라서 `f '(0)=1, g'(1)=-3을 ㉠에 대입하면
h'(1)=1_(-3)=-3
-3 f '(-3x+2)=3xÛ`-2x+1
위의 식의 양변에 x=-1을 대입하면
①
-3 f '(5)=3+2+1=6
∴ `f '(5)=-2
③
0541
`f( f(x))=g(x)로 놓으면 g(1)=f( f(1))=f(2)=2이므로
g(x)-g(1)
x-1
f( f(x))-2
lim
x-1
`1
x`
2°
=lim
x`
2°
=g'(1)
`1
이때, g'(x)=f '( f(x))f '(x)이므로
g'(1) =f '( f(1))f '(1)=f '(2)f '(1)
=4_3=12
0545
`f(2x-3)=sin 2px-cos px의 양변을 x에 대하여 미분하면
2 f '(2x-3)=2p cos 2px+p sin px
위의 식의 양변에 x=1을 대입하면
2 f '(-1)=2p cos 2p+p sin p=2p
12
∴ f '(-1)=p
④
=3에서 x`
`2일 때 (분모)
`0이고 극한값이 존재하
2°
2°
임을 이용한다.
0542
f(x)+1
lim
x-2
`2
x`
2°
므로 (분자)
`0이다.
2°
즉, lim
x`
2°
{ f(x)+1}=0이므로 f(2)=-1
`2
`f(x)-f(2)
=lim
x-2
`2
x`
2°
`f(x)+1
∴ lim
x-2
x`
`2
2°
g(x)-2
x+1
또, lim
`-1
x`
2°
이 존재하므로 (분자)
`0이다.
2°
즉, lim
`-1
x`
2°
∴` lim
`-1
x`
2°
{g(x)-2}=0이므로 g(-1)=2
g(x)-g(-1)
g(x)-2
x-(-1)
x+1
= lim
`-1
x`
2°
=f '(2)=3
… ❶
=2에서 x`
-1일 때 (분모)
`0이고 극한값
2°`
2°
=g'(-1)=2 … ❷
이때, y=(g½f)(x)=g( f(x))에서 y'=g'( f(x))f '(x)
따라서 함수 y=(g½f`)(x)의 x=2에서의 미분계수는
g'( f(2))f '(2)=g'(-1)f '(2)=2_3=6
채점 기준
❶ `f(2), f '(2)의 값을 구할 수 있다.
❷ `g(-1), g'(-1)의 값을 구할 수 있다.
❸ 함수 y=(g½f )(x)의 x=2에서의 미분계수를 구할 수 있다.
… ❸
6
비율
40`%
40`%
20`%
0543
|전략| 함수 f(x)가 미분가능할 때, { f(ax+b)}'=a f '(ax+b)임을 이용한
다.
`f(x)=f(3x-1)의 양변을 x에 대하여 미분하면
`f '(x)=3 f '(3x-1)
㉠의 양변에 x=2를 대입하면 `f '(2)=3 f '(5)
`f '(2)=6이므로 3 f '(5)=6
∴ f '(5)=2
㉠의 양변에 x=5를 대입하면 `f '(5)=3f '(14)
0546
|전략| 함수 f(x)가 미분가능할 때, [{ f(x)}Ç`]'=n{ f(x)}n-1f '(x)(n은 정수)
g(x)={ f(x)+1}Ü`에서 g'(x)=3{ f(x)+1}Û``f '(x)
∴ g'(1)=3{`f(1)+1}Û``f '(1)
yy`㉠
`f(x)=
에서 f '(x)=-
∴ f '(1)=-2
1
2x-1
2
(2x-1)Û`
f(1)=1, f '(1)=-2를 ㉠에 대입하면
g'(1)=3(1+1)Û`_(-2)=-24
-24
0547
`f(x)=
x+a
2x+1 }
{
에서
`f '(x)=3
3`
x+a
2x+1 }
x+a
2x+1 }
'
{
=3
x+a
2x+1 }
_
2x+1-(x+a)_2
(2x+1)Û`
{
{
2`
2`
=
3(x+a)Û`(1-2a)
(2x+1)Ý`
`f '(0)=-3에서 3aÛ`(1-2a)=-3
2aÜ`-aÛ`-1=0, (a-1)(2aÛ`+a+1)=0
∴ a=1 (∵ a는 정수)
①
0548
`f(x)=cosÜ` (2x-p)에서
`f '(x) =3 cosÛ` (2x-p)_{-sin (2x-p)}_2
=-6 cosÛ` (2x-p) sin (2x-p)
yy`㉠
∴ `f '
{;3Ò;}
=-6 cosÛ`
{
-
;3Ò;}
sin
{
-
;3Ò;}
sin (-x)=-sin x
cos (-x)=cos x
=-6 cosÛ``
-sin
{
;3Ò;
=-6_
`_
- '
=
{;2!;}
{
;3Ò;}
3
2 }
3
3
'
4
3
3
'
4
`f '(5)=2이므로 3 f '(14)=2
∴ f '(14)=
;3@;
;3@;
0549
y={xÛ` f(x)}Û`에서
0544
`f(-3x+2)=xÜ`-xÛ`+x+5의 양변을 x에 대하여 미분하면
y' =2{xÛ` f(x)}{xÛ` f(x)}'
=2{xÛ` f(x)}{2xf(x)+xÛ` f '(x)}
5 여러 가지 미분법 | 073
5ㅡ여러가지 미분법2
이므로 x=1에서의 미분계수는
2{1Û`_f(1)}{2_1_f(1)+1Û`_f '(1)}=2_1_(2+2)=8
0554
log {(x+1)f(x)} =log (x+4)+log (xÜ`+1)
②
=log (x+4)(xÜ`+1)
;5^;
이므로
(x+1)f(x)=(x+4)(xÜ`+1)
∴ f(x)=(x+4)(xÛ`-x+1) (x+-1)
`f '(x) =(xÛ`-x+1)+(x+4)(2x-1)
=(xÛ`-x+1)+(2xÛ`+7x-4)
①
3(xÛ`+2x-1)
(x+4)(xÛ`-x+1)
=3(xÛ`+2x-1)
g(x)=ln |f(x)|에서
f '(x)
f(x)
g'(x)=
=
∴ g'(1)=
3_2
5_1
=
;5^;
0555
`f(x)=log£ (3x-1)Ü`=3 log£ (3x-1)에서
`f '(x)=3_
3
(3x-1) ln 3
=
9
(3x-1) ln 3
⑤
`f '(a)=
에서
3
ln 3
9
(3a-1) ln 3
=
3
ln 3
=1, 3a-1=3
∴ a=
;3$;
;3$;
3
3a-1
0556
`f '(n)=
2n
nÛ`-1
`f(x)=ln (xÛ`-1)에서 f '(x)=
이므로
2x
xÛ`-1
¦
∴`
`f '(n)
n
¦
=
1
n
_
2n
nÛ`-1
¦
=`
2
nÛ`-1
n=2
Á
=
n=2
Á
2
(n-1)(n+1)
=lim
`¦`
n`
n
1
k-1
-
1
k+1 }
n=2
Á
¦
n=2
Á
2°
k=2{
Á
`¦[{
n`
2°
=lim
1-
+
-
-
;3!;}
{;2!;
;4!;}+{;3!;
;5!;}
+ y +
1
n-2
{
-
;n!;}+{
1
n-1
-
1
n+1 }]
=lim
`¦{
n`
1+
;2!;
-
;n!;
-
2°
1
n+1 }
=
;2#;
;2#;
0557
분한다.
|전략| 주어진 식의 양변의 절댓값에 자연로그를 취한 후 양변을 x에 대하여 미
의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면
`f(x)=
(x+1)Ü`
xÛ`(x-1)
ln |`f(x)|=ln
|
(x+1)Ü`
xÛ`(x-1) |
-2
3e
'
f '(x)
f(x)
임을
0550
|전략| 함수 f(x)가 미분가능할 때, {af(x)}'=af(x) ln a_f '(x)임을 이용한다.
(단, a>0, a+1)
`f(p+2h)-f(p)
=2 lim
2h
h`
`0
`f(p+2h)-f(p)
lim
h
h`
`0
2°
`f(x)=2sin x에서
`f '(x)=2sin x ln 2_(sin x)'=2sin x ln 2_cos x
∴ 2 f '(p)=2_2sin p_ln 2_cos p=-2 ln 2
2°
=2 f '(p)
0551
`f(x)=
`f '(x)=
에서
xÛ`+1
eÛ`Å`
2x_e2x-(xÛ`+1)_2e2x
(eÛ`Å`)Û`
2e2x(x-xÛ`-1)
eÝ`Å`
=
=
2(x-xÛ`-1)
eÛ`Å`
∴ f(1)-f '(1)=
-
2
eÛ`
-2
eÛ`
=
4
eÛ`
0552
h(x)=g( f(x))로 놓으면 h(x)=2e2 cos x이므로
h
{;3Ò;}
=2e2 cos
;3Ò;=2e
∴ lim
x`
;3Ò;
2°
`
g( f(x))-2e
x-
;3Ò;
h(x)-h
= lim
x`
;3Ò;
2°
x-
`
;3Ò;
{;3Ò;}
=h'
{;3Ò;}
h(x)=2e2 cos x에서
h'(x)=2e2 cos x_(2`cos`x)'=-4e2 cos x sin x이므로
h'
{;3Ò;}
=-4e2 cos
;3Ò;_sin
;3Ò;
3
=-4e_ '
2
=-2
3e
'
|전략| 함수 f(x)가 미분가능하고 f(x)+0일 때, {ln |f(x)|}'=
0553
이용한다.
;2!;
∴ y'=
=
=
y=ln
¾Ð
1-cos x
1+cos x
=
ln
;2!;
1-cos x
1+cos x
=
{ln (1-cos x)-ln (1+cos x)}
sin x
1-cos x
-sin x
1+cos x }
-
;2!;
{
sin x(1+cos x)+sin x(1-cos x)
2(1-cosÛ` x)
2`sin x
2`sinÛ` x
=
1
sin x
074 | III . 미분법
따라서 x=
에서의 미분계수는
=
=2
⑤
;6Ò;
1
sin
;6Ò;
1
;2!;
=3 ln |x+1|-2 ln |x|-ln |x-1|
위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
정답과 해설 `f '(x)
f(x)
=
3
x+1
-
-
2
x
1
x-1
∴ f '(x)=f(x)
3
x+1
{
-
-
2
x
1
x-1 }
3Ü`
2Û`_1
:ª4¦:
`f(2)=
=
:ª4¦:
이므로
`f '(2)=
_(1-1-1)=-
:ª4¦:
다른 풀이 함수의 몫의 미분법을 이용하면
`f '(x)=
3(x+1)Û`_xÛ`(x-1)-(x+1)Ü`{2x(x-1)+xÛ`}
{xÛ`(x-1)}Û`
x(x+1)Û`{3x(x-1)-(x+1)(3x-2)}
xÝ`(x-1)Û`
=
=
2(x+1)Û`(1-2x)
xÜ`(x-1)Û`
2_3Û`_(-3)
2Ü`_1Û`
=-
:ª4¦:
∴ f '(2)=
`f(x)=xsin x의 양변에 자연로그를 취하면
ln f(x)=ln xsin x=sin x_ln x
위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
`f '(x)
f(x)
=cos x_ln x+sin x_
;[!;
②
∴ f '(x)=f(x)
cos x_ln x+sin x_
{
=xsin x
{
cos x_ln x+sin x_
∴ f '(p)=psin p
{
cos p_ln p+sin p_
1
=-ln p=ln
p
;[!;}
;[!;}
1
p }
⑤
0561
|전략| 매개변수로 나타낸 함수 x=f(t), y=g(t)가 t에 대하여 미분가능하고
0558
`f(x)=
(x-1)Û`
x+1
'Ä
x+2
ln |`f(x)|=ln
|
(x-1)Û`
x+1
'Ä
x+2
|
의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면
∴ ln |`f(x)|=2 ln |x-1|+
ln |x+1|-ln |x+2| … ❶
;2!;
`f '(t)+0이면
=
임을 이용한다.
dy
dx
g'(t)
f '(t)
dx
dt
=3tÛ`-2t,
=3tÛ`+
t이므로
;3@;
dy
dt
dy
dx
=
dy
12dt
122dx
12dt
=
t
3tÛ`+
;3@;
3tÛ`-2t
`(3tÛ`+2t)
위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
`f '(x)
`f(x)
=
2
x-1
+
1
2(x+1)
-
1
x+2
∴ g(0)=
`f '(0)
`f(0)
=-2+
-
;2!;
;2!;
=-2
채점 기준
❶ 주어진 식을 변형할 수 있다.
❷
`f '(x)
`f(x)
를 구할 수 있다.
❸ g(0)의 값을 구할 수 있다.
0559
`f(x)=xx의 양변에 자연로그를 취하면
ln f(x)=x ln x
위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
=ln x+1
=ln x+x_
f '(x)
1
f(x)
x
∴ f '(x)=f(x)(ln x+1)=xx(ln x+1)
∴ f '(e)=ee(ln e+1)=2ee
0560
`f(p)=psin p=1이므로
`f(x)-1
lim
x-p
`p
x`
2°
`f(x)-f(p)
=lim
x-p
`p
x`
2°
=f '(p)
dy
∴ lim
dx
t`
`0
2°
t
3tÛ`+
=lim
t`
`0
2°
;3@;
3tÛ`-2t
3t+
=lim
t`
`0
2°
;3@;
3t-2
=-
;3!;
-
;3!;
… ❷
… ❸
비율
40`%
40`%
20`%
0562
dx
dh
dy
dh
이므로
-2
=cos h-h`sin h-cos h=-h`sin h,
=sin h+h`cos h-sin h=h`cos h
dy
dx
=
=
h cos h
-h sin h
=-cot h
dy
12dh
122dx
12dh
h=
일 때,
;6Ò;
=-cot
=-
;6Ò;
=-
3
'
①
dy
dx
1
tan
;6Ò;
0563
`f(4+2h)-f(4-3h)
lim
h
`0
h`
2°
④
`f(4+2h)-f(4)+`f(4)-f(4-3h)
=lim
h
h`
`0
2°
=lim
[
h`
`0
2°
`f(4+2h)-f(4)
2h
_2+
`f(4-3h)-f(4)
-3h
_3
]
=2f '(4)+3f '(4)=5f '(4)
이때,
=2t,
=6tÛ`이므로
dx
dt
dy
dt
5 여러 가지 미분법 | 075
5ㅡ여러가지 미분법 =-1, 2-a=-3
∴ a=5
⑤
=secÛ` h,
=2`cos h`(-sin h)=-2`cos h`sin h이므로
dy
dh
dy
dx
=
=
=3t
6tÛ`
2t
dy
12dt
122dx
12dt
따라서 구하는 값은
5f '(4)=5_3_2=30
x=4에서 tÛ`=4
∴ t=2`(∵ t>0)
=3tÛ`,
=2t-a이므로
dy
dx
=
=
2t-a
3tÛ`
`(t+0)
dy
12dt
122dx
12dt
dy
dt
dy
dx
t=1일 때,
=-1이므로
0564
dx
dt
2-a
3
0565
dx
dh
dy
12dh
122dx
12dh
dy
dx
=
=
-2 cos h`sin h
secÛ` h
=
-2 cos h sin h
1
cosÛ` h
=-2 cosÜ` h sin h
x=1, y=
일 때, tan h=1, cosÛ` h=
에서
;2!;
;2!;
h=
`
;4Ò;
∵ -
{
;2Ò;
2)
따라서 g(18)=6이고 `f '(x)=2x-4이므로
g'(18)=
1
`f '(g(18))
=
1
`f '(6)
=
;8!;
다른 풀이 y=xÛ`-4x+6(x>2)이라 하면 역함수는
x=yÛ`-4y+6(y>2)이므로
⑤
④
dx
dy
=2y-4=2(y-2)
∴
dy
dx
=
1
2(y-2)
yy`㉠
5 여러 가지 미분법 | 077
5ㅡ여러가지 미분법 한편, x=yÛ`-4y+6에서 x=18일 때
yÛ`-4y+6=18, yÛ`-4y-12=0
(y+2)(y-6)=0
∴ y=6 (∵ y>2)
y=6을 ㉠에 대입하면 구하는 값은
1
2(6-2)
=
;8!;
0577
`f(2)=3에서 g(3)=2이므로
1
`f '(g(3))
1
`f '(2)
g'(3)=
=
=2
0578
g(2)=h라 하면 `f(h)=2이므로
2 sin h+1=2, sin h=
;2!;
∴ h=
`
∵ 0Éh<
{
;6Ò;
;2Ò;}
따라서 g(2)=
;6Ò;
이고 `f '(x)=2 cos x이므로
g'(2)=
1
`f '(g(2))
=
1
=
1
=
1
`f '
{;6Ò;}
2 cos
;6Ò;
2_
3
'
2
12
3
= '
`3
다른 풀이 lim
h'(x)
x
=lim
x`
2°
`0
x`
`0
2°
=lim
`0[
x`
2°
2 ln (x+1)
x(x+1)
ln (x+1)
x
_
2
x+1 ]
=1_2=2
0581
`f(x)=
에서 `f '(x)=-
;[!;
1
xÛ`
`f '(1)=-1이므로
`f '(x)+1
lim
x-1
`1
x`
2°
`f "(x)=-
-
{
∴ f "(1)=2
`f '(x)-f '(1)
=lim
x-1
x`
`1
2°
2x
xÝ` }
2
xÜ`
=
=f "(1)
0582
`f(x)=xeax+b(a+0)에서
`f '(x)=eax+b+xeax+b_a=(ax+1)eax+b
`f "(x)=aeax+b+(ax+1)eax+b_a=a(ax+2)eax+b
`f '(3)=4에서 (3a+1)e3a+b=4
`f "(-2)=0에서 a(-2a+2)e-2a+b=0
그런데 e-2a+b>0이므로 a(-2a+2)=0
yy`㉠
∴ a=1`(∵ a+0)
a=1을 ㉠에 대입하면 4e3+b=4, 3+b=0
∴ b=-3 … ❷
2
③
에서 x`
`3일 때 (분자)`
`0이고 0이 아닌 극한
∴ aÛ`+bÛ`=1Û`+(-3)Û`=10
2°
x-3
lim
`f(x)-1
`3
x`
2°
값이 존재하므로 (분모)`
=
;5!;
2°
`0이다.
2°
즉, lim
x`
2°
{ f(x)-1}=0이므로 f(3)=1
`3
∴ g(1)=3
x-3
이때, lim
`f(x)-1
x`
`3
2°
x-3
=lim
`f(x)-f(3)
x`
`3
2°
=
1
`f '(3)
이므로
채점 기준
❶ f '(x), f "(x)를 구할 수 있다.
❷ a, b의 값을 구할 수 있다.
❸ aÛ`+bÛ`의 값을 구할 수 있다.
∴ g'(1)=
1
`f '(g(1))
=
1
`f '(3)
=
;5!;
;5!;
0583
④
… ❶
… ❸
10
비율
40`%
40`%
20`%
0579
1
`f '(3)
=
;5!;
0580
|전략| 함수 h(x)의 도함수 h'(x)가 미분가능할 때,
h'(x)-h'(a)
x-a
lim
`a
x`
2°
=h"(a)임을 이용한다.
h(x) =(g½f )(x)=g( f(x))={ln (x+1)}Û`에서
1
x+1
2 ln (x+1)
x+1
h'(x)=2 ln (x+1)_
=
=h"(0)
_(x+1)-ln (x+1)
h'(0) =0이므로
h'(x)
lim
x
`0
x`
2°
h"(x)=2_
h'(x)-h'(0)
=lim
x-0
x`
`0
2°
1
x+1
112
(x+1)Û``
=2_
1-ln (x+1)
(x+1)Û``
∴ h"(0)=2_1=2
078 | III . 미분법
|전략| `f '(x), f "(x)를 각각 구하여 주어진 식에 대입한다.
`f(x)=ex sin x에서
`f '(x)=ex sin x+ex cos x=ex(sin x+cos x)
`f "(x) =ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2ex cos x
이것을 f "(x) =a f '(x)+b f(x)에 대입하면
2ex cos x=aex(sin x+cos x)+bex sin x
2 cos x=a sin x+a cos x+b sin x (∵ ex>0)
∴ (a+b) sin x+(a-2) cos x=0
위의 식이 x의 값에 관계없이 항상 성립하므로
a+b=0, a-2=0
따라서 a=2, b=-2이므로
aÛ`+bÛ`=2Û`+(-2)Û`=8
③
0584
`f(x)=e-x(cos 2x+1)에서
②
정답과 해설 `f '(x) =-e-x(cos 2x+1)+e-x(-2 sin 2x)
=-e-x(cos 2x+2 sin 2x+1)
`f "(x) =e-x(cos 2x+2 sin 2x+1)
=e-x(4 sin 2x-3 cos 2x+1)
-e-x(-2 sin 2x+4 cos 2x)
∴ f '(0)=-1_(1+1)=-2, f "(0)=1_(-3+1)=-2
이것을 `f '(0)+kf "(0)=0에 대입하면
-2-2k=0
∴ k=-1
0586
|전략| f (1)(x), f (2)(x), f (3)(x), y를 차례로 구하여 규칙을 찾는다.
`f(x)=cos x에서
`f (1)(x)=-sin x, `f (2)(x)=-cos x, `f (3)(x)=sin x,
`f (4)(x)=cos x, f (5)(x)=-sin x, y
∴ f (4k+1)(x)=f (1)(x), f (4k+2)(x)=f (2)(x),
f (4k+3)(x)=f (3)(x), f (4k+4)(x)=f (4)(x) (단, k는 자연수)
-1
이때, 101=4_25+1이므로
`f (101)
=f (1)
{;3Ò;}
{;3Ò;}
=-sin
3
=- '
2
;3Ò;
①
0585
`f(x)=
'
3 sin x-cos x에서 `f '(x)=
3 cos x+sin x
`f "(x)=-
3 sin x+cos x=2
'
sin x+
cos x
;2!;
}
'
3
- '
2
{
=2 sin
{
x+
p
}
;6%;
`f "(x)=1에서
2 sin
{
x+
p
=1
;6%;
}
∴ sin
{
x+
p
=
}
;2!;
;6%;
이때, x+
p=t로 놓으면 0ÉxÉ2p에서
pÉtÉ
p이고, 주
;6%;
:Á6¦:
;6%;
어진 방정식은
0588
`f(x)=e;2{;에서
0587
y=ex(sin x+cos x)에서
y(1) =ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2ex cos x
y(2) =2ex cos x-2ex sin x=2ex(cos x-sin x)
∴ y(3) =2ex(cos x-sin x)+2ex(-sin x-cos x)
=-4ex sin x
①
`f (1)(x)=
e;2{;, `f (2)(x)=
e;2{;, `f (3)(x)=
;2!;
{;2!;}
2`
e;2{;, …
{;2!;}
3`
즉, f (n)(x)=
e;2{;이므로
{;2!;}
n`
F(x)=
`f (n)(x)=
e;2{;=
e;2{;=e;2{;
¦
n=1{;2!;}
Á
n`
;2!;
1-
;2!;
∴ F(4)=eÛ`
⑤
등비급수 `
arn-1=a+ar+arÛ`+ y +arn-1+ y은 -10, a+1)
`f(x)=24x에서
`f '(x)=24x ln 2_4=24x+2 ln 2
`f '(a)=64 ln 2에서
24a+2 ln 2=64 ln 2, 24a+2=2ß`
4a+2=6
∴ a=1
①
0596
유형 10 로그함수의 도함수
②
0592
유형 06 합성함수의 미분법
|전략| 두 함수 y=f(u), u=g(x)가 미분가능할 때, 합성함수 h(x)=f(g(x))
의 도함수는 h'(x)=f '(g(x))g'(x)임을 이용한다.
`f(x)=sin (tan 2x)에서
`f '(x)=cos (tan 2x)_secÛ` 2x_2=2 cos (tan 2x) secÛ` 2x
이용한다.
`f '(x)=ex+f(x)를 g(x)=ln f '(x)에 대입하면
g(x)=ln {ex+f(x)}
|전략| 함수 f(x)가 미분가능하고 f(x)+0일 때, {ln |f(x)|}'=
임을
f '(x)
f(x)
080 | III . 미분법
정답과 해설 ∴ g'(x)=
ex+f '(x)
ex+f(x)
=
ex+ex+f(x)
ex+f(x)
=
2ex+f(x)
ex+f(x)
∴ g'(0)=
2+f(0)
1+f(0)
=2
참고 조건 ㈎, ㈏를 모두 만족시키는 함수는 f(x)=xex이다.
`f '(x)=
-2x
1-xÛ``
2
=-
x
1-xÛ``
"Ã
"Ã
g'(x)=-2 sin x이므로 g'
이므로 f '(0)=0
{;2Ò;}
=-2 sin
=-2
;2Ò;
③
따라서 `f '(0)=0, g'
=-2를 ㉠에 대입하면
{;2Ò;}
0597
유형 11 로그함수의 도함수의 활용
|전략| 주어진 식의 양변에 자연로그를 취한 후 양변을 x에 대하여 미분한다.
h'
{;2Ò;}
=0
0600
③
ef(x)=
1+sin x
1-sin x
¾Ð
의 양변에 자연로그를 취하면
`f(x)=ln
¾Ð
1+sin x
1-sin x
=
ln
;2!;
1+sin x
1-sin x
=
{ln (1+sin x)-ln (1-sin x)}
;2!;
위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
`f '(x)=
cos x
1+sin x
;2!;
{
-
-cos x
1-sin x }
=
_
;2!;
cos x(1-sin x)+cos x(1+sin x)
(1+sin x)(1-sin x)
=
2`cos x
2(1-sinÛ` x)
=
`cos x
cosÛ` x
=
1
cos x
∴ `f '
=
{;3Ò;}
1
cos
;3Ò;
=2
0598
유형 12 매개변수로 나타낸 함수의 미분법
`f '(t)+0이면
=
임을 이용한다.
dx
dt
=2e2t+2e-2t,
=2e2t-2e-2t이므로
dy
dx
g'(t)
f '(t)
dy
dt
dy
dx
=
=
2e2t-2e-2t
2e2t+2e-2t =
e2t-e-2t
e2t+e-2t
dy
12dt
122dx
12dt
t=ln 3일 때,
dy
dx
=
9-
9+
;9!;
;9!;
=
;4$1);
유형 16 역함수의 미분법 - 역함수의 미분계수 구하기
|전략| 미분가능한 함수 f(x)의 역함수 g(x)에 대하여 g(b)=a이면
g'(b)=
임을 이용한다.
1
f '(a)
g(2e)=-1이고
`f '(x) =2xe-x-(xÛ`+1)e-x
=-e-x(xÛ`-2x+1)=-(x-1)Û`e-x
따라서 곡선 y=g(x) 위의 점 (2e, -1)에서의 접선의 기울기는
g'(2e)=
1
f '(g(2e))
=
1
f '(-1)
=-
1
4e
①
⑤
0601
유형 17 이계도함수
f '(x)-f '(a)
lim
`a
x`
2°
x-a
조건 ㈏에서 x`
2°
`0이다.
|전략| 함수 f(x)의 도함수 f '(x)가 미분가능할 때,
=f "(a)임을 이용한다.
`1일 때 (분모)`
`0이고 극한값이 존재하므로
2°
2°
{`f '( f(x))-2}=0이므로 f '( f(1))=2
즉, lim
x`
`1
2°
f '( f(x))-2
∴ lim
x-1
x`
`1
2°
f '( f(x))-f '( f(1))
=lim
x-1
x`
`1
2°
2°
f '( f(x))-f '( f(1))
=lim
f(x)-f(1)
x`
`1
f(x)-f(1)
_lim
x-1
x`
`1
2°
=f "( f(1))f '(1)=2f "(1)=4
①
∴ f "(1)=2
②
|전략| 매개변수로 나타낸 함수 x=f(t), y=g(t)가 t에 대하여 미분가능하고
(분자)`
0599
유형 06 합성함수의 미분법 + 14 함수 y=xÇ``(n은 실수)의 도함수
|전략| h'(x)=f '(g(x))g'(x)이고, n이 실수일 때 (xÇ`)'=nxn-1임을 이용
한다.
h(x)=f(g(x))에서 h'(x)=f '(g(x))g'(x)
∴ h'
{;2Ò;}
=f '
{g{;2Ò;}}g'
{;2Ò;}
=f '(0)g'
{;2Ò;}
yy`㉠
0602
유형 10 로그함수의 도함수
|전략| f(x)=ln (ex+e2x+ y +e20x)으로 놓고 {ln |f(x)|}'=
f '(x)
f(x)
임
을 이용한다.
`f(x)=ln (ex+e2x+ y +e20x)으로 놓으면
`f(0)=ln (1+1+ y +1)=ln 20이므로
5 여러 가지 미분법 | 081
5ㅡ여러가지 미분법 `ln
lim
`
`0
x`
2°
;[!;
ex+e2x+ y +e20x
20
ln (ex+e2x+ y +e20x)-ln 20
=lim
x
x`
`0
2°
`f(x)-f(0)
=lim
x
`0
x`
2°
=f '(0)
이때, `f '(x)=
ex+2e2x+ y +20e20x
ex+e2x+ y +e20x 이므로
20_21
1112
20
:ª2Á:
=
=
1+2+ y +20
20
❶ f(x)=ln (ex+e2x+`y`+e20x)으로 놓고 주어진 식을 간단히 할 수 있다.
`f '(0)=
채점 기준
❷ f '(x)를 구할 수 있다.
❸ f '(0)의 값을 구할 수 있다.
0603
유형 13 음함수의 미분법
여
를 구한다.
dy
dx
|전략| 음함수 f(x, y)=0에서 y를 x의 함수로 보고 각 항을 x에 대하여 미분하
sin (x+y)+sin (x-y)=1의 각 항을 x에 대하여 미분하면
cos (x+y)_
1+
+cos (x-y)_
1-
dy
dx }
{
dy
dx }
=0
{
dy
dx
{cos (x+y)-cos (x-y)}=-cos (x+y)-cos (x-y)
∴
=-
dy
dx
cos (x+y)+cos (x-y)
cos (x+y)-cos (x-y)
따라서 점
,
{;4Ò;
;4Ò;}
에서의 접선의 기울기는
cos
+cos 0
cos
-cos 0
;2Ò;
;2Ò;
=1
-
채점 기준
dy
dx
❶
를 구할 수 있다.
❷ 점 {;4Ò;, ;4Ò;}에서의 접선의 기울기를 구할 수 있다.
… ❶
… ❷
… ❸
:ª2Á:
배점
3점
2점
2점
… ❶
… ❷
1
배점
4점
2점
이때, g(a)=b라 하면 `f(b)=a이므로
ln (eb-1)=a
∴ eb-1=ea
yy`㉠
=f '(g(a))=f '(b)=
(∵ ㉠) … ❷
=
eb
eb-1
ea+1
ea =
ea+1
ea
2ea
ea =2
+
1
g'(a)
=
ea-1
ea +
∴
∴
1
g'(a)
1
`f '(a)
채점 기준
❶
❷
1
f '(a)
1
g'(a)
의 값을 구할 수 있다.
의 값을 구할 수 있다.
❸
1
f '(a)
+
1
g'(a)
의 값을 구할 수 있다.
… ❸
2
배점
3점
3점
1점
|전략| 로그의 성질과 등비급수의 합을 이용하여 f(x)를 간단히 한 후 함수의 몫
f(x)는 첫째항이 1, 공비가
인 등비급수이고 0<
<1이므로
;[!;
0605
유형 02 함수의 몫의 미분법 -
f(x)
g(x)
꼴
의 미분법을 이용한다.
⑴ e-n ln x=eln xÑÇ`=x-n=
이므로
1
xÇ`
f(x)=1+
+
;[!;
+ y +
+ y
1
xÛ`
1
xÇ`
;[!;
f(x)=
1
=
x
x-1
1-
;[!;
⑵ f '(x)=
1_(x-1)-x_1
(x-1)Û`
=-
1
(x-1)Û`
⑶ f(3)=
, f '(2)=-1이므로
;2#;
4f(3)-f '(2)=4_
-(-1)=7
;2#;
⑴ f(x)=
⑵ f '(x)=-
x
x-1
1
(x-1)Û`
⑶ 7
채점 기준
⑴ f(x)를 간단히 할 수 있다.
⑵ f '(x)를 구할 수 있다.
⑶ 4f(3)-f '(2)의 값을 구할 수 있다.
배점
5점
3점
2점
0604
유형 16 역함수의 미분법 - 역함수의 미분계수 구하기
0606
|전략| 미분가능한 함수 f(x)의 역함수 g(x)에 대하여 g(b)=a이면
g'(b)=
임을 이용한다.
1
f '(a)
`f(x)=ln (eÅ`-1)에서 `f '(x)=
이므로
`f '(a)=
ea
ea-1
∴
1
`f '(a)
=
… ❶
ex
ex-1
ea-1
ea
유형 18 이계도함수 - 방정식으로 주어진 경우
|전략| 주어진 두 식의 차를 이용하여 f(x)+g(x)를 찾은 후 f "(x)+g"(x)를
구한다.
⑴ `f "(x)+g"(x)+g(x)=e-x`
`f "(x)+g"(x)-f(x)=2ex`
㉠-㉡을 하면 f(x)+g(x)=e-x-2ex`
yy`㉠
yy`㉡
082 | III . 미분법
정답과 해설 ⑵ 위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '(x)+g'(x)=-e-x-2ex`
다시 양변을 x에 대하여 미분하면
f "(x)+g"(x)=e-x-2ex`
㉢을 ㉠, ㉡에 각각 대입하면
e-x-2ex+g(x)=e-x, e-x-2ex-f(x)=2ex
∴ f(x)=e-x-4ex, g(x)=2ex`
⑶ g'(x)=2ex이므로
f(1)+2g'(1) =(e-1-4e)+2_2e
=e-1=
;e!;
⑶ ;e!;
채점 기준
⑴ f(x)+g(x)를 구할 수 있다.
⑵ f(x), g(x)를 각각 구할 수 있다.
⑶ f(1)+2g'(1)의 값을 구할 수 있다.
⑴ f(x)+g(x)=e-x-2ex ⑵ f(x)=e-x-4ex, g(x)=2ex
a=-
, b=
;2!;
;2!;
∴ a+b=0
0
yy`㉢
0608
|전략| g(x)=4Å`-2Å`+3으로 놓고 { f(g(x))}'=f '(g(x))g'(x)임을 이용
한다.
`f(4Å`-2Å`+3)=2Å`+5에서 g(x)=4Å`-2Å`+3이라 하면
g'(x)=4Å` ln 4-2Å` ln 2=(2_4Å`-2Å`) ln 2
`f(g(x))=2Å`+5의 양변을 x에 대하여 미분하면
`f '(g(x))g'(x)=2Å` ln 2
g(x)=4Å`-2Å`+3=3에서
∴ x=0
2Û`Å`=2Å`, 2x=x
㉠에 x=0을 대입하면 `f '(g(0))g'(0)=ln 2
이때, g(0)=3, g'(0)=ln 2이므로
∴ f '(3)=1
`f '(3) ln 2=ln 2
yy ㉠
1
0609
|전략| f(x), g(x), g( f(x)), `f(g(x))의 도함수를 이용할 수 있도록 주어진
식을 변형한다.
배점
3점
6점
3점
|전략| 도함수의 정의를 이용하여 f(x)를 구한 후 함수의 몫의 미분법을 이용하
창의·융합 교과서 속 심화문제
0607
여 f '(x)를 구한다.
t cos x-x cos t
`f(x)=lim
tÛ`-xÛ`
`x
t`
2°
t cos x-x cos x-x cos t+x cos x
=lim
t-x
`x
t`
_
1
t+x
(t-x) cos x-x(cos t-cos x)
=lim
t-x
`x
t`
_
1
t+x
=lim
{
`x
t`
cos x-x_
cos t-cos x
}
t-x
_
1
t+x
2°
2°
2°
={cos x-x(cos x)'}_
1
2x
=
cos x+x`sin x
2x
∴ f '(x)=
(-sin x+sin x+x cos x)_2x-(cos x+x sin x)_2
4xÛ`
=
xÛ``cos x-cos x-x`sin x
2xÛ`
따라서 f '(p)=
-pÛ`+1
2pÛ`
=-
+
_
;2!;
;2!;
이므로
1
pÛ`
`f(x)=3Å`, g(x)=ln (x+1)에서
`f '(x)=3Å` ln 3, g'(x)=
1
x+1
ㄱ. f(0)=1, g(0)=0이므로
f(x)+g(x)-1
lim
x
`0
x`
2°
f(x)-f(0)+g(x)-g(0)
=lim
x
x`
`0
2°
f(x)-f(0)
=lim
x-0
x`
`0
2°
+lim
x`
2°
`0
g(x)-g(0)
x-0
=f '(0)+g'(0)
=ln 3+1=ln 3e (참)
ㄴ. g( f(x))=h(x)라 하면 h(0)=g(f(0))=g(1)=ln 2이고
h'(x)=g'( f(x))f '(x)=
3Å` ln 3
3Å`+1
이므로
g( f(x))-ln 2
x
lim
`0
x`
2°
=
h(x)-h(0)
=lim
x-0
x`
`0
2°
ln 3
2
=ln
"
3` (참)
=h'(0)
ㄷ. f(g(x))=k(x)라 하면 k(0)=f(g(0))=f(0)=1이고
k'(x)=f '(g(x))g'(x)=
3ln (x+1) ln 3
x+1
이므로
{ f(g(x))}Û`-1
lim
x
`0
x`
2°
{k(x)}Û`-1
=lim
x
`0
x`
2°
k(x)-k(0)
=lim
x-0
`0
x`
2°
=k'(0){k(0)+1}
=2 ln 3=ln 9 (참)
_{k(x)+1}
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
⑤
5 여러 가지 미분법 | 083
5ㅡ여러가지 미분법 0610
|전략| f(a)=b로 놓고 f '(a)=
임을 이용한다.
1
g'(b)
`f(h(x))=x이므로 h(x)는 f(x)의 역함수이다.
즉, h(x)=g(x)이므로
xÛ`+1{g(x)}Û`+(x+1)g(x)=g(x)
"Ã
xÛ`+1{g(x)}Û`+xg(x)=0
"Ã
xÛ`+1 g(x)+x}=0
g(x){
"Ã
이때, g(x)=0인 경우 미분가능한 함수 f(x)의 역함수가 g(x)라는
조건에 맞지 않으므로
xÛ`+1
"Ã
1
g'(b)
=-2
2이므로
'
xÛ`+1 g(x)+x=0
"Ã
∴ g(x)=-
x
xÛ`+1
"Ã
g'(x)=-
"Ã
xÛ`+1-x_
2x
1111
xÛ`+1
2
xÛ`+1
"Ã
=-
1
(xÛ`+1)
`f(a)=b라 하면 f '(a)=
-(bÛ`+1)
bÛ`+1=2
bÛ`+1=-2
'
"Ã
∴ b=Ñ1
=
1
g'( f(a))
2
즉, f(a)=Ñ1에서 g(1)=a 또는 g(-1)=a이고
2
=- '
2
g(1)=-
1
"Ã1Û`+1
1
"Ã(-1)Û`+1
2
= '
2
g(-1)=
2
그런데 a는 양수이므로 a= '
2
dÛ`y
dxÛ`
=
d
dx
{
dy
dx }
dy
dx
이므로
를 구한 후 이 식을 다시 x에 대하여 미분
0611
|전략|
한다.
dx
dt
=2-cos t,
=2`sin 2t이므로
dy
dt
dy
dx
=
=
2 sin 2t
2-cos t
dy
12dt
122dx
12dt
∴
dÛ`y
dxÛ`
=
d
{
dx
dy
dx }
=
d
{
dx
2 sin 2t
2-cos t }
=
d
{
dt
2 sin 2t
2-cos t }
_
dt
dx
=
4 cos 2t(2-cos t)-2 sin 2t sin t
(2-cos t)Û`
_
1
dx
dt
=
4 cos 2t(2-cos t)-2 sin 2t sin t
(2-cos t)Ü`
따라서 t=0일 때
의 값은
dÛ`y
dxÛ`
4 cos 0(2-cos 0)-2 sin 0 sin 0
(2-cos 0)Ü`
=4
084 | III . 미분법
6 도함수의 활용 ⑴
본책 98~117쪽
개념 마스터
STEP1
0612
`f(x)= 1
x+1
로 놓으면 f '(x)=- 1
이므로
(x+1)Û`
점 (0, 1)에서의 접선의 기울기는 f '(0)=-1
따라서 구하는 접선의 방정식은
y-1=-(x-0) ∴`y=-x+1
y=-x+1
0613
`f(x)=
2x-1로 놓으면 f '(x)= 2
'¶
2
2x-1`
'¶
= 1
'¶
2x-1`
이므로
점 (5, 3)에서의 접선의 기울기는 f '(5)=
;3!;
따라서 구하는 접선의 방정식은
y-3=
(x-5) ∴ y=
;3!;
x+
;3$;
;3!;
y=
x+
;3$;
;3!;
0614
`f(x)=ex으로 놓으면 f '(x)=ex이므로
점 (1, e)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=e
2
'
2
따라서 구하는 접선의 방정식은
y-e=e(x-1) ∴`y=ex
y=ex
0615
`f(x)=ln (x+1)로 놓으면 f '(x)= 1
이므로
x+1
점 (0, 0)에서의 접선의 기울기는 f '(0)=1
따라서 구하는 접선의 방정식은 y=x
y=x
0616
`f(x)=sin x로 놓으면 f '(x)=cos x이므로
점
{
p
2
}
, 1
에서의 접선의 기울기는 f '
p
2 }
{
=0
따라서 구하는 접선의 방정식은 y=1
y=1
0617
`f(x)=cos 2x로 놓으면 f '(x)=-2 sin 2x이므로
점
{
p
4
}
, 0
에서의 접선의 기울기는 f '
=-2
따라서 구하는 접선의 방정식은
p
4 }
{
p
2
⑤
y=-2
x-
∴`y=-2x+
p
4 }
{
y=-2x+
p
2
정답과 해설 점 (e, 2e)에서의 접선의 기울기는 f '(e)=1이므로 이 점에서의 접
`f '(t)=-sin t=1, sin t=-1 ∴`t=
p`(∵`0ÉtÉ2p)
;2#;
y-2e=-(x-e) ∴`y=-x+3e
y=-x+3e
y=x-
p
;2#;
y=x-
p
;2#;
0623
`f(x)=cos x로 놓으면 f '(x)=-sin x
접점의 좌표를 (t, cos t)라 하면 접선의 기울기가 1이므로
따라서 접점의 좌표가
p, 0
이므로 구하는 접선의 방정식은
{;2#;
}
0624
`f(x)=
로 놓으면 f '(x)=- 1
xÛ`
;[!;
0618
`f(x)=3x-x ln x로 놓으면
`f '(x)=3-
{
ln x+x_
;[!;}
=2-ln x
선에 수직인 직선의 기울기는 -1이다.
따라서 구하는 직선의 방정식은
0619
`f(x)=- 2
x+1
로 놓으면 f '(x)= 2
(x+1)Û`
`f '(t)= 2
(t+1)Û`
=2, (t+1)Û`=1
t+1=Ñ1 ∴`t=0`(∵`t>-1)
접점의 좌표를
{
t, - 2
t+1 }
라 하면 접선의 기울기가 2이므로
접점의 좌표를
{
t, ;t!;}
이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는
이므로 접선의 방정식은
`f '(t)=- 1
tÛ`
=- 1
tÛ`
y-
;t!;
(x-t)
yy`㉠
따라서 접점의 좌표가 (0, -2)이므로 구하는 접선의 방정식은
이 직선이 점 (1, 0)을 지나므로
y=2x-2
-
=- 1
tÛ`
;t!;
;t!;
+
, -t=-1+t ∴`t=
;2!;
y=2x-2
0620
`f(x)=4
x 로 놓으면 `f '(x)= 4
'¶
x`
2
'¶
= 2
x`
'¶
t`)라 하면 접선의 기울기가 2이므로
접점의 좌표를 (t, 4
`f '(t)= 2
t`
'
'
=2에서 t=1
따라서 접점의 좌표가 (1, 4)이므로 구하는 접선의 방정식은
y-4=2(x-1) ∴ y=2x+2
y=2x+2
0621
`f(x)=ex+1으로 놓으면 f '(x)=ex+1
접점의 좌표를 (t, et+1)이라 하면 접선의 기울기가 1이므로
`f '(t)=et+1=1, t+1=0 ∴`t=-1
따라서 접점의 좌표가 (-1, 1)이므로 구하는 접선의 방정식은
따라서 t=
을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은
;2!;
y-2=-4
x-
∴ y=-4x+4
{
;2!;}
y=-4x+4
0625
`f(x)=
x+1 로 놓으면 f '(x)= 1
'¶
2
x+1`
'¶
이므로 접선의 방정식은
접점의 좌표를 (t,
`f '(t)= 1
'¶
t+1`
2
'¶
t+1= 1
y-
'¶
(x-t)
t+1`
이 직선이 점 (-2, 0)을 지나므로
'¶
2
t+1)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는
yy`㉠
-
t+1=- 1
'¶
- t
2
'¶
따라서 t=0을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은
, t+1=1+
t+1
t+1
;2T;
'¶
∴`t=0
y-1=x-(-1) ∴`y=x+2
y=x+2
y-1=
x ∴ y=
x+1
;2!;
;2!;
y=
x+1
;2!;
0622
`f(x)=ln (2x+1)로 놓으면 f '(x)= 2
접점의 좌표를 (t, ln (2t+1))이라 하면 접선의 기울기가 1이므로
`f '(t)= 2
=1, 2t+1=2 ∴`t=
2t+1
2x+1
;2!;
따라서 접점의 좌표가
, ln 2
이므로 구하는 접선의 방정식은
}
{;2!;
0626
`f(x)=e-x으로 놓으면 f '(x)=-e-x
접점의 좌표를 (t, e-t)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는
`f '(t)=-e-t이므로 접선의 방정식은
y-e-t=-e-t(x-t)
yy`㉠
이 직선이 점 (-1, 0)을 지나므로
-e-t=e-t+te-t, e-t(t+2)=0 ∴`t=-2`(∵`e-t>0)
따라서 t=-2를 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은
y-ln 2=x-
∴`y=x+ln 2-
;2!;
;2!;
y=x+ln 2-
;2!;
y-eÛ`=-eÛ`(x+2) ∴ y=-eÛ`x-eÛ`
y=-eÛ`x-eÛ`
6 도함수의 활용 ⑴ | 085
6ㅡ도함수의 활용⑴ 접점의 좌표를 (t, ln t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는
㈎ ex(x+1) ㈏ -1 ㈐ 감소 ㈑ 증가
따라서 함수 f(x)는 구간 (-¦, ㈏ -1 ]에서 ㈐ 감소 하고, 구간
[ ㈏ -1 , ¦)에서 ㈑ 증가 한다.
