수학Ⅰ
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I. 지수함수와 로그함수
지수
001 답 a*
a#a%=a#"%=a*
002 답 a%
a*_a#=a*_#=a%
003 답 a!)
{a%}@=a5\2=a!)
004 답 a#b^
{ab@}#=a3b2\3=a#b^
005 답
4a@
b@
2a
b ]@=
{2a}@
b@
[
=
2@a@
b@
=
4a@
b@
006 답 -9a&b!@
{3a@b#}@\{-ab@}#=9a$b^\{-a#b^}=-9a&b!@
007 답 2a$b
{2a#b}#_4a%b@=8a(b#_4a%b@=2a$b
008 답 b!*
a
b@ ]$=a$b!)_
{a@b%}@_
[
a$
b*
=a$b!)\
=b!*
b*
a$
009 답
1
2
a(b@
1
2
[
1
32
=
a(b@
1
2
010 답
a!^
3b
a
3b ]#_
[
1
3
[
ab$
]@\{a#b@}%=
011 답 1, 1, i, i
012 답 -2, 1-
-8의세제곱근을x라고하면x#=-8이므로
j3i
x#+8=0
{x+2}{x@-2x+4}=0
∴x=-2또는x=1-j3i
2 정답과 해설
_
a@b*\a!%b!)
1
9
\
9
a@b*
\a!%b!)
a#
27b#
a#
27b#
a!^
3b
=
=
013 답 -3, -3i
81의네제곱근을x라고하면x$=81이므로
8~19쪽
x$-81=0
{x@-9}{x@+9}=0
{x+3}{x-3}{x+3i}{x-3i}=0
∴x=-3또는x=-3i
014 답 -1
-1의세제곱근을x라고하면x#=-1이므로
x#+1=0
{x+1}{x@-x+1}=0
∴x=-1또는x=
1-j3i
2
따라서실수인것은-1이다.
015 답 4
64의세제곱근을x라고하면x#=64이므로
x#-64=0
{x-4}{x@+4x+16}=0
∴x=4또는x=-2-2j3i
따라서실수인것은4이다.
016 답 -2, 2
16의네제곱근을x라고하면x$=16이므로
x$-16=0
{x@-4}{x@+4}=0
{x+2}{x-2}{x+2i}{x-2i}=0
∴x=-2또는x=-2i
따라서실수인것은-2,2이다.
017 답 -j7, j7
49의네제곱근을x라고하면x$=49이므로
{x@-7}{x@+7}=0
{x+j7}{x-j7}{x+j7i}{x-j7i}=0
∴x=-j7또는x=-j7i
따라서실수인것은-j7,j7이다.
018 답 \
양수a의n제곱근은n개이다.
019 답 \
27의세제곱근중실수인것은#j27k이다.
021 답 \
8의세제곱근중실수인것은2의1개이다.
020 답
022 답
{4a#b@}@\
a@b
]%_{ab}&=16a^b$\
a!)b%_a&b&
x$-49=0
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023 답 \
-9의네제곱근중실수인것은없다.
024 답 5
#j125k=#15#2=5
025 답 -3
#j-27l=#1{-3}#3=-3
026 답 0.2
#j0.008l=#10.2#2=0.2
027 답 5
$j625k=$15$2=5
028 답 -3
-$j81k=-$13$2=-3
029 답
j3
2
9
16 w=$r[
$q
j3
2 ]$y=
j3
2
030 답 2
#j2\#j4=#j2\4l=#12#2=2
031 답 3
$j3\$j27k=$j3\27l=$13$2=3
032 답 3
#j243l
#j9
=#q
243
9 w=#13#2=3
033 답 2
32
$j32l
2 w=$12$2=2
$j2
=$q
034 답 11
{&j11k}&=&111&2=11
035 답 5
{^j25k}#=^125#2=^15^2=5
036 답 4
1j256k 2=$j256k=$14$2=4
037 답 2
1#j64k 2=^j64k=^12^2=2
038 답 49
%17!)2=7@=49
039 답 125
#15(3=5#=125
040 답 j6
{*j6}$=*16$2=j6
041 답 j2
^14\#j8 3=^44\#12#2 6=^j4\2l=^12#2=j2
042 답 81
!%13@)2\#13*2=#13$2\#13*2=#13!@2=3$=81
043 답 6
!@16$2\%4#136%2 6 =#j6\!%136%3=#j6\#j36k
=#16#2=6
044 답 3
$j243l_1$j9 2 =$j243l_$413@2 6=$j243l_$j3
=$13$2=3
045 답 5
#j16l
#j2
\r
j625l
#j64k
046 답 6
y=2\q
25
4
w
125@3
#14#2
y =#12#2\r
=2\
5
2 =5
1$j256l 2_#j3\#j81k=4$12*2 6\
1
#j3
=12@2\#13#2=2\3=6
\#13$2
=1a$2=a@
047 답 a
&1a#2\&1a$2=&1a&2=a
048 답 a@
1a%2
ja k
049 답 a^
{#1a@2}(=#1a!*2=a^
050 답 a#
$4#1a#^2 6=$1a!@2=a#
051 답 a@b#
^1a@b!@2\#1a%b#2 =#1ab^2\#1a%b#2
=#1a^b(2=a@b#
052 답
a@
b
1a%b#2_$1a@b!)2 =1a%b#2_1ab%2
a$
=r
b@
a@
b
t=
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01 지수 3
01 053 답 1
054 답
1
16
2_$=
=
1
2$
1
16
055 답
1
5
{j5}_@=
1
{j5}@
=
1
5
056 답 27
1
3 ]_#=3#=27
[
057 답
16
81
-
[
3
2 ]_$=
2$
3$
=
16
81
058 답
1
a!)
a_^\a_$=a_^_$=a_!)=
1
a!)
059 답
1
a*
a_@\a$_a!)=a_@"$_!)=a_*=
1
a*
060 답 a@
a!!\{a_#}#=a!!\a_(=a!!_(=a@
061 답
1
a@
{a@}_@\a_#_a_%=a_$\a_#_a_%
=a-4-3-{-5}
=a_@=
1
a@
062 답
1
a
{a#}$\{a_#}%
{a@}_&\{a_^}_@
=
a!@\a_!%
a_!$\a!@
=
a!@_!%
a_!$"!@
=
a_#
a_@
=
=
a@
a#
1
a
063 답 32!
064 답 23!
065 답 54%
066 답 2_5#
067 답 j2
4 정답과 해설
068 답 %j9
35@=%13@2=%j9
069 답
j2 k
4
4_4# =22\
[
-
4#]=2-
2#=
1
22#
=
j2
4
1
2j2
=
=
1
12#2
070 답 j3
-
8!
1
81 ]
[
=3-4\
[
-
8!]=32!=j3
{26%}#\22!=22%\22!=22%
2!=2#=8
+
44#_44!=44#
4!=42!={2@}2!=2
-
{74%}@\j7_{73!}^=72%\72!_7@
-2=7
=72%
+
2!
16_4#\646% ={2$}_4#\{2^}6%=2_#\2%
=2_#"%=2@=4
071 답 8
072 답 2
073 답 7
074 답 4
075 답 9
076 답
5
2
1
12 ={3@}8(_32!\{3#}
98(_32!\27
1
12 =34(_32!\34!
=34(
-
+
2!
4!=3@=9
8
125 ]
2%
5!
=_
\
[
2!
2
5 ]
=
[
8
125 ]_
2!
\
2
5 ]
2!
[
-[
=
-[
2
5 ]#
=_
2!
\
2
5 ]
2!
[
=
[
2
5 ]_
2#
\
2
5 ]
2!
[
=
[
2
5 ]_
2#
2!
"
=
[
2
5 ]_!=
5
2
a2#_a_2!=a2#
-
-
[
2!]=a@
077 답 a@
078 답 a
a3*_a6!\a-
2#=a3*
-
6!
-
2#=a
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a3\4\a-3\5
a2\{-7}\a-6\{-2} =
079 답 a1!2#
{1a#2\#1a@2}2! ={a2#\a3@}2!={a2#
={a
13
6 }2!=a
13
12
+
3@}2!
080 답 a@
#1a@2\1a%2_^1a&2 =a3@\a2%_a6&
=a3@
+
-
2%
6&=a@
#1ja k$ja k
3={ja k$ja k}3!={a2!a4!}3!={a4#}3!=a4!
081 답 a4!
082 답 a8&
4a1aja k 3 6 ={a1aja k 3}2!=9a{aja k}2!02!
=9a{a\a2!}2!02!=9a{a2#}2!02!
={a\a4#}2!={a4&}2!=a8&
083 답 a4&
7a4a#1a$2 6 9 ={a4a#1a$2 6}2!=9a{a#1a$2 }2!02!
=9a{a#\a@}2!02!=9a{a%}2!02!
={a\a2%}2!={a2&}2!=a4&
7#4a@$1a^2 6 9 ={#4a@$1a^2 6 }2!=9{a@$1a^2}3!02!
=9{a@\a2#}3!02!=9{a2&}3!02!=a
7
12
084 답 a
7
12
085 답 ab
{a#b@}6!\{a4! b3!}@=a2! b3!\a2! b3@
=a2!
+
2! b3!
+
3@=ab
086 답 a
5
12 b
17
6
#1a@b2_$1a#b@2\1ab^2 =a3@ b3!_a4# b2!\a2! b#
=a3@
5
12
2! b3!
+3
17
6
-
+
-
4#
2!
=a
b
087 답 32j2
3j2
j2
2 =3
2 \3
3
j2
2
+
3j2
2 =32j2
088 답 125
j3
2 =25j3\
{25j3}
089 답 6j7
2j7\3j7={2\3}j7=6j7
090 답 4
2j3+1_2j3-1=2j3+1-{j3-1}=2@=4
j3
2 =252#={5@}2#=5#=125
091 답 243
{3j20k_3j5}j5={32j5_3j5}j5={32j5-j5}j5
={3j5}j5=3j5\j5=3%=243
092 답 144
{2j8\3j2}j2=2j8\j2\3j2\j2
=2$\3@=144
093 답 a2j2
aj2_aj8\aj18k=aj2-2j2+3j2=a2j2
094 답 a4j2
2j2
j2
3 _a-3j2=a
3 \a
a
095 답 aj7
j2
3
+
2j2
3
-{-3j2}=a4j2
j7
2 }^_aj28k=a
j7
2
{a
\6-2j7=aj7
096 답 a^b(
{aj12k\bj27k}j3=aj12k\j3\bj27k\j3=a^b(
097 답 ab#
1
1
{a3j6b2j6}
j6\{a2j6b-j6}_
j6 =a#b@\a_@b=ab#
098 답 a!)
{aj2}3j2-j10k_{a#}2-j5\{aj5}j20k-1=a6-2j5_a6-3j5\a!)-j5
=a6-2j5-{6-3j5}+10-j5
=a!)
099 답 a-a_!
{a2!+a_2!}{a2!-a_2!}={a2!}@-{a_2!}@=a-a_!
={a2!}@+2a2!a_2!+{a_2!}@-9{a2!}@-2a2!a_2!+{a_2!}@0
{a3!+b3!}{a3@-a3!b3!+b3@}={a3!}#+{b3!}#=a+b
100 답 4
{a2!+a_2!}@-{a2!-a_2!}@
=2+2=4
101 답 a+b
102 답 7
a+a_!={a2!}@+{a_2!}@
={a2!+a_2!}@-2
=3@-2=7
103 답 3j5
{a-a_!}@={a+a_!}@-4
=7@-4=45
∴a-a_!=3j5(∵a>1)
01 지수 5
수학1 AM 해설 01~10(001~064) OK.indd 5
2018-04-24 오후 1:53:49
01 104 답 18
a2#+a_2# ={a2!}#+{a_2!}#
={a2!+a_2!}#-3{a2!+a_2!}
=3#-3\3=18
105 답 2x, 2,
1
3
106 답
9
2
분모,분자에a#X을곱하면
a#X+a_#X
aX-a_X =
a^X+1
a$X-a@X
=
{a@X}#+1
{a@X}@-a@X
=
2#+1
2@-2
=
9
2
107 답 4
분모,분자에a%X을곱하면
a%X+a_X
aX+a_%X
=
a!)X+a$X
a^X+1
=
{a@X}%+{a@X}@
{a@X}#+1
=
2%+2@
2#+1
=
=4
36
9
108 답
63
20
분모,분자에a&X을곱하면
a%X-a_&X
aX+a_#X
=
a!@X-1
a*X+a$X
=
{a@X}^-1
{a@X}$+{a@X}@
=
2^-1
2$+2@
=
63
20
=3의좌변의분모,분자에2X을곱하면
=3,2@X+1=3{2@X-1}
2@X+1
2@X-1
2@X+1=3\2@X-3,2\2@X=4
109 답 2
2X+2_X
2X-2_X
∴2@X=2
110 답
5
2
2@X=2이므로
4X+4_X =2@X+2_@X=2@X+
1
2@X
=2+
=
1
2
5
2
111 답
3j2
2
2@X=2에서2X=j2(∵2X>0)
1
∴2X+2_X =2X+
j2
1
2X
j2
2
=j2+
3j2
2
=
=j2+
6 정답과 해설
1
3 의좌변의분모,분자에3X을곱하면
=
3@X-1
1
3 ,3{3@X-1}=3@X+1
3@X+1
3\3@X-3=3@X+1,2\3@X=4
112 답 2
3X-3_X
3X+3_X
=
∴3@X=2
113 답
3
2
3@X=2이므로
9X-9_X =3@X-3_@X=3@X-
1
3@X
=2-
=
1
2
3
2
114 답
9j2 l
4
3@X=2에서3X=j2(∵3X>0)
∴27X+27_X =3#X+3_#X={3X}#+{3X}_#
={3X}#+
1
{3X}#
={j2}#+
1
{j2}#
=2j2+
j2
4
1
2j2
=2j2+
=
9j2
4
115 답 6, <, <
116 답 $j3>^j5
$j3=34!,^j5=56!이므로지수의분모를4와6의최소공배수인12
로통분하면
3
12={3#}
2
12={5@}
1
1
$j3=34!=3
12 =27
12
1
1
^j5=56!=5
12 =25
12
1
이때27>25이므로27
12 >25
∴$j3>^j5
1
12
1j2 3=24!=28@={2@}8!=48!
