수학Ⅱ
수학2 PM 해설 01(001~014)OK.indd 1
2018-04-26 오후 3:01:39
01 함수의 극한
`f{x}의 값이 존재하려면 lim
3+
x`
f{x}= lim
3-
x`
!
!
f{x}이어야
lim
x`
3
!
하므로
3k+3=15, 3k=12 ∴ k=4
유형01 4
유형02 6
유형03 -1
유형04 -
유형05 10
유형06 2
유형07 ①
8
7
유형08 2
유형09
유형10
유형11 10
1
2
유형12 5
유형13 8
유형14
1
20
1
2
014
1
4
019 13
023 ④
001 -1 002 ㄷ, ㄹ 003 ④
007 -1 008 10
006 0
004 ㄴ, ㄷ 005 5
009 ㄱ, ㄷ 010 3
011 ㄴ, ㄷ 012 6
013 4
015 2
016 12
017 ㄷ, ㄹ 018 2
020 -7 021 ③
022 4
1
024 0
2 029 j2 k
4
034 ②
025 ①
026 16
027 ③
028 -
030 1
035 ①
040
3
2
032 -1 033 3
031 ④
1
2 037 5
036 -
038 ⑤
039
041 ①
042 2
043 -2 044
1
2
1
4
045 ⑤
046 2
048 ③
049 12
047 - j2 k
2
050 5
051 ①
052 7
053 -66 054 ②
055 12
056 ③
057 5
058
059 5
3
5
060 ②
061 4
062
063 2
064 2
1
2
1 ㄱ, ㄹ 2 ②
7 ⑤
6 ㄹ
12 ②
11 6
16 ①
17 ④
3 2
8 6
13 4
3
2
18
4 ②
9 2
14 2
1
2
19
5 -2
10 ②
15 23
20 8
핵심 유형 8~10쪽
유형01 답 4
lim
x`
3+
!
lim
3-
x`
!
x`
f{x}= lim
3+
f{x}= lim
3-
!
x`
!
2 정답과 해설
{kx+3}=3k+3 `
{x@+2x}=15
유형02 답 6
lim
0
x`
!
`f{x}+ lim
1+
!
x`
f{x}+ lim
1-
x`
!
f{x}=2+3+1=6
`1+일 때 t`
!
f{t}=-2
!
`1-이므로
유형03 답 -1
f{x}=t라고 하면 x`
lim
x`
1+
!
x`
f{ f{x}}= lim
1-
!
`-1-이므로
`0+일 때 t`
t`
!
!
lim
x`
0+
!
∴ lim
1+
x`
!
f{ f{x}}= lim
t`
-1-
f{ f{x}}+ lim
0+
!
x`
!
f{t}=1
f{ f{x}}=-2+1=-1 `
유형04 답 -
8
7
2x-5f{x}
x+3f{x}
lim
0
x`
!
=lim
0
x`
!
2-5\
1+3\
f{x}
x
f{x}
x
=
2-5\2
1+3\2
=-
8
7
유형05 답 10
lim
3+
x`
!
[x]=3, lim
3-
!
x`
[x]+6
[x]
lim
3+
x`
!
+ lim
3-
x`
!
[x]=2, lim
3-
x`
!
[3x+6]
[x]
[3x+6]=14이므로
=
3+6
3
+
=10
14
2
유형06 답 2
x#-2x@+5x-4
x@-1
lim
1
x`
!
{x-1}{x@-x+4}
{x-1}{x+1}
x@-x+4
x+1
=2
=lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
유형07 답 ①
f{x}=x@-3x+2={x-1}{x-2}이므로
f{x}
|x-1|
lim
1+
x`
!
f{x}
|x-2|
lim
2-
x`
!
{x-1}{x-2}
x-1
{x-2}=-1
{x-1}{x-2}
-{x-2}
9-{x-1}0=-1`
= lim
x`
1+
!
= lim
1+
x`
!
= lim
2-
x`
!
= lim
2-
x`
!
∴ lim
1+
x`
!
f{x}
|x-1|
+ lim
2-
x`
!
f{x}
|x-2|
=-1+{-1}=-2
유형08 답 2
lim
x`
E
!
4x+2
14x@+3 3-5
= lim
x`
E
!
4+
2
x
q4+
3
x@
5
x
e-
=
4+0
2-0
=2
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2018-04-26 오후 3:01:40
{2x-14x@-2x+3 3}{2x+14x@-2x+3 3}
2x+14x@-2x+3 3
유형09 답
1
2
lim
x`
E
!
{2x-14x@-2x+3 3}
= lim
x`
E
!
= lim
x`
E
!
= lim
x`
E
!
= lim
x`
E
!
4x@-{4x@-2x+3}
2x+14x@-2x+3 3
2x-3
2x+14x@-2x+3 3
3
x
2
x
2+q4-
2-
+
3
x@
=
e
유형10 답
1
x-3 [
lim
3
x`
!
1
20
5
x+2
2-0
2+2
=
1
2
`0이고 극한값이 존재하므로
!
유형11 답 10
x`
`1일 때 (분모)`
!
(분자)`
즉, lim
1
x`
!
`0이다.
!
{x@+ax+2}=0이므로
1+a+2=0 ∴ a=-3
이를 주어진 식의 좌변에 대입하면
x@-3x+2
x-1
x@+ax+2
x-1
=lim
1
x`
!
lim
1
x`
!
{x-1}{x-2}
x-1
{x-2}=-1
=lim
x`
1
!
=lim
1
x`
!
∴ b=-1
∴ a@+b@={-3}@+{-1}@=10
4
-
x+1 ]
=lim
x`
!
3-
1
x-3
\
x-3
{x+2}{x+1}
=
=lim
3
x`
!
1
{x+2}{x+1}
=
1
20
유형12 답 5
㈎에서 f{x}는 최고차항의 계수가 2인 이차함수이다.
㈏에서 x`
`1일 때 (분모)`
`0이고 극한값이 존재하므로
!
`0이다.
!
!
`f{x}=0이므로 f{1}=0
(분자)`
즉, lim
1
x`
!
f{x}={x-1}{2x+a}`(a는 상수)라고 하면 ㈏에서
{x-1}{2x+a}
x-1
{2x+a}=a+2
f{x}
x-1 =lim
x`
1
!
=lim
1
x`
!
lim
1
x`
!
a+2=3이므로 a=1
따라서 f{x}={x-1}{2x+1}이므로
f{2}=1\5=5
유형13 답 8
x#-x@+7x-7
x-1
lim
1+
x`
!
{x-1}{x@+7}
x-1
{x@+7}=8
= lim
x`
1+
!
= lim
1+
x`
!
ㄴ. lim
x`
0+
지 않는다.
!
ㄷ. lim
x`
0+
!
다.
ㄹ. lim
0+
x`
003 답 ④
f{x}=3
f{x}=2
!
① lim
x`
1-
② lim
1+
x`
!
③ f{2}=2
④ lim
x`
2+
지 않는다.
!
`f{x}=0
⑤ lim
3
x`
!
lim
1+
x`
!
x@-1
jx+3 l-2
{x-1}{x+1}{jx+3 l+2}
{jx+3 l-2}{jx+3 l+2}
{x-1}{x+1}{jx+3 l+2}
x-1
{x+1}{jx+3 l+2}=2\4=8
= lim
1+
x`
!
= lim
1+
x`
!
= lim
1+
x`
!
∴ lim
1+
x`
!
f{x}=8
유형14 답
1
2
A{t@, t}, B{t, jt }이므로
PA
=|t-t@|, PB
`1-일 때 |t-t@|=t-t@, |t-jt |=jt -t이므로
=|t-jt |
t`
!
jt-t
t-t@
lim
1-
t`
!
PB
PA
= lim
1-
t`
!
= lim
1-
t`
!
|t-jt |
|t-t@|
{jt-t}{jt+t}
{t-t@}{jt+t}
1
=
2
1
jt+t
= lim
1-
t`
!
= lim
1-
t`
!
= lim
1-
t`
!
t-t@
{t-t@}{jt+t}
f{x}= lim
2-
x`
!
f{x}이어야 하
핵심 유형 완성하기 11~20쪽
001 답 -1
x`
!
{x@-2k}=4-2k`
f{x}= lim
2+
f{x}= lim
2-
lim
x`
2+
!
lim
2-
x`
!
`f{x}의 값이 존재하려면 lim
lim
x`
2+
2
!
므로
{kx+8}=2k+8
!
!
x`
x`
4-2k=2k+8, -4k=4 ∴ k=-1
002 답 ㄷ, ㄹ
f{x}=-E, lim
0-
ㄱ. lim
x`
0+
재하지 않는다.
!
!
x`
f{x}=E이므로 lim
0
!
x`
`f{x}의 값이 존
f{x}=1, lim
0-
x`
!
f{x}=2이므로 lim
0
!
x`
`f{x}의 값이 존재하
f{x}= lim
0-
x`
!
f{x}=-1이므로 lim
0
!
x`
`f{x}의 값이 존재한
f{x}= lim
f{x}=3이므로 lim
0-
x`
0
!
`f{x}의 값이 존재하는 것은 ㄷ, ㄹ이다.
`f{x}의 값이 존재한다.
x`
!
!
따라서 보기 중 lim
0
!
x`
f{x}=1, lim
2-
x`
!
f{x}=2이므로 lim
2
!
x`
`f{x}의 값이 존재하
따라서 그 값이 존재하지 않는 것은 ④이다.
01 함수의 극한 3
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01Z
Z
Z
Z
004 답 ㄴ, ㄷ
ㄱ. lim
x`
1+
지 않는다.
!
f{x}=1, lim
1-
x`
!
f{x}=2이므로 lim
1
!
x`
`f{x}의 값이 존재하
ㄴ. lim
2+
x`
f{x}= lim
2-
x`
ㄷ. -1a}
-
-1 {x0
주어진 식의 좌변에서
lim
x`
E
!
{1x@+ax+2 3-bx}
{1x@+ax+2 3-bx}=E이므로
= lim
x`
E
!
{1x@+ax+2 3-bx}{1x@+ax+2 3+bx}
1x@+ax+2 3+bx
= lim
x`
E
{1-b@}x@+ax+2
1x@+ax+2 3+bx
㉠의 극한값이 존재하므로
!
1-b@=0, {1-b}{1+b}=0
yy ㉠
∴ b=1 (∵ b>0)
이를 ㉠에 대입하면
lim
x`
E
!
{1x@+ax+2 3-bx} = lim
x`
!
E
ax+2
1x@+ax+2 3+x
a+
2
x
2
x@
a
x
+
e+1
= lim
x`
E
!
=
a
1+1
q1+
a
2
=
=3이므로 a=6
따라서
a
2
∴ a-b=6-1=5
051 답 ①
㈎에서 f{x}는 최고차항의 계수가 -3인 이차함수이다.
㈏에서 x`
`0일 때 (분모)`
`0이고 극한값이 존재하므로
!
!
`0이다.
!
`f{x}=0이므로
f{x}=-3x{x+a} (a는 상수)라고 하면 ㈏의 좌변에서
(분자)`
즉, lim
x`
0
!
f{0}=0
f{x}
x@-x
lim
0
x`
!
=lim
0
x`
!
=lim
0
x`
!
-3x{x+a}
x{x-1}
-3{x+a}
x-1
1
3
=3a
따라서 3a=1이므로 a=
f{x}=-3x
x+
=-3x@-x이므로
1
3 ]
[
01 함수의 극한 9
4a-b=0 ∴ b=4a
yy ㉡
f{-1}+f{1}={-3+1}+{-3-1}=-6
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2018-04-26 오후 3:01:45
01 052 답 7
f{x}는 삼차함수이므로 f{x}=x{x-1}{ax+b} (a, b는 상수)
f{x}-x#
2x+1
lim
x`
E
!
함수이므로 f{x}-x#=4x+a (a는 상수)라고 하면
=2에서 f{x}-x#은 최고차항의 계수가 4인 일차
라고 하면
x
f{x}
lim
0
x`
!
=lim
0
x`
!
x
x{x-1}{ax+b}
f{x}=x#+4x+a
`f{x}=-5에서
lim
0
x`
!
lim
x`
0
!
따라서 f{x}=x#+4x-5이므로
{x#+4x+a}=-5 ∴ a=-5`
f{x}
x-1
lim
1
x`
!
x#+4x-5
x-1
=lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
{x-1}{x@+x+5}
x-1
{x@+x+5}=7
053 답 -66
f{x}
lim
x-1
x`
1
!
므로 (분자)`
즉, lim
1
x`
!
x-2
f{x}
lim
2
x`
!
!
!
!
`0이다.
!
`f{x}=0이므로 f{1}=0
이 존재하므로 (분모)`
`0이다.
즉, lim
2
x`
!
`f{x}=0이므로 f{2}=0
f{x}는 삼차함수이므로
!
!
=1에서 x`
`1일 때 (분모)`
`0이고 극한값이 존재하
=2에서 x`
`2일 때 (분자)`
`0이고 0이 아닌 극한값
f{x}={x-1}{x-2}{ax+b} (a, b는 상수)라고 하면
f{x}
x-1
lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
{x-1}{x-2}{ax+b}
x-1
{x-2}{ax+b}=-a-b
따라서 -a-b=1이므로 a+b=-1 yy ㉠
x-2
f{x}
lim
2
x`
!
=lim
2
x`
!
x-2
{x-1}{x-2}{ax+b}
=lim
2
x`
!
1
{x-1}{ax+b}
=
1
2a+b
따라서
=2이므로 4a+2b=1 yy ㉡
1
2a+b
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=
, b=-
3
2
5
2
f{x}={x-1}{x-2}
x-
f{-2}=-3\{-4}\
-
=-66
5
2 ]이므로
[
3
2
[
11
2 ]
에서 x`
`0일 때 (분자)`
`0이고 0이 아닌 극한값
!
=-1에서 x`
`1일 때 (분자)`
`0이고 0이 아닌 극한
!
054 답 ②
x
f{x}
lim
0
x`
!
=
1
3
즉, lim
0
x`
!
x-1
f{x}
lim
1
x`
!
이 존재하므로 (분모)`
`0이다.
`f{x}=0이므로 f{0}=0
!
!
!
!
값이 존재하므로 (분모)`
`0이다.
즉, lim
1
x`
!
`f{x}=0이므로 f{1}=0
10 정답과 해설
1
{x-1}{ax+b}
=-
1
b
=lim
0
x`
!
1
3
1
b
=
따라서 -
이므로 b=-3
yy ㉠
x-1
f{x}
lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
x-1
x{x-1}{ax+b}
=lim
1
x`
!
1
x{ax+b}
=
1
a+b
따라서
=-1이므로 a+b=-1 yy ㉡`
1
a+b
㉠을 ㉡에 대입하면
a-3=-1 ∴ a=2
f{x}=x{x-1}{2x-3}이므로
f{x+1}
2x@+x
lim
0
x`
!
=lim
0
x`
!
{x+1}x{2x-1}
x{2x+1}
{x+1}{2x-1}
2x+1
=-1`
=lim
0
x`
!
055 답 12
f{x}를 {x-2}@으로 나누었을 때의 몫을 Q{x}라고 하면 나머지
가 g{x}이므로
f{x}={x-2}@Q{x}+g{x} yy ㉠
f{x}
x@-4
lim
2
x`
!
=3에서 x`
`2일 때 (분모)`
`0이고 극한값이 존재하
!
!
므로 (분자)`
`0이다.
!
즉, lim
2
x`
!
`f{x}=0이므로 f{2}=0
이때 ㉠에서 f{2}=g{2}=0이므로 g{x}=a{x-2} (a는 상수)
라고 하면
f{x}={x-2}@Q{x}+a{x-2}
∴ lim
2
x`
!
f{x}
x@-4
=lim
2
x`
!
{x-2}@Q{x}+a{x-2}
{x+2}{x-2}
{x-2}Q{x}+a
x+2
=
a
4
=lim
2
x`
!
따라서
=3이므로
a
4
a=12
g{3}=12
g{x}=12{x-2}이므로
056 답 ③
x@+x-6
x@-3x+2
lim
2+
x`
!
= lim
2+
x`
!
{x+3}{x-2}
{x-1}{x-2}
=5
x+3
x-1
{2x+1}{x-2}
x-2
{2x+1}=5
= lim
2+
x`
!
= lim
x`
2+
!
= lim
2+
x`
!
2x@-3x-2
x-2
lim
2+
x`
!
∴ lim
2+
x`
!
f{x}=5
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=
3
2
, lim
x`
E
!
3x@+5x+1
2x@
3
2
=
이므로
057 답 5
6x@+3
4x@
lim
x`
E
!
f{x}=
3
lim
2
x`
E
!
따라서 p=2, q=3이므로
p+q=2+3=5 `
058 답
3
5
x#+3x@-4< f{x}0이므로
2x@+1
x@
<
1
xf{x}
<
2x@+x+3
x@
∴
2x@+1
10x@
<
1
10xf{x}
<
2x@+x+3
10x@
`
2x@+1
10x@
=
1
5
, lim
x`
E
!
2x@+x+3
10x@
1
5
=
이므로
x`
!
이때 lim
E
1
10xf{x}
lim
x`
E
!
=
1
5
∴ lim
x`
E
!
10xf{x}=5
060 답 ②
P{t, j3t k}, H{t, 0}이므로
=4t@+{j3t k}@ 6=1t@+3t 3
OP
=t
OH
따라서 f{t}=OP
lim
t`
E
!
`f{t} = lim
E
t`
!
=1t@+3t 3-t이므로
-OH
{1t@+3t 3-t}
{1t@+3t 3-t}{1t@+3t 3+t}
1t@+3t 3+t
= lim
t`
E
!
= lim
t`
E
!
= lim
t`
E
!
=
3
1+1
3t
1t@+3t 3+t
3
3
t
e+1
q1+
3
2
=
061 답 4
A{2, a@}, B{a, 4}이므로
PA
=|2-a|, PB
=|4-a@|
∴ lim
2-
a`
!
PB
PA
|4-a@|
|2-a|
= lim
2-
a`
!
{2+a}{2-a}
2-a
= lim
2-
a`
!
= lim
2-
a`
!
{2+a}=4
062 답
1
2
x@+y@=a@
중심이 원점이고 반지름의 길이가 a인 원의 방정식은
이 원과 직선 y=2ax의 제1사분면에서의 교점 P의 x좌표는
x@+{2ax}@=a@, x@=
a@
4a@+1
∴ x=
a
14a@+13
따라서 f{a}=
lim
a`
E
!
`f{a} = lim
E
a`
!
이므로
(∵ x>0)
a
14a@+13
a
14a@+13
1
q4+
1
a@
e
= lim
a`
E
!
=
1
2
063 답 2
오른쪽 그림과 같이 삼각형 ABC는 직
각이등변삼각형이므로
BC
QC
BQ
=4j2 k
=t라고 하면
=4j2 k-t
ABCT
=t, PC
s
∴ PQ
s
따라서 삼각형 BPQ의 넓이 S는
=j2 kt `
1
2 t{4j2 k-t} `
`C이면 j2 kt`
S=
P`
!
lim
C
P`
!
S
PC
= lim
0+
t`
!
= lim
t`
!
0+ [
`0+, 즉 t`
!
1
2
!
t{4j2 k-t}
j2 kt
2- j2 k
t
4
=2
]
`0+이므로
A
4
B
4j2-t
P
4
t
Q
t
j2t
C
QCP이므로 삼각형 QCP도 직각이등변삼각형이다.
064 답 2
농도가 15`%인 1000`L의 소금물에 들어 있는 소금의 양은
15
100
1`L당 20`g의 소금이 들어 있는 소금물을 1시간에 5`L씩 섞으므
\1000=150{kg}
로 1시간당 섞이는 소금의 양은
20\5=100{g}, 즉 0.1`kg이다.
t시간 후의 소금물의 농도 f{t}`%는
f{t} =
\100
150+0.1t
1000+5t
15000+10t
1000+5t
=
∴ lim
t`
E
f{t} = lim
E
!
15000+10t
1000+5t
t`
!
10
5
=
=2
01 함수의 극한 11
수학2 PM 해설 01(001~014)OK.indd 11
2018-04-26 오후 3:01:46
01Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
핵심 유형 최종 점검하기
1 답 ㄱ, ㄹ
유형 01 함수의 극한값의 존재
ㄱ. lim
x`
!
한다.
-1+
f{x}= lim
f{x}=0이므로 lim
-1
x`
!
x`
!
-1-
f{x}의 값이 존재
f{x}=-1, lim
0-
ㄴ. lim
x`
0+
재하지 않는다.
!
!
x`
f{x}=1이므로 lim
0
!
x`
`f{x}의 값이 존
f{x}=1, lim
1-
x`
!
f{x}=0이므로 lim
1
!
x`
`f{x}의 값이 존재하
f{x}= lim
2-
x`
!
f{x}=0이므로 lim
2
!
x`
`f{x}의 값이 존재한
ㄷ. lim
x`
1+
지 않는다.
!
ㄹ. lim
x`
2+
!
다.
따라서 보기 중 극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄹ이다.
f{x}= lim
f{x}=2이므로
f{x}=3이므로
2 답 ②
유형 02 함수의 극한값 구하기
x`
!
-1-
f{x}=2
f{x}= lim
0-
x`
`f{x}=3
!
-1+
① lim
x`
!
lim
x`
-1
!
② lim
x`
0+
!
lim
0
x`
!
③ f{0}=0
④ lim
x`
1-
⑤ lim
1+
x`
!
!
f{x}=2
f{x}=1
따라서 옳은 것은 ②이다.
3 답 2
유형 03 합성함수의 극한
f{x}=t라고 하면
x`
!
lim
x`
!
x`
`-1-일 때 t`
`-1+이므로
!
g{ f{x}}= lim
-1+
g{t}= lim
-1+
t`
-1-
{t@-2t}=3
t`
!
`1+이므로
!
`1-일 때 t`
!
!
lim
x`
1-
!
∴ lim
x`
!
-1-
g{ f{x}}= lim
1+
g{t}= lim
1+
t`
!
t`
!
g{ f{x}}+ lim
1-
x`
!
{t@-2t}=-1
g{ f{x}}=3+{-1}=2
4 답 ②
유형 04 함수의 극한에 대한 성질
4f{x}
x@-1
lim
1
x`
!
f{x}
x-1 \
1-
f{x}
x-1 \lim
4
x+1 =
4
x+1
=lim
x`
!
=lim
1
x`
!
x`
=-3\2=-6
1
!
5 답 -2
유형 04 함수의 극한에 대한 성질
lim
2
x`
!
h{x}=1, lim
2
!
x`
k{x}=5
12 정답과 해설
3f{x}+g{x}=h{x}, f{x}-2g{x}=k{x}라고 하면
21~23쪽
f{x}=
92h{x}+k{x}0이므로
1
7
1
7
1
7
1
7
`f{x}=
{2\1+5}=1
lim
2
x`
!
g{x}=
9h{x}-3k{x}0이므로
g{x}=
{1-3\5}=-2
`f{x}g{x}=1\{-2}=-2
lim
x`
2
!
∴ lim
2
x`
!
6 답 ㄹ
유형 05 가우스 기호를 포함한 함수의 극한
ㄱ. lim
0+
x`
!
[x]=0이므로
[x]
x
= lim
x`
0+
!
[x]=-1이므로
=0
0
x
[x]
x
= lim
x`
!
0-[
-
1
x ]
=E
lim
x`
0+
!
lim
0-
x`
!
lim
0-
x`
!
!
lim
1+
x`
!
lim
1-
x`
!
lim
1-
x`
!
x`
-1+
lim
!
lim
!
x`
-1-
lim
!
-1-
x`
!
lim
2
x`
!
[x]
x
즉, lim
x`
0
!
[x]=1이므로
ㄴ. lim
1+
x`
의 값은 존재하지 않는다.
=
1+3
1+1
x+3
[x]+1
[x]=0이므로
=2
x+3
[x]+1
=
1+3
0+1
=4
x+3
[x]+1
즉, lim
1
x`
!
[x]=-1, lim
ㄷ. lim
x`
-1+
!
의 값은 존재하지 않는다.
[x+2]=1이므로
x`
!
-1+
1
-1-2
=
[x+2]
[x]-2
[x]=-2, lim
=-
1
3
[x+2]=0이므로
x`
-1-
!
0
-2-2
=0
[x+2]
[x]-2
=
[x-2]
[x]-2
즉, lim
x`
-1
!
`2일 때 x@-4x+4={x-2}@`
의 값은 존재하지 않는다.
`0+이므로
ㄹ. x`
!
[x@-4x+4]=0
따라서 보기 중 극한값이 존재하는 것은 ㄹ이다.
7 답 ⑤
유형 06
0)
꼴의 극한 - 분수식, 무리식
lim
1
x`
!
1x@+3 3-2
jx+8 k-3
{1x@+3 3-2}{1x@+3 3+2}{jx+8 l+3}
{jx+8 k-3}{jx+8 k+3}{1x@+3 3+2}
{x@-1}{jx+8 l+3}
{x-1}{1x@+3 3+2}
{x+1}{x-1}{jx+8 l+3}
{x-1}{1x@+3 3+2}
=lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
{x+1}{jx+8 l+3}
1x@+3 3+2
=3
수학2 PM 해설 01(001~014)OK.indd 12
2018-04-26 오후 3:01:47
8 답 6
유형 07
0)
x@+2x
|x|
lim
0+
x`
!
∴ a=2
3x@-4x
|x|
lim
0-
x`
!
꼴의 극한 - 절댓값 기호를 포함한 식
x{x+2}
x
{x+2}=2
= lim
x`
0+
!
= lim
0+
x`
!
x{3x-4}
-x
{-3x+4}=4
= lim
x`
0-
!
= lim
0-
x`
!
∴ b=4
∴ a+b=2+4=6
9 답 2
유형 08 E
E
꼴의 극한
lim
x`
E
!
19x@-13+3x
1x@+3x 3+2x
= lim
x`
E
!
q9-
q1+
1
x@ e+3
3
x
e+2
=
3+3
1+2
=2
10 답 ②
유형 08 E
E
꼴의 극한
1-x=t라고 하면 x`
f{1-x}
x-1
lim
-E
x`
!
= lim
t`
E
!
!
`-E일 때 t`
f{t}
-t
=-3
`E이므로
!
f{t}
t =-3이므로
즉, - lim
t`
E
!
f{x}
x
2x@-x+3+2f{x}
x@-1-xf{x}
∴ lim
x`
E
lim
x`
E
!
=3
`
!
= lim
x`
E
!
2-
+
+2\
1
x
3
x@
f{x}
x
\
1
x
1-
-
1
x@
f{x}
x
=
2-0+0+0
1-0-3
=-1
11 답 6
유형 09 E-E 꼴의 극한
lim
x`
E
!
1
jx kj9x+1l-3x
1
jx k{j9x+1l-3jx k}
j9x+1l+3jx k
jx k{j9x+1l-3jx k}{j9x+1l+3jx k}
j9x+1l+3jx k
jx k
1
x
[q9+
e+3
]
= lim
x`
E
!
= lim
x`
E
!
= lim
x`
E
!
= lim
x`
E
!
=3+3=6
+
{1t@+3t 3-t}{1t@+3t 3+t}
1t@+3t 3+t
=
`E이므로
12 답 ②
유형 09 E-E 꼴의 극한
x=-t라고 하면 x`
!
`-E일 때 t`
!
{1x@+4x 3+1x@-3x 3+2x}
{1t@-4t 3+1t@+3t 3-2t}
9{1t@-4t 3-t}+{1t@+3t 3-t}0
{1t@-4t 3-t}{1t@-4t 3+t}
1t@-4t 3+t
lim
x`
-E
!
= lim
t`
E
!
= lim
t`
E
!
= lim
t`
!
E-
= lim
t`
!
E[
= lim
t`
E[
!
-4
1+1
=
-4t
1t@-4t 3+t
-4
4
q1-
t
3
1+1
e+1
+
=-
1
2
+
+
3t
1t@+3t 3+t ]
3
3
t
q1+
e+1 ]
13 답 4
유형 10 E\0 꼴의 극한
lim
1
x`
!
{jx k-1}
[
1+
1
x@-1 ]
=lim
x`
!
=
1- {jx k-1}\
x@
x@-1
x@{jx k-1}
{jx k+1}{jx k-1}{x+1}
x@
{jx k+1}{x+1}
1
4
=
=lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
x`
`-2일 때 (분자)`
`0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로
따라서 p=4, q=1이므로 pq=4\1=4
14 답 2
유형 10 E\0 꼴의 극한
=
x+2
2
x+2
x+2
{
2 }
4
x {
lim
x`
E
!
2 }
= lim
x`
E
!
4
x [
-h {00일 때 j9x+1l>0, j9x+4 l>0이므로
j9x+1l0일 때 6x+2>0이므로
9 f{x}0@
6x+2
9x+1
6x+2
9x+4
6x+2
3
2
<
<
=
, lim
x`
E
!
이때 lim
x`
E
!
9 f{x}0@
6x+2
lim
x`
E
!
=
3
2
9x+4
6x+2
3
2
=
이므로
점 A{t, 1}을 지나고 기울기가 2인 직선 L의 방정식은
1
19 답
2
유형 14 함수의 극한의 활용
y-1=2{x-t}
∴ y=2x-2t+1
14 정답과 해설
따라서 OA
=t, PH
=
이고, P`
`B일 때 t`
`E이므로
!
!
8t
4+t@
다른 풀이 점 P의 좌표를 {a, b}라고 하면 H{a, 0}이므로
2
t
[
y
4
t@
-[
y-2
]@+y@=4, [
8
t =
y-
=0
]
+1
4
t@
+1
y@-
y=0
]
8
t
∴ y=
=
8t
4+t@
(∵ y=0)
8
t
4
t@
+1
lim
B
P`
!
{OA
\PH
} = lim
t`
E
[
!
t\
8t
4+t@ ]
= lim
t`
E
!
8t@
4+t@
=8
PH
=b
직선 BP의 방정식은
y=
b-0
a+2
{x+2} ∴ y=
2b
a+2
점 A는 이 직선이 y축과 만나는 점이므로
b
a+2
x+
A
0,
[
2b
a+2 ] ∴ OA
=
2b
a+2
`
점 P{a, b}는 원 x@+y@=4 위의 점이므로
a@+b@=4 ∴ b@=4-a@
`B일 때 a`
!
{OA
}
\`PH
P`
!
lim
B
P`
!
\b
]
-2+[
= lim
a`
!
`-2+이므로
2b
a+2
2b@
a+2
2{4-a@}
a+2
= lim
a`
!
= lim
a`
!
-2+
-2+
2{2+a}{2-a}
a+2
2{2-a}=8
-2+
= lim
a`
!
= lim
a`
!
-2+
수학2 PM 해설 01(001~014)OK.indd 14
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Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
02 함수의 연속
유형01 ㄱ, ㄷ 유형02 ㄱ, ㄴ, ㄷ
유형03 2
유형04 7
유형05 -1 유형06 ㄴ
유형07 ④
유형08 ⑤
001 3
002 ⑤
003 ⑤
004 3
005 -4
006 ③
007 ④
008 3
009 ㄱ
010 3
011 4
016 4
012 -1 013 1
014 32
015 20
017 ⑤
018 ①
019 6
020 ④
021 ①
022 ③
023 2
025 ㄱ, ㄴ, ㄹ
026 ㄱ
024 ㄱ
027 ④
028 ㄱ, ㄴ 029 ④
030 ㄱ
031 ④
032 30
033 2
034 ③
035 ㄱ, ㄴ
1 ㄱ, ㄴ 2 ⑤
6 8
11 ④
7 ⑤
12 3
3 ㄴ
8 3
4 5
9 ③
5 ③
10 ㄴ
핵심 유형 26~27쪽
유형01 답 ㄱ, ㄷ
ㄱ. f{0}=1이고,
x`
!
f{x}= lim
0+
f{x}= lim
0-
lim
0+
x`
!
lim
0-
x`
x`
!
`f{x}=1
lim
x`
0
!
∴ lim
0
x`
!
!
`f{x}=f{0}
{x+1}=1,
{x@+1}=1에서
따라서 함수 f{x}는 x=0에서 연속이다.
1
x
1
x
ㄴ. lim
0+
x`
f{x}= lim
0+
x`
!
!
=E
=-E
x`
f{x}= lim
0-
lim
x`
0-
!
따라서 lim
0
!
x=0에서 불연속이다.
!
x`
ㄷ. f{0}=2이고,
`f{x}=lim
x`
0
!
`f{x}=f{0}
lim
x`
0
!
∴ lim
0
x`
!
x@+2x
x
=lim
0
x`
!
{x+2}=2
`f{x}의 값이 존재하지 않으므로 함수 f{x}는
따라서 함수 f{x}는 x=0에서 연속이다.
따라서 보기 중 x=0에서 연속인 함수는 ㄱ, ㄷ이다.
∴ f{2}=7
유형02 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ
`f{x}=0
ㄱ. lim
x`
0
!
f{x}= lim
ㄴ. lim
x`
1-
!
수 f{x}는 x=-1과 x=1에서 불연속이다.
f{x}, lim
1+
f{x}= lim
-1+
-1-
!
!
!
x`
x`
x`
즉, 함수 f{x}가 불연속인 x의 값은 2개이다.
f{x}이므로 함
9 f{x}0@=1@=1, lim
1-
x`
!
9 f{x}0@={-1}@=1에서
ㄷ. 9 f{1}0@={-1}@=1이고
lim
1+
x`
!
9 f{x}0@=1
lim
x`
1
!
∴ lim
1
x`
!
9 f{x}0@=9 f{1}0@
따라서 함수 9 f{x}0@은 x=1에서 연속이다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
`f{x}=f{3}
`0이고 극한값이 존재하므로
!
유형03 답 2
함수 f{x}가 x=3에서 연속이면 lim
3
!
x`
x@+ax-3
x-3
∴ lim
3
x`
!
`3일 때 (분모)`
x`
=b yy ㉠
!
(분자)`
즉, lim
3
x`
!
`0이다.
!
{x@+ax-3}=0이므로
9+3a-3=0 ∴ a=-2
이를 ㉠의 좌변에 대입하면
x@+ax-3
x-3
lim
3
x`
!
=lim
3
x`
!
x@-2x-3
x-3
{x+1}{x-3}
x-3
{x+1}=4
=lim
x`
3
!
=lim
x`
3
!
따라서 b=4이므로`
a+b=-2+4=2
유형04 답 7
x=2일 때, 주어진 등식의 양변을 x-2로 나누면
=f{2} yy ㉠
`0이고 극한값이 존재하므로
!
f{x}=
x#-kx+2
x-2
`f{x}=f{2}
lim
2
x`
!
x#-kx+2
x-2
∴ lim
2
x`
!
`2일 때 (분모)`
x`
!
(분자)`
즉, lim
2
x`
!
`0이다.
!
{x#-kx+2}=0이므로
8-2k+2=0 ∴ k=5
이를 ㉠의 좌변에 대입하면
x#-kx+2
x-2
lim
2
x`
!
x#-5x+2
x-2
=lim
2
x`
!
=lim
2
x`
!
=lim
2
x`
!
{x-2}{x@+2x-1}
x-2
{x@+2x-1}=7
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이면 x=2에서도 연속이므로
02 함수의 연속 15
수학2 PM 해설 02(015~025)OK.indd 15
2018-04-26 오후 3:02:44
02 ㄷ. x=3에서 함수 f{x}가 정의되지 않으므로 함수 f{x}는
따라서 함수 f{x}는 x=3에서 연속이다.
따라서 보기 중 x=3에서 연속인 함수는 ㄱ, ㄴ, ㄹ의 3개이다.
`f{x}=f{1}이어야 한다.
유형05 답 -1
함수 f{x}가 x=1에서 연속이면 lim
1
!
[x]=1이므로
x`
x`
!
f{x}=3+a
[x+2]=3, lim
1+
[x+2]=2, lim
1-
lim
x`
1+
!
lim
x`
1+
!
lim
x`
1-
!
lim
x`
1-
!
lim
x`
1+
!
3+a=2 ∴ a=-1
f{x}= lim
1-
f{x}=2
!
!
x`
x`
유형06 답 ㄴ
[x]=0이므로
f{x}이어야 하므로
ㄱ. [반례] f{x}=
이라고 하면
2x+1 {x=0}
-
0 {x=0}
f{0}=0이고, lim
0
!
`f{x}=lim
0
!
x`
x`
`f{x}=f{0}
재하지만 lim
0
!
x`
{2x+1}=1로 그 값이 모두 존
따라서 함수 f{x}는 x=0에서 불연속이다.
ㄴ. h{x}= f{x}-g{x}라고 하면 g{x}=f{x}-h{x}
이때 두 함수 f{x}, h{x}가 x=a에서 연속이므로 함수 g{x}
도 x=a에서 연속이다.
ㄷ. [반례] f{x}=x-1, g{x}=x라고 하면 두 함수 f{x}, g{x}
는 모두 x=1에서 연속이지만 함수
g{x}
f{x}
=
x
x-1
는 x=1에
서 정의되지 않으므로 x=1에서 불연속이다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ이다.
유형07 답 ④
① lim
3+
x`
!
f{x}=3
② f{2}=2이고,
f{x}=1, lim
2-
`f{x}=f{2}
!
x`
lim
x`
2+
!
∴ lim
2
x`
!
f{x}=1에서 lim
2
!
x`
`f{x}=1
따라서 함수 f{x}는 x=2에서 불연속이다.
