16 C：'2, F：3+'8
17 ④
18 3개
19 승윤
22 ②
20 ③
21 ⑤
25 a>b>c 26 ④
27 점 D
29 -'3：A 구간, '5：E 구간, 2-'3：C 구간 30 ⑤
28 ②
23 ②
24 ⑤
31 ③
32 ④
33 ⑤
34 1
26~27쪽
03 ①
08 ④
C
04 18
풀이 14쪽
05 ④
09 삼각형 C
01 ⑤
06 5
10 ②
02 ②
07 3개
11 ③
유형북
01. 제곱근과 실수
빠 른 정 답
9, 11쪽
A
풀이 9쪽
01 —1
02 —7
03 —;1£1;
04 없다.
05 0
06 —'7
07 —13
08 —0.3
09 —'5
10 '5
11 -'5
12 '5
13 —6, 6
14 —'1å7, '1å7
15 7
16 -9
17 0.5
18 -;4#;
19 2
20 -5
21 0.3
22 7
23 5
24 2
25 a
26 2a
27 10a
28 -a
29 -2a
30 -10a
31 <
33 <
38 유
43 ×
48 ◯
53 '5
58 <
34 >
39 무
44 ◯
49 ×
54 5+'5
35 유
40 유
45 ◯
50 ×
55 >
59 -'1å0
60 -'5
36 유
41 유
46 ◯
51 5
56 >
61 '2
32 <
37 무
42 무
47 ◯
52 '5
57 >
62 '6
12~25쪽
B
풀이 9쪽
THEME 01
알고 있나요?
1 a, -a, a-b, -a+b
03 ⑤
04 ②
04 ⑤
09 ④
12 ④
09 ②
13 ③
18 ④
23 9
28 6
33 ④
38 ⑤
05 ④
10 ①
14 ②
19 21
24 ①
29 ⑤
34 ①
39 19
1 실수, 무리수, 유리수, 무리수
03 5개
04 ③
08 P：-1-'2 , Q：1+'2
05 ②
03 ⑤
08 ⑤
11 ④
08 ③
17 10
22 3개
27 ④
32 6
37 ②
1 풀이 참조
01 ③
02 ⑤
07 9
06 ④
10 ⑴ 6(cid:100)⑵ -4(cid:100)⑶ 2
13 ㄴ, ㄷ, ㅁ
THEME 02
알고 있나요?
01 ⑤
06 3
11 ③
15 3-2a
20 ②
25 74
30 8.09
02 ④
07 ④
16 ①
21 70
26 ②
31 1
35 18개 36 6
THEME 03
알고 있나요?
01 ③
06 ⑤
02 4개
07 ⑤
12 -;9$;a-;9@;b
11 ③
10 ①
09 ④
12 P：1+'5 , Q：1-'5
13 ⑴ 5(cid:100)⑵ 2+'5 (cid:100)⑶ 2-'5
02. 근호를 포함한 식의 계산
29, 31쪽
풀이 15쪽
01 '2å1
02 '7å0
03 '3
05 15
06 2
07 5
A
04 '7
08 3'7
09 2'5
11 '∂18
12 '∂75
13
18
'3
3
2'∂15
5
14
19
'∂10
2
'6
6
10
15
20
'5
4
'6
4
'2
2
23 -3
24 3'2
25 1
26 18
27 3'5
16
5'2
6
17
'∂35
15
21 '3
22 3'5
11'2
4
31 3'2-2
30
34
37
'∂15 +3'2
3
7'2 -5'6
2
05 ①, ③
28 -4'3
29 -'2+4'3
32 '∂10 -'∂15
33 5
35 5
36 17+7'3
38 18-12'2
39 1+'2
40 3
41 ;3@;
42
3-'2
7
43 2+'5
44 1.466
45 14.32
46 a=3, b='1å0-3
47 a=4, b='∂17-4
32~43쪽
B
풀이 16쪽
THEME 04
알고 있나요?
1 ⑴ '2(cid:100)(cid:100)⑵ '7(cid:100)(cid:100)⑶ '5(cid:100)(cid:100)⑷ '2
2 분모를 유리화하면 그 값을 어림하기 쉽다.
04 6
01 9'∂14
03 2
02 ③
07 ③
12 ;4£0;
17 ⑤
08 ①
13 ;5@;
18 ③
06 20
11 ②
16 ④
21 -
05 ④
10 ②
15 ②
20 1
09 35
14 ③
19 ③
24 ⑤
14 ③
15 4
2'5
3
22 3'3
23 -;3$;
25
'2
4
cm
빠른 정답 1
유형북
27 6'2
26 ④
THEME 05
2 ⑴ "aΩ
알고 있나요?
1 (5+2)'3, '∂ab+'∂ac
'a
Ωb=a'b, Ƭ = 임을 이용한다.
b
a
b¤
2 ⑵ 분모를 유리화한다.
01 - +
'2
2
'3
2
02 ④
03 ②
04 ③
05 ⑤
06 0
07 ;3$;
08 ①
09 3'6
11 ②
12 ⑤
13 -4'3+'6
15
8'3-3
9
16 ④
17 ⑴ 2'5 +'2(cid:100)⑵ 2'5 -'2 (cid:100)⑶ 4 18 -7
19 '2
10
14
2'∂15
15
7'6
6
20 ②
THEME 06
알고 있나요?
1 ① - ㉢, ② - ㉡, ③ - ㉠
2 '2, '3의 정수 부분：1
2 '4, '5, '6, '7, '8의 정수 부분：2
2 '9, '1å0의 정수 부분：3
01 ④
06 ⑤
02 -17
07 ③
10 4('5-1)
14 2
15 4
22 ⑤
27 ①
32 '3
03 ①
08 ④
11 ⑤
16 3'2
23 1
28 ④
33 ②
19 겉넓이：18+18'2, 부피：3'6+6'3
04 ③
'6
2
09
12 6'5
17 ②
05 -3
13 ②
18 ③
20 6+3'2
24 ①
29 ②
25 ③
30 ④
44~45쪽
C
풀이 21쪽
01 ①
02 ①
04 -24
05 ④
06 -'∂41
07
'∂65
5
09 -3
10 '∂15
11 정희
46쪽
쉬어가기
21 ②
26 ⑤
31 ③
03 ①
08 ⑤
2 빠른 정답
03. 인수분해
49, 51쪽
A
02 -2a(3+4b)
04 (x-3y)¤
06 (3x+2y)¤
풀이 23쪽
01 y(x-z)
03 5ab(a+2b)
05 (4a-b)¤
07 16
08 9b¤
09 8
10 (x+8)(x-8)
11 (3x+2)(3x-2)
12 (5x+9y)(5x-9y) 13 1, -1, -x, x, -2x
14 (x+8)(x-4)
15 (x+10)(x-2)
16 (x-3y)(x-5y)
17 (x+5y)(x-6y)
18 3, 4, 3x, 1, x, -4, -12x
20 (2x+3)(4x-1)
21 (2x+y)(x-3y)
19 (2x+1)(3x-1)
22 (2x+y)(3x+2y)
23 A+1, x+2
24 (2a-b-1)(2a-b-3)
25 x(2x-1)
26 x, x+1 27 a, a+1 28 x-2, x+y-2
29 (x-3)(x+y)
30 (a+b-1)(a-b-1)
31 (x+y-3)(x-y-3)
32 (x¤ -5x+5)¤
33 (x¤ +2x-1)(x¤ +2x-10)
34 x-1
35 x-1
36 130
37 10000
38 600
39 25
40 2.8
52~61쪽
B
풀이 24쪽
THEME 07
알고 있나요?
1 ⑴ m(a+b)(cid:100)⑵ (a+b)¤ (cid:100)⑶ (a-b)¤
1 ⑷ (a+b)(a-b)(cid:100)⑸ (x+a)(x+b)
1 ⑹ (ax+b)(cx+d)
01 ⑤
06 7
02 ④
07 9
03 ③
08 7
04 ⑤
05 ③
09 ②, ④ 10 ⑤
13 5
12 -2'2 +3
16 ④
18 ④
17 ④
21 ①, ④ 22 5x-4y 23 3
26 24
28 ②
27 ②
31 ⑴ x¤ -x-6 ⑵ (x+2)(x-3)
14 ③
19 2
24 ④
29 9
11 ②
15 4
20 ④
25 ③
30 ①
32 (2x+1)(x-5)
THEME 08
02 2a(a-b)
01 ①
04 4x+2y-2
08 ④
09 3x+y
13 ②, ④ 14 ②
16 (x¤ +9x+6)(x¤ +3x+6)
05 ①
10 ③
15 5
19 ②
THEME 09
알고 있나요?
1 ⑴ (a+1)¤ (cid:100)⑵ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
1 ⑶ x¤ +3x+2=(x+1)(x+2)
03 ①, ⑤
06 ②
11 ③
07 ②, ⑤
12 -2
17 ①
18 ②
¤
02 1
03 -72
01 A=10000, B=6
05 ②
09 2x+10 10 ②
11 ⑤
06 (x+3)(x+4)
07 ③
04 ②
08 4x+8
12 1
11 ③
THEME 11
알고 있나요?
13 ③
1 A=0 또는 B=0
62~63쪽
C
풀이 27쪽
01 ①
02 ⑤
05 x=3 또는 x=5
06 ④
07 2
04 ②, ③ 05 (x-y)(y-z)(x-z)
08 ②
09 1
10 31, 33
03 1
06 ③
11 ③
07 ④
12 ②
2 완전제곱식
01 ③
02 ①
03 x=-2 또는 x=;3$; 04 ②
08 ②
13 ④
18 ①
09 ③
14 ④
10 x=4
11 -3
12 ;3&;
15 ⑤
16 3
17 ⑤
19 x=;2#; 또는 x=3
THEME 12
알고 있나요?