이때4<6이므로48!<68!
∴1j2 3<$1j6 3
117 답 1j2 2<$1j6 2
1j2 3=24!,$1j6 3=68!이므로지수의분모를4와8의최소공배수인
8로통분하면
118 답 ^j6-2
진수의조건에서x+2>0 ∴ x>-2
020 답 x<1 또는 x>2
진수의조건에서x@-3x+2>0
{x-1}{x-2}>0 ∴ x<1또는x>2
021 답 12
밑의조건에서x-1>0,x-1=1
∴12
022 답 50,7-x=1
∴x<6또는60 ∴ x>5 yy㉡
㉠,㉡에서53
밑의조건에서x>0,x=1
∴01
진수의조건에서x@+x-12>0
yy㉠
{x+4}{x-3}>0 ∴ x<-4또는x>3 yy㉡
㉠,㉡에서x>3
024 답 10,x+2=1
∴-2-1 yy㉠
진수의조건에서-x@+4x-3>0
x@-4x+3<0, {x-1}{x-3}<0
∴10,b>0)
∴ab=j15k
2
log 2`9log 9`{log 2`a}0=-1에서
log 9`{log 2`a}=2_!=
1
2
따라서log 2`a=92!=3이므로
a=2#=8
3 밑의조건에서6-x>0,6-x=1
∴x<5또는50
x@-4x-5<0,{x+1}{x-5}<0
∴-118이므로
2%
1
3 ]
w ]%=
1
1
3 ]$,[q
3
1
3 ]X은x의값이증가하면y의값은감소하고4>
[
[
5
2 이
034 답 \
점근선의방정식은y=-1이다.
035 답 \
x=2일때,y=
1
3 ])-1=1-1=0
[
따라서점{2,0}을지난다.
036 답 4!)>8^
4!)=2@),8^=2!*
2@)>2!*
∴4!)>8^
037 답
1
81
<
1
q
3
[
w
]%
1
81
=
[
이때y=
므로
[
[
1
3 ]$<
1
81
<
∴
2%
1
3 ]
1
[ q
3
w ]%
038 답
[
1
2
]_#<161.25
2#<2%
∴[
1
2 ]_#<161.25
[
1
2 ]_#=2#,161.25=2%
이때y=2X은x의값이증가하면y의값도증가하고3<5이므로
039 답 #j25k<0.2_4#0}로놓으면-10}로놓으면-20}
051 답 y=log
3!
`x {x>0}
052 답 y=log 5`x-1 {x>0}
y=5X"!에서x+1=log 5`y
∴x=log 5`y-1
y=log 5`x-1{x>0}
053 답 y=3X
054 답 y=2X+1
y=log 2`{x-1}에서x-1=2Y
이때x와y를서로바꾸면구하는역함수는
∴x=2Y+1
y=2X+1
이때x와y를서로바꾸면구하는역함수는
055 답 4
f{81}=log 3`81=log 3`3$=4
056 답 -2
1
9 ]
f
[
1
9
=log 3`
=log 3`3_@=-2
057 답 4
f{3}+ f{27}=log 3`3+log 3`27
=1+log 3`3#
=1+3=4
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058 답 2
3
2 ]
f{6}+ f
[
3
2
3
2 ]
=log 3`6+log 3`
=log 3`
6\
[
=log 3`3@=2
059 답 1
f{12}- f{4}=log 3`12-log 3`4
=log 3`
12
4
=log 3`3=1
060 답
y
1
O
y=log2`x
1
2
x
061 답
y
y=log
x
2!`
2
x
O 1
-1
062 답
y
1
y=log3`x
O
1
x
3
063 답
y
y=log
`x
3!
3
x
1
O
-1
064 답 y=log 2`{x-2}+1
065 답 y=log 3`{x+1}+2
066 답 y=log
3!
`{x-3}-2
067 답 y=-log 4`{x+2}+5
068 답 y=-log 3`{x+1}+1
-y=log 3`{x+1}-1에서y=-log 3`{x+1}+1
069 답 y=log 3`{1-x}-1
070 답 y=-log 3`{1-x}+1
-y=log 3`{1-x}-1에서y=-log 3`{1-x}+1
y=log2`{x-2}
03
071 답 그래프는 풀이 참고,
점근선의 방정식: x=2
y=log 2`{x-2}의그래프는y=log 2`x
y
의그래프를x축의방향으로2만큼평
행이동한것이므로오른쪽그림과같다.
O
2
3
x
따라서점근선의방정식은x=2이다.
072 답 그래프는 풀이 참고,
점근선의 방정식: x=0
y=log 2`2x=log 2`x+1의그래프는
y
y=log2`2x
y=log 2`x의그래프를y축의방향으로1만
큼평행이동한것이므로오른쪽그림과같다.
따라서점근선의방정식은x=0이다.
O
2!
x
073 답 그래프는 풀이 참고,
점근선의 방정식: x=0
y=log 2`{-x}의그래프는y=log 2`x의그
래프를y축에대하여대칭이동한것이므로
y=log2`{-x}
오른쪽그림과같다.
따라서점근선의방정식은x=0이다.
y
O
`-1
x
074 답 그래프는 풀이 참고,
점근선의 방정식: x=-1
y=log 3 {x+1}-1의그래프는
y=log 3`x의그래프를x축의방향으로
-1만큼,y축의방향으로-1만큼평
행이동한것이므로오른쪽그림과같
다.
따라서점근선의방정식은x=-1이다.
075 답 그래프는 풀이 참고,
점근선의 방정식: x=0
y=log 3`
=-log 3`x의그래프는
1
x
y=log 3`x의그래프를x축에대하여대칭
이동한것이므로오른쪽그림과같다.
따라서점근선의방정식은x=0이다.
076 답 그래프는 풀이 참고,
점근선의 방정식: x=2
y
y=log3
`
{x+1}-1
`-1
O
`2
x
`-1
y
O `1
x
y=log3
`x!
y=log 3`{2-x}=log 3`9-{x-2}0의
y
그래프는y=log 3`x의그래프를y축에
y=log3`{2-x}
대하여대칭이동한후x축의방향으로
2만큼평행이동한것이므로오른쪽그
림과같다.
따라서점근선의방정식은x=2이다.
O `1
2
x
03 지수함수와 로그함수 19
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077 답 \
함수y=log 2`x의그래프를x축의방향으로1만큼,y축의방향으
로-3만큼평행이동한것이다.
078 답
밑이1보다크므로x의값이증가하면y의값도증가한다.
079 답 \
x-1>0에서x>1이므로정의역은9x|x>10이다.
080 답
x=2일때,y=log 2`1-3=0-3=-3
따라서점{2,-3}을지난다.
081 답 \
y=log
3!
이다.
083 답
y=log
3!
`x+2=-log 3`x+2이므로함수y=log 3`x의그래프를x
축에대하여대칭이동한후y축의방향으로2만큼평행이동한것
082 답
밑이1보다작으므로x의값이증가하면y의값은감소한다.
`x+2의그래프는오른쪽그림
y=log
`x+2
3!
과같으므로제1,4사분면을지난다.
y
O
x
9
`x는x의값이증가하면y의값은감소하고5<7이므로
084 답 \
점근선의방정식은x=0이다.
`5>log
3!
`7
085 답 log
y=log
3!
3!
log
3!
`5>log
3!
`7
086 답 2`log 2`3>log 4`64
2`log 2`3=log 2`9,log 4`64=log 2`8
므로
log 2`9>log 2`8
∴2`log 2`3>log 4`64
087 답 log
`
5!
1
7
<-log
5!
`8
-log
5!
`
`8=log
5!
1
8
므로
log
`
5!
1
7
1
8 이
1
2
1
2
`
3!
<
1
2
`
3!
`log 3`58이
이때y=log 3`t의밑이1보다크므로t=9일때최댓값은
log 3 9=2,t=5일때최솟값은log 3`5이다.
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이때주어진함수는
y=t@-2t+6={t-1}@+5
5 x=-1일때,최댓값이3이므로
2$+k=3,16+k=3
따라서t=4일때최댓값은14,t=1일때최솟값은5이다.
∴k=-13
098 답 최댓값: 6, 최솟값: -9
log
3!
`x=t로놓으면
0}로놓으면01일때,f{x1}< f{x2}
@0 f{x2}
따라서보기중옳은것은ㄴ,ㄷ이다.
행이동하면함수y=8\2#X+4의그래프와일치한다.
∴m=-1,n=4
3 그래프의점근선의방정식이y=-2이므로
b=-2
따라서f{x}=a\3X-2의그래프가점{0,1}을지나므로
a-2=1 ∴ a=3
4
#j4=23@,[
9&
1
8 ]_
=23&,
11
6
41j1024l 3 6=24%,{23!\166%}2!=2
이때y=2X은x의값이증가하면y의값도증가하고
2
3
7
3 이므로
11
6
5
4
<
<
<
23@<24%<2
11
6 <23&
1
∴#j4<41j1024l 3 6<{23!\166%}2!<
8 ]_
따라서가장큰수와가장작은수의곱은
[
9&
9&
1
8 ]_
[
\#j4=23&\23@=2#=8
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I. 지수함수와 로그함수
009 답 2X, 2X, 4, 5, 1, 1, 1, 0
지수함수와 로그함수의 활용
56~65쪽
001 답 x=2
9X=81에서9X=9@
∴x=2
002 답 x=-4
1
32 에서2X_!=2_%
따라서x-1=-5이므로
2X_!=
x=-4
1
5 ]X=
[
1
5 ]#
003 답 x=3
1
125 에서[
5_X=
∴x=3
004 답 x=-
7
2
1
3 ]X"@=3j3에서3_X_@=32#
[
따라서-x-2=
3
2 이므로
x=-
7
2
005 답 x=-3
1
2 ]X=64\2X에서2_X=2X"^
[
따라서-x=x+6이므로
2x=-6 ∴ x=-3
006 답 x=-2
1
9 ]!_X에서3#X=3@X_@
27X=
[
따라서3x=2x-2이므로
x=-2
007 답 x=1
25X"!=0.2@X_^에서
1
5 ]@X_^,5@X"@=5_@X"^
따라서2x+2=-2x+6이므로
5@X"@=
[
4x=4 ∴ x=1
x@-2x
008 답 x=-1 또는 x=2
3
2
3
3 ]X_@에서[
2 ]
2 ]
[
따라서x@-2x=-x+2이므로
=
[
x@-x-2=0,{x+1}{x-2}=0
∴x=-1또는x=2
22 정답과 해설
{5X}@=20\5X+5\5X,{5X}@-25\5X=0
t@-6t-27=0,{t+3}{t-9}=0
010 답 x=2
9X-6\3X-27=0에서
{3X}@-6\3X-27=0
3X=t{t>0}로놓으면
∴t=9(∵t>0)
따라서3X=9=3@이므로
x=2
011 답 x=2
5@X=20\5X+5X"!에서
5X=t{t>0}로놓으면
t@-25t=0,t{t-25}=0
∴t=25(∵t>0)
따라서5X=25=5@이므로
x=2
012 답 x=-2 또는 x=-1
1
2 ]X_!+8=0에서
[
[
1
4 ]X-3\
1
2 ]X =@-6\
[
1
2 ]X+8=0
-[
1
2 ]X=t{t>0}로놓으면
[
t@-6t+8=0,{t-4}{t-2}=0
∴t=4또는t=2
1
2 ]X=4=
따라서[
[
x=-2또는x=-1
013 답 1, 0, 4, 4
014 답 x=1 또는 x=4
{xX}$=xX\x!@에서x$X=xX"!@
밑이같으므로
!x=1
@4x=x+12에서
3x=12 ∴ x=4
!,@에서x=1또는x=4
015 답 x=3 또는 x=4
밑이같으므로
!x-2=1에서x=3
@x@=3x+4에서
∴x=4(∵x>2)
!,@에서x=3또는x=4
016 답 6, 0, 2, 6
1
2 ]_@또는[
1
2 ]X=2=
[
1
2 ]_!이므로
x@-2x
=
[
3
2 ]_X"@
x@-3x-4=0,{x+1}{x-4}=0
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017 답 x=2
x@X_$=4X_@에서x@X_$=2@X_$
지수가같으므로
!x=2
@2x-4=0에서
2x=4 ∴ x=2
!,@에서x=2
018 답 x=-1 또는 x=
1
2
지수가같으므로
!2x+3=x+2에서x=-1
@2x-1=0에서
2x=1 ∴ x=
1
2
!,@에서x=-1또는x=
1
2
019 답 x>3
5X>125에서5X>5#
밑이1보다크므로
x>3
020 답 x>
2
3
27@_X<81에서3^_#X<3$
밑이1보다크므로
6-3x<4,-3x<-2
∴x>
2
3
021 답 x<6
8\2X<512에서2X"#<2(
밑이1보다크므로
x+3<9 ∴ x<6
022 답 x<-9
1
2 ]X"#>64에서2_X_#>2^
[
밑이1보다크므로
-x-3>6 ∴ x<-9
023 답 x<2
8X<4X"!에서2#X<2@X"@
밑이1보다크므로
3x<2x+2 ∴ x<2
024 답 x>-5
1
3 ]X"!%에서3@X>3_X_!%
9X>
[
밑이1보다크므로
2x>-x-15,3x>-15
∴x>-5
04
025 답 x>1
1
1
5 ]@_X>
[
[
j5 ]@X에서[
1
5 ]@_X>
[
1
5 ]X
밑이1보다작으므로
2-x2 ∴ x>1
026 답 x> 5
4
0.3@X<0.09%_#X에서0.3@X<0.3!)_^X
밑이1보다작으므로
2x>10-6x,8x>10 ∴ x>
5
4
027 답 3X, 3X, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 2
028 답 x>1
3\4X-2X"!-8>0에서
3\{2X}@-2\2X-8>0
2X=t{t>0}로놓으면
∴t<-
4
3 또는t>2
그런데t>0이므로t>2
3t@-2t-8>0,{3t+4}{t-2}>0
따라서2X>2이고밑이1보다크므로
x>1
029 답 -10}로놓으면
2t@-5t+2<0,{2t-1}{t-2}<0
∴
, 2, 1, 1, 2, 1, 2
031 답 01
2x+1<3-x에서3x<2 ∴ x<
그런데01일때
2x+1>3-x에서3x>2 ∴ x>
그런데x>1이므로x>1
!,@,#에서01
2
3
2
3
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04 지수함수와 로그함수의 활용 23
따라서제품의가치가50만원이되는것은4년후이다.
