유형북
01. 대푯값과 산포도
9쪽
A
풀이 9쪽
03 ×
04 (cid:8776)
05 ×
02 ×
07 8
01 ×
06 ;2&;
16 ×
08 4
09 :¡2∞:
10 5
11 2, 6
12 없다.
15 (cid:8776)
14 (cid:8776)
13 ×
17 평균：5, 분산：5, 표준편차：'5
18 평균：6, 분산：8, 표준편차：2'2
19 표는 풀이 참조, 20회 20 75
21 5'3 회
10~17쪽
B
풀이 9쪽
THEME 01
알고 있나요?
1 ①`－`㉣, ②`－`㉡, ③`－`㉢, ④`－`㉠
01 ④
02 13
03 75점 04 4.5개 05 ④
08 ①
07 ④
06 ①
10 (평균)<(중앙값)=(최빈값)
09 평균
11 ③
12 ①
13 ③
THEME 02
알고 있나요?
14 21개 15 ②, ⑤ 16 ③
17 ②, ④
1 각 자료의 값이 평균 근처에 모여 있다.
2 각 자료의 값이 평균으로부터 멀리 흩어져 있다.
01 24점 02 -2
07 3.5
06 '∂11.6
05 ①
04 4 kg
09 '∂1.2점 10 89
08 ④
03 ⑤
11 2'∂10점 12 ④
16 70
17 92
21 ①
26 ⑤
13 ③
18 ③
23 ①
28 ㄱ
14 ⑤
19 ④
24 ③
29 ②
15 -25
20 ③
25 ⑤
18~19쪽
풀이 14쪽
01 ④
02 ⑤
05 8
03 6
06 ④
07 a=7, b=20, 표준편차 : '∂1.3회 08 54
10 17
12 ④
11 ⑤
09 ④
22 180
27 재석
C
04 ③
20쪽
쉬어가기
빠 른 정 답
02. 피타고라스 정리
23, 25쪽
풀이 15쪽
01 4
02 '∂21
03 '6
A
04 5
05 x=4, y=2
07 100 cm¤
06 x=6, y=17
08 24 cm 09 36 cm¤
13 ㈎：(cid:8772)CFGH, ㈏：(a-b)¤ , ㈐：a¤ +b¤
10 8 cm¤
11 73
15 ×
16 (cid:8776)
20 ㄱ, ㄹ 21 x=2'6, y=2'∂10
17 ×
18 ㄷ, ㅂ 19 ㄴ, ㅁ
22 x=2'∂15, y='∂85
23 ㈎：CP”
24 ㈎：DE”
26 4'2
¤ , ㈏：a¤ +c¤ , ㈐：b¤ +c¤ , ㈑：DP”
¤ , ㈐：BE”
¤ , ㈏：BC”
27 2p cm¤ 28 37 cm¤
¤ , ㈑：CD”
¤
12 61
14 (cid:8776)
25 '3
26~37쪽
B
풀이 16쪽
THEME 03
알고 있나요?
1 직각삼각형
01 6
02 2'∂10 cm
2 a¤ +b¤ =c¤
03 5
05 5
06 ③
08 ④
09 ⑴ 6 ⑵ 2'7 ⑶ (24+6'7 ) cm¤ 10 ⑤
07 ⑤
12 ②
13 ③
14 2
17 4-2'3 18 ③
22 ③
16 ⑤
21 (12+2'∂30 ) cm¤
THEME 04
알고 있나요?
04 30 cm¤
11 ①
20 ④
24 ②
15 1+'6+'7
19 ⑤
23 ⑤
1 △LBF, (cid:8772)BFML, △LGC, (cid:8772)LMGC, (cid:8772)ACHI
01 ③
02 9 cm¤
03 ③
04 ④
05 25 cm¤
06'∂34 cm 07 ⑴ 6 cm ⑵ 56 cm 08 49 cm¤
09 2 cm
10 ④
15 ②
11 ④
16 ②
12 ⑤
13 3'∂10 cm14 15
17
7'3
3
7'5
5
,
THEME 05
알고 있나요?
1 ①`－`㉡, ②`－`㉠, ③`－`㉢
2 ⑴ ax(cid:100)⑵ ay(cid:100)⑶ xy
01 ③
02 ③
06 20 cm¤
07 ④
11 ④
12 ②
16 4.2억 원 17 ⑤
03 ③
08 ①
04 6개
09 12
14 ②
13 ③
18 4'5 cm 19 54 cm¤
05 :¢3º:
10 ①
15 9 cm
20 ③
21 ;2%;
22 25 cm¤
23 ;2#; cm 24 ⑤
25
2'∂13
3
cm
26 ①
27 ①
38~39쪽
03 ①
C
04 4'∂15
풀이 20쪽
05 ④
01 2
06 ③
02 ②
07 예각
08 :™8¶: cm¤ 09 ⑤
10 연못의 깊이：6자, 연 줄기의 길이：10자
빠른 정답 1
¤
유형북
11 {;5(; , :¡5™:}
12 ⑤
THEME 08
알고 있나요?
1 무게중심
01 7 cm 02 54 cm¤
03 ②
2 두 대각선의 교점
04 ⑴ 2'6 cm(cid:100)⑵ 18'2 cm‹
05 ②
06 ④
07
9'2
4
cm‹
08 ①
09 36'7 cm‹
10 ⑴ 6'2 cm(cid:100)⑵ 6 cm(cid:100)⑶ 6 cm 11
32'2
3
cm‹
12 16p
13 ⑴ 3(cid:100)⑵ 3'∂15(cid:100)⑶ 9'∂15p
14 '∂11 cm
15 ①
16 ②
17 24p cm‹
THEME 09
알고 있나요?
2
G
A
G'
A'
cm 02 ⑴ 10'2 cm(cid:100)⑵ 10 cm(cid:100)⑶ 5'2 cm
04 ②
08 ⑴ 2'3 cm(cid:100)⑵ 2 cm(cid:100)⑶ 3'∂11 cm¤
05 6'3 cm¤
06 4'2 cm
11 '∂85 cm
12 2'∂73p cm
15 4'7 cm
16 ②
07 ③
09 '∂205 cm 10 ③
13 2'∂85p cm 14 12 cm
17 6'3 cm
58~59쪽
C
풀이 29쪽
01 ②
02 ①
03 ;3@; cm 04 ④
05 2
06 ;3$; cm‹
07 ②
08 8
09 10 cm 10 ①
11 ③
12 ③
60쪽
쉬어가기
D
C
G
1
A
B
F
01
10'3
3
03 30 cm¤
03. 피타고라스 정리의 활용
01 3'∂13 cm
04 3'2
풀이 21쪽
A
03 4'2
41, 43쪽
02 5'2 cm
05 h=2'3 cm, S=4'3 cm¤
06 h=3'3 cm, S=9'3 cm¤
07 4'3 cm
08 10 cm
11 x=4, y=4'2
14 4 cm
09 4'2 cm
12 x=6'3, y=12
15 '∂13
17 '∂13
18 '∂26
20 ∠A=90˘이고 AB”=AC”인 직각이등변삼각형
21 6'5 cm
22 3'3 cm
23 3'3 cm
25 2'6 cm
28 6'2 cm
31 36 cm¤
500'5
3
34
26 9'3 cm¤
29 3'2 cm
32 36'7 cm‹
p cm‹
35 3, 5, 2, 7, '∂58
10 8'2 cm¤
13 2'2 cm
16 2'5
19 '∂13
24 2'3 cm
27 18'2 cm‹
30 3'7 cm
33 5'5 cm
36 5p, 6p, 6p, '∂61p
44~57쪽
B
풀이 22쪽
THEME 06
알고 있나요?
1 "√a¤ +b¤
2 '2 a
3
'3
2
a,
'3
4
a¤
01 6 cm 02 ④
03 30'2 cm
05 '5 m 06 :™5¢: cm 07 ③
08 :™5¡:
10 4'3
11 8 cm 12 ①
13 ②
04 '2
09 ⑤
14 ④
15 ②
19 ①
16 ②
17 ③
18 3'7 cm¤
20 36 cm 21 ⑤
22 ⑤
23 840000원
THEME 07
알고 있나요?
2 "√(x™√-x¡√)¤ +√(y™√-y¡)¤
1 '2, 1, 2, '3
03 3'6
04 2('3+3)cm¤
07 36
08 32'3 cm¤
12 2
02 '3
01 ④
05 4(3+'6 ) cm
06 ③
10 (9p-18) cm¤
09 ①
11 ⑤
15 P(2, 0) 16 ②
13 ⑤
17 ⑴ AB”=3'5, BC”=5'5, CA”=4'5 (cid:100)
14 1
⑵ BC”를 빗변으로 하는 직각삼각형
20 '5
21 ③
22 ④
18 5
23 ②
19 ②
24 5
2 빠른 정답
20 0
21
1+'2
2
22 ;2%;
23 ;4&;
24 1
05. 삼각비의 활용
04. 삼각비
63, 65쪽
A
풀이 31쪽
01 ;1∞3;
02 ;1!3@;
03 ;1∞2;
04 ;1!3@;
05 ;1∞3;
06 :¡5™:
07 ;5$;
08 ;5#;
09 ;3$;
10 '∂17
11 sin B=
, cos B=
, tan B=4
12 12
4'∂17
17
'∂17
17
13 sin a=;5#;, cos a=;5$;, tan a=;4#;
14 BC”, AB”, CD”
15 AC”, AD”, BC”
16 BC”, AD”, CD”
17 AB”, AB”, BD”
18 AC”, BD”, CD”
19 AB”, AD”, CD”
25 45˘
26 20˘
28 x=6'2 , y=6'2
30 OB”, 0.72
27 x=6'3 , y=6
29 AB”, 0.69
31 CD”, 0.97
34 ㅂ, ㄴ, ㄹ, ㅁ, ㄷ, ㄱ
33 1
36 43
37 42
32 0
35 0.6820
66~75쪽
B
풀이 31쪽
THEME 10
알고 있나요?
1 ⑴ a(cid:100)(cid:100)⑵ c(cid:100)(cid:100)⑶ b(cid:100)(cid:100)⑷ b(cid:100)(cid:100)⑸ c(cid:100)(cid:100)⑹ a
01 ③
02
2'5
5
03 6
04 AC”=4 cm, BC”=2'5 cm
2+'5
3
07 ⑴ 6 ⑵
5'6
12
06
10 ④
11 ;4#;
12 ;1∞2;
13 ③
14 ;5!;
15 ;5^;
16 ;5#;
17 ;5$;
18
2'5
5
19 6
22 ④
23 ②
21
'6
6
알고 있나요?
20
'6
3
THEME 11
1 풀이 참조
01 ②
02 1
03 1
04 10˘
05 60˘
06 30˘
07 ④
08
3'3
2
cm
10 ⑤
11 ③
12 ①
13 ①
09 2'6
14
'∂11
4
15 ③
16 ③
17 ;3%;
18 ②
THEME 12
알고 있나요?
1 ⑴ AB”(cid:100)(cid:100)⑵ OB”(cid:100)(cid:100)⑶ CD”
06 ⑤
07 ③
11 ②, ④ 12 ⑤
16 35˘
17 83.87
08 '3
13 2
09 ⑤
14 ⑤
10 ③
15 1.0222
76~77쪽
C
풀이 36쪽
01 ⑤
02 ①
05 18'3 cm¤
09 ;1•5;
10
'6 +'2
4
03 ;1!3@;
06 ①
04 ⑤
07 ④
11 ④
08 2+'3
14'7
3
12
79, 81쪽
A
풀이 38쪽
02 8, 8, 6.56
03 5, 5,
10'3
3
01 8, 8, 4.56
5'3
3
04 5, 5,
05 11 sin 64˘
07 4, 4'3, 2'3, 4, 2'3, 2'7
06 7 tan 32˘
08 3'3
09 3
12 6'2 , 60, 4'6
10 9
13 60, 45, 60, 45, '3 , 4('3 -1)
11 6'3
14 60, 30, 60, 30, '3 ,
, 4'3
15 72'2 cm¤
'3
3
16 48'3 cm¤
17 ;2!; ab sin x, ab sin x 18 28'3 cm¤
82~89쪽
B
풀이 38쪽
THEME 13
알고 있나요?
1 ⑴ c(cid:100)⑵ A(cid:100)⑶ b(cid:100)⑷ b(cid:100)⑸ A(cid:100)⑹ a
01 2+2'3
04
3'∂34
34
07 ②
10 10'3 m
13 ④
16 ⑤
19 2'∂39 cm
22 ④
THEME 14
02 ⑤
05 72'3 p cm‹
08 9 m
03 6.691
06
'6
3
09 9'3 m
11 5('3 +1) m
12 ⑤
14 1500('3 -1) m 15 ④
17 10'7 km
18 ④
21 12'2 cm
24 ③
20 ⑤
23 463 m
알고 있나요?
1 ;2!; ab sin x
2 ab sin x
3 ;2!; ab sin x
05 4'∂21 cm¤
19 42'2 cm¤
20 ab sin x, ;2!; ab sin x 21 24'3 cm¤
08 ;1!5^;
09 ④
22 20'3 cm¤
01 ①
02 ③
03 60˘
04 ②
05 ⑤
01 ⑤
02 ④
03 ①
빠른 정답 3
유형북
04
15(3-'3 )
2
07 100(3+'3 ) m 08 ①
05 25(3-'3 ) cm¤ 06 ②
09 10'3
12 10'2 cm¤
15 3(5p-3) cm¤
18 ⑤
21 ③
24 24 cm¤
03
06
'6 +'∂10
4
18'3
5
cm¤
09 ⑤
12 16'3 cm¤
10 8 cm
13 ⑤
16 16'3 cm¤
19 50'2 cm¤
22 30'3 cm¤
11 60˘
14 ③
17 125'3 cm¤
20 ③
23 ③
90~91쪽
C
풀이 43쪽
01 ④
04 ;5#;
02 15'3 m
05 ④
07 ②
10 48('3 -1)
08 16'3 cm¤
11 10
92쪽
쉬어가기
08 ③
11 8 cm
14 8 cm
17 ③
02 36˘
05 ③
08 ⑤
12 ;2(; cm
15 48'2 cm¤
18 75˘
21 30 cm¤
24 42 cm¤
27 ①
30 36p cm¤
09 ④
12 4'7
15 48 cm¤
18 36p cm¤
03 ②
06 ④
10 ④
13 ⑤
16 8
19 ③
22 30 cm
25 4 cm
28 4 cm
알고 있나요?
1 ⑴ 90 ⑵ △PBO ⑶ 4
09 {16'3-;;¡3§;;p} cm¤
07 6'3 cm
10 4'6 cm
13 6 cm
16 70˘
THEME 16
01 64˘
04 8'2 cm
07 :¡2∞:p cm
11 26 cm
14 12 cm
17 15 cm
20 ②
23 ④
26 ⑤
29 ②
01 ③
05 ④
08 ②
104~105쪽
C
풀이 49쪽
02 {:¡3§:p-4'3 } cm¤
10'3
3
06 x=10, y=
03 ④
04 '5 cm
07 (24-4p) cm¤
09 ④
10 3.1 cm 11 12 cm 12 ②
107, 109쪽
풀이 51쪽
A
04 30˘
03 90˘
01 60˘
06 30˘
11 68˘
02 210˘
07 7
12 87˘
05 32˘
10 50˘
07. 원주각
09 35˘
08 3
13 ∠x=115˘, ∠y=70˘
14 ∠x=65˘, ∠y=115˘
15 ∠x=85˘, ∠y=75˘
17 원에 내접하지 않는다.
19 원에 내접하지 않는다.
16 ∠x=80˘, ∠y=80˘
18 원에 내접한다.
20 원에 내접한다.
06. 원과 직선
95쪽
A
풀이 45쪽
01 (cid:8776)
02 ×
03 (cid:8776)
05 4
04 ㈎：OB”, ㈏：OM”, ㈐：RHS, ㈑：BM”
06 2'2
07 5
08 3
09 40˘
11 55˘
10 65˘
14 x=4, y=11
13 '∂21
12 5
15 x=7, y=5
96~103쪽
B
풀이 45쪽
THEME 15
알고 있나요?
1 ⑴ △OBM(cid:100)⑵ 10 cm(cid:100)⑶ 16 cm(cid:100)⑷ 16 cm
01 4'∂10 cm
02 10'3 cm
03 3 cm
04 10 cm
05 5 cm
06 4'6 cm¤
21 65˘
26 50˘
29 6
34 6
22 70˘
23 130˘
24 50˘
25 35˘
27 ㈎：90, ㈏：∠PAB 28 8
30 3
35 6
31 4
36 8
32 ∠PBT 33 △PBT
37 '∂39
38 9
4 빠른 정답
110~125쪽
B
풀이 51쪽
THEME 17
알고 있나요?
1 ∠a=∠c이고 ∠b=2∠a=2∠c이다.
2 ∠APB=∠CQD
01 240˘
02 40˘
03 9p cm¤
04 ②
06 65˘
07 ③
11 36˘
12 ②
15 3(3+'3 ) cm
08 ③
13 ④
16 46˘
20 ③
21 ①
25 6p cm 26 ②
30 65˘
31 35˘
05 ②
10 25˘
18 ④
23 ③
28 ④
09 ②
14 48p cm¤
17 58˘
22 23˘
27 80˘
03 ∠x=80˘, ∠y=105˘
06 73˘
11 ④
07 ②
12 45˘
08 60˘
2 ∠ABT
3 40˘
03 84˘
04 75˘
08 ②
13 ③
09 110˘
14 60˘
05 ②
10 26˘
15 58˘
02 ③
05 85˘
10 35˘
알고 있나요?
02 40˘
07 95˘
12 62˘
17 ⑤
알고 있나요?
2 PT”, PB”
02 4 cm 03 3 cm 04 ②
07 :¡2£: cm 08 100p cm¤
05 16
09 ③
11 81p cm¤ 12 :¡2£: cm 13 6p cm 14 2 cm
16 x=4, y=6
17 4'3 cm
19 80˘
24 50˘
29 ④
THEME 18
01 50˘
04 100˘
09 ①
THEME 19
1 ∠ATP
01 35˘
06 ③
11 30˘
16 ②
THEME 20
1 PC”, PB”
01 ③
06 ③
10 ⑤
15 ④
27 ③
31 ③
18 ②
19 ③
20 ①
21 4'3 cm
22 10 cm 23 12 cm 24 ⑤
25 ④
26 10 cm
28 ②
29 6 cm 30 3'∂10 cm
32 ;4(; cm 33 ②
34 ②
126~127쪽
C
풀이 58쪽
01 15˘
02 18˘
21 풀이 참조
04 ①
05 ⑤
09 6'2 cm¤ 10 75˘
06 ②
11 1 cm
03 55˘
08 ③
12 (-5+5'5 )cm
07 :¢2∞: cm
02 ⑤
07 38
02 ⑤
07 1
07 ⑤
12 ③
02 ②
06 ③
11 ⑤
실전북
빠 른 정 답
01. 대푯값과 산포도
4쪽
THEME 01 1회
풀이 60쪽
03 ④
04 ⑤
05 ②
01 6
06 ②
5쪽
THEME 01 2회
03 ③
04 ⑤
풀이 60쪽
01 ④
05 164 cm 06 28
6~7쪽
THEME 02 1회
풀이 61쪽
01 ④
03 5
02 ⑤
05 평균：14시간, 표준편차：4시간 06 ①
04 ②
08 ①
09 '2
10 ④
11 ②
8~9쪽
THEME 02 2회
풀이 62쪽
01 ⑤
04 ①
08 ③
05 ⑴ 6 ⑵ 5점 ⑶ 4.4
09 ②
10 ②
03 7
07 24
12 ①
10~13쪽
실전 평가
풀이 63쪽
01 ①
02 ③
03 0
04 ⑤
05 ③
10 ①
11 75
16 ④
19 10세 20 ⑴ (a-1)점(cid:100)⑵ 12
06 ②
07 ②
09 A=8, 표준편차 : 2'∂34 회
08 ①
13 ②
12 ③
15 평균：3, 표준편차：'3
14 ③
18 ②
17 ②
21 ⑴ 90 g ⑵ 풀이 참조
22 A의 평균 : 8점, A의 분산 : ;9$;,
21 B의 평균 : 8점, B의 분산 : :™9º:
빠른 정답 5
실전북
02. 피타고라스 정리
14쪽
THEME 03 1회
풀이 66쪽
01 2'5
02 4'3cm 03 ⑤
04 ⑤
05 '∂13
02 3'6
03 ③
04 ④
05 120
06 6
07 ⑤
28쪽
THEME 07 1회
풀이 72쪽
01 ④
06
16'3
3
15쪽
THEME 03 2회
풀이 66쪽
01 ④
02 '∂61
03 2'3
04 :¢2ª: cm¤ 05 ①
06 15개
16쪽
THEME 04 1회
풀이 66쪽
01 144 cm¤
03 ④
04 ③
05 :™;2@;∞: cm¤
02 ①
06 6+2'5
17쪽
THEME 04 2회
풀이 67쪽
02 121 cm¤ 03 ③
04 50 cm¤
05 17 cm¤
18~19쪽
THEME 05 1회
풀이 67쪽
01 ③
06 ③
01 ③
02 2'∂13 <a<10
03 ②
04 ;1^3); cm 05 109
08 36p cm¤ 09 ④
10 ;2#; cm
06 ④
11 ③
07 ④
12 ④
02 ⑤
06 '∂43
03 ④
07 ⑤
11 75 cm¤
12 ②
20~21쪽
THEME 05 2회
풀이 68쪽
01 ②
04 x=3'2 , y='∂14
05 ③
09 28p cm¤ 10 ⑤
08 ②
22~25쪽
실전 평가
풀이 69쪽
01 ②
06 '3
11 ④
16 ②
02 ②
03 ④
04 20 cm 05 :¡3º:
07 ⑤
12 2개
08 6
09 ②
13 17 cm 14 ④
10 ③
15 ②
17 ③
18 ⑤
19 :¡3§: m 20 6
21 18p+96 22 ⑴ 4'5 cm ⑵ 5 cm ⑶ '5 cm
03. 피타고라스 정리의 활용
26쪽
THEME 06 1회
풀이 71쪽
01 4'5 cm
02 3'2 cm 03 ③
07 3'7 cm
27쪽
THEME 06 2회
풀이 71쪽
03 ④
04 15'7 cm¤
01 ②
05 ③
02 ③
06 ③
6 빠른 정답
29쪽
THEME 07 2회
02 ③
03 ④
04 ⑤
풀이 72쪽
05 5'2
01 9+3'6
06 ③
30쪽
THEME 08 1회
풀이 73쪽
01 ③
02 ⑴ 3'2 ⑵
cm ⑶ '6 cm ⑷ 2'3 cm ⑸ 9 cm‹
3'6
2
03 3'2 cm¤ 04 4'7 cm 05 96p cm‹ 06 18 cm 07 8'3 cm
31쪽
THEME 08 2회
풀이 73쪽
01 ④
03 ③
04 ①
05 ③
06 16'6
02
8'2
3
07 ③
32~33쪽
THEME 09 1회
풀이 74쪽
01 ④
02 ②
03 ③
06 2'2 cm 07 ④
10 ④
08 ④
11 3'7 cm 12 ①
04 '3 cm 05 18'6 cm¤
09 4'∂11 cm¤
34~35쪽
THEME 09 2회
풀이 75쪽
02 6 cm 03 ⑤
04 ⑤
05 ②
07 4'2
08 ③
09 ②
10 ②
01
06
7'∂13
13
4'3
3
11 6'2 cm 12 ⑤
36~39쪽
실전 평가
풀이 76쪽
01 ②
02 10'2
03 ③
04 36'3 cm¤
05 ③
06 ⑤
07 ②
08 2'∂14 cm¤
10 4'3 cm¤ 11 ③
12 ②
13 ④
09
14
27'2
2
27'2
4
21 100 m
19 ㈏
18 ②
20 ⑴ '∂10 ⑵ 4 ⑶ 3'2 ⑷ 예각삼각형
22 ⑴ a ⑵ a ⑶ a¤ ⑷ a‹
'3
3
'6
3
'2
12
'3
4
04 4 : 3
05 14 cm¤
06 336 cm¤
cm¤
15 ①
16 ③
17 ①
04. 삼각비
05. 삼각비의 활용
40~41쪽
THEME 10 1회
풀이 79쪽
52~53쪽
THEME 13 1회
풀이 85쪽
02 ⑤
03 6 cm 04 '∂11
05 ④
07 ;1¶0;
08
'6
3
09
2'∂10
5
10 ;2!;
11 3'3
03 ④
02 ②
07 2('2 +1)
10 4(3+5'3 ) cm¤
04 15.6 m 05 ②
09 4.76
08 ③
11 5(2-'3 ) cm
01 ②
06 ④
12 ①
01 ②
06
'∂34
17
01 ②
06 ;1!3@;
11 ①
01 ⑤
05 ;3@;
12 2'2
9
42~43쪽
THEME 10 2회
풀이 80쪽
02 ②
03 8 cm 04 ②
07 ;1£0;
08 ;1∞3;
09 ;3&;
05 ②
10
'2
2
12 '3 -'2
44쪽
THEME 11 1회
풀이 81쪽
02 30˘
06 ④
03 ①
07 ③
04
3'6
2
cm
45쪽
THEME 11 2회
풀이 81쪽
(cid:100)⑵ ;4#;
02 ④
03 ⑤
04 60˘
01 ⑴
3-'2
2
05 3'2 -'6
06 2-'3
46쪽
THEME 12 1회
풀이 82쪽
01 ③
02 ②, ③ 03 ;2%;
04 ③
05 16.196 cm
06 ②
07 ③
47쪽
THEME 12 2회
풀이 82쪽
03 ⑤
04 ③
05 35˘
01 ②
06 ③
02 ⑤
07 60˘
06 3개
'6
3
11
19
'7
4
48~51쪽
실전 평가
풀이 83쪽
01 ;5@;
02 ⑤
03 ④
04 ;7@4%;
05 ;1!3&;
07 ⑤
08 45˘
10 60˘
cm 12 ;2!;
13 ③
09 ;2!;
14 '3
15 ⑴ ㄱ(cid:100)⑵ ㄹ(cid:100)⑶ ㅁ 16 13.928 17 ②, ⑤ 18 ⑤
20 7
21 6 cm 22 20.71
54~55쪽
THEME 13 2회
02 10
06 ⑤
03 ④
04 ①
07 3('2 +'6 ) cm
풀이 86쪽
01 ⑤
05 10(3+'3 ) m
08
100'6
3
m
09 45˘
10 ;2&; m 11 2'∂109 cm
12 ②
56쪽
THEME 14 1회
풀이 87쪽
02 6'3 cm¤ 03 12 cm¤
04 2'6
05 ④
01 ⑤
06 ④
57쪽
THEME 14 2회
풀이 88쪽
01 6(3-'3 ) m
02 ②
04 ②
05 6'2 cm¤ 06 25('3+1)
03 ⑤
07 ①
58~61쪽
실전 평가
풀이 88쪽
01 '3
02 ②
06 ②
09
05 9'3
8'6
3
13 4('3-1)
m 10 ①
16 6
17 6
03 12'3 cm‹
04 12 cm
07 4(3+'3 ) km
08 ③
11 ②
14 24
18 '3
12 24'3
15 ②
19 10'3 cm
20 (6p-9'3 ) cm¤
21 3'3 cm¤ 22 9'2 cm¤
06. 원과 직선
62쪽
THEME 15 1회
풀이 91쪽
01 24 cm
02 10 cm 03 ④
06 12
04 ④
05 16p cm¤
63쪽
THEME 15 2회
풀이 92쪽
01 ①
02 4'7 cm 03 ③
06 (12p+18'3) cm¤
04 ①
05 '∂13 cm
빠른 정답 7
실전북
03 ④
08 ②
02 ⑤
07 p cm¤
12 ②
64~65쪽
THEME 16 1회
풀이 92쪽
01 4'3 cm¤
79쪽
THEME 19 2회
풀이 100쪽
01 80˘
04 3 cm 05 '∂93 cm 06 ⑤
02 ①
03 ⑤
04 70˘
05 ⑤
06 12p cm¤
09 ④
10 ③
11 12 cm
80~81쪽
01 ⑤
02 2'3 cm 03 15 cm 04 8 cm 05 '∂21 cm 06 ⑤
풀이 100쪽
THEME 20 1회
09 9 cm 10 12 cm 11 6 cm
07 4 cm 08 ③
12 2'7 cm
82~83쪽
THEME 20 2회
풀이 101쪽
01 ④
02 ⑤
03 ②
04 6 cm 05 ②
06 x=4'3 , y=8
07 :£5™: cm 08 ③
09 6 cm
10 2'3 cm¤ 11
32'2
3
cm
12 ④
84~87쪽
실전 평가
풀이 102쪽
02 46˘
03 ①
08 ④
07 ④
12 3'3 cm 13 130˘
04 28˘
09 25˘
14 ③
05 ②
10 67˘
15 ②
01 ④
06 ①
11 110˘
16 ②
18 ①
19 24 m 20 16 cm 21 :£5§: cm
17
'3
3
22 32-8'∂11
66~67쪽
THEME 16 2회
풀이 93쪽
02 ②
07 ②
03 30˘
04 6 cm 05 ②
08 ④
09 ⑤
10 18 cm
01 55˘
06 5 cm
11 :¡2¢5¢:p cm¤
12 :¡7•: cm
68~71쪽
02 2'∂21 cm¤
풀이 94쪽
실전 평가
01 ③
03 13 cm 04 8'3 cm 05 ④
06 ③
11 ①
16 ②
07 ②
12 ④
08 ②
13 ②
09 ⑤
14 15
10 ③
15 ③
17 6 cm¤
18 16 cm¤
19 16p cm
20 30'3 cm
21 6 cm 22 '6 cm
07. 원주각
72~73쪽
THEME 17 1회
풀이 97쪽
02 ②
03 ④
04 35˘
06 ∠x=30˘, ∠y=45˘ 07 51˘
10 12p cm 11 ③
12 4p cm
05 ③
08 ⑤
74~75쪽
THEME 17 2회
풀이 97쪽
02 16'2 cm¤
06 6 cm
09 55˘
10 ④
03 ③
07 ⑤
11 28˘
04 ①
08 ②
12 6 cm
01 ②
09 ⑤
01 ④
05 ⑤
76쪽
THEME 18 1회
풀이 98쪽
01 ③
02 ③
03 40˘
04 85˘
05 113˘
06 61˘
77쪽
THEME 18 2회
풀이 99쪽
01 ∠x=60˘, ∠y=120˘
02 ③
03 ⑤
04 ④
05 95˘
06 260˘
78쪽
THEME 19 1회
풀이 99쪽
02 48˘
03 72˘
04 ④
05 ③
01 28˘
06 ④
8 빠른 정답
유형북
01. 대푯값과 산포도
01 자료의 중심적인 경향을 하나의 수로 나타내어 전체 자료를
(cid:9000) ×
대표하는 값을 대푯값이라 한다.
02 평균은 변량의 총합이 커질수록 커진다.
(cid:9000) ×
03 최빈값은 자료에 따라 없을 수도 있고, 두 개 이상일 수도
(cid:9000) ×
있다.
04 (cid:9000) ◯
05 대푯값으로는 평균이 가장 많이 쓰이지만 극단적으로 크거나
작은 값이 포함된 자료에서는 중앙값이 자료의 특징을 더 잘
나타낸다.
06 (평균)=
1+2+3+4+5+6
6
=:™6¡:=;2&;
07 (평균)=
6+7+7+8+8+12
6
=:¢6•:=8
(cid:9000) ×
(cid:9000) ;2&;
(cid:9000) 8
=:¡2∞:
(cid:9000) :¡2∞:
의 7개이므로 중앙값은 4번째 자료의 값인 4이다.
08 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 1, 2, 2, 4, 6, 6, 7
(cid:9000) 4
09 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 6, 7, 7, 8, 8, 12의
6개이므로 중앙값은 3번째 자료와 4번째 자료의 값의 평균인
7+8
2
10 (cid:9000) 5
11 (cid:9000) 2, 6
12 (cid:9000) 없다.
13 편차의 총합은 항상 0이다.
14 (cid:9000) ◯
15 (cid:9000) ◯
16 평균보다 큰 변량의 편차는 양수이다.
2+4+6+8
4
17 (평균)=
=:™4º:=5
(cid:9000) ×
(cid:9000) ×
(분산)=
(2-5)¤ +(4-5)¤ +(6-5)¤ +(8-5)¤
4
=:™4º:=5
(표준편차)='5
(cid:9000) 평균 : 5, 분산 : 5, 표준편차 : '5
18 (평균)=
3+4+5+7+11
5
=:£5º:=6
(분산)
=
(3-6)¤ +(4-6)¤ +(5-6)¤ +(7-6)¤ +(11-6)¤
5
=:¢5º:=8
(표준편차)='8=2'2
(cid:9000) 평균 : 6, 분산 : 8, 표준편차 : 2'2
19
윗몸일으키기(회) 도수(명)
0`이상 ~ 10`미만
10`이상 ~ 20`미만
20이상 ~ 30`미만
30이상 ~ 40`미만
합계
(계급값)_(도수)
5_2=10
15_9=135
25_6=150
35_3=105
(편차)¤ _(도수)
(-15)¤ _2=450
(-5)¤ _9=225
5¤ _6=150
15¤ _3=675
400
1500
2
9
6
3
20
9쪽
∴ (평균)=:¢2º0º:=20(회)
20 (분산)=:¡;2%0);º:=75
21 (표준편차)='∂75=5'3(회)
(cid:9000) 20회
(cid:9000) 75
(cid:9000) 5'3회
10~17쪽
10~12쪽
알고 있나요?
(cid:9000) ④
대푯값01THEME
1 ①`-`㉣, ②`-`㉡, ③`-`㉢, ④`-`㉠
01 (평균)=
5+8+2+9+6
5
(평균)=:£5º:=6(권)
02 세 수 a, b, 5의 평균이 7이므로
=7, a+b+5=21
a+b+5
3
∴ a+b=16
세 수 c, d, 9의 평균이 15이므로
c+d+9
3
∴ c+d=36
따라서 네 수 a, b, c, d의 평균은
a+b+c+d
4
=15, c+d+9=45
=
16+36
4
03 5회에 걸친 수학 시험 성적의 평균이 74점이므로
=:∞4™:=13
(cid:9000) 13
3회의 수학 시험 성적을 x점이라 하면
78+75+x+70+72
5
=74
=74, 295+x=370
295+x
5
∴ x=75
따라서 3회의 수학 시험 성적은 75점이다.
04 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면
(cid:9000) 75점
1, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 8, 9의 12개이므로 중앙값은 6번
째 자료와 7번째 자료의 평균인
4+5
2
=4.5(개)
(cid:9000) 4.5개
05 줄기와 잎 그림에서 자료의 개수가 13개이므로 중앙값은 7번
(cid:9000) ④
째 자료의 값인 15시간이다.
01. 대푯값과 산포도 9
따라서 가장 큰 값을 갖는 대푯값은 평균이다.
(cid:9000) 평균
10 (평균)=
1_2+2_4+3_5+4_3+5_1
15
14 ㈎ 중앙값이 15가 되기 위해서는 aæ15
㈏ 중앙값이 38이 되기 위해서 변량을 작은 값부터 크기순으
06 주어진 표에서 도수가 가장 큰 것은 영화 감상이므로 최빈값
(cid:9000) ①
은 영화 감상이다.
07 최빈값이 15가 되기 위해서는 a의 값이 15가 되어야 한다.
(cid:9000) ④
08 ① 중앙값 : 1, 최빈값 : 1
② 중앙값 : 2, 최빈값 : 1, 2
③ 중앙값 : 4, 최빈값 : 없다.
3+4
2
0+0
2
④ 중앙값 :
⑤ 중앙값 :
=;2&;, 최빈값 : 없다.
=0, 최빈값 : 없다.
따라서 중앙값과 최빈값이 같은 것은 ①이다.
(cid:9000) ①
09 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면
6, 8, 10, 11, 15, 15, 20, 22, 24, 34이므로
(평균)=
6+8+10+11+15+15+20+22+24+34
10
(평균)=:¡1§0∞:=16.5(시간)
(중앙값)=
=15(시간), (최빈값)=15시간
15+15
2
(평균)=;1$5@;=2.8(회)
변량이 15개이므로 8번째 자료의 값이 중앙값이 된다.
∴ (중앙값)=3회
3회의 도수가 5명으로 가장 크므로
(최빈값)=3회
∴ (평균)<(중앙값)=(최빈값)
y❸
y❹
(cid:9000) (평균)<(중앙값)=(최빈값)
y❶
y❷
채점 기준
❶ 평균 구하기
❷ 중앙값 구하기
❸ 최빈값 구하기
배점
30%
30%
30%
10%
❹ 평균, 중앙값, 최빈값의 대소 관계 구하기
11 ㄱ. 이 자료의 중앙값은 4번째 자료와 5번째 자료의 평균인
ㄱ.
5+5
2
=5
ㄱ. 추가된 변량을 a라 하자.
ㄱ. ⁄ 5보다 작은 변량을 추가한 경우
ㄱ. ⁄ 2, 4, a, 5, 5, 5, 7, 8, 9이므로
ㄱ. ⁄ (중앙값)=5
ㄱ. ¤ 5를 추가한 경우
ㄱ. ⁄ 2, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 8, 9이므로
ㄱ. ⁄ (중앙값)=5
ㄱ. ‹ 5보다 큰 변량을 추가한 경우
ㄱ. ⁄ 2, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, a이므로
ㄱ. ⁄ (중앙값)=5
ㄱ. 따라서 이 자료의 중앙값은 변하지 않는다.
10 정답 및 풀이
ㄴ. 2, 4, 7, 8, 9 중 하나와 똑같은 수를 변량에 추가하여도
자료의 최빈값은 5로 변하지 않는다.
2+4+5+5+5+7+8+9
8
ㄷ. (평균)=
ㄱ. 이때 x를 변량으로 추가하면 평균은
=:¢8∞:
45+x
9
ㄱ. 따라서 이 자료의 평균은 x의 값에 따라 변할 수도 있다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
(cid:9000) ③
12 5명의 체육 실기 점수의 평균이 6점이므로
1+3+6+x+10
5
=6
=6, x+20=30
x+20
5
∴ x=10
따라서 중앙값은 3번째 자료의 값인 6점이다.
13 최빈값이 6시간이므로 운동 시간의 평균이 6시간이다.
(cid:9000) ①
(cid:9000) ③
6+8+1+x+7+6+6
7
=6
=6, 34+x=42
34+x
7
∴ x=8
로 나타내면 다음과 같다.
⁄ 11, 35, a, 41, 48, 52일 때
(cid:100) ⁄ 3번째 자료와 4번째 자료의 평균은
(cid:100) ¤
a+41
2
=38, a+41=76
(cid:100) ⁄ ∴ a=35
(cid:100) ¤ 11, a, 35, 41, 48, 52일 때
(cid:100) ¤ 3번째 자료와 4번째 자료의 평균은
(cid:100) ¤
35+41
2
=38
(cid:100) ¤ ∴ a…35
따라서 ㈎, ㈏를 모두 만족하는 자연수 a는 15, 16, y, 35의
(cid:9000) 21개
21개이다.
15 ② 1, 2, 3, 4의 중앙값은
=2.5이므로 중앙값이 항상
2+3
2
(cid:100) 주어진 자료 중에 존재하는 것은 아니다.
⑤ 자료 중에서 극단적인 값이 있는 경우에는 평균보다 중앙
값이 자료 전체의 특징을 더 잘 나타낼 수도 있다.
따라서 옳지 않은 것은 ②, ⑤이다.
(cid:9000) ②, ⑤
16 자료에서 가장 많이 나타나는 값을 조사할 때는 대푯값으로
(cid:9000) ③
17 ①, ②, ⑤ 자료의 값 중 24분이라는 극단적으로 큰 값이 존재
최빈값을 사용한다.
하므로 자료의 대푯값으로는 중앙값이 가장 적절하다.
③ 최빈값은 존재하지 않는다.
④ 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 24
(cid:100) (중앙값)=
=;2(;=4.5(분)
4+5
2
유형북
y❷
y❸
(cid:9000) '∂11.6
배점
60%
30%
10%
(cid:100) (평균)=
3+2+5+24+1+7+4+6
8
=:∞8™:=6.5(분)
(cid:100) 이므로 평균이 중앙값보다 크다.
따라서 옳은 것은 ②, ④이다.
(cid:9000) ②, ④
7
10
5
변량
편차 7-9=-2 10-9=1 5-9=-4 8-9=-1 15-9=6
(편차)¤
36
16
4
1
1
15
8
∴ (분산)=
4+1+16+1+36
5
∴ (표준편차)='∂11.6
=:∞5•:=11.6
02THEME
분산과 표준편차
13~17쪽
알고 있나요?
1 각 자료의 값이 평균 근처에 모여 있다.
2 각 자료의 값이 평균으로부터 멀리 흩어져 있다.
채점 기준
❶ x의 값 구하기
❷ 분산 구하기
❸ 표준편차 구하기
01 편차의 합은 0이므로
x+3+(-2)+1+(-1)=0
x+1=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1
즉, (A 학생의 점수)-25=-1이므로
(A 학생의 점수)=24점
02 편차의 합은 0이므로
-3+5+(-2)+1+1+x=0
2+x=0
∴ x=-2
03 ① 편차의 합은 0이므로
07
계급값(시간)
1
3
5
7
합계
도수(명)
3
4
7
2
16
편차(시간)
-3
-1
1
3
(편차)¤ _(도수)
(-3)¤ _3=27
(-1)¤ _4=4
1¤ _7=7
3¤ _2=18
56
(cid:9000) 24점
∴ (분산)=;1%6^;=3.5
(cid:9000) 3.5
(cid:9000) -2
08 (평균)=
6_1+7_2+8_4+9_2+10_1
10
(cid:100) -5+0+4+x+1+(-3)=0
(cid:100) x-3=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3
② (수학 점수)=(평균)+(편차)이므로
(cid:100) 편차가 가장 작은 학생 A의 점수가 가장 낮다.
③ 편차가 0이므로 학생 B의 점수는 평균과 같다.
④ 학생 C와 학생 F의 편차의 차가 7점이므로 점수 차도 7점
이다.
⑤ 평균보다 점수가 높은 학생은 C, D, E의 3명이다.
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
04 편차의 합은 0이므로
-6+x+1+(-3)+5=0
x-3=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3
∴ (분산)=
(-6)¤ +3¤ +1¤ +(-3)¤ +5¤
5
∴ (표준편차)='∂16=4 (kg)
05 (평균)=
11+6+9+10
4
=:£4§:=9(시간)
=:•5º:=16
(cid:9000) 4 kg
학생
지성
연아
11-9=2 6-9=-3
청용
9-9=0
연재
10-9=1
4
9
0
1
편차(시간)
(편차)¤
∴ (분산)=
4+9+0+1
4
=:¡4¢:=3.5
(cid:9000) ①
06 평균이 9이므로
7+10+x+(x+3)+(x+10)
5
=9
3x+30
5
=9, 3x+30=45
3x=15(cid:100)(cid:100)∴ x=5
(평균)=;1*0);=8(점)
점수(점)
6
7
8
9
10
합계
도수(명)
1
2
4
2
1
10
∴ (분산)=;1!0@;=1.2
∴ (표준편차)='∂1.2 점
편차(점)
-2
-1
0
1
2
(편차)¤ _(도수)
(-2)¤ _1=4
(-1)¤ _2=2
0¤ _4=0
1¤ _2=2
2¤ _1=4
12
(cid:9000) ④
09
점수(점)
6
상대도수
0.1
도수(명)
30_0.1=3
편차(점)
-2
7
8
9
10
합계
0.2
0.4
0.2
0.1
1
30_0.2=6
-1
30_0.4=12
30_0.2=6
30_0.1=3
30
0
1
2
(평균)=
6_3+7_6+8_12+9_6+10_3
30
(분산)=
=8(점)
240
30
(분산)=
(-2)¤ _3+(-1)¤ _6+0¤ _12+1¤ _6+2¤ _3
30
(분산)=;3#0^;=1.2
y❶
∴ (표준편차)='∂1.2 점
(cid:9000) '∂1.2점
01. 대푯값과 산포도 11
10
계급값(점) 도수(명) (계급값)_(도수) 편차(점)
65
75
85
95
합계
6
8
4
2
20
65_6=390 -11
-1
75_8=600
9
85_4=340
19
95_2=190
1520
(편차)¤ _(도수)
(-11)¤ _6=726
(-1)¤ _8=8
9¤ _4=324
19¤ _2=722
1780
(평균)=:¡;2%0@;º:=76(점)
∴ (분산)=:¡;2&0*;º:=89
(cid:9000) 89
11
계급값(점) 도수(명) (계급값)_(도수) 편차(점)
70_2=140 -10
80_6=480
90_2=180
70
80
90
0
10
2
6
2
(편차)¤``_(도수)
(-10)¤ _2=200
0¤ _6=0
10¤ _2=200
합계
10
800
400
(평균)=:•1º0º:=80(점)
(분산)=:¢1º0º:=40
∴ x+y=4(cid:100)(cid:100)yy ㉠
표준편차가 4이므로 분산은 16이다. 즉,
x¤ +(-3)¤ +(-2)¤ +1¤ +y¤
5
=16
=16, x¤ +y¤ +14=80
x¤ +y¤ +14
5
∴ x¤ +y¤ =66
(x+y)¤ -2xy=66
16-2xy=66 (∵ ㉠)
2xy=-50
∴ xy=-25
채점 기준
❶ 평균을 이용하여 x, y 사이의 관계식 구하기
❷ 분산을 이용하여 x, y 사이의 관계식 구하기
❸ xy의 값 구하기
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) -25
배점
40%
40%
20%
∴ (표준편차)='∂40=2'∂10(점)
(cid:9000) 2'∂10점
12 7점 이상 8점 미만인 계급의 도수를 x회라 하면 도수의 합은
x¡+x™+x£
3
=8
16 세 수 x¡, x™, x£의 평균이 8이므로
10회이므로
3+x+1+1=10(cid:100)(cid:100)∴ x=5
계급값(점) 도수(회) (계급값)_(도수) 편차(점)
6.5
7.5
8.5
9.5
합계
3
5
1
1
10
6.5_3=19.5 -1
0
7.5_5=37.5
1
8.5_1=8.5
2
9.5_1=9.5
75
(편차)¤``_(도수)
(-1)¤ _3=3
0¤ _5=0
1¤ _1=1
2¤ _1=4
8
∴ x¡+x™+x£=24(cid:100)(cid:100)yy ㉠
표준편차가 '6이므로 분산은 6이다. 즉,
(x¡-8)¤ +(x™-8)¤ +(x£-8)¤
3
=6
x¡¤ +x™¤ +x£¤ -16(x¡+x™+x£)+64_3
3
=6
x¡¤ +x™¤ +x£¤ -16_24+64_3
3
=6 (∵ ㉠)
(평균)=;1&0%;=7.5(점)
(분산)=;1•0;=0.8
∴ (표준편차)='∂0.8 점
13 평균이 6이므로
4+x+8+y+5
5
x¡¤ +x™¤ +x£¤ -192
3
=6
x¡¤ +x™¤ +x£¤ -192=18
∴ x¡¤ +x™¤ +x£¤ =210
따라서 x¡¤ , x™¤ , x£¤ 의 평균은
x¡¤ +x™¤ +x£¤
3
=70
(cid:9000) ④
(cid:9000) 70
=6, x+y+17=30
∴ x+y=13(cid:100)(cid:100)yy ㉠
분산이 3이므로
(4-6)¤ +(x-6)¤ +(8-6)¤ +(y-6)¤ +(5-6)¤
5
17 모서리 12개의 길이의 평균이 4이므로
4(4+a+b)
12
=4, 4+a+b=12
=3
∴ a+b=8(cid:100)(cid:100)yy ㉠
4+(x-6)¤ +4+(y-6)¤ +1=15
x¤ -12x+y¤ -12y+81=15
x¤ +y¤ -12(x+y)+66=0
x¤ +y¤ -12_13+66=0 (∵ ㉠)
∴ x¤ +y¤ =90
14 표준편차가 2'2이므로 분산은 8이다. 즉,
(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤
4
=8
∴ (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ =32 (cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
15 편차의 합은 0이므로
x+(-3)+(-2)+1+y=0
12 정답 및 풀이
분산이 ;3$;이므로
4{(4-4)¤ +(a-4)¤ +(b-4)¤ }
12
=;3$;
(a-4)¤ +(b-4)¤ =4
a¤ +b¤ -8(a+b)+28=0
(a+b)¤ -2ab-8(a+b)+28=0
8¤ -2ab-8_8+28=0 (∵ ㉠)
∴ ab=14
∴ (직육면체의 겉넓이)=2(4a+4b+ab)
=8(a+b)+2ab
=8_8+2_14=92
(cid:9000) 92
19 학생 7명의 수학 점수를 모두 0.7점씩 올려주면 평균은 0.7점
(cid:9000) ④
올라가고 표준편차는 그대로이다.
24 학생 6명의 분산이 10이므로 (편차)¤ 의 총합은
6_10=60
18 편차의 합은 0이므로
-4+a+(-1)+3+b=0
∴ a+b=2 (cid:100)(cid:100)yy ㉠
표준편차가 '7 cm이므로 분산은 7이다. 즉,
(-4)¤ +a¤ +(-1)¤ +3¤ +b¤
5
=7
∴ a¤ +b¤ =9(cid:100)(cid:100)yy ㉡
(a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab에 ㉠, ㉡을 대입하면
2¤ =9+2ab, 2ab=-5
∴ ab=-;2%;
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
20 a ⁄ 4a-1로 변한 것처럼 평균도 변한다.
∴ m ⁄ 4m-1
|`다른 풀이`| 변량 a, b, c의 평균이 m이므로
a+b+c
3
=m
∴ a+b+c=3m(cid:100)(cid:100)yy ㉠
따라서 변량 4a-1, 4b-1, 4c-1의 평균은
(4a-1)+(4b-1)+(4c-1)
3
=
4(a+b+c)-3
3
12m-3
3
(∵ ㉠)
=
=4m-1
21 평균이 10이므로
a+b+c
3
=10
∴ a+b+c=30(cid:100)(cid:100)
분산이 9이므로
(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤
3
yy ㉠
=9 yy ㉡
m=
변량 2a, 2b, 2c의 평균은
2a+2b+2c
3
2_30
3
=20 (∵ ㉠)
m=
=
분산은
2(a+b+c)
3
n=
(2a-20)¤ +(2b-20)¤ +(2c-20)¤
3
n=4_
(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤
3
n=4_9=36 (∵ ㉡)
∴ n-m=36-20=16
(cid:9000) ①
22 민선이네 반의 분산이 100이므로 민선이네 반의 (편차)¤ 의 총
합은
30_100=3000
세진이네 반의 분산이 300이므로 세진이네 반의 (편차)¤ 의 총
합은
20_300=6000
유형북
(cid:9000) 180
따라서 두 반 전체에 대한 분산은
3000+6000
30+20
9000
50
=180
=
23 A 모둠의 표준편차가 '6 시간이므로 A 모둠의 (편차)¤ 의 총
합은 14_('6)¤ =84
B 모둠의 표준편차가 3시간이므로 B 모둠의 (편차)¤ 의 총합
은 16_3¤ =144
따라서 두 모둠 전체에 대한 분산은
84+144
14+16
∴ (표준편차)='∂7.6 시간
=:™3™0•:=7.6
(cid:9000) ①
평균이 68 kg이므로 몸무게가 68 kg인 학생의 편차는 0이다.
즉, 6명 중에서 몸무게가 68 kg인 학생이 한 명 빠졌을 때,
나머지 학생 5명의 (편차)¤ 의 총합은 60이다.
따라서 구하는 분산은
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
:§5º:=12
③ 알 수 없다.
25 ①, ② 평균이 같으므로 어느 반이 더 우수하다고 말할 수 없다.
④ 민수네 반의 성적의 표준편차가 더 작으므로 평균을 중심
으로 변량이 더 모여 있다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
26 표준편차가 작을수록 변량이 평균 주위에 더 모여 있다.
따라서 성적이 가장 고른 반은 5반이다.
(cid:9000) ⑤
27 표준편차가 클수록 수면 시간이 불규칙하므로 수면 시간이
(cid:9000) 재석
28 ㄱ. A반의 평균이 더 높으므로 A반 학생들이 공부를 더 잘
가장 불규칙한 사람은 재석이다.
한다.
ㄴ. 성적이 우수한 학생은 B반보다 A반에 더 많이 있다.
ㄷ. A반 학생들의 수학 성적의 분포가 더 흩어져 있으므로
A반의 분산이 B반의 분산보다 크다.
따라서 옳은 것은 ㄱ이다.
(cid:9000) ㄱ
29 태환이의 자유투 성공 횟수의 평균은
7+5+6+6
4
=;;™4¢;;=6(회)
이므로 분산은
(7-6)¤ +(5-6)¤ +(6-6)¤ +(6-6)¤
4
∴ (표준편차)='∂0.5 회
지원이의 자유투 성공 횟수의 평균은
10+2+9+3
4
=;;™4¢;;=6(회)
=;4@;=0.5
이므로 분산은
(10-6)¤ +(2-6)¤ +(9-6)¤ +(3-6)¤
4
=;;∞4º;;=12.5
∴ (표준편차)='∂12.5 회
ㄱ. 두 학생의 평균은 6회로 같다.
01. 대푯값과 산포도 13
06 자료 A의 중앙값이 8이므로 a=8 또는 b=8
18~19쪽
ㄴ. 두 학생의 표준편차는 같지 않다.
ㄷ, ㄹ. 지원이의 표준편차가 태환이의 표준편차보다 크므로
태환이의 자유투 성공 횟수가 더 고르고, 평균에서 흩어
진 정도가 더 심한 것은 지원이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
(cid:9000) ②
01 갑, 을, 병의 봉사활동 시간을 각각 a, b, c라 하면
a+b
2
b+c
2
c+a
2
=9(cid:100)(cid:100)∴ a+b=18 (cid:100)(cid:100)yy ㉠
=12(cid:100)(cid:100)∴ b+c=24(cid:100)(cid:100)yy ㉡
=15(cid:100)(cid:100)∴ c+a=30(cid:100)(cid:100)yy ㉢
㉠+㉡+㉢을 하면
2(a+b+c)=72(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c=36
따라서 세 사람의 봉사활동 시간의 평균은
a+b+c
3
= =12(시간)
36
3
(cid:9000) ④
02 3학년 학생들의 성적의 평균을 x점이라 하면 1학년과 2학년
학생들의 성적의 평균은 각각 (x-6)점이다.
3개 학년 전체의 성적의 평균이 50점이므로
(x-6)_15+(x-6)_35+x_50
100
=50
15x-90+35x-210+50x=5000
100x=5300(cid:100)(cid:100)∴ x=53
따라서 3학년 학생들의 성적의 평균은 53점이다.
(cid:9000) ⑤
03 평균이 6개이므로
1+2+3+8+14+a+b
7
=6
28+a+b=42(cid:100)(cid:100)∴ a+b=14
변량의 개수가 홀수이므로 한 개의 변량이 중앙값을 나타낸
다. 주어진 변량 중에 값이 4인 변량이 없으므로 a 또는 b가 4
가 되어야 한다.
이때 a<b이므로 a=4, b=10
∴ b-a=10-4=6
(cid:9000) 6
04 중앙값이 9이고 변량의 개수가 홀수이므로 x, y, z 중 하나가
9가 되어야 한다. 이때 x=9라 하면 최빈값이 10이고 변량 7
의 개수가 2개이므로 나머지 y, z 모두 10이 되어야 한다.
∴ y=z=10
∴ x+y+z=9+10+10=29
(cid:9000) ③
05 중앙값이 15이므로 세 개의 자연수 중 하나는 15이어야 한다.
세 개의 자연수를 a, 15, b(a<15<b)로 놓으면
평균이 12이므로
15+a+b
3
∴ a+b=21
=12, 15+a+b=36
14 정답 및 풀이
따라서 a+b=21이고 a<15<b인 자연수 a, b 중에서
b-a의 최댓값은 a=1, b=20일 때이므로
b-a=20-1=19
b-a의 최솟값은 a=5, b=16일 때이므로
b-a=16-5=11
따라서 b-a의 최댓값과 최솟값의 차는
19-11=8
(cid:9000) 8
이때 b=8이면 3, 7, a, 8, 12이므로 중앙값이 8이 아니다.
∴ a=8
자료 A, B를 섞은 자료에서 b, b+1이 8과 11 사이에 있을
때 중앙값이 9가 될 수 있으므로 전체 변량을 작은 값부터 크
기순으로 나열하면
3, 6, 7, 7, 8, b, b+1, 11, 12, 15
8+b
2
=9이어야 하므로
8+b=18(cid:100)(cid:100)∴ b=10
(자료 A의 평균)=
8+7+12+10+3
5
=:¢5º:=8
∴ (자료 A의 분산)=
0¤ +(-1)¤ +4¤ +2¤ +(-5)¤
5
∴ (자료 B의 분산)=:¢5§:=9.2
(cid:9000) ④
07 3+3+6+a+1=b에서
a-b=-13
yy ㉠
평균이 3회이므로
1_3+2_3+3_6+4_a+5_1
b
=3
4a-3b=-32 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=7, b=20
성공 횟수(회) 학생 수(명)
1
2
3
4
5
합계
3
3
6
7
1
20
편차(회)
-2
-1
0
1
2
(편차)¤ _(도수)
(-2)¤ _3=12
(-1)¤ _3=3
0¤ _6=0
1¤ _7=7
2¤ _1=4
26
(분산)=;2@0^;=1.3(cid:100)(cid:100)∴ (표준편차)='∂1.3 회
08 추가된 두 개의 변량을 x, y라 하면 평균이 9이므로
(cid:9000) a=7, b=20, 표준편차 : '∂1.3회
8+10+12+x+y
5
=9
30+x+y=45(cid:100)(cid:100)∴ x+y=15 yy ㉠
분산이 4이므로
(8-9)¤ +(10-9)¤ +(12-9)¤ +(x-9)¤ +(y-9)¤
5
=4
(x-9)¤ +(y-9)¤ =9
x¤ -18x+81+y¤ -18y+81=9
x¤ +y¤ -18(x+y)+153=0
(x+y)¤ -2xy-18(x+y)+153=0
15¤ -2xy-18_15+153=0 (∵ ㉠)
∴ xy=54
따라서 추가한 두 개의 변량의 곱은 54이다.
(cid:9000) 54
09 자료 A의 변량을 x라 하면 자료 B의 변량은 4x와 같다.
변량에 일정한 수를 곱하면 곱하는 수의 제곱배만큼 분산이
변하므로 16a=b이다.
(cid:9000) ④
10 a<b<c<d이므로
a+b+c
3
a+b+d
3
a+c+d
3
b+c+d
3
=12(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c=36 (cid:100)(cid:100)yy ㉠
=16(cid:100)(cid:100)∴ a+b+d=48(cid:100)(cid:100)yy ㉡
=19(cid:100)(cid:100)∴ a+c+d=57(cid:100)(cid:100)yy ㉢
=21(cid:100)(cid:100)∴ b+c+d=63(cid:100)(cid:100)yy ㉣
㉠+㉡+㉢+㉣을 하면
3(a+b+c+d)=204(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c+d=68
따라서 네 수 a, b, c, d의 평균은
a+b+c+d
4
= =17
68
4
(cid:9000) 17
02. 피타고라스 정리
01 x¤ +3¤ =5¤ , x¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
02 x¤ +2¤ =5¤ , x¤ =21(cid:100)(cid:100)∴ x='∂21 (∵ x>0)
03 ('∂10)¤ +x¤ =4¤ , x¤ =6(cid:100)(cid:100)∴ x='6 (∵ x>0)
04 x¤ =2¤ +('∂21)¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
05 3¤ +x¤ =5¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
(cid:9000) 4
(cid:9000) '∂21
(cid:9000) '6
(cid:9000) 5
4¤ +y¤ =(2'5)¤ (cid:100)(cid:100)∴ y=2 (∵ y>0)
(cid:9000) x=4, y=2
(cid:9000) x=6, y=17
06 8¤ +x¤ =10¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0)
15¤ +8¤ =y¤ (cid:100)(cid:100)∴ y=17 (∵ y>0)
07 (cid:8772)BFGC=(cid:8772)BADE+(cid:8772)ACHI
=36+64=100 (cm¤ )
(cid:9000) 100 cm¤
08 AB”='∂36=6(cm), BC”='∂100=10(cm), CA”='∂64=8(cm)
△ABC의 둘레의 길이는 6+10+8=24 (cm) (cid:9000) 24 cm
(cid:9000) 36 cm¤
09 (cid:8772)BFML=(cid:8772)BADE=6_6=36 (cm¤ )
11 잘못 채점했을 때와 제대로 채점된 점수들의 합이 같으므로
10 △AML=;2!;(cid:8772)ACHI=;2!;_4_4=8 (cm¤ ) (cid:9000) 8 cm¤
수행 평가 점수의 총합은 변화가 없다.