1 a, b, m, 'ßk , -p—'ßk
2 ⑴ x=
-b—"√b¤ -4ac
2a
(cid:100)⑵ x=
-b'—"√b'¤ -ac
a
01 6
06 9
02 ④
07 ④
04 ②
09 m>2
05 ④
10 7
11 :¡4¶:
12 -6
14 x=3—'∂13
03 ②
08 ①
13 ⑤
17 14
20 ④
24 ③
29 ③
25 ③
30 ④
26 -2
31 1
27 ③
28 3
78~79쪽
C
풀이 35쪽
03 ⑤
08 ①
04 ⑤
09 ⑤
05 ;9%;
10 ①
01 ④
06 ③
11 8
02 ②
07 ①
12 0
14 x=-4 또는 x=1
15 11
16 -1
18 ③
19 ④
15 x=-;2#; 또는 x=4
16 x-3, x-3, 3
21 x=0 또는 x=-24 22 ②
23 x=;2!;
04. 이차방정식의 뜻과 풀이
65, 67쪽
풀이 29쪽
A
04 ×
03 ×
09 ×
08 ×
13 x=0 또는 x=1
01 ◯
06 ◯
11 4
02 ◯
07 ◯
12 2
05 a+0
10 2
17 x=-2 또는 x=2
18 x=-7 또는 x=2
19 x=-;3@; 또는 x=;2#;
20 x=-;5!; 또는 x=;2!;
21 x=3 (중근)
22 x=;2!; (중근)
23 x=-4 (중근)
24 x=—'3
25 x=—
26 x=3—'5
27 x=-2—'3
28 16, 16, 4, 11
29 {x-;2!;}2 =;;¡4¶;;
30 (x-1)¤ =4
31 {x+;3@;}2 =;9&;
32 x=2—'6
33 x=-3—'∂11
34 x=;2!;—
'∂10
2
'6
2
35 -;aC;, ;2ıa;, ;2ıa;, ;2ıa;, ;2ıa;, b¤ -4ac, ;2ıa;, b¤ -4ac, -b,
05. 이차방정식의 활용
35 b¤ -4ac
36 x=
39 x=
3—'∂33
4
2—'2
2
37 x=
-3—'∂41
2
38 x=
5—'∂85
6
81쪽
A
풀이 37쪽
01 33, 2
02 -11, 0
03 0, 1
04 -4, 3
05 0, -3
06 -;2!;, -;2#;
40 x=2—'6
07 x¤ -4x-5=0
08 x¤ -;6%;x+;6!;=0
41 x=-;2!; 또는 x=;5@;
43 x=1 또는 x=8
42 x=
9—'∂57
4
09 x¤ -10x+25=0
10 3+'5
11 2-'7
12 x+1
13 11
14 11, 12
17 4초 후 또는 8초 후 18 12초 후
15 (20-x)(15-x) m¤ 16 3 m
68~77쪽
B
풀이 30쪽
THEME 10
알고 있나요?
82~89쪽
B
풀이 37쪽
THEME 13
알고 있나요?
1 풀이 참조
01 ③
06 ⑤
02 ⑤
07 ④
03 ①, ⑤ 04 ③
09 -3
08 ②
05 ③
10 7
1 ①`－`㉣, ②`－`㉢, ③`－`㉡, ④`－`㉠ 2 ⑴ -;aB;(cid:100)⑵ ;aC;
01 ④
02 ㄱ, ㄹ 03 1
04 1
05 ②
빠른 정답 3
유형북
06 ①, ② 07 ④
10 -1
11 ②
15 -;3%;
16 ①
20 1
21 ③
24 x¤ +x-6=0
27 x¤ -6x+3=0
THEME 14
08 ⑤
12 102
09 ;3@;<k<;1!6&;
13 ④
14 9
17 ③
22 45
25 ⑤
01 ②
18 ④
19 ②
23 2x¤ -4x-96=0
26 ③
02 20명 03 8단계
07 25
05 17
04 ④
10 ②
06 ③
11 11초 후 12 ③
09 ②
14 6 cm 15 12 cm 16 5 cm 17 ②
20 5 cm 21 ③
19 ②
22 ⑴ (-2x¤ +60x) cm¤ ⑵ 15 cm 23 ③
25 5 cm
08 ④
13 3초 후
18 4 m
24 ①
90~91쪽
C
04 ③
풀이 42쪽
05 ④
02 ②
01 ④
06 2x¤ -6x+1=0
08 ③, ⑤ 09 ②
10 n(n+1)-2n, 25
03 7
07 8일
11 18
92쪽
쉬어가기
05 y=;2!;(x+3)(x-2), (cid:8776)
06 6
07 9
11 (0, 0)
08 아래
12 x=0
09 y축
10 감소, 증가
13 >, < 14 a의 절댓값
15 ②
16 ①
17 y=-3x¤`, y=-;3!;x¤
18 y=4x¤
19 y=;3!;x¤ , y=-;3!;x¤
20 y=;3!;x¤ , y=2x¤ , y=4x¤
21 y=2x¤ +4
22 y=;3!;x¤ -1
23 풀이 참조, y=x¤ +2
24 풀이 참조, y=-;3@;x¤ -1
25 y=5(x+2)¤
26 y=;3!;(x-5)¤
27 풀이 참조, y=2(x+2)¤
28 풀이 참조, y=-3(x-1)¤
29 y=3(x+2)¤ +4, (-2, 4), x=-2
30 꼭짓점의 좌표：(-1, -5), 축의 방정식：x=-1
31 꼭짓점의 좌표：(3, 1), 축의 방정식：x=3
32 풀이 참조
34 a>0, p>0, q<0
33 풀이 참조
35 a<0, p>0, q<0
98~105쪽
B
풀이 44쪽
THEME 15
알고 있나요?
1 축, 포물선, 꼭짓점, 아래, 위, y, x
03 a+1
01 ①
02 ④
07 5
12 ④
17 -4
08 ③
13 ①
18 ②
04 ④
05 ②, ⑤
09 ㄷ, ㄹ 10 ⑤
14 ⑤
15 -;2#;
19 ③, ⑤ 20 -4
06 ③
11 ①
16 ④
21 ⑴ 16(cid:100)⑵ -4(cid:100)⑶ 12 22 4
23 ②
24 ;4!;
THEME 16
알고 있나요?
1 풀이 참조
01 3
02 y=2x¤ -1
03 ①
04 ①, ④ 05 ⑴ y=-3(x-1)¤ +8(cid:100)⑵ -67 06 ㄱ, ㄷ
07 5
09 ②
12 꼭짓점의 좌표 : (-2, -3), 축의 방정식 : x=-2
13 -1
11 ④
08 ④
10 ②
14 ⑤
19 ②
15 ②
20 ⑤
16 ②, ⑤ 17 ③
22 4
21 12
18 ③
06. 이차함수와 그 그래프
95, 97쪽
A
풀이 43쪽
01 (cid:8776)
02 ×
106~107쪽
C
풀이 47쪽
01 -1
02 ⑤
03 ①
04 :£5™:
05 ⑤
06 0<a<;2#;
03 (cid:8776)
04 y=;2#;(x+2), ×
07 ③
08 ④
09 -;2!;
10 ⑤
4 빠른 정답
07. 이차함수의 활용
109, 111쪽
02 4, 4, 2, 13
A
풀이 48쪽
01 1, 1, 1, 2
03 y=3(x+1)¤ -5
04 y=-;2!;(x+2)¤ +7
05 꼭짓점의 좌표：(-1, -3), 축의 방정식：x=-1
06 꼭짓점의 좌표：(3, 21), 축의 방정식：x=3
07 꼭짓점의 좌표：{;2!;, -1}, 축의 방정식：x=;2!;
08 꼭짓점의 좌표：{-;4#;, -:¡8¶:}, 축의 방정식：x=-;4#;
09 풀이 참조
10 x축과의 교점의 좌표：(-2, 0), (7, 0)
y축과의 교점의 좌표：(0, -14)
11 x축과의 교점의 좌표：(1, 0), (2, 0)
y축과의 교점의 좌표：(0, -4)
12 x축과의 교점의 좌표：(-5, 0), (4, 0)
y축과의 교점의 좌표：(0, 20)
13 x축과의 교점의 좌표：(-3, 0), (-1, 0)
13 y축과의 교점의 좌표：{0, ;2#;}
14 >
19 <
15 >, > 16 <
20 y=3(x-2)¤ +1
17 <
18 <, >
21 y=2(x-1)¤ -3
22 y=-x¤ +4x+1
23 y=-;5$;x¤ -;5*;x+:¡5™:
24 y=2x¤ +8x+5
25 y=-;6!;x¤ +x+;6&;
26 y=-2x¤ -4x+1
27 y=;4!;x¤ -;4#;x-1
28 최댓값：없다., 최솟값：1
29 최댓값：-;4!;, 최솟값：없다.
30 x=-2일 때 최솟값 5
32 y=-5(x-3)¤ +45
31 x=2일 때 최댓값 6
33 45 m
34 y=x(6-x)
35 3 cm 36 9 cm¤
112~123쪽
B
풀이 50쪽
THEME 17
알고 있나요?
1 ⑴ {-;2ıa;, -
}(cid:100)⑵ x=-;2ıa;(cid:100)⑶ (0, c)
b¤ -4ac
4a
01 ④
06 2
10 ⑤
15 ③
02 ④
03 2
04 9
07 ①
11 x>-4 12 x<3
08 ㄱ, ㄷ, ㄹ
16 ⑤
17 ②
13 -1
18 ⑤
23 4
21 ③, ⑤ 22 ③
20 ③
24 ⑴ A(-4, 0), B(2, 0), C(0, -8) ⑵ 24
05 0
09 ④
14 ④
19 ③
25 ③
26 12
27 m=-2, n=4
28 A(-2, 2), B{3, ;2(;}
THEME 18
알고 있나요?
1 ①－㉠, ②－㉠, ③－㉡, ④－㉢
01 ④
06 6
02 0
03 4
04 -2
07 {;2%;, -;4!;}
08 7
05 ④
09 ②
10 ⑤
11 ③
12 {;2!;, ;1@2%;}
THEME 19
알고 있나요?
