수학Ⅱ
수학2 AM 해설 (001~056)-OK.indd 1
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01
I. 함수의 극한과 연속
함수의 극한
8~20쪽
f{x}=
라고 하면 y=f{x}의 그래프
y
007 답 E
2
x@
는 오른쪽 그림과 같다.
001 답 0
f{x}=x@+2x-3이라고 하면 y=f{x}의
y=f{x}
y
그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 x의 값이 1에 한없이 가까워질 때,
f{x}의 값은 0에 한없이 가까워지므로
-3
O
1
x
{x@+2x-3}=0
lim
1
x`
!
002 답 2
4
x+1
f{x}=
4
lim
x+1
1
x`
!
=2
라고 하면 y=f{x}의 그래프
y
y=f{x}
는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 x의 값이 1에 한없이 가까워질 때,
f{x}의 값은 2에 한없이 가까워지므로
-1
O 1
x
없이 커지므로
1-
lim
0
x`
!
[
1
x@ ]
=-E
따라서 x의 값이 0에 한없이 가까워질
y=f{x}
때, f{x}의 값은 한없이 커지므로
2
x@
lim
0
x`
!
=E
008 답 -E
1
x@
래프는 오른쪽 그림과 같다.
f{x}=1-
이라고 하면 y=f{x}의 그
따라서 x의 값이 0에 한없이 가까워질 때,
f{x}의 값은 음수이면서 그 절댓값이 한
O
x
y
1
O
y=f{x}
x
009 답 -E
f{x}=-x+3이라고 하면 y=f{x}의
그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 x의 값이 한없이 커질 때, f{x}
y=f{x}
y
003 답 5
f{x}=5라고 하면 y=f{x}의 그래프는 오
른쪽 그림과 같다.
따라서 x의 값이 -3에 한없이 가까워질 때,
f{x}의 값은 항상 5이므로
5=5
lim
-3
x`
!
004 답 2
f{x}=j2xl라고 하면 y=f{x}의 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
따라서 x의 값이 2에 한없이 가까워질 때,
y
2
f{x}의 값은 2에 한없이 가까워지므로
O
2
x
y=f{x}
의 값은 음수이면서 그 절댓값이 한없이
커지므로
{-x+3}=-E
lim
x`
E
!
-3
O
x
010 답 E
f{x}=x@-2x+1이라고 하면 y=f{x}
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 x의 값이 한없이 커질 때, f{x}의
y=f{x}
라고 하면 y=f{x}의 그래프
y=f{x}
는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 x의 값이 한없이 커질 때, f{x}의 값
1
x
은 0에 한없이 가까워지므로
lim
2
x`
!
j2xl=2
005 답 0
2
x-1
는 오른쪽 그림과 같다.
f{x}=
2
lim
x-1
x`
E
!
=0
006 답 1
1
x
f{x}=
2 정답과 해설
+1이라고 하면 y=f{x}의 그래
y=f{x}
프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 x의 값이 음수이면서 그 절댓값이
한없이 커질 때, f{x}의 값은 1에 한없이
1
x
가까워지므로 lim
[
-E
+1
=1
]
x`
!
y
1
O
x
값은 한없이 커지므로
{x@-2x+1}=E
lim
x`
E
!
011 답 -E
f{x}=x-4라고 하면 y=f{x}의 그래프
따라서 x의 값이 음수이면서 그 절댓값이
한없이 커질 때, f{x}의 값은 음수이면서
-4
그 절댓값이 한없이 커지므로
{x-4}=-E
lim
-E
x`
!
012 답 -E
f{x}=1-2x@이라고 하면 y=f{x}의 그
래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 x의 값이 음수이면서 그 절댓값이
한없이 커질 때, f{x}의 값은 음수이면서
그 절댓값이 한없이 커지므로
{1-2x@}=-E
lim
-E
x`
!
3
O
y
1
O
y
O
3
x
y=f{x}
1
x
y=f{x}
4
x
y
1
O
x
y=f{x}
2
y
5
y
O
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016 답 3
x의 값이 2보다 작으면서 2에 한없이 가까워질 때, f{x}의 값은 3
{5-[x]}이므로 lim
3
!
x`
{5-[x]}는
013 답 1
x의 값이 0보다 크면서 0에 한없이 가까워질 때, f{x}의 값은 1에
023 답 존재하지 않는다.
x=2에서 우극한과 좌극한을 구하면
lim
2+
x`
!
= lim
2+
x`
!
x@-2x
|x-2|
x@-2x
|x-2|
x{x-2}
= lim
x-2
2+
x`
!
x{x-2}
= lim
-{x-2}
2-
x`
!
x@-2x
따라서 lim
|x-2|
2+
= lim
2-
x`
!
x@-2x
= lim
|x-2|
2-
x`
!
lim
2-
x`
!
x`
!
지 않는다.
x=2
{-x}=-2
x@-2x
이므로 lim
|x-2|
2
!
x`
는 존재하
014 답 0
x의 값이 0보다 작으면서 0에 한없이 가까워질 때, f{x}의 값은 0
015 답 2
x의 값이 1보다 크면서 1에 한없이 가까워질 때, f{x}의 값은 2에
한없이 가까워지므로
f{x}=1
lim
0+
x`
!
에 한없이 가까워지므로
f{x}=0
lim
0-
x`
!
한없이 가까워지므로
f{x}=2
lim
1+
x`
!
에 한없이 가까워지므로
f{x}=3
lim
2-
x`
!
017 답 1
018 답 -1
x<1일 때, |x-1|=-{x-1}이므로
|x-1|
x-1
lim
1-
x`
!
= lim
1-
x`
!
-{x-1}
x-1
=-1
019 답 -2
x>-1일 때, |x+1|=x+1이므로
x@-1
lim
|x+1|
-1+
x`
!
{x+1}{x-1}
= lim
x+1
-1+
x`
!
= lim
-1+
x`
!
{x-1}=-2
020 답 2
x<-1일 때, |x+1|=-{x+1}이므로
x@-1
lim
|x+1|
-1-
x`
!
{x+1}{x-1}
= lim
-{x+1}
-1-
x`
!
= lim
-1-
x`
!
{-x+1}=2
021 답 1, -1, 존재하지 않는다.
022 답 존재하지 않는다.
x=-1에서 우극한과 좌극한을 구하면
=1
x+1
x+1
-1+
-{x+1}
x+1
-1-
=-1
|x+1|
lim
x+1
-1+
x`
!
|x+1|
x+1
lim
-1-
x`
!
따라서 lim
-1+
x`
!
재하지 않는다.
= lim
x`
!
= lim
x`
!
|x+1|
x+1
= lim
x`
!
-1-
|x+1|
x+1
이므로 lim
-1
x`
!
|x+1|
x+1
은 존
024 답 1, 0, 존재하지 않는다.
025 답 존재하지 않는다.
32일 때, |x-2|=x-2이므로
{x-2}{x+2}
=lim
x-2
x`
2+
!
{x+2}=4
= lim
2+
x`
!
f{x}=-1
f{x}=-1
!
f{x}=0
x`
-2+
2 ① lim
② lim
1+
x`
!
③ lim
2-
x`
!
④ lim
-1+
x`
!
⑤ lim
0+
x`
!
따라서 lim
0+
x`
!
는다.
f{x}= lim
-1-
x`
f{x}=-1, lim
0-
!
!
x`
f{x}= lim
0-
x`
!
8 정답과 해설
f{x}=1이므로 lim
-1
x`
f{x}=1
!
f{x}=2
f{x}이므로 lim
0
!
x`
f{x}는 존재하지 않
ㄹ. lim
1+
x`
|x-1|= lim
1+
x`
{x-1}=0
!
lim
1-
x`
!
/ lim
1
!
x`
!
|x-1|= lim
1-
x`
!
|x-1|=0
{-x+1}=0
따라서 보기 중 극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄹ이다.
2f{x}-g{x}
4 lim
7-f{x}g{x}
x`
0
!
g{x}
2 lim
x`
0
!
7-lim
0
x`
!
f{x}-lim
x`
0
!
f{x}\lim
0
!
x`
g{x}
=
lim
0
x`
!
2\2-3
7-2\3
=
=1
x#-8
5 lim
x-2
x`
2
!
{x-2}{x@+2x+4}
=lim
x-2
x`
2
!
=lim
2
x`
!
{x@+2x+4}=12
6 lim
x`
4
!
jx k-2
x-4
{jx k-2}{jx k+2}
=lim
{x-4}{jx k+2}
4
x`
!
x-4
=lim
{x-4}{jx k+2}
4
x`
!
1
=lim
=
jx k+2
4
x`
!
1
4
7 lim
x`
2
!
1x@+53-3
x-2
{1x@+53-3}{1x@+53+3}
=lim
{x-2}{1x@+53+3}
2
x`
!
x@-4
=lim
{x-2}{1x@+53+3}
2
x`
!
{x-2}{x+2}
=lim
{x-2}{1x@+53+3}
2
x`
!
x+2
=lim
1x@+53+3
2
x`
!
2
3
=
따라서 a=3, b=2이므로
ab=6
8 x=-t로 놓으면 x
1x@-53+2
x+1
=lim
t`
E
!
lim
-E
x`
!
!
1t@-53+2
-t+1
-E일 때 t
E이므로
!
2
t
q1-
=lim
t`
E
!
5
t@ e+
1
-1+
t
=-1
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Z
Z
Z
Z
Z
Z
9 lim
x`
E
!
{1x@+x3-1x@-x3}
{1x@+x3-1x@-x3}{1x@+x3+1x@-x3}
=lim
1x@+x3+1x@-x3
E
!
x`
x`
!
2x
=lim
1x@+x3+1x@-x3
E
2
=lim
E
q1+
1
x e+q1-
!
x`
1
x e
=
2
1+1
=1
1
10 lim
x [
x`
0
!
1+
1
3x-1 ]
11 lim
x`
!
E
x
[
x
x+1
-1
=lim
[
x`
E
!
]
x\
-1
x+1 ]
\
=lim
[
0
x`
!
1
x
3
=lim
3x-1
0
x`
!
3x
3x-1 ]
=-3
-x
=lim
x+1
x`
E
!
-1
1
x
=lim
x`
E
!
1+
=-1
12 lim
x`
즉, 2+a=0이므로 a=-2
{x-1}=0이므로 lim
1
!
!
x`
1
{2x+a}=0
이를 주어진 등식의 좌변에 대입하면
x-1
lim
2x+a
1
x`
!
x-1
=lim
2x-2
1
x`
!
x-1
=lim
2{x-1}
1
x`
!
=
1
2
/ b=
1
2
/ ab=-1
13 lim
{x+1}=0이므로 lim
-1
즉, 1-a+b=0이므로 b=a-1
-1
!
!
x`
x`
f{x}
/ lim
x+1
-1
x`
!
x@+ax+a-1
=lim
x+1
-1
x`
!
f{x}= lim
-1
x`
!
{x@+ax+b}=0
{x+1}{x+a-1}
= lim
x+1
x`
-1
!
{x+a-1}=a-2
= lim
-1
x`
!
a-2=3이므로 a=5
따라서 f{x}=x@+5x+4이므로
f{-2}=4-10+4=-2
14 lim
즉, a+b=0이므로 b=-a yy ㉠
{x-2}=0이므로 lim
2
!
!
x`
x`
2
{ajx-1l+b}=0
㉠을 주어진 등식의 좌변에 대입하면
ajx-1l+b
lim
x-2
2
x`
!
ajx-1l-a
=lim
x-2
2
x`
!
a{jx-1l-1}{jx-1l+1}
=lim
{x-2}{jx-1l+1}
2
x`
!
a
a
=lim
=
2
jx-1l+1
2
x`
!
따라서
=1이므로 a=2
a
2
=2에서 f{x}는 최고차항의 계수가 2인 이차함수
이를 ㉠에 대입하면 b=-2
/ a-b=4
15 lim
x`
!
f{x}
x@
E
이다.
x`
x=0이므로
=4에서 lim
0
!
f{x}
또 lim
x
x`
0
!
f{x}=f{0}=0
lim
x`
0
!
따라서 f{x}=2x{x-a} (a는 상수)로 놓으면
2x{x-a}
x =lim
x
x`
0
!
=lim
0
x`
!
f{x}
lim
0
x`
!
{2x-2a}=-2a
-2a=4이므로 a=-2
/ f{x}=2x{x+2}=2x@+4x
/ f{-1}=2-4=-2
16 lim
x`
!
E
ax@+bx+c
f{x}=lim
x@+2x-3
E
x`
!
=2에서
a=2
f{x}=
lim
1
x`
!
이때 lim
1
!
x`
3
2
2x@+bx+c
에서 lim
x@+2x-3
1
!
x`
3
2
=
yy ㉠
{x@+2x-3}=0이므로 lim
1
!
x`
즉, 2+b+c=0이므로 c=-b-2
{2x@+bx+c}=0
yy ㉡
㉡을 ㉠의 좌변에 대입하면
2x@+bx+c
lim
x@+2x-3
1
x`
!
2x@+bx-b-2
=lim
x@+2x-3
1
x`
!
{x-1}{2x+b+2}
=lim
{x-1}{x+3}
1
x`
!
b+4
4
2x+b+2
=lim
x+3
1
x`
!
=
따라서
=
이므로 b=2
b+4
4
3
2
이를 ㉡에 대입하면 c=-4
/ a@+b@+c@=4+4+16=24
=1, lim
E
x`
!
x+1
x+2
=1이므로 함수의 극한의 대소 관
18 x@-3<{2x@+1}f{x}0, 즉 x>1에서 연속이므로 연속인
구간은 [1, E}이다.
019 답 {-E, 2]
함수 f{x}=j2-xl는 2-x>0, 즉 x<2에서 연속이므로 연속인
구간은 {-E, 2]이다.
020 답 1, 1, 6, 1, 7
021 답 2
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이면 x=2에서도 연속이므로
f{x}=f{2}
x`
!
f{x}= lim
2-
lim
x`
2+
!
lim
2-
x`
!
a+2=4 / a=2
f{x}= lim
2-
!
x`
{x+a}=a+2, f{2}=4이므로
022 답 x@+ax-2, -1, x+1, 3, 3
023 답 a=2, b=-1
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이면 x=1에서도 연속이므로
{x@-3x+a}=0
f{x}=f{1}
lim
1
x`
!
=b …… ㉠
x@-3x+a
/ lim
x-1
1
x`
!
이때 lim
1
!
x`
{x-1}=0이므로 lim
1
!
x`
즉, 1-3+a=0이므로 a=2
이를 ㉠의 좌변에 대입하면
x@-3x+a
lim
x-1
1
x`
!
=lim
1
x`
!
x@-3x+2
x-1
{x-1}{x-2}
x-1
{x-2}=-1
=lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
/ b=-1
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024 답 a=3, b=9
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이면 x=1에서도 연속이므로
029 답 {-E, E}
함수 g{x}는 다항함수이므로 모든 실수 x에서 연속이다.
a1x@+83-b
f{x}=f{1} / lim
x-1
1
!
{a1x@+83-b}=0
{x-1}=0이므로 lim
1
!
lim
1
x`
!
이때 lim
1
!
x`
x`
x`
=1 …… ㉠
…… ㉡
즉, 3a-b=0이므로 b=3a
㉡을 ㉠의 좌변에 대입하면
a1x@+83-b
x-1
lim
1
x`
!
+3}
a1x@+83-3a
=lim
x-1
1
x`
!