따라서 수행 평가 실제 점수의 평균도 8점이다.
잘못 채점했을 때의 점수를 a점, b점, c점, 8점, 7점이라 하면
분산이 6이므로
(a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ +(8-8)¤ +(7-8)¤
5
=6
(a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ =29(cid:100)(cid:100)yy ㉠
따라서 실제 점수의 분산은
(a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ +(9-8)¤ +(6-8)¤
5
¤ =3¤ +8¤ =73이므로 (cid:8772)EFGH=73
¤ =7¤ +(2'3)¤ =61(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)EFGH=61
11 EF”
12 HG”
13 (cid:9000) ㈎：(cid:8772)CFGH, ㈏：(a-b)¤ , ㈐：a¤ +b¤
14 6¤ +8¤ =10¤ 이므로 직각삼각형이다.
15 10¤ +12¤ +15¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
16 2¤ +(2'3)¤ =4¤ 이므로 직각삼각형이다.
17 7¤ +9¤ +11¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
18 ㄷ. 6¤ <5¤ +(3'2)¤
=
29+1+4
5
(∵ ㉠)
=:£5¢:=6.8
12 평균이 5이므로
a+b+c+d+e
5
=5
(cid:9000) ⑤
ㅂ. ('5)¤ <('3)¤ +2¤
19 ㄴ. 4¤ =2¤ +(2'3)¤
ㅁ. (2'∂13)¤ =4¤ +6¤
20 ㄱ. ('6)¤ >1¤ +2¤
ㄹ. 7¤ >3¤ +5¤
유형북
23쪽, 25쪽
(cid:9000) 73
(cid:9000) 61
(cid:9000) ◯
(cid:9000) ×
(cid:9000) ◯
(cid:9000) ×
(cid:9000) ㄷ, ㅂ
(cid:9000) ㄴ, ㅁ
(cid:9000) ㄱ, ㄹ
=9
∴ a+b+c+d+e=25 (cid:100)(cid:100)yy ㉠
표준편차가 3이므로 분산이 9이다. 즉,
(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤
5
a¤ +b¤ +c¤ +d¤ +e¤ -10(a+b+c+d+e)+125=45
a¤ +b¤ +c¤ +d¤ +e¤ -10_25+125=45 (∵ ㉠)
∴ a¤ +b¤ +c¤ +d¤ +e¤ =170(cid:100)(cid:100)yy ㉡
∴ f(x)
∴ =(a-x)¤ +(b-x)¤ +(c-x)¤ +(d-x)¤ +(e-x)¤
∴ =5x¤ -2(a+b+c+d+e)x+(a¤ +b¤ +c¤ +d¤ +e¤ )
∴ =5x¤ -50x+170 (∵ ㉠, ㉡)
∴ =5(x-5)¤ +45
따라서 함수 f(x)의 최솟값은 45이다.
(cid:9000) ④
21 x¤ =3_(3+5)=24(cid:100)(cid:100)∴ x=2'6 (∵ x>0)
y¤ =5_(3+5)=40(cid:100)(cid:100)∴ y=2'∂10 (∵ y>0)
(cid:9000) x=2'6, y=2'∂10
22 x¤ =12_5=60(cid:100)(cid:100)∴ x=2'∂15 (∵ x>0)
2'∂51_y=17_2'∂15(cid:100)(cid:100)∴ y='∂85
(cid:9000) x=2'∂15, y='∂85
¤ , ㈏：a¤ +c¤ , ㈐：b¤ +c¤ , ㈑：DP”
23 (cid:9000) ㈎：CP”
¤ , ㈐：BE”
¤ , ㈏：BC”
24 (cid:9000) ㈎：DE”
25 4¤ +6¤ =x¤ +7¤ (cid:100)(cid:100)∴ x='3 (∵ x>0)
26 5¤ +4¤ =x¤ +3¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=4'2 (∵ x>0)
27 AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
¤ , ㈑：CD”
¤
(cid:9000) '3
(cid:9000) 4'2
;2!;_p_4¤ =8p (cm¤ )
따라서 색칠한 부분의 넓이는
02. 피타고라스 정리 15
¤
10p-8p=2p (cm¤ )
28 △ABC=20+17=37 (cm¤ )
(cid:9000) 2p cm¤
(cid:9000) 37 cm¤
03THEME
피타고라스 정리
1 직각삼각형
2
a¤ +b¤ =c¤
26~37쪽
26~29쪽
알고 있나요?
01 8¤ +x¤ =(x+4)¤ , x¤ +64=x¤ +8x+16
8x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=6
02 BC”="√7¤ -3¤ ='∂40=2'∂10 (cm)
03 AB”="√('∂29)¤ -2¤ ='∂25=5
(cid:9000) 6
(cid:9000) 2'∂10 cm
∴ △ABC=;2!;_2_5=5
(cid:9000) 5
04 BC”=x cm라 하면
AC”=30-(5+x)=25-x (cm)이므로
(25-x)¤ =5¤ +x¤ , 625-50x+x¤ =25+x¤
50x=600(cid:100)(cid:100)∴ x=12
∴ △ABC=;2!;_12_5=30 (cm¤ )
(cid:9000) 30 cm¤
05 AC”의 길이는 (18-x)m이므로
x¤ +12¤ =(18-x)¤
x¤ +144=x¤ -36x+324
36x=180(cid:100)(cid:100)∴ x=5
배점
20%
50%
30%
M
G
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 5
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
B
12 cm
C
채점 기준
❶ AC”의 길이를 x를 이용하여 나타내기
❷ 피타고라스 정리 이용하기
❸ x의 값 구하기
06 AC”="√12¤ +16¤ ='∂400=20 (cm)
A
직각삼각형 ABC에서 빗변 AC의 중
점인 M은 삼각형 ABC의 외심이므로
16 cm
AM”=BM”=CM”=;2!;AC”=10(cm)
∴ BG”=;3@; BM”=;3@;_10
∴ BG”=:™3º: (cm)
07 △ABD에서 x="√20¤ -16¤ ='∂144=12
△ADC에서 y="√13¤ -12¤ ='∂25=5
∴ x+y=12+5=17
08 △ADC에서 AD”="√(2'∂13)¤ -6¤ ='∂16=4
△ABD에서 AB”="√3¤ +4¤ ='∂25=5
⑶ △ABC=;2!;_BC”_AD”
⑶ △ABC=;2!;_(8+2'7)_6
⑶ △ABC=24+6'7 (cm¤ )
y❸
(cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 2'7 ⑶ (24+6'7)cm¤
채점 기준
❶ △ABD에서 x의 값 구하기
❷ △ADC에서 y의 값 구하기
❸ △ABC의 넓이 구하기
배점
30%
30%
40%
10 △ABD에서 x="√17¤ -15¤ ='∂64=8
△ABC에서 y="√15¤ +20¤ ='∂625=25
∴ xy=8_25=200
11 △ABD에서 x="√5¤ -3¤ ='∂16=4
△ABC에서 4¤ +(3+y)¤ =('∂65)¤
16+y¤ +6y+9=65, y¤ +6y-40=0
(y+10)(y-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ y=4 (∵ y>0)
12 BC”="√10¤ -6¤ =8
CD”=x라 하면 BD”=8-x이므로
10 : 6=(8-x) : x, 10x=48-6x
16x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=3(cid:100)(cid:100)∴ CD”=3
13 AC”='ƒ1+1='2 (cm)
AD”="√1+('2)¤ ='3 (cm)
AE”="√1+('3)¤ ='4=2 (cm)
14 BD”=BE”="√1¤ +1¤ ='2
BF”=BG”="√('2 )¤ +1¤ ='3
∴ BH”="√('3)¤ +1¤ =2
15 OB”="√1¤ +1¤ ='2
OC”="√1¤ +('2)¤ ='3
OD”="√1¤ +('3)¤ ='4=2
OE”="√1¤ +2¤ ='5
OF”="√1¤ +('5)¤ ='6
OG”="√1¤ +('6)¤ ='7
∴ (△OFG의 둘레의 길이)=OF”+FG”+GO”
16 AC”="√2¤ +1¤ ='5
AD”="√('5 )¤ +1¤ ='6
AE”="√('6 )¤ +1¤ ='7
AF”="√('7 )¤ +1¤ ='8=2'2
∴ AG”="√(2'2 )¤ +1¤ ='9=3
17 BE”=BD”="√2¤ +2¤ ='8=2'2
BG”=BF”="√(2'2 )¤ +2¤ ='∂12=2'3
BI”=BH”="√(2'3 )¤ +2¤ ='∂16=4
∴ GI”=BI”-BG”=4-2'3
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
(cid:9000) 2
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 4-2'3
='6+1+'7 (cid:9000) 1+'6+'7
09 ⑴ △ABD가 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해
18 AB”=a라 하면
(cid:100) x="√10¤ -8¤ ='∂36=6
⑵ △ADC가 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해
(cid:100) y="√8¤ -6¤ ='∂28=2'7
y❶
y❷
BE”=BD”="√a¤ +a¤ ='2a
BG”=BF”="√('2a)¤ +a¤ ='3a
BI”=BH”="√('3a)¤ +a¤ =2a
16 정답 및 풀이
04THEME
피타고라스 정리의 설명
30~32쪽
알고 있나요?
(cid:9000) ③
1 △LBF, (cid:8772)BFML, △LGC, (cid:8772)LMGC, (cid:8772)ACHI
¤ 이므로 P=Q+R
01 AB”
¤ =BC”
¤ +AC”
∴ R=P-Q=42-24=18
∴ AC”='∂18=3'2 (cm)
¤ 이므로
¤ +AC”
¤ =BC”
02 AB”
(cid:8772)BFGC=(cid:8772)ADEB-(cid:8772)ACHI
=25-16=9 (cm¤ )
(cid:9000) 9 cm¤
03 △BFL=;2!;(cid:8772)BFML=;2!;(cid:8772)ADEB
△BFL=;2!;_12¤ =72 (cm¤ )
(cid:9000) ③
D
'5 cm
(cid:9000) ⑤
D
C
15 cm
유형북
(cid:9000) ③
(cid:9000) ④
04 △EBC=△ABF (∵ △EBC™△ABF)
△EBC=△EBA (∵ EB”∥DC”)
△ABF=△JBF (∵ BF”∥AK”)
△JBF=△FKJ이므로
△EBC=△ABF=△EBA=△FKJ
05 △AEH™△BFE™△CGF™△DHG이므로
(cid:8772)EFGH는 정사각형이다.
DH”=AE”=4 cm이므로 A’H”=7-4=3(cm)
(cid:8772)EFGH=(cid:8772)ABCD-4△AEH
(cid:8772)EFGH=7¤ -4_{;2!;_4_3}
(cid:8772)EFGH=49-24=25 (cm¤ )
(cid:9000) 25 cm¤
06 △AEH™△BFE™△CGF™△DHG (SAS 합동)이므로
BF”=AE”=5 cm, EB”=8-5=3 (cm)
∴ EF”="√3¤ +5¤ ='∂34 (cm)
(cid:9000) '∂34 cm
07 ⑴ △AEH™△BFE™△CGF™△DHG이므로
(cid:8772)EFGH는 정사각형이다.
∴ EH”='∂100=10 (cm)
△AEH에서 A’H”="√10¤ -8¤ ='∂36=6 (cm)
y❶
y❷
⑵ AD”=A’H”+D’H”=6+8=14 (cm)이므로
(cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는 4_14=56 (cm)
y❸
(cid:9000) ⑴ 6 cm ⑵ 56 cm
채점 기준
❶ EH”의 길이 구하기
❷ AH”의 길이 구하기
❸ (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이 구하기
배점
40%
30%
30%
08 △ABQ™△BCR™△CDS™△DAP이므로
BQ”=CR”=8 cm
∴ AQ”="√17¤ -8¤ ='ƒ225=15 (cm)
이때 AP”=8 cm이므로 PQ”=AQ”-AP”=15-8=7 (cm)
(cid:9000) 49 cm¤
∴ (cid:8772)PQRS=7¤ =49 (cm¤ )
△JBI=;2!;_BI”_JI”=;2!;_2a_a=27이므로
a¤ =27(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=a¤ =27
19 오른쪽 그림과 같이 AC”를 그으면
△ABC에서
AC”="√5¤ +4¤ ='∂41 (cm)
△ACD에서
x="√('∂41 )¤ -('5 )¤ ='∂36=6
A
5 cm
x cm
B
4 cm
C
20 오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으면
A
△BCD에서
BD”="√7¤ +('∂15 )¤ ='∂64
BD”=8 (cm)
AB”=AD”=x cm라 하면
△ABD에서
x¤ +x¤ =64, x¤ =32(cid:100)(cid:100)∴ x=4'2 (∵ x>0)
∴ AB”=4'2 cm
B
7 cm
21 오른쪽 그림과 같이 AC”를 그으면
△ACD에서
AC”="√6¤ +4¤ ='∂52=2'∂13 (cm)
△ABC에서
AB”="√(2'∂13)¤ -(2'∂10)¤ ='∂12
AB=2'3 (cm)
∴ (cid:8772)ABCD=△ACD+△ABC
(cid:9000) ④
6 cm
D
4 cm
A
B
2'1å0 cm
C
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_4_6+;2!;_2'∂10_2'3
∴ (cid:8772)ABCD=12+2'∂30 (cm¤ )
22 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BC”
에 내린 수선의 발을 H라 하면
△DCH는 직각삼각형이고
CH”=3 cm이므로
DH”="√('∂34)¤ -3¤ ='∂25=5 (cm)
(cid:9000) (12+2'∂30) cm¤
A
3 cm
D
'3å4 cm
B
H
3 cm
C
3 cm
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(3+6)_5=:¢2∞: (cm¤ )
(cid:9000) ③
D
4
A
23 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BC”
에 내린 수선의 발을 H라 하면
△DHC는 직각삼각형이고
CH”=4이므로
DH”="√6¤ -4¤ ='∂20=2'5
△ABC에서 AC”="√8¤ +(2'5)¤ ='∂84=2'∂21
B
4
H
6
4
C
(cid:9000) ⑤
A
10 cm
D
H
H'
B
3 cm
10 cm
3 cm
9 cm
C
24 오른쪽 그림과 같이 점 A와 점 D
에서 BC”에 내린 수선의 발을 각각
H, H'이라 하면
△ABH™△DCH' (RHA 합동)
즉, BH”=CH'”=3 cm이므로
A’H”="√9¤ -3¤ ='∂72=6'2 (cm)
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(10+16)_6'2
∴ (cid:8772)ABCD=78'2 (cm¤ )
09 네 개의 직각삼각형이 모두 합동이므로
(cid:9000) ②
AD”=2'5 cm, HD”=2 cm
02. 피타고라스 정리 17
△DAH에서 A’H”="√(2'5)¤ -2¤ ='∂16=4 (cm)
이때 AE”=2 cm이므로 EH”=4-2=2 (cm)
(cid:9000) 2 cm
10 ① △ABQ에서 BQ”=1 cm이므로 AQ”="√2¤ -1¤ ='3(cm)
②, ⑤ PQ”=AQ”-AP”='3-1 (cm)이므로 (cid:8772)PQRS는
한 변의 길이가 ('3-1)cm인 정사각형이다.
(cid:100) ∴ (cid:8772)PQRS=('3-1)¤ =4-2'3 (cm¤ )
③ △ABQ=;2!;_BQ”_AQ”=;2!;_1_'3= (cm¤ )
'3
2
④ (cid:8772)ABCD=2¤ =4 (cm¤ )이므로 (cid:8772)PQRS+;4!;(cid:8772)ABCD
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
(cid:9000) ④
11 ① △ABC™△EAD (SSS 합동)이므로 ∠CAB=∠DEA
② ∠CAB+∠EAD=90˘이므로 ∠BAE=90˘
④ △BAE=;2!; c¤
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
(cid:9000) ④
12 △DBA는 ∠DBA=90˘인 직각이등변삼각형이므로
DB”=x cm라 하면
;2!;x¤ =:™2∞:, x¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
이때 DE”="√5¤ -4¤ ='9=3 (cm)이므로
(cid:8772)ADEC=;2!;_(3+4)_7=:¢2ª:(cm¤ )
(cid:9000) ⑤
13 △AED™△EBC이므로 CE”=AD”=3 cm
△BCE에서 BE”="√6¤ +3¤ ='∂45=3'5 (cm)
∴ AE”=BE”=3'5 cm
∠AEB=90˘이므로 △ABE에서
AB”="√(3'5 )¤ +(3'5 )¤ ='∂90=3'∂10 (cm)
|`다른 풀이`| △AED™△EBC이므로
CE”=AD”=3 cm, DE”=CB”=6 cm
∴ CD”=3+6=9 (cm)
오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에 내린
수선을 발을 F라 하면
BF”=6-3=3 (cm)
△ABF에서 AB”="√3¤ +9¤ ='∂90=3'∂10 (cm)
B
채점 기준
❶ AE”, BE”의 길이 구하기
❷ AB”의 길이 구하기
14 가장 긴 변의 길이는 (x+5)cm이므로
(x+5)¤ =(x-3)¤ +(x+1)¤
x¤ +10x+25=x¤ -6x+9+x¤ +2x+1
x¤ -14x-15=0, (x+1)(x-15)=0
∴ x=-1 또는 x=15(cid:100)(cid:100)∴ x=15`(∵ x>3)
15 ① 4¤ +4¤ +6¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
② 3¤ +(3'3)¤ =6¤ 이므로 직각삼각형이다.
③ 6¤ +7¤ +9¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
④ 7¤ +8¤ +14¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
⑤ 12¤ +15¤ +18¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
따라서 직각삼각형인 것은 ②이다.
y❶
y❷
(cid:9000) 3'∂10 cm
3 cm
D
A
6 cm
E
3 cm
C
F
6 cm
배점
50%
50%
(cid:9000) 15
(cid:9000) ②
18 정답 및 풀이
16 4¤ =2¤ +(2'3 )¤ 이므로 주어진 삼각형은 빗변의 길이가 4인
직각삼각형이다.
따라서 구하는 삼각형의 넓이는
;2!;_2_2'3=2'3
17 ⁄ 2x>7이면 가장 긴 변의 길이가 2x이므로
⁄ (2x)¤ =x¤ +7¤ , 3x¤ =49
7'3
3
⁄ x¤ =:¢3ª:(cid:100)(cid:100)∴ x=
{∵ ;2&;<x<7}
(cid:9000) ②
⁄ x¤ =:¢5ª:(cid:100)(cid:100)∴ x=
¤ 7>2x이면 가장 긴 변의 길이가 7이므로
⁄ 7¤ =x¤ +(2x)¤ , 49=5x¤
7'5
5
따라서 ⁄, ¤에서 직각삼각형이 되도록 하는 x의 값은
7'3
3
{∵ ;3&;<x<;2&;}
7'3
3
7'5
5
이다.
(cid:9000)
,
,
7'5
5
05THEME
1 ① - ㉡, ② - ㉠, ③ - ㉢
2 ⑴ ax ⑵ ay ⑶ xy
피타고라스 정리와 도형
33~37쪽
알고 있나요?
01 ㄱ. 4¤ >2¤ +3¤ 이므로 둔각삼각형이다.
ㄴ. 6¤ <4¤ +5¤ 이므로 예각삼각형이다.
ㄷ. 8¤ <5¤ +7¤ 이므로 예각삼각형이다.
ㄹ. 10¤ <8¤ +8¤ 이므로 예각삼각형이다.
ㅁ. ('∂39)¤ >('∂10)¤ +5¤ 이므로 둔각삼각형이다.
ㅂ. 15¤ =9¤ +12¤ 이므로 직각삼각형이다.
따라서 예각삼각형인 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.
02 7¤ >5¤ +3¤ 이므로 ∠B>90˘인 둔각삼각형이다.
03 가장 긴 변의 길이가 x이므로
8<x<8+6(cid:100)(cid:100)∴ 8<x<14(cid:100)(cid:100)yy ㉠
둔각삼각형이 되려면 6¤ +8¤ <x¤
x¤ >100(cid:100)(cid:100)∴ x>10 (cid:100)(cid:100)yy ㉡
㉠, ㉡에서 10<x<14
따라서 자연수 x는 11, 12, 13의 3개이다.
04 ⁄ x>10일 때
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
(cid:100)(cid:100)yy ㉠
삼각형이 되기 위한 조건에 의하여
10<x<18
예각삼각형이 되려면 x¤ <10¤ +8¤ , x¤ <164
∴ 0<x<2'∂41 (cid:100)(cid:100)yy ㉡
㉠, ㉡에서 10<x<2'∂41이므로 자연수 x는 11, 12이다.
¤ x<10일 때
(cid:100)(cid:100)yy ㉢
삼각형이 되기 위한 조건에 의하여
2<x<10
예각삼각형이 되려면 10¤ <x¤ +8¤ , x¤ >36
∴ x>6 (∵ x>0)(cid:100)(cid:100)yy ㉣
㉢, ㉣에서 6<x<10이므로 자연수 x는 7, 8, 9이다.
‹ x=10일 때
10¤ <10¤ +8¤ 이므로 예각삼각형이다.
따라서 예각삼각형은 모두 6개이다.
05 △ABH에서 BH”="√10¤ -8¤ =6
¤ =BH”_CH”에서
8¤ =6_CH”(cid:100)(cid:100)∴ CH”=:£3™:
AH”
x¤ =CH”_CB”=:£3™:_{:£3™:+6}=
1600
9
∴ x=:¢3º: (∵ x>0)
(cid:9000) :¢3º:
06 △CDB에서 BD”="√(4'5 )¤ -4¤ ='∂64=8 (cm)
¤ =BD”_AD”에서 4¤ =8_AD”
CD”
∴ AD”=2 cm
유형북
(cid:9000) ②
(cid:9000) 6개
x¤ -8x+12=0, (x-2)(x-6)=0
∴ x=2 또는 x=6
C’P’>AP”이므로 C’P’=6
¤ =6¤ +7¤ 이므로
15 2¤ +PC”
PC”
16 공사비는 거리에 비례하므로
¤ =81(cid:100)(cid:100)∴ PC”=9 cm (∵ PC”>0)
(cid:9000) 9 cm
¤ +OC”
O’AÚ=3a, OB”=4a, OC”=5a (a>0)라 하면
¤ +OD”
¤ =OB”
O’A”
(3a)¤ +(5a)¤ =(4a)¤ +OD”
OD”
D 도시까지의 공사비를 x억 원이라 하면
3a : 3=3'2a : x, 3x=9'2
∴ x=3'2 =3_1.4=4.2
¤ =18a¤ (cid:100)(cid:100)∴ OD”=3'2a (∵ OD”>0)
(cid:9000) 4.2억 원
∴ △ABC=;2!;_(8+2)_4=20 (cm¤ )
(cid:9000) 20 cm¤
17 AC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
07 △DBC에서 DB”="√4¤ +6¤ ='∂52=2'∂13 (cm)
;2!;_p_6¤ =18p (cm¤ )
CD”
¤ =DE”_DB”이므로
16=DE”_2'∂13(cid:100)(cid:100)∴ DE”=
8'∂13
13
cm
08 DC”
¤ =DE”
¤ +BC”
¤ +8¤ , DE”
¤ 이므로
¤ +BE”
¤ =10
7¤ +5¤ =DE”
∴ DE”='∂10 cm (∵ DE”>0)
09 △ADE에서 DE”="√1¤ +('3)¤ ='4 =2
¤ +CD”
¤ 에서
¤ +BC”
DE”
2¤ +BC”
∴ BC”
¤ =BE”
¤ =4¤ +CD”
¤ -CD”
¤ =16-4=12
10 DB”=AD”=a, BE”=EC”=b라 하면
△DBE에서 7¤ =a¤ +b¤ (cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ =49(cid:100)(cid:100)yy ㉠
△ABE에서 AE”
△DBC에서 DC”
¤ =5(a¤ +b¤ )=5_49=245 (∵ ㉠) (cid:9000) ①
∴ AE”
|`다른 풀이`| 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의
¤ =(2a)¤ +b¤ =4a¤ +b¤
¤ =a¤ +(2b)¤ =a¤ +4b¤
¤ +DC”
하여
AC”=2DE”=2_7=14
¤ +CD”
∴ AE”
¤ =DE”
¤ +BC”
¤ =AB”
¤ +DC”
5¤ +x¤ =6¤ +8¤ , x¤ =75
∴ x=5'3 (∵ x>0)
11 AD”
¤ +AC”
¤ =7¤ +14¤ =245
¤ 이므로
12 AB”
¤ =AD”
¤ +BC”
¤ +CD”
¤ =x¤ +y¤ 이므로 3¤ +6¤ =x¤ +y¤ +5¤
¤ 이고
AD”
∴ x¤ +y¤ =20
13 (cid:8772)ABCD가 등변사다리꼴이므로 AB”=CD”
AB”
2AB”
∴ AB”
¤ +CD”
¤ +BC”
¤ =AD”
¤ =('∂15)¤ +5¤ , 2AB”
¤ =20(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2'5 cm (∵ AB”>0)
¤ 에서
¤ =40
14 CP”=x라 하면 AP”=8-x
¤ +C’P’
¤ 이므로
AP”
(8-x)¤ +x¤ =(2'3)¤ +(2'7)¤
¤ +D’P’
¤ =B’P’
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
(cid:9000) 12
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
따라서 AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이가 36p cm¤ 이므로
BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
36p-18p=18p (cm¤ )
(cid:9000) ⑤
18 BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
8p+2p=10p(cm¤ )
BC”
2
;2!;p_{
}¤ =10p, BC”
¤ =80
∴ BC”=4'5 cm (∵ BC”>0)
19 (색칠한 부분의 넓이)=△ABC
(cid:9000) 4'5 cm
(색칠한 부분의 넓이)=;2!;_12_9=54 (cm¤ ) (cid:9000) 54 cm¤
20 EF”=x cm라 하면
AE”=10 cm, DF”=x cm이고 CF”=(6-x)cm
△ABE에서
BE”="√10¤ -6¤ ='∂64=8 (cm)
CE”=10-8=2 (cm)
△FEC에서 x¤ =2¤ +(6-x)¤
x¤ =4+36-12x+x¤ , 12x=40
∴ x=:¡3º:(cid:100)(cid:100)∴ EF”=:¡3º: cm
21 △QCD에서 QC”="√5¤ -4¤ =3
△ADP™△QDP (SAS 합동)이므로 PA”=PQ”
PQ”=x라 하면 PB”=4-x, BQ”=5-3=2
△PBQ에서 x¤ =(4-x)¤ +2¤
x¤ =16-8x+x¤ +4, 8x=20
∴ x=;2%;(cid:100)(cid:100)∴ PQ”=;2%;
(cid:9000) ③
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) ;2%;
채점 기준
❶ △QCD에서 QC”의 길이 구하기
❷ PA”=PQ”임을 알기
❸ 피타고라스 정리를 이용하여 PQ”의 길이
구하기
배점
30%
30%
40%
02. 피타고라스 정리 19
¤
”
”
¤
¤
22 AE”=AD”=10 cm이고
△ABE에서
BE”="√10¤ -8¤ ='∂36=6 (cm), EC”=10-6=4 (cm)
DF”=EF”=x cm라 하면 FC”=(8-x)cm
△FEC에서
x¤ =(8-x)¤ +4¤ , x¤ =x¤ -16x+80
16x=80(cid:100)(cid:100)∴ x=5
따라서 △AEF는 ∠AEF=90˘인 직각삼각형이므로
△AEF=;2!;_10_5=25 (cm¤ )
(cid:9000) 25 cm¤
23 ED”=CD”=2 cm이고, EF”=x cm라 하면
△FBD가 이등변삼각형이므로 FD”=FB”=(4-x)cm
△EFD에서 x¤ +2¤ =(4-x)¤
x¤ +4=x¤ -8x+16, 8x=12
∴ x=;2#;(cid:100)(cid:100)∴ EF”=;2#; cm
(cid:9000) ;2#; cm
24 AF”=x cm라 하면 DF”=BF”=(4-x)cm
△ABF에서 (4-x)¤ =x¤ +3¤
16-8x+x¤ =x¤ +9, 8x=7(cid:100)(cid:100)∴ x=;8&;
∴ △FBD=△ABD-△ABF
∴ △FBD=;2!;_3_4-;2!;_3_;8&;
∴ △FBD=;1&6%; (cm¤ )
25 BE”=x cm라 하면 DE”=x cm이므로 AE”=(6-x)cm
△ABE에서 x¤ =4¤ +(6-x)¤
x¤ =16+36-12x+x¤ , 12x=52(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡3£:
△DBC에서 BD”="√6¤ +4¤ ='∂52=2'∂13 (cm)이므로
BH”=;2!; BD”='∂13 (cm)
△EBH에서
EH”=æ≠{:¡3£:}¤ -('∂13)¤ =
2'∂13
3
(cm) (cid:9000)
2'∂13
3
cm
26 CF”=x cm라 하면 DF”=BF”=(25-x)cm
△DFC에서 (25-x)¤ =x¤ +15¤
625-50x+x¤ =x¤ +225, 50x=400(cid:100)(cid:100)∴ x=8
∴ △DFC=;2!;_8_15=60 (cm¤ )
(cid:9000) ①
27 점 E에서 FC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
△EFH는 직각삼각형이므로 FH”="√10¤ -8¤ ='∂36=6(cm)
△AFE가 이등변삼각형이므로
△ABF™△AD'E (RHS 합동)
D'E”=DE”=x cm라 하면 BF”=x cm
AF”=FC”=FH”+HC”=6+x (cm)
△ABF에서 (x+6)¤ =x¤ +8¤
x¤ +12x+36=x¤ +64, 12x=28(cid:100)(cid:100)∴ x=;3&;
∴ BC”=BF”+FC”=2x+6=2_;3&;+6=:£3™: (cm) (cid:9000) ①
20 정답 및 풀이
38~39쪽
E
D
b
R S
B
(cid:9000) 2
C
P
Q
a
01 오른쪽 그림과 같이 점 E, D에서 AC”에
내린 수선의 발을 각각 P, Q라 하고 AB”에
내린 수선의 발을 각각 R, S라 하자.
CP”=PQ”=QA”=a,
AR”=RS”=SB”=b로 놓으면
△DAS에서 (2'2)¤ =(2b)¤ +a¤
∴ a¤ +4b¤ =8
△EAR에서 (2'3)¤ =b¤ +(2a)¤
∴ 4a¤ +b¤ =12 yy ㉡
㉠+㉡을 하면 5a¤ +5b¤ =20(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ =4
∴ DE”="√a¤ +b¤ ='4=2
02 BC”="√8¤ +15¤ ='∂289=17
yy ㉠
A
AM”=BM”=CM”=;2!;BC”=:¡2¶:
점 G는 △ABC의 무게중심이므로
AG”=;3@;_:¡2¶:=:¡3¶:
점 M에서 AB”에 내린 수선의 발을 D라 하면
MD”=;2!;AC”=;2!;_8=4
△AGH와 △AMD는 닮음비가 2 : 3이므로
(cid:9000) ⑤
GH”=;3@; MD”=;3@;_4=;3*;
△AHG에서 AH”=æ≠{:¡3¶:}¤ -{;3*;}¤ =:¡3∞:=5
∴ △AHG=;2!;_5_;3*;=:™3º:
(cid:9000) ②
(cid:9000) ①
¤ =a¤ +a¤ =2a¤ (cid:100)(cid:100)∴ OB”='2a
03 AD”는 ∠A의 이등분선이므로
AB” : AC”=BD” : CD”=4 : 3
즉, AB”=4a, AC”=3a (a>0)라 하면
(4a)¤ =(3a)¤ +7¤ , 16a¤ =9a¤ +49
7a¤ =49, a¤ =7(cid:100)(cid:100)∴ a='7 (∵ a>0)
∴ AC”=3a=3'7
¤ =OA”
¤ =a¤ +('2a)¤ =3a¤ (cid:100)(cid:100)∴ OD”='3a
”=a라 하면
¤ +AB”
04 OA”=AB”
⁄ OB”
¤ OB”=OC”='2a이므로
⁄ OD”
‹ OD”=OE”='3a이므로
⁄ OF”
› OF”=OG”=2a이므로
⁄ OH”
OH”=20이므로 '5a=20(cid:100)(cid:100)∴ a=4'5
∴ OD”='3a='3_4'5=4'∂15
¤ =a¤ +('3a)¤ =4a¤ (cid:100)(cid:100)∴ OF”=2a
¤ =a¤ +(2a)¤ =5a¤ (cid:100)(cid:100)∴ OH”='5a
05 AB”
¤ =㈐+㈑이므로
¤ =BC”
¤ +AC”
¤ =㈎+㈏, AC”
㈎+㈏+㈐+㈑=AB”
㈎+㈏+㈐+㈑=6¤ =36 (cm¤ )
06 (cid:8772)PQRS=49 cm¤ 이므로 PQ”=7 cm
(cid:9000) 4'∂15
(cid:9000) ④
¤
△ABQ에서 BQ”=x cm, AQ”=(x+7)cm이므로
17¤ =x¤ +(x+7)¤ , x¤ +7x-120=0
(x+15)(x-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>0)
¤ =(m+2)¤ =m¤ +4m+4 yy ㉠
¤ +AC”
¤ =m¤ +(m+1)¤ =m¤ +m¤ +2m+1
=2m¤ +2m+1
yy ㉡
07 BC”
AB”
㉡-㉠을 하면
2m¤ +2m+1-(m¤ +4m+4)=m¤ -2m-3
=(m+1)(m-3)
(cid:9000) ③
이때 m-3>0이므로 (m+1)(m-3)>0
∴ BC”
따라서 ∠A는 예각이다.
¤ <AB”
¤ +AC”
(cid:9000) 예각
08 BF”=x cm라 하면 AF”=DF”=(6-x)cm, BD”=3 cm
△FDB에서 (6-x)¤ =x¤ +3¤
36-12x+x¤ =x¤ +9, 12x=27(cid:100)(cid:100)∴ x=;4(;
∴ △FDB=;2!;_3_;4(;=:™8¶: (cm¤ )
(cid:9000) :™8¶: cm¤
09 점 B'이 AD”의 중점이므로 AB'”=9
B'E”=EB”=x라 하면 AE”=18-x
△AEB'에서 x¤ =9¤ +(18-x)¤
x¤ =81+324-36x+x¤ , 36x=405
∴ x=:¢4∞:(cid:100)(cid:100)∴ B’'E”=:¢4∞:
(cid:9000) ⑤
10 연 줄기의 길이를 a자라 하면 연못
의 깊이는 (a-4)자이므로
a¤ =(a-4)¤ +8¤
4자
8자
a¤ =a¤ -8a+16+64
8a=80(cid:100)(cid:100)∴ a=10
따라서 연 줄기의 길이는 10자, 연못의 깊이는 6자이다.
(a-4)자
a자
(cid:9000) 연못의 깊이 : 6자, 연 줄기의 길이 : 10자
11 3¤ +4¤ =5¤ 이므로 △AOB는
∠A=90˘인 직각삼각형이다.
오른쪽 그림과 같이 점 A에서 OB”에
내린 수선의 발을 H라 하면 △AOB
에서
;2!; _AO”_AB”=;2!;_OB”_A’H”
y
A
3
4
O
H
5
x
B
;2!; _3_4=;2!;_5_A’H”(cid:100)(cid:100)∴ A’H”=:¡5™:
AO”
¤ =OH”_OB”에서 3¤ =OH”_5
∴ OH”=;5(;
따라서 점 A의 좌표는 {;5(;, :¡5™:}이다.
(cid:9000) {;5(;, :¡5™:}
03. 피타고라스 정리의 활용
유형북
41쪽, 43쪽
(cid:9000) 3'∂13 cm
(cid:9000) 4'2
(cid:9000) 3'2
(cid:9000) 4'3 cm
(cid:9000) 10 cm
01 (대각선의 길이)="√6¤ +9¤ ='∂117=3'∂13 (cm)
02 (대각선의 길이)="√5¤ +5¤ ='∂50=5'2 (cm) (cid:9000) 5'2 cm
03 2¤ +x¤ =6¤ , 4+x¤ =36, x¤ =32
∴ x=4'2 (∵ x>0)
04 x¤ +x¤ =6¤ , 2x¤ =36, x¤ =18
∴ x=3'2 (∵ x>0)
05 h= _4=2'3 (cm)
'3
2
'3
4
'3
2
'3
4
S= _4¤ =4'3 (cm¤ ) (cid:9000) h=2'3 cm, S=4'3 cm¤
06 h= _6=3'3 (cm)
S= _6¤ =9'3 (cm¤ ) (cid:9000) h=3'3 cm, S=9'3 cm¤
07 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면
'3
2
a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=4'3
08 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면
a¤ =25'3, a¤ =100
'3
4
∴ a=10 (∵ a>0)
09 점 H는 BC”의 중점이므로
BH”=CH”=;2!;BC”=2 cm
△ABH에서 피타고라스 정리에 의해
AH”="√6¤ -2¤ ='∂32=4'2 (cm)
(cid:9000) 4'2 cm
10 △ABC=;2!;_BC”_AH”
△ABC=;2!;_4_4'2=8'2 (cm¤ )
(cid:9000) 8'2 cm¤
11 4 : x=1 : 1이므로 x=4
4 : y=1 : '2이므로 y=4'2
12 x : 6='3 : 1이므로 x=6'3
y : 6=2 : 1이므로 y=12
13 AB” : AC”='3 : 2이므로
'6 : AC”='3 : 2, '3 AC”=2'6(cid:100)(cid:100)
∴ AC”=2'2 cm
(cid:9000) x=4, y=4'2
(cid:9000) x=6'3, y=12
(cid:9000) 2'2 cm
(cid:9000) 4 cm
(cid:9000) '∂13
(cid:9000) 2'5
(cid:9000) '∂13
03. 피타고라스 정리의 활용 21
12 오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으면
b
a
㉠+㉡=
㉢+㉣=
따라서 색칠한 부분의 넓이는
+ =3_6=18 (cm¤ )
a
b
A
㉡
D
14 AC” : AD”=1 : '2이므로 2'2 : AD”=1 : '2
㉠
㉢
a
b
B
㉣
C
(cid:9000) ⑤
∴ AD”=4 cm
15 AB”="√(2-0)¤ +(3-0)¤ ='∂13
16 CD”="√{3-(-1)}¤ +(3√-5)¤ ='∂20=2'5
17 AB”="√{(-3)-(-1)}¤ +√(1-4)¤ ='∂13
¤
18 BC”="√{2-(-3)}¤ +√(2-1)¤ ='∂26
(cid:9000) '∂26
19 CA”="√{2-(-1)}¤ +√(2-4)¤ ='∂13
¤ =BC”
¤ +CA”
이등변삼각형이다.
(cid:9000) '∂13
¤ 이고 AB”=CA”이므로 △ABC는 직각
20 AB”
(cid:9000) ∠A=90˘이고 AB”=AC”인 직각이등변삼각형
21 (대각선의 길이)="√4¤ +8¤ +10¤ ='∂180
06THEME
1
3
"√a¤ +b¤
'3
2
a,
'3
4
a¤
44~57쪽
피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 ⑴
44~47쪽
알고 있나요?
2
'2 a
22 (대각선의 길이)="√3¤ +3¤ +3¤ ='∂27
01 가로와 세로의 길이를 각각 2a cm, 3a cm (a>0)라 하면
'3
26 △BCD= _6¤ =9'3 (cm¤ )
4
(cid:9000) 9'3 cm¤
'2x=15(cid:100)(cid:100)∴ x=
15'2
2
27 (부피)=;3!;_9'3_2'6=18'2 (cm‹ )
(cid:9000) 18'2 cm‹
∴ (정사각형의 둘레의 길이)=4_
=30'2 (cm)
=6'5 (cm)
=3'3 (cm)
(cid:9000) 6'5 cm
(cid:9000) 3'3 cm
(cid:9000) 3'3 cm
23 DM” = _6=3'3 (cm)
'3
2
24 점 H는 △BCD의 무게중심이므로
DH”=;3@;DM”=;3@;_3'3=2'3 (cm)
(cid:9000) 2'3 cm
25 △AHD에서
AH”="√6¤ -(2'3)¤ ='∂24=2'6 (cm)
(cid:9000) 2'6 cm
28 BD”="√6¤ +6¤ ='∂72=6'2 (cm)
(cid:9000) 6'2 cm
29 점 H는 BD”의 중점이므로
BH”
”=;2!;BD”=;2!;_6'2=3'2 (cm)
(cid:9000) 3'2 cm
30 △OBH에서
OH”="√9¤ -(3'2)¤ ='∂63=3'7 (cm)
31 (cid:8772)ABCD=6_6=36 (cm¤ )
(cid:9000) 3'7 cm
(cid:9000) 36 cm¤
32 (부피)=;3!;_36_3'7=36'7 (cm‹ )
(cid:9000) 36'7 cm‹
33 원뿔의 높이를 h cm라 하면
34 (부피)=;3!;_p_10¤ _5'5
(부피)=
500'5
3
p (cm‹ )
(cid:9000)
500'5
3
p cm‹
D H
3
5
C
2
G
(최단 거리)=BH”
(최단 거리)="√7¤ +3¤
(최단 거리)='∂58
(cid:9000) 3, 5, 2, 7, '∂58
(최단 거리)=AB'”
(최단 거리)="√(6p)¤ +(5p)¤
(최단 거리)='∂61p
B'
5p
A'
35
A
36
B
B
A
22 정답 및 풀이
3'∂13="√(2a)¤ +(3a)¤ , 13a¤ =117, a¤ =9
∴ a=3 (∵ a>0)
따라서 가로의 길이는 2_3=6 (cm)
02 8¤ +a¤ =11¤ , a¤ =121-64=57
b¤ =5¤ +5¤ =50
∴ a¤ +b¤ =57+50=107
(cid:9000) 6 cm
(cid:9000) ④
03 정사각형의 대각선이 원의 중심을 지나야 하므로
(정사각형의 대각선의 길이)=(원의 지름의 길이)=15 cm
정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
15'2
2
(cid:9000) 30'2 cm
04 정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면
AB”="√(3x)¤ +x¤ =2'5에서
'∂10x=2'5(cid:100)(cid:100)∴ x='2
따라서 정사각형의 한 변의 길이는 '2이다.
(cid:9000) '2
05 가장 큰 나무판은 (정사각형 모양의 나무판의 한 변의 길이)
=(직사각형 모양의 문의 대각선의 길이)일 때이므로
직사각형 모양의 문의 대각선의 길이를 x m라 하면
x="√1¤ +2¤ ='5
06 BD”="√8¤ +6¤ =10 (cm)
(cid:9000) '5 m
AB”_AD”=BD”_AH”이므로 6_8=10_AH”
(cid:9000) :™5¢: cm
x-2y-6=0
A
6
x
07 직선 x-2y-6=0에서 x절편
이 6, y절편이 -3이므로
A(6, 0), B(0, -3)
AB”="√6¤ +3¤ ='∂45=3'5
O’AÚ_OB”=AB”_OH”이므로
y
O
B
H
-3
6_3=3'5_OH”(cid:100)(cid:100)∴ OH”=
(cid:9000) ③
6'5
5
08 직각삼각형 ABD에서 BD”="√12¤ +9¤ =15
AB”
¤ =BP”_BD”이므로 9¤ =BP”_15(cid:100)(cid:100)∴ BP”=:™5¶:
△ABP™△CDQ (RHA 합동)이므로 DQ”=BP”=:™5¶:
6p
(cid:9000) 5p, 6p, 6p, '∂61p
∴ PQ”=15-(BP”+DQ”)=15-:∞5¢:=:™5¡:
(cid:9000) :™5¡:
h="√15¤ -10¤ ='∂125=5'5 (cm)
(cid:9000) 5'5 cm
∴ AH”=:™5¢: cm
”
”
”
11 △ABC, △AED, △AGF의 한 변의 길이를 각각 a cm,
09 정삼각형 ABC에서 AD”= _'3=;2#;
'3
2
AD”는 정삼각형 ADE의 한 변이므로
△ADE= _{;2#;}2 = _;4(;=
'3
4
'3
4
9'3
16
10 CD”=a라 하면
'2a=4'2(cid:100)(cid:100)∴ a=4
'3
∴ △CED= _4¤ =4'3
4
b cm, c cm라 하면
'3
△AGF= c¤ =9'3
4
AF”= b=6(cid:100)(cid:100)∴ b=4'3
c¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ c=6
'3
2
'3
2
AD”= a=4'3(cid:100)(cid:100)∴ a=8
따라서 △ABC의 한 변의 길이는 8 cm이다.
채점 기준
❶ △AGF의 한 변의 길이 구하기
❷ △AED의 한 변의 길이 구하기
❸ △ABC의 한 변의 길이 구하기
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 4'3
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 8 cm
배점
40%
30%
30%
12 AG” : GH”=2 : 1, 4 : GH”=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ GH”=2
AH”=4+2=6이므로
△ABC의 한 변의 길이를 a라 하면
'3
2
a=6에서 a=4'3
∴ △ABC= _(4'3)¤ =12'3
(cid:9000) ①
이므로
r=(정삼각형의 높이)_;3@;
r= x_;3@;= x
'3
2
'3
3
'3
4
'3
4
'3
4
14 BE”=EC”=CF”=;2!;_12=6 (cm)
∠GEC=∠GCE=60˘이므로 △GEC는 한 변의 길이가
6 cm인 정삼각형이다.
∴ △GEC= _6¤ =9'3 (cm¤ )
∴ △ABC= _12¤ =36'3 (cm¤ )
따라서 색칠한 부분의 넓이는
2△ABC-△GEC=2_36'3-9'3
=63'3 (cm¤ )
(cid:9000) ④
유형북
a cm
10'3 cm
15 정육각형은 오른쪽 그림과 같이 작은
정삼각형 6개로 나눌 수 있다. 작은
정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라
하면
'3
2
a=5'3(cid:100)(cid:100)∴ a=10
∴ (정육각형의 넓이)=6_{ _10¤ }
'3
4
∴ (정육각형의 넓이)=150'3 (cm¤ )
16 정육각형은 오른쪽 그림과 같이 작은 정삼
각형 6개로 나눌 수 있다. 작은 정삼각형의
한 변의 길이가 6 cm이므로
'3
4
(정육각형의 넓이)=6_{ _6¤ }
(정육면체의 넓이)=54'3 (cm¤ )
17 BD”를 그으면 △ABD와 △BCD는
정삼각형이다.
마름모의 한 변의 길이를 a cm라 하
면
(cid:8772)ABCD=2△ABD
'3
4
a¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ a=6
따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는
4_6=24 (cm)
(cid:8772)ABCD=2_{ _a¤ }=18'3
12 cm
a cm
A 60˘
60˘
60˘
D
B
(cid:9000) ②
(cid:9000) ②
C
(cid:9000) ③
18 오른쪽 그림과 같이 △ABC를 그
리고 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수
선의 발을 H라 하면 △ABH에서
A’HÚ="√4¤ -3¤ ='7 (cm)
A
4 cm
4 cm
B
3 cm
H
6 cm
C
∴ △ABC=;2!;_6_'7
∴ △ABC=3'7 (cm¤ )
(cid:9000) 3'7 cm¤
r
x
O
19 △ABH에서
BH”="√8¤ -6¤ ='∂28=2'7 (cm)이므로
BC”=2BH”=2_2'7=4'7 (cm)
(cid:9000) ②
∴ △ABC=;2!; _4'7_6=12'7 (cm¤ )
(cid:9000) ①
20 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
△ABC=60 cm¤ 이므로
A
;2!;_10_AH”=60에서
AH”=12 cm
y❶
B
C
H
10 m
△ABH에서 BH”=;2!;BC”=5 (cm)이므로
AB”="√12¤ +5¤ ='∂169=13 (cm)
∴ (△ABC의 둘레의 길이)
(cid:100) =2AB”+BC”=2_13+10=36 (cm)
y❷
y❸
(cid:9000) 36 cm
03. 피타고라스 정리의 활용 23
13 점 O는 정삼각형의 외심이면서 무게중심
이등변삼각형의 꼭짓점에서 밑변에 내린 수선은 밑변을 수직이등분한다.
채점 기준
❶ △ABC의 높이 구하기
❷ AB”의 길이 구하기
❸ △ABC의 둘레의 길이 구하기
배점
40%
40%
20%
A
5 cm
9 cm
x cm
21 오른쪽 그림과 같이 △ABC를
그리고 꼭짓점 A에서 BC”에
내린 수선의 발을 D라 하고
BD”=x cm라 하면
CD”=(8-x) cm
직각삼각형 ABD와 ADC에서 AD”는 두 직각삼각형의 공통
인 변이므로 피타고라스 정리에 의해
¤ =9¤ -(8-x)¤
AD”
25-x¤ =81-(64-16x+x¤ ), 16x=8
¤ =5¤ -x¤ , AD”
8 cm
D
B
C
∴ x=;2!;
AD”
¤ =5¤ -{;2!;}2 =:ª4ª:이므로
AD”=
3'∂11
2
cm (∵ AD”>0)
∴ (넓이)=;2!;_8_
=6'∂11 (cm¤ )
(cid:9000) ⑤
3'∂11
2
22 점 M이 BC”의 중점이므로
BM”=CM”=3
MH”=x라 하면 HC”=3-x
A’HÚ는 두 직각삼각형 ABH와 AHC
의 공통인 변이므로 피타고라스 정리
A
5
3
7
3
B
x
M H
C
3-x
6
¤ =5¤ -(3-x)¤
¤ =7¤ -(3+x)¤ , A’HÚ
에 의해
A’HÚ
49-(9+6x+x¤ )=25-(9-6x+x¤ )
12x=24(cid:100)(cid:100)∴ x=2
A’HÚ
따라서 △AMH에서
AM” ="√(2'6 )¤ +2¤ ='∂28=2'7
¤ =25-1=24이므로 A’HÚ=2'6 (∵ AH”>0)
(cid:9000) ⑤
A
15 m
23 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A
에서 BC”에 내린 수선의 발을 D
라 하고 BD”=x m라 하면
CD”=(14-x) m
AD”는 두 직각삼각형 ABD와
ACD의 공통인 변이므로 피타고라스 정리에 의해
AD”
225-x¤ =169-(196-28x+x¤ )
28x=252(cid:100)(cid:100)∴ x=9
AD”
¤ =15¤ -x¤ , AD”
¤ =13¤ -(14-x)¤
D
14 m
x m
B
¤ =225-81=144이므로 AD”=12 m (∵ AD”>0)
13 m
C
(14-x) m
∴ △ABC=;2!;_14_12=84 (m¤ )
따라서 정원에 잔디를 모두 심는 데 드는 비용은
84_10000=840000(원)
(cid:9000) 840000원
24 정답 및 풀이
07THEME
1
2
'2, 1, 2, '3
"√(x™-x¡)¤ +(y™-√y¡)¤
피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 ⑵
48~51쪽
알고 있나요?
” : BC”=2 : 1 : '3이고
01 △ABC에서 AC” : AB”
AB”
”=8이므로 AC”=16
△ACD에서 CD” : AC”
x：16=1 : '2, '2x=16
∴ x=8'2
02 AC” : BC”
” : AB”=2 : 1 : '3이고
AC”=6이므로 y=3, x=3'3(cid:100)(cid:100)
”=1 : '2이므로
∴ ;]{;=
='3
3'3
3
03 △BCD에서 BC” : CD”='3 : 1이고 CD”=6이므로
BC” : 6='3 : 1
∴ BC”=6'3
△ABC에서 AB” : BC”=1 : '2이므로
AB” : 6'3=1 : '2
∴ AB”=3'6
(cid:9000) ④
(cid:9000) '3
(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)
(cid:9000) 3'6
”=2 : 1 : '3이고
” : AH”
” : BH”
”=4 cm이므로
04 AB”
AB”
BH”=2 cm, AH”=2'3 cm
△ACH에서 AH”
이므로
BC”=2+2'3=2(1+'3)cm
4 cm
A
H
”=CH”=2'3 cm
B
60˘
45˘
C
∴ △ABC=;2!;_2(1+'3)_2'3=2('3+3)(cm¤ )
(cid:9000) 2('3+3) cm¤
” : AC”
”=2 : 1 : '3이고
”=4 cm, AC”=4'3 cm
05 △ABC에서 BC” : AB”
BC”=8 cm이므로
AB”
△ACD에서
CD” : AD”
AD”=CD”=2'6 cm
∴ ((cid:8772)ABCD의 둘레의 길이)=AB”+BC”+CD”+AD”
∴ ((cid:8772)ABCD의 둘레의 길이)=4+8+2'6+2'6
∴ ((cid:8772)ABCD의 둘레의 길이)=12+4'6
”=1 : 1 : '2이므로
” : AC”
=4(3+'6)(cm)
(cid:9000) 4(3+'6)cm
06 직각삼각형 ABC에서
AB” : AC” : BC”=1 : '3 : 2이므로
AB”=5 cm, AC”=5'3 cm
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서
AC”에 내린 수선의 발을 E라 하면
△DEC에서 DE” : DC”=1 : 2이
므로
DE” : 6=1 : 2(cid:100)(cid:100)∴ DE”=3 cm
3 cm
D
A
30˘
E
6 cm
C
60˘
B
10 cm
”
”
”
∴ (cid:8772)ABCD=△ABC+△DAC
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_5_5'3+;2!;_5'3 _3
(cid:9000) ③
A
4'3
D
∴ (cid:8772)ABCD=20'3 (cm¤ )
07 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
”에 내린 수선의 발을 H라 하면
6
C
B
H
60˘
”=2 : '3이므로
”=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ AH”=3'3
BC”
△ABH에서
” : AH”
AB”
6 : AH”
∴ (cid:8772)ABCD=4'3_3'3=36
08 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서
BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
△DHC에서
DH” : HC” : DC”='3 : 1 : 2이므로
HC”=4 cm, DH”=4'3 cm
AD”=BH”=10-4=6(cm), AB”=DH”=4'3 cm y❶
(cid:9000) 36
10 cm
H 60˘
8 cm
A
D
B
C
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(AD”+BC”)_AB”
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(6+10)_4'3=32'3 (cm¤ ) y❷
채점 기준
❶ AD”, AB”의 길이 구하기
❷ (cid:8772)ABCD의 넓이 구하기
(cid:9000) 32'3cm¤
배점
60%
40%
C
'3x m
09 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서
AB”에 내린 수선의 발을 D라 하고
B’DÚ=x m라 하면 △CDB에서
BD” : CD”=1 : '3이므로
x : CD”=1 : '3(cid:100)
∴ CD”='3x m(cid:100)
△ADC에서 AD”=CD”='3x m
AB”=AD”+BD”이므로
'3x+x=20, ('3+1)x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=10('3-1)
∴ CD”='3x=10'3('3-1)=(30-10'3) (m) (cid:9000) ①
45˘
'3x m
D
20 m
B
x m
60˘
A
10 △AOH에서 OH” : AH” : O’AÚ=1 : 1 : '2이므로
6 : AH” : O’AÚ=1 : 1 : '2에서
AH”=6 cm, OA”=6'2 cm
따라서 색칠한 부분의 넓이는
p_(6'2)¤ _ -;2!;_6_6=9p-18(cm¤ )
45
360
11 정팔각형의 한 외각의 크기는
360˘
8
=45˘
잘라 낸 한 귀퉁이는 오른쪽 그림과 같
고 AC”=x cm라 하면
'2x=4(cid:100)(cid:100)∴ x=2'2
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는
4+2x=4+4'2=4(1+'2 ) (cm)
(cid:9000) (9p-18)cm¤
x cm
A
C
45˘
4 cm
x cm
B
(cid:9000) ⑤
유형북
(cid:9000) 2
(cid:9000) ⑤
12 AB”="√(3-1)¤ +(t-1)¤ ='5
양변을 제곱하면 4+(t-1)¤ =5, (t-1)¤ =1
t-1=—1(cid:100)(cid:100)∴ t=0 또는 t=2
따라서 점 A가 제1사분면 위의 점이므로 t=2
13 ① PA” ="√{-2-(-6)}¤ +(3√-1)¤ ='∂20=2'5
② PB”="√{-2-(-4)}¤ +(3√-6)¤ ='∂13
③ PC”="√(-2-1)¤ +3¤ ='∂18=3'2
④ PD”="√(-2-2)¤ +(3-2)¤ ='∂17
⑤ PE”="√(-2-3)¤ +(3-4)¤ ='∂26
따라서 점 E가 점 P에서 가장 멀리 떨어져 있다.
14 AB”="√(-3-4)¤ +(6-2)¤ ='∂65
AC”="√(-3-a)¤ +{6-(√-1)}¤ ="√
¤ 이므로
AB”=AC”에서 AB”
a¤ +6a+58=65, a¤ +6a-7=0
(a+7)(a-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=1 (∵ a>0)
¤ =AC”
√a¤ +6a+58
15 P(a, 0)이라 하면 AP”=BP”, 즉 AP”
¤ =BP”
{a-(-2)}¤ +(0-1)¤ =(a-3)¤ +(0-4)¤
a¤ +4a+4+1=a¤ -6a+9+16
10a=20(cid:100)(cid:100)∴ a=2
∴ P(2, 0)
(cid:9000) 1
¤ 이므로
(cid:9000) P(2, 0)
16 AB”="√(4-1)¤ +(0-2)¤ ='∂13
BC”="√(3-4)¤ +(5-0)¤ ='∂26
CA”="√(3-1)¤ +(5-2)¤ ='∂13
BC”
∠A=90˘인 직각이등변삼각형이다.
¤ =AB”
¤ +CA”
¤ 이고, AB”=CA”이므로 △ABC는
(cid:9000) ②
17 ⑴ AB”="√(5-2)¤ +{3-(-√3)}¤ ='∂45=3'5
BC”="√(-6-5)¤ +√(1-3)¤ ='∂125=5'5
CA”="√(-6-2)¤ +{1√-(-3)}¤ ='∂80=4'5 y❶
¤ 이므로 △ABC는 BC”를 빗변으로
y❷
(cid:9000) ⑴ AB”=3'5, BC”=5'5, CA”=4'5
⑵ BC”를 빗변으로 하는 직각삼각형
하는 직각삼각형이다.
¤ =AB”
¤ +CA”
⑵ BC”
채점 기준
❶ AB”, BC”, CA”의 길이 구하기
❷ △ABC가 어떤 삼각형인지 알기
배점
60%
40%
18 AB”="√{-1-(-3)}¤ +(√-3-3)¤ ='∂40
BC”="√{3-(-1)}¤ +{a-(√-3)}¤ ="√16+(a+3)¤
CA”="√(-3-3)¤ +(3-a)¤ ="√36+(3-a)¤
¤ 이므로
BC”
16+(a+3)¤ =40+36+(3-a)¤
¤ =AB”
¤ +CA”
a¤ +6a+25=a¤ -6a+85
12a=60(cid:100)(cid:100)∴ a=5
19 y=x¤ +2x-2=(x+1)¤ -3
이므로 꼭짓점 P의 좌표는 (-1, -3)
y=x¤ +2x-2에 x=0을 대입하면 y=-2
∴ Q(0, -2)
∴ PQ”="√(-1-0)¤ +{√-3-(-2)}¤ ='2
(cid:9000) 5
(cid:9000) ②
03. 피타고라스 정리의 활용 25
20 y=-x¤ +4x-4=-(x-2)¤
03 AD”=a라 하면 주어진 직육면체의 대각선의 길이가 3'6이
(cid:9000) '5
(cid:9000) ③
B'
B
x
(cid:9000) ④
D
7 cm
B
(cid:9000) ②
21 이차함수 y=x¤ 의 그래프와 직선 y=x+6의 그래프의 교점
이므로 꼭짓점의 좌표는 (2, 0)
따라서 두 점 (2, 0), (1, 2) 사이의 거리는
"√(2-1)¤ +(0-2)¤ ='5
의 x좌표는 x¤ =x+6에서 x¤ -x-6=0
(x+2)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=3
x=-2일 때 y=4, x=3일 때 y=9이므로
A(-2, 4), B(3, 9)
∴ AB”="√{3-(-2)}¤ +(√9-4)¤ ='∂50=5'2
P
2
y
O
-2
A
-4
C
5 cm
A
C'
P
16 cm
y
O
A(2, 1)
P
B(5, 3)
x
22 오른쪽 그림과 같이 점 B를 x축에
대하여 대칭이동한 점을 B'이라 하
면 B'(5, 1)이므로
AP”+BP”=AP”+B'P”
AP”+BP”æAB'”
AP”+BP”="√(5-1)¤ +{1-(√-3)}¤
AP”+BP”='∂32=4'2
즉, 최솟값은 4'2이다.
23 오른쪽 그림과 같이 점 C를
AB”에 대하여 대칭이동한 점을
C'이라 하면
CP”+DP”=C'P”+DP”
CP”+DP”æC'D”
CP”+DP”="√16¤ +12¤ =20
즉, 최솟값은 20 cm이다.