1 풀이 참조
02 ②
07 8
2 풀이 참조
03 11
08 ②
04 ⑤
09 1
05 ②
10 ④
13 ③
12 ③
17 ⑴ y=x-6(cid:100)⑵ 18(cid:100)⑶ x=3, y=-3
14 ①
15 ④
01 ④
06 ⑤
11 ⑤
16 8, 8
18 ⑤
19 ⑤
23 15 cm 24 ②
28 9
20 ②
25 ④
21 ②
26 ④
22 18 m¤
27 (2, 2)
124~125쪽
C
풀이 57쪽
01 3
03 k<-;2(; 04 ⑤
05 ④
06 ⑤
02 ②
07 ②
08 ⑤
09 :¡4∞:
10 8.4 m 11 ①
12 5초 후
실전북
01. 제곱근과 실수
빠 른 정 답
4쪽
THEME 01 1회
풀이 59쪽
03 ④
04 ②
05 ④
01 ⑤
06 ①
02 ①
07 ③
01 1
06 -1
02 ②
07 1
5쪽
THEME 01 2회
풀이 59쪽
03 ④
04 ③, ⑤ 05 ④
6~7쪽
THEME 02 1회
풀이 59쪽
01 ③
06 ④
11 ③
02 ①
07 ②
12 3개
03 ⑤
04 ⑤
05 ⑤
09 ③
08 ⑤
13 29개 14 ⑴ 3(cid:100)⑵ -2
10 ②
빠른 정답 5
실전북
8~9쪽
THEME 02 2회
풀이 60쪽
24~25쪽
THEME 06 1회
풀이 66쪽
01 ②
06 18
11 ②
02 ⑤
07 ②
12 ①
03 ③
08 ④
13 ⑤
04 ⑤
09 ③
14 ①
05 ④
10 ③
01 ③
06 ③
11 ③
02 6
07 ⑤
12 ④
10~11쪽
THEME 03 1회
풀이 61쪽
26~27쪽
THEME 06 2회
풀이 67쪽
01 ④
02 ⑤
07 ⑤
06 ④
10 a=7, b=2'1å4-7
14 2
04 4
09 ③
14 ⑤
04 ①
09 ③
12 ⑤
05 ⑤
10 ④
05 ③
13 ③
03 ⑤
08 ④
13 '5
03 ①
08 ①
11 ②
03 12
08 ①
13 13
28~31쪽
실전 평가
풀이 68쪽
01 ④
06 ④
11 ④
16 ③
02 ③
07 0
12 ④
17 ④
04 -24
05 ②, ④
09 ④
14 —4'2
10 ③
15 ②
19 ;3%;
18 1-4'3+3'7
20 -7
21 ⑴ 1(cid:100)⑵ 6-2'7(cid:100)⑶
22 12'3
3+'7
4
03. 인수분해
32~33쪽
THEME 07 1회
풀이 70쪽
03 ④
07 2x-4
01 ②
02 ⑤
04 ②, ④ 05 ④
06 ②
08 ①
05 ④
10 ⑴ 서준：x¤ +2x-15, 지우：x¤ -2x-8
⑵ x¤ +2x-8(cid:100)⑶ (x+4)(x-2)
09 ⑤
11 ④
12 ⑤
13 (x+1)(2x-3)
14 ②
34~35쪽
THEME 07 2회
풀이 71쪽
02 ④
03 ①
04 ①
07 ①
12 (3x+2)(x+2y)
08 ①, ④ 09 ⑤
13 ③
05 ④
10 ⑤
14 ③
36쪽
THEME 08 1회
풀이 72쪽
02 ⑤
07 (y+1)(x-y+3)
03 ⑤
04 ②
05 ④
37쪽
THEME 08 2회
풀이 72쪽
03 ①
02 ①
01 ②
04 (3x+y+4z)(3x+y-4z)
05 ⑤
06 ④
01 ⑤
06 ③
11 1
01 ④
06 ③
07 ②
03 ④
02 ⑤
01 ⑤
04 P：-3-'2, Q：-3+'2
08 ①
09 ⑤
07 ④
12 ⑤
05 ③
10 1-'2
06 ⑤
11 ④
12~13쪽
THEME 03 2회
풀이 61쪽
01 4개
06 ②
11 6-'5
02 ④
07 ②
12 6
03 ③
08 ②
04 ⑤
09 ③
05 ④
10 4
14~17쪽
실전 평가
풀이 62쪽
01 ①, ⑤ 02 ④
06 ④
11 Æ;a!;
07 ①
12 ④
03 ③
08 ①
13 ①
04 ⑤
09 ⑤
14 ⑤
16 P：2-'2, Q：1+'2
19 12개 20 5
21 10
17 ⑤
22 '∂30 cm
05 ④
10 ①
15 ③
18 ⑤
02. 근호를 포함한 식의 계산
18~19쪽
THEME 04 1회
풀이 64쪽
01 ①
06 2'6
11 2
02 ①
07 ②
12 ①
03 ⑤
04 ⑤
09 ④
08 ①
13 3'5 cm 14 ⑤
20~21쪽
THEME 04 2회
02 36'5
07 ①
12 4'3å0 cm
03 ②
08 ①
풀이 64쪽
04 6'3
09 ⑤
13 ④
22쪽
THEME 05 1회
풀이 65쪽
05 ⑤
10 ②
05 2ab
10 ④
14 2'7
03 '5
04 ①
05 '5-'3
23쪽
THEME 05 2회
풀이 66쪽
03 ⑤
04 ③
05 ②
01 ②
06 ④
11 ⑤
01 ②
06 ④
01 ③
06 12
6 빠른 정답
02 ①
07 ⑤
02 ④
07 ③
38쪽
THEME 09 1회
풀이 73쪽
50~51쪽
THEME 12 1회
풀이 79쪽
01 250
02 8
03 ③
04 ⑤
05 ④
06 ;5#;
07 ⑤
39쪽
THEME 09 2회
풀이 73쪽
01 ②
05 360p cm‹
02 ②
03 ⑤
06 19-8'3
04 ③
07 240
40~43쪽
실전 평가
풀이 74쪽
01 ②
06 ②
11 ①
16 ①
02 ④
07 ④
12 ③
17 ③
03 3
08 a+b
13 ①
18 ③
04 ④
09 ③
14 ①
05 ⑤
10 ③
15 ⑤
19 ⑴ (x+9)¤ (cid:100)⑵ {;2!;a+;3@;b}{;2!;a-;3@;b}(cid:100)
20 ⑶ (x+y+3)(x+y-5)
20 20'∂15
21 5'5 +4
22 ⑴ 7(cid:100)⑵ a=5, b=2
04. 이차방정식의 뜻과 풀이
44쪽
THEME 10 1회
풀이 76쪽
02 a+5
03 ④
04 ①
05 ①
01 ③
06 ②
07 ②
45쪽
THEME 10 2회
풀이 76쪽
03 ②
04 4
05 ⑤
01 ⑤
06 ③
02 ①
07 ③
46~47쪽
THEME 11 1회
풀이 77쪽
01 ③
02 ④
03 ③
04 x=-2 05 x=;2%; 또는 x=;2&;
06 ③
07 ①
08 -20
13 ①
09 ③
14 ②
48~49쪽
THEME 11 2회
풀이 78쪽
01 ③
06 ①
11 4
02 -3
03 ②
07 x=-;2#; 08 :¡2¡:
12 ③
13 -4
04 ④
09 ⑤
14 ①
05 ③
10 ②
01 ④
06 ①
11 10
01 ④
06 ④
11 ②
01 ③
06 ③
11 ①
16 ②
01 ③
06 ④
11 ①
14 ③
01 ③
06 ①
11 ③
52~53쪽
THEME 12 2회
풀이 80쪽
02 ;4(;
07 ①
12 ③
02 ①
07 ①
12 3
02 ⑤
07 47
12 ③
17 ①
03 ⑤
08 ①
13 ②
04 a<5
09 ④
14 ①
03 ④
08 ②
13 3개
04 ⑤
09 ④
14 ③
05 ⑤
10 ⑤
05 ③
10 ②
03 ①
08 ②
13 ①
18 ③
04 3
05 ①
09 x=;3&;
10 ;3@;
14 ④
19 19
15 ④
54~57쪽
실전 평가
풀이 81쪽
20 x=-;2!; 또는 x=3 21 x=2—'∂11
22 -3+3'5
05. 이차방정식의 활용
THEME 13 1회
58~59쪽
02 ③
07 ②
03 ②
08 ④
풀이 83쪽
04 2
09 -;6!;
12 m<0 또는 0<m<;2!;
05 ⑤
10 ③
13 ①
60~61쪽
THEME 13 2회
풀이 84쪽
02 ④
07 ②
12 ④
03 ②
08 ④
13 -6
04 ②
09 ①
05 ①
10 5
01 ④
06 8 m
03 10
02 ④
07 (12-6'2 ) cm
04 11살 05 ③
08 ②
09 ③
10 39
11 :¡3º: cm 12 8 cm 13 ④
64~65쪽
THEME 14 2회
풀이 86쪽
01 ③
02 8, 11
03 ②
04 12명 05 3초 후
빠른 정답 7
10 ②, ④ 11 -39
12 ①
62~63쪽
THEME 14 1회
풀이 85쪽
실전북
06 ①
11 ②
07 ④
12 18 cm
08 5 m
09 1
10 ③
66~69쪽
실전 평가
풀이 87쪽
01 ③
06 ④
11 5
16 ⑤
21 2 m
02 -2, 2
07 ①
12 ②
03 ②
08 ③
13 ①
04 ③
09 ④
14 ②
19 18
05 ④
10 ③
15 ②
20 4 cm
18 ②
17 ①
22 ⑴ 2.18초(cid:100)⑵ 10.2초(cid:100)⑶ 8.02초
06. 이차함수와 그 그래프
70~71쪽
THEME 15 1회
풀이 90쪽
03 ⑤
08 ㉢
04 ②
09 '6
05 ③
10 ⑤
72~73쪽
THEME 15 2회
풀이 90쪽
03 ③
08 ④
04 6
09 ;3!;
05 ①
10 ;3$;
01 ②
06 ③
11 ⑤
01 ③
06 ④
11 ④
01 ①
06 -4
11 ③
01 ③
06 ⑤
11 ③
01 ④
06 ④
11 ④
16 ①
02 ③
07 ③
12 ②
02 ②
07 ③
12 ⑤
02 ③
07 ①
12 ④
02 ④
07 ③
12 11
02 ②
07 ;9*;
12 ①
17 5
74~75쪽
THEME 16 1회
풀이 91쪽
03 ④
08 ①
04 ①
09 ②
05 ⑤
10 ③
76~77쪽
THEME 16 2회
풀이 92쪽
03 ①
08 ②
