확률과 통계
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01 순열과 조합
유형01 ⑤
유형02 240 유형03 8
유형04 ⑤
유형05 ④
유형06 ④
유형07 180
유형08 ④
유형09 ①
유형10 40
유형11 20
유형12 ①
유형13 171 유형14 66
유형15 56
001 1440 002 ②
005 3600 006 ⑤
003 ②
004 12
007 ②
008 ②
009 ⑤
010 ④
011
012 ③
013 30
014 120
1
3
015 48
016 ⑤
017 180 018 30
019 729
020 ②
021 243 022 50
023 512 024 ②
030 615 031 ③
032 ④
033 ⑤
034 ④
035 ②
036 30
040 288 041 ③
037 ④
042 ④
038 ①
043 ②
039 ③
044 36
045 150 046 30
047 60
048 ④
049 ①
050 ②
051 ①
052 1080 053 90
054 35
055 108 056 1260 057 236 058 548 059 26
060 34
061 74
062 28
063 ⑤
064 1001 065 ②
066 247 067 22
068 126
025 ③
026 ③
027 ③
028 249 029 ②
4\2=8
1 720
6 63
11 12
16 42
21 ②
2 12
7 4
12 ⑤
17 ①
3 ③
8 500
13 ⑤
18 ②
4 24
9 ③
14 ④
19 ①
5 ①
10 6
15 24
20 460
핵심 유형 8~10쪽
유형01 답 ⑤
선생님 5명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는
{5-1}?=4?=24
선생님들 사이사이의 5개의 자리에서 4개를 택하여 4명의 학생을
앉히는 경우의 수는
5P4=120
따라서 구하는 경우의 수는
24\120=2880
2 정답과 해설
유형02 답 240
6명을 원형으로 배열하는 경우의 수는
{6-1}?=5?=120
이때 원형으로 배열하는 어느 한 가지 방법에 대하여 주어진 정삼
각형 모양의 탁자에서는 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 2가
지씩 존재한다.
1
6
6
5
2
5
1
4
3
4
2
3
유형03 답 8
가운데 삼각형을 칠하는 경우의 수는 4이고, 나머지 3개의 삼각형
따라서 구하는 경우의 수는
120\2=240
을 칠하는 경우의 수는
{3-1}?=2?=2
따라서 구하는 경우의 수는
유형04 답 ⑤
구하는 경우의 수는 3개의 시설에서 중복을 허용하여 5개를 택하
는 중복순열의 수와 같으므로
3
5=3%=243
t
유형05 답 ④
5
3=5#=125
따라서 구하는 홀수의 개수는
t
3\125=375
유형06 답 ④
f{1}=1이므로 X의 원소 1에 대응하는 Y의 원소는 1로 고정시키
고, Y의 원소 1, 2, 3, 4, 5의 5개에서 중복을 허용하여 2개를 택
하여 X의 원소 2, 3에 대응시키면 된다.
따라서 구하는 함수의 개수는
5
2=5@=25
t
유형07 답 180
p, u를 양 끝에 고정시키고 그 사이에 나머지 문자 r, r, e, e, s,
s를 일렬로 배열하는 경우의 수는
6?
2?\2?\2?
=90
p, u끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 2?=2
따라서 구하는 경우의 수는
90\2=180
069 460 070 10
071 ①
072 146 073 220
1, 3, 5 ➡ 3가지
074 ⑤
075 105 076 ②
077 ④
078 144
나머지 자리에는 1, 2, 3, 4, 5의 5개의 숫자에서 중복을 허용하여
079 70
080 ③
081 75
082 160
3개를 택하여 일렬로 배열하면 되므로 그 경우의 수는
홀수이므로 일의 자리에 올 수 있는 숫자는
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유형08 답 ④
짝수이므로 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 2 또는 4이다.
!
나머지 숫자 1, 1, 2, 2, 3, 4를 일렬로 배열하는 경우의 수는
일의 자리에 2가 오는 경우
핵심 유형 완성하기 11~20쪽
001 답 1440
D, E, F, G, H의 5명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는
{5-1}?=4?=24
D, E, F, G, H 사이사이의 5개의 자리에서 3개를 택하여 A, B,
6?
2?\2?
=180
@ 일의 자리에 4가 오는 경우
6?
2?\3?
=60
!, @에서 구하는 짝수의 개수는
180+60=240
나머지 숫자 1, 1, 2, 2, 2, 3을 일렬로 배열하는 경우의 수는
5P3=60
C를 앉히는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는
24\60=1440
유형09 답 ①
b, d의 순서가 정해져 있으므로 b, d를 모두 B로 바꾸어 생각하
여 a, B, c, c, B를 일렬로 배열한 후 다시 첫 번째 B를 b로, 두
번째 B를 d로 바꾸면 된다.
따라서 구하는 경우의 수는
5?
2?\2?
=30
유형10 답 40
지점 A에서 지점 P까지 가는 최단 경로의 수는
=4
4?
3?\1?
지점 P에서 지점 B까지 가는 최단 경로의 수는
5?
2?\3?
=10
4\10=40
따라서 구하는 최단 경로의 수는
유형11 답 20
다음 그림과 같이 두 지점 P, Q를 잡으면 지점 A에서 지점 B까
지 가는 최단 경로는
A
Q
002 답 ②
초 8개 중에서 4개를 고르는 경우의 수는
8C4=70
고른 초 4개를 원형으로 배열하는 경우의 수는
{4-1}?=3?=6
따라서 구하는 경우의 수는
70\6=420
다른 풀이 초 8개 중에서 4개를 골라 일렬로 배열하는 경우의 수는
8P4이고, 이를 원형으로 배열하면 같은 것이 4가지씩 있으므로 구
하는 경우의 수는
8P4
4
=420
003 답 ②
부모 2명을 1명으로 생각하여 5명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는
{5-1}?=4?=24
부모끼리 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수는 2?=2
따라서 구하는 경우의 수는
24\2=48
004 답 12
2학년 학생 3명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는
{3-1}?=2?=2
2학년 학생 사이사이의 3개의 자리에 3학년 학생 3명을 앉히는 경
우의 수는
3P3=3?=6
2\6=12
따라서 구하는 경우의 수는
005 답 3600
쇠고기와 닭고기를 제외한 6가지 음식을 원형으로 배열하는 경우
P
B
B 또는 A`
Q`
B
!`
!`
B로 가는 최단 경로의 수는
A`
P`
!`
! A`
!`
P`
!`
6?
2?\4?
!`
\1=15
@ A`
1\
Q`
!`
!`
5?
1?\4?
=5
!, @에서 구하는 최단 경로의 수는
15+5=20
의 수는
{6-1}?=5?=120
닭고기를 배열하는 경우의 수는
6P2=30
따라서 구하는 경우의 수는
120\30=3600
B로 가는 최단 경로의 수는
6가지 음식 사이사이의 6개의 자리에서 2개를 택하여 쇠고기와
01 순열과 조합 3
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01 6
3
7
1
5
다른 풀이 8가지 음식을 원형으로 배열하는 경우의 수는
이때 원형으로 배열하는 어느 한 가지 방법에 대하여 주어진 부채
꼴 모양의 탁자에서는 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 7가지
쇠고기와 닭고기를 하나로 생각하여 7가지 음식을 원형으로 배열
씩 존재한다.
2
3
1
2
7
1
5
2
6
7
3
4
4
3
1
7
5
6
2
3
4
1
3
2
7
6
6
7
5
6
4
5
7
1
4
5
1
2
5
4
2
1
6
5
쇠고기와 닭고기끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는
즉, 쇠고기와 닭고기가 이웃하도록 담는 경우의 수는
따라서 쇠고기와 닭고기가 이웃하지 않도록 담는 경우의 수는
{8-1}?=7?=5040
하는 경우의 수는
{7-1}?=6?=720
2?=2
720\2=1440
5040-1440=3600
006 답 ⑤
므로
{7-1}?=6?=720
6P6=6?=720
연우의 자리가 결정되면 진우가 앉을 수 있는 자리는 고정된다.
즉, 구하는 경우의 수는 7명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수와 같으
다른 풀이 연우와 진우가 마주 보고 원탁에 앉은 다음 나머지 6개의
자리에 친구 6명을 앉히면 되므로 구하는 경우의 수는
3
4
따라서 구하는 경우의 수는
6?\7=5040
010 답 ④
6명을 원형으로 배열하는 경우의 수는
{6-1}?=5?=120
007 답 ②
회장, 총무, 서기를 1명으로 생각하여 5명이 원탁에 둘러앉는 경
이때 원형으로 배열하는 어느 한 가지 방법에 대하여 주어진 직사
각형 모양의 탁자에서는 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 3가
지씩 존재한다.
총무와 서기끼리 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수는
우의 수는
{5-1}?=4?=24
2?=2
24\2=48
따라서 구하는 경우의 수는
008 답 ②
10명을 원형으로 배열하는 경우의 수는
{10-1}?=9?
이때 원형으로 배열하는 어느 한 가지 방법에 대하여 주어진 정오
각형 모양의 탁자에서는 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 2가
지씩 존재한다.
9
8
8
7
10
1
2
7
9
6
10
5
1
6
5
4
3
4
2
3
따라서 구하는 경우의 수는
2\9?
009 답 ⑤
7명을 원형으로 배열하는 경우의 수는
{7-1}?=6?
4 정답과 해설
5
1
4
2
3
6
2
4
6
5
3
3
1
4
6
2
따라서 구하는 경우의 수는
120\3=360
011 답
1
3
{9-1}?=8?
지씩 존재한다.
9명을 원형으로 배열하는 경우의 수는
이때 원형으로 배열하는 어느 한 가지 방법에 대하여 주어진 정삼
각형 모양의 탁자에서는 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 3가
1
2
3
9
8
7
9
1
2
8
7
6
8
9
1
7
6
5
4
5
6
3
4
5
2
3
4
따라서 주어진 정삼각형 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는
8?\3=8?\9\
=9?\
/ k=
1
3
1
3
1
3
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012 답 ③
10명 중에서 8명을 뽑는 경우의 수는
10C8=10C2=45
{8-1}?=7?
8명을 원형으로 배열하는 경우의 수는
이때 원형으로 배열하는 어느 한 가지 방법에 대하여 주어진 직사
각형 모양의 탁자에서는 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 4가
지씩 존재한다.
8
7
6
5
1
2
3
7
6
5
8
1
2
6
5
4
7
8
1
5
4
3
6
7
8
4
3
2
4
3
2
1
따라서 구하는 경우의 수는
45\7?\4=180\7?
013 답 30
가운데 정사각형을 칠하는 경우의 수는 5이고, 나머지 4개의 반원
을 칠하는 경우의 수는
{4-1}?=3?=6
따라서 구하는 경우의 수는
5\6=30
014 답 120
6개의 영역에 6가지 색을 칠하는 경우의 수는
{6-1}?=5?=120
015 답 48
빨간색과 주황색을 하나로 생각하여 5가지 색을 칠하는 경우의 수는
빨간색과 주황색끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 2?=2
{5-1}?=4?=24
따라서 구하는 경우의 수는
24\2=48
016 답 ⑤
주황, 초록, 파랑의 3가지 색을 칠하는 경우의 수는
{3-1}?=2?=2
주황색, 초록색, 파란색 사이사이의 3개의 자리에서 2개를 택하여
빨간색과 노란색을 칠하는 경우의 수는
3P2=6
2\6=12
따라서 구하는 경우의 수는
017 답 180
6P2=30
두 밑면에 칠한 2가지 색을 제외한 4가지 색을 옆면에 칠하는 경
우의 수는
{4-1}?=3?=6
따라서 구하는 경우의 수는
30\6=180
018 답 30
{4-1}?=3?=6
따라서 구하는 경우의 수는
5\6=30
정육면체의 한 밑면에 한 가지 색을 칠하면 다른 밑면을 칠하는 경
우의 수는 5이고, 나머지 4가지 색을 옆면에 칠하는 경우의 수는
019 답 729
구하는 경우의 수는 3명의 후보에서 중복을 허용하여 6명을 택하
는 중복순열의 수와 같으므로
3
6=3^=729
t
020 답 ②
구하는 경우의 수는 2개의 모스 부호에서 중복을 허용하여 8개를
택하는 중복순열의 수와 같으므로
2
8=2*=256
t
021 답 243
구하는 경우의 수는 3개의 깃발에서 중복을 허용하여 5개를 택하
는 중복순열의 수와 같으므로
3
5=3%=243
t
022 답 50
A가 미국 또는 영국을 여행하는 경우의 수는 2이고, B, C가 여행
하는 경우의 수는 5개의 나라에서 중복을 허용하여 2개를 택하는
중복순열의 수와 같으므로
5
2=5@=25
따라서 구하는 경우의 수는
t
2\25=50
023 답 512
a, b ➡ 2가지
마지막 자리에 올 수 있는 것은
4
4=4$=256
따라서 구하는 암호의 개수는
t
2\256=512
나머지 자리를 정하는 경우의 수는 1, 3, a, b의 4개에서 중복을
허용하여 4개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로
024 답 ②
주어진 경우의 수는 n개의 방에서 중복을 허용하여 3개를 택하는
n
3=216, n#=6# / n=6 (? n은 자연수)
t
01 순열과 조합 5
정사각뿔대의 두 밑면을 칠하는 경우의 수는
중복순열의 수와 같으므로
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01 025 답 ③
구하는 신호의 개수는 3개의 기호에서 중복을 허용하여 2개 이상
나머지 자리에는 0, 1, 2, 3, 4의 5개의 숫자에서 중복을 허용
하여 2개를 택하여 일렬로 배열하면 되므로 그 경우의 수는
# 3개의 기호에서 4개를 택하는 중복순열의 수는
t
1, 2, 4 ➡ 3가지
4개 이하를 택하는 중복순열의 수와 같다.
! 3개의 기호에서 2개를 택하는 중복순열의 수는
@ 3개의 기호에서 3개를 택하는 중복순열의 수는
t
3
3
3
2=3@=9
3=3#=27
4=3$=81
t
!, @, #에서 구하는 신호의 개수는
9+27+81=117
026 답 ③
2의 배수이므로 일의 자리에 올 수 있는 숫자는
4, 6 ➡ 2가지
나머지 자리에는 3, 4, 5, 6, 7의 5개의 숫자에서 중복을 허용하여
3개를 택하여 일렬로 배열하면 되므로 그 경우의 수는
5
3=5#=125
따라서 구하는 2의 배수의 개수는
t
2\125=250
027 답 ③
백의 자리에 올 수 있는 숫자는
1, 2, 3 ➡ 3가지
4
2=4@=16
따라서 구하는 자연수의 개수는
t
3\16=48
나머지 자리에는 0, 1, 2, 3의 4개의 숫자에서 중복을 허용하여 2
개를 택하여 일렬로 배열하면 되므로 그 경우의 수는
5
2=5@=25
따라서 세 자리의 자연수의 개수는
t
4\25=100
@ 3을 제외하고 0, 1, 2, 4에서 택하여 자연수를 만드는 경우
백의 자리에 올 수 있는 숫자는
나머지 자리에는 0, 1, 2, 4의 4개의 숫자에서 중복을 허용하
여 2개를 택하여 일렬로 배열하면 되므로 그 경우의 수는
4
2=4@=16
따라서 숫자 3을 포함하지 않는 세 자리의 자연수의 개수는
t
3\16=48
!, @에서 숫자 3을 적어도 한 개 포함하는 자연수의 개수는
100-48=52
030 답 615
4000 이상의 네 자리의 자연수는 천의 자리의 숫자가 4 또는 5 또
는 6인 수이므로 그 개수는
3\6
3=3\6#=648
t
숫자 1끼리 이웃하는 4000 이상의 네 자리의 자연수는
! 백의 자리와 십의 자리에만 1이 오는 경우
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 4, 5, 6의 3가지이고, 일의 자
리에 올 수 있는 숫자는 1을 제외한 5가지이므로 자연수의 개
@ 십의 자리와 일의 자리에만 1이 오는 경우
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 4, 5, 6의 3가지이고, 백의 자
리에 올 수 있는 숫자는 1을 제외한 5가지이므로 자연수의 개
수는
3\5=15
수는
3\5=15
028 답 249
3000보다 큰 네 자리의 자연수는 천의 자리의 숫자가 3 또는 4인
수에서 3000을 제외한 수이다.
! 천의 자리에 3이 오는 경우
# 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에 1이 오는 경우
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 4, 5, 6의 3가지이므로 자연수
의 개수는 3
나머지 자리에는 0, 1, 2, 3, 4의 5개의 숫자에서 중복을 허용
하여 3개를 택하여 일렬로 배열하면 되므로 그 경우의 수는
!, @, #에서 숫자 1끼리 이웃하는 4000 이상의 네 자리의 자
연수의 개수는 15+15+3=33
5
3=5#=125
@ 천의 자리에 4가 오는 경우
t
나머지 자리에는 0, 1, 2, 3, 4의 5개의 숫자에서 중복을 허용
하여 3개를 택하여 일렬로 배열하면 되므로 그 경우의 수는
5
3=5#=125
t
!, @에서 3000보다 큰 자연수의 개수는
125+125-1=249
029 답 ②
! 0, 1, 2, 3, 4에서 택하여 자연수를 만드는 경우
백의 자리에 올 수 있는 숫자는
1, 2, 3, 4 ➡ 4가지
6 정답과 해설
따라서 구하는 자연수의 개수는
648-33=615
031 답 ③
! 한 자리의 자연수의 개수는 5
@ 두 자리의 자연수의 개수는
1=5\6=30
5\6
# 세 자리의 자연수의 개수는
2=5\6@=180
5\6
t
2\6
3=2\6#=432
t
$ 네 자리의 자연수 중에서 3000 미만, 즉 천의 자리의 숫자가 1
또는 2인 자연수의 개수는
t
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4, 5, 6의 5가지이다.
2, 4, 6, 8번째에 각각 자음 P, C, F, L이 적힌 카드를 배열하는
!~$에서 3000보다 작은 자연수의 개수는
5+30+180+432=647
따라서 3000은 648번째 수이다.
032 답 ④
f{-1}=4, f{3}=6이므로 X의 원소 -1과 3에 대응하는 Y의
원소는 각각 4와 6으로 고정시키고, Y의 원소 2, 4, 6의 3개에서
중복을 허용하여 2개를 택하여 X의 원소 -3, 1에 대응시키면 된다.
