(하)
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8~15쪽
집합의 뜻과 집합 사이의 포함 관계
023 답
C
10 `12` 14
16 18
d e ` n
s ` t ` u
024 답
D
002 답 \
‘잘하는’은 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명히 정할 수 없다.
003 답 \
‘작은’은 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명히 정할 수 없다.
025 답 유
026 답 무
004 답 \
‘큰’은 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명히 정할 수 없다.
027 답 유
911, 13, 15, 17, 19, y, 990이므로 유한집합이다.
IV. 집합과 명제
001 답
005 답
006 답 {
007 답 {
008 답 :
009 답 :
010 답 {
028 답 무
916, 18, 20, 22, 24, y0이므로 무한집합이다.
029 답 유
∅이므로 유한집합이다.
030 답 n{A}=50
031 답 n{B}=6
B=91, 2, 3, 6, 9, 180이므로 n{B}=6
032 답 n{C}=30
C=912, 15, 18, 21, 24, y, 990
이때 100 미만의 3의 배수는 33개, 10 미만의 3의 배수는 3개이므로
034 답 n{E}=7
E=9-3, -2, -1, 0, 1, 2, 30이므로 n{E}=7
n{C}=33-3=30
033 답 n{D}=0
D=∅이므로 n{D}=0
035 답 [
036 답 ;
037 답 [
038 답 ;
039 답 [
040 답 A[B
041 답 B[A
B=91, 20이므로 B[A
042 답 A[B
011 답 A=92, 4, 6, 8, 100
012 답 B=91, 2, 4, 5, 10, 200
013 답 C=91, 3, 5, 7, 90
014 답 D=93, 6, 90
015 답 E=9c, h, l, o, s0
016 답 예 A=9x|x는 모음인 알파벳 소문자0
017 답 예 B=9x|x는 100 이하의 자연수0
018 답 예 C=9x|x는 일주일을 나타내는 요일0
019 답 예 D=9x|x는 100 이하의 9의 배수0
020 답 예 E=9x|x는 20 이하의 소수0
021 답
A
a b ` c
d ` e
B
1 2
4 8
022 답
2 정답과 해설
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043 답 A[B
A=91, 2, 3, 60, B=91, 2, 3, 4, 6, 120이므로 A[B
063 답 a=2, b=1
A=B이므로 a=b
044 답 B[A
A=92, 4, 6, 8, 10, y0, B=94, 8, 12, 16, 20, y0이므로 B[A
045 답 A[B
A=9-1, 10이므로 A[B
046 답 B[A
B=900이므로 B[A
047 답 A[B
A=93, 4, 5, 6, 7, y0, B=90, 1, 2, 3, 4, y0이므로 A[B
048 답 ∅, 9a0
049 답 ∅, 9-10, 910, 9-1, 10
이때 a{B, b{A이므로 a=2, b=1
064 답 a=4, b=7
A=B이므로 a=b
이때 a{B, b{A이므로 a=4, b=7
065 답 a=7, b=6
A=B이므로 a+1=b-1
이때 a+1{B이므로 a+1=8 ∴ a=7
또 b-1{A이므로 b-1=5 ∴ b=6
066 답 a=-4, b=-2
A=B이므로 -2a+1=3b+5
이때 -2a+1{B이므로 -2a+1=9 ∴ a=-4
또 3b+5{A이므로 3b+5=-1 ∴ b=-2
050 답 ∅, 920, 940, 960, 92, 40, 92, 60, 94, 60, 92, 4, 60
067 답 ∅, 9a0, 9b0
051 답 ∅, 910, 920, 940, 91, 20, 91, 40, 92, 40, 91, 2, 40
068 답 ∅, 910, 920, 930, 91, 20, 91, 30, 92, 30
053 답
집합 A는 1을 원소로 가지므로 910은 집합 A의 부분집합이다.
∅, 920, 930, 950, 970, 92, 30, 92, 50, 92, 70, 93, 50, 93, 70,
95, 70, 92, 3, 50, 92, 3, 70, 92, 5, 70, 93, 5, 70
069 답 풀이 참고
92, 3, 5, 70이므로 진부분집합을 구하면
055 답 \
집합 A는 0, 1을 원소로 가지므로 90, 10은 집합 A의 부분집합이다.
071 답 16
91, 2, 3, 60이므로 부분집합의 개수는 2$=16
052 답
∴ 910[A
054 답
∴ 90, 10[A
056 답
057 답 \
∴ 9a, c0[A
059 답
060 답 A=B
B=9a, h, m, t0이므로 A=B
061 답 A=B
B=91, 2, 40이므로 A=B
062 답 A=B
A=9-3, 30이므로 A=B
058 답
집합 A는 a, c를 원소로 가지므로 9a, c0는 집합 A의 부분집합이다.
070 답 8
2#=8
074 답 15
2$-1=15
2&-1=127
2*-1=255
072 답 32
94, 5, 6, 7, 80이므로 부분집합의 개수는 2%=32
073 답 64
9a, c, e, h, r, t0이므로 부분집합의 개수는 2^=64
075 답 31
91, 3, 5, 7, 90이므로 진부분집합의 개수는 2%-1=31
076 답 127
9-3, -2, -1, 0, 1, 2, 30이므로 진부분집합의 개수는
077 답 255
912, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 960이므로 진부분집합의 개수는
01 집합의 뜻과 집합 사이의 포함 관계 3
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078 답 16
2%_!=2$=16
079 답 8
2%_@=2#=8
2(_@=2&=128
082 답 64
2(_#=2^=64
080 답 3
4, 8, 10을 포함하는 부분집합의 개수는 2%_#=2@=4이므로 구하
는 진부분집합의 개수는 4-1=3
081 답 128
A=91, 2, 3, 4, 5, y, 90이므로 구하는 부분집합의 개수는
083 답 32
집합 A의 원소 중 짝수는 2, 4, 6, 8의 4개이므로 구하는 부분집
합의 개수는 2(_$=2%=32
084 답 2, 2, 4
2 ①, ②, ③, ④ 92, 4, 6, 80
⑤ 92, 4, 6, 8, 10, y0
3 ② 91, 3, 5, 7, 9, y0
③ 94, 8, 12, 16, 20, y0
④ 900
⑤ 91, 2, 4, 5, 7, y0
따라서 유한집합인 것은 ④이다.
4 A=916, 24, 32, 40, 48, y, 960이므로 n{A}=11
B=91, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 240이므로 n{B}=8
∴ n{A}-n{B}=3
5 ⑤ n{940}-n{920}=1-1=0
6 A=92, 3, 5, 70이므로
② 9:A
7 ② B[A
③ A=92, 4, 6, 8, 10, y0, B=94, 8, 12, 16, 20, y0이므로
085 답 4
집합 X는 집합 92, 4, 6, 8, 100의 부분집합 중 원소 4, 6, 8을 포
⑤ A=91, 2, 3, 60, B=91, 2, 3, 4, 6, 120이므로 A[B
함하는 부분집합이므로 집합 X의 개수는 2%_#=2@=4
따라서 A[B인 것은 ⑤이다.
B[A
④ B[A
086 답 8
집합 X는 집합 9a, b, c, d, e0의 부분집합 중 원소 a, c를 포함
8 ㄹ. 1은 집합 A의 원소이지만 2는 집합 A의 원소가 아니므로
91, 20;A
하는 부분집합이므로 집합 X의 개수는 2%_@=2#=8
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
087 답 64
집합 X는 집합 91, 2, 3, 4, 5, y, 90의 부분집합 중 원소 1, 5,
7을 포함하는 부분집합이므로 집합 X의 개수는 2(_#=2^=64
088 답 8
91, 2, 40[X[91, 2, 4, 5, 10, 200이므로 집합 X는 집합
∴ ab=4
91, 2, 4, 5, 10, 200의 부분집합 중 원소 1, 2, 4를 포함하는 부분
집합이다.
따라서 집합 X의 개수는 2^_#=2#=8
9 A=B이므로 a-b=a+b
이때 a-b{B이므로 a-b=3 yy`㉠
또 a+b{A이므로 a+b=5
yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=1
10 ① 9a, e, i, o, u0이므로 부분집합의 개수는 2%=32
② 91, 3, 5, 7, 90이므로 부분집합의 개수는 2%=32
③ 92, 4, 6, 80이므로 부분집합의 개수는 2$=16
④ 91, 2, 4, 8, 160이므로 부분집합의 개수는 2%=32
⑤ 9-2, -1, 0, 1, 20이므로 부분집합의 개수는 2%=32
따라서 부분집합의 개수가 32가 아닌 것은 ③이다.
11 92, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 190이므로 구하는 부분집합의 개수는
2*_@_!=2%=32
12 92, 4, 6, 80[X[91, 2, 3, 4, 5, y, 100이므로 집합 X는
집합 91, 2, 3, 4, 5, y, 100의 부분집합 중 원소 2, 4, 6, 8을 포
함하는 부분집합이다.
따라서 집합 X의 개수는 2!)_$=2^=64
최종 점검하기
16~17쪽
1 ①
7 ⑤
2 ⑤
8 ④
3 ④
9 ②
4 ①
5 ⑤
6 ②
10 ③
11 ③
12 64
1 ②, ③, ④, ⑤ ‘가까운’, ‘잘하는’, ‘좋아하는’, ‘가벼운’은 기준
이 명확하지 않아 그 대상을 분명히 정할 수 없으므로 집합이 아
니다.
4 정답과 해설
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20~31쪽
017 답
A5B=∅이므로 A, B는 서로소이다.
IV. 집합과 명제
집합의 연산
001 답 9a, b, c, d, e0
002 답 91, 2, 3, 40
003 답 9a, b, c, d, e0
004 답 91, 2, 3, 4, 5, 60
005 답 91, 2, 3, 5, 7, 90
A=91, 3, 5, 7, 90, B=92, 3, 5, 70이므로
A6B=91, 2, 3, 5, 7, 90
006 답 91, 2, 3, 4, 60
A=91, 2, 40, B=91, 2, 3, 60이므로
A6B=91, 2, 3, 4, 60
007 답 92, 4, 6, 8, 10, y, 200
A=92, 4, 6, 8, 10, y, 200, B=94, 8, 12, 16, 200이므로
A6B=92, 4, 6, 8, 10, y, 200
008 답 92, 3, 4, 5, 60
A=92, 3, 40, B=93, 4, 5, 60이므로
A6B=92, 3, 4, 5, 60
009 답 920
010 답 9c, d0
011 답 92, 4, 50
012 답 9b, e0
013 답 93, 5, 70
A=91, 3, 5, 7, 90, B=92, 3, 5, 70이므로
A5B=93, 5, 70
014 답 91, 2, 40
A=91, 2, 4, 80, B=91, 2, 3, 4, 6, 120이므로
A5B=91, 2, 40
015 답 910, 200
A=95, 10, 15, 20, 250, B=910, 20, 300이므로
A5B=910, 200
018 답 \
A5B=9 f 0이므로 A, B는 서로소가 아니다.
019 답 \
A5B=930이므로 A, B는 서로소가 아니다.
020 답
A5B=∅이므로 A, B는 서로소이다.
021 답
A5B=∅이므로 A, B는 서로소이다.
022 답
A5B=∅이므로 A, B는 서로소이다.
023 답 \
A=91, 50, B=91, 3, 90이므로 A5B=910
따라서 A, B는 서로소가 아니다.
024 답 \
A=94, 5, 60, B=96, 7, 80이므로 A5B=960
따라서 A, B는 서로소가 아니다.
