수학Ⅰ
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01 지수
유형01 ②
유형02 ⑤
유형03 ②
유형04
유형05 10
유형06 ④
유형07 ①
1
8
유형08 2
유형09
유형10
유형11 ⑤
3
2
1
3
유형12 2배
001 ⑤
006 #j3
011 ④
002 -30 003 ②
004 ㄱ, ㄷ 005 ④
007 1
008 7
012 2
013 ③
009 ①
29
24
014
010 -3
015 ②
016 59
017
018 ③
019 j6
020 ④
021 ①
022 19
023 ③
024 ③
025
7
12
026 2
031 4
027 ⑤
028 ④
029 ⑤
030 4
032 ⑤
033 18
034 5
035 3
036 ④
037
038 ③
039 ⑤
040 ④
4
33
3
5
041 1
042 ②
043 ①
044 81
045 49
046 ④
047 ⑤
048 ①
049
6
5
050 640 hPa
051 ①
1 4
6 ②
11 6
2 ②
7 ④
3 ①
8 ①
12 ②
13 ⑤
5 14
10 ②
4 ②
9 ⑤
1
8
14
배
핵심 유형 8~10쪽
유형01 답 ②
① 8의 세제곱근은 x#=8의 근이므로 3개이다.
② {-4}@=16의 네제곱근 중 실수인 것은 -$j16k=-2이다.
③ j25k=5의 제곱근 중 실수인 것은 -j5이다.
④ -81의 네제곱근 중 실수인 것은 없다.
⑤ n이 짝수일 때, -36의 n제곱근 중 실수인 것은 없다.
따라서 옳은 것은 ②이다.
2 정답과 해설
w=#j15k
유형02 답 ⑤
① #j9\#j3=#j27k=#13#2=3
75
②
5
#j75k
=#q
#j5
③ 1#j62=^j6
④ *14#2=*1{2@}#3=*12^2=$12#2
⑤ [j7\
#j7 ]^ ={j7}^\
1
=17^2\
1
#17^2
1
{#j7}^
=7
=7#\
1
7@
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
유형03 답 ②
4_#+2_#
9
\
10
27@+3*
=
{2@}_#+2_#
9
\
10
{3#}@+3*
10
3^+3*
\
10
3^{1+3@}
=
=
\
2_^+2_#
9
2_^{1+2#}
9
=2_^\3_^=6_^
유형04 답
1
8
4#1ja2
6\4#1$ja2
/ k=
1
8
1
12\a
1
24
6 =!@ja\@$ja=a
=a
1
24=a8!
1
12"
유형05 답 10
1
2 ]
4# =
- [
=
[
1
2 ]
\
4#
3*\125-
3@\1002#
3*\{5#}-
3@\{10@}2#
=
[
1
2 ]@\5_@\10#
=2_@\5_@\10#
=10_@\10#=10
유형06 답 ④
4#=a에서 {2@}#=a, 2^=a / 2=a6!
27@=b에서 {3#}@=b, 3^=b / 3=b6!
/ 36% ={2@\3@}%=2!)\3!)
={a6!}!)\{b6!}!)=a3%b3%
유형07 답 ①
{a4!-b4!}{a4!+b4!}{a2!+b2!}
=9{a4!}@-{b4!}@0{a2!+b2!}
={a2!-b2!}{a2!+b2!}
={a2!}@-{b2!}@
=a-b
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유형08 답 2
a2!+a_2!=j5의 양변을 제곱하면
a+2+a_!=5 / a+a_!=3
위의 식의 양변을 제곱하면
a@+2+a_@=9 / a@+a_@=7
/
a@+a_@+5
a+a_!+3
=
7+5
3+3
=2
유형09 답
3
2
주어진 식의 분모, 분자에 aX을 곱하면
aX{aX+a_X}
aX+a_X
aX-a_X =
aX{aX-a_X}
5+1
5-1
a@X+1
a@X-1
=
3
2
=
=
유형10 답
1
3
2X=216에서 2=216x!={6#}x!=6x# yy ㉠
3Y=216에서 3=216y!={6#}y!=6y# yy ㉡
㉠\㉡을 하면 6=6x#\6y#, 6x#
+
y#=6
1
x
3
[
+
1
y ]
=1 /
+
=
1
x
1
y
1
3
유형11 답 ⑤
#j3=33!, $j4=44!=22!, ^j6=66!
2, 3, 6의 최소공배수가 6이므로
33!=36@={3@}6!=96!
22!=26#={2#}6!=86!
이때 66!<86!<96!이므로 ^j6<$j4<#j3
유형12 답 2배
수심이 8 m인 곳에서의 빛의 세기는 I8=I0\
수심이 12 m인 곳에서의 빛의 세기는 I12=I0\
1
2 ]@
[
1
2 ]#
[
/
I8
I12
=
I0\
I0\
1
2 ]@
1
2 ]#
[
[
=2
서의 빛의 세기의 2배이다.
002 답 -30
j625l=25의 네제곱근 중 음의 실수인 것은 -$j25k=-j5이므로
a=-j5
-216의 세제곱근 중 실수인 것은 #j-216l=-6이므로
b=-6
/ a@b={-j5}@\{-6}=-30
003 답 ②
① #j-5k 는 실수이므로 {-5, 3}{S
② j-3k 은 실수가 아니므로 {-3, 2}:S
③ #j-3k 은 실수이므로 {-3, 3}{S
④ j3 은 실수이므로 {3, 2}{S
⑤ #j5 는 실수이므로 {5, 3}{S
따라서 집합 S의 원소가 아닌 것은 ②이다.
004 답 ㄱ, ㄷ
ㄱ. 6의 제곱근 중 실수인 것은 방정식 x@=6의 실근이므로 -j6
의 2개이다.
ㄴ. -7의 3제곱근 중 실수인 것은 방정식 x#=-7의 실근이므로
/ N{6, 2}=2
#j-7k의 1개이다.
/ N{-7, 3}=1
ㄷ. n이 홀수일 때, N{x, n}=1
ㄹ. n이 짝수일 때
x>0이면 N{x, n}=2
x=0이면 N{x, n}=1
x<0이면 N{x, n}=0
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
005 답 ④
① #j4\#j16k=#j64k=#14#2=4
②
=#q
#j0.01l
#j10k
0.01
10 e=#j0.001l=#10.1#3=0.1
③ #12^2_{%j32k}@=#14#2_{%12%2}@=4_2@=1
④ 1j81k 2\#1j64k 2 =$j81k\^j64k=$13$2\^12^2=3\2=6
⑤ (14^2\^14@2=#14@2\#j4=#14#2=4
006 답 #j3
#j81k+^j36k
#j9\#j3+#1j4 2
=
3\#j3+#j6
#13#2+#j2
=
=
#13#\32+^16@2
#13@2\#j3+^12@2
#j3{3+#j2}
3+#j2
=#j3
01 지수 3
따라서 수심이 8 m인 곳에서의 빛의 세기는 수심이 12 m인 곳에
핵심 유형 완성하기 11~17쪽
001 답 ⑤
① 81의 세제곱근은 방정식 x#=81의 근이므로 3개이다.
② -j64k=-8의 세제곱근 중 실수인 것은 #j-8k=-2이다.
③ 0.1@=0.01의 제곱근 중 실수인 것은 -0.1이다.
④ n이 홀수일 때, -5의 n제곱근 중 실수인 것은 Nj-5k이다.
⑤ n이 짝수일 때, -9의 n제곱근 중 실수인 것은 없다.
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
$r
007 답 1
ja k
y\r
#ja k
$1ja k 2
$1#ja k 3
*ja k
\
!@ja k
#ja k
y\#r
$ja k
\ 1#jak 2
\
1$ja k 3
^ja k
\
*ja k
=
=
$ja k
y
ja k
#1$ja k 2
#1ja k 3
=1
!@ja k
^ja k
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01 008 답 7
4#1a#b$3\1a%b@3 6_$4#1a(b%3 6
=4#1a#b$3 6\41a%b@3 6_$4#1a(b%3 6
=^1a#b$3\$1a%b@3_!@1a(b%3
=
!@1a^b*3\!@1a!%b^3
!@1a(b%3
a^b*\a!%b^
a(b%
y
=!@r
=!@1a!@b(3=a $1b#2
따라서 p=4, q=3이므로 p+q=7
009 답 ①
25_@+5_%
3
\
5
3&+3%
=
{5@}_@+5_%
3
\
5
3&+3%
5
3&+3%
5
3%{3@+1}
=
=
\
5_$+5_%
3
5_%{5+1}
3
\
=5_%\3_%=15_%
010 답 -3
3_#_{3_@}_$\3* =3_#_3*\3*=3_#_*"*=3_#
/ k=-3
011 답 ④
8_$+4_!!
8_!)+4_!) y =r
r
{2#}_$+{2@}_!!
{2#}_!)+{2@}_!) y=r
2_@@{2!)+1}
2_#){1+2!)} y=12_@@-{-30}
3
2_!@+2_@@
2_#)+2_@) y
=r
=12*2=2$=16
012 답 2
=
1
2_#+1
2#
1+2#
2#+1
2#+1
=
+
1
2_!+1
2
1+2
+
+
2+1
2+1
+
1
2+1
+
+
1
2+1
+
1
2#+1
1
2#+1
=1+1=2
다른 풀이 [
+
1
2_#+1
1
2#+1 ]
2#+1+2_#+1
{2_#+1}{2#+1}
=
+
[
1
2_!+1
+
1
2+1 ]
+
2+1+2_!+1
{2_!+1}{2+1}
=
2#+2_#+2
1+2_#+2#+1
+
2+1+2_!+1
1+2_!+2+1
=1+1=2
013 답 ③
4a #1#ja\a@3 6 =ja\4#1#ja 3 6\4#1a@2 6
=ja\!*ja\#ja
=a2!\a
1
18\a3!=a2!
+
+
1
18
3!
=a9*=(1a*2
/ k=8
4 정답과 해설
014 답
29
24
13\#j9\$j27k
/ k=
29
24
3 =j3\4#13@2 6\4$13#2 6=32!\33!\38#
=32!
8#=3
29
24
+
+
3!
015 답 ②
4#1xy@3_jxyk 6\$1x#y2 =4#1xy@3 6_1jxy k 3\$1x#y 3
=^1xy@3_$jxy k\$1x#y 3
=x6!y3!_x4!y4!\x4#y4!
=x6!
-
+
4!
-
+
4!
4!
y3!
4#
=x3@y3!
016 답 59
#42 #12 #j2 3 6 =#j2\#1#j2 2\#4#1#j2 2 6
=23!\29!\2
1
27=23!
+
9!
+
1
27=2
13
27
^14 ^j4 3 =^j4\^1^j4 2=^12@2\^4^12@2 6
1
18=23!
=23!\2
1
18=2
7
18
+
/
#42 #12 #j2 3 6
^14 ^j4 3
=2
13
27
-
7
18=2
5
54
따라서 p=54, q=5이므로 p+q=59
017 답
4
33
1
mn이므로 f{m, n}=
N1Mja 3=a
/ f{3, 5}+f{5, 7}+f{7, 9}+f{9, 11}
1
mn
=
1
3\5
+
1
5\7
+
1
7\9
+
1
9\11
=
1
2 -[
1
3
-
1
5 ]
+
[
1
5
-
1
7 ]
+
[
1
7
-
1
9 ]
+
[
1
9
-
1
11 ]=
=
1
2 [
1
3
-
1
11 ]
=
4
33
018 답 ③
-
16
9 ]
- [
4#\
3@ =
- [
-
2%
1
4 ]
5^ =
=
[
16
9 ]
-
\
3@
4#\
1
4 ]
[
\
-
[
5^
2%]
=
[
-
16
9 ]
2!\
1
4 ]_#
[
=
-[
3
4 ]@ =
2!\4#
=
\4#=48
3
4
019 답 j6
{aj3}3j2\{a3!}6j6_a4j6 =a3j6\a2j6_a4j6
=a3j6+2j6-4j6=aj6
/ k=j6
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020 답 ④
1
근과 계수의 관계에 의하여 a+b=3, ab=
2
/ 92a\2b+{49a}b+10ab ={2a+b+72ab+1}ab
={2#+72\
2!+1}2!
={2#+8}2!={2\2#}2!
=2@=4
021 답 ①
1
729 ]
n!={3_^}n!=3-
[
수이어야 하므로 구하는 정수 n은 -6, -3, -2, -1이다.
n^이 자연수가 되려면 -
이 음이 아닌 정
6
n
따라서 모든 정수 n의 값의 합은
-6+{-3}+{-2}+{-1}=-12
022 답 19
$1aB2=a4B이 자연수가 되려면
! a=1일 때
@ a=4일 때
b=1, 2, 3, y, 9이므로 순서쌍 {a, b}의 개수는 9이다.
a4B=44B={2@}4B=22B에서
b
2 가 자연수가 되어야 하므로
b=2, 4, 6, 8
따라서 순서쌍 {a, b}의 개수는 4이다.
# a=2 또는 a=3 또는 a=5일 때
가 자연수가 되어야 하므로 b=4, 8
b
4
따라서 순서쌍 {a, b}의 개수는 2이다.
!, @, #에 의하여 구하는 순서쌍 {a, b}의 개수는
9+4+3\2=19
16@=b에서 {2$}@=b, 2*=b / 2=b8!
/ 18^ ={2\3@}^=2^\3!@={b8!}^\{a5!}!@=a
12
5 b4#
023 답 ③
3%=a에서 3=a5!
024 답 ③
a={5#}5@
1255@
025 답
7
12
a=55^
a={5A}5^=35^=3 %j3
a=#j5, b=j3에서 a#=5, b@=3
/ !@j45k=!@13@\53=!@1{b@}@\a#3=a4! b3!
7
1
따라서 m=
12
3
이므로 m+n=
, n=
1
4
026 답 2
a^=3, b!@=27=3#에서 a=36!, b=34!
/ {$1a#b^3}K ={a#b^}4K=9{36!}#\{34!}^04K
={32!\32#}4K={3@}4K=32K
따라서 32K이 자연수가 되려면 k는 2의 배수이어야 하므로 자연수
k의 최솟값은 2이다.
={A#+3A@B+3AB@+B#}+{A#-3A@B+3AB@-B#}
027 답 ⑤
{#ja-#jb}{#1a@2+#jabk+#1b@2}+{ja-jb}{ja+jb}
=9{#ja}#-{#jb}#0+9{ja}@-{jb}@0
={a-b}+{a-b}
=2a-2b
028 답 ④
52+j2=A, 52-j2=B라고 하면
{52+j2+52-j2}@-{52+j2-52-j2}@
={A+B}@-{A-B}@
=9{A+B}+{A-B}09{A+B}-{A-B}0
=2A\2B=4AB
=4\52+j2\52-j2
=4\5$
029 답 ⑤
a-
3!=A, a3@=B라고 하면
{a-
3!+a3@}#+{a-
3!-a3@}#
={A+B}#+{A-B}#
=2{A#+3AB@}
=29{a-
3!}#+3\a-
3!\{a3@}@0
=2{a_!+3a}
=2
[
+6
=13
]
1
2
a=#j4-
030 답 4
1
#j4
1
#j4 ]#=4-3
#j4-
a#=
[
이때 #j4-
1
#j4
1
/ a#+3a+
4
=4
의 양변을 세제곱하면
#j4-
[
1
#j4 ]
-
1
4
1
4
=a이므로 a#=4-3a-
031 답 4
+
1
1-a_!
2
1-a_@
=
+
1
1+a_!
2
1+a_@
+
2
1+a_@
4
1-a$
+
+
4
1-a$
=
4
1-a_$
+
4
1-a$
=
4{1-a$}+4{1-a_$}
{1-a_$}{1-a$}
=
8-4a$-4a_$
2-a$-a_$
=
4{2-a$-a_$}
2-a$-a_$
=4
01 지수 5
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01 032 답 ⑤
a2!-a-
2!=3의 양변을 제곱하면
a-2+a_!=9 / a+a_!=11
a2!-a-
2!=3의 양변을 세제곱하면
a2#-3{a2!-a-
2!}-a-
2#=27
/ a2#-a-
2# =27+3\3=36
/
a2#-a-
2#+4
a+a_!-1
=
36+4
11-1
=4
033 답 18
2X+2_X=3의 양변을 세제곱하면
{2X}#+3{2X+2_X}+{2_X}#=27
8X+8_X+3\3=27 / 8X+8_X=18
034 답 5
{x+x_!}@=x@+2+x_@=14+2=16에서
x+x_!=4 (? x+x_!>0)
{x2!+x_2!}@=x+2+x_!=4+2=6에서
x2!+x_2!=j6 (? x2!+x_2!>0)
/ x2!+x_2!+x+x_!=4+j6
따라서 a=4, b=1이므로 a+b=5
035 답 3
a#X-a_#X=4에서
{aX-a_X}#+3{aX-a_X}=4
이때 aX-a_X=t{t는 실수)로 놓으면
t#+3t=4, t#+3t-4=0
{t-1}{t@+t+4}=0
/ t=1 (? t는 실수)
즉, aX-a_X=1이므로
a@X+a_@X={aX-a_X}@+2=1+2=3
/
a@X+a_@X
aX-a_X
=
=3
3
1
=3에서 좌변의 분모, 분자에 aX을 곱하면
036 답 ④
aX+a_X
aX-a_X
aX{aX+a_X}
aX{aX-a_X}
a@X+1=3a@X-3, 2a@X=4 / a@X=2
5
2
/ a@X+a_@X=a@X+{a@X}_!=2+
a@X+1
a@X-1
=3,
=3
1
2
=
037 답
3
5
4x!=9에서 4=9X / 3@X=4
구하는 식의 분모, 분자에 3X을 곱하면
3X-3_X
3X+3_X =
3X{3X-3_X}
3X{3X+3_X}
3@X-1
3@X+1
=
=
4-1
4+1
=
3
5
6 정답과 해설
038 답 ③
구하는 식의 분모, 분자에 aX을 곱하면
aX{a#X+a_#X}
a$X+a_@X
a#X+a_#X
aX-a_X =
a@X-1
aX{aX-a_X}
{a@X}@+{a@X}_!
a@X-1
=
=
=
2@+2_!
2-1
=
9
2
039 답 ⑤
구하는 식의 좌변의 분모, 분자에 2X을 곱하면
8X+8_X+2X-2_X
2X+2_X
2X{8X+8_X+2X-2_X}
2X{2X+2_X}
=
=
2$X+2_@X+2@X-1
2@X+1
=
=
{2@X}@+{2@X}_!+2@X-1
2@X+1
{4X}@+{4X}_!+4X-1
4X+1
=
3@+3_!+3-1
3+1
=
11+
3!
=
17
6
4
따라서 a=6, b=17이므로 b-a=11
040 답 ④
45X=27에서 45=27x!={3#}x!=3x# yy ㉠
5Y=3에서 5=3y!
yy ㉡
㉠_㉡을 하면 9=3x#_3y!, 3x#
-
y!=3@
/
-
=2
3
x
1
y
041 답 1
3X=15에서 3=15x! yy ㉠
5Y=15에서 5=15y! yy ㉡
㉠\㉡을 하면 15=15x!\15y!, 15x!
+
y!=15
/
+
=1
1
x
1
y
042 답 ②
2.16A=10에서 2.16=10a! yy ㉠
216B=10에서 216=10b!
yy ㉡
100=10b!_10a!, 10b!
a!=100=10@
-
㉡_㉠을 하면
/
-
=2
1
b
1
a
043 답 ①
2X=3Y=6Z=k{k>0}로 놓으면 xyz=0에서 k=1
2X=k에서 2=kx! yy ㉠
3Y=k에서 3=ky! yy ㉡
6Z=k에서 6=kz! yy ㉢
㉠\㉡_㉢을 하면
2\3_6=kx!\ky!_kz! / kx!
+
-
y!
z!=1
그런데 k=1이므로
+
-
=0
1
x
1
y
1
z
PM수학Ⅰ해설 01-02(001~020)OK.indd 6
2018-04-25 오후 12:03:49
044 답 81
3A=2$에서 2=34A
2B=5%에서 5=25B
bc
5 ={34A}
/ 5C={25B}C=2
bc
5 =3
abc
20 =3$=81
045 답 49
aX=bY=7Z=k{k>0}로 놓으면 xyz=0에서 k=1
aX=k에서 a=kx!
bY=k에서 b=ky!
7Z=k에서 7=kz!
2
z
이때
1
x
1
y
+
-
=0, 즉
+
=
이므로
1
x
1
y
2
z
ab=kx!\ky!=kx!
y!=kz@={kz!}@=7@=49
+
046 답 ④
#1j27k
2, 3, 6의 최소공배수가 6이므로
3=276!={3#}6!=32!, #j5=53!, 1#j20k
3=206!
32!=36#={3#}6!=276!, 53!=56@={5@}6!=256!
이때 206!<256!<276!이므로 1#j20k 3<#j5<#1j27k 3
047 답 ⑤
#1j16k 3=^j16k=166!={2$}6!=23@
13 #j2 3=j3\1#j2 2=32!\26!
12 #j6 3=j2\1#j6 2=22!\66!=22!\26!\36!=23@\36!
2, 3, 6의 최소공배수가 6이므로
23@=26$={2$}6!=166!
32!\26!=36#\26!={3#}6!\26!={3#\2}6!=546!
23@\36!=26$\36!={2$}6!\36!={2$\3}6!=486!
이때 166!<486!<546!이므로 #1j16k 3<12 #j6 3<13 #j2 3
따라서 a=#1j16k 3, b=13 #j2 3이므로
ab@ =#1j16k 3\{13 #j2 3}@=23@\{3\23!}
=2\3=6
048 답 ①
! A-B ={2j2+#j3}-{j2+2 #j3}
=j2-#j3=86!-96!<0
/ A0}
{52X+5_2X}@=5X+2+5_X=14+2=16=4@에서
52X+5_2X=4 {? 52X+5-
2X>0}
{54X+5_4X}@=52X+2+5_2X=4+2=6에서
54X+5_4X=j6 {? 54X+5-
4X>0}
8 정답과 해설
10 답 ②
유형 09 aX-a_X
aX+a_X
aX+a_X
aX-a_X
꼴의 식의 값 구하기
=5에서 좌변의 분모, 분자에 aX을 곱하면
aX{aX+a_X}
aX{aX-a_X}
=5,
a@X+1
a@X-1
=5
a@X+1=5a@X-5, 4a@X=6 / a@X=
3
2
/ a$X-a_@X ={a@X}@-{a@X}_!=
3
2 ]@-
[
3
2 ]_!
[
㉠\㉡\㉢을 하면 3\8\9=kx!\ky!\kz!, kx!
+
+
y!
z!=6#
=
-
=
2
3
19
12
9
4
11 답 6
유형 10 밑이 서로 다를 때 식의 값 구하기
3X=k에서 3=kx! yy ㉠
8Y=k에서 8=ky! yy ㉡
9Z=k에서 9=kz! yy ㉢
이때
+
+
=3이므로
1
x
1
y
1
z
k#=6# / k=6
12 답 ②
유형 10 밑이 서로 다를 때 식의 값 구하기
aX=216=6#에서 a=6x# yy ㉠
bY=216=6#에서 b=6y#
yy ㉡
cZ=216=6#에서 c=6z#
yy ㉢
㉠\㉡\㉢을 하면
abc=6x#
+
+
y#
z#
이때 abc=36이므로 6x#
1
z ]
=2 /
1
x
1
y
+
+
3
[
+
+
y#
z#=36=6@
1
x
1
y
+
+
=
1
z
2
3
13 답 ⑤
유형 11 거듭제곱근의 대소 비교
A=$j5=54!, B=#1j10k 3=^j10k=106!, C=$1#j98k 3=!@j98k=98
4, 6, 12의 최소공배수가 12이므로
1
12
54!=5
3
12 ={5#}
1
12 =125
1
12, 106!=10
2
12 ={10@}
1
12=100
1
12
이때 98
1
12<100
1
12<125
1
12이므로 $1#j98k 3<#1j10k 2<$j5
/ C0, x-1=1이므로
x>1, x=2
/ 12 yy ㉠
진수의 조건에서 -x@+5x>0이므로
x@-5x<0, x{x-5}<0
/ 00)
002 답 ④
④ 3_!=
log 3`
=-1
1
3
hjk
1
3
003 답 ⑤
log 2`{log 3`a}=1에서 log 3`a=2!=2
/ a=3@=9
log 3`9log 2`{log 4`b}0=0에서 log 2`{log 4`b}=3)=1
log 4`b=2!=2 / b=4@=16
/ a+b=9+16=25
10 정답과 해설
004 답 ④
x=log 5 {1+j2}에서 5X=1+j2
1
/ 5X+5_X =5X+
={1+j2}+
1+j2
={1+j2}+{-1+j2}=2j2
1
5X
005 답 5
밑의 조건에서 x-3>0, x-3=1이므로
x>3, x=4
/ 34 yy ㉠
진수의 조건에서 -x@+7x+8>0이므로
x@-7x-8<0, {x+1}{x-8}<0
/ -10, x=1이므로
01
yy ㉠
log x`{x-2}@의 진수의 조건에서 {x-2}@>0이므로
x=2
yy ㉡
log 5-x`|x-5|의 밑의 조건에서 5-x>0, 5-x=1이므로
x<5, x=4
/ x<4 또는 40이므로
x=5
yy ㉣
㉠, ㉡, ㉢, ㉣의 공통 범위를 구하면
00, a=1이므로
01 yy ㉠
진수의 조건에서 모든 실수 x에 대하여 x@-ax+2a>0이어야 하
므로 이차방정식 x@-ax+2a=0의 판별식을 D라고 하면
D=a@-4\2a<0, a{a-8}<0
/ 00, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
8
a
e=8 (단, 등호는 a=2일 때 성립)
2a+8b=2a+
>2q2a\
8
a
따라서 2a+8b의 최솟값은 8이다.
017 답
25
4
{log 3`2+log 9`j2}{log 2`5+log j2`25}{log 5`j3+log 25`3}
={log 3`2+log 3@`22!}{log 2`5+log 22!`5@}{log 5`32!+log 5@ 3}
log 3`2+
log 3`2
{log 2`5+4 log 2`5}
log 5`3+
log 5`3
1
2
[
1
2
]
1
4
]
=
[
5
4
=
log 3`2\5 log 2`5\log 5`3
=
25
4
[
log 3`2\
log 3`5
log 3`2
\
1
log 3`5 ]
=
25
4
018 답 25
주어진 식의 지수에서
3 log 2`5+log 2`3-log 2`15 =log 2`5#+log 2`3-log 2`15
[
/ 2 3 log 2`5+log 2`3-log 2`15=2log 2`25=25
=log 2`
5#\3
15 ]
=log 2`5@=log 2`25
019 답 ①
2
log 3`16
x =
+log 16`27-
j5`3
j5`2
=2 log 16`3+log 16`27-log 2`3
log
log
=log 16`3@+log 16`3#-log 16`3$
3@\3#
3$
=log 16`
[
]
/ 16X=16log 16`3=3
=log 16`3
020 답 20
1
log 3`x
1
log 2`x
+
/ log x`6=5
1
log 6`jx k
/
+
1
log 36`x
=5에서 log x`2+log x`3=5
=log jx`6+log x`36
=log x2!`6+log x`6@
=2 log x`6+2 log x`6
=4 log x`6=4\5=20
02 로그 11
PM수학Ⅰ해설 01-02(001~020)OK.indd 11
2018-04-25 오후 12:03:51
02 log 6`2+log 6`5@
2{log 6`2@+log 6`5}
/
-
=log 3`5-log 3`45=log 3`
3
x
5
y
5
45
021 답 ①
A=4log 2`8-log 2`12=4log 2` 8
12 =4log 2`
3@=4log 4`
B=log 9`j3-log 16`
C =log
2!
1
2
`9log 9 {log 4`64}0=log
=log3@`32!-log 2$`2_!=
=log
2! {log 9`3}=log
2! {log 3@`3}=log
4
9
=
1
2
[
[3@]@=
2
3 ]@=
1
1
4
4
2! 9{log 9 {log 4`4#}0
1
2
=1
`
2!
+
/ A0, k=1}로 놓으면
x=log 2`k, y=log 3`k, z=log 24`k이므로
1
x
=log k`2,
=log k`3,
=log k`24
1
z
1
y
/
+
-
=3 log k`2+log k`3-log k`24
3
x
1
y
1
z
=log k`2#+log k`3-log k`24
=log k`
2#\3
[
24 ]
=log k`1=0
033 답 4
log 5`50이므로
log a-4`{10-a}의 진수의 조건에서 10-a>0이므로
a>2
a<10
yy ㉡
yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면
44, a=5
18 정답과 해설
log a-4`{a-2}의 밑의 조건에서 a-4>0, a-4=1이므로
/ 45 yy ㉠
log 2`3-log 2`5=b
yy ㉡
PM수학Ⅰ해설 01-02(001~020)OK.indd 18
2018-04-25 오후 12:03:54
/ log 2`3=
㉠+㉡을 하면 2`log 2`3=a+b
a+b
2
㉠-㉡을 하면 2 log 2`5=a-b
a-b
2
/ log 2`5=
/ log 2`45 =log 2`{3@\5}=2 log 2`3+log 2`5
=2\
a+b
2
+
a-b
2
=
3a+b
2
8 답 ④
유형 06 로그의 성질의 활용
2X=a, 2Y=b, 2Z=c에서
x=log 2`a, y=log 2`b, z=log 2`c이므로
log bc`a=
log 2`a
log 2`bc
=
log 2`a
log 2`b+log 2`c
=
x
y+z
다른 풀이 log bc`a =log 2Y"Z`2X
=
x
y+z log 2`2=
x
y+z
9 답 0
유형 07 주어진 조건을 이용하여 식의 값 구하기
2X=5Y=50Z=k{k>0, k=1}로 놓으면
x=log 2`k, y=log 5`k, z=log 50`k이므로
1
x
=log k`2,
=log k`5,
=log k`50
1
y
1
z
/
+
-
=log k`2+2 log k`5-log k`50
1
x
2
y
1
z
=log k`2+log k`5@-log k`50
=log k`
2\5@
[
50 ]
=log k`1=0
10 답
17
4
유형 07 주어진 조건을 이용하여 식의 값 구하기
log a`c`:`log b`c=4`:`1에서
log a`c=4 log b`c,
1
log c`a
=
4
log c`b
log c`b=4 log c`a / b=a$
/ log a`b+log b`a =log a`a$+log a$`a
=4+
=
1
4
17
4
11 답 -17
유형 08 로그의 정수 부분과 소수 부분
log 2`
=-log 2`20이고 -log 2`32<-log 2`20<-log 2`16
1
20
즉, -5<-log 2`20<-4이므로
a=-5, b =-log 2`20-{-5}=-log 2`20+log 2`2%=log 2`
8
5
/ 5{a+2B} =5{-5+2log 2`
5*}
=5
-5+
[
8
5 ]
=-17
12 답 ①
유형 09 로그와 이차방정식
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
log 2`a+log 2`b=-6, log 2`a\log 2`b=3
/ log a`b+log b`a =
+
log 2`a
log 2`b
log 2`b
log 2`a
{log 2`b}@+{log 2`a}@
log 2`a\log 2`b
=
=
{log 2`a+log 2`b}@-2 log 2`a\log 2`b
log 2`a\log 2`b
=
{-6}@-2\3
3
=10
13 답 1.0756
유형 10 상용로그의 값
log`3450+log`0.00345 =log`{10#\3.45}+log`{10_#\3.45}
=3+log`3.45+{-3}+log`3.45
=2 log`3.45=2\0.5378
=1.0756
14 답 2
유형 11 상용로그의 정수 부분과 소수 부분
log`
100x
y@
=log`100x-log`y@=2+log`x-2 log`y
=2+
-2\
=-0.9=-1+0.1
3
5
7
4
따라서 log`
100x
y@
a=-1, b=0.1
/ a@+10b={-1}@+10\0.1=2
15 답 9000
유형 11 상용로그의 정수 부분과 소수 부분
log`x의 정수 부분이 3이므로
30}로 놓으면
[
y=t@-6t-1={t-3}@-10
1
이때 -20, 2_X>0이므로 산술평균과 기하평균
005 답 ⑤
ㄱ. y=4X +3의 그래프는 y=4X의 그래프를 y축의 방향으로 3만
의 관계에 의하여
t=2X+2_X>212X\2_X3=2 (단, 등호는 x=0일 때 성립)
이때 4X+4_X={2X+2_X}@-2=t@-2이므로 주어진 함수는
y ={t@-2}-2t+7=t@-2t+5={t-1}@+4
따라서 t>2이므로 주어진 함수는 t=2일 때 최솟값 5를 갖는다.
큼 평행이동한 것이다.
ㄴ. y=-4\2X_@=-2@\2X_@=-2X이므로 그래프는 y=4X의 그
래프를 평행이동 또는 대칭이동하여 겹쳐질 수 없다.
ㄷ. y=-
1
4 ]X+2=-4_X+2이므로 그래프는 y=4X의 그래프를
원점에 대하여 대칭이동한 후, y축의 방향으로 2만큼 평행이
[
동한 것이다.
ㄹ. y=2@X_$-2={2@}X_@-2=4X_@-2 이므로 그래프는 y=4X의
그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평
따라서 y=4X의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동하여 겹쳐지는
행이동한 것이다.
것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
y=
006 답 -3
1
3 ]X의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은
1
3 ]_X
y=
[
[
이 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행
이동한 그래프의 식은
-{x-a}
y=
[
1
3 ]
+b=3X_A+b yy ㉠
이때 ㉠의 그래프의 점근선의 방정식이 y=b이므로 b=3
또 ㉠의 그래프가 점 {0, 6}을 지나므로
6=3_A+3, 3=3_A / a=-1
/ ab=-1\3=-3
007 답 -5
y=5X의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 y=5_X
이 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 k만큼 평행
이동한 그래프의 식은
y=5-{x-1}+k=5_X"!+k
따라서 그래프가 제3사분면을 지나지 않
으려면 오른쪽 그림과 같아야 하므로
5+k>0 / k>-5
따라서 k의 최솟값은 -5이다.
y
O
1
y=5_X
x
y=5_X"!+k
y=
008 답 ①
1
4 ]X의 그래프가 두 점 {1, a}, {b, 16}을 지나므로
1
4
1
4 ]B / b=-2
, 16=
a=
[
[
/
=
=-8
b
a
-2
1
4
009 답 2
y=2X에 y=4를 대입하면 4=2X / x=2
y=4X에 y=4를 대입하면 4=4X / x=1
/ A{2, 4}, B{1, 4} /
OAB=
\1\4=2
1
2
s
핵심 유형 완성하기 42~4 6쪽
001 답 ⑤
ㄱ. 정의역은 실수 전체의 집합이다.
ㄴ. f{x}=aX은 일대일함수이므로 x1=x2이면 f{x1}=f{x2}이다.
ㄷ. 0f{x2}이다.
ㄹ. f{0}=1, f{1}=a이므로 두 점 {0, 1}, {1, a}를 지난다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.