-3}{
1x@+83
1x@+83
{x-1}{1x@+83+3}
=lim
1
x`
!
a{
a{x@-1}
=lim
{x-1}{1x@+83+3}
1
x`
!
a{x+1}
1x@+83+3
=lim
1
x`
!
a
3
=
따라서
=1이므로 a=3
a
3
이를 ㉡에 대입하면 b=9
025 답 f{1}, 0, 0, -2, x+2, 3, 3
026 답 5
x=2일 때, f{x}=
x@+x+a
x-2
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이면 x=2에서도 연속이므로
x@+x+a
f{x}=f{2} / lim
x-2
2
!
=f{2} yy ㉠
x`
{x@+x+a}=0
lim
2
x`
!
이때 lim
2
!
{x-2}=0이므로 lim
2
!
즉, 4+2+a=0이므로 a=-6
x`
x`
이를 ㉠의 좌변에 대입하면
x@+x+a
x-2
lim
2
x`
!
x@+x-6
=lim
x-2
x`
2
!
{x+3}=5
=lim
2
x`
!
/ f{2}=5
027 답 1
x=-2일 때, f{x}=
x@+ax+6
x+2
lim
-2
x`
!
이때 lim
-2
x`
{x+2}=0이므로 lim
-2
!
x`
즉, 4-2a+6=0이므로 a=5
!
이를 ㉠의 좌변에 대입하면
x@+ax+6
lim
x+2
-2
x`
!
x@+5x+6
x+2
{x+3}=1
=lim
x`
-2
!
= lim
-2
x`
!
/ f{-2}=1
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이면 x=-2에서도 연속이므로
f{x}=f{-2} /
=f{-2} …… ㉠
x@+ax+6
lim
x+2
-2
x`
!
{x@+ax+6}=0
= lim
-2
x`
!
{x+2}{x+3}
x+2
{x-2}{x+3}
=lim
x-2
2
x`
!
028 답 {-E, E}
함수 f{x}는 다항함수이므로 모든 실수 x에서 연속이다.
따라서 함수 3f{x}는 연속함수의 성질에 의하여 모든 실수 x에서
따라서 함수 f{x}-2g{x}는 연속함수의 성질에 의하여 모든 실수
x에서 연속이므로 연속인 구간은 {-E, E}이다.
030 답 {-E, E}
함수 f{x}g{x}는 연속함수의 성질에 의하여 모든 실수 x에서 연
02
속이므로 연속인 구간은 {-E, E}이다.
031 답 {-E, E}
모든 실수 x에 대하여 g{x}=0이므로 함수
는 연속함수의
f{x}
g{x}
성질에 의하여 모든 실수 x에서 연속이다.
따라서 함수
가 연속인 구간은 {-E, E}이다.
f{x}
g{x}
032 답 {-E, 1}, {1, E}
함수
는 f{x}=0일 때, 불연속이다.
g{x}
f{x}
따라서 x@-2x+1=0, 즉 x=1에서 불연속이므로 함수
g{x}
f{x}
가
연속인 구간은 {-E, 1}, {1, E}이다.
033 답 연속
g{x}=|x|, h{x}=|x+1|이라고 하면 두 함수 g{x}, h{x}는 구
간 [-1, 1]에서 각각 연속이므로 함수 f{x}=g{x}+h{x}도 이
구간에서 연속이다.
034 답 연속
g{x}=3x-1, h{x}=x@+4x-5라고 하면 두 함수 g{x}, h{x}
는 구간 [-1, 1]에서 각각 연속이므로 함수 f{x}=g{x}h{x}도
이 구간에서 연속이다.
035 답 불연속
g{x}=-{x+3}, h{x}=2x-1이라고 하면 두 함수 g{x}, h{x}
는 구간 [-1, 1]에서 연속이지만 함수 f{x}=
는 h{x}=0,
g{x}
h{x}
즉 x=
에서 불연속이므로 구간 [-1, 1]에서 불연속이다.
1
2
036 답 연속
g{x}=x, h{x}=x@-16이라고 하면 두 함수 g{x}, h{x}는 구
간 [-1, 1]에서 연속이고 함수 f{x}=
는 h{x}=0, 즉
g{x}
h{x}
x=-4에서 불연속이므로 구간 [-1, 1]에서 연속이다.
037 답 2, 6, -1, 3
038 답 최댓값: 24, 최솟값: -1
f{x}=x@-2x={x-1}@-1은 구간 [0, 6]에서 연속이고, x=6
일 때 최댓값 24, x=1일 때 최솟값 -1을 갖는다.
039 답 최댓값: 1, 최솟값: -20
f{x}=-x@-2x+4=-{x+1}@+5는 구간 [1, 4]에서 연속이
02 함수의 연속 11
연속이므로 연속인 구간은 {-E, E}이다.
고, x=1일 때 최댓값 1, x=4일 때 최솟값 -20을 갖는다.
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040 답 최댓값: 1, 최솟값:
1
5
x=8일 때 최솟값
1
5 을 갖는다.
f{x}=
은 구간 [4, 8]에서 연속이고, x=4일 때 최댓값 1,
이고
1
x-3
048 답 ㄹ
f{x}=-x#+x+3이라고 하면 함수 f{x}는 모든 실수 x에서 연속
f{-2}=9>0, f{-1}=3>0, f{0}=3>0, f{1}=3>0,
041 답 최댓값: 4, 최솟값: 1
f{x}=jx+1l 은 구간 [0, 15]에서 연속이고, x=15일 때 최댓값
4, x=0일 때 최솟값 1을 갖는다.
042 답 최댓값: 5, 최솟값: 3
f{x}=j11-2xl 는 구간 [-7, 1]에서 연속이고, x=-7일 때 최
댓값 5, x=1일 때 최솟값 3을 갖는다.
043 답 >, 0, {0, 2}, {0, 2}
따라서 사잇값의 정리에 의하여 방정식 f{x}=0은 열린구간
f{2}=-3<0
/ f{1}f{2}<0
{1, 2}에서 실근을 갖는다.
049 답 <, <, {1, 2}, 2
050 답 3개
함수 f{x}는 닫힌구간 [-2, 2]에서 연속이고
f{-2}f{-1}<0, f{-1}f{0}<0, f{0}f{1}<0
이므로 사잇값의 정리에 의하여 방정식 f{x}=0은 열린구간
{-2, -1}, {-1, 0}, {0, 1}에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖
따라서 방정식 f{x}=0은 열린구간 {-2, 2}에서 적어도 3개의
044 답 풀이 참고
f{x}=x@-3x-5라고 하면 함수 f{x}는 닫힌구간 [-2, 4]에서
는다.
연속이고
f{-2}=5>0, f{4}=-1<0
이므로 사잇값의 정리에 의하여 f{c}=0을 만족하는 c가 열린구
간 {-2, 4}에 적어도 하나 존재한다.
따라서 방정식 x@-3x-5=0은 열린구간 {-2, 4}에서 적어도 하
나의 실근을 갖는다.
실근을 갖는다.
051 답 <, a-1, 1, 3
045 답 풀이 참고
f{x}=x#-x@-2x라고 하면 함수 f{x}는 닫힌구간 [1, 3]에서 연
근을 가지려면
속이고
f{1}=-2<0, f{3}=12>0
052 답 11
f{x}=x@-3x+a라고 하면 함수 f{x}는 닫힌구간 [-2, 1]에서
연속이므로 방정식 f{x}=0이 열린구간 {-2, 1}에서 하나의 실
f{-2}f{1}<0, {a+10}{a-2}<0 / -100
이므로 사잇값의 정리에 의하여 f{c}=0을 만족하는 c가 열린구
간 {-1, 1}에 적어도 하나 존재한다.
따라서 방정식 x$+4x+2=0은 열린구간 {-1, 1}에서 적어도 하
나의 실근을 갖는다.
047 답 ㄴ
f{x}=x#+7x+5라고 하면 함수 f{x}는 모든 실수 x에서 연속이고
f{-2}=-17<0, f{-1}=-3<0, f{0}=5>0, f{1}=13>0,
따라서 사잇값의 정리에 의하여 방정식 f{x}=0은 열린구간
{-1, 0}에서 실근을 갖는다.
불연속이다.
f{2}=27>0
/ f{-1}f{0}<0
12 정답과 해설
최종 점검하기
34~35쪽
1 ⑤ 2 ㄴ, ㄷ 3 2 4 ③ 5 ⑤ 6 a=3, b=5
7 a=-7, b=-6 8 00, f{1}=8>0,
f{2}=20>0, f{3}=44>0
/ f{-1}f{0}<0
{-1, 0}에서 실근을 갖는다.
따라서 사잇값의 정리에 의하여 방정식 f{x}=0은 열린구간
12 함수 f{x}는 닫힌구간 [0, 4]에서 연속이고
f{0}f{1}<0, f{1}f{2}<0, f{3}f{4}<0
이므로 사잇값의 정리에 의하여 방정식 f{x}=0은 열린구간
{0, 1}, {1, 2}, {3, 4}에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다.
따라서 방정식 f{x}=0은 열린구간 {0, 4}에서 적어도 3개의 실
근을 가지므로
n=3
02 함수의 연속 13
f{x}= lim
3-
5 함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이면 x=3에서도 연속이므로
lim
3+
x`
!
lim
3-
x`
!
3a+6=b+3 / 3a-b=-3 …… ㉠
{x@-2x+b}=b+3, f{3}=3a+6이므로
f{x}= lim
3-
f{x}=f{3}
!
!
x`
x`
최솟값은 없다.
값은 2이다.
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03
II. 미분
002 답 9
Dy
Dx =
003 답 6
Dy
Dx
=
미분계수와 도함수
001 답 4, 4, 8, 1
f{3}-f{2}
3-2
=
15-6
1
=9
f{0}-f{-3}
0-{-3}
=
1-{-17}
3
=6
004 답 2a+Dx
Dy
Dx =
f{a+Dx}-f{a}
{a+Dx}-a
=
=
9{a+Dx}@+10-{a@+1}
Dx
2aDx+{Dx}@
Dx
=2a+Dx
005 답 2
Dy
Dx =
{a@-1}-0
a-1
f{a}-f{1}
a-1 =
{a-1}{a+1}
a-1
따라서 a+1=3이므로 a=2
=a+1
=
006 답 4
Dy
Dx =
=a+6
f{a}-f{1}
a-1 =
{a@+5a+1}-7
a-1
=
a@+5a-6
a-1
=
{a-1}{a+6}
a-1
따라서 a+6=10이므로 a=4
007 답 -2
Dy
Dx =
f{a}-f{1}
a-1 =
{a-1}{2a+3}
a-1
=
{2a@+a-3}-0
a-1
=2a+3
따라서 2a+3=-1이므로 a=-2
008 답 -8
Dy
Dx =
f{a}-f{1}
a-1 =
=
-a@-2a+3
a-1
=
=-a-3
{-a@-2a+9}-6
a-1
-{a-1}{a+3}
a-1
따라서 -a-3=5이므로 a=-8
009 답 1, 3, 3, 1, 3, 3
14 정답과 해설
010 답 -2
38~47쪽
f{1+Dx}-f{1}
f '{1} =lim
Dx
0
!
Dx`
9-2{1+Dx}+50-3
= lim
Dx
0
Dx`
!
-2Dx
= lim
Dx
0
Dx`
!
=-2
011 답 8
f{1+Dx}-f{1}
f '{1} =lim
Dx
0
!
Dx`
4{1+Dx}@-4
= lim
Dx
0
Dx`
!
8Dx+4{Dx}@
= lim
Dx
0
Dx`
!
= lim
{8+4Dx}=8
0
Dx`
!
012 답 -4
f{1+Dx}-f{1}
f '{1} =lim
Dx
0
!
Dx`
9-2{1+Dx}@+30-1
= lim
Dx
0
Dx`
!
-4Dx-2{Dx}@
= lim
Dx
0
Dx`
!
= lim
{-4-2Dx}=-4
0
Dx`
!
013 답 4
f{1+Dx}-f{1}
f '{1} =lim
Dx
0
!
Dx`
9{1+Dx}@+2{1+Dx}0-3
= lim
Dx
0
Dx`
!
4Dx+{Dx}@
= lim
Dx
0
Dx`
!
= lim
{4+Dx}=4
0
Dx`
!
014 답 2
f{1+Dx}-f{1}
f '{1} =lim
Dx
0
!
Dx`
9-{1+Dx}@+4{1+Dx}+10-4
= lim
Dx
0
Dx`
!
2Dx-{Dx}@
= lim
Dx
0
Dx`
!
= lim
{2-Dx}=2
0
Dx`
!
015 답 3, 3, 3
016 답 -2
f{a-2h}-f{a}
h
lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
f{a-2h}-f{a}
-2h
=f '{a}\{-2}
=1\{-2}=-2
\{-2}
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017 답 2
f{a+h}-f{a-h}
h
lim
0
h`
!
f{a+h}-f{a}-f{a-h}+f{a}
=lim
h
0
h`
!
f{a+h}-f{a}
=lim
h
0
h`
!
=f '{a}+f '{a}
=1+1=2
f{a-h}-f{a}
-h
+lim
0
h`
!
018 답 8
f{a+3h}-f{a-5h}
h
lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
f{a+3h}-f{a}-f{a-5h}+f{a}
h
f{a+3h}-f{a}
3h
f{a-5h}-f{a}
\3+lim
-5h
0
!
h`
\5
=3f '{a}+5f '{a}
=3+5=8
019 답 x-1, x-1,
1
2 , 3
020 답
3
2
f{x}-f{1}
lim
x@+2x-3
1
x`
!
=lim
1
x`
!
f{x}-f{1}
{x-1}{x+3}
f{x}-f{1}
=lim
x-1
-
1
x`
!
f{x}-f{1}
x-1
=lim
1
x`
!
\
\lim
1
x`
!
1
=
x+3
1
x+3
=f '{1}\
=6\
=
1
4
1
4
3
2
021 답 12
f{x@}-f{1}
x-1
lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
-
f{x@}-f{1}
{x-1}{x+1}
\{x+1}
=
=lim
1
x`
!
f{x@}-f{1}
x@-1
\lim
1
x`
!
{x+1}
=f '{1}\2
=6\2=12
022 답 2
f{x}-xf{1}
x-1
lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
f{x}-f{1}-xf{1}+f{1}
x-1
-lim
1
x`
!
{x-1}f{1}
x-1
f{x}-f{1}
=lim
x-1
1
x`
!
=f '{1}-f{1}
=6-4=2
023 답 1, 1, 2, 2
024 답 -8
구하는 접선의 기울기는 f '{2}와 같으므로
f{2+Dx}-f{2}
f '{2} =lim
Dx
0
!
Dx`
-2{2+Dx}@-{-8}
= lim
Dx
0
Dx`
!
-8Dx-2{Dx}@
= lim
Dx
0
Dx`
!
= lim
{-8-2Dx}=-8
0
Dx`
!
025 답 -2
구하는 접선의 기울기는 f '{-1}과 같으므로
f{-1+Dx}-f{-1}
f '{-1} =lim
Dx
0
!
9{-1+Dx}@+30-4
= lim
Dx
0
Dx`
!
Dx`
-2Dx+{Dx}@
= lim
Dx
0
Dx`
!
= lim
{-2+Dx}=-2
0
Dx`
!
026 답 -2
구하는 접선의 기울기는 f '{-2}와 같으므로
f{-2+Dx}-f{-2}
f '{-2} =lim
Dx
0
!
Dx`
9{-2+Dx}@+2{-2+Dx}0-0
= lim
Dx
0
Dx`
!
-2Dx+{Dx}@
= lim
Dx
0
Dx`
!
= lim
{-2+Dx}=-2
0
Dx`
!
027 답 7
구하는 접선의 기울기는 f '{2}와 같으므로
f{2+Dx}-f{2}
f '{2} =lim
Dx
0
!