따라서 t=e를 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은
y-ln e=
(x-e) ∴ y=
;e!;
x
;e!;
y=
x
;e!;
yy ㉠
0631
`f(x)=x+
에서 x+0이고
;[!;
1
xÛ`
`f '(x)=1-
=
(x+1)(x-1)
xÛ`
`f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
=2t,
=1-
이므로
따라서 함수 f(x)는 구간 (-¦, -1], [1, ¦)에서 증가하고, 구간
x
y
f '(x) +
f(x)
↗
-1
0
y
-
↘
(0)
y
-
↘
1
0
y
+
↗
[-1, 0), (0, 1]에서 감소한다.
구간 (-¦, -1], [1, ¦)에서 증가, 구간 [-1, 0), (0, 1]에서 감소
0627
f(x)=ln x로 놓으면 `f '(x)=
;[!;
`f '(t)=
이므로 접선의 방정식은
;t!;
y-ln t=
(x-t)
;t!;
이 직선이 점 (0, 0)을 지나므로
-ln t=-1 ∴ t=e
0628
⑴
dx
dt
dy
dx
=
dy
dt
dy
dt
dx
dt
=
1
tÛ`
1-
1
tÛ`
2t
= tÛ`-1
2tÜ`
⑵ t=
일 때, x=
, y=
;2!;
;4!;
,
;2%;
dy
dx
=
Û`-1
{;2!;}
2_
Ü`
{;2!;}
=-3
0632
f(x)=
-3x+4
xÛ`+1
에서
⑶ y-
=-3
x-
∴ y=-3x+
;2%;
{
;4!;}
:Á4£:
⑴
dy
dx
=
tÛ`-1
2tÜ`
⑵ x=
, y=
;4!;
dy
dx
,
;2%;
=-3 ⑶ y=-3x+
:Á4£:
0629
⑴ xÛ`-2x-3y+yÛ`=1의 각 항을 x에 대하여 미분하면
2x-2-3
+2y
=0, (2y-3)
=-2x+2
dy
dx
dy
dx
dy
dx
∴
dy
dx
=
-2x+2
2y-3
y+
{
;2#;}
⑵ x=3, y=1을 ㉠에 대입하면
dy
dx
=
-6+2
2-3
=4
⑶ y-1=4(x-3) ∴ y=4x-11
⑴
dy
dx
=
-2x+2
2y-3
y+
{
;2#;}
⑵ 4 ⑶ y=4x-11
0630
f(x)=xex에서 f '(x)=ex+xex= ㈎ ex(x+1)
f '(x)=0에서 x+1=0 (∵ ex>0) ∴ x= ㈏ -1
x
y ㈏ -1
f '(x) -
0
f(x)
↘
y
+
↗
086 | III . 미분법
f '(x)=
-3(xÛ`+1)-(-3x+4)_2x
(xÛ`+1)Û`
=
3xÛ`-8x-3
(xÛ`+1)Û`
=
(3x+1)(x-3)
(xÛ`+1)Û`
f '(x)=0에서 x=-
또는 x=3
;3!;
x
y
f '(x) +
f(x)
↗
-
;3!;
0
y
-
↘
y
+
↗
3
0
]
yy ㉠
-¦, -
따라서 함수 f(x)는 구간
{
;3!;
, [3, ¦)에서 증가하고, 구간
-
;3!;
, 3
에서 감소한다.
[
]
구간
{
;3!;
]
-¦, -
, [3, ¦)에서 증가, 구간
-
, 3
에서 감소
;3!;
[
]
0633
`f(x)=
"
`f '(x)=
xÛ`+2x+2에서
2x+2
2
xÛ`+2x+2`
"
`f '(x)=0에서 x=-1
따라서 함수 f(x)는 구간
(-¦, -1]에서 감소하고, 구
간 [-1, ¦)에서 증가한다.
x+1
xÛ`+2x+2`
=
"
x
y
f '(x) -
f(x)
↘
-1
0
y
+
↗
구간 (-¦, -1]에서 감소, 구간 [-1, ¦)에서 증가
정답과 해설 0634
f(x)=
에서
3
xÛ`+2`
"
f '(x)=-
_
;2!;
f '(x)=0에서 x=0
3_2x
(xÛ`+2)
xÛ`+2`
"
=-
3x
(xÛ`+2)
xÛ`+2`
"
따라서 함수 f(x)는 구간
(-¦, 0]에서 증가하고, 구간
[0, ¦)에서 감소한다.
x
y
f '(x) +
f(x)
↗
구간 (-¦, 0]에서 증가, 구간 [0, ¦)에서 감소
0635
f(x)=ex-x에서 f '(x)=ex-1
f '(x)=0에서 x=0
따라서 함수 f(x)는 구간
(-¦, 0]에서 감소하고, 구간
[0, ¦)에서 증가한다.
x
y
f '(x) -
f(x)
↘
0
0
0
0
y
-
↘
y
+
↗
구간 (-¦, 0]에서 감소, 구간 [0, ¦)에서 증가
0636
`f(x)=xÛ`ex에서 f '(x)=2xex+xÛ`ex=x(2+x)ex
`f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 (∵ ex>0)
x
y
f '(x) +
f(x)
↗
-2
0
y
-
↘
0
0
y
+
↗
따라서 함수 f(x)는 구간 (-¦, -2], [0, ¦)에서 증가하고, 구간
[-2, 0]에서 감소한다.
구간 (-¦, -2], [0, ¦)에서 증가, 구간 [-2, 0]에서 감소
0637
`f(x)=x-ln x에서 x>0이고
`f '(x)=1-
;[!;
`f '(x)=0에서 x=1
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
-
↘
1
0
y
+
↗
0638
`f(x)=
에서 x>0이고
ln x
x
`f '(x)=
_x-ln x
;[!;
xÛ`
=
1-ln x
xÛ`
y
+
↗
y
-
↘
y
+
↗
`f '(x)=0에서 ln x=1 ∴ x=e
x
(0)
f '(x)
f(x)
따라서 함수 f(x)는 구간 (0, e]에서 증가하고, 구간 [e, ¦)에서 감
소한다.
구간 (0, e]에서 증가, 구간 [e, ¦)에서 감소
0639
f(x)=1+cos x에서 f '(x)=-sin x
f '(x)=0에서 sin x=0 ∴ x=p (∵ 00이고
f '(x)=ln x+x_
=ln x+1
;[!;
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
-
↘
;e!;
0
-
;e!;
y
+
↗
따라서 함수 f(x)는 x=
에서 극솟값 -
을 갖는다.
;e!;
;e!;
극솟값: -
;e!;
0646
f(x)=x+2 sin x에서 f '(x)=1+2 cos x
f '(x)=0에서 cos x=-
∴ x=
p (∵ 00
⑶ 함수 f(x)는 x=0에서 극댓값 1, x=2에서 극솟값 -3을 갖는
다.
⑴ f '(x)=3xÛ`-6x, f "(x)=6x-6 ⑵ f "(0)<0, f "(2)>0
⑶ 극댓값: 1, 극솟값: -3
0648
`f(x)=xÛ` ln x에서 x>0이고
`f '(x)=2x ln x+xÛ`_
=x(2 ln x+1)
`f "(x)=(2 ln x+1)+x_
=2 ln x+3
;[@;
`f '(x)=0에서 2 ln x+1=0`(∵`x>0)
ln x=-
∴`x=
;2!;
이때, f "
=2>0
1
e` }
{
'
;[!;
1
e`
'
1
e`
'
따라서 함수 f(x)는 x=
에서 극솟값 -
을 갖는다.
;2Áe;
극솟값: - 1
2e
0649
`f(x)=x-2 sin x에서
`f '(x)=1-2 cos x, `f "(x)=2 sin x
∴ x=
또는 x=
p (∵`00, f "
p
=-
3 <0
{;3%;
}
'
'
따라서 함수 f(x)는 x=
p에서 극댓값
p+
3, x=
에서 극솟
;3%;
;3%;
'
값
-
3을 갖는다.
p
3
'
극댓값:
p+
3, 극솟값:
;3%;
'
p
3
-
3
'
p
3
0650
`f(x)=esin x에서 `f '(x)=esin x_cos x
`f "(x)=esin x_cosÛ` x+esin x_(-sin x)=(cosÛ` x-sin x)esin x
`f '(x) =0에서 cos x=0`(∵`esin x>0)
`∴ x=
또는 x=
p (∵ 00
p
2
p
2 }
{
따라서 함수 f(x)는 x=
에서 극댓값 e, x=
p에서 극솟값
을
;2#;
;e!;
p
2
극댓값: e, 극솟값: ;e!;
극댓값:
p+
3
'
;3@;
유형 마스터
유형 마스터
갖는다.
STEP2
0651
|전략| 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 방정식은
y-f(a)=f '(a)(x-a)임을 이용한다.
`f(x)=e-xÛ`+x으로 놓으면 f '(x)=(-2x+1)e-xÛ`+x
x=1인 점에서의 접선의 기울기는
`f '(1)=(-2+1)e-1+1=-1
점 (1, 1)에서의 접선의 방정식은
y-1=-(x-1) ∴ y=-x+2
따라서 a=-1, b=2이므로 aÛ`+bÛ`=5
0652
0656
`f(x)=2 ln (x-1)로 놓으면 f '(x)= 2
x-1
점 (2, 0)에서의 접선의 기울기는 f '(2)=2이므로 이 점에서의 접선
⑤
에 수직인 직선의 기울기는 -
이다.
점 (2, 0)을 지나고 기울기가 -
인 직선의 방정식은
;2!;
;2!;
`f(x)=x ln x-x로 놓으면 f '(x)=ln x+x_
-1=ln x
;[!;
x=eÛ`인 점에서의 접선의 기울기는
`f '(eÛ`)=ln eÛ`=2
또, x=eÛ`일 때 f(eÛ`)=eÛ` ln eÛ`-eÛ`=2eÛ`-eÛ`=eÛ`
따라서 점 (eÛ`, eÛ`)에서의 접선의 방정식은
y-eÛ`=2(x-eÛ`) ∴`y=2x-eÛ`
y=2x-eÛ`
0653
`f(x)=sin x+2 cos x로 놓으면 f '(x)=cos x-2 sin x
x=p인 점에서의 접선의 기울기는
`f '(p)=cos p-2 sin p=-1-0=-1
또, x=p일 때 f(p)=sin p+2 cos p=0-2=-2
따라서 점 (p, -2)에서의 접선의 방정식은
y-(-2)=-(x-p) ∴ y=-x+p-2
이 직선이 점 (k, p)를 지나므로
p=-k+p-2 ∴ k=-2
0654
g(x)=sin x로 놓으면 g'(x)=cos x
점 (t, sin t)에서의 접선의 기울기는 g'(t)=cos t이므로 이 점에서
의 접선의 방정식은
y-sin t=cos t_(x-t)
위의 식에 y=0을 대입하면 -sin t=x cos t-t cos t
x cos t=t cos t-sin t ∴`x=t-tan t
따라서 f(t)=t-tan t이므로
f(t)
lim
t
t
0
Ú
t-tan t
=lim
t
t
0
Ú
=lim
{
t
0
Ú
1-
tan t
t
}
=1-1=0
0655
다.
|전략| 기울기가 a(a+0)인 직선에 수직인 직선의 기울기는 -
;a!;임을 이용한
`f(x)=
2x+3+a로 놓으면 f '(x)=
'¶
2
=
1
2x+3`
2
2x+3`
'¶
'¶
x=-1인 점에서의 접선의 기울기는 f '(-1)=1이므로 이 점에서
의 접선에 수직인 직선의 기울기는 -1이다.
점 (-1, 1+a)를 지나고 기울기가 -1인 직선의 방정식은
y-(1+a)=-(x+1) ∴ y=-x+a
이때, 이 직선의 y절편이 1이므로 a=1
y=-
(x-2) ∴`x+2y-2=0
;2!;
따라서 a=1, b=2이므로`ab=2
④
0657
`f(x)=sin 3x로 놓으면 f '(x)=3 cos 3x
점 (t, sin 3t)에서의 접선의 기울기는 f '(t)=3 cos 3t이므로 이 점
에서의 접선에 수직인 직선의 기울기는 - 1
이다. … ❶
3 cos 3t
점 (t, sin 3t)를 지나고 기울기가 - 1
인 직선의 방정식은
3 cos 3t
y-sin 3t=- 1
(x-t)
3 cos 3t
∴ y=- 1
3 cos 3t
따라서 g(t)= t
x+ t
3 cos 3t
+sin 3t
+sin 3t이므로
3 cos 3t
g(p)=
p
3 cos 3p
+sin 3p=-
p
3
-2
채점 기준
❶ 접선에 수직인 직선의 기울기를 구할 수 있다.
❷ 접선에 수직인 직선의 방정식을 구할 수 있다.
❸ g(p)의 값을 구할 수 있다.
… ❷
… ❸
-
p
3
비율
40`%
40`%
20`%
기울기는 2이다.
③
0658
|전략| 접점의 좌표를 (t, t ln t+t)로 놓고 접선의 방정식을 구한다.
x+2y+2=0에서 y=-
x-1이므로 이 직선에 수직인 직선의
;2!;
`f(x)=x ln x+x로 놓으면 f '(x)=ln x+x_
+1=ln x+2
;[!;
접점의 좌표를 (t, t ln t+t)라 하면 접선의 기울기가 2이므로
f '(t)=ln t+2=2, ln t=0 ∴ t=1
즉, 접점의 좌표가 (1, 1)이므로 접선의 방정식은
y-1=2(x-1) ∴ y=2x-1
따라서 a=2, b=-1이므로 a-b=3
3
0659
f(x)= 2
x-2
로 놓으면 f '(x)=- 2
(x-2)Û`
1
접점의 좌표를
{
t,
2
t-2 }
라 하면 접선의 기울기가 -2이므로
6 도함수의 활용 ⑴ | 089
6ㅡ도함수의 활용⑴ f '(t)=- 2
(t-2)Û`
=-2, (t-2)Û`=1
t-2=Ñ1 ∴ t=1 또는 t=3
즉, 접점의 좌표가 (1, -2), (3, 2)이므로 접선의 방정식은
y-(-2)=-2(x-1), y-2=-2(x-3)에서
y=-2x, y=-2x+8
따라서 a=0, b=8 또는 a=8, b=0이므로 ab=0
0
즉, P(1, 0)이므로 △ABP의 넓이의 최솟값은
_3_2=3
;2!;
밑변을 APÓ로 생각하면 밑변의 길이는
APÓ=3, 높이는 OBÓ=2
0664
`f(x)=sin x-cos x로 놓으면
3
∴`a=-2e2_;2!;=-2e
①
이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는
0660
직선 y=-x+1에 평행한 직선의 기울기는 -1이다.
`f(x)=cosÛ` x로 놓으면 f '(x)=2 cos x_(-sin x)=-sin 2x
접점의 좌표를 (t, cosÛ` t)라 하면 접선의 기울기가 -1이므로
`f '(t)=-sin 2t=-1, 2t=
(∵ 0É2tÉ2p) ∴ t=
p
2
따라서 접점의 좌표가
{
,
;2!;}
p
4
이므로 구하는 직선의 방정식은
y-
=-
x-
∴ y=-x+
+
;2!;
{
p
4
;2!;
p
4 }
③
0661
`f(x)=e2x+ax로 놓으면 f '(x)=2e2x+a
곡선 y=f(x)가 x축과 점 (t, 0)에서 접한다고 하면
`f(t)=e2t+at=0
yy`㉠
또, x=t인 점에서의 접선의 기울기는 0이므로
`f '(t)=2e2t+a=0, a=-2e2t
a=-2e2t을 ㉠에 대입하면
e2t-2e2t_t=0, e2t(1-2t)=0 ∴`t=
`(∵`e2t>0)
;2!;
0662
f(x)=kex-1으로 놓으면 f '(x)=kex-1
접점의 좌표가 (a, 2a)이므로 kea-1=2a
또, 점 (a, 2a)에서의 접선의 기울기가 2이므로
f '(a)=kea-1=2
㉠, ㉡에서 a=1, k=2
∴ 4a+kÛ`=4_1+2Û`=8
`f '(x)=cos x+sin x=
2 sin
{
'
x+
p
4 }
접점의 좌표를 (t, sin t-cos t)라 하면 접선의 기울기는
tan 45ù=1이므로
2 sin
{
'
t+
=1, sin
{
t+
p
4 }
이때, 00)
이 직선이 점
{
k,
;2E;}
를 지나므로
k=
∴ k=
④
;e@;
eÛ`
4`
;2E;
0666
`f(x)= x
x+1
로 놓으면 f '(x)= (x+1)-x
(x+1)Û`
= 1
(x+1)Û`
라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는
0663
△ABP에서 ABÓ를 밑변으로 생각하면 밑변의 길이는 일정하므로
높이가 최소일 때 넓이가 최소가 된다.
즉, 점 P에서의 접선이 직선 AB에 평행할 때 넓이는 최소이다.
`f(x)=ln x로 놓으면 f '(x)=
;[!;
점 P의 좌표를 (t, ln t)라 하면 점 P에서의 접선의 기울기는 1이어
야 하므로
`f '(t)=
=1 ∴ t=1
;t!;
직선 AB와 평행한 직선의 기울기는
2-0
0-(-2)
=1
접점의 좌표를
{
t,
t
t+1 }
`f '(t)= 1
(t+1)Û`
= 1
(t+1)Û`
y- t
t+1
(x-t)
이므로 접선의 방정식은
090 | III . 미분법
정답과 해설 0669
`f(x)=ex, g(x)=ln x로 놓으면 f '(x)=ex, g'(x)=
;[!;
원점에서 곡선 y=ex에 그은 접선의 접점을 (a, ea)이라 하면 접선의
기울기가 f '(a)=ea이므로 접선의 방정식은
y-ea=ea(x-a)
이 접선이 원점을 지나므로
-ea=-aea, ea(a-1)=0 ∴ a=1 (∵ ea>0)
⑤
따라서 접선의 방정식은
y-e=e(x-1) ∴ y=ex
원점에서 곡선 y=ln x에 그은 접선의 접점을 (b, ln b)라 하면 접선
의 기울기가 g'(b)=
이므로 접선의 방정식은
;b!;
이 직선이 점 (3, 3)을 지나므로
= 3-t
3- t
(t+1)Û`
t+1
2tÛ`+6t=0, 2t(t+3)=0
∴`t=-3 또는 t=0
, 3(t+1)Û`-t(t+1)=3-t
따라서 mÁ=
;4!;
, mª=1 또는 mÁ=1, mª=
이므로
;4!;
mÁ+mª=
;4%;
0667
f(x)= x
xÛ`+1
"
로 놓으면
xÛ`+1-x_
"
2x
xÛ`+1
f '(x)=
2
xÛ`+1
"
t
tÛ`+1` }
"
f '(t)=
1
(tÛ`+1)
tÛ`+1
"
1
(tÛ`+1)
=
y- t
"
"
tÛ`+1`
tÛ`+1
이 직선이 점 (1, 0)을 지나므로
- t
"
(tÛ`+1)
"
tÜ`=-1 ∴ t=-1
tÛ`+1`
tÛ`+1
1-t
=
, -t(tÛ`+1)=1-t
t=-1을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은
y+ 1
2`
'
2
(x+1) ∴ y= '
4
= 1
2`
2
'
2
x- '
4
2
따라서 구하는 y절편은 - '
4
이다.
=
1
(xÛ`+1)
xÛ`+1
"
접점의 좌표를
{
t,
라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는
y-ln b=
(x-b)
;b!;
이 접선이 원점을 지나므로
-ln b=-1 ∴ b=e
따라서 접선의 방정식은
이므로 접선의 방정식은
y-1=
(x-e) ∴ y=
;e!;
x
;e!;
(x-t)
yy ㉠
;e!;
두 접선 y=ex, y=
x가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각
각 hÁ, hª라 하면
tan hÁ=e, tan hª=
;e!;
이때, h=hÁ-hª이므로
tan h=tan (hÁ-hª)=
tan hÁ-tan hª
1+tan hÁ tan hª
=
e-
;e!;
1+e_
;e!;
③
=
e-
;e!;}
;2!;{
;2!;{
e-
;e!;}
0668
`f(x)=xe-x으로 놓으면 f '(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x)
접점의 좌표를 (t, te-t)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는
`f '(t)=e-t(1-t)이므로 접선의 방정식은
y-te-t=e-t(1-t)(x-t)
이 직선이 점 (-1, 0)을 지나므로
-te-t=e-t(1-t)(-1-t), (tÛ`+t-1)e-t=0
∴ tÛ`+t-1=0 (∵`e-t>0)
이차방정식 tÛ`+t-1=0은 서로 다른 두 실근을 갖고, 이때의 두 실
근을 a, b라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
0670
f(x)=x+
로 놓으면 f '(x)=1- 4
xÛ`
;[$;
접점의 좌표를
{
t, t+
;t$;}
라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는
f '(t)=1- 4
tÛ`
이므로 접선의 방정식은
y-
t+
{
=
{
;t$;}
1- 4
tÛ` }
(x-t)
이 직선이 점 (2, 1)을 지나므로
1-t-
=2- 8
tÛ`
;t$;
-t+
, 1+
;t$;
- 8
tÛ`
;t*;
=0
t+0이므로 양변에 tÛ`을 곱하면 tÛ`+8t-8=0
a+b=-1, ab=-1
따라서 두 접선의 기울기의 곱은
f '(a)f '(b) =e-a(1-a)_e-b(1-b)
yy ㉠
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4
=4Û`+8=24>0
=e-ae-b(1-a)(1-b)
=e-(a+b){1-(a+b)+ab}
=e-(-1)(1+1-1)=e (∵`㉠)
이므로 서로 다른 두 개의 실근을 가진다.
즉, 접점의 개수가 2이므로 점 (2, 1)에서 그을 수 있는 접선의 개수
③
는 2이다.
2
6 도함수의 활용 ⑴ | 091
6ㅡ도함수의 활용⑴ 따라서 양의 정수 a의 최솟값은 1이다.
①
채점 기준
0671
`f(x)=xex으로 놓으면 f '(x)=ex+xex=(x+1)ex
접점의 좌표를 (t, tet)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는
`f '(t)=(t+1)et이므로 접선의 방정식은
y-tet=(t+1)et(x-t)
이 직선이 점 (a, 0)을 지나므로
-tet=a(t+1)et-t(t+1)et, et(tÛ`-at-a)=0
∴ tÛ`-at-a=0 (∵ et>0)
yy ㉠
점 (a, 0)에서 곡선 y=xex에 서로 다른 두 개의 접선을 그을 수 있으
려면 이차방정식 ㉠이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
㉠의 판별식을 D라 하면
D=aÛ`+4a>0, a(a+4)>0
∴ a<-4 또는 a>0
0672
|전략| 접선의 방정식을 구한 후 x절편, y절편을 구한다.
`f(x)=xÛ` ln x로 놓으면
`f '(x)=2x ln x+xÛ`_
=(2 ln x+1)x
;[!;
x=e인 점에서의 접선의 기울기는 f '(e)=3e
따라서 점 (e, eÛ`)에서의 접선의 방정식은
y-eÛ`=3e(x-e) ∴`y=3ex-2eÛ`
접선의 x절편과 y절편이 각각
e, -2eÛ`이므로 구하는 도형의 넓이는
;3@;
_
;2!;
;3@;
e_2eÛ`=
eÜ`
;3@;
0673
`f(x)=e3-x으로 놓으면 f '(x)=-e3-x
접점의 좌표를 (t, e3-t)이라 하면 접선의 기울기가 -1이므로
`f '(t)=-e3-t=-1
e3-t=1, 3-t=0 ∴ t=3
접점의 좌표가 (3, 1)이므로 접선의 방정식은
y-1=-(x-3) ∴ y=-x+4
따라서 P(4, 0), Q(0, 4)이므로 △OPQ의 넓이는
이 직선이 원점을 지나므로
-ln
-1=-1,
=1 ∴ t=2
;2T;
;2T;
즉, 점 P의 좌표는 (2, 1)이고 접선의 기울기는
이다.
… ❶
;2!;
점 P를 지나고 접선에 수직인 직선의 기울기는 -2이므로 이 직선의
방정식은
y-1=-2(x-2) ∴ y=-2x+5
즉, 점 Q의 좌표는
}
따라서 △POQ의 넓이는
{;2%;
, 0
_
_1=
;2!;
;2%;
;4%;
❶ 점 P의 좌표를 구할 수 있다.
❷ 점 Q의 좌표를 구할 수 있다.
❸ △POQ의 넓이를 구할 수 있다.
0675
|전략| 두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=t에서 공통인 접선을 가지면
f(t)=g(t), f '(t)=g'(t)임을 이용한다.
`f(x)=axÜ`, g(x)=ln x로 놓으면
`f '(x)=3axÛ`, g'(x)=
;[!;
두 곡선이 x=t인 점에서 접한다고 하면
④
`f(t)=g(t)에서 atÜ`=ln t
`f '(t)=g'(t)에서 3atÛ`=
;t!;
㉡에서 atÜ`=
을 ㉠에 대입하면
;3!;
t=Ü`
e를 ㉠에 대입하면 ae=
'
=ln t ∴ t=Ü`
'
e
;3!;
∴ a= 1
3e
;3!;
0676
`f(x)= 1
xÛ`
-x+2, g(x)=xÛ`+ax+2b로 놓으면
`f '(x)=- 2
xÜ`
-1, g'(x)=2x+a
④
두 곡선이 x=1에서 공통인 접선을 가지므로
`f(1)=g(1)에서 2=1+a+2b ∴`a+2b=1
`f '(1)=g'(1)에서 -3=2+a ∴ a=-5
a=-5를 ㉠에 대입하면 b=3
_4_4=8
;2!;
0674
;2{;
;t!;
092 | III . 미분법
는 f '(t)=
이므로 접선의 방정식은
y-
ln
+1
=
(x-t)
{
;2T;
}
;t!;
`f(x)=ln
+1로 놓으면 f '(x)=
∴ a+b=-2
;2!;
_ 1
;2{;
=
;[!;
접점 P의 좌표를
{
t, ln
+1
;2T;
이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기
}
0677
`f(x)=sinÛ` x-a, g(x)=cos x로 놓으면
`f '(x)=2 sin x cos x, g'(x)=-sin x
두 곡선이 x=t에서 공통인 접선을 가지므로
… ❷
… ❸
;4%;
비율
50`%
30`%
20`%
yy ㉠
yy ㉡
④
yy ㉠
①
정답과 해설 `f(t)=g(t)에서 sinÛ` t-a=cos t
`f '(t)=g'(t)에서 2 sin t cos t=-sin t, sin t(2 cos t+1)=0
yy ㉠
∴`cos t=-
(∵`00) … ❷
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
+
↗
2
0
y
-
↘
2
2
'
따라서 함수 f(x)가 증가하는 구간은 (0, 2]이므로 이 구간에 속하는
모든 정수 x의 값의 합은
1+2=3
채점 기준
❶ f '(x)를 구할 수 있다.
❷ f '(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다.
❸ 증가하는 구간에 속하는 모든 정수 x의 값의 합을 구할 수 있다.
6 도함수의 활용 ⑴ | 095
|2+2|
1Û`+(-1)Û``
"
=
4
2`
'
=2
2
'
0692
xy=3의 각 항을 x에 대하여 미분하면
y+x
=0 ∴
dy
dx
dy
dx
=-
;[};
점 PÇ(xÇ, yÇ)에서의 접선의 기울기는
dy
dx
=-
yÇ
xÇ
=- 3
xÇÛ`
∵ yÇ= 3
{
xÇ }
(x-xÇ)
이므로 접선의 방정식은
y-yÇ=- 3
xÇÛ`
위의 식에 y=0을 대입하면
-yÇ=- 3
xÇÛ`
(x-xÇ), yÇ xÇÛ`=3x-3xÇ
3xÇ=3x-3xÇ (∵ xÇ yÇ=3) ∴ x=2xÇ
6ㅡ도함수의 활용⑴ 이차함수 f(x)=axÛ`+bx+c에 대하여 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 판
별식을 D라 할 때
-e-x(3xÛ`+6x+1)
(3xÛ`+1)Û`
⑴ 모든 실수 x에 대하여 f(x)¾0일 조건은 ⇨ a>0, DÉ0
⑵ 모든 실수 x에 대하여 f(x)É0일 조건은 ⇨ a<0, DÉ0
0695
에서
`f(x)=
e-x
3xÛ`+1
-e-x(3xÛ`+1)-e-x_6x
(3xÛ`+1)Û`
`f '(x)=0에서 3xÛ`+6x+1=0 (∵ e-x>0)
`f '(x)=
=
6`
∴ x=-1Ñ '
3
x
y
-1-'6`
3
f '(x) -
0
f(x)
↘
y
+
↗
-1+'6`
3
0
y
-
↘
6`
-1- '
3
6`
ÉxÉ-1+ '
3
6`
이므로 a=-1- '
3
6`
, b=-1+ '
3
∴ a+b=-2
0698
`f(x)=ax+ln (xÛ`+4)에서
`f '(x)=a+
2x
xÛ`+4
=
axÛ`+2x+4a
xÛ`+4
함수 f(x)가 구간 (-¦, ¦)에서 감소하려면 모든 실수 x에 대하
이때, xÛ`+4>0이므로 axÛ`+2x+4aÉ0이어야 한다.
즉, a<0이고 이차방정식 axÛ`+2x+4a=0의 판별식을 D라 하면
따라서 함수 f(x)가 증가하는 x의 값의 범위는
여 f '(x)É0이어야 한다.
D
4
=1-4aÛ`É0, (2a-1)(2a+1)¾0
-2
∴ aÉ-
또는 a¾
;2!;
;2!;
그런데 a<0이므로 aÉ-
;2!;
따라서 구하는 a의 최댓값은 -
이다.
;2!;
0696
f(x)=3 ln (xÛ`+1)-xÜ`에서
`f '(x)=
-3xÛ`=
6x
xÛ`+1
6x-3xÛ`(xÛ`+1)
xÛ`+1
=
-3x(xÜ`+x-2)
xÛ`+1
=-
3x(x-1)(xÛ`+x+2)
xÛ`+1
`f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1 (∵ xÛ`+x+2>0)
x
y
f '(x) -
f(x)
↘
0
0
y
+
↗
y
-
↘
1
0
;2!;
따라서 함수 f(x)가 감소하는 구간은 (-¦, 0], [1, ¦)이므로 이 구
간에 속하는 x의 값이 아닌 것은 ③
이다.
③
0697
|전략| 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하여
f '(x)¾0이어야 함을 이용한다.
`f(x)=(axÛ`-1)e-x에서
`f '(x)=2axe-x-(axÛ`-1)e-x=-(axÛ`-2ax-1)e-x
함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하
0700
여 f '(x)¾0이어야 한다.
이때, e-x>0이므로 axÛ`-2ax-1É0이어야 한다.
Ú a=0일 때, -1É0이므로 항상 성립한다.
Û a+0일 때, a<0이고 이차방정식 axÛ`-2ax-1=0의 판별식을
D라 하면
D
4
=aÛ`+aÉ0, -1ÉaÉ0
a<0이므로 -1Éa<0
096 | III . 미분법
Ú, Û에 의하여 구하는 a의 값의 범위는 -1ÉaÉ0
④
0699
`f(x)=(xÛ`+2ax+b)ex에서
`f '(x) =(2x+2a)ex+(xÛ`+2ax+b)ex
={xÛ`+2(a+1)x+2a+b}ex
함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하
여 f '(x)¾0이어야 한다.
이때, ex>0이므로 xÛ`+2(a+1)x+2a+b¾0이어야 한다.
이차방정식 xÛ`+2(a+1)x+2a+b=0의 판별식을 D라 하면
=(a+1)Û`-(2a+b)É0 ∴ aÛ`+1Éb
D
4
따라서 b의 최솟값은 1이다.
④
`
①
|전략| 함수 f(x)가 구간 (-1, 1)에서 증가하려면 이 구간의 모든 x에 대하여
f '(x)¾0이어야 함을 이용한다.
`f(x)= xÛ`+2x+a
에서
xÛ`+1
`f '(x)=
(2x+2)(xÛ`+1)-(xÛ`+2x+a)_2x
(xÛ`+1)Û`
= -2xÛ`+2(1-a)x+2
(xÛ`+1)Û`
함수 f(x)가 구간 (-1, 1)에서 증가하려면 -10이므로 g(x)=-2xÛ`+2(1-a)x+2로 놓으면
-10에서 f '(x)¾0이어야 한다.
즉, x>0에서 2xÛ`-4x+kÛ`¾0이 항상 성립해야 한다.
g(x) =2xÛ`-4x+kÛ`=2(x-1)Û`+kÛ`-2
로 놓으면 x>0에서 g(x)¾0이어야 하므로
kÛ`-2¾0
y
kÛ
kÛ -2
∴`kÉ-
2 또는 k¾
'
2
'
1
x-2-x
'¶
에서 x¾2이고
`f '(x)=-
y=g(x)
-1
1
x-2
'¶
x-2-x)Û`
'¶
2
(
x-2-1
=
2
'¶
x-2 (
'¶
2
'¶
x-2-x)Û`
`f '(x)=0에서 2
x-2=1, x-2=
∴ x=
;4!;
;4(;
'¶
O
1
kÉ-
2 또는 k¾
2
'
x
'
x
2
f '(x)
f(x)
y
-
↘
;4(;
0
-
;7$;
y
+
↗
따라서 함수 f(x)는 x=
에서 극솟값 -
를 갖는다.
;4(;
;7$;
-
;7$;
|전략| f '(x)=0이 되는 x의 값을 구하고 그 값의 좌우에서 f '(x)의 부호가 바
뀌는지 조사한다.
`f(x)= 2x-1
xÛ`+2
에서
`f '(x)= 2(xÛ`+2)-(2x-1)_2x
= -2xÛ`+2x+4
(xÛ`+2)Û`
(xÛ`+2)Û`
= -2(x+1)(x-2)
(xÛ`+2)Û`
`f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2
x
y
f '(x) -
f(x)
↘
-1
0
-1
2
0
;2!;
y
-
↘
;2!;
y
+
↗
;2!;
따라서 함수 f(x)는 x=2에서 극댓값
, x=-1에서 극솟값 -1
을 가지므로 a=2, f(a)=
, b=-1, f(b)=-1
0707
0706
`f(x)=
x+
`f '(x)= 1
x`
2
'
'
`f '(x)=0에서
'¶
+ -1
2
'¶
2-x=
'¶
2-x
x
'
2-x에서 0ÉxÉ2이고
2-x-
x
x(2-x)
'
= '¶
2
"
양변을 제곱하면 2-x=x ∴ x=1
x
0
f '(x)
f(x)
y
+
↗
1
0
2
y
-
↘
2
2`
'
∴
f(a)
b
+
f(b)
a
=
;2!;
-1
+
-1
2
=-1
-1
`f(x)=(xÛ`-3x+1)ex에서
|전략| f '(x)=0이 되는 x의 값을 구하고 그 값의 좌우에서 f '(x)의 부호가 바
뀌는지 조사한다.
따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극댓값 2를 갖는다.
2
0703
`
6 도함수의 활용 ⑴ | 097
6ㅡ도함수의 활용⑴ `f '(x) =(2x-3)ex+(xÛ`-3x+1)ex
=(xÛ`-x-2)ex=(x+1)(x-2)ex
`f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2 (∵ ex>0)
x
y
-1
f '(x) +
f(x)
↗
0
;e%;
y
-
↘
2
0
-eÛ`
y
+
↗
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
-
↘
1
eÛ`
0
극소
y
+
↗
1
0
극대
y
-
↘
따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극댓값을 갖는다.
1
다른 풀이 f '(x)=-ln x _(ln x+2)에서
f "(x)=-
;[!; (ln x+2)-ln x_
;[!;
=-
;[@; (ln x+1)
따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극댓값
, x=2에서 극솟값 -eÛ`을
;e%;
가지므로 구하는 극댓값과 극솟값의 곱은
_(-eÛ`)=-5e
;e%;
다른 풀이 f '(x)=(xÛ`-x-2)ex에서
f "(x)=(2x-1)ex+(xÛ`-x-2)ex=(xÛ`+x-3)ex
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2 (∵ ex>0)
f '(x)=0에서 x=
또는 x=1
1
eÛ`
1
eÛ` }
{
x=1에서 극댓값을 갖는다.
0711
이때, f "(-1)=-
<0, f "(2)=3eÛ`>0이므로 f(x)의 극댓값은
;e#;
`f(x)=x+2-ln x에서 x>0이고 f '(x)=1-
;[!;
①
이때, f "
=-2eÛ`_(-1)=2eÛ`>0, f "(1)=-2<0이므로 f(x)는
f(-1)=
;e%;, 극솟값은 f(2)=-eÛ`이다.
따라서 구하는 극댓값과 극솟값의 곱은 ;e%;
_(-eÛ`)=-5e
0708
`f(x)=ex+e-x에서 f '(x)=ex-e-x
`f '(x)=0에서 ex=e-x ∴ x=0
`f '(x)=0에서 x=1
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
-
↘
1
0
3
y
+
↗
따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극솟값 3을 가지므로
a=1, b=3 ∴`a+b=4
②
따라서 함수 f(x)는 x=0에서
극솟값 2를 가지므로
a=0, b=2 ∴`a+b=2
x
y
f '(x) -
f(x)
↘
0
0
2
y
+
↗
2
0712
`f(x)= x
ln x
에서 01이고 f '(x)=
ln x-1
(ln x)Û`
`f '(x)=0에서 ln x=1 ∴ x=e
x
(0)
(1)
f '(x)
f(x)
y
-
↘
y
-
↘
e
0
e
y
+
↗
따라서 함수 f(x)는 x=e에서 극솟값 e를 가지므로
a=e, b=e ∴ a+b=2e
2e
0713
`f(x)=ex-e ln (x+e)에서 x>-e이고 f '(x)=ex- e
x+e
①
`f '(x)=0에서 ex= e
x+e
이 방정식의 실근은 두 곡선 y=ex과
y= e
의 교점의 x좌표와 같다.
x+e
오른쪽 그림에서 f '(0)=0이고
y
y=ex
1
y=
e
x+e
-e
O
x
x>0이면 f '(x)>0
따라서 함수 f(x)는 x=0에서 극소이고 극솟값은
f(0)=1-e
②
0709
`f(x)=e-xÛ`에서 f '(x)=-2xe-xÛ`
`f '(x)=0에서 x=0 (∵ e-xÛ` >0)
x
y
f '(x) +
f(x)
↗
0
0
1
y
-
↘
ㄱ. x=0에서 극댓값 1을 갖는다. (참)
ㄴ. 극솟값은 없다. (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ이다.
0710
`f '(x)=0에서 ln x=-2 또는 ln x=0
∴`x= 1
eÛ`
또는 x=1
098 | III . 미분법
ㄷ. 구간 (-¦, 0]에서 증가하고 구간 [0, ¦)에서 감소한다. (거짓)
|전략| (진수)>0인 x의 값의 범위에서 극대, 극소를 조사한다.
`f(x)=1-x(ln x)Û`에서 x>0이고
`f '(x)=-(ln x)Û`-x_2 ln x_
=-ln x_(ln x+2)
-e0이면 y=ex의 그래프가 y= e
의 그래프보다 위쪽에 있으므로
채점 기준
x+e
ex> e
x+e
∴ f '(x)=ex- e
x+e
>0
0714
❶ f '(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다.
❷ a, b의 값을 구할 수 있다.
❸ 2a-b의 값을 구할 수 있다.
비율
40`%
40`%
20`%
|전략| 주어진 범위에서 f '(x)=0이 되는 x의 값을 구하고 그 값의 좌우에서
f '(x)의 부호가 바뀌는지 조사한다.
0716
`f(x)=(sin 2x)Û`+1에서
`f(x)=x+2 cos x에서 f '(x)=1-2 sin x
∴ x=
또는 x=
p (∵ 0-1)에서
`f '(x)=
(2x+a)(xÛ`-x+1)-(xÛ`+ax+1)(2x-1)
(xÛ`-x+1)Û`
=
-(a+1)(x+1)(x-1)
(xÛ`-x+1)Û`
`f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
x
y
f '(x) -
f(x)
↘
-1
0
극소
y
+
↗
1
0
극대
y
-
↘
을 갖는다.
따라서 f(-1)= -a+2
3
a=f(1)=1+5+1=7
∴ a+a=5+7=12
=-1이므로 a=5
0720
f(x)=ex+9e-x+a에서 f '(x)=ex-9e-x= e2x-9
ex
f '(x)=0에서 e2x=9, 2x=ln 9 ∴ x=ln 3
a>-1이므로 함수 f(x)는 x=-1에서 극솟값, x=1에서 극댓값
'
a=0,
`f(
a)=
'
-a ln
'
;2A;
-
;2A;
;2A;
ln a=0,
(1-ln a)=0
;2A;
그런데 a>0이므로 1-ln a=0, ln a=1 ∴`a=e
④
0722
`f(x)=x+a cos x(a>1)에서 f '(x)=1-a sin x
`f '(x)=0에서 sin x=
;a!;
이때, 0<
<1이므로 f '(x)=0을 만족시키는 x의 값을
;a!;
p
2 }
x=a
00, 4k-5<0 ∴ k<
;4%;
따라서 구하는 정수 k의 최댓값은 1이다.
①
x
y
f '(x) -
ln 3
0
f(x)
↘
극소
y
+
↗
따라서 함수 f(x)는 x=ln 3에서 극솟값 2를 가지므로
f(ln 3)=eln 3+9e-ln 3+a=2, 3+9_
+a=2
;3!;
f '(x)=(x+k)ex+
xÛ`+kx+1
ex
}
0724
`f(x)=
xÛ`+kx+1
ex에서
{;2!;
}
{;2!;
②
=
[;2!;
xÛ`+(k+1)x+k+1
ex
]
∴ a=-4
0721
`f(x)=
xÛ`-a ln x(a>0)에서 x>0이고
;2!;
`f '(x)=x-
= xÛ`-a
x
;[A;
`f '(x)=0에서 xÛ`=a ∴`x=
a (∵`x>0)
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
-
↘
a`
'
0
극소
'
y
+
↗
100 | III . 미분법
이때, 함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 이차방정식
xÛ`+(k+1)x+k+1=0이 중근 또는 허근을 가져야 한다.
;2!;
이차방정식
xÛ`+(k+1)x+k+1=0의 판별식을 D라 하면
;2!;
D=(k+1)Û`-2(k+1)É0, kÛ`É1 ∴ -1ÉkÉ1
따라서 정수 k의 개수는 -1, 0, 1의 3이다.
3
0725
`f(x)=2 ln x+
-x에서 x>0이고
;[A;
정답과 해설 `f '(x)=
- a
xÛ`
;[@;
-1= -xÛ`+2x-a
xÛ`
이때, 함수 f(x)가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 이차방정식
0727
|전략| 함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 모든 실수 x에 대하여 f '(x)¾0 또
는 f '(x)É0임을 이용한다.
-xÛ`+2x-a=0이 x>0에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
`f(x)=kx+sin x에서 f '(x)=k+cos x
Ú 이차방정식 -xÛ`+2x-a=0의 판별식을 D라 하면
이때, 함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 f '(x)¾0 또는 f '(x)É0
=1-a>0 ∴ a<1
D
4
Û (두 근의 합)=2>0
Ü (두 근의 곱)=a>0
Ú, Û, Ü에서 구하는 a의 값의 범위는 00, ab>0
② 두 근이 모두 음수 ⇨ D¾0, a+b<0, ab>0
③ 두 근이 서로 다른 부호 ⇨ ab<0
(a, b가 서로 다른 두 실근인 경우 위의 조건에서 판별식의 등호(=)만 없애
주면 된다.)
0726
;3!;
;3!;
;3!;
가져야 한다.
D
4
y=
cosÜ` x+k cosÛ` x+k cos x에서 cos x=t(-10, k(k-1)>0 ∴`k<0 또는 k>1
Û y=f '(t)의 그래프의 축은 직선 t=-k이므로
-1<-k<1 ∴ -10에서 k<1
f '(1)=1+3k>0에서 k>-
;3!;
∴ `-
0)에서
`f '(x)=ex-ke-x= e2x-k
ex
`f '(x)=0에서 e2x=k, 2x=ln k
∴ x=
ln k
;2!;
;2!;
;2!;
이때, x<
ln k이면 f '(x)<0, x>
ln k이면 f '(x)>0이므로
;2!;
f(x)는 x=
ln k에서 극값을 가진다.