24 점 A, B를 좌표평면 위에 나
타내면 오른쪽 그림과 같다. 점
B를 x축에 대하여 대칭이동한
점을 B'이라 하면 B'(5, -3)
AP”+BP”
=AP”+B'P”
æAB'”
="√(5-2)¤ +(-3-1)¤ ='∂25=5
즉, 최솟값은 5이다.
08THEME
1 무게중심
알고 있나요?
2 두 대각선의 교점
01 대각선의 길이를 l이라 하면
l="√2¤ +3¤ +6¤ ='∂49=7(cm)
02 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
(cid:9000) 7 cm
'3a=3'3(cid:100)(cid:100)∴ a=3
∴ (정육면체의 겉넓이)=6a¤
=6_3¤ =54 (cm¤ )
(cid:9000) 54 cm¤
26 정답 및 풀이
(cid:9000) ②
6 cm
D
H
E
B
C
(cid:9000) ⑴ 2'6 cm ⑵ 18'2 cm‹
므로
"√a¤ +3¤ +6¤ =3'6
a¤ +45=54, a¤ =9(cid:100)(cid:100)∴ a=3 (∵ a>0)
AC”="√3¤ +3¤ =3'2이므로
(cid:8772)AEGC=3'2_6=18'2
04 ⑴ DH”의 연장선이 BC”와 만나는 점을
E라 하면
'3
2
DE”= _6=3'3 (cm)
점 H는 △DBC의 무게중심이므로
DH”=;3@;DE”=;3@;_3'3=2'3 (cm)
△AHD에서
A’HÚ="√6¤ -(2'3)¤ ='∂24=2'6 (cm)
⑵ △BCD= _6¤ =9'3 (cm¤ )
'3
4
(cid:100) ∴ (부피)=;3!;_9'3_2'6=18'2 (cm‹ )
05 CM”= _12=6'3 (cm)
'3
2
점 H는 △ABC의 무게중심이므로
MH”=;3!; CM”=;3!;_6'3=2'3 (cm)
OM”=CM”=6'3 cm
△OMH에서
OH”="√(6'3)¤ -(2'3)¤ ='∂96=4'6 (cm)
∴ △OMH=;2!;_MH”_OH”
∴ △OMH=;2!;_2'3_4'6=12'2 (cm¤ )
(cid:9000) ②
B'(5, -3)
'3
06 ① DM”= _12=6'3 (cm)
2
(cid:9000) 5
③ △AHD에서
② DH”=;3@; DM”=;3@;_6'3=4'3 (cm)
A’HÚ="√12¤ -(4'3)¤ ='∂96=4'6 (cm)
④ △BCD= _12¤ =36'3 (cm¤ )
'3
4
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
07 전개도를 접었을 때 만들어지는 정사면
체는 오른쪽 그림과 같으므로 정사면체
의 부피는
'2
12
_3‹ =
9'2
4
(cm‹ )
A
F(D, E)
(cid:9000) ④
3 cm
C
B
9'2
4
(cid:9000)
cm‹
피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 ⑴
52~54쪽
⑤ (부피)=;3!;_36'3_4'6=144'2 (cm‹ )
08 정사면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
DE”= a
'3
2
점 H는 △BCD의 무게중심이므로
'3
DH”=;3@;DE”=;3@;_ a= a
3
¤ +DH”
△AHD에서 AD”
'3
3
a¤ =(2'6)¤ +{
'3
2
¤ =AH”
a}¤
, a¤ =24+;3!;a¤
¤ 이므로
;3@;a¤ =24, a¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ a=6 (∵ a>0)
따라서 정사면체의 부피는
'2
12
_6‹ =18'2
09 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 O에서 밑
면에 내린 수선의 발을 H라 하면
BD”="√6¤ +6¤ =6'2 (cm)
DH”=;2!;BD”=;2!;_6'2=3'2 (cm)
△OHD에서
OH”="√9¤ -(3'2)¤ ='∂63=3'7 (cm)
따라서 정사각뿔의 부피는
;3!;_6¤ _3'7=36'7 (cm‹ )
(cid:9000) 36'7 cm‹
10 ⑴ 정삼각형 VAB의 한 변의 길이를 x cm라 하면
넓이가 18'3 cm¤ 이므로
'3
4
∴ x=6'2 (∵ x>0)
x¤ =18'3, x¤ =72
각선이므로
AC”='2_6'2=12 (cm)
y❶
⑵ AC”는 한 변의 길이가 6'2 cm인 정사각형 ABCD의 대
∴ CH”=;2!;AC”=;2!;_12=6 (cm)
y❷
⑶ △VHC에서
VH”="√(6'2)¤ -6¤ ='∂36=6 (cm)
y❸
(cid:9000) ⑴ 6'2 cm ⑵ 6 cm ⑶ 6 cm
채점 기준
❶ 정삼각형 VAB의 넓이에서 한 모서리의
❷ (cid:8772)ABCD의 대각선의 길이에서 CH”의
길이 구하기
길이 구하기
❸ △VHC에서 피타고라스 정리에 의해
VH”의 길이 구하기
배점
30%
40%
30%
11 전개도로 만들어지는 정사각뿔은
오른쪽 그림과 같다.
AC”는 정사각형 ABCD의 대각
선이므로 AC”=4'2 cm
D
4 cm
4 cm
C
O
H
A
4 cm
B
∴ CH”=;2!;AC”=;2!;_4'2=2'2 (cm)
△OHC에서 OH”="√4¤ -(2'2)¤ ='8=2'2 (cm)
따라서 정사각뿔의 부피는
;3!;_4¤ _2'2=
32'2
3
(cm‹ )
12 피타고라스 정리에 의해
(x+2)¤ =x¤ +4¤
x¤ +4x+4=x¤ +16
4x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=3
따라서 원뿔의 부피는
;3!;_p_4¤ _3=16p
(cid:9000) ①
9 cm
D
6 cm
O
A
H
B
C
13 ⑴ μAB=2p_12_
=6p
90
360
밑면의 반지름의 길이를 r라 하면
6p=2pr
∴ r=3
y❶
⑵ 전개도로 만든 원뿔은 오른쪽 그림과 같다.
(cid:100) △OAH는 직각삼각형이므로 피타고라스
유형북
(cid:9000)
32'2
3
cm‹
x+2
x
4
O
12
A
(cid:9000) 16p
B
r
O
정리에 의하여
OH”="√12¤ -3¤ ='∂135=3'∂15
y❷
H
⑶ (부피)=;3!;_p_3¤ _3'∂15=9'∂15p
y❸
(cid:9000) ⑴ 3 ⑵ 3'∂15 ⑶ 9'∂15p
채점 기준
❶ 밑면의 반지름의 길이 구하기
❷ 원뿔의 높이 구하기
❸ 원뿔의 부피 구하기
12
A
3
배점
30%
30%
40%
O
3 cm
A
H
D
C
14 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에
4'5 cm
B
9 cm
내린 수선의 발을 H라 하면
△ABH에서
AH”="√(4'5)¤ -6¤ ='∂44
AH”=2'∂11 (cm)
DC”=AH”=2'∂11 cm
OD”=x cm라 하면
3 : 9=x : (x+2'∂11)이므로
9x=3x+6'∂11(cid:100)(cid:100)∴ x='∂11
따라서 잘라 낸 원뿔의 높이는 '∂11 cm이다.
(cid:9000) '∂11 cm
15 ㉠의 밑면의 반지름의 길이를 r¡이라 하면
2pr¡=2p_15_ (cid:100)(cid:100)∴ r¡=10
240
360
a="√15¤ -10¤ ='∂125=5'5
㉡의 밑면의 반지름의 길이를 r™라 하면
120
360
2pr™=2p_15_ (cid:100)(cid:100)∴ r™=5
b="√15¤ -5¤ ='∂200=10'2
∴ ;bA;=
5'5
10'2
=
'∂10
4
(cid:9000) ①
03. 피타고라스 정리의 활용 27
16 구의 반지름의 길이는 8-3=5 (cm)
r cm
구를 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면은
원이므로 원의 반지름의 길이를 r cm라
하면
r="√5¤ -3¤ ='∂16=4
5 cm
3 cm
O
따라서 구하는 단면의 넓이는
p_4¤ =16p (cm¤ )
17 △OBH에서
BH”="√4¤ -2¤ ='∂12=2'3(cm)
AH”=AO”+OH”=4+2=6(cm)
따라서 구하는 원뿔의 부피는
;3!;_p_(2'3)¤ _6=24p (cm‹ )
(cid:9000) 24p cm‹
09THEME
1
A
B
F
D
C
G
피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 ⑵
55~57쪽
알고 있나요?
2
G
A
G'
A'
01 △BCD를 밑면으로 하고 높이를 CG”로 하는 삼각뿔
G-BCD의 부피는
;3!;_{;2!;_10_10}_10=:∞;3);º: (cm‹ )
이때 △BGD의 한 변의 길이는 10'2 cm이므로
△BGD= _(10'2)¤ =50'3 (cm¤ )
'3
4
;3!;_50'3_CI”=:∞;3);º:이므로
10
CI”= =
'3
10'3
3
02 ⑴ AG”="√6¤ +8¤ +10¤ =10'2 (cm)
(cm)
⑵ EG”="√6¤ +8¤ =10 (cm)
⑶ △AEG에서 AE”_EG”=AG”_EM”
(cid:100) 10_10=10'2_EM”에서 EM”=5'2 cm
(cid:9000) ⑴ 10'2cm ⑵ 10 cm ⑶ 5'2 cm
(cid:9000)
10'3
3
cm
y❶
y❷
y❸
배점
30%
30%
40%
채점 기준
❶ AG”의 길이 구하기
❷ EG”의 길이 구하기
❸ EM”의 길이 구하기
03 △ADE에서
AE”="√8¤ +6¤ ='∂100=10 (cm)
△ACF에서
AF”="√(6'2)¤ +8¤ ='∂136=2'∂34 (cm)
¤ +EF”
¤ =AE”
이때 AF”
직각삼각형이다.
28 정답 및 풀이
∴ △AEF=;2!;_AE”_EF”=;2!;_10_6=30 (cm¤ )
(cid:9000) 30 cm¤
04 MF”=FN”=ND”=MD”="√8¤ +4¤ ='∂80=4'5 (cm)이므로
(cid:8772)MFND는 네 변의 길이가 모두 4'5 cm인 마름모이다.
FD”='3_8=8'3 (cm)
MN”='2_8=8'2 (cm)
∴ (cid:8772)MFND=;2!;_8'3_8'2=32'6 (cm¤ )
(cid:9000) ②
(cid:9000) ②
05 FQ”를 그으면 △FGQ에서
FQ”="√4¤ +2¤ ='∂20=2'5 (cm)
△PFQ에서 PQ”="√2¤ +(2'5)¤ ='∂24=2'6 (cm)
△APR, △RDQ에서 PR”=QR”=PQ”=2'6 cm
따라서 △PQR는 한 변의 길이가 2'6 cm인 정삼각형이므로
△PQR= _(2'6)¤ =6'3 (cm¤ )
(cid:9000) 6'3 cm¤
'3
4
06 AP”, PD”를 그으면 △ABC에서
AP”= _8=4'3 (cm)
△BCD에서
PD”= _8=4'3 (cm)
'3
2
'3
2
A
8 cm
Q
B
D
P
C
즉, △PDA는 PA”=PD”인 이등변삼각형이고
PQ”⊥AD”이므로
PQ”="√(4'3)¤ -4¤ ='∂32=4'2(cm)
(cid:9000) 4'2 cm
'3
07 BM”=CM”= _6=3'3(cm)
2
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 M에서
BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
△MBH에서
MH”="√(3'3)¤ -3¤ ='∂18
MH=3'2 (cm)
M
H
3'3 cm
3'3 cm
B
C
∴ △MBC=;2!;_6_3'2=9'2 (cm¤ )
08 ⑴ EB”=FA”= _4=2'3 (cm)
'3
2
⑵ OF”=;2!; OD”, OE”=;2!;OC”이므로
(cid:100) EF”=;2!; DC”=;2!;_4=2 (cm)
(cid:9000) ③
y❶
y❷
⑶ (cid:8772)FABE는 등변사다리꼴이므로 오
른쪽 그림과 같이 점 F, E에서 AB”
에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라
하면 △FAH™△EBH'(RHA 합동)
2 cm
E
F
H
A
H'
4 cm
B
(cid:100) 이므로
¤ 이므로 △AEF는 ∠AEF=90˘인
(cid:100) A’HÚ=;2!;_(4-2)=1 (cm)
(cid:100) △FAH에서 FH”="√(2'3)¤ -1¤ ='∂11 (cm)
y❸
(cid:100) ∴ (cid:8772)FABE=;2!;_(2+4)_'∂11=3'∂11 (cm¤ ) y❹
(cid:9000) ⑴ 2'3 cm ⑵ 2 cm ⑶ 3'∂11 cm¤
15 AE”= _8=4'3 (cm)
'3
2
채점 기준
❶ EB”의 길이 구하기
❷ EF”의 길이 구하기
❸ (cid:8772)FABE의 높이 구하기
E
A
❹ (cid:8772)FABE의 넓이 구하기
09 선이 지나는 부분의 전개도
는 오른쪽 그림과 같고 구하
는 최단 거리는 ED”의 길이
와 같으므로
ED”="√14¤ +3¤ ='∂205 (cm)
10 선이 지나는 부분의 전개도는 오
른쪽 그림과 같고 구하는 최단 거
리는 FD”의 길이와 같으므로
FD”="√8¤ +4¤ ='∂80
FD”=4'5 (cm)
11 선이 지나는 부분의 전개도는 오른
쪽 그림과 같고 구하는 최단 거리는
AF”의 길이와 같으므로
AF”="√7¤ +6¤ ='∂85 (cm)
배점
30%
30%
20%
20%
B
C
D
3 cm
5 cm 4 cm 5 cm
G
F
H
(cid:9000) '∂205 cm
D
C
G
B
F
3 cm
5 cm
H
A
B
C
4 cm
(cid:9000) ③
6 cm
D
4 cm 3 cm
E
F
(cid:9000) '∂85 cm
12 밑면의 둘레의 길이는 2p_8=16p`(cm)
원기둥의 옆면의 전개도는
B
오른쪽 그림과 같고 구하는
최단 거리는 AB'”의 길이와
같으므로
AB'”="√(16p)¤ +(6p)¤ ="√292p¤ =2'∂73p (cm)
16p cm
A
B'
A'
6p cm
13 밑면의 둘레의 길이는 2p_3=6p (cm)
오른쪽 그림의 전개도에서 구하는 최단
거리는 AB'”+BC'”의 길이와 같으므로
AB'”+BC'”=2AB'”
=2"√(6p)¤ +(7p)¤
=2'∂85p (cm)
14 오른쪽 그림의 전개도에서
(cid:8772)OACB는 마름모이므로
AB”⊥OC”
AB”와 OC”의 교점을 M이라 하면
△OCB는 정삼각형이므로
BM”= _4'3=6 (cm)
'3
2
A
(cid:9000) 2'∂73p cm
C
B
A
C'
7p cm
B'
7p cm
A'
6p cm
(cid:9000) 2'∂85p cm
4'3 cm
B
O
M
C
∴ AB”=2BM”=12 (cm)
따라서 구하는 최단 거리는 AB”의 길이와 같으므로 12 cm
(cid:9000) 12 cm
이다.
유형북
8 cm
60˘
D
A
C
∠EAC=;2!;∠BAC=30˘
30˘
B
∠EAD=30˘+60˘=90˘
따라서 구하는 최단 거리는
ED”의 길이와 같으므로 △AED에서
ED”="√(4'3 )¤ +8¤ ='∂112=4'7 (cm)
E
16 오른쪽 그림과 같은 원뿔의 옆면의
전개도에서
μBB'=2p_4=8p (cm)
부채꼴의중심각의크기를∠x라하면
2p_16_
=8p
∠x
360˘
(cid:9000) 4'7 cm
A
x
16 cm
16 cm
B
B'
4 cm
∴ ∠x=90˘
따라서 구하는 최단 거리는 BB'”의 길이와 같으므로
BB'”="√16¤ +16¤ =16'2 (cm)
17 오른쪽 그림과 같은 원뿔의 옆면의 전개
도에서
®`AA'=2p_2=4p (cm)
부채꼴의 중심각의 크기를 ∠x라 하면
2p_12_
=4p
∠x
360˘
(cid:9000) ②
V
x
12 cm
M
A
A'
2 cm
∴ ∠x=60˘
V’AÚ=VÚA'”이고 ∠V=60˘이므로 △VAA'은 정삼각형이다.
∴ ∠VMA=90˘
따라서 구하는 최단 거리는 AM”의 길이와 같으므로
AM”="√12¤ -6¤ ='∂108=6'3 (cm)
(cid:9000) 6'3 cm
01 AC”="√4¤ +(4'3)¤ ='∂64=8 (cm)
¤ =AP”_AC”에서
AB”_BC”=AC”_BP”에서
4_4'3=8_BP”(cid:100)(cid:100)∴ BP”=2'3 cm
AB”
4¤ =AP”_8(cid:100)(cid:100)∴ AP”=2 cm
∴ PC”=AC”-AP”=8-2=6 (cm)
이때 점 P가 (cid:8772)ABCD의 내부에 있으므로
¤ 에서
¤ +DP”
AP”
¤ , DP”
2¤ +6¤ =(2'3 )¤ +DP”
∴ DP”=2'7 cm (∵ DP”>0)
¤ =BP”
¤ +CP”
¤ =28
02 오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면
△ABC=△ABD+△ACD이고
△ABC= _6¤ =9'3 (cm¤ )이므로
'3
4
9'3=;2!;_6_DE”+;2!;_6_DF”
E
B
58~59쪽
(cid:9000) ②
6 cm
F
C
A
D
9'3=3(DE”+DF”)(cid:100)(cid:100)∴ DE”+DF”=3'3 cm (cid:9000) ①
03. 피타고라스 정리의 활용 29
”
”
”
”
”
”
”
03 주어진 단계를 보면 새로 만들어지는 정삼각형의 한 변의 길
07 정육면체의 한 모서리의 길이는
이는 기존 정삼각형의 높이의 ;3@;배임을 알 수 있다.
(첫 번째 정삼각형의 한 변의 길이)=6 cm
(두 번째 정삼각형의 한 변의 길이)
'3
2
'3
2
'3
2
={ _6}_;3@;=2'3 (cm)
(세 번째 정삼각형의 한 변의 길이)
={ _2'3}_;3@;=2 (cm)
(네 번째 정삼각형의 한 변의 길이)
={ _2}_;3@;=
2'3
3
(cm)
(다섯번째정삼각형의한변의길이)
'3
={ _
2
2'3
3
}_;3@;=;3@;(cm)
(cid:9000) ;3@; cm
A
12 cm
C
EH
D
6'2 cm
BD”=DE”=EC”=;3!;BC”=;3!;_12'2=4'2 (cm)이므로
04 △ABC에서
BC”="√12¤ +12¤ =12'2 (cm)
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
BH”=CH”=6'2 cm
△ABH에서
A’HÚ="√12¤ -(6'2)¤ ='∂72=6'2 (cm)
B
DH” =BH” -BD”=6'2-4'2=2'2 (cm)
따라서 △ADH에서
AD”="√(6'2)¤ +(2'2)¤ ='∂80=4'5 (cm)
05 BC”="√3¤ +3¤ =3'2
정사각형 DEFG의 한 변의 길이를 x라 하면
DE”=EF”=x
△DBE에서 BE”=DE”=x
△GCF에서 CF”=FG”=x
즉, BC”=3x=3'2(cid:100)(cid:100)∴ x='2
∴ (cid:8772)DEFG='2_'2=2
06 오른쪽 그림에서
AD”=DC”=2 cm이므로
PD”=DQ”=2-1=1 (cm)
PQ”="√1¤ +1¤ ='2 (cm)
△QBC에서 BQ”="√2¤ +1¤ ='5(cm)
즉, 이 입체도형은 한 변의 길이가
'2 cm인 정사각형을 밑면으로 하고
옆면의 모서리의 길이가 '5 cm인 정
사각뿔이다.
△VPD에서
VD”="√('5 )¤
¤ -1¤ ='4=2(cm)
∴ (부피)=;3!;_('2)¤ _2=;3$; (cm‹ )
P
D
A
Q
1 cm
C
B
2 cm
V
'5 cm
P
1 cm
D
'2 cm
Q
(cid:9000) ;3$; cm‹
30 정답 및 풀이
"√a¤ +a¤ ='2a
따라서 이 정육면체의 겉넓이는
('2a)¤ _6=12a¤
(cid:9000) ②
08 DF”="√10¤ +6¤ +x¤ ="√136+x¤
JF”="√10¤ +6¤ +x¤ ="√136+x¤
DJ”=10+10=20
△DFJ는 직각삼각형이므로 DF”
136+x¤ +136+x¤ =20¤ , 272+2x¤ =400
x¤ =64(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>0)
¤ +JF”
¤ =DJ”
09 오른쪽 그림의 전개도에서 구하
는 최단 거리는 A’A'Ú의 길이와
같다.
∠OAB=∠OBA=75˘이므로
∠AOB=180˘-(75˘+75˘)
=30˘
O
(cid:9000) 8
5'2 cm
A'
A
B
C
이때 △OAB™△OBC™△OCA'(SSS 합동)이므로
∠BOC=∠COA'=30˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠AOA'=90˘
∴ A’A'Ú="√(5'2 )¤ +(5'2 )¤ ='∂100=10 (cm) (cid:9000) 10 cm
10 헬리콥터의 네 날개의 끝이 돌면서 그리
10'2 m
는 도형은 오른쪽 그림과 같다.
AC”=BD”=10'2 (m)
이므로 원의 반지름의 길이는 5'2 m이
다.
A
B
D
C
10 m
10 m
(cid:9000) ④
따라서 구하는 넓이는
p_(5'2 )¤ =50p (m¤ )
11 OH”=x라 하면
(cid:9000) ①
¤ =4¤ -x¤ (cid:100)(cid:100) yy ㉠
¤ =(4'3 )¤ -(4+x)¤ (cid:100)(cid:100)yy ㉡
△OBH에서 BH”
△ABH에서 BH”
㉠, ㉡에서
4¤ -x¤ =(4'3 )¤ -(4+x)¤
16-x¤ =48-16-8x-x¤
8x=16(cid:100)(cid:100)∴ x=2
∴ BH”
따라서 원뿔의 부피는
”="√4¤ -2¤ ='∂12=2'3
(cid:9000) 2
;3!;_p_(2'3)¤ _(4+2)=24p
(cid:9000) ③
12
8 m
16 m
A
1 m
8 m
B
P
C
1 m
C'
개미가 꿀을 먹기 위해서는 원통의 안쪽에서 바깥쪽으로 나
온 후 꿀을 향해 이동하여야 한다.
점 C를 대칭이동한 점을 C'이라 하면 최단 거리는
CP”+PA”=C'P”+PA”
æC'A”="√8¤ +8¤ =8'2 (m)
(cid:9000) ③
¤
”
”
04. 삼각비
01 sin B=
=;1∞3;
02 cos B=
=;1!3@;
03 tan B=
=;1∞2;
04 sin A=
=;1!3@;
05 cos A=
=;1∞3;
06 tan A=
=:¡5™:
07 sin B=
=;1•0;=;5$;
08 cos B=
=;1§0;=;5#;
09 tan B=
=;6*;=;3$;
10 BC”="√1¤ +4¤ ='∂17
11 sin B=
cos B=
=
=
4
'∂17
1
'∂17
=
4'∂17
17
=
'∂17
17
tan B=
=;1$;=4
AC”
AB”
BC”
AB”
AC”
BC”
BC”
AB”
AC”
AB”
BC”
AC”
AC”
AB”
BC”
AB”
AC”
BC”
AC”
BC”
AB”
BC”
AC”
AB”
AC”
AB”
(cid:100)(cid:100)
(cid:9000) sin B=
, cos B=
, tan B=4
'∂17
17
12 sin B=
, ;4#;=
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=12
(cid:9000) 12
4'∂17
17
9
AB”
13 직각삼각형 ABO에서
AB”="√8¤ +6¤ ='∂100 =10
∴ sin a=;1§0;=;5#;
∴ cos a=;1•0;=;5$;
3
y= x+6
4
y
A
6
a
B
-8
O
x
∴ tan a=;8^;=;4#; (cid:9000) sin a=;5#;, cos a=;5$;, tan a=;4#;
14 (cid:9000) BC”, AB”, CD”
15 (cid:9000) AC”, AD”, BC”
16 (cid:9000) BC”, AD”, CD”
17 (cid:9000) AB”, AB”, BD”
18 (cid:9000) AC”, BD”, CD”
19 (cid:9000) AB”, AD”, CD”
20 cos 60˘-sin 30˘=;2!;-;2!;=0
21 sin 30˘+cos 45˘=;2!;+ =
'2
2
1+'2
2
1+'2
2
(cid:9000)
63쪽, 65쪽
22 tan 45˘+cos 30˘_tan 60˘=1+ _'3
'3
2
(cid:9000) ;1∞3;
(cid:9000) ;1!3@;
(cid:9000) ;1∞2;
(cid:9000) ;1!3@;
(cid:9000) ;1∞3;
(cid:9000) :¡5™:
(cid:9000) ;5$;
(cid:9000) ;5#;
(cid:9000) ;3$;
(cid:9000) '∂17
유형북
(cid:9000) ;2%;
(cid:9000) ;4&;
(cid:9000) 1
(cid:9000) 20˘
tan 45˘+cos 30˘_tan 60˘=1+;2#;=;2%;
23 cos 30˘_sin 60˘+tan 45˘= _ +1
'3
2
'3
2
cos 30˘_sin 60˘+tan 45˘=;4#;+1=;4&;
24 sin¤ 30˘+cos¤ 30˘={;2!;}
+{
}
=;4!;+;4#;=1
2
2
'3
2
25 (cid:9000) 45˘
26 cos 3x=;2!;에서 3∠x=60˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=20˘
27 sin 30˘=;1’2;이므로 ;2!;=;1’2;(cid:100)(cid:100)∴ y=6
'3
cos 30˘=;1”2;이므로 =;1”2;(cid:100)(cid:100)∴ x=6'3
2
'2
28 sin 45˘=;1”2;이므로 =;;1”2;(cid:100)(cid:100)∴ x=6'2
2
'2
cos 45˘=;1’2;이므로 =;1’2;(cid:100)(cid:100)∴ y=6'2
2
(cid:9000) x=6'3 , y=6
(cid:9000) x=6'2 , y=6'2
(cid:9000) AB”, 0.69
(cid:9000) OB”, 0.72
(cid:9000) CD”, 0.97
(cid:9000) 0
(cid:9000) 1
29 sin 44˘=
AB”
OA”
=
0.69
1
=0.69
30 cos 44˘=
OB”
OA”
=
0.72
1
=0.72
31 tan 44˘=
CD”
OD”
=
0.97
1
=0.97
32 sin 0˘+cos 90˘_tan 0˘=0+0_0=0
33 cos 0˘_sin 90˘+cos 90˘_sin 0˘=1_1+0_0=1
34 ㄱ. sin 0˘=0(cid:100) ㄴ. cos 0˘=1(cid:100) ㄷ. sin 30˘=;2!;
ㄹ. cos 30˘=
ㅁ. tan 30˘=
ㅂ. tan 60˘='3
'3
2
'3
3
(cid:9000) ㅂ, ㄴ, ㄹ, ㅁ, ㄷ, ㄱ
35 (cid:9000) 0.6820
36 (cid:9000) 43
37 (cid:9000) 42
10THEME
삼각비의 뜻
1 ⑴ a(cid:100)(cid:100)⑵ c(cid:100)(cid:100)⑶ b(cid:100)(cid:100)⑷ b(cid:100)(cid:100)⑸ c(cid:100)(cid:100)⑹ a
(cid:9000) 0
66~75쪽
66~69쪽
알고 있나요?
04. 삼각비 31
01 AB”="√('7)¤ +3¤ ='∂16 =4
09 tan A=;1•5;이므로 오른쪽 그림과 같은
③ tan A=
'7
3
02 △ABC에서
(cid:9000) ③
2'5
5
(cid:9000)
AC”="√10¤ -8¤ ='∂36 =6
△ADC에서
AD”="√3¤ +6¤ ='∂45 =3'5
∴ sin x=
AC”
AD”
=
6
3'5
=
2'5
5
AC”
BC”
AC”
AB”
4
BC”
AC”
6
03 tan B=
, ;3@;=
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=6
(cid:9000) 6
04 sin B=
, ;3@;=
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=4 cm
∴ BC”="√6¤ -4¤ ='∂20 =2'5 (cm)
(cid:9000) AC”=4 cm, BC”=2'5 cm
05 sin A=
, ;5@;=
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=10 cm
BC”
AC”
4
AC”
∴ AB”="√10¤ -4¤ ='∂84 =2'∂21 (cm)
∴ △ABC=;2!;_2'∂21 _4=4'∂21 (cm¤ )
(cid:9000) 4'∂21 cm¤
06 cos A=
, ;7%;=
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=5
AB”
AC”
AB”
7
∴ BC” ="√7¤ -5¤ ='∂24 =2'6
AB”
BC”
∴ tan C=
5
2'6
=
=
5'6
12
5'6
12
(cid:9000)
07 ⑴ cos A=
AB”
AC”
'5
, =
3
AB”
9
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=3'5
⑵ ∴ BC” =øπ9¤ -(3'5)¤ ='∂36 =6
y❶
⑵ sin A=;9^;=;3@;, sin C=
3'5
9
= 이므로
'5
3
⑵ sin A+sin C=;3@;+ =
'5
3
2+'5
3
y❷
2+'5
3
(cid:9000) ⑴ 6 ⑵
채점 기준
❶ cos A의 값을 이용하여 BC”의 길이 구하기
❷ sin A+sin C의 값 구하기
배점
50%
50%
08 sin A=
, ;5#;=
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=15
BC”
AC”
9
AC”
∴ AB”="√15¤ -9¤ ='∂144 =12
cos A=;1!5@;=;5$;
tan C=:¡9™:=;3$;
∴ cos A_tan C=;5$;_;3$;=;1!5^;
(cid:9000) ;1!5^;
32 정답 및 풀이
C
'5k
A
k
B
C
8k
B
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
C
3k
B
(cid:9000) ;4#;
직각삼각형 ABC에서 AB”=15k,
BC”=8k(k>0)라 하면
AC”="√(15k)¤ +(8k)¤
AC”="√289k¤ =17k
A
15k
=;1!7%;
∴ cos A=
AB”
AC”
10 5 cos A-'5 =0에서 5 cos A='5
'5
5
1
'5
오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서
AC”='5k, AB”=k (k>0)라 하면
BC”="√('5k)¤ -k¤ =2k이므로
∴ cos A= =
sin A=
=
2'5
5
tan A= =2
2k
'5k
2k
k
∴ sin A_tan A=
2'5
5
_2=
4'5
5
11 이차방정식 4x¤ -3x-5=0의 두 근의 합은 ;4#;이므로
sin A=;4#;
오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서
AC”=4k, BC”=3k (k>0)라 하면
AB”="√(4k)¤ -(3k)¤ ='7 k이므로
4k
A
cos A=
tan A= =
3'7
7
'7
4
3
'7
∴ cos A_tan A= _
'7
4
12 오른쪽 그림과 같이 직선
3'7
7
=;4#;
y=;1∞2;x+5가 x축, y축과 만나
는 점을 각각 A, B라 하자.
y=0을 대입하면
0=;1∞2;x+5(cid:100)(cid:100)∴ x=-12
y
B
5
-
y= x+5
12
a
A
O
x
∴ A(-12, 0)
x=0을 대입하면 y=5(cid:100)(cid:100)∴ B(0, 5)
따라서 직각삼각형 AOB에서 AO”=12, BO”=5이므로
tan a=
BO”
AO”
13 일차방정식 2x-3y+6=0에
=;1∞2;
(cid:9000) ;1∞2;
y=0을 대입하면 2x+6=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-3(cid:100)(cid:100)∴ A(-3, 0)
x=0을 대입하면 -3y+6=0(cid:100)(cid:100)∴ y=2(cid:100)(cid:100)∴ B(0, 2)
직각삼각형 AOB에서 AO”=3, BO”=2이므로
AB”="√3¤ +2¤ ='∂13
∴ sin a+cos a=
2
'∂13
+
3
'∂13
=
5
'∂13
=
5'∂13
13
(cid:9000) ③
14 오른쪽 그림과 같이 직선 y=;3$;x-8
이 x축, y축과 만나는 점을 각각 A,
B라 하자.
y=0을 대입하면 0=;3$;x-8(cid:100)(cid:100)
y
O
A
a
a
x
4
y= x-8
3
B
∴ x=6(cid:100)(cid:100)∴ A(6, 0)
x=0을 대입하면 y=-8(cid:100)(cid:100)
∴ B(0, -8)
직각삼각형 AOB에서 AO”=6, BO”=8이므로
AB”="√6¤ +8¤ ='∂100 =10
∴ sin a-cos a=;1•0;-;1§0;=;1™0;=;5!;
(cid:9000) ;5!;
A
6
x y
8
y
B
H
10
x
C
D
x
10
8
E
B
(cid:9000) ;5^;
A
x
C
(cid:9000) ;5#;
15 △ABC에서
BC”="√6¤ +8¤ ='∂100=10
△ABCª△HBAª△HAC
(AA 닮음)이므로
∠BCA=∠BAH=∠x
∠CBA=∠CAH=∠y
sin x=
=;1§0;=;5#;
cos y=
=;1§0;=;5#;
∴ sin x+cos y=;5#;+;5#;=;5^;
AB”
BC”
AB”
BC”
16 △ABCª△EBD (AA 닮음)
이므로 ∠BDE=∠BCA=∠x
△DBE에서
DE”="√10¤ -8¤ ='∂36 =6
∴ cos x=
=;1§0;=;5#;
DE”
BD”
17 △ABC에서
AC”="√12¤ +9¤ ='∂225 =15 (cm)
△ADEª△ACB(AA 닮음)이므로
∠ACB=∠ADE=∠x
AB”
AC”
∴ sin x=
=;1!5@;=;5$;
18 △ABH에서 ∠ABH=90˘-∠x이고
∠ABC=90˘이므로 ∠DBC=∠x
△DBC에서
BD”="√8¤ +4¤ ='∂80=4'5
∴ cos x=
BC”
BD”
=
8
4'5
=
2'5
5
채점 기준
❶ ∠DBC=∠x임을 알기
❷ BD”의 길이 구하기
❸ cos x의 값 구하기
유형북
A
x
C
(cid:9000) 6
H
x
B
4
'6
3
(cid:9000)
'2
C
x
'3
A
1
E
19 △ABCª△ACH (AA 닮음)이므로
tan x=
∠ABC=∠ACH=∠x
△ABC에서
AC”
BC”
∴ AC”=2'5
∴ AB”=øπ4¤ +(2'5)¤ ='∂36=6
'5
, =
2
AC”
4
20 △BFH에서
FH”="√5¤ +5¤ ='∂50=5'2 (cm)
BH”="√5¤ +5¤ +5¤ ='∂75=5'3 (cm)
∴ cos x=
FH”
BH”
=
5'2
5'3
'2
= =
'3
'6
3
21 △AEC는
AE”=1, AC”='2, CE”='3,
∠A=90˘인 직각삼각형이므로
'3
3
sin x= =
1
'3
1
'2
tan x= =
'2
2
∴ sin x_tan x= _ =
'3
3
'2
2
'6
6
'6
6
(cid:9000)
22 EG”="√6¤ +8¤ ='∂100 =10 (cm)
AG”="√6¤ +8¤ +4¤ ='∂116 =2'∂29 (cm)
∴ cos x=
EG”
AG”
=
10
2'∂29
=
5'∂29
29
(cid:9000) ④
'3
23 BM”= _6=3'3
2
점 H는 △BCD의 무게중심이므로
BH”=;3@; BM”=;3@;_3'3=2'3
△ABH에서
AH”=øπ6¤ -(2'3)¤ ='∂24=2'6
∴ tan x=
AH”
BH”
=
2'6
2'3
='2
(cid:9000) ;5$;
y❶
y❷
y❸
2'5
5
(cid:9000)
배점
40%
40%
20%
11THEME
1
A
삼각비
30˘, 45˘, 60˘의 삼각비의 값
70~72쪽
알고 있나요?
30˘
;2!;
'3
2
45˘
'2
2
'2
2
1
{= }
'2
1
{= }
'2
'3
3
1
{= }
'3
1
sin A
cos A
tan A
60˘
'3
2
;2!;
'3
(cid:9000) ②
04. 삼각비 33
(cid:9000) 1
(cid:9000) 10˘
(cid:9000) 60˘
(cid:9000) 30˘
01 ① tan 60˘-sin 45˘='3 - =
'2
2
2'3 -'2
2
② sin 30˘+cos 60˘=;2!;+;2!;=1
③ sin 60˘_cos 30˘= _ =;4#;
'3
2
'3
2
④ tan 45˘÷cos 45˘=1÷ ='2
⑤ cos 30˘_tan 60˘= _'3 =;2#;
'2
2
'3
2
따라서 옳은 것은 ②이다.
02 (주어진 식)='3_ -;2!;=;2#;-;2!;=1
'3
2
(cid:9000) ②
(cid:9000) 1
03 ∠A=180˘_
1
1+2+3
=30˘
∴ sin A+cos A_tan A
∴ =sin 30˘+cos 30˘_tan 30˘
'3
∴ =;2!;+ _ =1
2
1
'3
04 2∠x+10˘=30˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=10˘
05 sin B=
6
4'3
'3
2
= (cid:100)(cid:100)∴ ∠B=60˘
06 4x¤ -4x+1=0에서 (2x-1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=;2!; (중근)
따라서 sin a=;2!;이므로
∠a=30˘ (∵ 0˘…a…90˘)
cos 60˘=
, ;2!;=;[@;(cid:100)(cid:100)∴ x=4
'3
, =
2
AH”
4
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=2'3
sin 45˘=
AH”
y
'2
, =
2
2'3
y
(cid:100)(cid:100)∴ y=2'6
(cid:9000) ④
07 △ABH에서
BH”
AB”
A’H”
AB”
sin 60˘=
△AHC에서
08 △ABC에서
sin 30˘=
AC”
BC”
△AHC에서
sin 60˘=
A’H”
AC”
'3
, =
2
A’H”
3
(cid:100)(cid:100)∴ A’H”=
cm y❷
3'3
2
3'3
2
(cid:9000)
cm
배점
50%
50%
채점 기준
❶ △ABC에서 sin 30˘의 값을 이용하여
AC”의 길이 구하기
❷ △AHC에서 sin 60˘의 값을 이용하여
AH”의 길이 구하기
09 △ABC에서
tan 60˘=
, '3=
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=2'3
BC”
AB”
BC”
2
34 정답 및 풀이
△BCD에서
sin 45˘=
BC”
BD”
'2
, =
2
2'3
BD”
(cid:100)(cid:100)∴ BD”=2'6 (cid:9000) 2'6
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
60˘
C
10 AC”=x라 하면 CD”=AC”=x이므로
△ABC에서
tan 30˘=
AC”
BC”
'3
, =
3
x
4+x
3x=4'3 +'3 x, (3-'3 )x=4'3
∴ x=
4'3
3-'3
=2('3 +1)
11 ∠ABD=∠DBC=30˘
△ABC에서
sin 30˘=
, ;2!;=
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=9
BC”
AB”
BC”
18
△BCD에서
tan 30˘=
, = (cid:100)(cid:100)∴ y=3'3
CD”
BC”
'3
3
y
9
△ABC에서
, '3 =
AC”
BC”
tan 60˘=
x+3'3
9
x+3'3 =9'3(cid:100)(cid:100)∴ x=6'3
∴ x-y=6'3 -3'3 =3'3
12 오른쪽 그림과 같이 점 A, D에서
BC”에 내린 수선의 발을 각각 H,
H'이라 하자.
△ABH에서
4 cm
60˘
B
A
D
H
H'
8 cm
, ;2!;=
BH”
4
cos 60˘=
BH”
AB”
∴ BH”=2 cm
A’H”
AB”
sin 60˘=
'3
, =
2
A’H”
4
(cid:100)(cid:100)∴ A’H”=2'3 cm
같은 방법으로 하면 C’H'”=2 cm
∴ AD”=H’
’H'”=8-(2+2)=4 (cm)
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(4+8)_2'3=12'3 (cm¤ ) (cid:9000) ①
∠BAD=45˘-22.5˘=22.5˘이므로 AD”=BD”
△ADC에서 AC”=1이므로 CD”=AC”=1
∴ AD”="√1¤ +1¤ ='2
즉, BD”=AD”='2이므로 △ABC에서
tan 22.5˘=
AC”
BC”
=
1
'2 +1
='2 -1
14 △ADC에서
cos 30˘=
AD”
AC”
'3
, =
2
AD”
8
△ABD에서
BD”=øπ9¤ -(4'3 )¤ ='∂33 (cm)
∴ tan x=
BD”
A’D”
=
'∂33
4'3
=
'∂11
4
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=4'3 cm
(cid:9000) ①
'∂11
4
(cid:9000)
, ;2!;=
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=3 cm
y❶
13 △ABD에서
AC”
6
(직선의 기울기)=tan a=1(cid:100)(cid:100)∴ ∠a=45˘
(cid:9000) ②
07 ① sin 0˘=0, cos 90˘=0, tan 90˘의 값은 정할 수 없다.
유형북
y
1.19
1
0.77
D
A
40˘
50˘
B
0.64
C
1
x
O
15 △DAB에서
BD”
A’D”
sin 60˘=
'3
, =
2
3
AD”
∴ AD”=2'3 , CD”=AD”=2'3
tan 60˘=
BD”
AB”
, '3 =
3
AB”
∴ AB”='3
∠ADB=30˘이고 AD”=CD”이므로
△ADC에서 ∠CAD=∠ACD=15˘
△ABC에서
tan 75˘=
tan 15˘=
BC”
AB”
AB”
BC”
=
=
2'3 +3
'3
'3
2'3 +3
=2+'3
=2-'3
C
15˘
30˘
15˘
A
60˘
D
3
B
04 ∠OAB=90˘-50˘=40˘이므로
① sin 40˘=
=OB”=0.64
OB”
O’A”
AB”
O’A”
AB”
O’A”
OB”
O’A”
CD”
OC”
② cos 40˘=
=AB”=0.77
③ sin 50˘=
=AB”=0.77
④ cos 50˘=
=OB”=0.64
⑤ tan 50˘=
=CD”=1.19
∴ tan 75˘-tan 15˘=2+'3 -(2-'3 )=2'3 (cid:9000) ③
OB”=OA”=1이므로 BH”=OB”-OH”=1-cos 35˘ (cid:9000) ⑤
16 구하는 직선의 방정식을 y=ax+b라 하면
a=(기울기)=tan 45˘=1
점 (-2, 0)이 직선 y=x+b 위의 점이므로
0=-2+b(cid:100)(cid:100)∴ b=2(cid:100)(cid:100)∴ y=x+2
17 5x-3y+15=0에서 3y=5x+15(cid:100)(cid:100)
∴ y=;3%;x+5(cid:100)(cid:100)∴ tan a=;3%;
18 구하는 각의 크기를 ∠a라 하면
(cid:9000) ③
(cid:9000) ;3%;
12THEME
예각의 삼각비의 값
73~75쪽
알고 있나요?
1 ⑴ AB”(cid:100)(cid:100)⑵ OB”(cid:100)(cid:100)⑶ CD”
01 ① cos x=
=
=AB”
AB”
AC”
BC”
AC”
BC”
AC”
=
=
AB”
1
BC”
1
BC”
1
=BC”
=BC”
② cos y=
③ sin x=
④ sin z=sin y=
AB”
AC”
=
AB”
1
=AB”
⑤ tan x=
DE”
AD”
=
DE”
1
=DE”
따라서 옳지 않은 것은 ①이다.
02 BC”∥DE”이므로 ∠ACB=∠x
따라서 △ABC에서
cos x=cos (∠ACB)=
03 오른쪽 그림과 같이 점 P{;2!;,
BC”
AC”
=
BC”
1
=BC”
'3
2
}에
y
1
(cid:9000) ①
(cid:9000) ③
서 x축에 내린 수선의 발을 Q라 하면
PQ”
1
=PQ”=
sin a=
=
PQ”
OP”
∴ ∠a=60˘
'3
2
(cid:9000) 60˘
P
{
1 '3
,
2
2
}
'3
2
a
O
Q
1
x
따라서 옳은 것은 ②이다.
OH”
OA”
05 cos 35˘=
이므로 OH”=cos 35˘
(cid:9000) ②
06 ① (주어진 식)=1_1+0_0=1
② (주어진 식)=;2!;+;2!;=1
③ (주어진 식)=1-1=0
'3
④ (주어진 식)= + _0=
2
'2
2
'3
2
'2
⑤ (주어진 식)= _ +'3_;2!;=;2!;+ =
2
'3
2
'2
2
1+'3
2
따라서 계산한 값이 가장 큰 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
② sin 0˘=0, cos 0˘=1, tan 0˘=0
③ sin 90˘=cos 0˘=tan 45˘=1
④ sin 45˘=cos 45˘= , tan 45˘=1
'2
2
⑤ sin 90˘=1, cos 90˘=0, tan 90˘의 값은 정할 수 없다.
따라서 옳은 것은 ③이다.
08 sin(x+30˘)=1이므로
(cid:9000) ③
∠x+30˘=90˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=60˘
∴ sin x+cos ;2{;=sin 60˘+cos 30˘
∴ sin x+cos ;2{;= + ='3
'3
2
'3
2
채점 기준
❶ ∠x의 크기 구하기
❷ sin x+cos ;2{;의 값 구하기
y❶
y❷
(cid:9000) '3
배점
40%
60%
09 ① 0˘<x<45˘일 때, sin x<cos x이므로
sin 37˘<cos 37˘
② 45˘<x<90˘일 때, cos x<sin x이므로
sin 80˘>cos 80˘
③, ④ 0˘<x<90˘인 범위에서 ∠x의 크기가 증가하면
sin x, tan x의 값은 각각 증가하므로
sin 72˘>sin 50˘, tan 50˘>tan 10˘
⑤ tan 50˘>1, 0<cos 70˘<1이므로 tan 50˘>cos 70˘
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
04. 삼각비 35
10 sin 90˘=1, cos 90˘=0
sin 45˘<sin 70˘<sin 90˘이므로
<sin 70˘<1
'2
2
cos 90˘<cos 70˘<cos 45˘이므로 0<cos 70˘<
tan 50˘>1
∴ cos 90˘<cos 70˘<sin 70˘<sin 90˘<tan 50˘
따라서 크기가 작은 것부터 순서대로 나열하면
'2
2
ㄴ－ㄹ－ㄷ－ㄱ－ㅁ
11 ① 0˘<A<45˘일 때, sin A<cos A
(cid:9000) ③
③ 45˘<A<90˘일 때, tan A>sin A>cos A
⑤ 0˘…A<90˘일 때, tan Aæ0
따라서 옳은 것은 ②, ④이다.
(cid:9000) ②, ④
12 45˘<A<90˘에서 0<cos A<sin A이므로
sin A+cos A>0, cos A-sin A<0
∴ "√(sin A+cos A)¤ -"√(cos A-sin A)¤
∴ =(sin A+cos A)+(cos A-sin A)
∴ =2 cos A
13 0˘<A<45˘일 때, 0<tan A<1이므로
1+tan A>0, tan A-tan 45˘=tan A-1<0
∴ "√(1+tan A)¤ +"√(tan A-tan 45˘)¤
∴ =(1+tan A)-(tan A-1)=2
14 0˘<x<90˘일 때, 0<cos x<1이므로
1+cos x>0, 1-cos x>0
∴ "√(1+cos x)¤ +"√(1-cos x)¤
∴ =1+cos x+1-cos x=2
15 (주어진 식)=1.0724-0.7193+0.6691
=1.0222
(cid:9000) 1.0222
16 삼각비의 표에서 tan의 세로줄의 0.7002와 만나는 곳의 수
의 가로줄의 각도를 읽으면
tan 35˘=0.7002이므로 ∠x=35˘
17 cos 33˘=
BC”
AB”
∴ x=100_0.8387=83.87
x
100
= =0.8387
02 x¤ -2x+1=0에서 (x-1)¤ =0
∴ x=1 (중근)(cid:100)(cid:100)∴ tan A=1
오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC
에서 AB”=BC”=k (k>0)라 하면
AC”="√k¤ +k¤ ='2k
따라서 sin A=
= 이므로
k
'2 k
1
'2
1
'2
2
C
k
B
'2k
A
k
(tan A-sin A)¤ ={1- }
=;2#;-'2
(cid:9000) ①
|`다른 풀이`| tan A=1에서 ∠A=45˘
∴ (tan A-sin A)¤ =(tan 45˘-sin 45˘)¤
∴ (tan A-sin A)¤ ={1- }
=;2#;-'2
2
'2
2
03 sin(90˘-A)=;1∞3;이므로 오른쪽 그림
C
과 같은 직각삼각형 ABC에서
AB”=5k, AC”=13k(k>0)라 하면
BC”="√(13k)¤ -(5k)¤ =12k
∴ cos A_tan A=
5k
13k
_
12k
5k
∴ cos A_tan A=
12
13
13k
90˘-A
A
5k
B
12
13
(cid:9000)
04 정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
'3a=7'3 (cid:100)(cid:100)∴ a=7
HF”='2 a=7'2
△BHF는 ∠BFH=90˘인 직각삼각형이므로
cos x=
HF”
BH”
=
7'2
7'3
'2
= =
'3
'6
3
(cid:9000) ⑤
05 △ADE에서
△ACD에서
△ABC에서
cos 30˘=
AD”
AE”
'3
, =
2
AD”
16
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=8'3 cm
cos 30˘=
AC”
AD”
'3
, =
2
AC”
8'3
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=12 cm
cos 30˘=
AB”
AC”
'3
, =
2
AB”
12
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=6'3 cm
sin 30˘=
, ;2!;=
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=6 cm
BC”
AC”
BC”
12
∴ △ABC=;2!;_6'3_6=18'3 (cm¤ ) (cid:9000) 18'3 cm¤
06 오른쪽 그림과 같이 점 O에서 BC”에 내
린 수선의 발을 H라 하면 △ABC가 정
삼각형이므로
∠OBH=30˘
△OBH에서
cos 30˘=
BH”
OB”
'3
, =
2
3
OB”
A
O
30˘
B
3 cm
H
C
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 2
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 35˘
(cid:9000) 83.87
76~77쪽
(cid:9000) ⑤
01 △ADC에서
DC”
AD”
cos y=
'5
5
1
= = 이므로
'5
AD”='5a, DC”=a라 하면
AC”="√('5a)¤ -a¤ =2a
tan x=
=;4#;이므로
AC”
BC”
2a
10+a
=;4#;
8a=30+3a, 5a=30(cid:100)(cid:100)∴ a=6
∴ AC”=2a=2_6=12
36 정답 및 풀이
, ;2!;=
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=5 cm
CD”
10
11 △ABD에서
∴ OB”=2'3 cm
따라서 원 O의 넓이는 p_(2'3 )¤ =12p (cm¤ )
(cid:9000) ①
07 △ABCª△ADE (SAS 닮음)이고
△ABC와 △ADE의 닮음비가 2：1
이므로
DE”=;2!; BC”=;2!;_24=12
오른쪽 그림과 같이 점 D에서 AE”에 내
린 수선의 발을 H라 하면
△DEH에서
A
45˘
H
D
E
60˘
B
C
24
'3
, =
2
DH”
12
(cid:100)(cid:100)∴ DH”=6'3
1
, =
'2
6'3
A’D”
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=6'6
(cid:9000) ④
sin 60˘=
DH”
DE”
△ADH에서
DH”
A’D”
sin 45˘=
08 △ACD에서
CD”
AD”
sin 30˘=
cos 30˘=
AC”
AD”
'3
, =
2
AC”
10
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=5'3 cm
△ABC에서
sin 45˘=
BC”
AC”
'2
, =
2
BC”
5'3
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=
5'6
2
cm
∴ AB”=BC”=
5'6
2
cm
∠CAB=∠FCA=∠FCD=∠FDC=45˘이므로
CF”
5
'2
, =
2
cos 45˘=
(cid:100)(cid:100)
CF”
CD”
∴ CF”=
5'2
2
cm
∴ DF”=CF”=
5'2
2
cm
△DAE에서
AE”=AB”-EB”=AB”-CF”
AE”=
5'6
2
-
5'2
2
=
5('6 -'2 )
2
(cm)
DE”=DF”+FE”=DF”+BC”
AE”=
5'2
2
+
5'6
2
=
5('6 +'2 )
2
(cm)
09 0˘<A<45˘일 때, 0<sin A<cos A이므로
sin A-cos A<0, sin A+cos A>0
∴ "√(sin A-cos A)¤ +"√(sin A+cos A)¤
∴ =-(sin A-cos A)+(sin A+cos A)
∴ =2 cos A
2 cos A=;1#7);이므로 cos A=;1!7%;
오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC
에서 AB”=15k, AC”=17k(k>0)라
하면
BC”=øπ(17k)¤ -(15k)¤ =8k
∴ tan A=
=;1•5;
BC”
AB”
유형북
C
17k
A
15k
B
(cid:9000) ;1•5;
10 오른쪽 그림과 같이 AD”의 연장선
과 EG”의 교점을 H라 하면
△AHE에서
AH”='3 +1, EH”='3 -1
π+('3 -1)¤
AE”=øπ('3 +1)¤
AE”='8=2'2
F
E
15˘
D
H
'3
'3
C
1
G
A
1
B
∴ cos 15˘=
A’H”
AE”
=
'3 +1
2'2
=
'6 +'2
4
'6 +'2
4
(cid:9000)
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2
AB”=BD”이므로 ∠DAB=45˘
AB”
2'2
cos 45˘=
'2
, =
2
AB”
AD”
∴ BD”=CD”=AB”=2
△ABC에서
AC”="√2¤ +4¤ ='∂20 =2'5
△ADC=△ABC-△ABD
△ADC=;2!;_2_4-;2!;_2_2=2
오른쪽 그림과 같이 점 D에서 AC”에 내린
수선의 발을 H라 하면
△ADC=;2!;_AC”_D’H”
△ACD=;2!;_2'5 _D’H”=2
∴ D’H”= =
2
'5
2'5
5
A’H”=æ≠(2'2 )¤ -{
2
}
=
6'5
5
2'5
5
6'5
5
C
2
D
2
B
H
x
2"2
A
2
45˘
∴ cos x=
AH”
A’D”
=
_
1
2'2
=
3'∂10
10
(cid:9000) ④
∴ BC”="√8¤ -6¤ ='∂28 =2'7
△ADE에서 BD”=AD”-AB”=8-6=2
DE”
AD”
BC”
AB”
2'7
6
DE”
8
tan a=
=
=
,
(cid:100)(cid:100)∴ DE”=
8'7
3
∴ (cid:8772)BDEC=;2!;_{2'7 +
}_2=
8'7
3
14'7
3
14'7
3
(cid:9000)
04. 삼각비 37
∴ tan 75˘=
5('6 +'2 )
2
_
2
5('6 -'2 )
∴ tan 75˘=
=2+'3
(cid:9000) 2+'3
=
DE”
AE”
'6 +'2
'6 -'2
12 △ABC에서
AB”
AC”
cos a=
, ;4#;=
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=6
AB”
8
05. 삼각비의 활용
18 (cid:8772)ABCD=8_7_sin 60˘=8_7_ =28'3 (cm¤ )
'3
2
79쪽, 81쪽
19 (cid:8772)ABCD=6_14_sin (180˘-135˘)
15 (cid:8772)ABCD=6_14_
'2
2
16 (cid:8772)ABCD=42'2 (cm¤ )
20 (cid:9000) ab sin x, ;2!;ab sin x
21 (cid:8772)ABCD=;2!;_8_12_sin 60˘
15 (cid:8772)ABCD=;2!;_8_12_
21 (cid:8772)ABCD=24'3 (cm¤ )
'3
2
'3
2
22 (cid:8772)ABCD=;2!;_8_10_sin (180˘-120˘)
15 (cid:8772)ABCD=;2!;_8_10_
22 (cid:8772)ABCD=20'3 (cm¤ )
(cid:9000) 28'3 cm¤
(cid:9000) 42'2 cm¤
(cid:9000) 24'3 cm¤
(cid:9000) 20'3 cm¤
82~89쪽
(cid:9000) 4, 4'3, 2'3, 4, 2'3, 2'7
삼각형의 변의 길이
82~85쪽
알고 있나요?
(cid:9000) 3'3
(cid:9000) 3
(cid:9000) 9
(cid:9000) 6'3
13THEME
1 ⑴ c(cid:100)(cid:100)⑵ A(cid:100)(cid:100)⑶ b(cid:100)(cid:100)
1 ⑷ b(cid:100)(cid:100)⑸ A(cid:100)(cid:100)⑹ a
01 △ABH에서
01 (cid:9000) 8, 8, 4.56
02 (cid:9000) 8, 8, 6.56
10'3
3
03 (cid:9000) 5, 5,
04 (cid:9000) 5, 5,
5'3
3
05 (cid:9000) 11 sin 64˘
06 (cid:9000) 7 tan 32˘
07 △ABH에서
AH”=8 sin 30˘=8_;2!;=4
BH”=8 cos 30˘=8_ =4'3
CH”=BC”-BH”=6'3 -4'3 =2'3
∴ AC”=øπ4¤ +(2'3 )¤ ='∂28 =2'7
08 AH”=6 sin 60˘=6_ =3'3
09 BH”=6 cos 60˘=6_;2!;=3
10 CH”=BC”-BH”=12-3=9
11 AC”=øπ(3'3 )¤ +9¤ ='∂108 =6'3
12 △CHB에서
CH”=12 sin 45˘=12_ =6'2
△CAH에서
sin A=sin 60˘=
CH”
AC”
이므로
(cid:9000) 6'2 , 60, 4'6
∴ x+y=2+2'3
02 ∠B=180˘-(90˘+55˘)=35˘
y=AH” tan 30˘=6_ =2'3
'3
3
△ABC에서 ∠C=60˘이므로
△BCH에서
y
x
tan 60˘= , '3 =
2'3
x
(cid:100)(cid:100)∴ x=2
AB” cos 35˘=BC”에서
7
cos 35˘
AB”=
(cid:9000) ⑤
03 AC”=10 sin 42˘=10_0.6691=6.691
04 DF”="√3¤ +3¤ +4¤ ='∂34
△DAF에서
∠DAF=90˘이므로
AD”
3
'∂34
DF”
sin x=
=
=
3'∂34
34
05 AH”=12 sin 60˘=12_ =6'3 (cm)
'3
2
(cid:9000) 2+2'3
A
55˘
35˘
7
C
(cid:9000) 6.691
'3å4
5
x
F
3'∂34
34
(cid:9000)
B
D
3
A
AC”=
=6'2 ÷ =6'2 _ =4'6
CH”
sin 60˘
2
'3
13 (cid:9000) 60, 45, 60, 45, '3 , 4('3 -1)
14 (cid:9000) 60, 30, 60, 30, '3 ,
, 4'3
15 △ABC=;2!;_18_16_sin 45˘
15 △ABC=;2!;_18_16_
15 △ABC=72'2 (cm¤ )
16 △ABC=;2!;_16_12_sin(180˘-120˘)
15 △ABC=;2!;_16_12_
14 △ABC=48'3 (cm¤ )
17 (cid:9000) ;2!;ab sin x, ab sin x
38 정답 및 풀이
(cid:9000) 72'2 cm¤
(cid:9000) 48'3 cm¤
'3
2
'3
2
'2
2
'3
2
'3
3
'2
2
'3
2
BH”=12 cos 60˘=12_;2!;=6 (cm)
따라서 원뿔의 부피는
;3!;_p_6¤ _6'3 =72'3 p (cm‹ )
(cid:9000) 72'3 p cm‹
A
x
B
D
H
M
6 cm
C
06 △BCD가 정삼각형이므로
BM”= _6=3'3 (cm)
'3
2
꼭짓점 A에서 밑면에 내린 수선의 발
을 H라 하면 점 H는 △BCD의 무게
중심이므로
BH”=;3@;BM”=;3@;_3'3 =2'3 (cm)
△ABH에서
A’H”=øπ6¤ -(2'3)¤ ='∂24 =2'6 (cm)
∴ sin x=
AH”
AB”
=
2'6
6
=
'6
3
'6
3
(cid:9000)
07 태환이의 손 높이에서 연까지의 높이는
60 sin 52˘=60_0.79=47.4 (m)
따라서 지면에서 연까지의 높이는
47.4+1.5=48.9 (m)
08 AC”=10 sin 65˘=10_0.9=9 (m)
(cid:9000) ②
A
따라서 지면에서 사다리가 걸쳐진 곳까지의
높이는 9 m이다.