∴x>1 yy㉠
x@>3x+4에서x@-3x-4>0
{x+1}{x-4}>0 ∴ x<-1또는x>4
그런데01일때
x@<3x+4에서x@-3x-4<0
{x+1}{x-4}<0 ∴ -11이므로120000
24N>4,24N>2@
n
4
따라서투자한5000만원이2억원이상이되는것은최소8년후
>2 ∴ n>8
036 답 6시간
처음에20마리였던박테리아가4시간후에1620마리가되었으므로
20마리였던박테리아가n시간후에14580마리가된다고하면
이다.
035 답 4, 4, 4, 4, 80
20\a$=1620
a$=81=3$ ∴ a=3
20\3N=14580
3N=729=3^ ∴ n=6
이다.
037 답 x=3
진수의조건에서2x+1>0
∴x>-
yy㉠
1
2
log 2`{2x+1}=log 2`7에서
2x+1=7,2x=6 ∴ x=3
이것은㉠을만족하므로구하는해이다.
24 정답과 해설
038 답 x=2
진수의조건에서3x-1>0,7-x>0
0,2x+3>0
∴x>-
yy㉠
3
2
2`log 5`{x+2}=log 5`{2x+3}에서
log 5`{x+2}@=log 5`{2x+3}
따라서{x+2}@=2x+3이므로
x@+2x+1=0,{x+1}@=0 ∴ x=-1
이것은㉠을만족하므로구하는해이다.
040 답 x=7
진수의조건에서5x+7>0,x>0,x-1>0
log 7`{5x+7}=log 7`x+log 7`{x-1}에서
log 7`{5x+7}=log 7`x{x-1}
따라서5x+7=x{x-1}이므로
x@-6x-7=0,{x+1}{x-7}=0
∴x=-1또는x=7
이때㉠에의하여구하는해는x=7
041 답 x=7
진수의조건에서2x-5>0
∴x>
-log
5!
yy㉠
5
2
`{2x-5}=log 5`9에서
log 5`{2x-5}=log 5`9
따라서2x-5=9이므로
2x=14 ∴ x=7
이것은㉠을만족하므로구하는해이다.
042 답 x=3
진수의조건에서x-1>0,x+1>0
log 2`{x-1}=log 4`{x+1}에서
1
2 `log 2`{x+1}
2`log 2`{x-1}=log 2`{x+1}
log 2`{x-1}=
log 2`{x-1}@=log 2`{x+1}
따라서{x-1}@=x+1이므로
x@-3x=0,x{x-3}=0
∴x=0또는x=3
이때㉠에의하여구하는해는x=3
따라서20마리였던박테리아가14580마리가되는것은6시간후
∴x>1 yy㉠
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2018-04-24 오후 1:54:00
043 답 x=3
진수의조건에서x>0,x-2>0
∴x>2 yy㉠
log 3`x+log 3`{x-2}=1에서
log 3`x{x-2}=log 3`3
따라서x{x-2}=3이므로
x@-2x-3=0,{x+1}{x-3}=0
∴x=-1또는x=3
이때㉠에의하여구하는해는x=3
044 답 x=0 또는 x=3
진수의조건에서x+3>0,x+1>0
∴x>-1 yy㉠
log j3`{x+3}=log 3`{x+1}+2에서
2`log 3`{x+3}=log 3`{x+1}+log 3`9
log 3`{x+3}@=log 3`9{x+1}
따라서{x+3}@=9{x+1}이므로
x@-3x=0,x{x-3}=0
∴x=0또는x=3
이것은㉠을만족하므로구하는해이다.
045 답 log 2`x, 6, 2, 2, 2, 4
046 답 x=
1
27
또는 x=3
{log 3`x}@+log 3`x@-3=0에서
{log 3`x}@+2`log 3`x-3=0
log 3`x=t로놓으면
t@+2t-3=0,{t+3}{t-1}=0
∴t=-3또는t=1
따라서log 3`x=-3또는log 3`x=1이므로
x=
1
27 또는x=3
047 답 x=2 또는 x=32
{1+log 2`x}@-log 2`x*+4=0에서
{log 2`x}@+2`log 2`x+1-8`log 2`x+4=0
{log 2`x}@-6`log 2`x+5=0
log 2`x=t로놓으면
t@-6t+5=0,{t-1}{t-5}=0
∴t=1또는t=5
따라서log 2`x=1또는log 2`x=5이므로
x=2또는x=32
048 답 2, 2x+1, 2, 2x+1,
log`2+log`3
log`2-2`log`3
049 답 x=
log`3+2`log`5
4`log`3-log`5
3$X_!=5X"@의양변에상용로그를취하면
log`3$X_!=log`5X"@
04
{4x-1}`log`3={x+2}`log`5
{4`log`3-log`5}x=log`3+2`log`5
∴x=
log`3+2`log`5
4`log`3-log`5
1
050 답 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, -1, -1,
3
051 답 x=5 또는 x=25
x log 5`x=
x #
25 의양변에밑이5인로그를취하면
log 5`x log 5`x=log 5`
x #
25
{log 5`x}@=log 5`x#-log 5`25
{log 5`x}@-3`log 5`x+2=0
log 5`x=t로놓으면
t @-3t+2=0,{t-1}{t-2}=0
∴t=1또는t=2
따라서log 5`x=1또는log 5`x=2이므로
x=5또는x=25
052 답 x>6
진수의조건에서2x-1>0
∴x>
1
2
yy㉠
log 3`{2x-1}>log 3`11에서밑이1보다크므로
2x-1>11,2x>12 ∴ x>6 yy㉡
㉠,㉡의공통범위를구하면
x>6
053 답
3
2
0,2x-3>0
∴x>
3
2
yy㉠
log
5!
`{x+1}2x-3 ∴ x<4 yy㉡
㉠,㉡의공통범위를구하면
3
2
0,x-1>0,9-x>0
∴1-
2
3
진수의조건에서x+3>0,x@+5>0
∴x>-3
yy㉠
log 7`{x+3}>log 49`{x@+5}에서
1
2
2`log 7`{x+3}>log 7`{x@+5}
log 7`{x+3}>
`log 7`{x@+5}
log 7`{x+3}@>log 7`{x@+5}
밑이1보다크므로
{x+3}@>x@+5
yy㉡
㉠,㉡의공통범위를구하면
6x>-4
2
3
∴x>-
x>-
2
3
056 답 00,1-x>0
∴-11-x
x@+3x>0,x{x+3}>0
∴x<-3또는x>0 yy㉡
㉠,㉡의공통범위를구하면
08
진수의조건에서x-2>0,x+1>0
∴x>2
yy㉠
log 2`{x-2}>log 4`{x+1}+1에서
log 2`{x-2}>log 4`{x+1}+log 4`4
log 2`{x-2}>log 4`4{x+1}
log 2`{x-2}>
1
2
2`log 2`{x-2}>log 2`4{x+1}
`log 2`4{x+1}
log 2`{x-2}@>log 2`4{x+1}
밑이1보다크므로
{x-2}@>4{x+1}
x@-8x>0,x{x-8}>0
∴x<0또는x>8 yy㉡
㉠,㉡의공통범위를구하면
x>8
058 답 log 3`x, 3, 1, 1, 1,
1
81
, 3,
, 3
1
81
26 정답과 해설
`x>-1이고밑이1보다작으므로
따라서log 2`x<-6또는log 2`x>2이고밑이1보다크므로
059 답 00,x$>0
또는 x>4
∴x>0
yy㉠
{log 2`x}@+log 2`x$-12>0에서
{log 2`x}@+4`log 2`x-12>0
log 2`x=t로놓으면
t@+4t-12>0
{t+6}{t-2}>0
∴t<-6또는t>2
x<
1
64 또는x>4 yy㉡
㉠,㉡의공통범위를구하면
04
060 답 032
진수의조건에서x>0 yy㉠
주어진부등식에서log
2!
`x=t로놓으면
t@+6t+5>0
{t+5}{t+1}>0
∴t<-5또는t>-1
따라서log
2!
x>32또는x<2
`x<-5또는log
2!
yy㉡
㉠,㉡의공통범위를구하면
032
061 답 2, x, 2, x, 2, 2,
log`2
log`2-log`5
062 답 x>
3
log`3-1
3X<10X"#의양변에상용로그를취하면
log`3X
3
log`3-1
1
063 답 2, 2, 2, x, x, log 2`x, 1, -1, -1,
2
,
1
2
064 답 01000
진수의조건에서x>0 yy㉠
x log`x>1000x@의양변에상용로그를취하면
log`x log`x>log`1000x@
{log`x}@>log`1000+log`x@
{log`x}@-2`log`x-3>0
log`x=t로놓으면
t@-2t-3>0,{t+1}{t-3}>0
∴t<-1또는t>3
수학1 AM 해설 01~10(001~064) OK.indd 26
2018-04-24 오후 1:54:00
04
따라서log`x<-1또는log`x>3이고밑이1보다크므로
x<
1
10 또는x>1000
㉠,㉡의공통범위를구하면
yy㉡
01000
065 답 10_&`몰 / L
-log`x=7에서log`x=-7
∴x=10_&
따라서pH`7인용액의수소이온농도는10_&`몰/ L이다.
066 답
1
100
기압 이상
기압 이하
1
10
평균해수면에서높이가3320`m이상6640`m이하인곳의기압
을x기압이라고하면
3.32<-3.32`log`x<6.64
-2
log`2-1
3`log`2-1
=
0.301-1
3\0.301-1
=7.2\\
따라서남아있는불순물의양이처음의20%이하가되려면여과
기를최소8번통과해야한다.
최종 점검하기
66~67쪽
1 ③
2 ④
3 9
4 2
5 ⑤
6 ②
7 03
8 4년
9 x=1 10 ③
11 ⑤
12 ①
13 10}로놓으면
t@-4=3t,t@-3t-4=0
{t+1}{t-4}=0
∴t=4(∵ t>0)
즉,2X=4=2@이므로
x=2
따라서a=2이므로
log 2`a=log 2`2=1
3 xX\x*-{xX}@=0에서xX"*=x@X
밑이같으므로
!x=1
@x+8=2x에서x=8
!,@에서x=1또는x=8
따라서모든근의합은
1+8=9
4 지수가같으므로
!x+2=8에서x=6
1
@3x-1=0에서x=
3
1
3 또는x=6
!,@에서x=
따라서모든근의곱은
1
3
\6=2
1
49 ]@_X에서
5 [
1
7 ]X_!<
1
7 ]X_!<
1
7 ]$_@X
[
[
[
밑이1보다작으므로
x-1>4-2x,3x>5
∴x>
5
3
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2018-04-24 오후 1:54:01
04 지수함수와 로그함수의 활용 27
6 2@X"!-9\2X+4<0에서
2\{2X}@-9\2X+4<0
2X=t{t>0}로놓으면
2t@-9t+4<0
{2t-1}{t-4}<0 ∴
1일때
3x-1>x+5에서2x>6 ∴ x>3
!,@,#에서03
8 n년후에전자기기의가치가256만원이된다고하면
625{1-0.2}N=256
따라서전자기기의가치가처음으로256만원이되는것은구매한
4
5 ]N=
[
4
5 ]$ ∴ n=4
[
지4년후이다.
9 진수의조건에서x>0,x=-8
∴x>0 yy㉠
log 3`x+log 9`{x+8}@=2에서
log 3`x+log 3`{x+8}=2
log 3`x{x+8}=log 3`9
따라서x{x+8}=9이므로
x@+8x-9=0,{x+9}{x-1}=0
∴x=-9또는x=1
이때㉠에의하여구하는해는
x=1
10 {log 2`4x}@-2`log 2`8x@=14에서
{2+log 2`x}@-2{3+2`log 2`x}=14
{log 2`x}@-16=0
log 2`x=t로놓으면
t@-16=0,{t+4}{t-4}=0
∴t=-4또는t=4
즉,log 2`x=-4또는log 2`x=4이므로
x=
1
16 또는x=16
따라서모든근의곱은
1
16
\16=1
28 정답과 해설
11 x log 2`x=16x#의양변에밑이2인로그를취하면
log 2`x log 2`x=log 2`16x#
{log 2`x}@=4+3`log 2`x
log 2`x=t로놓으면
t@-3t-4=0,{t+1}{t-4}=0
∴t=-1또는t=4
즉,log 2`x=-1또는log 2`x=4이므로
x=
1
2 또는x=16
따라서모든근의곱은
1
2
\16=8
12 진수의조건에서x+2>0,x-1>0
∴x>1
yy㉠
log 2`{x+2}+log 2`{x-1}<2에서
log 2`{x+2}{x-1}0,x>0
∴x>1 yy㉠
log 3`{log 2`x}<1에서log 2`x<3
∴x<8 yy㉡
㉠,㉡의공통범위를구하면
10 yy㉠
log
3!
`3x\log 3`
>0에서
x
9
-log 3`3x\{log 3`x-2}>0
{log 3`x+1}{log 3`x-2}<0
log 3`x=t로놓으면
{t+1}{t-2}<0 ∴ -10에서
sin`h>0,cos`h>0또는sin`h<0,cos`h<0
sin`h>0,cos`h>0이면h는제1사분면의각이고
sin`h<0,cos`h<0이면h는제3사분면의각이므로
h는제1사분면또는제3사분면의각이다.
058 답 제3사분면 또는 제4사분면
cos`h`tan`h<0에서
cos`h>0,tan`h<0또는cos`h<0,tan`h>0
cos`h>0,tan`h<0이면h는제4사분면의각이고
cos`h<0,tan`h>0이면h는제3사분면의각이므로
h는제3사분면또는제4사분면의각이다.
059 답 제2사분면
!sin`h`cos`h<0에서
sin`h>0,cos`h<0또는sin`h<0,cos`h>0
sin`h>0,cos`h<0이면h는제2사분면의각이고
sin`h<0,cos`h>0이면h는제4사분면의각이므로
h는제2사분면또는제4사분면의각이다.