04 ①
09 ④
05 -2
10 ③
78~81쪽
실전 평가
풀이 93쪽
03 ③
08 ④
13 ④
18 8
04 ⑤
09 ⑤
14 ④
19 -12
05 ④
10 ③
15 ②
20 128
21 -3
22 :¡4∞: m
8 빠른 정답
07. 이차함수의 활용
THEME 17 1회
82~83쪽
01 ⑤
06 ②
11 ①
02 3
07 ⑤
12 ①
풀이 95쪽
04 ①
09 6
05 ①
10 -5
03 -1
08 ③
84~85쪽
THEME 17 2회
풀이 96쪽
01 ①
02 3
06 ㄱ, ㄴ 07 ③
11 ④
12 ⑤
03 ①
08 ④
04 ⑤
09 ①
05 4
10 4
86쪽
THEME 18 1회
풀이 98쪽
01 y=x¤ -2x-3
02 -2
04 3
05 y=2x¤ +4x-16
06 -5
03 ②
07 ③
87쪽
THEME 18 2회
풀이 99쪽
01 ①
05 ⑤
02 ④
06 ②
03 ④
07 ⑤
04 y=-2(x-1)¤ +8
88~89쪽
THEME 19 1회
풀이 100쪽
01 ②
03 ①
04 4
05 ④
02 ②
07 1
08 ①
06 ②
09 ⑴ 가로：(6-x) cm, 세로：(8+2x) cm(cid:100)
09 ⑵ y=-2x¤ +4x+48(cid:100)⑶ 50
12 8 cm
10 ④
11 ⑤
90~91쪽
THEME 19 2회
풀이 101쪽
03 ③
04 ④
08 45 m 09 ⑤
05 ②, ④
10 ③
01 ①
06 ①
11 ⑤
01 ③
06 ④
10 ⑤
15 ④
02 ⑤
07 ①
12 2 cm¤
02 ⑤
07 5
11 ④
16 ④
92~95쪽
실전 평가
풀이 102쪽
03 29
08 ⑤
12 ①
05 (3, 12)
04 ①
09 제4사분면
13 -13
14 ⑤
18 ④
17 ;2#;, {1, ;2%;}
19 ⑴ y=;2!;(x-3)¤ -4 ⑵ (3, -4) ⑶ x=3 ⑷ 최솟값 : -4
20 -4
21 6 m
22 (1, 1)
유형북
01. 제곱근과 실수
01 (cid:9000) —1
02 (cid:9000) —7
03 (cid:9000) —;1£1;
04 (cid:9000) 없다.
05 (cid:9000) 0
06 (cid:9000) —'7
07 (cid:9000) —13
08 (cid:9000) —0.3
09 (cid:9000) —'5
10 (cid:9000) '5
11 (cid:9000) -'5
12 (cid:9000) '5
13 (cid:9000) —6, 6
14 (cid:9000) —'1å7, '1å7
15 (cid:9000) 7
16 (cid:9000) -9
17 (cid:9000) 0.5
18 (cid:9000) -;4#;
¤ =5-3=2
¤ +"(√-3)¤ =2+3=5
19 (cid:9000) 2
20 (cid:9000) -5
21 (cid:9000) 0.3
22 (cid:9000) 7
23 "2Ω
24 (-'5)¤ -"3Ω
25 (cid:9000) a
26 (cid:9000) 2a
27 "√(6a)¤ +"(√-4a≈)¤ =6a+4a=10a
28 (cid:9000) -a
29 (cid:9000) -2a
30 "√(6a)¤ +"(√-4a≈)¤ =-6a-4a=-10a
31 (cid:9000) <
32 3='9이므로 '3<3
33 3='9이므로 3<'1å0
34 '1å0<'1å1이므로 -'1å0>-'1å1
35 (cid:9000) 유
36 (cid:9000) 유
37 (cid:9000) 무
38 (cid:9000) 유
39 (cid:9000) 무
9쪽, 11쪽
(cid:9000) 5
(cid:9000) 2
(cid:9000) 10a
(cid:9000) <
(cid:9000) <
(cid:9000) >
40 (cid:9000) 유
41 (cid:9000) 유
42 (cid:9000) 무
43 순환하는 무한소수는 유리수이다.
44 (cid:9000) ◯
45 (cid:9000) ◯
46 (cid:9000) ◯
47 (cid:9000) ◯
48 (cid:9000) ◯
49 2와 3 사이에는 정수가 없다.
50 유리수인 동시에 무리수인 실수는 없다.
51 (cid:8772)ABCD=3_3-4_{;2!;_2_1}=9-4=5
52 (cid:9000) '5
53 (cid:9000) '5
54 BP”='5이므로 점 P에 대응하는 수는 5+'5
55 3>1이므로 '5+3>'5+1
56 '6>'5이므로 '6-4>'5-4
57 '7=2.y에서 '7+1=3.y이므로
'7+1>3
58 -4<'1å0이므로 '5-4<'1å0+'5
59 -'1å0=-3.y이므로 점 A에 대응한다.
60 -'5=-2.y이므로 점 B에 대응한다.
61 '2=1..y이므로 점 C에 대응한다.
62 '6=2.y이므로 점 D에 대응한다.
01THEME
1
제곱근의 뜻과 표현
12~13쪽
알고 있나요?
a의 제곱근
제곱해서 a가 되는 수
—'a
뜻
표현(기호)
제곱근 a
a의 양의 제곱근
'a
(cid:9000) -10a
01 제곱하여 a가 되는 수를 a의 제곱근이라 한다.
a의 제곱근이 x이므로 a=x¤ 이다.)
02 x는 2의 제곱근이므로
x=—'2 또는 x¤ =2 )
03 ⑤ 음수의 제곱근은 없다.)
04 ① -36의 제곱근은 없다.
② '9=3이므로 3의 제곱근은 —'3이다.
③ 0의 제곱근은 0이다.
④ '4=2이다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
01. 제곱근과 실수 9
(cid:9000) ×
(cid:9000) ×
(cid:9000) ×
(cid:9000) 5
(cid:9000) 5+'5
(cid:9000) >
(cid:9000) >
(cid:9000) >
(cid:9000) <
(cid:9000) -'1å0
(cid:9000) -'5
(cid:9000) '2
(cid:9000) '6
12~25쪽
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ⑤
05 ② 49의 제곱근은 —7이다.
④ 음수의 제곱근은 없다.
⑤ 1의 제곱근은 —1이다.
따라서 옳은 것은 ①, ③이다.
06 ①, ②, ③, ⑤ —3
④ 3
따라서 그 값이 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다.
07 49의 양의 제곱근은 7이므로 a=7
'1å6=4이므로 4의 음의 제곱근은 -2(cid:100)(cid:100)
∴ b=-2
∴ a-b=7-(-2)=9
08 (-4)¤ =16이므로 16의 제곱근은 —4이다.)
09 ④ '8å1=9이므로 9의 제곱근은 —3
10 ⑴ (-6)¤ =36이므로 36의 양의 제곱근은 6
(cid:9000) ①, ③
(cid:9000) ④
(cid:9000) 9
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
y❶
⑵ '2å5å6=16이므로 16의 음의 제곱근은 -'1å6=-4
제곱근의 성질과 대소 관계
14~19쪽
알고 있나요?
02THEME
1
a, -a, a-b, -a+b
01 ① -æ{;3–
!;}2 =-;3!;
¤ =4
② "(√-4)Ω
③ "(√-3)¤ =3
④ "2Ω
¤ =2
⑤ {"(√-3)¤ }¤ =3¤ =9
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
02 ①, ②, ③, ⑤ 6
④ -6
따라서 그 값이 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다.
03 ⑤ "(√-4)¤ =4의 제곱근은 —2이다.)
04 ① ('2)¤ +(-'1å0)¤ =2+10=12
¤ )=5-(-2)=7
② ('5)¤ -(-"2Ω
③ "(√-2)¤ -"3Ω
④ -"(√-3)¤ _(-"2Ω
¤ =2-3=-1
¤ )=(-3)_(-2)=6
⑤ {-Æ;2#; }2 ÷æ{–-–;2–
!;}2 =;2#;÷;2!;=;2#;_2=3
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
05 '6å4-"(√-2)¤ +"(√-4)¤ =8-2+4=10
06 '1ß2å1+{Æ;3!; }2 _(-'6 )¤ -2_"(√-5)¤
y❷
y❸
(cid:9000) ⑴ 6 ⑵ -4 ⑶ 2
배점
40%
40%
20%
=11+;3!;_6-2_5
=11+2-10=3
07 a<0이므로 -a>0
¤ =-a
¤ =-(-a)=a
① "aΩ
② -"aΩ
③ "(√-a)¤ =-a
④ ('∂-ßa )¤ =-a
⑤ -"(√-a)¤ =-(-a)=a
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
08 ③ "(√-a)¤ =a
09 a<0이므로 4a<0
∴ "1ç6a¤ ="(√4a)¤ =-4a
따라서 근호를 사용하지 않고 제곱근을 나타낼 수 없는 것은
(cid:9000) ④
⑤ '2ß2å5=15
따라서 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 없는 것은 ④이다.
