7~8쪽
I 통계
1. 대푯값과 산포도
01 대푯값
1 ⑴ 5 ⑵ 26
1-1 ⑴ 6 ⑵ 17
2
;;¡2¡;;
2-1 18
3 ⑴ 5 ⑵ 90 ⑶ 49
3-1 ⑴ 6 ⑵ 24 ⑶ 235
4 ⑴ 4 ⑵ 33, 34 ⑶ 없다.
4-1 ⑴ 7 ⑵ 100, 101 ⑶ 없다.
1 ⑴ (평균)=
2+4+4+5+7+8
6
=;;£6º;;=5
⑵ (평균)=
20+25+28+31
4
=;:!4):$;=26
1-1 ⑴ (평균)=
2+5+6+8+9
5
=;;£5º;;=6
⑵ (평균)=
13+14+18+18+19+20
6
=;:!6):@;=17
2
2-1
계급
0`이상~ 2`미만
2`이상~ 4`미만
4`이상~ 6`미만
6`이상~ 8`미만
8`이상~10`미만
합계
계급
0`이상~10`미만
10`이상~20`미만
20`이상~30`미만
30`이상~40`미만
합계
계급값
1
3
5
7
9
계급값
5
15
25
35
∴ (평균)=;;¡2¡0º;;=;;¡2¡;;
∴ (평균)=;;¡1•0º;;=18
도수
1
4
6
7
2
20
도수
2
4
3
1
10
(계급값)_(도수)
1_1=1
3_4=12
5_6=30
7_7=49
9_2=18
110
(계급값)_(도수)
5_2=10
15_4=60
25_3=75
35_1=35
180
⑶ 자료를 크기순으로 나열하면 28, 39, 47, 51, 56, 83이고 자
료의 개수가 짝수이므로 중앙값은 한가운데 있는 두 값 47, 51
(cid:100) 의 평균인
47+51
2
=;;ª2•;;=49이다.
3-1 ⑴ 자료를 크기순으로 나열하면 1, 3, 6, 7, 9이고 자료의 개수가
홀수이므로 중앙값은 한가운데 값인 6이다.
⑵ 자료를 크기순으로 나열하면 21, 22, 24, 24, 27, 28, 29이고
자료의 개수가 홀수이므로 중앙값은 한가운데 값인 24이다.
⑶ 자료를 크기순으로 나열하면 210, 230, 240, 290이고 자료
의 개수가 짝수이므로 중앙값은 가운데 있는 두 값 230, 240
(cid:100) 의 평균인
230+240
2
=;:$2&:);=235이다.
4 ⑴ 4가 세 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 4이다.
⑵ 33과 34가 모두 두 번씩 가장 많이 나타나므로 최빈값은 33,
34이다.
⑶ 2, 4, 5, 6, 8이 모두 한 번씩 나타나므로 최빈값은 없다.
4-1 ⑴ 7이 두 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 7이다.
⑵ 100과 101이 모두 두 번씩 가장 많이 나타나므로 최빈값은
100, 101이다.
⑶ 3과 21이 모두 세 번씩 나타나므로 최빈값은 없다.
9~10쪽
01 ⑴ 평균：16초, 중앙값`：18초, 최빈값`：21초 ⑵ 중앙값
02 ⑴ 평균：90호, 중앙값`：87.5호, 최빈값`：85호 ⑵ 최빈값
03 평균：3.1권, 중앙값`：3권, 최빈값`：3권
04 평균：8.2점, 중앙값`：8점, 최빈값`：8점
05 중앙값`：8권, 최빈값`：11권
06 중앙값`：245 mm, 최빈값`：245 mm
07 9
11 1
08 11
12 a=4, b=13
09 16
10 7
01 ⑴ (평균)=
15+21+21+12+1+24+18
7
=;:!7!:@;
⑴ (평균)=16(초)
(cid:100) 자료를 크기순으로 나열하면 1, 12, 15, 18, 21, 21, 24이고
자료의 개수가 홀수이므로 중앙값은 한가운데 값인 18초이다.
(cid:100) 또, 21이 두 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 21초이다.
⑵ 자료에서 1초라는 극단적인 값이 있으므로 평균은 대푯값으로
적절하지 않으며 최빈값인 21초도 자료의 중심 경향을 나타내
지 못하므로 중앙값이 자료의 대푯값으로 더 적절하다.
02 ⑴ (평균)=
85+75+85+100+95+105+90+85
8
3 ⑴ 자료를 크기순으로 나열하면 2, 4, 5, 6, 9이고 자료의 개수가
홀수이므로 중앙값은 한가운데 값인 5이다.
(cid:100) (평균)=;:&8@:);=90(호)
⑵ 자료를 크기순으로 나열하면 70, 70, 80, 90, 100, 120, 180이
(cid:100) 자료를 크기순으로 나열하면 75, 85, 85, 85, 90, 95, 100,
고 자료의 개수가 홀수이므로 중앙값은 한가운데 값인 90이다.
105이고 자료의 개수가 짝수이므로 중앙값은 가운데 있는 두
Ⅰ. 통계 01
(cid:100) 값 85, 90의 평균인
=;:!2&:%;=87.5(호)이다.
85+90
2
(cid:100) 또, 85가 세 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 85호이다.
⑵ 공장에 가장 많이 주문해야 할 티셔츠의 크기는 가장 많이 판
12 자료의 값을 살펴보면 4가 두 번, 7이 두 번 나타나므로 최빈값이
4가 되기 위해서는 a=4
평균이 6이므로
2+4+4+4+5+7+7+8+b
9
=6
매된 티셔츠의 크기를 선택해야 하므로 최빈값이 자료의 대푯
41+b=54(cid:100)(cid:100)∴ b=13
값으로 더 적절하다.
03 (평균)=
1_1+2_5+3_8+4_3+5_3
20
=;2^0@;=3.1(권)
주어진 자료에서 가장 많이 나타난 자료의 값이 최빈값이 될 수 있도
록 미지수 x의 값을 정한다.
중앙값은 20명의 학생 중에서 10번째 학생과 11번째 학생이 구
입한 책 수의 평균이다. 10번째 학생과 11번째 학생 모두 구입한
3+3
2
또, 구입한 책 수가 3권인 학생 수가 8명으로 가장 많으므로 최빈
책 수가 3권이므로 중앙값은
=3(권)이다.
값은 3권이다.
04 (평균)=
6_1+7_1+8_4+9_3+10_1
10
=;1*0@;=8.2(점)
중앙값은 10명의 학생 중에서 5번째 학생과 6번째 학생의 점수
의 평균이다. 5번째 학생과 6번째 학생 모두 8점이므로 중앙값은
8+8
2
=8(점)이다.
이다.
또, 점수가 8점인 학생 수가 4명으로 가장 많으므로 최빈값은 8점
05 자료가 15개이므로 중앙값은 8번째 값인 8권이다.
11권이 세 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 11권이다.
06 자료의 개수가 20개이므로 중앙값은 가운데 두 값인 10번째와
11번째 자료의 값의 평균이다. 10번째와 11번째 자료의 값은
모두 245 mm이므로 중앙값은
=245(mm)이다.
245+245
2
또, 245 mm가 다섯 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은
245 mm이다.
07 (평균)=
1+2+2+5+6+x+10+13
8
39+x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=9
=6이므로
08 (평균)=
2+3+5+6+7+x+12+13+15+16
10
=9이므로
79+x=90(cid:100)(cid:100)∴ x=11
의 평균이다.
12+x
2
=14, 12+x=28(cid:100)(cid:100)∴ x=16
10 자료가 8개이므로 중앙값은 4번째와 5번째 학생이 관람한 영화
수 x와 9의 평균이다.
x+9
2
=8, x+9=16(cid:100)(cid:100)∴ x=7
11 (평균)=
5+x+4+6+5+5+9
7
=
34+x
7
주어진 자료에서 최빈값은 5이므로
34+x
7
=5, 34+x=35(cid:100)(cid:100)∴ x=1
02 정답 및 풀이
01 C<B<A
04 ④
05 ③
02 6
06 61 kg
03 2
11쪽
01 (평균)=
100+500+200+100+100+500+100+400
8
(평균)=
=250
2000
8
자료를 크기순으로 나열하면 100, 100, 100, 100, 200, 400,
500, 500이고 자료가 8개이므로 중앙값은 4번째와 5번째 자료
의 값의 평균이다. 4번째와 5번째 자료의 값은 각각 100, 200이
므로 중앙값은
100+200
2
=;:#2):);=150이다.
또, 100이 네 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 100이다.
따라서 A=250, B=150, C=100이므로 C<B<A이다.
02 자료에서 2가 두 번, 6이 두 번 나타나므로 최빈값이 6이 되기 위
해서는 a=6
주어진 자료를 크기순으로 나열하면 2, 2, 4, 6, 6, 6, 8이고 자료
가 7개이므로 중앙값은 4번째 값인 6이다.
03 (평균)=
1_2+2_3+3_4+4_5+5_1
15
=;1$5%;=3(회)
자료가 15개이므로 중앙값은 8번째 값인 3회이다.
또, 4회가 다섯 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 4회이다.
따라서 a=3, b=3, c=4이므로 a+b-c=3+3-4=2
5의 평균이다. 따라서 (중앙값)=
=5이다.
5+5
2
자료 A에서 5가 세 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 5이
다. 즉, 중앙값과 최빈값은 서로 같다.
자료 B에서 극단적인 값 100이 포함되어 있으므로 대푯값으로
평균은 적절하지 않다.
자료 C에서 평균은
1+2+3+4+5+6+7+8+9
9
=;;¢9∞;;=5
이고 중앙값은 자료가 9개이므로 5번째 값인 5이다. 이때 자료의
값이 규칙적이므로 평균이나 중앙값을 대푯값으로 정하는 것이
적절하다.
따라서 A, B, C에 대하여 옳게 설명한 사람은 수지, 미영이다.
09 자료가 6개이므로 중앙값은 3번째와 4번째 학생의 점수 12와 x
04 자료 A는 자료가 6개이므로 중앙값은 3번째와 4번째 자료인 5,
05 (평균)=
5+(-4)+(-2)+a+8+b+9+0+(-1)
9
=3
15+a+b=27에서 a+b=12 yy ㉠
주어진 조건에서 a-b=4
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=8, b=4
주어진 자료를 크기순으로 나열하면 -4, -2, -1, 0, 4, 5, 8,
2 (편차)=(변량)-(평균)에서
(변량)=(평균)+(편차)이므로
학생
보람
수현
지은
영주
희빈
은비
줄넘기 2단
뛰기 횟수`(회)
6
9
8
11
12
2
8, 9이고 자료가 9개이므로 중앙값은 5번째 값인 4이다.
2-1 (편차)=(변량)-(평균)에서
06
학생이 10명일 때의 중앙값은 5번째와 6번째 값의 평균이고,
(변량)=(평균)+(편차)이므로
학생이 11명일 때의 중앙값은 6번째 값이다.
변량을 크기순으로 나열할 때 6번째 자료의 값을 x kg이라 하면
중앙값은 5번째와 6번째 값의 평균이므로
59+x
2
=60, 59+x=120(cid:100)(cid:100)∴ x=61
이 모둠에 몸무게가 62 kg인 학생이 들어와도 변량을 크기순으
로 나열했을 때 6번째 자료의 값은 그대로 61 kg이므로 학생 11
명의 몸무게의 중앙값은 6번째 자료의 값인 61 kg이다.
02 산포도
13~16쪽
6회, 9회, 8회, 11회, 12회, 2회
1 평균：6, 풀이 참조
1-1 평균：14, 풀이 참조
2
2-1 1명, 1명, 3명, 4명, 1명
3
1
3-1 -4
4 평균：5 æ, 분산：2, 표준편차：'2 æ
4-1 평균：6, 분산：7, 표준편차：'7
5 ⑴ E ⑵ D
5-1 B 반
6 풀이 참조, 평균：7 kg, 분산：4, 표준편차：2 kg
6-1 풀이 참조, 평균：20분, 분산：125, 표준편차：5'5분
7 평균：15, 분산：36
1 (평균)=
6+8+4+9+2+7
6
=;;£6§;;=6이므로
편차는 다음 표와 같다.
변량
편차
6
0
8
2
4
-2
9
3
2
-4
7
1
합계
0
1-1 (평균)=
13+18+10+15+17+11
6
=;;•6¢;;=14이므로
편차는 다음 표와 같다.
변량
편차
13
-1
18
4
10
-4
15
1
17
3
11
-3
합계
0
가구
자녀 수`(명)
A
1
B
1
C
3
D
4
E
1
3 편차의 총합은 항상 0이므로
x+(-10)+6+3=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1
3-1 편차의 총합은 항상 0이므로
-5+x+(-3)+12=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-4
4
6
화
수
금
합계
최저 기온`(æ)
요일
편차
(편차)¤
월
4
-1
1
6
1
1
5
0
0
목
3
-2
4
7
2
4
25
0
10
(평균)=;;™5∞;;=5(æ), (분산)=;;¡5º;;=2, (표준편차)='2(æ)
4-1 (평균)=
5+8+4+7+2+10
6
=;;£6§;;=6
(분산)=
(5-6)¤ +(8-6)¤ +(4-6)¤ +(7-6)¤ +(2-6)¤ +(10-6)¤
6
(분산)=
1+4+4+1+16+16
6
=;;¢6™;;=7
(표준편차)='7
5 ⑴ 표준편차가 작은 것부터 순서대로 나열하면 E, B, C, A, D
이므로 성적이 가장 고르게 분포된 학급은 E이다.
⑵ 성적이 가장 고르지 않게 분포된 학급은 D이다.
5-1 A, B 반 학생들의 인원 수는 20명으로 같고 평균도 6점으로 같다.
주어진 막대그래프에서 자료가 평균에 밀집한 반은 B 반이므로
표준편차가 더 작은 반은 B 반이다.
무게`(kg) 도수`(개)
(계급값)_(도수) 편차`(kg) (편차)¤ _(도수)
3_1=3
-4 (-4)¤ _1=16
5_2=10
-2 (-2)¤ _2=8
7_3=21
9_4=36
70
0
2
0¤ _3=0
2¤ _4=16
40
2`이상~ 4`미만
4`이상~ 6`미만
6`이상~ 8`미만
8`이상~10`미만
합계
1
2
3
4
10
(평균)=;1&0);=7(kg)
(분산)=;1$0);=4
∴ (표준편차)='4=2(kg)
Ⅰ. 통계 03
6-1
통학 시간`(분) 도수`(명)
(계급값)_(도수) 편차`(분) (편차)¤ _(도수)
03 (평균)=
4+10+6+13+x
5
=8이므로
0`이상~10`미만
10`이상~20`미만
20`이상~30`미만
30`이상~40`미만
40`이상~50`미만
4
7
5
3
1
5_4=20 -15 (-15)¤ _4=900
15_7=105 -5
(-5)¤ _7=175
25_5=125
35_3=105
45_1=45
5
15
25
5¤ _5=125
15¤ _3=675
25¤ _1=625
합계
20
400
2500
(평균)=;;¢2º0º;;=20(분)
(분산)=;:@2%0):);=125, (표준편차)='∂125=5'5(분)
7 a, b, c의 평균이 5, 분산이 4이므로
a+b+c
3
=5,
(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤
3
=4
3a, 3b, 3c에 대하여
(평균)=
3a+3b+3c
3
=3_
a+b+c
3
=3_5=15
(분산)=
(3a-15)¤ +(3b-15)¤ +(3c-15)¤
3
(분산)=
{3(a-5)}¤ +{3(b-5)}¤ +{3(c-5)}¤
3
(분산)=
9(a-5)¤ +9(b-5)¤ +9(c-5)¤
3
(분산)=9_
(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤
3
=9_4=36
02 76회
06 ④
01 ⑴ -1 ⑵ 74점
04 '∂10개
05 ①
09 분산：5, 표준편차：'5개
08 8분
10 분산：76, 표준편차：2'∂19점
12 ②
03 '∂10시간
07 5.8
11 ①, ③
01 ⑴ 편차의 총합은 항상 0이므로
(cid:100) (-3)+(-2)+x+8+(-4)+2=0
(cid:100) x+1=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1
⑵ (편차)=(변량)-(평균)이므로
(cid:100) -1=(`C의 점수`)-75
(cid:100) ∴ (`C의 점수`)=74(점)
02 편차의 총합은 항상 0이므로
학생 D의 맥박 수의 편차를 x회라 하면
(-1)+3+(-7)+x+2+(-3)+2=0
x-4=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4
(편차)=(변량)-(평균)이므로
4=(`D의 맥박 수`)-72
∴ (`D의 맥박 수`)=76(회)
04 정답 및 풀이
33+x=40(cid:100)(cid:100)∴ x=7
5명의 운동 시간의 편차는 -4시간, 2시간, -2시간, 5시간,
-1시간이므로
(분산)=
(-4)¤ +2¤ +(-2)¤ +5¤ +(-1)¤
5
=;;∞5º;;=10
∴ (표준편차)='∂10(시간)
04 편차의 총합은 항상 0이므로 7회의 편차를 x개라 하면
(-4)+6+(-3)+1+0+(-2)+x=0
-2+x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2
(분산)=
(-4)¤ +6¤ +(-3)¤ +1¤ +0¤ +(-2)¤ +2¤
7
(분산)=;;¶7º;;=10
∴ (표준편차)='∂10(개)
05 (평균)=
3+2+x+y+11
5
=5이므로
16+x+y=25(cid:100)(cid:100)∴ x+y=9 yy ㉠
표준편차가 '∂10이므로 분산은 ('∂10)¤ =10, 즉
(분산)
=
(3-5)¤ +(2-5)¤ +(x-5)¤ +(y-5)¤ +(11-5)¤
5
=10
x¤ +y¤ -10(x+y)+99=50
yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 x¤ +y¤ -10_9+99=50
∴ x¤ +y¤ =41
22+x+y=30(cid:100)(cid:100)∴ x+y=8 yy ㉠
(분산)
=
(6-6)¤ +(x-6)¤ +(9-6)¤ +(y-6)¤ +(7-6)¤
5
=4
yy ㉡
x¤ +y¤ -12(x+y)+82=20
㉠을 ㉡에 대입하면 x¤ +y¤ -12_8+82=20, x¤ +y¤ =34
(x+y)¤ =x¤ +2xy+y¤ 이므로
2xy=(x+y)¤ -(x¤ +y¤ )=8¤ -34=30
∴ xy=15
07
점수`(점)
(계급값)_(도수)
(편차)¤ _(도수)
학생 수
(명)
편차
(점)
0`이상~ 2`미만
2`이상~ 4`미만
4`이상~ 6`미만
6`이상~ 8`미만
8`이상~10`미만
1
1
2
4
2
1_1=1
3_1=3
5_2=10
7_4=28
9_2=18
-5 (-5)¤ _1=25
-3
-1
(-3)¤ _1=9
(-1)¤ _2=2
1
3
1¤ _4=4
3¤ _2=18
합계
10
60
58
(평균)=;1^0);=6(점), (분산)=;1%0*;=5.8
17~18쪽
06 (평균)=
6+x+9+y+7
5
=6
08
09
10
시간`(분)
(계급값)_(도수)
(편차)¤ _(도수)
학생 수
(명)
편차
(분)
0`이상~10`미만
10`이상~20`미만
20이상~30`미만
30`이상~40`미만
합계
1
9
7
3
20
5_1=5
-16 (-16)¤ _1=256
15_9=135 -6
(-6)¤ _9=324
25_7=175
35_3=105
4
14
4¤ _7=112
14¤ _3=588
420
1280
(평균)=;;¢2™0º;;=21(분), (분산)=;:!2@0*:);=64
∴ (표준편차)='∂64=8(분)
커뮤니티 수`(개) 도수(명)
(계급값)_(도수) 편차`(개) (편차)¤ _(도수)
1`이상~ 3`미만
3`이상~ 5`미만
5`이상~ 7`미만
7`이상~ 9`미만
9`이상~11`미만
4
7
5
3
1
2_4=8
-3 (-3)¤ _4=36
4_7=28
-1
(-1)¤ _7=7
6_5=30
8_3=24
10_1=10
1
3
5
1¤ _5=5
3¤ _3=27
5¤ _1=25
100
합계
20
100
(평균)=;;¡2º0º;;=5(개), (분산)=;;¡2º0º;;=5(cid:100) ∴ (표준편차)='5(개)
성적`(점)
도수`(명) (계급값)_(도수) 편차`(점) (편차)¤ _(도수)
60`이상~ 70`미만
70`이상~ 80`미만
80`이상~ 90`미만
90`이상~100`미만
합계
2
5
2
1
10
65_2=130 -12 (-12)¤ _2=288
75_5=375 -2 (-2)¤ _5=20
85_2=170
95_1=95
8
18
8¤ _2=128
18¤ _1=324
770
760
(평균)=;;¶1¶0º;;=77(점), (분산)=;;¶1§0º;;=76
∴ (표준편차)='∂76=2'∂19(점)
01 ③ 분산은 편차의 제곱의 평균이다.
02 편차의 총합은 항상 0이므로
a+(-7)+3+(-2)+1=0, a-5=0(cid:100)(cid:100)∴ a=5
(편차)=(변량)-(평균)이므로 A 학생의 자료에서
5=167-(평균)(cid:100)(cid:100)∴ (평균)=167-5=162(cm)
D 학생의 자료에서 -2=b-162(cid:100)(cid:100)∴ b=160
∴ a+b=5+160=165
03 도수의 총합은 3+6+3+4+4=20(대)이므로
(분산)=
(-2)¤ _3+(-1)¤ _6+0¤ _3+1¤ _4+2¤ _4
20
(분산)=
12+6+0+4+16
20
=;2#0*;=1.9
04 표준편차가 가장 크다는 것은 자료의 평균으로부터 흩어진 정도
가 가장 심한 것을 말하므로 표준편차가 가장 큰 것은 ③이다.
각각의 표준편차를 구하면 다음과 같다.
2'6
3
①
2'∂15
3
②
③ 4 ④ 0 ⑤
4'6
3
05 (평균)=
8+9+6+12+x
5
=10
35+x=50(cid:100)(cid:100)∴ x=15
(분산)
=
(8-10)¤ +(9-10)¤ +(6-10)¤ +(12-10)¤ +(15-10)¤
5
=
4+1+16+4+25
5
=;;∞5º;;=10
∴ (표준편차)='∂10
11 ① 두 중학교의 평균이 72점으로 같으므로 전체 평균도 72점이다.
② 두 중학교의 평균이 같으므로 A 중학교의 영어 성적이 B 중
06 (분산)=
(-3)¤ +0¤ +x¤ +2¤ +y¤ +(-4)¤
6
=7이므로
학교보다 우수하다고 할 수 없다.
x¤ +y¤ +29=42(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +y¤ =13
③ A 중학교의 영어 성적의 표준편차가 B 중학교보다 작으므로
A 중학교의 영어 성적이 더 고르다고 할 수 있다.
④ 편차의 총합은 항상 0으로 같다.
⑤ 두 중학교의 표준편차가 다르므로 영어 성적의 분포는 다르다.
12 5명의 표준편차는 각각 4='∂16(점), 2'3='∂12(점),
3'2='∂18(점), '∂17(점), '∂14(점)이므로
2'3<'∂14<4<'∂17<3'2이다. 표준편차가 작을수록 성적이
고르므로 시은이의 성적이 가장 고르다.
07
시청 시간`(시간) 도수(명) (계급값)_(도수) 편차`(시간) (편차)¤ _(도수)
1`이상~ 3`미만
(-4)¤ _2=32
2_2=4
-4
2
4_4=16
-2
(-2)¤ _4=16
3`이상~ 5`미만
5`이상~ 7`미만
7`이상~ 9`미만
9`이상~11`미만
4
8
4
2
6_8=48
8_4=32
10_2=20
0
2
4
합계
20
120
0¤ _8=0
2¤ _4=16
4¤ _2=32
96
(평균)=;;¡2™0º;;=6(시간), (분산)=;2(0^;=4.8
19~20쪽
∴ (표준편차)='∂4.8(시간)
01 ③
05 ③
09 ③
13 4
02 ⑤
06 13
10 ④
04 ③
03 1.9
07 '∂4.8시간 08 3
12 80
11 8
08 (평균)=
(6-a)+6+(6+a)
3
표준편차가 '6이므로 분산은 ('6)¤ =6, 즉
=;;¡3•;;=6
(분산)=
{(6-a)-6}¤ +(6-6)¤ +{(6+a)-6}¤
3
=6
Ⅰ. 통계 05
(분산)=
(1-3)¤ +(2-3)¤ +(3-3)¤ +(4-3)¤ +(5-3)¤
5
∴ (표준편차)='∂64=8
a¤ +a¤
3
=6, 2a¤ =18, a¤ =9(cid:100)(cid:100)∴ a=—3
따라서 양수 a의 값은 3이다.
09 A：1, 2, 3, 4, 5이므로
(평균)=
1+2+3+4+5
5
=;;¡5∞;;=3
(분산)=
(1-5)¤ +(3-5)¤ +(5-5)¤ +(7-5)¤ +(9-5)¤
5
(분산)=;;¡5º;;=2
(표준편차)='2(cid:100)(cid:100)∴ a='2
B：1, 3, 5, 7, 9이므로
(평균)=
1+3+5+7+9
5
=;;™5∞;;=5
(분산)=;;¢5º;;=8
(표준편차)='8=2'2(cid:100)(cid:100)∴ b=2'2
C：2, 4, 6, 8, 10이므로
(평균)=
2+4+6+8+10
5
=;;£5º;;=6
(분산)=;;¢5º;;=8
(표준편차)='8=2'2(cid:100)(cid:100)∴ c=2'2
∴ a<b=c
m, 표준편차를 s라 하면
x¡+x™+y+xªª+x¡ºº
100
=m
(분산)=
(2-6)¤ +(4-6)¤ +(6-6)¤ +(8-6)¤ +(10-6)¤
5
10 100명의 변량을 x¡, x™, y, xªª, x¡ºº이라 하고 100명의 평균을
(x¡-m)¤ +(x™-m)¤ +y+(xªª-m)¤ +(x¡ºº-m)¤
100
미술 수행평가 점수를 모두 10점씩 올려 주면 변량은 x¡+10,
x™+10, y, xªª+10, x¡ºº+10이므로
=s¤
(평균)=
(x¡+10)+(x™+10)+y+(xªª+10)+(x¡ºº+10)
100
(평균)=
x¡+x™+y+xªª+x¡ºº
100
+10=m+10
(분산)=
{(x¡+10)-(m+10)}¤ +y+{(x¡ºº+10)-(m+10)}¤
100
(분산)=
(x¡-m)¤ +(x™-m)¤ +y+(x¡ºº-m)¤
100
=s¤
(표준편차)="çs¤ =s
따라서 평균은 10점 올라가고, 표준편차는 변함이 없다.
11
자료가 5개이면 3번째 자료의 값이 중앙값이다. 즉, a 또는 b
의 값이 2이므로 a와 b의 대소를 비교하여 본다.
-12+a+b=0(cid:100)(cid:100)∴ a+b=12(cid:100)(cid:100)yy ㉠
자료가 5개이므로 3번째 자료의 값이 중앙값이고 중앙값이 2이
므로 a, b의 값 중 하나가 중앙값이다.
이때 a<b이므로 a=2
㉠에서 2+b=12(cid:100)(cid:100)∴ b=10
(분산)=
(-6)¤ +(-12)¤ +2¤ +10¤ +6¤
5
=;:#5@:);=64
12
⑴ 나머지 학생 3명의 변량을 x¡, x™, x£으로 놓는다.
⑵ 평균을 이용하여 x¡+x™+x£의 값을 구한다.
⑶ 분산을 이용하여 (x¡-240)¤ +(x™-240)¤ +(x£-240)¤ 의 값을 구
한다.
(분산)
잘못 입력된 학생 2명을 제외한 나머지 3명의 학생의 변량을
x¡, x™, x£이라 하면
(평균)=
x¡+x™+x£+240+250
5
=240
x¡+x™+x£+490=1200(cid:100)(cid:100)∴ x¡+x™+x£=710
=
(x¡-240)¤ +(x™-240)¤ +(x£-240)¤ +(240-240)¤ +(250-240)¤
5
=50
(x¡-240)¤ +(x™-240)¤ +(x£-240)¤ +100=250
(x¡-240)¤ +(x™-240)¤ +(x£-240)¤ =150
따라서 실제 운동화 크기의 평균은
x¡+x™+x£+235+255
5
=
710+235+255
5
=
1200
5
=240(mm)
이고 실제 운동화 크기의 분산은
(x¡-240)¤ +(x™-240)¤ +(x£-240)¤ +(235-240)¤ +(255-240)¤
5
=
150+25+225
5
=;:$5):);=80
13
⑴ (전체 20명의 제기차기 개수의 평균)
(cid:100) =
(남학생 12명의 제기차기 개수의 총합)+(여학생 8명의 제기차기 개수의 총합)
20
⑵ (전체 20명의 편차의 제곱의 총합)
=(남학생 12명의 편차의 제곱의 총합)+(여학생 8명의 편차의 제곱의 총합)
(남학생 12명의 제기차기 개수의 총합)=12_8=96(개)
(여학생 8명의 제기차기 개수의 총합)=8_8=64(개)
∴ (전체 20명의 제기차기 개수의 평균)=
=;;¡2§0º;;=8(개)
96+64
20
남학생 12명의 분산이 6이므로
(남학생 12명의 편차의 제곱의 총합)
12
=6
∴ (남학생 12명의 편차의 제곱의 총합)=72
여학생 8명의 분산이 1이므로
(여학생 8명의 편차의 제곱의 총합)
8
=1
∴ (여학생 8명의 편차의 제곱의 총합)=8
(평균)=
(-6)+(-12)+a+b+6
5
=0이므로
∴ (전체 20명의 제기차기 개수의 분산)=
72+8
20
=;2*0);=4
06 정답 및 풀이
21~23쪽
08 ① (평균)=
3+2+10+6+9
5
=;;£5º;;=6(회)
02 김밥이 7번, 라면이 4번, 떡볶이가 3번, 어묵이 2번, 순대가 2번
나타난다. 따라서 김밥이 7번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값
(분산)=
(-12)¤ +(-8)¤ +(-7)¤ +(-1)¤ +0¤ +0¤ +1¤ +4¤ +11¤ +12¤
10
01 ③
05 ⑤
09 ④
13 ④
03 10
02 ①
06 은지, 명환 07 ②, ⑤
10 ⑤
14 ②
11 ④
15 '2시간
04 78점
08 ③, ⑤
12 37
16 a<b<c 17 '∂1.6번 18 85
01 (평균)=
(a+2)+(b-4)+(c+5)+(d+7)+9
5
=11
a+b+c+d+19=55(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c+d=36
따라서 a, b, c, d의 평균은
a+b+c+d
4
=;;£4§;;=9
은 김밥이다.
03 (평균)=
22+26+18+a+24+b+20
7
=20
110+a+b=140(cid:100)(cid:100)∴ a+b=30
최빈값이 20이므로 a, b 중 하나는 20이다.
이때 a>b이므로 a=20, b=10(cid:100)(cid:100)∴ a-b=20-10=10
04 학생 11명의 수학 점수를 작은 값부터 크기순으로
x¡, x™, x£, x¢, x∞, x§, x¶, x•, xª, x¡º, x¡¡이라 하면 x¶=80(점)
중앙값이 76점이므로 x§=76(점)
수학 점수가 82점인 학생 1명을 추가하면 자료의 개수가 12개가
76+80
2
x§+x¶
2
되므로 중앙값은
=78(점)
=
05 세 수 3, 9, a의 중앙값이 9가 되려면 aæ9
14, 18, 20, a의 중앙값이 16이 되려면 a…14
따라서 두 조건을 모두 만족하는 a의 값은 9…a…14이다.
06 꺾은선그래프를 표로 나타내면 다음과 같다.
최고 기온`(æ)
21
22
23
24
25
26
A 지역`(일)
B 지역`(일)
C 지역`(일)
3
2
0
4
2
3
5
3
1
2
5
4
1
2
6
0
1
1
중앙값은 8번째 값이므로 A 지역의 중앙값은 23 æ, B 지역의
중앙값은 24 æ, C 지역의 중앙값은 24 æ이다. 즉, A 지역의
중앙값이 가장 작다. 최빈값은 A 지역이 23 æ, B 지역이 24 æ,
C 지역이 25 æ이다.
따라서 옳게 설명한 학생은 은지와 명환이다.
07 ① 대푯값에는 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있다.
③ 자료의 개수가 짝수인 경우는 중앙값이 주어진 자료의 값 중에
존재하지 않을 수도 있다.
④ 분산이 다른 두 집단의 평균은 같을 수도 있다.
② 자료를 크기순으로 나열하면 2, 3, 6, 9, 10이므로 중앙값은
③ 3, 2, 10, 6, 9의 값이 모두 한 번씩 나타나므로 최빈값은 없다.
한가운데 값인 6회이다.
④ 편차의 총합은 항상 0이다.
⑤ (분산)=
(3-6)¤ +(2-6)¤ +(10-6)¤ +(6-6)¤ +(9-6)¤
5
⑤ (분산)=;;∞5º;;=10
(cid:100) ∴ (표준편차)='∂10(회)
09 (평균)=
67+71+72+78+79+79+80+83+90+91
10
(평균)=;;¶1ª0º;;=79(dB)
(분산)=;;∞1¢0º;;=54
∴ (표준편차)='∂54=3'6(dB)
10 ① 지선이의 편차는 0초이므로 100 m 달리기 기록은 평균과 같다.
② 정우와 기영이의 편차의 차는 0.5-(-1)=1.5(초)이므로
기록 차이는 1.5초이다.
③ (분산)=
(-1)¤ +0.5¤ +0¤ +2.5¤ +(-2)¤
5
=
11.5
5
=2.3
(cid:100) ∴ (표준편차)='∂2.3(초)
④ 편차가 작을수록 변량이 작아지므로 달리기 기록이 빠르다.
즉, 편차가 가장 작은 학생이 달리기 기록이 가장 빠르므로 달
리기 기록이 가장 빠른 학생은 호태이다.
⑤ 편차가 가장 큰 학생이 달리기 기록이 가장 느리므로 달리기
기록이 가장 느린 학생은 소민이다.
11 나머지 학생 4명의 과학 실험평가 점수를 각각 a점, b점, c점, d
점이라 하면 평균이 7점이므로
a+b+c+d+7
5
=7
a+b+c+d+7=35(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c+d=28
즉, 나머지 학생 4명의 과학 실험평가 점수의 평균은
a+b+c+d
4
=;;™4•;;=7(점)
분산이 2이므로
(a-7)¤ +(b-7)¤ +(c-7)¤ +(d-7)¤ +(7-7)¤
5
=2
∴ (a-7)¤ +(b-7)¤ +(c-7)¤ +(d-7)¤ =10
즉, 나머지 학생 4명의 과학 실험평가 점수의 분산은
(a-7)¤ +(b-7)¤ +(c-7)¤ +(d-7)¤
4
∴ (표준편차)='∂2.5 (점)
=;;¡4º;;=2.5
12 a, b, c의 평균이 12, 분산이 3¤ =9이므로
a+b+c
3
=12,
(a-12)¤ +(b-12)¤ +(c-12)¤
3
=9
Ⅰ. 통계 07
4a+1, 4b+1, 4c+1에 대하여
(평균)=
(4a+1)+(4b+1)+(4c+1)
3
(평균)=4_
a+b+c
3
+1
(평균)=4_12+1=49
∴ m=49
(분산)=
{(4a+1)-49}¤ +{(4b+1)-49}¤ +{(4c+1)-49}¤
3
(분산)=
(4a-48)¤ +(4b-48)¤ +(4c-48)¤
3
(분산)=
16(a-12)¤ +16(b-12)¤ +16(c-12)¤
3
(분산)=16_
(a-12)¤ +(b-12)¤ +(c-12)¤
3
(분산)=16_9=144
∴ (표준편차)='∂144=12(cid:100)(cid:100)∴ n=12
∴ m-n=49-12=37
15 금요일의 수면 시간을 x시간이라 하면
7+5+3+4+x
5
(평균)=
=5에서 19+x=25(cid:100)(cid:100)∴ x=6
(분산)=
(7-5)¤ +(5-5)¤ +(3-5)¤ +(4-5)¤ +(6-5)¤
5
(분산)=
4+0+4+1+1
5
=;;¡5º;;=2
∴ (표준편차)='2(시간)
16 (평균)=
3+10+4+7+5+9+6+7+7+2
10
=;1^0);=6
∴ a=6
yy ❶
자료를 크기순으로 나열하면 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 9, 10이고
자료가 10개이므로 중앙값은 5번째와 6번째 자료 6과 7의 평균인
6+7
2
=6.5이다.(cid:100)(cid:100)∴ b=6.5
yy ❷
7이 세 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 7이다.
∴ c=7
∴ a<b<c
yy ❸
yy ❹
13 평균과 표준편차로는 직원 수나 임금에 대해 정확히 알 수 없다.
D 회사의 표준편차가 가장 작으므로 임금이 가장 고른 회사이다.
14 세 모둠 학생들이 하루에 외우는 영어 단어의 개수를 표로 나타
내면 다음과 같다.
채점 기준
❶ 주어진 자료의 평균 구하기
❷ 주어진 자료의 중앙값 구하기
❸ 주어진 자료의 최빈값 구하기
❹ a, b, c의 대소 비교하기
단어 개수`(개)
A 모둠`(명)
B 모둠`(명)
C 모둠`(명)
4
4
3
2
5
2
3
3
6
3
3
5
7
2
3
3
8
4
3
2
ㄱ. (A 모둠의 평균)=
4_4+5_2+6_3+7_2+8_4
15
ㄱ. (A 모둠의 평균)=;1(5);=6(개)
ㄱ. (B 모둠의 평균)=
4_3+5_3+6_3+7_3+8_3
15
ㄱ. (B 모둠의 평균)=;1(5);=6(개)
ㄱ. (C 모둠의 평균)=
4_2+5_3+6_5+7_3+8_2
15
ㄱ. (C 모둠의 평균)=;1(5);=6(개)
ㄴ. 세 모둠 A, B, C의 자료가 모두 15개이므로 중앙값은 8번째
학생이 외운 영어 단어 개수이다. 이때 세 모둠의 중앙값은
ㄷ. A 모둠의 최빈값은 4개와 8개, B 모둠의 최빈값은 없고, C
모두 6개이다.
모둠의 최빈값은 6개이다.
ㄹ, ㅁ. 주어진 그래프에서 자료가 평균에서 가장 멀리 흩어진 것
은 A 모둠이므로 A 모둠의 분산이 가장 크고, 자료가 평균
에 밀집한 것은 C 모둠이므로 C 모둠의 표준편차가 가장 작
다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ이다.
