2019년 비상교육 만렙 PM 고등 수학 ( 상 ) 답지

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(상) 수학(상) PM 해설 01~03(001~029)OK.indd 1 2017-09-26 오전 10:39:30 01 다항식의 연산 유형03 답 ④ ④ {a-2b}{a @+2ab+4b @}=a #-{2b}#=a #-8b # 유형04 답 x $+4x #+3x @-2x-2 x @+2x=X로 놓으면   유형01  -x @-5xy+7y @  유형02  ③ {x @+2x+1}{x @+2x-2} ={X+1}{X-2}    유형03  ④  유형04  x $+4x #+3x @-2x-2 유형05  ⑤  유형09  22  유형06  ②  5 6   유형10  x-4  유형11  ① 유형07   유형12  a=-2, b=3, c=0, d=4, e=1 유형08  ③ =X @-X-2    ={x @+2x}@-{x @+2x}-2    =x $+4x #+4x @-x @-2x-2    =x $+4x #+3x @-2x-2 001  -10x @+9xy-13y @  002  ⑤  003  ②  004  ④  005  11  006  ①  007  ③  008  -2  009  -1  010  ④  011  ⑤  012  x $+4x @+16 013  ①  014  ②  015  ⑤  016  ②  017  ②  018  9  019  ④  023  ①  024  ④  028  ⑤  029  ④  020  ②  021  ①  025  10j13k 026  ①  031  14  030  11  033  ④  034  ③  035  ①  036  9  022  ⑤  027  ④  032  ②  037  ②  038  ④  039  ②  043  5j2  044  ②  049  ⑤  048  ⑤  040  ②  041  ③  042  ①  045  270  046  ④  047  1  050  ③    051  몫: 3x+7, 나머지: 7  052  ①  053  ④  054  -3  055  x-4  056  몫: x @-x+3, 나머지: 5  057  137 1  ④  5  ④  10  1  2  ②  6  -12  3  ③  7  ②  4  x @-y @-z @-2yz 8  ⑤  9  ②  11  48  12  ①    13  몫:  1 3  Q{x}, 나머지: R  14  ① 핵심 유형 8~10쪽 유형01 답 -x @-5xy+7y @ 2X-A=3A-2B에서 2X=4A-2B ∴ X =2A-B=2{x @-2xy+3y @}-{3x @+xy-y @}    =2x @-4xy+6y @-3x @-xy+y @   =-x @-5xy+7y @ 유형02 답 ③ {x @+3x-2}{2x @-x+6}의 전개식에서 x @항은 유형05 답 ⑤ {x-y}@=x @+y @-2xy에서 2@=20-2xy    ∴ xy=8 ∴ x #-y # ={x-y}#+3xy{x-y}    =2#+3\8\2=56 유형06 답 ② x @+3x+1=0에서 x=0이므로 양변을 x로 나누면 1 x =0    ∴ x+  x+3+ =-3 [  = x+ 1 x ]#-3 1 x ] ={-3}#-3\{-3}=-18 x+ [ 1 x 1 x # ∴ x #+ 유형07 답 5 6 a @+b @+c @={a+b+c}@-2{ab+bc+ca}에서 14=2@-2{ab+bc+ca} ∴ ab+bc+ca=-5 ∴  + + = 1 a 1 b 1 c ab+bc+ca abc = -5 -6 = 5 6 유형08 답 ③ {2+1}{2@+1}{2$+1}{2*+1} ={2-1}{2+1}{2@+1}{2$+1}{2*+1} ={2@-1}{2@+1}{2$+1}{2*+1} ={2$-1}{2$+1}{2*+1} ={2*-1}{2*+1} =2!^-1 유형09 답 22 직육면체의 가로의 길이를 a, 세로의 길이를 b, 높이를 c라고 하면  직육면체의 모든 모서리의 길이의 합이 24이므로 4{a+b+c}=24    ∴ a+b+c=6 또 대각선의 길이가 j14k이므로 1a @+b @+c @3=j14k    ∴ a @+b @+c @=14 이때 a @+b @+c @={a+b+c}@-2{ab+bc+ca}에서 14=6@-2{ab+bc+ca}    ∴ 2{ab+bc+ca}=22 x @\6+3x\{-x}+{-2}\2x @=6x @-3x @-4x @=-x @ 따라서 구하는 직육면체의 겉넓이는  따라서 x @의 계수는 -1이다. 2{ab+bc+ca}=22 2 정답과 해설 수학(상) PM 해설 01~03(001~029)OK.indd 2 2017-09-26 오전 10:39:30 3 유형10 답 x-4 다항식 x #-2x @+5x-3을 다항식 A로 나누었을 때의 몫이 003 답 ② < x+2y-1, 3x-4y+1 > =2{x+2y-1}-{3x-4y+1}+3 x @+2x+13이고 나머지가 49이므로 x #-2x @+5x-3=A{x @+2x+13}+49 A{x @+2x+13}=x #-2x @+5x-52 ∴ A={x #-2x @+5x-52}_{x @+2x+13} x-4 x @+2x+13 r x #-2x @+ 5x- 52 t x #+2x @+13x -4x @- 8x-t52 t -4x @- 8x-52 t 0 t ∴ A=x-4 유형11 답 ① R이므로 f{x} = x- Q{x}+R 3 2 ] [ ={2x-3}\ 1 2 Q{x}+R 다항식 f{x}를 x- 3 2 으로 나누었을 때의 몫이 Q{x}, 나머지가 =2x+4y-2-3x+4y-1+3 =-x+8y 004 답 ④ A+2B=x #+6x @-5x+3 yy ㉠ A-B=4x #-9x @+4x-3 yy ㉡ ㉠-㉡을 하면 3B=-3x #+15x @-9x+6 ∴ B=-x #+5x @-3x+2 따라서 ㉡에서 A =B+{4x #-9x @+4x-3} ={-x #+5x @-3x+2}+{4x #-9x @+4x-3} =3x #-4x @+x-1 ∴ A+B ={3x #-4x @+x-1}+{-x #+5x @-3x+2} =2x #+x @-2x+1 005 답 11 {x #+4x-1}{2x @-x+3}의 전개식에서 x #항은 따라서 다항식 f{x}를 2x-3으로 나누었을 때의 몫은 머지는 R이다. 1 2 Q{x}, 나 x #\3+4x\2x @=3x #+8x #=11x # 따라서 x #의 계수는 11이다. 유형12 답 a=-2, b=3, c=0, d=4, e=1 조립제법을 이용하여 다항식 x #+3x @-1을 x+2로 나누었을 때의 ∴ a=-2, b=3, c=0, d=4, e=1 2x @\k+x\{-5x}+{-3}\x @ =2kx @-5x @-3x @ 006 답 ① {x-2y-3}{4x+5y-6}의 전개식에서 xy항은 x\5y+{-2y}\4x=5xy-8xy=-3xy 따라서 xy의 계수는 -3이다. 007 답 ③ {2x @+x-3}{x @-5x+k}의 전개식에서 x @항은 ={2k-8}x @ 따라서 x @의 계수는 2k-8이므로 2k-8=-6 ∴ k=1 008 답 -2 두 다항식 A, B에서 x #의 계수를 각각 a, b라고 하면 A-2B에서 x #의 계수는 a-2b이다. {x-1}{x #-3x @+1}의 전개식에서 x #항은 x\{-3x @}+{-1}\x #=-3x #-x #=-4x # 즉, 다항식 A에서 x #의 계수는 -4이므로 a=-4 {2x @-x+1}{x #-x-2}의 전개식에서 x #항은 2x @\{-x}+1\x #=-2x #+x #=-x # 몫과 나머지를 구하면 -2 1 3 0 -1 -2 -2 1 1 -2 4 3 핵심 유형 완성하기 11~19쪽 001 답 -10x @+9xy-13y @ 2X-A=3{X-2B}에서 2X-A=3X-6B ∴ X =-A+6B =-{4x @-3xy+y @}+6{-x @+xy-2y @} =-4x @+3xy-y @-6x @+6xy-12y @ =-10x @+9xy-13y @ 002 답 ⑤ 2A-B-3{A-C} =2A-B-3A+3C =-A-B+3C =-{2x #-3x+4}-{-3x @+2x} 즉, 다항식 B에서 x #의 계수는 -1이므로 +3{2x #-x @+1} b=-1 =-2x #+3x-4+3x @-2x+6x #-3x @+3 따라서 다항식 A-2B의 x #의 계수는 =4x #+x-1 a-2b=-4-2\{-1}=-2 01 다항식의 연산 3 수학(상) PM 해설 01~03(001~029)OK.indd 3 2018-09-18 오후 5:00:26 t 009 답 -1 {1-x+x @-x #+x $-y+x %)}@ 014 답 ② {x-y+z}{x @+y @+z @+xy+yz-zx} ={1-x+x @-x #+x $-y+x %)}{1-x+x @-x #+x $-y+x %)} =9x+{-y}+z0 이므로 주어진 다항식의 전개식에서 x $항은 \9x @+{-y}@+z @-x\{-y}-{-y}\z-z\x0 1\x $+{-x}\{-x #}+x @\x @+{-x #}\{-x}+x $\1 =x #+{-y}#+z #-3\x\{-y}\z =x $+x $+x $+x $+x $ =x #-y #+z #+3xyz 또 주어진 다항식의 전개식에서 x %항은 1\{-x %}+{-x}\x $+x @\{-x #}+{-x #}\x @ =a @+b @+{-2c}@+2\a\b+2\b\{-2c}+2\{-2c}\a =-x %-x %-x %-x %-x %-x % +x $\{-x}+{-x %}\1 =a @+b @+4c @+2{ab-2bc-2ca} =41+2\{-16}=9 015 답 ⑤ {a+b-2c}@ =5x $ ∴ a=5   =-6x % ∴ b=-6 ∴ a+b=-1 010 답 ④ {x+1}{x+2}{x+3}{x+4}{x+5} 중 임의의 4개의 일차식에서  x만 뽑아 곱하면 x $이 되고, 여기에 남은 일차식의 상수항을 곱하 017 답 ② x+y+z=2에서 016 답 ② {x+y}{x-y}{x @+xy+y @}{x @-xy+y @} =9{x+y}{x @-xy+y @}09{x-y}{x @+xy+y @}0 ={x #+y #}{x #-y #}=x ^-y ^ x+y=2-z, y+z=2-x, z+x=2-y ∴   {x+y}{y+z}{z+x}  ={2-z}{2-x}{2-y}      =2#-2@{x+y+z}+2{xy+yz+zx}-xyz   =8-4\2+2\{-1}-{-2}=0 면 x $의 계수가 되므로 x $+2x $+3x $+4x $+5x $=15x $ 따라서 x $의 계수는 15이다. 011 답 ⑤ ①   {a-b-1}@    =a @+{-b}@+{-1}@+2\a\{-b}+2\{-b}\{-1}  +2\{-1}\a  018 답 9 x @-3x=X로 놓으면   =a @+b @-2ab-2a+2b+1 {x @-3x+1}{x @-3x-4}+2 ={X+1}{X-4}+2    ② {a+2b}# =a #+3\a @\2b+3\a\{2b}@+{2b}#  =a #+6a @b+12ab @+8b # ③ {x+1}{x @-x+1} ={x+1}{x @-x\1+1@}      =x #+1 ④   {x-y}{x+y}{x @+y @}{x $+y $}  ={x @-y @}{x @+y @}{x $+y $}  ={x $-y $}{x $+y $}    =x *-y *     012 답 x $+4x @+16 {x @+2x+4}{x @-2x+4} ={x @+x\2+2@}{x @-x\2+2@}  =x $+x @\2@+2$    =x $+4x @+16 013 답 ① {2x-3}# ={2x}#-3\{2x}@\3+3\2x\3@-3#  =8x #-36x @+54x-27 따라서 a=-36, b=54, c=-27이므로 a+b+c=-9 4 정답과 해설 =X @-3X-2    ={x @-3x}@-3{x @-3x}-2  =x $-6x #+9x @-3x @+9x-2  =x $-6x #+6x @+9x-2 따라서 a=-6, b=6, c=9이므로 a+b+c=9 019 답 ④ x+y=X로 놓으면 {x+y+z}{x+y-z} ={X+z}{X-z}=X @-z @    ={x+y}@-z @=x @+2xy+y @-z @ 020 답 ② {x-1}{x+1}{x+3}{x+5} =9{x-1}{x+5}09{x+1}{x+3}0  ={x @+4x-5}{x @+4x+3} x @+4x=X로 놓으면 {x @+4x-5}{x @+4x+3} ={X-5}{X+3}=X @-2X-15  ={x @+4x}@-2{x @+4x}-15   =x $+8x #+16x @-2x @-8x-15  =x $+8x #+14x @-8x-15 수학(상) PM 해설 01~03(001~029)OK.indd 4 2017-09-26 오전 10:39:31 021 답 ① {x @+x+1}{x @-x+1}{x $-3x @+1} ={x $+x @+1}{x $-3x @+1} x $+1=X로 놓으면 {x $+x @+1}{x $-3x @+1} ={X+x @}{X-3x @}    =X @-2x @X-3x $    ={x $+1}@-2x @{x $+1}-3x $  =x *+2x $+1-2x ^-2x @-3x $  =x *-2x ^-x $-2x @+1 따라서 a=1, b=-2, c=-1, d=-2이므로 abcd=-4 022 답 ⑤ {x+y}@=x @+y @+2xy에서 1@=5+2xy    ∴ xy=-2 ∴ x #+y # ={x+y}#-3xy{x+y}    =1#-3\{-2}\1=7 023 답 ① x y y  = x + x @+y @ xy = {x+y}@-2xy xy      = 4@-2\{-2} -2 =-10 024 답 ④ x #-y #={x-y}#+3xy{x-y}에서 -9={-3}#+3xy\{-3}    ∴ xy=-2 ∴ x @-xy+y @ ={x-y}@+xy    ={-3}@+{-2}=7 025 답 10j13k {x+y}@=x @+y @+2xy에서 3@=11+2xy    ∴ xy=-1 ∴ {x-y}@ ={x+y}@-4xy    =3@-4\{-1}=13 그런데 x>y이므로 x-y=j13k ∴ x #-y # ={x-y}#+3xy{x-y}    ={j13k}#+3\{-1}\j13k    =13j13k-3j13k=10j13k 026 답 ① x+y={1+j2}+{1-j2}=2 xy={1+j2}\{1-j2}=-1 ∴  +   x #+y # xy y @ x  = x @ y   = {x+y}#-3xy{x+y} xy      = 2#-3\{-1}\2 -1 =-14 - =-2에서  027 답 ④ 1 1 x y 2 xy ∴ x $+y $ ={x @+y @}@-2x @y @    =2    ∴ xy=1 x-y xy =2 =9{x-y}@+2xy0@-2{xy}@    ={2@+2\1}@-2\1@=34 028 답 ⑤ x #+y #={x+y}#-3xy{x+y}에서 7=1#-3xy\1    ∴ xy=-2 ∴ x @+y @ ={x+y}@-2xy    =1@-2\{-2}=5 {x #+y #}{x @+y @}=x %+x #y @+x @y #+y %이므로 x %+y % ={x #+y #}{x @+y @}-x @ y @{x+y}    =7\5-{-2}@\1=31 029 답 ④ x @-x-1=0에서 x=0이므로 양변을 x로 나누면  x-1- =0    ∴ x- =1 1 x 1 x 1 x # ∴ x #- [  = x- 1 x ]#+3 =1#+3\1=4 x- [ 1 x ] 030 답 11 1 x @  x @+ = [ x- 1 x ]@+2=3@+2=11 031 답 14 x @-4x+1=0에서 x=0이므로 양변을 x로 나누면 1 x =0    ∴ x+  x-4+ =4 1 x  x @+ 1 x @  = [ x+ 1 x ]@-2    =4@-2=14  x #+ 1 x # [  = x+ 1 x ]#-3 [ =4#-3\4=52 x+ 1 x ] ∴ x #-2x @-10-  =x #+ -2 x @+ -10    2 x @ + 1 x # 1 x # [ 1 x @ ] =52-2\14-10=14 032 답 ② 1 x @  x @+ = [  7= x+ [ x+ 1 x ]@-2에서 1 x ]@-2    ∴ [ 1 x 그런데 x>0이므로 x+ =3 x+ 1 x ]@=9 ∴ x #+ 1 x # [  = x+ 1 x ]#-3 [ =3#-3\3=18 x+ 1 x ] 01 다항식의 연산 5 수학(상) PM 해설 01~03(001~029)OK.indd 5 2017-09-26 오전 10:39:31 033 답 ④ 1 x @ ]@= x @+ [ x @- [ 1 x @ ]@+4={-2j3}@+4=16 그런데 x @>0이므로 x @+ =4 1 x @  x @+ = x+ 1 x @  4= x+ [ 1 x ]@-2에서 [ 1 x ]@-2    ∴ [ 1 x 그런데 x>0이므로 x+ x+ 1 x ]@=6 =j6 1 x ∴  x ^+x $+x @+1 x #  =x #+x+ + 1 x #    [ [ +  = x+ x #+ 1 x # ] 1 x ]#-3 ={j6}#-3\j6+j6=4j6 1 x ]  1 x ] x+ x+  = [ [ + x+ [ 1 x ]    034 답 ③ a @+b @+c @ ={a+b+c}@-2{ab+bc+ca}  =4@-2\5=6 ∴  a bc + + = c ab a @+b @+c @ abc 6 2 = =3 b ca 035 답 ① a @+b @+c @={a+b+c}@-2{ab+bc+ca}에서 21={-1}@-2{ab+bc+ca}    ∴ ab+bc+ca=-10 ∴ a #+b #+c # ={a+b+c}{a @+b @+c @-ab-bc-ca}+3abc  ={-1}\921-{-10}0+3\{-8}=-55 036 답 9 x @+y @+z @={x+y+z}@-2{xy+yz+zx}에서 6=2@-2{xy+yz+zx}    ∴ xy+yz+zx=-1 8=2\96-{-1}0+3xyz    ∴ xyz=-2 x #+y #+z #={x+y+z}{x @+y @+z @-xy-yz-zx}+3xyz에서       ∴ x @y @+y @z @+z @x @ ={xy}@+{yz}@+{zx}@    ={xy+yz+zx}@-2{xy @z+yz @x+zx @y}  ={xy+yz+zx}@-2xyz{x+y+z}  ={-1}@-2\{-2}\2=9 042 답 ① 037 답 ② a-b=5, b-c=-2를 변끼리 더하면 a-c=3 ∴ a @+b @+c @-ab-bc-ca    {2a @+2b @+2c @-2ab-2bc-2ca}  9{a-b}@+{b-c}@+{a-c}@0 95@+{-2}@+3@0  =  = 1 2 1 2 1 2 =19 = 6 정답과 해설 038 답 ④ {3+2}{3@+2@}{3$+2$} ={3-2}{3+2}{3@+2@}{3$+2$}  ={3@-2@}{3@+2@}{3$+2$}    ={3$-2$}{3$+2$}    =3*-2* 039 답 ② 2018=a로 놓으면 2018@ 2017{2018@+2019}+1 a @ {a-1}{a @+a+1}+1      =  =  = a @ a #-1+1 1 a 1 2018 = = a @   a #   ={a #-3a @+3a-1}+{a #+3a @+3a+1}    040 답 ② 100=a로 놓으면 99#+101# ={a-1}#+{a+1}#    =2a #+6a    =2\100#+6\100    =2000600 따라서 구하는 각 자리의 숫자의 합은 2+6=8 041 답 ③ 3\5\17\257+1 32  = {2+1}{2@+1}{2$+1}{2*+1}+1 2%    = {2-1}{2+1}{2@+1}{2$+1}{2*+1}+1 2%    = {2@-1}{2@+1}{2$+1}{2*+1}+1 2%    = {2$-1}{2$+1}{2*+1}+1 2%   {2*-1}{2*+1}+1 2% 2!^-1+1 2%          =  =  = 2!^ 2% =2!!      10=x로 놓으면 10.3=10+ =x+  10.3# = +3\x\ 3 x 이므로 3 3 x ]  x [ x+ 3 10   27 10    [ 27 x # x+  =x #+ +9x+ 3 x ]# =x #+ 27 27 x   x # 27 10# =1092.727  =10#+ +9\10+ 따라서 소수점 아래 첫째 자리의 숫자는 7, 둘째 자리의 숫자는 2 이므로 a=7, b=2 ∴ a+b=9 수학(상) PM 해설 01~03(001~029)OK.indd 6 2017-09-26 오전 10:39:32 043 답 5j2 직육면체의 가로의 길이를 a, 세로의 길이를 b, 높이를 c라고 하면  048 답 ⑤ 다항식 3x #-2x @+10을 x @-x+5로 나누면 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합이 48이므로 4{a+b+c}=48    ∴ a+b+c=12 또 겉넓이가 94이므로 2{ab+bc+ca}=94 ∴ a @+b @+c @ ={a+b+c}@-2{ab+bc+ca}    =12@-94=50 따라서 구하는 대각선의 길이는 1a @+b @+c @3=j50k=5j2 044 답 ② 직사각형 ABCD의 가로의 길이를 x, 세로의 길이를 y라고 하면  또 직사각형 ABCD가 반지름의 길이가 3인 원에 내접하므로 대 직사각형의 둘레의 길이가 16이므로 2{x+y}=16    ∴ x+y=8 각선의 길이는 원의 지름인 6이다. 이때 피타고라스 정리에 의하여 x @+y @=6@ x @+y @={x+y}@-2xy에서 36=8@-2xy    ∴ xy=14 따라서 구하는 직사각형의 넓이는 14이다. 045 답 270 두 정육면체의 한 모서리의 길이를 각각 x, y라고 하면 x+y=9, x #+y #=243 x #+y #={x+y}#-3xy{x+y}에서 243=9#-3xy\9    ∴ xy=18 따라서 구하는 두 정육면체의 겉넓이의 합은 6{x @+y @} =69{x+y}@-2xy0 =6\{9@-2\18}=270 046 답 ④ 다항식 2x #+3x @-x+2를 다항식 A로 나누었을 때의 몫이 2x+1 이고 나머지가 3이므로 2x #+3x @-x+2=A{2x+1}+3 A{2x+1}=2x #+3x @-x-1 ∴ A={2x #+3x @-x-1}_{2x+1} x @+x-1 2x+1 r 2x #+3x @- x- 2x #+ x @ 1 t 2x @- x t  t 2x @+ x -2x-t1 t -2x-1 t0 t ∴ A=x @+x-1 047 답 1 a=2, b=-7, c=6이므로 a+b+c=1 3x+1 x @-x+5 r 3x #-2x @ +1 0 t 3x #-3x @+15x x @-15x+1t0 t x @- x+ 5 -14x+ t5 t 따라서 몫은 3x+1, 나머지는 -14x+5이므로 a=3, b=1, c=-14, d=5    ∴ ad+bc=15-14=1 049 답 ⑤ 다항식 x $-x #+6x @+2x+11을 x @+1로 나누면 x @-x+5 x @+1 r x $-x #+6x @+2x+ x $ + x @ 11 t t  t -x #+5x @+2x -x # - x 5x @+3x+1t1 t + 5 5x @ 3x+ t6 t 따라서 Q{x}=x @-x+5, R{x}=3x+6이므로 Q{1}-R{-1}=5-3=2 050 답 ③ 다항식 x #-4x @+ax-5를 x @+x+b로 나누면 x-5 x @+x+b r x #-4x @+        ax-5 t      t x #+ x @+        bx -5x @+{at-b}x-5 t      t -5x @-        5x-5b {a-b+5}xt-5+5tb t 이때 나머지가 0이므로 {a-b+5}x-5+5b=0 따라서 a-b+5=0, -5+5b=0이므로 a=-4, b=1    ∴ a+b=-3 051 답 몫: 3x+7, 나머지: 7 다항식  f{x}를 x+2로 나누었을 때의 몫이 3x-5이고 나머지가  3이므로 f{x}={x+2}{3x-5}+3=3x @+x-7 f{x}를 x-2로 나누면 3x+7 x-2 r 3x @+ x- 7 t 3x @-6x 7x-t 7 t 7x-14 t 7 t 따라서 구하는 몫은 3x+7, 나머지는 7이다. 01 다항식의 연산 7 수학(상) PM 해설 01~03(001~029)OK.indd 7 2017-09-26 오전 10:39:32 t t t t 052 답 ① 다항식  f{x}를 x+ 1 2  로 나누었을 때의 몫이 Q{x}, 나머지가 R 이므로  f{x} = x+ Q{x}+R    1 2 ] [  ={2x+1}\ 1 2  Q{x}+R  안에 들어갈 수를 각각 p, q라고 3@ 하면 2 3  p=8,  p=12, q=-6 2 3  q=-4에서  또 2a+4=p, 2b+8=q에서  a=4, b=-7 6 6 2a 4 p 2b 8 q   6 -4 2 따라서 다항식  f{x}를 2x+1로 나누었을 때의 몫은  ∴ 6x #+8x @-14x+6 = x- {6x @+12x-6}+2    1 2  Q{x}, 나 2 3 ] [ ={3x-2}{2x @+4x-2}+2 머지는 R이다. 6x #+8x @-14x+6={3x-2}{2x @+4x-2}+2의 양변을 2로 나 053 답 ④ 다항식  f{x}를 3x-2로 나누었을 때의 몫이 Q{x}, 나머지가 R 누면 3x #+4x @-7x+3={3x-2}{x @+2x-1}+1 따라서 Q{x}=x @+2x-1, R=1이므로 a Q{b}+R =4 Q{-7}+1    =4\34+1=137 이므로  f{x} ={3x-2}Q{x}+R  2 3 ] x- \3 Q{x}+R  = [   따라서 다항식  f{x}를 x- 2 3 로 나누었을 때의 몫은 3Q{x}, 나머 지는 R이다. 054 답 -3 조립제법을 이용하여 다항식 x #+2x-3을 x+1로 나누었을 때의  몫과 나머지를 구하면 -1 1 0 -1 2 1 -3 -3 1 -1 3 -6 ∴ a=-1, b=0, c=1, d=3, e=-6 ∴ a+b+c+d+e=-3 20~21쪽 핵심 유형 최종 점검하기 1 답 ④ 01 유형 다항식의 덧셈과 뺄셈 3{A-B}+2{B+C} =3A-3B+2B+2C =3A-B+2C =3{2x #-x @-x+6}-{x #-2x}+2{3x #-x @} =6x #-3x @-3x+18-x #+2x+6x #-2x @ 055 답 x-4 오른쪽과 같이 조립제법을 이용하면 -2 1 -3 -6 9   다항식 x #-3x @-6x+9를 x+2로 나 -2 10 -8 =11x #-5x @-x+18 2 답 ② 02 유형 다항식의 전개식에서 계수 누었을 때의 몫은 x @-5x+4이므로 1 1 -5 4 1 {x @-2x+1}{2x #-x+3}의 전개식에서 Q{x}=x @-5x+4 1 -4 x #항은 x @\{-x}+1\2x #=x #    ∴ a=1 따라서 Q{x}를 x-1로 나누었을 때 1 -4 0 x @항은 x @\3+{-2x}\{-x}=5x @    ∴ b=5 다항식  f{x}를 x- 1 2  로 나누었을 때의 몫이 2x @-2x+6, 나머지 {x+y}{x @-xy+y @}+{x-2y}{x @+2xy+4y @} 의 몫은 x-4이다. 056 답 몫: x @-x+3, 나머지: 5 가 5이므로  f{x} = x- {2x @-2x+6}+5    1 2 ] [ ={2x-1}{x @-x+3}+5 ∴ a+b=6 3 답 ③ 03 유형 곱셈 공식을 이용한 식의 전개 =x #+y #+x #-8y # =2x #-7y # 4 답 x @-y @-z @-2yz 유형 공통부분이 있는 식의 전개 04 따라서 다항식 f{x}를 2x-1로 나누었을 때의 몫은 x @-x+3,   주어진 조립제법은 다항식 6x #+2ax @+2bx+6을 x- 2 3 로 나누었 을 때의 몫과 나머지를 구하는 과정이다. {x+y+z}{x-y-z}=9x+{y+z}09x-{y+z}0 y+z=X로 놓으면 9x+{y+z}09x-{y+z}0 ={x+X}{x-X}    =x @-X @=x @-{y+z}@    =x @-y @-z @-2yz 나머지는 5이다. 057 답 137 8 정답과 해설 수학(상) PM 해설 01~03(001~029)OK.indd 8 2017-09-26 오전 10:39:33 5 답 ④ 04 유형 공통부분이 있는 식의 전개 {x-4y}{x-2y}{x-y}{x+y} =9{x-4y}{x+y}09{x-2y}{x-y}0 ={x @-3xy-4y @}{x @-3xy+2y @} x @-3xy=X로 놓으면 {x @-3xy-4y @}{x @-3xy+2y @} ={X-4y @}{X+2y @} =X @-2y @X-8y $ ={x @-3xy}@-2y @{x @-3xy}-8y $ =x $-6x #y+9x @y @-2x @y @+6xy #-8y $ =x $-6x #y+7x @y @+6xy #-8y $ 6 답 -12 유형 곱셈 공식의 변형 - x N-y N의 값 05 {x+y}@=x @+y @+2xy에서 {-2}@=6+2xy    ∴ xy=-1 직사각형의 가로의 길이를 x, 세로의 길이를 y라고 하면 직사각형 직사각형의 대각선의 길이는 반지름의 길이 10과 같으므로 피타고 11 답 48 09 유형 곱셈 공식의 도형에의 활용 의 둘레의 길이가 28이므로 2{x+y}=28    ∴ x+y=14 라스 정리에 의하여 x @+y @=10@ x @+y @={x+y}@-2xy에서 100=14@-2xy    ∴ xy=48 12 답 ① 10 유형 다항식의 나눗셈 따라서 구하는 직사각형의 넓이는 48이다. ∴ x #+y #-2xy ={x+y}#-3xy{x+y}-2xy    -1이므로 ={-2}#-3\{-1}\{-2}-2\{-1}=-12 f{x} ={x-2}{x @-3}-1    다항식  f{x}를 x-2로 나누었을 때의 몫이 x @-3이고 나머지가   7 답 ② 유형 곱셈 공식의 변형 - x N- 06 의 값 1 x N =3  x-3- =0    ∴ x- 1 x x $+1 x @ x @-3x-1=0에서 x=0이므로 양변을 x로 나누면 1 x 1 x @ 1 x ]@+2- =3@+2-{3#+3\3}=-25 x ^-1 x # 1 x # ]   =x @+ 1 x ]#+3 x #- x- x- ∴  - [  = - - [ [   8 답 ⑤ 07 유형 곱셈 공식의 변형 - a N+b N+c N의 값 1 1 a b ab+bc+ca -4 ab+bc+ca abc =1에서  1 c + + =1 =1    ∴ ab+bc+ca=-4 ∴ a @+b @+c @ ={a+b+c}@-2{ab+bc+ca}    =1@-2\{-4}=9 9 답 ② 07 유형 곱셈 공식의 변형 - a N+b N+c N의 값 x- [ 1 x ]=  =x #-2x @-3x+5 f{x}를 x @-1로 나누면 x-2 x @-1 r x #-2x @-3x+ 5 t x # - x -2x @-2x+t5 t +2 -2x @ -2x+t3 t 따라서 나머지가 -2x+3이므로  a=-2 13 답 몫: 1 3 Q{x}, 나머지: R 유형 몫과 나머지의 변형 11 이므로  f{x} ={x+3}Q{x}+R     ={3x+9}\ 1 3  Q{x}+R a @+b @+c @={a+b+c}@-2{ab+bc+ca}에서 12=2@-2{ab+bc+ca}    ∴ ab+bc+ca=-4 a #+b #+c #={a+b+c}{a @+b @+c @-ab-bc-ca}+3abc에서 8=2\912-{-4}0+3abc    ∴ abc=-8 머지는 R이다. 14 답 ① 12 유형 조립제법 조립제법을 이용하여 다항식 x #-3x+a를 x-1로 나누었을 때의  따라서 다항식  f{x}를 3x+9로 나누었을 때의 몫은  1 3  Q{x}, 나 10 답 1 08 유형 곱셈 공식을 이용한 수의 계산 1004=a로 놓으면 1002\1006+4 1004@  = {a-2}{a+2}+4 a @     = a @-4+4 a @ =1 몫과 나머지를 구하면 1 1 -3 a 0 1 1 -2 1 1 -2 -1 ∴ b=1, c=0, d=1, e=-2 이때 a-2=-1이므로 a=1 01 다항식의 연산 9 다항식  f{x}를 x+3으로 나누었을 때의 몫이 Q{x}, 나머지가 R 수학(상) PM 해설 01~03(001~029)OK.indd 9 2017-09-26 오전 10:39:33 t 02 나머지정리와 인수분해   유형01  ①  유형02  -2  유형03  5 유형04  ②  유형05  20  유형06  ⑤  유형07  8 유형08  -x+2   유형09  4  유형10  1  유형11  ①  유형12  2  유형13  ④  유형14  ③  유형15  ④  유형16  ⑤  유형17  ③  유형18  -2  유형19  ④  유형20  ③  유형21  ⑤  유형22  ① 002  2  001  3  006  -6  007  ①  003  6  008  ④  004  ②  009  ①  012  ③  013  ②  014  ⑤  011  ④  016  ②  021  12  025  4x-5   017  ②  022  14  018  -3  019  ③  024  ①  023  ③  027  2x  026  ④  029  -x @+2x-1  030  2x @+5x+1  032  4  033  ①  034  18  035  ②  005  ⑤ 010  1 015  ⑤ 020  -6 028  ④  031  ①  036  -12  037  6  038  ①  039  2  040  ⑤  041  -10  042  ③  043  -2  044  ③  045  ①  046  ②  047  3  048  ④  049  ⑤  050  {x+y}@{x-y}@  051  ⑤  052  x{x-3y}#    053  {x-y}{x @+xy+y @}{x @-xy+y @}  055  ②  056  {a+b-1}{a+b-2}  054  ③  057  ①  058  ③  059  -13  060  ②  061  ③  062  ⑤  063  ①  064  ③  065  ④    066  {x-y+1}{x @-x-y+1}  068  ㄴ, ㄷ 069  14  070  {x+1}{x+2}{x-3}  067  ④    071  ⑤  072  ④  073  2  074  ②  075  ②  076  ④  077  ③  078  정삼각형  079  ⑤  080  ③  081  ④  082  ②  083  417  084  ④  085  ①  086  ③ 2  ①  7  7  12  24  1  ③  6  11  11  12  15  2x @+10x-6  18  {x-y-z}{x+y-z-1}  3  ②  8  -5  13  ④  16  ③  21  ⑤  22  12  23  ② 4  64  9  ⑤  14  ⑤  17  ④  19  2  5  ③  10  ⑤  20  -5  10 정답과 해설 핵심 유형 24~26쪽 유형01 답 ① 주어진 등식에서 좌변을 정리하면 x #+{a-9}x+3a=x #+bx-18 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a-9=b, 3a=-18 두 식을 연립하여 풀면  a=-6, b=-15 ∴ a+b=-21 유형02 답 -2 주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면 2=-2c    ∴ c=-1 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 a+3=0    ∴ a=-3 주어진 등식의 양변에 x=-2를 대입하면 6-2a=6b, 12=6b    ∴ b=2 ∴ a+b+c=-2 유형03 답 5 주어진 이차방정식에 x=1을 대입하면 1-{k+1}+{k-3}a-b+1=0 ∴ {a-1}k-3a-b+1=0 이 등식이 k에 대한 항등식이므로 a-1=0, -3a-b+1=0 두 식을 연립하여 풀면  a=1, b=-2 ∴ a @+b @=1+4=5 유형04 답 ② 주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면 1=a0 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 0=a0+a1+a2+y+a6 ∴ a1+a2+a3+y+a6 ={a0+a1+a2+y+a6}-a0  =0-1=-1 유형05 답 20 다항식 x #+ax @+b를 x @-x+2로 나누었을 때의 몫을   x+c ( c는 상수)라고 하면 x #+ax @+b ={x @-x+2}{x+c}-6x+4    =x #+{c-1}x @-{c+4}x+2c+4     이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a=c-1, 0=c+4, b=2c+4 세 식을 연립하여 풀면  a=-5, b=-4, c=-4 ∴ ab=20 수학(상) PM 해설 01~03(001~029)OK.indd 10 2017-09-26 오전 10:39:33 유형06 답 ⑤ 다음과 같이 조립제법을 이용하면 2 1 -1 4 10 14 6 5 10 15 1 2 3 2 5 2 7 2 1 2 1 1 따라서 a=1, b=7, c=15, d=14이므로 a+b-c+d=7 유형07 답 8 f{x}=x #+ax @+bx-5라고 하면 나머지정리에 의하여 f{1}=2,  f{-2}=-1 f{1}=2에서 1+a+b-5=2, a+b=6 yy ㉠ f{-2}=-1에서 -8+4a-2b-5=-1, 2a-b=6 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=2 ∴ ab=8 유형08 답 -x+2 나머지정리에 의하여  f{-2}=4,  f{3}=-1 f{x}를 x @-x-6으로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를   ax+b ( a, b는 상수)라고 하면 f{x} ={x @-x-6}Q{x}+ax+b    ={x+2}{x-3}Q{x}+ax+b f{-2}=4에서 -2a+b=4 yy ㉠ f{3}=-1에서 3a+b=-1 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=2 따라서 구하는 나머지는 -x+2 유형09 답 4 나머지정리에 의하여  f{-3}=4 따라서  f{-4x+9}를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 f{-4\3+9}= f{-3}=4 유형10 답 1 f{x}=x #-3x @+6이라고 하면  f{1}=4이므로 f{x}={x-1}Q{x}+4 yy ㉠ 유형12 답 2 f{x}=ax #-5x @+bx+2라고 하면  f{x}가 x-1, x-2로 각각  나누어떨어지므로 f{1}=0,  f{2}=0 f{1}=0에서 a-5+b+2=0, a+b=3 yy ㉠ f{2}=0에서 8a-20+2b+2=0, 4a+b=9 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=1 ∴ ab=2 유형13 답 ④ f{x}=2x #-5x @+ax+b라고 하면  f{x}가 x @-x-6, 즉   {x+2}{x-3}으로 나누어떨어지므로 f{-2}=0,  f{3}=0 f{-2}=0에서 -16-20-2a+b=0 2a-b=-36 yy ㉠ f{3}=0에서 54-45+3a+b=0 3a+b=-9 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-9, b=18 ∴ a+b=9 핵심 유형 완성하기 27~33쪽 001 답 3 주어진 등식에서 우변을 정리하면 x #-2x @+ax-32=x #+{b+c}x @+{bc-16}x-16b 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 -2=b+c, a=bc-16, -32=-16b 세 식을 연립하여 풀면  a=-24, b=2, c=-4 ∴  a bc = -24 2\{-4} =3 002 답 2 주어진 등식을 k에 대하여 정리하면 {x+y-3}k+2x-3y+4=0 이 등식이 k에 대한 항등식이므로 이때  f{-1}=2이고 Q{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지는   x+y-3=0, 2x-3y+4=0 Q{-1}이므로 ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=2 2=-2Q{-1}+4    ∴ Q{-1}=1 ∴ xy=2 유형11 답 ① x !))을 x+1로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 R라고 하면 003 답 6 주어진 등식에서 좌변을 x, y에 대하여 정리하면 x !))={x+1}Q{x}+R 양변에 x=-1을 대입하면 R=1 19!))=20Q{19}+1 따라서 구하는 나머지는 1이다. {a+b}x+{a-2b}y+c=4x+y+2 이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=1 ∴ abc=6 x !))={x+1}Q{x}+1의 양변에 x=19를 대입하면 a+b=4 yy ㉠, a-2b=1 yy ㉡, c=2 02 나머지정리와 인수분해 11 수학(상) PM 해설 01~03(001~029)OK.indd 11 2017-09-26 오전 10:39:33 004 답 ② 주어진 식의 일정한 값을 k라고 하면 6x+3a 2x+4 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 =k    ∴ 6x+3a=2kx+4k 6=2k, 3a=4k 두 식을 연립하여 풀면 k=3, a=4 005 답 ⑤ 주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면 -2b=-4    ∴ b=2 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 3c=-3    ∴ c=-1 주어진 등식의 양변에 x=2를 대입하면 6a=6    ∴ a=1 ∴ a+b+c=2 006 답 -6 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면  c=3 주어진 등식의 양변에 x=-2를 대입하면 9=-3b+c, 9=-3b+3    ∴ b=-2 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 5=-2a-2b+c, 5=-2a+4+3    ∴ a=1 ∴ abc=-6 007 답 ① 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 0=1+a+b, a+b=-1 yy ㉠ 주어진 등식의 양변에 x @=2를 대입하면 0=4+2a+b, 2a+b=-4 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=2    ∴ ab=-6 008 답 ④ 주어진 이차방정식에 x=1을 대입하면 a-b{k+2}+a{k-1}=4 ∴ {a-b}k-2b-4=0 이 등식이 k에 대한 항등식이므로 a-b=0, -2b-4=0 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=-2    ∴ ab=4 009 답 ① x-y=-1에서 x=y-1을 주어진 등식에 대입하면 {y-1}@-2{y-1}=ay @+by+c y @-4y+3=ay @+by+c 이 등식이 y에 대한 항등식이므로 a=1, b=-4, c=3    ∴ abc=-12 12 정답과 해설 010 답 1 주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면 -1=a0 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 0=a0+a1+a2+y+a5 ∴ a1+a2+a3+a4+a5 ={a0+a1+a2+y+a5}-a0    =0-{-1}=1 011 답 ④ 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 {1+1-1}&=a0-a1+a2-a3+y+a14 ∴ a0-a1+a2-a3+y+a14=1 012 답 ③ 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 2!)=a0+a1+a2+y+a10 yy ㉠ 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 0=a0-a1+a2-y+a10 yy ㉡ ㉠+㉡을 하면 2!)