Ⅰ 실수와 그 연산
1. 제곱근과 실수
01 제곱근의 뜻과 표현
7~8쪽
36, 36, 6, -6
1
1-1 100, 100, 10, -10
2 ⑴ —1 ⑵ —8 ⑶ 없다. ⑷ — ⑸ —0.1
2
5
2-1 ⑴ —7 ⑵ 0 ⑶ — ⑷ — ⑸ 없다.
1
4
3
8
⑹ —0.6
⑹ —0.9
3 ⑴ —5 ⑵ —9 ⑶ —1 ⑷ —7 ⑸ — ⑹ —
3-1 ⑴ —4 ⑵ —10 ⑶ —2 ⑷ —12 ⑸ — ⑹ —
1
6
1
8
3
11
5
13
4 ⑴ —'5 ⑵ —'∂11 ⑶ —Æ
⑷ —'∂0.8
4-1 ⑴ —'8 ⑵ —'∂23 ⑶ —Æ
⑷ —'∂0.6
5 ⑴ 2 ⑵ -5 ⑶ 0.3 ⑷ -
5-1 ⑴ 3 ⑵ -6 ⑶ -0.4 ⑷
1
2
3
7
7
10
12
5
2 ⑷ {
2
5
2
}¤ ={- }¤ = (cid:9195)
5
4
2
25
5
⑸ 0.1¤ =(-0.1)¤ =0.01 (cid:9195) 0.01의 제곱근：—0.1
⑹ 0.6¤ =(-0.6)¤ =0.36 (cid:9195) 0.36의 제곱근：—0.6
의 제곱근：—
4
25
2-1 ⑷ {
3
8
3
}¤ ={- }¤ = (cid:9195)
8
9
64
9
64
의 제곱근：—
3
8
⑸ -0.25는 음수이므로 제곱근은 없다.
⑹ 0.9¤ =(-0.9)¤ =0.81 (cid:9195) 0.81의 제곱근：—0.9
3 ⑴ 5¤ =25의 제곱근：—5
⑵ 9¤ =81의 제곱근：—9
⑶ (-1)¤ =1의 제곱근：—1
⑷ (-7)¤ =49의 제곱근：—7
1
1
⑸ {- }¤ = 의 제곱근：—
6
36
3
⑹ {- }¤ =
11
9
121
의 제곱근：—
1
6
3
11
3-1 ⑴ 4¤ =16의 제곱근：—4
⑵ 10¤ =100의 제곱근：—10
⑶ (-2)¤ =4의 제곱근：—2
⑷ (-12)¤ =144의 제곱근：—12
1
1
1
⑸ {- }¤ = 의 제곱근：—
8
64
8
5
⑹ {- }¤ =
13
의 제곱근：—
25
169
5
13
5 ⑴ '4는 4의 양의 제곱근이므로 2
⑵ -'∂25는 25의 음의 제곱근이므로 -5
∂0.09는 0.09의 양의 제곱근이므로 0.3
⑶ 'ƒ
⑷ -Æ…
49
100
는
49
100
의 음의 제곱근이므로 -
7
10
5-1 ⑴ '9는 9의 양의 제곱근이므로 3
⑵ -'∂36은 36의 음의 제곱근이므로 -6
⑶ -'ƒ
⑷ 'ƒ144는 144의 양의 제곱근이므로 12
∂0.16은 0.16의 음의 제곱근이므로 -0.4
'ƒ144
5
=
12
5
∴
6 ⑴ 6의 양의 제곱근：'6(㉡)
⑵ 6의 음의 제곱근：-'6(㉢)
⑶ 6의 제곱근：—'6(㉠)
⑷ 제곱근 6：'6(㉡)
6-1 ⑸ 16의 양의 제곱근：'∂16 (cid:9195) 4
⑹ 제곱근 25：'∂25 (cid:9195) 5
01 ① 4의 제곱근은 —2이다.
③ x가 a의 양의 제곱근 (cid:9195) x¤ =a
④ 제곱근 17 (cid:9195) '∂17
02 ① 100의 제곱근은 —10의 2개이다.
② 4¤ =16의 제곱근은 —4이다.
④ 제곱근 0.01은 'ƒ0.01=0.1이다.
03 ① '∂49는 49의 양의 제곱근이므로 7
④ 'ƒ0.04는 0.04의 양의 제곱근이므로 0.2
04 0.36의 제곱근：—'ƒ0.36=—0.6
400의 제곱근：—20
따라서 제곱근을 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 있는 것은
0.36, 400의 2개이다.
05 '∂16=4의 양의 제곱근은 2(cid:100)(cid:100)∴ a=2
(-3)¤ =9의 음의 제곱근은 -3(cid:100)(cid:100)∴ b=-3
∴ a-b=2-(-3)=5
06 (-5)¤ =25의 양의 제곱근은 5(cid:100)(cid:100)∴ a=5
'∂81=9의 음의 제곱근은 -3(cid:100)(cid:100)∴ b=-3
∴ ab=5_(-3)=-15
Ⅰ. 실수와 그 연산 01
6 ⑴ - ㉡, ⑵ - ㉢, ⑶ - ㉠, ⑷ - ㉡
6-1 ⑴ '∂10 ⑵ -'∂15 ⑶ —'∂0.3 ⑷ '∂13 ⑸ 4 ⑹ 5
01 ②, ⑤
05 ⑤
02 ③, ⑤
06 ②
03 ①, ④
04 ②
9쪽
02 제곱근의 성질과 대소 관계
11~13쪽
1 ⑴ 8 ⑵ - ⑶
⑷ 3.4
3
4
1-1 ⑴ 100 ⑵
⑶ -0.3 ⑷ -
2
3
1
6
2
5
2 ⑴ 2x, -2x ⑵ 3x, -3x ⑶ x-5, -x+5
2-1 ⑴ x ⑵ -4x ⑶ x+2 ⑷ -x-2
3 ⑴ 4 ⑵ 11, 16, 19
4 ⑴ 10 ⑵ 2
5 ⑴ < ⑵ > ⑶ < ⑷ <
5-1 ⑴ < ⑵ > ⑶ < ⑷ <
3, 9, 5, 6, 7, 8
6
6-1 ⑴ 10개 ⑵ 11개
2-1 ⑴ x>0이면 -x<0이므로 "√(-x)¤ =-(-x)=x
⑵ x<0이면 4x<0이므로 "√(4x)¤ =-4x
⑶ x>-2이면 x+2>0이므로 "√(x+2)¤ =x+2
⑷ x<-2이면 x+2<0이므로 "√(x+2)¤ =-x-2
3 ⑴ 'ƒ5+x가 자연수가 되려면 5+x는 제곱수이고 x가 자연수이
므로 5+x>5, 즉 5보다 큰 제곱수는 9, 16, 25, y
따라서 x의 값이 가장 작은 자연수가 되려면
5+x=9(cid:100)(cid:100)∴ x=4
⑵ 'ƒ20-x가 자연수가 되려면 20-x는 제곱수이고 x가 자연
수이므로 20-x<20, 즉 20보다 작은 제곱수는 1, 4, 9, 16
20-x=1에서 x=19, 20-x=4에서 x=16
20-x=9에서 x=11, 20-x=16에서 x=4
이때 x는 두 자리의 자연수이므로 11, 16, 19이다.
4 ⑴ '∂40x="√2‹ _5_x가 자연수가 되려면 소인수의 지수가 모두
짝수가 되어야 하므로 자연수 x는 x=2_5_(자연수)¤ 의 꼴
따라서 가장 작은 자연수 x는 10이다.
⑵ -4<-'x<-2에서 2<'x<4이고, 각 변이 모두 양수
따라서 부등식을 만족하는 자연수 x는
16, 17, y, 24, 25의 10개이다.
이므로 각 변을 제곱하면 4<x<16
따라서 부등식을 만족하는 자연수 x는
5, 6, y, 14, 15의 11개이다.
14~15쪽
03 ⑴ 2 ⑵ 18 ⑶ 8 ⑷ 4
06 2a-2b
10 8
14 -'5, -'3, '6, 3, '∂11
07 4
11 ④
01 ③, ④
04 ④
08 1
12 ③
15 8개
02 ④
05 -4a
09 9
13 ②, ④
16 22
01 ① "√(-3)¤ =3 ② (-'5)¤ =5
③ -"ç6¤ =-6
④ "√(-7)¤ =7 ⑤ -"√(-8)¤ =-8
02 ①, ②, ③, ⑤ 2(cid:100)(cid:100)④ -2
03 ⑴ "ç7¤ -"√(-5)¤ =7-5=2
⑵ (-'6 )¤ _"√(-3)¤ =6_3=18
⑶ "√(-12)¤ ÷æ≠{
3
2
}¤ =12÷ =12_ =8
3
2
2
3
⑷ ('3)¤ _(-'3)¤ -"√(-5)¤ =3_3-5=4
2
04 ④ "√(-4)¤ ÷{-Æ }¤ =4÷ =4_ =6
3
2
3
3
2
⑤ "√(-8)¤ _(-'2)¤ -"√(-6)¤ ÷'4=8_2-6÷2=13
05 a<0이면 -a>0, 4a<0이므로
"ça¤ -"√(-a)¤ +"√(4a)¤ =-a-(-a)+(-4a)
=-a+a-4a=-4a
50
⑵ Æ… =æ≠
x
2_5¤
x
이 자연수가 되려면 소인수의 지수가 모두
06 a>0, b<0이면 -a<0, -b>0이므로
짝수가 되어야 하므로 자연수 x는 x=2_(자연수)¤ 의 꼴
이때 x는 50의 약수이므로 가장 작은 자연수 x는 2이다.
"ça¤ +"çb¤ +"√(-a)¤ +"√(-b)¤ =a-b-(-a)+(-b)
=2a-2b
5 ⑴ 3<5이므로 '3<'5
⑵ 5<7이므로 '5<'7(cid:100)(cid:100)∴ -'5>-'7
⑶ 4='∂16이므로 '∂15<'∂16, 즉 '∂15<4
1
⑷ =Æ 이므로 Æ <Æ , 즉 <Æ
4
1
2
1
3
1
4
1
2
1
3
5-1 ⑴ 2<3이므로 '2<'3
⑵ 9<11이므로 '9<'∂11(cid:100)(cid:100)∴ -'9>-'∂11
⑶ 6='∂36이므로 '∂35<'∂36, 즉 '∂35<6
⑷ =Æ… 이므로 Æ… <Æ , 즉 <Æ
5
2
4
3
5
2
16
9
16
9
4
3
6-1 ⑴ 4…'x…5에서 각 변이 모두 양수이므로 각 변을 제곱하면
16…x…25
02 정답 및 풀이
07 -2<x<2이면 x-2<0, -2-x<0이므로
"√(x-2)¤ +"√(-2-x)¤ =-(x-2)-(-2-x)
=-x+2+2+x=4
08 1<x<2이면 x-1>0, x-2<0이므로
"√(x-1)¤ +"√(x-2)¤ =x-1-(x-2)
=x-1-x+2=1
09 '∂
ƒ25-x가 자연수가 되려면 25-x는 제곱수이고 x가 자연수이
므로 25-x<25, 즉 25보다 작은 제곱수는 1, 4, 9, 16
25-x=1에서 x=24, 25-x=4에서 x=21
25-x=9에서 x=16, 25-x=16에서 x=9
따라서 가장 작은 자연수 x는 9이다.
10 'ƒ17+x가 자연수가 되려면 17+x는 제곱수이고 x가 자연수이
므로 17+x>17, 즉 17보다 큰 제곱수는 25, 36, 49, y
따라서 x의 값이 가장 작은 자연수이려면
17+x=25(cid:100)(cid:100)∴ x=8
11 'ƒ24x="√2‹ _3_x가 자연수가 되려면 소인수의 지수가 모두
짝수가 되어야 하므로 자연수 x는 x=2_3_(자연수)¤ 의 꼴
① 6=2_3_1¤ ② 24=2_3_2¤ ③ 54=2_3_3¤
④ 72=2_3_2¤ _3 ⑤ 96=2_3_4¤
따라서 자연수 x의 값이 될 수 없는 것은 ④이다.
12 Æ…
160
x
=æ≠
2fi _5
x
가 자연수가 되려면 소인수의 지수가 모두
짝수가 되어야 하므로 자연수 x는 x=2_5_(자연수)¤ 의 꼴
이때 x는 160의 약수이므로 가능한 x는
2_5_1¤ =10, 2_5_2¤ =40, 2_5_4¤ =160의 3개이다.
13 ① 2='4이므로 '3<'4(cid:100)(cid:100)∴ '3<2
② 13<15이므로 '∂13<'∂15
③ 2<3이므로 '2<'3(cid:100)(cid:100)∴ -'2>-'3
④ 2='4이므로 '5>'4, -'5<-'4(cid:100)(cid:100)∴ -'5<-2
⑤ -'3은 음수, '2는 양수이므로 -'3<'2
따라서 옳은 것은 ②, ④이다.
14 3<5이므로 '3<'5(cid:100)(cid:100)∴ -'5<-'3
6<9<11이므로 '6<'9<'∂11(cid:100)(cid:100)∴ '6<3<'∂11
∴ -'5<-'3<'6<3<'∂11
15 각 변을 제곱하면 9<2x<25(cid:100)(cid:100)∴ <x<
9
2
25
2
따라서 주어진 부등식을 만족하는 자연수 x는 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12의 8개이다.
16 각 변을 제곱하면 25<x+2<49(cid:100)(cid:100)∴ 23<x<47
따라서 주어진 부등식을 만족하는 자연수 x 중에서 가장 작은 수
는 24, 가장 큰 수는 46이므로 a=24, b=46
∴ b-a=46-24=22
01 ④
05 ⑤
09 ③
13 1
02 ③, ⑤
06 ①
10 ②
14 -3a-2b
03 ④
07 49
11 4개
16~17쪽
04 81, -81
08 ②, ⑤
12 -'∂20
02 ① 0의 제곱근은 0이다.
② 제곱근 9는 3이다.
④ 음수의 제곱근은 없다.
03 직사각형의 넓이는 3_5=15
넓이가 15인 정사각형의 한 변의 길이는 '∂15이다.
04 (-3)› =81이고 "ça¤ =|a|이므로
"ça¤ =81인 a의 값은 81, -81이다.
05 ① 49의 제곱근은 —7
② '∂81=9의 제곱근은 —3
③ 0.36의 제곱근은 —0.6
24
25
⑤
의 제곱근은 —Æ…
24
25
25
64
④
의 제곱근은 —
5
8
06 0.64의 양의 제곱근은 0.8이므로 a=0.8
81
16
의 음의 제곱근은 - 이므로 b=-
9
4
∴ 5ab=5_0.8_{- }=-9
9
4
9
4
1
07 "√(-9)¤ _"ç3› -(-'8)¤ ÷æ≠{- }¤
4
1
="√(-9)¤ _"ç9¤ -(-'8)¤ ÷æ≠{- }¤
4
1
=9_9-8÷ =81-32=49
4
08 ① 7>5이므로 '7>'5
③ 3='9이므로 '9>'8(cid:100)(cid:100)∴ 3>'8
④ 6>5이므로 '6>'5(cid:100)(cid:100)∴ -'6<-'5
09 ③ a+2<0이므로 "√(a+2)¤ =-(a+2)=-a-2
10 '∂26…'∂4x…6에서 26…4x…36(cid:100)(cid:100)∴ 6.5…x…9
따라서 주어진 부등식을 만족하는 자연수 x는 7, 8, 9이므로 구
하는 합은 7+8+9=24
11 Æ…
108
n
=æ≠
2¤ _3‹
n
이 자연수가 되려면 소인수의 지수가 모두
짝수가 되어야 하므로 자연수 n은 n=3_(자연수)¤ 의 꼴
이때 n은 108의 약수이므로 가능한 n은 3_1¤ =3, 3_2¤ =12,
3_3¤ =27, 3_2¤ _3¤ =108의 4개이다.
12
a>0일 때, 제곱근의 성질에서 ('a)¤ =a, (-'a)¤ =a,
"√a¤ =a, "√(-a)¤ =a임을 이용한다.
"√(-4)¤ =4, -"ç4¤ =-4, -'∂20,
(-'∂20)¤ =20, "√(-15)¤ =15
이때 -4와 -'∂20은 음수이고 4='∂16이므로 '∂16<'∂20, 즉
4<'∂20(cid:100)(cid:100)∴ -4>-'∂20
따라서 가장 작은 수는 -'∂20이다.
13
3-'7과 2-'7의 부호를 먼저 확인한다.
'4<'7<'9에서 2<'7<3이므로 3-'7>0, 2-'7<0
∴ "√(3-'7 )¤ +"√(2-'7 )¤ =3-'7-(2-'7 )
=3-'7-2+'7=1
14
a, b의 부호를 이용하여 a-b, -2a, 3b의 부호를 먼저 확인한다.
ab<0에서 a, b의 부호는 서로 다르고 a<b이므로 a<0, b>0
즉, a-b<0, -2a>0, 3b>0
∴ "√(a-b)¤ +"√(-2a)¤ -"ç(3b)¤
=-(a-b)+(-2a)-3b
=-a+b-2a-3b=-3a-2b
Ⅰ. 실수와 그 연산 03
03 무리수와 실수
19~21쪽
1-1 ③
2-1 2개
3-1 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ ×
1 ③, ⑤
'3, p
2
3 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ ×
4 ⑴ 2 ⑵ '2 ⑶ P(1+'2)
4-1 ⑴ 5 ⑵ AD”='5, P(-2-'5)
⑶ AB”='5, Q(-2+'5)
5 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ ◯
6 ⑴ > ⑵ < ⑶ > ⑷ < ⑸ >
6-1 ⑴ < ⑵ < ⑶ < ⑷ > ⑸ >
7-1 ①, ⑤
7 ②, ③
5-1 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ ◯
1 ① 유리수는 양수, 0, 음수로 나뉜다.
② Æ = 이므로 유리수이다.
9
4
3
2
④ 유리수에는 정수가 아닌 유리수도 있다.
4
1-1 ③ 0.H1H2= = 이므로 유리수이다.
33
12
99
2
2 '4=2, 0= , 0.H6= = , -Æ… =- 이므로 유리수
3
25
4
5
2
6
9
0
1
이다. 따라서 무리수는 '3, p이다.
2-1 -'9=-3,
, 0.4H31H5=
99
4
4315-4
9990
=
4311
9990
=
479
1110
이
므로 유리수이다. 따라서 무리수는 , -'∂15의 2개이다.
p
2
3 ⑴ 0.H3= = 과 같이 무한소수이지만 유리수인 수도 있다.
3
9
1
3
⑶ 유리수이면서 무리수인 수는 없다.
3-1 ⑴ '4=2이므로 유리수이다.
⑵ 순환하지 않는 무한소수는 무리수이고 무리수는 실수이다.
⑶ '4=2와 같이 "√(제곱수)는 유리수이다.
4 ⑴ (cid:8772)ABCD=2_2-{ _1_1}_4=4-2=2
1
2
⑵ 넓이가 2인 정사각형의 한 변의 길이는 '2이므로
AB”='2
⑶ AP”=AB”='2이므로 P(1+'2)
4-1 ⑴ (cid:8772)ABCD=3_3-{ _2_1}_4=9-4=5
1
2
⑵ 넓이가 5인 정사각형의 한 변의 길이는 '5이므로
AD”='5
이때 AP”=AD”='5이므로 P(-2-'5)
⑶ AB”='5이고 AQ”=AB”='5이므로 Q(-2+'5)
5 ⑴ 1과 2 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다.
5-1 ⑴ 수직선은 실수에 대응하는 점으로 완전히 메울 수 있고, 실수
는 유리수와 무리수로 이루어져 있다.
04 정답 및 풀이
6 ⑴ 1+'2-2='2-1>0(cid:100)(cid:100)∴ 1+'2>2
⑵ 양변에서 3을 빼면 -2<-'2(cid:100)(cid:100)∴ 1<3-'2
⑶ 양변에 1을 더하면 3>'5(cid:100)(cid:100)∴ 2>'5-1
⑷ 양변에서 2를 빼면 '5<'6(cid:100)(cid:100)∴ 2+'5<2+'6
⑸ 양변에 3을 더하면 '∂15>'∂14(cid:100)(cid:100)∴ '∂15-3>'∂14-3
6-1 ⑴ 양변에서 1을 빼면 '3<2(cid:100)(cid:100)∴ 1+'3<3
⑵ 양변에 2를 더하면 '2<2(cid:100)(cid:100)∴ '2-2<0
⑶ 양변에서 2를 빼면 2<'6(cid:100)(cid:100)∴ 4<'6+2
⑷ 양변에서 3을 빼면 '∂11>'∂10(cid:100)(cid:100)∴ 3+'∂11>3+'∂10
⑸ 양변에 2를 더하면 '7>'6(cid:100)(cid:100)∴ '7-2>'6-2
7 ① 양변에서 3을 빼면 '2>1(cid:100)(cid:100)∴ 3+'2>4
② 양변에 '2를 더하면 '3<2(cid:100)(cid:100)∴ '3-'2<2-'2
③ 양변에서 1을 빼면 '2<'3(cid:100)(cid:100)∴ 1+'2<1+'3
④ 양변에서 1을 빼면 '5<3(cid:100)(cid:100)∴ '5+1<4
⑤ 양변에서 2를 빼면 '3<2(cid:100)(cid:100)∴ 2+'3<4
7-1 ① 양변에 2를 더하면 '2>1(cid:100)(cid:100)∴ '2-2>-1
② '3=1.7y이므로 '3+1=2.7y(cid:100)(cid:100)∴ '3+1<3
③ 양변에서 '2를 빼면 '5>2(cid:100)(cid:100)∴ '5+'2>2+'2
④ 양변에서 2를 빼면 '2<2(cid:100)(cid:100)∴ '2+2<4
⑤ 양변에 '2를 더하면 '7<3(cid:100)(cid:100)∴ '7-'2<3-'2
22~23쪽
03 ⑤
02 ④
05 ⑴ 5 ⑵ '5 ⑶ P(3-'5), Q(3+'5)
01 '2, p, -'8
04 ④, ⑤
06 ⑴ 10 ⑵ '∂10 ⑶ P(-1-'∂10), Q(-1+'∂10)
07 P(-3-'6), Q(-3+'6)
08 2-'7, 2+'7
11 B<A<C
09 ③, ④
12 ①
10 ③
01 '∂100=10, 0.H5= , -Æ =- 이므로 유리수이다.
5
9
1
9
1
3
따라서 무리수는 '2, p, -'8이다.
02 ② 0.H7= ③ '∂121=11 ⑤ Æ… =
4
81
2
9
순환하지 않는 무한소수는 무리수이므로 무리수인 것은 ④이다.
03 ① 순환하지 않는 무한소수는 무리수이다.
② 0.H2= 와 같이 무한소수 중 순환소수는 유리수이다.
7
9
2
9
③ 순환소수는 유리수이다.
④ '∂30은 무리수이므로
(정수)
(0이 아닌 정수)
⑤ 무한소수 중 순환소수는 유리수이다.
의 꼴로 나타낼 수 없다.
04 ① p는 무리수이지만 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 있다.
02 Æ… = , "ç7¤ =7로 유리수이고 p, '2, '3+1은 무리수이다.
9
25
3
5
② 3.14는
314
100
=
157
50
이므로 유리수이다.
③ 0.H1= 처럼 무한소수인 유리수도 있다.
1
9
05 ⑴ (cid:8772)ABCD=3_3-{ _2_1}_4=9-4=5
1
2
⑵ 넓이가 5인 정사각형의 한 변의 길이는 '5이므로 AD”='5
⑶ AP”=AD”이므로 P(3-'5)
AQ”=AB”이므로 Q(3+'5)
1
06 ⑴ (cid:8772)ABCD=4_4-{ _3_1}_4=16-6=10
2
⑵ 넓이가 10인 정사각형의 한 변의 길이는 '∂10이므로
AD”='∂10
⑶ AP”=AD”이므로 P(-1-'∂10)
AQ”=AB”이므로 Q(-1+'∂10)
07 (cid:8772)ABCD의 넓이가 6이므로 AD”=AB”='6
AP”=AQ”='6이므로 P(-3-'6), Q(-3+'6)
08 (cid:8772)ABCD의 넓이가 7이므로 AD”=AB”='7
AP”=AQ”='7이므로 두 점 P, Q에 대응하는 수는 차례대로
2-'7, 2+'7
1
09 ③ 유리수 과 사이에는 정수가 없다.
2
1
3
④ 수직선은 실수에 대응하는 점들로 완전히 메울 수 있다.
10 ㄱ. 유리수만으로는 수직선 위에 있는 모든 점에 대응시킬 수 없다.
ㄹ. 실수는 수직선 위의 모든 점에 대응되므로 모든 무리수는 수
직선 위의 점에 대응된다.
11 A, B의 대소를 비교하면 4-'3-4 ◯ 2-4, -'3>-2
즉, 4-'3>2이므로 A>B
A, C의 대소를 비교하면 4-'3-4 ◯ '5+4-4, -'3<'5
즉, 4-'3<'5+4이므로 A<C
∴ B<A<C
12 '2=1.4y, '3=1.7y이므로
b=4.4y, c=4.7y
∴ a<b<c
1
03 (cid:8772)ABCD=3_3-{ _1_2}_4=5이므로
2
정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 '5이다.
AB”=AD”='5(cid:100)(cid:100)∴ P(2-'5), Q(2+'5)
04 주어진 수를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.
-2
- 3 - 2
-1
1- 2
0
3-1
1
2
따라서 왼쪽에서 세 번째에 있는 수는 1-'2이다.
05 ㈏에서 'x가 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수가 되려면 x는
제곱수가 아닌 수이어야 한다.
㈎에서 25 이하의 자연수 중 제곱수는 1, 4, 9, 16, 25의 5개이다.
따라서 조건을 모두 만족하는 x는 25-5=20(개)이다.
06
바퀴의 둘레의 길이를 구한 후 기준점에서 바퀴의 둘레의 길이만
큼 오른쪽으로 이동한 점에 대응하는 수를 구한다.
지름의 길이가 2인 원 모양의 바퀴의 둘레의 길이는 2p이고 점 P
의 좌표가 P(1)이므로 바퀴가 한 바퀴 구른 후, 점 P'에 대응하는
수는 1+2p이다.
02 ④
07 ②
12 ④
04 2
01 ④
09 3
06 ④
11 ①
14 ②
15 '2+'3, 1+'3, '3, -'3, -1-'3
17 '∂70 cm
03 ③
08 ③
13 ③
18 P：-1-'5, Q：-1, R：2+'7
20 24
25~27쪽
05 -10x
10 ⑤
16 ④
19 3
01 ④ -"ç2¤ =-2이므로 음수의 제곱근은 없다.
02 '1=1, '∂144=12, Æ… = , '∂0.36=0.6
49
9
7
3
따라서 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 있는 것은 4개이다.
03 ③ -"√(-7)¤ =-7
04 "ç3¤ -"√(-3)¤ _Æ… +(-'3 )¤ =3-3_ +3=2
16
9
4
3
05 x<0이면 -9x>0이므로
24쪽
"çx¤ +"√(-9x)¤ =-x+(-9x)=-10x
06 ㄱ. a>0이므로 "ça¤ =a
ㄴ. b<0이므로 -b>0(cid:100)(cid:100)∴ "√(-b)¤ =-b
ㄷ. a-b=(양수)-(음수)>0이므로 "√(a-b)¤ =a-b
ㄹ. b-a=(음수)-(양수)<0이므로
"√(b-a)¤ =-(b-a)=a-b
01 ④
05 20개
02 3개
06 1+2p
03 ③
04 1-'2
01 ④ 1과 '2 사이에도 무수히 많은 무리수가 존재하므로 1에 가장
가까운 무리수는 '2가 아니다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
Ⅰ. 실수와 그 연산 05
07 1<x<2이면 x-3<0, 3-x>0이므로
"√(x-3)¤ +"√(3-x)¤ =-(x-3)+(3-x)=-2x+6
08 0<a<1이면 >1에서 a+ >0, a- <0
1
a
1
a
1
a
1
∴ Æ…{a+ }¤ -Æ…{a- }¤ =a+ -[-{a- }]
a
1
a
1
a
1
a
=a+ +a- =2a
1
a
1
a
a= 과 같이 0<a<1인 수 중 하나를 예로 들어 a- 의 부호를
1
a
1
2
찾을 수도 있다.
09 'ƒ13+x가 자연수가 되려면 13+x가 제곱수이어야 한다.
x가 자연수이므로 13+x>13
13보다 큰 제곱수는 16, 25, 36, y이므로 x의 값이 가장 작은
자연수가 되려면
13+x=16(cid:100)(cid:100)∴ x=3
10 ① '∂26>'∂25이므로 '∂26>5
② '∂13>'∂12
③ '∂16>'∂15이므로 4>'∂15(cid:100)(cid:100)∴ -4<-'∂15
1
1
④ > 이므로 Æ >Æ… (cid:100)(cid:100)∴ Æ >
3
3
⑤ 0.04<0.2이므로 'ƒ0.04<'∂0.2, 0.2<'∂0.2
1
25
1
25
1
3
1
5
∴ -0.2>-'∂0.2
11 '2<'∂
ƒ5x-2…4에서 각 변을 제곱하면
4
5
2<5x-2…16, 4<5x…18(cid:100)(cid:100)∴ <x…
18
5
'∂25<'∂30<'∂36, 즉 5<'∂30<6이므로 f(30)=5
'∂49<'∂50<'∂64, 즉 7<'∂50<8이므로 f(50)=7
∴ f(10)+f(30)+f(50)=3+5+7=15
17 직각삼각형의 넓이는
1
2
_10_14=70(cm¤ )
14 cm
(cid:9195)
x cm
x cm
10 cm
정사각형의 한 변의 길이
를 x cm라 하면 정사각
형의 넓이가 70 cm¤ 이므로
x¤ =70(cid:100)(cid:100)∴ x='∂70 (∵ x>0)
따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 '∂70 cm이다.
18 정사각형 A, B, C의 한 변의 길이를 각각 a, b, c라 하면 넓이가
각각 5, 9, 7이므로
a='5, b='9=3, c='7
점 Q에 대응하는 수는 2-b=2-3=-1
점 R에 대응하는 수는 2+c=2+'7
점 P에 대응하는 수는 -1-a=-1-'5
채점 기준
❶ 정사각형들의 한 변의 길이 구하기
❷ 세 점 P, Q, R에 대응하는 수 구하기
19 -2<x<1이므로 x+2>0
x-1<0
∴ "√(x+2)¤ +"√(x-1)¤ =x+2-(x-1)
=x+2-x+1=3
따라서 주어진 부등식을 만족하는 자연수 x는 1, 2, 3이므로 그
합은 1+2+3=6이다.
12 ④ 1<'2<'3<2이므로 '2와 '3 사이에는 정수가 없다.
채점 기준
❶ x+2의 부호 판별하기
❷ x-1의 부호 판별하기
❸ 주어진 식 간단히 하기
의 꼴로 나타낼 수 없는 수는 무리수이다.
20 Æ…
27x
2
=æ≠
3‹ _x
2
가 자연수가 되려면 x=2_3_(자연수)¤
13
(정수)
(0이 아닌 정수)
-'∂16-2=-4-2=-6 → 유리수
1
3
}¤ = → 유리수
Æ =æ≠{
1
3
1
9
'ƒ121="ç11¤ =11 → 유리수
즉, 무리수는 '3+1, '∂38, 3p의 3개이다.
14 넓이가 10인 정사각형의 한 변의 길이는 '∂10이므로
A(2-'∂10), B(3+'∂10)
15 -'3과 -1-'3은 음수이고
(-'3)-(-1-'3)=-'3+1+'3=1>0이므로
-'3>-1-'3
한편, '2+'3, 1+'3, '3은 양수이고 각 수에서 '3을 빼어 크
기를 비교하면 '2>1>0이므로 '2+'3>1+'3>'3
∴ '2+'3>1+'3>'3>-'3>-1-'3
16 '9<'∂10<'∂16, 즉 3<'∂10<4이므로 f(10)=3
06 정답 및 풀이
따라서 가능한 자연수 x의 값은
2_3_1¤ =6, 2_3_2¤ =24, 2_3_3¤ =54, y …… ❶
'ƒ33-x가 자연수가 되려면 33-x가 제곱수
x가 자연수이므로 33-x<33
33보다 작은 제곱수는 1, 4, 9, 16, 25이므로
33-x=1에서 x=32,
33-x=9에서 x=24,
33-x=25에서 x=8
…… ❷
따라서 두 식이 모두 자연수가 되도록 하는 자연수 x는 24이다.