08 정답 및 풀이
17 (평균)=
1_2+2_1+3_3+4_3+5_1
10
=;1#0);=3(번)
(분산)
=
(1-3)¤ _2+(2-3)¤ _1+(3-3)¤ _3+(4-3)¤ _3+(5-3)¤ _1
10
=;1!0^;=1.6
∴ (표준편차)='∂1.6(번)
채점 기준
❶ 도수분포표에서 평균 구하기
❷ 도수분포표에서 분산 구하기
❸ 도수분포표에서 표준편차 구하기
18 (평균)=
2+4+a+b+6
5
=5
12+a+b=25(cid:100)(cid:100)∴ a+b=13(cid:100)(cid:100)yy ㉠
yy ❶
(분산)=
(2-5)¤ +(4-5)¤ +(a-5)¤ +(b-5)¤ +(6-5)¤
5
(분산)=
9+1+(a¤ -10a+25)+(b¤ -10b+25)+1
5
=3.2
a¤ +b¤ -10(a+b)+61=16(cid:100)(cid:100)yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 a¤ +b¤ -10_13+61=16
∴ a¤ +b¤ =85
채점 기준
❶ 평균을 이용하여 a+b의 값 구하기
❷ 분산을 이용하여 a, b에 관한 식 세우기
❸ a¤ +b¤ 의 값 구하기
배점
2점
2점
1점
1점
yy ❶
yy ❷
yy ❸
배점
2점
2점
1점
yy ❷
yy ❸
배점
2점
2점
2점
II 피타고라스 정리
1. 피타고라스 정리
01 피타고라스 정리 ⑴
16 cm¤
1-1 ⑴ 8 ⑵ 1
2-1 x=3'3, y=2'∂13
1 ⑴ 2'5 ⑵ 5
x=6, y=3'5
2
3 ⑴ 25 cm¤ ⑵ 5 cm 3-1 ⑴ 8 cm¤ ⑵ 2'2 cm
4-1 ⑴ 64 cm¤ ⑵ 32 cm¤
4
5 ⑴ 3 cm ⑵ 49 cm¤ ⑶ 5 cm ⑷ 25 cm¤
5-1 ⑴ 12 cm ⑵ 30 cm¤ ⑶ 17 cm ⑷ 169 cm¤
6 ⑴ 4 cm ⑵ 1 cm ⑶ 1 cm¤
6-1 ⑴ 3'3 cm ⑵ (3'3-3)cm ⑶ (36-18'3)cm¤
7 ⑴ 4 cm ⑵ 2'5 cm ⑶ 10 cm¤
7-1 ⑴ 7 cm ⑵ 90˘ ⑶ ;;™2∞;; cm¤
8 ㄷ, ㄹ
8-1 3
1 ⑴ 6¤ =4¤ +x¤``에서 x¤ =20
(cid:100) ∴ x='∂20=2'5 (∵ x>0)
⑵ (5'2)¤ =5¤ +x¤``에서 x¤ =25
(cid:100) ∴ x=5 (∵ x>0)
1-1 ⑴ 10¤ =x¤ +6¤ 에서 x¤ =64
(cid:100) ∴ x=8 (∵ x>0)
⑵ 2¤ =('3)¤ +x¤ 에서 x¤ =1
(cid:100) ∴ x=1 (∵ x>0)
2 △ABD에서 10¤ =8¤ +x¤ , x¤ =36
∴ x=6 (∵ x>0)
△ADC에서 x¤ +3¤ =y¤ , 6¤ +3¤ =y¤ , y¤ =45
∴ y='∂45=3'5 (∵ y>0)
2-1 △ADC에서 6¤ =3¤ +x¤ , x¤ =27
∴ x=3'3 (∵ x>0)
△ABD에서 y¤ =5¤ +x¤ , y¤ =5¤ +(3'3)¤ , y¤ =52
∴ y='∂52=2'∂13 (∵ y>0)
3 ⑴ (cid:8772)AFGB=(cid:8772)ACDE+(cid:8772)BHIC이므로
(cid:100) (cid:8772)AFGB=9+16=25(cm¤ )
⑵ (cid:8772)AFGB=AB”
¤ =25(cm¤ )이므로
(cid:100) AB”=5(cm) (∵ AB”>0)
3-1 ⑴ (cid:8772)ACDE=(cid:8772)AFGB-(cid:8772)BHIC이므로
(cid:100) (cid:8772)ACDE=13-5=8(cm¤ )
⑵ (cid:8772)ACDE=AC”
(cid:100) AC”=2'2(cm) (∵ AC”>0)
¤ =8(cm¤ )이므로
4 (cid:8772)AFML=(cid:8772)ACDE=16(cm¤ )
4-1 ⑴ (cid:8772)AFML=(cid:8772)ACDE=64(cm¤ )
⑵ △AFL=;2!;(cid:8772)AFML=;2!;_64=32(cm¤ )
5 ⑴ FB”=EH”=DG”=CA”=3 cm
⑵ FB”=3 cm이므로 FC”=3+4=7(cm)
28~31쪽
(cid:100) ∴ (cid:8772)CDEF=7¤ =49(cm¤ )
⑶ 직각삼각형 ABC에서 AB”
¤ =4¤ +3¤ =25이므로
(cid:100) AB”=5 cm (∵ AB”>0)
⑷ (cid:8772)AGHB=AB”
¤ =5¤ =25(cm¤ )
5-1 ⑴ BC”="√13¤ -5¤ =12(cm)이므로 AD”=BC”=12 cm
⑵ △ABC=;2!;_12_5=30(cm¤ )
⑶ CF”=FB”+BC”=5+12=17(cm)
⑷ (cid:8772)AGHB=13¤ =169(cm¤ )
6 ⑴ FD”="√5¤ -3¤ =4(cm)
⑵ FG”=FD”-GD”=4-3=1(cm)
⑶ (cid:8772)CFGH=1¤ =1(cm¤ )
6-1 ⑴ FD”="√6¤ -3¤ =3'3(cm)
⑵ FG”=FD”-GD”=3'3-3(cm)
⑶ (cid:8772)CFGH=(3'3-3)¤ =36-18'3(cm¤ )
7 ⑴ △ABC™△CDE이므로 AB”=CD”=4 cm
⑵ AC”="√4¤ +2¤ ='∂20=2'5(cm)
⑶ △ACE=;2!;_2'5_2'5=10(cm¤ )
7-1 ⑴ △ABC™△CDE이므로
(cid:100) CD”=4 cm, BC”=3 cm
(cid:100) ∴ BD”=BC”+CD”=3+4=7(cm)
⑵ ∠ACE=90˘
⑶ AC”=CE”="√4¤ +3¤ =5(cm)
(cid:100) ∴ △ACE=;2!;_5_5=;;™2∞;;(cm¤ )
8 ㄱ. 2¤ +1¤ +2¤ (cid:9195) 직각삼각형이 아니다.
ㄴ. 6¤ +3¤ +4¤ (cid:9195) 직각삼각형이 아니다.
ㄷ. ('∂41)¤ =4¤ +5¤ (cid:9195) 직각삼각형
ㄹ. 13¤ =5¤ +12¤ (cid:9195) 직각삼각형
ㅁ. 4¤ +2¤ +3¤ (cid:9195) 직각삼각형이 아니다.
ㅂ. 11¤ +7¤ +9¤ (cid:9195) 직각삼각형이 아니다.
8-1 (x+2)¤ =4¤ +x¤ 이므로
4x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=3
32~33쪽
01 x=15, y=25
04 2
08 144 cm¤
12 49 cm¤
03 '5 cm
02 8'5
06 11 cm 07 ④
11 12
05 8 cm
09 2'∂13 cm 10 36 cm¤
13 ④
14 17
Ⅱ. 피타고라스 정리 09
01 △ABD에서 x="√17¤ -8¤ =15
△ABC에서 y="√20¤ +15¤ ='∂625=25
02 △ADC에서 AD”="√6¤ +8¤ =10
BD”=AD”이므로 △ABC에서
AB”="√16¤ +8¤ =8'5
03 △ABC에서 AC”="√1¤ +1¤ ='2(cm)
△ACD에서 AD”="√('2)¤ +1¤ ='3(cm)
△ADE에서 AE”="√('3)¤ +1¤ =2(cm)
△AEF에서 AF”="√2¤ +1¤ ='5(cm)
04 BE”=BD”="√1¤ +1¤ ='2
BG”=BF”="√('2)¤ +1¤ ='3
∴ BI”=BH”="√('3)¤ +1¤ =2
05 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에
6 cm
A
10 cm
B
H
12 cm
D
C
내린 수선의 발을 H라 하면
HC”=AD”=6 cm이므로
BH”=12-6=6(cm)
△ABH에서
AH”="√10¤ -6¤ =8(cm)
∴ CD”=AH”=8 cm
06 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 BC”
5 cm
D
A
에 내린 수선의 발을 H라 하면
DH”=8 cm, BH”=5 cm
△DHC에서
CH”="√10¤ -8¤ =6(cm)
∴ BC”=BH”+HC”=5+6=11(cm)
8 cm
10 cm
B
H
C
07 △EBC=△ABF=△AEB=△BFL
08 △ABC에서 BC”="√13¤ -5¤ =12(cm)
∴ (cid:8772)LMGB=(cid:8772)BHIC=12¤ =144(cm¤ )
09 CF”=BE”=6 cm이므로 BF”=10-6=4(cm)
△EBF에서 EF”="√6¤ +4¤ =2'∂13(cm)
10 (cid:8772)EFGH=20 cm¤ 이므로 EH”='∂20=2'5(cm)
△AEH에서 AH”="√(2'5)¤ -4¤ =2(cm)이므로
AD”=2+4=6(cm)
∴ (cid:8772)ABCD=6¤ =36(cm¤ )
11 △ABE에서 BE”="√15¤ -12¤ =9
AH”=BE”=9이므로 EH”=12-9=3
이때 (cid:8772)EFGH는 정사각형이므로
((cid:8772)EFGH의 둘레의 길이)=4_3=12
12 AE”=BF”=CG”=5 cm
△ABE에서 BE”="√13¤ -5¤ =12(cm)
∴ EF”=BE”-BF”=12-5=7(cm)
(cid:8772)EFGH는 정사각형이므로 (cid:8772)EFGH=7¤ =49(cm¤ )
10 정답 및 풀이
13 ① 5¤ =3¤ +4¤ (cid:9195) 직각삼각형
② 13¤ =5¤ +12¤ (cid:9195) 직각삼각형
③ ('2)¤ =1¤ +1¤ (cid:9195) 직각삼각형
④ 8¤ +4¤ +7¤ (cid:9195) 직각삼각형이 아니다.
⑤ 17¤ =8¤ +15¤ (cid:9195) 직각삼각형
14 x¤ =(x-9)¤ +15¤ 이므로 18x=306(cid:100)(cid:100)∴ x=17
02 피타고라스 정리 ⑵
36~39쪽
1 ⑴ 직각삼각형 ⑵ 둔각삼각형 ⑶ 예각삼각형
⑷ 예각삼각형
1-1 ⑴ 둔각삼각형 ⑵ 예각삼각형 ⑶ 직각삼각형
⑷ 둔각삼각형
2 ⑴ 8<x<14 ⑵ 8<x<10
2-1 ⑴ 3<x<5 ⑵ 3<x<'∂21
3 ⑴ 2 ⑵ 2'5 ⑶ 4'5
3-1 ⑴ x=4, y=;;¡5§;; ⑵ x=2'6, y=2'∂22
4
5
6
7
8
'∂21
2'∂11
'∂10 cm
;;¡4¶;;p cm¤
30 cm¤
4-1 125
5-1 34
6-1 5'3 cm
7-1 ;;™2∞;;p cm¤
8-1 60 cm¤
1 ⑴ 가장 긴 변의 길이가 5이고 5¤ =3¤ +4¤ (cid:9195) 직각삼각형
⑵ 가장 긴 변의 길이가 12이고 12¤ >5¤ +10¤ (cid:9195) 둔각삼각형
⑶ 가장 긴 변의 길이가 10이고 10¤ <5¤ +9¤ (cid:9195) 예각삼각형
⑷ 가장 긴 변의 길이가 9이고 9¤ <6¤ +8¤ (cid:9195) 예각삼각형
1-1 ⑴ 가장 긴 변의 길이가 6이고 6¤ >4¤ +4¤ (cid:9195) 둔각삼각형
⑵ 가장 긴 변의 길이가 6이고 6¤ <4¤ +5¤ (cid:9195) 예각삼각형
⑶ 가장 긴 변의 길이가 17이고 17¤ =8¤ +15¤ (cid:9195) 직각삼각형
⑷ 가장 긴 변의 길이가 7'2이고 (7'2)¤ >4¤ +6¤ (cid:9195) 둔각삼각형
2 ⑴ 8-6<x<8+6, 2<x<14
(cid:100) 이때 x>8이므로 8<x<14
yy ㉠
⑵ x¤ <6¤ +8¤ 에서 0<x<10 (∵ x>0) yy ㉡
(cid:100) ㉠, ㉡에 의해 8<x<10
2-1 ⑴ 5-2<x<5+2, 3<x<7
(cid:100) 이때 x<5이므로 3<x<5 yy ㉠
⑵ 5¤ >2¤ +x¤ 에서 x¤ <21
(cid:100) ∴ 0<x<'∂21 (∵ x>0) yy ㉡
(cid:100) ㉠, ㉡에 의해 3<x<'∂21
3 ⑴ AD”
¤ =BD”_DC”이므로 4¤ =BD”_8
(cid:100) 16=8BD”(cid:100)(cid:100)∴ BD”=2
⑵ AB”
(cid:100) AB”
¤ =BD”_BC”이므로 AB”
¤ =2_10=20(cid:100)(cid:100)∴ AB”='∂20=2'5 (∵ AB”>0)
¤ =2_(2+8)
⑶ AC”
¤ =CD”_CB”이므로 AC”
¤ =8_10=80(cid:100)(cid:100)∴ AC”='∂80=4'5 (∵ AC”>0)
¤ =8_(8+2)
(cid:100) AC”
[다른 풀이](cid:100)⑵ AB”="√2¤ +4¤ ='∂20=2'5
⑶ AC”="√4¤ +8¤ ='∂80=4'5
3-1 ⑴ △ABC에서 AC”="√5¤ -3¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ x=4
(cid:100) AC”
¤ =CD”_CB”이므로 4¤ =y_5, 5y=16(cid:100)(cid:100)∴ y=;;¡5§;;
¤ =BD”_DC”이므로 x¤ =8_3
⑵ AD”
(cid:100) x¤ =24(cid:100)(cid:100)∴ x='∂24=2'6 (∵ x>0)
¤ =BD”_BC”이므로 y¤ =8_(8+3)
(cid:100) AB”
(cid:100) y¤ =8_11=88(cid:100)(cid:100)∴ y='∂88=2'∂22 (∵ y>0)
(cid:100) [다른 풀이](cid:100)y="√8¤ +(2'6)¤ ='∂88=2'∂22
¤ +DC”
¤ +BC”
¤ =21(cid:100)(cid:100)∴ DE”='∂21 (∵ DE”>0)
¤ +BC”
¤ +DC”
¤ +DC”
¤ =BE”
¤ =5¤ +10¤ =125
¤ +64=36+49
¤ 이므로 DE”
¤ 이므로
¤ =BE”
DE”
BE”
4 DE”
4-1 DE”
5 AB”
BC”
5-1 AB”
AD”
6 AP”
6-1 AP”
¤ +BC”
¤ =AD”
¤ 이므로 4¤ +8¤ =6¤ +BC”
¤ +CD”
¤ =44(cid:100)(cid:100)∴ BC”='∂44=2'∂11 (∵ BC”>0)
¤ +CD”
¤ +BC”
¤ +BC”
¤ =AD”
¤ =5¤ +3¤ =34
¤ 이므로
¤ =7¤ +5¤``
CP”
¤ =BP”
¤ +DP”
¤ 이므로 8¤ +CP”
¤ +CP”
¤ =10(cid:100)(cid:100)∴ CP”='∂10(cm) (∵ CP”>0)
¤ +CP”
¤ =BP”
¤ +DP”
¤ =6¤ +8¤`, CP”
¤ 이므로
¤ =75
5¤ +CP”
∴ CP”='∂75=5'3(cm) (∵ CP”>0)
7 BC”="√3¤ +5¤ ='∂34(cm)
∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_p_{
}2 =;;¡4¶;;p(cm¤ )
'∂34
2
7-1 P+Q=;2!;_p_5¤ =;;™2∞;;p(cm¤ )
8 (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_5_12=30(cm¤ )
8-1 AC”="√17¤ -8¤ =15(cm)
∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_8_15=60(cm¤ )
01 ①, ③
02 ③, ⑤
03 ;;¡5§;; cm 04 ;;¢5•;; cm
05 2
09 2'∂11 cm 10 3'2
13 5 cm
14 ①
06 2'5 cm 07 4'2 cm 08 13
11 2'∂10 cm 12 8p cm¤
01 ① (2'5)¤ =2¤ +4¤ (cid:9195) 직각삼각형
③ (5'2)¤ =5¤ +5¤ (cid:9195) 직각삼각형
02 ① 5¤ +3¤ +3¤ (cid:9195) 직각삼각형이 아니다.
② 11¤ +5¤ +7¤ (cid:9195) 직각삼각형이 아니다.
③ 5¤ =3¤ +4¤ (cid:9195) 직각삼각형
④ (3'2)¤ +2¤ +4¤ (cid:9195) 직각삼각형이 아니다.
⑤ 17¤ =8¤ +15¤ (cid:9195) 직각삼각형
03 △ABC에서 BC”="√3¤ +4¤ =5(cm)
AB”
¤ =BH”_BC”이므로
4¤ =BH”_5(cid:100)(cid:100)∴ BH”=;;¡5§;;(cm)
04 △ABC에서 AC”="√20¤ -12¤ =16(cm)
AB”_AC”=BC”_AH”이므로
12_16=20_AH”(cid:100)(cid:100)∴ AH”=;;¢5•;;(cm)
05 BE”
¤ +DC”
¤ =DE”
¤ +BC”
¤ 이므로
('∂11)¤ +3¤ =x¤ +4¤ , x¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
06 BE”
¤ +BC”
¤ +DC”
¤ =DE”
¤ =2¤ +5¤ , DC”
3¤ +DC”
∴ DC”=2'5(cm) (∵ DC”>0)
¤ 이므로
¤ =20
07 AB”
¤ +CD”
¤ +AD”
¤ =BC”
¤ =4¤ +5¤ , CD”
3¤ +CD”
∴ CD”=4'2(cm) (∵ CD”>0)
¤ 이므로
¤ =32
08 AB”
¤ =BC”
¤ +CD”
¤ 이므로
x¤ +7¤ =y¤ +6¤ (cid:100)(cid:100)∴ y¤ -x¤ =13
¤ +AD”
09 AP”
¤ =BP”
¤ +CP”
4¤ +8¤ =6¤ +DP”
∴ DP”=2'∂11(cm) (∵ DP”>0)
¤ 이므로
¤ =44
¤ +DP”
¤ , DP”
10 AP”
¤ +CP”
¤ =BP”
¤ +DP”
¤ 이므로
¤ =4¤ +(3'3)¤ , CP”
5¤ +CP”
∴ CP”=3'2 (∵ CP”>0)
¤ =18
11 S¡+S™=S£이므로 S™=16p-11p=5p(cm¤ )
;2!;_p_{
}2 =5p이므로
AC”
2
AC”=2'∂10(cm) (∵ AC”>0)
12 BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
40~41쪽
;2!;_p_{;2*;}2 =8p(cm¤ )
∴ P+Q=8p(cm¤ )
13 EF”=x cm라 하면
DF”=EF”=x cm, CF”=(9-x)cm
AE”=AD”=BC”=15 cm이므로 △ABE에서
BE”="√15¤ -9¤ =12(cm)
∴ CE”=15-12=3(cm)
△FEC에서 x¤ =(9-x)¤ +3¤ , 18x=90(cid:100)(cid:100)∴ x=5
Ⅱ. 피타고라스 정리 11
¤
14 ∠PBD=∠DBC(접은 각)이고
AD”∥`BC”이므로 ∠DBC=∠BDP(엇각)
즉, ∠PBD=∠BDP이므로 BP”=PD”
AP”=x cm라 하면 BP”=DP”=(8-x)cm
AB”=4 cm이므로
△ABP에서 (8-x)¤ =x¤ +4¤
16x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=3
07 AC”=x cm라 하면 BC”=(21-x)cm이므로
15¤ =x¤ +(21-x)¤
2x¤ -42x+216=0, x¤ -21x+108=0
(x-9)(x-12)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=9 또는 x=12
이때 AC”>BC”이므로 AC”=12 cm
08 △ABH에서 BH”="√10¤ -8¤ =6
¤ =BH”_BC”이므로
AB”
10¤ =6_BC”(cid:100)(cid:100)∴ BC”=;;∞3º;;
42~43쪽
△ABC에서 AC”=æ≠{;;∞3º;;}2 -10¤ =;;¢3º;;
01 6 cm
02 ③
03 26 cm¤
04 ⑤
05 20 cm¤
06 6
07 12 cm 08 ;;¢3º;;
10 4<x<5 11 24 cm¤
12 75 cm¤
09 ③
13 4'3 cm
AB”
¤ +CD”
09 △BCO에서 BC”="√('5)¤ +2¤ =3
¤ =BC”
¤ =3¤ +5¤ , `CD”
4¤ +CD”
∴ CD”=3'2 (∵ CD”>0)
¤ 이므로
¤ +AD”
¤ =18
01 오른쪽 그림과 같이 AC”를 그으면
A
△ABC에서
AC”="√5¤ +4¤ ='∂41(cm)
△ACD에서
AD”="√('∂41)¤ -('5)¤ =6(cm)
4 cm
D
5 cm
B
5 cm
C
02 △ABC에서 AC”="√1¤ +1¤ ='2(cm)
△ACD에서 AD”="√('2)¤ +1¤ ='3(cm)
△ADE에서 AE”="√('3)¤ +1¤ =2(cm)
△AEF에서 AF”="√2¤ +1¤ ='5(cm)
△AFG에서 AG”="√('5)¤ +1¤ ='6(cm)
03 △ABC에서 BC”="√6¤ +4¤ =2'∂13(cm)
∴ △FDE=;2!;(cid:8772)BDEC=;2!;_(2'∂13)¤ =26(cm¤ )
04 △AHD™△BEA™△CFB™△DGC(RHA 합동)
① △AHD에서 AH”="√5¤ -3¤ =4(cm)
② EF”=BE”-BF”=4-3=1(cm)
③ DH”=BF”=3 cm
④ AE”=BF”=3 cm이므로
(cid:100) △ABE=;2!;_3_4=6(cm¤ )
⑤ (cid:8772)EFGH=1¤ =1(cm¤ )
05 △ABC™△CDE이므로
AC”=CE”, ∠ACB+∠ECD=90˘
즉, △ACE는 AC”=EC”인 직각이등변삼각형이므로
AC”
AC”
¤ =(4'5)¤ 에서 2AC”
¤ +EC”
¤ =40(cid:100)(cid:100)∴ AC”=2'∂10(cm) (∵ AC”>0)
¤ =80 (∵ AC”=EC”)
∴ △ACE=;2!;_2'∂10_2'∂10=20(cm¤ )
06 가장 긴 변의 길이가 x+4이므로
(x+4)¤ =x¤ +8¤ , 8x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=6
12 정답 및 풀이
10 4-3<x<4+3에서 1<x<7
이때 x>4이므로 4<x<7
△ABC가 예각삼각형이 되려면
x¤ <4¤ +3¤ , x¤ <25(cid:100)(cid:100)∴ 0<x<5 (∵ x>0) yy ㉡
㉠, ㉡에 의해 4<x<5
yy ㉠
(색칠한 부분의 넓이)=(△ABC의 넓이)임을 기억한다.
11
12
△ABC에서 AC”="√10¤ -8¤ =6(cm)
∴ (색칠한 부분의 넓이)=(△ABC의 넓이)
∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_8_6=24(cm¤ )
직사각형 ABCD를 대각선 BD를
접는 선으로 하여 접었을 때
⑴ △BC'D™△BCD
⑵ △ABP™△C'DP
⑶ △PBD는 PB”=PD”인 이등변삼각형이다.
C'
b
a-x
a-x
P
x
A
b
B
x
H
a
D
b
C
D
x cm
E
F
A
12 cm
B
16 cm
C
AF”=x cm라 하면
BF”=DF”=(16-x)cm
△ABF에서 (16-x)¤ =12¤ +x¤
32x=112(cid:100)(cid:100)∴ x=;2&;
∴ △BDF=;2!;_{16-;2&;}_12
∴ △BDF=75(cm¤ )
13
△ABC에서 AD”가 ∠A의 이등분선이면
AB” : AC”=BD” : CD”
△ABC에서 BC”="√12¤ -6¤ =6'3(cm)
각의 이등분선의 성질에 의해
BD” : CD”=AB” : AC”=2 : 1이므로
CD”=;3!;BC”=;3!;_6'3=2'3(cm)
따라서 △ACD에서 AD”="√(2'3)¤ +6¤ =4'3(cm)
44~46쪽
10 BQ”=AP”=1 cm, BP”=3-1=2(cm)이므로
△PBQ에서 PQ”="√1¤ +2¤ ='5(cm)
삼각형의 내각의 이등분선
△ABC에서 AD”가 ∠A의 이등분선이면
A
①
②
B
③ ④
D
C
(cid:9195) ① : ② =③ : ④
01 ③
02 4 cm
03 ;;¡3º;;
04 ;;¡5§;; m
05 ②
09 64 cm¤
06 ⑤
10 ④
07 33 cm¤
11 '∂15<x<2'5
08 ④
12 ②
16 5
13
3'∂10
5
17 13
14 ④
18 10분
15 89
19 2'∂13
20 3'3, 3'5 21 ;;¡4∞;; cm
01 AC”="√17¤ -8¤ =15(cm)
∴ △ABC=;2!;_8_15=60(cm¤ )
02 △ABC에서 AC”="√2¤ +2¤ =2'2(cm)
△ACD에서 CD”="√(2'6)¤ -(2'2)¤ =4(cm)
03 △ABC에서 AC”="√6¤ +8¤ =10
점 M은 △ABC의 외심이므로
AM”=BM”=CM”=;2!;AC”=;2!;_10=5
점 G는 △ABC의 무게중심이므로 BG” : GM”=2 : 1
∴ BG”=;3@;BM”=;3@;_5=;;¡3º;;
04 오른쪽 그림과 같이 지면에서 부러진 부분
까지의 높이를 x m라 하면
(10-x)¤ =6¤ +x¤ , 20x=64
∴ x=;;¡5§;;
따라서 구하는 높이는 ;;¡5§;; m이다.
05 BE”=BD”="√2¤ +2¤ =2'2
BG”=BF”="√(2'2)¤ +2¤ =2'3
06 OA”=AB”=x라 하면
OB”='2x, OC”='3x, OD”='4x=2x,
OE”='5x, OF”='6x, OG”='7x
이때 OG”=3'7이므로
'7x=3'7(cid:100)(cid:100)∴ x=3
(10-x) m
x m
6 m
07 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
BH”=;2!;_(15-7)=4(cm)
A
H
5 cm
B
7 cm
D
15 cm
C
△ABH에서 AH”="√5¤ -4¤ =3(cm)
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(7+15)_3=33(cm¤ )
08 △BAE=△BCE=△BFA=△BFJ
09 △ABC에서 AB”="√10¤ -6¤ =8(cm)
∴ (cid:8772)BFKJ=(cid:8772)ADEB=8¤ =64(cm¤ )
11 2'5-'5<x<2'5+'5에서 '5<x<3'5
yy ㉠
이때 x<2'5이므로 '5<x<2'5
△ABC가 예각삼각형이므로
(2'5)¤ <x¤ +('5)¤`
20<x¤ +5, 15<x¤ (cid:100)(cid:100)∴ x>'∂15 yy ㉡
㉠, ㉡에서 '∂15<x<2'5
12 삼각형이 되려면 x+2<x-2+x(cid:100)(cid:100)∴ x>4
가장 긴 변의 길이가 x+2이므로 (x+2)¤ =x¤ +(x-2)¤
x¤ -8x=0, x(x-8)=0
∴ x=0 또는 x=8
그런데 x>4이므로 x=8
y
O
H
A
2
13 x+3y-6=0에
y=0을 대입하면
x-6=0(cid:100)(cid:100)∴ x=6
x=0을 대입하면
3y-6=0(cid:100)(cid:100)∴ y=2
즉, 이 직선의 x절편은 6이고, y절편은 2이므로
OA”=2, OB”=6
△AOB에서 AB”="√6¤ +2¤ =2'∂10
OA”_OB”=AB”_OH”이므로
2_6=2'∂10_OH”
∴ OH”=
3'∂10
5
14 △AHC에서 AH”="√4¤ -2¤ =2'3(cm)
¤ =BH”_HC”이므로
AH”
(2'3)¤ =BH”_2(cid:100)(cid:100)∴ BH”=6(cm)
∴ △ABC=;2!;_(6+2)_2'3=8'3(cm¤ )
6
B
x
x+3y-6=0
15 오른쪽 그림과 같이 DE”를 그으면
△DBE에서
DE”="√4¤ +3¤ =5
¤ =AE”
¤ +AC”
¤ +CD”
DE”
¤ =5¤ +8¤ =89
¤ +CD”
AE”
¤ 이므로
A
D
3
B
8
4
E
C
Ⅱ. 피타고라스 정리 13
2. 피타고라스 정리의 활용
01 평면도형에의 활용 ⑴
48~50쪽
16 AB”
¤ +CD”
¤ =BC”
7¤ +(2'3)¤ =BC”
∴ BC”=5 (∵ BC”>0)
¤ +AD”
¤ +6¤ , BC”
¤ 이므로
¤ =25
17 DE”=x라 하면
AE”=A'E”=18-x
A'D”=AB”=12이므로
△DA'E에서
x¤ =(18-x)¤ +12¤
36x=468(cid:100)(cid:100)∴ x=13
따라서 DE”의 길이는 13이다.
A'
A
E
x
18-x
12
B
F
18
D
C
18 공원 무대의 위치를 P라 하면
PA”
PA”
¤ =PB”
¤ +PC”
¤ 이므로
¤ +(10'6)¤ =10¤ +30¤ , PA”
¤ +PD”
¤ =400
∴ PA”=20(m) (∵ PA”>0)
이때 연정이가 분속 2 m로 걸어가므로
(공원 무대까지 가는 데 걸리는 시간)=;;™2º;;=10(분)
'3, 4
1 ⑴ 10 cm ⑵ 2'2 cm
1-1 ⑴ 20 cm ⑵ '6 cm
2 ⑴ 8 ⑵ 3'2
2-1 ⑴ 12 ⑵ 6'2
3 ⑴ 4'3 cm ⑵ 16'3 cm¤
3-1 ⑴ 3'3 cm ⑵ 9'3 cm¤
4
4-1 ⑴ 12 ⑵ 36'3
5
4, 36, 6
5-1 ⑴ 4 ⑵ 2'3
6 ⑴ '7 cm ⑵ 3'7 cm¤
6-1 ⑴ 12 cm ⑵ 60 cm¤
7 ⑴ 10-x ⑵ 1 ⑶ 3'7 ⑷ 15'7
7-1 ⑴ 2'6 ⑵ 6'6
19 △ABC에서 BC”="√10¤ -6¤ =8
∴ CD”=BD”=;2!; BC”=;2!;_8=4
△ADC에서 AD”="√4¤ +6¤ =2'∂13
채점 기준
❶ BC”의 길이 구하기
❷ CD”의 길이 구하기
❸ AD”의 길이 구하기
20 ⁄ x가 가장 긴 변의 길이일 때
⁄ x¤ =3¤ +6¤ 이므로
⁄ x¤ =45(cid:100)(cid:100)∴ x=3'5 (∵ x>0)
¤ 6이 가장 긴 변의 길이일 때
¤ 6¤ =3¤ +x¤ 이므로
¤ x¤ =27(cid:100)(cid:100)∴ x=3'3 (∵ x>0)
채점 기준
❶ x가 가장 긴 변의 길이일 때, x의 값 구하기
❷ 6이 가장 긴 변의 길이일 때, x의 값 구하기
21 ED”=x cm라 하면
AE”=ED”=x cm이므로
EB”=(6-x)cm
BD”=;2!;BC”=3(cm)
12x=45(cid:100)(cid:100)∴ x=;;¡4∞;;
따라서 ED”의 길이는 ;;¡4∞;; cm이다.
채점 기준
❶ △EBD에서 피타고라스 정리 이용하기
❷ ED”의 길이 구하기
14 정답 및 풀이
yy ❶
yy ❷
yy ❸
배점
2점
1점
2점
yy ❶
yy ❷
배점
3점
3점
1 ⑴ BD”="√8¤ +6¤ ='∂100=10(cm)
⑵ BD”="√2¤ +2¤ ='8=2'2(cm)
1-1 ⑴ BD”="√16¤ +12¤ ='∂400=20(cm)
⑵ BD”="√('3)¤ +('3)¤ ='6(cm)
2 ⑴ x="√17¤ -15¤ ='∂64=8
⑵ "√x¤ +x¤ =6이므로 2x¤ =36
(cid:100) x¤ =18(cid:100)(cid:100)∴ x=3'2 (∵ x>0)
2-1 ⑴ x="√13¤ -5¤ ='∂144=12
⑵ "√x¤ +x¤ =12이므로 2x¤ =144
(cid:100) x¤ =72(cid:100)(cid:100)∴ x=6'2 (∵ x>0)
3 ⑴ △ABC의 높이는 _8=4'3(cm)
'3
2
'3
⑵ △ABC의 넓이는 _8¤ =16'3(cm¤ )
4
3-1 ⑴ △ABC의 높이는 _6=3'3(cm)
'3
2
'3
⑵ △ABC의 넓이는 _6¤ =9'3(cm¤ )
4
A
E
B
F
4-1 ⑴ 정삼각형의 한 변의 길이를 x라 하면
(cid:100)
'3
2
x=6'3(cid:100)(cid:100)∴ x=6'3_ =12
2
'3
⑵ (정삼각형의 넓이)= _12¤ =36'3
5-1 ⑴ 정삼각형의 한 변의 길이를 x라 하면
4
'3
x¤ =4'3이므로 x¤ =4'3_ =16
'3
4
(cid:100)
(cid:100) ∴ x=4 (∵ x>0)
⑵ (정삼각형의 높이)= _4=2'3
yy ❷
배점
3점
2점
'3
4
'3
2
△EBD에서 x¤ =(6-x)¤ +3¤ (cid:100)yy ❶
D
6 cm
C
6 ⑴ BH”=;2!;_6=3(cm)이므로
(cid:100) AH”="√4¤ -3¤ ='7(cm)
⑵ △ABC=;2!;_6_'7=3'7(cm¤ )
6-1 ⑴ BH”=;2!;_10=5(cm)이므로
(cid:100) AH”="√13¤ -5¤ ='∂144=12(cm)
⑵ △ABC=;2!;_10_12=60(cm¤ )
7 ⑴ CH”=10-x
⑵ △ABH에서 AH”
¤ =8¤ -x¤
¤ =12¤ -(10-x)¤
(cid:100) △ACH에서 AH”
(cid:100) 즉, 8¤ -x¤ =12¤ -(10-x)¤ 에서
(cid:100) 20x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=1
⑶ AH”="√8¤ -1¤ ='∂63=3'7
⑷ △ABC=;2!;_10_3'7=15'7
7-1 ⑴ BH”=x라 하면 CH”=6-x
¤ =5¤ -x¤
¤ =7¤ -(6-x)¤
(cid:100) △ABH에서 AH’
(cid:100) △ACH에서 AH’
(cid:100) 즉, 5¤ -x¤ =7¤ -(6-x)¤ 에서
(cid:100) 12x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=1
(cid:100) ∴ AH”="√5¤ -1¤ ='∂24=2'6
⑵ △ABC=;2!;_6_2'6=6'6
04 △ABD에서 BD”="√6¤ +4¤ =2'∂13(cm)
AB”_AD”=AH”_BD”이므로
6_4=AH”_2'∂13(cid:100)(cid:100)∴ AH”=
12'∂13
13
(cm)
05 △ABC의 한 변의 길이를 x cm라 하면
x=5'3에서 x=10
∴ △ABC= _10¤ =25'3(cm¤ )
'3
4
06 정삼각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
'3
2
'3
4
x¤ =24'3에서 x¤ =96(cid:100)(cid:100)∴ x=4'6 (∵ x>0)
'3
∴ (정삼각형의 높이)= _4'6=6'2(cm)
2
'3
4
'3
4
07 AD”는 정삼각형 ABC의 높이이므로
AD”= _4=2'3(cm)
'3
2
AD”는 △ADE의 한 변의 길이이므로
△ADE= _(2'3)¤ =3'3(cm¤ )
08 △ABC= _(2'3)¤ =3'3(cm¤ )
AD”는 정삼각형 ABC의 높이이므로
AD”= _2'3=3(cm)
'3
2
∴ △ADE= _3¤ =
(cm¤ )
'3
4
9'3
4
따라서 △ABC와 △ADE의 넓이의 비는
=6_(한 변의 길이가 6 cm인 정삼각형의
넓이)
'3
4
=6_{ _6¤ }=54'3(cm¤ )
10 오른쪽 그림과 같이 AC”를 그으면
(cid:8772)ABCD는 한 변의 길이가 8 cm
인 정삼각형 2개로 나누어지므로
8 cm
B
60˘
(마름모의 넓이)
=2_{ _8¤ }=32'3(cm¤ )
'3
4
12 cm
O
A
C
D
11 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에
내린 수선의 발을 H라 하면 BH”=6 cm
A
9 cm
9 cm
△ABH에서
AH”="√9¤ -6¤ ='∂45=3'5(cm)
B
6 cm 6 cm
H
C
Ⅱ. 피타고라스 정리 15
51~52쪽
3'3 :
=4 : 3
9'3
4
09 오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으면
01 ③
02 20'2 cm 03 ;;£5§;; cm 04 ②
(정육각형의 넓이)
05 25'3 cm¤ 06 ④
09 54'3 cm¤ 10 32'3 cm¤
12 84 cm¤
07 3'3 cm¤
08 4 : 3
11 18'5 cm¤
01 가로와 세로의 길이를 각각 3k, 2k(k>0)라 하면
(3k)¤ +(2k)¤ =(4'∂13)¤ 이므로
13k¤ =208, k¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ k=4 (∵ k>0)
따라서 직사각형의 가로의 길이는 3_4=12(cm)
02 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
'2x=10(cid:100)(cid:100)∴ x=5'2
∴ (정사각형의 둘레의 길이)=4_5'2=20'2(cm)
03 △ABD에서 BD”="√12¤ +9¤ =15(cm)
AB”_AD”=AH”_BD”이므로
9_12=AH”_15(cid:100)(cid:100)∴ AH”=;;£5§;;(cm)
∴ △ABC=;2!;_12_3'5=18'5(cm¤ )
”
”
A
3-1 ⑴ OP”="√(-3)¤ +(-4)¤ ='∂25=5
12 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에
내린 수선의 발을 H라 하고 BH”=x cm
라 하면 CH”=(14-x)cm
¤ =15¤ -x¤
△ABH에서 AH”
¤ =13¤ -(14-x)¤
△ACH에서 AH”
즉, 15¤ -x¤ =13¤ -(14-x)¤ 에서
28x=252(cid:100)(cid:100)∴ x=9
△ABH에서 AH”="√15¤ -9¤ =12(cm)이므로
△ABC=;2!;_14_12=84(cm¤ )
15 cm
13 cm
B
C
H
14 cm
02 평면도형에의 활용 ⑵
54~55쪽
1 ⑴ x=1, y=1 ⑵ x=3, y=3'2
1-1 ⑴ x=4, y=4'2 ⑵ x=6, y=6'2
2 ⑴ x=4'3, y=8 ⑵ x=9, y=9'3
2-1 ⑴ x=5, y=10 ⑵ x=4, y=2'3
3 ⑴ 5 ⑵ 3'2 ⑶ '∂65
3-1 ⑴ 5 ⑵ '∂29 ⑶ 4'2
4 ⑴ AB”=3'2, BC”='∂29, CA”='∂29
4-1 풀이 참조, ⑴ AB”=2'5, BC”=2'∂10, CA”=2'5
⑵ 이등변삼각형
⑵ 직각이등변삼각형
1 ⑴ x : '2=1 : '2, '2x='2(cid:100)(cid:100)∴ x=1
(cid:100) y : '2=1 : '2, '2y='2(cid:100)(cid:100)∴ y=1
⑵ 3 : x=1 : 1(cid:100)(cid:100)∴ x=3
(cid:100) 3 : y=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ y=3'2
1-1 ⑴ x : 4=1 : 1(cid:100)(cid:100)∴ x=4
(cid:100) 4 : y=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ y=4'2
⑵ x : 6=1 : 1(cid:100)(cid:100)∴ x=6
(cid:100) 6 : y=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ y=6'2
2 ⑴ x : 4='3 : 1(cid:100)(cid:100)∴ x=4'3
(cid:100) 4 : y=1 : 2(cid:100)(cid:100)∴ y=8
⑵ x : 18=1 : 2, 2x=18(cid:100)(cid:100)∴ x=9
(cid:100) y : 18='3 : 2, 2y=18'3(cid:100)(cid:100)∴ y=9'3
2-1 ⑴ x : 5'3=1 : '3, '3x=5'3(cid:100)(cid:100)∴ x=5
(cid:100) 5'3 : y='3 : 2, '3y=10'3(cid:100)(cid:100)∴ y=10
⑵ 2 : x=1 : 2(cid:100)(cid:100)∴ x=4
(cid:100) 2 : y=1 : '3(cid:100)(cid:100)∴ y=2'3
3 ⑴ OP”="√3¤ +4¤ ='∂25=5
⑵ AB”="√(1-4)¤ +(4-7)¤ ='∂18=3'2
⑶ AB”="√{3-(-5)}¤
√+(7-6)¤ ='∂65
16 정답 및 풀이
⑵ AB”="√(5-3)¤ +(-4-1)¤ ='∂29
⑶ AB”="√{3-(-1)}¤
√+(5-1)¤ ='∂32=4'2
4 ⑴ AB”="√{0-(-3)}¤ +√(-3-0)¤ ='∂18=3'2
(cid:100) BC”="√(2-0)¤
(cid:100) CA”="√{2-(-3)}¤
⑵ BC”=CA”이므로 △ABC는 이등변삼각형이다.