10 m
09 오른쪽 그림에서
AB”=9 tan 30˘
=9_ =3'3 (m)
'3
3
9
cos 30˘
AC”=
=9_ =6'3 (m)
2
'3
따라서 부러지기 전의 나무의 높이는
AB”+AC”=3'3+6'3=9'3 (m)
10 △DAC에서
15
tan 30˘
AC”=
=15÷
1
'3
AC”=15_'3 =15'3 (m) y❶
△DBC에서
15
tan 60˘
= =5'3 (m)
BC”=
15
'3
따라서 A, B 두 지점 사이의 거리는
AB”=AC”-BC”=15'3 -5'3 =10'3 (m)
채점 기준
❶ 삼각비를 이용하여 AC”의 길이 구하기
❷ 삼각비를 이용하여 BC”의 길이 구하기
❸ A, B 두 지점 사이의 거리 구하기
(cid:9000) 9'3 m
D
15 m
y❷
y❸
(cid:9000) 10'3 m
배점
40%
40%
20%
유형북
11 △ABH에서
AH”=5'3 tan 30˘
AH”=5'3 _ =5 (m)
'3
3
B
30˘
45˘
A
H
HH
C
CC
△BCH에서
CH”=5'3 tan 45˘=5'3 _1=5'3 (m)
5'3 m
따라서 ㈏ 건물의 높이는
AH”+CH”=5+5'3 =5('3 +1)(m) (cid:9000) 5('3 +1) m
12 △OHC에서
OH”=40 cos 60˘=40_;2!;
OH”=20 (cm)
BH”=40-20=20 (cm)
따라서 추는 B 지점을 기준으로
20 cm 더 높은 곳에 있다.
40 cm
A
40 cm
C
O
60˘
H
B
(cid:9000) ⑤
13 ∠BPQ=45˘, ∠APQ=30˘이므로
등대에서 배 B까지의 거리는
QB”=PQ”=30 m
등대에서 배 A까지의 거리는
'3
3
Q’A”=30 tan 30˘=30_
P 45˘
60˘
30 m
Q
A
B
QA”=10'3 (m)
따라서 A, B 두 배 사이의 거리는
AB”=QB”-QA”=30-10'3 =10(3-'3 )(m) (cid:9000) ④
(cid:9000) 9 m
65˘
B
C
14 △ABC에서
A
B
30˘
9 m
C
AC”=1500 tan 60˘=1500_'3 =1500'3 (m)
△DBC에서
CD”=1500 tan 45˘=1500_1=1500 (m)
∴ AD”=AC”-CD”=1500('3 -1) (m)
(cid:9000) 1500('3 -1) m
A
14˘
D
3000 m
B
14˘
C
15 AD”∥BC”이므로
∠ACB=∠DAC=14˘
△ABC에서
3000
sin 14˘
3000
0.24
AC”=
=
=12500 (m)
30˘
A
60˘
B
C
따라서 이 비행기가 지면에 닿는 데 걸리는 시간은
12500÷100=125(초)
(cid:9000) ④
16 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에
A
내린 수선의 발을 H라 하면
△ABH에서
A’H”=2'2 sin 45˘=2'2_
1
'2
AH=2
BH”=A’H”=2
CH”=BC”-BH”=3-2=1
따라서 △AHC에서
AC”=øπ2¤ +1¤ ='5
2'2
45˘
B
C
H
3
(cid:9000) ⑤
05. 삼각비의 활용 39
17 오른쪽 그림과 같이 점 P에서 AB”에
내린 수선의 발을 H라 하면
△PHB에서
PH”=20 sin 60˘
P
20 km
60˘
B
H
30 km
AH”=CH” tan 30˘=9_ =3'3
'3
3
∴ AB”=BH”+AH”=9+3'3
21 오른쪽 그림과 같이 점 C에서 AB”에 내린
PH=20_ =10'3 (km)
A
'3
2
BH”=20 cos 60˘=20_;2!;=10 (km)
AH”=AB”-BH”=30-10=20 (km)
따라서 △PAH에서
PA”=øπ(10'3)¤ +20¤ ='∂700=10'7 (km)
(cid:9000) ⑤
A
30˘
H
B
45˘
12 cm
C
수선의 발을 H라 하면
△BCH에서
CH”=12 sin 45˘=12_
'2
2
AH=6'2 (cm)
∠A=180˘-(45˘+105˘)=30˘
이므로 △AHC에서
6'2
sin 30˘
AC”=
(cid:9000) 10'7 km
=6'2_2=12'2 (cm)
(cid:9000) 12'2 cm
22 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에 내
C
18 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”의 연
장선에 내린 수선의 발을 H라 하면
∠ACH=180˘-120˘=60˘이므로
△ACH에서
A’H”=8 sin 60˘=8_ =4'3
'3
2
A
8
B
120˘ 60˘
C
6
H
CH”=8 cos 60˘=8_;2!;=4
∴ BH”=BC”+CH”=6+4=10
따라서 △ABH에서
AB”=øπ10¤ +(4'3)¤ ='∂148=2'∂37
19 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에
A
D
내린 수선의 발을 H라 하면
∠B=180˘-120˘=60˘이므로
AH”=10 sin 60˘=10_
'3
2
AH”=5'3 (cm)
10 cm
B
60˘
H
14 cm
120˘
C
BH”=10 cos 60˘=10_;2!;=5 (cm)
CH”=BC”-BH”=14-5=9 (cm)
따라서 △AHC에서
AC”=øπ(5'3 )¤ +9¤ ='∂156=2'∂39 (cm)
(cid:9000) ④
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 2'∂39 cm
채점 기준
❶ 삼각비를 이용하여 AH”의 길이 구하기
❷ 삼각비를 이용하여 CH”의 길이 구하기
❸ 피타고라스 정리를 이용하여 대각선 AC의
길이 구하기
배점
30%
30%
40%
20 오른쪽 그림과 같이 점 C에서 AB”에 내
린 수선의 발을 H라 하면
△HBC에서
CH”=9'2 sin 45˘=9'2_ =9
B
'2
2
A
H
30˘
C
45˘
45˘
9'2
BH”=CH”=9
△AHC에서
40 정답 및 풀이
H
28˘
A
38˘
52˘
100 m
B
(cid:9000) ④
A
300 m
400 m
B
66˘
H
32˘
C
린 수선의 발을 H라 하면
∠BAH=180˘-(90˘+52˘)=38˘
이므로 △ABH에서
A’H”=100 cos 38˘=100_0.8=80 (m)
∠CAH=66˘-38˘=28˘이므로
△CAH에서
A’H”
cos 28˘
80
= =
0.9
800
9
AC”=
(m)
23 오른쪽 그림과 같이 교회, 지영이네
집, 시은이네 집을 각각 A, B, C라
하자. 점 A에서 BC”에 내린 수선의
발을 H라 하면 △ABH에서
BH”=300_cos 66˘
BD”=300_0.41=123 (m)
△CAH에서
CH”=400_cos 32˘
DC”=400_0.85=340 (m)
∴ BC”=BH”+CH”=123+340=463 (m)
24 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에 내
(cid:9000) 463 m
A
x cm
45˘
B
60˘
C
H
6 cm
린 수선의 발을 H라 하고
AC”=x cm라 하면
△AHC에서
A’H”=x sin 60˘=x_
'3
2
'3
AH”= x (cm)
2
CH”=x cos 60˘=x_;2!;=;2!;x (cm)
△ABH에서 BH”=A’H”= x cm
'3
2
BC”=BH”+CH”이므로
6= x+;2!;x, ('3 +1)x=12
'3
2
∴ x=
12
'3 +1
=6'3 -6
∴ AC”=6'3 -6=6('3 -1) cm
(cid:9000) ③
삼각형과 사각형의 넓이
86~89쪽
알고 있나요?
△CHB에서 BH”=h tan 30˘= h (cm)
'3
3
2
ab sin x
14THEME
1
3
;2!; ab sin x
;2!; ab sin x
01 AH”=a라 하면
△AHC에서 CH”=AH”=a
△ABH에서 BH”=a tan 30˘= a
1
'3
BC”=BH”+CH”에서
10= a+a, a+'3 a=10'3
1
'3
('3 +1)a=10'3
∴ a=
10'3
'3 +1
=5'3 ('3 -1)=15-5'3
따라서 x=15, y=-5이므로
x-y=15-(-5)=20
02 ∠BAH=25˘, ∠CAH=45˘
AH”=h라 하면
△ABH에서 BH”=h tan 25˘
△AHC에서 CH”=h tan 45˘=h
BC”=BH”+CH”에서
7=h tan 25˘+h, (tan 25˘+1)h=7
∴ h=
7
tan 25˘+1
03 오른쪽 그림과 같이 점 C에서 AB”에
내린 수선의 발을 H라 하고
CH”=h m라 하면
△CAH에서 AH”=CH”=h m
△CHB에서
BH”=h tan 60˘='3 h (m)
AB”=AH”+BH”에서
200=h+'3 h, 200=(1+'3 )h
∴ h=
200
'3 +1
=100('3 -1)
45˘
45˘
A
C
60˘
30˘
H
200 m
B
따라서 열기구는 지면으로부터 100('3 -1) m 높이에 떠
있다.
(cid:9000) ①
04 △ABH에서 BH”=h tan 45˘=h (cm)
△ACH에서 CH”=h tan 30˘= h (cm)
'3
3
BC”=BH”+CH”에서
'3
3
15=h+ h,
3+'3
3
h=15
∴ h=
45
3+'3
=
15(3-'3 )
2
05 오른쪽 그림과 같이 점 C에서 AB”에 내린
A
수선의 발을 H라 하자.
CH”=h cm라 하면
△CAH에서 A’H”=h tan 45˘=h (cm)
15(3-'3 )
2
(cid:9000)
10 cm
H
60˘
B
30˘
45˘
C
유형북
(cid:9000) 25(3-'3 ) cm¤
A
60˘
h
30˘
120˘
C
H
B
30˘
12
(cid:9000) ②
10=h+ h,
AB”=AH”+BH”에서
'3
3
30
3+'3
∴ h=
3+'3
3
=5(3-'3 )
h=10
∴ △ABC=;2!;_10_5(3-'3 )
∴ △ABC=25(3-'3 ) (cm¤ )
06 △ABH에서
BH”=h tan 60˘='3h
△ACH에서
CH”=h tan 30˘= h
'3
3
BC”=BH”-CH”에서
12='3h- h, 12=
'3
3
2'3
3
h
(cid:9000) ⑤
∴ h=12_
3
2'3
07 CH”=h m라 하면
=6'3
△AHC에서 AH”=CH”=h m
△BHC에서 BH”=h tan 30˘= h (m)
'3
3
AB”=AH”-BH”에서
(cid:9000) ④
200=h- h,
h=200(cid:100)(cid:100)
'3
3
3-'3
3
∴ h=
600
3-'3
=100(3+'3 )
따라서 이 산의 높이는 100(3+'3 ) m이다.
(cid:9000) 100(3+'3 ) m
08 CH”=h km라 하면
△AHC에서
AH”=h tan 57˘=1.5h (km)
△BHC에서
BH”=h tan 43˘=0.9h (km)
AB”=AH”-BH”에서
3=1.5h-0.9h, 0.6h=3
∴ h=5
따라서 이 로켓이 C 지점에 도달하는 데 걸린 시간은
33˘ 47˘
B
3 km
A
C
43˘
h km
57˘
H
:∞5º0º0º:=10(초)
(cid:9000) ①
09 △ABC=;2!;_5_8_sin 60˘
△ABC=;2!;_5_8_ =10'3
(cid:9000) 10'3
'3
2
10 AC”=BC”=x cm라 하면
△ABC=;2!;_x_x_sin 30˘=;2!;_x¤ _;2!;=16
=16, x¤ =64(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>0)
x¤
4
∴ AC”=8 cm
(cid:9000) 8 cm
05. 삼각비의 활용 41
11 △ABC=;2!;_5_10_sin B=
25'3
2
25 sin B=
25'3
2
, sin B= (cid:100)(cid:100)
'3
2
∴ ∠B=60˘
(cid:9000) 60˘
12 △ABC=;2!;_10_12_sin 45˘
14 △ABC=;2!;_10_12_ =30'2 (cm¤ )
y❶
'2
2
∴ △AGC=;3!;△ABC=;3!;_30'2
∴ △AGC=10'2 (cm¤ )
채점 기준
❶ △ABC의 넓이 구하기
❷ △AGC의 넓이 구하기
y❷
(cid:9000) 10'2 cm¤
배점
50%
50%
13 △ABC=;2!;_9_8_sin(180˘-120˘)
△ABC=;2!;_9_8_sin 60˘
△ABC=;2!;_9_8_ =18'3 (cm¤ )
(cid:9000) ⑤
'3
2
14 △ABC=;2!;_20_8_sin(180˘-x)
40'3 =80_sin(180˘-x), sin(180˘-x)=
'3
2
즉, 180˘-∠x=60˘에서 ∠x=120˘
(cid:9000) ③
P
B
15˘
y❶
A
15˘
O
12 cm
15 오른쪽 그림과 같이 OP”를 그으면
△AOP에서 OA”=OP”이므로
∠OPA=∠OAP=15˘
∴ ∠AOP=180˘-2_15˘
=150˘
∴ (색칠한 부분의 넓이)
∴ =(부채꼴 AOP의 넓이)-△AOP
∴ =p_6¤ _
150
360
∴ =15p-9
∴ =3(5p-3) (cm¤ )
∴ (cid:8772)ABCD=△ABD+△BCD
∴ (cid:8772)ABCD=4'3 +12'3 =16'3 (cm¤ ) (cid:9000) 16'3 cm¤
17 △ABC에서
AC”=20 sin 60˘=20_ =10'3 (cm)
∠ACB=180˘-(90˘+60˘)=30˘이므로
∠ACD=90˘-30˘=60˘
△ABC=;2!;_10_20_sin 60˘
'3
2
'3
2
△ABC=;2!;_10_20_ =50'3 (cm¤ )
△ACD=;2!;_10'3_10'3_sin 60˘
△ACD=;2!;_10'3_10'3_ =75'3 (cm¤ )
'3
2
∴ (cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD
∴ (cid:8772)ABCD=50'3 +75'3
∴ (cid:8772)ABCD=125'3 (cm¤ )
18 (정육각형의 넓이)
={;2!;_12_12_sin 60˘}_6
={;2!;_12_12_ }_6
'3
2
=216'3 (cm¤ )
19 (cid:8772)ABCD
=10_10_sin(180˘-135˘)
=10_10_sin45˘
=10_10_
'2
2
=50'2 (cm¤ )
(cid:9000) 125'3 cm¤
12 cm
60˘
O
(cid:9000) ⑤
10 cm
10 cm
B
D
A
135˘
C
(cid:9000) 50'2 cm¤
20 △ABC=△CDA이므로 △CDA=;2!; (cid:8772) ABCD
평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분하므로
△APD=;2!;△ACD=;2!;_;2!; (cid:8772) ABCD
-;2!;_6_6_sin (180˘-150˘)
△APD=;4!; (cid:8772) ABCD
y❷
(cid:9000) 3(5p-3) cm¤
△APD=;4!;_(4_6_sin 60˘)
△APD=;4!;_{4_6_ }=3'3 (cm¤ )
(cid:9000) ③
'3
2
채점 기준
❶ ∠AOP의 크기 구하기
❷ 색칠한 부분의 넓이 구하기
배점
40%
60%
21 B’MÚ=C’MÚ이므로 △ABM=△AMC
∴ △AMC=;2!;△ABC=;2!;_;2!;(cid:8772) ABCD
16 △ABD=;2!;_4_4_sin(180˘-120˘)
△ABD=;2!;_4_4_sin 60˘
△ABD=;2!;_4_4_ =4'3 (cm¤ )
'3
2
△BCD=;2!;_4'3 _4'3_sin 60˘
△BCD=;2!;_4'3 _4'3 _ =12'3 (cm¤ )
'3
2
42 정답 및 풀이
∴ △AMC=;4!;(cid:8772) ABCD
∴ △AMC=;4!;_(6_8_sin 60˘)
22 (cid:8772)ABCD=;2!;_10_12_sin 60˘
(cid:8772)ABCD=;2!;_10_12_
'3
2
'3
2
∴ △AMC=;4!;_{6_8_ }=6'3 (cm¤ )
(cid:9000) ③
(cid:8772)ABCD=30'3 (cm¤ )
(cid:9000) 30'3 cm¤
유형북
23 ∠AOB=∠x라 하면
;2!;_12_12_sin x=36'3
72 sin x=36'3, sin x= (cid:100)(cid:100)
'3
2
∴ ∠x=60˘
∴ ∠BOC=180˘-60˘=120˘
A
B
Ox
12 cm
D
C
즉, △AFC는 AC”=CF”인 이등변삼각형이다.
오른쪽 그림과 같이 점 C에서 AF”에 내
린 수선의 발을 P라 하면
∠x
2
'6
, AP”= a이므로
2
∠ACP=
2a
A
10
2
a
C
x
2
F
P
a
'6
2
24 sin 90˘=1이므로 (cid:8772)ABCD의 넓이가 최대가 될 때는 두 대
sin ;2{;=
= a÷2a=
(cid:9000) ③
CP”=æ≠(2a)¤ -{
2
a}
=
'∂10
2
a
'6
2
'6
2
AP”
AC”
'6
4
cos ;2{;=
CP”
AC”
=
'∂10
2
a÷2a=
'∂10
4
각선이 이루는 각의 크기가 90˘일 때이다.
따라서 (cid:8772)ABCD의 넓이의 최댓값은
;2!;_6_8_sin 90˘=24 (cm¤ )
(cid:9000) 24 cm¤
90~91쪽
A
O
45˘
30˘
6'2
C
B
01 직선 AB를 회전축으로 하여 1회전시킬 때
생기는 입체도형은 오른쪽 그림과 같다.
△AOC에서
AO”=6'2 cos 45˘=6'2_ =6
'2
2
'2
2
OC”=6'2 sin 45˘=6'2_ =6
△OBC에서
6
tan 30˘
OB”=
=6÷ =6_'3=6'3
1
'3
따라서 구하는 입체도형의 부피는
∴ sin ;2{;+cos ;2{;=
'6 +'∂10
4
'6 +'∂10
4
(cid:9000)
04 오른쪽 그림과 같이 MÚNÚ을 긋고 정
사각형의 한 변의 길이를 2a라 하면
A’MÚ=CN”=a이므로
△BNM
=(cid:8772) ABCD-2△ABM-△MND
A a
M
a
2a
x
B
2a
D
a
N
a
C
=(2a)¤ -2_{;2!;_2a_a}-;2!;_a_a
=4a¤ -2a¤ -;2!;a¤ =;2#;a¤
(cid:100)(cid:100)yy ㉠
B’MÚ=BN”=øπ(2a)¤ +a¤ ='5a이므로
△BNM=;2!;_'5a_'5a_sin x=;2%;a¤ sin x(cid:100)(cid:100)yy ㉡
㉠, ㉡이 서로 같아야 하므로
;2#;a¤ =;2%;a¤ sin x(cid:100)(cid:100)∴ sin x=;5#;
(cid:9000) ;5#;
05 AB”=c, BC”=a라 하자.
;3!;_p_6¤ _6+;3!;_p_6¤ _6'3=72p+72'3 p
AB”의 길이를 20 % 줄이면 A’'B”=c-;1™0º0; c=;5$;c
=72p(1+'3) (cid:9000) ④
BC”의 길이를 10 % 늘이면 B’C'”=a+;1¡0º0;a=;1!0!; a
02 △DBH에서
BH”=5'3 cos 30˘=5'3 _ =;;¡2∞;; (m)
'3
2
△ABC=;2!;_c_a_sin B=;2!;ac sin B
△A'BC'=;2!;_;5$; c_;1!0!;a_sin B=;2!5!;ac sin B
AH”=AB”+BH”=10+;;¡2∞;;=:£2∞: (m)
∴ ;2@5@;△ABC=△A'BC'
DH”=5'3 sin 30˘=5'3 _;2!;=
(m)
△CAH에서
CH”=AH” tan 60˘=:£2∞:_'3 =
(m)
5'3
2
35'3
2
CD”=CH”-DH”이므로
CD”=
35'3
2
-
5'3
2
=15'3 (m)
(cid:9000) 15'3 m
03 FG”=a라 하면 ∠CFG=60˘이므로 CG”=a tan 60˘='3a
∠AFE=45˘이므로 EF”=AE”=CG”='3a
AF”=øπ('3 a)¤ +('3 a)¤ ='6 a
AC”=øπ('3 a)¤ +a¤ =2a
CF”=øπa¤ +('3 a)¤ =2a
즉, 0.88△ABC=△A'BC'이므로 △A'BC'의 넓이는
△ABC의 넓이에서 12 % 줄어든다.
(cid:9000) ④
06 CD”=x cm라 하면
△ABC=;2!;_4'3 _6_sin (180˘-150˘)
△ABC=;2!;_4'3 _6_sin 30˘
△ABC=;2!;_4'3 _6_;2!;=6'3 (cm¤ )
△ADC=;2!;_6_x_sin (180˘-120˘)
△ABC=;2!;_6_x_sin 60˘
△ADC=;2!;_6_x_ =
x (cm¤ )
'3
2
3'3
2
05. 삼각비의 활용 43
△BCD=;2!;_4'3 _x_sin 30˘
△BCD=;2!;_4'3 _x_;2!;='3 x (cm¤ )
△ABC=△ADC+△BCD에서
5'3
2
x+'3 x, 6'3 =
3'3
2
6'3 =
∴ △ADC=
x=
_:¡5™:
3'3
2
∴ △ADC=
(cm¤ )
3'3
2
18'3
5
x(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡5™:
18'3
5
(cid:9000)
cm¤
C
D
A
30˘
3
30˘
30˘
B
O 30˘
07 OC”를 그으면 OB”=OC”이므로
∠OCB=∠OBC=30˘
∠COD=;2!;∠AOC
∠COD=;2!;(∠OBC+∠OCB)
∠COD=30˘
△BCO=;2!;_3_3_sin(180˘-120˘)
△ABC=;2!;_3_3_sin 60˘
△ADC=;2!;_3_3_ =
'3
2
9'3
4
△CDO=△DAO=;2!;_3_3_sin 30˘
△ADC=;2!;_3_3_;2!;=;4(;
∴ (cid:8772)ABCD=△BCO+△CDO+△DAO
∴ (cid:8772)ABCD=△BCO+2△CDO
9'3
4
∴ (cid:8772)ABCD=
18+9'3
4
+;2(;=
08 ∠DAB'=90˘-30˘=60˘
△DAE≡△B'AE (RHS 합동)
이므로 ∠EAD=∠EAB'=30˘
△EAB'에서
E’B'”=4'3 tan 30˘
E’B'”=4'3 _ =4 (cm)
'3
3
C'
E
C
D'
D
B'
A
30˘
4'3 cm
B
따라서 두 정사각형이 겹쳐지는 부분의 넓이는
2△AB'E=2_{;2!;_4'3 _4}
09 AB”=2a cm, BC”=3a cm (a>0)라 하면
(cid:8772)ABCD=2a_3a_sin 60˘
(cid:8772)ABCD=2a_3a_ =3'3 a¤ (cm¤ )
'3
2
3'3 a¤ =12'3 에서 a¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ a=2 (∵ a>0)
따라서 (cid:8772) ABCD의 둘레의 길이는
2(2a+3a)=10a=10_2=20 (cm)
44 정답 및 풀이
10 오른쪽 그림과 같이 점 E에서 BC”에 내
린 수선의 발을 H라 하고 EH”=x라 하면
△DBC에서
A
E
D
60˘
60˘ 45˘
H
8
C
B
tan 60˘=
BC”
CD”
, '3=
BC”
8
∴ BC”=8'3
CH”=EH”=x라 하면 BH”=8'3-x
△EBH에서
tan 60˘=
BH”
EH”
, '3=
8'3-x
x
8'3-x='3x, ('3+1)x=8'3
∴ x=
8'3
'3+1
=4(3-'3 )
∴ △EBC=;2!;_8'3_4(3-'3 )=48('3 -1)
(cid:9000) 48('3 -1)
11 △ABC=;2!;_AB”_BC”_sin B=36이므로
AB”_BC”_sin B=72
△LBM=;2!;_;3!;AB”_;2!; BC”_sin B
△LBM=;1¡2;_AB”_BC”_sin B=;1¡2;_72=6
△ABC=;2!;_AC”_BC”_sin C=36이므로
AC”_BC”_sin C=72
△NMC=;2!;_;3@; AC”_;2!; BC”_sin C
△NMC=;6!;_AC”_BC”_sin C=;6!;_72=12
△ABC=;2!;_AB”_AC”_sin A=36이므로
(cid:9000) ②
AB”_AC”_sin A=72
△ALN=;2!;_;3@; AB”_;3!; AC”_sin A
△ALN=;9!;_AB”_AC”_sin A=;9!;_72=8
∴ △LMN
=△ABC-(△LBM+△NMC+△ALN)
=36-(6+12+8)=10
(cid:9000) 10
12 두 대변이 각각 평행하므로
(cid:8772)ABCD는 평행사변형이다.
AD”=
=4÷
8'3
3
'3
2
'3
2
4
sin 60˘
2
'3
6
sin 60˘
2
'3
CD”=
=6÷
CD”=6_ =4'3 (cm)
4 cm
D
A
6 cm
B
60˘
60˘
60˘
C
따라서 겹쳐지는 부분의 넓이는
8'3
8'3
3
3
_4'3 _sin 60˘=
_4'3_
'3
2
(cid:9000) ⑤
_4'3 _sin 60˘=16'3 (cm¤ )
(cid:9000) 16'3 cm¤
2△AB'E=16'3 (cm¤ )
(cid:9000) 16'3 cm¤
AD”=4_ =
(cm)
06. 원과 직선
01 (cid:9000) (cid:8776)
02 (cid:9000) ×
03 (cid:9000) (cid:8776)
04 (cid:9000) ㈎：OB”, ㈏：OM”, ㈐：RHS, ㈑：BM”
05 (cid:9000) 4
06 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 수직이등분하므로
x="√2¤ +2¤ ='8=2'2
07 (cid:9000) 5
08 (cid:9000) 3
09 ∠PBA=∠PAB=70˘이므로
∠x=180˘-(70˘+70˘)=40˘
10 ∠PAB=∠PBA이므로
∠x=;2!;_(180˘-50˘)=65˘
11 ∠x=180˘-125˘=55˘
12 △APB는 정삼각형이므로 x=5
13 오른쪽 그림의 △OPB에서
x="√(3+2)¤ -2¤ ='∂21
14 y=3+8=11
15 x=3+4=7, y=9-4=5
(cid:9000) 40˘
(cid:9000) 65˘
(cid:9000) 55˘
(cid:9000) 5
3 cm
2 cm
P
(cid:9000) '∂21
x cm
A
2 cm
O
2 cm
B
(cid:9000) x=4, y=11
(cid:9000) x=7, y=5
96~103쪽
96~98쪽
알고 있나요?
7 cm
A
3 cm
B
O
H
(cid:9000) 4'∂10 cm
15THEME
원과 현
1 ⑴ △OBM
⑶ 16 cm
⑵ 10 cm
⑷ 16 cm
01 오른쪽 그림과 같이 점 O에서 AB”에
내린 수선의 발을 H라 하면
AH”=BH”
직각삼각형 OAH에서
AH”="√7¤ -3¤ ='∂40 =2'∂10 (cm)
∴ AB”=2AH”=2_2'∂10 =4'∂10 (cm)
02 OM”=;2!; OC”=;2!;_10=5 (cm)이므로
직각삼각형 OMB에서
BM”="√10¤ -5¤ ='∂75=5'3 (cm)
∴ AB”=2BM”=2_5'3 =10'3 (cm)
유형북
MB”=;2!;AB”=;2!;_8=4 (cm)
95쪽
OB”를 그으면 직각삼각형 OBM에서
OM”="√5¤ -4¤ ='9=3 (cm)
(cid:9000) 3 cm
04 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 CD”의 연장선
은 이 원의 중심 O를 지난다.
오른쪽 그림과 같이 원 O의 반지름
의 길이를 r cm라 하면
직각삼각형 ODA에서
r¤ =(r-4)¤ +8¤
8r=80(cid:100)(cid:100)∴ r=10
따라서 원 O의 반지름의 길이는 10 cm이다.
8 cm
A
4 cm
C
B
r cm
D
O
(r-4) cm
(cid:9000) 2'2
(cid:9000) 10 cm
05 CM”은 AB”의 수직이등분선이므로 CM”의 연장선은 원의 중
C
4 cm
심을 지난다.
오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 O,
반지름의 길이를 r cm라 하면
OM”=(r-2) cm이므로
직각삼각형 OMA에서
r¤ =(r-2)¤ +4¤ (cid:100)(cid:100)
4r=20(cid:100)(cid:100)∴ r=5
따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 5 cm이다. (cid:9000) 5 cm
06 PH”는 AB”의 수직이등분선이므로 PH”의 연장선은 원의 중
(r-2) cm
2 cm
r cm
M
A
O
B
심을 지난다.
오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 O라
하면 직각삼각형 OHB에서
BH”="√7¤ -5¤ ='∂24=2'6 (cm)
∴ AB”=2BH”=2_2'6
∴ AB”=4'6 (cm)
O
H
5 cm
7 cm
A
B
2 cm
P
∴ △APB=;2!;_4'6 _2=4'6 (cm¤ )
(cid:9000) 4'6 cm¤
07 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O와 일
치하는 원주 위의 점을 C라 하고
OC”와 AB”의 교점을 M이라 하면
OC”⊥AB”, OM”=MC”=3 cm이므로
직각삼각형 OAM에서
AM”="√6¤ -3¤ ='∂27 =3'3 (cm)
∴ AB”=2AM”=2_3'3 =6'3 (cm)
08 오른쪽 그림과 같이 점 O에서 AB”에
내린 수선의 발을 M이라 하면
AM”=;2!;AB”=;2!;_8=4 (cm)
6 cm
O
A
3 cm
B
M
C
(cid:9000) 6'3 cm
r cm
O
cmr
2
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
A
4 cm
M
B
OM”=;2R; cm이므로
직각삼각형 OAM에서
2
r¤ ={;2R;}
+4¤ , ;4#;r¤ =16
r¤ =:§3¢:(cid:100)(cid:100)∴ r=
(∵ r>0)
8'3
3
06. 원과 직선 45
03 원 O의 반지름의 길이는 5 cm이고 AM”=BM”이므로
(cid:9000) 10'3 cm
따라서 원 O의 반지름의 길이는
cm이다.
(cid:9000) ③
8'3
3
09 오른쪽 그림과 같이 점 O에서 AB”에
내린 수선의 발을 M이라 하면
AM”=;2!;AB”=;2!;_10'3
AM”=5'3 (cm)
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
r cm
r cm 2
O
A
5'3 cm
M
B
O’M”=;2R; cm이므로
직각삼각형 OAM에서
2
r¤ ={;2R;}
+(5'3 )¤ , ;4#;r¤ =75
r¤ =100(cid:100)(cid:100)∴ r=10 (∵ r>0)
O’M”：O’A”=1：2에서 ∠AOM=60˘
즉, ∠AOB=120˘이므로 부채꼴 OAB에서
μAB=2p_10_
=:™3º:p (cm)
120
360
10 오른쪽 그림과 같이 OA”를 그으면
O’A”=OD”=5+2=7 (cm)이고
OC”⊥AB”이므로
직각삼각형 OCA에서
AC”="√7¤ -5¤ ='∂24 =2'6 (cm)
∴ AB”=2AC”=2_2'6 =4'6 (cm)
A
7 cm
O
5 cm
DC
2 cm
B
(cid:9000) 4'6 cm
11 오른쪽 그림과 같이 OT”를 그으면
OT”=OM”=3 cm
또, ∠OTP=90˘이므로
직각삼각형 OPT에서
PT”="√5¤ -3¤ ='∂16 =4 (cm)
∴ PQ”=2PT”=2_4=8 (cm)
2 cm
3 cm
O
3 cm
P
M
T
Q
(cid:9000) 8 cm
12 오른쪽 그림과 같이 큰 원의
반지름의 길이를 r라 하고 점
O에서 AB”에 내린 수선의 발
을 M이라 하면
r
4
O
M
A
4'3
C
2'3
AC”=CD”=;3!; AB”=;3!;_12'3=4'3
C’M”=;2!; CD”=;2!;_4'3=2'3
”=AC”+C’M”=4'3+2'3=6'3
∴ A’M”
직각삼각형 OCM에서
O’M”="√4¤ -(2'3 )¤ ='4=2
직각삼각형 OAM에서
r¤ =(6'3 )¤ +2¤ , r¤ =112
∴ r=4'7 (∵ r>0)
따라서 큰 원의 반지름의 길이는 4'7이다.
채점 기준
❶ AM”의 길이 구하기
❷ OM”의 길이 구하기
❸ 큰 원의 반지름의 길이 구하기
46 정답 및 풀이
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 4'7
배점
40%
20%
40%
13 직각삼각형 OAM에서
AM”=øπ4¤ -('7 )¤ ='9=3 (cm)이므로
AB”=2AM”=2_3=6 (cm)
∴ CD”=AB”=6 cm
14 AB”=2AM”=2_4=8 (cm)
∴ CD”=AB”=8 cm
15 오른쪽 그림과 같이 O’A”, OB”를 그으
A
(cid:9000) 6 cm
(cid:9000) 8 cm
면 직각삼각형 OAM에서
A’M”="√10¤ -8¤ ='∂36 =6 (cm)
CD”=AB”=2AM”=2_6=12 (cm)
△OAB≡△OCD (SSS 합동)이므로
M
B
10 cm
D
O
8 cm
C
△OCD=;2!;_12_8=48 (cm¤ )
(cid:9000) 48 cm¤
(cid:9000) ④
16 OM”⊥AB”, ON”⊥AC”이고 OM”=ON”이므로 AB”=AC”
즉, △ABC는 이등변삼각형이므로
∠ABC=;2!;_(180˘-40˘)=70˘
(cid:9000) 70˘
17 (cid:8772)AMON에서
∠A=360˘-(90˘+120˘+90˘)=60˘
O’M”=ON”이므로 AB”=AC”
즉, △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이므로
∠B=∠C=;2!;_(180˘-60˘)=60˘
따라서 △ABC는 정삼각형이므로
BC”=AB”=2A’M”=2_4=8 (cm)
18 OD”=OE”=OF”이므로
AB”=BC”=CA”
즉, △ABC는 정삼각형이다. y❶
∠BAC=60˘,
∠DAO=;2!;_60˘=30˘이고
(cid:9000) ③
30˘
A
6'3 cm
D
F
O
E
B
C
A’D”=;2!;AB”=;2!;_6'3 =3'3 (cm)이므로
직각삼각형 ADO에서
A’D”：AO”='3 ：2, 3'3 ：AO”='3 ：2(cid:100)(cid:100)
∴ AO”=6 cm
y❷
따라서 구하는 원 O의 넓이는 p_6¤ =36p (cm¤ ) y❸
(cid:9000) 36p cm¤
채점 기준
❶ △ABC가 정삼각형임을 알기
❷ 원 O의 반지름의 길이 구하기
❸ 원 O의 넓이 구하기
배점
20%
50%
30%
16THEME
원의 접선
1 ⑴ 90(cid:100)(cid:100)⑵ △PBO (cid:100)(cid:100)⑶ 4
99~103쪽
알고 있나요?
유형북
4'3 cm
O
P
A
60˘
60˘
B
01 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같다.
즉, PA”=PB”이므로 △PAB는 이등변삼각형이다.
∴ ∠x=;2!;_(180˘-52˘)=64˘
02 ∠PAC=90˘이므로 ∠PAB=90˘-18˘=72˘
PA”=PB”에서 △PAB는 이등변삼각형이므로
∠P=180˘-2_72˘=36˘
03 PA”=PB”이므로
(cid:9000) 64˘
(cid:9000) 36˘
09 오른쪽 그림과 같이 OP”를 그으면
직각삼각형 AOP에서
∠AOP=60˘이므로
OA” : AP”=1 : '3
OA” : 4'3=1 : '3
∴ OA”=4 cm
(cid:8772)AOBP=2△AOP
∠PAB=;2!;_(180˘-50˘)=65˘
∠OAP=90˘이므로
∠x=90˘-65˘=25˘
04 PA”⊥OA”이므로 직각삼각형 APO에서
PA”="√12¤ -4¤ ='∂128 =8'2 (cm)
∴ PB”=PA”=8'2 cm
05 오른쪽 그림과 같이 OT”를 그으면
∠OTP=90˘이므로
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
직각삼각형 OPT에서
(r+2)¤ =r¤ +5¤
2 cm
P
5 cm
A
r cm
O
r cm
T
r¤ +4r+4=r¤ +25
4r=21(cid:100)(cid:100)∴ r=:™4¡:
∴ (원 O의 둘레의 길이)=2p_:™4¡:=:™2¡:p (cm) (cid:9000) ③
T
r cm
30˘
5 cm
r cm
A
O
06 오른쪽 그림과 같이 원 O의 반지름의
P
길이를 r cm라 하면
∠OTP=90˘, ∠P=30˘이므로 직
각삼각형 POT에서
PO” : TO”=2 : 1, (5+r): r=2 : 1
2r=5+r(cid:100)(cid:100)∴ r=5
따라서 PO”=10 cm, TO”=5 cm이므로
PT”="√10¤ -5¤ ='∂75=5'3 (cm)
07 ∠OAP=∠OBP=90˘이므로 ∠AOB+∠P=180˘
(cid:9000) ④
∴ ∠AOB=180˘-45˘=135˘
따라서 색칠한 부분의 호의 길이는
2p_10_ =:¡2∞:p (cm)
135
360
08 ① PA”=PB”=3'3 cm
② △PAO≡△PBO (RHS 합동)이므로
∠POA=∠POB=60˘
△PAO에서 PA”：OA”='3 ：1
3'3 ：OA”='3 ：1(cid:100)(cid:100)∴ O’A”=3 cm
120
360
=2p (cm)
③ μAB=2p_3_
④ 직각삼각형 PAO에서
OP”="√(3'3 )¤ +3¤ ='∂36=6 (cm)
⑤ (cid:8772)PAOB=2△PAO
(cid:8772)OAPB=2_{;2!;_3_3'3 }=9'3 (cm¤ )
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
(cid:8772)AOBP=2_{;2!;_4_4'3}=16'3 (cm¤ )
(부채꼴 AOB의 넓이)=p_4¤ _;3!6@0);=;;¡3§;;p (cm¤ )
(cid:9000) ②
따라서 색칠한 부분의 넓이는
{16'3-;;¡3§;;p} cm¤
(cid:9000) {16'3-;;¡3§;;p} cm¤
(cid:9000) 8'2 cm
10 AT”⊥OT”이므로 직각삼각형 AOT에서
AT”="√17¤ -8¤ ='∂225 =15 (cm)
BD”=BT”, CD”=C’T'”이므로
(△ABC의 둘레의 길이)=AB”+BC”+CA”
=AB”+(BD”+DC”)+CA”
=AB”+(BT”+C’T'”)+CA”
=AT”+A’T'”
=15+15
=30 (cm)
(cid:9000) ④
11 DC”=D’A”
”, EC”=EB”이므로
(△DPE의 둘레의 길이)
=PD”+DE”+EP”
=PD”+(DC”+CE”)+EP”
=PD”+(D’A”+EB”)+EP”
=P’A”+PB”
=13+13=26 (cm)
(cid:9000) 26 cm
12 BD”=BE”, CF”=CE”이므로
AD”+AF”=AB”+BC”+CA”=10+7+8=25 (cm)
(cid:9000) :¡2∞:p cm
AD”=AF”이므로 AF”=:™2∞: cm
∴ CF”=AF”-AC”=:™2∞:-8=;2(; (cm)
(cid:9000) ;2(; cm
13 CP”=AC”=5 cm, PD”=BD”=8 cm
∴ CD”=CP”+PD”=5+8=13 (cm)
오른쪽 그림과 같이 점 C에서 BD”에
내린 수선의 발을 H라 하면
HD”=8-5=3 (cm)
직각삼각형 CHD에서
AB”=CH”="√13¤ -3¤
='∂160 =4'∂10 (cm)
따라서 원 O의 반지름의 길이는
O’A”=;2!;AB”=;2!;_4'∂10 =2'∂10 (cm)
5 cm
A
O
C
5 cm
P
B
5 cm
H
8 cm
D
3 cm
(cid:9000) ⑤
06. 원과 직선 47
9 cm
P
D
5 cm
H
B
O
4 cm
C
4 cm
A
14 오른쪽 그림과 같이 점 C에서 BD”
에 내린 수선의 발을 H라 하면
DH”=9-4=5 (cm)
CP”=AC”=4 cm
PD”=BD”=9 cm이므로
CD”=CP”+PD”=4+9=13 (cm)
직각삼각형 DCH에서
AB”=CH”="√13¤ -5¤ ='∂144 =12 (cm)
15 DE”=AD”=4 cm, EC”=BC”=8 cm이므로
DC”=DE”+EC”=4+8=12 (cm)
오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BC”에
내린 수선의 발을 H라 하면
CH”=8-4=4 (cm)이므로
직각삼각형 DHC에서
AB”=D’H”="√12¤ -4¤ ='∂128
=8'2 (cm)
y❷
H
8 cm
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(4+8)_8'2=48'2 (cm¤ )
y❸
(cid:9000) 12 cm
y❶
4 cm
E
8 cm
C
4 cm
A
D
O
B
(cid:9000) 48'2 cm¤
배점
40%
40%
20%
채점 기준
❶ DC”의 길이 구하기
❷ AB”의 길이 구하기
❸ (cid:8772)ABCD의 넓이 구하기
16 AD”=AF”=x라 하면
BD”=BE”=14-x, CF”=CE”=19-x
이때 BC”=BE”+CE”이므로
17=(14-x)+(19-x)
2x=16(cid:100)(cid:100)∴ x=8
∴ AD”=8
17 AD”=AF”, BD”=BE”, CF”=CE”이므로
AB”+BC”+CA”=2(AD”+BE”+CF”)
∴ AD”+BE”+CF”=;2!;(AB”+BC”+CA”)
∴ AD”+BE”+CF=;2!;_(10+11+9)
∴ AD”+BE”+CF=15 (cm)
18 ∠C=180˘-(80˘+70˘)=30˘
(cid:9000) 15 cm
CF”=CE”이므로 △CFE는 이등변삼각형이다.
∴ ∠x=2!;_(180˘-30˘)=75˘
(cid:9000) 75˘
19 BC”="√13¤ -5¤ ='∂144=12 (cm)
13 cm
F
O
D
r cm
A
(5-r) cm
오른쪽 그림에서 원 O의
반지름의 길이를 r cm라
하면 (cid:8772)ODBE가 정사각
형이므로
BD”=BE”=r cm, AF”=AD”=(5-r)cm
CF”=CE”=(12-r)cm
AC”=AF”+CF”이므로 13=(5-r)+(12-r)
2r=4(cid:100)(cid:100)∴ r=2
따라서 원 O의 반지름의 길이는 2 cm이다.
E
B
(cid:9000) ③
48 정답 및 풀이
A
D
F
O
r cm
6 cm
E
9 cm
C
(cid:9000) ②
10 cm
C
B
20 오른쪽 그림에서 원 O의 반지름의 길
이를 r cm라 하면 (cid:8772)ADOF가 정사
각형이므로
AD”=AF”=r cm
BD”=BE”=6 cm, CF”=CE”=9 cm이므로
AB”=(r+6) cm, AC”=(r+9) cm
직각삼각형 ABC에서
(r+6)¤ +(r+9)¤ =15¤
r¤ +15r-54=0, (r+18)(r-3)=0
∴ r=3 (∵ r>0)
따라서 원 O의 넓이는
p_3¤ =9p (cm¤ )
B
E
O
D
A
r cm
3 cm
P
21 오른쪽 그림과 같이 원 O와
AB”, BC”와의 접점을 각각
D, E라 하고 원 O의 반지름
의 길이를 r cm라 하면
(cid:8772)ODBE가 정사각형이므로
BD”=BE”=r cm
AD”=AP”=3 cm, CE”=CP”=10 cm이므로
AB”=(r+3) cm, BC”=(r+10 ) cm
직각삼각형 ABC에서
(r+3)¤ +(r+10)¤ =13¤ , r¤ +13r-30=0
(r+15)(r-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ r=2 (∵ r>0)
∴ AB”=5 cm, BC”=12 cm
(cid:9000) 8
∴ △ABC=;2!;_12_5=30 (cm¤ )
(cid:9000) 30 cm¤
22 AE”=A’H”, BE”=BF”, CF”=CG”, DG”=D’H”이므로
AB”+DC”=AD”+BC”
DG”=D’H”=3 cm, DC”=3+4=7 (cm)이므로
AB”+DC”=8+7=15 (cm)
∴ ((cid:8772)ABCD의 둘레의 길이)=AB”+DC”+AD”+BC”
=15+15=30 (cm)
23 AB”+DC”=AD”+BC”이므로
4+BP”+DR”+7=7+16
∴ BP”+DR”=12 cm
24 원 O의 반지름의 길이가 3 cm이
(cid:9000) 30 cm
(cid:9000) ④
A
D
므로
DC”=6 cm
AB”+DC”=AD”+BC”이므로
AD”+BC”=8+6=14 (cm)
y❶
8 cm
6 cm
O
B
3 cm
C
y❷
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(AD”+BC”)_6
(12-r) cm
C
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_14_6=42 (cm¤ )
채점 기준
❶ DC”의 길이 구하기
❷ AD”+BC”의 길이 구하기
❸ (cid:8772)ABCD의 넓이 구하기
y❸
(cid:9000) 42 cm¤
배점
20%
40%
40%
25 오른쪽 그림과 같이 원 O가 BC”,
CD”와 만나는 점을 각각 G, H라
하자.
CD”=AB”=6 cm이고 원 O가
CD”에 접하므로
CH”=CG”=;2!;_6=3 (cm)
A E
F
6 cm
O
B
G
3 cm
D
H
C
3 cm
(cid:9000) 4 cm
∴ BF”=BG”=7-3=4 (cm)
26 AS”=AP”=BP”=BQ”=4 cm이므로
(△DEC의 둘레의 길이)=DE”+EC”+CD”
=(DR”+RE”)+EC”+CD”
=(DS”+QE”)+EC”+CD”
=DS”+(QE”+EC”)+CD”
=DS”+QC”+CD”
=(12-4)+(12-4)+8
=24 (cm)
(cid:9000) ⑤
A
4 cm 2 cm
D
4 cm
4 cm
x cm
G
F
O
H
2 cm
2 cm
I
2 cm
C
27 오른쪽 그림과 같이 원 O의 네 접
점을 각각 F, G, H, I라 하면
DF”=DI”=IC”=HC”=2 cm
B
E
x cm
이므로
AF”=AG”=6-2=4 (cm)
EG”=EH”=x cm라 하면
AE”=(4+x) cm, BE”=6-(x+2)=4-x (cm)이므로
직각삼각형 ABE에서
(4+x)¤ =4¤ +(4-x)¤ , 16x=16(cid:100)(cid:100)∴ x=1
∴ AE”=4+1=5 (cm)
(cid:9000) ①
28 반원 P의 반지름의 길이를 r cm라 하면
PQ”=(3+r) cm
3 cm
Q
OP”=12-6-r=6-r (cm)
이므로 직각삼각형 OPQ에서
(3+r)¤ =3¤ +(6-r)¤ , 18r=36(cid:100)(cid:100)∴ r=2
따라서 반원 P의 지름의 길이는 4 cm이다.
6 cm
O
P
r cm
(cid:9000) 4 cm
5
D
A
29 오른쪽 그림에서 원 O의 반지름의
길이가 2이므로 원 O'의 반지름의
길이를 r라 하면
O’O'”=2+r, OH”=2-r,
H’O'”=5-2-r=3-r
직각삼각형 OHO'에서
(2+r)¤ =(2-r)¤ +(3-r)¤
r¤ -14r+9=0(cid:100)(cid:100)∴ r=7-2'∂10 (∵ 0<r<2) (cid:9000) ②
O'
H
O
B
C
2
4
r
30 부채꼴 AOB의 중심각의 크기를 ∠x라 하면
부채꼴 AOB의 넓이는
∠x
360˘
p_18¤ _
=54p(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=60˘
오른쪽 그림과 같이 원 O'의 반지름
의 길이를 r cm라 하면
O’O'”=(18-r) cm
∠O'OC=∠O'OB=30˘이고
△O'CO는 ∠O'CO=90˘인 직각
삼각형이므로
A
r cm
B
C
(18-r) cm
O'
30˘
O
18 cm
O’'C”：O’O'”=1：2
r：(18-r)=1：2
2r=18-r, 3r=18
(cid:100)(cid:100)∴ r=6
따라서 원 O'의 넓이는
p_6¤ =36p (cm¤ )
유형북
(cid:9000) 36p cm¤
104~105쪽
01 직각삼각형 AOH에서
A’H”="√10¤ -1¤ ='∂99=3'∂11 (cm)이므로
BH”=A’H”=3'∂11 cm
CH”=OC”-OH”=10-1=9 (cm)
직각삼각형 HBC에서
BC”=øπ(3'∂11 )¤ +9¤ ='∂180 =6'5 (cm)
02 두 원 O, O'이 서로 다른 원의 중심
을 지나므로 두 원의 반지름의 길이
는 O’O'”이다. 오른쪽 그림과 같이
AB”와 O’O'”의 교점을 C라 하고, 두
원의 반지름의 길이를 x cm라 하면
B
A’O'”=AO”=O’O'”=x cm, C’O'”=CO”=;2{; cm,
AC”=;2!; AB”=;2!;_4'3=2'3 (cm)이므로
(cid:9000) ③
2'3 cm
x cm
A
O
C
O'
x cm
2
직각삼각형 ACO'에서
2
(2'3 )¤ +{;2{;}
=x¤ , 12+ =x¤
x¤
4
x¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
△AOO', △BO'O는 정삼각형이므로 ∠AOB=120˘
따라서 색칠한 부분의 넓이는
(부채꼴 AOB의 넓이)-△AOB
=p_4¤ _
-;2!;_2_4'3
120
360
=:¡3§:p-4'3 (cm¤ )
(cid:9000) {:¡3§:p-4'3 } cm¤
03 오른쪽 그림과 같이 OC”, OA”를 긋고,
점 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 M
이라 하면 직각삼각형 OCM에서
O
M
A
C
B
D
CM”=;2!; CD”=;2!;_8=4 (cm)
OC”=6 cm이므로
OM”="√6¤ -4¤ ='∂20=2'5 (cm)
직각삼각형 OAM에서
A’M”=;2!; AB”=;2!;_14=7 (cm)
∴ O’A”=øπ7¤ +(2'5)¤ ='∂69 (cm)
∴ (큰 원의 넓이)=p_('∂69 )¤ =69p (cm¤ )
(cid:9000) ④
06. 원과 직선 49
04 오른쪽 그림과 같이 AO”, CO”를 그으면
5 cm
A
09 AB”=60이므로 세 원의 반지름의 길이는 10이다.
직각삼각형 OCH에서
OC”="√3¤ +4¤ ='∂25 =5 (cm)이므로
O’A”=OC”=5 cm
OM”=ON”이므로
△ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이다.
즉, 직각삼각형 AHC에서
AC”="√8¤ +4¤ ='∂80 =4'5 (cm)
B
A’N”=;2!; AC”=;2!;_4'5 =2'5 (cm)
M
N
3cm
O
H
8 cm
C
따라서 직각삼각형 OAN에서
ON”=øπ5¤ -(2'5 )¤ ='5 (cm)
05 ∠PAO=∠PBO=90˘이므로
(cid:9000) '5 cm
PO”="√10¤ +5¤ ='∂125=5'5 (cm)
직각삼각형 APO에서 PO”⊥AH”이므로
AP”_AO”=PO”_AH”, 10_5=5'5 _AH”(cid:100)(cid:100)
∴ A’H”=2'5 cm
∴ AB”=2AH”=2_2'5 =4'5 (cm)
(cid:9000) ④
06 PA”=PB”이고, ∠P=60˘이므로 △PAB는 정삼각형이다.
즉, AB”=AP”=10 cm이므로 x=10
∠APB+∠AOB=180˘이므로
∠AOB=180˘-60˘=120˘
PO”를 그으면 △POA≡△POB (RHS 합동)이므로
∠POA=60˘, ∠OPA=30˘
즉, O’
’A”：AP”=1：'3 이므로 y：10=1：'3 , '3y=10
10'3
3
(cid:9000) x=10, y=
∴ y= =
10'3
3
07 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
10
'3
A
6 cm
4 cm
D
r cm
O
E
F
C
(cid:8772)OECF는 정사각형이므로
EC”=FC”=r cm, BC”=(6+r)cm,
AC”=(4+r)cm
직각삼각형 ABC에서
(4+r)¤ +(6+r)¤ =10¤`
r¤ +10r-24=0, (r+12)(r-2)=0
∴ r=2 (∵ r>0)
따라서 색칠한 부분의 넓이는
B
;2!;_6_8-p_2¤ =24-4p (cm¤ )
(cid:9000) (24-4p) cm¤
08 (cid:8772)ABCD가 원 O에 외접하므로 AB”+DC”=AD”+BC”
그런데 (cid:8772)ABCD에서 AB”=DC”이므로
2AB”=4+6(cid:100)(cid:100)∴ AB”=5 cm
오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에
내린 수선의 발을 H라 하면
BH”=;2!;(BC”-AD”)
BH”=;2!;_(6-4)=1 (cm)
A 4 cm
D
5 cm
O
H
B
6 cm
C
직각삼각형 ABH에서 AH”="√5¤ -1¤ ='∂24=2'6 (cm)
따라서 원 O의 반지름의 길이는
;2!; AH”=;2!;_2'6 ='6 (cm)
(cid:9000) ②
50 정답 및 풀이
F T
B
P
E
O
H
N
A
오른쪽 그림과 같이 원의 중심
N에서 AT≥에 내린 수선의 발
을 H라 하면
EH”=FH”
∠AHN=∠ATP=90˘이므로
△AHNª△ATP(AA 닮음)
AN”：HN”=AP”：TP”, 30：HN”=50：10
∴ HN”=6
직각삼각형 ENH에서 EH”="√10¤ -6¤ ='∂64=8
∴ EF”=2EH”=2_8=16
10 오른쪽 그림에서
GB”=x cm라 하면
BH”=x cm이므로
CH”=CI”=(3.4-x) cm
A
G
H
x cm
B
3.4 cm
(cid:9000) ④
3.6 cm
L
F
3 cm
E
2.1 cm
K
J
D
O
I
3 cm
같은 방법으로
DI”=DJ”=3-(3.4-x)=x-0.4 (cm)
EJ”=EK”=2.1-(x-0.4)=2.5-x (cm)
FK”=FL”=3-(2.5-x)=x+0.5 (cm)
C
AL”=AG”=3.6-(x+0.5)=3.1-x (cm)
∴ AB”=AG”+GB”=(3.1-x)+x=3.1 (cm)
11 다음 그림과 같이 접점을 차례로 G, H, I, J, K, L, M, N,
P라 하자.
(cid:9000) 3.1 cm
A
P
O¢
F
M
K
O£
N
3 cm
E
L
7 cm
20 cm
G
B
x cm
O™
I
D
J
11 cm
O¡
H
15 cm
C
BH”=BG”=x cm라 하면
AG”=AI”=AK”=AM”=AP”=(20-x) cm이고
CH”=CI”=CJ”=(15-x) cm
DJ”=DK”=DL”=11-(15-x)=x-4 (cm)
EL”=EM”=EN”=7-(x-4)=11-x (cm)
FN”=FP”=3-(11-x)=x-8 (cm)
∴ AF”=AP”+FP”=(20-x)+(x-8)=12 (cm)
12 (cid:8772)ABCD가 원 O¡의 외부에서 접하므로
yy ㉠
AB”+DC”=AD”+BC”에서
a+CD”=9+7=16
(cid:8772)DCEF가 원 O™의 외부에서 접하므로
DC”+FE”=DF”+CE”에서
CD”+b=5+13=18 yy ㉡
㉡-㉠을 하면 b-a=18-16=2
(cid:9000) 12 cm
(cid:9000) ②
07. 원주각
01 (cid:9000) 60˘
02 (cid:9000) 210˘
03 (cid:9000) 90˘
04 (cid:9000) 30˘
05 (cid:9000) 32˘
06 (cid:9000) 30˘
07 (cid:9000) 7
08 (cid:9000) 3
09 (cid:9000) 35˘
10 네 점이 한 원 위에 있기 위해서는
15 (cid:9000) ∠x=85˘, ∠y=75˘
16 (cid:9000) ∠x=80˘, ∠y=80˘
17 (cid:9000) 원에 내접하지 않는다.
18 (cid:9000) 원에 내접한다.
19 (cid:9000) 원에 내접하지 않는다.
20 (cid:9000) 원에 내접한다.
21 (cid:9000) 65˘
22 (cid:9000) 70˘
23 ∠x=180˘-50˘=130˘
24 (cid:9000) 50˘
25 ∠BAT=∠BTP=100˘
26 ∠BAT=∠BTP=65˘
∠ADB=∠ACB(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=50˘
(cid:9000) 50˘
11 (cid:9000) 68˘
12 (cid:9000) 87˘
13 (cid:9000) ∠x=115˘, ∠y=70˘
14 △BCD에서 ∠y=180˘-(30˘+35˘)=115˘
∴ ∠x=180˘-115˘=65˘
(cid:9000) ∠x=65˘, ∠y=115˘
107쪽, 109쪽
34 △PTAª△PBT (AA 닮음)이므로
PA”：PT”=PT”：PB”
즉, PT”
PT”>0이므로 PT”=6
¤ =PA”_PB”이므로
35 PT”
¤ =PA”_PB”이므로 PT”
¤ =3_(3+9), PT”
¤ =36
4¤ =2_(2+x), 2x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=6
36 PT”
¤ =P’A”_PB”이므로 x¤ =4_(4+12), x¤ =64
x>0이므로 x=8
37 PT”
¤ =PA”_PB”이므로 x¤ =3_(3+5+5), x¤ =39
x>0이므로 x='∂39
38 PT”
¤ =PA”_PB”이므로 6¤ =3_(3+x)
36=9+3x, 3x=27(cid:100)(cid:100)∴ x=9
유형북
(cid:9000) 6
(cid:9000) 6
(cid:9000) 8
(cid:9000) '∂39
(cid:9000) 9
17THEME
원주각과 중심각
1 ∠a=∠c이고 ∠b=2∠a=2∠c이다.
2 ∠APB=∠CQD
110~125쪽
110~114쪽
알고 있나요?
