(하)
수학(하) PM 해설 01,02(001~014)OK.indd 1
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유형01 ②
유형02 ⑤
유형03 ②
B=912, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 960이므로 n{B}=8
01 집합의 뜻과 집합 사이의 포함 관계
유형04 ④
유형05 2
유형06 ②
유형07 ②
유형08 ①
유형09 ⑤
유형10 ③
유형11 8
유형12 ③
001 ③
002 ④
003 2
004 ④
005 ①
006 ④
007 ③
008 ④
009 C=92, 3, 4, 5, 6, 7, 80
011 ㄱ, ㄴ 012 ③
013 ②
016 ⑤
017 ②
018 5
010 ②
014 2
019 3
015 ③
020 ④
021 ∅, 910, 930, 990, 91, 30, 91, 90, 93, 90 022 ①
023 ②
024 ②
025 ④
026 ④
027 ㄱ, ㄷ 028 -43
2a+5>3에서 a>-1이므로 -11
015 답 ③
A=92, 3, 5, 70이므로 n{A}=4
B=93, 6, 9, 12, y, 480이므로 n{B}=16
∴ n{A}+n{B}=4+16=20
016 답 ⑤
⑤ n{91, 2, 30}-n{91, 20}=3-2=1
이때 n{A}+n{B}=9이므로
4+k=9 ∴ k=5
019 답 3
x와 4-x가 모두 자연수이므로
x>1, 4-x>1 ∴ 13이어야 하므로 정수 a의 최솟값은 4이다.
11 답 4
유형 08 집합 사이의 포함 관계를 이용하여 미지수 구하기
A=B이므로 a@-3a=4
a@-3a-4=0, {a+1}{a-4}=0
A=9-1, 3, 40, B=9-2, 4, 90이므로 A=B
∴ a=-1 또는 a=4
! a=-1일 때
@ a=4일 때
!, @에 의하여 a=4
12 답 25
유형 09 부분집합의 개수
로 집합 A의 원소의 개수를 a라고 하면
2A=32=2% ∴ a=5
즉, A=92, 3, 5, 7, 110이어야 하므로
110에서 {x+1}{x-4}>0
유형02 답 ④
② 92, 4, 6, 80 ③ 92, 3, 5, 70 ④ 91, 3, 5, 150 ⑤ 91, 40
따라서 집합 92, 4, 6, 80과 서로소인 집합은 ④이다.
∴ x<-1 또는 x>4 ∴ A=9x|x<-1 또는 x>40
이때 A6B=9x|x는 모든 실수0,
B
A5B=9x|4n{B}이므로 n{A6B}는 B[A일 때 최소, A6B=U
일 때 최대이다.
즉, n{A}0 ∴ k>-4
@ f{1}=1-4-k>0, f{4}=16-16-k>0이므로
k<-3, k<0 ∴ k<-3
# 이차함수 y=f{x}의 그래프의 축의 방정식이 x=2이므로
1<2<4
!, @, #에 의하여 -4n{B}이므로 n{A6B}는 B[A일 때 최소, A6B=U
34n{B}이므로 n{A6B}는 B[A일 때 최소, A6B=U
일 때 최대이다.
즉, n{A}0에서 {x+1}@+3>0이므로
반 학생 전체의 집합을 U, 영화 A를 관람한 학생의 집합을 A, 영
B
A
A
-1
2
4
x
화 B를 관람한 학생의 집합을 B라고 하면
n{U}=36, n{A}=31, n{A-B}=20, n{{A6B}C}=4
n{A-B}=n{A}-n{A5B}이므로
20=31-n{A5B} ∴ n{A5B}=11
또 n{{A6B}C}=n{U}-n{A6B}이므로
4=36-n{A6B} ∴ n{A6B}=32
n{A6B}=n{A}+n{B}-n{A5B}이므로
32=31+n{B}-11 ∴ n{B}=12
따라서 구하는 학생 수는 12이다.
15 답 -7
유형 10 방정식 또는 부등식의 해의 집합의 연산
x@-6x+8>0에서 {x-2}{x-4}>0
∴ x<2 또는 x>4
∴ A=9x|x<2 또는 x>40
C=9x|x는 모든 실수0
이때 A6B=9x|x는 모든 실수0,
A5B=9x|-11, ~q:`x<5이므로 ‘p 그리고 ~q’는
1a0
이때 명제 p
q가 참이 되려면
2!
P[Q이어야 하므로 오른쪽 그림에서
a<-2
Q
P
a -2
3
x
03 명제 15
1 ①
6 3
11 ③
16 ①
2 ③
7 ②
12 ③
17 ①
3 3
8 ⑤
13 ⑤
18 4
4 ㄱ, ㄷ 5 ①
9 12
14 -1
19 ③
10 ④
15 ①
핵심 유형 38~39쪽
유형01 답 ①
②, ③, ⑤ 참인 명제이다.
④ 거짓인 명제이다.
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유형07 답 ②
U=9-1, 0, 10에 대하여
① [반례] x=0이면 x@=0이다.
002 답 ②
①, ③, ⑤ 거짓인 명제이다.
② x의 값이 정해져 있지 않아 참, 거짓을 판별할 수 없으므로 명
② p: x@=x라 하고 조건 p의 진리집합을 P라고 하면
P=90, 10
따라서 P=Z이므로 주어진 명제는 참이다.
제가 아니다.
④ 참인 명제이다.
③ [반례] x=0이면 |x|=x이다.
④ [반례] x=1이면 x+2=3이다.
이므로 주어진 명제는 거짓이다.
따라서 참인 명제는 ②이다.
⑤ p: x-1>1이라 하고 조건 p의 진리집합을 P라고 하면 P=Z
제가 아니다.
ㄴ, ㄷ. 거짓인 명제이다.
003 답 ③
ㄱ. x의 값이 정해져 있지 않아 참, 거짓을 판별할 수 없으므로 명
ㄹ. ‘크다’는 기준이 명확하지 않아 참, 거짓을 판별할 수 없으므로
유형08 답 ⑤
① 역: x가 4의 배수이면 x는 2의 배수이다. (참)
② 역: 1-1이고 y>a이면 x+y>5이다.’
도 참이다.
x>-1, y>a에서 x+y>a-1이므로
a-1>5 / a>6
따라서 실수 a의 최솟값은 6이다.
유형10 답 ③
명제 p
2!
또 명제 r
2!
q가 참이므로 그 대우인 ~q
2!
~q가 참이므로 그 대우인 q
~p도 참이다.
~r도 참이다.
2!
~p가 모두 참이므로 명제
/ a=b=c
이때 두 명제 r
~q, ~q
2!
~p가 참이고 그 대우인 p
2!
r
2!
따라서 항상 참인 명제는 ③이다.
~r도 참이다.
2!
명제가 아니다.
따라서 보기 중 명제인 것은 ㄴ, ㄷ이다.
004 답 ④
x@-3x-4>0에서 {x+1}{x-4}>0
/ x<-1 또는 x>4 / p: x<-1 또는 x>4
x@-1<0에서 {x+1}{x-1}<0
/ -1-4이고 x<2이다.
P=9x|x>20에서 PC=9x|x<20
이때 Q=9 x|x> -40 이므로 조건 ‘-4< x<2’의 진리집합은
PC5Q이다.
010 답 ⑤
① x=-j2이면 {-j2}@=2이므로 주어진 명제는 참이다.
② x=2이면 2@-2-2=0이므로 주어진 명제는 참이다.
③ p: x<-2, q: x@-2x-8>0이라 하고 두 조건 p, q의 진리집
합을 각각 P, Q라고 하면
P=9x|x<-20,
Q=9x|x<-2 또는 x>40
따라서 P[Q이므로 주어진 명제는 참이다.
⑤ [반례] x=10이면 x는 10의 양의 약수이지만 5의 양의 약수는
아니다.
따라서 거짓인 명제는 ⑤이다.
011 답 ①
① n=2이면 n은 소수이지만 n@=4이므로 홀수가 아니다.
012 답 ①
① p: |x|>2, q: x@>1이라 하고 두 조건 p, q의 진리집합을 각
각 P, Q라고 하면
P=9x|x<-2 또는 x>20,
Q=9x|x<-1 또는 x>10
따라서 P[Q이므로 주어진 명제는 참이다.
② [반례] x=-1이면 x@=1이지만 x=1이다.
③ [반례] x=0, y=1이면 xy=0이지만 x@+y@=0이다.
④ [반례] x=-1, y=2이면 x+y>0이지만 xy<0이다.
⑤ [반례] x=1, y=-1이면 x@=y@이지만 x=y이다.
따라서 참인 명제는 ①이다.
013 답 ⑤
명제 q
2!
③ P5Q=Q
④ P6Q=P
⑤ PC5QC={P6Q}C=PC
014 답 ②
두 집합 P, Q가 서로소이므로 P[QC, Q[PC
따라서 명제 p
~q와 q
~p는 항상 참이다.
2!
2!
015 답 ①
명제 ‘p이면 ~q이다.’가 거짓임을 보이려면 집합 P의 원소 중에
서 QC의 원소가 아닌 것을 찾으면 된다.
따라서 구하는 집합은
P5{QC}C=P5Q
016 답 ㄱ, ㄹ
ㄱ. P[RC이므로 명제 p
~r는 참이다.
ㄴ. Q;PC이므로 명제 q
~p는 참이 아니다.
ㄷ. Q;R이므로 명제 q
r는 참이 아니다.
ㄹ. R[Q이므로 명제 r
q는 참이다.
따라서 보기 중 항상 참인 명제는 ㄱ, ㄹ이다.
2!
2!
2!
2!
017 답 ①
|x-1|-20
이때 명제 p
q가 참이 되려면
2!
P[Q이어야 하므로 오른쪽 그림에서
`Q
P
-2 -a+1
a+1
x
-a+1>-2
/ 00)
따라서 양수 a의 최댓값은 3이다.
018 답 ④
p: a-2-1, a+3<5
/ 11
P=9x|a10
이때 명제 p
~q가 참이 되려면
2!
P[QC이어야 하므로 오른쪽 그림에서
`QC
P
1
a
3
x
a>1
/ 1a
세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라고 하면
P=9x|-230,
QC=9x|x>a0,
R=9x|x>b0
명제 ~q
명제 p
2!
p가 참이 되려면 QC[P
2!
r가 참이 되려면 P[R
즉, QC[P[R이어야 하므로 오른
쪽 그림에서
a>3, b<-2
m+M=1
따라서 m=3, M=-2이므로
이차방정식 x@-8x+k=0의 판별식을 D라고 할 때, 주어진 명제
의 부정이 참이 되려면 D<0이어야 하므로
D
4
따라서 k의 최솟값은 16이다.
={-4}@-k=16-k<0 / k>16
025 답 ①
ㄱ. 역: x<0이고 y<0이면 x+y<0이다. (참)
ㄴ. 역: z-xx라 하고 조건 p의 진리집합을 P라고 하면
‘a, b, c가 모두 양수가 아니면 a+b+c<0이다.’
021 답 ㄴ, ㄷ
ㄱ. p: x@-x<0이라 하고 조건 p의 진리집합을 P라고 하면
P=Z이므로 주어진 명제는 거짓이다.
P=9-2, -1, 0, 1, 20
따라서 P=U이므로 주어진 명제는 참이다.
ㄷ. p: 2x+1>-3이라 하고 조건 p의 진리집합을 P라고 하면
P=9-2, -1, 0, 1, 20
따라서 P=U이므로 주어진 명제는 참이다.
ㄹ. p: x-2>0이라 하고 조건 p의 진리집합을 P라고 하면 P=Z
028 답 ④
이므로 주어진 명제는 거짓이다.
따라서 보기 중 참인 명제는 ㄴ, ㄷ이다.
026 답 ⑤
‘a+b+c>0’의 부정은 ‘a+b+c<0’
‘a, b, c 중 적어도 하나는 양수이다.’의 부정은
‘a, b, c는 모두 양수가 아니다.’
따라서 주어진 명제의 대우는
027 답 ④
명제 p
2!
따라서 명제 ~q
~q의 역이 참이므로 ~q
p가 참이다.
p의 대우 ~p
q도 참이다.
2!
2!
2!
022 답 ①
ㄱ. P=U이면 P=Z이므로 ‘어떤 x에 대하여 p이다.’는 참이다.
ㄴ. P=Z이고 P=U이면 ‘모든 x에 대하여 p이다.’는 참이다.
ㄷ. P=U이고 P=Z이면 ‘어떤 x에 대하여 p이다.’는 거짓이다.
따라서 보기 중 항상 옳은 것은 ㄱ이다.
023 답 ③
① [반례] 2는 소수이지만 짝수이다.
② [반례] x=0이면 x@=0이다.
③ x=
1
2 이면 x@0이므로 주
⑤ [반례] x=1+j2는 무리수이지만 x@=3+2j2는 유리수가 아
어진 명제는 거짓이다.
니다.
따라서 참인 명제는 ③이다.
024 답 ⑤
주어진 명제의 부정은
18 정답과 해설
‘모든 실수 x에 대하여 x@-8x+k>0이다.’
①, ② 주어진 명제가 참이므로 그 대우도 참이다.
③ 대우: x@-3x+2<0이면 10이다.
⑤ 대우: x, y가 유리수이면 x+y는 유리수이다. (참)
029 답 ⑤
① 역: x>1이면 x>0이다. (참)
대우: x<1이면 x<0이다. (거짓)
1
2 이면 x<1이지만 x>0이다.
[반례] x=
② 역: x=2이면 x@=4이다. (참)
대우: x=2이면 x@=4이다. (거짓)
[반례] x=-2이면 x@=4이다.
③ 역: x@=y@이면 x=y이다. (거짓)
[반례] x=1, y=-1이면 x@=y@이지만 x=y이다.
대우: x@=y@이면 x=y이다. (참)
④ 역: x@>y@이면 x>y이다. (거짓)
[반례] x=-2, y=1이면 x@>y@이지만 xy이다.
⑤ 역: x=0이고 y=0이면 xy=0이다. (참)
대우: x=0 또는 y=0이면 xy=0이다. (참)
따라서 그 역과 대우가 모두 참인 명제는 ⑤이다.
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030 답 ④
주어진 명제가 참이므로 그 대우
‘a>k이고 b>3이면 a+b>5이다.’
도 참이다.
a>k, b>3에서 a+b>k+3이므로
k+3>5 / k>2
따라서 실수 k의 최솟값은 2이다.
031 답 -5
주어진 명제가 참이므로 그 대우
‘x=1이면 x@+ax+4=0이다.’
x@+ax+4=0에 x=1을 대입하면
도 참이다.
1+a+4=0
/ a=-5
032 답 ④
명제 p
2!
한다.
035 답 ⑤
명제 r
2!
두 명제 p
~s가 참이므로 그 대우인 s
~r도 참이다.
2!
q, s
~r가 모두 참이므로 명제 p
~r가 참
2!
2!
2!
이 되려면 명제 q
따라서 명제 q
2!
s가 참이어야 한다.
2!
s가 참이면 그 대우인 ~s
~q도 참이므로
2!
명제 p
~r가 참임을 보이기 위해 필요한 참인 명제는 ⑤이다.
2!
036 답 ④
세 조건 p, q, r를
p: 축구를 좋아한다.
q: 농구를 좋아한다.
r: 달리기를 좋아한다.
라고 하면 명제 p
~q
~p와 r
2!
q와 ~p
2!
p도 참이다.
2!
2!
이때 두 명제 ~q
~p, ~p
2!
~r가 참이고 그 대우인 r
2!
~q
2!
r
① p
2!
④ ~q
2!
~r
② q
⑤ r
2!
2!
r
~q
~r가 참이므로 각각의 대우인
~r가 모두 참이므로 명제
q도 참이다.
2!
③ ~p
~q
2!
PC
`QC
a-3
1
3 a+3
x
[반례] x=-1이면 x@=1이지만 x=1이다.
p이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.
q가 참이 되려면 그 대우 ~q
~p가 참이 되어야
2!
따라서 항상 참인 명제는 ④이다.
이때 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면
~p: |x-a|<3에서 -33
/ 0-1이지만 -10에서 3a>0,
>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의
12
a
유형18 답 ④
하여
3a+
12
a
>2q3a\
12
a e=12
따라서 3a+
12
a 의 최솟값은 12이다.
[단, 등호는 3a=
12
a , 즉 a=2일 때 성립]
유형19 답 5
x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여
92@+{-1}@0{x@+y@}>{2x-y}@
이때 2x-y=-5이므로 5{x@+y@}>25
/ x@+y@>5 (단, 등호는 2y=-x일 때 성립)
따라서 x@+y@의 최솟값은 5이다.
q와 q
2!
hjk
따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
2!
p가 모두 참이므로 p
q
[반례] x=1, y=-1이면 x@=y@이지만 x=y이다.
p이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.
③ p
q: x@+y@=0이면 x=0, y=0이므로 xy=0이다. (참)
[반례] x=1, y=0이면 xy=0이지만 x@+y@=0이다.
따라서 p
q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
jjk
q와 q
④ p
2!
hjk
따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
2!
p가 모두 참이므로 p
q
037 답 ②
① p
② p
q: 거짓
2!
p: 참
q
2!
따라서 q
jjk
2!
2!
q
p: 거짓
⑤ p
q: 참
2!
2!
q
p: 거짓
[반례] x=-1, y=-2이면 |x+y|=|x|+|y|이지
만 x<0, y<0이다.
따라서 p
q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
jjk
따라서 p가 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것은 ②
이다.
038 답 ㈎ 충분 ㈏ 필요
• ab<0이면 a<0 또는 b<0이다. (참)
a<0 또는 b<0이면 ab<0이다. (거짓)
[반례] a=-1, b=-2이면 a<0 또는 b<0이지만 ab>0이다.
따라서 ab<0은 a<0 또는 b<0이기 위한 ㈎ 충분 조건이다.
• ab=0이면 |a|+|b|=0이다. (거짓)
[반례] a=1, b=0이면 ab=0이지만 |a|+|b|=0이다.
|a|+|b|=0이면 ab=0이다. (참)
따라서 ab=0은 |a|+|b|=0이기 위한 ㈏ 필요 조건이다.
유형13 답 ⑤
q는 p이기 위한 필요조건이므로 P[Q
따라서 항상 옳은 것은 ⑤이다.
유형14 답 2
x@+x-2<0에서 {x+2}{x-1}<0
/ -21
따라서 정수 a의 최솟값은 2이다.
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면
유형15 답 풀이 참고
주어진 명제의 대우 ‘n이 짝수이면 n@도 짝수이다.’가 참임을 보이
면 된다.
n이 짝수이면 n=2k {k는 자연수}로 나타낼 수 있으므로
n@={2k}@=4k@=2{2k@}
이때 2k@이 자연수이므로 n@은 짝수이다.
따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다.
유형16 답 풀이 참고
j2가 유리수라고 가정하면
j2=
으로 나타낼 수 있다.
n
m (m, n은 서로소인 자연수)
양변을 제곱하여 정리하면
n@=2m@ yy`㉠
이때 n@이 짝수이므로 n도 짝수이다.
n=2k {k는 자연수}라 하고 ㉠에 대입하여 정리하면
m@=2k@
이때 m@이 짝수이므로 m도 짝수이다.
즉, m, n이 모두 짝수이므로 m, n이 서로소라는 가정에 모순이다.
따라서 j2는 무리수이다.
유형17 답 풀이 참고
a@+b@-ab =
a-
[
3
4 b@
1
2
b
]@+
1
2
3
4 b@>0
a, b가 실수이므로 [
따라서 a@+b@-ab>0이므로 a@+b@>ab
]@>0,
a-
b
이때 등호는 a-
1
2 b=0, b=0, 즉 a=b=0일 때 성립한다.
20 정답과 해설
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2017-11-28 오전 10:14:57
039 답 ㄷ
ㄱ. p
2!
q: 거짓
y<0이다.
p: 참
q
2!
따라서 q
jjk
2!
2!
q
p: 거짓
[반례] x=-1, y=-2이면 |xy|=xy이지만 x<0,
P-Q=Z, Q-RC=Z
045 답 ⑤
{P-Q}6{Q-RC}=Z이므로
/ P[Q, Q5R=Z
① P[Q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
p이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.
② Q5R=Z이므로 q는 r이기 위한 충분조건이 아니다.
ㄴ. p
q: |x|=y이면 |x|@=y@이므로 x@=y@이다. (참)
③ P[Q이고 Q5R=Z이므로 P5R=Z
[반례] x=-1, y=-1이면 x@=y@이지만 |x|= y
④ P5R=Z에서 R[PC이므로 ~p는 r이기 위한 필요조건이다.
⑤ P5R=Z에서 P[RC이므로 ~r는 p이기 위한 필요조건이다.
따라서 r는 p이기 위한 필요조건이 아니다.
이다.
jjk
q와 q
따라서 p
q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
ㄷ. p
2!
hjk
따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
2!
p가 모두 참이므로 p
q
ㄹ. p
q: 참
2!
2!
q
p: 거짓
[반례] x=0, y=-1이면 x@+y@>0이지만 x+y<0
이다.
따라서 p
q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
jjk
따라서 보기 중 p가 q이기 위한 필요충분조건인 것은 ㄷ이다.
046 답 ③
x@-3x-4<0에서 {x+1}{x-4}<0
/ -1-1, a+1<4
/ 050,
이때 q는 p이기 위한 필요조건이고 ~r는 p이기 위한 충분조건이
054 답 ③
a+b
2
-jabk =
{a+b-2jabk}
=
9{ja}@-2jajb+{jb}@0
1
2
1
2
1
2
=
{ ㈎ ja-jb }@>0
a+b
2 ㈏ > jabk이다.
-jabk>0이므로
a+b
2
따라서
이때 등호가 성립하는 경우는 ja-jb=0, 즉 ㈐ a=b 일 때이다.
즉, RC[P[Q이어야 하므로 오른
Q
P
P
`RC
a -2
b53
x
055 답 ⑤
{a@+b@}{x@+y@}-{ax+by}@
따라서 a의 최댓값은 -2, b의 최솟값은 5이므로 구하는 합은
=a@x@+a@y@+b@x@+b@y@-{a@x@+2abxy+b@y@}
Q=9x|x>a0,
R=9x|x5
-2+5=3
050 답 ㈎ 3k-2 ㈏ 3k@-4k+1 ㈐ 3k@-2k
n= ㈎ 3k-2 또는 n=3k-1 {k는 자연수}이라고 하면
! n= ㈎ 3k-2 일 때,
n@ ={3k-2}@=9k@-12k+4
=3{ ㈏ 3k@-4k+1 }+1
@ n=3k-1일 때,
n@ ={3k-1}@=9k@-6k+1
=3{ ㈐ 3k@-2k }+1
051 답 ②
주어진 명제의 대우 ‘x, y가 모두 ㈎ 홀수 이면 xy도 ㈎ 홀수 이
다.’가 참임을 보이면 된다.
x, y가 모두 홀수이므로
x=2m-1, y= ㈏ 2n-1 {m, n은 자연수)
이라고 하면
xy ={2m-1}{ ㈏ 2n-1 }
=4mn-2m-2n+1
=2{ ㈐ 2mn-m-n }+1
이므로 xy는 홀수이다.
052 답 ㈎ 유리수 ㈏ 유리수 ㈐ 무리수
j2+1이 유리수라고 가정하면
j2+1=a {a는 ㈎ 유리수 }
로 나타낼 수 있다.
이때 j2=a-1이고 a, 1은 모두 유리수이므로 a-1은 ㈏ 유리수
이다.