Dx`
92{2+Dx}@-{2+Dx}+10-7
= lim
Dx
0
Dx`
!
7Dx+2{Dx}@
= lim
Dx
0
Dx`
!
= lim
{7+2Dx}=7
0
Dx`
!
028 답 -5
구하는 접선의 기울기는 f '{1}과 같으므로
f{1+Dx}-f{1}
f '{1} =lim
Dx
0
!
Dx`
9-3{1+Dx}@+{1+Dx}-10-{-3}
= lim
Dx
0
Dx`
!
-5Dx-3{Dx}@
= lim
Dx
0
Dx`
!
= lim
{-5-3Dx}=-5
0
Dx`
!
029 답
f '{a}=0이므로 x=a에서 미분가능하다.
030 답 \
x=a에서 불연속이므로 x=a에서 미분가능하지 않다.
03
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03 미분계수와 도함수 15
031 답 \
f '{a}가 존재하지 않으므로 x=a에서 미분가능하지 않다.
032 답 연속, 1, -1, 미분가능하지 않다, 미분가능하지 않다
033 답 연속이지만 미분가능하지 않다.
lim
0
x`
!
한편
f{x}=f{0}이므로 함수 f{x}는 x=0에서 연속이다.
038 답 f '{x}=3x@-2
f{x+h}-f{x}
f '{x} =lim
h
0
!
h`
9{x+h}#-2{x+h}+50-{x #-2x+5}
=lim
h
0
h`
!
{3x@-2}h+3xh@+h#
=lim
h
0
h`
!
=lim
0
h`
!
=3x@-2
{3x@-2+3xh+h@}
f{x}-f{0}
lim
x-0
0+
x`
!
f{x}-f{0}
lim
x-0
0-
x`
!
=0
x-|x|
=lim
x
0+
x`
!
x-x
= lim
x
0+
x`
!
x-|x|
=lim
x
0-
x`
!
x-{-x}
= lim
x
0-
x`
!
=2
에서 f '{0}이 존재하지 않으므로 함수 f{x}는 x=0에서 미분가능
하지 않다.
따라서 함수 f{x}는 x=0에서 연속이지만 미분가능하지 않다.
f{x}=f{0}이므로 함수 f{x}는 x=0에서 연속이다.
034 답 연속이고 미분가능하다.
lim
0
x`
!
한편
f{x}-f{0}
lim
x-0
0+
x`
!
f{x}-f{0}
lim
x-0
0-
x`
!
x@
= lim
x
0+
x`
!
x@
= lim
x
0-
x`
!
|x@|
=lim
x
x`
0+
!
x=0
= lim
0+
x`
!
|x@|
=lim
x
x`
0-
!
x=0
= lim
0-
x`
!
039 답 2x-3, 2x-3, 2x-3, -1
040 답 f '{x}=3, f '{1}=3
f{x+h}-f{x}
f '{x} =lim
h
0
!
h`
93{x+h}+70-{3x+7}
=lim
h
0
h`
!
3h
=lim
h
0
h`
!
/ f '{1}=3
=3
041 답 f '{x}=4x+1, f '{1}=5
f{x+h}-f{x}
f '{x} =lim
h
0
!
h`
92{x+h}@+{x+h}-30-{2x@+x-3}
=lim
h
0
h`
!
{4x+1}h+2h@
=lim
h
h`
0
!
=lim
{4x+1+2h}
0
h`
!
=4x+1
에서 f '{0}=0이므로 함수 f{x}는 x=0에서 미분가능하다.
/ f '{1}=4+1=5
따라서 함수 f{x}는 x=0에서 연속이고 미분가능하다.
035 답 f '{x}=0
f{x+h}-f{x}
f '{x} =lim
h
0
!
h`
-8-{-8}
=lim
h
0
h`
!
=0
036 답 f '{x}=2
f{x+h}-f{x}
f '{x} =lim
h
0
!
h`
92{x+h}+50-{2x+5}
=lim
h
0
h`
!
2h
h =2
=lim
0
h`
!
037 답 f '{x}=2x-1
f{x+h}-f{x}
f '{x} =lim
h
0
!
h`
9{x+h}@-{x+h}0-{x@-x}
=lim
h
0
h`
!
{2x-1}h+h@
=lim
h
0
h`
!
=lim
{2x-1+h}
0
h`
!
=2x-1
16 정답과 해설
042 답 y'=8x&
y'=8x*_!=8x&
043 답 y'=14x!#
y'=14x!$_!=14x!#
044 답 y'=0
045 답 y'=2
y' =2{x}'+{7}'
=2\1+0=2
046 답 y'=6x-4
y' =3{x@}'-4{x}'+{6}'
=3\2x-4\1+0
=6x-4
047 답 y'=-3x@+10x
y' =-{x#}'+5{x@}'-{1}'
=-3x@+5\2x-0
=-3x@+10x
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03
048 답 y'=x$-x#+x@-x+1
1
4
1
4
1
y' =
5
1
5
1
3
1
3
\5x$-
\4x#+
{x$}'+
{x%}'-
{x#}'-
=
\3x@-
1
2
1
2
=x$-x#+x@-x+1
{x@}'+{x}'
\2x+1
049 답 x@+1, x@+1, 2, 2x, 6x@-6x+2
050 답 y'=8x#+18x@+2x-3
y' ={x@+3x+1}'{2x@-1}+{x@+3x+1}{2x@-1}'
={2x+3}{2x@-1}+{x@+3x+1}\4x
={4x#+6x@-2x-3}+{4x#+12x@+4x}
=8x#+18x@+2x-3
051 답 y'=5x$+9x@-6x+2
y' ={x@+2}'{x#+x-3}+{x@+2}{x#+x-3}'
=2x{x#+x-3}+{x@+2}{3x@+1}
={2x$+2x@-6x}+{3x$+7x@+2}
=5x$+9x@-6x+2
052 답 y'=6x@-6x-11
y' ={x+2}'{x-3}{2x-1}+{x+2}{x-3}'{2x-1}
+{x+2}{x-3}{2x-1}'
={x-3}{2x-1}+{x+2}{2x-1}+{x+2}{x-3}\2
={2x@-7x+3}+{2x@+3x-2}+{2x@-2x-12}
=6x@-6x-11
053 답 18
f '{x}=-10x+8이므로
f '{-1}=10+8=18
054 답 7
f '{x}=3x@-4x이므로
f '{-1}=3+4=7
055 답 -7
f '{x} =12x#-4x+1이므로
f '{-1}=-12+4+1=-7
056 답 4
f '{x} ={x@+x}'{3x-1}+{x@+x}{3x-1}'
={2x+1}{3x-1}+{x@+x}\3
=9x@+4x-1
/ f '{-1}=9-4-1=4
057 답 -33
f '{x} ={2x@-5}'{x#+7}+{2x@-5}{x#+7}'
=4x{x#+7}+{2x@-5}\3x@
=10x$-15x@+28x
058 답 1, 6, -2a+b, 2, 2
059 답 a=1, b=-1, c=5
f{0}=5에서 c=5
f{x}=ax@+bx+c이므로 f '{x}=2ax+b
f '{1}=1에서 2a+b=1
yy ㉠
f '{-1}=-3에서 -2a+b=-3 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=1, b=-1
060 답 a=-1, b=3, c=4
f{0}=4에서 c=4
f{x}=ax@+bx+c이므로 f '{x}=2ax+b
f '{1}=1에서 2a+b=1
yy ㉠
f '{2}=-1에서 4a+b=-1 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-1, b=3
061 답 a=2, b=-2, c=7
f{0}=7에서 c=7
f{x}=ax@+bx+c이므로 f '{x}=2ax+b
f '{1}=2에서 2a+b=2 yy ㉠
f '{2}=6에서 4a+b=6 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=2, b=-2
062 답 4, 1, 2a+b,
1
2 , 1, 0,
1
2
x@+x,
3
2
063 답 2
f{x}=ax@+bx+c ( a, b, c는 상수)라고 하면
f{0}=5에서 c=5
f '{x}=2ax+b이므로
f '{-1}=3에서 -2a+b=3 yy ㉠
f '{0}=-1에서 b=-1
이를 ㉠에 대입하여 풀면 a=-2
따라서 f{x}=-2x@-x+5이므로
f{1}=2
064 답 13
f{x}=ax@+bx+c ( a, b, c는 상수)라고 하면
f{-1}=5에서 a-b+c=5
yy ㉠
f '{x}=2ax+b이므로
f '{-2}=-4에서 -4a+b=-4 yy ㉡
f '{0}=4에서 b=4
yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
a=2, b=4, c=7
따라서 f{x}=2x@+4x+7이므로
/ f '{-1}=10-15-28=-33
f{1}=13
03 미분계수와 도함수 17
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065 답 -7
f{x}=ax@+bx+c ( a, b, c는 상수)라고 하면
f{2}=6에서 4a+2b+c=6 yy ㉠
f '{x}=2ax+b이므로
f '{0}=-5에서 b=-5
f '{1}=7에서 2a+b=7
yy ㉡
yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
a=6, b=-5, c=-8
따라서 f{x}=6x@-5x-8이므로
f{1}=-7
066 답 1, a, a, x+1, 2, 2, -1
067 답 a=3, b=-2
함수 f{x}가 x=1에서 미분가능하면
! x=1에서 연속이므로
x#= lim
x`
1-
/ a+b=1 yy ㉠
@ 미분계수 f '{1}이 존재하므로
f{x}-f{1}
lim
x-1
1+
x`
!
{ax+b}=f{1}
lim
1+
x`
!
!
x#-1
=lim
x-1
1+
x`
!
{x-1}{x@+x+1}
= lim
x-1
x`
1+
!
= lim
1+
x`
!
{x@+x+1}=3
f{x}-f{1}
lim
x-1
1-
x`
!
{ax+b}-{a+b}
=lim
x-1
1-
x`
!
a{x-1}
= lim
x-1
1-
x`
!
=a
/ a=3
이를 ㉠에 대입하여 풀면
b=-2
1
2
068 답 a=
1
2 , b=-
함수 f{x}가 x=1에서 미분가능하면
! x=1에서 연속이므로
ax@= lim
1-
{x+b}=f{1}
x`
lim
1+
x`
!
!
/ a=1+b yy ㉠
@ 미분계수 f '{1}이 존재하므로
f{x}-f{1}
lim
x-1
1+
x`
!
ax@-a
=lim
x-1
1+
x`
!
a{x+1}{x-1}
= lim
x-1
x`
1+
!
= lim
1+
x`
!
{ax+a}=2a
f{x}-f{1}
lim
x-1
1-
x`
!
{x+b}-{1+b}
=lim
x-1
1-
x`
!
x-1
= lim
x-1
1-
x`
!
=1
따라서 2a=1이므로 a=
1
2
이를 ㉠에 대입하여 풀면
b=-
1
2
18 정답과 해설
069 답 a=2, b=2
함수 f{x}가 x=1에서 미분가능하면
! x=1에서 연속이므로
{ax+1}= lim
1-
따라서 a+1=1+b이므로 a=b yy ㉠
@ 미분계수 f '{1}이 존재하므로
f{x}-f{1}
x-1
{ax+1}-{a+1}
=lim
x-1
1+
x`
!
{x@+b}=f{1}
lim
1+
x`
!
lim
1+
x`
!
!
x`
a{x-1}
= lim
x-1
1+
x`
!
=a
f{x}-f{1}
lim
x-1
1-
x`
!
{x@+b}-{1+b}
=lim
x-1
1-
x`
!
{x-1}{x+1}
= lim
x-1
1-
x`
!
{x+1}=2
= lim
1-
x`
!
/ a=2
이를 ㉠에 대입하여 풀면
b=2
최종 점검하기
4 8~49쪽
2 ④
8 4
3 ⑤
9 ③
4 ②
10 3
5 6
6 ②
11 ②
12 ①
1 1
7 ③
13 3
1
Dy
Dx =
f{5}-f{1}
5-1
=
{5a+26}-{a+2}
4
=a+6
따라서 a+6=7이므로 a=1
2 x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 평균변화율은
Dy
Dx =
f{b}-f{a}
b-a
=
=
{b@-a@}-{b-a}
b-a
{b-a}{b+a}-{b-a}
b-a
=a+b-1
yy ㉠
x=2에서의 미분계수는
f{2+Dx}-f{2}
f '{2} =lim
Dx
0
!
Dx`
9{2+Dx}@-{2+Dx}0-2
= lim
Dx
0
Dx`
!
= lim
{3+Dx}=3 yy ㉡
0
Dx`
!
㉠, ㉡에서 a+b-1=3
/ a+b=4
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3 lim
h`
0
!
f{a+2h}-f{a-h}
h
=lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
f{a+2h}-f{a}-f{a-h}+f{a}
h
f{a+2h}-f{a}
2h
f{a-h}-f{a}
\2+lim
-h
0
!
h`
=2f '{a}+f '{a}
=3f '{a}
4 lim
x`
1
!
f{x}-f{1}
x#-1
f{x}-f{1}
x-1
=lim
1
x`
!
-
f{x}-f{1}
=lim
1
x`
!
\
1
x@+x+1 =
1
x@+x+1
x`
x-1 \lim
1
3
!
1
=f '{1}\
=-3\
=-1
1
3
5 f{1}=5이므로 a+2=5 / a=3
/ f{x}=3x@+2
따라서 f '{x}=6x이므로 점 {1, 5}에서의 접선의 기울기는
f '{1}=6
6 A는 점 {a, f{a}}에서의 접선의 기
울기, B는 점 {b, f{b}}에서의 접선의
기울기, C는 두 점 {a, f{a}}, {b, f{b}}
를 지나는 직선의 기울기를 의미한다.
y
f{b}
f{a}
따라서 오른쪽 그림에서
Af{b}
따라서 함수 f{x}=-x#은 구간 {-E, E}에서 감소한다.
035 답 감소
구간 {0, E}에 속하는 임의의 a, b에 대하여 af{b}
-
>0
1
b
037 답 구간 {-E, -1]에서 감소, 구간 [-1, E}에서 증가
f{x}=x@+2x-3에서
f '{x}=2x+2=2{x+1}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
…
-
↘
-1
0
-4
…
+
↗
따라서 함수 f{x}는 구간 {-E, -1]에서 감소하고 구간
[-1, E}에서 증가한다.
함수 f{x}=x@-1은 닫힌구간 [-1, 4]에서 연속이고 열린구간
{-1, 4}에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여
f{4}-f{-1}
4-{-1}
=f '{c}인 c가 열린구간 {-1, 4}에 적어도 하나
032 답 <, <, 증가
=3이고, f '{x}=2x에서 f '{c}=2c
028 답 2
함수 f{x}=x@-2x+3은 닫힌구간 [1, 3]에서 연속이고 열린구
간 {1, 3}에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여
=f '{c}인 c가 열린구간 {1, 3}에 적어도 하나 존재
f{a}-f{b}=-a#+b#>0
=2이고, f '{x}=2x-2에서
함수 f{x}=-x@+3x+4는 닫힌구간 [1, 4]에서 연속이고 열린
구간 {1, 4}에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여
따라서 함수 f{x}=
은 구간 {0, E}에서 감소한다.
1
x
=f '{c}인 c가 열린구간 {1, 4}에 적어도 하나 존재
036 답 -2x, 0, 증가, 감소
=-2이고, f '{x}=-2x+3에서
함수 f{x}=2x#+5는 닫힌구간 [0, 2]에서 연속이고 열린구간
{0, 2}에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여
f{2}-f{0}
2-0
=f '{c}인 c가 열린구간 {0, 2}에 적어도 하나 존재
한다.