@sin`h`tan`h<0에서
sin`h>0,tan`h<0또는sin`h<0,tan`h>0
sin`h>0,tan`h<0이면h는제2사분면의각이고
sin`h<0,tan`h>0이면h는제3사분면의각이므로
h는제2사분면또는제3사분면의각이다.
05
050 답 1, >, >, >
051 답 sin`h>0, cos`h<0, tan`h<0
8
3
sin`h>0,cos`h<0,tan`h<0
p는제2사분면의각이므로
052 답 sin`h<0, cos`h<0, tan`h>0
3
4
-
p는제3사분면의각이므로
sin`h<0,cos`h<0,tan`h>0
053 답 sin`h<0, cos`h>0, tan`h<0
-
5
12
p는제4사분면의각이므로
sin`h<0,cos`h>0,tan`h<0
054 답 제2사분면
055 답 제3사분면
056 답 제4사분면
!,@에서h는제2사분면의각이다.
060 답 1, 1, 1,
16
25
,<, -
, -
4
5
3
4
061 답 sin`h=
j3 k
2
, tan`h=j3
sin@`h+cos@`h=1이므로
sin@`h=1-cos@`h=1-
1
2 ]@=
3
4
[
이때h가제1사분면의각이므로sin`h>0
∴sin`h=
j3
2
∴tan`h=
sin`h
cos`h
=
=j3
j3
2
1
2
062 답 sin`h=
2j2 k
3
, tan`h=-2j2
sin@`h+cos@`h=1이므로
sin@`h=1-cos@`h=1-
-
1
3 ]@
=
8
9
[
이때h가제2사분면의각이므로sin`h>0
∴sin`h=
2j2
3
∴tan`h=
sin`h
cos`h
=
=-2j2
2j2
3
-
1
3
수학1 AM 해설 01~10(001~064) OK.indd 31
2018-04-24 오후 1:54:03
05 삼각함수 31
X
Z
Z
X
Z
Z
X
Z
Z
X
Z
Z
+{sin@`h-2`sin`h`cos`h+cos@`h}
063 답 cos`h=
5
13
, tan`h=-
12
5
sin@`h+cos@`h=1이므로
cos@`h=1-sin@`h=1-
-
12
13 ]@=
25
169
[
이때h가제4사분면의각이므로cos`h>0
∴cos`h=
5
13
∴tan`h=
sin`h
cos`h
=
=-
12
5
-
12
13
5
13
064 답 2
{sin`h+cos`h}@+{sin`h-cos`h}@
={sin@`h+2`sin`h`cos`h+cos@`h}
=2{sin@`h+cos@`h}
=2\1=2
065 답
1
cos`h
cos`h
1-sin`h
-tan`h=
cos`h
1-sin`h
-
sin`h
cos`h
=
cos@`h-sin`h{1-sin`h}
cos`h{1-sin`h}
=
cos@`h-sin`h+sin@`h
cos`h{1-sin`h}
=
1-sin`h
cos`h{1-sin`h}
=
1
cos`h
066 답
2
sin`h
sin`h
1-cos`h
+
sin`h
1+cos`h
=
sin`h{1+cos`h}+sin`h{1-cos`h}
{1-cos`h}{1+cos`h}
=
sin`h+sin`h`cos`h+sin`h-sin`h`cos`h
1-cos@`h
=
2`sin`h
sin@`h
=
2
sin`h
067 답
1
4
, 1, 1,
, -
1
4
3
8
068 답 -
4
3
1
sin`h
+
1
cos`h
=
sin`h+cos`h
sin`h`cos`h
=
=-
4
3
1
2
-
3
8
069 답 -
8
3
cos`h
sin`h
+
sin`h
cos`h
=
sin@`h+cos@`h
sin`h`cos`h
=
=-
8
3
1
-
3
8
32 정답과 해설
070 답
11
16
sin#`h+cos#`h
={sin`h+cos`h}{sin@`h-sin`h`cos`h+cos@`h}
11
16
3
8 ]=
1-
=
1
2
=
-
\
[
-
{sin`h+cos`h}@=sin@`h+cos@`h+2`sin`h`cos`h
071 답 -
3j5 k
5
9
5
이때h가제3사분면의각이므로
=1+2\
2
5
=
sin`h<0,cos`h<0
∴sin`h+cos`h=-
3j5
5
072 답 -j2
{cos`h-sin`h}@=sin@`h+cos@`h-2`sin`h`cos`h
=1-2\
-
[
1
2 ]
=2
이때h가제2사분면의각이므로
sin`h>0,cos`h<0
∴cos`h-sin`h=-j2
073 답 -
4
3
이차방정식의근과계수의관계에의하여
sin`h+cos`h=
1
3 ,sin`h`cos`h=
k
3
{sin`h+cos`h}@=sin@`h+cos@`h+2`sin`h`cos`h이므로
1
9
8
9
=1+2\
k
3 ,
k=-
2
3
∴k=-
4
3
074 답 -
7
4
이차방정식의근과계수의관계에의하여
1
2
{sin`h+cos`h}+{sin`h-cos`h}=-
yy㉠
{sin`h+cos`h}{sin`h-cos`h}=
yy㉡
k
2
㉠에서2`sin`h=-
1
2 ∴ sin`h=-
1
4
㉡에서sin@`h-cos@`h=
sin@`h-{1-sin@`h}=
k
2
k
2
2`sin@`h-1=
k
2
sin`h=-
2\
-1=
1
16
∴k=-
7
4
1
4 을대입하면
7
k
8
2
k
2 ,
=-
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2018-04-24 오후 1:54:04
최종 점검하기
80~81쪽
1 ⑤
2 ③
3 4p
4 ④
7 ④
8 ⑤
9 ②
10 ⑤
11
5 -
19
20 6 ③
2j10k
5
8 sin@`h+cos@`h=1이므로
1
4 ]@=
sin@`h=1-cos@`h=1-
-
[
15
16
이때h가제3사분면의각이므로sin`h<0
∴sin`h=-
j15k
4
∴tan`h=
sin`h
cos`h
=
=j15k
-
j15k
4
1
4
-
3j15k
4
12 ①
분면에있다.
에있다.
분면에있다.
제3사분면에있다.
제2사분면에있다.
1 ①550!=360!\1+190!이므로550!를나타내는동경은제3사
∴sin`h+tan`h=
②735!=360!\2+15!이므로735!를나타내는동경은제1사분면
9
cos`h
1-sin`h
+
1-sin`h
cos`h
=
cos@`h+{1-sin`h}@
cos`h{1-sin`h}
05
③1020!=360!\2+300!이므로1020!를나타내는동경은제4사
④-510!=360!\{-2}+210!이므로-510!를나타내는동경은
⑤-920!=360!\{-3}+160!이므로-920!를나타내는동경은
=
cos@`h+{1-2`sin`h+sin@`h}
cos`h{1-sin`h}
=
2{1-sin`h}
cos`h{1-sin`h}
=
2
cos`h
2 ③220!=220\1!=220\
p
180
=
11
9
p
3 부채꼴의반지름의길이를r,호의길이를l 이라고하면
12p=
\r@\
p
1
2
2
3
r@=36 ∴ r=6(∵r>0)
∴l=6\
p=4p
2
3
10 sin`h-cos`h=
1-2`sin`h`cos`h=
∴tan`h+
1
tan`h
=
의양변을제곱하면
1
3
1
9 ∴ sin`h`cos`h=
cos`h
sin`h
sin`h
cos`h
+
4
9
=
sin@`h+cos@`h
sin`h`cos`h
=
1
sin`h`cos`h
=
9
4
4 부채꼴의반지름의길이를r,호의길이를l,넓이를S라고
하면
11 {sin`h-cos`h}@=1-2`sin`h`cos`h
=1-2\
-
[
3
10 ]
=
8
5
따라서부채꼴의넓이의최댓값은36이고그때의반지름의길이는
2r+l=24 ∴ l=24-2r
1
2
r{24-2r}
∴S =
rl=
1
2
=-{r-6}@+36
6이다.
5 OP
sin`h=
=1{-4}@+3@3=5이므로
3
5 ,cos`h=-
∴sin`h+cos`h+tan`h=-
3
4
4
5 ,tan`h=-
19
20
6 sin`h`cos`h>0,sin`h+cos`h<0을모두만족하려면
sin`h<0,cos`h<0이어야한다.
따라서h는제3사분면의각이다.
7 h가제4사분면의각이므로
sin`h<0,cos`h>0
∴|sin`h-cos`h|-1sin@`h3=-{sin`h-cos`h}-{-sin`h}
=-sin`h+cos`h+sin`h
=cos`h
이때h가제2사분면의각이므로
sin`h>0,cos`h<0
∴sin`h-cos`h=
2j10k
5
12 이차방정식의근과계수의관계에의하여
{cos`h+sin`h}+{cos`h-sin`h}=
yy㉠
{cos`h+sin`h}{cos`h-sin`h}=
yy㉡
1
4
k
4
1
8
1
4 ∴ cos`h=
k
4
k
4
㉠에서2`cos`h=
㉡에서cos@`h-sin@`h=
cos@`h-{1-cos@`h}=
2`cos@`h-1=
k
4
cos`h=
2\
1
64
1
8 을대입하면
k
4 ,
k
4
=-
-1=
31
32
∴k=-
31
8
수학1 AM 해설 01~10(001~064) OK.indd 33
2018-04-24 오후 1:54:04
05 삼각함수 33
Z
II. 삼각함수
삼각함수의 그래프
017 답 최댓값: 3, 최솟값: -1, 주기: 2p,
8 4~93쪽
그래프는 풀이 참고
001 답 1, -p,
p
2
, 2p
005 답 -
p
2
, p, -1
002 답 -1, 1
003 답 원점
004 답 2p
006 답 -1, 1
007 답 y축
008 답 2p
009 답 -
p
2
010 답 -p, p,
3
2
p
011 답 np+
p
2
012 답 원점
013 답 p
014 답 np+
p
2
1
2
-1j2에서cos`x>
7
4
j2
2
00에서sin`x>-
j3
2
의범위를구하면부등식의해는
7
4
p
4 또는
p0
{cos`x+1}{2`cos`x-1}>0
∴cos`x<-1또는cos`x>
1
2
y
y=tan`x
y=
p
j3
3
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
x
y=
j3
3 과만나거나아래쪽에있는x의
6"
2"
y
1
O
j3
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\3
O
선y=1은오른쪽그림과같다.
따라서y=tan`x의그래프가직선
y=1과만나거나위쪽에있는x의값
의범위를구하면부등식의해는
p
4
0에서
sin`x{2`sin`x-j3}>0
∴sin`x<0또는sin`x>
j3
2
00이므로
a=1
10 sin@`x+cos@`x=1이므로
2{1-sin@`x}+sin`x-1=0
또주어진그래프에서주기가2p이고b>0이므로
2`sin@`x-sin`x-1=0
따라서y=cos`{x-c}이고주어진그래프는y=cos`x의그래프를
x축의방향으로p만큼평행이동한것이므로
b=1
c=p
{2`sin`x+1}{sin`x-1}=0
∴sin`x=-
1
2 또는sin`x=1
00
{cos`x+2}{2`cos`x-1}>0
0
j3
2
1
2 (∵-10,b>0이므로a=b
따라서삼각형ABC는a=b인이등변삼각형이다.
013 답 B=90!인 직각삼각형
삼각형ABC의외접원의반지름의길이를R라고하면사인법칙에
의하여
sin`A=
,sin`B=
,sin`C=
b
2R
c
2R
a
2R
이를주어진식에대입하면
c
2R ]@=
a
2R ]@+
따라서삼각형ABC는B=90!인직각삼각형이다.
b
2R ]@ ∴ a@+c@=b@
[
[
[
07
014 답
1
2
, 12, 2j3
=5
015 답 j5
b@=c@+a@-2ca`cos`B이므로
b@={2j2}@+3@-2\2j2\3\cos`45!
j2
2
=8+9-12j2\
∴b=j5(∵b>0)
016 답 1
c@=a@+b@-2ab`cos`C이므로
c@=2@+{j3}@-2\2\j3\cos`30!
j3
2
=1
=4+3-4j3\
∴c=1(∵c>0)
017 답 c, a, 5, 3,
4
5
018 답
2
3
cos`C =
a@+b@-c@
2ab
=
1@+3@-{j6}@
2\1\3
=
2
3
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07 사인법칙과 코사인법칙 41
019 답 60!
cos`A =
b@+c@-a@
2bc
=
2@+4@-{2j3}@
2\2\4
=
1
2
이때0!0)
따라서사각형ABCD의넓이는
ABD+
BCD=
\5\3\sin`120!+
\5\7\sin`60!
1
2
s
s
=
\5\3\
+
\5\7\
j3
2
1
2
1
2
15j3
4
25j3
2
=
=
j3
2
35j3
4
+
1
2
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X
Z
X
Z
X
Z
036 답 18
삼각형ABD에서피타고라스정리에의하여
B
D
=13@+4@3=5
삼각형BCD에서코사인법칙에의하여
cos`C=
5@+6@-5@
2\5\6
=
3
5
∴sin`C=11-cos@`C3=r1-
따라서사각형ABCD의넓이는
[
3
5 ]@y=
4
5
ABD+
BCD=
\3\4+
\5\6\sin`C
s
s
=
\3\4+
\5\6\
4
5
1
2
1
2
1
2
1
2
=6+12=18
㉠,㉡을주어진식에대입하면
b
b@+c@-a@
2bc
2R
이때a>0,c>0이므로a=c
c
2R
=2\
\
∴ a@=c@
따라서삼각형ABC는a=c인이등변삼각형이다.
5 c@=a@+b@-2ab`cos`C이므로
c@=3@+{2j3}@-2\3\2j3\cos`30!
j3
2
=3
=9+12-12j3\
∴c=j3(∵c>0)
6 a@=b@+c@-2bc`cos`A이므로
a@=4@+{2j2}@-2\4\2j2\cos`45!
j2
2
=8
=16+8-16j2\
∴a=2j2(∵a>0)
삼각형ABC의외접원의반지름의길이를R라고하면
07
최종 점검하기
104~105쪽
=2R이므로
=2R
a
sin`A
1 4j2
5 ①
2 ⑤
6 2
3 ⑤
7 ②
4 a=c인이등변삼각형
8 ③
9 135!