따라서 구하는 함수의 개수는
3
2=3@=9
t
033 답 ⑤
Y의 원소 a, b, c의 3개에서 중복을 허용하여 4개를 택하여 X의
원소 10, 20, 30, 40에 대응시키면 되므로 구하는 함수의 개수는
3
4=3$=81
t
034 답 ④
f{1}= 1이므로 X의 원소 1에 대응할 수 있는 Y의 원소는 2, 3,
Y의 원소 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개에서 중복을 허용하여 2개를 택하
여 X의 원소 2, 3에 대응시키면 되므로 구하는 함수의 개수는
5\6
2=5\6@=180
t
035 답 ②
f{1}=3이므로 X의 원소 1에 대응하는 Y의 원소는 3으로 고정
되고, f{3}= 1이므로 X의 원소 3에 대응할 수 있는 Y의 원소는
2, 3의 2가지이다.
2\3
2=2\3@=18
Y의 원소 1, 2, 3의 3개에서 중복을 허용하여 2개를 택하여 X의
원소 2, 4에 대응시키면 되므로 구하는 함수의 개수는
t
036 답 30
X에서 Y로의 함수의 개수는 Y의 원소 1, 2의 2개에서 중복을 허
용하여 5개를 택하여 X의 원소 a, b, c, d, e에 대응시키는 경우
의 수와 같으므로
2
5=2%=32
32-{1+1}=30
일렬로 배열하는 경우의 수는
5?
2?
=60
따라서 구하는 경우의 수는
60\2=120
이때 치역이 910인 함수의 개수는 1, 치역이 920인 함수의 개수는
t
1이므로 공역과 치역이 일치하는 함수의 개수는
따라서 구하는 경우의 수는
60-16=44
037 답 ④
p, n을 양 끝에 고정시키고 그 사이에 나머지 문자 a, s, s, i, o를
6?
2?\3?
=60
p, n끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 2?=2
7P2=42
038 답 ①
g, r, r, a, a, m, m을 일렬로 배열하는 경우의 수는
7?
2?\2?\2?
=630
039 답 ③
모음 a, i, i를 한 문자 A로 생각하여 A, s, s, s, t, t, t, c를 일
렬로 배열하는 경우의 수는
8?
3?\3?
=1120
따라서 구하는 경우의 수는
1120\3=3360
모음 a, i, i끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는
=3
3?
2?
040 답 288
1, 3, 5, 7번째에 각각 모음 E, E, A, U가 적힌 카드를 배열하는
경우의 수는
4?
2?
=12
경우의 수는
4?=24
따라서 구하는 경우의 수는
12\24=288
041 답 ③
a, a, b, b, b, c를 일렬로 배열하는 경우의 수는
=60
6?
2?\3?
! 양 끝에 a가 오는 경우
나머지 문자 b, b, b, c를 일렬로 배열하는 경우의 수는
4?
3?
=4
@ 양 끝에 b가 오는 경우
나머지 문자 a, a, b, c를 일렬로 배열하는 경우의 수는
4?
2?
=12
!, @에서 양 끝에 서로 같은 문자가 오도록 배열하는 경우의 수는
4+12=16
042 답 ④
b와 d를 제외한 a, a, c, c, c, e를 일렬로 배열하는 경우의 수는
a, a, c, c, c, e의 사이사이와 양 끝의 7개의 자리에서 2개를 택
하여 b와 d를 배열하는 경우의 수는
따라서 구하는 경우의 수는
60\42=2520
01 순열과 조합 7
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01 다른 풀이 a, a, b, c, c, c, d, e를 일렬로 배열하는 경우의 수는
@ 맨 앞자리에 2가 오는 경우
b와 d를 한 문자 B로 생각하여 a, a, B, c, c, c, e를 일렬로 배열
2개의 o를 한 문자 O로 생각하여 f, O, l, l, w를 일렬로 배열
180-30=150
2개의 l을 한 문자 L로 생각하여 f, o, o, L, w를 일렬로 배열
# o끼리, l끼리 모두 이웃하는 경우
2개의 o, 2개의 l을 각각 한 문자 O, L로 생각하여 4개의 문자
f, O, L, w를 일렬로 배열하는 경우의 수는
5?
3?\2?
=10
3\10=30
따라서 구하는 자연수의 개수는
b, d끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는
즉, b와 d가 이웃하도록 배열하는 경우의 수는
따라서 b와 d가 이웃하지 않도록 배열하는 경우의 수는
8?
2?\3?
=3360
하는 경우의 수는
7?
2?\3?
=420
2?=2
420\2=840
3360-840=2520
043 답 ②
! o끼리 이웃하는 경우
하는 경우의 수는
5?
2?
=60
@ l끼리 이웃하는 경우
하는 경우의 수는
5?
2?
=60
4?=24
!, @, #에서 구하는 경우의 수는
60+60-24=96
044 답 36
! 일의 자리에 1이 오는 경우
4?=24
@ 일의 자리에 3이 오는 경우
나머지 숫자 1, 2, 3, 4를 일렬로 배열하는 경우의 수는
나머지 숫자 1, 1, 2, 4를 일렬로 배열하는 경우의 수는
4?
2?
=12
!, @에서 구하는 홀수의 개수는
24+12=36
나머지 숫자 0, 1, 1, 3, 3을 일렬로 배열하는 경우의 수는
5?
2?\2?
=30
# 맨 앞자리에 3이 오는 경우
나머지 숫자 0, 1, 1, 2, 3을 일렬로 배열하는 경우의 수는
5?
2?
=60
!, @, #에서 구하는 자연수의 개수는
60+30+60=150
다른 풀이 0, 1, 1, 2, 3, 3을 일렬로 배열하는 경우의 수는
=180
6?
2?\2?
맨 앞자리에 0이 오는 경우의 수는 나머지 숫자 1, 1, 2, 3, 3을 일
렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로
5?
2?\2?
=30
따라서 구하는 자연수의 개수는
046 답 30
일의 자리, 십의 자리, 백의 자리에 홀수 1, 1, 3을 배열하는 경우
의 수는
3?
2?
나머지 숫자 2, 2, 2, 4, 4를 일렬로 배열하는 경우의 수는
=3
047 답 60
2, 4, 4, 8, 8, 8에서 5개를 택하는 경우는
2, 4, 4, 8, 8 또는 2, 4, 8, 8, 8 또는 4, 4, 8, 8, 8
! 2, 4, 4, 8, 8을 일렬로 배열하는 경우의 수는
@ 2, 4, 8, 8, 8을 일렬로 배열하는 경우의 수는
# 4, 4, 8, 8, 8을 일렬로 배열하는 경우의 수는
5?
2?\2?
=30
5?
3?
=20
5?
2?\3?
=10
!, @, #에서 구하는 자연수의 개수는
30+20+10=60
048 답 ④
3의 배수이려면 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이어야 한다.
1, 1, 2, 2, 3, 3, 3에서 택한 4개의 숫자의 합이
6인 경우 ➡ 1, 1, 2, 2
9인 경우 ➡ 1, 2, 3, 3
! 1, 1, 2, 2를 일렬로 배열하는 경우의 수는
045 답 150
! 맨 앞자리에 1이 오는 경우
나머지 숫자 0, 1, 2, 3, 3을 일렬로 배열하는 경우의 수는
5?
2?
=60
4?
2?\2?
=6
8 정답과 해설
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@ 1, 2, 3, 3을 일렬로 배열하는 경우의 수는
4?
2?
=12
!, @에서 구하는 3의 배수의 개수는
6+12=18
054 답 35
지점 A에서 지점 B까지 가는 최단 경로의 수는
7?
3?\4?
=35
049 답 ①
t, c의 순서가 정해져 있으므로 t, c를 모두 T로 바꾸어 생각하여
T, T, e, e, a, h, r를 일렬로 배열한 후 다시 첫 번째 T를 t로,
두 번째 T를 c로 바꾸면 된다.
따라서 구하는 경우의 수는
7?
2?\2?
=1260
055 답 108
지점 A에서 지점 P까지 가는 최단 경로의 수는
=6
4?
2?\2?
지점 P에서 지점 Q까지 가는 최단 경로의 수는
=6
4?
2?\2?
지점 Q에서 지점 B까지 가는 최단 경로의 수는
050 답 ②
a, t, i, o, n의 순서가 정해져 있으므로 a, t, i, o, n을 모두 A로
3?
2?\1?
=3
바꾸어 생각하여 e, d, u, c, A, A, A, A, A를 일렬로 배열한
6\6\3=108
후 다시 첫 번째, 두 번째, 세 번째, 네 번째, 다섯 번째 A를 각각
따라서 구하는 최단 경로의 수는
a, t, i, o, n으로 바꾸면 된다.
따라서 구하는 경우의 수는
9?
5?
=3024
051 답 ①
홀수 1, 3, 5의 순서가 정해져 있으므로 1, 3, 5를 모두 A로 바꾸
어 생각하여 A, A, A, 2, 2, 4를 일렬로 배열한 후 다시 첫 번째,
두 번째, 세 번째 A를 각각 1, 3, 5로 바꾸면 된다.
따라서 구하는 경우의 수는
6?
3?\2?
=60
052 답 1080
모음 a, a, i를 한 문자로 생각하고, 자음 p, r, c, c, t, l을 다른
한 문자로 생각하여 모음이 자음보다 앞에 오도록 배열하는 경우
의 수는 1
=3
모음 a, a, i끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는
3?
2?
자음 p, r, c, c, t, l끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는
6?
2?
=360
따라서 구하는 경우의 수는
1\3\360=1080
053 답 90
지점 A에서 지점 P까지 가는 최단 경로의 수는
=15
6?
4?\2?
지점 P에서 지점 B까지 가는 최단 경로의 수는
4?
2?\2?
=6
15\6=90
따라서 구하는 최단 경로의 수는
056 답 1260
꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 최단 경로로 가려면 가로, 세로, 높
이의 방향으로 각각 정육면체의 모서리를 3번, 2번, 4번 지나야
하므로 구하는 최단 경로의 수는
9?
3?\2?\4?
=1260
057 답 236
! A
!
4?
3?\1?
P
\
!
Q
@ A
!
8?
5?\3?
!
\
7?
4?\3?
3?
2?\1?
B로 가는 최단 경로의 수는
=4\35=140
B로 가는 최단 경로의 수는
=56\3=168
P
# A
!
4?
3?\1?
!
\
Q
!
4?
2?\2?
\
3?
2?\1?
B로 가는 최단 경로의 수는
=4\6\3=72
!, @, #에서 구하는 최단 경로의 수는
140+168-72=236
058 답 548
꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 최단 경로로 가려면 가로, 세로, 높
이의 방향으로 각각 정육면체의 모서리를 3번, 2번, 3번 지나야
하므로 A에서 B까지 가는 최단 경로의 수는
8?
3?\2?\3?
꼭짓점 A에서 모서리 PQ를 지나 꼭짓점 B까지 가는 최단 경로
=560
의 수는
4?
3?\1?
\1\
3?
1?\2?
=4\1\3=12
따라서 구하는 최단 경로의 수는
560-12=548
01 순열과 조합 9
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01 059 답 26
다음 그림과 같이 세 지점 P, Q, R를 잡으면 지점 A에서 지점 B
061 답 74
다음 그림과 같이 세 지점 P, Q, R를 잡으면 지점 A에서 지점 B
까지 가는 최단 경로는
P
B
R
Q
B 또는 A
Q
B 또는 A
R
!
!
!
B로 가는 최단 경로의 수는
B
!
A
!
P
A
P
!
! A
!
5?
1?\4?
!
\1=5
Q
@ A
!
5?
4?\1?
!
\
R
# A
!
1\1=1
!
B로 가는 최단 경로의 수는
4?
1?\3?
=5\4=20
B로 가는 최단 경로의 수는
!, @, #에서 구하는 최단 경로의 수는
5+20+1=26
060 답 34
오른쪽 그림과 같이 네 지점 Q, R, S,
T를 잡으면 지점 A에서 지점 B까지 가
A
Q
B 또는 A
R
B
!
!
B 또는 A
T
!
!
B로 가는 최단 경로의 수는
!
B
A
Q
S
R
T
B
는 최단 경로는
S
!
!
또는 A
! A
!
1\1=1
!
Q
!
R
@ A
!
4?
1?\3?
!
\
S
# A
!
4?
3?\1?
!
\
T
$ A
!
1\1=1
!
B로 가는 최단 경로의 수는
4?
3?\1?
=4\4=16
B로 가는 최단 경로의 수는
4?
1?\3?
=4\4=16
B로 가는 최단 경로의 수는
!~$에서 구하는 최단 경로의 수는
1+16+16+1=34
다른 풀이 지점 P를 생각하지 않고 지점
A
A에서 지점 B까지 가는 최단 경로의 수는
=70
8?
4?\4?
지점 A에서 지점 P를 거쳐 지점 B까지
가는 최단 경로의 수는
4?
2?\2?
\
4?
2?\2?
=6\6=36
따라서 구하는 최단 경로의 수는
70-36=34
10 정답과 해설
까지 가는 최단 경로는
B
P
A
Q
R
B 또는 A
Q
B 또는 A
R
!
!
!
B로 가는 최단 경로의 수는
B
!
!
P
A
P
!
! A
!
5?
3?\2?
!
\
Q
@ A
!
5?
4?\1?
!
\
# A
!
1\
!
R
4?
1?\3?
=4
4?
3?\1?
=10\4=40
B로 가는 최단 경로의 수는
4?
2?\2?
=5\6=30
B로 가는 최단 경로의 수는
!, @, #에서 구하는 최단 경로의 수는
40+30+4=74
062 답 28
오른쪽 그림과 같이 세 지점 P, Q, R를
잡으면 지점 A에서 지점 B까지 가는 최
P
단 경로는
A
P
!
!
P
2?
1?\1?
!
또는 A
! A
!
[
@ A
!
3?
2?\1?
Q
A
B 또는 A
Q
B
!
!
R
B
!
!
B로 가는 최단 경로의 수는
3?
2?\1? ]
=2\3=6
1\
\
]
[
\1
B로 가는 최단 경로의 수는
!
\
4?
2?\2?
=3\6=18
B로 가는 최단 경로의 수는
# A
!
1\
!
R
4?
1?\3?
=4
!, @, #에서 구하는 최단 경로의 수는
6+18+4=28
B
Q
R
핵심 유형 21쪽
P
유형12 답 ①
구하는 경우의 수는 3명의 학생에서 중복을 허용하여 9명을 택하
B
는 중복조합의 수와 같으므로
3H9=11C9=11C2=55
유형13 답 171
먼저 3종류의 송편을 각각 1개씩 넣고, 나머지 17개의 송편을 넣
으면 된다.
확통PM 해설 01~04(001~047)OK.indd 10
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따라서 구하는 경우의 수는 3종류의 송편에서 중복을 허용하여
b의 값은 2명의 후보에서 중복을 허용하여 8명을 택하는 중복순
17개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
3H17=19C17=19C2=171
유형14 답 66
a의 값은 3개의 문자 x, y, z에서 중복을 허용하여 8개를 택하는
중복조합의 수와 같으므로
a=3H8=10C8=10C2=45
한편 x, y, z가 모두 자연수일 때, X=x-1, Y=y-1, Z=z-1
이라고 하면 X, Y, Z는 음이 아닌 정수이다.
x=X+1, y=Y+1, z=Z+1을 방정식 x+y+z=8에 대입하
즉, b의 값은 방정식 X+Y+Z=5를 만족하는 음이 아닌 정수
X, Y, Z의 순서쌍 {X, Y, Z}의 개수와 같으므로 3개의 문자
X, Y, Z에서 중복을 허용하여 5개를 택하는 중복조합의 수는
여 정리하면
X+Y+Z=5
b=3H5=7C5=7C2=21
/ a+b=45+21=66
유형15 답 56
Y의 원소 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개에서 중복을 허용하여 3개를 택하
된다.
여 작은 수부터 순서대로 X의 원소 -1, 0, 1에 대응시키면 되므
로 구하는 함수의 개수는
6H3=8C3=56
핵심 유형 완성하기 22~24쪽
063 답 ⑤
구하는 경우의 수는 4종류의 공에서 중복을 허용하여 8개를 택하
는 중복조합의 수와 같으므로
4H8=11C8=11C3=165
064 답 1001
구하는 자연수의 개수는 5개의 숫자에서 중복을 허용하여 10개를
택하는 중복조합의 수와 같으므로
5H10=14C10=14C4=1001
065 답 ②
구하는 항의 개수는 3개의 문자 a, b, c에서 중복을 허용하여 7개
를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
3H7=9C7=9C2=36
066 답 247
a의 값은 2명의 후보에서 중복을 허용하여 8명을 택하는 중복조
합의 수와 같으므로
a=2H8=9C8=9C1=9
열의 수와 같으므로
b=2
8=2*=256
/ b-a=256-9=247
t
067 답 22
3종류의 구슬에서 중복을 허용하여 6개를 택하는 중복조합의 수는
3H6=8C6=8C2=28
그런데 노란 구슬은 3개 이하로만 택할 수 있다. 이때 노란 구슬을
4개 이상 택하는 경우의 수는 먼저 노란 구슬을 4개 택한 후 3종
류의 구슬에서 중복을 허용하여 2개를 택하는 중복조합의 수와 같
으므로
3H2=4C2=6
28-6=22
따라서 구하는 경우의 수는
068 답 126
먼저 5종류의 과일을 각각 1개씩 사고, 나머지 5개의 과일을 사면
따라서 구하는 경우의 수는 5종류의 과일에서 중복을 허용하여 5
개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
5H5=9C5=9C4=126
069 답 460
엽서 8장을 5명에게 나누어 주는 경우의 수는 5명에서 중복을 허
용하여 8명을 택하는 중복조합의 수와 같으므로
5H8=12C8=12C4=495
5명 모두 적어도 한 장의 엽서를 받도록 하려면 먼저 5명에게 엽
서를 한 장씩 나누어 주고, 나머지 3장을 나누어 주면 된다.
나머지 3장을 나누어 주는 경우의 수는 5명에서 중복을 허용하여
3명을 택하는 중복조합의 수와 같으므로
5H3=7C3=35
495-35=460
따라서 엽서를 한 장도 받지 못하는 사람이 생기는 경우의 수는
070 답 10
3종류의 만두에서 중복을 허용하여 n개를 사는 경우의 수가 28이
므로 3Hn=28에서
n'2Cn=28, n'2C2=28
{n+2}{n+1}
2\1
/ n=6 (? n은 자연수)
=28, {n+2}{n+1}=8\7
만두를 종류별로 적어도 한 개씩 포함하여 6개를 사려면 먼저 만
두를 종류별로 각각 1개씩 사고, 나머지 3개의 만두를 사면 된다.
따라서 구하는 경우의 수는 3종류의 만두에서 중복을 허용하여 3개
를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
3H3=5C3=5C2=10
01 순열과 조합 11
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01 071 답 ①
먼저 펜을 두 주머니 A, B에 각각 3개씩, 주머니 C에는 1개 넣고,
075 답 105
A=a-1, B=b-2, C=c-3이라고 하면 A, B, C는 음이 아닌
나머지 8개의 펜을 나누어 넣으면 된다.