2c-a-b=0 / c=
a+b
2
026 답 f '{c}, -4, 1
027 답
3
2
존재한다.
이때
f{4}-f{-1}
4-{-1}
=
15-0
5
이므로
3=2c / c=
3
2
f{3}-f{1}
3-1
한다.
이때
f{3}-f{1}
3-1
=
6-2
2
f '{c}=2c-2이므로
2=2c-2 / c=2
029 답
5
2
f{4}-f{1}
4-1
한다.
이때
f{4}-f{1}
0-6
3
4-1
f '{c}=-2c+3이므로
=
-2=-2c+3 / c=
5
2
030 답
2j3
3
한다.
22 정답과 해설
수학2 AM 해설 (001~056)-OK.indd 22
2018-04-24 오전 10:57:46
038 답 구간 {-E, -1], [1, E}에서 증가,
함수 f{x}가 구간 [2, 3]에서 증가하려면
y
y=f '{x}
구간 [-1, 1]에서 감소
20이어야 하므로 오
따라서 함수 f{x}는 구간 {-E, -1], [1, E}에서 증가하고 구
f '{-1}<0에서 -2a-2<0 / a>-1 yy ㉠
f{x}=x#-3x+1에서
f '{x}=3x@-3=3{x+1}{x-1}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=1
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
…
+
↗
-1
0
3
…
-
↘
1
0
-1
…
+
↗
간 [-1, 1]에서 감소한다.
039 답 >, >, <, -
1
3
040 답 k<-
4
3
f{x}=-x#+2x@+kx-1에서 f '{x}=-3x@+4x+k
함수 f{x}가 구간 {-E, E}에서 감소하려면 모든 실수 x에 대
하여 f '{x}<0이어야 하므로
-3x@+4x+k<0
이차방정식 -3x@+4x+k=0의 판별식을 D라고 하면
D
4
=2@-{-3}\k<0 / k<-
4
3
041 답 -30이어야 하므로
3x@+2kx+3>0
이차방정식 3x@+2kx+3=0의 판별식을 D라고 하면
D
4
{k+3}{k-3}<0 / -39
f{x}=-x#+3x@+ax-1에서
이차방정식 -3x@+2kx-{2k+9}=0의 판별식을 D라고 하면
D
4
{k+3}{k-9}<0 / -30
/ a>9
O 1 2 3
x
045 답 -10이므로 구간 [-1, 1]에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로
나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
-1
+
f{x}
-4a+b
…
+
↗
0
0
b
극대
…
-
↘
1
-
-2a+b
따라서 함수 f{x}의 최댓값은 b, 최솟값은 -4a+b이므로
b=10, -4a+b=2 / a=2, b=10
081 답 7
f{x}=2x#-6x@+a에서
f '{x}=6x@-12x=6x{x-2}
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 또는 x=2
구간 [0, 3]에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과
같다.
x
f '{x}
f{x}
0
0
a
…
-
↘
2
0
a-8
극소
…
+
↗
3
+
a
04
함수 f{x}의 최댓값은 a이므로 a=15
따라서 함수 f{x}의 최솟값은
a-8=15-8=7
082 답 a+1, -1, -1, 11, -1, 11
083 답 j5
점 P의 좌표를 {a, a@+1}이라고 하면 점 P와 점 {3, 1} 사이의
거리는
1{a-3}@+3a$3=1a$+a@-6a3+93
f{a}=a$+a@-6a+9라고 하면
f '{a} =4a#+2a-6=2{a-1}{2a@+2a+3}
f '{a}=0인 a의 값은 a=1 {? 2a@+2a+3>0}
함수 f{a}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
a
f '{a}
f{a}
…
-
↘
1
0
5
극소
…
+
↗
따라서 함수 f{a}는 a=1에서 최소이고 최솟값은 5이므로 구하는
거리의 최솟값은 j5이다.
084 답 2
점 P의 좌표를 {a, -a@+3a} {00, 6-2x>0이어야 하므로 00, 12-2x>0이어야 하므로 00이어야 하므로
3x@-4kx+k>0
함수 f{x}가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 x에 대
이차방정식 3x@-4kx+k=0의 판별식을 D라고 하면
D
4
={-2k}@-3\k<0
4k@-3k<0, k{4k-3}<0 / 00이므로 함수 f{x}는 증가한다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
16 f{x}=x$-2x@+2에서
f '{x}=4x#-4x=4x{x+1}{x-1}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=0 또는 x=1
구간 [-2, 1]에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음
극소이고 극솟값은 3이므로
M=7, m=3
/ M+m=10
13 f{x}=x#-6x@+ax+b에서
f '{x}=3x@-12x+a
x=1에서 극댓값이 -1이므로
f '{1}=0, f{1}=-1
f '{1}=0에서 3-12+a=0 / a=9
f{1}=-1에서 1-6+a+b=-1 / b=-5
따라서 f{x}=x#-6x@+9x-5이므로
f '{x}=3x@-12x+9=3{x-1}{x-3}
f '{x}=0인 x의 값은 x=1 또는 x=3
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
…
+
↗
1
0
-1
…
-
↘
3
0
-5
…
+
↗
따라서 함수 f{x}는 x=3에서 극소이고 극솟값은 -5이다.
14 함수 y=f '{x}의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는 -3,
-1, 1, 3이므로 구간 [-3, 4]에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표
로 나타내면 다음과 같다.
x
-3 … -1 …
f '{x}
0
+
0
-
1
0
…
+
3
0
…
4
- -
f{x}
↗ 극대 ↘ 극소 ↗ 극대 ↘
값을 갖는 x의 값의 합은
-1+3=2
15 함수 y=f '{x}의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는 -1,
1, 3, 5이므로 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과
같다.
x
… -1 …
f '{x} +
0
-
1
0
…
+
3
0
…
-
5
0
…
+
f{x} ↗ 극대 ↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
ㄱ. 구간 [0, 4]에서 함수 f{x}는 x=1, x=3에서 극값을 가지므
로 극값은 2개이다.
30 정답과 해설
…
-
↘
-1
0
1
극소
…
+
↗
0
0
2
극대
…
-
↘
1
0
1
따라서 함수 f{x}는 x=-2에서 최대이고 최댓값은 10, x=-1,
x=1에서 최소이고 최솟값은 1이므로
과 같다.
x
f '{x}
-2
-
f{x}
10
M=10, m=1
/ Mm=10
17 f{x}=ax#-3ax@-b에서
f '{x}=3ax@-6ax=3ax{x-2}
f '{x}=0인 x의 값은 x=2 {? 10이므로 구간 [1, 4]에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타
내면 다음과 같다.
x
f '{x}
1
-
f{x}
-2a-b
…
-
↘
2
0
-4a-b
극소
…
+
↗
4
+
16a-b
따라서 함수 f{x}의 최댓값은 16a-b, 최솟값은 -4a-b이므로
16a-b=14, -4a-b=-6
두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=2
/ ab=2
18 점 A의 좌표를 {a, -a@+6} {00)
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
…
-
↘
0
0
-3
…
+
↗
x
f '{x}
f{x}
…
-
↘
0
0
-2
…
+
↗
2
0
6
…
-
↘
따라서 함수 y=f{x}의 그래프는 오른쪽
y=f{x}
y
그림과 같으므로 직선 y= a와 서로 다른
6
세 점에서 만나려면
-20)
x
y=a
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
009 답 a<0
x#+9x=6x@+a에서 x#-6x@+9x=a
의 교점의 x좌표와 같다.
f{x}=x#-6x@+9x라고 하면
f '{x}=3x@-12x+9=3{x-1}{x-3}
f '{x}=0인 x의 값은 x=1 또는 x=3
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
…
+
↗
…
-
↘
…
-
↘
…
+
↗
…
+
↗
3
0
0
y
4
1
0
-1
y
1
이 방정식의 실근은 함수 y=4x#-6x@+1의 그래프와 직선 y=a의
010 답 -1
4x#-a=6x@-1에서 4x#-6x@+1=a
교점의 x좌표와 같다.
f{x}=4x#-6x@+1이라고 하면
f '{x}=12x@-12x=12x{x-1}
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 또는 x=1
x
f '{x}
f{x}
…
+
↗
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 y=f{x}의 그래프는 오른쪽
y=f{x}
그림과 같으므로 직선 y=a와의 교점의 x
좌표가 한 개는 음수이고, 한 개는 양수인 a
의 값은 a=-1
1
O
x
-1
y=a
1
0
4
0
0
1
011 답 x+1, -1, -1, 0, -1, 0
012 답 풀이 참고
f{x}=-x$+2x@-1이라고 하면
f '{x}=-4x#+4x=-4x{x+1}{x-1}
013 답 풀이 참고
f{x}=x#-3x+2라고 하면
f '{x}=0인 x의 값은 x=1 (∵ x>0)
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
함수 f{x}는 x=1에서 최소이고 최솟값은 0이므로 f{x}>0
따라서 x>0일 때, 부등식 x#-3x+2>0이 성립한다.
x
f '{x}
f{x}
0
-
2
0
x
f '{x}
f{x}
…
-
↘
…
-
↘
1
0
0
1
0
2
…
+
↗
…
+
↗
함수 f{x}는 x=1에서 최소이고 최솟값은 2이므로 f{x}>0
따라서 x>0일 때, 부등식 x#-x@-x+3>0이 성립한다.
015 답 풀이 참고
x#+4x@6x@-9x에서 x#-6x@+9x+1>0
f{x}=x#-6x@+9x+1이라고 하면
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=0 또는 x=1
f '{x}=3x@-12x+9=3{x-1}{x-3}
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
f '{x}=0인 x의 값은 x=1 (∵ 00
따라서 모든 실수 x에 대하여 부등식 -x$+2x@-1<0이 성립한다.
따라서 06x@-9x가 성립한다.
32 정답과 해설
수학2 AM 해설 (001~056)-OK.indd 32
2018-04-24 오전 10:57:49
f '{x}=4x#+3x@+2x=x{4x@+3x+2}
-a이므로 f{x}>0이 성립하려면
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 (∵ 4x@+3x+2>0)
-a>0 ∴ a<0
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
017 답 a, a-8, 2, a-8, 0, 8
018 답 a>0
f{x}=x$+x#+x@+a라고 하면
x
f '{x}
f{x}
…
-
↘
0
0
a
…
+
↗
f{x}>0이 성립하려면
a>0
019 답 a<-1
f{x}=3x$-4x#-a라고 하면
f '{x}=12x#-12x@=12x@{x-1}
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 또는 x=1
따라서 함수 f{x}는 x=0에서 최소이고 최솟값은 a이므로
x
f '{x}
f{x}
0
+
-a
…
+
↗
…
+
↗
2
+
-a+1
-a+2
따라서 07x@+a에서 2x#-7x@+4x-a>0
f{x}=2x#-7x@+4x-a라고 하면
f '{x}=6x@-14x+4=2{3x-1}{x-2}
f '{x}=0인 x의 값은 x=2 {? 10이 성립하려면
-a-1>0 ∴ a<-1
020 답 a>1
5x#-2x@+a>3x#+x@에서 2x#-3x@+a>0
f{x}=2x#-3x@+a라고 하면
f '{x}=6x@-6x=6x{x-1}
f '{x}=0인 x의 값은 x=1 (∵ x>0}
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
0
x
f '{x}
f{x}
…
-
↘
1
0
a-1
…
+
↗
따라서 x>0일 때, 함수 f{x}는 x=1에서 최소이고 최솟값은
a-1이므로 f{x}>0이 성립하려면
a-1>0 ∴ a>1
021 답 a<0
x#-x@+3x>2x@+a에서 x#-3x@+3x-a>0
f{x}=x#-3x@+3x-a라고 하면
f '{x}=3x@-6x+3=3{x-1}@
f '{x}=0인 x의 값은 x=1
-a-4이므로 f{x}>0이 성립하려면
-a-4>0 ∴ a<-4
023 답 6t-6, 9, 12
024 답 16, 14
시각 t에서 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라고 하면
v=
=3t @-4t+1
a=
=6t-4
dx
dt
dv
dt
dx
dt
dv
dt
dx
dt
dv
dt
따라서 t=3일 때, 점 P의 속도와 가속도는
v=3\3@-4\3+1=16
a=6\3-4=14
025 답 -24, -18
시각 t에서 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라고 하면
v=
=-3t @+3
a=
=-6t
v=-3\3@+3=-24
a=-6\3=-18
따라서 t=3일 때, 점 P의 속도와 가속도는
026 답 19, -4
시각 t에서 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라고 하면
v=
=-3t @+14t+4
a=
=-6t+14
따라서 t=3일 때, 점 P의 속도와 가속도는
v=-3\3@+14\3+4=19
00)
031 답 3
시각 t에서 점 P의 속도를 v라고 하면
점 P가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로
032 답 5
시각 t에서 점 P의 속도를 v라고 하면
v=
dx
dt
=-3t @+12t+15
점 P가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로
-3t @+12t+15=0
-3{t+1}{t-5}=0
∴ t=5 (∵ t>0)
34 정답과 해설
v=
=3t @-6t+8
a=
=6t-6
dx
dt
dv
dt
v=5에서 3t @-6t+8=5
3t @-6t+3=0, 3{t-1}@=0
∴ t=1
따라서 t=1일 때, 점 P의 가속도는
a=6\1-6=0
v=
=9t @-8t+4
a=
=18t-8
dx
dt
dv
dt
v=5에서 9t @-8t+4=5
9t @-8t-1=0, {9t+1}{t-1}=0
∴ t=1 (∵ t>0)
따라서 t=1일 때, 점 P의 가속도는
a=18\1-8=10
035 답 10
시각 t에서 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라고 하면
036 답 -13
시각 t에서 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라고 하면
v=
=-3t @-t+19
a=
=-6t-1
dx
dt
dv
dt
v=5에서 -3t @-t+19=5
3t @+t-14=0, {3t+7}{t-2}=0
∴ t=2 {? t>0}
따라서 t=2일 때, 점 P의 가속도는
a=-6\2-1=-13
037 답
시각 t에서 속도는 f '{t}이고 00이므로 t=a일 때, 점 P는 운동 방향을 바꾼다.
038 답 \
f '{b}>0이므로 t=b일 때, 점 P의 속도는 양수이다.
039 답
t=c일 때, |f{t}|의 값이 가장 크므로 점 P가 원점에서 가장 멀
리 떨어져 있다.
040 답
t=1, t=3, t=7, t=9일 때, f{t}=0이므로 점 P는 원점을 네 번
033 답 12t-10, 2, 2, 2, 14
지난다.
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041 답 \
t=2, t=4, t=5, t=6, t=8일 때, 점 P는 운동 방향을 바꾸므로
053 답 속도: 10 m/s, 가속도: -10 m/s@
쏘아 올린 지 t초 후의 물체의 속도를 v m/s, 가속도를 a m/s@이
운동 방향을 다섯 번 바꾼다.
042 답
f '{4}=0이므로 t=4일 때, 점 P의 속도는 0이다.
v=
라고 하면
dx
dt
dv
dt
a=
=20-10t
=-10
043 답 \
시각 t에서 가속도는 v'{t}이고 v'{b}<0이므로 t=b일 때, 점 P
v=20-10\1=10 {m/s}
a=-10 {m/s@}
의 가속도는 음수이다.
따라서 t=1일 때, 물체의 속도와 가속도는
054 답 45 m
물체가 최고 높이에 도달할 때의 속도는 0이므로
05
044 답 \
v{a}>0, v{c}<0이므로 t=a일 때와 t=c일 때의 점 P의 운동
방향은 서로 다르다.