025 답 91, 3, 5, 7, 9, 100
U=91, 2, 3, 4, 5, y, 100이므로
AC=91, 3, 5, 7, 9, 100
026 답 ∅
B=U이므로 BC=∅
027 답 92, 4, 6, 8, 100
C=91, 3, 5, 7, 90이므로
CC=92, 4, 6, 8, 100
028 답 93, 5, 6, 7, 9, 100
D=91, 2, 4, 80이므로
DC=93, 5, 6, 7, 9, 100
029 답 91, 2, 3, 4, 5, y, 100
E=∅이므로
EC=91, 2, 3, 4, 5, y, 100
030 답 A-B=9a, b0, B-A=9e0
031 답 A-B=91, 40, B-A=93, 60
016 답 92, 30
A=92, 3, 4, 5, 60, B=9-3, -2, -1, 0, 1, 2, 30이므로
032 답 A-B=∅, B-A=94, 200
A=91, 2, 5, 100, B=91, 2, 4, 5, 10, 200이므로
A5B=92, 30
A-B=∅, B-A=94, 200
02 집합의 연산 5
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033 답 A-B=93, 6, 9, 15, 180, B-A=94, 8, 16, 200
A=93, 6, 9, 12, 15, 180, B=94, 8, 12, 16, 200이므로
050 답
A5AC
=
034 답 A-B=92, 3, 4, 5, 60, B-A=910, 11, 120
A=92, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90, B=97, 8, 9, 10, 11, 120이므로
051 답
{AC}C
=
A-B=93, 6, 9, 15, 180
B-A=94, 8, 16, 200
A-B=92, 3, 4, 5, 60
B-A=910, 11, 120
035 답 9a, b, c, d, e, f, g, h, i0
036 답 9c, g, h0
037 답 9d, e, i, j, k0
038 답 9a, b, f, j, k0
039 답 9a, b, f 0
040 답 9d, e, i0
041 답 9c, g, h0
A=9a, b, c, f, g, h0, BC=9a, b, f, j, k0이므로
A-BC=9c, g, h0
042 답 91, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 180
A=91, 2, 3, 4, 6, 120, B=91, 2, 3, 6, 9, 180이므로
A6B=91, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 180
043 답 91, 2, 3, 60
044 답 99, 18, 360
U=91, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 360이므로
AC=99, 18, 360
045 답 94, 12, 360
046 답 94, 120
047 답 99, 180
048 답 9360
BC=94, 12, 360, A=91, 2, 3, 4, 6, 120이므로
BC-A=9360
049 답
A6AC
=
U
A
U
A
U
6 정답과 해설
U
A
U
A
∅
A
A
A
U
U
052 답
A-B
=
A5BC
U
A B
U
A B
053 답
B-A
=
B5AC
U
A B
U
A B
054 답 A
055 답 A
056 답 A
057 답 ∅
058 답 U
059 답 A
060 답 U
061 답 ∅
062 답 ∅
063 답 U
064 답 B
065 답 BC
066 답 A
067 답 B
A-BC=A5{BC}C=A5B
068 답 AC
AC-BC=AC5{BC}C=AC5B
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069 답 U
B
A
070 답 A
071 답 B
072 답 ∅
073 답 ∅
BC-AC=∅
075 답
U
A
B
074 답 ∅
A[B이면 BC[AC이므로
076 답
077 답
078 답 \
B[A이므로 AC[BC
079 답 \
080 답
AC[BC이므로 AC-BC=∅
081 답 \
A5B=B이므로
A-{A5B}=A-B=∅
082 답
A6B=A이므로
{A6B}-A=A-A=∅
083 답 {A5B}5C = A5{B5C}
A
A
B
C
B
C
084 답 A6{B5C} = {A6B}5{A6C}
A
A
A
A
B
C
B
C
085 답 A5{B6C} = {A5B}6{A5C}
B
C
B
C
086 답 A
087 답 5
088 답 C
089 답 5, 5
090 답 B, A
091 답 5, 6
092 답
{A6B}C
=
AC5BC
U
A B
U
A B
093 답
{A5B}C
=
AC6BC
U
A B
U
A B
094 답
{AC5B}C
=
A6BC
U
A B
U
A B
095 답 BC
096 답 AC
{A6BC}C=AC5{BC}C=AC5B
097 답 5
{AC6B}C={AC}C5BC=A5BC
098 답 6
{A5BC}C=AC6{BC}C=AC6B
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02 집합의 연산 7
099 답 B
{AC6BC}C={AC}C5{BC}C=A5B
100 답 A
{AC5BC}C={AC}C6{BC}C=A6B
101 답 ㄷ
102 답 ㄹ, ㄱ, ㄴ
103 답 ㄹ, ㄷ, ㄱ
104 답 AC, AC, ∅, AC, AC, A
105 답 A, A, A, A, A
106 답 5, 5, 5, 5, 5, ∅
107 답 AC, A, A, 5, ∅, A
108 답 17
n{A6B} =n{A}+n{B}-n{A5B}
=9+10-2=17
109 답 11
n{A6B} =n{A}+n{B}-n{A5B}
=5+9-3=11
110 답 6
n{A6B}=n{A}+n{B}-n{A5B}에서
n{A5B} =n{A}+n{B}-n{A6B}
=14+12-20=6
111 답 5
n{A6B}=n{A}+n{B}-n{A5B}에서
n{A5B} =n{A}+n{B}-n{A6B}
=8+11-14=5
112 답 13
n{A6B}=n{A}+n{B}-n{A5B}에서
n{A} =n{A6B}-n{B}+n{A5B}
=15-6+4=13
113 답 15
n{A6B}=n{A}+n{B}-n{A5B}에서
n{B} =n{A6B}-n{A}+n{A5B}
=17-10+8=15
114 답 14
A5B=∅이면 n{A6B}=n{A}+n{B}이므로
n{A6B}=9+5=14
8 정답과 해설
115 답 6
A5B=∅이면 n{A6B}=n{A}+n{B}이므로
n{B}=n{A6B}-n{A}=13-7=6
116 답 7
n{AC}=n{U}-n{A}=14-7=7
117 답 3
n{A-B}=n{A}-n{A5B}=7-4=3
118 답 10
n{AC6BC} =n{{A5B}C}
=n{U}-n{A5B}
=14-4=10
119 답 9
n{BC}=n{U}-n{B}=24-15=9
120 답 8
n{B-A}=n{B}-n{A5B}=15-7=8
121 답 3
n{A6B} =n{A}+n{B}-n{A5B}
=13+15-7=21
∴ n{{A6B}C} =n{U}-n{A6B}
=24-21=3
122 답 10
n{BC}=n{U}-n{B}=22-12=10
123 답 7
n{A-B} =n{A6B}-n{B}
=19-12=7
124 답 3
n{AC5BC} =n{{A6B}C}
=n{U}-n{A6B}
=22-19=3
125 답 11
n{AC}=n{U}-n{A}=25-14=11
126 답 6
n{B-A} =n{A6B}-n{A}
=20-14=6
127 답 20
n{A6B}=n{A}+n{B}-n{A5B}에서
n{A5B} =n{A}+n{B}-n{A6B}
=14+11-20=5
∴ n{{A5B}C} =n{U}-n{A5B}
=25-5=20
수학(하) AM 해설 01,02(001~009)OK.indd 8
2017-11-23 오후 4:34:04
36~47쪽
최종 점검하기
32~33쪽
1 9b, d0 2 ④
8 ③
7 ④
3 ⑤
9 ②
4 ⑤
10 ④
5 9a, c, e0 6 ③
11 ③
12 ①
1 주어진 벤다이어그램에서 색칠한 부분이 나타내는 집합은
A5B이므로 A5B=9b, d0
2 B6C=93, 4, 5, 6, 7, 80이므로 A5{B6C}=93, 4, 50
3 ③ 91, 50 ④ 91, 3, 5, 7, 90 ⑤ 92, 3, 5, 70
따라서 집합 92, 4, 60과 서로소가 아닌 집합은 ⑤이다.
4 U=91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80, A=92, 4, 6, 80, B=93, 60이
므로 ⑤ B-A=930
5 A-B={A6B}-B이므로 A-B=9a, c, e0
6 ①
A
②
A
C
C
B
B
B
B
C
C
④
A
⑤
A
IV. 집합과 명제
명제
001 답
002 답 ×
003 답
004 답 ×
005 답 ×
006 답
007 답 참
008 답 참
009 답 거짓
010 답 참
011 답 거짓
012 답 거짓
7 ④ B-A=B5AC
8 ③ A[B이므로 A-B=∅
9 U=91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 100이
므로 주어진 집합을 벤다이어그램으로 나
타내면 오른쪽 그림과 같다.
∴ AC5BC={A6B}C=99, 100
따라서 집합 AC5BC의 모든 원소의 합은
9+10=19
11 {AC5B}6{A6B}C ={AC5B}6{AC5BC}
=AC5{B6BC}
=AC5U=AC
12 n{A6B} =n{A}+n{B}-n{A5B}
=12+10-4=18
∴ n{AC5BC} =n{{A6B}C}
=n{U}-n{A6B}
=20-18=2
013 답 92, 3, 5, 70
014 답 93, 4, 6, 70
10의 양의 약수는 1, 2, 5, 10이므로 주어진 조건의 진리집합은
93, 4, 6, 70
015 답 93, 4, 5, 6, 70
2x-1>5에서 2x>6 / x>3
U
A B
2
1
5
4
6
3
7
8
9
10
따라서 주어진 조건의 진리집합은 93, 4, 5, 6, 70
016 답 91, 50
x@-6x+5=0에서 {x-1}{x-5}=0 / x=1 또는 x=5
따라서 주어진 조건의 진리집합은 91, 50
017 답 920
|x-2|<1에서 -13
028 답 0:Z
029 답 10
033 답 x<-5
034 답 x<0
~p은 부정은 p이다.
035 답 x>-5
~q은 부정은 q이다.
036 답 x>0 또는 x<-5
‘p 그리고 q’의 부정은 ‘~p 또는 ~q’이다.
037 답 x>0
‘p 또는 ~q’의 부정은 ‘~p 그리고 q’이다.
038 답 가정: x=2이다., 결론: 2x+3=7이다.
039 답 가정: -220, Q=9x|x<-1 또는 x>10
따라서 P[Q이므로 명제 p
q는 참이다.
2!
047 답 거짓
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면
P=9x|-11이지만 x<0이다.
051 답 거짓
[반례] x=2이면 x는 소수이지만 짝수이다.
048 답 참
049 답 거짓
1
2
[반례] x=-
050 답 참
052 답 참
054 답 참
056 답 ×
p
2!
053 답 거짓
[반례] x=2, y=-1이면 x+y>0이지만 x>0, y<0이다.
055 답 거짓
[반례] x=-1, y=-1이면 xy=|xy|이지만 x<0, y<0이다.
041 답 가정: a, b가 모두 짝수이다., 결론: a+b는 짝수이다.
q가 참이므로 P[Q / P6Q=Q
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Z
Z
058 답
P[Q이므로 P5QC=P-Q=Z
057 답
059 답 ×
060 답
P[Q이므로 PC5QC={P6Q}C=QC
061 답 ×
P[Q이므로 PC6QC={P5Q}C=PC
062 답 거짓
[반례] x=5이면 x+5=10이다.
064 답 거짓
[반례] x=1이면 |x-1|=0이다.
063 답 참
065 답 참
066 답 참
x@=x에서 x@-x=0, x{x-1}=0
/ x=0 또는 x=1
067 답 참
부정: 모든 자연수 x에 대하여 x>1이다. (참)
068 답 참
부정: 어떤 소수는 홀수이다. (참)
070 답 거짓
부정: 모든 실수 x에 대하여 x@<0이다. (거짓)
071 답 참
부정: 어떤 유리수 x, y에 대하여 xy=1이다. (참)
072 답 역: p
2!
q, 대우: ~p
~q
073 답 역: ~q
2!
p, 대우: q
~p
074 답 역: q
2!
~p, 대우: ~q
075 답 역: ~p
2!
~q, 대우: p
p
2!
q
2!
2!
2!