정수이다.
따라서 구하는 경우의 수는 3개의 주머니에서 중복을 허용하여 8
a=A+1, b=B+2, c=C+3을 방정식 a+b+c=19에 대입하
개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
3H8=10C8=10C2=45
여 정리하면
A+B+C=13
072 답 146
a의 값은 3개의 문자 x, y, z에서 중복을 허용하여 12개를 택하는
따라서 구하는 순서쌍의 개수는 방정식 A+B+C=13을 만족하
는 음이 아닌 정수 A, B, C의 순서쌍 {A, B, C}의 개수와 같으
므로 3개의 문자 A, B, C에서 중복을 허용하여 13개를 택하는
중복조합의 수와 같으므로
a=3H12=14C12=14C2=91
한편 x, y, z가 모두 자연수일 때, X=x-1, Y=y-1, Z=z-1
이라고 하면 X, Y, Z는 음이 아닌 정수이다.
x=X+1, y=Y+1, z=Z+1을 방정식 x+y+z=12에 대입하
중복조합의 수는
3H13=15C13=15C2=105
076 답 ②
방정식 x+y+z=n을 만족하는 음이 아닌 정수 x, y, z의 순서쌍
{x, y, z}의 개수는 3개의 문자 x, y, z에서 중복을 허용하여 n개
를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 3Hn=36에서
여 정리하면
X+Y+Z=9
b=3H9=11C9=11C2=55
/ a+b=91+55=146
즉, b의 값은 방정식 X+Y+Z=9를 만족하는 음이 아닌 정수
X, Y, Z의 순서쌍 {X, Y, Z}의 개수와 같으므로 3개의 문자
X, Y, Z에서 중복을 허용하여 9개를 택하는 중복조합의 수는
n'2Cn=36, n'2C2=36
{n+2}{n+1}
2\1
/ n=7 (? n은 자연수)
=36, {n+2}{n+1}=9\8
073 답 220
구하는 순서쌍의 개수는 4개의 문자 a, b, c, d에서 중복을 허용
하여 9개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
4H9=12C9=12C3=220
074 답 ⑤
x, y, z가 음이 아닌 정수이므로 x+y+z<4에서
x+y+z=0 또는 x+y+z=1 또는 x+y+z=2
또는 x+y+z=3
! 방정식 x+y+z=0을 만족하는 음이 아닌 정수 x, y, z의 순
서쌍 {x, y, z}의 개수는 3개의 문자 x, y, z에서 중복을 허용
하여 0개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
3H0=2C0=1
077 답 ④
X=x-1, Y=y-1, Z=z-1, W=w-1이라고 하면 X, Y, Z,
W는 음이 아닌 정수이다.
x=X+1, y=Y+1, z=Z+1, w=W+1을 부등식
60}
유형03 답 120
{2x-1}{x-3}$=2x{x-3}$-{x-3}$
{x-3}$의 전개식의 일반항은
4Cr x$_R{-3}R=4Cr{-3}Rx$_R yy ㉠
경우, -1과 ㉠의 x#항이 곱해진 경우가 있다.
! 2x와 ㉠의 x@항이 곱해진 경우
x$_R=x@에서 r=2
㉠의 x@항은
4C2\{-3}@\x@=6\9\x@=54x@
2x와 ㉠의 x@항을 곱하면
2x\54x@=108x#
@ -1과 ㉠의 x#항이 곱해진 경우
x$_R=x#에서 r=1
㉠의 x#항은
4C1\{-3}!\x#=4\{-3}\x#=-12x#
-1과 ㉠의 x#항을 곱하면
-1\{-12x#}=12x#
!, @에서 구하는 x#의 계수는
108+12=120
유형04 답 -12
{x+2}#의 전개식의 일반항은
3Cr x#_R2R=3Cr 2Rx#_R
{x-2}$의 전개식의 일반항은
4Cs x$_S{-2}S=4Cs{-2}Sx$_S
따라서 {x+2}#{x-2}$의 전개식의 일반항은
3Cr 2Rx#_R\4Cs{-2}Sx$_S=3Cr\4Cs 2R{-2}Sx&_R_S
x&_R_S=x%에서 r+s=2
이때 r, s는 00}
005 답 40
{x@-2x}N의 전개식의 일반항은
nCr{x@}N_R{-2x}R=nCr{-2}Rx@N_R
서로 다른 항의 개수가 6이므로
r는 00}
5
2
010 답 42
1
x# ]N의 전개식의 일반항은
x$+
[
nCr{x$}N_R
1
x# ]R=nCr\
x$N_$R
x#R
[
007 답 2
a
x ]%의 전개식의 일반항은
x@-
[
5Cr{x@}%_R
-
[
a
x ]R=5Cr{-a}R\
x!)_@R
xR
x!)_@R
xR
=x$에서 r=2
x$의 계수가 40이므로
5C2\{-a}@=40
10a@=40, a@=4
/ a=2 {? a>0}
008 답 25
1
x# ]$의 전개식의 일반항은
x@+
[
4Cr{x@}$_R
1
x# ]R=4Cr\
x*_@R
x#R
[
x*_@R
x#R
=x#에서 r=1
x#의 계수는
a=4C1=4
x$-
[
3
x ]&의 전개식의 일반항은
7Cs{x$}&_S
-
[
3
x ]S=7Cs{-3}S\
x@*_$S
xS
x@*_$S
xS
=x#에서 s=5
x#의 계수는
b=7C5\{-3}%=7C2\{-3}%=-21\3%
/ a-
=4+21=25
b
3%
18 정답과 해설
x$N_$R
x#R
=1에서 4n-4r=3r / n=
r
7
4
이때 n은 자연수이므로 r는 4의 배수이어야 한다.
즉, r=4일 때 n이 최소이므로 최솟값은
m=
\4=7
7
4
이때의 상수항은
k=7C4=7C3=35
/ m+k=7+35=42
011 답 160
{1+x}{1+2x}%={1+2x}%+x{1+2x}%
{1+2x}%의 전개식의 일반항은
5Cr{2x}R=5Cr 2RxR yy ㉠
{1+x}{1+2x}%의 전개식에서 x$항은 ㉠의 x$항인 경우, x와 ㉠
의 x#항이 곱해진 경우가 있다.
! ㉠의 x$항인 경우
xR=x$에서 r=4
㉠의 x$항은
5C4\2$\x$=5\16\x$=80x$
@ x와 ㉠의 x#항이 곱해진 경우
xR=x#에서 r=3
㉠의 x#항은
x와 ㉠의 x#항을 곱하면
x\80x#=80x$
!, @에서 구하는 x$의 계수는
80+80=160
5C3\2#\x#=5C2\2#\x#=10\8\x#=80x#
확통PM 해설 01~04(001~047)OK.indd 18
2018-10-29 오후 12:01:32
그런데 r는 01000
n의 최솟값은 10이다.
026 답 ③
31%) ={1+30}%)
=50C0+50C1\30+50C2\30@+y+50C50\30%)
=1+1500+30@{50C2+50C3\30+y+50C50\30$*}
이때 30@{50C2+50C3\30+y+50C50\30$*}은 900으로 나누어떨
어지므로 31%)을 900으로 나누었을 때의 나머지는 1501을 900으로
나누었을 때의 나머지와 같다.
2C0+3C1+4C2+5C3+6C4+7C5+6C5+5C5 =7C4+7C5+7C6
이때 1501=900\1+601이므로 31%)을 900으로 나누었을 때의
=f{4}+f{5}+f{6}
나머지는 601이다.
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핵심 유형 최종 점검하기
1 답 ③
유형 01 {a+b}N의 전개식
{3x-y}^의 전개식의 일반항은
6Cr{3x}^_R{-y}R=6Cr{-1}R 3^_Rx^_RyR
x^_RyR=x@y$에서 r=4
x@y$의 계수는
6C4\{-1}$\3@=15\1\9=135
2 답
1
4
유형 01 {a+b}N의 전개식
x
2
[
+a
]&의 전개식의 일반항은
1
2 ]&_RaRx&_R
[
[
7Cr
x
2 ]&_RaR=7Cr
x&_R=x$에서 r=3
x$의 계수는
7C3\
1
1
2 ]$\a#=35\
16
한편 x&_R=x#에서 r=4
[
\a#=
35
16
a#
x#의 계수는
7C4\
1
2 ]#\a$=35\
1
8
[
\a$=
35
8
a$
이때 x$의 계수가 x#의 계수의 2배이므로
35
16
a#=2\
35
8
a$
a#=4a$, a#{4a-1}=0
/ a=
{? a>0}
1
4
3 답 ④
유형 01 {a+b}N의 전개식
{x@+2}N의 전개식의 일반항은
nCr{x@}N_R 2R=nCr 2Rx2n-2r
x2n-2r=x$에서 n-r=2 / r=n-2
x$의 계수는
nCn-2 2n-2=nC2 2n-2
한편 x2n-2r=x@에서 n-r=1 / r=n-1
x@의 계수는
nCn-1 2N_!=nC1 2N_!
이때 x$의 계수와 x@의 계수가 같으므로
nC2 2N_@=nC1 2N_!
n{n-1}
2\1
=2n, n@-n=4n
n@-5n=0, n{n-5}=0
/ n=5 {? n>2}
즉, {x@+2}%의 전개식의 일반항은
5Cr 2Rx10-2r
x!)_@R=1에서 r=5
따라서 상수항은
5C5\2%=32
36~37쪽
4 답 ③
유형 02
[
a
y@ ]^의 전개식의 일반항은
b
x ]N의 전개식
xy+
ax+
[
6Cr{xy}^_R
x^_Ry^_R
y@R
=
[
a
y@ ]R=6Cr aR\
x#
y#
에서 r=3
x^_Ry^_R
y@R
의 계수가 20이므로
x#
y#
6C3\a#=20, 20a#=20
a#=1 / a=1 (? a는 실수)
x^_Ry^_R
y@R
=x$에서 r=2
따라서 x$의 계수는
6C2\a@=15\1@=15
5 답 ⑤
유형 03 {a+b}{c+d}N의 전개식
{1-x@}{1-2x}^={1-2x}^-x@{1-2x}^
{1-2x}^의 전개식의 일반항은
6Cr{-2x}R=6Cr{-2}RxR yy ㉠
{1-x@}{1-2x}^의 전개식에서 x항은 ㉠의 x항과 같다.
6C1\{-2}!\x!=6\{-2}\x=-12x
{1-x@}{1-2x}^의 전개식에서 x&항은 -x@과 ㉠의 x%항을 곱한
6C5\{-2}%\x%=6\{-32}\x%=-192x%
xR=x에서 r=1
㉠의 x항은
/ a=-12
것과 같다.
xR=x%에서 r=5
㉠의 x%항은
-x@과 ㉠의 x%항을 곱하면
-x@\{-192x%}=192x&
/ b=192
/ a+b=-12+192=180
6 답 ④
유형 03 {a+b}{c+d}N의 전개식
{x@+x+1}
x+
[
1
x ]$=x@
[
x+
1
x ]$+x
[
x+
1
x ]$+
[
x+
1
x ]$
x+
[
1
x ]$의 전개식의 일반항은
4Cr x$_R
1
x ]R=4Cr\
x$_R
xR
[
yy ㉠
[
x+
{x@+x+1}
1
x ]$의 전개식에서 x@항은 x@과 ㉠의 상수항이 곱
해진 경우, x와 ㉠의 x항이 곱해진 경우, ㉠의 x@항인 경우가 있다.
! x@과 ㉠의 상수항이 곱해진 경우
x$_R
xR
=1에서 r=2
㉠의 상수항은 4C2=6
x@과 ㉠의 상수항을 곱하면 x@\6=6x@
02 이항정리 21
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02 그런데 r는 00
/ 4a2인 경우는 먼저 x를 2개 택하고, 3개의 문자 x, y, z에서 중
유형11 답 ㄴ, ㄷ
복을 허용하여 나머지 5개를 택하는 경우의 수와 같으므로
ㄱ. [반례] P{A}=
, P{B}=
이면
3
4
3
4
3
4
3
2
를 택하는 경우의 수와 같으므로
3H7=9C7=9C2=36
3H5=7C5=7C2=21
따라서 구하는 확률은
21
36
=
7
12
040 답
35
216
6\6\6=216
! a11
ㄴ. P{S}=1, P{Z}=0이므로
P{S}-P{Z}=1
ㄷ. Z[{A6B}[S이므로
00
3a{3a-2}>0
/ a<0 또는 a>
2
3
그런데 -2P{A}-P{B}
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
12 답 ⑤
유형 12 확률의 덧셈정리와 여사건의 확률의 계산
P{A6B}=P{A}+P{B}-P{A5B}에서
1
2
/ P{A}=
=P{A}+
5
12
1
4
1
6
-
/ P{AC}=1-P{A}=1-
5
12
=
7
12
13 답
3
10
유형 12 확률의 덧셈정리와 여사건의 확률의 계산
P{B}=2\
=
이므로 P{BC}=1-P{B}=1-
=
3
10
3
5
3
5
2
5
A와 BC이 서로 배반사건이므로
3
10
P{A6BC} =P{A}+P{BC}=
+
=
2
5
7
10
/ P{B5AC} =P{{A6BC}C}=1-P{A6BC}
=1-
7
10
=
3
10
다른 풀이 A와 BC은 서로 배반사건이므로
A5BC=Z / A[B
이때 P{A}=
, P{B}=
이므로
3
10
3
5
P{B5AC}=P{B}-P{A}=
-
3
5
3
10
=
3
10
03 확률의 뜻과 활용 35
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03Z
14 답 ⑤
유형 13 확률의 덧셈정리 - 배반사건이 아닌 경우
17 답 6
유형 15 여사건의 확률 - ‘아닌’, ‘적어도’의 조건이 있는 경우
두 주머니에서 각각 1개의 공을 꺼내는 경우의 수는
집합 X의 원소 중에서 정수의 개수를 k라고 하자.
두 공에 적힌 수의 합이 12 이상인 사건을 A, 합이 6의 배수인 사
AC은 모두 정수가 아닌 사건이므로
택한 3개의 원소 중에서 적어도 1개는 정수인 사건을 A라고 하면
6C1\8C1=48
건을 B라고 하자.
이때 공에 적힌 두 수를 a, b라고 하면 순서쌍 {a, b}에 대하여
A=9{4, 8}, {5, 7}, {5, 8}, {6, 6}, {6, 7}, {6, 8}0,
B=9{1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2}, {5, 1}, {4, 8}, {5, 7}, {6, 6}0
,
A5B=9{4, 8}, {5, 7}, {6, 6}0이므로
P{A}=
=
, P{B}=
=
, P{A5B}=
=
6
48
1
8
8
48
1
6
3
48
1
16
따라서 구하는 확률은
P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}=
+
-
1
8
1
6
1
16
=
11
48
P{AC}=
10-kC3
10C3
=
10-kC3
120
이때 P{A}=
이므로 P{AC}=1-
29
30
29
30
=
1
30
에서
=
1
30
, 10-kC3=4
10-kC3
120
{10-k}{9-k}{8-k}
3\2\1
=4
{10-k}{9-k}{8-k}=4\3\2
/ k=6 (? k는 자연수)
2개의 b가 이웃하는 사건을 A, 3개의 c가 모두 이웃하는 사건을
이때 A5B는 15의 배수인 사건이므로
A는 2개의 b를 하나의 문자로 생각하여 일렬로 배열하는 사건이
유형 13 확률의 덧셈정리 - 배반사건이 아닌 경우
6개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수는
15 답
13
30
6?
2?\3?
=60
B라고 하자.
므로 그 경우의 수는
5?
3?
=20 / P{A}=
20
60
=
1
3
므로 그 경우의 수는
4?
2?
=12 / P{B}=
12
60
=
1
5
B는 3개의 c를 하나의 문자로 생각하여 일렬로 배열하는 사건이
A5B는 2개의 b를 하나의 문자로, 3개의 c를 또 다른 하나의 문
자로 생각하여 일렬로 배열하는 사건이므로 그 경우의 수는
3?=6 / P{A5B}=
6
60
=
1
10
따라서 구하는 확률은
P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}=
+
-
1
3
1
5
1
10
=
13
30
유형 14 확률의 덧셈정리 - 배반사건인 경우
뽑힌 2명 모두 1학년 학생인 사건을 A, 2학년 학생인 사건을 B라
16 답
1
7
고 하자.
P{A}=
2C2
8C2
=
1
28
P{B}=
3C2
8C2
=
3
28
36 정답과 해설
A는 1학년 학생 2명을 모두 뽑는 사건이므로
B는 2학년 학생 3명 중에서 2명을 뽑는 사건이므로
A와 B는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은
P{A6B}=P{A}+P{B}=
1
28
+
=
3
28
1
7
18 답 ②
유형 15 여사건의 확률 - ‘아닌’, ‘적어도’의 조건이 있는 경우
뽑힌 공에 적힌 수가 3의 배수인 사건을 A, 5의 배수인 사건을 B
라고 하면
6
20
P{A}=
=
3
10
, P{B}=
=
4
20
1
5
P{A5B}=
1
20
/ P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}
1
5
1
20
9
20
3
10
=
-
+
=
따라서 구하는 확률은
P{AC5BC} =P{{A6B}C}
=1-P{A6B}
9
20
=1-
11
20
=
19 답
9
14
유형 16 여사건의 확률 - ‘이상’, ‘이하’의 조건이 있는 경우
같은 기호끼리는 구별하지 않으므로 기호 5종류에서 중복을 허용
하여 5개를 택하는 경우의 수는
5H5=9C5=9C4=126
기호가 3종류 이상인 사건을 A라고 하면 AC은 기호가 2종류 이
하인 사건이다.