002 답 ④
임의의 실수 a, b에 대하여 a1
a@+a-6>0, {a+3}{a-2}>0
/ a<-3 또는 a>2
따라서 s=-3, t=2이므로 s+t=-1
004 답 9
1
2 ]X의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은
y=
[
이 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행
y=-
1
2 ]X
[
이동한 그래프의 식은
y=-
1
2 ]X_@+5=-4\
[
[
㉠의 그래프의 식이 y=a
a=-4, b=5
/ b-a=5-{-4}=9
22 정답과 해설
1
2 ]X+5 yy ㉠
1
2 ]X+b와 일치하므로
[
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010 답 2
A{a, 3A}, B{b, 3B}에서 직선 AB의 기울기가 2이므로
3B-3A
1
b-a
2
=j5에서 {b-a}@+{3B-3A}@={j5}@
또 AB
{3B-3A} yy ㉠
=2 / b-a=
015 답 ③
A=$j64k=$12^2=12#2=22#
B=165!={2$}5!=25$
-0.8
C=
1
4 ]
[
={2_@}-0.8=21.6=25*
이고 밑이 1보다 크므로 25$<22#<25*
ㄷ. f{x}=2X, 1f{2x}3=12@X2=1{2X}@3=2X이므로
f{x}=1f{2x}3
ㄹ. f{xy}=2XY, f{x}+f{y}=2X+2Y이므로
이때
이고 밑이 1보다 작으므로
위의 식에 ㉠을 대입하면
1
4
{3B-3A}@+{3B-3A}@=5
{3B-3A}@=5, {3B-3A}@=4
5
4
/ 3B-3A=2 (? 3A<3B}
011 답 ②
ㄱ. f{0}=2)=1
ㄴ. f{-x}=2_X=
=
1
2X
1
f{x}
f{xy}=f{x}+f{y}
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
012 답 7
f{2}=p에서 5@=p yy ㉠
f{3}=q에서 5#=q yy ㉡
f{t}=p@q에서 5T=p@q
위의 식에 ㉠, ㉡을 대입하면
5T={5@}@\5#, 5T=5& / t=7
013 답
28
27
f{2a}\f{b}=3-2a\3-b=9에서
3-2a-b=9=3@ / -2a-b=2 yy ㉠
f{a-b}=3-{a-b}=3에서
-{a-b}=1 / -a+b=1
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=0
/ 3#A+3#B=3_#+3)=
+1=
1
27
28
27
014 답 k<2
x>-1이면 y=3x+1+1
x<-1이면 y=3-{x+1}+1=
x+1
1
3 ]
[
+1
따라서 y=3 |x+1|+1의 그래프가 오른쪽
y=3?X"!?+1
y
그림과 같으므로 직선 y = k가 그래프와
만나지 않으려면
k<2
4
2
1
O-1-2
x
<
3
2
이때
4
5
/ B1일 때
고 최댓값은 a$이다.
이때 최댓값이 최솟값의 27배이므로
a$=27a, a#=27 / a=3
@ 00}로 놓으면
y=t@-2t+5={t-1}@+4
이때 -20}로 놓으면
[
y=t@-6t={t-3}@-9
따라서 t=3일 때 최솟값 -9를 갖는다.
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033 답 ①
2\3A"X>0, 8\3A_X>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의
하여
y =2\3A"X+8\3A_X >212\3A"X\8\3A_X3=212$\3@A3=8\3A
(단, 등호는 3X=2일 때 성립)
1
5 ])<
[
1
5 ]X<
[
1
5 ]_!에서
따라서 주어진 함수는 최솟값이 8\3A이므로
8\3A=72, 3A=9 / a=2
따라서 t=5일 때 최댓값 19, t=1일 때 최솟값 3을 가지므로 구
028 답 22
y=
1-2\5X+4\25X
25X
=
[
1
5 ]@X-2\
[
1
5 ]X+4에서
1
5 ]X=t{t>0}로 놓으면
[
y=t@-2t+4={t-1}@+3
이때 -10}로 놓으면
y =t@-4A\t+b=
t-
4A
2 ]@-
4@A
4
+b
[
=
t-
[
4A
2 ]@-4@A_!+b
따라서 t=
일 때 최솟값 -4@A_!+b를 갖는다.
4A
2
이때 주어진 함수는 x=
일 때 최솟값이 1이므로
1
2
t=
=42!=2, 4A=4 / a=1
4A
2
-42a-1+b=1에서 -4+b=1 / b=5
/ a+b=1+5=6
핵심 유형 47~49쪽
유형09 답 ③
③ y=log 5`x에서 밑이 1보다 크므로 x의 값이 증가하면 y의 값도
증가한다.
유형10 답 ②
y=log 3`x의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만
큼 평행이동한 그래프의 식은
y=log 3`{x-a}+b yy ㉠
x
9
㉠의 그래프의 식이 y=log 3`
[
-1
]과 일치하므로
y =log 3`
-1
=log 3`
=log 3`{x-9}-log 3`9
x
9
[
]
x-9
9
030 답 ②
3X+3_X=t{t>0}로 놓으면 3X>0, 3_X>0이므로 산술평균과 기하
=log 3`{x-9}-2
따라서 a=9, b=-2이므로 a+b=7
평균의 관계에 의하여
t=3X+3_X>213X2\3_X3=2 (단, 등호는 x=0일 때 성립)
이때 9X+9_X={3X+3_X}@-2=t@-2이므로 주어진 함수는
y=t@-2-8t={t-4}@-18
따라서 t>2이므로 주어진 함수는 t=4일 때 최솟값 -18을 갖는다.
031 답 50
5@_X>0, 5@"X>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
y =5@_X+5@"X >215@_X\5@"X3=215$2=2\5@=50
이때 등호는 5@_X=5@"X일 때 성립하므로
2-x=2+x / x=0
따라서 a=0, b=50이므로 a+b=50
유형11 답 -3
오른쪽 그림에서
log 2`a=1이므로 a=2
log 2`b=a, 즉 log 2`b=2이므로 b=4
/ log
4!
`8ab=log
4!
`64=-3
y
a
1
O
y=x
y=log2`x
1 a
b
x
유형12 답 ⑤
y=log 7`{x-1}+6에서 y-6=log 7`{x-1}
x-1=7Y_^ / x=7Y_^+1
x와 y를 서로 바꾸면 y=7X_^+1
따라서 a=7, b=-6, c=1이므로 a+b+c=2
032 답 ③
2X>0, 8Y=2#Y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
2X+8Y>212X\8Y3=212X\2#Y3=212X"#Y3
(단, 등호는 x=3y일 때 성립)
유형13 답 ⑤
A=log 3`10
B=2=log 3`3@=log 3`9
그런데 x+3y=4이므로
212X"#Y3=212$2=2\2@=8
따라서 2X+8Y의 최솟값은 8이다.
C=log 9`80=log3@ `80=
log 3`80=log 3`802!=log 3`j80k
1
2
이때 j80k<9<10이고 밑이 1보다 크므로
log 3`j80k1에서 log 6`x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의
하여
2
log 6`x+
log 6`x >2qlog 6`x\
2
따라서 구하는 최솟값은 2j2이다.
log 6`x e=2j2
(단, 등호는 log 6`x=j2일 때 성립)
3f{x2}이다.
④ 그래프의 점근선이 y축이므로 y축과 만나지 않는다.
⑤ f{x}는 일대일함수이므로 f{x1}=f{x2}이면 x1=x2이다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
035 답 6
y=log 4`{-x@+x+12}에서 -x@+x+12>0이므로
x@-x-12<0, {x+3}{x-4}<0
/ A=9x|-30, 00이므로 ax>0에서 x>0이다.
따라서 y=log b`ax의 그래프의 개형은 ①이다.
037 답 4
y=log 2`x의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만
큼 평행이동한 그래프의 식은
y=log 2`{x-a}+b
이 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은
-y=log 2`{x-a}+b
/ y=-log 2`{x-a}-b yy ㉠
㉠의 그래프의 식이 y=log
2!
`{4x-8}과 일치하므로
y =log
2!
`{4x-8}=log 2_!`4{x-2}
=-log 2`{x-2}-log 2`2@=-log 2`{x-2}-2
따라서 a=2, b=2이므로 a+b=4
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038 답 ①
ㄱ. y=log
2!
`x=-log 2`x에서 -y=log 2`x이므로 y=log 2`x의 그
래프를 x축에 대하여 대칭이동한 것이다.
ㄴ. y=-log
2!
`2x=log 2`2x=log 2`x+1이므로 y=log 2`x의 그래
프를 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
ㄷ. y=2`log 2`x=log 22!`x=log
j2`x이므로 y=log 2`x의 그래프를 평
행이동 또는 대칭이동하여 겹쳐질 수 없다.
ㄹ. y =
log 4`{x+2}-1=log 4@`{x+2}-1=log 16`{x+2}-1
1
2
이므로 y=log 2`x의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동하여 겹
따라서 y=log 2`x의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동하여 겹쳐지
쳐질 수 없다.
는 것은 ㄱ, ㄴ이다.
042 답
20
3
y=log
9!
`x=-
`log 3`x에서
1
2
x=
일 때, y=-
`log 3`
=
1
3
1
2
1
2
1
3
1
2
1
2
x=3일 때, y=-
`log 3`3=-
[
[
,
1
3
/ A
3, -
1
1
2 ], C
2 ]
y=log j3`x=2`log 3`x에서
1
3
일 때, y=2`log 3`
x=
1
3
x=3일 때, y=2`log 3`3=2
/ B
, -2
1
3
[
/
ABCD=
], D{3, 2}
1
-
2
=-2
-{-2}
\
3-
=
[
1
3 ]
=
20
3
f
043 답 2
f{3}=6에서 log a`2+7=6, log a`2=-1
1
2
`8+7=log 2_!`2#+7=-3+7=4
a_!=2 / a=
f{9}=b에서 log
2!
/ b=4
y=log2`8x
y=log2`x
1
3
x=1 x=3
x
/ ab=
\4=2
1
2
1
2
044 답 16
f{2}+f{3}+f{4}+y+f{n}
=log
2!
`
[
1-
+log
2!
`
[
1-
+log
2!
`
[
1-
1
2 ]
1
3 ]
1
4 ]
+y+log
2!
`
[
1-
1
n ]
y=x
y=log3`x
a
b c
x
d
039 답 ①
y=log 2`8x=log 2`x+3의 그래프는
y=log 2`x의 그래프를 y축의 방향으로
3만큼 평행이동한 것이다.
즉, 오른쪽 그림에서 빗금친 두 부분의
넓이는 서로 같으므로 구하는 넓이는
{3-1}\3=6
log 3`b=a, log 3`c=b, log 3`d=c이므로
a-c=log 3`b-log 3`d=log 3`
b
d
040 답
1
3
오른쪽 그림에서
이때 d=3b이므로
a-c=log 3`
=-1
1
3
/ 3a-c=3_!=
1
3
y
3
O
y
c
b
a
O
`
=log
2!
+log
`
2!
+log
2!
`
+y+log
`
2!
3
4
n-1
n
`
=log
2!
[
1
2
2
3
\
\
\y\
n-1
n ]
=log
`
2!
1
n
2
3
3
4
`
이때 log
2!
=4이므로
1
n
`
log
2!
=log
`
2!
1
n
1
16
,
1
n
=
1
16
/ n=16
045 답 10
y=log`{x+3}+a에서 y-a=log`{x+3}
x+3=10Y_A / x=10Y_A-3
x와 y를 서로 바꾸면 y=10X_A-3
046 답 -1
f{8}=log 2`8-1=2이므로 g{2}=8
g{g{a}}=8에서 g{a}=2
f{2}=2-3=-1이므로 g{-1}=2
g{a}=2에서 a=-1
03 지수함수와 로그함수 27
AB
=log 4`a-log 16`a=log 4`a-
`log 4`a=
`log 4`a
따라서 a=3, b=10, c=-3이므로 a+b+c=10
041 답 ⑤
네 점 A{a, log 4`a}, B{a,`log 16`a}, C{b,`log 4`b}, D{b, log 16`b}
에 대하여
1
2
1
2
1
2
1
2
CD
=log 4`b-log 16`b=log 4`b-
`log 4`b=
`log 4`b
이때
=4에서 CD
=4AB
이므로
`log 4`b=4\
`log 4`a, log 4`b=log 4`a$
CD
AB
1
2
/ b=a$
1
2
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2018-04-25 오후 12:05:32
03Z
Z
Z
Z
Z
Z
047 답 29
g{x}는 y=log3`x의 역함수이므로 g{x}=3X
051 답 ①
01이므로 a<10
/ AB
=3
/ BC
=26
/ AB
+BC
=3+26=29
`{x+a}-3에서 밑이 1보다 작으므로 x=10일 때
log b`a-log b`a
/ log a`b<-log b`a0, 4-x>0
/ -21이므로 t>1
즉, log a`4=-2이므로 a_@=4
a@=
/ a=
{? 01에서 log`x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
log`x+
4
log`x
4
log`x e=2\2=4
>2qlog`x\
따라서 구하는 최솟값은 4이다.
(단, 등호는 log`x=2일 때 성립)
067 답 ③
[
[
=log 9`
ab+
4
ab
+5
]
는다.
y =log 9`
a+
+log 9`
b+
=log 9`
a+
4
b ]
1
a ]
[
4
b ][
b+
1
a ]
[
4
ab
4
ab
이고 밑이 1보다 크므로 y는 ab+
+5가 최소일 때 최솟값을 갖
이때 a>0, b>0이므로 ab>0,
>0이고 산술평균과 기하평균
의 관계에 의하여
ab+
4
ab
+5 >2qab\
4
ab e+5=2\2+5=9
(단, 등호는 ab=2일 때 성립)
따라서 ab+
+5의 최솟값은 9이므로 b의 최솟값은
4
ab
log 9`9=1
068 답 2
log`x+log`2y=log`2xy이고 밑이 1보다 크므로 log`2xy는 xy가
최대일 때 최댓값을 갖는다.
이때 x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
x+2y>2j2xyl (단, 등호는 x=2y일 때 성립)
또 x+2y=20이므로 20>2j2xyl, 10>j2xyl
100>2xy / xy<50
따라서 xy의 최댓값은 50이므로 log`2xy의 최댓값은
log`100=2
30 정답과 해설
핵심 유형 최종 점검하기
55~57쪽
1 답 ②
유형 02 지수함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동
y=4X"@-5의 그래프는 y=4X의 그래
y
프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의
방향으로 -5만큼 평행이동한 것이므
y=4X
-2
1
O
x
로 오른쪽 그림과 같다.
따라서 점근선의 방정식은 y=-5이
y=4X"@-5
-4
므로 옳지 않은 것은 ②이다.
-5
2 답 ③
유형 02 지수함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동
ㄱ. y=2X의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은
y=2_X=
1
2 ]X
[
ㄴ. y=3X의 그래프를 x축의 방향으로 1
y
y=3X y=3X_!
만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=3X_!이고, 오른쪽 그림에서
y=3X_!의 그래프는 y=3X의 그래프
보다 아래쪽에 있다.
ㄷ. y=#j5\5X=53!\5X=5x+
3!이므로
1
3
쳐진다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
y=5X의 그래프를 x축의 방향으로 -
만큼 평행이동하여 겹
1
O
1
x
/ f{-1} =a-b+c=a_B\aC={aB}_!\aC
3 답 ①
유형 03 지수함수의 함숫값
f{1}=3에서 ab+c=3
yy ㉠
f{2}=27에서 a2b+c=27 yy ㉡
㉡_㉠을 하면 aB=9
yy ㉢
㉢을 ㉠에 대입하면
ab+c=aB\aC=9aC=3이므로 aC=
1
3
=
\
=
1
9
1
3
1
27
4 답 ①
유형 03 지수함수의 함숫값
오른쪽 그림에서
b=3A, d=3C이므로
3K=bd=3A\3C=3A"C
/ k=a+c
y=3X
y=x
y
e
d
c
b
O
a
b
c
d
e
x
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2018-04-25 오후 12:05:33
5 답 ①
유형 04 지수함수를 이용한 수의 대소 비교
세 수 A=
1
5 ]@X, B=
[
1
5 ]
[
x@
, C=5X=
1
5 ]_X에서
[
00, x@>0, -x<0
또 2x-x@=x{2-x}>0이므로 2x>x@
/ -x0}로 놓으면 y=-t@+6t+a=-{t-3}@+9+a
이때 10, 4-x+2>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
y =4X+4-x+2 >214X\4-x+2
3=2\4=8
이때 등호는 4X=4-x+2일 때 성립하므로
x=-x+2 / x=1
따라서 a=1, m=8이므로 a+m=9
10 답 ③
유형 10 로그함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동
y=log 3 {6-x}+2=log 3 9-{x-6}0+2이므로
y=log 3`{-x}의 그래프를 x축의 방향으로 6만큼, y축의 방향으
y
로 2만큼 평행이동한 것이다.
이때 y=log 3`{-x}의 그래프
는 y=log 3`x의 그래프를 y축
에 대하여 대칭이동한 것이므
O-1
6
x
로 y=log 3`{6-x}+2의 그래
y=log3`{-x}
프는 오른쪽 그림과 같다.
y=log3`{6-x}+2
따라서 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하므로 옳지 않은 것은
③이다.
y=log 5`x의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만
11 답 1
유형 10 로그함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동
큼 평행이동한 그래프의 식은
y=log 5`{x-a}+b
이때 점근선의 방정식이 x=-1이므로
a=-1
또 그래프가 점 {0, 2}를 지나므로
2=log 5`{0+1}+b / b=2
/ a+b=-1+2=1
12 답 ④
유형 11 로그함수의 함숫값
① f{1}=log 5`1=0
② f{25x}=log 5`25x=log 5`x+log 5`25=f{x}+2
1
x ]
=log 5`
③ f [
④ 25 f{x}=25 log 5`x=x log 5`25=x@
=-log 5`x=-f{x}
1
x
⑤ f{x#}=log 5`x#=3 log 5`x=3f{x}
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
13 답 j6
유형 11 로그함수의 함숫값
a=log
3!
`2, b=log
3!
`3이므로
즉, log
3!
`k=
`log
3!
`6이므로
1
2
k=j6
log
3!
`k=
a+b
2
=
1
2
{log
3!
`2+log
3!
`3}=
`log
3!
`6
1
2
03 지수함수와 로그함수 31
PM수학Ⅰ해설 03-04(021~047)OK.indd 31
2018-04-25 오후 12:05:33
03 14 답 -1
유형 12 로그함수의 역함수
{ f`J` g}{x}=x이므로 g{x}는 f{x}의 역함수이다.
-
g
[
1
2 ]
=a라고 하면 f{a}=-
이므로
1
2
[
1
2
1
2 ]A-1=-
1
1
2 ]A=
[
2
또 g{1}=b라고 하면 f{b}=1이므로
/ a=1
1
2 ]B-1=1
1
2 ]B=2 / b=-1
[
[
15 답 2
유형 12 로그함수의 역함수
y=f{x}의 그래프가 y=log 2`x의 그래프와 직선 y=x에 대하여
대칭이므로 y=f{x}는 함수 y=log 2`x의 역함수이다.
점 {1, b}가 곡선 y=f{x} 위의 점이므로 점 {b, 1}은 곡선
y=log 2`x 위의 점이다.
즉, 1=log 2`b이므로 b=2
2=log 2`a / a=4
/ a-b=4-2=2
또 점 {a, 2}가 곡선 y=log 2`x 위의 점이므로
16 답 0
유형 13 로그함수를 이용한 수의 대소 비교
1
a
하면
1
a
1
a
1
a
1
a
log a`b1이므로 b<
<1의 각 변에 밑이 a인 로그를 취
=-{log 2`x}@+4`log 2`x
또 00이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의
2qlog
4!
`x\
`x e=2\2=4
4
log
4!
4
log
4!
=
, f{2}=
이므로
1
2
따라서 구하는 최솟값은 4이다.
[단, 등호는 x=
일 때 성립]
1
16
하여
2
7
2
7 ]
1
8
하고 f [
1
8
5 유형08 16
유형09 10장
유형10 x=-
5
6
유형11 35
유형12
1
100
유형13
유형14 ④
유형15 ②
유형16 20
1
4
유형17 8
유형18 03 027 -4 028 ④
029 a<1
030 3시간 031 12시간
034 x=
035 ②
036 4
032 7시간 033 ②
1
64
037 2
038
5
3
1
27
1
3
042 3
043 ④
044 8
045 x=
1
15
046 9
047 ④
048 2
049 16
050 -15 051 2
052 1 j10k
10
1
10
066 ①
067 15개월
1
25
068 j10k
065 1
069 7
1 -2
6 ①
11 ④
16 8
21 4
2 ①
7 -2
12 ①
17 59
3 ②
8 ④
13 ③
18 1
4 5
9 ③
14 27
19 ②
5 ⑤
10 4회
15 ①
20 ④
핵심 유형 60~61쪽
유형01 답 -
5
2
4x@-8\
1
32 ]X=0에서
[
22x@-2#\2_%X=0, 22x@=2#_%X
즉, 2x@=3-5x이므로 2x@+5x-3=0
의 모든 실근의 합은 -
이다.
5
2
유형02 답 1
3X+3#_X=12의 양변에 3X을 곱하면
{3X}@+27=12\3X
/ {3X}@-12\3X+27=0
3X=t{t>0}로 놓으면
t@-12t+27=0, {t-3}{t-9}=0
/ t=3 또는 t=9
즉, 3X=3 또는 3X=9이므로 x=1 또는 x=2
유형03 답 3
! x-2=0, 즉 x=2일 때, 주어진 방정식은 3)=5)=1이므로 성
립한다.
@ x-2=0일 때, x+1=3x-1이므로
2x=2 / x=1
!, @에 의하여 모든 근의 합은 2+1=3
유형04 답 ③
4X-2x+3+12=0에서 {2X}@-8\2X+12=0
t@-8t+12=0 yy ㉠
주어진 방정식의 두 근이 a, b이고 방정식 ㉠의 두 근은 2a, 2b이므
로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
2a+2b=8, 2a\2b=12
/ 4a+4b =22a+22b={2a+2b}@-2\2a\2b
유형05 답 ④
1
1
8 ]
2 ]
>
2x+1
x-1
2x+1
3x-3
[
[
밑이 1보다 작으므로 2x+1<3x-3
에서 [
[
>
1
2 ]
1
2 ]
/ x>4
유형06 답 2
2@X-6\2X"!+32<0에서
{2X}@-12\2X+32<0
2X=t{t>0}로 놓으면 t@-12t+32<0
{t-4}{t-8}<0 / 40}로 놓으면
058 15
! 02x-5에서 x<5
그런데 01일 때, x<2x-5에서 x>5
!, @, #에 의하여 주어진 부등식의 해는
05
[
유형08 답 16
1
4 ]X-
1
2 ]X=@-8\
[
1
2 ]X_#+k>0에서
1
2 ]X+k>0
[
- [
1
2 ]X=t{t>0}로 놓으면 t@-8t+k>0
[
/ {t-4}@+k-16>0 yy ㉠
부등식 ㉠이 t>0인 모든 실수 t에 대하여 성립하려면
k-16>0 / k>16
따라서 실수 k의 최솟값은 16이다.
유형09 답 10장
공기청정기로 유입된 오염 물질의 양을 P{P>0}라고 하면
002 답
13
4
2x@-5
-
2
5 ]
5
2 ]@_X=0에서 [
[
[
즉, 2x@-5=x-2이므로 2x@-x-3=0
2
5 ]
=
[
2x@-5
2
5 ]X_@
{x+1}{2x-3}=0 / x=-1 또는 x=
3
2
3
따라서 주어진 방정식의 두 근이 -1,
2
이므로
a@+b@={-1}@+
3
2 ]@=
13
4
[
003 답 3
5x@-5x+9-125x+k=0에서 5x@-5x+9=53x+3k
즉, x@-5x+9=3x+3k이므로
x@-8x+9-3k=0 yy ㉠
이때 방정식 ㉠의 한 근이 3이므로 x=3을 대입하면
9-24+9-3k=0 / k=-2
k=-2를 ㉠에 대입하면
x@-8x+15=0, {x-3}{x-5}=0
/ x=3 또는 x=5
따라서 a=5이므로 k+a=-2+5=3
1
2
3
4
필터 A는 오염 물질의 50 %, 즉
을 걸러 낼 수 있으므로 1장의
1
필터를 사용한 후 남아 있는 오염 물질의 양은
2
P
따라서 필터 A를 20장 사용한 후 남아 있는 오염 물질의 양은
004 답 ③
8x@+1
2x+3 =4에서
23x@+3=2x+5
23{x@+1}
2x+3 =2@이므로
1
2 ]@)P yy ㉠
[
필터 B는 오염 물질의 75 %, 즉
을 걸러 낼 수 있으므로 1장의
1
필터를 사용한 후 남아 있는 오염 물질의 양은
4
P
따라서 필터 B를 n장 사용한 후 남아 있는 오염 물질의 양은
즉, 3x@+3=x+5이므로 3x@-x-2=0
{3x+2}{x-1}=0 / x=-
또는 x=1
2
3
그런데 x는 정수이므로 x=1
1
4 ]NP yy ㉡
[
㉠과 ㉡이 같아야 하므로
1
1
4 ]NP, [
2 ]@)P=
[
20=2n / n=10
[
1
2 ]@)=
[
1
2 ]@N
따라서 필터 B를 10장 사용해야 한다.
핵심 유형 완성하기 62~65쪽
001 답 ②
1
3 ]
{j3}x@-x=
1
2
즉,
[
X_!
에서 32!
{x@-x}=3-x+1
{x@-x}=-x+1이므로 x@+x-2=0
34 정답과 해설
005 답 8
3X+8\3_X-9=0의 양변에 3X을 곱하면
{3X}@+8-9\3X=0
3X=t{t>0}로 놓으면
t@-9t+8=0, {t-1}{t-8}=0
/ t=1 또는 t=8
즉, 3X=1 또는 3X=8이고, a0}로 놓으면
t@-20t+64=0, {t-4}{t-16}=0
/ t=4 또는 t=16
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 주어진 방정식의
즉, 2X=4 또는 2X=16이므로 x=2 또는 x=4
모든 실근의 곱은 -2이다.
따라서 모든 실근의 곱은 2\4=8
PM수학Ⅰ해설 03-04(021~047)OK.indd 34
2018-04-25 오후 12:05:34
007 답 ⑤
a@X+aX=12에서 {aX}@+aX-12=0
aX=t{t>0}로 놓으면
t@+t-12=0, {t+4}{t-3}=0
/ t=3 {? t>0}
즉, aX=3이고 x=
이므로 a3!=3
1
3
/ a=3#=27
008 답 4
2X+2Y=17
22x-y=
1
16
에서
2X+2Y=17
{2X}@_2Y=
1
16
[
[
2X=X, 2Y=Y{X>0, Y>0}로 놓으면
X+Y=17
X@_Y=
1
16
X+Y=17
, 즉 -
Y=16X@
[
이 연립방정식을 풀면 X=1, Y=16
즉, 2X=1, 2Y=16이므로 x=0, y=4
따라서 a=0, b=4이므로 a+b=4
009 답 ④
3X+3_X=X{X>2}로 놓으면
9X+9_X={3X+3_X}@-2=X@-2이므로
주어진 방정식은
3{X@-2}-7X-4=0, 3X@-7X-10=0
{X+1}{3X-10}=0 / X=
{? X>2}
10
3
즉, 3X+3_X=
이므로 양변에 3X을 곱하면
{3X}@+1=
\3X / 3\{3X}@-10\3X+3=0
3X=t{t>0}로 놓으면 3t@-10t+3=0
{3t-1}{t-3}=0 / t=
또는 t=3
1
3
즉, 3X=
또는 3X=3이므로 x=-1 또는 x=1
1
3
따라서 모든 실근의 합은 0이다.
10
3
10
3
010 답 -24
! x-6=0, 즉 x=6일 때, 주어진 방정식은 65)=15)=1이므로
성립한다.
@ x-6=0일 때, x@+4x+5=x+9이므로
x@+3x-4=0, {x+4}{x-1}=0
/ x=-4 또는 x=1
!, @에 의하여 모든 근의 곱은 -4\1\6=-24
011 답 x=1 또는 x=2
{xX}X=xX\xX에서 xx@=x@X
! x=1일 때, 주어진 방정식은 1!=1@이므로 성립한다.
@ x=1일 때, x@=2x이므로 x{x-2}=0
/ x=2 {? x>0}
!, @에 의하여 구하는 방정식의 해는 x=1 또는 x=2
012 답 ①
! x+2=0, 즉 x=-2일 때, 주어진 방정식은 7)=1이므로 성립
한다.
@ x+2=0일 때, x@-x+1=1이므로
x@-x=0, x{x-1}=0 / x=0 또는 x=1
!, @에 의하여 모든 근의 합은 -2+0+1=-1
013 답 117
9X-5\3x+1+54=0에서 {3X}@-15\3X+54=0
3X=t{t>0}로 놓으면
t@-15t+54=0 yy ㉠
주어진 방정식의 두 근이 a, b이고 방정식 ㉠의 두 근은 3a, 3b이
므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
3a+3b=15, 3a\3b=54
/ 32a+32b ={3a+3b}@-2\3a\3b
=15@-2\54=117
014 답 3
49X-2{a+1}7X+a+7=0에서
{7X}@-2{a+1}7X+a+7=0
7X=t{t>0}로 놓으면
t@-2{a+1}t+a+7=0 yy ㉠
서로 다른 두 양의 실근을 가져야 하므로
! 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라고 하면
D
4
={a+1}@-{a+7}>0
a@+a-6>0, {a+3}{a-2}>0
/ a<-3 또는 a>2
주어진 방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 이차방정식 ㉠이
@ (두 근의 합)=2{a+1}>0 / a>-1
# (두 근의 곱)=a+7>0 / a>-7
!, @, #을 동시에 만족하는 a의 값의 범위는 a>2
따라서 정수 a의 최솟값은 3이다.
015 답 ③
9X+2k\3X+15-2k=0에서 {3X}@+2k\3X+15-2k=0
3X=t {t>0}로 놓으면
t@+2kt+15-2k=0 yy ㉠
주어진 방정식의 두 실근을 a, 2a{a=0}라고 하면 방정식 ㉠의
두 근은 3a, 32a이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
3a+32a=-2k, 3a\32a=15-2k
3a=m{m>0}으로 놓으면
m+m@=-2k, m#=15-2k
위의 두 식을 연립하면
m#=15+{m+m@}, m#-m@-m-15=0
{m-3}{m@+2m+5}=0
/ m=3 {? m@+2m+5>0}
따라서 m+m@=-2k에서
-2k=3+9=12 / k=-6
04 지수함수와 로그함수의 활용 35
PM수학Ⅰ해설 03-04(021~047)OK.indd 35
2018-04-25 오후 12:05:35
04 016 답 -30}로 놓으면
3t@+3kt+k@-k-6=0 yy ㉠
주어진 방정식의 두 근을 a, b{a1
즉, 이차방정식 ㉠은 0과 1 사이의 한 개의 근을 갖고, 1보다 큰
020 답 6
[
ax
x@
[
[
밑이 1보다 작으므로 2x@
1
2 ]
2x@
ax
1
2 ]
2x@-ax<0, x{2x-a}<0
/ 00}
a
2
주어진 부등식을 만족하는 정수 x는 3개이므로
3<
a
2 <4 / 60}로 놓으면
[
[
t@-
t+3<0, 3t@-28t+9<0
28
3
{3t-1}{t-9}<0 /
0
{k+2}{k-3}>0
/ k<-2 또는 k>3
@ f{1}=3+3k+k@-k-6<0
k@+2k-3<0, {k+3}{k-1}<0
/ -32x@+2x
에서 [
[
[
<
1
6 ]
1
6 ]
x@+2x-8<0, {x+4}{x-2}<0
/ -40, {x+3}{x-2}>0
/ x<-3 또는 x>2
/ A=9x|x<-3 또는 x>20
4X-3\2X-4>0에서 {2X}@-3\2X-4>0
2X=t{t>0}로 놓으면 t@-3t-4>0
{t+1}{t-4}>0 / t>4 {? t>0}
즉, 2X>2@이고 밑이 1보다 크므로 x>2
018 답 a
g{x}
f{x}
[
따라서 주어진 부등식의 해는 이차함수 y=f{x}의 그래프가 직선
에서 밑이 1보다 작으므로 f{x}20
/ A5B=9x|x>20
y=g{x}보다 아래쪽에 있는 x의 값의 범위이므로 a0
023 답 11
4x+1+a\2X+b<0에서
4\{2X}@+a\2X+b<0
2X=t{t>0}로 놓으면 4t@+at+b<0 yy ㉠
주어진 부등식의 해가 -27
그런데 01이므로 부등식이 성립하지 않는다.
# x>1일 때, 2x+3>3x-4에서 x<7
그런데 x>1이므로 11이므로 부등식이 성립한다.
# x>1일 때, x@>4x+5에서 x@-4x-5>0
{x+1}{x-5}>0 / x<-1 또는 x>5
그런데 x>1이므로 x>5
!, @, #에 의하여 주어진 부등식의 해는
05
따라서 집합 S=9x|050이므로 집합 S의 원소인
것은 ⑤이다.
026 답 x>3
! 04x-2 / x<1
그런데 ㉠이므로 해가 존재하지 않는다.
@ x@-4x+4=1일 때, 1<1이므로 부등식이 성립하지 않는다.
따라서 x@-4x+4=1에서 x@-4x+3=0
/ x=1, x=3
# x@-4x+4>1일 때
x@-4x+3>0, {x-1}{x-3}>0
/ x<1 또는 x>3
{x@-4x+4}x+1<{x@-4x+4}4x-2에서 밑이 1보다 크므로
yy ㉡
x+1<4x-2 / x>1
그런데 ㉡이므로 x>3
!, @, #에 의하여 주어진 부등식의 해는 x>3
027 답 -4
16X-4X"!-k>0에서
{4X}@-4\4X-k>0
4X=t{t>0}로 놓으면 t@-4t-k>0
/ {t-2}@-k-4>0 yy ㉠
부등식 ㉠이 t>0인 모든 실수 t에 대하여 성립하려면
-k-4>0 / k<-4
따라서 실수 k의 최댓값은 -4이다.
028 답 ④
25X-2k\5X+4>0에서
{5X}@-2k\5X+4>0
5X=t{t>0}로 놓으면 t@-2kt+4>0
/ {t-k}@-k@+4>0 yy ㉠
부등식 ㉠이 t>0인 모든 실수 t에 대하여 성립하려면
! k>0일 때
-k@+4>0에서 k@-4<0
{k+2}{k-2}<0 / -20이므로 00이므로 t>0인 모든 실수 t에 대하여 부등식 ㉠
@ k<0일 때
이 성립한다.
!, @에 의하여 k<2
029 답 a<1
2A=t{t>0}로 놓으면
x@-2{t+4}x+{t+34}>0 yy ㉠
부등식 ㉠이 모든 실수 x에 대하여 성립해야 하므로 이차방정식
x@-2{t+4}x+{t+34}=0의 판별식을 D라고 하면
D
4
={t+4}@-{t+34}<0
t@+7t-18<0, {t+9}{t-2}<0
/ -90이므로 00
[
[
100\2N>100000\
100\2N-100000\
2N-
1000
2N
-90>0
2N=t{t>0}로 놓으면
t-
1000
t
-90>0, t@-90t-1000>0
{t+10}{t-100}>0 / t>100 {? t>0}
즉, 2N>100이고, 2^=64, 2&=128이므로 자연수 n의 값의 범위
는 n>7
따라서 음원 A의 다운로드 수가 음원 B의 다운로드 수보다 9000회
이상 더 많아질 것으로 예측되는 것은 현재로부터 최소 7시간 후이다.