이는 j2가 ㈐ 무리수 라는 사실에 모순이다.
053 답 ⑤
이는 j5가 ㈎ 무리수 라는 사실에 모순이므로 ㈏ b=0 이다.
a+bj5=0에 ㈏ b=0 을 대입하면 a=0이다.
따라서 유리수 a, b에 대하여 a+bj5=0이면 ㈐ a=b=0 이다.
22 정답과 해설
={ ㈎ ay-bx }@>0
따라서 {a@+b@}{x@+y@}-{ax+by}@>0이므로
{a@+b@}{x@+y@}>{ax+by}@이다.
이때 등호가 성립하는 경우는 ay-bx=0, 즉 ㈏ ay=bx 일 때이다.
056 답 ①
|a|+|b|>0, |a+b|>0이므로
㈎ {|a|+|b|}@>|a+b|@ 임을 보이면 된다.
{|a|+|b|}@-|a+b|@ =|a|@+2|a||b|+|b|@-{a+b}@
=a@+2|ab|+b@-{a@+2ab+b@}
=2{ ㈏ |ab|-ab }>0
따라서 {|a|+|b|}@>|a+b|@이므로
|a|+|b|>|a+b|
이때 등호가 성립하는 경우는 |ab|=ab, 즉 ㈐ ab>0 일 때이다.
057 답 8
x>-2에서 x+2>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
x+
16
x+2 =x+2+
16
x+2
-2
>2q{x+2}\e
16
x+2 e-2=6
이때 등호가 성립하는 경우는 x+2=
16
x+2 일 때이므로
{x+2}@=16, x+2=-4 / x=2 (? x>-2}
따라서 주어진 식은 x=2일 때, 최솟값 6을 가지므로
m=6, n=2 / m+n=8
058 답 ⑤
a>0, b>0에서 ab>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의
하여
a+
[
1
b ][
9
a ]
b+
=ab+9+1+
>10+2qab\
이때 등호가 성립하는 경우는 ab=
{ab}@=9 / ab=3 (? ab>0)
9
ab
9
ab e=16
9
ab 일 때이므로
따라서 주어진 식은 ab=3일 때, 최솟값 16을 가지므로
p=3, q=16 / p+q=19
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059 답 8
x>0, y>0, z>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
063 답 13
x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여
>2q
x
y
[
+
+
+
z
x
x
y ]
z
x ][
y
z
y
y
z ][
z
y
x
z e\2q
y
z
y
x
y w=8 [단, 등호는
x w q
z w q
z
x e\2q
z
x
\
\
\
x
y e
x
y
=8q
따라서 주어진 식의 최솟값은 8이다.
=
{2@+3@}{x@+y@}>{2x+3y}@
이때 x@+y@=13이므로
13\13>{2x+3y}@, {2x+3y}@<13@
y
z
=
z
x 일 때 성립]
/ -13<2x+3y<13 (단, 등호는 2y=3x일 때 성립)
따라서 2x+3y의 최댓값은 13이다.
060 답 ④
전체 구역의 가로의 길이를 a m, 세로의 길이를 b m라고 하면
2a+4b=80
yy`㉠
a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
2a+4b>2j2a\4bl=2j8abl yy`㉡
064 답 8
직사각형의 가로의 길이를 x, 세로의 길이를 y라고 하면
x@+y@={2j2}@=8
x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여
{1@+1@}{x@+y@}>{x+y}@
그런데 x@+y@=8이므로
(단, 등호는 2a=4b, 즉 a=2b일 때 성립)
2\8>{x+y}@, {x+y}@<16
따라서 ab의 최댓값은 200이고 구역의 전체 넓이는 ab`m@이므로
따라서 구하는 최댓값은 8이다.
이때 x>0, y>0이므로
0{y+2z}@ yy`㉢
㉠, ㉡을 ㉢에 대입하면
5{9-x@}>{x+3}@
x@+x-6<0, {x+3}{x-2}<0
/ -32j8abl, 40>j8abl
양변을 제곱하면
1600>8ab / ab<200
구하는 최댓값은 200`m@이다.
061 답 ④
{j2xk+j3yk}@ =2x+2j2xkj3yk+3y
=2x+2j6xyl+3y
yy`㉠
x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
2x+3y>2j2x\3yl=2j6xyl
그런데 2x+3y=8이므로
8>2j6xyl (단, 등호는 2x=3y일 때 성립) yy`㉡
㉠, ㉡에서
{j2xk+j3yk}@ ={2x+3y}+2j6xyl
<8+8=16
이때 j2xk+j3yk>0이므로
j2xk+j3yk
1
4 ]@ =
5
y
4 이므로
4
5
4 ]@
=
[
9\16
25
25
16
\
=9
{x@+y@}>
/ x@+y@>
[단, 등호는
y
3
=
x
4, 즉 4y=3x일 때 성립]
③, ⑤ 참인 명제이다.
④ 거짓인 명제이다.
따라서 x@+y@의 최솟값은 9이다.
따라서 명제가 아닌 것은 ①이다.
핵심 유형 최종 점검하기
53~55쪽
1 답 ①
유형 01 명제
제가 아니다.
① x의 값이 정해져 있지 않아 참, 거짓을 판별할 수 없으므로 명
② 2x+1>2{x-3}에서 1>-6이므로 참인 명제이다.
03 명제 23
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{a-b}{b-c}=0에서 a-b=0 또는 b-c=0
따라서 ‘a=b 또는 b=c’의 부정은 ‘a=b이고 b=c’이다.
2 답 ③
유형 02 명제와 조건의 부정
a, b, c는 실수이므로
/ a=b 또는 b=c
3 답 3
유형 03 진리집합
P, Q라고 하면
QC=91, 3, 5, 7, 90이므로
P5QC=93, 5, 70
따라서 구하는 원소의 개수는 3이다.
4 답 ㄱ, ㄷ
유형 04 명제의 참, 거짓
7 답 ②
유형 07 ‘모든’이나 ‘어떤’을 포함한 명제의 참, 거짓
② [반례] x=8이면 2x:U이다.
8 답 ⑤
유형 08 명제의 역과 대우
① 역: x=1이면 x@=1이다. (참)
② 역: x, y가 유리수이면 xy는 유리수이다. (참)
③ 역: x>0, y>0이면 xy>0이다. (참)
9 답 12
유형 09 명제의 대우를 이용하여 미지수 구하기
주어진 명제가 참이므로 그 대우
‘x>-2이고 y>a이면 x+y>10이다.’
도 참이다.
U=91, 2, 3, 4, y, 100이므로 두 조건 p, q의 진리집합을 각각
④ 역: x=0, y=0이면 x@+y@=0이다. (참)
P=92, 3, 5, 70, Q=92, 4, 6, 8, 100
[반례] x=-1, y=-2이면 x@+y@>0이지만 x<0, y<0
이때 조건 ‘p 그리고 ~q’의 진리집합은 P5QC이고
이다.
⑤ 역: x@+y@>0이면 x>0 또는 y>0이다. (거짓)
ㄱ. x@+y@=0이면 x=0이고 y=0이므로 xy=0이다.
x>-2, y>a에서 x+y>a-2이므로
ㄴ. [반례] x=y=0, z=2이면 xy=yz=zx=0이지만 x=y=0,
a-2>10 / a>12
z=0이다.
따라서 실수 a의 최솟값은 12이다.
ㄷ. x+y=2에서 y=2-x를 x@+y@=2에 대입하면
x@+{2-x}@=2, x@-2x+1=0
{x-1}@=0 / x=1 / x=y=1
따라서 주어진 명제는 참이다.
따라서 보기 중 참인 명제는 ㄱ, ㄷ이다.
10 답 ④
유형 10 삼단논법
5 답 ①
유형 05 명제와 진리집합 사이의 관계
P6Q=Q에서 P[Q이므로 P5Q=P
{P5Q}-R=P-R=P이므로 P5R=Z
① P5R=Z에서 P[RC이므로 명제 p
~r는 참이다.
2!
6 답 3
유형 06 명제가 참이 되도록 하는 미지수 구하기
|x-1|>k에서 x-1<-k 또는 x-1>k
/ x<-k+1 또는 x>k+1
|x+1|<5에서 -5-6, k+1<4
/ 00)
따라서 양수 k의 최댓값은 3이다.
24 정답과 해설
명제 p
2!
또 명제 q
r가 참이므로 그 대우인 ~r
2!
~r가 참이므로 그 대우인 r
2!
~p도 참이다.
~q도 참이다.
2!
이때 두 명제 p
r, r
~q가 모두 참이므로 명제 p
~q
2!
2!
2!
가 참이고 그 대우인 q
~p도 참이다.
2!
따라서 반드시 참이라고 할 수 없는 것은 ④이다.
11 답 ③
유형 11 충분조건, 필요조건, 필요충분조건
① p
q: x#=1이면 x=1이므로 x@=1이다. (참)
2!
2!
q
p: 거짓
[반례] x=-1이면 x@=1이지만 x#=1이다.
따라서 p
q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
jjk
② p
q: x@=9이면 x=-3이므로 |x|=3이다. (참)
p: |x|=3이면 x=-3이므로 x@=9이다. (참)
q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
2!
q
2!
따라서 p
hjk
q: 거짓
③ p
2!
[반례] x=-3이면 x@>4이지만 x<2이다.
p: 참
q
2!
따라서 q
jjk
2!
2!
q
p이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.
④ p
q: x+2=3이면 x=1이므로 x@-2x+1=0이다. (참)
p: x@-2x+1=0이면 {x-1}@=0에서 x=1이므로
x+2=3이다. (참)
따라서 p
q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.
hjk
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⑤ p
q: 참
2!
2!
q
p: 거짓
[반례] x=
1
2 , y=-
1
2 이면 x+y는 정수이지만 x, y
는 모두 정수가 아니다.
따라서 p
q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다.
jjk
따라서 p가 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것은 ③
이다.
16 답 ①
유형 17 절대부등식의 증명
{ja-bl
l}@-{ja-jb}@ ={a-b}-{a-2jabk+b}
=2jabk-2b
=2jb{ ㈎ ja-jb }>0
따라서 {ja-bl}@>{ja-jb}@이고 ja-bl, ja-jb는 모두
㈏ 양수 이므로 ja-bl>ja-jb이다.
두 명제 p
~q, ~r
q가 모두 참이므로 그 대우인
x=0이므로
x@+2x+25 의 분모와 분자를 각각 x로 나누면
17 답 ①
유형 18 산술평균과 기하평균의 관계의 활용
x
x@+2x+25
=
x
1
x+2+
25
x
x+2+
25
x >2qx\
25
x e+2=12
이때 x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
1
x+2+
25
x
1
12 이다.
[단, 등호는 x=
25
x , 즉 x=5일 때 성립]
따라서 x+2+
25
x 의 최솟값은 12이고,
은 분모가 최
소일 때 최대이므로 구하는 최댓값은
18 답 4
유형 18 산술평균과 기하평균의 관계의 활용
점 P{a, b}에서의 원의 접선의 방정식은 ax+by=4
따라서 이 접선이 x축, y축과 만나는 점의 좌표는
A
4
a , 0
], B
0,
4
b ]
[
[
이때 삼각형 OAB의 넓이는
1
2
한편 점 P{a, b}는 원 위의 점이므로 a@+b@=4
8
ab
4
a
4
b
=
\
\
yy`㉠
a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
a@+b@>21a@b@3`(단, 등호는 a@=b@, 즉 a=b일 때 성립) yy`㉡
㉠, ㉡에서 4>2ab / ab<2
따라서 ab의 최댓값은 2이고, 삼각형 OAB의 넓이
8
ab 은 ab의 값
이 최대일 때 최소이므로 구하는 넓이의 최솟값은 4이다.
19 답 ③
유형 19 코시-슈바르츠의 부등식의 활용
x@+y@=5이므로
x@+x+y@+2y =x+2y+{x@+y@}=x+2y+5
x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여
{1@+2@}{x@+y@}>{x+2y}@
이때 x@+y@=5이므로
12 답 ③
유형 12 충분조건, 필요조건과 명제의 참, 거짓
2!
~p, ~q
2!
r도 참이다.
q
2!
2!
2!
이다.
ㄱ. 두 명제 p
~q, ~q
r가 참이므로 명제 p
r가 참
2!
2!
따라서 p는 r이기 위한 충분조건이다.
ㄴ. 명제 q
2!
ㄷ. 명제 ~q
2!
~p가 참이므로 q는 ~p이기 위한 충분조건이다.
r가 참이므로 r는 ~q이기 위한 필요조건이다.
~q는 ~r이기 위한 필요조건이므로 RC[QC / Q[R
13 답 ⑤
유형 13 충분조건, 필요조건과 진리집합 사이의 관계
p는 q이기 위한 충분조건이므로 P[Q
/ P[Q[R
④ Q6R=R이므로 P[R
⑤ Q5R=Q이므로 P[{Q5R}
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
14 답 -1
유형 14 충분조건, 필요조건을 만족하는 미지수 구하기
q가 p이기 위한 필요조건이므로 명제
‘x@-x-6=0이면 x+a=0이다.’
가 참이다.
즉, 이 명제의 대우
‘x+a=0이면 x@-x-6=0이다.’
도 참이다.
a@+a-6=0, {a+3}{a-2}=0
/ a=-3 또는 a=2
따라서 모든 상수 a의 값의 합은
-3+2=-1
15 답 ①
유형 15 대우를 이용한 증명
x+a=0에서 x=-a이므로 이를 x@-x-6=0에 대입하면
주어진 명제의 대우 ‘실수 a, b에 대하여 ㈎ a=0이고 b=0 이면
5\5>{x+2y}@, {x+2y}@<5@
a@+b@<0이다.’가 참임을 보이면 된다.
/ -50일 때
f{x}=ax+b의 공역과 치역이 같으므로
f{0}=0, f{4}=4
b=0, 4a+b=4 / a=1, b=0
그런데 ab=0이므로 조건을 만족하지 않는다.
@ a<0일 때
f{x}=ax+b의 공역과 치역이 같으므로
b=4, 4a+b=0 / a=-1, b=4
/ a+b=3
!, @에 의하여 a+b=3
유형04 답 3
주어진 식의 양변에 x=0, y=0을 대입하면
f{0+0}=f{0}+f{0} / f{0}=0
주어진 식의 양변에 x=-1, y=1을 대입하면
f{-1+1}=f{-1}+f{1}
0=f{-1}+3 / f{-1}=-3
주어진 식의 양변에 x=1, y=1을 대입하면
f{1+1}=f{1}+f{1} / f{2}=3+3=6
/ f{-1}+f{2}=-3+6=3
유형05 답 -1
f{0}=g{0}에서 b=-1
f{1}=g{1}에서 a+b=0 / a=1
/ ab=-1
057 h_!{x}=-
x+1
058 ①
059 8
f{0}=4, f{4}=0
1
3
001 ㄱ, ㄴ, ㄹ
002 ⑤
003 ⑤
004 ③
005 21
006 ⑤
007 ③
008 ②
010 2
011 ④
012 ①
009 90, 1, 20
1
64
013
014 ②
015 ⑤
016 ②
017 ㄱ, ㄴ 018 9-20, 950, 9-2, 50
019 ④
020 ⑤
021 6
022 9
023 ③
024 1
025 ①
026 ②
027 281 028 ④
029 ③
030 ①
031 ②
032 ④
033 ④
034 ②
035 3
036 ③
038 -1 039 3
040 ④
041 h{x}=-
044 ⑤
045 ①
037 ⑤
3
2
046 6
x+
1
2 042 ④
047 ②
043 14
048 7
049 ②
050 ②
051 ④
052 ③
053 ⑤
054 6
055 ②
056 ①
060 2
061 ③
062 376 063 4
064 ②
065 -1 066 ⑤
067 4
068 h{x}=
069 ④
070 ④
x {x>2}
1
2
x-1 {x<2}
[
072
2
3
071 ③
073 ③
074 ②
075 ⑤
2 ㄱ, ㄴ, ㄹ
1 ①
5 ㄱ, ㄴ, ㄷ
9 ③
14 5
18 ②
10 ④
15 ⑤
5
2
19 -
6 ①
11 2
3 22
7 1
12 -6
4 5
8 25
13 ②
16 a<-1 또는 a>1 17 ③
20 ②
21 ②
22 2j2
26 정답과 해설
수학(하) PM 해설 03~04(015~036)7.indd 26
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유형06 답 ②
ㄴ, ㄹ. -1=1이지만 f{-1}=f{1}=1이므로 일대일대응이 아
004 답 ③
y축에 평행한 직선 x=k와 오직 한 점에서 만나는 그래프는 ③이다.
니다.
유형07 답 -3
a>0이므로 함수 f 가 일대일대응이면
f{1}=-2, f{3}=0
a+b=-2, 3a+b=0
두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-3
/ ab=-3
유형08 답 ⑤
집합 X에서 집합 Y로의 함수에서 X의 원소 a, b, c 각각에 대응
할 수 있는 Y의 원소는 1, 2, 3의 3개이므로 함수의 개수는
3\3\3=3#=27 / p=27
집합 X에서 집합 Y로의 일대일대응에서 X의 원소 a에 대응할
수 있는 Y의 원소는 1, 2, 3의 3개, b에 대응할 수 있는 원소는 a
에 대응한 원소를 제외한 2개, c에 대응할 수 있는 원소는 a, b에
대응한 원소를 제외한 1개이므로 일대일대응의 개수는
3\2\1=6 / q=6
집합 X에서 집합 Y로의 함수가 상수함수일 때, X의 원소 a, b,
c에 대응할 수 있는 Y의 원소는 1 또는 2 또는 3이므로 상수함수
의 개수는 3이다. / r=3
/ p+q+r=36
005 답 21
f{3}=2\3@-1=17
-2<1이므로 g{-2}=-{-2}+2=4
/ f{3}+g{-2}=17+4=21
006 답 ⑤
! x가 소수일 때
x의 양의 약수는 1, x의 2개이므로
f{2}=f{3}=f{5}=f{7}=2
@ x=pN {p는 소수, n은 자연수}일 때
4의 양의 약수는 1, 2, 4의 3개
8의 양의 약수는 1, 2, 4, 8의 4개
9의 양의 약수는 1, 3, 9의 3개
/ f{4}=f{9}=3, f{8}=4
# x=pMqN {p, q는 서로 다른 소수, m, n은 자연수}일 때
6의 양의 약수는 1, 2, 3, 6의 4개
10의 양의 약수는 1, 2, 5, 10의 4개
/ f{6}=f{10}=4
!, @, #에 의하여
f{2}+f{3}+f{4}+y+f{10} =2\4+3\2+4+4\2=26
007 답 ③
이차방정식 x@+5x-2=0에서 x=
이므로 a, b는 무리
-5-j33k
2
수이고, 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-5, ab=-2
/ f{a}+f{b}+f{ab} =a@+b@+f{-2}
={a+b}@-2ab-2
={-5}@-2\{-2}-2
=27
008 답 ②
! a>0일 때
f{x}=ax+b의 공역과 치역이 같으므로
f{-2}=-3, f{3}=2
-2a+b=-3, 3a+b=2
두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-1
그런데 a>b이므로 조건을 만족하지 않는다.
f{x}=ax+b의 공역과 치역이 같으므로
f{-2}=2, f{3}=-3
-2a+b=2, 3a+b=-3
두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=0
04 함수 27
핵심 유형 완성하기 60~64쪽
001 답 ㄱ, ㄴ, ㄹ
각 대응을 그림으로 나타내면 다음과 같다.
ㄱ. X
ㄴ. X
0
1
2
0
1
2
Y
0
1
2
3
4
Y
0
1
2
3
4
0
1
2
0
1
2
Y
0
1
2
3
4
Y
0
1
2
3
4
ㄷ. X
ㄹ. X
0에 대응하는 Y의 원소가 없다.
따라서 보기 중 함수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.
002 답 ⑤
⑤ 집합 X의 원소 2에 대응하는 집합 Y의 원소가 a, c의 2개이므
@ a<0일 때
로 함수가 아니다.
003 답 ⑤
X=9-2, -1, 0, 1, 20, Y=9y, -1, 0, 1, 2, 3, 40
⑤ 집합 X의 원소 -2, -1에 대응하는 집합 Y의 원소가 없으므
/ a+b=-1
로 함수가 아니다.
!, @에 의하여 a+b=-1
수학(하) PM 해설 03~04(015~036)7.indd 27
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f{-3}=2, f{-2}=1, f{-1}=0, f{0}=1, f{1}=2
f{2\2}=f{2}+f{2}
010 답 2
f{-1}=a+1, f{0}=1, f{1}=a+1, f{2}=4a+1이므로 치역은
f{2\4}=f{2}+f{4}
/ f{8}=3+6=9
014 답 ②
주어진 식의 양변에 x=2, y=2를 대입하면
6=2f{2} / f{2}=3
주어진 식의 양변에 x=2, y=4를 대입하면
009 답 90, 1, 20
X=9-3, -2, -1, 0, 10이므로
따라서 치역은 90, 1, 20
91, a+1, 4a+10
치역의 모든 원소의 합이 13이므로
1+{a+1}+{4a+1}=13
5a=10 / a=2
011 답 ④
3!=3을 4로 나누었을 때의 나머지는 3이므로 f{1}=3
3@=9를 4로 나누었을 때의 나머지는 1이므로 f{2}=1
3#=27을 4로 나누었을 때의 나머지는 3이므로 f{3}=3
3$=81을 4로 나누었을 때의 나머지는 1이므로 f{4}=1
3%=243을 4로 나누었을 때의 나머지는 3이므로 f{5}=3
⋮
/ f{x}=
3 (x는 홀수)
-
1 (x는 짝수)
합이므로 구하는 집합 A의 개수는
2!)-1=1024-1=1023
따라서 집합 A는 집합 91, 3, 5, y, 190의 공집합이 아닌 부분집
012 답 ①
f{x}=-x@+6의 공역과 치역이 같으므로 f{k}=k
-k@+6=k, k@+k-6=0
{k+3}{k-2}=0 / k=-3 또는 k=2
그런데 k=2이면 x<2에서 f{x}의 최댓값은 6이므로 치역은
9y|y<60이고 공역은 9y|y<20로 함수가 될 수 없다.
f=g
f=g
017 답 ㄱ, ㄴ
ㄱ. f{-1}=g{-1}=-1, f{0}=g{0}=0, f{1}=g{1}=1이므로
ㄴ. f{-1}=g{-1}=1, f{0}=g{0}=0, f{1}=g{1}=1이므로
015 답 ⑤
ㄱ. 주어진 식의 양변에 x=2, y=1을 대입하면
f{2\1}=f{2}f{1} / f{1}=1 (참)
ㄴ. 주어진 식의 양변에 x=2, y=2를 대입하면
f{2\2}=f{2}f{2}
/ f{4}={-4}\{-4}=16 (거짓)
ㄷ. 자연수 n에 대하여
f{4N} =f{4\4\4\y\4}
=f{4}\f{4}\f{4}\y\f{4}
=9 f{4}0N=16N=4@N (참)
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
016 답 ②
f{-2}=g{-2}에서 -6+a=4-2a+b yy ㉠
f{1}=g{1}에서 3+a=1+a+b
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=2
/ a@+b@=16+4=20
ㄷ. f{1}=1, g{1}=0이므로 f=g
따라서 보기 중 f=g인 것은 ㄱ, ㄴ이다.