이때 기호가 2종류 이하인 경우는 기호 5종류 중에서 2종류의 기
호를 택하고, 그 기호 2종류에서 중복을 허용하여 5개를 택하는
경우이고, 이때 5개 모두 1종류의 기호를 뽑는 경우가 각 기호마
다 4번씩 중복되므로 5\3=15(가지)를 빼면 그 경우의 수는
5C2\2H5-15=5C2\6C5-15=5C2\6C1-15=45
/ P{AC}=
45
126
=
5
14
따라서 구하는 확률은
P{A} =1-P{AC}
9
14
=1-
5
14
=
확통PM 해설 01~04(001~047)OK.indd 36
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04 조건부확률
유형02 답
2
5
택한 2장의 카드가 모두 숫자가 적힌 카드인 사건을 A, 모두 숫자
1이 적힌 카드인 사건을 B라고 하면
P{A}=
6C2
10C2
=
15
45
1
3
=
, P{A5B}=
4C2
10C2
=
=
6
45
2
15
유형01 ③
유형02
유형03
따라서 구하는 확률은
유형04 ③
유형05
유형06 ⑤
유형07 ㄷ
유형08
유형09
유형10
유형11
1
6
5
9
11
12
P{B|A}=
P{A5B}
P{A}
=
=
2
5
2
15
1
3
2
5
5
16
5
14
25
27
유형03 답
5
14
공인 사건을 B라고 하면
4
7
, P{B|A}=
P{A}=
5
8
따라서 구하는 확률은
첫 번째로 꺼낸 공이 흰 공인 사건을 A, 두 번째로 꺼낸 공이 흰
3
10
2
3
5
6
002
001
003
011
007
008
006 ③
1
2
5
12
1
14
1
8
14
19
025 ㄱ, ㄷ 026 ㄱ, ㄷ 027 ④
3
7
17
30
7
8
012 ①
013
016
018
021
022
023
017
5
8
1
8
004
2
5
005 ⑤
009 2
010
014
1
5
015 3, 4
019 ③
020
7
8
21
29
024 30
028 3
029 10
030 ㄱ, ㄴ, ㄷ
031 ㄴ, ㄷ 032 ②
033 ㄴ, ㄷ 034
035 ③
036 ④
037 ②
1
9
1
14
043
044
045
046
047 ①
048 2267 049
050
051 ⑤
052
3
4
80
81
11
15
5
16
512
625
2
3
3
4
4
81
3
32
50
243
053
9
28
054
P{A5B}=P{A}P{B|A}=
\
=
5
8
4
7
5
14
유형04 답 ③
이 야구팀이 낮에 열리는 경기를 하는 사건을 A, 경기에서 이기는
사건을 B라고 하면
1
5
P{A}=
=0.2, P{AC}=
=0.8
4
5
P{B|A}=0.5, P{B|AC}=0.6
/ P{A5B}=P{A}P{B|A}=0.2\0.5=0.1,
따라서 구하는 확률은
P{B} =P{A5B}+P{AC5B}=0.1+0.48=0.58
1
4
유형05 답
5
9
택한 한 명이 남학생인 사건을 A, 수시 모집에 응시하지 않은 학
038
039
040
041
042 ②
P{AC5B}=P{AC}P{B|AC}=0.8\0.6=0.48
생인 사건을 B라고 하면
P{A}=
=
, P{AC}=1-
=
60
100
3
5
1
12
3
5
2
5
1
10
P{B|A}=
, P{B|AC}=
3
/ P{A5B}=P{A}P{B|A}=
5
\
1
12
P{AC5B}=P{AC}P{B|AC}=
\
1
20
,
=
1
25
=
1
10
2
5
따라서 구하는 확률은
P{A|B} =
P{A5B}
P{B}
=
P{A5B}
P{A5B}+P{AC5B}
=
1
20
+
1
20
1
25
=
5
9
유형06 답 ⑤
동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라고 하면
A=9{H, H, H}, {T, T, T}0
B=9{H, T, T}, {T, H, T}, {T, T, H}, {T, T, T}0
A5B=9{T, T, T}0
ㄱ. P{A}=
=
2
2#
1
4
04 조건부확률 37
1
6
10
1
2
8
17
1
2
2
7
20
3
1
6
4
3
10
7 ㄱ, ㄴ, ㄷ
8 ㄱ, ㄴ 9
5 4
1
5
11
1
18
12
10
27
핵심 유형 60~62쪽
유형01 답 ③
B[A이면 A5B=B이므로
P{A5B}=P{B}=
1
4
/ P{B|A}=
P{A5B}
P{A}
=
=
3
8
1
4
2
3
확통PM 해설 01~04(001~047)OK.indd 37
2018-10-29 오후 12:01:40
04 ㄴ. P{A5B}=
=
1
8
1
2#
1
2
4
2#
ㄷ. P{B}=
=
이므로
P{A5B}=P{A}P{B}
유형10 답
5
16
동전을 6번 던질 때, 점 P가 다시 원점으로 돌아오려면 앞면이 나
오는 횟수와 뒷면이 나오는 횟수가 같아야 한다.
따라서 앞면이 3번, 뒷면이 3번 나와야 하므로 구하는 확률은
따라서 두 사건 A, B는 서로 독립이다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
6C3\
1
2 ]#\
[
1
2 ]#=
5
16
[
유형07 답 ㄷ
ㄱ. [반례] 표본공간을 S=91, 2, 30이라 하고 A=910이라고 하면
유형11 답
25
27
ㄴ. [반례] 표본공간을 S=91, 2, 30이라 하고 A=910, B=920
P{A}=
1
3 , P{AC}=
/ P{A5AC}=P{A}P{AC}
2
3 , P{A5AC}=0
따라서 두 사건 A, AC은 서로 종속이다.
라고 하면
P{A}=P{B}=
, P{A5B}=0
1
3
/ P{A5B}=P{A}P{B}
따라서 A5B=Z 이므로 두 사건 A, B가 서로 배반이지만
A, B는 서로 종속이다.
ㄷ. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 P{A5B}=P{A}P{B}이므
성공으로 판정되려면 심판 3명 중에서 2명 이상이 성공으로 판정
3C2\
[
해야 한다.
! 심판 3명 중에서 2명이 성공으로 판정할 확률은
25
72
1
6 ]!=
@ 심판 3명 모두 성공으로 판정할 확률은
1
6 ])=
5
6 ]@\
[
[
3C3\
[
5
125
6 ]#\
216
!, @에서 구하는 확률은
25
25
27
72
125
216
+
=
따라서 두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 A, BC도 서
A, B가 서로 배반사건이므로 A5B=Z
로
P{A5BC} =P{A}-P{A5B}
=P{A}-P{A}P{B}
=P{A}91-P{B}0
=P{A}P{BC}
로 독립이다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄷ이다.
유형08 답
1
6
두 사건 A, B가 서로 독립이므로
P{A5B}=P{A}P{B}
이때 P{A6B}=P{A}+P{B}-P{A5B}이므로
P{A6B}=P{A}+P{B}-P{A}P{B}
4
9
+P{B}-
P{B}
1
3
1
3
=
2
3
1
9
P{B}=
/ P{B}=
1
6
유형09 답
11
12
갑과 을이 성공하는 사건을 각각 A, B라고 하면
P{A}=
, P{B}=
3
4
2
3
이때 두 사건 A, B가 서로 독립이므로
P{A5B}=P{A}P{B}
따라서 구하는 확률은
P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}
=P{A}+P{B}-P{A}P{B}
2
3
11
12
=
3
4
3
4
2
3
+
-
=
\
38 정답과 해설
핵심 유형 완성하기 63~71쪽
001 답
3
10
즉, B[AC이므로 B5AC=B
/ P{B5AC}=P{B}=
P{AC}=1-P{A}=1-
=
이므로
P{B|AC} =
P{B5AC}
P{AC}
=
=
3
10
1
5
1
3
2
3
1
5
2
3
002 답
2
3
P{A6B}=P{A}+P{B}-P{A5B}이므로
0.5=0.4+0.3-P{A5B}
/ P{A5B}=0.2
/ P{A|B} =
P{A5B}
P{B}
=
0.2
0.3
=
2
3
003 답
1
2
P{AC|B}=
-P{A5B}
3
4
1
3
=
3
4
/ P{A5B}=
1
2
P{AC5B}
P{B}
=
P{B}-P{A5B}
P{B}
이므로
,
3
4
-P{A5B}=
1
4
확통PM 해설 01~04(001~047)OK.indd 38
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=
P{A5B}
택한 초콜릿이 화이트 초콜릿인 사건을 A, 땅콩이 들어 있는 초
004 답
2
5
P{B}91-P{A|B}0=
에서
1
5
/ P{B}-P{A5B}=
1
5
1
5
P{A5B}
P{B}
=
-
1-
P{B}
=
P{A6B}=P{A}+P{B}-P{A5B}이므로
3
5
/ P{A}=
=P{A}+
1
5
2
5
005 답 ⑤
P{A|B}=
P{A5B}
P{B}
P{B}=3P{A5B}
=
에서
P{B|A}=
P{A5B}
P{A}
=
에서
1
3
2
3
P{A}=
P{A5B}
3
2
3
2
7
2
3
2
7
2
/ P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}
=
P{A5B}+3P{A5B}-P{A5B}
이때 P{A}=
P{A5B}에서 P{A5B}=
P{A}이므로
P{A6B} =
P{A5B}=
\
P{A}=
P{A}
7
2
2
3
2
3
7
3
/ k=
7
3
006 답 ③
택한 2개의 공이 모두 흰 공이 아닌 사건을 A, 모두 파란 공인 사
건을 B라고 하면
10
45
P{A}=
5C2
10C2
=
2
9
따라서 구하는 확률은
=
, P{A5B}=
3C2
10C2
=
=
3
45
1
15
P{B|A}=
P{A5B}
P{A}
=
=
3
10
007 답
5
6
택한 한 명이 2학년 학생인 사건을 A, 남학생인 사건을 B라고 하면
20
40
, P{A5B}=
P{A}=
24
40
3
5
1
2
=
=
따라서 구하는 확률은
P{B|A}=
P{A5B}
P{A}
=
=
5
6
1
15
2
9
1
2
3
5
따라서 구하는 확률은
P{B|A}=
P{A5B}
P{A}
=
=
5
12
1
4
3
5
009 답 2
택한 한 명이 남자인 사건을 A, B 영화를 선호하는 사건을 B라
고 하면
P{A}=
, P{A5B}=
14+x
38+x
x
38+x
택한 한 명이 남자일 때, 그 사람이 B 영화를 선호할 확률은
x
38+x
14+x
38+x
P{A5B}
P{A}
x
14+x
P{B|A}=
=
=
즉,
x
14+x
1
8
=
에서 8x=14+x
7x=14 / x=2
010 답
7
8
콜릿인 사건을 B라고 하면
P{A}=
, P{B}=
, P{AC5BC}=
2
3
3
4
1
6
이때 P{AC5BC}=P{{A6B}C}=1-P{A6B}이므로
1
6
=1-P{A6B}
/ P{A6B}=
P{A6B}=P{A}+P{B}-P{A5B}이므로
5
6
-P{A5B}
3
4
2
3
=
+
5
6
7
12
/ P{A5B}=
따라서 구하는 확률은
P{B|A}=
P{A5B}
P{A}
=
=
7
8
7
12
2
3
011 답
3
7
첫 번째에 당첨권을 뽑지 못하는 사건을 A, 두 번째에 당첨권을
뽑지 못하는 사건을 B라고 하면
9
2
14
3
, P{B|A}=
P{A}=
10
15
=
따라서 구하는 확률은
P{A5B}=P{A}P{B|A}=
\
2
3
9
14
=
3
7
택한 한 명이 버스로 등교하는 학생인 사건을 A, 여학생인 사건
008 답
5
12
을 B라고 하면
P{A}=
=
, P{A5B}=
60
100
3
5
25
100
=
1
4
012 답 ①
택한 한 명이 남자인 사건을 A, 40대인 사건을 B라고 하면
P{A}=
=
, P{B|A}=
80
100
4
5
60
100
=
3
5
따라서 구하는 확률은
P{A5B}=P{A}P{B|A}=
\
=
4
5
3
5
12
25
04 조건부확률 39
확통PM 해설 01~04(001~047)OK.indd 39
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04 013 답
1
14
첫 번째에 휴대 전화를 보유한 남학생이 뽑히는 사건을 A, 두 번
째에 휴대 전화를 보유하지 않은 여학생이 뽑히는 사건을 B라고
하면
P{A}=
, P{B|A}=
17
35
5
34
따라서 구하는 확률은
P{A5B}=P{A}P{B|A}=
17
35
\
=
5
34
1
14
014 답
1
5
라고 하면
P{A}=
=
, P{B|A}=
=
12
20
3
5
따라서 구하는 확률은
P{A5B}=P{A}P{B|A}=
\
=
4
12
3
5
1
3
1
3
1
5
노란색 필통을 택하는 사건을 A, 빨간색 볼펜을 꺼내는 사건을 B
015 답 3, 4
첫 번째에 100원짜리 동전을 뒤집는 사건을 A, 두 번째에 500원짜
리 동전을 뒤집는 사건을 B라고 하면
P{A}=
, P{B|A}=
4
n+4
n
n+3
따라서 첫 번째는 100원짜리 동전을, 두 번째는 500원짜리 동전을
A 주머니를 택하는 사건을 A, 흰 공이 나오는 사건을 B라고 하면
뒤집을 확률은
P{A5B}=P{A}P{B|A}=
4
n+4
\
n
n+3
즉,
4
n+4
\
n
n+3
2
7
=
에서 {n+3}{n+4}=14n
n@-7n+12=0, {n-3}{n-4}=0
/ n=3 또는 n=4
016 답
17
30
P{A}=
=
, P{AC}=1-
=
P{B|A}=
=
, P{B|AC}=
2
6
1
3
2
4
1
2
1
3
2
3
3
5
1
/ P{A5B}=P{A}P{B|A}=
3
1
2
\
=
,
1
6
P{AC5B}=P{AC}P{B|AC}=
\
=
2
3
3
5
2
5
따라서 구하는 확률은
P{B} =P{A5B}+P{AC5B}=
+
=
1
6
2
5
17
30
017 답
5
8
꺼내는 사건을 B라고 하면
P{A}=
, P{AC}=
3
8
P{B|A}=
, P{B|AC}=
5
7
5
8
4
7
40 정답과 해설
진아가 망고 푸딩을 꺼내 먹는 사건을 A, 지원이가 망고 푸딩을
5
/ P{A5B}=P{A}P{B|A}=
8
\
=
4
7
5
14
P{AC5B}=P{AC}P{B|AC}=
\
=
,
15
56
3
8
5
7
따라서 구하는 확률은
P{B} =P{A5B}+P{AC5B}=
5
14
+
=
15
56
5
8
018 답
1
8
택한 한 명이 암에 걸린 사람인 사건을 A, 암에 걸렸다고 진단받
는 사건을 B라고 하면
10
100
P{A}=
1
10
=
, P{AC}=1-
P{B|A}=
=
, P{B|AC}=
80
100
4
5
1
10
=
5
100
1
10
9
10
=
4
5
1
20
2
25
/ P{A5B}=P{A}P{B|A}=
\
=
,
P{AC5B}=P{AC}P{B|AC}=
9
10
\
=
1
20
9
200
따라서 구하는 확률은
P{B} =P{A5B}+P{AC5B}=
2
25
+
9
200
=
1
8
019 답 ③
흰 옷을 택하는 사건을 A, 로봇이 흰 옷이라고 판별하는 사건을
B라고 하면
4
10
P{A}=
2
5
P{B|A}=1-p, P{B|AC}=p
, P{AC}=
6
10
=
=
3
5
2
/ P{A5B}=P{A}P{B|A}=
5
{1-p},
P{AC5B}=P{AC}P{B|AC}=
p
따라서 로봇이 흰 옷이라고 판별할 확률은
P{B} =P{A5B}+P{AC5B}=
{1-p}+
p=
+
p
3
5
2
5
1
5
3
5
2
5
즉,
+
p=
에서 p=
2
5
1
5
11
25
1
5
020 답
21
29
택한 한 명이 중국어를 선택한 학생인 사건을 A, 안경을 쓴 학생인
사건을 B라고 하면
2
5
P{AC}=
40
100
=
, P{A}=1-
=
2
5
3
5
P{B|AC}=
=
, P{B|A}=
40
100
2
5
70
100
=
7
10
3
/ P{A5B}=P{A}P{B|A}=
5
\
=
7
10
21
50
,
P{AC5B}=P{AC}P{B|AC}=
\
=
2
5
2
5
4
25
=
P{A5B}
P{A5B}+P{AC5B}
P{A|B} =
따라서 구하는 확률은
P{A5B}
P{B}
21
50
=
=
21
29
21
50
+
4
25
확통PM 해설 01~04(001~047)OK.indd 40
2018-10-29 오후 12:01:42
021 답
7
8
갑이 당첨 제비를 뽑지 못하는 사건을 A, 을이 당첨 제비를 뽑는
=
P{A5B}
P{A5B}+P{AC5B}
P{A|B} =
따라서 구하는 확률은
P{A5B}
P{B}
2
5
=
14
19
=
2
5
+
1
7
택한 한 명이 우대 고객인 사건을 A, 보험에 재가입하지 않은 고
사건을 B라고 하면
7
9
P{A}=
, P{AC}=
2
9
P{B|A}=
=
, P{B|AC}=
2
8
1
4
1
8
7
/ P{A5B}=P{A}P{B|A}=
9
\
=
1
4
7
36
,
P{AC5B}=P{AC}P{B|AC}=
\
=
2
9
1
8
1
36
=
P{A5B}
P{A5B}+P{AC5B}
P{A|B} =
따라서 구하는 확률은
P{A5B}
P{B}
7
36
=
=
7
8
7
36
+
1
36
022 답
1
8
객인 사건을 B라고 하면
7
10
, P{AC}=
P{A}=
3
10
P{B|A}=1-
=
, P{B|AC}=1-
80
100
1
5
40
100
=
3
5
/ P{A5B}=P{A}P{B|A}=
\
=
3
10
1
5
3
50
,
7
10
3
5
21
50
P{AC5B}=P{AC}P{B|AC}=
\
=
따라서 구하는 확률은
P{A5B}
P{B}
P{A|B} =
=
P{A5B}
P{A5B}+P{AC5B}
=
3
50
+
3
50
21
50
=
1
8
023 답
14
19
1개를 꺼내는 사건을 B라고 하면
1
4
, P{A}=1-
P{AC}=
1
4
=
1
2@
=
3
4
P{B|AC}=
3C1\4C1
7C2
=
3\4
21
=
4
7
P{B|A}=
4C1\2C1
6C2
=
4\2
15
=
8
15
3
/ P{A5B}=P{A}P{B|A}=
4
\
8
15
=
,
2
5
P{AC5B}=P{AC}P{B|AC}=
\
=
1
4
4
7
1
7
024 답 30
꺼낸 볼펜이 모두 검은색인 사건을 A, 서로 같은 색인 사건을 B
라고 하면
P{A5B}=
n
100
\
100-2n
100
, P{AC5B}=
100-n
100
\
2n
100
꺼낸 볼펜이 서로 같은 색일 때, 그 색이 검은색일 확률은
P{A|B} =
P{A5B}
P{B}
=
P{A5B}
P{A5B}+P{AC5B}
\
n
100
100-2n
100
100-2n
100
100-n
100
+
\
2n
100
=
100-2n
300-4n
=
\
n
100
2
9
=
에서
즉,
100-2n
300-4n
900-18n=600-8n, 10n=300 / n=30
025 답 ㄱ, ㄷ
1
2
P{A}=
25
50
=
, P{B}=
=
10
50
1
5
P{A5B}=
5
50
=
1
10
ㄱ. A5B는 10의 배수가 적힌 카드가 나오는 사건이므로
ㄴ. P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}
1
5
3
5
ㄷ. P{A5B}=P{A}P{B}이므로 두 사건 A, B는 서로 독립이다.