33-x=4에서 x=29
33-x=16에서 x=17
채점 기준
가 자연수가 될 x의 조건 찾기
❷ 'ƒ33-x가 자연수가 될 x의 조건 찾기
❶ Æ…
27x
2
❸ Æ…
27x
2
와 'ƒ
ƒ33-x가 동시에 자연수가 될 x의 값 찾기
…… ❶
…… ❷
배점
2점
3점
…… ❶
…… ❷
…… ❸
배점
1점
1점
3점
…… ❸
배점
3점
3점
1점
2. 근호를 포함한 식의 계산
01 제곱근의 곱셈과 나눗셈
4-1 ⑶ -'∂12÷(-3'3)=
-'∂12
-3'3
= Æ… = '4=
1
3
12
3
1
3
2
3
29~31쪽
⑷ -
4'8
2'2
8
2
=-2Æ =-2'4=-2_2=-4
1 ⑴ '∂14 ⑵ -'∂35 ⑶ 6'∂14 ⑷ 2'∂15
1-1 ⑴ '∂21 ⑵ -'∂22 ⑶ 3'6 ⑷ -8'6
2 ⑴ 2'5 ⑵ 3'3 ⑶ 4'3 ⑷ 2'6
2-1 ⑴ 3'6 ⑵ 2'7 ⑶ 2'2 ⑷ 7'2
3 ⑴ '∂32 ⑵ -'∂45 ⑶ '∂20 ⑷ '∂75
3-1 ⑴ '∂24 ⑵ -'∂80 ⑶ -'∂63 ⑷ '∂50
4 ⑴ '5 ⑵ -'2 ⑶ 2'2 ⑷ -2'5
4-1 ⑴ -'∂15 ⑵ -'∂11 ⑶
⑷ -4
2
3
5 ⑴
5-1 ⑴
'2
3
'∂11
5
'5
10
⑵
'3
7
⑶
⑷ -
'7
10
⑵
⑶ -
'3
4
⑷
'3
5
'3
2
6 ⑴ Æ
⑵ Æ…
⑶ -Æ
⑷ -Æ…
6-1 ⑴ Æ…
⑵ Æ
⑶ -Æ…
2
3
3
25
75
16
⑷ -Æ…
24
49
12
25
9
8
'∂15
5
'∂14
7
3'5
5
⑵
⑶
⑷ -2'2
⑵
⑶
⑷ -
'6
6
'∂15
15
'2
10
2'6
9
'∂21
9
8 ⑴
⑵
⑶ -
⑷ -
⑸ 2'6
5
4
5
36
'2
2
'∂11
11
'2
6
'2
4
'7
14
7 ⑴
7-1 ⑴
⑹
8-1 ⑴
⑹ -
'∂15
5
⑵ -
'6
6
'6
8
⑶
2'5
5
⑷
5'6
6
⑸
1 ⑶ 3'2_2'7=6'ƒ2_7=6'∂14
⑷ 2'5_'3=2'ƒ5_3=2'∂15
1-1 ⑶ '2_3'3=3'ƒ2_3=3'6
⑷ 4'2_(-2'3)=-8'ƒ2_3=-8'6
2 ⑴ '∂20="√2¤ _5=2'5
⑶ '∂48="√3_4¤ =4'3
2-1 ⑴ '∂54="√3¤ _6=3'6
⑶ '8="√2¤ _2=2'2
3 ⑴ 4'2="√4¤ _2='∂32
⑶ 2'5="√2¤ _5='∂20
⑵ '∂27="√3¤ _3=3'3
⑷ '∂24="√2¤ _6=2'6
⑵ '∂28="√2¤ _7=2'7
⑷ '∂98="√2_7¤ =7'2
⑵ -3'5=-"√3¤ _5=-'∂45
⑷ 5'3="√5¤ _3='∂75
3-1 ⑴ 2'6="√2¤ _6='∂24
⑵ -4'5=-"√4¤ _5=-'∂80
⑶ -3'7=-"√3¤ _7=-'∂63 ⑷ 5'2="√5¤ _2='∂50
4 ⑶ 4'6÷2'3=
4'6
2'3
6
=2Æ =2'2
3
⑷ 2'∂15÷(-'3)=
2'∂15
-'3
15
=-2Æ… =-2'5
3
2
5 ⑴ Æ =Æ… =
9
2
3¤
'2
3
⑵ 'ƒ0.05=Æ…
5
100
5
=Æ… =
10¤
'5
10
3
⑶ Æ… =Æ… =Æ… =
49
6
98
3
7¤
'3
7
⑷ -'ƒ0.12=-Æ…
=-Æ… =-Æ… =-
12
100
3
25
3
5¤
'3
5
11
5-1 ⑴ Æ… =Æ… =
25
11
5¤
'∂11
5
⑵ 'ƒ0.07=Æ…
7
100
7
=Æ… =
10¤
'7
10
3
⑶ -Æ… =-Æ… =-Æ… =-
16
6
32
3
4¤
'3
4
⑷ 'ƒ0.75=Æ…
75
100
=Æ =Æ… =
3
2¤
'3
2
3
4
6 ⑴
'5
2
5
=Æ… =Æ
2¤
5
4
2'3
5
⑵
=æ≠
2¤ _3
5¤
=Æ…
12
25
6
⑶ - =-Æ… =-Æ =-Æ
3¤
6
9
'6
3
2
3
⑷ -
5'3
4
=-æ≠
=-Æ…
5¤ _3
4¤
75
16
6-1 ⑴
'5
6
5
=Æ… =Æ…
6¤
5
36
3'2
4
⑵
=æ≠
3¤ _2
4¤
18
=Æ… =Æ
16
9
8
⑶ - =-Æ… =-Æ…
3
5¤
3
25
⑷ -
=-æ≠
=-Æ…
2¤ _6
7¤
24
49
'3
5
2'6
7
=
1_'2
'2_'2
=
'2
2
'3
'5
=
'3_'5
'5_'5
=
'∂15
5
⑵
7 ⑴
⑶
1
'2
'2
2'3
=
'2_'3
2'3_'3
=
'6
6
4
⑷ - =-
'2
4_'2
'2_'2
=-
=-2'2
4'2
2
7-1 ⑴
=
'∂11
11
1
'∂11
'2
'7
'3
3'5
=
=
=
1_'∂11
'∂11_'∂11
'2_'7
'7_'7
'3_'5
3'5_'5
=
'∂14
7
=
'∂15
15
⑵
⑶
⑷ -
4
3'6
=-
4_'6
3'6_'6
=-
=-
4'6
18
2'6
9
Ⅰ. 실수와 그 연산 07
8 ⑴
⑵
1
'∂18
6
'∂20
=
=
1
3'2
=
1_'2
3'2_'2
=
'2
6
6
2'5
3
= =
'5
1
⑶ -Æ… =-
50
7
⑷ -Æ… =-
27
1
5'2
'7
3'3
=-
=-
⑸
⑹
12
'2'3
'3
2'6
12
= =
'6
=
1
2'2
=
12_'6
'6_'6
1_'2
2'2_'2
=
8-1 ⑴
1
'∂28
=
1
2'7
=
1_'7
2'7_'7
=
'2
4
'7
14
3'5
5
=-
=-
=
3_'5
'5_'5
1_'2
5'2_'2
'7_'3
3'3_'3
12'6
6
=
=2'6
'2
10
'∂21
9
1_'6
'6_'6
=-
'6
6
⑵ -
2
'∂24
=-
2
2'6
3
⑶ Æ… =
32
'3
4'2
=
1
=- =-
'6
'3_'2
4'2_'2
'6
8
=
⑷
⑸
2'3
'∂15
5'2
'∂12
2
= =
'5
5
= =
'6
2_'5
'5_'5
5_'6
'6_'6
'3
=- =-
'5
'∂21
'5'7
⑹ -
=
2'5
5
=
5'6
6
'3_'5
'5_'5
=-
'∂15
5
01 ③
05 ②
09 ③
02 2'2
06 ③
10 -
'5
5
03 ⑤
07 ④
11 '6
04 ②
08 ⑤
12 '2
01 ③ 4'∂24÷'6=4Æ… =4'4=4_2=8
24
6
4
02 a=Æ _Æ =Æ… _ ='2
5
4
5
5
2
5
2
b=Æ… ÷Æ =Æ… _Æ =Æ… _ ='4=2
10
3
6
5
10
3
6
5
10
3
5
6
∴ ab='2_2=2'2
03 '∂48="√4¤ _3=4'3이므로 a=4
5
4
'5
2
5
4
5
2¤
=Æ… =Æ 이므로 b= (cid:100)(cid:100)∴ ab=4_ =5
5
4
04 -'∂45=-"√3¤ _5=-3'5이므로 a=-3
7
=Æ… =Æ 이므로 b=
9
'7
3
7
9
7
3¤
∴ 3ab=3_(-3)_ =-7
7
9
05 '∂90="√2_3¤ _5=3_'2_'5=3ab
06 'ƒ0.75=Æ…
=Æ = =
3
4
'3
2
a
2
75
100
08 정답 및 풀이
32~33쪽
02 제곱근의 덧셈과 뺄셈
35~37쪽
07 ④
'3
'2'5
=
'3
'∂10
=
'3_'∂10
'∂10_'∂10
=
'∂30
10
08
6'5
'3
5
'∂12
=
=
6'5_'3
'3_'3
=
6'∂15
3
=2'∂15이므로 a=2
5
2'3
=
5_'3
2'3_'3
=
5'3
2_3
5
6
= '3이므로 b=
5
6
∴ ab=2_ =
5
6
5
3
09
'3
'2
_'∂12÷Æ = _2'3_Æ ='∂15
5
6
10 '6÷(-'∂12)_
='6_{-
}_
1
2'3
2
'∂10
6
5
'3
'2
2
'∂10
1
=- =-
'5
'5
5
11 (삼각형의 넓이)= _'8_'∂18= _2'2_3'2=6
1
2
1
2
삼각형과 정사각형의 넓이가 서로 같으므로 넓이가 6인 정사각형
의 한 변의 길이는 '6(cid:100)(cid:100)∴ x='6
12 2'5_'6_h=4'∂15이므로
h=
4'∂15
2'5_'6
2
= =
'2
2_'2
'2_'2
=
2'2
2
='2
'6+'∂15
3
'∂35-2'5
5
1 ⑴ 3'5 ⑵ 5'6 ⑶ 9'2+'3 ⑷ -'2-2'3
⑸ 6'5
1-1 ⑴ -'7 ⑵ -3'3 ⑶ -'2+'3 ⑷ 5'5 ⑸ 3'6
2 ⑴ 4+2'3 ⑵ -3'2+3 ⑶
⑷ '2+1
2-1 ⑴ 2-3'2 ⑵ 15-'∂10 ⑶
⑷ '3-2'2
3 ⑴ 5-2'6 ⑵ 9
4 ⑴ 2-'3 ⑵ '5+'3 ⑶ 3-2'2
3-1 ⑴ 3+2'2 ⑵ -3
4-1 ⑴
'7-'2
5
⑵ 3+'2 ⑶ 2-'3
5 ⑴ 12'2-5 ⑵ 2
5-1 ⑴ '2+3'5 ⑵
6 ⑴ '6-'5 ⑵ 5'3-3'2 ⑶ 2 ⑷ 4+
6-1 ⑴ 2'3+2'6 ⑵ '∂15-
⑶ 3'2+3'5 ⑷
2'6
3
'3
3
3'2
2
14
3
1 ⑶ 2'3+4'2-'3+5'2=(4+5)'2+(2-1)'3
⑷ '8+'∂12-'∂18-4'3=2'2+2'3-3'2-4'3
=(2-3)'2+(2-4)'3
=9'2+'3
=-'2-2'3
=(4-2+3)'5=5'5
5-1 ⑴ ('∂15+'6)÷'3+
='5+'2+
⑸
5
'5
5_'5
'5_'5
+'∂125=
+'∂
ƒ25_5=
+5'5
5'5
5
='5+5'5=6'5
1-1 ⑶ 4'2-3'3-5'2+4'3=(4-5)'2+(-3+4)'3
=-'2+'3
⑷ 4'5-'∂20+'∂45=4'5-2'5+3'5
'3
'2
⑸
+'6+Æ… =
27
2
+'6+
3'3_'2
'2_'2
'3_'2
'2_'2
'6
2
= +'6+
=3'6
3'6
2
2 ⑴ '2('8+'6)='2'8+'2'6='∂16+'∂12=4+2'3
⑵ -('6-'3)'3=-'6'3+'3'3=-3'2+3
('2+'5)_'3
'3_'3
'6+'∂15
3
=
=
⑶
=
(2+'2)_'2
'2_'2
=
2'2+2
2
='2+1
'2+'5
'3
2+'2
'2
⑷
2-1 ⑴ ('2-3)'2='2'2-3'2=2-3'2
⑵ '5(3'5-'2)='5_3'5-'5'2=15-'∂10
'7-2
'5
'6-4
'2
=
=
('7-2)_'5
'5_'5
('6-4)_'2
'2_'2
=
=
'∂35-2'5
5
2'3-4'2
2
⑶
⑷
='3-2'2
3 ⑴ ('3-'2)¤ =('3)¤ -2'3'2+('2)¤ =5-2'6
3-1 ⑴ ('2+1)¤ =('2)¤ +2'2+1¤ =3+2'2
⑵ -('7+2)('7-2)=-{('7)¤ -2¤ }
=-(7-4)=-3
2-'3
4-3
=2-'3
4 ⑴
1
2+'3
=
⑵
2
'5-'3
=
1_(2-'3)
(2+'3)(2-'3)
2('5+'3)
('5-'3)('5+'3)
2('5+'3)
5-3
='5+'3
=
=
'2-1
'2+1
=
('2-1)¤
('2+1)('2-1)
=
3-2'2
2-1
⑶
=3-2'2
4-1 ⑴
1
'7+'2
=
=
1_('7-'2)
('7+'2)('7-'2)
'7-'2
'7-'2
7-2
5
=
⑵
⑶
7
3-'2
'3-1
'3+1
=
=
=
7(3+'2)
(3-'2)(3+'2)
('3-1)¤
('3+1)('3-1)
4-2'3
2
=2-'3
=
7(3+'2)
9-2
=3+'2
=
3-2'3+1
3-1
5 ⑴ 7'2+'5('∂10-'5)=7'2+'∂50-5
=7'2+5'2-5=12'2-5
'∂45-'∂15
'5
⑵
+'3-1=
+'3-1
3'5
'5
-
'∂15
'5
=3-'3+'3-1=2
'2-'3
'6
'2
+ = - +
'6
'3
'6
'2
2
⑵
10
'5
10
'5
10_'5
'5_'5
='5+'2+
='5+'2+2'5
='2+3'5
'2
2
'2
2
= - +
1
'2
1
'3
1_'3
'3_'3
'3
3
=
-
+
'2
2
1_'2
'2_'2
'2
2
'2
= - + =
2
'3
3
6 ⑴ '2('3+'∂10)-'∂45='6+'∂20-'∂45
='6+2'5-3'5='6-'5
1
⑵ '6 { + }+2('∂12-'8)
'3
1
'2
= + +2'∂12-2'8
'6
'2
'6
'3
⑶ (2'5+'2)÷'2-'∂10+1=
(2'5+'2)_'2
'2_'2
-'∂10+1
'2+1
'2-1
+
'2-1
'2
⑷
=
2'∂10+2
2
-'∂10+1
='∂10+1-'∂10+1=2
=
=
('2+1)¤
('2-1)('2+1)
2+2'2+1
2-1
+
2-'2
2
+
('2-1)_'2
'2_'2
=3+2'2+1- =4+
'2
2
3'2
2
6-1 ⑴ '2('6-'3)+'∂54='∂12-'6+'∂54
=2'3-'6+3'6
=2'3+2'6
+ {'∂15- }
'6
2
⑵
2
3
'5-'2
'3
('5-'2)_'3
'3_'3
=
+
2'∂15
3
-
'6
3
=
'∂15-'6
3
+
2'∂15
3
-
'6
3
='∂15-
2'6
3
Ⅰ. 실수와 그 연산 09
⑵ ('∂11+'2)('∂11-'2)=('∂11)¤ -('2)¤ =11-2=9
='3+'2+4'3-4'2=5'3-3'2
⑶
3
'5-'2
+2('5+'2)
=
=
3('5+'2)
('5-'2)('5+'2)
3('5+'2)
5-2
+2'5+2'2
+2('5+'2)
='5+'2+2'5+2'2=3'2+3'5
'5-'2
'5+'2
+
'5+'2
'5-'2
⑷
('5-'2)¤ +('5+'2)¤
('5+'2)('5-'2)
=
=
5-2'∂10+2+5+2'∂10+2
5-2
=
14
3
38쪽
01 ⑴ '3 ⑵ 5'3 ⑶ 4'2 ⑷
⑸ 7'5
5'2
9
02 ⑴ 2+'6 ⑵ 2-'2 ⑶ '3-'2 ⑷ -2'3
⑸ 2'6+'∂14
'2
4
03 ⑴ '3 ⑵
04 ⑴
'3-1
2
⑸ 11-2'∂30
'∂21
7
⑶
'6+'3
3
⑷
⑸
⑵ 2+'5 ⑶ 2'2-'6 ⑷
'∂15+'6
6
3-'5
2
01 ⑴ '∂12-'3=2'3-'3='3
⑵ '∂12+'∂27=2'3+3'3=5'3
⑶ '∂50-'∂32+'∂18=5'2-4'2+3'2=4'2
⑷
+Æ… = +
8
81
=
5'2
9
'2
'9
5
4
'2
3
45
4
2'2
9
'5
2
⑸ Æ +'ƒ125+Æ… = +5'5+
3'5
2
=7'5
02 ⑴ '2('2+'3)=2+'6
'∂24-'∂12
'6
⑵
='4-'2=2-'2
⑶ ('∂15-'∂10)÷'5=
'∂15
'5
-
'∂10
'5
='3-'2
⑷ '8 { -'6}='∂12-'∂48=2'3-4'3=-2'3
'3
'2
6
⑸ {Æ +Æ…
5
7
10
1
'∂20
6
5
}÷ =Æ _'∂20+Æ… _'∂20
7
10
='∂24+'∂14=2'6+'∂14
03 ⑴ =
3
'3
3_'3
'3_'3
=
3'3
3
='3
1
⑵ =
'8
1
2'2
=
'2
2'2_'2
=
'2
4
10 정답 및 풀이
'3
⑶ =
'7
'2+1
'3
'5+'2
'∂12
⑷
⑸
'3_'7
'7_'7
=
'∂21
7
=
('2+1)_'3
'3_'3
=
'6+'3
3
=
('5+'2)_'3
2'3_'3
=
'∂15+'6
6
04 ⑴
=
1
'3+1
1
-2+'5
=
'3-1
('3+1)('3-1)
-2-'5
(-2+'5)(-2-'5)
'3-1
3-1
=
=
=
'3-1
2
-2-'5
4-5
⑵
⑶
⑷
⑸
=2+'5
=
=
'2
2+'3
'5-1
'5+1
'6-'5
'6+'5
=
'2(2-'3)
(2+'3)(2-'3)
('5-1)¤
('5+1)('5-1)
('6-'5)¤
('6+'5)('6-'5)
=
=
2'2-'6
4-3
=2'2-'6
6-2'5
4
=
3-'5
2
=11-2'∂30
39~40쪽
01 ④
02
10
3
03 ⑤
04 2'2-7
05 3'2+2
06 23-14'5 07 -
08 3'5
2'2
7
09 ③
10 ②
11 ③
12 4'2+6'3
01 ④ '∂72-
4
'8
4
2'2
=6'2-
=6'2-
=5'2
2_'2
'2_'2
⑤ -
18
'6
+'∂150-
4'3
'2
(cid:100) =-
18_'6
'6_'6
(cid:100) =-3'6+5'6-2'6=0
+5'6-
4'3_'2
'2_'2
02
3'2
2
+
13'3
6
-
7
2'3
+
11
3'2
=
3'2
2
+
13'3
6
-
7_'3
2'3_'3
+
11_'2
3'2_'2
= '2+ '3- '3+ '2= '2+'3
7
6
11
6
10
3
3
2
따라서 a= , b=1이므로 ab=
10
3
13
6
10
3
03 '2('6+'∂12)+2'3(3+2'2)
=2'3+2'6+6'3+4'6=8'3+6'6
따라서 a=8, b=6이므로 a+b=8+6=14
04 '3('6+'3)-'5{
+2'5}='∂18+3- -10
2
'∂10
2
'2
=3'2+3-'2-10
=2'2-7
09 '3(2'3-3)-a(1-'3)=6-3'3-a+a'3
=(6-a)+(a-3)'3
따라서 p=3, q= 이므로 pq=3_ =11
11
3
11
3
05 (주어진 식)=
2+4'2+4
'2
+(2-4)
6
(주어진 식)= +4-2=
'2
6'2
2
+2=3'2+2
06 A=('5-2)¤ =5-4'5+4=9-4'5
B=(2'5+1)('5-3)=10-5'5-3=7-5'5
∴ A+2B=9-4'5+14-10'5=23-14'5
07
1
3+'2
-
1
3-'2
3-'2-(3+'2)
(3+'2)(3-'2)
-2'2
2'2
9-2
7
=-
08
3+'5
3-'5
-
3-'5
3+'5
(3+'5)¤ -(3-'5)¤
(3-'5)(3+'5)
9+6'5+5-(9-6'5+5)
9-5
12'5
4
=3'5
=
=
=
=
=
유리수가 되려면 무리수 부분이 0이어야 하므로
a-3=0(cid:100)(cid:100)∴ a=3
10 2+k'2+'2(1+2'2)=2+k'2+'2+4
=6+(k+1)'2
유리수가 되려면 무리수 부분이 0이어야 하므로
k+1=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-1
11 직육면체의 높이를 h라 하면 모든 모서리의 길이의 합은
4(3'2+2'3+h)=16'2+16'3이므로
12'2+8'3+4h=16'2+16'3
4h=4'2+8'3(cid:100)(cid:100)∴ h='2+2'3
12 직사각형의 세로의 길이를 h라 하면 2'3h=6+4'6이므로
h=
6+4'6
2'3
3+2'6
'3
∴ (둘레의 길이)={2'3+('3+2'2 )}_2
3'3+6'2
3
=
=
='3+2'2
=(2'2+3'3)_2=4'2+6'3
01 ③
05 ④
02 -1
06 11
03 4'5
07 16+20'3
04 ④
01 ③ '6÷Æ ='6_Æ ='9=3
2
3
3
2
02 '∂63-'∂75+'∂27-'∂28=3'7-5'3+3'3-2'7
=-2'3+'7
따라서 a=-2, b=1이므로 a+b=(-2)+1=-1
03 '∂80+ -
5
'5
1
2'3
5_'5
'5_'5
÷
-
1
'∂60
1
2'3
=4'5+
_2'∂15
=4'5+'5-'5=4'5
04 'ƒ0.84=Æ…
84
100
=
'4'3'7
10
=
2ab
10
=
ab
5
05 '2(7'2-2)-k(3-4'2)=14-2'2-3k+4k'2
=14-3k+(4k-2)'2
유리수가 되려면 무리수 부분이 0이어야 하므로
1
2
4k-2=0(cid:100)(cid:100)∴ k=
06 '3(5+3'2)-
=5'3+3'6-
6-2'2
'3
6'3-2'6
3
2'6
3
=5'3+3'6-2'3+
=3'3+
11'6
3
07
직육면체의 높이를 미지수로 나타낸 후 직육면체의 부피와 원
뿔의 부피를 구하여 등식을 세운다.
직육면체의 높이를 h라 하자.
V¡='2_'6_h='∂12 h
V™= _p_2¤ _6'6=8'6 p
1
3
V™
이때 =
V¡
8'6 p
'∂12 h
=p이므로 '∂12 h=8'6
∴ h=
8'6
'∂12
8
= =
'2
8'2
2
=4'2
∴ (직육면체의 겉넓이)=2('2_'6+'2_4'2+'6_4'2)
=2(8+10'3)=16+20'3
03 제곱근의 활용
43~45쪽
41쪽
1 ⑴ 2.126 ⑵ 2.154 ⑶ 2.168
1-1 ⑴ 5.975 ⑵ 6.033 ⑶ 6.124
2 ⑴ 22.36 ⑵ 70.71 ⑶ 0.7071 ⑷ 0.2236
2-1 ⑴ 83.67 ⑵ 264.6 ⑶ 0.2646 ⑷ 0.08367
3 ⑴ > ⑵ > ⑶ < ⑷ >
3-1 ⑴ < ⑵ > ⑶ < ⑷ >
4 ⑴ 36 ⑵ 4 ⑶ -12'5 ⑷ 4
4-1 ⑴ 12 ⑵ -1 ⑶ 8'3 ⑷ 2
5 ⑴ 2 ⑵ 4 ⑶ 5 ⑷ 4
6 ⑴ '∂11-3 ⑵ '∂23-4 ⑶ '2-1 ⑷ '6-2
Ⅰ. 실수와 그 연산 11
1
10
1
10
1
10
=
2 ⑴ 'ƒ500="√10¤ _5=10'5=10_2.236=22.36
⑵ 'ƒ5000="√10¤ _50=10'∂50=10_7.071=70.71
⑶ '∂0.5=Æ…
=
= _7.071=0.7071
⑷ 'ƒ0.05=Æ…
= = _2.236=0.2236
50
10¤
5
10¤
'∂50
10
'5
10
2-1 ⑴ 'ƒ7000="√10¤ _70=10'∂70=10_8.367=83.67
⑵ 'ƒ70000="√100¤ _7=100'7=100_2.646=264.6
⑶ 'ƒ0.07=Æ…
7
10¤
'7
10
= = _2.646=0.2646
⑷ 'ƒ0.007=Æ…
70
100¤
=
'∂70
100
1
100
_8.367=0.08367
3 ⑴ (2+'2 )-('2+'3 )=2-'3='4-'3>0이므로
⑵ 4'2-('5+2'2 )=2'2-'5='8-'5>0이므로
⑶ '6-(5-'6 )=2'6-5='∂24-'∂25<0이므로
2+'2 >'2+'3
4'2 >'5+2'2
'6 <5-'6
⑷ (2+'∂12 )-(3+'3 )=2+2'3-3-'3='3-1>0
이므로 2+'∂12 >3+'3
3-1 ⑴ (3'2-1)-(2+'2 )=2'2-3='8-'9 <0이므로
(cid:100) 3'2-1<2+'2
⑵ (2+3'6 )-(3'6+'3 )=2-'3='4-'3>0이므로
⑶ (3'2-2)-(4+'2 )=2'2-6='8-'∂36<0이므로
2+3'6 >3'6+'3
3'2-2<4+'2
⑷ ('∂18+2)-('8+1)=3'2+2-2'2-1='2+1>0
이므로 '∂18+2>'8+1
4 ⑴ (x+y)¤ =(3-'5+3+'5)¤ =6¤ =36
⑵ xy=(3-'5)(3+'5)=9-5=4
⑶ (x+y)(x-y)=(3-'5+3+'5)(3-'5-3-'5)
=6_(-2'5)=-12'5
⑷ x=3-'5에서 x-3=-'5, (x-3)¤ =(-'5)¤
x¤ -6x+9=5(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -6x=-4
∴ x¤ -6x+8=-4+8=4
4-1 ⑴ (x+y)¤ =('3+2+'3-2)¤ =(2'3)¤ =12
⑵ xy=('3+2)('3-2)=3-4=-1
⑶ (x+y)(x-y)=('3+2+'3-2)('3+2-'3+2)
=2'3_4=8'3
⑷ x='3+2에서 x-2='3, (x-2)¤ =('3)¤
x¤ -4x+4=3(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -4x=-1
∴ x¤ -4x+3=-1+3=2
5 ⑴ '4<'5<'9, 즉 2<'5<3이므로 '5=2.y
따라서 '5의 정수 부분은 2이다.
12 정답 및 풀이
⑵ '∂16<'∂19<'∂25, 즉 4<'∂19<5이므로 '∂19=4.y
따라서 '∂19의 정수 부분은 4이다.
⑶ '9<'∂13<'∂16, 즉 3<'∂13<4이므로 '∂13=3.y
∴ '∂13+2=5.y
따라서 '∂13+2의 정수 부분은 5이다.
⑷ '1<'3<'4, 즉 1<'3<2이므로 '3=1.y
∴ 3+'3=4.y
따라서 3+'3의 정수 부분은 4이다.
6 ⑴ '9<'∂11<'∂16, 즉 3<'∂11<4이므로 '∂11=3.y
따라서 '∂11의 정수 부분이 3이므로 소수 부분은 '∂11-3
⑵ '∂16<'∂23<'∂25, 즉 4<'∂23<5이므로 '∂23=4.y
따라서 '∂23의 정수 부분이 4이므로 소수 부분은 '∂23-4
⑶ '1<'2<'4, 즉 1<'2<2이므로 '2=1.y
∴ '2+3=4.y
따라서 '2+3의 정수 부분이 4이므로 소수 부분은
('2+3)-4='2-1
⑷ '4<'6<'9, 즉 2<'6<3이므로 '6=2.y
∴ 2+'6=4.y
따라서 2+'6의 정수 부분이 4이므로 소수 부분은
(2+'6)-4='6-2
46~47쪽
01 ①, ③
05 ②, ④
09 ②
02 ⑤
03 ③
06 A<C<B07 ③
11 ①
10 ⑤
04 ④
08 ①
12 6+3'2
01 ① 'ƒ0.51=
=0.7141
'∂51
10
'∂5.1
10
② 'ƒ0.051=
=0.2258
③ 'ƒ510=10'∂5.1=22.58
④ 'ƒ5100=10'∂51=71.41
⑤ 'ƒ51000=100'∂5.1=225.8
02 ① '∂382=10'ƒ3.82=19.54
② 'ƒ3820=10'ƒ38.2=61.81
③ 'ƒ0.382=
=0.6181
'ƒ38.2
10
④ 'ƒ0.0382=
=0.1954
'ƒ3.82
10
'ƒ38.2
100
⑤ 'ƒ0.00382=
=0.06181
03 'ƒ2800="√10¤ _2¤ _7=20'7=20_2.646=52.92
04 'ƒ0.24=Æ…
24
100
=
2'6
10
'6
5
1
5
= = _2.449=0.4898
05 ① (4'2-3)-(2'2-2)=2'2-1='8-'1>0이므로
4'2-3>2'2-2
② ('∂27-2)-2'3=3'3-2-2'3='3-2='3-'4<0
이므로 '∂27-2<2'3
③ ('∂20-3)-('5-2)=2'5-3-'5+2
='5-1='5-'1 >0
이므로 '∂20-3>'5-2
④ (4'5-2'3)-('3+2'5 )=2'5-3'3='∂20-'∂27<0
이므로 4'5-2'3 <'3+2'5
⑤ (3+'6 )-('8+'6 )=3-'8='9-'8 >0이므로
3+'6 >'8+'6
06 A-B=(3'2-2'3)-('2+'3)
=2'2-3'3='8-'∂27<0이므로
A<B(cid:100) …… ㉠
B-C=('2+'3)-(2'2-'3)
=2'3-'2='∂12-'2 >0이므로
B>C …… ㉡
A-C=(3'2-2'3)-(2'2-'3)='2-'3<0이므로
A<C(cid:100)(cid:100)…… ㉢
㉠, ㉡, ㉢에 의해 A<C<B
07 x=2+'3에서 x-2='3, (x-2)¤ =3
x¤ -4x+4=3(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -4x=-1
∴ x¤ -4x+6=-1+6=5
08 x=
'2+1
('2-1)('2+1)
='2+1이므로
x-1='2, (x-1)¤ =2, x¤ -2x+1=2
∴ x¤ -2x=1
09 a+b=(2+'3)+(2-'3)=4
ab=(2+'3)(2-'3)=4-3=1
∴ + =
1
b
a+b
ab
4
= =4
1
1
a
10 x=
2(3-'7 )
(3+'7 )(3-'7 )
2(3+'7 )
(3-'7 )(3+'7 )
=
2(3-'7 )
9-7
=
2(3+'7 )
9-7
=3-'7
=3+'7
y=
x+y=(3-'7)+(3+'7)=6
xy=(3-'7)(3+'7)=9-7=2
∴ x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy=6¤ -2_2=32
11 '4<'5<'9, 즉 2<'5<3이므로 '5=2.y
∴ 3+'5=5.y
따라서 정수 부분은 5이므로
소수 부분 x=(3+'5 )-5='5-2
1
∴ =
x
1
'5-2
=
'5+2
('5-2)('5+2)
=
'5+2
5-4
='5+2
12 3'2='∂18이고, '∂16<'∂18<'∂25
즉, 4<'∂18<5이므로 '∂18=4.y
∴ '∂18+1=5.y
따라서 정수 부분 a=5이고,
소수 부분 b=(3'2+1)-5=3'2-4
∴ 2a+b=10+3'2-4=6+3'2
48쪽
01 ⑤
05 4
02 ④
06 ①
03 7.6356
07 6
04 ⑤
01 ① 'ƒ0.037=
=0.1924
'∂3.7
10
=0.01924
② 'ƒ0.00037=
'∂3.7
100
③ -'ƒ370=-10'∂
④ 'ƒ37000=100'∂3.7=192.4
⑤ 'ƒ370000=100'∂37이므로 '∂37의 값이 필요하다.
∂3.7=-19.24
02 (cid:8641) 안에 들어갈 수는 'ƒ16.4의 값이다.
이때 'ƒ1640=10'ƒ16.4=40.50이므로
(cid:8641)='ƒ16.4=4.050
03 'ƒ0.32=Æ…
32
100
=
4'2
10
=
2'2
5
2
5
= _1.414=0.5656
'∂50=5'2=5_1.414=7.07
∴ 'ƒ0.32+'∂50=0.5656+7.07=7.6356
04 ① (2'5+2)-3'5=2-'5='4-'5<0이므로
2'5+2<3'5
'∂25>3+'2
1+'3<2'3
② '∂25-(3+'2)=5-3-'2=2-'2='4-'2>0이므로
③ (1+'3)-2'3=1-'3='1-'3<0이므로
④ ('∂90-2'2)-('∂10+'2)=3'∂10-2'2-'∂10-'2
=2'∂10-3'2='∂40-'∂18>0
이므로 '∂90-2'2>'∂10+'2
⑤ (3'2+1)-(2'3+1)=3'2-2'3='∂18-'∂12>0이므로
3'2+1>2'3+1
05 a+b=('3+1)+('3-1)=2'3
ab=('3+1)('3-1)=3-1=2
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=(2'3)¤ -2_2=8
∴ + =
b
a
a
b
a¤ +b¤
ab
8
= =4
2
Ⅰ. 실수와 그 연산 13
06 2'3='∂12이고 '9<'∂12<'∂16, 즉 3<'∂12<4이므로
'∂12=3.y(cid:100)(cid:100)∴ 6-2'3=2.y
따라서 정수 부분 a=2이고,
소수 부분 b=(6-2'3)-2=4-2'3
a
∴ =
b
=
1
2-'3
=
2+'3
(2-'3)(2+'3)
2
4-2'3
2+'3
4-3
=
=2+'3
07
4'2-2의 정수 부분을 구한 후 소수 부분 x를 구한다.
4'2='∂32이고 '∂25<'∂32<'∂36, 즉 5<'∂32<6이므로
4'2=5.y(cid:100)(cid:100)∴ 4'2-2=3.y
따라서 정수 부분은 3이므로
소수 부분 x=(4'2-2)-3=4'2-5
이때 x+5=4'2에서 (x+5)¤ =(4'2)¤
x¤ +10x+25=32(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +10x=7
∴ "√x¤ +10x+29='ƒ7+29='∂36=6
49~51쪽
01 ④
06 6'3
11 ③
16 32
02 ②
07 12'2
12 ③
17 19
03 2
08 7
13 -1
18 (6'2+10'3) m
05 ⑤
04 ③
10 3
09 ③
14 ④, ⑤ 15 ④
19 4
20 6
21 ⑴ 2'5 cm ⑵ 40'5 cm‹
01 ① '∂14_'7='ƒ7_2_7=7'2
② 3'2_'6÷(-'3)=
=-3_2=-6
3'2_'6
-'3
③ '5_'∂20÷'8=
④ 3'8÷'4_ =
'2
'6
5
= =
'2
'2
_ =
'6
3'2
'3
5_'2
'2_'2
3'6
3
=
'5_'∂20
'8
3'8
'4
'5
'2
=3'2
⑤ '∂15_(-'3)÷{- }='∂15_(-'3)_{- }
5
= '2
2
='6
'2
'5
02 'ƒ3.36=Æ…
336
100
=
"√2› _3_7
10
=
4_'3_'7
10
=
2ab
5
03
=
=
5
2'5
5'5
5
10
'∂20
'ƒ240='ƒ16_15=4'∂15에서 b=4
5_'5
2'5_'5
=
= 에서 a=
'5
2
1
2
1
∴ ab= _4=2
2
04 ① 3'2
② '∂18='ƒ9_2=3'2
14 정답 및 풀이
3'2
'3
6
'2
6'6
'∂12
③
④
⑤
=
=
3'2_'3
'3_'3
6_'2
'2_'2
=
=
3'6
3
='6
6'2
2
=3'2
6
= =
'2
6_'2
'2_'2
=
6'2
2
=3'2
05 ① '7+'3은 더 이상 계산되지 않는다.
② '8-'4=2'2-2
③ "√3¤ +4¤ ='∂25=5
④ -2'3=-'∂12
⑤ '∂12+'3=2'3+'3=3'3
06 '∂48-
6
'∂27
-
+
1
'3
3'6
'2
=4'3-
-
+3'3
=4'3-
- +3'3=6'3
6
3'3
2'3
3
1
'3
'3
3
1
2
07 (삼각형의 넓이)= _'∂24_'6= _2'6_'6=6
1
2
정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면 (정사각형의 넓이)=x¤
이때 6 : x¤ =1 : 3이므로 x¤ =18
∴ x='∂18=3'2 (∵ x>0)
∴ (정사각형의 둘레의 길이)=4x=4_3'2=12'2
08 '∂48('3+1)+
=4'3('3+1)+ -11
6-11'3
'3
6
'3
=12+4'3+2'3-11=1+6'3
따라서 a=1, b=6이므로 a+b=7
09
7
4+'2
=
7(4-'2)
(4+'2)(4-'2)
=
7(4-'2)
16-2
=
4-'2
2
=2- '2
1
2
따라서 a=2, b=- 이므로 ab=2_{- }=-1
1
2
1
2
10
1
'2+1
=
'2-1
('2+1)('2-1)
='2-1
1
'3+'2
=
'3-'2
('3+'2 )('3-'2 )
='3-'2
⋮
1
'∂16+'∂15
∴ (주어진 식)=('2-1)+('3-'2)+('4-'3)+y
'∂16-'∂15
('∂16+'∂15 )('∂16-'∂15 )
=4-'∂15
=
+('∂15-'∂14)+(4-'∂15)
=4-1=3
11 5(a'3+3)-'3(4'3+12)=5a'3+15-12-12'3
=(5a-12)'3+3
이때 5a-12=0이면 유리수가 되므로 a=
12
5
12 ① (3'7-2)-2'7='7-2='7-'4>0이므로
정사각형들의 한 변의 길이는 각각 '2 m, '3 m, 2'2 m, 2'3 m
3'7-2>2'7
② ('∂27-'3)-('∂12+1)=3'3-'3-2'3-1=-1<0
이므로 '∂27-'3<'∂12+1
③ ('∂50-1)-(2'2+2)=5'2-1-2'2-2
=3'2-3='∂18-'9>0
이므로 '∂50-1>2'2+2
④ (7-'5)-(2+'5)=5-2'5='∂25-'∂20>0이므로
⑤ (4'5-4)-('5+1)=3'5-5='∂45-'∂25>0이므로
7-'5>2+'5
4'5-4>'5+1
1
13 (cid:8772)ABCD=3_3-4_{ _1_2}=5이므로 (cid:8772)ABCD의
2
한 변의 길이는 '5이다.(cid:100)(cid:100)
∴ AP”=AQ”=AB”=AD”='5
따라서 a=2-'5, b=2+'5이므로
ab=(2-'5)(2+'5)=4-5=-1
14 ① 'ƒ0.05=Æ…
5
100
=
'5
10
2
② '∂0.2=Æ… =Æ =
10
1
5
'5
5
③ '∂20=2'5
④ '∂150=5'6이므로 '6의 값이 주어져야 구할 수 있다.
⑤ '∂5000=10'∂50=50'2이므로 '∂50 또는 '2의 값이 주어져
야 구할 수 있다.
9b
15 aÆ… -bÆ… =Æ…a¤ _ -Æ…b¤ _ ='ƒ9ab-'ƒ4ab
a
4a
b
4a
b
9b
a
=3'∂ab-2'∂ab='∂ab='∂25=5
16 x+y=('7+'3)+('7-'3)=2'7
xy=('7+'3)('7-'3)=7-3=4
∴ x¤ +y¤ +3xy=(x+y)¤ +xy=(2'7)¤ +4=32
17 1…x<4일 때 1…'x<2이므로
N(1)=N(2)=N(3)=1
4…x<9일 때 2…'x<3이므로
N(4)=N(5)=N(6)=N(7)=N(8)=2
9…x<16일 때 3…'x<4이므로
N(9)=N(10)=3
∴ N(1)+N(2)+y+N(10)=1_3+2_5+3_2
=19
18
2 3 m
2 2 m
3 m
2 m
2
2
m
m
3
2
2 m
이고 겹쳐진 정사각형들의 한 변의 길이는 각각
'2
2
m,
'3
2
m,
2'2
2
='2 (m)이다.
∴ (산책로의 길이)
=(4개의 정사각형의 둘레의 길이)
-(겹쳐진 3개의 정사각형의 둘레의 길이)
'3
2
∴ =4('2+'3+2'2+2'3)-4{ + +'2}
'2
2
∴ =(4+8-2-4)'2+(4+8-2)'3
∴ =6'2+10'3(m)
19 x- ='5의 양변을 제곱하면
1
x
1
{x- }¤ =x¤ -2_x_ + =x¤ + -2=5
x
1
x
1
x¤
1
x¤
1
따라서 x¤ + =7이므로
x¤
x¤ + -3=7-3=4
채점 기준
❶ x¤ + 의 값 구하기
❷ x¤ + -3의 값 구하기
1
x¤
1
x¤
1
x¤
20
22
5-'3
=
22(5+'3)
(5-'3)(5+'3)
=
22(5+'3)
25-3
=5+'3
이때 '1<'3<'4, 즉 1<'3<2이므로 '3=1.y
∴ 5+'3=6.y
따라서 주어진 수의 정수 부분이 6이므로
소수 부분 x=(5+'3)-6='3-1
이때 x+1='3에서 양변을 제곱하면
x¤ +2x+1=3(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +2x=2
∴ x¤ +2x+4=2+4=6
채점 기준
❶ 분모를 유리화하기
❷ 소수 부분 x 구하기
❸ x¤ +2x의 값 구하기
❹ x¤ +2x+4의 값 구하기
21 ⑴ 정육면체의 한 모서리의 길이를 x cm라 하면
(겉넓이)=6x¤ =120이므로
x¤ =20(cid:100)(cid:100)∴ x=2'5 (∵ x>0)
⑵ (부피)=2'5_2'5_2'5=8_5_'5
=40'5(cm‹ )
채점 기준
❶ 정육면체의 한 모서리의 길이를 xcm라 하고 겉넓이 구하는
식 세우기
❷ 정육면체의 한 모서리의 길이 구하기
❸ 정육면체의 부피 구하기
…… ❶
…… ❷
배점
3점
2점
…… ❶
…… ❷
…… ❸
…… ❹
배점
1점
2점
1점
1점
…… ❶
…… ❷
…… ❸
배점
2점
2점
2점
Ⅰ. 실수와 그 연산 15
Ⅱ 인수분해와 이차방정식
1. 인수분해
01 인수분해의 뜻과 공식
56~60쪽
1 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅂ
1-1 ⑤
2 ⑴ a(x-2y)
⑶ 2x(a-2b+3)
2-1 ⑴ 2x(x+2y)
⑶ ab(a-b+2)
3 ⑴ (x+2)¤
⑶ (x+4y)¤
3-1 ⑴ (x-7)¤
⑶ (5x-y)¤
⑵ -x(x+3y)
⑷ (x+1)(a-b)
⑵ -x(2a+3b)
⑷ (a+b)(x+4)
⑵ (2x-1)¤
⑷ 3a(x-2)¤
⑵ (3x+2)¤
⑷ 2a(x+4)¤
4 ⑴ 36, (x+6)¤ ⑵ 25, (x+5y)¤ ⑶ —6, (3x—1)¤
4-1 ⑴ 16, (x-4)¤ ⑵ —4, (x—2y)¤ ⑶ —28, (2x—7)¤
5 ⑴ (x+5)(x-5)
⑵ (5x+8y)(5x-8y)
⑶ (6x+1)(6x-1) ⑷ (3x+y)(3x-y)
5-1 ⑴ (a+4)(a-4)
6 ⑴ {x+ }{x- } ⑵ {3x+ y}{3x- y}
⑵ (3a+7b)(3a-7b)
`⑶ (11a+1)(11a-1) ⑷ (3a+5b)(3a-5b)
1
1
5
5
⑷ 5(3a+b)(3a-b)
1
1
9
9
1
1
2
2
⑶ 2(x+5)(x-5)
1
10
1
6-1 ⑴ {x+ }{x- } ⑵ {5x+ }{5x- }
10
⑶ 4(2a+b)(2a-b) ⑷ -2(5x+2y)(5x-2y)
2, 8, -2, -2
7 -13, -8, -7, (x-3)(x-4)
7-1 -6, 6, -3, 3, (x+4)(x-10)
8
8-1 4, 4, 4, 6
9 ⑴ (x-6)(x+4)
⑶ (x+4)(x+3)
9-1 ⑴ (x+7)(x+1)
⑶ (x+5)(x-2)
⑵ (x+6)(x-2)
⑷ (x-4)(x-7)
⑵ (x-6)(x-7)
⑷ (x-5)(x+3)
10 1, 5, 1, 1, 1, -5, -15, -14
10-1 1, 5, 1, -1, -5, 5, -1, -1, -6
11 ⑴ (2x+3)(x-2)
⑶ (5x-4)(x-1)
⑵ (5x-7)(2x+1)
⑷ (3x-2y)(x-y)
11-1 ⑴ (x+2)(2x+1) ⑵ (x-2)(3x+8)
⑶ (2x-3)(2x-1) ⑷ (x+4y)(3x+y)
2 ⑴ ax-2ay=a(x-2y)
⑵ -x¤ -3xy=-x(x+3y)
⑶ 2ax-4bx+6x=2x(a-2b+3)
⑷ a(x+1)-b(x+1)=(x+1)(a-b)
2-1 ⑴ 2x¤ +4xy=2x(x+2y)
⑵ -2ax-3bx=-x(2a+3b)
16 정답 및 풀이
⑶ a¤ b-ab¤ +2ab=ab(a-b+2)
⑷ 2(a+b)+(x+2)(a+b)=(a+b)(2+x+2)
=(a+b)(x+4)
3 ⑴ x¤ +4x+4=x¤ +2_x_2+2¤ =(x+2)¤
⑵ 4x¤ -4x+1=(2x)¤ -2_2x_1+1¤ =(2x-1)¤
⑶ x¤ +8xy+16y¤ =x¤ +2_x_4y+(4y)¤ =(x+4y)¤
⑷ 3ax¤ -12ax+12a=3a(x¤ -4x+4)=3a(x-2)¤
3-1 ⑴ x¤ -14x+49`=x¤ -2_x_7+7¤ =(x-7)¤
⑵ 9x¤ +12x+4=(3x)¤ +2_3x_2+2¤ =(3x+2)¤
⑶ 25x¤ -10xy+y¤ =(5x)¤ -2_5x_y+y¤ =(5x-y)¤
⑷ 2ax¤ +16ax+32a=2a(x¤ +8x+16)=2a(x+4)¤
4 ⑴ (cid:8641)={
}¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +12x+36=(x+6)¤
⑵ (cid:8641)={
}¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +10xy+25y¤ =(x+5y)¤
12
2
10
2
⑶ (cid:8641)x=—2_3x_1=—6x(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8641)=—6
9x¤ —6x+1=(3x—1)¤
4-1 ⑴ (cid:8641)={
-8
2
}¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -8x+16=(x-4)¤
⑵ (cid:8641) xy=—2_x_2y=—4xy(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8641)=—4
x¤ —4xy+4y¤ =(x—2y)¤
⑶ (cid:8641) x=—2_2x_7=—28x(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8641)=—28
4x¤ —28x+49=(2x—7)¤
5 ⑵ 25x¤ -64y¤ =(5x)¤ -(8y)¤ =(5x+8y)(5x-8y)
⑶ 36x¤ -1=(6x)¤ -1¤ =(6x+1)(6x-1)
⑷ -y¤ +9x¤ =9x¤ -y¤ =(3x)¤ -y¤ =(3x+y)(3x-y)
5-1 ⑵ 9a¤ -49b¤ =(3a)¤ -(7b)¤ =(3a+7b)(3a-7b)
⑶ 121a¤ -1=(11a)¤ -1¤ =(11a+1)(11a-1)
⑷ -25b¤ +9a¤ =9a¤ -25b¤ =(3a+5b)(3a-5b)
6 ⑴ x¤ - ={x+ }{x- }
1
4
1
25
1
2
1
2
1
5
⑵ 9x¤ - y¤ ={3x+ y}{3x- y}
1
5
⑶ 2x¤ -50=2(x¤ -25)=2(x+5)(x-5)
⑷ 45a¤ -5b¤ =5(9a¤ -b¤ )=5(3a+b)(3a-b)
6-1 ⑴ x¤ -
1
100
={x+ }{x- }
1
10
1
10
1
81
⑵ 25x¤ - ={5x+ }{5x- }
1
9
⑶ 16a¤ -4b¤ =4(4a¤ -b¤ )=4(2a+b)(2a-b)
⑷ -50x¤ +8y¤ =-2(25x¤ -4y¤ )
1
9
=-2(5x+2y)(5x-2y)
7
곱이 12인 두 정수
-1, -12
-2, -6
-3, -4
합
-13
-8
-7
∴ x¤ -7x+12
=(x-3)(x-4)
∴ x¤ -6x-40
=(x+4)(x-10)
7-1
곱이 -40인 두 정수
4, -10
-4, 10
5, -8
-5, 8
합
-6
-3
6
3
8
x¤ +6x-16=(x+8)(x-2)
8-1
x¤ +10x+24=(x+4)(x+6)
1
1
1
1
8 1⁄ 8
-2 1⁄ -2
+>˘ ˘ ˘
6
4 1⁄ 4
6 1⁄ 6
+>˘ ˘ ˘
10
9 ⑴ 곱이 -24, 합이 -2인 두 정수는 -6, 4이므로
x¤ -2x-24=(x-6)(x+4)
⑵ 곱이 -12, 합이 4인 두 정수는 6, -2이므로
x¤ +4x-12=(x+6)(x-2)
⑶ 곱이 12, 합이 7인 두 정수는 4, 3이므로
x¤ +7x+12=(x+4)(x+3)
⑷ 곱이 28, 합이 -11인 두 정수는 -4, -7이므로
x¤ -11x+28=(x-4)(x-7)
9-1 ⑴ 곱이 7, 합이 8인 두 정수는 7, 1이므로
x¤ +8x+7=(x+7)(x+1)
⑵ 곱이 42, 합이 -13인 두 정수는 -6, -7이므로
x¤ -13x+42=(x-6)(x-7)
⑶ 곱이 -10, 합이 3인 두 정수는 5, -2이므로
x¤ +3x-10=(x+5)(x-2)
⑷ 곱이 -15, 합이 -2인 두 정수는 -5, 3이므로
x¤ -2x-15=(x-5)(x+3)
10
3x¤ -14x-5=(3x+1)(x-5)
3
1
1 1⁄ 1
-5 1⁄ -15
+>˘ ˘ ˘
10-1
5x¤ -6x+1=(x-1)(5x-1)
-1 1⁄ -5
-1 1⁄ -1
+>˘ ˘ ˘
11 ⑴
2x¤ -x-6=(2x+3)(x-2)
3 1⁄ 3
-2 1⁄ -4
+>˘ ˘ ˘
1
5
2
1
-14
-6
-1
⑵
10x¤ -9x-7=(5x-7)(2x+1)
5
2
-7 1⁄ -14
1 1⁄
5
+>˘ ˘ ˘
-9
5x¤ -9x+4=(5x-4)(x-1)
⑶
-4 1⁄ -4
-1 1⁄ -5
+>˘ ˘ ˘
-9
⑷
3x¤ -5xy+2y¤ =(3x-2y)(x-y)
-2 1⁄ -2
-1 1⁄ -3
+>˘ ˘ ˘
-5
11-1 ⑴
2x¤ +5x+2=(x+2)(2x+1)
3x¤ +2x-16=(x-2)(3x+8)
⑵
4x¤ -8x+3=(2x-3)(2x-1)
⑶
2 1⁄ 4
1 1⁄ 1
+>˘ ˘
5
-2 1⁄ -6
8 1⁄ 8
+>˘ ˘ ˘
2
-3 1⁄ -6
-1 1⁄ -2
+>˘ ˘ ˘
-8
3x¤ +13xy+4y¤ =(x+4y)(3x+y)
⑷
4 1⁄ 12
1 1⁄ 1
+>˘ ˘ ˘
13
5
1
3
1
2
2
1
3
1
2
1
3
61쪽
01 ⑴ xy(3x-y)
⑶ (x-1)(x-3)
02 ⑴ (x+4)¤
1
⑶ {x- }¤
3
03 ⑴ (x+6)(x-6)
⑵ 2ab(a-2b+5)
⑷ (x+3)(y-2)
⑵ (x+5)¤
⑷ (2x-3y)¤
⑵ (4x+15)(4x-15)
⑶ (2a+9b)(2a-9b) ⑷ 5(4x+y)(4x-y)
04 ⑴ (x+2)(x+4)
⑶ (x+5)(x-6)
05 ⑴ (3x-1)(x+4)
⑶ (4x+1)(x+3)
06 ⑴ (a+b)(a-6b)
⑵ (x-2)(x-6)
⑷ (x-9)(x-7)
⑵ (2x-9)(x-4)
⑷ (5x-9)(x+1)
⑵ (2x-5y)(3x+y)
⑶ 2(x-y)(9x+2y) ⑷ (4x+3y)(3x-2y)
01 ⑷ x(y-2)-3(2-y)=x(y-2)+3(y-2)
=(x+3)(y-2)
03 ⑷ 80x¤ -5y¤ =5(16x¤ -y¤ )=5(4x+y)(4x-y)
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 17
˘
05 ⑴
3x¤ +11x-4=(3x-1)(x+4)
03 -4a+16ab=16ab-4a=4a(4b-1)
4x¤ +13x+3=(4x+1)(x+3)
⑶
∴ A+B=9+4=13
3
1
2
1
4
1
5
1
1
1
2
3
1
9
4
3
2x¤ -17x+36=(2x-9)(x-4)
⑵
-1 1⁄ -1
4 1⁄ 12
+>˘ ˘
11
-9 1⁄ -9
-4 1⁄ -8
+>˘ ˘ ˘
-17
1 1⁄ 1
3 1⁄ 12
+>˘ ˘ ˘
13
5x¤ -4x-9=(5x-9)(x+1)
⑷
-9 1⁄ -9
1 1⁄ 5
+>˘ ˘ ˘
-4
-5
06 ⑴
a¤ -5ab-6b¤ =(a+b)(a-6b)
1 1⁄ 1
-6 1⁄ -6
+>˘ ˘ ˘
6x¤ -13xy-5y¤ =(2x-5y)(3x+y)
⑵
⑶ 18x¤ -14xy-4y¤ =2(9x¤ -7xy-2y¤ )
9x¤ -7xy-2y¤ =(x-y)(9x+2y)
∴ 18x¤ -14xy-4y¤ =2(x-y)(9x+2y)
12x¤ +xy-6y¤ =(4x+3y)(3x-2y)
⑷
-5 1⁄ -15
1 1⁄ 2
+>˘ ˘ ˘
-13
-1 1⁄ -9
2 1⁄ 2
+>˘ ˘ ˘
-7
3 1⁄
9
-2 1⁄ -8
+>˘ ˘ ˘
1
04 a(b-1)-b+1=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)
05 A={
14
2
}¤ =49, B=2_1_5=10 (∵ B는 양수)
∴ A+B=49+10=59
06 A={
-6
2
}¤ =9, 4x=2_2x_1이므로 B=2¤ =4
08 ③ x¤ -2x-24=(x+4)(x-6)
09 x¤ -4x+3=(x-3)(x-1)
2x¤ -3x-9=(2x+3)(x-3)
따라서 두 다항식의 1이 아닌 공통인 인수는 x-3이다.