유형12 답
1
100
xlog `x=
1000
x@
의 양변에 상용로그를 취하면
log`xlog `x=log`
, {log`x}@=log`1000-log`x@
1000
x@
/ {log`x}@+2 log `x-3=0
log`x=t로 놓으면
t@+2t-3=0, {t+3}{t-1}=0
/ t=-3 또는 t=1
즉, log`x=-3 또는 log`x=1이므로
x=10_#=
또는 x=10
1
1000
따라서 모든 근의 곱은
\10=
1
1000
1
100
유형13 답
1
4
{log
2!
`x}@+log 2`
=0에서
x@
4
{-log 2`x}@+log 2`x@-log 2`4=0
/ {log 2`x}@+2 log 2`x-2=0
log 2`x=t로 놓으면
t@+2t-2=0 yy ㉠
log 2`a+log 2`b=-2, log 2`ab=-2
/ ab=2_@=
1
4
유형14 답 ④
진수의 조건에서 x+8>0, x-4>0
/ x>4
yy ㉠
log 25`{x+8}0, {x-1}{x-8}>0
/ x<1 또는 x>8 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>8
따라서 자연수 x의 최솟값은 9이다.
유형15 답 ②
진수의 조건에서 x>0, log
2!
log
2!
`x>log
2!
`1에서 x<1
`x>0
/ 00, {2x+3}@>0
3
2
또는 -
/ x<-
{2x+1}{2x-1}>0, 2x+3=0
1
2
log 3`14x@-13=log 9`{2x+3}@에서
log 9`{4x@-1}=log 9`{2x+3}@
yy ㉠
1
2
유형11 답 35
{log 6`x}@+log 6`x@=log 6`36x#에서
{log 6`x}@+2`log 6`x=2+3`log 6`x
/ {log 6`x}@-log 6`x-2=0
log 6`x=t로 놓으면
t@-t-2=0, {t+1}{t-2}=0
/ t=-1 또는 t=2
38 정답과 해설
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밑이 1보다 크므로 log
2!
`x<4
log
2!
`
`x
yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
0
{log
4!
`
`x}@+log
4!
{log
4!
`x}@+log
4!
x#
16 <0에서
1
16 <0
`x#+log
4!
`
/ {log
4!
`x}@+3 log
4!
`x+2<0
log
4!
`x=t로 놓으면 t@+3t+2<0
{t+2}{t+1}<0 / -20
xlog 3`x<81의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면
log 3`xlog 3`x0에서 {log `x}@-{log `a+log `x@}>0
/ {log `x}@-2 log `x-log `a>0
log `x=t로 놓으면 t@-2t-log `a>0 yy ㉠
x>0에서 주어진 부등식이 성립하려면 모든 실수 t에 대하여 부
등식 ㉠이 성립해야 하므로 이차방정식 t@-2t-log `a=0의 판별
식을 D라고 하면
D
4
=1+log`a<0, log`a<-1
밑이 1보다 크므로 a<
이때 a>0이므로 00, 4-x>0
/ 10, 3x-2>0
/ x>
yy ㉠
2
3
1
3
1
3
log 8`{x+1}=1-
`log 2`{3x-2}에서
1
3
`log 2`{x+1}+
`log 2`{3x-2}=1
log 2`{x+1}{3x-2}=3
/ log 2`{3x@+x-2}=log 2`8
즉, 3x@+x-2=8이므로 3x@+x-10=0
{x+2}{3x-5}=0
5
3
/ x=-2 또는 x=
이때 ㉠에 의하여 x=
5
3
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04 지수함수와 로그함수의 활용 39
04 035 답 ②
밑과 진수의 조건에서
x@-2x+1>0, x@-2x+1=1, 2-3x>0
/ x<0 또는 00, y>0 yy ㉠
log 2`9log`{x@+y@}0=0에서 log`{x@+y@}=1
/ x@+y@=10
log 3`jx k+log 9`y=
log 9`xy=log 9`j9 / xy=3
1
2
에서 log 9`x+log 9`y=
1
2
즉, 주어진 연립방정식은 -
x@+y@=10
xy=3
이므로
{x+y}@ =x@+y@+2xy=10+2\3=16
㉠에 의하여 x+y=4
/ a+b=4
037 답 2
{log 2`x}@-log 4`x^+2=0에서
{log 2`x}@-3 log 2`x+2=0
log 2`x=t로 놓으면 t@-3t+2=0
{t-1}{t-2}=0 / t=1 또는 t=2
038 답
1
64
log 4`4x\log 4`16x=6에서
{1+log 4`x}{2+log 4`x}=6
/ {log 4`x}@+3 log 4`x-4=0
log 4`x=t로 놓으면 t@+3t-4=0
{t+4}{t-1}=0 / t=-4 또는 t=1
즉, log 4`x=-4 또는 log 4`x=1이므로
x=4_$=
또는 x=4
1
256
따라서 두 근의 곱은
\4=
1
256
1
64
40 정답과 해설
즉, log 2`x=1 또는 log 2`x=2이므로 x=2 또는 x=2@=4
따라서 a=2, b=4이므로 log a`b=log 2`4=2
039 답 x=
또는 x=
1
27
1
3
밑과 진수의 조건에서 x>0, x=1
log 9`x@+3`log x`3+4=0에서 log 3`x+
+4=0
3
log 3`x
log 3`x=t{t=0}로 놓으면
t+
+4=0, t@+4t+3=0
3
t
{t+3}{t+1}=0 / t=-3 또는 t=-1
즉, log 3`x=-3 또는 log 3`x=-1이므로
x=
또는 x=
1
27
1
3
040 답 ⑤
xlog 5`3=3log 5`x이므로
3log 5`x\xlog 5`3-2\3log 5`x-3=0에서
{3log 5`x}@-2\3log 5`x-3=0
3log 5`x=t{t>0}로 놓으면
t@-2t-3=0, {t+1}{t-3}=0
/ t=3`{? t>0}
즉, 3log 5`x=3이므로 log 5`x=1
/ x=5
041 답 ④
log 3`x=X, log 4`y=Y로 놓으면 -
X+Y=4
XY=3
이 연립방정식을 풀면
X=1, Y=3 또는 X=3, Y=1
즉, log 3`x=1, log 4`y=3 또는 log 3`x=3, log 4`y=1이므로
x=3, y=64 또는 x=27, y=4
따라서 a=3, b=64이므로 b-a=61
=k{k=0}로 놓으면
042 답 3
=
4a
b
4a+b
log a`b
3 log b`a
4
4a=k log a`b yy ㉠
=
b=3k log b`a yy ㉡
4a+b=4k
yy ㉢
㉠+㉡을 하면
4a+b=k{log a`b+3 log b`a}
㉢에서 4a+b=4k이므로
4k=k{log a`b+3 log b`a}
log a`b+
3
log a`b
log a`b=t{t=0}로 놓으면
=4
t+
=4, t@-4t+3=0
3
t
이때 k=0이므로 log a`b+3 log b`a=4
{t-1}{t-3}=0 / t=1 또는 t=3
그런데 11이므로 t=3
/ log a`b=3
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즉, log 2`x=-1 또는 log 2`x=2이므로
/ {log 2`a}@+{log 2`b}@ ={log 2`a+log 2`b}@-2{log 2`a\log 2`b}
043 답 ④
xlog 2`x=4x의 양변에 밑이 2인 로그를 취하면
log 2`xlog 2`x=log 2`4x, {log 2`x}@=log 2`4+log 2`x
/ {log 2`x}@-log 2`x-2=0
log 2`x=t로 놓으면
t@-t-2=0, {t+1}{t-2}=0
/ t=-1 또는 t=2
x=2_!=
또는 x=2@=4
1
2
1
따라서 주어진 방정식의 두 근이
2
, 4이므로
log a`b+log b`a =log
2!
`4+log 4`
1
2
5
2
=-2-
=-
1
2
044 답 8
5X=23-x의 양변에 상용로그를 취하면
log `5X=log `23-x, x log `5={3-x} log `2
x{log `5+log `2}=3 log `2
그런데 log `5+log `2=log `10=1이므로
x=3 log `2
따라서 a=3 log `2=log `2#=log `8이므로
10a=10log `8=8
045 답 x=
1
15
3log `3x=5log `5x의 양변에 상용로그를 취하면
log `3log `3x=log `5log `5x
log `3x\log `3=log `5x\log `5
{log `3+log `x}log `3={log `5+log `x}log `5
{log `5-log `3}log `x={log `3}@-{log `5}@
log `x =-
{log`5-log`3}{log`5+log`3}
log`5-log`3
=-{log`5+log`3}=-log `15=log `
1
15
/ x=
1
15
046 답 9
{log 3`3x}@-2`log 3`9x@=0에서
{1+log 3`x}@-2{2+2`log 3`x}=0
/ {log 3`x}@-2 log 3`x-3=0
log 3`x=t로 놓으면
t@-2t-3=0 yy ㉠
047 답 ④
{log 2`x}@-8 log 2`x-5=0에서
log 2`x=t로 놓으면
t@-8t-5=0 yy ㉠
주어진 방정식의 두 근이 a, b이고 방정식 ㉠의 두 근은
log 2`a, log 2`b이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
log 2`a+log 2`b=8, log 2`a\log 2`b=-5
=8@-2\{-5}=74
주어진 방정식의 두 근을 a, b라고 하면 방정식 ㉠의 두 근은
log 3`a, log 3`b이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
048 답 2
밑과 진수의 조건에서 x>0, x=1
log 3`x+a`log x`3=a+1에서
log 3`x+
a
log 3`x
log 3`x=t{t=0}로 놓으면
-{a+1}=0
t+
-{a+1}=0
a
t
t@-{a+1}t+a=0 yy ㉠
log 3`a+log 3`b=a+1, log 3`ab=a+1
이때 ab=27이므로 log 3`27=a+1
3=a+1 / a=2
049 답 16
주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면
D={log 2`a}@-4{3+log 2`a}=0
{log 2`a}@-4 log 2`a-12=0
log 2`a=t로 놓으면
t@-4t-12=0, {t+2}{t-6}=0
/ t=-2 또는 t=6
즉, log 2`a=-2 또는 log 2`a=6이므로
a=2_@=
또는 a=2^=64
1
4
1
따라서 모든 양수 a의 값의 곱은
4
\64=16
050 답 -15
진수의 조건에서 -x+3>0, x+9>0
/ -9{x+9}@
-x+3>x@+18x+81, x@+19x+78<0
주어진 방정식의 두 근을 a, b라고 하면 방정식 ㉠의 두 근은
{x+13}{x+6}<0
log 3`a, log 3`b이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
/ -130, {x+2}{x-3}>0
/ x<-2 또는 x>3 yy ㉠
log 2`{x@-x-6}<1+
2
log 3`4 에서
log 2`{x@-x-6}2-4x
4-x@>
[
밑이 1보다 크므로 -2x@>-4x
2x@-4x<0, 2x{x-2}<0
/ 00, 2x>0
x@-2x+3={x-1}@+2>0이므로
x>0
yy ㉡
log 2`{x@-2x+3}0, x@+9>0 / x>-
yy ㉠
1
6
! 0x@+9, x@-6x+8<0
{x-2}{x-4}<0 / 21일 때, 6x+10
{x-2}{x-4}>0 / x<2 또는 x>4
yy ㉢
1
㉠, ㉢의 공통 범위를 구하면 -
6
4
이때 주어진 부등식의 해가 20, log 3`2x>0
log 3`2x>log 3`1에서 2x>1
/ x>
yy ㉠
1
2
log
2!
log
2!
`{log 3`2x}>-1에서
`{log 3`2x}>log
2!
`2
42 정답과 해설
밑이 1보다 작으므로 log 3`2x<2
log 3`2x0, log 5`x>0, log 8`{log 5`x}>0
log 8`{log 5`x}>log 8`1에서 log 5`x>1
/ x>5
yy ㉠
log 3`9log 8`{log 5`x}0<-1에서
log 3`9log 8`{log 5`x}00, log 5`x>0
/ x>1
yy ㉠
log
8!
`{log 5`x}>-1에서 log
8!
밑이 1보다 작으므로 log 5`x<8
`{log 5`x}>log
8!
`8
/ x<5* yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 10
`
log
3!
x
9
\log 3`
>0에서
x
27
yy ㉠
`
log
3!
`x+log
3!
[
{-log 3`x+2}{log 3`x-3}>0
log 3`x+log 3`
1
9 ][
1
27 ]
>0
/ {log 3`x}@-5 log 3`x+6<0
log 3`x=t로 놓으면
t@-5t+6<0, {t-2}{t-3}<0
/ 20}로 놓으면
t@-3t+2<0, {t-1}{t-2}<0
/ 10
x$
27 의 진수의 조건에서
yy ㉠
{log 3`x}@0
xlog 5`25x<125의 양변에 밑이 5인 로그를 취하면
log 5`xlog 5`25x
1
10
j10k
10
진수의 조건에서 x>0 yy ㉠
xlog 0.1`x<110x#3의 양변에 밑이 0.1인 로그를 취하면
log 0.1`xlog 0.1`x>log 0.1`110x#3
1
{log 0.1`x}@>
2
{log 0.1`10+3 log 0.1`x}
{log 0.1`x}@>
log 0.1`x-
3
2
3
2
1
2
1
2
/ {log 0.1`x}@-
log 0.1`x+
>0
log 0.1`x=t로 놓으면
1
2
t@-
t+
3
2
>0, 2t@-3t+1>0
{2t-1}{t-1}>0 / t<
또는 t>1
1
2
즉, log 0.1`x<
또는 log 0.1`x>1이므로
1
2
log 0.1`xlog 0.1`0.1
밑이 1보다 작으므로
1
10
또는 x<
j10k
10
x>
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
0
1
10
j10k
10
yy ㉡
063 답 28
6x-1>5x+2의 양변에 상용로그를 취하면
log `6x-1>log `5x+2
{x-1} log `6>{x+2} log `5
{log `6-log `5}x>log `6+2 log `5
/ x >
log`6+2 log`5
log`6-log`5
log`2+log`3+2{1-log`2}
log`2+log`3-{1-log`2}
-0.30+0.48+2
2\0.30+0.48-1
=27.25
=
=
따라서 자연수 x의 최솟값은 28이다.
=
-log`2+log`3+2
2 log`2+log`3-1
04 지수함수와 로그함수의 활용 43
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04 064 답 ④
{log 4`x}@+log 4`16x@-log 2`k>0에서
{log 4`x}@+2 log 4`x+2-log 2`k>0
log 4`x=t로 놓으면
t@+2t+2-log 2`k>0 yy ㉠
x>0에서 주어진 부등식이 성립하려면 모든 실수 t에 대하여 부등
식 ㉠이 성립해야 하므로 이차방정식 t@+2t+2-log 2`k=0의 판별
식을 D라고 하면
D
4
밑이 1보다 크므로 k<2
=1-{2-log 2`k}<0, log 2`k<1
이때 k>0이므로 00
={2+log 3`a}@-1>0
log 3`a=t로 놓으면
즉, log 3`a<-3 또는 log 3`a>-1이므로
log 3`alog 3`
1
27
밑이 1보다 크므로 a<
또는 a>
1
3
1
3
1
3
1
27
1
27
이때 a>0이므로 0
따라서 정수 a의 최솟값은 1이다.
t@+4t+3>0, {t+3}{t+1}>0 / t<-3 또는 t>-1
066 답 ①
xlog 3`x>{9x@}K의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면
log 3`xlog 3`x>log 3`{9x@}K
{log 3`x}@>k{log 3`9+2 log 3`x}
/ {log 3`x}@-2k log 3`x-2k>0
log 3`x=t로 놓으면
t@-2kt-2k>0 yy ㉠
x>0에서 주어진 부등식이 성립하려면 모든 실수 t에 대하여 부
등식 ㉠이 성립해야 하므로 이차방정식 t@-2kt-2k=0의 판별식
을 D라고 하면
D
4
={-k}@+2k<0
k@+2k<0, k{k+2}<0 / -26.5y
따라서 자연수 n의 최솟값은 7이다.
핵심 유형 최종 점검하기
73~75쪽
1 답 -2
유형 01 밑을 같게 할 수 있는 지수방정식
6x@-x+6=
x-3
1
216 ]
[
에서 6x@-x+6=6-3x+9
즉, x@-x+6=-3x+9이므로 x@+2x-3=0
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 주어진 방정식의
모든 실근의 합은 -2이다.
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2018-04-25 오후 12:05:38
2 답 ①
유형 02 aX 꼴이 반복되는 지수방정식
2X-21-x=2의 양변에 2X을 곱하면
{2X}@-2=2\2X
/ {2X}@-2\2X-2=0
2X=t{t>0}로 놓으면
t@-2t-2=0 / t=1+j3 {? t>0}
즉, 2a=1+j3이므로
4a={2a}@={1+j3}@=4+2j3
따라서 a=4, b=2이므로 a+b=6
3 답 ②
유형 02 aX 꼴이 반복되는 지수방정식
2\3X-3\2Y=-6
-
3x-1-2y+1=-13
에서
2\3X-3\2Y=-6
-2\2Y=-13
3X
3
[
3X=X, 2Y=Y{X>0, Y>0}로 놓으면
2X-3Y=-6
2X-3Y=-6
, 즉 -
X
3
-2Y=-13
X-6Y=-39
[
이 연립방정식을 풀면 X=9, Y=8
즉, 3X=9=3@, 2Y=8=2#이므로 x=2, y=3
따라서 a=2, b=3이므로 ab=2\3=6
6 답 ①
유형 05 밑을 같게 할 수 있는 지수부등식
유형 06 aX 꼴이 반복되는 지수부등식
x-1
4X>
1
2 ]
[
에서 2@X>2_X"!
밑이 1보다 크므로 2x>-x+1
/ x>
1
3
/ A=
x
-
|
x>
1
3
=
32x+1-82\3X+27<0에서
3\{3X}@-82\3X+27<0
3X=t{t>0}로 놓으면
3t@-82t+27<0, {3t-1}{t-27}<0
/
4 {? t>0}
7 답 -2
유형 06 aX 꼴이 반복되는 지수부등식
4x-2
-8>0에서
[
[
1
1
16 ]X-
j2 ]
1
4 ]X =@-2\
[
1
4 ]X-8>0
- [
1
4 ]X=t{t>0}로 놓으면
[
t@-2t-8>0, {t+2}{t-4}>0
1
4 ]X>
[
1
4 ]_!이고 밑이 1보다 작으므로
즉, [
x<-1
따라서 정수 x의 최댓값은 -2이다.
그런데 x=0이므로 x=2
!, @에 의하여 a=0+2=2
{x+2}x-5=4x-5에서
# x-5=0, 즉 x=5일 때, 주어진 방정식은 7)=4)=1이므로 성
립한다.
$ x-5=0, 즉 x=5일 때, x+2=4이므로 x=2
#, $에 의하여 b=5+2=7
/ b-a=7-2=5
5 답 ⑤
유형 04 지수방정식의 응용
5X=t{t>0}로 놓으면
t@-24t+k=0 yy ㉠
25X-24\5X+k=0에서 {5X}@-24\5X+k=0
주어진 방정식의 서로 다른 두 실근을 a, b라고 하면 a+b=3이
고 방정식 ㉠의 두 근은 5 a, 5 b이므로 이차방정식의 근과 계수의
/ -11이므로 14x에서
x@-4x-5>0, {x+1}{x-5}>0
/ x<-1 또는 x>5
그런데 01일 때, x@-5<4x에서
x@-4x-5<0, {x+1}{x-5}<0
04 지수함수와 로그함수의 활용 45
PM수학Ⅰ해설 03-04(021~047)OK.indd 45
2018-04-25 오후 12:05:38
04 약품 A를 1회 투입할 때마다 세균의 수가 70 % 감소하므로 남은
세균의 수는 30 %이다.
x=4, y=
/ xy=2
처음 세균의 수를 a라고 하면 약품 A를 n회 투입한 후 세균의 수
는 0.3N\a이므로
0.3N\a=0.0081a, 0.3N=0.3$ / n=4
따라서 세균의 수가 처음 수의 0.81 %가 되도록 하려면 약품 A를
4회 투입해야 한다.
9 답 ③
유형 08 지수부등식의 응용
x+4
2 +a>0에서
2x+1-2
2\2X-2@\22X+a>0
22X=t{t>0}로 놓으면 2t@-4t+a>0
/ 2{t-1}@+a-2>0 yy ㉠
부등식 ㉠이 t>0인 모든 실수 t에 대하여 성립하려면
a-2>0 / a>2
따라서 정수 a의 최솟값은 3이다.
10 답 4회
유형 09 지수방정식과 지수부등식의 실생활에의 활용
진수의 조건에서 x>0, x-
>0 / x>
3
2
11 답 ④
유형 10 밑을 같게 할 수 있는 로그방정식
3
2
3
2 ]
log j2`x-log 2`
x-
[
3
2 ]
=3에서
log 2`x@=log 2`8+log 2`
x-
/ log 2`x@=log 2`8
x-
[
[
3
2 ]
x-
즉, x@=8
3
2 ]이므로 x@-8x+12=0
{x-2}{x-6}=0 / x=2 또는 x=6
[
따라서 a=2, b=6이므로 b-a=4
12 답 ①
유형 11 loga`x 꼴이 반복되는 로그방정식
밑과 진수의 조건에서 x>0, x=1
log 3`x-log x`27=2에서 log 3`x-3 log x`3=2
/ log 3`x-
3
log 3`x
=2
log 3`x=t{t=0}로 놓으면
t-
=2, t@-2t-3=0
3
t
{t+1}{t-3}=0 / t=-1 또는 t=3
즉, log 3`x=-1 또는 log 3`x=3이므로
x=3_!=
또는 x=3#=27
따라서 a=
, b=27이므로 log a`b=log
3!
`27=-3
1
3
1
3
46 정답과 해설
13 답 ③
유형 11 log a`x 꼴이 반복되는 로그방정식
밑의 조건에서 x>0, x=1, y>0, y=1
에서
log x`4-log y`2=2
1
8
log x`16-log y`
=-1
[
2 log x`2-log y`2=2
-
4 log x`2+3 log y`2=-1
log x`2=X, log y`2=Y로 놓으면
2X-Y=2
-
4X+3Y=-1
이 연립방정식을 풀면 X=
, Y=-1
1
2
즉, log x`2=
, log y`2=-1이므로
1
2
1
2
14 답 27
유형 12 지수에 로그가 있는 방정식
xlog 3`x-81x#=0에서 xlog 3`x=81x#
양변에 밑이 3인 로그를 취하면
log 3`xlog 3`x=log 3`81x#
{log 3`x}@=log 3`81+log 3`x#
/ {log 3`x}@-3 log 3`x-4=0
log 3`x=t로 놓으면
t@-3t-4=0, {t+1}{t-4}=0
/ t=-1 또는 t=4
즉, log 3`x=-1 또는 log 3`x=4이므로
x=
또는 x=81
1
3
따라서 모든 근의 곱은
1
3
\81=27
15 답 ①
유형 13 로그방정식의 응용
주어진 이차방정식의 판별식을 D라고 하면
D
4
{log 2`a}@+3 log 2`a-4=0
={log 2`a+2}@-{log 2`a+8}=0
log 2`a=t로 놓으면
t@+3t-4=0, {t+4}{t-1}=0
/ t=-4 또는 t=1
즉, log 2`a=-4 또는 log 2`a=1이므로
a=2_$=
또는 a=2
1
16
따라서 모든 양수 a의 값의 곱은
1
16
\2=
1
8
PM수학Ⅰ해설 03-04(021~047)OK.indd 46
2018-04-25 오후 12:05:38
진수의 조건에서 x>0, log 4`x>0, log 3`{log 4`x}>0
16 답 8
유형 14 밑을 같게 할 수 있는 로그부등식
진수의 조건에서 x-2>0, x+10>0
yy ㉠
/ x>2
log j7`{x-2}log 3`1에서 log 4`x>1
/ x>4
yy ㉠
log
3!
log
3!
`9log 3`{log 4`x}0>0에서
`9log 3`{log 4`x}0>log
3!
`1
밑이 1보다 작으므로 log 3`{log 4`x}<1
log 3`{log 4`x}0 yy ㉠
x
8 ]
[
{log 2`4-log 2`x}{log 2`x-log 2`8}<-2
<-2에서
4
x ][
log 2`
log 2`
/ {log 2`x}@-5`log 2`x+4>0
log 2`x=t로 놓으면 t@-5t+4>0
{t-1}{t-4}>0 / t<1 또는 t>4
즉, log 2`x<1 또는 log 2`x>4이므로
x<2 또는 x>16
yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 016
따라서 정수 x의 최솟값은 1이다.
19 답 ②
유형 17 지수에 로그가 있는 부등식
진수의 조건에서 x>0 yy ㉠
xlog 2`x<
의 양변에 밑이 2인 로그를 취하면
16
x#
log 2`xlog 2`x1.5\
, 0.9N<
B
A
2
3
양변에 상용로그를 취하면
2
log `0.9N3.8y
따라서 자연수 n의 최솟값은 4이다.
04 지수함수와 로그함수의 활용 47
PM수학Ⅰ해설 03-04(021~047)OK.indd 47
2018-04-25 오후 12:05:39
04 05 삼각함수
유형01 ②
유형02 ④
유형03 ④
유형04
p 유형05
p 유형06 ④
유형07 4
2
3
2
7
유형10 2
유형11 24
유형08 ②
유형12 ④
유형09 ②
7
8
유형13 -
유형02 답 ④
h가 제2사분면의 각이므로
360!\n+90!0)
따라서 부채꼴의 호의 길이는 6\
p=4p
2
3
가 12p이므로
1
2
12p=
\r@\
2
3
017 답 ①
주어진 원뿔의 전개도는 오른쪽 그림과 같
고, 부채꼴의 호의 길이는
2p\3=6p
이므로 옆면인 부채꼴의 넓이는
1
2
또 밑면인 원의 넓이는 p\3@=9p
\8\6p=24p
따라서 원뿔의 겉넓이는 24p+9p=33p
018 답 {100+56p}`cm
와이퍼의 전체 길이를 r`cm라고 하면
1
2
\{r-50}@\
\r@\
p-
4
5
1
2
4
5
p=1400p
r@-{r-50}@=3500
8
3
05 삼각함수 51
6h={2n+1}p / h=
p yy ㉠
2n+1
6
016 답 ④
부채꼴의 반지름의 길이를 r라고 하면 중심각의 크기가
p, 넓이
2
3
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2018-04-25 오전 11:57:53
05 100r=6000 / r=60
따라서 와이퍼의 고무판이 회전하면서 닦은 유리창의 둘레의 길
이는
4
5
60\
p+{60-50}\
p+50\2=100+56p{cm}
4
5
022 답 ①
둘레의 길이가 8이므로 호의 길이는 8-2r이다.
S =
r{8-2r}
1
2
=-r@+4r
=-{r-2}@+4{00,
>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
2r+
32
r
>2q2r\
32
r e=16 {단, 등호는 r=4일 때 성립}
따라서 둘레의 길이의 최솟값은 16`m이다.
025 답 -1
오른쪽 그림에서
OP
=115@+{-8}@3=17이므로 삼각함수
의 정의에 의하여
sin h=-
, cos h=
15
17
,
8
17
8
15
tan h=-
/
17 cos h+15 tan h
17 sin h+1
15
17
+15\
17\
[
-
8
15 ]
=
17\
-
[
8
17 ]
+1
=-1
y
17
h
O
-8
-17
-17
17
x
15
P
따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이는 부채꼴 OAB의 호의 길이의
부채꼴 모양의 화단의 둘레의 길이는
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2018-04-25 오전 11:57:54
Z
Z
Z
12x+5y=0에서 y=-
x이므로
12
5
026 답 7
tan h=-
12
5
030 답 ㄱ, ㄹ
h가 제3사분면의 각이므로
sin h<0, cos h<0, tan h>0
ㄱ. sin h cos h>0
ㄴ. cos h tan h<0
sin h
cos h tan h
ㄹ. tan h-cos h>0
>0
ㄷ.
0
따라서 h는 제2사분면의 각이다.
027 답
2
5
AD
=8, AB
=4이므로 A{-4, 2}
OA
=2j5이므로 sin a=
2
2j5
=
1
j5
두 점 A, C가 원점에 대하여 대칭이
므로
C{4, -2}
OC
=2j5이므로 cos b=
2
j5
1
j5
\
/ sin a cos b=
4
2j5
2
=
5
=
2
j5
y
2j5 k
a
O
b
A
-2j5 k
B
D
x
2j5 k
C
-2j5 k
x@+y@=20
028 답 -
1
30
P'{1, -3}
점 P{-3, 1}을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는
OP'
=11@+{-3}@3=j10k이므로 삼각함수의 정의에 의하여
3
j10k
sin h=-
, cos h=
, tan h=-3
/
sin h cos h
tan@ h
=
-
3
j10k
{-3}@
1
j10k
=-
1
30
1
j10k
\
032 답 ②
! sin h cos h>0에서 sin h, cos h의 값의 부호가 서로 같으므
로 h는 제1사분면 또는 제3사분면의 각이다.
@ cos h tan h<0에서 cos h, tan h의 값의 부호가 서로 다르므
로 h는 제3사분면 또는 제4사분면의 각이다.
!, @에 의하여 h는 제3사분면의 각이다.
즉, sin h<0, cos h<0, tan h>0이므로
1-2 sin h>0, sin h+cos h<0
/ |1-2 sin h|+1{sin h+cos h}@3-|cos h|
={1-2 sin h}+|sin h+cos h|-{-cos h}
=1-2 sin h+{-sin h-cos h}+cos h
=1-3 sin h
033 답 0
cos@ h-sin@ h
1+2 sin h cos h
-
1-tan h
1+tan h
=
cos@ h-sin@ h
sin@`h+2 sin h cos h+cos@ h
-
=
{cos h+sin h}{cos h-sin h}
{sin h+cos h}@
-
=
cos h-sin h
sin h+cos h
-
cos h-sin h
cos h+sin h
=0
1-
1+
sin h
cos h
sin h
cos h
cos h-sin h
cos h+sin h
029 답
7
2
<0에서 cos h, tan h의 값의 부호가 서로 다르므로 h는
!
cos h
tan h
제3사분면 또는 제4사분면의 각이다.
@ sin h tan h>0에서 sin h, tan h의 값의 부호가 서로 같으므로
h는 제1사분면 또는 제4사분면의 각이다.
!, @에 의하여 h는 제4사분면의 각이다.
3
따라서 각 h의 값의 범위는
2
p0, cos h<0이므로
sin h-cos h>0
/ sin h-cos h= j31k
4
042 답 j15k
{sin h-cos h}@ =sin@ h-2 sin h cos h+cos@ h
=1-2\
-
[
1
3 ]
=
5
3
이때
p0이므로
3
2
sin h-cos h<0
/ sin h-cos h=- j15k
3
/
1
cos h
-
1
sin h
=
sin h-cos h
sin h cos h
=
=j15k
- j15k
3
1
3
-
043 답 ⑤
sin h-cos h= j5
5
의 양변을 제곱하면
sin@ h-2 sin h cos h+cos@ h=
1
5
1-2 sin h cos h=
/ sin h cos h=
1
5
2
5
{sin h+cos h}@ =sin@ h+2 sin h cos h+cos@ h
=1+2 sin h cos h=
9
5
이때 h가 제1사분면의 각이면 sin h>0, cos h>0이므로
sin h+cos h>0
/ sin h+cos h=
3j5
5
/ sin$ h-cos$ h ={sin@ h+cos@ h}{sin h+cos h}{sin h-cos h}
3
5
3j5
5
j5
5
=
\
=
044 답 4
tan h+
1
tan h
=
sin h
cos h
+
cos h
sin h
=
sin@ h+cos@ h
sin h cos h
=
1
sin h cos h
=2이므로 sin h cos h=
1
2
즉,
/
1
sin h cos h
1
cos@ h
1
sin@ h
+
=
cos@ h+sin@ h
sin@ h cos@ h
=
1
{sin h cos h}@
=4
k
2
1
2
1
2
045 답 -1
이차방정식 2x@-2x+k=0의 근과 계수의 관계에 의하여
{sin h+cos h}+{sin h-cos h}=1 yy ㉠
{sin h+cos h}{sin h-cos h}=
yy ㉡
{sin h+cos h}{sin h-cos h} =sin@ h-cos@ h
=sin@ h-{1-sin@ h}
=2 sin@ h-1
즉, 2 sin@ h-1=
이므로 sin h=
을 대입하면
k
2
1
2
1
4
k
9
1
2
k
2
-1=
/ k=-1
046 답 8x@-4x-3=0
sin h+cos h=
의 양변을 제곱하면
sin@ h+2 sin h cos h+cos@ h=
1
4
1+2 sin h cos h=
/ sin h cos h=-
3
8
x@의 계수가 8이고 sin h, cos h를 두 근으로 하는 이차방정식은
8
[
1
2
3
8 ]
x@-
x-
=0, 즉 8x@-4x-3=0이다.
047 답 -j15k
이차방정식 9x@+kx+1=0의 근과 계수의 관계에 의하여
sin@ h+cos@ h=-
, sin@ h cos@ h=
1
9
sin@ h+cos@ h=1이므로 -
=1 / k=-9
k
9
또 p0
3
2
/ sin h cos h=
1
3
이때 {sin h+cos h}@=1+2 sin h cos h이므로
{sin h+cos h}@=1+2\
=
1
3
5
3
/ sin h+cos h=-
j15k
3
/
1
sin h
+
1
cos h
=
sin h+cos h
sin h cos h
=
=-j15k
- j15k
3
1
3
048 답 35
이차방정식 4x@-2x+a=0의 두 근이 sin h, cos h이므로 근과
계수의 관계에 의하여
sin h+cos h=
, sin h cos h=
1
2
a
4
이때 {sin h+cos h}@=1+2 sin h cos h이므로
1
4
/ a=-
=1+2\
a
4
3
2
/ sin h cos h=-
yy ㉠
3
8
05 삼각함수 55
PM수학Ⅰ해설 05-07(048~082)OK.indd 55
2018-04-25 오전 11:57:55
05 이차방정식 2x@+bx+c=0의 두 근이 tan h,
이므로 근과
1
tan h
3 답 67
유형 03 호도법과 육십분법
계수의 관계에 의하여
1
tan h
tan h+
=
/ sin h cos h=-
sin h
cos h
2
b
+
cos h
sin h
=
1
sin h cos h
=-
b
2
이때 ㉠에서 -
=-
/ b=
16
3
또 tan h\
=1=
에서 c=2
2
b
1
tan h
/ 6{a+b+c}=6
-
+
[
16
3
+2
=35
]
3
8
c
2
3
2
600!=600\
p이므로 a=3, b=10
p
180
=
10
3
또
p=
p\
=54!이므로 c=54
3
10
3
10
180!
p
/ a+b+c=67
4 답 2p
유형 05 두 동경의 위치 관계 - 직선에 대하여 대칭
각 4h를 나타내는 동경과 각 8h를 나타내는 동경이 y축에 대하여
대칭이므로
4h+8h={2n+1}p{n은 정수}
12h={2n+1}p / h=
p yy ㉠
2n+1
12
00}로 놓으면
OPl=1{-k}@+{2k}@3=j5k이므로
삼각함수의 정의에 의하여
=
2j5
5
sin h=
2k
j5k
/ sin h+cos h=
, cos h=
=-
j5
5
-k
j5k
j5
=
5
2j5
5
-
j5
5
10 답 -cos h
유형 09 삼각함수의 값의 부호
!