1
10
=
1
2
=
+
-
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
026 답 ㄱ, ㄷ
P{A}=P{B}=P{C}=P{D}=
=
, P{E}=
3
4
ㄱ. A5B=910이므로 P{A5B}=
2
4
1
2
1
4
따라서 P{A5B}=P{A}P{B}이므로 두 사건 A, B는 서로
ㄴ. A5C=Z이므로 P{A5C}=0
독립이다.
종속이다.
ㄷ. A5D=930이므로 P{A5D}=
따라서 P{A5D}=P{A}P{D}이므로 두 사건 A, D는 서
로 독립이다.
ㄹ. A5E=930이므로 P{A5E}=
1
4
1
4
따라서 P{A5E}=P{A}P{E}이므로 두 사건 A, E는 서로
종속이다.
따라서 보기 중 사건 A와 서로 독립인 것은 ㄱ, ㄷ이다.
04 조건부확률 41
갈색 주머니를 택하는 사건을 A, 딸기 맛 사탕 1개, 포도 맛 사탕
따라서 P{A5C}=P{A}P{C}이므로 두 사건 A, C는 서로
확통PM 해설 01~04(001~047)OK.indd 41
2018-10-29 오후 12:01:43
04 ㄷ. B5C=960이므로 P{B5C}=
ㄱ. P{A|B}=P{A}, P{B|A}=P{B}이므로
따라서 P{B5C}=P{B}P{C}이므로 두 사건 B, C는 서로
P{A|B}=P{B|A}
027 답 ④
A=92, 3, 50, B=92, 4, 60, C=93, 60이므로
P{A}=
=
, P{B}=
=
, P{C}=
=
3
6
1
2
2
6
1
3
3
6
1
2
ㄱ. A5B=920이므로 P{A5B}=
따라서 P{A5B}=P{A}P{B}이므로 두 사건 A, B는 서로
ㄴ. A5C=930이므로 P{A5C}=
따라서 P{A5C}=P{A}P{C}이므로 두 사건 A, C는 서로
1
6
1
6
1
6
종속이다.
독립이다.
독립이다.
따라서 보기 중 서로 독립인 것은 ㄴ, ㄷ이다.
028 답 3
S=91, 2, 3, 4, 6, 120이므로
2
1
6
2
, P{A5B}=
P{A}=
3
6
=
=
1
3
이때 두 사건 A, B가 서로 독립이면 P{A5B}=P{A}P{B}이
므로
1
3
따라서 n{B}=4이고, 93, 40[B, 2:B이어야 하므로 주어진 조
P{B} / P{B}=
2
3
1
2
=
건을 만족하는 사건 B는 91, 3, 4, 60, 91, 3, 4, 120, 93, 4, 6, 120
의 3개이다.
029 답 10
이어야 하므로
k
40
5k=2{15+k}, 3k=30 / k=10
15+k
40
2
5
\
=
030 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ
ㄱ. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 사건 B가 일어나거나 일어나
지 않는 것이 사건 A가 일어날 확률에 영향을 주지 않으므로
P{A|BC}=P{A}
ㄴ. 두 사건 A, B가 서로 배반이면 A5B=Z이므로
P{A5B}=0
/ P{A6B}=P{A}+P{B}
P{AC5B} =P{B}-P{A5B}
=P{B}-P{A}P{B}
=91-P{A}0P{B}
=P{AC}P{B}
42 정답과 해설
다른 풀이 ㄱ. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 AC, B도 서
ㄷ. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 A, BC도 서로 독립
로 독립이므로
P{AC5B}=P{AC}P{B}
이므로
P{A5BC}=P{A}P{BC}
P{A5BC}
P{BC}
/ P{A|BC} =
031 답 ㄴ, ㄷ
두 사건 A, B가 서로 독립이면
P{A5B}=P{A}P{B}
=
P{A}P{BC}
P{BC}
=P{A}
ㄴ. P{AC|B} =
P{AC5B}
P{B}
=
P{B}-P{A5B}
P{B}
=
P{B}-P{A}P{B}
P{B}
=1-P{A}
ㄷ. P{B|A}=P{B}이므로
P{AC5BC}
P{AC}
P{BC|AC} =
=
1-P{A6B}
P{AC}
=
=
=
1-9P{A}+P{B}-P{A5B}0
1-P{A}
1-9P{A}+P{B}-P{A}P{B}0
1-P{A}
1-P{A}-91-P{A}0P{B}
1-P{A}
=1-P{B}
/ P{B|A}+P{BC|AC}=P{B}+91-P{B}0=1
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
다른 풀이 ㄴ. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 AC, B도 서
ㄷ. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 P{B|A}=P{B}이고 두 사
건 AC, BC도 서로 독립이므로
P{BC|AC}=P{BC}
/ P{B|A}+P{BC|AC} =P{B}+P{BC}
=P{B}+91-P{B}0=1
032 답 ②
두 사건 A, B가 서로 독립이면
P{A5B}= ㈎ P{A}P{B}
AC5BC={ ㈏ A6B }C이므로
P{AC5BC} =P{{ ㈏ A6B }C}
=1-P{A6B}
=1-9P{A}+P{B}-P{A}P{B}0
=91- ㈐ P{A} 091-P{B}0
=P{AC}P{BC}
따라서 두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 AC, BC도 서로
P{A}=
15+k
40
2
5
이때 두 사건 A, B가 서로 독립이려면 P{A5B}=P{A}P{B}
, P{A5B}=
, P{B}=
16
40
k
40
=
로 독립이므로
P{AC|B}=P{AC}=1-P{A}
ㄷ. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 P{A5B}=P{A}P{B}이므로
=1-9 ㈐ P{A} +P{B}-P{A5B}0
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
독립이다.
확통PM 해설 01~04(001~047)OK.indd 42
2018-10-29 오후 12:01:43
P{A5B}91-P{B}0=P{B}9P{A}-P{A5B}0
두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 A, BC도 서로 독립이므로
033 답 ㄴ, ㄷ
ㄱ. P{A|B}=P{B|A}이면
P{A5B}
P{B}
P{A5B}
P{A}
/ P{A}=P{B} 또는 P{A5B}=0
=
그런데 이는 A=B를 의미하지는 않는다.
ㄴ. P{A|B}=P{A|BC}에서
P{A5B}
P{B}
P{A5B}
P{B}
=
=
P{A5BC}
P{BC}
P{A}-P{A5B}
1-P{B}
/ P{A5B}=P{A}P{B}
따라서 두 사건 A, B는 서로 독립이다.
ㄷ. P{AC5B}=P{B}-P{A5B}이므로
P{AC5B}=P{B}-P{A}P{B}이면
P{A5B}=P{A}P{B}
따라서 두 사건 A, B는 서로 독립이다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
034 답
2
3
두 사건 A, B가 서로 독립이므로
P{A5B}=P{A}P{B}
/ P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}
=P{A}+P{B}-P{A}P{B}
1
3
=
1
2
1
3
1
2
2
3
=
-
+
\
036 답 ④
두 사건 A, B가 서로 독립이므로
P{A5B}=P{A}P{B}
P{A5B}=P{A}-
P{B}에서
P{A}P{B}=P{A}-
P{B}
2
3
7
6
P{B}=
-
P{B}
P{B}=
/ P{B}=
4
7
1
2
2
3
2
3
1
2
1
2
도 각각 서로 독립이다.
1
6
P{B|AC}=P{B}=
에서
P{BC}=1-
=
1
6
5
6
P{A5BC}+P{AC5B}=
에서
P{A}P{BC}+P{AC}P{B}=
1
3
1
6
1
3
1
3
,
2
3
P{A}\
+91-P{A}0\
=
P{A}=
P{A5BC}=P{A}P{BC}=
에서
1
4
1
12
P{BC}=
/ P{BC}=
/ P{B}=1-
=
yy ㉠
1
3
2
3
1
12
1
3
P{BC5CC}=P{{B6C}C}=1-P{B6C}=
에서
두 사건 B, C가 서로 배반이면 P{B5C}=0
P{B6C}=P{B}+P{C}이므로 P{B}+P{C}=
7
9
5
6
/ P{A}=
1
4
038 답
1
9
P{B6C}=
7
9
㉠을 대입하면
7
2
9
3
+P{C}=
/ P{C}=
1
9
039 답
3
4
1
6
2
9
1
2
5
6
P{A6B}=P{{AC5BC}C}=1-P{AC5BC}=
에서
1
2
1
6
1
2
1
6
P{AC5B}=
/ P{AC}P{B}=
yy ㉠
P{AC5BC}=
/ P{AC}P{BC}=
yy ㉡
㉠, ㉡에서
=3이므로
P{B}
P{BC}
P{B}=391-P{B}0
/ P{B}=
3
4
립이다.
P{A6BC}=
에서
1
2
P{A}+P{BC}-P{A5BC}=
1
2
04 조건부확률 43
035 답 ③
두 사건 A, B가 서로 독립이므로
P{A|B}=P{A}=
/ P{AC}=1-
=
3
5
2
5
3
5
두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 AC, B와 두 사건 AC,
BC도 각각 서로 독립이다.
P{A6BC}=P{{AC5B}C}=1-P{AC5B}=
에서
037 답 ②
두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 AC, B와 두 사건 A, BC
다른 풀이 두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 A, BC도 서로 독
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04 A와 B가 그림을 완성하는 사건을 각각 A, B라고 하면
044 답
4
81
P{A}+P{BC}-P{A}P{BC}=
1
2
P{A}+91-P{B}0-P{A}91-P{B}0=
1
2
/ P{A}P{B}=P{B}-
yy ㉠
1
2
5
6
5
6
P{A6B}=
에서
5
6
P{A}+P{B}-P{A5B}=
P{A}+P{B}-P{A}P{B}=
㉠을 대입하면
P{A}+P{B}-
- P{B}-
=
=
1
2
5
6
/ P{A}=
1
3
이를 ㉠에 대입하면
1
1
2
3
P{B}=P{B}-
,
2
3
P{B}=
1
2
/ P{B}=
3
4
040 답
11
15
P{A}=
, P{B}=
3
5
1
3
이때 두 사건 A, B가 서로 독립이므로
P{A5B}=P{A}P{B}
따라서 구하는 확률은
P{A6B} =P{A}+P{B}-P{A5B}
=P{A}+P{B}-P{A}P{B}
1
3
11
15
=
3
5
3
5
1
3
=
\
-
+
041 답
3
4
A와 B가 예선을 통과하는 사건을 각각 A, B라고 하면
P{A}=
, P{AC}=1-
=
, P{AC5B}=
1
3
1
3
2
3
1
2
두 사건 AC, B가 서로 독립이므로
P{AC5B}=P{AC}P{B}
1
2
P{B} / P{B}=
2
3
=
3
4
042 답 ②
한다.
두 수의 합이 홀수이려면 한 수는 홀수, 다른 한 수는 짝수이어야
두 정육면체 A, B의 바닥에 놓인 면에 적힌 수가 홀수인 사건을
각각 A, B라고 하면 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건
A, BC과 두 사건 AC, B도 서로 독립이다.
! 정육면체 A는 홀수, 정육면체 B는 짝수일 확률은
P{A5BC}=P{A}P{BC}=
\
=
3
6
2
6
1
6
44 정답과 해설
@ 정육면체 A는 짝수, 정육면체 B는 홀수일 확률은
P{AC5B}=P{AC}P{B}=
\
=
3
6
4
6
1
3
!, @에서 구하는 확률은
1
6
1
2
1
3
+
=
043 답
1
14
A와 B가 게임에 이기는 사건을 각각 A, B라고 하면
P{A}=
, P{B}=p, P{A5BC}=
2
7
3
14
두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 A, BC도 서로 독립이다.
P{A5BC}=P{A}P{BC}이므로
3
14
{1-p}, 1-p=
3
4
2
7
=
/ p=
1
4
따라서 구하는 확률은
P{A5B}=P{A}P{B}=
\
=
2
7
1
4
1
14
동규가 이기는 경우를 , 지는 경우를 \로 나타내자.
! 동규가 승자로 결정되는 경우
\\이어야 하므로 그 확률은
1
2
3
3
1
3
@ 승규가 승자로 결정되는 경우
4
243
1
3
2
3
\
\
\
=
\
\\\이어야 하므로 그 확률은
2
1
3
3
8
243
\
=
\
\
\
2
3
2
3
1
3
!, @에서 구하는 확률은
4
=
243
8
243
4
81
+
A가 이기는 횟수를 a, 지는 횟수를 b라고 하면 가위바위보를 5번
위로 한 칸 가는 것을 +1, 아래로 한 칸 가는 것을 -1로 생각하
면 가위바위보를 5번 하여 A가 밑에서 9번째 계단에 있을 때
045 답
5
16
하므로
a+b=5
yy ㉠
a\1+b\{-1}=-1
/ a-b=-1 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=2, b=3
가위바위보를 1번 하여 A가 이길 확률은
이고, A가 2번 이기고
1
2
3번 져야 하므로 구하는 확률은
1
2 ]#=
1
2 ]@\
5C2\
[
5
16
[
확통PM 해설 01~04(001~047)OK.indd 44
2018-10-29 오후 12:01:44
한 개의 동전과 한 개의 주사위를 동시에 던져서 동전은 뒷면이
051 답 ⑤
적어도 2개는 앞면이 나오는 사건을 A라고 하면 AC은 앞면이 나
046 답
80
81
6의 약수의 눈이 1개 이상 나오는 사건을 A라고 하면 AC은 6의
약수의 눈이 하나도 나오지 않는 사건이다.
한 개의 주사위를 던져 6의 약수의 눈이 나오지 않을 확률이
이
1
3
2
3 ])=
1
81
[
므로
[
P{AC}=4C4\
1
3 ]$\
따라서 구하는 확률은
80
81
P{A}=1-
1
81
=
047 답 ①
나오고 주사위는 4 이하의 눈이 나올 확률은
1
2
1
3
2
3
=
\
따라서 구하는 확률은
2
9
1
3 ]@\
2
3 ]!=
3C2\
[
[
048 답 2267
5차전까지 A팀이 3승 2패로 앞설 확률은
5C3\
2
3 ]#\
[
1
3 ]@=
80
243
[
7차전에서 B팀이 최종 우승하기 위해서는 6차전과 7차전을 모두
B팀이 이겨야 하므로 B팀이 최종 우승할 확률은
80
243
따라서 p=2187, q=80이므로 p+q=2267
80
2187
1
3
1
3
\
=
\
049 답
3
32
! 4번째까지 서브를 성공한 횟수를 a, 실패한 횟수를 b라고 하면
yy ㉠
a+b=4
점수의 합이 0점이므로
3a-b=0 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=3
따라서 서브를 1번 성공하고 3번 실패할 확률은
4C1\
1
2 ]!\
[
1
2 ]#=
1
4
[
@ 5번째부터 8번째까지 서브를 성공한 횟수를 c, 실패한 횟수를
d라고 하면
c+d=4
yy ㉢
점수의 합이 4점이므로
3c-d=4 yy ㉣
[
[
4C2\
1
2 ]@=
1
3
2 ]@\
8
!, @에서 구하는 확률은
1
4
3
32
3
8
=
\
050 답
512
625
! 4명 중에서 3명이 완치될 확률은
1
5 ]!=
[
4C3\
[
4
256
5 ]#\
625
@ 4명 모두 완치될 확률은
256
4
5 ]$\
625
!, @에서 구하는 확률은
256
=
625
1
5 ])=
4C4\
[
512
625
256
625
+
[
오지 않거나 1개만 나오는 사건이다.
! 앞면이 나오지 않을 확률은
[
1
64
6C0\
[
1
2 ]^=
1
2 ])\
@ 앞면이 1개만 나올 확률은
1
2 ]!\
6C1\
3
32
[
[
1
2 ]%=
1
64
+
=
3
32
7
64
!, @에서 P{AC}=
따라서 구하는 확률은
57
64
P{A}=1-
7
64
=
052 답
1
4
! 예선 3문제를 모두 맞힐 확률은
1
2 ])=
1
2 ]#\
3C3\
[
1
8
[
@ 예선 3문제 중 2문제를 맞히고, 추가 문제를 맞힐 확률은
1
8
=
[
3C2\
[
1
2 ]!\
1
1
2 ]@\
3
!, @에서 구하는 확률은
1
8
1
8
1
4
+
=
053 답
9
28
꺼낸 2장의 카드에 적힌 숫자가 서로 같을 확률은
4C2+3C2
7C2
6+3
21
3
7
=
=
! 카드에 적힌 숫자가 서로 같고 주사위를 2번 던져서 짝수의 눈
이 2번 나올 확률은
1
3
2 ])=
7
1
2 ]@\
\2C2\
[
[
3
28
1
2 ]!=
3
14
[
[
[
1-
3
7 ]
\3C2\
1
2 ]@\
!, @에서 구하는 확률은
9
3
28
28
3
14
+
=
04 조건부확률 45
㉢, ㉣을 연립하여 풀면 c=2, d=2
따라서 서브를 2번 성공하고 2번 실패할 확률은
@ 카드에 적힌 숫자가 서로 다르고 주사위를 3번 던져서 짝수의
눈이 2번 나올 확률은
확통PM 해설 01~04(001~047)OK.indd 45
2018-10-29 오후 12:01:45
04 주사위를 5번 던져서 5의 약수의 눈이 나오는 횟수를 a, 5의 약수
유형 03 확률의 곱셈정리
가 아닌 눈이 나오는 횟수를 b라고 하면 점 P가 이동하는 점의 좌
택한 한 명이 1학년 학생인 사건을 A, 여학생인 사건을 B라고 하면
5
9
, P{B|A}=
P{A}=
30
100
3
10
=
3 답
1
6
054 답
50
243
표는 {a, b}
를 모두 구하면
이때 a+b=5이고 a, b는 00}
이를 ㉠에 대입하면
2+b=-1
/ b=-3
/ a-b=2-{-3}=5
유형08 답 j15k
확률의 총합은 1이므로
3
3
10
10
+a+
=1 / a=
2
5
유형10 답
3
16
확률변수 X의 확률질량함수는
P{X=x}=5Cx
1
2 ]X[
/ P{X>4} =P{X=4}+P{X=5}
1
2 ]%_X=5Cx
[
[
1
2 ]% {x=0, 1, 2, 3, 4, 5}
=5C4\
1
2 ]%+5C5\
[
1
2 ]%=
3
16
[
유형11 답
63
64
는
확률변수 X는 이항분포 B
3,
3
4 ]을 따르므로 X의 확률질량함수
[
P{X=x}=3Cx
3
4 ]X[
1
4 ]#_X {x=0, 1, 2, 3}
[
/ P{X>1} =1-P{X=0}
=1-3C0\
3
4 ])\
[
1
4 ]#=
63
64
[
05 이산확률변수와 이항분포 49
확통PM 해설 05(048~061)OK.indd 49
2018-10-29 오후 12:02:35
05 유형12 답 541
E{X}=90에서 np=90 yy ㉠
r{X}=5j3에서 1np{1-p}3=5j3
/ np{1-p}=75
위의 식에 ㉠을 대입하면
5
6
90{1-p}=75, 1-p=
/ p=
1
6
이를 ㉠에 대입하면
1
6
n=90 / n=540
/ n+6p=540+6\
=541
1
6
유형13 답 11
한 번의 시행에서 5의 약수의 눈이 나올 확률이
이므로 확률변
1
3
수 X는 이항분포 B
9,
[
1
/ E{X}=9\
3
1
3 ]을 따른다.