018 답 9-20, 950, 9-2, 50
x@-2x=x+10에서 x@-3x-10=0
{x+2}{x-5}=0 / x=-2 또는 x=5
따라서 집합 X는 9-20, 950, 9-2, 50
019 답 ④
니다.
① 상수함수이므로 일대일대응이 아니다.
② -1=1이지만 f{-1}=f{1}=0이므로 일대일대응이 아니다.
③ -2=-1이지만 f{-2}=f{-1}=0이므로 일대일대응이 아
⑤ -1=0이지만 f{-1}=f{0}=-1이므로 일대일대응이 아니다.
020 답 ⑤
임의의 실수 k에 대하여 x축에 평행한 직선 y=k와 오직 한 점에
서 만나고, 치역과 공역이 같은 함수의 그래프는 ㄴ, ㄹ이다.
/ k=-3
013 답
1
64
주어진 식의 양변에 x=1, y=0을 대입하면
f{1+0}=f{1}f{0} / f{0}=1
주어진 식의 양변에 x=1, y=-1을 대입하면
f{1-1}=f{1}f{-1}
1=4f{-1} / f{-1}=
1
4
주어진 식의 양변에 x=-1, y=-1을 대입하면
주어진 식의 양변에 x=-1, y=-2를 대입하면
f{-1-1}=f{-1}f{-1}
1
4
/ f{-2}=
1
16
1
4
\
=
f{-1-2}=f{-1}f{-2}
1
4
/ f{-3}=
1
64
1
16
=
\
28 정답과 해설
수학(하) PM 해설 03~04(015~036)7.indd 28
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ㄴ. 정의역의 원소 1에 대응하는 공역의 원소가 없다.
서 f{x}의 값이 항상 증가하거나 항상 감소하려면 a<-1 또는
026 답 ②
f{x}=-x@+2ax+b=-{x-a}@+a@+b이므로 -10일 때
함수 f 가 일대일대응이면
f{-1}=-1, f{2}=5
-a+b=-1, 2a+b=5
두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=1
=
1
2
/
b
a
@ a<0일 때
함수 f 가 일대일대응이면
f{-1}=5, f{2}=-1
-a+b=5, 2a+b=-1
두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=3
/
=-
b
a
3
2
!, @에 의하여 모든
1
2
=-1
3
2
-
b
a 의 값의 합은
a>0이어야 한다.
! a<-1일 때
f{-1}=0, f{0}=-1
-1-2a+b=0, b=-1
두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=-1
/ ab=1
@ a>0일 때
함수 f 가 일대일대응이면
f{-1}=-1, f{0}=0
-1-2a+b=-1, b=0
두 식을 연립하여 풀면 a=0, b=0
이는 조건을 만족하지 않는다.
!, @에 의하여 ab=1
027 답 281
n{X}=4이므로
/ p+q+r=281
p=4$=256, q=4\3\2\1=24, r=1
028 답 ④
구하는 함수의 개수는 X에서 Y로의 함수의 개수에서 상수함수의
개수를 빼면 되므로
2#-2=6
029 답 ③
㈎에서 함수 f 는 일대일함수이고 ㈏에서 f{2}=6이므로 f{1}의
값이 될 수 있는 것은 2, 4, 8, 10의 4개, f{3}의 값이 될 수 있는
것은 2, 4, 8, 10 중 f{1}의 값을 제외한 3개이다.
따라서 구하는 함수의 개수는 4\3=12
04 함수 29
024 답 1
함수 f 가 일대일대응이려면 함수 y=f{x}의
그래프가 오른쪽 그림과 같아야 하므로 직선
y=ax+a@-5의 기울기가 양수이고 점
{0, -4}를 지나야 한다.
따라서 a>0이고, a@-5=-4에서 a=-1
y
O
-4
y=f{x}
4
x
이므로
a=1
025 답 ①
f{x}=x@+2x+k={x+1}@+k-1이므로 x>2일 때 x의 값이
증가하면 f{x}의 값도 증가한다.
따라서 함수 f 가 일대일대응이면 f{2}=-1이므로
4+4+k=-1 / k=-9
핵심 유형 65~67쪽
유형09 답 ④
j3은 무리수이므로 f{j3}={j3}@+1=4
4는 유리수이므로 f{4}=3\4-2=10
/ { f`J`f }{j3} =f{ f{j3}}=f{4}=10
유형10 답 -1
{ f`J`g}{x} =f{g{x}}=f{ax+2}
=2{ax+2}-1=2ax+3
{g`J`f }{x} =g{ f{x}}=g{2x-1}
=a{2x-1}+2=2ax-a+2
f`J`g=g`J`f 이므로 2ax+3=2ax-a+2
따라서 3=-a+2이므로 a=-1
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유형11 답 ⑤
{ f`J`h}{x}=f{h{x}}=h{x}-1
유형18 답 12
{ f`J`f}{6}=f{ f{6}}=f{3}=1
{ f`J`h}{x}=g{x}이므로 h{x}-1=2x@+3
한편 f _!{6}=k라고 하면 f{k}=6이므로
/ h{x}=2x@+4
유형12 답 ③
f !{x}=f{x}=x-2
f @{x}=f{ f{x}}={x-2}-2=x-4
f #{x}=f{ f @{x}}={x-4}-2=x-6
⋮
f %){x}=x-2\50=x-100
/ f %){150}=150-100=50
유형13 답 ③
f _!{-3}=1, f _!{6}=4이므로
f{1}=-3, f{4}=6
a+b=-3, 4a+b=6
두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=-6
따라서 f{x}=3x-6이므로 f{2}=6-6=0
유형14 답 6
함수 f 의 역함수가 존재하면 f 는 일대일대응이다.
함수 y=f{x}의 그래프의 기울기가 양수이므로
f{-2}=a, f{3}=5
-4-b=a, 6-b=5
두 식을 연립하여 풀면 a=-5, b=1
/ b-a=6
유형15 답 ②
y=2x+a에서 2x=y-a / x=
y-
1
2
a
2
x와 y를 서로 바꾸면 y=
x-
1
2
a
2 / f _!{x}=
1
2
x-
a
2
a
2
따라서
1
2 x-
a
1
2
2
/ ab=-2
=b, -
=bx+2이므로
=2 / a=-4, b=
1
2
유형16 답 ②
{ f _!`J`g}{a}=f _!{g{a}}=4에서 f{4}=g{a}이므로
2-1=2a+3 / a=-1
={ f`J`g _!}{-1}
=f{g _!{-1}}
g _!{-1}=k라고 하면 g{k}=-1이므로
-2k+3=-1 / k=2
/ {g`J`{ f _!`J`g}_!`J`g_!}{-1} =f{g _!{-1}}
=f{2}=8-3=5
30 정답과 해설
y=f{x}
y=x
y
11
9
6
3
1
O 1 3 6
9 11
x
k=9
l=11
f _!{9}=l이라고 하면 f{l}=9이므로
/ { f _!`J`f _!}{6} =f _!{ f _!{6}}
=f _!{9}=11
/ { f`J`f }{6}+{ f _!`J`f _!}{6}=1+11=12
유형19 답 ④
함수 y=f{x}의 그래프와 그 역함수 y=f _!{x}의 그래프의 교점
은 함수 y=f{x}의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으므로
2x-1=x에서 x=1
/ a+b=2
따라서 교점의 좌표는 {1, 1}이므로 a=1, b=1
핵심 유형 완성하기 68~74쪽
030 답 ①
f{-1}=|-1-3|=4
f{4}=-4@+3=-13
/ { f`J`f }{-1}=f{ f{-1}}=f{4}=-13
031 답 ②
{ f`J`f }{2}=f{ f{2}}=f{1}=0
{ f`J`f`J`f }{1} =f{ f{ f{1}}}
=f{ f{0}}=f{3}=4
/ { f`J`f }{2}+{ f`J`f`J`f }{1}=0+4=4
032 답 ④
{ f`J`g}{2}+{g`J`f }{-2} =f{g{2}}+g{ f{-2}}
=f{0}+g{5}
=-3+3=0
033 답 ④
{ f`J`{g`J`h}}{-2} ={{ f`J`g}`J`h}{-2}
={ f`J`g}{h{-2}}
={ f`J`g}{1}=3
유형17 답 ②
{g`J`{ f _!`J`g}_!`J`g _!}{-1} ={g`J`g_!`J`f`J`g_!}{-1}
034 답 ②
{00}
3
2
038 답 -1
{ f`J`g}{x} =f{g{x}}=f{x+b}
=a{x+b}+1=ax+ab+1
f`J`g=h이므로 ax+ab+1=2x-2
따라서 a=2, ab+1=-2이므로 a=2, b=-
3
2
/ a+2b=2+2\
-
=-1
3
2 ]
[
039 답 3
{ f`J`g}{x} =f{g{x}}=f{bx+2a}
=a{bx+2a}+2b=abx+2a@+2b
{g`J`f }{x} =g{ f{x}}=g{ax+2b}
=b{ax+2b}+2a=abx+2b@+2a
f`J`g=g`J`f 이므로 abx+2a@+2b=abx+2b@+2a
따라서 2a@+2b=2b@+2a이므로 a@-b@-a+b=0
{a-b}{a+b-1}=0 / a=b 또는 a+b=1
그런데 두 함수 f, g가 서로 다른 함수이므로 a=b
/ a+b=1
/ f{1}+g{1} ={a+2b}+{b+2a}
=3a+3b=3{a+b}
=3\1=3
{g`J`h}{x}=f{x}이므로 -h{x}+2=3x@-1
/ h{x}=-3x@+3
041 답 h{x}=-
x+
3
2
1
2
{h`J`f }{x}=h{ f{x}}=h{-2x+1}
1
2 t+
3
2
t+
1
2 이므로
1
2
-1=-
-2x+1=t로 놓으면 x=-
h{t}=3
-
[
/ h{x}=-
1
2 t+
3
2
1
2 ]
1
2
x+
042 답 ④
{g`J`f }{x}=g{ f{x}}=g{2x+3}
{g`J`f }{x}=x@+x이므로 g{2x+3}=x@+x
2x+3=t로 놓으면 x=
g{t}=
[
1
3
2 ]@+
2 t-
1
4
/ g{-3} =
\9+3+
3
2 이므로
1
4 t@-t+
3
4
1
2 t-
3
1
2 t-
2
3
4
=6
=
다른 풀이 g{2x+3}=x@+x yy ㉠
3
2
=t로 놓으면 x=2t-3이므로
1
2 x+
h{t} ={2t-3}@+2{2t-3}-1=4t@-8t+2
/ h{-1}=4+8+2=14
044 답 ⑤
f !{x}=f{x}=-x+2
f @{x}=f{ f{x}}=-{-x+2}+2=x
f #{x}=f{ f @{x}}=-x+2
⋮
f !)){x}=x
/ f !)){50}=50
045 답 ①
f !{x}=f{x}=2x
f @{x}=f{ f{x}}=2{2x}=2@x
f #{x}=f{ f @{x}}=2{2@x}=2#x
⋮
f ({x}=2(x
/ f ({-2}=2(\{-2}=-2!)
2x+3=-3에서 x=-3이므로 이를 ㉠에 대입하면 g{-3}=6
043 답 14
{{h`J`g}`J`f }{x} ={h`J`{g`J`f }}{x}
=h{{g`J`f }{x}}=h
{{h`J`g}`J`f }{x}=x@+2x-1이므로 h
=x@+2x-1
[
1
2 x+
1
2 x+
3
2 ]
3
2 ]
[
04 함수 31
수학(하) PM 해설 03~04(015~036)7.indd 31
2017-11-28 오전 10:15:01
⋮
따라서 f N{1}=1을 만족하는 자연수 n의 최솟값은 4이다.
같은 방법으로 f N{2}=2, f N{3}=3, f N{4}=4를 만족하는 자연
수 n의 최솟값은 4이므로 구하는 자연수 n의 최솟값은 4이다.
054 답 6
함수 f 의 역함수가 존재하려면 f 는 일대일대응이어야 한다.
따라서 x>1일 때의 함수 y=f{x}의 그래프의 기울기와 x<1일
때의 함수 y=f{x}의 그래프의 기울기의 부호가 같아야 하므로
046 답 6
f !{100}=f{100}=
=50
100
2
f @{100}=f{ f{100}}=f{50}=
f #{100}=f{ f @{100}}=f{25}=
=11
f ${100}=f{ f #{100}}=f{11}=
=4
f %{100}=f{ f ${100}}=f{4}=
=2
f ^{100}=f{ f %{100}}=f{2}=
=1
=25
50
2
25-3
2
11-3
2
4
2
2
2
/ n=6
047 답 ②
f !{1}=f{1}=2
f @{1}=f{ f{1}}=f{2}=4
f #{1}=f{ f @{1}}=f{4}=3
f ${1}=f{ f #{1}}=f{3}=1
048 답 7
f _!{1}=3, f _!{-1}=5이므로
f{3}=1, f{5}=-1
3a+b=1, 5a+b=-1
두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=4
따라서 f{x}=-x+4이므로 f{-3}=3+4=7
049 답 ②
f _!{4}=2, f _!{1}=b이므로
f{2}=4, f{b}=1
2a+3=4, ab+3=1
따라서 a=
1
2 , b=-4이므로 a+b=-
7
2
050 답 ②
-x+3
4
=t로 놓으면 x=-4t+3이므로
f{t}={-4t+3}-2=-4t+1
f _!{5}=k라고 하면 f{k}=5이므로
-4k+1=5 / k=-1 / f _!{5}=-1
051 답 ④
f _!{7}=k라고 하면 f{k}=7이므로
k@-2k-1=7, k@-2k-8=0
{k+2}{k-4}=0 / k=-2 또는 k=4
그런데 함수 f의 정의역에 의하여 k>1이므로 k=4
/ f _!{7}=4
32 정답과 해설
052 답 ③
x>2일 때, f{x}=x@-4x+5={x-2}@+1>1
x<2일 때, f{x}=x-1<1
f _!{0}=a, f _!{10}=b라고 하면
f{a}=0<1, f{b}=10>1이므로 a<2, b>2
f{a}=0에서 a-1=0 / a=1
f{b}=10에서 b@-4b+5=10
b@-4b-5=0, {b+1}{b-5}=0 / b=5 {? b>2}
/ f _!{0}+f _!{10}=1+5=6
053 답 ⑤
함수 f 의 역함수가 존재하면 f 는 일대일대응이다.
함수 y=f{x}의 그래프의 기울기가 음수이므로
f{-1}=a, f{2}=2
3+b=a, -6+b=2
두 식을 연립하여 풀면 a=11, b=8
/ a+b=19
{a-4}{1-2a}>0 /
1
2 -2
yy ㉠
f{1}=1에서 1+k+k@=1, k@+k=0
k{k+1}=0 / k=-1 또는 k=0 yy ㉡
㉠, ㉡에서 k=-1 또는 k=0
따라서 모든 상수 k의 값의 합은 -1+0=-1
056 답 ①
y=ax+b에서 ax=y-b / x=
1
a y-
b
a
x와 y를 서로 바꾸면 y=
x-
1
a
b
a
/ f _!{x}=
x-
b
a
1
a
b
a
=4ab에서 a@=
따라서
1
a x-
=6bx-4ab이므로
=6b,
=4ab
1
a
b
a
b
a
1
a
1
2 (? a>0}
1
4 이므로 a=
1
3
=6b에서 2=6b / b=
/ a-b=
1
6
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057 답 h_!{x}=-
x+1
1
3
h{x} ={g`J`f }{x}=g{ f{x}}=g{3x-1}
=-{3x-1}+2=-3x+3
즉, h{x}=-3x+3이므로 y=-3x+3에서
3x=-y+3 / x=-
x와 y를 서로 바꾸면 y=-
1
3 y+1
1
3
x+1
/ h_!{x}=-
x+1
058 답 ①
함수 g{x}의 역함수가 f{2x+3}이므로
g_!{x}=f{2x+3}
y=
x-1에서
x=y+1 / x=2y+2
1
2
1
3
1
2
x와 y를 서로 바꾸면 y=2x+2 / g_!{x}=2x+2
따라서 f{2x+3}=2x+2이므로
2x+3=t로 놓으면 x=
t-3
2
/ f{t}=2\
+2=t-1
t-3
2
/ f{x}=x-1
059 답 8
{ f`J`g_!}{a}=f{g_!{a}}=2
g_!{a}=k라고 하면 f{k}=2에서
k-1
2
=2 / k=5
따라서 g_!{a}=5이므로
a=g{5}=2\5-2=8
060 답 2
{ f`J`g_!`J`f }{a}=f{g_!{ f{a}})=5
g_!{ f{a}}=k라고 하면 f{k}=5에서
2k+3=5 / k=1
/ g_!{ f{a})=1
따라서 g{1}=f{a}이므로
7=2a+3 / a=2
061 답 ③
{ f`J`g}{x} =f{g{x}}=f{-2x+b}
=a{-2x+b}+1=-2ax+ab+1
{ f`J`g}{x}=-x+3이므로
-2ax+ab+1=-x+3
따라서 -2a=-1, ab+1=3이므로 a=
/ f{x}=
x+1, g{x}=-2x+4
1
2
g_!{-8}=k라고 하면 g{k}=-8이므로
-2k+4=-8 / k=6
/ f{g_!{-8}}=f{6}=3+1=4
1
2 , b=4
062 답 376
f _!{2x-1}=
x-4
5 에서 f [
x-4
5 ]
=2x-1
x-4
5
=t로 놓으면 x=5t+4이므로
f{t}=2{5t+4}-1=10t+7
/ { f`J`f }{3}=f{ f{3}}=f{37}=377
f _!{-3}=k라고 하면 f{k}=-3이므로
10k+7=-3 / k=-1
/ { f`J`f }{3}+f _!{-3}=377-1=376
063 답 4
{ f`J`{ f _!`J`g}_!`J`f _!}{6} ={ f`J`g_!`J`f`J`f _!}{6}
={ f`J`g_!}{6}=f{g_!{6}}
g_!{6}=k라고 하면 g{k}=6이므로
5k-4=6 / k=2
/ { f`J`{ f _!`J`g}_!`J`f _!}{6} =f{g_!{6}}
=f{2}=6-2=4
064 답 ②
{ f _!`J`g}{0}+{ f _!`J`g}_!{1} ={ f _!`J`g}{0}+{g_!`J`f}{1}
=f _!{g{0}}+g_!{ f{1}}
=f _!{3}+g_!{3}
f _!{3}=k라고 하면 f{k}=3이므로
4k-1=3 / k=1
g_!{3}=l이라고 하면 g{l}=3이므로
5l+3=3 / l=0
/ { f _!`J`g}{0}+{ f _!`J`g}_!{1} =f _!{3}+g_!{3}
=1+0=1
{ f`J`f }{x}=f{ax+1}=a{ax+1}+1=a@x+a+1
065 답 -1
f=f _!에서 { f`J`f }{x}=x
따라서 a@x+a+1=x이므로
a@=1, a+1=0 / a=-1
066 답 ⑤
h{x}=4x-7이라고 하면
h_!{x}={ f`J`g_!}_!{x}={g`J`f _!}{x}
이때 h_!{1}=k라고 하면 h{k}=1이므로
4k-7=1 / k=2
/ {g`J`f _!}{1}=h_!{1}=2
067 답 4
{{ f`J`g}_!`J`f`J`g_!}{a} ={g_!`J`f _!`J`f`J`g_!}{a}
={g_!`J`g_!}{a}=g_!{g_!{a}}
=g_!{2a-5}=2{2a-5}-5
=4a-15
따라서 f{a}=4a-15이므로 f _!{4a-15}=a
{4a-15}+3=a / a=4
04 함수 33
수학(하) PM 해설 03~04(015~036)7.indd 33
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068 답 h{x}=
x {x>2}
2!
x-1 {x<2}
[
f`J`h=g_!에서 f _!`J`f`J`h=f _!`J`g_!
/ h={g`J`f }_!
! x>1일 때
{g`J`f }{x} =g{ f{x}}=g{2x-1}
={2x-1}+1=2x
y=2x라고 하면 y>2이고 x=
y
1
2
1
2
x와 y를 서로 바꾸면 y=
x
/ {g`J`f }_!{x}=
x {x>2}
1
2
@ x<1일 때
{g`J`f }{x}=g{ f{x}}=g{x}=x+1
y=x+1이라고 하면 y<2이고 x=y-1
x와 y를 서로 바꾸면 y=x-1
/ {g`J`f }_!{x}=x-1 {x<2}
!, @에 의하여 h{x}=
x `{x>2}
1
2
x-1 {x<2}
[
069 답 ④
ㄱ. f`J`f=f _!이므로 f`J`f`J`f=f`J`f _!
따라서 f #{x}=x이므로 f #{1}=1 (참)
ㄴ. f #{x}=x이므로
f @)=f #|^`J`f @=f @, f $)=f #|!#`J`f=f
그런데 f=f _!이므로 f=f @ / f @)=f $) (거짓)
ㄷ. f @)!&=f #|^&@`J`f=f
f !&=f #|%`J`f @=f @
{ f @}_!={ f _!}_!=f 이므로 { f !&}_!=f
/ f @)!&={ f !&}_! (참)
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
070 답 ④
{ f`J`f }{a}=f{ f{a}}=f{b}=c
한편 f _!{c}=k라고 하면 f{k}=c이므
y=x
y=f{x}
f _!{b}=l이라고 하면 f{l}=b이므로
O a
b c de
x
/ { f _!`J`f _!}{c}=f _!{ f _!{c}}=f _!{b}=a
/ { f`J`f }{a}+{ f _!`J`f _!}{c}=c+a
로 k=b
l=a
k=b
l=c
071 답 ③
g_!{c}=k라고 하면 g{k}=c이므로
f _!{b}=l이라고 하면 f{l}=b이므로
=f _!{b}=c
34 정답과 해설
y
e
d
c
b
a
e
y
d
c
b
a
072 답
2
3
-2x+1=x에서 x=
1
3
따라서 교점의 좌표는 [
2
3
/ a+b=
함수 y=f{x}의 그래프와 그 역함수 y=f _!{x}의 그래프의 교점
은 함수 y=f{x}의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으므로
1
3 ,
1
3 ]이므로 a=
1
3 , b=
1
3
073 답 ③
함수 y=f{x}의 그래프와 그 역함수 y=f _!{x}의 그래프의 교점
은 함수 y=f{x}의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으므로
3x+a=x의 해가 x=1이어야 한다.
즉, 3+a=1이므로 a=-2
한편 점 {1, b}는 직선 y=x 위의 점이므로 b=1
/ a+b=-1
074 답 ②
함수 y=f{x}의 그래프와 그 역함수 y=f _!{x}의 그래프의 교점
은 함수 y=f{x}의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으므로
x@-6x+12=x에서 x@-7x+12=0
{x-3}{x-4}=0 / x=3 또는 x=4
따라서 두 교점의 좌표는 {3, 3}, {4, 4}이므로 두 교점 사이의 거
리는
1{4-3}@+{34-3}@3=j2
075 답 ⑤
두 함수 y=f{x}, y=f _!{x}의 그래프가 일치하므로 함수
y=f{x}의 그래프는 두 점 {-1, 4}, {4, -1}을 지난다.
f{x}=ax+b {a=0}라고 하면
-a+b=4, 4a+b=-1
두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=3
따라서 f{x}=-x+3이므로 f{1}=-1+3=2
75~7 7쪽
ㄴ. 정의역의 원소 2, 3에 대응하는 공역의 원소가 없으므로 g는
ㄷ. 정의역의 원소 0에 대응하는 공역의 원소가 없으므로 h는 함
y=f{x}
y=x
y=g{x}
따라서 보기 중 함수인 것은 ㄱ이다.