③ 함수 f{x}가 불연속인 x의 값은 x=2, x=3의 2개이다.
④ 00
즉, f{2} f{3}<0이므로 사잇값의 정리에 의해 주어진 방정식은
구간 {2,``3}에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
참고 사잇값의 정리의 활용
함수 f{x}가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 f{a}f{b}<0이면 방정식
16 정답과 해설
핵심 유형 완성하기 28~33쪽
001 답 3
ㄱ. f{3}=7, lim
3
!
x`
`f{x}=f{3}
`f{x}=7이므로
lim
x`
3
!
따라서 함수 f{x}는 x=3에서 연속이다.
ㄴ. f{3}=0, lim
3
!
x`
`f{x}=f{3}
`f{x}=0이므로
lim
x`
3
!
따라서 함수 f{x}는 x=3에서 연속이다.
x=3에서 불연속이다.
ㄹ. f{3}=2이고,
lim
3
x`
!
`f{x} =lim
3
!
x`
x@-9
x@-3x
{x+3}{x-3}
x{x-3}
=lim
3
x`
!
x+3
=lim
x
x`
3
!
`f{x}=f{3}
=2`
∴ lim
3
x`
!
002 답 ⑤
① f{x}=1x@+2x+13=1{x+1}@ 3=|x+1|
f{x}=0이므로
f{-1}=0, lim
-1
x`
f{x}=f{-1}
!
lim
x`
-1
!
따라서 함수 f{x}는 x=-1에서 연속이다.
② f{-1}=0이고,
f{x}= lim
{2+2x}=0,
x`
!
-1+
f{x}= lim
{1+x}=0에서
x`
f{x}=0
-1-
!
f{x}=f{-1}
따라서 함수 f{x}는 x=-1에서 연속이다.
③ f{-1}=1이고,
f{x}= lim
{-x}=1,
x`
!
-1+
f{x}= lim
x@=1에서
x`
f{x}=1
-1-
!
f{x}=f{-1}
따라서 함수 f{x}는 x=-1에서 연속이다.
x`
-1-
-1+
lim
!
lim
x`
!
lim
x`
-1
!
∴ lim
-1
x`
!
x`
-1+
-1-
lim
!
lim
x`
!
lim
x`
-1
!
∴ lim
-1
x`
!
④ f{-1}=-1이고,
lim
-1
x`
!
f{x} = lim
-1
x`
!
x+x@
x+1
x{x+1}
x+1
x=-1
= lim
x`
-1
!
= lim
-1
x`
!
f{x}=f{-1}
∴ lim
-1
x`
!
f{x}=0은 열린구간 {a, b}에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
따라서 함수 f{x}는 x=-1에서 연속이다.
수학2 PM 해설 02(015~025)OK.indd 16
2018-04-26 오후 3:02:44
x=0, x-1=0, x-2=0인 x의 값에서 함수 f{x}가 정의되지
따라서 함수 f{x}가 불연속인 x의 값은 x=0, x=1, x=2의 3개
⑤ lim
x`
!
-1+
f{x}= lim
x`
!
-1+
=1
x+1
x+1
-{x+1}
x+1
f{x}
lim
!
f{x}= lim
=-1
-1-
x`
!
f{x}= lim
x`
-1-
∴ lim
x`
-1+
!
f{x}의 값이 존재하지 않으므로 함수 f{x}는 x=-1에
lim
x`
-1
!
서 불연속이다.
-1-
!
x`
따라서 x=-1에서 불연속인 함수는 ⑤이다.
003 답 ⑤
ㄱ. 함수 f{x}가 x=1인 모든 실수 x에서 연속이므로 x=1에서
않는다.
이다.
005 답 -4
f{g{x}}=f{5-x@}이므로
{5-x@}-1
|{5-x@}-1|
0
f{g{x}} =
-
-1 {x@>4}
=
-
0 {x@=4}
1 {x@<4}
{5-x@=1}
{5-x@=1}
=
4-x@
|4-x@|
0
-
{x@=4}
{x@=4}
{x+1}{x-1}
x-1
에서 불연속이다.
함수 f{g{x}}는 x@=4인 x의 값에서 불연속이므로 x=2, x=-2
따라서 구하는 모든 x의 값의 곱은 2\{-2}=-4
따라서 함수 f{x}는 x=1에서도 연속이므로 모든 실수 x에
ㄴ. 함수 f{x}가 x=2인 모든 실수 x에서 연속이므로 x=2에서
006 답 ③
① f{-1}=0
`f{x}=-1
② lim
0
x`
!
연속인지 확인한다.
f{1}=2이고,
x@-1
=lim
x-1
x`
1
!
{x+1}=2`
lim
1
x`
!
`f{x} =lim
x`
1
!
=lim
x`
1
!
`f{x}=f{1}
∴ lim
1
x`
!
서 연속이다.
연속인지 확인한다.
f{2}=1이고,
`f{x}= lim
2+
x`
!
lim
2+
x`
!
`f{x}=1
lim
x`
2
!
∴ lim
2
x`
!
`f{x}=f{2}
서 연속이다.
연속인지 확인한다.
f{1}=4이고,
lim
1+
x`
!
f{x} = lim
1+
x`
!
= lim
1+
x`
!
= lim
1+
x`
!
f{x}=4에서
lim
1-
x`
!
`f{x}=4
lim
x`
1
!
∴ lim
1
x`
!
`f{x}=f{1}
서 연속이다.
{j2x-4 l+1}=1, lim
f{x}=1에서
x`
!
2-
따라서 함수 f{x}는 x=2에서도 연속이므로 모든 실수 x에
ㄷ. 함수 f{x}가 x=1인 모든 실수 x에서 연속이므로 x=1에서
x-1
jx+3 l-2
{x-1}{1x+3 3+2}
{jx+3 l-2}{jx+3 l+2}
{jx+3 l+2}=4
따라서 함수 f{x}는 x=1에서도 연속이므로 모든 실수 x에
따라서 보기 중 모든 실수 x에서 연속인 함수는 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
004 답 3
f{x} =2-
=2-
1
2
x
-
1
x-1
1
x-2
x{x-1}
=2-
x{x-1}
x-2
③ ! lim
f{x}=0, lim
f{x}=1이므로 lim
-1
x`
!
-1-
!
f{x}의 값이
!
-1+
x`
x`
존재하지 않는다.
따라서 함수 f{x}는 x=-1에서 불연속이다.
@ f{0}=1, lim
`f{x}=-1이므로
0
x`
`f{x}=f{0}
!
lim
x`
0
!
따라서 함수 f{x}는 x=0에서 불연속이다.
# 함수 f{x}는 x=1에서 정의되지 않으므로 x=1에서 불연
속이다.
따라서 함수 f{x}가 불연속인 x의 값은 3개이다.
9 f{x}0@={-1}@=1이므로
④ 9 f{0}0@=1@=1이고, lim
0
!
x`
9 f{x}0@=9 f{0}0@
lim
x`
0
!
따라서 함수 9 f{x}0@은 x=0에서 연속이다.
⑤ f{1+1}=f{2}=0
x+1=t라고 하면 x`
`1일 때 t`
`2이므로
!
!
`f{x+1}=lim
t`
2
!
`f{x+1}=f{1+1}
`f{t}=0
lim
x`
1
!
∴ lim
1
x`
!
따라서 함수 f{x+1}은 x=1에서 연속이다.
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
f{x}=-1이므로 lim
-1
x`
!
f{x}의 값이
007 답 ④
! x=-1일 때
lim
!
-1+
f{x}=1, lim
x`
x`
존재하지 않는다.
-1-
!
@ x=0일 때
f{0}=0이고, lim
0
x`
!
`f{x}=f{0}
`f{x}=2이므로
lim
x`
0
!
따라서 함수 f{x}는 x=0에서 불연속이다.
02 함수의 연속 17
수학2 PM 해설 02(015~025)OK.indd 17
2018-04-26 오후 3:02:45
02 함수 f{x}는 x=-1, x=0, x=1, x=2에서 불연속이므로
따라서 함수 g{ f{x}}는 x=-1에서 불연속이다.
따라서 함수 f{x}g{x}는 x=2에서 불연속이다.
x=1의 3개이다.
따라서 함수 g{ f{x}}는 x=1에서 불연속이다.
따라서 함수 g{ f{x}}가 불연속인 x의 값은 x=-1, x=0,
f{x}=-1, lim
1-
x`
!
f{x}=1이므로 lim
1
!
x`
`f{x}의 값이 존재
010 답 3
함수 g{x}가 x=0, x=1에서 불연속이므로 함수 g{ f{x}}에 대
하여 f{x}=0, f{x}=1인 x의 값 즉, x=-1, x=0, x=1에서
f{2}=-1이고, lim
2
!
x`
`f{x}=0이므로
`f{x}=f{2}
lim
x`
2
!
따라서 함수 f{x}는 x=2에서 불연속이다.
함수 f{x}는 x=-1, x=1에서 극한값이 존재하지 않으므로
# x=1일 때
lim
x`
1+
!
하지 않는다.
$ x=2일 때
m=2
n=4
∴ m+n=2+4=6
008 답 3
! x=1일 때
f{1}g{1}=1\1=1이고, lim
1
!
x`
`f{x}g{x}=0\1=0이므로
`f{x}g{x}=f{1}g{1}
lim
x`
1
!
따라서 함수 f{x}g{x}는 x=1에서 불연속이다.
f{x}g{x}=-1\0=0, lim
2-
x`
!
f{x}g{x}=1\0=0에서
@ x=2일 때
f{2}g{2}=-1\1=-1이고,
lim
2+
x`
!
`f{x}g{x}=0
lim
x`
2
!
∴ lim
2
x`
!
`f{x}g{x}=f{2}g{2}
# x=3일 때
f{3}g{3}=0\2=0이고,
lim
3+
x`
!
`f{x}g{x}=0
lim
x`
3
!
∴ lim
3
x`
!
`f{x}g{x}=f{3}g{3}
그 합은 1+2=3
009 답 ㄱ
ㄱ. lim
0
x`
!
`f{x}=1
f{x}g{x}=0\2=0, lim
3-
x`
!
f{x}g{x}=0\1=0에서
따라서 함수 f{x}g{x}는 x=3에서 연속이다.
따라서 함수 f{x}g{x}가 불연속인 x의 값은 x=1, x=2이므로
ㄴ. f{x}=t라고 하면 x`
`0일 때 t`
`1-이므로
!
f{t}=0
!
lim
0
x`
!
`f{ f{x}}= lim
1-
ㄷ. f{x}=t라고 하면 x`
!
t`
`1+일 때 t`
`-1+이므로
!
!
lim
x`
1+
!
x`
f{ f{x}}= lim
-1+
!
`0+이므로
`1-일 때 t`
f{t}=0
t`
!
!
f{t}=1
f{ f{x}}= lim
0+
t`
f{ f{x}}= lim
1-
!
lim
x`
1-
!
∴ lim
x`
1+
!
`f{ f{x}}의 값이 존재하지 않으므로 함수 f{ f{x}}는
lim
x`
1
!
x=1에서 불연속이다.
f{ f{x}}
!
x`
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ이다.
18 정답과 해설
연속성을 조사한다.
! x=-1일 때
g{ f{-1}}=g{1}=-1
f{x}=t라고 하면 x`
`-1일 때 t`
`1이므로
!
!
g{t}=0 `
g{ f{x}}=lim
1
!
g{ f{x}}=g{ f{-1}}
t`
lim
x`
-1
!
∴ lim
-1
x`
!
@ x=0일 때
g{ f{0}}=g{0}=2
f{x}=t라고 하면 x`
`0일 때 t`
`0+이므로
!
g{t}=1
!
g{ f{x}}= lim
0+
t`
!
g{ f{x}}=g{ f{0}}
lim
x`
0
!
∴ lim
0
x`
!
따라서 함수 g{ f{x}}는 x=0에서 불연속이다.
# x=1일 때
g{ f{1}}=g{1}=-1
f{x}=t라고 하면 x`
`1일 때 t`
`1이므로
!
!
g{ f{x}}=lim
t`
1
!
g{ f{x}}=g{ f{1}}
g{t}=0
lim
x`
1
!
∴ lim
1
x`
!
011 답 4
함수 f{x}가 x=1에서 연속이면 lim
1
!
x`
`f{x}=f{1}
x@+ax+b
x-1
∴ lim
1
x`
!
`1일 때 (분모)`
x`
=-4
yy ㉠
`0이고 극한값이 존재하므로
!
!
(분자)`
즉, lim
1
x`
!
`0이다.
!
{x@+ax+b}=0이므로
1+a+b=0 ∴ b=-a-1 yy ㉡
이를 ㉠의 좌변에 대입하면
x@+ax+b
x-1
lim
1
x`
!
x@+ax-a-1
x-1
{x-1}{x+a+1}
x-1
{x+a+1}=a+2
=lim
1
x`
!
=lim
x`
1
!
=lim
1
x`
!
따라서 a+2=-4이므로 a=-6
이를 ㉡에 대입하면 b=5
∴ a+2b=-6+2\5=4
012 답 -1
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이면 x=-1, x=1에서도 연
속이다.
x=-1에서 연속이면 lim
-1
x`
!
f{x}의 값이 존재하므로
수학2 PM 해설 02(015~025)OK.indd 18
2018-04-26 오후 3:02:45
`f{x}의 값이 존재하므로
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이면 x=1에서도 연속이므로
x`
-1+
lim
!
lim
!
f{x}= lim
f{x}에서
x`
-1-
{-x@+ax+b}= lim
!
{x-1}@
-1+
x`
-1-a+b=4 ∴ a-b=-5 yy ㉠
-1-
!
x`
x`
x=1에서 연속이면 lim
1
!
f{x}에서
f{x}= lim
1-
lim
1+
x`
!
lim
x`
1+
x`
!
0=-1+a+b ∴ a+b=1
x`
{x-1}@= lim
1-
!
!
{-x@+ax+b}
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=3`
∴ 2a+b=2\{-2}+3=-1
yy ㉡
013 답 1
함수 f{x}는 x=a인 모든 실수 x에서 연속이므로 x=a에서 연
`f{x}의 값이 존재하므로
속이어야 한다.
x`
x=a에서 연속이면 lim
a
!
f{x}에서
f{x}= lim
a-
lim
x`
a+
x`
!
{3-x@}= lim
lim
x`
a+
a-
!
3-a@=a@-2a ∴ 2a@-2a-3=0`
{x@-2x}
!
!
x`
이 이차방정식은 두 실근을 가지므로 근과 계수의 관계에 의해 모
든 실수 a의 값의 합은 1이다.
∴ f{1}=4
016 답 4
x=1일 때, 주어진 등식의 양변을 x-1로 나누면
=f{1} yy ㉠
`0이고 극한값이 존재하므로
f{x}=
x@+ax+a-5
x-1
`f{x}=f{1}
lim
1
x`
!
x@+ax+a-5
x-1
∴ lim
1
x`
!
`1일 때 (분모)`
x`
!
!
(분자)`
즉, lim
1
x`
!
1+a+a-5=0
2a-4=0 ∴ a=2
이를 ㉠의 좌변에 대입하면
x@+ax+a-5
x-1
lim
1
x`
!
`0이다.
!
{x@+ax+a-5}=0이므로
x@+2x-3
x-1
{x+3}{x-1}
x-1
{x+3}=4
=lim
1
x`
!
=lim
x`
1
!
=lim
1
x`
!
017 답 ⑤
x=-1일 때, ㈎의 양변을 x+1로 나누면
f{x}=
3x%+ax+b
x+1
yy ㉠
`0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이면 x=-1에서도 연속이므로
014 답 32
함수 f{x}가 x=2에서 연속이면 lim
2
!
x`
`f{x}=f{2}
=b yy ㉠
x@-4
∴ lim
jx+a l-2
2
x`
!
`2일 때 (분자)`
x`
!
!
(분모)`
즉, lim
2
x`
!
`0이다.
!
{jx+a l-2}=0이므로
j2+a l-2=0 ∴ a=2
이를 ㉠의 좌변에 대입하면
lim
2
x`
!
x@-4
jx+a l-2
=lim
2
x`
!
x@-4
jx+2 l-2
=lim
2
x`
!
{x@-4}{jx+2 l+2}
{jx+2 l-2}{jx+2 l+2}
{x+2}{x-2}{jx+2 l+2}
x-2
=lim
x`
2
!
=lim
x`
2
!
따라서 b=16이므로 ab=2\16=32
{x+2}{jx+2 l+2}=16`
`f{x}g{x}=f{2}g{2}이어야 한다.
9{2x+a}\{-x}0=-2a-8
x{x+b}=2b+4
f{x}g{x}=f{2}g{2}에서
015 답 20
x=2에서 연속이면 lim
2
!
x`
f{2}g{2}=2\{-2}=-4
x`
!
f{x}g{x}= lim
lim
2+
x`
2+
!
f{x}g{x}= lim
lim
x`
2-
2-
!
f{x}g{x}= lim
lim
x`
2+
2-
!
-2a-8=2b+4=-4
!
!
x`
x`
∴ a=-2, b=-4
∴ a@+b@=4+16=20
f{x}=f{-1}
lim
-1
x`
!
3x%+ax+b
x+1
∴ lim
-1
x`
!
`-1일 때 (분모)`
x`
`0이다.
!
(분자)`
!
즉, lim
-1
x`
!
{3x%+ax+b}=0이므로
=f{-1}
yy ㉡
`0이고 극한값이 존재하므로
!
-3-a+b=0 ∴ a-b=-3 yy ㉢
한편 함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이면 x=1에서도 연속이
므로 ㈏에서
`f{x}= f{1}=6
lim
x`
1
!
이때 ㉠에서
f{1}=
3+a+b
2
=6
3+a+b=12 ∴ a+b=9
yy ㉣
㉢, ㉣을 연립하여 풀면
a=3, b=6
이를 ㉡의 좌변에 대입하면
3x%+ax+b
x+1
lim
-1
x`
!
= lim
-1
x`
!
3x%+3x+6
x+1
3{x+1}{x$-x#+x@-x+2}
x+1
3{x$-x#+x@-x+2}=18
= lim
-1
x`
!
= lim
-1
x`
!
∴ f{-1}=18
02 함수의 연속 19
수학2 PM 해설 02(015~025)OK.indd 19
2018-04-26 오후 3:02:46
02
함수 f{x}가 x>-6인 모든 실수 x에서 연속이면 x=3에서도
018 답 ①
x=3일 때, 주어진 등식의 양변을 x-3으로 나누면
f{x}=
ajx+6 l+b
x-3
연속이므로
`f{x}=f{3}
lim
3
x`
!
ajx+6 l+b
x-3
∴ lim
3
x`
!
`3일 때 (분모)`
x`
!
(분자)`
=-
yy ㉠
1
3
`0이고 극한값이 존재하므로
!
`0이다.
!
{ajx+6 l+b}=0이므로
3a+b=0 ∴ b=-3a yy ㉡
즉, lim
3
x`
!
이를 ㉠의 좌변에 대입하면
ajx+6 l+b
x-3
lim
3
x`
!
ajx+6 l-3a
x-3
=lim
3
x`
!
=lim
3
x`
!
=lim
3
x`
!
=lim
3
x`
!
a{jx+6 l-3}{jx+6 l+3}
{x-3}{jx+6 l+3}
a{x-3}
{x-3}{jx+6 l+3}
a
=
jx+6 l+3
a
6
따라서
=-
이므로
a
6
1
3
a=-2
이를 ㉡에 대입하면 b=6
∴ a+b=-2+6=4
f{x}=
2x#+ax+b
x@-x-2
f{x}=f{-1}
lim
-1
x`
!
2x#+ax+b
x@-x-2
!
`-1일 때 (분모)`
`0이다.
∴ lim
-1
x`
x`
!
(분자)`
!
즉, lim
-1
x`
!
019 답 6
x=-1이고 x=2일 때, 주어진 등식의 양변을 x@-x-2로 나누면
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이면 x=-1에서도 연속이므로
=f{-1}
yy ㉠
`0이고 극한값이 존재하므로
!
{2x#+ax+b}=0이므로
-2-a+b=0 ∴ a-b=-2
yy ㉡
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이면 x=2에서도 연속이므로
`f{x}=f{2}
lim
2
x`
!
2x#+ax+b
∴ lim
x@-x-2
2
x`
!
`2일 때 (분모)`
x`
!
(분자)`
즉, lim
2
x`
!
`0이다.
!
{2x#+ax+b}=0이므로
=f{2}
yy ㉢
`0이고 극한값이 존재하므로
!
16+2a+b=0 ∴ 2a+b=-16 yy ㉣
㉡, ㉣을 연립하여 풀면
a=-6, b=-4
yy ㉤
20 정답과 해설
㉤을 ㉠의 좌변에 대입하면
2x#+ax+b
x@-x-2
lim
-1
x`
!
2x#-6x-4
x@-x-2
2{x+1}@{x-2}
{x+1}{x-2}
2{x+1}=0
= lim
-1
x`
!
= lim
-1
x`
!
= lim
-1
x`
!
∴ f{-1}=0
㉤을 ㉢의 좌변에 대입하면
2x#+ax+b
x@-x-2
lim
2
x`
!
2x#-6x-4
x@-x-2
2{x+1}@{x-2}
{x+1}{x-2}
2{x+1}=6
=lim
2
x`
!
=lim
2
x`
!
=lim
2
x`
!
∴ f{2}=6
∴ f{-1}+f{2}=0+6=6
020 답 ④
x=-1에서 연속이면 lim
-1
x`
!
f{x}=f{-1}이어야 한다.
x`
!
`-1+일 때 -10, f{5}=75>0`
-2
O
-1
2
x
즉, f{3}f{4}<0이므로 사잇값의 정리에 의해 주어진 방정식은
구간 {3, 4}에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
함수 f{x}는 x=0에서 연속이므로
-3
- 2< x < 2에서 연속이다. 따라서 최
대·최소 정리에 의해 최댓값과 최솟값을 모두 갖는다.
ㄴ. g{x}=[x]의 그래프는 오른쪽 그림과
y=g{x}
이다.
032 답 30
f{x}=x#-4x@+a라고 하면 함수 f{x}는 모든 실수 x에서 연속
같다.
따라서 -2< x<2에서 함수 g{x}의
-2 -1
최댓값은 2, 최솟값은 -2이다.
{x=0}
1
x
0 {x=0}
ㄷ. h{x}=
-
그림과 같다.
의 그래프는 오른쪽
-2
2!
따라서 -2< x<2에서 함수 h{x}의
최댓값과 최솟값은 존재하지 않는다.
f{1}=a-3, f{3}=a-9이므로 f{1}f{3}<0이라고 하면
{a-3}{a-9}<0 ∴ 30
g{1}=f{1}-1=-3-1=-4<0
g{2}=f{2}-2=-2-2=-4<0`
y=f{x}
∴ g{-1}g{0}<0, g{0}g{1}<0`
사잇값의 정리에 의해 방정식 g{x}=0은 구간 {-1,``0}과 구간
{0,``1}에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다.
O
2
x
따라서 방정식 g{x}=0은 적어도 2개의 실근을 갖는다.
수는 ㄱ, ㄴ이다.
029 답 ④
함수 f{x}=
x+2
2x-4
=
2
x-2
1
2
+
의 그래프
는 오른쪽 그림과 같다.
① 함수 f{x}는 구간 {0, 1]에서 최댓값을
y
2!
② 함수 f{x}는 구간 [1, 2]에서 최솟값을
갖지 않는다.
갖지 않는다.
③ 함수 f{x}는 구간 [2, 3]에서 최댓값을 갖지 않는다.
④ 함수 f{x}는 구간 [3, 4]에서 최댓값이
, 최솟값이
이다.
5
2
3
2
연속이고
f{2}=-1<0, f{3}=3>0`
⑤ 함수 f{x}는 구간 [4, 5}에서 최솟값을 갖지 않는다.
즉, f{2}f{3}<0이므로 사잇값의 정리에 의해 방정식 f{x}=0
따라서 최댓값과 최솟값이 모두 존재하는 구간은 ④이다.
은 구간 {2, 3}에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
034 답 ③
ㄱ. f{x}=x#-3x@+3이라고 하면 함수 f{x}는 모든 실수 x에서
22 정답과 해설
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ㄷ. 최고 속력이 빠르다고 해서 평균 속력이 빠르다고 말할 수 없다.
따라서 함수 h{x}는 x=1에서 연속이다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
ㄴ. f{x}=
-1이라고 하면 함수 f{x}는 x=
인 모든 실
4
2x-1
1
2
수 x에서 연속이고
1
3
f{2}=
>0, f{3}=-
<0 `
1
5
즉, f{2} f{3}<0이므로 사잇값의 정리에 의해 방정식 f{x}=0
은 구간 {2, 3}에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
ㄷ. f{x}=jx k-
-1이라고 하면 함수 f{x}는 x>0인 모든 실
수 x에서 연속이고
f{2}=j2 k-
즉, f{2}f{3}>0이므로 구간 {2, 3}에서 실근을 갖는지 알 수
<0, f{3}=j3 k-2<0
3
x
5
2
따라서 구간 {2, 3}에서 적어도 하나의 실근을 갖는다고 할 수 있
없다.
는 방정식은 ㄱ, ㄴ이다.
035 답 ㄱ, ㄴ
ㄱ. 사잇값의 정리에 의해 A`지점에서 휴게소까지 갈 때 속력이
70`km/h인 순간이 적어도 2번 존재한다.
ㄴ. 사잇값의 정리에 의해 A`지점에서 휴게소까지 갈 때 속력이
50`km/h인 순간이 적어도 2번, 휴게소에서 B`지점까지 갈 때
속력이 50`km/h인 순간이 적어도 2번 존재한다.
즉, 50`km/h인 순간이 적어도 4번 존재한다.
1 답 ㄱ, ㄴ
유형 01 함수의 연속
ㄱ. f{1}=1, lim
1
!
x`
`f{x}=f{1}
`f{x}=1이므로
lim
x`
1
!
따라서 함수 f{x}는 x=1에서 연속이다.
ㄴ. f{1}=0, lim
1
!
x`
`f{x}=f{1}
`f{x}=0이므로
lim
x`
1
!
따라서 함수 f{x}는 x=1에서 연속이다.
ㄷ. f{1}=3이고,
lim
1
x`
!
`f{x} =lim
1
!
x`
x#-1
x@-1
{x-1}{x@+x+1}
{x+1}{x-1}
=lim
1
x`
!
x@+x+1
x+1
=
3
2
=lim
x`
1
!
`f{x}=f{1}
∴ lim
1
x`
!
따라서 함수 f{x}는 x=1에서 불연속이다.
따라서 보기 중 x=1에서 연속인 함수는 ㄱ, ㄴ이다.
`f{x}의 값이 존재하지 않으므로 함수 f{x}는 x=0
`f{x}=1이므로
2 답 ⑤
유형 02 함수의 그래프와 연속
① lim
-1
x`
!
f{x}=0
② f{1}=2, lim
1
!
x`
`f{x}= f{1}
lim
x`
1
!
③ lim
x`
0+
!
∴ lim
0+
x`
f{x}=0, lim
0-
f{x}= lim
0-
!
x`
x`
f{x}=1
f{x}
!
!
따라서 lim
x`
0
!
에서 불연속이다.
④ xf{x}=g{x}라고 하면
g{x}=0, lim
0-
x`
!
g{x}=0에서
g{0}=0
lim
0+
x`
!
g{x}=0
lim
x`
0
!
∴ lim
0
x`
!
g{x}=g{0}
따라서 함수 g{x}는 x=0에서 연속이다.
⑤ {x-1}f{x}=h{x}라고 하면
h{1}=0
h{x}=0, lim
1-
h{x}=h{1}
!
x`
lim
x`
1+
!
∴ lim
1
x`
!
h{x}=0에서 lim
1
!
x`
h{x}=0
9 f{x}+g{x}0=1+0=1
9 f{x}+g{x}0=-1+0=-1
3 답 ㄴ
유형 02 함수의 그래프와 연속
ㄱ. lim
x`
0+
!
lim
x`
0-
!
∴ lim
0+
x`
!
따라서 lim
0
!
x`
f{x}+g{x}는 x=0에서 불연속이다.
ㄴ. f{0}g{0}=0\1=0이고,
f{x}g{x}=1\0=0,
f{x}g{x}=-1\0=0에서
lim
x`
0+
!
lim
0-
x`
!
f{x}g{x}=0`
lim
x`
0
!
∴ lim
0
x`
!
f{x}g{x}=f{0}g{0}
따라서 함수 f{x}g{x}는 x=0에서 연속이다.
ㄷ. f{g{0}}=f{1}=0
g{x}=t라고 하면 x`
`0-이므로
`0일 때 t`
!
f{t}=-1`
!
`f{g{x}}= lim
0-
!
`f{ g{x}}= f{ g{0}}
t`
lim
x`
0
!
∴ lim
0
x`
!
따라서 함수 f{g{x}}는 x=0에서 불연속이다.
ㄹ. g{ f{0}}=g{0}=1
f{x}=s라고 하면 x`
lim
0+
x`
!
g{ f{x}}= lim
1-
s`
!
`0+일 때 s`
!
g{s}=-1 `
!
`1-이므로
02 함수의 연속 23
핵심 유형 최종 점검하기
34~35쪽
9 f{x}+g{x}0= lim
0-
x`
!
9 f{x}+g{x}0
9 f{x}+g{x}0의 값이 존재하지 않으므로 함수
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02 f{x}의 값이 존재하므로
yy ㉣
`0-일 때 s`
`-1+이므로
!
g{ f{x}}= lim
g{s}=-1
s`
-1+
g{ f{x}}=-1 `
!
g{ f{x}}=g{ f{0}}
x`
!
lim
x`
0-
!
∴ lim
x`
0
!
∴ lim
0
x`
!
따라서 함수 g{ f{x}}는 x=0에서 불연속이다.
따라서 보기 중 x=0에서 연속인 함수는 ㄴ이다.
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 연속이면 x=1, x=-1에서도 연
`f{x}의 값이 존재하므로
4 답 5
유형 03 함수가 연속일 조건
속이다.
x=1에서 연속이면 lim
1
!
f{x}에서
x`
f{x}= lim
1-
lim
x`
1+
x`
!
{x@+a}= lim
lim
x`
1+
1-
!
1+a=6 ∴ a=5
!
!
x`
{3x+3}
x=-1에서 연속이면 lim
-1
f{x}에서
f{x}= lim
!
x`
x`
{3x+3}= lim
-1-
!
{x+b}
x`
-1+
lim
!
lim
!
-1+
x`
-1-
0=-1+b ∴ b=1
!
x`
x@+5 {x>1}
따라서 f{x}=
-
3x+3 {-1-1인 모든 실수 x에서 연속이면 x=1에서도
=f{1} yy ㉠
`0이고 극한값이 존재하므로
`f{x}=f{1}
연속이므로 lim
x`
1
!
ax@-1
j2x+2 l-jx+3 l
∴ lim
1
x`
!
`1일 때 (분모)`
x`
!
`0이다.
!
{ax@-1}=0이므로
!
(분자)`
즉, lim
1
x`
!
a-1=0 ∴ a=1
lim
1
x`
!
이를 ㉠의 좌변에 대입하면
ax@-1
j2x+2 l-jx+3 l
x@-1
j2x+2 l-jx+3 l
=lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
{x@-1}{j2x+2 l+jx+3 l}
{j2x+2 l-jx+3 l}{j2x+2 l+jx+3 l}
{x+1}{x-1}{j2x+2 l+jx+3 l}
x-1
{x+1}{j2x+2 l+jx+3 l}=8
=lim
x`
1
!
=lim
1
x`
!
∴ f{1}=8
∴ a+ f{1}=1+8=9
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ㄷ. [반례] f{x}=
이라고 하면
1 {x>0}
-
-1 {x<0}
함수 g{ f{x}}에서 f{x}=|x-3|이므로 x=3을 기준으로 정수
| f{x}|=1
따라서 함수 | f{x}|는 x=0에서 연속이지만 함수 f{x}는
`{a-3}+이므로
x=0에서 불연속이다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ이다.
8 답 3
유형 05 가우스 기호를 포함한 함수의 연속
a의 값의 범위를 나누어 연속성을 조사한다.
! a>3일 때
f{x}=t라고 하면 x`
!
g{ f{x}}= lim
`a+일 때 t`
!
g{t}=2a-6
`a-일 때 t`
!
t`
{a-3}+
!
`{a-3}-이므로
g{ f{x}}= lim
g{t}=2a-7
!
t`
{a-3}-
g{ f{x}}= lim
a-
x`
!
g{ f{x}}
lim
x`
a+
!
x`
!
lim
x`
a-
!
∴ lim
a+
x`
!
따라서 lim
a
!
x`
수 g{ f{x}}는 x=a에서 불연속이다.
@ a<3일 때
g{ f{x}}의 값이 존재하지 않으므로 a>3일 때 함
!과 같은 방법으로 조사하면 lim
않으므로 a<3일 때 함수 g{ f{x}}는 x=a에서 불연속이다.
g{ f{x}}의 값이 존재하지
!
x`
a
서 연속이다.
# a=3일 때
g{ f{3}}=g{0}=0
f{x}=t라고 하면 x`
`3일 때 t`
`0+이므로
!
g{t}=0
!
g{ f{x}}= lim
0+
t`
!
g{ f{x}}=g{ f{3}}
lim
x`
3
!
∴ lim
3
x`
!
따라서 함수 g{ f{x}}는 x=3에서 연속이다.
!, @, #에 의해 함수 g{ f{x}}가 연속이 되도록 하는 정수 a
의 값은
11 답 ④
유형 07 최대 · 최소 정리
최대·최소 정리의 역은 “함수 f{x}가 닫힌구간 [a, b]에서 최댓값
과 최솟값을 가지면 이 구간에서 연속이다.”이므로 이 역이 성립
하지 않음을 보이기 위해서는 함수 f{x}가 구간 [-2, 2]에서 최
댓값과 최솟값을 갖지만 연속이 아닌 예를 찾으면 된다.
①, ②, ③ 구간 [-2, 2]에서 최댓값과 최솟값을 갖고, 이 구간에
④ 구간 [-2, 2]에서 최댓값은 f{-2}=4, 최솟값은 f{0}=1이
지만 x=0에서 불연속이다. {∵ lim
0+
x`
f{x}=1, lim
0-
x`
f{x}=2}
!
!
⑤ 구간 [-2, 2]에서 최댓값과 최솟값을 갖지 않고, x=-1에서
따라서 최대·최소 정리의 역이 성립하지 않음을 보이는 예로 적절
불연속이다.
한 것은 ④이다.
12 답 3
유형 08 사잇값의 정리
f{x}
x
lim
x`
0
!
므로 (분자)`
즉, lim
x`
0
!
f{x}
x-2
lim
x`
2
!
므로 (분자)`
즉, lim
2
x`
!
!
!
`0이다.
!
`f{x}=0이므로 f{0}=0
`0이다.
!
`f{x}=0이므로 f{2}=0
!
!
f{0}=0, f{2}=0이므로
f{x}=x{x-2}g{x} ( g{x}는 다항함수)라고 하자.
=4에서 x`
`0일 때 (분모)`
`0이고 극한값이 존재하
lim
0
x`
!
f{x}
0
x`
x =lim
!
=lim
0
x`
!
lim
2
x`
!
∴ g{0}=-2
f{x}
x-2 =lim
!
=lim
2
x`
!
x`
2
∴ g{2}=1
x{x-2}g{x}
x
{x-2}g{x}=4
x{x-2}g{x}
x-2
xg{x}=2
② f{x}g{x}=|x+1|x@은 모든 실수 x에서 연속이다.
은 x=0에서 정의되지 않으므로 x=0에서 불
④ f{g{x}}=|x@+1|은 모든 실수 x에서 연속이다.
⑤ g{ f{x}}={x+1}@은 모든 실수 x에서 연속이다.
따라서 모든 실수 x에서 연속인 함수가 아닌 것은 ③이다.
a=3
9 답 ③
유형 06 연속함수의 성질
③
f{x}
g{x}
=
|x+1|
x@
연속이다.
10 답 ㄴ
유형 06 연속함수의 성질
ㄱ. [반례] f{x}=
f{x}+g{x}=0
1 {x>0}
-
-1 {x<0}
, g{x}=
-1 {x>0}
-
1 {x<0}
이라고 하면
따라서 함수 f{x}+g{x}는 x=0에서 연속이지만 두 함수
f{x}, g{x}는 x=0에서 불연속이다.
ㄴ. 함수 f{x}가 x=0에서 연속이면 lim
0
!
x`
`f{x}=f{0}이므로
| f{x}|=| f{0}|
lim
x`
0
!
따라서 함수 | f{x}|도 x=0에서 연속이다.
즉, 함수 g{x}는 모든 실수 x에서 연속이고, g{0}g{2}=-2<0
이므로 사잇값의 정리에 의해 방정식 g{x}=0은 구간 {0,``2}에서
적어도 하나의 실근을 갖는다.
따라서 방정식 f{x}=0은 x=0, x=2를 근으로 갖고 구간
{0, 2}에서 적어도 하나의 실근을 가지므로 구간 [0, 2]에서 적어
도 3개의 실근을 갖는다.
02 함수의 연속 25
① 2f{x}-g{x}=2|x+1|-x@은 모든 실수 x에서 연속이다.