√+{2-(-3)}¤ ='∂29
√+(2-0)¤ ='∂29
4-1 ⑴ AB”="√{3-(-1)}¤
√+(0-2)¤
y
4
2
A
-4
-2
O
-2
-4
C
='∂20=2'5
(cid:100) BC”="√(-3-3)¤
='∂40=2'∂10
(cid:100) CA”="√{-3-(-1)}¤
='∂20=2'5
√+(-2-2)¤
⑵ AB”=CA”이고 AB”
¤ +CA”
(cid:100) △ABC는 ∠A=90˘인 직각이등변삼각형이다.
¤ 이므로
¤ =BC”
√+(-2-0)¤
B
4
x
2
56쪽
01 2'6
05 ⑤
02
3'6
2
06 ④
cm 03 -3
04 ③
01 △ABC에서 AB” : BC”=1 : '2이므로
6 : BC”=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ BC”=6'2
△DBC에서 BC” : DC”='3 : 1이므로
6'2 : DC”='3 : 1, '3 DC”=6'2(cid:100)(cid:100)∴ DC”=2'6
02 △ABC에서 BC” : AC”=2 : '3이므로
6 : AC”=2 : '3, 2AC”=6'3(cid:100)(cid:100)∴ AC”=3'3(cm)
△ACD에서 AC” : AD”='2 : 1이므로
3'3 : AD”='2 : 1, '2 AD”=3'3(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴ AD”= (cm)
3'6
2
03 AB”="√(a-2)¤ +√{5-(-7)}¤ =13이므로
(a-2)¤ +144=169, a¤ -4a-21=0
(a+3)(a-7)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-3 또는 a=7
a<0이므로 a=-3
04 PQ”="√{a-(-5)}¤
√+{-2-(-1)}¤ ='∂37이므로
(a+5)¤ +1=37, a¤ +10a-11=0
(a+11)(a-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-11 또는 a=1
점 Q가 제4사분면 위의 점이므로 a>0(cid:100)(cid:100)∴ a=1
05 AB”="√{2-(-1)}¤
√+(0-1)¤ ='∂10
BC”="√(1-2)¤ +(2-0)¤ ='5
AC”="√{1-(-1)}¤
BC”=AC”이고 AB”
√+(2-1)¤ ='5
¤ +AC”
¤ =BC”
△ABC는 ∠C=90˘인 직각이등변삼각형이다.
¤ 이므로
√+(5-0)¤ ='∂50=5'2
√+(2-0)¤ ='∂40=2'∂10
06 AB”="√{2-(-3)}¤
BC”="√{3-(-3)}¤
CA”="√(3-2)¤ +(2-5)¤ ='∂10
AB”
¤ +CA”
¤ =BC”
¤ 이므로 △ABC는 ∠C=90˘인 직각삼각형
06
점 P가 직선 l 위를 움직일 때,
A
AP”+BP”의 최솟값은
(cid:9195) 점 B를 직선 l에 대하여 대칭이동한 점을
B'이라 하면 AP”+BP”=AP”+B'P”æAB'”
(cid:100) 즉, AP”+BP”의 최솟값은 AB'”의 길이와 같다.
이다.
57쪽
점 D를 BC”에 대하여 대칭이동한 점
을 D'이라 하면
AD'”의 길이가 AP”+PD”의 최솟값
이 된다.
∴ AD'”="√6¤ +(3+5)¤
=10(cm)
A
3 cm
B
P
6 cm
P
l
B
B'
D
5 cm
C
D'
01 20'2 cm 02 2 cm
06 10 cm
05 ③
03 ⑤
04 ④
01 단면인 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
정사각형의 대각선의 길이가 2_20=40(cm)이므로
'2x=40(cid:100)(cid:100)∴ x=20'2
따라서 정사각형의 한 변의 길이는 20'2 cm이다.
02 AD”= _4'3=6(cm)
'3
2
점 G가 △ABC의 무게중심이므로 AG” : GD”=2 : 1
∴ GD”=;3!; AD”=;3!;_6=2(cm)
삼각형의 무게중심
삼각형의 무게중심은 세 중선을 꼭짓점으로부터
2 : 1로 나눈다.
즉, GD”=;3!;AD”이다.
B
C
A
G
D
03 △ADC에서 x : 2'2=1 : '2
'2x=2'2(cid:100)(cid:100)∴ x=2
∴ AD”=DC”=2(cm)
△ABD에서 2 : y=1 : 2(cid:100)(cid:100)∴ y=4
∴ x+y=2+4=6
04 x축 위의 점을 P(a, 0)이라 하면 PA”=PB”이므로
"√(a-1)¤ +(0-5)¤ ="√(a-3)¤ +(0-1)¤
(a-1)¤ +25=(a-3)¤ +1
4a=-16(cid:100)(cid:100)∴ a=-4
따라서 구하는 x축 위의 점의 좌표는 (-4, 0)이다.
05
직사각형 ABCD에서
¤ =BH”_BD”, AD”
⑴ AB”
¤ =BH”_DH”
⑵ AH”
⑶ AB”_AD”=AH”_BD”
¤ =DH”_DB”
A
B
H
D
C
△ABD에서 BD”="√6¤ +8¤ =10(cm)
AB”
¤ =BE”_BD”이므로
6¤ =BE”_10(cid:100)(cid:100)∴ BE”=3.6(cm)
같은 방법으로 △CDB에서 DF”=3.6(cm)
∴ EF”=10-(3.6+3.6)=2.8(cm)
03 입체도형에의 활용 ⑴
59~61쪽
'∂57
1 ⑴ '∂38 ⑵ 3'3
1-1 ⑴ 2'∂14 ⑵ 4'3
2
2-1 7
3'3 cm
3
3-1 12 cm
4 ⑴ 6'3 cm ⑵ 4'3 cm ⑶ 4'6 cm ⑷ 144'2 cm‹
4-1 ⑴
cm ⑵ 3'3 cm ⑶ 3'6 cm
9'3
2
⑷
243'2
4
cm‹
5 ⑴ 6'2 cm ⑵ 54'6 cm‹
5-1 ⑴ 6 cm ⑵ 27'3 cm‹
6 ⑴ 6'2 cm ⑵ 3'2 cm ⑶ 3'∂10 cm
⑷ 36'∂10 cm‹
6-1 ⑴ 8 cm ⑵ 4 cm ⑶ 2'3 cm ⑷
7 ⑴ 3'2 cm ⑵ 36'2 cm‹
7-1 ⑴ '∂17 cm ⑵
16'∂17
3
cm‹
64'3
3
cm‹
1 ⑴ x="√5¤ +2¤ +3¤ ='∂38
⑵ x="√3¤ +3¤ +3¤ =3'3
1-1 ⑴ x="√6¤ +2¤ +4¤ ='∂56=2'∂14
⑵ x="√4¤ +4¤ +4¤ =4'3
2 "√5¤ +(3'2)¤ +x¤ =10이므로
25+18+x¤ =100
x¤ =57(cid:100)(cid:100)∴ x='∂57 (∵ x>0)
2-1 "√('∂14)¤ +9¤ +x¤ =12이므로
14+81+x¤ =144
x¤ =49(cid:100)(cid:100)∴ x=7 (∵ x>0)
Ⅱ. 피타고라스 정리 17
3 정육면체의 한 모서리의 길이를 x cm라 하면
6 ⑴ AC”='2_6=6'2(cm)
'3x=9이므로 x= =3'3
9
'3
따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 3'3 cm이다.
3-1 정육면체의 한 모서리의 길이를 x cm라 하면
'3x=12'3이므로 x=12
따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 12 cm이다.
⑵ CH”=;2!;_AC”=;2!;_6'2=3'2(cm)
⑶ OH”="√(6'3)¤ -(3'2)¤ ='∂90=3'∂10(cm)
⑷ (부피)=;3!;_6¤ _3'∂10=36'∂10(cm‹ )
6-1 ⑴ AC”='2_4'2=8(cm)
⑵ CH”=;2!;_AC”=;2!;_8=4(cm)
⑶ OH”="√(2'7)¤ -4¤ ='∂12=2'3(cm)
⑷ (부피)=;3!;_(4'2)¤ _2'3=
(cm‹ )
64'3
3
7 ⑴ AC”=6'2 cm이므로
(cid:100) CH”=;2!;_6'2=3'2(cm)
(cid:100) △OHC에서
(cid:100) OH”="√6¤ -(3'2)¤ ='∂18=3'2(cm)
⑵ (부피)=;3!;_6¤ _3'2=36'2(cm‹ )
7-1 ⑴ AC”=4'2 cm이므로
(cid:100) CH”=;2!;_4'2=2'2(cm)
(cid:100) △OHC에서
(cid:100) OH”="√5¤ -(2'2)¤ ='∂17(cm)
16'∂17
3
⑵ (부피)=;3!;_4¤ _'∂17=
(cm‹ )
4 ⑴ DM”= _12=6'3(cm)
'3
2
⑵ DH”=;3@; DM”=;3@;_6'3
⑵ DH”=4'3(cm)
⑶ AH”="√12¤ -(4'3)¤ ='∂96
⑶ AH”=4'6(cm)
'3
4
⑷ (부피)=;3!;_{ _12¤ }_4'6
⑷ (부피)=144'2(cm‹ )
4-1 ⑴ DM”= _9=
(cm)
'3
2
9'3
2
⑵ DH”=;3@; DM”=;3@;_
9'3
2
⑵ DH”=3'3(cm)
⑶ AH”="√9¤ -(3'3)¤ ='∂54
⑶ AH”=3'6(cm)
'3
4
⑷ (부피)=;3!;_{ _9¤ }_3'6
⑷ (부피)=
(cm‹ )
243'2
4
5 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 밑
면에 내린 수선의 발을 H라 하면
(cid:100) DM”= _6'3=9(cm)
'3
2
(cid:100) DH”=;3@; DM”=;3@;_9=6(cm)
A
36
cm
D
B
M H
C
(cid:100) (높이)=AH”="√(6'3)¤ -6¤ ='∂72=6'2(cm)
⑵ (부피)=;3!;_[ _(6'3)¤ ]_6'2=54'6(cm‹ )
5-1 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 밑면
A
에 내린 수선의 발을 H라 하면
'3
(cid:100) DM”= _3'6=
2
(cm)
(cid:100) DH”=;3@; DM”=;3@;_
9'2
2
9'2
2
63
cm
D
B
M
H
C
(cid:100) DH”=3'2(cm)
(cid:100) (높이)=AH”="√(3'6)¤ -(3'2)¤ ='∂36=6(cm)
⑵ (부피)=;3!;_[ _(3'6)¤ ]_6=27'3(cm‹ )
'3
4
'3
4
18 정답 및 풀이
62~63쪽
01 ①
05
4'∂17
5
02 ③
03 ④
04 ④
cm 06 '6 cm 07 3'2 cm¤
08 24'2 cm¤
09 3'∂14 cm¤ 10 4'∂34 cm¤
11 ⑴ 36 cm‹ ⑵ 18'3 cm¤ ⑶ 2'3 cm
12
8'3
3
cm
01 DH”=x cm라 하면
FD”="√('5)¤ +2¤ +x¤ =2'3이므로
5+4+x¤ =12
x¤ =3(cid:100)(cid:100)∴ x='3 (∵ x>0)
따라서 DH”의 길이는 '3 cm이다.
02 FG”=x cm라 하면
"√x¤ +5¤ +6¤ =5'5이므로
x¤ +25+36=125
x¤ =64(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>0)
∴ (부피)=8_5_6=240(cm‹ )
03 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'3a=4'3(cid:100)(cid:100)∴ a=4
따라서 정육면체의 부피는 4‹ =64(cm‹ )이다.
04 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
6a¤ =150, a¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ a=5 (∵ a>0)
따라서 정육면체의 대각선의 길이는 '3_5=5'3(cm)이다.
05 오른쪽 그림과 같이 EG”를 그으면
EG”="√3¤ +5¤ ='∂34(cm)
AG”="√3¤ +4¤ +5¤ ='∂50
=5'2(cm)
AE”_EG”=AG”_EI”이므로
4_'∂34=5'2_EI”
∴ EI”=
(cm)
4'∂17
5
06 오른쪽 그림과 같이 DG”를 그으면
AG”='3_3=3'3(cm)
DG”='2_3=3'2(cm)
AD”_DG”=AG”_DI”이므로
3_3'2=3'3_DI”(cid:100)(cid:100)
∴ DI”='6(cm)
A
D
I
4 cm
B
E
F
5 cm
H
3 cm
C
G
B
C
A
I
E
F
G
H
'3
07 AM”=DM”= _6=3'3(cm)
2
MH”=;3!;DM”=;3!;_3'3='3(cm)
AH”=øπAM”
¤ -MH”
¤ ="√(3'3)¤ -('3)¤
='∂24=2'6(cm)
∴ △AMH=;2!;_'3_2'6=3'2(cm¤ )
08 AM”= _12=6'3(cm)
'3
2
AH”=;3@; AM”=;3@;_6'3=4'3(cm)
OH”="√12¤ -(4'3)¤ ='∂96=4'6(cm)
∴ △OAH=;2!;_4'3_4'6=24'2(cm¤ )
09 AC”='2_6=6'2(cm)
AH”=;2!; AC”=;2!;_6'2=3'2(cm)이므로
△OAH에서 OH”="√5¤ -(3'2)¤ ='7(cm)
∴ △OAC=;2!;_6'2_'7=3'∂14(cm¤ )
10 AC”='2_8=8'2(cm)
CH”=;2!; AC”=;2!;_8'2=4'2(cm)이므로
△OHC에서 OH”="√10¤ -(4'2)¤ ='∂68=2'∂17(cm)
∴ △OHC=;2!;_4'2_2'∂17=4'∂34(cm¤ )
11 ⑴ (삼각뿔 G－BCD의 부피)
(cid:100) =;3!;_△BCD_CG”
(cid:100) =;3!;_{;2!;_6_6}_6=36(cm‹ )
⑵ BG”='2_6=6'2(cm)
(cid:100) 즉, BG”=GD”=DB”=6'2 cm이므로 △BGD는 한 변의
길이가 6'2 cm인 정삼각형이다.
'3
4
(cid:100) ∴ △BGD= _(6'2)¤ =18'3(cm¤ )
⑶ (삼각뿔 C－BGD의 부피)=(삼각뿔 G－BCD의 부피)이므로
(cid:100) ;3!;_△BGD_CI”=36
(cid:100) ;3!;_18'3_CI”=36
(cid:100) ∴ CI”=2'3(cm)
12 (삼각뿔 G－BCD의 부피)
3 cm
D
=;3!;_△BCD_CG”
=;3!;_{;2!;_8_8}_8=;:@3%:^;(cm‹ )
BG”='2_8=8'2(cm)
즉, BG”=GD”=DB”=8'2 cm이므로 △BGD는 한 변의 길
이가 8'2 cm인 정삼각형이다.
'3
4
∴ △BGD= _(8'2)¤ =32'3(cm¤ )
(삼각뿔 C－BGD의 부피)=(삼각뿔 G－BCD의 부피)이므로
;3!;_△BGD_CI”=;:@3%:^;
;3!;_32'3_CI”=;:@3%:^;
∴ CI”=
(cm)
8'3
3
04 입체도형에의 활용 ⑵
65~66쪽
1 ⑴ 5'3 cm ⑵
125'3
3
p cm‹
1-1 ⑴ 3 cm ⑵ 9'3p cm‹
2 ⑴ 4 cm ⑵ 16p cm¤
2-1 84p cm¤
3'∂10
3
5'5p
4
1 ⑴ △AOB에서
(cid:100) AO”="√10¤ -5¤ ='∂75=5'3(cm)
⑵ (부피)=;3!;_p_5¤ _5'3
⑵ (부피)=
125'3
3
p(cm‹ )
Ⅱ. 피타고라스 정리 19
1-1 ⑴ △AOB에서 OB”="√6¤ -(3'3)¤ ='9=3(cm)
∴ (원뿔의 부피)=;3!;_p_6¤ _3'5=36'5p(cm‹ )
⑵ (부피)=;3!;_p_3¤ _3'3=9'3p(cm‹ )
2 ⑴ △AOB에서 AB”="√5¤ -3¤ =4(cm)
⑵ (단면인 원의 넓이)=p_4¤ =16p(cm¤ )
2-1 △AOB에서 AB”="√10¤ -4¤ ='∂84=2'∂21(cm)
∴ (단면인 원의 넓이)=p_(2'∂21)¤ =84p(cm¤ )
3
A
D
H
5
C
B
∴ AG”="√(5+4)¤ +3¤ ='∂90=3'∂10
G
4
3
B'
5p
A'
4
B
A
10p
AA'”=(밑면의 둘레의 길이)=2p_5=10p
∴ AB'”="√(10p)¤ +(5p)¤ =5'5p
05 선이 지나는 부분의 전개도는 오른쪽 그
림과 같다. 최단 거리는 AG”이므로
AG”="√(3+2)¤ +5¤
='∂50
=5'2(cm)
06 실이 지나는 원기둥의 옆면의 전개도는
오른쪽 그림과 같다.
AA'”=2p_2=4p(cm)이고
AB”=3p cm이므로
(최단 거리)=AB'”
="√(4p)¤ +(3p)¤
=5p(cm)
A
B
F
B
A
5 cm
4p cm
D
3 cm
C
2 cm
G
3p cm
B'
A'
68쪽
02
10'3
3
03 4'2 cm
01 ⑤
04 ③
67쪽
05 ;:!3@:*;p cm‹
06 8'2 cm
01 100p cm‹
04 ③
02 72'3p cm‹
05 5'2 cm
03 18'2p cm‹
06 5p cm
01 (원뿔의 높이)="√13¤ -5¤ =12(cm)이므로
(원뿔의 부피)=;3!;_p_5¤ _12
(원뿔의 부피)=100p(cm‹ )
02 직선 l을 축으로 하여 1회전시킬 때 생기는 입체도형은 원뿔이고
BC”="√12¤ -(6'3)¤ ='∂36=6(cm)이므로
(원뿔의 부피)=;3!;_p_6¤ _6'3=72'3p(cm‹ )
03 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2p_9_;3!6@0);=2pr ∴ r=3
전개도로 만들어지는 원뿔의 높이는
"√9¤ -3¤ =6'2(cm)
∴ (원뿔의 부피)=;3!;_p_3¤ _6'2
=18'2p(cm‹ )
04 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2p_9_;3@6$0);=2pr ∴ r=6
전개도로 만들어지는 원뿔의 높이는
"√9¤ -6¤ =3'5 (cm)
20 정답 및 풀이
9 cm
3 cm
6 cm
01 정육면체의 한 모서리의 길이를 x cm라 하면
'3x=24이므로 x=8'3
정육면체의 한 모서리의 길이와 축구공의 지름의 길이는 같으므
로 축구공의 지름의 길이는 8'3 cm이다.
02 △AFC는 AF”=FC”=CA”=10'2 cm인 정삼각형이므로
△AFC= _(10'2)¤ =50'3(cm¤ )
'3
4
(삼각뿔 B－AFC의 부피)=(삼각뿔 A－BFC의 부피)이므로
;3!;_50'3_h=;3!;_{;2!;_10_10}_10
∴ h= =
10
'3
10'3
3
03 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
(cid:8772)BCDE에 내린 수선의 발을 H라 하면
BD”='2_4=4'2(cm)
4 cm
E
B
D
A
H
F
C
HD”=;2!;BD”=;2!;_4'2=2'2(cm)
직각삼각형 AHD에서
AH”="√4¤ -(2'2)¤ ='8=2'2(cm)
∴ AF”=2AH”
=2_2'2=4'2(cm)
9 cm
04 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2pr=12p이므로 r=6
∴ (원뿔의 높이)="√10¤ -6¤ ='∂64=8(cm)
05 AO”=CO”=5 cm이고
OH”="√5¤ -4¤ =3(cm)
∴ (원뿔의 부피)=;3!;_(p_4¤ )_(5+3)
∴ (원뿔의 부피)=;:!3@:*;p(cm‹ )
06
원뿔의 전개도에서 부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레의
길이와 같음을 이용하여 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기를 구한 뒤 최단 거
리를 구한다.
오른쪽 그림과 같은 원뿔의 전개도에서
8 cm
x
A
A'
2 cm
원뿔의 모선의 길이는
"√2¤ +(2'∂15)¤ ='∂64=8(cm)
옆면인 부채꼴의 호의 길이는
2p_2=4p(cm)
중심각의 크기를 ∠x라 하면
2p_8_
=4p(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=90˘
x
360
∴ (최단 거리)=AA'”="√8¤ +8¤ =8'2(cm)
69~71쪽
04 4'3 cm¤
4'3
3
01 ③
02 p cm¤
03 ②
05 60 cm¤
06 6'∂11 cm¤ 07 2'3 cm 08
09 ④
12 ④
16 ④
10 ④
13 8'6 cm¤
17 10 cm 18 12p cm‹
11 (20+10'2)cm
15 ③
14 ⑤
19 x=3'2, y=2'3
20 20
21 6 cm
01 직사각형의 세로의 길이를 x cm라 하면
"√6¤ +x¤ =2'∂13
36+x¤ =52, x¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
따라서 세로의 길이는 4 cm이다.
02 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
'2x=2'2(cid:100)(cid:100)∴ x=2
즉, 원의 반지름의 길이는 1 cm이다.
` ∴ (원의 넓이)=p_1¤ =p(cm¤ )
03 정삼각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
'3
4
x¤ =9'3이므로 x¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0)
∴ (정삼각형의 둘레의 길이)=3_6=18(cm)
04 △GEC는 한 변의 길이가 4 cm인 정삼각형이므로
(겹쳐진 부분의 넓이)= _4¤ =4'3(cm¤ )
'3
4
05 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에 내
A
13 cm
13 cm
H
10 cm
C
B
A
5 cm
9 cm
H
B
8 cm
C
린 수선의 발을 H라 하면
BH”=;2!;BC”=;2!;_10=5(cm)
AH”="√13¤ -5¤ =12(cm)이므로
△ABC=;2!;_10_12=60(cm¤ )
06 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”
에 내린 수선의 발을 H라 하고
BH”=x cm라 하면
CH”=(8-x)cm
5¤ -x¤ =9¤ -(8-x)¤ 이므로
25-x¤ =81-(64-16x+x¤ )
16x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=;2!;
△ABH에서
AH”=æ≠5¤ -{;2!;}2 =æ–;;ª4ª;;=
(cm)
3'∂11
2
∴ △ABC=;2!;_8_
3'∂11
2
∴ △ABC=6'∂11(cm¤ )
07 오른쪽 그림과 같이 AP”를 그으면
A
_4¤ =;2!;_4_PQ”+;2!;_4_PR”
△ABC=△ABP+△ACP이므로
'3
4
4'3=2(PQ”+PR”)
∴ PQ”+PR”=2'3(cm)
4 cm
Q
B
4 cm
R
C
P
4 cm
08 ∠B=30˘이므로 BH” : CH”='3 : 1
2'3 : CH”='3 : 1(cid:100)(cid:100)∴ CH”=2
△ACH에서 AC” : CH”=2 : '3이므로
AC” : 2=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ AC”=
4'3
3
09 각 점의 원점으로부터의 거리를 구해 보면
① "√(-5)¤ +(-2)¤ ='∂29
② "√(-3)¤ +4¤ =5
③ "√2¤ +(-3)¤ ='∂13
④ "√4¤ +5¤ ='∂41
⑤ "√6¤ +1¤ ='∂37
따라서 원점으로부터 가장 멀리 떨어진 점은 ④이다.
10 오른쪽 그림과 같이 BD”를 대칭
축으로 하여 점 C를 대칭시킨
점을 C'이라 하고 점 A와 C'을
A
6 cm
B
P
15 cm
2 cm
D
C
C'
이으면 AC'”의 길이가
AP”+PC”의 최솟값이다.
∴ AC'”="√15¤ +(6+2)¤
='∂289=17(cm)
Ⅱ. 피타고라스 정리 21
11 AE”=10 cm, EG”="√6¤ +8¤ =10(cm)이고
18 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
AG”="√6¤ +8¤ +10¤ =10'2(cm)
∴ (△AEG의 둘레의 길이)=10+10+10'2
=20+10'2(cm)
12 정육면체의 한 모서리의 길이를 x라 하면
대각선의 길이가 8'3이므로 '3x=8'3(cid:100)(cid:100)∴ x=8
BD”='2_8=8'2
즉, △BGD는 BD”=BG”=GD”=8'2인 정삼각형이므로
△BGD= _(8'2)¤ =32'3
'3
4
13 FN”=ND”=DM”=MF”이므로 (cid:8772)MFND는 마름모이다.
DF”=4'3 cm, MN”=EG”=4'2 cm이므로
(cid:8772)MFND=;2!;_4'3_4'2=8'6(cm¤ )
오른쪽 그림과 같이 (cid:8772)ABCD가 마름모일 때
(cid:8772)ABCD=;2!;_AC”_BD”
B
D
A
C
14 ① DM”= _12=6'3(cm)
'3
2
② DH”=;3@; DM”=;3@;_6'3=4'3(cm)
③ AH”="√12¤ -(4'3)¤ ='∂96=4'6(cm)
④ △AHD=;2!;_4'3_4'6=24'2(cm¤ )
⑤ (정사면체의 부피)=;3!;_{ _12¤ }_4'6
'3
4
⑤ (정사면체의 부피)=144'2(cm‹ )
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
15 오른쪽 그림과 같이 밑면의 두 대각선의 교
O
62
cm
C
4 cm
D
A
H
4 cm
B
점을 H라 하면
AC”=4'2 cm
AH”=;2!;AC”=;2!;_4'2=2'2(cm)
△OAH에서
OH”="√(2'6)¤ -(2'2)¤ ='∂16=4(cm)
16 △ABO에서 AB” : BO”=2 : 1이므로
6 : BO”=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ BO”=3(cm)
∴ (밑면의 넓이)=p_3¤ =9p(cm¤ )
17 점이 지나는 부분의 전개도는 오른쪽 그림
6 cm
과 같다.
∴ (최단 거리)=AH”
∴ (최단 거리)="√(3+2+3)¤ +6¤
∴ (최단 거리)='∂100
∴ (최단 거리)=10(cm)
22 정답 및 풀이
A
B
F
E
D
3 cm
C
2 cm
G
3 cm
H
2p_5_;3@6!0^;=2pr
∴ r=3
따라서 전개도로 만들어지는 원뿔의 높이는
"√5¤ -3¤ =4(cm)
∴ (부피)=;3!;_p_3¤ _4=12p(cm‹ )
19 △ABH에서 AB” : BH”='2 : 1이므로
x : 3='2 : 1
∴ x=3'2
BH” : AH”=1 : 1이므로
3 : AH”=1 : 1
∴ AH”=3(cm)
△AHC에서 AH” : AC”='3 : 2이므로
3 : y='3 : 2
∴ y=2'3
채점 기준
❶ △ABH에서 x의 값 구하기
❷ △AHC에서 y의 값 구하기
√+{4-(-2)}¤
√+(6-4)¤
√+{6-(-2)}¤
20 AB”="√{-4-(-2)}¤
AB”='∂40=2'∂10
BC”="√{2-(-4)}¤
BC”='∂40=2'∂10
AC”="√{2-(-2)}¤
AC”='∂80=4'5
¤ +BC”
이때 AB”
¤ =AC”
¤ , AB”=BC”이므로
△ABC는 ∠B=90˘인 직각이등변삼각형이다.
∴ △ABC=;2!;_2'∂10_2'∂10=20
yy ❶
yy ❷
배점
3점
3점
C
B
y
6
4
2
O
-2
-4
A
-4
-2
2
4
x
yy ❶
yy ❷
yy ❸
배점
3점
1점
2점
O
x 6 cm
yy ❶
yy ❷
배점
3점
2점
A
A'
21 원뿔의 옆면의 전개도를 그리면 오른쪽 그림과
채점 기준
❶ AB”, BC”, AC”의 길이 각각 구하기
❷ △ABC가 어떤 삼각형인지 알기
❸ △ABC의 넓이 구하기
같다.
이때 OA”=OA'”=6 cm이므로
중심각의 크기를 ∠x라 하면
=2p_1
2p_6_
x
360
∴ ∠x=60˘
△OAA'은 정삼각형이므로
(최단 거리)=AA'”=6(cm)
채점 기준
❶ 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기 구하기
❷ 최단 거리 구하기
III 삼각비
1. 삼각비
01 삼각비
⑶ tan 45˘_sin 60˘+cos 30˘=1_ + ='3
'3
2
'3
2
3-1 ⑴ sin 60˘-cos 30˘= - =0
75~77쪽
⑵ tan 30˘_tan 60˘= _'3=1
'3
2
'3
2
'3
3
⑵ sin C= , cos C= , tan C=1
5 ⑴ △DBE와 △CBA에서
1 ⑴ ;1!3@; ⑵ ;1∞3; ⑶ ;;¡5™;; ⑷ ;1∞3; ⑸ ;1!3@; ⑹ ;1∞2;
1-1 ⑴ ;1•7; ⑵ ;1!7%; ⑶ ;1•5; ⑷ ;1!7%; ⑸ ;1•7; ⑹ ;;¡8∞;;
2 ⑴ sin B= , cos B=;2!;, tan B='3
⑵ sin C=;2!;, cos C= , tan C=
'3
3
2-1 ⑴ sin A= , cos A= , tan A=1
'3
2
'2
2
'2
2
'3
2
'2
2
'2
2
3 ⑴ '2 ⑵ 1 ⑶ '3
3-1 ⑴ 0 ⑵ 1 ⑶ -;2!;
4 ⑴ 4 ⑵ 2'5
4-1 ⑴ 12 ⑵ 4'∂10
5 ⑴ △CBA ⑵ ∠C ⑶ 1
⑷ sin x=
2'5
5
'5
, cos x= , tan x=2
5
6 ⑴ △BAC, △BHA ⑵ ∠B ⑶ 3
2'∂13
13
⑷ sin x=
, cos x=
3'∂13
13
, tan x=;3@;
2 AC”=øπBC”
¤ -AB”
⑴ sin B=
(cid:100) tan B=
AC”
BC”
=
AC”
AB”
=
AB”
BC”
'3
2
= , cos B=
¤ ="√4¤ -2¤ ='∂12=2'3
2'3
4
2'3
2
='3
AB”
BC”
=;4@;=;2!;
⑵ sin C=
=;4@;=;2!;, cos C=
AC”
BC”
=
2'3
4
=
'3
2
(cid:100) tan C=
AB”
AC”
=
2
2'3
=
'3
3
2-1 AC”=øπAB”
¤ +BC”
=1
AB”
AC”
¤ ="√(5'2)¤ +(5'2)¤ ='∂100=10
5'2
5'2
10
10
5'2
5'2
5'2
10
5'2
5'2
5'2
10
BC”
AC”
=1
(cid:100) tan A=
BC”
AB”
=
(cid:100) tan C=
AB”
BC”
=
'2
⑵ sin C= = = , cos C= = =
2
'2
2
AB”
AC”
3 ⑴ sin 45˘+cos 45˘= + ='2
'2
2
'2
2
⑵ cos 60˘+sin 30˘=;2!;+;2!;=1
⑶ cos 45˘_sin 45˘-tan 45˘= _ -1=-;2!;
'2
2
'2
2
4 ⑴ cos B=
BC”
AB”
⑵ AC”=øπAB”
=
BC”
6
¤ -BC”
¤ ="√6¤ -4¤ ='∂20=2'5
=;3@;이므로 BC”=4
4-1 ⑴ tan A=
=;3!;이므로 AB”=12
BC”
AB”
=
4
AB”
⑵ AC”=øπAB”
¤ +BC”
¤ ="√12¤ +4¤ ='∂160=4'∂10
(cid:100) ∠DEB=∠CAB=90˘, ∠B는 공통이므로
(cid:100) △DBEª△CBA(AA 닮음)
⑵ △DBEª△CBA이므로 ∠x=∠C
⑶ AC”=øπBC”
¤ -AB”
⑷ ∠x의 삼각비는 직각삼각형 CBA에서 ∠C의 삼각비와 같
¤ ="√('5)¤ -2¤ ='1=1
으므로
(cid:100) sin x= = , cos x= = , tan x=;1@;=2
2
'5
2'5
5
1
'5
'5
5
6 ⑴ △AHC와 △BAC에서
(cid:100) ∠AHC=∠BAC=90˘, ∠C는 공통이므로
(cid:100) △AHCª△BAC(AA 닮음)
(cid:100) 또, △AHC와 △BHA에서
(cid:100) ∠AHC=∠BHA=90˘, ∠ACH=∠BAH이므로
(cid:100) △AHCª△BHA(AA 닮음)
⑵ △AHCª△BACª△BHA이므로 ∠x=∠B
⑶ AB”=øπBC”
⑷ ∠x의 삼각비는 직각삼각형 BAC에서 ∠B의 삼각비와 같
¤ ="√('∂13)¤ -2¤ ='9=3
¤ -AC”
으므로
(cid:100) sin x=
2
'∂13
=
2'∂13
13
, cos x=
3
'∂13
=
3'∂13
13
,
01
2'5
5
05 ;5!;
02 16'5 cm¤ 03 ;3!0!;
06 ;;¡8∞;;
07 ;5&;
09 x=5, y=
10'3
3
12 ④
10 3
04 ⑤
08 1
11 ①
78~79쪽
Ⅲ. 삼각비 23
'2
⑴ sin A= = = , cos A= = =
2
'2
2
BC”
AC”
(cid:100) tan x=;3@;
01 tan A=
=2이므로 BC”=6
BC”
3
∴ AC”="√3¤ +6¤ ='∂45=3'5
6
3'5
∴ sin A=
2'5
5
=
02 sin B=
=;3@;이므로 AC”=8(cm)
AC”
12
∴ BC”="√12¤ -8¤ ='∂80=4'5(cm)
∴ △ABC=;2!;_4'5_8=16'5(cm¤ )
C
B
C
3
B
03 cos A=;6%;이므로 오른쪽 그림과 같은 직각
삼각형 ABC를 그릴 수 있다.
BC”="√6¤ -5¤ ='∂11이므로
'∂11
sin A= , tan A=
6
'∂11
5
∴ sin A_tan A=
'∂11
6
_
'∂11
5
=;3!0!;
6
5
A
04 tan A=;2#;이므로 오른쪽 그림과 같은 직각삼각
형 ABC를 그릴 수 있다.
AC”="√2¤ +3¤ ='∂13이므로
sin A=
cos A=
3
'∂13
2
'∂13
=
=
3'∂13
13
2'∂13
13
∴ sin A+cos A=
3'∂13
13
+
2'∂13
13
=
5'∂13
13
A
2
05 △EBDª△ABC(AA 닮음)이므로 ∠x=∠C
△ABC에서 BC”="√12¤ +9¤ =15이므로
sin x=sin C=;1!5@;=;5$;, cos x=cos C=;1ª5;=;5#;
∴ sin x-cos x=;5$;-;5#;=;5!;
06 △EDCª△ABC(AA 닮음)이므로 ∠x=∠B
△ABC에서 AC”="√17¤ -8¤ =15(cm)이므로
tan x=tan B=;;¡8∞;;
07 △AHCª△BAC(AA 닮음)이므로 ∠x=∠B
△ABC에서 BC”="√6¤ +8¤ =10이므로
sin x=sin B=;1•0;=;5$;, cos x=cos B=;1§0;=;5#;
∴ sin x+cos x=;5$;+;5#;=;5&;
08 △ABHª△CBA(AA 닮음)이므로 ∠x=∠C
또, △AHCª△BAC(AA 닮음)이므로 ∠y=∠B
△ABC에서 BC”="√(2'3)¤ +2¤ ='∂16=4(cm)이므로
24 정답 및 풀이
∴ cos x+sin y=;2!;+;2!;=1
09 △ABD에서 sin 45˘=
= 이므로 x=5
△ADC에서 sin 60˘= = 이므로 y=
10'3
3
'2
2
'3
2
10 △DBC에서 tan 45˘=
=1이므로 BC”=3'3
△ABC에서 tan 60˘=
='3이므로 AB”=3
11 '2_sin 45˘-'3_cos 60˘_tan 30˘
='2_ -'3_;2!;_ =1-;2!;=;2!;
'2
2
12 sin 30˘+cos 60˘+sin 45˘_cos 45˘
'2
=;2!;+;2!;+ _ =;2!;+;2!;+;2!;=;2#;
2
'2
2
x
5'2
5
y
BC”
3'3
3'3
AB”
'3
3
02 예각의 삼각비
81~82쪽
1 ⑴ 0.82 ⑵ 0.57 ⑶ 1.43 ⑷ 0.57 ⑸ 0.82
1-1 ⑴ 0.6018 ⑵ 0.7986 ⑶ 0.7536 ⑷ 0.7986
2-1 ⑴ 1 ⑵ 1
⑸ 0.6018
2 ⑴ 0 ⑵ -1
3 ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ×
3-1 ⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ ◯
4 ⑴ 0.3746 ⑵ 0.9336 ⑶ 0.4245
4-1 ⑴ 3746 ⑵ 42.45
1 ⑴ sin 55˘=
=
AB”
1
=AB”=0.82
⑵ cos 55˘=
=
=OB”=0.57
⑶ tan 55˘=
=
=CD”=1.43
⑷ sin 35˘=
=OB”=0.57
⑸ cos 35˘=
=AB”=0.82
1-1 ⑴ sin 37˘=
=AB”=0.6018
⑵ cos 37˘=
=
=OB”=0.7986
⑶ tan 37˘=
=
=CD”=0.7536
⑷ sin 53˘=
=OB”=0.7986
AB”
OA”
OB”
OA”
CD”
OD”
OB”
OA”
AB”
OA”
AB”
OA”
OB”
OA”
CD”
OD”
OB”
OA”
AB”
OA”
OB”
1
CD”
1
=
OB”
1
=
AB”
1
=
AB”
1
OB”
1
CD”
1
=
OB”
1
=
AB”
1
cos x=cos C=;4@;=;2!;, sin y=sin B=;4@;=;2!;
⑸ cos 53˘=
=AB”=0.6018
2 ⑴ sin 0˘+cos 90˘=0+0=0
⑵ tan 0˘-cos 0˘=0-1=-1
2-1 ⑴ cos 0˘_sin 90˘=1_1=1
⑵ sin 0˘+cos 0˘-tan 0˘=0+1-0=1
3 ⑴ A의 값이 커지면 sin A의 값도 커진다.
⑵ A의 값이 커지면 cos A의 값은 작아진다.
⑶ A의 값이 커지면 tan A의 값도 커진다.
⑷ A의 값이 45˘보다 커지면 tan A>1이다.
3-1 ⑴ A=45˘일 때 sin A=cos A= 이다.
'2
2
⑵ A=45˘일 때 tan A=1이고, A의 값이 커지면 tan A의
값도 커지므로 tan Aæ1이다.
⑶ 45˘…A<90˘일 때 sin Aæcos A이다.