045 답
00, 30)
따라서 t=4일 때, 물체의 속도는
v=20-10\4=-20 {m/s}
20-10t=0 / t=2
따라서 t=2일 때, 물체의 높이는
x=25+20\2-5\2@=45 {m}
055 답 -30 m/s
물체가 지면에 떨어지는 순간의 높이는 0이므로
25+20t-5t @=0
-5{t+1}{t-5}=0
/ t=5 {? t>0}
따라서 t=5일 때, 물체의 속도는
v=20-10\5=-30 {m/s}
056 답 90 m
쏘아 올린 지 t초 후의 물체의 속도를 v m/s라고 하면
물체가 최고 높이에 도달할 때의 속도는 0이므로
v=
=30-10t
dx
dt
30-10t=0 / t=3
t=3일 때, 물체의 높이는
x=30\3-5\3@=45 {m}
따라서 물체가 지면에 떨어질 때까지 움직인 거리는
45\2=90 {m}
057 답 24-6t, 0, 4, 4, 48
058 답 8초, 128 m
제동을 건 지 t초 후의 열차의 속도를 v m/s라고 하면
v=
=32-4t
dx
dt
열차가 정지할 때의 속도는 0이므로
32-4t=0 ∴ t=8
따라서 열차가 정지할 때까지 걸린 시간은 8초이고 그때까지 움직
인 거리는
x=32\8-2\8@=128 {m}
059 답 2t, x-2t, 3t, 3
05 도함수의 활용 ⑵ 35
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A
3.4`m
D
1.7`m
B
2t`m
E
x`m
C
최종 점검하기
82~83쪽
1 ③
7 ⑤
2 ⑤
8 2
12 36p cm@/s
3 ④
9 12
4 ②
5 ③
6 ②
10 ④
11 -15 m/s
060 답 2 m/s
학생이 t초 동안 움직이는 거리는 2t m
그림자 끝이 t초 동안 움직이는 거리를
x m라고 하면 오른쪽 그림에서
ABCT
DEC이므로
3.4`:`x=1.7`:`{x-2t}
s
s
1.7x=3.4x-6.8t
∴ x=4t
그림자의 길이를 l m라고 하면
l =CE
=BC
-BE
Z
=x-2t=4t-2t
=2t
따라서 그림자의 길이의 변화율은
dl
dt
=2 {m/s}
061 답 114 cm@/s
t초 후의 정사각형의 한 변의 길이는 {10+3t} cm
t초 후의 정사각형의 넓이를 S cm@라고 하면
S={10+3t}@=9t @+60t+100
시각 t에 대한 넓이 S의 변화율은
dS
dt
따라서 t=3일 때, 정사각형의 넓이의 변화율은
=18t+60
18\3+60=114 {cm@/s}
062 답 108 cm#/s
t초 후의 정육면체의 한 모서리의 길이는 {2+t} cm
t초 후의 정육면체의 부피를 V cm#라고 하면
시각 t에 대한 부피 V의 변화율은
dV
dt
따라서 t=4일 때, 정육면체의 부피의 변화율은
=3t @+12t+12
3\4@+12\4+12=108 {cm#/s}
063 답 18p cm#/s
t초 후의 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 {1+t} cm, 높이는
{10-2t} cm이다. (단, 00이 성립하려면
a-11>0 ∴ a>11
6 h{x}=f{x}-g{x}=x$+x@-a라고 하면
h'{x}=4x#+2x=2x{2x@+1}
h'{x}=0인 x의 값은 x=0 (∵ 2x@+1>0)
-10, 즉 f{x}>g{x}가 성립하려면
-a>0 ∴ a<0
따라서 상수 a의 최댓값은 0이다.
7 시각 t에서 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라고 하면
v=
=3t @+2t-5
a=
=6t+2
dx
dt
dv
dt
따라서 t=2일 때, 점 P의 가속도는
a=6\2+2=14
05
8 시각 t에서 점 P의 속도를 v라고 하면
점 P가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로
v=
=3t @-6t
dx
dt
3t @-6t=0
3t{t-2}=0
∴ t=2 (∵ t>0}
9 시각 t에서 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라고 하면
v=
=9t @-6t+7
a=
=18t-6
dx
dt
dv
dt
v=10에서 9t @-6t+7=10
9t @-6t-3=0
3{3t+1}{t-1}=0
∴ t=1 (∵ t>0)
따라서 t=1일 때, 점 P의 가속도는
a=18\1-6=12
10 ① 00이므로 가속도는 양수이다.
② a0)
따라서 t=2일 때, 물체의 속도는
v=5-10\2=-15 {m/s}
12 t초 후의 원의 반지름의 길이는 {1+2t} cm
t초 후의 원의 넓이를 S cm@라고 하면
S=p{1+2t}@=p{4t @+4t+1}
원의 넓이가 81p cm@이면
p{4t @+4t+1}=81p
t @+t-20=0
{t+5}{t-4}=0
/ t=4 (∵ t>0)
시각 t에 대한 넓이 S의 변화율은
dS
dt
따라서 t=4일 때, 원의 넓이의 변화율은
=p{8t+4}
p{8\4+4}=36p {cm@/s}
05 도함수의 활용 ⑵ 37
수학2 AM 해설 (001~056)-OK.indd 37
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06
013 답 x#+x@-x, 0, x#+x@-x, 10
86~93쪽
014 답 -1
III. 적분
001 답 3
부정적분
002 답 f{x}=4x+1
양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}={2x@+x+C}'=4x+1
003 답 f{x}=12x@-5
양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}={4x#-5x+C}'=12x@-5
004 답 f{x}=4x#+9x@-2x
양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}={x$+3x#-x@+C}'=4x#+9x@-2x
005 답 5x+C
{5x}'=5이므로
/ 5`dx=5x+C
006 답 x@+C
{x@}'=2x이므로
/ 2x`dx=x@+C
007 답 x#+C
{x#}'=3x@이므로
/ 3x@`dx=x#+C
008 답 x$+C
{x$}'=4x#이므로
/ 4x#`dx=x$+C
009 답 3x@+x+C
d
dx
/-
f{x}
`dx =f{x}+C=3x@+x+C
=
010 답 3x@+x
d
dx - / f{x}`dx
011 답 x$+2x#+C
=f{x}=3x@+x
=
d
dx
/-
=
f{x}
`dx =f{x}+C=x$+2x#+C
012 답 x$+2x#
d
dx - / f{x}`dx
=f{x}=x$+2x#
=
38 정답과 해설
F{x} =/ -
{x@-5x}
`dx
=
d
dx
=x@-5x+C
F{1}=1이므로
1-5+C=1 / C=5
따라서 F{x}=x@-5x+5이므로
F{2}=4-10+5=-1
015 답 2
F{x} =/ -
d
dx
{2x#-4x@-x}
`dx
=
=2x#-4x@-x+C
F{1}=1이므로
2-4-1+C=1 / C=4
따라서 F{x}=2x#-4x@-x+4이므로
F{2}=16-16-2+4=2
016 답 x+C
017 답 7x+C
018 답
x@+C
019 답
x$+C
020 답
x%+C
021 답
x^+C
1
2
1
4
1
5
1
6
022 답
1
10
x!)+C
023 답
1
100
x!))+C
024 답
1
6
x^, 2x^+C
025 답 3x(+C
/ 27x*`dx =27/ x*`dx
x(+C
=27\
1
9
=3x(+C
026 답 2x@+3x+C
/ {4x+3}`dx =4/ x`dx+/ 3`dx
x@+3x+C
=4\
1
2
=2x@+3x+C
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027 답
1
4
1
2
x$+
x@+C
/ {x#+x}`dx =/ x#`dx+/ x`dx
1
4
x@+C
x$+
=
1
2
028 답
1
5
1
3
x%-
x#+C
/ {x$-x@}`dx =/ x$`dx-/ x@`dx
1
5
x#+C
x%-
=
1
3
029 답
1
2
1
3
x$-
x#+7x+C
/ {2x#-x@+7}`dx =2/ x#`dx-/ x@`dx+/ 7`dx
1
4
x#+7x+C
=2\
x$-
1
3
=
x$-
x#+7x+C
1
2
1
3
030 답 x*-x^+x@+C
/ {8x&-6x%+2x}`dx =8/ x&`dx-6/ x%`dx+2/ x`dx
1
8
x*-6\
x^+2\
x@+C
=8\
1
2
1
6
=x*-x^+x@+C
031 답
2
3
1
2
x#+
x@-x+C
/ {x+1}{2x-1}`dx =/ {2x@+x-1}`dx
=
x#+
x@-x+C
2
3
1
2
032 답 2x$-4x#+3x@-x+C
/ {2x-1}#`dx =/ {8x#-12x@+6x-1}`dx
=2x$-4x#+3x@-x+C
033 답
1
4
x$+x+C
/ {x+1}{x@-x+1}`dx =/ {x#+1}`dx
=
x$+x+C
1
4
034 답 x#+x@+x+C
/ {x@+3x-1}`dx+/ {2x@-x+2}`dx
=/ {3x@+2x+1}`dx
=x#+x@+x+C
06
035 답 x#-2x@+3x+C
/ {4x@+x+3}`dx-/ {x@+5x}`dx
=/ {3x@-4x+3}`dx
=x#-2x@+3x+C
036 답 x$-3x+C
=/ {4x#-3}`dx
=x$-3x+C
037 답 6x#+2x+C
=/ {18x@+2}`dx
=6x#+2x+C
038 답 4x@+C
/ {x#-2x@-7}`dx+/ {3x#+2x@+4}`dx
/ {3x+1}@`dx+/ {3x-1}@`dx
=/ {9x@+6x+1}`dx+/ {9x@-6x+1}`dx
/ {x+2}@`dx-/ {x-2}@`dx
=/ {x@+4x+4}`dx-/ {x@-4x+4}`dx
=/ 8x`dx
=4x@+C
039 답 2x#+2x+C
/ {x+1}#`dx-/ {x-1}#`dx
=/ {x#+3x@+3x+1}`dx-/ {x#-3x@+3x-1}`dx
=/ {6x@+2}`dx
=2x#+2x+C
040 답
1
2
x@+3x+C
x@
x-3
/
`dx-/
9
x-3
x@-9
x-3
`dx=/ {x+3}`dx
`dx =/
1
2
=
x@+3x+C
041 답
1
3
1
2
x#-
x@+x+C
x#
x+1
/
`dx+/
1
x+1
`dx=/ {x@-x+1}`dx
`dx =/
1
3
=
x#+1
x+1
1
2
x#-
x@+x+C
042 답 x$+3x@+C, 1, x$+3x@+1
06 부정적분 39
수학2 AM 해설 (001~056)-OK.indd 39
2018-04-24 오전 10:57:51
043 답 f{x}=x#+2x@-x+2
f{x} =/ f '{x}`dx
=/ {3x@+4x-1}`dx
=x#+2x@-x+C
f{0}=2이므로 C=2
/ f{x}=x#+2x@-x+2
044 답 f{x}=2x#-4x@-5x+9
f{x} =/ f '{x}`dx
=/ {6x@-8x-5}`dx
=2x#-4x@-5x+C
f{2}=-1이므로
16-16-10+C=-1 / C=9
/ f{x}=2x#-4x@-5x+9
045 답 f{x}=x#-x@-x+1
f{x} =/ f '{x}`dx
=/ {3x+1}{x-1}`dx
=/ {3x@-2x-1}`dx
=x#-x@-x+C
f{1}=0이므로
1-1-1+C=0 / C=1
/ f{x}=x#-x@-x+1
046 답 f{x}=2x$-x+3
f{x} =/ f '{x}`dx
=/ {2x-1}{4x@+2x+1}`dx
=/ {8x#-1}`dx
=2x$-x+C
f{-1}=6이므로
2+1+C=6 / C=3
/ f{x}=2x$-x+3
이므로
f '{x}=4x-1
/ f{x} =/ f '{x}`dx
=/ {4x-1}`dx
=2x@-x+C
40 정답과 해설
047 답 2x+3, x@+3x+C, 1, -3, x@+3x-3
048 답 f{x}=2x@-x-2
곡선 y=f{x} 위의 점 {x, f{x}}에서의 접선의 기울기가 4x-1
곡선 y=f{x}가 점 {1, -1}을 지나므로 f{1}=-1에서
2-1+C=-1 / C=-2
/ f{x}=2x@-x-2
049 답 f{x}=x#+x@+4
곡선 y=f{x} 위의 점 {x, f{x}}에서의 접선의 기울기가 3x@+2x
이므로
f '{x}=3x@+2x
/ f{x} =/ f '{x}`dx
=/ {3x@+2x}`dx
=x#+x@+C
곡선 y=f{x}가 점 {1, 6}을 지나므로 f{1}=6에서
1+1+C=6 / C=4
/ f{x}=x#+x@+4
050 답 -4, -4x+C, 5, -4x+5
051 답 f{x}=3x@-2x-5
F{x}=xf{x}-2x#+x@+1의 양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}=f{x}+xf '{x}-6x@+2x
xf '{x}=6x@-2x / f '{x}=6x-2
F{x}=xf{x}-x#+3x@의 양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}=f{x}+xf '{x}-3x@+6x
xf '{x}=3x@-6x / f '{x}=3x-6
/ f{x} =/ f '{x}`dx
=/ {6x-2}`dx
=3x@-2x+C
f{2}=3이므로
12-4+C=3 / C=-5
/ f{x}=3x@-2x-5
052 답 f{x}=
3
2
x@-6x+1
/ f{x} =/ f '{x}`dx
=/ {3x-6}`dx
=
x@-6x+C
f{4}=1이므로
24-24+C=1 / C=1
/ f{x}=
x@-6x+1
053 답 x@f '{x}, 2, -2, 2
3
2
3
2
054 답 0
/ g{x}`dx=x#f{x}+C의 양변을 x에 대하여 미분하면
g{x}=3x@f{x}+x#f '{x}
/ g{-1} =3f{-1}-f '{-1}=3\1-3=0
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055 답 4
/ g{x}`dx={x@+x}f{x}+C의 양변을 x에 대하여 미분하면
g{x}={2x+1}f{x}+{x@+x}f '{x}
/ g{2} =5f{2}+6f '{2}
=5\2+6\{-1}=4
056 답 x#-3x@+C, 6, x#-3x@+6, 6
059 답 f{x}=-x#+3x@+1
f '{x}=ax{x-2} {a<0}라고 하면
f{x} =/ f '{x}`dx
=/ ax{x-2}`dx
=/ {ax@-2ax}`dx
=
ax#-ax@+C
1
3
057 답
1
3
f{x} =/ f '{x}`dx
=/ {x@+2x-3}`dx
=
x#+x@-3x+C
1
3
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 또는 x=2
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
…
-
↘
0
0
극소
…
+
↗
2
0
극대
…
-
↘
06
따라서 함수 f{x}는 x=0에서 극소이고 x=2에서 극대이므로
f '{x} =x@+2x-3={x+3}{x-1}이므로
f '{x}=0인 x의 값은 x=-3 또는 x=1
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
…
+
↗
-3
0
극대
…
-
↘
1
0
극소
…
+
↗
f{0}=1, f{2}=5
/ C=1,
a-4a+C=5
8
3
두 식을 연립하여 풀면 C=1, a=-3
/ f{x}=-x#+3x@+1
따라서 함수 f{x}는 x=-3에서 극대이므로
f{-3}=-9+9+9+C=11
/ C=2
/ f{x}=
x#+x@-3x+2
1
3
또 함수 f{x}는 x=1에서 극소이므로 극솟값은
1
3
+1-3+2=
f{1}=
1
3
058 답 f{x}=x#-6x@+20
f '{x}=ax{x-4} {a>0}라고 하면
f{x} =/ f '{x}`dx
=/ ax{x-4}`dx
=/ {ax@-4ax}`dx
=
ax#-2ax@+C
1
3
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 또는 x=4
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
…
+
↗
0
0
극대
…
-
↘
4
0
극소
…
+
↗
따라서 함수 f{x}는 x=0에서 극대이고 x=4에서 극소이므로
f{0}=20, f{4}=-12
/ C=20,
a-32a+C=-12
64
3
두 식을 연립하여 풀면 C=20, a=3
/ f{x}=x#-6x@+20
최종 점검하기
94~95쪽
1 ②
7 ③
2 9
3 ②
4 ⑤
8 f{x}=x#-2x@+x-1
5 2
9 ①
6 ④
10 ⑤
11 ①
12 3
1 / f{x}`dx=x#-x@-x+C의 양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}=3x@-2x-1
/ f{1}=3-2-1=0
2 F{x}=x$+ax#+bx-1의 양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}=4x#+3ax@+b
f{0}=1, f{1}=2이므로
b=1, 4+3a+b=2
두 식을 연립하여 풀면
a=-1, b=1
따라서 F{x}=x$-x#+x-1이므로
F{2}=16-8+2-1=9
3
d
dx - / {ax#+bx@+5}`dx
=ax#+bx@+5이므로
=
ax#+bx@+5=2x#-9x@+c
위의 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로