=2에서 x`
`2일 때 (분모)`
`0이고 극한값이 존재하
수학2 PM 해설 02(015~025)OK.indd 25
2018-04-26 오후 3:02:49
02 03 미분계수와 도함수
유형04 -3 유형05
유형01 5
1
3
유형08 ㄱ, ㄴ 유형09 7
유형02 -2 유형03 0
유형06 ③
유형07 12
유형10 ㄱ, ㄴ
유형11 ⑤
유형12 -4 유형13 9
유형14 -2
유형15 1
유형16 4
유형17 1
유형18 19
013
1
2
018 4
023 1
028 5
001 3
002 -3 003 1
004 -
006 ⑤
007 -3 008 ②
009 ③
1
8 005 ④
010 6
011 6
012 ⑤
014 3
015 24
016 -6 017 ④
021 4
022 3
026 ③
027 ⑤
019 2
024 8
029 ③
020 4
025 8
030 9
031 ④
032 ㄴ
033 ㄴ, ㄷ 034 ④
035 ③
036 ㄷ
037 ㄱ, ㄷ 038 17
039 ③
040 1
045 4
041 ㄱ, ㄴ 042 ㈎ x+h ㈏ nxN_! 043 ③
5
9 049 19
053 -16 054 72
050 28
051 ⑤
044 ⑤
048 -
046 1
047 1
052 4
055 ④
11
6
060
056 -10 057 15
058 3
059 14
061 ⑤
062 ④
063 -4 064 ③
1 ③
2 9
3 1
4 -
1
3
5 2
6 2
11 ③
16 11
8 ㄴ, ㄷ 9 ㄱ, ㄴ 10 ③
7 4
15 6
14 22
12 8
13 13
20 6
19 3
17 -11 18 5
Dy
Dx =
f{a}-f{2}
a-2
=
{a@-3a}-{4-6}
a-2
=
a@-3a+2
a-2
=
{a-2}{a-1}
a-2
=a-1
따라서 a-1=4이므로 a=5
유형02 답 -2
함수 f{x}에 대하여 x의 값이 1에서 3까지 변할 때 평균변화율은
함수 y=f{x}의 그래프 위의 두 점 A{1, f{1}}, B{3, f{3}}을
지나는 직선의 기울기와 같다.
따라서 직선 AB의 기울기는 -2이다.
유형03 답 0
함수 f{x}=-x@+x+2에 대하여 x의 값이 -1에서 1까지 변할
때 평균변화율은
=1 yy ㉠
=
2-0
2
f{1}-f{-1}
1-{-1}
Dy
Dx =
함수 f{x}의 x=a에서 미분계수 f '{a}는
f{a+h}-f{a}
h
f '{a} =lim
0
!
h`
9-{a+h}@+{a+h}+20-{-a@+a+2}
h
=lim
0
h`
!
-h@+{-2a+1}h
h
{-h-2a+1}
=lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
=-2a+1
yy ㉡
㉠=㉡이므로 1=-2a+1 ∴ a=0
유형04 답 -3
f{1+3h}-f{1-2h}
5h
lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
3
5 f '{1}-
-
=f '{1}=-3
=
-
2
5 f '{1}
=
유형05 답
1
3
f{x}-f{2}
x#-8
lim
2
x`
!
=lim
2
x`
!
=lim
x`
!
=lim
2
x`
!
\
f{x}-f{2}
{x-2}{x@+2x+4}
f{x}-f{2}
2-
x-2
f{x}-f{2}
x-2
1
12
\lim
2
x`
!
=4\
1
12
=
=f '{2}\
1
x@+2x+4
=
1
x@+2x+4
1
3
065 3
066 20
067 ④
068 ③
069 ②
070 -6 071 1
072 6
073 2
074 2
f{1+3h}-f{1}+f{1}-f{1-2h}
5h
=lim
0
h`
!
f{1+3h}-f{1}
3h
\
3
5
-lim
0
h`
!
f{1-2h}- f{1}
-2h
\
-
[
2
5 ]
핵심 유형 38~39쪽
유형01 답 5
함수 f{x}=x@-3x에 대하여 x의 값이 2에서 a까지 변할 때 평
유형06 답 ③
f{a+b}=f{a}+f{b}+ab의 양변에 a=0, b=0을 대입하면
f{0}=f{0}+f{0}+0 ∴ f{0}=0 yy ㉠
미분계수의 정의에 의해 f '{0}은
균변화율은
26 정답과 해설
수학2 PM 해설 03(026~041)OK.indd 26
2018-04-26 오후 3:03:46
유형07 답 12
곡선 y=f{x} 위의 점 {4, f{4}}에서의 접선의 기울기가 3이므로
때 평균변화율은
Dy
Dx =
f{3}-f{-2}
3-{-2}
=
{27-3a+1}-{-8+2a+1}
5
f '{0}=lim
0
!
h`
f{0+h}-f{0}
h
f{h}
h
=lim
0
h`
!
(∵ ㉠)
=1 yy ㉡
이때 f '{0}=1이므로 lim
0
!
h`
f{h}
h
미분계수의 정의에 의해 f '{1}은
f '{1} =lim
0
!
h`
f{1+h}-f{1}
h
f{1}+f{h}+h-f{1}
h
=lim
0
h`
!
f{h}
h
=lim
0
h`
!
=2 (∵ ㉡)
+1
∴ f{0}+f '{1}=0+2=2
핵심 유형 완성하기 40~45쪽
001 답 3
함수 f{x}=x@-x+2에 대하여 x의 값이 1에서 1+a까지 변할
때 평균변화율은
Dy
Dx =
f{1+a}-f{1}
{1+a}-1
=
9{1+a}@-{1+a}+20-{1-1+2}
a
=
a@+a
a
=a+1
따라서 a+1=4이므로 a=3
002 답 -3
함수 f{x}=x#-ax+1에 대하여 x의 값이 -2에서 3까지 변할
=
35-5a
5
=7-a
따라서 7-a=10이므로 a=-3
003 답 1
함수 f{x}=2x@-3x+1에 대하여 x의 값이 a에서 b까지 변할 때
평균변화율은
Dy
Dx =
f{b}-f{a}
b-a
=
{2b@-3b+1}-{2a@-3a+1}
b-a
=
2{b-a}{b+a}-3{b-a}
b-a
따라서 2{a+b}-3=-1이므로 a+b=1
=2{a+b}-3
f @{x}={ f`J f !}{x}=f{ f{x}}=
=x
x
x-1
x
x-1
-1
∴ g{x}= f 2019{x}=f 2\1009+1{x}=f{x}=
x
x-1
따라서 함수 g{x}에 대하여 x의 값이 3에서 5까지 변할 때 평균
`f{x}=f{0}=0이므로 함수 f{x}는 x=0에서 연속이다.
f '{4}=3
x@=t라고 하면 x`
f{x@}-f{4}
x-2
lim
2
x`
!
!
=lim
x`
!
2-
`2일 때 t`
`4이므로
!
f{x@}-f{4}
x@-4
\{x+2}
=
=lim
4
t`
!
f{t}-f{4}
\lim
t-4
2
x`
!
=f '{4}\4=3\4=12
{x+2}
유형08 답 ㄱ, ㄴ
ㄱ. lim
0
x`
!
lim
0+
h`
!
f{h}-f{0}
h
f{h}-f{0}
h
= lim
0+
h`
!
{h-h}-0
h
=0
lim
0-
h`
!
이므로 함수 f{x}는 x=0에서 미분가능하지 않다.
= lim
0-
h`
!
=2
{h+h}-0
h
0
!
ㄴ. f{x}=1x@ 2=|x|이고 lim
x`
는 x=0에서 연속이다.
f{h}-f{0}
h
f{h}-f{0}
h
= lim
0+
h`
!
lim
0+
h`
!
h-0
h
=1
lim
0-
h`
!
이므로 함수 f{x}는 x=0에서 미분가능하지 않다.
= lim
0-
h`
!
=-1
-h-0
h
`f{x}=f{0}=0이므로 함수 f{x}
004 답 -
1
8
f !{x}=f{x}=
x
x-1
`f{x}=f{0}=0이므로 함수 f{x}는 x=0에서 연속이다.
ㄷ. lim
0
x`
!
lim
0+
h`
!
f{h}-f{0}
h
f{h}-f{0}
h
= lim
0+
h`
!
h#-0
h
=0
= lim
lim
0-
h`
0-
h`
!
!
이므로 함수 f{x}는 x=0에서 미분가능하다.
=0
-h#-0
h
따라서 보기 중 x=0에서 연속이지만 미분가능하지 않은 함수는
ㄱ, ㄴ이다.
유형09 답 7
x=1, x=3, x=4에서 불연속이므로 a=3
x=1, x=3, x=4에서 불연속이므로 미분가능하지 않다. 또 x=2
에서 연속이지만 그래프가 꺾이는 모양이므로 미분가능하지 않다.
∴ b=4
∴ a+b=3+4=7
변화율은
Dy
Dx =
g{5}-g{3}
5-3
=
5
4
3
2
-
2
=-
1
8
다른 풀이 f !{3}=
3
2 , f @{3}=f{ f !{3}}=f [
3
2 ]
=3,
f #{3}=f{ f @{3}}=f{3}=
3
2 , y이므로
g{3}= f 2019{3}=
f !{5}=
5
4 , f @{5}=f{ f !{5}}=f [
5
4 ]
=5,
f #{5}=f{ f @{5}}=f{5}=
5
4 , y이므로
g{5}=f 2019{5}=
3
2
5
4
03 미분계수와 도함수 27
수학2 PM 해설 03(026~041)OK.indd 27
2018-04-26 오후 3:03:46
03 함수 f{x}에 대하여 x의 값이 3에서 4까지 변할 때 평균변화율은
함수 y=f{x}의 그래프 위의 두 점 B{3, f{3}}, C{4, 0}을 지나
012 답 ⑤
함수 f{x}=-x@+5에 대하여 x의 값이 a에서 b까지 변할 때 평
따라서 함수 g{x}에 대하여 x의 값이 3에서 5까지 변할 때 평균
변화율은
Dy
Dx =
g{5}-g{3}
5-3
=
5
4
3
2
-
2
=-
1
8
005 답 ④
함수 f{x}에 대하여 x의 값이 -1에서 2까지 변할 때 평균변화율
은 함수 y=f{x}의 그래프 위의 두 점 A{-1, f{-1}},
B{2, f{2}}를 지나는 직선의 기울기와 같다.
따라서 직선 AB의 기울기는
이다.
3
2
006 답 ⑤
함수 f{x}에 대하여 x의 값이 2에서 5까지 변할 때 평균변화율은
함수 y=f{x}의 그래프 위의 두 점 {2, -4}, {5, 2}를 지나는 직
선의 기울기와 같으므로
Dy
2-{-4}
Dx =
5-2
6
3
=
=2
므로
f{3}-0
3-0
=1 ∴ f{3}=3
007 답 -3
두 점 A{0, 0}, B{3, f{3}}을 지나는 직선 AB의 기울기가 1이
는 직선의 기울기와 같으므로
Dy
Dx =
0-f{3}
4-3
=
0-3
1
=-3
008 답 ②
오른쪽 그림과 같은 함수 y=f{x}의 그
래프에서 a, b, c의 값은 각각
직선 AB의 기울기, 직선 BC의 기울기,
직선 AC의 기울기와 같으므로
a0} yy ㉠
미분계수의 정의에 의해 f '{0}은
f '{0}=lim
0
!
h`
f{0+h}-f{0}
h
1
2
f{h}-
h
(∵ ㉠)
1
2
=lim
0
h`
!
1
2
f{h}-
h
=2
yy ㉡
이때 f '{0}=2이므로 lim
0
!
h`
미분계수의 정의에 의해 f '{1}은
f '{1} =lim
0
!
h`
f{1+h}-f{1}
h
2 f{1}f{h}-f{1}
h
=lim
0
h`
!
f{h}-
h
1
2
=2f{1}\lim
0
!
h`
=2f{1}\2 (∵ ㉡)
=4f{1}
∴
f '{1}
f{1}
=4
곡선 y=f{x} 위의 점 {2, 5}에서의 접선의 기울기가 3이므로
f '{2}=3
∴ lim
0
h`
!
f{2+3h}-5
h
f{2+3h}-f{2}
h
f{2+3h}-f{2}
3h
=lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
=3 f '{2}=3\3=9
\3
031 답 ④
f{x}+3
lim
x`
1
!
재하므로 (분자)`
x-1 =4에서 x`
`0이다.
!
!
`1일 때 (분모)`
`0이고, 극한값이 존
!
즉, lim
1
x`
!
9 f{x}+30=0이므로 f{1}=-3 yy ㉠
027 답 ⑤
f{a+b}=f{a}+f{b}+3ab-1의 양변에 a=0, b=0을 대입하
030 답 9
곡선 y=f{x}가 점 {2, 5}를 지나므로 f{2}=5
수학2 PM 해설 03(026~041)OK.indd 30
2018-04-26 오후 3:03:48
곡선 y=f{x} 위의 점 {1, f{1}}에서의 접선의 기울기는 f '{1}
ㄴ. 두 점 {a, f{a}}, {b, f{b}}를 지나는 직선의 기울기가 점
f '{1} =lim
1
!
x`
f{x}-f{1}
x-1
=lim
1
x`
!
f{x}+3
x-1 (∵ ㉠)=4
이므로
032 답 ㄴ
f{x}-f{1}
x-1
은 두 점 {1, f{1}}, {x, f{x}}를 지나는 직선의 기
울기와 같고, f '{1}은 곡선 y=f{x} 위의 점 {1, f{1}}에서의 접
선의 기울기와 같다.
ㄱ. 오른쪽 그림에서 두 점 {1, f{1}},
y
y=f{x}
{a, f{a}}에서의 접선의 기울기보다 작으므로
f{b}- f{a}
b-a
< f '{a}
∴ f{b}-f{a}<{b-a}f '{a}
ㄷ. 두 점 {0, 0}, {b, f{b}}를 지나는 직선의 기울기가 점
{b, f{b}}에서의 접선의 기울기보다 크므로
f{b}
b
> f '{b} ∴ f{b}>bf '{b}
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
{x, f{x}}를 지나는 직선의 기울기가 점
{1, f{1}}에서의 접선의 기울기보다 크므
로
f{x}-f{1}
x-1
> f '{1}이 항상 성립한다.
ㄴ. 오른쪽 그림에서 두 점 {1, f{1}},
{x, f{x}}를 지나는 직선의 기울기가 점
{1, f{1}}에서의 접선의 기울기보다 작으
므로
f{x}-f{1}
x-1
< f`'{1}이 항상 성립한다.
1 x
x
`f{x}=f{1}=0이므로 함수 f{x}는 x=1에서 연속이다.
035 답 ③
① lim
1
x`
!
O
y
y=f{x}
f '{1}=lim
0
!
h`
f{1+h}-f{1}
h
h-0
h
=1
=lim
0
h`
!
이므로 함수 f{x}는 x=1에서 미분가능하다.
O
1
x
x
② lim
1
x`
!
`f{x}=f{1}=0이므로 함수 f{x}는 x=1에서 연속이다.
f{1+h}-f{1}
h
{1+h}h-0
h
=lim
0
h`
!
h`
f '{1} =lim
0
!
=lim
0
h`
!
{1+h}=1
이므로 함수 f{x}는 x=1에서 미분가능하다.
`f{x}=f{1}=0이므로 함수 f{x}는 x=1에서 연속이다.
ㄷ. 오른쪽 그림에서 두 점 {1, f{1}},
y
y=f{x}
{x, f{x}}를 지나는 직선의 기울기가 점
{1, f{1}}에서의 접선의 기울기보다 크므
로
f{x}-f{1}
x-1
> f '{1}인 경우가 있다.
O
1
x
x
따라서 보기 중 조건을 항상 만족하는 함수의 그래프는 ㄴ이다.
③ lim
1
x`
!
f{1+h}-f{1}
h
lim
0+
h`
!
033 답 ㄴ, ㄷ
0 f '{b}
`f{x}=f{1}=1이므로 함수 f{x}는 x=1에서 연속이다.
{1+h}h-0
h
{1+h}=1
= lim
0+
h`
!
= lim
0+
h`
!
lim
0-
h`
!
f{1+h}-f{1}
h
= lim
0-
h`
!
= lim
h`
0-
!
이므로 함수 f{x}는 x=1에서 미분가능하지 않다.
-{1+h}h-0
h
9-{1+h}0=-1
④ 함수 f{x}는 x=1에서 정의되지 않으므로 x=1에서 불연속이
고 미분가능하지 않다.
⑤ lim
1
x`
!
f{1+h}- f{1}
h
lim
0+
h`
!
{1+h}@-1
h
{h+2}=2
= lim
0+
h`
!
= lim
0+
h`
!
f{1+h}- f{1}
h
lim
0-
h`
!
이므로 함수 f{x}는 x=1에서 미분가능하다.
= lim
0-
h`
!
92{1+h}-10-1
h
=2
따라서 x=1에서 연속이지만 미분가능하지 않은 함수는 ③이다.
036 답 ㄷ
ㄱ. 함수 f{x}는 x=0에서 정의되지 않으므로 x=0에서 불연속
접선의 기울기보다 작다.
ㄱ.
y
f{x}=jx k
O
a
b
x
ㄴ.
y
f{x}=
x!
O
y
ㄷ.
a
b
x
f{x}=x@
➡ f '{a}< f '{b}
➡ f '{a}< f '{b}
O a b
x
따라서 보기 중 조건을 만족하는 함수는 ㄴ, ㄷ이다.
이고 미분가능하지 않다.
034 답 ④
ㄱ. 두 점 {a, f{a}}, {b, f{b}}를 지나는 직선의 기울기가 직선
y=2x의 기울기보다 작으므로
f{b}- f{a}
b-a
<2 ∴ f{b}-f{a}<2{b-a}
= lim
0+
h`
!
h#-0
h
=0
lim
0+
h`
!
f{h}-f{0}
h
f{h}-f{0}
h
= lim
lim
h`
0-
0-
h`
!
!
이므로 함수 f{x}는 x=0에서 미분가능하다.
=0
0
h
ㄴ. lim
0
x`
!
`f{x}=f{0}=0이므로 함수 f{x}는 x=0에서 연속이다.
03 미분계수와 도함수 31
수학2 PM 해설 03(026~041)OK.indd 31
2018-04-26 오후 3:03:49
03 `f{x}=f{0}=0이므로 함수 f{x}는 x=0에서 연속이다.
④ 불연속인 x의 값은 x=1, x=3의 2개이다.
ㄷ. lim
0
x`
!
lim
0+
h`
!
f{h}-f{0}
h
f{h}-f{0}
h
= lim
0+
h`
!
2h-0
h
=2
= lim
lim
0-
h`
h`
0-
!
!
이므로 함수 f{x}는 x=0에서 미분가능하지 않다.
=-2
-2h-0
h
따라서 보기 중 x=0에서 연속이지만 미분가능하지 않은 함수는
ㄷ이다.
037 답 ㄱ, ㄷ
f{x}=
x-1
|x-2|+1
1
=
-
x-1
-x+3
{x>2}
{x<2}
ㄴ. {x-3} f{x}=g{x}라고 하면
g{x}=
{x>2}
x-3
-
-{x-1} {x<2}
ㄱ. lim
2
x`
!
`f{x}=f{2}=1이므로 함수 f{x}는 x=2에서 연속이다.
= lim
0+
h`
!
{h-1}-{-1}
h
=1
lim
0+
h`
!
g{2+h}-g{2}
h
g{2+h}-g{2}
h
= lim
lim
h`
0-
0-
h`
!
!
이므로 함수 {x-3}f{x}는 x=2에서 미분가능하지 않다.
=-1
-{h+1}-{-1}
h
ㄷ. x{x-3} f{x}=k{x}라고 하면
k{x}=
x{x-3} {x>2}
-
-x{x-1} {x<2}
k{x}=k{2}=-2이므로 함수 x{x-3} f{x}는 x=2에
lim
2
x`
!
서 연속이다.
k{2+h}-k{2}
h
lim
0+
h`
!
{2+h}{h-1}-{-2}
h
= lim
0+
h`
!
= lim
0+
h`
!
{h+1}=1
lim
0-
h`
!
k{2+h}-k{2}
h
-{2+h}{1+h}-{-2}
h
= lim
0-
h`
!
= lim
0-
h`
!
이므로 함수 x{x-3} f{x}는 x=2에서 미분가능하지 않다.
{-h-3}=-3
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
038 답 17
x=3, x=5에서 불연속이므로
m=3+5=8
n=1+3+5=9
∴ m+n=8+9=17
x=1, x=3, x=5에서 미분가능하지 않으므로
⑤ 미분가능하지 않은 x의 값은 x=1, x=2, x=3의 3개이다.
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
040 답 1
집합 A의 원소 a는 함수 y=f{x}의 그래프에서 연속인 x의 값이
또 집합 B의 원소 a는 함수 y=f{x}의 그래프에서 미분가능한 x
즉, 집합 A5BC의 원소는 연속이지만 미분가능하지 않은 x의 값
다.
의 값이다.
이므로 2이다.
따라서 집합 A5BC의 원소의 개수는 1이다.
핵심 유형 4 6~47쪽
유형10 답 ㄱ, ㄴ
=f '{x}
f{x+2h}-f{x}
2h
f{x}-f{x-h}
h
=lim
h`
0
!
f{x+h}-f{x-h}
3h
ㄱ. lim
0
h`
!
ㄴ. lim
0
h`
!
ㄷ. lim
0
h`
!
f{x-h}-f{x}
-h
=f '{x}
f{x+h}-f{x}+f{x}-f{x-h}
3h
=lim
0
h`
!
\
=lim
0
h`
!
1
3 f '{x}+
f{x+h}-f{x}
h
1
3 f '{x}=
따라서 보기 중 f '{x}와 같은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
2
3 f '{x}
-lim
0
h`
!
1
3
=
f{x-h}-f{x}
-h
\
-
[
1
3 ]
유형11 답 ⑤
f{x}={1+x-x@}{1-x+x@}에서 f{2}=-1\3=-3
f '{x} ={1+x-x@}'{1-x+x@}+{1+x-x@}{1-x+x@}'
={1-2x}{1-x+x@}+{1+x-x@}{-1+2x}
∴ f '{2}=-3\3+{-1}\3=-12
∴
f '{2}
f{2}
=
-12
-3
=4
유형12 답 -4
f{1+h}-f{1-h}
h
lim
0
h`
!
039 답 ③
① 점 {0, f{0}}에서의 접선의 기울기가 0보다 크므로
f '{0}>0
② lim
1+
x`
f{x}= lim
1-
x`
f{x}이므로 lim
1
!
!
x`
③ 미분가능하면서 접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않으므로
!
`f{x}의 값이 존재한다.
=lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
f{1+h}-f{1}+f{1}-f{1-h}
h
f{1+h}-f{1}
h
f{1-h}-f{1}
-h
-lim
0
h`
!
\{-1}
=f '{1}+f '{1}=2 f '{1}
f '{x}=-3x@+4x-3이므로
f '{1}=-3+4-3=-2
f '{x}=0인 점도 존재하지 않는다.
따라서 구하는 극한값은 2 f '{1}=2\{-2}=-4
32 정답과 해설
수학2 PM 해설 03(026~041)OK.indd 32
2018-04-26 오후 3:03:50
=5에서 x`
`-1일 때 (분모)`
`0이고, 극한값이 존
!
{2a+2+ah}
유형13 답 9
f{x}=xN+x@+x라고 하면 f{1}=3이므로
xN+x@+x-3
x-1
lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
f{x}-f{1}
x-1 =f '{1}=12
f '{x}=nxN_!+2x+1이므로
f '{1}=n+3
따라서 n+3=12이므로 n=9
유형14 답 -2
f{x}
lim
x+1
x`
-1
!
재하므로 (분자)`
!
`0이다.
!
즉, lim
-1
x`
!
∴ lim
-1
x`
!
`f{x}=0이므로 f{-1}=0
f{x}
x+1
= lim
-1
x`
!
f{x}-f{-1}
x-{-1}
=f '{-1}=5
f{x}=ax#+bx+1에서 f '{x}=3ax@+b
f{-1}=0에서 -a-b+1=0 yy ㉠
f '{-1}=5에서 3a+b=5
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=2, b=-1
∴ ab=2\{-1}=-2
유형15 답 1
f{x}=x$+ax@+b라고 하면 곡선 y=f{x}가 점 {1, -2}를 지
나므로
f{1}=1+a+b=-2 ∴ a+b=-3
yy ㉠
점 {1, -2}에서의 접선의 기울기가 2이므로 f '{1}=2
f '{x}=4x#+2ax이므로
f '{1}=4+2a=2 ∴ a=-1
a=-1을 ㉠에 대입하면
-1+b=-3 ∴ b=-2
∴ a-b=-1-{-2}=1
유형16 답 4
f{x}=ax@+bx+c ( a, b, c는 상수, a=0)라고 하면
f '{x}=2ax+b
f{x}와 f '{x}를 주어진 식에 대입하면
ax@+bx+c+x{2ax+b}=3x@+4x-3
∴ 3ax@+2bx+c=3x@+4x-3
이 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로
3a=3, 2b=4, c=-3
∴ a=1, b=2, c=-3
따라서 f '{x}=2x+2이므로
f '{1}=2+2=4
참고 ⑴ ax@+bx+c=0이 x에 대한 항등식
⑵ ax@+bx+c=a 'x@+b 'x+c '이 x에 대한 항등식
a=0, b=0, c=0
a=a ', b=b ', c=c '
asd
asd
유형17 답 1
함수 f{x}가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이고 미분계
수 f '{1}이 존재한다.
! x=1에서 연속이므로 lim
x`
1
!
`f{x}=f{1}에서
b+1=a+2 ∴ a-b=-1
yy ㉠
@ 미분계수 f '{1}이 존재하므로
f{1+h}-f{1}
h
lim
0+
h`
!
9a{1+h}@+2{1+h}0-{a+2}
h
= lim
0+
h`
!
= lim
0+
h`
!
=2a+2
= lim
0-
h`
!
=b
f{1+h}-f{1}
h
lim
0-
h`
!
9b{1+h}+10-{b+1}
h
따라서 2a+2=b이므로 2a-b=-2 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-1, b=0
∴ a@+b@=1+0=1
다른 풀이 g{x}=ax@+2x, h{x}=bx+1이라고 하면
g '{x}=2ax+2, h '{x}=b
! x=1에서 연속이므로 g{1}=h{1}에서
a+2=b+1 ∴ a-b=-1 yy ㉠
@ x=1에서 미분계수가 존재하므로 g '{1}=h '{1}에서
2a+2=b ∴ 2a-b=-2
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-1, b=0
∴ a@+b@=1+0=1
참고 두 다항함수 g{x}, h{x}에 대하여 함수
f{x}=
g{x} {x>a}
-
h{x} {x2이다.
므로 f '{-1}=f '{1}에서
3-2a-2=3+2a-2 ∴ a=0
㈎에서 좌변의 차수는 2{n-1}, 우변의 차수는 n이므로
2{n-1}=n ∴ n=2
따라서 f '{-1}=f '{1}=1이므로 m=1
f{x}=ax@+bx+c (a, b, c는 상수, a=0)라고 하면
∴ a+m=0+1=1
f '{x}=2ax+b
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067 답 ④
함수 f{x}가 x=-1에서 미분가능하면 x=-1에서 연속이고 미
f{x}와 f '{x}를 ㈎의 식에 대입하면
{2ax+b}@=4{ax@+bx+c}+1
∴ 4a@x@+4abx+b@=4ax@+4bx+4c+1
이 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로
4a@=4a, 4ab=4b, b@=4c+1
yy ㉠
∴ a=1 (∵ a=0)
한편 ㈏에서 f '{1}=5이므로 2a+b=5
이 식에 a=1을 대입하면 2+b=5 ∴ b=3
이를 ㉠에 대입하면 9=4c+1 ∴ c=2
따라서 f{x}=x@+3x+2이므로
f{3}=9+9+2=20
분계수 f '{-1}이 존재한다.
! x=-1에서 연속이므로 lim
x`
-1
!
f{x}=f{-1}에서
-4=-a+b ∴ a-b=4 yy ㉠
@ 미분계수 f '{-1}이 존재하므로
f{-1+h}-f{-1}
h
lim
0+
h`
!
= lim
0+
h`
!
9a{-1+h}+b0-{-a+b}
h
ah
h
=a
= lim
0+
h`
!
f{-1+h}-f{-1}
h
lim
0-
h`
!
9{-1+h}#+3{-1+h}0-{-4}
h
h#-3h@+6h
h
= lim
0-
h`
!
{h@-3h+6}=6
= lim
0-
h`
!
= lim
h`
0-
!
∴ a=6
a=6을 ㉠에 대입하면 6-b=4 ∴ b=2
∴ a+b=6+2=8
다른 풀이 g{x}=ax+b, h{x}=x#+3x라고 하면
g '{x}=a, h '{x}=3x@+3
! x=-1에서 연속이므로 g{-1}=h{-1}에서
-a+b=-4 ∴ a-b=4 yy ㉠
a=6
∴ a+b=6+2=8
068 답 ③
f{x}=|x-1|{x-2a}에서
f{x}=
{x-1}{x-2a} {x>1}
-
-{x-1}{x-2a} {x<1}
함수 f{x}가 모든 실수 x에서 미분가능하면 x=1에서도 미분가
능하다.
! x=1에서 연속이므로 lim
x`
1
!
0=0 ➡ 항상 성립
`f{x}=f{1}에서
@ 미분계수 f '{1}이 존재하므로
f{1+h}-f{1}
h{1+h-2a}-0
= lim
h
h
0+
h`
!
= lim
0+
h`
!
lim
0+
h`
!
{1+h-2a}=1-2a
f{1+h}-f{1}
h
lim
0-
h`
!
-h{1+h-2a}-0
h
9-{1+h-2a}0=-1+2a
= lim
0-
h`
!
= lim
0-
h`
!
따라서 1-2a=-1+2a이므로 a=
1
2
!, @에서 a=
1
2
069 답 ②
yy ㉠
x=3일 때, f{x}=
2x@-5x+a
x-3
미분가능한 함수 f{x}는 x=3에서도 미분가능하다.
! x=3에서 연속이므로 lim
2x@-5x+a
x-3
`3일 때 (분모)`
`f{x}=f{3}에서
lim
3
x`
!
x`
=f{3}
!
x`
3
`0이고, 극한값이 존재하므로
!
!
(분자)`
즉, lim
3
x`
!
`0이다.
!
{2x@-5x+a}=0이므로
18-15+a=0 ∴ a=-3
이를 ㉠에 대입하면 x=3일 때
f{x} =
2x@-5x-3
x-3
=
{2x+1}{x-3}
x-3
=2x+1
yy ㉡
@ 미분계수 f '{3}이 존재하므로 ㉡에서
f{3+h}-f{3}
lim
h
h`
0
!
∴ f '{3}=2
92{3+h}+10-7
h
=2
=lim
0
h`
!
!, @에서 a+f '{3}=-3+2=-1
070 답 -6
0f '{b}
ㄷ. 점 {b, f{b}}에서의 접선의 기울기가 두 점 {a, f{a}},
{b, f{b}}를 지나는 직선의 기울기보다 작으므로
f '{b}<
f{b}-f{a}
b-a
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
9 답 ㄱ, ㄴ
유형 08 미분가능성과 연속성 - 정의를 이용하는 경우
ㄱ. 01}
-
-2x+2 {x<1}
`f{x}=f{1}=0이므로 함수 f{x}는 x=1에서 연속이다.
lim
1
x`
!
lim
0+
h`
!
f{1+h}-f{1}
h
f{1+h}-f{1}
h
= lim
0+
h`
!
0-0
h
=0
= lim
lim
0-
h`
0-
h`
!
!
이므로 함수 f{x}는 x=1에서 미분가능하지 않다.
9-2{1+h}+20-0
h
=-2
`f{x}=f{1}=1이므로 함수 f{x}는 x=1에서 연속이다.
ㄷ. lim
1
x`
!
f{1+h}-f{1}
h
lim
0+
h`
!
{1+h}#-1
h
{h@+3h+3}=3
= lim
0+
h`
!
= lim
0+
h`
!
f{1+h}-f{1}
h
lim
0-
h`
!
이므로 함수 f{x}는 x=1에서 미분가능하다.
= lim
0-
h`
!
93{1+h}-20-1
h
=3
따라서 보기 중 x=1에서 연속이지만 미분가능하지 않은 함수는
ㄱ, ㄴ이다.
이다.
④ 불연속인 x의 값은 x=0, x=3의 2개이다.
⑤ 미분가능하지 않은 x의 값은 x=0, x=2, x=3의 3개이다.
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
11 답 ③
유형 10 도함수의 정의
f{a-b}=f{a}+f{b}-ab의 양변에 a=0, b=0을 대입하면
f{0}=f{0}+f{0} ∴ f{0}=0 yy ㉠
f{a-b}=f{a}+f{b}-ab의 양변에 b 대신 -b를 대입하면
f{a+b}=f{a}+f{-b}+ab
f{x+h}-f{x}
∴ f`'{x} =lim
h
0
!
h`
f{x}+f{-h}+xh-f{x}
=lim
h
0
h`
!
f{-h}
=-lim
-h
0
!
h`
+x
f{-h}-f{0}
=-lim
-h
0
!
h`
=-f '{0}+x=x-5
+x (∵ ㉠)
12 답 8
유형 11 미분법의 공식
f{x}-3
lim
x`
2
!
재하므로 (분자)`
x-2 =1에서 x`
`0이다.
!
!
즉, lim
2
x`
!
9 f{x}-30=0이므로 f{2}=3
40 정답과 해설
`2일 때 (분모)`
`0이고, 극한값이 존
!
16 답 11
유형 14 미분계수를 이용하여 미정계수 구하기
㈎에서 f{x}는 최고차항의 계수가 2인 이차함수이므로
f{x}=2x@+ax+b ( a, b는 상수)라고 하자.
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㈏에서 x`
`1일 때 (분모)`
`0이고, 극한값이 존재하므로
!
`0이다.
!
!
`f{x}=0이므로 f{1}=0
(분자)`
즉, lim
1
x`
!
f{x}
∴ lim
x-1
1
x`
!
f{x}-f{1}
=lim
x-1
1
x`
!
=f '{1}=3
f '{x}=4x+a이므로 f '{1}=4+a=3
∴ a=-1
따라서 f '{x}=4x-1이므로
f '{3}=4\3-1=11
17 답 -11
유형 15 접선의 기울기를 이용하여 미정계수 구하기
지나므로 f{0}=c=1
곡선 y=f{x}가 점 B{-1, 5}를 지나므로
f{-1}=-1+a-b+c=5
∴ a-b+c=6
c=1을 대입하면 a-b=5 yy ㉠
f{x}=x#+ax@+bx+c라고 하면 곡선 y=f{x}가 점 A{0, 1}을
점 A{0, 1}에서의 접선의 기울기가 4이므로 f '{0}=4
f '{x}=3x@+2ax+b이므로 f '{0}=b=4
따라서 f '{x}=3x@+18x+4이므로 점 B{-1, 5}에서의 접선의
이를 ㉠에 대입하면
a-4=5 ∴ a=9
기울기는
f '{-1}=3-18+4=-11
18 답 5
유형 16 미분의 항등식에의 활용
f{x}=ax@+bx+c ( a, b, c는 상수, a=0)라고 하면
f '{x}=2ax+b
f{x}와 f '{x}를 주어진 식에 대입하면
x{2ax+b}=ax@+bx+c-2x@+1
∴ 2ax@+bx={a-2}x@+bx+c+1
이 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로
2a=a-2, 0=c+1 ∴ a=-2, c=-1
f{1}=4에서 a+b+c=4
a=-2, c=-1을 대입하면
-2+b-1=4 ∴ b=7
따라서 f{x}=-2x@+7x-1이므로
f{2}=-8+14-1=5
19 답 3
유형 17 미분가능할 조건과 미분계수
x+2
{x<0}
g{x}=
-
a{x-1}@+b {02}
! x=0에서 연속이므로 lim
a+b=2 yy ㉠
!
x`
0
g{x}=g{0}에서
x=2에서 연속이므로 lim
2
!
x`
g{x}=g{2}에서
a+b=2
@ 미분계수 g '{0}이 존재하므로
g{0+h}-g{0}
lim
h
0+
h`
!
9a{h-1}@+b0-{a+b}
= lim
h
0+
h`
!
= lim
0+
h`
!
g{0+h}-g{0}
lim
h
0-
h`
!
{ah-2a}=-2a
따라서 -2a=1이므로 a=-
{h+2}-2
= lim
h
0-
h`
!
=1
미분계수 g '{2}가 존재하므로
g{2+h}-g{2}
lim
h
0+
h`
!
9-{2+h}+40-{-2+4}
= lim
h
0+
h`
!
g{2+h}-g{2}
lim
h
0-
h`
!
9a{1+h}@+b0-{a+b}
= lim
h
0-
h`
!
= lim
{ah+2a}=2a
0-
h`
!