1
3
2
3
=3, V{X}=9\
\
=2
따라서 V{X}=E{X@}-9E{X}0@에서
E{X@} =V{X}+9E{X}0@=2+3@=11
유형14 답 98
이항분포 B
[
50,
1
50 ]을 따른다.
1
50
49
50
\
=
49
50
49
50
따라서 V{X}=50\
이므로
V{10X+1}=10@V{X}=100\
=98
한 번의 시행에서 불량품이 나올 확률이
이므로 확률변수 X는
1
50
핵심유형완성하기 79~89쪽
001 답
1
2
확률의 총합은 1이므로
1
2
a@+
a+
a+
1
2
3
4
1
4
a@+
a=1
1
2
2a@+3a-2=0, {a+2}{2a-1}=0
/ a=-2 또는 a=
1
2
이때 05a} =P
[
X>
10
9 ]
=P{X=2}+P{X=3}
2
9
=a+
2
3
8
9
2
3
+
=
=
008 답 ⑤
확률의 총합은 1이므로
P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=1
1-
1
2 ]
+k
1-
[
3
4 ]
=1
1
k+k
[
4
/ k=1
확통PM 해설 05(048~061)OK.indd 50
2018-10-29 오후 12:02:36
/ P{X=1 또는 X=2} =P{X=1}+P{X=2}
따라서 확률변수 X의 확률질량함수는
P{X=x}=
x {x=1}
1
4
1
4
(
-
9
1-
x {x=2, 3}
=
+
=
1
2
3
4
1
4
009 답
2
3
-
j2 k
3
확률의 총합은 1이므로
P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}+y+P{X=15}=1
+
+
+y+
k
j3+j4
k
j2+j3
k
j15k+j16k
k
j1+j2
k9{j2-j1}+{j3-j2}+{j4-j3}+y+{j16k-j15k}0=1
k{j16k-j1}=1, 3k=1 / k=
따라서 확률변수 X의 확률질량함수는
=1
1
3
P{X=x}=
1
3{jx k+jx+1l}
/ P{X@-9X+8=0} =P{X=1 또는 X=8}
=P{X=1}+P{X=8}
=
=
1
3{j1+j2}
j2-j1
+
3
+
1
3{j8+j9}
=
2
3
- j2
3
j9-j8
3
확률변수 X가 가지는 값은 0, 1, 2, 3이고 각 값을 가질 확률은
010 답
22
35
P{X=0}=
P{X=1}=
P{X=2}=
P{X=3}=
4C0\3C3
7C3
=
4C1\3C2
7C3
=
4C2\3C1
7C3
=
4C3\3C0
7C3
=
1
35
12
35
18
35
4
35
확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P{X=x}
0
1
35
1
12
35
2
18
35
3
4
35
합계
1
/ P{X>2} =P{X=2}+P{X=3}=
18
35
+
=
4
35
22
35
➡ 7가지
011 답 ④
확률변수 X가 가지는 값은 2, 3, 4, y, 8이다.
바닥에 놓인 면에 적힌 두 수를 a, b라고 하면 순서쌍 {a, b}에 대
하여
! 두 수의 합이 5인 경우
{1, 4}, {2, 3}, {3, 2}, {4, 1} ➡ 4가지
@ 두 수의 합이 6인 경우
{2, 4}, {3, 3}, {4, 2} ➡ 3가지
# 두 수의 합이 7인 경우
{3, 4}, {4, 3} ➡ 2가지
!, @, #에서
4
P{X=5}=
4\4
P{X=6}=
P{X=7}=
=
=
1
4
3
16
=
1
8
3
4\4
2
4\4
/ P{53} =P{X=4}+P{X=6}=
+
=
참고 확률변수X의확률분포를표로나타내면다음과같다.
1
6
1
3
1
2
1
6
6
1
6
합계
1
X
P{X=x}
2
1
2
4
1
3
013 답 ⑤
X@-7X+12<0에서 {X-3}{X-4}<0 / 30}
이를 ㉠에 대입하면
6+b=8
/ b=2
/ ab=3\2=6
확통PM 해설 05(048~061)OK.indd 54
2018-10-29 오후 12:02:39
따라서 V{X}=E{X@}-9E{X}0@에서
/ V{5X+3}=5@V{X}=25\
=20
030 답 ④
V{X}=E{X@}-9E{X}0@=27-5@=2이므로
r{X}=1V{X}3=j2
/ r{Y}=r{-3X+1}=|-3|r{X}=3j2
031 답 39200, 9600
E{X}=30000, r{X}=8000에서
E{Y} =E
X+3200
=
E{X}+3200
6
5
]
6
5
[
=
6
5
6
5
[
6
5
\30000+3200=39200
r{Y} =r
X+3200
=
r{X}
6
5 |
|
]
=
\8000=9600
032 답 ④
E{2X+3}=13에서
2E{X}+3=13 / E{X}=5
V{2X+3}=24에서
2@V{X}=24 / V{X}=6
E{X@} =V{X}+9E{X}0@
=6+5@=31
033 답 ③
E{X}=a, E{X@}=2a+3에서
V{X}=E{X@}-9E{X}0@=2a+3-a@
/ V{Y} =V{2X-1}=2@V{X}
=4{2a+3-a@}=-4a@+8a+12
=-4{a-1}@+16
034 답 -
7
3
V{X}=
에서
4
9
V{Y}=V{3X+9}=3@V{X}=9\
=4
4
9
E{Y}=a라고 하면 E{Y @}=4a이므로
V{Y} =E{Y @}-9E{Y}0@=4a-a@=4
즉, a@-4a+4=0에서
{a-2}@=0 / a=2
E{Y}=2이므로
E{3X+9}=2, 3E{X}+9=2
7
3
/ E{X}=-
035 답 ①
확률의 총합은 1이므로
a+2a+a=1, 4a=1 / a=
1
4
따라서 V{Y}는 a=1일 때 최댓값이 16이므로 r{Y}의 최댓값은
j16k=4
따라서 확률변수 X에 대하여
1
1
4
4
E{X}=0\
+1\
+2\
1
2
=1,
E{X@}=0@\
1
4
V{X} =E{X@}-9E{X}0@
+1@\
1
2
+2@\
1
4
=
이므로
3
2
=
-1@=
3
2
1
2
/ r{X}=1V{X}3=q
/ r{4X-3}=|4|r{X}=4\ j2
2
1
2
= j2
2
=2j2
036 답 20
확률변수 X에 대하여
1
5
E{X}=1\
+2\
2
5
+3\
=2,
2
5
E{X@}=1@\
2
5
V{X} =E{X@}-9E{X}0@
+2@\
1
5
+3@\
2
5
=
24
5
이므로
=
24
5
-2@=
4
5
037 답 ④
확률의 총합은 1이므로
3a+6a+a=1, 10a=1
/ a=
1
10
따라서 확률변수 X에 대하여
3
10
E{X}=1\
+2\
+3\
3
5
1
10
E{X@}=1@\
3
10
V{X} =E{X@}-9E{X}0@
+2@\
3
5
9
5
,
=
1
10
18
5
+3@\
=
이므로
=
18
5
-
[
9
5 ]@=
9
25
/ r{X}=1V{X}3=q
9
25 w=
3
5
/ r
X+10a
=r{10X+1}
]
1
a
[
=|10|r{X}=10\
=6
3
5
4
5
3
1
5
7
2
038 답 ②
확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P{X=x}
1
1
10
2
3
20
4
1
4
5
3
10
합계
1
따라서 확률변수 X에 대하여
1
10
E{X}=1\
+2\
3
20
+3\
1
5
+4\
+5\
=
3
10
7
2
1
4
/ E{2X+5}=2E{X}+5=2\
+5=12
05 이산확률변수와 이항분포 55
확통PM 해설 05(048~061)OK.indd 55
2018-10-29 오후 12:02:40
05 039 답 7
확률변수 X에 대하여
E{X}=0\
+1\
+2\
+3\
=1,
5
12
1
4
1
4
1
4
1
12
1
12
+2@\
+3@\
=2이므로
E{X@}=0@\
5
12
V{X} =E{X@}-9E{X}0@
+1@\
1
4
=2-1@=1
E{X}=1이므로 E{Y}=-1에서
E{aX+b}=-1, aE{X}+b=-1
/ a+b=-1 yy ㉠
V{X}=1이므로 V{Y}=16에서
V{aX+b}=16, a@V{X}=16
a@=16 / a=-4 {? a<0}
이를 ㉠에 대입하면
-4+b=-1 / b=3
/ b-a=3-{-4}=7
040 답 ⑤
확률변수 X가 가지는 값은 0, 1, 2이고 각 값을 가질 확률은
P{X=0}=
P{X=1}=
P{X=2}=
4C0\5C2
9C2
=
5
18
4C1\5C1
9C2
=
4C2\5C0
9C2
=
5
9
1
6
확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P{X=x}
0
5
18
1
5
9
2
1
6
합계
1
따라서 확률변수 X에 대하여
5
18
E{X}=0\
+1\
+2\
5
9
1
6
=
8
9
,
E{X@}=0@\
+1@\
+2@\
=
이므로
5
18
5
9
V{X}=E{X@}-9E{X}0@=
1
6
11
9
11
9
-
[
35
81
8
9 ]@=
35
81
/ V{Y}=V{9X-28}=9@V{X}=81\
=35
041 답 ①
확률변수 X가 가지는 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6이고 각 값을 가질 확
률은
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
1
6
X
P{X=x}
1
1
6
2
1
6
3
1
6
4
1
6
따라서 확률변수 X에 대하여
1
1
6
6
E{X}=1\
+3\
+2\
1
6
+4\
+5\
+6\
=
7
2
합계
1
5
1
6
1
6
6
1
6
1
6
1
6
7
2
56 정답과 해설
042 답 ④
확률변수 X가 가지는 값은 1, 2, 3, 4이다.
택한 두 수를 a, b {a0}
이를 ㉠에 대입하면
6+b=5 / b=-1
/ a+b=5+{-1}=4
045 답 ③
확률변수 X의 확률질량함수는
046 답 2
확률변수 X의 확률질량함수는
1
3 ]X[
2
3 ]%_X {x=0, 1, 2, 3, 4, 5}
P{X=x}=5Cx
[
이때 P{X=1}=kP{X=3}에서
1
3 ]#\
2
3 ]$=k\5C3\
1
3 ]!\
5C1\
[
[
[
2
3 ]@
[
/ k=2
047 답
2
9
확률변수 X의 확률질량함수는
048 답 ②
수는
확률변수 X는 이항분포 B
20,
[
4
5 ]를 따르므로 X의 확률질량함
P{X=x}=20Cx
4
5 ]X[
1
5 ]@)_X {x=0, 1, 2, y, 20}
[
/ P{X>1} =1-P{X=0}
=1-20C0\
4
5 ])\
[
1
5 ]@)
[
=1-
1
5 ]@)
[
049 답
15
128
확률변수 X는 이항분포 B
10,
1
2 ]을 따르므로 X의 확률질량함
[
수는
P{X=x}=10Cx
/ P{X=3}=10C3\
050 답 ③
1
2 ]X[
[
1
2 ]!)_X=10Cx
1
2 ]!)=
15
128
[
1
2 ]!) {x=0, 1, 2, y, 10}
[
확률변수 X는 이항분포 B
3,
3
10 ]을 따르므로 X의 확률질량함
[
=
98
125
051 답 ⑤
수는
확률변수 X는 이항분포 B
6,
1
10 ]을 따르므로 X의 확률질량함
[
P{X=x}=6Cx
1
10 ]X[
/ P{425} =P{X=26}+P{X=27}
=27C26\0.9@^\0.1!+27C27\0.9@&\0.1)
=2.7\0.9@^+0.9@&=3\0.9@&+0.9@&
=4\0.9@&=4\0.0581=0.2324
E{X}=10\
=5
1
2
058 답 920
즉, 이항분포 B
10,
[
1
2 ]을 따르는 확률변수 X의 평균은
053 답 ⑤
E{X}=20에서 np=20 yy ㉠
V{X}=
에서 np{1-p}=
50
3
50
3
위의 식에 ㉠을 대입하면
5
6
20{1-p}=
, 1-p=
50
3
/ p=
1
6
이를 ㉠에 대입하면
n=20 / n=120
1
6
/
=
=720
n
p
120
1
6
054 답 ①
V{X}=24에서 100p{1-p}=24
25p@-25p+6=0, {5p-2}{5p-3}=0
1
2 ]
? p>
/ p=
[
3
5
055 답 평균: 6, 분산:
확률변수 X는 이항분포 B
30,
E{X}=30\
=6, V{X}=30\
1
5
1
5 ]을 따르므로
24
4
5
5
1
5
\
=
24
5
[
056 답 ③
E{X}=2에서 np=2 yy ㉠
V{X}=
4
3 에서 np{1-p}=
4
3
위의 식에 ㉠을 대입하면
2
4
3
3
2{1-p}=
, 1-p=
/ p=
1
3
이를 ㉠에 대입하면
1
3
n=2 / n=6
따라서 확률변수 X는 이항분포 B
6,
1
3 ]을 따르므로 X의 확률
[
질량함수는
P{X=x}=6Cx
[
/ P{X=4}=6C4\
1
3 ]X[
2
3 ]^_X {x=0, 1, 2, y, 6}
1
3 ]$\
2
3 ]@=
20
243
[
[
58 정답과 해설
한 번의 시행에서 3의 배수의 눈이 나올 확률이
이므로 확률변
1
3
수 X는 이항분포 B
90,
1
3 ]을 따른다.
[
1
/ E{X}=90\
3
1
3
따라서 V{X}=E{X@}-9E{X}0@에서
=30, V{X}=90\
\
=20
2
3
E{X@} =V{X}+9E{X}0@=20+30@=920
059 답 ②
한 번의 시행에서 불이 붙지 않는 성냥이 나올 확률이
이므로
1
10
확률변수 X는 이항분포 B
200,
1
10 ]을 따른다.
[
/ r{X}=q200\
1
10
\
9
10 e=j18k=3j2
이용객의 나이가 10대 이하일 확률은
이므로 확률변수 X1은
3
10
1
5
060 답 92
이항분포 B
200,
[
/ E{X1}=200\
3
10 ]을 따른다.
3
10
=60
항분포 B
200,
[
/ V{X2}=200\
1
5 ]을 따른다.
4
5
1
5
\
=32
/ E{X1}+V{X2}=60+32=92
061 답 12
이용객의 나이가 40~50대일 확률은
이므로 확률변수 X2는 이
한 번의 시행에서 썩은 사과가 나올 확률이
이므로 확률변수 X
1
4
는 이항분포 B
n,
[
1
4 ]을 따른다.
E{X}=16에서
=16
n\
1
4
/ n=64
따라서 확률변수 X는 이항분포 B
1
64,
4 ]을 따르므로
[
V{X}=64\
\
=12
1
4
3
4
확통PM 해설 05(048~061)OK.indd 58
2018-10-29 오후 12:02:43
한 번의 경기에서 승리할 확률이
이므로 확률변수 X는 이항분
4
5
E{X} =E{6Y-48}=6E{Y}-48=6\12-48=24
062 답 28
067 답 73
한 번의 시행에서 빨간 공이 나올 확률이
이므로 확률변수
한 번의 시행에서 당첨 제비가 나올 확률이
=
이므로 확률변
a
a+4
X는 이항분포 B
[
n,
a
a+4 ]를 따른다.
수 X는 이항분포 B
45,
1
3 ]을 따른다.
따라서 E{X}=45\
=15, V{X}=45\
\
=10이므로
2
6
1
3
1
3
2
3
=12 yy ㉠
E{X}=12에서
a
a+4
n\
V{X}=3에서
a
a+4
n\
\
[
1-
a
a+4 ]
=3
n\
a
a+4
\
4
a+4
=3
위의 식에 ㉠을 대입하면
=3
12\
4
a+4
/ a=12
이를 ㉠에 대입하면
3
4
/ a+n=12+16=28
n=12 / n=16
063 답 ⑤
포 B
50,
[
4
5 ]를 따른다.
4
5
따라서 E{X}=50\
=40이므로
E{2X-4} =2E{X}-4
=2\40-4=76
064 답 ③
V{X}=6\
\
=
이므로
2
3
1
3
4
3
V{-3X+5} ={-3}@V{X}=9\
=12
4
3
065 답 ④
1
6
1
6
1
6
E{X}=n\
=
n이므로
E{3X-2} =3E{X}-2
=3\
n-2=
n-2
1
2
이때 E{3X-2}=5에서
1
2
n-2=5,
1
2
n=7 / n=14
066 답 120
확률변수 X는 이항분포 B
40,
[
3
4
1
4
1
4 ]을 따른다.
15
2
이므로
따라서 V{X}=40\
\
=
V{4X+3}=4@V{X}=16\
=120
15
2
[
1
3
E{2X+3} =2E{X}+3
=2\15+3=33
V{2X+3} =2@V{X}
=4\10=40
/ E{2X+3}+V{2X+3}=33+40=73
068 답 ④
게임을 24번 할 때 동전의 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 Y라고
하면 뒷면이 나오는 횟수는 24-Y이므로
X=4Y-2{24-Y}=6Y-48
한 번의 게임에서 동전의 앞면이 나올 확률이
이므로 확률변수
1
2
Y는 이항분포 B
24,
[
따라서 E{Y}=24\
1
2 ]을 따른다.