10 2x¤ +x-6=(2x-3)(x+2)
x¤ -4=(x+2)(x-2)
3x¤ -4x-20=(3x-10)(x+2)
따라서 세 다항식의 일차 이상인 공통인 인수는 x+2이다.
11 2x¤ -5x-12=(2x+3)(x-4)이므로
구하는 두 일차식의 합은 2x+3+x-4=3x-1
12 6x¤ -17x+5=(3x-1)(2x-5)이므로
구하는 두 일차식의 합은 3x-1+2x-5=5x-6
13 x¤ +ax-6=(x+2)(x+b)=x¤ +(b+2)x+2b
2b=-6에서 b=-3
a=b+2=-3+2=-1
∴ a+b=-1+(-3)=-4
a=3, -2=2b에서 b=-1
∴ a+b=3+(-1)=2
14 ax¤ +5x-2=(x+2)(3x+b)=3x¤ +(b+6)x+2b
15 (x-1)(x+6)-8=x¤ +5x-6-8=x¤ +5x-14
=(x+7)(x-2)
16 (x-5)(x+2)+6x=x¤ -3x-10+6x=x¤ +3x-10
=(x+5)(x-2)
따라서 두 일차식의 합은 x+5+x-2=2x+3
답을 쓸 때 주어진 문자를 빠뜨리지 않도록 주의한다.
⑵에서 y를 빠뜨리고 (2x-5)(3x+1)로 인수분해하지 않는다.
62~64쪽
17 주어진 그림의 정사각형과 직사각형의 넓이의 합은 2x¤ +5x+3
이고 2x¤ +5x+3=(2x+3)(x+1)이므로 큰 직사각형의 가
로, 세로의 길이는 2x+3, x+1이다.
02 ③
01 ④
04 (a-1)(b-1)
08 ③
07 ②
11 ④
12 ①
15 (x+7)(x-2)
18 14a+10
18 정답 및 풀이
03 ②
05 59
09 x-3
13 -4
16 ③
06 ⑤
10 x+2
14 ④
17 ④
따라서 직사각형의 둘레의 길이는
2(2x+3+x+1)=6x+8
18 10a¤ +19a+6=(2a+3)(5a+2)이므로
직사각형의 가로의 길이는 5a+2이다.
따라서 직사각형의 둘레의 길이는
2(2a+3+5a+2)=14a+10
˘
02 인수분해 공식의 활용
66~68쪽
1 ⑴ 3x(9x+5)
⑵ (x-3)¤ (x+4)
⑶ -(5x+3)(x+5)
1-1 ⑴ (x+2)(x-6)
⑵ (x+2y+7)(x+2y-8)
2-1 ⑴ ax-ay+bx-by=a(x-y)+b(x-y)
=(a+b)(x-y)
⑵ x¤ -y-y¤ -x=(x¤ -y¤ )-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
⑵ (a-1)(b+1)(b-1)
⑵ (x+y)(x-y-1)
⑶ (2x+7)(3x-2)
2 ⑴ (a-2b)(a-2)
2-1 ⑴ (a+b)(x-y)
3 ⑴ (x+y-4)(x-y-4)
⑵ (x-a+y)(x-a-y)
3-1 ⑴ (x+y-2)(x-y-2)
⑵ (x+y-3z)(x-y+3z)
4 ⑴ (x+2)(x-4y-1) ⑵ (x+3y)(x-y+1)
4-1 ⑴ (x-2)(x+y-5) ⑵ (x-y+1)(x-y+2)
5 ⑴ 1700 ⑵ 2000 ⑶ 10000 ⑷ 40
5-1 ⑴ 72 ⑵ 95 ⑶ 2500 ⑷ 100
6 ⑴ 2500 ⑵ 12
6-1 ⑴ 10000 ⑵ 4'6
1 ⑴ 3x+1=A로 치환하면
(주어진 식)=3A¤ -A-2=(3A+2)(A-1)
=(9x+3+2)(3x+1-1)=3x(9x+5)
⑵ x-3=A로 치환하면
(주어진 식)=Ax¤ +Ax-12A=A(x¤ +x-12)
=(x-3)(x-3)(x+4)
=(x-3)¤ (x+4)
⑶ 2x-1=A`, 3x+4=B로 치환하면
(주어진 식)=A¤ -B¤ =(A+B)(A-B)
=(2x-1+3x+4)(2x-1-3x-4)
=(5x+3)(-x-5)=-(5x+3)(x+5)
1-1 ⑴ x-1=A로 치환하면
(주어진 식)=A¤ -2A-15=(A+3)(A-5)
=(x-1+3)(x-1-5)
=(x+2)(x-6)
⑵ x+2y=A로 치환하면
(주어진 식)=A¤ -A-56=(A+7)(A-8)
=(x+2y+7)(x+2y-8)
⑶ x+1=A`, x-4=B로 치환하면
(주어진 식)=6A¤ +AB-B¤
=(3A-B)(2A+B)
=(3x+3-x+4)(2x+2+x-4)
=(2x+7)(3x-2)
2 ⑴ a¤ -2ab-2a+4b=a(a-2b)-2(a-2b)
=(a-2b)(a-2)
⑵ ab¤ -a-b¤ +1=a(b¤ -1)-(b¤ -1)
=(a-1)(b¤ -1)
=(a-1)(b+1)(b-1)
3 ⑴ x¤ -8x+16-y¤ =(x-4)¤ -y¤
x-4=A
=A¤ -y¤ =(A+y)(A-y)
로 치환
=(x-4+y)(x-4-y)
=(x+y-4)(x-y-4)
⑵ x¤ -2ax-y¤ +a¤ =(x¤ -2ax+a¤ )-y¤
=(x-a)¤ -y¤
x-a=A
=A¤ -y¤ =(A+y)(A-y)
로 치환
=(x-a+y)(x-a-y)
3-1 ⑴ x¤ -4x+4-y¤ =(x-2)¤ -y¤
x-2=A
=A¤ -y¤ =(A+y)(A-y)
로 치환
=(x-2+y)(x-2-y)
=(x+y-2)(x-y-2)
⑵ x¤ -y¤ -9z¤ +6yz=x¤ -(y¤ -6yz+9z¤ )
=x¤ -(y-3z)¤
y-3z=A
=x¤ -A¤
로 치환
=(x+A)(x-A)
=(x+y-3z)(x-y+3z)
4 ⑴ y에 대하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=(-4x-8)y+x¤ +x-2
=-4(x+2)y+(x+2)(x-1)
=(x+2)(-4y+x-1)=(x+2)(x-4y-1)
⑵ x에 대하여 내림차순으로 정리하면
x¤ -3y¤ +2xy+x+3y
=x¤ +(2y+1)x-3y¤ +3y
=x¤ +(2y+1)x-3y(y-1)
3y 1⁄ 3y
-(y-1)1⁄ -(y-1)
+>˘ ˘ ˘
˘
2y+1
=(x+3y)(x-y+1)
4-1 ⑴ y에 대하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=(x-2)y+x¤ -7x+10
=(x-2)y+(x-2)(x-5)
=(x-2)(y+x-5)
=(x-2)(x+y-5)
⑵ x에 대하여 내림차순으로 정리하면
x¤ -2xy+3x-3y+y¤ +2
=x¤ +(-2y+3)x+y¤ -3y+2
=x¤ +(-2y+3)x+(y-1)(y-2)
-(y-1) 1⁄ -(y-1)
-(y-2) 1⁄ -(y-2)
˘
+>˘ ˘ ˘
-2y+3
=(x-y+1)(x-y+2)
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 19
1
1
1
1
5 ⑴ (주어진 식)=17_(47+53)=17_100=1700
03 ⑴ 5a+6b=A, 4a-3b=B로 치환하면
69~70쪽
=(5a)¤ -(3b-1)¤
=(5a+3b-1)(5a-3b+1)
⑵ (주어진 식)=(105+95)(105-95)=200_10=2000`
⑶ (주어진 식)=(99+1)¤ =100¤ =10000
⑷ (주어진 식)="√(58+42)(58-42)='ƒ1600=40
5-1 ⑴ (주어진 식)=24_(36-33)=24_3=72`
⑵ (주어진 식)=(48+47)(48-47)
=95_1=95
⑶ (주어진 식)=(53-3)¤ =50¤ =2500
⑷ (주어진 식)="√(82+18)¤ ="√100¤ =100
6 ⑴ x¤ +10x+25=(x+5)¤ =(45+5)¤ =50¤ =2500
⑵ x¤ +2xy+y¤ =(x+y)¤
=('3+2'2+'3-2'2)¤
=(2'3)¤ =12
6-1 ⑴ x¤ -6x+9=(x-3)¤ =(103-3)¤ =100¤ =10000
⑵ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)
=('3+'2+'3-'2)('3+'2-'3+'2)
=2'3_2'2=4'6
03 ⑴ 3(3a+b)(a+9b) ⑵ -3x(2x-7y)
01 ⑴ (3x+10)(x+1) ⑵ (x-2y-5)(x-2y-2)
02 ⑤
04 ②
⑵ (5a+3b-1)(5a-3b+1)
08 10
07 ③
11 '6+4'2 12 ⑤
05 ⑴ (x+1)(x-1)(a+b)
06 ③
10 2'3
09 ④
01 ⑴ x+3=A로 치환하면
3(x+3)¤ -5(x+3)-2
=3A¤ -5A-2=(3A+1)(A-2)
={3(x+3)+1}{(x+3)-2}
=(3x+10)(x+1)
⑵ x-2y=A로 치환하면
(x-2y)(x-2y-7)+10
=A(A-7)+10=A¤ -7A+10
=(A-5)(A-2)
=(x-2y-5)(x-2y-2)
02 a-3b=A로 치환하면
(a-3b)(a-3b-7)-18=A(A-7)-18
=A¤ -7A-18
=(A+2)(A-9)
=(a-3b+2)(a-3b-9)
따라서 두 일차식의 합은
(a-3b+2)+(a-3b-9)=2a-6b-7
20 정답 및 풀이
(5a+6b)¤ -(4a-3b)¤
=A¤ -B¤ =(A+B)(A-B)
=(5a+6b+4a-3b)(5a+6b-4a+3b)
=(9a+3b)(a+9b)=3(3a+b)(a+9b)
⑵ x+y=A, x-2y=B로 치환하면
2(x+y)¤ -5(x-2y)(x+y)-3(x-2y)¤
=2A¤ -5AB-3B¤ =(2A+B)(A-3B)
=(2x+2y+x-2y)(x+y-3x+6y)
=3x(-2x+7y)=-3x(2x-7y)
04 3x+1=A, 2x-3=B로 치환하면
(3x+1)¤ -(2x-3)¤
=A¤ -B¤ =(A+B)(A-B)
=(3x+1+2x-3)(3x+1-2x+3)
=(5x-2)(x+4)
즉, a=-2, b=4이므로 a+b=-2+4=2
05 ⑴ ax¤ -a+bx¤ -b=a(x¤ -1)+b(x¤ -1)
=(x¤ -1)(a+b)
=(x+1)(x-1)(a+b)
⑵ 25a¤ -9b¤ +6b-1=25a¤ -(9b¤ -6b+1)
06 ① x+2=A로 치환하면
(x+2)¤ -7(x+2)+12=A¤ -7A+12
=(A-3)(A-4)
=(x-1)(x-2)
② x-y=A로 치환하면
(x-y)(x-y-1)-12=A(A-1)-12
=A¤ -A-12
=(A-4)(A+3)
=(x-y-4)(x-y+3)
③ x‹ -x¤ -x+1=x¤ (x-1)-(x-1)
=(x-1)(x¤ -1)
=(x-1)(x+1)(x-1)
=(x+1)(x-1)¤
④ a¤ -6a-4b¤ +9=a¤ -6a+9-4b¤
=(a-3)¤ -(2b)¤
=(a+2b-3)(a-2b-3)
⑤ x¤ +y¤ -5x+5y-2xy+6
=(x¤ -2xy+y¤ )-5(x-y)+6
=(x-y)¤ -5(x-y)+6
=A¤ -5A+6
=(A-3)(A-2)
=(x-y-3)(x-y-2)
x-y=A로 치환
07 150¤ -149¤ =(150+149)(150-149)=150+149
08
12_98+12_2
11¤ -1
=
12_(98+2)
(11+1)(11-1)
=
12_100
12_10
=10
09 x=
1
'2+1
=
y=
1
'2-1
=
'2-1
('2+1)('2-1)
'2+1
('2-1)('2+1)
='2-1
='2+1
∴ x¤ +xy+x+y=x(x+y)+x+y=(x+y)(x+1)
=('2-1+'2+1)('2-1+1)
=2'2_'2=4
10 x¤ y-xy¤ =xy(x-y)
=(2+'3)(2-'3)(2+'3-2+'3)
=(4-3)_2'3=2'3
11 x¤ -y¤ +4x-4y=(x¤ -y¤ )+(4x-4y)
12 a¤ (a-b)+b¤ (b-a)=a¤ (a-b)-b¤ (a-b)
=(x+y)(x-y)+4(x-y)
=(x-y)(x+y+4)
='2('3+4)='6+4'2
=(a-b)(a¤ -b¤ )
=(a-b)(a+b)(a-b)
=(a-b)¤ (a+b)
=(-2)¤ _4=16
71~72쪽
01 ④
05 ①
02 ⑤
06 7
03 ②
07 11
09 (x+y-3)(x+y+1) 10 6
12 -7
13 -55
14 ⑴ x¤ +7x-18 ⑵ (x+9)(x-2)
04 ②
08 ⑤
2
3
11
01 3x‹ +6x=3x(x¤ +2)이므로 x¤ 은 인수가 아니다.
02 ① (cid:8641)=4
④ (cid:8641)=1
② (cid:8641)=9
2
3
⑤ (cid:8641)=
③ (cid:8641)=9
03 ① x¤ +4x+4=(x+2)¤
③ 4x¤ -9=(2x+3)(2x-3)
④ x¤ +6x+5=(x+1)(x+5)
⑤ -6x¤ y-9y¤ =-3y(2x¤ +3y)
04 1<a<2이므로 a-1>0, a-2<0
∴ (주어진 식)="√(a-1)¤ +"√(a-2)¤
=(a-1)-(a-2)=1
05 x¤ -81=(x-9)(x+9)
x¤ -7x-18=(x-9)(x+2)(cid:100)(cid:100)
따라서 1이 아닌 공통인 인수는 x-9이다.
06 (3x+2)(5x-3)+4=15x¤ +x-2=(3x-1)(5x+2)
A=3, B=-1, C=5(cid:100)(cid:100)∴ A+B+C=3+(-1)+5=7
07 x¤ -Ax+12=(x-3)(x-B)=x¤ -(B+3)x+3B
10 1003¤ -997¤ =(1003+997)(1003-997)=2000_6
A=B+3, 12=3B에서 A=7, B=4
∴ A+B=7+4=11
08 6a¤ +7a-20=(3a-4)(2a+5)
09 x¤ +2xy+y¤ -2x-2y-3
=(x¤ +2xy+y¤ )-2(x+y)-3
=(x+y)¤ -2(x+y)-3
=A¤ -2A-3
=(A-3)(A+1)
=(x+y-3)(x+y+1)
x+y=A로 치환
11 x+y=
x-y=
'3+'2
2
'3+'2
2
+
-
'3-'2
2
'3-'2
2
=
=
2'3
2
2'2
2
='3
='2
∴
x¤ -2xy+y¤
x¤ +2xy+y¤
=
(x-y)¤
(x+y)¤
=
('2)¤
('3)¤
=
2
3
12
ax¤ +bx+c가 x+m으로 나누어떨어진다.
(cid:9195) ax¤ +bx+c가 x+m을 인수로 갖는다.
(cid:9195) ax¤ +bx+c=(x+m)_(다항식)
x¤ -6x+k가 x+1로 나누어떨어지므로
x¤ -6x+k=(x+1)(x+a)로 놓을 수 있다.
(x+1)(x+a)=x¤ +(a+1)x+a이므로
a+1=-6에서 a=-7
∴ k=a=-7
13
해한다.
제곱의 차 공식을 이용할 수 있도록 적당한 항끼리 묶어 인수분
(주어진 식)
=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+(5+6)(5-6)
+(7+8)(7-8)+(9+10)(9-10)
=-(3+7+11+15+19)=-55
14
x의 계수를 잘못 보았다. (cid:9195) 상수항은 바르게 보았다.
상수항을 잘못 보았다. (cid:9195) x의 계수는 바르게 보았다.
⑴ 상현이는 상수항은 바르게 보았으므로
(x+3)(x-6)=x¤ -3x-18에서 처음 식의 상수항은 -18
태연이는 x의 계수는 바르게 보았으므로
(x-3)(x+10)=x¤ +7x-30에서 처음 식의 x의 계수는 7
따라서 처음 이차식은 x¤ +7x-18이다.
⑵ x¤ +7x-18=(x+9)(x-2)
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 21
73~75쪽
12 x¤ +6y-y¤ -9=x¤ -(y¤ -6y+9)=x¤ -(y-3)¤
=(x+y-3)(x-y+3)
01 ①, ② 02 -2
07 ④
06 ④
11 (a-2)(a-3)
15 ②
16 3(2'2-1)
03 ④
08 11
12 ③
04 2x+2 05 ②
10 ②
09 ①
13 ②
14 ⑤
17 중기
18 ⑴ 2x¤ +5x+2 ⑵ (2x+1)(x+2) ⑶ 6x+6
19 ⑴ 민호：상수항, 수진：x의 계수 ⑵ a=-12, b=-28
⑶ (x-14)(x+2)
01 ㉠의 과정을 인수분해, ㉡의 과정을 전개한다고 한다.
02 n+1=—2_1_5=—10
따라서 n의 값은 9 또는 -11이므로 그 합은 -2이다.
03 ① a¤ -5a+6=(a-2)(a-3)
② a¤ -1=(a+1)(a-1)
1
16
③ x¤ - ={x+ }{x- }
1
4
④ x¤ -x+1은 더 이상 인수분해할 수 없다.
⑤ 2x¤ +3x+1=(2x+1)(x+1)
1
4
04 x¤ +2x-3=(x-1)(x+3)이므로 두 일차식의 합은
x-1+x+3=2x+2
05 ㄱ. (m+5)¤
ㄷ. 2(x+3y)¤
ㅁ. (4m+1)(m+1)
1
06 —2_ _ =—
4
1
3
1
6
ㄴ. (2x-1)(x-1)
ㄹ. (7a-2)¤
ㅂ. y(x¤ y+2x+y)
07 x¤ -x-12=(x-4)(x+3)
2x¤ -5x-12=(x-4)(2x+3)
따라서 두 다항식의 1이 아닌 공통인 인수는 x-4이다.
08 6x¤ +Ax-20=(2x+5)(3x+B)
=6x¤ +(2B+15)x+5B
따라서 2B+15=A, 5B=-20이므로
A=7, B=-4(cid:100)(cid:100)∴ A-B=7-(-4)=11
09 (x+4)(x+3)-3_2=x¤ +7x+6
=(x+1)(x+6)(m¤ )
10 2<x<3이므로 x-2>0, x-3<0
∴ "√x¤ -6x+9-"√x¤ -4x+4="√(x-3)¤ -"√(x-2)¤
=-(x-3)-(x-2)
=-2x+5
13 x에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해하면
x¤ -(4y+6)x+3y¤ +2y-16
=x¤ -(4y+6)x+(y-2)(3y+8)
1
1
-(y-2) 1⁄ -(y-2)
-(3y+8) 1⁄ -(3y+8)
+>˘ ˘ ˘
-4y-6
=(x-y+2)(x-3y-8)
∴ a+b+c+d=-1+2-3-8=-10
14 x¤ y¤ -x¤ -y¤ +1=x¤ (y¤ -1)-(y¤ -1)=(x¤ -1)(y¤ -1)
=(x+1)(x-1)(y+1)(y-1)
따라서 x-y는 인수가 아니다.
15 5_96¤ -5_16=5_(96¤ -4¤ )=5_(96+4)(96-4)
=5_100_92=46000
따라서 알맞지 않은 것은 ②이다.
16 x=
1
'2-1
='2+1, y=
='2-1이므로
1
'2+1
x+y=2'2, x-y=2
∴ x¤ -1-y¤ +2y=x¤ -(y¤ -2y+1)=x¤ -(y-1)¤
=(x+y-1)(x-y+1)=3(2'2-1)
17 민정：16x¤ -24xy+9y¤ =(4x-3y)¤
한별：x¤ -4xy-5y¤ =(x-5y)(x+y)
태우：-121x¤ +4y¤ =4y¤ -121x¤ =(2y+11x)(2y-11x)
18 ⑴ 2x¤ +5x+2(cid:100)
⑵ 2x¤ +5x+2=(2x+1)(x+2)
⑶ 큰 직사각형의 둘레의 길이는
2(2x+1+x+2)=2(3x+3)=6x+6
채점 기준
❶ 정사각형과 직사각형의 넓이의 합 구하기
❷ ⑴의 식을 인수분해하기
❸ 큰 직사각형의 둘레의 길이 구하기
19 ⑴ 민호는 x의 계수를 잘못 보았으므로 상수항을 바르게 보았고,
수진이는 상수항을 잘못 보았으므로 x의 계수를 바르게 보았
다.
⑵ 민호：(x+4)(x-7)=x¤ -3x-28(cid:100)(cid:100)
∴ b=-28
수진：(x-2)(x-10)=x¤ -12x+20(cid:100)(cid:100)
∴ a=-12
⑶ x¤ +ax+b=x¤ -12x-28
=(x-14)(x+2)
…… ❶
…… ❷
…… ❸
배점
1점
2점
3점
…… ❶
…… ❷
…… ❸
배점
2점
2점
2점
11 a-1=A로 치환하면
(a-1)¤ -3(a-1)+2=A¤ -3A+2=(A-1)(A-2)
=(a-2)(a-3)
채점 기준
❶ 민호와 수진이가 바르게 본 것 구하기
❷ a, b의 값 구하기
❸ x¤ +ax+b를 인수분해하기
22 정답 및 풀이
˘
2. 이차방정식
01 이차방정식과 그 해
77~78쪽
1 ⑴ x=-1 ⑵ x=-2
1-1 ⑴ x=1 ⑵ x=5
2 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ ◯
2-1 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ×
3 ⑴ a+2 ⑵ a+-1
3-1 ⑴ a+3 ⑵ a+1
4 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ ◯
4-1 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ◯
2 ⑴ 등호가 없으므로 이차식이다.
⑶ x¤ 이 분모에 있으므로 이차방정식이 아니다.
⑷ 2x‹ +x¤ -4=2x‹ -4x¤ +6x
5x¤ -6x-4=0 (cid:9195) 이차방정식
2-1 ⑴ 등호가 없으므로 이차식이다.
⑵ x¤ +4x+4=0 (cid:9195) 이차방정식
⑷ x¤ -1=x¤ +3x, -3x-1=0 (cid:9195) 일차방정식
3 ⑴ (2a-4)x¤ +x-3=0이고
이것이 이차방정식이 되려면 2a-4+0(cid:100)(cid:100)∴ a+2
⑵ (a+1)x¤ +4x+5=0이고
이것이 이차방정식이 되려면 a+1+0(cid:100)(cid:100)∴ a+-1
3-1 ⑴ (a-3)x¤ +3x+1=0이고
이것이 이차방정식이 되려면 a-3+0(cid:100)(cid:100)∴ a+3
⑵ ax¤ -x=x¤ +x-2(cid:100)(cid:100)∴ (a-1)x¤ -2x+2=0
이것이 이차방정식이 되려면 a-1+0(cid:100)(cid:100)∴ a+1
4 [ ] 안의 수를 주어진 이차방정식에 대입해 보면
⑴ 1¤ +6-6=1+0
⑵ (-5)¤ -20=5=2_(-5)+15
⑶ (7-2)(7+3)=50+0
1
⑷ {2_ -1}¤ =0
2
4-1 [ ] 안의 수를 주어진 이차방정식에 대입해 보면
⑴ 3¤ -3_3-7=-7+0
⑵ 2_(-1)¤ -5_(-1)-7=0
⑶ (2_2-1)(2-2)=0
⑷ 2_(-6)¤ -3=69=(-6)¤ -3_(-6)+15
01 ③
02 ②, ⑤
03 ⑤
79쪽
04 a+-
1
2
01 ① x¤ -3x+2=x¤ -4, -3x+6=0 (cid:9195) 일차방정식
② x¤ +2x=x¤ +2x (cid:9195) 이차방정식이 아니다. (항등식)
③ 3x¤ +x-2=x¤ , 2x¤ +x-2=0 (cid:9195) 이차방정식
④ 3x¤ -x=3x¤ -2x-1, x+1=0 (cid:9195) 일차방정식
⑤ 5x-1=3x+3, 2x-4=0 (cid:9195) 일차방정식
02 ① x¤ =2x+6, x¤ -2x-6=0 (cid:9195) 이차방정식
② x¤ -2x+1=1+x¤ , -2x=0 (cid:9195) 일차방정식
③ 2x¤ -5x-3=0 (cid:9195) 이차방정식
④ x¤ +x=0 (cid:9195) 이차방정식
⑤ x¤ -x-6=x¤ -6, -x=0 (cid:9195) 일차방정식
03 5x¤ -3=a(x¤ -x-2)(cid:100)(cid:100)∴ (5-a)x¤ +ax-3+2a=0
이것이 이차방정식이 되려면 5-a+0(cid:100)(cid:100)∴ a+5
04 -4ax¤ +12x=2x¤ +1(cid:100)(cid:100)∴ (-4a-2)x¤ +12x-1=0
이것이 이차방정식이 되려면 -4a-2+0(cid:100)(cid:100)∴ a+-
1
2
05 주어진 수를 x¤ -x-2=0에 대입해 보면
x=-1일 때, (-1)¤ -(-1)-2=0
x=0일 때, 0¤ -0-2=-2+0
x=1일 때, 1¤ -1-2=-2+0
x=2일 때, 2¤ -2-2=0
따라서 이차방정식의 해가 되는 것은 -1, 2이다.
06 [ ] 안의 수를 주어진 이차방정식에 대입해 보면
① 1¤ -2_1+1=0
② 4¤ +5_4+4=40+0
③ 3¤ -7_3+10=-2+0
④ (-3)¤ +(-3)-6=0
⑤ 5¤ -5_5-6=-6+0
07 x=-2를 2x¤ +2x+a=0에 대입하면
8-4+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-4
08 x=3을 x¤ +ax+a-5=0에 대입하면
9+3a+a-5=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
02 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 81~82쪽
1 ⑴ x=-1 또는 x=3 ⑵ x=0 또는 x=2
1-1 ⑴ x=5 또는 x=-6 ⑵ x= 또는 x=-
2 ⑴ x=-3 또는 x=4 ⑵ x=- 또는 x=
⑶ x=-1 또는 x=9 ⑷ x=-3 또는 x=4
2-1 ⑴ x=0 또는 x=1 ⑵ x=-5 또는 x=5
⑶ x=-1 또는 x=6 ⑷ x= 또는 x=
3
2
3
5
1
3
2
3
3
2
1
2
4
3
⑷ x=-6(중근)
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 23
05 -1, 2
06 ①, ④
07 -4
08 -1
3 ⑴ x=4(중근) ⑵ x=5(중근) ⑶ x=- (중근)
3-1 ⑴ x=-9(중근) ⑵ x=6(중근) ⑶ x= (중근)
2
3
⑷ x=-2(중근)
4 ⑴ 2 ⑵ -3 또는 3
4-1 ⑴ 2 ⑵ -1 또는 1
1 ⑴ x+1=0 또는 x-3=0이므로 x=-1 또는 x=3
⑵ 2x=0 또는 x-2=0이므로 x=0 또는 x=2
1-1 ⑴ x-5=0 또는 x+6=0이므로 x=5 또는 x=-6
⑵ 5x-3=0 또는 3x+2=0이므로 x= 또는 x=-
2 ⑴ (x+3)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=4
⑵ (2x+3)(2x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x=
3
5
3
2
2
3
3
2
⑶ x¤ -8x-9=0, (x+1)(x-9)=0
∴ x=-1 또는 x=9
⑷ x¤ +2x+1-3x=13, x¤ -x-12=0
(x+3)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=4
2-1 ⑴ x(x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=0 또는 x=1
⑵ (x+5)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-5 또는 x=5
⑶ x¤ -5x-6=0, (x+1)(x-6)=0
∴ x=-1 또는 x=6
⑷ 6x¤ -5x+1=0, (3x-1)(2x-1)=0
1
∴ x= 또는 x=
3
1
2
3 ⑴ (x-4)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=4(중근)
⑵ (x-5)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=5(중근)
4
3
⑶ (3x+4)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=- (중근)
⑷ 양변을 2로 나누면 x¤ +12x+36=0
(x+6)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-6(중근)
3-1 ⑴ (x+9)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-9(중근)
⑵ (x-6)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=6(중근)
⑶ (3x-2)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x= (중근)
2
3
⑷ 양변을 3으로 나누면 x¤ +4x+4=0
(x+2)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-2(중근)
4 ⑴ 2k={
에서 2k=4(cid:100)(cid:100)∴ k=2
4
2
2k
2
}¤
}¤
⑵ 9={
에서 9=k¤ , k¤ -9=0
(k+3)(k-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-3 또는 k=3
4-1 ⑴ 11-k={
에서 11-k=9(cid:100)(cid:100)∴ k=2
}¤
6
2
⑵ 2x¤ +8kx=-8을 정리하면 x¤ +4kx+4=0
이 이차방정식이 중근을 가지려면
4={
4k
2
}¤
에서 4=4k¤ , k¤ -1=0
(k+1)(k-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-1 또는 k=1
24 정답 및 풀이
83~84쪽
5
2
06 ②
10 ④
3
4
01 ⑤
02 ③
03 ⑴ -1 ⑵ x=
04 ⑴ -3 ⑵ x=-5
07 x=-3
11 ⑤
08 1
12 ②
05 ①
09 ⑤
01 (2x-1)(4x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x= 또는 x=
이때 a<b이므로 a= , b=
∴ 2a+4b=2_ +4_ =4
1
2
3
4
3
4
02 (3x-1)(x+2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x= 또는 x=-2
1
2
1
3
1
2
1
3
이때 a>b이므로 a= , b=-2
1
∴ 3a-b=3_ -(-2)=3
3
03 ⑴ x=-2를 2x¤ +ax-10=0에 대입하면
8-2a-10=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
⑵ a=-1이면 2x¤ -x-10=0이므로
5
2
(2x-5)(x+2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x= 또는 x=-2
따라서 다른 한 근은 x=
5
2
04 ⑴ x=2를 x¤ -mx-2m¤ +8=0에 대입하면
4-2m-2m¤ +8=0, -2m¤ -2m+12=0
m¤ +m-6=0, (m+3)(m-2)=0
∴ m=-3 또는 m=2
이때 m<0이므로 m=-3
⑵ m=-3이면 x¤ +3x-10=0이므로
(x-2)(x+5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=-5
따라서 다른 한 근은 x=-5
05 x¤ -3x-10=0에서 (x-5)(x+2)=0
∴ x=5 또는 x=-2
x=-2를 x¤ -2x+k=0에 대입하면
4+4+k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-8
06 x¤ -1=0에서 (x+1)(x-1)=0
∴ x=-1 또는 x=1
x=1을 x¤ -2kx+k+1=0에 대입하면
1-2k+k+1=0(cid:100)(cid:100)∴ k=2
07 x¤ +x-6=0에서 (x+3)(x-2)=0
∴ x=-3 또는 x=2
x¤ +8x+15=0에서 (x+3)(x+5)=0
∴ x=-3 또는 x=-5
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-3
08 x¤ -4x+3=0에서 (x-1)(x-3)=0
∴ x=1 또는 x=3
2x¤ +x-3=0에서 (2x+3)(x-1)=0
3
∴ x=- 또는 x=1
2
따라서 두 이차방정식을 동시에 만족하는 x의 값은 1이다.
09 ⑤ (2x-5)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x= (중근)
5
2
10 중근을 가지려면 (완전제곱식)=0의 꼴이어야 한다.
ㄱ. (x+1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1(중근)
ㄷ. (x-3)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=3(중근)
ㄹ. {x- }¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x= (중근)
1
2
1
2
따라서 중근을 갖는 이차방정식은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
11 이차방정식 x¤ -10x+3k+4=0이 중근을 가지므로
3k+4={
}
에서 3k+4=25(cid:100)(cid:100)∴ k=7
-10
2
12 4x-8=x¤ +6x+m을 정리하면
x¤ +2x+m+8=0(cid:100)(cid:100)…… ㉠
이 이차방정식이 중근을 가지므로
m+8={
에서 m+8=1(cid:100)(cid:100)∴ m=-7
}¤
2
2
m=-7을 ㉠에 대입하면 x¤ +2x+1=0이므로
(x+1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1(중근)(cid:100)(cid:100)∴ k=-1
∴ m+k=-7+(-1)=-8
03 완전제곱식을이용한이차방정식의풀이 86~87쪽
1 ⑴ x=—3'3 ⑵ x=—6
1-1 ⑴ x=—7 ⑵ x=—2'3
2 ⑴ x=2 또는 x=-6 ⑵ x=3—'3
⑶ x=5—
⑷ x=
'2
2
-2—'6
3
2-1 ⑴ x=2—2'2 ⑵ x=5 또는 x=1
⑶ x=2—'6 ⑷ x=
-1—'3
2
3 ⑴ p=-4, q=12 ⑵ p= , q=
3
2
17
4
⑶ p=-3, q=
15
2
3-1 ⑴ p=-1, q=8 ⑵ p=-3, q=14
⑶ p=1, q=
1
2
4 ⑴ x=2—'5 ⑵ x=-4—'∂19
-3—'∂19
2
⑷ x=
⑶ x=
-1—'∂33
4
4-1 ⑴ x=
-3—'∂13
2
⑵ x=-3—'5
⑶ x=2—'3 ⑷ x=1—'∂11
1 ⑴ x¤ =27(cid:100)(cid:100)∴ x=—'∂27=—3'3
⑵ 2x¤ =72, x¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ x=—6
1-1 ⑴ x¤ =49(cid:100)(cid:100)∴ x=—7
⑵ 3x¤ =36, x¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ x=—'∂12=—2'3
2 ⑴ x+2=—4, x=-2—4(cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=-6
⑵ (x-3)¤ =3, x-3=—'3(cid:100)(cid:100)∴ x=3—'3
⑶ (5-x)¤ = , 5-x=— (cid:100)(cid:100)∴ x=5—
1
2
1
'2
⑷ 3x+2=—'6, 3x=-2—'6(cid:100)(cid:100)∴ x=
'2
2
-2—'6
3
2-1 ⑴ x-2=—'8=—2'2(cid:100)(cid:100)∴ x=2—2'2
⑵ (x-3)¤ =4, x-3=—2
x=3—2(cid:100)(cid:100)∴ x=5 또는 x=1
⑶ (2-x)¤ =6, 2-x=—'6(cid:100)(cid:100)∴ x=2—'6
⑷ 2x+1=—'3, 2x=-1—'3(cid:100)(cid:100)∴ x=
-1—'3
2
3 ⑴ x¤ -8x+4=0에서 x¤ -8x=-4
x¤ -8x+16=-4+16
(x-4)¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ p=-4, q=12
⑵ 2x¤ +6x-4=0에서 x¤ +3x-2=0
x¤ +3x=2, x¤ +3x+ =2+
9
4
{x+ }¤ = (cid:100)(cid:100)∴ p= , q=
9
4
17
4
3
2
3
2
17
4
⑶ 2x¤ -12x+3=0에서 x¤ -6x+ =0
x¤ -6x=- , x¤ -6x+9=- +9
(x-3)¤ = (cid:100)(cid:100)∴ p=-3, q=
3
2
3
2
15
2
3-1 ⑴ x¤ -2x-7=0에서 x¤ -2x=7
x¤ -2x+1=7+1, (x-1)¤ =8
∴ p=-1, q=8
⑵ x¤ -6x-5=0에서 x¤ -6x=5
x¤ -6x+9=5+9, (x-3)¤ =14
∴ p=-3, q=14
⑶ 2x¤ +4x+1=0에서 x¤ +2x+ =0
x¤ +2x=- , x¤ +2x+1=- +1
(x+1)¤ = (cid:100)(cid:100)∴ p=1, q=
1
2
1
2
1
2
3
2
15
2
1
2
1
2
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 25
¤
{x+ }¤ = (cid:100)(cid:100)∴ x=- —Æ… =
19
4
-3—'∂19
2
19
4
따라서 a=1, b=1, c= 이므로
⑷ x¤ + x-2=0에서 x¤ + x=2
a-b+c=1-1+ =
3
2
3
2
3
2
4 ⑴ x¤ -4x-1=0에서 x¤ -4x=1
x¤ -4x+4=1+4, (x-2)¤ =5
∴ x=2—'5
⑵ x¤ +8x-3=0에서 x¤ +8x=3
x¤ +8x+16=3+16, (x+4)¤ =19
∴ x=-4—'∂19
⑶ 2x¤ +6x-5=0에서 x¤ +3x- =0
x¤ +3x= , x¤ +3x+ = +
9
4
9
4
5
2
5
2
5
2
3
2
1
2
1
16
3
2
1
2
1
2
x¤ + x+ =2+ , {x+ }
=
1
4
33
16
1
16
1
∴ x=- —Æ… =
4
33
16
-1—'∂33
4
4-1 ⑴ x¤ +3x-1=0에서 x¤ +3x=1
9
3
4
2
x¤ +3x+ =1+ , {x+ }¤ =
9
4
13
4
3
∴ x=- —Æ… =
2
13
4
-3—'∂13
2
⑵ x¤ +6x+4=0에서 x¤ +6x=-4
x¤ +6x+9=-4+9, (x+3)¤ =5
∴ x=-3—'5
⑶ x¤ -4x+1=0에서 x¤ -4x=-1
x¤ -4x+4=-1+4, (x-2)¤ =3
∴ x=2—'3
1
2
x¤ -2x=10, x¤ -2x+1=10+1
(x-1)¤ =11(cid:100)(cid:100)∴ x=1—'∂11
⑷ x¤ -x-5=0에서 x¤ -2x-10=0
01 (x+3)¤ =5(cid:100)(cid:100)∴ x=-3—'5
따라서 a=-3, b=5이므로
a+b=-3+5=2
02 2(x+1)¤ =12, (x+1)¤ =6
x+1=—'6(cid:100)(cid:100)∴ x=-1—'6
따라서 a=-1, b=6이므로
a-b=-1-6=-7
26 정답 및 풀이
03 a(x-p)¤ =q가 이차방정식이므로 a+0
양변을 a로 나누면 (x-p)¤ =
이때 서로 다른 두 근을 가지려면 >0(cid:100)(cid:100)∴ aq>0
04 (x-5)¤ =3-a가 근을 가지려면 3-aæ0(cid:100)(cid:100)∴ a…3
05 2x¤ +4x-1=0에서 x¤ +2x- =0
x¤ +2x= , x¤ +2x+1= +1(cid:100)(cid:100)∴ (x+1)¤ =
1
2
3
2
q
a
q
a
1
2
1
2
06 3x¤ +18x-6=0에서 x¤ +6x-2=0
x¤ +6x=2, x¤ +6x+9=2+9
(x+3)¤ =11(cid:100)(cid:100)∴ x=-3—'∂11
따라서 a=9, b=3, c=11이므로
a+b+c=9+3+11=23
03 -5
04 x=
02 ②
06 9
10 22
01 ④
05 ⑤
09 ㄴ, ㄷ
13 6
07 1
1
2
11
89~90쪽
5
2
08 -2
12 -6, 2
01 ① x‹ -x¤ -3x=0 (cid:9195) 이차방정식이 아니다.
② x¤ +4x+4=x¤ -6x+9, 10x-5=0 (cid:9195) 일차방정식
③ x¤ +2x+1=x¤ , 2x+1=0 (cid:9195) 일차방정식
④ 5x¤ -3x-1=0 (cid:9195) 이차방정식
⑤ 2x¤ +x=2x¤ -x-1, 2x+1=0 (cid:9195) 일차방정식
따라서 이차방정식인 것은 ④이다.
ㄴ. (-2)¤ +4_(-2)+3=-1+0
ㄷ. (-2)¤ +(-2)=2+8=4-2_(-2)
ㄹ. (-2)_(-2+2)=0=-2+2
따라서 x=-2를 해로 갖는 것은 ㄱ, ㄹ이다.