따라서 -1=2a이므로 a=-
1
2
1
2
=-1
a=-
-
1
2
1
2 을 ㉠에 대입하면
5
2
+b=2 ∴ b=
∴ b-a=
5
2
-
-
[
1
2 ]
=3
20 답 6
유형 18 미분법과 다항식의 나눗셈
함수 y=f{x}의 그래프가 점 {2, 3}을 지나므로 f{2}=3
함수 y=f{x}의 그래프 위의 점 {2, 3}에서의 접선의 기울기가
-3이므로 f '{2}=-3
다항식 f{x}를 {x-2}@으로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지
R{x}를 ax+b ( a, b는 상수)라고 하면
f{x}={x-2}@Q{x}+ax+b yy ㉠
f{2}=3이므로 ㉠의 양변에 x=2를 대입하면
2a+b=3
yy ㉡
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '{x}=2{x-2}Q{x}+{x-2}@Q '{x}+a
f '{2}=-3이므로 위의 식의 양변에 x=2를 대입하면
a=-3
이를 ㉡에 대입하면
-6+b=3 ∴ b=9
03 미분계수와 도함수 41
함수 g{x}가 구간 {-E, E}에서 미분가능하면 x=0과 x=2에
따라서 R{x}=-3x+9이므로
서도 각각 미분가능하다.
R{1}=-3+9=6
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03 04 도함수의 활용 (1)
유형02 답 6
f{x}=x#+2x+1이라고 하면 f '{x}=3x@+2
점 {-1, -2}에서의 접선에 수직인 직선의 기울기는
021 ③
022
023 ④
024 11
025 ②
접점의 좌표는 {1, 4}이므로 접선의 방정식은
유형01 ③
유형02 6
유형03 2
유형04 ④
유형05 4
유형06
3j2 k
2 유형07 ①
유형08
2
3
유형09 j3 k
3
001 ②
002 -
004 17
005 ⑤
5
3 003 3
006 ③
007 -40 008 -
011 7
012 4
013 ⑤
016 2
017 -16 018 j5 k
4
3 009 -2 010
1
2
014 2j2 k 015 8
3
019 6
4
020
32
3
7-j13 k
3
026 ②
027
028 ⑤
029 -3
030 -1 031 ③
032 ③
036 ③
037 3
033
1
2
038 5
034 ②
039 9
035 5
1
2
040
1 -6
2 ⑤
3 0
4 -
5 1
6 8
7
1
2
8 ④
9
10 j5 k
5
2
3j17 k
17
11 ④
12 -21 13 4
핵심 유형 58~59쪽
유형01 답 ③
f{x}=-x#+ax+3이라고 하면 f '{x}=-3x@+a
곡선 y= f{x}가 점 {1, 4}를 지나므로
f{1}=-1+a+3=4 ∴ a=2
점 {1, 4}에서의 접선의 기울기는 f '{1}=-3+a=-1이므로 접
선의 방정식은
y-4=-{x-1}
∴ y=-x+5
따라서 b=-1, c=5이므로
abc=2\{-1}\5=-10
42 정답과 해설
-
1
f '{-1}
=-
1
5
따라서 직선의 방정식은
y+2=-
{x+1}
1
5
∴ x+5y+11=0
따라서 a=1, b=5이므로
a+b=1+5=6
유형03 답 2
f{x}=-x#+3x@+2라고 하면 f '{x}=-3x@+6x
접점의 좌표를 {t, -t#+3t@+2}라고 하면 직선 3x-y+2=0,
즉 y=3x+2에 평행한 접선의 기울기는 3이므로
f '{t}=-3t@+6t=3, 3t@-6t+3=0
{t-1}@=0 ∴ t=1
접점의 좌표를 {t, t#+3}이라고 하면 이 점에서의 접선의 기울기
y-4=3{x-1}
∴ 3x-y+1=0
따라서 a=3, b=1이므로
a-b=3-1=2
유형04 답 ④
f{x}=x#+3이라고 하면 f '{x}=3x@
는 f '{t}=3t@이므로 접선의 방정식은
y-{t#+3}=3t@{x-t}
∴ y=3t@x-2t#+3 yy ㉠
이 직선이 점 {0, 1}을 지나므로
1=-2t#+3, t#-1=0
{t-1}{t@+t+1}=0
∴ t=1 (∵ t는 실수)
y=3x+1
따라서 a=3, b=1이므로
a+2b=3+2=5
이를 ㉠에 대입하여 접선의 방정식을 구하면
유형05 답 4
f{x}=x#-5x+6이라고 하면 f '{x}=3x@-5
점 {1, 2}에서의 접선의 기울기는 f '{1}=-2이므로 접선의 방정
식은
y-2=-2{x-1}
∴ y=-2x+4
따라서 A{2, 0}, B{0, 4}이므로 삼각형 OAB의 넓이는
1
2
\2\4=4
\OA
\OB
1
2
=
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2018-04-26 오후 3:04:42
Z
Z
유형06 답
3j2 k
2
핵심 유형 완성하기 60~65쪽
곡선 y=-x@+x+2에 접하고 직선 y=x+5와 기울기가 같은 접
선의 접점의 좌표를 {t, -t@+t+2}라고 하면 구하는 거리의 최
001 답 ②
f{x}=x#+2x@+ax+1이라고 하면 f '{x}=3x@+4x+a
솟값은 이 점과 직선 y=x+5 사이의 거리와 같다.
f{x}=-x@+x+2라고 하면 f '{x}=-2x+1
곡선 y=f{x}가 점 {-1, 3}을 지나므로
f{-1}=-1+2-a+1=3 ∴ a=-1
점 {-1, 3}에서의 접선의 기울기는 f '{-1}=-1+a=-2이므
따라서 접점의 좌표는 {0, 2}이므로 이 점과 직선 y=x+5, 즉
y-3=-2{x+1} ∴ y=-2x+1
로 접선의 방정식은
따라서 b=-2, c=1이므로
a+b+c=-1+{-2}+1=-2
@ 점 {2, 6}에서의 두 곡선의 접선의 기울기가 같으므로
접선의 기울기가 1이므로
f '{t}=-2t+1=1 ∴ t=0
x-y+5=0 사이의 거리는
|0-2+5|
11@+{-1}@ 3
=
3j2 k
2
유형07 답 ①
f{x}=x#+a, g{x}=bx@+c라고 하면
f '{x}=3x@, g '{x}=2bx
! 두 곡선이 각각 점 {2, 6}을 지나므로
f{2}=8+a=6 ∴ a=-2
g{2}=4b+c=6 yy ㉠
f '{2}=g '{2}에서
12=4b ∴ b=3
b=3을 ㉠에 대입하면
12+c=6 ∴ c=-6
∴ a+b+c=-2+3+{-6}=-5
유형08 답
2
3
나 존재한다.
이때 f '{x}=3x@-8x+4이므로
f '{c}=3c@-8c+4=0
{3c-2}{c-2}=0
∴ c=
2
3 (∵ 00} 위의 점 P와 직선 y=6x-11 사이의 거
리가 최소가 될 때는 점 P가 직선 y=6x-11과 기울기가 같은 접
선의 접점일 때이다.
f{x}=2x#+3이라고 하면 f '{x}=6x@
점 P{a, b}에서의 접선의 기울기가 6이어야 하므로
f '{a}=6a@=6 ∴ a=1 (∵ a>0)
따라서 점 P의 좌표는 {1, 5}이므로
a=1, b=5 ∴ a+b=1+5=6
027 답
7-j13 k
3
삼각형 O A P의 넓이가 최대가 될 때는 곡선 위의 점 P와 직선
즉, 점 P가 직선 OA와 기울기가 같은 접선의 접점이어야 한다.
f{x}=x#-7x@+15x라고 하면 f '{x}=3x@-14x+15
점 P의 x좌표를 t {01)
038 답 5
f{b}-f{a}
b-a
점에서의 접선의 기울기이다.
이때 다음 그림과 같이 두 점 {a, f{a}}, {b, f{b}}를 지나는 직
선과 평행한 접선을 5개 그을 수 있으므로 주어진 조건을 만족하
는 상수 c의 개수는 5이다.
y
y=f{x}
a
O
xb
039 답 9
함수 f{x}는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 모든 실수에
서 연속이다.
따라서 함수 f{x}는 닫힌구간 [x-1, x+2]에서 연속이고 열린
구간 {x-1, x+2}에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의해
f{x+2}-f{x-1}
{x+2}-{x-1}
=f '{c}
인 c가 열린구간 {x-1, x+2}에 적어도 하나 존재한다.
이때 x-10이므로
a=2, b=-6
∴ a-b=2-{-6}=8
7 답
1
2
f{x}=3x@-4x-2라고 하면 f '{x}=6x-4
유형 05 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이
접점의 좌표를 {t, 3t@-4t-2}라고 하면 직선 2x-y+7=0,
f{x}=x#-3x@+2x라고 하면
즉 y=2x+7에 평행한 접선의 기울기는 2이므로
f '{t}=6t-4=2 ∴ t=1
f '{x} =3x@-6x+2
=3{x-1}@-1
접점의 좌표는 {1, -3}이므로 접선의 방정식은
따라서 접선의 기울기는 x=1에서 최솟값이 -1이다.
y+3=2{x-1} ∴ y=2x-5
이때 접점의 좌표는 {1, 0}이고 접선의 기울기가 -1이므로 접선
이 직선이 두 점 {a, 0}, {0, b}를 지나므로
의 방정식은
y-0=-{x-1} ∴ y=-x+1
이 접선의 x절편과 y절편이 모두 1이므로 구하는 도형의 넓이는
1
2
\1\1=
1
2
0=2a-5, b=-5
∴ a=
5
2 , b=-5
∴ a+b=
+{-5}=-
5
2
5
2
5 답 1
유형 03 기울기가 주어진 접선의 방정식
f{x}=x#-x+3이라고 하면
f '{x}=3x@-1
기울기는 2이므로
f '{t}=3t@-1=2, t@=1
∴ t=-1 또는 t=1
y-3=2{x+1} 또는 y-3=2{x-1}
∴ y=2x+5 또는 y=2x+1
이 접선의 방정식이 ㉠과 일치하므로
-2m+3=5 또는 -2m+3=1
∴ m=-1 또는 m=1
이때 m은 양수이므로
m=1
직선 y=2x+3을 x축의 방향으로 m만큼 평행이동하면
y=2{x-m}+3 ∴ y=2x-2m+3 yy ㉠
점 P{0, 4}에서의 접선의 기울기는 f '{0}=2이므로 접선 l의 방
접점의 좌표를 {t, t#-t+3}이라고 하면 이 점에서의 접선 ㉠의
직선 l에 수직인 직선의 기울기는 -
이므로 점 P{0, 4}를 지나
접점의 좌표는 {-1, 3} 또는 {1, 3}이므로 접선의 방정식은
y-4=-
{x-0} ∴ y=-
x+4
8 답 ④
유형 05 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이
f{x}=x#-3x@+2x+4라고 하면
f '{x}=3x@-6x+2
정식은
y-4=2{x-0} ∴ y=2x+4
고 기울기가 -
인 직선 m의 방정식은
1
2
1
2
1
2
1
2
l
y
4
m
-2
O
x
8
따라서 두 직선 l, m 및 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이는
1
2
\10\4=20
04 도함수의 활용 ( 1 ) 49
수학2 PM 해설 04(042~050)OK.indd 49
2018-04-26 오후 3:04:44
04 f '{t}=3에서 3t@=3
∴ t=1 (∵ t>0)
g '{t}=3에서 -2t+b=3
t=1을 대입하면
-2+b=3 ∴ b=5
t=1을 ㉠에 대입하면
1+a=2 ∴ a=1
t=1, b=5를 ㉡에 대입하면
-1+5+c=2 ∴ c=-2
∴ a+b-c=1+5-{-2}=8
9 답
3j17 k
17
유형 06 곡선 위의 점과 직선 사이의 거리의 최솟값
곡선 y=x@-2x+5에 접하고 직선 y=4x-1과 기울기가 같은 접
선의 접점의 좌표를 {t, t@-2t+5}라고 하면 구하는 최단 거리는
이 점과 직선 y=4x-1 사이의 거리와 같다.
@ 점 {t, 3t-1}에서의 두 곡선의 접선의 기울기가 3이므로
따라서 접점의 좌표가 {3, 8}이므로 이 점과 직선 y=4x-1, 즉
f{x}=x@-2x+5라고 하면
f '{x}=2x-2
접선의 기울기가 4이므로
f '{t}=2t-2=4 ∴ t=3
4x-y-1=0 사이의 거리는
|12-8-1|
14@+{-1}@ 3
3j17 k
17
=
10 답 j5 k
유형 06 곡선 위의 점과 직선 사이의 거리의 최솟값
f{x}=x@+1이라고 하면
f '{x}=2x
는 f '{t}=2t
12 답 -21
유형 09 평균값 정리
∴ a=-6
함수 f{x}=x@+ax+1은 닫힌구간 [1, 5]에서 연속이고 열린구
간 {1, 5}에서 미분가능하다.
이때 롤의 정리를 만족하면 f{1}=f{5}이므로
점 P의 좌표를 {t, t@+1}이라고 하면 점 P에서의 접선의 기울기
1+a+1=25+5a+1
원 {x-5}@+y@=5의 중심을 C{5, 0}이라고 하면 곡선 위의 점
함수 f{x}=x@-6x+1은 닫힌구간 [1, 6]에서 연속이고 열린구
P와 원 사이의 거리의 최솟값은 점 P에서의 접선과 직선 CP가
서로 수직일 때의 점 P와 점 C 사이의 거리에서 반지름의 길이
j5 k를 뺀 것과 같다.
y
y=x@+1
간 {1, 6}에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의해
f{6}-f{1}
6-1
=f '{c}
인 c가 열린구간 {1, 6}에 적어도 하나 존재한다.
P
O
j5
C
x
{x-5}@+y@=5
f '{x}=2x-6이므로
1-{-4}
6-1
7
2
=2c-6
∴ c=
∴ ac=-6\
=-21
7
2
직선 CP의 기울기는
t@+1
t-5 이므로
\2t=-1, 2t#+3t-5=0
t@+1
t-5
{t-1}{2t@+2t+5}=0
∴ t=1 (∵ t는 실수)
CP
점 P의 좌표는 {1, 2}이므로
=1{1-5}@+2@ 3=2j5 k
따라서 구하는 거리의 최솟값은
2j5 k-j5 k=j5 k
11 답 ④
유형 07 두 곡선의 공통접선
f{x}=x#+a, g{x}=-x@+bx+c라고 하면
f '{x}=3x@, g '{x}=-2x+b
두 곡선의 접점의 좌표를 {t, 3t-1}이라고 하면
! 두 곡선이 각각 점 {t, 3t-1}을 지나므로
f{t}=t#+a=3t-1
yy ㉠
g{t}=-t@+bt+c=3t-1 yy ㉡
50 정답과 해설
13 답 4
유형 09 평균값 정리
f{0}=0이므로 f{a}=af '{c}에서
f{a}-f{0}
a-0
f{a}-f{0}
=f '{c}
a-0 은 곡선 y=f{x} 위의 두 점 {0, 0}, {a, f{a}}를 지
나는 직선의 기울기이고, f '{c}는 곡선 y=f{x}의 x=c인 점에
서의 접선의 기울기이다.
이때 다음 그림과 같이 두 점 {0, 0}, {a, f{a}}를 지나는 직선과
평행한 접선을 4개 그을 수 있으므로 주어진 조건을 만족하는 상
수 c의 개수는 4이다.
y
O
y=f{x}
a
x
수학2 PM 해설 04(042~050)OK.indd 50
2018-04-26 오후 3:04:45
Z
05 도함수의 활용 (2)
유형01 ①
유형02 4
유형04 ④
유형05 ⑤
유형06 ①
유형03
4
3
유형07 4
유형08 ⑤
9
4
유형12 -
유형09 ①
유형10 ④
유형11 ①
유형13 -3 유형14 6
유형15 j5 k
유형16 8j2 k 유형17 16`cm#
유형18 6000원
001 ①
006 ⑤
002 ③
003 10
004 39
005 -3
007 3
008 -8 009 ④
010 2
011 ③
012 -2 013 0
051 12
052 ⑤
1
4
81
4 055 -
059 ④
2j6 k
9
053 -7 054
056 12
057 -3 058 ④
061 {1, 0}, 2j5 k
64j3 k
064
9 065 256 066
5
2
062 28
060 -25
063 j17 k-2
5
3 cm 068 ⑤
067
069
p 070 32 cm#
071 3시간
4j3 k
9
072 1450원
1 ③
6 4
2 -2
7 -2
3 -1
32
3
8
4 3
5 ④
9 ㄱ, ㄷ 10 2
11 3
12 -
0이어야 한다.
∴ 3x@+2ax+a>0
이차방정식 3x@+2ax+a=0의 판별식 D<0이어야 하므로
D
4
따라서 정수 a는 0, 1, 2, 3의 4개이다.
=a@-3a<0, a{a-3}<0 ∴ 00일 조건 ➡ a>0, D<0
•모든 실수 x에 대하여 ax@+bx+c<0일 조건 ➡ a<0, D<0
유형03 답
4
3
f{x}=x#-{a+2}x@+ax-1에서
f '{x}=3x@-2{a+2}x+a
함수 f{x}가 구간 [1, 2]에서 감소하려면 이
구간에서 f '{x}<0이어야 한다.
∴ f '{1}<0, f '{2}<0
f '{1}=3-2{a+2}+a<0에서 a>-1 yy ㉠
f '{2}=12-4{a+2}+a<0에서 a>
yy ㉡
4
3
4
㉠, ㉡을 동시에 만족하는 a의 값의 범위는 a>
3
따라서 a의 최솟값은
이다.
4
3
y=f '{x}
1
2
x
y
y=f '{x}
a
-2
b
1
2
-1
O
c
x
유형04 답 ④
오른쪽 그림과 같이 함수 y=f '{x}의
그래프와 x축의 교점의 x좌표를 차례
로 a, b, c라고 하자.
① 구간 {-E, -2}에서 f{x}는 감소
한다.
② 구간 {-2, a]에서 f{x}는 감소한다.
③ 구간 {-1, b]에서 f{x}는 증가한다.
⑤ 구간 {2, c]에서 f{x}는 감소한다.
따라서 옳은 것은 ④이다.
05 도함수의 활용 ( 2 ) 51
수학2 PM 해설 05(051~068)OK.indd 51
2018-04-26 오후 3:05:26
05 유형05 답 ⑤
f{x}=-x#+6x@+5에서
f '{x}=-3x@+12x=-3x{x-4}
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 또는 x=4
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
0
0
5
극소
y
+
↗
4
0
37
극대
y
-
↘
함수 f{x}의 극댓값은 f{4}=37, 극솟값은 f{0}=5이므로
M=37, m=5 ∴ M+m=37+5=42
유형06 답 ①
f{x}=2x#+ax@+bx+1에서 f '{x}=6x@+2ax+b
x=-1에서 극댓값이 8이므로
f '{-1}=0, f{-1}=8
f '{-1}=6-2a+b=0에서 2a-b=6
yy ㉠
f{-1}=-2+a-b+1=8에서 a-b=9 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=-12
f{x}=2x#-3x@-12x+1이므로
f '{x}=6x@-6x-12=6{x+1}{x-2}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=2
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
-1
0
8
극대
y
-
↘
2
0
-19
극소
y
+
↗
함수 f{x}의 극솟값은 f{2}=-19
유형07 답 4
f{x}=x#+ax@+bx+c에서
f '{x}=3x@+2ax+b
주어진 그래프에서 f '{-1}=0, f '{1}=0이므로
f '{-1}=3-2a+b=0에서 2a-b=3 yy ㉠
f '{1}=3+2a+b=0에서 2a+b=-3 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=-3
∴ f{x}=x#-3x+c
주어진 그래프에서 f '{x}의 부호를 조사하여 함수 f{x}의 증가,
감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
-1
0
c+2
극대
y
-
↘
1
0
c-2
극소
y
+
↗
함수 f{x}의 극솟값이 0이므로
f{1}=c-2=0 ∴ c=2
따라서 함수 f{x}의 극댓값은
f{-1}=c+2=2+2=4
52 정답과 해설
유형08 답 ⑤
주어진 그래프에서 f '{x}의 부호를 조사하여 함수 f{x}의 증가,
감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
-4 y -3 y
f '{x}
+
0
-
1
0
y
+
3
0
y
-
4
f{x}
↗ 극대 ↘ 극소 ↗ 극대 ↘
① 함수 f{x}는 -13에서 감소한다.
⑤ 함수 f{x}가 극값을 갖는 점은 x=-3, x=1, x=3일 때의
점 3개이다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
유형09 답 ①
f{x}=x$-6x@+5라고 하면
f '{x}=4x#-12x=4x{x+j3 k}{x-j3 k}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-j3 k 또는 x=0 또는 x=j3 k
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
-j3 k
0
-4
극소
y
+
↗
0
0
5
극대
y
-
↘
j3 k
0
-4
극소
y
+
↗
따라서 함수 y=f{x}의 그래프의 개형이 될 수 있는 것은 ①이다.
핵심 유형 완성하기 73~79쪽
001 답 ①
f{x}=-x#+6x@+15x+4에서
f '{x}=-3x@+12x+15=-3{x+1}{x-5}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=5
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
-1
0
-4
y
+
↗
5
0
104
y
-
↘
따라서 함수 f{x}가 증가하는 x의 값의 범위가 -1 f{x2}가 성립하
구간 [-2, 3]에서 증가하므로 x=-2, x=3은 이차방정식
∴ 2x@+8x-k>0
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
-1
0
-3
y
+
↗
0
0
-2
y
-
↘
1
0
-3
y
+
↗
따라서 함수 f{x}는 구간 {-E, -1], [0, 1]에서 감소하고, 구
간 [-1, 0], [1, E}에서 증가한다.
003 답 10
f{x}=x#+6x@+ax-2에서 f '{x}=3x@+12x+a
함수 f{x}가 감소하는 x의 값의 범위가 -30이어야 한다.
∴ a>0 yy ㉠, 3ax@+2x+4>0 yy ㉡
㉡에서 이차방정식 3ax@+2x+4=0의 판별식 D<0이어야 하므로
D
4
=1-12a<0 ∴ a>
yy ㉢
1
12
㉠, ㉢을 동시에 만족하는 a의 값의 범위는 a>
1
12
007 답 3
f{x}=-x#+3ax@+{a-4}x+1에서
f '{x}=-3x@+6ax+a-4
려면 함수 f{x}가 실수 전체의 집합에서 감소해야 한다.
즉, 모든 실수 x에 대하여 f '{x}<0이어야 한다.
∴ -3x@+6ax+{a-4}<0
이차방정식 -3x@+6ax+{a-4}=0의 판별식 D<0이어야 하
=9a@+3{a-4}<0, 3{3a+4}{a-1}<0
므로
D
4
∴ -
0이어야 한다.
이차방정식 2x@+8x-k=0의 판별식 D<0이어야 하므로
D
4
따라서 k의 최댓값은 -8이다.
=16+2k<0 ∴ k<-8
009 답 ④
f{x}=x#-{a+2}x@+3ax+2에서
f '{x}=3x@-2{a+2}x+3a
x1=x2인 임의의 두 실수 x1, x2에 대하여 f{x1}=f{x2}를 만족하
는 함수는 일대일함수이고 f{x}의 최고차항의 계수가 양수이므로
함수 f{x}는 실수 전체의 집합에서 증가해야 한다.
즉, 모든 실수 x에 대하여 f '{x}>0이어야 한다.
∴ 3x@-2{a+2}x+3a>0
이차방정식 3x@-2{a+2}x+3a=0의 판별식 D<0이어야 하므
로
D
4
∴ 10이어야 한다.
∴ f '{-1}>0, f '{3}>0
f '{-1}=-3-2a+12>0에서 a<
yy ㉠
f '{3}=-27+6a+12>0에서 a>
yy ㉡
9
2
5
2
y=f '{x}
-1
3
x
05 도함수의 활용 ( 2 ) 53
함수 f{x}가 구간 {-E, E}에서 증가하려면 모든 실수 x에 대
1+2+3+4=10
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2018-04-26 오후 3:05:27
05 ㉠, ㉡을 동시에 만족하는 a의 값의 범위는
5
2
따라서 정수 a는 3, 4의 2개이다.
0
yy ㉠
f '{1}=3-2-a<0에서 a>1 yy ㉡
㉠, ㉡을 동시에 만족하는 a의 값의 범위는 a>1
따라서 a의 최솟값은 1이다.
∴ f '{1}<0, f '{2}<0, f '{3}>0
f '{1}=3-9+a<0에서 a<6
yy ㉠
f '{2}=12-18+a<0에서 a<6 yy ㉡
f '{3}=27-27+a>0에서 a>0 yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 동시에 만족하는 a의 값의 범위는
01
따라서 a의 최솟값은 1이다.
012 답 -2
1
3
f{x}=-
x#-kx@+{k+6}x-1에서
f '{x}=-x@-2kx+k+6
구간 [-2, 1]에 속하는 x10이어
야 한다.
∴ f '{-2}>0, f '{1}>0
f '{-2}=-4+4k+k+6>0에서 k>-
f '{1}=-1-2k+k+6>0에서 k<5
㉠, ㉡을 동시에 만족하는 k의 값의 범위는
2
5 yy ㉠
yy ㉡
-
0이어야 한다.
54 정답과 해설
015 답 ①
f '{x}<0이면 함수 f{x}가 그 구간에서 감소한다. 주어진 그래
프에서 구간 {-E, -1}, {0, 2}에서 함수 f{x}가 감소하므로
A=9x| f '{x}<00=9x|x<-1 또는 00에서
f{x}>0, f '{x}>0 또는 f{x}<0, f '{x}<0
! f{x}>0, f '{x}>0인 경우
f{x}>0인 구간은 {-E, a} 또는 {c, E} yy ㉠
f '{x}>0인 구간은 {p, b} 또는 {q, E}
yy ㉡
㉠, ㉡을 동시에 만족하는 구간은 {c, E}
@ f{x}<0, f '{x}<0인 경우
f{x}<0인 구간은 {a, b} 또는 {b, c}
yy ㉢
f '{x}<0인 구간은 {-E, p} 또는 {b, q} yy ㉣
㉢, ㉣을 동시에 만족하는 구간은 {a, p} 또는 {b, q}
따라서 f{x}f '{x}>0을 만족하는 구간은 ④이다.
017 답 ②
f{x}=x#+3x@-9x+1에서
f '{x}=3x@+6x-9=3{x+3}{x-1}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-3 또는 x=1
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
-3
0
28
극대
y
-
↘
1
0
-4
극소
y
+
↗
함수 f{x}의 극댓값은 f{-3}=28, 극솟값은 f{1}=-4이므로
M=28, m=-4 ∴ M+m=28+{-4}=24
y=f '{x}
1
2
3
x
x=
2#
018 답 -1
f{x}=x$-4x#+16x+11에서
f '{x}=4x#-12x@+16=4{x+1}{x-2}@
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f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=2
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
-1
0
0
극소
y
+
↗
2
0
27
y
+
↗
함수 f{x}는 x=-1에서 극솟값이 0이므로
a=-1, m=0 ∴ a+m=-1+0=-1
019 답 28
f{x}=-3x$+4x#+12x@-3에서
f '{x}=-12x#+12x@+24x=-12x{x+1}{x-2}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=0 또는 x=2
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
-1
0
2
극대
y
-
↘
0
0
-3
극소
y
+
↗
2
0
29
극대
y
-
↘
함수 f{x}의 극댓값은 f{-1}=2, f{2}=29, 극솟값은
f{0}=-3이므로 구하는 극값의 합은
2+29+{-3}=28
020 답 ②
3
2
f{x}=x#-
x@-6x+k에서
f '{x}=3x@-3x-6=3{x+1}{x-2}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=2
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
-1
0
k+
7
2
극대
2
0
k-10
극소
y
+
↗
y
-
↘
7
2
이고 극댓값과 극솟값의 부호가 서로 다르므로
7
2 ]
k+
{k-10}<0 ∴ -
0이므로 -2a0)
따라서 함수 f{x}의 극댓값은 f{-3}=27
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030 답
3
2
f{x}=x#+ax@+bx+c ( a, b, c는 상수)라고 하면
f '{x}=3x@+2ax+b
주어진 그래프에서 f '{-2}=0, f '{1}=0이므로
f '{-2}=12-4a+b=0에서 4a-b=12 yy ㉠
f '{1}=3+2a+b=0에서 2a+b=-3
yy ㉡
3
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=
2
, b=-6
∴ f{x}=x#+
x@-6x+c
3
2
y
+
↗
주어진 그래프에서 f '{x}의 부호를 조사하여 함수 f{x}의 증가,
감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
-2
0
c+10
극대
y
-
↘
1
0
c-
7
2
극소
y
+
↗
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
0
0
극대
y
-
↘
2
0
극소
y
+
↗
따라서 함수 f{x}가 극값을 갖는 점은 2개이다.
ㄷ. f{x}=x#+ax@+bx+c에서
f '{x}=3x@+2ax+b
yy ㉠
주어진 그래프에서 f '{0}=0, f '{2}=0이므로
f '{0}=b=0
f '{2}=12+4a+b=0 yy ㉡
b=0을 ㉡에 대입하면 12+4a=0 ∴ a=-3
f{x}=x#-3x@+c이므로 f{1}=-2에서
1-3+c=-2 ∴ c=0
∴ f{x}=x#-3x@
따라서 함수 f{x}의 극솟값은
f{2}=8-12=-4
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
함수 f{x}의 극댓값이 15이므로
f{-2}=c+10=15 ∴ c=5
따라서 함수 f{x}의 극솟값은
f{1}=c-
=5-
=
7
2
7
2
3
2
031 답 5
f{x}=ax#+bx@+cx+d (a, b, c, d는 상수, a=0)라고 하면
f '{x}=3ax@+2bx+c
주어진 그래프에서 f '{-1}=0, f '{0}=0이므로
f '{-1}=3a-2b+c=0
yy ㉠
f '{0}=c=0
c=0을 ㉠에 대입하면 3a-2b=0 yy ㉡
주어진 그래프에서 f '{x}의 부호를 조사하여 함수 f{x}의 증가,
감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
-1
0
극소
y
+
↗
0
0
극대
y
-
↘
함수 f{x}의 극댓값이 1, 극솟값이 0이므로
f{0}=d=1
f{-1}=-a+b-c+d=0
yy ㉢
c=0, d=1을 ㉢에 대입하면
-a+b-0+1=0 ∴ a-b=1 yy ㉣
㉡, ㉣을 연립하여 풀면 a=-2, b=-3
따라서 f{x}=-2x#-3x@+1이므로
f{-2}=16-12+1=5
032 답 ㄴ, ㄷ
ㄱ. f{1}=-2에서
1+a+b+c=-2 ∴ a+b+c=-3
033 답 ②
주어진 그래프에서 f '{x}의 부호를 조사하여 함수 f{x}의 증가,
감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
y -1 y
f '{x} -
0
+
f{x} ↘ 극소 ↗
1
0
y
+
3
0
y
-
5
0
y
+
↗ 극대 ↘ 극소 ↗
① 구간 {2, 3]에서 f{x}는 증가한다.
② f '{1}=0이므로 f{x}는 x=1에서 미분가능하다.
③ f '{2}=0이므로 f{x}는 x=2에서 극값을 갖지 않는다.
④ f{x}는 x=3에서 극대이다.
⑤ 구간 {-1, 5}에서 함수 f{x}가 극값을 갖는 점은 x=3인 점
1개이다.
따라서 옳은 것은 ②이다.
034 답 -1
다음 그림과 같이 함수 y=f '{x}의 그래프와 x축의 교점의 x좌표
를 차례로 x1, x2, x3, x4, x5라고 하자.
y
y=f '{x}
a
x1
x3
x2
O
x4
x5
b
x
주어진 그래프에서 f '{x}의 부호를 조사하여 함수 f{x}의 증가,
감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
a y x1 y x2 y x3 y x4 y x5 y b
f '{x} - 0 + 0 + 0 - 0 + 0 +
f{x}
↘ 극소 ↗
↗ 극대 ↘ 극소 ↗
↗
ㄴ. 주어진 그래프에서 f '{x}의 부호를 조사하여 함수 f{x}의 증
함수 f{x}는 x=x3에서 극대, x=x1, x=x4에서 극소이므로
가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
m=1, n=2 ∴ m-n=1-2=-1
05 도함수의 활용 ( 2 ) 57
수학2 PM 해설 05(051~068)OK.indd 57
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05 035 답 -3
주어진 그래프에서 f '{x}의 부호를 조사하여 함수 f{x}의 증가,
감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
-1
0
y
+
↗
3
0
극대
y
-
↘
x -10 y -8 y -5 y -3 y -1 y 4 y 8 y 10
따라서 함수 y=f{x}의 그래프의 개형이 될 수 있는 것은 ③이다.
h'{x}의 부호를 조사하여 함수 h{x}의 증가, 감소를 표로 나타내
함수 y=f{x}의 그래프가 x=0일 때 y축의 양의 부분과 만나므
f '{x}
f{x}
- 0 + 0 - 0 + 0 + 0 - 0 +
↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
↗ 극대 ↘ 극소 ↗
함수 f{x}는 x=-8, x=-3, x=8에서 극솟값을 가지므로 구
하는 모든 x의 값의 합은 -8+{-3}+8=-3
h'{x}=0인 x의 값은 두 함수 y=f '{x}, y=g '{x}의 그래프의
036 답 ③
h'{x}=f '{x}-g '{x}
교점의 x좌표와 같으므로
x=b 또는 x=c 또는 x=f
면 다음과 같다.
x
h'{x}
h{x}
y
+
↗
b
0
극대
y
-
↘
c
0
극소
y
+
↗
f
0
극대
y
-
↘
함수 h{x}는 x=c에서 극소이므로 구하는 x의 값은 c이다.
037 답 ③
f{x}=-x$+4x#-4x@-2라고 하면
f '{x}=-4x#+12x@-8x=-4x{x-1}{x-2}
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 또는 x=1 또는 x=2
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
0
0
-2
극대
y
-
↘
1
0
-3
극소
y
+
↗
2
0
-2
극대
y
-
↘
따라서 함수 y=f{x}의 그래프의 개형이 될 수 있는 것은 ③이다.
038 답 ①
f{x}=2x#+12x@+18x+5라고 하면
f '{x}=6x@+24x+18=6{x+3}{x+1}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-3 또는 x=-1
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
-3
0
5
극대
y
-
↘
-1
0
-3
극소
y
+
↗
따라서 함수 y=f{x}의 그래프의 개형이 될 수 있는 것은 ①이다.
039 답 ③
주어진 그래프에서 f '{x}의 부호를 조사하여 함수 f{x}의 증가,
58 정답과 해설
040 답 ㄱ, ㄴ
f{x}=x#+ax@+bx+c에서 f '{x}=3x@+2ax+b
함수 f{x}가 x=a에서 극대, x=b에서 극소이므로
f '{a}=0, f '{b}=0
따라서 이차방정식 f '{x}=0의 두 실근은 a, b이고, a<0, b>0,
|b|>|a|이므로 근과 계수의 관계에 의해
a+b=-
>0에서 a<0
2a
3
ab=
<0에서 b<0
b
3
로 c>0
ㄱ. a<0, b<0, c>0이므로 abc>0
ㄴ. a<0, bc<0이므로 a+bc<0
+
ㄷ.
|a|
a
|c|
c
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
-a
a
|b|
b
-b
b
=
+
+
+
c
c
=-1-1+1=-1
함수 f{x}가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 이차방정식
f '{x}=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 f '{x}=0의 판
핵심 유형 80~81쪽
유형10 답 ④
1
3
f{x}=
f '{x}=x@-2ax+2a+3
x#-ax@+{2a+3}x+3에서
별식 D>0에서
D
4
{a+1}{a-3}>0 ∴ a<-1 또는 a>3
=a@-{2a+3}>0, a@-2a-3>0
따라서 자연수 a의 최솟값은 4이다.
유형11 답 ①
f{x}=x#-ax@+2ax+1에서
f '{x}=3x@-2ax+2a
함수 f{x}가 -20에서
=a@-6a>0, a{a-6}>0
D
4
∴ a<0 또는 a>6
yy ㉠
@ f '{-2}>0에서
감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
12+4a+2a>0 ∴ a>-2 yy ㉡
수학2 PM 해설 05(051~068)OK.indd 58
2018-04-26 오후 3:05:29
# f '{2}>0에서
12-4a+2a>0 ∴ a<6
yy ㉢
a
3
$ y=f '{x}의 그래프의 축의 방정식은 x=
이므로
-2<
<2 ∴ -60이어야 하므로
D=9+4a>0 ∴ a>-
yy ㉡
9
4
㉠, ㉡을 동시에 만족하는 a의 값의 범위는
-
0
9
4
따라서 a=-
9
4 , b=0, c=0이므로 a+b+c=-
9
4
유형13 답 -3
f{x}=2x#-3x@-12x+5에서
f '{x}=6x@-6x-12=6{x+1}{x-2}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=2
구간 [-2, 3]에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다
함수 f{a}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
a
f '{a}
f{a}
y
-
↘
1
0
5
극소
y
+
↗
따라서 f{a}의 최솟값은 f{1}=5이므로 선분 AP의 길이의 최솟
값은 j5 k이다.
유형16 답 8j2 k
점 A의 좌표를 A{a, 6-a@} {00, 6-2x>0이어야 하므로 00)
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
0
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
60
0
극대
y
-
↘
따라서 함수 f{x}는 x=60일 때 최대이므로 입장 수입이 최대가
되기 위한 입장료는 6000원이다.