핵심 유형 최종 점검하기
1 답 ①
유형 01 함수의 뜻과 그래프
X=9-2, -1, 0, 1, 2, 30
함수가 아니다.
수가 아니다.
2 답 ㄱ, ㄴ, ㄹ
유형 01 함수의 뜻과 그래프
ㄴ, ㄹ이다.
/ { f _!`J`g_!}{c} =f _!{g_!{c}}
O a
b c d e
x
y축에 평행한 직선 x=k와 오직 한 점에서 만나는 그래프는 ㄱ,
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3 답 22
유형 02 함숫값
f{1}=f{3}=f{5}=y=f{15}=1
f{2}=f{4}=f{6}=y=f{14}=2
/ f{1}+f{2}+f{3}+y+f{15}=1\8+2\7=22
4 답 5
유형 03 함수의 정의역, 공역, 치역
8 답 25
유형 07 일대일대응이 되기 위한 조건
a<0이므로 함수 f 가 일대일대응이면
f{0}=4, f{2}=-2
b=4, 2a+b=-2
두 식을 연립하여 풀면 a=-3, b=4
/ a@+b@=9+16=25
함수 y=f{x}의 그래프는 점 {0, b}를 꼭짓점으로 하는 포물선이다.
! a>0일 때
y
9 답 ③
유형 08 함수의 개수
f{x}=ax@+b의 공역과 치역이 같으므로
a=4@=16, b=4\3=12, c=4
O-1
1
x
/ a+b+c=32
1
y
1
-1
O
-1
-1
1
x
b=-1, f{-1}=f{1}=1
a+b=1이므로 a=2
/ a@+b@=4+1=5
@ a<0일 때
f{x}=ax@+b의 공역과 치역이 같으므로
b=1, f{-1}=f{1}=-1
a+b=-1이므로 a=-2
/ a@+b@=4+1=5
!, @에 의하여 a@+b@=5
5 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ
유형 04 조건을 이용하여 함숫값 구하기
ㄱ. 주어진 식의 양변에 x=1, y=1을 대입하면
f{1\1}=f{1}+f{1} / f{1}=0 (참)
ㄴ. 주어진 식의 양변에 x=3, y=3을 대입하면
f{3\3}=f{3}+f{3}, 2=2f{3} / f{3}=1
주어진 식의 양변에 x=3, y=
1
3 을 대입하면
3\
f [
1
3 ]
0=1+f [
1
x ]
x\
ㄷ. f [
=-1 (참)
1
3 ]
1
3 ]
=f{3}+f [
1
3 ] / f [
1
x ]이므로
=f{x}+f [
1
x ]
/ f{x}=-f [
1
x ]
0=f{x}+f [
/ f{x@}=f{x\x}=f{x}+f{x}=f{x}-f [
1
x ] (참)
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
f{-3}=g{-3}에서 6+a=-3b+2 yy ㉠
f{1}=g{1}에서 2+a=b+2
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=-1
6 답 ①
유형 05 서로 같은 함수
/ a+b=-2
7 답 1
유형 06 여러 가지 함수
f 는 항등함수이므로 f{4}=4, f{-3}=-3
g는 상수함수이므로 g{-3}=g{-5}=f{4}=4
/ f{-3}+g{-3}=-3+4=1
10 답 ④
유형 09 합성함수
{h`J`{g`J`f }}{j2} ={{h`J`g}`J`f }{j2}
={h`J`g}{ f{j2}}
={h`J`g}{4}
=4-2=2
11 답 2
유형 09 합성함수
{ f`J`g}{0}={g`J`f }{0}이므로
f{g{0}}=g{ f{0}}=g{2}=1
이때 f{3}=1이므로 g{0}=3 yy ㉠
{ f`J`g}{1}={g`J`f }{1}이므로
f{g{1}}=g{ f{1}}=g{0}=3 {? ㉠}
이때 f{2}=3이므로 g{1}=2
{ f`J`g}{2}={g`J`f }{2}이므로
f{g{2}}=g{ f{2}}=g{3}
/ g{3}=f{g{2}}=f{1}=0
/ g{1}+g{3}=2+0=2
12 답 -6
유형 10 합성함수를 이용하여 미정계수 구하기
{ f`J`f }{x} =f{ f{x}}=f{ax+b}
=a{ax+b}+b
=a@x+ab+b
따라서 a@x+ab+b=4x-3이므로
a@=4, ab+b=-3
a@=4에서 a=-2 {? a<0}
ab+b=-3에서 -2b+b=-3 / b=3
/ ab=-6
13 답 ②
유형 11 f`J`g=h를 만족하는 함수 f 또는 g 구하기
{ f`J`h}{x}=f{h{x}}=3h{x}-1
{ f`J`h}{x}=g{x}이므로 3h{x}-1=x+4
/ h{x}=
x+5
3
04 함수 35
수학(하) PM 해설 03~04(015~036)7.indd 35
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14 답 5
유형 12 f N 꼴의 합성함수
f !{1}=f{1}=2
f @{1}=f{ f{1}}=f{2}=3
f #{1}=f{ f @{1}}=f{3}=1
f ${1}=f{ f #{1}}=f{1}=2
f %{1}=f{ f ${1}}=f{2}=3
⋮
즉, f N{1}은 2, 3, 1이 이 순서대로 반복된다.
2018=3\672+2이므로 f @)!*{1}=f @{1}=3
같은 방법으로 f N{2}는 3, 1, 2가 이 순서대로 반복되고
2019=3\673이므로 f @)!({2}=2
/ f @)!*{1}+f @)!({2}=3+2=5
15 답 ⑤
유형 13 역함수의 뜻
2x+3
4
=t로 놓으면 x=2t-
3
2 이므로
f{t}=-2
3
2 ]
f _!{7}=k라고 하면 f{k}=7이므로
=-4t+3
2t-
[
-4k+3=7 / k=-1
/ f _!{7}=-1
16 답 a<-1 또는 a>1
유형 14 역함수가 존재하기 위한 조건
19 답 -
5
2
유형 16 합성함수와 역함수
{ f`J`g}{x} =f{g{x}}=f{2x+b}
=a{2x+b}+2=2ax+ab+2
y=2ax+ab+2에서 2ax=y-ab-2
1
a
/ x=
1
2a
y-
b
2
-
x와 y를 서로 바꾸면 y=
x-
-
b
2
1
a
1
2a
b
2
1
a
/ { f`J`g}_!{x}=
x-
-
1
2a
1
a
1
a
b
2
b
2
따라서
x-
-
=-2x-1이므로
1
2a
=-2, -
-
=-1
/ a=-
, b=10 / ab=-
5
2
1
2a
1
4
20 답 ②
유형 17 역함수의 성질
{ f _!`J`g )_!{-1}+{g`J`{ f`J`g}_!}{1}
={g_!`J`f }{-1}+{g`J`g_!`J`f _!}{1}
=g_!{ f{-1}}+f _!{1}
=g_!{5}+f _!{1}
g_!{5}=k라고 하면 g{k}=5이므로
3k-1=5 / k=2
f _!{1}=l이라고 하면 f{l}=1이므로
함수 f 의 역함수가 존재하려면 f 는 일대일대응이어야 한다.
-l+4=1 / l=3
f{x}=ax+|x-1|에서
! x>1일 때, f{x}=ax+x-1={a+1}x-1
@ x<1일 때, f{x}=ax-{x-1}={a-1}x+1
따라서 !, @에서 x>1일 때의 함수 y=f{x}의 그래프의 기울
기와 x<1일 때의 함수 y=f{x}의 그래프의 기울기의 부호가 같
아야 하므로
{a+1}{a-1}>0 / a<-1 또는 a>1
17 답 ③
유형 15 역함수 구하기
y=ax+3에서 ax=y-3 / x=
1
a y-
3
a
1
a
x-
x와 y를 서로 바꾸면 y=
3
a / f _!{x}=
1
a
/ a=3, b=-1 / a+b=2
x+b이므로
1
3 , -
따라서
x-
3
a
1
a
3
a
1
3
=
=
=b
1
a
x-
3
a
18 답 ②
유형 16 합성함수와 역함수
f _!{5}=k라고 하면 f{k}=5이므로
3k+2=5 / k=1
/ { f _!`J`g}_!{-1}+{g`J`{ f`J`g}_!}{1}
=g _!{5}+f _!{1}
=2+3=5
21 답 ②
유형 18 함수의 그래프와 합성함수, 역함수
f{a}=b, g_!{d}=a이므로
y=g_!{x}
f _!{b}=a, g{a}=d
/ {g`J`f _!}{b} =g{ f _!{b}}
=g{a}=d
g_!{c}=b, f{b}=c이므로
g{b}=c, f _!{c}=b
/ {g_!`J`f _!`J`g}{b} =g_!{ f _!{g{b}}}
=g_!{ f _!{c}}
=g_!{b}=d
/ {g`J`f _!}{b}+{g_!`J`f _!`J`g}{b}=d+d=2d
22 답 2j2
유형 19 역함수의 그래프의 성질
y=x
y=f{x}
y
e
d
c
b
a
O a
b c d e
x
함수 y=f{x}의 그래프와 그 역함수 y=f _!{x}의 그래프의 교점
은 함수 y=f{x}의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으므로
/ { f`J`g`J`f _!}{5} =f{g{ f _!{5}}}=f{g{1}}=f{-2+a}
=3{-2+a}+2=3a-4
따라서 3a-4=8이므로 a=4
-2x+6=x에서 x=2
따라서 P{2, 2}이므로
=12@+2@3=2j2
OP
36 정답과 해설
수학(하) PM 해설 03~04(015~036)7.indd 36
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Z
05 유리함수
유형04 6
유형08 ⑤
유형01 ④
1
x
유형09 ②
유형05
유형02 ①
유형03 -1
유형06 ①
유형07 ③
유형10 ⑤
유형11 제2사분면
유형12 ⑤
유형13 ⑤
유형14 ②
유형15 ③
유형16 ④
유형17 5
유형18 ③
유형19 4
유형02 답 ①
x-3
x+1
\
x@-x-2
x@-3x
=
x-3
x+1
\
{x+1}{x-2}
x{x-3}
=
x-2
x
유형03 답 -1
주어진 식의 양변에 {x-1}{x@+x+1}을 곱하면
x+2={ax-1}{x-1}+b{x@+x+1}
/ x+2={a+b}x@+{b-a-1}x+b+1
이 식이 x에 대한 항등식이므로
a+b=0, b-a-1=1, b+1=2
/ a=-1, b=1
/ ab=-1
유형04 답 6
001
5
x#+1
004
x+1
{x+3}{x-1}
002
2
{x+1}{x-1}
003 ⑤
005 ③
006 ④
007 ③
008 ③
009 12
010 ④
011
012 ③
9
22
1
x{x+1}
+
1
{x+1}{x+2}
+
1
{x+2}{x+3}
=
1
x+1-x [
1
x
-
1
x+1 ]
+
1
x+2-{x+1} [
1
x+1
-
1
x+2 ]
+
1
x+3-{x+2} [
1
x+2
-
1
x+3 ]
013 ④
014 -x 015 18
016 -1 017 -3
018 ①
019 ③
020 ②
021 ②
022 ⑤
023
2
3
024 ①
025 1
026 -6 027 -2
028 ㄱ, ㄴ 029 2
030 ②
031 ④
032 ⑤
033 ④
034 ①
035 02
036 ①
037 ②
038 ③
039 ⑤
040 ④
041 ②
042 ⑤
043 5
044 ②
046 ③
047 ①
048 ②
049 ④
051
2
3
052 ③
053 ⑤
054 -
1
4
055 ㄱ, ㄴ, ㄷ
056 ①
057 1
059 ①
060 ①
061 ⑤
062 ③
045 ①
10
3
050
058
7
5
063 ④
1 ①
6 ②
11 ④
16 ⑤
2 ③
7 ⑤
12 ①
17 ⑤
3 ⑤
8 ⑤
13 ⑤
18 ⑤
4 ①
9 3
14 ②
19 ⑤
5 -3
10 -1
15 ②
핵심 유형 80~81쪽
유형01 답 ④
x
x+y
+
y
x-y
-
2xy
x@-y@
=
x{x-y}+y{x+y}-2xy
{x+y}{x-y}
=
x@+y@-2xy
{x+y}{x-y}
=
{x-y}@
{x+y}{x-y}
=
x-y
x+y
=
[
1
x
-
1
x+1 ]
+
[
1
x+1
-
1
x+2 ]
+
[
1
x+2
-
1
x+3 ]
=
-
1
x
1
x+3
=
x+3-x
x{x+3}
=
3
x{x+3}
따라서
3
x{x+3}
=
a
x{x+b}
이므로 a=3, b=3
/ a+b=6
유형05 답
1
x
1-
1
1
1-x
1-
=1-
1
1-x-1
1-x
=1-
x-1
x
=
x-{x-1}
x
=
1
x
유형06 답 ①
a+b+c=0에서 a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b이므로
b+c
a
a+b
c
c+a
b
-a
a
-b
b
-c
c
=-3
+
+
=
+
+
유형07 답 ③
x+2y+z=0 yy ㉠
-x+y-3z=0 yy ㉡
㉠+㉡을 하면
3y-2z=0 / y=
2
3 z
㉠에 y=
2
3 z를 대입하면
x+2\
/
x+y
x+2z
7
3 z
2
3 z+z=0 / x=-
5
3 z
1
3 z
7
3 z+
7
3 z+2z
2
3 z
-
-
-
-
=
=
=5
05 유리함수 37
수학(하) PM 해설 05~06(030~056)OK.indd 37
2017-11-28 오전 11:17:44
유형08 답 ⑤
a+b
3
=
b-c
2
=
2c+a
4
=t {t=0}로 놓으면
a+b=3t yy`㉠, b-c=2t yy`㉡, 2c+a=4t yy`㉢
㉠+㉡\2+㉢을 하면 2a+3b=11t
2a+3b
k
주어진 식에서
=t이므로 ㉣을 대입하면
yy`㉣
11t
k
=t / k=11
005 답 ③
x@-1
x@-x+1
\
x@-3x+2
x@+2x+1
_
x-1
x#+1
=
{x+1}{x-1}
x@-x+1
\
{x-1}{x-2}
{x+1}@
\
{x+1}{x@-x+1}
x-1
={x-1}{x-2}=x@-3x+2
006 답 ④
x#+3x@+3x+1={x+1}#이므로 주어진 식의 양변에 {x+1}#을
핵심 유형 완성하기 82~85쪽
001 답
5
x#+1
2
x#+1
+
1
x+1
-
x-2
x@-x+1
=
=
2+{x@-x+1}-{x+1}{x-2}
{x+1}{x@-x+1}
2+{x@-x+1}-{x@-x-2}
x#+1
=
5
x#+1
002 답
2
{x+1}{x-1}
x+4
x@-x-2
-
x
x@-3x+2
=
x+4
{x+1}{x-2}
-
x
{x-1}{x-2}
=
{x+4}{x-1}-x{x+1}
{x+1}{x-1}{x-2}
=
x@+3x-4-{x@+x}
{x+1}{x-1}{x-2}
=
2{x-2}
{x+1}{x-1}{x-2}
=
2
{x+1}{x-1}
003 답 ⑤
x+2
x+1
x+1
x
-
+
x-1
x-2
-
x-2
x-3
=
x+1
x
-
{x+1}+1
x+1
+
{x-2}+1
x-2
-
{x-3}+1
x-3
=
1+
[
1
x ]
-
1+
[
1
x+1 ]
+
1+
[
1
x-2 ]
-
1+
[
1
x-3 ]
=
[
1
x
-
1
x+1 ]
+
[
1
x-2
-
1
x-3 ]
=
1
x{x+1}
-
1
{x-2}{x-3}
=
x@-5x+6-{x@+x}
x{x+1}{x-2}{x-3}
따라서 f{x}=-6x+6이므로 f{a}=0에서
=
-6x+6
x{x+1}{x-2}{x-3}
-6a+6=0 / a=1
004 답
x+1
{x+3}{x-1}
곱하면
a-b=1
x@+x={ax+b}{x+1}-b{x+1}@
/ x@+x={a-b}x@+{a-b}x
따라서 이 식이 x에 대한 항등식이므로
007 답 ③
주어진 식의 양변에 {x-1}#을 곱하면
{x+1}{x-1}=a{x-1}@+b{x-1}+c
/ x@-1=ax@-{2a-b}x+a-b+c
이 식이 x에 대한 항등식이므로
a=1, 2a-b=0, a-b+c=-1
세 식을 연립하여 풀면 a=1, b=2, c=0
/ abc=0
008 답 ③
주어진 식의 양변에 {x-1}{x-2}{x-3}y{x-7}을 곱하면
1 =a1{x-2}{x-3}{x-4}{x-5}{x-6}{x-7}
+a2{x-1}{x-3}{x-4}{x-5}{x-6}{x-7}
+y+a7{x-1}{x-2}{x-3}{x-4}{x-5}{x-6}
우변에서 x^의 계수가 a1+a2+a3+y+a7이므로
a1+a2+a3+y+a7=0
009 답 12
2
x{x+2}
+
2
{x+2}{x+4}
+
2
{x+4}{x+6}
=
[
1
x
-
1
x+2 ]
+
[
1
x+2
-
1
x+4 ]
+
[
1
x+4
-
1
x+6 ]
=
-
1
x
1
x+6
=
x+6-x
x{x+6}
=
6
x{x+6}
따라서
6
x{x+6}
=
a
x{x+b}
이므로 a=6, b=6
/ a+b=12
010 답 ④
1
x@-1
+
1
x@+4x+3
+
1
x@+8x+15
=
1
{x-1}{x+1}
+
1
{x+1}{x+3}
+
1
{x+3}{x+5}
x+1
x@+5x+6
_
x@-1
x@+3x+2
=
x+1
{x+3}{x+2}
\
{x+2}{x+1}
{x+1}{x-1}
=
1
2 [
1
x-1
-
1
x+1 ]
+
1
2 [
1
x+1
-
1
x+3 ]
+
1
2 [
1
x+3
-
1
x+5 ]
=
x+1
{x+3}{x-1}
=
1
2 [
1
x-1
1
-
x+5 ] =
3
{x+5}{x-1}
38 정답과 해설
수학(하) PM 해설 05~06(030~056)OK.indd 38
2017-11-28 오전 11:17:45
+
+y+
011 답
9
22
1
6
=
=
+
1
12
1
2\3
1
2
-
=
-
[
1
2
1
20
1
3\4
1
3
+
1
3 ]
1
11
=
[
9
22
1
110
1
4\5
1
4 ]
+
-
+
+
+y+
1
10\11
1
5 ]
+y+
1
4
[
-
1
10
[
-
1
11 ]
012 답 ③
f{x}=x@-1={x-1}{x+1}이므로
2
f{x}
=
2
{x-1}{x+1}
=
1
x-1
-
1
x+1
/
2
f{2}
+
2
f{4}
+
2
f{6}
+y+
2
f{20}
=
1-
[
=1-
+
-
1
3 ]
1
21
=
1
[
3
20
21
1
5 ]
+
[
1
5
1
7 ]
-
+y+
1
19
[
-
1
21 ]
=1+
1
x+1+1
x+1
x+2+{x+1}
x+2
=
=1+
x+1
x+2
=
2x+3
x+2
x-1+{x+1}
x-1
x-1-{x+1}
x-1
=
2x
x-1
\
x-1
-2
=-x
013 답 ④
1+
1+
1
1
x+1
1+
014 답 -x
x+1
x-1
x+1
x-1
1-
=
015 답 18
23
53
30 =1+
30
=1+
=1+
1
30
23
1
1+
7
23
=1+ 1
1+
1
23
7
=1+
=1+
=1+
1+
1
1
3+
2
7
1
1
3+
1+
1
7
2
1+
3+
1
1
1
3+
1
2
따라서 a=1, b=1, c=3, d=3, e=2이므로 abcde=18
016 답 -1
1
1
a2=
1-a1 , a3=
1-a2 , y이므로 a1=
1
3 , a2=
=
3
2 ,
1
1-
1
3
a3=
=-2, a4=
1
1-
3
2
1
1-{-2}
=
1
3 , a5=
=
3
2 , y
1
1-
1
3
따라서 an은
1
3 ,
3
2 , -2가 이 순서대로 반복된다.
a30=a3\10=a3=-2, a31=a3\10'1=a1=
1
3 , a32=a3\10'2=a2=
3
2
/ a30a31a32=-1
[
+
+
a
b
b
a ]
017 답 -3
a+b+c=0에서 a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b이므로
c
b
a
c ] =
a
a
b+c
a
-a
a
a
b
a+c
b
-b
b
a
c
a+b
c
-c
c
=-3
c
b ]
b
c
c
a
=
=
b
c
c
b
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
[
[
a#+b#+c#-3abc={a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca}에서
=0에서
a+b+c
abc
=0
018 답 ①
1
1
1
ab
ca
bc
/ a+b+c=0
+
+
이때 인수분해 공식
a+b+c=0이면
a#+b#+c#-3abc=0 / a#+b#+c#=3abc
/
a#+b#+c#
abc
=
3abc
abc
=3
019 답 ③
{x+y+z}@=x@+y@+z@+2{xy+yz+zx}이고
{x+y+z}@=x@+y@+z@이므로 xy+yz+zx=0
z
{y+z}{z+x}
x
{x+y}{z+x}
y
{x+y}{y+z}
/
+
+
=
x{y+z}+y{z+x}+z{x+y}
{x+y}{y+z}{z+x}
=
2{xy+yz+zx}
{x+y}{y+z}{z+x}
=0
020 답 ②
x-y+2z=0 yy ㉠
2x+y-z=0 yy ㉡
㉠+㉡을 하면
3x+z=0 / z=-3x
㉠에 z=-3x를 대입하면
x-y+2\{-3x}=0 / y=-5x
/
x#-y#+z#
3xyz
=
x#-{-5x}#+{-3x}#
3x\{-5x}\{-3x}
=
99x#
45x#
=
11
5
021 답 ②
x=2k, y=3k, z=k {k=0}로 놓으면
x#+y#+z#
3xyz
{2k}#+{3k}#+k#
3\2k\3k\k
=
=
36k#
18k#
=2
022 답 ⑤
x@-xy+2y@
x@-2xy-y@
x@-3xy-4y@=0, {x+y}{x-4y}=0
=2에서 x@-xy+2y@=2x@-4xy-2y@
/ x=-y 또는 x=4y
그런데 xy<0이므로 x=-y
/
3x-y
2x+y
=
3\{-y}-y
2\{-y}+y
=
-4y
-y
=4
05 유리함수 39
수학(하) PM 해설 05~06(030~056)OK.indd 39
2017-11-28 오전 11:17:46
2a+b=3t yy`㉠, 2b+c=2t yy`㉡, 3c-a=3t yy`㉢
㉠\2+㉡+㉢을 하면 3a+4b+4c=11t
3a+4b+4c
k
주어진 식에서
=t이므로 ㉣을 대입하면
yy`㉣
유형12 답 ⑤
ax+4
x-1
y =
=
a+4
x-1
이므로 점근선의 방정식은 x=1, y=a
a{x-1}+a+4
x-1
=
+a
023 답
x+y
3
2
3
y+z
6
=
=
z+x
5
=k {k=0}로 놓으면
x+y=3k, y+z=6k, z+x=5k yy ㉠
세 식을 변끼리 더하면 2{x+y+z}=14k
/ x+y+z=7k
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=k, y=2k, z=4k
k\2k-4k\k
k@-{2k}@
xy-zx
x@-y@
-2k@
-3k@
/
2
3
=
=
=
024 답 ①
2a+b
3
=
2b+c
2
=
3c-a
3
=t {t=0}로 놓으면
11t
k
=t / k=11
025 답 1
3b+c=2ak, c+2a=3bk, 2a+3b=ck
세 식을 각 변끼리 더하면
4a+6b+2c={2a+3b+c}k
2{2a+3b+c}={2a+3b+c}k
! 2a+3b+c=0일 때, k=2
@ 2a+3b+c=0일 때,
3b+c=-2a, c+2a=-3b, 2a+3b=-c를 주어진 식에 대
입하면
-2a
2a
=
-3b
3b
=
-c
c
=k / k=-1
!, @에 의하여 모든 상수 k의 값의 합은 2+{-1}=1
큼 평행이동하면 y=
-3
2
x-2
a
x+b
이 함수의 그래프가 y=
+c의 그래프와 일치하므로
a=2, b=-2, c=-3 / a+b+c=-3
유형10 답 ⑤
2
x-1
y=
+3의 그래프는 y=
2
x 의 그래프
를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로
3만큼 평행이동한 것이다.