076 답 역: 참, 대우: 거짓
역: x=2이면 x@=4이다. (참)
077 답 역: 참, 대우: 참
역: x@<1이면 -11이면 x<-1 또는 x>1이다. (참)
078 답 역: 참, 대우: 거짓
역: 5의 양의 약수이면 10의 양의 약수이다. (참)
대우: 5의 양의 약수가 아니면 10의 양의 약수가 아니다. (거짓)
[반례] 2는 5의 양의 약수가 아니지만 10의 양의 약수이다.
079 답 역: 거짓, 대우: 참
역: 이등변삼각형이면 정삼각형이다. (거짓)
대우: 이등변삼각형이 아니면 정삼각형이 아니다. (참)
080 답 역: 참, 대우: 거짓
역: x>y이면 x-y=|x-y|이다. (참)
대우: x0이다.
대우: x>0이고 y>0이면 x+y>0이다. (참)
083 답 역: 참, 대우: 거짓
역: x>1이고 y>1이면 x+y>2이다. (참)
대우: x<1 또는 y<1이면 x+y<2이다. (거짓)
[반례] x=-1, y=5이면 x<1 또는 y<1이지만 x+y>2
084 답 역: 거짓, 대우: 참
역: x 또는 y가 홀수이면 xy는 홀수이다. (거짓)
[반례] x=1, y=2이면 x 또는 y는 홀수이지만 xy는 짝수이다.
대우: x, y가 모두 홀수가 아니면 xy는 홀수가 아니다. (참)
085 답 역: 거짓, 대우: 참
역: xy가 유리수이면 x, y는 모두 유리수이다. (거짓)
[반례] x=-j2, y=j2이면 xy는 유리수이지만 x, y는 유리
수가 아니다.
대우: xy가 유리수가 아니면 x 또는 y는 유리수가 아니다. (참)
q가 참이므로 그 대우인 ~q
~p도 참이다.
~q가 참이므로 그 대우인 q
~p도 참이다.
2!
2!
086 답 ㄹ
p
2!
087 답 ㄴ
p
2!
088 답 ㄷ
~p
2!
03 명제 11
069 답 거짓
부정: 모든 자연수 x에 대하여 jxk는 무리수가 아니다. (거짓)
이다.
대우: x=2이면 x@=4이다. (거짓)
[반례] x=-2이면 x=2이지만 x@=4이다.
q가 참이므로 그 대우인 ~q
p도 참이다.
2!
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089 답 ㄱ
~p
2!
090 답 1, [, 충분
~q가 참이므로 그 대우인 q
p도 참이다.
2!
091 답 충분조건
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 P[Q이므로 p는
q이기 위한 충분조건이다.
q
2!
p: xy>0이면 x>0, y>0이다. (거짓)
[반례] x=-1, y=-2이면 xy>0이지만 x<0, y<0이다.
따라서 p
q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
jjk
101 답 필요조건
p
2!
q: |x+y|=|x|+|y|이면 x>0, y>0이다. (거짓)
[반례] x=-1, y=-2이면 |x+y|=|x|+|y|이지만
x<0, y<0이다.
092 답 필요조건
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 Q[P이므로 p는
q
2!
따라서 q
jjk
p: x>0, y>0이면 |x+y|=|x|+|y|이다. (참)
p이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.
q이기 위한 필요조건이다.
093 답 충분조건
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면
P=91, 2, 3, 60, Q=91, 2, 3, 4, 6, 120
102 답 -2, 2, =, 필요충분
103 답 필요충분조건
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면
P=9x|-310, Q=9x|x<-1 또는 x>10
따라서 Q[P이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.
따라서 P=Q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
095 답 필요조건
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면
P=91, 3, 5, 7, 9, …0, Q=91, 30
따라서 Q[P이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.
096 답 필요조건
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면
P=9x|x>50, Q=9x|530, Q=9x|x<-2 또는 x>10
따라서 P[Q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
098 답 충분조건
p
q: x=y이면 x@=y@이다. (참)
p: x@=y@이면 x=y이다. (거짓)
2!
2!
q
따라서 p
q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
jjk
q: xy=0이면 x=0, y=0이다. (거짓)
[반례] x=0, y=1이면 xy=0이지만 x=0, y=0이다.
p: x=0, y=0이면 xy=0이다. (참)
p이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.
099 답 필요조건
p
2!
q
2!
따라서 q
jjk
100 답 충분조건
p
2!
12 정답과 해설
q: xy=0이면 x=0 또는 y=0이다. (참)
p: x=0 또는 y=0이면 xy=0이다. (참)
q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
105 답 필요충분조건
p
2!
q
2!
따라서 p
hjk
106 답 필요충분조건
p
2!
q
2!
따라서 p
hjk
q: |x|+|y|=0이면 x@+y@=0이다. (참)
p: x@+y@=0이면 |x|+|y|=0이다. (참)
q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
107 답 홀수, 홀수, 1, 홀수
108 답 풀이 참고
주어진 명제의 대우 ‘n이 짝수이면 n@도 짝수이다.’가 참임을 보이
n이 짝수이면 n=2k {k는 자연수}로 나타낼 수 있으므로
면 된다.
n@=2{2k@}
즉, n@은 짝수이다.
109 답 유리수, 3, 3, 3, 3
110 답 풀이 참고
j2가 유리수라고 가정하면 j2=
으로 나타낼 수 있다.
n
m
(m, n은 서로소인 자연수)
양변을 제곱하여 정리하면 n@=2m@ yy ㉠
이때 n@이 짝수이므로 n도 짝수이다.
n=2k`(k는 자연수)라 하고 ㉠에 대입하여 정리하면 m@=2k@
[반례] x=-1, y=1이면 x@=y@이지만 x=y이다.
따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다.
q: x>0, y>0이면 xy>0이다. (참)
이때 m@이 짝수이므로 m도 짝수이다.
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이때 등호가 성립하는 경우는 ay-bx=0, 즉 ay=bx일 때이다.
[반례] x=1, y=2이면 xy는 짝수이지만 x는 홀수, y는 짝
즉, m, n이 모두 짝수이므로 m, n이 서로소라는 가정에 모순이다.
따라서 j2는 유리수가 아니다.
111 답 ×
112 답
113 답
114 답 ×
115 답 ×
116 답
3
4 ,
3
4 ,
1
2
b, 0, 0
117 답 풀이 참고
a+b-2jabk ={ja}@+{jb}@-2jabk={ja-jb}@>0
따라서 a+b>2jabk이다.
이때 등호가 성립하는 경우는 ja-jb=0, 즉 a=b일 때이다.
118 답 풀이 참고
{a@+b@}{x@+y@}-{ax+by}@
={a@x@+a@y@+b@x@+b@y@}-{a@x@+2abxy+b@y@}
=a@y@-2abxy+b@x@={ay-bx}@>0
따라서 {a@+b@}{x@+y@}>{ax+by}@이다.
최종 점검하기
3 ③
8 ②
2 ①
1 ④
6 ⑤
7 ③
11 ㈎ 3k-2 ㈏ 3k@-4k+1
12 ㈎ 유리수 ㈏ 무리수 ㈐ 0 ㈑ a=b=0
4 94, 5, 100
9 ④
4 8~49쪽
5 ①
10 필요충분조건
2 ㄴ. 거짓 [반례] x=-1이면 x@=1이지만 x#=-1이다.
ㄷ. 거짓 [반례] x=2이면 x>1이지만 x<3이다.
따라서 보기 중 참인 명제는 ㄱ이다.
3 3의 배수는 3, 6, 9, 12, y이고, 24의 양의 약수는 1, 2, 3, 4,
6, 8, 12, 24이므로 조건 p의 진리집합은 93, 6, 12, 240
따라서 구하는 원소의 개수는 4이다.
4 U=91, 2, 4, 5, 10, 200이고, 조건 p의 부정은
~p: 300, Q=9x|x=0인 실수0
P[Q이므로 명제 p
q는 참이다.
2!
2!
③ P=9x|-30이다. (거짓)
② 모든 x에 대하여 x=1이다. (거짓)
③ 모든 x에 대하여 x@>0이다. (참)
④ 모든 x에 대하여 x@<0이다. (거짓)
⑤ 모든 x에 대하여 x@=x이다. (거짓)
8 ① 역: x>1이면 x>2이다. (거짓)
[반례] x=2이면 x>1이지만 x=2이다.
② 역: x=1이면 x@=1이다. (참)
③ 역: xz=yz이면 x=y이다. (거짓)
[반례] x=1, y=2, z=0이면 xz=yz이지만 x=y이다.