10 a-b>0이므로 a>b이고, ab<0이므로 a>0, b<0
(cid:9000) ④
¤ +"bΩ
∴ "aΩ
¤ =a-b
11 "(√-3a≈)¤ -"≈a¤ =-(-3a)-a=2a
12 a<0이므로 ;9$;a<0, b>0이므로 ;9@;b>0
∴ æ{;≠9$;a}2 -{Æ;¬9@;b}2 =-;9$;a-;9@;b
(cid:9000) -;9$;a-;9@;b
13 1<a<2이므로 a-1>0, a-2<0
ㅁ. 5¤ =25의 음의 제곱근은 -5
따라서 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 있는 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ이
∴ "(√a-1≈)Ω
¤ +"(√a-2≈)Ω
¤ =(a-1)-(a-2)=1 (cid:9000) ③
14 3<a<4이므로 4-a>0, 3-a<0
(cid:9000) ㄴ, ㄷ, ㅁ
∴ "(√4-a≈)Ω
¤ +"(√3-a≈)Ω
¤ =(4-a)-(3-a)=1 (cid:9000) ②
∴ A=6
∴ B=-4
⑶ A+B=6+(-4)=2
채점 기준
❶ A의 값 구하기
❷ B의 값 구하기
❸ A+B의 값 구하기
11 ① '8å1=9의 제곱근은 —3
② ;2¢5;의 제곱근은 —Ƭ;2¢5;=—;5@;
③ 0.H1=;9!;의 제곱근은 —;3!;
④ 0.9의 제곱근은 —'0ß.9
⑤ Æ;¬1¡6;=;4!;의 제곱근은 —;2!;
④이다.
12 ① Æ;¬
¬9¬0!0;=;3¡0;
② '0∂.04=0.2
③ Æ;¬
¬2!5^;=;5$;
13 ㄴ. '4="≈2¤ =2
ㄷ. -'1ß6å9=-"ç13¤ =-13
ㄹ. Æ;9!;=;3!;의 양의 제곱근은 Æ;3!;
다.
10 정답 및 풀이
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
(cid:9000) 3
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
(cid:9000) ①
(cid:9000) ③
¬
¬
15 -2<a<5이므로 5-a>0, a+2>0
y❶
18+x=36에서 x=18
∴ "(√5-a≈)Ω
¤ -"(√a+2≈)Ω
¤ =(5-a)-(a+2)
=3-2a
채점 기준
❶ 5-a, a+2의 부호 조사하기
❷ 주어진 식 간단히 하기
16 12x=2¤ _3_x에서 소인수의 지수가 모두 짝수이려면
x=3_(자연수)¤
따라서 가장 작은 자연수 x는 3이다.
17 2‹ _5_x에서 소인수의 지수가 모두 짝수이려면
x=2_5_(자연수)¤
따라서 가장 작은 자연수 x는
x=2_5=10
18 æ≠
=æ≠
180a
7
2¤ _3¤ _5_a
7
이므로 a=5_7일 때, a+b가 최소이다.
=b
=2_3_5=30
b=æ≠
2¤ _3¤ _5_5_7
7
∴ a+b=35+30=65
84
19 æ≠ =æ≠
x
2¤ _3_7
x
록 하는 가장 작은 자연수 x는
x=3_7=21
60
20 æ≠ =æ≠
a
2¤ _3_5
a
도록 하는 가장 작은 자연수 a는
3_5=15(cid:100)(cid:100)∴ a=15
60
a
∴ b=æ≠ =æ≠ ='4=2
60
15
에서 소인수의 지수가 모두 짝수가 되도
에서 소인수의 지수가 모두 짝수가 되
21 æ≠
1400
x
=æ≠
2‹ _5¤ _7
x
에서 소인수의 지수가 모두 짝수가 되
도록 하는 두 자리의 자연수 x는
2_7, 2‹ _7
따라서 2_7=14, 2‹ _7=56이므로 구하는 합은
14+56=70
채점 기준
❶ 소인수의 지수가 모두 짝수가 되도록 하
는 두 자리의 자연수 x의 값 구하기
❷ 모든 x의 값의 합 구하기
배점
70%
30%
48
22 æ≠ =æ≠
x
2› _3
x
에서 소인수의 지수가 모두 짝수가 되도록
하는 x는 3, 3_2¤ , 3_2› 이므로 순서쌍 (x, y)는
(3, 4), (12, 2), (48, 1)의 3개이다.
23 27보다 큰 제곱인 수는 36, 49, 64, y
따라서 가장 작은 자연수 x는
27+x=36에서 x=9
24 18보다 큰 제곱인 수는 25, 36, 49, y
따라서 두 번째로 작은 자연수 x는
(cid:9000) 21
(cid:9000) ②
y❶
y❷
(cid:9000) 70
(cid:9000) 3개
(cid:9000) 9
유형북
(cid:9000) ①
(cid:9000) 74
(cid:9000) ②
y❷
(cid:9000) 3-2a
배점
40%
60%
25 40보다 큰 제곱인 수는 49, 64, 81, y이다.
'4ƒ0+x가 한 자리의 자연수이어야 하므로
0<40+x<100
40+x=49이면 x=9
40+x=64이면 x=24
40+x=81이면 x=41
따라서 구하는 합은 9+24+41=74
26 19보다 작은 제곱인 수 중 가장 큰 값은 16이므로
(cid:9000) ①
19-n=16(cid:100)(cid:100)∴ n=3
따라서 자연수 n의 값은 3이다.
27 12-x가 12보다 작은 제곱인 수 또는 0이어야 하므로
12-x=0, 1, 4, 9
즉, x=12, 11, 8, 3의 4개이다.
(cid:9000) 10
(cid:9000) ④
28 '2ƒ00+ßx에서 200보다 큰 제곱인 수 중 가장 작은 수는 225
이므로 200+x=225(cid:100)(cid:100)∴ x=25
'1ƒ00-ßy에서 100보다 작은 제곱인 수 중 가장 큰 수는 81이
므로 100-y=81(cid:100)(cid:100)∴ y=19
∴ x-y=25-19=6
(cid:9000) 6
(cid:9000) ④
29 ① 4='1å6이고 '1å3<'1å6이므로 '1å3<4
¤ ='4이고 '9>'4이므로 "(√-3)¤ >"≈2¤
② "(√-3)¤ ='9, "2Ω
③ 4='1å6이고 '1å2<'1å6이므로 -'1å2>-4
④ 3='9이고 '9>'8이므로 3>'8
⑤ ;2!;=Æ;4!;이고 Æ;3!;>Æ;4!;이므로 Æ;3!;>;2!;
따라서 대소 관계가 옳은 것은 ⑤이다.
30 0.3='0∂.09이므로 가장 작은 수는 0.3(cid:100)(cid:100)
(cid:9000) ⑤
∴ a=0.3
2='4이므로 가장 큰 수는 '8(cid:100)(cid:100)
∴ b='8
∴ a¤ +b¤ =0.09+8=8.09
(cid:9000) 8.09
31 1<'2<2에서 3-'2>0, '2-2<0이므로
"(√3-√'2)¤ -"(√'2-ç2)Ω
¤ =3-'2-{-('2-2)}
"(√3-√'2)¤ -"(√'2-ç2)Ω
¤ =3-'2+'2-2=1
(cid:9000) 1
32 2<'5<3에서 '5+3>0, '5-3<0이므로
¤ ='5+3-('5-3)
¤ +"(√'5-ç3)Ω
"(√'5+ç3)Ω
(cid:9000) 6
33 2.5<'x<4에서 6.25<x<16이므로 주어진 부등식을 만
족하는 정수는 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15의 9개이다.
='5+3-'5+3=6
34 '5<n<'2å9에서 5<n¤ <29이므로 n¤ 은
3¤ =9, 4¤ =16, 5¤ =25
따라서 n=3, 4, 5이므로 모든 n의 값의 합은
3+4+5=12
35 ;;¡3º;;<'x…10에서 ;;¡;9);º;;<x…100
;;;!9);º;;=11.y이므로 11.y<x…100
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
따라서 100 이하의 자연수 중 5의 배수는 20개이고, 그중 11
보다 작은 것은 2개이므로 주어진 부등식을 만족하는 자연수
01. 제곱근과 실수 11
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 6
(cid:9000) ②
x 중 5의 배수는 20-2=18(개)
(cid:9000) 18개
36 -10<-'2ƒx+5<-5에서 5<'2ƒx+5<10
25<2x+5<100, 20<2x<95
∴ 10<x<;;ª2∞;;
;;ª2∞;;=47.5이므로 M=47, m=11
∴ "√M√-m='4ƒ7-1å1='3å6=6
채점 기준
❶ 주어진 식을 a<x<b 꼴로 나타내기
❷ M, m의 값 구하기
❸ "√Mç-m의 값 구하기
배점
30%
40%
30%
37 9<'9å8<10이므로
f(98)=('9å8 이하의 자연수의 개수)=9
3<'1å0<4이므로
f(10)=('1å0 이하의 자연수의 개수)=3
∴ æ≠
f(98)
f(10)
=Æ;3(;='3
38 11<'1ß2å5<12이므로 N(125)=11
6<'3å7<7이므로 N(37)=6
7<'5å4<8이므로 N(54)=7
∴ N(125)-N(37)+N(54)=11-6+7=12 (cid:9000) ⑤
39 '1=1, '4=2, '9=3이므로
N(1)=N(2)=N(3)=1
N(4)=N(5)=N(6)=N(7)=N(8)=2
N(9)=N(10)=3
∴ N(1)+N(2)+N(3)+y+N(10)
=1_3+2_5+3_2=19
(cid:9000) 19
03THEME
무리수와 실수
1 실수, 무리수, 유리수, 무리수
20~25쪽
알고 있나요?
02 -'2å5=-5
'0∂.01="(√0.1)¤ =0.1
"5≈.H4=æ≠
=Ƭ
¬;;¢9ª;;=;3&;
54-5
9
1-'1å6=1-4=-3
따라서 유리수는 -'2å5, '0∂.01, "5≈.H4, 1-'1å6의 4개이다.
(cid:9000) 4개
03 순환하지 않는 무한소수는 무리수이다.
'4="≈2¤ =2
-Æ;4(;=-Æ…{;2#;}2 =-;2#;
12 정답 및 풀이
따라서 무리수는 -'5, p, '2-1, '6+3, Æ;9%; 의 5개이다.
04 ① 무한소수 중 순환소수는 유리수이다.