01 ∠y=360˘-2∠BCD=360˘-2_100˘=160˘
∠x=;2!;_160˘=80˘
∴ ∠x+∠y=80˘+160˘=240˘
02 OB”=OC”이므로 ∠OCB=∠OBC=50˘
∠BOC=180˘-2_50˘=80˘
(cid:9000) 240˘
(cid:9000) 130˘
∴ ∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_80˘=40˘
(cid:9000) 40˘
03 ∠BOC=2∠BAC=2_45˘=90˘
∴ (부채꼴 OBC의 넓이)=p_6¤ _
=9p (cm¤ )
90
360
△BAT에서 ∠x=180˘-(100˘+45˘)=35˘
(cid:9000) 35˘
∠ABT=∠BAT=65˘이므로 △ATB에서
∠x=180˘-(65˘+65˘)=50˘
(cid:9000) 50˘
27 (cid:9000) ㈎：90, ㈏：∠PAB
28 PA”_PB”=PC”_PD”
”이므로
6_4=3x, 3x=24(cid:100)(cid:100)∴ x=8
29 PA”_PB”=PC”_PD”
”이고 PB”=8-4=4 (cm)이므로
12_4=8x, 8x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=6
30 PA”_PB”=PC”_PD”
”이므로
12x=4_9, 12x=36(cid:100)(cid:100)∴ x=3
31 PA”_PB”=PC”_PD”
”이므로
5_(5+7)=15x, 15x=60(cid:100)(cid:100)∴ x=4
32 (cid:9000) ∠PBT
33 (cid:9000) △PBT
04 ∠ABC=;2!;_(360˘-110˘)=125˘
(cid:8772)ABCO에서
∠x=360˘-(110˘+55˘+125˘)=70˘
05 오른쪽 그림과 같이 OB”를 그으면
∠BOC=2∠BDC=2_18˘=36˘
∴ ∠AOB=78˘-36˘=42˘
∴ ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_42˘=21˘
06 ∠PAO=∠PBO=90˘이므로
∠AOB=180˘-50˘=130˘
∴ ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_130˘=65˘
(cid:9000) 8
(cid:9000) 6
(cid:9000) 3
(cid:9000) 4
(cid:9000) 9p cm¤
(cid:9000) ②
D
E
18˘
x
O
A
78˘
C
B
(cid:9000) ②
y❶
y❷
(cid:9000) 65˘
07. 원주각 51
”
”
”
”
07 오른쪽 그림과 같이 EB”를 그으면
채점 기준
❶ ∠AOB의 크기 구하기
❷ ∠x의 크기 구하기
∠AFB=∠AEB,
∠BDC=∠BEC이므로
∠x=∠AEB+∠BEC
=∠AFB+∠BDC
=22˘+26˘=48˘
08 오른쪽 그림과 같이 AC”와 BD”의 교점을
P라 하면 ∠PDC=∠PAB=30˘
△PCD에서
∠x=∠PDC+∠PCD
=30˘+50˘=80˘
(cid:9000) ③
09 ∠x=∠DAC=45˘
22˘
A
배점
50%
50%
E
F
x
D
26˘
C
(cid:9000) ③
D
B
A
B
30˘
P
50˘
x
C
∠BDC=∠BAC=40˘이므로
△ACD에서 ∠y=180˘-(45˘+40˘+60˘)=35˘
∴ ∠x+∠y=45˘+35˘=80˘
(cid:9000) ②
10 AB”가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90˘
∠CAB=∠CDB=65˘이므로
△ACB에서 ∠x=180˘-(90˘+65˘)=25˘
11 오른쪽 그림과 같이 AB”와 CD”의 교점을
P라 하고 AD”를 그으면 AB”가 원 O의 지
름이므로 ∠ADB=90˘
∠y=∠ADC=∠ADB-∠CDB
=90˘-30˘=60˘
y❶
∠x=∠CPB=180˘-(24˘+60˘)=96˘
∴ ∠x-∠y=96˘-60˘=36˘
(cid:9000) 25˘
A
24˘
O
P
y
x
30˘
C
B
y❷
y❸
(cid:9000) 36˘
배점
50%
30%
20%
C
D
P
40˘
O
A
B
채점 기준
❶ ∠y의 크기 구하기
❷ ∠x의 크기 구하기
❸ ∠x-∠y의 크기 구하기
12 오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면
AB”가 원 O의 지름이므로
∠ADB=90˘
∠CAD=;2!;∠COD
∠CAD=;2!;_40˘=20˘
△PAD에서
∠P=180˘-(∠ADP+∠CAD)
=180˘-(90˘+20˘)=70˘
A’'C”="√10¤ -6¤ ='∂64=8
∴ cos A=cos A'=
=;1•0;=;5$;
(cid:9000) ④
A’'C”
A’'B”
14 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O를 지나
는 A’'B”를 그으면 A’'B”가 원 O의 지름
이므로 ∠BCA'=90˘
∠BA'C=∠BAC=60˘
12
A’'B”
'3
, =
2
12
A’'B”
sin 60˘=
(cid:100)(cid:100)
A
60˘
O
12 cm
B
A'
C
∴ A’'B”=8'3 cm
∴ (원 O의 넓이)=p_(4'3 )¤ =48p (cm¤ ) (cid:9000) 48p cm¤
y❶
15 AB”=2OA”=2_3=6 (cm)
∠ACB=90˘이므로
AC”=AB”_sin 60˘=6_ =3'3 (cm)
'3
2
BC”=AB”_cos 60˘=6_;2!;=3 (cm)
∴ (△ABC의 둘레의 길이)=AB”+BC”+AC”
y❷
y❸
=6+ 3+3'3
=3(3+'3 ) (cm)
y❹
(cid:9000) 3(3+'3 ) cm
채점 기준
❶ AB”의 길이 구하기
❷ AC”의 길이 구하기
❸ BC”의 길이 구하기
❹ △ABC의 둘레의 길이 구하기
배점
20%
30%
30%
20%
D
16 μAB=μ CD이므로 호에 대한 원주각의 크기는 서로 같다. 즉,
∠DBC=∠ACB=23˘
△PBC에서
∠APB=23˘+23˘=46˘
17 AD”는 원 O의 지름이므로 ∠ACD=90˘
μ BC=μ CD이므로 ∠CAD=∠BAC=32˘
△ACD에서
∠x=180˘-(90˘+32˘)=58˘
18 μAB=μ BC이므로 ∠ADB=∠BDC=35˘
∠DCA=∠DBA=60˘이므로
△ACD에서
∠CAD=180˘-(60˘+35˘+35˘)=50˘
19 μAB：μ CD=∠ADB：∠DAC이므로
9：3=∠ADB：20˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠ADB=60˘
△DAP에서
∠APB=20˘+60˘=80˘
20 μAB：μ CD=∠AEB：;2!;∠x이므로
(cid:9000) 46˘
(cid:9000) 58˘
(cid:9000) ④
(cid:9000) 80˘
(cid:9000) ③
13 오른쪽 그림과 같이 BO”의 연장선과 원 O가
만나는 점을 A'이라 하면 A’'B”가 원의 지름
이므로 ∠BCA'=90˘
∠BAC=∠BA'C
A’'B”=10, BC”=6이므로
(cid:9000) ②
A
A'
O
5
6
B
C
4：8=30˘：;2!;∠x, ;2!;∠x=60˘(cid:100)(cid:100)
∴ ∠x=120˘
21 ∠DBC=∠x라 하면 μAB：μ CD=3：1이므로
∠ADB：∠DBC=3：1(cid:100)(cid:100)∴ ∠ADB=3∠x
△DBP에서
∠ADB=∠DBP+∠DPB이므로
52 정답 및 풀이
(cid:9000) ①
(cid:9000) 23˘
3∠x=∠x+48˘, 2∠x=48˘(cid:100)(cid:100)
∴ ∠x=24˘
22 ∠BPA=;2!;_222˘=111˘
∠PAB=∠x라 하면 μ PA：μ PB=2：1이므로
∠PBA：∠PAB=2：1(cid:100)(cid:100)∴ ∠PBA=2∠x
△PBA에서
111˘+2∠x+∠x=180˘, 3∠x=69˘(cid:100)(cid:100)
∴ ∠x=23˘
23 μ CD=2μ BC이므로
∠DAC=2∠CAB=2_16˘=32˘
μAD+μ DC+μ CB가 반원의 호의 길이이므로
∠CAB+∠DAC+∠ACD=;2!;_180˘=90˘
∴ ∠ACD=90˘-(16˘+32˘)=42˘
24 오른쪽 그림과 같이 AC”를 그으면
μ CD=μ BD이므로
∠CAD=∠BAD=20˘
∠OAC=20˘+20˘=40˘
△OCA에서 OC”=OA”이므로
∠AOC=180˘-2_40˘=100˘
(cid:9000) ③
A
20˘
O
B
C
D
∴ ∠ADC=;2!;∠AOC=;2!;_100˘=50˘
(cid:9000) 50˘
25 원의 중심 O에서 두 현 AB, AC까지의 거리가 서로 같으므
로 AB”=AC”이고 △ABC는 이등변삼각형이다.
∴ ∠BAC=180˘-2_75˘=30˘
∠BAC：∠ABC=μ BC：μAC이므로
30˘：75˘=μ BC：15p
∴ μ BC=6p cm
26 오른쪽 그림과 같이 BC”를 그으면
∠ACB=;4!;_180˘=45˘
∠DBC=;9!;_180˘=20˘
A
B
따라서 △PBC에서
∠APB=∠PCB+∠PBC=45˘+20˘=65˘
27 ∠ACB：∠BAC：∠ABC=μAB：μ BC：μ CA
=2：4：3
∴ ∠x=180˘_
4
2+4+3
=180˘_;9$;=80˘
(cid:9000) 6p cm
P
D
C
(cid:9000) ②
y❶
y❷
(cid:9000) 80˘
채점 기준
❶ ∠ACB：∠BAC：∠ABC 구하기
❷ ∠x의 크기 구하기
배점
50%
50%
28 △APD에서
∠ADP+45˘=75˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠ADP=30˘
원 O의 둘레의 길이를 l cm라 하면
μ``AB : l=30˘ : 180˘, 6p : l=1 : 6
∴ l=36p cm
(cid:9000) ④
29 ① ∠BAC=∠BDC=30˘이므로 네 점 A, B, C, D는 한
원 위에 있다.
유형북
② ∠ACB=60˘-35˘=25˘
즉, ∠ACB=∠ADB=25˘이므로 네 점 A, B, C, D는
한 원 위에 있다.
③ ∠ACB=180˘-(80˘+60˘)=40˘
즉, ∠ADB=∠ACB=40˘이므로 네 점 A, B, C, D는
한 원 위에 있다.
④ ∠BDC=90˘-40˘=50˘
즉, ∠BAC+∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원
위에 있지 않다.
⑤ ∠CBD=∠CAD=30˘이므로 네 점 A, B, C, D는 한
(cid:9000) ④
원 위에 있다.
30 △ABP에서
∠BAP=∠BPC-∠ABP=95˘-30˘=65˘
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면
∠x=∠BAC=65˘
(cid:9000) 65˘
31 ∠BAC=∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에
있다.
즉, ∠ADB=∠ACB=40˘이고 ∠DEC=75˘이므로
∠x=75˘-40˘=35˘
(cid:9000) 35˘
18THEME
원에 내접하는 사각형
115~116쪽
(cid:9000) 50˘
(cid:9000) ③
y❶
01 AD”가 원 O의 지름이므로 ∠ACD=90˘
△CAD에서
∠y=180˘-(90˘+25˘)=65˘
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
∠x=180˘-∠y=180˘-65˘=115˘
∴ ∠x-∠y=115˘-65˘=50˘
02 (cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
∠y=180˘-110˘=70˘
∠x=2∠y=2_70˘=140˘
∴ ∠x+∠y=140˘+70˘=210˘
03 (cid:8772)ABDE가 원에 내접하므로
∠x=180˘-100˘=80˘
한 호에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로
∠ACD=∠ABD=80˘
∴ ∠y=∠ACD+∠BDC=80˘+25˘=105˘
채점 기준
❶ ∠x의 크기 구하기
❷ ∠y의 크기 구하기
04 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠x=180˘-(40˘+105˘)=35˘
∠BDC=∠BAC=35˘
∠y=∠ADB+∠BDC=30˘+35˘=65˘
∴ ∠x+∠y=35˘+65˘=100˘
y❷
(cid:9000) ∠x=80˘, ∠y=105˘
배점
50%
50%
(cid:9000) 100˘
07. 원주각 53
04 μAB：μ BC：μ CA=∠BCA：∠BAC：∠ABC이고
A
85˘
125˘
D
O
x
B
C
∠BCA+∠BAC+∠ABC=180˘이므로
5
5+4+3
∴ ∠BAT=∠BCA=75˘
∠BCA=180˘_
=75˘
(cid:9000) 85˘
(cid:9000) 73˘
(cid:9000) ②
E
(cid:9000) 60˘
(cid:9000) ①
05 △ABD에서
∠BAD=180˘-(50˘+45˘)=85˘
∴ ∠x=∠BAD=85˘
06 △APB에서
∠PAB+48˘=121˘
∴ ∠PAB=73˘
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠x=∠PAB=73˘
07 (cid:8772)EBCD가 원에 내접하므로
∠EDC=180˘-75˘=105˘
∠ADC=∠EDC-∠EDA=105˘-35˘=70˘
(cid:8772)ABCD에서 ∠x=∠ADC=70˘
08 오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으면
(cid:8772)ABDE는 원 O에 내접하므로
∠EDB=180˘-∠EAB
=180˘-85˘=95˘
∠BDC=∠EDC-∠EDB
=125˘-95˘=30˘
∴ ∠x=2∠BDC=2_30˘=60˘
09 ∠ABC=∠x라 하면 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠FDC=∠ABC=∠x
△EBC에서 ∠DCF=∠x+26˘
△DCF에서 ∠x+(∠x+26˘)+34˘=180˘
2∠x=120˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=60˘
10 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠CDF=∠ABC=60˘
△BCE에서
∠ECF=∠BEC+∠EBC=25˘+60˘=85˘
△DCF에서
∠F=180˘-(60˘+85˘)=35˘
(cid:9000) 35˘
11 ① ∠B+∠D=95˘+85˘=180˘이므로 (cid:8772)ABCD는 원에
내접한다.
② ∠A=∠DCE=120˘이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접한다.
③ ∠B=180˘-(40˘+30˘)=110˘
즉, ∠B+∠D=180˘이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접한다.
⑤ ∠CBD=∠CAD=35˘이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접
(cid:9000) ④
한다.
12 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠BCD=180˘-∠A=180˘-100˘=80˘
△PDC에서
∠PDC=∠BCD-∠P=80˘-35˘=45˘
(cid:9000) 45˘
19THEME
접선과 현이 이루는 각
117~119쪽
알고 있나요?
1 ∠ATP
2 ∠ABT
3
40˘
54 정답 및 풀이
01 ∠CAB=∠CBD=55˘
∠BOC=2∠CAB=2_55˘=110˘
△OBC는 OB”=OC”인 이등변삼각형이므로
∠OCB=;2!;_(180˘-110˘)=35˘
(cid:9000) 35˘
02 △ATB에서
∠BAT=∠CBA-∠T=75˘-35˘=40˘
∴ ∠ACB=∠BAT=40˘
03 △CTA는 CT”=CA”인 이등변삼각형이므로
∠CAT=∠CTA=32˘
∠CBA=∠CAT이므로 △TAB에서
∠TAB=180˘-(32˘+32˘)=116˘
∴ ∠CAB=116˘-32˘=84˘
(cid:9000) 40˘
(cid:9000) 84˘
y❶
y❷
(cid:9000) 75˘
채점 기준
❶ ∠BCA의 크기 구하기
❷ ∠BAT의 크기 구하기
배점
60%
40%
05 BD”가 원 O의 지름이므로
A
30˘
O
C
B
75˘
T
D
T'
(cid:9000) ②
A
75˘
O
B
40˘
D
C
T
∠BAD=90˘
∠ADC=∠ACT=75˘이므로
∠ADB=75˘-30˘=45˘
이때 △ABD에서
∠ABD=180˘-(90˘+45˘)
=45˘
∴ ∠ACD=∠ABD=45˘
06 오른쪽 그림과 같이 AC”를 그으면
∠BAC=∠BDC=40˘
∠DAC=∠BAD-∠BAC
=75˘-40˘=35˘
∴ ∠DCT=∠DAC=35˘ (cid:9000) ③
07 ∠BTP=∠BAT=40˘이므로
∠ABT=45˘+40˘=85˘
(cid:8772)ABTC가 원에 내접하므로
∠ACT=180˘-85˘=95˘
08 ∠ABC=180˘-∠ADC=180˘-125˘=55˘
∠BCP=∠ABC-∠P=55˘-20˘=35˘
∴ ∠x=∠BCP=35˘
09 ∠ATP=∠ABT=∠y라 하면
△APT에서
∠BAT=30˘+∠y
또, AB”=BT”이므로
∠ATB=∠BAT=30˘+∠y
△ATB에서
∠y+(30˘+∠y)+(30˘+∠y)=180˘
P
A
30˘
(cid:9000) 95˘
(cid:9000) ②
B
y
x
y
C
T
3∠y=120˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠y=40˘
따라서 ∠BAT=30˘+40˘=70˘이므로
∠x=180˘-70˘=110˘
10 오른쪽 그림과 같이 AT”를 그으면
AB”가 원 O의 지름이므로
∠ATB=90˘
∠ATP=180˘-(90˘+58˘)
A
x
P
(cid:9000) 110˘
B
O
58˘
T
C
=32˘
∠BAT=∠BTC=58˘이므로
△APT에서
∠x=∠BAT-∠ATP
=58˘-32˘=26˘
11 오른쪽 그림과 같이 AC”를 그으면
AD”는 원 O의 지름이므로
∠ACD=90˘
∠ACB=∠BCD-∠ACD
=120˘-90˘=30˘
∴ ∠ABT=∠ACB=30˘
12 오른쪽 그림과 같이 AC”를 그으면
DC”는 원 O의 지름이므로 ∠DAC=90˘
∠DCA=∠DAT=28˘
△DAC에서
∠ADC=180˘-(∠DAC+∠DCA)
=180˘-(90˘+28˘)=62˘
(cid:9000) 26˘
120˘
(cid:9000) 30˘
D
C
C
O
B
O
A
T
B
D
28˘T
A
∴ ∠ABC=∠ADC=62˘
(cid:9000) 62˘
13 △DBE에서 BD”, BE”가 원 O의 접선이므로 BD”=BE”
∴ ∠BDE=∠BED=;2!;_(180˘-40˘)=70˘
∠DFE=∠DEB=70˘이므로
△DEF에서
∠EDF=180˘-(70˘+50˘)=60˘
14 △PAB에서 PA”, PB”는 원의 접선이므로
PA”=PB”
(cid:9000) ③
∴ ∠PAB=∠PBA=;2!;_(180˘-30˘)=75˘
∠ACB=∠ABP=75˘이므로
△ABC에서
∠CAB+∠CBA=180˘-75˘=105˘
이때 μAC：μ CB=∠CBA：∠CAB=4：3이므로
∠CBA=105˘_
4
4+3
=60˘
(cid:9000) 60˘
15 △BDE에서 BD”, BE”는 원 O의 접선이므로
BD”=BE”
∴ ∠BDE=∠BED=;2!;_(180˘-34˘)=73˘
y❶
∠DFE=∠DEB=73˘이므로
△DEF에서
∠DEF=180˘-(46˘+73˘)=61˘
y❷
유형북
y❸
(cid:9000) 58˘
배점
40%
40%
20%
(cid:9000) ②
∠AFD=∠DEF=61˘이고
△ADF에서 AD”=AF”이므로
∠A=180˘-2_61˘=58˘
채점 기준
❶ ∠BDE, ∠BED의 크기 구하기
❷ ∠DEF의 크기 구하기
❸ ∠A의 크기 구하기
16 ∠BTQ=∠BAT=50˘
∠CTQ=∠CDT=70˘
∴ ∠ATB=180˘-(50˘+70˘)=60˘
17 ① ∠ABP=∠APT=∠DCP
② ∠CDP=∠CPT'=∠BAP=50˘
③ ①에서 동위각의 크기가 같으므로 AB”∥DC”
④ △ABP와 △DCP에서
∠ABP=∠DCP, ∠BAP=∠CDP
이므로 △ABPª△DCP (AA 닮음)
⑤ △ABPª△DCP이므로
AB” : DC”=AP” : DP”
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
20THEME
1 PC”, PB”
원과 두 직선이 만나서 생기는 선분의 길이
120~125쪽
알고 있나요?
2 PT”, PB”
01 AP”=AB”-PB”=10-2=8 (cm)
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
8_2=4_PD”(cid:100)(cid:100)∴ PD”=4 cm
02 PC”=x cm라 하면 PD”=(22-x)cm
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
6_12=x_(22-x), x¤ -22x+72=0
(x-4)(x-18)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4 또는 x=18
이때 PC”<PD”이므로 PC”=4 cm
03 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
2_(2+7)=3_(3+CD”), 18=9+3CD”
3 CD”=9(cid:100)(cid:100)∴ CD”=3 cm
04 AP”：PB”=2：3이므로
AP”=2k, PB”=3k (k>0)라 하면
PA”_PB”=PC”_PD”에서
2k_3k=3_8, 6k¤ =24
k¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ k=2 (∵ k>0)
∴ PB”=3k=3_2=6
05 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
6_(6+4)=4_(4+x)
60=16+4x, 4x=44
∴ x=11
(cid:9000) ③
(cid:9000) 4 cm
(cid:9000) 3 cm
(cid:9000) ②
y❶
07. 원주각 55
PA”_PB”=PE”_PF”이므로
6_(6+4)=y_(y+7), y¤ +7y-60=0
(y+12)(y-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ y=5 (∵ y>0)
∴ x+y=11+5=16
r¤ -49=32, r¤ =81
이때 r>0이므로 r=9
따라서 원 O의 넓이는
p_9¤ =81p (cm¤ )
y❷
y❸
(cid:9000) 16
배점
40%
40%
20%
(cid:9000) ③
y❷
y❸
(cid:9000) 81p cm¤
배점
40%
40%
20%
B
채점 기준
❶ AP”, CP”의 길이를 원 O의 반지름의 길
이에 관한 식으로 나타내기
❷ 원 O의 반지름의 길이 구하기
❸ 원 O의 넓이 구하기
12 오른쪽 그림과 같이 PO”의 연장선과
원 O와의 교점을 D라 하자. 원 O
의 반지름의 길이를 r cm라 하면
PD”=(2+2r) cm
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
3_(3+7)=2_(2+2r)
A 7 cm
O
3 cm
P
2 cm
C
D
채점 기준
❶ x의 값 구하기
❷ y의 값 구하기
❸ x+y의 값 구하기
06 PC”=x cm라 하면 PD”=PC”=x cm
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
3_9=x_x, x¤ =27
이때 x>0이므로 x=3'3
∴ PC”=3'3 cm
07 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
BP”=AP”=6 cm이고
AP”_BP”=CP”_DP”이므로
6_6=4_(2r-4), 36=8r-16
8r=52(cid:100)(cid:100)∴ r=:¡2£:
따라서 원 O의 반지름의 길이는 :¡2£: cm이다. (cid:9000) :¡2£: cm
08 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
AP”=(2r-4)cm, BP”=4 cm
DP”=CP”=8 cm이므로
PA”_PB”=PC”_PD”에서
(2r-4)_4=8_8, 8r-16=64
8r=80(cid:100)(cid:100)∴ r=10
따라서 원 O의 넓이는 p_10¤ =100p (cm¤ ) (cid:9000) 100p cm¤
09 OP”=x cm라 하면
PA”=(7+x) cm, PB”=(7-x) cm이므로
PA”_PB”=PC”_PD”에서
(7+x)(7-x)=3_8, 49-x¤ =24, x¤ =25
이때 x>0이므로 x=5
∴ OP”=5 cm
10 오른쪽 그림과 같이 CP”의 연장선과 원
O가 만나는 점을 D라 하자. 원 O의
반지름의 길이를 r cm라 하면
DP”=DC”-CP”=2r-15 (cm)
이므로
PA”_PB”=PC”_PD”에서
5_9=15_(2r-15)
45=30r-225, 30r=270(cid:100)(cid:100)∴ r=9
따라서 원 O의 반지름의 길이는 9 cm이다.
11 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
AP”=(r-7) cm, CP”=(r+7) cm이므로
PA”_PC”=PD”_PB”에서
(r-7)(r+7)=4_8
56 정답 및 풀이
(cid:9000) ③
B
PD
9 cm
O
15 cm
5 cm
A
C
(cid:9000) ⑤
y❶
30=4+4r
4r=26(cid:100)
∴ r=:¡2£:
따라서 원 O의 반지름의 길이는 :¡2£: cm이다. (cid:9000) :¡2£: cm
13 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
PA”=(7-r) cm, PB”=(7+r) cm이므로
PA”_PB”=PC”_PD”에서
(7-r)(7+r)=5_(5+3)
49-r¤ =40
r¤ =9
이때 r>0이므로 r=3
따라서 원 O의 둘레의 길이는
2p_3=6p (cm)
(cid:9000) 6p cm
D
14 PC”=x cm라 하고 PO”의 연장선과
B
9 cm
원 O와의 교점을 D라 하면
PD”=(x+16)cm
PA”_PB”=PC”_PD”에서
3_(3+9)=x(x+16)
36=x¤ +16x, x¤ +16x-36=0, (x-2)(x+18)=0
이때 x>0이므로 x=2
∴ PC”=2 cm
A
3 cm
P
8 cm
O
C
(cid:9000) 2 cm
15 ① ∠BAC=∠BDC=50˘이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접
한다.
② ∠A+∠C=180˘이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접한다.
③ PA”_PC”=3_6=18
PB”_PD”=2_9=18
즉, PA”_PC”=PB”_PD”이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접
한다.
④ PD”_PA”=4_(4+3)=28
④ PC”_PB”=3_(3+4)=21
④ 즉, PD”_PA”+PC”_PB”이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접
BC”=PC”-PB”=20-4=16 (cm)
하지 않는다.
⑤ ∠A=∠DCE=80˘이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접한다.
(cid:9000) ④
16 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면
PA”_PB”=PC”_PD”가 성립해야 하므로
x_12=8_6, 12x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=4
5_(5+3)=4_(4+y), 40=16+4y
4y=24(cid:100)(cid:100)∴ y=6
(cid:9000) x=4, y=6
17 ∠ATP=∠ABT이므로 ∠APT=∠ATP
즉, △APT는 이등변삼각형이므로 AP”=AT”=4 cm
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =4_(4+8)=48
PT”
PT”>0이므로 PT”=4'3 cm
18 CE”_DE”=BE”_AE”이므로
2_6=3_AE”(cid:100)(cid:100)∴ AE”=4 cm
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =4_(4+4+3)=44
PT”
PT”>0이므로 PT”=2'∂11 cm
¤ =PA”_PB”이므로
19 PT”
¤ =4_(4+6)=40
PT”
PT”>0이므로 PT”=2'∂10 cm
∴ △APT=;2!;_4_2'∂10_sin 30˘
20 BT”=2OT”=2_4=8 (cm)
△BPT는 직각삼각형이므로
PB”="√6¤ +8¤ ='∂100=10 (cm)
PT”
¤ =PA”_PB”이므로 6¤ =PA”_10
∴ PA”=;1#0^;=3.6 (cm)
21 △OHB가 직각삼각형이므로
BH”="√5¤ -3¤ ='∂16=4 (cm)
OH”⊥AB”이므로 AH”=BH”=4 cm
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =4_(4+4+4)=48
PT”
PT”>0이므로 PT”=4'3 cm
22 오른쪽 그림과 같이 PA”의 연장선과 원
채점 기준
❶ BH”의 길이 구하기
❷ AH”의 길이 구하기
❸ PT”의 길이 구하기
O와의 교점을 C라 하면
¤ =PB”_PC”이므로
PT”
(4'5 )¤ =4_PC”(cid:100)(cid:100)
∴ PC”=20 cm
(cid:9000) 4'3 cm
(cid:9000) ②
(cid:9000) ①
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 4'3 cm
배점
40%
20%
40%
T
4'5 cm
P
4 cm
B
O
6 cm
A
C
∴ △APT=;2!;_4_2'∂10_;2!;=2'∂10 (cm¤ )
(cid:9000) ③
(cid:9000) 12 cm
B
O
6 cm
A
P
3'5 cm
T
유형북
(cid:9000) 10 cm
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
(cid:9000) 10 cm
∴ AB”=;2!; BC”=;2!;_16=8 (cm)
△OAB에서
OB”="√6¤ +8¤ ='∂100=10 (cm)
따라서 원 O의 반지름의 길이는 10 cm이다.
23 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
PA”=(3+2r) cm
¤ =PB”_PA”에서
PT”
9¤ =3_(3+2r), 81=9+6r
6r=72(cid:100)(cid:100)∴ r=12
따라서 원 O의 반지름의 길이는 12 cm이다.
24 오른쪽 그림과 같이 PO”의 연장선과 원
O와의 교점을 B라 하자.
PA”=x cm라 하면 AO”=6 cm이므로
PB”=(x+12) cm
¤ =PA”_PB”에서
PT”
(3'5)¤ =x_(x+12), 45=x¤ +12x
x¤ +12x-45=0, (x+15)(x-3)=0
이때 x>0이므로 x=3
∴ PA”=3 cm
25 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
PA”=(16-2r)cm
¤ =PA”_PB”에서
PT”
8¤ =(16-2r)_16
64=256-32r, 32r=192(cid:100)(cid:100)∴ r=6
따라서 원 O의 넓이는
p_6¤ =36p (cm¤ )
¤ =PA”_PB”이므로
26 PT”
¤ =4_(4+12)=64
PT”
이때 PT”>0이므로 PT”=8 cm
△PTA와 △PBT에서
∠PTA=∠PBT이고
∠TPB는 공통이므로
△PTAª△PBT (AA 닮음)
즉, PA”：PT”=AT”：TB”이므로
4：8=5：TB”, 4TB”=40(cid:100)(cid:100)
∴ TB”=10 cm
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =3_(3+9)=36
27 PT”
PT”
이때 PT”>0이므로 PT”=6 cm
△PAT와 △PTB에서
∠PTA=∠PBT이고 ∠TPB는 공통이므로
△PATª△PTB (AA 닮음)
즉, PT”：PB”=AT”：TB”이므로
6：12=AT”：10, 12AT”=60(cid:100)(cid:100)
∴ AT”=5 cm
(cid:9000) ③
07. 원주각 57
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =4_(4+5)=36
28 PT”
PT”
이때 PT”>0이므로 PT”=6 cm
△PAT와 △PTB에서
∠ATP=∠TBP이고 ∠BPT는 공통이므로
△PATª△PTB (AA 닮음)
∴ AT”：TB”=PA”：PT”=4：6=2：3
29 ∠BAQ=∠CAQ, ∠CAQ=∠CBQ이므로
(cid:9000) ②
∠BAQ=∠CBQ
따라서 BQ”는 세 점 A, B, P를 지나는 원의 접선이다.
BQ”
4¤ =2_(2+AP”), 16=4+2AP”(cid:100)(cid:100)
∴ AP”=6 cm
¤ =QP”_QA”이므로
(cid:9000) 6 cm
30 ∠BAE=∠CAE, ∠CAE=∠CBE이므로
∠BAE=∠CBE
따라서 BE”는 세 점 A, D, B를 지나는 원의 접선이다. y❶
BE”
¤ =ED”_EA”이므로
¤ =6_(6+9)=90
BE”
이때 BE”>0이므로 BE”=3'∂10 cm
y❷
(cid:9000) 3'∂10 cm
채점 기준
❶ BE”가 세 점 A, D, B를 지나는 원의 접
선임을 알기
❷ BE”의 길이 구하기
31 오른쪽 그림과 같이 CQ”를 긋고
배점
60%
40%
Q
5 cm
B
6 cm
C
3 cm
A
P
PQ”=x cm라 하면
△ABP와 △AQC에서
∠ABC=∠AQC,
∠BAP=∠CAQ이므로
△ABPª△AQC (AA 닮음)
AB”：AQ”=AP”：AC”에서
AB”_AC”=AQ”_AP”이므로
5_6=(3+x)_3, 30=9+3x
3x=21(cid:100)(cid:100)∴ x=7
∴ PQ”=7 cm
32 오른쪽 그림과 같이 BQ”를 그으면
AB”=AC”이므로
∠ABC=∠ACB=∠AQB
AB”는 세 점 B, P, Q를 지나는 원의
접선이므로
AB”
5¤ =4_(4+PQ”), 4PQ”=9
¤ =AP”_AQ”
”에서
∴ PQ”=;4(; cm
33 오른쪽 그림과 같이 CQ”를 그으면
μAB=μ BC이므로
∠ACB=∠CAB=∠CQB
따라서 BC”는 세 점 Q, P, C를 지나는
원의 접선이므로
(cid:9000) ③
5 cm
B
4 cm
P
C
A
Q
(cid:9000) ;4(; cm
Q
4 cm
A
C
P
2 cm
B
58 정답 및 풀이
BC”
¤ =BP”_BQ”
¤ =2_(2+4)=12
”에서
BC”
이때 BC”>0이므로 BC”=2'3 cm
34 오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면
μAM=μBM이므로
∠BAM=∠ABM=∠ADM
따라서 A’M”은 세 점 A, C, D를 지나
는 원의 접선이므로
A’M”
¤ =MÚC”_MÚD”에서
¤ =4_(4+5)=36
A’M”
이때 A’M”>0이므로 A’M”=6 cm
M
4 cm
C
5 cm
A
(cid:9000) ②
B
D
(cid:9000) ②
126~127쪽
C
O
P
B
01 오른쪽 그림과 같이 BC”를 긋고
∠PAB=∠x라 하면
∠PCB=∠PAB=∠x
△OBC는 직각이등변삼각형이므로
∠OCB=∠OBC=45˘
∠PCO=∠OCB+∠PCB
=45˘+∠x
yy ㉠
A
△PAB에서 AB”는 지름이므로 ∠APB=90˘
∴ ∠PBO=180˘-(∠PAB+90˘)
=90˘-∠x yy ㉡
∠PBO：∠PCO=5：4이므로 ㉠, ㉡에서
∠PBO：∠PCO=(90˘-∠x)：(45˘+∠x)=5：4
5(45˘+∠x)=4(90˘-∠x)
225˘+5∠x=360˘-4∠x
9∠x=135˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=15˘
∴ ∠PAB=15˘
(cid:9000) 15˘
02 ∠ACE=∠x라 하면 △ACE에서
B
O
x
∠BAC=∠x+36˘
오른쪽 그림과 같이 BC”, BD”를 그
으면
μAB=μ BC=μ CD이므로
∠BCA=∠BDC=∠CBD=∠x+36˘
즉, △BCD에서 ∠x+3(∠x+36˘)=180˘이므로
4∠x=72˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=18˘
03 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 O라
C
A
36˘ E
D
(cid:9000) 18˘
R
C
A
70˘
O
Q
P
B
하면
∠BOC=2∠BAC=2_70˘=140˘
μAB+μAC에 대한 중심각의 크기는
360˘-140˘=220˘
μAB+μAC=2μAP+2μAR
=2(μAP+μAR)이므로
∴ ∠P=∠ABC-∠BCD=36˘-15˘=21˘
(cid:9000) ①
∴ △PAT=;2!;_6_2'2 =6'2 (cm¤ )
(cid:9000) 6'2 cm¤
μAP+μAR에 대한 중심각의 크기는
;2!;_220˘=110˘
따라서 ∠PQR는 μAP+μAR에 대한 원주각의 크기이므로
∠PQR=;2!;_110˘=55˘
(cid:9000) 55˘
OT”=3 (cm)
오른쪽 그림과 같이 TO”를
그으면
OT”=;2!;AB”=;2!;_6
유형북
T
O
6 cm
H
P
6 cm
A
B
PO”=6+3=9 (cm)
∠OTP=90˘
점 T에서 PB”에 내린 수선의 발을 H라 하면
△PTO=;2!;_PT”_OT”=;2!;_PO”_TH”
;2!;_6'2 _3=;2!;_9_TH”(cid:100)(cid:100)∴ TH”=2'2 cm
∴ △PAT=;2!;_PA”_TH”
10 AB”=CD”이므로
®DBC=®ADB=4 cm
μDB=®DBC-μ BC=4-1=3 (cm)
∴ μAD=μ BC=1 cm
μAD와 μ BC가 각각 원주의 ;1¡2;이므로
B
C
E
O
D
A
F
DB”를 그으면 ∠DBA=∠CDB=180˘_;1¡2;=15˘
즉, △EBD에서 ∠DEB=180˘-15˘_2=150˘
∠DEB=∠AEC (맞꼭지각)이고 O’A”, OC”를 그으면
△AEO≡△CEO (SSS 합동)이므로
(cid:9000) 75˘
A
E
C
4 cm
O
B
3 cm
D
△ACD와 △ADB에서
∠ACD=∠ADB=90˘
CD”는 원 O의 접선이므로
∠ADC=∠ABD
∴ △ACDª△ADB (AA 닮음)
AC”：AD”=AD”：AB”이므로
¤ =12
3：AD”=AD”：4, AD”
이때 AD”>0이므로 AD”=2'3 cm
△ACD에서
CD”=øπ(2'3 )¤ -3¤ ='3 (cm)
04 오른쪽 그림과 같이 BC”를 그으면
μAC의 길이가 원주의 ;5!;이므로
∠ABC=180˘_;5!;=36˘
μ BD의 길이가 원주의 ;1¡2;이므로
∠BCD=180˘_;1¡2;=15˘
A
C
O
B
D
P
05 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180˘인 사각형은 원에 내접하므
로 (cid:8772)AFGE, (cid:8772)FBDG, (cid:8772)GDCE는 원에 내접한다.
원주각의 크기가 같으면 네 점이 한 원 위에 있으므로
(cid:8772)FBCE, (cid:8772)EABD, (cid:8772)DCAF는 원에 내접한다.
따라서 원에 내접하는 사각형은 모두 6개이다.
(cid:9000) ⑤
06 μ TC=μ CB이므로 ∠CBT=∠CTB=28˘
△TBC에서
∠TCB=180˘-(28˘+28˘)=124˘
오른쪽 그림과 같이 AT”를 그으면
(cid:8772)ATCB는 원에 내접하므로
∠BAT=180˘-∠TCB
=180˘-124˘=56˘
△APT에서
∠ATP=∠BAT-∠APT
∠ATP=56˘-32˘=24˘
PT”가 원의 접선이므로
∠ABT=∠ATP=24˘
07 작은 원에서 PA”_PE”=PC”_PF”이므로
3PE”=2PF”(cid:100)(cid:100)∴ PE”=;3@; PF”
큰 원에서 PE”_PB”=PF”_PD”이므로
;3@; PF”_PB”=PF”_15
B
C
(cid:9000) ②
A
P
32˘
28˘
T
∠AEO=;2!;∠AEC=;2!;_150˘=75˘
11 오른쪽 그림과 같이 AD”, DB”를 그으면
∴ PB”=15_;2#;=:¢2∞: (cm)
(cid:9000) :¢2∞: cm
08 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
OB”=r cm, OP”=(r-9) cm, OE”=OF”=(r-6) cm
¤ =OP”_OB”이므로
원 O'에서 OE”
(r-6)¤ =r_(r-9), r¤ -12r+36=r¤ -9r
3r=36(cid:100)(cid:100)∴ r=12
따라서 원 O의 반지름의 길이는 12 cm이다.
(cid:9000) ③
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =6_(6+6)=72
09 PT”
PT”
이때 PT”>0이므로 PT”=6'2 cm
¤ =CE”_CA”이므로 ('3 )¤ =CE”_3
CD”
∴ CE”=1 cm
12 △ABC가 AC”=BC”인 이등변삼각형이므로
(cid:9000) 1 cm
∠DAC=∠CBD
BC”가 원 O의 접선이므로 ∠DCB=∠DAC
∴ ∠DAC=∠CBD=∠DCB
따라서 △DBC는 BD”=CD”인 이등변삼각형이므로
BD”=CD”=x cm라 하면
BC”
x¤ +10x-100=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-5+5'5 (∵ x>0)
∴ CD”=(-5+5'5) cm
¤ =BD”_BA”에서 10¤ =x_(x+10)
(cid:9000) (-5+5'5 )cm
07. 원주각 59
07 자료 A의 중앙값이 17이고, a>b이므로
b=17
a가 17과 22 사이에 있을 때 전체 자료의 중앙값이 19가 될
수 있으므로 전체 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면
11, 13, 16, 16, 17, a, a, 22, 22, 23
즉,
17+a
2
=19, 17+a=38(cid:100)(cid:100)∴ a=21
∴ a+b=21+17=38
(cid:9000) 38
4쪽
실전 연습 문제
1회
실전북
01. 대푯값과 산포도
01THEME
대푯값
01 평균이 9이므로
x+9+10+11
4
∴ x=6
=9, x+30=36
(cid:9000) 6
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
02 3, 8, a의 중앙값이 8이 되기 위해서는 aæ8
11, 17, a의 중앙값이 11이 되기 위해서는 a…11
∴ 8…a…11
따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ⑤이다.
03 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면
4, 5, 7, 8, 9, 10, 10, 13이므로
=8.5(개)
(중앙값)=
8+9
2
(최빈값)=10개
∴ a=8.5, b=10
∴ a+b=8.5+10=18.5
04 ⑤ 평균은 전체 변량의 총합을 변량의 개수로 나눈 값이다.
05 ① 200이라는 극단적으로 큰 값이 있으므로 평균은 대푯값으
③ 자료 B의 중앙값은 6, 최빈값은 7이므로 중앙값이 최빈값
로 적절하지 않다.
보다 작다.
④ 자료 C의 중앙값은 2.5, 최빈값은 3이므로 서로 같지 않다.
⑤ 자료 C의 평균은
1+1+2+2+3+3+3+4
8
=:¡8ª:,
(cid:100) 중앙값은 2.5이므로 중앙값이 더 크다.
따라서 옳은 것은 ②이다.
06 ㄱ, ㄷ. 1반 학생의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면
1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5이므로
ㄱ, (1반 학생의 중앙값)=
3+3
2
ㄱ, 2반 학생의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면
=3(회)
2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5이므로
ㄱ, (2반 학생의 중앙값)=
=3.5(회)
ㄱ, 3반 학생의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면
1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5이므로
ㄱ, (3반 학생의 중앙값)=
=3.5(회)
ㄱ, 따라서 1반 학생의 중앙값이 가장 작다.
ㄴ. 2반 학생의 최빈값은 4회이다.
따라서 옳은 것은 ㄴ이다.
(cid:9000) ②
3+4
2
3+4
2
60 정답 및 풀이
5쪽
실전 연습 문제
2회
01THEME
대푯값
01 평균이 22이므로
(a-4)+(a+5)+(a+7)+2a
4
5a+8=88, 5a=80(cid:100)(cid:100)∴ a=16
=22
02 (평균)=
7+8+3+6+8+4
6
=:£6§:=6
∴ a=6
변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면
3, 4, 6, 7, 8, 8이므로
(중앙값)=
6+7
2
=6.5
(최빈값)=8
∴ b=6.5, c=8
∴ a+b+c=6+6.5+8=20.5
03 ① (학생 A의 평균)=
25+30+40+40+50+65+70+80
8
① (학생 A의 평균)=:¢;8);º:=50(점)
② (학생 B의 평균)=
15+23+35+40+45+60+90
7
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
① (학생 B의 평균)=:£;7);•:=44(점)
② (학생 A의 최빈값)=40점
③ (학생 A의 중앙값)=
40+50
2
=45(점)
④, ⑤ (학생 B의 중앙값)=40점
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
04 (cid:9000) ⑤
05 학생 10명의 키를 작은 값부터 크기순으로 나열할 때 6번째
자료의 값을 x cm라 하면
(중앙값)=
=162(cid:100)(cid:100)∴ x=164
160+x
2
이 모둠에 키가 164 cm인 학생이 들어올 때, 11명의 학생의
키를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 6번째 자료의 값은 그대
로 164 cm이므로 학생 11명의 키의 중앙값은 164 cm이다.
(cid:9000) 164 cm
실전북
06 최빈값이 10이 되기 위해서는 변량 a, b, c 중 두 변량이 10
이 되어야 하므로 b=10, c=10이라 하자. 변량을 작은 값부
터 크기순으로 나열하면
6, 6, 7, a, 10, 10, 10, 11이므로
∴ (표준편차)='∂16=4(시간)
(cid:9000) 평균：14시간, 표준편차：4시간
06 평균이 6이므로
x+5+y+9+10
5
=6, x+y+24=30
(중앙값)=
a+10
2
∴ a+b+c=8+10+10=28
=9(cid:100)(cid:100)∴ a=8
07 평균이 0이므로
-2+(-3)+a+b+5+3+2
7
=0
a+b+5
7
=0(cid:100)(cid:100)∴ a+b=-5 yy ㉠
주어진 조건에서 a-b=-7
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-6, b=1
7개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면
-6, -3, -2, 1, 2, 3, 5이므로 중앙값은 1이다.
yy ㉡
(cid:9000) 28
∴ x+y=6(cid:100)(cid:100)yy ㉠
분산이 5.4이므로
(x-6)¤ +(5-6)¤ +(y-6)¤ +(9-6)¤ +(10-6)¤
5
=5.4
(x-6)¤ +(y-6)¤ =1
x¤ +y¤ -12(x+y)+71=0
x¤ +y¤ -12_6+71=0 (∵ ㉠)
∴ x¤ +y¤ =1
07 a, b, c의 평균과 분산이 각각 1, 2이므로
(cid:9000) ①
(cid:9000) 1
a+b+c
3
=1
02THEME
분산과 표준편차
6~7쪽
실전 연습 문제
1회
01 ④ 자료의 개수에 관계없이 변량들이 평균으로부터 멀리 떨
(cid:9000) ④
어져 있을수록 표준편차가 커진다.
02 편차의 총합은 0이므로
-2+0.3+x+0.7+y+4+(-6)=0
∴ x+y=3
03 편차의 총합은 0이므로
-3+(-1)+3+x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1
따라서 학생 4명의 키의 분산은
(-3)¤ +(-1)¤ +3¤ +1¤
4
=:™4º:=5
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 5
04 (평균)=
4_3+5_6+6_3+7_4+8_4
20
(평균)=
12+30+18+28+32
20
=:¡2™0º:=6(개)
(분산)=
(4-6)¤ _3+(5-6)¤ _6+(6-6)¤ _3+(7-6)¤ _4+(8-6)¤ _4
20
(분산)=
12+6+0+4+16
20
=;2#0*;
(분산)=1.9
05
계급값(시간) 도수(명) (계급값)_(도수) 편차(시간)
6
10
14
18
22
합계
3
5
12
9
1
30
6_3=18
10_5=50
14_12=168
18_9=162
22_1=22
420
-8
-4
0
4
8
(cid:9000) ②
(편차)¤ _(도수)
(-8)¤ _3=192
(-4)¤ _5=80
0¤ _12=0
4¤ _9=144
8¤ _1=64
480
(평균)=:¢3™0º:=14(시간)
(분산)=:¢3•0º:=16
(a-1)¤ +(b-1)¤ +(c-1)¤
3
=2
이때 3a, 3b, 3c의 평균은
3a+3b+3c
3
3(a+b+c)
3
=
=3
따라서 3a, 3b, 3c의 분산은
(3a-3)¤ +(3b-3)¤ +(3c-3)¤
3
=
9{(a-1)¤ +(b-1)¤ +(c-1)¤ }
3
=9_
(a-1)¤ +(b-1)¤ +(c-1)¤
3
=9_2=18
(cid:9000) ⑤
08 체육 실기 성적에 대한 분포가 두 번째로 고른 반은 표준편차
가 두 번째로 작은 반이다.
A반의 표준편차가 두 번째로 작으므로 A반의 체육 실기 성
적의 분포가 두 번째로 고르다.
(cid:9000) ①
09 연속하는 다섯 개의 자연수를
x-2, x-1, x, x+1, x+2 (x>2)라 하면
(평균)=
(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)
5
=x
(분산)=
(-2)¤ +(-1)¤ +0¤ +1¤ +2¤
5
=:¡5º:=2
(cid:9000) '2
∴ (표준편차)='2
10 평균이 7이므로
a+b+c+d+e
5
=7
∴ a+b+c+d+e=35(cid:100)(cid:100)yy ㉠
표준편차가 3이므로 분산은 9이다. 즉,
(a-7)¤ +(b-7)¤ +y+(e-7)¤
5
=9
(a¤ -14a+49)+y+(e¤ -14e+49)=45
a¤ +b¤ +c¤ +d¤ +e¤ -14(a+b+c+d+e)+200=0
a¤ +b¤ +c¤ +d¤ +e¤ -14_35+200=0 (∵ ㉠)
∴ a¤ +b¤ +c¤ +d¤ +e¤ =290
01. 대푯값과 산포도 61
따라서 구하는 평균은
a¤ +b¤ +c¤ +d¤ +e¤
5
=:™;5(;º:=58
11 A반의 표준편차가 '3점이므로 A반의 (편차)¤ 의 총합은
=:¡3™0º:=4
20_('3)¤ =60
B반의 표준편차가 '6점이므로 B반의 (편차)¤ 의 총합은
10_('6)¤ =60
따라서 전체 학생 30명에 대한 성적의 분산은
60+60
20+10
∴ (표준편차)='4=2(점)
12 (자료 A의 분산)=(자료 B의 분산)
(자료 C의 분산)=(자료 D의 분산)
자료 A, 자료 B보다 자료 C, 자료 D의 변량이 평균을 중심
으로 모여 있으므로 분산이 더 작다.
∴ (자료 B의 분산)>(자료 C의 분산)
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
(분산)=;2*0);=4
(cid:9000) ④
∴ (표준편차)='4=2(시간)
(cid:9000) ①
05 ⑴ 1+A+7+4+2=20
(cid:100) A+14=20(cid:100)(cid:100)∴ A=6
⑵ (평균)=
1_1+3_6+5_7+7_4+9_2
20
⑵ (평균)=:¡2º0º:=5(점)
⑶ (분산)
⑶ =;2*0*;=4.4
⑶ =
(-4)¤ _1+(-2)¤ _6+0¤ _7+2¤ _4+4¤ _2
20
(cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 5점 ⑶ 4.4
06 편차의 총합은 0이므로
(-3)_2+(-2)_5+0_6+a_3+3_3+4_1=0
3a-3=0(cid:100)(cid:100)∴ a=1
∴ (분산)=
(-3)¤ _2+(-2)¤ _5+0¤ _6+1¤ _3+3¤ _3+4¤ _1
20
02THEME
분산과 표준편차
01 편차의 총합은 0이므로
8~9쪽
실전 연습 문제
2회
∴ (분산)=;2*0$;=4.2
07 분산이 10이므로
2+(-4)+x+(-2)+(1-2x)=0
-3-x=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-3
(cid:9000) ⑤
02 ㄱ. A와 D의 편차의 차이가 6점이므로 점수의 차이도 6점이다.
ㄴ. A의 편차가 가장 크므로 점수도 가장 높다.
ㄷ. C의 편차가 0이므로 점수가 평균과 같다.
ㄹ. (D의 편차)>(B의 편차)이므로 D의 점수가 더 높다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
(cid:9000) ②
03 편차의 총합은 0이므로
-3+(-2)+x+0+4=0
x-1=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1
(분산)=
(-3)¤ +(-2)¤ +1¤ +0¤ +4¤
5
(분산)=:£5º:=6
∴ y=6
∴ x+y=1+6=7
04
계급값(시간) 도수(일) (계급값)_(도수) 편차(시간)
1
3
5
7
9
합계
2
3
9
5
1
20
1_2=2
3_3=9
5_9=45
7_5=35
9_1=9
100
-4
-2
0
2
4
(평균)=:¡2º0º:=5(시간)
62 정답 및 풀이
08 체육 실기 점수를 2점씩 올려 주면 평균은 2점이 올라가고 표
x¤ +(-4)¤ +3¤ +y¤ +(-1)¤
5
x¤ +y¤ +26=50
∴ x¤ +y¤ =24
=10
준편차는 그대로이므로
m=65+2=67(점), s=6점
09 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=4a, ab=2b(cid:100)(cid:100)yy ㉠
(평균)=
∴ (분산)=
4a
2
= =2a
a+b
2
(a-2a)¤ +(b-2a)¤
2
∴ (분산)=
a¤ +b¤ -4(a+b)a+8a¤
2
(cid:9000) 7
(편차)¤ _(도수)
(-4)¤ _2=32
(-2)¤ _3=12
0¤ _9=0
2¤ _5=20
4¤ _1=16
80
∴ (분산)=
∴ (분산)=
(a+b)¤ -2ab-4(a+b)a+8a¤
2
(4a)¤ -2_2b-4_4a_a+8a¤
2
(∵ ㉠)
∴ (분산)=
8a¤ -4b
2
∴ (분산)=4a¤ -2b
=65, a+65=585(cid:100)(cid:100)
a+65
9
∴ a=520
10 9명 중 65점인 학생 한 명을 뺀 8명의 총합을 a점이라 하면
(cid:9000) ③
(cid:9000) 24
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
따라서 학생 8명의 수학 점수의 평균은
ㅁ. C 모둠의 변량이 평균을 중심으로 가장 모여 있으므로 C
모둠의 분산이 가장 작다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
실전북
(cid:9000) ①
(cid:9000) ①
(cid:9000) ③
(cid:9000) 0
THEME
모아
중단원 실전 평가
10~13쪽
01 학생 B의 몸무게를 x kg이라 하면 평균이 40 kg이므로
(cid:9000) ②
48+x+35+40+45
5
=40
x+168=200
∴ x=32
02 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면
4, 5, 6, 7, 8, 9, 9
중앙값은 4번째 자료의 값인 7이므로 a=7
최빈값은 9이므로 b=9
∴ a+b=7+9=16
03 x=-1일 때, f(-1)=(-1)¤ -1=0
x=0일 때, f(0)=0¤ -1=-1
x=1일 때, f(1)=1¤ -1=0
x=2일 때, f(2)=2¤ -1=3
따라서 구하는 함숫값의 최빈값은 0이다.
04 (평균)=
1_2+2_8+3_6+4_3+5_1
20
(평균)=;2%0#;=2.65(회)
:∞;8@;º:=65(점)
즉, 학생 9명의 평균과 65점인 학생 한 명을 뺀 8명의 평균이
같으므로 편차도 같다.
학생 9명 중 65점인 학생 한 명을 뺀 8명의 편차의 제곱의 총
합을 b라 하면
b+(65-65)¤
9
∴ b=180
따라서 학생 8명의 수학 점수의 분산은
=20(cid:100)(cid:100)
:¡;8*;º:=22.5(cid:100)(cid:100)
∴ (표준편차)='∂22.5점
11 ① 편차의 총합은 0으로 서로 같다.
②, ③ 알 수 없다.
④ A 편의점의 분산이 더 크다.
⑤ A 편의점의 표준편차가 더 크므로 A 편의점의 판매량이
B 편의점의 판매량보다 평균을 중심으로 더 많이 흩어져
있다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
12 ㄱ. (A 모둠의 평균)=
1_2+2_2+3_2+4_2+5_2
10
ㄱ. (A 모둠의 평균)=;1#0);=3(회)
ㄱ. (B 모둠의 평균)=
1_3+2_1+3_2+4_1+5_3
10
ㄱ. (A 모둠의 평균)=;1#0);=3(회)
ㄱ. (C 모둠의 평균)=
1_1+2_2+3_4+4_2+5_1
10
ㄱ. (A 모둠의 평균)=;1#0);=3(회)
ㄴ. A 모둠의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면
1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5이므로
ㄱ. (A 모둠의 중앙값)=
=3(회)
학생이 20명이므로 10번째와 11번째 학생의 방문 횟수의 평
균이 중앙값이 된다. 즉,
(중앙값)=
=2.5(회)
2+3
2
가장 많은 학생이 방문한 것은 8명이 방문한 2회이므로
(최빈값)=2회
∴ (최빈값)<(중앙값)<(평균)
(cid:9000) ⑤
3+3
2
3+3
2
3+3
2
ㄴ. B 모둠의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면
05 평균이 2이므로
1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5이므로
ㄴ. (B 모둠의 중앙값)=
=3(회)
ㄴ. C 모둠의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면
1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5이므로
ㄴ. (C 모둠의 중앙값)=
=3(회)
ㄷ. A 모둠의 최빈값은 없다.
ㄷ. B 모둠의 최빈값은 1회, 5회이다.
ㄷ. C 모둠의 최빈값은 3회이다.
ㄹ. B 모둠의 변량이 평균으로부터 가장 멀리 흩어져 있으므
로 표준편차가 가장 크다.
a+b+(-4)+6+2+(-3)+1
7
=2
a+b+2=14
∴ a+b=12
최빈값이 2이므로 a 또는 b가 2가 되어야 한다.
이때 a>b이므로 a=10, b=2
∴ a-b=10-2=8
(cid:9000) ③
06 편차의 총합은 0이므로 편차가 1인 계급의 도수를 x라 하면
(-2)_5+(-1)_8+0_9+1_x+2_4+3_2=0
x-4=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=4
(cid:9000) ②
01. 대푯값과 산포도 63
07 명수의 5개 과목의 성적은 63점, 71점, 65점, 69점, 72점이다.
12 세 주사위의 겉넓이의 합이 126이므로
(평균)=
63+71+65+69+72
5
(평균)=:£;5$;º:=68(점)
∴ (분산)=
(-5)¤ +3¤ +(-3)¤ +1¤ +4¤
5
∴ (분산)=:§5º:=12
(cid:9000) ②
08 ㄱ. 학생 C의 편차가 0이므로 학생 C의 점수는 평균과 같다.
ㄴ. 학생 A와 학생 B의 편차의 차이가 1점이므로 점수의 차
이도 1점이다.
ㄷ. (분산)=
2¤ +1¤ +0¤ +(-1)¤ +(-2)¤
5
=:¡5º:=2
ㄷ. ∴ (표준편차)='2점
ㄹ. 편차가 가장 큰 학생 A의 점수가 가장 높다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
(cid:9000) ①
09 도수의 총합이 50명이므로
5+12+18+A+7=50(cid:100)(cid:100)∴ A=8
(평균)=
5_5+15_12+25_18+35_8+45_7
50
(평균)=
(분산)=
=25(회)
1250
50
(-20)¤ _5+(-10)¤ _12+0¤ _18+10¤ _8+20¤ _7
50
(분산)=
=136
6800
50
∴ (표준편차)='∂136=2'∂34(회)
(cid:9000) A=8, 표준편차 : 2'∂34회
10 평균이 5이므로
x+y+1+5+4
5
=5, x+y+10=25
yy ㉠
∴ x+y=15
표준편차가 '6이므로 분산은 6이다. 즉,
(x-5)¤ +(y-5)¤ +(1-5)¤ +(5-5)¤ +(4-5)¤
5
=6
(x-5)¤ +(y-5)¤ =13
x¤ +y¤ -10(x+y)+50=13
x¤ +y¤ -10_15+50=13 (∵ ㉠)
∴ x¤ +y¤ =113 yy ㉡
x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy이므로 ㉠, ㉡에서
113=15¤ -2xy(cid:100)(cid:100)∴ xy=56
∴ x¤ +xy+y¤ =113+56=169
11 a, b, c의 평균이 4, 분산이 9이므로
a+b+c
3
=4(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c=12(cid:100)(cid:100)yy ㉠
(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤
3
=9
a¤ +b¤ +c¤ -8(a+b+c)+48=27
a¤ +b¤ +c¤ -8_12+48=27 (∵ ㉠)
∴ a¤ +b¤ +c¤ =75
따라서 구하는 큰 정사각형의 넓이는 75이다.
64 정답 및 풀이
(cid:9000) ①
(cid:9000) 75
6x¡¤ +6x™¤ +6x£¤ =126
∴ x¡¤ +x™¤ +x£¤ =21
세 주사위의 모든 모서리의 길이의 합이 72이므로
12x¡+12x™+12x£=72
∴ x¡+x™+x£=6
따라서 x¡, x™, x£의 평균은
x¡+x™+x£
3
=;3^;=2
분산은
(x¡-2)¤ +(x™-2)¤ +(x£-2)¤
3
=
x¡¤ +x™¤ +x£¤ -4(x¡+x™+x£)+12
3
=
21-24+12
3
∴ (표준편차)='3
=;3(;=3
13 남학생의 분산이 4이므로 (편차)¤ 의 총합은 4_6=24
여학생의 분산이 8이므로 (편차)¤ 의 총합은 8_4=32
따라서 전체 남녀 학생 10명의 분산은
24+32
10
=;1%0^;=5.6
14 60+58=56+62로 몸무게의 총합이 변하지 않으므로 잘못
구한 몸무게의 평균과 실제 몸무게의 평균은 같다.
즉, 실제 몸무게의 평균은 60 kg이다.
나머지 6명의 몸무게를 a¡, a™, a£, a¢, a∞, a§이라 하면
잘못 구한 몸무게의 분산이 10이므로
(a¡-60)¤ +y+(a§-60)¤ +(56-60)¤ +(62-60)¤
8
∴ (a¡-60)¤ +y+(a§-60)¤ =60
따라서 실제 몸무게의 분산은
(a¡-60)¤ +y+(a§-60)¤ +(60-60)¤ +(58-60)¤
8
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
=10
(cid:9000) ③
15 a, b의 평균이 2, 표준편차가 1이므로
=
60+4
8
=8
a+b
2
=2
∴ a+b=4
(a-2)¤ +(b-2)¤
2
yy ㉠
=1
a¤ +b¤ -4(a+b)+8=2
a¤ +b¤ -4_4+8=2 (∵ ㉠)
∴ a¤ +b¤ =10(cid:100)(cid:100)yy ㉡
c, d의 평균이 4, 표준편차가 '3이므로
c+d
2
=4
∴ c+d=8
(c-4)¤ +(d-4)¤
2
yy ㉢
=3
c¤ +d¤ -8(c+d)+32=6
c¤ +d¤ -8_8+32=6 (∵ ㉢)
∴ c¤ +d¤ =38
yy ㉣
따라서 a, b, c, d의 평균은
a+b+c+d
12
4
4
4+8
4
=
= =3 (∵ ㉠, ㉢)
분산은
(a-3)¤ +(b-3)¤ +(c-3)¤ +(d-3)¤
4
=
=
a¤ +b¤ +c¤ +d¤ -6(a+b+c+d)+36
4
10+38-6_(4+8)+36
4
(∵ ㉠, ㉡, ㉢, ㉣)
12
= =3
4
∴ (표준편차)='3
(cid:9000) 평균：3, 표준편차：'3
16 임금 격차가 가장 작다는 말은 분포가 가장 고르다는 말과 같
으므로 표준편차가 가장 작은 회사를 고르면 된다.
따라서 D 회사의 직원들 간의 임금 격차가 가장 작다. (cid:9000) ④
17 ㄱ. (편차)¤ 의 평균이 분산이다.
ㄴ. (편차)=(변량)-(평균)
ㄷ. 표준편차는 산포도의 한 종류이다.
ㅁ. 편차의 절댓값이 클수록 산포도가 크다.