핵심 유형 완성하기 82~86쪽
041 답 4
f{x}=ax#-6x@+3ax-2에서
f '{x}=3ax@-12x+3a
=36-3a@>0, a@-12<0, {a+2j3 k}{a-2j3 k}<0
두 실근을 가져야 하므로 g '{x}=0의 판별식 D2>0에서
D2
4
∴ -2j3 k0에서
D1
4
∴ a<-3 또는 a>1
=a@+2a-3>0, {a+3}{a-1}>0
yy ㉠
g{x}=
x#-{a+2}x@+{2a+1}x+1에서
4
3
g '{x}=4x@-2{a+2}x+2a+1
함수 g{x}가 극값을 갖지 않으려면 이차방정식 g '{x}=0이 중근
또는 허근을 가져야 하므로 g '{x}=0의 판별식 D2<0에서
D2
4
={a+2}@-4{2a+1}<0, a@-4a<0
함수 f{x}가 극값을 가지려면 이차방정식 f '{x}=0이 서로 다른
두 실근을 가져야 하므로 f '{x}=0의 판별식 D>0에서
D
4
{a+2}{a-2}<0
=36-9a@>0, a@-4<0
a{a-4}<0 ∴ 0-1에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 이차
방정식 f '{x}=0의 서로 다른 두 실근이 -1보다 커야 하므로
! 이차방정식 f '{x}=0의 판별식 D>0에서
=a@-3{a+6}>0, a@-3a-18>0
D
4
{a+3}{a-6}>0 ∴ a<-3 또는 a>6 yy ㉠
@ f '{-1}<0에서
-3-2a-{a+6}<0 ∴ a>-3
yy ㉡
# y=f '{x}의 그래프의 축의 방정식은 x=
a
3 이므로
>-1 ∴ a>-3
yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 동시에 만족하는 a의 값의 범위는
a
3
a>6
함수 f{x}가 극값을 가지려면 이차방정식 f '{x}=0이 서로 다른
따라서 자연수 a의 최솟값은 7이다.
두 실근을 가져야 하므로 f '{x}=0의 판별식 D1>0에서
D1=12a>0 ∴ a>0 yy ㉠
g{x}=x#-6x@+a@x+1에서
g '{x}=3x@-12x+a@
046 답 ④
f{x}=x#-{a+1}x@+x-1에서
f '{x}=3x@-2{a+1}x+1
60 정답과 해설
수학2 PM 해설 05(051~068)OK.indd 60
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함수 f{x}가 x<1에서 극댓값을 x>1에서 극솟값을 가지려면 이
㉠, ㉡을 동시에 만족하는 a의 값의 범위는
차방정식 f '{x}=0의 서로 다른 두 실근 중 한 근은 1보다 작고,
다른 한 근은 1보다 커야 하므로 f '{1}<0에서
3-2{a+1}+1<0 ∴ a>1
047 답 2
1
3
f{x}=
x#-ax@+{a@-1}x+3에서
f '{x}=x@-2ax+a@-1
함수 f{x}가 구간 {-1, 2}에서 극댓값, 구간 {2, E}에서 극솟
값을 가지려면 이차방정식 f '{x}=0의 서로 다른 실근 중 한 근
은 -1과 2 사이에 있고, 다른 한 근은 2보다 커야 하므로
! f '{-1}>0에서
1+2a+a@-1>0, a@+2a>0
a{a+2}>0 ∴ a<-2 또는 a>0 yy ㉠
@ f '{2}<0에서
4-4a+a@-1<0, a@-4a+3<0
{a-1}{a-3}<0 ∴ 10이어야 하므로
=9a@-6a>0, 3a{3a-2}>0
a=0
D
4
∴ a<0 또는 a>
2
3
㉠, ㉡을 동시에 만족하는 a의 값의 범위는
yy ㉡
a<0 또는 a>
2
3
따라서 자연수 a의 최솟값은 1이다.
049 답 ⑤
f{x}=-x$+2x#-3ax@에서
a<0 또는 0 1
4
f{x}=-x$-2{a-1}x@-4ax+1에서
f '{x} =-4x#-4{a-1}x-4a
=-4{x+1}{x@-x+a}
함수 f{x}가 극솟값을 갖지 않으려면 삼차방정식 f '{x}=0이 중
근을 갖거나 허근을 가져야 한다.
! -4{x+1}{x@-x+a}=0이 중근을 갖는 경우
z x=-1이 이차방정식 x@-x+a=0의 한 근인 경우
1+1+a=0 ∴ a=-2
x 이차방정식 x@-x+a=0이 중근을 갖는 경우
판별식 D=0이어야 하므로
D=1-4a=0 ∴ a=
1
4
@ -4{x+1}{x@-x+a}=0이 허근을 갖는 경우
이차방정식 x@-x+a=0이 허근을 가져야 하므로 판별식
D<0에서
D=1-4a<0 ∴ a>
1
4
1
!, @에 의해 a=-2 또는 a>
4
051 답 12
f{x}=3x$-4x#-3{a+4}x@+12ax에서
f '{x} =12x#-12x@-6{a+4}x+12a
=6{x-2}{2x@+2x-a}
함수 f{x}가 극댓값을 갖지 않으려면 삼차방정식 f '{x}=0이 중
근을 갖거나 허근을 가져야 한다.
! 6{x-2}{2x@+2x-a}=0이 중근을 갖는 경우
z x=2가 이차방정식 2x@+2x-a=0의 한 근인 경우
8+4-a=0 ∴ a=12
x 이차방정식 2x@+2x-a=0이 중근을 갖는 경우
판별식 D=0이어야 하므로
D
4
=1+2a=0 ∴ a=-
1
2
@ 6{x-2}{2x@+2x-a}=0이 허근을 갖는 경우
이차방정식 2x@+2x-a=0이 허근을 가져야 하므로 판별식
f '{x}=-4x#+6x@-6ax=-2x{2x@-3x+3a}
함수 f{x}가 극솟값을 가지려면 삼차방정식 f '{x}=0이 서로 다
른 세 실근을 가져야 하므로 이차방정식 2x@-3x+3a=0이 0이
아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
! x=0이 이차방정식 2x@-3x+3a=0의 근이 아니어야 하므로
a=0
yy ㉠
@ 이차방정식 2x@-3x+3a=0의 판별식 D>0이어야 하므로
3
8
D=9-24a>0 ∴ a<
yy ㉡
D<0에서
D
4
=1+2a<0 ∴ a<-
1
2
!, @에 의해 a<-
따라서 a의 최댓값은 12이다.
또는 a=12
1
2
052 답 ⑤
f{x}=-x#+6x@-9x+10에서
f '{x}=-3x@+12x-9=-3{x-1}{x-3}
f '{x}=0인 x의 값은 x=1 또는 x=3
05 도함수의 활용 ( 2 ) 61
수학2 PM 해설 05(051~068)OK.indd 61
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05 구간 [0, 5]에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음
구간 [0, 1]에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음
과 같다.
x
0
f '{x}
f{x}
10
y
-
↘
1
0
6
극소
y
+
↗
3
0
10
극대
y
-
↘
5
-10
과 같다.
x
f '{x}
f{x}
-a
함수 f{x}의 최댓값은 f{0}=f{3}=10, 최솟값은 f{5}=-10이
0
0
0
함수 f{x}의 최댓값은 f{a}=
a#-a이므로
g{a}=
a#-a ∴ g '{a}=
a@-1
1
2
g '{a}=0인 a의 값은 a=j6 k
3
(∵ 0-1
{ f J g}{x}=f{ g{x}}=f{t}=-3t$-4t#+6t@+12t+1이므로
f '{t} =-12t#-12t@+12t+12=-12{t+1}@{t-1}
f '{t}=0인 t의 값은 t=-1 또는 t=1
t>-1에서 함수 f{t}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
t
f '{t}
f{t}
-1
0
-4
y
+
↗
1
0
12
극대
y
-
↘
따라서 함수 f{t}의 최댓값은 f{1}=12
057 답 -3
f{x}=-2x#+6x@+a에서
f '{x}=-6x@+12x=-6x{x-2}
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 또는 x=2
구간 [-1, 3]에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다
음과 같다.
x
-1
f '{x}
f{x}
a+8
y
-
↘
0
0
a
극소
y
+
↗
2
0
a+8
극대
y
-
↘
3
a
함수 f{x}의 최댓값은 f{-1}=f{2}=a+8이므로
a+8=5 ∴ a=-3
따라서 함수 f{x}의 최솟값은 f{0}=f{3}=a=-3
므로
M=10, m=-10
∴ M-m=10-{-10}=20
053 답 -7
f{x}=x$-6x@-8x+15에서
f '{x}=4x#-12x-8=4{x+1}@{x-2}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=2
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
-1
0
18
y
-
↘
2
0
-9
극소
y
+
↗
따라서 함수 f{x}는 x=2에서 최솟값이 -9이므로
a=2, m=-9
∴ a+m=2+{-9}=-7
054 답
81
4
2x+y=6에서 y=6-2x
y>0이므로 y=6-2x>0에서 x<3
∴ 0PC
Z
=1{a-6}@+{-a@+3}@ 3-2
=1a$-5a@-12a+45 3-2
f{a}=a$-5a@-12a+45라고 하면
f '{a}=4a#-10a-12=2{a-2}{2a@+4a+3}
주어진 그래프에서 f '{x}의 부호를 조사하여 구간 [-2, 4]에서
f '{a}=0인 a의 값은 a=2 (∵ a는 실수)
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
함수 f{a}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
-2
f{x}
c-2
y
+
↗
-1
0
c+5
극대
y
-
↘
3
0
c-27
극소
y
+
↗
4
c-20
a
f '{a}
f{a}
함수 f{x}의 극댓값은 f{-1}=c+5이므로
c+5=7 ∴ c=2
함수 f{a}의 최솟값은 f{2}=17이므로 선분 PQ의 길이의 최솟
값은 j17 k-2이다.
1
0
20
극소
1
0
28
극소
2
0
17
극소
y
+
↗
y
+
↗
y
+
↗
y
-
↘
y
-
↘
y
-
↘
05 도함수의 활용 ( 2 ) 63
수학2 PM 해설 05(051~068)OK.indd 63
2018-04-26 오후 3:05:31
05Z
Z
Z
Z
Z
064 답
64j3 k
9
∴ S '{x} =
92x{x-5}@+x@\2{x-5}0=
x{2x-5}{x-5}
4
p
8
p
직사각형의 꼭짓점 중 제1사분면에 있는 점을 P라 하고 점 P의 x
S '{x}=0인 x의 값은 x=
(∵ 00, 15-2x>0, 8-2x>0이어야 하므로 00, r@=144-h@>0이므로 00,
>0이어야 하므로 00)
∴ r：h=4j6 k：4j3 k=j2 k：1
함수 f{t}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
0
t
f '{t}
f{t}
y
+
↗
3
0
극대
y
-
↘
069 답
4j3 k
p
9
오른쪽 그림과 같이 원기둥의 밑면의 반지름의
길이를 r, 높이를 2x라고 하면
r@=1-x@
이때 x>0, r@=1-x@>0이므로 00, 3000-x@>0이므로 00, y=
48-x@
4x
상자의 부피를 V{x}`cm#라고 하면
>0이므로 00이어야 한다.
∴ x@+2ax-{2a-3}>0
071 답 3시간
f{t}=-t#+3t@+9t라고 하면
f '{t}=-3t@+6t+9=-3{t+1}{t-3}
f '{t}=0인 t의 값은 t=3 (∵ t>0)
이차방정식 x@+2ax-{2a-3}=0의 판별식 D<0이어야 하므로
D
4
따라서 M=1, m=-3이므로 M+m=1+{-3}=-2
=a@+2a-3<0, {a+3}{a-1}<0 ∴ -3f{x2}가 성립하
려면 함수 f{x}가 실수 전체의 집합에서 감소해야 한다.
즉, 모든 실수 x에 대하여 f '{x}<0이어야 하므로
6a<0 yy ㉠, 6ax@-2x+6a<0 yy ㉡
㉠에서 a<0
yy ㉢
㉡에서 이차방정식 6ax@-2x+6a=0의 판별식 D<0이어야 하
함수 f{x}가 -20, {6a+1}{6a-1}>0
∴ a<-
또는 a>
yy ㉣
1
6
1
6
1
㉢, ㉣을 동시에 만족하는 a의 값의 범위는 a<-
6
따라서 정수 a의 최댓값은 -1이다.
4 답 3
유형 03 삼차함수가 주어진 구간에서 증가 또는 감소하기 위한 조건
f{x}=2x#+ax@-4ax+1에서
f '{x}=6x@+2ax-4a
이 구간에서 f '{x}<0이어야 한다.
∴ f '{-2}<0, f '{1}<0
f '{-2}=24-4a-4a<0에서
a>3
yy ㉠
f '{1}=6+2a-4a<0에서 a>3 yy ㉡
㉠, ㉡을 동시에 만족하는 a의 값의 범위는 a>3
따라서 a의 최솟값은 3이다.
5 답 ④
유형 04 함수의 그래프와 증가, 감소
를 차례로 a, b, c라고 하자.
y
y=f '{x}
-1
2
b
O
c
3
x
-2
a
① 구간 [a, -1]에서 f{x}는 감소한다.
② 구간 [-1, b]에서 f{x}는 감소한다.
③ 구간 [0, c]에서 f{x}는 증가한다.
⑤ 구간 [3, E}에서 f{x}는 증가한다.
따라서 옳은 것은 ④이다.
6 답 4
유형 05 함수의 극대, 극소
f{x}=x#-3x+1에서
66 정답과 해설
수학2 PM 해설 05(051~068)OK.indd 66
2018-04-26 오후 3:05:32
9 답 ㄱ, ㄷ
유형 08 도함수 y=f '{x}의 그래프를 이용한 함수 f{x}의 해석
주어진 그래프에서 f '{x}의 부호를 조사하여 함수 f{x}의 증가,
감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
-1
0
극소
y
+
↗
2
0
극대
y
-
↘
4
0
극소
y
+
↗
ㄱ. 함수 f{x}는 -20에서
D
4
㉠, ㉡을 동시에 만족하는 자연수 a, b의 순서쌍 {a, b}는 {4, 3},
=a@-3b>0 ∴ a@>3b
yy ㉡
{5, 2}, {6, 1}의 3개이다.
12 답 -
0에서
=k@-3k>0, k{k-3}>0
D
4
∴ k<0 또는 k>3
yy ㉠
@ f '{-1}>0에서
1+2k+3k>0 ∴ k>-
yy ㉡
1
5
# f '{1}>0에서
1-2k+3k>0 ∴ k>-1
yy ㉢
$ y=f '{x}의 그래프의 축의 방정식은 x=k이므로
-10이어야 하므로
D=9a@-8a>0, a{9a-8}>0
a=0
∴ a<0 또는 a>
8
9
㉠, ㉡을 동시에 만족하는 a의 값의 범위는
yy ㉡
a<0 또는 a>
8
9
따라서 자연수 a의 최솟값은 1이다.
14 답 -9
유형 13 함수의 최대, 최소
f{x}=x#-3x@-9x+4에서
f '{x}=3x@-6x-9=3{x+1}{x-3}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 (∵ -20이면 -4a+b0, y= j2 k
2
직육면체의 부피를 V{x}라고 하면
V{x}=x@y= j2 k
2
∴ V'{x}= j2 k
2
x@{6-x}= j2 k
2
3j2 k
2
{12x-3x@}=
{6x@-x#}
x{4-x}
{6-x}>0이므로 08 023 1
024 4
025 ⑤
026 -25 027 6
028 ①
029 4
030 18
031 36
032 15
033 ③
034 ③
035 6
036 64
037 ①
038 ⑤
039
3
2
-32
유형02 답 ③
f{x}=x#+3x@-9x+n이라고 하면
f '{x}=3x@+6x-9=3{x+3}{x-1}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-3 또는 x=1
삼차방정식 f{x}=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면
(극댓값)\(극솟값)<0이어야 하므로
f{-3}f{1}={n+27}{n-5}<0
041 40`m/s
042 50
∴ -270이므로 함수 f{x}는 10이 성립하려면 f{1}>0이어야 하므로
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
-1
0
5
극대
y
-
↘
3
0
-27
극소
y
+
↗
함수 y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림과
y
y=f{x}
같으므로 직선 y=-k와의 교점의 x좌표
가 한 개는 음수이고, 다른 두 개는 양수이
5
O
3
-1
f{1}=11-k>0 ∴ k<11
따라서 자연수 k는 1, 2, 3, y, 11의 11개이다.
유형08 답 -18
x>0에서 곡선 y=f{x}가 곡선 y=g{x}보다 위쪽에 있으려면
f{x}>g{x}, 즉 f{x}-g{x}>0이어야 한다.
x
h{x}=f{x}-g{x}라고 하면
h{x} ={2x#-12x+3}-{3x@+k}
y=-k
=2x#-3x@-12x+3-k
h '{x}=6x@-6x-12=6{x+1}{x-2}
-27
h '{x}=0인 x의 값은 x=2 (∵ x>0)
려면
-27<-k<0 ∴ 0x@+5x에서
x$+3x@-10x+a>0
f{x}=x$+3x@-10x+a라고 하면
f '{x}=4x#+6x-10=2{x-1}{2x@+2x+5}
f '{x}=0인 x의 값은 x=1 (∵ x는 실수)
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
1
0
a-6
극소
y
+
↗
모든 실수 x에 대하여 f{x}>0이 성립하려면
(`f{x}의 최솟값)>0 ➡ f{1}=a-6>0
∴ a>6
따라서 정수 a의 최솟값은 6이다.
유형06 답 ④
x#-3x@-9x+30>k에서
x#-3x@-9x+30-k>0
f{x}=x#-3x@-9x+30-k라고 하면
f '{x}=3x@-6x-9=3{x+1}{x-3}
f '{x}=0인 x의 값은 x=3 (∵ x>0)
x>0에서 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
0
y
-
↘
3
0
3-k
극소
y
+
↗
x>0일 때, f{x}>0이 성립하려면
(`f{x}의 최솟값)>0 ➡ f{3}=3-k>0
∴ k<3
유형07 답 11
f{x}=2x#+9x@-k라고 하면
f '{x}=6x@+18x=6x{x+3}
70 정답과 해설
x>0에서 함수 h{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
h '{x}
h {x}
0
y
-
↘
2
0
-17-k
극소
y
+
↗
x>0에서 h{x}=f{x}-g{x}>0이 성립하려면
( h{x}의 최솟값)>0 ➡ h{2}=-17-k>0
∴ k<-17
따라서 정수 k의 최댓값은 -18이다.
핵심 유형 완성하기 94~97쪽
001 답
19
2
3
2
3
2
x$+4x#-3x@-12x+k=0에서
x$+4x#-3x@-12x=-k
f{x}=
x$+4x#-3x@-12x라고 하면
3
2
f '{x}=6x#+12x@-6x-12=6{x+2}{x+1}{x-1}
f`'{x}=0인 x의 값은 x=-2 또는 x=-1 또는 x=1
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
-2
0
4
극소
y
+
↗
-1
0
13
2
극대
y
-
↘
함수 y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림과
y
y=f{x}
같으므로 직선 y=-k와 한 점에서 만나
려면
-k=-
∴ k=
19
2
19
2
y
+
↗
1
0
-
19
2
극소
13
\\\\\\\\\\\\\\\\\\2
4
O
1
-2
-1
x
-
19
\\\\\\\\\\\\\\\\\\2
y=-k
수학2 PM 해설 06(069~082)OK.indd 70
2018-04-26 오후 3:06:09
002 답 3
x#-6x@+9x-k=0에서 x#-6x@+9x=k
f{x}=x#-6x@+9x라고 하면
f '{x}=3x@-12x+9=3{x-1}{x-3}
f '{x}=0인 x의 값은 x=1 또는 x=3
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
1
0
4
극대
y
-
↘
3
0
0
극소
y
+
↗
함수 y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림
y=f{x}
y
4
과 같고, 00이어야 하므로
f{-1}f{2}=
-k
{-10-k}>0
7
2
[
]
7
2 ]
k-
{k+10}>0 ∴ k<-10 또는 k>
[
따라서 자연수 k의 최솟값은 4이다.
7
2
006 답 ⑤
f{x}=2x#-3ax@+8이라고 하면
f '{x}=6x@-6ax=6x{x-a}
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 또는 x=a
삼차방정식 f{x}=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면
(극댓값)\(극솟값)<0이어야 하므로
a#-8>0, {a-2}{a@+2a+4}>0
∴ a>2 (∵ a@+2a+4>0)
007 답 -7
함수 f{x}=2x#-15x@+24x+6의 그래프를 y축의 방향으로 a만
큼 평행이동하면 함수 y=g{x}의 그래프와 겹쳐지므로
g{x}=2x#-15x@+24x+6+a
∴ g '{x}=6x@-30x+24=6{x-1}{x-4}
g '{x}=0인 x의 값은 x=1 또는 x=4
삼차방정식 g{x}=0이 서로 다른 두 실근을 가지려면
(극댓값)\(극솟값)=0이어야 하므로
g{1}g{4}={a+17}{a-10}=0
∴ a=-17 또는 a=10
따라서 모든 a의 값의 합은 -17+10=-7
008 답 00에서
D=36a>0 ∴ a>0
yy`㉠
06 도함수의 활용 ( 3 ) 71
수학2 PM 해설 06(069~082)OK.indd 71
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06 f '{x}=3x@-3a=3{x+ja k}{x+ja k}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-ja k 또는 x=ja k
삼차방정식 f{x}=0이 오직 한 실근만을 가지려면
(극댓값)\(극솟값)>0이어야 하므로
f{-ja k}f{ja k}={2aja k+a}{-2aja k+a}>0
a@-4a#>0, a@{1-4a}>0
012 답 6
2x#-3x@-12x-k=0에서
2x#-3x@-12x=k
f{x}=2x#-3x@-12x라고 하면
f '{x}=6x@-6x-12=6{x+1}{x-2}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=2
a@=0이고 1-4a>0 ∴ a<0 또는 00)
[
k+
{k-1}=0
5
27 ]
010 답 3
실근만을 가져야 한다.
f{x}=x#-6x@+9x-2k라고 하면
f '{x}=3x@-12x+9=3{x-1}{x-3}
f '{x}=0인 x의 값은 x=1 또는 x=3
삼차방정식 f{x}=0이 한 실근만을 가지려면
(극댓값)\(극솟값)>0이어야 하므로
f{1}f{3}={4-2k}\{-2k}>0
k{k-2}>0 ∴ k<0 또는 k>2
따라서 자연수 k의 최솟값은 3이다.
011 답 ③
두 곡선 y=f{x}, y=g{x}가 오직 한 점에서 만나려면 방정식
f{x}=g{x}, 즉 h{x}=0이 한 실근만을 가져야 한다.
주어진 그래프에서 h'{x}의 부호를 조사하여 함수 h{x}의 증가,
감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
h'{x}
h{x}
y
-
↘
a
0
극소
y
+
↗
b
0
극대
y
-
↘
삼차방정식 h{x}=0이 한 실근만을 가지려면
(극댓값)\(극솟값)>0이어야 하므로
h{a}h{b}>0
72 정답과 해설
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
-1
0
7
극대
y
-
↘
2
0
-20
극소
y
+
↗
함수 y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림과
같으므로 직선 y=k와의 교점의 x좌표가
한 개는 양수이고, 다른 두 개는 음수이려
y
7
y=f{x}
y=k
O
2
-1
x
따라서 정수 k는 1, 2, 3, y, 6의 6개이다.
-20
면
00이 성립하려면
(`f{x}의 최솟값)>0 ➡ f{k}=-3k$+12>0
k$-4<0, {k@+2}{k+j2 k}{k-j2 k}<0
∴ -j2 k0, k=0)
같으므로 직선 y=k와의 교점이 세 개이
고 교점의 x좌표가 양수이려면
따라서 실수 k의 값이 될 수 없는 것은 ⑤
0x#+4x@+8x-a에서
x$-6x@-8x+10+a>0
f{x}=x$-6x@-8x+10+a라고 하면
f '{x}=4x#-12x-8=4{x+1}@{x-2}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=2
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
-1
0
a+13
y
-
↘
2
0
a-14
극소
y
+
↗
모든 실수 x에 대하여 f{x}>0이 성립하려면
(`f{x}의 최솟값)>0 ➡ f{2}=a-14>0
∴ a>14
따라서 a의 최솟값은 14이다.
017 답 3
! k=0일 때, 주어진 부등식은 항상 성립한다.
@ k=0일 때,
f{x}=x$-4k#x+12라고 하면
f '{x}=4x#-4k#=4{x-k}{x@+kx+k@}
!, @에 의해 -j2 k2x@+x+k에서 x#-3x@+3-k>0
f{x}=x#-3x@+3-k라고 하면
f '{x}=3x@-6x=3x{x-2}
06 도함수의 활용 ( 3 ) 73
f '{x}=0인 x의 값은 x=k (∵ x@+kx+k@>0)
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 또는 x=2
수학2 PM 해설 06(069~082)OK.indd 73
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06 -12이므로 x>1일 때, f '{x}>0이다. 즉, 함수 f{x}는
x>1에서 증가한다.
x>1일 때, f{x}>0이 성립하려면 f{1}>0이어야 하므로
f{1}=1-n+n{n-3}-1>0, n@-4n>0, n{n-4}>0
-10이 성립하려면
(`f{x}의 최솟값)>0 ➡ f{2}=-k-1>0 ∴ k<-1
∴ n>4 (∵ n>2)
따라서 자연수 n의 최솟값은 4이다.
021 답 5
|x$-4x#-2x@+12x+k|<10에서
-10-10, (`f{x}의 최댓값}<10
➡ f{3}=k-9>-10, f{1}=k+7<10
∴ -18
x#+16x<8x@+k에서 x#-8x@+16x-k<0
f{x}=x#-8x@+16x-k라고 하면
f '{x}=3x@-16x+16={3x-4}{x-4}
28
023 답 1
f{x}=x#+5x-a{a-1}이라고 하면
f '{x}=3x@+5
증가한다.
f{1}=1+5-a{a-1}>0, a@-a-6<0
{a+2}{a-3}<0 ∴ -2nx+1에서 xN-nx+n{n-3}-1>0
74 정답과 해설
025 답 ⑤
x>0에서 곡선 y=f{x}가 곡선 y=g{x}보다 위쪽에 있으려면
f{x}>g{x}, 즉 f{x}-g{x}>0이어야 한다.
h{x}=f{x}-g{x}라고 하면
h{x} ={x#-x@+x+k}-{2x@+x+1}
=x#-3x@+k-1
∴ h '{x}=3x@-6x=3x{x-2}
h '{x}=0인 x의 값은 x=2 (∵ x>0)
x>0에서 함수 h{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
h '{x}
h{x}
0
y
-
↘
2
0
k-5
극소
y
+
↗
x>0에서 h{x}=f{x}-g{x}>0이 성립하려면
( h{x}의 최솟값)>0 ➡ h{2}=k-5>0 ∴ k>5
026 답 -25
함수 y=f{x}의 그래프가 함수 y=g{x}의 그래프보다 위쪽에 있
으려면 모든 실수 x에 대하여 f{x}>g{x}, 즉 f{x}-g{x}>0
이어야 한다.
h{x}=f{x}-g{x}라고 하면
h{x} ={x$-x@-4x}-{5x@+4x+a}
=x$-6x@-8x-a
∴ h '{x}=4x#-12x-8=4{x+1}@{x-2}
h '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=2
함수 h{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
h '{x}
h{x}
y
-
↘
-1
0
-a+3
y
-
↘
2
0
-a-24
극소
y
+
↗
( h{x}의 최솟값)>0 ➡ h{2}=-a-24>0
따라서 정수 a의 최댓값은 -25이다.
027 답 6
f{x}=-2x#+8x+1, g{x}=2x+k라고 하자.
00이므로 함수 f{x}는 x>1에서
모든 실수 x에 대하여 h{x}=f{x}-g{x}>0이 성립하려면
x>1일 때, f{x}>0이 성립하려면 f{1}>0이어야 하므로
∴ a<-24
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h{x}=f{x}-g{x}라고 하면
h{x} ={-2x#+8x+1}-{2x+k}
=-2x#+6x+1-k
∴ h '{x}=-6x@+6=-6{x+1}{x-1}
h '{x}=0인 x의 값은 x=1 (∵ 05
00)
다.
dx
dt
dv
dt
v=
=3t@-8t+3
a=
=6t-8
따라서 t=1일 때 점 P의 가속도는
6\1-8=-2
유형10 답 ④
시각 t에서 점 P의 속도를 v라고 하면
v=
=3t@-6t-9
dx
dt
점 P가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로
3t@-6t-9=0, 3{t+1}{t-3}=0 ∴ t=3 (∵ t>0)
시각 t에서 점 P의 가속도를 a라고 하면
a=
=6t-6
dv
dt
6\3-6=12
따라서 t=3일 때 점 P의 가속도는
유형11 답 64`m
제동을 건 지 t초 후의 열차의 속도를 v`m/s라고 하면
v=
=32-8t
dx
dt
열차가 정지할 때의 속도는 0이므로
32-8t=0 ∴ t=4
유형13 답 ⑤
시각 t에서 가속도는 v '{t}이므로 속도 v{t}의 그래프에서 그 점
에서의 접선의 기울기와 같다.
① t=a에서 v '{a}>0이므로 가속도는 양의 값이다.
② t=b에서 v '{b}=0이므로 가속도는 0이다.
③ v{t}=0이고 좌우에서 v{t}의 부호가 바뀔 때 운동 방향이 바
뀌므로 t=c일 때 점 P는 운동 방향을 바꾼다.
④ b0)
다.
시각 t에서 점 P의 속도를 v라고 하면
v=
=-3t@+4t+3
dx
dt
따라서 t=3일 때 점 P의 속도는
-3\3@+4\3+3=-12
029 답 4
시각 t에서 점 P의 속도를 v라고 하면
v=
=3t@+2at
dx
dt
t=1일 때, v=11이므로
3+2a=11 ∴ a=4
030 답 18
시각 t에서 점 P의 속도를 v라고 하면
v=
=6t@-6t-10
dx
dt
점 P의 속도가 2이면
6t@-6t-10=2, 2{t+1}{t-2}=0
∴ t=2 (∵ t>0)
시각 t에서 점 P의 가속도를 a라고 하면
a=
=12t-6
dv
dt
12\2-6=18
따라서 t=2일 때 점 P의 가속도는
031 답 36
시각 t에서 점 P의 속도를 v라고 하면
v=
=-6t@+12t+12=-6{t-1}@+18
dx
dt
-360에서 함수 f{t}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
0
t
f '{t}
f{t}
y
+
↗
1
0
16
극대
y
-
↘
3
0
0
극소
y
+
↗
함수 y=f{t}의 그래프는 오른쪽 그림과
y=f{t}
y
16
같으므로 직선 y=m과의 교점이 세 개이
고 x좌표가 양수이려면
0
3
2
따라서 양수 a의 최솟값은
이다.
3
2
040 답
125
2
`m
v=
=25-10t
dh
dt
t초 후의 물체의 속도를 v`m/s라고 하면
물체가 최고 높이에 도달했을 때의 속도는 0이므로
25-10t=0 ∴ t=
5
2
t=
25\
5
2 일 때 물체의 높이는
125
5
5
2 ]@=
4
2
-5\
[
{m}
2\
125
4
=
125
2
{m}
041 답 40`m/s
로켓이 지면에 떨어질 때의 높이는 0이므로
35+30t-5t@=0, {t+1}{t-7}=0
로켓의 t초 후 속도를 v`m/s라고 하면
∴ t=7 (∵ t>0)
v=
=30-10t
dh
dt
따라서 t=7일 때 로켓의 속력은
|v|=|30-10\7|=40{m/s}
042 답 50
t초 후의 공의 속도를 v`m/s라고 하면
v=
=a-10t
dh
dt
공이 최고 높이에 도달했을 때의 속도는 0이므로
a
10
a-10t=0 ∴ t=
t=
a\
a
10 일 때 공의 높이가 125`m 이상이어야 하므로
a
10
a
10 ]@>125, a@>2500
-5\
[
{a+50}{a-50}>0 ∴ a>50 (∵ a>0)
즉, t=4일 때 점 M이 두 번째로 운동 방향을 바꾸므로 이 때의
따라서 물체가 지면에 떨어질 때까지 움직인 거리는
따라서 목적지로부터 전방 192`m 지점에서 제동을 걸어야 한다.
따라서 a의 최솟값은 50이다.
06 도함수의 활용 ( 3 ) 77
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06 043 답 ⑤
시각 t에서 가속도는 v '{t}이므로 속도 v{t}의 그래프에서 그 점
4：x=1.6：{x-1.5t}
1.6x=4x-6t ∴ x=2.5t
v '{a}>0, v '{b}=0, v '{c}<0, v '{d}<0, v '{e}=0
따라서 t=2에서 선분 AB의 길이의 변화율은
에서의 접선의 기울기와 같다.
① t=a에서 v '{a}=0이므로 가속도는 0이다.
② t=b에서 v '{b}>0이므로 가속도는 양의 값이다.
③ v{b}<0, v{d}>0이므로 t=b일 때와 t=d일 때의 운동 방향
은 서로 반대이다.
④ c0)
∴
=3t@+3
dL
dt
3\2@+3=15
050 답
2j2 k
3
t초 후의 두 점 A, B의 좌표는 각각 {t, 0}, {0, 2t}
두 점 A, B를 1：2로 내분하는 점 P의 좌표는
2t
1\2t+2\0
3 ]
1+2
1\0+2\t
1+2
] ∴ [
2t
3 ,
[
선분 OP의 길이를 L이라고 하면
,
t (∵ t>0)
[
2j2 k
3
2t
3 ]@+
2t
L=r[
3 ]@ y=
따라서 선분 OP의 길이의 변화율은
dL
dt
2j2 k
3
=
051 답 3.2
t초 후의 풍선의 반지름의 길이는 {1+0.2t}`cm이므로 풍선의 겉
넓이를 S`cm@라고 하면
S=4p{1+0.2t}@
바뀔 때 점 P의 운동 방향이 바뀌므로 00)
t초 후의 직사각형의 넓이를 S`cm@라고 하면
S={10+2t}{10-t}=-2t@+10t+100
∴
dS
dt
=-4t+10
따라서 t=4에서 직사각형의 넓이의 변화율은
-4\4+10=-6{cm@/s}
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Z
053 답 3j3 k`cm@/s
t초 후의 정삼각형의 한 변의 길이는 {2+t}`cm이므로 정삼각형
따라서 t=6에서 정육면체의 부피의 변화율은
1.5{2+0.5\6}@=37.5{cm#/s}
t초 후의 사각형 OPQR의 넓이를 S라고 하면
따라서 t=10에서 물의 부피의 변화율은
의 넓이를 S`cm@라고 하면
S= j3 k
4
dS
dt
= j3 k
2
{2+t}@
{2+t}
∴
{2+t}@=9j3 k, {2+t}@=36 ∴ t=4 (∵ t>0)
정삼각형의 넓이가 9j3 k`cm@이면
j3 k
4
따라서 t=4에서 정삼각형의 넓이의 변화율은
j3 k
2
{2+4}=3j3 k{cm@/s}
054 답 6
t초 후의 점 P의 좌표는 {2t, 0}이므로 점 Q의 좌표는
{2t, t+1}
점 Q의 x좌표와 y좌표가 같으면
2t=t+1 ∴ t=1
S=2t{t+1}=2t@+2t
∴
dS
dt
=4t+2
4\1+2=6
따라서 t=1에서 사각형 OPQR의 넓이의 변화율은
055 답 ④
t초 후의 밑면의 반지름의 길이는 {2+2t}`cm, 높이는 {4+t}`cm
이므로 원기둥의 부피를 V`cm#라고 하면
V=p{2+2t}@{4+t}=p{4t#+24t@+36t+16}
∴
dV
dt
=p{12t@+48t+36}
따라서 t=1에서 원기둥의 부피의 변화율은
p{12+48+36}=96p{cm#/s}
056 답 648p`cm#/s
t초 후의 구의 반지름의 길이는 {3+2t}`cm이므로 구의 부피를
V`cm#라고 하면
V=
p{3+2t}#
4
3
dV
dt
4
3
∴
=
p\3{3+2t}@\2=8p{3+2t}@
따라서 t=3에서 구의 부피의 변화율은
8p{3+2\3}@=648p{cm#/s}
057 답 ③
t초 후의 정육면체의 한 모서리의 길이는 {2+0.5t}`cm이므로 정
육면체의 겉넓이를 S`cm@, 부피를 V`cm#라고 하면
S=6{2+0.5t}@, V={2+0.5t}#
∴
dV
dt
=3{2+0.5t}@\0.5=1.5{2+0.5t}@
정육면체의 겉넓이가 150`cm@이면
6{2+0.5t}@=150 ∴ t=6 (∵ t>0)
058 답
p`m#/s
9
2
오른쪽 그림과 같이 t초 후의 물의 높이를
h`m, 수면의 반지름의 길이를 x`m라고 하면
매초 0.5`m의 속도로 높이가 상승하므로
3`m
B
x`m
B'
5`m
h`m
O
O'
A
h=0.5t
OABT
O'AB'이므로
5：3=0.5t：x
s
s
1.5t=5x ∴ x=0.3t
물의 부피를 V`cm#라고 하면
V=
p{0.3t}@\0.5t=
3
200
pt#
1
3
dV
dt
∴
=
9
200
pt@
0.5t=5 ∴ t=10
9
200
p\10@=
p{m#/s}
9
2
물이 가득 차는 순간의 수면의 높이는 5`m이므로
핵심 유형 최종 점검하기
105~107쪽
1 답 6
유형 01 함수의 그래프를 이용한 방정식 f{x}=k의 실근의 개수
3x$+4x#-24x@-48x-k=0에서
3x$+4x#-24x@-48x=k
f{x}=3x$+4x#-24x@-48x라고 하면
f '{x}=12x#+12x@-48x-48=12{x+2}{x+1}{x-2}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-2 또는 x=-1 또는 x=2
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
-2
0
16
극소
y
+
↗
-1
0
23
극대
y
-
↘
함수 y= f{x}의 그래프는 오른쪽 그림과
같으므로 직선 y=k와 서로 다른 네 점에
y
+
↗
2
0
-112
극소
y
23
16
O
2
y=f{x}
y=k
-2-1
x
서 만나려면
1610
따라서 자연수 k의 최솟값은 11이다.