=2{a0+a2+a4+y+a10} ∴ a0+a2+a4+y+a10=2(=512 013 답 ② {3x-5}%{x #-4x @+3x-1}^=a0+a1 x+a2 x @+y+a23 x @#   ( a0, a1, y, a23은 상수) 이라 하고 양변에 x=1을 대입하면 -32=a0+a1+a2+y+a23 따라서 상수항을 포함한 모든 계수의 합은 -32이다. 014 답 ⑤ 다항식 x #+ax @+b를 x @-x+3으로 나누었을 때의 몫을    x+c ( c는 상수)라고 하면 x #+ax @+b ={x @-x+3}{x+c}+2    =x #+{c-1}x @+{-c+3}x+3c+2 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a=c-1, 0=-c+3, b=3c+2 세 식을 연립하여 풀면 a=2, b=11, c=3 ∴ a+b=13 015 답 ⑤ 다항식 x #+ax @+bx+6을 x @-4x+3으로 나누었을 때의 몫을   x+c ( c는 상수)라고 하면 x #+ax @+bx+6 ={x @-4x+3}{x+c}    =x #+{c-4}x @+{-4c+3}x+3c 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a=c-4, b=-4c+3, 6=3c 세 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=-5, c=2 ∴ ab=10 수학(상) PM 해설 01~03(001~029)OK.indd 12 2017-09-26 오전 10:39:34 016 답 ② 다항식 x $+2x #+4x @+4를 x @+ax+b로 나누었을 때의 몫이   x @+1이고 나머지가 -2x+1이므로 f{-1}=1에서 -1+2-a+b=1 a-b=0 yy ㉠ f{-3}=-3에서 -27+18-3a+b=-3 x $+2x #+4x @+4 ={x @+ax+b}{x @+1}-2x+1    3a-b=-6 yy ㉡ =x $+ax #+{b+1}x @+{a-2}x+b+1 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=-3 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 2=a, 4=b+1, 0=a-2, 4=b+1 따라서 a=2, b=3이므로 a-b=-1 017 답 ② 다음과 같이 조립제법을 이용하면 1 1 -2 1 2 3 4 2 5 7 3 1 4 1 5 1 6 1 1 1 1 1 a-b+c=2 018 답 -3 p-1=2에서 p=3 q-2=-1에서 q=1 abcpq=-3 따라서 a=6, b=7, c=3이므로  주어진 조립제법에서 a=1, b=1, c=-1이므로 -2 1 21 21 -2 -12 -18 -2 1 -2 1 -2 -8 3 9 1 8 6 4 2 -2 1 따라서 a=2, b=1, c=3이므로 f{x}={x+2}#+2{x+2}@+{x+2}+3 ∴   f{98} =100#+2\100@+100+3    =1020103 이때 각 자리의 숫자의 합은  1+2+1+3=7 020 답 -6 f{x}=x #+2x @+ax+b라고 하면 나머지정리에 의하여 f{-1}=1,  f{-3}=-3 ∴ a+b=-6 021 답 12 나머지정리에 의하여  f{2}=4 따라서 {x+1} f{x}를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 {2+1} f{2}=3\4=12 022 답 14 나머지정리에 의하여  f{-1}=2이므로 -1+a+5=2    ∴ a=-2 따라서  f{x}=x #-2x @+5이므로  f{x}를 x-3으로 나누었을 때 의 나머지는 f{3}=14 023 답 ③ f{x}=x #+2x @-ax+1이라고 하면 나머지정리에 의하여 f{-2}= f{3}이므로 2a+1=-3a+46    ∴ a=9 024 답 ① 나머지정리에 의하여  f{3}=3, g{3}=-2 따라서  f{x}g{x}를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 f{3} g{3}=-6 ax+b ( a, b는 상수)라고 하면 f{x} ={x @-3x+2}Q{x}+ax+b    ={x-1}{x-2}Q{x}+ax+b f{1}=-1에서 a+b=-1 yy ㉠ f{2}=3에서 2a+b=3 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=-5 따라서 구하는 나머지는 4x-5 026 답 ④ 나머지정리에 의하여  f{-2}=1,  f{2}=5 R{x}=ax+b ( a, b는 상수)라고 하면 x @ f{x} ={x @-4}Q{x}+ax+b    ={x+2}{x-2}Q{x}+ax+b 양변에 x=-2를 대입하면 4\1=-2a+b yy ㉠ 양변에 x=2를 대입하면 4\5=2a+b yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=12 따라서 R{x}=4x+12이므로 R{1}=16 02 나머지정리와 인수분해 13 019 답 ③ x #+8x @+21x+21={x+2}#+a{x+2}@+b{x+2}+c이므로  다음과 같이 조립제법을 이용하면 025 답 4x-5 나머지정리에 의하여  f{1}=-1,  f{2}=3 f{x}를 x @-3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를   =1000000+20000+100+3    x @ f{x}를 x @-4로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를   수학(상) PM 해설 01~03(001~029)OK.indd 13 2017-09-26 오전 10:39:34 027 답 2x f{x}를 x @+x-6으로 나누었을 때의 몫을 Q1{x}라고 하면 030 답 2x @+5x+1 f{x}를 {x+1}@{x+2}로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를   f{x}를 x @-2x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q2{x}라고 하면 ax @+bx+c를 {x+1}@으로 나누었을 때의 나머지가 x-1이다. ax @+bx+c ( a, b, c는 상수)라고 하면 f{x}={x+1}@{x+2}Q{x}+ax @+bx+c yy ㉠ f{x}를 {x+1}@으로 나누었을 때의 나머지가 x-1이므로 ㉠에서  f{x}를 x @-x-2로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를   한편  f{x}를 x+2로 나누었을 때의 나머지가 -1이므로   f{x} ={x @+x-6}Q1{x}+4    ={x+3}{x-2}Q1{x}+4 ∴  f{2}=4 f{x} ={x @-2x-3}Q2{x}+x-1    ={x+1}{x-3}Q2{x}+x-1 ∴  f{-1}=-2 ax+b ( a, b는 상수)라고 하면 f{x} ={x @-x-2}Q{x}+ax+b    ={x+1}{x-2}Q{x}+ax+b f{-1}=-2에서 -a+b=-2 yy ㉠ f{2}=4에서 2a+b=4 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=0 따라서 구하는 나머지는 2x ∴ ax @+bx+c=a{x+1}@+x-1 이를 ㉠에 대입하면 f{x}={x+1}@{x+2}Q{x}+a{x+1}@+x-1 f{-2}=-1에서 a-3=-1    ∴ a=2 따라서 구하는 나머지는 2{x+1}@+x-1=2x @+5x+1 031 답 ① 나머지정리에 의하여  f{-1}=-2 따라서  f{x+6}을 x+7로 나누었을 때의 나머지는 f{-7+6}= f{-1}=-2 028 답 ④ x !)+x &+x %+x @을 x #-x로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를  ax @+bx+c ( a, b, c는 상수)라고 하면 x !)+x &+x %+x @ ={x #-x}Q{x}+ax @+bx+c   032 답 4 f{x}를 {x+2}{x-1}로 나누었을 때의 몫을 Q{x}라고 하면 f{x}={x+2}{x-1}Q{x}+x+3 =x{x+1}{x-1}Q{x}+ax @+bx+c ∴  f{1}=4 양변에 x=0을 대입하면  0=c yy ㉠ 양변에 x=-1을 대입하면  0=a-b+c yy ㉡ 양변에 x=1을 대입하면  4=a+b+c yy ㉢ ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=2, b=2, c=0 따라서 구하는 나머지는 2x @+2x 029 답 -x @+2x-1 f{x}를 x{x+1}로 나누었을 때의 몫을 Q1{x}라고 하면 f{x}=x{x+1}Q1{x}+3x-1 ∴  f{0}=-1,  f{-1}=-4 f{x}={x+1}{x-2}Q2{x}+x-3 ∴  f{2}=-1 f{x}를 {x+1}{x-2}로 나누었을 때의 몫을 Q2{x}라고 하면 ax @+bx+c ( a, b, c는 상수)라고 하면 f{x}=x{x+1}{x-2}Q{x}+ax @+bx+c f{0}=-1에서 c=-1 yy ㉠ f{-1}=-4에서 a-b+c=-4 yy ㉡ f{2}=-1에서 4a+2b+c=-1 yy ㉢ 14 정답과 해설 따라서  f{3x-5}를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 f{3\2-5}= f{1}=4 033 답 ① f{x}를 x @+5x+6으로 나누었을 때의 몫을 Q{x}라고 하면 따라서 {4x @-1} f{2x-5}를 2x-3으로 나누었을 때의 나머지는 f{x} ={x @+5x+6}Q{x}+3x+2    ={x+3}{x+2}Q{x}+3x+2 ∴  f{-2}=-4 [ 4\ -1 2\ -5 f ] [ =8 f{-2}    ] 3 2 9 4 =8\{-4}=-32 034 답 18 f{x}=x #-x-5라고 하면  f{2}=1이므로 x #-x-5={x-2}Q{x}+1 yy ㉠ 19=Q{3}+1    ∴ Q{3}=18 035 답 ② f{x}={x+3}Q{x}+2 yy ㉠ f{x}를 x{x+1}{x-2}로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를   양변에 x=3을 대입하면 이때 Q{x}를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 Q{3}이므로 ㉠의  ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-1, b=2, c=-1 었을 때의 나머지는 Q{2}이므로 ㉠의 양변에 x=2를 대입하면 따라서 구하는 나머지는 -x @+2x-1 -3=5Q{2}+2    ∴ Q{2}=-1 이때 나머지정리에 의하여  f{2}=-3이고 Q{x}를 x-2로 나누 수학(상) PM 해설 01~03(001~029)OK.indd 14 2017-09-26 오전 10:39:34 036 답 -12 f{x}={x-1}Q{x}+3 yy ㉠ 이때 나머지정리에 의하여 Q{-2}=5이고  f{x}를 x+2로 나누었 을 때의 나머지는  f{-2}이므로 ㉠의 양변에 x=-2를 대입하면 ∴ a+b=-10 f{-2} =-3Q{-2}+3=-3\5+3=-12 f{3}=0에서 27+9a+3b-15=0 3a+b=-4 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-13 042 답 ③ f{x}=2x $-3x #+kx @-x+7이라고 하면  f{x}가 x-1을 인수로  037 답 6 f{x}={x @-2x+4}Q{x}+3x+2 yy ㉠ Q{x}를 x+2로 나누었을 때의 몫을 Q'{x}라고 하면 Q{x}={x+2}Q'{x}+1 yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 f{x} ={x @-2x+4}9{x+2}Q'{x}+10+3x+2    ={x #+8}Q'{x}+x @+x+6 따라서 R{x}=x @+x+6이므로 R{-1}=6 038 답 ① x %)을 x-1로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 R라고 하면 x %)={x-1}Q{x}+1의 양변에 x=9를 대입하면 x %)={x-1}Q{x}+R 양변에 x=1을 대입하면 R=1 9%)=8Q{9}+1 따라서 구하는 나머지는 1이다. 039 답 2 2x %)을 x+1로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 R라고 하면 2x %)={x+1}Q{x}+R 양변에 x=-1을 대입하면 R=2 2x %)={x+1}Q{x}+2의 양변에 x=3을 대입하면 가지므로  f{1}=0에서 2-3+k-1+7=0    ∴ k=-5 043 답 -2 f{x+1}이 x+2로 나누어떨어지므로 f{-2+1}= f{-1}=0 -2+a+3+1=0    ∴ a=-2 044 답 ③ f{-1}=-1,  f{1}=1,  f{2}=2에서 f{-1}+1=0,  f{1}-1=0,  f{2}-2=0 즉,  f{x}-x는 x+1, x-1, x-2로 나누어떨어진다. 이때  f{x}는 x #의 계수가 1인 삼차식이므로 f{x}-x={x+1}{x-1}{x-2} ∴  f{x}={x+1}{x-1}{x-2}+x 따라서  f{x}를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 f{3}={3+1}{3-1}{3-2}+3=11 045 답 ① f{x}=x #+x @+ax+b라고 하면  f{x}가 x @-x-2, 즉  {x+1}{x-2}로 나누어떨어지므로 f{-1}=0,  f{2}=0 f{-1}=0에서 -1+1-a+b=0 a-b=0 yy ㉠ f{2}=0에서 8+4+2a+b=0 2a+b=-12 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=-4 2\3%)=4Q{3}+2 따라서 구하는 나머지는 2이다. 040 답 ⑤ 2@)!*={2%}$)#\2#=8\32$)# 8x $)#={x-1}Q{x}+R 양변에 x=1을 대입하면 R=8 8\32$)#=31Q{32}+8 ∴ 2@)!*=31Q{32}+8 따라서 구하는 나머지는 8이다. 8x $)#을 x-1로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 R라고 하면 ∴ a+b=-8 8x $)#={x-1}Q{x}+8의 양변에 x=32를 대입하면 046 답 ② f{x}=2x #-11x @+ax+b가 x @-5x+6, 즉 {x-2}{x-3}으로  041 답 -10 f{x}=x #+ax @+bx-15라고 하면  f{x}가 x+1, x-3으로 각각  나누어떨어지므로 f{-1}=0,  f{3}=0 f{-1}=0에서 -1+a-b-15=0 a-b=16 yy ㉠ 나누어떨어지므로 f{2}=0,  f{3}=0 f{2}=0에서 16-44+2a+b=0 2a+b=28 yy ㉠ f{3}=0에서 54-99+3a+b=0 3a+b=45 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=17, b=-6 ∴  f{x}=2x #-11x @+17x-6 따라서  f{x}를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 f{1}=2 02 나머지정리와 인수분해 15 수학(상) PM 해설 01~03(001~029)OK.indd 15 2017-09-26 오전 10:39:35 047 답 3 f{x}-3이 x @-1, 즉 {x+1}{x-1}로 나누어떨어지므로 유형18 답 -2 f{x}=x #+2x @-x-2라고 할 때,  f{1}=0이므로 조립제법을 이 f{-1}-3=0,  f{1}-3=0 ∴  f{-1}=3,  f{1}=3 f{x+2}를 x @+4x+3으로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를   ax+b ( a, b는 상수)라고 하면 f{x+2} ={x @+4x+3}Q{x}+ax+b    ={x+3}{x+1}Q{x}+ax+b 양변에 x=-3을 대입하면 3=-3a+b yy ㉠ 양변에 x=-1을 대입하면 3=-a+b yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=3 따라서 구하는 나머지는 3이다. 용하여 인수분해하면 1 1 -1 -2 2 1 3 1 3 2 2 0 ∴ a+b-c=-2 유형19 답 ④ x #+2x @-x-2 ={x-1}{x @+3x+2}    ={x-1}{x+1}{x+2} 이때 ay이므로 x= 1 2 a =-q b w이므로 a>0, b<0 048 답 2a+2b ja jb 이때 a>b이므로 a-b>0 ∴ 1{a-b}@3+|a|-31b @2 ={a-b}+a-3{-b}    =a-b+a+3b  =2a+2b 049 답 ④ ja k jb=-jabk이므로 a<0, b<0 ① j-ak jb=j-ak j-bk i=jabk i=j-abl ② 1ab @2=1-ab @3 i=-bj-al i=-bja k b =q a ③  = w 1-b3 i j-al i 1b ja 28 정답과 해설 ④  1-b3 ja = 1-b3 j-al i =- 1-b3 j-al b  i=-q a w i=-q- b a w ⑤ |a+b|=-{a+b}=-a-b=|a|+|b| 050 답 ① ㈎에서 a<0, b>0이므로 a0 3 2  b이므로 c=-a=  2a+3b=0에서 -a= 3 2  b 이때 b>0, c>0이고 c= 3 2  b이므로 b0 =b+c 03 복소수 29 수학(상) PM 해설 01~03(001~029)OK.indd 29 2017-09-26 오전 10:39:40 C C C C C C C C C C C Z Z C C C C C C C C C C C Z Z C C C C Z C 유형02 답 -3 주어진 방정식의 한 근이 -2이므로 x=-2를 대입하면 4-2k+6=0    / k=5 즉, 주어진 방정식은 x@+5x+6=0이므로 {x+3}{x+2}=0    / x=-3 또는 x=-2 따라서 다른 한 근은 -3이다. 유형03 답 ③ ! x<-3일 때   |x+3|=-{x+3}이므로   x@-{x+3}-9=0, x@-x-12=0   {x+3}{x-4}=0      / x=-3 또는 x=4   그런데 x<-3이므로 이를 만족하는 해는 없다. @ x>-3일 때   |x+3|=x+3이므로   x@+{x+3}-9=0, x@+x-6=0   {x+3}{x-2}=0      / x=-3 또는 x=2 !, @에 의하여 x=-3 또는 x=2 따라서 방정식의 모든 근의 곱은 -3\2=-6 유형04 답 ⑤ x@-2kx+k@=-4x+5에서  x@-2{k-2}x+k@-5=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D<0이어야 하므로 D 4   ={k-2}@-1\{k@-5}  =-4k+9<0 / k> 9 4 유형05 답 서로 다른 두 실근 b-ac=2에서 ac=b-2 D  =b@-4ac=b@-4{b-2}  =b@-4b+8={b-2}@+4>0 이차방정식 ax@+bx+c=0의 판별식을 D라고 하면 따라서 이차방정식 ax@+bx+c=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다. 유형06 답 ⑤ 이차방정식 x@-2ax+b@+c@=0의 판별식을 D라고 하면 D=0 이어야 하므로 D 4   ={-a}@-1\{b@+c@}    =a@-b@-c@=0 / a@=b@+c@       04 이차방정식   유형01  ②  유형02  -3  유형03  ③ 유형04  ⑤  유형07   5 4 유형11  17  유형05  서로 다른 두 실근  유형06  ⑤  유형08  20  유형09  ②  유형10  4  유형12  x@-x-4=0  유형13  ③  유형14  {x-2-i}{x-2+i}  유형15  5  유형16  ① 001  ③  002  ②  003  5  004  1  005  ① 006  ①  007  4  008  ②  009  ①  010  x=-3 또는 x=3 011  ⑤  012  k<-4  013  ③  014  ②  015  ②  016  ③  017  ①  018  서로 다른 두 허근  019  서로 다른 두 실근 020  빗변의 길이가 a인 직각삼각형  021  ③  026  22  023  ①  025  ②  024  ⑤  022  ②  027  ①  028  ④  029  9  030  ④  033  ①  034  -3  035  ③  031  ②  1 2   036  -3  037  ⑤  032   038  ④  039  10  040  ②  041  ④  042  ③  043  x@+x+4=0  044  1  045  ⑤  046  5x@-7x+1=0  047  ③  048  -2  049  ④  050  ②  051  ②  052  ②  053  ①  054  ⑤  055  ②  056  ⑤ 1  ④  2  ①  6  서로 다른 두 실근  10  ①  11  ③  15  x@-x+3=0  18  6x@+x-1=0 3  ③  7  ③  12  ③  16  ④  4  ③  8  1  13  ④  17  ③ 5  ⑤ 9  2  14  ②  핵심 유형 62~63쪽 유형01 답 ② x@+3x-1=0에서 근의 공식에 의하여 x  = -3-13@-4\1\{-1}3 2\1   = -3-j13k 2 30 정답과 해설 따라서 a=-3, b=13이므로 a+b=10 인 직각삼각형이다. 따라서 a, b, c를 세 변의 길이로 하는 삼각형은 빗변의 길이가 a 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 30 2017-09-26 오후 12:30:23 유형07 답 5 4 x@+{2k+1}x+k@+2k-1이 완전제곱식이 되려면 이차방정식  x@+{2k+1}x+k@+2k-1=0이 중근을 가져야 한다. 따라서 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=0이어야 하므로 D  ={2k+1}@-4\1\{k@+2k-1}    즉, 주어진 방정식은 4x@+8x+3=0이므로 {2x+3}{2x+1}=0     또는 x=- 1 / x=- 3 2 2 3 2 이다.  따라서 다른 한 근은 - =-4k+5=0    / k= 5 4 핵심 유형 완성하기 64~67쪽 001 답 ③ x@+4x+2=0에서 근의 공식에 의하여 x=-2-12@-1\23=-2-j2 따라서 a=-2, b=2이므로  a+b=0 002 답 ② x{x+3}=3{x@-1}-2x에서  2x@-5x-3=0, {2x+1}{x-3}=0 / x=-  또는 x=3 1 2 003 답 5 9x◎{x+2}0+9{x-1}◎20=7에서 9x{x+2}-x+{x+2}0+9{x-1}\2-{x-1}+20-7=0 {x@+2x+2}+{x+1}-7=0 x@+3x-4=0, {x+4}{x-1}=0 / x=-4 또는 x=1 따라서 a=-4, b=1 또는 a=1, b=-4이므로 |a|+|b|=|-4|+|1|=5 004 답 1 주어진 방정식의 양변에 j2+1을 곱하면 {j2+1}{j2-1}x@-{j2+1}{2+j2}x+{j2+1}\3=0 x@-{4+3j2}x+3+3j2=0 {x-1}{x-3-3j2}=0 / x=1 또는 x=3+3j2 따라서 유리수인 근은 1이다. 005 답 ① 주어진 방정식의 한 근이 - 1-4+k=0    / k=3 1 2 이므로 x=- 1 2  을 대입하면 006 답 ① 주어진 방정식의 한 근이 -1이므로 x=-1을 대입하면 즉, 주어진 방정식은 x@+7x+6=0이므로 1-{2k+1}+k+3=0 -k+3=0    / k=3 {x+6}{x+1}=0    / x=-6 또는 x=-1 따라서 a=-6이므로 a k -6 3 =-2 = 007 답 4 x@+{a+1}x+2a=0의 한 근이 -4이므로 x=-4를 대입하면 16-4{a+1}+2a=0 -2a+12=0    / a=6 x@-3bx+b-5=0의 한 근이 1이므로 x=1을 대입하면 1-3b+b-5=0, -2b-4=0    / b=-2 / a+b=4 008 답 ② x@+x-a=0의 한 근이 1이므로 x=1을 대입하면 1+1-a=0    / a=2 3x@+bx+a=0의 한 근이 1이므로 x=1을 대입하면 3+b+a=0, b+5=0    / b=-5 / ab=-10 009 답 ① ! x<-1일 때   |x+1|=-{x+1}이므로   x@+{x+1}-1=0   x@+x=0, x{x+1}=0      / x=-1 또는 x=0   그런데 x<-1이므로 이를 만족하는 해는 없다. @ x>-1일 때   |x+1|=x+1이므로   x@-{x+1}-1=0   x@-x-2=0, {x+1}{x-2}=0      / x=-1 또는 x=2 !, @에 의하여 x=-1 또는 x=2 따라서 방정식의 모든 근의 합은  -1+2=1 04 이차방정식 31 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 31 2017-09-26 오후 12:30:23 010 답 x=-3 또는 x=3 ! x<0일 때   x@+x-6=0, {x+3}{x-2}=0 / x=-3 또는 x=2   그런데 x<0이므로 x=-3 @ x>0일 때   x@-x-6=0, {x+2}{x-3}=0 / x=-2 또는 x=3   그런데 x>0이므로 x=3 !, @에 의하여 방정식의 해는  x=-3 또는 x=3 다른 풀이   x@=|x|@이므로 |x|@-|x|-6=0, {|x|+2}{|x|-3}=0 / |x|=-2 또는 |x|=3 그런데 |x|>0이므로 |x|=3 / x=-3 또는 x=3 011 답 ⑤ 1x@-6x+93=1{x-3}@3=|x-3|이므로 x@-8x+41x@-6x+93=0에서 x@-8x+4|x-3|=0 ! x<3일 때   |x-3|=-{x-3}이므로   x@-8x-4{x-3}=0   x@-12x+12=0   / x=6-2j6   그런데 x<3이므로 x=6-2j6 @ x>3일 때   |x-3|=x-3이므로   x@-8x+4{x-3}=0   x@-4x-12=0   {x+2}{x-6}=0      / x=-2 또는 x=6   그런데 x>3이므로 x=6 !, @에 의하여 x=6-2j6 또는 x=6 따라서 a=6-2j6, b=6이므로 b-a 6-{6-2j6} 2 2 = =j6 012 답 k<-4 x@+2kx+k@=2x-9에서  x@+2{k-1}x+k@+9=0 013 답 ③ ㄱ. x@+x+4=0의 판별식을 D1이라고 하면   D1=1@-4\1\4=-15<0   즉, 주어진 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. ㄴ. x@+3x-2=0의 판별식을 D2라고 하면   D2=3@-4\1\{-2}=17>0   즉, 주어진 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. x@-4x+5=0의 판별식을 D3이라고 하면 ={-2}@-1\5=-1<0   즉, 주어진 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. ㄹ. x@+6x+9=0의 판별식을 D4라고 하면 =3@-1\9=0   즉, 주어진 이차방정식은 중근을 갖는다. 따라서 보기 중 허근을 갖는 이차방정식은 ㄱ, ㄷ이다.     D3 4 D4 4 014 답 ② x@+4kx+3k=2kx-4에서  x@+2kx+3k+4=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=0이어야 하므로 D 4   =k@-1\{3k+4}  =k@-3k-4=0 {k+1}{k-4}=0 / k=-1 또는 k=4 따라서 모든 실수 k의 값의 합은 -1+4=3 015 답 ② x@+4x+k@=2kx+8에서  x@-2{k-2}x+k@-8=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D>0이어야 하므로 D 4   ={k-2}@-1\{k@-8}  =-4k+12>0 / k<3 따라서 실수 k의 최댓값은 3이다. 016 답 ③ x@+2{k-a}x+k@-4k+b=0의 판별식을 D라고 하면 D=0이     이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D>0이어야 하므로 D 4   ={k-1}@-1\{k@+9}  =-2k-8>0 / k<-4 32 정답과 해설 어야 하므로 D 4   ={k-a}@-1\{k@-4k+b}=0 2{2-a}k+a@-b=0 이 등식이 k에 대한 항등식이므로   2-a=0, a@-b=0    / a=2, b=4 / ab=8 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 32 2017-09-26 오후 12:30:23 017 답 ① 2a=bc+1에서 bc=2a-1 이차방정식 x@+2ax+bc=0의 판별식을 D라고 하면 D 4   =a@-bc=a@-{2a-1}  =a@-2a+1={a-1}@>0 022 답 ② 이차방정식 {a+c}x@+2bx+a-c=0의 판별식을 D라고 하면  D 4   =b@-{a+c}{a-c}  =b@-a@+c@>0      / b@+c@>a@ 따라서 이차방정식 x@+2ax+bc=0은 실근을 갖는다. 따라서 a, b, c를 세 변의 길이로 하는 삼각형은 예각삼각형이다.       018 답 서로 다른 두 허근 이차방정식 x@-2kx+k@-k+3=0의 판별식을 D라고 하면 D 4   ={-k}@-1\{k@-k+3}  =k-3 이때 k<3이므로  k-3<0 을 갖는다. 따라서 이차방정식 x@-2kx+k@-k+3=0은 서로 다른 두 허근 019 답 서로 다른 두 실근 이차방정식 x@+ax+b=0의 판별식을 D1이라고 하면 D1=a@-4b>0 이차방정식 x@+2{a+1}x+2{a+2b}=0의 판별식을 D2라고 하면 D2 4   ={a+1}@-1\2{a+2b}    =a@-4b+1 이때 a@-4b>0이므로  a@-4b+1>1 실근을 갖는다. 따라서 이차방정식 x@+2{a+1}x+2{a+2b}=0은 서로 다른 두  020 답 빗변의 길이가 a인 직각삼각형 이차방정식 x@+2cx+a@-b@=0의 판별식을 D라고 하면 D 4   =c@-1\{a@-b@}  =b@+c@-a@=0    / a@=b@+c@ 인 직각삼각형이다. 따라서 a, b, c를 세 변의 길이로 하는 삼각형은 빗변의 길이가 a 021 답 ③ 이차방정식 x@+2{a+b}x+2ab+c@=0의 판별식을 D라고 하면  D 4   ={a+b}@-1\{2ab+c@}    023 답 ① x@-2kx+k@-3k+1이 완전제곱식이 되려면 이차방정식  x@-2kx+k@-3k+1=0이 중근을 가져야 한다. 따라서 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=0이어야 하므로 D 4   ={-k}@-1\{k@-3k+1}    =3k-1=0    / k= 1 3 024 답 ⑤ x@-2{a+2k}x+4k@+k+b가 완전제곱식이 되려면 이차방정식  x@-2{a+2k}x+4k@+k+b=0이 중근을 가져야 한다. 따라서 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=0이어야 하므로 D 4   ={a+2k}@-1\{4k@+k+b}=0 {4a-1}k+a@-b=0 이 등식이 k에 대한 항등식이므로 4a-1=0, a@-b=0    / a= / a+b= 1 16 1 4 , b= 5 16 025 답 ② kx@+{3k+1}x+a{k+1}이 완전제곱식이 되려면 이차방정식 kx@+{3k+1}x+a{k+1}=0이 중근을 가져야 한다. 따라서 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=0이어야 하므로 D  ={3k+1}@-4\k\a{k+1}=0 {9-4a}k@+2{3-2a}k+1=0    yy ㉠  ! 9-4a=0일 때    k의 값이 오직 한 개뿐이려면 ㉠의 판별식을 D1이라고 할 때,     D1=0이어야 하므로 D1 4   ={3-2a}@-{9-4a}\1  =4a@-8a=0 4a{a-2}=0    / a=0 또는 a=2       그런데 a는 자연수이므로 a=2 @ 9-4a=0일 때   9-4a=0에서 a= 9 4 04 이차방정식 33 =a@+b@-c@<0    / a@+b@0이므로 k=4 유형13 답 ③ 원래의 이차방정식을 x@+ax+b=0이라고 하자.  상윤이는 x@의 계수와 b는 바르게 보고 풀었으므로 두 근의 곱은 -2\4=b    / b=-8 상효는 x@의 계수와 a는 바르게 보고 풀었으므로 두 근의 합은 {-2-2i}+{-2+2i}=-a    / a=4 따라서 원래의 이차방정식은  x@+4x-8=0 유형14 답 {x-2-i}{x-2+i} 이차방정식 x@-4x+5=0의 근이 x=2-i이므로  x@-4x+5  =9x-{2+i}09x-{2-i}0 ={x-2-i}{x-2+i} 유형15 답 5 f{x}=0의 두 근을 a, b라고 하면  a+b=4 f{a}=0, f{b}=0이므로  f{2x-3}=0이려면 2x-3=a 또는 2x-3=b    b+3 2 2  또는 x= / x= a+3 따라서 이차방정식 f{2x-3}=0의 두 근의 합은 a+3 b+3 2 + 2   = {a+b}+6 2   = 4+6 2 =5 유형16 답 ① 주어진 이차방정식의 계수가 실수이므로 2-i가 근이면 2+i도 근       유형11 답 17 x@-5x+a=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=5, ab=a      yy ㉠ {2-i}{2+i}=b    / b=5 x@+bx+30=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여  / a+b=1 이다. 두 근의 합은 두 근의 곱은 {2-i}+{2+i}=-a    / a=-4 {a+b}+ab=-b, {a+b}\ab=30    yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 5+a=-b, 5a=30    / a=6, b=-11 / a-b=17 유형12 답 x@-x-4=0 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여  a+b=-3, ab=-2 구하는 이차방정식의 두 근이 a+2, b+2이므로 {a+2}+{b+2}={a+b}+4=-3+4=1 핵심 유형 완성하기 70~74쪽 026 답 22 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-2, ab=5 {a+2}{b+2}  =ab+2{a+b}+4    / a#+b#  ={a+b}#-3ab{a+b}  =-2+2\{-3}+4=-4 따라서 구하는 이차방정식은 x@-x-4=0 ={-2}#-3\5\{-2}  =22 34 정답과 해설       수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 34 2017-09-26 오후 12:30:24 027 답 ① 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=4, ab=-1 /  b a-3 + a b-3 = b{b-3}+a{a-3} {a-3}{b-3}   = a@+b@-3{a+b} ab-3{a+b}+9   = {a+b}@-2ab-3{a+b} ab-3{a+b}+9   = 4@-2\{-1}-3\4 -1-3\4+9 =- 3 2 028 답 ④ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=3, ab= 3 2 / {a-b}@  ={a+b}@-4ab =3@-4\ =3 3 2 그런데 a>b이므로 a-b=j3 / a@-b@  ={a+b}{a-b}  =3\j3=3j3 029 답 9 b가 주어진 방정식의 근이므로 b@-2b-5=0    / b@=2b+5 a+b=2 / 2a+b@  =2a+{2b+5}  =2{a+b}+5  =2\2+5=9 x@-2x-5=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여  /  b a@+a+3 + a b@+b+3   = b -a a@+b@ ab   + =- a -b {a+b}@-2ab ab {-2}@-2\3 3   = 2 3  =-  =-     032 답 1 2 주어진 이차방정식의 두 근을 2a, 3a {a=0}라고 하면 이차방정 식의 근과 계수의 관계에 의하여 2a+3a=5k    / a=k        yy ㉠ 2a\3a=-k+2    / 6a@+k-2=0    yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 6k@+k-2=0, {3k+2}{2k-1}=0 / k=-  또는 k= 2 3 그런데 k>0이므로 k= 1 2 1 2 033 답 ① ㉠을 ㉡에 대입하면 8k@-7k-1=0, {8k+1}{k-1}=0 / k=- 1 8  또는 k=1 그런데 k는 정수이므로 k=1 034 답 -3 주어진 이차방정식의 두 근을 a, 2a {a=0}라고 하면 이차방정식 의 근과 계수의 관계에 의하여 a+2a=6k    / a=2k        yy ㉠ a\2a=7k+1    / 2a@-7k-1=0    yy ㉡             030 답 ④ a, b가 주어진 방정식의 근이므로  a@-3a+4=0, b@-3b+4=0 / a@-a+1=2a-3, b@-b+1=2b-3 주어진 이차방정식의 두 근을 a, a+3이라고 하면 이차방정식의  근과 계수의 관계에 의하여 a+{a+3}=2k+5    / a=k+1    yy ㉠ a{a+3}=-k-5        yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 x@-3x+4=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 {k+1}{k+4}=-k-5, k@+6k+9=0    a+b=3, ab=4 / {a@-a+1}{b@-b+1}  ={2a-3}{2b-3}    {k+3}@=0    / k=-3 =4ab-6{a+b}+9  =4\4-6\3+9=7   035 답 ③ 031 답 ② a, b가 주어진 방정식의 근이므로  a@+2a+3=0, b@+2b+3=0 / a@+a+3=-a, b@+b+3=-b 주어진 이차방정식의 두 근을 a, a+1이라고 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+{a+1}=2k+1    / a=k      yy ㉠ a{a+1}=3k        / a@+a-3k=0    yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 k@+k-3k=0, k@-2k=0 x@+2x+3=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 k{k-2}=0    / k=0 또는 k=2 a+b=-2, ab=3 그런데 k>0이므로 k=2 04 이차방정식 35 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 35 2017-09-26 오후 12:30:24 036 답 -3 041 답 ④ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여  x@-x+a=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=3k, ab=k@-3k / {a-b}@  ={a+b}@-4ab  ={3k}@-4{k@-3k}  =5k@+12k 이때 {a-b}@=9이므로 5k@+12k=9, 5k@+12k-9=0 {k+3}{5k-3}=0    / k=-3 또는 k= 3 5 그런데 k는 정수이므로 k=-3 037 답 ⑤ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-k+1, ab=k-3 / a@-ab+b@  ={a+b}@-3ab  ={-k+1}@-3{k-3}  =k@-5k+10 이때 a@-ab+b@=4이므로 k@-5k+10=4, k@-5k+6=0 {k-2}{k-3}=0    / k=2 또는 k=3 따라서 모든 상수 k의 값의 곱은 2\3=6 038 답 ④ a+b-2ab-7=0에서 {a+2}{b+2}=8에서  / a+b=1 039 답 10 ab+2{a+b}=4    / 2a+b=4    yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-2         a+b=1, ab=a        yy ㉠ x@+bx+4=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a@+b@=-b, a@b@=4 / {a+b}@-2ab=-b, {ab}@=4    yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 1-2a=-b, a@=4    이때 a<0이므로 a=-2, b=-5 / ab=10 042 답 ③ x@-ax+b=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=a, ab=b      yy ㉠ 2x@+ax+a+b=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 1 a a+b 2 =- 1 b 1 a = \ + 1 b a+b ab a 2 ,  a 2 /  =- ,  1 ab = a+b 2     yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 a+b a a 1 2     / a=1, b=-2 2 ,  b b / a-b=3 =- = {a-1}+{b-1}  ={a+b}-2  =1-2=-1 {a-1}{b-1}  =ab-{a+b}+1  =4-1+1=4 따라서 구하는 이차방정식은 x@+x+4=0     이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=a, ab=b 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여  a-2b-7=0    / a-2b=7      yy ㉠ 구하는 이차방정식의 근이 a-1, b-1이므로 043 답 x@+x+4=0 a+b=1, ab=4 x@+ax+b=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 044 답 1 a+b=-a, ab=b        yy ㉠ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 x@+bx+a=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 {2-i}+{2+i}=-a, {2-i}{2+i}=b {a-1}+{b-1}=-b, {a-1}{b-1}=a / {a+b}-2=-b, ab-{a+b}+1=a    yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 -a-2=-b, b+a+1=a    / a=-3, b=-1 / a@+b@={-3}@+{-1}@=10 040 답 ② x@-ax+b=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 -1+2=a, -1\2=b    / a=1, b=-2 따라서 이차방정식 2ax@+{a+b}x+b=0의 두 근의 곱은 b 2a -2 2\1 =-1 = 36 정답과 해설 / a=-4, b=5 / a+b=1 045 답 ⑤ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-5, ab=1 구하는 이차방정식의 근이  ,  이므로 1 a 1 b 1   a + = 1 b a+b ab = -5 1 =-5 = \ 1 b 1 ab 1 a 따라서 구하는 이차방정식은 x@+5x+1=0 =1 1 1 = 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 36 2017-09-26 오후 12:30:24 046 답 5x@-7x+1=0 052 답 ②         이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=3, ab=-5 1 a 구하는 이차방정식의 근이 1+ 이므로 , 1+ 1+ [ 1 a ] + 1+ [ 1 b ] =2+ + =2+ 1 a 1 b 1 b a+b ab   1+ [ 1 a ][ 1+ 1 = b ] a+1 a = ab+{a+b}+1 ab   =2+ 3 -5 = 7 5 b+1 b \ = -5+3+1 -5 = 1 5   따라서 구하는 이차방정식은 1 5 ] x@-  x+ 7 5 [ 5 =0    / 5x@-7x+1=0 047 답 ③ 원래의 이차방정식을 x@+ax+b=0이라고 하자.  가민이는 x@의 계수와 b는 바르게 보고 풀었으므로 두 근의 곱은 3\4=b    / b=12 예지는 x@의 계수와 a는 바르게 보고 풀었으므로 두 근의 합은 {1-j5}+{1+j5}=-a    / a=-2 따라서 원래의 이차방정식은 x@-2x+12=0 048 답 -2 준희는 x@의 계수와 b는 바르게 보고 풀었으므로 두 근의 곱은 b 2 서진이는 x@의 계수와 a는 바르게 보고 풀었으므로 두 근의 합은     / b=-3 =- 3 2 - =- a 2 1 2     / a=1 / a+b=-2 049 답 ④ 이차방정식 x@+2x+5=0의 근이 x=-1-2i이므로 x@+2x+5  =9x-{-1+2i}09x-{-1-2i}0  ={x+1-2i}{x+1+2i} 050 답 ② 이차방정식 4x@-4x+3=0의 근이 x= 1-j2i 2 이므로  4x@-4x+3  =4 1+j2i 2 [ x- ]  ={2x-1-j2i}{2x-1+j2i} ][ x- 1-j2i 2 따라서 주어진 식의 인수인 것은 ②이다. 051 답 ② f{3x-5}=0이려면 f{x}=0의 두 근이 a, b이므로 f{a}=0, f{b}=0 3x-5=a 또는 3x-5=b    / x= a+5 3  또는 x= b+5 3 따라서 이차방정식 f{3x-5}=0의 두 근의 합은 a+5 {a+b}+10 3 -1+10 3 3 + 3 = b+5 =3 = f{x}=0의 두 근을 a, b라고 하면  a+b=-1, ab=4 f{a}=0, f{b}=0이므로  f{2x+1}=0이려면 2x+1=a 또는 2x+1=b a-1 / x= 2  또는 x= b-1 2 b-1 2  = 2 \ 따라서 이차방정식 f{2x+1}=0의 두 근의 곱은 a-1 {a-1}{b-1} 4 ab-{a+b}+1 4 4+1+1 4 3 2 = = =     053 답 ① f{3-4x}=0의 두 근을 a, b라고 하면 a+b=- , ab=-2 1 4 f{3-4a}=0, f{3-4b}=0이므로  f{2x}=0이려면 2x=3-4a 또는 2x=3-4b / x=  또는 x= 3-4a 2 3-4b 2 따라서 이차방정식 f{2x}=0의 두 근의 곱은 3-4a 2 \ 3-4b 2   = {3-4a}{3-4b} 4    = 9-12{a+b}+16ab 4   9-12\ - +16\{-2}   [ 1 4 ] 4 = =-5           054 답 ⑤ 주어진 이차방정식의 계수가 실수이므로 -2+j3i가 근이면 -2-j3i도 근이다. 