@
sin h
cos h
h는 제2사분면 또는 제4사분면의 각이다.
tan h
sin h
h는 제2사분면 또는 제3사분면의 각이다.
!, @에 의하여 h는 제2사분면의 각이다.
즉, sin h>0, cos h<0, tan h<0이므로
cos h-sin h+tan h<0
/ |cos h-sin h+tan h|-1tan@ h3-sin h
=-{cos h-sin h+tan h}-|tan h|-sin h
=-cos h+sin h-tan h-{-tan h}-sin h
<0에서 sin h와 cos h의 값의 부호가 서로 다르므로
<0에서 tan h와 sin h의 값의 부호가 서로 다르므로
=-cos h
11 답 ④
유형 10 삼각함수 사이의 관계
sin h
1+cos h
+
1
tan h
=
+
cos h
sin h
sin h
1+cos h
sin@ h+cos h{1+cos h}
sin h {1+cos h}
sin@ h+cos@ h+cos h
sin h {1+cos h}
`1+cos h
sin h{1+cos h} =
1
sin h
=
=
=
13 답 ②
유형 12 sin h-cos h, sin h cos h의 관계를 이용하여 식의 값 구하기
sin h+cos h=
의 양변을 제곱하면
sin@ h+2 sin h cos h+cos@ h=
1
4
1+2 sin h cos h=
/ sin h cos h=-
3
8
1
2
1
4
이때 h가 제2사분면의 각이면 sin h>0, cos h<0이므로
{sin h-cos h}@
=sin@ h-2 sin h cos h+cos@ h
=1-2\
-
[
3
8 ]
=
7
4
sin h-cos h>0
/ sin h-cos h= j7 k
2
/ sin@ h-cos@ h
={sin h+cos h}{sin h-cos h}
=
1
2
\ j7 k
2
= j7 k
4
14 답 ⑤
유형 13 삼각함수와 이차방정식
이차방정식 x@-2kx+6k=0의 근과 계수의 관계에 의하여
1
sin h
+
1
cos h
=2k,
1
sin h
\
1
cos h
=6k
sin h cos h=
이므로
1
6k
1
sin h
+
1
cos h
=
sin h+cos h
sin h cos h
=6k{sin h+cos h}=2k
/ sin h+cos h=
1
3
이때 {sin h+cos h}@=1+2 sin h cos h이므로
1
9
=1+2\
1
6k
/ k=-
3
8
05 삼각함수 57
PM수학Ⅰ해설 05-07(048~082)OK.indd 57
2018-04-25 오전 11:57:56
05Z
06 삼각함수의 그래프
핵심 유형 92~94쪽
유형01 답 ⑤
함수 f{x}의 주기가 p이므로 모든 실수 x에 대하여
f{x+p}=f{x}
유형01 ⑤
유형02 ③
유형03 ②
/ f{p}=f{0}=sin 0+cos
+tan 0=1
0
4
유형04 ⑤
유형05 ③
유형06 ③
유형07 4
유형08 ①
4
5
유형12 -
유형09 -6 유형10 ⑤
10
3
유형14
유형13 ⑤
유형11 ④
유형15 ④
유형16 x=0 또는 x=
유형17 ⑤
유형18 7
p
6
유형19 ②
유형20 ⑤
유형21 -
유형22 ①
1
2
001 -1 002 -2 003 5
004 -1 005 ③
006 6p
011 ⑤
007
p
3
012 4p
008 ⑤
009 -1 010 p
013 ④
014 ⑤
015 ④
016 6
017
p 018 36
019 ⑤
020 ②
4
3
021 ④
022 ㄴ, ㄷ 023 2
024 2p
025 2
026 2p
027 2p
028 -6p 029 ④
030 ④
031 ①
032 ③
033 0.7661
035 -1 036 0
037 ④
038 ①
040 ④
045 ①
041 0
046 3
042 ⑤
043 ①
047 ③
048 ⑤
050 1
051 2
052 ⑤
053 3
039
034 ③
2j2
3
044 ⑤
049 ②
13
3 p
054
060 x=
055 x=
p
4 056
p
6 또는 x=
063 -j2 064 ①
069 ①
068 ⑤
073 ④
074 ②
0이므로
17
4
p
4
005 답 ③
ㄱ. 치역은 9y|-10이므로
a+c=2, -a+c=-4
2p
b
=4p / b=
1
2
1
2
/ 4abc=4\3\
\{-1}=-6
유형10 답 ⑤
y=tan |x|의 그래프는 y=tan x의 그
래프에서 x>0인 부분만 그린 후, x<0인
부분은 x>0인 부분을 y축에 대하여 대칭
이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.
⑤ 그래프의 점근선은 직선
p
2
x=np+
(n은 정수)이다.
y=tan|x|
y
O
-
-p
2"
2"
p
x
핵심 유형 완성하기 95~99쪽
001 답 -1
함수 f{x}의 주기가 p이므로 모든 실수 x에 대하여
f{x+2p}=f{x+p}=f{x}
/ f{2p}=f{0}=
sin 0+cos@ 0-3
tan 0+2
=
-2
2
=-1
002 답 -2
함수 f{x}의 주기가 3이므로
f{x+3}=f{x}
/ f{13}=f{10}=f{7}=f{4}=f{1}
00이므로
ㄴ, ㄷ이다.
023 답 2
f{x}=a sin [
2p
b
=4p / b=
p
3 ]
1
2
최솟값이 -6이고 a>0이므로
f{p}=0에서 a sin
+c=0
p
6
+c=0
a
2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, c=-2
yy ㉡
따라서 함수 f{x}의 최댓값은 a+c=4+{-2}=2
024 답 2p
y=-tan {ax-b}+1의 주기가 2p이고 a>0이므로
p
a
=2p / a=
1
2
+1의 그래프의 점근선의 방정식은
]
x
2
-b
따라서 y=-tan [
x
p
x
2
2
2
/ x=2np+p+2b {n은 정수}
-b=np+
=np+
p
2
,
+b
06 삼각함수의 그래프 61
ㄱ. 주기는
=p이므로 모든 실수 x에 대하여 f{x+p}=f{x}
-a+c=-6 yy ㉠
PM수학Ⅰ해설 05-07(048~082)OK.indd 61
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06 f{x}=a cos b
x+
+c의 주기는 4p이고 b>0이므로
이때 00이므로
1
2
a+c=3, -a+c=1
위의 두 식을 연립하여 풀면 a=1, c=2
1
2 [
따라서 f{x}=cos
+2이므로
p
2 ]
x+
p
2 ]
f [
=cos
+2=2
p
2
026 답 2p
주어진 함수의 최댓값이 2, 최솟값이 -2이고 a>0이므로
또 주기가
3
4
p-
-
[
p
4 ]
=p이고 b>0이므로
=p / b=2
2p
b
따라서 주어진 함수는 y=2 cos {2x-c}이고 그래프가 원점을 지
a=2
나므로
0=2 cos {-c} / cos {-c}=0
이때 00이므로
5
4
p
2
3
4
또 주기가
p-
=
p이고 b>0이므로
7
6
p
2
2
3
=
2
3
p / b=3
2p
b
따라서 주어진 함수는 y=2 sin {3x+c}-1이고 그래프가 점
p
2
[
, 1
]을 지나므로
1=2 sin`
p+c
-1 / sin [
]
p+c
=1
]
3
2
[
3
2
029 답 ④
y=|cos 2x|의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
④ 주기가
인 주기함수이다.
p
2
y
1
y=|cos`2x|
x
-
p
2"
-
4"
O
-
4#
4"
2"
p
4#
030 답 ④
sin [
y=
|
x+
p
2 ]|
-2의 그
래프는 오른쪽 그림과 같으
므로
p
2
a=
-
-
[
p
2 ]
=p,
M=-1, m=-2
/ aMm=p\{-1}\{-2}=2p
-
p
-
2#
2"
2#
p
x
y
O
-1
2"
-2
y=
sin`
x+
|
[
2"]|
-2
031 답 ①
과 같다.
ㄱ. y=
cos [
|
x+
p
2 ]|, y=|sin x|의 그래프는 각각 다음 그림
y=
cos
x+
|
[
2"]|
-p
p
x
-p
y
1
O
y=|sin`x|
p
x
따라서 주어진 함수는 y=tan [
x-b
]이고 그래프가 점 [
4
3
p
8
, 0
]
ㄴ. y=|tan x|, y=tan |x|의 그래프는 각각 다음 그림과 같다.
이때 00이므로
y
O
-
-p
2"
2"
p
x
-p
-
2"
2"
p
x
y=|tan`x|
y=tan|x|
ㄷ. y=sin |x|, y=cos |x|의 그래프는 각각 다음 그림과 같다.
-2p
-p
O
-1
y=sin|x|
2p
x
p
-p
-2p
y=cos|x|
p
2p
x
y
1
O
-1
a+d=1, -a+d=-3
위의 두 식을 연립하여 풀면 a=2, d=-1
따라서 두 함수의 그래프가 일치하는 것은 ㄱ이다.
y
1
O
y
O
y
1
62 정답과 해설
PM수학Ⅰ해설 05-07(048~082)OK.indd 62
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핵심 유형 100~102쪽
유형11 답 ④
ㄱ. cos 1080!=cos {360!\3+0!}=cos 0!=1
sin {-330!}=sin 9360!\{-1}+30!0=sin 30!=
1
2
tan 240!=tan {180!+60!}=tan 60!=j3
cos 150!=cos {180!-30!}=-cos 30!=-
j3
2
/ (주어진 식)=1\
+j3\
[
-
j3
2 ]
=-1
ㄴ. sin
p+
=-sin
=-
7
6
p=sin [
15
4
p =cos [
cos
2p+p+
3
4
p
]
p+
p
=-cos
p
3
4
]
3
4
1
2
p
6 ]
p
3 ]
p
4 ]
p
6
1
2
=cos [
p
4
=
j2
2
1
2
p
3
p
4
=-cos [
p-
p
4 ]
=cos
cos
p=cos [
2p-
=cos
=
tan
p=tan [
p+
=tan
=1
/ (주어진 식)=-
+
-
+1=
1
2
j2
2
1
2
j2
2
ㄷ. sin 70!=sin {90!-20!}=cos 20!,
cos 70!=cos {90!-20!}=sin 20!이므로
5
3
5
4
(좌변)
={sin 20!+cos 20!}@+{cos 20!-sin 20!}@
=sin@`20!+2 sin 20! cos 20!+cos@`20!
+cos@`20!-2 sin 20! cos 20!+sin@`20!
=2{sin@`20!+cos@`20!}=2
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
AB
가 원의 지름이므로 CC=
/ a+b=
p
2
유형12 답 -
4
5
ABC에서 BC
p
2
=110@-6@3=8
p
+a
2
]
s
/ cos {2a+b} =cos [
BC
AB
=-
=-sin a
=-
=-
8
10
4
5
유형13 답 ⑤
-10
/ y=a cos 5x+4a+b
a>0이므로 주어진 함수의 최댓값은
a+4a+b=5a+b=7
yy ㉠
-a+4a+b=3a+b=3 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-3
최솟값은
/ ab=-6
y
1
O
2
3$
-2
-1
1
t
y=-t@+2t+1
y
2
1
O 1
-2
t
유형14 답
10
3
y=
y=
cos x+3
cos x+2 에서 cos x=t로 놓으면 -1
1
2
03`sin x에서 2{1-sin@`x}-3>3`sin x
2`sin@`x+3`sin x+1<0, {sin x+1}{2`sin x+1}<0
유형21 답 -
1
2
/ -10이므로
cos C<0에서
0이므로 주어진 함수의 최댓값은
2a+3a+b=5a+b=1
yy ㉠
최솟값은
-2a+3a+b=a+b=-3 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=1, b=-4 / a-b=5
043 답 ①
3
2
sin [
p+x
]
=-cos x이므로
3
2
p+x
y =sin [
-10이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 t=-1일 때 최댓값
를 가지므
a
3
y=
at
t-2
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
y
a
t=1일 때 최솟값 -a를 가지므로
로
a
3
=1 / a=3
b=-a=-3
/
=
=-1
a
b
3
-3
66 정답과 해설
048 답 ⑤
y=
2|cos`x|+3
|cos`x|+1
y=
2t+3
t+1
=
2{t+1}+1
t+1
=
1
t+1
+2
오른쪽 그림에서 t=0일 때 최댓값은 3,
t=1일 때 최솟값은
5
2 이므로 주어진 함
수의 치역은 - y
|
0, sin [
-x
>0
]
p
2
/ 0sin x의 해는 함
수 y=cos x의 그래프가 함수
y=sin x의 그래프보다 위쪽에
있는 x의 값의 범위와 같으므로
오른쪽 그림에서
p
4
00에서 tan x> j3
3
p
2
2
서 x의 값의 범위는
3
7
2
6
p20이므로
40`sin 2h>20 / sin 2h>
따라서 주어진 부등식을 만족하는 a의 값의 범위가 아닌 것은 ②
테니스공의 처음 속력이 20`m/s이므로 v=20을
이때 테니스공이 날아간 거리가 20`m 이상이 되게 하면
00, {2`cos x-1}{2`cos x-3}>0
3
2
또는 cos x>
/ cos x<
1
2
그런데 -10에서
p
6 ]
-cos [
p
2
2 cos@`t-cos [
2{1-sin@`t}+sin t-1>0, 2 sin@`t-sin t-1<0
-1>0
+t
]
{2 sin t+1}{sin t-1}<0
/ -
0이므로
a+c=2
yy ㉠
또 주기가
이고 b>0이므로
p
2
2p
b
p
2
=
/ b=4
p
6
p
24 ]
+c=0이므로
=0에서 a sin
f [
1
2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, c=-2
a+c=0 yy ㉡
/ abc=4\4\{-2}=-32
8 답 12p
유형 09 그래프가 주어진 삼각함수의 미정계수 구하기
주어진 함수의 최댓값이 4, 최솟값이 0이고 a>0이므로
a+d=4, -a+d=0
위의 두 식을 연립하여 풀면 a=2, d=2
또 주기가
p-
=
p이고 b>0이므로
5
6
p
6
2
3
=
2
3
p / b=3
2p
b
따라서 주어진 함수는 y=2 cos {3x-c}+2이고 그래프가
2
3
p, 0
점 [
]을 지나므로
0=2 cos {2p-c}+2
/ cos {2p-c}=-1
이때 00이고
p
2
y =t@+2t+6={t+1}@+5
+x
=-
]
tan x 이므로 주어진 식은
1
오른쪽 그림에서 t=0일 때 최솟값 6을
y=t@+2t+6
y
가지므로 m=6
이때 t=0, 즉 tan x=0이고
01에서
sin A+sin A>1
2 sin A>1 / sin A>
1
2
0
1-sin@`h+sin h-1>0
sin@`h-sin h<0
sin {sin h-1}<0
/ 00}로 놓으면
a+b=6k, b+c=7k, c+a=9k
yy ㉠
위의 세 식을 변끼리 더하면
2a+2b+2c=22k / a+b+c=11k yy ㉡
㉡에서 ㉠의 각 식을 빼면
ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면 사인법칙에 의
유형03 답 ③
하여
s
sin B=
, sin C=
b
2R
c
2R
이를 주어진 식에 대입하면
b\
=c\
/ b@=c@
b
2R
c
2R
/ b=c {? b>0, c>0}
따라서
ABC는 b=c인 이등변삼각형이다.
s
유형04 답 37.6`m
C=180!-{70!+80!}=30!이므로 사인법칙에 의하여
=
BC
sin 70!
20
sin 30!
/ BC
=20\0.94\2=37.6{m}
, 20 sin 70!=BC
\sin 30!
따라서 두 지점 B, C 사이의 거리는 37.6 m이다.
유형05 답 ④
코사인법칙에 의하여
a@=6@+3@-2\6\3\cos 60!=27
/ a=3j3 {? a>0}
하여
s
3j3
sin 60!
따라서
2p\3=6p
s
=2R / R=
1
2
ABC의 외접원의 둘레의 길이는
\3j3\
2
j3
=3
ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면 사인법칙에 의
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Z
Z
Z
유형06 답 ③
사인법칙에 의하여
a`:`b`:`c=sin A`:`sin B`:`sin C=1`:`j2`:`j3
a=k, b=j2k, c=j3k{k>0}로 놓으면 코사인법칙에 의하여
= j6
cos A=
3
{j2k}@+{j3k}@-k@
2\j2k\j3k
유형07 답 a=b인 이등변삼각형
코사인법칙에 의하여 cos A=
b@+c@-a@
2bc
, cos B=
c@+a@-b@
2ca
유형12 답 10j3
ABC에서 코사인법칙에 의하여
4@+5@-{j21k}@
2\4\5
이때 0!0, b>0}
따라서
ABC는 a=b인 이등변삼각형이다.
s
유형08 답 j37k`km
코사인법칙에 의하여
AB
@=4@+3@-2\4\3\cos 120!=37
=j37k{km} {? AB
/ AB
따라서 건설되는 도로의 길이는 j37k`km이다.
>0}
유형09 답 2j19k
ABC의 넓이가 6j3이므로
\6\4\sin A=6j3 / sin A= j3
1
s
2
이때 A>90!이므로 A=120!
2
따라서 코사인법칙에 의하여
a@=6@+4@-2\6\4\cos 120!=76
/ a=2j19k {? a>0}
유형10 답 ④
헤론의 공식에 의하여 s=
=10이므로
5+7+8
2
ABC의 넓이를 S라고 하면
S=110\{10-5}\{10-7}3\{10-8}3=10j3
s
ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면
5\7\8
4R
abc
4R
s
S=
에서 10j3=
1
10j3
=
7j3
3
ABC의 외접원의 넓이는
/ R=70\
따라서
7j3
s
3 ]@=
p\
[
49
3
p
유형11 답 10j3+3j7
1
2
ABD=
\5\8\sin 60!=10j3
BCD에서 헤론의 공식에 의하여
s
s
s=
8+8+2
2
=9이므로
BCD=19\{9-8}\{9-38}\{9-2}3=3j7
BCD=10j3+3j7
ABCD=
ABD+
/
s
f
s
s
핵심 유형 완성하기 119~125쪽
001 답
37
64
사인법칙에 의하여
4
sin 60!
=
/ sin C=
3
sin C
1
4
, 4 sin C=3 sin 60!
\3\ j3
2
=
3j3
8
/ cos@ C=1-sin@ C=1-
27
64
=
37
64
002 답 12j2
B=180!-{45!+75!}=60!이므로 사인법칙에 의하여
, a`sin 60!=6`sin 45!
=
a
sin 45!
/ a=6\ j2
2
6
sin 60!
2
j3
=2R에서 R=
=2j6
\
또
6
sin 60!
1
2
/ aR=2j6\2j3=12j2
\6\
=2j3
2
j3
003 답 4
AC
가 원 O의 지름이므로 CABC=90!
따라서
ABC는 AB
=BC
=4j2인 직각이등변삼각형이므로
AC
s
=1{4j2}@+{4j2}@3=8
BCD에서 CCBD=90!-60!=30!이므로 사인법칙에 의하여
CD
s
sin{CCBD}
=2R,
=2\4
CD
sin 30!
/ CD
=2\4\
=4
1
2
004 답
1
2
=
4
sin h
/ k=
ABD에서 사인법칙에 의하여
k
s
sin a
4 sin a
sin h
ACD에서 사인법칙에 의하여
k
s
sin b
6
sin{p-h}
/ k=
=
BD
=CD
=k, CADB=h라고 하면 CADC=p-h이므로
6 sin b
sin{p-h}
=
6 sin b
sin h
07 사인법칙과 코사인법칙 75
PM수학Ⅰ해설 05-07(048~082)OK.indd 75
2018-04-25 오전 11:58:08
07Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
즉,
4 sin a
sin h
=
6 sin b
sin h
이므로 4 sin a=6 sin b
이때 sin a=
이므로 4\
=6 sin b
3
4
3
4
1
2
/ sin b=
005 답 3{j3+1}
ABCD에서 CADC=15!+90!=105!
CCAD=180!-{105!+45!}=30!
f
ACD에서 사인법칙에 의하여
, AD
`sin 30!=6`sin 45!
AD
s
sin 45!
=
6
sin 30!
j2
2
/ AD
=6\
\2=6j2
AB
=x라고 하면 AE
=6-x, DE
=x이므로
ADE에서
{6j2}@={6-x}@+x@, 72=2x@-12x+36
s
2x@-12x-36=0, x@-6x-18=0
/ x=3+j27k=3{j3+1} {? x>0}
의 길이는 3{j3+1}이다.
따라서 AB
006 답
7
2
위의 세 식을 변끼리 더하면
2a+2b+2c=18k / a+b+c=9k
yy ㉡
㉡에서 ㉠의 각 식을 빼면
a=4k, b=8k, c=2k
하여
s
4k
2R
sin A=
, sin B=
, sin C=
2k
2R
3k
2R
4k
2R
3k
2R
+
2k
2R
=
7
2
/
sin A+sin B
sin C
=
007 답 ⑤
A+B+C=180!이고 A`:`B`:`C=2`:`3`:`1이므로
A=180!\
=60!, B=180!\
=90!,
3
6
2
6
1
6
C=180!\
=30!
따라서 사인법칙에 의하여
a`:`b`:`c =sin A`:`sin B`:`sin C
`:`1`:`
= j3
2
1
2
=j3`:`2`:`1
76 정답과 해설
008 답 28
ABC의 외접원의 반지름의 길이가 8이므로 사인법칙에 의하여
b
2R
s
sin A+sin B+sin C =
a
2R
c
2R
+
+
=
a+b+c
2R
즉,
a+b+c
2\8
7
4
=
이므로 a+b+c=28
009 답 8
A+B+C=p이므로
sin {B+C}=sin {p-A}=sin A
이를 주어진 식에 대입하면
5`sin A\sin {B+C}=5`sin@`A=4
sin@`A=
4
5
이때 0!0} yy ㉠
sin A=
, sin B=
, sin C=
a
2R
b
2R
c
2R
ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면 사인법칙에 의
따라서
ABC는 C=90!인 직각삼각형이다.
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Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면 사인법칙에 의
017 답 ⑤
코사인법칙에 의하여
{2j3}@=b@+2@-2b\2\cos 60!
12=b@+4-2b, b@-2b-8=0
{b+2}{b-4}=0 / b=4 {? b>0}
사인법칙에 의하여
=
4
2j3
sin B
sin 60!
/ sin B=4\ j3
2
, 4`sin 60!=2j3`sin B
\
=1
1
2j3
하여
s
sin A=
, sin B=
, sin C=
b
2R
c
2R
a
2R
이를 ㉠에 대입하면
a
2R ]@=
[
따라서
b
c
2R ]@ / a@=b@+c@
2R ]@+
[
ABC는 A=90!인 직각삼각형이다.
[
s
013 답 3j2`m
C=180!-{105!+30!}=45!이므로 사인법칙에 의하여
, AC
`sin 45!=6`sin 30!
AC
sin 30!
=
6
sin 45!
1
2
2
j2
\
=6\
/ AC
=3j2{m}
따라서 두 지점`A, C 사이의 거리는 3j2`m이다.
014 답 2450`m
ABP에서 CBAP+CAPB=78!이므로
CAPB=78!-CBAP=78!-47!=31!
s
사인법칙에 의하여
AP
sin {180!-78!}
1300
sin 31!
, AP
=
/ AP
=
1300 sin 102!
sin 31!
yy ㉠
이때 sin 102!=sin {90!+12!}=cos 12!=0.98
sin 31!=1300 sin 102!
이를 ㉠에 대입하면
AP
=
1300\0.98
0.52
=2450{m}
따라서 케이블카의 이동 거리 AP의 길이는 2450`m이다.
ABQ에서 CAQB=180!-{45!+75!}=60!이므로 사인법칙에
015 답 41j2`m
의하여
s
BQ
sin 45!
/ BQ
=
123
sin 60!
=123\ j2
2
, BQ
`sin 60!=123`sin 45!
\
2
j3
=41j6{m}
PQ
BQ
이므로
이때
PBQ에서 tan 30!=
s
=BQ
PQ
\tan 30!=41j6\ j3
3
=41j2{m}
따라서 전망대의 높이 PQ의 길이는 41j2`m이다.
016 답
j21k
3
코사인법칙에 의하여
a@=3@+2@-2\3\2\cos 60!=7
/ a=j7 {? a>0}
의하여
s
j7
sin 60!
/ R=
=2R
1
2
\j7\
= j21k
3
2
j3
ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면 사인법칙에
018 답 4
BD
를 그으면
@=2@+2@-2\2\2\cos 120!=12
ABD에서 코사인법칙에 의하여
BD
s
또 BC
=x라고 하면
BCD에서 코사인법칙에 의하여
BD
@=x@+2@-2\x\2\cos 60!=x@-2x+4
Z
s
즉, 12=x@-2x+4에서 x@-2x-8=0
{x+2}{x-4}=0 / x=4 {? x>0}
이 l은 원뿔의 밑면의 둘레의 길이와
B
B
019 답 6j7
주어진 원뿔의 전개도를 그리면 오
른쪽 그림과 같다. 부채꼴의 호의 길
같으므로 l=2p\4=8p
AB
=12이므로 부채꼴의 중심각의
크기를 h라고 하면
l=12h / h=
8p
12
=
p
2
3
A
h
12
M
4
1
2
점 M은 모선 AB의 중점이므로 AM
=12\
=6
최단 거리는 BM
이므로
ABM에서 코사인법칙에 의하여
BM
@=6@+12@-2\6\12\cos
s
p=252
2
3
/ BM
=6j7 {? BM
따라서 최단 거리는 6j7이다.
>0}
020 답 ③
= j3
ABC에서 사인법칙에 의하여
j6
s
sin 45!
sin A , j6`sin A=j3`sin 45!
1
j6
\j3\ j2
그런데 A+B<180!이므로 A=30!
/ sin A=
1
2
=
2
=x라고 하면
AD
{j2}@={j6}@+x@-2j6\x\cos 30!
s
2=6+x@-3j2x
x@-3j2x+4=0, {x-j2}{x-2j2}=0
/ x=j2 또는 x=2j2
따라서 모든 AD
의 길이의 합은 j2+2j2=3j2
ADC에서 코사인법칙에 의하여
07 사인법칙과 코사인법칙 77
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Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
a`:`b`:`c=sin A`:`sin B`:`sin C=7`:`8`:`13
a=7k, b=8k, c=13k{k>0}로 놓으면 가장 긴 변의 대각의 크
기가 가장 크므로 가장 큰 각의 크기는 C이다.
021 답
13
14
a-2b+c=0
yy ㉠
3a+b-2c=0 yy ㉡
2\㉠+㉡을 하면
5a-3b=0 / b=
a
㉠+2\㉡을 하면
7a-3c=0 / c=
a
5
3
7
3
/ a`:`b`:`c=a`:`
a`:`
a=3`:`5`:`7
5
3
7
3
a=3k, b=5k, c=7k{k>0}로 놓으면
{5k}@+{7k}@-{3k}@
2\5k\7k
cos A=
13
14
=
022 답 ⑤
사인법칙에 의하여
코사인법칙에 의하여
cos C=
{7k}@+{8k}@-{13k}@
2\7k\8k
=-
1
2
이때 0!0}
정사각형 ABCD의 한 변의 길이가 12이므로
선분 CD를 1`:`2로 내분하는 점이 E이므로
CE
=12\
=4, DE
=12\
=8
1
3
2
3
따라서 세 직각삼각형 ABM, BCE, DEM에서
BM
EM
=112@+6@3=6j5, BE
=16@+8@3=10
=112@+4@3=4j10k,
이므로
cos h=
BEM에서 코사인법칙에 의하여
{6j5}@+{4j10k}@-10@
s
2\6j5\4j10k
j2
2
=
78 정답과 해설
025 답 C=90!인 직각삼각형
코사인법칙에 의하여
cos A=
b@+c@-a@
2bc
, cos B=
c@+a@-b@
2ca
, cos C=
a@+b@-c@
2ab
이를 주어진 식에 대입하면
a\
c@+a@-b@
2ca
+
\
ab
c
a@+b@-c@
2ab
+b\
b@+c@-a@
2bc
=c
{c@+a@-b@}+{a@+b@-c@}+{b@+c@-a@}=2c@
a@+b@+c@=2c@ / a@+b@=c@
따라서
ABC는 C=90!인 직각삼각형이다.
ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면 사인법칙과 코
s
026 답 a=c인 이등변삼각형
사인법칙에 의하여
s
a
2R
sin A=
, sin B=
b
2R
이를 주어진 식에 대입하면
a@+b@-c@
2ab
b
2R
a
2R
=2\
\
b@=a@+b@-c@, a@=c@
/ a=c {? a>0, c>0}
, cos C=
a@+b@-c@
2ab
따라서
ABC는 a=c인 이등변삼각형이다.
s
027 답 ④
A+B+C=p이므로
sin {A+B}=sin {p-C}=sin C,
cos {A+B}=cos {p-C}=-cos C
이를 주어진 식에 대입하면
cos C=
a@+b@-c@
2ab
이를 ㉠에 대입하면
a
2R
\
b@+c@-a@
2bc
=
c
2R
\
a@+b@-c@
2ab
a@{b@+c@-a@}=c@{a@+b@-c@}
a$-c$+b@c@-a@b@=0
{a@+c@-b@}{a@-c@}=0
이때 a>0, c>0이므로 a@+c@=b@ 또는 a=c
따라서
ABC는 B=90!인 직각삼각형 또는 a=c인 이등변삼각
형이므로
s
ABC가 될 수 있는 것은 ㄴ, ㄷ이다.
s
028 답 40j7`m
코사인법칙에 의하여
AB
@=120@+80@-2\120\80\cos 60!=11200
=40j7{m} {? AB
/ AB
따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 40j7`m이다.
>0}
0!0,
>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
cos A=
5
3c
+
c
12
>2q
5
3c
\
c
12 e=2q
5
36 w=
j5
3
일 때 cos A의 값이 최소이므로 A의 값이 최대가
sin A`cos A=sin C`cos C yy ㉠
ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면 사인법칙과 코
사인법칙에 의하여
s
a
2R
sin A=
, sin C=
c
2R
, cos A=
b@+c@-a@
2bc
,
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Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
029 답
169
3
p`m@
코사인법칙에 의하여
7@+8@-13@
2\7\8
cos B=
=-
1
2
이때 0!0}
따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 10j21k`m이다.
031 답 j133l
ABC의 넓이가 33j3이므로
\12\11\sin B=33j3 / sin B= j3
1
s
2
이때 0!0}
032 답 ⑤
C=180!-{72!+30!}=78!
사인법칙에 의하여
=
100
sin 30!
BC
sin 72!
/ BC
=100\0.95\2=190
, BC
sin 30!=100`sin 72!
/
ABC=
\190\100\sin 78!=9310
1
2
s
033 답 ③
`:`BC
AB
`:`CA
=5`:`3`:`4이므로
ABC =
AOB+
BOC+
s
=
\18\18\sin 150!+
s
s
\18\18\sin 90!
COA
1
2
+
\18\18\sin 120!
1
2
1
s
2
=81{3+j3}
034 답
15
4
CBAD=CCAD=
\120!=60!
1
2
ABC=
ABD+
ADC이므로 AD
=x라고 하면
s
s
\10\6\sin 120!
1
s
2
1
2
=
\10\x\sin 60!+
\x\6\sin 60!
15j3=
5j3
2
x+
3j3
2
x, 15j3=4j3x / x=
15
4
1
2
15
4
B
따라서 AD
의 길이는
이다.
P
30!
30!
A
4
O 60!
4
B
035 답 4j3+
반원의 중심을 O라고 하면 오른쪽 그림에
p
8
3
서 CPAO=CAPO=30!이므로
CAOP=180!-{30!+30!}=120!
/ CPOB=180!-120!=60!
삼각형 PAO의 넓이는
1
2
\4\4\sin 120!=4j3
부채꼴 POB의 넓이는 60!=
이므로
p
3
1
2
\4@\
=
p
p
3
8
3
따라서 색칠한 부분의 넓이는 4j3+
p
8
3
036 답 5p
헤론의 공식에 의하여 s=
=12이므로
7+8+9
2
ABC의 넓이를 S라고 하면
S=112\{12-7}\{12-83}\{12-9}3=12j5
s
ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라고 하면
ABC의 내접원의 넓이는
s
S=
r{a+b+c}에서
\r\24
1
12j5=
2
/ r=j5
따라서
p\{j5}@=5p
s
037 답 ③
1
2
1
2
ABC의 넓이를 S라고 하면
s
S=
\5\8\sin 60!=10j3
CAOB=360!\
=150!, CBOC=360!\
=90!,
3
12
5
12
4
12
CCOA=360!\
=120!
ABC의 내접원의 반지름의 길이가 j3이므로
s
07 사인법칙과 코사인법칙 79
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07Z
Z
Z
Z
Z
Z
i
i
i
Z
Z
S=
r{a+b+c}에서
1
2
1
10j3=
2
/ a=7
\j3\{a+5+8}
038 답 ⑤
사인법칙에 의하여
a`:`b`:`c=sin A`:`sin B`:`sin C=2`:`3`:`3
a=2k, b=3k, c=3k{k>0}로 놓으면 헤론의 공식에 의하여
s=
2k+3k+3k
2
=4k이므로
ABC의 넓이를 S라고 하면
S=14k\{4k-2k}\{4k-3k}3\{4k-3k}3=2j2k@
s
즉, 2j2k@=32j2이므로 k@=16
/ k=4 {? k>0}
따라서
ABC의 둘레의 길이는
2k+3k+3k=8k=32
s
039 답 4j6
abc
4R
S=
에서 10=
/ ab=24
5ab
4\3
a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
a+b>2jabk=2j24k=4j6 (단, 등호는 a=b일 때 성립)
따라서 a+b의 최솟값은 4j6이다.
=x라고 하면
040 답 ④
BD
{j6}@={2j3}@+x@-2\2j3\x\cos 45!
x@-2j6x+6=0, {x-j6}@=0
/ x=j6
/
\j6\2j3\sin 45!=3
1
ABD=
2
s
AD
s
|BC
이므로
CCBD=CADB=45!
/
/
s
CBD=
1
2
ABCD =
f
041 답
s
39j3
4
\j6\8\sin 45!=4j3
ABD+
CBD=3+4j3
s
ABD에서 코사인법칙에 의하여
@=5@+3@-2\5\3\cos 120!=49
>0}
=7 {? BD
BD
s
/ BD
BCD에서 코사인법칙에 의하여
s
cos C=
8@+3@-7@
2\8\3
=
1
2
이때 0!0, b>0이므로
산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
a+b>2jabk에서 20>2jabk
/ ab<100 (단, 등호는 a=b=10일 때 성립)
4 답 B=90!인 직각삼각형
유형 03 사인법칙을 이용한 삼각형의 결정
cos@`B=1-sin@`B이므로
sin@`A+cos@`B+sin@`C=1에서
sin@`A+{1-sin@`B}+sin@`C=1
ABCD의 두 대각선이 이루는 각의 크기를 h, 넓이를 S라고 하면
sin@`A+sin@`C=sin@`B yy ㉠
f
S=
ab`sin h<
\100\1=50
1
2
1
2
따라서 사각형 ABCD의 넓이의 최댓값은 50이다.
ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면 사인법칙에 의
핵심 유형 최종 점검하기
126~127쪽
1 답 3j2
유형 01 사인법칙
ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면 외접원의 넓이
ACD는 A=90!인 직각삼각형이고 AD
@=2@+4@=20 / CD
=2j5 (? CD
ABC는 직각이등변삼각형이므로
이면
=2이므로
CD
s
또 AB
=AC
>0)
B=C=45!
s
BCD의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면 사인법칙에 의
가 12p이므로
s
p\R@=12p / R=2j3 {? R>0}
사인법칙에 의하여
2
=2\2j3 / x=2\2j3\ j3
=2\2j3 / sin A= j2
x
sin 60!
2j6
sin A
이때 0!0,
>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
x@+
/ BC
1
x@
1
>2qx@\
x@
@>2+1=3 / BC
e=2 (단, 등호는 x=1일 때 성립)
>j3 {? BC
>0}
따라서 BC
의 길이의 최솟값은 j3이다.
7 답 ①
유형 06 코사인법칙의 변형
{a+b}`:`{b+c}`:`{c+a}=11`:`9`:`10에서
a+b=11k, b+c=9k, c+a=10k{k>0} yy ㉠
위의 세 식을 변끼리 더하면
2a+2b+2c=30k / a+b+c=15k
yy ㉡
㉡에서 ㉠의 각 식을 빼면
a=6k, b=5k, c=4k
코사인법칙에 의하여
cos A=
{5k}@+{4k}@-{6k}@
2\5k\4k
=
1
8
07 사인법칙과 코사인법칙 81
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07Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
8 답
4
5
유형 06 코사인법칙의 변형
A+B+C=p이므로
sin {A+B}`:`sin {B+C}`:`sin {C+A}
=sin {p-C}`:`sin {p-A}`:`sin {p-B}
=sin C`:`sin A`:`sin B
사인법칙에 의하여
11 답
64
3
유형 09 삼각형의 넓이 ⑴
p-16j3
ABC의 외접원의 중심을 O라고 하면
CAOC =2CABC=2\60!=120!
s
따라서 색칠한 부분의 넓이는
1
2
\8@\sin 120!
\8@\
p-
1
2
2
3
A
C
120!
O
60!
B
c`:`a`:`b=sin C`:`sin A`:`sin B=4`:`3`:`5
c=4k, a=3k, b=5k{k>0}로 놓으면 가장 짧은 변의 대각의 크
기가 가장 작으므로 각 A의 크기가 h이다.
코사인법칙에 의하여
cos h=
{5k}@+{4k}@-{3k}@
2\5k\4k
=
4
5
=
64
3
p-16j3
12 답 2{j3-1}
유형 10 삼각형의 넓이 ⑵
코사인법칙에 의하여
c@={4j3}@+8@-2\4j3\8\cos 30!=16
/ c=4 {? c>0}
ABC의 내접원의 중심을 I, 반지름의 길이
를 r라고 하면
s
ABC=
AIB+
BIC+
CIA이므로
1
s
2
=
s
s
\8\4j3\sin 30!
1
2
\4\r+
1
2
s
1
2
\4j3\r+
\8\r
A
8j3=2{3+j3}r
/ r=2{j3-1}
따라서 내접원의 반지름의 길이는 2{j3-1}이다.
C
30!
8
I
r
4
4j3
B
13 답 2{3+j14k}
유형 11 삼각형으로 나누어 사각형의 넓이 구하기
직각삼각형 ABD에서
BD
=14@+3@3=5 {? BD
BCD에서 코사인법칙에 의하여
>0}
s
cos`C=
6@+3@-5@
2\6\3
=
5
9
5
9 ]@y=
2j14k
9
{? 0!0, c>0}
따라서
ABC는 B=90!인 직각삼각형이다.
s
10 답 10`m
유형 08 코사인법칙의 실생활에의 활용
AP
=x`m라고 하면
PAB는 직각이등변삼각형이므로
AB
=x`m
s
또
PAC에서 tan 30!=
x
AC
, j3
3
=
x
AC
/ AC
s
=j3x {m}
ABC에서 코사인법칙에 의하여
{j3x}@=x@+10@-2\x\10\cos 120!
s
3x@=x@+100+10x, x@-5x-50=0
{x+5}{x-10}=0
/ x=10 {? x>0}
따라서 물로켓의 최고 높이 AP의 길이는 10`m이다.
82 정답과 해설
PM수학Ⅰ해설 05-07(048~082)OK.indd 82
2018-04-25 오전 11:58:11
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
08 등차수열과 등비수열
유형01 ③
유형02 ③
유형03 15
유형04 ④
유형05 ④
유형06 ②
유형07 23
유형08 ③
유형09 -72 유형10 ④
유형11 7
유형12 4
유형13 96
유형16 3
유형17 ②
유형15 90
3
4 ]!)
\
[
유형14 ②
유형18 j3
4
9
4
유형21
유형19 -129 유형20 ⑤
배 유형22 243
유형23 336만 원
001 -158 002 100 003 an=log`{2N\3} 004 ㄱ, ㄷ
005 ③
006 ②
007 11
008 ④
009
1
3
010 제26항
011 16
012 35
013 ②
014 ⑤
015 1
016 3
017 18
018 -6
019 216 020 2
021 ③
022 -1 023 -10
므로
024 ③
025 ③
026 -2 027 8
028 2
029 281 030 3
031 -252 032 ③
033 -525
034 ②
035 -65 036 121 037 -7 038 5
039 40
040 676 041 ②
042 ③
043 508
044 ④
045 6
046 9일 047 30
048 11
049 2
054 6
050 24
051 2
052 10
053 1458
055 ③
056 100 057 ④
058 제8항
059 10
060 12
061 512 062 ②
063 14
064 2
065 2
066 6
067 정삼각형
068 ①
069 27
070 64
071 2
072
073 14\
2
3 ]%`m
[
p
256
074
075 ③
076 484
핵심 유형 130~132쪽
유형01 답 ③
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a2=a+d=44 yy`㉠
a7=a+6d=9 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=51, d=-7
따라서 an=51+{n-1}\{-7}=-7n+58이므로
a15=-7\15+58=-47
유형02 답 ③
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a6=a+5d=-17 yy`㉠
a20=a+19d=25 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-32, d=3
/ an=-32+{n-1}\3=3n-35
3n-35>0에서 n>
=11.6y
35
3
따라서 처음으로 양수가 되는 항은 제12항이다.
유형03 답 15
주어진 등차수열의 공차를 d라고 하면 첫째항이 3, 제17항이 35이
3+16d=35, 16d=32 / d=2
이때 a6은 주어진 수열의 제7항이므로
3+{7-1}\2=15
유형04 답 ④
세 수 a, a@, a@+2가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
2a@=a+{a@+2}, a@-a-2=0
{a+1}{a-2}=0 / a=2 {? a>0}
2#)
3!^
유형05 답 ④
삼차방정식의 세 실근을 a-d, a, a+d로 놓으면 삼차방정식의
077 6
078
079 ③
080 20
081 ①
{a-d}+a+{a+d}=6, 3a=6 / a=2
x&+1
x+1
근과 계수의 관계에 의하여
따라서 주어진 방정식의 한 근이 2이므로 방정식에 x=2를 대입
082
95
3
087 ⑤
083 -128 084 ①
088 ④
089 15
085 3
16
9
090 -6 091 6
086
배
092 30
093 ③
094 ②
095 48
하면
2#-6\2@+p\2+q=0
/ 2p+q=16
1 ③
6 ③
11 155
16 ①
21 ④
2 ④
7 15
3 4
8 440
12 7
13 -3
17 2
18 64
22 -2j2 23 ⑤
4 8
9 ③
14 55
19 ②
5 ③
10 580
15 -9
20 8
24 1.025배
유형06 답 ②
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a2=a+d=5
yy`㉠
a8=a+7d=17 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, d=2
따라서 첫째항부터 제15항까지의 합은
1592\3+{15-1}\20
2
=255
08 등차수열과 등비수열 83
PM수학Ⅰ해설 08-10(083~120)OK.indd 83
2018-04-25 오후 12:07:22
08 유형07 답 23
첫째항이 2, 끝항이 74, 항수가 {m+2}인 등차수열의 합이 950이
므로
{m+2}{2+74}
2
/ m=23
=950, m+2=25
유형08 답 ③
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
S10=
1092a+{10-1}d0
2
/ 2a+9d=16
yy`㉠
=80
S20=
2092a+{20-1}d0
2
=360
/ 2a+19d=36 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, d=2
/ S30=
3092\{-1}+{30-1}\20
2
=840
유형09 답 -72
주어진 등차수열의 일반항 an은
an=-22+{n-1}\4=4n-26 yy`㉠
26
4
4n-26>0에서 n>
=6.5
유형12 답 4
Sn=-n@+6n에서
! n>2일 때
an =Sn-Sn-1
=-2n+7
@ n=1일 때
=-n@+6n-9-{n-1}@+6{n-1}0
yy`㉠
a1=S1=-1@+6\1=5 yy`㉡
이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로
an=-2n+7
/ a1+a4=5+{-2\4+7}=4
핵심 유형 완성하기 133~139쪽
001 답 -158
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a13=a+12d=-58 yy`㉠
a21=a+20d=-98 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, d=-5
따라서 an=2+{n-1}\{-5}=-5n+7이므로
a33=-5\33+7=-158
즉, 수열 9an0은 제7항부터 양수이므로 첫째항부터 제6항까지의 합
이 최소이다.
이때 ㉠에서 a6=4\6-26=-2이므로 구하는 최솟값은
S6=
69-22+{-2}0
2
=-72
다른 풀이 Sn =
n92\{-22}+{n-1}\40
2
=2n@-24n
=2{n-6}@-72
따라서 Sn은 n=6일 때 최솟값 -72를 갖는다.
유형10 답 ④
두 자리의 자연수 중에서 6으로 나누었을 때의 나머지가 5인 수를
이때 95=11+6\14에서 구하는 값은 첫째항이 11, 끝항이 95,
작은 것부터 차례대로 나열하면
11, 17, 23, y, 95
항수가 15인 등차수열의 합이다.
/
15{11+95}
2
=795
002 답 100
공연장 관람석의 각 줄의 좌석 수를 차례대로 나열한 수열을 9an0
이라고 하면 수열 9an0은
20, 24, 28, 32, 36, y
즉, 첫째항이 20이고 공차가 4인 등차수열이므로
an=20+{n-1}\4=4n+16
따라서 관람석의 21번째 줄의 좌석 수는
4\21+16=100
003 답 an=log`{2N\3}
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a2=a+d=log`12
yy`㉠
a4=a+3d=log`48 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=log`6, d=log`2
/ an =log`6+{n-1}\log`2=n`log`2+{log`6-log`2}
=n`log`2+log`3=log`{2N\3}
유형11 답 7
연속하는 30개의 자연수 중에서 가장 작은 수를 a라고 하면 30개
의 자연수는 첫째항이 a, 공차가 1인 등차수열을 이루므로
3092a+{30-1}\10
2
2a=14 / a=7
=645, 2a+29=43
004 답 ㄱ, ㄷ
ㄱ. 수열 9a2n0은 a2, a4, a6, a8, y이므로
a4-a2={a1+3d1}-{a1+d1}=2d1
a6-a4={a1+5d1}-{a1+3d1}=2d1
⋮
/ a4-a2=a6-a4=y=2d1
따라서 구하는 가장 작은 수는 7이다.
따라서 수열 9a2n0은 공차가 2d1인 등차수열이다.
84 정답과 해설
PM수학Ⅰ해설 08-10(083~120)OK.indd 84
2018-04-25 오후 12:07:23
ㄴ. 수열 9bn@0은 b1@, b2@, b3@, b4@, y이므로
b2@-b1@={b1+d2}@-b1@=2b1d2+d2@
b3@-b2@={b1+2d2}@-{b1+d2}@=2b1d2+3d2@
/ b2@-b1@=b3@-b2@
따라서 수열 9bn@0은 등차수열이 아니다.
ㄷ. 수열 9an+bn0은 a1+b1, a2+b2, a3+b3, y이므로
a2+b2-{a1+b1} =9{a1+d1}+{b1+d2}0-{a1+b1}
a3+b3-{a2+b2} =9{a1+2d1}+{b1+2d2}0
-9{a1+d1}+{b1+d1}0
=d1+d2
=d1+d2
⋮
/ a2+b2-{a1+b1}=a3+b3-{a2+b2}=y=d1+d2
따라서 수열 9an+bn0은 공차가 d1+d2인 등차수열이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
005 답 ③
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a3+a12 ={a+2d}+{a+11d}
=2a+13d=25 yy`㉠
a4+a10={a+3d}+{a+9d}=2a+12d=20
/ a+6d=10
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-20, d=5
/ an=-20+{n-1}\5=5n-25
60을 제k항이라고 하면
5k-25=60, 5k=85 / k=17
따라서 60은 제17항이다.
4n-20>100에서 4n>120 / n>30
따라서 처음으로 100보다 크게 되는 항은 제31항이다.
009 답
1
3
주어진 등차수열의 일반항 an은
an=19+{n-1}\
-
=-
2
3 ]
[
2
3 n+
59
3
-
2
3 n+
59
3
<0에서
이때 a29=-
\29+
2
3 n>
59
3
=
59
3 / n>
2
1
3 , a30=-
3
59
2
=29.5
\30+
=-
59
3
1
3 이므로
2
3
1
3
|a29|=|a30|=
따라서 |an|의 최솟값은
1
3 이다.
010 답 제26항
첫째항이 5이고 공차가 -
1
3 인 등차수열의 일반항 an은
an=5+{n-1}\
-
=-
1
3 ]
[
또 첫째항이 -15이고 공차가
16
3
1
3 n+
1
2 인 등차수열의 일반항 bn은
=
1
2
bn=-15+{n-1}\
31
1
2 n-
2
따라서 수열 9bn-an0의 일반항은
1
1
3 n+
2 n-
5
5
6 n-
6 n>
따라서 처음으로 양수가 되는 항은 제26항이다.
125
6 / n>25
31
2
125
6
5
6 n-
>0에서
16
3 ]
125
6
-
=
-
[
011 답 16
주어진 등차수열의 공차를 d라고 하면 첫째항이 7, 제12항이 40이
006 답 ②
등차수열 9an0의 첫째항을 a라고 하면 제15항이 -25이므로
므로
a+14\{-3}=-25 / a=17
따라서 an=17+{n-1}\{-3}=-3n+20이므로
7+11d=40, 11d=33 / d=3
이때 a3은 주어진 수열의 제4항이므로
bn=a2n=-3\2n+20=-6n+20
/ b6=-6\6+20=-16
007 답 11
주어진 등차수열의 일반항 an은
3
4 n+
an=7+{n-1}\
3
4 ]
=-
-
[
31
4
-
3
4 k+
31
4
<0에서
3
4 k>
31
4 / k>
31
3
=10.3y
따라서 자연수 k의 최솟값은 11이다.
008 답 ④
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a3+a7={a+2d}+{a+6d}=2a+8d=0
/ a+4d=0
yy`㉠
a10=a+9d=20 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-16, d=4
/ an=-16+{n-1}\4=4n-20
첫째항이 -7이고 공차가
2
3 인 등차수열의 제{m+2}항이 17이므로
7+{4-1}\3=16
012 답 35
-7+{m+2-1}\
2
3 =17
{m+1}=24, m+1=36
2
3
/ m=35
013 답 ②
주어진 등차수열의 공차를 d라고 하면 첫째항이 13, 제{m+2}항
13+{m+2-1}d=103, {m+1}d=90
이 103이므로
/ m=
-1
90
d
이때 m은 자연수이므로 d는 90의 약수가 되어야 한다.
따라서 주어진 수열의 공차가 될 수 없는 것은 4이다.
08 등차수열과 등비수열 85
PM수학Ⅰ해설 08-10(083~120)OK.indd 85
2018-04-25 오후 12:07:23
08 014 답 ⑤
주어진 등차수열의 공차를 d라고 하면 첫째항이 0, 제{m+2}항이
이때 f{x}는 x-2로 나누어떨어지므로
f{2}=4+2a+b=0 / b=2
10이므로
0+{m+2-1}d=10 / d=
yy`㉠
10
m+1
또 제{m+n+3}항이 40이므로
0+{m+n+3-1}d=40 / d=
yy`㉡
40
m+n+2
㉠, ㉡에서
40
10
m+n+2
m+1
10{m+n+2}=40{m+1}
=
/ n=3m+2
015 답 1
세 수 a-1, a@+1, 3a+1이 이 순서대로 등차수열을 이루므로
2{a@+1}={a-1}+{3a+1}, 2{a@+1}=4a
a@-2a+1=0, {a-1}@=0
/ a=1
016 답 3
세 수 6, a, 10이 이 순서대로 등차수열을 이루므로
a=
6+10
2
=8
b=
6+0
2
=3
/ ab=-6
019 답 216
세 수 a, b, 3은 이 순서대로 등차수열을 이루므로
2b=a+3 / a=2b-3 yy`㉠
또 a0}
12
5
이를 ㉠에 대입하면 a=
9
5
1
따라서 직각삼각형의 넓이 S는 S=
2
9
5
\
\
=
12
5
54
25
/ 100S=100\
=216
54
25
020 답 2
삼차방정식의 세 실근을 a-d, a, a+d로 놓으면 삼차방정식의
{a-d}+a+{a+d}=-3, 3a=-3 / a=-1
따라서 주어진 방정식의 한 근이 -1이므로 방정식에 x=-1을
{-1}#+3\{-1}@+p\{-1}+q=0 / p-q=2
세 수 6, b, 0도 이 순서대로 등차수열을 이루므로
근과 계수의 관계에 의하여
세 수 a, 5, c, 즉 8, 5, c도 이 순서대로 등차수열을 이루므로
대입하면
5=
8+c
2 , 10=8+c / c=2
세 수 10, 7, d도 이 순서대로 등차수열을 이루므로
7=
10+d
2
, 14=10+d / d=4
/ a-b+c-d=8-3+2-4=3
017 답 18
세 수 log 2`3, log 2`a, log 2`12가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
2`log 2`a=log 2`3+log 2`12, log 2`a@=log 2`36
a@=36 / a=6 {? a>0}
021 답 ③
세 수를 a-d, a, a+d로 놓으면
{a-d}+a+{a+d}=12 yy`㉠
{a-d}\a\{a+d}=48 yy`㉡
㉠에서 3a=12 / a=4
이를 ㉡에 대입하면
{4-d}\4\{4+d}=48, 16-d@=12
d@=4 / d=-2 또는 d=2
세 수 log 2`a, log 2`12, log 2`b, 즉 log 2`6, log 2`12, log 2`b가 이 순서
따라서 세 수는 2, 4, 6이므로 세 수의 제곱의 합은
대로 등차수열을 이루므로
2`log 2`12=log 2`6+log 2`b, log 2`12@=log 2`6b
6b=144 / b=24
/ b-a=24-6=18
2@+4@+6@=56
022 답 -1
네 수를 a-3d, a-d, a+d, a+3d로 놓으면
{a-3d}+{a-d}+{a+d}+{a+3d}=8 yy`㉠
{a-d}{a+d}={a-3d}{a+3d}+8
yy`㉡
018 답 -6
다항식 f{x}를 x-1, x+1, x+2로 나눈 나머지는 나머지정리에
의하여 각각
㉠에서 4a=8 / a=2
이를 ㉡에 대입하면
f{1}=1+a+b, f{-1}=1-a+b, f{-2}=4-2a+b
{2-d}{2+d}={2-3d}{2+3d}+8
이때 f{1}, f{-1}, f{-2}가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
4-d@=4-9d@+8, 8d@=8
2f{-1}=f{1}+f{-2}
2{1-a+b}={1+a+b}+{4-2a+b}
2-2a+2b=5-a+2b / a=-3
86 정답과 해설
d@=1 / d=-1 또는 d=1
따라서 네 수는 -1, 1, 3, 5이므로 네 수 중 가장 작은 수는 -1
이다.
PM수학Ⅰ해설 08-10(083~120)OK.indd 86
2018-04-25 오후 12:07:24
023 답 -10
삼차방정식의 세 실근을 a-d, a, a+d로 놓으면 삼차방정식의
028 답 2
두 등차수열 9an0, 9bn0의 공차를 각각 d1, d2라고 하면
3m@+m-310=0, {3m+31}{m-10}=0
/ an=43+{n-1}\{-4}=-4n+47
근과 계수의 관계에 의하여
{a-d}+a+{a+d}=6
3a=6 / a=2
따라서 주어진 방정식의 한 근이 2이므로 방정식에 x=2를 대입
하면
2#-6\2@+3\2-k=0 / k=-10
024 답 ③
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a4=a+3d=7 yy`㉠
a20-a10={a+19d}-{a+9d}=10d=30 / d=3
이를 ㉠에 대입하면
a+9=7 / a=-2
따라서 첫째항부터 제12항까지의 합은
1292\{-2}+{12-1}\30
2
=174
025 답 ③
첫째항이 2이고 공차가 3인 등차수열의 첫째항부터 제m항까지의
합이 155이므로
m92\2+{m-1}\30
2
=155
/ m=-
또는 m=10
31
3
그런데 m은 자연수이므로 m=10
026 답 -2
첫째항이 8이고 제k항이 -30인 등차수열의 첫째항부터 제k항까
지의 합이 -220이므로
k98+{-30}0
2
/ k=20
=-220
즉, a20=-30이므로 등차수열 9an0의 공차를 d라고 하면
8+19d=-30 / d=-2
027 답 8
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a3=a+2d=3 yy`㉠
a+6d=3{a+4d}, 2a+6d=0
/ a+3d=0
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=9, d=-3
/ Sn=
n92\9+{n-1}\{-3}0
2
=
n{21-3n}
2
k{21-3k}
2
<0에서 k{21-3k}<0
k는 자연수이므로 k>7
따라서 자연수 k의 최솟값은 8이다.
{a1+a2+a3+y+a9}+{b1+b2+b3+y+b9}
9{2b1+8d2}
2
9{2a1+8d1}
2
=
+
=
992{a1+b1}+8{d1+d2}0
2
=
992\10+8{d1+d2}0
2
=90+36{d1+d2}
즉, 90+36{d1+d2}=54이므로 d1+d2=-1
/ a9+b9 ={a1+8d1}+{b1+8d2}
={a1+b1}+8{d1+d2}
=10+8\{-1}=2
의 합이 54이므로
992\10+{9-1}{d1+d2}0
2
=54
90+36{d1+d2}=54 / d1+d2=-1
/ a9+b9 ={a1+b1}+8{d1+d2}
=10+8\{-1}=2
다른 풀이 수열 9an+bn0은 첫째항이 10이고 첫째항부터 제9항까지
029 답 281
등차수열 9an0의 공차를 d라고 하면 첫째항이 43이므로
a10=43+9d=7 / d=-4
따라서 수열 9an0은 첫째항부터 제11항까지는 양수이고, 제12항
-4n+47<0에서 n>
=11.75
47
4
부터 음수이다.
a11=3, a12=-1, a15=-13이므로
|a1|+|a2|+|a3|+y+|a15|
={a1+a2+a3+y+a11}-{a12+a13+a14+a15}
49-1+{-13}0
2
=
11{43+3}
2
=253+28=281
-
030 답 3
첫째항이 1, 끝항이 73, 항수가 {m+2}인 등차수열의 합이 925이
므로
{m+2}{1+73}
2
=925, m+2=25 / m=23
이 수열의 공차를 d라고 하면 제25항이 73이므로
1+{25-1}d=73 / d=3
031 답 -252
첫째항이 5, 끝항이 -33, 항수가 20인 등차수열의 합은
2095+{-33}0
2
=-280
따라서 5+a1+a2+a3+y+a18+{-33}=-280이므로
a1+a2+a3+y+a18=-252
08 등차수열과 등비수열 87
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08 032 답 ③
-4+a1+a2+a3+y+am+50=-4+391+50=437
036 답 121
주어진 등차수열의 일반항 an은
즉, 첫째항이 -4, 끝항이 50, 항수가 {m+2}인 등차수열의 합이
=437, m+2=19
즉, 수열 9an0은 제12항부터 음수이므로 첫째항부터 제11항까지의
437이므로
{m+2}9{-4}+500
2
/ m=17
033 답 -525
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
S5=
592a+{5-1}d0
2
=-5
/ a+2d=-1
yy`㉠
S15=
1592a+{15-1}d0
2
=-165
/ a+7d=-11 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, d=-2
2592\3+{25-1}\{-2}0
2
/ S25=
=-525
034 답 ②
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
=34
S4=
492a+{4-1}d0
2
/ 2a+3d=17 yy`㉠
892a+{8-1}d0
2
/ 2a+7d=29 yy`㉡
S8=
=116
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, d=3
/ a9+a10+a11+y+a20
=S20-S8
=
2092\4+{20-1}\30
2
-116
=650-116=534
합을 Sn이라고 하면
㈎에 의하여
S10=
1092a+{10-1}d0
2
/ 2a+9d=-3
yy`㉠
=-15
㈏에 의하여
S20-S10 =
2092a+{20-1}d0
2
/ 2a+19d=-13 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, d=-1
/ a6+a7+a8+y+a15
=S15-S5
=
1592\3+{15-1}\{-1}0
2
=-60-5=-65
88 정답과 해설
035 답 -65
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d, 첫째항부터 제n항까지의
an=21+{n-1}\{-2}=-2n+23 yy`㉠
23
2
-2n+23<0에서 n>
=11.5
이때 ㉠에서 a11=-2\11+23=1이므로 구하는 최댓값은
합이 최대이다.
S11=
11{21+1}
2
=121
다른 풀이 Sn =
n92\21+{n-1}\{-2}0
2
=-n@+22n=-{n-11}@+121
따라서 Sn은 n=11일 때 최댓값 121을 갖는다.
037 답 -7
주어진 등차수열의 공차를 d라고 하면 첫째항이 -13이므로
a8=-13+7d=1 / d=2
/ an=-13+{n-1}\2=2n-15 yy`㉠
2n-15>0에서 n>
=7.5
15
2
즉, 수열 9an0은 제8항부터 양수이므로 첫째항부터 제7항까지의
합이 최소이다.
이때 ㉠에서 a7=2\7-15=-1이므로 구하는 최솟값은
S7=
79-13+{-1}0
2
=-49
따라서 k=7, m=-49이므로
=
=-7
m
k
-49
7
다른 풀이 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라고 하면
Sn =
n92\{-13}+{n-1}\20
2
=n@-14n={n-7}@-49
따라서 k=7일 때, 최솟값은 m=-49이므로
=-7
m
k
S3=
038 답 5
등차수열 9an0의 공차를 d라고 하면
392\{-9}+{3-1}d0
2
792\{-9}+{7-1}d0
2
S3=S7에서 -27+3d=-63+21d
S7=
=-27+3d
=-63+21d
18d=36 / d=2
/ an=-9+{n-1}\2=2n-11
2n-11>0에서 n>
=5.5
11
2
합이 최소이다.
/ n=5
039 답 40
등차수열 9an0의 공차를 d라고 하면
-{-15} =-115
즉, 수열 9an0은 제6항부터 양수이므로 첫째항부터 제5항까지의
-
592\3+{5-1}\{-1}0
2
an=21+{n-1}d
이때 S11의 값이 최대이므로 a11>0, a12<0이어야 한다.
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a11=21+10d>0에서 d>-
a12=21+11d<0에서 d<-
21
10
21
11
/ -
2일 때
an =Sn-Sn-1
=-2n+8
@ n=1일 때
an=-2n+8
a2+a4+a6+y+a2k는 첫째항이 a2=4, 끝항이 a2k=-4k+8,
항수가 k인 등차수열의 합이므로
a2+a4+a6+y+a2k =
k94+{-4k+8}0
2
=-2k@+6k=-140
2k@-6k-140=0, k@-3k-70=0, {k+7}{k-10}=0
/ k=-7 또는 k=10
그런데 k는 k>1인 자연수이므로 k=10
048 답 11
Sn=-2n@+3n+1에서
! n>2일 때
an =Sn-Sn-1
=-4n+5
@ n=1일 때
a1=2, an=-4n+5{n>2}
따라서 ak=-4k+5=-39에서 k=11
049 답 2
Sn=-2n@+9n에서
! n>2일 때
an =Sn-Sn-1
=-2n@+9n-9-2{n-1}@+9{n-1}0
=-4n+11
yy`㉠
@ n=1일 때
a1=S1=-2\1@+9\1=7 yy`㉡
이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로
an=-4n+11
-4k+11>0에서 4k<11 / k<
따라서 자연수 k는 1, 2의 2개이다.
11
4 =2.75
050 답 24
나머지정리에 의하여
Sn={-n}@+3{-n}=n@-3n
! n>2일 때
an =Sn-Sn-1
=n@-3n-9{n-1}@-3{n-1}0
yy`㉠
=2n-4
@ n=1일 때
a1=S1=1@-3\1=-2 yy`㉡
이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로
an=2n-4
/ a7+a9={2\7-4}+{2\9-4}=24
핵심 유형 140~142쪽
유형13 답 96
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a3=ar@=3
yy`㉠
a5=ar$=12 yy`㉡
㉡_㉠을 하면 r@=4 / r=2 {? r>0}
이를 ㉠에 대입하면 a\2@=3 / a=
3
4
따라서 an=
\2N_!이므로
3
4
a8=
\2&=96
3
4
051 답 2
두 수열 9an0, 9bn0의 첫째항부터 제n항까지의 합을 각각
유형14 답 ②
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
An=n@+kn, Bn=-2n@+23n이라고 하면
n>2일 때, an=An-An-1, bn=Bn-Bn-1이므로
a2=ar=9
yy`㉠
a5=ar$=243 yy`㉡
a4=A4-A3=4@+4k-{3@+3k}=7+k
㉡_㉠을 하면 r#=27 / r=3
b4=B4-B3=-2\4@+23\4-{-2\3@+23\3}=9
이를 ㉠에 대입하면 a\3=9 / a=3
/ an=3\3N_!=3N
3N>3000에서 3&=2187, 3*=6561이므로 n>8
따라서 처음으로 3000보다 커지는 항은 제8항이다.
이때 a4=b4이므로
7+k=9
/ k=2
90 정답과 해설
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유형15 답 90
주어진 등비수열의 공비를 r라고 하면 첫째항이 3, 제7항이 30이
유형20 답 ⑤
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
므로
3r^=30 / r^=10
따라서 a1=3r, a5=3r%이므로
a1a5=3r\3r%=9r^=9\10=90
유형16 답 3
세 수 a-2, a-1, a+1이 이 순서대로 등비수열을 이루므로
{a-1}@={a-2}{a+1}, a@-2a+1=a@-a-2
/ a=3
=20
S5=
S10=
a{1-r%}
1-r
a{1-r!)}
1-r
yy`㉠
=
a{1-r%}{1+r%}
1-r
=60 yy`㉡
㉡_㉠을 하면 1+r%=3 / r%=2
/ S15 =
=
a{1-r%}{1+r%+r!)}
1-r
a{1-r!%}
1-r
a{1-r%}
1-r
=
\{1+r%+r!)}
=20{1+2+2@}=140
유형21 답
9
4
배
유형17 답 ②
삼차방정식의 세 실근을 a, ar, ar@{a=0}으로 놓으면 삼차방정식
2018년의 전기차 생산량을 a대, 매년 증가하는 전기차 생산량의 비
율을 r라고 하면 n년 후의 전기차 생산량은 arN대
2018년부터 2021년까지 4년 동안의 전기차 생산량이 20000대이
의 근과 계수의 관계에 의하여
a+ar+ar@=19
/ a{1+r+r@}=19
yy`㉠
a@r+a@r@+a@r#=114
/ a@r{1+r+r@}=114 yy`㉡
a\ar\ar@=-k, a#r#=-k
/ {ar}#=-k
yy`㉢
㉡_㉠을 하면 ar=6
이를 ㉢에 대입하면 6#=-k / k=-216
\
유형18 답 j3
4
한 변의 길이가 1인 정삼각형의 넓이는 j3
4
3
4 ]!)
[
\1@= j3
4 이고, 각 시행
1
2 배가 되고, 개수는 3배가 된다.
에서 정삼각형의 한 변의 길이는
4
1
[
\
\
3
4
2 ]@\3= j3
첫 번째 시행 후 남아 있는 도형의 넓이는
j3
4
두 번째 시행 후 남아 있는 도형의 넓이는
j3
4
⋮
n번째 시행 후 남아 있는 도형의 넓이는 j3
4
2 ]@\3= j3
3
4 ]@
3
4
\
\
\
[
[
1
4
\
[
3
4 ]N
따라서 10번째 시행 후 남아 있는 도형의 넓이는
j3
4
3
4 ]!)
\
[
유형19 답 -129
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a3=ar@=-12
yy`㉠
a7=ar^=-192 yy`㉡
㉡_㉠을 하면 r$=16 / r=-2 {? r<0}
이를 ㉠에 대입하면 4a=-12 / a=-3
/ S7=
-391-{-2}&0
1-{-2}
=-129
2022년부터 2025년까지 4년 동안의 전기차 생산량이 30000대이므로
므로 a+ar+ar@+ar#=20000
/
a{r$-1}
r-1
=20000
yy`㉠
ar$+ar%+ar^+ar&=30000
/
ar${r$-1}
r-1
=30000 yy`㉡
㉡_㉠을 하면 r$=
3
2
따라서 2026년의 전기차 생산량은 ar*=a{r$}@=
a(대)
9
4
9
이므로 2018년의 전기차 생산량의
4 배이다.
유형22 답 243
Sn=3N-1에서
! n>2일 때
an =Sn-Sn-1
={3N-1}-{3N_!-1}
=3N_!\{3-1}=2\3N_! yy`㉠
@ n=1일 때
a1=S1=3!-1=2
yy`㉡
이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로
an=2\3N_!
/
=
a8
a3
2\3&
2\3@
=3%=243
유형23 답 336만 원
연이율 5 %, 1년마다 복리로 매년 초에 20만 원씩 12년 동안 적
립할 때의 원리합계를 S라고 하면
S =20{1+0.05}+20{1+0.05}@+y+20{1+0.05}!@
=
20{1+0.05}9{1+0.05}!@-10
{1+0.05}-1
=
20\1.05\{1.8-1}
0.05
=336(만 원)
따라서 12년 말의 적립금의 원리합계는 336만 원이다.
08 등차수열과 등비수열 91
PM수학Ⅰ해설 08-10(083~120)OK.indd 91
2018-04-25 오후 12:07:25
08 핵심 유형 완성하기 143~14 8쪽
053 답 1458
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a2=ar=6
yy`㉠
a5=ar$=162 yy`㉡
㉡_㉠을 하면 r#=27 / r=3
이를 ㉠에 대입하면 3a=6 / a=2
따라서 an=2\3N_!이므로
a7=2\3^=1458
054 답 6
log 3`a6=2에서 a6=3@=9이므로
r%=9
따라서 a16=r!%={r%}#=9#=3^이므로
log 3`a16=log 3`3^=6
055 답 ③
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a4+a5=ar#+ar$=3 yy`㉠
ar$
ar#
a
8
1
2
1
2 / r=
a
16
=3
a4`:`a5=2`:`1에서
=
이를 ㉠에 대입하면
+
3
16 a=3 / a=16
/ an=16\
1
2 ]N_!
[
1
32 을 제k항이라고 하면
16\
1
2 ]K_!=
k-1=9 / k=10
1
32 , [
[
1
2 ]K_!=
[
1
2 ](
따라서
1
32 은 제10항이다.