03 x¤ +2x=35에서 x¤ +2x-35=0
(x+7)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-7 또는 x=5
3x¤ -17x+10=0에서 (3x-2)(x-5)=0
∴ x= 또는 x=5
2
3
두 이차방정식의 공통인 근은 x=5이므로
a=-7, b= (cid:100)(cid:100)∴ a+3b=-7+3_ =-5
2
3
2
3
88쪽
02 ㄱ. (-2)¤ -(-2)-6=0
01 2
3
2
05
02 -7
06 23
03 ④
04 ①, ②
¤
04 x=2를 2x¤ -(a-3)x+10=0에 대입하면
8-2a+6+10=0, 24-2a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=12
이때 2x¤ -9x+10=0이므로 (x-2)(2x-5)=0
3k(2k-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=0 또는 k=
1
2
그런데 k+0이므로 k=
1
2
∴ x=2 또는 x=
5
2
따라서 다른 한 근은 x=
5
2
05 (x-2)(x-b)=0에서 x=2 또는 x=b
x=2를 x¤ +2x+a=0에 대입하면
4+4+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-8
이때 x¤ +2x-8=0이므로 (x-2)(x+4)=0(cid:100)(cid:100)
-b=4에서 b=-4
∴ ab=(-8)_(-4)=32
06 3-k={
에서 3-k=16(cid:100)(cid:100)∴ k=-13
}¤
8
2
이때 x¤ +8x+16=0이므로 (x+4)¤ =0
∴ x=-4(중근) (cid:9195) a=-4
∴ a-k=-4-(-13)=9
07 (x+a)¤ =2, x+a=—'2(cid:100)(cid:100)∴ x=-a—'2
이때 해가 x=1—'b이므로
-a=1에서 a=-1이고, b=2
∴ a+b=-1+2=1
08 2x¤ -8x-4=0에서 x¤ -4x-2=0, x¤ -4x=2
x¤ -4x+4=2+4(cid:100)(cid:100)∴ (x-2)¤ =6
따라서 a=2, b=6이므로 2a-b=2_2-6=-2
09 x¤ +6x+m=0에서
ㄱ. m=8이면 x¤ +6x+8=0
(x+4)(x+2)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-4 또는 x=-2
ㄴ. m=9이면 x¤ +6x+9=0
(x+3)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-3(중근)
ㄷ. m=10이면 x¤ +6x+10=0
x¤ +6x=-10, x¤ +6x+9=-10+9
∴ (x+3)¤ =-1
이때 우변이 음수이므로 해가 없다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
10 x¤ +6x+1=0에서 x¤ +6x=-1
x¤ +6x+9=-1+9
(x+3)¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ x=-3—2'2
따라서 a=9, b=3, c=8, d=2이므로
a+b+c+d=9+3+8+2=22
12
(완전제곱식)=0의 꼴이 되기 위한 조건을 찾는다. 이때 조건은
m에 관한 이차방정식이 되므로 상수 m의 값이 2가지가 나올 수 있음에 주
의한다.
-3m+7=[
-(m-4)
2
]¤
이어야 하므로
(m-4)¤ =-12m+28
m¤ -8m+16+12m-28=0, m¤ +4m-12=0
(m+6)(m-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ m=-6 또는 m=2
13
입해 본다.
두 이차방정식의 공통인 근을 먼저 구한 후 주어진 방정식에 대
x¤ -4x-12=0에서 (x-6)(x+2)=0
∴ x=6 또는 x=-2
(x-1)¤ =25에서 x-1=—5(cid:100)(cid:100)
∴ x=6 또는 x=-4
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=6이므로
x=6을 x¤ -ax+3a=0에 대입하면
1
2
1
2
_36-6a+3a=0, 3a=18(cid:100)(cid:100)∴ a=6
04 이차방정식의 근의 공식
92~93쪽
1-1 ⑴ x=
⑵ x=4 또는 x=1
1 ⑴ x=
-5—'∂29
2
⑵ x=
⑶ x=2 또는 x=1 ⑷ x=
-7—'∂57
2
3—'∂33
2
⑶ x=
⑷ x=
2 ⑴ x=4—2'2
⑵ x=
2-1 ⑴ x=-2—'3
⑵ x=
5—'∂41
4
-5—'5
2
-5—'∂17
4
-3—'7
2
3—'3
3
3 ⑴ x=
1—'∂19
3
⑵ x=-3 또는 x=
4 ⑴ x=- 또는 x= ⑵ x=
1
5
1
2
5 ⑴ x=2—'∂11 ⑵ x=-3 또는 x=1
6 ⑴ x=-10 또는 x=2 ⑵ x=4(중근)
1
2
-2—'5
2
11
주어진 한 근이 x=2k이므로 이차방정식에 대입해 본다.
x=2k를 2x¤ -kx-3k=0에 대입하면
8k¤ -2k¤ -3k=0, 6k¤ -3k=0
1 ⑴ a=1, b=5, c=-1이므로
x=
-5—"√5¤ -4_1_(-1)
2_1
=
-5—'∂29
2
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 27
⑵ a=2, b=-5, c=-2이므로
x=
-(-5)—"√(-5)¤ -4_2_(-√2)
2_2
⑶ a=1, b=-3, c=2이므로
=
5—'∂41
4
x=
-(-3)—"√(-3)¤ -4_1_2
2_1
=
3—1
2
∴ x=2 또는 x=1
⑷ a=1, b=5, c=5이므로
x=
-5—"√5¤ -4_1_5
2_1
=
-5—'5
2
1-1 ⑴ a=1, b=7, c=-2이므로
x=
-7—"√7¤ -4_1_(-2)
2_1
=
-7—'∂57
2
⑵ a=1, b=-5, c=4이므로
x=
-(-5)—"√(-5)¤ -4_1_4
2_1
=
x=
5—'9
5—3
2
2
∴ x=4 또는 x=1
⑶ a=1, b=-3, c=-6이므로
x=
-(-3)—"√(-3)¤ -4_1_(-√6)
2_1
⑷ a=2, b=5, c=1이므로
x=
-5—"√5¤ -4_2_1
2_2
=
-5—'∂17
4
=
3—'∂33
2
2 ⑴ a=1, b'=-4, c=8이므로
x=
-(-4)—"√(-4)¤ -1_8
1
=4—2'2
⑵ a=2, b'=3, c=1이므로
x=
-3—"√3¤ -2_1
2
=
-3—'7
2
2-1 ⑴ a=1, b'=2, c=1이므로
x=
-2—"√2¤ -1_1
1
⑵ a=3, b'=-3, c=2이므로
=-2—'3
x=
-(-3)—"√(-3)¤ -3_2
3
=
3—'3
3
3 ⑴ 양변에 분모의 최소공배수인 6을 곱하면
(cid:100) 3x¤ -2x-6=0
∴ x=
-(-1)—"√(-1)¤ -3_(-6)
3
=
1—'∂19
3
⑵ 양변에 분모의 최소공배수인 10을 곱하면
2x¤ +5x-3=0, (x+3)(2x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=
1
2
⑵ 양변에 10을 곱하면 4x¤ +8x-1=0
∴ x=
-4—"√4¤ -4_(-1)
4
=
-4—'∂20
4
=
-2—'5
2
5 ⑴ (x-1)(x-3)=10에서
x¤ -4x+3=10, x¤ -4x-7=0
∴ x=
-(-2)—"√(-2)¤ -1_(-7)
1
=2—'∂11
⑵ (x+2)¤ =2x+7에서 x¤ +4x+4=2x+7
x¤ +2x-3=0, (x+3)(x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=1
6 ⑴ x+5=A로 치환하면 A¤ -2A-35=0
(A+5)(A-7)=0(cid:100)(cid:100)∴ A=-5 또는 A=7
이때 A=x+5이므로
x+5=-5 또는 x+5=7
∴ x=-10 또는 x=2
⑵ x-3=A로 치환하면 A¤ -2A+1=0
(A-1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ A=1(중근)
이때 A=x-3이므로
x-3=1(cid:100)(cid:100)∴ x=4(중근)
94쪽
01 ⑴ x=4 또는 x=-2 ⑵ x=7 또는 x=-3
⑶ x=-7(중근)
⑸ x=1—'2
02 ⑴ x=
-1—'5
2
⑷ x=—
1
2
⑵ x=
-3—'∂19
5
⑶ x=- 또는 x=1 ⑷ x=-2—'7
5
2
⑸ x=1 또는 x=-4
1
03 ⑴ x= 또는 x=1
2
-2—'7
3
5—'∂65
10
⑸ x=
⑶ x=
⑵ x=
2—'∂10
3
⑷ x=1(중근)
⑹ x= 또는 x=2
1
3
04 ⑴ x=2 또는 x=-3 ⑵ x=6 또는 x=-8
⑶ x=-2 또는 x=5
01 ⑴ (x-4)(x+2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4 또는 x=-2
⑵ (x-7)(x+3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=7 또는 x=-3
⑶ (x+7)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-7(중근)
4 ⑴ 양변에 10을 곱하면 10x¤ -3x-1=0
1
5
(5x+1)(2x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x=
1
2
⑷ x¤ = (cid:100)(cid:100)∴ x=—
1
4
1
2
⑸ x-1=—'2(cid:100)(cid:100)∴ x=1—'2
28 정답 및 풀이
02 ⑴ x=
-1—"√1¤ -4_1_(-1)
2_1
=
-1—'5
2
⑵ x=
-3—"√3¤ -5_(-2)
5
-3—'∂19
5
⑶ 2x¤ +3x-5=0, (2x+5)(x-1)=0
=
5
∴ x=- 또는 x=1
2
⑷ x¤ -4x+3=2x¤ , x¤ +4x-3=0
∴ x=
-2—"√2¤ -1_(-3)
1
=-2—'7
⑸ 괄호를 풀어 정리하면 x¤ +3x-4=0
(x-1)(x+4)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=1 또는 x=-4
03 ⑴ 양변에 분모의 최소공배수인 6을 곱하면
2x¤ -3x=-1, 2x¤ -3x+1=0
(2x-1)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x= 또는 x=1
1
2
⑵ 양변에 분모의 최소공배수인 4를 곱하면
3x¤ -4x-2=0
∴ x=
-(-2)—"√(-2)¤ -3_(-2)
3
=
2—'∂10
3
⑶ 양변에 10을 곱하면 3x¤ +4x-1=0
∴ x=
-2—"√2¤ -3_(-1)
3
=
-2—'7
3
⑷ 양변에 10을 곱하면 4x¤ -8x+4=0
x¤ -2x+1=0, (x-1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=1(중근)
⑸ 양변에 10을 곱하면 5x¤ -5x-2=0
∴ x=
-(-5)—"√(-5)¤ -4_5_(√-2)
2_5
∴ x=
5—'∂65
10
⑹ 양변에 분모의 최소공배수인 6을 곱하면
3(x-1)(x-2)=-2(x-2)
괄호를 풀어 정리하면 3x¤ -7x+2=0
(3x-1)(x-2)=0
∴ x= 또는 x=2
1
3
04 ⑴ x+1=A로 치환하면 A¤ =A+6
A¤ -A-6=0, (A-3)(A+2)=0
∴ A=3 또는 A=-2
이때 A=x+1이므로 x+1=3 또는 x+1=-2
∴ x=2 또는 x=-3
⑵ x-2=A로 치환하면 A¤ +6A-40=0
(A-4)(A+10)=0(cid:100)(cid:100)
∴ A=4 또는 A=-10
이때 A=x-2이므로 x-2=4 또는 x-2=-10
∴ x=6 또는 x=-8
⑶ x-1=A로 치환하면 A¤ -A-12=0
(A+3)(A-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ A=-3 또는 A=4
이때 A=x-1이므로 x-1=-3 또는 x-1=4
∴ x=-2 또는 x=5
01 11
05 60
02 18
03 -4
06 -5+'∂15 07 10
04 6
08 4
95쪽
01 x=
-1—"√1¤ -3_(-3)
3
따라서 A=-1, B=10이므로
B-A=10-(-1)=11
=
-1—'∂10
3
02 괄호를 풀어 정리하면 2x¤ +6x-6=0
x¤ +3x-3=0
∴ x=
-3—"√3¤ -4_1_(-3)
2_1
=
-3—'∂21
2
따라서 A=-3, B=21이므로 A+B=-3+21=18
03 x=
-2—"√2¤ -5_A
5
=
-2—'ƒ4-5A
5
이때 해가 x=
이므로 B=-2이고,
B—'∂14
5
4-5A=14에서 -5A=10(cid:100)(cid:100)∴ A=-2
∴ A+B=-2+(-2)=-4
04 x=
-(-5)—"√(-5)¤ -4_3_A
2_3
=
5—'ƒ25-12A
6
이때 해가 x=
이므로 B=5이고,
B—'∂13
6
25-12A=13에서 -12A=-12(cid:100)(cid:100)∴ A=1
∴ A+B=1+5=6
05 양변에 10을 곱하면 2x¤ +5x-5=0
∴ x=
-5—"√5¤ -4_2_(-5)
2_2
=
-5—'∂65
4
따라서 a=-5, b=65이므로
a+b=-5+65=60
06 0.5x¤ +x+0.2=0의 양변에 10을 곱하면
5x¤ +10x+2=0
∴ x=
-5—"√5¤ -5_2
5
=
-5—'∂15
5
1
2
x¤ - x+ =0의 양변에 10을 곱하면
1
5
2x¤ -5x+2=0, (2x-1)(x-2)=0
1
5
∴ x= 또는 x=2
1
2
따라서 a=
-5+'∂15
5
1
, b= 이므로
2
10ab=10_{
-5+'∂15
5
1
2
}_ =-5+'∂15
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 29
07 2x-1=A로 치환하면 12A¤ -11A+2=0
1-1 ⑴ a=1, b=-2, c=5이므로
2
3
2
3
(3A-2)(4A-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ A= 또는 A=
이때 A=2x-1이므로 2x-1= 또는 2x-1=
∴ x= 또는 x= (cid:9195) a>b이므로 a= , b=
5
6
5
6
∴ 6a+8b=6_ +8_ =5+5=10
5
8
5
6
5
8
1
4
1
4
5
8
08 x-y=A로 치환하면 A(A-2)-8=0
A¤ -2A-8=0, (A+2)(A-4)=0
∴ A=-2 또는 A=4
이때 A=x-y이고 x>y이므로 x-y>0(cid:100)(cid:100)
∴ x-y=4
05 이차방정식의 근과 계수의 관계
1 ⑴ 2개 ⑵ 1개 ⑶ 0개 ⑷ 2개
1-1 ⑴ 0개 ⑵ 2개 ⑶ 2개 ⑷ 1개
2 ⑴ k<
⑵ k=
⑶ k>
23
2
23
2
2-1 ⑴ m>-
⑵ m=-
⑶ m<-
1
12
1
12
23
2
1
12
3 ⑴
⑵ -1
5
2
3-1 ⑴ -4 ⑵ -30
4 ⑴ 31 ⑵ - ⑶ -
⑷ 37
5
3
31
3
4-1 ⑴ 11 ⑵
22
5
5 ⑴ 2x¤ +2x-12=0 ⑵ -x¤ -10x-25=0
⑷ 6
4
5
⑶
⑶ 3x¤ -18x-6=0
5-1 ⑴ 6x¤ -5x+1=0 ⑵ 2x¤ -16x+32=0
⑶ 2x¤ +10x+4=0
6 ⑴ 3-'2 ⑵ x¤ -6x+7=0
6-1 ⑴ 2+'3 ⑵ x¤ -4x+1=0
1 ⑴ a=1, b=-4, c=3이므로
b¤ -4ac=(-4)¤ -4_1_3=4>0 (cid:9195) 2개
⑵ 주어진 식을 정리하면 x¤ -6x+9=0
a=1, b=-6, c=9이므로
b¤ -4ac=(-6)¤ -4_1_9=0 (cid:9195) 1개
⑶ a=2, b=3, c=5이므로
b¤ -4ac=3¤ -4_2_5=-31<0 (cid:9195) 0개
⑷ 주어진 식을 정리하면 2x¤ -2x-3=0
a=2, b=-2, c=-3이므로
b¤ -4ac=(-2)¤ -4_2_(-3)=28>0 (cid:9195) 2개
30 정답 및 풀이
97~99쪽
2-1 b¤ -4ac=(-5)¤ -4_3_(2-m)=12m+1
b¤ -4ac=(-2)¤ -4_1_5=-16<0 (cid:9195) 0개
⑵ 주어진 식을 정리하면 x¤ -6x+2=0
a=1, b=-6, c=2이므로
b¤ -4ac=(-6)¤ -4_1_2=28>0 (cid:9195) 2개
⑶ a=3, b=-1, c=-1이므로
b¤ -4ac=(-1)¤ -4_3_(-1)=13>0 (cid:9195) 2개
⑷ 주어진 식을 정리하면 x¤ +6x+9=0
a=1, b=6, c=9이므로
b¤ -4ac=6¤ -4_1_9=0 (cid:9195) 1개
2 b¤ -4ac=10¤ -4_2_(k+1)=-8k+92
⑴ -8k+92>0에서 8k<92(cid:100)(cid:100)∴ k<
⑵ -8k+92=0에서 8k=92(cid:100)(cid:100)∴ k=
⑶ -8k+92<0에서 8k>92(cid:100)(cid:100)∴ k>
23
2
23
2
23
2
b
2
1
a
b
a
⑴ 12m+1>0에서 12m>-1(cid:100)(cid:100)∴ m>-
⑵ 12m+1=0에서 12m=-1(cid:100)(cid:100)∴ m=-
⑶ 12m+1<0에서 12m<-1(cid:100)(cid:100)∴ m<-
1
12
1
12
1
12
3 ⑴ a+b=-
-5
2
=
5
2
⑵ ab=
=-1
-2
2
3-1 ⑴ - =-3+5이므로 a=-4
a
2
⑵ =(-3)_5이므로 b=-30
4 근과 계수의 관계에 의해 a+b=5, ab=-3
⑴ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=5¤ -2_(-3)=31
⑵ + =
a+b
ab
=
5
-3
=-
5
3
⑶ + =
a¤ +b¤
ab
=
31
-3
=-
31
3
1
b
a
b
⑷ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=5¤ -4_(-3)=37
4-1 근과 계수의 관계에 의해 a+b=4, ab=
⑴ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=4¤ -2_ =11
⑵ + =
1
2b
1
2a
a+b
2ab
=
=
2_;2%;
⑶ + =
b
a
a
b
a¤ +b¤
ab
=11÷ =11_ =
22
5
⑷ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=4¤ -4_ =6
4
5
2
5
2
5
2
4
5
2
5
5
2
5 ⑴ 2(x-2)(x+3)=0이므로 2x¤ +2x-12=0
⑵ -(x+5)¤ =0이므로 -x¤ -10x-25=0
⑶ 3(x¤ -6x-2)=0이므로 3x¤ -18x-6=0
05 a+b=-
=3, ab=-1이므로
a¤ -ab+b¤ =(a+b)¤ -3ab=3¤ -3_(-1)=12
5-1 ⑴ 6{x- }{x- }=0이므로 6{x¤ - x+ }=0
1
2
1
3
5
6
1
6
06 a+b=-
=4, ab=1이므로
-3
1
-4
1
∴ 6x¤ -5x+1=0
⑵ 2(x-4)¤ =0이므로 2x¤ -16x+32=0
⑶ 2(x¤ +5x+2)=0이므로 2x¤ +10x+4=0
[다른 풀이]
⑴ (2x-1)(3x-1)=0이므로 6x¤ -5x+1=0
6 ⑵ (두 근의 합)=(3+'2)+(3-'2)=6
(두 근의 곱)=(3+'2)(3-'2)=7
∴ x¤ -6x+7=0
6-1 ⑵ (두 근의 합)=(2-'3)+(2+'3)=4
(두 근의 곱)=(2-'3)(2+'3)=1
∴ x¤ -4x+1=0
02 ⑤
01 ①, ⑤
05 12
06 ②
09 4
10 20
13 x¤ -3x-10=0
03 k…-2
07 12
11 ⑤
14 x=-5 또는 x=-1
04 0
08 1
12 -2
01 b¤ -4ac의 부호를 확인해 보면
① (-1)¤ -4_2_1=-7<0 (cid:9195) 근이 없다.
② 5¤ -4_1_2=17>0 (cid:9195) 서로 다른 두 근
③ (-3)¤ -4_1_(-5)=29>0 (cid:9195) 서로 다른 두 근
④ 8¤ -4_16_1=0 (cid:9195) 중근
⑤ (-3)¤ -4_4_1=-7<0 (cid:9195) 근이 없다.
02 b¤ -4ac의 부호를 확인해 보면
① (-5)¤ -4_2_(-1)=33>0 (cid:9195) 2개
② 6¤ -4_3_1=24>0 (cid:9195) 2개
③ 0¤ -4_9_(-4)=144>0 (cid:9195) 2개
④ (-7)¤ -4_4_0=49>0 (cid:9195) 2개
⑤ (-20)¤ -4_4_25=0 (cid:9195) 1개
03 b¤ -4ac=(-2)¤ -4(k+3)æ0이어야 하므로
-4kæ8(cid:100)(cid:100)∴ k…-2
04 b¤ -4ac=(-3)¤ -4(-k+2)>0이어야 하므로
1
4
4k>-1(cid:100)(cid:100)∴ k>-
따라서 가장 작은 정수 k의 값은 0이다.
09 두 근을 a, a+3으로 놓으면 a+(a+3)=5에서
2a=2(cid:100)(cid:100)∴ a=1
따라서 두 근은 1, 4이므로 1_4=k에서 k=4
100~101쪽
(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=4¤ -4_1=12
∴ a-b='∂12=2'3 (∵ a>b)
07 두 근이 -2, 4이고 x¤ 의 계수가 2인 이차방정식은
2(x+2)(x-4)=0에서 2x¤ -4x-16=0
따라서 a=-4, b=-16이므로 a-b=-4-(-16)=12
[다른 풀이]
근과 계수의 관계에 의해
b
- =-2+4에서 a=-4, =(-2)_4에서 b=-16
2
a
2
1
3
1
2
1
2
1
3
08 두 근이 - , 이고 x¤ 의 계수가 6인 이차방정식은
6{x+ }{x- }=0에서 6x¤ -x-1=0
따라서 a=-1, b=-1이므로 ab=(-1)_(-1)=1
10 두 근을 2a, 3a로 놓으면 2a+3a=10에서
5a=10(cid:100)(cid:100)∴ a=2
따라서 두 근은 4, 6이므로 4_6=m+4에서 m=20
11 계수가 모두 유리수이므로 다른 한 근은 4-'3
이때 (4+'3)+(4-'3)=-(2k+4)에서
-2k-4=8(cid:100)(cid:100)∴ k=-6
12 계수가 모두 유리수이므로 다른 한 근은 5+'∂17
이때 근과 계수의 관계에 의해
-a=(5+'∂17)+(5-'∂17)=10에서 a=-10
b=(5+'∂17)(5-'∂17)=25-17=8
∴ a+b=-10+8=-2
13 준호가 푼 이차방정식은 (x-1)(x+10)=0에서
x¤ +9x-10=0이고, 이것은 q를 바르게 본 것이므로 q=-10
또, 수호가 푼 이차방정식은 (x+1)(x-4)=0에서
x¤ -3x-4=0이고, 이것은 p를 바르게 본 것이므로 p=3
따라서 구하는 이차방정식은 x¤ -3x-10=0
14 일차항의 계수를 잘못 본 이차방정식은 (x-5)(x-1)=0에서
x¤ -6x+5=0(cid:100)(cid:100)∴ (상수항)=5
상수항을 잘못 본 이차방정식은 (x+2)(x+4)=0에서
x¤ +6x+8=0(cid:100)(cid:100)∴ (일차항의 계수)=6
따라서 원래 이차방정식은 x¤ +6x+5=0이므로
(x+5)(x+1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-5 또는 x=-1
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 31
102~103쪽
09 두 근을 a, a+2로 놓으면 a+(a+2)=-
=4에서
-8
2
04 ②
2a=2(cid:100)(cid:100)∴ a=1
01 ②
05 ④
02 x=-2
06 ③
1
08 x= 또는 x=
3
1
2
10 x¤ +11x+30=0
12 x=
1—'∂65
8
03 13
07 ②
09 ③
11 0
13 10
14 ③
01 x=
-3—"√3¤ -4_1_1
2_1
=
-3—'5
2
따라서 a=-3, b=5이므로 a+b=(-3)+5=2
02 0.2x¤ -0.1x-1=0의 양변에 10을 곱하면
2x¤ -x-10=0, (x+2)(2x-5)=0
∴ x=-2 또는 x=
5
2
(x¤ +x)= 의 양변에 분모의 최소공배수인 10을 곱하면
3
5
3
10
3(x¤ +x)=6, x¤ +x-2=0, (x+2)(x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=1
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-2이다.
03 괄호를 풀어 정리하면 x-x¤ =x¤ -x-6
2x¤ -2x-6=0(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -x-3=0
x=
-(-1)—"√(-1)¤ -4_1_(√-3)
2_1
=
1—'∂13
2
이므로 A=13
04 x+2=A로 치환하면 A¤ -2A-8=0
(A+2)(A-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ A=-2 또는 A=4
즉, x+2=-2 또는 x+2=4이므로 x=-4 또는 x=2
따라서 a, b는 -4, 2이므로 a+b=-2
05 b¤ -4ac=(m-2)¤ -4_1_9=0이어야 하므로
(m-2)¤ =36, m-2=—6
∴ m=8 또는 m=-4
따라서 모든 상수 m의 값의 합은 8+(-4)=4
1
b
③ + =
06 ① a+b=-3
1
a
② ab=1
-3
1
④ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=(-3)¤ -2_1=7
⑤ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=(-3)¤ -4_1=5
a+b
ab
=-3
=
07 x¤ -3x-2=0의 두 근의 합은 3이므로
x=3을 x¤ +kx+3=0에 대입하면
9+3k+3=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-4
08 두 근이 2, 3이고 이차항의 계수가 1인 이차방정식은
(x-2)(x-3)=0에서 x¤ -5x+6=0
따라서 a=-5, b=6이므로 6x¤ -5x+1=0
(3x-1)(2x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x= 또는 x=
1
3
1
2
32 정답 및 풀이
따라서 두 근은 1, 3이므로 1_3=
k-3
2
에서
k-3=6(cid:100)(cid:100)∴ k=9
10 a+b=-5, ab=-6이므로 구하는 이차방정식은
(x+5)(x+6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +11x+30=0
2(1-'3)
(1+'3)(1-'3)
2
1+'3
계수가 모두 유리수이므로 다른 한 근은 -1-'3
=-1+'3
11
=
이때 근과 계수의 관계에 의해
a=(-1+'3)+(-1-'3)=-2
b=(-1+'3)(-1-'3)=-2
∴ a-b=-2-(-2)=0
12
먼저 양변에 10을 곱하여 각 항의 계수, 상수항을 정수로 만든
후 식을 정리한다.
양변에 10을 곱하면 (x-1)¤ =5x¤ -3(x+1)
x¤ -2x+1=5x¤ -3x-3(cid:100)(cid:100)∴ 4x¤ -x-4=0
따라서 근의 공식에 의해
x=
-(-1)—"√(-1)¤ -4_4_(-√4)
2_4
=
1—'∂65
8
13
판별식을 이용하여 자연수 m의 값의 범위를 구한다.
b¤ -4ac=4(m-3)¤ -4(m+3)(m-4)>0이어야 하므로
(m¤ -6m+9)-(m¤ -m-12)>0
-5m>-21(cid:100)(cid:100)∴ m<
21
5
따라서 모든 자연수 m의 값은 1, 2, 3, 4이므로 그 합은 10이다.
14
두 사람이 구한 근을 이용하여 각각의 이차방정식을 구한 후 바
르게 본 항을 찾아 원래의 이차방정식을 구한다.
A가 푼 이차방정식은 (x+3)(x-6)=0에서
x¤ -3x-18=0이므로 원래의 이차방정식의 상수항은 -18이다.
B가 푼 이차방정식은 (x+1)(x-8)=0에서
x¤ -7x-8=0이므로 원래의 이차방정식의 일차항의 계수는
-7이다.
따라서 원래의 이차방정식은 x¤ -7x-18=0이므로
(x-9)(x+2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=9 또는 x=-2
따라서 원래의 이차방정식의 두 근의 차는 9-(-2)=11
06 이차방정식의 활용
105~106쪽
1 ⑴ x+1 ⑵ x¤ +x-132=0 ⑶ 11, 12
1-1 ⑴ x+2 ⑵ x¤ +2x-143=0 ⑶ 11, 13
2 ⑴ 2초 후, 4초 후 ⑵ 6초 후
2-1 ⑴ 3초 후, 9초 후 ⑵ 12초 후
3
4
3-1 4 cm
4-1 2
10 cm
4 m
2 ⑴ 30t-5t¤ =40에서 t¤ -6t+8=0
02 연속하는 두 짝수를 x, x+2라 하면 x¤ +(x+2)¤ =244에서
1 ⑵ x¤ +(x+1)¤ =265에서 2x¤ +2x-264=0
∴ x¤ +x-132=0
⑶ (x+12)(x-11)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-12 또는 x=11
그런데 x는 자연수이므로 x=11
따라서 두 자연수는 11, 12이다.
1-1 ⑵ x(x+2)=143에서 x¤ +2x-143=0
⑶ (x+13)(x-11)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-13 또는 x=11
그런데 x는 자연수이므로 x=11
따라서 두 홀수는 11, 13이다.
(t-2)(t-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=2 또는 t=4
따라서 높이가 40 m가 되는 것은 2초 후와 4초 후이다.
⑵ 지면에 떨어지는 것은 높이가 0일 때이므로 30t-5t¤ =0에서
t¤ -6t=0, t(t-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=0 또는 t=6
그런데 0초는 쏘아 올리려는 순간이므로 지면으로 떨어지는
것은 6초 후이다.
2-1 ⑴ 60t-5t¤ =135에서 t¤ -12t+27=0
(t-3)(t-9)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=3 또는 t=9
따라서 높이가 135 m가 되는 것은 3초 후와 9초 후이다.
⑵ 지면에 떨어지는 것은 높이가 0일 때이므로 60t-5t¤ =0에서
t¤ -12t=0, t(t-12)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=0 또는 t=12
그런데 0초는 쏘아 올리려는 순간이므로 지면으로 떨어지는
것은 12초 후이다.
3 새로 만든 직사각형의 가로의 길이는 (x-6) cm, 세로의 길이
는 (x+12) cm이므로 (x-6)(x+12)=88에서
x¤ +6x-160=0, (x+16)(x-10)=0
∴ x=-16 또는 x=10
그런데 x>0이므로 x=10
따라서 정사각형의 한 변의 길이는 10 cm이다.
3-1 늘인 길이를 x cm라 하면 새로 만든 직사각형의 가로의 길이는
(8+x) cm, 세로의 길이는 (5+x) cm이다.
이때 (8+x)(5+x)=8_5+68에서 x¤ +13x-68=0
(x+17)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-17 또는 x=4
그런데 x>0이므로 x=4
따라서 가로와 세로의 길이를 4 cm만큼 늘였다.
4 도로의 폭이 x m이므로
(30-x)(20-x)=416에서 x¤ -50x+184=0
(x-4)(x-46)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4 또는 x=46
그런데 0<x<20이므로 x=4
따라서 도로의 폭은 4 m이다.
4-1 (18-x)(10-x)=128에서 x¤ -28x+52=0
(x-2)(x-26)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=26
그런데 0<x<10이므로 x=2
01 6, 7, 8
03 11명
02 22
05 4초 후 06 10초 후 07 1 cm
04 4명
08 7 cm
107쪽
01 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면
(x+1)¤ =2x(x-1)-20에서 x¤ -4x-21=0
(x+3)(x-7)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=7
그런데 x>1이어야 하므로 x=7
따라서 세 자연수는 6, 7, 8이다.
2x¤ +4x-240=0, x¤ +2x-120=0
(x+12)(x-10)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-12 또는 x=10
그런데 x는 자연수이므로 x=10
따라서 두 짝수는 10, 12이므로 그 합은 10+12=22
03 학생 수를 x명이라 하면 한 학생이 받는 사탕의 개수는
(x-2)개이므로 x(x-2)=99에서 x¤ -2x-99=0
(x-11)(x+9)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=11 또는 x=-9
그런데 x>0이므로 x=11
따라서 학생 수는 11명이다.
04 친구들의 수를 x명이라 하면 한 친구에게 돌아가는 구슬의 개수
는 (x+6)개이므로 x(x+6)=40에서 x¤ +6x-40=0
(x+10)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-10 또는 x=4
그런데 x>0이므로 x=4
따라서 친구들은 모두 4명이다.
05 40t-5t¤ =80에서 t¤ -8t+16=0
(t-4)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ t=4(중근)
따라서 물체의 높이가 80 m가 되는 것은 던져 올린 지 4초 후이다.
06 50+45t-5t¤ =0에서 t¤ -9t-10=0
(t+1)(t-10)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=-1 또는 t=10
그런데 t>0이어야 하므로 t=10
따라서 물체가 지면에 떨어지는 것은 던져 올린 지 10초 후이다.
07 상자의 밑면의 가로와 세로의 길이는 각각 (8-2x) cm,
(6-2x) cm이므로 (8-2x)(6-2x)=24에서
4x¤ -28x+24=0, x¤ -7x+6=0
(x-1)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=6
그런데 0<x<3이어야 하므로 x=1
따라서 잘라낸 정사각형의 한 변의 길이는 1 cm이다.
08 큰 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 작은 정사각형의 한
변의 길이는 (12-x)cm이므로
x¤ +(12-x)¤ =74에서 x¤ -12x+35=0
(x-5)(x-7)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 또는 x=7
그런데 x>12-x, 즉 x>6이므로 x=7
따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는 7 cm이다.
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 33
108쪽
01 -1 또는 -3
03 형：10살, 준영：6살
05 4 cm 또는 6 cm
07 4초 후
02 14쪽, 15쪽
04 십각형
06 15 m 또는 20 m
01 (x+3)¤ =2(x+3)에서 x¤ +4x+3=0
(x+1)(x+3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=-3
02 두 면의 쪽수는 연속하는 자연수이므로 x, x+1이라 하면
x(x+1)=210에서 x¤ +x-210=0
(x+15)(x-14)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-15 또는 x=14
그런데 x는 자연수이므로 x=14
따라서 구하는 두 면의 쪽수는 14쪽, 15쪽이다.
03 형의 나이를 x살이라 하면 준영이의 나이는 (x-4)살이므로
x¤ =3(x-4)¤ -8에서 2x¤ -24x+40=0
x¤ -12x+20=0, (x-10)(x-2)=0
∴ x=10 또는 x=2
이때 형의 나이가 2살이면 준영이의 나이는 음수가 되므로 형의
나이는 10살이고 준영이의 나이는 10-4=6(살)이다.
04
n(n-3)
2
=35에서 n¤ -3n-70=0
(n+7)(n-10)=0(cid:100)(cid:100)∴ n=-7 또는 n=10
그런데 n>3이므로 n=10
따라서 구하는 다각형은 십각형이다.
05 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 새로 만든 직사각형의
가로의 길이는 (x-2) cm, 세로의 길이는 (x+12) cm이다.
이때 (x-2)(x+12)=2x¤ 에서 x¤ -10x+24=0
(x-4)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4 또는 x=6
따라서 정사각형의 한 변의 길이는 4 cm 또는 6 cm이다.
06 보호 구역의 세로의 길이를 x m라 하면 가로의 길이는
(70-2x) m이므로 x(70-2x)=600에서
2x¤ -70x+600=0, x¤ -35x+300=0
(x-15)(x-20)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=15 또는 x=20
따라서 보호 구역의 세로의 길이는 15 m 또는 20 m이다.
07
x초 후의 PB”의 길이와 BQ”의 길이를 먼저 식으로 나타낸 후
삼각형 PBQ의 넓이를 이용하여 이차방정식을 세운다.
두 점 P, Q가 동시에 출발한 지 x초 후의 선분 PB의 길이는
(8-x)cm이고 선분 BQ의 길이는 2x cm이므로
1
2
(x-4)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=4`(중근)
따라서 △PBQ의 넓이가 16 cm¤ 가 되는 것은 4초 후이다.
_(8-x)_2x=16에서 x¤ -8x+16=0
34 정답 및 풀이
01 ⑤
06 -15
10 x=
14 ①
02 ②
07 ⑤
-3—'∂17
4
15 7
03 3
08 5
11 ④
16 ②
04 1
09 7
12 ①
17 9
109~111쪽
05 ⑤
13 ②
18 8마리
19 ⑴
9
8
3
⑵ x= (중근)
2
20 a=1, b=3, c=4
21 ⑴ x¤ -54x+200=0 ⑵ x=4 또는 x=50 ⑶ 4 m
01 ⑤ x¤ +3x=x¤ -x-6, 4x+6=0 (cid:9195) 일차방정식
02 [ ] 안의 수를 주어진 방정식에 각각 대입해 보면
② 4+4-8=0
④ 9+3-6=6+0
① 1+1=2+0
③ 9-3=6+0
⑤ 4_(-2)=-8+0
따라서 해인 것은 ②이다.
03 x=1을 x¤ +ax-2a=0에 대입하면
1+a-2a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=1
이때 x¤ +x-2=0이므로
(x+2)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=1
따라서 b=-2이므로 a-b=1-(-2)=3
04 (x-1)(x+4)=2(x+1)에서
x¤ +3x-4=2x+2, x¤ +x-6=0
(x+3)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=2
이때 a<b이므로 a=-3, b=2
∴ a+2b=-3+2_2=1
05 ⑤ x¤ -6x=-9에서 x¤ -6x+9=0
(x-3)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=3(중근)
06 3(x+5)¤ -1=0에서 (x+5)¤ =
1
3
'3
x+5=—Æ =— (cid:100)(cid:100)∴ x=-5—
3
1
3
따라서 A=-5, B=3이므로
AB=(-5)_3=-15
'3
3
07 x¤ +4x=7, x¤ +4x+4=7+4
(x+2)¤ =11, x+2=—'∂11
∴ x=-2—'∂11
08 (x-1)(x-5)=4에서
x¤ -6x+5=4, x¤ -6x=-1
x¤ -6x+9=-1+9(cid:100)(cid:100)∴ (x-3)¤ =8
따라서 p=-3, q=8이므로
p+q=(-3)+8=5
09 9x¤ -6x-4=0에서
x=
-(-3)—"√(-3)¤ -9_(-4)
9
x=
3—'∂45
9
=
3—3'5
9
=
1—'5
3
따라서 a=1, b=5이므로 2a+b=2_1+5=7
10 양변에 분모의 최소공배수인 6을 곱하면
2x¤ +3x=1, 2x¤ +3x-1=0
따라서 근의 공식에 의해
x=
-3—"√3¤ -4_2_(-1)
2_2
=
-3—'∂17
4
11 a-b=A로 치환하면 A(A-5)=14
A¤ -5A-14=0, (A+2)(A-7)=0
∴ A=-2 또는 A=7
이때 A=a-b이므로 a-b=-2 또는 a-b=7
그런데 a>b이므로 a-b>0
∴ a-b=7
12 x¤ +6x-k+3=0이 근을 갖지 않으려면
b¤ -4ac=6¤ -4_1_(-k+3)<0이어야 하므로
4k+24<0(cid:100)(cid:100)∴ k<-6
따라서 근을 갖지 않도록 하는 상수 k의 값은 ① -9이다.
13 a+b=2, ab=-1이므로
b
a
a
+ =
b
a¤ +b¤
ab
=
(a+b)¤ -2ab
ab
=
2¤ -2_(-1)
-1
=-6
14 x¤ -3x-5=0에서 근과 계수의 관계에 의해
(두 근의 합)=3, (두 근의 곱)=-5
이때 두 근이 3, -5이고 x¤ 의 계수가 2인 이차방정식은
2(x-3)(x+5)=0에서 2x¤ +4x-30=0
따라서 a=4, b=-30이므로
a+b=4+(-30)=-26
15 계수가 모두 유리수이므로 다른 한 근은 -3+2'2
이때 근과 계수의 관계에 의해
-a=(-3-2'2)+(-3+2'2)=-6에서 a=6
b=(-3-2'2)(-3+2'2)=9-8=1
∴ a+b=6+1=7
16 x=a를 x¤ -4x+1=0에 대입하면 a¤ -4a+1=0
그런데 a+0이므로 양변을 a로 나누면
1
a
a-4+ =0(cid:100)(cid:100)∴ a+ =4
1
a
∴ a¤ + ={a+ }¤ -2=4¤ -2=16-2=14
1
a
1
a¤
17 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면
(x+1)¤ =(x-1)¤ +x¤ -60에서
x¤ +2x+1=x¤ -2x+1+x¤ -60, x¤ -4x-60=0
(x-10)(x+6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=10 또는 x=-6
그런데 x는 자연수이므로 x=10
따라서 가장 작은 자연수는 9이다.
18 숲 속에 있는 원숭이를 x마리라 하면 { x}¤ +4=x에서
1
4
x¤ -x+4=0, x¤ -16x+64=0, (x-8)¤ =0
1
16
∴ x=8(중근)
따라서 숲 속에 있는 원숭이는 모두 8마리이다.
19 ⑴ x¤ -3x+2k=0이 중근을 가지므로
}¤
9
에서 2k= (cid:100)(cid:100)∴ k=
4
-3
2
2k={
9
8
⑵ 주어진 이차방정식은 x¤ -3x+ =0이므로
9
4
{x- }¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x= (중근)
3
2
3
2
채점 기준
❶ 상수 k의 값 구하기
❷ 중근 구하기
20 20t-5t¤ =15에서 t¤ -4t+3=0
(t-1)(t-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=1 또는 t=3
∴ a=1, b=3
지면에 떨어지는 것은 높이가 0일 때이므로 20t-5t¤ =0에서
t¤ -4t=0
t(t-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=0 또는 t=4
그런데 t>0이어야 하므로 t=4
∴ c=4
…… ❷
…… ❸
…… ❹
채점 기준
❶ 물체의 높이가 15 m가 되는 식 세우기
❷ a, b의 값 구하기
❸ 물체가 지면에 떨어질 때의 식 세우기
❹ c의 값 구하기
21 ⑴ 도로의 폭이 x m이므로 도로를 제외한 땅의 넓이는
(30-x)(24-x)이므로 (30-x)(24-x)=520
∴ x¤ -54x+200=0
⑵ (x-50)(x-4)=0
∴ x=50 또는 x=4
⑶ 0<x<24이므로 x=4
따라서 도로의 폭은 4 m로 해야 한다.
채점 기준
❶ x에 관한 이차방정식 세우기
❷ 이차방정식의 해 구하기
❸ 조건에 맞는 도로의 폭 구하기
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 35
…… ❶
…… ❷
배점
2점
3점
…… ❶
배점
1점
3점
1점
3점
…… ❶
…… ❷
…… ❸
배점
3점
3점
2점
III 이차함수
1. 이차함수와 그 그래프
01 이차함수 y=ax¤ 의 그래프
1 ⑴ ㉠ ⑵ ㉢ ⑶ ㉡
1-1 ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ × ⑷ ◯
2 ⑴ 2, 4 ⑵ -2, 4 ⑶ 4
2-1 ⑴ × ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ◯
3 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ ◯ ⑸ ◯
3-1 ㄱ, ㄹ
4 ⑴ 5 ⑵ 9 ⑶ 6 ⑷ -10
4-1 ⑴ -1 ⑵ 55 ⑶ 0 ⑷ 6
5 ⑴ 원점, 아래 ⑵ y축 ⑶ 1, 2 ⑷ 증가
5-1 ㄱ, ㄹ, ㅁ
6 ⑴ 원점, 위 ⑵ y축 ⑶ 3, 4 ⑷ 감소
6-1 ㄴ, ㄹ
7
y
y=3x¤
8
6
4
2
y
O
-2
-4
-6
-8
-2-4
O
2
x
4
7-1
-2-4
2
x
4
y= x¤1
-
2
8 ⑴ ㄴ, ㄹ ⑵ ㄹ ⑶ ㄴ, ㄷ
8-1 ⑴ ㄴ, ㄷ, ㅂ ⑵ ㄴ ⑶ ㄷ, ㄹ
로 일차함수 y=3x, y= x의 그래프는 ㉠, ㉡ 중 하나이다.