⑷ 45˘…A<90˘일 때 cos A<tan A이다.
4-1 ⑴ sin 22˘=
BC”
10000
=0.3746(cid:100)(cid:100)∴ BC”=3746
⑵ ∠A=90˘-67˘=23˘이므로
BC”
100
(cid:100) tan 23˘=
=0.4245(cid:100)(cid:100)∴ BC”=42.45
02 ②
01 ④
04 ㄹ, ㄴ, ㅁ, ㄱ, ㄷ
03 ④
05 88˘
06 109˘
01 tan x=
CD”
OD”
=
CD”
1
=CD”, sin y=
OB”
OA”
=
OB”
1
=OB”
02 ∠x=∠OAB이므로 △OAB에서
sin x=
OB”
OA”
=
OB”
1
=OB”, cos x=
AB”
OA”
=
AB”
1
=AB”
03 주어진 삼각비의 값을 각각 구해 보면
① 0(cid:100)(cid:100)② ;2!;(cid:100)(cid:100)③ 1(cid:100)(cid:100)④ '3(cid:100)(cid:100)⑤ 1
이때 0<;2!;<1<'3이므로 가장 큰 값은 ④ tan 60˘이다.
04 주어진 삼각비의 값을 각각 구해 보면
ㄱ. (cid:100)(cid:100)ㄴ. ;2!;(cid:100)(cid:100)ㄷ. 1(cid:100)(cid:100)ㄹ. 0(cid:100)(cid:100)ㅁ.
'3
2
'3
3
이때 0<;2!;< < <1이므로 작은 것부터 차례로 기호를
'3
3
'3
2
나열하면 ㄹ, ㄴ, ㅁ, ㄱ, ㄷ이다.
05 sin x=0.7071이므로 ∠x=45˘
cos y=0.7314이므로 ∠y=43˘
∴ ∠x+∠y=45˘+43˘=88˘
06 cos x=0.5878이므로 ∠x=54˘
tan y=1.4281이므로 ∠y=55˘
∴ ∠x+∠y=54˘+55˘=109˘
01 ②
05 ;2#;
02 2
06 ④
03 ⑤
07 ①
09 ②, ⑤
10 ①
11 2-'3
12
13 sin A-cos A
84~85쪽
04 -;5!;
08 ③
3'3
8
01 AC”="√6¤ +3¤ ='∂45=3'5(cm)이므로
'5
5
= , cos A=
sin A=
6
3'5
3
3'5
=
2'5
5
∴ sin A+cos A= +
'5
5
2'5
5
=
3'5
5
02 tan A=;3!;이므로 오른쪽 그림과 같은
C
1
B
직각삼각형 ABC를 그릴 수 있다.
AC”="√3¤ +1¤ ='∂10이므로
A
3
sin A=
1
'∂10
=
, cos A=
3
'∂10
=
3'∂10
10
'∂10
10
3'∂10
10
3'∂10
10
+
-
'∂10
10
'∂10
10
=
=
2'∂10
5
'∂10
5
cos A+sin A=
83쪽
cos A-sin A=
∴
cos A+sin A
cos A-sin A
=
2'∂10
5
÷
'∂10
5
=
2'∂10
5
_
5
'∂10
=2
03 △AHDª△BAD(AA 닮음)이므로 ∠x=∠ABD
△ABD에서 BD”="√12¤ +16¤ ='∂400=20이므로
sin x=;2!0^;=;5$;, cos x=;2!0@;=;5#;
∴ sin x+cos x=;5$;+;5#;=;5&;
04 직선 y=;4#;x+3이 x축, y축과 만나는
점을 각각 A, B라 하자.
y=;4#;x+3에 y=0을 대입하면
0=;4#;x+3(cid:100)(cid:100)∴ x=-4
3
y= x+3
4
y
B
O
3
a
A
-4
x
또, x=0을 대입하면 y=3
따라서 A(-4, 0), B(0, 3)이므로
OA”=4, OB”=3, AB”="√4¤ +3¤ ='∂25=5
∴ sin a=;5#;, cos a=;5$;
∴ sin a-cos a=;5#;-;5$;=-;5!;
05 직각삼각형 BFH에서
FH”="√4¤ +3¤ ='∂25=5
BH”="√4¤ +3¤ +5¤ ='∂50=5'2
BF”=5이므로
Ⅲ. 삼각비 25
sin x=
=
5
5'2
5
5'2
'2
2
'2
2
cos x= =
tan x=;5%;=1
B
5
F
25
x
H
5
12
60˘의 삼각비의 값을 이용하여 AB”, BC”, DE”의 길이를 구한다.
AD”=AC”=1이고 △ABC에서
AB”=cos 60˘=;2!;, BC”=sin 60˘= , BD”=1-;2!;=;2!;
'3
2
∴ sin x_cos x+tan x= _ +1=;2#;
'2
2
'2
2
06 ① △CHB에서 tan 45˘=
=1이므로 CH”=3(cm)
② △CHB에서 cos 45˘=
= 이므로
'2
2
(cid:100) CB”=3'2(cm)
③ △CAH에서 tan 60˘=
='3이므로 AH”='3(cm)
④ AB”=AH”+BH”='3+3(cm)
⑤ △CAH에서 cos 60˘=
=;2!;이므로
(cid:100) CA”=2'3(cm)
CH”
3
3
CB”
3
AH”
'3
CA”
07 이차방정식 4x¤ +2x-a=0의 한 근이 cos 60˘=;2!;이므로
x=;2!;을 4x¤ +2x-a=0에 대입하면
4_{;2!;}2 +2_;2!;-a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=2
08 A=180˘_
1
1+2+3
=30˘이므로
sin A : cos A : tan A=;2!; :
'3
2
:
'3
3
09 ② cos x=
AC”
AB”
=
=AC”
AC”
1
BC”
AB”
1
DE”
④ cos z=cos y=
⑤ tan z=
AE”
DE”
=
=
BC”
1
=BC”
10 sin x=0.2079이므로 ∠x=12˘
cos y=0.9903이므로 ∠y=8˘
∴ tan (x-y)=tan 4˘=0.0699
11
30˘의 삼각비의 값을 이용하여 CD”, AD”의 길이를 구한다.
△ADC에서 sin 30˘=
=;2!;이므로 AD”=4
2
AD”
tan 30˘=
= 이므로 CD”=2'3
2
CD”
'3
3
등변삼각형이다.
∴ BD”=AD”=4
26 정답 및 풀이
∴ tan 15˘=
AC”
BC”
=
2
4+2'3
=
1
2+'3
=2-'3
또, △ADE에서 DE”=tan 60˘='3
따라서 사다리꼴 BDEC의 넓이는
;2!;_{ +'3}_;2!;=
'3
2
3'3
8
13
0˘<A<90˘일 때 0<cos A<1, 0<sin A<1
0˘<A<90˘일 때, cos A<1, sin A<1이므로
cos A-1<0, 1-sin A>0
∴ "√(cos A-1)¤ -"√(1-sin A)¤
(cid:100) =|cos A-1|-|1-sin A|
(cid:100) =-(cos A-1)-(1-sin A)=sin A-cos A
02 ;1!7%;
06
'2
3
10 15˘
14 ③
03 ⑤
07 '3
11 4
15 ⑤
01 ③, ⑤
05 ③
09 ②
13 ④
17 4.7
86~88쪽
04 ;1!3@;
08 ②
12 ④
16
3+'5
2
01 BC”="√3¤ -2¤ ='5
① sin A= (cid:100)(cid:100)② tan A= (cid:100)(cid:100)④ cos B=
'5
2
'5
3
'5
3
02 △ADC에서 AC”="√10¤ -6¤ =8
△ABC에서 BC”="√17¤ -8¤ =15
∴ cos B=
=;1!7%;
BC”
AB”
03 AB”=1이라 하면 BC”=3이고
AC”="√3¤ -1¤ ='8=2'2
sin B=
, tan B=
=2'2
2'2
3
∴ sin B+tan B=
+2'2=
8'2
3
2'2
1
2'2
3
직각삼각형 ABC를 그릴 수 있다.
BC”="√13¤ -5¤ =12이므로
sin(90˘-B)=sin A=;1!3@;
A
1
B
C
3
13
B
A
C
5
sin A : cos A : tan A=3 : 3'3 : 2'3='3 : 3 : 2
18 ;1!3&;
19 1
20 72'3p cm‹
△ABD에서 ∠BAD=30˘-15˘=15˘이므로 △ABD는 이
04 sin B=;1∞3;이므로 오른쪽 그림과 같은
05 △ABCª△ADE(AA 닮음)이므로 ∠B=∠ADE
△AED에서 AD”="√6¤ -5¤ ='∂11(cm)이므로
cos B=
'∂11
6
06 직각삼각형 DFH에서 DF”=5'3, FH”=5'2, DH”=5이므로
sin x=
= , cos x=
5
5'3
'3
3
5'2
5'3
=
'6
3
∴ sin x_cos x= _ =
'3
3
'6
3
'2
3
07 직선 y='3x+1이 x축, y축과 만나는 점
을 각각 A, B라 하자.
y='3x+1에 y=0을 대입하면
0='3x+1 ∴ x=- =-
1
'3
'3
3
또, x=0을 대입하면 y=1
따라서 A{- , 0}, B(0, 1)이므로 OA”= , OB”=1
'3
3
'3
3
∴ tan a=
OB”
OA”
'3
=1÷ ='3
3
직선 y=ax+b와 x축의 양의 방향이 이루는 예각의 크기가 a이면
tan a=a(기울기)
08 ② tan 30˘=
'3
3
09 cos A=
= 이므로 ∠A=30˘
8'3
16
'3
2
10 sin 30˘=;2!;이므로
4x-30˘=30˘, 4x=60˘(cid:100)(cid:100)∴ x=15˘
△ACH에서 tan 45˘=
=1이므로 CH”=4
12 △ABD에서 sin 60˘=
= 이므로 AD”=6'3(cm)
∠BAD=30˘이므로 ∠DAE=90˘-30˘=60˘
△ADE에서 sin 60˘=
= 이므로 DE”=9(cm)
AH”
8
4
CH”
AD”
12
DE”
6'3
'3
2
'3
2
13 ① sin 57˘=AB”=0.8387
② cos 57˘=OB”=0.5446
③ tan 57˘=CD”=1.5399
⑤ ∠OCD=33˘이므로 tan 33˘=
1
CD”
=
1
1.5399
14 주어진 삼각비의 값을 구해 보면
'3
① 0(cid:100)(cid:100)② ;2!;(cid:100)(cid:100)③ (cid:100)(cid:100)④ (cid:100)(cid:100)⑤ 1
2
'2
2
이때 0<;2!;< < <1이므로 삼각비의 값 중에서
'2
2
'3
2
두 번째로 큰 것은 ③ cos 30˘이다.
15 45˘<A<90˘일 때, sin A>cos A이므로
"√(sin A-cos A)¤ +"√(cos A-sin A)¤
=|sin A-cos A|+|cos A-sin A|
=sin A-cos A-(cos A-sin A)
=2 sin A-2 cos A
y= x+1
3
y
1
B
-
3
3 a
A
O
x
16 ∠APQ=∠CPQ(접은 각),
∠APQ=∠PQC(엇각)이므로
∠CPQ=∠PQC
즉, △PQC가 이등변삼각형이므로
QC”=PC”=AP”=3 cm
A
2 cm
3 cm
P
H
xx
x
B
Q
D
C
R
△CQR에서 CR”=AB”=2 cm이므로
QR”="√3¤ -2¤ ='5(cm)
점 Q에서 AD”에 내린 수선의 발을 H라 하면
HA”=QB”=QR”='5 cm이므로
PH”=AP”-AH”=3-'5(cm)
따라서 △HQP에서
tan x=
HQ”
PH”
=
2
3-'5
=
3+'5
2
17 sin 28˘=;1”0;=0.47이므로 x=10_0.47=4.7
18 △AHBª△BHCª△ABC(AA 닮음)이므로
∠x=∠C, ∠y=∠A
△ABC에서 AB”="√13¤ -12¤ =5
∴ sin x=sin C=;1∞3;, sin y=sin A=;1!3@;
채점 기준
❶ ∠x, ∠y와 크기가 같은 각 찾기
❷ AB”의 길이 구하기
❸ sin x, sin y의 값 구하기
❹ sin x+sin y의 값 구하기
19 A=sin 60˘_sin 0˘+cos 30˘_cos 0˘
'3
2
A= _0+ _1=
'3
2
'3
2
B=sin 90˘_cos 60˘-cos 90˘_tan 60˘
B=1_;2!;-0_'3=;2!;
∴ A¤ +B¤ =;4#;+;4!;=1
채점 기준
❶ A의 값 구하기
❷ B의 값 구하기
❸ A¤ +B¤ 의 값 구하기
yy ❶
yy ❷
yy ❸
yy ❹
배점
1점
2점
2점
1점
yy ❶
yy ❷
yy ❸
배점
2점
2점
1점
Ⅲ. 삼각비 27
11 △ABH에서 sin 30˘=
=;2!;이므로 AH”=4
∴ sin x+sin y=;1∞3;+;1!3@;=;1!3&;
20 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm, 원뿔의 높이를 h cm라 하면
3-1 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을
cos 60˘=;1‰2;이므로 r=12_;2!;=6
또, sin 60˘=;1Ó2;이므로 h=12_ =6'3
'3
2
∴ (원뿔의 부피)=;3!;_(p_6¤ )_6'3=72'3p(cm‹ )
채점 기준
❶ 밑면인 원의 반지름의 길이 구하기
❷ 원뿔의 높이 구하기
❸ 원뿔의 부피 구하기
yy ❶
yy ❷
yy ❸
배점
2점
2점
2점
2. 삼각비의 활용
01 삼각비와 변의 길이
90~92쪽
1-1 ⑴ 68 ⑵ 73
2-1 ⑴ 15 ⑵ 25
10, 5, 10, 5'3
1
2 ⑴ 3 ⑵ 6
3 ⑴ 3'3 ⑵ 3 ⑶ 7 ⑷ 2'∂19
3-1 '∂19
4 ⑴ 6'3 ⑵ 6'6
5 ⑴ BH”=h, CH”='3h ⑵ 6('3-1)
5-1 25
6 ⑴ BH”='3h, CH”=h ⑵ 4('3+1)
6-1 5
4-1 4'3
1-1 ⑴ sin 43˘=
이므로
(cid:100) AB”=100 sin 43˘=100_0.68=68
⑵ cos 43˘=
이므로
(cid:100) AC”=100 cos 43˘=100_0.73=73
2 ⑴ tan 60˘=
이므로 AB”=
=3'3÷'3=3
⑵ sin 60˘=
이므로 BC”=
=3'3÷ =6
'3
2
2-1 ⑴ tan 37˘=
이므로 AB”=20 tan 37˘=20_0.75=15
⑵ cos 37˘=
이므로 AC”=
=20÷0.8=25
3'3
tan 60˘
3'3
sin 60˘
20
cos 37˘
3 ⑴ AH”=6 sin 60˘=6_ =3'3
'3
2
⑵ BH”=6 cos 60˘=6_;2!;=3
⑶ CH”=BC”-BH”=10-3=7
⑷ △AHC에서
(cid:100) AC”=øπAH”
28 정답 및 풀이
¤ +CH”
¤ ="√(3'3)¤ +7¤ ='∂76=2'∂19
AB”
100
AC”
100
3'3
AB”
3'3
BC”
AB”
20
20
AC”
A
8
30˘
B
CH
35
H라 하면
AH”=8 sin 30˘=8_;2!;=4
BH”=8 cos 30˘=8_ =4'3
'3
2
CH”=BC”-BH”=5'3-4'3='3
△AHC에서 AC”=øπAH”
¤ +CH”
¤ ="√4¤ +('3)¤ ='∂19
4 ⑴ CH”=12 sin 60˘=12_ =6'3
'3
2
⑵ ∠A=180˘-(60˘+75˘)=45˘이므로
(cid:100) AC”=
6'3
sin 45˘
'2
=6'3÷ =6'6
2
4-1 꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수선의 발을
A
H라 하면
BH”=4'6 sin 30˘=4'6_;2!;=2'6
∠A=180˘-(105˘+30˘)=45˘이므로
AB”=
2'6
sin 45˘
'2
=2'6÷ =4'3
2
H
45˘
B
105˘
30˘
64
C
5 ⑴ ∠BAH=90˘-45˘=45˘이므로
(cid:100) BH”=h tan 45˘=h_1=h
(cid:100) ∠CAH=90˘-30˘=60˘이므로
(cid:100) CH”=h tan 60˘=h_'3='3h
⑵ BC”=BH”+CH”이므로 h+'3h=12, (1+'3)h=12
(cid:100) ∴ h=
=6('3-1)
12
1+'3
5-1 ∠BAH=90˘-65˘=25˘이므로
BH”=h tan 25˘=h_0.5=0.5h
∠CAH=90˘-72˘=18˘이므로
CH”=h tan 18˘=h_0.3=0.3h
BC”=BH”+CH”이므로 0.5h+0.3h=20
0.8h=20(cid:100)(cid:100)∴ h= =25
20
0.8
6 ⑴ ∠BAH=90˘-30˘=60˘이므로
(cid:100) BH”=h tan 60˘=h_'3='3h
(cid:100) ∠CAH=90˘-45˘=45˘이므로
(cid:100) CH”=h tan 45˘=h_1=h
⑵ BC”=BH”-CH”이므로 '3h-h=8, ('3-1)h=8
(cid:100)∴ h=
8
'3-1
=4('3+1)
6-1 ∠BAH=90˘-40˘=50˘이므로
BH”=h tan 50˘=h_1.2=1.2h
∠CAH=90˘-70˘=20˘이므로
CH”=h tan 20˘=h_0.4=0.4h
BC”=BH”-CH”이므로 1.2h-0.4h=4
0.8h=4(cid:100)(cid:100)∴ h= =5
4
0.8
01 ③
05 20(3-'3)m
02 357 m 03 '7 km 04 3'6 m
06 30('3+1)m
01 AB” sin 48˘=15이므로 AB”=
15
sin 48˘
02 (건물의 높이)=BC”=300 tan 50˘
=300_1.19=357(m)
03 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을
H라 하면
AH”=2 sin 60˘=2_ ='3(km)
'3
2
BH”=2 cos 60˘=2_;2!;=1(km)
∴ CH”=BC”-BH”=3-1=2(km)
A
2 km
60˘
B
따라서 △AHC에서
AC”=øπAH”
¤ +CH”
¤ ="√('3)¤ +2¤ ='7(km)
04 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H
C
라 하면 △ACH에서
∠C=180˘-(75˘+45˘)=60˘이므로
60˘
H
6 m
A
AH”=6 sin 60˘
'3
AH”=6_ =3'3(m)
2
따라서 △ABH에서
AB”=
AH”
sin 45˘
'2
=3'3÷ =3'6(m)
2
05 꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라
하고 CH”=h m라 하면 △CAH에서
∠ACH=45˘이므로
AH”=h tan 45˘=h_1=h(m)
또한, △CBH에서 ∠BCH=30˘이므로
C
45˘
30˘
h m
B
A
45˘
60˘
H
40 m
BH”=h tan 30˘=h_ = h(m)
AB”=AH”+BH”이므로 h+ h=40,
3+'3
3
h=40
'3
3
'3
3
'3
3
∴ h=40_
=20(3-'3)
3
3+'3
따라서 기구의 높이는 20(3-'3)m이다.
06 꼭짓점 C에서 AB”의 연장선에 내린
수선의 발을 H라 하고 CH”=h m라
60˘
C
45˘
h m
하면
A
30˘
60 m
45˘
H
B
△CAH에서 ∠ACH=60˘이므로
AH”=h tan 60˘=h_'3='3h(m)
또한, △CBH에서 ∠BCH=45˘이므로
BH”=h tan 45˘=h_1=h(m)
AB”=AH”-BH”이므로 '3h-h=60, ('3-1)h=60
93쪽
∴ h=
60
'3-1
=30('3+1)
따라서 산의 높이는 30('3+1)m이다.
02 삼각비와 넓이
1 ⑴ 42'3 ⑵ 12
2 ⑴ 6'3 ⑵ 30
3 ⑴ 64'2 ⑵ 180
4 ⑴ 30 ⑵ 5'3
95~96쪽
1-1 ⑴ 15'3 ⑵ 24
2-1 ⑴ 91 ⑵ 21'2
3-1 ⑴ 18 ⑵ 200'2
4-1 ⑴ 9'2 ⑵ 20'2
H
3 km
C
1 ⑴ △ABC=;2!;_14_12_sin 60˘
⑴ △ABC=;2!;_14_12_ =42'3
⑵ △ABC=;2!;_4'2_6_sin 45˘
⑴ △ABC=;2!;_4'2_6_ =12
'3
2
'2
2
1-1 ⑴ △ABC=;2!;_12_5'3_sin 30˘
75˘
45˘
B
⑴ △ABC=;2!;_12_5'3_;2!;=15'3
⑵ ∠C=∠B=75˘이므로 ∠A=180˘-75˘_2=30˘
(cid:100) ∴ △ABC=;2!;_4'6_4'6_sin 30˘
(cid:100) ∴ △ABC=;2!;_4'6_4'6_;2!;=24
2 ⑴ △ABC=;2!;_6_4_sin(180˘-120˘)
⑴ △ABC=;2!;_6_4_ =6'3
'3
2
⑵ △ABC=;2!;_10_12_sin(180˘-150˘)
⑴ △ABC=;2!;_10_12_;2!;=30
2-1 ⑴ △ABC=;2!;_13'2_14_sin(180˘-135˘)
⑴ △ABC=;2!;_13'2_14_ =91
⑵ △ABC=;2!;_7'3_4'2_sin(180˘-120˘)
⑴ △ABC=;2!;_7'3_4'2_ =21'2
'2
2
'3
2
3 ⑴ (cid:8772)ABCD=8_16_sin 45˘=8_16_ =64'2
'2
2
⑵ (cid:8772)ABCD=10_12'3_sin(180˘-120˘)
⑴ (cid:8772)ABCD=10_12'3_ =180
'3
2
Ⅲ. 삼각비 29
01 45˘
05 9 cm
02 12 cm 03 14'3 cm¤ 04 16'3 cm¤
08 4'5 cm
06 6'2 cm 07 6 cm
08 (cid:8772)ABCD는 등변사다리꼴이므로 BD”=AC”=x cm라 하면
97쪽
이므로 x¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ x='∂36=6 (∵ x>0)
따라서 BD”의 길이는 6 cm이다.
3-1 ⑴ (cid:8772)ABCD=6_6_sin 30˘=6_6_;2!;=18
⑵ (cid:8772)ABCD=20_20_sin(180˘-135˘)
⑴ (cid:8772)ABCD=20_20_ =200'2
'2
2
4 ⑴ (cid:8772)ABCD=;2!;_10_12_sin 30˘
⑴ (cid:8772)ABCD=;2!;_10_12_;2!;=30
⑵ (cid:8772)ABCD=;2!;_5_4_sin(180˘-120˘)
⑴ (cid:8772)ABCD=;2!;_5_4_ =5'3
4-1 ⑴ (cid:8772)ABCD=;2!;_6_6_sin 45˘
⑴ (cid:8772)ABCD=;2!;_6_6_ =9'2
⑵ (cid:8772)ABCD=;2!;_8_10_sin(180˘-135˘)
⑴ (cid:8772)ABCD=;2!;_8_10_ =20'2
'3
2
'2
2
'2
2
01 △ABC=;2!;_8_12_sin B=24'2이므로
sin B=24'2_;4¡8;= (cid:100)(cid:100)∴ ∠B=45˘
'2
2
02 △ABC=;2!;_6_BC”_sin(180˘-150˘)
△ABC=;2!;_6_BC”_;2!;=18
∴ BC”=18_;3@;=12(cm)
03 선분 AC를 그으면
△ABC=;2!;_2'3_4
△ABC=_sin(180˘-150˘)
△ABC=;2!;_2'3_4_;2!;
△ABC=2'3(cm¤ )
△ACD=;2!;_8_6_sin 60˘
△ACD=;2!;_8_6_
'3
2
△ACD=12'3(cm¤ )
∴ (cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD=14'3(cm¤ )
30 정답 및 풀이
A
cm
32
B
4 cm
150˘
C
8 cm
6 cm
60˘
D
04 선분 BD를 그으면
△ABD
=;2!;_4_4_sin(180˘-120˘)
'3
=;2!;_4_4_ =4'3(cm¤ )
2
△BCD=;2!;_4'3_4'3_sin 60˘
4 cm
A
D
4 cm
120˘
B
3 cm4
3 cm4
60˘
C
△BCD=;2!;_4'3_4'3_ =12'3(cm¤ )
∴ (cid:8772)ABCD=△ABD+△BCD=16'3(cm¤ )
'3
2
05 (cid:8772)ABCD=4_BC”_sin 60˘=4_BC”_ =18'3
'3
2
∴ BC”=18'3_
=9(cm)
1
2'3
06 마름모의 한 변의 길이를 x cm라 하면
(cid:8772)ABCD=x_x_sin(180˘-150˘)=x¤ _;2!;=36
이므로 x¤ =72(cid:100)(cid:100)∴ x='∂72=6'2 (∵ x>0)
따라서 마름모의 한 변의 길이는 6'2 cm이다.
07 BD”=;2#;`AC”이므로 BD”=x cm라 하면 AC”=;3@;x cm
(cid:8772)ABCD=;2!;_x_;3@;x_sin 45˘=;3!;x¤ _ =6'2
'2
2
(cid:8772)ABCD=;2!;_x_x_sin(180˘-120˘)
(cid:8772)ABCD=;2!;_x¤ _ =20'3
'3
2
이므로 x¤ =80(cid:100)(cid:100)∴ x='∂80=4'5 (∵ x>0)
따라서 BD”의 길이는 4'5 cm이다.
98쪽
01 160'3 cm‹
03 (6+3'3+3'7)cm
24'3
7
06 ④
07
cm
02 {10+
10'3
3
} m
04 ③
05 2'5 cm¤
01 △DGH에서 GH”=8 cos 30˘=8_ =4'3(cm)
'3
2
DH”=8 sin 30˘=8_;2!;=4(cm)
∴ (직육면체의 부피)=10_4'3_4=160'3(cm‹ )
02 △BAD에서 BD”=AD”_tan 45˘=10_1=10(m)
10'3
3
△ACD에서 CD”=AD”_tan 30˘=10_ =
(m)
∴ (나무의 높이)=BC”=BD”+CD”=10+
(m)
'3
3
10'3
3
03 △AHC에서 CH”=6 sin 60˘=6_ =3'3(cm)
'3
2
또한, AH”=6 cos 60˘=6_;2!;=3(cm)이므로
BH”=AB”-AH”=9-3=6(cm)
△CHB에서 BC”="√(3'3)¤ +6¤ ='∂63=3'7(cm)
따라서 △CHB의 둘레의 길이는 (6+3'3+3'7)cm
45˘
45˘
B
A 60˘
x m
H
100 m
30˘
C
04 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을
H라 하면 AH”의 길이가 육지에서 섬
까지의 가장 짧은 거리이다.
AH”=x m라 하면
△ABH에서 ∠BAH=45˘이므로
BH”=x tan 45˘=x_1=x(m)
△ACH에서 ∠CAH=60˘이므로
CH”=x tan 60˘=x_'3='3x(m)
BC”=BH”+CH”이므로 x+'3x=100
(1+'3)x=100(cid:100)(cid:100)∴ x=
=50('3-1)
100
'3+1
따라서 육지에서 섬까지의 가장 짧은 거리는 50('3-1) m이다.
05 tan B=;2!;이므로 오른쪽 그림과 같은 직각
A'
1
C'
B
2
삼각형 A'BC'를 그릴 수 있다.
A'B”="√2¤ +1¤ ='5이므로
sin B= =
1
'5
'5
5
∴ △ABC=;2!;_4_5_sin B
∴ △ABC=;2!;_4_5_ =2'5(cm¤ )
'5
5
06
보조선을 그어 BD”를 빗변으로 하는 직각삼각형을 만든다.
꼭짓점 D에서 BC”의 연장선에 내린 수선
A
의 발을 H라 하면 DC”=AB”=2 cm
2 cm
∠DCH=∠B=60˘
D
60˘
H
60˘
B
3 cm
C
∴ CH”=2 cos 60˘=2_;2!;=1(cm)
(cid:100) DH”=2 sin 60˘=2_ ='3(cm)
'3
2
따라서 △DBH에서
BD”=øπBH”
¤ +DH”
¤ ="√4¤ +('3)¤ ='∂19(cm)
07
△ABC=△ABD+△ACD임을 이용한다.
△ABC=△ABD+△ACD이므로
;2!;_6_8_sin 60˘
=;2!;_6_AD”_sin 30˘+;2!;_8_AD”_sin 30˘
3_8_ =3_AD”_;2!;+4_AD”_;2!;
'3
2
12'3=;2&;`AD”(cid:100)(cid:100)∴ AD”=
24'3
7
(cm)
02 ②
05 ④
01 ⑤
04 24 cm¤
07 16('3-1)
10 (18p-9'3)cm¤
14 ③
13 ①
99~101쪽
03 (10'3-10)m
06 ③
08 ②
11 ④
15 7 cm
09 ①
12 4'3 cm¤
16 10'7 km
17 100'3 m 18 48'3 cm¤ 19 14 cm¤
01 cos 40˘=
이므로 BC”=
5
BC”
5
cos 40˘
02 BC”=10 tan 35˘=10_0.70=7(m)
∴ (나무의 높이)=7+1.5=8.5(m)
03 △ABC에서 AC”=10 tan 60˘=10_'3=10'3(m)
△DBC에서 CD”=10 tan 45˘=10_1=10(m)
∴ AD”=AC”-CD”=10'3-10(m)
04 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을
A
D
H라 하면 △ABH에서
BH”=4'2 cos 45˘=4'2_
'2
2
BH”=4(cm)
24
cm
45˘
B
H
8 cm
C
∴ AD”=HC”=BC”-BH”=8-4=4(cm)
'2
2
또한, CD”=AH”=4'2 sin 45˘=4'2_ =4(cm)
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(4+8)_4=24(cm¤ )
05 점 B에서 OA”에 내린 수선의 발을 H라
하면 △OBH에서
OH”=30 cos 45˘=30_
'2
2
30 cm
45˘
O
H
A
B
B'
OH”=15'2(cm)
따라서 추는 A 지점을 기준으로 (30-15'2)cm의 높이에 있다.
06 꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라
A
하면 △CBH에서
BH”=100 sin 45˘=100_
'2
2
60˘
H
B
75˘
45˘
100 m
C
BH”=50'2(m)
∠A=180˘-(75˘+45˘)=60˘이므로 △ABH에서
'3
2
=50'2÷ =
BH”
sin 60˘
100'6
3
AB”=
(m)
07 AH”=h라 하면
△ABH에서 BH”=h tan 45˘=h_1=h
△AHC에서 CH”=h tan 60˘=h_'3='3h
BC”=BH”+CH”이므로 h+'3h=8, ('3+1)h=8
∴ h=
8
'3+1
=4('3-1)
Ⅲ. 삼각비 31
∴ △ABC=;2!;_8_4('3-1)=16('3-1)
08 오른쪽 그림에서 CH”=h km라 하면
△CAH에서 ∠ACH=60˘이므로
AH”=h tan 60˘=h_'3='3h(km)
또한, △CBH에서 ∠BCH=45˘이므로
BH”=h tan 45˘=h_1=h(km)
AB”=AH”-BH”이므로 '3h-h=100, ('3-1)h=100
30˘
100 km
45˘
A
B
C
H
∴ h=
100
'3-1
=50('3+1)
따라서 지면에서 인공위성까지의 높이는 50('3+1)km이다.
09 ∠A=180˘-2_75˘=30˘이므로
△ABC=;2!;_5'3_5'3_sin 30˘
△ABC=;2!;_5'3_5'3_;2!;=;;¶4∞;;(cm¤ )
10 (색칠한 부분의 넓이)
=;2!;_p_6¤ -;2!;_6_6_sin(180˘-120˘)
=18p-;2!;_6_6_
=18p-9'3(cm¤ )
'3
2
11 AC”∥DE”이므로 △ACD=△ACE
∴ (cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD
∴ (cid:8772)ABCD=△ABC+△ACE=△ABE
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_6_12_sin 60˘
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_6_12_ =18'3(cm¤ )
'3
2
△AGC=;3!;△ABC=;3!;_{;2!;_6_8_sin 60˘}
'3
△AGC=8_ =4'3(cm¤ )
2
13 (cid:8772)ABCD=10_12_sin 45˘=10_12_ =60'2(cm¤ )
'2
2
네 삼각형 PAB, PBC, PCD, PDA의 넓이는 모두 같으므로
(색칠한 부분의 넓이)=;2!;_(cid:8772)ABCD=;2!;_60'2
(색칠한 부분의 넓이)=30'2(cm¤ )
14 ∠AOB=x(0˘<x…90˘)라 하면
(cid:8772)ABCD=;2!;_8_6_sin x=24 sin x
∠AOB=90˘일 때 sin x=1로 최대이므로 (cid:8772)ABCD의 넓이
의 최댓값은 24_1=24(cm¤ )
15 (cid:8772)ABCD=;2!;_14_(PB”+9)_sin 60˘
(cid:8772)ABCD=;2!;_14_(PB”+9)_ =56'3
'3
2
32 정답 및 풀이
이므로 PB”+9=56'3_
2
7'3
=16
∴ PB”=7(cm)
16 꼭짓점 B에서 AP”에 내린 수선의 발을
H라 하면 △ABH에서
BH”=30 sin 60˘=30_
'3
2
BH”=15'3(km)
P
20 km
H
60˘
A
30 km
B
또한, AH”=30 cos 60˘=30_;2!;=15(km)이므로
PH”=AP”-AH”=20-15=5(km)
따라서 △BHP에서
BP”="√(15'3)¤ +5¤ ='∂700=10'7(km)
17 △ABH에서
AH”=200 sin 60˘=200_ =100'3(m)
yy ❶
'3
2
△CAH에서
CH”=100'3 tan 45˘=100'3_1=100'3(m)
따라서 산의 높이 CH”의 길이는 100'3 m이다.
채점 기준
❶ AH”의 길이 구하기
❷ 산의 높이 CH”의 길이 구하기
yy ❷
배점
3점
3점
18 △ABE™△C'BE(RHS 합동)이므로
∠ABE=∠C'BE=;2!;_(90˘-30˘)=30˘
즉, AE”=12 tan 30˘=12_ =4'3(cm)
yy ❶
'3
3
△ABE=;2!;_12_4'3=24'3(cm¤ )
yy ❷
=48'3(cm¤ )
yy ❸
❶ ∠ABE의 크기를 구하여 AE”의 길이 구하기
채점 기준
❷ △ABE의 넓이 구하기
❸ (cid:8772)ABC'E의 넓이 구하기
배점
3점
2점
1점
19 선분 AC를 그으면
△ABC=;2!;_6_4'2_sin 45˘
△ABC=;2!;_6_4'2_
△ABC=12(cm¤ )(cid:100)(cid:100)(cid:100)yy ❶
A
2 cm
D
6 cm
135˘
45˘
B
24
cm
22
cm
C
△ACD=;2!;_2_2'2_sin(180˘-135˘)
△ACD=;2!;_2_2'2_ =2(cm¤ )
∴ (cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD=14(cm¤ )
채점 기준
❶ △ABC의 넓이 구하기
❷ △ACD의 넓이 구하기
❸ (cid:8772)ABCD의 넓이 구하기
yy ❷
yy ❸
배점
2점
2점
1점
'2
2
'2
2
12 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
∴ (cid:8772)ABC'E=2△ABE=2_24'3
IV 원의 성질
1. 원과 직선
01 원의 현
1 ⑴ 6 ⑵ 10
2 ⑴ 4 ⑵ 3
3 ⑴ 2'3 ⑵ 6
4 ⑴ 9 ⑵ 3
5
55˘
6
;;¡2∞;; cm
6 원 모양의 접시의 중심을 O라 하고
반지름의 길이를 r cm라 하면
OM”=r-3(cm)
△AOM에서 r¤ =6¤ +(r-3)¤
C
3 cm
M
A
6 cm
6 cm
B
O
105~107쪽
6r=45(cid:100)(cid:100)∴ r=;;¡2∞;;
1-1 ⑴ 80 ⑵ 3
2-1 ⑴ 6 ⑵ 6
3-1 ⑴ 24 ⑵ 5
4-1 ⑴ 12 ⑵ 5
5-1 40˘
7
4 cm
따라서 원 모양의 접시의 반지름의 길이는 ;;¡2∞;; cm이다.
7 원의 중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을
M이라 하고 원의 반지름의 길이를 r cm
라 하면
OM”=;2!;r(cm)
O
A
M
cm
34
B
⑵ AM”=;2!;AB”=;2!;_16=8이므로 △OAM에서
01 AB”∥CD”이므로 ∠CDO=∠BOD=40˘(엇각)
1 ⑴ 중심각의 크기가 같으면 현의 길이가 같으므로 x=6
⑵ 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로
40˘ : 80˘=5 : x, 1 : 2=5 : x(cid:100)(cid:100)∴ x=10
1-1 ⑴ 현의 길이가 같으면 중심각의 크기가 같으므로 x=80
⑵ 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로
(cid:100) 20˘ : 100˘=x : 15, 1 : 5=x : 15(cid:100)(cid:100)∴ x=3
2 ⑴ x=AM”=4
⑵ x=;2!;AB”=;2!;_6=3
2-1 ⑴ x=2AM”=2_3=6
⑵ x=;2!;AB”=;2!;_12=6
3 ⑴ △OAM에서 AM”="√2¤ -1¤ ='3
(cid:100) ∴ x=2AM”=2'3
(cid:100) x="√10¤ -8¤ ='∂36=6
3-1 ⑴ △OBM에서 BM”="√13¤ -5¤ ='∂144=12
(cid:100) ∴ x=2BM”=2_12=24
⑵ BM”=;2!;AB”=;2!;_6=3이므로 △OMB에서
(cid:100) x="√3¤ +4¤ ='∂25=5
4 ⑴ OM”=ON”이므로 x=AB”=9
⑵ AB”=2_4=CD”이므로 x=3
4-1 ⑴ OM”=ON”이므로 x=AB”=2_6=12
⑵ AB”=CD”이므로 x=5
5 OM”=ON”이므로 AB”=AC”
즉, △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠x=55˘
5-1 OM”=ON”이므로 AB”=AC”
즉, △ABC는 이등변삼각형이므로
∠x=180˘-(70˘+70˘)=40˘
AM”=;2!;AB”=;2!;_4'3=2'3(cm)
△OAM에서 r¤ ={;2!;r}2 +(2'3)¤`
;4#;r¤ =12, r¤ =16
이때 r>0이므로 r=4
따라서 원 O의 반지름의 길이는 4 cm이다.
108~109쪽
01 15 cm 02 3 cm
03 2'∂13 cm 04 ;;¡2£;; cm
05 4 cm
09 16 cm 10 2'5 cm 11 50˘
06 20p cm 07 8'3 cm 08 3'3 cm
12 50˘
CO”를 그으면 △COD는 이등변삼각형
이므로
∠COD=180˘-2_40˘=100˘
100˘ : 40˘=μ CD : 6이므로
5 : 2=μ CD : 6(cid:100)(cid:100)∴ μ CD=15(cm)
C
A
D
40˘
40˘
O
6 cm
B
02 AD”∥OC”이므로 ∠DAO=∠COB=30˘(동위각)
OD”를 그으면 △AOD는 이등변삼각형
12 cm
D
C
B
30˘
30˘
A
O
이므로
∠AOD=180˘-2_30˘=120˘
120˘ : 30˘=12 : μ BC이므로
4 : 1=12 : μ BC(cid:100)(cid:100)∴ μ BC=3(cm)
03 AM”=;2!;AB”=;2!;_12=6(cm)
OA”를 그으면 △OAM에서
OA”="√4¤ +6¤ ='∂52=2'∂13(cm)
따라서 원 O의 반지름의 길이는 2'∂13 cm
O
A
4 cm
M
12 cm
B
이다.