056 답 100
주어진 등비수열의 일반항 an은
an=2\4n-1=2\22{n-1}=22n-1이므로
log 2`an=log 2`22n-1=2n-1=2{n-1}+1
로 구하는 합은
1092\1+{10-1}\20
2
=100
=
=
a7
a2
=r%,
057 답 ④
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
ar%
a6
a1
a
a7
a6
a2
a1
/ r%=5
a25
a10
=r!%={r%}#=5#=125
=20r%=100
ar^
ar
a25
a20
=r%, y,
ar@$
ar!(
+y+
a25
a20
ar@$
ar(
a8
a3
/
=
=
+
+
=r%이므로
92 정답과 해설
058 답 제8항
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a3=ar@=36
yy`㉠
a6=ar%=972 yy`㉡
㉡_㉠을 하면 r#=27 / r=3
이를 ㉠에 대입하면
a\3@=36 / a=4
따라서 an=4\3N_!이므로
4\3N_!>4000에서 3N_!>1000
이때 3^=729, 3&=2187이므로
n-1>7 / n>8
따라서 구하는 항은 제8항이다.
059 답 10
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a5=ar$=8
yy`㉠
a7=ar^=16 yy`㉡
㉡_㉠을 하면 r@=2 / r=j2 (? r>0)
이를 ㉠에 대입하면 a=2
따라서 an=2\{j2}N_!이므로
an@=92\{j2}N_!0@=2@\9{j2}@0N_!=4\2N_!
4\2K_!>1600에서 2K_!>400
이때 2*=256, 2(=512이므로
k-1>9 / k>10
따라서 자연수 k의 최솟값은 10이다.
060 답 12
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a3+a6=ar@+ar%=
/ ar@{1+r#}=
yy`㉠
a4+a7=ar#+ar^=-
/ ar#{1+r#}=-
yy`㉡
7
16
7
16
7
32
7
32
1
2
이를 ㉠에 대입하면
7
8
a\
1
4
\
=
7
16 / a=2
/ an=2\
-
[
|
2\
-
[
1
2 ]K_!|
1
2 ]N_!
1
1000 에서 2\
<
-
|[
1
2 ]K_!|
<
1
1000
-
<
|[
1
2 ]K_!|
1
2 ]!)=
이때 [
k-1>11 / k>12
1
2000
1
1024 , [
1
2 ]!!=
1
2048 이므로
따라서 자연수 k의 최솟값은 12이다.
따라서 수열 9log 2`an0은 첫째항이 1이고 공차가 2인 등차수열이므
㉡_㉠을 하면 r=-
PM수학Ⅰ해설 08-10(083~120)OK.indd 92
2018-04-25 오후 12:07:26
061 답 512
주어진 등비수열의 공비를 r라고 하면 첫째항이 2, 제10항이 256이
067 답 정삼각형
세 변의 길이 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
므로
2r(=256 / r(=128
따라서 a2=2r@, a7=2r&이므로
a2 a7=2r@\2r&=4r(=4\128=512
062 답 ②
므로
12\
4
1
3 ]M"!=
243 , [
m+1=6 / m=5
[
1
3 ]M"!=
[
1
3 ]^
첫째항이 12이고 공비가
1
3 인 등비수열의 제{m+2}항이
4
243 이
063 답 14
주어진 등비수열의 공비를 r라고 하면 첫째항이 4, 제9항이 324이
므로
4r*=324, r*=81 / r=j3 {? r>0}
따라서
a1=4\j3, a2=4\{j3}@, a3=4\{j3}#, y, a7=4\{j3}&
이므로
a1 a2 a3 y a7 =4&\9j3\{j3}@\{j3}#\y\{j3}&0
=4&\{j3}1+2+3+y+7
=2!$\3!$=6!$
/ k=14
064 답 2
세 양수 9a, a+4, a가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
{a+4}@=9a\a, a@+8a+16=9a@
a@-a-2=0, {a+1}{a-2}=0
/ a=2 {? a>0}
065 답 2
세 수 a, 3, b가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
3@=9=ab
/
1
log a`3
1
+
log b`3 =log 3`a+log 3`b=log 3`ab
=log 3`9=2
066 답 6
다항식 f{x}를 x, x-1, x-2로 나눈 나머지는 나머지정리에 의
하여 각각
f{0}=a, f{1}=a+4, f{2}=a+10
9 f{1}0@=f{0}\f{2}
{a+4}@=a\{a+10}
a@+8a+16=a@+10a / a=8
/ f{x}=x@+3x+8
또 sin`A, sin`B, sin`C가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라고 하면 사인법칙에
b=
a+c
2
yy`㉠
sin@`B=sin`A\sin`C
의하여
b
a
2R ]@=
[
2R
/ b@=ac yy`㉡
c
2R
\
㉠을 ㉡에 대입하면
a+c
2 ]@=ac, a@+2ac+c@=4ac
[
{a-c}@=0 / a=c
a=c를 ㉠에 대입하면 b=c
/ a=b=c
따라서 삼각형 ABC는 정삼각형이다.
068 답 ①
삼차방정식의 세 실근을 a, ar, ar@{a=0}으로 놓으면 삼차방정식
의 근과 계수의 관계에 의하여
a+ar+ar@=-p
/ a{1+r+r@}=-p
yy`㉠
a@r+a@r@+a@r#=-6
/ a@r{1+r+r@}=-6 yy`㉡
a\ar\ar@=-8, a#r#=-8
/ {ar}#=-8
㉢에서 ar=-2
yy`㉢
이를 ㉡에 대입하면 -2a{1+r+r@}=-6
/ a{1+r+r@}=3
이를 ㉠에 대입하면 -p=3 / p=-3
069 답 27
세 실수를 a, ar, ar@{a=0}으로 놓으면
a+ar+ar@=21
/ a{1+r+r@}=21 yy`㉠
a\ar\ar@=-729, a#r#=-729, {ar}#=-729
/ ar=-9
yy`㉡
㉠_㉡을 하면
a{1+r+r@}
ar
=
21
-9
=-
7
3
3{1+r+r@}=-7r, 3r@+3r+3=-7r
/ r=-3 또는 r=-
1
3
r=-3일 때 a=3, r=-
27이다.
1
3 일 때 a=27이므로 세 실수는 3, -9,
08 등차수열과 등비수열 93
이때 f{0}, f{1}, f{2}가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
3r@+10r+3=0, {r+3}{3r+1}=0
따라서 f{x}를 x+1로 나눈 나머지는 f{-1}=6
따라서 가장 큰 수는 27이다.
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08 1
070 답 64
직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를 각각
a, ar, ar@{a=0}으로 놓으면 모든 모서리의 길이의 합은 56이므로
4{a+ar+ar@}=56
/ a{1+r+r@}=14
yy`㉠
또 겉넓이가 112이므로
2{a\ar+a\ar@+ar\ar@}=112
/ a@r{1+r+r@}=56 yy`㉡
㉡_㉠을 하면 ar=4
따라서 직육면체의 부피는 a\ar\ar@={ar}#=4#=64
071 답 2
네 수 a, b, c, d를 각각 a, ar, ar@, ar#{r>1}으로 놓으면
074 답
p
256
a1=p\2=2p
1
2
a2=p\2\
=2p\
1
2
a3=p\2\
1
2 ]@=2p\
[
1
2 ]@
[
⋮
an=2p\
[
/ a10=2p\
1
2 ]N_!
1
2 ](=
[
p
256
075 답 ③
직선 OAn의 기울기를 an이라고 하면
=12.5에서 a=1, 2, 3, y, 12
=3.7y에서 a=1, 2, 3
=1.5625에서 a=1
ar#<100이므로
! r=2일 때
a<
100
8
@ r=3일 때
a<
100
27
# r=4일 때
a<
100
64
$ r>5일 때
072 답
2#)
3!^
ar#<100을 만족하는 a가 존재하지 않는다.
!, @, #, $에 의하여 a의 최댓값은 12이고, 그때의 공비는 2
이다.
한 변의 길이가 9인 정사각형의 넓이는 9\9=81이고
첫 번째 시행 후 남아 있는 도형의 넓이는 81\
두 번째 시행 후 남아 있는 도형의 넓이는 81\
⋮
n번째 시행 후 남아 있는 도형의 넓이는 81\
따라서 10번째 시행 후 남아 있는 도형의 넓이는
8
9
8
9 ]@
[
8
9 ]N
[
81\
8
9 ]!)=
8!)
9*
[
=
2#)
3!^
073 답 14\[
2
3 ]%`m
첫 번째 튀어 올랐을 때의 높이는 21\
두 번째 튀어 올랐을 때의 높이는 21\
세 번째 튀어 올랐을 때의 높이는 21\
2
3 {m}
2
2
3
3
\
=21\
[
2
3 ]@\
2
3
[
=21\
2
3 ]@{m}
2
3 ]#{m}
[
⋮
n번째 튀어 올랐을 때의 높이는 21\
[
따라서 6번째 튀어 올랐을 때의 높이는
2
3 ]%{m}
2
3 ]^=14\
21\
[
[
2
3 ]N{m}
94 정답과 해설
a1=
a2=
\
5
3
3
5
3
5
3
5
\
[
5
3 ]@
a3=
⋮
an=
5
3 ]N_@
[
3
5
\
[
5
3 ]N_!=
1
OBn
이때 an=
이므로
OBn
=
1
an
=
[
3
5 ]N_@
3
5 ]^이므로 n-2=6 / n=8
3
5 ]N_@=
즉, [
[
따라서 구하는 선분은 OB8
이다.
076 답 484
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a2=ar=12
yy`㉠
a4=ar#=108 yy`㉡
㉡_㉠을 하면 r@=9 / r=3 {? r>0}
이를 ㉠에 대입하면 3a=12 / a=4
따라서 주어진 수열의 첫째항부터 제5항까지의 합은
4{3%-1}
3-1
=484
077 답 6
주어진 등비수열은 첫째항이 2, 공비가
=3이므로
6
2
Sn=
2{3N-1}
3-1
=3N-1
Sk=728에서 3K-1=728
3K=729=3^ / k=6
078 답
x&+1
x+1
주어진 등비수열은 첫째항이 1, 공비가 -x이므로
Sn =
/ S7=
191-{-x}N0
1-{-x}
1-{-x}&
1+x
=
1-{-x}N
1+x
=
x&+1
x+1
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2018-04-27 오전 9:23:59
Z
Z
Z
079 답 ③
주어진 등비수열의 일반항 an은 an={-3}N_!이므로
수열 a1+a2, a2+a3, a3+a4, y의 일반항은
an+an'1 ={-3}N_!+{-3}N={-3}N_!91+{-3}0
=-2\{-3}N_!
따라서 첫째항이 -2, 공비가 -3인 등비수열이므로 첫째항부터
제10항까지의 합은
-291-{-3}!)0
1-{-3}
1
2
=-
{1-3!)}=
{3!)-1}
1
2
083 답 -128
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
=-5
yy`㉠
S4=
S8 =
a{1-r$}
1-r
a{1-r*}
1-r
㉡_㉠을 하면
=
a{1-r$}{1+r$}
1-r
=-85 yy`㉡
1+r$=17, r$=16 / r=-2 {? r<0}
080 답 20
등비수열 9an0의 공비를 r라고 하면 첫째항이 1이므로
r$=16 / r=2 {? r>0}
등비수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라고 하면
Sn=
2N-1
2-1
=2N-1
Sn>10^에서 2N-1>10^ / 2N>10^+1
즉, 2N>10^이므로 양변에 상용로그를 취하면
log`2N>log`10^, n`log`2>6
/ n>
6
log`2
=
6
0.3010
=19.9y
따라서 첫째항부터 제20항까지의 합이 처음으로 10^보다 크게 된다.
081 답 ①
주어진 수열의 첫째항부터 제10항까지의 합은
9+99+999+y+99y9
10개
={10-1}+{10@-1}+{10#-1}+y+{10!)-1}
={10+10@+10#+y+10!)}-10
=10@+10#+y+10!)
=
10@{10(-1}
10-1
=
100
9
{10(-1}
082 답
95
3
S3=
S6 =
a{1-r#}
1-r
a{1-r^}
1-r
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
=15
yy`㉠
=
a{1-r#}{1+r#}
1-r
=25 yy`㉡
㉡_㉠을 하면
1+r#=
/ S9 =
2
3
5
3 / r#=
a{1-r(}
1-r
=
a{1-r#}{1+r#+r^}
1-r
=
a{1-r#}
1-r
\{1+r#+r^}
=15\
- 1+
2
3
+
[
2
3 ]@ = =
95
3
이를 ㉠에 대입하면
a91-{-2}$0
1-{-2}
=-5
-5a=-5 / a=1
따라서 an=1\{-2}N_!이므로 a8=1\{-2}&=-128
084 답 ①
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
수열 a1, a3, a5, a7의 공비는 r@이므로
a1+a3+a5+a7 =
a9{r@}$-10
r@-1
a{r*-1}
r@-1
=17
=
a{r*-1}
r-1
yy`㉠
a1+a2+a3+y+a8=
=-34 yy`㉡
㉡_㉠을 하면 r+1=-2 / r=-3
085 답 3
등비수열 9an0의 공비를 r라고 하면
a1+a3+a5+y+a2k-1
=2+2r@+2r$+y+2r2k-2
=
=
2{r@K-1}
r@-1
2\9{r@}K-10
r@-1
a2+a4+a6+y+a2k
=2r+2r#+2r%+y+2r2k-1
=
2r\9{r@}K-10
r@-1
㉡_㉠을 하면 r=-3
=
2r{r@K-1}
r@-1
=182
yy`㉠
=-546 yy`㉡
이를 ㉠에 대입하면
2{9K-1}
9-1
=182
9K-1=728, 9K=729
/ k=3
086 답
16
9
배
2002년의 신규 가입자의 수를 a명, 매년 증가하는 신규 가입자 수
의 비율을 r라고 하면 n년 후의 신규 가입자의 수는 arN명
2002년부터 2009년까지 8년 동안의 신규 가입자의 수가 12만 명이
므로
a+ar+ar@+y+ar&=12000
/
a{r*-1}
r-1
=12000
yy`㉠
08 등차수열과 등비수열 95
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08 2010년부터 2017년까지 8년 동안의 신규 가입자의 수가 16만 명이
므로
ar*+ar(+ar!)+y+ar!%=16000
/
ar*{r*-1}
r-1
=16000 yy`㉡
㉡_㉠을 하면 r*=
4
3
090 답 -6
Sn=6\8N+k에서
! n>2일 때
an =Sn-Sn-1
따라서 2018년의 신규 가입자의 수는 ar!^=a{r*}@=
a(명)이므
@ n=1일 때
16
9
로 2002년의 신규 가입자의 수의
16
9 배이다.
087 답 ⑤
이동 거리를 전날의 10 %씩 늘려서 여행하므로 일주일 동안 이동
하는 거리는
5+5\{1+0.1}+5\{1+0.1}@+y+5\{1+0.1}^
=
59{1+0.1}&-10
{1+0.1}-1
=
5{1.9-1}
0.1
091 답 6
Sn=3N"!-3에서
! n>2일 때
an =Sn-Sn-1
={6\8N+k}-{6\8N_!+k}
=8N_!\{48-6}=42\8N_! yy`㉠
a1=S1=6\8!+k=48+k
yy`㉡
이때 수열 9an0이 첫째항부터 등비수열을 이루려면 ㉡은 ㉠에
n=1을 대입한 값과 같아야 하므로
42=48+k / k=-6
선분 A1B를 1`:`2로 내분하는 점이 A2이므로
이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로 an=2\3N
선분 A2B를 1`:`2로 내분하는 점이 A3이므로
따라서 수열 9ln0은 첫째항이 3p이고 공비가
인 등비수열이므로
2
3
=45{km}
088 답 ④
l1=p\3=3p
2
3
2
3
A2B
=3\
=2
l2=p\2=2p
A3B
=2\
=
4
3
l3=p\
=
4
3
4
3 p
⋮
l1+l2+l3+y+l10
3p
1-
-
=
1-
=9p
1-
-
2
3 ]!)=
[
2
3
2
3 ]!)=
[
089 답 15
Sn=2N-3에서
! n>2일 때
an =Sn-Sn-1
={3N"!-3}-{3N-3}
=3N\{3-1}=2\3N yy`㉠
@ n=1일 때
a1=S1=3@-3=6
yy`㉡
2\3K>1000에서 3K>500
이때 3%=243, 3^=729이므로 k>6
따라서 자연수 k의 최솟값은 6이다.
092 답 30
log3`a1+log3`a2+y+log3`an=Sn이라고 하면
에서
Sn=
n@-n
2
! n>2일 때
log 3`an =Sn-Sn-1
=
n@-n
2
-
{n-1}@-{n-1}
2
=
2n-2
2
=n-1 yy`㉠
@ n=1일 때
log3`a1=S1=
1@-1
2
=0 yy`㉡
이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로
log3`an=n-1 / an=3N_!
/ a2+a4=3+3#=30
093 답 ③
={2N-3}-{2N_!-3}
=2N_!\{2-1}=2N_! yy`㉠
@ n=1일 때
a1=S1=2!-3=-1
yy`㉡
이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같지 않으므로
a1=-1, an=2N_!{n>2}
/ a1+a5=-1+16=15
96 정답과 해설
연이율 5 %, 1년마다 복리로 매년 말에 10만 원씩 10년 동안 적립
할 때의 원리합계를 S라고 하면
S =10+10{1+0.05}+y+10{1+0.05}(
=
109{1+0.05}!)-10
{1+0.05}-1
=
10{1.63-1}
0.05
=126(만 원)
따라서 10년 말의 적립금의 원리합계는 126만 원이다.
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Z
Z
094 답 ②
월이율 0.4 %, 1개월마다 복리로 매월 초에 20만 원씩 3년간 적립
3 답 4
유형 02 등차수열에서 주어진 조건을 만족하는 항
할 때의 원리합계를 S라고 하면
S =20{1+0.004}+20{1+0.004}@+y+20{1+0.004}#^
=
20\{1+0.004}9{1+0.004}#^-10
{1+0.004}-1
=
20\1.004\{1.15-1}
0.004
=753(만 원)
따라서 만기 후 받을 수 있는 금액은 753만 원이다.
첫째항이 18이고 공차가 -2인 등차수열의 일반항 an은
an=18+{n-1}\{-2}=-2n+20
또 첫째항이 12이고 공차가 -3인 등차수열의 일반항 bn은
bn=12+{n-1}\{-3}=-3n+15
ak<4bk에서 -2k+20<4{-3k+15}
-2k+20<-12k+60 / k<4
따라서 자연수 k는 1, 2, 3, 4의 4개이다.
095 답 48
연이율 4%, 1년마다 복리로 매년 말에 a만 원씩 10년 동안 적립
4 답 8
유형 03 두 수 사이에 수를 넣어 만든 등차수열
할 때의 원리합계를 S라고 하면
S =a+a{1+0.04}+a{1+0.04}@+y+a{1+0.04}(
주어진 등차수열의 공차를 d라고 하면 첫째항이 2, 제{m+2}항
=
a9{1+0.04}!)-10
{1+0.04}-1
=
a{1.5-1}
0.04
=12.5a(만 원)
즉, 12.5a=600이므로 a=48
이 38이므로
2+{m+2-1}d=38
{m+1}d=36 / d=
36
m+1
이때 d가 자연수가 되려면 m+1은 36의 약수가 되어야 하므로
m+1=2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
/ d=1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18
따라서 공차가 될 수 있는 자연수는 8개이다.
핵심 유형 최종 점검하기
1 답 ③
유형 01 등차수열의 일반항
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a1+a2+a3 =a+{a+d}+{a+2d}
a4+a5+a6 ={a+3d}+{a+4d}+{a+5d}
=3a+3d=-30
/ a+d=-10 yy`㉠
=3a+12d=15
/ a+4d=5
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-15, d=5
따라서 an=-15+{n-1}\5=5n-20이므로
a10=5\10-20=30
2 답 ④
유형 02 등차수열에서 주어진 조건을 만족하는 항
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a2=a+d=-74
yy`㉠
a13=a+12d=-30 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-78, d=4
/ an=-78+{n-1}\4=4n-82
4k-82>0에서 k>
=20.5
82
4
따라서 자연수 k의 최솟값은 21이다.
149~151쪽
5 답 ③
유형 04 등차중항
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
이때 p는
a+b=5, ab=-10
1
a
1
b
1
b
a+b
ab
2p=
1
a
+
=
,
의 등차중항이므로
=-
1
2 / p=-
1
4
또 q는 a, b의 등차중항이므로
2q=a+b=5 / q=
/ p+q=-
+
=
1
4
5
2
9
4
5
2
6 답 ③
유형 05 등차수열의 응용
직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를 각각
a-d, a, a+d로 놓으면
모든 모서리의 길이의 합은 36이므로
4\9{a-d}+a+{a+d}0=36, 12a=36 / a=3
또 부피가 24이므로
{a-d}\a\{a+d}=24, a{a@-d@}=24 yy`㉠
a=3을 ㉠에 대입하면
3{9-d@}=24, 9-d@=8
d@=1 / d=-1 또는 d=1
는 겉넓이는
2{2\3+3\4+4\2}=52
따라서 가로의 길이, 세로의 길이, 높이는 각각 2, 3, 4이므로 구하
08 등차수열과 등비수열 97
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08 7 답 15
유형 06 등차수열의 합
Sn=
n92\20+{n-1}\{-3}0
2
=
n{43-3n}
2
k{43-3k}
2
<0에서 k{43-3k}<0
k는 자연수이므로 43-3k<0 / k>
=14.3y
43
3
따라서 자연수 k의 최솟값은 15이다.
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
8 답 440
유형 08 부분의 합이 주어진 등차수열의 합
=-80
S10=
1092a+{10-1}d0
2
/ 2a+9d=-16 yy`㉠
2092a+{20-1}d0
2
/ 2a+19d=4
yy`㉡
S20=
=40
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-17, d=2
/ a11+a12+a13+y+a30
=S30-S10
=
3092\{-17}+{30-1}\20
2
-{-80}
=360+80=440
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
9 답 ③
유형 09 등차수열의 합의 최대, 최소
=105
S3=
392a+{3-1}d0
2
/ a+d=35
yy`㉠
1192a+{11-1}d0
2
S11=
/ a+5d=23 yy`㉡
=253
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=38, d=-3
/ an=38+{n-1}\{-3}=-3n+41
-3n+41<0에서 n>
=13.6y
41
3
합이 최대이다. / n=13
10 답 580
유형 10 나머지가 같은 자연수의 합
즉, 수열 9an0은 제14항부터 음수이므로 첫째항부터 제13항까지의
11 답 155
유형 11 등차수열의 합의 활용
탑의 각 층의 벽돌의 개수는 한 층씩 위로 올라갈수록 일정한 개
수만큼 줄어들므로 등차수열을 이룬다.
10층의 벽돌의 개수부터 차례대로 a1, a2, a3, y, a10이라고 하면
10층의 벽돌의 개수는 a1, 4층의 벽돌의 개수는 a7이다.
이때 공차를 d라고 하면 a1=2이고 탑 전체의 벽돌의 개수는 4층
의 벽돌의 개수의 7배보다 15개 더 많으므로
1092\2+{10-1}d0
2
=7{2+6d}+15
20+45d=14+42d+15, 3d=9
/ d=3
따라서 필요한 전체 벽돌의 개수는
1092\2+{10-1}\30
2
=155
Sn=an@+bn에서 첫째항부터 제5항까지의 합이 95이므로
12 답 7
유형 12 등차수열의 합과 일반항 사이의 관계
S5=25a+5b=95
/ 5a+b=19 yy`㉠
또 제5항이 27이므로
a5=S5-S4=95-16a-4b=27
/ 4a+b=17 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=9 / b-a=7
13 답 -3
유형 13 등비수열의 일반항
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a3+a5+a7
a1+a3+a5
즉, r@=9이므로 r=-3 {? r<0}
ar@{1+r@+r$}
a{1+r@+r$}
ar@+ar$+ar^
a+ar@+ar$
=
=
=r@
14 답 55
유형 14 등비수열에서 주어진 조건을 만족하는 항
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
a3+a5=ar@+ar$=100
/ ar@{1+r@}=100 yy`㉠
a4+a6=ar#+ar%=200
/ ar#{1+r@}=200 yy`㉡
㉡_㉠을 하면 r=2
이를 ㉠에 대입하면 20a=100 / a=5
3으로 나누었을 때의 나머지가 1인 수를 작은 것부터 차례대로 나
열하면
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, y yy`㉠
또 4로 나누어떨어지는 수를 작은 것부터 차례대로 나열하면
/ an=5\2N_!
4, 8, 12, 16, 20, y
yy`㉡
㉠, ㉡에서 공통인 수를 작은 것부터 차례대로 나열하면
4, 16, 28, y
따라서 수열 9an0은 첫째항이 4, 공차가 12인 등차수열이므로
S10=
1092\4+{10-1}\120
2
=580
5\2K_!<5000에서 2K_!<1000
이때 2(=512, 2!)=1024이므로
k-1<9 / k<10
따라서 구하는 모든 자연수 k의 값의 합은 1+2+y+10이므로
10\11
2
=55
98 정답과 해설
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15 답 -9
유형 15 두 수 사이에 수를 넣어 만든 등비수열
19 답 ②
유형 18 등비수열의 활용
주어진 등비수열의 공비를 r라고 하면 첫째항이 24, 제5항이
3
2 이
므로
24r$=
3
2 , r$=
1
16 / r=
1
2 {? r>0}
따라서 a1=24\
1
2 ]!=12, a3=24\
[
1
2 ]#=3이므로
[
/ a1=
2
3
오른쪽 그림에서
ADE와
ABC는
닮음이므로
AD
`:`DE
=AB
s
`:`BC
s
{1-a1}`:`a1=1`:`2, 2-2a1=a1
A
1
B
D
E
a1
F
G
I
a3 y
a2
H
2
C
a3-a1=3-12=-9
16 답 ①
유형 16 등비중항
세 수 x, 2y, 10이 이 순서대로 등차수열을 이루므로
4y=x+10
yy`㉠
세 수 4, x, 13-y가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
x@=4{13-y} / x@=52-4y yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
x@=52-{x+10}, x@+x-42=0
{x+7}{x-6}=0
/ x=-7 또는 x=6
EFG와
ABC는 닮음이므로
`:`FG
=AB
s
EF
s
{a1-a2}`:`a2=1`:`2, 2a1-2a2=a2
`:`BC
a1=
2
3 ]@
[
/ a2=
2
3
GHI와
ABC는 닮음이므로
:`HI
=AB
s
GH
s
Z`
{a2-a3}`:`a3=1`:`2, 2a2-2a3=a3
`:`BC
/ a3=
a2=
2
3
2
3 ]#
[
따라서 수열 9an0은 첫째항이
an=
2
3
\
[
2
3 ]N_!=
[
2
3 ]N / a6=
2
3 , 공비가
2
3 ]^
[
2
3 인 등비수열이므로
3
4 , x=6일 때 y=4
이를 ㉠에 대입하면 x=-7일 때 y=
그런데 x, y는 정수이므로 x=6, y=4
따라서 등차수열 6, 8, 10의 공차는 2, 등비수열 4, 6, 9의 공비는
3
2 이므로 d=2, r=
/ dr=3
3
2
20 답 8
유형 19 등비수열의 합
합을 Sn이라고 하면
4{2N-1}
2-1
Sn=
=4{2N-1}
첫째항이 4이고 공비가 2인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의
17 답 2
유형 16 등비중항
세 점 A, B, C의 좌표는 A{k, 2jk k}, B{k, jk k}, C{k, 0}이므로
BC
가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
=2jk k
=k, AC
=jk k, OC
BC
, AC
, OC
k@=jk k\2jk k, k@=2k
k@-2k=0, k{k-2}=0
/ k=2 {? k>0}
4{2N-1}>1000에서 2N-1>250, 2N>251
이때 2&=128, 2*=256이므로 n>8
따라서 처음으로 1000보다 커지는 n의 값은 8이다.
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제n항까지의
21 답 ④
유형 20 부분의 합이 주어진 등비수열의 합
S4=
합을 Sn이라고 하면
a{1-r$}
1-r
a{1-r*}
1-r
S8 =
=14 yy`㉠
=
a{1-r$}{1+r$}
1-r
=14+112=126 yy`㉡
㉡_㉠을 하면 1+r$=9 / r$=8
/ S12 =
a{1-r!@}
1-r
=
a{1-r$}{1+r$+r*}
1-r
=
a{1-r$}
1-r
\{1+r$+r*}
=14\{1+8+64}=1022
따라서 제9항부터 제12항까지의 합은
S12-S8=1022-126=896
08 등차수열과 등비수열 99
18 답 64
유형 17 등비수열의 응용
세 실수를 a, ar, ar@{a=0}으로 놓으면
a+ar+ar@=14
/ a{1+r+r@}=14 yy`㉠
a@+{ar}@+{ar@}@=84, a@+a@r@+a@r$=84
/ a@{1+r@+r$}=84
㉠을 제곱하면 a@{1+r+r@}@=14@
a@{1+r@+r$+2r+2r@+2r#}=196
a@{1+r@+r$}+2ar\a{1+r+r@}=196
84+2ar\14=196 / ar=4
/ a\ar\ar@={ar}#=4#=64
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08Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
22 답 -2j2
유형 20 부분의 합이 주어진 등비수열의 합
등비수열 9an0의 첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제n항까지의
09 수열의 합
합을 Sn이라고 하면
a{r^-1}
r-1
S6=
=-7
S12=-7-56=-63이므로
S12 =
a{r!@-1}
r-1
yy`㉠
=
a{r^-1}{r^+1}
r-1
=-63 yy`㉡
㉡_㉠을 하면
r^+1=9, r^=8, r@=2 / r=-j2 {? r<0}
/
=
a5+a9
a2+a6 =
ar$+ar*
ar+ar%
ar${1+r$}
ar{1+r$}
=r#={-j2}#=-2j2
23 답 ⑤
유형 22 등비수열의 합과 일반항 사이의 관계
ㄱ. Sn=2N-1에서
! n>2일 때
an =Sn-Sn-1
={2N-1}-{2N_!-1}
=2N_!\{2-1}=2N_! yy`㉠
@ n=1일 때
a1=S1=2!-1=1
yy`㉡
이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로 an=2N_!
ㄴ. a1+a3+a5+a7+a9 =1+2@+2$+2^+2*
1
3
1\9{2@}%-10
2@-1
=
=
ㄷ. 수열 9a2n0: a2, a4, a6, y의 공비는
{2!)-1}=341
a4
a2
2#
2
=
=2@=4
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
24 답 1.025배
유형 23 원리합계
예린이와 서연이가 각각 10년 후, 5년 후 연말에 받는 금액을 S
만 원, T만 원이라고 하면
S =5{1+0.01}+5{1+0.01}@+y+5{1+0.01}!)
=
5{1+0.01}9{1+0.01}!)-10
1.01-1
=
5\1.01\{1.01!)-1}
0.01
=505{1.01!)-1}
T =10{1+0.01}+10{1+0.01}@+y+10{1+0.01}%
=
10{1+0.01}9{1+0.01}%-10
1.01-1
=
10\1.01\{1.01%-1}
0.01
=1010{1.01%-1}
/
=
S
T
505{1.01!)-1}
1010{1.01%-1}
505{1.01%-1}{1.01%+1}
1010{1.01%-1}
1.05+1
2
1.01%+1
2
=
=1.025
=
=
100 정답과 해설
따라서 예린이가 받는 금액은 서연이가 받는 금액의 1.025배이다.
유형01 ①
유형02 ②
유형03 0
유형04 ③
유형05 84
n{n+1}{2n+1}
6
유형11 ④
유형07
유형10 4
유형06 ④
유형08 ③
유형09
15
31
유형12 74
001 ②
002 ③
003 ①
004 1
005 300
006 36
007 ①
008 -105 009 14
010 -400
011 ⑤
012 10
013 ④
014 81
015 450
016 ③
017 10
018 ②
019 245 020 ①
021 882 022 11
023 91
024 ①
025 32
026 ②
027 3164 028 7
029 4
030 ③
031
n{n-1}{n+1}
6
032 ④
033 116 034 75
035 ①
036 17
037
038 31
039 37
10
31
040
40
7
045 2j2+3
049 ②
053 39
041
30
31
050 50
042 -
10
19
046 4j2 047 66
051 제68항
043 2j2 044 15
048 20
052 ②
1 ⑤
6 6
11
10
99
2 ⑤
3 ①
7 -1530 8 91
12 ④
13 9
4 ⑤
9 3
14 3
5 55
10 124
15 ②
{a2k-1+a2k} ={a1+a2}+{a3+a4}+y+{a2n-1+a2n}
핵심 유형 154~156쪽
유형01 답 ①
n
?k=1
=
2n
?k=1
ak
이므로
ak=n@+3n
/
ak=5@+3\5=40
2n
?k=1
10
?k=1
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유형02 답 ②
n
?k=1
n
?k=1
n
?k=1
{ak+bk}@ =
{ak@+2akbk+bk@}
=
{ak@+bk@}+2
akbk
n
?k=1
이므로 100=70+2
akbk
n
?k=1
/
akbk=15
n
?k=1
유형03 답 0
2K+4K
3K
100
?k=1
=
100
?k=1[
2
3 - 1-
100
?k=1[
2
3 ]K+
2
3 ]!)) =
2
3
1-
[
4
3 ]K
4
3 - 1-
+
[
1-
4
3 ]!)) =
4
3
=
=2
-4
- 1-
[
4
3 ]!)) =
[
2
3 ]!)) =
- 1-
2
3 ]!))+4
[
=-2
4
3 ]!))-2
따라서 a=-2, b=4, c=-2이므로
[
a+b+c=0
유형04 답 ③
{3k-2}@-
{3k}@
10
?k=1
{9k@-12k+4}-
9k@
10
?k=1
10
?k=1
=
10
?k=1
=-12
4
10
?k=1
k+
10
?k=1
10\11
2
=-12\
+4\10
=-660+40
=-620
유형05 답 84
m
?k=1
k
]
7
?m=1[
7
?m=1
1
2
=
=
7
?m=1
m{m+1}
2
{m@+m}
=
1
2 [
7\8\15
6
+
7\8
2 ]
=
\168=84
1
2
유형06 답 ④
주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
/
ak =
15
?k=1
an=n\{n+1}=n@+n
15
?k=1
15\16\31
6
{k@+k}
=
+
15\16
2
=1240+120
=1360
유형07 답
n{n+1}{2n+1}
6
수열 1\n, 3\{n-1}, 5\{n-2}, y, {2n-1}\1의 제k항을
ak라고 하면 ak={2k-1}9n-{k-1}0
/
ak
=
n
?k=1
n
?k=1
n
?k=1
[{2k-1}9n-{k-1}0]
=
9-2k@+{2n+3}k-{n+1}0
=-2\
n{n+1}{2n+1}
6
+{2n+3}\
-{n+1}\n
n{n+1}
2
=
n{n+1}{2n+1}
6
유형08 답 ③
수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라고 하면
ak=n@-n
Sn=
n
?k=1
! n>2일 때
=2n-2
@ n=1일 때
an=2n-2
an =Sn-Sn-1=n@-n-9{n-1}@-{n-1}0
yy ㉠
a1=S1=1@-1=0 yy ㉡
이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로 일반항 an은
따라서 a2k-1=2{2k-1}-2=4k-4이므로
5
?k=1
{4k-4}=4\
5\6
2
a2k-1 =
5
?k=1
-4\5=60-20=40
1
2
15
?k=1[
1
2k-1
-
1
2k+1 ]
1
31 ]=
1
29
[
-
=
1
5 ]
-
+y+
유형09 답
15
31
주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
an=
/
1
{2n-1}{2n+1}
15
1
?k=1
{2k-1}{2k+1}
ak =
15
?k=1
1
2 -[
=
1
1
-
1
3 ]
+
[
1
3
=
1
2 [
1-
1
31 ]
=
15
31
유형10 답 4
주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
an=
/
1
j2n-1l+j2n+1l
1
ak =
j2k-1l+j2k+1l
40
?k=1
40
?k=1
j2k-1l-j2k+1l
{j2k-1l+j2k+1l}{j2k-1l-j2k+1l}
j2k+1l-j2k-1l
j2k-1l-j2k+1l
=
2
-2
40
?k=1
=
=
=
40
?k=1
40
?k=1
1
2
=
1
2
{j81k-1}=4
9{j3-j1}+{j5-j3}+{j7-j5}+y+{j81k-j79k}0
09 수열의 합 101
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09 유형11 답 ④
S=1+2\2+3\2@+4\2#+y+10\2(으로 놓고,
S-2S를 하면
S=1+2\2+3\2@+4\2#+y+10\2(
2S=
1\2+2\2@+3\2#+
4\2$+y+10\2!)