따라서 함수 f(x)가 00
Û 축이 x=k이면 a0, f(b)>0
부호가 달라야 하므로
(|a|+b)(-|a|+b)<0, bÛ`-|a|Û`<0
∴`aÛ`>bÛ`
⑤
6 도함수의 활용 ⑴ | 101
6ㅡ도함수의 활용⑴ 정답과 해설
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
0730
유형 01 접점의 좌표가 주어진 접선의 방정식
|전략| 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 방정식은
y-f(a)=f '(a)(x-a)임을 이용한다.
로 놓으면 f '(x)=- 2
`f(x)= 1
xÜ`
xÛ`
점 P(-1, 1)에서의 접선의 기울기는 f '(-1)=2이므로 접선의 방
정식은
y-1=2(x+1) ∴ y=2x+3
이때, 직선 y=2x+3이 x축과 만나는 점 Q의 좌표는
{
-
, 0
}
;2#;
이 직선이 곡선과 만나는 점 P가 아닌 점 R의 x좌표는
1
xÛ`
=2x+3에서 2xÜ`+3xÛ`-1=0
(x+1)Û`(2x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x=
;2!;
즉, 점 R의 좌표는
, 4
}
{;2!;
이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(tÁ)=2- 1
tÁ
이므로 접선의
방정식은
y-(2tÁ-ln tÁ)=
(x-tÁ)
2- 1
tÁ }
{
이 직선이 점 (0, 1)을 지나므로
1-2tÁ+ln tÁ=-2tÁ+1, ln tÁ=0 ∴ tÁ=1
즉, 점 (0, 1)에서 그은 접선의 기울기는 f '(1)=2-1=1이므로 이
점에서 그은 접선과 수직인 직선의 기울기는 -1이다.
점 (a, 0)에서 이 곡선에 그은 접선의 접점의 좌표를
(tª, 2tª-ln tª)라 하면 f '(tª)=2- 1
tª
=-1에서 tª=
;3!;
점
,
-ln ;3!;}
;3@;
{;3!;
에서의 접선의 방정식은
y-
-ln
=-
x-
;3!;}
{
;3!;}
{;3@;
이 직선이 점 (a, 0)을 지나므로
-
+ln
=-a+
∴ a=1+ln 3
;3@;
;3!;
;3!;
②
PQÓ=
-1+
¾±{
5`
Û`+1Û`= '
2
;2#;}
, QRÓ=
+
¾±{;2!;
;2#;}
Û`+4Û`=2
5
'
0733
5`
∴ PQÓ：QRÓ= '
2
：2
5=1：4
'
0731
유형 03 기울기가 주어진 접선의 방정식
|전략| 접점의 좌표를
{
t,
t+1
t-1 }
f(x)= x+1
x-1
로 놓으면
f '(x)= (x-1)-(x+1)
=- 2
(x-1)Û`
(x-1)Û`
유형 05 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이
③
|전략| 접선의 방정식을 구한 후 x절편, y절편을 구한다.
`f(x)=(xÛ`+1)ex으로 놓으면
f '(x)=2xex+(xÛ`+1)ex=(x+1)Û`ex
x=0인 점에서의 접선의 기울기는 f '(0)=1이므로 점 (0, 1)에서의
y-1=x ∴ y=x+1
따라서 접선의 x절편은 -1, y절편은 1이므로 구하는 도형의 넓이는
_1_1=
;2!;
;2!;
①
로 놓고 접선의 방정식을 구한다.
접선의 방정식은
접점의 좌표를
{
t,
t+1
t-1 }
이라 하면 접선의 기울기가 -2이므로
0734
f '(t)=- 2
(t-1)Û`
=-2, (t-1)Û`=1
t-1=Ñ1 ∴ t=0 또는 t=2
y+1=-2x, y-3=-2(x-2)
∴ 2x+y+1=0, 2x+y-7=0
즉, 접점의 좌표가 (0, -1), (2, 3)이므로 접선의 방정식은
두 직선 사이의 거리는 직선 2x+y+1=0 위의 점 (0, -1)과 직선
2x+y-7=0 사이의 거리와 같으므로
④
|-1-7|
2Û`+1Û`
"
= 8
5`
'
= 8
5`
'
5
0732
유형 04 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식
|전략| 점 (0, 1)에서 그은 접선의 접점의 좌표를 (tÁ, 2tÁ-ln tÁ)로 놓고 접선
의 방정식을 구한 후 수직인 두 직선의 기울기의 곱이 -1임을 이용한다.
`f(x)=2x-ln x로 놓으면 f '(x)=2-
;[!;
유형 06 두 곡선의 공통인 접선
|전략| 두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=t에서 공통인 접선을 가지면
f(t)=g(t), f '(t)=g'(t)임을 이용한다.
`f(x)=e2x, g(x)=2
`f '(x)=2e2x, g'(x)= 1
x+a로 놓으면
'¶
x+a
'¶
두 곡선이 x=b인 점에서 접하므로
`f(b)=g(b)에서 e2b=2
b+a
`f '(b)=g'(b)에서 2e2b= 1
'¶
b+a`
= 2
'¶
e2b 를 ㉡에 대입하면
1
b+a`
㉠에서
'¶
2e2b= 2
e2b , e4b=1 ∴ b=0
b=0을 ㉠에 대입하면
1=2
a, 4a=1 ∴ a=
'
;4!;
yy ㉠
yy ㉡
점 (0, 1)에서 이 곡선에 그은 접선의 접점의 좌표를 (tÁ, 2tÁ-ln tÁ)
∴ a-b=
;4!;
④
102 | III . 미분법
유형 08 매개변수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식
유형 13 유리함수의 극대·극소
0738
|전략|
=
임을 이용하여 h=p에 대응하는 점에서의 접선의 기울기를
0735
dy
dx
구한다.
dx
dh
dy
dh
dx
dh
dy
dh
=cos h,
=1+sin h이므로
dy
dx
=
=
1+sin h
cos h
(cos h+0)
dy
dh
dx
dh
|전략| f '(x)=0이 되는 x의 값을 구하고 그 값의 좌우에서 f '(x)의 부호가 바
뀌는지 조사한다.
`f(x)=- 2x
xÛ`+1
에서
`f '(x)=-
2(xÛ`+1)-2x_2x
(xÛ`+1)Û`
=
2(x+1)(x-1)
(xÛ`+1)Û`
`f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
x
y
-1
f '(x) +
f(x)
↗
0
1
y
-
↘
1
0
-1
y
+
↗
따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극댓값 1, x=1에서 극솟값 -1을
가지므로 극댓값과 극솟값의 곱은
1_(-1)=-1
②
유형 14 무리함수의 극대·극소
|전략| f '(x)=0이 되는 x의 값을 구하고 그 값의 좌우에서 f '(x)의 부호가 바
뀌는지 조사한다.
`f(x)=x
`f '(x)=
4-xÛ`에서
"
4-xÛ`- xÛ`
"
= 2(2-xÛ`)
4-xÛ``
"
4-xÛ``
"
`f '(x)=0에서 xÛ`=2 ∴ x=Ñ
x
(-2) y
-
2
'
0
-2
-
↘
f '(x)
f(x)
(2)
2
'
0
2
y
-
↘
2
'
y
+
↗
따라서 함수 f(x)는 x=
'
를 가지므로 a=2, b=-2
∴ aÛ`+bÛ`=8
2에서 극댓값 2, x=-
2에서 극솟값 -2
'
③
유형 17 삼각함수의 극대·극소
|전략| 주어진 범위에서 f '(x)=0이 되는 x의 값을 구하고 그 값의 좌우에서
f '(x)의 부호가 바뀌는지 조사한다.
`f(x)=cos x+x sin x에서
`f '(x)=-sin x+sin x+x cos x=x cos x
`f '(x)=0에서 cos x=0 (∵ x>0)
∴ x= p
2
또는 x=
p (∵ 00이므로 -2xÛ`+2ax-1É0이어야 한다.
이차방정식 -2xÛ`+2ax-1=0의 판별식을 D라 하면
D
4
=aÛ`-2É0, (a+
2)(a-
2)É0
'
'
∴ -
2ÉaÉ
2
'
'
0737
②
0740
유형 12 주어진 구간에서 함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건
|전략| 함수 f(x)가 구간
{
-
p
2
,
p
2 }
여 f '(x)¾0이어야 함을 이용한다.
`f(x)=a cos x+x에서 f '(x)=-a sin x+1
에서 증가하려면 이 구간의 모든 x에 대하
, p
2 }
에서 증가하려면 - p
2
0이므로
-a+1<-a sin x+10에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
❸ a의 값을 구할 수 있다.
q
x
`f(x)=2 p ln x+
+x에서 x>0이고
`f '(x)=
-
+1=
2p
x
q
xÛ`
xÛ`+2px-q
xÛ`
Ú 이차방정식 xÛ`+2px-q=0의 판별식을 D라 하면
=pÛ`+q>0 ∴ q>-pÛ`
D
4
Û (두 근의 합)=-2p>0 ∴ p<0
Ü (두 근의 곱)=-q>0 ∴ q<0
Ú, Û, Ü에 의하여 순서쌍 (p, q)가 될 수 있는 것은 ⑤(-2, -3)
⑤
이다.
0743
유형 03 기울기가 주어진 접선의 방정식
|전략| 주어진 직선과 평행한 접선의 접점의 좌표를 찾아 이 접점과 직선 사이의
채점 기준
❶
를 구할 수 있다.
dy
dx
0745
곡선 y=f(x)의 접선 중에서 직선 y=x+4와 평행한 접선의 접점의
t`)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기가 1이므로
채점 기준
즉, 접점의 좌표는 (1, 2)이다.
… ❷
❸ a+b의 값을 구할 수 있다.
따라서 점 (1, 2)와 직선 y=x+4, 즉 x-y+4=0 사이의 거리가
❶ f '(x)를 구할 수 있다.
❷ a, b의 값을 구할 수 있다.
유형 18 함수의 극대·극소 - 미정계수의 결정
|전략| 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 f '(a)=0임을 이용한다.
`f(x)=(axÛ`-b)ex에서
`f '(x)=2axex+(axÛ`-b)ex=(axÛ`+2ax-b)ex
… ❶
함수 f(x)가 x=1에서 극솟값을 가지므로
`f '(1)=(3a-b)e=0 ∴ 3a-b=0
yy ㉠
곡선 y=f(x) 위의 x=0인 점에서의 접선의 기울기가 -3이므로
f '(0)=-b=-3 ∴ b=3
b=3을 ㉠에 대입하면 a=1
… ❶
∴ a+b=4
… ❷
… ❸
2
배점
3점
3점
1점
… ❷
… ❸
4
배점
2점
4점
1점
… ❸
3
2`
'
2`
배점
2점
2점
2점
0746
유형 01 접점의 좌표가 주어진 접선의 방정식
|전략| 서로 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 -1임을 이용한다.
⑴ g(x)=f(x) ln xÝ`에서
g'(x)=f '(x) ln xÝ`+f(x)_
∴ g'(e)=f '(e) ln eÝ`+f(e)_
=4 f '(e)-4 (∵ f(e)=-e)
;[$;
;e$;
거리를 구한다.
`f(x)=2
x로 놓으면 f '(x)= 1
x
'
'
'
좌표를 (t, 2
`f '(t)= 1
t`
'
=1 ∴ t=1
최소이므로
|1-2+4|
1Û`+(-1)Û``
= 3
2
'
=
3
2
'
2
"
채점 기준
❶ f '(x)를 구할 수 있다.
❷ 주어진 직선에 평행한 접선의 접점의 좌표를 구할 수 있다.
❸ 거리의 최솟값을 구할 수 있다.
104 | III . 미분법
정답과 해설 ⑵ 두 접선이 서로 수직이므로 f '(e)g'(e)=-1에서
f '(e){4 f '(e)-4}=-1
곡선 y=f(x) 위의 점 P
t,
에서의 접선의 방정식은
1
1-sin t }
{
y- 1
1-sin t
=
cos t
(1-sin t)Û`
(x-t)
위의 식에 y=0을 대입하여 정리하면
-(1-sin t)=cos t_(x-t), x cos t=t cos t-1+sin t
∴ x= t cos t-1+sin t
cos t
즉, 점 Q의 좌표는
{
t cos t-1+sin t
cos t
, 0
}
이때, 점 P에서 x축에 내린 수선의 발 R의 좌표는 (t, 0)이므로
QRÓ=
t cos t-1+sin t
cos t
|
-t
|
=
|
-1+sin t
cos t
= 1-sin t
cos t
|
{
∵ 00
p
2
Ú
p
2
-OQÓ
QRÓ
∴ lim
t
-
Ú
p
2
= lim
t
-
Ú
p
2
p
2
-
t cos t-1+sin t
cos t
1-sin t
cos t
p
2
{
-t
cos t+1-sin t
}
1-sin t
= lim
t
-
Ú
p
2
=h라 하면 t
-일 때 h
0-이므로
p
2
Ú
Ú
cos t+1-sin t
-h cos
-t
}
1-sin t
{h+ p
2 }
1-sin {
h sin h+1-cos h
1-cos h
h+ p
2 }
+1-sin
h+ p
2 }
{
= lim
h
Ú
0-{
h sin h
1-cos h
+1
}
이때, t- p
2
p
2
{
lim
p
t
-
2
Ú
= lim
h
0-
Ú
= lim
h
0-
Ú
⑴ 4 f '(e)-4 ⑵
⑶ 50
;2!;
임을 이용하여
를 구한 후
=0을 만족시키는 h의
dy
dx
dy
dx
4{ f '(e)}Û`-4 f '(e)+1=0
{2 f '(e)-1}Û`=0 ∴ f '(e)=
;2!;
⑶ 100 f '(e)=100_;2!;
=50
채점 기준
⑴ g'(e)를 f '(e)를 사용하여 나타낼 수 있다.
⑵ f '(e)의 값을 구할 수 있다.
⑶ 100 f '(e)의 값을 구할 수 있다.
0747
|전략|
dy
dx
유형 17 삼각함수의 극대·극소
dy
dh
dx
dh
dy
dx
값의 좌우에서
=
의 부호가 바뀌는지 조사한다.
⑴
dx
dh
=1-sin h,
=cos h-
이므로
;2!;
dy
dh
dy
dx
=
=
cos h-
;2!;
1-sin h
(sin h+1)
dy
dh
dx
dh
⑵
dy
dx
=0에서 cos h=
∴ h=
;2!;
p
3
p
2
함수는 h=
에서 극댓값을 갖는다.
p
3
따라서 구하는 극댓값은
p
sin
3
-
p
6
3
= '
2
-
p
6
⑴
를 구할 수 있다.
채점 기준
dy
dx
dy
dx
⑶ 극댓값을 구할 수 있다.
⑵
=0을 만족시키는 h의 값을 구할 수 있다.
배점
4점
4점
2점
배점
4점
4점
4점
⑶ 00,
0이므로 점 (t, f(t))
는 제1사분면 위의 점이다.
또, 점 (t, f(t))에서의 접선의 기울기는 f '(t)=2et cos t<0이
다.
770
제1사분면 위의 점을 지나면서 기울기가 음수인 직선은 제3사분면
을 지나지 않으므로
0)
2 e-x(cos x-sin x)
x
`g(x)=M(L, M은 실수)
함수의 극한의 대소 관계
두 함수 f(x), g(x)에 대하여
`f(x)=L, lim
lim
x
a
a
Ú
Ú
일 때, a에 가까운 모든 실수 x에 대하여
⑴ f(x)Ég(x)이면 LÉM
⑵ 함수 h(x)에 대하여 f(x)Éh(x)Ég(x)이고 L=M이면
`h(x)=L
lim
x
a
Ú
sin x=-cos x ∴ x=
p+np (n¾0인 정수)
;4#;
2 e-x>0이므로 sin x의 부호를 조사한다.
2
'
f "
>0, f "
p+2kp
}
{;4#;
<0 (k¾0인 정수)이므로
p+(2k+1)p
}
{;4#;
0752
x=
p,
p+2p,
;4&;
;4&;
;4&;
e-
;4&;
p-4p, y을 갖는다.
p+4p, y에서 극댓값 e-
;4&;
p, e-
;4&;
p-2p,
따라서 함수 f(x)의 극댓값은 첫째항이 e-
;4&;
p, 공비가 e-2p인 등비수
|전략| f '(x)를 구한 후 사잇값의 정리를 이용한다.
`f(x)=e-x(ln x-1)에서 x>0이고
`f '(x)=-e-x(ln x-1)+e-x_
;[!;
열을 이루므로 모든 극댓값의 합은
p
;4&;
e-
1-e-2p =
p
;4&;
e2p
_e-
e2p(1-e-2p)
=
p
4
e
e2p-1
=e-x
{;[!;
-ln x+1
}
함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지므로 f '(a)=0
-ln x+1로 놓으면 g(a)=0
p
e``
4
e2p-1
<0 (∵ x>0)이므로 함수 g(x)는
즉, g(x)=
;[!;
g'(x)=- 1
xÛ`
-
;[!;
=- 1+x
xÛ`
x>0에서 연속이고 감소한다.
이때,
g(1)=1-ln 1+1=2>0,
g(e)=
;e!;
g(eÛ`)= 1
eÛ`
-ln e+1=
;e!;
-ln eÛ`+1= 1
eÛ`
>0,
-1<0
이므로 사잇값의 정리에 의하여 g(c)=0인 실수 c가 구간 (e, eÛ`)에
적어도 하나 존재한다.
따라서 a가 속하는 구간은 ②(e, eÛ`)이다.
②
사잇값의 정리
함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고
y=f(x)
f(a)와 f(b)의 부호가 서로 다르면 f(c)=0
인 c가 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한
다.
즉, 방정식 f(x)=0은 열린구간 (a, b)에서
적어도 하나의 실근을 갖는다.
y
f(b)
f(a)
a
O
cÁ
cª
b
x
c£
0751
p
2
p
2
;4#;
|전략| ㄱ. 삼각함수의 합성과 함수의 극한의 대소 관계를 이용한다.
ㄴ. x=
의 좌우에서 f '(x)의 부호의 변화를 조사한다.
ㄷ.
0)
'
'
'
이때, lim
-¦
x
ex=0이므로
Ú
(-
'
lim
-¦
x
Ú
∴ lim
-¦
x
Ú
2 ex)=0, lim
2 ex=0
x
-¦'
Ú
f(x)=0 (참)
ㄴ. f '(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2ex cos x
f '
{
p
2 }
=0이고 - p
2
0,
0
7 도함수의 활용 ⑵
본책 120~139쪽
개념 마스터
STEP1
0753
f(x)=xÜ`-3xÛ`+5로 놓으면
f '(x)=3xÛ`-6x, f "(x)=6x-6=6(x-1)
f "(x)=0에서 x=1
이때, x<1이면 f "(x)<0, x>1이면 f "(x)>0
따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (-¦, 1)에서 위로 볼록하고, 구간
(1, ¦)에서 아래로 볼록하다.
0754
f(x)=-xÝ`+2xÜ`-1로 놓으면
f '(x)=-4xÜ`+6xÛ`, f "(x)=-12xÛ`+12x=-12x(x-1)
f "(x)=0에서 x=0 또는 x=1
이때, x<0 또는 x>1이면 f "(x)<0, 00
따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (-¦, 0), (1, ¦)에서 위로 볼록하
고, 구간 (0, 1)에서 아래로 볼록하다.
구간 (-¦, 0), (1, ¦)에서 위로 볼록, 구간 (0, 1)에서 아래로 볼록
0755
f(x)=x- 1
2x
f '(x)=1+ 1
2xÛ`
로 놓으면 x+0이고
, f "(x)=- 1
xÜ`
따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (0, ¦)에서 아래로 볼록하다.
구간 (0, ¦)에서 아래로 볼록
0758
f(x)=x-ln x로 놓으면 x>0이고
f '(x)=1-
, f "(x)= 1
xÛ`
;[!;
이때, x>0이면 f "(x)>0
0759
f(x)=sin x로 놓으면
f '(x)=cos x, f "(x)=-sin x
f "(x)=0에서 x=p (∵ 00이면 f "(x)>0
따라서 x=0의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는
(0, 1)
(0, 1)
이때, x<0이면 f "(x)>0, x>0이면 f "(x)<0
따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (-¦, 0)에서 아래로 볼록하고, 구간
(0, ¦)에서 위로 볼록하다.
구간 (-¦, 0)에서 아래로 볼록, 구간 (0, ¦)에서 위로 볼록
0761
f(x)=xÝ`-4xÜ`으로 놓으면
f '(x)=4xÜ`-12xÛ`, f "(x)=12xÛ`-24x=12x(x-2)
f "(x)=0에서 x=0 또는 x=2
이때, x<0 또는 x>2이면 f "(x)>0, 00
0757
f(x)=xe2x으로 놓으면
f '(x)=e2x+2xe2x=(1+2x)e2x
f "(x)=2e2x+(1+2x)_2e2x=4(x+1)e2x
f "(x)=0에서 x=-1 (∵ e2x>0)
따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (-¦, ¦)에서 아래로 볼록하다.
구간 (-¦, ¦)에서 아래로 볼록
0762
f(x)= 1
로 놓으면 f '(x)= -2x
(xÛ`+3)Û`
xÛ`+3
f "(x)= -2(xÛ`+3)Û`+2x_2(xÛ`+3)_2x
(xÛ`+3)Ý`
= -2(xÛ`+3)+8xÛ`
(xÛ`+3)Ü`
= 6(x+1)(x-1)
(xÛ`+3)Ü`
f "(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
이때, x<-1이면 f "(x)<0, x>-1이면 f "(x)>0
따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (-¦, -1)에서 위로 볼록하고, 구간
(-1, ¦)에서 아래로 볼록하다.
이때, x<-1 또는 x>1이면 f "(x)>0, -10)
이때, x<-2이면 f "(x)<0, x>-2이면 f "(x)>0
따라서 x=-2의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표
는
{
-2, - 2
e2 }
{
-2, - 2
eÛ` }
오른쪽 그림과 같다.
이때, x<-1 또는 x>1이면 f "(x)<0, -10
=x+
에서 x+0이고
0764
f(x)=ln (xÛ`+1)로 놓으면 f '(x)= 2x
xÛ`+1
= -2(xÛ`-1)
(xÛ`+1)Û`
f "(x)= 2(xÛ`+1)-2x_2x
(xÛ`+1)Û`
= -2(x+1)(x-1)
(xÛ`+1)Û`
f "(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
따라서 x=-1, x=1의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점
의 좌표는 (-1, ln 2), (1, ln 2)
(-1, ln 2), (1, ln 2)
0765
f(x)=xÛ`-2x ln x+1로 놓으면 x>0이고
f '(x)=2x-2
ln x+x_
=2x-2 ln x-2, f "(x)=2-
{
;[!;}
;[@;
f "(x)=0에서 x=1
이때, 01이면 f "(x)>0
따라서 x=1의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는
(1, 2)
(1, 2)
0766
f(x)=x+2 cos x로 놓으면
f '(x)=1-2 sin x, f "(x)=-2 cos x
p
2
f "(x)=0에서 x=
또는 x=
;2#;
p (∵ 00
p
2
p
2
;2#;
;2#;
따라서 x=
, x=
p의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡
점의 좌표는
{
p
2
,
p
2 }
,
p,
p
}
;2#;
{;2#;
{
p
2
,
p
2 }
,
{;2#;
p,
p
;2#;
}
0767
f(x)=xÝ`-2xÜ`+2에서
f '(x)=4xÜ`-6xÛ`=2xÛ`(2x-3)
f "(x)=12xÛ`-12x=12x(x-1)
f '(x)=0에서 x=0 또는 x=
;2#;
f "(x)=0에서 x=0 또는 x=1
108 | III . 미분법
x
y
f '(x) -
f "(x) +
f(x)
⤷
0
0
0
2
y
-
-
⤵
-
1
0
1
y
-
+
⤷
;2#;
0
+
;1°6;
y
+
+
⤴
따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은
y=f (x)
풀이 참조
참고 표에서 , ⤵는 각각 위로 볼록이면서 증가, 감소를 나타내고, ⤴, ⤷는 각
1
3
2
x
각 아래로 볼록이면서 증가, 감소를 나타낸다.
y
2
1
O
5
16
f "(x)=0을 만족시키는 x의 값이 존재하지 않으므로 변곡점은 없다.
0768
f(x)= xÛ`+1
x
f '(x)=1- 1
xÛ`
;[!;
, f "(x)= 2
xÜ`
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
x
y
-1
(0)
f '(x) +
f "(x) -
⤷
f(x)
0
-
-2
y
-
-
⤷
y
-
+
⤷
이때, lim
0+
x
f(x)=¦, lim
0-
x
f(x)=-¦,
Ú
Ú
lim
x+
{
¦
x
Ú
;[!;}
=lim
¦
x
Ú
x,
lim
x+
{
-¦
x
Ú
점근선은 y축과 직선 y=x이다.
= lim
-¦
x
Ú
x이므로
;[!;}
따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은
y
+
+
⤷
1
0
+
2
y
2
-1
y=f(x)
y=x
x
O
1
-2
풀이 참조
오른쪽 그림과 같다.
참고 lim
¦
Ú
f(x)= lim
¦
Ú
⇨ 직선 y=mx+n이 곡선 y=f(x)의 점근선
(mx+n) 또는 lim
-¦
Ú
x`
x`
x`
f(x)= lim
-¦
x`
Ú-
(mx+n)
0769
f(x)= x
에서
xÛ`+4
f '(x)= (xÛ`+4)-x_2x
(xÛ`+4)Û`
= 4-xÛ`
(xÛ`+4)Û`
= -(x+2)(x-2)
(xÛ`+4)Û`
f "(x)= -2x(xÛ`+4)Û`-(4-xÛ`)_2(xÛ`+4)_2x
(xÛ`+4)Ý`
= 2xÜ`-24x
(xÛ`+4)Ü`
= 2x(x+2
'
3)(x-2
3)
'
(xÛ`+4)Ü`
정답과 해설 f '(x)=0에서
x=
∴ x=
'
;2!;
;4!;
f "(x)=0을 만족시키는 x의 값이 존재하지 않으므로 변곡점은 없다.
f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=2
f "(x)=0에서 x=-2
3 또는 x=0 또는 x=2
3
'
'
'
x y -2
3 y -2 y 0 y 2 y 2
3 y
'
f '(x) - - - 0 + + + 0 - - -
f "(x) -
0 + + + 0 - - - 0 +
f(x) ⤷ - '3
8 ⤷ -
;4!;
⤷ 0 ⤷
⤷ '3
8 ⤷
;4!;
이때, lim
¦
Ú
x
f(x)=0, lim
-¦
x
Ú
므로 점근선은 x축이다.
f(x)=0이
따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개
y
1
4
3
1
8
-2
-2
3
1
형은 오른쪽 그림과 같다.
y=f(x)
x
O 2
-
3
1
2
3
1
8
-
1
4
0772
f(x)=
x
ex =xe-x에서
f '(x)=e-x-xe-x=(1-x)e-x
f "(x)=-e-x-(1-x)e-x=(x-2)e-x
f '(x)=0에서 x=1 (∵ e-x>0)
f "(x)=0에서 x=2 (∵ e-x>0)
풀이 참조
f(x)=0이므로 점근선은 x축
y
+
-
⤷
1
0
-
;e!;
y
-
-
⤷
2
-
0
2
eÛ`
y
-
+
⤷
x
(0)
f '(x)
f "(x)
f(x)
이때, lim
¦
Ú
x
이다.
따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은
오른쪽 그림과 같다.
y
2
e2
1
e
y=f(x)
O
1
2
x
풀이 참조
0770
f(x)=x-
f '(x)=1- 1
x`
2
'¶
'
x에서 x¾0이고
= 2
x-1
'
x`
2
'¶
f "(x)=
1
x`
'¶
4x`
= 1
4x
'¶
x`
x
0
f '(x)
f "(x)
f(x)
0
y
-
+
⤷
;4!;
0
+
-
;4!;
y
+
+
⤷
이때, lim
¦
Ú
x
f(x)=¦이므로 함수
y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽 그
림과 같다.
풀이 참조
0771
f(x)=ex+e-x에서
f '(x)=ex-e-x, f "(x)=ex+e-x
f '(x)=0에서 ex=e-x ∴ x=0
x
y
f '(x) -
f "(x) +
f(x)
⤷
0
0
+
2
y
+
+
⤷
이때, lim
¦
Ú
x
f(x)=¦, lim
-¦
x
Ú-
f(x)=¦이므
로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽
그림과 같다.
0773
f(x)=ln (xÛ`+2)에서
f '(x)= 2x
xÛ`+2
f "(x)=
2(xÛ`+2)-2x_2x
(xÛ`+2)Û`
=
-2(xÛ`-2)
(xÛ`+2)Û`
=
-2(x+
2)(x-
2)
'
(xÛ`+2)Û`
'
f '(x)=0에서 x=0
f "(x)=0에서 x=-
2 또는 x=
x
y
-
2
'
'
-
0
y
-
+
⤷
2
'
0
0
+
ln 2
y
+
+
f(x)
⤷ 2 ln 2
⤷ 2 ln 2
이때, lim
¦
Ú
x
f(x)=¦, lim
-¦
x
f(x)=¦
Ú
이므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형
은 오른쪽 그림과 같다.
풀이 참조
0774
f(x)=x+sin x에서
y
+
-
⤷
2
'
+
0
y
y=f(x)
x
2
1
2`ln`2
ln`2
O
-
2
1
y
O
1
4
-
1
4
y=f(x)
1
x
f '(x) -
f "(x) -
f '(x)=1+cos x, f "(x)=-sin x
f '(x)=0에서 cos x=-1 ∴ x=p (∵ 0ÉxÉ2p)
y
y=f(x)
f "(x)=0에서 x=0 또는 x=p 또는 x=2p (∵ 0ÉxÉ2p)
2
O
x
풀이 참조
x
f '(x)
f "(x)
f(x)
0
0
0
y
+
-
⤷
p
0
0
p
y
+
+
⤷
2p
0
2p
7 도함수의 활용 ⑵ | 109
f "(x)=0을 만족시키는 x의 값이 존재하지 않으므로 변곡점은 없다.
7ㅡ도함수의 활용⑵ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오
른쪽 그림과 같다.
y=f(x)
0778
f(x)=xÛ`ex에서 f '(x)=2xex+xÛ`ex=x(2+x)ex
f '(x)=0에서 x=0 (∵ ex>0, -1ÉxÉ2)
풀이 참조
p
x
2p
y
2p
p
O
따라서 함수 f(x)는 x=2일 때 최댓값 4eÛ`, x=0일 때 최솟값 0을 갖
최댓값: 4eÛ`, 최솟값: 0
x
-1
f '(x)
f(x)
;e!;
y
-
↘
0
0
0
는다.
0779
f(x)=2x-ln x에서 f '(x)=2-
f '(x)=0에서 x=
x
f '(x)
;e!;
;2!;
y
-
;2!;
0
2
4eÛ`
e
y
+
↗
;[!;
y
+
f(x)
+1
;e@;
↘ 1+ln 2 ↗
2e-1
따라서 함수 f(x)는 x=e일 때 최댓값 2e-1, x=
일 때 최솟값
;2!;
1+ln 2를 갖는다.
최댓값: 2e-1, 최솟값: 1+ln 2
0780
f(x)= ex
sin x
에서
f '(x)= ex sin x-ex cos x
sinÛ` x
= (sin x-cos x)ex
sinÛ` x
f '(x)=0에서 sin x=cos x (∵ ex>0)
∴ x=
∵
{
ÉxÉ
p
}
;6%;
p
4
p
6
p
6
2'3`
3
p
6
e
x
f '(x)
f(x)
y
-
↘
p
4
0
p
4
'2 e
y
+
↗
p
;6%;
2'3`
3
5
6
p
e
따라서 함수 f(x)는 x=
p
4 을 갖는다.
솟값
2 e
'
p일 때 최댓값 2'3`
3
;6%;
e;6%;
p, x=
일 때 최
p
4
최댓값: 2'3`
3
e;6%;
p, 최솟값:
'
2 e
p
4
0781
f(x)=sin x-cos x에서 f '(x)=cos x+sin x
f '(x)=0에서 cos x=-sin x ∴ x=
p (∵ pÉxÉ2p)
x
f '(x)
f(x)
p
1
y
-
↘
p
;4&;
0
-
2
'
y
+
↗
;4&;
2p
-1
;4&;
0775
f(x)= xÛ`-5x+15
x-2
에서
f '(x)= (2x-5)(x-2)-(xÛ`-5x+15)
(x-2)Û`
=
xÛ`-4x-5
(x-2)Û`
=
(x+1)(x-5)
(x-2)Û`
f '(x)=0에서 x=5 (∵ 3ÉxÉ6)
x
f '(x)
f(x)
3
9
y
-
↘
5
0
5
y
+
↗
6
:ª4Á:
따라서 함수 f(x)는 x=3일 때 최댓값 9, x=5일 때 최솟값 5를 갖
는다.
최댓값: 9, 최솟값: 5
0776
f(x)= x
xÛ`+x+1
에서
f '(x)= (xÛ`+x+1)-x(2x+1)
=
(xÛ`+x+1)Û`
-xÛ`+1
(xÛ`+x+1)Û`
=
-(x+1)(x-1)
(xÛ`+x+1)Û`
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
x
-2
f '(x)
f(x) -
;3@;
y
-
↘
-1
0
-1
y
+
↗
1
0
;3!;
y
-
↘
2
;7@;
따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최댓값
, x=-1일 때 최솟값 -1
;3!;
최댓값:
, 최솟값: -1
;3!;
을 갖는다.
0777
f(x)=
3-xÛ`에서 f '(x)= -2x
"
2
3-xÛ``
=-
"
x
3-xÛ``
"
f '(x)=0에서 x=0
x
-1
f '(x)
f(x)
2
'
y
+
↗
0
0
3
'
1
2
'
y
-
↘
'
110 | III . 미분법
따라서 함수 f(x)는 x=0일 때 최댓값
3, x=-1 또는 x=1일 때
최솟값
2를 갖는다.
'
최댓값:
'
3, 최솟값:
'
2
를 갖는다.
따라서 함수 f(x)는 x=p일 때 최댓값 1, x=
p일 때 최솟값 -
최댓값: 1, 최솟값: -
2
2
'
'
정답과 해설 0782
f(x)=
x+1-x로 놓으면 x¾-1이고 f '(x)= 1
'¶
-1
2
x+1`
'¶
f '(x)=0에서
x+1=
, x+1=
∴ x=-
'¶
;2!;
;4!;
;4#;
0785
방정식 x+ 1
ex =2의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 y=x+ 1
ex 과 직
선 y=2의 교점의 개수와 같다.
f(x)=x+ 1
ex 로 놓으면 f '(x)=1- 1
ex
f '(x)=0에서 ex=1 ∴ x=0
x
y
f '(x) -
f(x)
↘
0
0
1
y
+
↗
y
1
5
4
O
-1
-
3
4
y
1
y=f(x)
y=x
y=
x+1
-1
O
x
이때, lim
¦
Ú
x
f(x)=¦, lim
-¦
x
f(x)=¦이
Ú
므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오
x
른쪽 그림과 같다.
따라서 주어진 방정식은 서로 다른 두 개
의 실근을 갖는다.
2
y
2
1
O
y=f(x)
y=2
x
0786
방정식 x-cos x=1의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 y=x-cos x
와 직선 y=1의 교점의 개수와 같다.
f(x)=x-cos x로 놓으면 f '(x)=1+sin x
f '(x)¾æ0이므로 함수 f(x)는 실수 전체의 구간에서 증가한다.
이때, lim
¦
Ú
x
f(x)=¦, lim
-¦
x
f(x)=-¦
Ú
이므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은
오른쪽 그림과 같다.
따라서 주어진 방정식은 한 개의 실근을
1
y
p
2
1
O
y=f(x)
y=1
x
p
2
-1
x-2=k의 서로 다른 실근의 개수는 곡선
y=x-2
x-2와 직선 y=k의 교점의 개수와 같다.
x-2로 놓으면 x¾2이고
y
y=f(x)
O
-1
x
갖는다.
0787
방정식 x-2
'¶
'¶
f(x)=x-2
f '(x)=1- 1
'¶
'¶
f '(x)=0에서
'¶
x-2`
x-2=1, x-2=1 ∴ x=3
x
f '(x)
f(x)
2
2
y
-
↘
3
0
1
y
+
↗
이때, lim
¦
Ú
x
f(x)=¦이므로 함수
y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽
그림과 같다.
y
2
1
O
y=f(x)
y=k
2
3
x
⑴ 주어진 방정식이 한 실근을 가지려면 함수 y=f(x)의 그래프와
직선 y=k가 한 점에서 만나야 하므로 k=1 또는 k>2
O 1
x
y=f(x)
⑵ 주어진 방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 함수 y=f(x)의
그래프와 직선 y=k가 서로 다른 두 점에서 만나야 하므로
이때, lim
¦
Ú
x
림과 같다.
갖는다.
x
-1
f '(x)
f(x)
1
y
+
↗
-;4#;
0
;4%;
y
-
↘
f(x)=-¦이므로 함수
y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽 그
따라서 주어진 방정식은 한 개의 실근을
1
다른 풀이 방정식
x+1-x=0, 즉
'¶
x+1=x의 서로 다른 실근의 개수는
'¶
x¾-1에서 두 함수 y=
x+1, y=x
'¶
의 그래프의 교점의 개수와 같다.
따라서 오른쪽 그림에서 구하는 서로 다
른 실근의 개수는 1이다.
0783
f(x)=ex-x-2로 놓으면 f '(x)=ex-1
f '(x)=0에서 ex=1 ∴ x=0
x
y
f '(x) -
0
0
f(x)
↘
-1
y
+
↗
이때, lim
¦
Ú
x
f(x)=¦, lim
-¦
x
f(x)=¦이
Ú
므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오
른쪽 그림과 같다.
따라서 주어진 방정식은 서로 다른 두 개
의 실근을 갖는다.
2
0784
f(x)=ln x-x+1로 놓으면 x>0이고 f '(x)=
-1
;[!;
f '(x)=0에서
=1 ∴ x=1
;[!;
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
+
↗
1
0
0
y
-
↘
이때, lim
0+
x
Ú
f(x)=-¦, lim
¦
Ú
x
f(x)=-¦
y
이므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오
른쪽 그림과 같다.
는다.
따라서 주어진 방정식은 한 개의 실근을 갖
12 ⑵ 11일 때 부등식 x¾ln (x-1)이 성립한다. 풀이 참조
0790
f(x)=cos x-1+2x로 놓으면 f '(x)=-sin x+2
x>0일 때 f '(x)>0이므로 f(x)는 증가한다.
또, f(0)=0이므로 x>0일 때 f(x)>0
즉, cos x-1+2x>0
따라서 x>0일 때 부등식 cos x>1-2x가 성립한다. 풀이 참조
0791
점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면
v(t)=f '(t)=et+tet=et(t+1)
a(t)=f "(t)=et(t+1)+et=et(t+2)
따라서 t=2에서의 점 P의 속도와 가속도는
v(2)=3eÛ`, a(2)=4eÛ`
속도: 3eÛ`, 가속도: 4eÛ`
0792
점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면
v(t)=f '(t)=1+ 1
t+1
a(t)=f "(t)=- 1
(t+1)Û`
따라서 t=1에서의 점 P의 속도와 가속도는
v(t)=f '(t)=1+cos t
a(t)=f "(t)=-sin t
p
2
따라서 t=
p
2 }=
v
{
1, a
p
2 }
{
=-1
에서의 점 P의 속도와 가속도는
속도: 1, 가속도: -1
0794
dx
dt
따라서 t=2에서의 점 P의 속도는 (2, 4)
dy
dt
=2,
=2t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 (2, 2t)
dÛ`x
dtÛ`
dÛ`y
dtÛ`
=0,
=2이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는 (0, 2)
따라서 t=2에서의 점 P의 가속도는 (0, 2)
속도: (2, 4), 가속도: (0, 2)
=1-tÛ`이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는
(
3, 1-tÛ`)
'
따라서 t=2에서의 점 P의 속도는 (
3, -3)
'
=0,
=-2t이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는
0795
dx
dt
=
3,
'
dy
dt
dÛ`x
dtÛ`
dÛ`y
dtÛ`
(0, -2t)
따라서 t=2에서의 점 P의 가속도는 (0, -4)
속도: (
3, -3), 가속도: (0, -4)
'
0796
dy
dt
=2e2t,
dx
dt
(2e2t, 2t)
dÛ`y
dtÛ`
=4e2t,
dÛ`x
dtÛ`
(4e2t, 2)
=2t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는
따라서 t=2에서의 점 P의 속도는 (2eÝ`, 4)
=2이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는
따라서 t=2에서의 점 P의 가속도는 (4eÝ`, 2)
속도: (2eÝ`, 4), 가속도: (4eÝ`, 2)
=-sin t,
=cos t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는
(-sin t, cos t)
따라서 t=
에서의 점 P의 속도는
{
p
3
3`
- '
2
,
;2!;}
0797
dx
dt
dÛ`x
dtÛ`
dy
dt
dÛ`y
dtÛ`
=-cos t,
=-sin t이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는
v(1)=
, a(1)=-
;2#;
;4!;
속도:
, 가속도: -
;2#;
;4!;
(-cos t, -sin t)
112 | III . 미분법
정답과 해설 따라서 t=
에서의 점 P의 가속도는
{
-
;2!;
, - '
3`
2 }
속도:
{
- '3`
2
,
;2!;}
, 가속도:
{
-
;2!;
, - '3`
2 }
유형 마스터
유형 마스터
STEP2
0801
p
3
p
3
p
3
0798
dx
dt
dy
dt
(1-cos t, sin t)
dÛ`x
dtÛ`
dÛ`y
dtÛ`
(sin t, cos t)
0799
,
=1+ 2
tÛ`
, 2- 1
dx
dt
1+ 2
tÛ`
{
tÛ` }
3Û`+1Û`=
10
"
dÛ`x
dtÛ`
'¶
=- 4
tÜ`
,
dÛ`y
dtÛ`
= 2
tÜ`
- 4
tÜ`
{
,
2
tÜ` }
0800
dx
dt
= 1
t+1
,
dy
dt
1
t+1
{
, -t
}
5`
Û`+(-1)Û`= '
2
¾±{;2!;}
dÛ`x
dtÛ`
=- 1
(t+1)Û`
,
dÛ`y
dtÛ`
- 1
{
(t+1)Û`
, -1
}
크기는
=1-cos t,
=sin t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는
따라서 t=
에서의 점 P의 속도는
, '
3`
2 }
{;2!;
=sin t,
=cos t이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는
따라서 t=
에서의 점 P의 가속도는
{
3`
'
2
,
;2!;}
속도:
, '3`
2 }
{;2!;
, 가속도:
{
'3`
2
,
;2!;}
dy
dt
=2- 1
tÛ`
이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는
따라서 t=1에서의 점 P의 속도는 (3, 1)이므로 속력은
이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는
따라서 t=1에서의 점 P의 가속도는 (-4, 2)이므로 가속도의 크기는
(-4)Û`+2Û`=2
5
'
"
속력:
'¶
10, 가속도의 크기: 2
5
'
=-t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는
따라서 t=1에서의 점 P의 속도는
, -1
이므로 속력은
{;2!;
}
=-1이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는
따라서 t=1에서의 점 P의 가속도는
{
-
;4!;
}
, -1
이므로 가속도의
7ㅡ
도
함
수
의
활
용
⑵
|전략| 함수 f(x)가 어떤 구간에서 f "(x)<0이면 곡선 y=f(x)는 이 구간에
서 위로 볼록함을 이용한다.
f(x)=ex sin x로 놓으면
f '(x)=ex sin x+ex cos x=ex(sin x+cos x)
f "(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2ex cos x
곡선 y=ex sin x가 위로 볼록하려면 `f "(x)<0이어야 하므로
cos x<0 (∵ ex>0)
∴
0이고
f '(x)=2x(ln x-1)+xÛ`_
=x(2 ln x-1)
;[!;
f "(x)=2 ln x-1+x_
=2 ln x+1
;[@;
곡선 y=xÛ`(ln x-1)이 아래로 볼록하려면 `f "(x)>0이어야 하므로
∴ x> 1
e`
'
2 ln x+1>0, ln x>-
;2!;
따라서 실수 a의 최솟값은
이다.
②
1
e`
'
0803
임의의 서로 다른 두 실수 a, b에 대하
여
`f
{
a+b
2 }
;2!;
<
{ f(a)+f(b)}
를 만족시키는 함수 y=f(x)의 그래
프는 오른쪽 그림과 같이 아래로 볼록
한 형태이다.
f(b)
1
{f(a)+f(b)}
2
a+b
f( )
2
f(a)
y
y=f(x)
Q
O
a
x
b
P
a+b
2
ㄱ. f(x)=ln x에서 x>0이고 f '(x)=
, f "(x)=- 1
xÛ`
;[!;
x>0에서 f "(x)<0이므로 곡선 y=f(x)는 위로 볼록하다.
ㄴ. f(x)=e3x에서 f '(x)=3e3x, f "(x)=9e3x
모든 실수 x에 대하여 f "(x)>0이므로 곡선 y=f(x)는 아래로
ㄷ. f(x)=cos x에서 f '(x)=-sin x, f "(x)=-cos x
00,
2이면 f "(x)<0, -20
즉, x=-2, x=2의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의
좌표는 (-2, 3 ln 2), (2, 3 ln 2)이다.