따라서 20}
유형17 답 5
f @{x} ={ f`J`f }{x}=f{ f{x}} =
f #{x} ={ f @`J`f }{x}=f @{ f{x}}=
-1
x-1
x
x-1
x
=
x-1-x
x
x-1
x
=
-1
x-1
-1
x-1
x
-1
=
-1
x-1-x
x
=x
따라서 f #{x}=f ^{x}=f ({x}=y=f #N{x}=x이므로
⋮
f !%){5}=f #|%){5}=5
유형18 답 ③
ax
2x-3 라고 하면 y{2x-3}=ax
y=
{2y-a}x=3y / x=
x와 y를 서로 바꾸면 y=
3y
2y-a
3x
3x
f _!=f 이므로
2x-a =
다른 풀이 f _!=f이므로 { f`J`f }{x}=x
2x-a / f _!{x}=
ax
2x-3 / a=3
3x
2x-a
f{ f{x}} =
af{x}
2f{x}-3
=
a\
ax
2x-3
ax
2x-3 -3
2\
=
a@x
2x-3
2ax-3{2x-3}
2x-3
=
a@x
2{a-3}x+9
=x
이므로 a@x=2{a-3}x@+9x
이 식이 x에 대한 항등식이므로 0=a-3, a@=9 / a=3
유형19 답 4
{ f _!`J`f`J`f _!}{9}=f _!{9}에서 f _!{9}=k라고 하면
f{k}=9,
=9, 2k+1=9{k-3} / k=4
2k+1
k-3
/ { f _!`J`f`J`f _!}{9}=4
핵심 유형 완성하기 89~94쪽
026 답 -6
3
x 의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로
y=-
-2만큼 평행이동하면 y=-
3
x-4
-2
이 함수의 그래프가 y=
+c의 그래프와 일치하므로
a=-3, b=-4, c=-2 /
=-6
a
x+b
ab
c
027 답 -2
1
x 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -3
y=-
만큼 평행이동하면
1
x-1
y =-
-3=
=
-3{x-1}-1
x-1
ax+2
x-b 의 그래프와 일치하므로
-3x+2
x-1
이 함수의 그래프가 y=
a=-3, b=1 / a+b=-2
028 답 ㄱ, ㄴ
ㄱ. y=
-3의 그래프는 y=
2
x-2
2
x 의 그래프를 x축의 방향으로
2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다.
ㄴ. y=
x+1
x-1
=
{x-1}+2
x-1
=
2
x-1
+1
이므로 y=
x+1
x-1 의 그래프는 y=
2
x 의 그래프를 x축의 방향
으로 1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
ㄷ. y=
2x-5
2-x
이므로 y=
=
=
-2{x-2}+1
x-2
5-2x
x-2
2x-5
2-x 의 그래프는 y=
=
1
x-2
-2
1
x 의 그래프를 x축의 방향
으로 2만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다.
ㄹ. y=
4x+1
1-2x
=
-4x-1
2x-1
=
-2{2x-1}-3
2x-1
=-
3
2
x-
[
1
2 ]
-2
이므로 y=
4x+1
1-2x 의 그래프는 y=-
3
2x 의 그래프를 x축의 방
향으로
1
2 만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다.
따라서 평행이동에 의하여 유리함수 y=
2
x 의 그래프와 겹쳐지는
것은 ㄱ, ㄴ이다.
029 답 2
k
x 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만
y=
큼 평행이동하면 y=
k
x-2
-1
이 함수의 그래프가 점 {3, 1}을 지나므로
1=
k
3-2
-1 / k=2
030 답 ②
5
x-2
한 것이다.
y=-
-3의 그래프는 y=-
5
x 의 그래프를 x축의 방향으로
2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동
따라서 -3< x<1에서 y=-
5
x-2
-3
의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 치
-3
역은 9y|-22
y =
-2x+a
x-1
=
-2{x-1}+a-2
x-1
=
a-2
x-1
-2
y
O
1
이므로 점근선의 방정식은 x=1,
-2
y=-2이고, 그래프가 점 {0, -a}를
지난다.
! a-2>0일 때
그래프가 제2사분면을 지나지 않으므로 a>2
@ a-2<0일 때
x=0일 때 y<0이어야 하므로
-a<0 / a>0
x
!
@
037 답 ②
2x-3
x+2
y=
=
2{x+2}-7
x+2
=-
7
x+2
+2
이므로 점근선의 방정식은 x=-2, y=2
따라서 주어진 함수의 그래프는 점 {-2, 2}에 대하여 대칭이므로
a=-2, b=2
또 점 {-2, 2}는 직선 y=-x+c 위의 점이므로
2=-{-2}+c / c=0
/ a+b+c=-2+2+0=0
038 답 ③
ax+1
x-b
y=
=
a{x-b}+ab+1
x-b
=
ab+1
x-b
+a
이므로 점근선의 방정식은 x=b, y=a
이때 점 {b, a}가 두 직선 y=x+3, y=-x+5의 교점이므로
a=b+3, a=-b+5
두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=1
/ ab=4
039 답 ⑤
ax+b
x+c
y=
=
a{x+c}-ac+b
x+c
=
b-ac
x+c
+a yy`㉠
이므로 점근선의 방정식은 x=-c, y=a
주어진 함수의 그래프가 점 {2, 1}에 대하여 대칭이므로
c=-2, a=1
이것을 ㉠에 대입하면 y=
x+b
x-2
이때 이 그래프가 점 {1, 0}을 지나므로
0=
1+b
1-2 / b=-1
/ abc=1\{-1}\{-2}=2
040 답 ④
2x+1
x-1
y=
2{x-1}+3
x-1
이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
3
x-1
=
=
+2
y
2
④ y=
3
x 의 그래프를 x축의 방향으로 1만
큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한
O
1
x
-
2!
-1
것이다.
⑤ 두 점근선의 교점 {1, 2}를 지나고 기울기가 1인 직선 y=x+1
이때 a-2<0에서 a<2이므로 02
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
42 정답과 해설
수학(하) PM 해설 05~06(030~056)OK.indd 42
2017-11-28 오전 11:17:48
041 답 ②
k
x-1
함수 y=
+1의 그래프는 두 직선 x=1, y=1을 점근선으로
하고, 점 {1, 1}에 대하여 대칭이다.
ㄴ. 점 {1, 1}을 지나고 기울기가 1인 직선
y=x에 대하여 대칭이다.
ㄷ. k =
1
2 이면 y =
k
x-1
+ 1의 그래프는
오른쪽 그림과 같으므로 제3사분면을
O
1
x
지나지 않는다.
y
1
2!
2!
042 답 ⑤
점근선의 방정식이 x=1, y=-2이므로 주어진 함수를
y=
k
x-1
-2 {k>0}라고 하자.
이 함수의 그래프가 점 {2, 0}을 지나므로
0=
k
2-1
-2 / k=2
따라서 y=
-2=
2
x-1
-2{x-1}+2
x-1
=
-2x+4
x-1 이므로
a=-2, b=4, c=-1 / abc=8
043 답 5
점근선의 방정식이 x=3, y=1이므로 a=3, b=1
즉, y=
+1의 그래프가 점 {2, 0}을 지나므로
k
x-3
0=
k
2-3
+1 / k=1
/ a+b+k=3+1+1=5
044 답 ②
점근선의 방정식이 x=2, y=2이므로 주어진 함수를
+2 {k<0}라고 하자.
이 함수의 그래프가 점 {0, 3}을 지나므로
y=
k
x-2
3=
k
0-2
+2 / k=-2
2
x-2
프와 겹쳐지는 것은 ㄷ이다.
따라서 y=-
+2이므로 평행이동에 의하여 이 함수의 그래
045 답 ①
-x-1
x-2
y=
=
-{x-2}-3
x-2
=-
3
x-2
-1이므로 주어진 함수의
그래프는 y=-
3
x 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향
으로 -1만큼 평행이동한 것이다.
-2-2일 때, x의 값이 커질수록 함숫값
따라서
3k+2k+2
3+2
=1이므로 k=
3
5
047 답 ①
4x+3
x-1
y=
=
4{x-1}+7
x-1
=
7
x-1
+4
은 작아지므로 -11
따라서 b-a가 최소이려면 b가 최소이고 a가 최대이어야 하므로
/ f @)!*{5}=-
1
5-1
=-
1
4
055 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ
f !{x}= f{x}=-
x+1
x
1-
=
1
3
2
3
052 답 ③
44 정답과 해설
f @{x} ={ f`J`f }{x}=f{ f{x}}=
x
x+1
x
x+1
+1
=
x
x+1
x+x+1
x+1
=
x
2x+1
⋮
f @{x} ={ f`J`f }{x}=f{ f{x}}
x+1
x
x+1
x
=-
=-
+1
-
-
-x-1+x
x
-x-1
x
f #{x} ={ f @`J`f }{x}=f @{ f{x}}
1
x+1
x
=-
=-
+1
1
-x-1+x
x
-
=x
=-
1
x+1
수학(하) PM 해설 05~06(030~056)OK.indd 44
2017-11-28 오전 11:17:49
ㄱ. f @{x}=-
1
x+1 의 그래프는 제2, 3, 4사분면을 지난다.
x+1
x , -
1
ㄴ. 자연수 n에 대하여 f N{x}는 -
{y+1}x=y+3 / x=
y+3
y+1
x+3
x+1
x+1 , x의 순서로
x와 y를 서로 바꾸면 y=
/ f _!{x}=
x+3
x+1
=
2
x+1
+1
반복된다.
8=3\2+2이므로 f *{x}=f @{x}=-
1
x+1
따라서 a=0, b=-1, c=1이므로 a+b+c=0
ㄷ. f #{x}=f ^{x}=f ({x}=y=f #N{x}=x이므로
f @!{x}=f #|&{x}=x
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
y=
056 답 ①
2x-1
x+a 이라고 하면 y{x+a}=2x-1
-ay-1
y-2
{y-2}x=-ay-1 / x=
x와 y를 서로 바꾸면 y=
f _!=f 이므로
-ax-1
x-2
=
-ax-1
x-2 / f _!{x}=
2x-1
x+a / a=-2
-ax-1
x-2
057 답 1
f{x}=
+1=
2
x
x+2
x 에서 y=
x+2
xy=x+2, {y-1}x=2 / x=
x 라고 하면
2
y-1
x와 y를 서로 바꾸면 y=
2
x-1 / f _!{x}=
2
x-1
따라서 a=2, b=-1이므로 a+b=1
058 답
7
5
점근선의 방정식이 x=1, y=-2이므로 주어진 그래프의 식을
f _!{x}=
-2 {k>0}라고 하자.
k
x-1
이 함수의 그래프가 점 {2, 0}을 지나므로
0=
k
2-1
-2 / k=2 / f _!{x}=
2
x-1
-2
이때 f{3}=m이라고 하면 f _!{m}=3이므로
7
5
7
5 / f{3}=
-2=3 / m=
2
m-1
059 답 ①
2x+b
x-a 의 그래프가 점 {-1, 2}를 지나므로
f{x}=
2=
-2+b
-1-a / 2a+b=0 yy ㉠
또 f{x}=
2x+b
x-a 의 역함수의 그래프가 점 {-1, 2}를 지나므로
f{x}=
2x+b
x-a 의 그래프는 점 {2, -1}을 지난다.
-1=
4+b
2-a / a-b=6 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-4 / a+b=-2
060 답 ①
3-x
x-1 라고 하면 y{x-1}=3-x
y=
따라서 y=f _!{x}의 그래프의 점근선의 방정식은 x=-1, y=1
이므로 y=f _!{x}의 그래프는 점 {-1, 1}에 대하여 대칭이다.
즉, 직선 y=x+a가 점 {-1, 1}을 지나야 하므로
1=-1+a / a=2
061 답 ⑤
{ f`J`f _!`J`f _!}{4}=f _!{4}
f _!{4}=k라고 하면 f{k}=4
-k+2
k-1
=4, -k+2=4{k-1} / k=
6
5
/ { f`J`f _!`J`f _!}{4}=
6
5
062 답 ③
{ f`J`{ f _!`J`g}_!`J`f _!}{3} ={ f`J`g _!`J`f`J`f _!}{3}={ f`J`g _!}{3}
g _!{3}=k라고 하면 g{k}=3
2k+1
k
=3, 2k+1=3k / k=1 / g _!{3}=1
/ { f`J`{ f _!`J`g}_!`J`f _!}{3} ={ f`J`g _!}{3}=f{1}=
1
1+1
=
1
2
063 답 ④
a
y=
x-1 라고 하면 y{x-1}=a
yx=y+a / x=
y+a
y
x와 y를 서로 바꾸면 y=
{ f _!`J`f _!}{x} =f _!{ f _!{x}}=
x+a
x
x+a
x / f _!{x}=
x+a
x
x+a
x
+a
=
x+a+ax
x
x+a
x
=
{a+1}x+a
x+a
f{x}={ f _!`J`f _!}{x}이므로
a
x-1
=
{a+1}x+a
x+a
이 식이 x에 대한 항등식이므로 a=-1
핵심 유형 최종 점검하기
95~97쪽
1 답 ①
유형 02 유리식의 곱셈과 나눗셈
4
1+
[
1
x+1 ]
_
1-
[
=
x@-x-2 ]
_
\
x@-x-6
x@-x-2
{x+1}{x-2}
{x+2}{x-3}
x+2
x+1
x+2
x+1
x-2
x-3
=
=
05 유리함수 45
수학(하) PM 해설 05~06(030~056)OK.indd 45
2017-11-28 오전 11:17:50
2 답 ③
유형 03 유리식과 항등식
주어진 식의 양변에 {x+2}{x-4}를 곱하면
a{x-4}+b{x+2}=4x-10 / {a+b}x-4a+2b=4x-10
이 식이 x에 대한 항등식이므로
a+b=4, -4a+2b=-10
두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=1 / a-b=2
3 답 ⑤
유형 04 분모가 두 인수의 곱인 유리식
f{90} =
+
1
90\91
1
91 ]
1
100
1
=
[
90
1
90
=
-
-
1
91\92
+
-
1
+
[
91
1
900
=
4 답 ①
유형 05 분자 또는 분모가 분수식인 유리식
1
92\93
1
1
92 ]
92
+
[
+y+
-
1
93 ]
1
99\100
1
99
+y+
[
-
1
100 ]
1-
4
2
1-x
3-
4
=1-
3-3x-2
1-x
=1- 4-4x
1-3x
=
=1-
4
1-3x
1-x
1-3x-{4-4x}
1-3x
=
x-3
1-3x
=
-x+3
3x-1
따라서
-x+3
3x-1
=
ax+b
3x+c 이므로 a=-1, b=3, c=-1
/ a+b+c=1
5 답 -3
유형 06 a+b+c=0이 주어진 경우의 유리식의 값
a+2b+3c=0에서 a+2b=-3c, 2b+3c=-a, 3c+a=-2b이
a
므로
1
2b
a
2b
=
[
+
+3c
+2b
[
+
+
1
3c ]
a
3c
+
2b
3c
1
3c
2b
a
1
a ]
3c
a
1
a
+
1
2b ]
2b+3c
a
[
3c
2b
+
+
+
=
+
a+3c
2b
+
a+2b
3c
=
-a
a
+
-2b
2b
+
-3c
3c =-3
6 답 ②
유형 07 비례식 또는 방정식이 주어진 경우의 유리식의 값
x+y-z=0 yy ㉠
x+3y+z=0 yy ㉡
㉠+㉡을 하면 2x+4y=0 / x=-2y
㉠에 x=-2y를 대입하면 -2y+y-z=0 / z=-y
/
x@+y@+z@
xy+yz+zx
=
{-2y}@+y@+{-y}@
-2y\y+y\{-y}+{-y}\{-2y}
=
6y@
-y@
=-6
7 답 ⑤
유형 08
=
=
꼴이 주어진 경우의 유리식의 값
a
d
b
e
c
f
a+2b
3
=
2b+c
2
=
2c+a
4
=t {t=0}로 놓으면
46 정답과 해설
a+2b=3t yy`㉠, 2b+c=2t yy`㉡, 2c+a=4t yy`㉢
㉠+㉡+㉢\2를 하면 3a+4b+5c=13t
3a+4b+5c
k
주어진 식에서
=t이므로 ㉣을 대입하면
yy`㉣
13t
k
=t / k=13
8 답 ⑤
유형 09 유리함수의 그래프의 평행이동
y=
4x-3
x-2
=
5
x-2
+4의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의
방향으로 q만큼 평행이동하면 y=
+q+4
5
x-p-2
5
x-5
=
3x-10
x-5
이 함수의 그래프가 y=
+3의 그래프와 일치하
므로
-p-2=-5, q+4=3 / p=3, q=-1 / p+q=2
9 답 3
유형 10 유리함수의 정의역과 치역
y=-
6x+1
3x+2
=
-2{3x+2}+3
3x+2
=
3
3x+2
-2=
3
x+
3
[
2
3 ]
-2
이므로 점근선의 방정식은 x=-
/ a=-
, b=-2 /
2
3
2
3 , y=-2
-2
2
3
=3
-
b
a
=
10 답 -1
유형 10 유리함수의 정의역과 치역
y=
-2x+3
x+1
=
-2{x+1}+5
x+1
=
이므로 주어진 함수의 그래프는 y=
-2
5
x+1
5
x 의 그래프를 x축의 방향으
로 -1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다.
y
3
x+1 의 그래프는 오른
y > 3에서 y =
-2x+3
쪽 그림과 같으므로 정의역은
9x|-14}
유형15
5
2
001 ③
002 ⑤
003 ③
004 x+7
005 ③
010 10
013 ①
018 4
006 7
011 j21k-1
014 1
019 ④
007 ⑤
009 ④
008 ④
012 2j2-j7
015 -j2 016 2j2 017 ②
020 ②
021 9y|y>70
022 정의역: 9x|x<10, 치역: 9y|y>-20
023 44
024 2
025 ②
028 ②
029 2
8
3
]
, 0
026 [
030 제1, 4사분면
031 ㄱ, ㄴ, ㄹ
032 ②
033 ⑤
027 ⑤
034 a>0, b>0, c<0 035 6
3
2
039 -2-1} 044 ⑤
046 h_!{x}=
x@-x {x<1}
047 ④
1
2
045 ①
13
2
048
049
1
2
050 ⑤
051 ⑤
1 ①
6 ③
2 ③
7 ③
11 -2
12 ③
3 2x+2 4 ②
9 ①
8 -24
3
2
13
14 ⑤
5 44j3
10 ③
5
2
15
핵심 유형 100~102쪽
유형01 답 10에서 x>1
2-x>0에서 x<2
/ 10, a-3<0
`1a@+4a+43=1{a+2}@3=|a+2|=a+2
1a@-6a+93=1{a-3}@3=|a-3|=-a+3
/ 1a@+4a+43+1a@-6a+93=a+2+{-a+3}=5
유형03 답 -
2jy k
2x-y
1
j2xk+jy
-
1
j2xk-jy
=j2xk-jy-{j2xk+jy}
{j2xk+jy}{j2xk-jy}
=-
2jy
2x-y
유형04 답 j5-1
2
jx+2l-jx-2l
jx+2l+jx-2l
=
{jx+2l-jx-2l}@
{jx+2l+jx-2l}{jx+2l-jx-2l}
x+2+x-2-21x@-43
x+2-{x-2}
=
= j5-j5-4l
2
=
x-1x@-43
2
= j5-1
2
유형05 답 j10k
x+y=2j5, xy=2이므로
2j5
jy
j2
jx k
+ jx k
=
jy
x+y
jxyk
=
=j10k
유형06 답 0
1-j5
x=
2 에서 2x-1=-j5
양변을 제곱하면
4x@-4x+1=5 / x@-x-1=0
/ x#-x@+7x =x{x@-x-1}+8x
=x\0+8\
1-j5
2
=4-4j5
따라서 a=4, b=-4이므로 a+b=0
유형07 답 6
5x-10>0에서 x>2이므로 정의역은 9x|x>20
/ a=2
y=-j5x-10l+3에서 -j5x-10l<0이므로 y<3
즉, 치역은 9y|y<30이므로 b=3
/ ab=2\3=6
유형08 답 -1
y=j-2x+10l-4=1-2{x-5}3-4
이므로 y=j-2x+10l-4의 그래프는 y=j-2xl의 그래프를 x축
의 방향으로 5만큼, y축의 방향으로 -4만큼 평행이동한 것이다.
따라서 a=-2, p=5, q=-4이므로
a+p+q=-1
수학(하) PM 해설 05~06(030~056)OK.indd 48
2017-11-28 오전 11:17:53
유형09 답 제1, 2사분면
y=j2x+5l+1=r2
[
x+
5
2 ]y+1
이므로 주어진 함수의 그래프는 y=j2xk의
5
2 만큼, y축의
그래프를 x축의 방향으로 -
방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
따라서 y=j2x+5l+1의 그래프는 오른쪽
그림과 같으므로 제1, 2사분면을 지난다.
-
2%
y
1
O
x
유형10 답 ㄷ
y=j3x-9l-2=13{x-3}3-2
ㄱ. 정의역은 9x|x>30, 치역은 9y|y>-20이다.
ㄴ. y=j3x-9l-2의 그래프는 y=j3xk의
그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축
의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이
므로 오른쪽 그림과 같다.
y
O
-2
3
x
즉, x축은 지나지만 y축은 지나지 않는다.
ㄷ. y=-j3xk의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 후 x축의 방
향으로 3만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동하면
y=j3x-9l-2의 그래프와 겹쳐진다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄷ이다.
유형11 답 4
주어진 그래프는 y=jaxk {a>0}의 그래프를 x축의 방향으로 -2
만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이므로
y=1a{x+2}3-2 yy ㉠
㉠의 그래프가 점 {0, 0}을 지나므로
0=j2ak-2, j2ak=2
양변을 제곱하면 2a=4 / a=2
㉠에 a=2를 대입하면
y=12{x+2}3-2=j2x+4l-2
따라서 a=2, b=4, c=-2이므로
a+b+c=4
유형12 답 ⑤
k
2 ]y+3
[
x+
y=j2x+kl+3=r2
이므로 주어진 함수의 그래프는 y=j2xk의 그래프를 x축의 방향으
k
2 만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.