따라서 옳은 것은 ㄹ, ㅂ이다.
(cid:9000) ②
18 ② B 학교의 분포가 더 모여 있으므로 B 학교의 분포가 더
고르다.
④ A 학교의 성적 분포가 더 고르지 않으므로 A 학교의 성
적 격차가 더 심하다.
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
(cid:9000) ②
19 주어진 조건에 의하여 회원 5명 중 4명의 나이는 15세, 9세,
y❶
18세, 18세이다.
나머지 한 회원의 나이를 x세라 하면
5명의 나이의 평균이 14세이므로
15+9+18+18+x
5
=14
=14, 60+x=70
60+x
5
∴ x=10
따라서 나머지 한 회원의 나이는 10세이다.
채점 기준
❶ 4명의 나이 구하기
❷ 나머지 한 회원의 나이 구하기
20 ⑴ (평균)=
(a-6)+(a+2)+a+(a+3)+(a-4)
5
⑴ (평균)=
5a-5
5
⑴ (평균)=a-1(점)
y❷
(cid:9000) 10세
배점
2점
4점
y❶
실전북
⑵ (분산)=
(-5)¤ +3¤ +1¤ +4¤ +(-3)¤
5
⑴ (평균)=:§5º:=12
y❷
(cid:9000) ⑴ (a-1)점 ⑵ 12
채점 기준
❶ 5명의 점수의 평균을 a를 이용하여 나타내기
❷ 분산 구하기
배점
3점
3점
21 ⑴ 6개의 상자에 들어 있는 모래의 양의 합은
110+130+100+60+30+20=450 (g)
따라서 5개의 상자에 담을 때 각 상자에 담는 모래의 양의
평균은
:¢;5%;º:=90 (g)
y❶
⑵ 각 상자에 들어 있는 모래의 무게가 평균에 가까울수록 표
준편차는 작아진다. 즉, 각 상자의 편차를 구해 보면
A：20 g, B：40 g, C：10 g, D：-30 g, E：-60 g,
F：-70 g
이므로 표준편차를 가능한 한 작게 하려면 평균과 차가 큰
두 모래의 양을 합쳐 평균과 가깝게 만들어 주어야 한다.
따라서 합쳐야 하는 두 상자는 편차의 절댓값이 큰 E, F
y❷
상자이다.
(cid:9000) ⑴ 90 g ⑵ 풀이 참조
채점 기준
❶ 각 상자에 담는 모래의 양의 평균 구하기
❷ 조건을 만족하는 두 상자를 찾고, 그 이유
배점
2점
4점
22 (A의 평균)=
7_2+8_5+9_2
9
=:¶9™:=8(점)
(A의 분산)=
(7-8)¤ _2+(8-8)¤ _5+(9-8)¤ _2
9
(A의 분산)=;9$;
y❶
(B의 평균)=
6_2+7_2+8_1+9_2+10_2
9
(B의 평균)=:¶9™:=8(점)
(B의 분산)
=
(6-8)¤ _2+(7-8)¤ _2+(8-8)¤ _1+(9-8)¤ _2+(10-8)¤ _2
9
=:™9º:
y❷
따라서 B의 분산이 A의 분산보다 크므로 B의 성적이 더 고
y❸
르지 못하다.
(cid:9000) A의 평균 : 8점, A의 분산 : ;9$;,
(cid:100) B의 평균 : 8점, B의 분산 : :™9º:, 풀이 참조
채점 기준
❶ A의 평균과 분산 구하기
❷ B의 평균과 분산 구하기
❸ 산포도 비교하기
배점
2점
2점
1점
01. 대푯값과 산포도 65
③, ⑤ A 학교의 평균이 B 학교의 평균보다 높으므로 A 학
교 학생들의 성적이 대체로 좋다고 할 수 있다.
를 설명하기
∴ (cid:8772)ABCD=:¢2ª: (cm¤ )
(cid:9000) :¢2ª: cm¤
(cid:9000) 3'6
05 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
14쪽
실전 연습 문제
1회
(cid:9000) 2'5
02. 피타고라스 정리
03THEME
피타고라스 정리`
01 △ABD에서
A’DÚ="√5¤ -3¤ ='∂16=4
△ADC에서
CD”="√6¤ -4¤ ='∂20=2'5
02 △ACB에서
AC”="√3¤ +3¤ ='∂18=3'2
△ADC에서
AD”="√(3'2)¤ +3¤ ='∂27=3'3
△AED에서
AE”="√(3'3)¤ +3¤ ='∂36=6
△AFE에서
AF”="√6¤ +3¤ ='∂45=3'5
따라서 △AGF에서
AG”="√(3'5)¤ +3¤ ='∂54=3'6
03 BD”를 그으면 △ABD에서
BD”="√6¤ +5¤ ='∂61 (cm)
△BCD에서
CD”="√('∂61)¤ -7¤ ='∂12=2'3(cm)
04 오른쪽 그림과 같이 점 A, D에서
BC”에 내린 수선의 발을 각각 H,
H'이라 하면
△ABH에서
A’HÚ="√8¤ -4¤ ='∂48
=4'3(cm)
(cid:9000) ③
A
7 cm
D
8 cm
H
B
4 cm
7 cm
H'
4 cm
C
(cid:9000) ④
05 a+b+17=40에서 b=23-a
즉, AC”=a cm이므로
BC”=(23-a) cm
a¤ +(23-a)¤ =17¤ , 2a¤ -46a+240=0
a¤ -23a+120=0, (a-8)(a-15)=0(cid:100)(cid:100)
∴ a=15, b=8 (∵ a>b)
∴ ab=15_8=120
06 오른쪽 그림에서
AB”=10-7=3이므로
AC”="√5¤ -3¤ =4
∴ x=10-4=6
(cid:9000) 120
x
10
A
C
5
3
B
7
(cid:9000) 6
10
15쪽
실전 연습 문제
2회
03THEME
피타고라스 정리
01 △BCD에서
x="√('3)¤ +1¤ ='4=2
△ABD에서
66 정답 및 풀이
(cid:9000) ④
(cid:9000) '∂61
(cid:9000) 2'3
y="√2¤ +2¤ ='8=2'2
∴ x+y=2+2'2
02 BC”="√13¤ -5¤ ='∂144=12(cid:100)(cid:100)
∴ MC”=;2!;BC”=;2!;_12=6
따라서 △AMC에서
AM”="√6¤ +5¤ ='∂61
03 BF”=BD”="√('3)¤ +('3)¤ ='6
BH”=BE”="√('6)¤ +('3)¤ ='9=3
∴ BJ”=BG”="√3¤ +('3)¤ ='∂12=2'3
04 AC”를 그으면 △ABC에서
AC”="√5¤ +5¤ ='∂50=5'2(cm)
△ACD에서
AD”="√(5'2)¤ -(3'2)¤ ='∂32=4'2 (cm)
∴ (cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_5_5+;2!;_3'2_4'2
AG” : GD”=2 : 1(cid:100)(cid:100)
∴ GD”=2, AD”=6
점 D는 BC”의 중점이고, △ABC의 외심이므로
BD”=AD”=CD”=6
따라서 △ABC에서
AC”="√12¤ -8¤ ='∂80=4'5
(cid:9000) ①
06 △OBA에서
OB”="√1¤ +1¤ ='2
△OCB에서
OC”
△ODC에서 OD”
△OED에서 OE”
”="√('2)¤ +1¤ ='3
⋮
”="√('3)¤ +1¤ ='4=2
”="√2¤ +1¤ ='5
ON”='∂14, OP”='∂15, OQ”=4
따라서 15개의 직각삼각형으로 이루어진다.
(cid:9000) 15개
04THEME
01 △ABC에서
피타고라스 정리의 설명
16쪽
실전 연습 문제
1회
AB”="√15¤ -9¤ ='∂144=12 (cm)
∴ (cid:8772)BFKJ=(cid:8772)DEBA=12¤ =144 (cm¤ ) (cid:9000) 144 cm¤
(cid:9000) ①
02 ㈎：SAS, ㈏：c¤ , ㈐：(a+b)¤
03 AC”=EC”="√3¤ +4¤ =5
∠ACB+∠ECD=90˘이므로 ∠ACE=90˘
∴ AE”="√5¤ +5¤ ='∂50=5'2
∴ (△ACE의 둘레의 길이)=AC”+CE”+AE”
=5+5+5'2
=10+5'2
(cid:9000) ④
실전북
04 ㄱ. 2¤ +(2'5)¤ +5¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
ㄴ. 2¤ +('∂14)¤ =(3'2)¤ 이므로 직각삼각형이다.
ㄷ. 1¤ +3¤ =('∂10)¤ 이므로 직각삼각형이다.
ㄹ. 3¤ +3¤ +(2'3)¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
따라서 직각삼각형인 것은 ㄴ, ㄷ이다.
(cid:9000) ③
04 △BCE™△EDA (ASA 합동)이므로
BC”=ED”=a cm
AE”=EB”=b cm
라 하면 △ABE는 ∠AEB=90˘인 직각
이등변삼각형이다.
3 cm
D
A
b cm
b cm
a cm
E
3 cm
B
a cm
C
05 △ABC에서
BC”="√9¤ +12¤ ='∂225=15(cm)
△ABD=△FBD (∵ BD”∥AG”)이고,
△AEC=△FEC (∵ AG”∥CE”)이므로
△ABD+△AEC=△FBD+△FEC
△ABD+△ACE=;2!;(cid:8772)BDGF+;2!;(cid:8772)FGEC
△ABD+△ACE=;2!;(cid:8772)BDEC
△ABD+△ACE=;2!;_15¤ =:™;2@;∞:(cm¤ )
;2!;b¤ =29, b¤ =58(cid:100)
∴ b='∂58 (∵ b>0)
△EBC에서
a="√b¤ -3¤ ='∂
ƒ58-9='∂49=7
05 △ABC에서
BC”="√5¤ +3¤ ='∂34(cm)
∴ △FDE=;2!;(cid:8772)BDEC
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(3+7)_10=50 (cm¤ ) (cid:9000) 50 cm¤
06 △ABE™△BCF™△CDG™△DAH이므로
06 ⁄ a가 가장 긴 변의 길이인 경우
(cid:9000) :™;2@;∞: cm¤
∴ △FDE=;2!;_('∂34)¤ =17 (cm¤ )
(cid:9000) 17 cm¤
⁄ 5¤ +7¤ =a¤ (cid:100)(cid:100)∴ a='∂74 (∵ 7<a<12)
¤ 7이 가장 긴 변의 길이인 경우
⁄ a¤ +5¤ =7¤ (cid:100)(cid:100)∴ a='∂24 (∵ 2<a<7)
∴ x+y=74+24=98
(cid:9000) ③
EF”=x라 하면 BE”=x+4
△ABE에서
AB”="√(x+4)¤ +4¤ ="√x¤ +8x+32
이때 (cid:8772)EFGH=;3!;(cid:8772)ABCD이므로
x¤ =;3!;(x¤ +8x+32), 3x¤ =x¤ +8x+32
2x¤ -8x-32=0, x¤ -4x-16=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=2+2'5 (∵ x>0)
∴ BE”=x+4=2+2'5+4=6+2'5
(cid:9000) 6+2'5
05THEME
피타고라스 정리와 도형
18~19쪽
실전 연습 문제
1회
04THEME
피타고라스 정리의 설명
17쪽
실전 연습 문제
2회
01 ① △ABF=△EBC=;2!;(cid:8772)EBAD
① △ABF=;2!;_8¤ =32(cm¤ )
② (cid:8772)CLMG=(cid:8772)ACHI=6¤ =36 (cm¤ )
④ △EBC=△ABF=△LBF=;2!;(cid:8772)BFML
⑤ △EBA=△EBC=△ABF=△LBF
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
02 (cid:8772)EFGH=73 cm¤ 이므로
EH”='∂73 cm
AE”=3 cm이므로
△AEH에서
A’HÚ="√('∂73)¤ -3¤ ='∂64=8 (cm)
따라서 (cid:8772)ABCD는 한 변의 길이가 11 cm인 정사각형이므로
(cid:9000) 121 cm¤
(cid:8772)ABCD=11¤ =121 (cm¤ )
03 ③ (a-b)¤
(cid:9000) ③
∴ AD”=;1^3); cm
01 ① 3¤ +5¤ <7¤ 이므로 둔각삼각형이다.
② 3¤ +4¤ =5¤ 이므로 직각삼각형이다.
③ 4¤ +7¤ >8¤ 이므로 예각삼각형이다.
④ 6¤ +6¤ <10¤ 이므로 둔각삼각형이다.
⑤ ('3)¤ +2¤ <3¤ 이므로 둔각삼각형이다.
02 가장 긴 변의 길이가 a이므로
6<a<4+6(cid:100)(cid:100)∴ 6<a<10
둔각삼각형이 되려면
4¤ +6¤ <a¤ , a¤ >52(cid:100)(cid:100)
∴ a>2'∂13 (∵ a>0)
∴ 2'∂13<a<10
03 AC” : AB”=AD” : AC”에서
b : c=y : b(cid:100)(cid:100)∴ b¤ =cy
BC” : B’AÚ=BD” : BC”에서
a : c=x : a(cid:100)(cid:100)∴ a¤ =cx
∴ ㈎ : cy, ㈏ : cx
04 BC”="√12¤ +5¤ ='∂169=13 (cm)
△ABC=;2!;_12_5=;2!;_13_AD”
(cid:9000) ③
(cid:9000) 2'∂13<a<10
(cid:9000) ②
(cid:9000) ;1^3); cm
02. 피타고라스 정리 67
05 AE”
¤ +BD”
¤ +BD”
06 △OBC에서
AE”
¤ +AB”
¤ =DE”
¤ =3¤ +10¤ =109
¤ 이므로
BC”
¤ 에서
¤ +AD”
¤ =2¤ +5¤ =29
¤ =BC”
¤ +CD”
AB”
¤ =29+5¤ , CD”
('5)¤ +CD”
∴ CD”=7 (∵ CD”>0)
¤ +PD”
¤ =PB”
¤ =6¤ +7¤ , PC”
3¤ +PC”
∴ PC”=2'∂19 cm (∵ PC”>0)
¤ +PC”
¤ =76
¤ 이므로
¤ =49
07 PA”
08 P+Q=R이므로
(cid:9000) 109
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
∠A가 예각이므로
x¤ <4¤ +3¤ (cid:100)(cid:100)∴ 0<x<5
∴ 1<x<5
(cid:9000) ⑤
03 ㄱ. 13¤ >7¤ +7¤ 이므로 둔각삼각형이다.
ㄴ. 13¤ >7¤ +8¤ 이므로 둔각삼각형이다.
ㄷ. 13¤ >7¤ +10¤ 이므로 둔각삼각형이다.
ㄹ. 13¤ <7¤ +12¤ 이므로 예각삼각형이다.
ㅁ. 14¤ <7¤ +13¤ 이므로 예각삼각형이다.
ㅂ. 15¤ >7¤ +13¤ 이므로 둔각삼각형이다.
따라서 둔각삼각형이 되도록 하는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅂ의 4개
이다.
(cid:9000) ④
P+Q+R=2R=2_{;2!;_p_6¤ }=36p (cm¤ )
(cid:9000) 36p cm¤
|`다른 풀이`|
⁄ x cm가 가장 긴 변의 길이인 경우
¤ =10¤ +25=125
(cid:9000) ④
¤ 13 cm가 가장 긴 변의 길이인 경우
삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에서
13<x<20
둔각삼각형이 되려면
x¤ >7¤ +13¤ , x¤ >218(cid:100)(cid:100)∴ x>'∂218
∴ '∂218<x<20
삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에서
6<x<13
둔각삼각형이 되려면
13¤ >x¤ +7¤ , x¤ <120(cid:100)(cid:100)∴ 0<x<2'∂30
∴ 6<x<2'∂30
09 AD”=DB”=a, BE”=EC”=b라 하면
△ABC에서
(2a)¤ +(2b)¤ =10¤ (cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ =25
△DBE에서
DE”
∴ AE”
¤ =a¤ +b¤ =25
¤ +CD”
¤ =AC”
¤ +DE”
10 BE”=x cm라 하면 ED”=EA”=(4-x) cm
△EBD에서
x¤ +2¤ =(4-x)¤ , x¤ +4=16-8x+x¤
8x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=;2#;
∴ BE”=;2#; cm
11 AE”=x cm라 하면 ED”=(8-x )cm
∠EBD=∠DBC=∠BDE이므로
△EBD는 EB”=ED”인 이등변삼각형이다.
즉, EB”=ED”=(8-x)cm이므로
△ABE에서
(8-x)¤ =x¤ +4¤ , 64-16x+x¤ =x¤ +16
16x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=3
∴ BE”=8-x=8-3=5 (cm)
12 BF”=x cm라 하면 FA”=FC”=(32-x)cm
△ABF에서
8¤ +x¤ =(32-x)¤ , 64+x¤ =1024-64x+x¤
64x=960(cid:100)(cid:100)∴ x=15
∴ △ABF=;2!;_15_8=60 (cm¤ )
(cid:9000) ④
05THEME
피타고라스 정리와 도형
20~21쪽
실전 연습 문제
2회
01 ② c¤ >a¤ +b¤ 이면 ∠C는 둔각
02 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에서
4-3<x<4+3(cid:100)(cid:100)∴ 1<x<7
(cid:9000) ②
68 정답 및 풀이
(cid:9000) ;2#; cm
⁄, ¤에서 '∂218<x<20 또는 6<x<2'∂30이므로 둔각삼
각형이 되도록 하는 x는 7, 8, 10, 15의 4개이다.
04 x¤ =2_(2+7)=18(cid:100)(cid:100)∴ x=3'2 (∵ x>0)
y¤ =2_7=14(cid:100)(cid:100)∴ y='∂14 (∵ y>0)
(cid:9000) x=3'2, y='∂14
05 △ABC에서 BC”="√8¤ +8¤ ='∂128=8'2(cm)
△ABC=;2!;_AB”_AC” =;2!;_BC”_AD”에서
(cid:9000) ③
AB”_AC”=BC”_AD”이므로
8_8=8'2_AD”
8
∴ AD”= =4'2 (cm)
'2
06 DE”
¤ +BC”
¤ +DC”
¤ =BE”
¤ =6¤ +4¤ (cid:100)(cid:100)
3¤ +BC”
∴ BC”='∂43 (∵ BC”>0)
¤ 이므로
07 (cid:8772)ABCD는 등변사다리꼴이므로
¤ +BC”
¤ +DC”
AB”=CD”=x라 하면
¤ 에서
¤ =AD”
AB”
x¤ +x¤ =(2'5)¤ +6¤ , 2x¤ =56
x¤ =28(cid:100)(cid:100)∴ x=2'7 (∵ x>0)(cid:100)(cid:100)
∴ AB”=2'7
(cid:9000) ③
(cid:9000) '∂43
(cid:9000) ⑤
실전북
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 6
(cid:9000) ②
08 △BCD에서
BD”="√8¤ +6¤ ='∂100=10
BP” : PD”=3 : 2이므로
BP”=;5#;_10=6, PD”=;5@;_10=4
¤ =BP”
¤ +PD”
¤ +CP”
∴ AP”
¤ =6¤ +4¤ =52
09 AC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
;2!;p_4¤ =8p (cm¤ )
05 △ABD에서
AB”="√('5)¤ -1='4=2
AC”=x라 하면 AD”가 ∠A의 이등분선이므로
AB” : AC”=BD” : CD”에서
(cid:9000) ②
2 : x=1 : CD”(cid:100)(cid:100)∴ CD”=;2!;x
따라서 BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
36p-8p=28p (cm¤ )
(cid:9000) 28p cm¤
10 AB”=2a cm, AC”=a cm라 하면
(색칠한 부분의 넓이)=△ABC이므로
△ABC=;2!;_AB”_AC”=;2!;_2a_a=a¤ =20
∴ a=2'5 (∵ a>0)
즉, AB”=2_2'5=4'5(cm), AC”=2'5 cm이므로
BC”="√(4'5)¤ +(2'5)¤ ='∂100=10 (cm)
11 BF”=DF”=x cm라 하면 AF”=(16-x) cm
△ABC에서
2¤ +{1+;2!;x}¤ =x¤ , 3x¤ -4x-20=0
(x+2)(3x-10)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡3º: (∵ x>0)
∴ AC”=:¡3º:
(cid:9000) :¡3º:
삼각형의 각의 이등분선
A
오른쪽 그림의 △ABC에서 ∠A의 이등분선
B
D
C
과 BC”의 교점을 D라 할 때,
AB” : AC”=BD” : CD”가 성립한다.
06 OB”=OC”="√1¤ +1¤ ='2
07 △ACB에서
(cid:9000) ⑤
∴ OF”=OD”="√('2)¤ +1¤ ='3
(cid:9000) '3
△ABF에서 x¤ =(16-x)¤ +12¤
x¤ =256-32x+x¤ +144
32x=400(cid:100)(cid:100)∴ x=:™2∞:
∴ △BDF=;2!;_DF”_AB”
∴ △BDF=;2!;_:™2∞:_12=75(cm¤ )
12 BE”=AE”=x cm라 하면 EC”=(8-x) cm
(cid:9000) 75 cm¤
△AEC에서 x¤ =(8-x)¤ +6¤
x¤ =64-16x+x¤ +36, 16x=100
∴ x=:™4∞:(cid:100)(cid:100)∴ AE”=:™4∞: cm
(cid:9000) ②
22~25쪽
(cid:9000) ②
THEME
모아
중단원 실전 평가
01 (x+2)¤ =x¤ +8¤ , x¤ +4x+4=x¤ +64
4x=60(cid:100)(cid:100)∴ x=15
02 반원의 반지름의 길이를 x라 하면
CO”=x, DO”=x-2이므로 피타고라스 정리에 의해
4¤ +(x-2)¤ =x¤ , 4x=20(cid:100)(cid:100)
∴ x=5
03 △ADC에서
AC”="√4¤ -2¤ ='∂12=2'3 (cm)
△ABC에서
AB”="√6¤ +(2'3)¤ ='∂48=4'3 (cm)
04 △DCH에서
CH”="√13¤ -12¤ ='∂25=5 (cm)
△DBH에서
BD”="√16¤ +12¤ ='∂400=20 (cm)
AC”="√2¤ +2¤ ='8=2'2
△ADC에서
AD”="√(2'2)¤ +2¤ ='∂12=2'3
△AED에서
AE”="√(2'3)¤ +2¤ ='∂16=4
△AFE에서
AF”="√4¤ +2¤ ='∂20=2'5
△AGF에서
AG”="√(2'5)¤ +2¤ ='∂24=2'6
△AHG에서
A’HÚ="√(2'6)¤ +2¤ ='∂28=2'7
(cid:8772)ABHD는 직사각형이므로
DH”=AB”=4, BH”=AD”=3
△DHC에서 CH”=x라 하면
x¤ +4¤ =5¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0)
∴ BC”=BH”+CH”=3+3=6
08 점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
09 ② △BFL=;2!;AB”
(cid:9000) ②
10 (cid:8772)EFGH=(cid:8772)ABCD-4△AEH
(cid:8772)EFGH=6¤ -4_{;2!;_4_2}=20(cm¤ )
(cid:9000) ③
11 △ABQ™△BCR™△CDS™△DAP (RHS 합동)이므로
(cid:9000) ④
(cid:9000) 20 cm
(cid:8772)PQRS는 정사각형이다.
△ABQ에서 BQ”=5 cm이므로
AQ”="√13¤ -5¤ ='∂144=12 (cm)
PQ”=AQ”-AP”=12-5=7 (cm)
∴ (cid:8772)PQRS=7¤ =49 (cm¤ )
(cid:9000) ④
02. 피타고라스 정리 69
¤
따라서 지면에서 부러진 부분까지의 높이는 :¡3§: m이다.y❷
12 ㄱ. 1¤ +2¤ +('6)¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
ㄴ. 2¤ +(2'3)¤ =4¤ 이므로 직각삼각형이다.
ㄷ. 5¤ +(3'2)¤ +6¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
ㄹ. 3¤ +5¤ +7¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
ㅁ. 8¤ +15¤ =17¤ 이므로 직각삼각형이다.
ㅂ. ('3)¤ +2¤ +('5)¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.
따라서 직각삼각형인 것은 ㄴ, ㅁ의 2개이다.
13 AB”=x cm라 하면
BC”=15 cm,
AC”=(25-x)cm이므로
x¤ =15¤ +(25-x)¤
A
x cm
(25-x) cm
B
15 cm
C
x¤ =225+625-50x+x¤
50x=850(cid:100)(cid:100)∴ x=17
따라서 이 직각삼각형의 빗변의 길이는 17 cm이다.
14 가장 긴 변의 길이가 5이므로
5<a+4(cid:100)(cid:100)∴ 1<a<5 (∵ a<5)
예각삼각형이 되려면
5¤ <a¤ +4¤ , a¤ >9(cid:100)(cid:100)∴ a>3 (∵ a>0)
∴ 3<a<5
15 △ABD에서 AD”="√3¤ -2¤ ='5(cm)
AD”
¤ =BD”_CD”이므로
('5)¤ =2CD”(cid:100)(cid:100)∴ CD”=;2%; cm
3'5
2
△ADC에서
AC”=æ≠('5)¤ +{;2%;}¤ =
¤ +DE”
¤ , DE”
¤ +CD”
¤ =BC”
¤ =21
7¤ +6¤ =8¤ +DE”
∴ DE”='∂21cm (∵ DE”>0)
¤ =AD”
¤ +BC”
¤ +4¤ , AD”
¤ 이므로
¤ +CD”
¤ =13
2¤ +5¤ =AD”
∴ A’DÚ='∂13 cm (∵ AD”>0)
16 BE”
17 AB”
(cm)
(cid:9000) ②
채점 기준
❶ 피타고라스 정리를 이용하여 식 세우기
❷ 지면에서부터 부러진 부분까지의 높이 구
(cid:9000) 2개
하기
20 가장 긴 변의 길이가 2x+1이므로
(2x+1)¤ =(x-1)¤ +(2x)¤
4x¤ +4x+1=x¤ -2x+1+4x¤
x¤ -6x=0, x(x-6)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=6 (∵ x>2)
(cid:9000) 17 cm
(cid:9000) ④
채점 기준
❶ 피타고라스 정리를 이용하여 식 세우기
❷ 이차방정식을 풀어 조건에 맞는 x의 값
구하기
배점
3점
2점
21 BC”를 지름으로 하는 반원의 반지름의 길이를 r라 하면
S£=;2!;pr¤ =50p, r¤ =100(cid:100)(cid:100)∴ r=10 (∵ r>0)
∴ BC”=20
AB”를 지름으로 하는 반원의 반지름의 길이는 6이므로
¤ -AB”
¤ ="√20¤ -12¤ =16
S¡=;2!;p_6¤ =18p
△ABC에서 AC”="√BC”
∴ S¢=;2!;_12_16=96
∴ S¡+S¢=18p+96
채점 기준
❶ S¡의 값 구하기
❷ S¢의 값 구하기
❸ S¡+S¢의 값 구하기
(cid:9000) :¡3§: m
배점
3점
3점
y❶
y❷
(cid:9000) 6
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 18p+96
배점
3점
2점
1점
18 AE”=AD”=15 cm이므로 △ABE에서
BE”="√15¤ -12¤ ='∂81=9(cm)
DF”=x cm라 하면
EF”=x cm, CF”=(12-x)cm, EC”=6 cm이므로
△ECF에서 6¤ +(12-x)¤ =x¤
36+144-24x+x¤ =x¤
24x=180(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡2∞:
¤ =FH”_FE”이므로
△ECF에서 CF”
{;2(;}¤ =FH”_:¡2∞:(cid:100)(cid:100)∴ FH”=;1@0&; cm
19 지면에서부터 부러진 부분까지의 높이
(cid:9000) ③
22 ⑴ △ABD에서
BD”="√8¤ +4¤ ='∂80=4'5 (cm)
y❶
⑵ AF”=a cm라 하면
⑵ FD”=BF”=(8-a)cm
⑵ △ABF에서
⑵ (8-a)¤ =a¤ +4¤
⑵ 64-16a+a¤ =a¤ +16
⑵ 16a=48(cid:100)(cid:100)∴ a=3
⑵ ∴ BF”=8-3=5(cm)
⑶ △FBM에서
⑵ FM”="√5¤ -(2'5)¤ ='5 (cm)
y❷
y❸
(cid:9000) ⑴ 4'5 cm ⑵ 5 cm ⑶ '5 cm
를 x m라 하면
(12-x)¤ =x¤ +4¤
x¤ -24x+144=x¤ +16
24x=128(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡3§:
x m
(12-x) m
y❶
4 m
채점 기준
❶ 피타고라스 정리를 이용하여 BD”의 길이
구하기
❷ △ABF에서 BF”의 길이 구하기
❸ △FBM에서 FM”의 길이 구하기
배점
2점
2점
2점
(cid:9000) ②
(cid:9000) ⑤
70 정답 및 풀이
¤
03. 피타고라스 정리의 활용
06THEME
피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 ⑴
1회
26쪽
실전 연습 문제
01 AB”=2a cm, BC”=a cm라 하면
△ABC에서
10="√(2a)¤ +a¤ ="√5a¤
5a¤ =100에서 a¤ =20(cid:100)(cid:100)∴ a=2'5 (∵ a>0)
∴ AB”=2_2'5 =4'5 (cm)
(cid:9000) 4'5 cm
02 OB”=3 cm이므로 (cid:8772)ABCD의 대각선의 길이는 6 cm이다.
(cid:8772)ABCD의 한 변의 길이를 x cm라 하면
'2x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=3'2
(cid:9000) 3'2 cm
03 △ABD에서
BD”="√9¤ +12¤ ='∂225=15
AB”_A’D”=BD”_A’HÚ이므로
9_12=15_A’HÚ
”(cid:100)(cid:100)∴ A’HÚ
”=:£5§:
(cid:9000) ③
04 △ABC의 한 변의 길이를 a라 하면
A’D”= a, △ABC= a¤
'3
2
A’D”가 △ADE의 한 변의 길이이므로
(△ADE의 높이)= _ a=;4#;a
'3
4
'3
2
'3
4
'3
2
'3
2
3'3
16
3'3
16
∴ △ADE=;2!;_ a_;4#;a=
a¤
∴ △ABC : △ADE= a¤ :
a¤ =4 : 3
(cid:9000) 4 : 3
A
5 cm
4'2 cm
B
C
H
7 cm
05 오른쪽 그림과 같이
AB”=5 cm, BC”=7 cm,
AC”=4'2 cm인 △ABC의 꼭
짓점 A에서 BC”에 내린 수선의
발을 H라 하자.
BH”=x cm라 하면
CH”=(7-x) cm
A’
14x=42(cid:100)(cid:100)∴ x=3
△ABH에서
A’H”="√5¤ -3¤ ='∂16=4 (cm)
’H”
¤ =5¤ -x¤ =(4'2)¤ -(7-x)¤ 이므로
06 △ABD에서
BD”="√30¤ +40¤ ='∂2500=50 (cm)
AB”_A’D”=BD”_A’E”에서
30_40=50_A’E”(cid:100)(cid:100)∴ A’E”=24 cm
A’B”
30¤ =BE”_50(cid:100)(cid:100)
∴ BE”=18 cm
△ABE™△CDF(RHA 합동)이므로
¤ =BE”_BD”에서
∴ △ABC=;2!;_7_4=14 (cm¤ )
(cid:9000) 14 cm¤
실전북
CF”=A’E”=24 cm, DF”=BE”=18 cm
EF”=BD”-BE”-FD”=50-18-18=14 (cm)
∴ (cid:8772)AECF=△AEF+△CFE
∴ (cid:8772)AECF=;2!;_14_24+;2!;_14_24
∴ (cid:8772)AECF=336 (cm¤ )
07 오른쪽 그림과 같이 AF”를 그으면
△ABC=△ABF+△ACF
△ABC=;2!;_8_DF”
+;2!;_8_EF”
(cid:9000) 336 cm¤
A
8 cm
E
C
FH
12 cm
D
8 cm
B
△ABC=4(DF”+EF”)(cm¤ )
꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
yy ㉠
BH”=CH”=;2!;BC”=;2!;_12=6 (cm)
△ABH에서
A’HÚ="√8¤ -6¤ ='∂28=2'7 (cm)
△ABC=;2!;_BC”_AH”
△ABC=;2!;_12_2'7=12'7 (cm¤ ) yy ㉡
㉠, ㉡에서 4(DF”+EF”)=12'7
∴ DF”+EF”=3'7 cm
(cid:9000) 3'7 cm
06THEME
피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 ⑴
27쪽
실전 연습 문제
2회
01 넓이가 24cm¤ 인 정사각형의 한 변의 길이는
'∂24=2'6 (cm)
∴ (대각선의 길이)='2_2'6=4'3 (cm)
02 오른쪽 그림에서 퀼트 작품은 한
변의 길이가 18 cm인 정삼각형
이다.
정삼각형의 높이가 x cm이므로
x cm
6 cm
6 cm
x= _18=9'3
'3
2
(cid:9000) ②
x cm
(cid:9000) ③
03 정육각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 색칠한 부분의 넓이
는 한 변의 길이가 x cm인 정삼각형 3개의 넓이와 같으므로
'3
4
∴ x=2'3 (∵ x>0)
x¤ _3=9'3, x¤ =12(cid:100)(cid:100)
(cid:9000) ④
A
04 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
BC”에 내린 수선의 발을 H라 하고
BH”=x cm라 하면
HC”=(10-x) cm
A’H”
64-x¤ =144-100+20x-x¤ , 20x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=1
¤ =8¤ -x¤ =12¤ -(10-x)¤
x cm
10 cm
8 cm
H
B
12 cm
C
03. 피타고라스 정리의 활용 71
(cid:9000) 15'7 cm¤
05 y=x¤ -4x+1=(x-2)¤ -3
∠A=90˘인 직각삼각형이 되려면 BC”
x¤ +6x+13=41+x¤ -4x+8
¤ =AB”
¤ +CA”
¤ 이므로
10x=36(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡5•:
(cid:9000) ⑤
이므로 P(2, -3)
따라서 꼭짓점 P와 원점 O 사이의 거리는
PO”="√(2-0)¤ +(-3-0)¤ ='∂13
06 ∠B=180˘-(90˘+60˘)=30˘이므로
△CBH에서 HC” : BH” : BC”=1 : '3 : 2
4'3 : CH”= '3 : 1(cid:100)(cid:100)∴ CH”=4
△AHC에서 A’H” : CH”=1 : '3이므로
A’H” : 4=1 : '3(cid:100)(cid:100)∴ A’H”=
4'3
3
4'3
3
07 공이 움직인 최단 거리는 오른쪽
∴ AB”=BH”+AH”
”=4'3+
그림에서 E'F'”의 길이와 같으므로
E'F'”="√15¤ +(4+8+3)¤
15
=15'2
A
E
3
B
E'
(cid:9000) ⑤
15
(cid:9000) '∂13
F'
4
D
8
F
C
3
G
=
16'3
3
16'3
3
(cid:9000)
}¤ +{;4%;}¤ =æ≠:¡1§6º:='∂10 (cm)
(cid:9000) ③
피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 ⑵
29쪽
실전 연습 문제
2회
07THEME
01 △ABC에서
△ABH에서
A’H”="√8¤ -1¤ ='∂63=3'7(cm)
∴ △ABC=;2!;_10_3'7
∴ △ABC=15'7(cm¤ )
05 △ADC에서
AC”="√12¤ +9¤ ='∂225=15 (cm)
△ACD와 △DPC에서
∠ADC=∠DCP=90˘, ∠CAD=∠PDC이므로
△ACDª△DPC (AA 닮음)
AC” : DP”=AD” : DC”이므로 15 : DP”=12 : 9
(cid:9000) ③
4 cm
C
A
6 cm
B
HM
8 cm
12DP”=135(cid:100)(cid:100)∴ DP”=:¢4∞:cm
06 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에
내린 수선의 발을 H라 하고,
MÚH”=x cm라 하면
BH”=(4+x) cm,
HC”=(4-x) cm
A’H”
¤ =6¤ -(4+x)¤ =4¤ -(4-x)¤
16x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=;4%;
△ABH에서
A’H”=æ≠6¤ -{:™4¡:}¤
=
3'∂15
4
(cm)
△AMH에서
A’M”=æ≠{
3'∂15
4
07THEME
피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 ⑵
28쪽
실전 연습 문제
1회
01 △ABC에서 AB” : BC” : AC”=1 : '3 : 2이므로
3'3 : A’CÚ='3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=6
△ACD에서 AD” : AC”=1 : '2이므로
x : 6=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ x=3"2
02 오른쪽 그림과 같이 두 점 A, D에
서 BC”에 내린 수선의 발을 각각
B
E, F라 하면
△ABE에서 AB” : AE”='2 : 1이므로
6'2 : AE”='2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ AE”=6 cm
△DFC에서 DF” : CD”='3 : 2이므로
6 : CD”='3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ CD”=4'3cm
03 AB”="√{2-(-1)}¤ +(-3√-2)¤ ='∂34
04 AB”="√(5-1)¤ +(-3-2)¤ ='∂41
(cid:9000) ④
60˘
C
A
D
E
F
6'2 cm
45˘
(cid:9000) 4'3cm
(cid:9000) ⑤
BC”="√(3-5)¤ +√{x-(-3)}¤ ="√x¤ +6x+13
CA”="√(3-1)¤ +(x-2)¤ ="√x¤ -4x+8
72 정답 및 풀이
BC” : AB”=2 : 1이므로 6 : AB”=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ AB”=3
BC” : AC”=2 : '3이므로
6 : AC”=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ AC”=3'3
△ACD에서 AD” : AC”=1 : '2이므로
3'6
2
AD” : 3'3=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ A’D”=
∴ AD”=DC”=
3'6
2
따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는
AB”+2A’D”+BC”=3+3'6+6=9+3'6
(cid:9000) 9+3'6
02 오른쪽 그림과 같이 점 C에서 AB”에
내린 수선의 발을 H라 하면
△CAH에서
AC” : CH”=2 : '3이므로
12 : CH”=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ CH”=6'3
△CHB에서 CH” : BC”=1 : '2이므로
6'3 : BC”=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ BC”=6'6
03 점 P가 y축 위의 점이므로 P(0, a)라 하면
A
30˘
12
45˘
C
H
60˘
45˘
B
(cid:9000) ③
PA”="√(-2-0)¤ +(6-a)¤ ="√a¤ -12a+40
PB”="√(5-0)¤ +(-3-a)¤ ="√a¤ +6a+34
PA”=PB”이므로 PA”
¤ =PB”
¤
a¤ -12a+40=a¤ +6a+34
18a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=;3!;
∴ P{0, ;3!;}
04 AB”="√(4-2)¤ +(-4-4)¤ =2'∂17
BC”="√(-1-4)¤ +{-√1-(-4)}¤ ='∂34
CA”="√(-1-2)¤ +(-1√-4)¤ ='∂34
¤ =BC”
BC”=CA”이고 AB”
빗변인, 즉 ∠C=90˘인 직각이등변삼각형이다.
¤ 이므로 △ABC는 AB”가
(cid:9000) ⑤
¤ +CA”
05 두 그래프의 교점의 x좌표는
x¤ =x+6에서 x¤ -x-6=0
(x+2)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=3
x=-2이면 y=4, x=3이면 y=9이므로 두 그래프의 교점
은 (-2, 4), (3, 9)이다.
∴ A(-2, 4), B(3, 9) 또는 A(3, 9), B(-2, 4)
∴ AB”="√{3-(-2)}¤ +√(9-4)¤ ='∂50=5'2
(cid:9000) 5'2
06 오른쪽 그림과 같이
점 B(5, 1)을 x축에
대하여 대칭이동하면
B'(5, -1)
AP”+BP”=AP”+B'P”
A(-2, 3)
y
3
1
O-1
-2
P
B(5, 1)
x
B'(5, -1)
æAB'”
="√{5-(-2)}¤ +(-1√-3)¤
='∂65
08THEME
피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 ⑴
30쪽
실전 연습 문제
1회
01 (대각선의 길이)="√4¤ +3¤ +2¤ ='∂29
(cid:9000) ③
02 ⑴ 정사면체의 겉넓이가 18'3 cm¤ 이므로 △ABC의 넓이는
18'3
4
=
9'3
2
(cid:100)
(cm¤ )
한 변의 길이가 a cm인 정삼각형의 넓이가
cm¤ 이
9'3
2
므로
'3
4
9'3
2
(cid:100)
a¤ =
, a¤ =18(cid:100)(cid:100)∴ a=3'2 (∵ a>0)
'3
⑵ DM” = _3'2=
2
3'6
2
(cm)
⑶ 점 H는 △DBC의 무게중심이므로
(cid:100) DH”=;3@; DM”=;3@;_
='6 (cm)
3'6
2
실전북
03 O’M”=CM”= _6=3'3 (cm)이므로
'3
2
MH”=;3!; CM”=;3!;_3'3='3 (cm)
△OMH에서
OH”="√(3'3)¤ -('3)¤ ='∂24=2'6 (cm)
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
07 △OPB에서
∴ △OMH=;2!;_'3_2'6=3'2 (cm¤ )
(cid:9000) 3'2 cm¤
04 AC”='2_8=8'2 (cm)
O
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 O에서 밑
면에 내린 수선의 발을 H라 하면
CH”=;2!;AC”=;2!;_8'2=4'2 (cm)
△OAH에서
OH”="√12¤ -(4'2)¤ ='∂112=4'7 (cm)
05 BC”="√10¤ -8¤ ='∂36=6 (cm)
12 cm
C
D
H
8 cm
B
A
(cid:9000) 4'7 cm
입체도형은 밑면의 반지름의 길이가 6 cm, 높이가 8 cm인
원뿔이므로 구하는 부피는
;3!;_p_6¤ _8=96p(cm‹ )
(cid:9000) 96p cm‹
06 구의 반지름의 길이를 r cm라 하면
4pr¤ =108p, r¤ =27(cid:100)(cid:100)∴ r=3'3 (∵ r>0)
정육면체의 한 모서리의 길이는 구의 반지름의 길이의 2배이
므로 6'3 cm이다.
따라서 정육면체의 대각선의 길이는
'3_6'3=18 (cm)
(cid:9000) 18 cm
OP”="√8¤ -(4'3)¤ ='∂16=4 (cm)
△APB에서
AB”="√(8+4)¤ +(4'3)¤ =8'3 (cm)
8 cm
8 cm
A
O
P
(cid:9000) 8'3 cm
B
4'3 cm
08THEME
피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 ⑴
31쪽
실전 연습 문제
2회
01 직육면체의 대각선의 길이가 8이므로
"√4¤ +3¤ +x¤ =8, 25+x¤ =64, x¤ =39
∴ x='∂39 (∵ x>0)
'3
02 CM”= _4=2'3
2
점 H는 △ABC의 무게중심이므로
CH”=;3@;CM”=;3@;_2'3=
△OHC에서 OH”=æ≠4¤ -{
4'3
3
4'3
3
}¤ =
4'6
3
(cid:9000) ④
⑷ 직각삼각형 AHD에서
A’HÚ="√(3'2)¤ -('6)¤ ='∂12=2'3 (cm)
⑸ (정사면체의 부피)=;3!;_
_2'3=9 (`cm‹ `)
9'3
2
(cid:9000) ⑴ 3'2 ⑵
cm ⑶ '6 cm ⑷ 2'3 cm ⑸ 9 cm‹
3'6
2
∴ △OHC=;2!;_CH”_OH”
4'3
3
_
4'6
3
∴ △OHC=;2!;_
∴ △OHC=
8'2
3
8'2
3
(cid:9000)
03. 피타고라스 정리의 활용 73
05 단면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하고 OA”를 그으면
△ABC를 밑면으로 하고 높이를 AD”로 하는 삼각뿔
△OHA에서 r="√12¤ -8¤ ='∂80=4'5
D-ABC의 부피는 ;3!;_{;2!;_3_3}_3=;2(; (cm‹ )
03 정팔면체의 부피는 오른쪽 그림
과 같은 정사각뿔의 부피의 2배
이다.
AC”="√6¤ +6¤ =6'2
CH”=;2!;_AC”=3'2
6
D
C
A
H
B
△OAH에서 OH”="√6¤ -(3'2)¤ ='∂18=3'2
∴ (정사각뿔의 부피)=;3!;_6¤ _3'2=36'2
∴ (정팔면체의 부피)=36'2_2=72'2
(cid:9000) ③
04 (모선의 길이)="√2¤ +(4'2)¤ ='∂36=6
밑면의 둘레의 길이는 2p_2=4p
옆면인 부채꼴의 중심각의 크기를 ∠x라 하면
2p_6_
=4p(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=120˘
∠x
360˘
(cid:9000) ①
(cid:9000) ③
a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=4'3
06 점 G는 △BCD의 무게중심이므로
MÚD”=3MÚG”=6, GD”=2MÚG”=4
정삼각형 BCD의 높이가 6이므로 한 변의 길이를 a라 하면
'3
2
즉, 정사면체의 한 모서리의 길이는 4'3이므로 A’D”=4'3
△AGD에서
AG”="√(4'3)¤ -4¤ ='∂32=4'2
따라서 이 정사면체의 부피는
;3!;_ _(4'3)¤ _4'2=16'6
(cid:9000) 16'6
'3
4
07 ① A’H”=;2!; AC”=;2!;_'2_10=5'2 (cm)
② △OAH에서 OH”="√10¤ -(5'2)¤ ='∂50=5'2 (cm)
③ △OAB는 정삼각형이므로 넓이는
(cid:100) _10¤ =25'3 (`cm¤ `)
'3
4
④ (부피)=;3!;_10¤ _5'2=
500'2
3
(`cm‹ `)
⑤ (겉넓이)=4△OAB+(cid:8772)ABCD=100'3+100 (`cm¤ `)
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
O
EO”=;2!;EG”=;2!;_6'2=3'2 (cm)
△AEO에서
AO”="√6¤ +(3'2)¤ ='∂54=3'6 (cm)
(cid:9000) ②
03 BD”=DG”="√6¤ +4¤ ='∂52=2'∂13 (cm)
BG”="√4¤ +4¤ ='∂32=4'2 (cm)
즉, △BDG는 DB”=DG”인 이등변
삼각형이다.
오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BG”
에 내린 수선의 발을 I라 하면
’IÚ="√(2'∂13)¤ -√(2'2)¤
D’
='∂44=2'∂11 (cm)
D
2 13 cm
2 13 cm
B
I
4'2 cm
G
∴ △BDG=;2!;_4'2_2'∂11=4'∂22 (cm¤ )
(cid:9000) ③
04 BD”=DC”=BC”=3'2 cm
이때 △BCD의 한 변의 길이는 3'2 cm이므로
'3
△BCD= _(3'2)¤ =
4
9'3
2
(cm¤ )
;3!;_
9'3
2
_A’H”=;2(;이므로 A’H”='3 cm
(cid:9000) '3 cm
05 AG”='3_6=6'3 (cm)
MÚN”='2_6=6'2 (cm)
(cid:8772)AMGN은 네 변의 길이가 모두 같은 마름모이므로
(cid:8772)AMGN=;2!;_6'3_6'2=18'6 (cm¤ ) (cid:9000) 18'6 cm¤
06 오른쪽 그림과 같이 AP”, PD”를 그으
면 AP”와 PD”는 각각 △ABC와
△DBC의 높이이다.
'3
∴ AP”=PD”= _4=2'3 (cm)
2
B
△PDA는 이등변삼각형이므로 PQ”⊥AD”
△PQA에서
PQ”="√(2'3)¤ -2¤ ='8=2'2 (cm)
A
4 cm
Q
D
P
C
07 선이 지나는 부분의 전개도
는 오른쪽 그림과 같고 구하
는 최단 거리는 BH”의 길이
와 같으므로
BH”="√16¤ +3¤ ='∂265 (cm)
B
F
12 cm
4 cm
C
(cid:9000) 2'2 cm
G
D
3 cm
H
(cid:9000) ④
AB”="√('∂29)¤ -5¤ ='4=2 (cm)
실이 지나는 부분의 전개도는 오른
쪽 그림과 같고, 구하는 최단 거리
는 AG”의 길이와 같다.
∴ AG”="√7¤ +6¤ ='∂85 (cm)
2 cm
B
5 cm
A
C
(cid:9000) ④
E
F
6 cm
G
09THEME
피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 ⑵
32~33쪽
실전 연습 문제
1회
01 EG”를 그으면 △AEG는 ∠AEG=90˘인 직각삼각형이다.
08 △ABC에서
EG”="√4¤ +3¤ ='∂25=5 (cm)
AG”="√4¤ +3¤ +5¤ ='∂50=5'2 (cm)
이므로 AE”_EG”=AG”_EP”에서
5'2
2
5_5=5'2_EP”(cid:100)(cid:100)∴ EP”=
02 EG”="√6¤ +6¤ ='∂72=6'2 (cm)
74 정답 및 풀이
cm
(cid:9000) ④
∴ △BEF=;2!;_4_2'∂11=4'∂11 (cm¤ ) (cid:9000) 4'∂11 cm¤
∴ △MAG=;2!;_6'3_3'2=9'6 (cm¤ )
(cid:9000) ⑤
09 두 점 E, F는 각각 AC”, AD”의 중점이므로
EF”=;2!; CD”=;2!;_8=4 (cm)
BE”=BF”= _8=4'3 (cm)
'3
2
오른쪽 그림과 같이 △BEF의 꼭짓
점 B에서 EF”에 내린 수선의 발을 G
라 하면
EG”=GF”=;2!; EF”=2 (cm)
△BEG에서
BG”="√(4'3)¤ -2¤
BG”='∂44=2'∂11 (cm)
B
4'3 cm
4'3 cm
E
F
G
4 cm
10 밑면의 둘레의 길이는
2p_2=4p (cm)
오른쪽 그림의 전개도에서 구하는 최
단 거리는 AM'”+MB'”의 길이와 같
으므로
AM'”+MB'”=2AM'”
B
M
A
4p cm
A'
=2"√(4p)¤ +(3p)¤ =10p (cm)
(cid:9000) ④
B'
3p cm
M'
3p cm
11 오른쪽 그림의 전개도에서
∠MAC=30˘, ∠CAD=60˘
△ABC에서
A’M”= _6=3'3 (cm)
'3
2
A
30˘
60˘
6 cm
D
B
M
C
따라서 구하는 최단 거리는 D’M”의 길이이므로
△AMD에서
D’M”="√(3'3)¤ +6¤ ='∂63=3'7 (cm)
(cid:9000) 3'7 cm
12 밑면의 둘레의 길이는 2p_3=6p (cm)
오른쪽 그림의 옆면의 전개도에서 부
채꼴의 중심각의 크기를 ∠x라 하면
A
x
6 cm
M
12 cm
24p_
=6p(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=90˘
B
B'
∠x
360˘
따라서 구하는 최단 거리는 BM”의 길
이이므로 △ABM에서
BM”="√12¤ +6¤ ='∂180=6'5 (cm)
6p cm
(cid:9000) ①
09THEME
피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 ⑵
34~35쪽
실전 연습 문제
2회
01 FH”="√2¤ +3¤ ='∂13
EF”_EH’
”=EI”_FH”이므로
2_3=EI”_'∂13(cid:100)(cid:100)∴ EI”=
6'∂13
13
△AEI에서
실전북
02 E’M”을 그으면 △AEM은 ∠AEM=90˘인 직각삼각형이다.
△HEM에서 E’M”="√4¤ +2¤ ='∂20=2'5 (cm)
△AEM에서 A’M”="√4¤ +(2'5)¤ ='∂36=6 (cm) (cid:9000) 6 cm
03 A’M”=G’M”="√6¤ +3¤ ='∂45=3'5 (cm)
AG”="√6¤ +6¤ +6¤ ='∂108=6'3 (cm)
△AMG는 이등변삼각형이므로
오른쪽 그림과 같이 점 M에서
AG”에 내린 수선의 발을 N이라
하면
A
3'5 cm
A’NÚ=NG”=;2!;AG”=3'3 cm
MN” ="√(3'5)¤ -(3'3)¤ ='∂18=3'2 (cm)
M
N
6'3 cm
3'5 cm
G
04 ① EG”="√8¤ +6¤ ='∂100=10 (cm)
(cid:100) 점 O는 EG”의 중점이므로 EO”=5 cm
② AC”=EG”=10 cm
③ △COG에서 CO”="√10¤ +5¤ ='∂125=5'5 (cm)
④ △AEO에서 O’AÚ="√10¤ +5¤ ='∂125=5'5 (cm)
(cid:100) 따라서 △AOC는 O’AÚ=OC”인 이등변삼각형이다.
⑤ 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 O에
서 AC”에 내린 수선의 발을 I라
하면 AI”=CI”=5 cm
△OAI에서
OI”="√(5'5)¤ -5¤
OI”='∂100=10(cm)
I
10 cm
5'5 cm
A
O
∴ △AOC=;2!;_10_10=50 (cm¤ )
5'5 cm
C
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
05 AE”="√8¤ +6¤ ='∂100=10
AC”="√6¤ +6¤ ='∂72=6'2
AF”="√8¤ +(6'2)¤ ='∂136=2'∂34
AE”
¤ 이므로 △AEF는 ∠AEF=90˘인 직각
¤ =AF”
¤ +EF”
삼각형이다.
∴ △AEF=;2!;_AE”_EF”=;2!;_10_6=30
(cid:9000) ②
06 (삼각뿔 F-ABC의 부피)=;3!;_{;2!;_4_4}_4
(삼각뿔 F-ABC의 부피)=:£3™: (cm‹ )
AC”=AF”=CF”="√4¤ +4¤ ='∂32=4'2 (cm)이므로
(삼각뿔 B-AFC의 부피)=;3!;_[ _(4'2)¤ ]_h
(삼각뿔 B-AFC의 부피)=
h (cm‹ )
이때 두 삼각뿔의 부피는 서로 같으므로
:£3™:=
h(cid:100)(cid:100)∴ h=
8'3
3
4'3
3
07 정사면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
4'3
3
(cid:9000)
'3
4
8'3
3
03. 피타고라스 정리의 활용 75
AI”=
æ≠1¤ +{
6'∂13
13
}¤ =æ–;1$3(;=
7'∂13
13
7'∂13
13
(cid:9000)
'3
2
a=2'3(cid:100)(cid:100)∴ a=4
12 AN”=;3@;_AB'”
2'3
2'3
AN”=;3@;_6=4 (cm)
H
A
6 cm x
B
N
B'
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 M에서
AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면
MÚH”="√(2'3)¤ -2¤ ='8=2'2
∴ △MAB=;2!;_4_2'2
A
∴ △MAB=4'2
(cid:9000) 4'2
08 밑면의 둘레의 길이는 2p_4=8p
최단 거리는 오른쪽 그림의 전개도에
서 AB'”의 길이와 같으므로 높이는
AB”="√(12p)¤ -(8p)¤
AB”=4'5p
(cid:9000) ③
B
A
09 오른쪽 그림과 같은 원뿔의 전개
도에서 μ BB'=2p_3=6p(cm)
부채꼴의 중심각의 크기를
∠x라 하면
M
H
4
12p
8p
A
x
12 cm
12 cm
B
B'
B
B'
A'
2p_12_
=6p(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=90˘
∠x
360˘
따라서 구하는 최단 거리는 B’B'”의 길이와 같으므로
B’B'”="√12¤ +12¤ ='∂288=12'2 (cm)
3 cm
(cid:9000) ②
10 (삼각뿔 D-CMN의 부피)=;3!;_{;2!;_5_5}_10
(삼각뿔 D-CMN의 부피)=;:!3@:%; (cm‹ )
D’M”=DN”="√10¤ +5¤ ='∂125=5'5 (cm)
MN”="√5¤ +5¤ ='∂50=5'2 (cm)
(△DMN의 높이)=æ≠(5'5)¤ -{
}¤ =
5'2
2
15'2
2
(cm)
삼각뿔 C-DMN의 꼭짓점 C에서 △DMN에 내린 수선의
길이를 h cm라 하면
(삼각뿔 C-DMN의 부피)=;3!;_{;2!;_5'2_
15'2
2
}_h
(삼각뿔 C-DMN의 부피)=:™2∞:h
이때 두 삼각뿔의 부피는 같으므로
:™2∞:h=;:!3@:%;(cid:100)(cid:100)∴ h=:¡3º:
11 ⁄ AD”를 지나는 경우
⁄ BH”="√6¤ +6¤ ='∂72
=6'2 (cm)
¤ CD”를 지나는 경우
⁄ BH”="√8¤ +4¤ ='∂80
=4'5 (cm)
‹ CG”를 지나는 경우
⁄ BH” ="√10¤ +2¤ ='∂104
=2'∂26 (cm)
B
F
(cid:9000) ②
H
2 cm
D
4 cm
C
E
A
B
A
B
6 cm
D H
4 cm
G
C
2 cm
D
2 cm
H
6 cm
C
6 cm
G
4 cm
오른쪽 그림의 전개도에서
μBB'=2p_2=4p (cm)
점 N에서 BA”의 연장선 위에 내린 수선의 발을 H라 하고 부
채꼴의 중심각의 크기를 ∠x라 하자.
2p_6_
=4p(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=120˘
∠x
360˘
∴ ∠HAN=180˘-120˘=60˘
△ANH에서 AN” : AH”=2 : 1이므로
4 : AH”=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ AH”=2 cm
또, AN” : HN”=2 : '3이므로
4 : HN”=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ HN”=2'3 cm
따라서 구하는 최단 거리는 BN”의 길이와 같으므로
△HBN에서
BN”="√8¤ +(2'3)¤ ='∂76=2'∂19 (cm)
(cid:9000) ⑤
36~39쪽
(cid:9000) 10'2
(cid:9000) ③
THEME
모아
중단원 실전 평가
01 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
4x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=5
∴ (정사각형의 대각선의 길이)='2_5
=5'2 (cm)
(cid:9000) ②
02 정사각형의 한 변의 길이를 a라 하면
¤ =(3a)¤ +a¤ , 400=10a¤
AC”
a¤ =40(cid:100)(cid:100)∴ a=2'∂10 (∵ a>0)
∴ AB”="√(2a)¤ +a¤ ='ƒ160+40='∂200=10'2
03 x="√9¤ +12¤ ='∂225=15
AB”_A’D”=BD”_A’H”에서
9_12=15y(cid:100)(cid:100)∴ y=:£5§:
∴ x-y=15-:£5§:=:£5ª:
04 점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 점 O는
△ABC의 무게중심이므로 AO” : AH”=2 : 3
AH”=;2#;AO”=;2#;_4'3=6'3 (cm)
정삼각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
'3
2
x=6'3(cid:100)(cid:100)∴ x=12
∴ △ABC= _12¤ =36'3 (cm¤ )
(cid:9000) 36'3 cm¤
'3
4
› FG”를 지나는 경우는 ⁄의 경우와 마찬가지이므로
6'2 cm
⁄~›에 의해 최단 거리는 6'2 cm이다.