a=2, b=-9, c=5
/ a+b+c=-2
06 부정적분 41
수학2 AM 해설 (001~056)-OK.indd 41
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4 F{x} =/ -
d
dx
{x#-2x@+3x}
`dx
=
=x#-2x@+3x+C
F{-1}=-5이므로
-1-2-3+C=-5 / C=1
따라서 F{x}=x#-2x@+3x+1이므로
F{3}=27-18+9+1=19
5 f{x} =/
`dx+/
`dx-/
1
1-x
1
x-1
`dx
`dx
x#
x-1
x#
x-1
x#-1
x-1
=/
=/
`dx
=/ {x@+x+1}`dx
1
2
x@+x+C
x#+
1
3
=
f{0}=
이므로 C=
1
6
1
3
1
3
1
2
1
6
1
2
1
6
f{1}=
+
+1+
=2
따라서 f{x}=
x#+
x@+x+
이므로
1
6
6 f{x} =/ f '{x}`dx
=/ {4x#+6x}`dx
=x$+3x@+C
f{0}=1이므로 C=1
따라서 f{x}=x$+3x@+1이므로
f{-1}=1+3+1=5
7 f{x} =/ f '{x}`dx
=/ {3ax@+2}`dx
=ax#+2x+C
f{0}=2, f{1}=5이므로
C=2, a+2+C=5
두 식을 연립하여 풀면 C=2, a=1
따라서 f{x}=x#+2x+2이므로
f{3}=27+6+2=35
f '{x}=3x@-4x+1
/ f{x} =/ f '{x}`dx
=/ {3x@-4x+1}`dx
=x#-2x@+x+C
8 곡선 y=f{x} 위의 점 {x, f{x}}에서의 접선의 기울기가
3x@-4x+1이므로
곡선 y=f{x}가 점 {1, -1}을 지나므로 f{1}=-1에서
1-2+1+C=-1 / C=-1
/ f{x}=x#-2x@+x-1
42 정답과 해설
9 F{x}=xf{x}-3x$-2x@+1의 양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}=f{x}+xf '{x}-12x#-4x
xf '{x}=12x#+4x / f '{x}=12x@+4
/ f{x} =/ f '{x}`dx
=/ {12x@+4}`dx
=4x#+4x+C
f{0}=0이므로 C=0
따라서 f{x}=4x#+4x이므로
f{-1}=-4-4=-8
10 / g{x}`dx={x$+1}f{x}+C의 양변을 x에 대하여 미분하면
g{x}=4x#f{x}+{x$+1}f '{x}
/ g{1} =4f{1}+2f '{1}=4\2+2\{-1}=6
11 f{x} =/ f '{x}`dx =/ {x@-x-2}`dx
=
x#-
x@-2x+C
1
3
1
2
f '{x}=x@-x-2={x+1}{x-2}이므로
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=2
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
-1
0
극대
…
-
↘
2
0
극소
…
+
↗
…
+
↗
1
2
1
2
따라서 함수 f{x}는 x=-1에서 극대이므로
4
3
f{-1}=-
/ C=
+2+C=
1
3
-
/ f{x}=
x#-
x@-2x+
5
2
4
3
또 함수 f{x}는 x=2에서 극소이므로 극솟값은
f{2}=
-2-4+
=-2
4
3
1
3
8
3
12 f '{x}=ax{x-3} {a>0}이라고 하면
f{x} =/ f '{x}`dx=/ ax{x-3}`dx
3
2
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 또는 x=3
=/ {ax@-3ax}`dx=
ax#-
1
3
ax@+C
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
…
+
↗
0
0
극대
…
-
↘
3
0
극소
…
+
↗
함수 f{x}는 x=0에서 극대이고 x=3에서 극소이므로
f{0}=10, f{3}=-17
/ C=10, 9a-
27
2
두 식을 연립하여 풀면 C=10, a=6
a+C=-17
따라서 f{x}=2x#-9x@+10이므로
f{1}=2-9+10=3
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07
07
012 답 -
19
4
98~107쪽
/0! {x #+6x @-7}`dx =
{
x $+2x #-7x
}0!
1
4
1
4
=
[
+2-7
-0=-
]
19
4
III. 적분
정적분
/0@ 5`dx=
{
5x
}0@=10-0=10
/2% 2`dx=
{
2x
}2%=10-4=6
/-1! 4x`dx=
{
2x @
}-1! =2-2=0
/1# 6x @`dx=
{
2x #
}1#=54-2=52
001 답 10
002 답 6
003 답 0
004 답 52
005 답 6
006 답 6
007 답 22
008 답
19
3
009 답 9
010 답 12
011 답 12
/0@ {x+2}`dx=
{
x @+2x
}0@={2+4}-0=6
1
2
/1# {2x-1}`dx=
{
x @-x
}1#={9-3}-{1-1}=6
3
2
1
3
8
3
/2$ {3x+2}`dx =
{
x @+2x
}2$
={24+8}-{6+4}=22
/1@ {x @+4}`dx =
{
x #+4x
=
[
+8
-
]
+4
=
]
19
3
}1@
1
3
[
/0# {x @-2x+3}`dx =
{
1
3
x #-x @+3x
}0#
={9-9+9}-0=9
/-2@ {3x @+4x-1}`dx =
{
x #+2x @-x
}-2@
={8+8-2}-{-8+8+2}=12
/-1@ {4x #-2x}`dx =
{
x $-x @
}-1@
={16-4}-{1-1}=12
/1# {8x #+3x @-6x}`dx =
{
2x $+x #-3x @
}1#
={162+27-27}-{2+1-3}=162
013 답 162
014 답 0
015 답 0
016 답 -10
018 답 -4
019 답 42
020 답 22
/3! {4x-3}`dx =-/1#{4x-3}`dx
2x @-3x
=-
{
}1#
=-9{18-9}-{2-3}0=-10
017 답 -21
/1_@ {6x @-2x}`dx =-/-2! {6x @-2x}`dx
{
=-
2x #-x @
}-2!
=-9{2-1}-{-16-4}0=-21
/1) {5x $-3x @+8x}`dx =-/0!{5x $-3x @+8x}`dx
{
=-
x %-x #+4x @
}0!
=-{1-1+4}=-4
/0# {x+7}`dx-/0# {x-7}`dx =/0#14`dx
=
14x
{
}0#=42
/1# {2x @-5x+1}`dx+/1# {x @+5x-3}`dx
=/1# {3x @-2}`dx=
={27-6}-{1-2}=22
{
x #-2x
}1#
021 답 15
/-1@ {6x @-x+1}`dx-/-1@ {x+1}`dx
=/-1@ {6x @-2x}`dx =
={16-4}-{-2-1}=15
{
2x #-x @
}-1@
022 답 -, 4x, 8
07 정적분 43
수학2 AM 해설 (001~056)-OK.indd 43
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023 답 7
030 답 -18
/1@ {3x @+x-7}`dx-/2! {7-x}`dx
/-1@ {2x-7}`dx+/2$ {2x-7}`dx-/5$ {2x-7}`dx
=/1@ {3x @+x-7}`dx+/1@ {7-x}`dx
=/-1@ {2x-7}`dx+/2$ {2x-7}`dx+/4% {2x-7}`dx
=/1@ 3x @`dx=
{
=8-1=7
x #
}1@
024 답
40
3
/-1# {2x @-3x+4}`dx+/3_! {x @-3x+3}`dx
=/-1# {2x @-3x+4}`dx-/-1# {x @-3x+3}`dx
1
3
=/-1# {x @+1}`dx=
{
x #+x
}-1#
={9+3}-
-
[
1
3
-1
=
]
40
3
025 답 3, 3, 12
026 답 21
/0_! {x @+4}`dx+/-1# {x @+4}`dx =/0#{x @+4}`dx
1
3
=
{
x #+4x
}0#
=9+12=21
028 답 30
/-2_! {3x @-1}`dx-/3_! {3x @-1}`dx
=/-2_! {3x @-1}`dx+/-1# {3x @-1}`dx
=/-2# {3x @-1}`dx=
={27-3}-{-8+2}=30
{
x #-x
}-2#
029 답 -12
/2) {4x #-4x+1}`dx-/-1) {4x #-4x+1}`dx
=/2) {4x #-4x+1}`dx+/0_! {4x #-4x+1}`dx
=/2_! {4x #-4x+1}`dx=
{
={1-2-1}-{16-8+2}=-12
x $-2x @+x
}2_!
44 정답과 해설
=/-1% {2x-7}`dx=
={25-35}-{1+7}=-18
x @-7x
{
}-1%
031 답 x @+1,
x #+x,
1
3
13
3
032 답
37
3
/0# f{x}`dx =/0@{x+2}`dx+/2# x @`dx
1
3
{
x #
}2#
1
2
=
{
x @+2x
=6+
19
3
=
}0@+
37
3
/-1! f{x}`dx =/-1){x+1}`dx+/0! {3x @+1}`dx
=
{
x @+x
x #+x
}0!
{
1
2
1
2
=
+2=
}-1) +
5
2
033 답
5
2
034 답 27
035 답 33
/-3# f{x}`dx =/-3){x-1}@`dx+/0# {x @+1}`dx
=/-3) {x @-2x+1}`dx+/0# {x @+1}`dx
1
3
=
{
x #-x @+x
}-3) +
{
x #+x
}0#
1
3
=21+12=33
036 답 1, x-1, 1,
x @-x, 1
1
2
037 답
5
2
|x+2|=
-
x+2 {x>-2}
-x-2 {x<-2}
이므로
/-3) |x+2|`dx =/-3_@{-x-2}`dx+/-2) {x+2}`dx
-
=
{
x @-2x
}-3_@+
{
x @+2x
}-2)
1
2
1
2
=
+2=
1
2
5
2
027 답 -16
/-1@ f{x}`dx =/-1!{-2x+7}`dx+/1@ {6x @-1}`dx
/-2! {x #-3x @}`dx+/1@ {x #-3x @}`dx =/-2@{x #-3x @}`dx
=
{
-x @+7x
}-1! +
{
2x #-x
}1@
=14+13=27
1
4
=
{
x $-x #
}-2@
={4-8}-{4+8}
=-16
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07
038 답
5
2
|x+1|=
-
x+1 {x>-1}
-x-1 {x<-1}
이므로
/-2! |x+1|`dx =/-2_!{-x-1}`dx+/-1! {x+1}`dx
=
-
{
x @-x
}-2_!+
{
x @+x
}-1!
1
2
1
2
=
+2=
1
2
5
2
039 답 2
|2x-4|=
-
2x-4 {x>2}
-2x+4 {x<2}
이므로
/1# |2x-4|`dx=/1@ {-2x+4}`dx+/2# {2x-4}`dx
=
-x @+4x
{
}1@+
{
x @-4x
}2#
=1+1=2
040 답 3
|3x+6|=
-
3x+6 {x>-2}
-3x-6 {x<-2}
이므로
/-3_! |3x+6|`dx =/-3_@{-3x-6}`dx+/-2_! {3x+6}`dx
=
-
{
x @-6x
}-3_@+
{
x @+6x
}-2_!
3
2
3
2
3
2
=
+
=3
3
2
041 답 2
x @-1 {x<-1 또는 x>1}
|x @-1|=
-
-x @+1 {-12}
|3x @-6x|=
-
-3x @+6x {02}
|x-1|+|x-2|=
-
1
{10}
047 답 2x-a, -1, a, -1, 2x+1
048 답 f{x}=10x-5
주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면
또 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면
f{x}=10x+a
/1! f{t}`dt=5+a
0=5+a
/ a=-5
/ f{x}=10x-5
049 답 f{x}=3x@-6x+2
주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}=3x @-6x+a
또 주어진 등식의 양변에 x=2를 대입하면
/2@ f{t}`dt=8-12+2a
0=2a-4
/ a=2
/ f{x}=3x @-6x+2
050 답 k, 2k, -4, 3x@-2x-4
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2018-04-24 오전 10:57:53
07 정적분 45
051 답 f{x}=3x-6
/0@ f{t}`dt=k {k는 상수} …… ㉠로 놓으면
f{x}=3x+k
이를 ㉠에 대입하면
/0@ {3t+k}`dt =k
3
2
{
/ f{x}=3x-6
t @+kt
}0@=k, 6+2k=k / k=-6
052 답 f{x}=x @-6x+9
/0# f{t}`dt=k {k는 상수} …… ㉠로 놓으면
f{x}=x @-6x+k
이를 ㉠에 대입하면
/0# {t @-6t+k}`dt=k
1
3
t #-3t @+kt
{
9-27+3k=k / k=9
}0#=k
/ f{x}=x @-6x+9
053 답 f{x}=5x #+2
/0! tf{t}`dt=k {k는 상수} …… ㉠로 놓으면
f{x}=5x #+k
이를 ㉠에 대입하면
/0! t{5t #+k}`dt=k
/0! {5t $+kt}`dt=k, {
t %+
kt @
}0!=k
1
2
1+
k=k / k=2
1
2
/ f{x}=5x #+2
054 답 -2, 1, 극소,
9
2 , 0
055 답 극댓값:
2
3 , 극솟값: -
2
3
f{x}=/0X {t @-1}`dt의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '{x}=x @-1={x+1}{x-1}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=1
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
…
+
↗
-1
0
극대
…
-
↘
1
0
극소
…
+
↗
따라서 함수 f{x}는 x=-1에서 극대이므로 극댓값은
f{-1} =/0_!{t @-1}`dt=
{
또 함수 f{x}는 x=1에서 극소이므로 극솟값은
}0_!=
t #-t
1
3
f{1} =/0!{t @-1}`dt=
{
t #-t
}0!=-
1
3
2
3
2
3
46 정답과 해설
056 답 극댓값:
14
3 , 극솟값:
9
2
f{x}=/0X {t @-5t+6}`dt의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '{x} =x @-5x+6={x-2}{x-3}
f '{x}=0인 x의 값은 x=2 또는 x=3
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
…
+
↗
2
0
극대
…
+
↗
3
0
극소
14
3
…
-
↘
5
2
5
2
따라서 함수 f{x}는 x=2에서 극대이므로 극댓값은
f{2} =/0@{t @-5t+6}`dt=
}0@=
{
또 함수 f{x}는 x=3에서 극소이므로 극솟값은
t @+6t
t #-
f{3} =/0#{t @-5t+6}`dt=
{
t #-
t @+6t
}0#=
9
2
1
3
1
3
057 답 극댓값:
7
3 , 극솟값: -
25
3
f{x}=/-2X {t @-2t-3}`dt의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '{x} =x @-2x-3={x+1}{x-3}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=3
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
…
+
↗
-1
0
극대
…
-
↘
3
0
극소
…
+
↗
따라서 함수 f{x}는 x=-1에서 극대이므로 극댓값은
f{-1} =/-2_!{t @-2t-3}`dt=
{
또 함수 f{x}는 x=3에서 극소이므로 극솟값은
t #-t @-3t
}-2_!=
f{3} =/-2#{t @-2t-3}`dt=
{
t #-t @-3t
}-2# =-
1
3
1
3
7
3
25
3
058 답 극댓값:
2
3 , 극솟값: -
2
3
f{x}=/1X {-t @+2t}`dt의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '{x}=-x @+2x=-x{x-2}
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 또는 x=2
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
…
-
↘
0
0
극소
…
+
↗
2
0
극대
…
-
↘
따라서 함수 f{x}는 x=2에서 극대이므로 극댓값은
f{2} =/1@{-t @+2t}`dt=
{
또 함수 f{x}는 x=0에서 극소이므로 극솟값은
t #+t @
}1@=
-
f{0} =/1){-t @+2t}`dt=
{
-
t #+t @
}1)=-
2
3
2
3
1
3
1
3
059 답 1, 1, 6
수학2 AM 해설 (001~056)-OK.indd 46
2018-04-24 오전 10:57:54
060 답 3
f{t}=t @+2t+3이라 하고, 함수 f{t}의 한 부정적분을 F{t}라고
하면
1
x /0X {t @+2t+3}`dt =lim
x`
0
!
lim
0
x`
!