따라서 두 변곡점 사이의 거리는
2-(-2)=4
0805
f(x)=1+cosÛ` x에서
f '(x)=2 cos x(-sin x)=-sin 2x
f "(x)=-2 cos 2x
p
2
p
4
p
4
p
4
p
2
p
2
p
4
p
2
p
4
p
4
p
4
f "(x)=0에서 2x=-
또는 2x=
(∵ -p<2x0,
-
0)
변곡점의 x좌표가 -1이므로
f "(-1)=eb(-2bÛ`+abÛ`-4b)=0
-2bÛ`+abÛ`-4b=0 (∵ eb>0)
∴ 2b-ab+4=0 (∵ b+0)
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=6, b=1
∴ a+b=7
x좌표는 -
,
이다.
p
4
p
4
따라서 두 변곡점의 x좌표의 차는
p
4
-
-
{
p
4 }
=
p
2
채점 기준
❶ f "(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다.
❷ 변곡점의 x좌표를 구할 수 있다.
❸ 변곡점의 x좌표의 차를 구할 수 있다.
0806
f(x)=e-2xÛ`으로 놓으면 f '(x)=-4xe-2xÛ`
f "(x)=-4e-2xÛ`+(-4x)_(-4x)e-2xÛ`=4(4xÛ`-1)e-2xÛ`
f "(x)=0에서 4xÛ`-1=0 (∵ e-2xÛ`>0)
∴ x=-
또는 x=
;2!;
;2!;
f "(x)<0
이때, x<-
또는 x>
이면 `f "(x)>0, -
0이고
f '(x)=2x+p+
, f "(x)=2-
;[Q;
q
xÛ`
x=
에서 극대이므로
;2!;
P
Q
y
1
e
1
O
-
1
2
x
1
2
1`
e`
2
'
f '
{;2!;}
=1+p+2q=0 ∴ p+2q=-1
yy ㉠
정답과 해설 -6+2 ln 2
수는 3이다. (거짓)
③ `f(-x)=-f(x)이므로 y=f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대
칭이다. (참)
'
④ 구간 (1,
3)에서 f "(x)<0이므로 위로 볼록하다. (참)
Û`=(-ln ax)Û`=(ln ax)Û`으로 놓으면 x>0이고
⑤ x=-1에서 극솟값 -
을 갖는다. (참)
;2!;
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
②
변곡점의 x좌표가 1이므로
f "(1)=2-q=0 ∴ q=2
q=2를 ㉠에 대입하면 p=-5
∴ f(x)=xÛ`-5x+2 ln x
f '(x)=2x-5+
= 2xÛ`-5x+2
x
= (2x-1)(x-2)
x
;[@;
f '(x)=0에서 x=
또는 x=2
;2!;
y
+
↗
x
(0)
f '(x)
f(x)
;2!;
0
극대
y
-
↘
2
0
극소
y
+
↗
따라서 함수 f(x)의 극솟값은
f(2)=-6+2 ln 2
0811
f(x)=
ln
{
1
ax }
f '(x)=2(ln ax)_ a
ax
= 2 ln ax
x
2_
{
a
ax }
_x-(2 ln ax)_1
f "(x)=
xÛ`
= 2(1-ln ax)
xÛ`
f "(x)=0에서 1-ln ax=0
ln ax=1, ax=e ∴ x=
;aE;
00
;aE;
a>0이므로 부등호의 방향이 바뀌지 않는다.
, 즉 ax>e일 때 ln ax>1이므로 f "(x)<0
x>
;aE;
따라서 x=
의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는
;aE;
, 1
이다.
{;aE;
}
이때, 변곡점이 직선 y=2x 위에 있으므로
1= 2e
a
∴ a=2e
⑤
|전략| 함수 f(x)의 증감표를 작성하고 y=f(x)의 그래프를 그려서 참, 거짓을
0812
조사한다.
f(x)= x
xÛ`+1`
에서
f '(x)= (xÛ`+1)-x_2x
(xÛ`+1)Û`
= -xÛ`+1
(xÛ`+1)Û`
= -(x+1)(x-1)
(xÛ`+1)Û`
림과 같다.
f "(x)= -2x(xÛ`+1)Û`-(-xÛ`+1)_2(xÛ`+1)_2x
(xÛ`+1)Ý`
= 2xÜ`-6x
(xÛ`+1)Ü`
= 2x(x+
'
3)(x-
3)
'
(xÛ`+1)Ü`
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
f "(x)=0에서 x=-
3 또는 x=0 또는 x=
'
3
'
x y -
3` y -1 y 0 y 1 y
3 y
'
f '(x) - - - 0 + + + 0 - - -
f "(x) -
+ + + 0 - - -
0 +
'
0
f(x) ⤷ -'3`
4 ⤷ -
;2!;
⤷ 0 ⤷
;2!;
⤷ '3
4
⤷
이때, lim
¦
Ú
x
f(x)=0, lim
-¦
x
Ú
f(x)=0이
므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른
쪽 그림과 같다.
① x=1에서 극댓값
을 갖는다. (참)
;2!;
-
3
1
y
1
2
3
1
4
-1
-
1
2
O 1
-
3
1
4
y=f(x)
x
3
1
② 변곡점은
{
'
-
3, - '
, (0, 0),
3, '
이므로 변곡점의 개
3`
4 }
3`
4 }
{'
함수 f(x)에 대하여
⑴ f(x)가 우함수
f(-x)=f(x)
y=f(x)의 그래프는 x축에 대하여 대칭
⑵ f(x)가 기함수
f(-x)=-f(x)
y=f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭
HjK
HjK
HjK
HjK
0813
f(x)=ln (xÛ`+3)에서 f '(x)= 2x
xÛ`+3
f "(x)= 2(xÛ`+3)-2x_2x
(xÛ`+3)Û`
= -2(xÛ`-3)
(xÛ`+3)Û`
= -2(x+
'
3)(x-
3)
'
(xÛ`+3)Û`
f '(x)=0에서 x=0
f "(x)=0에서 x=-
3 또는 x=
x
y -
'
3` y
f '(x) -
f "(x) -
'
-
0
f(x)
⤷
ln 6
-
+
⤷
3
'
0
0
+
ln 3
이때, lim
¦
Ú
x
f(x)=¦,
f(x)=¦이
lim
-¦
x
Ú
므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그
ㄱ. x=0에서 극솟값 ln 3을 갖는다. (참)
ㄴ. 구간 (-
3, 0)에서 f "(x)>0이므로
'
아래로 볼록하다. (거짓)
y
+
+
⤷
3`
'
+
0
ln 6
y
+
-
⤷
y=f(x)
y
ln`6
ln`3
O
-
3
1
x
3
1
①
7 도함수의 활용 ⑵ | 115
ㄷ. 변곡점은 (-
3, ln 6), (
3, ln 6)이므로 변곡점의 개수는 2이
'
'
다. (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ이다.
7ㅡ도함수의 활용⑵ 0814
ㄱ. f(x)=x ln (xÛ`+1)-x에서
0818
Ú f(x)>0일 때, 즉 점 A, D, G, H에서 `f '(x)f "(x)>0
f(-x) =-x ln {(-x)Û`+1}-(-x)=-x ln (xÛ`+1)+x
f '(x)>0이면 f "(x)>0
=-{x ln (xÛ`+1)-x}=-f(x) (참)
⇨ 아래로 볼록하면서 증가하는 구간에 있는 점은 없다.
ㄴ. f '(x)=ln (xÛ`+1)+x_ 2x
xÛ`+1
-1
=ln (xÛ`+1)+1- 2
xÛ`+1
f "(x)= 2x
xÛ`+1
+ 4x
(xÛ`+1)Û`
= 2x(xÛ`+3)
(xÛ`+1)Û`
f "(x)=0에서 x=0
f '(x)<0이면 f "(x)<0
⇨ 위로 볼록하면서 감소하는 구간에 있는 점은 A, D, H
Û f(x)<0일 때, 즉 점 B, C, E, F에서 `f '(x)f "(x)<0
f '(x)>0이면 f "(x)<0
f '(x)<0이면 f "(x)>0
⇨ 위로 볼록하면서 증가하는 구간에 있는 점은 없다.
이때, x=0의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 y=f(x)의 그
⇨ 아래로 볼록하면서 감소하는 구간에 있는 점은 B, E
Ú, Û에서 주어진 집합의 원소가 되는 점은 A, B, D, E, H ⑤
래프의 변곡점은 (0, 0)의 1개이다. (참)
ㄷ. x<0에서 f "(x)<0이므로 위로 볼록하다. (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
③
0819
|전략| 함수의 몫의 미분법을 이용하여 f '(x)를 구한 후 최댓값과 최솟값을 구
한다.
0815
같다.
|전략| f "(x)의 부호는 y=f '(x)의 그래프에서 접선의 기울기의 부호와 같음
을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 a, b, c, d, e를 정
하고 f "(x)의 부호를 조사하면 다음과
y
y=f '(x)
a
O
b c d
e
x
x
y a y b y c y d y e y
f "(x) - 0 + 0 - 0 +
+ 0 -
f "(a)=f "(b)=f "(c)=f "(e)=0이고, x=a, x=b, x=c, x=e
의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 개수는 4이다.
0816
f "(x)의 부호를 조사하면 다음과 같다.
f(x)= 2(x-1)
xÛ`+3
에서
f '(x)= 2(xÛ`+3)-2(x-1)_2x
(xÛ`+3)Û`
= -2(xÛ`-2x-3)
(xÛ`+3)Û`
= -2(x+1)(x-3)
(xÛ`+3)Û`
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3
x
y
f '(x) -
f(x)
↘
-1
0
-1
y
+
↗
3
0
;3!;
y
-
↘
④
이때, lim
¦
Ú
x
f(x)=0, lim
-¦
x
Ú
f(x)=0이므
로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그
림과 같다.
y
1
3
-1
O
y=f(x)
1
3
x
-1
x
y a y b y c y d y e y
따라서 함수 f(x)는 x=3일 때 최댓값
f "(x) + + + 0 - - - 0 + + +
곡선 y=f(x)가 위로 볼록하려면 f "(x)<0이어야 하므로 구하는
, x=-1일 때 최솟값 -1을 가지므로
;3!;
구간은 (b, d)이다.
0817
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2
f "(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
(b, d)
;3!;
M=
, m=-1 ∴ M+m=-
;3@;
③
참고 최대·최소를 구하는 문제에서 구간이 주어지지 않은 경우에는
f(x)를 구하여 극값이 최댓값 또는 최솟값이 되는지 확인해야
f(x), lim
-¦
x`
Ú
lim
¦
x`
Ú
한다.
x
y
-1
f '(x) +
f "(x) -
⤷
f(x)
y
+
+
1
+
0
0
0
변곡점 ⤷ 변곡점
y
+
-
⤷
2
0
-
극대
y
-
-
⤷
ㄱ. 극솟값을 갖지 않는다. (거짓)
ㄴ. x=2에서 극댓값을 갖는다. (참)
0820
f(x)= xÛ`+x+1
x
f '(x)=1- 1
xÛ`
=x+1+
에서
;[!;
= (x+1)(x-1)
xÛ`
f '(x)=0에서 x=1 (∵ x>0)
ㄷ. y=f(x)의 그래프는 x=-1, x=1에서 변곡점을 가지므로 변
x
(0)
곡점의 개수는 2이다. (참)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
ㄴ, ㄷ
f '(x)
f(x)
y
-
↘
1
0
3
y
+
↗
116 | III . 미분법
정답과 해설 따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최솟값 3을 가지므로
a=1, b=3 ∴ ab=3
⑤
다른 풀이 x>0에서 ;[!;
>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
f(x)=x+1+
¾2
x_
+1=3
;[!;
¾±
;[!;
(단, 등호는 x=
;[!;, 즉 x=1일 때 성립)
따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최솟값 3을 가지므로
a=1, b=3 ∴ ab=3
0821
f(x)=x-3+ 4
에서
x-3
f '(x)=1- 4
(x-3)Û`
= (x-1)(x-5)
(x-3)Û`
f '(x)=0에서 x=1 (∵ -1ÉxÉ2)
x
-1
f '(x)
f(x) -5
y
+
↗
1
0
-4
y
-
↘
2
-5
0824
f(x)=
x+
f '(x)= 1
x
2
'
'
4-x에서 x¾0, 4-x¾0이므로 0ÉxÉ4 … ❶
'¶
- 1
2
'¶
4-x-
= '¶
2
x`
'
4-x`
4-x`
x
'¶
'
f '(x)=0에서
4-x=
x
'¶
'
4-x=x ∴ x=2
x
f '(x)
f(x)
0
2
y
+
↗
2
0
2
2
'
y
-
↘
채점 기준
❶ x의 값의 범위를 구할 수 있다.
❷ f '(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다.
❸ f(x)의 최댓값을 구할 수 있다.
4
2
'
따라서 함수 f(x)는 x=2일 때 최댓값 2
2를 갖는다.
… ❷
… ❸
2
2
'
비율
20`%
30`%
50`%
따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최댓값 -4, x=-1 또는 x=2일 때
최솟값 -5를 가지므로 최댓값과 최솟값의 곱은
(-4)_(-5)=20
0822
0825
|전략| (ex)'=ex임을 이용하여 f '(x)를 구한 후 최댓값과 최솟값을 구한다.
f(x)=(xÛ`+x-1)ex에서
f '(x) =(2x+1)ex+(xÛ`+x-1)ex=(xÛ`+3x)ex
20
=x(x+3)ex
f '(x)=0에서 x=0 (∵ -2ÉxÉ1)
|전략| (근호 안의 식의 값)¾0인 x의 값의 범위에서 최댓값과 최솟값을 구한다.
x
-2
f(x)=x
f '(x)=
2-xÛ`에서 2-xÛ`¾æ0이므로 -
"
2-xÛ`+x_ -2x
"
2
2-xÛ``
"
= -2(x+1)(x-1)
"
2-xÛ`
2ÉxÉ
2
'
'
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
x
f '(x)
f(x)
-
2
'
0
y
-
↘
-1
0
-1
y
+
↗
1
0
1
y
-
↘
2
'
0
따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최댓값 1, x=-1일 때 최솟값 -1
f '(x)
f(x)
1
eÛ`
가지므로
y
-
↘
0
0
-1
y
+
↗
1
e
따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최댓값 e, x=0일 때 최솟값 -1을
M=e, m=-1 ∴ M-m=e+1
①
8-xÛ`에서 8-xÛ`¾æ0이므로 -2
2ÉxÉ2
'
2
'
을 가지므로 최댓값과 최솟값의 차는
1-(-1)=2
0823
f(x)=x+
f '(x)=1+ -2x
"
= "
8-xÛ`-x
8-xÛ``
2
8-xÛ``
"
f '(x)=0에서
"
8-xÛ`=x, 8-xÛ`=xÛ`
"
xÛ`=4 ∴ x=2 (∵ x¾æ0)
"
x -2
2 y
f '(x)
f(x) -2
2
+
↗
'
'
2
0
4
y
-
↘
8-xÛ`¾0이므로 x¾0
2
2
'
2
2
'
'
따라서 함수 f(x)는 x=2일 때 최댓값 4, x=-2
2일 때 최솟값
'
-2
2를 가지므로
'
'
M=4, m=-2
2 ∴ M+m=4-2
2
①
0827
f(x)=(xÛ`-kx+k)e-x에서
0826
f(x)=xe-2x에서
f '(x)=e-2x-2xe-2x=(1-2x)e-2x
f '(x)=0에서 x=
(∵ e-2x>0)
③
x
-1
f '(x)
f(x) -eÛ`
;2!;
y
+
↗
;2!;
0
1
2e
;2!;
y
-
↘
1
1
eÛ`
1
2e
따라서 함수 f(x)는 x=
일 때 최댓값
, x=-1일 때 최솟값
-eÛ`을 가지므로 최댓값과 최솟값의 곱은
1
2e
_(-eÛ`)=-
;2E;
②
7 도함수의 활용 ⑵ | 117
7ㅡ도함수의 활용⑵ 따라서 함수 g(k)는 k=1일 때 최댓값
을 갖는다.
②
;e!;
f(x)=x+sin 2x에서 f '(x)=1+2 cos 2x
f '(x) =(2x-k)e-x-(xÛ`-kx+k)e-x
=-{xÛ`-(k+2)x+2k}e-x
=-(x-k)(x-2)e-x
f '(x)=0에서 x=k 또는 x=2 (∵ e-x>0)
x
y
f '(x) -
f(x)
↘
k
0
y
+
2
0
y
-
ke-k
↗ (4-k)e-2 ↘
함수 f(x)는 x=k일 때 극솟값 ke-k을 갖는다.
즉, g(k)=ke-k이므로
g'(k)=e-k-ke-k=(1-k)e-k
g'(k)=0에서 k=1 (∵ e-k>0)
k
y
g'(k) +
g(k)
↗
1
0
1
e
y
-
↘
(2)
0828
|전략| (진수)>0인 x의 값의 범위에서 최솟값을 구한다.
f(x)=xÛ`-ln x에서 x>0이고
f '(x)=2x-
= 2xÛ`-1
x
;[!;
f '(x)=0에서 xÛ`=
2`
∴ x= '
2
;2!;
(∵ x>0)
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
-
↘
'2
2
0
(1+ln 2)
;2!;
y
+
↗
2`
따라서 함수 f(x)는 x= '
2
일 때 최솟값
(1+ln 2)를 갖는다.
;2!;
⑤
0829
f(x)=(x+1) ln (x+1)-x+1에서
f '(x)=ln (x+1)+(x+1)_ 1
x+1
f '(x)=0에서 ln (x+1)=0 ∴ x=0
-1=ln (x+1)
x
-1 y
;e!;
f '(x)
f(x)
2-
;e@;
-
↘
0
0
1
y
+
↗
e-1
2
따라서 함수 f(x)는 x=e-1일 때 최댓값 2, x=0일 때 최솟값 1을
가지므로
M=2, m=1 ∴ M+m=3
④
0830
f(x)=logª (x+6)+log4 (-x)에서
x+6>0, -x>0 ∴ -60)
∴ x=
∵ -
ÉxÉ
p
4
{
p
2
p
2 }
-
p
2
x
f '(x)
f(x)
0
y
+
↗
p
4
0
p
e
4
'2
2
y
-
↘
p
2
0
최솟값 0을 갖는다.
2`
따라서 최댓값과 최솟값의 합은 '
2
p
4 이다.
e
채점 기준
❶ f '(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다.
❷ f(x)의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.
❸ f(x)의 최댓값과 최솟값의 합을 구할 수 있다.
함수 f(x)는 x=
p
4
2`
일 때 최댓값 '
2
p
4 , x=-
e
p
2
또는 x=
일 때
p
2
0834
|전략| 함수 f(x)를 cos x에 대한 함수로 나타낸 후 cos x=t로 치환하여 최댓
값과 최솟값을 구한다.
f(x) =cosÜ` x+3 sinÛ` x+1
=cosÜ` x+3(1-cosÛ` x)+1
=cosÜ` x-3 cosÛ` x+4
cos x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1
g(t)=tÜ`-3tÛ`+4라 하면 g'(t)=3tÛ`-6t=3t(t-2)
g'(t)=0에서 t=0 (∵ -1ÉtÉ1)
t
-1
g'(t)
g(t)
0
y
+
↗
0
0
4
y
-
↘
1
2
따라서 함수 g(t)는 t=0일 때 최댓값 4를 갖는다.
4
0835
f(x)=3(log x)Ý`-8(log x)Ü`+2에서
log x=t로 놓으면 1ÉtÉ3 (∵ 10ÉxÉ1000)
g(t)=3tÝ`-8tÜ`+2라 하면 g'(t)=12tÜ`-24tÛ`=12tÛ`(t-2)
g'(t)=0에서 t=2 (∵ 1ÉtÉ3)
t
1
g'(t)
g(t) -3
y
-
↘
2
0
-14
y
+
↗
3
29
0836
(2x+2-x)Ü` =23x+3_22x_2-x+3_2x_2-2x+2-3x
… ❶
=8x+8-x+3(2x+2-x)
(2x+2-x)Û` =22x+2_2x_2-x+2-2x
=4x+4-x+2
이므로
f(x) =8x+8-x+4x+4-x+2(2x+2-x)+1
=(2x+2-x)Ü`-3(2x+2-x)+(2x+2-x)Û`-2+2(2x+2-x)+1
=(2x+2-x)Ü`+(2x+2-x)Û`-(2x+2-x)-1
2x+2-x=t로 놓으면 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
2x+2-x¾æ2
2x_2-x=2 ∴ tæ¾2
"
g(t)=tÜ`+tÛ`-t-1이라 하면
g'(t)=3tÛ`+2t-1=(t+1)(3t-1)
이때, tæ¾2에서 g'(t)>0이므로 함수 g(t)는 증가한다.
따라서 함수 g(t)는 t=2일 때 최솟값 9를 갖는다.
9
0837
g(x)=
3 sin x+cos x=2
'
sin x+
;2!; cos x
}
3`
'
2
{
x+
=2 sin
{
p
6 }
이므로 g(x)=t로 놓으면 -2ÉtÉ2이고
( f ç g)(x)=f(g(x))=f(t)=2tÜ`-3tÛ`+10
∴ f '(t)=6tÛ`-6t=6t(t-1)
f '(t)=0에서 t=0 또는 t=1
t
-2
f '(t)
f(t) -18
y
+
↗
0
0
10
y
-
↘
1
0
9
y
+
↗
2
14
따라서 함수 f(t)는 t=2일 때 최댓값 14, t=-2일 때 최솟값 -18
을 가지므로 최댓값과 최솟값의 차는
32
14-(-18)=32
0838
|전략| 증감표를 작성하여 최댓값을 찾은 후 주어진 값과 비교한다.
f(x)=k sin 2x-kx에서
f '(x)=2k cos 2x-k=k(2 cos 2x-1)
f '(x)=0에서 cos 2x=
(∵ k>0)
;2!;
2x=
(∵ 0É2xÉp) ∴ x=
p
3
x
f '(x)
f(x)
0
0
y
+
↗
p
6
y
-
p
2
'3
2
p
6
k-
k ↘ -
p
2
k
함수 f(x)의 최댓값이
3-
이므로
3`
'
2
k-
k=
3-
'
p
6
3-
;2K;{'
p
3 }
=
3-
'
p
3
'
,
p
3
p
6
0
p
3
7 도함수의 활용 ⑵ | 119
따라서 함수 g(t)는 t=3일 때 최댓값 29, t=2일 때 최솟값 -14를
가지므로 최댓값과 최솟값의 합은 15이다.
15
=1 ∴ k=2
;2K;
7ㅡ도함수의 활용⑵ 함수 f(x)는 x=1일 때 최솟값
-
ln k를 갖는다.
;4!;
;2!;
… ❷
따라서 함수 S(a)는 a=
일 때 극대이면서 최대이므로 직사각형의
함수 f(x)는 x=
일 때 최솟값을 가지므로 최솟값은
따라서 함수 f(t)는 t=0일 때 극소이면서 최소이므로 선분 PQ의 길
③
이의 최솟값은
f(0)=e0-0=1
1
p
2
-
_2=-p
p
2
0839
f(x)=
xÛ`-
ln kx에서 x>0(∵ k>0)이고
;4!;
;2!;
f '(x)=
- 1
2x
= xÛ`-1
2x
= (x+1)(x-1)
2x
;2{;
f '(x)=0에서 x=1 (∵ x>0)
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
-
↘
1
0
-
;4!;
;2!;
ln k
y
+
↗
함수 f(x)의 최솟값이 0이므로
ln k=0, ln k=
∴ k=
e
;2!;
'
-
;4!;
;2!;
채점 기준
❶ f '(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다.
❷ 증감표를 작성하여 f(x)의 최솟값을 k에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
❸ k의 값을 구할 수 있다.
… ❸
e
'
비율
30`%
40`%
30`%
0840
f(x)=10xÜ`_10-3xÛ`+k=10xÜ`-3xÛ`+k에서
g(x)=xÜ`-3xÛ`+k로 놓으면 g(x)가 최소일 때 f(x)도 최소이다.
g'(x)=3xÛ`-6x=3x(x-2)
g'(x)=0에서 x=2 (∵ 1ÉxÉ3)
x
1
y
2
y
g'(x)
g(x) -2+k ↘ -4+k ↗
-
+
0
3
k
따라서 함수 g(x)는 x=2일 때 최소이므로 함수 f(x)도 x=2일 때
최소이다.
함수 f(x)의 최솟값이 1010이므로 10-4+k=1010
-4+k=10 ∴ k=14
④
0841
|전략| 두 점 P, Q의 x좌표를 t로 놓고 PQÓ를 t에 대한 함수로 나타내어 최솟값
을 구한다.
두 점 P, Q의 좌표를 각각 (t, et), (t, t)로 놓으면
PQÓ=et-t
f(t)=et-t라 하면 f '(t)=et-1
f '(t)=0에서 t=0
t
y
f '(t) -
0
0
f(t)
↘
극소
y
+
↗
120 | III . 미분법
;2!;
y
+
↗
;e!;
y
+
↗
0842
직사각형의 넓이를 S(a)라 하면
S(a)=2ae-2a
S'(a)=2e-2a-4ae-2a=-2e-2a(2a-1)
… ❶
S'(a)=0에서 a=
(∵ e-2a>0)
a
(0)
S'(a)
S(a)
y
-
↘
;2!;
0
극대
;2!;
넓이의 최댓값은
S
{;2!;}
=2_
_e-1=
;2!;
;e!;
;e!;
0843
점 P의 좌표를 (a, ln a)(00이므로
00
f(x)=ln x, g(x)=kxÜ`으로 놓으면
f '(x)=
, g'(x)=3kxÛ`
;[!;
f(t)=g(t)에서 ln t=ktÜ`
f '(t)=g'(t)에서
=3ktÛ`
;t!;
㉡에서 k= 1
3tÜ`
을 ㉠에 대입하면
_tÜ`=
ln t= 1
3tÜ`
t=e;3!;을 k= 1
3tÜ`
∴ t=e;3!;
;3!;
에 대입하면 k= 1
3e
서로 다른 두 실근을 가지려면
00, 4e-2x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
f "(x)=4e2x+4e-2x+2a
¾2
4e2x_4e-2x+2a=2a+8 (단, 등호는 x=0일 때 성립)
"
f "(x)의 최솟값이 2a+8이므로 방정식 f "(x)=0이 실근을 가지려
면 2a+8É0, 즉 aÉ-4이어야 한다.
그런데 a=-4이면 f "(x)¾0이므로 f "(x)=0을 만족시키는 x의
값의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌지 않는다.
a<-4
7 도함수의 활용 ⑵ | 123
두 곡선이 접할 때의 접점의 x좌표를 t라 하면
따라서 실수 a의 값이 될 수 없는 것은 ⑤1이다.
⑤
7ㅡ도함수의 활용⑵ |전략| f(x)=xÛ`+
+k로 놓고 (f(x)의 최솟값)>0인 k의 값의 범위를 구
0859
한다.
f(x)=xÛ`+ 1
xÛ`
f '(x)=2x- 2
xÜ`
1
xÛ`
+k로 놓으면
f '(x)=0에서 x=1 (∵ x>0)
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
-
↘
1
0
k+2
y
+
↗
= 2(xÝ`-1)
xÜ`
= 2(xÛ`+1)(x+1)(x-1)
xÜ`
함수 f(x)는 x=1일 때 극소이면서 최소이므로 `f(x)>0이 성립하
려면
k+2>0 ∴ k>-2
k>-2
0860
f(x)=x-a+1-ln (1+x)로 놓으면
f '(x)=1- 1
= x
>0 (∵ x>0)
1+x
1+x
즉, 함수 f(x)는 x>0에서 증가하므로 `f(x)>0이 성립하려면
f(0)=-a+1¾æ0 ∴ aÉ1
aÉ1
f '(x)=2x, g'(x)=
;[A;
0861
sin x+k cos xÉk에서 sin xÉk(1-cos x)
sin x
p
1-cos x
4
ÉxÉp에서 1-cos x>0이므로
Ék
f(x)=
f '(x)=
로 놓으면
sin x
1-cos x
cos x(1-cos x)-sin x_sin x
(1-cos x)Û`
= -1+cos x
(1-cos x)Û`
즉, 함수 f(x)는
ÉxÉp에서 감소하므로 f(x)의 최댓값은
=- 1
1-cos x
<0
p
4
2`
'
2
2`
1- '
2
p
4 }
f
{
=
= '
2-
2`
2`
'
=
2+1
'
ÉxÉp에서 f(x)Ék가 성립하려면 kæ¾
2+1
'
p
4
따라서 k의 최솟값은
2+1이다.
'
④
x>0일 때, f "(x)>0이므로 f '(x)는 증가하고 f '(0)=0이므로
x>0에서 f '(x)>0이다.
즉, 함수 f(x)는 x>0에서 증가한다.
f(x)>0이 성립하려면
f(0)=1+kæ¾0 ∴ kæ
æ¾-1
따라서 실수 k의 최솟값은 -1이다.
채점 기준
❶ f '(x), f "(x)를 구할 수 있다.
❷ x>0에서 f(x)의 증가, 감소를 판단할 수 있다.
❸ k의 값의 범위를 구할 수 있다.
❹ k의 최솟값을 구할 수 있다.
… ❷
… ❸
… ❹
-1
비율
30`%
30`%
30`%
10`%
0863
|전략| 곡선 y=xÛ`이 곡선 y=a ln x보다 위쪽에 있어야 함을 이용한다.
x>0인 모든 실수 x에 대하여 부등식
y
y=xÛ
xÛ`>a ln x가 성립하려면 오른쪽 그림과
같이 x>0에서 곡선 y=xÛ`이 곡선
y=a ln x보다 위쪽에 있어야 한다.
f(x)=xÛ`, g(x)=a ln x로 놓으면
y=a ln x
O
1
x
두 곡선이 접할 때의 접점의 x좌표를 t(t>0)라 하면
f(t)=g(t)에서 tÛ`=a ln t
f '(t)=g'(t)에서 2t= a
t
㉡을 ㉠에 대입하면
∴ tÛ`=
;2A;
=a ln t, ln t=
∴ t=
;2!;
e
'
;2A;
t=
e를 ㉡에 대입하면 a=2e
'
yy ㉠
yy ㉡
따라서 주어진 부등식을 만족시키는 양수 a의 값의 범위는
00에서
y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 위쪽에 있거나 두 그래
프가 접해야 한다.
속도가 2인 순간은
+1=2에서
2
t+1
=1 ∴ t=1
2
t+1
따라서 점 P의 속도가 2일 때의 가속도는
a(1)=-
;2!;
2
+a
3
2
y
a
O
y=f(x)
y=g(x)
1
x
0869
점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t)라 하면
v(t)=f '(t)=2 cos 2t-2
3 sin 2t
'
3`
2 sin 2t
}
=4
{;2!; cos 2t- '
=4 sin
{
2t+
p
}
;6%;
f '(x)=1- 1
xÛ`
= xÛ`-1
xÛ`
= (x+1)(x-1)
xÛ`
f '(x)=0에서 x=1 (∵ x>0)
즉, f(x)의 최솟값은 f(1)=2
g'(x)= 3(xÛ`+1)-3x_2x
(xÛ`+1)Û`
g'(x)=0에서 x=1 (∵ x>0)
= -3(x+1)(x-1)
(xÛ`+1)Û`
x
(0)
f '(x)
f(x)
x
(0)
g'(x)
g(x)
y
-
↘
y
+
↗
1
0
극소
1
0
극대
y
+
↗
y
-
↘
이때, lim
¦
Ú
x
g(x)=a이므로 두 함수
y=f(x), y=g(x)의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
g(x)의 최댓값은 g(1)=
+a
;2#;
임의의 양의 실수 x에 대하여
f(x)æ¾g(x)이려면
2æ¾
+a ∴ aÉ
;2#;
;2!;
따라서 실수 a의 최댓값은
이다.
;2!;
②
0866
|전략| 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 x가 x=f(t)이면 시각
t에서의 속도는 f '(t)이다.
점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t)라 하면
v(t)=f '(t)=5a cos
{
5t+
p
6 }
t=p에서의 속도가 5
3이므로
v(p)=5a cos
{
5p+
=5a cos
{
p+
p
6 }
p
=-5a cos
6
3`
'
2
a=5
3
'
'
p
6 }
=- 5
∴ a=-2
-2
0867
점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t), 가속도를 a(t)라 하면
v(t)=f '(t)= 2
t+1
+1
a(t)=f "(t)=- 2
(t+1)Û`
①
0868
점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t)라 하면
v(t) =f '(t)=(2t-7)et+(tÛ`-7t+13)et
=(tÛ`-5t+6)et
점 P가 운동 방향을 바꿀 때의 속도는 0이므로
(tÛ`-5t+6)et=0에서 tÛ`-5t+6=0 (∵ et>0)
(t-2)(t-3)=0 ∴ t=2 또는 t=3
이때, t=2, t=3의 좌우에서 v(t)의 부호가 바뀌므로 점 P는 운동
방향을 2번 바꾼다.
2번
-4Év(t)É4이므로 속력 |v(t)|의 최댓값은 4이다.
⑤
0870
|전략| 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 (x, y)가 x=f(t),
y=g(t)이면 시각 t에서의 속도는 (f '(t), g'(t))이고, 속력은
{f '(t)}Û`+{g'(t)}Û` 이다.
"
dy
dx
dt
dt
(3, 4-2t)
=4-2t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는
=3,
점 P의 속력은
3Û`+(4-2t)Û`=
4(t-2)Û`+9
"
따라서 점 P의 속력이 최소일 때는 t=2일 때이다.
"
2
=et sin t+et cos t
dy
dt
=et cos t-et sin t,
0871
dx
dt
이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는
(et cos t-et sin t, et sin t+et cos t)
점 P의 속력은
e2t(cos t-sin t)Û`+e2t(sin
"
따라서 점 P의 속력이 4일 때의 시각 t는
2 et=4에서 et=2
2 ∴ t=ln 2
2
'
'
'
t+cos t)Û`=
2e2t=
"
'
2 et
②
7 도함수의 활용 ⑵ | 125
7ㅡ도함수의 활용⑵ 정답과 해설
0872
dx
dt
도는
=10
2,
'
dy
dt
=-10t+10
2이므로 골프공의 시각 t에서의 속
'
=-3 sin t,
=3 cos t,
0875
dx
dt
dy
dt
dÛ`y
dtÛ`
=-3 sin t
=-3 cos t,
dÛ`x
dtÛ`
이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 (-3 sin t, 3 cos t)이고 가속도
는 (-3 cos t, -3 sin t)이다.
점 P의 속력과 가속도의 크기는 각각
"
(-3 sin t)Û`+(3 cos t)Û`=3
(-3 cos t)Û`+(-3 sin t)Û`=3
"
따라서 a=3, b=3이므로 a+b=6
0876
dx
dt
=2t+9,
=3atÛ`-5에서
dy
dt
④
… ❶
… ❷
… ❸
1
p
비율
40`%
30`%
30`%
dÛ`y
dtÛ`
=2,
dÛ`x
dtÛ`
이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는 (2, 6at)
=6at
t=1에서의 가속도는 (2, 6a)이므로 가속도의 크기는
4+36aÛ`
"
즉,
"
4+36aÛ`=2
10이므로 양변을 제곱하여 정리하면
'¶
aÛ`=1 ∴ a=1 (∵ a>0)
1
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
0877
유형 01 곡선의 오목·볼록
|전략| 함수 f(x)가 어떤 구간에서 f "(x)<0이면 곡선 y=f(x)는 이 구간에
서 위로 볼록함을 이용한다.
f(x)=sinÛ` x로 놓으면
f '(x)=2 sin x cos x=sin 2x
f "(x)=2 cos 2x
곡선 y=sinÛ` x가 위로 볼록하려면 f "(x)<0이어야 하므로
(10
2, -10t+10
2)
'
'
골프공이 지면에 떨어질 때는 y=0일 때이므로
-5tÛ`+10
2 t=0에서 -5t(t-2
2)=0
'
∴ t=2
2 (∵ t>0)
'
'
t=2
2에서의 골프공의 속도는 (10
2, -10
2)이므로 구하는 속
'
'
(10
2)Û`+(-10
2)Û`=20 (m/s)
'
20`m/s
'
력은
¿¹
'
=1-cos t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는
0873
dx
dt
(2at-sin t, 1-cos t)
=2at-sin t,
dy
dt
t=
일 때의 속도는 (ap-1, 1)
p
2
이때의 속력이 1이므로
(ap-1)Û`+1Û`=1, (ap-1)Û`+1=1
"
(ap-1)Û`=0 ∴ a= 1
p
채점 기준
❶ 점 P의 시각 t에서의 속도를 구할 수 있다.
❷ t=
일 때의 속도를 구할 수 있다.
p
2
❸ a의 값을 구할 수 있다.
0874
|전략| 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 (x, y)가 x=f(t),
y=g(t)이면 시각 t에서의 가속도는 (f "(t), g"(t))이고, 가속도의 크기는
=3tÛ`-1이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는
17)Û`+(3tÛ`-1)Û`=9에서 (3tÛ`-1)Û`=64, 3tÛ`-1=Ñ8
⑤
cos 2x<0,
<2x0)
'
dÛ`x
dtÛ`
(0, 6t)
t=
'
기는
0+(6
3)Û`=6
3
¿¹
'
'
126 | III . 미분법
이때, x<0이면 f "(x)<0, x>0이면 f "(x)>0
즉, x=0의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 곡선 y=f(x)의 변
곡점의 좌표는 (0, 1)이다.
점 (0, 1)에서의 접선의 기울기는 f '(0)=2이므로 접선의 방정식은
y-1=2(x-0) ∴ y=2x+1
따라서 접선이 x축과 만나는 점의 좌표는
{
-
;2!;
, 0
이다.
}
①
x
y
g'(x) -
-1
0
g(x)
↘ -
n
;3@;
y
+
↗
y
-
↘
1
0
2n
;3@;
이때, lim
¦
Ú
x
g(x)= lim
-¦
x
Ú-
g(x)=0이므로 함수 g(x)는 x=1일 때
최댓값 2n, x=-1일 때 최솟값 -
n을 갖는다.
0879
유형 04 함수의 그래프의 성질
|전략| f '(x), f "(x), lim
x` Ö ¦
ㄱ. `f(x)= xÛ`-3
x-2
에서 x+2이고
f(x)를 구하여 참, 거짓을 조사한다.
f '(x)= 2x(x-2)-(xÛ`-3)
(x-2)Û`
= xÛ`-4x+3
(x-2)Û`
=(x-1)(x-3)
(x-2)Û`
f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3
x
y
f '(x) +
1
0
f(x)
↗
극대
y
-
↘
(2)
y
-
↘
3
0
극소
y
+
↗
따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극댓값, x=3에서 극솟값을 갖는
다. (거짓)
ㄴ. `f "(x)= (2x-4)(x-2)Û`-(xÛ`-4x+3)_2(x-2)
(x-2)Ý`
=104
③
|전략| 주어진 구간에서의 극값과 구간의 양 끝에서의 함숫값을 비교하여 최댓값
따라서 f(n)=2n+
-
n이므로
{
n
=
;3@;
;3$;
}
_ 12_13
2
f(n)=
n=
;3$;
;3$;
n=1
; 1`2
n=1
; 1`2
0881
유형 07 무리함수의 최대·최소
과 최솟값을 구한다.
f(x)=x+
1-x에서 f '(x)=1- 1
'¶
f '(x)=0에서 2
1-x=1, 1-x=
'¶
2
1-x`
'¶
∴ x=
;4!;
;4#;
x
f '(x)
f(x)
0
1
y
+
↗
;4#;
0
;4%;
y
-
↘
1
1
= 2(x-2)Û`-2(xÛ`-4x+3)
(x-2)Ü`
= 2
(x-2)Ü`
따라서 함수 f(x)는 x=
일 때 최댓값
, x=0 또는 x=1일 때 최
;4#;
;4%;
솟값 1을 가지므로
M=
, m=1 ∴ M-m=
;4%;
;4!;
①
f "(x)=0을 만족시키는 x의 값은 존재하지 않으므로 변곡점은
존재하지 않는다. (참)
ㄷ. `f(x)= xÛ`-3
x-2
=x+2+ 1
x-2
lim
¦
x
Ú
f(x)=lim
¦
Ú
x
(x+2), lim
-¦
x
f(x)= lim
-¦
x
Ú
Ú
(x+2)이므로 직
선 y=x+2는 y=f(x)의 그래프의 점근선이다. (참)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
⑤
0882
유형 08 지수함수의 최대·최소
과 최솟값을 구한다.
f(x)= e-x
xÛ`
에서
|전략| 함수의 몫의 미분법을 이용하여 주어진 함수의 최댓값과 최솟값을 찾은
0880
유형 06 유리함수의 최대·최소
후 f(n)을 구한다.
g(x)= 2nx
xÛ`-x+1
로 놓으면
g'(x)= 2n(xÛ`-x+1)-2nx(2x-1)
(xÛ`-x+1)Û`
= -2n(x+1)(x-1)
(xÛ`-x+1)Û`
g'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
|전략| 주어진 구간에서의 극값과 구간의 양 끝에서의 함숫값을 비교하여 최댓값
f '(x)= -e-xxÛ`-2xe-x
=- e-x(x+2)
xÝ`
xÜ`
f '(x)=0에서 x+2=0
{
∵
<0
∴ x=-2
}
e-x
xÜ`
x
-3
f '(x)
f(x)
eÜ`
9
y
-
↘
-2
0
eÛ`
4
y
+
↗
-1
e
따라서 함수 f(x)는 x=-1일 때 최댓값 e, x=-2일 때 최솟값
을 가지므로
eÛ`
4
M=e, m= eÛ`
4
∴
M
m
= e
eÛ`
4
=
;e$;
①
7 도함수의 활용 ⑵ | 127
7ㅡ도함수의 활용⑵-
0883
유형 11 치환을 이용한 함수의 최대·최소
|전략| 함수 f(x)를 cos x에 대한 함수로 나타낸 후 cos x=t로 치환하여 최댓
값과 최솟값을 구한다.
f(x)=sinÛ` x cos x=(1-cosÛ` x)cos x=-cosÜ` x+cos x
cos x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1
g(t)=-tÜ`+t라 하면 g'(t)=-3tÛ`+1
3`
g'(t)=0에서 t=- '
3
3`
또는 t= '
3
t
-1
g'(t)
g(t)
0
y - '3
3
-
0
↘ - 2'3
9
y
+
↗
'3
3
0
2'3
9
y
-
↘
1
0
3`
함수 g(t)는 t= '
3
일 때 최댓값
2
3`
'
9
3`
, t=- '
3
일 때 최솟값
을 가지므로
3`
'
9
, m=- 2
3`
'
9
∴ MÛ`+mÛ`=
;2¥7;
따라서 p=27, q=8이므로 p+q=35
②
- 2
3`
'
9
M= 2
0884
유형 12 함수의 최대·최소 - 미정계수의 결정
|전략| 증감표를 작성하여 최솟값을 찾은 후 주어진 값과 비교한다.
f(x)=x ln x-ax-1에서
-a=ln x+1-a
f '(x)=ln x+x_
;[!;
f '(x)=0에서 ln x=a-1 ∴ x=ea-1
이때, 11 ∴ a<- '
2
2`
또는 a> '
2
'
2`
Û a=- '
2
2`
또는 a= '
2
이면
f "(x)=-
2
[
1+sin
{
'
x+
p
4 }]
또는
②
f "(x)=
2
[
1-sin
{
'
x+
p
4 }]
∴ f "(x)É0 또는 f "(x)æ¾0
유형 16 방정식 f(x)=k의 실근의 개수
|전략| 함수 y=ln x-x+20의 그래프와 직선 y=n의 교점의 개수가 2가 되
도록 하는 n의 값의 범위를 구한다.
ln x-x+20-n=0에서 ln x-x+20=n
f(x)=ln x-x+20으로 놓으면 x>0이고 f '(x)=
-1
;[!;
0887
f '(x)=0에서 x=1
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
+
↗
1
0
19
y
-
↘
128 | III . 미분법
따라서 f "(x)=0을 만족시키는 x의 값의 좌우에서 f "(x)의 부호가
바뀌지 않으므로 곡선 y=f(x)가 변곡점을 갖지 않는다.
2`
Ú, Û에 의하여 aÉ- '
2
2`
또는 aæ¾ '
2
③
유형 19 f(x)¾a 꼴의 부등식이 항상 성립할 조건
|전략| 각 변에 ex을 곱하여 주어진 부등식을 변형한 후 부등식이 성립할 조건을
알아본다.
ae-xÉ2xÛ`-3xÉbe-x의 각 변에 ex을 곱하면
aÉ(2xÛ`-3x)exÉb
정답과 해설 f(x)=(2xÛ`-3x)ex으로 놓으면
f '(x) =(4x-3)ex+(2xÛ`-3x)ex=(2xÛ`+x-3)ex
=(2x+3)(x-1)ex
f '(x)=0에서 x=-
또는 x=1 (∵ ex>0)
;2#;
x
-2
f '(x)
f(x)
14
eÛ`
y
+
↗
-
;2#;
0
9
eÜ``
"
y
-
↘
1
0
-e
y
+
↗
2
2eÛ`
두 변곡점 사이의 거리가 2이므로
k-(-
k)=2,
k=1 ∴ k=1
'
'
❶ f "(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다.
❷ 변곡점의 좌표를 구할 수 있다.
❸ k의 값을 구할 수 있다.
'
채점 기준
0890
값을 구한다.