Ⅳ. 원의 성질 33
04 OB”=r cm라 하면
OM”=r-4(cm), BM”=AM”=6 cm이므로
△OBM에서 r¤ =(r-4)¤ +6¤
8r=52(cid:100)(cid:100)∴ r=;;¡2£;;
∴ OB”=;;¡2£;; cm
05 CM”은 현 AB의 수직이등분선이므로
CM”의 연장선은 원의 중심을 지난다.
이때 원의 중심을 O라 하고
CM”=x cm라 하면
OM”=10-x(cm)
A
10 cm
M
16 cm
B
C
O
09 △OBM에서 BM”="√10¤ -6¤ ='∂64=8(cm)
∴ CD”=AB”=2BM”=2_8=16(cm)
10 AM”=BM”=4 cm이므로
△OAM에서 OM”="√6¤ -4¤ ='∂20=2'5(cm)
AB”=CD”이므로 ON”=OM”=2'5 cm
11 사각형 AMON에서
∠A=360˘-(90˘+100˘+90˘)=80˘
OM”=ON”이므로 △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이다.
∴ ∠x=;2!;_(180˘-80˘)=50˘
12 사각형 BHOM에서
∠B=360˘-(90˘+115˘+90˘)=65˘
OM”=ON”이므로 △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이다.
∴ ∠x=180˘-2_65˘=50˘
06 원 모양의 접시의 중심을 O, 반지름의 길이를
02 원의 접선
111~112쪽
AM”=;2!;AB”=;2!;_16=8(cm)
△AOM에서
10¤ =(10-x)¤ +8¤ , x¤ -20x+64=0
(x-4)(x-16)=0
이때 0<x<10이므로 x=4
∴ CM”=4 cm
r cm라 하면
OM”=r-2(cm)
AM”=;2!;AB”=;2!;_12=6(cm)
△AOM에서 r¤ =(r-2)¤ +6¤
4r=40(cid:100)(cid:100)∴ r=10
따라서 원 모양의 접시의 둘레의 길이는
2p_10=20p(cm)
07 원의 중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을
M이라 하면 OM”=;2!;_8=4(cm)
△OAM에서
AM”="√8¤ -4¤ ='∂48=4'3(cm)
∴ AB”=2AM”=2_4'3=8'3(cm)
08 원의 중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을
M이라 하고 원의 반지름의 길이를 r cm
라 하면
OM”=;2!;r(cm)
△OAM에서 r¤ ={;2!;r}2 +9¤
;4#;r¤ =81, r¤ =108
이때 r>0이므로 r='∂108=6'3
따라서 원의 중심 O에서 AB”까지의 거리는
;2!;_6'3=3'3(cm)
34 정답 및 풀이
C
2 cm
B
M
12 cm
A
r cm
O
O
M
O
M
18 cm
A
B
A
B
1-1 ∠OAP=90˘이고 OA”=OB”=3이므로 △OPA에서
1-1 4
2-1 125˘
3-1 30˘
6 cm
70˘
70˘
1
2
3
4 ⑴ BD”=7, CF”=5 ⑵ 12
4-1 9
5
8
5-1 9
1 ∠OAP=90˘이므로 △OPA에서
OA”="√10¤ -8¤ ='∂36=6(cm)
따라서 원 O의 반지름의 길이는 6 cm이다.
PA”="√5¤ -3¤ ='∂16=4
2 ∠PAO=90˘, ∠PBO=90˘이므로 (cid:8772)APBO에서
∠P=360˘-(90˘+110˘+90˘)=70˘
2-1 ∠PAO=90˘, ∠PBO=90˘이므로 (cid:8772)APBO에서
∠AOB=360˘-(90˘+55˘+90˘)=125˘
3 PA”=PB”이므로 △PAB는 이등변삼각형이다.
3-1 PA”=PB”이므로 △PAB는 이등변삼각형이다.
∴ ∠P=180˘-(75˘+75˘)=30˘
4 ⑴ BD”=10-3=7
(cid:100) CF”=8-3=5
⑵ BC”=BE”+CE”=BD”+CF”
=7+5=12
AM”=;2!;AB”=;2!;_18=9(cm)
∴ ∠PBA=;2!;_(180˘-40˘)=70˘
4-1 AB”=AD”+BD”=AF”+BE”
=(12-8)+(13-8)=9
5 AB”+CD”=AD”+BC”이므로
6+7=5+x(cid:100)(cid:100)∴ x=8
5-1 AB”+CD”=AD”+BC”이므로
10+12=x+13(cid:100)(cid:100)∴ x=9
01 9 cm
05 6 cm
09 3 cm
13 30 cm 14 48 cm¤
02 4'3 cm 03 27 cm 04 70˘
06 18 cm 07 12 cm 08 2 cm
12 30 cm
10 18 cm 11 2 cm
01 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
△OPT는 직각삼각형이므로
(6+r)¤ =12¤ +r¤
12r=108(cid:100)(cid:100)∴ r=9
따라서 원 O의 반지름의 길이는 9 cm이다.
O
A6 cm
P
12 cm
T
02 PO”=PA”+OA”=4+4=8(cm)
△OPT에서
PT”=øπPO”
¤ -OT”
="√8¤ -4¤ ='∂48=4'3(cm)
∠P=360˘-(90˘+120˘+90˘)=60˘이고
PA”=PB”이므로 △PAB는 정삼각형이다.
따라서 △PAB의 둘레의 길이는
3_9=27(cm)
04 PA”⊥OA”이므로
∠PAB=90˘-35˘=55˘
PA”=PB”이므로
∠PBA=∠PAB=55˘
∴ ∠P=180˘-(55˘+55˘)=70˘
05 BF”=BD”=11-7=4(cm)이고
AE”=AD”=11 cm이므로
CF”=CE”=11-9=2(cm)
∴ BC”=BF”+CF”=4+2=6(cm)
06 (△ABC의 둘레의 길이)=AB”+BC”+AC”
=AB”+(BF”+CF”)+AC”
=(AB”+BD”)+(CE”+AC”)
=AD”+AE”=2AE”
=2_(6+3)
=18(cm)
07 DE”=AD”=4 cm, EC”=BC”=9 cm이므로
DC”=4+9=13(cm)
오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BC”에 내
린 수선의 발을 H라하면
CH”=9-4=5(cm)
△CDH에서
DH”="√13¤ -5¤ ='∂144=12(cm)
∴ AB”=DH”=12 cm
수선의 발을 H라 하고
BC”=x cm라 하면 AB”=8 cm
DC”=8+x(cm), DH”=8-x(cm)
△CDH에서 (8-x)¤ +8¤ =(8+x)¤
32x=64(cid:100)(cid:100)∴ x=2
따라서 BC”의 길이는 2 cm이다.
C
H
9 cm
E
D
4 cm
A
O
B
8 cm
H
A
4 cm O
E
C
B
08 오른쪽 그림과 같이 점 C에서 DA”에 내린
D
113~114쪽
09 AF”=x cm라 하면 AD”=x cm이고
CE”=CF”=9-x(cm), BE”=BD”=8-x(cm)
BC”=BE”+CE”이므로 (8-x)+(9-x)=11
17-2x=11, 2x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=3
따라서 AF”의 길이는 3 cm이다.
10 AD”=AF”, BD”=BE”, CE”=CF”이므로
AD”+BE”+CF”=;2!;(AB”+BC”+AC”)
AD”+BE”+CF”=;2!;_(12+14+10)=18(cm)
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
CE”=CF”=r cm이므로
BD”=BE”=6-r(cm), AD”=AF”=8-r(cm)
AB”=BD”+AD”이므로 (6-r)+(8-r)=10
14-2r=10, 2r=4(cid:100)(cid:100)∴ r=2
따라서 원 O의 반지름의 길이는 2 cm이다.
[다른 풀이]
AC”="√10¤ -6¤ ='∂64=8(cm)
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
△ABC=△OAB+△OBC+△OCA이므로
;2!;_6_8=;2!;_10_r+;2!;_6_r+;2!;_8_r
24=12r(cid:100)(cid:100)∴ r=2
12 BD”=BE”=x cm라 하면
AD”=AF”=3 cm, CE”=CF”=2 cm이므로
AB”=x+3(cm), BC”=x+2(cm)
△ABC에서 (x+3)¤ =(x+2)¤ +5¤
2x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=10
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
2_(10+3+2)=30(cm)
Ⅳ. 원의 성질 35
03 ∠PAO=90˘, ∠PBO=90˘이므로 (cid:8772)APBO에서
11 AC”="√10¤ -6¤ ='∂64=8(cm)
¤
13 AB”+CD”=AD”+BC”이므로
((cid:8772)ABCD의 둘레의 길이)
=2(AB”+CD”)=2_(6+9)=30(cm)
14 원 O의 반지름의 길이가 3 cm이므로 AB”=2_3=6(cm)
AD”+BC”=AB”+CD”=6+10=16(cm)이므로
(cid:8772)ABCD=;2!;_(AD”+BC”)_AB”
(cid:8772)ABCD=;2!;_16_6=48(cm¤ )
OC”를 그으면 △OCH에서
OH”="√4¤ -(2'3)¤ ='4=2(cm)
AH”=OA”-OH”=4-2=2(cm)이므로
△ABC=;2!;_4'3_2=4'3(cm¤ )
05 OA”를 그으면 OA”=5+8=13(cm)이므로
△OAP에서
AP”="√13¤ -5¤ ='∂144=12(cm)
∴ AB”=2AP”=2_12=24(cm)
A
O
5 cm
P 8 cm
B
Q
115~116쪽
06 ∠OBP=90˘이므로 ∠ABP=90˘-25˘=65˘
PA”=PB”이므로 ∠BAP=∠ABP=65˘
01 2 cm
05 ④
09 50˘
02 2'5 cm 03 6 cm
07 3 cm
06 ③
11 6'2 cm
10 9p cm¤
04 4'3 cm¤
08 20'6 cm¤
12 (12p-9'3)cm¤
13 ;;™2∞;; cm 14 9 cm
∴ ∠P=180˘-(65˘+65˘)=50˘
07 BD”=BF”, CE”=CF”이므로
AE”=AD”=;2!;_(△ABC의 둘레의 길이)
01 OP”=x cm라 하고 OA”를 그으면
AP”=;2!;AB”=;2!;_4'7=2'7(cm)
△OAP에서
8¤ =(2'7)¤ +x¤ , x¤ =36
이때 x>0이므로 x=6
∴ PC”=OC”-OP”=8-6=2(cm)
O
P
C
8 cm
B
74
cm
A
02 CM”은 현 AB의 수직이등분선이므
로 CM”의 연장선은 원의 중심을 지
난다. 이때 원의 중심을 O라 하면
OM”=5-2=3(cm)
A
B
2 cm
3 cm
M
C
O
5 cm
△AOM에서
AM”="√5¤ -3¤ ='∂16=4(cm)
△AMC에서 AC”="√4¤ +2¤ ='∂20=2'5(cm)
03 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서
AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면
BH”=;2!;AB”=;2!;_8=4(cm),
OB”=;2!;BC”=;2!;_10=5(cm)이므로
A
C
OH
10 cm
8 cm
8 cm
B
D
OH”="√5¤ -4¤ ='9=3(cm)
AB”=CD”=8 cm이므로 원의 중심 O에서 두 현 AB, CD까
지의 거리는 서로 같다.
따라서 두 현 AB, CD 사이의 거리는
2OH”=2_3=6(cm)
AE”=;2!;_(6+7+5)
AE”=9(cm)
∴ CE”=AE”-AC”=9-6=3(cm)
08 DE”=DA”=4 cm, CE”=CB”=6 cm이므로
DC”=4+6=10(cm)
오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BC”에
내린 수선의 발을 H라 하면
CH”=6-4=2(cm)
△CDH에서
DH”="√10¤ -2¤ ='∂96=4'6(cm)
4 cm
D
A
E
C
H
6 cm
O
B
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(4+6)_4'6=20'6(cm¤ )
09 △ABC에서 ∠B=180˘-(40˘+60˘)=80˘
BD”=BE”이므로 △BED는 이등변삼각형이다.
∴ ∠x=;2!;_(180˘-80˘)=50˘
10 BD”=BE”=9 cm, CF”=CE”=6 cm이고
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
AD”=AF”=r cm이므로
AB”=9+r(cm), AC”=6+r(cm)
△ABC에서 15¤ =(r+9)¤ +(r+6)¤
2r¤ +30r-108=0, r¤ +15r-54=0
(r-3)(r+18)=0
이때 r>0이므로 r=3
따라서 원 O의 넓이는 p_3¤ =9p(cm¤ )
04 △ABC가 AB”=AC”인 이등변삼각형이
므로 AO”를 그어 BC”와 만나는 점을 H라
하면 AH”⊥BC”이고
CH”=;2!;BC”=;2!;_4'3=2'3(cm)
B
H
34
cm
C
A
O
11 (cid:8772)ABCD가 원 O에 외접하므로
AB”+CD”=AD”+BC”
AB”=CD”이므로 2AB”=6+12
∴ AB”=;2!;_18=9(cm)
36 정답 및 풀이
점 A, D에서 BC”에 내린 수선의 발을 각
6 cm
A
D
각 H, H'이라 하면 BH”=CH'”이므로
BH”=;2!;_(12-6)=3(cm)
△ABH에서
AH”="√9¤ -3¤ ='∂72=6'2(cm)
따라서 원 O의 지름의 길이는 6'2 cm이다.
H
B
H'
C
O
12 cm
117~119쪽
02 4'3 cm 03 ③
01 ⑤
07 ③
06 70˘
05 12 cm¤
09 2'5 cm 10 36'3 cm¤ 11 8 cm
14 9p cm¤
15 9 cm
13 5 cm
04 ④
08 ②
12 9'3 cm¤
16 24 cm
12
주어진 그림에서
(색칠한 부분의 넓이)=(부채꼴 OAB의 넓이) -(△OAB의 넓이)
이므로 먼저 부채꼴 OAB의 반지름의 길이와 중심각의 크기를 구한다.
17 ⑴ ;;¡2£;; cm ⑵ 13p cm
18 ⑴ 6 cm ⑵ 14 cm ⑶ 28 cm
원의 중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H
라 하고 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
OH”=;2!;r cm
AH”=;2!;_6'3=3'3(cm)
O
A
H
cm
36
B
△OAH에서 r¤ ={;2!;r}2 +(3'3)¤ , ;4#;r¤ =27, r¤ =36
이때 r>0이므로 r=6
즉, OA”=6 cm, OH”=3 cm이므로 ∠AOH=60˘
∴ ∠AOB=2∠AOH=2_60˘=120˘
∴ (색칠한 부분의 넓이)
(cid:100) =(부채꼴 OAB의 넓이)-△OAB
(cid:100) =p_6¤ _;3!6@0);-;2!;_6'3_3=12p-9'3(cm¤ )
13
⑴ AB”, AF”가 원 O의 접선이므로 AB”=AF”
⑵ 변의 길이를 구하는 데 필요한 나머지 변들의 길이를 한 문자에 관한 식
으로 나타내고, 직각삼각형을 찾아 피타고라스 정리를 이용한다.
EC”=EF”=x cm라 하면
DE”=10-x(cm),
AE”=10+x(cm)
△ADE에서
(10+x)¤ =10¤ +(10-x)¤
40x=100(cid:100)(cid:100)∴ x=;2%;
10 cm
A
B
D
10 cm
F
(10-x) cm
x cm
O
10 cm
E
x cm
C
∴ AE”=AF”+EF”=10+;2%;=;;™2∞;;(cm)
14
오른쪽 그림과 같이 원 O에 외접
하는 사각형에서
⑴ FD”=DI”, HE”=EI”이므로
ED”=FD”+HE”
⑵ AB”+DE”=AD”+BE”
⑶ DE”
¤ +CD”
¤ =EC”
A
G
B
F
O
I
H
E
D
C
△DCE에서 CE”="√15¤ -12¤ ='∂81=9(cm)
BE”=x cm라 하면 AD”=x+9(cm)
AB”=CD”=12 cm이고, (cid:8772)ABED가 원 O에 외접하므로
AB”+DE”=AD”+BE”에서
12+15=(x+9)+x, 2x=18
x=9(cid:100)(cid:100)∴ BE”=9 cm
01 △OAM에서
AM”="√10¤ -6¤ ='∂64=8(cm)
∴ AB”=2AM”=2_8=16(cm)
02 △AOH에서
AH”="√6¤ -2¤ ='∂32=4'2(cm)
BH”=AH”=4'2 cm이고
HC”=6-2=4(cm)이므로
△BCH에서
BC”="√(4'2)¤ +4¤ ='∂48=4'3(cm)
03 CH”는 현 AB의 수직이등분선이므로 원의
중심을 지난다. 원의 중심을 O라 하고 원
의 반지름의 길이를 r cm라 하면
C
r cm
8 cm
O
(8-r) cm
H
8 cm
B
AH”=;2!;AB”=;2!;_8=4(cm)이므로
A
△OAH에서
r¤ =(8-r)¤ +4¤
16r=80(cid:100)(cid:100)∴ r=5
따라서 원 모양의 접시의 반지름의 길이는 5 cm이다.
04 △OAM에서
OM”="√13¤ -12¤ ='∂25=5(cm)
OM”=ON”=5 cm이므로 CD”=AB”
∴ CD”=AB”=2AM”=2_12=24(cm)
05 원의 중심 O에서 CD”에 내린 수선의 발을
N이라 하면 AB”=CD”이므로
ON”=OM”=4 cm
△OND에서
ND”="√5¤ -4¤ =3(cm)
이므로 CD”=2ND”=2_3=6(cm)
∴ △OCD=;2!;_6_4=12(cm¤ )
06 OM”=ON”이므로 AB”=AC”
∴ ∠x=;2!;_(180˘-40˘)=70˘
A
M 4 cm
5 cm
O
B
D
N
C
Ⅳ. 원의 성질 37
¤
07 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
14 AB”="√15¤ -12¤ ='∂81=9(cm)
OB”=OA”=r cm
∠PAO=90˘, ∠P=30˘이므로 ∠POA=90˘-30˘=60˘
PO” : OA”=2 : 1이므로
(4+r) : r=2 : 1, 2r=4+r(cid:100)(cid:100)∴ r=4
이때 △OAB가 정삼각형이므로
(△OAB의 둘레의 길이)=3_4=12(cm)
08 원의 중심을 O라 하고 점 O에서 AB”에 내
린 수선의 발을 H라 하면
AH”=;2!;_10=5(cm)
O
H
10 cm
A
B
큰 원의 반지름의 길이를 a cm, 작은 원의
반지름의 길이를 b cm라 하면 △OAH에서
a¤ -b¤ =5¤ =25이므로
(색칠한 부분의 넓이)=pa¤ -pb¤ =p(a¤ -b¤ )=25p(cm¤ )
09 ∠OAP=90˘이고 PO”=4+2=6(cm)이므로
PA”="√6¤ -4¤ ='∂20=2'5(cm)
∴ PB”=PA”=2'5(cm)
10 PO”를 그으면
∠POA=∠POB=;2!;∠AOB
∠POA=;2!;_120˘=60˘
36
cm
120˘
O
P
A
B
∠OAP=∠OBP=90˘이므로 ∠OPA=∠OPB=30˘
OA” : AP”=1 : '3이므로
OA” : 6'3=1 : '3(cid:100)(cid:100)∴ OA”=6(cm)
이때 △AOP™△BOP이므로 △AOP=△BOP
∴ (cid:8772)PAOB=2_{;2!;_6'3_6}=36'3(cm¤ )
11 AD”=AE”=7+3=10(cm)
CF”=CE”=3 cm이므로
BD”=BF”=5-3=2(cm)
∴ AB”=AD”-BD”=10-2=8(cm)
12 PA”=PB”이므로
∠PAB=∠PBA=;2!;_(180˘-60˘)=60˘
△PAB= _6¤ =9'3(cm¤ )
'3
4
[다른 풀이](cid:100)△PAB=;2!;_6_6_sin 60˘=9'3(cm¤ )
13 BE”=BD”=x cm라 하면
AF”=AD”=8-x(cm)
CF”=CE”=12-x(cm)
AF”+CF”=AC”이므로 (8-x)+(12-x)=10
20-2x=10, 2x=10(cid:100)(cid:100)∴ x=5
따라서 BE”의 길이는 5 cm이다.
38 정답 및 풀이
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
AD”=AF”=r cm이므로
BE”=BD”=9-r(cm), CE”=CF”=12-r(cm)
BE”+CE”=BC”이므로 (9-r)+(12-r)=15
21-2r=15, 2r=6(cid:100)(cid:100)∴ r=3
따라서 원 O의 반지름의 길이는 3 cm이므로 넓이는
p_3¤ =9p(cm¤ )
15 AB”+CD”=AD”+BC”이므로 AD”+BC”=7+8=15(cm)
이때 AD” : BC”=2 : 3이므로 BC”=15_;5#;=9(cm)
16 원 모양의 상자 뚜껑의 중심을 O라 하고 점
O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면
A
15 cm
B
9 cm
H
O
OA”=;2!;_30=15(cm)
OH”=;2!;_18=9(cm)
△OAH에서 AH”="√15¤ -9¤ ='∂144=12(cm)
∴ AB”=2AH”=2_12=24(cm)
17 ⑴ 원 모양의 접시의 중심을 O라 하고
원 O의 반지름의 길이를 r cm라
하면
(cid:100) OD”=r-4(cm)
(cid:100) △AOD에서 OA”
¤ =AD”
yy ❶
¤ +OD”
¤ 이므로
(cid:100) r¤ =6¤ +(r-4)¤ , 8r=52(cid:100)(cid:100)∴ r=;;¡2£;;
A
6 cm
6 cm
B
4 cm
C
D
O
(cid:100) 따라서 원 모양의 접시의 반지름의 길이는 ;;¡2£;; cm yy ❷
⑵ 원 모양의 접시의 반지름의 길이가 ;;¡2£;; cm이므로
(cid:100) (원 모양의 접시의 둘레의 길이)=2p_;;¡2£;;
(cid:100) (원 모양의 접시의 둘레의 길이)=13p(cm)
yy ❸
채점 기준
❶ OD”의 길이를 원 O의 반지름의 길이에 관한 식으로 나타내기
❷ 원 모양의 접시의 반지름의 길이 구하기
❸ 원 모양의 접시의 둘레의 길이 구하기
(cid:100) CD”=2_3=6(cm)
⑵ (cid:8772)ABCD가 원 O에 외접하는 사각형이므로
(cid:100) AB”+CD”=AD”+BC”에서
(cid:100) AD”+BC”=8+6=14(cm)
⑶ ((cid:8772)ABCD의 둘레의 길이)=2(AD”+BC”)
=2_14=28(cm) yy ❸
채점 기준
❶ CD”의 길이 구하기
❷ AD”+BC”의 길이 구하기
❸ (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이 구하기
배점
1점
3점
2점
yy ❶
yy ❷
배점
1점
3점
2점
즉, △PAB는 한 변의 길이가 6 cm인 정삼각형이므로
18 ⑴ 원 O의 반지름의 길이가 3 cm이므로
2. 원주각
01 원주각
121~123쪽
70˘
1 ⑴ 35˘ ⑵ 40˘ ⑶ 120˘ ⑷ 105˘
1-1 ⑴ 30˘ ⑵ 130˘ ⑶ 220˘ ⑷ 120˘
2 ⑴ 47˘ ⑵ 60˘
3
4 ⑴ 65˘ ⑵ 25˘
5 ⑴ 20 ⑵ 5
6 ⑴ 50 ⑵ 10
7 ⑴ ◯ ⑵ ×
2-1 ⑴ 32˘ ⑵ 115˘
3-1 30˘
4-1 ⑴ 50˘ ⑵ 40˘
5-1 ⑴ 40 ⑵ 6
6-1 ⑴ 24 ⑵ 15
7-1 ⑴ ◯ ⑵ ×
6 ⑴ 25˘ : x˘=5 : 10(cid:100)(cid:100)∴ x=50
⑵ ∠ADC=90˘이므로
(cid:100) ∠ACD=90˘-40˘=50˘
(cid:100) 40˘ : 50˘=8 : x(cid:100)(cid:100)∴ x=10
6-1 ⑴ 72˘ : x˘=(6+3) : 3(cid:100)(cid:100)∴ x=24
⑵ 20˘ : 50˘=6 : x(cid:100)(cid:100)∴ x=15
⑵ ∠ACD=90˘-30˘=60˘이므로
(cid:100) ∠ACD+∠ABD
(cid:100) 따라서 네 점이 한 원 위에 있지 않다.
7-1 ⑴ ∠BAC=180˘-(75˘+40˘)=65˘
7 ⑴ ∠BAC=∠BDC=36˘이므로 네 점이 한 원 위에 있다.
1 ⑴ ∠x=;2!;_70˘=35˘
⑵ ∠x=2_20˘=40˘
⑶ ∠x=;2!;_240˘=120˘
⑷ ∠x=;2!;_(360˘-150˘)=105˘
1-1 ⑴ ∠x=;2!;_60˘=30˘
⑵ ∠x=2_65˘=130˘
⑶ ∠x=2_110˘=220˘
⑷ ∠AOB=2_120˘=240˘
(cid:100) ∴ ∠x=360˘-240˘=120˘
2 ⑴ ∠x=∠ADB=47˘
⑵ ∠ADB=∠ACB=65˘
(cid:100) ∴ ∠x=180˘-(65˘+55˘)=60˘
2-1 ⑴ ∠x=∠ACB=32˘
⑵ ∠DAC=∠DBC=50˘
(cid:100) ∴ ∠x=65˘+50˘=115˘
3 ∠ACB=90˘이므로 ∠x=180˘-(90˘+20˘)=70˘
3-1 ∠ACB=90˘이므로 ∠x=180˘-(90˘+60˘)=30˘
4 ⑴ ∠ABC=∠ADC=65˘이므로 ∠x=65˘
⑵ ∠ACB=90˘이므로 ∠y=180˘-(90˘+65˘)=25˘
4-1 ⑴ ∠CAB=∠CDB=50˘이므로 ∠x=50˘
⑵ ∠ACB=90˘이므로 ∠y=180˘-(90˘+50˘)=40˘
5 ⑴ μAB=μ CD=4이므로 ∠APB=∠CQD
(cid:100) ∴ x=20
⑵ ∠APB=∠CQD=35˘이므로 μAB=μ CD
(cid:100) ∴ x=5
5-1 ⑴ μAB=μ BC이므로 ∠ACB=∠BAC
(cid:100) ∴ x=40
⑵ ∠CAD=60˘-30˘=30˘이므로 ∠ADB=∠CAD
(cid:100) 즉, μAB=μ CD이므로 x=6
(cid:100) ∠BAC=∠BDC=65˘이므로 네 점이 한 원 위에 있다.
⑵ ∠BAC=100˘-35˘=65˘이므로 ∠BAC+∠BDC
(cid:100) 따라서 네 점이 한 원 위에 있지 않다.
124~125쪽
01 ⑴ 140˘ ⑵ 70˘ ⑶ 110˘
02 61˘
05 25˘
09 60˘
03 70˘
06 55˘
10 70˘
04 ∠x=50˘, ∠y=40˘
07 35˘
11 30˘
08 20˘
12 32˘
01 ⑴ PA”, PB”가 원 O의 접선이므로 ∠PAO=∠PBO=90˘
(cid:100) ∴ ∠AOB=180˘-40˘=140˘
⑵ ∠ACB=;2!;_140˘=70˘
⑶ ®ACB에 대한 중심각의 크기는 `360˘-140˘=220˘
(cid:100) ∴ ∠ADB=;2!;_220˘=110˘
02 PA”, PB”가 원 O의 접선이므로 ∠PAO=∠PBO=90˘
30˘
C
B
A
x
D
F
40˘
E
∴ ∠AOB=180˘-58˘=122˘
∴ ∠x=;2!;_122˘=61˘
03 오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면
∠CAD=∠CBD=30˘
∠DAE=∠DFE=40˘
∴ ∠x=∠CAD+∠DAE
=30˘+40˘=70˘
04 μ BC에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로
∠x=∠BDC=50˘
△ABE에서 ∠y=90˘-50˘=40˘
05 μAB에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로
∠ADB=∠ACB=∠x
BD”는 원 O의 지름이므로 ∠BAD=90˘
△ABD에서 ∠x=180˘-(90˘+65˘)=25˘
Ⅳ. 원의 성질 39
06 오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면
∠ADC=90˘
∠ADB=∠AEB=∠x이므로
∠x+35˘=90˘
∴ ∠x=55˘
A
C
E
x
D
35˘
O
B
07 μAB=μ BC이므로 ∠ACB=∠BDC=35˘
△BCD에서 75˘+(35˘+∠x)+35˘=180˘
145˘+∠x=180˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=35˘
08 μAD : μ BC=∠x : ∠BAC이므로
3 : 9=∠x : ∠BAC(cid:100)(cid:100)∴ ∠BAC=3∠x
△ABP에서 ∠x+3∠x=80˘이므로
4∠x=80˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=20˘
09 한 원에서 모든 원주각의 크기의 합은 180˘이고, 원주각의 크기
는 호의 길이에 정비례하므로
∠x=180˘_
3
2+3+4
=180˘_;9#;=60˘
μAB : μ BC : μ CA=a : b : c이면
A
1 ⑴ ∠x+80˘=180˘이므로 ∠x=100˘
⑵ 한 외각의 크기는 이웃한 내각의 대각의 크기와 같으므로(cid:100)(cid:100)
(cid:100) ∠x=100˘
1-1 ⑴ AB”가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90˘
(cid:100) ∴ ∠ABC=180˘-(20˘+90˘)=70˘
(cid:100)∠x+70˘=180˘이므로 ∠x=110˘
⑵ ∠BAD=;2!;_160˘=80˘
(cid:100) 한 외각의 크기는 이웃한 내각의 대각의 크기와 같으므로
(cid:100) ∠x=80˘
2 ⑴ 105˘+85˘+180˘이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접하지 않는다.
⑵ ∠DAB=180˘-60˘=120˘에서
(cid:100) ∠DAB=∠DCF이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접한다.
2-1 ⑴ △ABC에서
(cid:100) ∠ABC=180˘-(65˘+45˘)=70˘
(cid:100) ∠ABC+∠ADC=180˘이므로
(cid:100) (cid:8772)ABCD는 원에 내접한다.
⑵ ∠BAC+∠BDC이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접하지 않는다.
B
C
3 ⑴ △ABC에서 ∠C=180˘-(65˘+55˘)=60˘
(cid:100) ∴ ∠x=∠C=60˘
⑵ ∠CBA=70˘이므로 △ABC에서
(cid:100) ∠x=180˘-(60˘+70˘)=50˘
A
B
D
x
C
3-1 ⑴ BC”가 원 O의 지름이므로 ∠BAC=90˘
(cid:100) △ABC에서 ∠BCA=180˘-(90˘+25˘)=65˘
(cid:100) ∴ ∠x=∠BCA=65˘
⑵ ∠C=∠BAT=40˘
(cid:100) CA”=CB”이므로 △CAB는 이등변삼각형이다.
(cid:100) ∴ ∠x=;2!;_(180˘-40˘)=70˘
∠ACB=180˘_
∠BAC=180˘_
∠CBA=180˘_
a
a+b+c
b
a+b+c
c
a+b+c
10 오른쪽 그림과 같이 BC”를 그으면
∠ACB=180˘_;6!;=30˘
μAB : μ CD=3 : 4이므로
30˘ : ∠CBD=3 : 4, 3∠CBD=120˘
∴ ∠CBD=40˘
∴ ∠x=30˘+40˘=70˘
11 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠ACB=∠ADB=50˘
∴ ∠x=∠ACD=80˘-50˘=30˘
12 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 ∠ACP=∠x
△APC에서 48˘+∠x=80˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=32˘
4 ⑴ ∠ADB=∠BAT=55˘이므로
(cid:100) ∠x=180˘-(30˘+55˘+50˘)=45˘
⑵ ∠DCA=∠DAT=65˘이고
(cid:100) DA”=DC”이므로
(cid:100) ∠DAC=∠DCA=65˘
(cid:100) △ACD에서
(cid:100) ∠ADC=180˘-(65˘+65˘)=50˘
(cid:100) ∴ ∠x=180˘-50˘=130˘
4-1 ⑴ ∠DAB=180˘-110˘=70˘이므로
02 원주각의 활용
127~128쪽
1 ⑴ 100˘ ⑵ 100˘
2 ⑴ × ⑵ (cid:8776)
3 ⑴ 60˘ ⑵ 50˘
4 ⑴ 45˘ ⑵ 130˘
1-1 ⑴ 110˘ ⑵ 80˘
2-1 ⑴ (cid:8776) ⑵ ×
3-1 ⑴ 65˘ ⑵ 70˘
4-1 ⑴ 60˘ ⑵ 55˘
40 정답 및 풀이
(cid:100) △DAB에서 ∠ADB=180˘-(50˘+70˘)=60˘
(cid:100) ∴ ∠x=∠ADB=60˘
⑵ BD”가 원 O의 지름이므로
(cid:100) ∠DCB=∠DAB=90˘
(cid:100) CD”=CB”이므로 ∠CBD=;2!;_(180˘-90˘)=45˘
(cid:100) ∴ ∠DBA=80˘-45˘=35˘
(cid:100) △ABD에서 ∠BDA=180˘-(35˘+90˘)=55˘
(cid:100) ∴ ∠x=∠BDA=55˘
01 210˘
05 60˘
09 73˘
02 120˘
06 45˘
10 ②
03 65˘
07 105˘
11 ③
04 85˘
08 65˘
12 50˘
01 (cid:8772)ABCD에서 ∠x+70˘=180˘이므로 ∠x=110˘
∠ECD=∠EAD=30˘이므로 ∠y=30˘+70˘=100˘
∴ ∠x+∠y=110˘+100˘=210˘
02 △ABD에서 ∠BAD=180˘-(35˘+85˘)=60˘
∴ ∠x=180˘-60˘=120˘
03 △PCD에서 ∠PDC=180˘-(35˘+80˘)=65˘
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠x=∠ADC=65˘
04 ∠BOC=180˘-(20˘+20˘)=140˘이므로
∠BAC=;2!;_140˘=70˘
∴ ∠x=∠BAD=70˘+15˘=85˘
05 ∠CDQ=∠ABC=∠x
△PBC에서 ∠DCQ=∠x+35˘이므로
△DCQ에서 ∠x+(∠x+35˘)+25˘=180˘
2∠x=120˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=60˘
06 ∠QBC=180˘-130˘=50˘
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 ∠ADC=180˘-130˘=50˘
△PCD에서 ∠PCQ=35˘+50˘=85˘
△BQC에서 ∠x=180˘-(50˘+85˘)=45˘
07 △ABD에서 ∠A=180˘-(35˘+40˘)=105˘
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠x=∠A=105˘
08 △ABE에서 ∠BAE+25˘=60˘이므로 ∠BAE=35˘
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 ∠A+∠C=180˘
(∠x+35˘)+80˘=180˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=65˘
09 ∠ACB=;2!;_146˘=73˘이므로
∠x=∠ACB=73˘
10 오른쪽 그림과 같이 AB”를 그으면
∠x=∠CBA이므로
∠x=;2!;_(180˘-80˘)=50˘
11 AB”가 원 O의 지름이므로 ∠BTA=90˘
∠ATP=∠x이므로 △BPT에서
36˘+(∠x+90˘)+∠x=180˘
2∠x=54˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=27˘
129~130쪽
12 오른쪽 그림과 같이 AT”를 그으면
∠TAB=70˘, ∠ATB=90˘이므로
△ATB에서
∠ABT=180˘-(90˘+70˘)=20˘
△BPT에서
∠x+20˘=70˘이므로 ∠x=50˘
B
O
A
P
70˘
x T
Q
131~132쪽
01 140˘
05 ③
09 126˘
13 215˘
02 ②
06 30˘
10 60˘
14 6 cm
03 70˘
07 ②
11 65˘
04 40˘
08 80˘
12 20˘
01 △ABC에서
∠B=180˘-(35˘+35˘)=110˘
®AEC의 중심각의 크기가
110˘_2=220˘이므로
∠x=360˘-220˘=140˘
02 오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면
∠CAD=∠CBD=25˘
∠DAE=∠DFE=45˘
B
25˘
∴ ∠CAE=∠CAD+∠DAE
C
=25˘+45˘=70˘
03 오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면
∠ADB=90˘
∠CAD는 μ CD의 원주각이므로
∠CAD=;2!;_40˘=20˘
A
C
35˘
E
O
x
B
A
F
45˘
E
D
P
x
C
D
20˘
40˘
A
O
B
△DAP에서 ∠APD+∠PAD=90˘이므로
∠x+20˘=90˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=70˘
04 μAC=μ BC이므로
∠CAB=∠ABC=55˘
∠ACB=180˘-(55˘+55˘)
=70˘
P
x
O
C
A
55˘
B
B
이므로
C
80˘
O
A
x
T
∠AOB=2∠ACB=2_70˘=140˘
PA≥, PB≥가 원 O의 접선이므로
∠x+∠AOB=180˘
∠x+140˘=180˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=40˘
Ⅳ. 원의 성질 41
05 오른쪽 그림과 같이 AC”를 그으면
∠ACB : ∠CAD=2p : 6p=1 : 3
△ACP에서
∠ACB+∠CAD=60˘이므로
∠ACB=60˘_;4!;=15˘
2p cm
B
A
P
60˘
O
C
6p cm
한 원에서 원주각의 크기의 합은 180˘이므로
15˘ : 180˘=2p : (원 O의 둘레의 길이)
∴ (원 O의 둘레의 길이)=24p cm
06 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠ABD=∠ACD=25˘
△BDP에서 ∠BDC=25˘+∠x
△CDE에서 25˘+(25˘+∠x)=80˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=30˘
07 AB”가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90˘
∠B=180˘-(90˘+40˘)=50˘
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
∠D=180˘-50˘=130˘
μAD=μ CD이므로 ∠ACD=∠DAC
△DAC에서 ∠x=;2!;_(180˘-130˘)=25˘
08 ∠ECD=∠EAD=26˘
∠BCD=74˘+26˘=100˘
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠x=180˘-100˘=80˘
09 △PBC에서 ∠DCQ=∠B+25˘이므로
△CDQ에서 ∠x=(∠B+25˘)+47˘=∠B+72˘
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 ∠B+∠ADC=180˘
∠B+(∠B+72˘)=180˘, 2∠B=108˘
∴ ∠B=54˘
∴ ∠x=180˘-54˘=126˘
10 한 원에서 모든 원주각의 크기의 합은 180˘이고 원주각의 크기는
호의 길이에 정비례하므로
4
4+5+3
∠ACB=180˘_
∴ ∠x=∠ACB=60˘
11 (cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
∠ADC=180˘-100˘=80˘
=180˘_;1¢2;=60˘
△PAD에서 ∠DAP=80˘-45˘=35˘
PA”가 원 O의 접선이므로 ∠DCA=∠DAP=35˘
△ACD에서 ∠x=180˘-(80˘+35˘)=65˘
12
AD”를 그어 원주각의 크기를 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면
∠BAD=;2!;∠BOD
∠BAD=;2!;_70˘=35˘
x
P
C
A
D
O
70˘
30˘
B
42 정답 및 풀이
∠ADC=;2!;∠AOC=;2!;_30˘=15˘
△PAD에서 ∠x+15˘=35˘
∴ ∠x=20˘
D
13
CE”를 그어 원에 내접하는 사각형을 만든다.
오른쪽 그림과 같이 CE”를 그으면
`
A
∠CED=;2!;∠COD=;2!;_70˘=35˘
(cid:8772)ABCE가 원 O에 내접하므로
∠B+∠CEA=180˘
∴ ∠B+∠E=∠B+∠CEA+∠CED
C
=180˘+35˘=215˘
B
O
70˘
35˘
E
D
△CAB에서 특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 이용
14
한다.