1
2
⑴ a의 절댓값이 클수록 y축에 가까워지므로 일차함수 y=3x의
그래프는 ㉠이다.
3
⑵ 일차함수 y=- x에서 - <0이므로 그래프는 ㉢이다.
2
3
2
⑶ 일차함수 y= x의 그래프는 ㉡이다.
1
2
1-1 ⑵ x=3을 y=3x에 대입하면 y=3_3=9이므로
점 (3, 9)를 지난다.
⑶ a>0이므로 제1, 3사분면을 지난다.
2 ⑴ x절편은 2, y절편은 4이다.
⑵ x의 값이 2만큼 증가할 때 y의 값은 -4만큼 증가하므로
36 정답 및 풀이
(cid:100) a=
-4
2
=-2
⑶ 일차함수 y=-2x+4의 그래프는 일차함수 y=-2x의 그
래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것이다.
115~119쪽
2-1 일차함수 y=3x+2의 그래프는 일차함수
y
2
y=3x의 그래프를 y축의 방향으로 2만큼 평행
이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.
⑴ x=1을 y=3x+2에 대입하면
-
2
3
O
x
y=3_1+2=5이므로 점 (1, 5)를 지난다.
⑵ 제1, 2, 3사분면을 지난다.
3 ⑴ (x에 관한 이차식)=0의 꼴이므로 이차방정식이다.
⑵ y= x¤ 이므로 이차함수이다.
1
2
⑶ y=5x+2에서 5x+2가 이차식이 아니므로 이차함수가 아
니다.
⑷ y=3x¤ -4x+1이므로 이차함수이다.
⑸ y=2(x-1)¤ =2x¤ -4x+2이므로 이차함수이다.
3-1 ㄱ. y=x¤ -1이므로 이차함수이다.
ㄴ. y= 에서 x¤ 이 분모에 있으므로 이차함수가 아니다.
1
x¤
ㄷ. y=3x(x+1)-3x¤ =3x¤ +3x-3x¤ =3x에서 3x가 이
차식이 아니므로 이차함수가 아니다.
ㄹ. y=2x(x-2)+6(x-1)
=2x¤ -4x+6x-6=2x¤ +2x-6
(cid:100) 이므로 이차함수이다.
ㅁ. y=x(x¤ +4x)=x‹ +4x¤ 에서 x‹ +4x¤ 은 이차식이 아니
므로 이차함수가 아니다.
4 ⑴ f(0)=0¤ -3_0+5=0-0+5=5
⑵ f(-1)=(-1)¤ -3_(-1)+5=1+3+5=9
⑶ f(1)=1¤ -3_1+5=1-3+5=3
f(2)=2¤ -3_2+5=4-6+5=3
∴ f(1)+f(2)=3+3=6
f(-2)=(-2)¤ -3_(-2)+5=4+6+5=15
∴ f(3)-f(-2)=5-15=-10
4-1 ⑴ f {
}=4_{
1
2
1
2
}¤ -6_ +1=1-3+1=-1
1
2
⑵ f(-3)=4_(-3)¤ -6_(-3)+1
=36+18+1=55
⑶ f(0)=4_0¤ -6_0+1=0-0+1=1
f(1)=4_1¤ -6_1+1=4-6+1=-1
∴ f(0)+f(1)=1+(-1)=0
⑷ f(-1)=4_(-1)¤ -6_(-1)+1
=4+6+1=11
⑷ f(2)=4_2¤ -6_2+1=16-12+1=5
⑷ ∴ f(-1)-f(2)=11-5=6
1 일차함수 y=ax의 그래프는 a>0일 때 제1, 3사분면을 지나므
⑷ f(3)=3¤ -3_3+5=9-9+5=5
8-1 ⑴ 이차함수 y=ax¤ 의 그래프는 a<0일 때 위로 볼록하므로
08 이차함수 y=3x¤ 의 그래프가 점 (a, -3a)를 지나므로
5-1 ㄴ. 대칭축은 y축이다.
ㄷ. 아래로 볼록한 포물선이다.
6-1 ㄱ. x=-2를 y=-x¤ 에 대입하면
y=-(-2)¤ =-4이므로 점 (-2, -4)를 지난다.
ㄷ. 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)이다.
ㅁ. x<0일 때 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
8 ⑴ 이차함수 y=ax¤ 의 그래프는 a>0일 때 아래로 볼록하므로
ㄴ, ㄹ이다.
⑵ 이차함수 y=ax¤ 의 그래프의 폭은 a의 절댓값이 작을수록 넓
어지므로 그래프의 폭이 가장 넓은 것은 ㄹ이다.
⑶ 두 이차함수 y=ax¤ 와 y=-ax¤ 의 그래프가 x축에 서로 대
칭이므로 ㄴ, ㄷ이다.
ㄴ, ㄷ, ㅂ이다.
⑵ 이차함수 y=ax¤ 의 그래프의 폭은 a의 절댓값이 클수록 좁아
지므로 그래프의 폭이 가장 좁은 것은 ㄴ이다.
⑶ 두 이차함수 y=ax¤ 와 y=-ax¤ 의 그래프가 x축에 서로 대
칭이므로 ㄷ, ㄹ이다.
120~121쪽
01 ①
05 ㄱ, ㄷ
02 ㄴ, ㄷ
06 ③
03 ①
07 5
04 ⑤
08 -1
09 y=- x¤
1
4
10 y=2x¤
11 ③
12 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㄷ
13 ①
14 y= x¤
3
4
01 ① y=px¤ 이므로 이차함수이다.
② y= _x_10=5x이므로 이차함수가 아니다.
1
2
③ y=x+(x+5)=2x+5이므로 이차함수가 아니다.
④ y=x‹ 이므로 이차함수가 아니다.
⑤ (거리)=(속력)_(시간)에서 y=5x이므로 이차함수가 아니다.
따라서 이차함수인 것은 ①이다.
02 ㄱ. y=4x이므로 이차함수가 아니다.
1
ㄴ. y= _x_x= x¤ 이므로 이차함수이다.
2
1
2
ㄷ. y=4px¤ 이므로 이차함수이다.
ㄹ. y=p_5¤ _2x=50px이므로 이차함수가 아니다.
따라서 이차함수인 것은 ㄴ, ㄷ이다.
03 f(-1)=(-1)¤ -4_(-1)+a=1+4+a=5+a=2
04 f(2)=-3_2¤ +a_2+7=-12+2a+7=-5+2a=3
∴ a=-3
2a=8(cid:100)(cid:100)∴ a=4
∴ f(x)=-3x¤ +4x+7
∴ f(1)=-3_1¤ +4_1+7=-3+4+7=8
05 ㄴ. 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)이다.
ㄹ. x>0일 때 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
06 ③ y축에 대칭이다.
07 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 점 (-2, 2)를 지나므로
2=a_(-2)¤ , 2=4a(cid:100)(cid:100)∴ a=
1
2
즉, 이차함수 y= x¤ 의 그래프가 점 (3, b)를 지나므로
1
2
9
2
b= _3¤ =
1
2
9
2
∴ a+b= + = =5
10
2
1
2
09 원점을 꼭짓점으로 하고, y축을 축으로 하는 포물선을 그래프로
-3a=3_a¤ , 3a¤ +3a=0, 3a(a+1)=0
∴ a=0 또는 a=-1
이때 a+0이므로 a=-1
하는 이차함수의 식을 y=ax¤ 으로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (2, -1)을 지나므로
-1=a_2¤ , -1=4a(cid:100)(cid:100)∴ a=-
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=- x¤ 이다.
1
4
1
4
10 이차함수 y=f(x)의 그래프가 원점을 꼭짓점으로 하고, y축을
축으로 하므로 이차함수의 식을 y=ax¤ 으로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (2, 8)을 지나므로
8=a_2¤ , 8=4a(cid:100)(cid:100)∴ a=2
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=2x¤ 이다.
11 이차함수 y=ax¤ 의 그래프에서 a의 절댓값이 클수록 그래프의
폭이 좁아지므로 각 함수에서 a의 절댓값을 비교해 보면
|
|<|- |<|3|<|-4|<|-5|
1
4
2
3
따라서 이차함수 y=-5x¤ 의 그래프의 폭이 가장 좁다.
12 이차함수 y=ax¤ 의 그래프에서 a의 절댓값이 작을수록 그래프
의 폭이 넓어지므로 각 함수에서 a의 절댓값을 비교해 보면
|-1|<|2|<|
|<|-3|
5
2
따라서 그래프의 폭이 넓은 것부터 차례로 나열하면
ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㄷ이다.
13 두 이차함수 y=ax¤ 과 y=-ax¤ 의 그래프가 x축에 서로 대칭
이므로 이차함수 y=6x¤ 의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그래프
를 나타내는 식은 y=-6x¤ 이다.
14 이차함수 y=- x¤ 의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그래프를
3
4
3
4
나타내는 식은 y= x¤ 이다.
Ⅲ. 이차함수 37
122쪽
02 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프
125~129쪽
2x‹ +4x¤ +4x+1이 이차식이 아니므로 이차함수가 아니다.
⑶ x=5 ⑷ x>5
01 ②, ④
05 ②
02 -3
06 ⑤
03 ②
07 a+4
04 ③
01 ① y= -2에서 x¤ 이 분모에 있으므로 이차함수가 아니다.
1
x¤
② x¤ -y=0에서 y=x¤ 이므로 이차함수이다.
③ y=3x+9에서 3x+9가 이차식이 아니므로 이차함수가 아니다.
④ y=x¤ +(1-x)¤ =x¤ +1-2x+x¤ =2x¤ -2x+1이므로
이차함수이다.
⑤ y=2x‹ +(2x+1)¤ =2x‹ +4x¤ +4x+1에서
02 f(1)=2_1¤ +1-6=2+1-6=-3
f(-2)=2_(-2)¤ +(-2)-6=8-2-6=0
∴ f(1)-f(-2)=-3-0=-3
03 ② y=2x¤ 에서 2>0이므로 아래로 볼록한 포물선이다.
04 점선으로 나타나는 그래프의 식을 y=ax¤ 이라 하면 아래로 볼록
한 포물선이므로 a>0이다.
이차함수 y=2x¤ 의 그래프보다 폭이 넓으므로 a의 절댓값이 2
보다 작다.
따라서 점선으로 나타나는 그래프의 식은 0<a<2를 만족시켜
야 하므로 ③이다.
점선으로 나타나는 그래프는 이차함수 y=2x¤ 의 그래프와 x축 사이
에 위치해 있는 아래로 볼록한 포물선이므로 이차함수 y=ax¤ 의 그래
프에서 그래프의 폭과 볼록한 방향을 함께 고려하여 a의 값의 범위를
구한다.
수의 식을 y=ax¤ 으로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (-2, -6)을 지나므로
-6=a_(-2)¤ , -6=4a(cid:100)(cid:100)∴ a=-
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=- x¤ 이다.
3
2
3
2
06 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 위로 볼록하려면 a<0
또, a의 절댓값이 클수록 폭이 좁아지므로 위로 볼록하면서 폭이
가장 좁은 것은 ⑤이다.
07
주어진 함수를 y=ax¤ +bx+c의 꼴로 정리한다. 여기서 우변
ax¤ +bx+c가 x에 관한 이차식이 되어야 하므로 a+0이어야 한다.
y=(2x+1)¤ -x(ax+5)+1
=4x¤ +4x+1-ax¤ -5x+1
=(4-a)x¤ -x+2
이때 x에 관한 이차함수가 되려면 (x¤ 의 계수)+0이어야 하므로
4-a+0(cid:100)(cid:100)∴ a+4
38 정답 및 풀이
1 풀이 참조, ⑴ (0, 3) ⑵ x=0
1-1 풀이 참조, ⑴ (0, -3) ⑵ x=0
2 ⑴ y=4x¤ +7 ⑵ (0, 7) ⑶ x=0
2-1 ⑴ y=-4x¤ -6 ⑵ (0, -6) ⑶ x=0
3 풀이 참조, ⑴ (-2, 0) ⑵ x=-2
3-1 풀이 참조, ⑴ (4, 0) ⑵ x=4
4 ⑴ y= (x+3)¤ ⑵ (-3, 0)
1
2
⑶ x=-3 ⑷ x>-3
4-1 ⑴ y=-6(x-5)¤ ⑵ (5, 0)
5 풀이 참조, ⑴ (1, -3) ⑵ x=1
5-1 풀이 참조, ⑴ (-3, 2) ⑵ x=-3
6 ⑴ y=-4(x+2)¤ -6 ⑵ (-2, -6)
⑶ x=-2 ⑷ (0, -22)
6-1 ⑴ y=3(x-2)¤ +4 ⑵ (2, 4)
⑶ x=2 ⑷ (0, 16)
y= (x-4)¤ +2
3
8
a<0, p<0, q>0
y=5(x+3)¤ +4
7
8
9
7-1 y=- (x+3)¤
2
3
8-1 a>0, p<0, q<0
9-1 y=-(x-2)¤ +3
y= x +3
1
2
y
8
6
4
2
y
O
-2
-4
-6
-8
1
1 이차함수 y= x¤ +3의 그래프는
2
y= x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로
1
2
3만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽
그림과 같다.
⑴ 꼭짓점의 좌표：(0, 3)
⑵ 축의 방정식：x=0
1-1 이차함수 y=-2x¤ -3의 그래프는
y=-2x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로
-3만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽
-4
-2
2
x
4
그림과 같다.
⑴ 꼭짓점의 좌표：(0, -3)
⑵ 축의 방정식：x=0
y=-2x -3
2 이차함수 y=4x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 7만큼 평행이동한
그래프의 식은 y=4x¤ +7
따라서 꼭짓점의 좌표는 (0, 7)이고, 축의 방정식은 x=0이다.
이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래
프를 나타내는 이차함수의 식은 y=ax¤ +q이고 그 그래프의 꼭짓점
의 좌표는 (0, q), 축의 방정식은 x=0이다.
2-1 이차함수 y=-4x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -6만큼 평행
이동한 그래프의 식은 y=-4x¤ -6
05 그래프가 원점을 꼭짓점으로 하고, y축을 축으로 하므로 이차함
-2-4
O
2
4
x
¤
¤
따라서 꼭짓점의 좌표는 (0, -6)이고, 축의 방정식은 x=0이다.
6 ⑴ 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식：
3 이차함수 y=(x+2)¤ 의 그래프는
y=x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로
-2만큼 평행이동한 것이므로 오른
쪽 그림과 같다.
⑴ 꼭짓점의 좌표：(-2, 0)
⑵ 축의 방정식：x=-2
y=(x+2)¤
y
8
6
4
2
O-2-4
2
x
4
-4
-2
2
4
x
3-1 이차함수 y=-3(x-4)¤ 의
그래프는 y=-3x¤ 의 그래프
를 x축의 방향으로 4만큼 평행
이동한 것이므로 오른쪽 그림과
같다.
⑴ 꼭짓점의 좌표：(4, 0)
⑵ 축의 방정식：x=4
y
O
-2
-4
-6
-8
-10
4 ⑴ 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함
1
2
(cid:100) 수의 식：y= (x+3)¤
y= (x+3)¤
y
1
2
⑵ 꼭짓점의 좌표：(-3, 0)
⑶ 축의 방정식：x=-3
⑷ 오른쪽 그래프에서 x의 값이 증가할
때 y의 값도 증가하는 x의 값의 범위는 x>-3이다.
y=-3(x-4)¤
9
2
증가
x
O-3
4-1 ⑴ 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수
의 식：y=-6(x-5)¤
⑵ 꼭짓점의 좌표：(5, 0)
⑶ 축의 방정식：x=5
⑷ 오른쪽 그래프에서 x의 값이 증가할 때
y
O
5
x
감소
y=-6(x-5)¤
y의 값은 감소하는 x의 값의 범위는 x>5이다.
5 이차함수 y=2(x-1)¤ -3의 그래프
는 y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로
1만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이
동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.
⑴ 꼭짓점의 좌표：(1, -3)
⑵ 축의 방정식：x=1
2
2
x
4
-4
O-2
-2
-2-4-6
2
4
x
6
5-1 이차함수 y=-(x+3)¤ +2
의 그래프는 y=-x¤ 의 그래
프를 x축의 방향으로 -3만
큼, y축의 방향으로 2만큼 평
행이동한 것이므로 오른쪽 그
림과 같다.
⑴ 꼭짓점의 좌표：(-3, 2)
⑵ 축의 방정식：x=-3
y
8
6
4
y
2
O
-2
-4
-6
-8
y=-4(x+2)¤ -6
⑵ 꼭짓점의 좌표：(-2, -6)
⑶ 축의 방정식：x=-2
⑷ x=0을 대입하면 y=-4_(0+2)¤ -6=-22(cid:100)(cid:100)
∴ (0, -22)
6-1 ⑴ 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식：
y=3(x-2)¤ +4
⑵ 꼭짓점의 좌표：(2, 4)
⑶ 축의 방정식：x=2
⑷ x=0을 대입하면 y=3_(0-2)¤ +4=16
∴ (0, 16)
7 꼭짓점의 좌표가 (4, 2)이므로 그래프가 나타내는 이차함수의
식을 y=a(x-4)¤ +2로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (0, 8)을 지나므로
8=a_(0-4)¤ +2, 8=16a+2
16a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=
3
8
따라서 구하는 이차함수의 식은 y= (x-4)¤ +2
3
8
의 식을 y=a(x+3)¤ 으로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (0, -6)을 지나므로
-6=a_(0+3)¤ , -6=9a
∴ a=-
2
3
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=- (x+3)¤
2
3
7-1 꼭짓점의 좌표가 (-3, 0)이므로 그래프가 나타내는 이차함수
a>0
꼭짓점이 제`3사분면에 위치하므로 p<0, q<0이다.
9 이차함수 y=5(x+4)¤ +6의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(-4, 6)이고
(-4, 6) 11121111111⁄ (-4+1, 6-2)
x축의 방향으로 1만큼
y축의 방향으로 -2만큼 평행이동
=(-3, 4)
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=5(x+3)¤ +4
9-1 이차함수 y=-(x-3)¤ -2의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(3, -2)이고
(3, -2) 11121111111⁄ (3-1, -2+5)
x축의 방향으로 -1만큼
y축의 방향으로 5만큼 평행이동
=(2, 3)
8 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점이 제`2사분면에 위치하므로 p<0, q>0이다.
y=2(x-1)¤ -3
8-1 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프가 아래로 볼록하므로
y=-(x+3)¤ +2
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=-(x-2)¤ +3
Ⅲ. 이차함수 39
130~132쪽
③ 꼭짓점의 좌표는 (1, 4)이다.
④ x=0을 대입하면 y=(0-1)¤ +4=1+4=5
즉, y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 5)이다.
01 ②
05 ④
09 ③
1
3
02 ①
06 ⑤
10 ③
03 -8
07 7
11 ①
04 ③
08 5
12 ②
13 a= , p=-3, q=2
14 y=-(x-2)¤ +1
15 a<0, p>0, q>0
18 -1
16 ④
17 8
1
2
1
2
01 이차함수 y= (x+4)¤ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-4, 0)
이고 a= 로 a>0이므로 아래로 볼록한 그래프이다.
02 이차함수 y=-2(x-3)¤ +1의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (3, 1)
이고 a=-2로 a<0이므로 위로 볼록한 그래프이다.
03 이차함수 y=3x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 k만큼 평행이동한
그래프를 나타내는 식은 y=3x¤ +k
이 그래프가 점 (2, 4)를 지나므로
4=3_2¤ +k, 4=12+k(cid:100)(cid:100)∴ k=-8
04 이차함수 y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 평행이동한 그래
프이고 꼭짓점의 좌표가 (5, 0)이므로 이차함수의 식은
y=-(x-5)¤
이 그래프가 점 (7, k)를 지나므로 k=-(7-5)¤ =-4
05 ① x=2를 대입하면
y=2_2¤ -5=8-5=3이므로 점 (2, 3)을 지난다.
② a=2로 a>0이므로 아래로 볼록한 포물선이다.
③ 축의 방정식은 x=0이다.
⑤ 이차함수 y=2x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -5만큼 평행
이동한 것이다.
06 ⑤ 이차함수 y=- x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -6만큼
1
3
⑤ 평행이동한 것이다.
07 이차함수 y=-3(x-1)¤ +6의 그래프는 이차함수 y=-3x¤
의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 6만큼 평행
이동한 것이므로 p=1, q=6(cid:100)(cid:100)∴ p+q=1+6=7
으로 -4만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 식은
y=(x-2)¤ -4
이 그래프가 점 (-1, a)를 지나므로
a=(-1-2)¤ -4=9-4=5
09 ① 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점이 제`1사분면
에 위치하고 아래로 볼록한 포물선이므
로 제`1, 2사분면을 지난다.
② a=1로 a>0이므로 아래로 볼록한 포물
y
5
4
선이다.
40 정답 및 풀이
⑤ 그래프의 폭은 x¤ 의 계수가 결정하므로 이차함수 y=x¤ +3
의 그래프와 폭이 같다.
10 ① 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점이 제`2사분면에
y
1
x
위치하고 위로 볼록하면서 원점을 지나므로
제`2, 3, 4사분면을 지난다.
② 축의 방정식은 x=-2이다.
1
④ x=0을 대입하면 y=- _(0+2)¤ +1=-1+1=0
4
O-2
(cid:100) 즉, y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 0)이다.
⑤ |- |<|-1|이므로 이차함수 y=-x¤ 의 그래프보다 폭
1
4
(cid:100) 이 넓다.
그래프의 꼭짓점의 위치, 볼록한 방향과 함께 축과 만나는 점을 구해서
그래프를 그려야 그래프가 지나는 사분면을 정확히 알 수 있다.
11 이차함수 y=-4(x+3)¤ -7의 그래프는 축의 방정식이
x=-3이고 위로 볼록하므로 x<-3일 때 x의 값이 증가하면
y의 값도 증가한다.
12 이차함수 y= x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방
3
4
향으로 -1만큼 평행이동한 그래프는 축의 방정식이 x=2이고
아래로 볼록하므로 x<2일 때 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소
한다.
13 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프의 꼭짓점의 좌표가
(-3, 2)이므로 p=-3, q=2
이차함수 y=a(x+3)¤ +2의 그래프가 점 (0, 5)를 지나므로
5=a_(0+3)¤ +2, 5=9a+2, 9a=3(cid:100)(cid:100)∴ a=
1
3
14 이차함수 y=-x¤ 의 그래프를 평행이동한 그래프이므로 a=-1
그래프의 꼭짓점의 좌표가 (2, 1)이므로 p=2, q=1
따라서 주어진 그래프를 나타내는 이차함수의 식은
y=-(x-2)¤ +1
15 그래프가 위로 볼록하므로 a<0, 꼭짓점이 제1사분면에 위치하
므로 p>0, q>0이다.
② 이차함수 y=a(x+p)¤ +q의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(-p, q)이고 제`3사분면에 위치하므로 -p<0, q<0
(cid:100) 즉, p>0, q<0이다.
③ pq<0
④ p>0, -q>0이므로 p-q>0
⑤ apq<0
O
1
x
17 이차함수 y=3(x+2)¤ -6의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(-2, -6)이고, 이차함수 y=3x¤ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표
는 (0, 0)이므로
08 이차함수 y=x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향
16 ① 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
133~134쪽
02 ④
01 ①, ⑤
05 -2, 2
06 ②
10 ①
09 ③
13 ⑴ A(-4, 6) ⑵ B(0, 2) ⑶ 4
03 ⑤
07 1
11 9
04 ④
08 ③
12 -18
∴ a=- (cid:100)(cid:100)
3
4
3
∴ ap=- _4=-3
4
(-2, -6) 1112111111⁄ (-2+p, -6+q)
x축의 방향으로 p만큼
y축의 방향으로 q만큼 평행이동
=(0, 0)
즉, -2+p=0, -6+q=0이므로 p=2, q=6
∴ p+q=2+6=8
18 이차함수 y=- (x-1)¤ +7의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
1
2
1
(1, 7)이고, 이차함수 y=- (x+2)¤ +9의 그래프의 꼭짓점
2
의 좌표는 (-2, 9)이므로
(1, 7) 1112111111⁄ (1+p, 7+q)
x축의 방향으로 p만큼
y축의 방향으로 q만큼 평행이동
=(-2, 9)
즉, 1+p=-2, 7+q=9이므로 p=-3, q=2
∴ p+q=-3+2=-1
01 x¤ 의 계수 a의 값이 같으면 평행이동하여 포갤 수 있다.
이차함수 y=5x¤ 의 그래프를 평행이동하였으므로 a=5인 이차
함수의 식은 ① y=5x¤ +4와 ⑤ y=5(x-4)¤ +3이다.
03 이차함수 y=-3x¤ 의 그래프를 y축의 방향
으로 -2만큼 평행이동한 그래프를 나타내는
식은 y=-3x¤ -2이다.
⑤ 꼭짓점의 좌표는 (0, -2)이다.
y
1
x
O
-2
-5
y=-3x -2
04 이차함수 y= x¤ +q의 그래프가 점 (-3, 2)를 지나므로
2= _(-3)¤ +q(cid:100)(cid:100)∴ q=-1
1
3
따라서 주어진 이차함수의 식은 y= x¤ -1이므로
1
3
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, -1)이다.
05 이차함수 y=- x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 1만큼 평행이
1
3
3
2
동한 그래프를 나타내는 식은 y=- x¤ +1
3
2
이 그래프가 점 (k, -5)를 지나므로
-5=- k¤ +1, k¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ k=—2
3
2
06 ② 이차함수 y=-3(x+2)¤ 의 그래프의 축의 방정식이 x=-2
이고 위로 볼록한 그래프이므로 x>-2일 때 x의 값이 증가
하면 y의 값은 감소한다.
07 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프의 꼭짓점의 좌표가
(4, -1)이므로 p=4, q=-1
이차함수 y=a(x-4)¤ -1의 그래프가 점 (2, -9)를 지나므로
-9=a_(2-4)¤ -1, -9=4a-1
4a=-8(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
∴ a+p+q=-2+4+(-1)=1
08 이차함수 y=(x-2)¤ -3의 그래프는 꼭짓
점의 좌표가 (2, -3)으로 제`4사분면에 위
y
1
치하고 아래로 볼록한 포물선이다.
x=0을 대입하면 y=(0-2)¤ -3=1이므
로 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 1)이다.
따라서 이차함수 y=(x-2)¤ -3의 그래프는 위의 그림과 같으
므로 그래프가 지나지 않는 사분면은 제`3사분면이다.
-3
O
x
2
09 이차함수 y=a(x-p)¤ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (4, 0)이
므로 p=4
이차함수 y=a(x-4)¤ 의 그래프가 점 (0, -12)를 지나므로
-12=a_(0-4)¤ , 16a=-12(cid:100)(cid:100)
10 이차함수 y=a(x-p)¤ -q의 그래프가 아래로 볼록하므로
a>0
꼭짓점의 좌표가 (p, -q)이고 제`4사분면에 위치하므로
p>0, -q<0
∴ p>0, q>0
11
꼭짓점의 좌표가 (0, q)인 그래프를 나타내는 이차함수의 식
(cid:9195) y=ax¤ +q
이차함수 y=ax¤ -3의 그래프가 점 (-3, 0)을 지나므로
0=a_(-3)¤ -3, 9a=3(cid:100)(cid:100)∴ a=
1
3
따라서 이차함수 y= x¤ -3의 그래프가 점 (6, k)를 지나므로
1
3
k= _6¤ -3=12-3=9
1
3
12
y=ax¤ 의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그래프의 식은
y=-ax¤
y=-ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행
이동한 그래프의 식은 y=-a(x-p)¤ +q
이차함수 y=4x¤ 의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그래프의 식은
y=-4x¤
이차함수 y=-4x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼,
y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-4(x+3)¤ -2
이 그래프가 점 (-1, k)를 지나므로
k=-4_(-1+3)¤ -2=-16-2=-18
Ⅲ. 이차함수 41
¤
13
△AOB에서 OB”를 밑변으로 보면 꼭짓점 A의 x좌표의 절댓
08 이차함수 y=2x¤ +6의 그래프는 이차함수 y=2x¤ 의 그래프를
값이 삼각형의 높이가 된다.
y축의 방향으로 6만큼 평행이동한 것이므로 AB”=6
⑴ 이차함수 y=- (x+4)¤ +6의 그래프의 꼭짓점 A의 좌표
09 이차함수 y= x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼 평행이동
1
2
1
4
1
4
(cid:100) 는 (-4, 6)
⑵ x=0을 y=- (x+4)¤ +6에 대입하면
1
4
(cid:100) y=- _(0+4)¤ +6=-4+6=2
(cid:100) 즉, y축과 만나는 점 B의 좌표는 (0, 2)
⑶ 점 A에서 y축에 내린 수선의 발을 H
라 하면
1
(cid:100) △AOB= _OB”_AH”
2
1
(cid:100) △AOB= _2_4=4
2
한 그래프를 나타내는 식은 y= (x-4)¤
1
2
이 그래프가 점 (-2, a)를 지나므로
a= _(-2-4)¤ = _36=18
1
2
1
2
A
y
H
2
O
6
B
-4
x
10 이차함수 y=a(x-1)¤ -6의 그래프는 이차함수 y=3x¤ 의 그
래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -6만큼 평행이
동한 것이므로 p=1, q=-6이고 a=3
∴ a+p+q=3+1+(-6)=-2
11 ⑤ 이차함수 y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼, y축
의 방향으로 -3만큼 평행이동한 그래프이다.
135~137쪽
12 ①
y
O
x
-5
②
y
-3
③
y=(x+1) -1
y
01 ②, ④ 02 ②
07 ②
06 ④
11 ⑤
12 ④
16 2
03 ④
08 ⑤
13 ④
04 ⑤
09 ⑤
14 2
05 ③
10 ②
15 ⑤
17 9
18 ⑴ A(2, 8) ⑵ B(-2, 0), C(6, 0) ⑶ 32
01 ① y=2px(cid:100)② y=x¤ (cid:100)③ y=5x
④ y= _4x_x=2x¤
⑤ y= _(3x+x)_5=10x
1
2
1
2
02 f(-2)=(-2)¤ +(-2)-2=4-2-2=0
03 ㄱ. y축을 축으로 한다.
ㄹ. a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ이다.
04 ⑤ 이차함수 y=ax¤ 의 그래프에서 a>0이면 x>0일 때 x의 값
이 증가하면 y의 값도 증가한다.
05 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 위로 볼록하려면 a<0이어야 한다.
위로 볼록한 이차함수 y=-x¤ , y=- x¤ , y=-4x¤ 의 그래
1
2
프 중에서 폭이 가장 넓은 것은 a의 절댓값이 가장 작은
1
③ y=- x¤ 이다.
2
06 이차함수 y=2x¤ 의 그래프가 점 (-3, a)를 지나므로
a=2_(-3)¤ =18
이차함수 y=2x¤ 의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그래프를 나타
내는 식은 y=-2x¤ 이므로 b=-2
∴ a-b=18-(-2)=20
42 정답 및 풀이
xO
-9
4
x
y=-2x -5
y=-(x+3)¤
④
y=2(x-1) -3
⑤
y
O
1
x
-1
-3
y
2
O
-6
y= (x-4) +2
-
1
2
따라서 모든 사분면을 지나는 것은 ④이다.
-1
xO
-1
13 일차함수 y=ax+b의 그래프에서 기울기가 음수이므로 a<0,
y절편이 양수이므로 b>0이다.
이차함수 y=a(x-b)¤ 의 그래프는 a<0이므로 위로 볼록한
포물선이고, 꼭짓점의 좌표 (b, 0)에서 b>0이므로 꼭짓점은 x
축의 양의 부분에 있다.
따라서 이차함수 y=a(x-b)¤ 의 그래프로 적당한 것은 ④이다.
14 이차함수 y=-(x-k)¤ +3k의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(k, 3k)
점 (k, 3k)가 일차함수 y=-x+8의 그래프 위에 있으므로
3k=-k+8, 4k=8(cid:100)(cid:100)∴ k=2
15 이차함수 y=(x-3)¤ 의 그래프의 꼭
짓점 (3, 0)을 점 A, 이차함수
y=(x-3)¤ -9의 그래프의 꼭짓점
(3, -9)를 점 B, 점 B에서 y축에 내
린 수선의 발을 C라 하면 ㉠, ㉡의 넓이
y
y=(x-3)¤
y=(x-3) -9
㉠
A
3
O
x
가 같으므로 색칠한 부분의 넓이는
(cid:8772)OCBA의 넓이와 같다.
따라서 OA”=3, AB”=9이므로 (cid:8772)OCBA=3_9=27
-9
㉡
BC
평행이동하여도 그래프의 모양은 변하지 않음을 이용하여 색칠한 부분
을 직사각형 모양으로 변형해 본다.
¤
¤
¤
¤
¤
16 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 점 {10,
}을 지나므로
1
2
2. 이차함수의 활용
01 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프 139~140쪽
1
2
=a_10¤ (cid:100)(cid:100)
∴ a=
1
200
1
200
이차함수 y= x¤ 에서 속력이 시속 20 km일 때 제동 거리가
k m이므로 이 그래프는 점 (20, k)를 지난다.
∴ k=
1
200
_20¤ =2
17 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 평행이동한 그래프의 꼭짓점의 좌
표가 (2, 0)이므로 이 그래프를 나타내는 식은
y=a(x-2)¤
이 그래프가 점 (0, 4)를 지나므로
4=a_(0-2)¤
4a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=1
따라서 주어진 그래프를 나타내는 식은
y=(x-2)¤
이 그래프가 점 (5, k)를 지나므로
k=(5-2)¤ =9
채점 기준
❶ 꼭짓점의 좌표를 이용하여 그래프를 나타내는 식 정하기
❷ 주어진 그래프를 나타내는 식 구하기
❸ 점 (5, k)의 좌표를 대입하여 k의 값 구하기
yy ❶
yy ❷
yy ❸
배점
3점
2점
3점
18 ⑴ 이차함수 y=- (x-2)¤ +8의 그래프의 꼭짓점 A의 좌
1
2
(cid:100) 표는 (2, 8)이다.
⑵ x축과 만나는 점의 좌표를 구하기 위해 y=0을 대입하면
yy ❶
(cid:100) 0=- (x-2)¤ +8
1
2
1
2
(cid:100)
(x-2)¤ =8
(cid:100) (x-2)¤ =16, x-2=—4(cid:100)(cid:100)
(cid:100) ∴ x=-2 또는 x=6
(cid:100) ∴ B(-2, 0), C(6, 0)
⑶ 꼭짓점 A에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하면
(cid:100) AH”=8, BC”=6-(-2)=8
1
2
(cid:100) ∴ △ABC= _BC”_AH”
(cid:100) ∴ △ABC= _8_8
1
2
(cid:100) ∴ △ABC=32
채점 기준
❶ 점 A의 좌표 구하기
❷ 점 B, C의 좌표 구하기
❸ △ABC의 넓이 구하기
1
4, 4, 4, 4, 8, 2, 3
⑴ (2, -3) ⑵ x=2 ⑶ (0, 5)
1
1-1 ⑴ y= (x+2)¤ -5
2
(cid:100) ① (-2, -5) ② x=-2 ③ (0, -3)
⑵ y=-2(x-1)¤ +3
① (1, 3) ② x=1 ③ (0, 1)
2
y=2x -8x+5
y
4
2
O
-2
-2-4
2
x
4
2-1 ⑴
y
2
⑵
y=-2x +4x+1
-4-6
xO-2
-2
-4
y= x +2x-3
-6
1
2 ¤
y
4
2
2
O
-2
-4
-2
4
x
3 ⑴ 아래, > ⑵ 왼, 같은, > ⑶ 위, >
3-1 ⑴ 위, < ⑵ 오른, 다른, > ⑶ 아래, <
4 ⑴ a>0, b<0, c>0 ⑵ a<0, b>0, c<0
4-1 ⑴ a>0, b>0, c=0 ⑵ a<0, b>0, c>0
1 y=2x¤ -8x+5=2(x¤ -4x)+5
=2(x¤ -4x+4-4)+5
=2(x¤ -4x+4)-8+5=2(x-2)¤ -3
⑴ 꼭짓점의 좌표는 (2, -3)
⑵ 축의 방정식은 x=2
⑶ x=0일 때, y=2_0¤ -8_0+5=5
(cid:100) 따라서 y축과의 교점의 좌표는 (0, 5)이다.
1-1 ⑴ y= x¤ +2x-3= (x¤ +4x)-3
1
2
⑴ y= (x¤ +4x+4-4)-3= (x+2)¤ -5
1
2
1
2
1
2
yy ❷
(cid:100) ① 꼭짓점의 좌표는 (-2, -5)
② 축의 방정식은 x=-2
1
(cid:100) ③ x=0일 때, y= _0¤ +2_0-3=-3
2
(cid:100) (cid:100) 따라서 y축과의 교점의 좌표는 (0, -3)이다.
⑵ y=-2x¤ +4x+1=-2(x¤ -2x)+1
=-2(x¤ -2x+1-1)+1=-2(x-1)¤ +3
(cid:100) ① 꼭짓점의 좌표는 (1, 3)
② 축의 방정식은 x=1
(cid:100) ③ x=0일 때, y=-2_0¤ +4_0+1=1
(cid:100) (cid:100) 따라서 y축과의 교점의 좌표는 (0, 1)이다.
yy ❸
배점
2점
3점
3점
Ⅲ. 이차함수 43
¤
¤
4 ⑴ 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0이다.
(cid:100) 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 서로 다르다.
따라서 꼭짓점의 좌표는 (-2, 3)이므로 m=-2, n=3
∴ k+m+n=11+(-2)+3=12
(cid:100) y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0이다.
⑵ 그래프가 위로 볼록하므로 a<0이다.
(cid:100) 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 서로 다르다.
즉, b<0이다.
즉, b>0이다.
(cid:100) y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c<0이다.
4-1 ⑴ 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0이다.
(cid:100) 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a와 -b의 부호는 서로 다르
다. -b<0, 즉 b>0이다.
(cid:100) y축과의 교점이 원점이므로 c=0이다.
⑵ 그래프가 위로 볼록하므로 a<0이다.
(cid:100) 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a와 -b의 부호는 서로 같다.
-b<0, 즉 b>0이다.
(cid:100) y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0이다.
141~142쪽
02 ④
06 ⑤
01 ①
05 ⑤
08 y=x¤ -2x+6
11 27
12 32
03 ②
07 4
09 ⑤
04 12
10 ④
01 y=x¤ +6x+7=(x¤ +6x+9-9)+7=(x+3)¤ -2
꼭짓점의 좌표가 (-3, -2)이고 아래로 볼록한 포물선이다.
또, x=0일 때 y=0¤ +6_0+7=7이므로 y축과의 교점의 좌
표는 (0, 7)
02 y=-2x¤ +4x-3=-2(x¤ -2x)-3
=-2(x¤ -2x+1-1)-3=-2(x-1)¤ -1
꼭짓점의 좌표가 (1, -1)이고 위로 볼록한 포물선이다.
또, x=0일 때 y=-2_0¤ +4_0-3=-3
이므로 y축과의 교점의 좌표는 (0, -3)
y
O
-1
1
따라서 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 그래프
가 지나지 않는 사분면은 제`1, 2사분면이다.
-3
03 이차함수 y=-2x¤ +kx+4의 그래프가 점 (1, -2)를 지나
므로 -2=-2_1¤ +k_1+4(cid:100)(cid:100)∴ k=-4
∴ y=-2x¤ -4x+4=-2(x¤ +2x)+4
=-2(x¤ +2x+1-1)+4=-2(x+1)¤ +6
따라서 구하는 꼭짓점의 좌표는 (-1, 6)이다.
04 이차함수 y=2x¤ +8x+k의 그래프가 점 (-1, 5)를 지나므로
5=2_(-1)¤ +8_(-1)+k(cid:100)(cid:100)∴ k=11
∴ y=2x¤ +8x+11=2(x¤ +4x)+11
=2(x¤ +4x+4-4)+11=2(x+2)¤ +3
44 정답 및 풀이
05 y=3x¤ -6x-1=3(x¤ -2x)-1
=3(x¤ -2x+1-1)-1
=3(x-1)¤ -4
⑤ 이차함수 y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으
y
O
1
x
-1
-4
로 1만큼, y축의 방향으로 -4만큼 평행이동한 그래프이다.
06 y=-x¤ -4x+1=-(x¤ +4x)+1
=-(x¤ +4x+4-4)+1
=-(x+2)¤ +5
y
5
1
⑤ 모든 사분면을 지난다.
O-2
x
07 y=2x¤ +4x-1=2(x¤ +2x)-1
=2(x¤ +2x+1-1)-1=2(x+1)¤ -3
이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-1, -3)
y=2x¤ -8x+6=2(x¤ -4x)+6
=2(x¤ -4x+4-4)+6=2(x-2)¤ -2
이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (2, -2)
(-1, -3) 1112111111⁄ (-1+m, -3+n)
x축의 방향으로 m만큼
y축의 방향으로 n만큼 평행이동
=(2, -2)
즉, -1+m=2, -3+n=-2이므로 m=3, n=1
∴ m+n=3+1=4
08 y=x¤ -6x+10=(x¤ -6x+9-9)+10=(x-3)¤ +1
이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (3, 1)
x축의 방향으로 -2만큼
(3, 1) 11122211111⁄ (3-2, 1+4)=(1, 5)
y축의 방향으로 4만큼 평행이동
따라서 구하는 식은
y=(x-1)¤ +5=x¤ -2x+6
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 서로 같다.
즉, b>0이다.
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0이다.
⑤ x=1일 때 y>0이므로 a+b+c>0
x
10 그래프가 위로 볼록하므로 a<0이다.
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 서로 다르다.
즉, b>0이다.
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0이다.
④ a<0, c>0이고 -c<0이므로 a-c<0
⑤ x=2일 때 y>0이므로 4a+2b+c>0
11 y=-x¤ -2x+8=-(x¤ +2x)+8
=-(x¤ +2x+1-1)+8=-(x+1)¤ +9
이므로 꼭짓점 A의 좌표는 A(-1, 9)
x축과의 교점의 좌표를 구하기 위해 y=0을 대입하면
-x¤ -2x+8=0, x¤ +2x-8=0
(x+4)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-4 또는 x=2
따라서 구하는 이차함수의 그래프는 ①`이다.
09 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0이다.
∴ B(-4, 0), C(2, 0)
1
∴ △ABC= _6_9=27
2
12 y=- x(x-8)=- x¤ +4x
1
2
1
2
1
2
1
2
=- (x¤ -8x+16-16)=- (x-4)¤ +8
1
2
이므로 꼭짓점 A의 좌표는 A(4, 8)
x축과의 교점을 구하기 위해 y=0을 대입하면
- x(x-8)=0, x(x-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=0 또는 x=8
∴ O(0, 0), B(8, 0)
1
∴ △AOB= _8_8=32
2
02 이차함수의 식 구하기
144~145쪽
1
y=2x¤ -12x+13
1-1 a=- , b=-2, c=-5
1
4
y=3x¤ +6x-2
2
2-1 a=-2, b=12, c=-10
y=-3x¤ +7
3
3-1 a=1, b=4, c=5
4
y= x¤ - x-6
1
2
1
2
4-1 a=-1, b=3, c=-2
1 꼭짓점의 좌표가 (3, -5)이므로 이차함수의 식을
y=a(x-3)¤ -5로 놓을 수 있다.