1
④ 역:
x
이면 x>y이다. (거짓)
1
y
<
[반례] x=-1, y=1이면
<
이지만 x0이므로 a=2
또 ab+b=3에서 2b+b=3
3b=3 / b=1
/ a+b=3
9 y=-ax+3을 x에 대하여 풀면 x=-
y+
1
a
3
a
x와 y를 서로 바꾸면 y=-
x+
1
a
3
a
따라서 -
x+
=
x+b이므로
3
a
1
2
-
=
,
=b / a=-2, b=-
3
2
1
a
3
a
1
a
1
2
/ a-b=-
1
2
10 함수 f{x}=-x+a의 그래프가 점 {-3, 2}를 지나므로
2=3+a / a=-1
11 { f`J`g}{2}=f{g{2}}=f{5}=11
f _!{2}=k라고 하면 f{k}=2
3k-4=2 / k=2
/ { f`J`g}{2}+f _!{2}=11+2=13
12 { f`J`{ g_!`J`f}_!`J`f}{1} ={ f`J`f _!`J`g`J`f}{1}
={g`J`f}{1}
=g{ f{1}}
=g{10}=15
13 ④ f _!{d}=k라고 하면
f{k}=d
이때 f{c}=d이므로 k=c
/ f _!{d}=c
y
d
c
b
a
O
y=f{x} y=x
a
b c d
x
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유리함수
x@+3x+2
x@
\
x
x+2
=
{x+2}{x+1}
x@
\
x
x+2
=
x+1
x
012 답
x+1
x
68~79쪽
05
V. 함수
001 답 분
002 답 다
003 답 다
004 답 분
005 답 분
006 답
2x-1
{x+1}{x-2}
1
x+1
+
1
x-2
=
x-2
{x+1}{x-2}
+
x+1
{x+1}{x-2}
=
x-2+x+1
{x+1}{x-2}
=
2x-1
{x+1}{x-2}
007 답 -
6
{x+1}{x-1}
3
x+1
-
3
x-1
=
3{x-1}
{x+1}{x-1}
-
3{x+1}
{x+1}{x-1}
=
3x-3-3x-3
{x+1}{x-1}
=-
6
{x+1}{x-1}
013 답
2x+1
x-2
2x+1
x@-2x
_
=
1
x
2x+1
x{x-2}
\x=
2x+1
x-2
014 답
{x-1}{x+3}
x
x@-1
x@
_
x+1
x@+3x
=
x@-1
x@
\
x@+3x
x+1
=
{x+1}{x-1}
x@
\
x{x+3}
x+1
=
{x-1}{x+3}
x
015 답 x{x-4}
x@-16
x@+1
x+4
x#+x
_
=
x@-16
x@+1
\
x#+x
x+4
=
{x+4}{x-4}
x@+1
\
x{x@+1}
x+4
=x{x-4}
016 답
x-2
x#-1
1
x-1
-
2x
x@+x+1
+
x@-2x-3
x#-1
008 답
x@+7x+5
{2x+1}{x-3}
=
x@+x+1
{x-1}{x@+x+1}
-
2x{x-1}
{x-1}{x@+x+1}
+
x@-2x-3
x#-1
x
2x+1
+
5
x-3
=
x{x-3}
{2x+1}{x-3}
+
5{2x+1}
{2x+1}{x-3}
=
x@+x+1-2x@+2x+x@-2x-3
x#-1
=
x@-3x+10x+5
{2x+1}{x-3}
=
x@+7x+5
{2x+1}{x-3}
009 답
3x+5
{x+1}{x+2}{x+3}
1
{x+1}{x+2}
+
2
{x+2}{x+3}
=
x+3
{x+1}{x+2}{x+3}
+
2{x+1}
{x+1}{x+2}{x+3}
=
x+3+2x+2
{x+1}{x+2}{x+3}
=
3x+5
{x+1}{x+2}{x+3}
010 답 x-2
x+4
x@-4
x+2
x+4
\
011 답
3x-2
x@
=
{x+2}{x-2}
x+4
\
x+4
x+2
=x-2
=
x-2
x#-1
017 답 1
x-1
x+2
\
=1
x@+4x+4
x@+2x-3
_
x+2
x+3
=
x-1
x+2
\
{x+2}@
{x+3}{x-1}
\
x+3
x+2
018 답
x@+2
x+2
x@-3x
x+2
\
1-
[
1
x ]
_
x@-4x+3
x@+2
=
x@-3x
x+2
\
x-1
x
\
x@+2
x@-4x+3
=
x{x-3}
x+2
\
x-1
x
\
x@+2
{x-1}{x-3}
3x-2
x@+x
\
x+1
x
=
3x-2
x{x+1}
\
x+1
x
=
3x-2
x@
=
x@+2
x+2
05 유리함수 19
수학(하) AM 해설 05~06(019~033)OK.indd 19
2017-11-28 오전 11:25:41
019 답
1
x{2x+y}
y
x@-xy
_
2x@+xy
x@-y@
\
x
xy+y@
=
y
x@-xy
\
x@-y@
2x@+xy
\
x
xy+y@
=
y
x{x-y}
\
{x+y}{x-y}
x{2x+y}
\
x
y{x+y}
=
1
x{2x+y}
020 답
x+2
x-2y
x@-xy+2x-2y
x@-xy-2y@
{x+2}{x-y}
{x+y}{x-2y}
=
=
x+2
x-2y
\
2x@+xy-y@
x@-xy
_
2x-y
x
\
{x+y}{2x-y}
x{x-y}
\
x
2x-y
021 답 x+2, x+2, x+2, x+3, x+4, x+4
1
{x+2}{x+3}
1
{x+1}{x+2}
1
{x+3}{x+4}
+
+
=
1
{x+2}-{x+1}
1
x+1
[
-
1
x+2 ]
+
1
{x+3}-{x+2}
1
x+2
[
-
1
x+3 ]
+
1
{x+4}-{x+3}
1
x+3
[
-
1
x+4 ]
-
=
=
[
1
x+1
1
x+1
-
1
x+2 ]
1
x+4
+
[
1
x+2
-
1
x+3 ]
+
[
1
x+3
-
1
x+4 ]
=
x+4
{x+1}{x+4}
-
x+1
{x+1}{x+4}
=
x+4-x-1
{x+1}{x+4}
=
3
{x+1}{x+4}
022 답
6
{x+1}{x+7}
=
2
{x+3}-{x+1}
1
x+1
[
-
1
x+3 ]
+
2
{x+5}-{x+3}
1
x+3
[
-
1
x+5 ]
+
2
{x+7}-{x+5}
1
1
x+3 ]
x+1
-
+
[
[
1
x+5
1
x+3
-
1
x+7 ]
1
x+5 ]
+
-
=
[
=
1
x+1
-
1
x+7
=
=
x+7
{x+1}{x+7}
x+7-x-1
{x+1}{x+7}
-
x+1
{x+1}{x+7}
=
6
{x+1}{x+7}
20 정답과 해설
023 답
6
x{x+6}
1
x{x+1}
+
2
{x+1}{x+3}
+
3
{x+3}{x+6}
=
1
{x+1}-x
1
x
[
-
1
x+1 ]
+
2
{x+3}-{x+1}
1
x+1
[
-
1
x+3 ]
+
3
{x+6}-{x+3}
1
x+3
[
-
1
x+6 ]
=
[
1
x
-
1
x+1 ]
+
[
1
x+1
-
1
x+3 ]
+
[
1
x+3
-
1
x+6 ]
=
-
1
x
1
x+6
=
x+6
x{x+6}
-
x
x{x+6}
=
x+6-x
x{x+6}
=
6
x{x+6}
024 답
8
{x-4}{x+4}
2
{x-4}{x-2}
+
4
{x-2}{x+2}
+
2
{x+2}{x+4}
=
2
{x-2}-{x-4}
1
x-4
[
-
1
x-2 ]
+
4
{x+2}-{x-2}
1
x-2
[
-
1
x+2 ]
+
2
{x+4}-{x+2}
1
x+2
[
-
1
x+4 ]
=
[
1
x-4
-
1
x-2 ]
+
[
1
x-2
-
1
x+2 ]
+
[
1
x+2
-
1
x+4 ]
=
1
x-4
-
1
x+4
=
x+4
{x-4}{x+4}
-
x-4
{x-4}{x+4}
=
x+4-x+4
{x-4}{x+4}
=
8
{x-4}{x+4}
025 답
3
x{x-3}
1
x@-5x+6
+
1
x@-3x+2
+
1
x@-x
=
1
{x-2}-{x-3}
1
x-3
[
-
1
x-2 ]
+
1
{x-1}-{x-2}
1
x-2
[
-
1
x-1 ]
+
1
x-{x-1}
1
x-1
[
-
1
x ]
=
1
x-3
-
1
x
=
x
x{x-3}
-
x-3
x{x-3}
=
x-x+3
x{x-3}
=
3
x{x-3}
2
{x+1}{x+3}
+
2
{x+3}{x+5}
+
2
{x+5}{x+7}
=
1
{x-3}{x-2}
+
1
{x-2}{x-1}
+
1
{x-1}\x
1
x+5
[
-
1
x+7 ]
=
[
1
x-3
-
1
x-2 ]
+
[
1
x-2
-
1
x-1 ]
+
[
1
x-1
-
1
x ]
수학(하) AM 해설 05~06(019~033)OK.indd 20
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026 답
3
x{x+6}
+
1
x@+2x
1
x{x+2}
=
1
x@+6x+8
+
1
x@+10x+24
+
1
{x+2}{x+4}
+
1
{x+4}{x+6}
=
1
{x+2}-x
1
x
[
-
1
x+2 ]
+
1
{x+4}-{x+2}
1
x+2
[
-
1
x+4 ]
+
1
{x+6}-{x+4}
1
x+4
[
-
1
x+6 ]
-
1
x+2 ]
+
1
2
1
x+2
[
-
1
x+4 ]
+
1
2
[
1
x+4
-
1
x+6 ]
-
1
x+6 ]
=
1
2
x+6
x{x+6}
-
x
x{x+6}
=
=
\
1
2
x+6-x
x{x+6}
=
-
3
x{x+6}
=
=
1
2 [
1
2 [
1
x
1
x
027 답 분
028 답 다
029 답 다
030 답 분
031 답 분
033 답 9x|x=-4인 실수0
x+4=0에서x=-4이므로정의역은9x|x=-4인실수0
034 답 9x|x=6인 실수0
x-6=0에서x=6이므로정의역은9x|x=6인실수0
035 답 9x|x=-2, x=2인 실수0
x@-4=0에서x=-2,x=2이므로정의역은
9x|x=-2,x=2인실수0
036 답 9x|x는 모든 실수0
모든실수x에대하여x@+7>0이므로정의역은
9x|x는모든실수0
037 답
y
2
-1
O 1
-2
x
038 답
y
4
1
x
039 답
-1
O
-4
y
2!
-1
O
1
x
-
2!
3!
1
x
-1
O
-
3!
040 답
y
041 답 3, 2, x-2
042 답 y=
3
x-1
-2
함수y=
3
x
-2만큼평행이동하면
043 답 y=
2
x+8
+7
함수y=
2
x
7만큼평행이동하면
044 답 y=-
4
x+3
-1
함수y=-
4
x
로-1만큼평행이동하면
045 답 y=-
2
x+4
+5
함수y=-
2
x
로5만큼평행이동하면
의그래프를x축의방향으로-8만큼,y축의방향으로
y-7=
2
x-{-8}
/ y=
2
x+8
+7
의그래프를x축의방향으로-3만큼,y축의방향으
y-{-1}=-
/ y=-
4
x-{-3}
4
x+3
-1
의그래프를x축의방향으로-4만큼,y축의방향으
y-5=-
/ y=-
2
x-{-4}
2
x+4
+5
05 유리함수 21
032 답 9x|x=0인 실수0
y-{-2}=
/ y=
3
x-1
3
x-1
-2
의그래프를x축의방향으로1만큼,y축의방향으로
수학(하) AM 해설 05~06(019~033)OK.indd 21
2017-11-28 오전 11:25:42
함수y=-
의그래프를x축의방향으로1만큼,y축의방향으로
046 답 y=-
9
x-1
+2
9
x
9
x-1
2만큼평행이동하면
y-2=-
/ y=-
9
x-1
+2
047 답 y=-
12
x-2
-6
함수y=-
12
x
로-6만큼평행이동하면
y-{-6}=-
/ y=-
12
x-2
12
x-2
-6
의그래프를x축의방향으로2만큼,y축의방향으
055 답
054 답
-
17
6
\\\\\\\\\\\\\\\\\
y
O
-2
x
점근선의 방정식:
x=-2, y=-3
정의역: 9x|x=-2인 실수0
치역: 9y|y=-3인 실수0
y=-
5
2x+4
-3=-
5
2{x+2}
-3
점근선의 방정식:
x=-
5
3 , y=2
-
2!
-
3%
xO
5#
정의역:
x
x=-
-
|
치역: 9y|y=2인 실수0
5
3 인 실수
=
-3
-
17
4
\\\\\\\\\\\\\\\\\
y
2
y
2
1
O
048 답
049 답
x
1
y
2&
3
-2
O
x
-
3&
점근선의 방정식: x=1, y=2
정의역: 9x|x=1인 실수0
치역: 9y|y=2인 실수0
점근선의 방정식:
x=-2, y=3
정의역: 9x|x=-2인 실수0
치역: 9y|y=3인 실수0
y=-
7
3x+5
+2=-
7
+2
x+
3
[
5
3 ]
056 답
y
2
O
2
x
-
2!