두 근의 합은 {-2+j3i}+{-2-j3i}=-a    / a=4 두 근의 곱은 {-2+j3i}{-2-j3i}=b    / b=7 / a+b=11 주어진 이차방정식의 계수가 실수이므로 a-2i가 근이면 a+2i도  055 답 ② 근이다. 두 근의 합은 두 근의 곱은 / ab=-5 {a-2i}+{a+2i}=-2, 2a=-2    / a=-1 {a-2i}{a+2i}=b, a@+4=b    / b=5 04 이차방정식 37 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 37 2017-09-26 오후 12:30:25 056 답 ⑤ 주어진 이차방정식의 계수가 유리수이므로 2-j3이 근이면 2+j3도 근이다. 두 근의 합은 {2-j3}+{2+j3}=-2ab    / ab=-2 두 근의 곱은 {2-j3}{2+j3}=a+b    / a+b=1 / {a-b}@  ={a+b}@-4ab  =1@-4\{-2}=9 핵심 유형 최종 점검하기 1 답 ④ 유형 01 이차방정식의 풀이 x@+5x+8=0에서 근의 공식에 의하여 x= -5-15@-4\1\83 2 따라서 a=-5, b=7이므로 = -5-j7i 2 a+b=2 2 답 ① 유형 02 한 근이 주어진 이차방정식 주어진 방정식의 한 근이 -1이므로 x=-1을 대입하면 1-3k+2=0    / k=1 즉, 주어진 방정식은 x@+3x+2=0이므로 {x+2}{x+1}=0    / x=-2 또는 x=-1 따라서 다른 한 근은 -2이다. 3 답 ③ 유형 03 절댓값 기호를 포함한 방정식 ! x<1일 때   x@+3{x-1}-1=0, x@+3x-4=0   {x+4}{x-1}=0    / x=-4 또는 x=1   그런데 x<1이므로 x=-4 @ x>1일 때   x@-3{x-1}-1=0, x@-3x+2=0 {x-1}{x-2}=0    / x=1 또는 x=2   !, @에 의하여 x=-4 또는 x=1 또는 x=2  따라서 방정식의 모든 근의 합은 -4+1+2=-1 4 답 ③ 유형 04 이차방정식의 근의 판별 5 답 ⑤ 유형 04 이차방정식의 근의 판별 이차방정식 x@+2{k+a}x+k@+6k-3b=0의 판별식을 D라고  하면 D=0이어야 하므로 D 4   ={k+a}@-1\{k@+6k-3b}=0 2{a-3}k+a@+3b=0 이 등식이 k에 대한 항등식이므로   a-3=0, a@+3b=0    / a=3, b=-3 / a+b=0 6 답 서로 다른 두 실근 유형 05 계수가 문자인 이차방정식의 근의 판별 75~7 7쪽 이차방정식 x@+2{k+3}x+k@+3=0의 판별식을 D라고 하면 D 4 이때 k>-1이므로 6k+6>0 ={k+3}@-1\{k@+3}=6k+6 따라서 이차방정식 x@+2{k+3}x+k@+3=0은 서로 다른 두 실 근을 갖는다. 7 답 ③ 유형 06 이차방정식의 판별식과 삼각형의 모양 이차방정식 x@+2ax+b@+c@=0의 판별식을 D라고 하면 D 4 따라서 a, b, c를 세 변의 길이로 하는 삼각형은 가장 긴 변의 길 =a@-{b@+c@}=a@-b@-c@>0    / a@>b@+c@ 이차방정식 x@+2ax-b{a-2b}=0, 즉 x@+2ax-ab+2b@=0의  이가 a인 둔각삼각형이다. 8 답 1 유형 07 이차식이 완전제곱식이 되는 조건 판별식을 D라고 하면 D=0이어야 하므로 D 4   =a@-1\{-ab+2b@}=a@+ab-2b@=0 {a+2b}{a-b}=0    / a=-2b 또는 a=b 그런데 a>0, b>0이므로 a=b  /  =1 b a 9 답 2 유형 08 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값 구하기 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 2 3 =2, ab= a+b= 6 3 / a#+b#-3ab  ={a+b}#-3ab{a+b}-3ab    =2#-3\ 2 3 \2-3\ 2 3 =2 이차방정식 kx@+2{k+2}x+k+3=0의 판별식을 D라고 하면  D<0이어야 하므로 D 4 따라서 정수 k의 최댓값은 -5이다. ={k+2}@-k{k+3}=k+4<0    / k<-4 10 답 ① 유형 08 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값 구하기 a, b가 주어진 방정식의 근이므로 a@+a+2=0, b@+b+2=0 / a@+2a+2=a, b@+2b+2=b 38 정답과 해설 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 38 2017-09-26 오후 12:30:25 x@+x+2=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-1, ab=2 1 a@+2a+2 /  + 1 b@+2b+2   = + = 1 a 1 b a+b ab =- 1 2 11 답 ③ 유형 09 두 근의 조건이 주어진 이차방정식 주어진 방정식의 두 근을 a, a+2라고 하면 이차방정식의 근과 계 수의 관계에 의하여 a+{a+2}=-2{k-1}    / a=-k        yy ㉠ a{a+2}=-k+6    / a@+2a+k-6=0    yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 k@-k-6=0, {k+2}{k-3}=0 / k=-2 또는 k=3 그런데 k>0이므로 k=3 12 답 ③ 유형 10 두 근의 관계식이 주어진 이차방정식 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2k+2, ab=4k+3 / a@+ab+b@  ={a+b}@-ab ={2k+2}@-{4k+3}  =4k@+4k+1 이때 a@+ab+b@=9이므로 4k@+4k+1=9, k@+k-2=0 {k+2}{k-1}=0    / k=-2 또는 k=1 따라서 모든 상수 k의 값의 합은 -2+1=-1 13 답 ④ 유형 11 두 이차방정식이 주어질 때 미정계수 구하기 x@+ax+3=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-a, ab=3        yy ㉠ x@+2x+b=0에서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 {a+1}+{b+1}=-2, {a+1}{b+1}=b / a+b=-4, ab+{a+b}+1=b    yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면  -a=-4, 3-a+1=b    / a=4, b=0 / a-b=4 14 답 ② 유형 12 두 수를 근으로 하는 이차방정식 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여  a+b=3, ab=-1 구하는 이차방정식의 두 근이  1   a+1 + 1 b+1   = {b+1}+{a+1} {a+1}{b+1} 5 3 3+2 -1+3+1 = = 1 a+1 ,  1 b+1   이므로 {a+b}+2 ab+{a+b}+1   = 1   a+1 \ 1 b+1   = 1 {a+1}{b+1} 1 3 1 -1+3+1 = = = 1 ab+{a+b}+1     따라서 구하는 이차방정식은 x@- =0에서  5 3  x+ 1 3 3x@-5x+1=0 15 답 x@-x+3=0 유형 13 잘못 보고 푼 이차방정식 원래의 이차방정식을 x@+ax+b=0이라고 하자. x@의 계수와 b를 바르게 보고 풀었을 때의 해가 x=1-j2i이므로 두 근의 곱은 {1-j2i}{1+j2i}=b    / b=3 x@의 계수와 a를 바르게 보고 풀었을 때의 해가 x=-1 또는  x=2이므로 두 근의 합은 -1+2=-a    / a=-1 따라서 원래의 이차방정식은 x@-x+3=0 16 답 ④ 유형 14 이차식의 인수분해   이차방정식 5x@-4x+4=0의 근이 x= 이므로 2-4i 5 5x@-4x+4  =5 x- 2+4i 5 x- ][ 2-4i 5 ]  [ 1 5 = {5x-2-4i}{5x-2+4i}  따라서 a=-2, b=4이므로 a+b=2 17 답 ③ 유형 15 이차방정식 f{x}=0의 근을 알 때, f{ax+b}=0의 근 구하기 f{2x+1}=0의 두 근이 a, b이므로 f{2a+1}=0,  f{2b+1}=0 f{x-2}=0이려면 x-2=2a+1 또는 x-2=2b+1    / x=2a+3 또는 x=2b+3 따라서 이차방정식  f{x-2}=0의 두 근의 곱은 {2a+3}{2b+3}  =4ab+6{a+b}+9  =4\{-5}+6\4+9=13     18 답 6x@+x-1=0 유형 16 이차방정식의 켤레근 주어진 이차방정식의 계수가 실수이므로 1+j2i가 근이면 1-j2i 도 근이다. 두 근의 합은 {1+j2i}+{1-j2i}=-a    / a=-2 두 근의 곱은 {1+j2i}{1-j2i}=b    / b=3 1 1 b 이므로 a ,  이때 구하는 이차방정식의 두 근이  1 1 3 2 =- =- =- 1 2 1 3 1 6 1 b 1 b \ + + \   =- 1 6 ,  1 1 a a 따라서 구하는 이차방정식은  1 6 ] 1 6  x- x@+  6 [ =0    / 6x@+x-1=0 04 이차방정식 39 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 39 2017-09-26 오후 12:30:26 05 이차방정식과 이차함수 유형04  ③  유형05  ①  유형06  ①  유형07  ② 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D>0이어야 하므로   유형01  ①  유형02  ④  유형03  0 유형08  ①  유형09  -12  유형10  ⑤  유형11  4 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 -2+4=-{a-2}, -2\4=-b-1    / a=0, b=7    / ab=0 유형04 답 ③ x@+4x+3k=-x+k에서 x@+5x+2k=0 D=5@-4\1\2k=25-8k>0    / k< 따라서 자연수 k는 1, 2, 3의 3개이다. 25 8 유형05 답 ① 기울기가 2인 직선의 방정식을 y=2x+b라고 하면 x@+3x-1=2x+b에서 x@+x-b-1=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=0이어야 하므로 D=1@-4\1\{-b-1}=4b+5=0    / b=- 5 4 따라서 직선의 방정식은 y=2x- 5 4 이므로 y절편은 - 5 4 이다. 유형06 답 ① y=2x@+8kx-3=2{x+2k}@-8k@-3 이 이차함수는 x=-2k일 때 최솟값이 -8k@-3이므로 -8k@-3=-11    / k@=1    / k=-1 그런데 k>0이므로 k=1 유형07 답 ②  f{x}  =x@-4x+k={x-2}@+k-4  이므로 0-5  008  ②  009  2  010  ②  011  ②  012  ⑤  013  ④  014  k>5  015  ④  016  ①  017  ⑤  018  ②  019  ①  020  ②  021  ②  022  ③  023  ⑤  024  ⑤  025  ②  026  3  027  ②  029  ③  030  ⑤  031  ⑤  032  ④  028  3  033  5  034  ③  035  ⑤  036  ④  037  ⑤  038  ①  039  ②  040  ⑤  043  21`m  044  ③  041  ④  045  ⑤  042  ②  046  225 1  ④  6  2  11  ③  2  ㄱ, ㄷ  3  -21  4  1  7  ②  12  ①  8  ③  13  ⑤  9  ⑤  14  ③ 5  ① 10  2 핵심 유형 80~82쪽 유형01 답 ① 이차함수 y=x@-ax+b의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 -3,  1이므로 -3, 1은 이차방정식 x@-ax+b=0의 두 근이다. -3+1=a, -3\1=b    / a=-2, b=-3 / a+b=-5 유형02 답 ④ 이차방정식 x@-2kx+k@+3k-1=0의 판별식을 D라고 하면  D<0이어야 하므로 D 4 따라서 정수 k의 최솟값은 1이다. ={-k}@-1\{k@+3k-1}=-3k+1<0    / k> 1 3 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 00, {y+3}@>0 좌표가 -2, 4이므로 -2, 4는 이차방정식 x@+ax-1=2x+b,     / x@+y@-4x+6y+1>-12 즉 x@+{a-2}x-b-1=0의 두 근이다. 따라서 구하는 최솟값은 -12이다. 40 정답과 해설 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 40 2017-09-26 오후 12:30:26 유형10 답 ⑤ x+y=1에서 y=1-x이므로 이를 4x@+y@에 대입하면 4x@+y@  =4x@+{1-x}@=5x@-2x+1    이때 이차방정식 ax@+bx-2=0의 계수가 유리수이고 한 근이  -1+j3이므로 -1-j3도 근이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여  =5 x- 1 5 ]@+ 4 5 [ 1 5 일 때 최솟값은  4 5 이다. 따라서 x= 유형11 답 4 점 P의 좌표를 {a, -a+4}라고 하면 OQ =a, PQ =-a+4 사각형 ROQP의 넓이를 S라고 하면 S=a{-a+4}=-a@+4a=-{a-2}@+4 이때 00이어야 하므로 D 4 따라서 정수 k의 최솟값은 4이다. ={k+1}@-1\{k@+k+4}=k-3>0    / k>3 006 답 4 이차방정식 x@+kx+k=0의 판별식을 D라고 하면 D=0이어야  핵심 유형 완성하기 83~89쪽 001 답 ③ 이차함수 y=2x@+ax+b의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 -1,  4이므로 -1, 4는 이차방정식 2x@+ax+b=0의 두 근이다. 하므로 D=k@-4\1\k=k@-4k=0 k{k-4}=0    / k=0 또는 k=4 그런데 k>0이므로 k=4 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a 2 , -1\4= b 2     / a=-6, b=-8  -1+4=- / ab=48 002 답 16 이차함수 y=x@-ax+a+5의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 2,  b이므로 2, b는 이차방정식 x@-ax+a+5=0의 두 근이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 007 답 k>-5 이차방정식 x@-2{k+2}x+k@+3k-1=0의 판별식을 D라고 하 면 D>0이어야 하므로 D 4 ={k+2}@-1\{k@+3k-1}=k+5>0    / k>-5 008 답 ② 이차방정식 x@+4x-3k+5=0의 판별식을 D1이라고 하면     2+b=a, 2\b=a+5    / a-b=2, a-2b=-5 두 식을 연립하여 풀면 a=9, b=7 / a+b=16 003 답 ② 이차방정식 x@-{k+1}x-2k=0의 두 근을 a, b라고 하면 근과  계수의 관계에 의하여 a+b=k+1, ab=-2k 이때 주어진 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 두 점 사이의 거 리가 5이므로 |a-b|=5 양변을 제곱하면 {a-b}@=25 {a+b}@-4ab={a-b}@에서 {k+1}@+8k=25 k@+10k-24=0, {k+12}{k-2}=0 / k=-12 또는 k=2 그런데 k>0이므로 k=2 004 답 1 y=ax@+bx+c의 그래프가 점 {0, -2}를 지나므로 c=-2    / y=ax@+bx-2 이차방정식 kx@+8x-2=0의 판별식을 D2라고 하면 D2=0이어 =2@-1\{-3k+5}=3k-1<0 D1<0이어야 하므로 D1 4 / k< 1 3       yy ㉠ =4@-k\{-2}=2k+16=0    야 하므로 D2 4 / k=-8    yy ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 k=-8 009 답 2 이차방정식 ax@+bx+c=0의 판별식을 D1이라고 하면 D1<0이 어야 하므로  D1=b@-4ac<0    yy ㉠   ={a+c}@-b\b=a@+c@+2ac-b@ 이차방정식 bx@+2{a+c}x+b=0의 판별식을 D2라고 하면 D2 4 ㉠에서 -b@>-4ac이므로 D2 4 따라서 구하는 교점의 개수는 2이다. =a@+c@+2ac-b@>a@+c@+2ac-4ac={a-c}@>0 05 이차방정식과 이차함수 41 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 41 2017-09-26 오후 12:30:26 Z Z 010 답 ② 이차함수 y=x@+3x+a의 그래프와 직선 y=bx-1의 두 교점의  016 답 ① 기울기가 4이고 y절편이 1 이상인 직선의 방정식을  x좌표가 -3, 1이므로 -3, 1은 이차방정식 x@+3x+a=bx-1,  y=4x+b{b>1}라고 하면 -x@+2kx-k@=4x+b에서  즉 x@-{b-3}x+a+1=0의 두 근이다. x@-2{k-2}x+k@+b=0 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 -3+1=b-3, -3\1=a+1    / a=-4, b=1 / a+b=-3 011 답 ② 이차방정식 -x@+ax+3=-2x+b, 즉 x@-{a+2}x+b-3=0 의 계수가 유리수이고 한 근이 2+j5이므로 2-j5도 근이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 {2+j5}+{2-j5}=a+2, {2+j5}\{2-j5}=b-3    / a=2, b=2    / ab=4 012 답 ⑤ 이차함수 y=x@+ax-1의 그래프와 직선 y=2x-5의 두 교점의  이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=0이어야 하므로 D 4 / b=-4k+4 ={k-2}@-1\{k@+b}=-4k+4-b=0 그런데 b>1이므로 -4k+4>1    / k< 3 4 017 답 ⑤ x@+2kx+a=2bx-k@+4k에서 x@+2{k-b}x+k@-4k+a=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=0이어야 하므로 D 4 -2{b-2}k+b@-a=0 ={k-b}@-1\{k@-4k+a}=0 이 등식이 k에 대한 항등식이므로 b-2=0, b@-a=0    두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=2 x좌표를 a, b라고 하면 a, b는 이차방정식 x@+ax-1=2x-5, 즉 / a+b=6 이때 이차함수의 그래프와 직선의 두 교점의 x좌표의 차가 3이므 기울기가 -1인 직선의 방정식을 y=-x+b라고 하면 x@+{a-2}x+4=0의 두 근이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-{a-2}, ab=4 로 |a-b|=3 양변을 제곱하면 {a-b}@=9 {a+b}@-4ab={a-b}@에서 {a-2}@-16=9, a@-4a-21=0 {a+3}{a-7}=0    / a=-3 또는 a=7 따라서 모든 상수 a의 값의 합은 -3+7=4 013 답 ④ -x@+kx-k@=-kx+k-3에서 x@-2kx+k@+k-3=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D>0이어야 하므로 D 4 따라서 정수 k의 최댓값은 2이다. ={-k}@-1\{k@+k-3}=-k+3>0    / k<3 014 답 k>5 x@+2kx+k@-1=4x+3k에서 x@+2{k-2}x+k@-3k-1=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D<0이어야 하므로 D 4 ={k-2}@-1\{k@-3k-1}=-k+5<0    / k>5 015 답 ④ -x@-{k-3}x+k+1=k{x+k}에서  x@+{2k-3}x+k@-k-1=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D>0이어야 하므로 D={2k-3}@-4\1\{k@-k-1}=-8k+13>0 / k< 13 8 따라서 정수 k의 최댓값은 1이다. 42 정답과 해설 018 답 ② 직선 y=-x+7에 평행한 직선의 기울기는 -1이다. x@-5x-3=-x+b에서 x@-4x-b-3=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=0이어야 하므로 D 4 따라서 직선의 방정식은 y=-x-7이므로 y절편은 -7이다. ={-2}@-1\{-b-3}=b+7=0    / b=-7 019 답 ① 점 {-3, 1}을 지나는 직선의 방정식을 y=m{x+3}+1이라고 하면 -x@+2x+3=m{x+3}+1에서 x@+{m-2}x+3m-2=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=0이어야 하므로 D  ={m-2}@-4\1\{3m-2}=m@-16m+12=0 따라서 이차방정식 m@-16m+12=0의 근이 직선의 기울기이므 로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 두 직선의 기 울기의 합은 16이다. 020 답 ② 기울기가 2인 직선의 방정식을 y=2x+b라고 하면 x@=2x+b에서 x@-2x-b=0 이 이차방정식의 판별식을 D1이라고 하면 D1=0이어야 하므로 D1 4 / y=2x-1 ={-1}@-1\{-b}=b+1=0    / b=-1 -2x@+kx+k-3=2x-1에서 2x@-{k-2}x-k+2=0 이 이차방정식의 판별식을 D2라고 하면 D2=0이어야 하므로 D2={k-2}@-4\2\{-k+2}=k@+4k-12=0 {k+6}{k-2}=0    / k=-6 또는 k=2 그런데 k>0이므로 k=2 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 42 2017-09-26 오후 12:30:27 021 답 ② y=-x@+2kx+k=-{x-k}@+k@+k 이 이차함수는 x=k일 때 최댓값이 k@+k이므로 k@+k=6, k@+k-6=0 {k+3}{k-2}=0    / k=-3 또는 k=2 그런데 k>0이므로 k=2 022 답 ③ y=-2x@+8x+5=-2{x-2}@+13 이므로 x=2일 때 최댓값은 13이다. y=x@-2x={x-1}@-1 이므로 x=1일 때 최솟값은 -1이다. 따라서 구하는 최댓값과 최솟값의 합은 13+{-1}=12 023 답 ⑤ x=-1에서 최솟값 -5를 가지므로  f{x}=a{x+1}@-5 f{1}=7에서 4a-5=7    / a=3 /  f{x}=3{x+1}@-5=3x@+6x-2 따라서 a=3, b=6, c=-2이므로 a+b-c=11 -k이므로 024 답 ⑤  y  =2x@+kx-k=2 x+ [ k 4 ]@- k@ 8 -k 이 이차함수는 x=- k 4 일 때 최솟값이 - 1 8 따라서 k=-4일 때  f{k}의 최댓값은 2이다. {k+4}@+2   f{k}=- -k=- k@ 8 k@ 8 025 답 ② f{x}=-x@+4x+k=-{x-2}@+k+4 든 실수 x에 대하여  f{x}<2를 만족하려면  k+4<2    / k<-2 따라서 실수 k의 최댓값은 -2이다. 026 답 3 ㈎에서  f{0}=f{2}=0이므로 f{x}=ax{x-2} {a=0}    yy ㉠   ㈐에서 g{x}는 x=2에서 최댓값을 가지므로 g{x}=b{x-2}@+c {b<0} 이 이차함수는 x=2일 때 최댓값이 k+4이므로 함수  f{x}가 모 이때 ㈏에서 g{0}=0이므로 4b+c=0    / c=-4b / g{x}=b{x-2}@-4b    yy ㉡   ㈑에서  f{3}=1, g{3}=1이므로 ㉠, ㉡에서 3a=1, -3b=1    / a= 1 3 , b=- 1 3 1 3 - - 1 3 /  f{x}+2g{x}  =  x{x-2}+2 {x-2}@+   4 3  =   =- 1 3  x@+2x=- 1 3 {x-3}@+3 따라서 x=3일 때  f{x}+2g{x}의 최댓값은 3이다. 이므로 -12를 만족하려면  k-5>2    / k>7 따라서 정수 k의 최솟값은 8이다. 030 답 ⑤ y=x@-2kx-4={x-k}@-k@-4 ! k<0일 때   x=0일 때 최솟값은 -4이므로 주어진 조건을 만족하지 않는다. @ 05일 때   x=5일 때 최솟값은 -10k+21이므로   -10k+21=-8    / k= 29 10   그런데 k>5이므로 만족하는 k의 값은 없다. !, @, #에 의하여 k=2 05 이차방정식과 이차함수 43 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 43 2017-09-26 오후 12:30:27 -32 이때 주어진 함수는 y=t@-2t+5={t-1}@+4 따라서 t>2에서 t=2일 때 최솟값은 5이다. 033 답 5 x@+4x+1=t로 놓으면 t={x+2}@-3    / t>-3 이때 주어진 함수는 y=t@+4{t-1}+k={t+2}@+k-8 따라서 t>-3에서 t=-2일 때 최솟값은 k-8이므로  k-8=-3    / k=5 034 답 ③ x@-4x=t로 놓으면 t={x-2}@-4 값은 -3이므로 -30, {y-4}@>0 {y-4}@+k-12 / {x@+2x}@-{x@+2x}y+y@-6y+k>k-12 따라서 k-12=10이므로 k=22 038 답 ① x-y=3에서 x=y+3이므로 이를 x@+y@+2y에 대입하면 x@+y@+2y  ={y+3}@+y@+2y  =2y@+8y+9=2{y+2}@+1 따라서 y=-2일 때 최솟값은 1이다. 039 답 ② 2x+y=8에서 y=-2x+8이므로 이를 xy에 대입하면 xy  =x{-2x+8}=-2x@+8x=-2{x-2}@+8 따라서 10이므로 1-x>0     / x<1 y@=1-x를 x@+4y@에 대입하면 x@+4y@  =x@+4{1-x}=x@-4x+4={x-2}@ 따라서 x<1에서 x=1일 때 최솟값은 1이다. 042 답 ② 점 A의 좌표를 {a, a@-6a}{00, {y-2}@>0, {z+1}@>0 / x@+5y@+z@+4xy-4y+2z+9>4 따라서 구하는 최솟값은 4이다. 44 정답과 해설 ={x@+4xy+4y@}+{y@-4y+4}+{z@+2z+1}+4 직사각형 ABCD의 둘레의 길이를 L이라고 하면 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 44 2017-09-26 오후 12:30:27 Z Z 043 답 21`m h  =-5t@+20t+1=-5{t-2}@+21 이므로 t=2일 때 최댓값은 21이다. 2 답 ㄱ, ㄷ 유형 02 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계 ㄱ.   이차방정식 ax@+bx+c=0의 판별식을 D라고 하면   따라서 공이 가장 높은 곳에 도달했을 때의 지면으로부터의 높이 D=b@-4ac>0 (참) 는 21`m이다. ㄴ.   -3, 1은 이차방정식 ax@+bx+c=0의 두 근이므로 근과 계         수의 관계에 의하여   -3+1=- b a , -3\1= c a     / b=2a, c=-3a  /  = bc a@ 2a\{-3a} a@ =-6 (거짓) ㄷ.   이차방정식 bx@+cx+a=0의 판별식을 D라고 하면 ㄴ에서     b=2a, c=-3a이므로  D=c@-4ab  ={-3a}@-4a\{2a}=a@>0    즉, 이차함수 y=bx@+cx+a의 그래프는 x축과 서로 다른 두  점에서 만난다. (참) 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 3 답 -21 유형 03 이차함수의 그래프와 직선의 교점 이차방정식 2x@+{2k+1}x+k=-x+k@, 즉 2x@+2{k+1}x-k@+k=0    yy ㉠ 의 두 근의 합이 5이므로 근과 계수의 관계에 의하여  - 2{k+1} 2 =5    / k=-6 044 답 ③ 핫도그 한 개의 가격을 100x원 인상할 때, 핫도그 한 개의 가격은  {1000+100x}원이고, 하루 판매량은 {200-10x}개이므로 하루  판매액을 y원이라고 하면 y  ={1000+100x}{200-10x}=-1000{x-5}@+225000 따라서 x=5일 때 하루 판매액이 최대가 되므로 그때의 핫도그  한 개의 가격은  1000+100\5=1500(원) 045 답 ⑤ 꽃밭의 가로, 세로의 길이를 각각 x`m, y`m라고 하면 x+2y=16    / x=16-2y 이때 꽃밭의 넓이는 xy  ={16-2y}\y=-2y@+16y=-2{y-4}@+32 이때 00이므로 k=2 7 답 ② 유형 06 이차함수의 최대, 최소 y  =-x@+2kx+k  =-{x-k}@+k@+k 이 이차함수는 x=k일 때 최댓값이 k@+k이므로  f{k}=k@+k= k+ [ 1 2 ]@- 1 4 따라서 k=- 1 2 일 때  f{k}의 최솟값은 - 1 4 이다. 8 답 ③ 유형 07 제한된 범위에서 이차함수의 최대, 최소  f{x}  =x@-2x-1이라고 하면   f{x}  ={x-1}@-2  10 답 2 유형 08 공통부분이 있는 함수의 최대, 최소   x@+2x=t로 놓으면 t={x+1}@-1    / t>-1 이때 주어진 함수는 y  =t@-2{t-1}-k  ={t-1}@-k+1 따라서 t>-1에서 t=1일 때 최솟값은 -k+1이므로  -k+1=-1    / k=2 11 답 ③ 유형 09 완전제곱식을 이용한 이차식의 최대, 최소 x@+6y@-4xy-8y+10 ={x@-4xy+4y@}+2{y@-4y+4}+2  ={x-2y}@+2{y-2}@+2 이때 x, y가 실수이므로  {x-2y}@>0, {y-2}@>0 / x@+6y@-4xy-8y+10>2 따라서 x=4, y=2일 때 최솟값은 2이므로 p=4, q=2, m=2 / p+q+m=8 y 7 12 답 ① 유형 10 조건을 만족하는 이차식의 최대, 최소 이므로 0 3 2 이면 이 이차함수는 -20이므로 4-x>0, x<4    / 01 =1@-1\k=1-k<0    유형07 답 ② 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=3, ab+bc+ca=2, abc=1 /   {1+a}{1+b}{1+c}  =1+{a+b+c}+{ab+bc+ca}+abc  =1+3+2+1  =7 유형08 답 x#-8x@-12x+16=0 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=4, ab+bc+ca=-3, abc=-2 구하는 삼차방정식의 세 근이 2a, 2b, 2c이므로 2a+2b+2c=2{a+b+c}=2\4=8 2a\2b\2c=8abc=8\{-2}=-16 =4\{-3}=-12 따라서 구하는 방정식은 x#-8x@-12x+16=0 48 정답과 해설     6 0   유형09 답 ④ 주어진 삼차방정식의 계수가 유리수이므로 한 근이 j2 k이면 -j2 k 도 근이다. 나머지 한 근을 a라고 하면 삼차방정식의 근과 계수의  관계에 의하여 j2+{-j2}+a=-2 j2\{-j2}+{-j2}\a+a\j2=a j2\{-j2}\a=-b 세 식을 연립하여 풀면 a=-2, a=-2, b=-4 / ab=8 유형10 답 ② x#-1=0에서 {x-1}{x@+x+1}=0 이때 x는 방정식 x@+x+1=0의 근이므로 x#=1, x@+x+1=0 / x!)!)+   ={x#}##^\x@+ 1 x!)!) 1 {x#}##^\x@    =x@+ = x+1 x@   = x$+1 1 x@ x@ = -x@ x@ =-1 유형11 답 3`cm 처음 정육면체의 한 모서리의 길이를 x`cm라고 하면 {x-1}{x-2}{x+3}=12, x#-7x-6=0  f{x}=x#-7x-6이라고 할 때,  -1 1 0 -7 -6  f{-1}=0이므로 조립제법을 이용 하여  f{x}를 인수분해하면 f{x} ={x+1}{x@-x-6}  ={x+1}{x+2}{x-3} -1 1 1 -1 -6 즉, 주어진 방정식은 {x+2}{x+1}{x-3}=0 / x=-2 또는 x=-1 또는 x=3 그런데 x>2이므로 x=3 따라서 처음 정육면체의 한 모서리의 길이는 3`cm이다.       핵심 유형 완성하기 97~103쪽 001 답 ① f{x}=x$+x#-x@-7x-6이라고 할 때,  f{-1}=0, f{2}=0이 므로 조립제법을 이용하여  f{x}를 인수분해하면 -1 1 1 -1 -7 -6 2 1 0 -1 -6 -1 2 2 1 0 4 3 1 6 0 6 0 즉, 주어진 방정식은 {x+1}{x-2}{x@+2x+3}=0 / x=-1 또는 x=2 또는 x=-1-j2 i 따라서 방정식의 모든 실근의 합은 -1+2=1 2a\2b+2b\2c+2c\2a  =4{ab+bc+ca}    f{x}  ={x+1}{x-2}{x@+2x+3} 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 48 2017-09-26 오후 12:30:28 002 답 -4  f{x}=x#-2x@-2x+1이라고 할  -1 1 -2 -2 때,  f{-1}=0이므로 조립제법을  -1 3 -1 1 0 1 -3 1 @ t=3일 때   x@+2x=3에서 x@+2x-3=0 {x+3}{x-1}=0    / x=-3 또는 x=1   !, @에 의하여 a=1, b=-3이므로 a+b=-2 f{x}=x$+x#-15x@+7x+6이라고 할 때,  f{1}=0, f{3}=0이므 로 조립제법을 이용하여  f{x}를 인수분해하면 이용하여 f{x}를 인수분해하면  f{x}={x+1}{x@-3x+1} 즉, 주어진 방정식은  / x=-1 또는 x= {x+1}{x@-3x+1}=0    3-j5 2 3-j5 2 3-j5 2 따라서 a=-1, b= a-b-c =-1- - 003 답 3 3+j5 2 이므로 , c= 3+j5 2 =-4 1 1 1 -15 3 1 2 -13 -6 1 3 5 1 15 2 2 -13 -6 6 0 7 6 0 f{x}={x-1}{x-3}{x@+5x+2} 즉, 주어진 방정식은 {x-1}{x-3}{x@+5x+2}=0 / x=1 또는 x=3 또는 x= -5-j17k 2 따라서 방정식의 모든 양의 근의 곱은 1\3=3 므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=4, ab=6    / a@+b@={a+b}@-2ab=4@-2\6=4 005 답 ② x@+2x=t로 놓으면 주어진 방정식은 t@-3t=0, t{t-3}=0    / t=0 또는 t=3 ! t=0일 때   x@+2x=0에서 x{x+2}=0   / x=-2 또는 x=0 006 답 ⑤ {x@-2x}@=2x@-4x+8에서  {x@-2x}@-2{x@-2x}-8=0 x@-2x=t로 놓으면 t@-2t-8=0, {t+2}{t-4}=0 / t=-2 또는 t=4 ! t=-2일 때   x@-2x=-2에서 x@-2x+2=0   / x=1-i @ t=4일 때   x@-2x=4에서 x@-2x-4=0   / x=1-j5 !, @에 의하여 방정식의 모든 실근의 합은 {1-j5}+{1+j5}=2 007 답 ③ {x-1}{x-2}{x+3}{x+4}-14=0에서 9{x-1}{x+3}09{x-2}{x+4}0-14=0 {x@+2x-3}{x@+2x-8}-14=0 x@+2x=t로 놓으면 {t-3}{t-8}-14=0, t@-11t+10=0 {t-1}{t-10}=0    / t=1 또는 t=10 ! t=1일 때   x@+2x=1에서 x@+2x-1=0 에 의하여 -10이다. !, @에 의하여 방정식의 모든 근의 곱은  -1\{-10}=10 008 답 ① x@=t로 놓으면 주어진 방정식은 t@+3t-18=0, {t+6}{t-3}=0 / t=-6 또는 t=3 즉, x@=-6 또는 x@=3이므로 x=-j6i 또는 x=-j3 따라서 방정식의 모든 실근의 곱은  -j3\j3=-3 004 답 ②  f{x}=x#-3x@+2x+6이라고 할 -1 1 -3 때,  f{-1}=0이므로 조립제법을 이 용하여 f{x}를 인수분해하면  f{x}={x+1}{x@-4x+6} 따라서 주어진 방정식은  {x+1}{x@-4x+6}=0 이때 방정식의 두 허근 a, b는 이차방정식 x@-4x+6=0의 근이    이차방정식 x@+2x-1=0의 두 근의 곱은 근과 계수의 관계에  2 6   6 0 1 -4 -1 4 -6 의하여 -1이다. @ t=10일 때   x@+2x=10에서 x@+2x-10=0    이차방정식 x@+2x-10=0의 두 근의 곱은 근과 계수의 관계 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 49 2017-09-26 오후 12:30:29 06 여러 가지 방정식 49 011 답 ① x$+2x@+9=0에서 {x$+6x@+9}-4x@=0 {x@+3}@-{2x}@=0, {x@+2x+3}{x@-2x+3}=0 이때 이차방정식 x@+2x+3=0의 두 근을 a, b, 이차방정식  x@-2x+3=0의 두 근을 c, d라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여 009 답 ② x@=t로 놓으면 주어진 방정식은 t@-10t+9=0, {t-1}{t-9}=0    / t=1 또는 t=9 즉, x@=1 또는 x@=9이므로 x=-1 또는 x=-3 따라서 a=-3, b=-1, c=1, d=3이므로 ab+cd=-3\{-1}+1\3=6 010 답 ③ x$-3x@+1=0에서 {x$-2x@+1}-x@=0 {x@-1}@-x@=0, {x@+x-1}{x@-x-1}=0  / x= -1-j5 2  또는 x= 1-j5 2 따라서 방정식의 모든 양의 근의 합은 -1+j5 2 1+j5 2 =j5 + a+b=-2, ab=3, c+d=2, cd=3 1 d c+d cd   a+b ab /  1 b 1 a 1 c   = + + + + = -2 3 + =0 2 3 012 답 ② x=0이므로 양변을 x@으로 나누면  x@+5x+6+ + =0 x@+ +5 x+ +6=0 5 x [ 1 x@ 1 x ] x+ [ 1 x ] +4=0  [  [ x+ 1 x@ ] 1 x ]@+5 1 x  x+ =t로 놓으면 t@+5t+4=0 =-4에서 x@+4x+1=0    {t+4}{t+1}=0    / t=-4 또는 t=-1 ! t=-4일 때 1   x+ x   / x=-2-j3 @ t=-1일 때 1   x+ x =-1에서 x@+x+1=0   / x= -1-j3i 2  !, @에 의하여 방정식의 모든 실근의 합은 {-2-j3}+{-2+j3}=-4 50 정답과 해설 013 답 ② x=0이므로 양변을 x@으로 나누면 3 x [ 1 x@ 1 x ]  x@-3x-2- + =0 x@+ -3 x+ -2=0  [  [ x+ 1 x@ ] 1 x ]@-3 1 x  x+ =t로 놓으면 x+ [ 1 x ] -4=0 t@-3t-4=0, {t+1}{t-4}=0    / t=-1 또는 t=4 ! t=-1일 때 1   x+ x =-1에서 x@+x+1=0   이 이차방정식의 판별식을 D1이라고 하면   D1=1@-4\1\1=-3<0   즉, 방정식 x@+x+1=0은 서로 다른 두 허근을 갖는다. @ t=4일 때   x+ =4에서 x@-4x+1=0   이 이차방정식의 판별식을 D2라고 하면    D2 4 ={-2}@-1\1=3>0   즉, 방정식 x@-4x+1=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다. !, @에 의하여 a는 방정식 x@-4x+1=0의 근이므로  a@-4a+1=0 1 x 1 a a=0이므로 양변을 a로 나누면   a-4+ =0    / a+ =4 1 a 014 답 ④ 주어진 방정식의 한 근이 1이므로 x=1을 대입하면 1+k+3+1=0    / k=-5 이를 주어진 방정식에 대입하면 x#-5x@+3x+1=0  f{x}=x#-5x@+3x+1이라고 할 때,  1 1 -5 3 1    f{1}=0이므로 조립제법을 이용하여  f{x}를 인수분해하면  f{x}={x-1}{x@-4x-1} 1 -4 -1 1 -4 -1 0 즉, 주어진 방정식은 {x-1}{x@-4x-1}=0    이때 1이 아닌 나머지 두 근은 이차방정식 x@-4x-1=0의 근이므 로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합은 4이다. 015 답 1 입하면 주어진 방정식의 두 근이 -2, 3이므로 x=-2, x=3을 각각 대 -8+4a-2{2a-b}+6b=0, 27+9a+3{2a-b}+6b=0 / b=1, 5a+b=-9 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=1 이를 주어진 방정식에 대입하면 x#-2x@-5x+6=0 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 50 2017-09-26 오후 12:30:29 f{x}=x#-2x@-5x+6이라고 할  -2 1 -2 -5 때, f{-2}=0, f{3}=0이므로 조 -2 8 -6 6   즉, 주어진 방정식은  {x+1}{x-1}{x+2}{x-3}=0 립제법을 이용하여 f{x}를 인수분 3 1 -4 0 이때 -1, 1이 아닌 나머지 두 근은 -2, 3이므로 ab=-6 해하면 f{x}={x+2}{x-3}{x-1} 즉, 주어진 방정식은  {x+2}{x-3}{x-1}=0 3 -3 3 0 1 -1 /  ab ab = -6 -1\6 =1 018 답 ③ 따라서 방정식의 나머지 한 근은 1이다. 1이 주어진 방정식의 근이므로 x=1을 대입하면 016 답 ① 입하면 주어진 방정식의 두 근이 -1, 2이므로 x=-1, x=2를 각각 대 2+a+b-3+a+4=0, 32-8a+4b+6+a+4=0 / 2a+b=-3, 7a-4b=42 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-7 이를 주어진 방정식에 대입하면 2x$-2x#-7x@+3x+6=0  f{x}=2x$-2x#-7x@+3x+6이라고 할 때,  f{-1}=0,  f{2}=0 이므로 조립제법을 이용하여 f{x}를 인수분해하면 -1 2 -2 -7 -2 4 3 -6 2 2 -4 -3 4 0 -6 2 0 -3 6 0 3 6 0 f{x}  ={x+1}{x-2}{2x@-3} 즉, 주어진 방정식은 {x+1}{x-2}{2x@-3}=0 따라서 주어진 방정식의 나머지 두 근은 방정식 2x@-3=0의 근이 3 2 므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱은 - -1, 1이 주어진 방정식의 근이므로 x=-1, x=1을 각각 대입하면 이다. 017 답 ④ 1-a-7-1+b=0, 1+a-7+1+b=0 / a-b=-7, a+b=5 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=6 이를 주어진 방정식에 대입하면 x$-x#-7x@+x+6=0 1 1 -1 -7 1 1 0 -7 -6 6 0 -1 1 0 -7 -6 -1 1 1 -1 -6 6 0 1+k+2+k@-4-5=0 k@+k-6=0, {k+3}{k-2}=0    / k=-3 또는 k=2 ! k=-3일 때   주어진 방정식에 대입하면 x#-x@+5x-5=0              f{x}=x#-x@+5x-5라고 할 때,  1 1 -1 5 -5  f{1}=0이므로 조립제법을 이용 하여 f{x}를 인수분해하면 f{x}={x-1}{x@+5} 1 0 0 5 5 0 1   즉, 주어진 방정식은 {x-1}{x@+5}=0   / x=1 또는 x=-j5 i    따라서 실근 1개와 허근 2개를 가지므로 조건을 만족하지 않 는다. @ k=2일 때   주어진 방정식에 대입하면 x#+4x@-5=0  g{x}=x#+4x@-5라고 할 때,  1 1 0 -5 4 1 5 1 5 5 5 0  g{1}=0이므로 조립제법을 이용    하여 g{x}를 인수분해하면 g{x}={x-1}{x@+5x+5}   즉, 주어진 방정식은 {x-1}{x@+5x+5}=0   / x=1 또는 x= -5-j5 2   따라서 세 실근을 갖는다. !, @에 의하여  k=2, a+b= -5-j5 + -5+j5 2 / 2k+a+b=4+{-5}=-1 2 =-5 019 답 ① f{x}=x#-x@-{k+2}x+2k라 2 1 -1 -k-2 고 할 때, f{2}=0이므로 조립제 2 1 2 -k 2k -2k 0 f{x}={x-2}{x@+x-k}  즉, 주어진 방정식은 {x-2}{x@+x-k}=0 이 방정식이 한 개의 실근과 두 개의 허근을 가지려면 이차방정식  x@+x-k=0이 서로 다른 두 허근을 가져야 한다. 