로 -
즉, 340이므로 역함수 y=f _!{x}의 정
D={2k-1}@-4\1\{k@-2}=0
-4k+9=0 / k=
9
4
9
!, @에 의하여 실수 k의 값의 범위는 24}
1
2
17
2
의역은 9x|x>40이다.
y=j2x-1l+4라고 하면 y-4=j2x-1l
양변을 제곱하면 y@-8y+16=2x-1
17
2
y@-4y+
/ x=
1
2
x와 y를 서로 바꾸면 y=
/ f _!{x}=
x@-4x+
17
2
x@-4x+
1
2
17
2 {x>4}
1
2
5
2
유형15 답
{ g`J`f _!}_!{4}={ f`J`g_!}{4}=f{ g_!{4}}에서
g_!{4}=k라고 하면 g{k}=4, j3k+1l=4
양변을 제곱하면 3k+1=16 / k=5
/ { g`J`f _!}_!{4}=f{ g_!{4}}=f{5}=
5+5
5-1
=
5
2
핵심 유형 완성하기 103~109쪽
001 답 ③
x+4>0에서 x>-4
3-x>0에서 x<3
/ -40에서 2x@-11x+14<0
{x-2}{2x-7}<0 / 20에서 x<
11
2
1+2+4+5=12
그런데 x=3이므로 모든 자연수 x의 값의 합은
004 답 x+7
-30
1x@-2x+13=1{x-1}@3=|x-1|=-x+1
14x@+24x+363=21{x+3}@3=2|x+3|=2x+6
/ 1x@-2x+13+14x@+24x+363 =-x+1+{2x+6}
=x+7
=-q
005 답 ③
b
jb
a 에서 a<0, b>0이므로
ja
1{a-b}@3+|-a| =|a-b|+|-a|
=-{a-b}+{-a}
=-2a+b
006 답 7
jx-2l j1-xl=-1{x-2}{1-x}3에서
x-2<0, 1-x<0
/ 10이므로
1{x-3}@3+1{x+4}@3 =|x-3|+|x+4|
=-x+3+{x+4}
=7
007 답 ⑤
k-2=-5+2j2<0, k+2=-1+2j2>0이므로
1k@-4k+43-1k@+4k+43 =1{k-2}@3-1{k+2}@3
=|k-2|-|k+2|
=-k+2-{k+2}
=-2k
=-2{-3+2j2}
=6-4j2
008 답 ④
1
1+jx+1l
-
1
1-jx+1l
=
1-jx+1l-{1+jx+1l}
{1+jx+1l}{1-jx+1l}
-2jx+1l
1-{x+1}
2jx+1l
x
=
=
009 답 ④
jx k+jx-2l
jx k-jx-2l
=
=
{jx k+jx-2l}@
{jx k-jx-2l}{jx k+jx-2l}
x+x-2+21x@-2x3
x-{x-2}
=x-1+1x@-2x3
50 정답과 해설
010 답 10
4
j3-j2+1
=
=
49j3+{j2-1}0
9j3-{j2-1}09j3+{j2-1}0
4{j3+j2-1}
3-{j2-1}@
4{j3+j2-1}
2j2
=j6-j2+2
=
따라서 a=6, b=2, c=2이므로
a+b+c=10
011 답 j21k-1
f{x} =
=
1
jx+1l+jx k
=jx+1l-jx k
jx+1l-jx k
{jx+1l+jx k}{jx+1l-jx k}
/ f{1}+f{2}+f{3}+y+f{20}
={j2-j1}+{j3-j2}+{j4-j3}+y+{j21k-j20k}
=j21k-1
012 답 2j2-j7
j2x+1l-j2x-1l
j2x+1l+j2x-1l
=
{j2x+1l-j2x-1l}@
{j2x+1l+j2x-1l}{j2x+1l-j2x-1l}
2x+1+2x-1-214x@-13
2x+1-{2x-1}
=
013 답 ①
jx-1l
jx+1l
- jx+1l
jx-1l
=2x-14x@-13
=2j2-j4\2-1l
=2j2-j7
=
=
x-1-{x+1}
jx+1l jx-1l
-2
1x@-13
2
5
4
-1e
=-
q
2
1
2
=-
=-4
014 답 1
j6-xl=2의 양변을 제곱하면
6-x=4 / x=2
1
1
/
jx k-
1
jx k+1
=
j2-
=
1
j2+1
1
=
j2- j2-1
2-1
=
1
j2-{j2-1}
=1
015 답 -j2
y-x=-2j2, xy=4이므로
-2j2
y-x
jy
2
jxyk
jx k
- jx k
=
jy
=
=-j2
1
j2-1
{j2+1}{j2-1}
j2-
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016 답 2j2
x= j3+j2
j3-j2
y =j3-j2
j3+j2
=
=
{j3+j2}@
{j3-j2}{j3+j2}
{j3-j2}@
{j3+j2}{j3-j2}
=5+2j6,
=5-2j6
이므로 x+y=10, xy=1
/ {jx k-jy}@ =x+y-2jxyk=10-2\1=8
이때 x>y에서 jx k>jy이므로
jx k-jy>0 / jx k-jy=2j2
017 답 ②
=
y=
x=
=2j2-2,
2
j2+1
2
j2-1
2{j2-1}
{j2+1}{j2-1}
2{j2+1}
{j2-1}{j2+1}
이므로 x+y=4j2, x-y=-4
/ x#+x@y-xy@-y# =x@{x+y}-y@{x+y}
=2j2+2
=
={x@-y@}{x+y}={x+y}@{x-y}
={4j2}@\{-4}=-128
018 답 4
x=-j2+1에서 x-1=-j2
양변을 제곱하면 x@-2x+1=2 / x@-2x-1=0
/ -2x#+4x@+x+5 =-2x{x@-2x-1}-x+5
=-2x\0-{-j2+1}+5
=4+j2
따라서 a=4, b=1이므로 ab=4
019 답 ④
x= j3-1
2 에서 2x+1=j3
양변을 제곱하면 4x@+4x+1=3
1
2
2x@+2x-1=0 / x@+x=
/
6x#+2x@-7x+8
x@+x
=
6x{x@+x}-4{x@+x}-3x+8
x@+x
6x\
-4\
-3x+8
1
2
=
1
2
1
2
=
=12
6
1
2
020 답 ②
-2x+6>0에서 x<3이므로 정의역은 9x|x<30
/ a=3
y=j-2x+6l+1에서 j-2x+6l>0이므로 y>1
즉, 치역은 9y|y>10이므로 b=1
/ a+b=3+1=4
021 답 9y|y>70
a
3 이므로 정의역은 -
3x-a>0에서 x>
x
x>
|
a
3 =
즉,
=4이므로 a=12
a
3
또 y=j3x-12l+b의 그래프가 점 {7, 10}을 지나므로
10=j3\7-12l+b / b=7
따라서 주어진 함수는 y=j3x-12l+7이고 j3x-12l>0이므로
y>7, 즉 치역은 9y|y>70
022 답 정의역: 9x|x<10, 치역: 9y|y>-20
y=
3x+10
x+3
=
3{x+3}+1
x+3
=
1
x+3
+3
이므로 점근선의 방정식은 x=-3, y=3이다.
/ a=-3, b=3
f{x}=j-3x+3l+c에서 f{1}=-2이므로
-2=j-3\1+3l+c / c=-2
/ f{x}=j-3x+3l-2=1-3{x-1}3-2
따라서 함수 y=f{x}의 정의역은 9x|x<10이고, 치역은
9y|y>-20이다.
023 답 44
y=j2x-4k+11=12{x-2}3+11
이므로 y=j2x-4k+11의 그래프는 y=j2xk의 그래프를 x축의 방
향으로 2만큼, y축의 방향으로 11만큼 평행이동한 것이다.
따라서 a=2, p=2, q=11이므로 apq=44
024 답 2
함수 y=jaxk의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으
로 4만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=1a{x+3}3+4 / y=jax+3al+4
이 그래프가 점 {-1, 6}을 지나므로
6=j-a+3al+4, j2ak=2
양변을 제곱하면 2a=4 / a=2
025 답 ②
ㄱ. y=jx k의 그래프는 y=-jx k의 그래프를 x축에 대하여 대칭이
동한 것이다.
ㄷ. y=j-x-2l의 그래프는 y=-jx k의 그래프를 원점에 대하여
대칭이동한 후 x축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다.
따라서 그래프가 평행이동 또는 대칭이동에 의하여 무리함수
y=-jx k의 그래프와 겹쳐지는 것은 ㄱ, ㄷ이다.
026 답
[
8
3
, 0
]
y=-j3x+2l의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은
y=j3x+2l
이 함수의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -1
만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=13{x-3}+23-1 / y=j3x-7l-1
이 식에 y=0을 대입하면 0=j3x-7l-1, j3x-7l=1
양변을 제곱하면 3x-7=1 / x=
8
3
따라서 구하는 점의 좌표는 [
8
3 , 0
]이다.
06 무리함수 51
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027 답 ⑤
y=j-x+1l+2=1-{x-1}3+2
이므로 주어진 함수의 그래프는 y=j-xl의
그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향
으로 2만큼 평행이동한 것이다.
따라서 y=j-x+1l+2의 그래프는 오른쪽 그
림과 같으므로 제3, 4사분면을 지나지 않는다.
y
3
2
O
x1
028 답 ②
y=j3x-6l+4=13{x-2}3+4
이므로 주어진 함수의 그래프는 y=j3xk의 그래프를 x축의 방향으
로 2만큼, y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것이다.
따라서 y=j3x-6l+4의 그래프로 옳은 것은 ②이다.
029 답 2
y=-j-x+2l+k=-1-{x-2}3+k
이므로 주어진 함수의 그래프는 y=-j-x k의 그래프를 x축의 방
향으로 2만큼, y축의 방향으로 k만큼 평행이동한 것이다.
함수 y=-j-x+2l+k의 그래프가 제4사분
면을 지나지 않으려면 오른쪽 그림과 같이
y
x=0일 때 y>0이어야 하므로
-j2+k>0 / k>j2
따라서 자연수 k의 최솟값은 2이다.
030 답 제1, 4사분면
점근선의 방정식이 x=2, y=4이므로 주어진 함수를
y=
k
x-2
+4 {k>0}라고 하자.
이 함수의 그래프가 점 {0, 2}를 지나므로
2=
k
0-2
+4 / k=4
/ y=
+4=
4
x-2
4{x-2}+4
x-2
=
4x-4
x-2
이 함수가 y=
ax+b
x+c 와 일치하므로 a=4, b=-4, c=-2
/ y=1a{x+b}3+c=14{x-4}3-2
이 함수의 그래프는 y=j4xk의 그래프를 x축
의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 -2만
큼 평행이동한 것이다.
따라서 y=1a{x+b}3+c의 그래프는 오른쪽
그림과 같으므로 제1, 4사분면을 지난다.
y
O
-2
4
5
x
031 답 ㄱ, ㄴ, ㄹ
y=-j-3x+5l+1=-r-3
[
x-
5
3 ]y+1
ㄷ. y=-j-3x+5l+1의 그래프는
y=-j-3xl의 그래프를 x축의 방향으로
5
3 만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동
한 것이다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.
52 정답과 해설
032 답 ②
y=1a{x-2}3-1 {a=0}의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다.
a<0
y
2
O
-1
a>0
x
① y=1a{x-2}3-1의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래프의 식은
y=-1a{x-2}3+1
② a>0일 때 정의역은 9x|x>20, 치역은 9y|y>-10이다.
③ a<0일 때 정의역은 9x|x<20, 치역은 9y|y>-10이다.
④ a<0이면 x의 값이 커질수록 y의 값은 작아진다.
⑤ a=-
1
2 일 때만 원점을 지난다.
따라서 항상 옳은 것은 ②이다.
033 답 ⑤
주어진 그래프는 y=-jaxk {a>0}의 그래프를 x축의 방향으로
-5만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로
y=-1a{x+5}3+2 yy ㉠
㉠의 그래프가 점 {-1, -2}를 지나므로
k
O
x2
-2=-1a{-1+5}3+2, 2ja=4, ja=2
양변을 제곱하면 a=4
㉠에 a=4를 대입하면
y=-14{x+5}3+2=-j4x+20l+2
따라서 a=4, b=20, c=2이므로
a+b+c=26
034 답 a>0, b>0, c<0
주어진 그래프는 y=jaxk {a>0}의 그래프를 x축의 방향으로 -p
만큼, y축의 방향으로 -q만큼 평행이동한 것이므로
y=1a{x+p}3-q=jax+apl-q
이 함수가 y=jax+bl+c와 같으므로
b=ap, c=-q
이때 주어진 그래프에서 a>0, p>0, q>0이므로
a>0, b>0, c<0
035 답 6
y=j-x+kl+4=1-{x-k}3+4
이므로 주어진 함수의 그래프는 y=j-xl의 그래프를 x축의 방향
으로 k만큼, y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것이다.
즉, -30이고, x=0일 때 y>0이어
야 하므로
ja k-2>0 / a>4
/ k=5
y=jx+kl+4에 k=5를 대입하면
y=jx+5l+4
k-1-1}
함수 y=f{x}의 치역이 9y|y>-10이므로 역함수 y=f _!{x}의
정의역은 9x|x>-10이다.
y=jx-3l-1이라고 하면 y+1=jx-3l
양변을 제곱하면 y@+2y+1=x-3 / x=y@+2y+4
x와 y를 서로 바꾸면 y=x@+2x+4
/ f _!{x}=x@+2x+4 {x>-1}
044 답 ⑤
함수 y=f{x}의 그래프가 점 {2, 3}을 지나므로
3=j2a+bl / 2a+b=9
또 역함수 y=f _!{x}의 그래프가 점 {2, 3}을 지나므로 함수
yy ㉠
y=f{x}의 그래프는 점 {3, 2}를 지난다.
즉, 2=j3a+bl이므로 3a+b=4 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-5, b=19 / a+b=14
045 답 ①
함수 y=f{x}의 그래프와 그 역함수의 그래프는 직선 y=x에 대
하여 대칭이므로 두 그래프의 교점은 함수 y=jx-2l+2의 그래프
와 직선 y=x의 교점과 같다.
jx-2l+2=x에서 jx-2l=x-2
양변을 제곱하여 정리하면 x@-5x+6=0
{x-2}{x-3}=0 / x=2 또는 x=3
따라서 두 교점의 좌표는 {2, 2}, {3, 3}이므로 두 점 사이의 거리는
1{3-2}@+{3-2}@3=j2
54 정답과 해설
h{x} ={ f`J`g}{x}=f{ g{x}}=f{3-2x}
=-14-{3-2x}3+1=-j2x+1l+1
함수 y=h{x}의 치역이 9y|y<10이므로 역함수 y=h_!{x}의 정
의역은 9x|x<10이다.
y=-j2x+1l+1이라고 하면 y-1=-j2x+1l
양변을 제곱하면 y@-2y+1=2x+1
/ x=
y@-y
1
2
x와 y를 서로 바꾸면 y=
1
2 x@-x
/ h_!{x}=
x@-x {x<1}
1
2
047 답 ④
함수 f{x}=jx k+2의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점은 함
수 y=jx k+2의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같다.
jx k+2=x에서 jx k=x-2
양변을 제곱하여 정리하면 x@-5x+4=0
{x-1}{x-4}=0 / x=1 또는 x=4
그런데 역함수의 정의역이 9x|x>20이므로
즉, 교점의 좌표는 P{4, 4}이므로
PAB는 오른쪽 그림과 같다.
점 P에서 y축에 내린 수선의 발을 C라고
s
하면
PAB =
COBP-
PCA-
AOB
y
4
2
O
C
A
P
4
B
6
x
s
=
1
f
2
-
\{4+6}\4 =
s
-
1
s
2
[
\4\2
-
\6\2
1
2
[
]
]
=20-4-6=10
048 답
13
2
{ f`J`{ g`J`f }_!`J`f }{3} ={ f`J`f _!`J`g_!`J`f }{3}
={ g_!`J`f }{3}=g_!{ f{3}}
이때 f{3}=
=4이므로 g_!{ f{3}}=g_!{4}
3+1
3-2
g_!{4}=k라고 하면 g{k}=4이므로 j2k+3l=4
양변을 제곱하면 2k+3=16 / k=
13
2
/ { f`J`{ g`J`f }_!`J`f }{3}=
13
2
049 답
1
2
{ f`J`g}{x}=x이므로 g{x}는 f{x}의 역함수이다.
g{3}=k라고 하면 f{k}=3이므로 j-2k+17l=3
양변을 제곱하면 -2k+17=9 / k=4
g{4}=l이라고 하면 f{l}=4이므로 j-2l+17l=4
양변을 제곱하면 -2l+17=16 / l=
1
2
/ { g`J`g}{3}=g{ g{3}}=g{4}=
1
2
수학(하) PM 해설 05~06(030~056)OK.indd 54
2017-11-28 오전 11:17:55
핵심 유형 최종 점검하기
110~111쪽
x@-4x+4=3 / x@-4x+1=0
050 답 ⑤
{ g`J`f }{a}=g{ f{a}}=g
양변을 제곱하면
a
a+1
=
a
a
a+1 ]
[
=q
a+1 e이므로 q
1
3
1
4 , 4a=a+1 / a=
a
a+1 e=
1
2
4 답 ②
유형 04 무리식의 값 구하기
- j1+xl
j1-xl
j1-xl
j1+xl
=
[
2
3 ]
{ f`J`g}_!
=k라고 하면 { f`J`g}{k}=
2
3
/ { f`J`g}{k}=f{ g{k}}=f{jk k}= jk k
jk k+1
jk k
jk k+1
/ { f`J`g}_!{2a}={ f`J`g}_!
2
3 에서 3jk k=2jk k+2, jk k=2 / k=4
2
3 ]
=4
2
3
=
=
[
051 답 ⑤
{ f _!`J`f _!`J`f _!}{a}=f _!{ f _!{ f _!{a}}}=-6에서
f{ f{ f{-6}}}=a
-6<0이므로 f{-6}=14-2\{-6}3=4
4>0이므로 f{4}=2-j4=0
0>0이므로 f{0}=2-j0=2
/ a=f{ f{ f{-6}}}=f{ f{4}}=f{0}=2
1 답 ①
유형 01 무리식의 값이 실수가 되기 위한 조건
-2x@-7x+4>0에서 2x@+7x-4<0
1
2
{x+4}{2x-1}<0 / -40에서 x@-4<0
{x+2}{x-2}<0 / -20이므로
따라서 주어진 식의 값이 실수가 되도록 하는 x의 값의 범위가
-210이고 치역은 9y|y>20이므로
a=1, b=2
/ k+a+b=-4+1+2=-1
8 답 -24
유형 08 무리함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동
y=j3x-5l+2의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향
으로 2만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=13{x+1}-53+2+2=j3x-2l+4
이 함수의 그래프를 다시 원점에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은
-y=j-3x-2l+4
/ y=-j-3x-2l-4
따라서 a=-3, b=-2, c=-4이므로
abc=-24
06 무리함수 55
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9 답 ①
유형 09 무리함수 y=jax+bl+c의 그래프
주어진 유리함수의 그래프의 모양에서 a>0
따라서 주어진 무리함수는 y=j-x+36l+2이고,
k-70, c<0 / b<0, c<0
y=jax+bl+c=ra
[
x+
b
a ]y+c
이므로 함수 y=jax+bl+c의 그래프는 함수 y=jaxk의 그래프를
b
a 만큼, y축의 방향으로 c만큼 평행이동한 것
x축의 방향으로 -
이다.
이때 a>0, -
>0, c<0이므로 함수 y=1ax+b3+c의 그래프의
b
a
개형으로 옳은 것은 ①이다.
10 답 ③
유형 09 무리함수 y=jax+bl+c의 그래프
y=j-x+1l+k=1-{x-1}3+k
이므로 주어진 함수의 그래프는 y=j-xl의 그래프를 x축의 방향
으로 1만큼, y축의 방향으로 k만큼 평행이동한 것이다.
함수 y=j-x+1l+k의 그래프가 제3사분면
을 지나지 않으려면 오른쪽 그림과 같이
y
x=0일 때 y>0이어야 하므로
j1+k>0 / k>-1
따라서 정수 k의 최솟값은 -1이다.
11 답 -2
유형 11 무리함수의 식 구하기
주어진 그래프는 y=jaxk {a<0}의 그래프를 x축의 방향으로 1만
큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이므로
y=1a{x-1}3-2 yy ㉠
㉠의 그래프가 점 {-3, 0}을 지나므로
0=j-4al-2, j-4al=2
양변을 제곱하면 -4a=4 / a=-1
㉠에 a=-1을 대입하면
y=1-{x-1}3-2=j-x+1l-2
따라서 a=-1,`b=1,`c=-2이므로
a+b+c=-2
유형 13 무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계
n{A5B}=2이려면 함수 y=j2x-3l의 그래프와 직선 y=x+k
가 두 점에서 만나야 한다.
3
2 ]y
x-
y=j2x-3l=r2
[
이므로 y=j2x-3l의 그래프는 y=j2xk의
3
그래프를 x축의 방향으로
2 만큼 평행이
동한 것이고, y=x+k는 기울기가 1이고
y절편이 k인 직선이다.
y=x+k
y=j2xk-3l
x
2#
y
O
@
!
0=
]을 지날 때
3
2 , 0
! 직선 y=x+k가 점 [
3
2
@ 함수 y=j2x-3l의 그래프와 직선 y=x+k가 접할 때
+k / k=-
3
2
j2x-3l=x+k의 양변을 제곱하면
2x-3=x@+2kx+k@
/ x@+2{k-1}x+k@+3=0
D
4
={k-1}@-1\{k@+3}=0
-2k-2=0 / k=-1
!, @에 의하여 -
2이므로 n=6
이때 0원을 지불하는 경우를 제외해야 하므로 지불할 수 있는
의 수는 3?=3\2\1=6
와 같다.
50원짜리 동전으로 지불할 수 있는 금액은
0원, 50원, 100원, y, 350원의 8가지
10원짜리 동전으로 지불할 수 있는 금액은
0원, 10원, 20원, 30원, 40원의 5가지
금액의 수는
8\5-1=39 ∴ b=39
∴ a+b=98
029 답 ⑤
500원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법은
0개, 1개, 2개, 3개의 4가지
0개, 1개, 2개의 3가지
50원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법은
0개, 1개, 2개, 3개의 4가지
10원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법은
0개, 1개의 2가지
4\3\4\2-1=95
030 답 ②
500원짜리 동전 2개로 지불할 수 있는 금액과 1000원짜리 지폐 1장
으로 지불할 수 있는 금액이 같으므로 1000원짜리 지폐 1장을 500
원짜리 동전 2개로 바꾸면 지불할 수 있는 금액의 수는 500원짜리
동전 5개, 100원짜리 동전 3개로 지불할 수 있는 금액의 수와 같다.