10 ②
∴R=
2j2
2`sin`45!
=
11 ②
12 30!
13 44
2j2
sin`45!
2j2
j2
2\
2
=2
1
a
sin`A
=
b
sin`B
이므로
a
sin`45!
=
4j3
sin`60!
a`sin`60!=4j3`sin`45!
j3
2
a=4j3\
j2
2 ∴ a=4j2
이므로
4j2
sin`B
=
6
sin`30!
=
2
A
C
sin`B
A
B
sin`C
4j2`sin`30!=6`sin`B
1
\
∴sin`B=4j2\
6
이때0!90!이므로A=135!
j2
2
10 cos`B=
이때0!
=9.5
19
2
구하는최댓값은
S9=
9\92\17+{9-1}\{-2}0
2
=81
057 답 91
첫째항을a,공차를d라고하면a2=21,a6=5에서
a+d=21,a+5d=5
두식을연립하여풀면
a=25,d=-4
an=-4n+29<0
∴n>
=7.25
29
4
∴an=25+{n-1}\{-4}=-4n+29
이때제n항에서처음으로음수가된다고하면
따라서첫째항부터제7항까지가양수이고제8항부터음수이므로
구하는최댓값은
S7=
7\92\25+{7-1}\{-4}0
2
=91
an=-19+{n-1}\3=3n-22
이때제n항에서처음으로양수가된다고하면
058 답 -70
일반항an은
an=3n-22>0
22
3
=7.3\\
∴n>
구하는최솟값은
따라서첫째항부터제7항까지가음수이고제8항부터양수이므로
S7=
7\92\{-19}+{7-1}\30
2
=-70
059 답 -78
첫째항을a,공차를d라고하면a3=-15,a8=5에서
a+2d=-15,a+7d=5
두식을연립하여풀면
a=-23,d=4
∴an=-23+{n-1}\4=4n-27
이때제n항에서처음으로양수가된다고하면
an=4n-27>0
27
4
∴n>
=6.75
구하는최솟값은
따라서첫째항부터제6항까지가음수이고제7항부터양수이므로
08 등차수열과 등비수열 47
∴S26=
26\92\10+{26-1}\{-2}0
2
=-390
S6=
6\92\{-23}+{6-1}\40
2
=-78
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=
1
3 에서공비가
1
3 이므로주어진수열은
072 답 an={-1}N_!
첫째항을a,공비를r라고하면a3=1,a8=-1에서
=2에서공비가2이므로주어진수열은
060 답 4, 8
2
1
1,2,4,8,16,y
061 답 1,
1
27
1
9
1
3
3,1,
1
3 ,
1
9 ,
1
27 ,y
062 답 -10, 20
80
-40
5,-10,20,-40,80,y
063 답 j2, 2
4j2
4
j2,2,2j2,4,4j2,y
064 답 an=3N_!
065 답 an=5\
1
2
[
]N_!
066 답 an=2\{-3}N_!
an=2\{-3}N_!
067 답 an=7\{j7}N_!
7j7
첫째항이7,공비가
7
an=7\{j7}N_!
=-2에서공비가-2이므로주어진수열은
=j2에서공비가j2이므로주어진수열은
첫째항이2,공비가
=-3이므로일반항an은
-6
2
=j7이므로일반항an은
068 답 2
공비를r라고하면a6=64에서
2\r%=64,r%=32 ∴ r=2
069 답
1
2
공비를r라고하면a8=
1
8 에서
16\r &=
1
8 ,r &=
1
128 ∴r=
1
2
070 답 4, 3, 3, 2, 2
071 답 an={-j2}N_!
첫째항을a,공비를r라고하면a3=2,a6=-4j2에서
ar @=2
yy㉠
ar %=-4j2 yy㉡
48 정답과 해설
㉡_㉠을하면
r #=-2j2 ∴ r=-j2
r=-j2를㉠에대입하여풀면a=1
따라서일반항an은
an=1\{-j2}N_!={-j2}N_!
ar @=1
yy㉠
ar &=-1 yy㉡
㉡_㉠을하면
r %=-1 ∴ r=-1
r=-1을㉠에대입하여풀면a=1
따라서일반항an은
an=1\{-1}N_!={-1}N_!
073 답 an=64\
1
2
[
]N_!
1
첫째항을a,공비를r라고하면a4=8,a9=
4 에서
ar *=
yy㉡
yy㉠
ar #=8
1
4
㉡_㉠을하면
1
32 ∴ r=
1
2 을㉠에대입하여풀면a=64
r %=
r=
1
2
따라서일반항an은
an=64\
1
2 ]N_!
[
074 답
1
256
a9=1\
1
2 ]*=
1
256
[
075 답 243
1
27
a9=
\3*=243
076 답 64
1
4 ,공비가
첫째항이
-2
1
a9=
\{-2}*=64
1
4
=-2이므로
077 답
j5 k
625
첫째항이j5,공비가
=-
이므로
1
j5
-1
j5
j5
625
a9=j5\
[
-
1
j5 ]*=
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08
첫째항을a,공비를r라고하면a3=9,a4=3에서
078 답
1
81
ar @=9 yy㉠
ar #=3 yy㉡
1
3
㉡_㉠을하면r=
r=
1
3 을㉠에대입하여풀면a=81
∴a9=81\
1
3 ]*=
1
81
[
079 답 27j3
첫째항을a,공비를r라고하면a2=1,a5=3j3에서
ar=1
yy㉠
ar$=3j3 yy㉡
㉡_㉠을하면
r#=3j3 ∴ r=j3
r=j3을㉠에대입하여풀면a=
j3
3
∴a9=
\{j3}*=27j3
j3
3
080 답 -6 또는 6
x는3과12의등비중항이므로
x@=3\12=36
∴x=-6또는x=6
081 답 -10 또는 10
x는2와50의등비중항이므로
x@=2\50=100
∴x=-10또는x=10
082 답 -8j5 또는 8j5
x는-4와-80의등비중항이므로
x@={-4}\{-80}=320
∴x=-8j5또는x=8j5
083 답 x=-4, y=-64 또는 x=4, y=64
x는1과16의등비중항이므로
x@=1\16=16
∴x=-4또는x=4
16은x와y의등비중항이므로
16@=xy
!x=-4일때
-4y=256 ∴ y=-64
@x=4일때
4y=256 ∴ y=64
∴x=-4,y=-64또는x=4,y=64
084 답 2
4는a와4a의등비중항이므로
4@=a\4a,a@=4
∴a=2(∵a>0)
085 답 3
3j2는a와a+3의등비중항이므로
{3j2}@=a{a+3}
a@+3a-18=0,{a+6}{a-3}=0
∴a=3(∵a>0)
086 답 1
a+3은2a와8a의등비중항이므로
{a+3}@=2a\8a
5a@-2a-3=0,{5a+3}{a-1}=0
∴a=1(∵a>0)
087 답
1
3
a+1은a-1과a-3의등비중항이므로
{a+1}@={a-1}{a-3}
6a=2 ∴ a=
1
3
088 답
8
9
,
,
8
9
8
9
,
8
9
[
]N,
[
8
9
]!)
089 답
[
2
3
]@)
1\
=
2
3
2
3
1회시행후남아있는선분의길이는
2회시행후남아있는선분의길이는
2
3
3회시행후남아있는선분의길이는
2
3 ]@
2
3
\
=
[
2
3
=
[
2
3 ]#
2
3 ]@\
[
⋮
n회시행후남아있는선분의길이는
[
따라서20회시행후남아있는선분의길이는
2
3 ]N
2
3 ]@)
[
2\4=8
8\
1
2
1
2
090 답
[
1
2
]&
한변의길이가2인정사각형의둘레의길이는
1회시행후남아있는도형의둘레의길이는
2회시행후남아있는도형의둘레의길이는
8\
\
=8\
1
2
1
2 ]@
[
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08 등차수열과 등비수열 49
3회시행후남아있는도형의둘레의길이는
1
2 ]#
1
2 ]@\
=8\
8\
1
2
[
[
n회시행후남아있는도형의둘레의길이는
⋮
8\
[
1
2 ]N
8\
[
1
2 ]!)=
[
1
2 ]&
따라서10회시행후남아있는도형의둘레의길이는
3
[
4
]!)
091 답 4j3\
한변의길이가4인정삼각형의넓이는
j3
4
1회시행후남아있는종이의넓이는
\4@=4j3
3
4
3
4
4j3\
2회시행후남아있는종이의넓이는
3
4
\
4j3\
3회시행후남아있는종이의넓이는
=4j3\
[
3
4 ]@
3
4 ]@\
3
4
=4j3\
[
3
4 ]#
[
4j3\
⋮
n회시행후남아있는종이의넓이는
3
4 ]N
[
4j3\
따라서10회시행후남아있는종이의넓이는
4j3\
[
3
4 ]!)
092 답 Sn=7n
첫째항이7,공비가1이므로
Sn=7n
093 답 Sn=2\{3N-1}
첫째항이4,공비가
=3이므로
12
4
Sn=
4\{3N-1}
3-1
=2\{3N-1}
094 답 Sn=1-{-2}N
-6
3
첫째항이3,공비가
=-2이므로
Sn=
3\91-{-2}N0
1-{-2}
=1-{-2}N
095 답 Sn=
1
9
\
1-
-
1
10
[
]N
=
첫째항이0.1=
1
10 ,공비가
0.01
0.1
=
1
10 이므로
Sn=
1
10
1-
\
-
1
10 ]N =
[
1
10
1-
1
9
=
\
1-
-
1
10 ]N =
[
50 정답과 해설
첫째항이6,공비가
=2인등비수열의n번째항을384라고하면
∴6+12+24+48+y+384=
6\{2&-1}
2-1
=762
첫째항이32,공비가
16
32
=
1
2 인등비수열의n번째항을
1
4 이라고
096 답 364
S6=
1\{3^-1}
3-1
=364
097 답 -682
S10=
2\91-{-2}!)0
1-{-2}
=-682
098 답 762
12
6
6\2N_!=384
2N_!=2^ ∴ n=7
099 답
255
4
하면
32\
[
1
4
1
2 ]N_!=
1
2 ]& ∴ n=8
[
1
2 ]N_!=
[
∴32+16+8+4+y+
100 답 3, r #-1, 104
a{r $-1}
r-1
a{r *-1}
r-1
=3 yy㉠
=9 yy㉡
㉡에서
a{r $-1}{r $+1}
r-1
3{r $+1}=9 ∴ r $=2
∴S12 =
a{r !@-1}
r-1
=
a{r $-1}{r *+r $+1}
r-1
=3{r *+r $+1}
=3\{2 @+2+1}=21
1
4 =
32\
-
1-
1
2 ]* =
[
1
2
1-
=
255
4
101 답 21
첫째항을a,공비를r라고하면S4=3,S8=9에서
=9에㉠을대입하면
102 답 91
첫째항을a,공비를r라고하면S10=7,S20=28에서
yy㉠
a{r !)-1}
r-1
=7
a{r @)-1}
r-1
=28 yy㉡
㉡에서
a{r !)-1}{r !)+1}
r-1
7{r!)+1}=28 ∴ r !)=3
=28에㉠을대입하면
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2018-04-24 오후 1:54:15
∴S30 =
a{r #)-1}
r-1
=
a{r !)-1}{r @)+r !)+1}
r-1
=7{r @)+r !)+1}
=7\{3@+3+1}=91
103 답 8, 2, 2,
1
3
1
3
,
, 2, 85
121
2
104 답
첫째항을a,공비를r라고하면
a1+a2=2에서a+ar=2
∴a{1+r}=2
yy㉠
a4+a5=54에서ar #+ar $=54
∴ar #{1+r}=54 yy㉡
㉡_㉠을하면
r #=27 ∴ r=3
r=3을㉠에대입하여풀면
a=
1
2
1
2
\{3%-1}
3-1
=
121
2
∴S5=
105 답 341
첫째항을a,공비를r라고하면
a2+a5=6에서ar+ar $=6
∴ar{1+r #}=6
yy㉠
a5+a8=48에서ar $+ar &=48
∴ar ${1+r #}=48 yy㉡
㉡_㉠을하면
r #=8 ∴ r=2
r=2를㉠에대입하여풀면
a=
1
3
1
3
\{2!)-1}
∴S10=
2-1
=341
106 답 0.05, 10, 10, 126
107 답 10, 10, 120
108 답 260만 원
20\{1+0.04}+20\{1+0.04}@+y+20\{1+0.04}!)
=
20\{1+0.04}\9{1+0.04}!)-10
{1+0.04}-1
=
20\1.04\{1.04!)-1}
0.04
=
20\1.04\{1.5-1}
0.04
=260 (만원)
08
109 답 250만 원
20+20\{1+0.04}+y+20\{1+0.04}(
=
20\9{1+0.04}!)-10
{1+0.04}-1
=
20\{1.04!)-1}
0.04
=
20\{1.5-1}
0.04
=250(만원)
110 답 103만 원
10\{1+0.03}+10\{1+0.03}@+y+10\{1+0.03}(
=
10\{1+0.03}\9{1+0.03}(-10
{1+0.03}-1
=
10\1.03\{1.03(-1}
0.03
=
10\1.03\{1.3-1}
0.03
=103(만원)
111 답 100만 원
10+10\{1+0.03}+y+10\{1+0.03}*
=
10\9{1+0.03}(-10
{1+0.03}-1
=
10\{1.03(-1}
0.03
=
10\{1.3-1}
0.03
=100(만원)
112 답 2n-4, -2, 2n-4
113 답 an=4n-1
!n>2일때
an =Sn-Sn-1
=2n@+n-92{n-1}@+{n-1}0
=4n-1
@n=1일때
yy㉠
a1=S1=2\1@+1=3 yy㉡
이때㉡은㉠에n=1을대입한것과같으므로일반항an은
an=4n-1
114 답 a1=4, an=2n+1 {n>2}
!n>2일때
an =Sn-Sn-1
=n@+2n+1-9{n-1}@+2{n-1}+10
=2n+1
@n=1일때
yy㉠
a1=S1=1@+2\1+1=4 yy㉡
이때㉡은㉠에n=1을대입한것과같지않으므로일반항an은
a1=4,an=2n+1{n>2}
08 등차수열과 등비수열 51
수학1 AM 해설 01~10(001~064) OK.indd 51
2018-04-24 오후 1:54:15
이때㉡은㉠에n=1을대입한것과같으므로일반항an은
∴2a+5d=6
yy㉠
이때㉡은㉠에n=1을대입한것과같으므로일반항an은
115 답 an=2\3N_!