점 (1, 3)을 지나므로 x=1, y=3을 대입하면
3=a_(1-3)¤ -5, 4a=8(cid:100)(cid:100)∴ a=2
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=2(x-3)¤ -5=2(x¤ -6x+9)-5=2x¤ -12x+13
1-1 꼭짓점의 좌표가 (-4, -1)이므로 이차함수의 식을
y=a(x+4)¤ -1로 놓을 수 있다.
점 (0, -5)를 지나므로 x=0, y=-5를 대입하면
1
4
-5=a_(0+4)¤ -1, 16a=-4(cid:100)(cid:100)∴ a=-
따라서 구하는 이차함수의 식은
1
4
y=- (x+4)¤ -1=- (x¤ +8x+16)-1
1
4
1
4
1
4
y=- x¤ -2x-5
∴ a=- , b=-2, c=-5
2 축의 방정식이 x=-1이므로 이차함수의 식을
y=a(x+1)¤ +q로 놓을 수 있다.
두 점 (-2, -2), (1, 7)을 지나므로
x=-2, y=-2와 x=1, y=7을 각각 대입하면
a+q=-2, 4a+q=7
두 식을 연립하여 풀면 a=3, q=-5
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=3(x+1)¤ -5=3(x¤ +2x+1)-5=3x¤ +6x-2
2-1 축의 방정식이 x=3이므로 이차함수의 식을
y=a(x-3)¤ +q로 놓을 수 있다.
두 점 (1, 0), (0, -10)을 지나므로
x=1, y=0과 x=0, y=-10을 각각 대입하면
4a+q=0, 9a+q=-10
두 식을 연립하여 풀면 a=-2, q=8
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=-2(x-3)¤ +8=-2(x¤ -6x+9)+8
=-2x¤ +12x-10
∴ a=-2, b=12, c=-10
3 이차함수의 식 y=ax¤ +bx+c에 세 점 (-1, 4), (0, 7),
(2, -5)의 좌표를 각각 대입하면
a-b+c=4
yy ㉠
c=7
yy ㉡
4a+2b+c=-5 yy ㉢
㉡에서 구한 c=7을 ㉠, ㉢의 식에 각각 대입한 후, 연립하여 풀
면 a=-3, b=0
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-3x¤ +7이다.
3-1 이차함수의 식 y=ax¤ +bx+c에 세 점 (-3, 2), (0, 5),
(1, 10)의 좌표를 각각 대입하면
9a-3b+c=2 yy ㉠
c=5
yy ㉡
yy ㉢
a+b+c=10
㉡에서 구한 c=5를 ㉠, ㉢의 식에 각각 대입한 후, 연립하여 풀
면 a=1, b=4
4 x축과 만나는 점의 좌표가 (-3, 0), (4, 0)이므로 이차함수의
식을 y=a(x+3)(x-4)로 놓을 수 있다.
나머지 한 점 (1, -6)을 지나므로 x=1, y=-6을 대입하면
-6=a_(1+3)_(1-4), -12a=-6(cid:100)(cid:100)∴ a=
따라서 구하는 이차함수의 식은
y= (x+3)(x-4)= (x¤ -x-12)= x¤ - x-6
1
2
1
2
1
2
4-1 x축과 만나는 점의 좌표가 (1, 0), (2, 0)이므로 이차함수의 식
을 y=a(x-1)(x-2)로 놓을 수 있다.
나머지 한 점 (0, -2)를 지나므로 x=0, y=-2를 대입하면
-2=a_(0-1)_(0-2), 2a=-2(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
1
2
1
2
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=-(x-1)(x-2)=-x¤ +3x-2
∴ a=-1, b=3, c=-2
Ⅲ. 이차함수 45
146쪽
05 x축과 두 점 (-3, 0), (1, 0)에서 만나므로 이차함수의 식을
y=a(x+3)(x-1)로 놓을 수 있다.
이때 이차함수 y=-4x¤ 의 그래프와 모양이 같으므로 a=-4
01 ③
05 ①
02 -2
06 6
03 (-1, 7) 04 5
01 꼭짓점의 좌표가 (4, 7)이므로 이차함수의 식을
y=a(x-4)¤ +7로 놓을 수 있다.
점 (2, 5)를 지나므로 x=2, y=5를 대입하면
5=a_(2-4)¤ +7, 4a=-2(cid:100)(cid:100)∴ a=-
1
2
따라서 구하는 이차함수의 식은
1
2
1
2
y=- (x-4)¤ +7=- x¤ +4x-1
이 식에 x=0을 대입하면 y=-1이므로 y축과 만나는 점의 좌
표는 (0, -1)이다.
02 축의 방정식이 x=-2이므로 이차함수의 식을
y=a(x+2)¤ +q로 놓을 수 있다.
두 점 (-1, -2), (0, -8)을 지나므로
x=-1, y=-2와 x=0, y=-8을 각각 대입하면
a+q=-2, 4a+q=-8
두 식을 연립하여 풀면 a=-2, q=0
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=-2(x+2)¤ =-2x¤ -8x-8
이므로 a=-2, b=-8, c=-8
∴ a+b-c=-2+(-8)-(-8)=-2
03 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓고
세 점 (0, 6), (1, 3), (-4, -2)의 좌표를 각각 대입하면
c=6
yy ㉠
a+b+c=3
yy ㉡
16a-4b+c=-2 yy ㉢
㉠에서 구한 c=6을 ㉡, ㉢의 식에 각각 대입한 후, 연립하여 풀
면 a=-1, b=-2
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-x¤ -2x+6이고,
y=-x¤ -2x+6=-(x¤ +2x)+6
=-(x¤ +2x+1-1)+6
=-(x+1)¤ +7
에서 꼭짓점의 좌표는 (-1, 7)이다.
04 이차함수의 식 y=ax¤ +bx+c에 세 점 (-1, 2), (0, -1),
(1, 0)의 좌표를 각각 대입하면
a-b+c=2 yy ㉠
c=-1
yy ㉡
a+b+c=0 yy ㉢
㉡에서 구한 c=-1을 ㉠, ㉢의 식에 각각 대입한 후, 연립하여
풀면 a=2, b=-1
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=2x¤ -x-1이고
이 이차함수의 그래프가 점 (2, k)를 지나므로
k=2_2¤ -2-1=8-2-1=5
46 정답 및 풀이
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=-4(x+3)(x-1)=-4(x¤ +2x-3)
=-4x¤ -8x+12
06 x축과 만나는 두 점의 좌표가 (-3, 0), (9, 0)이므로 이차함수
의 식을 y=a(x+3)(x-9)로 놓을 수 있다.
나머지 한 점 (0, -9)를 지나므로 x=0, y=-9를 대입하면
-9=a_(0+3)_(0-9), -27a=-9(cid:100)(cid:100)∴ a=
1
3
따라서 구하는 이차함수의 식은
y= (x+3)(x-9)= (x¤ -6x-27)= x¤ -2x-9
1
3
1
3
1
3
이므로 a= , b=-2, c=-9
∴ abc= _(-2)_(-9)=6
1
3
1
3
147~148쪽
01 ②
05 33
09 ①
13 ⑴ a=2, b=8 ⑵ B(-2, 0) ⑶ A(1, 9) ⑷ 27
02 ③
06 -2
10 ②
04 ①
08 -4
12 ②
03 ⑤
07 ①
11 8
01 y=x¤ +4x+1=(x¤ +4x+4-4)+1=(x+2)¤ -3
따라서 꼭짓점의 좌표는 (-2, -3)이다.
02 x¤ 의 계수의 절댓값이 작을수록 그래프의 폭이 넓어지므로 폭이
1
3
1
2
가장 넓은 것은 ③ y= x¤ +3이다.
03 ① 축의 방정식은 x=1이다.
② y=x¤ -2x+5=(x¤ -2x+1-1)+5=(x-1)¤ +4
(cid:100) 이므로 축의 방정식은 x=1이다.
③ y=-x(x-2)=-x¤ +2x
=-(x¤ -2x+1-1)=-(x-1)¤ +1
(cid:100) 이므로 축의 방정식은 x=1이다.
④ y= x¤ -x+3= (x¤ -2x)+3
1
2
(cid:100) y= (x¤ -2x+1-1)+3= (x-1)¤ +
1
2
(cid:100) 이므로 축의 방정식은 x=1이다.
⑤ y=-3x¤ -6x-3=-3(x¤ +2x+1)=-3(x+1)¤
5
2
이므로 축의 방정식은 x=-1이다.
04 y=- x¤ -4x+5=- (x¤ +8x)+5
1
2
y=- (x¤ +8x+16-16)+5=- (x+4)¤ +13
1
2
1
2
1
2
1
2
따라서 이 이차함수의 그래프에서 x의 값이 증가할 때 y의 값도
증가하는 x의 값의 범위는 x<-4이다.
11
이차함수 y=x¤ +bx+2의 우변을 (완전제곱식)+(상수)의 꼴
b
2
}¤ = 을 더하고 뺀다.
로 나타내려면 x의 계수 b의 의 제곱인 {
b¤
4
1
2
05 y= x¤ +3x-1= (x¤ +6x)-1
1
2
y= (x¤ +6x+9-9)-1= (x+3)¤ -
1
2
11
2
1
2
1
2
1
이 이차함수의 그래프는 y= x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로
2
11
-3만큼, y축의 방향으로 - 만큼 평행이동한 것이므로
2
a=-3, b=-
11
2
∴ 2ab=2_(-3)_{- }=33
11
2
06 이차함수 y=4x¤ +ax-6의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-1, b)
이고 이차항의 계수가 4이므로 이차함수의 식을 y=4(x+1)¤ +b
로 놓을 수 있다.
y=4(x+1)¤ +b=4(x¤ +2x+1)+b=4x¤ +8x+4+b
두 식을 비교하면
a=8, 4+b=-6에서 b=-10
∴ a+b=8+(-10)=-2
07 y=-x¤ +6x+a=-(x¤ -6x)+a
=-(x¤ -6x+9-9)+a=-(x-3)¤ +9+a
이 이차함수의 그래프의 꼭짓점 (3, 9+a)가 x축 위에 있으려
면 꼭짓점의 y좌표가 0이어야 하므로
9+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-9
08 이차함수 y=2x¤ -4x-6에 y=0을 대입하면
2x¤ -4x-6=0, x¤ -2x-3=0
(x+1)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=3
∴ p=-1, q=3 또는 p=3, q=-1
이차함수 y=2x¤ -4x-6에 x=0을 대입하면
y=2_0¤ -4_0-6=-6이므로 r=-6
∴ p+q+r=-1+3+(-6)=-4
09 꼭짓점의 좌표가 (2, 1)이므로 이차함수의 식을
y=a(x-2)¤ +1로 놓을 수 있다.
점 (0, -7)을 지나므로 x=0, y=-7을 대입하면
-7=a_(0-2)¤ +1, 4a=-8(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=-2(x-2)¤ +1=-2(x¤ -4x+4)+1=-2x¤ +8x-7
10 이차함수 y=2x¤ +bx+c의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 좌
표가 (-2, 0), (3, 0)이므로 이차함수의 식은
y=2(x+2)(x-3)=2(x¤ -x-6)=2x¤ -2x-12
따라서 b=-2, c=-12이므로
b+c=-2+(-12)=-14
[다른 풀이] 이차함수 y=2x¤ +bx+c에 두 점 (-2, 0), (3, 0)
의 좌표를 각각 대입하면 0=8-2b+c, 0=18+3b+c
두 식을 연립하여 풀면 b=-2, c=-12
y=3x¤ +6x+a=3(x¤ +2x)+a
=3(x¤ +2x+1-1)+a=3(x+1)¤ -3+a
이므로 꼭짓점의 좌표는 (-1, -3+a)
b¤
4
y=x¤ +bx+2={x¤ +bx+ - }+2
b¤
4
y={x¤ +bx+ }- +2={x+ }¤ - +2
b¤
4
b¤
4
b
2
b¤
4
이므로 꼭짓점의 좌표는 {- , - +2}
b
2
b¤
4
두 꼭짓점의 좌표가 일치하므로
b
-1=- (cid:100)(cid:100)∴ b=2
2
b¤
4
∴ ab=4_2=8
-3+a=- +2에서 -3+a=1(cid:100)(cid:100)∴ a=4
12
이차함수 y=ax¤ +bx+c에서
① a의 부호：그래프의 모양에 따라 결정
② b의 부호：축의 위치에 따라 결정
③ c의 부호：y축과의 교점의 위치에 따라 결정
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a와 b는 서로 다른 부호이다.
즉, b>0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
이차함수 y=cx¤ +bx+a의 그래프는
c>0이므로 아래로 볼록한 그래프이고
b>0에서 c와 b의 부호가 같으므로 축은 y축의 왼쪽에 위치한다.
a<0에서 y축과의 교점은 x축보다 아래쪽에 있다.
따라서 구하는 이차함수의 그래프는 ②이다.
13
먼저 이차함수의 식을 구한 후 x축과 만나는 점의 좌표, 꼭짓점
의 좌표를 구하여 △ABC의 넓이를 구한다.
⑴ 점 (0, 8)을 지나므로 x=0, y=8을 대입하면
8=-0¤ +a_0+b(cid:100)(cid:100)∴ b=8
점 (4, 0)을 지나므로 x=4, y=0을 대입하면
0=-4¤ +a_4+b, 4a+b=16
이때 b=8이므로 4a+8=16
4a=8(cid:100)(cid:100)∴ a=2
⑵ 이차함수의 식 y=-x¤ +2x+8에 y=0을 대입하면
-x¤ +2x+8=0, x¤ -2x-8=0
(x+2)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=4
따라서 점 B의 좌표는 B(-2, 0)이다.
⑶ y=-x¤ +2x+8=-(x¤ -2x)+8
=-(x¤ -2x+1-1)+8=-(x-1)¤ +9
따라서 꼭짓점 A의 좌표는 A(1, 9)이다.
1
⑷ △ABC= _6_9=27
2
Ⅲ. 이차함수 47
03 이차함수의 최댓값과 최솟값
150~151쪽
1 ⑴ ① (0, 4) ② 4 ③ 없다.
⑵ ① (2, -4) ② 없다. ③ -4
1-1 ⑴ ① (-3, -1) ② -1 ③ 없다.
⑵ ① (-5, 2) ② 없다. ③ 2
2 ⑴ x=-3일 때 최솟값 0
⑵ x=3일 때 최댓값 1
⑶ x=1일 때 최솟값 7
⑷ x=3일 때 최댓값 8
2-1 ⑴ x=0일 때 최댓값 5
⑵ x=1일 때 최솟값 3
⑶ x=-2일 때 최솟값 -1
⑷ x=4일 때 최댓값 14
3 ⑴ y=x(16-x) ⑵ 64 cm¤ ⑶ 8 cm
3-1 ⑴ y=x(20-x) ⑵ 100 cm¤ ⑶ 10 cm
4 ⑴ y=x(18-x) ⑵ 81 ⑶ 9, 9
4-1 ⑴ y=x(x-12) ⑵ -36 ⑶ 6, -6
2 ⑶ y=x¤ -2x+8=(x¤ -2x)+8
=(x¤ -2x+1-1)+8=(x-1)¤ +7
(cid:100) x=1일 때 최솟값 7을 갖는다.
⑷ y=-2x¤ +12x-10=-2(x¤ -6x)-10
=-2(x¤ -6x+9-9)-10=-2(x-3)¤ +8
(cid:100) x=3일 때 최댓값 8을 갖는다.
2-1 ⑶ y= x¤ +2x+1= (x¤ +4x)+1
1
2
⑴ y= (x¤ +4x+4-4)+1= (x+2)¤ -1
1
2
(cid:100) x=-2일 때 최솟값 -1을 갖는다.
⑷ y=-x¤ +8x-2=-(x¤ -8x)-2
1
2
1
2
(cid:100) x=4일 때 최댓값 14를 갖는다.
3 ⑴ 직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하면
⑴ 세로의 길이는 (16-x) cm
⑴ ∴ y=x(16-x)
⑵ y=x(16-x)=-x¤ +16x
=-(x¤ -16x+64-64)=-(x-8)¤ +64
⑴ x=8일 때 최댓값 64를 갖는다.
⑴ 따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 64 cm¤ 이다.
⑶ x=8일 때 최댓값을 가지므로 넓이가 최대일 때의 가로의 길
이는 8 cm이다.
3-1 ⑴ 직사각형의 세로의 길이를 x cm라 하면
⑴ 가로의 길이는 (20-x) cm
⑴ ∴ y=x(20-x)
⑵ y=x(20-x)=-x¤ +20x
48 정답 및 풀이
⑴ x=10일 때 최댓값 100을 갖는다.
⑴ 따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 100 cm¤ 이다.
⑶ x=10일 때 최댓값을 가지므로 넓이가 최대일 때의 세로의
길이는 10 cm이다.
4 ⑴ 두 수 중 한 수를 x라 하면 나머지 수는 18-x
⑴ ∴ y=x(18-x)
⑵ y=x(18-x)=-x¤ +18x
=-(x¤ -18x+81-81)=-(x-9)¤ +81
⑴ x=9일 때 최댓값 81을 갖는다.
⑴ 따라서 두 수의 곱의 최댓값은 81이다.
⑶x=9일때최댓값을가지므로곱이최대일때의두수는9, 9이다.
4-1 ⑴ 두 수 중 큰 수를 x라 하면 나머지 수는 x-12
⑴ ∴ y=x(x-12)
⑵ y=x(x-12)=x¤ -12x
=x¤ -12x+36-36=(x-6)¤ -36
⑴ x=6일 때 최솟값 -36을 갖는다.
⑴ 따라서 두 수의 곱의 최솟값은 -36이다.
⑶ x=6일 때 최솟값을 가지므로 곱이 최소일 때의 두 수는 6,
-6이다.
152~153쪽
01 ②
05 ④
02 5
06 ②
1
08 y=- x¤ +4x-11
2
11 450 m¤
12 10 cm
04 -2
03 ⑤
07 y=3x¤ +12x+19
09 30 m
10 3초 후
01 y=- x¤ -2x+6=- (x¤ +4x)+6
1
2
1
2
1
2
1
2
x=-2일 때 최댓값 8을 갖는다.
02 y=-x¤ +8x-10=-(x¤ -8x)-10
=-(x¤ -8x+16-16)-10=-(x-4)¤ +6
x=4일 때 최댓값 6을 갖는다.(cid:100)(cid:100)∴ M=6
y=2x¤ +4x+1=2(x¤ +2x)+1
=2(x¤ +2x+1-1)+1=2(x+1)¤ -1
x=-1일 때 최솟값 -1을 갖는다.(cid:100)(cid:100)∴ m=-1
∴ M+m=6+(-1)=5
03 y=x¤ -12x+3k=(x¤ -12x+36-36)+3k
=(x-6)¤ -36+3k
따라서 x=6일 때 최솟값이 -36+3k이므로
-36+3k=6, 3k=42(cid:100)(cid:100)∴ k=14
04 y=-2x¤ +4x+m-1=-2(x¤ -2x)+m-1
=-2(x¤ -2x+1-1)+m-1
=-(x¤ -8x+16-16)-2=-(x-4)¤ +14
y=- (x¤ +4x+4-4)+6=- (x+2)¤ +8
=-(x¤ -20x+100-100)=-(x-10)¤ +100
=-2(x-1)¤ +m+1
따라서 x=1일 때 최댓값이 m+1이므로
m+1=-1(cid:100)(cid:100)∴ m=-2
05 이차함수 y=-3x¤ +ax+b는 x=2일 때 최댓값 4를 가지므
로 꼭짓점의 좌표가 (2, 4)이다. 즉, 이차함수의 식은
y=-3(x-2)¤ +4=-3(x¤ -4x+4)+4
=-3x¤ +12x-8
주어진 식과 비교하면 a=12, b=-8
∴ a+b=12+(-8)=4
06 이차함수 y=2x¤ +ax-2는 x=1일 때 최솟값 b를 가지므로
꼭짓점의 좌표가 (1, b)이다. 즉, 이차함수의 식은
y=2(x-1)¤ +b=2x¤ -4x+2+b
주어진 식과 비교하면 a=-4이고 -2=2+b에서 b=-4
∴ a+b=-4+(-4)=-8
07 이차함수 y=ax¤ +bx+c가 x=-2일 때 최솟값 7을 가지므
로 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-2, 7)이다.
즉, 주어진 이차함수의 식을 y=a(x+2)¤ +7로 놓을 수 있다.
점 (-1, 10)을 지나므로 x=-1, y=10을 대입하면
10=a_(-1+2)¤ +7, 10=a+7(cid:100)(cid:100)∴ a=3
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=3(x+2)¤ +7=3(x¤ +4x+4)+7=3x¤ +12x+19
1
2
08 이차함수 y=- x¤ 의 그래프와 모양이 같으므로 a=-
1
2
이때 x=4일 때 최댓값이 -3이므로 구하는 이차함수의 식은
1
2
y=- (x-4)¤ -3=- x¤ +4x-11
1
2
09 y=-5x¤ +20x+10=-5(x¤ -4x)+10
=-5(x¤ -4x+4-4)+10=-5(x-2)¤ +30
따라서 x=2일 때 최댓값 30을 가지므로 폭죽이 가장 높이 올라
갔을 때의 지면으로부터의 높이는 30 m이다.
10 y=-5x¤ +30x+70=-5(x¤ -6x)+70
=-5(x¤ -6x+9-9)+70=-5(x-3)¤ +115
따라서 x=3일 때 최댓값 115를 가지므로 물체가 가장 높이 올
라갔을 때는 쏘아 올린 지 3초 후이다.
이므로 닭장의 넓이를 y m¤ 라 하면
y=x(60-2x)=-2x¤ +60x=-2(x¤ -30x)
=-2(x¤ -30x+225-225)=-2(x-15)¤ +450
따라서 x=15일 때 최댓값 450을 가지므로 닭장의 최대 넓이는
450 m¤ 이다.
12 물받이의 높이, 즉 단면의 세로의 길이를 x cm라 하면 가로의
길이는 (40-2x) cm이므로 단면의 넓이를 y cm¤ 라 하면
y=x(40-2x)=-2x¤ +40x=-2(x¤ -20x)
=-2(x¤ -20x+100-100)=-2(x-10)¤ +200
따라서 x=10일 때 최댓값 200을 가지므로 물받이의 단면의 넓
이가 최대일 때의 물받이의 높이는 10 cm이다.
01 ③
05 1
02 ③
06 -4
03 ①
07 25
04 10
154쪽
01 이차함수 y=2(x-p)¤ +q는 x=p일 때 최솟값 q를 가지므로
p=-1, q=5(cid:100)(cid:100)∴ p+q=-1+5=4
02 ① x=0일 때 최댓값 0(cid:100)(cid:100)② x=1일 때 최솟값 3
③ y=-x¤ -4x-1=-(x¤ +4x)-1
=-(x¤ +4x+4-4)-1
=-(x+2)¤ +3 (cid:9195) x=-2일 때 최댓값 3
④ x=3일 때 최솟값 0
⑤ y=-x¤ +4x+3=-(x¤ -4x)+3
=-(x¤ -4x+4-4)+3
=-(x-2)¤ +7 (cid:9195) x=2일 때 최댓값 7
03 y=2x¤ -4kx+4=2(x¤ -2kx)+4
=2(x¤ -2kx+k¤ -k¤ )+4=2(x-k)¤ -2k¤ +4
x=k일 때 최솟값이 -2k¤ +4이므로
-2k¤ +4=2, -2k¤ =-2, k¤ =1(cid:100)(cid:100)∴ k=—1
그런데 k>0이므로 k=1
04 y=x¤ +6x+k-2=(x¤ +6x+9-9)+k-2
=(x+3)¤ +k-11
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-3, k-11)이고,
꼭짓점이 직선 y=-3x+1 위에 있으므로
x=-3, y=k-11을 대입하면
k-11=-3_(-3)+1 (cid:100)(cid:100)∴ k=21
즉, 이차함수의 식은 y=(x+3)¤ +10이므로
x=-3일 때 최솟값 10을 갖는다.
05 새로운 직사각형의 가로의 길이는 (8-x) cm, 세로의 길이는
(6+x) cm이므로 새로운 직사각형의 넓이를 y cm¤ 라 하면
y=(8-x)(6+x)=-x¤ +2x+48=-(x¤ -2x)+48
=-(x¤ -2x+1-1)+48=-(x-1)¤ +49
따라서 x=1일 때 직사각형의 넓이가 최대가 된다.
y=-x¤ -2kx+4k=-(x¤ +2kx)+4k
=-(x¤ +2kx+k¤ -k¤ )+4k=-(x+k)¤ +k¤ +4k
이 이차함수의 최댓값 M은
M=k¤ +4k=k¤ +4k+4-4=(k+2)¤ -4
따라서 M의 최솟값은 -4이다.
07
직선 y=ax+b 위의 점 P의 좌표：P(t, at+b)
(cid:9195) OQ”=t, OR”=at+b
점 P의 좌표를 P(t, -t+10)이라 하면
OQ”=t, OR”=-t+10
(cid:8772)OQPR의 넓이를 y라 하면
Ⅲ. 이차함수 49
11 닭장의 세로의 길이를 x m라 하면 가로의 길이는 (60-2x) m
06
이차함수의 최댓값의 최솟값 (cid:9195) 먼저 꼭짓점의 좌표를 구한다.
y=t(-t+10)=-(t¤ -10t)
=-(t¤ -10t+25-25)=-(t-5)¤ +25
따라서 t=5일 때 최댓값 25를 가지므로 (cid:8772)OQPR의 넓이의 최
댓값은 25이다.
축의 방정식은 x= 이므로 =-2(cid:100)(cid:100)∴ p=-8
따라서 꼭짓점의 y좌표는 +1=
(-8)¤
8
+1=9
p
4
p
4
p¤
8
01 ③
06 ②
11 ③
02 ②
07 ①
1
3
12
03 ⑤
08 ③
13 2초
04 9
09 ③
14 ②
155~157쪽
05 ③
10 ⑤
15 9 m
16 ⑴ (-4, 2) ⑵ x=-4 ⑶ -14 ⑷ 최댓값 2
⑸ y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼, y축
의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
17 ⑴ y=x¤ +(10-x)¤ ⑵ 50 cm¤
01 그래프가 위로 볼록한 것은 ①, ③, ④이고 이 중 이차항의 계수
의 절댓값이 클수록 폭이 좁아지므로 구하는 이차함수는 ③이다.
02 y=x¤ -6x+5=(x¤ -6x)+5
=(x¤ -6x+9-9)+5=(x-3)¤ -4
이므로 꼭짓점의 좌표는 (3, -4), 축의 방정식은 x=3이다.
a=1>0이므로 아래로 볼록한 포물선이다.
x<3일 때 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
03 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 변형하여 그래프를 그리면
①
y
y=(x-1) -1
②
y=(x+2) +1
y
5
1
O-2
x
④
y
O
2
x
-12
y=-(x+3) -3
-8
y=-2(x-2)¤
1
x
2
O
-1
③
-3
y
O
x
-3
⑤
y
4
1
O 1
y=-3(x-1) +4
x
따라서 모든 사분면을 지나는 것은 ⑤이다.
04 y=-2x¤ +px+1=-2{x¤ - x}+1
p
2
p¤
y=-2{x¤ - x+ - }+1=-2{x- }¤ + +1
16
p¤
16
p¤
8
p
2
p
4
50 정답 및 풀이
05 이차함수 y=ax¤ -bx-c의 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a와 -b는 서로 같은 부호이다.
즉, -b<0에서 b>0
y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 -c<0에서 c>0
06 일차함수 y=ax+b의 그래프가 오른쪽 아래로 향하는 직선이
므로 기울기는 음수, 즉 a<0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 y절편이 양수, 즉 b>0
이차함수 y=x¤ +ax+b의 그래프는 아래로 볼록한 포물선이고
x¤ 의 계수 1과 x의 계수 a의 부호가 서로 다르므로 축은 y축의 오
른쪽에 위치한다.
b>0이므로 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있다.
따라서 이를 모두 만족하는 그래프는 ②이다.
07 꼭짓점의 좌표가 (4, 4)이므로 이차함수의 식을
y=a(x-4)¤ +4로 놓을 수 있다.
이 그래프가 원점을 지나므로 x=0, y=0을 대입하면
0=a_(0-4)¤ +4, 16a=-4(cid:100)(cid:100)∴ a=-
1
4
따라서 구하는 이차함수의 식은
1
4
y=- (x-4)¤ +4=- x¤ +2x
1
4
08 x축과 한 점에서 만나므로 꼭짓점이 x축 위에 있다.
즉, 꼭짓점의 y좌표는 0
축의 방정식이 x=1이므로 꼭짓점의 x좌표는 1
따라서 꼭짓점의 좌표가 (1, 0)이므로 주어진 조건을 만족하는
이차함수의 식을 y=a(x-1)¤ 으로 놓을 수 있다.
점 (3, -2)를 지나므로 x=3, y=-2를 대입하면
-2=a_(3-1)¤ , 4a=-2(cid:100)(cid:100)∴ a=-
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=- (x-1)¤ 이다.
③ x=0일 때 y=- 이므로 점 {0, - }을 지난다.
1
2
1
2
1
2
1
2
09 두 점 (-3, 0), (4, 0)이 x축과의 교점의 좌표이므로 이차함수
의 식을 y=a(x+3)(x-4)로 놓을 수 있다.
점 (0, -2)를 지나므로 x=0, y=-2를 대입하면
-2=a_(0+3)_(0-4), -2=-12a(cid:100)(cid:100)∴ a=
따라서 구하는 이차함수의 식은
y= (x+3)(x-4)= (x¤ -x-12)= x¤ - x-2
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
10 y=-x¤ +4x-1=-(x¤ -4x)-1
=-(x¤ -4x+4-4)-1=-(x-2)¤ +3
이므로 최댓값은 3이다.
¤
¤
¤
¤
1
y= x¤ +3x- = (x¤ +6x)-
2
1
2
1
2
1
2
= (x¤ +6x+9-9)- = (x+3)¤ -5
1
2
1
2
1
2
이므로 최솟값은 -5이다.
따라서 구하는 차는 3-(-5)=8
11 이차함수 y=-3x¤ +6x+a-1의 그래프가 점 (2, -3)을 지
나므로 x=2, y=-3을 대입하면
-3=-3_2¤ +6_2+a-1, -3=a-1(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
따라서 주어진 이차함수의 식은
y=-3x¤ +6x-2-1=-3x¤ +6x-3
y=-3(x¤ -2x+1)=-3(x-1)¤
이므로 최댓값은 0이다.
12 축의 방정식이 x=3이므로 꼭짓점의 x좌표는 3
이차함수의 최솟값이 -1이므로 꼭짓점의 y좌표는 -1
따라서 주어진 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프의 꼭짓점의
좌표가 (3, -1)이므로 이차함수의 식을 y=a(x-3)¤ -1로
놓을 수 있다.
점 (0, 2)를 지나므로 x=0, y=2를 대입하면
2=a_(0-3)¤ -1, 9a=3(cid:100)(cid:100)∴ a=
1
3
즉, 주어진 이차함수는
1
3
1
3
y= (x-3)¤ -1= (x¤ -6x+9)-1= x¤ -2x+2
1
3
따라서 a= , b=-2, c=2이므로
a+b+c= +(-2)+2=
1
3
1
3
1
3
13 y=-4.9x¤ +19.6x=-4.9(x¤ -4x)
=-4.9(x¤ -4x+4-4)=-4.9(x-2)¤ +19.6
따라서 x=2일 때 최댓값 19.6을 가지므로
물이 가장 높이 올라가는 데 걸리는 시간은 2초이다.
14 점 P의 x좌표를 a라 하면
P(a, a¤ +4), Q(a, a)이므로
PQ”=a¤ +4-a
PQ”={a¤ -a+ - }+4
1
4
PQ”={a- }¤ +
1
2
15
4
1
4
따라서 PQ”의 길이의 최솟값은 이다.
15
4
y=x +4
y
y=x
P
Q
O
x
15 물로켓 발사 지점을 원점으로 하
고 오른쪽 그림과 같이 x축, y
y
5
O 10
축을 그리면 물로켓의 발사 지
점 (0, 0), 도착 지점 (60, 0), 주형이의 위치 (10, 5)를 지나는
60
x
포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 구하면 된다.
x축과의 두 교점의 좌표가 (0, 0), (60, 0)이므로
이차함수의 식을 y=ax(x-60)으로 놓을 수 있다.
점 (10, 5)를 지나므로 x=10, y=5를 대입하면
5=10a_(10-60), -500a=5(cid:100)(cid:100)∴ a=-
1
100
구하는 이차함수의 식은 y=-
x(x-60)이고
y=- x(x-60)=-
(x¤ -60x+900-900)
1
100
1
100
1
100
1
100
y=-
(x-30)¤ +9
이 이차함수는 x=30일 때 최댓값 9를 가지므로
물로켓의 최대 높이는 9 m이다.
16 ⑴ y=-x¤ -8x-14=-(x¤ +8x)-14
=-(x¤ +8x+16-16)-14=-(x+4)¤ +2
이므로 꼭짓점의 좌표는 (-4, 2)이다.
⑵ 축의 방정식은 x=-4이다.
⑶ x=0을 대입하면
y=-0¤ -8_0-14=-14
yy ❸
⑷ x=-4일 때 최댓값 2를 갖는다.
yy ❹
⑸ y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방향으
yy ❺
로 2만큼 평행이동한 것이다.
채점 기준
❶ 꼭짓점의 좌표 구하기
❷ 축의 방정식 구하기
❸ y축과 만나는 점의 y좌표 구하기
❹ 최댓값 구하기
❺ 어떻게 평행이동한 것인지 구하기
17 ⑴ AP”=x cm라 하면 BP”=(10-x) cm
⑴ ∴ y=x¤ +(10-x)¤
⑵ y=x¤ +(10-x)¤ =2x¤ -20x+100
=2(x¤ -10x)+100=2(x¤ -10x+25-25)+100
=2(x-5)¤ +50
⑴ x=5일 때 최솟값 50을 갖는다.
따라서 두 정사각형의 넓이의 합의 최솟값은 50 cm¤ 이다.
채점 기준
❶ x와 y 사이의 관계식 구하기
❷ y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
❸ 두 정사각형의 넓이의 합의 최솟값 구하기
yy ❶
yy ❷
배점
1점
1점
1점
1점
1점
yy ❶
yy ❷
yy ❸
배점
3점
2점
1점
Ⅲ. 이차함수 51
¤
Ⅰ 실수와 그 연산
1. 제곱근과 실수
01 제곱근의 뜻과 표현
01 ⑴ —10 ⑵ 0 ⑶ — ⑷ 없다. ⑸ —0.2 ⑹ —0.7
1
3
02 ⑴ —3 ⑵ —6 ⑶ —5 ⑷ —9 ⑸ — ⑹ —
03 ⑴ —'7 ⑵ —'∂15 ⑶ —'∂0.1 ⑷ —Æ…
04 ⑴ 8 ⑵ 11 ⑶ -0.5 ⑷ -3
05 ⑴ '3 ⑵ -'3 ⑶ —'3 ⑷ '3
06 ⑴ 6 ⑵ -6 ⑶ —6 ⑷ 6
1
7
2
13
2쪽
4
9
3쪽
01 ③, ④
05 ③
02 ⑤
06 4
03 ⑤
04 ⑤
01 ① 2의 제곱근 (cid:9195) —'2
② (-5)¤ =25의 제곱근 (cid:9195) —5
③ 제곱근 4 (cid:9195) '4=2
⑤ 제곱근 9 (cid:9195) '9=3
02 ② 제곱근 7은 '7이므로 양수이다.
③ 4의 제곱근은 —2의 2개이다.
④ 25의 제곱근은 —5의 2개이다.
⑤ (-2)¤ =4의 제곱근은 —2의 2개이다.
03 ⑤ '∂36은 36의 양의 제곱근이므로 6
04 ① — ② —12 ③ —0.7 ④ —2 ⑤ —'∂18
1
2
05 3¤ =9의 음의 제곱근은 -3(cid:100)(cid:100)∴ a=-3
16의 양의 제곱근은 4(cid:100)(cid:100)∴ b=4
∴ a+b=(-3)+4=1
06 0.36의 양의 제곱근은 0.6(cid:100)(cid:100)∴ a=0.6
'∂16=4의 음의 제곱근은 -2(cid:100)(cid:100)∴ b=-2
∴ 10a+b=10_0.6+(-2)=4
52 정답 및 풀이
02 제곱근의 성질과 대소 관계
4쪽
01 ⑴ 7 ⑵ 5 ⑶ 11 ⑷ 6 ⑸ -2.4 ⑹ -
02 ⑴ 2a ⑵ 3a ⑶ -4a ⑷ -5a
03 ⑴ x-1 ⑵ x-2 ⑶ 3-x ⑷ 4-x
04 ⑴ < ⑵ > ⑶ < ⑷ > ⑸ < ⑹ <
1
3
02 ⑴ a>0이므로 2a>0(cid:100)(cid:100)∴ "√(2a)¤ =2a
⑵ a>0이므로 -3a<0(cid:100)(cid:100)∴ "√(-3a)¤ =-(-3a)=3a
⑶ a<0이므로 4a<0(cid:100)(cid:100)∴ "√(4a)¤ =-4a
⑷ a<0이므로 -5a>0(cid:100)(cid:100)∴ "√(-5a)¤ =-5a
03 ⑴ x>1이므로 x-1>0(cid:100)(cid:100)∴ "√(x-1)¤ =x-1
⑵ x>2이므로 2-x<0(cid:100)(cid:100)∴ "√(2-x)¤ =x-2
⑶ x<3이므로 x-3<0(cid:100)(cid:100)∴ "√(x-3)¤ =3-x
⑷ x<4이므로 4-x>0(cid:100)(cid:100)∴ "√(4-x)¤ =4-x
04 ⑴ 5<7이므로 '5<'7
⑵ 3='9이고 '9>'8이므로 3>'8
⑶ 5='∂25이고 '∂24<'∂25이므로 '∂24<5
⑷ 2<3이므로 '2<'3(cid:100)(cid:100)∴ -'2>-'3
⑸ 3='9이고 '∂10>'9이므로 '∂10>3(cid:100)(cid:100)∴ -'∂10<-3
⑹ 4='∂16이고 '∂17>'∂16이므로 '∂17>4(cid:100)(cid:100)∴ -'∂17<-4
5~6쪽
03 ③
02 ⑤
06 -3a-3b 07 2
11 30
01 ②
05 -3a
09 2, 10, 14 10 4개
13 ④, ⑤
16 34
14 -'3, -1, '3, 2, '5
04 7
08 1
12 2개
15 25개
01 ① "√(-5)¤ =5
④ "√(-4)¤ =4
02 ⑤ (-'ƒ0.09)¤ =0.09
③ {"√(-2)¤ }¤ =2¤ =4
⑤ (-'3)¤ =3
04 (-"ç4¤ )¤ ÷(-"ç2¤ )+"ç5¤ _"√(-3)¤
=(-4)¤ ÷(-2)+5_3=16÷(-2)+15
=-8+15=7
05 a<0이므로 -a>0, -3a>0
∴ "√(-a)¤ -"ça¤ +"√(-3a)¤ =-a-(-a)+(-3a)
=-3a
따라서 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 없는 것은 ⑤이다.
03 ③ (-'5)¤ _"√(-3)¤ =5_3=15
06 b<a<0이므로 a<0, b<0, -2a>0, 2b<0
∴ "ça¤ +"çb¤ +"√(-2a)¤ +"√(2b)¤
=-a-b+(-2a)-2b
=-a-b-2a-2b=-3a-3b
07 -1<x<1이므로 x-1<0, x+1>0
∴ "√(x-1)¤ +"√(x+1)¤ =-(x-1)+(x+1)=2
08 2<x<3이므로 x-2>0, 3-x>0
∴ "√(x-2)¤ +"√(3-x)¤ =(x-2)+(3-x)=1
09 'ƒ29-2x가 자연수가 되려면 29-2x가 제곱수
x가 자연수이므로 29-2x<29
29보다 작은 제곱수는 1, 4, 9, 16, 25이므로
29-2x=1일 때 x=14, 29-2x=4일 때 x=
29-2x=9일 때 x=10, 29-2x=16일 때 x=
29-2x=25일 때 x=2
따라서 구하는 자연수 x는 2, 10, 14이다.
25
2
13
2
10 'ƒ25+x가 한 자리 자연수가 되려면 25+x가 100보다 작은 제
곱수이고 x가 자연수이므로 25+x>25
25보다 크고 100보다 작은 제곱수는 36, 49, 64, 81
25+x=36일 때 x=11, 25+x=49일 때 x=24
25+x=64일 때 x=39, 25+x=81일 때 x=56
따라서 자연수 x는 11, 24, 39, 56의 4개이다.
11 "√2‹ _3‹ _5x가 자연수가 되려면 소인수의 지수가 모두 짝수가
되어야 하므로 자연수 x는 x=2_3_5_(자연수)¤ 의 꼴
따라서 가장 작은 자연수 x는 2_3_5=30
84
12 Æ… =æ≠
x
2¤ _3_7
x
이 자연수가 되려면 소인수의 지수가 모두
짝수가 되어야 하므로 자연수 x는 x=3_7_(자연수)¤ 의 꼴
이때 x는 84의 약수이므로 가능한 x의 값은
x=3_7=21 또는 x=3_7_2¤ =84
따라서 자연수 x는 21, 84의 2개이다.
13 ① 4='∂16이고 '∂16>'∂15이므로 4>'∂15
② 7<8이므로 '7<'8
③ 5>3이고 '5>'3이므로 -'5<-'3
14 '3>1이므로 -'3<-1, '3<'4<'5이므로 '3<2<'5
∴ -'3<-1<'3<2<'5
15 각 변을 제곱하면 4<3x<81(cid:100)(cid:100)∴ <x<27
4
3
따라서 자연수 x는 2, 3, 4, y, 26의 25개이다.
16 각 변을 제곱하면 16<x+1<20(cid:100)(cid:100)∴ 15<x<19
따라서 가장 작은 자연수는 16, 가장 큰 자연수는 18이므로
a=16, b=18(cid:100)(cid:100)∴ a+b=16+18=34
01 ②, ④
05 -7
02 ①
06 7
03 -4
07 4, 9, 12, 13
04 ④
7쪽
01 ① -9는 음수이므로 제곱근은 없다.
③ 제곱하여 0.2가 되는 수는 —'∂0.2이다.
⑤ "√(-2)¤ =2이므로 "√(-2)¤ 의 제곱근은 —'2로 2개이다.
03
5
9
의 음의 제곱근은 - 이므로 a=-
25
81
0.36의 양의 제곱근은 0.6이므로 b=0.6
5
9
5
9
5
9
∴ 12ab=12_{- }_0.6=12_{- }_ =-4
6
10
04 ① -"√(-3)¤ =-3 ② -"ç4¤ =-4 ③ (-'3)¤ =3
④ "√(-4)¤ =4 ⑤ ('5)¤ =5
따라서 두 번째로 큰 수는 ④ "√(-4)¤ 이다.
05 -"ç3¤ _"ç4‹ _Æ… +"√(-5)¤ =-3_"ç8¤ _æ≠{
1
2¤
}¤ +5
1
2
=-3_8_ +5=-7
1
2
06 2<a<3이므로 a>0, 3-a>0, 2-a<0, 2+a>0
∴ "ça¤ +"√(3-a)¤ -"√(2-a)¤ +"√(2+a)¤
=a+(3-a)+(2-a)+(2+a)=7
07 'ƒ-x+13이 정수가 되려면 -x+13은 0 또는 제곱수이다.
x가 자연수이므로 -x+13<13, 즉 13보다 작은 제곱수는
1, 4, 9
-x+13=0일 때 x=13, -x+13=1일 때 x=12
-x+13=4일 때 x=9, -x+13=9일 때 x=4
따라서 구하는 자연수 x는 4, 9, 12, 13이다.