-
R
-S =1+2+2@+2#+y+2(-10\2!)
=
2!)-1
2-1
/ S=9\2!)+1
-10\2!)=-9\2!)-1
유형12 답 74
위에서 n번째 줄에는 {2n-1}개의 자연수가 있으므로
첫 번째 줄부터 8번째 줄까지의 자연수의 개수는
8
?k=1
따라서 위에서 9번째 줄의 왼쪽에서 10번째에 있는 수는
{2k-1}=2\
8\9
2
-8=64
64+10=74
{a2k-1+a2k} ={a1+a2}+{a3+a4}+y+{a2n-1+a2n}
핵심 유형 완성하기 157~163쪽
001 답 ②
n
?k=1
=
2n
?k=1
ak
이므로
ak=3n@-n
2n
?k=1
/
ak=3\8@-8=184
002 답 ③
16
?k=1
n
?k=1
10
?k=2
n
?k=1
7
?k=1
10
?k=1
①
5k =5\1+5\2+5\3+y+5\n
=5+10+15+y+5n
②
{2k-1} ={2\2-1}+{2\3-1}+{2\4-1}
=3+5+7+y+19
+y+{2\10-1}
③
2K =2!+2@+2#+y+2N
=2+4+8+…+2N
④
{-1}K ={-1}!+{-1}@+{-1}#+{-1}$
+{-1}%+{-1}^+{-1}&
=-1+1-1+1-1+1-1
⑤
{k+1}@ ={1+1}@+{2+1}@+{3+1}@+y+{10+1}@
=2@+3@+4@+y+11@
=4+9+16+…+121
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
102 정답과 해설
-9 f{1}+f{2}+f{3}+y+f{14}0
-[{1#+1}+{2#+1}+{3#+1}+y+9{n-1}#+10]
003 답 ①
f{k+1}-
14
?k=1
=9 f{2}+f{3}+f{4}+y+f{15}0
f{k-2}
16
?k=3
=f{15}-f{1}=70-4=66
004 답 1
k#-
n-1
?k=1
n
?k=1
={1#+2#+3#+y+n#}
{k#+1}
=n#-{n-1}=n#-n+1
따라서 a=1, b=-1, c=1이므로
a-b-c=1
005 답 300
100
kak=600에서
?k=1
a1+2a2+3a3+y+100a100=600 yy ㉠
99
?k=1
a2+2a3+3a4+y+99a100=300
kak'1=300에서
yy ㉡
㉠-㉡을 하면
a1+a2+a3+y+a100=300
/
ak=300
100
?k=1
006 답 36
20
?k=1
{ak-bk}@ =
{ak@-2akbk+bk@}
=
{ak@+bk@}-2
akbk
20
?k=1
20
?k=1
20
?k=1
20
?k=1
이므로 8=
{ak@+bk@}-2\14
/
{ak@+bk@}=36
20
?k=1
007 답 ①
ak+
15
?k=1
15
?k=1
ak=a,
bk=b라고 하면
{ak+bk}=8에서
15
?k=1
15
?k=1
15
?k=1
15
?k=1
15
?k=1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=5
bk=8 / a+b=8
{ak-bk}=-2에서
15
?k=1
ak-
따라서
ak=3,
bk=5이므로
15
?k=1
15
?k=1
yy ㉠
bk=-2 / a-b=-2 yy ㉡
15
?k=1
{5ak-2bk+3} =5
ak-2
15
?k=1
15
?k=1
=5\3-2\5+3\15=50
15
?k=1
bk+
3
PM수학Ⅰ해설 08-10(083~120)OK.indd 102
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T
T
T
ak=2\15-2\10=10,
bk=
\15@-
\10@=
1
3
125
3
`sin`
+
`sin`p+
`sin`
p+y+
`sin`10p
1
2#
3
2
1
2@)
1
3
15
?k=11
15
?k=11
15
?k=11
{2ak-3bk}=2
ak-3
bk=20-125=-105
008 답 -105
ak=2n,
bk=
n@이므로
n
?k=1
1
3
n
?k=1
15
?k=11
/
15
?k=11
n
?k=1
10
?k=1
10
?k=1
10
?k=1
009 답 14
{3ak+bk}@=n@+2n,
{ak-3bk}@=6n+10이므로
n
?k=1
{3ak+bk}@=10@+2\10=120,
{ak-3bk}@=6\10+10=70
9{3ak+bk}@+{ak-3bk}@0 =
{10ak@+10bk@}
10
?k=1
10
?k=1
=10
{ak@+bk@}=190
/
{ak@+bk@}=19
10
?k=1
10
?k=1[
/
ak@+bk@-
{ak@+bk@}-
1
=
2 ]
10
?k=1
10
?k=1
1
2
=19-
\10=14
1
2
010 답 -400
등차수열 9an0의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a3=a+2d=2
yy ㉠
a8=a+7d=-8 yy ㉡
㉠-㉡을 하면 -5d=10 / d=-2
/
a2k-
a2k-1
200
?k=1
200
?k=1
=
200
?k=1
{a2k-a2k-1}
={a2-a1}+{a4-a3}+{a6-a5}+y+{a400-a399}
=200d=200\{-2}=-400
2-{1+ak}
1+ak
=
n
?k=1[
2
1+ak
-1
]
-
n
?k=1
1=2{n@+2n}-n
n
?k=1
n
?k=1
=2n@+3n
=2
1
1+ak
011 답 ⑤
1-ak
1+ak =
n
?k=1
012 답 10
5K-3K
4K
50
?k=1
=
50
?k=1[
5
4 - [
50
?k=1[
5
4 ]K-
5
4 ]%)-1 =
5
4
-1
=
3
4 ]K
3
4 - [
-
3
4 ]%)-1 =
3
4
-1
=5
=5
+3
5
4 ]%)-1 =
3
4 ]%)-8
- [
5
4 ]%)+3
- [
[
3
4 ]%)-1 =
[
따라서 a=5, b=3, c=-8이므로 a-b-c=10
013 답 ④
kp
2
2_K`sin`
20
?k=1
1
2
=
1
2@
p
2
=
-
+
-y-
1
2
1
2#
1
2!(
1
2%
1
4 ]!) =
1
4 ]
1
2 - 1-
[
-
=
1-
-
[
014 답 81
=
2
5 - 1-
[
1
2 ]@) =
f{10, 3}=
3K+
3K+
3K+y+
3K이므로
1
?k=1
2
?k=1
3
?k=1
10
?k=1
n
?k=1
3K=an이라고 하면
an=3+3@+3#+y+3N=
3{3N-1}
3-1
=
3N"!-3
2
/ f{10, 3} =a1+a2+a3+y+a10=
ak
10
?k=1
3K"!-3
2
=
=
10
?k=1
1
2 -
9{3!)-1}
3-1
-30 =
=
3!@-69
4
5
9
5
9
5
9
따라서 a=12, b=69이므로 a+b=81
015 답 450
10
?k=1
ak =5+55+555+y+555y5
=
{9+99+999+y+999y9}
10개
10개
=
10
?k=1
{10K-1}
=
5
9 -
10{10!)-1}
10-1
-1\10 =
=
50\10!)-500
81
따라서 a=50, b=500이므로 b-a=450
016 답 ③
{k+1}@-
{k@-1}
20
?k=1
20
?k=1
=
20
?k=1
20
?k=1
{k@+2k+1}-
{k@-1}
=2
k+
2=2\
+2\20
20
?k=1
=420+40=460
20
?k=1
20\21
2
017 답 10
n
?k=1
6-2
n
?k=1
n
?k=1
=-n@+5n
{6-2k} =
k=6n-2\
n{n+1}
2
즉, -n@+5n=-50이므로 n@-5n-50=0
{n+5}{n-10}=0 / n=-5 또는 n=10
이때 n은 자연수이므로 n=10
=
9{10-1}+{10@-1}+{10#-1}+y+{10!)-1}0
09 수열의 합 103
PM수학Ⅰ해설 08-10(083~120)OK.indd 103
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09 018 답 ②
20
?k=1
1+2+3+y+k
k+1
=
k{k+1}
2
k+1
k
k
2
=
1
2
20
?k=1
20\21
2
20
?k=1
20
?k=1
1
2
=
=
\
=105
019 답 245
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2, ab=-3
/ {a-1}{b-1}+{a-2}{b-2}+…+{a-10}{b-10}
=
{a-k}{b-k}=
9ab-{a+b}k+k@0
10
?k=1
10
?k=1
10
?k=1
10\11\21
6
=
=
{k@-2k-3}
=385-110-30=245
-2\
10\11
2
-3\10
020 답 ①
7
?k=1
{c-k}@ =
{k@-2ck+c@}
7
?k=1
7
?k=1
7\8\15
6
k@-2c
=
=
7
?k=1
k+c@
1
7
?k=1
7\8
2
-2c\
+7c@
=7c@-56c+140
=7{c-4}@+28
따라서 c=4일 때 최솟값은 28이므로
a=4, m=28 / a+m=32
021 답 882
직선 y=x+an이 원의 중심 {n, 2n@+n}을 지나야 하므로
2n@+n=n+an
/ an=2n@
6
?k=1
/
kak =
6
?k=1
2k#=2\
6\7
2 ]@=882
[
022 답 11
S@ ={1@+2@+3@+y+10@}+{2@+3@+4@+y+10@}
+{3@+4@+5@+y+10@}+y+{9@+10@}+10@
=1@\1+2@\2+3@\3+y+9@\9+10@\10
=1#+2#+3#+y+10#
k@=
=
10
?k=1
10\11
2
]@=55@
[
그런데 S>0이므로 S=55
/
=11
S
5
104 정답과 해설
023 답 91
13
l
?k=1
?l=1-
{2k-l}
= =
024 답 ①
m
n
?l=1[
?m=1-
l
?k=1
1
]= =
2
l
?k=1
13
?l=1[
13
=
?l=1- 2\
k-l
l
?k=1
l{l+1}
2
1
]
-l@ =
l=
13\14
2
=
13
?l=1
=91
n
?m=1[
n
?m=1
n
1
?m=1
2
l
]
m
?l=1
m{m+1}
2
{m@+m}
n{n+1}{2n+1}
6
n{n+1}{n+2}
3
1
2 -
1
2 -
n{n+1}{n+2}
6
=
=
=
=
=
=
즉,
n{n+1}{n+2}
6
=56이므로
n{n+1}{n+2}=6\7\8
/ n=6
025 답 32
n
m
?l=1
?k=1-
{k+l}
= =
+
n{n+1}
2
=
n
?l=1
1+
n
?l=1
l
]
n{n+1}
2
=
=
kn+
k
m
?k=1[
m
?k=1-
m
?k=1
=n
=n\
=
mn
2
=
{6+2}
8
2
=32
k+
n{n+1}
2
m{m+1}
2
+
1
m
?k=1
n{n+1}
2
\m
{m+n+2}
026 답 ②
n
?k=1
10
?n=1{
10
9{-1}N_!\{2k-1}0 }
=
?n=1- {-1}N_!\
=
{-1}N_!\
n
?k=1
{2k-1} =
n{n+1}
2
- 2\
-n =}
=
9{-1}N_!\n@0
=1@-2@+3@-4@+y+9@-10@
10
?n=1{
10
?n=1
={1-2}{1+2}+{3-4}{3+4}+…+{9-10}{9+10}
=-{1+2+3+4+…+9+10}
=-
10\11
2
=-55
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027 답 3164
주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
an={2n-1}\{2n}@=8n#-4n@
/
ak =
{8k#-4k@}
6
?k=1
6
?k=1
=8\
6\7
2 ]@-4\
=3528-364=3164
[
6\7\13
6
028 답 7
주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
an={2n-1}@-{2n}@=-4n+1
/
ak =
{-4k+1}
m
?k=1
m
?k=1
=-4\
m{m+1}
2
+1\m
=-2m@-m
즉, -2m@-m=-105이므로
2m@+m-105=0, {2m+15}{m-7}=0
이때 m은 자연수이므로 m=7
029 답 4
주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
an={3n-1}@=9n@-6n+1
/ Sn =
ak
n
?k=1
n
?k=1
=
{9k@-6k+1}
=9\
n{n+1}{2n+1}
6
-6\
n{n+1}
2
+n
=
n{6n@+3n-1}
2
따라서 a=3, b=-1이므로 a-b=4
030 답 ③
주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
an=1+2+3+y+n=
k=
n
?k=1
n{n+1}
2
/
ak =
10
?k=1
k{k+1}
2
=
{k@+k}
10
?k=1
1
2
10
?k=1
=
1
2 [
10\11\21
6
+
10\11
2
]
=
\440=220
1
2
031 답
n{n-1}{n+1}
6
주어진 수열의 제k항을 ak라고 하면
ak=k{n-k}=nk-k@
n-1
/
ak =
n-1
?k=1
n-1
n-1
=n\
k@
{nk-k@}=n
k-
?k=1
{n-1}n
2
?k=1
?k=1
{n-1}n{2n-1}
6
n{n-1}93n-{2n-1}0
6
-
=
=
n{n-1}{n+1}
6
+1
[
n
?k=1
/
032 답 ④
주어진 수열의 제k항을 ak라고 하면
2k
k
n
n
]@=
ak=
+1
+
[
+
]
+1
ak =
k@
n@
2k
n
k+n
n ]@=
n
k@
?k=1[
n@
n
1
?k=1
n@
1
n@
{2n+1}{7n+1}
6n
n
n
?k=1
?k=1
n{n+1}{2n+1}
6
k@+
k+
2
n
=
=
=
\
1
+
\
2
n
n{n+1}
2
+n
033 답 116
수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라고 하면
ak=n@+2n
Sn=
n
?k=1
! n>2일 때
an =Sn-Sn-1
=n@+2n-9{n-1}@+2{n-1}0
yy ㉠
=2n+1
@ n=1일 때
a1=S1=1@+2\1=3 yy ㉡
이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로 일반항 an은
an=2n+1
따라서 {2k-1}ak={2k-1}{2k+1}=4k@-1이므로
4
?k=1
{2k-1}ak =
{4k@-1}
4
?k=1
=4\
4\5\9
6
-1\4
=120-4=116
034 답 75
수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라고 하면
ak=2n@+1
Sn=
n
?k=1
! n>2일 때
an =Sn-Sn-1
=2n@+1-92{n-1}@+10
yy ㉠
=4n-2
@ n=1일 때
a1=S1=2\1@+1=3 yy ㉡
a1=3, an=4n-2{n>2}
/ a20-a1={4\20-2}-3=75
이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같지 않으므로 일반항 an은
09 수열의 합 105
PM수학Ⅰ해설 08-10(083~120)OK.indd 105
2018-04-25 오후 12:07:31
09 다른 풀이 a1=S1=2\1@+1=3
a20=S20-S19={2\20@+1}-{2\19@+1}=78
/ a20-a1=78-3=75
035 답 ①
수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라고 하면
이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로 일반항 an은
2n
n+1
ak=
Sn=
n
?k=1
! n>2일 때
an =Sn-Sn-1
2n
n+1
=
-
2{n-1}
n
=
2
n{n+1}
@ n=1일 때
a1=S1=
2\1
1+1
yy ㉠
=1 yy ㉡
an=
따라서
5
?k=1
1
ak =
=
2
n{n+1}
1
ak
5
?k=1
1
2
5
?k=1
=
k{k+1}
2
k{k+1}
2
{k@+k}
이므로
=
1
2 [
5\6\11
6
+
5\6
2 ]
=
\70=35
1
2
ak=3N-1
Sn=
n
?k=1
! n>2일 때
an =Sn-Sn-1
=3N-1-{3N_!-1}
=3N_!{3-1}
=2\3N_!
@ n=1일 때
yy ㉠
a1=S1=3!-1=2 yy ㉡
an=2\3N_!
따라서 a2k=2\3@K_!=
\9K이므로
2
3
6
?k=1
a2k =
]
\9K
2
3
9\{9^-1}
9-1
6
?k=1[
2
3
3{3!@-1}
4
\
=
=
=
3!#-3
4
따라서 p=4, q=13이므로 p+q=17
106 정답과 해설
036 답 17
수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라고 하면
이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로 일반항 an은
037 답
10
31
주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
an=
/
ak =
1
{3n-2}{3n+1}
10
1
?k=1
{3k-2}{3k+1}
10
1
3k+1 ]
?k=1[
1
1
1
7 ]
4
1
10
?k=1
1
3
1
3k-2
1
3 -[
1
4 ]
=
=
-
+
-
-
[
=
1
3 [
1-
1
31 ]
=
10
31
+y+
1
28
[
-
1
31 ]=
038 답 31
an =log 2`
1+
=log 2`
1
n ]
n+1
n
[
m
?k=1
/
m
?k=1
ak =
`log 2`
k+1
k
3
2
=log 2`{m+1}
즉, log 2`{m+1}=5이므로
m+1=2%=32
/ m=31
=log 2`
+log 2`
+log 2`
+y+log 2`
4
3
m+1
m
=log 2`
\
\
\y\
3
2
4
3
m+1
m ]
2
1
2
1
[
039 답 37
주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
1
4n{n+1}
1
4n@+4n
an=
=
=
/
1
{2n+1}@-1
11
11
?k=1
?k=1
1
4
ak =
=
1
4k{k+1}
11
1
1
k+1 ]
?k=1[
k
1
1
2
1
1
2 ]
-
-
+
[
=
1
4 -[
=
1
12 ]
따라서 p=48, q=11이므로 p-q=37
1
4 [
11
48
1-
=
-
+y+
1
3 ]
1
11
[
-
1
12]=
040 답
40
7
an =
1@+2@+3@+y+n@
2n+1
=
따라서
20
?k=1
1
ak =
=
1
an
20
?k=1
20
?k=1[
1
1
-[
=6
=6
-
6
n{n+1}
이므로
6
k{k+1}
1
k
-
1
k+1 ]
1
2
+
[
1
2 ]
=6
1-
[
1
21 ]
=
40
7
n{n+1}{2n+1}
6
2n+1
=
n{n+1}
6
-
+y+
1
3 ]
1
20
[
-
1
21 ]=
PM수학Ⅰ해설 08-10(083~120)OK.indd 106
2018-04-25 오후 12:07:32
041 답
30
31
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
an+bn=-2, anbn=-{4n@-1}
+
이때
1
an
이므로
15
1
?n=1[
an
1
bn
=
an+bn
anbn =
-2
-{4n@-1}
=
2
{2n-1}{2n+1}
+
1
bn ] =
2
{2n-1}{2n+1}
15
?n=1
15
?n=1[
1
1
[
=
=
=1-
1
31
=
30
31
1
2n-1
-
-
1
3 ]
+
[
1
3
1
2n+1 ]
1
5 ]
-
+y+
1
29
[
-
1
31 ]
수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라고 하면
042 답 -
10
19
ak=n@-2n
Sn=
n
?k=1
! n>2일 때
an =Sn-Sn-1
=n@-2n-9{n-1}@-2{n-1}0
yy ㉠
=2n-3
@ n=1일 때
a1=S1=1@-2\1=-1 yy ㉡
이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로
an=2n-3
따라서
10
?k=1
1
ak ak'1 =
1
ak ak'1
10
?k=1
1
2
=
=
1
{2k-3}{2k-1}
이므로
1
{2k-3}{2k-1}
10
1
?k=1[
1
-1
1
2k-3
1
1 ]
1
1
+
-
-
[
-1-
1
19 ] =-
10
19
=
1
2 -[
=
1
2 [
2k-1 ]
043 답 2j2
주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
1
jn+1l+jn+2l
ak =
an=
/
16
?k=1
1
jk+1l+jk+2l
16
?k=1
16
?k=1
16
?k=1
16
?k=1
=
=
=
jk+1l-jk+2l
{jk+1l+jk+2l}{jk+1l-jk+2l}
jk+1l-jk+2l
-1
{jk+2l-jk+1l}
-
+y+
1
3 ]
1
17
[
-
1
19 ]=
={j3-j2}+{j4-j3}+{j5-j4}+y+{j18k-j17k}
=-j2+j18k=-j2+3j2=2j2
044 답 15
m
?k=1
ak =
=
m
?k=1
m
?k=1
m
?k=1
1
jk+jk+1l
jk-jk+1l
{jk+jk+1l}{jk-jk+1l}
jk-jk+1l
=
-1
m
?k=1
=
{jk+1l-jk k}
={j2-j1}+{j3-j2}+{j4-j3}+y+{jm+1l-jmk}
=jm+1l-1
즉, jm+1l-1=3이므로 jm+1l=4, m+1=16
/ m=15
48
?k=1
48
?k=1
48
?k=1
=
=
=
=
1
2
1
2
1
2
=
=
=
045 답 2j2+3
Pk{k, jk+2l}, Qk{k, -jk}에서
PkQk
=jk+2l+jk이므로
48
1
?k=1
PkQk
1
jk+2l+jk
=
jk+2l-jk
{jk+2l+jk}{jk+2l-jk}
jk+2l-jk
2
=
9{j3-j1}+{j4-j2}+{j5-j3}
+y+{j49k-j47k}+{j50k-j48k}0
{-1-j2+j49k+j50k}
{-1-j2+7+5j2}=2j2+3
046 답 4j2
등차수열 9an0의 일반항 an은
an=2+{n-1}\2=2n이므로
2
jakk+jak'1l
2
j2kk+j2k+2l
2{j2kk-j2k+2l}
{j2kk+j2k+2l}{j2kk-j2k+2l}
2{j2kk-j2k+2l}
=j2k+2l-j2kk
-2
/ S24 =
24
?k=1
2
jakk+jak'1l
=
24
?k=1
{j2k+2l-j2kk}
={j4-j2}+{j6-j4}+{j8-j6}+y+{j50k-j48k}
=-j2+j50k=5j2-j2=4j2
047 답 66
1-2\3+3\3@-4\3#+y-16\3!%=S로 놓고
S-{-3S}를 하면
S=1-2\3+3\3@-4\3#+y-16\3!%
-3S= -
1\3+2\3@-3\3#+y
-15\3!%+16\3!^
-
R
4S =1-3+3@-3#+y+3!$-3!%-16\3!^
=
1-{-3}!^
1-{-3}
-16\3!^=
1-65\3!^
4
/ S=
1-65\3!^
16
따라서 a=1, b=65이므로 a+b=66
09 수열의 합 107
PM수학Ⅰ해설 08-10(083~120)OK.indd 107
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09Z
Z
T
T
T
10
?k=1
048 답 20
1
2k-1
2
2K
1
2
S-
=
S를 하면
+
+
+y+
=S로 놓고
3
2@
5
2#
19
2!)
1
2
1
2
1
2
3
2
-
S=
+
+
+y+
+
S=
+
+
+y+
+
3
2@
1
2@
1
+
2
5
2#
3
2#
1
2@
7
2$
5
2$
1
2#
1
2
]
1
2
S =
+
+
+y+
-
19
2!)
17
2!)
1
2(
19
2!!
19
2!!
1
2 ]( =
[
1
2
1
2 - 1-
1-
1
2 ]!!
[
=
+
=
-23
-
19
2!!
1
2 ]!)
/ S=3-23
[
따라서 a=3, b=-23이므로
|a+b|=|-20|=20
052 답 ②
주어진 표의 첫 번째 줄의 수는 왼쪽에서부터 차례대로 1@, 2@, 3@,
4@, …이므로 첫 번째 줄의 왼쪽에서 9번째 칸에 있는 수는 9@이다.
이때 첫 번째 줄의 9번째 칸에 있는 수부터 9번째 줄의 9번째 칸
에 있는 수까지 1씩 작아지므로 8번째 줄의 왼쪽에서 9번째 칸에
있는 수는 9@-7=74
053 답 39
위에서 n번째 줄에 있는 순서쌍의 두 수의 합은 n+1이고,
위에서 n번째 줄의 왼쪽에서 k번째의 순서쌍은 {k, n+1-k}이다.
이때 순서쌍 {8, 24}에서 8+24=32=31+1이므로 순서쌍
{8, 24}는 위에서 31번째 줄의 왼쪽에서 8번째에 있다.
따라서 p=31, q=8이므로 p+q=39
049 답 ②
f{2}=1+4\2+7\2@+10\2#+y+31\2!)이므로
f{2}-2f{2}를 하면
f{2}=1+4\2+7\2@+10\2#+y+31\2!)
-
2f{2}= 1\2+4\2@
+`7`\2#+y
+28\2!)+31\2!!
R
-f{2} =1+3\2+3\2@+`3`\2#+y+`3`\2!)-31\2!!
=1+3\
-31\2!!
2{2!)-1}
2-1
=-28\2!!-5
/ f{2}=28\2!!+5
핵심 유형 최종 점검하기
164~165쪽
1 답 ⑤
유형 01 합의 기호 ?의 뜻
n
?k=1
={a1+a2+a3}+{a4+a5+a6}+y+{a3n-2+a3n-1+a3n}
{a3k-2+a3k-1+a3k}
=
3n
?k=1
ak
이므로
ak=3n@-2n
3n
?k=1
/
ak=3\10@-2\10=280
30
?k=1
n
?k=1
n
?k=1
2 답 ⑤
유형 01 합의 기호 ?의 뜻
/
k=
n
?k=1
n
?k=0
k
/
2K=
n
?k=1
n
?k=0
2K
=
10
?k=1
ak
ㄱ.
k=1+2+3+y+n,
k=0+1+2+3+y+n
ㄴ.
2K=2!+2@+2#+y+2N,
2K=1+2!+2@+2#+y+2N
n
?k=0
n
?k=0
ㄷ.
ak+
5
?k=1
5
?k=1
={a1+a2+a3+a4+a5}+{a6+a7+a8+a9+a10}
ak'5
050 답 50
위에서 n번째 줄에는 n개의 자연수가 있으므로
첫 번째 줄부터 9번째 줄까지의 자연수의 개수는
9
?k=1
따라서 위에서 10번째 줄의 왼쪽에서 5번째에 있는 수는
9\10
2
=45
k=
45+5=50
051 답 제68항
주어진 수열을
108 정답과 해설
,
1
3
1
1
2 ], [
[
5
와 같이 분모가 같은 항끼리 묶으면 n번째 묶음의 항의 개수는 n
4
5 ], y
2
3 ], [
3
4 ], [
2
5
1
4
3
5
2
4
,
,
,
,
,
이므로 첫 번째 묶음부터 11번째 묶음까지의 항의 개수는
11
?k=1
11\12
2
=66
k=
따라서 66+2=68이므로
는 제68항이다.
2
13
ㄹ.
{2i-1}@+
20
?i=1
={1@+3@+5@+y+39@}+{2@+4@+6@+y+40@}
{2j}@
20
?j=1
=1@+2@+3@+y+40@
=
40
?k=1
k@
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
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T
T
T
다항식 P{x}=x@N-3xN+2를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는
an=-1+{n-1}\{-2}=-2n+1
3 답 ①
유형 02 합의 기호 ?의 성질
10
?k=1
{2ak-1}=2
10
?k=1
에서
ak=10
10
?k=1
ak-
1=2
ak-1\10=10
10
?k=1
10
?k=1
10
?k=1
{ak+1}{ak-1} =
{ak@-1}=
ak@-
10
?k=1
10
?k=1
1
10
?k=1
10
?k=1
=40
=
ak@-1\10
에서
ak@=50
10
?k=1
10
?k=1
/
{2ak-1}@ =
{4ak@-4ak+1}
10
?k=1
10
?k=1
=170
=4
ak@-4
10
?k=1
=4\50-4\10+10
10
?k=1
ak+
1
4 답 ⑤
유형 03
n
?k=1
rK 꼴의 계산
P{3}이므로
an =3@N-3\3N+2
=3@N-3N"!+2
=3N{9-3}+2
=6\3N+2
/
{ak-2}
n
?k=1
=
{6\3K}
n
?k=1
n
?k=1
=6
3K
=6\
3{3N-1}
3-1
=9{3N-1}
+y+{log 3`a19+log 3`a20}
5 답 55
유형 04 자연수의 거듭제곱의 합
20
?k=1
={log 3`a1+log 3`a2}+{log 3`a3+log 3`a4}
`log 3`ak
10
?k=1
10
?k=1
10
?k=1
10
?k=1
10
?k=1
=
=
=
{log 3`a2k-1+log 3`a2k}
=
`log 3`{a2k-1 a2k}
=
`log 3`
1
2 ]K\6K =
- [
`log 3`3K
`k=
10\11
2
=55
k{k+1}{2k+1}
6
+
k{k+1}
2
=
6 답 6
유형 05 ?를 여러 개 포함한 식의 계산
k
{m+n} =
?n=1-
k
?n=1[
k
?n=1-
k
1
?n=1
2
n
?m=1
n
?m=1
n{n+1}
2
{3n@+n}
+n@ =
n
?m=1
m+n
]
=
=
=
1
=
=
1
2 - 3\
k{k+1}@
2
즉,
k{k+1}@
2
k{k+1}@=6\7
/ k=6
=147이므로
7 답 -1530
유형 06 ?를 이용한 여러 가지 수열의 합
등차수열 9an0의 일반항 an은
등차수열 9bn0의 일반항 bn은
bn=3+{n-1}\2=2n+1
/
ak bk
10
?k=1
10
?k=1
10
?k=1
=
{-2k+1}{2k+1}
=
{-4k@+1}
=-4\
10\11\21
6
+1\10
=-1540+10
=-1530
8 답 91
유형 06 ?를 이용한 여러 가지 수열의 합
주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
an =1+3+5+y+{2n-1}
=
n
?k=1
{2k-1}
=2\
n{n+1}
2
-n
=n@
6
?k=1
/
ak=
k@=
6
?k=1
6\7\13
6
=91
9 답 3
유형 07 제k항에 n이 포함된 수열의 합
주어진 수열의 제k항을 ak라고 하면
ak =2k92n-{2k-1}0
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2018-04-25 오후 12:07:33
09 수열의 합 109
09 a2k=2\2k-12=4k-12이고, a2k>0을 만족하는 k의 값의 범위는
3m+9=36 / m=9
/
ak =
2k92n-{2k-1}0
n
?k=1
n
?k=1
n
?k=1
=
9{4n+2}k-4k@0
={4n+2}
={4n+2}\
k@
n
?k=1
k-4
n
?k=1
n{n+1}
2
=
n{n+1}{2n+1}
3
따라서 a=1, b=1, c=1이므로 a+b+c=3
10 답 124
유형 08 ?로 표현된 수열의 합과 일반항 사이의 관계
수열 9an0의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라고 하면
an =
1
1+2+3+y+n
=
1
n{n+1}
2
=
2
n{n+1}
/
ak =
2018
?k=1
2
k{k+1}
=2
2018
?k=1
2018
?k=1[
1
1
-[
=2
-
1
k
-
1
k+1 ]
1
2
+
[
1
2 ]
=2
1-
[
1
2019 ]
=
4036
2019
13 답 9
유형 10 분모에 근호가 포함된 수열의 합
m
?k=1
1
j3k+9l+j3k+6l
1
f{k}
m
?k=1
=
-4\
n{n+1}{2n+1}
6
-
+y+
1
3 ]
1
2018
[
-
1
2019 ]=
m
?k=1
m
?k=1
j3k+9l-j3k+6l
{j3k+9l+j3k+6l}{j3k+9l-j3k+6l}
j3k+9l-j3k+6l
3
9{j12k-j9}+{j15k-j12k}+{j18k-j15k}
=
=
=
=
1
3
1
3
+y+{j3m+9l-j3m+6l}0
{j3m+9l-3}
즉,
{j3m+9l-3}=1이므로 j3m+9l-3=3, j3m+9l=6
1
3
14 답 3
유형 11 (등차수열)\(등비수열) 꼴의 수열의 합
S10=1+
+
+
+y+
이므로
2
2
3
2@
4
2#
10
2(
S10-
S10을 하면
1
2
S10=1+
+
+
+y+
S10=
+
+
+y+
+
2
2
1
2
1
2
3
2@
2
2@
1
2@
4
2#
3
2#
1
2#
10
2(
9
2(
1
2(
10
2!)
10
2!)
S10 =1+
+
+
+y+
-
-
]
1
2
1
2
[
-
-
=
=2
1-
1-
10
2!)
1
2 ]!)
1
2
12
2!)
1
2 ]&
따라서 a=4, b=7이므로 b-a=3
/ S10=4-3
1
2 ]*
=2-3
=2-
[
[
1-
1
2 ]!) =
[
-
10
2!)
ak=n@-11n
Sn=
n
?k=1
! n>2일 때
an =Sn-Sn-1
=n@-11n-9{n-1}@-11{n-1}0
yy ㉠
=2n-12
@ n=1일 때
a1=S1=1@-11=-10 yy ㉡
이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로
an=2n-12
4k-12>0 / k>3
/
|a2k| =-
a2k+
a2k
10
?k=1
10
?k=3
10
?k=1
2
?k=1
2
?k=1
2
?k=1
10
?k=1
10
?k=1
=-
a2k+
a2k-
a2k
2
?k=1
=
a2k-2
a2k
=
{4k-12}-2
{4k-12}
2
?k=1
11 답
10
99
유형 09 분수 꼴인 수열의 합
등차수열 9an0의 일반항 an은
an=3+{n-1}\3=3n이므로
10
?k=1
1
ak ak'1 =
10
?k=1
1
9
1
3k{3k+3}
10
1
k+1 ]
?k=1[
1
1
2
1
1
2 ]
1
k
-
-
+
[
1
9 -[
=
=
=
1
9 [
1-
1
11 ]
=
10
99
12 답 ④
유형 09 분수 꼴인 수열의 합
주어진 수열의 일반항을 an이라고 하면
110 정답과 해설
=4\
10\11
2
-12\10-2
4\
[
2\3
2
-12\2
]
=220-120+24=124
-
+y+
1
3 ]
1
10
[
-
1
11 ]=
15 답 ②
유형 12 여러 가지 수열의 응용
주어진 표의 대각선의 수는 차례대로 1@, 3@, 5@, y이므로 위에서
n번째 줄의 왼쪽에서 n번째 칸에 있는 수는 {2n-1}@이다.
이때 225=15@에서 2\8-1=15이므로 225는 위에서 8번째 줄의
왼쪽에서 8번째 칸에 있다.