`
P
B
12 cm
30˘
C
O
A
∠CAP=∠CBA=30˘
∠CAB=90˘이므로
∠BCA=90˘-30˘=60˘
△CPA에서
∠CPA=60˘-30˘=30˘
∠CPA=∠CAP이므로 CP”=CA”
△BCA에서 BC” : CA”=2 : 1
12 : CA”=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ CA”=6(cm)
∴ CP”=CA”=6 cm
03 원에서 선분의 길이 사이의 관계
134~137쪽
1 ⑴ 4 ⑵ 12
2 ⑴ 5 ⑵ 5
3 ⑴ 4 ⑵ 2
4
5 ⑴ 4 ⑵ 2
6 ⑴ 4 ⑵ 12
7
4
8
1-1 ⑴ 10 ⑵ 8
2-1 ⑴ 12 ⑵ 9
3-1 ⑴ '∂21 ⑵ 9
4-1 7
5-1 ⑴ 10 ⑵ 5
6-1 ⑴ 3'2 ⑵ 8
7-1 2
8 ⑴ 6 cm ⑵ △PAT ⑶ ;2(; cm
8-1 ⑴ 4 cm ⑵ △PAT ⑶ 4 cm
1 ⑴ 3_8=x_6(cid:100)(cid:100)∴ x=4
⑵ 4_9=3_x(cid:100)(cid:100)∴ x=12
1-1 ⑴ x_4=8_5(cid:100)(cid:100)∴ x=10
⑵ 6_x=4_12(cid:100)(cid:100)∴ x=8
2 ⑴ x_8=4_10(cid:100)(cid:100)∴ x=5
⑵ 2_(2+10)=3_(3+x)
(cid:100) 24=9+3x, 3x=15(cid:100)(cid:100)∴ x=5
2-1 ⑴ 4_x=3_(3+13)
(cid:100) 4x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=12
⑵ 3_(3+x)=2_(2+16)
(cid:100) 9+3x=36, 3x=27(cid:100)(cid:100)∴ x=9
3 ⑴ x¤ =2_8=16
(cid:100) x>0이므로 x=4
⑵ (4+x)(4-x)=3_4
(cid:100) 16-x¤ =12, x¤ =4
(cid:100) x>0이므로 x=2
3-1 ⑴ 7_3=x¤ , x¤ =21
(cid:100) x>0이므로 x='∂21
⑵ (x-7)(x+7)=8_4
(cid:100) x¤ -49=32, x¤ =81
(cid:100) x>0이므로 x=9
4 6_(6+2)=(8-x)(8+x)
48=64-x¤ , x¤ =16
x>0이므로 x=4
4-1 6_(6+6)=4_(4+x+x)
72=16+8x, 8x=56(cid:100)(cid:100)∴ x=7
5 ⑴ 3_8=x_6
(cid:100) 6x=24(cid:100)(cid:100)∴ x=4
⑵ 3_(3+5)=4_(4+x)
(cid:100) 24=16+4x, 4x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=2
5-1 ⑴ 6_5=3_x
(cid:100) 3x=30(cid:100)(cid:100)∴ x=10
⑵ 4_(4+6)=x_8
(cid:100) 8x=40(cid:100)(cid:100)∴ x=5
6 ⑴ (4'3)¤ =x_12
(cid:100) 12x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=4
⑵ 8¤ =4_(4+x)
(cid:100) 16+4x=64, 4x=48
(cid:100) ∴ x=12
6-1 ⑴ x¤ =2_(2+7)=18
(cid:100) x>0이므로 x='∂18=3'2
⑵ 12¤ =x_(x+10)
(cid:100) x¤ +10x-144=0, (x+18)(x-8)=0
(cid:100) x>0이므로 x=8
7 PT”
¤ =(10-6)_(10+6)=64
PT”>0이므로 PT”=8
7-1 ('∂21)¤ =3_(3+2OA”)
9+6OA”=21, 6OA”=12
∴ OA”=2
8 ⑴ PT”
¤ =4_(4+5)=36
(cid:100) PT”>0이므로 PT”=6(cm)
⑵ △PTB와 △PAT에서
(cid:100) ∠TBP=∠ATP, ∠P는 공통이므로
(cid:100) △PTBª△PAT(AA 닮음)
⑶ PB” : BT”=PT” : TA”에서 9 : BT”=6 : 3
(cid:100) 6BT”=27(cid:100)(cid:100)∴ BT”=;2(;(cm)
8-1 ⑴ PT”
¤ =2_(2+6)=16
(cid:100) PT”>0이므로 PT”=4(cm)
⑵ △PTB와 △PAT에서
(cid:100) ∠TBP=∠ATP, ∠P는 공통이므로
(cid:100) △PTBª△PAT(AA 닮음)
⑶ PT” : TB”=PA” : AT”에서 4 : 8=2 : AT”
(cid:100) 4AT”=16(cid:100)(cid:100)∴ AT”=4(cm)
138~139쪽
01 6 cm
05 12 cm 06 25p cm¤
02 3
03 2
07 6 cm
04 2
08 3 cm
11 3'3 cm 12 ;5(; cm
09 9 cm
13 9
10 9
14 3
01 PD”=x cm라 하면
PC” : PD”=2 : 1이므로 PC”=2x cm
8_9=2x_x, 2x¤ =72, x¤ =36
x>0이므로 x=6
∴ PD”=6 cm
02 PC”=x라 하면
PC” : CD”=1 : 3이므로 CD”=3x
2_(2+16)=x_(x+3x)
4x¤ =36, x¤ =9
x>0이므로 x=3
∴ PC”=3
03 OP”=8-x이므로
{8+(8-x)}_x=7_4, (16-x)_x=28
x¤ -16x+28=0, (x-2)(x-14)=0
0<x<8이므로 x=2
04 4_(4+6)=x_(x+9+9)
x¤ +18x-40=0, (x+20)(x-2)=0
x>0이므로 x=2
Ⅳ. 원의 성질 43
05 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
AB”=2r cm, PA”=(16-2r) cm
8¤ =(16-2r)_16, 64=256-32r
32r=192(cid:100)(cid:100)∴ r=6
따라서 원 O의 지름의 길이는 12 cm이다.
06 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 PB”=(8+2r)cm
12¤ =8_(8+2r), 144=64+16r
16r=80(cid:100)(cid:100)∴ r=5
따라서 원 O의 넓이는 p_5¤ =25p(cm¤ )
07 EA”_EB”=EC”_ED”이므로
EA”_5=2_10(cid:100)(cid:100)∴ EA”=4(cm)
PT”
¤ =PA”_PB”이므로 PT”
PT”>0이므로 PT”=6 cm
¤ =3_(3+4+5)=36
08 EA”_EB”=EC”_ED”이므로
EA”_4=2_6(cid:100)(cid:100)∴ EA”=3(cm)
PD”
¤ =PA”_PB”이므로 PA”=x cm라 하면
¤ =x_(x+3+4)
PD”
('∂30)¤ =x_(x+7), x¤ +7x-30=0
(x+10)(x-3)=0
이때 x>0이므로 x=3
따라서 PA”의 길이는 3 cm이다.
09 PB”=x cm라 하면
PA”=(13-x)cm, PC”=PD”=6 cm이므로
(13-x)_x=6_6
x¤ -13x+36=0, (x-4)(x-9)=0
∴ x=4 또는 x=9
PA”<PB”이므로 PB”=9(cm)
10 7_(7+x)=8_(8+6)
49+7x=112, 7x=63(cid:100)(cid:100)∴ x=9
11 ∠APT=∠ABT=∠ATP이므로 AP”=AT”=3 cm
¤ =3_(3+6)=27
PT”
PT”>0이므로 PT”='∂27=3'3(cm)
12 ∠BTP=90˘이므로
△BPT에서 PB”="√3¤ +4¤ ='∂25=5(cm)
3¤ =PA”_5(cid:100)(cid:100)∴ PA”=;5(;(cm)
13 원 O에서 9¤ =PA”_PB”
원 O'에서 x¤ =PA”_PB”
즉, x¤ =81이므로 x=9 (∵ x>0)
¤ =x_(x+9)=x¤ +9x
14 원 O에서 PT”
¤ =4_(4+5)=36
원 O'에서 PT”
즉, x¤ +9x=36, x¤ +9x-36=0
(x+12)(x-3)=0
x>0이므로 x=3
44 정답 및 풀이
140쪽
01 ⑤
02 ②
03 32p cm¤
04 ㄱ, ㄹ
05 5 cm
06 ;;™2¶;; cm¤
01 4_(4+5)=x_(x+9)
x¤ +9x-36=0, (x+12)(x-3)=0
x>0이므로 x=3
02 PA”=x cm라 하면
4¤ =x_(x+6)
x¤ +6x-16=0, (x+8)(x-2)=0
x>0이므로 x=2
따라서 PA”의 길이는 2 cm이다.
03 PA”=x cm라 하면
PB”=x+2x=3x(cm)이므로
x_3x=4_6, 3x¤ =24, x¤ =8
x>0이므로 x=2'2
따라서 원 O의 반지름의 길이가 2_2'2=4'2(cm)이므로
원 O의 넓이는 p_(4'2)¤ =32p(cm¤ )
[다른 풀이](cid:100)원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
;2!;r_;2#;r=4_6
;4#;r¤ =24, r¤ =32
r>0이므로 r=4'2
∴ (원 O의 넓이)=p_(4'2)¤ =32p(cm¤ )
04 ㄱ. 7_5+9_4이므로 원에 내접하지 않는다.
ㄴ. 2_6=4_3이므로 원에 내접한다.
ㄷ. 3_(3+3)=2_(2+7)이므로 원에 내접한다.
ㄹ. 4_(4+5)+5_(5+4)이므로 원에 내접하지 않는다.
05 ∠ADB=∠AEB=90˘이므로 AB”는 원의 지름이고 네 점
A, B, E, D는 한 원 위에 있다.
BE”=x cm라 하면 4_(4+2)=3_(3+x)
24=9+3x, 3x=15(cid:100)(cid:100)∴ x=5
따라서 BE”의 길이는 5 cm이다.
06
∠A가 예각일 때
△ABC=;2!;_AB”_AC”_sin A
B
A
C
PA”=x cm라 하면 6¤ =x_(x+5)
x¤ +5x-36=0, (x+9)(x-4)=0
x>0이므로 x=4
∴ △BPT=;2!;_PB”_PT”_sin 30˘
∴ △BPT=;2!;_9_6_;2!;=;;™2¶;;(cm¤ )
”
01 ④
05 ③
09 100˘
02 52˘
06 46˘
10 ④
03 30˘
07 ⑤
11 80˘
04 ③
08 120˘
12 ①
13 ;;¡2∞;; cm 14 2'∂10 cm 15 36p cm¤
16 ;2&; cm
17 120 m
18 4'3 cm¤
19 ;;¡4∞;; cm 20 50˘
01 오른쪽 그림과 같이 BC”를 그으면
∠ACB=90˘이므로
∠ABC=90˘-38˘=52˘
∴ ∠x=∠ABC=52˘
02 오른쪽 그림과 같이 BQ”를 그으면
∠AQB=∠APB=20˘
∠BQC=;2!;_64˘=32˘
∴ ∠x=∠AQB+∠BQC
=20˘+32˘=52˘
38˘
A
B
C
O
x
D
Q
x
O
64˘
P
20˘
A
B
141~143쪽
06 오른쪽 그림과 같이 AB”를 그으면
∠BAC=90˘
∠ABC=∠CAT=68˘
C
O
∴ ∠BCA=180˘-(90˘+68˘)=22˘
△CPA에서
∠x+22˘=68˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=46˘
B
x
P
68˘
A
T
07 ∠CDB=∠x라 하면
△PBD에서 ∠DBA=∠x-36˘
오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면
μAB=μ BC=μ CD이므로
∠DBC=∠ADB=∠CDB
=∠x
(cid:8772)ABCD는 원에 내접하므로
∠ADC+∠ABC=180˘
2∠x+∠x+(∠x-36˘)=180˘
4∠x=216˘
∴ ∠x=54˘
08 오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으면
C
∠BDC=;2!;_70˘=35˘
∠BDE=95˘-∠BDC
=95˘-35˘=60˘
(cid:8772)ABDE가 원 O에 내접하므로
∠A+∠BDE=180˘
∴ ∠x=180˘-60˘=120˘
09 ∠A : ∠B=4 : 3이므로
∠B=;4#;∠A
C
B
D
36˘
A
P
B
A
x
E
O
70˘
95˘
35˘
D
C
03 μAB=μ BC이므로
∠ADB=∠BDC=∠x
μAD에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로
∠ACD=∠ABD=55˘
△ACD에서
65˘+(∠x+∠x)+55˘=180˘
120˘+2∠x=180˘, 2∠x=60˘
∴ ∠x=30˘
04 μ
μAB는 원주의 ;9!;이므로
∠ADB=180˘_;9!;=20˘
μ CD는 원주의 ;5!;이므로
∠CAD=180˘_;5!;=36˘
△APD에서
∠x=∠ADP+∠PAD=20˘+36˘=56˘
05 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠BAC=∠BDC=65˘
△ABP에서
∠x=∠BAP+∠ABP=65˘+45˘=110˘
한 원에서 원주각의 크기의 합은 180˘이다.
11 △DEF에서
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 ∠B+∠D=180˘
;4#;∠A+(∠A+5˘)=180˘
;4&;∠A=175˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=100˘
∴ ∠x=∠A=100˘
10 ∠CDQ=∠ABC=∠x
△PBC에서 ∠DCQ=∠x+30˘이므로
△DCQ에서
∠x+(∠x+30˘)+40˘=180˘
2∠x=110˘
∴ ∠x=55˘
∠DFE=180˘-(60˘+70˘)=50˘
AB”가 원 O의 접선이므로
∠BDE=∠DFE=50˘
BD”=BE”이므로 ∠BED=∠BDE=50˘
∴ ∠x=180˘-(50˘+50˘)=80˘
Ⅳ. 원의 성질 45
14 OC”⊥AB”이므로 BC”="√5¤ -4¤ =3(cm)
∴ △APT=;2!;_4_4_sin 60˘
12 (cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
∠DAB=180˘-105˘=75˘
ATÍ가 원 O의 접선이므로 ∠ADB=∠BAT=70˘
△ABD에서
∠x=180˘-(75˘+70˘)=35˘
13 ∠APC=90˘이므로
AP”="√(3'5)¤ -6¤ =3(cm)
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
PB”=PO”+OB”=(r-3)+r=2r-3(cm)이므로
PA”_PB”=PC”_PD”에서
3_(2r-3)=6_6
6r=45(cid:100)(cid:100)∴ r=;;¢6∞;;=;;¡2∞;;
따라서 원 O의 반지름의 길이는 ;;¡2∞;; cm이다.
[다른 풀이](cid:100)PC”_PD”=PA”_PB”이므로
6_6=3_PB”(cid:100)(cid:100)∴ PB”=12(cm)
12+3
2
따라서 원 O의 반지름의 길이는
=;;¡2∞;;(cm)
PT”
AB”=2BC”=2_3=6(cm)
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =4_(4+6)=40
PT”
PT”>0이므로 PT”='∂40=2'∂10(cm)
원의 중심에서 현에 그은 수선은 그 현을 수직이등분한다.
15 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하고
PO”의 연장선이 원 O와 만나는 점을
D라 하면
B
3 cm
A
4 cm
P
C
8 cm
O
D
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
4_(4+3)=(8-r)(8+r)
28=64-r¤ , r¤ =36
r>0이므로 r=6
따라서 원 O의 반지름의 길이가 6 cm이므로
원 O의 넓이는 p_6¤ =36p(cm¤ )
16 PA”=x cm라 하면 PT”
¤ =PA”_PB”이므로
4¤ =x_(x+6), x¤ +6x-16=0
(x+8)(x-2)=0
x>0이므로 x=2
△PTA와 △PBT에서
∠P는 공통, ∠PTA=∠PBT이므로
△PTAª△PBT(AA 닮음)
” : TB”이므로
PT” : AT”=PB”
4 : AT”=(2+6) : 7(cid:100)(cid:100)∴ AT”=;2&;(cm)
46 정답 및 풀이
17 네 지점이 모두 한 원 위에 있으므로 관리사무소에서 분수대까지
의 거리를 x m라 하면
30_x=40_90(cid:100)(cid:100)∴ x=120
따라서 관리사무소에서 분수대까지의 거리는 120 m로 적어 놓
으면 된다.
18 AB”가 원 O의 지름이므로 ∠ATB=90˘
PT”가 원 O의 접선이므로
∠ABT=∠ATP=30˘
∴ ∠BAT=180˘-(90˘+30˘)=60˘
△ABT에서 AB” : AT”=2 : 1
8 : AT”=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ AT”=4(cm)
△PAT에서
∠P+30˘=60˘이므로 ∠P=30˘
△PAT는 이등변삼각형이므로
PA”=AT”=4(cm)
∠PAT=180˘-(30˘+30˘)=120˘
∴ △APT=;2!;_4_4_sin (180˘-120˘)
∴ △APT=;2!;_4_4_ =4'3(cm¤ )
yy ❸
'3
2
채점 기준
❶ ∠BAT의 크기 구하기
❷ AT”의 길이 구하기
❸ △APT의 넓이 구하기
19 △ABP에서 AP”="√13¤ -12¤ =5(cm)
△BCP에서 CP”="√15¤ -12¤ =9(cm)
PA”_PC”=PB”_PD”이므로
5_9=12_PD”, 12PD”=45
∴ PD”=;1$2%;=;;¡4∞;;(cm)
채점 기준
❶ AP”의 길이 구하기
❷ CP”의 길이 구하기
❸ PD”의 길이 구하기
20 ∠ADB=∠ACB=90˘이므로 네 점 A,
B, C, D는 한 원 위에 있다. yy ❶
△ACE에서
∠EAC=180˘-(90˘+65˘)=25˘
이므로 ∠DAC=25˘
A
yy ❷
B
∠ADB=90˘에서 AB”가 원의 지름이므로 점 M은 원의 중심
D
C
E
65˘
x
M
이다.
∴ ∠x=2∠DAC=2_25˘=50˘
❶ 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있음을 알기
채점 기준
❷ ∠DAC의 크기 구하기
❸ ∠x의 크기 구하기
yy ❶
yy ❷
배점
2점
2점
2점
yy ❶
yy ❷
yy ❸
배점
1점
1점
3점
yy ❸
배점
2점
2점
2점
I 통계
1. 대푯값과 산포도
01 대푯값
01 ⑴ 4, 5, 6 ⑵ 24, 24, 24 ⑶ 46, 52, 57
⑷ 4, 3, 2와 7 ⑸ 15, 15, 없다. ⑹ 106, 105, 100
01 ⑷ (평균)=
6+1+2+7+3+2+7
7
=;;™7•;;=4
(cid:100) 주어진 자료를 크기순으로 나열하면 1, 2, 2, 3, 6, 7, 7이고
(cid:100) 자료의 개수가 홀수이므로 중앙값은 4번째 값인 3이다.
(cid:100) 2와 7이 각각 두 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 2, 7
이다.
01 ⑴ 평균：32세, 중앙값`：28세, 최빈값`：24세 ⑵ 중앙값
02 ⑴ 평균：250 mm, 중앙값`：245 mm,
최빈값`：240 mm ⑵ 최빈값
03 평균：8.2점, 중앙값`：8.5점, 최빈값：9점
04 평균：3.5개, 중앙값`：4개, 최빈값`：5개
05 중앙값`：56회, 최빈값`：63회
06 평균：15회, 중앙값`：14회, 최빈값`：22회
07 5일
09 a=1, b=8
12 15
08 x=57, 중앙값`：52 kg
10 1.0
11 24
13 8
01 ⑴ (평균)=
24+31+27+61+28+24+29
7
=;:@7@:$;=32(세)
(cid:100) 주어진 자료를 크기순으로 나열하면 24, 24, 27, 28, 29, 31,
(cid:100) 자료가 7개이므로 중앙값은 4번째 값인 28세이다.
(cid:100) 또, 24세가 두 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 24세
61이다.
이다.
⑵ 자료에서 61세라는 극단적인 값이 있으므로 평균은 대푯값으
로 적절하지 않으며 최빈값인 24세 역시 자료의 중심 경향을
나타내지 못하므로 중앙값이 자료의 대푯값으로 더 적절하다.
02 ⑴ (평균)=
290+240+250+245+240+245+250+240
8
(cid:100) (평균)=
=250(mm)
2000
8
(cid:100) 주어진 자료를 크기순으로 나열하면 240, 240, 240, 245,
245, 250, 250, 290이고 자료가 8개이므로 중앙값은 4번째
(cid:100) 와 5번째 자료의 평균인
=245(mm)이다.
245+245
2
(cid:100) 또, 240 mm가 세 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은
⑵ 공장에서 가장 많이 주문해야 할 신발의 크기는 가장 많이 판
매된 신발의 크기를 선택해야 하므로 최빈값이 자료의 대푯값
240 mm이다.
으로 더 적절하다.
2쪽
03 (평균)=
6_1+7_2+8_2+9_4+10_1
10
=;1*0@;=8.2(점)
3~4쪽
가 4개이므로 중앙값은
=4(개)이다.
4+4
2
중앙값은 10명의 학생 중에서 5번째와 6번째 학생의 영어 수행
평가 점수의 평균이다. 5번째와 6번째 학생의 영어 수행평가 점
수는 각각 8점, 9점이므로 중앙값은
=8.5(점)이다.
8+9
2
또, 영어 수행평가 점수가 9점인 학생이 4명으로 가장 많이 나타
나므로 최빈값은 9점이다.
04 (평균)=
1_3+2_4+3_1+4_4+5_8
20
=;2&0);=3.5(개)
중앙값은 20명의 학생 중에서 10번째와 11번째 학생이 구입한
과자 수의 평균이다. 10번째와 11번째 학생 모두 구입한 과자 수
또, 구입한 과자 수가 5개인 학생이 8명으로 가장 많이 나타나므
로 최빈값은 5개이다.
05 자료가 25개이므로 중앙값은 13번째 값인 56회이다.
또, 63회가 네 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 63회이다.
06 (평균)=
3+5+10+12+16+22+22+30
8
=;:!8@:);=15(회)
자료가 8개이므로 중앙값은 4번째와 5번째 자료의 평균인
12+16
2
=14(회)이다.
또, 22회가 두 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 22회이다.
07 대구의 미세먼지가‘주의’인 날수를 x일이라 하면
5+4+x+3+2+6+3
7
=4이므로
(평균)=
23+x=28(cid:100)(cid:100)∴ x=5
따라서 대구의 미세먼지가‘주의’인 날수는 5일이다.
08 (평균)=
49+x+55+47+52
5
=52이므로
203+x=260(cid:100)(cid:100)∴ x=57
주어진 자료를 크기순으로 나열하면 47, 49, 52, 55, 57이므로
중앙값은 3번째 값인 52 kg이다.
09 (평균)=
a+4+5+b+9+10+12
7
=7이므로
a+b+40=49
∴ a+b=9
Ⅰ. 통계 47
자료가 7개이고 중앙값이 8이므로 4번째 자료의 값이 8이 되어
야 한다. 따라서 b=8이고 a=1이다.
10 나머지 한 명의 왼쪽 눈의 시력을 a라 하면 8명의 중앙값은 4번
째와 5번째 학생의 왼쪽 눈의 시력의 평균이다.
중앙값이 0.9이므로 0.8<a<1.2이고
0.8+a
2
=0.9, 0.8+a=1.8(cid:100)(cid:100)∴ a=1.0
11 모든 자료의 값이 한 번씩 나오므로 최빈값이 24 æ이려면
a=24이다.
12 주어진 자료에서 x를 제외한 자료의 값을 살펴보면 14와 18이
모두 두 번씩 나타난다. 이때 최빈값이 14이므로 x=14
주어진 자료를 크기순으로 나열하면 11, 14, 14, 14, 16, 17,
18, 18이고 자료가 8개이므로 중앙값은 4번째와 5번째의 평균인
14+16
2
=15이다.
13 주어진 자료에서 8이 세 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은
8이다.
(평균)=
8+8+a+11+12+4+8+7
8
a+58=64(cid:100)(cid:100)∴ a=6
주어진 자료를 크기순으로 나열하면 4, 6, 7, 8, 8, 8, 11, 12이
=8
고 자료가 8개이므로 중앙값은 4번째와 5번째의 평균인
8+8
2
=8이다.
01 A<B<C
03 평균：2.7회, 중앙값：2회, 최빈값：1회
05 ㄱ, ㄴ
04 18
02 ④
06 a=5, b=10
01 (평균)=
9+8+7+7+9+10+8+9+8+9
10
=;1*0$;
(평균)=8.4(점)
주어진 자료를 크기순으로 나열하면 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10
이고 자료가 10개이므로 중앙값은 5번째와 6번째 자료의 값의 평
또, 9점이 네 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 9점이다.
따라서 A=8.4, B=8.5, C=9이므로 A<B<C이다.
02 가장 잘 팔리는 운동화의 크기에 대한 대푯값으로는 최빈값이 가
장 적절하다. 245 mm가 여섯 번으로 가장 많이 나타나므로 최
빈값은 245 mm이다.
03 (평균)=
0_3+1_5+2_3+3_1+4_4+5_1+6_2+7_1
20
(평균)=;2%0$;=2.7(회)
48 정답 및 풀이
자료가 20개이므로 중앙값은 10번째와 11번째 자료의 값의 평
균인
2+2
2
=2(회)이다.
최빈값은 1회이다.
또, 관람 횟수가 1회인 학생 수가 5명으로 가장 많이 나타나므로
04 a의 값을 제외하고 주어진 자료를 크기순으로 나열하면 8, 12,
20이다. 중앙값이 15이므로 12<a<20이고 자료가 4개이므로
중앙값은 2번째와 3번째 자료의 값의 평균이다.
12+a
2
=15, 12+a=30(cid:100)(cid:100)∴ a=18
05 꺾은선그래프를 표로 나타내면 다음과 같다.
체육복의
크기`(호)
1반
2반
85
90
100
105
110
합계
1
1
6
5
7
9
3
5
2
1
30
30
95
11
9
ㄱ, ㄴ. 전체 학생 수가 30명이고 1반의 15번째와 16번째 학생의
체육복의 크기가 모두 95호이므로 중앙값도 95호이다.
ㄱ, 2반의 15번째와 16번째 학생의 체육복의 크기가 각각 95호,
ㄱ, 100호이므로 중앙값은 그 평균인
95+100
2
=97.5(호)이다.
ㄱ, 따라서 1반의 중앙값이 2반의 중앙값보다 작다.
ㄷ, ㄹ. 1반에서 체육복의 크기가 95호인 학생 수가 11명으로 가
장 많이 나타나므로 최빈값은 95호이고, 2반에서는 체육복의
크기가 95호, 100호인 학생 수가 9명으로 가장 많이 나타나
므로 최빈값은 95호, 100호이다.
ㄷ, 따라서 1반의 최빈값이 2반의 최빈값보다 크지 않다.
5쪽
그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
06 자료의 값을 살펴보면 5가 두 번, 8이 두 번 나타나므로 최빈값이
5가 되기 위해서는 a=5
평균이 6이므로
3+4+5+5+5+8+8+b
8
38+b=48(cid:100)(cid:100)∴ b=10
=6
6쪽
01 ⑴ 2 ⑵ -5
02 ⑴ 5, 8, 2'2 ⑵ 50, 110, '∂110
03 ⑴ 4회 ⑵ 0.8 ⑶ '∂0.8회
04 ⑴ 10점 ⑵ 14.4 ⑶ '∂14.4점
02 ⑵ (평균)=
40+60+40+65+45
5
=;:@5%:);=50
균인
8+9
2
=8.5(점)이다.
02 산포도
(cid:100) (분산)
(cid:100) =
(40-50)¤ +(60-50)¤ +(40-50)¤ +(65-50)¤ +(45-50)¤
5
(cid:100) =;:%5%:);=110
(cid:100) (표준편차)='∂110
03 ⑴ (평균)=
2_1+3_1+4_5+5_3
10
=;1$0);=4(회)
⑵ (분산)
(cid:100) =
(2-4)¤ _1+(3-4)¤ _1+(4-4)¤ _5+(5-4)¤ _3
10
04 ⑴ (평균)=
2_1+6_5+10_8+14_5+18_1
20
(cid:100) =
(2-10)¤ _1+(6-10)¤ _5+(10-10)¤ _8+(14-10)¤ _5+(18-10)¤ _1
20
(cid:100) =;1•0;=0.8
⑶ (표준편차)='∂0.8(회)
⑴ (평균)=;;™2º0º;;=10(점)
⑵ (분산)
(cid:100) =;;™2•0•;;=14.4
⑶ (표준편차)='∂14.4(점)
02 85점
06 8
03 '∂26점
07 29
01 52 kg
05 164
09 '6시간 10 분산`：3.2, 표준편차`：'∂3.2회
11 분산`：75, 표준편차`：5'3권
12 ②
13 A 학교
04 1
08 46
01 편차의 총합은 항상 0이므로 학생 E의 편차를 x kg이라 하면
(-2)+10+(-1)+(-3)+x=0
4+x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-4
(편차)=(변량)-(평균)이므로 -4=(E의 몸무게)-56
∴ (E의 몸무게)=52(kg)
02 편차의 총합은 항상 0이므로 학생 C의 편차를 x점이라 하면
(-4)+9+x+7+(-5)+(-6)+0+(-12)=0
-11+x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=11
(편차)=(변량)-(평균)이므로 11=(C의 점수)-74
∴ (C의 점수)=85(점)
03 (평균)=
82+89+x+78+90
5
=86이므로
339+x=430(cid:100)(cid:100)∴ x=91
수학 성적의 편차는 -4점, 3점, 5점, -8점, 4점이므로
(분산)=
(-4)¤ +3¤ +5¤ +(-8)¤ +4¤
5
=;:!5#:);=26
∴ (표준편차)='∂26(점)
04 (평균)=
7+9+8+8+9+9+8+9+7+6
10
=;1*0);=8(개)
삼진의 개수의 편차는 -1개, 1개, 0개, 0개, 1개, 1개, 0개, 1개,
-1개, -2개이므로
(분산)
=
(-1)¤ +1¤ +0¤ +0¤ +1¤ +1¤ +0¤ +1¤ +(-1)¤ +(-2)¤
10
=;1!0);=1
(분산)
05 (평균)=
6+7+9+x+y
5
=8이므로
22+x+y=40(cid:100)(cid:100)∴ x+y=18 yy ㉠
=
(6-8)¤ +(7-8)¤ +(9-8)¤ +(x-8)¤ +(y-8)¤
5
=2
x¤ +y¤ -16(x+y)+134=10
㉠을 ㉡에 대입하면 x¤ +y¤ -16_18+134=10
∴ x¤ +y¤ =164
yy ㉡
06 (평균)=
2+5+x+y
4
=4이므로
7+x+y=16(cid:100)(cid:100)∴ x+y=9 yy ㉠
표준편차가 '∂7.5이므로 분산은 ('∂7.5)¤ =7.5
㉠을 ㉡에 대입하면
x¤ +y¤ -8_9+37=30, x¤ +y¤ =65
이때 (x+y)¤ =x¤ +2xy+y¤ 이므로
2xy=(x+y)¤ -(x¤ +y¤ )=9¤ -65=16(cid:100)(cid:100)∴ xy=8
07 (평균)=
x+4+2+5+y
5
=5이므로
11+x+y=25(cid:100)(cid:100)∴ x+y=14 yy ㉠
(분산)
=
(x-5)¤ +(4-5)¤ +(2-5)¤ +(5-5)¤ +(y-5)¤
5
=4
x¤ +y¤ -10(x+y)+60=20
㉠을 ㉡에 대입하면 x¤ +y¤ -10_14+60=20, x¤ +y¤ =100
yy ㉡
∴ (평균)=
x¤ +4¤ +2¤ +5¤ +y¤
5
=
45+x¤ +y¤
5
∴ (평균)=
45+100
5
=;:!5$:%;=29
08
통학 시간`(분) 도수`(명)
(계급값)_(도수) 편차`(분) (편차)¤ _(도수)
0`이상~10`미만
10`이상~20`미만
20`이상~30`미만
합계
3
10
7
20
5_3=15 -12 (-12)¤ _3=432
15_10=150 -2
(-2)¤ _10=40
25_7=175
8
8¤ _7=448
340
920
(평균)=;;£2¢0º;;=17(분) , (분산)=;;ª2™0º;;=46
Ⅰ. 통계 49
(분산)=
(2-4)¤ +(5-4)¤ +(x-4)¤ +(y-4)¤
4
=7.5
7~8쪽
x¤ +y¤ -8(x+y)+37=30
yy ㉡
9
사용 시간`(시간) 도수`(명)
(계급값)_(도수) 편차`(시간) (편차)¤ _(도수)
③ 민호와 세라의 편차의 차는 3-(-2)=5(점)이므로 수학 점
1`이상~ 3`미만
3`이상~ 5`미만
5`이상~ 7`미만
7`이상~ 9`미만
9`이상~11`미만
2
6
5
4
3
2_2=4
4_6=24
6_5=30
8_4=32
10_3=30
합계
20
120
-4
-2
(-4)¤ _2=32
(-2)¤ _6=24
0¤ _5=0
2¤ _4=16
4¤ _3=48
120
(평균)=;;¡2™0º;;=6(시간), (분산)=;;¡2™0º;;=6
∴ (표준편차)='6(시간)
방문 횟수`(회) 도수`(명)
(계급값)_(도수) 편차`(회) (편차)¤ _(도수)
3_3=9
-2
(-2)¤ _3=12
5_5=25
7_1=7
9_1=9
50
0¤ _5=0
2¤ _1=4
4¤ _1=16
32
0
2
4
0
2
4
(평균)=;1%0);=5(회), (분산)=;1#0@;=3.2, (표준편차)='∂3.2(회)
책 수`(권) 도수`(명)
(계급값)_(도수) 편차`(권) (편차)¤ _(도수)
0`이상~10`미만
10`이상~20`미만
20`이상~30`미만
30`이상~40`미만
합계
5_2=10 -15 (-15)¤ _2=450
15_9=135 -5 (-5)¤ _9=225
25_6=150
35_3=105
5
15
5¤ _6=150
15¤ _3=675
400
1500
(평균)=;;¢2º0º;;=20(권), (분산)=;:!2%0):);=75
∴ (표준편차)='∂75=5'3(권)
2`이상~ 4`미만
4`이상~ 6``미만
6`이상~ 8`미만
8`이상~10`미만
합계
10
11
3
5
1
1
10
2
9
6
3
20
수의 차이 역시 5점이다.
⑤ (분산)=
3¤ +(-2)¤ +3¤ +0¤ +(-4)¤
5
=;;£5•;;=7.6
(cid:100)∴ (표준편차)='∂7.6`(점)
03 (평균)=
1+8+6+3+7
5
=;;™5∞;;=5
(분산)=
(1-5)¤ +(8-5)¤ +(6-5)¤ +(3-5)¤ +(7-5)¤
5
(분산)=;;£5¢;;=6.8
∴ (표준편차)='∂6.8
04 휴대 전화 사용 시간이 6시간 이상 8시간 미만인 계급의 도수는
10-(2+3+2)=3(명)
(평균)=
3_2+5_3+7_3+9_2
10
=;1^0);=6(시간)
(분산)
=
(3-6)¤ _2+(5-6)¤ _3+(7-6)¤ _3+(9-6)¤ _2
10
=;1$0@;=4.2
∴ (표준편차)='∂4.2(시간)
05 승환이의 점수의 평균과 분산을 구하면
(평균)=
8+8+9+10+6+9+8+7+8+7
10
=;1*0);=8(점)
(분산)=
0¤ +0¤ +1¤ +2¤ +(-2)¤ +1¤ +0¤ +(-1)¤ +0¤ +(-1)¤
10
(분산)=;1!0@;=1.2
12 ② B 학생의 사회 성적의 표준편차가 A 학생보다 작으므로 B
찬규의 점수의 평균과 분산을 구하면
학생의 사회 성적이 더 고르다고 할 수 있다.
13 표준편차가 작을수록 성적이 고르므로 표준편차가 가장 작은 A
학교의 성적이 가장 고르다.
(평균)=
8+9+8+7+9+8+7+8+8+8
10
=;1*0);=8(점)
(분산)=
0¤ +1¤ +0¤ +(-1)¤ +1¤ +0¤ +(-1)¤ +0¤ +0¤ +0¤
10
(분산)=;1¢0;=0.4
따라서 찬규와 승환이의 점수의 평균은 같고 찬규의 점수의 분산
이 승환이의 점수의 분산보다 작으므로 찬규의 점수가 승환이의
9쪽
점수보다 더 고르다고 할 수 있다.
06 남학생 4명의 성적의 표준편차가 '7점이므로
(남학생 4명의 편차의 제곱의 총합)
4
=('7)¤ =7
∴ (남학생 4명의 편차의 제곱의 총합)=28
여학생 6명의 성적의 표준편차가 '2점이므로
(여학생 6명의 편차의 제곱의 총합)
6
=('2)¤ =2
∴ (여학생 6명의 편차의 제곱의 총합)=12
(전체 10명의 분산)=
28+12
4+6
=;1$0);=4
01 ①, ⑤
02 ③
04 분산`：4.2, 표준편차`：'∂4.2시간
06 2점
05 ②
03 '∂6.8
01 ② 평균보다 작은 변량의 편차는 음수이다.
③ 자료의 개수만으로는 표준편차를 알 수 없다.
④ 변량이 고르게 분포되어 있을수록 표준편차는 작아진다.
02 편차의 총합은 항상 0이므로 세라의 편차를 x점이라 하면
50 정답 및 풀이
3+(-2)+x+0+(-4)=0, -3+x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3
∴ (전체 10명의 표준편차)='4=2(점)
II 피타고라스 정리
1. 피타고라스 정리
01 피타고라스 정리 ⑴
10쪽
01 ⑴ 5 ⑵ 12 ⑶ 2'6 ⑷ 5'2
02 ⑴ 20 cm¤ ⑵ 36 cm¤
03 ⑴ 7 cm ⑵ 49 cm¤ ⑶ 5 cm ⑷ 25 cm¤
04 ⑴, ⑶, ⑷
01 ⑴ x="√4¤ +3¤ =5
⑵ x="√13¤ -5¤ =12
⑶ x="√7¤ -5¤ =2'6
⑷ 10¤ =x¤ +x¤ , x¤ =50(cid:100)(cid:100)∴ x=5'2 (∵ x>0)
02 ⑴ S=11+9=20(cm¤ )
⑵ S=81-45=36(cm¤ )
03 ⑴ AD”=BC”=4 cm이므로 CD”=4+3=7(cm)
⑵ (cid:8772)FHCD=7¤ =49(cm¤ )
⑶ AB”="√4¤ +3¤ =5(cm)
⑷ (cid:8772)EGBA=5¤ =25(cm¤ )
04 ⑴ ('∂10)¤ =1¤ +3¤ (cid:9195) 직각삼각형
⑵ 10¤ +5¤ +6¤ (cid:9195) 직각삼각형이 아니다.