함수 f(x)는 x=2일 때 최댓값 2eÛ`, x=1일 때 최솟값 -e를 가지므
유형 13 최대·최소의 활용 - 길이, 넓이
로 aÉf(x)Éb가 성립하려면
aÉ-e, b¾2eÛ`
따라서 b-a의 최솟값은
2eÛ`-(-e)=e(2e+1)
|전략| ∠DOE=h로 놓고 사다리꼴의 넓이를 h에 대한 함수로 나타내어 최댓
오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABÓ에
D
C
⑤
내린 수선의 발을 E라 하고
… ❸
1
배점
3점
2점
2점
0888
유형 21 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도
|전략| 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 x가 x=f(t)이면 시각
t에서의 속도는 f '(t)이고, 점 P가 운동 방향을 바꿀 때의 속도는 0임을 이용한
다.
점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t)라 하면
v(t)=f '(t)=-ecos t sin t
점 P가 운동 방향을 바꿀 때의 속도는 0이므로
-ecos t sin t=0에서 sin t=0 (∵ ecos t>0)
∴ t=np (n은 자연수)
이때 t=p, t=2p, t=3p, y의 좌우에서 v(t)의 부호가 바뀌므로
점 P가 두 번째로 운동 방향을 바꾼 때는 t=2p일 때이고, 그때의 점
h
(0)
P의 위치는
f(2p)=ecos 2p=e
⑤
S'(h)
S(h)
0889
유형 03 변곡점 - 미정계수의 결정
|전략| f "(x)=0을 만족시키는 x의 값의 좌우에서 f "(x)의 부호를 조사하여
변곡점의 좌표를 구한 후 두 변곡점 사이의 거리가 2임을 이용한다.
f(x)=ln (xÛ`+k)로 놓으면 f '(x)= 2x
xÛ`+k
f "(x)= 2(xÛ`+k)-2x_2x
(xÛ`+k)Û`
= -2(xÛ`-k)
(xÛ`+k)Û`
= -2(x+
'
k)(x-
k)
'
(xÛ`+k)Û`
f "(x)=0에서 x=-
k 또는 x=
k
'
이때, x<-
k 또는 x>
k이면 f "(x)<0, -
k0
'
'
즉, x=-
k, x=
k의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점
'
'
의 좌표는 (-
k, ln 2k), (
k, ln 2k)이다.
'
'
… ❷
00)
∴ h=
∵ 01이므로 구하는 가속도의 크기의 최솟값
⑶ |cos t|¾0,
"
은 cos t=0일 때 0이다.
⑴ (2et cos t, -cos t) ⑵ |cos t|
4e2t+1 ⑶ 0
"
채점 기준
⑴ 점 P의 시각 t에서의 가속도를 구할 수 있다.
⑵ 점 P의 시각 t에서의 가속도의 크기를 구할 수 있다.
⑶ 가속도의 크기의 최솟값을 구할 수 있다.
배점
3점
3점
4점
0892
유형 09 로그함수의 최대·최소
an의 값을 구한다.
|전략| (진수)>0인 x의 값의 범위에서 최솟값 an을 구한 후 무리수 e의 정의와
삼각함수의 극한을 이용하여 lim
¦
Ú
⑴ f(x)=n ln x+ n+1
x
= nx-(n+1)
- n+1
xÛ`
xÛ`
에서 x>0이고
-n cos
f '(x)=
;n!;
;[N;
n`
일 때 f '(x)<0, x> n+1
n
일 때 f '(x)>0이므로
f '(x)=0에서 x= n+1
n
⑵ 01일 때 y=f(x)의
그래프를 그려서 방정식의 실근의 개수를 판단한다.
ㄱ. f(x)=-ln (ex+a)에서 f '(x)=- ex
ex+a
이므로
lim
¦
x
Ú-
f '(x)=lim
{
¦
Ú-
x
- ex
ex+a }
=lim
¦
x
-
Ú-
1
1+
a
ex
=-1 (참)
ㄴ. f "(x)=- ex(ex+a)-ex_ex
(ex+a)Û`
¦
=- aex
(ex+a)Û`
¥
a>0일 때, 모든 실수 x에 대하여 f "(x)<0이므로 y=f(x)의
그래프는 위로 볼록하다. (거짓)
ㄷ. a>1일 때,
f(x)=-ln a<0,
f(x)=-¦이고
lim
-¦
x
Ú-
lim
¦
x
Ú-
f '(x)=- ex
ex+a
<0이므로
y
O
y=a
x
y=f (x)
y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
즉, a>1일 때 방정식 f(x)=a는 실근을 갖지 않는다. (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ이다.
①
정답과 해설-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
0895
|전략| 곡선 y=ln x 위의 점 (t, ln t)에서의 접선의 방정식을 y=xÛ`+k에 대
입하여 x에 대한 이차방정식을 만들고 이 방정식이 중근을 가져야 함을 이용한
f(a)=2a+
;a!;
f '(a)=2- 1
aÛ`
로 놓으면
= 2aÛ`-1
aÛ`
다.
접선의 방정식은
y-ln t= 1
t
직선 y= 1
t
y=ln x에서 y'=
이므로 곡선 y=ln x 위의 점 (t, ln t)에서의
;[!;
(x-t) ∴ y= 1
t
(x-t)+ln t
(x-t)+ln t가 곡선 y=xÛ`+k에 접하므로 이차방정식
x+k+1-ln t=0은 중근을 가
(x-t)+ln t=xÛ`+k, 즉 xÛ`- 1
t
1
t
져야 한다.
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D=
-
{
;t!;}
Û`-4(k+1-ln t)=0에서 k=ln t-1+ 1
4tÛ`
이므로
k는 t에 대한 함수 k(t)로 볼 수 있다.
k'(t)=
- 1
2tÜ`
= 2tÛ`-1
2tÜ`
;t!;
k'(t)=0에서 tÛ`=
2`
∴ t= '
2
;2!;
(∵ t>0)
t
(0)
k'(t)
k(t)
y
-
↘
'2
2
0
극소
y
+
↗
2`
따라서 k는 t= '
2
일 때 극소이면서 최소이다.
'2`
2
f '(a)=0에서 aÛ`=
2`
∴ a= '
2
;2!;
(∵ a>0)
a
(0)
f '(a)
f(a)
y
-
↘
'2
2
0
2
2
'
y
+
↗
2`
따라서 f(a), 즉 tan h는 a= '
2
일 때 최솟값 2
2를 갖는다.
'
에 의하여
다른 풀이 a>0에서 2a>0, ;a!;
'
>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계
2
2
2a+
¾2
2a_
;a!;
¾±
=2
2
{
'
;a!;
단, 등호는 2a=
2`
;a!;, 즉 a= '
2
일 때 성립
}
따라서 tan h의 최솟값은 2
2이다.
'
0897
|전략| f(x)=ln (sin x)+x-k로 놓고 ( f(x)의 최댓값)É0을 만족시키는
k의 최솟값을 구한다.
f(x)=ln (sin x)+x-k로 놓으면
f '(x)=
+1=cot x+1
cos x
sin x
f '(x)=0에서 cot x=-1 ∴ tan x=-1
(2n-2)p0) ln (ex+1)+C
:
0925
(ex+1)'=ex이므로
ex
ex+1
`
dx
=
(ex+1)'
ex+1
dx
`
0926
(x+cos x)'=1-sin x이므로
1-sin x
x+cos x
`
dx
=
`
(x+cos x)'
x+cos x
dx
:
:
=ln|x+cos x|+C
134 | IV . 적분법
ln|x+cos x|+C
0932
`f(x)=x, g'(x)=ex으로 놓으면
`f '(x)=1, g(x)=ex`
정답과 해설 =(2x-2)e2x+C
(2x-2)e2x+C
=
`(x;2!;-1)dx=
x
x-x+C
;3@;
'
`f(x)=
(x-1)Û`
x
`
dx
=
`
xÛ`-2x+1
x
dx=
x-2+
dx
;[!;}
`
{
:
xex-ex+C
=
xÛ`-2x+ln|x|+C
:
:
;2!;
∴
xex dx
xex-
`ex dx
=
=xex-ex+C
:
`
:
0933
`f(x)=x, g'(x)=sin x로 놓으면
`f '(x)=1, g(x)=-cos x
∴
x sin x dx
x cos x-
`(-cos x)dx
=-
=-x cos x+sin x+C -x cos x+sin x+C
:
`
:
:
0934
`f(x)=4x-2, g'(x)=e2x으로 놓으면
`f '(x)=4, g(x)=
e2x
;2!;
∴`
`(4x-2)e2x
dx
=
(4x-2)
_;2!;
e2x-2
`e2x dx
=(2x-1)e2x-2_
:
e2x+C
;2!;
0935
`f(x)=ln x, g'(x)=1로 놓으면
`f '(x)=
, g(x)=x
;[!;
∴
`ln
x
dx
=
x
ln
x-
`
;[!;
_x dx
:
=x ln x-x+C
:
0936
`f(x)=ln x, g'(x)=x로 놓으면
`f '(x)=
, g(x)=
xÛ``
;2!;
;[!;
∴
`x
ln
x
dx
=
ln
x
xÛ`
_;2!;
-
_
`
;[!;
;2!;
xÛ` dx
:
=
xÛ` ln x-
`x dx
;2!;
;2!;
:
;2!;
:
xÛ`+C
;4!;
=
xÛ` ln x-
;2!; xÛ` ln x-
;4!;xÛ`+C
x ln x-x+C
0939
이때, f(e)=
eÛ`-2e에서
;2!;
eÛ`-2e+1+C=
eÛ`-2e, 1+C=0
∴ C=-1
;2!;
;2!;
따라서 f(x)=
xÛ`-2x+ln|x|-1이므로
;2!;
`f(1)=
-2-1=-
;2!;
;2%;
②
0938
F(x)=
`f(x)dx
=
dx
`
x-1
x+1
'
x+1)
(
'
:
x-1)(
'
x+1
'
dx
=
`(
x-1)dx
'
=
:
:
`
:
:
;3%;
이때, F(1)=
에서
-1+C=
∴ C=2
;3%;
;3@;
∴ F(x)=
x
x-x+2
;3@;
'
F(x)=
x-x+2
x
'
;3@;
F(x)=x f(x)+
의 양변을 x에 대하여 미분하면
;[$;
f(x)=f(x)+x f '(x)-
xf '(x)=
∴ f '(x)=
4
xÛ`
4
xÜ`
∴ f(x)=
`4x-3 dx=-
+C
4
xÜ`
`
dx
=
2
xÛ`
이때, `f(1)=4에서 -2+C=4
∴ C=6
따라서 `f(x)=-
+6이므로
:
2
xÛ`
4
xÛ`
:
8 f(4)=8_
-
+6
=47
{
;8!;
}
④
8ㅡ
여
러
가
지
적
분
법
0940
|전략|
`ex dx=ex+C임을 이용한다.
:
`f(x)=
xex+2
x
:
=ex+2 ln |x|+C
dx
=
:
`
ex+
`
{
;[@;}
dx
유형 마스터
유형 마스터
STEP2
0937
용한다.
:`
|전략|
xn dx
1
n+1
xn+1
+
=
C(n+-1),
;[!; dx=ln|x|+C임을 이
이때, f(1)=e-eÛ`에서 e+C=e-eÛ`
따라서 f(x)=ex+2 ln |x|-eÛ`이므로
∴ C=-eÛ`
:`
f(2)=2 ln 2
`2 ln 2
8 여러 가지 적분법 | 135
로그의 성질
a>0, a+1, M>0, N>0일 때
⑴ loga 1=0, loga a=1
⑵ loga MN=loga M+loga N
=loga M-loga N
⑶ loga ;nM;
⑷ loga Nk=k loga N (단, k는 실수)
0944
`f(x)=-
x
ln 2 dx
`{;2!;}
ln 2
=-
`
x
dx
{;2!;}
=-ln 2_
+C=-ln 2_
+C
:
x
{;2!;}
-ln 2
:
x
{;2!;}
ln
;2!;
x
+C
=
{;2!;}
0941
조건 ㈎, ㈏의 두 식을 변끼리 더하면
2 f '(x)=e-x+ex
∴ f '(x)=
(e-x+ex)
또, 조건 ㈎, ㈏의 두 식을 변끼리 빼면
2g'(x)=e-x-ex
∴ g'(x)=
(e-x-ex)
;2!;
;2!;
f(x)=
(ex+e-x)
`
;2!;
dx=
;2!;
(ex-e-x)+CÁ
:
g(x)=
`-
;2!;
(ex-e-x)
dx=-
;2!;
(ex+e-x)+Cª
조건 ㈐에서 f(0)=0이므로
:
(1-1)+CÁ=0
∴ CÁ=0
;2!;
또, g(0)=-1이므로
-
(1+1)+Cª=-1
∴ Cª=0
;2!;
;2!;
;2!;
f(1)-g(1)=
(e-e-1)+
(e+e-1)=e
;2!;
0942
y=ln x-1로 놓으면
∴ x=ey+1
y+1=ln x
x와 y를 서로 바꾸면 y=ex+1
따라서 g(x)=ex+1이므로
G(x)=
`g(x)dx=
ex+1dx=e
exdx
:
=e_ex+C=ex+1+C
:
:
이때, G(-1)=2에서 1+C=2
따라서 G(x)=ex+1+1이므로
∴ C=1
따라서 f(x)=
(ex-e-x), g(x)=-
(ex+e-x)이므로
;2!;
이때, f(0)=1에서 1+C=1
∴ C=0
따라서 f(x)=
이므로
x
{;2!;}
e
f(1)f(-1)=
_2=1
;2!;
1
0945
`f(x)=
4x ln 2 dx=ln
4xdx=ln 2_
+C
`
2
4x
ln 4
:
=ln 2_
4x
2 ln 2
:
+C=
4x
2
+C
이때,``f(1)=2에서 2+C=2
∴ C=0
따라서 f(x)=
이므로
4x
2
¦
1
`f(n)
=2
¦
n
=2_
{;4!;}
;N+!
;N+!
;4!;
1-
;4!;
=
;3@;
따라서 p=3, q=2이므로 p+q=5
5
등비급수의 수렴과 발산
¦
등비급수
⑴ |r|<1일 때 수렴하고, 그 합은
;N+!
arn-1=a+ar+arÛ`+ y +arn-1+ y(a+0)은
a
1-r
이다.
⑵ |r|¾1일 때 발산한다.
0946
|전략| sinÛ` x=1-cosÛ` x임을 이용하여 주어진 식을 적분하기 쉬운 꼴로 변형
한다.
곡선 y=f(x) 위의 점 (x, `f(x))에서의 접선의 기울기가
sinÛ` x
1+cos x
G
ln
{
;e@;}
=G(ln 2-1)=eln 2+1=2+1=3
③
0943
|전략|
`axdx=
+C(a>0, a+1)임을 이용한다.
ax
ln a
:
`f(x)=
`(3x+9x)dx=
3x
ln 3
+
9x
ln 9
+C
:
이때, 곡선 y=f(x)가 점
{
0,
3
ln 9 }
을 지나므로 f(0)=
에서
3
ln 9
1
ln 3
+
1
ln 9
+C=
3
ln 9
,
1
ln 3
+
1
2 ln 3
+C=
3
2 ln 3
3
2 ln 3
3
2 ln 3
+C=
∴ C=0
따라서 f(x)=
3x
ln 3
+
9x
ln 9
이므로
`f(1)=
3
ln 3
+
9
ln 9
=
6
2 ln 3
+
9
2 ln 3
=
15
2 ln 3
④
이므로 f '(x)=
sinÛ` x
1+cos x
136 | IV . 적분법
정답과 해설 ∴ f(x)=
sinÛ` x
1+cos x
`
dx
=
`
1-cosÛ` x
1+cos x
dx
=
`
(1+cos x)(1-cos x)
1+cos x
dx
:
=
` (1-cos x)dx=x-sin x+C
:
:
:
이때, 이 곡선이 점 (0, 1)을 지나므로 f(0)=1에서 C=1
따라서 f(x)=x-sin x+1이므로
p
2 }
f
{
p
2
=
-1+1=
p
2
0950
|전략| 3x-1=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
3x-1=t로 놓으면 3=
이므로
`f(x)=
(3x-1)Þ` dx
=
tÞ` dt
`
;3!;
`
:
=
;1Á8;
tß`+C=
(3x-1)ß`+C
;1Á8;
dt
dx
:
①
이때, f(0)=
에서
;2!;
+C=
;2!;
;1Á8;
∴ C=
;9$;
따라서 f(x)=
(3x-1)ß`+
이므로 f(x)를 x-1로 나누었을 때
;1Á8;
;9$;
4
0947
1
1-sin x
`
dx
=
`
1+sin x
1-sinÛ` x
dx=
`
1+sin x
cosÛ` x
dx
:
=
:
1
cosÛ` x
`
{
+
:
1
cos x
_tan x
dx
}
:
의 나머지는
`f(1)=
+
;1^8$;
;9$;
=4
나머지정리
:
=tan x+sec x+C
따라서 a=1, b=1, c=0이므로 a+b+c=2
2
0951
=
`(secÛ` x+sec x tan x)dx
다항식 f(x)를 일차식 x-a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)이다.
xÛ`-x-3=t로 놓으면 2x-1=
이므로
(4x-2)(xÛ`-x-3)Þ` dx
` 2tÞ` dt=
tß`+C
;3!;
dt
dx
=
:
;3!;
=
(xÛ`-x-3)ß`+C
=1+2 sin
cos
=1+sin x
;2{;
;2{;
∴ a=3, b=6
∴ a+b=9
9
`
:
0952
1
8a
0948
sin
+cos
{
;2{;
2
;2{;}
=sinÛ`
+2 sin
cos
+cosÛ`
;2{;
;2{;
;2{;
;2{;
∴ f(x)=
`(1+sin x)dx=x-cos x+C
이때, f(0)=0에서 -1+C=0
∴ `C=1
따라서 f(x)=x-cos x+1이므로
p
3 }
`f
{
=
-
+1=
;2!;
p
3
+
;2!;
:
p
3
0949
lim
`
h` Ö 0
`f(x+3h)-f(x+h)
h
=lim
`
h` Ö 0
`f(x+3h)-f(x)-{`f(x+h)-f(x)}
h
=lim
`
h` Ö 0
`f(x+3h)-f(x)
3h
_3-lim
`
h` Ö 0
`f(x+h)-f(x)
h
=3f '(x)-f '(x)=2f '(x)
즉, 2f '(x)=
4
1+cos 2x
이므로
f '(x)=
2
1+cos 2x
=
2
1+(2 cosÛ` x-1)
=
1
cosÛ` x
=secÛ` x
p
3
+
;2!;
ax-3=t로 놓으면 a=
이므로
dt
dx
F(x)=
`(ax-3)à` dx
`tà`_
dt
;a!;
=
:
1
8a
:
1
8a
=
t¡`+C=
(ax-3)¡`+C
F(x)의 최고차항의 계수가 16이므로
_a¡`=16, aà`=2à`
∴ a=2
2
0953
|전략| xÛ`+1=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
xÛ`+1=t로 놓으면 2x=
이므로
dt
dx
`f(x)=
xÛ`
x
`
"Ã
+
1 dx
=
`
;2!;'
t dt=
`t;2!; dt
;2!;
:
=
_
t;2#;+C=
t+C
;3@;
:
;3!;
t
'
=
(xÛ`+1)
xÛ`+1+C
:
;2!;
;3!;
8 여러 가지 적분법 | 137
∴ f(x)=
`secÛ` x dx=tan x+C
∴ f
{
p
4 }
:
-f(p)=
{
p
4
tan
+C
-
tan p+C
=1
}
{
}
1
이때, f(0)=2에서
+C=2
∴ C=
;3%;
"Ã
;3!;
8ㅡ여러가지 적분법 따라서 f(x)=
(xÛ`+1)
xÛ`+1+
이므로
;3!;
"Ã
;3%;
`f(2)=
_5
5+
;3!;
'
=
(
;3%;
'
;3%;
5+1)
⑤
채점 기준
x
xÛ`+3
"Ã
❷ f(x)를 구할 수 있다.
❶ f '(x)=
의 부정적분을 구할 수 있다.
❸ 방정식 f(x)=0을 만족시키는 모든 실수 x의 값의 곱을 구할 수 있다.
비율
30 %
30 %
40 %
x+1=t로 놓으면 1=
이므로
dt
dx
0954
`f(x)=
t-2
t
'
dt
`
`
'Ä
=
dx
x-1
x+1
2
t` }
-
t`
:
dt
`{'
'
:
t;2#;-2_2t;2!;+C=
:
=
:
;3@;
=
=
`
{
t;2!;-2 t-
dt
;2!;
}
t
;3@;
'
t-4
t+C
'
=
(x+1)
x+1-4
x+1+C
;3@;
'Ä
'Ä
이때, f '(x)=
이므로 f '(x)=0에서 x=1
x-1
x+1
'Ä
x
(-1) y
`f '(x)
``f(x)
1
0
극소
y
+
↗
-
↘
따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극솟값을 갖고, 극솟값이 -
이므
8
2
'
3
로 f(1)=
-4
2+C=-
4
2
'
3
8
2
'
3
-
8
2
'
3
+C=-
∴ C=0
'
8
2
'
3
따라서 f(x)=
(x+1)
x+1-4
x+1이므로
;3@;
'Ä
'Ä
`f(3)=
-8=-
:Á3¤:
;3*;
①
0956
|전략| xÛ`-2x+3=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
xÛ`-2x+3=t로 놓으면 2(x-1)=
이므로
`f(x)=
(x-1)exÛ`-2x+3
dx
`
=;2!;
`et dt
:
;2!;
=
et+C=
exÛ`-2x+3+C
;2!;
dt
dx
:
eÜ`
2 }
eÜ`
2
eÜ`
2
+C=
∴ `C=0
함수 y=f(x)의 그래프가 점
{
0,
을 지나므로 f(0)=
에서
eÜ`
2
따라서 f(x)=
exÛ`-2x+3이므로 f(1)=
;2!;
eÛ`
2
⑤
0957
ex+3=t로 놓으면 ex=
이므로
dt
dx
`f(x)=
`
ex
ex+3
"Ã
t+C=2
:
=2
'
dx
=
`
1
t
'
:
ex+3+C
"Ã
:
dt=
`t-
;2!; dt
∴ f(ln 13)-f(ln 6) =(2
eln 13+3+C)-(2
"Ã
eln 6+3+C)
"Ã
=(8+C)-(6+C)=2
2
다른 풀이
ex+3=t로 놓으면 ex+3=tÛ`에서 ex=2t
이므로
dt
dx
'Ä
ex
ex+3
2t
t
`f(x)=
`
dx=
`
dt=
`2 dt
"Ã
=2t+C=2
:
:
ex+3+C
'Ä
:
∴ f(ln 13)-f(ln 6)=2
0955
xÛ`+3=t로 놓으면 2x=
이므로
dt
dx
1
t
'
`f(x)=
x
xÛ`+3
"Ã
`
:
;2!;
=
_2t;2!;+C=
dx
=
`
_
dt=
;2!;
;2!;
` t-
;2!; dt
:
t+C=
:
xÛ`+3+C
'
"Ã
이때, f(1)=-1에서 2+C=-1
∴ C=-3
xÛ`+3-3
∴ f(x)=
"Ã
방정식 f(x)=0, 즉
"Ã
위의 식의 양변을 제곱하면
xÛ`+3-3=0에서
xÛ`+3=3
"Ã
xÛ`+3=9, xÛ`=6
∴ x=Ñ
6
'
따라서 구하는 모든 실수 x의 값의 곱은 -6이다.
138 | IV . 적분법
0958
ex+2=t로 놓으면 ex=
이므로
dt
dx
… ❶
… ❷
`f(x)=
3ex
'Ä
`
ex+2 dx
=
'
`3
t dt=3
`t;2!; dt
:
=3_
;3@;
t;2#;+C=2t
:
t+C=2(ex+2)
'
:
ex+2+C
'Ä
이때, f(0)=6
∴ f(x)=2(ex+2)
'
3에서 6
'
ex+2
'Ä
3+C=6
3
∴ C=0
'
한편, f '(x)>0이므로 함수 f(x)는 증가한다.
따라서 0ÉxÉln 7에서 함수 f(x)는 x=ln 7일 때 최대이므로 구하
… ❸
-6
는 최댓값은
`f(ln 7)=2(eln 7+2)
eln 7+2=2_9_3=54
"Ã
④
정답과 해설 곡선 y=f(x) 위의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기가
이므
ln xÝ`
x
0963
0959
|전략| ln x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
ln x=t로 놓으면
=
이므로
dt
dx
;[!;
F(x)=
4(ln x)Ü`
x
`
dx
=
` 4tÜ`dt
:
:
=tÝ`+C=(ln x)Ý`+C
이때, F(e)=2에서 1+C=2
∴ C=1
따라서 F(x)=(ln x)Ý`+1이므로
F(eÛ`)=2Ý`+1=17
0960
로 f '(x)=
ln xÝ`
x
∴ f(x)=
ln xÝ`
dx
`
x
=
``
4 ln|x|
x
dx
:
ln |x|=t로 놓으면
:
=
dt
dx
;[!;
이므로
4 ln|x|
x
`
dx
=
`4t dt=2tÛ`+C
:
=2(ln|x|)Û`+C
:
2+C=0
∴ C=-2
따라서 f(x)=2(ln|x|)Û`-2이므로
f(eÛ`)=2_2Û`-2=6
0961
xf '(x)=ln x에서 f '(x)=
이므로
ln x
x
`f(x)=
`
ln x
x
dx
:
ln x=t로 놓으면
=
;[!;
dt
dx
이므로
:
이때, f(1)=
:
;2!;
에서 C=
;2!;
따라서 f(x)=
(ln x)Û`+
이므로
;2!;
;2!;
f(e)=
+
;2!;
;2!;
=1
이때, 이 곡선이 점 (e, 0)을 지나므로 f(e)=0에서
0962
|전략| sin x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
lim
`
h` Ö 0
`f(x+h)-f(x)
h
=f '(x)이므로 `f '(x)=cosÜ` x
`f(x)=
cosÜ` x dx
`
=
` cosÛ` x cos x dx
=
` (1-sinÛ` x)cos x dx
:
:
:
sin x=t로 놓으면 cos x=
이므로
dt
dx
(1-sinÛ`
`
x)cos
x
dx
=
` (1-tÛ`)dt=t-
tÜ`+C
;3!;
:
=sin x-
:
sinÜ` x+C
;3!;
이때, f(0)=2에서 C=2
따라서 f(x)=sin x-
sinÜ` x+2이므로
;3!;
②
p
2 }
`f
{
=1-
+2=
;3!;
;3*;
⑤
tan x=t로 놓으면 secÛ` x=
이므로
dt
dx
:
`f(x)=
tan x secÛ` x
dx
`
=
`t dt
:
;2!;
=
tÛ`+C=
tanÛ` x+C
;2!;
이때, f(0)=5에서 C=5
∴ f(x)=
tanÛ` x+5
;2!;
`f(x)=
;2!; tanÛ` x+5
0964
③
`f(x)=
`
sin x
2+cos x
dx
:
2+cos x=t로 놓으면 -sin x=
이므로
dt
dx
sin x
2+cos x
`
dx
=
-
`
{
1
t }
dt=-ln|t|+C
:
=-ln(2+cos x)+C`(∵ 2+cos x>0)
:
이때, f(0)=0에서 -ln 3+C=0
∴ C=ln 3
따라서 f(x)=-ln (2+cos x)+ln 3이므로
0965
:
`f(x)=
:
:
:
|전략|
`sin ax dx=-
;a!; cos ax+C임을 이용한다.
1
sin 2x cosÛ` x dx
`
+
` 2 sinÜ` x cos x dx
=
` (sin 2x cosÛ` x+sin 2x sinÛ` x)dx
:
=
` sin 2x(cosÛ` x+sinÛ` x)dx
=
` sin 2x dx=-
cos 2x+C
:
이때, f(p)=-
;2!;
에서 -
+C=-
∴ `C=0
;2!;
;2!;
;2!;
8 여러 가지 적분법 | 139
ln x
x
`
dx
=
` t dt=
tÛ`+C=
(ln x)Û`+C
;2!;
;2!;
-
`f
{
p
2 }
=-ln 2+ln 3=ln
;2#;
①
8ㅡ여러가지 적분법 0966
p
4 }
`f
{
0967
:
:
:
p
6
따라서 f(x)=-
cos 2x이므로
;2!;
p
3 }
`f
{
=-
_
-
;2!;
{
=
;4!;
;2!;}
④
(xÛ`+1)'=2x이므로
`f(x)=
`
dx
6x
xÛ`+1`
(xÛ`+1)'
xÛ`+1`
`
:
=3
이때, f(0)=2에서 C=2
:
3
`
=
2x
xÛ`+1`
dx
:
dx=3 ln(xÛ`+1)+C (∵ xÛ`+1>0)
`f(x)=
`(5-2 sinÛ` x)dx
`{(1-2 sinÛ` x)+4} dx
따라서 f(x)=3 ln(xÛ`+1)+2이므로
`f(1)=3 ln 2+2
3 ln 2+2
=
:
;2!;
=
`(cos 2x+4) dx=
sin 2x+4x+C
이때, f(p)=3p이므로 4p+C=3p
∴ C=-p
따라서 f(x)=
sin 2x+4x-p이므로
;2!;
=
+p-p=
;2!;
;2!;
∴ a=
;2!;
④
0969
`
dx
`f(x)=
2e2x
e2x+1
이때, (e2x+1)'=2e2x이므로
2e2x
e2x+1
`f(x)=
dx
=
`
:
`
(e2x+1)'
e2x+1
dx
:
=ln(e2x+1)+C (∵ e2x+1>0)
:
`f(x)=
`(sin x-cos 2x)dx=-cos x-
sin 2x+C … ❶
;2!;
=(ln 10+C)-(ln 5+C)
∴ f(ln 3)-f(ln 2)={ln(e2 ln 3+1)+C}-{ln(e2 ln 2+1)+C}
`f '(x)=sin x-cos 2x=sin x-(1-2 sinÛ` x)
=2 sinÛ` x+sin x-1=(2 sin x-1)(sin x+1)
=ln
=ln 2
:Á5¼:
ln 2
`f '(x)=0에서 sin x=
또는 sin x=-1
;2!;
0970
∴`x=
또는 x=
p (∵`00)
`
=
dx
`f '(x)
`f(x)
:
∴`f(x)=ex+C
이때, f(0)=eÛ`에서 eC=eÛ`
따라서 `f(x)=ex+2이므로 f(1)=eÜ`
:
∴ `C=2
eÜ`
;6%;
y
-
↘
p
6
0
극소
p
6
x
(0)
`f '(x)
``f(x)
므로
따라서 함수 f(x)는 x=
에서 극솟값을 갖고, 극솟값이 -
3
3
'
4
이
p
6 }
p
=-cos
6
-
;2!;
p
sin
3
`f
{
+C=-
3
3
'
4
3
- '
2
3
- '
4
+C=-
∴ `C=0
… ❸
따라서 f(x)=-cos x-
sin 2x이고, f(x)는 x=
p에서 극댓
;6%;
3
3
'
4
;2!;
0971
조건 ㈎에서 두 식을 변끼리 더하면
`f '(x)+g'(x)=2{`f(x)+g(x)},
`f '(x)+g'(x)
f(x)+g(x)
=2
즉,
`f '(x)+g'(x)
f(x)+g(x)
`
dx
=
`2 dx이므로
:
ln|`f(x)+g(x)|=2x+C
이때, 조건 ㈏에서 f(0)=1, g(0)=3이므로
ln|1+3|=C
∴ C=ln 4
:
ln|`f(x)+g(x)|=2x+ln 4에서
`f(x)+g(x)=e2x+ln 4=e2x_eln 4=4e2x
∴ f(ln 2)+g(ln 2)=4e2 ln 2=4_4=16
16
0972
|전략|
px+q
(x+a)(x+b)
=
A
x+a
+
B
x+b
꼴로 변형한 후 부정적분을 구한다.
4x
xÛ`-2x-3
=
4x
(x+1)(x-3)
=
A
x+1
+
B
x-3
로 놓으면
A
x+1
+
B
x-3
=
(A+B)x-3A+B
(x+1)(x-3)
이므로
… ❹
3
3
'
4
비율
20 %
30 %
30 %
20 %
값을 가지므로
`f
{;6%;
p
3
= '
2
}
-
_
- '
;2!;
{
3
2 }
=
3
3
'
4
채점 기준
❶ `f '(x)의 부정적분을 구할 수 있다.
❷ `f '(x)=0인 x의 값을 구할 수 있다.
❸ 적분상수 C를 구할 수 있다.
❹ `f(x)의 극댓값을 구할 수 있다.
|전략|
``
dx=ln|f(x)|+C임을 이용한다.
0968
`f '(x)
`f(x)
:
140 | IV . 적분법
정답과 해설 4x=(A+B)x-3A+B
위의 등식은 x에 대한 항등식이므로
A+B=4, -3A+B=0
위의 두 식을 연립하여 풀면 A=1, B=3
∴
4x
xÛ`-2x-3
`
dx
=
1
x+1
`
{
+
3
dx
x-3 }
:
:
=ln|x+1|+3 ln|x-3|+C
따라서 a=1, b=3이므로 ab=3
③
0973
`f(x)=
1
4xÛ`-1
`
dx
=
`
1
(2x-1)(2x+1)
dx
:
=
:
;4!;
1
:
1
` ;2!; {
2x-1 -
2x+1 }
=
dx
`
;4!;
{
2
2x-1
-
2
dx
2x+1 }
=
(ln|2x-1|-ln|2x+1|)+C=
:
ln
|
;4!;
2x-1
2x+1 |
+C
이때, f(0)=0에서 C=0
따라서 f(x)=xex이므로 f(2)=2eÛ`
2eÛ`
0976
u(x)=ln x, v'(x)=ax로 놓으면
u'(x)=
, v(x)=
xÛ`이므로
;[!;
;2A;
`f(x)=
ax ln x dx
ln
x
=
xÛ
_;2A;
`-
_
`
;[!;
;2A;
xÛ` dx
=
xÛ` ln x-
`x dx=
;2A;
:
xÛ` ln x-
;2A;
xÛ`+C
;4A;
`
:
;2A;
:
이때, f '(x)=ax ln x이고 f '(eÛ`)=2eÛ`이므로
2aeÛ`=2eÛ`, 2eÛ`(a-1)=0
∴ a=1
또, f
{;e!;}
=-
이므로
3
4eÛ`
-
-
1
2eÛ`
1
4eÛ`
3
4eÛ`
+C=-
(∵ a=1)
∴ C=0
따라서 f(x)=
xÛ` ln x-
xÛ`이므로
;2!;
;4!;
이때, f(0)=0에서 C=0
따라서 f(x)=
ln
|
;4!;
2x-1
2x+1 |
이므로
`f(1)=
ln
=-
;4!;
;3!;
ln 3
4
0974
y=
6-x
2+x
6-2y
y+1
6-2x
x+1
x(y+1)=6-2y
∴ x=
x와 y를 서로 바꾸면 y=
따라서 g(x)=
6-2x
x+1
이므로
❶ g(x)를 구할 수 있다.
❷
`g(x)dx를 구할 수 있다.
채점 기준
:
0975
로 놓으면 2y+xy=6-x
∴ f '(x)=x sin x
-
ln 3
4
f(e)=
eÛ`-
eÛ`=
;2!;
;4!;
eÛ`
;4!;
②
0977
{e f(x)}'=x sin x_ef(x)에서 e f(x)_f '(x)=x sin x_e f(x)
f(x)=
`x sin x dx에서 u(x)=x, v'(x)=sin x로 놓으면
u'(x)=1, v(x)=-cos x이므로
f(x)=
x sin x dx
x_(
cos x)
`(-cos x)dx
=
-
-
:
… ❶
=-x cos x+sin x+C
:
`
:
`g(x)dx
=
`
6-2x
x+1
dx=
-2+
`
{
8
x+1 }
dx
:
=-2x+8 ln |x+1|+C
:
:
이때, f
{
p
2 }
=1에서 1+C=1
∴ C=0
… ❷
∴ f(x)=-x cos x+sin x
-2x+8 ln |x+1|+C
∴ lim
`
x` Ö 0
`f(x)+f '(x)
x
=lim
`
x` Ö 0
(-x cos x+sin x)+x sin x
x
비율
40 %
60 %
=-lim
x` Ö 0
`cos x+lim
`
x` Ö 0
+lim
x` Ö 0
`sin x
sin x
x
=-1+1+0=0
0
|전략|
`f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-
`f '(x)g(x)dx임을 이용한다.
:
u(x)=x+1, v'(x)=ex으로 놓으면
u'(x)=1, v(x)=ex이므로
:
`f(x)=
`(x+1)exdx
(x+1)ex
`exdx
=
:
=(x+1)ex-ex+C=xex+C
-
:
0978
함수 y=f(x)의 그래프 위의 점 (x, y)에서의 접선의 기울기가 xe4x
이므로 f '(x)=xe4x
`f(x)=
`xe4xdx에서 u(x)=x, v'(x)=e4x으로 놓으면
:
u'(x)=1, v(x)=
e4x이므로
;4!;
`f(x)=x_
e4x-
e4xdx=
xe4x-
e4x+C
;4!;
;1Á6;
;4!;
`
;4!;
:
8 여러 가지 적분법 | 141
8ㅡ여러가지 적분법 이때, f
{;4!;}
=1에서
e-
;1Á6;
;1Á6;
e+C=1
∴ `C=1
따라서 f(x)=
xÛ`+
x sin 2x+
cos 2x+
이므로
;4!;
;8!;
;8!;
∴ f(x)=
xe4x-
e4x+1
;4!;
;1Á6;
`f '(x)=0에서 x=0`(∵`e4x>0)
따라서 함수 f(x)는 x=0에서
극소이면서 최소이므로 f(x)의
최솟값은
`f(0)=-
+1=
;1!6%;
;1Á6;
x
y
`f '(x) -
0
0
``f(x)
↘
극소
y
+
↗
⑤
0979
`f(x)+xf '(x)={xf(x)}'이므로 조건 ㈏에서
xf(x)=
`{`f(x)+xf '(x)} dx
`2 ln x dx
=
:
u(x)=ln x, v'(x)=2로 놓으면
u'(x)=
, v(x)=2x이므로
:
;[!;
xf(x)=
`2 ln x dx
ln
x_2x-
=
`
;[!;
_2x dx
:
=2x ln x-2x+C
:
조건 ㈎에서 f(e)=1이므로
ef(e)=2e-2e+C
∴ C=e
따라서 xf(x)=2x ln x-2x+e이므로 x=eÛ`을 대입하면
eÛ`f(eÛ`)=4eÛ`-2eÛ`+e=2eÛ`+e에서
`f(eÛ`)=2+
;e!;
0980
lim
`
h` Ö 0
`f(x+h)-f(x)
h
=f '(x)이므로
`f '(x)=
x(1+cos 2x)
2
∴ f(x)=
x(1+cos 2x)
2
`
dx
=
`
{;2!;
x+
x cos 2x
dx
}
;2!;
∴ f(x)=
xÛ`+
:
;4!;
:
`x cos 2x dx
;2!;
:
:
u'(x)=1, v(x)=
sin 2x이므로
;2!;
`x cos 2x dx에서 u(x)=x, v'(x)=cos 2x로 놓으면
x cos 2x dx
x_
sin 2x
=
;2!;
-
`
;2!;
sin 2x dx
`
:
=
x sin 2x+
;2!;
;4!;
:
cos 2x+CÁ
yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
`f(x)=
xÛ`+
x sin 2x+
cos 2x+CÁ
;4!;
}
{;2!;
;2!;
CÁ=C
;2!;
=
xÛ`+
x sin 2x+
cos 2x+C
;4!;
;4!;
;4!;
이때, f(0)=
에서
+C=
∴ C=
;4!;
;8!;
;8!;
;8!;
;4!;
142 | IV . 적분법
p
2 }
=
`f
{
;4!;{
`-
+
=
;8!;
;8!;
pÛ`
16
;4!;
p
2 }
0981
|전략| 부분적분법을 한 번 적용하여 적분이 되지 않는 경우에는 부분적분법을
한 번 더 적용한다.
곡선 y=f(x) 위의 점 (x, y)에서의 접선의 기울기가 ex cos x이므로
`f '(x)=ex cos x
f(x)=
`ex cos x dx에서 u(x)=cos x, v'(x)=ex으로 놓으면
:
:
u'(x)=-sin x, v(x)=ex이므로
`f(x)=
ex
cos
`
x
dx
ex
cos
x
=
+
`ex sin x dx
yy ㉠
`ex sin x dx에서 부분적분법을 한 번 더 적용하면
:
:
ex
sin
`
x
dx
ex
sin
x
=
-
`ex cos x dx
:
=ex sin x-f(x)+CÁ
:
㉡을 ㉠에 대입하면
`f(x)=ex cos x+ex sin x-f(x)+CÁ
2f(x)=ex (cos x+sin x)+CÁ
∴ f(x)=
ex(cos x+sin x)+C
;2!;
CÁ=C
;2!;
④
이때, y절편이
이므로 f(0)=
에서
;2!;
;2!;
(1+0)+C=
∴ C=0
;2!;
;2!;
따라서 f(x)=
ex(cos x+sin x)이므로 f(p)=-
ep ②
;2!;
;2!;
0982
`f(x)=
`(4-xÛ`)ex dx에서 u(x)=4-xÛ`, v'(x)=ex으로 놓으면
u'(x)=-2x, v(x)=ex이므로
:
yy ㉠
`f(x)=
`(4-xÛ`)exdx
(4-xÛ`)ex
`(-2x)exdx
=
:
=(4-xÛ`)ex+2
`xexdx
-
:
:
`xexdx에서 부분적분법을 한 번 더 적용하면
:
`
xexdx=xex
`exdx=xex-ex+CÁ
-
:
:
㉡을 ㉠에 대입하면
`f(x) =(4-xÛ`)ex+2(xex-ex+CÁ)
=ex(-xÛ`+2x+2)+C
2 CÁ=C
이때, f(0)=2에서 2+C=2
∴`f(x)=ex(-xÛ`+2x+2)
방정식 f(x)=0에서 xÛ`-2x-2=0 (∵`ex>0)
∴ `C=0
따라서 구하는 두 실근의 곱은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의
하여 -2이다.
-2
①
yy ㉡
yy ㉠
yy ㉡
정답과 해설2
0983
lim
`
h` Ö 0
`f(x+2h)-f(x-2h)
h
=lim
`
h` Ö 0
`f(x+2h)-f(x)-{`f(x-2h)-f(x)}
h
=lim
`
h` Ö 0
`f(x+2h)-f(x)
2h
_2+lim
`
h` Ö 0
`f(x-2h)-f(x)
-2h
_2
=2f '(x)+2f '(x)=4f '(x)
즉, 4f '(x)=4(ln x)Û`이므로 f '(x)=(ln x)Û`
`f(x)=
`(ln x)Û` dx에서 u(x)=(ln x)Û`, v'(x)=1로 놓으면
:
2 ln x
u'(x)=
x
, v(x)=x이므로
`f(x)=
`(ln x)Û` dx
(ln x)Û`
x
_
-
`
2 ln x
x
_x dx
:
=x(ln x)Û`-2
`ln x dx
:
=
:
xf '(x)=3xÛ` ln x+xÛ`
∴ f '(x)=3x ln x+x
∴ f(x)=
`(3x ln x+x)dx
:
=3
`x ln x dx+
xÛ`
;2!;
`x ln x dx에서
:
u(x)=ln x, v'(x)=x로 놓으면
u'(x)=
;[!;, v(x)=
;2!;
xÛ``
:
{;2!;
=3
xÛ` ln x-
`
;2!;
x dx
+
}
xÛ`
;2!;
∴
`x ln x dx
:
xÛ` ln x-3_
=
;2#;
xÛ`+
xÛ`+C
;2!;
;4!;
:
=
;2!;
xÛ` ln x-
x dx
`
;2!;
:
=
xÛ` ln x-
xÛ`+C
;4!;
;2#;
이때, f(e)=
eÛ`+
에서
;4%;
;4#;
eÛ`-
eÛ`+C=
;2#;
;4!;
eÛ`+
;4#;
;4%;
∴ C=
;4#;
yy ㉠
따라서 f(x)=
xÛ` ln x-
xÛ`+
이므로
;2#;
;4!;
;4#;
`ln x dx에서 부분적분법을 한 번 더 적용하면
`f(1)=-
+
=
;2!;
;4#;
;4!;
①
ln
x dx
=
`
x ln x
-
`dx=x ln x-x+CÁ
yy ㉡
:
:
㉡을 ㉠에 대입하면
:
`f(x)=x(ln x)Û`-2(x ln x-x+CÁ)
=x{(ln x)Û`-2 ln x+2}+C
-2 CÁ=C
0986
g(x)=ex f(x)의 양변을 x에 대하여 미분하면
g'(x) =ex f(x)+ex f '(x)=ex{`f(x)+f '(x)}
=ex_xex=xe2x
이때, f(eÜ`)=5eÜ`+1에서 5eÜ`+C=5eÜ`+1
∴ C=1
g(x)=
xe2xdx에서 u(x)=x, v'(x)=e2x으로 놓으면
따라서 f(x)=x{(ln x)Û`-2 ln x+2}+1이므로
:
u'(x)=1, v(x)=
e2x이므로
;2!;
⑤
8ㅡ
여
러
가
지
적
분
법
g(x)=
;2!;
xe2x-
`
;2!;
e2xdx=
xe2x-
e2x+C
;2!;
;4!;
:
이때, g(1)=
;4!;
eÛ`에서
eÛ`-
eÛ`+C=
eÛ`
∴ C=0
;2!;
;4!;
;4!;
yy ㉠
따라서 g(x)=
xe2x-
e2x이므로 g(0)=-
;2!;
;4!;
;4!;
②
f
{;e!;}
=
;e%;
+1
0984
|전략| 주어진 식의 양변을 미분하여 f '(x)를 구한 다음 부분적분법을 이용한다.