따라서 a=8, b=8이므로 a+b=16
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Y
10 수학적 귀납법
다른 풀이 an'1=an -4의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대입
하면
a2=a1-4=200-4
a3=a2-4=200-4\2
a4=a3-4=200-4\3
유형01 48
유형02 16
유형03 ③
`⋮
유형04 496 유형05 0
유형06 ④
유형07 136
an=an-1-4=200-4\{n-1}
유형08 ⑤
유형09 풀이 참고
/ an=-4n+204
유형10 풀이 참고
유형11 풀이 참고
001 79
002 26
003 14
005 363
an=2an'1, 즉 an'1=
an에서 수열 9an0은 공비가
인 등비수열
1
2
1
2
004
4
17
009 5
006 ④
007 3069 008 ①
010 165
이다.
012 ⑤
013 ②
014 165 015 -48
011 41
1
11
016
017 ⑤
018 59
019 3
020 4
021 48
022 -
023 -62 024 10
1
24
025 7048마리
026 an'1=
an+8{n=1, 2, 3, y}
1
2
028 30
029 56
030 ④
031 ⑤
033 ③
034 ③
035 ㈎ 9 ㈏ 8 ㈐ 9m+1
036 ㈎ 5K_! ㈏ 2m
027
11
6
032 ㄱ, ㄴ, ㄷ
037 ⑤
038 ④
1 44
2 제8항
3 11
4 12
6 6
7 16
8 81`km 9 ⑤
5 ④
3
2
10
11 17
12 ㈎
2k+1
k+1
㈏ k
다른 풀이 an=2an'1, 즉 an'1=
an의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차
1
2
이때 ak=12에서 -4k+204=12
4k=192 / k=48
유형02 답 16
이때 a2=
a1에서 a1=8이므로
1
2
an=8\
[
[
1
2 ]N_!=
1
2 ]!^=
1
2 ]N_$
1
2!^
[
따라서 a20=
이므로 k=16
례대로 대입하면
a2=
a1=4
a3=
a2=
\4
1
2
a4=
a3=
1
2 ]@\4
[
⋮
an=
an-1=
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 ]N_$
[
[
1
2 ]N_@\4=
1
1
2 ]!^=
2!^
[
따라서 a20=
이므로 k=16
변끼리 모두 더하면
a2=a1+2\1-1
a3=a2+2\2-1
a4=a3+2\3-1
⋮
+
R
an=an-1+2\
{n-1}-1
an =a1+
{2k-1}
n-1
?k=1
=a1+2\
-{n-1}
{n-1}n
2
유형03 답 ③
an'1=an+2n-1의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대입하여
핵심 유형 168~170쪽
유형01 답 48
an'1=an-4, 즉 an'1-an=-4에서 수열 9an0은 공차가 -4인 등
차수열이다.
이때 첫째항이 a1=200이므로
an =200+{n-1}\{-4}
=-4n+204
ak=12에서 -4k+204=12
4k=192 / k=48
=a1+{n-1}@
이때 a9=65에서 a1+{9-1}@=65 / a1=1
따라서 an=1+{n-1}@=n@-2n+2이므로
a5=5@-2\5+2=17
`
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10T
T
유형05 답 0
an'1+an=n, 즉 an'1=n-an의 n에 1, 2, 3, 4, 5를 차례대로 대
@ n=k일 때
an의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대입하여 변
유형04 답 496
n+3
n+1
an'1=
끼리 모두 곱하면
4
2
a2=
a1
a3=
a2
a4=
a3
5
3
6
4
⋮
\
an=
]
n+2
n
an-1`
an =
{n+1}{n+2}
6
{n+1}{n+2}
2
=
a1
/ a30=
31\32
2
=496
입하면
a2=1-a1=1-3=-2
a3=2-a2=2-{-2}=4
a4=3-a3=3-4=-1
a5=4-a4=4-{-1}=5
/ a6=5-a5=5-5=0
유형06 답 ④
Sn=3an-4의 n에 n+1을 대입하면
Sn'1=3an'1-4
an'1=3an'1-4-{3an-4}
2an'1=3an / an'1=
an
3
2
an=2\
[
/ a20=2\
3
2 ]N_!
3
2 ]!(=
[
3!(
2!*
유형07 답 136
1시간 후에 살아 있는 미생물의 수 a1은
a1={12-4}\2=16
같은 방법으로 a2, a3, a4, a5를 구하면
a2={a1-4}\2={16-4}\2=24
a3={a2-4}\2={24-4}\2=40
a4={a3-4}\2={40-4}\2=72
a5={a4-4}\2={72-4}\2=136
112 정답과 해설
유형08 답 ⑤
p{1}이 참이면 p{3}, p{5}도 참이다.
p{3}이 참이면 p{3\3}=p{9}, p{5\3}=p{15}도 참이다.
p{5}가 참이면 p{5\5}=p{25}도 참이다.
따라서 p{1}이 참이면 자연수 a, b에 대하여 p{3A\5B}이 참이다.
`⋮
① p{30}=p{2\3\5}
② p{60}=p{2@\3\5}
③ p{105}=p{3\5\7}
④ p{120}=p{2#\3\5}
⑤ p{225}=p{3@\5@}
따라서 반드시 참인 것은 ⑤이다.
유형09 답 풀이 참고
1+3+5+y+{2n-1}=n@
! n=1일 때
(좌변)=2\1-1=1, (우변)=1@=1
이므로 주어진 등식이 성립한다.
주어진 등식이 성립한다고 가정하면
1+3+5+y+{2k-1}=k@
위의 식의 양변에 {2k+1}을 더하면
1+3+5+y+{2k-1}+{2k+1}
=k@+{2k+1}
={k+1}@
따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.
!, @에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.
유형10 답 풀이 참고
! n=1일 때
@ n=k일 때
42k+1+3k+2=13m{m은 자연수}이라고 가정하면
42{k+1}+1+3{k+1}+2
=16\42k+1+3\3k+2
=16\42k+1+16\3k+2-13\3k+2
=16{42k+1+3k+2}-13\3k+2
=16\13m-13\3k+2
=13\{16m-3K"@}
따라서 n=k+1일 때도 13의 배수이다.
!, @에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 42n+1+3n+2은 13의 배
수이다.
유형11 답 풀이 참고
2n+1>n{n-1}
! n=3일 때
(좌변)=2$=16, (우변)=3\2=6
이므로 주어진 부등식이 성립한다.
이때 an'1=Sn'1-Sn{n=1, 2, 3, y}이므로
42+1+31+2=4#+3#=91=13\7이므로 13의 배수이다.
3
따라서 수열 9an0은 첫째항이 a1=2, 공비가
2
인 등비수열이므로
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@ n=k{k>3}일 때
주어진 부등식이 성립한다고 가정하면
2k+1>k{k-1}
위의 식의 양변에 2를 곱하면
2k+2>2k{k-1}=k@+k{k-2}
이때 k@+k{k-2}>k@+k이므로
2k+2>k@+k
an'2-2an'1+an=0, 즉 2an'1=an+an'2에서 수열 9an0은 등차수
열이고 a1=2, a2-a1=4-2=2이므로 첫째항이 2, 공차가 2이다.
004 답
4
17
/ an=2+{n-1}\2=2n
/
16
?k=1
1
ak ak'1
따라서 n=k+1일 때도 주어진 부등식이 성립한다.
!, @에 의하여 n>3인 모든 자연수 n에 대하여 주어진 부등식
이 성립한다.
=
=
=
=
16
?k=1
16
?k=1
1
4
1
2k{2k+2}
1
4k{k+1}
16
1
1
k+1 ]
?k=1[
k
1
1
2
1
1
2 ]
+
-
-
[
1
4 -[
=
1
4 [
1-
1
17 ]
=
4
17
-
1
3 ]
+
[
1
3
-
1
4 ]
+y+
1
16
[
-
1
17 ]=
핵심 유형 완성하기 171~17 7쪽
001 답 79
an'1-an=3에서 수열 9an0은 공차가 3인 등차수열이다.
이때 첫째항이 a1=-2이므로
an=-2+{n-1}\3=3n-5
ak=232에서 3k-5=232
3k=237 / k=79
005 답 363
an'1
an
이때 첫째항이 a1=3이므로
an=3\3N_!=3N
/
ak =
5
?k=1
3K
5
?k=1
3{3%-1}
3-1
=
=363
=3, 즉 an'1=3an에서 수열 9an0은 공비가 3인 등비수열이다.
002 답 26
an'2-an'1=an'1-an, 즉 2an'1=an+an'2에서 수열 9an0은 등차
수열이므로 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
a6=a+5d=8
yy ㉠
a12=a+11d=17 yy ㉡
1
2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=
, d=
3
2
따라서 an=
+{n-1}\
=
n-1이므로
1
2
3
2
3
2
a18=
\18-1=26
3
2
3r#=81, r#=27
/ r=3
a20
a10
/
=r!)=3!)
007 답 3069
006 답 ④
an'1=jan an'2l, 즉 an'1@=an an'2에서 수열 9an0은 등비수열이므로
공비를 r라고 하면
a4
a1
=81에서
a5
a2
a6
a3
+
+
003 답 14
2an'1=an+an'2에서 수열 9an0은 등차수열이므로 첫째항을 a,
an'1
an , 즉 an'1@=an an'2에서 수열 9an0은 등비수열이므로
=
an'2
an'1
첫째항을 a, 공비를 r라고 하면
공차를 d라고 하면
a5=a+4d=29 yy ㉠
a9=a+8d=17 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=41, d=-3
/ an=41+{n-1}\{-3}=-3n+44
-3n+44<0에서 n>
=14.6y
44
3
대이다.
/ n=14
따라서 제15항부터 음수이므로 첫째항부터 제14항까지의 합이 최
=45
S4=
S8 =
a{r$-1}
r-1
a{r*-1}
r-1
yy ㉠
=
a{r$-1}{r$+1}
r-1
=765 yy ㉡
㉡_㉠을 하면
r$+1=17 / r=2 {? r>0}
이를 ㉠에 대입하면 a=3
3{2!)-1}
2-1
/ S10=
=3069
10 수학적 귀납법 113
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2018-04-25 오후 12:07:35
10 009 답 5
an=an-1+3N_!의 n에 2, 3, 4, y, n을 차례대로 대입하여 변끼리
012 답 ⑤
jn+1lan'1=jnkan, 즉 an'1=q
차례대로 대입하여 변끼리 모두 곱하면
n
n+1 e an의 n에 1, 2, 3, y, n-1을
이때 am=124에서
=124, 3M+5=248
3M+5
2
3M=243=3% / m=5
010 답 165
an'1=an+f{n}의 n에 1, 2, 3, y, 9를 차례대로 대입하여 변끼리
an의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로
008 답 ①
an'1=an+2n@의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대입하여 변
끼리 모두 더하면
a2=a1+2\1@
a3=a2+2\2@
a4=a3+2\3@
⋮
2\{n-1}@
+
R
an =a1+
an=an-1+
n-1
?k=1
2k@
=2+2\
{n-1}n{2n-1}
6
=
2n#-3n@+n+6
3
/ a7=
2\7#-3\7@+7+6
3
=184
모두 더하면
a2=a1+3!
a3=a2+3@
a4=a3+3#
⋮
an=an-1+3N_!
+
R
an =a1+
3K
n-1
?k=1
3{3N_!-1}
3-1
=4+
=
3N+5
2
모두 더하면
a2=a1+f{1}
a3=a2+f{2}
a4=a3+f{3}
⋮
a10=a9+f{9}
+
R
a10 =a1+
f{k}
9
?k=1
=2+2\9@+1=165
011 답 41
an'1-an=
1
1+2+3+y+n
1
1
n
[
입하여 변끼리 모두 더하면
114 정답과 해설
=
2
n{n+1}
=2
1
n
[
1
-
n+1 ], 즉
an'1=an+2
-
n+1 ]의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대
a2=a1+2
-
1
1
1
2
1
3
[
[
[
1
2 ]
1
3 ]
1
4 ]
a3=a2+2
-
a4=a3+2
-
⋮
an=an-1+2
+
]
[
1
n-1
-
1
n ]
an =a1+2
1-
[
1
n ]
=5+2-
=7-
2
n
2
n
1
20
이때 |ak-7|<
에서
2
k |
1
20
2
k
,
-
<
|
따라서 자연수 k의 최솟값은 41이다.
/ k>40
<
1
20
a2=q
a3=q
1
2
2
3
3
4
a1
a2
a3
a4=q
⋮
]
\
an=q
an=q
n-1
n e an-1
1
1
n w a1=
jnk
1
1
7
jk k
jk k=7 / k=49
이때 ak=
에서
=
1
7
013 답 ②
1
n ]
an'1=
1+
[
an=
n+1
n
대입하여 변끼리 모두 곱하면
a2=
a1
a3=
a2
a4=
a3
2
1
3
2
4
3
⋮
\
an=
]
n
n-1
an-1
an=na1=n
10
?k=1
{a2k-1+a2k} =
/
ak
20
?k=1
20
?k=1
20\21
2
k
=
=
=210
PM수학Ⅰ해설 08-10(083~120)OK.indd 114
2018-04-25 오후 12:07:35
T
T
T
T
014 답 165
an'1=2Nan의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대입하여 변끼리
018 답 59
an an'1 an'2=1, 즉 an'2=
an an'1 의 n에 1, 2, 3, y을 차례대로
1
모두 곱하면
a2=2!a1
a3=2@a2
a4=2#a3
⋮
an=2N_!an-1
\
R
an =2\2@\2#\y\2N_!a1
=21+2+3+y+{n-1}
{n-1}n
2
=2
/
log 2`ak =
10
?k=1
log 2`2
{k-1}k
2
10
?k=1
10
?k=1
1
2 [
=
=
=165
{k-1}k
2
=
1
2
10
?k=1
{k@-k}
10\11\21
6
-
10\11
2
]
015 답 -48
an'1=-2an+6의 n에 1, 2, 3, 4를 차례대로 대입하면
a2=-2a1+6=-2\{-2}+6=10
a3=-2a2+6=-2\10+6=-14
a4=-2a3+6=-2\{-14}+6=34
a5=-2a4+6=-2\34+6=-62
/ a5-a3=-48
016 답
1
11
an
an'1=
a2=
1+nan 의 n에 1, 2, 3, 4를 차례대로 대입하면
a1
1+a1
1
1+1
1
2
=
=
a3=
a2
1+2a2
=
1+2\
a4=
a3
1+3a3
=
1+3\
1
2
1
4
=
1
4
=
1
7
1
2
1
4
1
7
/ a5=
a4
1+4a4
=
=
1
11
1+4\
1
7
017 답 ⑤
an'1=an@+an의 양변을 an으로 나누면
=an+1
an'1
an
/
`log`{ak+1} =
`log`
100
?k=1
ak'1
ak
100
?k=1
=log`
+log`
+log`
+y+log`
a3
a2
a4
a3
a101
a100
=log`
\
\
\y\
a3
a2
a4
a3
a101
a100 ]
a2
a1
a2
a1
[
=log`a101
대입하면
a3=
1
a1 a2
1
a2 a3
=
1
1\2
=
1
2
a4=
=
=1
2\
1
2
1
1
\1
1
2
1
1\2
a5=
1
a3 a4
=
=2
1
a4 a5
=
=
1
2
a6=
⋮
1 `{n=3k-2}
2 `{n=3k-1}
1
2
{n=3k}
(
-
9
/ an=
(단, k는 자연수)
이때 50=3\16+2이므로
50
?k=1
1+2+
ak=16
1
2 ]
[
+1+2=16\
+3=59
7
2
019 답 3
1
2 an `{an은 짝수}
an+3 {an은 홀수}
an'1=
`
[
에서 a1=21이므로
a2=a1+3=21+3=24, a3=
a2=
\24=12,
1
2
1
2
a4=
a3=
\12=6, a5=
a4=
\6=3,
1
2
1
2
a6=a5+3=3+3=6, a7=
a6=
\6=3,
a8=a7+3=3+3=6, a9=
a8=
\6=3, …
따라서 n>4일 때 an=
6 (n은 짝수)
-
3 (n은 홀수}
이므로
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
a13=3
020 답 4
a1=2에서
a2={14를 5로 나누었을 때의 나머지}=4
a3={28을 5로 나누었을 때의 나머지}=3
a4={21을 5로 나누었을 때의 나머지}=1
a5={7을 5로 나누었을 때의 나머지}=2
⋮
/ an=
(단, k는 자연수)
2 {n=4k-3}
4 {n=4k-2}
3 {n=4k-1}
1 {n=4k}
(
-
9
이때 100=4\25, 101=4\26-3, 102=4\26-2,
103=4\26-1이므로
a100+a101+a102-a103=1+2+4-3=4
10 수학적 귀납법 115
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10T
이때 an'1=Sn'1-Sn{n=1, 2, 3, y}이므로
2020년 초의 물고기 수는
따라서 수열 9an0은 첫째항이 a1=1, 공비가 2인 등비수열이므로
8200\{1-0.2}+1000=7560(마리)
025 답 7048마리
이 호수의 2019년 초의 물고기 수는
10000\{1-0.2}+1000=9000(마리)
9000\{1-0.2}+1000=8200(마리)
2021년 초의 물고기 수는
따라서 2022년 초의 물고기 수는
7560\{1-0.2}+1000=7048(마리)
021 답 48
Sn=2an-1의 n에 n+1을 대입하면
Sn'1=2an'1-1
an'1=2an'1-1-{2an-1}
/ an'1=2an
an=2N_!
/ a5+a6=2$+2%=48
022 답 -
Sn'1=
Sn+
1
2
1
24
1
3 의 n에 1, 2, 3을 차례대로 대입하면
026 답 an'1=
an+8{n=1, 2, 3, y}
1
2
물 an L의 절반을 버리고 다시 8 L의 물을 채워 넣었을 때 수족관에
1
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
2
S2=
S1+
=
\1+
=
1
3
5
6
S3=
S2+
=
\
+
=
5
6
3
4
1
3
1
3
3
4
17
24
1
24
S4=
S3+
=
\
+
=
/ a4=S4-S3=
-
=-
17
24
3
4
023 답 -62
Sn=2an+2n의 n에 n+1을 대입하면
Sn'1=2an'1+2{n+1}
이때 an'1=Sn'1-Sn{n=1, 2, 3, y}이므로
an'1=2an'1+2{n+1}-{2an+2n}
/ an'1=2an-2
위의 식의 n에 1, 2, 3, 4를 차례대로 대입하면
a2=2a1-2=2\{-2}-2=-6
a3=2a2-2=2\{-6}-2=-14
a4=2a3-2=2\{-14}-2=-30
/ a5=2a4-2=2\{-30}-2=-62
024 답 10
a1+a2+a3+y+an=Sn이라고 하면
S1=a1=5, an'1=Sn{n=1, 2, 3, y}
Sn'1-Sn=Sn
/ Sn'1=2Sn
Sn=5\2N_!
/ an =Sn-Sn-1
=5\2N_!-5\2N_@
=5\2N_@{n>2}
5\2K_@>1000에서 2K_@>200
이때 2&=128, 2*=256이므로
k-2>8 / k>10
따라서 자연수 k의 최솟값은 10이다.
116 정답과 해설
남아 있는 물의 양이 an'1 L이므로
an'1=
an+8{n=1, 2, 3, y}
1
2
027 답
11
6
50\
=3{g}
6
100
6 %의 소금물 50`g에 들어 있는 소금의 양은
an %의 소금물 250`g에 들어 있는 소금의 양은
250\
=
an{g}
an
100
5
2
/ an'1=
\100=
an+1
5
6
따라서 p=
, q=1이므로 p+q=
11
6
5
2
an+3
300
5
6
028 답 30
n개의 원이 그려진 평면에 1개의 원을 추가하면 이 원은 기존의
n개의 원과 각각 2개의 점에서 만나므로 2n개의 새로운 교점이 생
즉, {n+1}개의 원의 교점은 n개의 원의 교점보다 2n개가 많으므
긴다.
로
an'1=an+2n
두 더하면
a2=a1+2\1
a3=a2+2\2
a4=a3+2\3
⋮
+
an=an-1
R
an =a1+
+2\{n-1}
n-1
?k=1
2k
{n-1}n
2
=0+2\
=n@-n
/ a6=36-6=30
이때 an'1=Sn'1-Sn{n=1, 2, 3, y}이므로
위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대입하여 변끼리 모
수열 9Sn0은 첫째항이 S1=5이고, 공비가 2인 등비수열이므로
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T
T
029 답 56
n개의 직선이 그려진 평면에 1개의 직선을 추가하면 이 직선은 기
존의 n개의 직선과 각각 한 번씩 만나므로 {n+1}개의 새로운 평
면이 생긴다.
즉, {n+1}개의 직선에 의해 분할된 평면은 n개의 직선에 의해 분
할된 평면보다 {n+1}개가 많으므로
an'1=an+n+1
위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대로 대입하여 변끼리 모
두 더하면
a2=a1+2
a3=a2+3
a4=a3+4
⋮
{k+1}
+
R
an =a1+
an=an-1+n
n-1
?k=1
{n-1}n
2
n@+n+2
2
=2+
=
/ a10=
10@+10+2
2
=56
+n-1
030 답 ④
p{1}이 참이면 p{2}도 참이다.
p{2}가 참이면 p{2\2}=p{4}도 참이다.
p{4}가 참이면 p{2\4}=p{8}도 참이다.
⋮
따라서 p{1}이 참이면 p{2N}도 참이다.
따라서 반드시 참인 것은 ④이다.
031 답 ⑤
n=1일 때, p{n}이 성립하므로 p{1}이 성립한다.
p{1}이 성립하면 p{2\1+1}=p{3}도 성립한다.
p{3}이 성립하면 p{2\3+1}=p{7}도 성립한다.
p{7}이 성립하면 p{2\7+1}=p{15}도 성립한다.
p{15}가 성립하면 p{2\15+1}=p{31}도 성립한다.
따라서 반드시 참인 것은 ⑤이다.
p{3}, p{5}, p{7}, y, p{2n+1}도 참이다.
이때 125=2\62+1이므로 p{125}는 참이다.
032 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ
ㄱ. p{1}이 참이면
ㄴ. p{1}이 참이면
p{2\1+3}=p{5}
p{2\5+3}=p{13}
p{2\13+3}=p{29}
p{2\29+3}=p{61}
ㄷ. 명제 ‘p{n+4}가 거짓이면 p{n}도 거짓이다.’의 대우인
‘p{n}이 참이면 p{n+4}도 참이다.’에 의하여
p{1}이 참이면
p{5}, p{9}, p{13}, y, p{4n+1}도 참이다.
이때 125=4\31+1이므로 p{125}는 참이다.
따라서 조건 ㈏가 될 수 있는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
1\2+2\3+3\4+y+n{n+1}=
n{n+1}{n+2}
1
3
033 답 ③
! n=1일 때
(좌변)=1\2=2, (우변)=
\1\2\3=2
1
3
이므로 주어진 등식이 성립한다.
@ n=k일 때
주어진 등식이 성립한다고 가정하면
1\2+2\3+3\4+y+k{k+1}
=
k{k+1}{k+2}
위의 식의 양변에 ㈎ {k+1}{k+2} 를 더하면
1\2+2\3+3\4+y+k{k+1}+ ㈎ {k+1}{k+2}
=
k{k+1}{k+2}+ ㈎ {k+1}{k+2}
={k+1}{k+2}
1
3
[
k+1
]
=
{k+1}{k+2}{ ㈏ k+3 }
따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.
!, @에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.
1@+2@+3@+y+n@=
n{n+1}{2n+1}
1
6
034 답 ③
! n=1일 때
@ n=k일 때
1
(좌변)=1@=1, (우변)=
6
\1\2\3=1
이므로 주어진 등식이 성립한다.
주어진 등식이 성립한다고 가정하면
1@+2@+3@+y+k@=
k{k+1}{2k+1}
1
6
위의 식의 양변에 ㈎ {k+1}@ 을 더하면
1@+2@+3@+y+k@+ ㈎ {k+1}@
=
k{k+1}{2k+1}+ ㈎ {k+1}@
=
{k+1}{2k@+k+ ㈏ 6k+6 }
=
{k+1}{k+2}{ ㈐ 2k+3 }
1
3
1
3
1
3
1
6
1
6
1
6
p{2\61+3}=p{125}, y도 참이다.
따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.
!, @에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.
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10T
@ n=k{k>2}일 때
주어진 부등식이 성립한다고 가정하면
1
1@
+y+
<2-
1
k@
1
3@
1
2@
1
k
+
+
위의 식의 양변에 ㈎
을 더하면
1
{k+1}@
1
1@
+
+
+y+
+ ㈎
1
k@
1
{k+1}@
1
3@
<2-
+ ㈎
1
{k+1}@
1
2@
1
k
1
k
1
k
이때
2-
-
=-
+
1
{k+1}@
+
1
k+1
=
-{k+1}@+k+k{k+1}
k{k+1}@
=-
㈏ 1
k{k+1}@
<0
이므로 2-
+ ㈎
1
k
1
{k+1}@
<2-
1
k+1
/
+
+
+y+
1
1@
1
2@
1
3@
1
{k+1}@
<2-
1
k+1
따라서 n=k+1일 때도 주어진 부등식이 성립한다.
!, @에 의하여 n>2인 모든 자연수 n에 대하여 주어진 부등식
이 성립한다.
따라서 n=k+1일 때도 8의 배수이다.
!, @에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 3@N-1은 8의 배수이다.
+ ㈎
1
{k+1}@
=
-
2-
[
1
k+1 ]
!, @에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 7N+5N_!은 2로 나누어
떨어진다.
따라서 f{k}=
, a=1이므로
1
{k+1}@
f{1}=
=
1
2@
1
4
035 답 ㈎ 9 ㈏ 8 ㈐ 9m+1
! n=1일 때
3@-1=8이므로 8의 배수이다.
@ n=k일 때
3@K-1=8m{m은 자연수}이라고 가정하면
32{k+1}-1 = ㈎ 9 \3@K-1
=9{3@K-1}+ ㈏ 8
=9\8m+ ㈏ 8
=8\{ ㈐ 9m+1 }
036 답 ㈎ 5k-1 ㈏ 2m
! n=1일 때
7!+5!_!=8=2\4이므로 2로 나누어떨어진다.
@ n=k일 때
7K+5k-1=2m{m은 자연수}이라고 가정하면
7k+1+5K =7\7K+5\ ㈎ 5k-1
=7{7K+5K_!}-2\ ㈎ 5k-1
=7\ ㈏ 2m -2\ ㈎ 5k-1
=2\{7m-5K_!}
따라서 n=k+1일 때도 2로 나누어떨어진다.
037 답 ⑤
1\2\3\y\n>2N
! n=4일 때
(좌변)=1\2\3\4=24, (우변) 2$=16
이므로 주어진 부등식이 성립한다.
@ n=k{k>4}일 때
주어진 부등식이 성립한다고 가정하면
1\2\3\y\k>2K
위의 식의 양변에 ㈎ k+1 을 곱하면
1\2\3\y\k\{ ㈎ k+1 }>2K\{ ㈎ k+1 }
이때 2K\{ ㈎ k+1 }> ㈏ 2K"! =2\2K이므로
1\2\3\y\k\{ ㈎ k+1 }> ㈏ 2K"!
따라서 n=k+1일 때도 주어진 부등식이 성립한다.
+y+
<2-
1
n@
1
n
+
+
038 답 ④
1
1
1
1@
3@
2@
! n=2일 때
1
(좌변)=
+
1@
1
2@
5
4
=
, (우변)=2-
=
1
2
3
2
이므로 주어진 부등식이 성립한다.
118 정답과 해설
!, @에 의하여 n>4인 모든 자연수 n에 대하여 주어진 부등식
이 성립한다.
log 2`an'1+1=log 2`an'1+log 2`2=log 2`2an'1이므로
수열 9an0은 등차수열이므로 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면
178~179쪽
핵심 유형 최종 점검하기
1 답 44
유형 01 등차수열의 귀납적 정의
log 2`2an'1=log 2`{an+an'2}
/ 2an'1=an+an'2
a3=a+2d=8
yy ㉠
a7=a+6d=20 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, d=3
/ an=2+{n-1}\3=3n-1
/ a15=3\15-1=44
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1
an'1=2an에서 수열 9an0은 공비가 2인 등비수열이다.
an'2=an+3의 n에 1, 2, 3, y, 12를 차례대로 대입하여 변끼리
2 답 제8항
유형 02 등비수열의 귀납적 정의
이때 첫째항이 a1=8이므로
an=8\2N_!=2N"@
수열 9an0이 제k항에서 처음으로 1000보다 커진다고 하면
2k+2>1000
이때 2(=512, 2!)=1024이므로
k+2>10 / k>8
따라서 처음으로 1000보다 커지는 항은 제8항이다.
3 답 11
유형 03 an'1=an+f{n} 꼴인 수열의 귀납적 정의
an'1-an=2n, 즉 an'1=an+2n의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례대
로 대입하여 변끼리 모두 더하면
5 답 ④
유형 05 여러 가지 수열의 귀납적 정의
모두 더하면
a3=a1+3
a4=a2+3
a5=a3+3
a6=a4+3
⋮
a13=a11+3
+
a14=a12+3
R
a13+a14 =a1+a2+3\12
=1+2+36=39
6 답 6
유형 05 여러 가지 수열의 귀납적 정의
anan'2=an-1an'1, 즉 an'2=
an 의 n에 2, 3, 4, …를 차례대
an-1 an'1
a2=a1+2\1
a3=a2+2\2
a4=a3+2\3
⋮
2\{n-1}
+
R
an =a1+
an=an-1+
n-1
?k=1
2k
=10+2\
{n-1}n
2
=n@-n+10
am>100에서 m@-m+10>100
m@-m-90>0, {m+9}{m-10}>0
이때 m은 자연수이므로 m>10
따라서 자연수 m의 최솟값은 11이다.
4 답 12
유형 04 an'1=an f{n} 꼴인 수열의 귀납적 정의
a2=
a1
a3=
a2
a4=
a3
3
2
4
3
5
4
⋮
\
an=
]
an-1
n+1
n
n+1
2
an =
a1
ak=
=3n+3
m
m
?k=1
?k=1
m{m+1}
2
이때
3\
{3k+3}=270에서
+3m=270
m@+3m-180=0, {m+15}{m-12}=0
이때 m은 자연수이므로 m=12
=
=
a5=
a4=
로 대입하면
a1 a3
a2
a2 a4
a3
a3 a5
a4
a4 a6
a5
a5 a7
a6
a7=
a8=
a6=
=
=
=
`⋮
1\4
2
2\2
4
4\1
2
2\2
1
1\4
2
=2
=1
=2
=4
=2
1 {n=4k-3}
2 {n=4k-2}
4 {n=4k-1}
2 {n=4k}
(
-
9
7 답 16
유형 06 an과 Sn의 관계식이 주어진 수열
3Sn=an'1+7의 n에 n-1을 대입하면
3Sn-1=an+7
이때 an=Sn-Sn-1{n=2, 3, 4, y}이므로
3an=3Sn-3Sn-1=an'1-an
/ an'1=4an
따라서 수열 9an0은 공비가 4인 등비수열이므로
an=a1\4N_!
이때 a20=ka18에서
a1\4!(=k\{a1\4!&}
/ k=16
10 수학적 귀납법 119
{n+1}an'1={n+2}an, 즉 an'1=
an의 n에 1, 2, 3, y,
n+2
n+1
n-1을 차례대로 대입하여 변끼리 모두 곱하면
/ an=
(단, k는 자연수)
이때 50=4\13-2, 52=4\13, 54=4\14-2이므로
a50+a52+a54=2+2+2=6
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2018-04-27 오전 9:24:49
10T
T
T
8 답 81`km
유형 07 귀납적 정의의 활용
여행 n일째 이동한 거리를 an`km라고 하면 {n+1}일째 이동한 거
리 an'1`km는 an`km의 절반에 5`km를 더 이동하므로
f{2a}+g{2a}=f{1}+g{1}=
+
!, @에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.
따라서 a=
, g{k}=
, f{k}=
이므로
1
2
k+1
2K"!
k+3
2K"!
4
2@
=
3
2
2
2@
an'1=
an+5
1
2
위의 식의 n에 1, 2, 3, 4를 차례대로 대입하면
a2=
a1+5=
\26+5=18
a3=
a2+5=
\18+5=14
a4=
a3+5=
\14+5=12
a5=
a4+5=
\12+5=11
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
따라서 여행 첫날부터 5일째까지 이동한 거리는
a1+a2+a3+a4+a5 =26+18+14+12+11=81{km}
09 답 ⑤
유형 08 수학적 귀납법
ㄱ. p{1}이 참이면
ㄴ. p{2}가 참이면
p{3}, p{5}, p{7}, y, p{2k+1}도 참이다.
p{4}, p{6}, p{8}, y, p{2k}도 참이다.
ㄷ. p{1}, p{2}가 참이면
p{3}, p{4}, p{5}, y, p{k}도 참이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
유형 09 수학적 귀납법 - 등식의 증명
+y+
=2-
n
2N
n+2
2N
10 답
3
2
+
+
3
2#
2
2@
1
2
! n=1일 때
(좌변)=
@ n=k일 때
1
2
3
, (우변)=2-
2
= ㈎
1
2
이므로 주어진 등식이 성립한다.
주어진 등식이 성립한다고 가정하면
1
2
k+2
2K
+y+
=2-
k
2K
2
2@
3
2#
+
+
위의 식의 양변에 ㈏
을 더하면
k+1
2K"!
1
2
2
2@
3
2#
+
+
+y+
+ ㈏
k
2K
k+1
2K"!
=2-
+ ㈏
k+2
2K
k+1
2K"!
=2- ㈐
k+3
2K"!
따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.
120 정답과 해설
11 답 17
유형 10 수학적 귀납법 - 배수의 증명
! n=1일 때
2@-1=3이므로 3의 배수이다.
@ n=k일 때
2@K-1=3m{m은 자연수}이라고 가정하면
22{k+1}-1 = ㈎ 4 \2@K-1
=4{3m+1}-1
=4\3m+3
=3\{ ㈏ 4m+1 }
따라서 n=k+1일 때도 3의 배수이다.
!, @에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 2@N-1은 3의 배수이다.
따라서 a=4, f{m}=4m+1이므로 f{a}=f{4}=17
12 답 ㈎
2k+1
k+1
㈏ k
유형 11 수학적 귀납법 - 부등식의 증명
+y+
>
1
n
2n
{n+1}
+
1
2
1+
1
3
! n=2일 때
(좌변)=1+
1
2
3
2
=
, (우변)=
2\2
2+1
=
4
3
이므로 주어진 부등식이 성립한다.
@ n=k{k>2}일 때
주어진 부등식이 성립한다고 가정하면
1
k
2k
k+1
+y+
1+
1
2
1
3
+
>
위의 식의 양변에
을 더하면
1
k+1
1+
+
+y+
+
1
2
1
3
1
k
1
k+1
>
2k
k+1
+
1
k+1
= ㈎
2k+1
k+1
이때
㈎
2k+1
k+1
-
2k+2
k+2
=
㈏ k
{k+1}{k+2}
>0이므로
+
1
3
1
2
1+
+y+
1
k+1
따라서 n=k+1일 때도 주어진 부등식이 성립한다.
2{k+1}
k+2
1
k
+
>
!, @에 의하여 n>2인 모든 자연수 n에 대하여 주어진 부등식
이 성립한다.
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