(cid:9000) 6'2 cm
05 ㄱ. (대각선의 길이)='3a
ㄴ. PQ”="√{3-(-1)}¤ +(3√-1)¤ ='∂20=2'5
'3
ㄷ. a= _1= , b= _1¤ =
2
'3
2
'3
4
'3
4
76 정답 및 풀이
'3
2
ㄹ. ∴ a+b= + =
'3
4
ㄹ. (대각선의 길이)="√a¤ +a¤ +b¤ ="√2a¤ +b¤
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
3'3
4
06 △ABC의 한 변의 길이를 a라 하면 AD”= a
(cid:9000) ③
'3
2
AF”는 △ADE의 높이이므로
'3
2
AF”= _ a=;4#;a
'3
2
△ABC= a¤
'3
4
'3
4
△ADE= _{
a}¤ =
'3
2
3'3
16
a¤
'3
△AFG= _{;4#;a}¤ =
4
9'3
64
a¤
∴ △ABC : △ADE : △AFG
'3
3'3
(cid:100) = a¤ :
4
16
(cid:100) =16 : 12 : 9
9'3
64
a¤ :
a¤
07 정육면체의 한 모서리의 길이를 x cm라 하면
정육각형의 한 변의 길이는
'2x
2
cm
정육각형의 넓이는 한 변의 길이가
'2x
2
cm인 정삼각형 6개의 넓이와 같으므로
(cid:9000) ⑤
'2x
2
cm
}¤ _6
'3
9'3= _{
4
'2x
2
x¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ x=2'3 (∵ x>0)
따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 2'3 cm이다. (cid:9000) ②
08 오른쪽 그림과 같이 AB”=3 cm,
BC”=6 cm, CA”=5 cm인 삼각형
ABC의 꼭짓점 A에서 BC”에 내린
수선의 발을 D라 하고 BD”=x cm
라 하면 DC”=(6-x) cm
△ABD에서
¤ =3¤ -x¤
AD”
△ACD에서
¤ =5¤ -(6-x)¤ (cid:100)(cid:100)yy ㉡
AD”
㉠, ㉡에 의해 3¤ -x¤ =5¤ -(6-x)¤
yy ㉠
9-x¤ =-11+12x-x¤ , 12x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=;3%;
AD”=æ≠9-{;3%;}¤ =
(cm)
2'∂14
3
2'∂14
3
∴ △ABC=;2!;_6_
=2'∂14 (cm¤ ) (cid:9000) 2'∂14 cm¤
09 △ABC에서
AB” : AC”=2 : '3이므로
6 : x=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ x=3'3
△ACD에서
AC” : CD”='2 : 1이므로
A
45˘
6
x
D
y
60˘
B
C
실전북
(cid:9000)
27'2
2
C'
E
C
B
B'
A
30˘
2'3 cm
3'3 : y='2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ y=
∴ xy=3'3_
3'6
2
=
27'2
2
3'6
2
10 오른쪽 그림과 같이 AE”를 그으면
△AED™△AEB' (RHS 합동)
∠DAB'=90˘-30˘=60˘이므로
D
D'
∠EAB'=;2!;_60˘=30˘
△EAB'에서 A’B'”=2'3 cm이고
A’B'” : B’'E”='3 : 1이므로
2'3 : B’'E”='3 : 1(cid:100)(cid:100)∴ B’'E”=2 cm
∴ △AB'E=;2!;_A’B'”_B’'E”
∴ △AB'E=;2!;_2'3_2=2'3 (cm¤ )
따라서 구하는 넓이는
2△AB'E=2_2'3=4'3 (cm¤ )
11 P(a, b)라 하면 PA”=PB”, 즉 PA”
¤ =PB”
(7-a)¤ +(13-b)¤ =(10-a)¤ +(4-b)¤
¤ 이므로
(cid:9000) 4'3 cm¤
49-14a+a¤ +169-26b+b¤
=100-20a+a¤ +16-8b+b¤
6a-18b+102=0
∴ a-3b+17=0(cid:100)(cid:100)yy ㉠
점 P(a, b)가 직선 x+2y-3=0 위에 있으므로
a+2b-3=0 (cid:100)(cid:100)yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-5, b=4
∴ P(-5, 4)
12 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
”="√4¤ +3¤ +5¤ ='∂50=5'2 (cm)
AG’
따라서 △AEG에서
AE” : EG” : AG”=5 : 5 : 5'2=1 : 1 : '2이므로(cid:100)(cid:100)
∠AGE=45˘
(cid:9000) ④
14 CD”=OD”= _9=
'3
2
9'3
2
(cm)
점 H는 △ABC의 무게중심이므로
DH”=;3!; CD”=;3!;_
9'3
2
=
3'3
2
(cm)
△ODH에서
9'3
2
OH”=æ≠{
}¤ -{
}¤ ='∂54=3'6 (cm)
3'3
2
3'3
2
∴ △ODH=;2!;_
_3'6
∴ △ODH=
(cm¤ )
27'2
4
27'2
4
(cid:9000)
cm¤
03. 피타고라스 정리의 활용 77
A
3 cm
B
5 cm
C
D
6 cm
'3a=30(cid:100)(cid:100)∴ a=10'3
따라서 공의 반지름의 길이는
;2!;_10'3=5'3 (cm)
13 EG”="√4¤ +3¤ ='∂25=5 (cm)
15 주어진 도형을 직선 l을 축으로 하여 1회
전시켜 만들어지는 도형은 오른쪽 그림과
같다.
AC”="√(6'5)¤ -6¤ ='∂144=12
∴ (입체도형의 부피)
=(원기둥의 부피)-(원뿔의 부피)
(cid:100) =p_6¤ _12-;3!;_p_6¤ _12
A
12
C
6'5
B
6
20 ⑴ AB”="√(0-1)¤ +(3-0)¤ ='∂10
⑵ BC”="√(4-0)¤ +(3-3)¤ ='∂16=4
⑶ CA”="√(4-1)¤ +(3-0)¤ ='∂18=3'2
⑷ CA”
¤ <AB”
¤ +BC”
y❶
y❷
y❸
¤ 이므로 △ABC는 예각삼각형이다.
y❹
(cid:9000) ⑴ '∂10 ⑵ 4 ⑶ 3'2 ⑷ 예각삼각형
(cid:100) =288p
(cid:9000) ①
16 OP”는 구의 반지름이므로 OP”=6 cm
△OPH에서
PH”="√6¤ -4¤ ='∂20=2'5 (cm)
∴ (원뿔의 부피)=;3!;_p_(2'5)¤ _4
P
∴ (원뿔의 부피)=:•3º:p (cm‹ )
6 cm
4 cm
O
H
Q
(cid:9000) ③
17 EG”를 그으면
EG”="√5¤ +12¤ ='∂169=13 (cm)
AG’
이때 EG”_AE”=AG”_EI”이므로
”="√5¤ +12¤ +13¤ ='∂338=13'2 (cm)
13_13=13'2_EI”(cid:100)(cid:100)∴ EI”=
13'2
2
cm
18 오른쪽 그림의 전개도에서 구하는 최
단 거리는 BC”의 길이와 같다.
△ABO에서
AB” : BO”=2 : '3이므로
4 : BO”=2 : '3(cid:100)(cid:100)
∴ BO”=2'3 cm
∴ BC”=2BO”=2_2'3=4'3 (cm)
19 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
BH”=CH”=12
∴ A’HÚ="√15¤ -12¤ ='∂81=9
(cid:9000) ①
C
4 cm
B
A
60˘
60˘
O
D
따라서 ㈎의 넓이는 ;2!;_24_9=108
y❶
꼭짓점 D에서 EF”에 내린 수선의 발을 H', EH'”=x라 하면
FH'”=21-x이므로
△DEH'와 △DFH'에서
DH'”
169-x¤ =400-441+42x-x¤
42x=210(cid:100)(cid:100)∴ x=5
∴ DH'”="√13¤ -5¤ ='∂144=12
¤ =13¤ -x¤ =20¤ -(21-x)¤
따라서 ㈏의 넓이는 ;2!;_21_12=126
그러므로 넓이가 더 넓은 것은 ㈏이다.
채점 기준
❶ ㈎의 넓이 구하기
❷ ㈏의 넓이 구하기
❸ 넓이가 더 넓은 것 찾기
78 정답 및 풀이
채점 기준
❶ AB”의 길이 구하기
❷ BC”의 길이 구하기
❸ CA”의 길이 구하기
❹ △ABC가 어떤 삼각형인지 알기
배점
1점
1점
1점
2점
21 강가를 x축으로 하고 A 지점이 y축에
있다고 생각하여 좌표평면 위에 나타
y
50
B'
x
P
B
O
A
60
-30
-50
내면 오른쪽 그림과 같으므로
A(0, -30), B(60, -50)(cid:100)(cid:100)y❶
점 B(60, -50)을 x축에 대하여 대
칭이동한 점의 좌표는
y❷
B'(60, 50)
따라서 이 사람이 걸어야 할 최소 거리는 AP”+BP”의 최솟값
과 같으므로
AP”+BP”=AP”+B’'P”
AP”+BP”æA’B'”
AP”+BP”="√(60-0)¤ +{50-√(-30)}¤
AP”+BP”='∂10000=100(m)
채점 기준
❶ 좌표평면 위에 나타내기
❷ 점 B를 x축에 대하여 대칭이동한 점의
(cid:9000) ②
좌표 구하기
❸ AP”+BP”의 최솟값 구하기
'3
22 ⑴ CM”= _a= a
2
'3
2
(cid:100) 점 H가 △ABC의 무게중심이므로
(cid:100) HC”=;3@;_ a= a
'3
2
'3
3
⑵ △OHC에서 `O’HÚ=æ≠a¤ -{
'3
3
a}¤ = a
'6
3
'3
⑶ △ABC= _a¤ = a¤
4
'3
4
⑷ (부피)=;3!;_△ABC_OH”
'3
(cid:100) (부피)=;3!;_ a¤ _ a= a‹
4
'6
3
'3
3
'2
12
'6
3
(cid:9000) ⑴ a ⑵ a ⑶ a¤ ⑷ a‹
'3
4
y❷
y❸
(cid:9000) ㈏
배점
2점
3점
1점
채점 기준
❶ HC”의 길이 구하기
❷ O’HÚ의 길이 구하기
❸ △ABC의 넓이 구하기
❹ 정사면체의 부피 구하기
y❸
(cid:9000) 100 m
배점
2점
1점
3점
y❶
y❷
y❸
y❹
'2
12
배점
1점
1점
1점
2점
40~41쪽
실전 연습 문제
1회
∴ sin x÷tan x=
'∂51
10
÷
'∂51
7
=;1¶0;
(cid:9000) ;1¶0;
04. 삼각비
10THEME
삼각비의 뜻
01 AB”="√7¤ -3¤ ='∂40 =2'∂10
② cos A=
2'∂10
7
02 △ABC에서 AB”=2AO”=26
AC”="√26¤ -10¤ ='∂576 =24
∴ tan A=
=;2!4);=;1∞2;
BC”
AC”
03 sin B=
=;5$;이므로
8
AB”
(cid:9000) ②
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) '∂11
C
B
2k
4AB”=40(cid:100)(cid:100)∴ AB”=10 cm
∴ BC”="√10¤ -8¤ ='∂36=6 (cm)
(cid:9000) 6 cm
04 sin B=
AC”
12
= 이므로
'3
6
6AC”=12'3(cid:100)(cid:100)∴ AC”=2'3
BC”=øπ12¤ -(2'3)¤ ='∂132 =2'∂33
∴ tan A=
BC”
AC”
=
2'∂33
2'3
='∂11
05 sin A=;3@;이므로 오른쪽 그림과 같은
△ABC에서
AC”=3k, BC”=2k (k>0)라 하면
AB”="√(3k)¤ -(2k)¤ ='5 k
3k
A
cos A=
tan A=
'5 k
3k
2k
'5 k
=
=
'5
3
2
'5
∴ 6 cos A_tan A=6_ _ =4
(cid:9000) ④
'5
3
2
'5
y
A
O
3x+5y-15=0
a
B
x
06 3x+5y-15=0의 그래프의 x절편이
5, y절편이 3이므로
오른쪽 그림에서 AO”=3, BO”=5
△AOB에서
AB”="√5¤ +3¤ ='∂34 이므로
cos a=
sin a=
BO”
AB”
AO”
AB”
=
=
5
'∂34
3
'∂34
=
5'∂34
34
=
3'∂34
34
∴ cos a-sin a=
5'∂34
34
-
3'∂34
34
=
'∂34
17
'∂34
17
(cid:9000)
07 △ABCª△CBD (AA 닮음)이므로
∠BAC=∠BCD=∠x
△ABC에서 BC”="√10¤ -7¤ ='∂51 이므로
sin x=
BC”
AB”
=
'∂51
10
실전북
'6
3
(cid:9000)
tan x=
BC”
AC”
=
'∂51
7
08 CE”="√2¤ +2¤ +2¤ ='∂12=2'3
EG”="√2¤ +2¤ ='8=2'2
∴ cos x=
EG”
CE”
=
2'2
2'3
=
'6
3
09 c=3a이므로 △ABC에서
b=øπa¤ +c¤ =øπa¤ +(3a)¤ ='∂10a
∴ sin A+cos A=;bA;+;bC;
∴ sin A+cos A=
∴ sin A+cos A=
a
'∂10a
2'∂10
5
+
3a
'∂10a
=
'∂10
10
+
3'∂10
10
2'∂10
5
(cid:9000)
10 BD”=øπ6¤ +(2'3)¤
BD”='∂48=4'3 (cm)
△BCDª△BEC (AA 닮음)
이므로
∠BDC=∠BCE=∠x
△BCD에서
CD”
BD”
2'3
4'3
cos x=
=;2!;
=
A
B
6 cm
D
E
x
2"3 cm
x
C
(cid:9000) ;2!;
tan x=
11 △ABD에서
BD”
AD”
∴ BD”=3'2
AB”=øπ(3'2 )¤ +6¤ ='∂54 =3'6
BD”
6
'2
2
=
,
A
y
x
D
y
B
E
y
F
C
=
=
3'2
3'6
∴ sin x=
'3
BD”
3
AB”
∠CAD=∠CEF=∠y이고
∠x+∠y=90˘이므로
△ABD에서 ∠ABD=∠y
AD”
BD”
∴ tan y=
6
3'2
='2
=
∴ 3 sin x+'6 tan y=3_ +'6 _'2
'3
3
∴ 3 sin x+'6 tan y='3 +2'3 =3'3
(cid:9000) 3'3
12 △ABC, △BCD는 한 변의 길이가 2인 정삼각형이므로
AM”=MD”= _2='3
'3
2
오른쪽 그림과 같이 점 A에서 MD”
에 내린 수선의 발을 H라 하면 점 H
는 △BCD의 무게중심이므로
MH”=;3!; MD”=
△AMH에서
'3
3
A
2
'3
x
M
D
H
'3
04. 삼각비 79
A’H”=æ≠('3)¤ -{
'3
3
2
=Æ;3*;=
}
2'6
3
sin x=
AH”
AM”
MH”
AM”
=
2'6
3
'3
3
1
_ =
'3
1
'3
2'2
3
cos x=
= _ =;3!;
∴ sin x_cos x=
_;3!;=
2'2
3
2'2
9
2'2
9
(cid:9000)
10THEME
삼각비의 뜻
42~43쪽
실전 연습 문제
2회
01 BC”="√6¤ -4¤ ='∂20 =2'5 이므로
sin B=
=;6$;=;3@;
cos B=
tan B=
=
=
2'5
6
4
2'5
=
'5
3
=
2'5
5
AC”
AB”
BC”
AB”
AC”
BC”
02 △ABC에서
BC”="√3¤ -1¤ ='8=2'2
BD”=;2!;BC”=;2!;_2'2='2
△DAB에서
AD”=øπ1¤ +('2)¤ ='3
∴ cos x=
AB”
AD”
1
= =
'3
'3
3
03 sin A=
=;4#;이므로(cid:100)(cid:100)
6
AC”
3 AC”=24(cid:100)(cid:100)∴ AC”=8 cm
04 △ADC에서
CD”="√6¤ -4¤ ='∂20 =2'5 이므로
BC”=BD”+CD”=6+2'5
∴ tan B=
∴ tan B=
AC”
BC”
=
4
6+2'5
2
3+'5
=
3-'5
2
05 sin A=;5@;이므로 오른쪽 그림과 같
은 △ABC에서
AC”=5k, BC”=2k (k>0)라 하면
AB”="√(5k)¤ -(2k)¤ ='∂21 k
A
∴ tan A=
2k
'∂21 k
=
2'∂21
21
06 cos B=;1!3@;이므로 오른쪽 그림과 같
은 △ABC에서
AB”=12k, BC”=13k (k>0)라 하면
B
80 정답 및 풀이
(cid:9000) ②
C
3
A
x
1
D
"2
B
(cid:9000) ②
(cid:9000) ②
C
2k
B
(cid:9000) ②
C
A
5k
13k
12k
AC”="√(13k)¤ -(12k)¤ =5k
sin B=;1∞3;, tan B=;1∞2;
sin B
tan B
∴
=;1∞3;÷;1∞2;
=;1∞3;_:¡5™:=;1!3@;
(cid:9000) ;1!3@;
07 직선 y=3x+9에서 y절편은 9이므로
A(0, 9), x절편은 -3이므로 B(-3, 0)
즉, AO”=9, BO”=3이므로
AB”="√3¤ +9¤ ='∂90=3'∂10
y
y=3x+9
A
B
a
O
x
sin a=
cos a=
AO”
AB”
BO”
AB”
=
9
3'∂10
=
3'∂10
10
=
3
3'∂10
=
'∂10
10
∴ sin a_cos a=
3'∂10
10
_
'∂10
10
=;1£0;
(cid:9000) ;1£0;
08 △ABC에서
BC”="√12¤ +5¤ ='∂169 =13 (cm)
△ABHª△CBA(AA 닮음)이므로
∠BCA=∠BAH=∠x
AC”
BC”
∴ cos x=
=;1∞3;
(cid:9000) ;1∞3;
09 △ABH에서 tan B=
△AHC에서 tan C=
tan C
tan B
=
=
A’H”
3
A’H”
3
÷
_
∴
∴
AH”
7
AH”
3
A’H”
7
7
A’H”
10 sin x=
=;3!;이므로
BC”
AB”
=;3!;(cid:100)(cid:100)∴ AB”=9
3
AB”
△ABC에서
AC”="√9¤ -3¤ ='∂72 =6'2
△ADC에서
tan(x+y)=
CD”
AC”
=
6
6'2
=
'2
2
'2
2
(cid:9000)
11 △ADE에서
AD”="√6¤ -3¤ ='∂27 =3'3
△ADEª△ACB (AA 닮음)이므로
∠DEA=∠B, ∠ADE=∠C
AE”
DE”
=;6#;=;2!;, cos C=
∴ cos B=
∴ cos B-cos C=
1-'3
2
AD”
DE”
=
3'3
6
=
'3
2
(cid:9000) ①
(cid:9000) 8 cm
=;3&;
(cid:9000) ;3&;
실전북
(cid:9000) ④
06 a=sin 30˘-cos 30˘=;2!;- =
'3
2
1-'3
2
이므로
일차방정식 2ax+1=0에서 2ax=-1
1
∴ x=- =-;2!;_
2a
2
1-'3
∴ x=
1
'3 -1
=
'3 +1
2
07 ① sin 60˘=
AD”
AB”
∴ AD”=4'3
BD”
AB”
② cos 60˘=
∴ BD”=4
'3
, =
2
AD”
8
, ;2!;=
BD”
8
(cid:100) ∴ CD”=BC”-BD”=12-4=8
③ AC”=øπ(4'3 )¤ +8¤ ="ç112 =4'7 (cid:100)(cid:100)
4'3
4'7
④ sin C=
'∂21
7
AD”
AC”
(cid:100)(cid:100)
=
=
⑤ △ABC=;2!;_12_4'3 =24'3
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
11THEME
30˘, 45˘, 60˘의 삼각비의 값
01 ⑴ cos 30˘_tan 60˘-sin 45˘= _'3 -
45쪽
실전 연습 문제
'2
2
2회
'3
2
3-'2
2
⑴ cos 30˘_tan 60˘-sin 45˘=
⑵ cos¤ 45˘+sin¤ 30˘={
'2
2
2
}
2
=;4#;
+{;2!;}
(cid:9000) ⑴
3-'2
2
(cid:100)⑵ ;4#;
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 30˘
12 정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
'3a=2'3 (cid:100)(cid:100)∴ a=2
EG”="√2¤ +2¤ ='8=2'2 이고 CG”=2이므로
sin x=
CG”
CE”
=
2
2'3
=
'3
3
tan x=
CG”
EG”
=
2
2'2
=
'2
2
∴ 3 sin x-2 tan x=3_ -2_
'3
3
'2
2
∴ 3 sin x-2 tan x='3 -'2
(cid:9000) '3 -'2
11THEME
30˘, 45˘, 60˘의 삼각비의 값
44쪽
실전 연습 문제
1회
1+'3
2
01 ① sin 30˘+sin 60˘=;2!;+ =
② cos 45˘+sin 45˘= + ='2
③ tan 30˘_cos 30˘= _ =;2!;
'3
2
'2
2
1
'3
'2
2
'3
2
④ cos 60˘+tan 45˘=;2!;+1=;2#;
⑤ tan 60˘_
1
tan 30˘
='3 _ =3
3
'3
따라서 계산 결과가 가장 큰 것은 ⑤이다.
'3
= (cid:100)(cid:100)
3
02 tan A=
'∂15
3'5
∴ ∠A=30˘
03 tan A=1이므로 ∠A=45˘
04 △ABC에서
sin 60˘=
AC”
BC”
'3
, =
2
AC”
6
∴ AC”=3'3 cm
△ACD에서
cos 45˘=
AD”
AC”
3'6
2
∴ AD”=
cm
'2
, =
2
AD”
3'3
05 3x-2y+4=0에서 2y=3x+4(cid:100)(cid:100)
∴ y=;2#;x+2
tan a=;2#;이므로
1
tan a
=;3@;
∴ (1-sin 45˘)(1+cos 45˘)={1- } {1+ }
'2
2
'2
2
∴ (1-sin 45˘)(1+cos 45˘)=;2!;
(cid:9000) ①
02 cos 60˘=;2!;이므로
3∠x+15˘=60˘, 3∠x=45˘
∴ ∠x=15˘
∴ sin 2x+tan 3x=sin 30˘+tan 45˘
∴ sin 2x+tan 4x=;2!;+1=;2#;
(cid:9000) ④
3'6
2
(cid:9000)
cm
03 △ACB에서
tan 30˘=
BC”
AB”
'3
, =
3
BC”
3
∴ BC”='3
△BDC에서
sin 45˘=
∴ BD”='6
BC”
BD”
'2
, =
2
'3
BD”
(cid:9000) ;3@;
04 '3 x-y+2=0에서 y='3 x+2이므로
tan a='3(cid:100)(cid:100)∴ ∠a=60˘
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 60˘
04. 삼각비 81
05 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에
05 ∠A=180˘-(51˘+90˘)=39˘이고
45˘
B
60˘
C
BC”=20_0.8098=16.196 (cm)
(cid:9000) 16.196 cm
A
45˘
x
H
2
tan 39˘=
=0.8098이므로
BC”
20
AD”
AC”
06 △ADC에서
cos 50˘=
=AD”
내린 수선의 발을 H라 하고
AH”=x라 하면
BH”=x, CH”=2-x
△AHC에서
tan 60˘=
AH”
CH”
, '3 =
x
2-x
x='3 (2-x), x=2'3 -'3 x
('3 +1)x=2'3 (cid:100)(cid:100)
2'3
'3 +1
=3-'3
∴ x=
∴ AB”='2 x=3'2 -'6
06 ∠BAD=30˘-15˘=15˘이므로
AD”=BD”=8
△ADC에서
∴ CD”=4'3
AC”
AD”
sin 30˘=
∴ AC”=4
cos 30˘=
CD”
A’D”
'3
, =
2
CD”
8
(cid:100)(cid:100)
, ;2!;=
AC”
8
(cid:100)(cid:100)
∴ tan 15˘=
AC”
BC”
=
4
8+4'3
=
1
2+'3
=2-'3
12THEME
예각의 삼각비의 값
01 ① sin a=
=AB”
② cos b=
=AB”
AB”
OA”
AB”
OA”
③ tan c=tan b=
=
AE”
AB”
=
OC”
CD”
=
1
CD”
OB”
AB”
AB”
OA”
④ cos c=cos b=
=AB”
⑤ tan a=
=CD”
CD”
OC”
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
02 ① sin 0˘=0
④ cos 90˘=0
⑤ tan 0˘=0
03 cos¤ 0˘+sin¤ 30˘+cos¤ 60˘+sin¤ 90˘
=1¤ +{;2!;}
2
2
+{;2!;}
+1¤ =;2%;
04 45˘<A<90˘일 때,
(cid:9000) ②, ③
(cid:9000) ;2%;
(cid:9000) 3'2 -'6
15˘
B
8
D
15˘
A
30˘
C
∴ DB”=AB”-AD”=1-cos 50˘
(cid:9000) ②
07 0˘<x<45˘일 때, 0<sin x<cos x이므로
sin x-cos x<0, sin x+cos x>0
∴ "√(sin x-cos x)¤ -"√(sin x+cos x)¤
∴ =-(sin x-cos x)-(sin x+cos x)
∴ =-2 sin x
-2 sin x=-;5^;(cid:100)(cid:100)∴ sin x=;5#;
오른쪽 그림과 같은 △ABC에서
AB”=5k, AC”=3k(k>0)라 하면
BC”="√(5k)¤ -(3k)¤ =4k
∴ tan x= =;4#;
3k
4k
5k
x
B
A
3k
C
(cid:9000) ③
(cid:9000) 2-'3
12THEME
예각의 삼각비의 값
47쪽
실전 연습 문제
2회
46쪽
실전 연습 문제
1회
01 O’A”=cos a=sin b
AB”=sin a=cos b
따라서 점 B의 좌표는 (OA”, AB”)
이다.
y
1
D
B
b
(cid:9000) ②
a
O
A
C
x
02 cos 0˘_tan 60˘-sin 0˘_tan 60˘
=1_'3-0_'3='3
03 ⑤ tan A의 최솟값은 0이고, 최댓값은 없다.
04 ① sin 10˘<cos 10˘
② sin 46˘>cos 46˘
④ cos 25˘>cos 40˘
⑤ tan 25˘<tan 40˘
따라서 옳은 것은 ③이다.
05 sin x=
BC”
AC”
=
5.736
10
=0.5736
sin 35˘=0.5736이므로 ∠x=35˘
06 ∠OAH=180˘-(90˘+40˘)=50˘
①, ③ AH”=sin 40˘=cos 50˘
②, ④ OH”=cos 40˘=sin 50˘
⑤ BH”=1-OH”=1-cos 40˘
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
(cid:9000) 35˘
(cid:9000) ③
'2
2
<sin A<1, 0<cos A< , tan A>1이므로
'2
2
cos A<sin A<tan A
07 45˘<x<90˘일 때, 0<sin x<1<tan x이므로
(cid:9000) ③
sin x+tan x>0, sin x-tan x<0
82 정답 및 풀이
∴ "√(sin x+tan x)¤ -"√(sin x-tan x)¤
∴ =(sin x+tan x)+(sin x-tan x)
∴ =2 sin x
즉, 2 sin x='3 이므로 sin x=
'3
2
∴ ∠x=60˘
(cid:9000) 60˘
THEME
모아
중단원 실전 평가
01 AB”="√1¤ +2¤ ='5 이므로
2
1
sin A= , sin B=
'5
'5
∴ sin A_sin B= _ =;5@;
2
'5
1
'5
02 오른쪽 그림과 같은 △ABC에서
AB”=7k, BC”=2k(k>0)라 하면
AC”="√(7k)¤ +(2k)¤ ='∂53 k
A
7k
=
=
7
'∂53
∴ cos A=
AB”
AC”
03 x sin 30˘-y cos 45˘=-1에서
'2
2
x_;2!;-y_ =-1
7'∂53
53
∴ x-'2 y=-2
주어진 직선의 x절편은 -2, y절편은
'2 이므로
AB”=øπ2¤ +('2)¤ ='6
∴ cos a=
'6
3
04 △ABCª△HBA (AA 닮음)이므로
2
= =
'6
AO”
AB”
2'6
6
=
48~51쪽
(cid:9000) ;5@;
C
2k
B
(cid:9000) ⑤
y
"2
B
A
a
-2
O
x
(cid:9000) ④
∠ACB=∠HAB=∠x
△ABCª△HAC (AA 닮음)이므로
∠ABC=∠HAC=∠y
△ABC에서 BC”="√5¤ +7¤ ='∂74
sin x=
cos y=
AB”
BC”
AB”
BC”
=
=
5
'∂74
5
'∂74
=
=
5'∂74
74
5'∂74
74
5
y
B
∴ sin x_cos y=
5'∂74
74
_
5'∂74
74
=;7@4%;
A
y
x
H
74
7
x
C
(cid:9000) ;7@4%;
05 △BCD에서 BD”="√12¤ +5¤ ='∂169=13
△DBCª△BAH (AA 닮음)이므로
∠DBC=∠BAH=∠x
△BCD에서
CD”
BD”
BC”
BD”
cos x=
sin x=
=;1!3@;
=;1∞3;
∴ sin x+cos x=;1∞3;+;1!3@;=;1!3&;
(cid:9000) ;1!3&;
실전북
06 ㄱ. sin¤ 30˘-cos¤ 45˘={;2!;}
=;4!;-;2!;=-;4!;
2
-{
1
'2
2
}
2
}
=;4!;-;4#;=-;2!;
ㄴ. cos¤ 60˘-sin¤ 60˘={;2!;}
'3
2
ㄷ. 2 sin 60˘-'3 tan 45˘_tan 60˘
-{
2
ㄷ. =2_ -'3_1_'3=-3+'3
'3
2
ㄹ. sin¤ 30˘+ sin¤ 60˘={;2!;}
+{
2
'3
2
2
=;4!;+;4#;=1
}
ㅁ. (1+sin 45˘+sin 30˘)(1-cos 45˘+cos 60˘)
ㄷ. ={1+ +;2!;}{1- +;2!;}
'2
2
'2
2
'2
2
'2
2
ㄷ. ={;2#;+ }{;2#;- }=;4(;-;4@;=;4&;
따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ, ㅁ의 3개이다.
(cid:9000) 3개
07 ∠A=180˘_
3
3+5+10
=30˘
∴ sin A：cos A：tan A=sin 30˘：cos 30˘：tan 30˘
∴ sin A：cos A：tan A=;2!;： ：
'3
3
∴ sin A：cos A：tan A=3：3'3 ：2'3
∴ sin A：cos A：tan A='3 ：3：2
'3
2
(cid:9000) ⑤
08 sin 60˘_cos¤ 45˘_tan x= 에서
'3
4
'3
2
_{
'2
2
2
}
_tan x= ,
'3
4
'3
4
tan x=
'3
4
(cid:9000) 45˘
tan x=1(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=45˘
09 x¤ -('3+1 )x+'3=0에서
(x-1 )(x-'3 )=0
∴ x=1 또는 x='3
∴ tan A=1 또는 tan A='3
그런데 0˘…A…45˘이므로 tan A=1(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=45˘
∴ cos¤ A-'2 sin A+1=cos¤ 45˘-'2 sin 45˘+1
∴ cos¤ A-'2 sin A+1={
'2
2
2
-'2 _ +1
}
'2
2
∴ cos¤ A-'2 sin A+1=;2!;
(cid:9000) ;2!;
∠x-30˘=30˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=60˘
(cid:9000) 60˘
tan 45˘=
, 1=
(cid:100)(cid:100)∴ BC”='2 cm
BC”
'2
10 sin 60˘= 이므로
'3
2
cos (x-30˘)= 에서
'3
2
11 △BCD에서
BC”
DC”
BC”
AB”
△ABC에서
tan 60˘=
∴ AB”= cm
'6
3
, '3=
'2
AB”
'6
3
(cid:9000)
cm
04. 삼각비 83
12 AM”=BM”=CM”이므로
△AMC에서
∠C=;2!;_(180˘-60˘)
A
B
60˘ 60˘
C
M
∠C=60˘
△ABC에서
AC”
BC”
=cos C=cos 60˘=;2!;
(cid:9000) ;2!;
13 직선과 x축이 이루는 예각의 크기가 60˘이므로 이 직선의 기
울기는
tan 60˘='3
따라서 기울기가 '3 , y절편이 3'3 인 직선의 방정식은
y='3 x+3'3 (cid:100)(cid:100)
∴ '3x-y+3'3 =0
(cid:9000) ③
14 직선 y= x가 x축의 양의 방향과 이루는 예각의 크기를
(cid:9000) '3
E
x
C
x
1
A
B
D
(cid:9000) ⑴ ㄱ(cid:100)⑵ ㄹ(cid:100)⑶ ㅁ
a라 하면
'3
3
'3
3
tan a= (cid:100)(cid:100)∴ ∠a=30˘
∴ m=tan 2a=tan 60˘='3
15 ⑴ sin x=
AB”
AC”
=
AB”
1
BC”
AC”
AD”
DE”
=
=
BC”
1
1
DE”
=AB”
=BC”
이므로
⑵ cos x=
⑶ tan x=
1
tan x
⑶
=DE”
16 [그림 2]에서 sin 35˘=
AC”
10
BC”
10
[그림 1]에서 sin 35˘=0.5736이므로
AC”=5.736
[그림 2]에서 cos 35˘=
[그림 1]에서 cos 35˘=0.8192이므로
BC”=8.192
∴ AC”+BC”=5.736+8.192=13.928
4
B
A
5
D
E
F
11
C
19 오른쪽 그림과 같이 점 A, D에서
BC”에 내린 수선의 발을 각각 E,
F라 하면
EF”=AD”=5이므로
BE”=CF”=;2!;_(11-5)=3
△ABE에서 AE”="√4¤ -3¤ ='7
∴ sin B=
AE”
AB”
=
'7
4
채점 기준
❶ 점 A, D에서 BC”에 내린 수선의 발을 각각
E, F라 할 때, BE”의 길이 구하기
❷ AE”의 길이 구하기
❸ △ABE에서 sin B의 값 구하기
배점
2점
2점
2점
20 sin A：cos A=3：4이므로
오른쪽 그림과 같은 △ABC에서
BC”
AC”
BC”=3k, AB”=4k (k>0)라 하면
=3：4
AB”
AC”
：
tan A= =;4#;
3k
4k
tan A+1
1-tan A
∴
A
4k
B
={;4#;+1}÷{1-;4#;}=;4&;_4=7 y❷
채점 기준
❶ tan A의 값 구하기
❷ 주어진 식의 값 구하기
21 2시 정각일 때 시침과 분침이 이루는 예각의
크기가 60˘이므로 오른쪽 그림과 같은
△ABC에서
BC”
12
, ;2!;=
cos 60˘=
BC”
12
2 BC”=12(cid:100)(cid:100)∴ BC”=6 cm
따라서 시침의 길이는 6 cm이다.
y❶
y❷
y❸
'7
4
(cid:9000)
C
3k
y❶
(cid:9000) 7
A
배점
3점
2점
12 cm
B
60˘
C
y❶
y❷
(cid:9000) 6 cm
배점
4점
1점
y❶
y❷
(cid:9000) 20.71
배점
2점
4점
(cid:9000) 13.928
채점 기준
❶ BC”의 길이 구하기
❷ 시침의 길이 구하기
22 ∠A=44˘이므로 ∠B=90˘-44˘=46˘
주어진 삼각비의 표에서 tan 46˘=1.0355
tan 46˘=
=1.0355
AC”
20
∴ AC”=20_1.0355=20.71
채점 기준
❶ ∠B의 크기 구하기
❷ A’C”의 길이 구하기
(cid:9000) ⑤
17 ② 0˘…A…90˘일 때, ∠A의 크기가 커지면 cos A의 값은
작아진다.
⑤ tan A의 최솟값은 ∠A=0˘일 때 0이다.
(cid:9000) ②, ⑤
18 45˘<x<90˘일 때, tan x>1이므로
1-tan x<0, 1+tan x>0
∴ "√(1-tan x)¤ +"√(1+tan x)¤
∴ =-(1-tan x)+(1+tan x)
∴ =2 tan x
84 정답 및 풀이
05. 삼각비의 활용
13THEME
삼각형의 변의 길이
01 sin B=;cB;이므로 c=
cos B=;cA;이므로 c=
b
sin B
a
cos B
02 △ABC에서
52~53쪽
실전 연습 문제
1회
(cid:9000) ②
A
30˘
30˘
D
C
(cid:9000) ②
AC”=AB” sin 30˘=6_;2!;=3 (cm)
∠DAC=30˘이므로 △ADC에서
6 cm
30˘
B
CD”=AC” tan 30˘=3_ ='3 (cm)
'3
3
|`다른 풀이`| ∠BAC=60˘이므로
AB” : AC” : BC”=2 : 1 : '3 에서
6 : AC” : BC”=2 : 1 : '3
∴ AC”=3 cm, BC”=3'3 cm
∠BAD=∠DAC이므로
BD” : DC”=6 : 3=2 : 1
∴ CD”=;3!; BC”=;3!;_3'3='3 (cm)
03 △ABH에서
AH”=200 sin 60˘=200_ =100'3
'3
2
△CAH는 직각이등변삼각형이므로
CH”=AH”=100'3
04 △ACB에서
BC”=20 tan 35˘=20_0.7=14 (m)
따라서 이 나무의 높이는
BD”=BC”+CD”=14+1.6=15.6 (m)
05 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”
에 내린 수선의 발을 H라 하면
BH”=280 cos 35˘(m)
CH”=210 cos 63˘(m)
∴ BC”=BH”+CH”
∴ BC”=280 cos 35˘+210 cos 63˘(m)
B
280 m
35˘
(cid:9000) ④
(cid:9000) 15.6 m
A
210 m
63˘
H
C
(cid:9000) ②
06 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”
에 내린 수선의 발을 H라 하면
△ABH에서
AH”=AB” sin 30˘
4 cm
30˘
B
A
H
4'3 cm
C
AH=4_;2!;=2 (cm)
BH”=AB” cos 30˘=4_ =2'3 (cm)
'3
2
CH”=BC”-BH”=4'3 -2'3 =2'3 (cm)
따라서 △AHC에서
AC”=øπ2¤ +(2'3 )¤ ='∂16=4 (cm)
(cid:9000) ④
실전북
07 △BCD에서
CD”=4 sin 30˘=4_;2!;=2
∠A=180˘-(30˘+105˘)=45˘이므로
△ACD에서
CD”
sin 45˘
1
=2÷ =2'2
'2
AC”=
∴ AC”+CD”=2'2 +2=2('2 +1)
08 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에 내
린 수선의 발을 H라 하면 △ABH에서
(cid:9000) 2('2 +1)
C
60˘
H
AH”=6 sin 45˘=6_ =3'2
'2
2
△AHC에서
sin 60˘=
AH”
AC”
∴ AC”=2'6
'3
, =
2
3'2
AC”
A
45˘
B
6
09 ∠ABC=60˘이므로 ∠ABE=30˘(cid:100)(cid:100)
즉, △ABE는 AE”=BE”인 이등변삼각형이므로
BE”=AE”=8
△BCE에서
CE”=BE” sin 30˘=8_;2!;=4
△ECD에서 ∠DEC=50˘이므로
CD”=CE” tan 50˘=4_1.19=4.76
10 FG”=FC” cos 30˘=4_ =2'3 (cm)
'3
2
(cid:9000) ③
(cid:9000) 4.76
CG”=FC” sin 30˘=4_;2!;=2 (cm)
따라서 이 직육면체의 겉넓이는
2_(3_2+3_2'3 +2_2'3 )
=12+20'3 =4(3+5'3 ) (cm¤ )
11 AB”=AC”=10 cm
(cid:9000) 4(3+5'3 ) cm¤
A
30˘
10 cm
H
B
C
오른쪽 그림과 같이 점 C에서 AB”에
내린 수선의 발을 H라 하면
'3
2
A’H”=10 cos 30˘=10_ =5'3 (cm)
따라서 B 지점과 C 지점에서의 추의 높이의 차는
HB”=AB”-A’H”=10-5'3 =5(2-'3 )(cm)
(cid:9000) 5(2-'3 ) cm
A
6
B
135˘
C
2'2
45˘
H
12 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”
의 연장선에 내린 수선의 발을 H라
하면
∠ACH=180˘-135˘=45˘
이므로
AH”=6 sin 45˘=6_ =3'2
'2
2
'2
2
CH”=6 cos 45˘=6_ =3'2
BH”=BC”+CH”=2'2 +3'2 =5'2
따라서 △ABH에서
AB”=øπ(5'2 )¤ +(3'2 )¤ ='∂68=2'∂17
(cid:9000) ①
05. 삼각비의 활용 85
13THEME
삼각형의 변의 길이
54~55쪽
실전 연습 문제
2회
07 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”
에 내린 수선의 발을 H라 하면
A
105˘
6 cm
45˘
B
H
30˘
C
01 ② sin B=
이므로 AH”=c sin B
A’H”
c
BH”
cos B
이므로 c=
③ cos B=
BH”
c
④ AH”=b sin C=c sin B
⑤ BC”=BH”+CH”=c cos B+b cos C
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
02 △ABC에서
AB”
BC”
tan C=
∴ BC”=12
, ;3@;=
8
BC”
BM”=;2!; BC”=;2!;_12=6
△ABM에서
AM”="ç
√8¤ +6¤ ='∂100=10
03 AG”="√4¤ +4¤ +4¤ ='∂48=4'3
EG”="√4¤ +4¤ ='∂32=4'2
AE”⊥EG”이므로 직각삼각형 AEG에서
4'2
4'3
'2
= =
'3
cos x=
EG”
AG”
'6
3
=
04 AC”=10 sin 57˘
AC”=10_0.8=8 (m)
AB”="√10¤ -8¤ ='∂36
A
57˘
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 10
(cid:9000) ④
=6 (m)
B
10 m
C
따라서 이 나무의 원래 높이는
AB”+AC”=6+8=14 (m)
05 △CBH는 직각이등변삼각형이므로
BH”=CH”=30 m
△DCH에서
DH”=30 tan 30˘=30_
'3
3
D
C
30˘
45˘
H
A
30 m
B
DH”=10'3 (m)
따라서 B 건물의 높이는
BH”+D’H”=30+10'3 =10(3+'3 ) (m)
(cid:9000) 10(3+'3 ) m
06 오른쪽 그림과 같이 점 B에서 AC”에
A
B
내린 수선의 발을 H라 하면
△BHC에서
BH”=30 sin 30˘=30_;2!;=15 (m)
H
25'3 m
30 m
30˘
C
CH”=30 cos 30˘=30_ =15'3 (m)
'3
2
”=25'3 -15'3 =10'3 (m)
AH”=AC”-CH”
따라서 △BAH에서
AB”=øπ(10'3 )¤ +15¤ ='∂525=5'∂21 (m)
86 정답 및 풀이
AH”=6 sin 45˘=6_
AH=3'2 (cm)
'2
2
'2
2
BH”=6 cos 45˘=6_ =3'2 (cm)
∠C=180˘-(45˘+105˘)=30˘이므로
△AHC에서
AH”
tan 30˘
=3'2 ÷ =3'6 (cm)
HC”=
1
'3
(cid:9000) 3('2 +'6 ) cm
H
30˘
45˘
B
45˘
C
100 m
08 오른쪽 그림과 같이 점 B에서 AC”에
A
∴ BC”=BH”+HC”
∴ BC”=3'2 +3'6
∴ BC”=3('2 +'6 )(cm)
내린 수선의 발을 H라 하면
△BCH에서
CH”=100 cos 45˘
'2
CH”=100_ =50'2 (m)
2
BH”=CH”=50'2 m
△ABH에서
BH”
cos 30˘
AB”=
=50'2 ÷ =
(m)
'3
2
100'6
3
따라서 이 다리의 길이는
100'6
3
m이다.
100'6
3
(cid:9000)
m
A
B
H
x
1 cm
E
'2
2
cm
C
D
정사각뿔이다.
(cid:8772)BCDE는 한 변의 길이가
1 cm인 정사각형이므로
CE”="√1¤ +1¤ ='2 (cm)
∴ HE”=;2!; CE”=;2!;_'2 = (cm)
'2
2
sin x=
△AHE에서
EH”
AE”
∴ ∠x=45˘
= ÷1=
'2
2
'2
2
10 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 CB”의 연장
선에 내린 수선의 발을 D라 하면
직각삼각형 ABD에서
∠ABD=180˘-120˘=60˘
BD”=1_cos 60˘=1_;2!;=;2!; (m)
따라서 지면에서 점 A까지의 거리는 CD”의
길이와 같으므로 구하는 가로등의 높이는
(cid:9000) 45˘
D
B
A
1 m
120˘
3 m
C
(cid:9000) ①
09 주어진 전개도로 만들어지는 입
체도형은 오른쪽 그림과 같은
(cid:9000) ⑤
CD”=CB”+BD”=3+;2!;=;2&; (m)
(cid:9000) ;2&; m
11 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BC”의
연장선 위에 내린 수선의 발을 H라
하면
D’H”=10 sin 60˘
A
D
10 cm
120˘
120˘
B
14 cm
H
C
60˘
(cid:9000) 2'∂109 cm
15˘
A
30˘
B
45˘
4
C
60˘
x
H
'3
DH=10_ =5'3 (cm)
2
CH”=10 cos 60˘
CH”=10_;2!;=5 (cm)
∴ BH”=BC”+CH”=14+5=19 (cm)
△DBH에서
BD”=øπ19¤ +(5'3 )¤ ='∂436
BD”=2'∂109 (cm)
12 △ABC에서
∠ACH=45˘+15˘=60˘
△ACH에서
∠CAH=30˘
CH”=x라 하면
△ABH는 직각이등변삼각형이므로
AH”=BH”=x+4
△ACH에서
tan 60˘=
AH”
CH”
, '3=
x+4
x
AC”=
'3x=x+4, ('3-1)x=4(cid:100)(cid:100)
∴ x=2'3 +2
△ACH에서
x
cos 60˘
△ABH에서
AB”='2 BH”='2 (2'3 +6)=2'6 +6'2
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
AB”+BC”+AC”=2'6 +6'2 +4+4'3 +4
=(2'3 +2)÷;2!;=4'3 +4
AB”+BC”+CA”=6'2 +4'3 +2'6 +8
∴ a=6, b=4, c=2, d=8
∴ a+b+c+d=6+4+2+8=20
(cid:9000) ②
실전북
(cid:9000) ⑤
따라서 이 전망대의 높이 CH”의 길이는
50('3 +1) m이다.
02 AC”∥ DE”이므로
△ACD=△ACE
∴ (cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD
=△ABC+△ACE
∴ (cid:8772)ABCD=△ABE
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_3_8_sin 60˘
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_3_8_
∴ (cid:8772)ABCD=6'3 (cm¤ )
'3
2
(cid:9000) 6'3 cm¤
'2
2
(cid:9000) 12 cm¤
03 (cid:8772)ABCD=△ABD+△DBC
(cid:8772)ABCD=;2!;_4_2'2 _sin(180˘-135˘)
(cid:8772)ABCD=+;2!;_8_2'2 _sin 45˘
(cid:8772)ABCD=;2!;_4_2'2 _ +;2!;_8_2'2 _
'2
2
(cid:8772)ABCD=4+8
(cid:8772)ABCD=12 (cm¤ )
04 등변사다리꼴의 두 대각선의 길이는 서로 같으므로
;2!;_x_x_sin (180˘-120˘)=6'3
;2!;_x_x_sin 60˘=6'3
'3
4
x¤ =6'3 , x¤ =24(cid:100)(cid:100)
∴ x=2'6 (∵ x>0)
05 cos B=;5$;이므로 오른쪽 직각삼각형에서
C
CH”="√(5k)¤ -(4k)¤ =3k (단, k>0)
△CAH에서
AH”=CH” tan 30˘=3k_ ='3 k
'3
3
AH”+BH”=AB”에서
'3 k+4k=65, ('3+4)k=65
∴ k=5(4-'3 )
∴ CH”=3k=3_5(4-'3 )=15(4-'3 )
(cid:9000) 2'6
5k
H
4k
B
(cid:9000) ④
14THEME
삼각형과 사각형의 넓이
56쪽
실전 연습 문제
1회
01 CH”=h m라 하면 △CBH는 직각이등변삼각형이므로
BH”=CH”=h m
AH”=(100+h) m
△CAH에서
CH”
A’H”
tan 30˘=
h
100+h
1
, =
'3
'3h=100+h, ('3 -1)h=100(cid:100)(cid:100)
∴ h=50('3 +1)
06 △AMC=;2!;△ABC
△AMC=;2!;_;2!; (cid:8772) ABCD
△AMC=;4!; (cid:8772) ABCD
△AMC=;4!;_(12_16_sin 60˘)
△AMC=;4!;_{12_16_ }
'3
2
△AMC=24'3 (cm¤ )
(cid:9000) ④
05. 삼각비의 활용 87
14THEME
삼각형과 사각형의 넓이
57쪽
실전 연습 문제
2회
즉, CH”=A’H”=h
△ABH에서
tan 30˘=
A’H”
BH”
h
10+h
=
1
'3
∴ h=5('3+1)
이므로
, ('3-1)h=10
∴ △ABC=;2!;_BC”_AH”
∴ △ABC=;2!;_10_5('3+1)
따라서 나무의 높이 AH”의 길이는 6(3-'3 ) m이다.
∴ △ABC=25('3+1)
(cid:9000) 25('3+1)
07 (cid:8772)ABCD=AB”_BC”_sin B
(평행사변형 AB'C'D'의 넓이)
=0.8 AB”_1.1 BC”_sin B
=0.88_(AB”_BC”_sin B)
=0.88_(cid:8772)ABCD
따라서 평행사변형의 넓이는 12 % 감소한다.
(cid:9000) ①
(cid:9000) 6(3-'3 ) m
5
B
A
H
10
C
01 △ABH에서 AH”=h m라 하면
BH”=AH”=h m
△ACH에서
CH”=h tan 30˘= h(m)
'3
3
BC”=BH”+CH”에서
'3
3
12=h+ h, 36=(3+'3 )h
∴ h=
36
3+'3
=6(3-'3 )
02 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”
에 내린 수선의 발을 H라 하자.
tan B=2에서 BH”=k라 하면
AH”=2k이므로
AB”="√(2 k)¤ +k¤ ='5k
'5k=5에서 k='5
∴ sin B=
A’H”
AB”
=
2'5
5
∴ △ABC=;2!;_5_10_
2'5
5
∴ △ABC=10'5
03 △ABD에서
8
sin 45˘
BD”=
'2
=8÷ =8'2
2
∴ (cid:8772)ABCD=△ABD+△BCD
THEME
모아
중단원 실전 평가
58~61쪽
(cid:9000) ②
01 △ABD에서
02 ∠BAC=∠ABD=∠DBC=30˘이므로
(cid:9000) '3
AD”=AB” sin 30˘
AD”=4_;2!;=2
따라서 △ADE에서
AE”=AD” cos 30˘
AE=2_ ='3
'3
2
BD”=AD”=4 cm
△BCD에서
BC”=4 cos 30˘
BC”=4_ =2'3 (cm)
'3
2
CD”=4 sin 30˘
CD”=4_;2!;=2 (cm)
(cid:9000) 6'2 cm¤
A
15˘
B
30˘
10
C
45˘
h
h
H
∴ △ABC=;2!;_2'3 _(4+2)
∴ △ABC=6'3 (cm¤ )
(cid:9000) ②
03 △BFG에서
BF”=2 tan 60˘=2'3 (cm)
따라서 이 직육면체의 부피는
2_3_2'3 =12'3 (cm‹ )
(cid:9000) 12'3 cm‹
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_8_8+;2!;_8'2 _6'2 _sin 30˘
∴ (cid:8772)ABCD=32+24=56
(cid:9000) ⑤
04 마름모의 내각 중 예각의 크기는
360˘÷6=60˘
따라서 구하는 도형의 넓이는
6_(12_12_sin 60˘)=6_{12_12_ }
'3
2
6_(12_12_sin 60˘)=6_72'3
=432'3 (cm¤ )
(cid:9000) ②
05 (cid:8772)ABCD=;2!;_4_6_sin 45˘
(cid:8772)ABCD=;2!;_4_6_
(cid:8772)ABCD=6'2 (cm¤ )
'2
2
06 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”
의 연장선에 내린 수선의 발을 H
라 하고 AH”=h라 하자.
∠ACH=30˘+15˘=45˘이므로
△ACH는 직각이등변삼각형이다.
88 정답 및 풀이
04 △ABC에서
08 오른쪽 그림과 같이 점 B에서 AC”에
B
실전북
4 km
A
C
30˘
H
4'3 km
(cid:9000) ③
A
8 m
B
H
45˘
30˘
60˘
C
8'6
3
m
(cid:9000)
A
60˘
h cm
30˘
60˘
H
C
30 cm
(cid:9000) ①
A
48˘
22˘
(cid:9000) ②
A'
B
42˘
5
68˘
H
C
A
H
45˘
45˘
B
C
30˘
12 cm
60˘
(cid:9000) 12 cm
O x
9
A
H
A'
6
∠BAC=180˘-(105˘+30˘)=45˘
오른쪽 그림과 같이 점 B에서 AC”
에 내린 수선의 발을 H라 하면
△BCH에서
BH”=12 cos 60˘=12_;2!;=6 (cm)
△ABH에서
BH”
sin 45˘
AB”=
=6÷ =6'2 (cm)
1
'2
△DAB에서
DA”=6'2 tan a=6'2 _'2 =12(cm)
따라서 이 삼각기둥의 높이는 12 cm이다.
05 오른쪽 그림과 같은 원뿔의 전개도에서
®`AA'=6p
부채꼴의 중심각의 크기를 ∠x라 하면
=6p
2p_9_
∠x
360˘
∴ ∠x=120˘
즉, ∠AOH=60˘, ∠OAH=30˘이므로
A’H”=9 cos 30˘=9_ =
'3
2
9'3
2
∴ A’A'”=2AH”=9'3
따라서 구하는 최단 거리는 9'3이다.
06 AB”=12 tan 30˘
A
내린 수선의 발을 H라 하면
△ABH에서
BH”=4 sin 30˘
BH”=4_;2!;=2 (km)
AH”=4 cos 30˘
AH=4_ =2'3 (km)
'3
2
∴ CH”=AC”-AH”
∴ CH”=4'3-2'3=2'3 (km)
∴ BC”="√2¤ +(2'3 )¤ ='∂16 =4 (km)
09 오른쪽 그림과 같이 점 B에서 AC”에 내
린 수선의 발을 H라 하면
△ABH에서
BH”=8 cos 45˘
'2
BH”=8_ =4'2 (m)
2
△BCH에서
sin 60˘=
BH”
BC”
'3
, =
2
4'2
BC”
(cid:100)(cid:100)
∴ BC”=
8'6
3
m
10 A’H”=h cm라 하면
(cid:9000) 9'3
BH”=h tan 60˘='3h (cm)
CH”=h tan 30˘= h (cm)
30˘
B
'3
3
BC”=BH”+CH”이므로
4'3
3
30='3h+ h,
'3
3
h=30(cid:100)(cid:100)
30˘
B
12 m
C
AB”=12_
'3
3
'3
2
AB”=4'3 (m)
AC”=
12
cos 30˘
AC”=12÷
AC”=8'3 (m)
∴ h=
15'3
2
15'3
2
∴ AH”=
cm
11 BH”=AH” tan 48˘,
CH”=AH” tan 22˘이므로
BC”=BH”-CH”에서
5=A’H” tan 48˘-A’H” tan 22˘
∴ AH”=
5
tan 48˘-tan 22˘
따라서 이 나무의 원래 높이는
AB”+AC”=4'3 +8'3 =12'3 (m)
(cid:9000) ②
07 ∠ACD=90˘-45˘=45˘
△CAD에서
AD”=CD”=12 km
∠BCD=90˘-60˘=30˘
△CDB에서
BD”=12 tan 30˘
BD”=12_
'3
3
BD=4'3 (km)
∴ AB”=AD”+BD”=4(3+'3 ) km
따라서 두 사람 사이의 거리는 4(3+'3 ) km이다.
45˘
60˘
12 km
C
D
A
B
12 cos B=;2!;이므로 오른쪽 직각삼각형에서
A'ÚC'”="√(2k)¤ -k¤ ='3 k (단, k>0)(cid:100)(cid:100)
'3
2
∴ sin B=
'3 k
2k
=
2k
B
C'
k
∴ △ABC=;2!;_8_12_sin B
∴ △ABC=;2!;_8_12_
'3
2
05. 삼각비의 활용 89
(cid:9000) 4(3+'3 ) km
∴ △ABC=24'3
(cid:9000) 24'3
13 △PBC=;2!;_4_4_sin 60˘
△PBD=;2!;_4_4_
'3
2
△PBD=4'3
△PCD=;2!;_4_4_sin 30˘
△PBD=;2!;_4_4_;2!;
△PBD=4
△DBC=;2!;_4_4=8
∴ △PBD=△PBC+△PCD-△DBC
∴ △PBD=4'3+4-8
∴ △PBD=4'3-4
∴ △PBD=4('3-1)
14 △ADE에서
DE”=8 sin 60˘=8_ =4'3
'3
2
∠CDE=90˘+30˘=120˘
∴ △CDE=;2!;_8_4'3 _sin(180˘-120˘)
∴ △CDE=;2!;_8_4'3 _sin 60˘
∴ △CDE=;2!;_8_4'3 _
'3
2
∴ △CDE=24
15 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로
∠AOB=360˘_
3
3+4+2
=120˘
∴ △ABO=;2!;_8_8_sin(180˘-120˘)
16 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 정육각형
∴ △ABO=;2!;_8_8_sin 60˘
∴ △ABO=;2!;_8_8_
∴ △ABO=16'3 (cm¤ )
'3
2
의 넓이는 54'3 이므로
6_{;2!;_r_r_sin 60˘}=54'3
6_{;2!;_r_r_ }=54'3
'3
2
3'3
2
r¤ =54'3
r¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ r=6 (∵ r>0)
따라서 원 O의 반지름의 길이는 6이다.
17 AC”=BD”=x라 하면
(cid:8772)ABCD=;2!;_x_x_sin 30˘이므로
9=;2!;_x_x_;2!;
9=;4!;x¤ , x¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0)
∴ AC”=6
90 정답 및 풀이
A
D
P
4
4
60˘
B
4
C
18 (cid:8772)ABCD=;2!;_4_2_sin x이므로
2'3 =4 sin x, sin x= (cid:100)(cid:100)∴ ∠x=60˘
'3
2
∴ tan x=tan 60˘='3
19 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BC”에
A
D
내린 수선의 발을 H라 하면
△DHC에서
DH”=10 sin 60˘
B
H
20 cm
DH=10_
'3
2
DH=5'3 (cm)
CH”=10 cos 60˘
BH”=BC”-CH”
(cid:9000) 4('3-1)
CH”=10_;2!;=5 (cm)
(cid:9000) '3
60˘
10 cm
C
y❶
(cid:9000) 24
채점 기준
❶ D’H”의 길이 구하기
❷ BH”의 길이 구하기
❸ 빨대에서 물에 잠긴 부분의 길이 구하기
BH”=20-5=15 (cm)
△DBH에서
BD”=øπ15¤ +(5'3 )¤ =10'3 (cm)
따라서 빨대에서 물에 잠긴 부분의 길이는 10'3 cm이다.
y❷
y❸
(cid:9000) 10'3 cm
배점
2점
2점
2점
C
30˘
A
30˘
60˘
O
12 cm
B
y❶
20 △AOC에서 O’A”=OC”이므로
∠OCA=∠OAC=30˘
삼각형의 외각의 성질에 의해
∠COB=30˘+30˘=60˘
OB”=OC”=;2!; AB”
OB=;2!;_12=6(cm)
따라서 색칠한 부분의 넓이는
(부채꼴 COB의 넓이)-△COB
=p_6¤ _
-;2!;_6_6_sin 60˘
60
360
=6p-9'3 (cm¤ )
y❷
(cid:9000) (6p-9'3) cm¤
채점 기준
❶ 삼각형의 외각의 성질을 이용하여
∠COB의 크기 구하기
❷ 색칠한 부분의 넓이 구하기
배점
2점
4점
21 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠AIB=90˘+;2!;∠C
∠AIB=90˘+;2!;_60˘=120˘
y❶
(cid:9000) ②
60˘
r
r
O
(cid:9000) 6
(cid:9000) 6
∴ △AIB=;2!;_4_3_sin(180˘-120˘)
∴ △AIB=;2!;_4_3_sin 60˘
∴ △AIB=;2!;_4_3_
∴ △AIB=3'3 (cm¤ )
'3
2
y❷
(cid:9000) 3'3 cm¤
배점
2점
2점
삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이고, 삼각형의 내심은
채점 기준
❶ ∠AIB의 크기 구하기
❷ △AIB의 넓이 구하기
세 내각의 이등분선의 교점이다.