03 무리수와 실수
8~9쪽
01 '3, p
03 ⑤
02 ③
05 ⑴ 10 ⑵ '∂10 ⑶ P(1+'∂10 )
08 ㄴ, ㄷ, ㄹ 09 ②
07 ②
04 ①, ⑤
06 점 D
10 ③
01 '∂16=4, 0.1H2= , Æ… = , -'∂25=-5로 유리수이다.
11
90
9
16
3
4
02 ③ '∂64=8이고 그 제곱근은 —'8이므로 무리수이다.
03 ① 순환소수는 유리수이다.
② 무리수는 유리수가 아니므로 순환소수로 표현할 수 없다.
③ p는 순환하지 않는 무한소수이다.
④ '2=1.4142y이므로 순환소수로 표현할 수 없다.
04 ① 무한소수 중 순환하지 않는 무한소수만 무리수이다.
⑤ p는 제곱해도 유리수가 되지 않는다.
Ⅰ. 실수와 그 연산 53
08 ㄱ. 수직선 위의 점들 중 무리수는 순환소수로 나타낼 수 없다.
01 제곱근의 곱셈과 나눗셈
2. 근호를 포함한 식의 계산
1
05 ⑴ (cid:8772)ABCD=4_4-{ _3_1}_4=16-6=10
2
⑵ 넓이가 10인 정사각형의 한 변의 길이에서 AB”='∂10
⑶ AP”=AB”이므로 점 P의 좌표는 P(1+'∂10)
06 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이므로
A(-1-'2), B(1-'2), C(-1+'2), D('2), E(1+'2)
07 ① '5와 '6 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다.
③ 순환하지 않는 무한소수는 무리수이고, 무리수는 수직선 위의
점에 대응시킬 수 있다.
④ 서로 다른 두 정수 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다.
⑤ 무리수이면서 동시에 유리수인 수는 존재하지 않는다.
09 ① '3=1.7y이므로 2+'3=3.7y(cid:100)(cid:100)∴ 2+'3>3
② '2>1이므로 양변에 '3을 더하면 '3+'2>'3+1
③ '5<4이므로 양변에 '2를 더하면 '5+'2<4+'2
④ '3>'2이므로 양변에 1을 더하면 1+'3>1+'2
⑤ -'2>-'3이므로 양변에 3을 더하면 3-'2>3-'3
10 ① '6=2.y에서 '6+2=4.y이므로 '6+2>3
② 3>2이므로 양변에 '3을 더하면 3+'3>2+'3
③ -'5>-'6이므로 양변에 3을 더하면 3-'5>3-'6
④ 2<3이므로 양변에 '2를 더하면 2+'2<3+'2
⑤ '5<'7이므로 양변에서 2를 빼면 '5-2<'7-2
01 ㄷ, ㄹ
05 ①
02 ③, ④
06 a<c<b
03 ②, ④
04 '2
10쪽
01 ㈎에 해당하는 수는 무리수이다.
ㄱ. -12 ㄴ. -
ㄷ. '8 ㄹ. '∂3.6 ㅁ.
2
9
7
2
ㅂ.
5
3
따라서 무리수는 ㄷ, ㄹ이다.
02 ① 0은 유리수이다.
② 2='4와 같이 유리수도 근호를 사용하여 나타낼 수 있다.
⑤ 무리수는 모두 분수의 꼴로 나타낼 수 없다.
03 ① '∂81=9의 제곱근은 —3으로 유리수
② 'ƒ169=13의 제곱근은 —'∂13으로 무리수
③ "√16_3› _5› ="√2› _3› _5› =2¤ _3¤ _5¤ 의 제곱근은
—"√2¤ _3¤ _5¤ =—2_3_5=—30으로 유리수
④ "çp› =p¤ 의 제곱근은 —p로 무리수
⑤ Æ… = 의 제곱근은 — 으로 유리수
81
16
9
4
3
2
04 점 P에 대응하는 수가 1-'2이므로 점 B에 대응하는 수는 1,
점 A에 대응하는 수는 0이다.
따라서 점 Q에 대응하는 수는 '2이다.
54 정답 및 풀이
05 4='∂16, 5='∂25이므로 '∂16과 '∂25 사이에 있는 수가 아닌 것
은 ①이다.
06 a, c의 대소를 비교하면 '7<3이므로
양변에 '3을 더하면 '7+'3<3+'3(cid:100)(cid:100)∴ a<c
b, c의 대소를 비교하면 '7>'3이므로
양변에 3을 더하면 '7+3>3+'3(cid:100)(cid:100)∴ b>c
∴ a<c<b
04 ⑴
01 ⑴ '6 ⑵ -'∂21 ⑶ -15'∂14 ⑷ 2'∂10
02 ⑴ 2'∂11 ⑵ 5'2 ⑶ 3'7 ⑷ 3'5
03 ⑴ '5 ⑵ -'7 ⑶ 2'6 ⑷ -2
'∂11
10
2'5
5
'∂14
7
'7
4
'7
7
3'5
5
2'3
5
3'7
14
⑷ 3'3 ⑸
2'2
5
05 ⑴
⑷
⑵
⑺
⑶
⑶
⑵
⑻
11쪽
'3
6
'5
15
⑹
12~13쪽
01 ⑤
05 5ab
5'2
3
09
02 '3
06 ⑤
10 -
3'∂10
5
03 -1
07 3
11 6'3
04 2'2
08 ⑤
12 4'5
01 ⑤ '∂27÷ =3'3_'3=3_3=9
1
'3
9
02 a=Æ… _Æ =Æ… _ ='6
7
14
3
14
3
9
7
'3
= _
'5
'3
b= ÷
'5
'6
'∂20
'6
∴ a÷b= =Æ ='3
'2
6
2
'∂20
'6
=Æ…
3_20
5_6
='2
03 '∂96="ç
√4¤ _6=4'6이므로 a=4
ç3¤ _5=3'5이므로 b=5
'∂45="√
∴ a-b=4-5=-1
04 'ƒ180="√6¤ _5=6'5이므로 a=6
2¤ _3
3¤
=Æ 이므로 b=
'3=æ≠
4
3
2
3
4
3
4
∴ '∂ab=Æ…6_ ='8=2'2
3
05 'ƒ150="√2_3_5¤ =5_'2_'3=5ab
06 ⑤ '∂24="√2‹ _3="ç2‹ _'3=('2)‹ _'3=a‹ b
07
=
3'2_'5
'5_'5
=
3'∂10
5
이므로 a=
3
5
5
= =
'2
5_'2
'2_'2
= 이므로 b=
5'2
2
5
2
∴ 2ab=2_ _ =3
3
5
5
2
08 ⑤
18
'2'3
18
= =
'6
18_'6
'6_'6
=
18'6
6
=3'6
09
_'∂21÷
= _'∂21_
3'7
'∂10
'5
'3
1
3
= _5'2=
'∂10
3'7
5'2
3
3'2
'5
5'3
'6
'5
'3
3'2
'6
10
÷(-5'3)_
_{-
}_
15'2
'5
=
3
'3
15'2
'5
1
5'3
'2_'5
'5_'5
=-3_
=-
3'∂10
5
11 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 x라 하면
_px¤ _5=180p이므로 x¤ =
1
3_180p
3
5p
∴ x='∂108="ç6¤ _3=6'3(∵ x>0)
따라서 밑면의 반지름의 길이는 6'3이다.
=108
12 밑면의 한 변의 길이를 x라 하면
_x¤ _15=400이므로 x¤ =
1
3_400
3
15
∴ x='∂80="√4¤ _5=4'5(∵ x>0)
따라서 밑면의 한 변의 길이는 4'5이다.
=80
01 ⑹ +'∂10-Æ… =
18
5
'5
'2
+'∂10-
3'2'5
'5'5
'5'2
'2'2
'∂10
2
=
+'∂10-
3'∂10
5
=
9'∂10
10
05 ⑴ '6('3-'2)+
=3'2-2'3+'2-'3
'∂10-'∂15
'5
=4'2-3'3
⑵
1
'2+1
+
1
3+'8
='2-1+3-2'2=2-'2
15~16쪽
02
5
6
06 16
01 '3
05 6-'∂15
9'5-5
4
08
12 12+2'∂15
03 1
04 -7
07 21-11'5
10
1
2
13 36'3
09 '6-'2
11 -3
01 '6÷
4'2
3
+
'∂12
4
-
3
4'3
='6_
3
4'2
+
2'3
4
-
3'3
4'3'3
=
3'3
4
+
2'3
4
- ='3
'3
4
02
2'2
'3
3
+ -
'6
7'3
3'2
+
5'2
2'3
=
2'6
3
+
3'6
6
-
7'6
6
+
5'6
6
5
6
= '6(cid:100)(cid:100)∴ a=
5
6
03 '3('∂24+'2)+'2('∂27+'3)
='3(2'6+'2)+'2(3'3+'3)=6'2+5'6
따라서 a=6, b=5이므로 a-b=1
04
'2
'5
'5
('∂10-'2)+ ('∂10+'5)
'2
5'2
2
2'5
5
+5+
5
2
=2-
=7+ '2- '5
2
5
따라서 a=7, b= , c=- 이므로 abc=-7
5
2
2
5
02 제곱근의 덧셈과 뺄셈
01 ⑴ 8'3 ⑵ 6'2 ⑶ 2'5-5'6 ⑷ 2'3
⑸ 15'2-'3 ⑹
9'∂10
10
02 ⑴ '6+2'3 ⑵ 3'2-'∂15 ⑶
03 ⑴ 9-4'5 ⑵ 1
05 ⑴ 4'2-3'3 ⑵ 2-'2
'6-'∂14
2
⑷ '6+1
04 ⑴ '3+'2 ⑵ 4-'5
14쪽
05
('5-'3)¤
2
+('5+'3)('5-'3)
=
5-2'∂15+3
2
+5-3=6-'∂15
06 (주어진 식)=7-1+12-2=16
07 (3-'5)¤ +('5-3)(2'5+1)
=14-6'5+10-5'5-3=21-11'5
08
'5
3-'5
+
2'5
3+'5
=
3'5+5
4
+
6'5-10
4
=
9'5-5
4
Ⅰ. 실수와 그 연산 55
=(15+5k)+(6+2k)'5
03 제곱근의 활용
06 (좌변)=
'2+1
'5
+
'5+'∂10
'2
=
'∂10+'5
5
+
'∂10+2'5
2
(좌변)= '5+ 'ß10
6
5
7
10
따라서 a= , b= 이므로
6
5
6
5
7
10
7
10
b
a
7
10
= ÷ = _ =
5
6
7
12
07 ⑤
'2
1-'2
=
'2(1+'2)
(1-'2)(1+'2)
=
'2+2
1-2
=-2-'2
09
1
'3+'2
+
1
'4+'3
+
=
'3-'2
3-2
+
'4-'3
4-3
+
1
'5+'4
'5-'4
5-4
+
+
1
'6+'5
'6-'5
6-5
='6-'2
10 (2+'3)(1-a'3)=2-2a'3+'3-3a
=(2-3a)+(1-2a)'3
유리수가 되려면 무리수 부분이 0이어야 하므로
1
2
1-2a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=
11 3'5('5+2)+k(2'5+5)=15+6'5+2k'5+5k
유리수가 되려면 무리수 부분이 0이어야 하므로
6+2k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-3
12 직육면체의 전개도에서 옆면만 그려 보면 다음과 같다.
2 3
5
2 3
5
3
따라서 옆면은 직사각형이므로 옆면의 넓이를 S라 하면
S=(2'3+'5+2'3+'5)_'3=12+2'∂15
13 밑면인 정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면
x¤ =48이므로
x='∂48="√4¤ _3=4'3 (∵ x>0)
따라서 정사각뿔의 모든 모서리의 길이의 합은
5'3_4+4'3_4=20'3+16'3=36'3
x
35
x
18~19쪽
04 ⑤
07 3
11 10-'5
01 ①, ③
05 A>B>C
08 16
12 9'3+15
02 ⑤
09 10
03 ②
06 5
10 ⑤
01 ② 'ƒ0.021=
=0.1449
'∂2.1
10
④ 'ƒ2100=10'∂21=45.83
⑤ 'ƒ21000=100'∂2.1=144.9
02 ⑤ 'ƒ41000=100'∂4.1=202.5
03 'ƒ2000="√5_2¤ _10¤ =20'5=20_2.236=44.72
17쪽
04 ⑤ (2'6+1)-(2'3+1)=2'6-2'3=2('6-'3)>0
∴ 2'6+1>2'3+1
05 A-B=(2'5+'3 )-(3'5-'3 )
=-'5+2'3=-'5+'∂12 >0이므로 A>B
B-C=(3'5-'3 )-('5+'3 )
=2'5-2'3=2('5-'3 )>0이므로 B>C
06 x=3+'6에서 x-3='6, (x-3)¤ =6
∴ x¤ -6x=-3(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -6x+8=-3+8=5
07 x=
1
'5-2
=
'5+2
('5-2)('5+2)
='5+2에서
x-2='5, (x-2)¤ =5(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -4x=1
∴ x¤ -4x+2=1+2=3
08 x='7-3에서 x-'7=-3, x+3='7
∴ (x-'7)¤ +(x+3)¤ =(-3)¤ +('7)¤ =9+7=16
09 x+y=('3+'2 )+('3-'2 )=2'3
xy=('3+'2 )('3-'2 )=3-2=1
∴ x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy=(2'3 )¤ -2_1=10
01 ②
05 ①
02 3
06
7
12
03 10'3-14 04 2
07 ⑤
01 ② 3'2_3'3=9'6
02 '∂98+'∂63-'∂112-'∂18=7'2+3'7-4'7-3'2
∴ A>B>C
=4'2-'7
따라서 a=4, b=-1이므로 a+b=4-1=3
03 '∂108+
4'6
'2
-
'∂10
3
÷
'5
21'2
=6'3+4'3-
'∂10
3
_
21'2
'5
=6'3+4'3-14
=10'3-14
04 '3(2'3+4)-k'3(2-'3)=6+4'3-2k'3+3k
=(6+3k)+(4-2k)'3
유리수가 되려면 무리수 부분이 0이어야 하므로
4-2k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=2
05 'ƒ0.004=Æ…
4
1000
=
2
10'∂10
=
'∂10
50
=
'2'5
50
=
ab
50
56 정답 및 풀이
10 x=2-'3이므로 =
=2+'3
1
x
1
2-'3
x+ =2-'3+2+'3=4
1
x
1
∴ x¤ + ={x+ }¤ -2=4¤ -2=14
x
1
x¤
11 '4<'5<'9, 즉 2<'5<3이므로 '5+2=4.y
정수 부분 a=4이고, 소수 부분 b=('5+2)-4='5-2
∴ 2a-b=2_4-('5-2)=10-'5
12 3'3='∂27이고 '∂25<'∂27<'∂36, 즉 5<3'3<6이므로
3'3=5.y(cid:100)(cid:100)∴ 3'3+1=6.y
정수 부분 a=6이고, 소수 부분 b=(3'3+1)-6=3'3-5
a
∴ =
b
6
3'3-5
=
6(3'3+5)
27-25
=9'3+15
Ⅱ 인수분해와 이차방정식
1. 인수분해
01 인수분해의 뜻과 공식
21쪽
01 ⑴ 9 ⑵ —12 ⑶
1
36
⑷ —
2
3
⑵ (a+2)(a-b)
⑷ 2(x-1)¤
02 ⑴ 3x(x-3a)
⑶ (2x-5y)¤
⑸ (5x+6y)(5x-6y) ⑹ a(4x+3y)(4x-3y)
⑺ (x+7)(x-5)
⑼ (3x+2)(x-3)
⑻ (x+1)(x-11)
⑽ (2x+1)(3x+1)
20쪽
01 ⑴ (cid:8641)={
-6
2
}¤ =9
⑵ (cid:8641)=—2_1_6=—12
1
⑶ (cid:8641)={ _ }¤ ={
2
1
6
1
3
}¤ =
1
36
⑷ (cid:8641)=—2_1_ =—
1
3
2
3
01 17.92
05 22
02 ④
06 ③
03 ⑤
04 ①
01 '∂321="√3.21_10¤ =10'∂3.21이고
'∂3.21의 값은 제곱근표에서 1.792이므로
'∂321=10'∂3.21=17.92
02 '∂451="√4.51_10¤ =10'ƒ4.51=21.24이므로 'ƒ4.51=2.124
'∂4510="√45.1_10¤ =10'ƒ45.1=67.16이므로
'ƒ45.1=6.716
∴ x=2.124, y=6.716
∴ x+y=2.124+6.716=8.840
03 '∂960=4'∂60=4_7.746=30.984
04 ① (3'3-5)-(4'3-6)=-'3+1<0이므로
3'3-5<4'3-6
05 x+y=('6+'5 )+('6-'5 )=2'6
xy=('6+'5 )('6-'5 )=6-5=1
x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy=(2'6 )¤ -2_1=22
∴ + =
x
y
y
x
x¤ +y¤
xy
22
= =22
1
2'5=4.y(cid:100)(cid:100)∴ 10-2'5=5.y
따라서 정수 부분 a=5이고,
소수 부분 b=(10-2'5)-5=5-2'5
a
∴ =
b
5
5-2'5
=
5(5+2'5)
(5-2'5)(5+2'5)
∴ =
5(5+2'5)
25-20
=5+2'5
02 ⑷ 2x¤ -4x+2=2(x¤ -2x+1)=2(x-1)¤
⑹ 16ax¤ -9ay¤ =a(16x¤ -9y¤ )=a(4x+3y)(4x-3y)
02 ⑤
01 ④
04 (x-3)(y-2)
07 ⑤
11 5x-1
15 2
18 x+3
08 ③
12 2x-1
16 (3x-2)(x+2)
19 3x+2
03 ④
05 ②
09 ①
13 -2
22~24쪽
06 —14
10 2x+1
14 16
17 2x+3
02 ⑤ (x-1)+2=x+1이므로 x-1을 인수로 갖지 않는다.
03 ④ 2a‹ -2a¤ =2a¤ (a-1)
04 y(x-3)+2(3-x)=y(x-3)-2(x-3)
=(x-3)(y-2)
1
1
③ a¤ -a+ ={a- }¤
4
2
1
1
⑤ x¤ + x+ ={x+ }¤
9
3
2
3
06 a=—2_1_7=—14
07 ① ax+by는 인수분해할 수 없다.
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 57
06 2'5='∂20이고 '∂16<'∂20<'∂25, 즉 4<'∂20<5이므로
05 ② 9a¤ +6a-3=3(3a¤ +2a-1)=3(a+1)(3a-1)
② x¤ +2x+1=(x+1)¤
③ 4x¤ -9y¤ =(2x+3y)(2x-3y)
④ x¤ -3x+2=(x-2)(x-1)
08 ③ ab-3b-2a+6=b(a-3)-2(a-3)
=(a-3)(b-2)
09 x¤ -4x+3=(x-1)(x-3)
2x¤ -5x+3=(2x-3)(x-1)
따라서 두 다항식에 공통으로 들어 있는 인수는 ① x-1이다.
10 2x¤ +7x+3=(2x+1)(x+3)
2x¤ +5x+2=(2x+1)(x+2)
따라서 구하는 공통인 인수는 2x+1이다.
11 6x¤ -x-2=(3x-2)(2x+1)이므로
구하는 두 일차식의 합은 3x-2+2x+1=5x-1
12 x¤ -x-6=(x-3)(x+2)로 인수분해되므로
두 일차식의 합은 x-3+x+2=2x-1
13 3x-5가 3x¤ +ax-5의 인수이므로
3x¤ +ax-5=(3x-5)(x+b)(b는 상수)로 놓으면
3x¤ +ax-5=3x¤ +(3b-5)x-5b
즉, a=3b-5, -5=-5b에서
b=1, a=3b-5=3-5=-2
14 x¤ +8x+k=(x+a)(x+b)에서
x¤ +8x+k=x¤ +(a+b)x+ab
이때 a+b=8, ab=k이므로 합이 8인 두 자연수 a, b의 순서
쌍 (a, b)는
(1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1)
따라서 k=ab이므로 k의 최댓값은 a=4, b=4일 때이다.
∴ k=4_4=16
15 (x-1)(x+3)-5=x¤ +2x-8=(x+4)(x-2)
∴ A+B=4+(-2)=2
16 (3x-5)(x+3)+11=3x¤ +4x-4=(3x-2)(x+2)
02 인수분해 공식의 활용
25쪽
01 ⑴ 3(x+1)(x-1)
⑶ (x+z)(y+z)
⑸ (x-4)(x+y)
⑺ (a+2b-3)(a-2b-3) ⑻ (x-3)(x-y+1)
⑵ (x-1)(4x-7)
⑷ (a+b)(x-y)
⑹ (x+y-2)(x-y+2)
02 ⑴ 30600 ⑵ 20
03 ⑴ 100 ⑵ 2 ⑶ -102
01 ⑴ 2x+1=A, x+2=B로 치환하면
(2x+1)¤ -(x+2)¤ =A¤ -B¤ =(A+B)(A-B)
=(3x+3)(x-1)
=3(x+1)(x-1)
⑵ x-2=A로 치환하면
4(x-2)¤ +5(x-2)+1=4A¤ +5A+1
=(A+1)(4A+1)
=(x-2+1)(4x-8+1)
=(x-1)(4x-7)
⑶ xy+yz+xz+z¤ =y(x+z)+z(x+z)
=(x+z)(y+z)
⑷ ax-by-ay+bx=x(a+b)-y(a+b)
=(a+b)(x-y)
⑸ x¤ -4x+xy-4y=x(x-4)+y(x-4)
=(x-4)(x+y)
⑹ x¤ -y¤ +4y-4=x¤ -(y¤ -4y+4)=x¤ -(y-2)¤
=(x+y-2)(x-y+2)
⑺ a¤ -6a-4b¤ +9=a¤ -6a+9-4b¤ =(a-3)¤ -(2b)¤
=(a-3+2b)(a-3-2b)
=(a+2b-3)(a-2b-3)
⑻ x¤ -2x-3-xy+3y=-(x-3)y+x¤ -2x-3
=-(x-3)y+(x-3)(x+1)
=(x-3)(x-y+1)
17 주어진 그림의 직사각형들의 넓이의 합은 x¤ +3x+2이고
02 ⑴ 3_101¤ -3=3_(101¤ -1)
x¤ +3x+2=(x+1)(x+2)이므로 구하는 직사각형의 가로,
세로의 길이는 x+1, x+2이다.
따라서 가로의 길이와 세로의 길이의 합은
x+1+x+2=2x+3
=3_(101+1)(101-1)
=3_102_100=30600
⑵ "√52¤ -48¤ ="√(52+48)(52-48)
='∂100_4='ƒ400=20
18 주어진 도형의 넓이는
(x+1)¤ -2¤ =(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)
따라서 이 도형과 넓이가 같은 직사각형의 가로의 길이가 x-1
일 때, 세로의 길이는 x+3이다.
19
{(x+1)+(x+3)}_(높이)=3x¤ +8x+4이므로
1
2
(x+2)_(높이)=(x+2)(3x+2)(cid:100)(cid:100)∴ (높이)=3x+2
58 정답 및 풀이
03 ⑴ "√a¤ -10a+25="√(a-5)¤ ="√(105-5)¤ ="√100¤ =100
⑵ x=
1
'2+1
='2-1이므로
x¤ +2x+1=(x+1)¤ =('2-1+1)¤ =2
⑶ ax+3.2x+a+3.2=x(a+3.2)+(a+3.2)
=(a+3.2)(x+1)
=(6.8+3.2)(-11.2+1)
=10_(-10.2)=-102
26~27쪽
11 x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)
=(2'7-'5+2'7+'5)(2'7-'5-2'7-'5)
=4'7_(-2'5)=-8'∂35
12 x¤ +y¤ -2xy=(x-y)¤ ={
1+'3
2
-
1-'3
2
}¤
=('3)¤ =3
13 x¤ -y¤ +2x+1=x¤ +2x+1-y¤ =(x+1)¤ -y¤
=(x+2)(x-1)
14 x¤ -y¤ +4x-4y=(x+y)(x-y)+4(x-y)
=(x+y+1)(x-y+1)
=('5-1)_'5=5-'5
=(x-y)(x+y+4)
=6_(3+4)=42
03 2x+4y+3
01 ②, ④
04 -7
07 (3x-y+z)(3x-y-z) 08 25
10 2017
12 3
14 42
02 x-5
05 (x+4y-7)(x-2y+5) 06 ③
09 628
13 5-'5
11 -8'∂35
01 x+3=A로 치환하면
(x+3)¤ -5(x+3)+4=A¤ -5A+4=(A-1)(A-4)
02 x-1=A로 치환하면
(x-1)¤ -2(x-1)-8=A¤ -2A-8=(A+2)(A-4)
=(x+1)(x-5)
2x¤ -9x-5=(2x+1)(x-5)
따라서 두 다항식의 일차 이상인 공통인 인수는 x-5이다.
03 x+2y=A로 치환하면
(x+2y)(x+2y+3)+2=A(A+3)+2=A¤ +3A+2
=(A+1)(A+2)
=(x+2y+1)(x+2y+2)
따라서 두 일차식의 합은
x+2y+1+x+2y+2=2x+4y+3
04 x-3=A, y-3=B로 치환하면
(x-3)¤ -(y-3)¤ =A¤ -B¤ =(A+B)(A-B)
=(x-3+y-3)(x-3-y+3)
=(x+y-6)(x-y)
따라서 a=-6, b=-1이므로 a+b=-7
05 x+1=A, y-2=B로 치환하면
(x+1)¤ +2(x+1)(y-2)-8(y-2)¤
=A¤ +2AB-8B¤ =(A+4B)(A-2B)
=(x+1+4y-8)(x+1-2y+4)
=(x+4y-7)(x-2y+5)
06 x¤ -y¤ -5x+5y=(x+y)(x-y)-5(x-y)
=(x-y)(x+y-5)
07 9x¤ -6xy+y¤ -z¤ =(3x-y)¤ -z¤
=(3x-y+z)(3x-y-z)
08
102¤ -2_102_2+2¤
101¤ -99¤
=
(102-2)¤
(101+99)(101-99)
09 3.14_15¤ -3.14_5¤ =3.14_(15¤ -5¤ )
=
100¤
200_2
=25
=3.14_(15+5)(15-5)
=3.14_20_10=628
10 2016=A로 놓으면
A(A+2)+1=A¤ +2A+1=(A+1)¤
=(2016+1)¤ =2017¤
∴ a=2017
28쪽
01 ⑤
02 — xy
03 a-1
1
3
04 A=2, B=3
06 ③
07 4
05 (x+2)(x-3)
01 ① x¤ +2x=x(x+2)
② x¤ +4x+4=(x+2)¤`
③ x¤ +x-2=(x+2)(x-1)
④ 2x¤ +9x+10=(x+2)(2x+5)
⑤ 2x¤ -6x+4=2(x¤ -3x+2)=2(x-2)(x-1)
따라서 나머지 넷과 같은 인수를 갖지 않는 것은 ⑤이다.
02
1
9
x¤ +(cid:8641)+ y¤ ={ x— y}¤
이므로
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
3
(cid:8641)=—2_ x_ y=— xy
03 ab+a-b-1=a(b+1)-(b+1)=(a-1)(b+1)
a¤ -ab-a+b=a(a-b)-(a-b)=(a-1)(a-b)
따라서 공통인 인수는 a-1이다.
04 2x¤ -5xy+3y¤ =(x-y)(2x-3y)
∴ A=2, B=3
05 x-2=A로 치환하면
(주어진 식)=A¤ +3A-4=(A+4)(A-1)
=(x-2+4)(x-2-1)=(x+2)(x-3)
06 99¤ -1=(99+1)(99-1)=100_98이므로 이것을 설명하
는 데 가장 알맞은 식은
③ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
07 '2+1=A, '2-1=B로 치환하면
(주어진 식)=A¤ -2AB+B¤ =(A-B)¤
=('2+1-'2+1)¤ =2¤ =4
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 59
2. 이차방정식
01 이차방정식과 그 해
02 ⑴ x=0 또는 x=5
⑶ x=3 또는 x=4
1
2
⑵ x=-6 또는 x=6
⑷ x=7 또는 x=-3
⑸ x=- 또는 x=5 ⑹ x=-4 또는 x=2
29쪽
⑺ x=9(중근)
1
⑻ x= (중근)
5
01 ④
05 6
02 ②, ④
06 -9
03 a+3
04 ①, ⑤
⑼ x=- (중근)
⑽ x=-2(중근)
2
3
01 ① y=5x+3 (cid:9195) 일차함수
② -7x-3=0 (cid:9195) 일차방정식
③ x¤ -4x+4+1=x¤ , -4x+5=0 (cid:9195) 일차방정식
④ 5x¤ -4x+1=0 (cid:9195) 이차방정식
⑤ x¤ -x-12=x¤ -5, -x-7=0 (cid:9195) 일차방정식
02 ① x¤ -x=0 (cid:9195) 이차방정식
② 5x¤ -2x+1 (cid:9195) 이차식
③ 2x¤ =4x¤ +4x+1-1, -2x¤ -4x=0 (cid:9195) 이차방정식
④ x¤ +3=x¤ +2x+1, -2x+2=0 (cid:9195) 일차방정식
⑤ x¤ +2x-3=2x¤ -4x+2, -x¤ +6x-5=0 (cid:9195) 이차방정식
03 (a-1)x¤ +2x-3=2x¤ -x-3에서 (a-3)x¤ +3x=0
이것이 x에 관한 이차방정식이 되려면 a-3+0(cid:100)(cid:100)∴ a+3
02 ⑴ x(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=0 또는 x=5
⑵ (x+6)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-6 또는 x=6
⑶ (x-3)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 또는 x=4
⑷ (x-7)(x+3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=7 또는 x=-3
⑸ (2x+1)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x=5
1
2
⑹ x¤ +2x-8=0, (x+4)(x-2)=0
∴ x=-4 또는 x=2
⑺ (x-9)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=9(중근)
⑻ (5x-1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x= (중근)
⑼ (3x+2)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=- (중근)
⑽ x¤ -9=-4x-13, x¤ +4x+4=0
(x+2)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-2(중근)
1
5
2
3
04 ② (-1)¤ +5_(-1)=-4+6
③ 4¤ -8=8+0
④ {
1
2
}¤ -4=- +0
15
4
05 x=-1을 2x¤ +(k-1)x+3=0에 대입하면
2-(k-1)+3=0(cid:100)(cid:100)∴ k=6
06 x=3을 x¤ -5x+a=0에 대입하면
9-15+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=6
x=3을 2x¤ -x-b=0에 대입하면
18-3-b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=15
∴ a-b=6-15=-9
02 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
30쪽
01 ⑴ x=0 또는 x=3
⑶ x=- 또는 x=2 ⑷ x=-1 또는 x=
⑵ x=-2 또는 x=2
1
2
1
3
2
⑸ x= 또는 x=- ⑹ x=0 또는 x=5
3
1
2
2
⑺ x=- 또는 x=
3
3
4
60 정답 및 풀이
31~32쪽
02 ⑤
06 ③
03 ①
07 25
04 x=4
08 1
10 ㄱ, ㄹ, ㅁ 11 -
12 x=-4
1
3
01 ③
05 -3
09 -3
13 ③
01 ③ (x+3)(x-2)=0에서 x=-3 또는 x=2
02 (x+2)(x-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=8
따라서 a=8, b=-2이므로 a-b=8-(-2)=10
03 (x+3)(2x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=
3
2
-3과 사이에 있는 모든 정수는 -2, -1, 0, 1이므로 그 합은
3
2
-2+(-1)+0+1=-2
04 x=-3을 x¤ -x+a=0에 대입하면
9+3+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-12
이때 x¤ -x-12=0이므로 (x+3)(x-4)=0
∴ x=-3 또는 x=4
따라서 다른 한 근은 x=4
05 x=- 을 2x¤ -5x+3a=0에 대입하면
+ +3a=0, 3+3a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
1
2
5
2
1
2
이때 2x¤ -5x-3=0이므로 (2x+1)(x-3)=0
∴ x=- 또는 x=3(cid:100)(cid:100)∴ b=3
1
2
∴ ab=(-1)_3=-3
06 x¤ +x-6=0에서 (x+3)(x-2)=0
∴ x=-3 또는 x=2
x=-3을 x¤ +2ax+3a=0에 대입하면
9-6a+3a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=3
07 x=2를 x¤ +ax-14=0에 대입하면
4+2a-14=0(cid:100)(cid:100)∴ a=5
이때 x¤ +5x-14=0이므로 (x-2)(x+7)=0
∴ x=2 또는 x=-7
x=-7을 3x¤ +bx-7=0에 대입하면
147-7b-7=0, 7b=140(cid:100)(cid:100)∴ b=20
∴ a+b=5+20=25
08 x¤ -5x+4=0에서 (x-1)(x-4)=0
∴ x=1 또는 x=4
3x¤ =4x-1에서 3x¤ -4x+1=0
1
3
(3x-1)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x= 또는 x=1
따라서 두 이차방정식을 동시에 만족하는 x의 값은 1이다.
09 (x-3)(x+4)=0의 해는 x=3 또는 x=-4
x=3을 2x¤ +ax+a-6=0에 대입하면
18+3a+a-6=0, 4a=-12(cid:100)(cid:100)∴ a=-3
10 ㄱ. (x+2)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-2(중근)
ㄴ. (x+4)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-4 또는 x=4
ㄷ. (x-8)(x+4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=8 또는 x=-4
ㄹ. x¤ -12x+36=0, (x-6)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=6(중근)
ㅁ. (5x+1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=- (중근)
1
5
11 {x- }¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x= (중근)(cid:100)(cid:100)∴ a=
1
2
1
2
(3x+2)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=- (중근)(cid:100)(cid:100)∴ b=-
2
3
∴ ab= _{- }=-
1
2
2
3
1
2
2
3
1
3
12 x¤ +2x-k=-6x-15에서 x¤ +8x-k+15=0
}¤
이 이차방정식이 중근을 가지려면 -k+15={
에서
8
2
-k+15=16(cid:100)(cid:100)∴ k=-1
즉, x¤ +8x+16=0이므로
(x+4)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-4(중근)
13 a-1={
에서 a-1=4(cid:100)(cid:100)∴ a=5
}¤
4
2
이때 x¤ +4x+4=0이므로 (x+2)¤ =0
∴ x=-2(중근)(cid:100)(cid:100)∴ b=-2
∴ a+b=5+(-2)=3
03 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이
01 ⑴ x=—2 ⑵ x=—2'3 ⑶ x=—
'6
2
⑷ x=—4'2 ⑸ x=-2—'5 ⑹ x=-3 또는 x=1
⑺ x=-3—'6 ⑻ x=1—
'2
2
02 ⑴ 25, 25, 5, 20 ⑵ ,
9
4
3
2
,
,
17
4
03 ⑴ x=-4—2'3 ⑵ x= 또는 x=-
1
2
9
4
3
2
⑶ x=-3—'∂13
03 ⑴ x¤ +8x=-4, x¤ +8x+16=-4+16, (x+4)¤ =12
x+4=—'∂12=—2'3(cid:100)(cid:100)∴ x=-4—2'3
1
1
⑵ x¤ -x= , x¤ -x+ = + , {x- }¤ =1
4
2
3
4
1
4
3
4
x- =—1(cid:100)(cid:100)∴ x= 또는 x=-
3
2
1
2
1
2
⑶ x¤ +6x-4=0, x¤ +6x=4, x¤ +6x+9=4+9
(x+3)¤ =13, x+3=—'∂13(cid:100)(cid:100)∴ x=-3—'∂13
33쪽
34쪽
01 -2
05 5
02 4
06 6
03 ④
07 1
04 ⑤
01 (x+4)¤ =2, x+4=—'2(cid:100)(cid:100)∴ x=-4—'2
따라서 a=-4, b=2이므로 a+b=-4+2=-2
02 (x-a)¤ =3, x-a=—'3(cid:100)(cid:100)∴ x=a—'3
이 해가 x=1—'b이므로 a=1, b=3
∴ a+b=1+3=4
03 ④ q=0이면 중근, q>0이면 서로 다른 두 근을 가지므로
해를 가질 조건은 qæ0
04 (x+3)¤ =6-2a가 해를 갖지 않으려면 6-2a<0
-2a<-6(cid:100)(cid:100)∴ a>3
05 x¤ -6x=-1, x¤ -6x+9=-1+9(cid:100)(cid:100)∴ (x-3)¤ =8
따라서 A=-3, B=8이므로 A+B=-3+8=5
06 x¤ -8x+6=0에서
6을 우변으로 이항하면 x¤ -8x=-6
양변에 16을 더하면 x¤ -8x+16=-6+16
좌변을 완전제곱식으로 바꾸면 (x-4)¤ =10
따라서 A=16, B=10이므로
A-B=16-10=6
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 61
07 x¤ +5x=-a, x¤ +5x+{
}¤ =-a+{
5
2
}¤
5
2
5
{x+ }¤ =
2
25-4a
4
(cid:100)(cid:100)∴ x=
-5—'ƒ25-4a
2
이 해가 x=
-5—'∂21
2
25-4a=21, 4a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=1
이므로
07 2x¤ +5x-3=0에서 (x+3)(2x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=
1
2
2(x+1)¤ -8=0에서 (x+1)¤ =4
x+1=—2(cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=-3
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-3
04 이차방정식의 근의 공식
35쪽
01 ㄴ, ㄷ
02 -11
05 9
06 A= , B= , C=
03 8
3
4
9
16
04 3
17
16
07 x=-3
01 ㄱ. x+1=0 (cid:9195) 일차방정식
ㄹ. x¤ -2x=x(x-1)에서 x¤ -2x=x¤ -x
-x=0 (cid:9195) 일차방정식
02 x=3을 x¤ +ax-3=0에 대입하면
9+3a-3=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
이때 x¤ -2x-3=0이므로 (x-3)(x+1)=0
∴ x=3 또는 x=-1
x=-1을 3x¤ -8x+b=0에 대입하면
3+8+b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=-11
03 (x+b)(x-2)=0의 해는 x=-b 또는 x=2
x=2를 x¤ +ax-a-6=0에 대입하면
4+2a-a-6=0(cid:100)(cid:100)∴ a=2
이때 x¤ +2x-8=0이므로
(x+4)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ b=4
∴ ab=2_4=8
04 x¤ -2mx+4+3m=0이 중근을 가지려면
}¤
4+3m={
에서 4+3m=m¤
-2m
2
m¤ -3m-4=0, (m-4)(m+1)=0
∴ m=4 또는 m=-1
따라서 모든 상수 m의 값의 합은 4+(-1)=3
05 (x-A)¤ =5, x-A=—'5(cid:100)(cid:100)∴ x=A—'5
이 해가 x=2—"çB이므로 A=2, B=5
∴ 2A+B=4+5=9
06 2x¤ +3x-1=0에서
3
2
1
2
x¤ + x- =0, x¤ + x=
3
2
x¤ + x+ = + (cid:100)(cid:100)∴ {x+ }¤ =
1
2
9
16
9
16
3
4
3
2
17
16
1
2
3
4
∴ A= , B= , C=
9
16
17
16
62 정답 및 풀이
36쪽
⑵ x=
5—'∂13
2
-3—'∂33
6
⑹ x=1—'6
⑷ x=
⑻ x=
-4—'∂10
3
1
⑵ x=- 또는 x=
2
1
5
1
⑷ x=- 또는 x=2
2
01 ⑴ x=
-3—'∂13
2
-7—'∂17
4
⑸ x=2—2'2
⑶ x=
⑺ x=
-3—'∂15
2
02 ⑴ x=-4—2'5
⑶ x=
3—'7
2
5
⑸ x=- 또는 x=2
2
⑶ x=- 또는 x=-1
5
4
03 ⑴ x=7 또는 x=1
⑵ x=-8 또는 x=4
02 ⑴ 양변에 4를 곱하면 x¤ +8x-4=0
∴ x=
-4—"√4¤ -1_(-4)
1
∴ x=-4—'∂20=-4—2'5
⑵ 양변에 10을 곱하면 10x¤ +3x-1=0
1
2
(2x+1)(5x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x=
1
5
⑶ x¤ -0.5x+ =0에서 x¤ - x+ =0
1
12
1
1
6
2
양변에 분모의 최소공배수인 12를 곱하면
2x¤ -6x+1=0
1
6
1
12
∴ x=
-(-3)—"√(-3)¤ -2_1
2
=
3—'7
2
⑷ 괄호를 풀어 정리하면
2x¤ -3x-2=0, (2x+1)(x-2)=0
1
∴ x=- 또는 x=2
2
⑸ 양변에 분모의 최소공배수인 15를 곱하면
3x(x-2)=5(x+1)(x-2)
괄호를 풀어 정리하면 2x¤ +x-10=0
5
2
(2x+5)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x=2
03 ⑴ x-2=A로 치환하면 A¤ -4A-5=0
(A-5)(A+1)=0(cid:100)(cid:100)∴ A=5 또는 A=-1
이때 A=x-2이므로 x-2=5 또는 x-2=-1
∴ x=7 또는 x=1
⑵ x+4=A로 치환하고 정리하면 A¤ -4A-32=0
(A+4)(A-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ A=-4 또는 A=8
이때 A=x+4이므로 x+4=-4 또는 x+4=8
∴ x=-8 또는 x=4
⑶ 2x+3=A로 치환하고 정리하면 2A¤ -3A+1=0
(2A-1)(A-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ A= 또는 A=1
이때 A=2x+3이므로 2x+3= 또는 2x+3=1
∴ x=- 또는 x=-1
5
4
1
2
1
2
01 -8
05 27
02 11
06 -1
03 1
07 -4
04 16
08 -5
37쪽
01 x=
-5—"√5¤ -1_23
1
=-5—'2
따라서 A=-5, B=2이므로 2A+B=-10+2=-8
02 x¤ +4=3(x+2)에서 x¤ -3x-2=0
∴ x=
-(-3)—"√(-3)¤ -4_1_(-√2)
2_1
따라서 A=3, B=17이므로 B-2A=17-6=11
=
3—'∂17
2
03 x=
-2—"√2¤ -2_A
2
=
-2—"√4-2A
2
따라서 B=-2이고, 4-2A=6에서 A=-1
∴ A-B=-1-(-2)=1
04 x=
-5—"√5¤ -4_A_1
2_A
=
-5—"√25-4A
2A
따라서 2A=6에서 A=3
25-4A=B에서 B=25-12=13
∴ A+B=3+13=16
05 양변에 10을 곱하여 정리하면 3x¤ -10x+1=0
-(-5)—"√(-5)¤ -3_1
3
5—'∂22
3
∴ x=
=
따라서 A=5, B=22이므로 A+B=5+22=27
07 3x+1=A로 치환하면 2A¤ -A-6=0
3
2
(2A+3)(A-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ A=- 또는 A=2
이때 A=3x+1이므로 3x+1=- 또는 3x+1=2
3
2
1
3
5
∴ x=- 또는 x=
6
1
3
그런데 a<b이므로 a=- , b=
5
6
∴ 6a+3b=6_{- }+3_ =-4
5
6
1
3
08 a-b=A로 치환하면 A(A+3)-10=0
A¤ +3A-10=0, (A-2)(A+5)=0
∴ A=2 또는 A=-5
이때 A=a-b이고 a<b이므로 A<0
∴ a-b=-5
05 이차방정식의 근과 계수의 관계
38~39쪽
01 ④
05 8
08 a=-4, b=2
02 k>1
06 21
11 -42
12 0
03 -6, 2
07 5
09 -8
04 4
10 -64
1
13 x=- 또는 x=2
3
01 b¤ -4ac의 부호를 확인해 보면
ㄱ. (-3)¤ -4_1_7=-19<0 (cid:9195) 근이 0개
ㄴ. 4¤ -4_1_(-3)=28>0 (cid:9195) 근이 2개
ㄷ. (-12)¤ -4_4_9=0 (cid:9195) 근이 1개
ㄹ. 5¤ -4_3_(-1)=37>0 (cid:9195) 근이 2개
따라서 서로 다른 두 근을 갖는 것은 ㄴ, ㄹ이다.