500원짜리 동전으로 지불할 수 있는 금액은
0원, 500원, 1000원, …, 2500원의 6가지
100원짜리 동전으로 지불할 수 있는 금액은
0원, 100원, 200원, 300원의 4가지
이때 0원을 지불하는 경우를 제외해야 하므로 구하는 금액의 수는
6\4-1=23
100원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법은
4 P2=4\3=12
따라서 구하는 방법의 수는 6\12=72
이때 0원을 지불하는 경우를 제외해야 하므로 구하는 방법의 수는
학생, 선생님의 순서로 교대로 서는 방법의 수는
유형11 답 ②
찬호와 준형이를 한 사람으로 생각하여 3명을 일렬로 세우는 방법
찬호와 준형이가 자리를 바꾸는 방법의 수는 2?=2\1=2
따라서 구하는 방법의 수는 6\2=12
유형12 답 ④
남자 3명을 일렬로 세우는 방법의 수는 3?=3\2\1=6
남자들 사이사이와 양 끝의 4개의 자리에
∨
남
∨ ∨ ∨
남
남
여자 2명을 세우는 방법의 수는
선생님, 학생의 순서로 교대로 서는 방법의 수는
유형13 답 ⑤
2?\2?=2\2=4
2?\2?=2\2=4
따라서 구하는 방법의 수는 4+4=8
유형14 답 84
5개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는
5?=5\4\3\2\1=120
는 방법의 수는
3 P2\3?={3\2}\{3\2\1}=36
따라서 구하는 방법의 수는 120-36=84
자음은 r, t, h의 3개이므로 양 끝에 모두 자음이 오도록 나열하
유형15 답 ③
홀수이려면 일의 자리의 숫자가 1 또는 3이어야 한다.
! 일의 자리의 숫자가 1인 홀수의 개수
1을 제외한 3개의 숫자 중에서 2개를 택하여 일렬로 나열하는
방법의 수와 같으므로
3 P2=3\2=6
@ 일의 자리의 숫자가 3인 홀수의 개수
3을 제외한 3개의 숫자 중에서 2개를 택하여 일렬로 나열하는
!, @에 의하여 구하는 홀수의 개수는
6+6=12
07 순열 61
유형09 답 ①
구하는 방법의 수는 9명의 학생 중에서 2명을 택하여 일렬로 세우
방법의 수와 같으므로
3 P2=3\2=6
핵심 유형 120~121쪽
는 방법의 수와 같으므로
9 P2=9\8=72
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sa로 시작하는 것의 개수는 3?=3\2\1=6
n P2에서 n>2이므로 양변을 4n{n-1}로 나누면
유형16 답 79번째
a로 시작하는 것의 개수는 4?=4\3\2\1=24
m으로 시작하는 것의 개수는 4?=4\3\2\1=24
r로 시작하는 것의 개수는 4?=4\3\2\1=24
그 다음에 smart가 나타난다.
따라서 smart까지의 개수는
24+24+24+6+1=79
이므로 smart는 79번째에 나타난다.
유형17 답 18
f{a}=a이므로 f{a}의 값이 될 수 있는 것은 b, c, d의 3개
그 각각에 대하여 b, c, d가 대응하는 경우의 수는
3?=3\2\1=6
따라서 구하는 f 의 개수는
3\6=18
037 답 ③
2n P3=60 n P2에서
2n{2n-1}{2n-2}=60n{n-1}
4n{n-1}{2n-1}=60n{n-1}
2n-1=15 ∴ n=8
038 답 ③
F와 A를 한 문자로 생각하여 5개의 문자를 일렬로 나열하는 방법
의 수는 5?=120
F와 A의 자리를 바꾸는 방법의 수는 2?=2
따라서 구하는 방법의 수는 120\2=240
039 답 720
어린이 3명을 한 사람으로 생각하여 5명을 일렬로 세우는 방법의
수는 5?=120
어린이 3명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 3?=6
따라서 구하는 방법의 수는 120\6=720
핵심 유형 완성하기 122~126쪽
031 답 ⑤
구하는 방법의 수는 10명의 회원 중에서 3명을 택하여 일렬로 세
040 답 ③
1반 학생 4명을 한 사람, 2반 학생 2명을 한 사람, 3반 학생 3명을
한 사람으로 생각하여 3명을 일렬로 세우는 방법의 수는 3?=6
우는 방법의 수와 같으므로
10 P3=720
032 답 ⑤
구하는 방법의 수는 5명의 학생을 일렬로 세우는 방법의 수와 같
1반 학생끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 4?=24
2반 학생끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 2?=2
3반 학생끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 3?=6
따라서 구하는 방법의 수는 6\24\2\6=1728
으므로
5?=120
033 답 ①
n P2=56이므로
n{n-1}=56=8\7 ∴ n=8
034 답 7
n P2+4 n P1=70에서 n{n-1}+4n=70
n@+3n-70=0, {n+10}{n-7}=0
∴ n=-10 또는 n=7
그런데 n P2에서 n>2이므로 n=7
035 답 ②
6 Pr\4?=2880의 양변을 4?=24로 나누면
6 Pr=120=6\5\4 ∴ r=3
036 답 11
n P3`:`n P2=9`:`1에서 9 n P2=n P3
9n{n-1}=n{n-1}{n-2}
62 정답과 해설
041 답 3
시집 3권을 한 권으로 생각하여 {n+1}권을 일렬로 꽂는 방법의
수는 {n+1}?
시집 3권의 자리를 바꾸는 방법의 수는 3?=6
이때 시집끼리 이웃하게 꽂는 방법의 수가 144이므로
{n+1}?\6=144, {n+1}?=24=4?
따라서 n+1=4이므로 n=3
042 답 ④
남학생 4명을 일렬로 세우는 방법의 수는 4?=24
남학생 사이사이와 양 끝의 5개의 자
∨
남
∨ ∨ ∨ 남 ∨
남
남
리에 여학생 3명을 세우는 방법의 수
는 5 P3=60
따라서 구하는 방법의 수는 24\60=1440
043 답 480
자음인 b, s, k, t를 일렬로 나열하는 방법의 수는 4?=24
자음 사이사이와 양 끝의 5개의 자리
∨
자
∨ ∨ ∨ 자 ∨
자
자
에 모음 a, e를 나열하는 방법의 수는
n P3에서 n>3이므로 양변을 n{n-1}로 나누면
5 P2=20
9=n-2 ∴ n=11
따라서 구하는 방법의 수는 24\20=480
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044 답 ④
의자 3개에만 학생이 앉으므로 빈 의자는 3개이다.
051 답 432
6개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 6?=720
빈 의자 사이사이와 양 끝의 4개의 자리에
∨
빈
∨ ∨ ∨
빈
빈
자음은 f, r, n, d의 4개이므로 양 끝에 모두 자음이 오도록 나열
학생이 앉은 의자 3개를 놓으면 되므로 구
하는 방법의 수는
4 P3=24
045 답 ⑤
선생님, 유치원생의 순서로 교대로 서는 방법의 수는
3?\3?=6\6=36
3?\3?=6\6=36
따라서 구하는 방법의 수는
36+36=72
하는 방법의 수는
4 P2\4?=12\24=288
따라서 구하는 방법의 수는
720-288=432
052 답 ①
8명의 학생 중에서 대표 1명, 부대표 1명을 뽑는 방법의 수는
대표, 부대표 모두 남학생을 뽑는 방법의 수는 3 P2=6
따라서 구하는 방법의 수는
56-6=50
유치원생, 선생님의 순서로 교대로 서는 방법의 수는
8 P2=56
046 답 6
구하는 방법의 수는 준형이를 제외한 3명의 학생을 일렬로 세우는
053 답 ②
5개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 5?=120
방법의 수와 같으므로
3?=6
A, C, E 중에서 어느 2개도 이웃하지 않도록 나열하는 방법의 수
는 A, C, E를 일렬로 나열하고 그 사이사이에 B, D가 오도록 나
047 답 ④
자음은 h, s, n, g의 4개이고 모음은 o, u, i의 3개이므로 자음 4
열하는 방법의 수와 같으므로
3?\2?=6\2=12
따라서 구하는 방법의 수는
개를 일렬로 나열하고 그 사이사이에 모음 3개를 나열하면 된다.
120-12=108
승아와 은서가 자리를 바꾸는 방법의 수는 2?=2
이때 적어도 한쪽 끝에 자음이 오도록 나열하는 방법의 수가 3600
048 답 ②
승아, 선생님, 은서를 한 사람으로 생각하여 3명을 일렬로 세우는
따라서 구하는 방법의 수는
4?\3?=24\6=144
방법의 수는 3?=6
따라서 구하는 방법의 수는
6\2=12
049 답 ⑤
자음은 s, l 의 2개이므로 1, 3, 5번째 자리 중 두 자리에 자음을
7-4=3
나열하는 방법의 수는 3 P2=6
나머지 세 자리에 모음 3개를 나열하는 방법의 수는 3?=6
따라서 구하는 방법의 수는
6\6=36
054 답 3
7개의 알파벳을 일렬로 나열하는 방법의 수는 7?=5040
모음의 개수를 n이라고 하면 양 끝에 모두 모음이 오도록 나열하
는 방법의 수는
n P2\5?=120 n P2
이므로
5040-120 n P2=3600 ∴ n P2=12
즉, n{n-1}=12=4\3이므로 n=4
따라서 모음의 개수가 4이므로 자음의 개수는
055 답 48
짝수이려면 일의 자리의 숫자가 2 또는 4이어야 한다.
! 일의 자리의 숫자가 2인 짝수의 개수
2를 제외한 4개의 숫자 중에서 3개를 택하여 일렬로 나열하는
050 답 720
C ☐ ☐ ☐ G를 한 묶음으로 생각할 때, C와 G 사이에 3개의 문자
방법의 수와 같으므로
4 P3=24
를 나열하는 방법의 수는 5 P3=60
C와 G의 자리를 바꾸는 방법의 수는 2?=2
@ 일의 자리의 숫자가 4인 짝수의 개수
4를 제외한 4개의 숫자 중에서 3개를 택하여 일렬로 나열하는
C ☐ ☐ ☐ G를 한 문자로 생각하여 문자 3개를 일렬로 나열하는 방
방법의 수와 같으므로
법의 수는 3?=6
따라서 구하는 방법의 수는
60\2\6=720
4 P3=24
!, @에 의하여 구하는 짝수의 개수는
24+24=48
07 순열 63
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056 답 100
백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 5개
060 답 ②
240보다 작은 세 자리 자연수는 1 ☐ ☐, 20 ☐, 21 ☐, 23 ☐ 꼴이다.
십의 자리와 일의 자리의 숫자를 택하는 방법의 수는 백의 자리에
1 ☐ ☐ 꼴인 자연수의 개수는 4 P2=12
오는 숫자를 제외한 5개의 숫자 중에서 2개를 택하여 일렬로 나열
20 ☐ 꼴인 자연수의 개수는 3
하는 방법의 수와 같으므로 5 P2=20
따라서 구하는 자연수의 개수는
5\20=100
057 답 ③
5의 배수이려면 일의 자리의 숫자가 0 또는 5이어야 한다.
! 일의 자리의 숫자가 0인 5의 배수의 개수
0을 제외한 6개의 숫자 중에서 3개를 택하여 일렬로 나열하는
방법의 수와 같으므로
6 P3=120
@ 일의 자리의 숫자가 5인 5의 배수의 개수
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 5를 제외한 5개
백의 자리와 십의 자리의 숫자를 택하는 방법의 수는 천의 자
리와 일의 자리에 오는 숫자를 제외한 5개의 숫자 중에서 2개
를 택하여 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로
5 P2=20
5\20=100
따라서 일의 자리의 숫자가 5인 5의 배수의 개수는
!, @에 의하여 구하는 5의 배수의 개수는
120+100=220
058 답 ②
3의 배수이려면 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이어야 하므로 4개
의 숫자 1, 2, 3, 4에서 서로 다른 3개를 사용하여 3의 배수를 만드
이때 각 경우마다 세 자리 자연수를 만드는 방법의 수는 3?=6
는 경우는
1, 2, 3 또는 2, 3, 4
따라서 구하는 3의 배수의 개수는
2\6=12
059 답 108번째
e로 시작하는 것의 개수는 4?=24
h로 시작하는 것의 개수는 4?=24
n으로 시작하는 것의 개수는 4?=24
o로 시작하는 것의 개수는 4?=24
pe로 시작하는 것의 개수는 3?=6
phe로 시작하는 것의 개수는 2?=2
phn으로 시작하는 것의 개수는 2?=2
pho로 시작하는 것은 순서대로
phoen, phone
따라서 phone까지의 개수는
24+24+24+24+6+2+2+2=108
이므로 phone는 108번째에 나타난다.
64 정답과 해설
21 ☐ 꼴인 자연수의 개수는 3
23 ☐ 꼴인 자연수의 개수는 3
따라서 구하는 자연수의 개수는
12+3+3+3=21
061 답 ③
a 로 시작하는 것의 개수는 5?=120
g 로 시작하는 것의 개수는 5?=120
ia로 시작하는 것의 개수는 4?=24
ig 로 시작하는 것의 개수는 4?=24
ina로 시작하는 것의 개수는 3?=6
120+120+24+24+6=294
이므로 295번째에 오는 것은 ingasv이다.
062 답 4523
6 ☐ ☐ ☐ 꼴인 자연수의 개수는 5 P3=60
5 ☐ ☐ ☐ 꼴인 자연수의 개수는 5 P3=60
46 ☐ ☐ 꼴인 자연수의 개수는 4 P2=12
456 ☐ 꼴인 자연수의 개수는 3
453 ☐ 꼴인 자연수의 개수는 3
따라서 a로 시작하는 것부터 ina로 시작하는 것까지의 총 개수는
따라서 6543부터 4531까지의 자연수의 개수는
60+60+12+3+3=138
이므로 구하는 수는 4526, 4523, y에서 4523이다.
063 답 96
f{a}=b이므로 f{a}의 값이 될 수 있는 것은 a, c, d, e의 4개
그 각각에 대하여 b, c, d, e가 대응하는 경우의 수는 4?=24
따라서 구하는 f 의 개수는 4\24=96
064 답 ②
f{1}=4, f{4}=1이고 일대일대응인 함수 f 의 개수는
4?=24
065 답 ①
함수 f 는 f{x}= x인 일대일대응 f{a}
f{b}
f{c}
f{d}
이므로 이를 만족하도록 f {a},
f {b}, f {c}, f {d}를 정하는 방법
을 수형도로 나타내면 오른쪽과
같다.
따라서 구하는 f 의 개수는 9이다.
b
c
d
a
c
d
a
d
a
c
d
d
a
d
a
b
b
a
b
c
a
c
b
b
a
c
b
a
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1 답 ①
01
유형 합의 법칙
5+3-1=7
2 답 ④
02
유형 곱의 법칙
3\3=9
핵심 유형 최종 점검하기
127~129쪽
10장의 카드 중에서 2의 배수가 적힌 카드는 5장, 3의 배수가 적힌
카드는 3장, 2와 3의 최소공배수인 6의 배수가 적힌 카드는 1장이
므로 2의 배수 또는 3의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우의 수는
{a+b+c}{x+y}@={a+b+c}{x@+2xy+y@}에서 a, b, c에 곱
해지는 항이 각각 x @, 2xy, y @의 3개이므로 구하는 항의 개수는
3 답 ②
03
유형 방정식과 부등식의 해의 개수
x, y, z가 자연수이므로 x+2y+3z가 될 수 있는 값은 10, 11, 12
이다.
! x+2y+3z=10일 때, 순서쌍 {x, y, z}는
{5, 1, 1}, {3, 2, 1}, {1, 3, 1}, {2, 1, 2}의 4개
@ x+2y+3z=11일 때, 순서쌍 {x, y, z}는
{6, 1, 1}, {4, 2, 1}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {1, 2, 2}의 5개
# x+2y+3z=12일 때, 순서쌍 {x, y, z}는
{7, 1, 1}, {5, 2, 1}, {3, 3, 1}, {1, 4, 1}, {4, 1, 2},
{2, 2, 2}, {1, 1, 3}의 7개
!, @, #에 의하여 구하는 순서쌍 {x, y, z}의 개수는
4+5+7=16
4 답 ③
04
유형 약수의 개수
1350=2\3#\5@이고 홀수는 2를 소인수로 갖지 않으므로 1350의
양의 약수 중 홀수의 개수는 3#\5@의 양의 약수의 개수와 같다.
따라서 구하는 홀수인 양의 약수의 개수는
{3+1}{2+1}=12
5 답 ③
05
유형 도로망에서의 방법의 수
! A`
@ A`
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는 30+30=60
`B`
`B`
`C`
`C`
!
!
!
!
!
!
`A로 가는 방법의 수는 2\5\3=30
`A로 가는 방법의 수는 3\5\2=30
6 답 ④
06
유형 색칠하는 방법의 수
a3=3, ak=k {k=1, 2, 4, 5}를 만족 a1
a2
a3
a4
a5
7 답 9
07
유형 수형도를 이용하는 경우의 수
하는 경우를 수형도로 나타내면 오
따라서 구하는 자연수의 개수는 9이
른쪽과 같다.
다.
2
4
5
1
4
5
1
5
1
4
3
3
3
3
3
3
3
5
5
1
5
1
2
2
1
2
4
1
4
2
2
1
4
2
1
8 답 ②
08
유형 지불 방법의 수와 지불 금액의 수
! 지불할 수 있는 방법의 수
500원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법은
0개, 1개, 2개의 3가지
100원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법은
0개, 1개, 2개, …, 7개의 8가지
50원짜리 동전으로 지불할 수 있는 방법은
0개, 1개의 2가지
방법의 수는
3\8\2-1=47
∴ a=47
이때 0원을 지불하는 경우를 제외해야 하므로 지불할 수 있는
@ 지불할 수 있는 금액의 수
100원짜리 동전 5개로 지불할 수 있는 금액과 500원짜리 동전
1개로 지불할 수 있는 금액이 같으므로 500원짜리 동전 1개를
100원짜리 동전 5개로 바꾸면 지불할 수 있는 금액의 수는 100
원짜리 동전 17개, 50원짜리 동전 1개로 지불할 수 있는 금액
의 수와 같다.
100원짜리 동전으로 지불할 수 있는 금액은
0원, 100원, 200원, …, 1700원의 18가지
50원짜리 동전으로 지불할 수 있는 금액은
0원, 50원의 2가지
이때 0원을 지불하는 경우를 제외해야 하므로 지불할 수 있는
금액의 수는
18\2-1=35
∴ b=35
∴ a+b=82
A에 칠할 수 있는 색은 5가지, B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한
색을 제외한 4가지, C에 칠할 수 있는 색은 A와 B에 칠한 색을
제외한 3가지, D에 칠할 수 있는 색은 A와 C에 칠한 색을 제외한
9 답 336
09
유형 순열의 수
3가지, E에 칠할 수 있는 색은 A와 D에 칠한 색을 제외한 3가지
구하는 방법의 수는 8명의 학생 중에서 3명을 택하여 일렬로 세우
이므로 구하는 방법의 수는
5\4\3\3\3=540
는 방법의 수와 같으므로
8 P3=336
07 순열 65
수학(하) PM 해설 07~08(057~072) OK.indd 65
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모음인 u, i, o 를 한 문자로 생각하여 4개의 문자를 일렬로 나열
따라서 구하는 방법의 수는
팬 5명을 일렬로 세우는 방법의 수는 5?=120
방법의 수와 같으므로
팬들 사이사이와 양 끝의 6개의 자리에 가수 2명을 세우는 방법의
4 P2=12
10 답 7
10
유형
n Pr의 계산
n'1 P3-6 n P2=14 n-1 P1에서
{n+1}n{n-1}-6n{n-1}=14{n-1}
n P2에서 n>2이므로 양변을 n-1로 나누면
n{n+1}-6n=14, n@-5n-14=0
{n+2}{n-7}=0 ∴ n=-2 또는 n=7
그런데 n>2이므로 n=7
11 답 ⑤
11
유형 이웃하는 순열의 수
하는 방법의 수는 4?=24
u, i, o끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 3?=6
따라서 구하는 방법의 수는
24\6=144
12 답 ④
12
유형 이웃하지 않는 순열의 수
수는 6 P2=30
따라서 구하는 방법의 수는
120\30=3600
13 답 ①
13
유형 조건을 만족하는 순열의 수
구하는 방법의 수는 F를 제외한 나머지 5곡 중에서 3곡을 택하여
일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로
5 P3=60
14 답 ②
13
유형 조건을 만족하는 순열의 수
수예와 지예를 제외한 나머지 가족 3명을 일렬로 세우는 방법의
수는 3?=6
수예와 지예가 양 끝에 서는 방법의 수는 2?=2
T와 S의 자리를 바꾸는 방법의 수는 2?=2
T ☐ ☐ S를 한 문자로 생각하여 문자 4개를 일렬로 나열하는 방법
의 수는 4?=24
따라서 구하는 방법의 수는
6\2\24=288
17 답 84
14
유형
‘적어도’ 조건이 있는 순열의 수
3 P2\3?=6\6=36
120-36=84
18 답 ⑤
15
유형 조건을 만족하는 자연수의 개수
5개의 인형을 일렬로 진열하는 방법의 수는 5?=120
양 끝에 B회사의 인형이 오도록 진열하는 방법의 수는
짝수이려면 일의 자리의 숫자가 0 또는 2 또는 4이어야 한다.
! 일의 자리의 숫자가 0인 짝수의 개수
0을 제외한 4개의 숫자 중에서 2개를 택하여 일렬로 나열하는
@ 일의 자리의 숫자가 2인 짝수의 개수
백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 2를 제외한 3개, 십의 자
리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리에 오는 숫자와 2를 제외한
3개이므로 일의 자리의 숫자가 2인 짝수의 개수는
3\3=9
# 일의 자리의 숫자가 4인 짝수의 개수
@와 같은 방법으로 9
!, @, #에 의하여 구하는 짝수의 개수는
12+9+9=30
19 답 ③
16
유형 사전식 배열을 이용하는 순열의 수
3200보다 큰 네 자리 자연수는 32 ☐ ☐, 34 ☐ ☐, 35 ☐ ☐,
4 ☐ ☐ ☐, 5 ☐ ☐ ☐ 꼴이다.