-
2!
y=
2x+1
x-2
=
2{x-2}+5
x-2
=
5
x-2
+2
점근선의 방정식: x=2, y=2
정의역: 9x|x=2인 실수0
치역: 9y|y=2인 실수0
37
5\\\\\\\\\\\\\\\\\
7
x
점근선의 방정식:
x=7, y=-5
정의역: 9x|x=7인 실수0
치역: 9y|y=-5인 실수0
057 답
y
1
O
4
x
점근선의 방정식: x=4, y=1
정의역: 9x|x=4인 실수0
치역: 9y|y=1인 실수0
050 답
y
O
-5
37
7
\\\\\\\\\\\\\\\\\
-
051 답
점근선의 방정식:
x=-1, y=-2
-1
O
2!
x
y
1
-2
정의역: 9x|x=-1인 실수0
치역: 9y|y=-2인 실수0
058 답
y=
x
x-4
=
{x-4}+4
x-4
=
4
x-4
+1
점근선의 방정식:
x=-2, y=3
정의역: 9x|x=-2인 실수0
치역: 9y|y=3인 실수0
점근선의 방정식:
x=-3, y=3
정의역: 9x|x=-3인 실수0
치역: 9y|y=3인 실수0
y
3
y
3
2
-2
O
2%
x
-
3%
y=
3x+5
x+2
=
3{x+2}-1
x+2
=-
1
x+2
+3
059 답
-3 -2
xO
y=
3x+6
x+3
=
3{x+3}-3
x+3
=-
3
x+3
+3
052 답
3%
y
1
O
3
5
x
점근선의 방정식: x=3, y=1
정의역: 9x|x=3인 실수0
치역: 9y|y=1인 실수0
053 답
y
-2
O
-1
x
-1
-2
점근선의 방정식:
x=-1, y=-1
정의역: 9x|x=-1인 실수0
치역: 9y|y=-1인 실수0
22 정답과 해설
수학(하) AM 해설 05~06(019~033)OK.indd 22
2017-11-28 오전 11:25:43
+1이므로주어진함수의그래프
므로4=-2+k / k=6
060 답
y
-
11
4
\\\\\\\\\\\\\\\\\
-
2%
O
점근선의 방정식:
x=-
5
2 , y=-2
066 답 \
-2x-4
x+1
y=
=
-2{x+1}-2
x+1
=-
2
x+1
-2
x
-2
-
11
5
\\\\\\\\\\\\\\\\\
정의역:
x
x=-
-
|
5
2 인 실수
=
치역: 9y|y=-2인 실수0
이므로주어진함수의그래프는함수y=-
의그래프를x축의
방향으로-1만큼,y축의방향으로-2만큼평행이동한것이다.
y=-
=
4x+11
2x+5
1
2x+5
=-
-2=-
-2{2x+5}-1
2x+5
1
-2
x+
2
[
5
2 ]
067 답 \
3x+16
x+5
y=
=
3{x+5}+1
x+5
=
1
x+5
+3
2
x
1
x
061 답
y
O
-2
23
8-
\\\\\\\\\\\\\\\\\
23
6\\\\\\\\\\\\\\\\\
3*
x
점근선의 방정식:
x=
8
3 , y=-2
x
정의역:
8
3 인 실수
=
치역: 9y|y=-2인 실수0
x=
-
|
y=-
6x-23
3x-8
=
-2{3x-8}+7
3x-8
=
7
3x-8
-2=
7
-2
x-
3
[
8
3 ]
062 답
x+1
x-1
y=
=
{x-1}+2
x-1
=
2
x-1
2
를평행이동하여함수y=
x
의그래프와겹쳐지는지확인하면된다.
함수y=
의그래프는함수y=
의그래프를x축의방향으
2
x-1
2
x
063 답 \
x-1
x+1
y=
=
{x+1}-2
x+1
=-
2
x+1
+1
이므로주어진함수의그래프는함수y=-
의그래프를x축의
방향으로-1만큼,y축의방향으로1만큼평행이동한것이다.
2
x
064 답 \
2x
x-3
y=
=
2{x-3}+6
x-3
=
6
x-3
+2
이므로주어진함수의그래프는함수y=
의그래프를x축의방
향으로-5만큼,y축의방향으로3만큼평행이동한것이다.
068 답 4, 2, 4, 2, -2
069 답 6
4x+9
x+2
y=
=
x=-2,y=4
=
1
x+2
+4
4{x+2}+1
x+2
4x+9
x+2
이므로함수y=
의그래프의점근선의방정식은
따라서함수y=
의그래프가직선y=x+k에대하여대칭
4x+9
x+2
이려면직선y=x+k는두점근선의교점{-2,4}를지나야하
070 답 2
3x-2
x-1
y=
=
x=1,y=3
=
1
x-1
+3
3{x-1}+1
x-1
3x-2
x-1
따라서함수y=
의그래프가직선y=x+k에대하여대칭
3x-2
x-1
이려면직선y=x+k는두점근선의교점{1,3}을지나야하므로
3=1+k / k=2
071 답 -1
2x-1
x-1
y=-
=
=-
1
x-1
-2
-2{x-1}-1
x-1
2x-1
x-1
이므로함수y=-
의그래프의점근선의방정식은
로1만큼평행이동한것이다.
이므로함수y=
의그래프의점근선의방정식은
이므로주어진함수의그래프는함수y=
의그래프를x축의방
따라서함수y=-
의그래프가직선y=-x+k에대하여
향으로3만큼,y축의방향으로2만큼평행이동한것이다.
대칭이려면직선y=-x+k는두점근선의교점{1,-2}를지
x=1,y=-2
2x-1
x-1
065 답
-2x-1
x+2
y=
=
-2{x+2}+3
x+2
=
-2이므로주어진함수의
그래프를평행이동하여함수y=
의그래프와겹쳐지는지확인
3
x+2
3
x
하면된다.
x+2
x-1
y=
=
{x-1}+3
x-1
=
3
x-1
+1
이므로주어진함수의그래프는함수y=
의그래프를x축의방
나야하므로-2=-1+k / k=-1
072 답 -8
3x+16
x+5
y=-
=-
1
x+5
=
-3
-3{x+5}-1
x+5
3x+16
x+5
3x+16
x+5
이므로함수y=-
의그래프의점근선의방정식은
x=-5,y=-3
따라서함수y=-
의그래프가직선y=-x+k에대하여
대칭이려면직선y=-x+k는두점근선의교점{-5,-3}을
6
x
3
x
향으로1만큼,y축의방향으로1만큼평행이동한것이다.
지나야하므로-3=-{-5}+k / k=-8
05 유리함수 23
수학(하) AM 해설 05~06(019~033)OK.indd 23
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1
이므로주어진함수의그래프는y=
의그래프를x축의방향으
-2{k>0} yy㉠
073 답 3, 3, 1, -2
074 답 최댓값:
1
2
, 최솟값: -1
y=
x+1
x-1
=
{x-1}+2
x-1
=
2
x-1
+1
2
x
x+1
x-1
로1만큼,y축의방향으로1만큼평행이동한것이다.
즉,정의역9x|-30} yy㉠
㉠의그래프가점{-5,0}을지나므로
0=
k
-5+3
+1 /k=2
따라서k=2를㉠에대입하면
y=
2
x+3
+1=
{x+3}+2
x+3
=
x+5
x+3
/a=1,b=5,c=3
080 답 a=1, b=5, c=3
주어진그래프에서점근선의방정식이x=-3,y=1이므로구하
081 답 a=2, b=-3, c=1
주어진그래프에서점근선의방정식이x=-1,y=2이므로구하
이므로주어진함수의그래프는y=-
의그래프를x축의방향
는유리함수의식을
으로4만큼,y축의방향으로-1만큼평행이동한것이다.
+2{k<0} yy㉠
y=
k
x+1
라고하자.
85
x
㉠의그래프가점{0,-3}을지나므로
즉,정의역9x|50} yy㉠
y=
k
x+1
이라고하자.
+3
7=
k
0+1
/k=4
따라서k=4를㉠에대입하면
y=
4
x+1
+3=
3{x+1}+4
x+1
=
3x+7
x+1
/a=3,b=7,c=1
/abc=3\7\1=21
에서y=
으로놓고x에대하여정리하면
ax-3
x-4
이므로주어진함수의그래프의점근선의방정식은
따라서함수y=
의그래프가직선y=x+k에대하여대칭이
5x-7
x-3
려면직선y=x+k는두점근선의교점{3,5}를지나야하므로
x=3,y=5
5=3+k
/k=2
12 f{x}=
ax-3
x-4
y{x-4}=ax-3
xy-ax=4y-3
x{y-a}=4y-3
/x=
4y-3
y-a
=
-2{x+1}-2
x+1
9 y=
-2x-4
x+1
2
x+1
=-
-2
x와y를서로바꾸어역함수를구하면
y=
4x-3
x-a
따라서
4x-3
x-a
=
bx-c
x-2
이므로
①정의역은9x|x=-1인실수0,치역은9y|y=-2인실수0이다.
a=2,b=4,c=3
②,③점근선의방정식은x=-1,y=-2이므로두점근선의교
/a+b+c=2+4+3=9
점{-1,-2}에대하여대칭이다.
④주어진함수의그래프는y=-
의그
y
2
x
래프를x축의방향으로- 1만큼,y축
의방향으로-2만큼평행이동한것이
-2
O
-1 -2
x
므로오른쪽그림과같다.
⑤주어진함수는제2사분면,제3사분면,
-4
13 f{x}=
2x+1
x-4
y{x-4}=2x+1
xy-2x=4y+1
x{y-2}=4y+1
4y+1
y-2
/x=
제4사분면을지난다.
따라서옳지않은것은③이다
=
3{x-1}+4
x-1
10 y=
3x+1
x-1
4
x-1
=
+3
26 정답과 해설
이므로주어진함수의그래프는y=
의그래프를x축의방향으
4
x
로1만큼,y축의방향으로3만큼평행이동한것이다.
므로
p=2,q=4
/pq=2\4=8
에서y=
로놓고x에대하여정리하면
2x+1
x-4
x와y를서로바꾸어역함수를구하면
4{x-2}+9
x-2
4x+1
x-2
9
x-2
y=
+4
=
=
/f_!{x}=
9
x-2
+4
따라서y=f_!{x}의그래프의점근선의방정식은x=2,y=4이
수학(하) AM 해설 05~06(019~033)OK.indd 26
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8 4~95쪽
011 답 x
{jx+1l+1}{jx+1l-1}={jx+1l}@-1@={x+1}-1=x
06
무리함수
V. 함수
001 답 무
002 답 유
003 답 유
004 답 무
005 답 무
006 답 x>-
2
3
j3x+2l에서3x+2>0이어야하므로
3x>-2 / x>-
2
3
007 답 x>
1
2
j2x-1l에서2x-1>0이어야하므로
1
2x>1 / x>
2 yy㉠
분모에서j2x-1l=0이어야하므로
1
2x=1 / x=
2 yy㉡
㉠,㉡을동시에만족하는x의값의범위는
x>
1
2
008 답 x>0
j2x+1l에서2x+1>0이어야하므로
1
2x>-1 / x>-
2 yy㉠
yy㉡
jx k에서x>0
㉠,㉡을동시에만족하는x의값의범위는
x>0
009 답 20이어야하므로x>2 yy㉠
j3-xl에서3-x>0이어야하므로x<3 yy㉡
㉠,㉡을동시에만족하는x의값의범위는
j3-xl에서3-x>0이므로x<3 yy㉠
jx-1l에서x-1>0이므로x>1 yy㉡
또분모에서jx-1l=0이므로x=1 yy㉢
㉠,㉡,㉢을동시에만족하는x의값의범위는
1-20
x+2>0에서x>-2이므로구하는정의역은9x|x>-20이다.
029 답 9x|x>50
x-5>0에서x>5이므로구하는정의역은9x|x>50이다.
030 답
x
-
|
x>
3
2
=
2x-3>0에서x>
3
2 이므로구하는정의역은-
x
x>
|
3
2 =이다.
031 답 9x|x<40
-x+4>0에서x<4이므로구하는정의역은9x|x<40이다.
032 답 9x|x<20
6-3x>0에서x<2이므로구하는정의역은9x|x<20이다.