② 순환소수는 유리수이지만 무한소수이다.
④ 유리수이면서 무리수인 수는 없다.
⑤ '4와 같이 근호 안의 수가 제곱인 수는 유리수이다.
따라서 옳은 것은 ③이다.
05 ①, ③, ④, ⑤ 무리수
② -'1ß6å9=-"ç13¤ =-13 ˙k 유리수
따라서 (cid:8772) 안에 들어갈 수가 아닌 것은 ②이다.
(cid:9000) 5개
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
06 ⑤ '5는 무리수이므로
꼴로 나타낼 수 없다.
(정수)
(0이 아닌 정수)
(cid:9000) ⑤
07 ⑤ 실수는 양의 실수, 0, 음의 실수로 구분할 수 있다. (cid:9000) ⑤
08 (넓이가 1인 정사각형의 대각선의 길이)
=(넓이가 2인 정사각형의 한 변의 길이)='2이므로
AB”=AP”=CD”=CQ”='2
따라서 점 P에 대응하는 수는 -1-'2, 점 Q에 대응하는 수
(cid:9000) P：-1-'2, Q：1+'2
는 1+'2
09 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이므로
(cid:9000) ④
1+'2에 대응하는 점은 점 D이다.
10 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이므로
A：0-'2=-'2, B：-1+'2
C：2-'2, D：1+'2
E：2+'2
따라서 각 점에 대응하는 수로 옳지 않은 것은 ①이다. (cid:9000) ①
11 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이므로
CA”=CP”=CE”=CQ”='2
③ CQ”=CE”='2
⑤ PB”=PC”-BC”='2-1
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
12 (cid:8772)ABCD의 넓이가 5이므로
AB”=AP”=AD”=AQ”='5
따라서 점 P에 대응하는 수는 1+'5, 점 Q에 대응하는 수는
1-'5
(cid:9000) P：1+'5, Q：1-'5
(cid:9000) ③
⑴ (cid:8772)ABCD=9-4=5
⑵ (cid:8772)ABCD의 넓이가 5이므로 한 변의 길이는 '5이다.
y❶
점 P에 대응하는 수는 2에서 오른쪽으로 '5만큼 이동한
2+'5이다.)
y❷
⑶ 점 Q에 대응하는 수는 2에서 왼쪽으로 '5만큼 이동한
2-'5이다.)
y❸
(cid:9000) ⑴ 5 ⑵ 2+'5 ⑶ 2-'5
채점 기준
❶ (cid:8772)ABCD의 넓이 구하기
❷ 점 P에 대응하는 수 구하기
❸ 점 Q에 대응하는 수 구하기
배점
40%
30%
30%
01 ③ "0≈.H1=Æ;9!;=;3!;이므로 유리수이다.
(cid:9000) ③
13 ⑴ (cid:8772)ABCD=3_3-4_{;2!;_2_1}
14 정사각형 ㈎의 넓이는 13이므로 한 변의 길이는 '1å3이다.
정사각형 ㈏의 넓이는 5이므로 한 변의 길이는 '5이다.
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
15 색칠한 정사각형의 넓이가 5이므로 AB”=AP”='5
따라서 점 P에 대응하는 수는 -1+'5이므로 a=-1, b=5
(cid:9000) 4
∴ a+b=-1+5=4
16 작은 정사각형의 넓이가 2이므로
AB”=AC”='2
따라서 점 C에 대응하는 수는 '2
큰 정사각형의 넓이가 8이므로
DE”=DF”='8
따라서 점 F에 대응하는 수는 3+'8 (cid:9000) C：'2, F：3+'8
¤ b=a'b를 배우면 3+'8=3+2'2
근호를 포함한 식의 계산에서 "a≈
로 나타낼 수 있다.
17 ④ 수직선은 실수에 대응하는 점들로 완전히 메울 수 있다.
(cid:9000) ④
18 ㄴ. 모든 무리수는 각각 수직선 위의 한 점에 대응된다.
ㄹ. '2와 '3 사이에는 정수가 존재하지 않는다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅁ의 3개이다.
(cid:9000) 3개
19 승환：'3과 '7 사이에 있는 정수는 2 하나뿐이다.
주현：'3보다 '∂2.1이 '2에 더 가깝다.
수정：모든 무리수는 수직선 위의 한 점에 대응된다.
연호：0을 제곱한 값은 0으로 양수도 음수도 아니다.
승윤：서로 다른 두 무리수 사이에는 무수히 많은 유리수가
존재한다.
따라서 바르게 말한 사람은 승윤이다.
20 ① 1-(2-'3)=-1+'3>0이므로
(cid:9000) 승윤
① 1>2-'3
② '3-1-1='3-2='3-'4<0이므로
① '3-1<1
③ 0.5-(1-'∂0.5)=-0.5+'∂0.5=-'0∂.25+'∂0.5>0
이므로 0.5>1-'∂0.5
④ '5<'7 이므로 -'5>-'7(cid:100)(cid:100)
① ∴ 2-'5>2-'7
⑤ "(√-2)¤ =2이므로
2-(3-'2 )=-1+'2>0
∴ "(√-2)¤ >3-'2
따라서 대소 관계가 옳은 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
21 ① '8=2.y이므로 5-'8<3
② -2-(1-'3)=-3+'3=-'9+'3<0이므로
③ 10-('9å8+1)=9-'9å8='8å1-'9å8<0이므로
-2<1-'3
10<'9å8+1
④ '1å0-2-4='1å0-'3å6<0이므로 '1å0-2<4
⑤ '1å5<'1å7이므로 -'1å5>-'1å7
∴ -'1å5-4>-'1å7-4
따라서 부등호의 방향이 나머지 넷과 다른 하나는 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
유형북
(cid:9000) ②
(cid:9000) ②
(cid:9000) ⑤
(cid:100)(cid:100)
22 ㄱ. "(√-3)¤ =3이므로 1+'2-3=-'4+'2<0
ㄱ. ∴ 1+'2<"(√-3)¤
ㄴ. '1å0-1-3='1å0-'1å6<0이므로 '1å0-1<3
ㄷ. '3<2이므로 '3+'7<2+'7
ㄹ. '1å3<'1å5이므로 -'1å3>-'1å5
ㄱ. ∴ 1-'1å3>1-'1å5
ㅁ. (-'5)¤ =5이므로
2-('5å0-2)=4-'5å0='1å6-'5å0<0
ㅁ. ∴ 7-(-'5)¤ <'5å0-2
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㅁ이다.
23 a-b='3+1-'3+1=2>0(cid:100)(cid:100)
∴ a>b yy`㉠
b-c='3-1-5='3-'3å6<0(cid:100)(cid:100)
∴ b<c yy`㉡
a-c='3+1-5='3-'1å6<0(cid:100)(cid:100)
∴ a<c yy`㉢
㉠, ㉡, ㉢에서 b<a<c
24 a-b='6+1-'6+1=2>0(cid:100)(cid:100)
yy`㉠
∴ a>b
b-c='6-1-'2+1='6-'2>0(cid:100)(cid:100)
yy`㉡
∴ b>c
㉠, ㉡에서 c<b<a
25 '5>2이므로 '5+'8>2+'8
∴ a>b yy`㉠
'8>'5이므로 2+'8>'5+2(cid:100)(cid:100)
∴ b>c yy`㉡
㉠, ㉡에서 a>b>c
26 '1<'3<'4에서 1<'3<2이므로
-2<-'3<-1(cid:100)(cid:100)∴ 2<4-'3<3
따라서 4-'3은 2와 3 사이의 점 D에 대응한다.
27 '1å6<'2å3<'2å5에서 4<'2å3<5이므로
'2å3은 4와 5 사이의 점 D에 대응한다.
28 '4<'6<'9에서 2<'6<3이므로
3<1+'6<4
따라서 1+'6은 3과 4 사이의 점에 대응한다.
29 '1 <'3<'4에서 1<'3<2이므로
-2<-'3<-1
따라서 -'3은 A 구간에 있다.)
'4<'5<'9에서 2<'5<3이므로
'5는 E 구간에 있다.)
-2<-'3<-1에서 0<2-'3<1이므로
2-'3은 C 구간에 있다.)
(cid:9000) a>b>c
(cid:9000) ④
(cid:9000) 점 D
(cid:9000) ②
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) -'3：A 구간, '5：E 구간, 2-'3：C 구간
채점 기준
❶ -'3에 대응하는 점이 있는 구간 찾기
❷ '5에 대응하는 점이 있는 구간 찾기
❸ 2-'3에 대응하는 점이 있는 구간 찾기
배점
30%
30%
40%
01. 제곱근과 실수 13
는 '2보다 작다.
30 ⑤
31 ③
'3-'2
2
'5+'6
2
③ 한다.
은 '5와 '6의 평균이므로 '5와 '6 사이에 존재
32 ② '3과 '5 사이의 정수는 2의 1개이다.
'3+'5
2
③
는 '3과 '5의 평균이므로 '3과 '5 사이에 존재
③ 한다.
④ '5<'3+1이므로 '3+1은 '3과 '5 사이에 존재하지 않
⑤ 0.1<'5-'3이므로 '5-0.1은 '3과 '5 사이의 무리수
는다.
이다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
(cid:9000) ④
33 1<'2<2이므로 '2=1.y(cid:100)(cid:100)∴ a=1
1.4<'2<1.5이므로 '2=1.4y(cid:100)(cid:100)∴ b=4
1.41<'2<1.42이므로 '2=1.41y(cid:100)(cid:100)∴ c=1
∴ a+b+c=1+4+1=6
34 (3.1)¤ =9.61, (3.2)¤ =10.24이므로
'9∂.61<'1å0<'1∂0.ß2å4에서 3.1<'1å0<3.2
즉, '1å0=3.1y이다.
따라서 '1å0의 소수 첫째 자리의 수는 1이다.