⑶ 4¤ =(2'2)¤ +(2'2)¤ (cid:9195) 직각삼각형
⑷ 17¤ =8¤ +15¤ (cid:9195) 직각삼각형
11~12쪽
01 x=2'∂29, y=2
04 6
03 4 cm
08 5'5 cm¤
07 40 cm¤
12 225 cm¤
11 49 cm¤
02 x=3, y=5
05 114 cm¤
09 20 cm¤
13 8 cm
06 2'3 cm
10 128 cm¤
14 2'7, 10
04 BD”=BE”="√3¤ +3¤ =3'2
BF”=BG”="√(3'2)¤ +3¤ =3'3
BH”=BI”="√(3'3)¤ +3¤ =6
05 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에
A
7 cm
D
내린 수선의 발을 H라 하면
HC”=AD”=7 cm이므로
BH”=12-7=5(cm)
△ABH에서
AH”="√13¤ -5¤ =12(cm)이므로
(cid:8772)ABCD=;2!;_(7+12)_12=114(cm¤ )
13 cm
B
H
12 cm
C
06 오른쪽 그림과 같이 AC”를 그으면
△ACD에서
AC”="√4¤ +6¤ =2'∂13(cm)
△ABC에서
AB”="√(2'∂13)¤ -(2'∂10)¤ =2'3(cm)
A
B
D
4 cm
6 cm
2
10
cm
C
07 △ABC에서 AB”="√12¤ -8¤ =4'5(cm)
(cid:8772)BFML=(cid:8772)ADEB=(4'5)¤ =80(cm¤ )
∴ △LBF=;2!;(cid:8772)BFML=;2!;_80=40(cm¤ )
08 (cid:8772)ACHI=45-25=20(cm¤ )이므로
AC”='∂20=2'5(cm), BC”='∂25=5(cm)
∴ △ABC=;2!;_2'5_5=5'5(cm¤ )
09 △AEH에서 EH”="√2¤ +4¤ =2'5(cm)
따라서 (cid:8772)EFGH는 정사각형이므로
(cid:8772)EFGH=(2'5)¤ =20(cm¤ )
10 (cid:8772)EFGH=68 cm¤ 이므로 EH”='∂68=2'∂17(cm)
△AEH에서
AE”="√(2'∂17)¤ -(3'2)¤ =5'2(cm)이므로
AD”=3'2+5'2=8'2(cm)
∴ (cid:8772)ABCD=(8'2)¤ =128(cm¤ )
11 BQ”=AP”=8 cm이므로 △ABQ에서
AQ”="√17¤ -8¤ =15(cm)(cid:100)(cid:100)∴ PQ”=15-8=7(cm)
따라서 (cid:8772)PQRS는 정사각형이므로
01 △ABD에서 x="√4¤ +10¤ =2'∂29
△ABC에서 BC”="√(2'∂34)¤ -10¤ =6이므로
y=6-4=2
02 △ABC에서 x="√5¤ -4¤ =3
△ABD에서 BD”="√(3'∂10)¤ -3¤ =9(cm)이므로
y=9-4=5
03 AC”="√2¤ +2¤ =2'2(cm)
AD”="√(2'2)¤ +2¤ =2'3(cm)
AE”="√(2'3)¤ +2¤ =4(cm)
(cid:8772)PQRS=7¤ =49(cm¤ )
12 (cid:8772)PQRS=9 cm¤ 이므로 PQ”=3(cm)
BQ”=AP”=12-3=9(cm)
△ABQ에서 AB”="√9¤ +12¤ =15(cm)
(cid:8772)ABCD는 정사각형이므로
(cid:8772)ABCD=15¤ =225(cm¤ )
13 BC”=x cm라 하면 17¤ =x¤ +15¤ 이므로
x¤ =64(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>0)
따라서 BC”의 길이는 8 cm이다.
Ⅱ. 피타고라스 정리 51
14 ⁄ x가 가장 긴 변의 길이일 때,
⁄ x¤ =6¤ +8¤ 이므로 x¤ =100(cid:100)(cid:100)∴ x=10 (∵ x>0)
¤ 8이 가장 긴 변의 길이일 때,
⁄ 8¤ =6¤ +x¤ 이므로 x¤ =28(cid:100)(cid:100)∴ x=2'7 (∵ x>0)
따라서 직각삼각형이 되도록 하는 x의 값은 2'7, 10이다.
02 피타고라스 정리 ⑵
01 ⑴ 8 cm ⑵ 4'3 cm
02 ⑴ 5 cm ⑵ ;;¡5™;; cm
03 ⑴ 2'5 ⑵ '∂21
04 ⑴ 16 cm¤ ⑵ 12 cm¤
01 ⑴ AC”
¤ =CD”_CB”이므로
(cid:100) 4¤ =2_CB”(cid:100)(cid:100)∴ BC”=8(cm)
⑵ △ABC에서 AB”="√8¤ -4¤ ='∂48=4'3(cm)
02 ⑴ △ABC에서 BC”="√4¤ +3¤ =5(cm)
⑵ △ABC=;2!;_4_3=6(cm¤ )
(cid:100) △ABC=;2!;_5_AD”=6이므로 AD”=;;¡5™;;(cm)
03 ⑴ AB”
¤ +CD”
¤ 이므로
¤ =AD”
¤ +BC”
(cid:100) (2'2)¤ +5¤ =x¤ +('∂13)¤
(cid:100) x¤ =20(cid:100)(cid:100)∴ x=2'5 (∵ x>0)
¤ 이므로
¤ =BP”
¤ +CP”
⑵ AP”
(cid:100) 7¤ +6¤ =8¤ +x¤
(cid:100) x¤ =21(cid:100)(cid:100)∴ x='∂21 (∵ x>0)
¤ +DP”
04 ⑴ (색칠한 부분의 넓이)=10+6=16(cm¤ )
⑵ (색칠한 부분의 넓이)=30-18=12(cm¤ )
14~15쪽
01 ⑤
05 '∂106 cm 06 2'3 cm 07 52
09 '∂13
02 4'3 cm 03 12 cm 04 2'5 cm
08 3'3 cm
10 2'∂15 cm 11 9 : 16 : 25
12 ;;¡2∞;; cm 13 6
01 ⑤ c¤ >a¤ +b¤ 이면 ∠C는 둔각
02 BD”="√6¤ -3¤ =3'3(cm)이고
¤ =BD”_BC”이므로
AB”
6¤ =3'3_BC”(cid:100)(cid:100)∴ BC”=4'3(cm)
52 정답 및 풀이
03 △ABC에서
AC”="√25¤ -15¤ =20(cm)
AB”_AC”=BC”_AH”이므로
15_20=25_AH”(cid:100)(cid:100)∴ AH”=12(cm)
04 BE”
¤ =DE”
¤ 이므로
¤ +CD”
¤ =20
10¤ +8¤ =DE”
∴ DE”=2'5(cm) (∵ DE”>0)
¤ +BC”
¤ +12¤ , DE”
05 BE”
¤ +BC”
¤ +CD”
¤ =DE”
¤ , BC”
('∂41)¤ +(3'∂10)¤ =5¤ +BC”
∴ BC”='∂106(cm) (∵ BC”>0)
¤ 이므로
¤ =106
13쪽
06 AB”
¤ =AD”
¤ +CD”
6¤ +5¤ =AD”
∴ AD”=2'3(cm) (∵ AD”>0)
¤ +BC”
¤ +7¤ , AD”
¤ 이므로
¤ =12
07 AB”
¤ +CD”
¤ +CD”
¤ =BC”
¤ +AD”
¤ =4¤ +6¤ =52
AB”
¤ 이므로
08 AP”
¤ =BP”
¤ +CP”
6¤ +4¤ =5¤ +DP”
∴ DP”=3'3(cm) (∵ DP”>0)
¤ 이므로
¤ =27
¤ +DP”
¤ , DP”
09 AP”
¤ =BP”
¤ +CP”
2¤ +(3'2)¤ =BP”
∴ BP”='∂13 (∵ BP”>0)
¤ +DP”
¤ +3¤ , BP”
¤ 이므로
¤ =13
10 AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
;2!;_('3)¤ p=;2#;p(cm¤ )이므로
AC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
;2#;p+6p=;;¡2∞;;p(cm¤ )
즉, ;2!;_{
}2 p=;;¡2∞;;p이므로
AC”
2
11 △ABC에서 AC”="√5¤ -3¤ =4
∴ P : Q : R=AB”
¤ : BC”
¤ : AC”
=3¤ : 4¤ : 5¤
=9 : 16 : 25
12 PQ”=x cm라 하면
PC”=PQ”=x cm, DP”=(12-x)cm
BQ”=BC”=15 cm이므로
△ABQ에서
AQ”="√15¤ -12¤ =9(cm)
∴ DQ”=15-9=6(cm)
△PDQ에서 x¤ =(12-x)¤ +6¤ 이므로
24x=180(cid:100)(cid:100)∴ x=;;¡2∞;;
따라서 PQ”의 길이는 ;;¡2∞;; cm이다.
AC”
¤ =60(cid:100)(cid:100)∴ AC”=2'∂15(cm) (∵ AC”>0)
¤
13 PQ”=x라 하면 DQ”=PQ”=x, CQ”=8-x
2. 피타고라스 정리의 활용
AP”=AD”=10이므로
△ABP에서 BP”="√10¤ -8¤ =6
∴ CP”=10-6=4
△PCQ에서 x¤ =4¤ +(8-x)¤ 이므로
16x=80(cid:100)(cid:100)∴ x=5
따라서 CP”=4, CQ”=3이므로
△QPC=;2!;_4_3=6
01 20 cm 02 2'3
03 20 cm¤
04
05 2'5 cm 06 2'∂13<x<10
16쪽
4'6
3
01 두 정사각형 ABCD, ECGF의 한 변의 길이는 각각 12 cm,
4 cm이므로
AB”=12 cm, BG”=12+4=16(cm)
△ABG에서 AG”="√16¤ +12¤ =20(cm)
02 △PAB에서 PB”="√('2)¤ +('2)¤ =2
△PBC에서 PC”="√('2)¤ +2¤ ='6
△PCD에서 PD”="√('2)¤ +('6)¤ =2'2
△PDE에서 PE”="√('2)¤ +(2'2)¤ ='∂10
△PEF에서 PF”="√('2)¤ +('∂10)¤ =2'3
03 △ABC™△DCE이므로
AC”=DE”=6 cm, CD”=BA”=2 cm
이때 △BCE는 직각이등변삼각형이고
BC”="√6¤ +2¤ =2'∂10(cm)이므로
△BCE=;2!;_2'∂10_2'∂10=20(cm¤ )
04 ;2!;_4'2_AC”=8'2이므로 AC”=4
BC”="√4¤ +(4'2)¤ =4'3
AB”_AC”=BC”_AH”이므로
4'2_4=4'3_AH”(cid:100)(cid:100)∴ AH”=
4'6
3
05 △OCD에서 CD”="√(3'2)¤ +('7)¤ =5(cm)
¤ +AD”
¤ +CD”
¤ 이므로
¤ =BC”
AB”
(2'2)¤ +5¤ =('∂13)¤ +AD”
AD”
¤ =20(cid:100)(cid:100)∴ AD”=2'5(cm) (∵ AD”>0)
06 6-4<x<6+4에서 2<x<10
이때 x>6이므로 6<x<10
△ABC가 둔각삼각형이 되려면
x¤ >4¤ +6¤`, x¤ >52(cid:100)(cid:100)∴ x>2'∂13 yy ㉡
㉠, ㉡에 의해 2'∂13<x<10
yy ㉠
01 평면도형에의 활용 ⑴
17쪽
01 ⑴ '∂41 cm ⑵ 2'5 cm ⑶ 4'2 cm ⑷ 7'2 cm
02 ⑴ 8 ⑵ 4'2
03 ⑴ 높이：'3 cm, 넓이：'3 cm¤
⑵ 높이：5'3 cm, 넓이：25'3 cm¤
04 ⑴ 5 cm ⑵ '∂11 cm ⑶ 5'∂11 cm¤
02 ⑴ x="√10¤ -6¤ ='∂64=8
⑵ '2x=8(cid:100)(cid:100)∴ x= =4'2
8
'2
(cid:100) (넓이)= _2¤ ='3(cm¤ )
'3
03 ⑴ (높이)= _2='3(cm)
2
'3
4
'3
2
'3
4
⑵ (높이)= _10=5'3(cm)
(cid:100) (넓이)= _10¤ =25'3(cm¤ )
04 ⑴ BH”=;2!;_10=5(cm)
⑵ △ABH에서 AH”="√6¤ -5¤ ='∂11(cm)
⑶ △ABC=;2!;_10_'∂11=5'∂11(cm¤ )
18~19쪽
01 3'5
02 18 cm 03 6'2 cm 04 ;;¢5•;; cm
05 ;1^3); cm 06 9'3 cm¤
07 12'2 cm 08 ;;¡2∞;; cm
10 96'3 cm¤ 11 4'2 cm 12 12 cm¤
09 9'3 cm¤
13 12 cm
01 BC”="√('∂61)¤ -4¤ ='∂45=3'5
02 직사각형의 가로, 세로의 길이를 각각 4x, 3x(x>0)라 하면
"√(4x)¤ +(3x)¤ =30에서
25x¤ =900, x¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0)
따라서 직사각형의 세로의 길이는 3_6=18(cm)
03 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
pr¤ =9p, r¤ =9(cid:100)(cid:100)∴ r=3 (∵ r>0)
(cid:8772)ABCD의 한 변의 길이는 2r=2_3=6(cm)이므로
(대각선의 길이)='2_6=6'2(cm)
Ⅱ. 피타고라스 정리 53
¤
04 △ABD에서
BD”="√12¤ +16¤ =20(cm)
AB”_AD”=AH”_BD”이므로
12_16=AH”_20
∴ AH”=;;¢5•;;(cm)
05 △ABD에서
BD”="√5¤ +12¤ =13(cm)
AB”_AD”=AH”_BD”이므로
12_5=AH”_13
∴ AH”=;1^3);(cm)
06 정삼각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
'3
2
x=3'3(cid:100)(cid:100)∴ x=6
∴ (정삼각형의 넓이)= _6¤ =9'3(cm¤ )
'3
4
07 정삼각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
_x¤ =8'3, x¤ =32
'3
4
∴ x=4'2 (∵ x>0)
∴ (정삼각형의 둘레의 길이)=3_4'2=12'2(cm)
08 △ABC에서 AD”= _10=5'3(cm)
∴ (△ADE의 높이)= _5'3=;;¡2∞;;(cm)
'3
2
'3
2
09 △ABC에서 AD”는 △ABC의 높이이므로
AD”= _4'3=6(cm)
'3
2
∴ △ADE= _6¤ =9'3(cm¤ )
'3
4
10 오른쪽 그림과 같이 정육각형을 6개의 정삼각
형으로 나누어 생각하면
(정육각형의 넓이)
=6_(한 변의 길이가 8 cm인 정삼각형의
넓이)
'3
=6_{ _8¤ }
4
=96'3(cm¤ )
8 cm
11 오른쪽 그림과 같이 AC”를 긋고
AB”=x cm라 하면
2_{ _x¤ }=16'3
'3
4
x cm
B
60˘
D
A
C
x¤ =16'3, x¤ =32
'3
2
∴ x=4'2 (∵ x>0)
따라서 마름모 ABCD의 한 변의 길이는 4'2 cm이다.
54 정답 및 풀이
12 △ABH에서 BH”="√5¤ -4¤ =3(cm)이므로
BC”=2_3=6(cm)
∴ △ABC=;2!;_6_4=12(cm¤ )
13 BH”=x cm라 하면
CH”=(21-x)cm
△ABH에서 AH”
¤ =13¤ -x¤
¤ =20¤ -(21-x)¤
△ACH에서 AH”
즉, 13¤ -x¤ =20¤ -(21-x)¤ 에서
42x=210(cid:100)(cid:100)∴ x=5
△ABH에서
AH”="√13¤ -5¤ =12(cm)
02 평면도형에의 활용 ⑵
20쪽
01 ⑴ x=8, y=8'2
⑵ x=8'2, y=8'2
02 ⑴ x=20, y=10'3
⑵ x=3, y=3'3
03 ⑴ '∂34 ⑵ '∂41 ⑶ '∂29 ⑷ 2'∂13
04 ⑴ '∂34 ⑵ '∂34 ⑶ 2'2 ⑷ 이등변삼각형
01 ⑴ x : 8=1 : 1이므로 x=8
(cid:100) y : 8='2 : 1이므로 y=8'2
⑵ 16 : x='2 : 1이므로
(cid:100) '2x=16(cid:100)(cid:100)∴ x=8'2
(cid:100) 16 : y='2 : 1이므로
(cid:100) '2y=16(cid:100)(cid:100)∴ y=8'2
02 ⑴ x : 10=2 : 1이므로 x=20
(cid:100) y : 10='3 : 1이므로 y=10'3
⑵ 6 : x=2 : 1이므로
(cid:100) 2x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=3
(cid:100) 6 : y=2 : '3이므로
(cid:100) 2y=6'3(cid:100)(cid:100)∴ y=3'3
03 ⑴ OA”="√(3-0)¤ +(5-0)¤ ='∂34
⑵ AB”="√(0-4)¤ +(-1-4)¤ ='∂41
⑶ AB”="√(-2-0)¤ +√{4-(-1)}¤ ='∂29
⑷ AB”="√(4-0)¤ +(0-6)¤ ='∂52=2'∂13
04 ⑴ AB”="√{3-(-2)}¤ +√(-2-1)¤ ='∂34
⑵ BC”="√(3-0)¤ +(-2-3)¤ ='∂34
⑶ CA”="√(-2-0)¤ +(1-3)¤ ='8=2'2
⑷ AB”=BC”인 이등변삼각형이다.
01 '6 cm 02 3
06 ④
05 ④
03 2
04 2
01 △ABC에서 AB” : BC”=1 : '3이므로
2 : BC”=1 : '3(cid:100)(cid:100)∴ BC”=2'3(cm)
△DBC에서 BC” : CD”='2 : 1이므로
2'3 : CD”='2 : 1
'2 CD”=2'3(cid:100)(cid:100)∴ CD”='6(cm)
02 △ABC에서 AB” : AC”='2 : 1이므로
3'6 : AC”='2 : 1
'2 AC”=3'6(cid:100)(cid:100)∴ AC”=3'3
△ACD에서 AC” : AD”='3 : 1이므로
3'3 : AD”='3 : 1
'3 AD”=3'3(cid:100)(cid:100)∴ AD”=3
03 AB”="√(x-1)¤ +(4-2)¤ ='5이므로
x¤ -2x+1+4=5
x¤ -2x=0, x(x-2)=0
∴ x=0 또는 x=2
그런데 점 B는 제`1사분면 위의 점이므로 x>0
∴ x=2
04 PQ”="√{a-(-2)}¤ +√(-1-5)¤ =2'∂13이므로
(a+2)¤ +36=52
a¤ +4a-12=0, (a+6)(a-2)=0
∴ a=-6 또는 a=2
그런데 점 Q가 제`4사분면 위의 점이므로 a>0
∴ a=2
√+(3-0)¤ ='∂58
√+(-4-0)¤ ='∂116=2'∂29
05 AB”="√{3-(-4)}¤
BC”="√{6-(-4)}¤
CA”="√(6-3)¤ +(-4-3)¤ ='∂58
AB”=CA”이고 BC”
¤ +CA”
¤ =AB”
△ABC는 ∠A=90˘인 직각이등변삼각형이다.
¤ 이므로
06 OB”="√(2-0)¤ +(1-0)¤ ='5
BC”="√{2-(-2)}¤
OC”="√{0-(-2)}¤
BC”
¤ =OB”
¤ +OC”
√+(1-4)¤ ='∂25=5
√+(0-4)¤ ='∂20=2'5
¤ 이므로
△OBC는 ∠O=90˘인 직각삼각형이다.
01 3'2
04 32'3 cm¤
02 4'3 cm
05 2
03 14 cm¤
06 2'∂61 cm
21쪽
01 정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면
'2x=6이므로 x=3'2
02 정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 x cm라 하면
'3
AD”= x cm
2
△ADE= _{
x}2 =9'3이므로
'3
4
'3
2
x¤ =48(cid:100)(cid:100)∴ x=4'3 (∵ x>0)
따라서 정삼각형의 한 변의 길이는 4'3 cm이다.
03 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에
A
5 cm
24
cm
B
C
x cm (7-x) cm
H
내린 수선의 발을 H라 하고
BH”=x cm라 하면
△ABH에서
¤ =5¤ -x¤
△ACH에서
AH”
¤ =(4'2)¤ -(7-x)¤
AH”
즉, 5¤ -x¤ =(4'2)¤ -(7-x)¤``에서
14x=42(cid:100)(cid:100)∴ x=3
△ABH에서
AH”="√5¤ -3¤ =4(cm)
∴ △ABC=;2!;_7_4=14(cm¤ )
내린 수선의 발을 H라 하면
△ABH에서
8 : BH”=2 : 1, 2BH”=8
∴ BH”=4(cm)
8 : AH”=2 : '3, 2AH”=8'3
∴ AH”=4'3(cm)
또, AD”=10-4=6(cm)이므로
(cid:8772)ABCD=;2!;_(6+10)_4'3
(cid:8772)ABCD=32'3(cm¤ )
04 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에
A
D
8 cm
60˘
B
C
H
10 cm
05 AB”="√(a-6)¤
√+{3-(2a+1)}¤ =2'5이므로
(a-6)¤ +(2-2a)¤ =20
5a¤ -20a+20=0
a¤ -4a+4=0
(a-2)¤ =0
∴ a=2
06 오른쪽 그림과 같이 점 D를 AB”
C
를 대칭축으로 하여 대칭이동한
점을 D'이라 하면 CD'”의 길이가
6 cm
A
P
12 cm
D
4 cm
B
4 cm
D'
22쪽
CP”+PD”의 최솟값이다.
∴ CD'”="√12¤ +(6+4)¤
='∂244
=2'∂61(cm)
Ⅱ. 피타고라스 정리 55
03 입체도형에의 활용 ⑴
01 ⑴ 3'∂10 cm ⑵ 5'2 cm ⑶ 4'3 cm
02 ⑴ 3'6 cm ⑵ 2'6 cm ⑶ 4'3 cm
03 ⑴ 4'2 cm ⑵ 2'2 cm ⑶ 2'7 cm ⑷
23쪽
32'7
3
cm‹
01 ⑴ "√4¤ +5¤ +7¤ ='∂90=3'∂10(cm)
⑵ "√('5)¤ +3¤ +6¤ ='∂50=5'2(cm)
⑶ "√4¤ +4¤ +4¤ =4'3(cm)
02 ⑴ DM”= _6'2=3'6(cm)
'3
2
⑵ DH”=;3@; DM”=;3@;_3'6
⑵ DH”=2'6(cm)
⑶ AH”="√(6'2)¤ -(2'6)¤
='∂48=4'3(cm)
03 ⑴ AC”='2_4=4'2(cm)
⑵ CH”=;2!;AC”=;2!;_4'2
⑵ CH”=2'2(cm)
⑶ OH”="√6¤ -(2'2)¤ =2'7(cm)
⑷ (부피)=;3!;_4¤ _2'7=
(cm‹ )
32'7
3
04 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
6a¤ =96이므로 a¤ =16
∴ a=4 (∵ a>0)
∴ (대각선의 길이)='3_4=4'3(cm)
05 오른쪽 그림과 같이 EG”를 그으면
EG”="√6¤ +8¤ =10(cm)
AG”="√6¤ +8¤ +5¤ =5'5(cm)
AE”_EG”=AG”_EI”이므로
5_10=5'5_EI”
∴ EI”=2'5(cm)
06 오른쪽 그림과 같이 EG”를 그으면
EG”=6'2 cm, AG”=6'3 cm
AE”_EG”=AG”_EM”이므로
6_6'2=6'3_EM”
∴ EM”=2'6(cm)
07 DM”= _6'3=9(cm)이므로
'3
2
DH”=;3@;DM”=;3@;_9=6(cm)
A
D
5 cm
C
E
I
H
8 cm
6 cm
G
B
F
A
D
B
F
C
6 cm
E M
6 cm
G
H
6 cm
AH”="√(6'3)¤ -6¤ ='∂72=6'2(cm)
∴ △ADH=;2!;_6_6'2=18'2(cm¤ )
08 AM”=DM”= _24=12'3(cm)이므로
'3
2
MH”=;3!;`DM”=;3!;_12'3
MH”=4'3(cm)
AH”="√(12'3)¤ -(4'3)¤
='∂384=8'6(cm)
24~25쪽
∴ △AMH=;2!;_4'3_8'6=48'2(cm¤ )
03 24'3 cm‹ 04 4'3 cm
01 4 cm
05 2'5 cm 06 2'6 cm 07 18'2 cm¤ 08 48'2 cm¤
02 5
09 9'3 cm¤
10 6 cm
11 50'3 cm¤ 12
4'3
3
cm
09 AC”='2_3'2=6(cm)이므로
CH”=;2!;AC”=;2!;_6=3(cm)
01 FG”=x cm라 하면
"√x¤ +2¤ +1¤ ='∂21이므로
x¤ +4+1=21
x¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
∴ FG”=4 cm
02 "√8¤ +3¤ +x¤ =7'2이므로
64+9+x¤ =98
x¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
03 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'3a=6이므로 a=2'3
∴ (정육면체의 부피)=(2'3)‹ =24'3(cm‹ )
56 정답 및 풀이
△OCH에서
OH”="√6¤ -3¤ =3'3(cm)
∴ △OAC=;2!;_6_3'3=9'3(cm¤ )
10 AC”='2_6'2=12(cm)이므로
CH”=;2!;_12=6(cm)
△OHC에서
OH”="√(6'2)¤ -6¤ ='∂36=6(cm)
11 △AFC는 한 변의 길이가 10'2 cm인 정삼각형이므로
△AFC= _(10'2)¤ =50'3(cm¤ )
'3
4
12 △AFC는 한 변의 길이가 4'2 cm인 정삼각형이므로
△AFC= _(4'2)¤ =8'3(cm¤ )
'3
4
(삼각뿔 B－AFC의 부피)=(삼각뿔 A－BFC의 부피)이므로
01 12'3 cm
04 200p cm‹
02 16'2 cm¤
05 120˘
03 '∂10 cm
06 4'∂10p cm
27쪽
;3!;_8'3_BI”=;3!;_{;2!;_4_4}_4
∴ BI”=
(cm)
4'3
3
04 입체도형에의 활용 ⑵
p cm‹
01
125'3
3
03 36'5p cm‹
05 3'∂29 cm
02 4'∂10 cm
04 4'∂15 cm
06 '∂145
01 BD”=FH”="√(2'3)¤ +6¤ =4'3(cm)
∴ ((cid:8772)BFHD의 둘레의 길이)=2(4'3+2'3)
=12'3(cm)
'3
02 BM”=CM”= _8=4'3(cm)
2
M
오른쪽 그림과 같이 점 M에서 BC”에 내린
34
cm
34
cm
B
C
H
8 cm
26쪽
=4'2(cm)
수선의 발을 H라 하면
△MBH에서
MH”="√(4'3)¤ -4¤ ='∂32
∴ △MBC=;2!;_8_4'2
∴ △MBC=16'2(cm¤ )
03 △BCD에서
BD”='2_2'2=4(cm)이므로
BH”=;2!;BD”=;2!;_4=2(cm)
01 AC”="√10¤ -5¤ ='∂75=5'3(cm)
직선 l을 축으로 하여 1회전시킬 때 생기는 입체도형은 원뿔이므로
(원뿔의 부피)=;3!;_p_5¤ _5'3
(원뿔의 부피)=
125'3
3
p(cm‹ )
02 (높이)="√13¤ -3¤ =4'∂10(cm)
03 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2p_9_;3@6$0);=2pr(cid:100)(cid:100)∴ r=6
(원뿔의 높이)="√9¤ -6¤ ='∂45=3'5(cm)
∴ (원뿔의 부피)=;3!;_p_6¤ _3'5=36'5p(cm‹ )
04 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2p_16_;3ª6º0;=2pr(cid:100)(cid:100)∴ r=4
∴ (원뿔의 높이)="√16¤ -4¤ ='∂240=4'∂15(cm)
05 선이 지나는 부분의 전개도는 오른
A
B
C
쪽 그림과 같다.
∴ (최단 거리)=AG”
="√(10+5)¤ +6¤
='∂261=3'∂29(cm)
06 선이 지나는 부분의 전개도는 오른쪽 그림
A
B
C
과 같다.
∴ (최단 거리)=CD”
="√(4+5)¤ +8¤
='∂145
8
D
4
E
5
F
△OBH에서
OB”="√2¤ +('6)¤ ='∂10(cm)
따라서 정사각뿔의 옆면의 한 모서리의 길이는 '∂10 cm이다.
04 AO”=BO”=8 cm이므로
OH”=10-8=2(cm)
△OBH에서
BH”="√8¤ -2¤ =2'∂15(cm)
∴ (원뿔의 부피)=;3!;_p_(2'∂15)¤ _10
∴ (원뿔의 부피)=200p(cm‹ )
05 원뿔의 모선의 길이는
"√2¤ +(4'2)¤ ='∂36=6(cm)
옆면인 부채꼴의 중심각의 크기를 ∠x라 하면
2p_6_;36{0;=2p_2
쪽 그림과 같다.
AA'”=2p_6=12p(cm)
A'B'”=4p(cm)이므로
(최단 거리)=AB'”
="√(12p)¤ +(4p)¤
='∂160p
=4'∂10p(cm)
A
B
4p cm
A'
B'
Ⅱ. 피타고라스 정리 57
6 cm
∴ ∠x=120˘
E
10 cm
5 cm
F
G
06 선이 지나는 부분의 전개도는 오른
12p cm
III 삼각비
1. 삼각비
01 삼각비
01 ⑴
3'∂13
13
⑵
2'∂13
13
⑶
2'∂13
13
⑷
3'∂13
13
⑸ ;2#; ⑹ ;3@;
2'6
02 ⑴ 2'6 ⑵ sin A= , cos A=;7%;, tan A=
7
2'6
5
⑶ sin C=;7%;, cos C= , tan C=
2'6
7
5'6
12
03 ⑴ '3 ⑵ 0 ⑶ ;2!; ⑷ -;6!;
04 ⑴ 14 ⑵ 8'2
02 ⑴ BC”="√7¤ -5¤ ='∂24=2'6
2'6
7
⑵ sin A=
, cos A=;7%;, tan A=
2'6
5
⑶ sin C=;7%;, cos C=
, tan C=
5
2'6
=
5'6
12
03 ⑴ sin 60˘+cos 30˘= + ='3
2'6
7
'3
2
'2
2
'3
2
'2
2
⑵ cos 45˘-sin 45˘= - =0
⑶ cos 60˘_tan 45˘=;2!;_1=;2!;
⑷ tan 30˘÷tan 60˘-sin 30˘= ÷'3-;2!;
'3
3
⑷ tan 30˘÷tan 60˘-sin 30˘=;3!;-;2!;=-;6!;
04 ⑴ sin B= =;9&;이므로 AC”=14
AC”
18
⑵ BC”="√18¤ -14¤ ='∂128=8'2
29~30쪽
01 6'7 cm¤
02
03 ;1@0!;
04 ;1£0;
3'∂13
13
06 ;5$;
07 ;2#5!;
08 ;1!3&;
09 2'3 cm 10 x=;3*;, y=
8'3
3
11 -
'3
3
05
'5
3
12 ;2!;
58 정답 및 풀이
'7
01 sin A= = 이므로 BC”=2'7(cm)
4
AC”="√8¤ -(2'7)¤ ='∂36=6(cm)
BC”
8
∴ △ABC=;2!;_2'7_6=6'7(cm¤ )
02 tan A= =;3@;이므로 AC”=12(cm)
8
AC”
28쪽
AB”="√8¤ +12¤ ='∂208=4'∂13(cm)
∴ cos A=
12
4'∂13
=
3'∂13
13
5
A
2
B
C
3
03 cos A=;5@;이므로 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형
C
ABC를 그릴 수 있다.
BC”="√5¤ -2¤ ='∂21이므로
sin A=
, tan A=
'∂21
5
'∂21
2
∴ sin A_tan A=
'∂21
5
_
'∂21
2
=;1@0!;
04 tan A=3이므로 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형
ABC를 그릴 수 있다.
AC”="√1¤ +3¤ ='∂10이므로
sin A=
3
'∂10
=
3'∂10
10
, cos A=
1
'∂10
=
'∂10
10
∴ sin A_cos A=
3'∂10
10
_
'∂10
10
=;1£0;
A
1
B
05 △DECª△ABC(AA 닮음)이므로 ∠x=∠A
△ABC에서 AB”="√9¤ -6¤ ='∂45=3'5이므로
cos x=cos A=
3'5
9
=
'5
3
06 △ABCª△EBD(AA 닮음)이므로 ∠x=∠BDE
△DBE에서 BE”="√5¤ -3¤ ='∂16=4이므로
sin x=;5$;
07 △DBAª△ABC(AA 닮음)이므로 ∠x=∠C
△ABC에서 BC”="√24¤ +7¤ =25
∴ sin x=sin C=;2@5$;, cos x=cos C=;2¶5;
∴ sin x+cos x=;2@5$;+;2¶5;=;2#5!;
08 △ACDª△CBDª△ABC(AA 닮음)이므로
∠x=∠B, ∠y=∠A
△ABC에서 BC”="√13¤ -5¤ =12(cm)
∴ cos x=cos B=;1!3@;, cos y=cos A=;1∞3;
∴ cos x+cos y=;1!3@;+;1∞3;=;1!3&;
09 △ABC에서 tan 60˘=
='3이므로
BC”
'2
BC”='6(cm)
△DBC에서 sin 45˘=
= 이므로
'6
BD”
'2
2
BD”=2'3(cm)
10 △CHB에서 tan 30˘= = 이므로 y=
△CAH에서 tan 60˘= ='3이므로 x=
'3
3
y
8
y
x
8'3
3
y
'3
∴ x=
8'3
3
1
_ =;3*;
'3
11 cos 60˘_tan 30˘-tan 45˘_sin 60˘
'3
=;2!;_ -1_ = - =-
2
'3
3
'3
6
'3
2
'3
3
①
'2
2
03 주어진 삼각비의 값을 각각 구해 보면
'3
3
'3
3
'2
2
③ 1 ④ 0 ⑤ ;2!;
②
이때 0<;2!;< < <1이므로 두 번째로 작은 것은
⑤ cos 60˘이다.
04 45˘<x<90˘일 때 cos x<sin x<1이고, tan x>1이므로
tan x>sin x>cos x
05 sin x=0.4226이므로 ∠x=25˘
cos y=0.9135이므로 ∠y=24˘
∴ ∠x+∠y=25˘+24˘=49˘
12 cos 30˘_tan 30˘+sin 30˘_tan 45˘-sin 45˘_cos 45˘
'2
2
= _ +;2!;_1- _
'3
2
'2
2
'3
3
=;2!;+;2!;-;2!;=;2!;
06 cos A=;1¶0£0;=0.73이고, cos 43˘=0.7314이므로
∠A의 크기는 약 43˘이다.
02 예각의 삼각비
01 ⑴ 0.8387 ⑵ 0.5446 ⑶ 1.5399
02 ⑴ 2 ⑵ 0 ⑶ 5 ⑷ 0
03 ⑴ 0.6018 ⑵ 0.7880 ⑶ 0.7265
04 ⑴ 15˘ ⑵ 13˘ ⑶ 14˘
01 ;1!3@;
02 ;6%;
03 2'6 cm 04 ;5$;
05 9
06 x=6, y=3'6
07 ②, ③
33쪽
01 BC”="√13¤ -12¤ ='∂25=5이므로
cos B=;1∞3;, tan B=;;¡5™;;
∴ cos B_tan B=;1∞3;_;;¡5™;;=;1!3@;
02 ⑴ cos 0˘+sin 90˘-tan 0˘=1+1-0=2
⑵ cos 90˘_sin 0˘-tan 0˘÷cos 0˘=0_0-0÷1=0
⑶ 2 sin 90˘-cos 90˘+3 tan 45˘=2_1-0+3_1=5
⑷ sin 0˘_cos 30˘+sin 60˘_cos 90˘
(cid:100) =0_ + _0=0
'3
2
'3
2
02 3 cos A-2=0에서 cos A=;3@;이므로 오른쪽
B
그림과 같은 직각삼각형 ABC를 그릴 수 있다.
BC”="√3¤ -2¤ ='5이므로
'5
2
'5
sin A= , tan A=
3
∴ sin A_tan A= _ =;6%;
'5
3
'5
2
3
A
2
C
31쪽
32쪽
01 ⑤
02 2.19
04 tan x, sin x, cos x
03 ⑤
05 49˘
06 ①
01 ⑤ sin z=sin y=
AB”
AC”
=
AB”
1
=AB”
02 tan 54˘=
=CD”=1.38
CD”
OD”
=
CD”
1
∠OAB=36˘이므로 cos 36˘=
=AB”=0.81
AB”
OA”
=
AB”
1
∴ tan 54˘+cos 36˘=1.38+0.81=2.19
03 △ABCª△DAC(AA 닮음)이므로 ∠x=∠B
△ABC에서 tan x=tan B=
='5이므로
AC”
2
AC”=2'5(cm)
∴ BC”="√2¤ +(2'5)¤ ='∂24=2'6(cm)
04 4x-3y+24=0에 y=0을 대입하면
4x+24=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-6 (cid:9195) A(-6, 0)
또, x=0을 대입하면
-3y+24=0(cid:100)(cid:100)∴ y=8 (cid:9195) B(0, 8)
△AOB에서 OA”=6, OB”=8이므로
AB”=øπOA”
OA”
AB”
=;1§0;=;5#;, tan a=
cos a=
OB”
OA”
¤ +OB”
¤ ="√6¤ +8¤ ='∂100=10
=;6*;=;3$;
Ⅲ. 삼각비 59
∴ cos a_tan a=;5#;_;3$;=;5$;
05 이차방정식의 한 근이 sin 30˘=;2!;이므로
x=;2!;을 `2x¤ +ax-5=0에 대입하면
2_{;2!;}2 +;2!;a-5=0, ;2!;a=;2(;(cid:100)(cid:100)∴ a=9
06 △ABC에서 cos 60˘=;1”2;=;2!;이므로 x=6
sin 60˘=
= 이므로 AC”=6'3(cm)
AC”
12
'3
2
△ACD에서 sin 45˘=
y
6'3
'2
2
= 이므로 y=3'6
07 ㄱ. sin x=BC”
ㄷ. cos x=AC”
ㅁ. tan x=DE”
ㄴ. sin y=AC”
ㄹ. cos y=BC”
1
DE”
ㅂ. tan y=
따라서 삼각비의 값이 같은 것은 ㄱ과 ㄹ, ㄴ과 ㄷ이다.
2. 삼각비의 활용
01 삼각비와 변의 길이
01 ⑴ 6.4 cm ⑵ 7.7 cm
02 ⑴ 4'3 cm ⑵ 4 cm ⑶ 8 cm ⑷ 4'7 cm
03 ⑴ 6 cm ⑵ 4'3 cm
'3
3
04 ⑴ BH”=h, CH”= h ⑵ 5(3-'3)
01 ⑴ AC”=10 sin 40˘=10_0.64=6.4(cm)
⑵ BC”=10 cos 40˘=10_0.77=7.7(cm)
02 ⑴ AH”=8 sin 60˘=8_ =4'3(cm)
'3
2
⑵ BH”=8 cos 60˘=8_;2!;=4(cm)
⑶ CH”=BC”-BH”=12-4=8(cm)
⑷ △AHC에서
(cid:100) AC”=øπAH”
¤ +CH”
¤ ="√(4'3)¤ +8¤
='∂112=4'7(cm)
03 ⑴ CH”=6'2 sin 45˘=6'2_ =6(cm)
'2
2
⑵ ∠A=180˘-(45˘+75˘)=60˘이므로
(cid:100) AC”=
6
sin 60˘
=6÷ =4'3(cm)
'3
2
60 정답 및 풀이
04 ⑴ ∠BAH=90˘-45˘=45˘이므로
(cid:100) BH”=h tan 45˘=h_1=h
(cid:100) ∠CAH=90˘-60˘=30˘이므로
'3
3
(cid:100) CH”=h tan 30˘=h_ = h
'3
3
⑵ BC”=BH”+CH”이므로
3+'3
3
'3
(cid:100) h+ h=10,
3
h=10
(cid:100) ∴ h=10_
=5(3-'3)
3
3+'3
35쪽
100'6
3
m
01 ④
05 ③
02 10'3 m 03 100 m 04
06 50'3 m
01 sin 23˘=;50H0;이므로 h=500 sin 23˘
02 (나무의 윗부분)=AB”=
10
cos 30˘
=10÷ =
(m)
'3
2
20'3
3
(나무의 아랫부분)=AC”=10 tan 30˘=10_
'3
3
34쪽
(나무의 아랫부분)=
(m)
10'3
3
∴ (나무의 높이)=AB”+AC”=
20'3
3
+
10'3
3
=10'3(m)
03 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을
A
H라 하면 △ABH에서
80 m
2
AH”=80'2 sin 45˘=80'2_
B
45˘
H
140 m
C
AH”=80(m)
'2
2
'2
2
BH”=80'2 cos 45˘=80'2_ =80(m)
∴ CH”=BC”-BH”=140-80=60(m)
따라서 △AHC에서
AC”=øπAH”
¤ +CH”
='ƒ10000=100(m)
¤ ="√80¤ +60¤
04 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을
H라 하면 △AHB에서
AH”=100 sin 45˘=100_
'2
2
A
100 m
75˘
45˘
B
60˘
H
C
AH”=50'2(m)
또한, ∠C=180˘-(75˘+45˘)=60˘이므로
△ACH에서
50'2
sin 60˘
AC”=
=50'2÷ =
'3
2
100'6
3
(m)
05 △ABH에서 ∠BAH=40˘이므로 BH”=h tan 40˘
△AHC에서 ∠CAH=20˘이므로 CH”=h tan 20˘
이때 BH”+CH”=BC”이므로 h tan 40˘+h tan 20˘=5
∴ h(tan 40˘+tan 20˘)=5
06 BH”=h m라 하면 △BAH에서 ∠ABH=60˘이므로
AH”=h tan 60˘=h_'3='3h
△BCH에서 ∠CBH=30˘이므로
'3
3
'3
3
CH”=h tan 30˘=h_ = h
'3
3
AC”=AH”-CH”이므로 '3h- h=100
2'3
3
h=100(cid:100)(cid:100)∴ h=100_
3
2'3
따라서 건물의 높이는 50'3 m이다.