02 이차방정식 2x¤ -4x+(k+1)=0이 근을 갖지 않으려면
b¤ -4ac=(-4)¤ -4_2_(k+1)<0
-8k<-8(cid:100)(cid:100)∴ k>1
03 이차방정식 x¤ +(k-2)x-(2k-4)=0이 중근을 가지려면
b¤ -4ac=(k-2)¤ +4(2k-4)=0
k¤ +4k-12=0, (k+6)(k-2)=0
∴ k=-6 또는 k=2
06 양변에 분모의 최소공배수인 12를 곱하면 3x¤ -2x+12A=0
∴ x=
-(-1)—"√(-1)¤ -3_12A
3
=
1—"√1-36A
3
04 a+b=-
=3, ab=
=-5이므로
-6
2
-10
2
따라서 B=1이고, 1-36A=13에서 A=-
1
3
∴ 3AB=3_{- }_1=-1
1
3
a¤ +3ab+b¤ =(a+b)¤ +ab=3¤ +(-5)=4
05 a+b=3, ab=-2이므로
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=3¤ -2_(-2)=13
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 63
따라서 두 근이 -1, 4이므로 (-1)_4= 에서 k=-8
03 a+b=2, ab=-2이므로
b
a+1
+
a
b+1
=
b(b+1)+a(a+1)
(a+1)(b+1)
∴
=
=
a¤ +b¤ +(a+b)
ab+(a+b)+1
13+3
-2+3+1
=8
06 두 근이 -3, 2이고 x¤ 의 계수가 3인 이차방정식은
3(x+3)(x-2)=0에서 3x¤ +3x-18=0
따라서 a=3, b=-18이므로 a-b=3-(-18)=21
07 두 근이 -1, 이고 x¤ 의 계수가 4인 이차방정식은
4(x+1){x- }=0에서 4x¤ -x-5=0
따라서 a=-1, b=-5이므로 ab=(-1)_(-5)=5
5
4
5
4
08 중근 x=1을 갖고 x¤ 의 계수가 2인 이차방정식은
2(x-1)¤ =0에서 2x¤ -4x+2=0
∴ a=-4, b=2
09 두 근을 a, a+5로 놓으면 a+(a+5)=3에서
2a=-2(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
10 두 근을 a, 3a로 놓으면 a_3a=12에서
a¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ a=—2
a+3a=m에서 m=4a이므로
a=2일 때 m=8, a=-2일 때 m=-8
따라서 모든 상수 m의 값의 곱은 8_(-8)=-64
11 계수가 모두 유리수이므로 다른 한 근은 -6-2'3
-k+6
4
이때 (-6+2'3)+(-6-2'3)=-
에서
k-6=-48(cid:100)(cid:100)∴ k=-42
12 계수가 모두 유리수이므로 다른 한 근은 -3-'3
이때 (-3+'3)+(-3-'3)=- 에서
m
3
-6=- (cid:100)(cid:100)∴ m=18
m
3
또, (-3+'3)(-3-'3)= 에서 6= (cid:100)(cid:100)∴ n=18
∴ m-n=18-18=0
k
2
n
3
3x¤ +x-2=0이고 이것은 p를 잘못 본 것이므로 q=-2
명수가 푼 이차방정식은 3{x- }(x-1)=0에서
3x¤ -5x+2=0이고 이것은 q를 잘못 본 것이므로 p=-5
따라서 주어진 이차방정식은 3x¤ -5x-2=0이므로
(3x+1)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x=2
1
3
64 정답 및 풀이
n
3
2
3
2
3
40쪽
01 11
04 x=
06 -6
11
6
02 ③
03 -4
또는 x=-1
05 2x¤ +9x+7=0
07 x=-5 또는 x=-1
01 양변에 분모의 최소공배수인 12를 곱하여 정리하면
x¤ +4x-9=0
∴ x=
-2—"√2¤ -1_(-9)
1
=-2—'∂13
따라서 A=-2, B=13이므로 A+B=-2+13=11
02 x+ =A로 치환하면 4A¤ -4A-3=0
1
2
(2A+1)(2A-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ A=- 또는 A=
이때 A=x+ 이므로 x+ =- 또는 x+ =
1
2
1
2
∴ x=-1 또는 x=1
따라서 a=1, b=-1이므로 a-b=1-(-1)=2
1
2
1
2
3
2
1
2
3
2
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=2¤ -2_(-2)=8
∴ + =
b
a
a¤ +b¤
ab
=
8
-2
=-4
04 두 근이 , 3이고 x¤ 의 계수가 3인 이차방정식은
3{x- }(x-3)=0에서 3x¤ -11x+6=0
p=-11, q=6이므로 6x¤ -5x-11=0의 해는
(6x-11)(x+1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x= 또는 x=-1
a
b
2
3
2
3
3
2
05 a+b= , ab=-1이므로
(a-3)+(b-3)=(a+b)-6= -6=-
9
2
(a-3)(b-3)=ab-3(a+b)+9
(a-3)(b-3)=-1- +9=
9
2
따라서 구하는 이차방정식은 2{x¤ + x+ }=0에서
7
2
11
6
3
2
7
2
9
2
06
=3+2'2이고,
=
3+2'2
1
3-2'2
(3-2'2)(3+2'2)
계수가 모두 유리수이므로 다른 한 근은 3-2'2
이때 (3+2'2)+(3-2'2)=-a에서 a=-6
(3+2'2)(3-2'2)=b에서 b=9-8=1
∴ ab=(-6)_1=-6
13 은주가 푼 이차방정식은 3{x- }(x+1)=0에서
2x¤ +9x+7=0
07 x¤ +kx+(k-1)=0의 일차항의 계수와 상수항을 바꾸면
06 작은 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 큰 정사각형의 한
x¤ +(k-1)x+k=0
이 이차방정식에 x=-2를 대입하면
4-2(k-1)+k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=6
따라서 처음 이차방정식은 x¤ +6x+5=0이므로
(x+5)(x+1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-5 또는 x=-1
06 이차방정식의 활용
01 31
05 3 m
02 120
06 4 cm
03 27
04 9초 후
01 연속하는 두 자연수를 x, x+1이라 하면
x(x+1)=240에서 x¤ +x-240=0
(x+16)(x-15)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-16 또는 x=15
그런데 x는 자연수이므로 x=15
따라서 연속하는 두 자연수는 15, 16이므로 그 합은
15+16=31
02 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면
(x+1)¤ =(x-1)¤ +x¤ -5에서 x¤ -4x-5=0
(x+1)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=5
그런데 x는 자연수이므로 x=5
따라서 연속하는 세 자연수는 4, 5, 6이므로 그 곱은
4_5_6=120
수는 (x-15)권이므로 x(x-15)=126에서
x¤ -15x-126=0, (x+6)(x-21)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-6 또는 x=21
그런데 x는 자연수이므로 x=21
따라서 석현이네 반의 학생 수는 21명이고, 한 학생이 받는 공책
의 권 수는 21-15=6(권)이므로 그 합은 21+6=27
04 -5t¤ +40t+45=0에서 t¤ -8t-9=0
(t+1)(t-9)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=-1 또는 t=9
따라서 물체가 지면에 떨어지는 것은 쏘아 올린 지 9초 후이다.
05 길의 폭을 x m라 하면 길을 제외한
(21-x) m
x m
(18-x) m
x m
땅의 넓이는 오른쪽 그림에서 색칠한
부분의 넓이와 같으므로
(21-x)(18-x)=270에서
x¤ -39x+108=0, (x-3)(x-36)=0
∴ x=3 또는 x=36
그런데 0<x<18이므로 x=3
따라서 길의 폭은 3 m이다.
변의 길이는 (11-x) cm이므로
x¤ +(11-x)¤ =65에서 x¤ -11x+28=0
(x-4)(x-7)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4 또는 x=7
그런데 x<11-x, 즉 x< 이므로 x=4
11
2
따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 4 cm이다.
41쪽
01 -4
04 17
02 8살
05 8 cm
03 1초 후 또는 3초 후
06 3 m
07 8초 후
42쪽
01 (x+5)¤ =2(x+5)-1에서 x¤ +8x+16=0
(x+4)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-4(중근)
02 동생의 나이를 x살이라 하면 태민이의 나이는 (x+4)살이므로
(x+4)¤ =2x¤ +16에서 x¤ -8x=0
x(x-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=8(∵ x+0)
따라서 동생의 나이는 8살이다.
03 20t-5t¤ =15에서 t¤ -4t+3=0
(t-1)(t-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=1 또는 t=3
따라서 축구공이 15 m 높이에 있을 때는 1초 후 또는 3초 후이다.
04
k(k+1)
2
=153에서 k¤ +k-306=0
(k+18)(k-17)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-18 또는 k=17
그런데 k는 자연수이므로 k=17
(4+x)x=48에서 x¤ +4x-96=0
1
2
(x+12)(x-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-12 또는 x=8
그런데 x>0이므로 x=8
따라서 사다리꼴의 높이는 8 cm이다.
06 처음 꽃밭의 세로의 길이를 x m라 하면 가로의 길이는
(x+4) m이므로 새로 만들어진 꽃밭의 가로의 길이는
(x+9) m, 세로의 길이는 (x-1) m이다.
이때 (x+9)(x-1)=24에서 x¤ +8x-33=0
(x+11)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-11 또는 x=3
그런데 x>0이므로 x=3
따라서 처음 꽃밭의 세로의 길이는 3 m이다.
07 x초 후에 직사각형의 가로의 길이는 (8+2x) cm, 세로의 길이
는 (12-x) cm이므로 (8+2x)(12-x)=8_12에서
x¤ -8x=0, x(x-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=0 또는 x=8
그런데 x>0이므로 x=8
따라서 처음 직사각형의 넓이와 같아지는 것은 8초 후이다.
Ⅱ. 인수분해와 이차방정식 65
03 석현이네 반 학생 수를 x명이라 하면 한 학생이 받는 공책의 권
05 사다리꼴의 높이를 x cm라 하면 아랫변의 길이도 x cm이므로
43~44쪽
10 원점을 꼭짓점으로 하고, y축을 축으로 하는 포물선을 그래프로
III 이차함수
1. 이차함수와 그 그래프
01 이차함수 y=ax¤ 의 그래프
01 ⑤
05 ④
02 ㄴ, ㄹ, ㅁ 03 2
07 12
06 ④
04 1, 5
08 -1
09 y=- x¤
3
4
12 ①
13 ③
10 y=3x¤
11 ②
14 y=- x¤
1
2
01 ③ y=(x+1)¤ -x=x¤ +x+1이므로 이차함수이다.
④ y=(x+1)(x-2)=x¤ -x-2이므로 이차함수이다.
⑤ y=2x(x+1)-2x¤ =2x이므로 이차함수가 아니다.
02 ㄱ. y=x‹ +x¤ 에서 x‹ +x¤ 이 이차식이 아니므로 이차함수가 아
ㄴ. y=4x¤ 이므로 이차함수이다.
니다.
1
x¤
ㄷ. y= +1에서 x¤ 이 분모에 있으므로 이차함수가 아니다.
ㄹ. y=-x(x+1)=-x¤ -x이므로 이차함수이다.
ㅁ. y=(2x+1)(x+1)=2x¤ +3x+1이므로 이차함수이다.
ㅂ. y=(x+3)¤ -x¤ =6x+9에서 6x+9가 이차식이 아니므
로 이차함수가 아니다.
03 f(2)=2_2¤ -4_2+1=8-8+1=1(cid:100)(cid:100)∴ a=1
f(b)=2b¤ -4b+1=-1이므로 2b¤ -4b+2=0
2(b-1)¤ =0, b=1(cid:100)(cid:100)∴ a+b=1+1=2
04 f(a)=a¤ -6a+8=3이므로 a¤ -6a+5=0
(a-1)(a-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=1 또는 a=5
05 ④ a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
06 ① x=2일 때 y=-3_2¤ =-12이므로
점 (2, -12)를 지난다.
② a=-3에서 a<0이므로 위로 볼록한 포물선이다.
③ 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)이다.
⑤ 이차함수 y=3x¤ 의 그래프와 x축에 서로 대칭이다.
07 그래프가 점 (-4, k)를 지나므로 k= _(-4)¤ =12
3
4
08 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 점 (3, 3)을 지나므로
3=a_3¤ , 3=9a(cid:100)(cid:100)∴ a=
1
3
이차함수 y= x¤ 의 그래프가 점 (-2, b)를 지나므로
1
3
b= _(-2)¤ = (cid:100)(cid:100)∴ a-b= - =-1
1
3
4
3
1
3
4
3
66 정답 및 풀이
09 원점을 꼭짓점으로 하고, y축을 축으로 하는 포물선이므로 이차
함수의 식을 y=ax¤ 으로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (-4, -12)를 지나므로
-12=a_(-4)¤ , -12=16a(cid:100)(cid:100)∴ a=-
3
4
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=- x¤ 이다.
하는 이차함수의 식을 y=ax¤ 으로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (2, 12)를 지나므로
12=a_2¤ , 12=4a(cid:100)(cid:100)∴ a=3
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=3x¤ 이다.
3
4
1
2
11 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 아래로 볼록하려면 a>0
아래로 볼록한 이차함수 y=5x¤ , y= x¤ , y=x¤ 의 그래프 중
폭이 가장 넓은 것은 a의 절댓값이 가장 작은 ② y= x¤ 이다.
1
2
12 이차함수 y=ax¤ 의 그래프는 a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭
이 좁아지므로 이차함수 y=-x¤ 의 그래프보다 폭이 좁으려면
|a|>1이어야 한다.
따라서 이를 만족시키는 이차함수는 ① y= x¤ 이다.
13 이차함수 y=-4x¤ 의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그래프를
나타내는 식은 ③ y=4x¤ 이다.
14 원점을 꼭짓점으로 하고, y축을 축으로 하는 포물선이므로 이차
함수의 식을 y=ax¤ 으로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (4, 8)을 지나므로
1
2
8=a_4¤ , 8=16a(cid:100)(cid:100)∴ a=
따라서 주어진 그래프를 나타내는 식은 y= x¤ 이고 이 그래프
와 x축에 서로 대칭인 그래프를 나타내는 식은 y=- x¤ 이다.
1
2
3
2
1
2
01 ①, ③
05 ④
02 20
06 ⑤
03 ④
04 ②
45쪽
01 ① y=6x¤ 이므로 이차함수이다.
② y=3x이므로 일차함수이다.
③ y=3x¤ 이므로 이차함수이다.
④ y= _5_(4x+2)=10x+5이므로 일차함수이다.
1
2
⑤ (거리)=(속력)_(시간)에서 y=60x이므로 일차함수이다.
따라서 이차함수인 것은 ①, ③이다.
02 f(-1)=a_(-1)¤ +(-1)-3=-2(cid:100)(cid:100)∴ a=2
04 이차함수 y=-5x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼 평행이
f(3)=2_3¤ +3-3=18(cid:100)(cid:100)∴ b=18
∴ a+b=2+18=20
03 ① y축에 대칭이다.
② 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)이다.
동한 그래프를 나타내는 식은 y=-5(x-3)¤
이 그래프가 점 (1, m)을 지나므로
m=-5_(1-3)¤ =-20
05 이차함수 y=x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동한
③ 위로 볼록한 포물선이다.
⑤ x<0일 때 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
그래프를 나타내는 식은 y=x¤ +4이다.
④ 꼭짓점의 좌표는 (0, 4)이다.
04 이차함수 y=ax¤ 의 그래프는 이차함수 y=-2x¤ 의 그래프보다
06 ① 제`3, 4사분면을 지난다.
폭이 넓으므로 |a|<2
이차함수 y=ax¤ 의 그래프는 이차함수 y=- x¤ 의 그래프보
1
2
다 폭이 좁으므로 |a|>
1
2
③ 축의 방정식은 x=1이다.
④ 꼭짓점의 좌표는 (1, 0)이다.
⑤ 이차함수 y=-4x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼 평행
이동한 것이다.
또, 이차함수 y=ax¤ 의 그래프는 위로 볼록하므로 a<0
07 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방
따라서 -2<a<- 이고 이를 만족시키는 상수 a의 값은
1
2
-1이다.
05 이차함수 y=2x¤ 의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그래프를 나타
내는 식은 y=-2x¤ 이다.
④ x=2일 때 y=-2_2¤ =-8이므로 점 (2, -8)을 지난다.
06 ⑤ 그래프가 x축에 서로 대칭인 것은 ㄴ,ㄷ이다.
02 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프
01 ①
05 ④
09 ⑤
13 -4
02 ③
06 ②
10 ⑤
03 2
07 6
11 x>5
04 -20
08 -10
12 x>-4
3
14 y= (x+2)¤
2
15 a<0, p<0, q<0
17 y=5(x+4)¤ -2
16 a>0, p<0, q>0
18 -4
19 4
01 이차함수 y=-x¤ +6의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, 6)이고
a=-1로 a<0이므로 위로 볼록한 포물선이다.
따라서 그래프가 될 수 있는 것은 ①이다.
향으로 q만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 식은
y=a(x-3)¤ +q
이를 y=2(x-p)¤ +1과 비교하면
a=2, p=3, q=1
∴ a+p+q=2+3+1=6
08 이차함수 y=- x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼, y축의
1
2
방향으로 8만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 식은
y=- (x+4)¤ +8
이 그래프가 점 (2, k)를 지나므로
k=- _(2+4)¤ +8=-18+8=-10
1
2
1
2
② 아래로 볼록한 포물선이다.
③ 꼭짓점의 좌표는 (-2, -5)이다.
④ x=0을 대입하면 y=4_(0+2)¤ -5=16-5=11
(cid:100) 즉, y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 11)이다.
10 ⑤ 꼭짓점의 좌표가 (3, 7)이고, y축
과 만나는 점의 좌표가 (0, -2),
y
7
위로 볼록한 포물선이므로 이차함
수 y=-(x-3)¤ +7의 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
⑤ 따라서 제`1, 3, 4사분면을 지난다.
O
3
-2
x
y=-(x-3) +7
46~48쪽
09 ① 축의 방정식은 x=-2이다.
02 이차함수 y=3(x+2)¤ -4의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(-2, -4)이고 a=3으로 a>0이므로 아래로 볼록한 포물선
11 이차함수 y=(x-5)¤ +1의 그래프는 축의 방정식이 x=5이고
아래로 볼록하므로 x>5일 때 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가
03 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동
이다.
따라서 그래프가 될 수 있는 것은 ③이다.
한 그래프를 나타내는 식은 y=ax¤ -3
이 그래프가 점 (-2, 5)를 지나므로
5=a_(-2)¤ -3, 4a=8(cid:100)(cid:100)∴ a=2
한다.
12 이차함수 y=-3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼, y축
의 방향으로 -6만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 식은
y=-3(x+4)¤ -6
이 그래프의 축의 방정식은 x=-4이고 위로 볼록하므로
x>-4일 때 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
Ⅲ. 이차함수 67
¤
13 꼭짓점의 좌표가 (1, -7)이므로 p=1, q=-7
즉, 이 이차함수의 식은 y=a(x-1)¤ -7로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (-1, 1)을 지나므로
1=a_(-1-1)¤ -7, 1=4a-7
4a=8(cid:100)(cid:100)∴ a=2
∴ a+p+q=2+1+(-7)=-4
49쪽
01 (0, 1)
02 2
1
04 y=- (x-2)¤ +4
2
06 a<0, p<0, q>0
03 ①, ③
05 2
07 -20
14 이차함수 y= x¤ 의 그래프를 평행이동한 그래프이므로 a=
3
2
그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-2, 0)이므로 그래프를 나타내는
3
2
01 이차함수 y=-3x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한
그래프를 나타내는 식은 y=-3x¤ +1이므로 꼭짓점의 좌표는
(0, 1)이다.
이차함수의 식은 y= (x+2)¤ 이다.
3
2
15 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점의 좌표가 제`2사분면에 위치하므로 p<0, -q>0
즉, p<0, q<0이다.
16 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
꼭짓점의 좌표가 제`1사분면에 위치하므로 -p>0, q>0
즉, p<0, q>0이다.
17 이차함수 y=5(x+1)¤ -6의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(-1, -6)이고,
(-1, -6) 111211222111⁄ (-1-3, -6+4)
x축의 방향으로 -3만큼
y축의 방향으로 4만큼 평행이동
=(-4, -2)
따라서 평행이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-4, -2)이고,
그래프의 폭과 볼록한 방향은 변하지 않으므로 구하는 이차함수
의 식은 y=5(x+4)¤ -2
[다른 풀이] 이차함수 y=5(x+1)¤ -6의 그래프를 x축의 방향
으로 -3만큼, y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그래프를 나타
내는 식은
y=5(x+1+3)¤ -6+4=5(x+4)¤ -2
18 이차함수 y=- (x-3)¤ +1의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
2
3
2
(3, 1)이고, 이차함수 y=- x¤ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
3
(0, 0)이므로
(3, 1) 111211222111⁄ (3+p, 1+q)=(0, 0)
x축의 방향으로 p만큼
y축의 방향으로 q만큼 평행이동
즉, 3+p=0, 1+q=0이므로 p=-3, q=-1
∴ p+q=(-3)+(-1)=-4
19 이차함수 y=(x+5)¤ -2의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(-5, -2)이고, 이차함수 y=(x-4)¤ -7의 그래프의 꼭짓점
의 좌표는 (4, -7)이므로
(-5, -2) 111211222111⁄ (-5+p, -2+q)
x축의 방향으로 p만큼
y축의 방향으로 q만큼 평행이동
= (4, -7)
즉, -5+p=4, -2+q=-7이므로 p=9, q=-5
∴ p+q=9+(-5)=4
68 정답 및 풀이
02 이차함수 y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼 평행이
동한 그래프를 나타내는 식은 y=2(x+3)¤ 이다.
이 그래프가 점 (-2, m)을 지나므로
m=2_(-2+3)¤ =2
03 ② 꼭짓점의 좌표는 (5, 0)이다.
④ 아래로 볼록한 포물선이다.
⑤ x<5일 때 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
04 이차함수 y= x¤ 의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그래프를 나타
이 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 4만큼 평행
1
2
내는 식은 y=- x¤
1
2
이동한 그래프를 나타내는 식은
y=- (x-2)¤ +4
1
2
05 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-2, 3)이므로
p=-2, q=3
이차함수 y=a(x+2)¤ +3의 그래프가 점 (1, 0)을 지나므로
0=a_(1+2)¤ +3, 9a=-3(cid:100)(cid:100)
∴ a=-
1
3
∴ apq={- }_(-2)_3=2
1
3
06 이차함수 y=a(x+p)¤ -q의 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점의 좌표가 (-p, -q)이고 제`4사분면에 위치하므로
-p>0, -q<0
즉, p<0, q>0이다.
07 이차함수 y=x¤ -6의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, -6)이고,
이차함수 y=(x+4)¤ -1의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(-4, -1)이므로
(0, -6) 111211222111⁄ (0+m, -6+n)
x축의 방향으로 m만큼
y축의 방향으로 n만큼 평행이동
=(-4, -1)
즉, 0+m=-4, -6+n=-1이므로
m=-4, n=5
∴ mn=(-4)_5=-20
2. 이차함수의 활용
01 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
[다른 풀이] y=x¤ +2x+3=(x+1)¤ +2의 그래프를 x축의
방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 그래프
를 나타내는 식은 y=(x+1+2)¤ +2-1=(x+3)¤ +1
07 이차함수 y=-2x¤ -1의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, -1)
50~51쪽
y=-2x¤ -4x+6=-2(x¤ +2x)+6
02 제`1사분면, 제`2사분면, 제`3사분면
04 x=4
05 ②
09 제`1사분면 10 48
08 ③
06 (-3, 1)
01 ③
03 ③
07 8
11 -
3
2
01 y=-3x¤ +6x+2=-3(x¤ -2x)+2
=-3(x¤ -2x+1-1)+2=-3(x-1)¤ +5
꼭짓점의 좌표는 (1, 5)이고 위로 볼록한 포물선이다.
또, x=0일 때 y=2이므로 x축보다 위쪽에서 y축과 만난다.
따라서 구하는 이차함수의 그래프는 ③이다.
02 y=x¤ +4x=(x¤ +4x+4)-4=(x+2)¤ -4
꼭짓점의 좌표는 (-2, -4)이고 아래로 볼
록한 포물선이다.
또, x=0일 때 y=0이므로 원점을 지난다.
따라서 이차함수 y=x¤ +4x의 그래프가 지
나는 사분면은 제`1, 2, 3사분면이다.
y
-2
xO
-4
03 이차함수 y=x¤ +kx-2의 그래프가 점 (-3, 1)을 지나므로
1=(-3)¤ +k_(-3)-2, 3k=6(cid:100)(cid:100)∴ k=2
∴ y=x¤ +2x-2=(x¤ +2x+1-1)-2=(x+1)¤ -3
따라서 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-1, -3),
축의 방정식은 x=-1이므로 p=-1, q=-3, m=-1
∴ p+q+m=(-1)+(-3)+(-1)=-5
04 y=-2x¤ +4ax-10의 그래프가 점 (1, 4)를 지나므로
4=-2_1¤ +4a_1-10, 4a=16(cid:100)(cid:100)∴ a=4
∴ y=-2x¤ +16x-10=-2(x¤ -8x)-10
=-2(x¤ -8x+16-16)-10=-2(x-4)¤ +22
따라서 축의 방정식은 x=4이다.
7
05 y= x¤ -x+ = (x¤ -2x)+
2
1
2
1
2
7
2
1
2
1
2
y= (x¤ -2x+1-1)+
7
2
y= (x-1)¤ +3
② 축의 방정식은 x=1이다.
y
3
7
2
O 1
x
06 y=x¤ +2x+3=(x¤ +2x+1-1)+3=(x+1)¤ +2
이므로 꼭짓점의 좌표는 (-1, 2)
x축의 방향으로 -2만큼
(-1, 2) 1112112222111⁄ (-1-2, 2-1)
y축의 방향으로 -1만큼 평행이동
=(-3, 1)
따라서 평행이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-3, 1)이다.
=-2(x¤ +2x+1-1)+6=-2(x+1)¤ +8
이므로 꼭짓점의 좌표는 (-1, 8)
x축의 방향으로 m만큼
(0, -1) 1112112222111⁄ (0+m, -1+n)
y축의 방향으로 n만큼 평행이동
=(-1, 8)
즉, m=-1, -1+n=8이므로 m=-1, n=9
∴ m+n=(-1)+9=8
08 그래프가 위로 볼록하므로 a<0이다.
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 서로 같다.
즉, b<0이다.
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0이다.
① a<0, b<0이므로 ab>0
② a<0, c>0이므로 ac<0
④ x=1일 때 y=0이므로 a+b+c=0
⑤ x=-1일 때 y>0이므로 a-b+c>0
09 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0이다.
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 서로 같다.
즉, b>0이다.
y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c<0이다.
이차함수 y=cx¤ +bx+a의 그래프에서
c<0이므로 위로 볼록한 그래프이다.
c<0, b>0으로 부호가 서로 다르므로 축은 y축의 오른쪽에 위
치한다.
a>0이므로 y축과의 교점이 x축보다 위
y
쪽에 위치한다.
따라서 이차함수 y=cx¤ +bx+a의 그래
프는 오른쪽 그림과 같으므로 꼭짓점은
제`1사분면 위에 있다.
O
x
y=cx +bx+a
10 x축과의 교점을 구하기 위해 y=0을 대입하면
0=-x¤ +4x+12, x¤ -4x-12=0
(x+2)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=6
x축과의 교점 A, B의 좌표는 A(-2, 0), B(6, 0)
y축과의 교점을 구하기 위해 x=0을 대입하면
y=-0¤ +4_0+12=12
y축과의 교점 C의 좌표는 C(0, 12)이므로 OC”=12
∴ △ABC= _AB”_OC”= _8_12=48
1
2
1
2
1
2
1
2
11 이차함수 y=ax¤ +6의 그래프의 꼭짓점 C의 좌표는 C(0, 6)
△ABC= _AB”_CO”= _AB”_6=12에서
3AB”=12(cid:100)(cid:100)∴ AB”=4 (cid:9195) OB”= AB”= _4=2
1
2
1
2
Ⅲ. 이차함수 69
¤
점 B(2, 0)은 이차함수 y=ax¤ +6의 그래프 위의 점이므로
y=-2x¤ +4x-1=-2(x¤ -2x)-1
0=a_2¤ +6, 4a=-6(cid:100)(cid:100)∴ a=-
3
2
02 이차함수의 식 구하기
1
2
04 (1, 1)
01 y= (x-2)¤ +3
02 -2
03 14
05 6
06 (0, -2)
52쪽
01 꼭짓점의 좌표가 (2, 3)이므로 이차함수의 식을
y=a(x-2)¤ +3으로 놓을 수 있다.
점 (0, 5)를 지나므로 x=0, y=5를 대입하면
5=a_(0-2)¤ +3, 4a=2(cid:100)(cid:100)∴ a=
1
2
1
2
따라서 구하는 이차함수의 식은 y= (x-2)¤ +3이다.
02 축의 방정식이 x=-2이므로 이차함수의 식을
y=a(x+2)¤ +q로 놓을 수 있다.
y축과 만나는 점의 y좌표가 1이므로 점 (0, 1)을 지난다.
즉, x=0, y=1을 대입하면
4a+q=1(cid:100)(cid:100)yy ㉠
또, 점 (-5, 6)을 지나므로 x=-5, y=6을 대입하면
9a+q=6(cid:100)(cid:100)yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, q=-3
즉, 주어진 이차함수의 식은 y=(x+2)¤ -3
따라서 점 (-1, k)를 지나므로 x=-1, y=k를 대입하면
k=(-1+2)¤ -3=-2
03 이차함수의 식 y=ax¤ +bx+c에 세 점 (0, 3), (1, 0), (2, 5)
의 좌표를 각각 대입하면
c=3
yy ㉠
a+b+c=0
yy ㉡
4a+2b+c=5 yy ㉢
㉠에서 구한 c=3을 ㉡, ㉢의 식에 각각 대입한 후, 연립하여 풀면
a=4, b=-7(cid:100)(cid:100)∴ a-b+c=4-(-7)+3=14
04 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓고
세 점 (0, -1), (1, 1), (-1, -7)의 좌표를 각각 대입하면
c=-1
yy ㉠
a+b+c=1
yy ㉡
a-b+c=-7 yy ㉢
㉠에서 구한 c=-1을 ㉡, ㉢의 식에 각각 대입한 후, 연립하여
풀면 a=-2, b=4
즉, 구하는 이차함수의 식은 y=-2x¤ +4x-1이므로
70 정답 및 풀이
=-2(x¤ -2x+1-1)-1=-2(x-1)¤ +1
따라서 구하는 꼭짓점의 좌표는 (1, 1)이다.
05 x축과 두 점 (-2, 0), (3, 0)에서 만나므로 이차함수의 식을
y=a(x+2)(x-3)으로 놓을 수 있다.
점 (2, -4)를 지나므로 x=2, y=-4를 대입하면
-4=a_(2+2)_(2-3), -4a=-4(cid:100)(cid:100)∴ a=1
즉, 구하는 이차함수의 식은 y=(x+2)(x-3)=x¤ -x-6
따라서 a=1, b=-1, c=-6이므로
abc=1_(-1)_(-6)=6
06 이차함수 y=- x¤ 의 그래프와 모양이 같고, x축과 두 점
1
2
(1, 0), (4, 0)에서 만나므로 구하는 이차함수의 식은
y=- (x-1)(x-4)
따라서 y축과 만나는 점의 좌표를 구하기 위해 x=0을 대입하면
y=- _(0-1)_(0-4)=-2이므로 y축과 만나는 점의
좌표는 (0, -2)이다.
01 꼭짓점의 좌표：(-2, -3), 축의 방정식：x=-2
02 2
06 ②
03 ①, ④
07 8
04 c…-9
05 10
53쪽
01 y=2x¤ +8x+5=2(x¤ +4x+4-4)+5=2(x+2)¤ -3
따라서 꼭짓점의 좌표는 (-2, -3), 축의 방정식은 x=-2이다.
02 y=-3x¤ -6x+2=-3(x¤ +2x)+2
=-3(x¤ +2x+1-1)+2=-3(x+1)¤ +5
꼭짓점의 좌표는 (-1, 5)이고, 이 꼭짓점이 이차함수
y=2x¤ -x+k의 그래프 위에 있으므로
5=2_(-1)¤ -(-1)+k(cid:100)(cid:100)∴ k=2
03 y=- x¤ +3x- =- (x¤ -2x)-
7
2
y=- (x¤ -2x+1-1)- =- (x-1)¤ -2
7
2
3
2
7
2
② 축의 방정식은 x=1이다.
③ y축과 만나는 점의 좌표는 {0, - }이다.
3
2
7
2
⑤ x<1일 때 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
04 y=-x¤ +6x+c=-(x¤ -6x)+c
=-(x¤ -6x+9-9)+c=-(x-3)¤ +9+c
꼭짓점의 좌표는 (3, 9+c)이고 위로 볼록한 그래프이다.
이 그래프가 제1사분면을 지나지 않으려면 꼭짓점이 x축 또는
제`4사분면에 위치해야 하므로 꼭짓점의 y좌표는 0보다 작거나 같
아야 한다. 즉, 9+c…0(cid:100)(cid:100)∴ c…-9
1
2
1
2
3
2
3
2
05 y=2x¤ +4x+3=2(x¤ +2x)+3
=2(x¤ +2x+1-1)+3=2(x+1)¤ +1
이므로 꼭짓점의 좌표는 (-1, 1)
y=2x¤ -8x+n=2(x¤ -4x)+n
=2(x¤ -4x+4-4)+n=2(x-2)¤ -8+n
이므로 꼭짓점의 좌표는 (2, -8+n)
(-1, 1) 11122112222111⁄ (-1+m, 1-2)
x축의 방향으로 m만큼
y축의 방향으로 -2만큼 평행이동
=(2, -8+n)
즉, -1+m=2, -1=-8+n이므로 m=3, n=7
∴ m+n=3+7=10
06 ① 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 위로 볼록하므로
② 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 서로 다르다.
a<0
즉, b>0
③ y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
④ x=-1일 때 y=0이므로 a-b+c=0
⑤ x=1일 때 y>0이므로 a+b+c>0
07 꼭짓점의 좌표가 (2, 8)이므로 이차함수의 식을
y=a(x-2)¤ +8로 놓을 수 있다.
점 (0, 6)을 지나므로
6=a_(0-2)¤ +8, 4a=-2(cid:100)(cid:100)∴ a=-
1
2
즉, 주어진 이차함수의 식은 y=- (x-2)¤ +8이고
1
2
y=0을 대입하면
1
2
0=- (x-2)¤ +8, (x-2)¤ =16, x-2=—4
∴ x=6 또는 x=-2(cid:100)(cid:100)∴ A(-2, 0), B(6, 0)
따라서 두 점 A, B 사이의 거리는 6-(-2)=8
03 이차함수의 최댓값과 최솟값
02 4
06 21
01 6
05 11
08 y=-3x¤ +6x+1
11 64 m¤
12 12 cm¤
54~55쪽
04 (0, -2)
03 2'2
07 y=2x¤ -4x+1
09 45 m
10 2초
01 y=4x¤ -8x+9=4(x¤ -2x)+9
=4(x¤ -2x+1-1)+9=4(x-1)¤ +5
따라서 x=1일 때 최솟값 5를 가지므로 p=1, q=5
∴ p+q=1+5=6
02 이차함수 y=-x¤ +ax+b의 그래프의 축의 방정식이 x=2이
므로 주어진 이차함수의 식을 y=-(x-2)¤ +q로 놓을 수 있다.
원점을 지나므로 x=0, y=0을 대입하면
0=-(0-2)¤ +q(cid:100)(cid:100)∴ q=4
따라서 이차함수의 식은 y=-(x-2)¤ +4이므로
최댓값은 4이다.
03 y=x¤ +kx-6=(x¤ +kx)-6
y={x¤ +kx+ - }-6={x+ }¤ - -6
k
2
k¤
4
k¤
4
k¤
4
04 y=- x¤ +3x+m+1=- (x¤ -6x)+m+1
k¤
에서 최솟값은 - -6=-8이므로
4
- =-2, k¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ k=—2'2
k¤
4
그런데 k>0이므로 k=2'2
y=- (x¤ -6x+9-9)+m+1
y=- (x-3)¤ +m+
11
2
11
에서 최댓값은 m+ = 이므로 m=-3
2
5
2
따라서 주어진 이차함수의 식은
y=- x¤ +3x-3+1=- x¤ +3x-2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
이고 x=0을 대입하면 y=-2이다.
즉, 이 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -2)이다.
05 이차함수 y= x¤ +ax+b의 그래프의 축의 방정식이 x=-6
1
3
이고 최솟값이 -5이므로 꼭짓점의 좌표가 (-6, -5)이다.
즉, 이차함수의 식은
1
3
1
3
y= (x+6)¤ -5= (x¤ +12x+36)-5= x¤ +4x+7
1
3
주어진 식과 비교하면 a=4, b=7(cid:100)(cid:100)∴ a+b=4+7=11
06 y=-2x¤ +ax-49의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (5, b)이므로
y=-2(x-5)¤ +b
=-2x¤ +20x-50+b
주어진 식과 비교하면 a=20, -49=-50+b에서
a=20, b=1
∴ a+b=20+1=21
07 x=1일 때 최솟값이 -1이므로 이차함수의 식을
y=a(x-1)¤ -1로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (2, 1)을 지나므로 대입하면
1=a_(2-1)¤ -1, 1=a-1(cid:100)(cid:100)∴ a=2
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=2(x-1)¤ -1=2x¤ -4x+1
08 이차함수 y=-3x¤ 의 그래프를 평행이동하면 완전히 포개어지
므로 a=-3
x=1에서 최댓값 4를 가지므로 꼭짓점의 좌표는 (1, 4)
따라서 구하는 이차함수의 식은
Ⅲ. 이차함수 71
y=-3(x-1)¤ +4=-3(x¤ -2x+1)+4
=-3x¤ +6x+1
09 y=-5x¤ +10x+40=-5(x¤ -2x)+40
=-5(x¤ -2x+1-1)+40=-5(x-1)¤ +45
따라서 x=1일 때 최댓값이 45이므로 공이 가장 높이 올라갔을
때의 지면으로부터의 높이는 45 m이다.
10 y=-5x¤ +20x=-5(x¤ -4x)
=-5(x¤ -4x+4-4)=-5(x-2)¤ +20
따라서 x=2일 때 최댓값이 20이므로 물로켓이 최고 높이에 도달
할 때까지 걸린 시간은 2초이다.
11 꽃밭의 가로의 길이를 x m라
하면 세로의 길이는
(16-x) m
꽃밭의 넓이를 y m¤ 라 하면
y=x(16-x)
=-x¤ +16x=-(x¤ -16x)
(16-x) m
담장담장
x m
=-(x¤ -16x+64-64)=-(x-8)¤ +64
따라서 x=8일 때 최댓값이 64이므로 꽃밭의 최대 넓이는 64 m¤
이다.
1
2
3
2
12 AP”=x cm라 하면 PB”=(6-x) cm
두 도형의 넓이의 합을 y cm¤ 라 하면
y= x¤ +(6-x)¤ = x¤ -12x+36= (x¤ -8x)+36
3
2
3
2
3
2
y= (x¤ -8x+16-16)+36= (x-4)¤ +12
따라서 x=4일 때 최솟값이 12이므로 두 도형의 넓이의 합의 최솟
값은 12 cm¤ 이다.
즉, 이차함수의 식은
y=-2(x-3)¤ +8=-2(x¤ -6x+9)+8
=-2x¤ +12x-10
따라서 a=12, b=-10이므로 a+b=12+(-10)=2
03 y=-3x¤ +6x+a=-3(x¤ -2x)+a
=-3(x¤ -2x+1-1)+a=-3(x-1)¤ +3+a
따라서 x=1일 때 최댓값 3+a를 가지므로
p=1이고 3+a=5(cid:100)(cid:100)∴ a=2
∴ a+p=2+1=3
[다른 풀이] 이차함수 y=-3x¤ +6x+a는 x=p일 때 최댓값
5를 가지므로 y=-3(x-p)¤ +5로 놓을 수 있다.
y=-3(x-p)¤ +5=-3(x¤ -2px+p¤ )+5
=-3x¤ +6px-3p¤ +5
즉, 6p=6, -3p¤ +5=a(cid:100)(cid:100)∴ p=1, a=2
04 이차함수 y=- x¤ +5x-2의 그래프를 평행이동하면 완전히
1
2
포개어지므로 a=-
1
2
이차함수는 x=4일 때 최댓값 -3을 가지므로 꼭짓점의 좌표는
(4, -3)
즉, 이차함수의 식은
y=- (x-4)¤ -3=- (x¤ -8x+16)-3
1
2
1
2
y=- x¤ +4x-11
1
2
∴ b=4, c=-11
1
2
∴ ab-c={- }_4-(-11)=9
05 축의 방정식이 x=4이고 최솟값은 -3이므로 조건을 만족하는
이차함수의 식을 y=a(x-4)¤ -3으로 놓을 수 있다.
점 (2, 0)을 지나므로 x=2, y=0을 대입하면
3
4
0=a_(2-4)¤ -3, 4a-3=0(cid:100)(cid:100)∴ a=
따라서 구하는 이차함수의 식은 y= (x-4)¤ -3이다.
3
4
56쪽
06 차가 10인 두 수를 x, x+10이라 하고 두 수의 곱을 y라 하면
y=x(x+10)=x¤ +10x
=x¤ +10x+25-25=(x+5)¤ -25
따라서 x=-5일 때 최솟값 -25를 가지므로
구하는 두 수는 -5, 5이다.
07 한 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 다른 정사각형의 한
변의 길이는 (6-x) cm이다.
두 정사각형의 넓이의 합을 y cm¤ 라 하면
y=x¤ +(6-x)¤ =2x¤ -12x+36=2(x¤ -6x)+36
=2(x¤ -6x+9-9)+36=2(x-3)¤ +18
따라서 x=3일 때 최솟값이 18이므로
두 정사각형의 넓이의 합의 최솟값은 18 cm¤ 이다.
01 ④
02 2
03 3
04 9
05 y= (x-4)¤ -3
06 -5, 5
07 18 cm¤
3
4
01 ①, ③, ⑤ 이차항의 계수가 양수이므로 최솟값을 갖는다.
② y=-x¤ -4x-5=-(x+2)¤ -1이므로
x=-2일 때 최댓값 -1
④ y=-2x¤ +4x+5=-2(x-1)¤ +7이므로
x=1일 때 최댓값 7
따라서 최댓값을 갖고, 그 최댓값이 가장 큰 것은 ④이다.
02 이차함수 y=-2x¤ +ax+b가 x=3일 때 최댓값 8을 가지므
로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (3, 8)
72 정답 및 풀이
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