1
2
=12이므로
핵심유형최종 점검하기
90~91쪽
1 답 ④
유형 02 확률질량함수의 성질 - P{X=xi 또는 X=xj}
P{X=1}=
P{X=2}에서
3
2
a=
\2b / a=3b
yy ㉠
3
2
확률의 총합은 1이므로
a+2b+3b=1 / a+5b=1 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
1
8
, b=
a=
3
8
/ P{X=1 또는 X=3} =P{X=1}+P{X=3}
3
4
=a+3b=
+3\
1
8
3
8
=
2 답 ②
유형 03 확률분포와 확률
/ X=0 또는 X=2
따라서 P{X=0}, P{X=2}를 구하면
P{X=0}=
P{X=2}=
3C0\7C3
10C3
=
3C2\7C1
10C3
=
7
24
7
40
05 이산확률변수와 이항분포 59
한 번의 시행에서 동전 2개가 모두 앞면이 나올 확률이
이므로
X@-2X=0에서 X{X-2}=0
1
4
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2018-10-29 오후 12:02:45
05 / P{X@-2X=0} =P{X=0 또는 X=2}
=P{X=0}+P{X=2}
=
7
24
+
=
7
40
7
15
따라서 확률변수 X에 대하여
1
5
즉, 구하는 기댓값은 200원이다.
E{X}=150\
+200\
3
5
+250\
=200
1
5
6 답 -22
유형 07 확률변수 aX+b의 평균, 분산, 표준편차 - X의 평균, 분산이 주어진 경우
유형 05 확률변수의 평균, 분산, 표준편차 - 확률분포가 주어지지 않은 경우
확률변수 X가 가지는 값은 0, 1, 2이고 각 값을 가질 확률은
/ a+b=2+{-24}=-22
3 답 ②
유형 04 확률변수의 평균, 분산, 표준편차 - 확률분포가 주어진 경우
a+
+b=1 / a+b=
yy ㉠
2
3
1\a+3\
+4\b=3 / a+4b=2 yy ㉡
확률의 총합은 1이므로
한편 E{X}=3에서
1
3
1
3
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
4
9
, b=
a=
2
9
/ b-a=
2
9
4 답
9
25
P{X=0}=
P{X=1}=
P{X=2}=
2C0\3C3
5C3
=
1
10
2C1\3C2
5C3
=
3
5
2C2\3C1
5C3
=
3
10
확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P{X=x}
0
1
10
1
3
5
2
3
10
합계
1
따라서 확률변수 X에 대하여
1
10
E{X}=0\
+1\
+2\
3
5
3
10
E{X@}=0@\
+1@\
+2@\
=
이므로
1
10
3
5
V{X}=E{X@}-9E{X}0@=
9
5
-
[
6
5 ]@=
9
25
6
5
,
=
3
10
9
5
게임을 한 번 하여 받을 수 있는 금액을 X원이라고 할 때, 확률변
수 X가 가지는 값은 150, 200, 250이고 각 값을 가질 확률은
5 답 200원
유형 06 상금의 기댓값
P{X=150}=
P{X=200}=
2C0\4C3
6C3
=
2C1\4C2
6C3
=
1
5
3
5
P{X=250}=
1
5
확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
2C2\4C1
6C3
=
X
P{X=x}
150
1
5
200
3
5
250
1
5
합계
1
60 정답과 해설
E{X}=24, E{X@}=676에서
V{X} =E{X@}-9E{X}0@
=676-24@=100
E{aX+b}=24에서
aE{X}+b=24
/ 24a+b=24 yy ㉠
V{aX+b}=400에서
a@V{X}=400, 100a@=400
a@=4
/ a=2 (? a>0}
이를 ㉠에 대입하면
48+b=24
/ b=-24
7 답 60
유형 07 확률변수 aX+b의 평균, 분산, 표준편차 - X의 평균, 분산이 주어진 경우
E{X}=m, r{X}=r이므로
E{T} =E
10\
X-m
r
+50
]
E{X}-
+50
\m-
+50=50
10m
r
10m
r
X-m
r
r{T} =r
10\
+50
=
]
10
r |
|
r{X}
=
=
[
10
r
10
r
[
10
r
=
\r=10
따라서 확률변수 T의 평균과 표준편차의 합은
E{T}+r{T}=50+10=60
8 답
4
25
확률의 총합은 1이므로
3
1
10
10
+b=1
+a+
/ a+b=
yy ㉠
3
5
한편 E{X}=
에서
12
5
1\
1
10
+2\a+3\
+4\b=
3
10
12
5
/ a+2b=
yy ㉡
7
10
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
1
10
, b=
a=
1
2
유형 08 확률변수 aX+b의 평균, 분산, 표준편차 - 확률분포가 주어진 경우
확통PM 해설 05(048~061)OK.indd 60
2018-10-29 오후 12:02:45
+3@\
+4@\
=
이므로
3
10
1
10
32
5
확률은
이때 시험 점수가 20점 미만이려면 X<2이어야 하므로 불합격할
P{X<2} =P{X=0}+P{X=1}
=5C0\
1
5 ])\
[
4
5 ]%+5C1\
[
1
5 ]!\
[
4
5 ]$
[
따라서 확률변수 X에 대하여
1
10
V{X) =E{X@}-9E{X}0@
E{X@}=1@\
+2@\
1
2
=
32
5
-
[
/ V{aX+b} =V
X+
16
25
12
5 ]@=
1
2
[
1
10 ]
=
[
=
1
4
1
2 ]@V{X}
4
16
25
25
=
\
9 답 ⑤
유형 09 확률변수 aX+b의 평균, 분산, 표준편차 - 확률분포가 주어지지 않은 경우
확률변수 X가 가지는 값은 1, 3, 5이고 각 값을 가질 확률은
2
6
1
2
확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
, P{X=5}=
, P{X=3}=
P{X=1}=
3
6
1
3
1
6
=
=
X
P{X=x}
1
1
6
3
1
3
5
1
2
합계
1
따라서 확률변수 X에 대하여
1
1
2
6
E{X}=1\
+3\
+5\
1
3
=
11
3
,
E{X@}=1@\
1
6
V{X} =E{X@}-9E{X}0@
+3@\
1
3
+5@\
1
2
=
47
3
이므로
=
47
3
-
[
11
3 ]@=
20
9
/ r{X}=1V{X}3=q
/ r{3X-5} =|3|r{X}
20
9 w=
2j5
3
=3\
2j5
3
=2j5
10 답 ①
유형 11 이항분포에서의 확률 - 이항분포가 주어지지 않은 경우
확률변수 X는 이항분포 B
4,
3
5 ]을 따르므로 X의 확률질량함수
[
는
P{X=x}=4Cx
[
3
5 ]X[
/ P{X>3} =P{X=3}+P{X=4}
2
5 ]$_X {x=0, 1, 2, 3, 4}
=4C3\
3
5 ]#\
[
2
5 ]!+4C4\
[
3
5 ]$\
[
2
5 ])
[
=
297
625
11 답 2304
유형 11 이항분포에서의 확률 - 이항분포가 주어지지 않은 경우
정답을 맞힌 문제 수를 X라고 하면 확률변수 X는 이항분포
B
5,
[
1
5 ]을 따르므로 X의 확률질량함수는
4
5 ]%_X{x=0, 1, 2, 3, 4, 5}
1
5 ]X[
P{X=x}=5Cx
[
=
2304
5%
2304
5%
2304
5%
따라서 p=
이므로
5%p=5%\
=2304
12 답
495
8
E{X}=
에서
15
2
30p=
/ p=
15
2
1
4
유형 12 이항분포의 평균, 분산, 표준편차 - 이항분포가 주어진 경우
즉, 확률변수 X는 이항분포 B
1
30,
4 ]을 따르므로
[
V{X}=30\
3
4
따라서 V{X}=E{X@}-9E{X}0@에서
45
8
1
4
=
\
E{X@} =V{X}+9E{X}0@
495
8
15
2 ]@=
45
8
=
+
[
13 답 2
유형 13 이항분포의 평균, 분산, 표준편차 - 이항분포가 주어지지 않은 경우
주머니에 들어 있는 검은 구슬의 개수를 x라고 하면 한 번의 시행
x
12
이므로 확률변수 X는 이항분포
에서 검은 구슬이 나올 확률은
B
36,
[
x
12 ]를 따른다.
E{X}=6에서
x
12
36\
=6 / x=2
따라서 주머니에 들어 있는 검은 구슬의 개수는 2이다.
14 답 15
유형 14 이항분포의 평균, 분산, 표준편차 - 확률변수가 aX+b인 경우
한 번의 시행에서 앞면이 나올 확률은
이므로 확률변수 X는 이
1
2
항분포 B
n,
[
1
2 ]을 따른다.
1
2
=
1
/ E{X}=n\
2
n, V{X}=n\
\
=
n
1
2
1
2
1
4
이때 E{X@}=60이고 V{X}=E{X@}-9E{X}0@이므로
1
4
]@, n@+n-240=0
n=60-
1
2
n
[
{n+16}{n-15}=0
/ n=15 {? n>0}
따라서 V{X}=
이므로
15
4
V{2X+7}=2@V{X}=4\
=15
15
4
05 이산확률변수와 이항분포 61
확통PM 해설 05(048~061)OK.indd 61
2018-10-29 오후 12:02:47
05 06 연속확률변수와 정규분포
유형01 ⑤
유형02 ⑤
유형03 ㄱ, ㄷ, ㄹ
유형04 ③
유형05 ⑤
유형06 ③
유형07 ④
유형08 ②
유형09 국어, 영어, 수학
유형10 ②
유형11 328
유형12 ③
유형13 ③
유형14 ②
유형15 10
001
1
8
002
1
3
003 ⑤
004 ①
005 ⑤
006 ④
007 ⑤
008 2
009
1
4
011 ㄱ
012 ④
013 ②
014 ㄷ
016 0.1574
017 0.6826
019 ⑤
020 ①
021 0.1587
010 j6
015 ④
018 ④
022 ③
024 ④
025 4
026 ③
027 ②
029 ②
030 0.8185
028
023 0.5
12
5
031 ㄱ, ㄴ, ㄷ
033 0.1359
032 0.4004
034 0.4514
035 18
036 23
037 ⑤
038 1.25 039 0.0668
040 2차 필기시험, 실기 시험, 1차 필기시험
041 ③
042 A, C, B
045 0.6687
043 ㄷ
044 0.3085
046 ⑤
047 0.0668
048 3
049 477 050 ④
051 2766명
052 47점 053 410초 054 55`m 055 2점
056 0.8351
057 51
058 0.9772
059 0.0082
062 0.0668
065 220 066 315 067 ②
060 ③
063 0.9332
061 0.84
068 0.9772
064 0.02
1
2
3
5 ③
2 ①
6 ④
3 ①
4 ㄱ, ㄴ, ㄷ
7 0.1587 8 ③
9 ④
10 ③
11 357
12 ③
62 정답과 해설
핵심 유형 94~96쪽
유형01 답 ⑤
f{x}=a{2x-3} {-1 0이고 그 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
이때 y=f{x}의 그래프와 x축 및 직선
x=0으로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이
y
6a
O
y=f{x}
6
x
\6\6a=1, 18a=1
어야 하므로
1
2
/ a=
1
18
/ f{x}=
{6-x} {0g{E{X2}}
ㄹ. 확률변수 X1, X2의 확률밀도함수의 그래프는 각각 직선
x=x1, x=x2에 대하여 대칭이므로
P{X1x2}=0.5
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
확통PM 해설 06(062~077)OK.indd 62
2018-10-29 오후 12:03:39
유형04 답 ③
m=60, r=4이므로
P{48P{Zb<1.7}>P{Zc<1}이므로
P{Xa<72}>P{Xb<75}>P{Xc<78}
따라서 지형이의 성적이 상대적으로 좋은 과목부터 순서대로 나
열하면 국어, 영어, 수학이다.
핵심 유형 완성하기 97~103쪽
001 답
1
8
f{x}=ax {00이고 그 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
이때 y=f{x}의 그래프와 x축 및 직선
x=4로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이어
y
4a
O
\4\4a=1, 8a=1
야 하므로
1
2
/ a=
1
8
y=f{x}
4
x
06 연속확률변수와 정규분포 63
확통PM 해설 06(062~077)OK.indd 63
2018-10-29 오후 12:03:39
06 따라서 확률밀도함수의 그래프이다.
따라서 확률밀도함수 y=f{x}의 그래프가 될 수 있는 것은 ⑤이
007 답 ⑤
y=f{x}의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이어야
y=f{x}의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이어야
002 답
1
3
하므로
1
2
/ k=
1
3
\{1+5}\k=1, 3k=1
003 답 ⑤
① 00이고 y=f{x}의 그래프와 x축으로 둘러
없다.
없다.
다.
싸인 부분의 넓이는
1
2
\2\1=1
004 답 ①
f{x}는 확률밀도함수이므로 a>0이고
그 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
이때 y=f{x}의 그래프와 x축으로 둘
러싸인 부분의 넓이가 1이어야 하므로
1
2
\5\2a=1, 5a=1
y
2a
/ a=
1
5
005 답 ⑤
f{x}=a{x+2} {-10이고 그 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
이때 y=f{x}의 그래프와 x축 및 두
직선 x=-1, x=1로 둘러싸인 부분
의 넓이가 1이어야 하므로
1
2
\{a+3a}\2=1, 4a=1
/ a=
1
4
/ f{x}=
{x+2} {-1V{X2}
ㄷ. E{X1}a}<0.5
E{X2}>a이므로 P{X2>a}>0.5
/ P{X1>a}a}
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ이다.
-111}에서 m=
=9
1
3
X
한편 V
]
[
/ V{X}=81
=9에서 [
1
3 ]@V{X}=9
즉, r@=81이므로 r=9 {? r>0}
/ m+r=9+9=18
014 답 ㄷ
ㄱ. A, B의 확률밀도함수의 그래프의 대칭축이 같으므로 A 동아
리 회원들과 B 동아리 회원들은 평균적으로 연습량이 같다.
ㄴ. B의 확률밀도함수의 그래프의 대칭축보다 C의 확률밀도함수
의 그래프의 대칭축이 오른쪽에 있으므로 연습량이 많은 회원
은 B 동아리보다 C 동아리에 더 많다.
ㄷ. B의 확률밀도함수의 그래프가 C의 확률밀도함수의 그래프보
다 가운데 부분의 높이가 높고 좁게 모여 있으므로 B 동아리
회원들이 C 동아리 회원들보다 연습량이 더 고르다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄷ이다.
015 답 ④
확률변수 X의 확률밀도함수는 x=12에서 최댓값을 갖고, 그 그래
프는 직선 x=12에 대하여 대칭이다.
P{a-63.1} =P{X>2.5+3\0.2}
=P{m-3rm+3r}
=P{X>m}-P{mm+2r}
한편 P{2m}-P{m3.1}=0.5-0.4987=0.0013
021 답 0.1587
m=5, r=3이므로
P{Y>33} =P{4X+1>33}
=P{X>8}=P{X>5+3}
=P{X>m+r}
=P{X>m}-P{m33}=0.5-0.3413=0.1587
022 답 ③
P{Xa}=0.0668에서
P{X>m}-P{m4k}=P{Y>3k}에서
3k
4 ]
4k-7
3
Zy>
[
Zx>
=P
P
]
[
따라서
4k-7
3
=
3k
4
이므로
16k-28=9k, 7k=28 / k=4
026 답 ③
따라서
X-72
r
=
X-m
4
이므로
m=72, r=4 / m+r=76
027 답 ②
P{Xa}에서
Z<
P
[
a-25
4
]
=P{Y>a}
/ P
Z<
[
a-25
4
]
=P{Y<-a}
따라서
=-a이므로
a-25
4
a-25=-4a, 5a=25 / a=5
028 답
12
5
확률변수 X가 정규분포 N{72, r@}을 따르므로 Z=
하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.
X-72
r
라고
따라서 1=
m-12
4
이므로
m-12=4 / m=16
확률변수 X가 정규분포 N{25, 4@}을 따르므로 Z=
X-25
4
하면 확률변수 Z, Y는 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.
라고
따라서
k-m
3
k-{m-4}
2
2k-2m=-3k+3m-12
=-
이므로
5m-5k=12
/ m-k=
12
5
029 답 ②
확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N{18, 6@}, N{m, 4@}을 따르므
로 Zx=
, Zy=
이라고 하면 확률변수 Zx, Zy는
X-18
6
Y-m
4
2P{0k}=P{Y
P
[
k-m
3
=P
Zy<
[
]
/ P
Zx>
[
k-m
3
=P
Zy>-
[
]
k-{m-4}
2
k-{m-4}
2
]
]
=P{-320} =P
Z>
[
20-32
4
]
=P{Z>-3}=P{Z<3}
=P{Z<0}+P{027}=0.0228에서
27-m
2
=0.0228
Z>
P
]
[
P{Z>0}-P
044} =P
Z>
[
44-32
4
]
=P{Z>3}
=P{Z>0}-P{042}
=P
[
37-40
2
[
42-40
2
]
=P{-1.51}
=P{0.50}-P{00.6}=0.2743
P{Z>0}-P{0
P
[
k
4 ]
=0.3085
P{Z>0}-P
015k} =P{X>30}
=P
Z>
[
30-24
4
]
=P{Z>1.5}
=0.5-0.4332
=0.0668
=P{Z>0}-P{0P
Zc<
[
9
10 ]
>P
Za<
[
8
9 ]이므로
P{Xb<67}>P{Xc<73}>P{Xa<68}
따라서 정연이가 다른 지원자보다 상대적으로 높은 점수를 받은
시험부터 순서대로 나열하면 2차 필기시험, 실기 시험, 1차 필기
시험이다.
041 답 ③
확률변수 X, Y, W가 각각 정규분포 N{59, 4@}, N{65, 5@},
이라고 하면 확률변수 Zx, Zy, Zw는 표준정규분포 N{0, 1}을
따른다.
a =P{X>65}=P
Zx>
=P{Zx>1.5}
b =P{Y<57}=P
=P{Zy<-1.6}
65-59
4
]
Zy<
[
57-65
5
]
[
[
=P{Zy>1.6}
c=P{W>73}=P
Zw>
=P{Zw>1}
73-67
6
]
이때 P{Zy>1.6}1.5}1}이므로
bP{Z3<-1.5}>P{Z2<-1.6}이므로
[
=P{Z3<-1.5}
P{X1<64}>P{X3<64}>P{X2<64}
따라서 자기 팀에서 상대적으로 하루 스마트폰 사용 시간이 많은
06 연속확률변수와 정규분포 69
040 답 2차 필기시험, 실기 시험, 1차 필기시험
지원자들의 1차 필기시험, 2차 필기시험, 실기 시험 점수를 각각
Xa점, Xb점, Xc점이라고 하면 확률변수 Xa, Xb, Xc는 각각
정규분포 N{60, 9@}, N{55, 12@}, N{64, 10@}을 따르므로
Za=
Xa-60
9
, Zb=
Xb-55
12
, Zc=
Xc-64
10
라고 하면 확률변수 Za, Zb, Zc는 표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.