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면  D=1@-4\1\{-k}=1+4k<0    06 여러 가지 방정식 51 f{x}=x$-x#-7x@+x+6이라고 할 때, f{1}=0, f{-1}=0이 법을 이용하여 f{x}를 인수분해 1 므로 조립제법을 이용하여 f{x}를 인수분해하면 하면 f{x}  ={x-1}{x+1}{x@-x-6}  ={x-1}{x+1}{x+2}{x-3}   / k<- 1 4   수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 51 2017-09-26 오후 12:30:29 020 답 ① f{x}=x#+{k+1}x@+2kx+k@ -k 1 k+1 2k 이라고 할 때, f{-k}=0이므로  -k -k -k@ 조립제법을 이용하여 f{x}를 인 1 1 k 023 답 ① k@ 0  !, @에 의하여 k<- 따라서 정수 k의 최댓값은 -1이다. 1 4 수분해하면 f{x}={x+k}{x@+x+k}  삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=-2, ab+bc+ca=3, abc=-4 즉, 주어진 방정식은 {x+k}{x@+x+k}=0 / a@+b@+c@  ={a+b+c}@-2{ab+bc+ca}    이 방정식이 중근을 가지려면 이차방정식 x@+x+k=0이 중근을  ={-2}@-2\3=-2 갖거나 x=-k를 근으로 가져야 한다. ! 방정식 x@+x+k=0이 중근을 가질 때   이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면   D=1@-4\1\k=1-4k=0    / k= 1 4 @ 방정식 x@+x+k=0이 x=-k를 근으로 가질 때   k@-k+k=0, k@=0    / k=0  !, @에 의하여 모든 실수 k의 값의 합은 1 4 +0= 1 4 021 답 ⑤ f{x}=x#-4x@+{4-k}x+2k라 2 1 -4 4-k 2k 고 할 때, f{2}=0이므로 조립제법 2 -4 -2k 을 이용하여 f{x}를 인수분해하면 1 -2 -k 0 f{x}={x-2}{x@-2x-k} 즉, 주어진 방정식은 {x-2}{x@-2x-k}=0 이 방정식의 근이 모두 실수가 되려면 이차방정식 x@-2x-k=0 이 실근을 가져야 한다. 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D 4 따라서 실수 k의 최솟값은 -1이다. ={-1}@-1\{-k}=1+k>0    / k>-1 022 답 ② f{x}=x#-{k+1}x+k라고 할 1 1 0 -k-1 k   때, f { 1 } = 0이므로 조립제법을  이용하여 f{x}를 인수분해하면 f{x}={x-1}{x@+x-k}  1 1 1 1 -k -k 0 ㉠, ㉡에서 즉, 주어진 방정식은 {x-1}{x@+x-k}=0 이 방정식의 서로 다른 실근이 한 개가 되려면 이차방정식 x@+x-k=0이 허근을 갖거나 x=1을 중근으로 가져야 한다. ! 방정식 x@+x-k=0이 허근을 가질 때   이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면   D=1@-4\1\{-k}=1+4k<0    / k<- 1 4 @ 방정식 x@+x-k=0이 x=1을 중근으로 가질 때   1+1-k=0    / k=2  즉, x@+x-2=0이므로       52 정답과 해설 {x+2}{x-1}=0    / x=-2 또는 x=1  따라서 중근으로 갖는다는 조건을 만족하지 않는다. / a=11, b=-6 / a+b=5 024 답 2 -3이 주어진 방정식의 근이므로 x=-3을 대입하면 -27+3a+6=0     / a=7 따라서 x#-7x+6=0이므로 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의 하여 -3\a\b=-6    / ab=2 025 답 ② 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=0, ab+bc+ca=-6, abc=-3 /  b+c a@ + c+a b@ + a+b c@   = -a a@ + -b b@ + -c c@   =- - - 1 a 1 b 1 c   =- ab+bc+ca abc   =- =-2 -6 -3       026 답 ③ 이차방정식 x@-2x+a=0의 두 근을 a, b라고 하면 이차방정식 의 근과 계수의 관계에 의하여  a+b=2, ab=a        yy ㉠ 이때 a, b가 삼차방정식 x#-3x@+bx+2=0의 근이므로 나머지  한 근을 c라고 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=3, ab+bc+ca =b, abc=-2    yy ㉡ a+b+c=2+c=3    / c=1 abc=ac=-2    / a=-2 ab+bc+ca =ab+c{a+b}=a+2=b    / b=0 / a-b=-2 027 답 ③ 주어진 삼차방정식의 세 근을 a-1, a, a+1이라고 하면 삼차방 정식의 근과 계수의 관계에 의하여  {a-1}+a+{a+1}=6    / a=2 따라서 세 근이 1, 2, 3이므로 1\2+2\3+3\1=a, 1\2\3=-b 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 52 2017-09-26 오후 12:30:30 028 답 ① 032 답 ④ 주어진 삼차방정식의 세 근을 a, 2a, 3a {a=0}라고 하면 삼차방 정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+2a+3a=3    / a= 1 2 1 2 , 1,  1 3 2 2 \ 3 2 이므로  1 =a,   2 \1\ =-b 3 2 따라서 세 근이  1   2 \1+1\ + 3 2 / a= , b=- 11 4 3 4 / a+b=2 029 답 x#-2x@+x-1=0 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=1, ab+bc+ca=2, abc=1 주어진 삼차방정식의 계수가 유리수이므로 한 근이 1+j2이면  1-j2도 근이다. 나머지 한 근을 a라고 하면 삼차방정식의 근과  계수의 관계에 의하여 {1+j2}+{1-j2}+a=a+2 {1+j2}{1-j2}+{1-j2}a+a{1+j2}=b {1+j2}{1-j2}a=-4 세 식을 연립하여 풀면 a=4, a=4, b=7 / a+b=11 033 답 ① 관계에 의하여 주어진 삼차방정식의 계수가 실수이므로 한 근이 1+2i이면 1-2i 도 근이다. 나머지 한 근을 a라고 하면 삼차방정식의 근과 계수의  구하는 삼차방정식의 세 근이 ab, bc, ca이므로  {1+2i}{1-2i}a=-10    / a=-2 ab+bc+ca=2 따라서 구하는 실근은 -2이다. ab\bc+bc\ca+ca\ab =abc{a+b+c}    =1\1=1 034 답 ③ ab\bc\ca={abc}@=1@=1 따라서 구하는 방정식은  x#-2x@+x-1=0 030 답 ④ 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=3, ab+bc+ca=-4, abc=2 /   a@b@+b@c@+c@a@  ={ab+bc+ca}@-2{ab@c+bc@a+ca@b}   ={ab+bc+ca}@-2abc{a+b+c}    ={-4}@-2\2\3=4 따라서 구하는 일차항의 계수는 4이다. 031 답 ① 삼차방정식 x#-7x+3=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=0, ab+bc+ca=-7, abc=-3 삼차방정식 ax#+bx@+cx+9=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 b a       {a+1}+{b+1}+{c+1}=- yy ㉠ {a+1}{b+1}+{b+1}{c+1}+{c+1}{a+1}= 주어진 삼차방정식의 계수가 유리수이므로 한 근이 3+j3이면 3-j3도 근이다.  따라서 세 근이 1, 3+j3, 3-j3이므로 삼차방정식의 근과 계수 의 관계에 의하여 1+{3+j3}+{3-j3}=-a 1\{3+j3}+{3+j3}\{3-j3}+{3-j3}\1=b 1\{3+j3}\{3-j3}=-c    / a=-7, b=12, c=-6 -7\12 -6 ab c =14  /  = 035 답 -21 주어진 삼차방정식의 계수가 실수이므로 한 근이 -1+j3i이면  -1-j3i도 근이다. 나머지 한 근이 c이므로 삼차방정식의 근과  계수의 관계에 의하여 {-1+j3i}+{-1-j3i}+c=3 {-1+j3i}{-1-j3i}+{-1-j3i}c+c{-1+j3i}=a {-1+j3i}{-1-j3i}c=-b 세 식을 연립하여 풀면 a=-6, b=-20, c=5 {a+1}{b+1}{c+1}=- 9 a       ㉢에서 abc+{ab+bc+ca}+{a+b+c}+1=- / a+b+c=-21 036 답 ② c a   yy ㉡ yy ㉢ 9 a -3+{-7}+1=- ㉠에서 {a+b+c}+3=- 3=-b    / b=-3 9 a     / a=1 b a ㉡에서 {ab+bc+ca}+2{a+b+c}+3= c a -7+3=c    / c=-4 / a+b+c=-6 x#+1=0에서 {x+1}{x@-x+1}=0 이때 x는 방정식 x@-x+1=0의 근이므로 x#=-1, x@-x+1=0 1 x!))) / x!)))+   ={x#}###\x+ 1 {x#}###\x   =-x- =- x+ 1 x ]  1 x x@+1 x [ x x =- =- =-1     06 여러 가지 방정식 53 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 53 2017-09-26 오후 12:30:30 037 답 ① x#-1=0에서 {x-1}{x@+x+1}=0 이때 x는 방정식 x@+x+1=0의 근이므로  x#=1, x@+x+1=0 따라서 x+ = 1 x x@+1 x = -x x =-1이므로 x+ 1 x ]$+ 1 1 x ]@+x+ x ]#+  [ ={-1}$+{-1}#+{-1}@+{-1}=0 x+ x+ [ [ 1 x 이차방정식 x@+x+1=0의 한 허근이 x이므로 038 답 1 x@+x+1=0 양변에 x-1을 곱하면 {x-1}{x@+x+1}=0, x#-1=0    / x#=1 4#=64 /   1+x+x@+x#+y+x!@)  ={1+x+x@}+x#{1+x+x@}+y+x!!&{1+x+x@}+x!@)   042 답 ③ =0+0+y+{x#}$)  =1 039 답 ② x#+1=0에서 {x+1}{x@-x+1}=0 이때 a, b, c를 세 근으로 하는 x에 대한 삼차방정식은 이때 x는 방정식 x@-x+1=0의 한 허근이므로 x 도 이 방정식의  x#-8x@+17x-10=0 처음 정육면체의 한 모서리의 길이를 x라고 하면  041 답 64 {x-1}{x+2}@=108 x#+3x@-112=0 f{x}=x#+3x@-112라고 할 때,  4 1 f{4}=0이므로 조립제법을 이용 3 4 7 0 -112 28 28 112 0 1 하여 f{x}를 인수분해하면 f{x}={x-4}{x@+7x+28} 즉, 주어진 방정식은 {x-4}{x@+7x+28}=0    -7-3j7 i 2 그런데 x>1이므로 x=4 / x=4 또는 x= 따라서 처음 정육면체의 부피는  직육면체의 세 모서리의 길이를 각각 a`cm, b`cm, c`cm라고 하면 4{a+b+c}=32    / a+b+c=8 2{ab+bc+ca}=34    / ab+bc+ca=17 abc=10 f{x}=x#-8x@+17x-10이라고 할 1 1 -8 17 -10   때, f{1}=0이므로 조립제법을 이 용하여 f{x}를 인수분해하면 f{x}  ={x-1}{x@-7x+10}  ={x-1}{x-2}{x-5} 즉, {x-1}{x-2}{x-5}=0이므로 x=1 또는 x=2 또는 x=5 1 -7 1 -7 10 10 0   따라서 세 모서리의 길이는 1`cm, 2`cm, 5`cm이므로 가장 긴 모 서리의 길이와 가장 짧은 모서리의 길이의 차는 5-1=4`{cm} 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 x라고 하면 원기둥의 높이는  4-x이므로 2   3 x#-12x@+40=0 px#+px@{4-x}= 40p 3   f{x}=x#-12x@+40이라고 할 때,  2 1 -`12 0 40 f{2}=0이므로 조립제법을 이용하 2 -20 -40 여 f{x}를 인수분해하면 1 -10 -20 0 f{x}={x-2}{x@-10x-20} 즉, {x-2}{x@-10x-20}=0이므로 / x=2 또는 x=5-3j5 그런데 00이므로 a=5 유형16 답 18 처음 땅의 가로의 길이를 x, 세로의 길이를 y라고 하면 x@+y@={3j5}@      -  {x-1}{y+1}=xy+2    yy ㉡ yy ㉠ ㉡에서 xy+x-y-1=xy+2 / y=x-3 이를 ㉠에 대입하면 x@+{x-3}@=45, x@-3x-18=0 {x+3}{x-6}=0    / x=-3 또는 x=6 그런데 10 이때 y도 실수이므로 y-1=0    / y=1 이를 ㉠에 대입하면 x@-4x+4=0, {x-2}@=0    / x=2    / xy=2 06 여러 가지 방정식 55 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 55 2017-09-26 오후 12:30:31 핵심 유형 완성하기 106~108쪽 044 답 ② 2x+y=1에서 y=-2x+1    yy ㉠ 이를 x@+y@=13에 대입하면 x@+{-2x+1}@=13, 5x@-4x-12=0  {5x+6}{x-2}=0    / x=- 6 5  또는 x=2 이를 각각 ㉠에 대입하면 주어진 연립방정식의 해는  x=- 6 5 , y= 17 5  또는 x=2, y=-3 따라서 a=2, b=-3이므로 a+b=-1 045 답 3 x+2y=5에서 x=-2y+5    yy ㉠ 이를 2x@+y@=19에 대입하면 2{-2y+5}@+y@=19, 9y@-40y+31=0 {y-1}{9y-31}=0    / y=1 또는 y= 31 9 이를 각각 ㉠에 대입하면 주어진 연립방정식의 해는 17 9 , y= x=3, y=1 또는 x=- 31 9 그런데 ab>0이므로 a=3, b=1    / ab=3 046 답 2j2 x-y=2에서 y=x-2    yy ㉠ 이를 x@+4xy+y@=10에 대입하면  x@+4x{x-2}+{x-2}@=10 x@-2x-1=0    / x=1-j2 이를 각각 ㉠에 대입하면 주어진 연립방정식의 해는 x=1-j2, y=-1-j2 또는 x=1+j2, y=-1+j2 / |x+y|=2j2 047 답 ④ 같다. 두 연립방정식의 공통인 해는 연립방정식 -  2x+y=3 x@-y@=-45  의 해와  2x+y=3에서 y=-2x+3    yy ㉠  이를 x@-y@=-45에 대입하면 x@-{-2x+3}@=-45, x@-4x-12=0 {x+2}{x-6}=0    / x=-2 또는 x=6 이를 각각 ㉠에 대입하면 위의 연립방정식의 해는 x=-2, y=7 또는 x=6, y=-9 ! x=-2, y=7을 ax@-y@=-1, x+y=b에 각각 대입하면   @ x=6, y=-9를 ax@-y@=-1, x+y=b에 각각 대입하면   4a-49=-1, -2+7=b    / a=12, b=5 36a-81=-1, 6-9=b    / a= 20 9 , b=-3 !, @에 의하여 a=12, b=5이므로 a+b=17 56 정답과 해설 048 답 -8 x@+xy-2y@=0에서  {x+2y}{x-y}=0    / x=-2y 또는 x=y ! x=-2y를 x@+y@=20에 대입하면 4y@+y@=20, y@=4    / y=-2   y@+y@=20, y@=10    / y=-j10k   /   y=-2일 때 x=4, y=2일 때 x=-4 @ x=y를 x@+y@=20에 대입하면     /   y=-j10k일 때 x=-j10k, y=j10k일 때 x=j10k !, @에 의하여 정수 x, y는 x=4, y=-2 또는 x=-4, y=2  이므로 xy=-8 049 답 ③ x@-y@=0에서  {x+y}{x-y}=0    / y=-x 또는 y=x ! y=-x를 x@-xy+y@=12에 대입하면   x@+x@+x@=12, x@=4    / x=-2   /   x=-2일 때 y=2, x=2일 때 y=-2 @ y=x를 x@-xy+y@=12에 대입하면   x@-x@+x@=12, x@=12    / x=-2j3   /   x=-2j3일 때 y=-2j3, x=2j3일 때 y=2j3 !, @에 의하여 a의 최댓값은 2j3이므로 그때의 b의 값은 2j3 이다. 050 답 ③ x@-xy-2y@=0에서  {x+y}{x-2y}=0    / x=-y 또는 x=2y 이때 x, y가 모두 양수이려면 x=2y 이를 x@+2xy-y@=28에 대입하면 4y@+4y@-y@=28, y@=4    / y=-2 그런데 x, y는 양수이므로 x=4, y=2 / x+y=6 051 답 {-2, 2}, {2, -2} 주어진 연립방정식을 변형하면 {x+y}@-2xy=8 -  xy=-4 x+y=u, xy=v로 놓으면 u@-2v=8    yy ㉠ -  v=-4  ㉡을 ㉠에 대입하면 u@+8=8, u@=0    / u=0 yy ㉡  즉, x+y=0, xy=-4이므로 x, y를 두 근으로 하는 t에 대한 이차방정식은  t@-4=0, t@=4    / t=-2 / x=-2, y=2 또는 x=2, y=-2 따라서 x, y의 순서쌍 {x, y}는 {-2, 2}, {2, -2}이다. 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 56 2017-09-26 오후 12:30:31 052 답 11 xy+{x+y}=11 xy{x+y}=30 주어진 연립방정식은 -  x+y=u, xy=v로 놓으면 u+v=11    yy ㉠ -  uv=30  ㉠에서 v=-u+11을 ㉡에 대입하면 yy ㉡  u{-u+11}=30, u@-11u+30=0 {u-5}{u-6}=0    / u=5 또는 u=6 이를 각각 ㉠에 대입하면 u=5, v=6 또는 u=6, v=5 ! u=5, v=6, 즉 x+y=5, xy=6일 때   x, y를 두 근으로 하는 t에 대한 이차방정식은   t@-5t+6=0, {t-2}{t-3}=0   / t=2 또는 t=3   / x=2, y=3 또는 x=3, y=2 @ u=6, v=5, 즉 x+y=6, xy=5일 때   x, y를 두 근으로 하는 t에 대한 이차방정식은   t@-6t+5=0, {t-1}{t-5}=0   / t=1 또는 t=5   / x=1, y=5 또는 x=5, y=1 !, @에 의하여 x+2y의 최댓값은 1+2\5=11 053 답 3 x+y=a에서 y=-x+a이므로 이를 x@-2xy=-3에 대입하면 x@-2x{-x+a}=-3, 3x@-2ax+3=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D 4 a@=9     / a=-3 ={-a}@-3\3=a@-9=0 그런데 a>0이므로 a=3 x-y=2a에서 y=x-2a이므로 이를 2x@-xy=-a@-a+1에 대 054 답 1 입하면 055 답 ③ 2x@-x{x-2a}=-a@-a+1 x@+2ax+a@+a-1=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D 4 따라서 자연수 a의 값은 1이다. =a@-1\{a@+a-1}=-a+1>0    / a<1 056 답 ④ 연립방정식을 세우면 2a@+b@=102 -  8a+4b=64 , 즉 -  2a@+b@=102    yy ㉠ 2a+b=16      yy ㉡ ㉡에서 b=-2a+16을 ㉠에 대입하면 2a@+{-2a+16}@=102, 3a@-32a+77=0 {3a-11}{a-7}=0    / a=  또는 a=7 11 3 이를 각각 ㉡에 대입하여 풀면 연립방정식의 해는 a= , b=  또는 a=7, b=2 11 3 26 3 그런데 a>b이므로 a=7, b=2    / a+b=9 057 답 ③ 두 원의 반지름의 길이를 각각 r1, r2라고 하면 2pr1+2pr2=12p -  pr1@+pr2@=26p , 즉 -  r1+r2=6      yy ㉠ r1@+r2@=26    yy ㉡ ㉠에서 r2=-r1+6을 ㉡에 대입하면 r1@+{-r1+6}@=26, r1@-6r1+5=0 {r1-1}{r1-5}=0    / r1=1 또는 r1=5 이를 각각 ㉠에 대입하여 풀면 연립방정식의 해는 r1=1, r2=5 또는 r1=5, r2=1 따라서 두 원 중 큰 원의 반지름의 길이는 5이다. 058 답 ② 하면 직각삼각형의 빗변이 아닌 두 변의 길이를 각각 x`cm, y`cm라고  x@+y@=10@   1 2  xy=24 - x@+y@=100 , 즉 -  xy=48 이 연립방정식을 변형하면 -  xy=48 {x+y}@-2xy=100 x+y=u, xy=v로 놓으면 u@-2v=100    yy ㉠ -  v=48      ㉡을 ㉠에 대입하면 yy ㉡ u@-96=100, u@=196    / u=-14 이때 x+y>0이므로 u=14 따라서 빗변이 아닌 두 변의 길이의 합은 14`cm이다. 059 답 ④ xy-x-y-1=0에서  주어진 연립방정식에서 x+y=3, xy=a-3이므로 x, y를 두 근 으로 하는 t에 대한 이차방정식은  t@-3t+a-3=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D={-3}@-4\1\{a-3}=-4a+21>0    / a< 21 4 따라서 정수 a의 최댓값은 5이다. x{y-1}-{y-1}-2=0    / {x-1}{y-1}=2 ! x-1=-2, y-1=-1일 때, x=-1, y=0 @ x-1=-1, y-1=-2일 때, x=0, y=-1 # x-1=1, y-1=2일 때, x=2, y=3 $ x-1=2, y-1=1일 때, x=3, y=2 따라서 xy의 최댓값은 2\3=6 06 여러 가지 방정식 57 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 57 2017-09-26 오후 12:30:32 060 답 ② x@-xy+y+3=0에서 xy-y-x@-3=0 y{x-1}-{x-1}{x+1}=4    / {x-1}{y-x-1}=4 x, y가 자연수이므로 x-1>0 ! x-1=1, y-x-1=4일 때, x=2, y=7 @ x-1=2, y-x-1=2일 때, x=3, y=6 # x-1=4, y-x-1=1일 때, x=5, y=7 따라서 자연수 x, y의 순서쌍 {x, y}는 {2, 7}, {3, 6}, {5, 7}의  3개이다. 061 답 ④ 이차방정식 x@-2mx+2m+4=0의 두 근을 a, b{a>b}라고 하 면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2m    yy ㉠,  ab=2m+4    yy ㉡  ㉠을 ㉡에 대입하면  ab=a+b+4, ab-a-b-4=0 a{b-1}-{b-1}-5=0    / {a-1}{b-1}=5 ! a-1=-1, b-1=-5일 때, a=0, b=-4   / m= =-2 a+b 2 @ a-1=5, b-1=1일 때, a=6, b=2   / m= a+b 2 =4 !, @에 의하여 자연수 m의 값은 4이다. 062 답 ① [방법 1]   x@+y@+2x+6y+10=0에서  {x@+2x+1}+{y@+6y+9}=0, {x+1}@+{y+3}@=0 x, y가 실수이므로  / x+y=-4 x+1=0, y+3=0    / x=-1, y=-3 [방법 2]   방정식의 좌변을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 x@+2x+y@+6y+10=0    yy ㉠ x가 실수이므로 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D 4   =1@-1\{y@+6y+10}=-y@-6y-9>0    / {y+3}@<0 이때 y도 실수이므로 y+3=0    / y=-3 이를 ㉠에 대입하면 x@+2x+1=0, {x+1}@=0    / x=-1 / x+y=-4 063 답 ③ 58 정답과 해설 5x@-4xy+y@-2x+1=0에서 {4x@-4xy+y@}+{x@-2x+1}=0, {2x-y}@+{x-1}@=0 x, y가 실수이므로 2x-y=0, x-1=0    / x=1, y=2 / x@+y@=1+4=5 핵심 유형 최종 점검하기 109~111쪽 1 답 ① 유형 01 삼차방정식과 사차방정식의 풀이 f{x}=x#-x@-4x+4라고 할 때,  1 1 -1 -4 f{1}=0이므로 조립제법을 이용하여  1 0 -4 1 0 -4 4 0   f{x}를 인수분해하면 f{x}  ={x-1}{x@-4}  ={x-1}{x+2}{x-2} 즉, 주어진 방정식은  {x+2}{x-1}{x-2}=0 / x=-2 또는 x=1 또는 x=2 따라서 모든 양의 근의 합은 1+2=3 2 답 -2+3j2 유형 02 공통부분이 있는 사차방정식의 풀이 {x-3}{x-1}{x+5}{x+7}+63=0에서 9{x-3}{x+7}09{x-1}{x+5}0+63=0 {x@+4x-21}{x@+4x-5}+63=0 x@+4x=t로 놓으면 {t-21}{t-5}+63=0, t@-26t+168=0 {t-12}{t-14}=0    / t=12 또는 t=14 ! t=12일 때   x@+4x=12에서 x@+4x-12=0 {x+6}{x-2}=0    / x=-6 또는 x=2   @ t=14일 때   x@+4x=14에서 x@+4x-14=0    / x=-2-3j2 !, @에 의하여 주어진 방정식의 가장 큰 근은 -2+3j2이다. 3 답 ① 유형 03 x$+ax@+b=0 꼴의 방정식의 풀이 x$-6x@+1=0에서 {x$-2x@+1}-4x@=0 {x@-1}@-{2x}@=0, {x@+2x-1}{x@-2x-1}=0 / x=-1-j2 또는 x=1-j2 4 답 ② 유형 04 ax$+bx#+cx@+bx+a=0 꼴의 방정식의 풀이 x=0이므로 양변을 x@으로 나누면  x@+5x-4+ + =0 5 x 1 x@ 1 x ] 1 x ] -4=0 -6=0 x+ [ x+ [ x@+ x+ [  [ +5 1 x@ ] 1 x ]@+5 1 x x+ =t로 놓으면 t@+5t-6=0 {t+6}{t-1}=0    / t=-6 또는 t=1 ! t=-6일 때 1   x+ x =-6에서 x@+6x+1=0    / x=-3-2j2 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 58 2017-09-26 오후 12:30:32 @ t=1일 때 1   x+ x =1에서 x@-x+1=0    / x= 1-j3 i 2  !, @에 의하여 방정식의 모든 실근의 합은 {-3-2j2}+{-3+2j2}=-6 5 답 ③ 유형 05 근이 주어진 방정식 주어진 방정식의 한 근이 1이므로 x=1을 대입하면 1+k+k-2+1=0    / k=0   이를 주어진 방정식에 대입하면 x#-2x+1=0 f{x}=x#-2x+1이라고 할 때,  1 1 0 -2 f{1}=0이므로 조립제법을 이용하여  1 1 -1 1 1 -1 1 0 f{x}를 인수분해하면 f{x}={x-1}{x@+x-1} 즉, 주어진 방정식은  {x-1}{x@+x-1}=0 / x=1 또는 x= -1-j5 2 따라서 나머지 두 근은  -1-j5 2 이다. 6 답 ④ 유형 06 근에 대한 조건이 주어진 삼차방정식 8 답 ② 유형 08 세 수를 근으로 하는 삼차방정식 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=2, ab+bc+ca=3, abc=1 구하는 삼차방정식의 세 근이  ,  ,  이므로 1 a 1 b 1 c 1 a + + = 1 b 1 c ab+bc+ca abc = =3 1 ab + 1 bc + 1 ca = a+b+c abc = =2 3 1 2 1 1 abc = =1 1 1 따라서 구하는 방정식은  x#-3x@+2x-1=0 9 답 ③ 유형 09 삼차방정식의 켤레근 주어진 삼차방정식의 계수가 유리수이므로 한 근이 1+j3이면  1-j3도 근이다. 나머지 한 근을 a라고 하면 삼차방정식의 근과 계 수의 관계에 의하여  {1+j3}+{1-j3}+a=- a 3  {1+j3}{1-j3}+{1-j3}a+a{1+j3}= {1+j3}{1-j3}a=-4  세 식을 연립하여 풀면 a=2, a=-12, b=6 b 3 f{x}=x#-2kx@+{k@+2}x-2k  k 1 -2k k@+2 -2k / a+b=-6 라고 할 때, f{k}=0이므로 조립제 법을 이용하여 f{x}를 인수분해하면 f{x}={x-k}{x@-kx+2} k -k@ 1 -k 2 2k 0 10 답 4 유형 09 삼차방정식의 켤레근 즉, 주어진 방정식은 {x-k}{x@-kx+2}=0 이 방정식이 중근을 가지려면 이차방정식 x@-kx+2=0이 중근 ㈎에서  f{2}=0이므로 x=2는 삼차방정식 f{x}=0의 근이다. 삼차방정식 f{x}=0의 계수가 실수이고 ㈏에서 한 근이 -4i이므 로 4i도 근이다. 즉, f{x}={x-2}{x+4i}{x-4i}이므로 f{2x}=0에서 을 갖거나 x=k를 근으로 가져야 한다. ! 방정식 x@-kx+2=0이 중근을 가질 때   이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면   D={-k}@-4\1\2=k@-8=0      k@=8    / k=-2j2 @ 방정식 x@-kx+2=0이 x=k를 근으로 가질 때   k@-k@+2=0이므로 조건을 만족하지 않는다.   !, @에 의하여 양수 k의 값은 2j2이다. 7 답 ④ 유형 07 삼차방정식의 근과 계수의 관계 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=-2, ab+bc+ca=-3, abc=-1 /   {a+b}{b+c}{c+a}  ={-2-c}{-2-a}{-2-b}  ={-2}#-{a+b+c}\{-2}@+{ab+bc+ca}\{-2} -abc =-8-{-2}\4+{-3}\{-2}-{-1}   =7 {2x-2}{2x+4i}{2x-4i}=0 8{x-1}{x+2i}{x-2i}=0 / x=1 또는 x=-2i 또는 x=2i 따라서 구하는 세 근의 곱은 1\{-2i}\2i=4 11 답 ④ 유형 10 방정식 x#=1, x#=-1의 허근의 성질 x#-1=0에서 {x-1}{x@+x+1}=0 이때 x는 방정식 x@+x+1=0의 근이고 x 도 근이므로 x#=1, x@+x+1=0, x #=1, x X @+x X +1=0 또 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여     x+x =1 =-1, xx @ x X 1+x x@ 1+x +   = @ x X -x@ + /  x@ -x   @ X =- x {xx +x }@   =- =- $+x$ x X x@ x @ X -1 =1 1     06 여러 가지 방정식 59 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 59 2017-09-26 오후 12:30:33 X X X X X X X 12 답 4 유형 11 삼차방정식과 사차방정식의 활용 상자 밑면의 가로의 길이가 {20-2x}`cm, 세로의 길이가 {10-2x}`cm이므로 {20-2x}{10-2x}x=96, x#-15x@+50x-24=0 f{x}=x#-15x@+50x-24라고 할  4 1 -15 50 -24    때, f{4}=0이므로 조립제법을 이 4 -44 용하여 f{x}를 인수분해하면 1 -11 6 24 0 @ u=1, v=0, 즉 x+y=1, xy=0일 때   x, y를 두 근으로 하는 t에 대한 이차방정식은    t@-t=0, t{t-1}=0    / t=0 또는 t=1 / x=0, y=1 또는 x=1, y=0  !, @에 의하여 x+2y의 최댓값은 0+2\1=2 16 답 ⑤ 유형 15 해에 대한 조건이 주어진 연립이차방정식 2x+y=a에서 y=-2x+a이므로 이를 x@+y@=4에 대입하면 f{x}={x-4}{x@-11x+6} 즉, 주어진 방정식은 {x-4}{x@-11x+6}=0 11-j97k 2  / x=4 또는 x= 그런데 x는 자연수이므로 x=4 13 답 ③ 유형 12 일차방정식과 이차방정식으로 이루어진 연립이차방정식의 풀이 3x-y=10에서 y=3x-10    yy ㉠ 이를 x@-2y=12에 대입하면 x@-2{3x-10}=12, x@-6x+8=0 {x-2}{x-4}=0    / x=2 또는 x=4 이를 각각 ㉠에 대입하면 주어진 연립방정식의 해는 x=2, y=-4 또는 x=4, y=2 따라서 a=4, b=2이므로 a+b=6 14 답 ④ 유형 13 두 이차방정식으로 이루어진 연립이차방정식의 풀이 2x@+xy-y@=0에서  {x+y}{2x-y}=0    / y=-x 또는 y=2x 이때 x, y가 모두 음의 정수이려면 y=2x 이를 x@-2xy+2y@=5에 대입하면 x@-4x@+8x@=5, x@=1    / x=-1 x, y는 음의 정수이므로 x=-1, y=-2 / x+y=-3 15 답 ② 유형 14 대칭형의 연립이차방정식의 풀이 x+y=u, xy=v로 놓으면 u@+u-2v=2    yy ㉠ -  u@-v=1  yy ㉡  ㉡에서 v=u@-1을 ㉠에 대입하면  u@+u-2{u@-1}=2, u@-u=0 u{u-1}=0    / u=0 또는 u=1 이를 각각 ㉠에 대입하면 위의 연립방정식의 해는 u=0, v=-1 또는 u=1, v=0 ! u=0, v=-1, 즉 x+y=0, xy=-1일 때   x, y를 두 근으로 하는 t에 대한 이차방정식은 t@-1=0    / t=-1   60 정답과 해설 주어진 연립방정식을 변형하면 -  {x+y}@-xy=1 {x+y}@+{x+y}-2xy=2 직사각형의 가로의 길이를 x`cm, 세로의 길이를 y`cm라고 하면 x@+{-2x+a}@=4, 5x@-4ax+a@-4=0 ={-2a}@-5\{a@-4}=-a@+20=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D 4 a@=20    / a=-2j5 그런데 a>0이므로 a=2j5 17 답 ④ 유형 16 연립이차방정식의 활용 2x+2y=34 -  x@+y@=13@ , 즉 x+y=17      yy ㉠ -  x@+y@=169    yy ㉡ ㉠에서 y=-x+17을 ㉡에 대입하면 x@+{-x+17}@=169, x@-17x+60=0 {x-5}{x-12}=0    / x=5 또는 x=12 이를 각각 ㉠에 대입하여 풀면 연립방정식의 해는 x=5, y=12 또는 x=12, y=5 따라서 직사각형의 넓이는 5\12=60`{cm@} 18 답 ⑤ 유형 17 정수 조건의 부정방정식 x@-xy-2x+2y-3=0에서 x{x-y}-2{x-y}-3=0    / {x-2}{x-y}=3 ! x-2=-3, x-y=-1일 때, x=-1, y=0 @ x-2=-1, x-y=-3일 때, x=1, y=4 # x-2=1, x-y=3일 때, x=3, y=0 $ x-2=3, x-y=1일 때, x=5, y=4 따라서 xy의 최댓값은 5\4=20 19 답 ① 유형 18 실수 조건의 부정방정식 방정식의 좌변을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 x@-2{y-1}x+2y@+2=0    yy ㉠ x가 실수이므로 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D 4 / {y+1}@<0 ={y-1}@-1\{2y@+2}=-y@-2y-1>0 이때 y도 실수이므로 y+1=0    / y=-1  이를 ㉠에 대입하면 x@+4x+4=0, {x+2}@=0    / x=-2 / x=-1, y=1 또는 x=1, y=-1 / x+y=-3 수학(상) PM 해설 04-06(030~060)OK.indd 60 2017-09-26 오후 12:30:33 011 ③ 012 해는 없다. 013 x=3 따라서 주어진 연립부등식의 해는 07 일차부등식 유형01 ㄱ, ㄴ 유형02 x< 4 3 유형03 x<- 유형06 ⑤ 3 2 유형07 a>1 유형08 -43 005 ① 007 ⑤ 008 ① 009 ⑤ 010 -3 014 22이므로 a<0 즉, 부등식 ax+b<0의 해는 x>- =2 / b=-2a b a 이므로 - b a 이때 부등식 {a-b}x+{2a+3b}>0에서 b=-2a이므로 3ax-4a>0, 3ax>4a 그런데 a<0이므로 주어진 부등식의 해는 x< 4 3 유형03 답 x<- 3 2 3x+22{2x-1}+1에서 x+1>4x-1 유형04 답 ④ ① 4x-7<5에서 4x<12 / x<3 yy`㉠ x>3 yy`㉡ 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x=3 ② 15x-24<5x+6에서 10x<30 / x<3 yy`㉠ x>0 yy`㉡ 따라서 주어진 연립부등식의 해는 0-x+12에서 4x>12 / x>3 yy`㉠ 5x-4>6에서 5x>10 / x>2 yy`㉡ 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x>3 ④ 2{x-1}<4에서 2x<6 ㉡ ㉠ - x 2# 3@ ㉡ ㉠ 3 x ㉡ ㉠ 0 3 x ㉡ ㉠ 2 3 x ㉡ ㉠ 2 x 07 일차부등식 61 핵심 유형 114~116쪽 유형01 답 ㄱ, ㄴ ㄱ. a>b, c>d에서 a-b>0, c-d>0이므로 {a-d}-{b-c}={a-b}+{c-d}>0 / a-d>b-c ㉠, ㉡에 의하여 ac>bd ㄷ. 00이므로 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. / x<3 yy`㉠ x+1>4에서 x>3 yy`㉡ ㉡ ㉠ 따라서 주어진 연립부등식의 해는 없다. 3 x 2x+3<3x+1에서 -x<-2 / x>2 yy`㉡ 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x=2 따라서 해가 없는 것은 ④이다. ㄴ. c>d이고 a>0이므로 ac>ad yy`㉠ ⑤ 3x-1b이고 d>0이므로 ad>bd yy`㉡ / x<2 yy`㉠ 수학(상) PM 해설 07~09(061~087)6.indd 61 2017-09-26 오후 5:21:35 이때 연립부등식의 해가 없으므로 오른쪽 ㉠ ㉡ -{x-2}+{x+2}<6에서 0Kx<2이므로 해는 모든 실수이다. 4 a+3 x 그런데 -21 유형05 답 12 2x-30<5x-3에서 -3x<27 / x>-9 yy`㉠ 5x-3<6{5-x}에서 5x-3<30-6x 11x<33 / x<3 즉, 주어진 부등식의 해는 -92 4x<2x+a+1에서 2x1 3x-7<5에서 3x<12 / x<4 yy`㉠ x-3>a에서 x>a+3 yy`㉡ 유형08 답 -4-3에서 -x>-4 / x<4 yy`㉠ 5x+a>2{x-2}에서 5x+a>2x-4 3x>-a-4 / x>- yy`㉡ -1 0 1 3 4 x ㉠ 3- a+4 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ a+4 3 -1<- <0, -3<-a-4<0 -1<-a<4 / -410 따라서 부등식의 해는 10-{x-1}, 2x- 1 2 1 2 >-x+1 / x> 1 2 그런데 x<1이므로 1일 때 2x- 1 2 >x-1 / x>- 1 2 그런데 x>1이므로 x>1 !, @에 의하여 주어진 부등식의 해는 x> 따라서 구하는 자연수 x의 최솟값은 1이다. 1 2 유형12 답 ① x+2=0, x-2=0, 즉 x=-2, x=2를 기준으로 구간을 나누면 ! x<-2일 때 -{x-2}-{x+2}<6, -2x<6 / x>-3 그런데 x<-2이므로 -32일 때 {x-2}+{x+2}<6, 2x<6 / x<3 그런데 x>2이므로 20이므로 ac0이므로 bc a<0이므로 < a b 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 1 d 1 b a d 002 답 ② ② a>b이므로 양변에 -1을 곱하면 -a<-b / 3-a<3-b 003 답 ④ ① b>a이므로 b-a>0 ② a<0이므로 b>a의 양변을 a로 나누면 <1 b a 이때 연립부등식을 만족하는 정수 x가 5개이므로 다음 그림에서 핵심 유형 완성하기 117~122쪽 수학(상) PM 해설 07~09(061~087)6.indd 62 2017-09-26 오후 5:21:36 005 답 ① a<7, 즉 a-7<0이므로 {a-7}x>a-7의 양변을 a-7로 나누면 / x<8 yy`㉡ 즉, 연립부등식의 해는 ③ b<0이므로 a1 a b 양변에 -1을 곱하면 - <-1 a b ④ a|b| / a@>b@ ⑤ <1, >1이므로 > b a a b a b b a 따라서 항상 성립하는 것은 ④이다. 004 답 x>3 부등식 ax+b>0, 즉 ax>-b의 해가 x<1이므로 a<0 즉, 부등식 ax+b>0의 해는 x<- b a 이므로 - 한편 부등식 ax+b-2a<0에서 b=-a이므로 b a ax-3a<0, ax<3a / x>3 {? a<0} =1 / b=-a x<1 006 답 ① {a@-2a}x-a>-x, {a@-2a+1}x>a, {a-1}@x>a 이 부등식의 해가 없으므로 a-1=0, a>0 / a=1 007 답 ⑤ 3{x-1}<2x+3에서 3x-3<2x+3 / x<6 yy`㉠ 2+2{x-2}<3x+11에서 2x-2<3x+11 / x>-13 즉, 주어진 연립부등식의 해는 -13x+ 1-2x 3x+9>4x+4, -x>-5 / x<5 yy`㉡ 3 에서 3{x+3}>12x+4{1-2x} 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x<-2 ㉡ ㉠ 이므로 정수 x의 최댓값은 -3이다. -2 5 x 011 답 ③ ① 3x-1>2{x-1}에서 3x-1>2x-2 / x>-1 yy`㉠ 0.2x+0.5>0.3x-0.3에서 2x+5>3x-3 -1 yy`㉠ 8 3 6+x x-4 3 < 5 에서 5{x-4}<3{6+x} 5x-20<18+3x, 2x<38 / x<19 yy`㉡ 즉, 연립부등식의 해는 3 에서 3{x+1}-12>4{x+2} 3x-9>4x+8, -x>17 / x<-17 yy`㉠ x-2>0.1x+1에서 10x-20>x+10 9x>30 / x> yy`㉡ 10 3 즉, 연립부등식의 해는 없다. ④ 4x+10<-2{x+1}에서 4x+10<-2x-2 ㉠ -17 ㉡ x 10 \\\\\\\\\\\\\\\\\3 008 답 ① 4x-{3x-5}<2x에서 x+5<2x / x>5 yy`㉠ 3.8-0.1x>0.2{x+4}에서 38-x>2{x+4} -3x>-30 / x<10 yy`㉡ 즉, 주어진 연립부등식의 해는 50.4x-0.8에서` 5x-6>4x-8 / x>-2 yy`㉡ 즉, 연립부등식의 해는 x=-2 2x+5 4 x-3 2 + ⑤ 4x-1>-4, 4x>-3 >-1에서 2x+5+2{x-3}>-4 5x<3 / x< yy`㉡ / x>- yy`㉠ 3 4 009 답 ⑤ 5{x+1}>2{x-4}에서 3x>-13 / x>- yy`㉠ 13 3 x+1 2 < 3-x 3 에서 3{x+1}<2{3-x} 3 5 즉, 주어진 연립부등식의 해는 - 13 3 x-4에서 x>8 yy`㉡ >0에서 5{x+1}-4{x+2}>0 - 013 답 x=3 x+2 x+1 5 4 x-3>0 / x>3 -3x+5 2 yy`㉠ +x>1에서 -3x+5+2x>2 -x>-3 / x<3 yy`㉡ 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x=3 014 답 22 yy`㉠ 4x-2<3{x+2}+2에서 4x-2<3x+8 / x<10 yy`㉡ 따라서 주어진 부등식의 해는 2-2 yy`㉡ 즉, 주어진 부등식의 해는 -2-11 yy`㉠ 3x+5 4 2 에서 3x+5<2{x+1} x+1 < 3x+5<2x+2 / x<-3 즉, 주어진 부등식의 해는 -115에서 3x>-2a+3 / x> -2a+3 3 이때 연립부등식의 해가 -1-1 019 답 4 2x+b>x-1+a에서 x>a-b-1 3x-a<5+b에서 x< a+b+5 3 이때 연립부등식의 해가 x=-4이므로 a-b-1=-4, 3 =-4에서 a-b=-3, a+b=-17 a+b+5 ㉠ 따라서 a=-10, b=-7이므로 a-2b=4 ㉡ 3 x 020 답 0 3x-a<2x에서 xb / x> b 2 이때 부등식의 해는 -1 5 2 이때 연립부등식의 해가 없으므로 오른쪽 yy`㉡ ㉠ a 3 ㉡ x 3A 2% 그림과 같아야 한다. 15 a 2 3 5 2 / a< < 022 답 ⑤ 3-2x 2 -a<0에서 3-2x<2a -2x<2a-3 / x> 3-2a 2 3x-4>5x-10에서 -2x>-6 / x<3 yy`㉡ yy`㉠ 이때 연립부등식이 해를 가지려면 오른쪽 ㉡ ㉠ 3 x 3-2a 2 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 그림과 같아야 하므로 3-2a 2 <3, 3-2a<6 / a>- 3 2 따라서 정수 a의 최솟값은 -1이다. 023 답 ② 2x+a-6<3x-4에서 -x<-a+2 / x>a-2 yy`㉠ 3x-4<12-x에서 4x<16 / x<4 yy`㉡ 이때 부등식이 해를 가지려면 오른쪽 그림 ㉠ 과 같아야 하므로 a-2<4 / a<6 따라서 상수 a의 최댓값은 6이다. ㉡ a-2 4 x 수학(상) PM 해설 07~09(061~087)6.indd 64 2017-09-26 오후 5:21:37 024 답 6 이때 부등식을 만족하는 정수 x가 3개이므로 다음 그림에서 yy`㉡ 3a+3 7 3 8 028 답 14 회원 수를 x라고 하면 셔틀콕의 개수는 {6x+2}이므로 80<6x+2<90, 78<6x<88 / 13-a+3 yy`㉡ 이때 연립부등식을 만족하는 정수 x가 -1과 0이므로 다음 그림에서 이때 연립부등식을 만족하는 정수 x가 1개뿐이므로 다음 그림에서 ㉠ -2 -1 -a+3 ㉡ 0 1 x -2<-a+3<-1, -5<-a<-4 / 4 / x> a+3 2 7{x+1} 5 에서 6x+15>14x+14 -8x>-1 / x< yy`㉠ 1 8 2x-5>a-2에서 2x>a+3 yy`㉡ ㉡ ㉠ -1 -1< a+3 2 / -517 029 답 1350 yy`㉠ 0.07x+0.05{200-x}>11 yy`㉡ 12x+6000-30x>3500, 18x<2500 / x< 1250 9 - ㉠에서 ㉡에서 7x+1000-5x>1100, 2x>100 / x>50 즉, 부등식의 해는 50150 / x> 75 2 10+x< \{200+x}에서 24 100 1000+100x<4800+24x, 76x<3800 / x<50 즉, 부등식의 해는 2 |2x+3|>1에서 |2x+3|>2 / x<- 또는 x>- 5 2 따라서 a=- 5 2 , b=- 1 2 1 2 이므로 a+b=-3 033 답 ⑤ |x-5|<9에서 -97에서 0Kx>3이므로 해는 없다. @ x>2일 때 2{x-2}+2x>7, 4x>11 / x> 11 4 그런데 x>2이므로 x> 11 4 !, @에 의하여 주어진 부등식의 해는 x> 11 4 따라서 구하는 정수 x의 최솟값은 3이다. 034 답 ③ 1 2 x- | a | 그런데 x<1이므로 1일 때 x-1<4x-1, -3x<0 / x>0 그런데 x>1이므로 x>1 !, @에 의하여 주어진 부등식의 해는 x> 2 5 따라서 a의 값은 2 5 이다. 036 답 ③ 3-x=0, 즉 x=3을 기준으로 구간을 나누면 ! x<3일 때 그런데 x<3이므로 x<3 @ x>3일 때 -{3-x}<10-x, x-3<10-x 2x<13 / x< 13 2 그런데 x>3이므로 3-2{x-1}, -x-1>-2x+2 / x>3 그런데 x<-1이므로 해는 없다. @ -1-2{x-1}, x+1>-2x+2 1 3 3x>1 / x> 그런데 -11일 때 x+1>2{x-1}, x+1>2x-2 / x<3 그런데 x>1이므로 15, -x+3-2x-2>5 4 3 -3x>4 / x<- 그런데 x<-1이므로 x<- 4 3 @ -13일 때 x-3+2{x+1}>5, x-3+2x+2>5 3x>6 / x>2 그런데 x>3이므로 x>3 !, @, #에 의하여 주어진 부등식의 해는 x<- 4 3 또는 x>0 3-x<10-x에서 0Kx<7이므로 부등식의 해는 모든 실수이다. -{x-3}+2{x+1}>5, -x+3+2x+2>5 / x>0 수학(상) PM 해설 07~09(061~087)6.indd 66 2017-09-26 오후 5:21:38 040 답 ④ 1x@-2x+13=1{x-1}@3=|x-1|이므로 주어진 부등식은 |x-2|+|x-1|<4 x-1=0, x-2=0, 즉 x=1, x=2를 기준으로 구간을 나누면 ! x<1일 때 4 답 x=-6 유형 04 해가 특수한 연립일차부등식 7 x-2 6 에서 4{x-2}<3x-14 3 x 4 - < 4x-8<3x-14 / x<-6 0.5x-0.2>0.4x-0.8에서 5x-2>4x-8 / x>-6 -{x-2}-{x-1}<4, -x+2-x+1<4 / x>- 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x=-6이다. 1 2 그런데 x<1이므로 - 2일 때 {x-2}+{x-1}<4, 2x<7 / x< 7 2 그런데 x>2이므로 2b이면 연립부등식의 해는 없다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다. 6 답 해는 없다. 