F(x)=xf(x)-xÛ`ex에서
∴ f(1)=2e
F(1)=f(1)-e=e
F(x)=xf(x)-xÛ`ex의 양변을 x에 대하여 미분하면
`f(x)=f(x)+xf '(x)-(2xex+xÛ`ex)
xf '(x)=2xex+xÛ`ex
∴ f '(x)=2ex+xex`
∴ f(x)=
`(2ex+xex)dx
`xexdx에서 u(x)=x, v'(x)=ex으로 놓으면
:
=2ex+
`xexdx
:
:
=(x+1)ex+C
=2ex+xex-
`exdx
∴
`xexdx=xex-
`exdx
:
u'(x)=1, v(x)=ex`
:
:
이때, ㉠에서 f(1)=2e이므로 2e+C=2e
따라서 f(x)=(x+1)ex이므로 f(0)=1
∴ C=0
①
0985
`f(x)dx=xf(x)-xÜ` ln x의 양변을 x에 대하여 미분하면
:
`f(x)=f(x)+xf '(x)-
3xÛ` ln x+xÜ`_
{
;[!;}
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
0987
유형 01 함수 y=xn (n은 실수)의 부정적분
|전략|
`xndx=
xn+1+C(n+-1)임을 이용한다.
1
n+1
x
x-1
-
x+1)(
'
x-1
'
{
'
(
'
dx
1
x-1 }
'
x-1)
dx
=
`(
x+1)dx
'
:
=
`(x;2!;+1)dx=
x
x+x+C
;3@;
'
:
`f(x)=
=
:
:
:
8 여러 가지 적분법 | 143
이때, `f(1)=
에서
+1+C=
∴ C=-1
;3@;
;3@;
;3@;
따라서 f(x)=
x
x+x-1이므로
;3@;
'
f(9)=18+9-1=26
0991
유형 06 무리함수의 치환적분법
|전략| 1-xÛ`=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
④
1-xÛ`=t로 놓으면 -2x=
이므로
dt
dx
이때, 곡선 y=f(x)가 점 (0, 2)를 지나므로 `f(0)=2에서
따라서 모든 실수 x의 값의 합은 0이다.
③
0988
유형 02 지수함수의 부정적분 - 밑이 e인 경우
|전략|
`exdx=ex+C임을 이용한다.
:
`f(x)=
`
(ex-1)(e2x+ex+1)
e2x+ex+1
dx
=
` (ex-1)dx=ex-x+C
:
:
∴ C=1
1+C=2
∴ f(x)=ex-x+1
0989
유형 04 삼각함수의 부정적분
`
:
=
`f '(x)=
(x>0)
`` cos x
[
sin x+1 (x<0)
,
:
이므로
`f(x)=
`````sin x+CÁ
[
-cos x+x+Cª (x<0)
(x>0)
|전략|
sin x dx
-cos x+CÁ
`cos x dx=sin x+Cª임을 이용한다.
f(-p)=1에서 1-p+Cª=1
∴ Cª=p
함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이면 x=0에서 연속이므로
분법을 이용한다.
`f(0)= lim
x` Ö 0-
∴ CÁ=p-1
`(-cos x+x+p)= lim
x` Ö 0+
`(sin x+CÁ)
따라서 f(x)=
`` sin x+p-1
[
-cos x+x+p (x<0)
(x¾0)
이므로
p
2 }
`f
{
=1+p-1=p
x
1-xÛ`
dx
=-;2!;
`
1
t
'
dt
:
`t-
;2!;dt=-t;2!;+C
`f(x)=
`
"Ã
;2!;
:
=-
=-
"Ã
:
1-xÛ`+C
이때, f(0)=0에서 -1+C=0
∴ C=1
∴ f(x)=-
1-xÛ`+1
"Ã
방정식 f(x)=1, 즉 -
1-xÛ`+1=1에서
"Ã
1-xÛ`=0, (1+x)(1-x)=0
∴ x=-1 또는 x=1
0992
③
유형 07 지수함수의 치환적분법
|전략| xÛ`-1=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
xÛ`-1=t로 놓으면 2x=
이므로
dt
dx
`f(x)=
2xexÛ`-1
dx
`
=
`
etdt
:
:
=et+C=exÛ`-1+C
∴ f(
2)-f(1) =(e+C)-(1+C)=e-1
②
유형 08 로그함수의 치환적분법
|전략| 주어진 식의 양변을 미분하여 f '(x)를 구한 다음 ln x=t로 놓고 치환적
F(x)=xf(x)-4x ln x의 양변을 x에 대하여 미분하면
`f(x)=f(x)+xf '(x)-4 ln x-4
xf '(x)=4 ln x+4
∴ f '(x)=
4 ln x+4
x
`f(x)=
`
dx에서 ln x=t로 놓으면
=
이므로
4 ln x+4
x
dt
dx
;[!;
⑤
`f(x)=
4 ln x+4
dx
x
`
=
`(4t+4)dt
:
:
=2tÛ`+4t+C=2(ln x)Û`+4 ln x+C
:
이때, f(e)=8에서 2+4+C=8
∴ C=2
∴ f(x)=2(ln x)Û`+4 ln x+2
한편, ln x=t로 놓고 `g(t)=2tÛ`+4t+2=2(t+1)Û`이라 하면 t는
모든 실수 (∵ x>0)이므로 구하는 최솟값은 t=-1일 때 0이다.
①
'
0993
0994
유형 09 삼각함수의 치환적분법
|전략| 1+sin x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
④
1+sin x=t로 놓으면 cos x=
이므로
dt
dx
0990
유형 05 다항함수의 치환적분법
|전략| xÜ`+2=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
xÜ`+2=t로 놓으면 3xÛ`=
이므로
dt
dx
`3xÛ`(xÜ`+2)Ü`dx=
`tÜ` dt=
;4!;tÝ`+C
:
=
:
(xÜ`+2)Ý`+C
;4!;
따라서 a=4, b=4이므로 ab=16
144 | IV . 적분법
정답과 해설 `f(x)=
(1+sin x)Û`cos x dx
` tÛ`dt=
tÜ`+C
;3!;
`
:
;3!;
=
(1+sin x)Ü`+C
이때, f(0)=
이므로
+C=
∴ C=
;3@;
;3!;
;3!;
=
:
;3@;
;3!;
따라서 f(x)=
(1+sin x)Ü`+
이므로
;3!;
p
2 }
`f
{
;3!;
=
(1+1)Ü`+
=3
∴ a=3
;3!;
0995
유형 10 삼각함수의 치환적분법 - sin ax, cos ax 꼴
|전략|
`sin ax dx=-
cos ax+C임을 이용한다.
;a!;
:
`f(x+h)-f(x)
h
lim
`
h` Ö 0
`f '(x)=sin 2x-cos x
=f '(x)이므로
유형 08 로그함수의 치환적분법 + 13 부분적분법
|전략| ln x=t로 놓고 치환적분법을 이용한 다음 부분적분법을 이용한다.
곡선 y=f(x) 위의 점 (x, y)에서의 접선의 기울기가
이므로
ln x
xÛ`
0997
`f '(x)=
ln x
xÛ`
ln x
xÛ`
⑤
f(x)=
`
dx에서 ln x=t로 놓으면 x=et이고
=
;[!;
dt
dx
이므로
:
`f(x)=
ln x
xÛ`
`
dx
=
`
t
et dt=
`te-tdt
:
:
=t_(-e-t)-
:
`(-e-t)dt
u(t)=t, v'(t)=e-t으로 놓으면
u'(t)=1, v(t)=-e-t`
:
=-te-t-e-t+C
=-e-ln x ln x-e-ln x +C
=-
ln x
x
-
;[!;
+C
이때, x절편이 1이므로 f(1)=0에서
-1+C=0
∴ C=1
따라서 f(x)=-
+1이므로
ln x
x
-
;[!;
`f
{;e!;}
=e-e+1=1
③
∴ x=
또는 x=
또는 x=
p (∵ 00, a+1)임을 이용한다.
ax
ln a
:
`f(x)=
8x-1
2x-1
`
dx
=
(2x-1)(4x+2x+1)
2x-1
`
dx
:
:
이때, f(0)=
에서
1
ln 2
:
4x
ln 4
+
2x
ln 2
1
ln 4
+
1
ln 2
1
ln 2
+C=
∴ C=-
1
ln 4
③
따라서 f(x)=
4x
ln 4
+
2x
ln 2
+x-
이므로
1
ln 4
… ❷
따라서 함수 f(x)는 x=
에서 극댓값을 갖고, 극댓값이
이므로
=
` (4x+2x+1)dx=
+x+C
… ❶
0996
유형 11 분수함수의 부정적분 -
꼴인 경우
`f '(x)
f(x)
|전략|
`
dx=ln|f(x)|+C임을 이용한다.
`f '(x)
`f(x)
:
(xÛ`+3x+1)'=2x+3이므로
`f(x)=
`
2x+3
xÛ`+3x+1
=ln|xÛ`+3x+1|+C
dx
:
=
:
`
(xÛ`+3x+1)'
xÛ`+3x+1
dx
∴ f(1)-f(-1) =(ln 5+C)-C=ln 5
④
+
+
2
ln 2
4
ln 4
+1-
+1-
1
ln 4
1
ln 4
+1
`f(1)=
4
ln 4
4
ln 4
7
ln 4
=
=
채점 기준
❶ `f '(x)=
의 부정적분을 구할 수 있다.
8x-1
2x-1
❷ `f(x)를 구할 수 있다.
❸ `f(1)의 값을 구할 수 있다.
… ❸
7
ln 4
+1
배점
2점
2점
2점
8 여러 가지 적분법 | 145
8ㅡ여러가지 적분법 0999
유형 15 부분적분법의 응용
|전략| 주어진 식의 양변을 미분하여 f '(x)를 구한 다음 부분적분법을 이용한다.
F(x)=xf(x)+3xÛ`e2x의 양변을 x에 대하여 미분하면
`f(x)=f(x)+xf '(x)+6xe2x+6xÛ`e2x`
xf '(x)=-6xe2x-6xÛ`e2x
∴ f '(x)=-6e2x-6xe2x` … ❶
∴ f(x)=-6
`(e2x+xe2x)dx
:
=-3e2x-6
`xe2xdx
yy ㉠
`xe2xdx에서 u(x)=x, v'(x)=e2x으로 놓으면
:
⑵ `f(x)=ex이므로 f(x)g(x)=esin x+C에서
exg(x)=esin x+C
g(0)=2에서 2=1+C
∴ `C=1
⑶ exg(x)=esin x+1이므로 g(x)=
esin x+1
ex
⑴ f(x)g(x)=e sin x+C ⑵ 1 ⑶ g(x)=
채점 기준
⑴ {`f(x)g(x)}'의 부정적분을 구할 수 있다.
⑵ 적분상수 C를 구할 수 있다.
⑶ `g(x)를 구할 수 있다.
esin x+1
ex
배점
5점
4점
3점
:
u'(x)=1, v(x)=
e2x이므로
;2!;
`
:
xe2xdx=
xe2x
;2!;
e2xdx
`
;2!;
-
=
;2!;
xe2x-
e2x+CÁ
:
;4!;
㉡을 ㉠에 대입하면
yy ㉡
`f(x)=-3e2x-6
xe2x-
e2x+CÁ
{;2!;
;4!;
}
-6CÁ=C
=-3e2x-3xe2x+
e2x+C
;2#;
=-
e2x-3xe2x+C
;2#;
이때, f(0)=-
에서 -
+C=-
∴ `C=0
;2#;
;2#;
;2#;
따라서` f(x)=-
e2x-3xe2x이므로
;2#;
`f(1)=-
eÛ`-3eÛ`=-
eÛ`
∴ a=-
;2#;
;2(;
eÛ`
;2(;
채점 기준
❶ `f '(x)를 구할 수 있다.
❷ `f '(x)의 부정적분을 구할 수 있다.
❸ `f(x)를 구할 수 있다.
❹ a의 값을 구할 수 있다.
1000
|전략| sin x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
⑴ `f '(x)g(x)+f(x)g'(x)={`f(x)g(x)}'이므로
`f(x)g(x)=
`{`f '(x)g(x)+f(x)g'(x)}dx
=
h(x)dx
`e sin x cos x dx
=
:
:
dt
sin x=t로 놓으면 cos x=
dx
이므로
f(x)g(x)=
`etdt=et+C=esin x+C
:
`
:
146 | IV . 적분법
… ❷
… ❸
… ❹
배점
2점
2점
2점
1점
|전략| 치환을 이용하여 주어진 식을 간단히 한 뒤 몫의 미분법의 형태가 되도록
창의·융합 교과서 속 심화문제
1001
식을 변형한다.
xÛ`=t로 놓으면 2x=
이므로
dt
dx
`f(x)=
:
;2!;
`
`
xÜ`exÛ`
(xÛ`+1)Û`
tet
(t+1)Û`
et
t+1
exÛ`
2(xÛ`+1)
:
_
+C
+C
;2!;
=
=
=
_2x dx
xÛ`exÛ`
(xÛ`+1)Û`
et(t+1)-et
(t+1)Û`
dt
dx
=;2!;
`
dt
=;2!;
`
:
:
몫의 미분법에 의하여
'=
et
t+1 }
et(t+1)-et
(t+1)Û`
{
-
eÛ`
;2(;
이때, f(0)=
에서
+C=
∴ C=0
;2!;
;2!;
;2!;
∴ f(x)=
exÛ`
2(xÛ`+1)
exÛ`
2(xÛ`+1)
`f(x)=k에서
=k, exÛ`=2k(xÛ`+1)
xÛ`=a라 하면 ea=2k(a+1)(a¾0)
yy ㉠
이때, ㉠을 만족시키는 a가 양수이면 x=Ñ
a로 그 개수가 2가 되므
'
로 방정식 f(x)=k의 서로 다른 실근의 개수가 1이 되려면 a=0이
어야 한다.
1=2k
∴ k=
;2!;
①
1002
|전략| ln x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
x>1>0이므로
`f(x)=
cos(ln xb) dx
`;[A;
=
`
;[A;
cos(b ln x)dx
:
ln x=t로 놓으면
=
;[!;
dt
dx
:
이므로
유형 07 지수함수의 치환적분법 + 09 삼각함수의 치환적분법
따라서 ㉠에 a=0을 대입하면
정답과 해설 이때, g(1)=1이므로 Cª=1
∴ g(x)=-x ln x+
(ln x)Û`+x
;2{;
∴
`
`f(x)+g(x)
xÛ`
dx
(ln x)Û`+x+
(ln x)Û`+
+
;[!;
dx
;[!;]
1
xÜ` ]
dx
`
1
xÛ` [;2{;
1
2x
`
[
1
2x
`
(ln
x)Û`dx
+
`
;[!;
dx+
`x-3dx
`tÛ`dt+ln x-
:
x-2+C
:
;2!;
:
tÜ`+ln x-
1
2xÛ`
+C
:
=
=
=
:
:
:
;2!;
=
=
;6!;
;6!;
`
1
2x (ln x)Û`dx에서
ln x=t로 놓으면
:
dt
dx
이므로
;[!;
=
`
1
2x (ln x)Û`dx=
;2!;
`tÛ`dt
:
:
=
(ln x)Ü`+ln x-
+C
1
2xÛ`
;6!;
(ln x)Ü`+ln x-
+C
1
2xÛ`
`f(x)=
ln
cos(b
x)dx=
`;[A;
`a cos bt dt
:
;bA;
=
sin bt+C=
sin(b ln x)+C
;bA;
:
이때, 조건 ㈎에서 f(1)=2이므로 C=2
∴ f(x)=
sin (b ln x)+2
;bA;
x>1, b>0이므로 -1Ésin(b ln x)É1
a>0, b>0이므로 -
É
;bA;
;bA;
sin(b ln x)É
;bA;
-
+2É
sin(b ln x)+2É
+2
;bA;
;bA;
;bA;
조건 ㈏에서 f(x)의 최댓값이 4이므로
+2=4,
=2
∴ a=2b
;bA;
;bA;
∴ f(x)=2 sin(b ln x)+2
`f(x)=0에서 2 sin (b ln x)+2=0, sin(b ln x)=-1
b ln x>0이고 y=b ln x는 x>1에서 증가하므로 방정식 f(x)=0
을 만족시키는 실근 중 최솟값은 b ln x=
p일 때이다.
;2#;
이때, 조건 ㈐에서 f(x)=0의 실근 중 최솟값이 e
p
2 이므로 b=3
∴ f(x)=2 sin(3 ln x)+2
따라서 방정식 `f(x)=4에서 2 sin(3 ln x)+2=4, 즉
sin(3 ln x)=1이고 이 식을 만족시키는 실근 중 최솟값은
3 ln x=
에서 ln x=
∴ x=e
p
6
p
2
p
6
1004
`f '(x)
`f(x)
`f '(x)
f(x)+e
③
조건 ㈐에서
=2이므로
|전략| 조건 ㈐의 식을
꼴로 변형하여 부정적분을 구한다.
`f '(x)
f(x)+e
`
dx
=
`2 dx
∴ ln|f(x)+e|=2x+CÁ
:
:
이때, 조건 ㈏에서 f(x)+e>0이므로
ln{`f(x)+e}=2x+CÁ, f(x)+e=e2x+CÁ
∴ f(x)=e2x+CÁ-e
1003
|전략| 첫 번째 식의 경우 곱의 미분법의 형태로 변형하고 두 번째 식의 경우 몫
의 미분법의 형태로 변형한다.
x>0이므로
+f '(x)=1+ln xÛ`의 양변에 x를 곱하면
`f(x)
x
`f(x)+xf '(x)=x+2x ln x, {xf(x)}'=(xÛ` ln x)'
∴ xf(x)=
`(xÛ` ln x)'dx=xÛ` ln x+CÁ
:
이때, f(1)=1이므로 CÁ=1
∴ f(x)=x ln x+
;[!;
x>0이므로 g(x)
x
xg'(x)-g(x)
xÛ`
∴ g(x)
x
=
`{
:
=-
-
+
;[!;
ln x
x }
dx
`
ln x
x
dx
`;[!; dx+
:
:
`
:
;[!;
`
ln x
x dx에서 ln x=t로 놓으면
dt
dx
ln x
x dx=
`t dt=
이므로
tÛ`+C
;2!;
=
:
=
:
;2!;
(ln x)Û`+C
-g'(x)=1-ln x의 양변을 -x로 나누면
=-
+
;[!;
ln x
,
[
x
g(x)
x ]
'=-
+
;[!;
ln x
x
∴ g(1)-g(-1)
조건 ㈎에서 f(0)=0이므로
eCÁ-e=0, eCÁ=e
∴ CÁ=1
따라서 f(x)=e2x+1-e이므로
g(x)=
xf(x) dx
=
`x(e2x+1-e)dx
:
:
xe2x+1dx-e
=
`x dx
`
`
:
;2!;
=
;2!;
=
;4!;
=
x e2x+1-
:
e2x+1dx-
`
;2!;
xÛ`
;2E;
x e2x+1-
e2x+1-
xÛ`+Cª
;2E;
:
;4!;
e2x+1(2x-1)-
xÛ`+Cª
;2E;
=
{;4!;
eÜ`-
+Cª
-
-
}
{
;4#;
e
2
e-1-
+Cª
}
e
2
=
eÜ`+
;4!;
;4#;
e-1
=-ln x+
(ln x)Û`+Cª
;2!;
따라서 a=
, b=
이므로 a+b=1
;4!;
;4#;
①
u(x)=x, v'(x)=e2x+1로 놓으면
u'(x)=1, v(x)=
e2x+1
;2!;
8 여러 가지 적분법 | 147
8ㅡ여러가지 적분법 ``Ü
x
dx
'§
=
`
dx
x;3!;
=
;4#;
x;3$;
=12
:)8
:)8
[
]8)
12
정답과 해설
9 정적분
개념 마스터
개념 마스터
STEP1
1005
x
'
dx
x
=
`
dx
x;2#;
=
x;2%;
;5@;
=
:!4
:¤5¢:-;5@;=:¤5ª:
[
]4!
dx
=
x-3
dx
=
-;2!;
x-2
:!3`
=-
[
;1Á8;-{-;2!;}=;9$;
]3!
dx=
ln|x|
eÛ`
=ln eÛ`-ln e=1
[
]E
1011
위끝과 아래끝이 같으므로
p
secÛ` x dx=0
2x
dx
`
=-
` 2x dx=-
2x
ln 2
=-
2
:)1
{
ln 2 -
[
1
ln 2 }
=-
]1)
1
ln 2
148 | IV . 적분법
1006
:!4`
1007
1
xÜ
`
:!3`
1008
eÛ`
;[!;
:E
1009
1010
p
:
:!0
1012
본책 158~175쪽
1013
x+1)dx
`
(
'
+
'
`(
x-1)dx
:)1
=
:)1
x+1)+(
'§
{(
`
'§
x-1)}dx
=
` 2
x dx
'§
x dx
2
=
'§
x;2#;
;3@;
=;3$;
[
]1)
:)1
:)1
=2
:)1`
1014
`
(ex+1)dx
+
`
(ex-1)dx
:)2
=
:)2
{(ex+1)+(ex-1)}dx
`
=
`
2ex
dx
:)2
=2
ex dx=2
ex
=2(eÛ`-1)
:)2
:)2`
[
]2)
;3$;
2(eÛ`-1)
:¤5ª:
1015
:)5
1016
:)
=
:)
-
=
[
1017
;9$;
1
`
x
dx+
'§
`
x
dx=
'§
`
x
dx=
'§
;3@;
x;2#;
=18
18
:%9
:)9
[
]9)
;2Ò;
sin
2x
dx
-
;2Ò;
sin
2y dy
;2Ò;
sin
2x
dx
p
sin 2x dx
=
;2Ò;
p
sin
2x
dx
cos
2x
;2!;
:
p
=-;2!;-{-;2!;}
:)
=0
p
:
+
])
0
|cos x|=
[
-cos x
ÉxÉ
p
;2#;
}
{;2Ò;
이므로
cos x
pÉxÉ
p
;2%;
}
{;2#;
;2#;
p
(-cos x)dx+
;2%;
p
cos x dx
;2%;
p
|cos
;2Ò;
x|dx
=
;2Ò;
:
=
:
-sin x
p
;2#;
+
[
;2Ò;
]
[
p
;2#;
:
;2%;
p
;2#;
]
sin x
p
=2+2=4
4
Û
` f(x)dx=
f(x)dx+
f(x)dx임을 이용하여 정적분의 값을
:Ab
구한다.
:Ac`
:Cb`
0
1018
|ex-1|=
-ex+1 (xÉ0)
ex-1 (x¾0)
[
이므로
|ex-1|dx
`(-ex+1)dx
`(ex-1)dx
=
+
:_1!
=
:_0!
-ex+x
:)1`
ex-x
+
- 1
ln 2
=
e-2
[
;e!;+
]0_!
[
]1)
;e!;
+e-2
`
e4x
dx
=
;4!;
e4x
e12
=;4!;
-;4!;=;4!;
(e12-1)
(e12-1)
;4!;
:)3
[
]3)
;2Ò;
cos
x dx=
sin
x
;2Ò;
=
sin
-sin
0=1
:)
[
])
Ò;
;2Ò
절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분
1
Ú 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되게 하는 x의 값을 경계로 적분 구간을
나눈다.
1019
tan x, -x는 기함수이므로
(tan x-x)dx=0
:_1!
1020
sin 2x는 기함수, xÛ`은 우함수이므로
1026
xÛ`-1=t로 놓으면 2x=
dt
dx
0
x=1일 때 t=0, x=2일 때 t=3이므로
` 2x(xÛ`-1)Û` dx=
` tÛ` dt
tÜ`
=9
=
;3!;
9
:)3
[
]3)
:!2
1027
(sin
2x+xÛ`)dx
=
2
` xÛ`
dx
=
2
xÜ`
;3!;
=:Á3¤:
:Á3¤:
:_2@
:)2
[
]2)
2xÛ`+1=t로 놓으면 4x=
dt
dx
1021
f(x)=ex+e-x으로 놓으면 f(-x)=e-x+ex=f(x)
따라서 f(x)=ex+e-x은 우함수이므로
(ex+e-x)dx
2
=
(ex+e-x)dx=2
ex-e-x
:_4$
=2
eÝ`-
:)4`
{
1
eÝ
`
}
[
]4)
2
eÝ`- 1
eÝ
`
{
}
1028
x=0일 때 t=1, x=2일 때 t=9이므로
`
x
2xÛ`+1
dx=
4x
2xÛ`+1
dx=
;4!;
dt
;t!;
:)2
=
:)2`
ln|t|
=
ln 9=
;4!;
:!9`
;2!;
ln 3
;4!;
;4!;
[
]9!
1022
sin x는 기함수, cos x는 우함수이므로
p
` (sin
-p
x
+
cos
x)dx
=
2
p
cos x dx=2
p
sin x
=0
0
:
:)
[
])
1023
f(x+2)=f(x)를 만족시키므로
`f(x)dx
``f(x)dx=
``f(x)dx=2
=
:_1!
∴`
:!3
`f(x)dx=
:#5
`f(x)dx+
``f(x)dx+
``f(x)dx
:_5!
=2_3=6
:_1!
:!3
:#5
6
1024
2x+1=t로 놓으면 2=
dt
dx
x=0일 때 t=1, x=1일 때 t=3이므로
`(2x+1)Ü` dx=
2(2x+1)Ü` dx=
tÜ` dt
;2!;
:)1`
;4!;
tÝ`
:!3`
=;2!; {:¥4Á:-;4!;}
=10
;2!;
=
;2!;
[
]3!
:)1
1025
x+1=t로 놓으면 1=
dt
dx
x=0일 때 t=1, x=3일 때 t=4이므로
x+1 dx=
t dt=
`t ;2!; dt
'Ä
:)3`
=
t ;2#;
=
(8-1)=
:Á3¢:
:!4
;3@;
`
'
:!4
;3@;
[
]4!
;2!; ln 3
ln 2
;2!;
(e-1)
ex+1=t로 놓으면 ex=
dt
dx
x=0일 때 t=2, x=ln 3일 때 t=4이므로
ex
ln 3
ex+1
dx=
dt=
ln|t|
``
;t!;
:)
=ln 4-ln 2=ln 2
:@4
[
]4@
1029
xÛ`=t로 놓으면 2x=
dt
dx
x=0일 때 t=0, x=1일 때 t=1이므로
`xexÛ` dx=
2x exÛ` dx=
et dt
;2!;
;2!;
:)1
=
:)1`
et
(e-1)
=;2!;
:)1`
;2!;
[
]1)
1030
sin x=t로 놓으면 cos x=
dt
dx
x=0일 때 t=0, x=
일 때 t=1이므로
;2Ò;
;2Ò;
sinÜ`
x
cos
x dx
=
`
tÜ` dt
=
tÝ`
;4!;
=;4!;
;4!;
10
:)
:)1
[
]1)
1031
x=sin h
{
-
;2Ò
Ò;
ÉhÉ
;2Ò;}
로 놓으면
= ㈎ cos h
x=0일 때 h= ㈏ 0 , x=1일 때 h=
이므로
dx
dh
;2Ò;
1-xÛ` dx
`
"Ã
=
;2Ò;
"Ã
㈏ 0
1-sinÛ` h_ ㈎ cos h dh
:Á3¢:
:)1
=
:
;2Ò; cosÛ` h dh
㈏ 0
:
9 정적분 | 149
9ㅡ정적분1
1037
주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f(x)=
1
;[!;-
f(x)=
-1
;[!;
1038
주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f(x)=-sin x+2
f(x)=-sin x+2
1039
⑴ f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면
1
x+1
lim
-1
x`
Ú
`f(t)dt= lim
-1
x`
Ú
F(x)-F(-1)
x+1
=F'(-1)=f(-1)
:_/!
=(-1)Û`-1+3=3
⑵ f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면
x+2`
lim
0
x`
Ú
;[!;
f(t) dt= lim
0
Ú
x`
F(x+2)-F(2)
x
=F'(2)=f(2)
:@
=2Û`-eÜ`+3=7-eÜ``
⑴ 3 ⑵ 7-eÜ`
유형 마스터
유형 마스터
STEP2
1040
|전략|
`xn dx=
xn+1
(n+-1),
dx=
ln|x|
임을 이
;[!;
1
n+1
[
]bA
:Ab`
[
]bA
-2x+1
xÛ
`
`
xÜ
dx=
` {;[!;-
`
:!2
=
:!2
`
+
2
xÛ
`
1
xÜ
`
dx
}
-2x-2+x-3
dx
}
{;[!;
:!2
ln|x|+2x-1-
x-2
;2!;
=
=
[
ln 2+
{
-
;8&;}
;2#;
]2!
=ln 2-
;8%;
ln 2
-;8%;
정답과 해설
이때, cos 2h=2 cosÛ` h-1에서 cosÛ` h=
1+cos 2h
2
이므로
1-xÛ` dx
`
"Ã
;2Ò;
cosÛ` h dh=
㈏ 0
;2!;
;2Ò; (1+cos 2h)dh
㈏ 0
=
:)1
=
:
;2!;
[
㈐ h+
sin 2h
;2!;
= ㈑ ;4Ò;
:
;2Ò;
㈏ 0
]
㈎ cos h ㈏ 0 ㈐ h+
2h ㈑
sin
;2!;
;4Ò;
1032
x=2 sin h
-
ÉhÉ
로 놓으면
=2 cos h
{
;2Ò;
;2Ò;}
dx
dh
x=0일 때 h=0, x=
2일 때 h=
이므로
'
;4Ò;
2
'
1
4-xÛ
`
"Ã
dx=
:)
=
:)
1
;4Ò;
"Ã
2 cos h
;4Ò;
2 cos h
_2 cos h dh
4-4 sinÛ` h
dh=
;4Ò; dh=
h
;4Ò;=
;4Ò; ;4Ò
Ò;
:)
:)
[
])
1033
x=tan h
{
-
h
;2Ò;<
<;2Ò;}
로 놓으면
=secÛ` h
x=0일 때 h=0, x=
일 때 h=
이므로
dx
dh
;6Ò;
1
3
'
1
+1
dx=
`
xÛ
:) `
=
1
tanÛ` h+1
_secÛ` h dh
1
3
'
;6Ò;
:)
:)
;6Ò;
secÛ` h
secÛ` h
dh
=
;6Ò; dh
=
;6Ò;
h
=;6Ò;
;6Ò;
:)
[
])
1034
f(x)=x, g '(x)=ex으로 놓으면
f '(x)=1, g(x)=ex
∴`
` xex dx=
xex
-
`ex dx=e-
ex
1035
f(x)=ln x, g '(x)=1로 놓으면
f '(x)=
, g(x)=x
;[!;
`
∴`
ln x dx=
x ln x
-
`dx=e-
x
`
1036
주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f(x)=-e-x
150 | IV . 적분법
[
=e-(e-1)=1
:)1
:)1
]1)
[
]1)
1
용한다.
:Ab
[
=e-(e-1)=1
:!e
:!e
]e!
[
]e!
1
1041
x+2
xÛ`-x-6
dx=
x+2
(x-3)(x+2)
dx
:_1!
=
:_1!
1
x-3
dx=
ln|x-3|
=ln 2-ln 4=-ln 2
:_1!
[
]1_!
f(x)=-e-x
∴ a=2
②
1042
`
1
x(x+1)
dx+
`
1
y(y+1)
dy+
`
:@1
=
`
:@1
=
`
:@4
=
`
1
x(x+1)
1
x(x+1)
1
x(x+1)
:!4
dx+
:$3
dx+
`
1
x(x+1)
1
x(x+1)
1
x+1 }
dx
-
{;[!;
:!4
:$3
dx
:$3
dx+
`
dx=
dz
1
z(z+1)
1
x(x+1)
`
dx
:@3
ln|x|-ln|x+1|
:@3`
=
=(ln 3-ln 4)-(ln 2-ln 3)
]3@
[
=2 ln 3-3 ln 2=ln
;8(;
1043
|전략|
xn dx=
xn+1
(n+-1)임을 이용한다.
1
n+1
:Ab`
x-Ü
[
x )Û` dx=
]bA
` (x-2
` (
'§
'§
x`Ü
x+Ü
xÛ` )dx
'§
'§
"
:)1
=
:)1
` (x-2x;6%;+x;3@;)dx
:)1
=
xÛ`
;2!;
-;1!1@;
x:Á6Á:
+;5#;
x;3%;
=
[
;2!;-;1!1@;+;5#;=;11!0;
]1)
1046
|전략|
ekx dx=
ekx
;k!;
임을 이용한다.
ln
dx
:òÕ`
e3x
2
ex+1
e3x
2
ln
ex+1
e3x+1
2
ex+1
ln
:)
=
:)
=
=
:)
;2!;
e2x-ex+x
[
-
0
`
ln 2
dx
:
+
dt
]Õò
1
et+1
1
ln 2
ex+1
dx
:)
ln 2
dx
=
ln 2
:)
(e2x-ex+1)dx
[
=
{;2!;_
4-2
])
2
ln
+
}-{;2!;
-1
ln
2
+;2!;
}=
⑤
③
1047
e2x+4ex+4 dx=
"Ã
(ex+2)Û` dx
"Ã
:_0!
=
:_0!
(ex+2)dx (∵ ex+2>0)
=
:_0!
ex+2x
=1-(e-1-2)=3-
]0_!
[
;e!;
3-
;e!;
1048
④
`(3x+1)(9x-3x+1)dx=
`(27x+1)dx
:)1
=
:)1
27x
ln 27
+x
=
[
{
27
ln 27
+1
]1)
}-
1
26
ln 27 =
ln 27 +
1
따라서 a=26, b=1이므로 a+b=27
④
1044
`
{ f(x-1)}Û
f(x)
`
dx=
`
:!3
=
:!3
x-1
dx
=
x
''§
x -
{'§
dx
1
x }
''§
` (x;2!;-x-;2!;)dx=
x;2#;-2x;2!;
:!3`
;3@;
:!3
=(2
3-2
3)-
'
'
[
2
{;3@;-
}=;3$;
]3!
⑤
1049
|전략|
sin kx dx=
cos kx
임을 이용하여 주어진 정적분의 값을 a
-;k!;
[
에 대한 식으로 나타낸다.
:òÕ`
]Õò
(sin
x
+
cos
x)Û`
dx
-
` (sin x-cos x)Û` dx
` {(1+2 sin x cos x)-(1-2 sin x cos x)} dx
:)a
f(x)dx=
`f(x)dx+
` f(x)dx+ y +
f(x)dx
a+1
:A
:)a`
=
:)a
=
=
:)1`
a+1
:!2
f(x)dx=
a+1
3
x dx
'§
=
:)
a+1
3x;2!; dx
=
:)
2x;2#;
a+1
=2(a+1);2#;
:)
[
])
즉, 2(a+1);2#;=54이므로
(a+1);2#;=27, a+1=9
4
sin
x
cos
x
dx
=
` 2 sin 2x dx
:)a`
-cos 2x
=
:)a
=-cos 2a+1
… ❶
[
]a)
즉, -cos 2a+1=
이므로
;2!;
cos 2a=
2a
;2!;,
=;3Ò;
(∵`0<2a³
Xn-1+2(n-1)
an=aÁ+2{1+2+3+ y +(n-1)}
∴ an=aÁ+2
k=1+2_
n-1
k=1
(n-1)n
2
=(n-1)n+1
∴`
;2Ò;``f(x)cos x dx=0
an¾101에서 (n-1)n+1¾101
∴ (n-1)n¾100
이때, 9_10=90, 10_11=110이므로 구하는 자연수 n의 최솟값
따라서 정적분의 값이 항상 0인 것은 ㄱ, ㄷ이다.
ㄱ, ㄷ
은 11이다.
③
9 정적분 | 153
9ㅡ정적분X
X
X
X
X
;
(tÛ`+1)_t_2t dt
` (tÝ`+tÛ`)dt
1064
|전략|
'Ä
'Ä
x-1=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
x-1=t로 놓으면 x=tÛ`+1이고 1=2t
x=1일 때 t=0, x=2일 때 t=1이므로
` x
x-1 dx
'Ä
=
`
:!2
:)1
=2
tÞ`
;5!;
+;3!;
tÜ`
=;1!5^;
[
따라서 p=15, q=16이므로 p+q=31
다른 풀이 x-1=t로 놓으면 1= dt
dx
]1)
x=1일 때 t=0, x=2일 때 t=1이므로
dt
dx
2
=
:)1
`(t+1)
t dt=
`(t
t+
t )dt
'
'
'
`x
x-1 dx
'Ä
=
:!2
=
t;2%;+
t;2#;
;3@;
=
:)1
;1!5^;
:)1
;5@;
[
따라서 p=15, q=16이므로 p+q=31
]1)
x=0일 때 t=2, x=2일 때 t=5이므로
2x ln 2
2x+1
dx
dt=
ln|t|
=
` ;t!;
:)2`
=ln 5-ln 2=ln
:@5
[
]5@
;2%;
1068
31
'
2
(x+1)Û` exÛ` dx-
2
'
(x-1)Û` exÛ` dx
:)
=
'
:)
2
{(x+1)Û`-(x-1)Û`}exÛ` dx=
2
'
4xexÛ` dx
:)
이때, xÛ`=t로 놓으면 2x=
dt
dx
:)
x=0일 때 t=0, x=
2일 때 t=2이므로
'
'
2
4xexÛ` dx=2
` et dt=2
et
=2(eÛ`-1)
:)
:)2
[
]2)
1065
xÛ`+1=t로 놓으면 2x=
dt
dx
x=0일 때 t=1, x=
3일 때 t=4이므로
3
'
4x
xÛ
`
"Ã
+1
dx=2
dt=2
` t-;2!; dt
:!4
:)
=2
:!4
=4
④
'
1
t
`
'
2t;2!;
[
]4!
1066
xÜ`+2=t로 놓으면 3xÛ`=
dt
dx
x=0일 때 t=2, x=a일 때 t=aÜ`+2이므로
… ❶
1069
(ex+1)(2e2x-ex)
ln 2
e3x+1
dx
=
:)
=
:)
(ex+1)(2ex-1)ex
ln 2
(ex+1)(e2x-ex+1)
(2ex-1)ex
ln 2
e2x-ex+1
dx
dx
이때, ex=t로 놓으면 ex=
:)
dt
dx
x=0일 때 t=1, x=ln 2일 때 t=2이므로
(2ex-1)ex
ln 2
e2x-ex+1 dx=
`
2t-1
t2-t+1
dt
:)
=
:!2
ln |tÛ`-t+1|
f '(t)
f(t)
dt=
ln| f(t)|
:!2`
[
]2!
=ln 3
[
]2!
②
``
6xÛ
`
+2
xÜ
`
dx=2
dt=2
ln|t|
aÜ`+2
;t!;
aÜ`+2
:)a
=2{ln(aÜ`+2)-ln 2} (∵ a>0)
:@
]@
[
=ln
{
aÜ
`
+2
2
}
2`
=ln 25이고 a>0이므로
=5, aÜ`=8
∴ `a=2
즉, ln
{
aÜ
`
+2
2
}
2`
aÜ
`
+2
2
채점 기준
❶ xÜ`+2=t로 치환하고 적분 구간을 구할 수 있다.
dx를 a에 대한 식으로 간단히 나타낼 수 있다.
❷
` 6xÛ`
xÜ`+2
:)a
❸ a의 값을 구할 수 있다.
1067
|전략| 2x+1=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
2x+1=t로 놓으면 2x ln 2=
dt
dx
154 | IV . 적분법
… ❷
… ❸
2
비율
40`%
40`%
20`%
1070
|전략| ln x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
ln x=t로 놓으면
=
;[!;
dt
dx
x=e일 때 t=1, x=eÝ`일 때 t=4이므로
dx=
dt=
` t-;2!; dt
eÝ`
x
1
ln x
'¶
:E
=
:!4
=2
1
`
t
'
:!4
2t;2!;
[
]4!
1071
ln x-1=t로 놓으면
=
dt
dx
;[!;
x=1일 때 t=-1, x=eÛ`일 때 t=1이므로
eÛ
`
1
x(ln x-1)Û
`
:!
=
1
tÛ
`
:_1!
-t-1
:_1!
=-2
dx=
dt=
t-2 dt
[
]1_!
②
④
②
①
정답과 해설 1072
ln x=t로 놓으면
=
;[!;
dt
dx
x=1일 때 t=0, x=e일 때 t=1이므로
… ❶
an=
(ln x)n
x
dx
=
` tn dt=
tn+1
=
… ❷
1
n+1
1
n+1
]1)
:!e`
¦
:)1
n
[
∴`
an an+1= lim
¦
Ú
n`
k=1
n=1
ak ak+1
= lim
¦
Ú
n`
k=1
= lim
¦
Ú
n`
k=1
n
n
1
(k+1)(k+2)
- 1
1
k+1
{
k+2 }
= lim
Ú
n`
¦[{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}
+ y
+
{
1
n+1
-
1
n+2 }]
… ❸
;2!;
비율
30`%
30`%
40`%
= lim
Ú
n`
¦{;2!;-
n+2 }=;2!;
1
채점 기준
❶ ln x=t로 치환하고 적분 구간을 구할 수 있다.
❷ an을 n에 대한 식으로 간단히 나타낼 수 있다.
❸
¦
n=1
an an+1의 값을 구할 수 있다.
1073
|전략| sin x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
;2Ò; cosÜ` x dx=
;2Ò; (1-sinÛ` x)cos x dx
:)
:)
이때, sin x=t로 놓으면 cos x=
dt
dx
x=0일 때 t=0, x=
일 때 t=1이므로
;2Ò;
;2Ò; (1-sinÛ` x)cos x dx=
`(1-tÛ`)dt
:)
=
:)1
t-
tÜ`
;3!;
=;3@;
[
]1)
②
1074
;2Ò; f(x) sin 2x dx=
;2Ò; (sin x+1) sin 2x dx
:)
=
:)
;2Ò; (sin x+1)_2 sin x cos x dx
이때, sin x=t로 놓으면 cos x=
x=0일 때 t=0, x=
일 때 t=1이므로
:)
;2Ò;
dt
dx
=
;2Ò; (sin x
+
1)_2 sin x cos x dx
` (t+1)_2t dt
:)
=
:)1
`(2tÛ`+2t)dt
=
tÜ`+tÛ`
⑤
:)1
;3@;
[
=;3%;
]1)
1075
0
`` xÛ` tan x dx+
-
;4Ò;
:
=
:)
0
`` xÛ` tan x dx+
-
;4Ò;
;4Ò; (xÛ`+1)tan x dx
;4Ò; xÛ` tan x dx+
;4Ò; tan x dx
:
:
-
;4Ò;
=
;4Ò;` xÛ` tan x dx+
;4Ò; tan x dx
:)
:)
=
;4Ò; tan x dx=
:)
sin x
;4Ò;
cos x
dx
:)
:)
이때, cos x=t로 놓으면 -sin x= dt
dx
2
2 이므로
x=0일 때 t=1, x=
;4Ò
일 때 t= '
Ò;
2
'
2
dt=
;t!;
dt
;t!;
``
2
'
2
: 1
2
=-ln '
2
=ln
'
2
;4Ò;
sin x
cos x
dx=-
:)
=
:!
ln|t|
2
'
2
]1
[
xÛ`은 우함수, tan x는 기함수이므로
xÛ` tan x는 기함수이다.
1076
|전략| x=2 sin h
-
ÉhÉ
로 놓고 치환적분법을 이용한다.
{
;2Ò;
;2Ò;}
x=2 sin h
-
ÉhÉ
로 놓으면
=2 cos h
{
;2Ò;
;2Ò;}
dx
dh
x=0일 때 h=0, x=2일 때 h=
이므로
;2Ò;
4-xÛ` dx=
4-4 sinÛ` h_2 cos h dh
"Ã
:)2`
:)
=4
;2Ò; cosÛ` h dh
;2Ò;
"Ã
:)
이때, cos 2h=2 cosÛ` h-1에서 cosÛ` h=
4
;2Ò; cosÛ` h dh
4
=
;2Ò;
1+cos 2h
2
dh
:)
=
:)
;2$;
[
h+
sin 2h
;2Ò;=p
;2!;
])
1+cos 2h
2
이므로
④
p
1077
9x-xÛ`=9-(9-9x+xÛ`)=9-(3-x)Û`이므로
9x-xÛ` dx
=
`
"Ã
`"Ã
9-(3-x)Û` dx
:)3
:)3
이때, 3-x=3 sin h
-
{
;2Ò;
ÉhÉ
;2Ò;}
로 놓으면 -
=3 cos h
dx
dh
x=0일 때 h=
, x=3일 때 h=0이므로
;2Ò;
9-(3-x)Û` dx=-
9-9 sinÛ` h_3 cos h dh
`
"Ã
:)3
:
=-9
cosÛ` h dh=9
;2Ò; cosÛ` h dh
이때, cos 2h=2 cosÛ` h-1에서 cosÛ` h=
:)
1+cos 2h
2
이므로
0
;2Ò;
"Ã
0
;2Ò;
:
;2Ò;
1+cos 2h
2
dh
9
;2Ò; cosÛ
h
`
dh
=
9
:)
=
h
:)
;2(;
[
sin 2h
+;2!;
;2Ò;
=;4(;
p
p
;4(;
])
9 정적분 | 155
9ㅡ정적분;
;
;
;
;
Ò
Ò
1078
|전략| x=3 tan h
{
-
;2Ò;
0)
:
:`
;2!;
[
f(x)=cos x+
])
이므로
f(0)
;4#;
=;4&;
따라서 p=4, q=7이므로 pÛ`+qÛ`=65
다른 풀이
;3Ò;`f(t) sin t dt=k (k는 상수)
:)
로 놓으면 f(x)=cos x+k
f(t)=cos t+k를 ㉠에 대입하면
;3Ò;(cos t+k) sin t dt=k
:)
이때, cos t+k=l로 놓으면 -sin t=
dl
dt
` tf(t)dt=k (k는 상수)
yy ㉠
t=0일 때 l=1+k, t=
;3Ò;일 때 l=
;2!;
+k이므로
;3Ò; (cos t+k) sin t dt
+k
;2!;
l dl=
=-
1+k
:)
=
1+k
l dl
+k`
;2!;
:`
(1+k)Û`-
:
lÛ`
;2!;
1+k
+k
;2!;
=
;2!;
[
;2K;
]
;8#;
+k
;2!;{;2!;
}
2`
=
+
즉, ;2K;
+
=k이므로 ;2K;
;8#;
=
;8#;
∴ k=
;4#;
f(x)=cos x+
;4#;이므로 f(0)=
따라서`p=4, q=7이므로 pÛ`+qÛ`=4Û`+7Û`=65
;4&;
1090
:!e
로 놓으면 f(x)=ln x+k
f(t)=ln t+k를 ㉠에 대입하면
` t(ln t+k) dt=k
:!e
이때, u(t)=ln t+k, v'(t)=t로 놓으면
u'(t)=
, v(t)
tÛ`이므로`
;t!;
=;2!;
`t(ln t+k) dt=
tÛ`(ln t+k)
-
;2!;
tÛ` dt
;t!;_;2!;
[
:!e
=
;2!;
eÛ`(1+k)
]e!
k
-;2!;
:!e`
-;2!;
` t dt
=
eÛ`(1
k)-
;2!;
+
k
;2!;
=
(1+k)-
k
eÛ
;2!;
`
;2!;
-;4!;
=
eÛ
;4!;
`+;2!;
k(eÛ
1)
`-
+;4!;
tÛ`
;2!;
:!e
-;2!;
[
]e!