4 답 ②
유형 02 함수의 극값을 이용한 삼차방정식의 근의 판별
사차함수 f{x}가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 삼차방정식
f '{x}=0이 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.
f{x}=x$-8x#+18x@+ax에서
f '{x}=4x#-24x@+36x+a
g{x}=4x#-24x@+36x+a라고 하면
g '{x}=12x@-48x+36=12{x-1}{x-3}
g '{x}=0인 x의 값은 x=1 또는 x=3
a
x
삼차방정식 g{x}=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면
ㄴ. f '{x}=0인 x의 값은 x=a 또는 x=b
(극댓값)\(극솟값)<0이어야 하므로
a0인 경우]
[`f{a}=0인 경우]
[`f{a}<0인 경우]
삼차방정식 f{x}=0이 중근과 한 실근을 가지려면
y=f{x}
y=f{x}
b
x
a
a
b
x
y=f{x}
a
b
x
따라서 방정식 f{x}=0은 f{a}=0인 경우에는 서로 다른 두
실근을 갖고, f{a}<0인 경우에는 오직 한 실근만을 갖는다.
ㄷ. a>b일 때 함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과
같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
b
0
f{b}
극대
y
-
↘
a
0
f{a}
극소
y
+
↗
f{a}>0이면 함수 y=f{x}의 그래프는 오
y=f{x}
른쪽 그림과 같으므로 방정식 f{x}=0은
오직 한 실근만을 갖는다.
f{x}=x#+3x@-9x-12-k라고 하면
f '{x}=3x@+6x-9=3{x+3}{x-1}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-3 또는 x=1
(극댓값)\(극솟값)=0이어야 하므로
f{-3}f{1}={15-k}{-17-k}=0
∴ k=-17 또는 k=15
따라서 모든 실수 k의 값의 합은 -17+15=-2
6 답 3
유형 04 방정식의 실근의 부호
{x+2}{x-1}@-k=0에서 x#-3x+2=k
f{x}=x#-3x+2라고 하면
f '{x}=3x@-3=3{x+1}{x-1}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=1
b
a
x
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄷ이다.
3 답 ④
유형 02 함수의 극값을 이용한 삼차방정식의 근의 판별
f{x}=2x#-6x@-18x-k라고 하면
f '{x}=6x@-12x-18=6{x+1}{x-3}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=3
80 정답과 해설
삼차방정식 f{x}=0이 오직 한 실근만을 가지려면
(극댓값)\(극솟값)>0이어야 하므로
려면
20, {k-10}{k+54}>0
따라서 정수 k의 값은 3이다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
-1
0
4
극대
y
-
↘
1
0
0
극소
y
+
↗
함수 y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림과
같으므로 직선 y=k와의 교점의 x좌표가
두 개는 음수이고, 다른 한 개는 양수이
y=f{x}
y=k
4
y
2
-1
O
1
x
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7 답 60이 성립하려면
0
a
y
-
↘
1
0
a-6
극소
y
+
↗
2
a+8
(`f{x}의 최솟값)>0 ➡ f{2}=-a@+14a-48>0
구간 [0, 2]에서 h{x}=f{x}-g{x}>0이 성립하려면
a@-14a+48<0, {a-6}{a-8}<0 ∴ 60 ➡ h{1}=a-6>0
과 같다.
x
h '{x}
h{x}
∴ a>6
8 답 ②
유형 06 주어진 구간에서 성립하는 부등식 - 최대, 최소 이용
f{x}=x#-3x+k@+k라고 하면
f '{x}=3x@-3=3{x+1}{x-1}
f '{x}=0인 x의 값은 x=-1 또는 x=1
-10, (`f{x}의 최댓값)<4
➡ f{1}=k@+k-2>0, f{-1}=f{2}=k@+k+2<4
즉, k@+k-2=0이므로 {k+2}{k-1}=0
∴ k=-2 또는 k=1
따라서 모든 k의 값의 합은 -2+1=-1
9 답 -63
유형 07 주어진 구간에서 성립하는 부등식 - 증가, 감소 이용
f{x}0이므로 함수 h{x}는 1g{x}, 즉 f{x}-g{x}>0이어야
한다.
한다.
dx
dt
dv
dt
점 P의 가속도가 0이면
6t-6=0 ∴ t=1
따라서 t=1일 때 점 P의 속도는
3-6+2=-1
13 답 ②
유형 10 속도, 가속도와 운동 방향
시각 t에서 점 P의 속도를 v라고 하면
v=
=6t@-18t+12
dx
dt
06 도함수의 활용 ( 3 ) 81
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2018-04-26 오후 3:06:14
06 브레이크를 밟은 지 t초 후의 자동차의 속도를 v`m/s라고 하면
{2t, 8t#-16t@+4t+5}
t초 후의 점 P의 좌표는 {2t, 0}이므로 점 Q의 좌표는
ㄱ. 출발할 때는 시각이 t=0이므로 t=0일 때 점 P의 속도는 12
ㄴ. 10이므로 해가 없다.
따라서 점 P는 출발 후 다시 원점을 지나지 않는다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
14 답 15
유형 11 정지하는 물체의 속도
v=
=60-2at
dx
dt
자동차가 정지할 때의 속도는 0이므로
60-2at=0 ∴ t=
30
a
자동차의 제동 거리가 60`m이므로
30
a ]@=60
-a\
30
a
60\
[
900
a
=60 ∴ a=15
15 답 ㄱ, ㄷ
유형 12 위로 던진 물체의 위치와 속도
물체의 t초 후의 속도를 v`m/s, 가속도를 a`m/s@이라고 하면
v=
=5-10t, a=
=-10
dh
dt
dv
dt
ㄱ. 가속도 a는 상수이므로 물체의 가속도는 일정하다.
ㄴ. 물체가 최고 높이에 도달할 때의 속도는 0이므로
1
2
ㄷ. 물체가 지면에 떨어질 때의 높이는 0`m이므로
5-10t=0 ∴ t=
∴ t=2 (∵ t>0)
t=2일 때 물체의 속도는
5-10\2=-15{m/s}
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
16 답 ⑤
유형 13 속도, 가속도와 그래프
ㄱ. 점 P는 t=2, t=4에서 운동 방향을 바꾼다.
82 정답과 해설
17 답
5
2
유형 13 속도, 가속도와 그래프
삼차함수 f{t}가 t=1에서 극대, t=4에서 극소이므로
f '{t}=k{t-1}{t-4}=k{t@-5t+4} (단, k>0)
시각 t에서 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라고 하면
v=f '{t}=k{t@-5t+4}, a=
=k{2t-5}
dv
dt
점 P의 가속도가 0이면
k{2t-5}=0 ∴ t=
5
2
18 답 36
유형 14 시각에 대한 길이의 변화율
선분 PQ의 길이를 L이라고 하면
L =8t#-16t@+4t+5
∴
dL
dt
=24t@-32t+4
따라서 t=2에서 선분 PQ의 길이의 변화율은
24\2@-32\2+4=36
19 답 4j3 k
유형 15 시각에 대한 넓이의 변화율
삼각형 OPQ의 넓이를 S라고 하면
\2t\t\sin`60!= j3 k
t@
2
S=
1
2
dS
dt
∴
=j3 kt
따라서 t=4에서 삼각형 OPQ의 넓이의 변화율은
j3 k\4=4j3 k
20 답
13
2
초
유형 16 시각에 대한 부피의 변화율
{10-t}`cm이므로 00}
-
3x@+1 {x<0}`
에서
! x>0일 때
=x@-x+C1
f{1}=2에서
1-1+C1=2 ∴ C1=2
@ x<0일 때
f{x} =? f '{x}`dx=?{2x-1}`dx
f{x} =? f '{x}`dx=?{3x@+1}`dx
=x#+x+C2
!, @에 의해 f{x}=
x@-x+2 {x>0}
-
x#+x+C2 {x<0}
함수 f{x}가 x=0에서 연속이므로
f{x}=f{0}에서
f{x}= lim
0-
lim
0+
x`
!
lim
x`
0+
!
∴ C2=f{0}=2
x`
!
{x@-x+2}= lim
0-
!
x`
{x#+x+C2}=f{0}
따라서 f{x}=
x@-x+2 {x>0}
-
x#+x+2 {x<0}
이므로
f{-1}=-1-1+2=0
f{0}=f{0}+f{0} ∴ f{0}=0 yy ㉠
미분계수의 정의에 의해
f{h}
h
=lim
0
h`
!
f{0+h}-f{0}
h
f{h}
h
=1
yy ㉡
f`'{0}=lim
0
!
h`
f`'{0}=1에서 lim
0
!
h`
도함수의 정의에 의해
f '{x} =lim
0
!
h`
f{x+h}-f{x}
h
9 f{x}+f{h}+2xh0-f{x}
h
=lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
f{h}
h
=2x+1 (∵ ㉡)
+2x
∴ f{x} =? f '{x}`dx=?{2x+1}`dx
=x@+x+C
㉠에서 f{0}=0이므로 C=0`
따라서 f{x}=x@+x이므로
f{3}=9+3=12
84 정답과 해설
유형09 답 ③
f{a+b}=f{a}+f{b}+2ab의 양변에 a=0, b=0을 대입하면
유형10 답 ③
f{x} =? f '{x}`dx=?{3x@-12x}`dx
=x#-6x@+C
f '{x}=3x@-12x=3x{x-4}이므로
f`'{x}=0인 x의 값은 x=0 또는 x=4
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
0
0
극대
y
-
↘
4
0
극소
y
+
↗
함수 f{x}는 x=0에서 극대이고 극댓값이 15이므로
f{0}=C=15
∴ f{x}=x#-6x@+15
함수 f{x}는 x=4에서 극소이므로 극솟값은
f{4}=64-96+15=-17
핵심 유형 완성하기 113~120쪽
001 답 ③
?xf{x}`dx=2x#+3x@+C에서
xf{x} ={2x#+3x@+C}'
=6x@+6x=x{6x+6}
∴ f{x}=6x+6
∴ f{1}+f{-1}={6+6}+{-6+6}=12
002 답 ④
f{x} =F'{x}={x#+ax@}'
=3x@+2ax`
f{2}=-4에서
12+4a=-4 ∴ a=-4
따라서 f{x}=3x@-8x이므로
f{3}=27-24=3
003 답 ②
?9x#-2f{x}0`dx=
x$+6x@+2x+C에서
1
4
x#-2f{x} =
x$+6x@+2x+C
1
4
[
'
]
=x#+12x+2`
2f{x}=-12x-2
∴ f{x}=-6x-1
이때 방정식 f{x}=x@은
-6x-1=x@
∴ x@+6x+1=0`
따라서 근과 계수의 관계에 의해 모든 근의 합은 -6이다.
수학2 PM 해설 07(083~094)OK.indd 84
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1차
004 답 30
㈎에서
f{x} =F'{x}=
x$+
x#+ax@
1
4
[
2
3
'
]
=x#+2x@+2ax
∴ f '{x}=3x@+4x+2a
f{x}-f{1}
㈏에서 lim
1
!
x`
3+4+2a=5 ∴ a=-1
x-1 =f '{1}=5이므로
따라서 f{x}=x#+2x@-2x, f '{x}=3x@+4x-2이므로
F'{2}+ f '{2} =f{2}+f '{2}
={8+8-4}+{12+8-2}=30
005 답 19
?h{x}`dx=f{x}g{x}+C에서
h{x} =9 f{x}g{x}+C0'
=f '{x}g{x}+f{x}g '{x}
∴ h{1}=6+10+3=19
006 답 ㄱ, ㄴ
={4x@+6x+3}+{2x@+4x}=6x@+10x+3
ㄱ. ?3f{x}`dx=3F{x}+C가 성립하면
3f{x} =93F{x}+C0'
=3F'{x}=3f{x}
ㄴ. ?9 f{x}+20`dx=F{x}+2x+C가 성립하면
f{x}+2 =9F{x}+2x+C0'
=F'{x}+2=f{x}+2
ㄷ. ?9 f{x}0@`dx=9F{x}0@+C가 성립하면
9 f{x}0@ =[9F{x}0@+C]'
=2F{x}F'{x}=2F{x}f{x}
그런데 f{x}=2F{x}이므로 성립하지 않는다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
007 답 ②
d
dx - ? f{x}`dx =
f{x}=-2x$+4x@+c
=f{x}이므로 주어진 등식은
∴ ax$+bx@-3=-2x$+4x@+c
이 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로
a=-2, b=4, c=-3
따라서 f{x}=-2x$+4x@-3이므로
f{-1}=-2+4-3=-1
008 답 5
d
dx - ?{2x@-3x+7}`dx =
f{x}=
f '{x}=4x-3
f{2+h}-f{2}
h
∴ lim
0
h`
!
=f '{2}=8-3=5
=2x@-3x+7이므로
009 답 ④
㈎에서
d
dx - ?{3x@+3x-2}`dx =
f{x}+g{x}=3x@+3x-2 yy ㉠
=3x@+3x-2이므로
㈏에서
d
dx { ?9 g{x}-f{x}0`dx
}
=g{x}-f{x}이므로
g{x}-f{x}=x@-x-8
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
f{x}=x@+2x+3, g{x}=2x@+x-5
∴ f{1}+g{2}={1+2+3}+{8+2-5}=11
010 답 4
d
dx - ?{x-2}f{x}`dx =
{x-2}f{x}=x#-x@-a yy ㉠
={x-2}f{x}이므로
㉠이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 양변에 x=2를 대입하면
d
dx
f{x}=?-
㈏에서 함수 y=f{x}의 그래프가 점 {1, 5}를 지나므로
{-x@+2x} =
`dx=-x@+2x+C
0=8-4-a ∴ a=4
이를 ㉠에 대입하면
{x-2}f{x} =x#-x@-4`
양변에 x=1을 대입하면
-f{1}=1-1-4 ∴ f{1}=4
011 답 1
㈎에서
f{1}=-1+2+C=5 ∴ C=4
따라서 f{x}=-x@+2x+4이므로
f{3}=-9+6+4=1
012 답 20
=5x@-2x+C`
f{0}=4에서 C=4
따라서 f{x}=5x@-2x+4이므로
f{2}=20-4+4=20
f{x} =
d
dx - ?{3x@-2x}`dx =
={3x@-2x}+{2x@+C}
+?-
d
dx
{2x@} =
`dx
013 답 ③
㈎에서 f{x}=?-
∴ f '{x}=3x@+a
㈏에서 f{2}=4이므로
d
dx
{x#+ax} =
`dx=x#+ax+C
8+2a+C=4 ∴ 2a+C=-4 yy ㉠
㈐에서 f '{0}=-3이므로 a=-3
이를 ㉠에 대입하면
-6+C=-4 ∴ C=2
따라서 f{x}=x#-3x+2, f '{x}=3x@-3이므로
f{1}+f '{1}={1-3+2}+{3-3}=0
07 부정적분 85
수학2 PM 해설 07(083~094)OK.indd 85
2018-04-30 오전 9:27:33
07 d
dx - ? f{x}`dx =
d
dx
} =
`dx
9 f{x}+C0=f '{x}
h{x} =? f{x}`dx+2? g{x}`dx
=f{x}, ?-
d
dx
g{x} =
`dx=g{x}+C이므로
=?9 f{x}+2g{x}0`dx=?{-3x@+2}`dx
=-x#+2x+C
`dx=x&+x#+x+C1이므로
`dx
`dx
}]
014 답 12j2 k
d
dx
?-
{x&+x#+x} =
f{x} =?[
{x&+x#+x} =
d
d
dx { ?-
dx
d
=?-
dx
=x&+x#+x+C2
f{0}=j2 k에서 C2=j2 k
따라서 f{x}=x&+x#+x+j2 k이므로
f{j2 k}=8j2 k+2j2 k+j2 k+j2 k=12j2 k
{x&+x#+x+C1} =
`dx
ㄱ. ?-
f{x} =
`dx=f{x}+C,
d
dx - ? f{x}`dx =
=f{x}이므로
015 답 ㄷ
d
dx
d
dx
`dx=
f{x} =
d
dx
?-
d
dx { ?-
d
dx - ? f{x}`dx =
f{x}=g{x}+C
f{x} =
ㄴ.
ㄷ.
016 답 -2
x@
x-2
f{x} =?
`dx-?
{x-2}{x-3}
x-2
x@-3x+C
=?
1
2
=
양변을 x에 대하여 미분하면 f '{x}=g '{x}
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄷ이다.
5x-6
x-2
`dx=?
x@-5x+6
x-2
`dx
`dx=?{x-3}`dx
f{-2}=10에서 2+6+C=10 ∴ C=2
따라서 f{x}=
x@-3x+2이므로
1
2
f{4}=8-12+2=-2
017 답 2
f{x} =?{5x$+4x#+3x@+2x+1}`dx
=x%+x$+x#+x@+x+C
f{0}=-3에서 C=-3
따라서 f{x}=x%+x$+x#+x@+x-3이므로
f{1}=1+1+1+1+1-3=2
018 답 10
f{x} =?[jx k+
]@`dx-?[jx k-
]@`dx
1
jx k
1
jx k
1
jx k
]@ =
`dx
1
jx k
=?- [jx k+
]@-
[jx k-
=?4`dx=4x+C
f{1}=2에서 4+C=2 ∴ C=-2
따라서 f{x}=4x-2이므로
f{3}=12-2=10
86 정답과 해설
019 답 4
㈎에서 f{x}=?{2x-4}`dx=x@-4x+C
㈏에서 모든 실수 x에 대하여 x@-4x+C>0이므로
x@-4x+C=0의 판별식 D에 대하여
D
4
이때 f{0}=C이므로 f{0}의 최솟값은 4이다.
=4-C<0 ∴ C>4
020 답 5
f{x}+g{x}=
+3x@ yy ㉠
2f{x}+3g{x}=
+2 yy ㉡
1
x
1
x
㉡-㉠을 하면
f{x}+2g{x}=-3x@+2
㈎에서
㈏에서 h{1}=10이므로
-1+2+C=10 ∴ C=9
따라서 h{x}=-x#+2x+9이므로
h{2}=-8+4+9=5
021 답 ②
f{x} =? f '{x}`dx=?{ax@-2x+3}`dx
a-4+6+C=19 ∴
a+C=17
x#-x@+3x+C
=
a
3
f{0}=1에서 C=1
f{2}=19에서
8
3
C=1을 대입하면
8
3
a+1=17 ∴ a=6
8
3
022 답 -
3
2
f{x} =? f '{x}`dx=?{4x+a}`dx
=2x@+ax+C
f{2}=4에서
8+2a+C=4 ∴ 2a+C=-4 yy ㉠
방정식 f{x}=0, 즉 2x@+ax+C=0의 모든 근의 곱이 -5이므
로 근과 계수의 관계에 의해
C
2
이를 ㉠에 대입하면 2a-10=-4 ∴ a=3
=-5 ∴ C=-10
∴ f{x}=2x@+3x-10
따라서 방정식 f{x}=0, 즉 2x@+3x-10=0의 모든 근의 합은
근과 계수의 관계에 의해 -
3
2 이다.
수학2 PM 해설 07(083~094)OK.indd 86
2018-04-26 오후 3:06:49
f{x} =? f '{x}`dx=?{3x@+2x+a}`dx
f{x} =? f '{x}`dx=?{4x#-6x@+20x}`dx
㈏에서 x`
`1일 때 (분모)`
`0이고 극한값이 존재하므로
곡선 y= f{x}가 점 {-1, 13}을 지나므로
따라서 방정식 f{x}=0, 즉 -x@+4x+4=0의 모든 근의 곱은
근과 계수의 관계에 의해 -4이다.
c{x} =?c'{x}`dx=?{2-0.002x}`dx
=2x-0.001x@+C
028 답 0
f '{x}=3x@+2ax+1이므로
물품을 100개 생산할 때의 총비용이 600만 원이면 c{100}=600
따라서 c{x}=2x-0.001x@+410이므로 물품을 300개 생산할 때
023 답 ②
㈎에서
=x#+x@+ax+C
!
`0이다.
!
!
`f{x}=0이므로 f{1}=0`
(분자)`
즉, lim
1
x`
!
1+1+a+C=0 ∴ a+C=-2 yy ㉠
㈏의 좌변에서
f{x}
x-1
=lim
lim
x`
1
1
x`
!
!
즉, f '{1}=2a+4이므로 ㈎에서
f{x}-f{1}
x-1
=f '{1}
3+2+a=2a+4 ∴ a=1
이를 ㉠에 대입하면
1+C=-2 ∴ C=-3
따라서 f{x}=x#+x@+x-3이므로
f{2}=8+4+2-3=11
024 답 920만 원
이므로
200-10+C=600 ∴ C=410
의 총비용은
c{300}=600-90+410=920(만 원)
025 답 ③
9 f{x}+g{x}0'=2에서
f{x}+g{x}=?2`dx=2x+C1
f{0}+g{0}=C1이고 f{0}=3, g{0}=2이므로
C1=5
9 f{x}g{x}0'=-6x+7에서
f{x}g{x}=?{-6x+7}`dx=-3x@+7x+C2
f{0}g{0}=C2이고 f{0}=3, g{0}=2이므로
C2=6
∴ f{x}g{x} =-3x@+7x+6
={3x+2}{-x+3} yy ㉡
㉠, ㉡에서 f{x}, g{x}는 일차함수이므로
f{x}=3x+2
-
g{x}=-x+3
또는 -
f{x}=-x+3
g{x}=3x+2
그런데 f{0}=3, g{0}=2이므로
f{x}=-x+3, g{x}=3x+2
∴ f{2}+g{3}={-2+3}+{9+2}=12
026 답 ④
f '{x}=4x#-6x@+20x이므로
=x$-2x#+10x@+C
f{-1}=1+2+10+C=13 ∴ C=0
따라서 f{x}=x$-2x#+10x@이므로
f{1}+f{2}={1-2+10}+{16-16+40}=49
027 답 ①
f '{x}=-2x+4이므로
f{x} =? f '{x}`dx=?{-2x+4}`dx
=-x@+4x+C
곡선 y=f{x}가 점 {1, 7}을 지나므로
f{1}=-1+4+C=7 ∴ C=4
∴ f{x}=-x@+4x+4
f{x} =? f`'{x}`dx=?{3x@+2ax+1}`dx
=x#+ax@+x+C
곡선 y=f{x}가 점 {1, -1}을 지나므로
f{1}=1+a+1+C=-1
∴ a+C=-3 yy ㉠
곡선 y= f{x}가 점 {-2, 2}를 지나므로
f{-2}=-8+4a-2+C=2
∴ 4a+C=12 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, C=-8`
∴ f{x}=x#+5x@+x-8
곡선 y=f{x}가 점 {-1, b}를 지나므로
f{-1}=-1+5-1-8=b ∴ b=-5
029 답 ③
f '{x}=2x+2이므로`
f{x} =? f '{x}`dx=?{2x+2}`dx
=x@+2x+C
f{-2}=3에서
4-4+C=3 ∴ C=3
∴ f{x} =x@+2x+3
={x+1}@+2`
은 f{-1}=2이므로 그 차는
11-2=9
구간 [-3, 2]에서 함수 f{x}의 최댓값은 f{2}=11이고, 최솟값
07 부정적분 87
∴ f{x}+g{x}=2x+5
yy ㉠
∴ a+b=5+{-5}=0
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2018-04-26 오후 3:06:49
07 030 답 ②
F{x}-xf{x}=x#+2x@의 양변을 x에 대하여 미분하면
034 답 F{x}=2x
F'{x}=f{x}이므로
9{x@-1}F{x}0' =2xF{x}+{x@-1}F'{x}
={x@-1}f{x}+2xF{x}
이는 주어진 등식의 좌변과 같으므로
{x@-1}f{x}+2xF{x}=6x@-2에서
9{x@-1}F{x}0'=6x@-2
∴ {x@-1}F{x} =?{6x@-2}`dx
=2x#-2x+C yy ㉠
F{0}=0이므로 ㉠의 양변에 x=0을 대입하면
-F{0}=C ∴ C=0
따라서 {x@-1}F{x}=2x#-2x=2x{x@-1}이므로
f '{x}=
-4x {x>1}
-
4x#-8x {x<1}
에서
F{x}=2x
035 답 ①
! x>1일 때
@ x<1일 때
f{x} =? f '{x}`dx=?{-4x}`dx=-2x@+C1
f{x} =? f '{x}`dx=?{4x#-8x}`dx
=x$-4x@+C2
f{0}=3에서 C2=3
!, @에 의해 f{x}=
-2x@+C1 {x>1}
-
x$-4x@+3 {x<1}
함수 f{x}가 미분가능하면 x=1에서 연속이므로
x`
f{x}=f{1}에서
f{x}= lim
1-
lim
x`
1+
!
lim
x`
1+
!
-2+C1=1-4+3 ∴ C1=2
!
{-2x@+C1}= lim
1-
!
x`
{x$-4x@+3}
따라서 f{x}=
-2x@+2 {x>1}
-
x$-4x@+3 {x<1}
이므로
f{2}=-8+2=-6
036 답 4
f '{x}=-x+|x-1|=
{x>1}
-1
-
-2x+1 {x<1}
에서
! x>1일 때
@ x<1일 때
f{x}=? f '{x}`dx=?{-1}`dx=-x+C1
f{2}=3에서 -2+C1=3 ∴ C1=5
f{x}-9 f{x}+xf '{x}0=3x@+4x`
-xf '{x}=3x@+4x=-x{-3x-4}
∴ f '{x}=-3x-4`
∴ f{x} =? f '{x}`dx=?{-3x-4}`dx=-
f{0}=5에서 C=5`
3
2
x@-4x+C
∴ f{x}=-
x@-4x+5
3
2
따라서 함수 f{x}의 모든 계수의 합은 -
+{-4}+5=-
3
2
1
2
031 답
1
6
xf{x}=? f{x}`dx+4x#-3x@의 양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}+xf '{x}=f{x}+12x@-6x`
xf '{x}=12x@-6x=x{12x-6}
∴ f '{x}=12x-6
∴ f{x} =? f '{x}`dx=?{12x-6}`dx=6x@-6x+C
f{1}=1에서 6-6+C=1 ∴ C=1`
따라서 방정식 f{x}=0, 즉 6x@-6x+1=0의 모든 근의 곱은 근
∴ f{x}=6x@-6x+1
과 계수의 관계에 의해
이다.
1
6
032 답 ④
2? f{x}`dx=xf{x}+4x+C의 양변을 x에 대하여 미분하면
2f{x}=f{x}+xf '{x}+4
∴ f{x}=xf '{x}+4 yy ㉠
f{x}가 일차함수이므로 f{x}=ax+b (a, b는 상수, a=0)라고
하면 f '{x}=a이므로 ㉠에서
ax+b=ax+4
이 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 b=4
f{1}=5에서 a+b=5
b=4를 대입하면 a+4=5 ∴ a=1
따라서 f{x}=x+4이므로 f{2}=2+4=6
033 답 -40
F{x}=?{x-1}f{x}`dx+x$-4x#+4x@의 양변을 x에 대하여
미분하면
f{x}={x-1}f{x}+4x#-12x@+8x
{x-2}f{x} =-4x#+12x@-8x=-4x{x-1}{x-2}
∴ f{x}=-4x{x-1}=-4x@+4x
∴ F{x} =? f{x}`dx=?{-4x@+4x}`dx=-
F{0}=2에서 C=2
4
3
따라서 F{x}=-
x#+2x@+2이므로
f{3}+F{3}={-36+12}+{-36+18+2}=-40
88 정답과 해설
4
3
x#+2x@+C
f{x} =? f '{x}`dx=?{-2x+1}`dx=-x@+x+C2
-x+5
-
-x@+x+C2 {x<1}
!, @에 의해 f{x}=
{x>1}
함수 f{x}가 x=1에서 연속이므로
lim
1+
x`
!
f{x}= lim
1-
x`
!
f{x}=f{1}에서
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{-x+5}= lim
lim
x`
1+
1-
!
-1+5=-1+1+C2 ∴ C2=f{1}=4
{-x@+x+C2}=f{1}
!
x`
따라서 f{x}=
이므로 f{0}=4
-x+5 {x>1}
-
-x@+x+4 {x<1}
주어진 그래프에서 f '{x}=
-x+1 {x>0}
-
x+1 {x<0}
037 답 4
! x>0일 때
f{x} =? f '{x}`dx=?{-x+1}`dx
=-
x@+x+C1
1
2
함수 y=f{x}의 그래프가 점 {0, 2}를 지나므로
f{0}=C1=2
@ x<0일 때
f{x} =? f '{x}`dx=?{x+1}`dx
=
x@+x+C2
1
2
x@+x+2 {x>0}
!, @에 의해 f{x}=
-
함수 f{x}가 미분가능하면 x=0에서 연속이므로
x@+x+C2 {x<0}
1
2
1
2
-
lim
0+
x`
!
f{x}= lim
0-
x`
!
f{x}=f{0}에서
1
2
-
lim
0+[
x`
!
∴ C2=2
x@+x+2
]
= lim
x`
!
0-[
1
2
x@+x+C2
]
따라서 f{x}=
-
x@+x+2 {x>0}
이므로
x@+x+2 {x<0}
f{1}+f{-1}=
-
+1+2
+
-1+2
=4
1
2
[
]
]
1
2
-
1
2
1
2
[
038 답 2
f '{x}=
5-2x {x>1}
-
2x+a {x<1}
에서
! x>1일 때
f{x} =? f '{x}`dx=?{5-2x}`dx=5x-x@+C1
@ x<1일 때
f{x} =? f '{x}`dx=?{2x+a}`dx=x@+ax+C2
!, @에 의해 f{x}=
-x@+5x+C1 {x>1}
-
x@+ax+C2 {x<1}
함수 f{x}가 x=1에서 연속이므로
f{x}=f{1}에서
x`
f{x}= lim
1-
{-x@+5x+C1}= lim
1-
lim
x`
1+
!
lim
x`
1+
!
-1+5+C1=1+a+C2
!
!
x`
∴ C1-C2=a-3
yy ㉠
{x@+ax+C2}
f{3}-f{-3}=2에서
{-9+15+C1}-{9-3a+C2}=2
∴ C1-C2=-3a+5 yy ㉡
㉠, ㉡에서 a-3=-3a+5 ∴ a=2
039 답 9
f '{x}=
-
x@ {x>1}
2x+b {x<-1}
a
{-11일 때
x@ {x>1}
1
{-11}
x
{-11}
-
따라서 f{x}=
x
{-12}
-
-2x {x<2}
에서
! x>2일 때
f{x} =? f '{x}`dx=?{x+a}`dx=
x@+ax+C1
1
2
f{3}=
에서
5
2
9
2
+3a+C1=
5
2 ∴ C1=-3a-2
@ x<2일 때
f{x}=? f '{x}`dx=?{-2x}`dx=-x@+C2
f{0}=-1에서 C2=-1
!, @에 의해 f{x}=
-
x@+ax-3a-2 {x>2}
1
2
-x@-1
{x<2}
함수 f{x}가 x=2에서 연속이므로
lim
2+
x`
!
f{x}= lim
2-
x`
!
f{x}=f{2}에서
1
2
2+[
x@+ax-3a-2
lim
x`
!
2+2a-3a-2=-4-1
]
= lim
2-
x`
!
{-x@-1}
∴ a=5
07 부정적분 93
수학2 PM 해설 07(083~094)OK.indd 93
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07 16 답 0
유형 08 부정적분과 함수의 연속성
주어진 그래프에서 f '{x}=
! x>0일 때
{x>0}
1
-
2x+2 {x<0}
f{x} =? f '{x}`dx=?1`dx=x+C1
함수 y=f{x}의 그래프가 점 {1, 2}를 지나므로
f{1}=1+C1=2 ∴ C1=1
@ x<0일 때
f{x} =? f '{x}`dx=?{2x+2}`dx=x@+2x+C2
x+1
-
x@+2x+C2 {x<0}
!, @에 의해 f{x}=
{x>0}
함수 f{x}가 x=0에서 연속이므로
f{x}= lim
0-
x`
{x+1}= lim
0-
!
x`
lim
x`
0+
!
lim
x`
0+
!
∴ C2=1
!
f{x}=f{0}에서
{x@+2x+C2}
따라서 f{x}=
x+1
-
x@+2x+1 {x<0}
{x>0}
이므로
f{-1}=1-2+1=0
17 답 10
유형 09 부정적분과 도함수의 정의를 이용하여 함수 구하기
도함수의 정의에 의해
Dy
f '{x} = lim
Dx
0
!
{4x#+ax}Dx-{Dx}#
= lim
Dx
0
Dx`
!
=4x#+ax- lim
{Dx}@
0
!
Dx`
Dx`
=4x#+ax
∴ f{x} =? f '{x}`dx=?{4x#+ax}`dx
a
2
a
2
=x$+
x@+C
f{0}=0에서 C=0`
∴ f{x}=x$+
x@
f{-1}=6에서
1+
=6 ∴ a=10
a
2
18 답 -2
유형 09 부정적분과 도함수의 정의를 이용하여 함수 구하기
f{a+b}=f{a}+f{b}-3의 양변에 a=0, b=0을 대입하면
f{0}=f{0}+f{0}-3 ∴ f{0}=3 yy ㉠
도함수의 정의에 의해
f '{x} =lim
0
!
h`
f{x+h}-f{x}
h
9 f{x}+f{h}-30-f{x}
h
f{h}-3
h
f{h}-f{0}
h
=lim
0
h`
!