유형 05 A1 5x-1<4x-3에서 x<-2 따라서 주어진 부등식의 해는 없다. 7 답 ④ 유형 05 A-8 123~125쪽 3 5 0.4x+ <2+0.2x에서 4x+6<20+2x / x<7 핵심 유형 최종 점검하기 1 답 ② 유형 01 부등식의 기본 성질 ① a-b / 5-a>5-b ③ a>0이면 a@ab ④ a a 3 -1>- -1 b 3 2 답 ① 유형 02 부등식 ax>b의 풀이 a{ax+1}<4x+1, {a@-4}x<1-a 이 부등식의 해가 모든 실수이므로 a@-4=0, 1-a>0 a@-4=0, a@=4 / a=-2 또는 a=2 yy ㉠ 1-a>0에서 a<1 yy ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 a의 값은 -2이다. 3 답 ① 유형 03 연립일차부등식의 풀이 3x-6<4-x에서 4x<10 / x< 3x+1>2x-3에서 x>-4 즉, 주어진 연립부등식의 해는 -4-3 4x+2{x-3} 3x+1>4x+3에서 x<-2 이때 연립부등식의 해가 x=b이므로 b=-2 -a+3 6 =-2에서 a=15 / a+b=13 10 답 -4b-a 이때 연립부등식의 해가 -10-4 따라서 처음 부등식의 해는 -4a+2 yy ㉠ 3x-2<12-4x에서 7x<14 / x<2 yy ㉡ 이때 연립부등식이 해를 가지려면 오른쪽 ㉡ ㉠ x a+2 2 그림과 같아야 하므로 a+2<2 /`a<0 따라서 상수 a의 최댓값은 0이다. 12 답 ⑤ 유형 07 해를 갖거나 갖지 않는 연립일차부등식 2 5 에서 5x-202x+2a에서 x>2a-4 0.5x-2<0.1x- 이때 연립부등식의 해가 없으므로 오른쪽 ㉠ ㉡ yy ㉠ yy ㉡ 4 2a-4 x 그림과 같아야 한다. 2a-4>4 / a>4 13 답 ② 유형 08 정수인 해의 개수가 주어진 연립일차부등식 3x-2x+a에서 x>a+1 yy ㉡ 이때 연립부등식을 만족하는 정수 x가 3개이므로 다음 그림에서 ㉠ ㉡ -1 a+1 0 1 2 3 x -12에서 x-a<-2 또는 x-a>2 / xa+2 이때 부등식의 해가 x3이므로 a-2=b, a+2=3 / a=1, b=-1 / ab=-1 17 답 ⑤ 유형 10 부등식 |ax+b|1 / x<1 또는 x>3 yy ㉠ |x-2|<3에서 -35일 때 -{5-x}<9-x, 2x<14 / x<7 그런데 x>5이므로 5- 9 2 이때 x는 홀수이므로 x=33 따라서 연속하는 세 홀수는 31, 33, 35이므로 가장 큰 수는 35이다. x+4=0, x=0, 즉 x=-4, x=0을 기준으로 구간을 나누면 ! x<-4일 때 그런데 x<-4이므로 - 0일 때 상자의 개수를 x라고 하면 사과의 개수는 {12x+5}이므로 그런데 -4 그런데 x>0이므로 0 003 -30 004 ① 005 ③ 이때 해가 x<-2 또는 x>4이고 x@의 계수가 a인 이차부등식은 08 이차부등식 5 2 유형03 -8 유형04 -11 유형11 7 유형12 02 015 ③ 013 - 5 062 2 063 ③ 064 1, 2, 3, 4 066 ② 067 ① 065 k<-1 또는 05 4 ② 5 x<-2 또는 x>0 6 ③ 9 -31에서 x@-3x-4>0 {x+1}{x-4}>0 / x<-1 또는 x>4 따라서 a=-1, b=4이므로 a-b=-5 유형03 답 -8 ax@-2x+b>0의 해가 x<-2 또는 x>4이므로 a{x+2}{x-4}>0, a{x@-2x-8}>0 / ax@-2ax-8a>0 이 부등식이 ax@-2x+b>0이므로 -2a=-2, -8a=b / a=1, b=-8 / ab=-8 유형04 답 -10의 해가 10에서 4ax{x+1}>0 {a<0}이므로 유형05 답 3 x@-k@<0에서 {x+k}{x-k}<0 / -k0에서 ! a>0일 때 @ a<0일 때 주어진 이차부등식은 항상 해를 갖는다. 2x@+{4-a}x+2>0이 성립해야 한다. 이차방정식 ax@+2ax-4=0의 판별식을 D라고 하면 D>0 D<0이어야 하므로 이어야 하므로 =a@-a\{-4}>0 D 4 a{a+4}>0 / a<-4 또는 a>0 그런데 a<0이므로 a<-4 !, @에 의하여 실수 a의 값의 범위는 a<-4 또는 a>0 따라서 실수 a의 값이 아닌 것은 ② -4이다. 유형08 답 ① 이차부등식 ax@+6x+a-8<0이 모든 실수 x에 대하여 항상 성 립하려면 a<0이어야 한다. 또 이차방정식 ax@+6x+a-8=0의 판별식을 D라고 할 때 D<0이어야 하므로 =3@-a{a-8}<0 D 4 a@-8a-9>0, {a+1}{a-9}>0 / a<-1 또는 a>9 그런데 a<0이므로 a<-1 따라서 정수 a의 최댓값은 -2이다, 유형12 답 0ax-3, 즉 즉, 이차방정식 2x@+{4-a}x+2=0의 판별식을 D라고 할 때 D={4-a}@-4\2\2<0 a@-8a<0, a{a-8}<0 / 00이어야 하므로 D 4 y@-16<0, {y+4}{y-4}<0 / -40 따라서 y의 최댓값은 4이다. 유형14 답 4 가로의 길이를 x라고 하면 세로의 길이는 {10-x}이므로 직사각 형의 넓이는 x{10-x}=-x@+10x 유형09 답 -60이 성립해야 즉, -x@+10x>24에서 x@-10x+24<0 {x-4}{x-6}<0 / 40이 해를 갖지 않을 조건 ➡ a<0, D<0 핵심 유형 완성하기 131~137쪽 001 답 x< 3 2 부등식 f{x}>g{x}의 해는 y=f{x}의 그래프에서 y=g{x}의 그 또는 x> 7 2 ⑵ ax@+bx+c>0이 해를 갖지 않을 조건 ➡ a<0, D<0 래프보다 위쪽에 있거나 만나는 부분의 x의 값의 범위이므로 ⑶ ax@+bx+c<0이 해를 갖지 않을 조건 ➡ a>0, D<0 ⑷ ax@+bx+c<0이 해를 갖지 않을 조건 ➡ a>0, D<0 x< 3 2 또는 x> 7 2 유형10 답 a<-2 또는 a>1 f{x}=x@-4x+a@+a+2라고 하면 f{x}={x-2}@+a@+a-2 002 답 ② 이차부등식 ax@+{b-m}x+c-n>0에서 ax@+bx+c>mx+n 즉, 이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프가 직선 y=mx+n보다 00이려면 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이므로 f{2}>0이어야 한다. a@+a-2>0, {a+2}{a-1}>0 / a<-2 또는 a>1 - 2x-2에서 x@-{a+2}x+9>0 yy ㉠ 이때 해가 x<3 또는 x>b이고 x@의 계수가 1인 이차부등식은 {x-3}{x-b}>0 / x@-{3+b}x+3b>0 yy ㉡ ㉠, ㉡에서 a+2=3+b, 9=3b / a=4, b=3 / a+b=7 70 정답과 해설 003 답 -30에서 f{x}>0, g{x}>0 또는 f{x}<0, g{x}<0 ! f{x}>0, g{x}>0일 때, -3x+2에서 x@+2x-15>0 {x+5}{x-3}>0 / x<-5 또는 x>3 따라서 a=-5, b=3이므로 a-b=-8 005 답 ③ x@+2x-2<1에서 x@+2x-3<0 {x+3}{x-1}<0 / -30에서 x@-10x+25<0 {x-5}@<0 / x=5 ② -x@+x+12<0에서 x@-x-12>0 {x+3}{x-4}>0 / x<-3 또는 x>4 ③ x@-4x+2<0에서 {x-2+j2}{x-2-j2}<0 / 2-j22x@-8x-4에서 x@+8x+16>0, {x+4}@>0 따라서 주어진 부등식의 해는 x=-4인 모든 실수이다. 008 답 -1-1일 때 x@-3x-40 이차방정식 x@+x+4=0의 판별식을 D라고 하면 010 답 ③ 이차부등식 ax@+3x+b>0의 해가 - 0, a x@- x-1 >0 [ ] 3 2 / ax@- ax-a>0 이 부등식이 ax@+3x+b>0이므로 - 3 2 a=3, -a=b / a=-2, b=2 / a+b=0 011 답 -14 해가 -84이므로 이때 해가 x<-3 또는 x>4이고 x@의 계수가 a인 이차부등식은 a{x+3}{x-4}<0, a{x@-x-12}<0 / ax@-ax-12a<0 이 부등식이 ax@+bx+c<0이므로 b=-a, c=-12a 즉, 부등식 -12ax@+ax+a<0에서 -a{12x@-x-1}<0, 12x@-x-1<0 (? a<0) {4x+1}{3x-1}<0 / - 2 이차부등식 f{x}>0의 해가 10 / x<1 또는 x>2 08 이차부등식 71 수학(상) PM 해설 07~09(061~087).indd 71 2018-03-09 오후 3:07:48 015 답 ③ 이차부등식 f{x}<0의 해가 -50}라고 하면 f{10-2x} =a{10-2x+3}{10-2x+5} =a{2x-13}{2x-15} f{10-2x}>0에서 a{2x-13}{2x-15}>0 {a>0}이므로 {2x-13}{2x-15}>0 / x< 따라서 해가 아닌 것은 ③ 7이다. 13 2 또는 x> 15 2 016 답 2 이차부등식 f{x}<0의 해가 x<-2 또는 x>3이므로 f{x}=a{x+2}{x-3} {a<0}이라고 하면 f{-x} =a{-x+2}{-x-3}=a{x-2}{x+3} f{-x}>0에서 a{x-2}{x+3}>0 {a<0}이므로 {x-2}{x+3}<0 / -31일 때 1-3일 때 -k-21, 즉 k<-3일 때 10 / k>-1 또 이차방정식 {k+1}x@+2{k+1}x+2=0 {k=-1}의 판별식 을 D라고 할 때 D=0이어야 하므로 D 4 k@-1=0, k@=1 / k=-1 ={k+1}@-2{k+1}=0 그런데 k>-1이므로 k=1이다. 022 답 ② 이차부등식 {2-a}x@+2{a-2}x+3>0을 만족하지 않는 x의 값이 오직 한 개이면 {2-a}x@+2{a-2}x+3<0의 해가 1개이 또 이차방정식 {2-a}x@+2{a-2}x+3=0 {a=2}의 판별식을 므로 2-a>0 / a<2 D라고 할 때 D=0이어야 하므로 D 4 a@-a-2=0, {a+1}{a-2}=0 ={a-2}@-3{2-a}=0 주어진 이차부등식을 만족하는 정수 x는 1뿐이므로 주어진 조 / a=-1 또는 a=2 건을 만족하지 않는다. 그런데 a<2이므로 a=-1이다. 72 정답과 해설 수학(상) PM 해설 07~09(061~087)6.indd 72 2017-09-26 오후 5:21:40 이차방정식 ax@-2ax-6=0의 판별식을 D라고 하면 D>0 a-1>0에서 a>1 023 답 ② 이차부등식 ax@-2ax-6>0에서 ! a>0일 때 주어진 이차부등식은 항상 해를 갖는다. @ a<0일 때 이어야 하므로 D 4 a{a+6}>0 / a<-6 또는 a>0 =a@-a\{-6}>0, a@+6a>0 그런데 a<0이므로 a<-6 !, @에 의하여 a의 값의 범위는 a<-6 또는 a>0 따라서 실수 a의 값이 아닌 것은 ② -4이다. 024 답 ③ 이차부등식 3x@-2x-a<0이 해를 가지려면 이차방정식 3x@-2x-a=0의 판별식을 D라고 할 때 D>0이어야 하므로 D 4 따라서 정수 a의 최솟값은 0이다. =1-3\{-a}>0, 3a+1>0 / a>- 1 3 025 답 ⑤ 이차부등식 ax@-4x+a>0에서 ! a>0일 때 주어진 이차부등식은 항상 해를 갖는다. @ a<0일 때 이차방정식 ax@-4x+a=0의 판별식을 D라고 하면 D>0이 어야 하므로 D 4 그런데 a<0이므로 -20, {a+2}{a-2}<0 / -20 따라서 음의 정수 a의 값은 -1이다. 026 답 ② 이차부등식 ax@-4x+a-3<0이 모든 실수 x에 대하여 항상 성 립하려면 a<0이어야 한다. D<0이어야 하므로 D 4 {a+1}{a-4}>0 / a<-1 또는 a>4 ={-2}@-a{a-3}<0, a@-3a-4>0 그런데 a<0이므로 a<-1 따라서 실수 a의 최댓값은 -1이다. 028 답 ④ 부등식 {a-1}x@+2{a-1}x+4a+2>0에서 ! a=1일 때 x의 값에 관계없이 부등식이 항상 성립한다. @ a=1일 때 또 이차방정식 {a-1}x@+2{a-1}x+4a+2=0의 판별식을 D라고 할 때 D<0이어야 하므로 D 4 {a+1}{a-1}>0 / a<-1 또는 a>1 ={a-1}@-{a-1}{4a+2}<0, -3a@+3<0 그런데 a>1이므로 a>1 !, @에 의하여 a의 값의 범위는 a>1 따라서 실수 a의 최솟값은 1이다. 029 답 ④ ax@-2x>-ax+2에서 ax@+{a-2}x-2>0 이 이차부등식이 해를 갖지 않으려면 모든 실수 x에 대하여 ax@+{a-2}x-2<0이 성립해야 하므로 a<0이어야 한다. 또 이차방정식 ax@+{a-2}x-2=0의 판별식을 D라고 할 때 D<0이어야 하므로 D={a-2}@-4\a\{-2}<0 a@+4a+4<0, {a+2}@<0 / a=-2 그런데 a<0이므로 구하는 실수 a의 값은 -2이다. 030 답 ① 이차부등식 x@-4{a+2}x-a-2<0의 해가 존재하지 않으려면 모든 실수 x에 대하여 x@-4{a+2}x-a-2>0이 성립해야 한다. 즉, 이차방정식 x@-4{a+2}x-a-2=0의 판별식을 D라고 할 때 D<0이어야 하므로 D 4 =4{a+2}@+{a+2}<0, 4a@+17a+18<0 {4a+9}{a+2}<0 / - 9 4 따라서 정수 a의 값은 -2이다. 0이 성립해야 한다. 027 답 ③ 이차방정식 x@-3ax+9=0의 판별식을 D라고 할 때 D<0이어 야 하므로 D={-3a}@-4\9<0 {a+2}{a-2}<0 / -20이려면 f{3}>0이어야 한다. -2k-4>0, 2k<-4 / k<-2 08 이차부등식 73 수학(상) PM 해설 07~09(061~087)6.indd 73 2017-09-26 오후 5:21:41 033 답 ④ f{x}=2x@+4x+a@+3a-20이라고 하면 f{x}=2{x+1}@+a@+3a-22 039 답 ① 이차함수 y=x@+kx-k의 그래프와 x축이 만나지 않으려면 이차 함수의 그래프가 x축보다 항상 위쪽에 있어야 한다. -20이 성립해야 하므로 이차 이므로 f{x}<0이려면 f{2}<0이어야 한다. 방정식 x@+kx-k=0의 판별식을 D라고 할 때 D<0이어야 한다. -1 2 -2 O x 18+a@+3a-22<0, a@+3a-4<0 {a+4}{a-1}<0 / -4x-11에서 x@+{a-1}x+8>0 yy`㉠ 이때 해가 x<2 또는 x>b이고 x@의 계수가 1인 이차부등식은 {x-2}{x-b}>0 / x@-{b+2}x+2b>0 yy`㉡ a-1=-b-2, 8=2b / a=-5, b=4 ㉠, ㉡에서 / b-a=9 035 답 ② x@-x+4<2x+14에서 x@-3x-10<0 {x+2}{x-5}<0 / -2x@+bx-1에서 x@-{b+3}x+a+1>0 yy`㉠ 이때 해가 x<-1 또는 x>2이고 x@의 계수가 1인 이차부등식은 {x+1}{x-2}>0 / x@-x-2>0 yy`㉡ -b-3=-1, a+1=-2 / a=-3, b=-2 ㉠, ㉡에서 / ab=6 D=k@-4\{-k}<0, k@+4k<0 k{k+4}<0 / -40이 성립해야 한다. 즉, 이차방정식 x@-kx+4=0의 판별식을 D라고 할 때 D<0이 D=k@-16<0, {k+4}{k-4}<0 어야 하므로 / -4-3x@+2ax-2, 즉 {a+3}x@-2{a+3}x+8>0 이차방정식 {a+3}x@-2{a+3}x+8=0의 판별식을 D라고 이 성립해야 한다. ! a=-3일 때 @ a>-3일 때 부등식은 항상 성립한다. 할 때 D<0이어야 하므로 D 4 {a+3}{a-5}<0 / -3x+1, 즉 x@+{k+1}x+1>0이 성립해야 한다. 즉, 이차방정식 x@+{k+1}x+1=0의 판별식을 D라고 할 때 =4x@-{x@-2x+1}>0, 3x@+2x-1>0 즉, 이 이차방정식의 판별식을 D라고 할 때 D>0이어야 하므로 D 4 {x+1}{3x-1}>0 1 3 / x<-1 또는 x> 따라서 자연수 x의 최솟값은 1이다. D<0이어야 하므로 D={k+1}@-4<0, k@+2k-3<0 {k+3}{k-1}<0 / -3x@+{x-2}@, x@+4x+4>x@+x@-4x+4 043 답 ① x+y=k라고 하면 y=-x+k 이것을 2x@+y@=1에 대입하면 2x@+{-x+k}@=1 / 3x@-2kx+k@-1=0 이 식을 x에 대한 이차방정식으로 생각하면 이 이차방정식을 만 족하는 실수 x가 존재해야 한다. 즉, 이 이차방정식의 판별식을 D라고 할 때 D>0이어야 하므로 D 4 / - j6 2 =k@-3{k@-1}>0, [ 96에서 x@-22x+96<0 {x-6}{x-16}<0 / 63에서 5t@-7t+2<0 {t-1}{5t-2}<0 / 2 5 210, -5x@+35x-60>0 x@-7x+12<0 / 30에서 x{x-4}>0 / x<0 또는 x>4 yy`㉠ x@+{1-a}x-a<0에서 {x-a}{x+1}<0 yy`㉡ ㉠, ㉡의 공통부분이 -14 yy ㉠ 이 삼각형이 둔각삼각형이 되려면 x@-8x<0, x{x-8}<0 / 00, {k+1}{k-1}<0 / -10에서 k>0 # ab=2k@-1>0에서 [ k+ j2 2 ][ k- j2 2 ] >0 / k<- j2 2 또는 k> j2 2 !, @, #에 의하여 실수 k의 값의 범위는 j2 2 0 / k<-3 또는 k>3 D 4 =k@-9>0 @ f{2}>0이므로 4-4k+9>0, 4k<13 / k< # 이차함수 y=f{x}의 그래프의 축의 방정식이 x=k이므로 k<2 !, @, #에 의하여 k의 값의 범위는 k<-3 따라서 실수 k의 최댓값은 -3이다. 13 4 08 이차부등식 75 수학(상) PM 해설 07~09(061~087)6.indd 75 2017-09-26 오후 5:21:41 Z Z 핵심 유형 완성하기 140~142쪽 047 답 ① x@+6x-7<0에서 {x+7}{x-1}<0 / -70에서 {x+5}{x-2}>0 / x<-5 또는 x>2 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -7-2 yy ㉠ 4x@-7x-15<0에서 {4x+5}{x-3}<0 / - 0 1 2 또는 x>2 yy ㉠ {2x-1}{x-2}>0 / x< 2x@+2<2x+6에서 x@-x-2<0 {x+1}{x-2}<0 / -10일 때 x@-3x-4<0, {x+1}{x-4}<0 / -10이므로 00이므로 0<|x|<4 즉, |x|<4에서 -40에서 {x-1}{x-3}>0 / x<1 또는 x>3 yy`㉠ 주어진 연립부등식에서 {x-4}{x-a}<0 yy`㉡ 이때 ㉠, ㉡의 공통부분이 30에서 {x+4}{x-5}>0 / x<-4 또는 x>5 yy`㉠ x@-2{p+1}x+p@+2p<0에서 {x-p}{x-p-2}<0 / p-4이고 p+2<5 / -40의 해는 x<0 또는 x>2이어야 한다. -2 0 2 3 x 즉, {x+2}{x-3}<0에서 x@-x-6<0이므로 p=6 또 x{x-2}>0에서 x@-2x>0이므로 q=0 / p-q=6 054 답 1 x-a<1에서 x0에서 {x-1}{x-2}>0 / x<1 또는 x>2 ㉠, ㉡에 의하여 x의 값의 범위는 30에서 {x-2}{x-3}>0 / x<2 또는 x>3 062 답 2 x@-{a+4}x+4a<0에서 {x-a}{x-4}<0 이때 주어진 연립부등식을 만족하는 정수 x가 오직 한 개뿐이려 면 다음 그림과 같은 2가지 경우이어야 한다. 0 a 1 2 3 4 x 2 3 4 5 a 6 x D2={a+2}@-4{2a+1}<0 / 06 yy ㉠ D1={-a}@-4a>0 이 삼각형이 예각삼각형이 되려면 {x+3}@0, x{x-12}>0 / x<0 또는 x>12 yy ㉡ 060 답 30 {x-4}{x-6}>0 / x<4 또는 x>6 yy ㉡ 061 답 a<-5 또는 a>5 이차방정식 x@+4ax+3a@+25=0의 판별식을 D라고 하면 D 4 / a<-5 또는 a>5 ={2a}@-{3a@+25}>0, {a+5}{a-5}>0 이차방정식 x@-{a-2}x-a+ =0의 판별식을 D1이라고 하면 5 4 D1={a-2}@-4 -a+ >0 [ 5 4 ] {a+1}{a-1}>0 / a<-1 또는 a>1 yy ㉠ 이차방정식 x@+{a+2}x+2a+1=0의 판별식을 D2라고 하면 a@-4a<0, a{a-4}<0 / 00, a{a-4}>0 / a<0 또는 a>4 yy ㉠ 이차방정식 x@-2x-a@+5=0의 판별식을 D2라고 하면 D2 4 {a+2}{a-2}>0 / a<-2 또는 a>2 ={-1}@-{-a@+5}>0 yy ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 두 이차방정식 중 적어도 하나가 실근을 가지려면 a<0 또는 a>2 따라서 정수 a의 값이 아닌 것은 ③ 1이다. 064 답 1, 2, 3, 4 이차방정식 x@+2{k+1}x-k+5=0의 판별식을 D, 두 실근을 a, b라고 하면 두 근이 모두 음수이므로 ! D 4 ={k+1}@-{-k+5}>0, k@+3k-4>0 {k+4}{k-1}>0 / k<-4 또는 k>1 @ a+b=-2{k+1}<0 / k>-1 # ab=-k+5>0 / k<5 !, @, #에 의하여 k의 값의 범위는 112 따라서 자연수 x의 최솟값은 13이다. 059 답 10 {x+26}{x-1}>0 / x<-26 또는 x>1 그런데 x>0이므로 x>1 yy ㉠ x@+25x<54에서 x@+25x-54<0 {x+27}{x-2}<0 / -270이므로 00의 해는 -20 / k<-1 또는 k>0 yy ㉡ 따라서 부등식 f{x}<00 D 4 {k+2}{k-2}>0 / k<-2 또는 k>2 @ f{1}>0이므로 1-2k+4>0 2k<5 / k< 5 2 # 이차함수 y=f{x}의 그래프의 축의 방정식이 x=k이므로 k>1 !, @, #에 의하여 k의 값의 범위는 20, {k+1}{k-2}>0 =k@-{k+2}>0 / k<-1 또는 k>2 @ f{0}>0이므로 k+2>0 / k>-2 # f{3}>0이므로 9-6k+k+2>0, 5k<11 / k< 11 5 00에서 이차방정식 3x@-x+1=0의 판별식을 D 라고 하면 D=-11<0이므로 부등식의 해는 모든 실수이다. ㄴ. x@-8x+16<0에서 {x-4}@<0 / x=4 ㄷ. 이차방정식 2x@-5x+6=0의 판별식을 D라고 하면 D=-23<0이므로 부등식의 해는 없다. ㄹ. 4x@-12x+9<0에서 이차방정식 4x@-12x+9=0의 판별식 을 D라고 하면 D 4 따라서 부등식의 해가 없는 것은 ㄷ, ㄹ이다. =0이므로 부등식의 해는 없다. 3 답 x<-3 또는 x>5 유형 02 이차부등식의 풀이 x-1=0, 즉 x=1을 기준으로 구간을 나누면 ! x<1일 때 x@-2x-3>-3{x-1}, x@+x-6>0 {x+3}{x-2}>0 / x<-3 또는 x>2 그런데 x<1이므로 x<-3 @ x>1일 때 x@-2x-3>3{x-1}, x@-5x>0 x{x-5}>0 / x<0 또는 x>5 그런데 x>1이므로 x>5 !, @에 의하여 주어진 부등식의 해는 x<-3 또는 x>5 4 답 ② 유형 03 해가 주어진 이차부등식 해가 x<-1 또는 x>3이고 x@의 계수가 1인 이차부등식은 {x+1}{x-3}>0에서 x@-2x-3>0 이 부등식이 x@+2ax-b>0이므로 2a=-2, -b=-3 / a=-1, b=3 / a+b=2 5 답 x<-2 또는 x>0 유형 04 부등식 f{x}<0과 부등식 f{ax+b}<0 사이의 관계 이차부등식 f{x}<0의 해가 x<-3 또는 x>1이므로 f{x}=a{x+3}{x-1} {a<0}이라고 하면 f{2x+1} =a{2x+1+3}{2x+1-1}=4ax{x+2} f{2x+1}0 {? a<0} / x<-2 또는 x>0 수학(상) PM 해설 07~09(061~087)6.indd 78 2017-09-26 오후 5:21:43 6 답 ③ 유형 05 정수인 해의 조건이 주어진 이차부등식 x@<2k에서 x@-2k<0, {x+j2kk}{x-j2kk}<0 / -j2kk0 / k>1 또 이차방정식 {k-1}x@+2{k-1}x+1=0 {k=1}의 판별식을 D라고 할 때 D=0이어야 하므로 D 4 그런데 k>1이므로 k의 값은 2이다. ={k-1}@-{k-1}=0, k@-3k+2=0 / k=1 또는 k=2 -40이려면 11 답 ⑤ 유형 10 제한된 범위에서 이차부등식이 항상 성립할 조건 x@-4x<2x@+a@-3a에서 x@+4x+a@-3a>0 f{x}=x@+4x+a@-3a라고 하면 f{x}={x+2}@+a@-3a-4 f{-2}>0이어야 한다. a@-3a-4>0, {a+1}{a-4}>0 / a<-1 또는 a>4 따라서 자연수 a의 최솟값은 5이다. 12 답 -5 유형 11 만나는 두 그래프의 위치 관계와 이차부등식 x@-4x-50에서 ! k>0일 때 주어진 이차부등식은 항상 해를 갖는다. @ k<0일 때 13 답 ② 유형 12 만나지 않는 두 그래프의 위치 관계와 이차부등식 두 이차함수의 그래프가 서로 만나지 않으려면 이차함수 y=x@-6x+4의 그래프가 이차함수 y=-x@+2kx+2의 그래프 보다 항상 위쪽에 있어야 하므로 모든 실수 x에 대하여 x@-6x+4>-x@+2kx+2, 즉 x@-{k+3}x+1>0이 성립해야 이차방정식 kx@-6x+k-8=0의 판별식을 D라고 하면 D>0 이어야 하므로 D 4 그런데 k<0이므로 -10, k@-8k-9<0 / -10 D<0이어야 하므로 즉, 이차방정식 x@-{k+3}x+1=0의 판별식을 D라고 할 때 이차방정식 x@-2{k+1}x-2k-2=0의 판별식을 D라고 할 때 9 답 -30, {k+2j2}{k-2j2}<0 즉, 이 이차방정식의 판별식을 D라고 할 때 D>0이어야 하므로 D 4 / -2j20이 성립해야 한다. 즉, 이차방정식 f{x}=0의 판별식을 수학(상) PM 해설 07~09(061~087)6.indd 79 2017-09-26 오후 5:21:43 15 답 ③ 유형 14 이차부등식의 활용 이 물체의 높이가 지면으로부터 15 m 이상이려면 50-5t@>15, 5t@<35 {t+j7}{t-j7}<0 / -j70이므로 00 {x+18}{2x-1}>0 / x<-18 또는 x> 1 2 따라서 ㉠, ㉡의 공통부분이 없으므로 주어진 부등식의 해는 없다. 그런데 x>0이므로 x> yy ㉠ 2x@+35x<100에서 2x@+35x-100<0 {x+20}{2x-5}<0 / -200이므로 00, {a+1}{a-1}>0 / a<-1 또는 a>1 D 4 @ f{-2}>0이므로 4+12a+9>0 / a>- # 이차함수 y=f{x}의 그래프의 축의 방정식이 x=3a이므로 13 12 -2<3a / a>- 2 3 !, @, #에 의하여 a의 값의 범위는 a>1 따라서 실수 a의 최솟값은 1이다. 의 해가 -40, {x+1}{x-6}>0 / x<-1 또는 x>6 yy ㉠ 2x@-2x-5<3x-2에서 2x@-5x-3<0, {2x+1}{x-3}<0 / - 0에서 {x+ja}{x-ja}>0 / x<-ja 또는 x>ja x@+3x-4<0 연립부등식 - x@-a>0 는 이차방정식 x@-a=0의 해이어야 하므로 4-a=0 / a=4 또 x@-10x+21<0에서 {x-3}{x-7}<0 / 30에서 x<2 또는 x>3 {2x-3}{x-a}<0에서 3 2 AB +BP 3=13 =1{6-1}@+{311+1}@3 따라서 구하는 최솟값은 13이다. 유형05 답 ④ P{a, 0}이라고 하면 AP @+BP @ ={a+2}@+{-5}@+{a-4}@+{-1}@ =2a@-4a+46 =2{a-1}@+44 따라서 a=1일 때 최솟값은 44이다. 유형06 답 풀이 참고 오른쪽 그림과 같이 직선 BC를 x축, 선분 BC의 수직이등분선을 y축으로 하는 좌표 평면을 잡으면 점 M은 원점이다. A{a, b}, C{c, 0}이라고 하면 y A{a, b} B M{O} C{c, 0} x B{-c, 0}이므로 @+AC AB @ ={-c-a}@+{-b}@+{c-a}@+{-b}@ =2a@+2b@+2c@ 2{A M / AB @+B M @+AC @}=2{a@+b@+c@}=2a@+2b@+2c@ @} @=2{A M @+B M P 유형07 답 {-11, 10} 3\{-3}+2\7 3+2 3\{-3}-2\7 3-2 Q [ , , [ 3\6+2\1 3+2 3\6-2\1 3-2 / P{1, 4} ] ] / Q{-23, 16} 따라서 구하는 선분 PQ의 중점의 좌표는 1+{-23} 2 [ , 4+16 2 ] / {-11, 10} 09 평면좌표 81 수학(상) PM 해설 07~09(061~087)6.indd 81 2017-09-27 오후 5:42:54 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z X Z X Z Z Z X Z X Z 유형08 답 2 AB 를 m`:`n으로 내분하는 점의 좌표는 -m+5n 6m-3n m+n , m+n ] [ 이 점이 y축 위에 있으므로 6m-3n m+n =0, n=2m / n m =2 유형09 답 4 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는 [ ] , -2+a-2b+4 3 a-2b+2 3 3+b+a-1 3 a+b+2 3 , / [ ] 이 점이 점 {-2, 2}이므로 a+b+2 a-2b+2 3 3 a-2b=-8, a+b=4 / a=0, b=4 =-2, =2 / b-a=4 유형10 답 ⑤ 대각선 AC의 중점의 좌표는 11 2 , 8-1 2 ] / [ 2 , 7+4 7 2 ] [ D{a, b}라고 하면 대각선 BD의 중점의 좌표는 yy ㉠ yy ㉡ 5+b a 2 , [ 2 ] ㉠, ㉡이 일치하므로 5+b 7 a 11 2 2 2 2 / D{11, 2} = = , / a=11, b=2 유형11 답 ② AB =1{-7-5}@+3{-4-1}@3=13 =1{2-5}@3+{5-1}@3=5 AC 이때 AD 는 CA의 이등분선이므로 AB `:`AC =BD `:`CD 즉, 점 D는 BC 를 13`:`5로 내분하는 점이다. D [ 13\2+5\{-7} 13+5 1 2 , b= 따라서 a=- 5 2 이므로 a+b=2 , 13\5+5\{-4} 13+5 ] / D [ - 1 2 , 5 2 ] P{a, b}라고 하면 점 P가 직선 y=-2x+1 위의 점이므로 유형12 답 y=-2x+ 3 2 b=-2a+1 yy`㉠ 이때 점 Q는 AP 의 중점이므로 a 2 , Q [ b+2 2 ] Q{x, y}라고 하면 x= a 2 , y= b+2 2 이므로 a=2x, b=2y-2 이것을 ㉠에 대입하면 2y-2=-2\2x+1 / y=-2x+ 3 2 82 정답과 해설 핵심 유형 완성하기 151~156쪽 001 답 ④ AB 15a@-18a+183=j26k 양변을 제곱하면 =j26k이므로 1{3-a}@+{2-3a-a+1}@3=j26k 5a@-18a+8=26, 5a@-18a-8=0 2 5 또는 a=4 {5a+2}{a-4}=0 / a=- 따라서 양수 a의 값은 4이다. 002 답 ⑤ AB CD =1{1-a}@+3{a+1}@3=12a@+23 Z =12@+3{-1-1}@3=2j2 =2CD 이므로 12a@+23=4j2 AB 양변을 제곱하면 2a@+2=32, a@=15 / a=-j15k 따라서 양수 a의 값은 j15k이다. =4이므로 1{b+2-a}@+{3b-a-2}@3=4 Z 003 답 ④ AB 12{a-b}@+83=4 양변을 제곱하면 2{a-b}@+8=16, {a-b}@=4 따라서 두 점 {a, b}와 {b, a} 사이의 거리는 1{b-a}@3+{a-b}@3=12{a-b}@3=2j2 004 답 10j2 P{p, 0}이라고 하면 AP {p-2}@+{-4}@={p-6}@+{-8}@, 8p=80 / p=10 =BP 에서 AP @=BP Z @이므로 Z / P{10, 0} Q{0, q}라고 하면 AQ =BQ @=BQ 에서 AQ Z @이므로 Z {-2}@+{q-4}@={-6}@+{q-8}@, 8q=80 / q=10 / Q{0, 10} / PQ =1{-10}@3+10@3=10j2 005 답 [ 1 2 , 3 2 ] P{a, a+1}이라고 하면 AP =BP 에서 AP @=BP @이므로 {a+2}@+{a+1-2}@={a-3}@+{a+1-1}@ 8a=4 / a= 1 2 따라서 점 P의 좌표는 [ 1 2 , 3 2 ]이다. 006 답 4 점 P가 삼각형 ABC의 외심이므로 AP AP =BP 에서 AP @=BP @이므로 =BP =CP {a-1}@+{b-2}@=a@+{b+1}@ / a+3b=2 yy ㉠ BP =CP 에서 BP @=CP @이므로 a@+{b+1}@={a-4}@+{b-3}@ / a+b=3 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a= 7 2 , b=- 1 2 / a-b=4 수학(상) PM 해설 07~09(061~087)6.indd 82 2017-09-26 오후 5:21:44 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 인 이등변삼각형이다. ={a-1}@+{b-2}@+{a-2}@+{b-5}@+{a-3}@+{b+1}@ 007 답 4 =BP AP 에서 AP @이므로 {a-1}@+{b-1}@={a-3}@+{b-7}@ / a+3b=14 @=BP 이때 a+3b=14를 만족하는 자연수 a, b의 순서쌍은 ={a-3}@+{a-2}@+{a-2}@+{a-1}@ {2, 4}, {5, 3}, {8, 2}, {11, 1} 따라서 구하는 점 P의 개수는 4이다. 008 답 ③ AB BC =1{3-1}@3+{-2}@3=2j2 =1{-1-3}@3+{-2}@3=2j5 =1{1+1}@+3{2+2}@3=2j5 =CA 따라서 삼각형 ABC는 BC CA 009 답 ④ 삼각형 ABC가 정삼각형이므로 AB =BC =CA AB =BC @=BC {1+1}@+{-1-1}@={a-1}@+{b+1}@ @이므로 에서 AB / a@+b@-2a+2b-6=0 @이므로 {a-1}@+{b+1}@={-1-a}@+{1-b}@ / a=b yy ㉡ @=CA 에서 BC yy ㉠ 또 BC =CA ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-j3, b=-j3 또는 a=j3, b=j3 / ab=3 010 답 9 삼각형 ABP가 AB AB @=AP @+BP @이어야 하므로 가 빗변인 직각삼각형이 되려면 {7-2}@+{1-5}@={p-2}@+{-5}@+{p-7}@+{-1}@ / p@-9p+19=0 이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 p의 값의 합은 9 011 답 5j2 A{-1, -3}, B{4, 2}, P{a, b}라고 하면 1{a+1}@3+{b+3}@3+1{a-4}@3+{b-2}@3 =AP +BP =1{4+1}@3+{2+3}@3=5j2 >AB 따라서 구하는 최솟값은 5j2이다. 012 답 ③ O{0, 0}, A{-3, 4}, P{x, y}라고 하면 1x@+y@3+1{x+3}@3+{y-4}@3 =OP >OA 따라서 구하는 최솟값은 5이다. 013 답 ③ Q{0, a}라고 하면 AQ @+BQ @ =1@+{a-2}@+{-3}@+{a+1}@ =2a@-2a+15=2 따라서 a= 1 2 일 때 최솟값은 1 2 ]@+ 29 2 a- [ 29 2 이다. +AP =1{-3}@+4@3=5 014 답 P{2, 6} P{a, a+4}라고 하면 @ @+BP AP =4a@-16a+18 =4{a-2}@+2 015 답 20 @+BP AP @+CP @ 따라서 a=2일 때 최솟값은 2이므로 P{2, 6}이다. =3a@-12a+3b@-12b+44 =3{a-2}@+3{b-2}@+20 따라서 a=2, b=2일 때 최솟값은 20이다. 016 답 ㈎ a ㈏ b ㈐ y-b ㈑ y 오른쪽 그림과 같이 직선 BC를 x 축, 직선 AB를 y축으로 하는 좌표 평면을 잡으면 점 B는 원점이다. y P{x, y} A{0, b} D{a, b} A{0, b}, C{a, 0}, D{a, b}, B{O} C{a, 0} x P{x, y}라고 하면 AP BP @+CP @+DP / AP @+CP @=9x@+{y-b}@0+9{x-a}@+y@0 @ ={x@+y@}+9{x-a}@+{y-b}@0 =9x@+{y-b}@0+9{x-a}@+y@0 @ @+DP @=BP 017 답 ㈎ D ㈏ -2c ㈐ a@+b@+2c@ 오른쪽 그림과 같이 직선 B C를 x축, 점 D를 지나고 직선 B C에 수직인 직 선을 y축으로 하는 좌표평면을 잡으면 점 D는 원점이다. A{a, b}, C{c, 0}이라고 하면 B{-2c, 0}이므로 @+2AC AB AD @+2CD / AB @+2AC =3{a@+b@+2c@} @ =9{-a}@+{-b}@0+2{-c}@ =a@+b@+2c@ @=3{AD @+2CD @} @ =9{-2c-a}@+{-b}@0+29{c-a}@+{-b}@0 =3a@+3b@+6c@ y A{a, b} B D{O} C{c, 0} x 018 답 ⑤ [ P , Q 2\{-5}+3\5 2+3 2\{-5}-3\5 2-3 2\3+3\{-2} 2+3 2\3-3\{-2} 2-3 따라서 선분 PQ의 중점의 좌표는 0+{-12} 2 ] / {13, -6} 1+25 2 [ , , [ ] / P{1, 0} ] / Q{25, -12} 09 평면좌표 83 수학(상) PM 해설 07~09(061~087)6.indd 83 2017-09-26 오후 5:21:45 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 1 019 답 ⑤ 2\{-2}-1\a 2-1 / a+b=9 =-8, 2\b-1\{-1} 2-1 =11이므로 -4-a=-8, 2b+1=11 / a=4, b=5 [ , C 1\3+2\2 1+2 020 답 ⑤ 점 C{a, b}는 선분 AB를 1`:`2로 내분하는 점이므로 1\6+2\{-3} 7 3 , 0 ] 1+2 점 D{c, d}는 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점이므로 2\6+1\{-3} 2+1 8 3 , d=3이므로 2\3+1\2 2+1 7 3 , b=0, c= ] / D ] / C 따라서 a= 8 3 , 3 D , [ [ [ ] ab+cd=8 021 답 ④ S1`:`S2=9`:`4, 즉 AP @=9`:`4이므로 AP @`:`BP 따라서 점 P는 선분 AB를 3`:`2로 내분하는 점이므로 3\8+2\{-2} 3+2 ] / P{4, 4} 3\6+2\1 3+2 `:`BP P , [ =3`:`2 022 답 ⑤ =BC 2AB 에서 AB `:`BC =1`:`2 이때 a > 0이므로 오른쪽 그림과 같 이 점 C는 AB 를 3`:`2로 외분하는 점이다. 3\4-2\{-5} 3-2 , 3\2-2\1 3-2 ] C [ / C{22, 4} 따라서 a=22, b=4이므로 a+b=26 y b 2 A O-5 4 1 B C a x 다른 풀이 점 B는 AC 1\a+2\{-5} 1+2 =4, 1\b+2\1 1+2 를 1`:`2로 내분하는 점이므로 =2 / a=22, b=4 023 답 ② 선분 AB를 m`:`n으로 내분하는 점의 좌표는 -m+2n 3m+n m+n , m+n ] [ 이 점이 점 {a, 0}이므로 -m+2n m+n =0 / m=2n / a= 3m+n m+n = 3\2n+n 2n+n = 7 3 024 답 ① 선분 AB를 1`:`a로 내분하는 점의 좌표는 -2-3a 4-3a 1+a , 1+a ] [ 이 점이 직선 x-y-2=0 위에 있으므로 4-3a 1+a 2a=4 / a=2 -2-3a 1+a -2=0, 6-2{1+a}=0 - 84 정답과 해설 025 답 0에서 a> 2 7 , 5-6a>0에서 a< 5 6 / 0}라고 하면 AD AC AB `:`AC =BD `:`CD 는 CA의 이등분선이므로 즉, 점 D는 BC 5\7+t\{-2} 5+t D [ 를 5`:`t로 내분하는 점이다. 5\a+t\1 5+t , / D 35-2t 5+t , 5a+t 5+t ] [ 이때 D{1, b}이므로 35-2t 5+t =1, ] 5a+t 5+t =b 35-2t 5+t =1에서 35-2t=5+t / t=10 즉, AC =t=10이므로 1{7-1}@3+{a-5}@3=10 양변을 제곱하여 정리하면 a@-10a-39=0 {a+3}{a-13}=0 / a=-3 또는 a=13 그런데 a<0이므로 a=-3 =b에서 a=-3, t=10이므로 이때 5a+t 5+t 5\{-3}+10 5+10 =b / b=- 1 3 / ab=-3\ - =1 1 3 ] [ 036 답 ⑤ AB =1{-3-3}@3+{-8}@3=10, AC =1{-3}@+4@3=5 이때 AD 는 CA의 외각의 이등분선이므로 AB `:`AC =BD `:`CD 즉, 점 D는 BC 를 2`:`1로 외분하는 점이다. 2\0-1\{-3} 2-1 , 2\4-1\{-8} 2-1 D [ ] / D{3, 16} 따라서 a=3, b=16이므로 a+b=19 037 답 ① P{a, b}라고 하면 점 P가 직선 y=-4x+2 위의 점이므로 !, @, #에 의하여 구하는 모든 ab의 값의 합은 27+3-5=25 b=-4a+2 yy ㉠ 033 답 D -1, [ 1 3 ] AB =1{2+1}@+3{-1+5}@3=5, AC 는 CA의 이등분선이므로 이때 AD =1{-7+1}@+3{3+5}@3=10 AB `:`AC =BD `:`CD 즉, 점 D는 BC 를 1`:`2로 내분하는 점이다. 