=50'3
[다른 풀이]
∠ABC=∠BCH-∠BAC=60˘-30˘=30˘이므로
△ABC는 이등변삼각형이다.
따라서 BC”=AC”=100 m이므로
BH”=100 sin 60˘=100_ =50'3(m)
'3
2
36쪽
02 삼각비와 넓이
⑶ 36 ⑷ 9
01 ⑴ 20'3 ⑵
3'2
2
02 ⑴ 10'2 ⑵ 21
03 ⑴ 54'3 ⑵ 15'2 ⑶ 32 ⑷ 98'3
04 ⑴ 20'2 ⑵ 55
01 ⑴ △ABC=;2!;_8_10_sin 60˘
⑴ △ABC=;2!;_8_10_ =20'3
'3
2
⑵ △ABC=;2!;_3_2_sin 45˘
⑵ △ABC=;2!;_3_2_ =
'2
2
3'2
2
⑶ △ABC=;2!;_18_8_sin 30˘
⑵ △ABC=;2!;_18_8_;2!;=36
⑷ ∠A=180˘-(75˘+75˘)=30˘이므로
⑵ △ABC=;2!;_6_6_sin 30˘
⑵ △ABC=;2!;_6_6_;2!;=9
02 ⑴ △ABC=;2!;_10_4_sin(180˘-135˘)
⑴ △ABC=;2!;_10_4_ =10'2
'2
2
⑵ △ABC=;2!;_14_6_sin(180˘-150˘)
⑵ △ABC=;2!;_14_6_;2!;=21
03 ⑴ (cid:8772)ABCD=9_12_sin 60˘=9_12_ =54'3
'3
2
⑵ (cid:8772)ABCD=5_6_sin(180˘-135˘)
⑵ (cid:8772)ABCD=5_6_ =15'2
'2
2
⑶ (cid:8772)ABCD=8_8_sin 30˘
⑵ (cid:8772)ABCD=8_8_;2!;=32
⑷ (cid:8772)ABCD=14_14_sin(180˘-120˘)
⑵ (cid:8772)ABCD=14_14_ =98'3
'3
2
04 ⑴ (cid:8772)ABCD=;2!;_8_10_sin 45˘
⑴ (cid:8772)ABCD=;2!;_8_10_ =20'2
'2
2
⑵ (cid:8772)ABCD=;2!;_11_10_sin 90˘
⑵ (cid:8772)ABCD=;2!;_11_10_1=55
01 45˘
05 6 cm
02 5'3 cm 03 8'3 cm¤
06 6 cm
07 8 cm
04 27'3 cm¤
08 60˘
37쪽
01 △ABC=;2!;_5_8_sin B=10'2이므로
sin B=10'2_;2¡0;= (cid:100)(cid:100)∴ ∠B=45˘
'2
2
02 △ABC=;2!;_4_AB”_sin(180˘-120˘)
△ABC=;2!;_4_AB”_ =15
'3
2
이므로 AB”=15_ =5'3(cm)
1
'3
03 선분 BD를 그으면
△ABD=;2!;_2'3_2
△ABD=_sin(180˘-150˘)
32
cm
△ABD=;2!;_2'3_2_;2!;
△ABD='3(cm¤ )
D
2 cm
A
150˘
72
cm
B
72
cm
60˘
C
Ⅲ. 삼각비 61
△BCD=;2!;_2'7_2'7_sin 60˘
FG”=8 sin 60˘=8_ =4'3
△BCD=;2!;_2'7_2'7_ =7'3(cm¤ )
∴ (직육면체의 부피)=6_4'3_4=96'3
∴ (cid:8772)ABCD=△ABD+△BCD=8'3(cm¤ )
02 △ABC에서
'3
2
'3
3
A
72
cm
120˘
D
AC”=9 tan 45˘=9_1=9(m)
△BDC에서
CD”=9 tan 30˘=9_ =3'3(m)
72
cm
C
∴ (송신탑의 높이)=AC”+CD”
=9+3'3(m)
03 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라
'3
2
'3
2
04 선분 AC를 그으면
△ABC=;2!;_10_8_sin 60˘
△ABC=;2!;_10_8_
'3
2
10 cm
60˘
△ABC=20'3(cm¤ )
8 cm
△ACD=;2!;_2'7_2'7_sin(180˘-120˘)
B
△ACD=;2!;_2'7_2'7_ =7'3(cm¤ )
∴ (cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD=27'3(cm¤ )
05 BC”=AD”=8 cm, CD”=AB”이므로
(cid:8772)ABCD=8_AB”_sin(180˘-120˘)
(cid:8772)ABCD=8_AB”_ =24'3
'3
2
∴ AB”=24'3_
=6(cm)
1
4'3
06 (cid:8772)ABCD=AB”
¤ _sin(180˘-135˘)=AB”
¤ _ =18'2
'2
2
에서 AB”
¤ =18'2_ =36
2
'2
∴ AB”=6(cm) (∵ AB”>0)
07 AC” : BD”=4 : 5이므로 AC”=x cm라 하면 BD”=;4%;x cm
(cid:8772)ABCD=;2!;_x_;4%;x_sin(180˘-120˘)
(cid:8772)ABCD=;8%;x¤ _ =20'3
이므로 x¤ =20'3_
=64(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>0)
'3
2
16
5'3
따라서 AC”의 길이는 8 cm이다.
08 두 대각선이 이루는 예각의 크기를 ∠x라 하면
(cid:8772)ABCD=;2!;_10_12_sin x=30'3이므로
sin x=30'3_;6¡0;= (cid:100)(cid:100)∴ ∠x=60˘
'3
2
01 96'3
03 (300+300'3)m
05 20 cm¤
02 (9+3'3)m
04 (30-10'3)m
06 32 cm 07 35 cm¤
38쪽
A
B
45˘
30˘
C
9 m
D
A
600 m
75˘
60˘
B
H
C
하면 △ABH에서
BH”=600 cos 60˘=600_;2!;
BH”=300(m)
AH”=600 sin 60˘=600_ =300'3(m)
'3
2
∠C=180˘-(75˘+60˘)=45˘이므로 △ACH에서
CH”=
300'3
tan 45˘
=300'3(m)
∴ BC”=BH”+CH”=300+300'3(m)
04 △PAQ에서 ∠APQ=45˘이므로
AQ”=30 tan 45˘=30_1=30(m)
△PBQ에서 ∠BPQ=30˘이므로
BQ”=30 tan 30˘=30_ =10'3(m)
'3
3
∴ AB”=AQ”-BQ”=30-10'3(m)
05 tan 30˘= 이므로 tan A= 에서 ∠A=30˘
'3
3
'3
3
∴ △ABC=;2!;_8_10_sin 30˘
∴ △ABC=;2!;_8_10_;2!;=20(cm¤ )
06 AB” : BC”=3 : 5이므로 AB”=3a, BC”=5a라 하면
(cid:8772)ABCD=3a_5a_sin 30˘=3a_5a_;2!;=30에서
;;¡2∞;;a¤ =30, a¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ a=2 (∵ a>0)
따라서 AB”=6 cm, BC”=10 cm이므로 (cid:8772)ABCD의 둘레의
길이는 2_(6+10)=32(cm)
07 두 점 B, C에서 AD”에 내린 수선의
발을 각각 H, H'이라 하면
AH”=DH'”=5'2 cos 45˘
AH”=5'2_ =5(cm)
'2
2
A
45˘
25
cm
12 cm
H H'
B C
D
BH”=CH'”=5'2 sin 45˘=5'2_ =5(cm)
'2
2
BC”=HH'”=AD”-(AH”+DH'”)=12-(5+5)=2(cm)
01 △GBF에서 BF”=8 cos 60˘=8_;2!;=4
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(2+12)_5=35(cm¤ )
62 정답 및 풀이
IV 원의 성질
1. 원과 직선
01 원의 현
01 ⑴ 5 ⑵ 60 ⑶ 12 ⑷ 45
02 ⑴ 3 ⑵ 12 ⑶ 3 ⑷ 4'3
03 ⑴ 10 ⑵ 2 ⑶ 12 ⑷ 5 ⑸ 6'3 ⑹ 6
01 ⑶ 20˘ : 80˘=3 : x(cid:100)(cid:100)∴ x=12
⑷ 90˘ : x˘=10 : 5(cid:100)(cid:100)∴ x=45
02 ⑶ AM”=;2!;_8=4이므로
(cid:100) x="√5¤ -4¤ ='9=3
⑷ AM”="√4¤ -2¤ ='∂12=2'3이므로
(cid:100) x=2_2'3=4'3
03 ⑶ AM”="√(3'5)¤ -3¤ ='∂36=6이므로
(cid:100) AB”=2_6=12
(cid:100) ∴ x=AB”=12
⑷ CD”=AB”=6이므로
(cid:100) CN”=;2!;_6=3
(cid:100) ∴ x="√4¤ +3¤ ='∂25=5
⑸ AM”="√6¤ -3¤ ='∂27=3'3이므로
(cid:100) AB”=2_3'3=6'3
(cid:100) ∴ x=AB”=6'3
⑹ DN”=;2!;_16=8이므로
(cid:100) ON”="√10¤ -8¤ ='∂36=6
(cid:100)∴ x=ON”=6
01 22 cm 02 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅁ
04 5 cm
08 100p cm¤ 09 5
12 55˘
13 3'7 cm¤
10 6
05 10 cm 06 1 cm
40~41쪽
03 8'3 cm
07 6'3 cm
11 65˘
01 OC”∥BD”이므로
∠OBD=∠AOC=35˘(동위각)
△OBD는 이등변삼각형이므로
∠DOB=180˘-2_35˘=110˘
110˘ : 35˘=μ BD : 7이므로
μ BD=22(cm)
D
35˘
C
7 cm
35˘
35˘
A
O
B
02 ㄹ. 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않으므로
ㄹ. AB”+;2!;CE”
ㅂ. △COE+2△COD
03 OM”=MC”이므로 OM”=;2!;_8=4(cm)
39쪽
△OAM에서 AM”="√8¤ -4¤ ='∂48=4'3(cm)
∴ AB”=2AM”=2_4'3=8'3(cm)
04 OA”=x cm라 하면
OM”=x-2(cm), AM”=;2!;_8=4(cm)
△OAM에서
x¤ =(x-2)¤ +4¤ , 4x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=5
∴ OA”=5 cm
05 원의 중심을 O라 하고 원래 원의 반
A
지름의 길이를 r cm라 하면
OM”=r-4(cm), AM”=8 cm
이므로 △AOM에서
r¤ =(r-4)¤ +8¤ , 8r=80
∴ r=10
따라서 원래 원의 반지름의 길이는 10 cm이다.
r cm
8 cm
C
4 cm
B
M
(r-4) cm
O
06 원의 중심을 O, CM”=x cm라 하면
OM”=5-x(cm),
A
B
AM”=;2!;_6=3(cm)이므로
5 cm
△AOM에서 5¤ =(5-x)¤ +3¤
x¤ -10x+9=0, (x-1)(x-9)=0
이때 0<x<5이므로 x=1
∴ CM”=1 cm
07 원의 중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을
M이라 하면 OM”=;2!;_6=3(cm)이므로
△OAM에서
AM”="√6¤ -3¤ ='∂27=3'3(cm)
∴ AB”=2AM”=2_3'3=6'3(cm)
A
6 cm
B
08 원의 중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을
M이라 하고 원 O의 반지름의 길이를
r cm라 하면
OA”=r cm, OM”=;2!;r cm,
A
M
3
10
cm
B
AM”=;2!;_10'3=5'3(cm)이므로 △OAM에서
r¤ ={;2!;r}2 +(5'3)¤ , ;4#;r¤ =75, r¤ =100
이때 r>0이므로 r=10
따라서 원 O의 넓이는 p_10¤ =100p(cm¤ )
Ⅳ. 원의 성질 63
C
M
6 cm
O
O
M
O
09 AB”=CD”=8이므로
AM”=;2!;_8=4
△OAM에서
x="√3¤ +4¤ ='∂25=5
10 DN”=CN”=8이므로
△OND에서 ON”="√10¤ -8¤ ='∂36=6
AB”=CD”=16이므로
x=ON”=6
11 OD”=OE”이므로 AB”=AC”
즉, △ABC는 이등변삼각형이므로
∠B=;2!;_(180˘-50˘)=65˘
12 사각형 ADOE에서
∠A=360˘-(90˘+110˘+90˘)=70˘
OD”=OE”이므로 AB”=AC”
즉, △ABC는 이등변삼각형이므로
∠C=;2!;_(180˘-70˘)=55˘
13 ON”=OM”=3 cm이므로
△DON에서
DN”="√4¤ -3¤ ='7(cm)
∴ CD”=2DN”=2'7(cm)
∴ △OCD=;2!;_2'7_3=3'7(cm¤ )
02 원의 접선
01 ⑴ 5 ⑵ 3
02 ⑴ 45 ⑵ 120 ⑶ 8 ⑷ 60
03 ⑴ 4 ⑵ 5
04 ⑴ 8 ⑵ 2
01 ⑴ ∠PAO=90˘이므로
(cid:100) x="√13¤ -12¤ ='∂25=5
⑵ ∠PAO=90˘이고 OA”=x이므로
(cid:100) (x+2)¤ =x¤ +4¤
(cid:100) 4x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=3
02 ⑴ ∠OAP=∠OBP=90˘이므로
(cid:100) ∠x=360˘-(90˘+135˘+90˘)=45˘
⑵ ∠OAP=∠OBP=90˘이므로
(cid:100) ∠x=360˘-(90˘+60+90˘)=120˘
64 정답 및 풀이
⑶ △OAP가 직각삼각형이므로
(cid:100) PA”="√10¤ -6¤ ='∂64=8
(cid:100) PA”=PB”이므로 x=8
⑷ PA”=PB”이므로
(cid:100) ∠x=;2!;_(180˘-60˘)=60˘
03 ⑴ BE”=BD”=6, CE”=10-6=4이므로
(cid:100) x=CE”=4
⑵ CF”=CE”=8, AD”=AF”=14-8=6이므로
(cid:100) x=BD”=11-6=5
04 ⑴ AD”+BC”=AB”+CD”에서
(cid:100) x+12=11+9이므로 x=8
⑵ AD”+BC”=AB”+CD”에서
(cid:100) (3+x)+8=6+7이므로 x=2
43~44쪽
04 5'3 cm
08 6'2 cm
12 1 cm
01 4 cm
05 5 cm
09 40 cm¤
13 9p cm¤
02 24p cm¤
06 9 cm
10 4 cm
14 18
03 60 cm¤
07 8 cm
11 5 cm
15 5
01 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
△OPT에서 (r+4)¤ =r¤ +(4'3)¤
8r=32(cid:100)(cid:100)∴ r=4
따라서 원 O의 반지름의 길이는 4 cm이다.
02 ∠PAO=∠PBO=90˘이므로
∠AOB=180˘-45˘=135˘
∴ (부채꼴 OAB의 넓이)=p_8¤ _;3!6#0%;
03 ∠PAO=90˘이므로 △OAP에서
PA”="√13¤ -5¤ ='∂144=12(cm)
△OAP™△OBP이므로
(cid:8772)PBOA=2△OAP
(cid:8772)PBOA=2_{;2!;_12_5}=60(cm¤ )
42쪽
∴ (부채꼴 OAB의 넓이)=24p(cm¤ )
04 ∠OBP=90˘이고 ∠OPB=30˘, ∠POB=60˘이므로
PB” : PO”='3 : 2에서 PB” : 10='3 : 2
2PB”=10'3(cid:100)(cid:100)∴ PB”=5'3(cm)
이때 PA”=PB”이므로 PA”=5'3 cm
05 AD”=AE”=8 cm이므로
BD”=8-5=3(cm)
CE”=8-6=2(cm)
∴ BC”=BF”+CF”=BD”+CE”=3+2=5(cm)
[다른 풀이]
BD”=BF”, CE”=CF”이므로
(△ABC의 둘레의 길이)=AD”+AE”=2AE”에서
5+6+BC”=2_8
∴ BC”=5(cm)
06 BD”=BF”, CE”=CF”이므로
(△ABC의 둘레의 길이)=AD”+AE”=2AD”에서
5+7+6=2AD”, 2AD”=18
∴ AD”=9(cm)
07 DE”=AD”=5 cm, EC”=BC”=3 cm이므로
CD”=5+3=8(cm)
08 DE”=AD”=3 cm, EC”=BC”=6 cm이므로
DC”=3+6=9(cm)
꼭짓점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
3 cm
CH”=6-3=3(cm)이고
△DHC에서
DH”="√9¤ -3¤ ='∂72=6'2(cm)
∴ AB”=DH”=6'2(cm)
따라서 반원 O의 지름의 길이는 6'2 cm이다.
D
E
A
O
B
09 DE”=AD”=2 cm, EC”=BC”=8 cm이므로
DC”=2+8=10(cm)
꼭짓점 D에서 BC”에 내린 수선의 발
을 H라 하면
CH”=8-2=6(cm)이고
△CDH에서
DH”="√10¤ -6¤ ='∂64=8(cm)
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(2+8)_8
∴ (cid:8772)ABCD=40(cm¤ )
C
H
B
8 cm
E
D
2 cm
A
O
10 AD”=x cm라 하면 AF”=x cm이고
BE”=BD”=11-x(cm)
CE”=CF”=9-x(cm)
BC”=BE”+CE”이므로
(11-x)+(9-x)=12
20-2x=12, 2x=8
∴ x=4
따라서 AD”의 길이는 4 cm이다.
11 AD”=AF”, BD”=BE”, CE”=CF”이므로
AD”+BE”+CF”=;2!;(AB”+BC”+CA”)
△ABC의 둘레의 길이가 24 cm이므로
3+BE”+4=;2!;_24
∴ BE”=5(cm)
12 BC”="√5¤ -3¤ ='∂16=4(cm)
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
CE”=CF”=r cm이므로
BD”=BE”=4-r(cm), AD”=AF”=3-r(cm)
AB”=BD”+AD”이므로
(4-r)+(3-r)=5
7-2r=5, 2r=2(cid:100)(cid:100)∴ r=1
따라서 원 O의 반지름의 길이는 1 cm이다.
13 AC”="√8¤ +15¤ ='∂289=17(cm)
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
BD”=BE”=r cm이므로
AF”=AD”=8-r(cm)
CF”=CE”=15-r(cm)
AC”=AF”+CF”이므로
(8-r)+(15-r)=17
23-2r=17, 2r=6
∴ r=3
따라서 원 O의 넓이는 p_3¤ =9p(cm¤ )
H
6 cm
C
14 AB”+CD”=AD”+BC”이므로
AD”+BC”=10+8=18
15 ∠B=90˘이므로 △ABC에서
BC”="√10¤ -6¤ ='∂64=8
AB”+CD”=AD”+BC”이므로
6+7=x+8(cid:100)(cid:100)∴ x=5
01 6
05 42 cm 06 24 cm 07 7
02 12'3 cm¤ 03 4'5 cm 04 4'7 cm
45쪽
01 OC”를 그으면
OC”=OA”=;2!;_20=10
CM”=;2!;``CD”=;2!;_16=8이고
∠OMC=90˘이므로
△OCM에서
x="√10¤ -8¤ ='∂36=6
02 원의 중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을
H라 하고 OH”=x cm라 하면
OA”=OC”=2x(cm)
AH”=;2!;_12=6(cm)
C
A
M
16
x
O
20
D
B
A
H
12 cm
B
O
C
Ⅳ. 원의 성질 65
△OAH에서
(2x)¤ =x¤ +6¤ , 3x¤ =36, x¤ =12
이때 x>0이므로 x=2'3
∴ △OAB=;2!;_12_2'3=12'3(cm¤ )
03 △OAM에서
AM”="√6¤ -4¤ ='∂20=2'5(cm)
AB”=2AM”=2_2'5=4'5(cm)
∴ CD”=AB”=4'5 cm
04 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 AB”에
내린 수선의 발을 H라 하고 OA”를 그으면
OH”=6 cm
OA”=8 cm
이므로
△OAH에서
AH”="√8¤ -6¤ ='∂28=2'7(cm)
∴ AB”=2AH”=2_2'7=4'7(cm)
05 OA”=OC”=9 cm
PO”=6+9=15(cm)
∠OAP=90˘이므로
△POA에서
PA”="√15¤ -9¤ ='∂144=12(cm)
∴ ((cid:8772)PBOA의 둘레의 길이)=2(OA”+PA”)
=2_(9+12)
=42(cm)
06 ∠OEA=90˘이므로
△AOE에서
AE”="√13¤ -5¤ ='∂144=12(cm)
∴ (△ABC의 둘레의 길이)=AB”+BC”+AC”
=AB”
”+(BF”+CF”)+AC”
=(AB”+BD”)+(CE”+AC”)
=AD”+AE”
=2AE”=2_12
=24(cm)
8
H
D
G
11
O
5
A
9
E
5
B
5
F
x
C
07 오른쪽 그림과 같이 OE”를 그으면
(cid:8772)OEBF가 정사각형이므로
BE”=BF”=5
AH”=AE”=9-5=4
DG”=DH”=8-4=4
CF”=CG”=11-4=7
∴ x=7
[다른 풀이]
BF”=5이고 AB”+CD”=AD”+BC”이므로
9+11=8+(5+x)
∴ x=7
66 정답 및 풀이
2. 원주각
01 원주각
46쪽
01 ⑴ 70˘ ⑵ 50˘
02 ⑴ 62˘ ⑵ 110˘ ⑶ 25˘ ⑷ 40˘
03 ⑴ 8 ⑵ 40 ⑶ 72 ⑷ 6
04 ⑴ 67˘ ⑵ 105˘
O
H
6 cm
B
8 cm
A
01 ⑴ ∠x=;2!;_140˘=70˘
⑵ ∠x=2_25˘=50˘
02 ⑴ ∠x=∠ACB=62˘
⑵ ∠CAD=∠CBD=35˘이므로
(cid:100) ∠x=75˘+35˘=110˘
⑶ ∠ACB=90˘이므로
(cid:100) ∠x=180˘-(90˘+65˘)=25˘
⑷ ∠DCB=∠DEB=50˘이고
(cid:100) ∠ACB=90˘이므로
(cid:100) ∠x=90˘-50˘=40˘
03 ⑴ ∠APB=∠CQD=50˘이므로
(cid:100) x=μAB=8
⑵ μAB=μ CD=4이므로
(cid:100) x=2_20=40
⑶ x˘ : 24˘=9 : 3이므로
(cid:100) 3x=216
(cid:100) ∴ x=72
⑷ ∠ADC=90˘이므로
(cid:100) ∠DAC=90˘-40˘=50˘
(cid:100) 30˘ : 50˘=x : 10이므로
(cid:100) 50x=300(cid:100)(cid:100)∴ x=6
04 ⑴ ∠x=∠BAC=67˘
⑵ ∠BDC=∠BAC=70˘이므로
(cid:100) ∠x=70˘+35˘=105˘
47~48쪽
01 50˘
04 45˘
08 70˘
12 180˘
02 52˘
05 50˘
09 72˘
13 70˘
03 ∠x=65˘, ∠y=115˘
06 55˘
10 54˘
14 50˘
07 80˘
11 48˘
01 ∠x=;2!;_130˘=65˘
∠y=;2!;_(360˘-130˘)=115˘
∴ ∠y-∠x=115˘-65˘=50˘
02 오른쪽 그림과 같이 OA”, OB”를 그으면
PA”, PB”가 원 O의 접선이므로
∠PAO=∠PBO=90˘
∴ ∠AOB=180˘-76˘=104˘
∴ ∠x=;2!;_104˘=52˘
03 PA”, PB”는 원 O의 접선이므로
∠PAO=∠PBO=90˘
∠AOB=180˘-50˘=130˘
∴ ∠x=;2!;_130˘=65˘
∴ ∠y=;2!;_(360˘-130˘)=115˘
04 오른쪽 그림과 같이 EB”를 그으면
∠AEB=∠AFB=25˘
∠BEC=∠BDC=20˘
∴ ∠x=25˘+20˘=45˘
P
76˘
O
x C
A
B
10 한 원에서 모든 원주각의 크기의 합은 180˘이고, 원주각의 크기
는 호의 길이에 정비례하므로
∠x=180˘_
3
2+3+5
=180˘_;1£0;=54˘
11 오른쪽 그림과 같이 BC”를 그으면
A
B
P
x
D
C
μAB는 원주의 `;6!;이므로
∠ACB=180˘_;6!;=30˘
μ CD는 원주의 `;1¡0;이므로
∠CBD=180˘_;1¡0;=18˘
△BCP에서 ∠x=30˘+18˘=48˘
12 한 원에서 모든 원주각의 크기의 합은 180˘이므로
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=180˘
13 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠ABD=∠ACD=45˘
△ABP에서
∠x+45˘=115˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=70˘
14 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠CAD=∠CBD=30˘
△ACP에서
30˘+∠x=80˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=50˘
E
D
F
x
20˘
25˘
A
C
B
05 μAB에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로
06 μAD에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로
∠ACB=∠ADB=20˘
△PCA에서
∠x=20˘+30˘=50˘
∠ACD=∠ABD=35˘
∠ACB=90˘이므로
∠x=90˘-35˘=55˘
07 ∠ACB=90˘이므로 ∠ACD=90˘-55˘=35˘
μAD에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로
∠ABD=∠ACD=35˘
△PDB에서
∠x=180˘-(65˘+35˘)=80˘
08 ∠BDC=∠BAC=25˘
μ BC=μ CD이므로 ∠CBD=∠BAC=25˘
△BCD에서 25˘+25˘+60˘+∠x=180˘
∴ ∠x=70˘
09 오른쪽 그림과 같이 두 선분 AC, BD의
교점을 P라 하면
18˘ : ∠BAC=2 : 6
∴ ∠BAC=54˘
△ABP에서
∠x=18˘+54˘=72˘
A
2 cm
x
D
P
18˘
6 cm
B
C
02 원주각의 활용
49쪽
01 ⑴ 95˘ ⑵ 75˘ ⑶ 115˘ ⑷ 118˘ ⑸ 75˘ ⑹ 30˘
02 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ ◯
03 ⑴ 65˘ ⑵ 50˘
01 ⑴ ∠x+85˘=180˘이므로 ∠x=95˘
⑵ △ACD에서
(cid:100) ∠D=180˘-(35˘+40˘)=105˘
(cid:100) ∴ ∠x=180˘-105˘=75˘
⑶ AB”가 원 O의 지름이므로 ∠ADB=90˘
(cid:100) ∠DAB=180˘-(90˘+25˘)=65˘
(cid:100) ∴ ∠x=180˘-65˘=115˘
크기와 같으므로 ∠x=118˘
⑸ ∠A=;2!;_150˘=75˘이므로
(cid:100) ∠x=∠A=75˘
⑷ 원에 외접하는 한 외각의 크기는 그와 이웃한 내각의 대각의
Ⅳ. 원의 성질 67
⑹ ∠BAD=∠DCE=100˘이므로
(cid:100) ∠BAC=100˘-70˘=30˘
(cid:100) ∴ ∠x=∠BAC=30˘
02 ⑴ 대각의 크기의 합이 180˘인지 알 수 없다.
⑵ ∠A+∠C=180˘, ∠B+∠D=180˘이므로 원에 내접한다.
⑶ ∠A=180˘-(20˘+25˘)=135˘이므로 원에 내접하지 않
는다.
⑷ ∠BAD=180˘-70˘=110˘이므로 원에 내접한다.
03 ⑴ ∠x=∠C=;2!;_(180˘-50˘)=65˘
⑵ BC”가 원 O의 지름이므로
(cid:100) ∠CAB=90˘
(cid:100) ∴ ∠x=∠C=180˘-(90˘+40˘)=50˘
50~51쪽
10 ∠ACB=∠BAT=40˘이고
01 20˘
05 40˘
09 120˘
13 40˘
02 130˘
06 55˘
10 80˘
14 (9+3'3)cm
03 95˘
07 65˘
11 55˘
04 75˘
08 65˘
12 60˘
06 ∠CDQ=∠ABC=∠x
△PBC에서 ∠DCQ=∠x+40˘
△DCQ에서
∠x+(∠x+40˘)+30˘=180˘
2∠x=110˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=55˘
07 ∠D=180˘-140˘=40˘이므로
△PCD에서 ∠BCQ=∠x+40˘
△CBQ에서 (∠x+40˘)+35˘=140˘
∠x+75˘=140˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=65˘
08 △ACD에서
∠D=180˘-(25˘+40˘)=115˘
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠x=180˘-115˘=65˘
09 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠BAC=∠BDC=70˘
∴ ∠x=∠BAD=70˘+50˘=120˘
BA”=BC”이므로
∠B=180˘-(40˘+40˘)=100˘
∠B+∠D=180˘이므로
∠x=180˘-100˘=80˘
11 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠DAB=180˘-95˘=85˘
∠ADB=∠x이므로
△ADB에서
∠x+85˘+40˘=180˘
∴ ∠x=55˘
12 AP”=AT”이므로 ∠ATP=∠APT=40˘
△APT에서 ∠TAB=40˘+40˘=80˘
∠ABT=∠ATP=40˘이므로
△ATB에서 ∠x=180˘-(80˘+40˘)=60˘
13 오른쪽 그림과 같이 AT”를 그으면
∠ATB=90˘
∠TAB=∠BTQ=65˘
∠ATP=180˘-(90˘+65˘)=25˘
△APT에서 ∠x+25˘=65˘
∴ ∠x=40˘
B
O
A
x
P
65˘
T
Q
14 BC”가 원 O의 지름이므로 ∠CAB=90˘
∠ACB=∠BAT=30˘
AC” : 6='3 : 2에서 AC”=3'3(cm)
AB” : 6=1 : 2에서 AB”=3(cm)
∴ (△ABC의 둘레의 길이)=6+3'3+3=9+3'3(cm)
01 ∠x=180˘-90˘=90˘
∠y=180˘-110˘=70˘
∴ ∠x-∠y=90˘-70˘=20˘
02 ∠A=;2!;_100˘=50˘
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠x+50˘=180˘
∴ ∠x=130˘
03 AC”가 원 O의 지름이므로 ∠ABC=90˘
∴ ∠BAC=180˘-(90˘+45˘)=45˘
∴ ∠x=∠BAD=45˘+50˘=95˘
04 △ABP에서 25˘+∠ABP=100˘이므로
∠ABP=75˘
∴ ∠x=∠ABP=75˘
05 ∠BAD=∠DCE이므로
60˘+∠CAD=110˘
∴ ∠CAD=50˘
μ CD에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로
∠CBD=∠CAD=50˘
AC”가 원 O의 지름이므로 ∠ABC=90˘
∴ ∠x=90˘-50˘=40˘
68 정답 및 풀이
01 115˘
05 60˘
02 65˘
06 108˘
03 36 cm 04 60˘
52쪽
01 PA”, PB”는 원 O의 접선이므로
∠OAP=∠OBP=90˘
∠AOB=180˘-50˘=130˘
오른쪽 그림에서
∠AEB=;2!;_130˘=65˘이므로
∠x=180˘-65˘=115˘
02 오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면
∠ADB=90˘
∠CAD는 μ CD의 원주각이므로
∠CAD=;2!;_50˘=25˘
P
50˘
x
65˘ E
O
A
B
P
x
50˘
O
C
D
A
B
△ADP에서 ∠APD+∠PAD=90˘이므로
∠x+25˘=90˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=65˘
03 △ABP에서 ∠BAP=100˘-70˘=30˘
30˘ : 180˘=6 : (원의 둘레의 길이)
∴ (원의 둘레의 길이)=36 cm
A
110˘
E
O
x
100˘
D
B
C
04 오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으면
(cid:8772)ABDE가 원 O에 내접하므로
∠EDB=180˘-110˘=70˘
∠BDC=∠D-∠EDB
=100˘-70˘=30˘
∴ ∠x=2∠BDC=2_30˘=60˘
05 ∠ACB=;2!;_120˘=60˘
∴ ∠x=∠ACB=60˘
06 △BCD에서 ∠x=∠DCT=43˘
∠BCD=180˘-(22˘+43˘)=115˘
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
∠y+115˘=180˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠y=65˘
∴ ∠x+∠y=43˘+65˘=108˘
02 ⑴ 4_5=10_2이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접한다.
⑵ 6_(6+5)+3_(3+10)이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접
01 ⑶ 2_(2+10)=3_x
(cid:100) 3x=24(cid:100)(cid:100)∴ x=8
⑷ 3_(3+x)=4_(4+8)
(cid:100) 9+3x=48, 3x=39(cid:100)(cid:100)∴ x=13
⑸ CP”=DP”이므로 4_x=6¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=9
⑹ (6-x)(6+x)=4_5
(cid:100) 36-x¤ =20, x¤ =16
(cid:100) x>0이므로 x=4
하지 않는다.
03 ⑴ x¤ =2_(2+6)=16
(cid:100) x>0이므로 x=4
⑵ 10¤ =5_(5+x), 100=25+5x
(cid:100) 5x=75(cid:100)(cid:100)∴ x=15
⑶ 8¤ =4_(4+x+x), 64=8x+16
(cid:100) 8x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=6
⑷ x¤ =(9-3)_(9+3)=6_12=72
(cid:100) x>0이므로 x='∂72=6'2
54~55쪽
01 4
05 6
02 7 cm
06 4'3
03 4
07 3
04 25p
08 5 cm
09 8 cm
10 3
11 '∂30 cm 12 ;;¡5•;; cm
13 9 cm
14 8 cm
01 x(16-x)=8_6, x¤ -16x+48=0
(x-4)(x-12)=0
∴ x=4 또는 x=12
AP”<BP”이므로 x=4
02 PC”=x cm라 하면 6_(6+8)=x_(x+5)
x¤ +5x-84=0, (x+12)(x-7)=0
x>0이므로 x=7
∴ PC”=7 cm
03 원에서 선분의 길이 사이의 관계
01 ⑴ 10 ⑵ 6 ⑶ 8 ⑷ 13 ⑸ 9 ⑹ 4
02 ⑴ ◯ ⑵ ×
03 ⑴ 4 ⑵ 15 ⑶ 6 ⑷ 6'2
53쪽
03 △CAP에서 CP”="√4¤ -2¤ ='∂12=2'3
PB”=x-2+x=2x-2이므로
(2'3)¤ =2_(2x-2)
12=4x-4, 4x=16
∴ x=4
Ⅳ. 원의 성질 69
8¤ =4_(4+2r), 64=16+8r, 8r=48(cid:100)(cid:100)∴ r=6
04 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
3_(3+5)=2_(2+2r), 24=4+4r
4r=20(cid:100)(cid:100)∴ r=5
따라서 원 O의 넓이는 p_5¤ =25p
05 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
06 △BHO에서 BH”="√5¤ -3¤ =4
AB”=2BH”=2_4=8
x¤ =4_(4+8)=48
x>0이므로 x='∂48=4'3
07 QT”_QC”=QA”_QB”이므로
9_2=QA”_3(cid:100)(cid:100)∴ QA”=6
¤ =PA”_PB”이므로 PA”=x라 하면
PT”
6¤ =x_(x+6+3)
x¤ +9x-36=0
(x+12)(x-3)=0
x>0이므로 x=3
따라서 PA”의 길이는 3이다.
08 QA”_QB”=QC”_QT”이므로
QA”_4=2_6(cid:100)(cid:100)∴ QA”=3(cm)
¤ =PA”_PB”이므로 PA”=x cm라 하면
PT”
(2'∂15)¤ =x_(x+3+4)
x¤ +7x-60=0, (x+12)(x-5)=0
x>0이므로 x=5
따라서 PA”의 길이는 5 cm이다.
09 PC” : PD”=1 : 4이므로
PC”=x cm라 하면 PD”=4x cm
4_4=x_4x, 4x¤ =16, x¤ =4
x>0이므로 x=2
∴ PD”=4_2=8(cm)
10 PA”_PD”=PB”_PC”이므로
4_(4+2)=x_(x+5)
x¤ +5x-24=0, (x+8)(x-3)=0
x>0이므로 x=3
11 ∠APT=∠ABT=∠ATP이므로 AP”=AT”=3 cm
¤ =3_(3+7)=30
PT”
PT”>0이므로 PT”='∂30(cm)
12 △BPT에서 ∠BTP=90˘이므로 PB”="√6¤ +8¤ =10(cm)
6¤ =PA”_10(cid:100)(cid:100)∴ PA”=;;¡5•;;(cm)
13 원 O에서 6¤ =PA”_PB”
원 O'에서 PA”_PB”=3_(3+CD”)
즉, 6¤ =3_(3+CD”), 9+3CD”=36
3CD”=27(cid:100)(cid:100)∴ CD”=9(cm)
70 정답 및 풀이
14 원 O에서 CT”
¤ =2_(2+6)=16
CT”>0이므로 CT”=4(cm)
∴ TT'”=2CT”=2_4=8(cm)
01 4
05 ④
02 8'3 cm 03 8 cm
04 6
06 4'6 cm 07 ;3@;
56쪽
01 PC” : CD”=1 : 3이므로 CD”=3_3=9
PA”=x라 하면
x_(x+5)=3_(3+9)
x¤ +5x-36=0, (x+9)(x-4)=0
x>0이므로 x=4(cid:100)(cid:100)∴ PA”=4
02 OP”=BP”이므로 AO” : OP” : PB”=2 : 1 : 1
PB”=PO”=12_;3!;=4(cm)
¤ =12_4=48
CP”
CP”>0이므로 CP”='∂48=4'3(cm)
∴ CD”=2CP”=2_4'3=8'3(cm)
03 반원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
3_(3+9)=2_(2+2r)
36=4+4r, 4r=32(cid:100)(cid:100)∴ r=8
따라서 반원 O의 반지름의 길이는 8 cm이다.
에 있다.
5_(5+3)=4_(4+x)
40=16+4x, 4x=24
∴ x=6
06 PT”
¤ =4_(4+8)=48
PT”>0이므로 PT”='∂48=4'3(cm)
△ATP에서 ∠ATP=90˘이므로
AT”="√12¤ -(4'3)¤ ='∂96=4'6(cm)
07 PT”
¤ =4_(4+5)=36
PT”>0이므로 PT”=6(cm)
△PTA와 △PBT에서
∠P는 공통, ∠PTA=∠PBT이므로
△PTAª△PBT(AA 닮음)
AT” : TB”=PT” : PB”이므로
AT” : TB”=6 : 9=2 : 3
∴
AT”
TB”
=;3@;
04 ∠ADC=∠AEC=90˘이므로 네 점 A, D, E, C는 한 원 위
05 ④ 2_(2+6)+3_(3+8)이므로 원에 내접하지 않는다.
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