!n>2일때
an =Sn-Sn-1
=3N-1-{3N_!-1}
=3\3N_!-3N_!
=2\3N_!
@n=1일때
yy㉠
a1=S1=3!-1=2 yy㉡
an=2\3N_!
116 답 an=3\4N
!n>2일때
an =Sn-Sn-1
=4\4N-4N
=3\4N
@n=1일때
=4N"!-4-{4N-4}
yy㉠
a1=S1=4@-4=12 yy㉡
an=3\4N
117 답 a1=5, an=2N {n>2}
!n>2일때
an =Sn-Sn-1
=2N"!+1-{2N+1}
=2\2N-2N
=2N
@n=1일때
yy㉠
a1=S1=2@+1=5 yy㉡
이때㉡은㉠에n=1을대입한것과같지않으므로일반항an은
a1=5,an=2N{n>2}
최종 점검하기
123~125쪽
1 ③
7 7
2 ②
8 ①
3 ②
4 ③
5 ⑤
6 ④
9 270
10 ①
11 ②
12 ④
13 4
14
18 424만원
3
1024 15 ④
19 ③
16 ①
17 ③
이므로
1
2n+1
1
101 ,2n+1=101
1 an=
=
1
2n+1
∴n=50
52 정답과 해설
2 a10=-6+9\4=30
3 공차를d라고하면a13=-10에서
-2+12d=-10
2
3
∴d=-
4 첫째항을a,공차를d라고하면a6=32,a10=20에서
a+5d=32,a+9d=20
두식을연립하여풀면
a=47,d=-3
∴an=47+{n-1}\{-3}=-3n+50
이때제n항에서처음으로음수가된다고하면
an=-3n+50<0
∴n>
=16.6\\
50
3
따라서처음으로음수가되는항은제17항이다.
5 첫째항을a,공차를d라고하면
a2+a5=6에서{a+d}+{a+4d}=6
a7+a10=-14에서{a+6d}+{a+9d}=-14
∴2a+15d=-14 yy㉡
㉠,㉡을연립하여풀면
a=8,d=-2
∴a16=8+15\{-2}=-22
6 a@+2a는6a와4의등차중항이므로
a@+2a=
6a+4
2
a@-a-2=0,{a+1}{a-2}=0
∴a=-1또는a=2
따라서모든a의값의합은
-1+2=1
7 세수를a-d,a,a+d로놓으면
{a-d}+a+{a+d}=9
yy㉠
{a-d}@+a@+{a+d}@=59 yy㉡
㉠에서3a=9 ∴ a=3
a=3을㉡에대입하면
{3-d}@+3@+{3+d}@=59
d@=16 ∴ d=-4
따라서세수는-1,3,7이므로가장큰수는7이다.
8 첫째항을a,공차를d라고하면a2=-2,a5=10에서
a+d=-2,a+4d=10
두식을연립하여풀면
a=-6,d=4
∴S20=
20\92\{-6}+{20-1}\40
2
=640
수학1 AM 해설 01~10(001~064) OK.indd 52
2018-04-24 오후 1:54:16
9 첫째항을a,공차를d라고하면S10=-10,S20=80에서
1092a+{10-1}d0
2
2092a+{20-1}d0
2
=-10,
=80
3회시행에서그린정삼각형의둘레의길이는
1
2 ]#
1
2 ]@\
=6\
6\
1
2
[
[
따라서첫째항부터제12항까지가음수이고제13항부터양수이므로
08
∴2a+9d=-2,2a+19d=8
두식을연립하여풀면
a=-
11
2 ,d=1
30\
2\
-
-
[
+{30-1}\1
=
=270
∴S30=
11
2 ]
2
10 일반항an은
an=-23+{n-1}\2=2n-25
이때제n항에서처음으로양수가된다고하면
an=2n-25>0 ∴ n>
=12.5
25
2
구하는최솟값은
S12=
12\92\{-23}+{12-1}\20
2
=-144
11 a3=9,a6=243에서
ar @=9
yy㉠
ar %=243 yy㉡
㉡_㉠을하면
r #=27 ∴ r=3
r=3을㉠에대입하여풀면a=1
∴a+r=4
12 공비를r라고하면a5=4에서
1
4
\r $=4,r $=16 ∴ r=2(∵r>0)
제n항에서처음으로100보다커진다고하면
∴an=
\2N_!
1
4
an=
1
4 \2N_!>100
2N_!>400
이때2*=256,2(=512이므로
n-1>9 ∴ n>10
따라서처음으로100보다커지는항은제10항이다.
13 x+8은x와9x의등비중항이므로
{x+8}@=x\9x
x@-2x-8=0,{x+2}{x-4}=0
∴x=4(∵x>0)
14한변의길이가2인정삼각형의둘레의길이는
2\3=6
1회시행에서그린정삼각형의둘레의길이는
6\
1
2
1
2
6\
\
=6\
1
2
1
2 ]@
[
2회시행에서그린정삼각형의둘레의길이는
n회시행에서그린정삼각형의둘레의길이는
따라서11회시행에서그린정삼각형의둘레의길이는
⋮
6\
[
1
2 ]N
6\
[
1
2 ]!!=
3
1024
15 첫째항이2,공비가
인등비수열이므로
1
2
S10=
2\
-
1-
1
2 ]!) =
[
1
2
1-
=
1023
256
16 제n항이끝항이라고하면
3\{-3}N_!=-729
{-3}N_!={-3}% ∴ n=6
∴S6=
3\91-{-3}^0
1-{-3}
=-546
17 첫째항을a,공비를r라고하면S3=21,S6=189에서
a{r #-1}
r-1
yy㉠
=21
a{r ^-1}
r-1
=189 yy㉡
㉡에서
a{r #-1}{r #+1}
r-1
21{r #+1}=189
r #=8 ∴ r=2
r=2를㉠에대입하여풀면a=3
∴a4=3\2#=24
=189에㉠을대입하면
18 30\{1+0.06}+30\{1+0.06}@+y+30\{1+0.06}!)
=
30\{1+0.06}\9{1+0.06}!)-10
{1+0.06}-1
=
30\1.06\{1.06!)-1}
0.06
=
30\1.06\{1.8-1}
0.06
=424(만원)
19!n>2일때
an =Sn-Sn-1
=2N-1-{2N_!-1}
=2\2N_!-2N_!
=2N_!
yy㉠
@n=1일때
a1=S1=2!-1=1 yy㉡
이때㉡은㉠에n=1을대입한것과같으므로일반항an은
an=2N_!
∴a1+a3+a5+a7=2)+2@+2$+2^=85
08 등차수열과 등비수열 53
수학1 AM 해설 01~10(001~064) OK.indd 53
2018-04-24 오후 1:54:16
128~135쪽
011 답 13
10
?k=1
{2ak+3bk}=2
ak+3
10
?k=1
10
?k=1
=2\2+3\3
bk
=13
012 답 34
III. 수열
수열의 합
001 답
n
2K
?k=1
002 답
5
3
?k=1
3이5개있으므로
3+3+3+3+3=
5
3
?k=1
003 답
10
?k=1
5k
수열5,10,15,y의일반항을an이라고하면
an=5n
이때5n=50에서n=10
따라서첫째항부터제10항까지의합이므로
5+10+15+y+50=
10
?k=1
5k
004 답
12
?k=1
{k@+2k}
1\3+2\4+3\5+y+12\14=
k{k+2}
12
?k=1
12
?k=1
=
{k@+2k}
005 답 3+6+9+12+15
3k=3\1+3\2+3\3+3\4+3\5
=3+6+9+12+15
006 답 1+3+5+y+19
5
?k=1
10
?k=1
15
?m=4
007 답 5#+5$+5%+5^+5&
008 답 5@+6@+7@+y+16@
009 답 5
10
?k=1
{ak+bk}=
ak+
bk
10
?k=1
10
?k=1
=2+3=5
010 답 -1
10
?k=1
{ak-bk}=
bk
ak-
10
?k=1
10
?k=1
=2-3=-1
54 정답과 해설
{2k-1}={2\1-1}+{2\2-1}+{2\3-1}
=1+3+5+y+19
+y+{2\10-1}
{m+1}@={4+1}@+{5+1}@+{6+1}@+y+{15+1}@
=5@+6@+7@+y+16@
10
?k=1
5
?k=1
10
?k=1
n
?k=1
{-ak+2bk+3}=-
ak+2
10
?k=1
10
?k=1
=-2+2\3+3\10
10
?k=1
bk+
3
=34
013 답 37
{ak+2}@=
{ak@+4ak+4}
=
ak@+4
5
?k=1
=5+4\3+4\5
5
?k=1
ak+
4
5
?k=1
5
?k=1
=37
014 답 0
5
?k=1
{ak+1}{ak-1}=
{ak@-1}
5
?k=1
5
?k=1
5
?k=1
1
=
ak@-
=5-5=0
{k+7}-
{k-5}=
9k+7-{k-5}0
10
?k=1
10
?k=1
=
12=12\10=120
015 답 120
016 답 9n
10
?k=1
n
?k=1
{k+3}@-
{k@+6k}=
9k@+6k+9-{k@+6k}0
n
?k=1
n
?k=1
=
9=9n
017 답 3, 3,
3
2
\{3N-1}
018 답 2\
1-
-
2
[
3
]N =
첫째항이
n
?k=1[
2
3 ]K =
2
3 ,공비가
2
3
1-
\
-
2
3 인등비수열의합이므로
2
3 ]N =
[
2
3
1-
=2\
1-
-
2
3 ]N =
[
019 답 247
7
?k=1
{2K-1}=
2K-
7
?k=1
7
?k=1
1
=
2\{2&-1}
2-1
=254-7=247
-7
수학1 AM 해설 01~10(001~064) OK.indd 54
2018-04-24 오후 1:54:17
020 답 1, 2N-1, 2K-1, 2K, 20, 20, 21
021 답
3@!-43
4
주어진수열의일반항을an이라고하면
an =1+3+3@+y+3N_!