정의역: 9x|x>00
치역: 9y|y>00
x
2
2
정의역: 9x|x>00
x
치역: 9y|y<00
033 답
034 답
y
2
O
y
O
-2
035 답
y
2
정의역: 9x|x<00
치역: 9y|y>00
036 답
y
O
-2
정의역: 9x|x<00
x
치역: 9y|y<00
-2
xO
-2
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037 답
y
O
-3
y=-j3xk
3
x
038 답
y=j-3xl
-3
xO
y
3
y
y
O
x
-3
O
x
-1
1
1
x
x
y
1
O
y
O
-1
039 답
-3
y=-j-3xl
040 답
-1
y=-j-xl
041 답
y=jx k
042 답
y=-jx k
043 답 2, -1, 2, 2
044 답 y=jx+3l-4
y=jx k의그래프를x축의방향으로-3만큼,y축의방향으로-4
만큼평행이동한그래프의식은
y-{-4}=1x-{-3}3
/y=jx+3l-4
045 답 y=-j3x-6l+3
y=-j 3xk의그래프를x축의방향으로2만큼,y축의방향으로3
만큼평행이동한그래프의식은
y-3=-13{x-2}3 / y=-j3x-6l+3
046 답 y=j3x+6l
y=j3xk+1의그래프를x축의방향으로-2만큼,y축의방향으로
-1만큼평행이동한그래프의식은
y-{-1}=139x-{-2}03+1 / y=j3x+6l
047 답 y=j2x-2l+1
y=j2xk-1의그래프를x축의방향으로1만큼,y축의방향으로2
만큼평행이동한그래프의식은
y-2=12{x-1}3-1 / y=j2x-2l+1
048 답 y=j-4x+12l+2
y=j-4x+8l+5의그래프를x축의방향으로1만큼,y축의방향
으로-3만큼평행이동한그래프의식은
y-{-3}=1-4{x-1}+83+5 / y=j-4x+12l+2
049 답 y=-j-2x-2l+6
y=-j-2x-6l+3의그래프를x축의방향으로2만큼,y축의방
향으로3만큼평행이동한그래프의식은
y-3=-1-2{x-2}-63+3 / y=-j-2x-2l+6
050 답
정의역: 9x|x>-10
y
1
치역: 9y|y>00
-1
O
x
y=jx+1l의그래프는y=jx k의그래프를x축의방향으로-1만
큼평행이동한것이다.
051 답
052 답
y
1
O
y
2
정의역: 9x|x>00
치역: 9y|y>10
x
정의역: 9x|x>10
치역: 9y|y>20
y=j x k+1의그래프는y=j x k의그래프를y축의방향으로1만큼
평행이동한것이다.
O
1
x
y=jx-1l+2의그래프는y=jx k의그래프를x축의방향으로1만
큼,y축의방향으로2만큼평행이동한것이다.
053 답
-2
y
O
정의역: 9x|x>-20
x
치역: 9y|y<-30
-3
-5
y=-12{x+2}3-3의그래프는y=-j2xk의그래프를x축의방
향으로-2만큼,y축의방향으로-3만큼평행이동한것이다.
06 무리함수 29
수학(하) AM 해설 05~06(019~033)OK.indd 29
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054 답
y
4
2
O
4
x
정의역: 9x|x<40
치역: 9y|y>20
060 답
y
2
x
정의역: 9x|x<20
치역: 9y|y>-30
O
-
2%
-1
-3
y=1-{x-4}3+2의그래프는y=j-xl의그래프를x축의방향으
로4만큼,y축의방향으로2만큼평행이동한것이다.
y=j4-2xl-3=1-2{x-2}3-3이므로주어진함수의그래프는
y=j -2 x l의그래프를x축의방향으로2만큼,y축의방향으로
-3만큼평행이동한것이다.
055 답
-2
y
O
x
-1
정의역: 9x|x<-20
치역: 9y|y<-10
y=-1-3{x+2}3-1의그래프는y=-j-3xk의그래프를x축의
방향으로-2만큼,y축의방향으로-1만큼평행이동한것이다.
056 답 y
정의역: 9x|x>20
치역: 9y|y>00
O
2
x
y=j2x-4l=12{x-2}3이므로주어진함수의그래프는y=j2xk의
그래프를x축의방향으로2만큼평행이동한것이다.
057 답
-5
y
-1
xO
-2
정의역: 9x|x<-10
치역: 9y|y>-20
y=j-x-1l-2=1-{x+1}3-2이므로주어진함수의그래프는
y=j -xl의그래프를x축의방향으로-1만큼,y축의방향으로
-2만큼평행이동한것이다.
058 답
y
2
정의역: 9x|x>-30
치역: 9y|y>-10
-3
-
3*
O
-1
x
y=j3x+9l-1=13{x+3}3-1이므로주어진함수의그래프는
y = j3 x k의그래프를x축의방향으로- 3만큼,y축의방향으로
-1만큼평행이동한것이다.
059 답 y
3
정의역: 9x|x>40
치역: 9y|y<30
O
x
4
25
\\\\\\\\\\\\\\\\\\4
y=-j4x-16l+3=-14{x-4}3+3이므로주어진함수의그래
프는y=-j4xk의그래프를x축의방향으로4만큼,y축의방향으
로3만큼평행이동한것이다.
30 정답과 해설
061 답
y
3
정의역: 9x|x<90
치역: 9y|y<30
O
9
x
y=-j9-xl+3=-1-{x-9}3+3이므로주어진함수의그래프
는y=-j -xl의그래프를x축의방향으로9만큼,y축의방향으
로3만큼평행이동한것이다.
062 답 -2, -3, -2, -1, 2, -1, -1, -2
063 답 최댓값: 5, 최솟값: 3
y=j2x-6l+1=12{x-3}3+1
이므로주어진함수의그래프는y=j 2xk의그래프를x축의방향
으로3만큼,y축의방향으로1만큼평행이동한것이다.
x=5일때y=3이고,x=11일때
y=5이므로정의역9x|50}의그래프를x축의
방향으로-2만큼,y축의방향으로2만큼평행이동한것이므로무
리함수의식을
y=-1a{x+2}3+2 yy㉠
라고하자.
㉠의그래프가점{1,-1}을지나므로
-1=-1a{1+2}3+2,j3ak=3
양변을제곱하면3a=9 / a=3
a=3을㉠에대입하면
y=-13{x+2}3+2=-j3x+6l+2 / b=6,c=2
070 답 a=-1, b=1, c=2
주어진무리함수의그래프는y=-jaxl{a<0}의그래프를x축의
방향으로1만큼,y축의방향으로2만큼평행이동한것이므로무리
함수의식을
y=-1a{x-1}3+2 yy㉠
라고하자.
㉠의그래프가점{0,1}을지나므로
1=-1a{0-1}3+2,j-ak=1
양변을제곱하면-a=1 / a=-1
a=-1을㉠에대입하면
071 답 1, 2k-1,
, 1,
, 1,
,
5
4
5
4
5
4
5
4
9
4
072 답 ⑴ 2
9
4
y=j2-xl=1-{x-2}3
즉,주어진함수의그래프는y=j -xl
의그래프를x축의방향으로2만큼평
행이동한것이므로오른쪽그림과같다.
!직선y=-x+k가점{2,0}을지
날때
0=-2+k / k=2
y=-x+k
y=j2-xl
x
2
@함수y=j2-xl의그래프와직선
y=-x+k가접할때
j2-xl=-x+k의양변을제곱하여정리하면
x@-{2k-1}x+k@-2=0
이이차방정식의판별식을D라고하면D=0이어야하므로
D={2k-1}@-4{k@-2}=0 / k=
⑴함수의그래프와직선이서로다른두점에서만날때
9
4
@
!
y
j2
O
9
4
2
9
4
⑵함수의그래프와직선이한점에서만날때
⑶함수의그래프와직선이만나지않을때
073 답 ⑴ 01 ⑶ k<0
y=-j2x-4l=-12{x-2}3
즉,주어진함수의그래프는y=-j2xk
의그래프를x축의방향으로2만큼평
y
행이동한것이므로오른쪽그림과같다.
!
@
O
2
y=-j2xk-4l
x
x+k가점{2,0}을
1
2
!직선y=-
지날때
1
2
0=-
\2+k / k=1
y=-
x+k
2!
@함수y=-j2x-4l의그래프와직선y=-
x+k가접할때
1
2
-j2x-4l=-
x@-4{k+2}x+4k@+16=0
1
2
x+k의양변을제곱하여정리하면
이이차방정식의판별식을D라고하면D=0이어야하므로
=4{k+2}@-{4k@+16}=0 / k=0
⑴함수의그래프와직선이서로다른두점에서만날때
D
4
01
⑶함수의그래프와직선이만나지않을때
06 무리함수 31
y=-1-{x-1}3+2=-j-x+1l+2 / b=1,c=2
k<0
수학(하) AM 해설 05~06(019~033)OK.indd 31
2017-11-28 오전 11:25:47
074 답 2, 2, 2, x-2, 2
075 답 y={x+3}@-2 {x>-3}
무리함수y=jx+2l-3의치역이9y|y>-30이므로역함수의정
의역은9x|x>-30이다.
y=jx+2l-3에서y+3=jx+2l
양변을제곱한후x에대하여풀면x={y+3}@-2
x와y를서로바꾸어역함수를구하면
y={x+3}@-2{x>-3}
076 답 y=
1
2
{x-1}@+
{x>1}
3
2
무리함수y=j2x-3l+1의치역이9y|y>10이므로역함수의정
의역은9x|x>10이다.
y=j2x-3l+1에서y-1=j2x-3l
양변을제곱한후x에대하여풀면
3
2
{y-1}@+
x=
1
2
x와y를서로바꾸어역함수를구하면
y=
{x-1}@+
{x>1}
3
2
077 답 y=
1
3
{x+1}@-2 {x>-1}
무리함수y=j3x+6l-1의치역이9y|y>-10이므로역함수의
정의역은9x|x>-10이다.
y=j3x+6l-1에서y+1=j3x+6l
1
양변을제곱한후x에대하여풀면x=
3
{y+1}@-2
x와y를서로바꾸어역함수를구하면
y=
{x+1}@-2{x>-1}
078 답 y=-{x+5}@+3 {x>-5}
무리함수y=j3-xl-5의치역이9y|y>-50이므로역함수의정
의역은9x|x>-50이다.
y=j3-xl-5에서y+5=j3-xl
양변을제곱한후x에대하여풀면
x=-{y+5}@+3
x와y를서로바꾸어역함수를구하면
y=-{x+5}@+3{x>-5}
079 답 y=
1
2
{x-4}@+
{x<4}
1
2
무리함수y=-j2x-1l+4의치역이9y|y<40이므로역함수의
정의역은9x|x<40이다.
y=-j2x-1l+4에서y-4=-j2x-1l
양변을제곱한후x에대하여풀면
x=
{y-4}@+
x와y를서로바꾸어역함수를구하면
y=
{x-4}@+
{x<4}
1
2
1
2
32 정답과 해설
1
2
1
3
1
2
1
2
080 답 y=-{x+3}@+2 {x<-3}
무리함수y=-j-x+2l-3의치역이9y|y<-30이므로역함수
의정의역은9x|x<-30이다.
y=-j-x+2l-3에서y+3=-j-x+2l
양변을제곱한후x에대하여풀면
x=-{y+3}@+2
x와y를서로바꾸어역함수를구하면
y=-{x+3}@+2{x<-3}
최종 점검하기
96~97쪽
1 ④
7 ④
2 ④
8 ①
3 ④
9 ⑤
5 ⑤
4 ④
10 -2 11 ①
6 ③
12 ②
1 ㄱ.14x@2+1=|2x|+1이므로유리식이다.
ㄷ.근호안에문자가포함된식이아니므로무리식이아니다.
따라서무리식인것은ㄴ,ㄹ이다.
2 jx-1l에서x-1>0이므로x>1 yy㉠
j6-2xl에서6-2x>0이므로
2x<6 / x<3
또분모에서j6-2xl=0이므로
2x=6 / x=3
yy㉢
yy㉡
㉠,㉡,㉢을동시에만족하는x의값의범위는
120,치역은
9y|y<-10이다.
③y=-j2x-4l-1에x=4를대입하면y=-3이므로
점{4,-3}을지난다.
④,⑤주어진무리함수의그래프는
y=-j 2xk의그래프를x축의방향으
로2만큼,y축의방향으로-1만큼평
y
O
-1
2
행이동한것이므로오른쪽그림과같
이y축과만나지않는다.
따라서옳지않은것은④이다.