(∵ ㉠)
=lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
= f '{0}
94 정답과 해설
f '{0}=k (k는 상수)라고 하면 f '{x}=k이므로
f{x}=? f '{x}`dx=?k`dx=kx+C
㉠에서 f{0}=3이므로 C=3
∴ f{x}=kx+3
f{3}=-3에서
3k+3=-3 ∴ k=-2 ∴ f '{0}=k=-2
19 답 -7
유형 10 부정적분과 극대, 극소
f '{x}=2x@-6x이므로
f{x} =? f '{x}`dx=?{2x@-6x}`dx
=
x#-3x@+C
2
3
f '{x}=2x@-6x=2x{x-3}이므로
f '{x}=0인 x의 값은 x=0 또는 x=3
함수 f{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
0
0
극대
y
-
↘
3
0
극소
y
+
↗
함수 f{x}는 x=0에서 극대이고 극댓값이 2이므로
f{0}=C=2
2
3
∴ f{x}=
x#-3x@+2
함수 f{x}는 x=3에서 극소이므로 극솟값은
f{3}=18-27+2=-7
20 답 ①
유형 10 부정적분과 극대, 극소
주어진 그래프에서 f '{x}=ax{x+3}{a<0}이라고 하면
f{x} =? f '{x}`dx=?ax{x+3}`dx
=?{ax@+3ax}`dx=
x#+
ax@+C
a
3
3
2
주어진 그래프에서 f '{x}의 부호를 조사하여 함수 f{x}의 증가,
감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '{x}
f{x}
y
-
↘
-3
0
극소
y
+
↗
0
0
극대
y
-
↘
함수 f{x}는 x=0에서 극대이고 극댓값이 4이므로
f{0}=C=4
a
3
∴ f{x}=
x#+
ax@+4
함수 f{x}는 x=-3에서 극소이고 극솟값이 -5이므로
f{-3}=-9a+ 27
2
a+4=-5
∴ a=-2
따라서 f{x}=-
x#-3x@+4이므로
f{1}=-
-3+4=
2
3
1
3
3
2
2
3
수학2 PM 해설 07(083~094)OK.indd 94
2018-04-26 오후 3:06:51
08 정적분
유형01④
유형0250
유형036
유형04
46
3 유형05①
2
3 유형085
20
3 유형1210
유형07-
유형11-
유형094
유형10
29
2
유형064
유형13①
018
013①
11
2
5
2
022
001-9 002⑤
0062`J
007⑤
011④
0129
003②
4
3
008-16 009③
004
005
61
80
010-1
014⑤
01572
01624
0170
0193
59
4
25
3
020-
19
12 021③
0234
024②
025
02610
0279
028
029③
9
2
030
031-1 032②
0332
0348
0353
036②
03736
040f{x}=6x-2
0410
038
2
3
04214
039
22
3
04310
044①
04581
0465
0471
048③
049-6 05018
051ㄱ,ㄴ,ㄷ
052-3
053
2
3
0586
054④
055ㄱ,ㄴ056①
057②
059①
060⑤
061③
1⑤
6②
1112
16④
22
32
85
78
12-13 13③
17-11 184
428
91
14①
19③
5-2
10⑤
15-5
유형02 답 50
/0%{x+1}@`dx-/0%{x-1}@`dx `
=/0%9{x+1}@-{x-1}@0`dx=/0%4x`dx
=
2x@
{
}0%=50
유형03 답 6
/1$f{x}`dx-/2$f{x}`dx+/-1! f{x}`dx
=/1$f{x}`dx+/4@f{x}`dx+/-1! f{x}`dx
=/1@f{x}`dx+/-1! f{x}`dx
=/-1@ f{x}`dx=/-1@`{3x@-2x}`dx
=
x#-x@
{
}-1@ ={8-4}-{-1-1}=6
유형04 답
46
3
/-1@ f{x}`dx
=/-1!`{x@+4}`dx+/1@{-x@+6x}`dx
=
x#+4x
-
{
1
3
x#+3x@
}1@
1
{
3
1
3
[
}-1! +
1
3
-
[
=
+4
-
]
-4
+
-
+12
-
-
+3
=
]
[
]
[
1
3
46
3
]
8
3
유형05 답 ①
x|x-2|=
x@-2x {x>2}
-
-x@+2x{x<2}
이므로
/1#x|x-2|`dx
=
=/1@{-x@+2x}`dx+/2#{x@-2x}`dx
1
{
3
1
3
+{9-9}-
x#+x@
x#-x@
}1@+
1
3
8
3
}2#
+1
+4
8
3
-
-
-
-
=
[
]
[
{
[
]
-4
=2
]
유형06 답 4
㈎에서모든실수x에대하여f{x+3}=f{x}이므로
/0$f{x}`dx=/0!f{x}`dx+/1#f{x}`dx+/3$f{x}`dx
=/0!f{x}`dx+/1#f{x}`dx+/0!f{x}`dx
핵심 유형 126~128쪽
유형01 답 ④
/2@{x$-3}`dx+/0@{3x@+6x}`dx=0+/0@{3x@+6x}`dx
=
x#+3x@
{
}0@
={8+12}-0=20
=2/0!f{x}`dx+/1#f{x}`dx
=2/0!2x`dx+/1#{3-x}`dx
=2
x@
}0!+
{
{
3x-
}1#
=2{1-0}+
9-
[
-
3-
[
1
2 ]
=4
x@
1
2
9
2 ]
08 정적분 95
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2018-04-26 오후 3:07:34
08 유형07 답 -
2
3
유형11 답 -
20
3
/-1! f{t}`dt=k(k는상수)라고하면f{x}=x@-2x+k이므로
/-1! f{t}`dt=/-1!`{t@-2t+k}`dt=
1
3
-1+k
=
-
-
]
[
[
1
{
3
t#-t@+kt
}-1!
-1-k
=
+2k
2
3
]
f{x}=/0Xt{t-2}`dt의양변을x에대하여미분하면
f'{x}=x{x-2}
f'{x}=0인x의값은x=0또는x=2
-20}라고하면
/-1Xf{t}`dt=a{x@-x-2}
위의등식의양변을x에대하여미분하면
f{x}=a{2x-1}
함수y=f{x}의그래프가점{-2,-10}을지나므로
f{-2}=-5a=-10 ∴ a=2
따라서f{x}=2{2x-1}이므로
f{3}=2\5=10
유형13 답 ①
함수f{x}의한부정적분을F{x}라고하면
1
x-1/1Xf{t}`dt=lim
lim
1
x`
!
1
x`
!
F{t}
1
}1X
x-1{
F{x}-F{1}
x-1
=F'{1}=f{1}=1+2=3
=lim
1
x`
!
핵심 유형 완성하기 129~138쪽
001 답 -9
/-2!`2{x+2}{x-1}`dx+/3#{2x-1}#`dx `
=/-2!`2{x+2}{x-1}`dx+0=/-2!`{2x@+2x-4}`dx `
2
{
3
2
3
[
=
x#+x@-4x
}-2!
=
+1-4
-
-
]
[
+4+8
=-9
]
16
3
수학2 PM 해설 08(095~107)OK.indd 96
2018-04-26 오후 3:07:35
002 답 ⑤
/-1)`{4x#-3x@+a}`dx=
{
x$-x#+ax
}-1)
=0-{1+1-a}=a-2
따라서a-2=8이므로a=10
003 답 ②
2
x
3
/-aA`[
x@+
`dx=
]
x#+
x@
}-aA
=
a#+
a@
-
-
a#+
]
[
1
3
1
3
a@
=
]
2
3
a#
1
{
3
1
3
[
1
3
1
3
1
8
따라서
a#=
이므로a#=
∴ a=
(∵a는실수)
009 답 ③
2
3
1
12
1
2
008 답 -16
4x@
x+2
/-1#`
`dx+/3_!
16
t+2
`dt`
=/-1#`
4x@
x+2
`dx-/-1#`
16
x+2
`dx`
=/-1#`
4x@-16
x+2
`dx=/-1#`
4{x+2}{x-2}
x+2
`dx
=/-1#`{4x-8}`dx=
={18-24}-{2+8}=-16
2x@-8x
{
}-1#
004 답
4
3
/0#9f{x}0@`dx=/0#{x-1}@`dx=/0#{x@-2x+1}`dx
=
1
{
3
x#-x@+x
}0#=9-9+3=3 yy㉠
/0@{3x#+2x}`dx+/0@{k+2x-3x#}`dx
=/0@9{3x#+2x}+{k+2x-3x#}0`dx
=/0@{4x+k}`dx=
따라서2k+8=16이므로k=4
2x@+kx
{
}0@=2k+8
yy㉡
010 답 -1
/0#f{x}`dx=/0#{x-1}`dx
1
9
{
2
2
㉠,㉡을주어진등식에대입하면
}0#=
x@-x
=
-3=
3
2
3=
k ∴ k=
9
4
4
3
005 답
61
80
/0!9f{x}0@`dx=/0!{x@-ax}@`dx=/0!{x$-2ax#+a@x@}`dx
1
3
1
3[
}0!
3
4]@+
1
{
5
1
3
ax$+
x%-
1
2
1
2
a@-
a@x#
a+
a-
=
=
=
1
5
3
4
1
80
1
80
따라서/0!9f{x}0@`dx는a=
1
80
∴ m+n=
,n=
m=
3
4
3
4
+
1
80
=
61
80
일때최솟값이
이므로
006 답 2`J
처음길이에서x`m만큼늘이는데필요한힘의크기가400x`N이
용수철의길이를20`cm에서30`cm까지늘이려면0.1`m만큼늘
므로
f{x}=400x
여야하므로이때필요한일의양은
0.1
W=/0
400x`dx=
200x@
=2{J}
{
0.1
}0
007 답 ⑤
1
x]
/1@[
4x#+
1
x
-4
`dx`
]
`dx-/1@[
1
x]
1
x
-
[
=/1@-[
4x#+
-4
`dx
]=
=/1@{4x#+4}`dx=
={16+8}-{1+4}=19
{
x$+4x
}1@
/1K{8x+4}`dx+4/k!{1+x-x#}`dx
=/1K{8x+4}`dx-/1K4{1+x-x#}`dx
=/1K9{8x+4}-4{1+x-x#}0`dx
=/1K{4x#+4x}`dx=
}1K
={k$+2k@}-{1+2}=k$+2k@-3
x$+2x@
{
따라서k$+2k@-3=0이므로
{k@+3}{k+1}{k-1}=0
∴k=-1또는k=1(∵k는실수)
이때모든실수k의값의곱은-1\1=-1
011 답 ④
/0@f{x}`dx-/-3@ f{x}`dx+/-3# f{x}`dx
=/0@f{x}`dx+/2_#f{x}`dx+/-3# f{x}`dx
=/0_#f{x}`dx+/-3# f{x}`dx
=/0#f{x}`dx=/0#{x@-x}`dx
=
1
{
3
x#-
x@
}0#=9-
1
2
9
2
=
9
2
012 답 9
/3*f{x}`dx=/3^f{x}`dx+/6*f{x}`dx
=
-/3@f{x}`dx+/2^f{x}`dx
=
+/6*f{x}`dx
=-/2#f{x}`dx+/2^f{x}`dx+/6*f{x}`dx
=-5+6+8=9
08 정적분 97
수학2 PM 해설 08(095~107)OK.indd 97
2018-04-26 오후 3:07:35
08 =/0@{2x+1}@`dx+/2_!{2x+1}@`dx+/-1)`{2x-1}@`dx
f{x}=
{11이므로
018 답
11
2
1
{x>3}
-
x+
1
2
x+1
-
5
2
{x<1}
/-2$ f{x}`dx
-
x+
`dx+/3$1`dx
=/-2!`{x+1}`dx+/1#[
1
4
}-2! +
x@+x
=
-
{
x@+
=
+1
-{2-2}+
-
]
[
1
{
2
1
2
[
1
2
5
x
2
9
4
+
5
2]
}1#+
15
2]
x
{
}3$
-
-
[
1
4
+
5
2]
+4-3=
11
2
/-2K f{x}`dx=/-2_!{3x@+3}`dx+/-1K`{4-2x}`dx
=
x#+3x
{
}-2_!+
{
4x-x@
}-1K
={-1-3}-{-8-6}+{4k-k@}-{-4-1}
=-k@+4k+15
따라서-k@+4k+15=18이므로
k@-4k+3=0,{k-1}{k-3}=0
∴k=3(∵k>1)
020 답 -
19
12
f{x}=?f'{x}`dx=
x#+x+C1{x>0}
`
-
x@+x+C2{x<0}
f{1}=1에서
1+1+C1=1 ∴ C1=-1
함수f{x}가미분가능하면x=0에서연속이므로
f{x}= lim
0-
x`
!
{x#+x-1}= lim
0-
lim
x`
0+
!
lim
x`
0+
!
∴C2=-1
!
x`
f{x}=f{0}에서
{x@+x+C2}
따라서f{x}=
x#+x-1{x>0}
-
x@+x-1{x<0}
이므로
/-2! f{x}`dx=/-2)`{x@+x-1}`dx+/0!{x#+x-1}`dx
=
1
{
3
x#+
x@-x
}-2) +
x$+
x@-x
}0!
1
2
1
{
4
1
4
+
1
2
-1
-0=-
]
19
12
=0-
-
+2+2
+
]
[
[
1
2
8
3
따라서a#-a-6=a#-2a@+2a+3이므로
2a@-3a-9=0,{2a+3}{a-3}=0
∴a=3(∵a>0)
015 답 72
/-1#`9`f{x}-f'{x}0`dx=/-1)`f{x}`dx에서
/-1#`f{x}`dx-/-1#`f'{x}`dx=/-1)`f{x}`dx
/-1#`f{x}`dx-/-1)`f{x}`dx=/-1#`f'{x}`dx
/-1#`f{x}`dx+/0_!f{x}`dx=/-1#`f'{x}`dx
∴/0#f{x}`dx=/-1#`f'{x}`dx
f{x}=x$-x@+a에서f'{x}=4x#-2x이므로
/0#f{x}`dx=/-1#`f'{x}`dx=/-1#`{4x#-2x}`dx
=
x$-x@
{
}-1#={81-9}-{1-1}=72
016 답 24
/-2@ f{x}`dx=/-2)`{2-4x}`dx+/0@{3x@+2}`dx
=
2x-2x@
{
}-2) +
{
x#+2x
}0@
=0-{-4-8}+{8+4}-0=24
017 답 0
/1#xf{x}`dx=/1@x{6x-12}`dx+/2#x{3x-6}`dx
021 답 ③
f{x}=|2x+4|=
2x+4 {x>-2}
-
-2x-4{x<-2}
이므로
=/1@{6x@-12x}`dx+/2#{3x@-6x}`dx
/-3) f{x}`dx=/-3_@{-2x-4}`dx+/-2)`{2x+4}`dx
=
2x#-6x@
{
}1@+
{
x#-3x@
}2#
=
-x@-4x
{
}-3_@+
{
x@+4x
}-2)
={16-24}-{2-6}+{27-27}-{8-12}=0
={-4+8}-{-9+12}+0-{4-8}=5
98 정답과 해설
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|x@-4|=
x@-4 {x<-2또는x>2}
-
-x@+4{-22}
-
-x+2{x<2}
이고,a>2이므로
026 답 10
㈎에서모든실수x에대하여f{x+2}=f{x}이므로
=/4%f{x}`dx+/5^f{x}`dx+/6&f{x}`dx+/7*f{x}`dx
=/0!f{x}`dx+/-1) f{x}`dx+/0!f{x}`dx+/-1) f{x}`dx
=2/0!f{x}`dx+2/-1) f{x}`dx
=2/0!{4x+1}`dx+2/-1)`{1-4x#}`dx
=2
2x@+x
{
}0!+2
{
x-x$
}-1)
=29{2+1}-00+290-{-1-1}0=10
027 답 9
모든실수x에대하여f{x+3}=f{x}이므로
/10!(f{x}`dx=/10!#f{x}`dx+/13!^f{x}`dx+/16!(f{x}`dx
/1A|x-2|`dx=/1@{-x+2}`dx+/2A{x-2}`dx
=/1$f{x}`dx+/1$f{x}`dx+/1$f{x}`dx
=
{-
1
2
x@+2x
1
{
2
x@-2x
}2A
}1@+
1
2
-
[
5
2
={-2+4}-
=
a@-2a+
1
2
+2
+
]
1
2
[
a@-2a
-{2-4}
]
028 답
9
2
=3/1$f{x}`dx=3\3=9
따라서
a@-2a+
=
이므로a@-4a=0
1
2
5
2
5
2
a{a-4}=0 ∴ a=4(∵a>2)
024 답 ②
|x|+|x-1|=
1
{01}
-
-2x+1{x<0}
/-1@`{|x|+|x-1|}`dx
=/-1)`{-2x+1}`dx+/0!1`dx+/1@{2x-1}`dx
{
=
-x@+x
}0!+
=0-{-1-1}+1-0+{4-2}-{1-1}=5
}-1) +
x@-x
}1@
x
{
{
025 답
59
4
{gJf}{x}=|x#-3x+2|=|{x-1}@{x+2}|
=
x#-3x+2 {x>-2}
-
-x#+3x-2{x<-2}
∴/-3@` {gJf}{x}`dx
=/-3_@{-x#+3x-2}`dx+/-2@`{x#-3x+2}`dx
=
-
{
1
4
3
2
x$+
x@-2x
x$-
x@+2x
}-2@
3
2
}-3_@+
81
4
+
1
{
4
27
2
={-4+6+4}-
-
[
+6
+{4-6+4}-{4-6-4}
]
=
59
4
주어진그래프에서f{x}=
-x+3{00)
/2Xf{t}`dt=x@+2x-8의양변을x에대하여미분하면
f{x}=2x+2 ∴f{1}=2+2=4
∴a+f{1}=2+4=6
037 답 36
f{x}=/xX"@t#`dt에서
f{1}=/1#t#`dt=
1
{
4
t$
}1#=
81
4
1
4
-
=20
f{x}=/xX"@t#`dt의양변을x에대하여미분하면
f'{x}={x+2}#-x#=6x@+12x+8
수학2 PM 해설 08(095~107)OK.indd 100
2018-04-26 오후 3:07:37
∴/0!f'{x}`dx=/0!{6x@+12x+8}`dx
041 답 0
/2X{x-t}f{t}`dt=x#+ax@+4x의양변에x=2를대입하면
0=8+4a+8 ∴ a=-4
=
2x#+6x@+8x
{
}0!=2+6+8=16
∴f{1}+/0!f'{x}`dx=20+16=36
참고 f{x}=/xX"A g{t}`dt에서 g{t}의 한 부정적분을 G{t}라고 하면
f{x}=
G{t}
{
}xX"A ∴ f{x}=G{x+a}-G{x}
양변을 x에 대하여 미분하면
f '{x}=G'{x+a}-G'{x}=g{x+a}-g{x}
038 답
2
3
/0!f{t}`dt=a(a는상수)라고하면주어진등식은
/0Xf{t}`dt=-3x#+2x@-2ax
위의등식의양변을x에대하여미분하면
f{x}=-9x@+4x-2a
∴/0!f{t}`dt=/0!{-9t@+4t-2a}`dt=
{
-3t#+2t@-2at
}0!
2
3
4
3
4
3
2
3
=-3+2-2a=-2a-1
따라서-2a-1=a이므로a=-
f{x}=-9x@+4x+
이므로f{0}=
1
3
2
3
039 답
22
3
/1Xf{t}`dt=xf{x}-
4
3 ∴f{1}=
0=f{1}-
4
3 yy㉠
x#의양변에x=1을대입하면
x#의양변을x에대하여미분하면
/1Xf{t}`dt=xf{x}-
f{x}=f{x}+xf'{x}-4x@
xf'{x}=4x@ ∴f'{x}=4x
∴f{x}=?f'{x}`dx=?4x`dx=2x@+C `
4
3
㉠에서f{1}=2+C=
∴ C=-
2
3
따라서f{x}=2x@-
이므로f{2}=8-
=
2
3
22
3
040 답 f{x}=6x-2
/x!{x-t}f{t}`dt=-x#+x@+x-1에서
-/1X{x-t}f{t}`dt=-x#+x@+x-1
-x/1Xf{t}`dt+/1Xtf{t}`dt=-x#+x@+x-1
위의등식의양변을x에대하여미분하면
-
-/1Xf{t}`dt+xf{x}=
+xf{x}=-3x@+2x+1 `
∴/1Xf{t}`dt=3x@-2x-1 ``
위의등식의양변을x에대하여미분하면
f{x}=6x-2
/2X{x-t}f{t}`dt=x#-4x@+4x에서
x/2Xf{t}`dt-/2Xtf{t}`dt=x#-4x@+4x
위의등식의양변을x에대하여미분하면
-/2Xf{t}`dt+xf{x}=
-xf{x}=3x@-8x+4
∴/2Xf{t}`dt=3x@-8x+4 `
위의등식의양변을x에대하여미분하면
f{x}=6x-8 ∴f{2}=12-8=4
∴a+f{2}=-4+4=0
042 답 14
/-1X`{x-t}f{t}`dt=2x#+ax@+bx에서
x/-1X`f{t}`dt-/-1X`tf{t}`dt=2x#+ax@+bx
위의등식의양변을x에대하여미분하면
-/-1X`f{t}`dt+xf{x}=
-xf{x}=6x@+2ax+b
∴/-1X`f{t}`dt=6x@+2ax+b yy㉡
위의등식의양변에x=-1을대입하면
0=6-2a+b ∴ 2a-b=6 yy㉢
㉠,㉢을연립하여풀면a=4,b=2
/-1X`{x-t}f{t}`dt=2x#+ax@+bx의양변에x=-1을대입하면
0=-2+a-b ∴ a-b=2 yy㉠
이를㉡에대입하면/-1X`f{t}`dt=6x@+8x+2이므로양변을x에
대하여미분하면
∴/0!f{x}`dx=/0!{12x+8}`dx=
6x@+8x
}0!=6+8=14
{
f{x}=12x+8`
043 답 10
/0X{x-t}f'{t}`dt=x$-x#에서
x/0Xf'{t}`dt-/0Xtf'{t}`dt=x$-x#
위의등식의양변을x에대하여미분하면
-/0Xf'{t}`dt+xf'{x}=
-xf'{x}=4x#-3x@ `
∴/0Xf'{t}`dt=4x#-3x@
위의등식의양변을x에대하여미분하면
f'{x}=12x@-6x`
∴f{x}=?f'{x}`dx=?{12x@-6x}`dx=4x#-3x@+C
f{0}=3에서C=3`
따라서f{x}=4x#-3x@+3이므로
f'{1}+f{1}={12-6}+{4-3+3}=10
08 정적분 101
수학2 PM 해설 08(095~107)OK.indd 101
2018-04-26 오후 3:07:37
08 044 답 ①
f{x}=/1X{4t-t#}`dt의양변을x에대하여미분하면
f'{x}=4x-x#=-x{x+2}{x-2}
f'{x}=0인x의값은x=-2또는x=0또는x=2
함수f{x}의증가,감소를표로나타내면다음과같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
-2
0
극대
y
-
↘
0
0
극소
y
+
↗
2
0
극대
y
-
↘
함수f{x}는x=0에서극소이므로극솟값은
f{0}=/1){4t-t#}`dt=
7
4
1
4 ]
=0-
=-
2-
[
{
2t@-
1
4
t$
}1)
045 답 81
f{x}=/0X{-t@+t+a}`dt의양변을x에대하여미분하면
f'{x}=-x@+x+a
함수f{x}가x=3에서극대이면f'{3}=0이므로
-9+3+a=0 ∴ a=6
극댓값은f{3}이므로
=
M=f{3}=/0#{-t@+t+6}`dt
9
1
2
2
27
2
t@+6t}0#=-9+
∴aM=6\
{-
=81
t#+
1
3
+18=
27
2
046 답 5
f{x}=/0X{t@+at+b}`dt의양변을x에대하여미분하면
f'{x}=x@+ax+b`
함수f{x}가x=2에서극소이면f'{2}=0이므로
4+2a+b=0 ∴ 2a+b=-4
yy㉠
x=2에서극솟값이
2
3 이면f{2}=
2
3 이므로
f{2}=/0@{t@+at+b}`dt
8
3
t#+
a
2
=
t@+bt}0@=
2
3
1
{
3
8
3
+2a+2b
㉠,㉡을연립하여풀면a=-3,b=2`
∴b-a=2-{-3}=5
따라서
+2a+2b=
이므로a+b=-1 yy㉡
함수f{x}의증가,감소를표로나타내면다음과같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
-1
0
극대
y
-
↘
0
0
극소
y
+
↗
함수f{x}는x=-1에서극대이므로극댓값은
M=f{-1}=/-1)`{2t#-2t}`dt
=
1
{
2
t$-t@}-1)=0-
[
-1
=
]
1
2
1
2
함수f{x}는x=0에서극소이므로극솟값은
m=f{0}=/0!{2t#-2t}`dt
=
1
{
2
1
2
[
-1
-0=-
]
1
2
t$-t@}0!=
1
2
-
[
-
=1
1
2 ]
∴M-m=
048 답 ③
같다.
x
f '{x}
f{x}
f{x}=/-1X`{6t#-6t}`dt의양변을x에대하여미분하면
f'{x}=6x#-6x=6x{x+1}{x-1}
f'{x}=0인x의값은x=-1또는x=0또는x=1
-10}라고하면
수학2 PM 해설 08(095~107)OK.indd 103
2018-04-26 오후 3:07:38
08
055 답 ㄱ, ㄴ
주어진함수y=F{x}의그래프에서
F{x}=ax@{x+3}{x-3}{a>0}이라고하면
/0Xf{t}`dt=a{x$-9x@}
위의등식의양변을x에대하여미분하면
f{x}=a{4x#-18x}
ㄱ.f{0}=0
ㄴ.a>0이므로
f{2}=-4a<0,f{3}=54a>0
∴f{2}<f{3}
ㄷ.f'{x}=a{12x@-18}=6a{2x@-3}이므로
또는x= j6k
2
f'{x}=0인x의값은x=-j6k
2
함수f{x}의증가,감소를표로나타내면다음과같다.
x
f '{x}
f{x}
y
+
↗
- j6 k
2
0
극대
y
-
↘
j6 k
2
0
극소
y
+
↗
함수f{x}는x= j6k
2
에서극솟값을갖는다.
따라서보기중옳은것은ㄱ,ㄴ이다.
056 답 ①
f{x}=5x@-4x-8이라하고,함수f{x}의한부정적분을F{x}
라고하면
1
lim
2
x`
!
x-2 /2X{5t@-4t-8}`dt=lim
x`
2
x-2 /2Xf{t}`dt`
1
!
=lim
2
x`
!
=lim
2
x`
!
=F'{2}
=f{2}
F{t}
1
x-2 {
}2X
F{x}-F{2}
x-2
=20-8-8=4
F{t}
1
x-a {
}aX
F{x}-F{a}
x-a
1
!
=lim
a
x`
!
=lim
a
x`
!
=F'{a}
=f{a}
=3a@-2a
따라서3a@-2a=-
이므로
1
3
9a@-6a+1=0,{3a-1}@=0 ∴ a=
1
3
104 정답과 해설
058 답 6
함수f{x}의한부정적분을F{x}라고하면
1
h /1!"@Hf{x}`dx=lim
h`
0
1
h {
F{x}
}1!"@H
!
lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
F{1+2h}-F{1}
h
F{1+2h}-F{1}
2h
=2F'{1}=2f{1}
=lim
0
h`
!
\2
=2{-2+5}=6
059 답 ①
함수9f{x}0#의한부정적분을F{x}라고하면
1
lim
-1
x`
!
x+1 /-1X`9f{t}0#`dt= lim
x`
-1
!
1
}-1X
x+1 {F{t}
F{x}-F{-1}
x+1
= lim
-1
x`
!
=F'{-1}=9f{-1}0#
={1-3}#=-8
060 답 ⑤
함수f{x}의한부정적분을F{x}라고하면
g'{x}=lim
0
!
h`
=lim
0
h`
!
1
h /xX"Hf{t}`dt
1
h {
}xX"H
F{t}
=lim
0
h`
!
F{x+h}-F{x}
h
=F'{x}=f{x}
즉,g'{x}=2x-4이므로
g{x}=?g'{x}`dx=?{2x-4}`dx
=x@-4x+C
g{1}=-1에서
1-4+C=-1 ∴ C=2
∴g{x}=x@-4x+2
해4이다.
F{x}라고하면
1
x@
x-1 /1
1
lim
1
x`
!
x@
f{t}`dt
x-1 /1
1
x-1 {
F{t}
x@
}1
F{x@}-F{1}
x-1
=lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
=lim
1
x`
!
=lim
x`
!
F{x@}-F{1}
x@-1
=2F'{1}=2f{1}
1-
=2{1+1+y+1+1}=18
9개
\{x+1}
=
따라서방정식g{x}=0의모든근의합은근과계수의관계에의
057 답 ②
f{x}=3x@-2x라하고,함수f{x}의한부정적분을F{x}라고
061 답 ③
f{x}=x*+x&+y+x+1이라하고,함수f{x}의한부정적분을
하면
lim
a
x`
!
1
x-a /aX{3t@-2t}`dt=lim
x`
a
x-a /aXf{t}`dt
{t*+t&+y+t+1}`dt`
수학2 PM 해설 08(095~107)OK.indd 104
2018-04-26 오후 3:07:38
핵심 유형 최종 점검하기
139~141쪽
1 답 ⑤
유형 01 정적분의 정의
/0@{x@+2x+4}f{x}`dx=/0@{x@+2x+4}{x-2}`dx
5 답 -2
유형 04 구간에 따라 식이 다른 함수의 정적분
-4
-
-2x-4{x<0}
주어진그래프에서f{x}=
{x>0}
이므로
/-3! xf{x}`dx=/-3) x{-2x-4}`dx+/0!9x\{-4}0`dx
=/0@{x#-8}`dx
1
{
4
=
x$-8x}0@
={4-16}-0=-12
2 답 2
유형 02 정적분의 계산 - 실수배, 합, 차의 정적분
/0!{x@-2xy-6y@}`dy=x@/0! 1`dy-x/0!2y`dy-/0!6y@`dy
y
{
y@
=x@
}0!-x
}0!-
=x@{1-0}-x{1-0}-{2-0}
}0!
2y#
{
{
=x@-x-2
/-2#` |f{x}|`dx
=/-3)` {-2x@-4x}`dx+/0!{-4x}`dx
2
3
{
=
-
x#-2x@
}0!
=0-{18-18}+{-2}-0=-2
}-3) +
-2x@
{
6 답 ②
유형 05 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분
|f{x}|=|3x@-3|=
3x@-3 {x<-1또는x>1}
-
-3x@+3{-10이므로함수f{x}의최솟값
=28
은3이다.
∴a=3
f{x}=|4-2x|+3=
2x-1 {x>2}
-
-2x+7{x<2}
이므로
/1Af{x}`dx=/1#f{x}`dx
=/1@{-2x+7}`dx+/2#{2x-1}`dx
=
-x@+7x
{
}1@+
{
x@-x
}2#
={-4+14}-{-1+7}+{9-3}-{4-2}=8
8 답 5
유형 06 f{x+k}=f{x}인 함수의 정적분
-12}
-
-x+1{x<2}
이므로
F{3}=/-1# f{t}`dt=/-1@`{-t+1}`dt+/2#{t-3}`dt
1
t@+t}-1@ +
{
2
1
2
t@-3t}2#
9
2
={-2+2}-
-{2-6}=1
-9
-1
1
2
=
-
+
-
]
[
[
]
{
17 답 -11
유형 12 정적분으로 정의된 함수의 그래프
주어진함수y=f{x}의그래프에서
f{x}=a{x-1}{x-4}(a<0)라고하자.
g{x}=/xX"!f{t}`dt의양변을x에대하여미분하면
g'{x}=f{x+1}-f{x}이므로
g'{x}=ax{x-3}-a{x-1}{x-4}
=2ax-4a
함수g{x}는이차함수이고,a<0이므로g'{x}=0인x의값에서
최댓값을갖는다.
g'{x}=0인x의값은x=2
따라서함수g{x}의최댓값은g{2}이므로
g{2}=/2#a{t-1}{t-4}`dt=/2#{at@-5at+4a}`dt
=
a
{
3
t#-
at@+4at
}2#
5
2
45
2
[
13
6
따라서-
a=13이므로a=-6
=
9a-
a+12a
-
a-10a+8a
=-
8
3
[
]
13
6
a
]
f{x}=-6{x-1}{x-4}=-6x@+30x-24이므로
g{0}=/0!{-6t@+30t-24}`dt=
=-2+15-24=-11
{
-2t#+15t@-24t
}0!
18 답 4
유형 13 정적분으로 정의된 함수의 극한
함수f{x}의한부정적분을F{x}라고하면
1
lim
2
x`
!
x@-4 /2Xf{t}`dt=lim
x`
2
!
F{t}
1
}2X
x@-4 {
F{x}-F{2}
x@-4
F{x}-F{2}
x-2
1
4 f{2}
2-
F'{2}=
{8+12-4}=4
=lim
2
x`
!
=
=lim
x`
!
1
4
1
4
=
\
1
x+2 =
19 답 ③
유형 13 정적분으로 정의된 함수의 극한
xf{x}-x#=/1X9f{t}-t0`dt의양변에x=1을대입하면
f{1}-1=0 ∴f{1}=1 yy㉠`
xf{x}-x#=/1X9f{t}-t0`dt의양변을x에대하여미분하면
f{x}+xf'{x}-3x@=f{x}-x`
xf'{x}=3x@-x=x{3x-1}
∴f'{x}=3x-1
∴f{x}=?f'{x}`dx=?{3x-1}`dx=
1
2
-1+C=1 ∴ C=
㉠에서f{1}=
3
2
∴f{x}=
1
2
함수f{x}의한부정적분을F{x}라고하면
x@-x+
3
2
3
2
x@-x+C
1
h /3-h#"Hf{x}`dx`
lim
0
h`
!
1
h {
F{x}
}3-h #"H
F{3+h}-F{3-h}
h
=lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
=lim
0
h`
!
=2F'{3}=2f{3}
=2
27
2
[
-3+
=22
1
2 ]
F{3+h}-F{3}-9F{3-h}-F{3}0
h
F{3+h}-F{3}
h
F{3-h}-F{3}
-h
+lim
0
h`
!