=
1\{3N-1}
3-1
1
2
=
\{3N-1}
따라서첫째항부터제20항까지의합은
20
?k=1
\{3K-1}
20
?k=1-
ak =
=
1
2
20
?k=1
20
?k=1
1
3K-
]
3\{3@)-1}
3-1
=
1
2
\
[
=
=
\
1
-
2
3@!-43
4
-20
=
022 답 88
11
?k=1
{k+2}=
2
k+
11
?k=1
11
?k=1
11\12
2
=66+22=88
=
+2\11
023 답 96
8
?k=1
{k@-3k}=
k
k@-3
8
?k=1
8
?k=1
8\9\17
6
=204-108=96
=
-3\
8\9
2
024 답 462
6
?k=1
{k#+k}=
k#+
6
?k=1
6
?k=1
k
=
[
6\7
2
]@+
6\7
2
=441+21=462
025 답 1015
10
?k=1
{k+3}{2k-1}=
{2k@+5k-3}
10
?k=1
10
?k=1
3
k-
=2
k@+5
10
?k=1
10
?k=1
10\11\21
6
=770+275-30=1015
=2\
+5\
10\11
2
-3\10
026 답 k, 11, 2, 96
027 답 322
10
?k=4
{k@-k}=
3
?k=1
=
k@-
10
?k=1
{k@-k}-
10
?k=1
10
?k=1
10\11\21
6
=330-8=322
=
k-
[
-
{k@-k}
k@-
3
?k=1
10\11
2
3
?k=1
k
-
[
]
3\4\7
6
-
3\4
2
]
=
n{n+1}{2n+1}
6
-5\
n{n+1}
2
09
028 답 1935
9
?k=5
{k#+2}=
{k#+2}-
{k#+2}
4
?k=1
9
?k=1
9
?k=1
=
k#+
2-
9
?k=1
4
?k=1
[
k#+
=
[
9\10
2
]@+2\9-
-[
]@+2\4
=
=2043-108=1935
4
2
?k=1
]
4\5
2
029 답 n, k, k, 2n+1, n+1, n+2
030 답
n{n+1}{n-7}
3
주어진수열의일반항을an이라고하면
an=n@-5n
따라서첫째항부터제n항까지의합은
n
?k=1
{k@-5k}
ak =
n
?k=1
n
?k=1
=
k@-5
n
?k=1
k
=
n{n+1}{2n-14}
6
=
n{n+1}{n-7}
3
031 답
n{n+1}{n+2}
6
주어진수열의일반항을an이라고하면
an =1+2+3+y+n
n@+n
2
n{n+1}
2
=
=
따라서첫째항부터제n항까지의합은
n
?k=1
k@+k
2
n
?k=1
ak =
n
?k=1
k@+
n
?k=1
k
]
=
=
1
2 [
1
2 -
n{n+1}{2n+1}
6
+
n{n+1}
2
=
=
\
1
2
n{n+1}{2n+4}
6
=
n{n+1}{n+2}
6
032 답 715
수열1\1,2\3,3\5,4\7,y의일반항을an이라고하면
an =n{2n-1}=2n@-n
∴1\1+2\3+3\5+y+10\19
=
10
?k=1
10
?k=1
ak=
{2k@-k}
=2
k@-
10
?k=1
10
?k=1
k
=2\
10\11\21
6
-
10\11
2
=770-55=715
09 수열의 합 55
수학1 AM 해설 01~10(001~064) OK.indd 55
2018-04-24 오후 1:54:18
033 답 455
수열1@,3@,5@,7@,y의일반항을an이라고하면
an={2n-1}@=4n@-4n+1
이때2n-1=13에서n=7
∴1@+3@+5@+y+13@=
ak=
{4k@-4k+1}
7
?k=1
7
?k=1
7
?k=1
=4
k@-4
k+
7
?k=1
7
?k=1
1
=4\
7\8\15
6
=560-112+7=455
-4\
7\8
2
+7
034 답 1740
수열1\2@,2\3@,3\4@,4\5@,y의일반항을an이라고하면
an=n{n+1}@=n#+2n@+n
∴1\2@+2\3@+3\4@+y+8\9@
=
ak=
{k#+2k@+k}
8
?k=1
8
?k=1
8
?k=1
8
?k=1
=
k#+2
k@+
8
?k=1
k
8\9
2
[
=
]@+2\
=1296+408+36=1740
8\9\17
6
+
8\9
2
035 답 k+1, n+1,
1
n+1
, n
036 답
n
2{n+2}
1
2\3
+
1
3\4
+
1
4\5
+y+
1
{n+1}{n+2}
=
n
1
?k=1
{k+1}{k+2}
=
n
?k=1[
1
k+1
-
1
k+2 ]
1
3
[
-
1
4 ]
+
[
1
4
-
1
5 ]
+y+
1
n+1
[
-
1
n+2 ]
=
=
=
[
+
1
2
-
1
2
1
3 ]
1
n+2
n
2{n+2}
-
037 답
1
1\3
n
2n+1
1
3\5
+
+
1
2
1
2
1
2
=
n
2n+1
56 정답과 해설
1
5\7
+y+
1
{2n-1}{2n+1}
=
n
1
?k=1
{2k-1}{2k+1}
=
n
?k=1[
1
2k-1
-
1
2k+1 ]
=
\
1-
-[
1
3 ]
+
[
1
3
-
1
5 ]
+
[
1
5
-
1
7 ]
+y+
1
2n-1
[
-
1
2n+1 ]=
=
\
1-
[
1
2n+1 ]
038 답
5n@+13n
12{n+2}{n+3}
1
2\4
+
1
3\5
+
1
4\6
+y+
1
{n+1}{n+3}
=
n
1
?k=1
{k+1}{k+3}
=
n
?k=1[
1
k+1
-
1
k+3 ]
1
2
1
2
1
n+2
-
1
n+3 ]
1
3
=
\
1
2
1
2
+
-
[
5n@+13n
12{n+2}{n+3}
=
039 답 k+2,
1
10
,
1
10
,
58
45
=
\
1
2
-
1
4 ]
+
[
1
3
-
1
5 ]
+
[
1
4
-
1
6 ]
+
[
1
5
-
1
7 ]
-[
+y+
1
n
[
-
1
n+2 ]
+
[
1
n+1
-
1
n+3 ]=
+
1
4@-4
+y+
1
10@-10
=
[
1-
+
[
1
2
-
1
3 ]
+
[
1
3
-
1
4 ]
+y+
1
9
[
-
1
10 ]
040 답
9
10
1
3@-3
+
1
2@-2
10
1
?k=2
k@-k
=
=
10
1
?k=2
k{k-1}
=
10
?k=2[
1
k-1
-
1
k ]
1
2 ]
1
10
=1-
=
9
10
041 답
10
21
+
1
4@-1
1
2@-1
10
1
?k=1
{2k}@-1
=
+
1
6@-1
+y+
1
20@-1
=
10
1
?k=1
{2k-1}{2k+1}
=
10
?k=1[
1
2k-1
-
1
2k+1 ]
1
2
1
2
1
2
10
21
1
3 ]
1
21 ]
=
\
1-
[
=
042 답 jk k, jn k, jn+1l-1
=
\
1-
-[
+
[
1
3
-
1
5 ]
+
[
1
5
-
1
7 ]
+y+
1
19
[
-
1
21 ]=
수학1 AM 해설 01~10(001~064) OK.indd 56
2018-04-24 오후 1:54:19
+y+{j2n+1l-j2n-1l}0
∴S=13\2!$+1
043 답
j2n+1l-1
2
+
+
1
1
j3+j5
1+j3
n
1
=
?k=1
j2k-1l+j2k+1l
1
j5+j7
+y+
1
j2n-1l+j2n+1l
n
j2k-1l-j2k+1l
?k=1
{j2k-1l+j2k+1l}{j2k-1l-j2k+1l}
{j2k+1l-j2k-1l}
n
?k=1
\9{j3-1}+{j5-j3}+{j7-j5}
=
=
=
1
2
1
2
=
j2n+1l-1
2
+y+
1
j3n-1l+j3n+2l
044 답
j3n+2l-j2
3
+
+
1
1
j5+j8
j2+j5
n
1
=
?k=1
j3k-1l+j3k+2l
1
j8+j11k
n
j3k-1l-j3k+2l
?k=1
{j3k-1l+j3k+2l}{j3k-1l-j3k+2l}
{j3k+2l-j3k-1l}
n
?k=1
\9{j5-j2}+{j8-j5}+{j11k-j8}
=
=
=
1
3
1
3
=
j3n+2l-j2
3
+y+{j3n+2l-j3n-1l}0
045 답 3, 1, n, 1,
{2n-1}3N+1
4
046 답
2N"!-n-2
2N_!
구하는합을S로놓으면
1
2
S=1+2\
+3\
[
㉠의양변에
1
2 을곱하면
S=
+2\
1
1
[
2
2
㉠-㉡을하면
1
2
S =1+
1
2
+
[
1-
1\
-
1
2 ]@+
1
2 ]N =
[
1
2
2N"!-n-2
2N
2N"!-n-2
2N_!
1-
=
=
∴S=
1
2 ]@+y+n\
[
1
2 ]N_!
yy㉠
1
2 ]@+3\
[
1
2 ]#+y+n\
[
1
2 ]N yy㉡
1
2 ]#+y+
[
1
2 ]N_!-n\
[
1
2 ]N
[
-n\
1
2 ]N
[
047 답 13\2!$+1
구하는합을S로놓으면
㉠의양변에2를곱하면
㉠-㉡을하면
S=1+2\2+3\2@+y+14\2!#
yy㉠
2S=2+2\2@+3\2#+y+14\2!$ yy㉡
-S =1+2+2@+2#+y+2!#-14\2!$
=
1\{2!$-1}
2-1
=-13\2!$-1
-14\2!$
1
3 ]@+y+10\
[
1
3 ](
yy㉠
1
3 ]@+3\
[
1
3 ]#+y+10\
[
1
3 ]!) yy㉡
09
1
3 ]#+y+
[
1
3 ](-10\
[
1
3 ]!)
-10\
1
3 ]!)
[
048 답
3!!-23
4\3(
구하는합을S로놓으면
1
3
S=1+2\
+3\
[
㉠의양변에
1
3 을곱하면
S=
+2\
1
1
[
3
3
㉠-㉡을하면
2
3
S =1+
1
3
+
[
1\
-
1-
=
1-
=
3!!-23
2\3!)
∴S=
3!!-23
4\3(
[
1
3 ]@+
1
3 ]!) =
[
1
3
최종 점검하기
136~137쪽
2 ④
8 ⑤
3 ④
9 ⑤
4 ③
10 ⑤
5 ②
11 5-j2
6 ③
1 ①
7 ③
12 ①
1
5
?k=1
{ak-1}{ak+3}=
{ak@+2ak-3}
=
ak@+2
ak-
5
?k=1
5
?k=1
3
=10+2\4-3\5
5
?k=1
5
?k=1
=3
2
10
?k=1
{2k+2K_!}=2
k+
2K_!
10
?k=1
10
?k=1
10\11
2
=110+{2!)-1}
=2\
+
=2!)+109
1\{2!)-1}
2-1
09 수열의 합 57
수학1 AM 해설 01~10(001~064) OK.indd 57
2018-04-24 오후 1:54:19
6 1@+2@+3@+4@+y+12@=
12
?k=1
k@
12\13\25
=
6
=650
20\21
2
[
+20
]
\
=
1
2
=115
={2-j3}+{j5-2}+{j6-j5}+y+{jn+3l-jn+2l}
=jn+3l-j3
3 9=10-1,99=10@-1,999=10#-1,9999=10$-1,y이므
로주어진수열의일반항을an이라고하면
8
10
?k=2
2
k@-1
=
10
?k=2
2
{k-1}{k+1}
an=10N-1
따라서첫째항부터제10항까지의합은
10
?k=1
{10K-1}
10
?k=1
ak =
=
10
?k=1
10K-
10
?k=1
1
=
=
10\{10!)-1}
10-1
10!!-100
9
-10
4
9
?k=1
9
?k=1
k@{k-1}+
k{k+1}=
{k#-k@+k@+k}
9\10
2
9
?k=1
9
?k=1
9
?k=1
=
{k#+k}
=
k#+
9
?k=1
k
[
=
9\10
2
=2025+45
]@+
=2070
k{k+1}
2
k
=
20
k+1
?k=1
2
=
1
2 [
20
?k=1
k+
20
1
?k=1
]
5
20
1+2+3+y+k
?k=1
k
=
20
?k=1
6 주어진수열의일반항을an이라고하면
an={2n}@=4n@
따라서첫째항부터제n항까지의합은
n
?k=1
ak =
4k@
n
?k=1
n
?k=1
=4
k@
=4\
n{n+1}{2n+1}
6
=
2n{n+1}{2n+1}
3
7 일반항an은
an=n{2n+1}=2n@+n
11
?k=1
{2k@+k}
11
?k=1
ak =
∴
+
11\12
2
=2
k@+
11
?k=1
11
?k=1
k
=2\
11\12\23
6
=1012+66
=1078
58 정답과 해설
=
10
?k=2[
1
k-1
1
3 ]
1
-
k+1 ]
1
1
4 ]
2
-
+
[
=
[
1-
+
[
+y+
=1+
-
1
2
1
10
-
=
1
11
72
55
1
3
[
[
+
1
5 ]
1
10 ]
-
-
1
8
1
4
-
1
6 ]
1
9
-
+
[
1
11 ]
9 주어진수열의일반항을an이라고하면
an =
=
1
1+2+3+y+n
2
n{n+1}
1
n{n+1}
2
=
따라서첫째항부터제19항까지의합은
19
?k=1
19
2
?k=1
k{k+1}
ak =
=2
19
?k=1[
1
k
-
=2\
1-
-[
1
k+1 ]
1
1
2 ]
2
+
[
=2\
1-
[
1
20 ]
=
19
10
10
n
1
?k=1
jk+2l+jk+3l
=
=
n
jk+2l-jk+3l
?k=1
{jk+2l+jk+3l}{jk+2l-jk+3l}
{jk+3l-jk+2l}
n
?k=1
-
1
3 ]
+
[
1
3
-
1
4 ]
+y+
1
19
[
-
1
20 ]=
11
=
+
+
1
1
j3+2
j2+j3
23
1
?k=1
jk+1l+jk+2l
1
2+j5
+y+
1
j24k+5
=
=
23
jk+1l-jk+2l
?k=1
{jk+1l+jk+2l}{jk+1l-jk+2l}
{jk+2l-jk+1l}
23
?k=1
={j3-j2}+{2-j3}+{j5-2}+y+{5-j24k}
=5-j2
12 S=1-2\3+3\3@-4\3#+y-10\3(
㉠의양변에-3을곱하면
yy㉠
-3S=-3+2\3@-3\3#+4\3$+y+10\3!) yy㉡
㉠-㉡을하면
4S =1-3+3@-3#+3$-y-3(-10\3!)
=
1\91-{-3}!)0
1-{-3}
-10\3!)
=
1-41\3!)
4
∴16S=1-41\3!)
수학1 AM 해설 01~10(001~064) OK.indd 58
2018-04-24 오후 1:54:20
III. 수열
수학적 귀납법
140~147쪽
008 답 a1=
첫째항은a1=
1
2
, an'1=an-
{n=1, 2, 3, y}
3
2
3
2 이고,이웃하는항들사이의관계를살펴보면
001 답 9
an'1=an+n의n에1,2,3을차례로대입하면
a2=a1+1=3+1=4
a3=a2+2=4+2=6
∴a4=a3+3=6+3=9
002 답 12
an'1=nan의n에1,2,3을차례로대입하면
a2=1\a1=1\2=2
a3=2\a2=2\2=4
∴a4=3\a3=3\4=12
003 답 41
an'1=2an+3n의n에1,2,3을차례로대입하면
a2=2\a1+3\1=2\1+3=5
a3=2\a2+3\2=2\5+6=16
∴a4=2\a3+3\3=2\16+9=41
004 답 3
an'2=an'1+an의n에1,2를차례로대입하면
a3=a2+a1=2-1=1
∴a4=a3+a2=1+2=3
005 답 3, 4, 3, 1, 3
006 답 a1=-2, an'1=an+7 {n=1, 2, 3, y}
첫째항은a1=-2이고,이웃하는항들사이의관계를살펴보면
a2-a1=5-{-2}=7
a3-a2=12-5=7
a4-a3=19-12=7
⋮
an'1-an=7{n=1,2,3,y}
따라서수열9an0의귀납적정의는
a1=-2,an'1=an+7{n=1,2,3,y}
a2-a1=7-11=-4
a3-a2=3-7=-4
a4-a3=-1-3=-4
⋮
an'1-an=-4{n=1,2,3,y}
따라서수열9an0의귀납적정의는
a1=11,an'1=an-4{n=1,2,3,y}
007 답 a1=11, an'1=an-4 {n=1, 2, 3, y}
첫째항은a1=11이고,이웃하는항들사이의관계를살펴보면
a2-a1=1-
=-
a3-a2=
-1=-
1
2
a4-a3=0-
=-
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
⋮
an'1-an=-
1
2 {n=1,2,3,y}
따라서수열9an0의귀납적정의는
a1=
3
2 ,an'1=an-
1
2 {n=1,2,3,y}
009 답 -1, 5, -1, -n+6
010 답 an=2n+1
an'1-an=2에서주어진수열은공차가2인등차수열이다.
이때첫째항이a1=3이므로
an =3+{n-1}\2
=2n+1
10
011 답 an=n
2an'1=an+an'2에서주어진수열은등차수열이다.
이때첫째항이a1=1,공차가a2-a1=1이므로
an =1+{n-1}\1
=n
012 답 an=-2n+5
an'1-an=an'2-an'1에서주어진수열은등차수열이다.