8 y=j3-xl+4=1-{x-3}3+4
이므로주어진함수의그래프는y=j-xl의그래프를x축의방향
으로3만큼,y축의방향으로4만큼평행이동한것이다.
x=-6일때y=7이고,x=2일때
y=5이므로정의역9x|-640이므로역함수
의정의역은9x|x>40이다.
y=j1-8xl+4에서y-4=j1-8xl
1
양변을제곱한후x에대하여풀면x=-
8
{y-4}@+
1
8
x와y를서로바꾸어역함수를구하면
15
1
8 {x>4}
8
1
8 x@+x-
{x-4}@+
y=-
=-
1
8
06 무리함수 33
수학(하) AM 해설 05~06(019~033)OK.indd 33
2017-11-28 오전 11:25:48
100~107쪽
014 답 6
x, y 각각에 대하여 a, b, c 중 하나가 곱해지므로 구하는 항의 개
{1, 1}, {2, 1}, {3, 1}, {4, 1}, {5, 1}, {6, 1}, {7, 1}의 7개
{1, 2}, {2, 2}, {3, 2}, {4, 2}의 4개
{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}의 4개
{2, 1}, {2, 2}, {2, 3}의 3개
# x=3일 때
{3, 1}, {3, 2}의 2개
$ x=4일 때
{4, 1}의 1개
!~$에서 구하는 순서쌍 {x, y}의 개수는
4+3+2+1=10
수는
2\3=6
015 답 4, 2, 6
016 답 10
! x=1일 때
@ x=2일 때
017 답 12
! y=1일 때
@ y=2일 때
# y=3일 때
{1, 3}의 1개
018 답 2, 6
!, @, #에서 구하는 순서쌍 {x, y}의 개수는
7+4+1=12
019 답 10
48=2$\3이므로 48의 양의 약수의 개수는
{4+1}{1+1}=10
020 답 12
72=2#\3@이므로 72의 양의 약수의 개수는
{3+1}{2+1}=12
021 답 18
180=2@\3@\5이므로 180의 양의 약수의 개수는
{2+1}{2+1}{1+1}=18
022 답 108
A에 칠할 수 있는 색은 4가지
002 답 3
비기는 경우는 (가위, 가위), (바위, 바위), (보, 보)의 3가지
003 답 3
6의 배수가 적힌 카드를 뽑는 경우는 6, 12, 18의 3가지
004 답 2
나오는 눈의 수의 합이 3이 되는 경우는 {1, 2}, {2, 1}의 2가지
008 답 5
3의 배수는 3, 6, 9의 3가지
5의 배수는 5, 10의 2가지
따라서 구하는 경우의 수는 3+2=5
009 답 7
눈의 수의 합이 4인 경우는 {1, 3}, {2, 2}, {3, 1}의 3가지
눈의 수의 합이 5인 경우는 {1, 4}, {2, 3}, {3, 2}, {4, 1}의 4가지
따라서 구하는 경우의 수는 3+4=7
VI. 경우의 수
순열
001 답 27
005 답 8
3+5=8
006 답 7
3+4=7
007 답 5
3+2=5
010 답 21
7\3=21
011 답 12
3\4=12
34 정답과 해설
012 답 6
2의 배수는 2, 4, 6의 3가지
3의 배수는 3, 6의 2가지
따라서 구하는 경우의 수는 3\2=6
013 답 144
주사위 한 개를 던질 때 일어나는 경우는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 눈이
B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지
C에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 3가지
나오는 6가지, 동전 한 개를 던질 때 일어나는 경우는 앞면, 뒷면
D에 칠할 수 있는 색은 C에 칠한 색을 제외한 3가지
이 나오는 2가지이므로 구하는 경우의 수는
6\6\2\2=144
따라서 구하는 경우의 수는
4\3\3\3=108
수학(하) AM 해설 07~08(034~040) OK.indd 34
2017-11-23 오전 10:41:29
023 답 48
A에 칠할 수 있는 색은 4가지
B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지
C에 칠할 수 있는 색은 A와 B에 칠한 색을 제외한 2가지
D에 칠할 수 있는 색은 A와 C에 칠한 색을 제외한 2가지
034 답 24
4?=4\3\2\1=24
035 답 120
5?=5\4\3\2\1=120
B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지
C에 칠할 수 있는 색은 A와 B에 칠한 색을 제외한 2가지
D에 칠할 수 있는 색은 B와 C에 칠한 색을 제외한 2가지
n{n-1}=8\7 ∴ n=8
따라서 구하는 경우의 수는
4\3\2\2=48
024 답 48
A에 칠할 수 있는 색은 4가지
따라서 구하는 경우의 수는
4\3\2\2=48
025 답 72
A에 칠할 수 있는 색은 4가지
B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지
C에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 3가지
D에 칠할 수 있는 색은 B와 C에 칠한 색을 제외한 2가지
따라서 구하는 경우의 수는
4\3\3\2=72
의 수는 2이므로 구하는 경우의 수는
3\2=6
027 답 6
A지점에서 B지점으로 가는 경우의 수는 2, B지점에서 C지점으
로 가는 경우의 수는 3이므로 구하는 경우의 수는
026 답 6
집에서 학교로 가는 경우의 수는 3, 학교에서 서점으로 가는 경우
n{n-1}{n-2}=2n{n-1}
n P3에서 n>3이므로 양변을 n{n-1}로 나누면
036 답 1
037 답 1
038 답 8
n P2=56에서
039 답 5
n P3=60에서
040 답 4
n Pn=24에서
041 답 4
n P3=2 n P2에서
n{n-1}{n-2}=5\4\3 ∴ n=5
n?=4\3\2\1 ∴ n=4
n-2=2 ∴ n=4
042 답 2
9 Pr=72=9\8 ∴ r=2
043 답 3
6 Pr=120=6\5\4 ∴ r=3
044 답 0
046 답 24
4?=4\3\2\1=24
047 답 42
7 P2=7\6=42
048 답 60
5 P3=5\4\3=60
049 답 336
8 P3=8\7\6=336
2\3=6
028 답 2
구하는 경우의 수는
6+2=8
030 답 20
5 P2=5\4=20
031 답 8
032 답 6
3 P3=3\2\1=6
033 답 1
029 답 8
A지점에서 B지점을 거쳐 C지점으로 가는 경우의 수는 6, A지점
045 답 120
6 P3=6\5\4=120
에서 B지점을 거치지 않고 C지점으로 가는 경우의 수는 2이므로
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07 순열 35
053 답 24
맨 앞에 c, 맨 뒤에 e가 오고 나머지 4개의 문자 중에서 3개를 택
3\3=9
# 일의 자리의 숫자가 4인 경우
하여 일렬로 나열하면 되므로 구하는 경우의 수는
백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 4를 제외한 3개, 십의 자
050 답 5, 2, 20
051 답 6
부회장으로 A를 뽑고 나머지 후보 6명 중에서 회장 1명을 뽑으면
되므로 구하는 경우의 수는 6
052 답 12
맨 앞에 b가 오고 나머지 4개의 문자 중에서 2개를 택하여 일렬로
나열하면 되므로 구하는 경우의 수는
4 P2=4\3=12
057 답 30
짝수이려면 일의 자리의 숫자가 0 또는 2 또는 4이어야 한다.
! 일의 자리의 숫자가 0인 경우
백의 자리와 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 4개의
숫자 중에서 2개를 뽑아 일렬로 나열하면 되므로 그 경우의
수는
4 P2=4\3=12
@ 일의 자리의 숫자가 2인 경우
백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 2를 제외한 3개, 십의 자
리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와 일의 자리에 오는 숫자를
제외한 3개이므로 일의 자리의 숫자가 2인 경우의 수는
리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와 일의 자리에 오는 숫자를
제외한 3개이므로 일의 자리의 숫자가 4인 경우의 수는
!, @, #에 의하여 구하는 세 자리 짝수의 개수는
12+9+9=30
058 답 24, 2, 48
부모님을 한 묶음으로 생각하여 4명을 일렬로 세우는 경우의 수는
부모님이 자리를 바꾸는 경우의 수는 2?=2\1=2
따라서 구하는 경우의 수는
24\2=48
059 답 12
찬호와 준형이를 한 묶음으로 생각하여 3명을 일렬로 세우는 경우
의 수는 3?=3\2\1=6
찬호와 준형이가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2?=2\1=2
060 답 720
여학생 3명을 한 묶음으로 생각하여 5명을 일렬로 세우는 경우의
여학생 3명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 3?=3\2\1=6
따라서 구하는 경우의 수는
054 답 0, 4, 4, 4, 2, 12, 4, 48
3\3=9
055 답 96
천의 자리에는 0이 올 수 없으므로 천의 자리에 올 수 있는 숫자
백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에는 천의 자리에 오는 숫자를 제
외한 4개의 숫자 중에서 3개를 뽑아 일렬로 나열하면 되므로 그 경
4?=4\3\2\1=24
4 P3=4\3\2=24
는 0을 제외한 4개
우의 수는
4 P3=4\3\2=24
4\24=96
따라서 구하는 네 자리 자연수의 개수는
056 답 36
홀수이려면 일의 자리의 숫자가 1 또는 3이어야 한다.
! 일의 자리의 숫자가 1인 경우
되므로 그 경우의 수는
3 P2=3\2=6
3\6=18
@ 일의 자리의 숫자가 3인 경우
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 1을 제외한 3개
따라서 구하는 경우의 수는
백의 자리와 십의 자리에는 천의 자리와 일의 자리에 오는 숫
6\2=12
자를 제외한 3개의 숫자 중에서 2개를 뽑아 일렬로 나열하면
따라서 일의 자리의 숫자가 1인 네 자리 홀수의 개수는
수는 5?=5\4\3\2\1=120
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 3을 제외한 3개
120\6=720
백의 자리와 십의 자리에는 천의 자리와 일의 자리에 오는 숫
자를 제외한 3개의 숫자 중에서 2개를 뽑아 일렬로 나열하면
되므로 그 경우의 수는
3 P2=3\2=6
061 답 24
1학년 학생 3명과 2학년 학생 2명을 각각 한 묶음으로 생각하여 2
명을 일렬로 세우는 경우의 수는 2?=2\1=2
따라서 일의 자리의 숫자가 3인 네 자리 홀수의 개수는
1학년 학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 3?=3\2\1=6
3\6=18
2학년 학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 2?=2\1=2
!, @에 의하여 구하는 네 자리 홀수의 개수는
18+18=36
따라서 구하는 경우의 수는
2\6\2=24
36 정답과 해설
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062 답 48
모음인 a와 e를 한 묶음으로 생각하여 4개를 일렬로 나열하는 경
5 60=2@\3\5이므로 a=3\2\2=12
100=2@\5@이므로 b=3\3=9
우의 수는 4?=4\3\2\1=24
a와 e가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2?=2\1=2
따라서 구하는 경우의 수는
24\2=48
063 답 48
c와 f 를 한 묶음으로 생각하고 a를 제외한 4개를 일렬로 나열하
는 경우의 수는 4?=4\3\2\1=24
c와 f 가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2?=2\1=2
따라서 구하는 경우의 수는
24\2=48
∴ a+b=21
6 A에 칠할 수 있는 색은 5가지
B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 4가지
C에 칠할 수 있는 색은 A와 B에 칠한 색을 제외한 3가지
D에 칠할 수 있는 색은 A와 C에 칠한 색을 제외한 3가지
E에 칠할 수 있는 색은 A와 D에 칠한 색을 제외한 3가지
따라서 구하는 경우의 수는
5\4\3\3\3=540
7 A지점을 출발하여 B지점을 거쳐 C지점으로 가는 경우의 수는
2\4=8
A지점을 출발하여 D지점을 거쳐 C지점으로 가는 경우의 수는
3\2=6
8+6=14
따라서 구하는 경우의 수는
n P4=12 n P2에서
8
n{n-1}{n-2}{n-3}=12n{n-1}
n P4에서 n>4이므로 양변을 n{n-1}로 나누면
n @-5n-6=0, {n+1}{n-6}=0
∴ n=-1 또는 n=6
그런데 n>4이므로 n=6
9
6 P3=6\5\4=120
최종 점검하기
108~109쪽
{n-2}{n-3}=12
2 ④
8 6
3 ⑤
9 ⑤
4 ②
5 ⑤
10 30
11 ③
6 540
12 ④
1 ③
7 14
13 ①
1 눈의 수의 합이 6인 경우는 {1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2},
{5, 1}의 5가지
눈의 수의 합이 12인 경우는 {6, 6}의 1가지
따라서 구하는 경우의 수는
5+1=6
2 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 2, 4, 6, 8의 4개이고, 일의 자
리에 올 수 있는 숫자는 1, 3, 5, 7, 9의 5개이므로 구하는 자연수
10 서기로 D를 뽑고 나머지 후보 6명 중에서 회장 1명, 부회장
1명을 뽑으면 되므로 구하는 경우의 수는
6 P2=6\5=30
11 부모님을 제외한 3명을 일렬로 세우는 경우의 수는
3?=3\2\1=6
부모님이 자리를 바꾸는 경우의 수는
의 개수는
4\5=20
3\4=12
4 ! y=1일 때
@ y=2일 때
# y=3일 때
{1, 3}의 1개
3 x, y, z 각각에 대하여 a, b, c, d 중 하나가 곱해지므로 구하
는 항의 개수는
{1, 1}, {2, 1}, {3, 1}, {4, 1}, {5, 1}의 5개
{1, 2}, {2, 2}, {3, 2}의 3개
4?=4\3\2\1=24
!, @, #에서 구하는 순서쌍 {x, y}의 개수는
5+3+1=9
2?=2\1=2
따라서 구하는 경우의 수는
6\2=12
12 5장의 카드 중에서 3장을 뽑아 일렬로 나열하면 되므로 구하
는 세 자리 자연수의 개수는
5 P3=5\4\3=60
13 1학년 학생 3명을 한 묶음으로 생각하여 4명을 일렬로 세우
는 경우의 수는
1학년 학생 3명이 자리를 바꾸는 경우의 수는
3?=3\2\1=6
따라서 구하는 경우의 수는
24\6=144
07 순열 37
수학(하) AM 해설 07~08(034~040) OK.indd 37
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VI. 경우의 수
조합
001 답 56
8C3=
8\7\6
3\2\1
=56
007 답 6
9?