1
x /0X f{t}`dt
F{x}-F{0}
x
=lim
0
x`
!
=F'{0}=f{0}=3
061 답 16
f{t}=t @+5t+2라 하고, 함수 f{t}의 한 부정적분을 F{t}라고
하면
1
x-2 /2X f{t}`dt
x-2 /2X {t @+5t+2}`dt =lim
lim
2
x`
!
F{x}-F{2}
x-2
!
x`
2
=lim
2
x`
!
1
=F'{2}=f{2}=4+10+2=16
062 답 8
f{t}={t+1}#이라 하고, 함수 f{t}의 한 부정적분을 F{t}라고
하면
1
lim
1
x`
!
x-1 /1X {t+1}#`dt =lim
x`
1
!
1
x-1 /1X f{t}`dt
F{x}-F{1}
x-1
=lim
1
x`
!
=F'{1}=f{1}=2#=8
063 답 -2
f{t}=2t-4라 하고, 함수 f{t}의 한 부정적분을 F{t}라고 하면
1
x /1X"! {2t-4}`dt =lim
x`
0
!
lim
0
x`
!
1
x /1X"! f{t}`dt
F{x+1}-F{1}
x
=lim
0
x`
!
=F'{1}=f{1}=2-4=-2
064 답 -1
f{t}=3t @-t-4라 하고, 함수 f{t}의 한 부정적분을 F{t}라고
1 /0! f{x}`dx =/0!{3x @-2ax}`dx
=
{
x #-ax @
}0!=1-a
따라서 1-a=-1이므로
a=2
2 /0K {x+1}`dx=
{
15
1
2
2
k@+k=
따라서
이므로
1
2
x @+x
}0K=
k@+k
1
2
k@+2k-15=0, {k+5}{k-3}=0
/ k=3 {∵ k>0}
3 /1@{3x @+x+2}`dx-3/1@ {x @-x}`dx =/1@{4x+2}`dx
2x @+2x
=
{
}1@
={8+4}-{2+2}
=8
07
4 /0% f{x}`dx =/0#f{x}`dx+/3% f{x}`dx
=7-2=5
5 /0# f{x}`dx =/0!{-2x}`dx+/1#{x @-3}`dx
=
-x @
{
=-1+
}0!+
8
3
=
{
1
3
5
3
x #-3x
}1#
6 f{x}=
-
-x+4 {x>2}
x
{x<2}
이므로
/0$ f{x}`dx =/0@x`dx+/2$ {-x+4}`dx
1
2
x @
=
{
}0@+
=2+2=4
-
{
1
2
x @+4x
}2$
x #+4x
}0@+
{
x #-4x
}2#
1
3
1
3
-
=
{
=
16
3
+
=
7
3
23
3
8 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}=3x @+4x-3
하면
1
{x+1}{x-1} /1X f{t}`dt
x@-1 /1X {3t @-t-4}`dt =lim
lim
1
x`
!
!
x`
1
x @-4 {x<-2 또는 x>2}
7 |x @-4|=
-
-x @+4 {-20)
/ f{a}=f{1}=3+4-3=4
07 정적분 47
수학2 AM 해설 (001~056)-OK.indd 47
2018-04-24 오전 10:57:54
정적분의 활용
112~123쪽
III. 적분
001 답 2, 2,
4
3
002 답
32
3
-x @+4=0에서
{x+2}{x-2}=0
/ x=-2 또는 x=2
y
4
O
2
x
y=-x@+4
곡선 y=-x @+4와 x축의 교점의 x좌표는
구간 [-2, 2]에서 y>0이므로 구하는
S =/-2@{-x @+4}`dx=
-
{
x #+4x
}-2@ =
1
3
넓이 S는
003 답
32
3
-2
32
3
곡선 y=x @+2x-3과 x축의 교점의 x좌
y=x@+2x-3
y
표는 x @+2x-3=0에서
{x+3}{x-1}=0
/ x=-3 또는 x=1
구간 [-3, 1]에서 y<0이므로 구하는 넓
-3
O
1
x
곡선 y=x #-x @-2x와 x축의 교점의
y
y=x#-x@-2x
-1
O
2
x
S =/-3!{-x @-2x+3}`dx
=
-
{
1
3
x #-x @+3x
}-3! =
32
3
004 답 >, <, -x#+x, -
1
4
x$+
x@,
1
2
1
2
005 답
37
12
x좌표는 x #-x @-2x=0에서
x{x+1}{x-2}=0
/ x=-1 또는 x=0 또는 x=2
구간 [-1, 0]에서 y>0이고 구간
[0, 2]에서 y<0이므로 구하는 넓이 S는
S =/-1) {x #-x @-2x}`dx+/0@ {-x #+x @+2x}`dx
=
x $-
x #-x @
1
3
}-1) +
{
-
1
4
x $+
x #+x @
}0@
1
3
{
1
4
5
12
=
+
8
3
=
37
12
006 답
1
2
9 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}=2x+a
또 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면
/1! f{t}`dt=1+a+3
0=a+4 / a=-4
따라서 f{x}=2x-4이므로
f{2}=4-4=0
10 /0@ f{t}`dt=k {k는 상수} …… ㉠로 놓으면
f{x}=3x @-4x+k
이를 ㉠에 대입하면
/0@ {3t @-4t+k}`dt =k
t #-2t @+kt
{
따라서 f{x}=3x @-4x이므로
}0@=k, 8-8+2k=k / k=0
f{-1}=3+4=7
11 f{x}=/0X {t @+at+2}`dt의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '{x}=x @+ax+2
이때 함수 f{x}가 x=1에서 극값을 가지므로
f '{1}=0, 1+a+2=0 / a=-3
12 f{x}=/0X {t @+2t-3}`dt의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '{x}=x @+2x-3={x+3}{x-1}
이 S는
f '{x}=0인 x의 값은 x=-3 또는 x=1
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
…
+
↗
-3
0
극대
…
-
↘
1
0
극소
…
+
↗
따라서 함수 f{x}는 x=-3에서 극대이므로 극댓값은
a =f{-3}=/0_#{t @+2t-3}`dt
=
{
1
3
t #+t @-3t
}0_#=9
또 함수 f{x}는 x=1에서 극소이므로 극솟값은
b =f{1}=/0!{t @+2t-3}`dt
=
{
1
3
t #+t @-3t
}0!=-
5
3
/ a+3b=9-5=4
13 f{t}=t @+3t+2라 하고, 함수 f{t}의 한 부정적분을 F{t}라
고 하면
1
x @-4 /2X {t#+3t+2}`dt =lim
{x+2}{x-2} /2X f{t}`dt
1
x`
2
lim
2
x`
!
!
48 정답과 해설
1
x+2
-
\
F{x}-F{2}
x-2
=
=
=lim
2
x`
!
1
4
1
4
=
F'{2}=
f{2}
1
4
\12=3
곡선 y=x #+3x @+2x와 x축의 교점
의 x좌표는 x #+3x @+2x=0에서
y
y=x#+3x@+2x
x{x+2}{x+1}=0
-2
-1
xO
/ x=-2 또는 x=-1 또는 x=0
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2018-04-24 오전 10:57:55
08
구간 [-2, -1]에서 y>0이고 구간 [-1, 0]에서 y<0이므로
011 답
1
2
구하는 넓이 S는
S =/-2_! {x #+3x @+2x}`dx+/-1) {-x #-3x @-2x}`dx
=
x $+x #+x @
}-2_!+
{
-
x $-x #-x @
}-1)
1
4
{
1
4
1
4
+
=
1
4
=
1
2
곡선 y=-x #과 x축의 교점의 x좌표는
y=-x#
y
-x #=0에서 x=0
구간 [-1, 0]에서 y>0이고 구간 [0, 1]
에서 y<0이므로 구하는 넓이 S는
1
1
x
-1
O
-1
구간 [-2, 2]에서 y<0이고 구간 [2, 3]에
서 y>0이므로 구하는 넓이 S는
-4
구간 [0, 3]에서 y>0이므로 구하는 넓이
y=x@-4
y
5
012 답
9
4
-2
2
O
3
x
는 x{x-2}@=0에서
x=0 또는 x=2
곡선 y=x{x-2}@과 x축의 교점의 x좌표
y=x{x-2}@
y
3
08
O
2
3
x
S =/-1) {-x #}`dx+/0! x #`dx
1
4
x $
}0!
{
=
-
{
x $
=
+
=
1
4
1
4
1
4
}-1) +
1
2
S는
S =/0# x{x-2}@`dx
=/0# {x #-4x @+4x}`dx
4
3
x #+2x @
}0# =
x $-
1
4
=
{
9
4
013 답 2, 2,
2
5
014 답 0
/-1! {3x %+2x #-x}`dx=0
015 답 0
016 답 36
007 답 <, >, -x@+x, -
1
3
x#+
x@, 1
1
2
008 답 13
곡선 y=x @-4와 x축의 교점의 x좌표는
x @-4=0에서
{x+2}{x-2}=0
/ x=-2 또는 x=2
S =/-2@ {-x @+4}`dx+/2# {x @-4}`dx
=
-
{
x #+4x
}-2@ +
{
x #-4x
}2#
1
3
1
3
=
32
3
+
7
3
=13
009 답
23
3
x @-4x=0에서
x{x-4}=0
/ x=0 또는 x=4
구간 [-1, 0]에서 y>0이고 구간 [0, 2]에
서 y<0이므로 구하는 넓이 S는
-4
S =/-1) {x @-4x}`dx+/0@ {-x @+4x}`dx
=
x #-2x @
{
1
3
7
3
+
=
}-1) +
23
3
16
3
=
-
{
1
3
x #+2x @
}0@
010 답
49
3
곡선 y=x @+3x-4와 x축의 교점의
y=x@+3x-4
y
6
x좌표는 x @+3x-4=0에서
{x+4}{x-1}=0
/ x=-4 또는 x=1
구간 [-2, 1]에서 y<0이고 구간 [1, 2]
에서 y>0이므로 구하는 넓이 S는
S =/-2! {-x @-3x+4}`dx+/1@ {x @+3x-4}`dx
=
-
{
1
3
x #-
x @+4x
}-2! +
{
1
3
x #+
x @-4x
}1@
3
2
3
2
49
3
=
27
2
+
17
6
=
곡선 y=x @-4x와 x축의 교점의 x좌표는
y=x@-4x
y
5
O
2
-1
4
x
/-2@ {x #-6x}`dx=0
/-3# x{x+1}@`dx =/-3# {x #+2x @+x}`dx
=/-3# {x #+x}`dx+/-3# 2x @`dx
=0+2/0# 2x @`dx
x #
=2
2
}0#
3
=2\18=36
{
-2
O
-4
1
2
x
017 답 2
-6
/-1! {5x $+x #-3x @+1}`dx =/-1! {5x $-3x @+1}`dx+/-1! x #`dx
=2/0! {5x $-3x @+1}`dx+0
=2
x %-x #+x
{
}0!