직원부터 순서대로 나열하면 A, C, B이다.
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2018-10-29 오후 12:03:42
06 043 답 ㄷ
확률과 통계 시험 점수가 42점 이상 66점 이하일 확률은
보검이네 학교 학생들의 물리학, 화학, 생명과학, 지구과학 시험
P{42P
3
4 ]
P{Xb<54}>P{Xa<56}>P{Xd<74}>P{Xc<59}
3
5 ]
Za<
Zd<
Zc<
>P
>P
[
[
[
1
2 ]이므로
ㄱ. 물리학 성적이 지구과학 성적보다 상대적으로 높다.
ㄴ. 상대적으로 화학 성적이 가장 높고 생명과학 성적이 가장 낮다.
ㄷ. 화학 성적이 54점으로 가장 낮지만 물리학 성적보다 상대적으
로 높다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄷ이다.
42-58
8
[
a}=
=0.07
21
300
Z>
P
[
a-60
2
]
=0.07
P{Z>0}-P
024} =P
Z>
[
24-20
4
]
=P{Z>1}
=P{Z>0}-P{030} =P
Z>
[
30-20
5
]
=P{Z>2}
=P{Z>0}-P{0140} =P
Z>
[
140-120
10
]
045 답 0.6687
밥 한 공기의 열량을 X`kcal라고 하면 확률변수 X는 정규분포
N{320, 8@}을 따르므로 Z=
X-320
8
표준정규분포 N{0, 1}을 따른다.
이라고 하면 확률변수 Z는
=P{Z>2}
=P{Z>0}-P{0a}=0.01에서
Z>
P
[
a-5
2 ]
=0.01
P{Z>0}-P
031} =P
Z>
[
]
=P{Z>1.5}=P{Z>1.5}
=P{Z>0}-P{021} =P
Z>
[
21-20
2
]
=P{Z>0.5}
=P{Z>0}-P{0182} =P
Z>
[
182-169
6.5
]
=P{Z>2}
=P{Z>0}-P{0a}=0.08
Z>
P
[
a-40
5
]
=0.08
키위의 무게가 58`g 이상 66`g 이하일 확률은
66-62
2
P{581}
=P{Z>0}-P{0140} =P
Z>
[
140-143
6
]
=P{Z>-0.5}
=P{Z<0.5}
=P{Z<0}+P{00}-P
0
[
480-a
40
]
=0.04
P{Z>0}-P
0a}=
=0.02
3
150
Z>
P
[
a-45
5
]
=0.02
P{Z>0}-P
0a}=
=0.05
30
600
Z>
P
[
a-68
10 ]
=0.05
P{Z>0}-P
0b}=
=0.075
30+15
600
Z>
P
[
b-68
10 ]
=0.075
P{Z>0}-P
0
[
135
p ]
=P
X>135\
[
6
5 ]
=P{X>162}
=P
Z>
[
162-150
5
]
=P{Z>2.4}
=P{Z>0}-P{093}과 같다.
확률변수 X에 대하여
E{X}=100\
=90
V{X}=100\
\
=9
9
10
9
10
1
10
Z=
X-90
3
따른다.
따라서 주어진 식의 값은
P{X>93} =P
Z>
[
93-90
3
]
=P{Z>1}
=P{Z>0}-P{099} =P
Z>
[
99-90
6
]
=P{Z>1.5}
=P{Z>0}-P{0330
확률변수 X는 이항분포 B
1200,
[
1
4 ]을 따르므로
E{X}=1200\
=300
V{X}=1200\
\
=225
1
4
1
4
3
4
즉, 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N{300, 15@}을 따르므로
이라고 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N{0, 1}
Z=
X-300
15
을 따른다.
따라서 구하는 확률은
P{X>330} =P
Z>
[
330-300
15
]
=P{Z>2}
=P{Z>0}-P{01560
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즉, 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N{200, 10@}을 따르므로
이라고 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N{0, 1}
1
/ E{X}=400\
2
=200,
V{X}=400\
\
=100
1
2
1
2
Z=
X-200
10
을 따른다.
P{X>a}=0.02에서
a-200
10
Z>
P
]
[
=0.02
P{Z>0}-P
0k}=0.04에서
P{X-50<-k}+P{X-50>k}=0.04
P{X<50-k}+P{X>50+k}=0.04
Z<
P
[
50-k-50
7
]
+P
Z>
50+k-50
7
]
=0.04
[
k
7 ]
Z<-
P
[
+P
Z>
[
k
7 ]
=0.04
Z>
P
[
k
7 ]
+P
Z>
[
k
7 ]
=0.04
2P
Z>
[
k
7 ]
=0.04
Z>
P
[
k
7 ]
=0.02
P{Z>0}-P
0a}=0.1587에서
Z>
P
[
a-10
3
]
=0.1587
P{Z>0}-P
06a+6} =P{100-X>6\13+6}
=P{X<16}
=P
Z<
[
16-10
3
]
=P{Z<2}
=P{Z<0}+P{024} =P{X>15+3\3}
=P{X>m+3r}
=P{X>m}-P{m0이고
그 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
이때 y = f { x }의 그래프와 x축 및 두
직선 x=0, x=3으로 둘러싸인 부분의
y
a
y=f{x}
ㄷ. P{X<21} =P{X<15+2\3}
=P{Xk}=0.0026에서
P{X<-k}+P{X>k}=0.0026
P{X>k}+P{X>k}=0.0026
2P{X>k}=0.0026
P{X>k}=0.0013
P{X>m}-P{m1}
=P{Z>0}-P{0k}=0.0228에서
k-60
2
=0.0228
Z>
P
]
[
P{Z>0}-P
0
P
[
k-360
12
360-k
12
]
]
=0.4
=0.4
즉, 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N{360, 12@}을 따르므로
이라고 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N{0, 1}
학생들의 키를 X`cm라고 하면 확률변수 X는 정규분포 N{171, 7@}
이라고 하면 확률변수 Z는 표준정규분
P{Z>0}-P
0138} =P
Z>
[
138-144
6
]
=P{Z>-1}
=P{Z<1}
=0.5+0.3413
=0.8413
=P{Z<0}+P{0k}=
=0.05
10
200
Z>
P
[
k-55
8
]
=0.05
P{Z>0}-P
051} =P
Z>
51-50
1
2 0
9
=P{Z>2}
=P{Z>0}-P{0
=0.0668
jn k
2 ]
[
jn k
2 ]
P{Z>0}-P
07 / n>49
따라서 n의 최솟값은 49다.
유형10 답 95
x
-
-1.96\
에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은
5
jn k
/ |m-x
5
jn k
9.8 / n>96.04
|<1이어야 하므로
<
|<
9.8
jn k
유형12 답 ㄱ, ㄷ
표본의 크기가 n, 모표준편차가 r이므로 모평균을 신뢰도 a`%로
추정한 신뢰구간의 길이는
r
jn k
b-a=2k\
[단, P{|Z|0.2이어야 하므로
>0.2, jn k<40 / n<1600
8
jn k
따라서 n의 최댓값은 1600이다.
07 통계적 추정 79
확통PM 해설 07(078~087)OK.indd 79
2018-10-29 오후 12:04:13
07X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
005 답
11
3
확률의 총합은 1이므로
a+2a+3a=1, 6a=1 / a=
따라서 확률변수 X에 대하여
1
1
2
6
E{X}=1\
+3\
+5\
1
3
=
11
3
1
6
/ E{X
}=E{X}=
11
3
006 답 ④
확률변수 X에 대하여
3
10
E{X}=1\
+2\
2
5
+3\
+4\
=2,
1
5
1
10
E{X@}=1@\
+2@\
+3@\
+4@\
=5이므로
3
10
1
10
V{X}=E{X@}-9E{X}0@=5-2@=1
표본의 크기가 n이므로 V{X
}=
2
5
1
8
이때 V{X
}=
에서
1
n
1
8
=
/ n=8
007 답
1
2
확률의 총합은 1이므로
5
12
확률변수 X에 대하여
1
4
+
+a+b=1 / a+b=
yy ㉠
E{X} =0\
+1\
+2\a+3\b=2a+3b+
5
12
1
4
1
4
이때 E{X}=E{X
1
4
2a+3b+
}=1이므로
=1 / 2a+3b=
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=
1
4
따라서 확률변수 X에 대하여
5
12
E{X@}=0@\
+1@\
1
4
, b=
1
12
V{X}=E{X@}-9E{X}0@=2-1@=1
1
2
이때 표본의 크기가 2이므로 V{X
}=
+2@\
+3@\
=2이므로
1
12
P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1
008 답 1
확률의 총합은 1이므로
-k+2
10
+
+
1
5
k+2
10
+
k+1
5
=1
k+4
5
=1, k+4=5 / k=1
확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
1
5
1
n
1
3
3
4
1
4
따라서 확률변수 X에 대하여
E{X}=-1\
+0\
+1\
+2\
=1,
1
10
1
5
3
10
2
5
E{X@}={-1}@\
+0@\
+1@\
+2@\
=2이므로
1
10
1
5
3
10
2
5
V{X}=E{X@}-9E{X}0@=2-1@=1
/ r{X}=1V{X}3=1
이때 표본의 크기가 9이므로 r{X
}=
/ r{3X
+5}=|3|r{X
}=3\
=
1
3
1
j9
=1
1
3
009 답 ③
공 한 개를 임의로 꺼낼 때, 공에 적힌 수를 X라 하고 확률변수
X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P{X=x}
1
1
2
2
1
3
3
1
6
합계
1
따라서 확률변수 X에 대하여
1
1
6
2
E{X}=1\
+3\
+2\
1
3
=
5
3
,
E{X@}=1@\
+2@\
+3@\
=
이므로
1
2
1
6
10
3
10
3
-
[
5
3 ]@=
5
9
V{X} =E{X@}-9E{X}0@=
이때 표본의 크기가 4이므로
1
3
5
9
4
E{X
}=
, V{X
}=
=
/
=12
5
36
}
E{X
}
V{X
=
5
3
5
3
5
36
010 답 13000
동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라 하고 게임을 한 번 하여 나오는 모
든 경우를 표로 나타내면 다음과 같다.
500원
100원
상금(원)
H
H
T
T
H
T
H
T
600
500
100
0
게임을 한 번 하여 받을 수 있는 금액을 X원이라 하고 확률변수
X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P{X=x}
0
1
4
100
1
4
500
1
4
600
1
4
합계
1
따라서 확률변수 X에 대하여
1
4
E{X}=0\
+100\
1
4
+500\
+600\
=300,
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
E{X@}=0@\
+100@\
+500@\
+600@\
=155000이므로
V{X}=E{X@}-9E{X}0@=155000-300@=65000
X
P{X=x}
-1
1
10
0
1
5
1
3
10
2
2
5
합계
1
이때 표본의 크기가 5이므로
V{X
}=
=13000
65000
5
80 정답과 해설
확통PM 해설 07(078~087)OK.indd 80
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X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
011 답 ⑤
구슬 한 개를 임의로 꺼낼 때, 구슬에 적힌 수를 X라 하고 확률변
014 답 ②
모집단이 정규분포 N{140, 8@}을 따르고 표본의 크기가 n이므로
수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P{X=x}
표본평균 X
는 정규분포 N
140,
8@
n ], 즉 N
140, [
[
8
[
jn k ]@ ]을 따
합계
1
른다.
이때 표본평균 X
는 정규분포 N{140, 4@}을 따르므로
012 답 ②
과일 바구니 한 개를 임의로 택할 때, 과일 바구니의 무게를 X`kg
이라 하고 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
3
2
7
1
1
4
따라서 확률변수 X에 대하여
2
2
7
7
E{X}=3\
+5\
+7\
3
7
=5,
E{X@}=3@\
+5@\
+7@\
=
이므로
3
7
2
7
191
7
2
7
V{X}=E{X@}-9E{X}0@=
-5@=
191
7
16
7
표본의 크기가 n이므로
16
7
n
V{X
16
7n
}=
=
이때 V{X
}=
에서
1
14
16
7n
=
1
14
/ n=32
5
3
7
2
1
2
7
2
7
3
1
4
X
P{X=x}
따라서 확률변수 X에 대하여
1
1
4
4
E{X}=1\
+2\
+3\
1
2
=2,
E{X@}=1@\
+2@\
+3@\
=
이므로
1
4
1
2
V{X}=E{X@}-9E{X}0@=
-2@=
1
4
9
2
9
2
1
2
1
2
= j2
2
/ r{X}=1V{X}3=q
표본의 크기가 n이므로
j2
2
j2
2jn k
jn k
-2} =|6|r{X
/ r{6X
r{X
}=
=
이때 r{6X
-2}=
에서
j3
2
=
j3
2
3j2
jn k
jn k=2j6 / n=24
}=6\
j2
2jn k
=
3j2
jn k
013 답 a=72, b=3
모집단이 정규분포 N{a, 6@}을 따르고 표본의 크기가 4이므로 표
본평균 X
는 정규분포 N
a,
6@
4 ], 즉 N{a, 3@}을 따른다.
[
이때 표본평균 X
는 정규분포 N{72, b@}을 따르므로
a=72, b=3 {? b>0}
=4
8
jn k
jn k=2 / n=4
015 답 0.8413
모집단이 정규분포 N{350, 12@}을 따르고 표본의 크기가 36이므로
표본평균 X
는 정규분포 N
350,
12@
36 ], 즉 N{350, 2@}을 따른다.
[
Z=
X
-350
2
이라고 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N{0, 1}을
따르므로 구하는 확률은
P{X
>348} =P
Z>
[
348-350
2
]
=P{Z>-1}
=P{Z<1}
=P{Z<0}+P{0k}=0.994에서
>289}=0.9772에서
X
Z=
-300
33
jn k
을 따르므로 P{X
P
Z>
=0.9772
289-300
33
jn k 0
9
Z>-
P
[
jn k
3 ]
=0.9772
Z<
P
[
jn k
3 ]
=0.9772
P{Z<0}+P
0
Z>
9
P
P
jn k
8 ]
[
>152}=0.0668에서
=0.0668
P{Z>0}-P
02k-12}=0.994
P{Z<12-2k}=0.994
P{Z<0}+P{02080} =P{X
>520}
=P
Z>
[
520-500
8
]
=P{Z>2.5}
=P{Z>0}-P{00.9544
30-40
10
jn k
<50}>0.9544에서
50-40
10
jn k 0
9
P{-jn k0.9544
P{-jn k0.9544
2P{00.9544
/ P{00.4772
이때 P{02 / n>4
따라서 n의 최솟값은 4이다.
m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은
14
j49k
15
25
jn k
/ n>225
따라서 n의 최솟값은 225이다.
07 통계적 추정 83
확통PM 해설 07(078~087)OK.indd 83
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07X
X
033 답 ⑤
모표준편차를 r라고 하면 표본의 크기가 4일 때, 모평균을 신뢰도
99 %로 추정한 신뢰구간의 길이가 2.58이므로
2\2.58\
=2.58 / r=1
=0.9이므로 a=90
즉,
a
100
/ a+8=98
이때 P{014 / n>196
따라서 n의 최솟값은 196이므로 적어도 196개의 바나나를 조사해
표본의 크기가 25, 모표준편차가 25이므로 P{|Z|4.3 / n>18.49
039 답 9604
모평균을 m, 표본평균을 x
에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은
r
jn k
+1.96\
-1.96\
98 / n>9604
따라서 n의 최솟값은 9604이다.
040 답 32개
표본의 크기를 n, 모평균을 m, 표본평균을 x
라고 하면 모표준편
차가 20이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은
표본의 크기가 100, 모표준편차가 5이므로 P{|Z|5.6 / n>31.36
jn k
따라서 최소 32개를 조사해야 한다.
84 정답과 해설
확통PM 해설 07(078~087)OK.indd 84
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X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
041 답 ⑤
표본의 크기를 n, 모표준편차를 r라고 하면 모평균을 신뢰도 a %
3 답 46
유형 03 표본평균의 평균, 분산, 표준편차 - 모집단이 주어진 경우
로 추정한 신뢰구간의 길이는
카드 한 장을 임의로 꺼낼 때, 카드에 적힌 수를 X라 하고 확률변
수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X
P{X=x}
3
1
4
5
5
16
7
7
16
합계
1
2k\
r
jn k
a
100 ]
ㄱ. 신뢰도가 낮아지면 k의 값이 작아지므로 신뢰구간의 길이는
[단, P{|Z|0}
1
2
/ ab=36
5 답
81
2
유형 05 표본평균의 확률
모집단이 정규분포 N{72, 3@}을 따르고 표본의 크기가 36이므로
3@
72, [
36 ], 즉 N
[
1
2 ]@]을 따른다.
72,
는 정규분포 N
[
표본평균 X
이때 표본평균 X
는 정규분포 N{a, b@}을 따르므로
모집단이 정규분포 N{40, 4@}을 따르고 표본의 크기가 64이므로
4@
40, [
64 ], 즉 N
[
40,
는 정규분포 N
[
1
2 ]@]을 따른다.
표본평균 X
=2X
-80이라고 하면 확률변수 Z는 표준정규분포
X
Z=
-40
1
2
N{0, 1}을 따르므로 P{X
>k}<0.1587에서
P{Z>2k-80}<0.1587
P{Z>0}-P{00.3413
이때 P{01, 2k>81
/ k>
81
2
따라서 k의 최솟값은
이다.
81
2
6 답 0.0668
유형 05 표본평균의 확률
모집단이 정규분포 N{120, 12@}을 따르고 표본의 크기가 9이므로
표본평균 X
는 정규분포 N
120,
[
12@
9 ], 즉 N{120, 4@}을 따른다.
07 통계적 추정 85
확통PM 해설 07(078~087)OK.indd 85
2018-10-29 오후 12:04:16
07X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Z=
-60
24
jn k
따르므로 P{X
66-60
24
jn k 0
=0.0228
Z>
Z>
9
P
P
jn k
4 ]
[
>66}=0.0228에서
=0.0228
P{Z>0}-P
01.5}
=P{Z>0}-P{0324
<43, jn k>18
따라서 n의 최솟값은 324이다.
13 답
1
4
유형 12 신뢰구간의 성질
표본의 크기가 100, 표본평균이 120, 모표준편차가 20이므로 모평
|<43이어야 하므로
균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은
20
j100l