08 정적분 107
수학2 PM 해설 08(095~107)OK.indd 107
2018-04-26 오후 3:07:39
08 09 정적분의 활용
따라서 구하는 도형의 넓이는
/0@|x#-3x@+2x|`dx
유형01
1
2
4
3
유형09 1
유형05
유형02 ③
유형06 ③
유형10 ②
유형03
32
3
27
2
유형11 18
유형07
유형04 9
유형08 36
유형12 4
001
37
3
002 2
003 2
004
006 -6 007 ④
008 ④
009 -
005 7
71
6
3
2 010 ③
011
012 ④
013 -4 014 ③
015 ⑤
016
017 ②
018 ③
019 6
020 ②
021
022 61
024 ⑤
025 3
4
3
8
3
1
3
026 6
036
031 8
32
3
1
2
041
051
9
2
023
2
3
1
3
033 6
028
027
3
2
032 5
042
2
3
037 28
038 ③
046 3초 047 -30 048 3
052 192p`cm#
029 1
030 24
034 54
65
12
039
035 ①
040 4
050 5`m
054 24
053
049 ③
33
2
1
6
1 24j6 k
27
6
2
2 ②
7 ①
4 ④
5 ⑤
9 -6
10 ③
11 ④
12 ②
14 4
15 ④
3 ①
8 3
13
32
3
16
8
3
17 -
18 2
3
2
=/0!{x#-3x@+2x}`dx+/1@{-x#+3x@-2x}`dx
=
1
x$-x#+x@ }0!+
{
4
{
-
1
x$+x#-x@ }1@=
4
1
4
+
1
4
=
1
2
유형02 답 ③
모든 실수 x에 대하여 f{-x}=-f{x}이면 함수 y=f{x}의 그
래프가 원점에 대하여 대칭이므로
/-4$ f{x}`dx=0
모든 실수 x에 대하여 g{-x}=g{x}이면 함수 y=g{x}의 그래
프가 y축에 대하여 대칭이므로
/-4$ g{x}`dx=2/0$ g{x}`dx
∴ /-4$ 9 f{x}+g{x}0`dx=0+2/0$ g{x}`dx=2\3=6
곡선 y=x@-5x와 직선 y=-x의 교점의
y=x@-5x
유형03 답
32
3
x좌표는 x@-5x=-x에서
x@-4x=0, x{x-4}=0
∴ x=0 또는 x=4
따라서 구하는 도형의 넓이는
/0$9-x-{x@-5x}0`dx
유형04 답 9
의 교점의 x좌표는
x@-3x+4=-x@+7x-4에서
x@-5x+4=0, {x-1}{x-4}=0
∴ x=1 또는 x=4
따라서 구하는 도형의 넓이는
O
1
4
x
y=-x@+7x-4
/1$9{-x@+7x-4}-{x@-3x+4}0`dx
=/1${-2x@+10x-8}`dx=
-
{
2
x#+5x@-8x }1$=9
3
유형05 답
4
3
f{x}=x#-x@+2라고 하면 f '{x}=3x@-2x이므로 점 {1, 2}에
서의 접선의 기울기는 f '{1}=1이고, 접선의 방정식은
y-2=x-1 ∴ y=x+1
곡선 y=x#-x@+2와 접선 y=x+1의
교점의 x좌표는 x#-x@+2=x+1에서
y=x#-x@+2
y=x+1
y
2
1
-1
O
1
x
4
5
x
y=-x
y
O
y
4
043 -9 044 ③
045 ②
=/0${-x@+4x}`dx=
-
{
1
x#+2x@ }0$=
3
32
3
055 2
056 28`m 057 8초 058
059 ㄱ
두 곡선 y=x@-3x+4, y=-x@+7x-4
y=x@-3x+4
곡선 y=x#-3x@+2x와 x축의 교점의 x
y
y=x#-3x@+2x
좌표는 x#-3x@+2x=0에서
x{x-1}{x-2}=0
∴ x=0 또는 x=1 또는 x=2
O
1
2
x
x#-x@-x+1=0`
{x+1}{x-1}@=0
∴ x=-1 또는 x=1
핵심 유형 14 4~14 6쪽
유형01 답
1
2
108 정답과 해설
수학2 PM 해설 09(106~120)OK.indd 108
2018-04-26 오후 3:08:21
따라서 구하는 도형의 넓이는
핵심 유형 완성하기 147~153쪽
/-1!` 9{x#-x@+2}-{x+1}0`dx =/-1!` {x#-x@-x+1}`dx
001 답
37
3
곡선 y=-4x#+4x@+8x와 x축의 교
y
y=-4x#+4x@+8x
=2/0!{-x@+1}`dx
=2
-
x#+x
{
1
3
}0!=
4
3
/0! x{x-a}{x-1}`dx=0, /0!9x#-{a+1}x@+ax0`dx=0
유형06 답 ③
두 도형의 넓이가 같으므로
x$-
x#+
a+1
3
a
2
1
{
4
1
6
1
12
a-
=0 ∴ a=
x@ }0!=0
1
2
유형07 답
27
2
곡선 y=-x@+9와 직선 y=k의 교점의
x좌표는 -x@+9=k에서
x@=9-k
∴ x=-j9-k l
곡선 y=-x@+9와 x축으로 둘러싸인 도
형의 넓이를 직선 y=k가 이등분하므로
y
9
k
y=-x@+9
y=k
x
3
j9-kl
-3
O
j9-k l
{-x@+9-k}`dx yy ㉠
/0#{-x@+9}`dx=2/0
㉠의 좌변에서
1
3
}0#=18
-
x#+9x
/0#{-x@+9}`dx=
{
㉠의 우변에서 j9-k l=a라고 하면
x#+a@x
2/0:{-x@+a@}`dx =2
4
3
a#이므로 a#=
따라서 18=
1
3
-
{
}0:=2\
2
3
a#=
a#
4
3
27
2
27
2 ∴ 1{9-k}# 3=
유형08 답 36
래프는 직선 y = x에 대하여 대칭이므로
오른쪽 그림에서 A=B
∴ /3!@ f{x}`dx+/0# g{x}`dx
=A+C=B+C=3\12=36
C
3
O
3
y=f{x}
A
12
x
유형09 답 1
두 곡선 y=f{x}, y=g{x}로 둘러싸인
y=g{x}
y=x
y
12
B
y
3
1
도형의 넓이는 곡선 y=f{x}와 직선
y=x로 둘러싸인 도형의 넓이의 2배와
같으므로 구하는 도형의 넓이는
2/1#9 f{x}-x0`dx
=2/1# f{x}`dx-/1#2x`dx
=2\
-
x@
}1#=9-8=1
{
9
2
점의 x좌표는
-4x#+4x@+8x=0에서
-4x{x+1}{x-2}=0
따라서 구하는 도형의 넓이는
/-1@`|-4x#+4x@+8x|`dx
∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=2
-1
O
2
x
=/-1)`{4x#-4x@-8x}`dx+/0@{-4x#+4x@+8x}`dx
=
x$-
x#-4x@
-x$+
x#+4x@
}-1) +
{
}0@
4
3
4
3
32
3
{
5
3
=
+
=
37
3
002 답 2
구간 [0, 2]에서 곡선 y=-x@+1과 x축
의 교점의 x좌표는 -x@+1=0에서
{x+1}{x-1}=0
∴ x=1 (∵ 00이므로 곡선 y=x{a-x}와 x축으
로 둘러싸인 도형의 넓이는
/0A|x{a-x}|`dx =/0A{ax-x@}`dx
a#
6
a
{
2
}0A=
x@-
1
3
=
x#
y
x=2
O
1
2
x
y=-x@+1
y
y=x{a-x}
O
a
x
09 정적분의 활용 109
따라서
=
이므로 a#=8 ∴ a=2 (∵ a>0)
a#
6
4
3
004 답
71
6
y=f{x}
㈎에서 f '{x}=-3x@+2x+4이므로
O
1
3
x
f{x} =? f '{x}`dx=?{-3x@+2x+4}`dx
=-x#+x@+4x+C
㈏에서 f{2}=0이므로
-8+4+8+C=0 ∴ C=-4
∴ f{x}=-x#+x@+4x-4
함수 y=f{x}와 그 역함수 y=g{x}의 그
y=g{x}
y=x
x=0 또는 x=a
수학2 PM 해설 09(106~120)OK.indd 109
2018-04-26 오후 3:08:22
09 y
O
-2
1 2
x
009 답 -
3
2
y=f{x}
/-1! x@ f{x}`dx+/-1! 2x f{x}`dx
=/-1! {3x#+ax@}`dx+/-1! {6x@+2ax}`dx
=2/0! ax@`dx+2/0! 6x@`dx=2/0!{a+6}x@`dx
a+6
3
}0!=2\
a+4
=2
{
2
3
=
x#
따라서
a+4=3이므로 a=-
3
2
a+6
3
2
3
010 답 ③
㈎에서 함수 y=f{x}의 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로
/-1! f{x}`dx=2/-1) f{x}`dx
또 두 함수 y=x f{x}와 y=x# f{x}의 그래프는 원점에 대하여 대
칭이므로
/-1! x f{x}`dx=/-1! x# f{x}`dx=0
y
O
y=f{x}
2
x
x
∴ /-1! {x#+x+1} f{x}`dx =/-1! f{x}`dx=2/-1) f{x}`dx
=2\3=6
곡선 y=f{x}와 x축의 교점의 x좌표는
-x#+x@+4x-4=0에서
-{x+2}{x-1}{x-2}=0
∴ x=-2 또는 x=1 또는 x=2
따라서 구하는 도형의 넓이는
/-2@ | f{x}|`dx
=/-2! {x#-x@-4x+4}`dx+/1@{-x#+x@+4x-4}`dx
}-2! +
{
-
1
4
1
3
x$+
x#+2x@-4x
}1@
=
x$-
x#-2x@+4x
1
3
1
{
4
45
4
=
+
7
12
=
71
6
005 답 7
/3X f{t}`dt=x#-ax@의 양변에 x=3을 대입하면
0=27-9a ∴ a=3
/3X f{t}`dt=x#-3x@의 양변을 x에 대하여 미분하면
f{x}=3x@-6x`
곡선 y= f{x}와 x축의 교점의 x좌표는
곡선 y= f{x}와 x축으로 둘러싸인 도형의
3x@-6x=0에서
3x{x-2}=0
∴ x=0 또는 x=2
넓이 S는
=
-x#+3x@
{
}0@=4
∴ a+S=3+4=7
011 답
4
3
x@-4x+3=0`
{x-1}{x-3}=0
∴ x=1 또는 x=3
S =/0@| f{x}|`dx=/0@{-3x@+6x}`dx
곡선 y=-x@+2x와 직선 y=-2x+3의
y
y=-x@+2x
교점의 x좌표는 -x@+2x=-2x+3에서
O
1
3
x
x
006 답 -6
모든 실수 x에 대하여 f{-x}=f{x}이면 함수 y=f{x}의 그래
프가 y축에 대하여 대칭이므로
/-2@ f{x}`dx=2/0@ f{x}`dx
모든 실수 x에 대하여 g{-x}=-g{x}이면 함수 y=g{x}의 그
래프가 원점에 대하여 대칭이므로
/-2@ g{x}`dx=0
∴ /-2@` 9 g{x}-f{x}0`dx =0-2/0@ f{x}`dx=-2\3=-6
007 답 ④
모든 실수 x에 대하여 f{-x}=f{x}이면 함수 y=f{x}의 그래
프가 y축에 대하여 대칭이므로
/-3# f{x}`dx=2/0# f{x}`dx=2/-3) f{x}`dx
따라서 구하는 도형의 넓이는
y=-2x+3
/1#9{-x@+2x}-{-2x+3}0`dx =/1#{-x@+4x-3}`dx
4
3
x#+2x@-3x
}1#=
1
3
-
=
{
012 답 ④
곡선 y=-x#+2x+1과 직선
y=-2x+1의 교점의 x좌표는
-x#+2x+1=-2x+1에서
x#-4x=0, x{x+2}{x-2}=0
∴ x=-2 또는 x=0 또는 x=2
따라서 구하는 도형의 넓이는
y
y=-x#+2x+1
2
-2
O
xx
y=-2x+1
/-2) 9{-2x+1}-{-x#+2x+1}0`dx
+/0@9{-x#+2x+1}-{-2x+1}0`dx
[
x#+2x+
/-aA`
따라서 3a=9이므로 a=3
3
2 ]
3
`dx=2/0A
2
`dx=2
3
x
{
2
}0A=2\
3
2
a=3a
=/-2) {x#-4x}`dx+/0@{-x#+4x}`dx
=
1
{
4
x$-2x@
}-2) +
{
-
x$+2x@
}0@=4+4=8
1
4
008 답 ④
110 정답과 해설
수학2 PM 해설 09(106~120)OK.indd 110
2018-04-26 오후 3:08:23
013 답 -4
곡선 y=x@+2k와 직선 y={k+2}x의
교점의 x좌표는 x@+2k={k+2}x에서
x@-{k+2}x+2k=0`
{x-k}{x-2}=0
∴ x=k 또는 x=2
k<2이므로 곡선 y=x@+2k와 직선
y={k+2}x로 둘러싸인 도형의 넓이는
y
y=x@+2k
2
k
O
x
016 답
8
3
y=-x@
행이동하면
곡선 y=x@을 원점에 대하여 대칭이동하면
곡선 y=-x@을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 4만큼 평
y={k+2}x
두 곡선 y=x@과 y=-x@+4x의 교점의
y=-{x-2}@+4 ∴ y=-x@+4x
y
y=x@
/k@9{k+2}x-{x@+2k}0`dx =/k@9-x@+{k+2}x-2k0`dx
=
-
{
1
3
x#+
k+2
2
x@-2kx
}k@
=-
k#+k@-2k+
1
6
4
3
x좌표는 x@=-x@+4x에서
2x@-4x=0, 2x{x-2}=0
∴ x=0 또는 x=2
따라서 구하는 도형의 넓이는
/0@9{-x@+4x}-x@0`dx =/0@{-2x@+4x}`dx
O
2
x
y=-x@+4x
1
6
따라서 -
4
3
k#-6k@+12k+208=0, {k+4}{k@-10k+52}=0
k#+k@-2k+
=36이므로
∴ k=-4 (∵ k<2)
=
-
x#+2x@
}0@
2
3
{
8
3
=
014 답 ③
y=|x@-2x|=
x@-2x {x<0 또는 x>2}
-
-x@+2x {02에서 곡선 y=x@-2x
y=|x@-2x|
y
g{x}-f{x}=a{x+1}{x-2} (a는 상수)
와 직선 y=2x의 교점의 x좌표는
라고 하면 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는
/-1@ 9 g{x}- f{x}0`dx =/-1@ a{x+1}{x-2}`dx
=/-1@ {ax@-ax-2a}`dx
=
x#-
x@-2ax
}-1@
a
2
a
{
3
9
a
2
=-
따라서 -
a=18이므로 a=-4
9
2
g{x}-f{x}=-4{x+1}{x-2}이므로
g{1}-f{1}=-4\2\{-1}=8
09{-2x@+k}-{x@+3x}0`dx
=/;>{-3x@-3x+k}`dx
=
-x#-
x@+kx
{
};>
3
2
=-{b#-a#}-
{b@-a@}+k{b-a}
3
2
-
-
=-{b-a}
{b@+ab+a@}+
=-{b-a}
{a+b}@-ab+
{a+b}-k =
{a+b}-k =
3
2
3
2
3
2
{-1}@+
4
3
k e [
k e -
2
3
=q1+
=-q1+
4
3
1
2 q1+
4
3
따라서
1
4 [
1+
][
k
k+
1
2 ]
=
4
3
k e [
4
3
k
1+
1+
]@=
+
k
3
1
2 q1+
4
3
3^
4
, [
=
k
]
\{-1}-k =
4
3
27
2
k e [
1+
4
3
k
]
1+
4
3
k
]#=9#
1+
k=9 (∵ k>1) ∴ k=6
4
3
022 답 61
f{x}=x@+1이라고 하면 f '{x}=2x이므로 점 {2, 5}에서의 접
선의 기울기는 f '{2}=4이고, 접선의 방정식은
y-5=4{x-2} ∴ y=4x-3
따라서 도형의 넓이 S는
y=f{x}
y
S =/0@9{x@+1}-{4x-3}0`dx
1
2
-
\
\3
3
4
=/0@{x@-4x+4}`dx-
9
8
x#-2x@+4x
}0@-
=
9
8
-
=
=
9
8
37
24
따라서 p=24, q=37이므로
1
{
3
8
3
O
2
x
4#
-3
y=4x-3
023 답
2
3
f{x}=-x@이라고 하면 f '{x}=-2x이므로 점 {a, -a@}에서의
접선의 기울기는 f '{a}=-2a이고, 접선의 방정식은
=/0@{x@-2ax+a@}`dx
=
1
{
3
x#-ax@+a@x
}0@
=2a@-4a+
=2{a-1}@+
8
3
2
3
따라서 01)
-
k#+
k@-4k=0, k{2k@-15k+24}=0
곡선 y=x#-ax@과 x축의 교점의 x좌표
y
y=x#-ax@
는 x#-ax@=0에서
x@{x-a}=0 ∴ x=0 또는 x=a
곡선 y=-3x@+12와 x축 및 y축으
-2
O
k
x2
로 둘러싸인 도형 중 제1사분면에 있
는 부분의 넓이를 직선 x=k가 이등분하므로
/0@{-3x@+12}`dx=2/0K{-3x@+12}`dx yy ㉠
㉠의 좌변에서
A
O
B
2a
x=2
x
/0@{-3x@+12}`dx=
㉠의 우변에서
{
-x#+12x
}0@=16
2/0K{-3x@+12}`dx =2
{
-x#+12x
}0K
=2{-k#+12k}=-2k#+24k
따라서 16=-2k#+24k이므로 12k-k#=8
09 정적분의 활용 113
수학2 PM 해설 09(106~120)OK.indd 113
2018-04-26 오후 3:08:25
09 032 답 5
S2=/0! x%`dx=
S1=1-S2=1-
=
1
6
1
{
6
1
6
x^
}0!=
5
6
`
∴
=
=5
S1
S2
5
6
1
6
033 답 6
A=/1# f '{x}`dx=3, B=/3^9-f '{x}0`dx=5이므로
/1# f '{x}`dx=3, /3^ f '{x}`dx=-5
∴ /1^ f '{x}`dx =/1# f '{x}`dx+/3^ f '{x}`dx
=3+{-5}=-2
`f{x}
}1^=f{6}-f{1}이므로
이때 /1^ f '{x}`dx=
f{6}-f{1}=-2
{
f{6}=4에서
4-f{1}=-2 ∴ f{1}=6
y
y=-x@+a@
x=2
-a
O
a
x2
035 답 ①
곡선 y=-x@+a@과 x축의 교점의 x좌표
는 -x@+a@=0에서
{x+a}{x-a}=0
∴ x=-a 또는 x=a
00)
두 곡선 y=f{x}, y=g{x}로 둘러싸인 도형의 넓이는 곡선
y=f{x}와 직선 y=x로 둘러싸인 도형의 넓이의 2배와 같으므로
=3\3-1\1-B
=8-B=8-A
=8-/1# f{x}`dx
9
2
=8-
7
2
=
039 답
65
12
g{9}=a라고 하면 f{a}=9이므로
a{a+2}@=9
a#+4a@+4a-9=0
{a-1}{a@+5a+9}=0
∴ a=1 (∵ a>0)
므로 오른쪽 그림에서
A=B
∴ /0( g{x}`dx =A
=B
2/0!{x-x#}`dx =2
구하는 도형의 넓이는
1
{
2
1
4
=2\
1
4
1
2
=
x@-
x$
}0!
042 답
2
3
선 y=x에 대하여 대칭이므로 오른
쪽 그림과 같고, 두 곡선 y= f{x},
y=f _!{x}로 둘러싸인 도형의 넓이
는 곡선 y=f{x}와 직선 y=x로 둘
러싸인 도형의 넓이의 2배와 같으므
로 구하는 도형의 넓이는
2/0@| f{x}-x|`dx
y
2
1
두 곡선 y=f{x}, y=f _!{x}는 직
y=f{x}
y=x
y=f_!{x}
함수 y=f{x}와 그 역함수 y=g{x}의
y=f{x}
y=x
그래프는 직선 y = x에 대하여 대칭이
y
9
B
O
1
2
x
1
O
1
A
y=g{x}
9
x
=2
{ /0!9 f{x}-x0`dx+/1@9x-f{x}0`dx }
이때 곡선 y=f{x}와 직선 y=x로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 같
=1\9-(빗금친 도형의 넓이)
으므로
=9-/0! f{x}`dx=9-/0! x{x+2}@`dx
/0!9 f{x}-x0`dx=/1@9x-f{x}0`dx
=9-/0!{x#+4x@+4x}`dx
4
3
x#+2x@
=9-
x$+
}0!
1
{
4
43
12
=9-
=
65
12
∴ 2/0@| f{x}-x|`dx =4/0!9 f{x}-x0`dx
=4/0! f{x}`dx-/0! 4x`dx
2
3
}0!=
-2=
=4\
2x@
2
3
8
3
-
{
09 정적분의 활용 115
수학2 PM 해설 09(106~120)OK.indd 115
2018-04-26 오후 3:08:26
09 핵심 유형 154쪽
유형10 답 ②
v{t}=0일 때 점 P가 움직이는 방향이 바뀌므로
t@-9=0, {t+3}{t-3}=0
∴ t=3 (∵ t>0)
따라서 t=3에서 점 P의 위치는
/0#{t@-9}`dt=
1
t#-9t }0#=-18
{
3
유형11 답 18
점 P가 출발한 후 다시 원점을 지나는 시각을 t=a라고 하면
/0A{6-2t}`dt=0
6t-t@
}0A=0
{
6a-a@=0, a{6-a}=0
∴ a=6 (∵ a>0)
따라서 점 P가 t=6까지 움직인 거리는
/0^|6-2t|`dt =/0#{6-2t}`dt+/3^{-6+2t}`dt
=
6t-t@
{
}0#+
{
-6t+t@
}3^=9+9=18
유형12 답 4
a =/0# v{t}`dt=/0@ v{t}`dt+/2# v{t}`dt
1
2
\{1+2}\1-
\1\1=1
1
2
=
=
\{1+2}\1+
\{1+2}\1=3
1
2
1
2
∴ a+b=1+3=4
핵심 유형 완성하기 155~157쪽
043 답 -9
v{t}=0일 때 점 P가 움직이는 방향이 바뀌므로
t@-2t-3=0, {t+1}{t-3}=0
∴ t=3 (∵ t>0)
따라서 t=3에서 점 P의 위치는
/0#{t@-2t-3}`dt=
t#-t@-3t
}0#=-9
1
{
3
044 답 ③
출발한 지 35분이 되었을 때, 열기구의 높이는
/0#% v{t}`dt =/0@) t`dt+/20#%{60-2t}`dt
1
{
2
t@
=
60t-t@
}0@)+
=200+75=275{m}
{
}20#%
116 정답과 해설
045 답 ②
점 P가 다시 원점으로 돌아오는 시각을 t=a라고 하면
/0A{4t-2t@}`dt=0
2
3
2
3
2t@-
{
t#
}0A=0
2a@-
a#=0, -
2
3
∴ a=3 (∵ a>0)
은 3초이다.
a@{a-3}=0
따라서 점 P가 출발한 후 다시 원점으로 돌아올 때까지 걸린 시간
046 답 3초
두 점 P1, P2가 만나려면 위치가 같아야 하므로 두 점이 다시 만나
는 시각을 t=a라고 하면
t#-2t@+t
/0A{2t@-4t+1}`dt=/0A{-t@+8t-8}`dt
1
3
t#+4t@-8t
2
{
3
2
3
a#-6a@+9a=0, a{a-3}@=0
a#-2a@+a=-
a#+4a@-8a
}0A=
1
3
-
}0A
{
∴ a=3 (∵ a>0)
따라서 두 점 P1, P2가 다시 만나는 시각은 3초 후이다.
047 답 -30
시각 t=a에서 점 P의 위치는
=-2a@+20a-80
=-2{a-5}@-30
따라서 점 P는 t=5일 때 원점에서 가장 가까이에 있으며 그때의
점 P의 위치는 -30이다.
048 답 3
두 점 P, Q가 만나려면 위치가 같아야 하므로 두 점이 만나는 시
각을 t=a라고 하면
/0A{4t+7}`dt=-3+/0A{3t@-8t+16}`dt
{
2t@+7t
}0A=-3+
2a@+7a=-3+a#-4a@+16a
t#-4t@+16t
{
}0A
∴ a#-6a@+9a-3=0 yy ㉠
f{a}=a#-6a@+9a-3이라고 하면
f '{a}=3a@-12a+9=3{a-1}{a-3}
f '{a}=0인 a의 값은 a=1 또는 a=3
a>0에서 함수 f{a}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
0
a
f '{a}
f{a}
y
+
↗
1
0
1
극대
y
-
↘
3
0
-3
극소
y
+
↗
b =/0$|v{t}|`dt=/0@ v{t}`dt+/2$9-v{t}0`dt
-80+/0A{20-4t}`dt =-80+
{ 20t-2t@ }0A
수학2 PM 해설 09(106~120)OK.indd 116
2018-04-26 오후 3:08:27
3
a
점 P가 출발한 후 t=6에서 원점을 지나므로
053 답
33
2
/0^ v{t}`dt=0
따라서 a>0에서 함수 y=f{a}의 그래프
y=f{a}
는 오른쪽 그림과 같다.
이때 a>0에서 함수 y=f{a}의 그래프는
O
1
a축과 서로 다른 세 점에서 만나므로 삼
y
1
-3
차방정식 ㉠의 실근은 3개이다.
즉, 두 점 P, Q는 3회 만난다.
049 답 ③
점 P가 출발한 후 다시 원점을 지나는 시각을 t=a라고 하면
t$-t#
}0A=0
1
/0A{t#-3t@}`dt=0, {
4
1
4
∴ a=4 (∵ a>0)
a$-a#=0,
1
4
a#{a-4}=0
따라서 t=4까지 점 P가 움직인 거리는
/0$|t#-3t@|`dt =/0#{-t#+3t@}`dt+/3${t#-3t@}`dt
1
{
4
t$-t#
}3$
1
4
=
-
t$+t#
{
27
4
=
+
=
27
4
}0#+
27
2
050 답 5`m
최고 지점에 도달했을 때 v{t}=0이므로
30-10t=0 ∴ t=3
따라서 3초부터 4초까지 공이 움직인 거리는
/3$|30-10t|`dt =/3${-30+10t}`dt
=
-30t+5t@
{
}3$=5{m}
051 답
9
2
과 반대 방향으로 움직인 구간은 v{t}>0에서
-t@+5t-4>0, t@-5t+4<0
{t-1}{t-4}<0 ∴ 10)
구멍의 넓이가 9p`cm@이므로 흘러나온 A`용액의 양은
9p\/0$|8t-2t@|`dt =9p/0${8t-2t@}`dt
=9p
4t@-
{
2
3
t#
}0$
=9p\
=192p{cm#}
64
3
/0@{-3t@}`dt+/2^9a{t-2}-120`dt=0
a
{
2
-t#
}0@+
t@-{2a+12}t
}2^=0
{
-8+{8a-48}=0 ∴ a=7
따라서 v{t}=
이므로 t=0에서 t=3까지 점
-3t@ {02}
P가 움직인 거리는
/0#|v{t}|`dt =/0@ 3t@`dt+/2#{-7t+26}`dt
=
t#
}0@+
{
{
-
t@+26t
}2#=8+
7
2
17
2
=
33
2
054 답 24
시각 t에서 점 P의 좌표는
/0T{6t@+2t+2}`dt=
시각 t에서 점 Q의 좌표는
{
2t#+t@+2t
}0T=2t#+t@+2t
/0T{3t@+4t-5}`dt=
두 점 P{2t#+t@+2t}, Q{t#+2t@-5t}에 대하여 선분 PQ를 2：1
}0T=t#+2t@-5t
t#+2t@-5t
{
로 외분하는 점 R의 좌표는
2{t#+2t@-5t}-{2t#+t@+2t}
2-1
=3t@-12t
점 R가 다시 원점을 지날 때의 시각은
3t@-12t=0, 3t{t-4}=0
∴ t=4 (∵ t>0)
점 R의 속도는 {3t@-12t}'=6t-12이므로 구하는 거리는
=
-3t@+12t
{
}0@+
{
3t@-12t
}2$
=12+12=24
055 답 2
a =/0% v{t}`dt=/0@ v{t}`dt+/2% v{t}`dt
b =/0%|v{t}|`dt=/0@9-v{t}0`dt+/2% v{t}`dt
=-
\2\1+
\3\2=2
1
2
1
2
1
2
1
2
=
\2\1+
\3\2=4
∴ b-a=4-2=2
056 답 28`m
지상에서 옥상까지의 높이는 10초일 때 엘리베이터의 위치와 같
으므로
/0!) v{t}`dt=
1
2
\{4+10}\4=28{m}
09 정적분의 활용 117
출발할 때의 속도는 v{0}=-4<0이므로 출발할 때의 운동 방향
/0$|6t-12|`dt =/0@{-6t+12}`dt+/2${6t-12}`dt
수학2 PM 해설 09(106~120)OK.indd 117
2018-04-26 오후 3:08:27
09 057 답 8초
곡선 y=x#-9x와 x축의 교점의 x좌표는
y
y=x#-9x
원점으로 돌아오는 시각을 t=a라고 하면 /0A v{t}`dt=0이다.
x#-9x=0에서
x{x+3}{x-3}=0
/0$ v{t}`dt=
\4\3=6, /4^ v{t}`dt=-
\2\2=-2,
∴ x=-3 또는 x=0 또는 x=3
-3
O
x3
1
2
1
2
/6* v{t}`dt=-2\2=-4
즉, /0$ v{t}`dt+/4^ v{t}`dt+/6* v{t}`dt=0이므로
/0* v{t}`dt=0
따라서 점 P는 출발하고 8초 후 원점으로 다시 돌아온다.
058 답
1
6
t=0에서 t=3까지 점 P가 움직인 거리는
/0#|v{t}|`dt =/0@ v{t}`dt+/2#9-v{t}0`dt
1
2
\1\{-a}=-
\2\1+
1
2
1
2
=
a+1
따라서 -
1
2
t=6에서 점 P의 위치는
a+1=
4
3
이므로 a=-
2
3
/0^ v{t}`dt =/0@ v{t}`dt+/2% v{t}`dt+/5^ v{t}`dt
1
2
\{3+1}\
\2\1-
\1\1=
1
2
2
3
1
2
=
+
1
6
059 답 ㄱ
ㄱ. v{t}=0일 때 정지하므로 t=1에서 처음 정지한다.
t=0에서 t=1까지 물체가 움직인 거리는
/0!|v{t}|`dt=
\1\2=1
1
2
ㄴ. v{t}=0이고 좌우에서 v{t}의 부호가 바뀔 때 운동 방향이 바
뀌므로 물체는 t=3에서 한 번 운동 방향을 바꾼다.
ㄷ. t=6일 때 물체의 위치는
/0^ v{t}`dt =/0! v{t}`dt+/1# v{t}`dt+/3^ v{t}`dt
1
2
\{3+1}\1=0
\2\1-
\1\2+
1
2
1
2
=
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ이다.
핵심 유형 최종 점검하기
1 답 24j6 k
유형 01 곡선과 x축 사이의 넓이
158~160쪽
곡선 y=x@-8x와 x축의 교점의 x좌표는
y
x@-8x=0에서
x{x-8}=0 ∴ x=0 또는 x=8
곡선 y=x@-8x와 x축으로 둘러싸인 도형의
넓이 S1은
S1 =/0*|x@-8x|`dx=/0*{-x@+8x}`dx
O
x8
y=x@-8x
=
-
{
1
3
x#+4x@
}0*=
256
3
118 정답과 해설
곡선 y=x#-9x와 x축으로 둘러싸인 도형
의 넓이 S2는
S2 =/-3# |x#-9x|`dx
=/-3) {x#-9x}`dx+/0#{-x#+9x}`dx
=
1
{
4
x$-
-
{
1
4
x$+
9
2
x@
}0#=
81
4
+
=
81
4
81
2
x@
9
2
256
3
}-3) +
81
2
\
∴ jS1S2 l=q
e=24j6 k
f{x} =? f '{x}`dx=?{x@-4}`dx
2 답 ②
유형 01 곡선과 x축 사이의 넓이
f '{x}=x@-4이므로
=
x#-4x+C
1
3
f{0}=0에서 C=0
∴ f{x}=
x#-4x`
1
3
y
y=
x#-4x
3!
-2j3
O
x
2j3
x#-4x=0에서
곡선 y=f{x}와 x축의 교점의 x좌표는
1
3
1
3
∴ x=-2j3 k 또는 x=0 또는 x=2j3 k
따라서 구하는 도형의 넓이는
x{x@-12}=0
2j3 k
-2j3 k|
1
3
/
x#-4x
`dx
|
1
3
x#-4x
2j3 k
[
1
3
-
x#+4x
`dx
]
=/ )-2j3 k
[
1
12
{
=
x$-2x@
})-2j3 k
]
`dx+/0
1
12
-
+
{
=12+12=24
x$+2x@
2j3 k
}0
3 답 ①
유형 02 그래프가 대칭인 함수의 정적분
/-1! x f{x}`dx =/-1! {ax@+bx}`dx
=2/0! ax@`dx=2
a
{
3
x#
}0!=
2
3
a
따라서
a=1이므로 a=
3
2
/-1! x@ f{x}`dx =/-1! {ax#+bx@}`dx
=2/0! bx@`dx=2
b
{
3
x#
}0!=
2
3
b
따라서
b=-2이므로 b=-3
∴ 4{a+b}=4
+{-3}
=-6`
=
3
-
2
2
3
2
3
수학2 PM 해설 09(106~120)OK.indd 118
2018-04-26 오후 3:08:28
㈐에서 모든 실수 x에 대하여 f{-x}=f{x}이면 함수 y=f{x}
4 답 ④
유형 02 그래프가 대칭인 함수의 정적분
의 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로
/-4$ f{x}`dx =2/0$ f{x}`dx (∵ ㈐)
=2
- /0@ f{x}`dx+/2$ f{x}`dx =
=2
- /0@ f{x}`dx+/0@ f{x}`dx = (∵ ㈏)
=4/0@ f{x}`dx=4
- /0! f{x}`dx+/1@ f{x}`dx =
=4
- /0! f{x}`dx+/-1) f{x}`dx = (∵ ㈏)
=4
- /0! f{x}`dx+/0! f{x}`dx = (∵ ㈐)
=8/0! f{x}`dx=8\3=24
5 답 ⑤
유형 03 곡선과 직선 사이의 넓이
직선 PQ의 기울기는
=-2이므로 직선의 방정식은
3-1
0-1
y=-2x+3
곡선 y=-x#-3x@-x+1과 접선
y
y=-x+1의 교점의 x좌표는
-x#-3x@-x+1=-x+1에서
x#+3x@=0, x@{x+3}=0
∴ x=-3 또는 x=0
따라서 구하는 도형의 넓이는
/-3) 9{-x+1}-{-x#-3x@-x+1}0`dx
=/-3) {x#+3x@}`dx=
1
{
4
x$+x#
}-3) =
27
4
8 답 3
유형 06 두 도형의 넓이가 같을 조건
곡선 y=-2x@+4x와 x축의 교점의 x좌표
는 -2x@+4x=0에서
-2x{x-2}=0
∴ x=0 또는 x=2
A=B이므로
/0A{-2x@+4x}`dx=0
-
{
2
3
x#+2x@
}0A=0
2
3
2
3
y=-x+1
-3
O
x
y=-x#-3x@-x+1
x=a
y
O
A
2
a
x
B
y=-2x@+4x
따라서 선분 PQ와 곡선 y=x@ 및 y축으로
y
y=x@
-
a#+2a@=0, -
a@{a-3}=0
y=-x@+2x+2의 교점의 x좌표는
2x@-x-4=-x@+2x+2에서
-1
y y=2x@-x-4
O
2
x
의 넓이가 같으므로
y=-x@+2x+2
/-1@ 9{-x@+2x+2}-{2x@-x-4}0`dx
둘러싸인 도형의 넓이는
/0!9{-2x+3}-x@0`dx
=/0!{-x@-2x+3}`dx
5
3
x#-x@+3x
}0!=
1
3
=
-
{
6 답
27
2
유형 04 두 곡선 사이의 넓이
두 곡선 y=2x@-x-4,
x@-x-2=0
{x+1}{x-2}=0
∴ x=-1 또는 x=2
따라서 구하는 도형의 넓이는
=/-1@ {-3x@+3x+6}`dx
27
2
}-1@ =
x@+6x
-x#+
3
2
=
{
7 답 ①
유형 05 곡선과 접선 사이의 넓이
방정식은
y=-x+1
3
Q
∴ a=3 (∵ a>2)
1
O
P
1
x
9 답 -6
유형 06 두 도형의 넓이가 같을 조건
A：B=1：2에서 B=2A
y
x=3
B
3
x
O
A
곡선 y=-x@+6x+k는 직선 x=3에
대하여 대칭이므로 오른쪽 그림에서
(빗금친 부분의 넓이)=
B
1
2
∴ A=(빗금친 부분의 넓이)
즉, 구간 [0, 3]에서 곡선
y=-x@+6x+k와 x축, y축 및 직선 x=3으로 둘러싸인 두 도형
y=-x@+6x+k
곡선 y=x@-4x와 x축의 교점의 x좌표
/0#{-x@+6x+k}`dx=0
1
3
-
x#+3x@+kx
}0#=0
{
18+3k=0 ∴ k=-6
10 답 ③
유형 07 두 도형의 넓이의 활용
는 x@-4x=0에서
x{x-4}=0
∴ x=0 또는 x=4
x9x-{a+4}0=0
∴ x=0 또는 x=a+4
y
O
y=x@-4x
a+4
4
x
y=ax
09 정적분의 활용 119
f{x}=-x#-3x@-x+1이라고 하면 f '{x}=-3x@-6x-1이
곡선 y=x@-4x와 직선 y=ax의 교점의
므로 점 {0, 1}에서의 접선의 기울기는 f '{0}=-1이고, 접선의
x좌표는 x@-4x=ax에서
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2018-04-26 오후 3:08:29
09 곡선 y=x@-4x와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 y=ax
가 이등분하므로
/0${-x@+4x}`dx=2/0A"$9ax-{x@-4x}0`dx yy ㉠
㉠의 좌변에서
/0${-x@+4x}`dx=
㉠의 우변에서
-
{
1
3
x#+2x@
}0$=
32
3
=2
-
x#+
{
1
3
a+4
2
x@
}0A"$=
{a+4}#
3
따라서
32
3
=
{a+4}#
3
이므로 {a+4}#=32
11 답 ④
유형 08 함수와 그 역함수의 정적분
2
1
{
2
=2
\2\2+/2$9x-{x-2}@0`dx
}
- 2+/2${-x@+5x-4}`dx =
5
2
x@-4x
x#+
1
3
-
{
}2$=4+2\
=4+2
10
3
=
32
3
14 답 4
유형 10 위치와 위치의 변화량
-12+/0A{3t@-13}`dt=0
-12+
{ t#-13t }0A=0
a#-13a-12=0, {a+3}{a+1}{a-4}=0
∴ a=4 (∵ a>0)
따라서 점 P가 원점을 지나는 시각은 t=4이다.
2/0A"$9ax-{x@-4x}0`dx =2/0A"$9-x@+{a+4}x0`dx
점 P가 원점을 지나는 시각을 t=a라고 하면 위치가 0이므로
함수 y=f{x}와 그 역함수 y=g{x}의
y=f{x}
y=x
그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이므
15 답 ④
유형 11 움직인 거리
B
y
9
2
1
O
y=g{x}
v{t}=0일 때 자동차가 정지하므로
A
21
9
x
10-2t=0 ∴ t=5`
따라서 자동차가 정지할 때까지 달린 거리는
/0%|10-2t|`dt =/0%{10-2t}`dt=
10t-t@
}0%=25{m}
{
16 답
8
3
유형 11 움직인 거리
로 오른쪽 그림에서
A=B
∴ /1@ f{x}`dx+/1( g{x}`dx
=(빗금친 도형의 넓이)+A
=(빗금친 도형의 넓이)+B
=2\9-1\1=17
12 답 ②
유형 08 함수와 그 역함수의 정적분
함수 y=f{x}와 그 역함수 y=g{x}의
그래프는 직선 y = x에 대하여 대칭이
고, f{3}=3, f{6}=6이므로 함수
y=f{x}의 그래프가 오른쪽 그림과 같
y
6
3
B
A
y=f{x}
y=x
t@-4t+3=0, {t-1}{t-3}=0
y=g{x}
∴ t=1 또는 t=3
즉, t=3일 때 두 번째로 운동 방향이 바뀐다.
따라서 구하는 거리는
v{t}=0일 때 점 P의 운동 방향이 바뀌므로
다고 하면
A=B
13 답
32
3
∴ /3^ g{x}`dx =A+(빗금친 도형의 넓이)
=6\6-3\3-B=27-B=27-A
=27-/3^ f{x}`dx=27-a
유형 09 함수와 그 역함수의 그래프 사이의 넓이
두 곡선 y=f{x}, y=g{x}는 직선
y=f{x}
y=x
y=x에 대하여 대칭이다.
곡선 y=f{x}와 직선 y=x의 교점은
두 곡선 y=f{x}, y=g{x}의 교점과
같으므로 {x-2}@=x에서
x@-5x+4=0, {x-1}{x-4}=0
∴ x=4 (∵ x>2)
O
3
6
x
/0#|v{t}|`dt =/0!{t@-4t+3}`dt+/1#{-t@+4t-3}`dt
}0!+
{
-
1
3
t#+2t@-3t
}1#
=
t#-2t@+3t
1
{
3
4
3
=
+
=
4
3
8
3
17 답 -
3
2
유형 12 그래프에서의 위치와 움직인 거리
y
4
2
y=g{x}
/0% v{t}`dt =/0! v{t}`dt+/1# v{t}`dt+/3% v{t}`dt
1
2
\2\1=-
\2\1-
\1\1-
1
2
3
2
1
2
=
18 답 2
유형 12 그래프에서의 위치와 움직인 거리
O
2
4
x
v{t}=0이고 좌우에서 v{t}의 부호가 바뀔 때 운동 방향이 바뀌
므로 점 P가 처음으로 운동 방향을 바꾼 시각은 t=1, 두 번째로
두 곡선 y=f{x}, y=g{x}와 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형의
넓이는 곡선 y=f{x}와 x축 및 직선 y=x로 둘러싸인 도형의 넓
이의 2배와 같으므로 구하는 도형의 넓이는
운동 방향을 바꾼 시각은 t=4이다.
따라서 구하는 거리는
/1$|v{t}|`dt =/1$9-v{t}0`dt=
\{3+1}\1=2
1
2
120 정답과 해설
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