이때 점 Q는 OP 1\a+2\0 1+2 Q [ 를 1`:`2로 내분하는 점이므로 a 3 , / Q [ , b 3 ] 1\b+2\0 1+2 a 3 , y= ] b 3 이므로 a=3x, b=3y Q{x, y}라고 하면 x= 이것을 ㉠에 대입하면 3y=-4\3x+2, y=-4x+ 2 3 1\{-7}+2\2 1+2 , 1\3+2\{-1} 1+2 D [ ] / D [ -1, 1 3 ] 따라서 m=-4, n= 2 3 이므로 m+n=- 10 3 09 평면좌표 85 수학(상) PM 해설 07~09(061~087)6.indd 85 2017-09-26 오후 5:21:46 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 038 답 y=x+1 두 점 A, B로부터 같은 거리에 있는 점을 P{x, y}라고 하면 @이므로 에서 AP @=BP =BP AP {x-1}@+{y-4}@={x-3}@+{y-2}@ x@-2x+y@-8y+17=x@-6x+y@-4y+13 / y=x+1 157~159쪽 핵심 유형 최종 점검하기 1 답 ③ 유형 01 두 점 사이의 거리 AB =BC , 즉 AB @=BC @이므로 {a-1-1}@+{1-3}@={3-a+1}@+{-3-1}@ a@-4a+8=a@-8a+32 / a=6 2 답 ② 유형 02 같은 거리에 있는 점 P{p, 0}이라고 하면 AP @이므로 p@+2@={p+4}@+{-2}@, 8p=-16 / p=-2 에서 AP @=BP =BP / P{-2, 0} Q{0, q}라고 하면 AQ @=BQ {q+2}@=4@+{q-2}@, 8q=16 / q=2 에서 AQ =BQ @이므로 / Q{0, 2} 따라서 선분 PQ의 중점의 좌표는 {-1, 1}이다. 3 답 ③ 유형 02 같은 거리에 있는 점 P{a, a-2}라고 하면 AP =BP 에서 AP @=BP @이므로 {a+4}@+{a-2}@={a-6}@+{a-2+2}@ 2a@+4a+20=2a@-12a+36, 16a=16 / a=1 따라서 점 P의 좌표는 {1, -1}이다. 인 이등변삼각형이다. 4 답 ② 유형 03 삼각형의 모양 BC AB =1{4-2}@+3{-1-1}@3=2j2 =1{-4}@+3{-3+1}@3=2j5 =12@+{1+3}@3=2j5 따라서 삼각형 ABC는 BC =CA CA 5 답 ⑤ 유형 03 삼각형의 모양 AB =AC 에서 AB @=AC @이므로 {3+1}@+{-2-2}@={a+1}@+{b-2}@ /{a+1}@+{b-2}@=32 yy`㉠ 또 BC =CA 에서 BC @=CA @이므로 {a-3}@+{b+2}@={-1-a}@+{2-b}@ / b=a-1 yy`㉡ 86 정답과 해설 ㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면 a@-2a-11=0 / a=1-2j3 이때 점 C는 제1사분면 위의 점이므로 a>0, b>0 따라서 a=1+2j3, b=2j3이므로 a+b=1+4j3 6 답 ② 유형 04 두 점 사이의 거리를 이용하여 식의 최솟값 구하기 A{1, -2}, B{5, 2}, P{a, b}라고 하면 1{a-1}@3+{b+2}@3+1{a-5}@3+{b-2}@3 =AP +BP =1{5-1}@3+{2+2}@3=4j2 >AB 따라서 구하는 최솟값은 4j2이다. 7 답 ③ 유형 05 선분의 길이의 제곱의 합의 최솟값 @ @+BP @+CP AP =a@+{b-1}@+{a-1}@+{b-2}@+{a-2}@+b@ =3a@-6a+3b@-6b+10 =3{a-1}@+3{b-1}@+4 따라서 a=1, b=1일 때 최솟값은 4이다. 8 답 ㈎ 2a ㈏ 2j3a ㈐ 정삼각형 유형 06 좌표를 이용한 도형의 성질 점 B{6a, 0}이라고 하면 C{2a, 0}, D{4a, 0}이고 점 E의 y좌표 \4a=2j3a / E{2a, 2j3a} 는 정삼각형 ADE의 높이이므로 j3 2 또 점 F의 y좌표는 정삼각형 DBF의 높이이므로 j3 2 이때 EC \2a=j3a / F{5a, j3a} 의 길이를 각각 구하면 , FE , CF EC CF FE =2j3a =1{5a-2a}@3+{j3a}@3=2j3a =1{2a-5a}@3+{2j3a3-j3a}@3=2j3a 따라서 삼각형 ECF는 정삼각형이다. 9 답 ③ 유형 06 좌표를 이용한 도형의 성질 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 두 도로를 각각 x축, y축으로, 지점 O를 원점으로 잡으 면 t시간 후 상효의 위치는 {-5+4t, 0}, y 상효 O-5 즉, 두 사람 사이의 거리는 1{5-4t}@+3{-10+3t}@3 =125t@-3100t+1253 =125{t3-2}@+253`{km} 두 사람 사이의 거리가 가장 가까워지는 것은 t=2일 때, 즉 2시 -10 서진 간 후이고 그때의 거리는 5`km이다. 따라서 a=2, d=5이므로 a+d=7 x 삼각형 ABC가 정삼각형이므로 AB =BC =CA 서진이의 위치는 {0, -10+3t}이다. 수학(상) PM 해설 07~09(061~087)6.indd 86 2017-09-26 오후 5:21:46 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 1 10 답 ④ 유형 07 선분의 내분점과 외분점 2\{-1}+1\5 2+1 2\{-1}-1\5 2-1 ‌P ,‌ ,‌ [ ‌Q‌[ /‌PQ =1{-7-1}@3+{7-3}@3=4j5 2\4+1\1 2+1 2\4-1\1 2-1 ]‌ ‌ /‌P{1,‌3} ]‌ ‌ /‌Q{-7,‌7} 11 답 ① 유형 08 선분의 내분점과 외분점의 활용 선분‌AB를‌3`:`b로‌내분하는‌점의‌좌표는 3\a+b\{-8} 3+b ] ,‌ ‌[ 3a-8b 3\{-12}+b\4 3+b -36+4b 3+b ,‌ /‌[ 3+b ] 이‌점이‌점‌{-2,‌1}이므로 3a-8b -36+4b 3+b 3+b /‌a+b=21 =-2,‌ =1‌ ‌ /‌a=16,‌b=5 12 답 3 유형 08 선분의 내분점과 외분점의 활용 선분‌AB를‌a`:`{a+1}로‌외분하는‌점의‌좌표는 ,‌ a\4-{a+1}\3 a-{a+1} ] a\{-1}-{a+1}\2 a-{a+1} ‌[ /‌{3a+2,‌-a+3} 이‌점이‌x축‌위의‌점이므로 ‌-a+3=0‌ ‌ /‌a=3 OQ =17@+{-2}@3=j53k 14 답 ② 유형 09 삼각형의 무게중심 ,‌ ‌[ 삼각형‌OAB의‌무게중심의‌좌표는 0+b+3 3 b+3 /‌[ 3 ] 삼각형‌OCD의‌무게중심의‌좌표는 0+a+1 3 a+1 3 yy‌㉠ ]‌ ‌ ,‌ 0+{-3}+6 ‌[ 3 /‌{1,‌1} ,‌ 0+{-1}+4 3 yy‌㉡ ] ㉠,‌㉡이‌일치하므로 a+1 3 b+3 3 =1,‌ /‌a+b=2 =1‌ ‌ /‌a=2,‌b=0 대각선‌AC의‌중점의‌좌표는‌[ /‌{2,‌2} ] 1+3 2 ,‌ 2+a 2 ,‌ -1+5 2 -3+b 2 ] ‌ ‌ /‌a=2,‌b=7 15 답 ④ 유형 10 평행사변형의 성질의 활용 대각선‌BD의‌중점의‌좌표는‌[ 이‌두‌점이‌일치하므로 -3+b 2 2+a 2 ,‌2= ‌2= /‌ab=14 16 답 ③ 유형 10 평행사변형의 성질의 활용 대각선‌AC의‌중점의‌좌표는‌[ 4+a 2 ,‌ 2+2 2 ]‌ ‌ /‌[ a+4 2 ,‌2 ] 1+b 5-1 2 ]‌ ‌ /‌[ b+1 2 ,‌2 ] 대각선‌BD의‌중점의‌좌표는‌[ 이‌두‌점이‌일치하므로 1+b a+4 2 ‌ ‌ /‌b=a+3 yy‌㉠ 2 2 ,‌ = 이때‌사각형‌ABCD가‌마름모이므로‌AB =BC 에서‌AB ‌@=BC ‌@ 이다. {1-4}@+{5-2}@={a-1}@+{2-5}@ a@-2a-8=0,‌{a+2}{a-4}=0‌ ‌ /‌a=-2‌또는‌a=4 그런데‌a=4이면‌점‌A와‌점‌C가‌일치하므로‌a=-2 a=-2를‌㉠에‌대입하면‌b=1 /‌a+2b=0 AB 17 답 ⑤ 유형 11 삼각형의 내각의 이등분선의 성질 =1{0-3}@+3{-3-1}@3=5 =1{-3-3}@+3{-7-1}@3=10 는‌CA의‌이등분선이므로 이때‌AD AC 즉,‌점‌D는‌BC 1\{-3}+2\0 1+2 ‌D [ 를‌1`:`2로‌내분하는‌점이다. 1\{-7}+2\{-3} 1+2 ,‌ ] /‌D -1,‌- [ 13 3 ] 따라서‌a=-1,‌b=- 13 3 이므로‌a+b=- 16 3 18 답 ① 유형 12 점이 나타내는 도형의 방정식 P{a,‌b}라고‌하면‌점‌P가‌직선‌y=-2x+3‌위의‌점이므로 b=-2a+3 yy‌㉠ 이때‌점‌Q는‌AP 를‌3`:`2로‌외분하는‌점이므로 3\a-2\{-1} 3-2 ‌[ Q{x,‌y}라고‌하면‌x=3a+2,‌y=3b이므로 3\b-2\0 3-2 ] ,‌ /‌{3a+2,‌3b} y 3 x-2 ‌a= 3 ,‌b= 이것을‌㉠에‌대입하면 y 3 따라서‌m=-2,‌n=13이므로‌m+n=11 +3‌ ‌ /‌y=-2x+13 x-2 3 =-2\ 09 평면좌표 87 13 답 j53k 유형 08 선분의 내분점과 외분점의 활용 AP +BP 이때‌점‌Q [ 가‌최소일‌때‌점‌P는‌AB 3b+1 4 3a+1 4 ,‌ ]는‌선분‌AP를‌3`:`1로‌내분하는‌점이므 로‌점‌P가‌점‌B의‌위치에‌있을‌때‌선분‌OQ의‌길이는‌최대가‌된다. 즉,‌P{9,‌-3}일‌때‌a=9,‌b=-3이고‌Q{7,‌-2}이므로 ‌위의‌점이다. AB `:`AC =BD `:`CD 수학(상) PM 해설 07~09(061~087)6.indd 87 2017-09-27 오후 5:43:16 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 10 직선의 방정식 유형01 ③ 유형02 ① 유형03 ① 유형04 ④ 유형05 ③ 유형06 ③ 유형07 ④ 유형08 ② 유형09 ① 유형10 ④ 유형11 ⑤ 유형12 3 유형13 유형14 4 유형15 ② 7 2 유형16 ④ 유형17 x+3y-2=0 또는 3x-y+4=0 010 x 2 014 ② 019 ④ 001 ⑤ 006 y=2x-8 002 ④ 003 ⑤ 004 ① 005 ② 007 2 008 -12 009 ⑤ +y=1 011 8 012 ③ 013 ⑤ 015 ③ 016 ④ 017 ③ 018 -3 020 ② 022 ⑤ 023 ⑤ 021 ④ 026 1 4 1 2 034 ④ 024 ② 025 ⑤ 0에서 b=0이므로 주어진 식을 변형하면 y=- x- a b yy ㉠ c b a b c b ab>0에서 - <0이므로 직선 ㉠의 기울기는 음수이다. 또 bc<0에서 - >0이므로 직선 ㉠의 y절편 은 양수이다. 따라서 직선 ax+by+c=0의 개형은 오른쪽 그림과 같으므로 제3사분면을 지나지 않는다. x y O 수학(상) PM 해설 10(088~099)OK.indd 88 2017-09-26 오후 4:40:32 Z Z 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립해야 하므로 항등식의 성질 유형07 답 ④ 주어진 식을 k에 대하여 정리하면 {3x+y+6}+k{x+y-2}=0 에 의하여 3x+y+6=0, x+y-2=0 두 식을 연립하여 풀면 x=-4, y=6 따라서 항상 점 {-4, 6}을 지나므로 a=-4, b=6 ∴ a@+b@=16+36=52 002 답 ④ 구하는 직선의 기울기는 tan`60!=j3 k 따라서 기울기가 j3 k이고 점 {2, -j3 k}을 지나는 직선의 방정식은 y+j3 k=j3 k{x-2} ∴ y=j3 kx-3j3 k 003 답 ⑤ 2x-3y+5=0에서 y= x+ 2 3 5 3 즉, 기울기가 2 3 이고 점 {-3, 2}를 지나는 직선의 방정식은 y-2= {x+3} ∴ 2x-3y+12=0 2 3 따라서 a=2, b=-3이므로 a-b=5 유형08 답 ② mx-y-5m+4=0을 m에 대하여 정리하면 m{x-5}-{y-4}=0 yy ㉠ 이므로 직선 ㉠은 m의 값에 관계없이 항상 점 {5, 4}를 지난다. 이때 오른쪽 그림과 같이 두 직선이 제1사분면에서 만나도록 직선 ㉠을 y x+y-3=0 4 ! 3 O 53 x @ 움직여 보면 ! 직선 ㉠이 점 {0, 3}을 지날 때 -5m+1=0 ∴ m= 1 5 @ 직선 ㉠이 점 {3, 0}을 지날 때 -2m+4=0 ∴ m=2 !, @에 의하여 구하는 m의 값의 범위는 1 5 0이므로 직선 ㉠의 기울기는 양수이다. 또 <0에서 - >0이므로 직선 ㉠의 y절편 y 따라서 직선 ax+by+c=0의 개형은 오른쪽 그림과 같으므로 제4사분면을 지나지 않는다. O x (직선 AC의 기울기)=(직선 BC의 기울기)이어야 하므로 1+k 2-1 1-3 2-{2k+1} 2 2k-1 , k+1= = 2k@+k-3=0, {2k+3}{k-1}=0 ∴ k=- 선의 교점을 모두 지나야 한다. 3 2 또는 k=1 세 점이 삼각형을 이루지 않으려면 세 점은 한 직선 위에 있어야 yy ㉠ <0에서 b=0이므로 주어진 식을 변형하면 수학(상) PM 해설 10(088~099)OK.indd 90 2017-09-26 오후 4:40:33 Z Z Z Z 또 bc>0에서 - <0이므로 직선 ㉠의 y절편은 음수이다. ∴ P{-2, 2} 따라서 직선 ax+by+c=0의 개형은 ④이다. 020 답 ② ab=0, ac<0에서 b=0이므로 주어진 식을 변형하면 x=- c a c a ac<0에서 - >0이므로 이 직선은 오른쪽 그 림과 같이 y축에 평행한 직선이고, 제1, 4사분 면을 지난다. 021 답 ④ ab>0에서 b=0이므로 주어진 식을 변형하면 y=- x- a b yy ㉠ ab>0에서 - <0이므로 직선 ㉠의 기울기는 음수이다. y O x c b a b c b 022 답 ⑤ 주어진 그림에서 a=0, b=0, c=0이므로 ax+by+c=0에서 주어진 직선의 기울기가 음수이고 y절편이 양수이므로 y=- x- a b c b c b - <0, - >0 a b ∴ ab>0, bc<0 한편 cx+ay+b=0에서 b a y=- x- c a yy ㉠ 즉, a>0, b>0, c<0 또는 a<0, b<0, c>0이므로 ac<0 c a b a ac<0에서 - >0이므로 직선 ㉠의 기울기는 양수이다. 또 ab>0에서 - <0이므로 직선 ㉠의 y절편은 음수이다. 따라서 직선 cx+ay+b=0의 개형은 ⑤이다. 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립해야 하므로 항등식의 성질 023 답 ⑤ 주어진 식을 k에 대하여 정리하면 {3x-y-5}+k{x+2y-11}=0 에 의하여 3x-y-5=0, x+2y-11=0 두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=4 따라서 항상 점 {3, 4}를 지나므로 a=3, b=4 ∴ a+b=7 024 답 ② 주어진 식을 k에 대하여 정리하면 {x-y+a}+k{x+2y+3}=0 에 의하여 x-y+a=0, x+2y+3=0 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립해야 하므로 항등식의 성질 이때 점 {3, b}는 이 두 직선의 교점이므로 3-b+a=0, 3+2b+3=0 두 식을 연립하여 풀면 a=-6, b=-3 ∴ a+b=-9 025 답 ⑤ 주어진 식을 k에 대하여 정리하면 {x-y+4}+k{x+3y-4}=0 에 의하여 x-y+4=0, x+3y-4=0 두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=2 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립해야 하므로 항등식의 성질 따라서 점 P{-2, 2}와 점 {0, 8}을 지나는 직선의 방정식은 y-2= {x+2} ∴ y=3x+8 8-2 2 026 답 0이므로 q=2 7 3 ∴ p+q= 유형11 답 ⑤ C 1 -1 O -1 1 4 x @ 3 B 또 두 직선이 수직이 되려면 k{k-1}+2\{-1}=0, k@-k-2=0 {k+1}{k-2}=0 ∴ k=-1 또는 k=2 6-3 3+1 = 3 4 4 3 이다. 두 점 {-1, 3}, {3, 6}을 지나는 직선의 기울기는 이므로 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 - 즉, 기울기가 - 4 3 이고 점 {3, 2}를 지나는 직선의 방정식은 y-2=- {x-3} ∴ y=- x+6 4 3 4 3 따라서 이 직선 위의 점은 ⑤ {6, -2}이다. =-2이므로 AB 유형12 답 3 두 점 A{2, 1}, B{4, -3}을 지나는 직선의 기울기는 -3-1 4-2 1 2 이다. 또 AB 2+4 의 중점의 좌표는 [ 2 , 1-3 2 ] ∴ {3, -1} 를 수직이등분하는 직선의 기울기는 즉, 기울기가 1 2 이고 점 {3, -1}을 지나는 직선의 방정식은 y+1= {x-3} ∴ x-2y-5=0 1 2 따라서 a=-2, b=-5이므로 a-b=-2+5=3 수학(상) PM 해설 10(088~099)OK.indd 92 2017-09-26 오후 4:40:33 Z Z Z Z 유형13 답 7 2 주어진 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 다음과 같다. ! 두 직선 x+y=0, ax+y+2=0이 평행할 때 1 a = = 1 1 0 2 ∴ a=1 @ 두 직선 x-2y+3=0, ax+y+2=0이 평행할 때 = = 1 a -2 1 3 1 2 ∴ a=- 2 # 세 직선이 한 점에서 만날 때 x+y=0, x-2y+3=0을 연립하여 풀면 x=-1, y=1 직선 ax+y+2=0이 점 {-1, 1}을 지나야 하므로 -a+1+2=0 ∴ a=3 !, @, #에 의하여 모든 상수 a의 값의 합은 1+ +3= - 1 2 ] [ 7 2 핵심 유형 완성하기 172~176쪽 033 답 ⑤ 두 직선이 평행하려면 3 2 ∴ k=18 ∴ a=18 k+3 k-4 -5 1 = = , 3k-12=2k+6 또 두 직선이 수직이 되려면 3\2+{k+3}{k-4}=0 k@-k-6=0, {k+2}{k-3}=0 ∴ k=-2 또는 k=3 그런데 b>0이므로 b=3 ∴ = =6 a b 18 3 034 답 ④ 유형14 답 4 점 {3, 2}와 직선 4x-3y+k=0 사이의 거리가 2이므로 |k+6| |4\3-3\2+k| 5 14@+{-3}@ 3 =2, =2 |k+6|=10, k+6=-10 ∴ k=-16 또는 k=4 그런데 k>0이므로 k=4 유형15 답 ② 두 직선 x+2y+3=0, x+2y-7=0이 평행하므로 두 직선 사이 의 거리는 직선 x+2y+3=0 위의 한 점 {-3, 0}과 직선 x+2y-7=0 사이의 거리와 같다. ∴ |-3-7| 11@+2@ 3 =2j5 k 유형16 답 ④ AB =1{3-1}@+2@ 3=2j2 k 직선 AB의 방정식은 y= 2 3-1 {x-1} ∴ x-y-1=0 점 C{2, 5}와 직선 AB 사이의 거리 d는 d= |2-5-1| 11@+{-1}@ 3 =2j2 k 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 1 1 2 2 \2j2 k\2j2 k=4 \d= \AB 유형17 답 x+3y-2=0 또는 3x-y+4=0 두 직선 x-2y+3=0, 2x+y+1=0이 이루는 각의 이등분선 위의 임의의 점을 P{x, y}라고 하면 점 P에서 두 직선에 이르는 거리가 같으므로 |x-2y+3| 11@+{-2}@ 3 |x-2y+3|=|2x+y+1|, x-2y+3=-{2x+y+1} |2x+y+1| 12@+1@ 3 = ∴ x+3y-2=0 또는 3x-y+4=0 직선 y=ax+4가 직선 y= x-2와 수직이므로 1 3 a\ =-1 ∴ a=-3 1 3 또 직선 y=ax+4가 직선 y={4-b}x-2와 평행하므로 a=4-b, -3=4-b ∴ b=7 ∴ a+b=4 035 답 ⑤ 두 직선의 교점이 존재하지 않으려면 두 직선이 평행해야 하므로 k 3 k{k-1}=6에서 k@-k-6=0, {k+2}{k-3}=0 , k{k-1}=6, k=-9, k= 2 k-1 -3 1 1 3 = = ∴ k=-2 또는 k=3 따라서 모든 상수 k의 값의 합은 -2+3=1 036 답 ⑤ 직선 ax-2y+1=0이 직선 bx-3y+2=0과 수직이므로 ab+{-2}\{-3}=0 ∴ ab=-6 또 직선 ax-2y+1=0이 직선 {b+2}x+2y+4=0과 평행하므로 = -2 2 a 1 b+2 4 a=-b-2 ∴ a+b=-2 = ∴ a@+b@ ={a+b}@-2ab=4+12=16 037 답 ④ 두 직선이 수직이므로 a+a{a+1}=0, a@+2a=0 a{a+2}=0 ∴ a=-2 또는 a=0 그런데 a=0이므로 a=-2 교점의 좌표가 {1, c}이므로 1-c+2=0, -2-2c+b=0 두 식을 연립하여 풀면 b=8, c=3 ∴ a+b+c=9 따라서 두 직선은 x-y+2=0, -2x-2y+b=0이고, 두 직선의 10 직선의 방정식 93 수학(상) PM 해설 10(088~099)OK.indd 93 2017-09-26 오후 4:40:34 Z Z 이 직선에 평행한 직선의 기울기는 1이므로 기울기가 1이고 점 B{0, 4}이므로 AB 의 중점의 좌표는 038 답 ③ 8-2 4-1 =2 1 2 이다. 두 점 A{1, 2}, B{4, 8}을 지나는 직선의 기울기는 이므로 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 - AB 를 2：1로 내분하는 점의 좌표는 2\4+1\1 2+1 , 2\8+1\2 2+1 [ ] ∴ {3, 6} 즉, 기울기가 - 1 2 이고 점 {3, 6}을 지나는 직선의 방정식은 y-6=- {x-3} ∴ y=- x+ 1 2 15 2 1 2 이때 y=0을 대입하면 x=15 따라서 구하는 x절편은 15이다. 039 답 ⑤ 두 점 {-2, -3}, {2, 1}을 지나는 직선의 방정식은 y+3= {x+2} ∴ y=x-1 1+3 2+2 {-3, 0}을 지나는 직선의 방정식은 y=x+3 이 직선이 점 {2, k}를 지나므로 k=2+3=5 040 답 ④ 두 직선 2x+3y+1=0, x+5y-7=0의 교점을 지나는 직선의 방정식은 2x+3y+1+k{x+5y-7}=0 (단, k는 실수) ∴ {k+2}x+{5k+3}y-7k+1=0 yy ㉠ 직선 ㉠과 직선 2x-y+3=0이 수직이므로 2\{k+2}+{-1}\{5k+3}=0 -3k+1=0 ∴ k= k= 을 ㉠에 대입하면 1 3 1 3 7 3 14 3 4 3 x+ y- =0 ∴ 7x+14y-4=0 y=2x+4에 수직인 직선과 직선 y=2x+4의 교점과 같다. 직선 y=2x+4의 기울기는 2이므로 이 직선과 수직인 직선의 기울 즉, 기울기가 - 이고 원점을 지나는 직선의 방정식은 y=- x 1 2 직선 y=- x와 직선 y=2x+4의 교점의 좌표를 구하면 - x=2x+4, x=-4 ∴ x=- ,`y= 1 2 8 5 4 5 4 5 ]이므로 따라서 수선의 발의 좌표는 [ 4 5 a=- , b= 8 5 ∴ a+b=- - 8 5 , 4 5 기는 - 이다. 1 2 1 2 1 2 5 2 94 정답과 해설 042 답 ① 두 점 A{-1, 2}, B{5, 4}를 지나는 직선의 기울기는 4-2 5+1 이므로 AB 를 수직이등분하는 직선의 기울기는 -3이다. 1 3 = 또 AB 의 중점의 좌표는 -1+5 2 , 2+4 2 ] ∴ {2, 3} [ 즉, 기울기가 -3이고 점 {2, 3}을 지나는 직선의 방정식은 y-3=-3{x-2} ∴ y=-3x+9 따라서 이 직선이 점 {a, 6}을 지나므로 6=-3a+9 ∴ a=1 043 답 ① 2x+y-4=0에서 y=-2x+4이므로 구하는 수직이등분선의 기울기는 이다. 1 2 또 직선 2x+y-4=0이 x축, y축과 만나는 점은 각각 A{2, 0}, 2 2 , 4 2 ] ∴ {1, 2} [ 1 2 y-2= {x-1} ∴ x-2y+3=0 1 2 따라서 기울기가 이고 점 {1, 2}를 지나는 직선의 방정식은 044 답 ② 직선 AB와 직선 y=-2x+b가 수직이므로 a-3 5-1 이때 AB 1+5 2 의 중점의 좌표는 3+5 2 ] ∴ {3, 4} \{-2}=-1, a-3=2 ∴ a=5 , [ 따라서 직선 y=-2x+b는 점 {3, 4}를 지나므로 4=-6+b ∴ b=10 ∴ a+b=15 045 답 ③ 2 a = -1 -1 = 0 4 ∴ a=2 @ 두 직선 x+y-2=0, ax-y+4=0이 평행할 때 -2 4 ∴ a=-1 # 세 직선이 한 점에서 만날 때 1 -1 1 a = = 2x-y=0, x+y-2=0을 연립하여 풀면 x= 2 3 , y= 4 3 직선 ax-y+4=0이 점 [ 2 3 +4=0 ∴ a=-4 a- 4 3 2 3 , 4 3 ]를 지나야 하므로 !, @, #에 의하여 모든 상수 a의 값의 합은 2+{-1}+{-4}=-3 041 답 ① 원점에서 직선 y=2x+4에 내린 수선의 발은 원점을 지나고 직선 주어진 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 다음과 같다. ! 두 직선 2x-y=0, ax-y+4=0이 평행할 때 수학(상) PM 해설 10(088~099)OK.indd 94 2017-09-26 오후 4:40:34 Z Z Z Z Z 046 답 3 2x+y+5=0, x-y+4=0을 연립하여 풀면 x=-3, y=1 051 답 ④ 주어진 식을 k에 대하여 정리하면 {2x-2y+3}+k{x+2y}=0 따라서 직선 kx+2y+7=0이 두 직선 2x+y+5=0, 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립해야 하므로 x-y+4=0의 교점 {-3, 1}을 지나야 하므로 2x-2y+3=0, x+2y=0 -3k+2+7=0 ∴ k=3 047 답 ② 주어진 세 직선에 의하여 생기는 교점이 2개가 되는 경우는 다음 과 같다. ! 두 직선 3x+y-6=0, ax+2y+1=0이 평행할 때 = = 1 2 -6 1 ∴ a=6 @ 두 직선 2x-y-3=0, ax+2y+1=0이 평행할 때 = -1 2 = -3 1 ∴ a=-4 !, @에 의하여 모든 상수 a의 값의 합은 6+{-4}=2 3 a 2 a 048 답 2 3x+2y=0에서 y=- x 3 2 1 2 x+2y-4=0에서 y=- x+2 ax-y+2=0에서 y=ax+2 yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ 세 직선으로 둘러싸인 도형이 직각삼각형이 되려면 세 직선 중 어느 두 직선이 수직이어야 한다. 이때 직선 ㉠, ㉡, ㉢의 기울기가 각각 - 3 2 , - 1 2 , a이므로 두 직선 ㉠, ㉡은 수직이 아니다. ! 두 직선 ㉠, ㉢이 수직일 때 2 3 @ 두 직선 ㉡, ㉢이 수직일 때 \a=-1 ∴ a=2 \a=-1 ∴ a= 3 2 - - 1 2 !, @에 의하여 정수 a의 값은 2이다. 049 답 ② 점 {-2, 3}과 직선 8x+6y-k=0 사이의 거리가 1이므로 |-16+18-k| 18@+6@ 3 |2-k| 10 =1, =1 |k-2|=10, k-2=-10 ∴ k=-8 또는 k=12 따라서 모든 상수 k의 값의 합은 -8+12=4 050 답 ① 두 점 {1, -1}, {3, 5}를 지나는 직선의 방정식은 y+1= {x-1} ∴ 3x-y-4=0 5+1 3-1 따라서 점 {2, 3}과 직선 3x-y-4=0 사이의 거리는 |6-3-4| 13@+{-1}@ 3 = j10 k 10 1 j10 k = 두 식을 연립하여 풀면 x=-1, y= ∴ P -1, 1 2 1 2 ] [ -1, 1 2 ]과 직선 3x+4y-9=0 사이의 거리는 따라서 점 P [ |-3+2-9| 13@+4@ 3 =2 052 답 ② P{a, 0}이라고 하면 점 P에서 두 직선 2x-y+3=0, x-2y-6=0에 이르는 거리가 같으므로 |2a+3| 12@+{-1}@ 3 |2a+3|=|a-6|, 2a+3=-{a-6} |a-6| 11@+{-2}@ 3 = ∴ a=-9 또는 a=1 따라서 점 P의 좌표는 {-9, 0} 또는 {1, 0}이다. 053 답 ① 4x-2y+7=0에서 y=2x+ 7 2 이 직선에 평행한 직선의 방정식을 7 2 ] k= y=2x+k [ 라고 하면 원점과 직선 y=2x+k, 즉 2x-y+k=0 사이의 거리 가 j5 k이므로 |k| 12@+{-1}@ 3 |k|=5 ∴ k=-5 |k| j5 k =j5 k, =j5 k 즉, 구하는 직선의 방정식은 2x-y+5=0 또는 2x-y-5=0 따라서 a=-1, b=-5이므로 a+b=-6 054 답 ① f{k}= |2k+6-2k-4| 1k@+2@ 3 2 1k@+4 3 따라서 1k@+4 3가 최소일 때, f{k}의 값이 최대이므로 구하는 최댓값은 f{0}=1 = 055 답 ④ 두 직선이 평행하므로 -2 k 2 3 즉, 두 직선의 방정식은 1 1 = = ∴ k=2 2x+y-2=0, 2x+y+3=0 따라서 두 직선 사이의 거리는 직선 2x+y-2=0 위의 한 점 {1, 0}과 직선 2x+y+3=0 사이의 거리와 같으므로 |2+3| 12@+1@ 3 5 j5 k =j5 k = 10 직선의 방정식 95 수학(상) PM 해설 10(088~099)OK.indd 95 2017-09-26 오후 4:40:35 056 답 ③ 두 직선 7x+y=0, 7x+y+a=0이 평행하므로 두 직선 사이의 거리는 직선 7x+y=0 위의 한 점 {0, 0}과 직선 7x+y+a=0 사이의 거리와 같고, 이 거리가 3j2 k이므로 060 답 6 직선 OA와 직선 2x-3y+12=0은 기울기가 로 평행하므로 삼 각형 OAP에서 OA 를 밑변으로 하면 원점과 직선 2x-3y+12=0 2 3 사이의 거리가 높이가 된다. =13@+2@ 3=j13 k OA 원점과 직선 2x-3y+12=0 사이의 거리 d는 d= |12| 12@+{-3}@ 3 = 12 j13 k 따라서 삼각형 OAP의 넓이는 1 1 12 2 2 j13 k \j13 k\ \d= \OA =6 061 답 7 의 방정식을 연립하여 풀면 x=6, y=3 ∴ A{6, 3} 직선의 방정식을 연립하여 풀면 x=3, y=5 ∴ B{3, 5} 의 방정식을 연립하여 풀면 x=2, y=1 ∴ C{2, 1} d= |3-10| 11@+{-2}@ 3 = 7 j5 k 따라서 구하는 삼각형의 넓이는 1 1 2 2 \2j5 k\ \d= \AC =7 7 j5 k 세 직선의 기울기가 모두 다르고 한 점에서 만나지 않으므로 세 직선으로 둘러싸인 도형은 삼각형이다. 두 직선 x-2y=0, 2x+3y-21=0의 교점을 A라고 하고 두 직선 두 직선 2x+3y-21=0, 4x-y-7=0의 교점을 B라고 하고 두 두 직선 x-2y=0, 4x-y-7=0의 교점을 C라고 하고 두 직선 즉, 삼각형의 세 꼭짓점의 좌표는 A{6, 3}, B{3, 5}, C{2, 1} AC =1{-4}@+{-2}@ 3=2j5 k 점 B{3, 5}와 직선 x-2y=0 사이의 거리 d는 062 답 ① 두 직선 x+3y+2=0, 3x+y-2=0이 이루는 각의 이등분선 위의 임의의 점을 P{x, y}라고 하면 점 P에서 두 직선에 이르는 거리가 같으므로 |x+3y+2| 11@+3@ 3 = |3x+y-2| 13@+1@ 3 |x+3y+2|=|3x+y-2|, x+3y+2=-{3x+y-2} ∴ x-y-2=0 또는 x+y=0 따라서 y절편이 음수인 직선의 방정식은 x-y-2=0 063 답 ③ P{x, y}라고 하면 점 P에서 두 직선 3x+2y+1=0, 2x-3y-5=0에 이르는 거리가 같으므로 |3x+2y+1| 13@+2@ 3 |2x-3y-5| 12@+{-3}@ 3 = |3x+2y+1|=|2x-3y-5|, 3x+2y+1=-{2x-3y-5} ∴ x+5y+6=0 또는 5x-y-4=0 이때 정사각형의 한 변의 길이는 두 직선 사이의 거리와 같고, 이는 직선 x+y-2=0 위의 한 점 {2, 0}과 직선 x+y+4=0 058 답 ③ 직선 x+2y-4=0의 x절편은 4이고, y절편은 2이므로 점 C{3, 4}와 직선 x+2y-4=0 사이의 거리 d는 =3j2 k, |a| |a| 5j2 k 17@+1@ 3 |a|=30 ∴ a=-30 또는 a=30 =3j2 k 그런데 a>0이므로 a=30 057 답 ④ 두 직선이 평행하므로 4 1 k -2 즉, 두 직선의 방정식은 1 1 = = ∴ k=1 x+y+4=0, x+y-2=0 사이의 거리와 같으므로 = 6 j2 k =3j2 k |2+4| 11@+1@ 3 따라서 정사각형 ABCD의 넓이는 {3j2 k}@=18 A{4, 0}, B{0, 2} ∴ AB =1{-4}@+22@ 3=2j5 k d= |3+8-4| 11@+2@ 3 = 7 j5 k 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 1 1 2 2 \2j5 k\ \d = \AB =7 7 j5 k 059 답 ③ AB =1{-2}@+2@ 3=2j2 k 직선 AB의 방정식은 x 2 점 C{3, a}와 직선 AB 사이의 거리 d는 =1 ∴ x+y-2=0 y 2 + d= |3+a-2| 11@+1@ 3 = |a+1| j2 k 이때 삼각형 ABC의 넓이가 6이므로 1 2 \2j2 k\ \d = \AB 1 2 |a+1| j2 k =|a+1|=6 a+1=-6 ∴ a=-7 또는 a=5 그런데 a>0이므로 a=5 96 정답과 해설 수학(상) PM 해설 10(088~099)OK.indd 96 2017-09-26 오후 4:40:35 Z Z Z Z Z Z Z Z Z 064 답 5x+y-9=0 삼각형의 내심은 삼각형의 세 내각 의 이등분선의 교점이므로 점 B와 삼각형 ABC의 내심을 지나는 직선 은 오른쪽 그림과 같이 CB의 이등 A{-1, 1} y O x B{2, -1} 3 답 ② 유형 02 두 점을 지나는 직선의 방정식 C{4, 2} △PAB：△PBC=3：2이므로 분선과 같다. 직선 AB의 방정식을 구하면 y-1= {x+1} -1-1 2+1 ∴ 2x+3y-1=0 yy ㉠ 직선 BC의 방정식을 구하면 y+1= 2+1 4-2 ∴ 3x-2y-8=0 {x-2} yy ㉡ 따라서 두 직선 ㉠, ㉡이 이루는 각의 이등분선 위의 임의의 점을 P{x, y}라고 하면 점 P에서 두 직선에 이르는 거리가 같으므로 |2x+3y-1| 12@+3@ 3 |3x-2y-8| 13@+{-2}@ 3 |2x+3y-1|=|3x-2y-8| = 2x+3y-1=-{3x-2y-8} ∴ x-5y-7=0 또는 5x+y-9=0 그런데 CB의 이등분선의 y절편은 양수이어야 하므로 구하는 직선의 방정식은 5x+y-9=0 PA ：PC =3：2 즉, 점 P는 AC 3\6+2\1 3+2 ∴ P{4, 6} P [ 를 3：2로 내분하는 점이므로 , 3\8+2\3 3+2 ] 두 점 B, P를 지나는 직선의 방정식은 y-4= {x-5} 6-4 4-5 ∴ y=-2x+14 따라서 이 직선의 x절편은 7이다. 4 답 ⑤ 유형 03 x절편과 y절편이 주어진 직선의 방정식 + 직선 ax 6 6 a 이고, 이 직선과 x축 및 y축으로 둘러싸인 도 6 a , y절편은 =1의 x절편은 ay 6 \ \ 6 a =3 형의 넓이가 3이므로 6 1 2 a a@=6 ∴ a=-j6 k 그런데 a>0이므로 a=j6 k 5 답 y=3x+5 유형 04 세 점이 한 직선 위에 있을 조건 y a^ O x a^ 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 (직선 AB의 기울기)=(직선 AC의 기울기)이어야 하므로 8+1 k+2 = {5k+6}+1 2+2 , 9 k+2 = 5k+7 4 17 7~179쪽 5k@+17k-22=0, {5k+22}{k-1}=0 따라서 직선 L은 기울기가 =3이고 점 {-2, -1}을 지나므로 9 k+2 ∴ k=- 22 5 또는 k=1 그런데 k>0이므로 k=1 y+1=3{x+2} ∴ y=3x+5 6 답 6 유형 05 도형의 넓이를 이등분하는 직선 핵심 유형 최종 점검하기 1 답 ① 유형 01 한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식 구하는 직선의 방정식은 y-4=3{x-2} ∴ y=3x-2 따라서 m=3, n=-2이므로 m+n=1 2 답 ① 유형 01 한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식 k {k-3}-3 ∴ k=12 =2, k=2k-12 두 점 {3, -k}, {k-3, 0}을 지나는 직선의 기울기가 2이므로 직사각형의 넓이를 이등분하는 직선은 직사각형의 두 대각선의 기울기가 2이고 점 {3, -12}를 지나는 직선의 방정식은 y+12=2{x-3} ∴ y=2x-18 따라서 이 직선의 y절편은 -18이다. 다른 풀이 k=12이므로 두 점 {3, -12}, {9, 0}을 지나는 직선의 방정식은 12 9-3 y+12= {x-3} ∴ y=2x-18 교점을 지난다. 두 점 {2, 3}, {6, 5}를 이은 선분의 중점의 좌표는 2+6 2 , 3+5 2 ] ∴ {4, 4} [ 두 점 {1, -2}, {4, 4}를 지나는 직선의 방정식은 y+2= 4+2 4-1 ∴ y=2x-4 {x-1} 따라서 a=2, b=-4이므로 a-b=6 10 직선의 방정식 97 수학(상) PM 해설 10(088~099)OK.indd 97 2017-09-26 오후 4:40:35 Z Z Z 7 답 y=2x-1 유형 05 도형의 넓이를 이등분하는 직선 11 답 x-5y+9=0 유형 09 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식 두 직선 3x-4y+1=0, 2x+y-8=0의 교점을 지나는 직선의 방정식은 3x-4y+1+k{2x+y-8}=0 (단, k는 실수) yy ㉠ BC 의 중점을 M이라고 하면 -2+6 3+5 2 [ M 2 , ] ∴ M{4, 2} 두 점 A{2, 3}, M{4, 2}를 지나는 직선 L의 기울기는 2-3 4-2 이때 구하는 직선은 직선 L에 수직이므로 기울기가 2이고 점 1 2 =- A{2, 3}을 지난다. y-3=2{x-2} ∴ y=2x-1 8 답 ③ 유형 06 직선의 개형 y=- x- a b c b 주어진 그림에서 a=0, b=0, c=0이므로 ax+by+c=0에서 주어진 직선의 기울기는 양수이고 y절편은 음수이므로 <0 yy ㉠ - a b >0, - c b 한편 cx+by+a=0에서 a b y=- x- c b yy ㉡ ㉠에 의하여 직선 ㉡의 기울기는 음수이고 y절 편은 양수이다. 따라서 직선 cx+by+a=0의 개형은 오른쪽 그림과 같으므로 제3사분면을 지나지 않는다. y O 9 답 ③ 유형 07 정점을 지나는 직선 주어진 식을 k에 대하여 정리하면 {x-2y-5}+k{4x+y-2}=0 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립해야 하므로 x-2y-5=0, 4x+y-2=0 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=-2 따라서 P{1, -2}이므로 OP =11@+{-2}@ 3=j5 k 10 답 ② 유형 08 정점을 지나는 직선의 활용 주어진 식을 k에 대하여 정리하면 y=k{x-1}+2 yy ㉠ y 6 2 O ! @ 진 삼각형과 만나도록 움직여 보면 ! 직선 ㉠이 점 {5, 0}을 지날 때 0=4k+2 ∴ k=- 1 2 @ 직선 ㉠이 점 {3, 6}을 지날 때 6=2k+2 ∴ k=2 !, @에 의하여 k의 값의 범위는 - 0이므로 b=1 x ∴ a+b=- 1 2 13 답 x+4y-5=0 유형 11 평행 또는 수직 조건이 주어진 직선의 방정식 두 직선 x-3y+4=0, 2x+y-1=0의 교점을 지나는 직선의 방정식은 x-3y+4+k{2x+y-1}=0 (단, k는 실수) ∴ {2k+1}x+{k-3}y-k+4=0 yy ㉠ 직선 ㉠과 직선 x+4y+7=0이 평행하므로 -k+4 2k+1 7 1 k-3 4 = = 4{2k+1}=k-3 ∴ k=-1 k=-1을 ㉠에 대입하여 정리하면 x+4y-5=0 14 답 ① 유형 12 선분의 수직이등분선의 방정식 {-2}\ b-4 a-1 ∴ a-2b=-7 =-1 yy ㉠ + 2\ b+4 a+1 2 2 ∴ 2a+b=-4 -1=0 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=2 ∴ a-b=-5 x 1 3 5 또 직선 2x+y-1=0은 AB 의 중점 [ a+1 2 , b+4 2 ]를 지나므로 이므로 직선 ㉠은 k의 값에 관계없이 항상 점 {1, 2}를 지난다. 이때 오른쪽 그림과 같이 직선 ㉠이 주어 직선 2x+y-1=0, 즉 y=-2x+1이 직선 AB와 수직이므로 수학(상) PM 해설 10(088~099)OK.indd 98 2017-09-26 오후 4:40:36 Z Z Z 15 답 0 유형 13 세 직선의 위치 관계 서로 다른 세 직선이 좌표평면을 네 개의 영역으로 나누려면 세 직선이 모두 평행해야 한다. ! 두 직선 ax-y-3=0, 2x+y+5=0이 평행할 때 ∴ a=-2 = = -1 1 -3 5 @ 두 직선 4x+by-5=0, 2x+y+5=0이 평행할 때 = = b 1 -5 5 ∴ b=2 a 2 4 2 !, @에 의하여 a=-2, b=2 ∴ a+b=0 16 답 ② 유형 14 점과 직선 사이의 거리 x-y+2=0, 2x+y-8=0을 연립하여 풀면 x=2, y=4 즉, 점 {2, 4}와 직선 x+3y+k=0 사이의 거리가 j10 k이므로 |2+12+k| 11@+3@ 3 =j10 k, |k+14|=10 k+14=-10 ∴ k=-24 또는 k=-4 따라서 모든 상수 k의 값의 합은 -24+{-4}=-28 17 답 ⑤ 유형 14 점과 직선 사이의 거리 점 {1, 3}을 지나는 직선의 방정식을 y-3=m{x-1}, 즉 mx-y-m+3=0 yy ㉠ 이라고 하면 원점과 직선 ㉠ 사이의 거리가 3이므로 |-m+3| 1m@+{-1}@ 3 양변을 제곱하면 m@-6m+9=9m@+9 =3, |-m+3|=31m@+13 4m@+3m=0, m{4m+3}=0 ∴ m=0 또는 m=- 그런데 직선이 좌표축과 평행하지 않으므로 m=- m=- 을 ㉠에 대입하여 정리하면 3x+4y-15=0 3 4 3 4 3 4 이때 y=0을 대입하면 x=5 따라서 구하는 x절편은 5이다. 18 답 2 유형 14 점과 직선 사이의 거리 두 점 A{0, 2}, B{1, 0}에 대하여 직선 AB의 기울기는 -2 1 =-2 이때 직선 AB와 직선 CD는 평행하므로 직선 CD의 기울기는 -2 이다. 