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 1
01 ' 를 한 번 눌렀을 때 2가 나오는 수 ˙k 4
' 를 두 번 눌렀을 때 2가 나오는 수 ˙k 16
' 를 세 번 눌렀을 때 2가 나오는 수 ˙k 256
∴ x=256
02 {(-"8Ω
¤ )+('3)¤ }_{-"(√-5)¤ }
=(-8+3)_(-5)
=(-5)_(-5)=25
따라서 25의 음의 제곱근은 -5이다.
03 a-b>0에서 a>b이고, ab<0이므로
a>0, b<0, b-a<0
∴ "≈a¤ +|b|-"(√b-a≈)¤ =a-b+(b-a)=0
04 '3ƒ4-x가 자연수가 되려면
34-x=1, 4, 9, 16, 25이므로
x=33, 30, 25, 18, 9 yy ㉠
'8åx="ç2‹ _x 가 자연수가 되려면
x=2_(자연수)¤ (cid:100)(cid:100) yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡을 동시에 만족하는 x는 18이다.
14 정답 및 풀이
26~27쪽
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
(cid:9000) ①
(cid:9000) 18
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
05 '1å6…'2å0<'2å5이므로 4…'2å0<5(cid:100)(cid:100)
∴ x=4
∴ 'x+x¤ ='4+4¤ =2+16=18
06 7<'5å6<8이므로
f(56)=('5å6 이하의 자연수의 개수)=7
즉, f(20+f(56))=f(20+7)=f(27)
5<'2å7<6이므로
f(27)=('2å7 이하의 자연수의 개수)=5
07 f(1)="0≈.H1=Æ;9!;=;3!;
(cid:9000) ④
(cid:9000) 5
f(2)="0≈.H2=Æ;9@;
f(3)="0≈.H3=Æ;9#;=Æ;3!;
f(4)="0≈.H4=Æ;9$;=;3@;
f(5)="0≈.H5=Æ;9%;
따라서 무리수인 것은 f(2), f(3), f(5)의 3개이다. (cid:9000) 3개
08 AC”의 길이는 '2이므로 두 점 P, Q에 대응하는 수는 각각
3-'2, 3+'2
따라서 구하는 곱은
(3-'2)(3+'2)=3¤ -('2)¤ =7
(cid:9000) ④
09 높이가 같은 삼각형의 넓이는 밑변의 길이에 정비례한다.
('6+3)-('6+'7 )=3-'7='9-'7>0
∴ '6+3>'6+'7(cid:100) yy`㉠
(3+'7)-('6+3)='7-'6>0
∴ 3+'7>'6+3(cid:100) yy`㉡
㉠, ㉡에서 3+'7>'6+3>'6+'7
따라서 넓이가 가장 큰 삼각형은 밑변의 길이가 3+'7인 삼
(cid:9000) 삼각형 C
각형 C이다.
10 '2ƒ0-aåb가 자연수가 되려면
20-ab=1, 4, 9, 16이므로 ab=19, 16, 11, 4
두 개의 주사위를 동시에 던져서 나오는 눈의 수를 순서쌍
(a, b)로 나타내면
⁄ ab=19인 경우：순서쌍 (a, b)는 없다.
¤ ab=16인 경우：(4, 4)
‹ ab=11인 경우：순서쌍 (a, b)는 없다.
› ab=4인 경우：(1, 4), (2, 2), (4, 1)
따라서 전체 경우의 수는 36이므로 ⁄`~`›에서
구하는 확률은 ;3¢6;=;9!;
(cid:9000) ②
11 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 2 m인 정사
각형을 한 변의 길이가 1 m인 정사각형 4개로
만들면 반드시 적어도 한 정사각형에는 2그루
이상의 나무가 심어져야 한다.
따라서 한 변의 길이가 1 m인 정사각형의 대각선의 길이는
'2 m이므로 두 나무 사이의 거리가 '2 m 이하인 것이 반드
시 존재한다.
(cid:9000) ③
2 m
02. 근호를 포함한 식의 계산
29 '1å8-'3å2-'1å2+2'2å7=3'2-4'2-2'3+6'3
=-'2+4'3
29쪽, 31쪽
30
5
'8
3
+ =
'2
5
2'2
3
+ =
'2
5'2
4
+
3'2
2
=
유형북
(cid:9000) -'2+4'3
11'2
4
11'2
4
(cid:9000)
31 '2(2-'2 )+'2=2'2-2+'2=3'2-2
32 '3('2-'5 )-('3-'5 )'2='6-'1å5-'6+'1å0
(cid:9000) 3'2-2
33 ('2å7+'1å2 )÷'3='9+'4=3+2=5
('5+'6 )'3
'1å5+3'2
3
'3_'3
'5+'6
'3
34
=
=
='1å0-'1å5 (cid:9000) '1å0-'1å5
(cid:9000) 5
'1å5+3'2
3
(cid:9000)
35
'8-'1å2
'2
+
'2å7+'1å8
'3
=
('8-'1å2 )'2
'2_'2
+
('2å7+'1å8 )'3
'3_'3
=
4-2'6
2
+
9+3'6
3
=2-'6+3+'6=5
36 3(5+3'3 )-
=15+9'3-
6-2'3
'3
6'3-6
3
(cid:9000) 5
=15+9'3-2'3+2
=17+7'3
(cid:9000) 17+7'3
37 (3-'3 )÷'2+'2(2-2'3 )
=
=
=
=
3-'3
'2
3'2-'6
2
+2'2-2'6
+2'2-2'6
3'2-'6+4'2-4'6
2
7'2-5'6
2
38 ('6-2'3 )¤ =6-4'1å8+12
=18-12'2
39 (2'2+3)('2-1)=4-2'2+3'2-3
=1+'2
40 4a-9'2+2+3a'2=(4a+2)+(3a-9)'2
에서 3a-9=0(cid:100)(cid:100)∴ a=3
41 ('5+a)(2-3'5)=2'5-15+2a-3a'5
=(2a-15)-(3a-2)'5
에서 3a-2=0(cid:100)(cid:100)∴ a=;3@;
42
1
3+'2
=
3-'2
(3+'2 )(3-'2 )
7'2-5'6
2
(cid:9000)
(cid:9000) 18-12'2
(cid:9000) 1+'2
(cid:9000) 3
(cid:9000) ;3@;
=
3-'2
9-2
=
3-'2
7
3-'2
7
(cid:9000)
43
1+'5
3-'5
=
(1+'5 )(3+'5 )
(3-'5 )(3+'5 )
=
3+'5+3'5+5
9-5
=
8+4'5
4
=2+'5
(cid:9000) 2+'5
02. 근호를 포함한 식의 계산 15
(cid:9000) '1å8
(cid:9000) '7å5
'3
3
(cid:9000)
'1å0
2
(cid:9000)
'6
4
(cid:9000)
5'2
6
'3å5
15
(cid:9000)
(cid:9000)
2'1å5
5
(cid:9000)
'6
6
'2
2
(cid:9000)
(cid:9000)
(cid:9000) '3
(cid:9000) 3'5
(cid:9000) -3
(cid:9000) 3'2
(cid:9000) 1
(cid:9000) 18
05 15'7å5÷5'3=
=3'2å5=3_5=15
(cid:9000) 15
15'7å5
5'3
01 (cid:9000) '2å1
02 (cid:9000) '7å0
03 (cid:9000) '3
04 (cid:9000) '7
06 (cid:9000) 2
07 (cid:9000) 5
08 (cid:9000) 3'7
09 (cid:9000) 2'5
'5
4
10 (cid:9000)
11 3'2='9∂_å2='1å8
12 5'3='2∂5∂_å3='7å5
1
'3
'5
'2
=
=
'3
'3_'3
=
'3
3
'5_'2
'2_'2
=
'1å0
2
3
2'6
=
3_'6
2'6_'6
=
=
'6
4
3'6
12
5'2
6
'3å5
15
5_'2
3'2_'2
'7_'5
3'5_'5
=
=
2'3_'5
'5_'5
=
2'1å5
5
'2
2'3
3
3'2
=
'2_'3
2'3_'3
=
'6
6
=
'2
'2_'2
=
'2
2
5
3'2
'7
3'5
2'3
'5
'2
'1å2
3
'1å8
=
=
=
=
=
1
'3
21 3_ =3_ ='3
'3
3
13
14
15
16
17
18
19
20
22 '3_'7å5÷'5='3_5'3_ =15_ =3'5
'5
5
1
'5
1
'2
1
2'3
23 '6÷(-'2 )_'3='6_{- }_'3
'6÷(-'2 )_'3=(-'3 )_'3=-3
24 '2å7_'8÷'1å2=3'3_2'2_
=3'2
25 Æ;5#;_Ƭ;;¡3º;;÷ = _
'1å0
'3
'2
_ =1
2
2
'2
'3
'5
3'2
'6
'3
2
÷ _12=
_ _12=18
26
3'2
'6
2
'3
27 (cid:9000) 3'5
28 '1å2+4'3-2'7å5=2'3+4'3-10'3=-4'3 (cid:9000) -4'3
44 (cid:9000) 1.466
45 '2ß0å5='1ƒ00ƒ_2.ß0å5=10'2∂.05=10_1.432=14.32
46 '9<'1å0<'1å6에서 3<'1å0<4이므로
a=3, b='1å0-3
(cid:9000) a=3, b='1å0-3
47 '1å6<'1å7<'2å5에서 4<'1å7<5이므로
(cid:9000) 14.32
④ ÷ =Æ;3*;_Æ;4^;=Æ;3*
…;_;4^;='4=2
'8
'3
2'5
3'3
'4
'6
÷
÷
⑤
⑤
2'1å0
5'7
=
2'5
3'3
_
5'7
2'1å0
={;3@;_;2%;}Æ;3%;…_;1¶0;=;3%;Æ;6&;
a=4, b='1å7-4
(cid:9000) a=4, b='1å7-4
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
08 ① '1å6÷'2=Æ;;¬
¡2§;;='8
② 4'2÷3'8=
=;3@;=Æ;9$;
4'2
3'8
③ '0ß.6÷'0ß.1=Æ;¬1§0;_Æ;¬;¡1º;;=Æ;1…
§0;_10='6
④ Æ;¬;¡4∞;;÷ =Æ;¬;¡4∞;;÷ =Æ;¬;¡4∞;;_Æ;3$;
'3
'4
④ Æ;¬;¡4∞;;÷ =Æ;¬;¡4∞;…;_;3$;='5
⑤ 2'2÷ =2'2_Æ;6#;=2Æ2…_;6#;=2='4
'3
2
'6
'3
따라서 계산 결과가 가장 큰 것은 ①이다.