⁄ 점 O가 외심일 때
⁄
A
a
O
2a
¤ 점 I가 내심일 때
¤
A
a
I
90˘+
a
2
B
C
B
C
y❶
22 (cid:8772)ABCD=6_8_sin 45˘
(cid:8772)ABCD=6_8_
'2
2
(cid:8772)ABCD=24'2 (cm¤ )
△ABM=;2!;_6_4_sin 45˘
△ABM=;2!;_6_4_
△ABM=6'2 (cm¤ )
'2
2
'2
2
'2
2
△MCN=;2!;_4_3_sin(180˘-135˘)
△MCN=;2!;_4_3_sin 45˘
△MCN=;2!;_4_3_ =3'2 (cm¤ )
△AND=;2!;_8_3_sin 45˘
△AND=;2!;_8_3_
△AND=6'2 (cm¤ )
∴ △AMN
∴ =(cid:8772)ABCD-△ABM-△MCN-△AND
∴ =24'2 -6'2 -3'2 -6'2
=9'2 (cm¤ )
y❷
채점 기준
❶ 평행사변형 ABCD의 넓이 구하기
❷ △ABM, △MCN, △AND의 넓이 각
각 구하기
❸ △AMN의 넓이 구하기
배점
1점
3점
2점
실전북
62쪽
실전 연습 문제
1회
A
O
H
30 cm
6 cm
B
C
D
06. 원과 직선
15THEME
원과 현
01 오른쪽 그림과 같이 OC”를 그으면
OB”=;2!; AB”=;2!;_30=15 (cm)
OH”=OB”-HB”
=15-6=9 (cm)
직각삼각형 COH에서
CH”="√15¤ -9¤ ='∂144 =12 (cm)
∴ CD”=2CH”=2_12=24 (cm)
A
02 CH”가 AB”의 수직이등분선이므로
CH”의 연장선은 원의 중심을 지난
다. 오른쪽 그림과 같이 원의 중심
을 O, 원의 반지름의 길이를 r cm
라 하면
OH”=(r-4) cm
직각삼각형 OHA에서
r¤ =(r-4)¤ +8¤ , 8r=80(cid:100)(cid:100)∴ r=10
따라서 이 원의 반지름의 길이는 10 cm이다.
r cm
(cid:9000) 24 cm
4 cm
8 cm
H
B
(r-4) cm
C
O
(cid:9000) 10 cm
03 오른쪽 그림과 같이 원을 접었을 때 원의
중심 O와 일치하는 점을 P라 하고
OP”와 AB”의 교점을 H라 하면
OP”⊥AB”, OH”=HP”=5 cm이므로
직각삼각형 OAH에서
AH”="√10¤ -5¤ ='∂75 =5'3 (cm)
∴ AB”=2AH”=2_5'3 =10'3 (cm)
A
B
O
H
P
(cid:9000) ④
04 ① AC”=AB”=10 cm
②, ③ △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이고
∠BAC=60˘이므로 ∠ABC=∠ACB=60˘
④ △ABC는 정삼각형이므로 BC”=10 cm
⑤ △ABC는 한 변의 길이가 10 cm인 정삼각형이므로
△ABC= _10¤ =25'3 (cm¤ )
'3
4
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
(cid:9000) ④
y❸
(cid:9000) 9'2 cm¤
05 오른쪽 그림과 같이 현 AB와 작은 원의
접점을 T라 하면
AT”=;2!;AB”=;2!;_8=4 (cm)
O
T
8 cm
A
B
¤ =OT”
¤ +4¤
또, ∠ATO=90˘이므로
직각삼각형 OAT에서
OA”
¤ =OT”
¤ , OA”
¤ +AT”
¤ =16
¤ -OT”
∴ OA”
따라서 색칠한 부분의 넓이는
¤ =p(OA”
¤ -p_OT”
p_OA”
¤ =16p (cm¤ )
¤ -p_OT”
p_OA”
¤ -OT”
¤ )
(cid:9000) 16p cm¤
06. 원과 직선 91
06 O’A”, OB”를 그으면 직각삼각형 OBM에서
OB”=5
BM”="√5¤ -4¤ ='9 =3
CD”=AB”=2BM”=2_3=6
△OAB≡△OCD (SSS 합동)이므로
△OCD=△OAB
△OCD=;2!;_6_4=12
(cid:9000) 12
이때 빗금친 활꼴 AB의 넓이는 부채꼴 OAB의 넓이에서
△OAB의 넓이를 빼면 되므로
(활꼴 AB의 넓이)=p_6¤ _
-;2!;_6'3_3
120
360
(활꼴 AB의 넓이)=12p-9'3 (cm¤ )
따라서 색칠한 부분의 넓이는
p_6¤ -2_(12p-9'3 )=12p+18'3 (cm¤ )
(cid:9000) (12p+18'3 )cm¤
15THEME
원과 현
63쪽
실전 연습 문제
2회
01 OH”=8-3=5 (cm)이므로 직각삼각형 OAH에서
AH”="√8¤ -5¤ ='∂39 (cm)
AB”=2AH”=2_'∂39 =2'∂39 (cm)이므로
△APB=;2!;_AB”_HP”
△APB=;2!;_2'∂39 _3=3'∂39 (cm¤ )
(cid:9000) ①
02 OT”=OM”=6 cm이고, OT”⊥PQ”이므로
직각삼각형 OPT에서
PT”="√8¤ -6¤ ='∂28=2'7 (cm)
∴ PQ”=2PT”=2_2'7 =4'7 (cm)
03 ③ OB”+MB”
04 (cid:8772)AMON에서 ∠OMA=∠ONA=90˘이고
∠MON=120˘이므로
∠MAN=360˘-(90˘+90˘+120˘)=60˘
OM”=ON”이므로 AB”=AC”이다.
즉, △ABC는 이등변삼각형이므로
∠ACB=;2!;_(180˘-60˘)=60˘
05 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서
AC”, BC”에 내린 수선의 발을 각각
D, E라 하면
OE”=DC”=3 cm
EC”=2 cm
△OEC는 직각삼각형이므로
OC”="√3¤ +2¤ ='∂13 (cm)
06 오른쪽 그림과 같이 점 O에서 AB”에 내
(cid:9000) 4'7 cm
(cid:9000) ③
(cid:9000) ①
A
6 cm
O
D
4 cm
B
C
E
(cid:9000) '∂13 cm
린 수선의 발을 H라 하면
직각삼각형 OAH에서
O’A”=6 cm
O’H”=;2!; OA”=;2!;_6=3 (cm)
6 cm
O
A
B
HH
3 cm
AH”="√6¤ -3¤ ='∂27=3'3 (cm)
∴ AB”=2AH”=2_3'3 =6'3 (cm)
또한 직각삼각형 OAH에서
OH”：AH”：O’A”=1：'3 ：2이므로 ∠AOH=60˘
∴ ∠AOB=120˘
92 정답 및 풀이
16THEME
원의 접선
64~65쪽
실전 연습 문제
1회
01 △PAB는 PA”=PB”인 이등변삼각형이고
∠APB=60˘이므로
∠PAB=∠PBA=;2!;_(180˘-60˘)=60˘
따라서 △PAB는 한 변의 길이가 4 cm인 정삼각형이므로
△PAB= _4¤ =4'3 (cm¤ )
(cid:9000) 4'3 cm¤
'3
4
02 PA”가 접선이므로 △PAO는 ∠A=90˘인 직각삼각형이다.
PO”=13 cm, AO”=BO”=5 cm이므로
x="√13¤ -5¤ ='∂144 =12
(cid:9000) ⑤
03 PO”를 그으면 △APO≡△BPO(RHS 합동)이므로
∠AOP=60˘, ∠APO=30˘
직각삼각형 APO에서
AO”：PA”=1：'3
8：PA”=1：'3
∴ PA”=8'3 cm
즉, ∠APB=60˘, PA”=PB”이므로 △APB는 정삼각형이
다.
∴ AB”=PA”=8'3 cm
04 AQ”=AR”, BP”=BR”이므로
(cid:9000) ④
AB”+BC”+CA”=(AR”+RB”)+BC”+CA”
=AQ”+BP”+BC”+CA”
=(AQ”+CA”)+(BP”+BC”)
=QC”+PC”
=2PC” (∵ PC”=QC”)
=18 (cm)
∴ PC”=9 cm
∴ PB”=PC”-BC”=9-6=3 (cm)
05 DP”=DA”=7 cm, CP”=BC”=3 cm이므로
(cid:9000) 3 cm
CD”=CP”+DP”=3+7=10 (cm)
오른쪽 그림과 같이 점 C에서
A’D”에 내린 수선의 발을 H라
하면
DH”=DA”-HA”
D
4 cm
H
3 cm
=7-3=4 (cm)
7 cm
P
3 cm
C
3 cm
A
O
B
(cid:9000) '∂93 cm
(cid:9000) ⑤
A
D
B
O
E
F
5 cm
r cm
4 cm
C
직각삼각형 CDH에서
CH”="√10¤ -4¤ ='∂84 =2'∂21 (cm)
따라서 직각삼각형 CHA에서
AC”=øπ(2'∂21 )¤ +3¤ ='∂93 (cm)
06 BE”=BD”=4 cm, CF”=CE”=6 cm이므로
AD”=AF”=x cm라 하면
2(x+4+6)=30, x+10=15(cid:100)(cid:100)∴ x=5
∴ AF”=5 cm
07 △ABC는 직각삼각형이므로
AB”="√5¤ -4¤ ='9=3 (cm)
오른쪽 그림에서 원 O의 반지름의
길이를 r cm라 하면
△ABC의 넓이에서
;2!;_4_3=;2!;_r_(3+4+5)
6=6r(cid:100)(cid:100)∴ r=1
따라서 원 O의 넓이는
p_1¤ =p (cm¤ )
08 AD”+BC”=AB”+DC”이므로
x+(2x+2)=(x+6)+(x+3)
3x+2=2x+9(cid:100)(cid:100)∴ x=7
09 AO”는 ∠QAP를 이등분하므로 ∠OAP=30˘
AP”는 원 O의 접선이므로 ∠APO=90˘
직각삼각형 OAP에서
AP”=10 cos 30˘=10_ =5'3 (cm)
'3
2
”, CR”=CQ”이므로
BR”=BP”
(△ABC의 둘레의 길이)=AB”+BC”+CA”
(△ABC의 둘레의 길이)=AB”+(BR”+CR”)+CA”
(△ABC의 둘레의 길이)=AB”+BP”+CQ”+CA”
(△ABC의 둘레의 길이)=AP”+AQ”
(△ABC의 둘레의 길이)=2AP”
(△ABC의 둘레의 길이)=2_5'3
(△ABC의 둘레의 길이)=10'3 (cm)
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
10 반원 O와 CD”의 접점을 E라 하면
DE”=D’A”, EC”=BC”에서
AD”+BC”=DE”+EC”=DC”=10 (cm)
∠DAB=∠CBA=90˘이므로 (cid:8772)ABCD는 사다리꼴이다.
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(AD”+BC”)_AB”
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_10_8=40 (cm¤ )
(cid:9000) ③
11 AD”：BC”=3：4이므로
AD”=3x cm, BC”=4x cm라 하면
AD”+BC”=AB”+CD”에서
3x+4x=13+15, 7x=28(cid:100)(cid:100)∴ x=4
∴ AD”=3x=3_4=12 (cm)
(cid:9000) 12 cm
16THEME
원의 접선
66~67쪽
실전 연습 문제
2회
(cid:9000) p cm¤
01 PA”=PB”이므로 △PBA는 이등변삼각형이다.
실전북
(cid:9000) ②
(cid:9000) 55˘
(cid:9000) ②
(cid:9000) 30˘
(cid:9000) 6 cm
12 오른쪽 그림과 같이 원과 사각형의
접점을 E, F라 하고 점 A와 E에
서 BC”에 내린 수선의 발을 각각
P, Q라 하자.
AP”=EQ”=DC”=4 cm이므로
AE”=x cm라 하면
AF”=AE”=x cm
x cm
2 cm
D
A E
F
4 cm
O
4 cm
B
P Q
C
4 cm
BP”=BC”-PC”=6-(x+2)=4-x (cm)
AB”=BF”+FA”=4+x (cm)
직각삼각형 ABP에서
(4-x)¤ +4¤ =(4+x)¤
16x=16(cid:100)(cid:100)∴ x=1
∴ AB”=4+1=5 (cm)
∴ ∠PAB=;2!;_(180˘-70˘)=55˘
02 오른쪽 그림과 같이 OT”를 그어 원 O의
반지름의 길이를 r라 하면
△PTO는 ∠PTO=90˘이고
∠P=30˘인 직각삼각형이므로
TO”：OP”=1：2
r：(r+6)=1：2
2r=r+6(cid:100)(cid:100)∴ r=6
PT”：OT”='3 ：1이므로 PT”：6='3 ：1
∴ PT”=6'3
03 (cid:8772)AOBP에서
P
30˘
B
T
r
6
r
O
A
∠OAP=∠OBP=90˘이므로
∠P+∠AOB=180˘
∴ ∠P=180˘-150˘=30˘
04 PA”=PB”=10 cm
CA”=10-6=4 (cm)
∴ CE”=CA”=4 cm
DB”=10-8=2 (cm)이므로
DE”=DB”=2 cm
∴ CD”=CE”+DE”=4+2=6 (cm)
05 ∠OPC=90˘이므로 △OCP에서
CP”="√12¤ -6¤ ='∂108 =6'3 (cm)
AR”=AP”, BR”=BQ”이므로
(△ABC의 둘레의 길이)=AB”+BC”+AC”
=(AR”+R’BÚ)+BC”+AC”
=(PA”+Q’BÚ)+BC”+AC”
=(PA”+AC”)+(QB”+BC”)
=CP”+CQ”=2CP”
=2_6'3 =12'3 (cm) (cid:9000) ②
06. 원과 직선 93
06 반원 O와 CD”의 접점을 P라 하면
DP”=AD”, CP”=BC”
즉, CD”=AD”+BC”이므로 9=4+BC”
∴ BC”=5 cm
07 AR”=AP”=5 cm
BQ”=BP”=12-5=7 (cm)
CQ”=CR”=8-5=3 (cm)
∴ BC”=BQ”+CQ”=7+3=10 (cm)
08 오른쪽 그림과 같이 원 O의 반
지름의 길이를 r cm라 하면
(cid:8772)OECF는 정사각형이므로
CE”=CF”=r cm
BD”=BE”=(8-r) cm
(cid:9000) ②
A
D
r cm
O
(6-r) cm
F
r cm
C
B
(8-r) cm
E
r cm
AD”=AF”=(6-r) cm
AB”="√8¤ +6¤ ='∂100 =10 (cm)이므로
(8-r)+(6-r)=10, 2r=4(cid:100)(cid:100)
∴ r=2
따라서 원 O의 둘레의 길이는
2p_2=4p (cm)
(cid:9000) ④
09 ∠OAP=∠OBP=90˘이므로
∠AOB+∠APB=180˘(cid:100)(cid:100)
∴ ∠APB=60˘
① PA”=PB”=4'6 이고 ∠APO=30˘이므로
직각삼각형 OAP에서
AP”：OP”='3 ：2, 4'6 ：OP”='3 ：2(cid:100)(cid:100)
∴ OP”=8'2
② 직각삼각형 OAP에서
O’A”：AP”=1：'3 , O’A”：4'6 =1：'3 (cid:100)(cid:100)
∴ O’A”=4'2
③ ∠APB=60˘이므로 △APB는 정삼각형이다.
∴ △APB= _(4'6 )¤ =24'3
'3
4
④ μAB=2p_4'2 _
120
360
⑤ (cid:8772)OAPB=2△OAP
=
8'2
3
p
⑤ (cid:8772)OAPB=2_{;2!;_4'6_4'2 }=32'3
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
10 오른쪽 그림과 같이 육각형과 원 O의
접점을 각각 G, H, I, J, K, L이라
하면
AG”=AH”, BH”=BI”, CI”=CJ”,
DJ”=DK”, EK”=EL”, FL”=FG”
이므로
AB”+CD”+EF”=BC”+DE”+AF”
A
2 cm
F
L
H
G
E
B
3 cm
I
C
O
K
4 cm
J
D
=3+4+2=9 (cm)
∴ (육각형 ABCDEF의 둘레의 길이)=9+9=18 (cm)
(cid:9000) 18 cm
94 정답 및 풀이
(cid:9000) 5 cm
11 오른쪽 그림과 같이 네 접점을 E, F, G,
H라 하고 원 O의 반지름의 길이를 r cm
라 하면
AE”=A’H”=EB”=BF”=r cm
HD”=DG”=(4-r) cm
D
G
4 cm
H
r cm
O
A
E
B
C
PF
6 cm
CG”=CF”=(6-r) cm
점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 P라 하면 △DPC에서
(10-2r)¤ =(2r)¤ +2¤
100-40r+4r¤ =4r¤ +4
40r=96(cid:100)(cid:100)∴ r=:¡5™:
∴ (원 O의 넓이)=p_{:¡5™:}
2
∴ (원 O의 넓이)=:¡2¢5¢:p (cm¤ )
(cid:9000) :¡2¢5¢:p cm¤
12 직각삼각형 ABC에서
2
AC”=æ≠{:¡2∞:}
-6¤ =æ–;;•4¡;;=;2(; (cm)
6 cm
D
A
E
C
B
O
cm
15
2
반원 O의 반지름의 길이를 r cm라
하면
OD”=OE”=r cm
△ABC=△ABO+△ACO이므로
;2!;_6_;2(;=;2!;_6_r+;2!;_;2(;_r
:™2¡:r=27(cid:100)(cid:100)∴ r=:¡7•:
따라서 반원 O의 반지름의 길이는 :¡7•: cm이다. (cid:9000) :¡7•: cm
THEME
모아
중단원 실전 평가
01 직각삼각형 OAM에서
A’M”="√4¤ -2¤ ='∂12 =2'3 (cm)
∴ AB”=2AM”=2_2'3 =4'3 (cm)
02 AB”가 원 O의 지름이므로
OC”=;2!;AB”=;2!;_10=5 (cm)
오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서
CD”에 내린 수선의 발을 H라 하면
CH”=;2!;CD”=;2!;_4=2 (cm)
직각삼각형 OCH에서
OH”="√5¤ -2¤ ='∂21 (cm)
68~71쪽
(cid:9000) ③
10 cm
O
A
B
4 cm
C
D
H
∴ △OCD=;2!;_4_'∂21 =2'∂21 (cm¤ ) (cid:9000) 2'∂21 cm¤
03 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 O,
원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
직각삼각형 AOD에서
r¤ =(r-8)¤ +12¤
C
8 cm
12 cm
A
r cm
B
D (r-8) cm
O
r¤ =r¤ -16r+64+144
16r=208(cid:100)(cid:100)
∴ r=13
따라서 원래 접시의 반지름의 길이는 13 cm이다. (cid:9000) 13 cm
O
H
A
B
(cid:9000) 8'3 cm
6 cm
O
A
M
B
C
10 cm
(cid:9000) ④
A
r
'3
H
O
B
(cid:9000) ③
A
8 cm
C
O
10 cm
M
B
8 cm
D
04 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서
AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면
OH”=;2!;_8=4 (cm)
직각삼각형 OAH에서
AH”="√8¤ -4¤ ='∂48 =4'3 (cm)
∴ AB”=2AH”=2_4'3=8'3 (cm)
05 오른쪽 그림과 같이 OB”를 그으면
OM”⊥AB”이므로
직각삼각형 OMB에서
BM”="√10¤ -6¤ ='∂64=8 (cm)
∴ AB”=2BM”=2_8=16 (cm)
06 오른쪽 그림과 같이 점 O에서 AB”에
내린 수선의 발을 H라 하면
A’H”=;2!;AB”=;2!;_2'3='3
직각삼각형 AHO에서
OH”="√r¤ -('3 )¤
OH”="√r¤ -3
따라서 색칠한 부분의 넓이는
pr¤ -p("√r¤ -3 )¤ =pr¤ -(pr¤ -3p)
=3p
07 오른쪽 그림과 같이 점 O에서 CD”에
내린 수선의 발을 M이라 하면
CM”=;2!; CD”=;2!;_8=4 (cm)
OC”=5 cm이므로
직각삼각형 OMC에서
OM”="√5¤ -4¤ ='9=3 (cm)
08 OM”=ON”이므로 AB”=AC”
따라서 △ABC는 이등변삼각형이다.
∴ ∠ABC=;2!;_(180˘-50˘)=65˘
(cid:8772)MBHO에서
65˘+90˘+90˘+∠MOH=360˘
∴ ∠MOH=115˘
09 PA”, PB”가 원 O의 접선이므로
PA”=PB”
PB”, PC”가 원 O'의 접선이므로
PB”=PC”
길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터의 거리가 서로 같으
므로 AB”, CD” 사이의 거리는 6 cm이다.
(cid:9000) ②
즉, PA”=PC”에서 3x-5=20-2x
5x=25(cid:100)(cid:100)∴ x=5
10 OQ”=OA”=5 cm이므로
PO”=8+5=13 (cm)
직각삼각형 PAO에서 ∠PAO=90˘이므로
PA”="√13¤ -5¤ ='∂144 =12 (cm)
이때 PB”=PA”=12 cm이므로
PA”+PB”=12+12=24 (cm)
11 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 둘레의 길이가 8p cm
이므로
2pr=8p(cid:100)(cid:100)∴ r=4
직각삼각형 PBO에서
PB”=øπ(4'5 )¤ -4¤ ='∂64 =8 (cm)
∴ PA”=PB”=8 cm
∴ △PBA=;2!;_PA”_PB”_sin 45˘
∴ △PAB=;2!;_8_8_
∴ △PAB=16'2 (cm¤ )
'2
2
12 ④ △OCP와 △DOP에서
∠OPC=∠DPO=90˘이고
∠POC=∠PDO이므로
△OCPª△DOP (AA 닮음)
∴ OC”：DO”=CP”：OP”
13 오른쪽 그림과 같이 AO”를 그으면
직각삼각형 APO에서
PA”="√10¤ -6¤ ='∂64=8
Q’A”=QC”, RB”=RC”이므로
(△QPR의 둘레의 길이)
=PQ”+QR”+PR”
=PQ”+(QC”+CR”)+PR”
=(PQ”+QA”)+(BR”+PR”)
=PA”+PB”
=2PA”
=2_8=16
A
Q
C
4
P
R
B
O
6
실전북
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
(cid:9000) ①
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
14 AP”=AR”, BP”=BQ”, CQ”=CR”이므로
AB”+BC”+CA”=2(BP”+CQ”+AR”)
∴ x+y+z=;2!;(AB”+BC”+CA”)
∴ x+y+z=;2!;_(11+9+10)=15
(cid:9000) 15
(cid:9000) ②
15 AR”=AP”=4 cm
BQ”=BP”=6 cm
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
(cid:8772)OQCR가 정사각형이므로
AC”=(4+r) cm, BC”=(6+r) cm
직각삼각형 ABC에서
A
R
C
4 cm
P
r cm
O
Q
6 cm
B
06. 원과 직선 95
10¤ =(4+r)¤ +(6+r)¤
r¤ +10r-24=0, (r+12)(r-2)=0
∴ r=2 (∵ r>0)
따라서 원 O의 반지름의 길이는 2 cm이다.
16 사각형 ABCD가 원 O에 외접하므로
AB”+CD”=AD”+BC”
6+9=5+BC”
∴ BC”=10 cm
17 AF”=FE”=x cm라 하면
FD”=(5-x) cm
오른쪽 그림과 같이 BE”를 그으면
BE”=AB”=4 cm, BE”⊥ FC”이
므로
직각삼각형 BCE에서
CE”="√5¤ -4¤ ='9=3 (cm)
따라서 직각삼각형 CDF에서
(3+x)¤ =(5-x)¤ +4¤
9+6x+x¤ =25-10x+x¤ +16
16x=32(cid:100)(cid:100)∴ x=2
x cm
F
A
(5-x) cm
D
x cm
E
4 cm 4 cm
B
5 cm
C
∴ △CDF=;2!;_3_4=6 (cm¤ )
(cid:9000) 6 cm¤
18 AB”+AD”=;2!; _56=28 (cm)
4 cm
P
오른쪽 그림과 같이 원 O와 AB”,
AD”와의 접점을 각각 P, Q라 하면
AP”=AQ”=4 cm
BP”=x cm라 하면
BE”=BP”=x cm,
DQ”=DE”=28-(4+4+x)=20-x (cm)
B
BD”=BE”+DE”=x+(20-x)=20 (cm)
직각삼각형 ABD에서
20¤ =(x+4)¤ +(24-x)¤
x¤ -20x+96=0, (x-8)(x-12)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=8 또는 x=12
DF”=BE”이므로 x=8(cid:100)(cid:100)
∴ EF”=4 cm
∴ (cid:8772)OEO'F=2△OEF
∴ (cid:8772)OEO'F=2_{;2!; _4_4}
∴ (cid:8772)OEO'F=16 (cm¤ )
19 A’M”=;2!;AB”=4'3 (cm)이고
∠AOM=180˘-120˘=60˘, ∠OAM=30˘이므로
직각삼각형 OAM에서
A’M”：OA”='3 ： 2
4'3： OA”='3： 2
∴ OA”=8 cm
따라서 원 O의 둘레의 길이는
2p_8=16p (cm)
(cid:9000) 16 cm¤
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 16p cm
96 정답 및 풀이
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
채점 기준
❶ A’M”의 길이 구하기
❷ OA”의 길이 구하기
❸ 원 O의 둘레의 길이 구하기
배점
2점
2점
1점
20 CE”=CF”, BD”=BF”이므로
y❶
(△ABC의 둘레의 길이)=AC”+CB”+AB”
=AC”+(CF”+BF”)+AB”
=(AC”+CE”)+(BD”+AB”)
=AE”+AD”
=2AE”=30'3 (cm)
채점 기준
❶ CE”=CF”, BD”=BF”임을 알기
❷ △ABC의 둘레의 길이 구하기
21 CD”의 길이는 원 O의 지름의 길이와 같으므로
CD”=2_4=8 (cm)
사다리꼴 ABCD가 원 O에 외접하므로
AD”+BC”=AB”+CD”
AD”+12=10+8
∴ AD”=18-12=6 (cm)
4 cm
QA
O
F
E
O'
D
C
채점 기준
❶ CD”의 길이 구하기
❷ AD”+BC”=AB”+CD”임을 알기
❸ AD”의 길이 구하기
22 다음 그림과 같이 O’O'”을 긋고, 점 O에서 O’'B”에 내린 수선의
발을 H라 하면
2 cm
2 cm
C
O
3 cm
1 cm
O'
H
3 cm
A D
B
O’O'”=2+3=5 (cm)
O’'H”=3-2=1 (cm)
직각삼각형 OHO'에서
OH”="√5¤ -1¤ ='∂24 =2'6 (cm)
∴ AB”=OH”=2'6 cm
원 O에서 AD”=CD”이고
원 O'에서 CD”=BD”이므로
AD”=BD”=CD”
∴ CD”=;2!;AB”=;2!;_2'6 ='6 (cm)
채점 기준
❶ AB”의 길이 구하기
❷ AD”=BD”=CD”임을 알기
❸ CD”의 길이 구하기
y❷
(cid:9000) 30'3 cm
배점
2점
4점
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 6 cm
배점
2점
2점
2점
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) '6 cm
배점
3점
2점
1점
07. 원주각
17THEME
원주각과 중심각
01 ∠x=;2!;_(360˘-160˘)
∠x=;2!;_200˘=100˘
02 오른쪽 그림과 같이 AO”를 그으면
∠AOC=2∠ADC
=2_60˘=120˘
∠AOB=∠AOC-∠BOC
=120˘-72˘=48˘
∴ ∠AEB=;2!;∠AOB
∴ ∠AEB=;2!;_48˘=24˘
72~73쪽
실전 연습 문제
1회
E
D
60˘
O
72˘
A
B
03 ∠DBC=∠DAC=20˘이므로 △PBC에서
∠APB=∠PBC+∠PCB
=20˘+25˘=45˘
04 AB”는 원 O의 지름이므로
∠ADB=90˘
∠DAB=∠DCB=55˘이므로
△DAB에서
∠DBA=180˘-(90˘+55˘)=35˘
05 μAB=μ BC이므로
∠x=∠ADB=35˘
∠DBA=∠DCA=40˘이므로
∠y=35˘+40˘=75˘
∴ ∠x+∠y=35˘+75˘=110˘
06 호의 길이가 6 cm로 서로 같으므로
∠x=30˘
원주각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로
6：9=30˘：∠y(cid:100)(cid:100)∴ ∠y=45˘
07 μAC의 길이가 원주의 ;5!;이므로
∠ADC=;5!;_180˘=36˘
μ BD의 길이가 원주의 ;1¡2;이므로
∠DAB=;1¡2;_180˘=15˘
∴ ∠APC=∠ADC+∠DAB
=36˘+15˘=51˘
08 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠DAC=∠DBC=50˘
△DAC에서
∠ACD=180˘-(50˘+70˘)=60˘
09 오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면 AB”
는 원 O의 지름이므로 ∠ADB=90˘
∠CAD=;2!;∠COD=;2!;_48˘=24˘
△PAD에서
∠P=180˘-(∠PAD+∠PDA)
=180˘-(24˘+90˘)=66˘
10 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O를 지나도
실전북
C
D
P
48˘
O
A
B
(cid:9000) ⑤
A
A'
30˘
sin 30˘=
록 A’'B”를 그으면 ∠A'CB=90˘
∠BA'C=∠BAC=30˘이므로
△BCA'에서
BC”
A’'B”
∴ A’'B”=12 cm
따라서 원 O의 반지름의 길이는 6 cm이고 그 둘레의 길이는
(cid:9000) 12p cm
2p_6=12p (cm)
6
A’'B”
, ;2!;=
6 cm
O
B
C
D
A
O15˘
C
6 cm
B
11 AB”∥ DC”이므로
∠DCA=∠CAB=15˘ (엇각)
∴ μAD=μ BC=6 cm
오른쪽 그림과 같이 DO”, CO”를 그으면
∠AOD=∠COB
=2∠CAB
=2_15˘=30˘
∠DOC=180˘-(∠AOD+∠COB)
=180˘-(30˘+30˘)=120˘
호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로
μ BC：μ CD=30˘：120˘
6：μ CD=30˘：120˘
∴ μ CD=24 cm
12 오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면
△PAD에서
∠PAD+∠PDA=45˘
μAC+μ BD에 대한 중심각의 크기는
2(∠BAD+∠CDA)=2_45˘=90˘이
므로
C
A
(cid:9000) ③
B
45˘
D
8 cm
P
O
(cid:9000) ②
C
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
(cid:9000) 35˘
(cid:9000) ③
(cid:9000) 51˘
17THEME
원주각과 중심각
74~75쪽
실전 연습 문제
2회
01 ∠PAO=∠PBO=90˘이므로
∠AOB=360˘-(38˘+90˘+90˘)=142˘
∴ ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_142˘=71˘
02 ∠BOC=2∠BAC=2_67.5˘=135˘이므로
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
07. 원주각 97
(cid:9000) ∠x=30˘, ∠y=45˘
μAC+μ BD=2p_8_
=4p (cm)
(cid:9000) 4p cm
90
360
△OBC=;2!;_8_8_sin (180˘-135˘)
∴ tan A=tan A'=
BC”
A’'C”
=
6
2'7
=
3'7
7
(cid:9000) ④
△OBC=;2!;_8_8_sin 45˘
△OBC=;2!;_8_8_
△OBC=16'2 (cm¤ )
'2
2
03 ∠x=2∠ACB=2_28˘=56˘
∠y=∠ACB=28˘
∴ ∠x+∠y=56˘+28˘=84˘
04 오른쪽 그림과 같이 AE”를 그으면
∠AEB=90˘이고
∠AED=∠ACD=64˘이므로
∠DEB=∠AEB-∠AED
=90˘-64˘=26˘ (cid:9000) ①
05 ∠AQB=∠APB=35˘이고
μAB=μ BC이므로 ∠BQC=∠APB=35˘
∴ ∠x=35˘+35˘=70˘
∠y=2∠BQC=2_35˘=70˘이므로
∠x+∠y=70˘+70˘=140˘
06 ∠BCD=∠BPD-∠CBP=70˘-40˘=30˘
μ BD=∠CBA：∠BCD
μAC：μ
8：μ BD=40˘：30˘(cid:100)(cid:100)
∴ μ BD=6 cm
07 ∠ACB：∠BAC：∠ABC=μAB：μ BC：μ CA
∠ACB：∠BAC：∠ABC=5：4：3
5
5+4+3
∴ ∠C=180˘_
5
12
=180˘_ =75˘
08 △PBD에서
∠PBD=180˘-(34˘+112˘)=34˘
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠ABD=∠ACD=∠x
∴ ∠x=34˘
09 오른쪽 그림과 같이 AO”, OB”를
그으면
∠PAO=∠PBO=90˘이므로
∠AOB=360˘-(40˘+90˘+90˘)
P
=140˘
∴ ∠ACB=;2!;∠AOB=;2!;_140˘=70˘
μAC=μ BC이므로 ∠ABC=∠BAC
따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로
∠CAB=;2!;_(180˘-70˘)=55˘
10 오른쪽 그림과 같이 지름 A'B를 그으면
∠BCA'=90˘, ∠BA'C=∠BAC
△A'BC에서 A’'B”=8 cm, BC”=6 cm
이므로
A’'C”="√8¤ -6¤ ='∂28=2'7 (cm)
98 정답 및 풀이
(cid:9000) ②
A
B
40˘
O
C
(cid:9000) 55˘
A'
A
O
11 ∠E=∠x라 하면
∠ABC=∠x+24˘
μAB=μAC=μ CD이므로
AC”, AD”를 그으면
∠ACB=∠ABC=∠CAD
=∠x+24˘
∠DAB=∠DCB=24˘
△ACB에서
24˘+3(∠x+24˘)=180˘
3∠x=84˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠E=∠x=28˘
12 오른쪽 그림과 같이 BC”를 그으면
∠ABC+∠DCB=∠APC=60˘
따라서 μAC, μ BD에 대한 원주각의
크기의 합이 60˘이므로
μAC+μ BD
=(원의 둘레의 길이)_
60
180
A
24˘
B
C
D
E
(cid:9000) 28˘
D
A
60˘
P
B
C
이때 μAC+μ BD=4p cm이므로
(원의 둘레의 길이)=3_4p=12p (cm)
원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2pr=12p(cid:100)(cid:100)∴ r=6
따라서 이 원의 반지름의 길이는 6 cm이다.
(cid:9000) 6 cm
(cid:9000) 16'2 cm¤
C
64˘
O
A
(cid:9000) ③
E
B
D
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 6 cm
(cid:9000) ⑤
원에 내접하는 사각형
18THEME
76쪽
실전 연습 문제
1회
01 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠x=180˘-80˘=100˘
∠y=∠DAB=70˘
∴ ∠x-∠y=100˘-70˘=30˘
02 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠PAB=∠BCD=75˘
△PBA에서
∠PBA=180˘-(45˘+75˘)=60˘
03 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠BAD=∠x+55˘=180˘-105˘=75˘
∴ ∠x=75˘-55˘=20˘
△ABD에서
∠y=180˘-(55˘+20˘+60˘)=45˘
∠DBC=∠DAC=20˘이므로
∠ABC=45˘+20˘=65˘(cid:100)(cid:100)
∴ ∠z=∠ABC=65˘
∴ ∠x-∠y+∠z=20˘-45˘+65˘=40˘
04 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 ∠DAB=110˘
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
(cid:9000) 40˘
4 cm
6 cm
C
B
∴ ∠BAC=∠DAB-∠DAC
=110˘-60˘=50˘
△ABE에서
∠x=50˘+35˘=85˘
05 오른쪽 그림과 같이 OB”, OC”, OD”를 그
으면
BC”=BO”=CD”=DO”=OC”
즉, △OBC와 △OCD는 모두 정삼각형
이다.
∠DBC=;2!;∠OBC=;2!;_60˘=30˘
∴ ∠ABC=∠ABD+∠DBC
∴ ∠ABC=37˘+30˘=67˘
이때 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠ABC+∠ADC=180˘
67˘+∠ADC=180˘
∴ ∠ADC=113˘
06 ∠ABC=∠x라 하면
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠EDC=∠x
△FBC에서
∠FCE=35˘+∠x
△DCE에서
∠x+(35˘+∠x)+23˘=180˘
2∠x=122˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠ABC=∠x=61˘
01 △ACD에서
∠x=180˘-(50˘+70˘)=60˘
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠y=180˘-60˘=120˘
02 ∠BAD=;2!;∠BOD=;2!;_150˘=75˘
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠x=∠BAD=75˘
03 ∠BCD=;5#;_180˘=108˘이므로
∠x=180˘-108˘=72˘
∠ABC=;1¶0;_180˘=126˘이므로
(cid:9000) 85˘
A
37˘
O
B
D
C
(cid:9000) 113˘
(cid:9000) 61˘
(cid:9000) ③
18THEME
원에 내접하는 사각형
77쪽
실전 연습 문제
2회
∠y=∠ABC=126˘
∴ ∠x+∠y=72˘+126˘=198˘
(cid:9000) ⑤
04 ① ∠BAC=∠BDC=65˘이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접
② ∠ADC=180˘-50˘=130˘,
∠ABC=180˘-130˘=50˘
∠ADC+∠ABC=180˘이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접
한다.
③ ∠BAD+∠BCD=180˘이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접
한다.
한다.
실전북
⑤ 등변사다리꼴은 대각의 크기의 합이 180˘이므로
(cid:8772)ABCD는 원에 내접한다.
(cid:9000) ④
05 오른쪽 그림과 같이 CE”를 그으면
A
∠CED=;2!;∠COD=;2!;_40˘=20˘
(cid:8772)ABCE에서
∠AEC=180˘-105˘=75˘
∴ ∠AED=∠AEC+∠CED
=75˘+20˘=95˘
06 (cid:8772)PQDB가 원 O'에 내접하므로
∠y=∠PBD=100˘
(cid:8772)ACQP가 원 O에 내접하므로
∠A=180˘-∠y=180˘-100˘=80˘
∴ ∠x=2∠A=2_80˘=160˘
∴ ∠x+∠y=160˘+100˘=260˘
O
E
B
105˘
40˘
C
D
(cid:9000) 95˘
(cid:9000) 260˘
19THEME
접선과 현이 이루는 각
78쪽
실전 연습 문제
1회
01 오른쪽 그림과 같이 AC”를 그으면
μ BC=μ CD이므로 ∠BAC=∠DAC
이때 ∠DCT=∠DAC이므로
∠DCT=;2!;∠BAD=;2!;_56˘
∠DCT=28˘
(cid:9000) 28˘
02 ∠BTA=∠BCT=32˘
A
56˘
B
D
T
C
(cid:8772)BTDC는 원 O에 내접하므로
∠CBT=180˘-∠CDT=180˘-100˘=80˘
△BAT에서
∠A=80˘-32˘=48˘
△BED는 이등변삼각형이므로
∠BDE=∠BED=;2!;_(180˘-52˘)=64˘
∠DFE=∠DEB=64˘
따라서 △DEF에서
∠EDF=180˘-(64˘+44˘)=72˘
04 작은 원에서 ∠DPT'=∠DBP=65˘
큰 원에서 ∠CAP=∠DPT'=65˘
따라서 △ACP에서
∠APC=180˘-(65˘+45˘)=70˘
05 μAB：μ BC：μ CA=∠ACB：∠CAB：∠ABC
AB：μ BC：μ CA=6：5：4
∠ACB+∠CAB+∠ABC=180˘이므로
5
6+5+4
∴ ∠BCT=∠CAB=60˘
∠CAB=180˘_
=60˘
06 ∠CAB=∠CBT=25˘
AC”는 원 O의 지름이므로
(cid:9000) 48˘
(cid:9000) 72˘
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
07. 원주각 99
(cid:9000) ∠x=60˘, ∠y=120˘
03 BD”와 BE”는 원 O의 접선이므로 BD”=BE”
∠ABC=90˘
△ABC에서
∠ACB=180˘-(90˘+25˘)=65˘
∠ADB=∠ACB=65˘이고 AD”∥ BTÍ이므로
∠DBT=∠ADB=65˘ (엇각)
∴ ∠DBC=∠DBT-∠CBT=65˘-25˘=40˘
△PBC에서
∠BPC=180˘-(40˘+65˘)=75˘
∴ ∠x=∠BPC=75˘ (맞꼭지각)
(cid:9000) ④
(cid:9000) 80˘
19THEME
접선과 현이 이루는 각
79쪽
실전 연습 문제
2회
01 ∠BCA=∠BAT=70˘이므로
△CAB에서
∠x=180˘-(70˘+30˘)=80˘
02 직선 BT가 원 O의 접선이므로
∠CAB=∠CBT=75˘
(cid:8772)DABC는 원 O에 내접하므로
∠ABC=180˘-∠CDA=180˘-110˘=70˘
따라서 △ABC에서
∠x=180˘-(75˘+70˘)=35˘
03 오른쪽 그림과 같이 AC”를 그으면
ATÍ는 원 O의 접선이므로
∠DCA=∠DAT=35˘
CD”가 원 O의 지름이므로
∠DAC=90˘
△DAC에서
∠CDA=180˘-(90˘+35˘)=55˘
∴ ∠ABC=∠CDA=55˘
T
D
04 ∠CAP=∠CPT=∠SPD=∠PBD=60˘이므로
(cid:9000) ①
B
O
C
35˘
A
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 70˘
△DPB에서
∠DPB=180˘-(60˘+50˘)=70˘
|`다른 풀이`| ∠CPT=∠CAP=60˘
∠BPT=∠BDP=50˘이므로
∠DPB=180˘-(∠CPT+∠BPT)
=180˘-(60˘+50˘)=70˘
D
A
30˘T
B
05 오른쪽 그림과 같이 DB”를 그으면
∠ADB=∠ABT=30˘
μAB：μ BC=∠ADB：∠CDB
=2：3
이므로 30˘：∠CDB=2：3
2∠CDB=90˘
∴ ∠CDB=45˘
∴ ∠ADC=∠ADB+∠CDB
∴ ∠ADC=30˘+45˘=75˘
100 정답 및 풀이
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
∠ABC=180˘-∠ADC
∠ABC=180˘-75˘=105˘
06 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 원의
중심 O를 지나는 직선을 그어 원 O
와 만나는 점을 D라 하고, BD”를
그으면
∠ADB=∠ACB=∠ABT=60˘
이고 ∠ABD=90˘이므로
직각삼각형 ABD에서
AB”
AD”
'3
, =
2
6
AD”
sin 60˘=
(cid:100)(cid:100)
∴ AD”=4'3 cm
(cid:9000) ⑤
C
D
A
6 cm
O
T
60˘
B
AO”=;2!;AD”=;2!;_4'3 =2'3 (cm)
따라서 원 O의 넓이는
p_(2'3 )¤ =12p (cm¤ )
(cid:9000) 12p cm¤
20THEME
원과 두 직선이 만나서 생기는 선분의 길이
80~81쪽
실전 연습 문제
1회
01 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
4_3=2_PD”(cid:100)(cid:100)∴ PD”=6 cm
02 PA”=x cm라 하면 AB”=2x cm
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
x_(x+2x)=3_(3+9)
3x¤ =36, x¤ =12
이때 x>0이므로 x=2'3
∴ PA”=2'3 cm
03 OB”=x cm라 하면
BD”=AB”-AD”=2x-3(cm)
CD”의 연장선과 원 O와의 교점을 E라 하면
AB”⊥CD”이므로 DE”=CD”=6 cm
CD”_DE”=AD”_BD”이므로
6_6=3_(2x-3), 36=6x-9
6x=45(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡2∞:
따라서 원 O의 지름의 길이는
2x=2_:¡2∞:=15 (cm)
PB”=(2r-4) cm
PA”_PB”=PC”_PD”에서
4_(2r-4)=6_8
8r-16=48, 8r=64(cid:100)(cid:100)
∴ r=8
따라서 원 O의 반지름의 길이는 8 cm이다.
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 2'3 cm
(cid:9000) 15 cm
(cid:9000) 8 cm
O
C
04 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
05 오른쪽 그림과 같이 PO”의 연장선
과 원 O와의 교점을 B라 하면
BO”=AO”=2 cm
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =3_(3+2+2)=21
PT”
이때 PT”>0이므로 PT”='∂21 cm
P
B
2 cm
3 cm
A
O
T
(cid:9000) '∂21 cm
06 ① ∠A=∠DCE=130˘이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접한
다.
한다.
② ∠BAC=∠BDC=80˘이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접
③ EA”_ED”=4_(4+2)=24
EB”_EC”=3_(3+5)=24
즉, EA”_ED”=EB”_EC”이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접
한다.
④ ∠B=180˘-(45˘+25˘)=110˘
즉, ∠B+∠D=180˘이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접한다.
⑤ AE”_EC”=3_3=9
EB”_ED”=4_4=16
즉, AE”_CE”+EB”_ED”이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접
하지 않는다.
(cid:9000) ⑤
07 ∠P=∠ABT이고 ∠ATP=∠ABT이므로
∠P=∠ATP
AP”=AT”=x cm라 하면
¤ =PA”_PB”에서
PT”
6¤ =x_(x+5)
36=x¤ +5x
x¤ +5x-36=0, (x+9)(x-4)=0
이때 x>0이므로 x=4
∴ AT”=4 cm
직각삼각형 BCO에서
BC”="√5¤ -4¤ ='9=3 (cm)
OC”⊥AB”이므로 AC”=BC”=3 cm
PT”
¤ =PA”_PB”에서
¤ =4_(4+3+3)=40
PT”
이때 PT”>0이므로 PT”=2'∂10 cm
¤ =PB”_PA”이므로
¤ =4_(4+6)=40
09 PT”
PT”
이때 PT”>0이므로 PT”=2'∂10 cm
∴ QT”=PT”=2'∂10 cm
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
QT”
(2'∂10 )¤ =2_(2+2r), 40=4+4r
4r=36(cid:100)(cid:100)∴ r=9
따라서 원 O의 반지름의 길이는 9 cm이다.
¤ =QD”_QC”에서
(cid:9000) 4 cm
(cid:9000) ③
(cid:9000) 9 cm
실전북
¤ =PA”_PB”이므로
10 PT”
¤ =4_(4+12)=64
PT”
이때 PT”>0이므로 PT”=8 cm
△PAT와 △PTB에서
∠PTA=∠PBT, ∠P는 공통이므로
△PATª△PTB (AA 닮음)
PA”：AT”=PT”：TB”에서
4：6=8：TB”, 4TB”=48(cid:100)(cid:100)
∴ TB”=12 cm
11 오른쪽 그림과 같이 CE”를 긋고
(cid:9000) 12 cm
A
6 cm
C
D
2 cm
E
8 cm
AD”=x cm라 하면
∠ABC=∠AEC,
∠BAD=∠CAE이므로
△ABDª△AEC (AA 닮음)
AB”：AD”=AE”：AC”에서 8：x=(x+2)：6
x(x+2)=48, x¤ +2x-48=0
(x+8)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-8 또는 x=6
이때 x>0이므로 x=6(cid:100)(cid:100)
∴ A’D”=6 cm
B
12 오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으면
μAC=μAB에서
∠ABC=∠ADB이므로
AB”는 세 점 B, P, D를 지나는 원의
접선이다.
AB”
¤ =AP”_AD”이므로
¤ =4_(4+3)=28
AB”
이때 AB”>0이므로 AB”=2'7 cm
(cid:9000) 6 cm
A
4 cm
C
P 3 cm
B
D
(cid:9000) 2'7 cm
01 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
2_(2+10)=3_(3+x)
24=9+3x, 3x=15(cid:100)(cid:100)
∴ x=5
02 PO”=10-4=6 (cm)이므로
PC”=PD”=x cm라 하면
PA”_PB”=PC”_PD”에서
4_16=x_x, x¤ =64
이때 x>0이므로 x=8
∴ CD”=2x=2_8=16 (cm)
03 OP”=OD”-PD”=7-4=3 (cm)
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
5_PB”=(7+3)_4, 5PB”=40(cid:100)(cid:100)
∴ PB”=8 cm
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
07. 원주각 101
08 OB”=5 cm, OC”=4 cm이고 ∠OCB=90˘이므로
20THEME
원과 두 직선이 만나서 생기는 선분의 길이
82~83쪽
실전 연습 문제
2회
04 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
PA”=(9-r) cm, PB”=(9+r) cm
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
(9-r)(9+r)=5_(5+4)
81-r¤ =45, r¤ =36
이때 r>0이므로 r=6
따라서 원 O의 반지름의 길이는 6 cm이다.
05 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면
PA”_PB”=PD”_PC”이어야 하므로
3_(3+5)=4_(4+x)
24=16+4x, 4x=8
∴ x=2
06 원 O'에서 PT”
¤ =PC”_PD”이므로
x¤ =3_(3+13), x¤ =48(cid:100)(cid:100)
이때 x>0이므로 x=4'3
¤ =PA”_PB”이므로
원 O에서 PT”
(4'3 )¤ =4_(4+y), 48=16+4y
4y=32(cid:100)(cid:100)∴ y=8
07 AB”=2AO”=2_3=6 (cm)
점 A가 원 O의 접점이므로 ∠BAP=90˘
△BAP에서
BP”="√6¤ +8¤ ='∂100 =10 (cm)
¤ =PC”_PB”이므로
PA”
8¤ =PC”_10, 10 PC”=64
∴ PC”=:£5™: cm
08 BO”=AO”=6 cm
PT”
¤ =PB”_PA”이므로
¤ =4_(4+6+6)=64
PT”
이때 PT”>0이므로 PT”=8 cm
09 △PAD와 △PCB에서
∠P는 공통, ∠PDA=∠PBC이므로
△PADª△PCB (AA 닮음)
PA”=x cm라 하면
PA”：PC”=PD”：PB”이므로
x：5=(5+7)：(x+4)
x(x+4)=5_(5+7)
x¤ +4x-60=0, (x+10)(x-6)=0
이때 x>0이므로 x=6
∴ PA”=6 cm
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =2_(2+4)=12
10 PT”
PT”
이때 PT”>0이므로 PT”=2'3 cm
∴ △ATB=△PTB-△APT
∴ △ABT=;2!;_6_2'3_sin 30˘
11 AB”=4OO”'”=4_4=16 (cm)
¤ =8_16=128
¤ =AO”_AB”이므로 AC”
AC”
이때 AC”>0이므로 AC”=8'2 cm
오른쪽 그림과 같이 CO'”, DB”를 그으면
△ACO'과 △ADB에서
∠ACO'=∠ADB=90˘
∠A는 공통이므로
△ACO'ª△ADB (AA 닮음)
AC”：A’
’O'”=A’D”：AB”이므로
8'2 ：12=A’D”：16, 12A’D”=128'2
C D
4 cm
A
O O'
B
(cid:9000) 6 cm
(cid:9000) ②
∴ A’D”=
32'2
3
12 오른쪽 그림과 같이 BC”를 그으면
cm
(cid:9000) x=4'3 , y=8
∠ACD=∠ADC=∠ABC이므로
AC”는 세 점 C, B, P를 지나는 원의
접선이다.
AC”
¤ =AP”_AB”이므로
64=7_AB”(cid:100)(cid:100)∴ AB”=:§7¢:
PB”=AB”-AP”=:§7¢:-7=:¡7∞:
PC”_PD”=PA”_PB”이므로
PC”_PD”=7_:¡7∞:=15
(cid:9000) :£5™: cm
THEME
모아
중단원 실전 평가
01 △APB에서
(cid:9000) ③
∠ABP=180˘-(25˘+85˘)=70˘
∴ ∠x=∠ABP=70˘
02 오른쪽 그림과 같이 AE”를 그으면
C
E
∠AEB=90˘
∴ ∠ACD=∠AED
=∠AEB-∠DEB
=90˘-44˘=46˘
03 오른쪽 그림과 같이 BQ”를 그으면
∠BQC=∠BPC=20˘
∠AOB=180˘-∠AOP
=180˘-110˘=70˘
A
∠AQB=;2!;∠AOB=;2!;_70˘=35˘
∴ ∠AQC=∠AQB+∠BQC
=35˘+20˘=55˘
04 오른쪽 그림과 같이 AO”, AD”를 그으면
(cid:9000) 6 cm
32'2
3
cm
(cid:9000)
A
8
7
D
P
C
B
(cid:9000) ④
84~87쪽
(cid:9000) ④
A
B
44˘
O
D
P
(cid:9000) 46˘
20˘
110˘
O
Q
C
B
(cid:9000) ①
A
C
E
56˘
x
O
BP
D
-;2!;_2_2'3_sin 30˘
∠EDA=;2!;∠AOE
∴ △ABT=;2!;_6_2'3_;2!;-;2!;_2_2'3_;2!;
∴ △ABT=3'3-'3=2'3(cm¤ )
(cid:9000) 2'3 cm¤
∠BAD=;2!;∠AOC이므로
△APD에서
102 정답 및 풀이
∠x=∠EDA+∠BAD
∠x=;2!;(∠AOE+∠AOC)
∠x=;2!;_56˘=28˘
(cid:9000) 28˘
05 오른쪽 그림과 같이 CD”를 그으면
△DPC에서 ∠ACD+∠BDC=60˘
μAD에 대한 원주각이 ∠ACD, μ BC에
대한 원주각이 ∠BDC이므로
μAD+μ BC는 원주의
60˘
180˘
=;3!;
따라서 원 O의 둘레의 길이는
3(μAD+μ BC)=3_6p=18p(cm)
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2pr=18p(cid:100)(cid:100)∴ r=9
즉, 원 O의 반지름의 길이는 9 cm이다.
06 오른쪽 그림과 같이 CE”를 그으면
∠CED=;2!;∠COD=;2!;_32˘=16˘
(cid:8772)BCEA는 원 O에 내접하므로
∠ABC+∠AEC=180˘
∴ ∠ABC+∠AED
=∠ABC+(∠AEC+∠CED)
=(∠ABC+∠AEC)+∠CED
=180˘+16˘=196˘
A
D
O
60˘
P
B
C
(cid:9000) ②
E
A
O
B
32˘
D
C
P
B
O
D
A
O'
07 오른쪽 그림과 같이 PQ”를 그으면
(cid:8772)ABQP가 원 O에 내접하므로
∠ABQ=∠QPD
®APQ에 대한 원주각이 ∠ABQ,
®QCD에 대한 원주각이 ∠QPD
로 ®APQ와 ®QCD의 원주각의 크기가 서로 같으므로 호의 길
이는 반지름의 길이에 정비례한다.
원 O'의 반지름의 길이를 r cm라 하면
®APQ：®QCD=4：3이므로
12：r=4：3, 4r=36
∴ r=9
따라서 원 O'의 반지름의 길이는 9 cm이다.
(cid:9000) ④
Q
C
08 (cid:8772)ABCD는 원에 내접하므로
∠ADC=∠ABF=110˘
∠x=180˘-∠ADC=180˘-110˘=70˘
△ADE에서
∠y=180˘-(90˘+∠x)
∠y=180˘-(90˘+70˘)=20˘
∴ ∠x-∠y=70˘-20˘=50˘
09 BC”가 원 O의 지름이므로 ∠CAB=90˘
△ABC에서
∠ACB=180˘-(90˘+65˘)=25˘
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
cos 30˘=
BC”
AB”
실전북
ATÍ가 원 O의 접선이므로
∠BAT=∠BCA=25˘
(cid:9000) 25˘
10 ∠CAD=∠ABC=∠a, ∠ADE=∠EDC=∠b라 하면
△ABD에서
(46˘+∠a)+∠a+2∠b=180˘
2∠a+2∠b=134˘(cid:100)(cid:100)∴ ∠a+∠b=67˘
따라서 △EBD에서
∠AED=∠a+∠b=67˘
11 ATÍ가 원 O의 접선이므로
∠CAT=∠CBA=55˘
∠CAB=∠CAT=55˘
△ACB에서
∠ACB=180˘-(55˘+55˘)=70˘
(cid:8772)ACBD는 원 O에 내접하므로
∠BDA=180˘-∠ACB=180˘-70˘=110˘ (cid:9000) 110˘
(cid:9000) 67˘
C
D
12 오른쪽 그림과 같이 CA”를 그으면
∠DCA=∠CBA=30˘
AB”가 원 O의 지름이므로
∠ACB=90˘
△CDB에서
∠CDB=180˘-(30˘+90˘+30˘)=30˘
따라서 △CDB는 CD”=BC”인 이등변삼각형이다.
△ABC에서 AB”=6 cm, ∠ACB=90˘이므로
A
30˘
O
6 cm
B
BC”=AB” cos 30˘=6_ =3'3 (cm)
'3
2
∴ CD”=BC”=3'3 cm
(cid:9000) 3'3 cm
13 ∠ABC=∠ACP=∠DCQ=∠CED이므로
∠ABC=65˘
∴ ∠AOC=2∠ABC=2_65˘=130˘
14 PC”_PD”=PA”_PB”이므로
x_x=3_8, x¤ =24
이때 x>0이므로 x=2'6
(cid:9000) 130˘
(cid:9000) ③
15 ① ∠D=∠ABE이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접한다.
② 3_7+5_5이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접하지 않는다.
③ ∠C=180˘-(40˘+65˘)=75˘
즉, ∠A+∠C=105˘+75˘=180˘이므로
(cid:8772)ABCD는 원에 내접한다.
④ PA”_PD”=2_(2+7)=18
PB”_PC”=3_(3+3)=18
즉, PA”_PD”=PB”_PC”이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접
한다.
⑤ ∠DAC=∠DBC=50˘이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접
(cid:9000) ②
한다.
16 작은 원에서 PT”와 PQ”가 모두 접선이므로
PQ”=PT”=6 cm
BP”=PQ”+BQ”=6+3=9 (cm)
07. 원주각 103
¤ =PA”_PB”이므로
큰 원에서 PT”
6¤ =PA”_9, 9 PA”=36(cid:100)
∴ PA”=4 cm
P
”이므로
17 오른쪽 그림과 같이 OB”, O’'P”를 그으면
△OBA에서 OA”=OB”이므로
∠OAB=∠OBA
△O'PA에서 O'ÚAÚ=O'ÚPÚ
∠O'AP=∠O'PA
즉, ∠OBA=∠O'PA이고,
∠OAB=∠O'AP이므로
△OBAª△O'PA (AA 닮음)
PB”：PA”=O'ÚOÚ：O'ÚAÚ=(6-4)：6=1：3
따라서 PC”
}¤ =
¤ =PB”_PA”이므로
PC”
PB”_PA”
PA”
PA”
PB”
PA”
PC”
PA”
=;3!;
=
=
{
이때
>0이므로
PC”
PA”
PC”
PA”
=
'3
3
B
D
A
6 cm
18 AB”=AC”=6 cm이므로
∠ABC=∠ACB
CE”를 그으면 μAC에 대한 원주각의
크기는 같으므로
∠ABC=∠AEC
따라서 ∠ACB=∠AEC이므로
AC”는 세 점 D, C, E를 지나는 원의 접선이다.
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 AE”=2r cm
¤ =AD”_AE”이므로
AC”
6¤ =4_2r, 36=8r(cid:100)(cid:100)
E
∴ r=;2(;=4.5
따라서 원 O의 반지름의 길이는 4.5 cm이다.
(cid:9000) ①
19 오른쪽 그림과 같이 무대의 양 끝을 A, B
라 하자. ∠BAQ=90˘가 되도록 원 위에
점 Q를 잡으면
y❶
∠AQB=∠APB=30˘
△AQB에서
AB”=12 m, ∠BAQ=90˘이므로
12 m
A
B
30˘
P
Q
sin 30˘=
AB”
BQ”
AB”
sin 30˘
∴ BQ”=
=12_2=24 (m)
따라서 공연장의 지름은 BQ”이므로 그 길이는 24 m이다.
y❷
(cid:9000) 24 m
배점
2점
3점
채점 기준
❶ 한 각이 직각이 되도록 하는 원주 위의
❷ 삼각비를 이용하여 공연장의 지름의 길이
한 점 잡기
구하기
104 정답 및 풀이
(cid:9000) ②
B
C
6
O'
O
4
A
20 AC”, BC”를 그으면 μ BD=μ CD=10 cm이므로
∠CAD=∠DAB=25˘(cid:100)(cid:100)
∴ ∠CAB=25˘+25˘=50˘
AO”=CO”이므로
∠AOC=180˘-(50˘+50˘)=80˘
∴ ∠ABC=;2!;∠AOC=;2!;_80˘=40˘
y❶
μAC：μ DB=∠ABC：∠DAB이므로
μAC：10=40：25, 25μAC=400
∴ μAC=16 cm
채점 기준
❶ ∠ABC의 크기 구하기
❷ μAC의 길이 구하기
'3
3
(cid:9000)
6 cm
C
4 cm
O
21 OD”=OA”=6 cm이므로 △PDO에서
PD”=øπ8¤ +6¤ ='∂100 =10 (cm)
CD”=x cm라 하면
PC”=PD”-CD”=10-x (cm)
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
2_(2+6+6)=(10-x)_10
28=100-10x, 10x=72(cid:100)(cid:100)∴ x=:£5§:
∴ CD”=:£5§: cm
y❷
(cid:9000) 16 cm
배점
4점
2점
y❶
y❷
(cid:9000) :£5§: cm
배점
2점
3점
A
y❶
y❷
(cid:9000) 32-8'∂11
배점
4점
2점
4
D
x
B
4
E
4
F
2
C
채점 기준
❶ PD”의 길이 구하기
❷ CD”의 길이 구하기
22 △BED≡△FED이므로
∠DEF=90˘, BE”=FE”=4
BD”=x라 하면
네 점 A, D, E, C가 한 원 위에
있으므로
BD”_B’A”=BE”_BC”에서
x_(x+4)=4_(4+4+2)
x¤ +4x-40=0
이때 x>0이므로 x=-2+2'∂11
∴ BD”=-2+2'∂11
따라서 직각삼각형 BED에서
¤ -BE”
¤ =BD”
DE”
=(-2+2'∂11 )¤ -4¤
=32-8'∂11
채점 기준
❶ BD”의 길이 구하기
❷ DE”
의 값 구하기
¤
¤
¤
¤
¤
'동아' 카테고리의 다른 글
| 빨리 이해하는 중학 수학 1 - 2 답지 (2019) (0) | 2020.07.01 |
|---|---|
| 빨리 이해하는 중학 수학 1 - 1 답지 (2019) (0) | 2020.07.01 |
| 빨리 강해지는 중학 수학 3 - 1 답지 (2019) (0) | 2020.07.01 |
| 빨리 강해지는 중학 수학 2 - 2 답지 (2019) (0) | 2020.07.01 |
| 빨리 강해지는 중학 수학 2 - 1 답지 (2019) (0) | 2020.07.01 |