(eÛ`-1)
㉠의 양변에 x=1을 대입하면 2f(1)-1=0에서 f(1)=
이므로
;2!;
따라서 ln f(x)=-
ln
x
+
;2!;
ln
;2!;
=ln
2
이므로
1
x
'§
C=ln
;2!;
f(x)=
'§
∴ f(9)=
2
1
x
1
=
;6!;
2
9
'
①
yy ㉠
1092
f(x)=
`
2
1+tÝ
dt
`
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면
:)/
f '(x)=
2
1+xÝ
`
`
2e f(x)
1+xÝ
`
㉠의 양변에 x=0을 대입하면 f(0)=0
dx에서 e f(x)=h로 놓으면
:)a
e f(x)_f '(x)=
dh
dx
,
2e f(x)
1+xÝ
=
dh
dx
`
x=0일 때 h=e f(0)=1, x=a일 때 h=e f(a)=e이므로
2e f(x)
1+xÝ
`
`
dx
=
:)a
:!e
[
]e!
`dh=
h
=e-1
①
1093
xf(x)=xÛ`ex+
``f(t)dt
yy`㉠
:!/
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면
f(x)+xf '(x)=2xex+xÛ`ex+f(x)
∴` f '(x)=2ex+xex=(x+2)ex
f(x)=
`(x+2)ex dx에서 u(x)=x+2, v'(x)=ex으로 놓으면
즉,
eÛ
;4!;
`+;2!;
k(eÛ`-1)
+;4!;
=k이므로
u'(x)=1, v(x)=ex이므로
:
158 | IV . 적분법
정답과 해설 |전략| 좌변을
(t+x) f(t)dt
`tf(t)dt+x
` f(t)dt로 변형한 후 양
함수 f(x)는 x=-1일 때 극소이므로 극솟값은
f(x)=
`(x+2)ex dx=(x+2)ex-
`ex dx
=(x+2)ex-ex+C=(x+1)ex+C
:
:
㉠의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=e
즉, 2e+C=e이므로 C=-e
따라서 f(x)=(x+1)ex-e이므로
f(-1)=-e
1094
`
:!/
=
:!/
:!/
변을 x에 대하여 미분한다.
` (t+x)f(t)dt=ex+x-e-1에서
:!/
` tf(t)dt`+x
``f(t)dt=ex+x-e-1
:!/
위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
:!/
xf(x)+
` f(t)dt+xf(x)=ex+1
:!/
∴`2xf(x)+
`f(t)dt=ex+1
위의 식의 양변에 x=1을 대입하면 2f(1)=e+1
:!/`
∴` f(1)=
e+1
2
1095
:)/
x
:)/
∴
` (x-t)f(t)dt=sin x-x에서
``f(t)dt-
` tf(t)dt=sin x-x
:)/
위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
:)/
``f(t)dt+xf(x)-xf(x)=cos x-1
``f(t)dt=cos x-1
1096
=
:)/
:)/
2f(t)dt=x
`2f(t)dt
`(x-t)f '(t)dt-cos 2x+1에서
f '(t)dt-
tf '(t)dt-cos 2x+1
:)/`
위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
:)/`
:)/`
2f(x)=
f '(t)dt+xf '(x)-xf '(x)+2 sin 2x
2f(x)=f(x)-f(0)+2 sin 2x
:)/`
∴ f(x)=-f(0)+2 sin 2x
위의 식의 양변에 x=0을 대입하면 f(0)=0
∴ f(x)=2 sin 2x
1097
|전략| f '(x)=0을 만족시키는 x의 값의 좌우에서 f '(x)의 부호를 조사하여
증감표를 작성한 후 극값을 구한다.
f(x)=
`(t+1)e-t dt의 양변을 x에 대하여 미분하면
:)/
f '(x)=(x+1)e-x
f '(x)=0에서 x=-1`(∵`e-x>0)
-e
f '(x) -
x
f(x)
y
↘
-1
0
극소
y
+
↗
f(-1)=
` (t+1)e-t dt=-
`
(t+1)e-t dt
`1
:)-
이때, u(t)=t+1, v'(t)=e-t으로 놓으면
u'(t)=1, v(t)=-e-t이므로
:_0!
(t+1)e-t dt=
-(t+1)e-t
-
(-e-t)dt
:_0!
=-1+
[
-e-t
]0_!
:_0!
=-1+(-1+e)=e-2
[
]0_!
∴` f(-1)=-(e-2)=2-e
2-e
e+1
2
1098
f(x)=
(t
t-2t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면
'
:)/`
f '(x)=x
'§
x-2x=x(
x-2)
'§
f '(x)=0에서 x=4 (∵ x>0)
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
-
↘
4
0
극소
y
+
↗
함수 f(x)는 x=4일 때 극소이므로 극솟값은
f(4)=
`(t
t-2t)dt
(t;2#;-2t)dt
'
=
t;2%;
tÛ`
-
;5@;
:)4
[
=
`
=
:)4
-:Á5¤:
]4)
1099
f '(x)=(1+cos x) sin x
:)/
f '(x)=0에서 x=p (∵`00)
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
-
↘
2
0
극소
y
+
↗
g(t)dt=g(x+a)-g(x)임을 이용한다.
f(x)=
t+
dt의 양변을 x에 대하여 미분하면
함수 f(x)는 x=2일 때 극소이면서 최소이므로 최솟값은
f(2)=
t+
`
{
;t^;}
dt
=
;2!;
tÛ`+6 ln|t|
=
+6 ln 3
:@3
{;2(;
[
2+6 ln 2
}-{
}=;2%;
]3@
+6 ln
;2#;
;2%;
+6 ln
;2#;
… ❸
- eÜ`
2
비율
30`%
50`%
20`%
❶ f '(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다.
❷ f(x)의 최솟값을 구할 수 있다.
❸ a+b의 값을 구할 수 있다.
채점 기준
1102
f(x)=4
`(t-t ln t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '(x)=4(x-x ln x)=4x(1-ln x)
:!/
f '(x)=0에서 x=e (∵ x>0)
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
+
↗
e
0
극대
y
-
↘
함수 f(x)는 x=e일 때 극대이면서 최대이므로 최댓값은
f(e)=4
`(t-t ln t)dt=4
t(1-ln t) dt
이때, u(t)=1-ln t, v'(t)=t로 놓으면
:!e`
:!e
u'(t)=-
, v(t)
tÛ`이므로
;t!;
=;2!;
` t(1-ln t)dt=
tÛ`(1-ln t)
-
;2!;
{-;t!;}_;2!;
tÛ`
dt
:!e
=
[
-;2!;+;2!;
]e!
:!e`
`t dt=-
tÛ`
;2!;+;2!;
;2!;
=-
:!e
eÛ
`
;2!;+;2!; {
2 -;2!;}=;4!;
[
(eÛ`-3)
]e!
1101
f(x)=
tetÛ`-1 dt-
의 양변을 x에 대하여 미분하면
;2Áe;
:_/@
f '(x)=xexÛ`-1
f '(x)=0에서 x=0 (∵ exÛ`-1>0)
x
y
f '(x) -
0
0
f(x)
↘
극소
y
+
↗
함수 f(x)는 x=0일 때 극소이면서 최소이므로 최솟값은
f(0)=
tetÛ`-1 dt
-;2Áe;
:_0@
이때, tÛ`-1=s로 놓으면 2t=
ds
dt
t=-2일 때 s=3, t=0일 때 s=-1이므로
f(0)=
tetÛ`-1 dt-
;2Áe;=;2!;
`es ds
-;2Áe;
=-
:_0@`
;2!;
es ds-
=-
:_3!
eÜ`-
;2!;{
;e!;}-;2Áe;
es
:#-` 1
;2Áe;=-;2!;
[
eÜ
`
2
=-
]3_!
-;2Áe;
160 | IV . 적분법
∴ f(e)=4
t(1-ln t)dt
:!e`
4_
=
;4!;
(eÛ`-3)=eÛ`-3
④
… ❶
|전략| lim
x Ö 0
;[!;
f(t)dt=f(a)임을 이용한다.
f(x)=x sin x, F'(x)=f(x)로 놓으면
x+a
:A
1103
=lim
0
h`
Ú
=lim
0
h`
Ú
=lim
0
h`
Ú
=3F'
lim
0
h`
Ú
;h!;
+3h
;2Ò;
-h
;2Ò;
x sin x dx
:
F
+3h
-F
-h
}
{;2Ò;
{;2Ò;
}
h
}
h
}
3h
F
{;2Ò;
+3h
-F
{;2Ò;}
F
{;2Ò;
-h
}
h
-F
{;2Ò;}
-lim
0
h`
Ú
F
{;2Ò;
+3h
-F
{;2Ò;}
-F
F
{;2Ò;
-h
}
-h
{;2Ò;}
_3+lim
0
Ú
h`
F'
4F'
{;2Ò;}+
{;2Ò;}=
{;2Ò;}
… ❷
4f
=
{;2Ò;}=
_;2Ò;
4
=2p
③
정답과 해설 1104
f(t)=
cos 2t
sin t+1
, F'(t)=f(t)로 놓으면
1108
유형 04 삼각함수의 정적분
|전략|
`sin ax dx
cos
ax
,
`
cos
ax dx=
sin ax
임을 이
-;a!;
=
[
]Õò
:òÕ
;a!;
[
]Õò
용한다.
:òÕ
1
x-
lim
x`
;2Ò;
Ú
cos 2t
sin t+1
`
;2Ò;
dt= lim
;2Ò;
x`
Ú
;2Ò;
:
F(x)-F
{;2Ò;}
x-
;2Ò;
=F'
{;2Ò;}=
f
{;2Ò;}=-;2!; -;2!;
1105
F'(t)=f(t)로 놓으면
1
x-1
lim
1
x`
Ú
:!
xÜ` f(t)dt=lim
F(xÜ
x`
1
Ú
F(xÜ
)-F(1)
`
x-1
)-F(1)
`
xÜ
-1
`
=lim
1
Ú
x`
_(xÛ`+x+1)
=3F'(1)=3f(1)=3e
④
;4Ò;
sinÛ` x
sin x+cos x
dx
+
cosÛ` x
sin x+cos x
0
;4Ò;
dx
:)
=
;4Ò;
sinÛ` x
sin x+cos x
:
dx-
;4Ò;
cosÛ` x
sin x+cos x
dx
;4Ò;
sinÛ` x-cosÛ` x
sin x+cos x
dx
:)
;4Ò;
(sin x+cos x)(sin x-cos x)
sin x+cos x
dx
:)
=
:)
=
:)
=
;4Ò; (sin x-cos x)dx
:)
-cos x-sin x
=
;4Ò;
[
=-
])
2-(-1)=1-
'
2
'
1109
유형 05 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분
|전략| 적분 구간을 나누어 정적분의 값을 구한다.
3 `
-;3Ò;
f(x)dx
0 `
=
-;3Ò;
sin x dx
+
:
=
:
-cos x
+
-1
dx
}
1
x+1
{
:)3`
ln|x+1|-x
[
=-
-;3Ò
]0
[
+(ln 4-3)
;2!;
=ln 4-
]3)
①
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
1106
유형 01 유리함수의 정적분
|전략|
dx
`
;[!;
=
용한다.
:Ab
ln|x|
,
` xn dx=
xn+1
(n+-1)임을 이
1
n+1
[
]bA
:Ab
[
]bA
1110
`f(x)dx
-2
dx=
ln|x|-2x
=
{;[!;
}
:!e
=(ln e-2e)-(-2)=3-2e
:!e`
[
]e!
③
`f(x) dx=
c
:
:òÕ
``f(x) dx,
` ekx dx=
ekx
;k!;
임을
:òÕ
[
]Õò
1107
유형 03 지수함수의 정적분
|전략|
c
f(x) dx+
:ò
이용한다.
¦
n=1
an= lim
¦
n`
Ú
= lim
¦
Ú
n`
n
ak
k=1
= lim
Ú
n`
¦[
(aÁ+aª+ y +an)
따라서 a=4, b=-
이므로 a+b
=;2!;
②
;2&;
;2&;
유형 06 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분
|전략| ex-2=0이 되게 하는 x의 값을 경계로 적분 구간을 나누어 정적분의 값
을 구한다.
ex-2=0에서 ex=2
∴ x=ln 2
즉, |ex-2|=
2-ex (xÉln 2)
ex-2 (x¾ln 2)
[
이므로
ln 4
|ex-2|dx
ln 2
(2-ex)dx
ln 4
(ex-2)dx
=
+
ln 2
:)
=
:)
2x-ex
ln 2
+
:
ex-2x
ln 4
ln 2
=(2 ln 2-1)+(2-2 ln 2)=1
])
[
]
[
②
9ㅡ
정
적
분
``f(x)dx+
` f(x)dx+ y +
n+1
`f(x)dx
]
1111
:!2
n+1
:@3
= lim
¦
Ú
n`
f(x)dx= lim
Ú
n`
¦
n+1
e-x dx
:N
= lim
¦
Ú
n`
:!
-e-x
n+1
= lim
n`
Ú
¦{
:!
-
1
en+1 +
=
;e!;
;e!;}
[
]!
유형 08 주기함수의 정적분
|전략| 주기가 p인 연속함수 f(x)에 대하여
②
임을 이용한다.
a+p
`f(x)dx
=
b+p
`f(x)dx
:A
:B
9 정적분 | 161
Õ
;
;
/
f(x)=|sin 2x|로 놓으면 f(x)는 주기가
인 주기함수이므로
1114
;2Ò; |sin 2x|dx
|sin 2x|dx
;2Ò;|sin 2x|dx
-
-p
0
-;2Ò;
=
:
=
:
p
|sin 2x|dx
;2Ò;
=
:)
;2Ò;
:
p
|sin 2x|dx=4
∴
-p
;2Ò;|sin 2x|dx=4
;2Ò;sin 2x dx
:
:)
=4
-
:)
cos 2x
;2Ò;
;2!;
[
])
=4
[;2!;-{-;2!;}]
=4
유형 11 정적분의 치환적분법 – 로그함수
+ 12 정적분의 치환적분법 – 삼각함수
|전략| ln(x+1)=s, cos x=t로 놓고 각각 치환적분법을 이용한다.
주어진 식의 좌변에서 ln(x+1)=s로 놓으면
1
x+1
=
ds
dx
x=0일 때 s=0, x=eÛ`-1일 때 s=2이므로
a+ln(x+1)
eÛ`-1
x+1
dx
=
(a+s)ds
:)
=
:)2
as+
④
sÛ`
=2a+2
;2!;
yy ㉠
주어진 식의 우변에서
[
;2Ò;
sin 2x cos x dx
]2)
2
=
;2Ò; sin x cosÛ` x dx
삼각함수의 주기
⑴ 함수 y=a sin bx+c의 주기 ⇨
⑵ 함수 y=a cos bx+c의 주기 ⇨
⑶ 함수 y=a tan bx+c의 주기 ⇨
⑷ 함수 y=|a sin bx|+c의 주기 ⇨
⑸ 함수 y=|a cos bx|+c의 주기 ⇨
2p
|b|
2p
|b|
p
|b|
p
|b|
p
|b|
1112
유형 10 정적분의 치환적분법 – 지수함수
|전략| ex+1=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
ex+1=t로 놓으면 ex=
dt
dx
x=-a일 때 t=e-a+1, x=a일 때 t=ea+1이므로
ea+1
ex
ex+1
dx=
e-a +1
:_aA
=ln(ea+1)-ln(e-a+1)
:
]
[
e-a+1
dt=
ln|t|
;t!;
ea+1
=ln
ea+1
e-a+1
=ln
ea(ea+1)
1+ea
=ln ea=a
∴ a=9
⑤
1113
유형 11 정적분의 치환적분법 – 로그함수
|전략| ln x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
ln x=t로 놓으면
=
;[!;
x=e일 때 t=1, x=en일 때 t=n이므로
dt
dx
f(n)=
dx=
` t dt
en
ln x
x
=
:E
;2!;
tÛ`
:!n
nÛ
`
2 -;2!;
=
]n!
[
f(n)
nÛ
`
∴ lim
¦
n`
Ú
= lim
¦
n`
Ú
nÛ
`
2 -;2!;
nÛ
`
162 | IV . 적분법
이므로 cos x=t로 놓으면 -sin x=
:)
dt
dx
x=0일 때 t=1, x=
일 때 t=0이므로
:)
;2Ò;
2
;2Ò; sin x cosÛ` x dx=-2
`tÛ` dt=2
`tÛ` dt
:)
=2
:!0
tÜ`
;3!;
=;3@;
:)1
따라서 ㉠=㉡에서 2a+2=
[
]1)
이므로
;3@;
2a=-
;3$;
∴ a
=-;3@;
yy ㉡
②
1115
aÛ`-xÛ` 꼴 + 14 삼각치환법 –
유형 13 삼각치환법 –
"Ã
1
+xÛ
`
aÛ
`
꼴
|전략| 피적분함수가
"Ã
aÛ`-xÛ` (a>0) 꼴이면 x=a sin h
{-;2Ò;
ÉhÉ
,
;2Ò;}
1
aÛ`+xÛ`
(a>0) 꼴이면 x=a tan h
0)
∴ f(x)=ex+C
:
㉠에 x=0을 대입하면 f(0)=1이므로 C=0
따라서 f(x)=ex이므로 f(4)=eÝ`
④
1119
을 구한다.
유형 22 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소
|전략| 양변을 x에 대하여 미분하여 f '(x)를 구한 후, 극값을 이용하여 최댓값
f(x)=
`(2-et)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면
:)/
f '(x)=2-ex
f '(x)=0에서 ex=2
x
y
f '(x) +
ln 2
0
∴ `x=ln 2``
y
-
↘
함수 f(x)는 x=ln 2일 때 극대이면서 최대이므로 최댓값은
f(ln 2)=
(2-et)dt=
2t-et
ln 2
ln 2
=(2 ln 2-2)-(-1)=2 ln 2-1
[
])
:)
②
1120
유형 02 무리함수의 정적분
1
n+1
=
[
|전략| n+-1일 때
xn dx
xn+1
임을 이용하여
를 n에 대한 식으로 나타낸다.
:Ab
]bA
1
x+1
;n!;
'Ä
dx=
;n!; (x+1)-;2!; dx=
;n!;
2
x+1
'Ä
:)
:)
=2
®É;n!;
[
n+1-
+1-2=2_ 'Ä
])
n
'§
n
'§
1
x+1
;n!;
'Ä
dx
:)
=
∴ lim
n`
Ú
¦[
(n+1)
2
n+1+
n)
'§
'Ä
n(
'§
;n!;
'Ä
1
x+1
:)
dx
= lim
¦
n`
Ú
]
'§
n(
'Ä
2(n+1)
n+1+
=1
n)
'§
채점 기준
1
x+1
;n!;
'Ä
¦[(n+1)
❶
:)
❷ lim
n`
Ú
dx를 n에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
1
x+1
;n!;
'Ä
:)
dx]의 값을 구할 수 있다.
… ❶
… ❷
1
배점
4점
2점
9 정적분 | 163
9ㅡ정적분'
'
x=-1일 때 t=-1, x=1일 때 t=7이므로
… ❶
1121
유형 09 정적분의 치환적분법 – 유리함수·무리함수
|전략| xÜ`+3x+3=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
xÜ`+3x+3=t로 놓으면 3xÛ`+3=
dt
dx
xÛ
+1
+3x+3
`
xÜ
`
dx=
;3!;
dt
;t!;
:_1!
=
:_7!
ln|t|
ln 7
=;3!;
;3!;
[
7이므로 a
ln
;3!;
]7_!
=;3!;
따라서 a ln 7=
채점 기준
❶ xÜ`+3x+3=t로 치환하고 적분 구간을 구할 수 있다.
❷
xÛ`+1
xÜ`+3x+3
:_1!
❸ a의 값을 구할 수 있다.
dx의 값을 구할 수 있다.
1123
유형 07 우함수·기함수의 정적분
|전략| f(x)가 우함수이면
f(x) dx
2
=
f(x) dx, f(x)가 기함수이면
:_aA`
`f(x) dx=0임을 이용한다.
:)a`
:_aA
⑴ f(x)=2x+2-x, g(x)=7x-7-x에서
f(-x)=2-x+2x=f(x)
g(-x)=7-x-7x=-(7x-7-x)=-g(x)
이므로 f(x)는 우함수, g(x)는 기함수이다.
⑵
(2x+7x+2-x-7-x)dx=2
`(2x+2-x)dx
:_1!
:)1
=2
[
=2_
2x
ln 2
-
2-x
ln 2
3
2 ln 2
=
]1)
3
ln 2
⑴ f(x): 우함수, g(x): 기함수 ⑵
채점 기준
⑴ f(x)=2x+2-x, g(x)=7x-7-x으로 놓고 두 함수가 우함수인지 기함
수인지 각각 구할 수 있다.
⑵ 정적분
`(2x+7x+2-x-7-x)dx의 값을 구할 수 있다.
:_1!
3
ln 2
배점
4점
6점
1122
유형 18 적분 구간이 상수인 정적분을 포함한 등식
|전략|
` f(t)dt=k (k는 상수)로 놓고 k의 값을 구한다.
:!3
``f(t)dt=k (k는 상수)
:!3
로 놓으면 f(x)=ln x+k
f(t)=ln t+k를 ㉠에 대입하면
`(ln t+k)dt=k
:!3
이때, u(t)=ln t+k, v'(t)=1로 놓으면
u'(t)=
, v(t)=t이므로
;t!;
`(ln t+k)dt=
t(ln t+k)
-
_t dt
:!3
[
=3(ln 3+k)-k-
]3!
=3 ln 3+2k-
t
[
=3 ln 3+2k-2
]3!
;t!;
:!3`
`dt
:!3
즉, 3 ln 3+2k-2=k이므로`k=2-3 ln 3
따라서 f(x)=ln x+2-3 ln 3이므로 f(27)=2
채점 기준
:!3
다.
❷ k의 값을 구할 수 있다.
❸ f(27)의 값을 구할 수 있다.
164 | IV . 적분법
❶
`f(t)dt=k (k는 상수)로 놓고 f(x)를 k에 대한 식으로 나타낼 수 있
yy ㉠
1124
… ❶
유형 23 정적분으로 정의된 함수의 극한
|전략| lim
x Ö 0
;[!;
x+a
`f(t)dt=f(a)임을 이용한다.
:A
⑴ F'(t)=f(t)로 놓으면
lim
0
h`
Ú
;h!;
+h
;2Ò;
-h
;2Ò;
`f(t)dt
:
F
+h
-F
-h
}
{;2Ò;
{;2Ò;
h
}
}
=lim
0
h`
Ú
=lim
0
h`
Ú
=lim
0
h`
Ú
=F'
+h
-F
F
{;2Ò;
{;2Ò;}-[
h
F
{;2Ò;
-h
-F
}
{;2Ò;}]
+h
F
{;2Ò;
-F
}
h
{;2Ò;}
F
{;2Ò;
-h
-F
}
-h
{;2Ò;}
+lim
0
h`
Ú
F'
{;2Ò;}+
{;2Ò;}=
2F'
2f
{;2Ò;}=
{;2Ò;}
⑵ 2f
{;2Ò;}=
2
;2Ò;
-;2Ò;
` ;2!;
sin 2t(sin t+1)dt
;2Ò;` sin t cos t (sin t+1)dt
2
=
-;2Ò;
:
:
이때, sin t=h로 놓으면 cos t=
dh
dt
t=-
일 때 h
;2Ò;
1, t
=-
=;2Ò;
일 때 h=1이므로
… ❷
… ❸
;3!;
배점
2점
3점
1점
… ❷
… ❸
2
배점
1점
5점
1점
정답과 해설 2
;2Ò;
-;2Ò;
sin t cos t (sin t+1)dt=2
`
h(h+1)dh
:
=2
:_1!
(hÛ`+h)dh
=2
`hÛ` dh=4
`hÛ` dh
=4
:_1!
:)1
=;3$;
:_1!
;3!;
hÜ
`
[
]1)
채점 기준
⑴ lim
0
h`
Ú
;h!;
+h
;2Ò;
-h
;2Ò;
:
f(t)dt를 af(b)+c 꼴로 간단히 나타낼 수 있다.
⑵ 치환적분법을 이용하여 lim
Ú
h`
0;h!;
f(t) dt의 값을 구할 수 있다.
+h`
;2Ò;
-h
;2Ò;
:
배점
6점
6점
⑴ 2f
{;2Ò;}
⑵
;3$;
=
:)/`
cos(x-t)
:?
cos(t-x)
;2Ò;
-
1126
|전략| 0Éx<
;2Ò;인 경우와 ;2Ò;
ÉxÉp인 경우로 나누어 f(x)를 구한다.
Ú 0Éx<
인 경우
f(x)=
;2Ò; sin|x-t|dt
=
sin(x-t)dt
;2Ò; sin(t-x)dt
+
]/)
[
=(1-cos x)-
[
[
cos
{;2Ò;-
x
}
]?
-1
]
;2Ò;
:)
:)
[
=2-cos x-sin x
Û
ÉxÉp인 경우
;2Ò;
f(x)=
;2Ò; sin|x-t|dt
=
;2Ò; sin(x-t)dt
=
:)
cos(x-t)
;2Ò;
=cos
{
x-
])
;2Ò;}-
cos x
=sin x-cos x
Ú, Û에 의하여
2-cos x-sin x
0Éx<
{
;2Ò;}
f(x)=
[
sin x-cos x
ÉxÉp
}
{;2Ò;
∴
` f(x)dx=
;2Ò; (2-cos x-sin x)dx+
:)È
=
:)
2x-sin x+cos x
;2Ò;+
-cos x-sin x
[
=(p-2)+2=p
])
[
(sin x-cos x)dx
;2Ò;
:
`
;2Ò;
]È
p
|전략|
;2Ò
Ò; f(x) cosÛ` x dx에서 x=
-t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
;2Ò;
;2Ò; f(x) cosÛ` x dx에서 x
-t로 놓으면 1=-
=;2Ò;
dt
dx
:)
x=0일 때 t=
, x
;2Ò;
=;2Ò;
일 때 t=0이므로
;2Ò; f(x) cosÛ` x dx=-
0
f
;2Ò;
-t
cosÛ`
}
{;2Ò;
-t
dt
}
{;2Ò;
:)
=
:
;2Ò; f
t
sinÛ` t dt
{;2Ò;-
}
창의·융합 교과서 속 심화문제
1125
|전략| 0Éx<1인 경우와 10)이므로
ln 4
;4!;
C
2
+
=
∴ C
2
=
-;4!;
ln 4
∴ f(x)=
ln(2xÛ`+2)+2-
ln 4
;4!;
;4!;
=;4!;
xÛ
ln
`
+1
2
+2
따라서 부분적분법을 이용하면
xf "(x)dx
xf '(x)
`f '(x)dx
=
-
`
[
:!3
=3f '(3)-f '(1)-
:!3
]3!
f(x)
=3f '(3)-f '(1)-f(3)+f(1)
[
]3!
=
;2»0;-;4!;-;4!;
ln 5-2+2
=
ln 5
;5!;-;4!;
①
1129
|전략| f(x)=
`(t-a)et-b dt의 양변을 x에 대하여 미분한다.
㈎ f(x)=
:)/
(t-a)et-b dt의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '(x)=(x-a)ex-b
:)/`
㈏에서 함수 f(x)는 x=1에서 극값을 가지므로
f '(1)=(1-a)e1-b=0에서 a=1 (∵ e1-b>0)
2
eÜ
㈐에서 f(2)-2f(0)=
이고 ㈎에서 f(0)=0이므로
`
f(2)=
2
eÜ
`
㈎에서 u(t)=t-1, v'(t)=et-b으로 놓으면
u'(t)=1, v(t)=et-b이므로
f(x)=
`(t-1)t-b dt=
(t-1)et-b
-
`et-b dt
=(x-1)ex-b-(-e-b)-
et-b
[
]/)
:)/
:)/
1132
개념 마스터
개념 마스터
STEP1
1130
lim
¦
n`
Ú
1
nÞ
`
(1Ý`+2Ý`+3Ý`+ y +nÝ`)= lim
¦
Ú
n`
= lim
¦
Ú
이때, f(x)=xÝ`, a=0, b=1로 놓으면
n`
n
kÝ`
k=1
1
nÞ
n
k=1{;nK;}
`
;n!;
4`
Dx=
= ㈎ ;n!; , xk=a+kDx= ㈏
;nK;
b-a
n
n
k=1{;nK;}
∴ lim
¦
n`
Ú
=
xÞ`
;5!;
= ㈑ ;5!;
:)1`
;n!;
= lim
¦
n`
Ú
n
k=1
4`
[
]1)
`f(xk)Dx=
㈐ xÝ` dx
㈎
;n!; ㈏ ;nK; ㈐ xÝ` ㈑ ;5!;
1131
1+
;n!;}
+{
1+
;n@;}
+
y
1+
+{
;nN;}
]
2`
2`
lim
n`
Ú
¦;n!;[{
n
= lim
n`
Ú
¦
k=1{
1+
2`
;nK;}
;n!;
2`
이때, f(x)=xÛ`, a=1, b=2로 놓으면
Dx=
, xk=
1
;n!;
+;nK;
n
∴ lim
n`
Ú
¦
k=1{
1+
n
lim
n`
Ú
¦
k=1
;nK;}
;n!;=
2`
=
xÜ`
=
;3!;
;3&;
다른 풀이 f(x)=(1+x)Û`, a=0, b=1로 놓으면
[
]2!
`f(xk)Dx=
`xÛ` dx
:!2
;3&;
Dx=
;n!;, xk=
;nK;
n
∴ lim
n`
¦
k=1
Ú
1+
{
;nK;}
;n!;
n
=lim
¦
n`
Ú
k=1
`f(xk)Dx=
`(1+x)Û` dx
=
(1+x)Ü`
=
2`
:)1
;3&;
;3!;
[
]1)
[
=(x-1)ex-b+e-b-ex-b+e-b
=(x-2)ex-b+2e-b
2
eÜ
이때, f(2)=
이므로
]/)
`
2e-b=
∴ b=3
2
eÜ
`
따라서 f(x)=(x-2)ex-3+
이므로
2
eÜ
`
f(3)=1+
2
eÜ
`
166 | IV . 적분법
lim
n`
Ú
¦;nÒ;{
;nÒ;
sin
+sin
+ y +sin
2p
n
np
n }
= lim
n`
Ú
¦
k=1
n
sin
kp
n
_
;nÒ;
이때, f(x)=sin x, a=0, b=p로 놓으면
Dx=
, xk=
;nÒ;
kp
n
kp
n
n
sin
∴ lim
n`
Ú
¦
k=1
n
_
;nÒ;
= lim
n`
Ú
¦
k=1
`f(xk)Dx=
` sin x dx
=
-cos x
=2
2
:)È
[
]È)
1+ 2
eÜ
`
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
:!e
1133
오른쪽 그림에서 구하는 넓이는
dx=
ln |x|
=1
`
;[!;
[
]e!
1134
곡선 y=sin x와 x축의 교점의 x좌표는
sin x=0에서
x=0 또는 x=p (∵`0ÉxÉp)
따라서 구하는 넓이는
``sin x dx=
-cos x
=2
[
]È)
:)È
1135
오른쪽 그림에서 구하는 넓이는
|-2ex|dx=
2ex
dx
:_1!
=2
:_1!
ex
=2
e-
{
;e!;}
[
]1_!
1136
오른쪽 그림에서 구하는 넓이는
ln
`
x
dx
=
x
ln
x
-
`dx
:!e
=e-
[
x
]e!
:!e
=e-(e-1)=1
[
]e!
``
2y
dy=
'¶
2
2
'
3
y;2#;
=
2
16
'
3
[
]4)
1137
y=
xÛ`에서 xÛ`=2y
;2!;
∴ x=
2y (∵ x¾0)
'¶
따라서 구하는 넓이는
:)4
1138
y=
'§
:!4
x에서 x=yÛ``
따라서 구하는 넓이는
` yÛ`
dy=
;3!;yÜ`
=21
[
]4!
y
4
1
O
y
y
O
O
1
e
y=sin x
y=
1
x
x
1
p x
2
x
y
-1
1
O
-2
y=-2ex
2
e-
{
;e!;}
y
y=ln x
O 1
e
x
y
4
O
1
y= xÛ
2
2
16
'
3
x
1139
y=ex에서 x=ln y
따라서 구하는 넓이는
eÛ`
ln
y
dy=
y
ln
y
eÛ`
-
eÛ`
dy
:!
=2eÛ`-
[
]!
y
eÛ`
:!
=2eÛ`-(eÛ`-1)=eÛ`+1
[
]!
1140
y=ln x에서 x=ey`
따라서 구하는 넓이는
ey
dy=
ey
=e-
;e!;
[
]1_!
:_1!
1141
y=eÅ
y
eÛ
1
O
x
eÛ`+1
y=ln x
1
x
e-
;e!;
y
1
O
-1
y
4
곡선 y=
과 직선 y=-x+4의 교점의
;[#;
;[#;
x좌표는
=-x+4에서
xÛ`-4x+3=0, (x-1)(x-3)=0
∴ x=1 또는 x=3
따라서 구하는 넓이는
y=
3
x
O
1
x
3 4
y=-x+4
`
[
(-x+4)-
dx
;[#;]
=
-;2!;
xÛ`+4x-3 ln |x|
:!3
=4-3 ln 3
[
]3!
4-3 ln 3
1
1142
오른쪽 그림에서 구하는 넓이는
(ex-e-x)dx=
ex+e-x
:)1
=e+
[
]1)
-2
;e!;
1143
두 곡선 y=sin x, y=cos x의 교점의
x좌표는 sin x=cos x에서
y=
x
1
x
21
x=
;4Ò;
{
∵ 0ÉxÉ
;2Ò;}
따라서 구하는 넓이는
;4Ò;
(cos
x-sin
x)dx
:)
=
[
sin
x+cos
x
;4Ò;=
2-1
'
])
y=e-x
y
y=ex
1
O
x
x=1
e+
-2
;e!;
y
1
O
y=sin x
y=cos x
p
4
p
2
x
2-1
'
10 정적분의 활용 | 167
10ㅡㅡ정적분의 활용 정답과 해설
부피는
1144
밑면으로부터 x인 지점에서의 단면의 넓이가
6-x이므로 구하는
'Ä
1150
x=et cos t, y=et sin t에서
=et cos t-et sin t=et(cos t-sin t)
4
6
'
=et sin t+et cos t=et(sin t+cos t)
`
'Ä
6-x
dx=
;3@;
-
(6-x);2#;
=4
6
'
:)6
[
]6)
1145
밑면으로부터 x`cm인 지점에서의 단면의 넓이가 (ex)Û`=e2x`(cmÛ`)
` e2x
dx=
e2x
;2!;
`=;2!;(e20-1)`(cmÜ`)
;2!;(e20-1)`cmÜ`
이므로 구하는 부피는
:)1`0
[
]1)0
1146
⑴ 0+
`e2t dt=
:)3
`e2t dt=
⑵
:)5
[
` |e2t|dt=
⑶
=;2!;
eß`-
;2!;
e10-
;2!;
;2!;e2t
]3)
=
;2!;
[
;2!;e2t
]5)
`e2t dt=
e2t
;2!;
=
e¡`-
;2!;
;2!;
:)4
[
⑴
]4)
;2!;
eß`-
⑵
;2!;
;2!;
e10-
⑶
e¡`-
;2!;
;2!;
;2!;
:)4
1147
x=
tÜ`-t, y=tÛ`에서
;3!;
dx
dt
=tÛ`-1,
=2t
dy
dt
따라서 시각 t=0에서 t=1까지 점 P가 움직인 거리는
(tÛ`-1)Û`+(2t)Û` dt=
(tÛ`+1)Û`
` (tÛ`+1)dt
`
"Ã
:)1
=
dt=
:)1
"Ã
:)1
;3!;
[
tÜ`+t
=
;3$;
]1)
;3$;
따라서 시각 t=0에서 t=1까지 점 P가 움직인 거리는
(-3
`
"Ã
sin
t)Û`+(3
cos
t)Û`
dt=
` 3 dt=
3t
=3
3
:)1
[
]1)
1148
x=3 cos t, y=3 sin t에서
=-3 sin t,
=3 cos t
dy
dt
dx
dt
:)1
1149
x=6tÛ`, y=tÜ`-12t에서
dx
dt
=12t,
=3tÛ`-12
dy
dt
따라서 구하는 곡선의 길이는
(12t)Û`+(3tÛ`-12)Û`
"Ã
dt=
`
"Ã
(3tÛ`+12)Û` dt
:)1
=
:)1
` (3tÛ`+12)dt
:)1
tÜ`+12t
=13
[
]1)
168 | IV . 적분법
dx
dt
dy
dt
:!3`
=
:!3
`
=
:!3
1151
따라서 구하는 곡선의 길이는
{et(cos t-sin t)}Û`+{et(sin t+cos t)}Û` dt
"Ã
`
e2t(1-2 sin t cos t)+e2t(1+2 sin t cos t)dt
"Ã
2e2t dt=
"
2et dt=
2et
'
=
2(eÜ`-e)
'
'
2(eÜ`-e)
"
:!3
[
]3!
y'=
x;2!;=
x이므로 구하는 곡선의 길이는
;3@;_;2#;
'§
`
"Ã1+(
'
x)Û`
dx=
`
'Ä
1+x dx
:)3
=
:)3
;3@;
[
]3)
(1+x)
1+x
=
'Ä
:Á3¢:
:Á3¢:
1152
y'=
ex-e-x
2
이므로 구하는 곡선의 길이는
1+
`
¾Ð
{
ex-e-x
2
dx=
}
¾Ð1+
e2x-2+e-2x
4
dx
:_1!
=
2`
=
=
e2x+2+e-2x
4
dx
dx
ex+e-x
¾Ð{
2
ex+e-x
2
dx
}
2`
:_1!
¾Ð
:_1!
:_1!
:_1!
=
` (ex+e-x)dx
이라 하면
f(x)=ex+e-x
f(-x)=f(x)이므로
우함수이다.
=
=e-
;e!;
e
-;e!;
:)1
ex-e-x
[
]1)
유형 마스터
유형 마스터
STEP2
1153
n
|전략| lim
n Ö ¦
{a+
f
k}
;nP;
_
;nP;
=
k=1
a+p
적분으로 나타낸다.
:A
f(x)dx임을 이용하여 주어진 식을 정
n
lim
¦
n`
Ú
k=1
`f
{
1+
2k
n }_;n@;
xk
=
=
` f(x)dx=
`
;[!;
dx
:!3
ln |x|
:!3
=ln 3
n
다른 풀이 lim
¦
Ú
n`
k=1
`f
{
[
1+ 2k
]3!
=
n }_;n@;
xk
②
` 1
1+x
dx
``f(1+x)dx=
:)2
[
:)2
=ln 3
]2)
=
13
=
ln |1+x|
;
;
;
1154
lim
¦
n`
Ú
lim
¦
n`
Ú
n
n
k=1
`f
{
a+
k=1
`f
{
a+
(1-a)k
n
(1-a)k
n
xk
1-a
n
1-a
n
}_
xk
}_
=
f(x)dx
=
f(a+x)dx
:A1`
1-a
:)
따라서 정적분으로 바르게 나타낸 것은 ②, ③이다.
②, ③
{(3n+2)Û`+(3n+4)Û`+ y +(3n+2n)Û`}
3+
;n@;}
+
3+
{
;n$;}
+ y +
3+
{
2n
n }
]
2`
=
;2!;
lim
n`
Ú
¦
k=1{
3+
=
;2!;
;3!;
xÜ`
=
:¢3»:
2`
2k
n }
2`
=
;2!;
;n@;
`xÛ` dx
2`
:#5
:¢3»:
p
n
n
k=1
tan
kp
4n
=4 lim
¦
n`
Ú
n
k=1
{
tan
p
4n
p
4n
k
}
=4
;4Ò;
tan
x
dx=4
sin x
;4Ò;
cos x
dx
이때, cos x=t로 놓으면 -sin x=
:)
:)
dt
dx
2
일 때 t= '
2
;4Ò;
x=0일 때 t=1, x=
이므로
4
sin x
;4Ò;
cos x
dx=-4
2
'
2
;t!;
:)
=4
:!
ln |t|
dt
dt=4
;t!;
``
2
'
2
: 1
2
=-4 ln '
2
=ln 4
2
'
2
]1
[
1155
1
nÜ
lim
¦
n`
Ú
= lim
¦
n`
Ú
`
;n!; [{
n
]5#
[
1156
lim
¦
n`
Ú
∴ a=4
1157
lim
¦
n`
Ú
;n!;
ln
{
=
lim
¦
n`
Ú
= lim
¦
n`
Ú
;n!; {
n
k=1
=
` ln x dx
n+1
n+2
n+3
n _
n _
y
_
2n
n }
ln
+ln
+ln
+ y +ln
n+2
n
n+3
n
n+n
n }
n _
n+1
n
1+
ln
{
;nK;}
_
;n!;
:!2
x
=
ln
x
-
` dx
[
=2 ln 2-
x
]2!
:!2
=2 ln 2-1
[
]2!
채점 기준
❶ 주어진 급수를 정적분으로 나타낼 수 있다.
❷ 정적분의 값을 구할 수 있다.
③
… ❶
… ❷
2 ln 2-1
비율
60`%
40`%
ㄴ. lim
¦
n`
Ú
n
k=1{
2+
3k
n }
lim
;n!;=;3!;
n`
Ú
¦
k=1{
2+
=
(2+x)Û` dx
;3!;
ㄷ. lim
¦
n`
Ú
n
k=1{
2+
3k
n }
:)3
lim
;n!;=;3!;
n`
Ú
2+
¦
k=1{
n
n
=
xÛ` dx
2`
2`
3k
n }
;n#;
xk
2`
;n#;
3k
n }
xk
2`
;3!;
:@5
따라서 주어진 식과 같은 값을 갖는 것은 ㄱ이다.
①
a-
|a|+
|
a-
;n!;|+|
;n@;|+
n
y
a-
+|
n-1
n |
= lim
¦
n`
Ú
n-1
k=0|
a-
;nK;|_;n!;
=
|a-x|dx
=
`(-x+a)dx+
:)1
`(x-a)dx
=
:)a
-;2!;xÛ`+ax
+
:A1
;2!;xÛ`-ax
=
aÛ`+
[
;2!;
]a)
[
+;2!;aÛ`
{;2!;-a
}
]1A
=aÛ`-a+
;2!;
aÛ`-a+
;2!;
1159
lim
¦
n`
Ú
1160
|전략| 삼각형의 닮음을 이용하여 주어진 급수를 ;nK;를 포함한 식으로 나타낸 다
음 정적분으로 변형하여 그 값을 구한다.