한편 AB =11@+2@ 3=j5 k이므로 BC =AB =j5 k 직선 CD의 방정식을 y=-2x+b, 즉 2x+y-b=0 yy ㉠ 이라고 하면 점 B{1, 0}과 직선 ㉠ 사이의 거리는 j5 k이므로 |2-b| 12@+1@ 3 b-2=-5 ∴ b=-3 또는 b=7 =j5 k, |b-2|=5 그런데 b>0이므로 b=7 따라서 2x+y-7=0에 y=0을 대입하면 x= 이므로 a= 7 2 y F 2 O 7 2 D A B 1 C E x ∴ =2 b a 다른 풀이 오른쪽 그림과 같이 점 C에서 x 축에 내린 수선의 발을 E, 점 D에서 y축 에 내린 수선의 발을 F라고 하면 AOB+ BEC ( RHA 합동)이므로 BE s 또 =AO =2, CE s AOB+ =BO =1 ∴ C{3, 1} DFA ( RHA 합동)이므로 DF =AO s =2, AF s =BO =1 ∴ D{2, 3} 즉, 직선 CD의 방정식은 y-1= {x-3} ∴ 2x+y-7=0 3-1 2-3 19 답 ① 유형 15 평행한 두 직선 사이의 거리 두 직선 3x+4y+4=0, 3x+4y-6=0이 평행하므로 두 직선 사이의 거리는 직선 3x+4y+4=0 위의 한 점 {0, -1}과 직선 3x+4y-6=0 사이의 거리와 같다. ∴ |-4-6| 13@+4@ 3 =2 20 답 ① 유형 16 삼각형의 넓이 직선 2x+y-12=0과 직선 y=x의 교점의 좌표를 구하면 2x+x-12=0 ∴ x=4, 즉 A{4, 4} 직선 2x+y-12=0과 직선 y=2x의 교점의 좌표를 구하면 2x+2x-12=0 ∴ x=3, 즉 B{3, 6} ∴ AB =1{-1}@+2@ 3=j5 k 원점 O와 직선 2x+y-12=0 사이의 거리 d는 d= |-12| 12@+1@ 3 = 12 j5 k 따라서 삼각형 OAB의 넓이는 1 1 2 2 \j5 k\ \d= \AB =6 12 j5 k 21 답 ⑤ 유형 17 두 직선이 이루는 각의 이등분선의 방정식 y B 12 O y=2x y=x A 6 x 2x+y-12=0 두 직선 x+2y+1=0, 2x+y+3=0이 이루는 각의 이등분선 위의 임의의 점을 P{x, y}라고 하면 점 P에서 두 직선에 이르는 거리가 같으므로 |x+2y+1| 11@+2@ 3 = |2x+y+3| 12@+1@ 3 |x+2y+1|=|2x+y+3|, x+2y+1=-{2x+y+3} ∴ x-y+2=0 또는 3x+3y+4=0 이 두 직선이 점 {3, a}를 지나므로 3-a+2=0 또는 9+3a+4=0 ∴ a=5 또는 a=- 13 3 그런데 a는 정수이므로 a=5 10 직선의 방정식 99 수학(상) PM 해설 10(088~099)OK.indd 99 2017-09-26 오후 4:40:36 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 11 원의 방정식   유형01  ⑤  유형02  ①  유형03  ③  유형04  ①  유형05  ④  유형06  ⑤  유형07  ①  {x-3}@+{y-2}@=r@ 유형08  1  유형12  ③  유형16  ①  유형09  ⑤  유형10  ①  유형11  ④  유형13  4j2 k  유형14  2-j2 k  유형15  ⑤  유형17  ② 핵심 유형 182~18 4쪽 유형01 답 ⑤ AB 를 1：2로 내분하는 점의 좌표는 1\1+2\4 1+2 ,  1\{-4}+2\5 1+2 [ 이때 원의 반지름의 길이를 r라고 하면 원의 방정식은 ]    ∴ {3, 2} 이 원이 점 B{1, -4}를 지나므로 {1-3}@+{-4-2}@=r@    ∴ r@=40 ∴ {x-3}@+{y-2}@=40 따라서 a=3, b=2, c=40이므로 a+b+c=45 유형02 답 ① 원의 중심을 C라고 하면 점 C는 OA 2 2 ,  -4  2 ]    ∴ C{1, -2} C [ 의 중점이므로  이때 원의 반지름의 길이는 =11@+{-2}@ 3=j5 k  OC 즉, 원의 방정식은 {x-1}@+{y+2}@=5 이 원이 점 {3, k}를 지나므로 {3-1}@+{k+2}@=5, k@+4k+3=0 {k+3}{k+1}=0    ∴ k=-3 또는 k=-1 따라서 모든 k의 값의 합은 -3+{-1}=-4 유형03 답 ③ 원의 중심의 좌표를 {0, a}, 반지름의 길이를 r라고 하면 원의  방정식은  x@+{y-a}@=r@ 원 ㉠이 점 {4, 0}을 지나므로  4@+{0-a}@=r@, a@+16=r@ yy ㉡ yy ㉠ ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=3, r@=25 따라서 구하는 원의 방정식은  x@+{y-3}@=25 유형04 답 ① 원의 중심의 좌표를 {a, a+3}이라고 하면 x축에 접하는 원의  001  {x+1}@+y@=18  002  ①  004  x@+{y-1}@=2  005  ④  003  ④ 006  ②  007  ③  008  ⑤  009  ②  010  ③  011  ③  012  ②  013  {x+3}@+{y+5}@=25  015  4j2 k  016  ③  020  ⑤  019  6p  017  ③  018  8p 021  k<-1 또는 k>2 014  p 022  ①  023  ⑤  024  ②  025  ②  026  ③ 027  x@+y@-x+5y-6=0  028  ③  029  ⑤  030  ②  031  ④  032  ④  033  ③ 034  x@+y@-y-6=0  035  ③  038  ①  039  ⑤  043  ④  044  ②  048  ④  049  ③  040  8  045  j2 k  050  ④  036  ②  037  ③  041  2j21k  042  ⑤  047  ⑤  046  ⑤  051  49  052  ⑤  053  ②  054  ③  055  ④  056  ①  057  ①  058  ③  059  ④  060  16  061  ②  062  ①  원 ㉠이 점 {3, 7}을 지나므로  063  ①  064  ⑤ 3@+{7-a}@=r@, a@-14a+58=r@ yy ㉢ 1  {x-2}@+y@=20  3  ⑤  8  ①  12  k<- j21k 4  ③  9  ⑤  2  또는 k> j21k 2   17  ⑤  16  ③  15  ⑤  19  y=3x-9 또는 y=3x+11  22  ④ 2  {x+3}@+{y-1}@=2 5  12j2 k  10  ④  7  ④  13   6  ③  11  ⑤ 1 6   18  10 20  ⑤  14  ③  21  ①  방정식은  {x-a}@+{y-a-3}@={a+3}@ 이 원이 점 {1, 2}를 지나므로  {1-a}@+{2-a-3}@={a+3}@ a@-6a-7=0, {a+1}{a-7}=0 ∴ a=-1 또는 a=7 의 합은 p\2@+p\10@=104p 따라서 두 원의 반지름의 길이는 각각 2, 10이므로 두 원의 넓이 100 정답과 해설 수학(상) PM 해설 11(100~112)OK.indd 100 2017-09-26 오후 4:41:15 Z Z Z 유형05 답 ④ 원의 중심이 제1사분면 위에 있어야 하므로 원의 반지름의 길이를  r라고 하면 원의 방정식은 {x-r}@+{y-r}@=r@ 이 원이 점 {2, 1}을 지나므로 {2-r}@+{1-r}@=r@, r@-6r+5=0 {r-1}{r-5}=0    ∴ r=1 또는 r=5 따라서 두 원의 둘레의 길이의 합은 2p\1+2p\5=12p 유형06 답 ⑤ x@+y@-4x+2y=0에서 {x-2}@+{y+1}@=5 따라서 이 방정식이 나타내는 도형은 중심의 좌표가 {2, -1}이 고 반지름의 길이가 j5 k인 원이므로 구하는 도형의 넓이는  p\{j5 k}@=5p  유형07 답 ① 원의 방정식을 x@+y@+Ax+By+C=0으로 놓으면 이 원이 원점  x@+y@-2+k{x@+y@-2x+4y+2}=0 (단, k=-1)  yy ㉠ {0, 0}을 지나므로 C=0 ∴ x@+y@+Ax+By=0 원 ㉠이 점 {0, 4}를 지나므로  yy ㉠ 16+4B=0    ∴ B=-4 yy ㉡ 원 ㉠이 점 {3, -3}을 지나므로  9+9+3A-3B=0, A-B=-6 yy ㉢ ㉡을 ㉢에 대입하여 정리하면 A=-10 따라서 구하는 원의 방정식은 x@+y@-10x-4y=0  유형08 답 1 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 원 ㉠이 원점 {0, 0}을 지나므로 -2+2k=0    ∴ k=1 k=1을 ㉠에 대입하여 정리하면 x@+y@-x+2y=0 따라서 a=-1, b=2이므로 a+b=1 유형09 답 ⑤ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 x@+y@+x-5y+1-{x@+y@-2x-4y-4}=0 ∴ y=3x+5 따라서 구하는 직선의 기울기는 3이다.  핵심 유형 완성하기 185~189쪽 001 답 {x+1}@+y@=18 AB 를 3：2로 외분하는 점의 좌표는 3\1-2\2 3-2 3\{-2}-2\{-3} [ 3-2 이때 원의 반지름의 길이를 r라고 하면 원의 방정식은 ]    ∴ {-1, 0} ,  {x+1}@+y@=r@ 이 원이 점 A{2, -3}을 지나므로 {2+1}@+{-3}@=r@    ∴ r@=18 ∴ {x+1}@+y@=18 002 답 ① 중심의 좌표가 {-1, 2}이고 반지름의 길이가 3이므로 원의 방정 003 답 ④ 중심의 좌표가 {-2, 3}이므로 원의 반지름의 길이를 r라고 하면  식은  {x+1}@+{y-2}@=9 이 원이 점 {a, 5}를 지나므로 {a+1}@+{5-2}@=9 a@+2a+1=0, {a+1}@=0 ∴ a=-1 원의 방정식은 {x+2}@+{y-3}@=r@ 이 원이 점 {0, 1}을 지나므로 2@+{1-3}@=r@, r@=8 ∴ r=-2j2 k 또는 r=2j2 k  그런데 r>0이므로 r=2j2 k 따라서 구하는 원의 둘레의 길이는  2p\2j2 k=4j2 kp  004 답 x@+{y-1}@=2 삼각형 ABC의 무게중심 G는 G [ ,  1+3-4 2+6-5 3 3 =1{-1}@+3{-1}@ 3=j2 k ]    ∴ G{0, 1} ∴ AG 따라서 중심의 좌표가 {0, 1}이고 반지름의 길이가 j2 k인 원의  방정식은 x@+{y-1}@=2 005 답 ④ 원의 중심을 C라고 하면 점 C는 AB 5+3 2 ,  -3+1 2 C [ ]    ∴ C{4, -1} 의 중점이므로 유형10 답 ① ：BP AP =3：2이므로 3BP =2AP  @=4AP 따라서 P{x, y}라고 하면 점 P가 나타내는 도형의 방정식은     ∴ 9BP  @ 이때 원의 반지름의 길이는 =1{-1}@+2@ 3=j5 k AC 즉, 원의 방정식은  {x-4}@+{y+1}@=5 99{x-2}@+y@0=49{x+3}@+y@0    따라서 a=4, b=-1, c=5이므로  ∴ x@+y@-12x=0 a+b+c=8 11 원의 방정식 101 수학(상) PM 해설 11(100~112)OK.indd 101 2017-09-26 오후 4:41:15 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 006 답 ② BC 의 중점을 M이라고 하면  M [ -1+3 2 ,  3-5 2 ]    ∴ M{1, -1}  구하는 원의 중심을 D라고 하면 점 D는 A M 의 중점이므로 D [ 1+1 2 ,  3-1 2 ]    ∴ D{1, 1} AD 이때 원의 반지름의 길이는  =10@+{-2}@ 3=2 따라서 구하는 원의 방정식은  {x-1}@+{y-1}@=4 007 답 ③ 원점에서 출발한 지 t초 후의 점 P, Q의 좌표는 각각  P{3t, 0}, Q{0, 4t}  PQ = 1 2 \1{3t}@+3{4t}@ 3= 이때 두 점 P, Q를 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이는 1 2 이 원의 반지름의 길이가 10이므로  5 2 t=10    ∴ t=4 5 2 t 008 답 ⑤ 원의 중심의 좌표를 {a, 0}, 반지름의 길이를 r라고 하면 원의  방정식은  {x-a}@+y@=r@ yy ㉠ 원 ㉠이 점 {3, 1}을 지나므로  {3-a}@+1=r@, a@-6a+10=r@ yy ㉡ 원 ㉠이 점 {-1, 5}를 지나므로  {-1-a}@+25=r@, a@+2a+26=r@ yy ㉢ ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-2, r@=26 따라서 구하는 원의 방정식은  {x+2}@+y@=26 009 답 ② 원의 중심의 좌표를 {k, k}라고 하면 반지름의 길이가 j2 k인 원의  방정식은  {x-k}@+{y-k}@=2 이 원이 원점 {0, 0}을 지나므로  k@+k@=2, k@=1    ∴ k=-1 ! k=1일 때, {x-1}@+{y-1}@=2 @ k=-1일 때, {x+1}@+{y+1}@=2 !, @에 의하여 a=1, b=1, c=2 또는 a=-1, b=-1, c=2 ∴ abc=2 010 답 ③ 원의 중심의 좌표를 {k, 2k-1}, 반지름의 길이를 r라고 하면 원 원 ㉠이 점 {3, 2}를 지나므로  {3-k}@+{2-2k+1}@=r@ 5k@-18k+18=r@ yy ㉡ 원 ㉠이 점 {5, -2}를 지나므로  {5-k}@+{-2-2k+1}@=r@ 5k@-6k+26=r@ yy ㉢ ㉡, ㉢에서 5k@-18k+18=5k@-6k+26 -12k=8    ∴ k=- 2 3 따라서 원의 중심의 좌표는 [ - 2 3 , - 7 3 ]이므로  a=- 2 3 , b=- 7 3     ∴ a+b=-3 011 답 ③ 원의 중심의 좌표를 {a, -a-1}이라고 하면 y축에 접하는 원의  방정식은  {x-a}@+{y+a+1}@=a@ 이 원이 점 {-2, 3}을 지나므로 {-2-a}@+{3+a+1}@=a@ a@+12a+20=0, {a+10}{a+2}=0 ∴ a=-10 또는 a=-2 따라서 두 원의 반지름의 길이의 합은 |-10|+|-2|=10+2=12 012 답 ② 원이 x축에 접하므로 1a@+b+2 3=|a| 양변을 제곱하면  a@+b+2=a@    ∴ b=-2 이때 원 {x-2}@+{y-a}@=a@이 점 {2, 6}을 지나므로 {2-2}@+{6-a}@=a@, -12a+36=0    ∴ a=3 ∴ ab=-6 013 답 {x+3}@+{y+5}@=25 원의 넓이가 25p이므로 구하는 원의 반지름의 길이는 5이다.  또 이 원이 점 {-3, 0}에서 x축에 접하고, 원의 중심이 제3사분면  위에 있으므로 원의 중심의 좌표는 {-3, -5}이다. 따라서 구하는 원의 방정식은  {x+3}@+{y+5}@=25 014 답 p 원의 중심의 좌표를 {a, b}라고 하면 y축에 접하는 원의 방정식은  {x-a}@+{y-b}@=a@ 원 ㉠이 점 {0, 2}를 지나므로 a@+{2-b}@=a@    ∴ b=2 원 ㉠이 점 {1, 3}을 지나므로 ㉡을 ㉢에 대입하여 풀면 a=1 따라서 구하는 원의 넓이는  {1-a}@+{3-b}@=a@, b@-6b-2a+10=0 yy ㉢ yy ㉠ yy ㉡ {x-k}@+{y-2k+1}@=r@ yy ㉠ p\1@=p 의 방정식은  102 정답과 해설 수학(상) PM 해설 11(100~112)OK.indd 102 2017-09-26 오후 4:41:16 Z X Z Z Z 015 답 4j2 k 원의 중심이 제2사분면 위에 있어야 하므로 원의 반지름의 길이를  019 답 6p x@+y@-4x+6y+4=0에서 {x-2}@+{y+3}@=9 따라서 이 방정식이 나타내는 도형은 중심의 좌표가 {2, -3}이 고 반지름의 길이가 3인 원이므로 구하는 도형의 둘레의 길이는     따라서 원의 중심의 좌표는 {-1, 1} 또는 {-5, 5}이므로 두 원 016 답 ③ 중심의 좌표가 {3, -3}이고 x축과 y축에 동시에 접하는 원의  r라고 하면 원의 방정식은  {x+r}@+{y-r}@=r@ 이 원이 점 {-1, 2}를 지나므로 {-1+r}@+{2-r}@=r@ r@-6r+5=0, {r-1}{r-5}=0 ∴ r=1 또는 r=5 의 중심 사이의 거리는 1{-4}@+4@ 3=4j2 k 방정식은  {x-3}@+{y+3}@=9 이 원이 점 {k, -2}를 지나므로 {k-3}@+{-2+3}@=9 k@-6k+1=0    ∴ k=3-2j2 k 따라서 모든 k의 값의 합은  {3+2j2 k}+{3-2j2 k}=6 2p\3=6p 020 답 ⑤ 주어진 식을 변형하면 ① {x+1}@+y@=1 ② x@+{y-3}@=2 ③ {x-1}@+{y-1}@=1 ④ {x+2}@+{y+1}@=4 ⑤ {x+2}@+{y+2}@=0  따라서 원의 방정식이 아닌 것은 ⑤이다. 021 답 k<-1 또는 k>2 x@+y@+4kx-2y+4k+9=0에서 {x+2k}@+{y-1}@=4k@-4k-8 이 방정식이 원을 나타내려면  4k@-4k-8>0, k@-k-2>0 {k+1}{k-2}>0    ∴ k<-1 또는 k>2 017 답 ③ 원의 중심이 제4사분면 위에 있으므로 원의 반지름의 길이를 r라 022 답 ① x@+y@-6kx+2ky+9k@+k+2=0에서  고 하면 원의 중심의 좌표는 {r, -r}이다. {x-3k}@+{y+k}@=k@-k-2 이때 원의 중심이 직선 3x+y-4=0 위에 있으므로 3r-r-4=0    ∴ r=2 따라서 구하는 원의 넓이는 p\2@=4p 018 답 8p x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심은 직선 y=x 또는 직선     y=-x 위에 있다. !   원의 중심이 두 직선 y=2x-3, y=x의 교점인 경우 2x-3=x에서 x=3    ∴ y=3 이므로 원의 둘레의 길이는 2p\3=6p 2x-3=-x에서 x=1    ∴ y=-1 1이므로 원의 둘레의 길이는  2p\1=2p @   원의 중심이 두 직선 y=2x-3, y=-x의 교점인 경우  즉, 원의 중심의 좌표는 {1, -1}이고, 원의 반지름의 길이는  !, @에 의하여 구하는 두 원의 둘레의 길이의 합은  6p+2p=8p 이 방정식이 나타내는 도형은 중심의 좌표가 {3k, -k}이고 반지 름의 길이가 1k@-k-2 3인 원이다. 이때 이 원의 넓이가 4p이므로  k@-k-2=4, k@-k-6=0 {k+2}{k-3}=0    ∴ k=-2 또는 k=3 그런데 k>0이므로 k=3 023 답 ⑤ 원의 방정식을 x@+y@+Ax+By+C=0으로 놓으면 이 원이 원 점 {0, 0}을 지나므로 C=0 ∴ x@+y@+Ax+By=0 yy ㉠ 1+4+A+2B=0, A+2B=-5 yy ㉡ 원 ㉠이 점 {-1, 3}을 지나므로  1+9-A+3B=0, A-3B=10 yy ㉢ ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 A=1, B=-3 즉, 구하는 원의 방정식은  x@+y@+x-3y=0    3 2 ]@= 1 2 ]@+ ∴ [ 따라서 이 원의 넓이는 x+ y- [ 5 2 p\ 5 [q 2  w ]@= 5 2 p 11 원의 방정식 103 즉, 원의 중심의 좌표는 {3, 3}이고, 원의 반지름의 길이는 3 원 ㉠이 점 {1, 2}를 지나므로  수학(상) PM 해설 11(100~112)OK.indd 103 2017-09-26 오후 4:41:16 1 024 답 ② 원의 방정식을 x@+y@+Ax+By+C=0으로 놓으면 점 {0, 0}을 028 답 ③ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 지나므로 C=0 x@+y@-4-{x@+y@-2x+6y+7}=0 ∴ 2x-6y-11=0 ∴ x@+y@+Ax+By=0 yy ㉠ 따라서 a=-6, b=-11이므로 a-b=5 원 ㉠이 점 {-2, 4}를 지나므로 4+16-2A+4B=0, A-2B=10 yy ㉡ 029 답 ⑤ 원 ㉠이 점 {2, 6}을 지나므로 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 4+36+2A+6B=0, A+3B=-20 yy ㉢ x@+y@+6x-y+4-{x@+y@+ax-2y+1}=0 ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 A=-2, B=-6 {6-a}x+y+3=0 ∴ y={a-6}x-3 ∴ x@+y@-2x-6y=0 이 원이 점 {p, 2}를 지나므로 p@+4-2p-12=0, p@-2p-8=0 {p+2}{p-4}=0 ∴ p=-2 또는 p=4 그런데 p>0이므로 p=4 025 답 ② x+3y=0 yy ㉠, 2x+y=0 yy ㉡, x-2y+5=0 yy ㉢ ㉠, ㉡의 교점의 좌표는 {0, 0}, ㉠, ㉢의 교점의 좌표는 {-3, 1}, ㉡, ㉢의 교점의 좌표는 {-1, 2}이다. 구하는 외접원의 방정식을 x@+y@+Ax+By+C=0으로 놓으면 점 {0, 0}을 지나므로 C=0 ∴ x@+y@+Ax+By=0 yy ㉣ 원 ㉣이 점 {-3, 1}을 지나므로 9+1-3A+B=0, 3A-B=10 yy ㉤ 원 ㉣이 점 {-1, 2}를 지나므로 1+4-A+2B=0, A-2B=5 yy ㉥ ㉤, ㉥을 연립하여 풀면 A=3, B=-1 따라서 구하는 외접원의 방정식은 x@+y@+3x-y=0 026 답 ③ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 x@+y@-4x+2y-3+k{x@+y@-2y-5}=0 (단, k=-1) 원 ㉠이 점 {-1, -1}을 지나므로 1-k=0 ∴ k=1 k=1을 ㉠에 대입하여 정리하면 x@+y@-2x-4=0 ∴ {x-1}@+y@=5 따라서 구하는 원의 넓이는 p\{j5 k}@=5p 027 답 x@+y@-x+5y-6=0 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 x@+y@-2ax-5+k{x@+y@-6x+10y-7}=0 (단, k=-1) 원 ㉠이 점 {0, 1}을 지나므로 -4+4k=0 ∴ k=1 k=1을 ㉠에 대입하여 정리하면 x@+y@-{a+3}x+5y-6=0 104 정답과 해설 이 직선의 기울기가 -2이므로 a-6=-2 ∴ a=4 030 답 ② {x-2}@+{y+1}@=13에서 x@+y@-4x+2y-8=0 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 x@+y@-16-{x@+y@-4x+2y-8}=0 ∴ y=2x-4 이 직선의 x절편은 2, y절편은 -4이므로 A{2, 0}, B{0, -4} 1 2 따라서 삼각형 OAB의 넓이는 \2\4=4 031 답 ④ 두 원 C1, C2의 교점을 지나는 직선의 방정식은 x@+y@+6x-4y+9-{x@+y@+4x-6y+a}=0 ∴ 2x+2y+9-a=0 yy ㉠ 원 C1을 변형하면 {x+3}@+{y-2}@=4 이때 직선 ㉠이 원 C1의 넓이를 이등분하려면 원 C1의 중심 {-3, 2}를 지나야 하므로 -6+4+9-a=0 ∴ a=7 032 답 ④ AP ：BP =2：1이므로 2BP =AP ∴ 4BP @=AP @ P{x, y}라고 하면 49{x-2}@+y@0={x+1}@+y@ x@+y@-6x+5=0 ∴ {x-3}@+y@=4 따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 {3, 0}이고 반지 yy ㉠ 름의 길이가 2인 원이므로 구하는 넓이는 p\2@=4p 033 답 ③ P{x, y}라고 하면 {x+1}@+y@+{x-3}@+y@=26 x@+y@-2x-8=0 ∴ {x-1}@+y@=9 따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 {1, 0}이고 반지 름의 길이가 3인 원이므로 구하는 둘레의 길이는 2p\3=6p yy ㉠ 034 답 x@+y@-y-6=0 P{a, b}라고 하면 a@+b@+4a-6b-12=0 yy ㉠ 의 중점을 Q{x, y}라고 하면 이때 AP a+2 2 , y= x= b-2 2 ∴ a=2x-2, b=2y+2 yy ㉡ yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 점 Q가 나타내는 도형의 방정식은 원 ㉡이 점 {1, 1}을 지나므로 -a-2=0 ∴ a=-2 {2x-2}@+{2y+2}@+4{2x-2}-6{2y+2}-12=0 a=-2를 ㉡에 대입하여 정리하면 x@+y@-x+5y-6=0 ∴ x@+y@-y-6=0 수학(상) PM 해설 11(100~112)OK.indd 104 2017-09-27 오후 7:00:42 Z Z Z Z Z Z Z 핵심 유형 190~191쪽 유형11 답 ④ 원의 중심 {2, 0}과 직선 y=x+n, 즉 x-y+n=0 사이의 거리는 = |n+2| j2 k |2+n| 11@+{-1}@ 3 원의 반지름의 길이가 3j2 k이므로 원과 직선이 만나지 않으려면 |n+2| j2 k >3j2 k, |n+2|>6 n+2<-6 또는 n+2>6 ∴ n<-8 또는 n>4 따라서 구하는 자연수 n의 최솟값은 5이다.  다른 풀이   y=x+n을 {x-2}@+y@=18에 대입하면 {x-2}@+{x+n}@=18 ∴ 2x@+2{n-2}x+n@-14=0 유형15 답 ⑤ 직선 2x-y+3=0, 즉 y=2x+3에 평행한 직선의 기울기는 2이 고 원 x@+y@=9의 반지름의 길이는 3이므로 접선의 방정식은  y=2x-312@+13    ∴ y=2x-3j5 k 따라서 m=2, n=-3j5 k이므로  m@+n@=4+45=49 유형16 답 ① 원 x@+y@=17 위의 점 {4, 1}에서의 접선의 방정식은 4x+y=17    ∴ y=-4x+17 따라서 구하는 접선의 기울기는 -4이다.  유형17 답 ② 접점의 좌표를 {x1, y1}이라고 하면 접선의 방정식은 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 원과 직선이 만나지 않으 x1x+y1y=5 {x+1}@+{y-2}@=9 y C 2 O A H x B-1 3x+4y+5=0 한편 접점 {x1, y1}은 원 x@+y@=5 위에 있으므로 이 직선이 점 {3, -1}을 지나므로 3x1-y1=5    ∴ y1=3x1-5 yy ㉠ x1@+y1@=5 yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 x1@+{3x1-5}@=5, x1@-3x1+2=0 {x1-1}{x1-2}=0    ∴ x1=1 또는 x1=2 이를 ㉠에 대입하면 x1=1, y1=-2 또는 x1=2, y1=1 즉, 접선의 방정식은 1 2 x- ∴ y= x-2y=5 또는 2x+y=5 5 2  또는 y=-2x+5 따라서 두 접선의 기울기의 합은  3 1 2 2 +{-2}=- 접선의 방정식은 y+1=m{x-3}    다른 풀이   점 {3, -1}을 지나는 접선의 기울기를 m이라고 하면  므로 D 4 n@+4n-32>0, {n+8}{n-4}>0 ={n-2}@-2{n@-14}<0 ∴ n<-8 또는 n>4 따라서 구하는 자연수 n의 최솟값은 5이다.  유형12 답 ③ x@+y@+2x-4y-4=0에서  {x+1}@+{y-2}@=9 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 C{-1, 2} 라 하고, 점 C에서 직선 3x+4y+5=0에  내린 수선의 발을 H라고 하면 = CH |-3+8+5| 13@+4@ 3 직각삼각형 CAH에서 CA =2 반지름의 길이와 같으므로 AH =7 CA Z ∴ AB =2AH  @-CH  @  9=13@-2@ 3=j5 k =2j5 k 의 길이는 원의  유형13 답 4j2 k 점 P{5, -4}와 원 x@+y@=9의 중심  O{0, 0} 사이의 거리는 =15@+{-4}@ 3=j41k OP 직각삼각형 OPQ에서 PQ  @-OQ =7 OP Z =4{j41k}@-3@ 6=4j2 k  @  9  y 3 O Q -4 x@+y@=9 5 P -3 3 x   ∴ mx-y-3m-1=0 yy ㉠ 원의 중심의 좌표가 {0, 0}이므로 원과 직선 ㉠이 접하려면  |-3m-1| 1m@+{-1}@ 3 |3m+1|=j5 k\1m@+13 양변을 제곱하면  =j5 k 유형14 답 2-j2 k 원의 중심 {3, -1}과 직선 4x+3y+1=0 사이의 거리는 |12-3+1| 14@+3@ 3 =2 원의 반지름의 길이는 j2 k이므로 구하는 최솟값은 2-j2 k {3m+1}@=5{m@+1} 2m@+3m-2=0 {m+2}{2m-1}=0 ∴ m=-2 또는 m= 1 2 -2+ =- 1 2 3 2 따라서 구하는 두 접선의 기울기의 합은 11 원의 방정식 105 수학(상) PM 해설 11(100~112)OK.indd 105 2017-09-26 오후 4:41:17 Z Z Z Z Z Z Z Z Z 핵심 유형 완성하기 192~196쪽 035 답 ③ 원의 중심 {1, 2}와 직선 x-2y+n=0 사이의 거리는  |1-4+n| 11@+{-2}@ 3 원의 반지름의 길이가 j5 k이므로 원과 직선이 서로 다른 두 점에서  만나려면 |n-3| j5 k = |n-3| j5 k 2 = ③   점 {0, 0}과 직선 y=2x+1, 즉 2x-y+1=0 사이의 거리는 |1| 12@+{-1}@ 3 이므로 원과 직선은 서로 다른 두 점에서 만난다.  = j5 k 5 1 j5 k <2 = ④   점 {0, 0}과 직선 y=3x+5, 즉 3x-y+5=0 사이의 거리는 |5| 13@+{-1}@ 3 이므로 원과 직선은 서로 다른 두 점에서 만난다.  = j10 k 2 5 j10 k <2 = ⑤   점 {0, 0}과 직선 y=4x-1, 즉 4x-y-1=0 사이의 거리는 |-1| 14@+{-1}@ 3 이므로 원과 직선은 서로 다른 두 점에서 만난다.  = j17 k 17 1 j17 k <2 = 037 답 ③ y=mx+2를 x@+y@=2에 대입하면 x@+{mx+2}@=2    ∴ {m@+1}x@+4mx+2=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 원과 직선이 만나므로 D 4 2m@-2>0, m@>1    ={2m}@-2{m@+1}>0 ∴ m<-1 또는 m>1 따라서 a=-1, b=1이므로 a+b=0 038 답 ① 원의 중심 {2, -1}과 직선 x+ky-5=0 사이의 거리는  |2-k-5| 11@+k@ 3 |k+3| 1k@+13 = 106 정답과 해설 원의 넓이가 5p이므로 원의 반지름의 길이는 j5 k이고 원과 직선이  접하므로  =j5 k, |k+3|=j5 k 1k@+13 |k+3| 1k@+13 양변을 제곱하면 {k+3}@=5{k@+1} 2k@-3k-2=0, {2k+1}{k-2}=0 ∴ k=- 1 2  또는 k=2 따라서 모든 상수 k의 값의 곱은 - \2=-1 1 2 039 답 ⑤ 원 {x-1}@+{y-3}@=8의 중심의 좌표는 {1, 3}이고 반지름의  길이는 2j2 k이므로 직선 x-y+n=0과 만나지 않으려면 |1-3+n| 11@+{-1}@ 3 n-2<-4 또는 n-2>4 >2j2 k, |n-2|>4 ∴ n<-2 또는 n>6 yy ㉠ 원 x@+y@-8x-6y+7=0, 즉 {x-4}@+{y-3}@=18의 중심의  좌표는 {4, 3}이고 반지름의 길이는 3j2 k이므로 직선 x-y+n=0 과 서로 다른 두 점에서 만나려면 |4-3+n| 11@+{-1}@ 3 -60이므로 k=5j2 k  043 답 ④ 오른쪽 그림과 같이 두 원의 두 교 x@+y@-2x-4y-6=0 점을 A, B라고 하면 두 원의 공통 x+2y-5=0 y 4A 인 현은 AB 이다. 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정 H O x B 4 -4 -4 x@+y@=16 식은 x@+y@-16   -{x@+y@-2x-4y-6}=0 ∴ x+2y-5=0 이때 원 x@+y@=16의 중심 O에서 직선 x+2y-5=0에 내린     045 답 j2 k 직각삼각형 OPQ에서  PQ  @-OQ  @  =7 OP 9  Z =13@-1@ 3=2j2 k 따라서 삼각형 OPQ의 넓이는 1 2 \2j2 k\1=j2 k \OQ \PQ 1 2 = 046 답 ⑤ C{-1, 1}이므로 AC =1{-5}@+6@ 3=j61k 오른쪽 그림과 같이 직각삼각형 APC 에서 AP  @   @-CP =7 AC 9  Z =4{j61k}@-3@ 6  =2j13 k \AP 2△APC =2\ 따라서 사각형 APCQ의 넓이는 1 2 1 2 =6j13 k \2j13 k\3  =2\ \CP       {x+1}@+{y-1}@=9 y P 4 x C -1 1 O Q -5 A       047 답 ⑤ 원의 중심 {1, -3}과 직선 2x+y+11=0 사이의 거리는 |2-3+11| 12@+1@ 3 =2j5 k 원의 반지름의 길이는 j5 k이므로 구하는 최댓값은  2j5 k+j5 k=3j5 k  048 답 ④ 원의 중심 {0, 0}과 점 A{3, -4} 사이의 거리는 13@+{-4}@ 3=5 원의 반지름의 길이는 j6 k이므로 M=5+j6 k, m=5-j6 k    ∴ Mm=25-6=19       {x+2}@+{y-1}@=16 y P A 4 1 C -2 O 2 x 049 답 ③ x@+y@-10y=0에서 x@+{y-5}@=25 원의 중심 {0, 5}와 직선 3x-4y-15=0 사이의 거리는 |-20-15| 13@+{-4}@ 3 원의 반지름의 길이는 5이므로 원 위의 점과 직선 사이의 거리의  =7 최댓값은 7+5=12, 최솟값은 7-5=2이다. 이때 원 위의 점과 직선 사이의 거리 중 자연수인 것은 2, 3, 4,  y, 12의 11개이고 거리가 2, 12일 때만 점이 1개이고 나머지 거   리일 때는 점이 2개씩 있으므로 구하는 점의 개수는  11\2-2=20 11 원의 방정식 107 수선의 발을 H라고 하면 = OH |-5| 11@+2@ 3 직각삼각형 OAH에서  =j5 k AH  @  9   @-OH =7 OA Z =44@-{j5 k}@ 6  =j11k 따라서 두 원의 공통인 현의 길이는 AB =2AH =2j11k  044 답 ② x@+y@+4x-2y=11에서  {x+2}@+{y-1}@=16 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을  C{-2, 1}이라고 하면  AC =1{-4}@+3{-3}@ 3=5 직각삼각형 CAP에서   @-CP =7 AC AP Z =15@-4@ 3=3  @  9  수학(상) PM 해설 11(100~112)OK.indd 107 2017-09-26 오후 4:41:18 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 050 답 ④ 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을     y y=2x C{3, 1}이라고 하고, 점 C에서 직선  A y=2x, 즉 2x-y=0에 내린 수선의  발을 H라고 하면 |6-1| 12@+{-1}@ 3 CH = =j5 k 직각삼각형 CAH에서  @  9=43@-{j5 k}@ 6=2 AH =7 CA Z ∴ AB =2AH  @-CH =4  H B 1 O C 3 x P {x-3}@+{y-1}@=9 |1+2+k| 11@+{-1}@ 3 k+3=-4    ∴ k=-7 또는 k=1 =2j2 k, |k+3|=4 즉, 두 직선 y=x-7, y=x+1이므로 x절편은 각각 7, -1이다. 따라서 구하는 x절편의 차는 7-{-1}=8 055 답 ④ 직선 x+2y+3=0, 즉 y=- 3 2 2이다. 기울기가 2인 접선의 방정식을  1  2 x- y=2x+k, 즉 2x-y+k=0 yy ㉠ 에 수직인 직선의 기울기는  삼각형 PAB의 넓이가 최대가 되려면 PH 고, 이때 PH 는 점 C를 지나므로 PH =PC 의 길이가 최대이어야 하 =3+j5 k +CH 으로 놓으면 이 직선과 원이 접하므로 원 x@+y@-2x=0, 즉   {x-1}@+y@=1의 중심 {1, 0}과 직선 ㉠ 사이의 거리는 원의       삼각형 PAB의 넓이의 최댓값은 1 1 2 2 따라서 a=6, b=2이므로 a+b=8 \AB \PH = \4\{3+j5 k}=6+2j5 k 051 답 49 1 3 직선 y= x-1에 수직인 직선의 기울기는 -3이고 원 x@+y@=4 의 반지름의 길이는 2이므로 접선의 방정식은  y=-3x-21{-3}@+13    ∴ y=-3x-2j10k 따라서 m=-3, n=-2j10k이므로 m@+n@=9+40=49 052 답 ⑤ 주어진 원의 반지름의 길이는 2j5 k이므로 접선의 방정식은 y=2x-2j5 k\12@+13    ∴ y=2x-10 y=2x+10일 때, A{-5, 0}, B{0, 10} y=2x-10일 때, A{5, 0}, B{0, -10} ∴ OA =5, OB =10 따라서 삼각형 OAB의 넓이는  \OA \OB = \5\10=25 1 2 1 2 053 답 ② 직선의 기울기를 m이라고 하면 원 x@+y@=2의 반지름의 길이는  j2 k이므로 접선의 방정식은 y=mx-j2 k\1m@+13    ∴ y=mx-12{m@+1}3 그런데 이 직선의 y절편이 4이므로 y=mx+12{m@+1}3이고 12{m@+1}3=4 양변을 제곱하면 2{m@+1}=16, m@=7    ∴ m=-j7 k 그런데 m>0이므로 m=j7 k  따라서 구하는 직선의 방정식은 y=j7 kx+12{7+1}3    ∴ y=j7 kx+4 054 답 ③ 기울기가 1인 접선의 방정식을  반지름의 길이 1과 같아야 한다. =1, |k+2|=j5 k |2+k| 12@+{-1}@ 3 k+2=-j5 k    ∴ k=-2-j5 k 따라서 A{0, -2-j5 k}, B{0, -2+j5 k} 또는 A{0, -2+j5 k},  B{0, -2-j5 k}이므로 AB =|-2+j5 k-{-2-j5 k}|=2j5 k 056 답 ① 원 x@+y@=20 위의 점 {2, -4}에서의 접선의 방정식은 2x-4y=20    ∴ x-2y=10 이때 y=0을 대입하면 x=10 따라서 구하는 직선의 x절편은 10이다. 057 답 ① 원 x@+y@=10 위의 점 {a, b}에서의 접선의 방정식은 a  b 이 직선의 기울기가 3이므로  ax+by=10    ∴ y=- 10  b x+ - =3    ∴ a=-3b yy ㉠ a  b 한편 점 {a, b}는 원 x@+y@=10 위에 있으므로 a@+b@=10 yy ㉡  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면   a=-3, b=1 또는 a=3, b=-1 ∴ ab=-3 058 답 ③ 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 C{1, 2} 라고 하면 직선 CP와 직선 y=mx+n이  수직이므로  1-2  3-1 ∴ y=2x+n \m=-1    ∴ m=2 y=mx+n y 2 1 O C 1 P 3 x {x-1}@+{y-2}@=5 y=x+k, 즉 x-y+k=0 yy ㉠ 이 직선이 점 {3, 1}을 지나므로  으로 놓으면 이 직선과 원이 접하므로 원의 중심 {1, -2}와 직선  ㉠ 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 2j2 k와 같아야 한다. 1=6+n    ∴ n=-5 ∴ m+n=-3 108 정답과 해설 수학(상) PM 해설 11(100~112)OK.indd 108 2017-09-26 오후 4:41:18 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z y B 2 1 5 C -1 O P A 2 x 원의 중심의 좌표가 {2, -1}이므로 원과 직선 ㉠이 접하려면 |2m+1+2m+1| 1m@+{-1}@ 3 |4m+2|=j2 k 1m@+13 양변을 제곱하면 =j2 k {4m+2}@=2{m@+1} {x+1}@+{y-2}@=10 7m@+8m+1=0, {m+1}{7m+1}=0 따라서 점 B에서의 접선은 기울기가 - 이고 점 B를 지나므로  따라서 a=1, b=1, c=7, d=-5 또는 a=7, b=-5, c=1,     059 답 ④ 원의 중심을 C{-1, 2}라고 하면 직선     AC의 기울기는 1 3 =- 2-1 -1-2 따라서 점 A에서의 접선은 기울기가 3이 고 점 A를 지나므로 접선의 방정식은 y-1=3{x-2} ∴ y=3x-5 또 직선 BC의 기울기는  2-5 -1 =3 yy ㉠ 1 3 yy ㉡ 접선의 방정식은 y=- 1 3 x+5 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=3, y=4 즉, P{3, 4}이므로 a=3, b=4    ∴ a+b=7 060 답 16 P{x1, y1}이라고 하면 점 P는 원 x@+y@=16 위에 있으므로  x1@+y1@=16    ∴ y1@=16-x1@ 한편 점 P에서의 원의 접선의 방정식은  x1x+y1y=16, y=     ∴  f{x}= -x1x+16 y1 ∴  f{-4}f{4} = -4x1+16 y1 = {16+4x1}{16-4x1} y1@     -x1x+16 y1 4x1+16 y1 \ = 16@-16x1@ y1@ = 16{16-x1@} 16-x1@ =16 061 답 ② 접점의 좌표를 {x1, y1}이라고 하면 접선의 방정식은 x1x+y1y=4 이 직선이 점 {4, -2}를 지나므로 4x1-2y1=4    ∴ y1=2x1-2 yy ㉠ 한편 접점 {x1, y1}은 원 x@+y@=4 위에 있으므로 x1@+y1@=4 ㉠을 ㉡에 대입하면 yy ㉡ x1@+{2x1-2}@=4, 5x1@-8x1=0 x1{5x1-8}=0    ∴ x1=0 또는 x1= 이를 ㉠에 대입하면 x1=0, y1=-2 또는 x1= , y1= 8 5 8 5 6 5 8 5 6 5 즉, 접선의 방정식은 -2y=4 또는  x+ y=4 ∴ y+2=0 또는 4x+3y-10=0 ∴ a=0, b=-5 또는 a=4, b=3 그런데 a=0이므로 a=4, b=3    ∴ a+b=7 062 답 ① 점 {-2, 1}을 지나는 접선의 기울기를 m이라고 하면 접선의  방정식은 y-1=m{x+2} ∴ mx-y+2m+1=0 yy ㉠ ∴ m=-1 또는 m=- 1 7 이를 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 x+y+1=0 또는 x+7y-5=0 d=1이므로 abcd=-35 063 답 ① 원점을 지나는 접선의 기울기를 m이라고 하면 접선의 방정식은  원의 중심의 좌표가 {1, 3}이므로 원과 직선 ㉠이 접하려면 y=mx    ∴ mx-y=0 yy ㉠ x@+y@-2x-6y+8=0에서  {x-1}@+{y-3}@=2 =j2 k |m-3| 1m@+{-1}@ 3 |m-3|=j2 k 1m@+13 양변을 제곱하면 {m-3}@=2{m@+1} m@+6m-7=0, {m+7}{m-1}=0 ∴ m=-7 또는 m=1 따라서 구하는 두 접선의 기울기의 곱은  -7\1=-7 064 답 ⑤ 접점의 좌표를 {x1, y1}이라고 하면 접선의 방정식은 x1x+y1y=6 이 직선이 점 P{0, 6}을 지나므로  6y1=6    ∴ y1=1 한편 접점 {x1, y1}은 원 x@+y@=6 위에 있으므로 x1@+y1@=6, x1@+1@=6 x1@=5    ∴ x1=-j5 k 즉, 점 P에서 원에 그은 접선의 방정식은 j5 kx+y=6 또는 j5 kx-y=-6 6j5 k , 0 따라서 A 5 6j5 k 5 ], B , 0 - [ [ 6j5 k 5 B [ , 0 ]이므로 ] 또는 A [ - 6j5 k 5 , 0 ],     AB = 6j5 k 5 | - - [ 6j5 k 5 ]| = 12j5 k 5   따라서 O{0, 0}이라고 하면 삼각형 PAB y 6 P 의 넓이는 1 2 \AB \OP 12j5 k 5 \6 = Z = \ 1 2 36j5 k 5   A O B x x@+y@=6 11 원의 방정식 109 수학(상) PM 해설 11(100~112)OK.indd 109 2017-09-26 오후 4:41:19 Z Z 197~199쪽 이 원의 중심 [ 4, - k 2 ]가 제4사분면 위에 있으므로 직선 y=-2x+4가 x축, y축과 만나는 점의 좌표는 각각  중심의 좌표가 {2, 0}이므로 원의 반지름의 길이를 r라고 하면 원 - <0    ∴ k>0 k 2 또 이 원이 y축에 접하므로 k@ r 4 +7 y=4 양변을 제곱하면 k@ 4 ∴ k=-6 +7=16, k@=36 그런데 k>0이므로 k=6 5 답 12j2 k 유형 04 x축 또는 y축에 접하는 원의 방정식 방정식은  {x-a}@+{y-a-1}@={a+1}@ 이 원이 점 {5, 3}을 지나므로  {5-a}@+{3-a-1}@={a+1}@ a@-16a+28=0 {a-2}{a-14}=0 ∴ a=2 또는 a=14 중심 사이의 거리는 112@+12@ 3=12j2 k 원의 중심의 좌표를 {a, a+1}이라고 하면 x축에 접하는 원의  ]    ∴ N{-2, 0} 의 중점이므로  따라서 두 원의 중심의 좌표는 {2, 3}, {14, 15}이므로 두 원의  핵심 유형 최종 점검하기 1 답 {x-2}@+y@=20 유형 01 원의 방정식 구하기 {2, 0}, {0, 4} 의 방정식은 {x-2}@+y@=r@ 이 원이 점 {0, 4}를 지나므로  {-2}@+4@=r@    ∴ r@=20 따라서 구하는 원의 방정식은 {x-2}@+y@=20 2 답 {x+3}@+{y-1}@=2 유형 02 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식 AB M [ AB N [ 의 중점을 M이라고 하면 -4+8 2-10 2 2 ,  ]    ∴ M{-4, 2} 를 1：2로 내분하는 점을 N이라고 하면 1\{-10}+2\2 1+2 1\8+2\{-4} 1+2 ,  이때 원의 중심을 C라고 하면 점 C는 MN C [ -4-2 2   ,  2 2 ]    ∴ C{-3, 1} NC 즉, 원의 반지름의 길이는 =1{-1}@+31@ 3=j2 k 따라서 구하는 원의 방정식은  {x+3}@+{y-1}@=2 3 답 ⑤ 유형 03 중심이 직선 위에 있는 원의 방정식 방정식은  {x-a}@+{y-a+2}@=r@ yy ㉠ 원 ㉠이 점 {1, 2}를 지나므로 {1-a}@+{2-a+2}@=r@ 2a@-10a+17=r@ yy ㉡ 원 ㉠이 점 {3, -2}를 지나므로 {3-a}@+{-2-a+2}@=r@ 2a@-6a+9=r@ yy ㉢ ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=2, r@=5 4 답 ③ 유형 04 x축 또는 y축에 접하는 원의 방정식 x@+y@-8x+ky+9=0에서 {x-4}@+ y+ [ k 2 ]@= k@ 4 +7 110 정답과 해설 원의 중심의 좌표를 {a, a-2}, 반지름의 길이를 r라고 하면 원의  따라서 구하는 원의 방정식은 {x-2}@+y@=5이고 이 원의 반지 름의 길이는 j5 k이므로 원의 넓이는  p\{j5 k}@=5p 6 답 ③ 유형 06 이차방정식 x@+y@+Ax+By+C=0이 나타내는 도형 x@+y@-4x+4ky+5k@-5k+4=0에서 {x-2}@+{y+2k}@=-k@+5k 이 방정식이 원을 나타내려면 -k@+5k>0, k@-5k<0 k{k-5}<0    ∴ 0 j21k 2 유형 11 원과 직선의 위치 관계 x@+y@+2y-3=0에서 x@+{y+1}@=4 원의 중심 {0, -1}과 직선 kx-y+4=0 사이의 거리는 = |1+4| 1k@+{-1}@ 3 원의 반지름의 길이가 2이므로 원과 직선이 서로 다른 두 점에서  5 1k@+13   원의 방정식은 x@+y@+4x-2y-5+ky=0 yy ㉠ 원 ㉠이 점 {3, 4}를 지나므로  9+16+12-8-5+4k=0    ∴ k=-6 k=-6을 ㉠에 대입하면 x@+y@+4x-2y-5-6y=0 x@+y@+4x-8y-5=0    ∴ {x+2}@+{y-4}@=25 따라서 구하는 원의 중심의 좌표는 {-2, 4}이다.  9 답 ⑤ 유형 09 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식 원 C의 반지름의 길이를 r라고 하면 원의 방정식은 {x-1}@+{y-3}@=r@    ∴ x@+y@-2x-6y+10-r@=0 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 x@+y@-2x-6y+10-r@-{x@+y@-10}=0 ∴ 2x+6y+r@-20=0 이 직선이 원점 {0, 0}을 지나므로  r@=20    ∴ r=-2j5 k 그런데 r>0이므로 r=2j5 k 10 답 ④ 유형 10 조건을 만족하는 점이 나타내는 도형의 방정식 AP ：BP =2：1이므로 2BP =AP     ∴ 4BP  @  @=AP P{x, y}라고 하면  49{x-6}@+{y+1}@0={x-3}@+{y-2}@ x@+y@-14x+4y+45=0    ∴ {x-7}@+{y+2}@=8 따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 {7, -2}이고 반 지름의 길이가 2j2 k인 원이므로 구하는 둘레의 길이는  2p\2j2 k=4j2 kp  원의 중심 {1, 3}과 직선 y=-3x+k, 즉 3x+y-k=0 사이의  11 답 ⑤ 유형 11 원과 직선의 위치 관계 거리는 |3+3-k| 13@+1@ 3 = |k-6| j10k   원의 반지름의 길이가 j10k이므로 원과 직선이 접하려면 |k-6| j10k =j10k, |k-6|=10 k-6=-10    ∴ k=-4 또는 k=16 따라서 구하는 모든 상수 k의 값의 합은 -4+16=12  만나려면 <2, 1k@+13> 5 2 5 1k@+13 양변을 제곱하면  25 4 , k@> k@+1> 21 4      또는 k> j21k 2   ∴ k<- j21k 2 13 답 1 6 유형 11 원과 직선의 위치 관계 원의 중심이 제1사분면 위에 있고 x축과 y축에 동시에 접하므로  원의 반지름의 길이를 r라고 하면 원의 중심의 좌표는 {r, r}이다. 