3?{9-3}?
9C3=
=
9?
3?6?
=
7?
2?{7-2}?
nC2=15에서
n{n-1}
2\1
=15
n{n-1}=6\5
002 답 9
003 답 1
004 답 1
005 답 2
006 답 3
∴ ☐=6
008 답 7
7?
2?5?
☐ C2=
∴ ☐=7
009 답 6
∴ n=6
010 답 7
∴ n=7
011 답 10
012 답 3
6Cr=20에서
6?
r?{6-r}?
=20
3?3?=r?{6-r}? ∴ r=3
013 답 2 또는 5
7?
r?{7-r}?
7Cr=21에서
=21
5?2?=r?{7-r}?
∴ r=2 또는 r=5
014 답 0 또는 10
38 정답과 해설
nC3=35에서
n{n-1}{n-2}
3\2\1
=35
n{n-1}{n-2}=7\6\5
112~116쪽
015 답 13
nC2=nC11에서
n-2=11 ∴ n=13
016 답 15
nC7=nC8에서
n-7=8 ∴ n=15
017 답 35
7C3=
7\6\5
3\2\1
=35
018 답 28
8\7
2\1
8C2=
=28
019 답 10
5\4
2\1
5C2=
=10
020 답 120
10C3=
10\9\8
3\2\1
=120
5C3=5C2=
5\4
2\1
=10
022 답 4, 2, 6
구하는 경우의 수는
6\5\4
3\2\1
6C3=
=20
7C2=
7\6
2\1
=21
는 경우의 수는
9\8\7
3\2\1
9C3=
=84
구하는 경우의 수는
4C3=4C1=4
021 답 10
야구 선수 5명 중에서 3명을 뽑으면 되므로 구하는 경우의 수는
023 답 20
2학년 학생을 제외한 1학년 학생 6명 중에서 3명을 뽑으면 되므로
024 답 21
특정 남학생 1명과 특정 여학생 1명을 제외한 7명의 학생 중에서
2명을 뽑으면 되므로 구하는 경우의 수는
025 답 84
4를 제외한 9개의 자연수 중에서 3개의 수를 택하면 되므로 구하
026 답 4
a와 e를 제외하고 나머지 4개의 문자 중에서 3개를 택하면 되므로
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027 답 5, 2, 10, 4, 2, 6, 24, 1440
남학생 5명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
032 답 10
5개의 점 중에서 2개를 택하면 되므로 구하는 직선의 개수는
2반 학생 5명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
12+1+1=14
5C2=
5\4
2\1
=10
4C2=
4\3
2\1
=6
여학생 4명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
뽑힌 4명을 일렬로 세우는 경우의 수는
4?=4\3\2\1=24
따라서 구하는 경우의 수는
10\6\24=1440
028 답 24000
1반 학생 6명 중에서 3명을 뽑는 경우의 수는
6C3=
6\5\4
3\2\1
=20
5C2=
5\4
2\1
=10
뽑힌 5명을 일렬로 세우는 경우의 수는
5?=5\4\3\2\1=120
따라서 구하는 경우의 수는
20\10\120=24000
029 답 32400
A동아리 회원 4명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
4C2=
4\3
2\1
=6
6C2=
6\5
2\1
=15
3C1=3
B동아리 회원 6명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
C동아리 회원 3명 중에서 1명을 뽑는 경우의 수는
033 답 28
8개의 점 중에서 2개를 택하면 되므로 구하는 직선의 개수는
034 답 14
직선 L 위의 점 1개와 직선 m 위의 점 1개를 택하여 만들 수 있는
5C2=
5\4
2\1
=10
8C2=
8\7
2\1
=28
직선의 개수는
3C1\4C1=3\4=12
또 직선 L 위의 점으로 만들 수 있는 직선이 1개, 직선 m 위의 점
으로 만들 수 있는 직선이 1개이므로 구하는 직선의 개수는
035 답 8, 3, 56, 4, 3, 4, 52
8개의 점 중에서 3개를 택하는 경우의 수는
한 직선 위에 있는 4개의 점 중에서 3개를 택하는 경우의 수는
그런데 한 직선 위에 있는 3개의 점으로는 삼각형을 만들 수 없으
8C3=
8\7\6
3\2\1
=56
4C3=4C1=4
므로 구하는 삼각형의 개수는
56-4=52
036 답 30
직선 L 위의 3개의 점 각각에 대하여 직선 m 위의 4개의 점 중에
서 2개를 택하는 경우의 수는
4\3
2\1
3\4C2=3\
=18
서 2개를 택하는 경우의 수는
4\3C2=4\3C1=4\3=12
따라서 구하는 삼각형의 개수는
18+12=30
뽑힌 5명을 일렬로 세우는 경우의 수는
직선 m 위의 4개의 점 각각에 대하여 직선 L 위의 3개의 점 중에
5?=5\4\3\2\1=120
따라서 구하는 경우의 수는
6\15\3\120=32400
4C2=
4\3
2\1
=6
3?=3\2\1=6
2?=2\1=2
따라서 구하는 경우의 수는
6\6\2=72
030 답 72
A, B를 제외한 4명의 학생 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
A, B를 한 묶음으로 생각하여 3명을 일렬로 세우는 경우의 수는
A, B가 자리를 바꾸는 경우의 수는
4C3=4C1=4
037 답 72
9개의 점 중에서 3개를 택하는 경우의 수는
9C3=
9\8\7
3\2\1
=84
한 직선 위에 있는 4개의 점 중에서 3개를 택하는 경우의 수는
그런데 한 직선 위에 있는 3개의 점으로는 삼각형을 만들 수 없으
므로 구하는 삼각형의 개수는
84-3\4=72
031 답 6
4개의 점 중에서 2개를 택하면 되므로 구하는 직선의 개수는
038 답 70
8개의 점 중에서 4개를 택하면 되므로 구하는 사각형의 개수는
4C2=
4\3
2\1
=6
8C4=
8\7\6\5
4\3\2\1
=70
08 조합 39
수학(하) AM 해설 07~08(034~040) OK.indd 39
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039 답 60
직선 L 위의 4개의 점 중에서 2개를 택하는 경우의 수는
5
4C2\5C2=
4\3
2\1
\
5\4
2\1
=60
직선 m 위의 5개의 점 중에서 2개를 택하는 경우의 수는
4C2=
4\3
2\1
=6
5C2=
5\4
2\1
=10
따라서 구하는 사각형의 개수는
6\10=60
6 특정 야구 선수 2명을 제외한 야구 선수 4명과 농구 선수 4명
중에서 2명을 뽑으면 되므로 구하는 경우의 수는
8C2=
8\7
2\1
=28
7 모음 a, e는 모두 포함하고 f 는 포함하지 않으므로 b, c, d, g
중에서 2개를 뽑으면 된다.
040 답 150
가로 방향의 평행한 직선 5개 중에서 2개를 택하는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는
4C2=
4\3
2\1
=6
세로 방향의 평행한 직선 6개 중에서 2개를 택하는 경우의 수는
5C2=
5\4
2\1
=10
6C2=
6\5
2\1
=15
10\15=150
따라서 구하는 평행사변형의 개수는
최종 점검하기
117~118쪽
4C2=
4\3
2\1
=6
1 ⑤
7 6
2 ③
8 ⑤
3 ④
9 ④
4 ①
5 ③
6 ③
10 15
11 ②
12 18
8 남학생 5명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
5C2=
=10
5\4
2\1
6C3=
6\5\4
3\2\1
=20
여학생 6명 중에서 3명을 뽑는 경우의 수는
뽑힌 5명을 일렬로 세우는 경우의 수는
5?=5\4\3\2\1=120
따라서 구하는 경우의 수는
10\20\120=24000
9 A, B, C를 제외한 4명의 학생 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는
A, B, C를 한 묶음으로 생각하여 3명을 일렬로 세우는 경우의
수는
3?=3\2\1=6
A, B, C가 자리를 바꾸는 경우의 수는
3?=3\2\1=6
따라서 구하는 경우의 수는
6\6\6=216
10 6C2=
6\5
2\1
=15
9C3=
9\8\7
3\2\1
=84
5C3=5C2=
5\4
2\1
=10
므로 구하는 삼각형의 개수는
84-10=74
11 9개의 점 중에서 3개를 택하는 경우의 수는
한 직선 위에 있는 5개의 점 중에서 3개를 택하는 경우의 수는
그런데 한 직선 위에 있는 3개의 점으로는 삼각형을 만들 수 없으
12 직선 L 위의 3개의 점 중에서 2개를 택하는 경우의 수는
3C2=3C1=3
직선 m 위의 4개의 점 중에서 2개를 택하는 경우의 수는
1 mC2=28에서
m{m-1}
2\1
=28
m{m-1}=8\7
∴ m=8
n'3Cn=n'3C3=10에서
{n+3}{n+2}{n+1}
3\2\1
=10
{n+3}{n+2}{n+1}=5\4\3
∴ n=2
∴ m+n=10
2
n{n-1}
2\1
nC2+nC3=2 2nC1에서
+
n{n-1}{n-2}
3\2\1
=2\2n
3{n-1}+{n-1}{n-2}=24
n @=25 ∴ n=-5
그런데 n>3이므로 n=5
3
10C2=
10\9
2\1
=45
5C3=5C2=
5\4
2\1
=10
40 정답과 해설
4 1, 3, 5, 7, 9가 적힌 5장의 카드 중에서 3장을 뽑으면 되므로
구하는 경우의 수는
4C2=
4\3
2\1
=6
따라서 구하는 사각형의 개수는
3\6=18
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