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D
에서 변 AB에 평행하게 직선
을 그어 변 BC와 만나는 점을
E라 하고 선분 BkCk와 만나는
점을 Ek라 하면
A
BÁ
Bª
B£
…
EÁ
Eª
E£
D
CÁ
Cª
C£
… …
Bn-2
Bn-1
(Bn=)B
En-2
En-1
Cn-2
Cn-1
C(=Cn)
E(=En)
：EkCkÓ
BkEkÓ=3, ECÓ=2
한편, △DEC»△DEkCk이므로
DEÓ：ECÓ=DEkÓ：EkCkÓ
6：2= 6k
n
∴ EkCkÓ= 2k
n
따라서 BkCkÓ=BkEkÓ+EkCkÓ=3+ 2k
n
3+ 2k
n }
2`
3+ 2k
n }
n
k=1 {
n
k=1 {
=
BkCkÓ Û`= lim
lim
¦
n`
Ú
n
k=1
;n#;
¦
¦
;2#;
n`
Ú
lim
n`
Ú
=
xÛ` dx
;2#;
이므로
;n#;
;n@;
2`
xÜ`
;3!;
=;2#;
[
]5#
:#5`
;2#;_:»3¥:
=49
=
1158
ㄱ. lim
¦
n`
Ú
n
k=1{
2+
3k
n }
n
;n!;=
lim
n`
Ú
¦
k=1{
2+3_
=
(2+3x)Û` dx
2`
;nK;}
;n!;
xk
2`
:)1
x축 위의 닫힌구간 [0, 2]를 n등분하면 xk=
이므로
2k
n
1161
Qk{
2k
n
, æ
¾Ð
4k
n
+1
}
49
10 정적분의 활용 | 169
10ㅡㅡ정적분의 활용;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
∴ OQkÓ=¾Ð{
=æ
¾Ð{
n
2k
n }
+
{¾Ð
4k
n
2`
+1
2k
n
=
}
2k
n
+1
=¾Ð
}
2`
+1
+
+1
4k
n
4kÛ
nÛ
`
`
∴ lim
¦
n`
Ú
;n!;
k=1
OQkÓ
=
=
2`
lim
n`
Ú
¦
lim
;2!;
n`
Ú
1+
n
k=1 {
n
k=1 {
¦
2k
n } ;n!;
2k
n } ;n@;
1+
=
;2!;
`
x dx=
xÛ`
;2!;
;2!;
=
:!3
_4=2
;2!;
[
]3!
¦
¦
Sn=
{;2!;}
n=1
n=1
n
= ;2!;
1-
;2!;
=1
따라서 a=1이므로 100a=100
1165
|전략| 넓이는 양수이므로 닫힌구간 [a, b]에서 g(y)¾0이면
S=
`g(y)dy, g(y)É0이면 S
`g(y)dy임을 이용한다.
②
=-
:Ab
1-x
y=
1-x+1에서 y-1=
:Ab
'Ä
(y-1)Û`=1-x
따라서 구하는 넓이는
'Ä
∴ x=-yÛ`+2y
y=
1-x+1
1162
|전략| 넓이는 양수이므로 닫힌구간 [a, b]에서 f(x)¾0이면
S=
`f(x)dx, f(x)É0이면 S=-
`f(x)dx임을 이용한다.
:Ab
닫힌구간 [0, 2p]에서 곡선 y=x sin x와 x축의 교점의 x좌표는
:Ab
`(-yÛ`+2y)dy+
`{-(-yÛ`+2y)}dy
:!2
=
-
yÜ`+yÛ`
+
yÜ`-yÛ`
;3!;
:@3
;3!;
=
[
;3@;+;3$;
=2
]2!
[
]3@
닫힌구간 [0, p]에서 x sin x¾0, 닫힌구간 [p, 2p]에서 x sin xÉ0
1166
y=
1
2-x
∴ x=2-
;]!;
에서 2-x=
;]!;
x sin x=0에서
x=0 또는 x=p 또는 x=2p
이므로 구하는 넓이는
x
sin
x
dx+
` (-x sin x) dx
-x cos x
(-cos x) dx
:)È`
=
[
[
:ù2`È
-
]È)
:)È`
]
+
{
=p-
-sin x
+3p-
sin x
`=4p
[
]È)
[
]2ùÈ
x cos x
` -
` cos x dx
[
]2ùÈ
:ù2`È
}
④
따라서 구하는 넓이는
y=
1
2-x
{
;2!;
e`
2-
dy=
2y-ln |y|
;]!;}
:
=(2e-1)-
[
;2!;
]e
1-ln
{
;2!;}
=2e-2-ln 2
1163
오른쪽 그림에서 구하는 넓이는
y
`(e-x-1)dx+
`{-(e-x-1)}dx
:_0!
=
-e-x-x
:)1
e-x+x
+
[
=e+
-2
;e!;
]0_!
[
]1)
-1
O
1
x
y=e-x-1
1164
;2Ò;
;2!;
p
;2Ò;
:
;2#;
:ù
2p
{;2!;}
2`
p
{;2!;}
n=1일 때, SÁ=
cos x dx=
;2!; sin x
;2Ò;
=;2!;
:)
n=2일 때, Sª=-
[
cos x dx
])
{;2!;}
=-
n=3일 때, S£=-
cos x dx
n=4일 때, S¢=
즉, 수열 {Sn}은
3`
cos x dx
=
{;2!;}
p
;2#;
:
;2!;
,
{;2!;}
{;2!;}
[
4`
, y이므로
{;2!;}
,
4`
,
2`
3`
4`
=
[
-
2`
{;2!;}
3`
[
sin x
{;2!;}
sin x
;2Ò;
]È
sin x
;2#;
={;2!;}
2`
p
={;2!;}
3`
]ù
p={;2!;}
4`
;2#;
]2`È
170 | IV . 적분법
e+
-2
;e!;
ln
a
[
-
;2!;
(ey-a)
dy
]
:)
=
ln
a
;2!;
(a-ey)dy
1167
y=ln(2x+a)에서 2x+a=ey
∴ x=
(ey-a) … ❶
;2!;
오른쪽 그림에서 색칠한 도형의 넓이는
y=ln (2x+a)
ln a
y
O
a ln a-a+1=1, a(ln a-1)=0
∴ a=e (∵ a>1) … ❸
=
:)
;2!;
[
따라서
ay-ey
ln
a
=;2!;
(a ln a-a+1)
(a
;2!;
])
ln
a-a+1)=
;2!;
이므로
채점 기준
❶ x를 y에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
❷ 도형의 넓이를 a에 대한 식으로 간단히 나타낼 수 있다.
❸ a의 값을 구할 수 있다.
y
e
1
2
O
②
3
y
2
1
O
1
x
②
x
①
x
… ❷
e
비율
30`%
40`%
30`%
정답과 해설;
;
;
;
;
1168
|전략| 곡선과 직선의 교점의 x좌표를 구한 후
{(위쪽 그래프의 식)-(아래쪽 그래프의 식)}의 정적분의 값을 구한다.
따라서 구하는 넓이는
;2Ò; (x+x cos x-x)dx=
;2Ò; x cos x dx
와 직선 y=x의 교점의 x좌표는
=x에서
2x
+1
xÛ
`
x(x+1)(x-1)=0
∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=1
2x
+1
곡선 y=
xÛ
`
2x=xÜ`+x, xÜ`-x=0
따라서 구하는 넓이는
:)
=
:)
x sin x
;2Ò;
-
;2Ò; sin x dx
=
[
;2Ò;+
])
cos
x
:)
;2Ò;
=;2Ò;
-1
;2Ò;
-1
[
참고 곡선 y=x+x cos x와 직선 y=x의 교점의 x좌표는 0, ;2Ò;이고,
])
00이므로 00)
또, 곡선 y=
과 직선 y
x의 교점
;[!;
=;2!;
의 x좌표는
x에서
;[!;=;2!;
xÛ`=2
∴ `x=
2 (∵`x>0)
'
따라서 구하는 넓이는
2x-;2!;x
}
dx+
-
x
}
;2!;
dx
2
` '
{;[!;
2
'
2
:
{;[!;
-
;2!;
x
dx
}
xÛ`
;4!;
2
'
2
'
2
]
2
'
2
{
:)` `
2
'
=
2
x dx+
;2#;
=
:)` `
;4#;xÛ`
2
'
2
+
2
` '
2
'
2
:
|x|-
ln
[
=
;8#;
+
])
ln
{
[
2-
;8#;}
=ln 2
다른 풀이 구하는 넓이는
2
'
2
2
2x-
;2!;x
}
dx+
{
:) `
2
'
2
=
2x dx+
2
'
2
;[!;
'
2
:
ln |x|
2
'
2
'
2
:) `
2
'
2
+
xÛ`
=
'
2
{;[!;
'
2
:
dx-
-
x
dx
;2!;
}
2
'
;2!;x dx
-
:)
;4!;xÛ`
2
'
])
+
[
;2!;
ln
'
{
`
]
[
2
2-ln '
2 }-;2!;
[
])
=ln 2
=
]1)
y
O
y=2x
1
y= x
1
y= x
2
x
2
2
2
③
1171
|전략| 두 곡선의 교점의 x좌표를 구한 후
{(위쪽 그래프의 식)-(아래쪽 그래프의 식)}의 정적분의 값을 구한다.
두 곡선 y=
2 cos x, y=sin 2x의 교점
'
2 cos x=sin 2x에서
의 x좌표는
'
2 cos x=2 sin x cos x
'
'
2 cos x(1-
2 sin x)=0
'
2
cos x=0 또는 sin x= '
2
∴`x=
또는 x
;4Ò;
=;2Ò;
{
∵
`
0ÉxÉ
;2Ò;}
따라서 구하는 넓이는
y
2
O
y= 2 cos x
y=sin 2x
p
4
x
p
2
;2Ò;`(sin 2x-
2 cos x)dx=
-
cos 2x-
2 sin x
;2!;
'
'
;4Ò;
[
:
=
;2#;
-
2
'
;2Ò;`
;4Ò;
]
②
1172
두 곡선 y=sin x, y=sin 2x의 교점의
②
x좌표는 sin x=sin 2x에서
sin x=2 sin x cos x
sin x(1-2 cos x)=0
sin x=0 또는 cos x=
;2!;
y
O
y=sin x
p
2
p
3
x
p
y=sin 2x
∴ x=0 또는 x=
또는 x=p (∵ 0ÉxÉp)
… ❶
;3Ò;
따라서 구하는 넓이는
;3Ò; (sin 2x-sin x)dx+
p
(sin x-sin 2x)dx
;3Ò;
-;2!;
cos 2x+cos x
-cos x+
cos 2x
;2!;
:
;3Ò;+
])
[
p
;3Ò;
]
[
=
;4!;+;4(;=;2%;
:)
=
채점 기준
❶ 두 곡선의 교점의 x좌표를 구할 수 있다.
❷ 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.
… ❷
;2%;
비율
50`%
50`%
10 정적분의 활용 | 171
1170
곡선 y=x+x cos x와 직선 y=x의 교점의
x좌표는 x+x cos x=x에서
x cos x=0
∴ x=0 또는 x=
∵ 0ÉxÉ
;2Ò;
{
;2Ò;}
y
y=x+x cos x
y=x
x
p
2
O
10ㅡㅡ정적분의 활용 직선 y=ax와 x축 및 직선 x=1로 둘러싸인 도형의 넓이를 Sª라 하
y
k
면
y=-
1
x
1
O
y=
1
x
x
Sª=
1
a
;2!;_
_
=;2!;
a
이때, Sª=
SÁ이므로
;2!;
a
;2!;
=;2!;
(e-1)
∴ a=e-1
③
1173
y=
에서 x
;[!;
=;]!;
y=-
에서 x
;[!;
=-;]!;
오른쪽 그림에서 색칠한 도형의 넓이는
`[;]!;-{-;]!;}]
dy
2
=
dy
;]!;
:!k
=2
:!k`
ln |y|
=2 ln k (∵ k>1)
따라서 2 ln k=2이므로 ln k=1
∴ k=e
[
]k!
⑤
1174
|전략| 닫힌구간
에서 곡선 y=x sin x와 직선 y=k로 둘러싸인 두 도
0, ;2Ò;
]
형의 넓이가 같고 0ÉkÉ
[
;2Ò; (x sin x-k)dx=0임을 이용한다.
;2Ò;이므로
:)
;2Ò;(x sin x-k)dx=0에서
:)
;2Ò;x sin x dx=
;2Ò;k dx
:)
-x cos x
:)
;2Ò;+
;2Ò;cos x dx=
kx
;2Ò;
[
sin x
])
;2Ò;=
;2Ò;
:)
k, 1
k
=;2Ò;
[
∴ k=
])
2
p
`(
x-2)dx=0이므로
'
x;2#;
2x
-
0,
k;2#;-2k=0
=
;3@;
:)k
;3@;
[
k
k-2
{;3@;'
]k)
=0,
}
'
k=3 (∵ k>4)
∴ k=9
④
dx=0에서 ln x=t로 놓으면
=
이고
dt
dx
;[!;
:Ke
x=k일 때 t=ln k, x=e일 때 t=1이므로
dx=
` t dt=0
1
ln k
:
;2!;
=0,
{1-(ln k)Û`}=0
[
])
1175
1176
`
ln x
x
`
ln x
x
:Ke
;2!;tÛ`
ln k
]1
1178
y=
에서 x
;[!;
=;]!;
곡선 y=
과 y축 및 두 직선 y=1,
;[!;
y=4로 둘러싸인 도형의 넓이를 SÁ이라
1
y= x
y
4
a
1
O
SÁ=
dy=
ln |y|
=2 ln 2
곡선 y=
과 y축 및 두 직선 y=1, y=a로 둘러싸인 도형의 넓이를
[
]4!
하면
`
;]!;
:!4
;[!;
Sª라 하면
Sª=
``
;]!;
2
p
dy=
ln |y|
=ln a (∵ 10)
;a!;
두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=e에서 접하므로
Ú f(e)=g(e)에서
y
eae=
, 즉 aeae=1
;a!;
yy`㉠
Û f '(x)=aeax, g'(x)=
이므로
;aÁ[;
e
1
f '(e)=g'(e)에서
aeae=
;aÁe;
㉠, ㉡에서 a=
;e!;
yy`㉡
x
e
∴`f(x)=e , g(x)=e ln x
두 곡선이 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 두 곡선 y=f(x),
y=g(x)와 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 곡선 y=f(x)
와 y축 및 직선 y=x로 둘러싸인 도형의 넓이의 2배와 같다.
따라서 구하는 넓이는
2
`(e -x)dx=2
e
x
e
x
e
e -;2!;xÛ`
_
:)e
[
=2
{
eÛ`-
eÛ`-e
;2!;
]e)
=eÛ`-2e
}
1187
|전략| 밑면으로부터의 높이가 x인 지점에서 밑면과 평행한 평면으로 자른 단면
의 넓이가 S(x)인 입체도형의 높이가 a일 때의 부피는
`S(x)dx임을 이용한
다.
:)a
밑면으로부터의 높이가 x인 지점에서의 단면의 넓이를 S(x)라 하면
3
S(x)= '
4
3
e5x)Û`= '
4
(
"
e5x
입체도형의 높이가 a이므로 부피는
`
S(x)dx=
3
'
4
e5x dx
:)a`
:)a
3
= '
4
e5x
;5!;
3
= '
20
(e5a-1)
3
이때, '
20
[
3
(e5a-1)= '
20
]a)
(e30-1)이므로
5a=30
∴ a=6
174 | IV . 적분법
1188
밑면으로부터의 높이가 x인 지점에서의 단면의 넓이를 S(x)라 하면
25+xÛ`)Û`=p(25+xÛ`)
S(x)=p(
"Ã
따라서 화분의 부피는
`
S(x)dx=
` p(25+xÛ`)dx
:)5
:)5
=p
25x+
xÜ`
;3!;
p
=;:%3):);
[
]5)
채점 기준
❶ 밑면으로부터의 높이가 x인 지점에서의 단면의 넓이를 x에 대한 식으로
나타낼 수 있다.
❷ 화분의 부피를 구할 수 있다.
1189
물의 높이가 x일 때 수면의 넓이가 x ln(xÛ`+1)이므로 구하는 물의
… ❶
… ❷
p
;:%3):);
비율
40`%
60`%
x
e
y=e
y=x
y=e ln x
부피는
` x ln(xÛ`+1)dx
:)2
이때, xÛ`+1=t로 놓으면 2x= dt
dx
이고
O
1
e
x
x=0일 때 t=1, x=2일 때 t=5이므로
eÛ`-2e
x(0ÉxÉp)인 점을 지나고 x축에 수직
인 평면으로 자른 단면인 정삼각형의 한
y=
sin x
sin x
sin x이므로 단면의 넓이를
O
x
p
x
`x ln(xÛ`+1)dx=
` ln t
_;2!;dt
=;2!; {
t
ln
:)2
=
:!5
;2!;
{5 ln 5-(5-1)}
`dt
}
-
t
]5!
[
=;2%;
:!5
ln 5-2
⑤
1190
|전략| 닫힌구간 [a, b]에서 x좌표가 x인 점을 지나고 x축에 수직인 평면으로
잘랐을 때의 단면의 넓이가 S(x)인 입체도형의 부피는
`S(x)dx임을 이용
한다.
오른쪽 그림과 같이 x좌표가
:Ab
y
변의 길이는
'Ä
S(x)라 하면
3
S(x)= '
4
3
sin x)Û`= '
4
(
'Ä
sin x
따라서 구하는 부피는
` S(x)dx=
3
` '
4
3
sin x dx= '
4
-cos x
:)È
:)È
3
= '
4
3
(1+1)= '
2
[
]È)
③
y
1
1191
오른쪽 그림과 같이 x좌표가
x(-1ÉxÉ1)인 점을 지나고 x축에 수
-xÛ +1
y=-xÛ +1
직인 평면으로 자른 단면인 반원의 지름의
길이는 -xÛ`+1이므로 단면의 넓이를
-1
O x
1
x
③
S(x)라 하면
정답과 해설 S(x)=
p
{
;2!;
-xÛ`+1
2
따라서 구하는 부피는
}
=;8Ò;
2`
(-xÛ`+1)Û`
S(x)dx=
;8Ò;
(-xÛ`+1)Û` dx
2
=
`
;8Ò;
(-xÛ`+1)Û` dx
:_1!
=
:_1!
;4Ò;
(xÝ`-2xÛ`+1)dx
`
xÞ`
;5!;
-;3@;
xÜ`+x
:)1
=;4Ò;
[
=
:)1
_
;4Ò;
;1¥5;
;1ª5;
=
p
1192
오른쪽 그림과 같이 밑면의 중심을 원점, 밑
면의 지름을 x축으로 잡고, x축 위의 점
P(x, 0)(-1ÉxÉ1)을 지나고 x축에 수
직인 평면으로 입체도형을 자른 단면을
△PQR라 하면
PQÓ="ÃOQÓ Û`-OPÓ Û`=
RQÓ=PQÓ tan 60ù=
1-xÛ`
△PQR의 넓이를 S(x)라 하면
"Ã
3_
1-xÛ`
"Ã
'
S(x)=
;2!;_
PQÓ
RQÓ
_
=;2!;
"Ã
_
1-xÛ`_
3_
1-xÛ`
'
"Ã
3
= '
2
(1-xÛ`)
따라서 구하는 부피는
S(x)dx=
(1-xÛ`)dx=2
(1-xÛ`)dx
:_1!
=
x-
xÜ`
;3!;
3
:)1`
_;3@;=
='
3
'
3
2
3
'
3
3
'
2
2
3
'
2
:_1!
3
'
[
]1)
1193
|전략| 수직선 위를 움직이는 점 P의 위치가 0일 때, 점 P가 원점을 지남을 이용
한다.
t=0에서의 위치가 0이므로
t=a(00)
점 P는 t=2에서 두 번째로 운동 방향을 바꾸고, 0ÉtÉ1에서
v(t)¾0, 1ÉtÉ2에서 v(t)É0이므로 구하는 거리는
`|sin pt|dt=
`sin pt dt-
`sin pt dt
:)2
=
:)1
-
cos pt
-
cos pt
:!2
-
1
p
1
p
=
[
;@;-{-;@;}
]1)
=
4
p
[
]2!
4
p
]1)
①
1195
시각 t에서의 두 점 A, B의 위치를 각각 xA, xB라 하면
R
xA=0+
` dt=
t
=t
xB=0+
=
t;2!;
:)t
1
[
]t)
t +;2!;}
` {
2
dt=
'
=
:)t
+;2!;
t
t+
t
;2!;
'
:)t`
두 점이 다시 만날 때 xA=xB이므로
]t)
[
t-;2!;
{;2!;
+;2!;}
dt
-1
P
60ù
O
1
Q
1
y
t=
t+
'
t,
;2!;
;2!;'
'
t(
t-2)=0
∴ t=4 (∵ t>0)
즉, 두 점 A, B가 처음으로 다시 만나는 시각은 t=4이므로
x
그때의 위치는 xA=t=4이다.
4
1196
|전략| 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 (x, y)가 x=f(t),
y=g(t)일 때, 시각 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 s는
s=
`
{ f '(t)}Û`+{ g'(t)}Û` dt임을 이용한다.
"Ã
x=
t-1, y=
에서
:Ab
;3@;
et+e-t
3
et-e-t
3
dx
dt
=
,
;3@;
dy
dt
=
시각 t=0에서 t=1까지 점 P가 움직인 거리는
`¾Ð{;3@;}
+
{
et-e-t
3
dt=
}
`¾Ð;9$;
+
e2t-2+e-2t
9
dt
:)1
=
2`
2`
:)1
e2t+2+e-2t
9
`¾Ð
dt
=
et+e-t
3
}
`¾Ð{
et+e-t
3
dt
:)1
:)1
;3!;
dt=
``
2`
;3!;{
:)1
e-
;e!;}
=
et-e-t
=
∴ a=
;3!;
[
]1)
②
1197
x=et cos t, y=et sin t에서
4
=et cos t-et sin t=et(cos t-sin t)
dx
dt
dy
dt
:)a
=
:)a
=
:)a`
=et sin t+et cos t=et(sin t+cos t)
시각 t=0에서 t=a까지 점 P가 움직인 거리는
``
{et(cos t-sin t)}Û`+{et(sin t+cos t)}Û` dt
"Ã
e2t(1-2 cos t sin t)+e2t(1+2 sin t cos t) dt
`
"Ã
2e2t dt
"
=
`
'
2et dt=
2 et
=
2(ea-1)
:)a
'
[
]a)
'
10 정적분의 활용 | 175
10ㅡㅡ정적분의 활용 정답과 해설
이때,
'
a=2
1198
2(ea-1)=
2(eÛ`-1)이므로
'
1201
2
y=
(xÛ`+2);2#;에서
;3!;
y'=
;3!;_;2#;
(xÛ`+2);2!;_2x=x
xÛ`+2
"Ã
0ÉxÉa에서 곡선의 길이는
`"Ã1+(x
"Ã
xÛ`+2)Û` dx=
1+xÛ`(xÛ`+2)dx
:)a
=
:)a
`
xÝ`+2xÛ`+1 dx
=
(xÛ`+1)Û`
dx
=
`(xÛ`+1)dx
`
"Ã
"Ã
`
"Ã
:)a
:)a
:)a
;3!;
이때, 점 P의 속력이 0이 되는 시각은
2|sin t|=0에서 |sin t|=0
∴ t=p, 2p, 3p, y
따라서 점 P가 출발 후 처음으로 속력이 0이 되는 시각은 t=p이므
로 시각 t=0에서 t=p까지 점 P가 움직인 거리는
=
xÜ`+x
[
aÜ`+a=12이므로
이때,
;3!;
aÜ`+a
=;3!;
]a)
aÜ`+3a-36=0, (a-3)(aÛ`+3a+12)=0
∴ a=3 (∵ aÛ`+3a+12>0)
3
x=1-
cos 2t, y
t
sin 2t에서
;2!;
=
-;2!;
dx
dt
=sin 2t,
=1-cos 2t
dy
dt
점 P의 시각 t에서의 속력은
sinÛ` 2t+(1-cos 2t)Û`=
"Ã
=
=
"Ã
'Ä
"Ã
sinÛ` 2t+1-2 cos 2t+cosÛ` 2t
2(1-cos 2t)=
"Ã
4 sinÛ` t=2|sin t|
2{1-(1-2 sinÛ` t)}
p
2|sin t|dt
2
=
p
sin t dt
[
])
:)
=2
:)
-cos t
p
=2_2=4
②
1199
|전략| 곡선 y=f(x)(aÉxÉb)의 길이 l은 l=
이용한다.
xÛ`
;2!;
y=
ln x
4
따라서 구하는 곡선의 길이는
에서 y'=x
-
-;4Á[;
1+{ f '(x)}Û` dx임을
`
"Ã
:Ab
`
¾Ð
1+
x-
{
;4Á[;}
dx=
`
¾Ð
1+
xÛ`-
+
{
;2!;
:!e
=
2`
:!e
`
1
16xÛ
}
`
dx
=
=
xÛ`+
+
;2!;
¾Ð
1
16xÛ
`
dx
x+
`
¾Ð{
;4Á[;}
dx
``
x+
{
;4Á[;}
2`
dx
:!e
ln
;2!;xÛ`+;4!;
|x|
:!e
:!e
[
]e!
=
=
;2!;eÛ`-;4!;
④
1200
x=2tÜ`+1, y=6tÛ`+1에서
=6tÛ`,
=12t
dx
dt
dy
dt
따라서 구하는 곡선의 길이는
'
5
"Ã
(6tÛ`)Û`+(12t)Û` dt
=
'
5
6t
tÛ`+4 dt
:)
이때, tÛ`+4=u로 놓으면 2t=
:)
이고
"Ã
du
dt
t=0일 때 u=4, t=
5일 때 u=9이므로
'
f(x) dx임을 이용하여 주어진 식을
내신 마스터
내신 마스터
STEP3
1202
유형 01 정적분과 급수의 합 사이의 관계
n
|전략| lim
n Ö ¦
k=1
f
a+
k
_
}
;nP;
;nP;
=
{
a+p
정적분으로 나타낸다.
n
lim
¦
n`
Ú
k=1
`f
{
1+
:A
n
2 lim
¦
n`
Ú
;nK;}_;n@;=
1+
`f
{
k=1
;nK;}_;n!;
f(x)dx=2
ex dx
2
=
=2
:!2`
ex
:!2`
=2(eÛ`-e)
③
[
]2!
1203
유형 03 곡선과 x축 사이의 넓이
|전략| 넓이는 양수이므로 닫힌구간 [a, b]에서 f(x)¾0이면
S=
` f(x)dx, f(x)É0이면 S
`f(x)dx임을 이용한다.
:Ab
오른쪽 그림과 같이 닫힌구간
0,
=-
:Ab
;2Ò;
에
서 두 함수 y=k sin x, y=cos x의 그
[
]
래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이
y
1
k
O
y=cos x
A
y=k sin x
C
B
p
2
p
x
'
5
6t
"Ã
:)
tÛ`+4 dt
`3
u du=
3_
u;2#;
2u;2#;
;3@;
=
=
'
를 C라 하면
:$9
=2(27-8)=38
[
]9$
[
]9$
①
A=B에서 A+C=B+C
176 | IV . 적분법
;
;
;
1204
유형 04 곡선과 y축 사이의 넓이
=-
:Ab
:Ab
y=ln(x+1)에서 x+1=ey
∴ x=ey-1
따라서 구하는 넓이는
{-(ey-1)}dy+
` (ey-1)dy
:_0!
=
-ey+y
+
:)1
ey-y
[
=e+
]0_!
-2
;e!;
[
]1)
Ú A+C는 곡선 y=cos x와 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이
` ln x dx-
` 2 ln(x-2) dx
A+C=
;2Ò; cos x dx=
sin x
;2Ò;=1
Û B+C는 곡선 y=k sin x와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이이므
[
])
:)
이므로
로
B+C=
` k sin x dx=k
-cos x
=2k
Ú, Û에서 1=2k이므로 k=
:)È
[
;2!;
]È)
⑤
1206
:!4
=
:#4
x ln x
-
[
]4!
=4 ln 4-
x
` dx-
{
:!4
[
-8 ln 2+
=-3+
]4!
[
:#4
4 ln(x-2)+2x
2x ln(x-2)
-
` 2x
x-2
dx
}
4
x-2
``
{
]4#
+2
}
:#4
dx
=-3+(4 ln 2+8)-6=4 ln 2-1
]4#
[
|전략| 넓이는 양수이므로 닫힌구간 [a, b]에서 g(y)¾0이면
(xÛ`-a) sin x dx=0에서 f(x)=xÛ`-a, g'(x)=sin x로 놓으면
S=
`g(y)dy, g(y)É0이면 S
`g(y)dy임을 이용한다.
:)È`
f '(x)=2x, g(x)=-cos x이므로
유형 07 넓이의 활용 - 두 도형의 넓이가 같을 때
|전략| 닫힌구간 [0, p]에서 곡선 y=(xÛ`-a) sin x와 x축으로 둘러싸인 두 도
형의 넓이가 같고 00),
y=ln 2
;2!;
∴`y=2 ln 2
따라서 구하는 넓이는
2 ln 2
`(e;2!;
y+2-ey)dy=
2e;2!;
y+2y-ey
2 ln 2
:)È`
따라서 pÛ`-2a-4=0이므로 a=
pÛ
`
2
-2
①
y=2 ln (x-2)
1207
유형 08 넓이의 활용 - 넓이를 이등분할 때
|전략| 두 곡선의 교점의 x좌표를 a
00, x-2>0에서 x>2이므로 x=4
따라서 구하는 넓이는
SÁ=
;2Ò;
a sin x dx=
-a cos x
;2Ò;=a
:)
0ÉxÉ
;2Ò;
[
])
에서 두 곡선 y=a sin x, y=cos x와 직선 x
로 둘러
=;2Ò;
싸인 도형의 넓이를 Sª라 하면
10 정적분의 활용 | 177
10ㅡㅡ정적분의 활용 aÛ`
4
;3$;
'Ä
Sª=
;2Ò; (a sin x-cos x)dx
-a cos x-sin x
;2Ò;
a
]
=-1-(-a cos a-sin a)=a cos a+sin a-1
a
:
[
=
이때, Sª=
SÁ이므로
;2!;
오른쪽 그림과 같이 두 곡선 y=f(x)와
y=g(x)는 직선 y=x에 대하여 대칭이므
로 P=
`g(x)dx의 값은 곡선 y=f(x)
와 y축 및 직선 y=e로 둘러싸인 도형의 넓
:)e
y
e
1
2
Q
O
1
2
y=f(x)
y=x
y=g(x)
P
e
x
a cos a+sin a-1=
;2A;
∴ a cos
a
+
sin
a
=;2A;
+1
이, 즉 Q와 같다.
cos a+0이므로 양변을 cos a로 나누면
a+
sin a
cos a
=
1
1
{;2A;+
}
cos a
∴ a
tan
a
+
={;2A;
+1
sec a
}
∴
`g(x)dx=
;2!;_
e-
;2!; f(x)dx=
;2!; 2xe2x dx
-
;2E;
:)e
이때,
;2!; 2xe2x dx에서 u(x)=2x, v'(x)=e2x으로 놓으면
:)
:)
㉠에서 secÛ` a=tanÛ` a+1=
+1이므로
1
aÛ`
sec a=
1
aÛ`
¾Ð
+1
{
∵ 00)
②
:)
1210
∴
-
;2E;
;2!; 2xe2x dx
=;2E;-;2!;=;2!;
(e-1)
②
유형 12 입체도형의 부피 - 단면이 밑면과 수직인 경우
|전략| 닫힌구간 [a, b]에서 x좌표가 x인 점을 지나고 x축에 수직인 평면으로
잘랐을 때의 단면의 넓이가 S(x)인 입체도형의 부피는
`S(x) dx임을 이용
한다.
:Ab
1
y= x
4
y=
x-4
오른쪽 그림과 같이 입체도형의 밑면의 중
심이 원점, 지름 AB가 x축이 되도록 밑
면을 좌표평면 위에 놓고, 호 AB 위의 점
P에서 x축에 내린 수선의 발을 H(x, 0)
O
4
8
x
이라 하면
P
2
y
2
O
-2
A
-2
B
x
H 2
x
OPÓ Û`-OHÓ Û`=
PHÓ="Ã
점 P를 지나고 x축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이
4-xÛ`
"Ã
를 S(x)라 하면
3
S(x)= '
4
3
(2 PHÓ)Û`= '
4
"Ã
(2
4-xÛ`)Û`=
3(4-xÛ`)
'
따라서 구하는 부피는
1208
유형 09 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이
|전략| 먼저 원점에서 곡선 y=
x-4에 그은 접선의 방정식을 구한다.
y=
x-4에서 y'=
'Ä
곡선 위의 점 (a,
이므로
1
x-4
a-4)에서의 접선
'Ä
2
y
2
의 기울기는
이고 접선의 방
'Ä
1
a-4
2
'Ä
1
a-4
2
'Ä
정식은
y-
a-4=
'Ä
(x-a)
이 직선이 원점을 지나므로
-
a-4=
'Ä
2
즉, 곡선 y=
, 2(a-4)=a
-a
a-4
'Ä
x-4 위의 점 (8, 2)에서의 접선의 방정식은
'Ä
∴ a=8
y-2=
(x-8) ∴ y
;4!;
x
=;4!;
따라서 구하는 넓이는
8_2
;2!;_
-
`'Ä
x-4 dx
8
=
-
;3@;
(x-4);2#;
[
=8-
:Á3¤:
:$8
=
;3*;
]8$
③
S(x)dx=
3(4-xÛ`)dx
'
`
:_2@
=2
:_2@
3
'
` (4-xÛ`)dx
=2
4x-
xÜ`
=
:)2
3
'
[
;3!;
]2)
3
32
'
3
1211
유형 15 곡선의 길이
⑤
유형 10 함수와 그 역함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이
|전략| y=g(x)는 y=f(x)의 역함수이므로 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그
래프는 직선 y=x에 대하여 대칭임을 이용한다.
이용한다.
y=
;4!;
(e2x+e-2x)에서
|전략| 곡선 y=f(x)(aÉxÉb)의 길이 l은 l=
1+{ f '(x)}Û` dx임을
`
"Ã
:Ab
1209
178 | IV . 적분법
정답과 해설 y'=
(2e2x-2e-2x)
(e2x-e-2x)
=;2!;
;4!;
-aÉxÉa에서 곡선의 길이는
1+
`
¾Ð
[;2!;(e2x-e-2x)
]
dx
:_aA
=
:_aA
=
;2!;
¾Ð[;2!;
(e2x+e-2x)
`(e2x+e-2x)dx
2`
dx
]
2`
:_aA
;2!;
e2x
=
;2!;
e-2x
-;2!;
=
[
;2!;[{;2!;
e2a-
e-2a
]a_A
}-{;2!;
;2!;
e-2a-
e2a
;2!;
}]
=
;2!;
(e2a-e-2a)
이때,
(e2a-e-2a)=
(eß`-e-6)이므로
;2!;
;2!;
2a=6
∴ a=3
1212
유형 05 곡선과 직선 사이의 넓이
|전략| 곡선과 직선의 교점의 x좌표를 구한 후
1213
유형 14 평면 위를 움직이는 점이 움직인 거리
|전략| 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 (x, y)가 x=f(t),
y=g(t)일 때, 시각 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 s는
s=
`
{ f '(t)}Û`+{g'(t)}Û` dt임을 이용한다.
"Ã
:Ab
x=tÛ`-2 ln t, y=4t에서
dx
dt
=2t-
,
;t@;
dy
dt
=4
점 P의 시각 t초에서의 속력은
2t-
+4Û`=
2t+
=2t+
(∵ t>0)
¾Ð{
;t@;}
¾Ð{
;t@;}
;t@;
… ❶
t>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
2`
2`
2t+
¾2
2t_
;t@;
¾Ð
단, 등호는 2t
=4
{
;t@;
=;t@;
, 즉 t=1일 때 성립
}
즉, t=1일 때 점 P의 속력이 최소가 된다.
… ❷
⑤
따라서 t=1일 때부터 3초 동안, 즉 4초까지 움직인 거리는
2t+
`
{
;t@;}
dt=
tÛ`+2 ln t
:!4
=(16+2 ln 4)-1=15+4 ln 2
]4!
[
채점 기준
❶ 점 P의 시각 t초에서의 속력을 구할 수 있다.
❷ 점 P의 속력이 최소일 때의 시각을 구할 수 있다.
… ❸
15+4 ln 2
배점
2점
2점
3점
{(위쪽 그래프의 식)-(아래쪽 그래프의 식)}의 정적분의 값을 구한다.
❸ 점 P의 속력이 최소일 때부터 3초 동안 움직인 거리를 구할 수 있다.
곡선 y=
+2와 직선 y=-
+5
;n{;
2n
x
y
y=- +5
x
n
2n
y= +2
x
의 교점의 x좌표는
2n
x
+2=-
+5에서
;n{;
2nÛ`+2nx=-xÛ`+5nx
xÛ`-3nx+2nÛ`=0
5
2
O
n
2n
x
1214
유형 02 정적분과 급수의 활용
|전략| 주어진 급수를 ;nK;를 포함한 식으로 나타낸 다음 정적분으로 변형하여 그
값을 구한다.
(x-n)(x-2n)=0
∴ x=n 또는 x=2n
… ❶
⑴ 반원의 중심을 O, 점 Ck에서 선분
2n
Sn=
-
+5
-
}
{
;n{;
[{
+2
dx
}]
2n
x
n
:
=
=
n
:
-
[
2n
{
-
;n{;
+3-
2n
x }
dx
xÛ`+3x-2n ln|x|
;2Án;
2n
n
]
n-2n ln n
}
{;2%;
=(4n-2n ln 2n)-
=n
-2 ln 2
{;2#;
}
∴ lim
¦
n`
Ú
Sn
n+1
= lim
¦
n`
Ú
n
n+1 {;2#;
-2 ln 2
}
=
-2 ln 2
;2#;
채점 기준
❶ 곡선과 직선의 교점의 x좌표를 구할 수 있다.
❷ Sn을 n에 대한 식으로 간단히 나타낼 수 있다.
❸ lim
¦
n`
Ú
Sn
n+1
의 값을 구할 수 있다.
AB에 내린 수선의 발을 Hk라 하
면 ∠AOCk=
p, OCkÓ=2이므
;nK;
로 CkHkÓ=2 sin
p
;nK;
∴ Sk=
4
2 sin
p=4 sin
p
;2!;_
_
;nK;
;nK;
⑵ lim
¦
n`
Ú
n-1
k=1
;n!;
Sk=
=
¦ ;n!;
lim
n`
Ú
4
p
lim
¦
n`
Ú
n-1
k=1
n-1
k=1
4 sin
p
;nK;
sin
p_
;nK;
;nÒ;
=
sin x dx
=
-cos x
=
4
p
4
p
:)È`
[
8
p
]È)
채점 기준
⑴ Sk를 사인함수로 나타낼 수 있다.
⑵ lim
n`
¦ ;n!;
Ú
n-1
k=1
Sk의 값을 구할 수 있다.
… ❷
… ❸
배점
1점
3점
2점
;2#;
-2 ln 2
Ck
y
y
Cª
CÁ
A
k
n p
OHk
4
Cn-1
B
⑴ 4 sin
p ⑵
;nK;
8
p
배점
6점
6점
10 정적분의 활용 | 179
10ㅡㅡ정적분의 활용;
;
;
;
창의·융합 교과서 속 심화문제
이때, 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점의 x좌표는 0, p,
2p이므로 구하는 넓이는
2p
2p
|(x+2 sin x)-x|dx=
|2 sin x|dx
:)
=
:)
2 sin x dx+
(-2 sin x)dx
2p
=4
sin x dx=4
-cos x
:)È`
=4_2=8
:)È`
]È)
따라서 k=1, A=8이므로 k+A=9
9
:ù
[
한다.
lim
¦
n`
Ú
lim
¦
n`
Ú
lim
¦
n`
Ú
1215
|전략| 각 함수의 대칭성을 파악하고 각각의 급수의 합을 정적분의 형태로 변형
조건 ㈎에서 f(-x)=f(x), g(-x)=-g(x)이므로 f(x)는 우
함수, g(x)는 기함수이다.
조건 ㈏에서
n
k=1
`f
{;nK;}
_
=
;n!;
`f(x)dx=3
n
n
k=1
`f
{
1+
k=1
`g
{
1+
:)1
2k
n }_;n@;=
2k
n }_;n!;=;2!;
:!3`
f(x)dx=7
n
lim
n`
Ú
k=1 g{
¦
1+
2k
n }_;n@;
=;2!;
g(x)dx=8
:!3`
∴
g(x)dx=16
:!3`
∴
{ f(x)-g(x)}dx
:_3!
=
f(x)dx+
f(x)dx-
g(x)dx-
g(x)dx
:_1!`
:!3`
=2
`f(x)dx+
f(x)dx-
g(x)dx
:!3`
:_1!`
:!3`
=2_3+7-16=-3
:!3`
:)1
1216
|전략| 함수 y=f(x)의 그래프의 개형을 유추하여 조건을 만족시키는 k의 값을
찾고, 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다.
f(x)=x+2 sin x에서
∴ f(x)+f(2p-x)=2p
이때, x=p+t로 놓으면
f(p+t)+f(p-t)=2p
f(p+t)+f(p-t)
2
∴
=p (-pÉtÉp)
1217
|전략| 주어진 곡선과 직선을 각각 x축의 방향으로 -1만큼 평행이동하여 식을
간단히 한 후 입체도형의 부피를 구한다.
곡선 y=
4x-4와 두 직선 y=x-1, y=2x-2를 각각 x축의 방향
'Ä
으로 -1만큼 평행이동하면
-3
y=
4(x+1)-4=2
x, y=(x+1)-1=x,
'Ä
'
y=2(x+1)-2=2x
오른쪽 그림에서 곡선 y=2
y=x의 교점의 x좌표는 2
x와 직선
'§
x=x에서
'§
y
y=2x y=x
y=2
x
1
O
1
4
x
4x=xÛ`, x(x-4)=0
∴ x=0 또는 x=4
'§
표는 2
x=2x에서
'§
x=xÛ`, x(x-1)=0
∴ x=0 또는 x=1
따라서 입체도형의 단면은 닫힌구간 [0, 1]에서 한 변의 길이가
2x-x=x인 정삼각형이고, 닫힌구간 [1, 4]에서 한 변의 길이가
2
x-x인 정삼각형이므로 각각의 단면의 넓이를 SÁ(x), Sª(x)라
f(2p-x)=2p-x+2 sin(2p-x)=2p-x-2 sin x
곡선 y=2
x와 직선 y=2x의 교점의 x좌
즉, 함수 y=f(x)의 그래프는 점 (p, p)에 대하여 대칭이다.
f '(x)=0에서 1+2 cos x=0
cos x=-
;2!;
∴ x
=;3@;
p 또는 x
=;3$;
p (∵ 0ÉxÉ2p)
'§
하면
x
f '(x)
f(x)
0
0
y
+
;3@;p
0
y
-
;3$;p
0
↗ f
{;3@;p}
↘ f
{;3$;p}
y
+
↗
2p
2p
함수 f(x)=x+2 sin x의 그래프의 개
형은 오른쪽 그림과 같고, 함수
y
2p
y=kx
f(x)=x+2 sin x의 그래프와 원점을
지나는 직선 y=kx가 서로 다른 세 점에
서 만나고 이 세 점의 x좌표들이 등차수
열을 이루기 위해서는 k=1이어야 한다.
y=f(x)
O
p
2p
x
180 | IV . 적분법
3
SÁ(x)= '
4
3
xÛ`, Sª(x)= '
4
(2
x-x)Û`
'§
입체도형의 부피는
SÁ(x)dx+
Sª(x)dx
:)1`
=
3
'
4
xÛ
dx
`
:!4`
+
3
'
4
(2
x-x)Û` dx
'
(4x-4x
x+xÛ`)dx
:)1`
3
= '
12
3
= '
12
3
= '
12
xÜ`
]1)
[
3
+ '
4
3
+ '
4
:!4`
3
+ '
4
2xÛ`-
x;2%;+
:!4`
;5*;
[
_
;5&;=;3!0#;'
3
'
xÜ`
;3!;
]4!
따라서 p=30, q=13이므로 p+q=43
43
정답과 해설;
;
;
;
1218
|전략| 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 (x, y)가 x=f(t),
y=g(t)일 때, 시각 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 s는
s=
`
{ f '(t)}Û`+{ g'(t)}Û` dt임을 이용한다.
"Ã
:Ab
x=(1-tÛ`) cos t, y=(1-tÛ`) sin t에서
dx
dt
dy
dt
=-2t cos t-(1-tÛ`) sin t
=-2t sin t+(1-tÛ`) cos t
시각 t=0에서 t=k까지 점 P가 움직인 거리는
{-2t cos t-(1-tÛ`) sin t}Û`+{-2t sin t+(1-tÛ`) c
"Ã
os t}Û` dt
4tÛ`+(1-tÛ`)Û` dt=
(tÛ`+1)Û` dt
(tÛ`+1)dt=
`
;3!;
tÜ`+t
=
+k
"Ã
:)k`
kÜ
`
3
이때, 움직인 거리가 자연수가 되기 위해서는 kÜ`이 3의 배수이어야 한
[
]k)
:)k
따라서 이를 만족시키는 자연수 k의 최솟값은 3이므로 a=3이고, 그
때의 움직인 거리는
b=
+3=12
3Ü
`
3
∴ a+b=15
15
1219
|전략| 주어진 정적분 식의 기하적 의미를 파악한다.
{1+f '(x)}Û`-2f '(x) dx=5에서
{1+f '(x)}Û`-2f '(x) dx
1+{ f '(x)}Û` dx이므로
=
`
"Ã
:)3
0ÉxÉ3에서 곡선 y=f(x)의 길이는 5이다.
:)3
이때, 두 점 (0, 0), (3, k)를 지나는 곡선 중에서 길이가 5이면서 k의
값이 최대가 되는 경우는 두 점을 직선으로 연결한 선분인 경우이다.
3Û`+kÛ`=5에서 kÛ`=16
∴ k=4 (∵ k는 최대)
"Ã
즉, 함수 g(x)의 식은 두 점 (0, 0), (3, 4)를 지나는 직선의 방정식
이므로
g(x)=
x
;3$;
∴
`e g(x) dx=
`e ;3$;
x dx=
x
e;3$;
;4#;
=
(e:Á3¤:-1)
;4#;
①
:)k
:)4
[
]4)
:)k`
=
"Ã
:)k`
=
다.
`
"Ã
`"Ã
:)3
10 정적분의 활용 | 181
10ㅡㅡ정적분의 활용Ã
Memo
Memo
Memo