32 ☐ ☐ 꼴인 자연수의 개수는 3 P2=6
34 ☐ ☐ 꼴인 자연수의 개수는 3 P2=6
35 ☐ ☐ 꼴인 자연수의 개수는 3 P2=6
4 ☐ ☐ ☐ 꼴인 자연수의 개수는 4 P3=24
5 ☐ ☐ ☐ 꼴인 자연수의 개수는 4 P3=24
20 답 24
17
유형 일대일대응의 개수
주어진 조건에서 가능한 순서쌍 { f{1}, f{2}}는
{6, 10}, {7, 9}, {9, 7}, {10, 6}의 4개
그 각각에 대하여 함수 f 가 일대일대응이 되도록 3, 4, 5가 대응
따라서 구하는 방법의 수는
6\2=12
15 답 ③
13
유형 조건을 만족하는 순열의 수
3?=6
따라서 구하는 방법의 수는
24\6=144
16 답 288
유형 조건을 만족하는 순열의 수
13
66 정답과 해설
여학생 4명을 일렬로 세우는 방법의 수는 4?=24
따라서 구하는 자연수의 개수는
여학생 사이사이 3개의 자리에 남학생 3명을 세우는 방법의 수는
6+6+6+24+24=66
T ☐ ☐ S를 한 묶음으로 생각할 때, T와 S 사이에 모음 U, E, A
하는 경우의 수는 3?=6
중 2개를 택하여 일렬로 나열하는 방법의 수는 3 P2=6
따라서 구하는 f 의 개수는 4\6=24
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08 조합
유형03 답 ③
구하는 방법의 수는 승아를 제외한 6명의 학생 중에서 3명을 뽑는
방법의 수와 같으므로
6C3=
6\5\4
3\2\1
=20
유형01 18
유형02 3
유형03 ③
유형04 81
유형05 1440 유형06 ③
유형07 20
유형08 ④
유형09 18
유형10 15
유형11 ⑤
유형12 90
유형04 답 81
9권의 책 중에서 4권을 택하는 방법의 수는
9C4=
9\8\7\6
4\3\2\1
=126
001 ④
002 168 003 ③
004 44
005 ②
007 ④
006 6
011 100 012 ⑤
017 ②
016 ④
008 -5 009 15
013 ③
010 78
014 205 015 ①
018 120 019 ③
020 ①
021 14
022 ①
023 ②
024 ④
025 110
026 ②
027 72
028 200 029 60
030 ④
031 10
032 21
033 ③
034 ①
035 301
036 ②
037 ⑤
038 ②
039 ③
040 ④
1 ③
6 ②
11 ④
16 5
2 12
7 ③
12 23
17 ①
3 ④
8 7명
13 54
18 315
4 ②
9 ⑤
5 ③
10 ①
14 ③
15 150
핵심 유형 132~134쪽
유형01 답 18
장래희망이 프로그래머인 학생 4명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수는
장래희망이 디자이너인 학생 3명 중에서 1명을 뽑는 방법의 수는
8C2-8=
-8=20
8\7
2\1
4C2=
4\3
2\1
=6
3C1=3
6\3=18
따라서 구하는 방법의 수는
유형02 답 3
3 n'1C3-4 nC2=0에서
3\
{n+1}n{n-1}
3\2\1
-4\
n{n-1}
2\1
=0
{n+1}n{n-1}-4n{n-1}=0
nC2에서 n>2이므로 양변을 n{n-1}로 나누면
므로 구하는 삼각형의 개수는
n+1-4=0 ∴ n=3
56-10=46
! 시집을 한 권도 포함하지 않고 택하는 방법의 수
소설과 수필집 중에서 4권을 택하는 방법의 수는
5C4=5C1=5
@ 시집이 한 권 포함되도록 택하는 방법의 수
시집 중에서 1권을 택하고 소설과 수필집 중에서 3권을 택하는
방법의 수는
4C1\5C3=4C1\5C2=4\
5\4
2\1
=40
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는
126-{5+40}=81
유형05 답 1440
홀수 1, 3, 5, 7, 9의 5개 중에서 2개를 택하는 방법의 수는
짝수 2, 4, 6, 8의 4개 중에서 2개를 택하는 방법의 수는
4개의 수를 일렬로 나열하는 방법의 수는 4?=24
따라서 구하는 방법의 수는 10\6\24=1440
유형06 답 ③
구하는 직선의 개수는 6개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수와
5C2=
5\4
2\1
=10
4C2=
4\3
2\1
=6
같으므로
6C2=
6\5
2\1
=15
유형07 답 20
구하는 대각선의 개수는 8개의 꼭짓점 중 2개를 택하여 만들 수
있는 선분의 개수에서 팔각형의 변의 개수를 뺀 것과 같으므로
유형08 답 ④
8개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는
8C3=
8\7\6
3\2\1
=56
5C3=5C2=
5\4
2\1
=10
한 직선 위에 있는 5개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는
그런데 한 직선 위에 있는 3개의 점으로는 삼각형을 만들 수 없으
08 조합 67
수학(하) PM 해설 07~08(057~072) OK.indd 67
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유형09 답 18
가로 방향의 평행한 직선 4개 중에서 2개, 세로 방향의 평행한 직
002 답 168
연극반 학생 8명 중에서 주인공 1명을 뽑는 방법의 수는
선 3개 중에서 2개를 택하면 한 개의 평행사변형이 결정되므로 구
8C1=8
나머지 학생 7명 중에서 주인공 외 출연자 2명을 뽑는 방법의 수는
하는 평행사변형의 개수는
4\3
2\1
4C2\3C2=4C2\3C1=
\3=18
유형10 답 15
집합 Y의 원소 6개 중에서 4개를 택하여 작은 수부터 순서대로
정의역의 원소 1, 2, 3, 4에 대응시키면 되므로 구하는 함수 f 의
개수는
6C4=6C2=
6\5
2\1
=15
유형11 답 ⑤
사탕 6개를 똑같은 상자 3개에 빈 상자가 없도록 나누어 담을 때,
각 상자에 담을 수 있는 사탕의 개수는
1, 1, 4 또는 1, 2, 3 또는 2, 2, 2
! 1개, 1개, 4개로 나누는 방법의 수
1
1
2?
2
@ 1개, 2개, 3개로 나누는 방법의 수
6C1\5C1\4C4\
=6\5\1\
=15
6C1\5C2\3C3=6\
\1=60
5\4
2\1
6C2\4C2\2C2\
# 2개, 2개, 2개로 나누는 방법의 수
4\3
2\1
1
3?
!, @, #에 의하여 구하는 방법의 수는
15+60+15=90
6\5
2\1
\
=
\1\
=15
1
6
유형12 답 90
6개의 학급을 3개, 3개의 두 조로 나누는 방법의 수는
6C3\3C3\
1
2?
=
6\5\4
3\2\1
\1\
=10
1
2
각 조에서 부전승으로 올라갈 학급을 택하는 방법의 수는
3C1\3C1=3\3=9
따라서 구하는 방법의 수는
10\9=90
핵심 유형 완성하기 135~140쪽
001 답 ④
1학년 학생 7명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는
2학년 학생 5명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수는
7C3=35
5C2=10
따라서 구하는 방법의 수는
35\10=350
68 정답과 해설
7C2=21
따라서 구하는 방법의 수는
8\21=168
003 답 ③
수학교육과 체험 희망자 5명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는
통계학과 체험 희망자 4명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는
5C3=5C2=10
4C3=4C1=4
10+4=14
따라서 구하는 경우의 수는
004 답 44
세 수의 합이 짝수가 되려면 세 수는
짝수, 짝수, 짝수 또는 짝수, 홀수, 홀수
! 세 수 모두 짝수인 경우의 수
2, 4, 6, 8이 적힌 4장의 카드 중에서 3장을 택하는 방법의 수는
4C3=4C1=4
@ 짝수가 1개, 홀수가 2개인 경우의 수
2, 4, 6, 8이 적힌 4장의 카드 중에서 1장을 택하고, 1, 3, 5, 7,
9가 적힌 5장의 카드 중에서 2장을 택하는 방법의 수는
4C1\5C2=4\10=40
!, @에 의하여 구하는 경우의 수는
4+40=44
005 답 ②
nC2+n'1C2=n'3C2에서
n{n-1}
2\1
+
{n+1}n
2\1
=
{n+3}{n+2}
2\1
n{n-1}+n{n+1}={n+3}{n+2}
n@-5n-6=0, {n+1}{n-6}=0
∴ n=-1 또는 n=6
그런데 nC2에서 n>2이므로 n=6
006 답 6
10Cr=10Cr-2에서
r=r-2 또는 r+{r-2}=10
! r=r-2일 때, 0=-2이므로 r의 값이 존재하지 않는다.
@ r+{r-2}=10일 때, 2r=12 ∴ r=6
!, @에 의하여 r=6
007 답 ④
7C3+7C4 =7C3+7C3=2\
7?
3?4?
8?
4?4?
=8C4
=2\
4\7?
4\3?4?
=
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a+b=
2 nC3
nC2
008 답 -5
주어진 이차방정식에서 근과 계수의 관계에 의하여
-2 nC4
nC2
2 nC3
nC2
n{n-1}
2\1
n{n-1}{n-2}
3\2\1
이때 a+b=4이므로
=4, nC3=2 nC2
, ab=
=2\
nC4에서 n>4이므로 양변을 n{n-1}로 나누면
n-2=6 ∴ n=8
∴ ab=
-2 8C4
8C2
=
-2\70
28
=-5
015 답 ①
9명의 학생 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는 9C3=84
1학년 학생 5명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는 5C3=5C2=10
2학년 학생 4명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는 4C3=4C1=4
따라서 구하는 방법의 수는
84-{10+4}=70
016 답 ④
소설책 6권 중에서 2권을 택하는 방법의 수는 6C2=15
만화책 5권 중에서 2권을 택하는 방법의 수는 5C2=10
4권의 책을 일렬로 꽂는 방법의 수는 4?=24
009 답 15
구하는 방법의 수는 현수와 정선이를 제외한 6명의 회원 중에서 2
따라서 구하는 방법의 수는
15\10\24=3600
명을 뽑는 방법의 수와 같으므로
6C2=15
010 답 78
구하는 방법의 수는 축구 특기자 2명을 제외한 13명의 학생 중에서
따라서 구하는 방법의 수는
6\6=36
11명을 뽑는 방법의 수와 같으므로
13C11=13C2=78
017 답 ②
a를 제외한 4개의 문자 중에서 2개를 택하는 방법의 수는 4C2=6
3개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 3?=6
011 답 100
구하는 방법의 수는 특정한 1학년 학생 1명을 제외한 1학년 학생
5C2=10
5명 중에서 3명을 뽑고, 특정한 2학년 학생 2명을 제외한 2학년
수는 3?=6
5C3\5C2=5C2\5C2=10\10=100
012 답 ⑤
구하는 방법의 수는 A, B를 제외한 7편의 영화 중에서 4편을 뽑
고, A, B 중에서 한 편을 뽑는 방법의 수와 같으므로
7C4\2C1=7C3\2C1=35\2=70
013 답 ③
11켤레의 신발 중에서 4켤레를 택하는 방법의 수는 11C4=330
! 구두를 한 켤레도 포함하지 않고 택하는 방법의 수
운동화와 슬리퍼 중에서 4켤레를 택하는 방법의 수는
6C4=6C2=15
같으므로
8C2=28
같으므로
7C2=21
018 답 120
연우와 찬호를 제외한 학생 5명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수는
연우와 찬호를 한 사람으로 생각하여 3명을 일렬로 세우는 방법의
따라서 구하는 방법의 수는
10\6\2=120
019 답 ③
구하는 직선의 개수는 8개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수와
020 답 ①
구하는 직선의 개수는 7개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수와
학생 5명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수와 같으므로
연우와 찬호가 자리를 바꾸는 방법의 수는 2?=2
@ 구두가 한 켤레 포함되도록 택하는 방법의 수
구두 중에서 1켤레를 택하고 운동화와 슬리퍼 중에서 3켤레를
021 답 14
평행한 두 직선 위의 점을 하나씩 택하여 만들 수 있는 직선의 개
택하는 방법의 수는
5C1\6C3=5\20=100
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는
330-{15+100}=215
수는
3C1\4C1=3\4=12
12+2=14
이때 주어진 직선 2개를 포함하면 구하는 직선의 개수는
014 답 205
10명 중에서 4명을 뽑는 방법의 수는 10C4=210
022 답 ①
구하는 대각선의 개수는 10개의 꼭짓점 중 2개를 택하여 만들 수
남자 5명 중에서 4명을 뽑는 방법의 수는 5C4=5C1=5
있는 선분의 개수에서 십각형의 변의 개수를 뺀 것과 같으므로
따라서 구하는 방법의 수는 210-5=205
10C2-10=45-10=35
08 조합 69
수학(하) PM 해설 07~08(057~072) OK.indd 69
2017-11-28 오전 10:25:44
023 답 ②
n각형의 대각선의 개수가 65라고 하면
nC2-n=65,
-n=65
n{n-1}
2\1
n@-3n-130=0, {n+10}{n-13}=0
∴ n=-10 또는 n=13
그런데 n>3이므로 n=13
따라서 구하는 다각형의 꼭짓점의 개수는 13이다.
024 답 ④
꼭짓점을 제외한 대각선의 교점은 꼭짓점을 공유하지 않는 두 대각
선에 의해 결정되고, 이 두 대각선은 4개의 꼭짓점에 의하여 결정
025 답 110
10개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는 10C3=120
한 직선 위에 있는 5개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는
그런데 한 직선 위에 있는 3개의 점으로는 삼각형을 만들 수 없으
5C3=5C2=10
므로 구하는 삼각형의 개수는
120-10=110
029 답 60
가로 방향의 평행한 직선 5개 중에서 2개, 세로 방향의 평행한 직
선 4개 중에서 2개를 택하면 한 개의 평행사변형이 결정되므로 구
하는 평행사변형의 개수는
5C2\4C2=10\6=60
030 답 ④
! l1, l2, l3 중에서 2개를 택하고, m1,
m2를 택하는 방법의 수는
3C2\2C2=3C1\2C2=3\1=3
@ m1, m2를 택하고, n1, n2, n3 중에서
2개를 택하는 방법의 수는
2C2\3C2=2C2\3C1=1\3=3
m1
m2
L1 L2 L3
n1
n2n3
수는
3C2\3C2=3C1\3C1=3\3=9
!, @, #에 의하여 구하는 평행사변형의 개수는
3+3+9=15
031 답 10
가로 방향으로 놓인 3개의 선 중에서 2개, 세로 방향으로 놓인 4개
의 선 중에서 2개를 택하면 한 개의 직사각형이 결정되므로 직사
각형의 개수는
3C2\4C2=3C1\4C2=3\6=18
따라서 구하는 대각선의 교점의 최대 개수는 9개의 꼭짓점 중에서
4개를 택하는 방법의 수와 같으므로
# l1, l2, l3 중에서 2개, n1, n2, n3 중에서 2개를 택하는 방법의
026 답 ②
구하는 사각형의 개수는 7개의 점 중에서 4개를 택하는 방법의 수
작은 정사각형의 한 변의 길이를 1이라고 하면 정사각형의 개수는
한 변의 길이가 1인 것이 6개, 2인 것이 2개이므로
6+2=8
18-8=10
따라서 정사각형이 아닌 직사각형의 개수는
027 답 72
9개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는 9C3=84
한 직선 위에 있는 4개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는
032 답 21
집합 Y의 원소 7개 중에서 5개를 택하여 작은 수부터 순서대로
정의역의 원소 1, 2, 3, 4, 5에 대응시키면 되므로 구하는 함수 f
이때 한 직선 위에 4개의 점이 있는 직선은 3개이고, 한 직선 위에
있는 3개의 점으로는 삼각형을 만들 수 없으므로 구하는 삼각형의
의 개수는
7C5=7C2=21
된다.
9C4=126
와 같으므로
7C4=7C3=35
4C3=4C1=4
개수는
84-3\4=72
028 답 200
12개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는 12C3=220
! 한 직선 위에 4개의 점이 있는 경우
4개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는
@ 한 직선 위에 3개의 점이 있는 경우
3개의 점 중에서 3개를 택하는 방법의 수는
8\3C3=8\1=8
!, @에 의하여 구하는 삼각형의 개수는
220-{12+8}=200
70 정답과 해설
033 답 ③
집합 Y의 원소 5개 중에서 3개를 택하여 작은 수부터 순서대로 정
의역의 원소 1, 2, 3에 대응시키면 되므로 구하는 함수 f의 개수는
5C3=5C2=10
034 답 ①
㈎에서 f{1}< f{2}< f{3}< f{4}< f{5} yy ㉠
Y의 원소는 2, 3의 2가지이다.
또 집합 Y의 원소 -3, -2, -1, 0 중에서 3개를 택하여 작은 수
부터 순서대로 f{1}, f{2}, f{3}의 값이 된다.
따라서 구하는 함수 f 의 개수는
2\4C3=2\4C1=2\4=8
3\4C3=3\4C1=3\4=12
㈏에서 f{4}=1이므로 ㉠에 의하여 f{5}의 값이 될 수 있는 집합
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035 답 301
공 7개를 똑같은 상자 3개에 빈 상자가 없도록 나누어 담을 때, 각
# 3개의 팀을 2개, 1개로 나누는 방법의 수
3C2\1C1=3\1=3
!, @, #에 의하여 구하는 방법의 수는
35\3\3=315
상자에 담을 수 있는 공의 개수는
=21
=7\6\1\
7C1\6C1\5C5\
1, 1, 5 또는 1, 2, 4 또는 1, 3, 3 또는 2, 2, 3
! 1개, 1개, 5개로 나누는 방법의 수
1
1
2?
2
@ 1개, 2개, 4개로 나누는 방법의 수
7C1\6C2\4C4=7\15\1=105
# 1개, 3개, 3개로 나누는 방법의 수
1
1
2
2?
$ 2개, 2개, 3개로 나누는 방법의 수
1
1
=21\10\1\
2
2?
7C2\5C2\3C3\
7C1\6C3\3C3\
=7\20\1\
=105
=70
!~$에 의하여 구하는 방법의 수는
21+105+70+105=301
036 답 ②
구하는 방법의 수는 남학생 7명을 2명, 5명으로 나누는 방법의 수
와 같으므로
7C2\5C5=21\1=21
037 답 ⑤
7명의 학생을 2명, 2명, 2명, 1명으로 나누는 방법의 수는
7C2\5C2\3C2\1C1\
=21\10\3\1\
=105
1
3?
1
6
4개의 조를 4곳의 봉사활동 장소에 배정하는 방법의 수는 4?=24
따라서 구하는 방법의 수는
105\24=2520
038 답 ②
구하는 방법의 수는 6개의 학급을 2개, 2개, 2개의 세 조로 나눈 후
준결승을 하지 않는 한 조를 택하는 방법의 수와 같으므로
6C2\4C2\2C2\
\3C1=15\6\1\
\3=45
[
1
3? ]
1
6
039 답 ③
구하는 방법의 수는 5개의 학급을 3개, 2개의 두 조로 나눈 후 3
개인 조에서 부전승으로 올라가는 한 학급을 택하는 방법의 수와
같으므로
{5C3\2C2}\3C1=10\1\3=30
핵심 유형 최종 점검하기
141~143쪽
A모둠 학생 6명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는 6C3=20
B모둠 학생 5명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는 5C3=10
따라서 구하는 경우의 수는
1 답 ③
01
유형 조합의 수
20+10=30
2 답 12
01
유형 조합의 수
∴ n=12
3 답 ④
02
유형
nCr의 계산
∴ n+r=11
4 답 ②
02
유형
nCr의 계산
nC2=66이므로
n{n-1}
2\1
=66
n{n-1}=132=12\11
nCr=
n Pr
r? 이므로 56=
r?=6=3\2\1 ∴ r=3
336
r?
또 n P3=336=8\7\6에서 n=8
nC2+n-2C2=n'3C2에서
n{n-1}
2\1
+
{n-2}{n-3}
2\1
=
{n+3}{n+2}
2\1
n@-11n=0, n{n-11}=0
∴ n=0 또는 n=11
그런데 n-2C2에서 n>4이므로 n=11
5 답 ③
03
유형 특정한 것을 포함하거나 포함하지 않는 조합의 수
040 답 ④
구하는 방법의 수는 7개의 팀을 4개, 3개의 두 조로 나눈 후 4개
구하는 방법의 수는 준형이와 예나를 제외한 6명의 학생 중에서 3
명을 뽑는 방법의 수와 같으므로
인 조를 다시 2개, 2개의 두 조로, 3개인 조를 2개, 1개의 두 조로
6C3=20
나누는 방법의 수와 같다.
! 7개의 팀을 4개, 3개로 나누는 방법의 수
7C4\3C3=35\1=35
@ 4개의 팀을 2개, 2개로 나누는 방법의 수
=6\1\
4C2\2C2\
=3
1
2?
1
2
6 답 ②
03
유형 특정한 것을 포함하거나 포함하지 않는 조합의 수
구하는 방법의 수는 빨간색, 주황색, 노란색을 제외한 4가지 색
중에서 2가지 색을 택하는 방법의 수와 같으므로
4C2=6
08 조합 71
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7 답 ③
03
유형 특정한 것을 포함하거나 포함하지 않는 조합의 수
구하는 부분집합의 개수는 1, 2를 제외한 8개의 자연수 중에서 4
28-6+1=23
개를 택한 후 1 또는 2를 택하는 방법의 수와 같으므로
이때 한 직선 위에 있는 점으로 만들 수 있는 직선은 1개뿐이므로
12명의 동아리 학생 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는 12C3=220
12C2-12=66-12=54
2학년 학생이 n명이라고 하면 2학년 학생 중에서 3명을 뽑는 방
구하는 대각선의 개수는 12개의 꼭짓점 중 2개를 택하여 만들 수 있
는 선분의 개수에서 정십이각형의 변의 개수를 뺀 것과 같으므로
이때 1학년 학생이 적어도 한 명 포함되도록 뽑는 방법의 수가 210
한 직선 위에 있는 4개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수는
한 직선 위에 있는 6개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수는
n{n-1}{n-2}=60=5\4\3
따라서 구하는 사각형의 개수는
따라서 2학년 학생이 5명이므로 1학년 학생은
구하는 직선의 개수는
13 답 54
07
유형 대각선의 개수
14 답 ③
08
유형 다각형의 개수
4C2=6
6C2=15
6\15=90
15 답 150
유형 평행사변형의 개수
09
‘적어도’ 조건이 있는 조합의 수
9개의 숫자 중에서 5개를 택하는 방법의 수는 9C5=126
! 9의 약수 1, 3, 9를 하나도 포함하지 않고 택하는 방법의 수
@ 9의 약수 1, 3, 9 중에서 한 개가 포함되도록 택하는 방법의 수
하는 평행사변형의 개수는
5C2\6C2=10\15=150
16 답 5
10
유형 함수의 개수
가로 방향의 평행한 직선 5개 중에서 2개, 세로 방향의 평행한 직
선 6개 중에서 2개를 택하면 한 개의 평행사변형이 결정되므로 구
집합 Y의 원소 5개 중에서 4개를 택하여 작은 수부터 순서대로
정의역의 원소 1, 2, 3, 4에 대응시키면 되므로 구하는 함수 f 의
8C4\2C1=70\2=140
8 답 7명
04
유형
‘적어도’ 조건이 있는 조합의 수
법의 수는 nC3
이므로
220-nC3=210
n{n-1}{n-2}
3\2\1
=10
∴ n=5
12-5=7(명)
9 답 ⑤
04
유형
6C5=6
6C4\3C1=15\3=45
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는
126-{6+45}=75
10 답 ①
05
유형 뽑아서 나열하는 방법의 수
따라서 구하는 방법의 수는
10\24=240
11 답 ④
05
유형 뽑아서 나열하는 방법의 수
A, B를 제외한 5명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수는 5C2=10
4명을 일렬로 세우는 방법의 수는 4?=24
수학 부스 4개 중에서 2개를 고르는 방법의 수는 4C2=6
과학 부스 3개 중에서 1개를 고르는 방법의 수는 3C1=3
3개를 일렬로 나열하는 방법의 수는 3?=6
따라서 구하는 방법의 수는
8개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수는 8C2=28
한 직선 위에 있는 4개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수는
6\3\6=108
12 답 23
06
유형 직선의 개수
4C2=6
72 정답과 해설
개수는
5C4=5
17 답 ①
11
유형 나누는 방법의 수
∴ b-a=5
18 답 315
유형 대진표 작성하기
12
a=6C3\3C3\
=20\1\
=10
1
2?
1
2
b=6C2\4C4=15\1=15
구하는 방법의 수는 8개의 팀을 4개, 4개의 두 조로 나눈 후 4개
의 팀으로 이루어진 각 조를 다시 2개, 2개의 두 조로 나누는 방법
의 수와 같다.
! 8개의 팀을 4개, 4개로 나누는 방법의 수
=70\1\
8C4\4C4\
=35
@ 4개의 팀을 2개, 2개로 나누는 방법의 수
=6\1\
4C2\2C2\
=3
1
2
1
2
1
2?
1
2?
!, @에 의하여 구하는 방법의 수는
35\3\3=315
수학(하) PM 해설 07~08(057~072) OK.indd 72
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