이때 원과 직선 3x-4y+1=0이 접하므로  |3r-4r+1| 13@+{3-4}@ 3 |r-1|=5r, r-1=-5r    =r x@+y@+4x-2y-4=0에서  {x+2}@+{y-1}@=9 ∴ r=-  또는 r= 1 4 그런데 r>0이므로 r= 1 6 1 6 14 답 ③ 유형 12 현의 길이 {x+2}@+{y-1}@=9 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을     C{-2, 1}이라고 하고, 점 C에서 직선  4x-3y+1=0에 내린 수선의 발을 H 라고 하면  = CH |-8-3+1| 14@+{-3}@ 3 직각삼각형 CPH에서 =2 PH =7 CP ∴ PQ =2PH  @-CH  @  9=13@-2@ 3=j5 k =2j5 k 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을     15 답 ⑤ 유형 13 접선의 길이 C{2, -2}라고 하면 AC =14@+{-3}@ 3=5 직각삼각형 CAP에서 AP =7 CA  @-CP  @  9=15@-2@ 3=j21k y 1 C -2 Q P O H x 4x-3y+1=0 A -2 y 1 O -2 x 2 P 2 C 11 원의 방정식 111 수학(상) PM 해설 11(100~112)OK.indd 111 2017-09-26 오후 4:41:19 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 16 답 ③ 유형 14 원 위의 점과 직선 사이의 거리 점 A{3, 4}를 지나는 직선 중 원점 O와 거리가 최대인 직선은     직선 OA와 수직인 직선이므로 직선 L의 방정식은 y-4=- 3 4 ∴ 3x+4y-25=0  {x-3} 원의 중심 {5, 7}과 이 직선 사이의 거리는 |15+28-25| 13@+4@ 3 18 5 = 원의 반지름의 길이는 1이므로 구하는 최솟값은  18 5 -1= 13 5   17 답 ⑤ 유형 14 원 위의 점과 직선 사이의 거리 x@+y@-2x-4y-11=0에서  {x-1}@+{y-2}@=16 원의 중심 {1, 2}와 점 A{4, -2} 사이의 거리는   13@+{-4}@ 3=5 원의 반지름의 길이는 4이므로 AP 의 최댓값은 5+4=9, AP 의    최솟값은 5-4=1이다. 9의 9개이다.   따라서 10이므로 a=10 21 답 ① 유형 16 원 위의 점에서의 접선의 방정식 x@+y@-8x+4y+10=0에서  {x-4}@+{y+2}@=10 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을   C{4, -2}라고 하면 직선 CP의 기울기는 1+2 3-4 이때 원의 접선은 직선 CP와 수직이므로   =-3 y 1 -2 P C O 3 4 x {x-4}@+{y+2}@=10       1 3 이다.  1 3 이고 점 P{3, 1}을 지나는 직선의 방정식은 기울기가  따라서 기울기가  {x-3}  y-1= 1 3 ∴ y= 1 3 x 18 답 10 유형 15 기울기가 주어진 원의 접선의 방정식 직선 y=2x-7에 평행한 직선의 기울기는 2이고 원 x@+y@=5의  반지름의 길이는 j5 k이므로 접선의 방정식은  y=2x-j5 k\12@+13  ∴ y=2x-5 따라서 P{0, -5}, Q{0, 5} 또는 P{0, 5}, Q{0, -5}이므로  이 직선이 점 {a, 2}를 지나므로 2= a    ∴ a=6 1 3 22 답 ④ 유형 17 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식 PQ =|5-{-5}|=10 접점의 좌표를 {x1, y1}이라고 하면 접선의 방정식은 19 답 y=3x-9 또는 y=3x+11 유형 15 기울기가 주어진 원의 접선의 방정식 기울기가 3인 접선의 방정식을  y=3x+k, 즉 3x-y+k=0 yy ㉠ 으로 놓으면 이 직선과 원이 접하므로 원 x@+y@-2x-8y+7=0,  즉 {x-1}@+{y-4}@=10의 중심 {1, 4}와 직선 ㉠ 사이의 거리 는 원의 반지름의 길이 j10 k과 같아야 한다. |3-4+k| 13@+{-1}@ 3 |k-1|=10 =j10 k k-1=-10    ∴ k=-9 또는 k=11 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=3x-9 또는 y=3x+11 112 정답과 해설 x1x+y1y=9 이 직선이 점 {6, 0}을 지나므로  6x1=9    ∴ x1= yy ㉠ 3 2 한편 접점 {x1, y1}은 원 x@+y@=9 위에 있으므로 x1@+y1@=9 yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 27 9 4   4 +y1@=9, y1@= ∴ y1=- 3j3 k 2 즉, 구하는 직선의 방정식은 x+j3 ky=6 또는 x-j3 ky=6 ∴ y=- j3 k 3 따라서 m=- j3 k 3 x+2j3 k 또는 y= j3 k x-2j3 k 3 , n=2j3 k 또는 m= j3 k 3 mn=-2 , n=-2j3 k이므로  수학(상) PM 해설 11(100~112)OK.indd 112 2017-09-26 오후 4:41:20 Z Z Z 12 도형의 이동 유형03 답 ① 원 {x-3}@+{y-1}@=9를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으 유형01 1 유형02 ④ 유형03 ① 유형04 ② 유형08 ① 유형05 ③ 유형09 3j5 k 유형10 ④ 유형06 -5 유형07 0 001 ⑤ 002 ③ 003 P{4, -3} 004 {5, -7} 005 ④ 006 ② 007 ③ 008 ④ 013 0 018 ② 009 ② 010 ② 011 ⑤ 014 -6 015 j26 k 016 17 020 ④ 019 ① 021 제3사분면 012 ⑤ 017 ⑤ 022 8 023 ④ 024 ② 025 ④ 026 ② 027 ⑤ 028 ① 029 -2 030 ① 031 7 032 ⑤ 033 ③ 034 ④ 035 ④ 036 ⑤ 037 ④ 038 ④ 039 ① 040 ⑤ 041 ① 042 ③ 043 ② 046 2j10k 047 8 051 ③ 044 ④ 045 ⑤ 048 ⑤ 049 ④ 050 ③ 1 ⑤ 2 1 5 {0, 8} 6 y=-x-4 9 14 10 ③ 11 ① 14 ⑤ 3 ③ 4 {3, -5} 7 ③ 12 ① 8 ㄱ, ㄹ 13 4j2 k 핵심 유형 202~204쪽 유형01 답 1 점 {a, 3}이 주어진 평행이동에 의하여 옮겨진 점의 좌표는 {a+2, 3-1} ∴ {a+2, 2} 이 점이 직선 y=2x-4 위에 있으므로 2=2{a+2}-4, 2a=2 ∴ a=1 유형02 답 ④ 직선 y=3x+n-1을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 직선의 방정식은 y-3=3{x+1}+n-1 ∴ y=3x+n+5 이 직선이 직선 y=3x+9와 일치하므로 n+5=9 ∴ n=4 로 b만큼 평행이동한 원의 방정식은 {x-a-3}@+{y-b-1}@=9 yy ㉠ 한편 x@+y@-4y+c=0에서 x@+{y-2}@=4-c ㉠, ㉡이 일치하므로 -a-3=0, -b-1=-2, 9=4-c ∴ a=-3, b=1, c=-5 ∴ a+b+c=-7 yy ㉡ 유형04 답 ② A{1, -2}, B{-1, 2}이므로 AB =1{-2}@+4@ 3=2j5 k 유형05 답 ③ 직선 y=ax+1을 원점에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 -y=-ax+1 ∴ y=ax-1 이 직선이 점 {1, 2}를 지나므로 2=a-1 ∴ a=3 유형06 답 -5 원 x@+y@-2ax+6y+a@=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 y@+x@-2ay+6x+a@=0 ∴ {x+3}@+{y-a}@=9 이 원의 중심 {-3, a}가 직선 2x-y+1=0 위에 있으므로 -6-a+1=0 ∴ a=-5 유형07 답 0 두 점 {a, 2}, {4, b}를 이은 선분의 중점의 좌표가 {1, 2}이므로 a+4 2 =2 ∴ a=-2, b=2 2+b 2 =1, ∴ a+b=0 유형08 답 ① 두 점 {0, 4}, {a, b}를 이은 선분의 중점의 좌표는 2 ] b+4 a 2 , [ 이 점이 직선 y=-2x-1 위에 있으므로 b+4 2 -1 =-2\ a 2 ∴ 2a+b=-6 yy ㉠ 두 점 {0, 4}, {a, b}를 지나는 직선과 직선 y=-2x-1이 수직 이므로 b-4 a \{-2}=-1 ∴ a-2b=-8 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=2 ∴ ab=-8 12 도형의 이동 113 수학(상) PM 해설 12(113~120)OK.indd 113 2017-09-26 오후 4:41:51 Z 유형09 답 3j5 k 점 B{5, 2}를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 B'이라고 하면 B'{5, -2} 'P +B +BP ∴ AP =AP Z >A =13@+{-6}@ 3=3j5 k 따라서 구하는 최솟값은 3j5 k이다. B' y 4 2 A B O -2 2 P x 5 B' 유형10 답 ④ 방정식 f{-x, -y}=0이 나타내는 도형은 방정식 f{x, y}=0이 나타내는 도형을 원점에 대하여 대칭이동한 것이므로 구하는 도형 은 ④이다. 핵심 유형 완성하기 205~212쪽 001 답 ⑤ 점 {2, k}가 주어진 평행이동에 의하여 옮겨진 점의 좌표는 {2-4, k+3} ∴ {-2, k+3} 이 점이 직선 y=-x+6 위에 있으므로 k+3=2+6 ∴ k=5 002 답 ③ 점 {3, 1}을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 4만큼 평행이 동한 점의 좌표는 {3+a, 1+4} ∴ {a+3, 5} 이 점이 점 {6, b}와 일치하므로 따라서 삼각형 OAB의 넓이는 6\3- \4\3+ \6\1+ \2\2 1 2 1 2 ] 1 2 [ =7 y 3 1 O A 4 B 6 x 006 답 ② 직선 y=-2x+k를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3 만큼 평행이동한 직선의 방정식은 y+3=-2{x-2}+k ∴ y=-2x+k+1 이 직선이 직선 y=-2x와 일치하므로 k+1=0 ∴ k=-1 007 답 ③ 직선 y=2x+1을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 직선의 방정식은 y-1=2{x+2}+1 ∴ y=2x+6 따라서 이 직선의 y절편은 6이다. 008 답 ④ 주어진 평행이동은 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 -p만 큼 평행이동하는 것이므로 이 평행이동에 의하여 직선 y=4x+2 가 옮겨진 직선의 방정식은 y+p=4{x-p}+2 ∴ y=4x-5p+2 이 직선이 직선 y=4x-8과 일치하므로 -5p+2=-8 ∴ p=2 009 답 ② 직선 2x+y-1=0이 주어진 평행이동에 의하여 옮겨진 직선의 a+3=6, 5=b ∴ a=3, b=5 ∴ ab=15 방정식은 003 답 P{4, -3} 점 P의 좌표를 {a, b}라고 하면 점 P를 x축의 방향으로 -3만큼, 2{x+1}+{y-4}-1=0 ∴ 2x+y-3=0 따라서 a=1, b=-3이므로 ab=-3 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 점의 좌표는 {a-3, b+2} 이 점이 점 {1, -1}과 일치하므로 a-3=1, b+2=-1 ∴ a=4, b=-3 따라서 구하는 점 P의 좌표는 {4, -3}이다. 004 답 {5, -7} 점 {-1, 2}를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 점의 좌표가 {3, -4}라고 하면 -1+m=3, 2+n=-4 ∴ m=4, n=-6 따라서 점 {1, -1}을 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 -6만큼 평행이동한 점의 좌표는 {1+4, -1-6} ∴ {5, -7} 005 답 ④ 점 A{4, 3}이 주어진 평행이동에 의하여 옮겨진 점의 좌표는 B{4+2, 3-2} ∴ B{6, 1} 010 답 ② 직선 y=2x+3을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2만 큼 평행이동한 직선의 방정식은 y+2=2{x-1}+3 ∴ y=2x-1 이 직선이 주어진 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심 {m, -3} 을 지나야 하므로 -3=2m-1 ∴ m=-1 011 답 ⑤ 원 {x-1}@+{y+b}@=4를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으 로 2만큼 평행이동한 원의 방정식은 {x-a-1}@+{y-2+b}@=4 yy ㉠ 한편 x@+y@+2x+c-1=0에서 {x+1}@+y@=2-c ㉠, ㉡이 일치하므로 yy ㉡ -a-1=1, -2+b=0, 4=2-c ∴ a=-2, b=2, c=-2 ∴ abc=8 114 정답과 해설 수학(상) PM 해설 12(113~120)OK.indd 114 2017-09-26 오후 4:41:51 Z Z X Z X Z 012 답 ⑤ 포물선 y=x@+1을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만 큼 평행이동한 포물선의 방정식은 y-2={x+1}@+1 ∴ y=x@+2x+4 이 포물선이 점 {3, p}를 지나므로 p=9+6+4=19 013 답 0 x@+y@-4x-2y-4=0에서 {x-2}@+{y-1}@=9 이 원을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동 한 원의 방정식은 {x-a-2}@+{y-b-1}@=9 이 원의 중심이 원점이고 반지름의 길이가 r이므로 -a-2=0, -b-1=0, 9=r@ ∴ a=-2, b=-1, r=3 (∵ r>0) ∴ a+b+r=0 015 답 j26 k x@+y@-2x+6y+3=0에서 {x-1}@+{y+3}@=7 한 원의 방정식은 {x-m-1}@+{y-n+3}@=7 이 원과 원 x@+y@=7이 일치하므로 -m-1=0, -n+3=0 ∴ m=-1, n=3 3만큼 평행이동한 점의 좌표는 {0-1, 2+3} ∴ {-1, 5} 따라서 C{-1, 5}이므로 OC =1{-1}@+5@ 3=j26 k 이 원을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동 원 x@+y@-4y-9=0, 즉 x@+{y-2}@=13의 중심의 좌표는 {0, 2}이므로 이 점을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 다른 풀이 원 {x-2}@+{y-1}@=9의 중심의 좌표는 {2, 1}이므로 이 점이 주어진 평행이동에 의하여 옮겨진 점의 좌표는 016 답 17 원 {x-1}@+y@=10을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 {2+a, 1+b} 이 점이 원점이므로 2+a=0, 1+b=0 ∴ a=-2, b=-1 r=3 ∴ a+b+r=0 한편 원의 반지름의 길이는 평행이동하여도 변하지 않으므로 014 답 -6 점 {1, 3}을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행 이동한 점의 좌표는 {1+m, 3+n} 이 점이 점 {-1, 2}와 일치하므로 1+m=-1, 3+n=2 ∴ m=-2, n=-1 즉, 포물선 y=x@+2x-1을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향 으로 -1만큼 평행이동한 포물선의 방정식은 y+1={x+2}@+2{x+2}-1 y=x@+6x+6 ∴ y={x+3}@-3 따라서 이 포물선의 꼭짓점의 좌표는 {-3, -3}이므로 다른 풀이 포물선 y=x@+2x-1, 즉 y={x+1}@-2의 꼭짓점의 a=-3, b=-3 ∴ a+b=-6 좌표는 {-1, -2} 이동한 점의 좌표는 {-1-2, -2-1} ∴ {-3, -3} 따라서 a=-3, b=-3이므로 a+b=-6 n만큼 평행이동한 원의 방정식은 {x-1-1}@+{y-n}@=10 ∴ {x-2}@+{y-n}@=10 이 원이 직선 y=3x+1에 접하려면 원의 중심 {2, n}과 직선 3x-y+1=0 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 j10k과 같아야 하므로 |6-n+1| 13@+{-1}@ 3 n-7=-10 ∴ n=-3 또는 n=17 =j10k, |n-7|=10 그런데 n>0이므로 n=17 017 답 ⑤ P{3, -4}, Q{4, 3}이므로 =1{-1}@+7@ 3=5j2 k PQ 018 답 ② 점 {-2, 5}를 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 {-5, 2} 따라서 점 {-5, 2}와 직선 3x-4y+3=0 사이의 거리는 |-15-8+3| 13@+{-4}@ 3 =4 019 답 ① 점 {a+3, 4}를 y축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 {-a-3, 4} {a+3, -4} ∴ ab=-4 이 점과 점 {4, b}가 일치하므로 a+3=4, -4=b ∴ a=1, b=-4 12 도형의 이동 115 이 점을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행 이 점을 다시 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 수학(상) PM 해설 12(113~120)OK.indd 115 2017-09-26 오후 4:41:52 Z Z 020 답 ④ 점 {a-2, -a}를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만 026 답 ② 직선 y=2x+1을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 큼 평행이동한 점의 좌표는 -y=2x+1 ∴ y=-2x-1 {a-2-1, -a+2} ∴ {a-3, -a+2} 이 직선을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 a만큼 평행이 B{a, -b} 그런데 p>0이므로 p=24 이 점을 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 {-a+3, a-2} 이 점이 직선 2x-y+4=0 위에 있으므로 2{-a+3}-{a-2}+4=0 ∴ a=4 021 답 제3사분면 점 {a, b}를 x축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 {a, -b} 이 점이 제3사분면 위에 있으므로 a<0, -b<0 ∴ a<0, b>0 점 {a-b, ab}를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 방정식은 {ab, a-b} 이때 ab<0, a-b<0이므로 이 점은 제3사분면 위에 있다. 022 답 8 B{a, -b}, C{-a, b}이고 삼각형 ABC의 넓이가 6이므로 1 2 2|ab|=6 ∴ |ab|=3 \2|a|\2|b|=6 C{-a, b} A{a, b} y O x 따라서 점 A가 될 수 있는 점의 좌표는 {1, 3}, {-1, 3}, {1, -3}, {-1, -3}, {3, 1}, {-3, 1}, {3, -1}, {-3, -1}의 8개이다. 023 답 ④ 직선 ax+{2a-1}y+7=0을 원점에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 -ax-{2a-1}y+7=0 ∴ ax+{2a-1}y-7=0 이 직선이 점 {-1, 3}을 지나므로 -a+3{2a-1}-7=0 -a+6a-3-7=0 ∴ a=2 2x+y+5=0 이 직선과 점 {3, 4} 사이의 거리는 |6+4+5| 12@+1@ 3 = 15 j5 k =3j5 k 024 답 ⑤ 직선 2x-y+5=0을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 025 답 ④ 직선 x+3y-5=0을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 -x+3y-5=0 이 직선을 다시 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 y-3x-5=0 ∴ 3x-y+5=0 116 정답과 해설 동한 직선의 방정식은 y-a=-2{x-3}-1 ∴ y=-2x+a+5 이 직선을 다시 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 y=2x+a+5 이 직선과 직선 y=2x+1이 일치하므로 a+5=1 ∴ a=-4 027 답 ⑤ 직선 3x-2y+p=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 3y-2x+p=0 ∴ 2x-3y-p=0 이 직선이 원 {x-1}@+{y+3}@=13에 접하므로 원의 중심 {1, -3}과 직선 2x-3y-p=0 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 j13 k과 같아야 한다. |2+9-p| 12@+{-3}@ 3 p-11=-13 ∴ p=-2 또는 p=24 =j13 k, |p-11|=13 028 답 ① 직선 L: y=4x+2를 x축, y축, 원점에 대 하여 대칭이동한 직선의 방정식은 각각 m: y=-4x-2 n: y=-4x+2 o: y=4x-2 따라서 오른쪽 그림과 같이 네 직선 L, m, -2 n, o로 둘러싸인 도형의 넓이는 1 2 \1\4=2 m o y 2 O - 2! L x 2! n 029 답 -2 원 x@+y@-2x+2ay-6=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 y@+x@-2y+2ax-6=0 ∴ {x+a}@+{y-1}@=a@+7 이 원의 중심의 좌표는 {-a, 1} yy ㉠ 한편 y=x@-4x+5에서 y={x-2}@+1 이 포물선의 꼭짓점의 좌표는 {2, 1} yy ㉡ ㉠, ㉡이 일치하므로 -a=2 ∴ a=-2 수학(상) PM 해설 12(113~120)OK.indd 116 2017-09-26 오후 4:41:52 030 답 ① 포물선 y=x@+3x-2를 y축에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정 035 답 ④ x@+y@-4x-6y+4=0에서 {x-2}@+{y-3}@=9 이 포물선을 다시 y축에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정식은 한 점의 좌표를 {x ', y '}이라고 하면 두 점 {x, y}, {x ', y '}을 이 식은 y=x@-3x-2 이 포물선이 점 {1, a}를 지나므로 a=1-3-2=-4 식은 {x-2}@+{-y+1}@=9 ∴ {x-2}@+{y-1}@=9 동한 원의 방정식은 {x+4-2}@+{y-3-1}@=9 ∴ x@+y@+4x-8y+11=0 따라서 a=4, b=-8, c=11이므로 a+b+c=7 031 답 7 원 {x-2}@+{y+1}@=9를 x축에 대하여 대칭이동한 원의 방정 이 원을 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이 032 답 ⑤ 포물선 y=x@-2x-6을 원점에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정식은 -y=x@+2x-6 ∴ y=-x@-2x+6 y=-x@+2x+6 ∴ y=-{x-1}@+7 7=4+a ∴ a=3 원의 방정식은 y@+x@+2y-4x-4=0 ∴ {x-2}@+{y+1}@=9 {2, -1}을 지나야 하므로 -1=-6+k ∴ k=5 따라서 이 포물선의 꼭짓점 {1, 7}이 직선 y=4x+a 위에 있으므로 033 답 ③ 원 x@+y@-2x+4y-4=0을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 따라서 직선 y=-3x+k가 이 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심 034 답 ④ 두 점 {2a-1, -4}, {3, b+1}을 이은 선분의 중점의 좌표가 {4, -5}이므로 2a-1+3 2 =4, ∴ a=3, b=-7 ∴ a+b=-4 -4+b+1 2 =-5 이 원의 중심의 좌표는 {2, 3} x@+y@+8x+14y+56=0에서 {x+4}@+{y+7}@=9 이 원의 중심의 좌표는 {-4, -7} 따라서 점 {a, b}는 두 점 {2, 3}, {-4, -7}을 이은 선분의 중점 이므로 a= 2-4 2 =-1, b= =-2 ∴ a-b=1 3-7 2 036 답 ⑤ 원 x@+{y-2}@=1의 중심 {0, 2}를 점 {3, 1}에 대하여 대칭이 동한 점의 좌표를 {p, q}라고 하면 두 점 {0, 2}, {p, q}를 이은 중심의 좌표가 {6, 0}이고 반지름의 길이가 1인 원의 방정식은 선분의 중점의 좌표가 {3, 1}이므로 p 2 ∴ p=6, q=0 2+q 2 =3, =1 {x-6}@+y@=1 ∴ x@+y@-12x+35=0 따라서 a=-12, b=0, c=35이므로 a+b+c=23 037 답 ④ 직선 y=2x+3 위의 점 {x, y}를 점 {-2, 4}에 대하여 대칭이동 은 선분의 중점의 좌표가 {-2, 4}이므로 x+x ' 2 y+y ' 2 =-2, =4 ∴ x=-x '-4, y=-y '+8 이를 y=2x+3에 대입하면 -y '+8=2{-x '-4}+3 ∴ y '=2x '+13 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=2x+13 038 답 ④ 포물선 y=x@-2x+3 위의 점 {x, y}를 점 {1, 6}에 대하여 대칭 이동한 점의 좌표를 {x ', y '}이라고 하면 두 점 {x, y}, {x ', y '} 을 이은 선분의 중점의 좌표가 {1, 6}이므로 x+x ' 2 y+y ' 2 ∴ x=-x '+2, y=-y '+12 =6 =1, 이를 y=x@-2x+3에 대입하면 -y '+12={-x '+2}@-2{-x '+2}+3 ∴ y '=-{x '}@+2x '+9 즉, 구하는 직선의 방정식은 y=-x@+2x+9 따라서 이 포물선이 y축과 만나는 점의 좌표는 {0, 9}이다. 12 도형의 이동 117 수학(상) PM 해설 12(113~120)OK.indd 117 2017-09-26 오후 4:41:52 yy ㉡ 044 답 ④ 점 A{6, 3}을 직선 y=x에 대하여 대칭이 두 점 {-3, 1}, {a, b}를 지나는 직선과 직선 x-y-2=0, 즉 이므로 yy ㉠ 두 점 {1, -3}, {4, 0}을 지나는 직선과 직선 y=mx+n이 수직 039 답 ① 두 점 {-3, 1}, {a, b}를 이은 선분의 중점의 좌표는 a-3 , 2 b+1 2 ] [ 이 점이 직선 x-y-2=0 위에 있으므로 a-3 2 -2=0 ∴ a-b=8 b+1 2 - y=x-2가 수직이므로 b-1 a+3 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-5 \1=-1 ∴ a+b=-2 ∴ ab=-15 yy ㉡ 040 답 ⑤ 두 점 {-4, 2}, {b, 4}를 이은 선분의 중점의 좌표는 b-4 , 2 2+4 2 ] ∴ [ [ 이 점이 직선 y=-3x+a 위에 있으므로 ] b-4 2 , 3 3=-3\ +a ∴ 2a-3b=-6 yy ㉠ b-4 2 두 점 {-4, 2}, {b, 4}를 지나는 직선과 직선 y=-3x+a가 수직 이므로 2 b+4 ㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면 a=0 \{-3}=-1 ∴ b=2 ∴ a+b=2 041 답 ① 원 x@+y@=4의 중심 {0, 0}과 원 {x-a}@+{y-b}@=c의 중심 {a, b}를 이은 선분의 중점의 좌표는 b 2 ] a 2 , [ 이 점이 직선 y=2x+5 위에 있으므로 b 2 두 점 {0, 0}, {a, b}를 지나는 직선과 직선 y=2x+5가 수직이 +5 ∴ 2a-b=-10 yy ㉠ =2\ a 2 므로 b a ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=2 \2=-1 ∴ a=-2b yy ㉡ 한편 원의 반지름의 길이는 대칭이동하여도 변하지 않으므로 c=4 ∴ a+b+c=2 042 답 ③ x@+y@-2x+6y+9=0에서 {x-1}@+{y+3}@=1 이 원의 중심의 좌표는 {1, -3} x@+y@-8x+15=0에서 {x-4}@+y@=1 이 원의 중심의 좌표는 {4, 0} 118 정답과 해설 두 점 {1, -3}, {4, 0}을 이은 선분의 중점의 좌표는 1+4 2 , -3 2 ] ∴ [ 5 2 [ 이 점이 직선 y=mx+n 위에 있으므로 3 2 ] , - - =m\ +n ∴ 5m+2n=-3 yy ㉠ 3 2 5 2 \m=-1 ∴ m=-1 3 4-1 ㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면 n=1 ∴ m+n=0 yy ㉡ 043 답 ② 점 A{3, 2}를 y축에 대하여 대칭이동한 점 을 A'이라고 하면 A'{-3, 2} ∴ AP +BP 'P +BP =A Z >A =14@+4@ 3=4j2 k 'B 따라서 구하는 최솟값은 4j2 k이다. y 6 2 B P A A' -3 O 1 3 x y 6 4 3 y=x A' P B A O 3 6 7 x A' A P y 3 2 O -2 Q -1 1 4 x B B' 동한 점을 A'이라고 하면 A'{3, 6} 'P +BP +BP ∴ AP =A Z >A =14@+{-2}@ 3=2j5 k 따라서 구하는 최솟값은 2j5 k이다. 'B 045 답 ⑤ 점 A를 y축에 대하여 대칭이동한 점을 A'이라고 하면 A'{-1, 3} 점 B를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 B'이라고 하면 B'{4, -2} ∴ AP +PQ +QB 'P B' +Q +PQ =A Z >A =15@+{-5}@ 3=5j2 k 'B' 따라서 구하는 최솟값은 5j2 k이다. 046 답 2j10k 점 A를 y축에 대하여 대칭이동한 점을 A'이라고 하면 A'{-2, 4} A' A 점 A를 직선 y=x에 대하여 대칭이동 P 한 점을 A"이라고 하면 A"{4, 2} 삼각형 APQ의 둘레의 길이는 AP +PQ +QA 'P A" +Q +PQ =A Z >A'A" =16@+{-2}@ 3=2j10k 따라서 구하는 최솟값은 2j10k이다. y 4 2 A" Q -2 O 2 4 x y=x 수학(상) PM 해설 12(113~120)OK.indd 118 2017-09-26 오후 4:41:53 Z X Z Z X Z Z X Z Z X Z Z Z X Z Z X Z X Z Z Z X Z Z X Z Z 047 답 8 점 A를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 A'이라고 하면 AP +BP =A 'P +BP >A 'B 즉, AP +BP 가 최소가 될 때, 점 P는 A 'B 위에 있으므로 A'PA0T BPB0 y 5 3 A B A0 1 O B0 P 4 x 0P 0P ：B A s 따라서 m=3, n=5이므로 m+n=8 =3：5 =A s ：B 'A0 B0 -3 A' 048 답 ⑤ 방정식 f{y, -x}=0이 나타내는 도형은 방 정식 f{x, y}=0이 나타내는 도형을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 후 y축에 대하여 y=x y 2 1 대칭이동한 것이므로 구하는 도형은 ⑤이다. -1 O 1 2 x 이 점이 점 {b, 2}와 일치하므로 2=b, a-2=2 ∴ a=4, b=2 ∴ a+b=6 점 {a, b}를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행 점 {c, d}를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 -3만큼 2 답 1 유형 01 점의 평행이동 이동한 점의 좌표는 {a+4, b+3} yy ㉠ 평행이동한 점의 좌표는 {c-1, d-3} yy ㉡ ㉠, ㉡이 일치하므로 3 답 ③ 유형 02 직선의 평행이동 a+4=c-1, b+3=d-3 ∴ a-c=-5, b-d=-6 ∴ a-b-c+d={a-c}-{b-d}=-5-{-6}=1 049 답 ④ 방정식 f{x+2, y}=0이 나타내는 도형은 방정식 f{x, y}=0이 직선 2x-y+1=0을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 직선의 방정식은 나타내는 도형을 x축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이므로 2{x-m}-{y-1}+1=0 ∴ 2x-y-2m+2=0 구하는 도형은 ④이다. 050 답 ③ 방정식 f{-x, y+1}=0이 나타내는 도형은 방정식 f{x, y}=0이 나타내는 도형을 y축 y 에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향으로 -1 -1만큼 평행이동한 것이므로 구하는 도형은 x O 1 -1 ③이다. 이 직선이 원 x@+{y+1}@=5에 접하려면 원의 중심 {0, -1}과 직선 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 j5 k와 같아야 하므로 |1-2m+2| 12@+{-1}@ 3 2m-3=-5 ∴ m=-1 또는 m=4 =j5 k, |2m-3|=5 그런데 m>0이므로 m=4 4 답 {3, -5} 유형 03 원과 포물선의 평행이동 051 답 ③ ㄱ. 방정식 f{x-1, y}=0이 나타내는 도형은 방정식 f{x, y}=0 x@+y@-2x+4y+4=0에서 {x-1}@+{y+2}@=1 이때 원점을 점 {2, -3}으로 옮기는 평행이동은 x축의 방향으로 이 나타내는 도형을 x축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동하는 것이므로 평행이동 므로 [그림 2]와 같다. 한 원의 방정식은 ㄴ. 방정식 f{-x+1, -y}=0이 나타내는 도형은 방정식 {x-2-1}@+{y+3+2}@=1 ∴ {x-3}@+{y+5}@=1 f{x, y}=0이 나타내는 도형을 원점에 대하여 대칭이동한 후 따라서 구하는 원의 중심의 좌표는 {3, -5}이다. x축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 [그림 2]와 같다. ㄷ. 방정식 f{y+1, x}=0이 나타내는 도형은 방정식 f{x, y}=0 이 나타내는 도형을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 [그림 2]와 같지 않다. 따라서 [그림 2]와 같은 도형을 나타내는 방정식은 ㄱ, ㄴ이다. 다른 풀이 원 {x-1}@+{y+2}@=1의 중심의 좌표는 {1, -2} 이 점이 주어진 평행이동에 의하여 옮겨진 점의 좌표가 구하는 원 의 중심의 좌표이므로 {1+2, -2-3} ∴ {3, -5} 5 답 {0, 8} 유형 03 원과 포물선의 평행이동 핵심 유형 최종 점검하기 213~214쪽 1 답 ⑤ 유형 01 점의 평행이동 y=x@+2x+6a에서 y={x+1}@+6a-1 이 포물선을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행 이동한 포물선의 방정식은 y-3={x-a+1}@+6a-1 ∴ y={x-a+1}@+6a+2 점 {3, -2}를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 a만큼 이 포물선의 꼭짓점의 좌표는 {a-1, 6a+2}이고 이 점이 y축 위에 평행이동한 점의 좌표는 {3-1, -2+a} ∴ {2, a-2} 있으므로 a-1=0 ∴ a=1 따라서 구하는 꼭짓점의 좌표는 {0, 8}이다. 12 도형의 이동 119 수학(상) PM 해설 12(113~120)OK.indd 119 2017-09-26 오후 4:41:53 Z Z X Z Z X Z Z Z X Z X Z X Z X Z X Z {-1, 6a-1} 한 점의 좌표는 6 답 y=-x-4 유형 04 점의 대칭이동 방정식은 y+3= -1+3 -3+1 7 답 ③ 유형 05 직선의 대칭이동 x-3y-1=0 다른 풀이 포물선 y={x+1}@+6a-1의 꼭짓점의 좌표는 따라서 P{2, -1}, Q{4, -3}이므로 이 점을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동 {-1+a, 6a-1+3} ∴ {a-1, 6a+2} 이 점이 y축 위에 있으므로 a-1=0 ∴ a=1 따라서 구하는 꼭짓점의 좌표는 {0, 8}이다. PQ =12@+{-2}@ 3=2j2 k 11 답 ① 유형 07 점에 대한 대칭이동 P{-1, -3}, Q{-3, -1}이므로 두 점 P, Q를 지나는 직선의 원의 중심의 좌표가 {-3, 8}이고 반지름의 길이가 2인 원의 방정 {x+1} ∴ y=-x-4 원 {x-1}@+{y-2}@=4의 중심 {1, 2}를 점 {-1, 5}에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 {a, b}라고 하면 두 점 {1, 2}, {a, b}를 이은 선분의 중점의 좌표가 {-1, 5}이므로 1+a 2 =-1, =5 2+b 2 ∴ a=-3, b=8 따라서 이 원 위에 있는 점은 ① {-3, 6}이다. 식은 {x+3}@+{y-8}@=4 12 답 ① 유형 08 직선에 대한 대칭이동 두 점 {-4, 2}, {12, -2}를 이은 선분의 중점의 좌표는 -4+12 2 2-2 2 ] ∴ {4, 0} [ 이 점이 직선 y=mx+n 위에 있으므로 , 0=4m+n ∴ n=-4m yy ㉠ 두 점 {-4, 2}, {12, -2}를 지나는 직선과 직선 y=mx+n이 수직이므로 -2-2 12+4 ㉡을 ㉠에 대입하면 n=-16 \m=-1 ∴ m=4 직선 x+3y-1=0을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 이 직선을 다시 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 y-3x-1=0 ∴ y=3x+1 이 직선이 점 {2, p}를 지나므로 p=6+1=7 8 답 ㄱ, ㄹ 유형 06 원과 포물선의 대칭이동 -y=x ∴ y=-x ㄱ. 직선 y=-x를 원점에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 yy ㉡ ㄴ. 포물선 y=x@+1을 원점에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정 ∴ m+n=-12 식은 -y=x@+1 ∴ y=-x@-1 ㄷ. 원 x@+y@+4x=0을 원점에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 x@+y@-4x=0 13 답 4j2 k 유형 09 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값 점 A를 y축에 대하여 대칭이동한 점을 ㄹ. 도형 |x+y|=4를 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 A'이라고 하면 A'{-1, -3} |-x-y|=4 ∴ |x+y|=4 점 B를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 따라서 처음의 식과 일치하는 도형의 방정식은 ㄱ, ㄹ이다. B'이라고 하면 B'{3, 1} 9 답 14 유형 06 원과 포물선의 대칭이동 포물선 y=x@-4x+2를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -9만큼 평행이동한 포물선의 방정식은 'P +Q +PQ +PQ ∴ AP =A +QB Z >A =14@+4@ 3=4j2 k 따라서 구하는 최솟값은 4j2 k이다. 'B' B' B' 3 x y 1 -1 -1 1 O A' -3 Q B P A y+9={x-1}@-4{x-1}+2 ∴ y=x@-6x-2 이 포물선을 y축에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정식은 14 답 ⑤ 유형 10 그래프로 주어진 도형의 평행이동과 대칭이동 y=x@+6x-2 방정식 f{y, x-1}=0이 나타내는 도형은 방정식 f{x, y}=0이 이 포물선이 점 {2, a}을 지나므로 a=4+12-2=14 나타내는 도형을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 후 x축의 방향 으로 1만큼 평행이동한 것이므로 구하는 도형은 ⑤이다. y=x y 2 1 y 1 O ➡ ➡ y 1 O O 1 x 1 2 x 1 2 3 x 10 답 ③ 유형 07 점에 대한 대칭이동 PQ 의 중점의 좌표가 {3, -2}이므로 2+b 2 a-3 2 =3, =-2 ∴ a=-1, b=4 120 정답과 해설 수학(상) PM 해설 12(113~120)OK.indd 120 2017-09-26 오후 4:41:53 Z Z Z Z X Z Z X Z X Z