이때첫째항이a1=3,공차가a2-a1=-2이므로
an =3+{n-1}\{-2}
=-2n+5
013 답 2, 3, 2, 2, 2
014 답 a1=3, an'1=
1
3
an {n=1, 2, 3, y}
첫째항은a1=3이고,이웃하는항들사이의관계를살펴보면
a2_a1=1_3=
a3_a2=
_1=
a4_a3=
_
=
⋮
1
3
1
9
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
an'1_an=
1
3 {n=1,2,3,y}
따라서수열9an0의귀납적정의는
a1=3,an'1=
an{n=1,2,3,y}
10 수학적 귀납법 59
수학1 AM 해설 01~10(001~064) OK.indd 59
2018-04-24 오후 1:54:21
015 답 a1=1, an'1=-3an {n=1, 2, 3, y}
첫째항은a1=1이고,이웃하는항들사이의관계를살펴보면
022 답 an=
3n@-3n+2
2
an'1=an+3n의n에1,2,3,y,n-1을차례로대입하여변끼
016 답 a1=25, an'1=-
1
5
an {n=1, 2, 3, y}
첫째항은a1=25이고,이웃하는항들사이의관계를살펴보면
a2_a1={-3}_1=-3
a3_a2=9_{-3}=-3
a4_a3={-27}_9=-3
⋮
an'1_an=-3{n=1,2,3,y}
따라서수열9an0의귀납적정의는
a1=1,an'1=-3an{n=1,2,3,y}
a2_a1={-5}_25=-
a3_a2=1_{-5}=-
a4_a3=
-
_1=-
1
5 ]
[
⋮
1
5
1
5
1
5
an'1_an=-
1
5 {n=1,2,3,y}
따라서수열9an0의귀납적정의는
1
5
a1=25,an'1=-
an{n=1,2,3,y}
017 답 -2, 1, -2, {-2}N_!
018 답 an=3\
1
2 ]N_!
[
이때첫째항이a1=3이므로
an =3\
1
2 ]N_!
[
023 답 an=n@-2n
an'1-an=2n-1의n에1,2,3,y,n-1을차례로대입하여변
리더하면
a2
=a1+3\1
a3
=a2
+3\2
a4
=a3
+3\3
⋮
an=an-1
+
R
an =a1+
+3{n-1}
n-1
?k=1
3k
=1+3\
n{n-1}
2
3n@-3n+2
2
=
끼리더하면
a2
-a1=2\1-1
a3
-a2
=2\2-1
a4
-a3
=2\3-1
⋮
an-an-1
+
R
an-a1 =
=2{n-1}-1
n-1
?k=1
{2k-1}
=2
k-
1
n-1
?k=1
n-1
?k=1
=2\
n{n-1}
2
=n@-2n+1
-{n-1}
an'1_an=
1
1
2 인등비수열이다.
2 에서주어진수열은공비가
∴an =n@-2n+1+{-1}
=n@-2n
024 답 an=2N+1
an'1-an=2N의n에1,2,3,y,n-1을차례로대입하여변끼리
019 답 an=5N_!
an'1@=an an'2에서주어진수열은등비수열이다.
이때첫째항이a1=1,공비가
=5이므로
an =1\5N_!
=5N_!
020 답 an=2\3N_!
an'1_an=an'2_an'1에서주어진수열은등비수열이다.
이때첫째항이a1=2,공비가
=3이므로
an=2\3N_!
a2
a1
a2
a1
021 답 n{n-1}, n@-n+2
60 정답과 해설
더하면
a2
-a1=2
a3
-a2
=2@
a4
-a3
=2#
⋮
an-an-1
+
R
an-a1 =
∴an =2N-2+3
=2N+1
025 답 n,
5
n
2K
=2N_!
n-1
?k=1
2\{2N_!-1}
2-1
=
=2N-2
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T
T
T
an'1=
n+2
n an의n에1,2,3,y,n-1을차례로대입하여변끼
10
an'1=
an의n에1,2,3,y,n-1을차례로대입하여변끼
026 답 an=
4
n+1
n+1
n+2
a2
=
리곱하면
2
3
3
4
4
5
=
=
a4
a3
a1
a2
a3
⋮
an=
\
]
an-1
an =
\y\
\
\
\a1
2
3
4
5
3
4
\2
n
n+1
n
n+1
2
n+1
4
n+1
=
=
027 답 an=
n@+n
2
a2
=
리곱하면
3
1
4
2
5
3
=
=
a3
a4
a1
a2
a3
⋮
\1
=
=
n{n+1}
2
n@+n
2
028 답 1, 2, 2, 2N_!+1
029 답 an=2N"!-1
an'1=2an+1에서an'1+1=2{an+1}
므로
an+1=4\2N_!=2N"!
∴an=2N"!-1
030 답 an=3N_!+1
an'1=3an-2에서an'1-1=3{an-1}
므로
an-1=1\3N_!=3N_!
∴an=3N_!+1
an=
\
]
an-1
n+1
n-1
n+1
n-1
an =
\
n
n-2
\y\
\
\
\
\a1
6
4
5
3
4
2
3
1
이때수열9an+10은첫째항이a1+1=4,공비가2인등비수열이
이때수열9an-10은첫째항이a1-1=1,공비가3인등비수열이
031 답
p{1}이참이면p{3},p{9},p{27},y이참이다.
032 답 \
p{2}가참이면p{6},p{18},p{54},y가참이다.
따라서p{36}이참인지는알수없다.
033 답 \
p{3}이참일때,3n=1을만족하는자연수n이존재하지않으므
로p{1}이참인지는알수없다.
034 답 \
p{3}이참이면p{9},p{27},p{81},y이참이다.
따라서p{6},p{12},p{15},y가참인지는알수없다.
035 답 \
p{5}가참이면p{7},p{9},p{11},y이참이다.
따라서p{10}이참인지는알수없다.
036 답
p{1}이참이면p{3},p{5},p{7},y이참이다.
따라서p{1}이참이면모든홀수k에대하여p{k}가참이다.
037 답
p{2}가참이면p{4},p{6},p{8},y이참이다.
따라서p{2}가참이면모든짝수k에대하여p{k}가참이다.
038 답
p{1}이참이면p{3},p{5},p{7},y이참이고
p{2}가참이면p{4},p{6},p{8},y이참이다.
따라서p{1},p{2}가참이면모든자연수k에대하여p{k}가참
이다.
039 답 1, k+1, k+1, k+1,
{k+1}{k+2}
2
040 답 풀이 참고
!n=1일때
(좌변)=1,(우변)=1
따라서n=1일때,주어진등식이성립한다.
@n=k일때,주어진등식이성립한다고가정하면
1+3+5+y+{2k-1}=k@
위의식의양변에2k+1을더하면
1+3+5+y+{2k-1}+{2k+1}=k@+{2k+1}
={k+1}@
따라서n=k+1일때도주어진등식이성립한다.
!,@에의하여주어진등식은모든자연수n에대하여성립한다.
041 답 풀이 참고
!n=1일때
(좌변)=1,(우변)=1
따라서n=1일때,주어진등식이성립한다.
10 수학적 귀납법 61
수학1 AM 해설 01~10(001~064) OK.indd 61
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T
T
@n=k일때,주어진등식이성립한다고가정하면
1#+2#+3#+y+k#=
k@{k+1}@
4
위의식의양변에{k+1}#을더하면
1#+2#+3#+y+k#+{k+1}#=
+{k+1}#
k@{k+1}@
4
=
{k+1}@{k+2}@
4
따라서n=k+1일때도주어진등식이성립한다.
!,@에의하여주어진등식은모든자연수n에대하여성립한다.
042 답 풀이 참고
!n=1일때
(좌변)=1,(우변)=1
따라서n=1일때,주어진등식이성립한다.
@n=k일때,주어진등식이성립한다고가정하면
1+2+2@+y+2K_!=2K-1
위의식의양변에2K을더하면
1+2+2@+y+2K_!+2K =2K-1+2K
=2K"!-1
따라서n=k+1일때도주어진등식이성립한다.
!,@에의하여주어진등식은모든자연수n에대하여성립한다.
043 답 25, 25, 2, {k+1}@, {k+1}@
044 답 풀이 참고
!n=3일때
(좌변)=8,(우변)=7
8>7이므로n=3일때,주어진부등식이성립한다.
@n=k{k>3}일때,주어진부등식이성립한다고가정하면
2K>2k+1
위의식의양변에2를곱하면
2K"!>2{2k+1}>2{k+1}+1
따라서n=k+1일때도주어진부등식이성립한다.
!,@에의하여주어진부등식은n>3인모든자연수n에대하
여성립한다.
045 답 풀이 참고
!n=4일때
(좌변)=24,(우변)=16
24>16이므로n=4일때,주어진부등식이성립한다.
@n=k{k>4}일때,주어진부등식이성립한다고가정하면
1\2\3\y\k>2K
위의식의양변에k+1을곱하면
1\2\3\y\k\{k+1}>2K{k+1}
>2K\2=2K"!
046 답 풀이 참고
!n=2일때
(좌변)=1+
=
1
4
5
4 ,(우변)=2-
1
2
=
3
2
5
4
<
3
2 이므로n=2일때,주어진부등식이성립한다.
@n=k{k>2}일때,주어진부등식이성립한다고가정하면
1
k
+y+
<2-
1+
+
1
k@
1
2@
1
3@
1
{k+1}@
1
k@
+
위의식의양변에
을더하면
1+
+
+y+
1
2@
이때2-
+
1
{k+1}@
-
1
3@
1
k
1
{k+1}@
<2-
1
{k+1}@
1
k+1 ]
2-
[
1
k+1
<2-
+
1
k
1
{k+1}@
yy㉠
=-
1
k{k+1}@
<0이므로
yy㉡
+y+
+
1
k@
1
{k+1}@
<2-
1
k+1
따라서n=k+1일때도주어진부등식이성립한다.
!,@에의하여주어진부등식은n>2인모든자연수n에대하
여성립한다.
+
2-
1
k
㉠,㉡에서
1
1
3@
2@
1+
+
최종 점검하기
14 8~149쪽
1 ②
2 a1=23,an'1=an-6{n=1,2,3,y} 3 59
4 a1=6,an'1=2an{n=1,2,3,y}
5 ①
6 ③
7 26
8 ⑤
9 ⑤
10 풀이참고
11 ㈎9 ㈏7 ㈐3@K_!
12 ㈎1+kh ㈏kh@ ㈐k+1
1 an'2=an'1+an의n에1,2,3을차례로대입하면
a3=a2+a1=1-2=-1
a4=a3+a2=-1+1=0
∴a5=a4+a3=0-1=-1
2 첫째항은a1=23이고,이웃하는항들사이의관계를살펴보면
a2-a1=17-23=-6
a3-a2=11-17=-6
a4-a3=5-11=-6
⋮
따라서n=k+1일때도주어진부등식이성립한다.
!,@에의하여주어진부등식은n>4인모든자연수n에대하
여성립한다.
an'1-an=-6{n=1,2,3,y}
따라서수열9an0의귀납적정의는
a1=23,an'1=an-6{n=1,2,3,y}
62 정답과 해설
수학1 AM 해설 01~10(001~064) OK.indd 62
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3 2an'1=an+an'2에서주어진수열은등차수열이다.
이때첫째항이a1=2,공차가a2-a1=3이므로
8 an'1=-3an+4에서
an'1-1=-3{an-1}
a20=2+19\3=59
이때수열9an-10은첫째항이a1-1=1,공비가-3인등비수열
4 첫째항은a1=6이고,이웃하는항들사이의관계를살펴보면
a2_a1=12_6=2
이므로
an-1=1\{-3}N_!
={-3}N_!
∴an={-3}N_!+1
∴a11={-3}!)+1=3!)+1
9 ㄱ.p{1}이참이면p{4},p{7},p{10},y이참이므로모든
자연수k에대하여p{3k}가참인지는알수없다.
ㄴ.p{3}이참이면p{6},p{9},p{12},y가참이므로모든3의
배수k에대하여p{k}가참이다.
ㄷ.p{1}이참이면p{4},p{7},p{10},y이참,
p{2}가참이면p{5},p{8},p{11},y이참,
p{3}이참이면p{6},p{9},p{12},y가참이다.
따라서p{1},p{2},p{3}이참이면모든자연수k에대하여
p{k}가참이다.
따라서보기중옳은것은ㄴ,ㄷ이다.
10 !n=1일때
(좌변)=
1
2 ,(우변)=
1
2
따라서n=1일때,주어진등식이성립한다.
@n=k일때,주어진등식이성립한다고가정하면
1
1\2
+
1
2\3
+
1
3\4
+y+
1
k{k+1}
=
k
k+1
위의식의양변에
을더하면
1
2\3
1
{k+1}{k+2}
1
3\4
1
{k+1}{k+2}
+y+
+
+
+
1
1\2
k
k+1
=
1
k{k+1}
+
1
{k+1}{k+2}
10
an의n에1,2,3,y,n-1을차례로대입하여
=
{k+1}@
{k+1}{k+2}
=
=
k+1
k+2
k+1
{k+1}+1
따라서n=k+1일때도주어진등식이성립한다.
!,@에의하여주어진등식은모든자연수n에대하여성립한다.
a3_a2=24_12=2
a4_a3=48_24=2
⋮
an'1_an=2{n=1,2,3,y}
따라서수열9an0의귀납적정의는
a1=6,an'1=2an{n=1,2,3,y}
5
an
an'1
=3에서주어진수열은등비수열이다.
이때첫째항이a1=3,공비가
an'1
an
=
1
3 이므로
1
3 ]$(=
1
3$*
a50=3\
[
∴k=48
6 an'1=an+2n의n에1,2,3,y,n-1을차례로대입하여변
끼리더하면
a2
=a1+2\1
a3
=a2
+2\2
a4
=a3
+2\3
⋮
an=an-1
+
R
an =a1+
+2{n-1}
n-1
?k=1
2k
=3+2\
n{n-1}
2
=n@-n+3
∴a100=10000-100+3=9903
7 an'1=
2n+1
2n-1
변끼리곱하면
3
1
5
3
7
5
a2
=
a1
a3
=
a2
a4
=
a3
⋮
an =
\y\
\
\
\a1
3
1
7
5
5
3
an=
\
]
an-1
2n-1
2n-3
2n-1
2n-3
={2n-1}\1
=2n-1
ak>50에서2k-1>50
∴k>
=25.5
51
2
따라서자연수k의최솟값은26이다.
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