=2\1=2
08 정적분의 활용 49
수학2 AM 해설 (001~056)-OK.indd 49
2018-04-24 오전 11:06:28
018 답 12
/-2) {x %+3x @-1}`dx+/0@ {x %+3x @-1}`dx
=/-2@ {x %+3x @-1}`dx
=/-2@ x %`dx+/-2@ {3x @-1}`dx
=0+2/0@ {3x @-1}`dx
=2
x #-x
{
}0@
=2\6=12
9
019 답 0, 0, >, -x@-2x+3, x+3,
2
020 답
9
2
곡선 y=x @과 직선 y=x+2의 교점의
x좌표는 x @=x+2에서
x@-x-2=0, {x+1}{x-2}=0
/ x=-1 또는 x=2
구간 [-1, 2]에서 x @-x+2이므로 구하는 넓이 S는
S =/0@9{x #-4x @+3x+2}-{-x+2}0`dx
y=x@
y=x+2
y
4
2
1
=/0@ {x #-4x @+4x}`dx
4
3
x #+2x @
}0@=
x $-
1
4
=
{
4
3
-1
O
2
x
024 답 <, -x@+6x-4, x@-2x+2,
8
3
x@+x-2=0, {x+2}{x-1}=0
O 1
x
y=x@+2x-3
1
y
-2
025 답 9
두 곡선의 교점의 x좌표는
x @+2x-3=-x @+1에서
/ x=-2 또는 x=1
구간 [-2, 1]에서
-3
y=-x@+1
y=x@+3x
-2
-3
y
O
x
-2
x @+2x-3< -x @+1이므로 구하는
넓이 S는
S =/-2!9{-x @+1}-{x @+2x-3}0`dx
=/-2! {-2x @-2x+4}`dx
=
-
{
2
3
x #-x @+4x
}-2! =9
026 답 4
두 곡선의 교점의 x좌표는
x @-3x=-2x @+3x에서
x@-2x=0, x{x-2}=0
/ x=0 또는 x=2
구간 [0, 2]에서 x @-3x<-2x @+3x이
므로 구하는 넓이 S는
S =/0@9{-2x @+3x}-{x @-3x}0`dx
=/0@ {-3x @+6x}`dx
=
{
-x #+3x @
}0@=4
y
O
-2
y=x@-3x
2
x
y=-2x@+3x
곡선 y=x #-2x+3과 직선 y=x+1의
교점의 x좌표는 x #-2x+3=x+1에서
y
y=x#-2x+3
x #-3x+2=0, {x+2}{x-1}@=0
/ x=-2 또는 x=1
구간 [-2, 1]에서 x #-2x+3> x+1
이므로 구하는 넓이 S는
-2
y=x+1
2
3
1
O 1
-1
x
50 정답과 해설
수학2 AM 해설 (001~056)-OK.indd 50
2018-04-24 오전 10:57:55
두 곡선의 교점의 x좌표는
x @-4x+4=-x @+2x에서
x@-3x+2=0, {x-1}{x-2}=0
y=x@-4x+4
y
1
031 답 6
곡선 y=x{x-3}{x-a}와 x축의 교
점의 x좌표는 x{x-3}{x-a}=0에서
x=0 또는 x=3 또는 x=a
y
y=x{x-3}{x-a}
O
1
2
x
이가 서로 같으므로
곡선과 x축으로 둘러싸인 두 도형의 넓
O
3
a
x
x @-4x+4< -x @+2x이므로 구하는
y=-x@+2x
/0A x{x-3}{x-a}`dx=0
027 답
1
3
/ x=1 또는 x=2
구간 [1, 2]에서
넓이 S는
/0A 9x #-{a+3}x @+3ax0`dx=0
ax @
x $-
{a+3}x #+
1
3
1
3
1
{
4
1
4
a #{a-6}=0 / a=6 {? a>3}
3
2
3
2
{a+3}a #+
}0A=0
a #=0
a $-
032 답 3
곡선 y=x @-2x와 x축의 교점의 x좌표
는 x @-2x=0에서
x{x-2}=0 / x=0 또는 x=2
곡선과 두 직선 x=0, x=a 및 x축으로
y
y=x@-2x
08
O
-1
y=x#-2x
2
x
둘러싸인 두 도형의 넓이가 서로 같으므로
O
2 a
x
/0A {x @-2x}`dx=0, {
1
3
1
3
x #-x @
}0A=0
a #-a @=0, a @{a-3}=0 / a=3 {∵ a>2}
033 답 6
곡선 y=-x @+4x와 x축의 교점의 x좌표
는 -x @+4x=0에서
x{x-4}=0 / x=0 또는 x=4
곡선과 두 직선 x=0, x=a 및 x축으로 둘
러싸인 두 도형의 넓이가 서로 같으므로
y
O
a
4
x
y=-x@+4x
y
y=x#-x@
-1
O
1
x
/0A {-x @+4x}`dx=0
-
{
x #+2x @
}0A=0
1
3
1
3
-
a #+2a @=0, a @{a-6}=0 / a=6 {∵ a>4}
S =/1@9{-x @+2x}-{x @-4x+4}0`dx
=/1@ {-2x @+6x-4}`dx
1
3
x #+3x @-4x
}1@=
2
3
=
-
{
028 답
37
12
x #-2x=x @에서
두 곡선의 교점의 x좌표는
y=x@
x #-x @-2x=0, x{x+1}{x-2}=0
/ x=-1 또는 x=0 또는 x=2
구간 [-1, 0]에서 x #-2x> x @이고 구
간 [0, 2]에서 x #-2x< x @이므로 구하
는 넓이 S는
y
4
1
S =/-1)9{x #-2x}-x @0`dx+/0@ 9x @-{x #-2x}0`dx
=/-1) {x #-x @-2x}`dx+/0@ {-x #+x @+2x}`dx
=
{
x $-
x #-x @
}-1) +
{
-
x $+
x #+x @
}0@
1
4
1
3
1
3
1
4
5
12
=
+
8
3
=
37
12
029 답
1
2
두 곡선의 교점의 x좌표는
x #-x @=-x @+x에서
x #-x=0, x{x+1}{x-1}=0
/ x=-1 또는 x=0 또는 x=1
로 구하는 넓이 S는
S =/-1)9{x #-x @}-{-x @+x}0`dx
=/-1) {x #-x}`dx+/0! {-x #+x}`dx
x @
}-1) +
{
-
1
4
x $+
1
2
x @
}0!
=
{
1
4
x $-
=
+
=
1
4
1
4
1
2
1
2
030 답 0, 0, 0, 1
구간 [-1, 0]에서 x #-x @>-x @+x이고
구간 [0, 1]에서 x #-x @<-x @+x이므
-2
y=-x@+x
034 답
1
2
+/0! 9{-x @+x}-{x #-x @}0`dx
곡선과 두 직선 x=-1, x=a 및 x축
O
-1
a
x
곡선 y=x @+x와 x축의 교점의 x좌표
y
y=x@+x
는 x @+x=0에서
x{x+1}=0 / x=-1 또는 x=0
으로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 서로
같으므로
/-1A {x @+x}`dx=0, {
1
3
a #+
a @-
1
6
/ a=
{∵ a>0}
1
2
1
2
1
3
x #+
1
2
x @
}-1A =0
=0, {a+1}@{2a-1}=0
08 정적분의 활용 51
수학2 AM 해설 (001~056)-OK.indd 51
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039 답 3
시각 t=0에서 점 P의 위치가 원점이므로 시각 t=3에서 점 P의 위
치는
y=f{x}
y=x
0+/0# {4-2t}`dt=
4t-t @
}0#=3
{
y=g{x}
040 답 0
시각 t=1에서 t=3까지 점 P의 위치의 변화량은
O
3
x
/1# {4-2t}`dt=
{
4t-t @
}1#=0
041 답 2
10이고 2
x @이므로 구하는 넓이 S는
1
3
x-
x @
]
`dx
1
3
1
9
=2
S =2/0#[
1
2
3
2
=2\
{
=3
x @-
x #
}0#
037 답
1
2
도형의 넓이는 곡선 y=f{x}와 직선 y=x
로 둘러싸인 도형의 넓이의 2배와 같다.
곡선 y=f{x}와 직선 y=x의 교점의 x좌
표는 x #=x에서
x #-x=0, x{x+1}{x-1}=0
/ x=0 또는 x=1 {∵ x>0}
구간 [0, 1]에서 x>x #이므로 구하는 넓이 S는
S =2/0!{x-x #}`dx
=2
{
x @-
x $
}0!
1
2
1
4
1
4
1
2
=2\
=
038 답
1
3
y
3
y
1
y
2
1
S =2/1@9x-{x @-2x+2}0`dx
=2/1@ {-x @+3x-2}`dx
=2
-
{
x #+
x @-2x
}1@
3
2
1
3
1
6
=
1
3
=2\
52 정답과 해설
시각 t=1에서 t=3까지 점 P의 위치의 변화량은
1
3
/1# {2t-t @}`dt=
}1#=-
2
3
t @-
t #
{
044 답 2
10이고 20}
두 곡선 y=f{x}, y=g{x}로 둘러싸인
y=f{x}
y=x
2
045 답 0, 1, 1, 1, 1, -
3
도형의 넓이는 곡선 y=f{x}와 직선
y = x로 둘러싸인 도형의 넓이의 2배와
같다.
y=g{x}
046 답
20
3
곡선 y=f{x}와 직선 y=x의 교점의 x
O
1
2
x
좌표는 x @-2x+2=x에서
x @-3x+2=0, {x-1}{x-2}=0 / x=1 또는 x=2
구간 [1, 2]에서 x>x @-2x+2이므로 구하는 넓이 S는
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따라서 제동을 건 지 10초 후에 열차가 정지하므로 열차가 정지할
=45+20=65 {m}
따라서 t=2일 때, 점 P의 위치는
0+/0@ {-t @+2t}`dt=
-
{
t #+t @
}0@=
1
3
4
3
048 답 -
4
3
점 P가 운동 방향을 바꿀 때의 속도는 0이므로
v{t}=-t @+4t-3=0, {t-1}{t-3}=0
/ t=1 또는 t=3
따라서 t=1일 때, 처음으로 운동 방향을 바꾸므로 점 P의 위치는
1
3
0+/0! {-t @+4t-3}`dt=
t #+2t @-3t
}0!=-
4
3
-
{
049 답 0, 10, 10, 10, 10, 100
050 답 150
열차가 정지할 때의 속도는 0이므로
v{t}=30-3t=0 / t=10
때까지 움직인 거리는
/0!) {30-3t}`dt=
{
30t-
t @
}0!)=150
3
2
051 답 400
열차가 정지할 때의 속도는 0이므로
v{t}=40-2t=0 / t=20
때까지 움직인 거리는
/0@) {40-2t}`dt=
{
40t-t @
}0@)=400
052 답 300
열차가 정지할 때의 속도는 0이므로
v{t}=30-
t=0 / t=20
3
2
따라서 제동을 건 지 20초 후에 열차가 정지하므로 열차가 정지할
따라서 제동을 건 지 20초 후에 열차가 정지하므로 열차가 정지할
때까지 움직인 거리는
/0@) [
30-
`dt=
30t-
{
3
t
2
]
3
4
t @
}0@)=300
053 답 60 m
물체를 쏘아 올린 지 1초 후의 지면으로부터의 높이는
35+/0! {30-10t}`dt =35+
30t-5t @
}0!
{
=35+25=60 {m}
054 답 80 m
물체가 최고 높이에 도달할 때의 속도는 0이므로
v{t}=30-10t=0 / t=3
따라서 t=3일 때, 물체의 높이는
35+/0# {30-10t}`dt =35+
30t-5t @
}0#
{
=35+45=80 {m}
055 답 -40 m/s
물체를 쏘아 올린 지 t초 후의 지면으로부터의 높이는
35+/0T {30-10t}`dt =35+
{
30t-5t @
}0T
=35+30t-5t @
물체가 지면에 떨어지는 순간의 높이는 0이므로
35+30t-5t @=0
{t+1}{t-7}=0 / t=7 {∵ t>0}
따라서 t=7일 때, 물체의 속도는
v{7}=30-10\7=-40 {m/s}
056 답 65 m
00이고 30}
따라서 t=5일 때, 물체의 속도는
v{5}=20-10\5=-30 {m/s}
060 답 40 m
00이고 20이므로
=
S2 =/0@ {-x @+2x}`dx
4
3
8
3
}0@=
4
3
/ S1+S2=
x #+x @
4
3
1
3
-
+
=
{
2 곡선 y=x @-ax와 x축의 교점의 x좌표
는 x @-ax=0에서
x{x-a}=0 / x=0 또는 x=a
구간 [0, a]에서 y<0이므로 곡선
y=x@-ax와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓
y
O
y=x@-ax
a
x
이 S는
S =/0A{-x @+ax}`dx
=
-
{
x #+
ax @
}0A=
1
6
a#
1
3
1
6
1
2
9
2
따라서
a#=
이므로
a#=27 / a=3
3 S2=/0! x #`dx=
1
4
{
x $
}0!=
1
4
이므로
S1=1-S2=
3
4
/ S1`:`S2=3`:`1
4 곡선 y=ax@과 x축의 교점의 x좌표는
ax@=0에서 x=0
구간 [-1, 2]에서 y>0이므로 곡선과
x축 및 두 직선 x=-1, x=2로 둘러싸
인 도형의 넓이 S는
=2/0! {9x *+7x ^+5x $+3x @+1}`dx
=2
{
x (+x &+x %+x #+x
}0!
=2\5=10
6 /-aA {3x @-x-7}`dx =2/0A{3x @-7}`dx
=2
x #-7x
{
}0A
=2a#-14a
y
y=-x@+2x
2a#-14a=12이므로
08
O
2
x
a#-7a-6=0, {a+2}{a+1}{a-3}=0
/ a=-2 또는 a=-1 또는 a=3
따라서 모든 실수 a의 값의 합은
-2+{-1}+3=0
y=x#-x
y=x
y
j2
x
j2
7 곡선 y=x #-x와 직선 y=x의 교
점의 x좌표는 x #-x=x에서
-j2
x #-2x=0
x{x+j2}{x-j2}=0
/ x=-j2 또는 x=0 또는 x=j2
구간 [-j 2, 0]에서 x #-x> x이고
구간 [0, j2]에서 x #-x -x @+x이
-2
y
y=x#-x
1
O
x
구간 {
0,
S =2/0
1
2 }에서 x>4x #이므로 구하는 넓이 S는
1
1
16
2
2!=2\
}0
2! {x-4x #}`dx=2
x @-x $
{
=
1
8
고 구간 [0, 1]에서 x #-x<-x @+x이
-6
므로 구하는 넓이 S는
y=-x@+x
/ t=2 {∵ t>0}
13 점 P가 운동 방향을 바꿀 때의 속도는 0이므로
v{t}=3t @-6t=0, 3t{t-2}=0
S =/-2)9{x #-x}-{-x @+x}0`dx
+/0! 9{-x @+x}-{x #-x}0`dx
따라서 t=2일 때, 운동 방향을 바꾸므로 점 P의 위치는
1+/0@ {3t @-6t}`dt=1+
t #-3t @
}0@=-3
{
y=x#-{a+4}x@+4ax
a
4
x
y
y=x@-4x+3
O
1
3 a
x
=/-2) {x #+x @-2x}`dx+/0! {-x #-x @+2x}`dx
=
x $+
x #-x @
1
3
}-2) +
{
-
1
4
x $-
x #+x @
}0!
1
3
{
1
4
8
3
=
+
5
12
=
37
12
y
O
10 곡선 y=x #-{a+4}x @+4ax
와 x축의 교점의 x좌표는
x #-{a+4}x @+4ax=0에서
x{x-a}{x-4}=0
/ x=0 또는 x=a 또는 x=4
곡선과 x축으로 둘러싸인 두 도형의
넓이가 서로 같으므로
/0$ 9x #-{a+4}x @+4ax0`dx=0
1
4
{
1
3
x $-
{a+4}x #+2ax @
}0$=0
64-
{a+4}+32a=0 / a=2
64
3
11 곡선 y=x @-4x+3과 x축의 교점의
x좌표는 x @-4x+3=0에서
{x-1}{x-3}=0 / x=1 또는 x=3
곡선과 x축 및 두 직선 x=1, x=a로 둘
러싸인 두 도형의 넓이가 서로 같으므로
/1A {x @-4x+3}`dx=0
x #-2x @+3x
1
{
3
1
3
{a-1}@{a-4}=0 / a=4 {? a>3}
}1A=0
1
3
a #-2a @+3a-
+2-3=0, a #-6a @+9a-4=0
12 두 곡선 y=f{x}, y=g{x}로 둘러
싸인 도형의 넓이는 곡선 y=f{x}와 직
선 y=x로 둘러싸인 도형의 넓이의 2배
와 같다.
곡선 y=f{x}와 직선 y=x의 교점의 x
좌표는 4x #=x에서
4x #-x=0, x{2x+1}{2x-1}=0
/ x=0 또는 x=
{∵ x>0}
1
2
56 정답과 해설
14 t=a일 때, 점 P가 다시 원점으로 돌아온다고 하면
3
2
/0A {9-3t}`dt=0, {
}0A=0
9t-
t @
9a-
a@=0, a@-6a=0
3
2
a{a-6}=0 / a=6 {∵ a>0}
따라서 제동을 건 지 20초 후에 열차가 정지하므로 열차가 정지할
15 열차가 정지할 때의 속도는 0이므로
v{t}=50-
t=0 / t=20
5
2
때까지 움직인 거리는
5
2
/0@) [
`dt =
50-
t
]
5
50t-
4
{
t @
}0@)=500 {m}
16 물체가 최고 높이에 도달할 때의 속도는 0이므로
v{t}=10-10t=0 / t=1
따라서 t=1일 때, 물체의 높이는
15+/0! {10-10t}`dt =15+
10t-5t @
{
=15+5=20 {m}
}0!
17 점 P가 t=0에서 t=5까지 움 v{t}
2
직인 거리는
/0% |v{t}|`dt =S1+S2
=2+3=5
S2
32
5
t
1
S1
O
-2
18 ㄱ. t=3에서 t=5까지 v{t}
2
1
점 P는 2의 속도로 움
직인다.
ㄴ. t = 9일 때, 점 P의 위
S1
1
O
-2
S2
7
S3
32
5 6
9
t
y
y=f{x}
y=x
2!
y=g{x}
치는
O
x
2!
/0( v{t}`dt =S1+S2-S3
=1+6-3=4
ㄷ. 점 P는 t=2일 때 처음 정지하므로 2초 동안 움직인 거리는
/0@ |v{t}|`dt =S1=1
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄷ이다.
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