(cid:9000) ①
09 5'2÷ ÷
'6
'7
1
'∂42
'7
=5'2_ _'∂42
'6
=5Æ…2_;6&;_42=35'2
(cid:9000) 9'1å4
이때 35'2=n'2이므로 n=35
(cid:9000) 35
10 ① Æ;¬;¡3§;;=
'1å6
'3
=
4
'3
② Æ…
2
(-3)¤
2
=Æ… =
3¤
'2
3
③ '0∂.27=Æ…;1™0¶0;=æ≠
3¤ _3
10¤
=
3'3
10
④ "0≈.H5=Æ;9%;=
⑤ - =-Æ… =-Æ;2#;
'6
2
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
'5
3
6
2¤
11 '0∂.24=Æ…;1™0¢0;=æ≠
2¤ _6
10¤
=
2'6
10
'6
5
= =a'6(cid:100)(cid:100)
(cid:9000) ②
(cid:9000) ②
(cid:9000) ;4£0;
∴ a=;5!;
12 '0∂.03=Æ…;10#0;=Ƭ =
3
10¤
'3
10
∴ a=;1¡0;
Ƭ;1^6#;=æ≠
=;4#;'7
3¤ _7
4¤
∴ b=;4#;
∴ ab=;1¡0;_;4#;=;4£0;
13 '2ß0å0='2ƒ
∴ A=10
ƒ_100=10'2
32~43쪽
04THEME
근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈
32~35쪽
1 ⑴ '2
⑵ '7
2 분모를 유리화하면 그 값을 어림하기 쉽다.
⑶ '5
알고 있나요?
⑷ '2
01 (-2'2 )_3Æ;5&;_{-;2#;}_'5
=[(-2)_3_{-;2#;}]Æ…2_;…5&;_5
=9'1å4
02 A=(2_3)'5=6'5
B=2Æ;1…
£1;_11=2'3
∴ AB=6'5_2'3=12'1å5
03 3'a_'5_2'5åa=6"(≈5ça)¤ =30a=60(cid:100)(cid:100)
∴ a=2
04 '4å8="√4¤ _3=4'3(cid:100)(cid:100)∴ a=4
'5å0="√5¤ _2=5'2(cid:100)(cid:100)∴ b=2
∴ a+b=4+2=6
05 ④ '1ß2å5="≈5‹ =5'5
06 '9ß0åa="3√
∴ a=5
"3√
∴ a+b=5+15=20
¤ _5√_√2_a=b'2
¤ _5√_√2_5=15'2이므로 b=15
채점 기준
❶ 가장 작은 자연수 a의 값 구하기
❷ 자연수 b의 값 구하기
❸ a+b의 값 구하기
배점
40%
40%
20%
07 ① =Æ;2*;='4=2
'8
'2
② 6'6÷3'3=
=;3^;Æ;3^;=2'2
6'6
3'3
③ 2'3÷
1
2'3
=2'3_2'3=4_3=12
16 정답 및 풀이
(cid:9000) ③
(cid:9000) 2
(cid:9000) 6
(cid:9000) ④
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 20
…
유형북
(cid:9000) -
2'5
3
2'2
3
2'5
3
'ƒ0.008=Æ;1…0•0º00;=æ≠
4¤ _5
100¤
=
4'5
100
=;2¡5;'5
21 {-
2'2
3
'3
2
}_Æ;¬;¡8∞;;÷ ={-
}_
'1å5
2'2
_
2
'3
14 '7ß5å6="2√
¤ _√3‹ _7=('2 )¤ _('3 )‹ _'7='7a¤ b‹ (cid:9000) ③
∴ B=;2¡5;(cid:100)(cid:100)
∴ AB=10_;2¡5;=;5@;
15 '∂1.5=Æ…;1!0%;=Æ;2#;= =;aB;
'3
'2
16 '1ß8å0="2√
¤ _√3¤ _5=('2)¤ _3_'5
'7ß5å6=x¤ _3_y=3x¤ y
17 ① '4å0="√2‹ _5=('2 )‹ _'5=a‹ b
(cid:9000) ;5@;
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
-;3@;'2_Æ;¬;¡8∞;;÷
=-
22 '5å4÷'1å2_'6=
'5å4_'6
'1å2
=æ≠
54_6
12
'5å4÷'1å2_'6='2å7="√3¤ _3=3'3
(cid:9000) 3'3
23
6
'å2
'3
4
÷ _{-
}= _ _{-
1
3'2
6
'å2
4
'å3
1
3'2
}
÷ _{-
4
}=- =-
'å3
4_'3
'3_'3
② 2"(√-5)¤ ="√2¤ _≈5¤ =('2 )¤ _('5 )¤ =a¤ b¤
÷ _{-
}=-;3$;'3
③ Æ;5*;=
"≈2‹
'5
=
('2 )‹
'5
=
a‹
b
④ '0∂.02=Æ;¬1¬0@0;=
'2
('1å0 )¤
=
'2
('2 )¤ _('5 )¤
④ '0∂.02= =
a
a¤ b¤
1
ab¤
⑤ '2å0="√2¤ _5=('2 )¤ _'5=a¤ b
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
|`다른 풀이`| 다음과 같이 문자에 수를 대입하여 계산할 수도 있다.
① a‹ b=('2 )‹ _'5 ="√2‹ _5='4å0
② a¤ b¤ =2_5=10, 2"(√-5)¤ =2_5=10
'8
③ = =Æ;5*;
'5
a‹
b
④
1
ab¤
=
1
'2_('5 )¤
=
1
5'2
=
1
'5å0
=Ƭ;1¬0@0;='0∂.02
⑤ ab¤ ='2_('5 )¤ ="√2_5¤ ='5å0
18 ① =
1
'5
1_'5
'5_'5
=
'5
5
3
② - =-
'3
3_'3
'3_'3
=-
=-'3
3'3
3
'5
4'2
=
'5_'2
4'2_'2
=
'1å0
8
③
'2
④ =
'3
'2_'3
'3_'3
=
'6
3
⑤
'2
3'6
=
'2_'6
3'6_'6
=
'1å2
18
=
2'3
18
=
'3
9
따라서 옳은 것은 ③이다.
15_'5
15'5
15
5
'5_'5
'5
=
=
=3'5
5
'1ß8
=
5
3'2
=
5_'2
3'2_'2
=
5'2
6
=;6%;'2
19
20
∴ a=;6%;
∴ b=;6!;
1
2'3
=
'3
2'3_'3
'3
6
= =;6!;'3
∴ a+b=;6%;+;6!;=;6^;=1
(cid:9000) 1
24
_A÷
'2å0
'3
'5
'1å2
=
'2å0
'3
'1å2
'5
_A_
=4A='6
∴ k=-;3$;
∴ A=
'6
4
(cid:9000) ⑤
25 정사각형 A, B, C, D의 한 변의 길이를 각각 a, b, c, d라 하면
d=1이고, a¤ =;2!;b¤ , b¤ =;2!;c¤ , c¤ =;2!;d¤ 이므로
(cid:9000) -;3$;
(cid:9000) ⑤
'2
(cid:9000) cm
4
a¤ =;8!;d¤ =;8!;
따라서 정사각형 A의 한 변의 길이는
1
2'2
Æ;8!; = =
= (cm)
1
'8
'2
4
26 (밑넓이)=(2'3 )¤ p=12p`(cm¤ )
이때 원기둥의 부피가 24'2p cm‹ 이므로 원기둥의 높이를
h cm라 하면
12ph=24'2p(cid:100)(cid:100)∴ h=2'2`
따라서 이 원기둥의 옆넓이는
(2p_2'3 )_2'2=8'6p``(cm¤ )
(cid:9000) ④
27 (삼각형의 넓이)=;2!;_'∂48_x=;2!;_4'3_x
(삼각형의 넓이)=2'3x
(직사각형의 넓이)='∂32_'∂27=4'2_3'3=12'6
이때 2'3x=12'6이므로
x=
=:¡2™:æ;3^; =6'2
12'6
2'3
(cid:9000) 6'2
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
05THEME
근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈
36~38쪽
알고 있나요?
1
(5+2)'3, 'aåb+'aåc
2 ⑴ "aΩ
'a
Ωb=a'b, Ƭ = 임을 이용한다.
b
a
b¤
⑵ 분모를 유리화한다.
02. 근호를 포함한 식의 계산 17
¤
01
'2
2
'3
3
- -'2+
5'3
6
={;2!;-1}'2+{-;3!;+;6%;}'3
'2
=- +
2
'3
2
02 a+b='3+'5+'3-'5=2'3
a-b='3+'5-('3-'5 )
='3+'5-'3+'5
=2'5
∴ (a+b)(a-b)=2'3_2'5=4'1å5
03 PQ”=3+2'2-(-1+'2 )
=3+2'2+1-'2
=4+'2
04 ① '1å2+3'3=2'3+3'3=5'3
② 4'3-3'3='3
③ '7å2-'5å0=6'2-5'2='2
④ '1å0-'3은 더 이상 계산할 수 없다.
⑤ '3+'8='3+2'2
따라서 옳은 것은 ③이다.
05 '7å5-'4å8+'1å2=5'3-4'3+2'3
=3'3
'2
(cid:9000) - +
2
'3
2
12 '3å2-2'2å4-'2(2+3'3 )=4'2-4'6-2'2-3'6
=2'2-7'6
11 '2('8-'2å4 )-'3('1å2+1)
='1å6-'4å8-'3å6-'3
=4-4'3-6-'3
=-2-5'3
즉, a=2, b=-7이므로
a-b=2-(-7)=9
13 '2 { +
}+'3 {
-5}
2
'1å8
3
'6
4
'1å2
4'2
'1ß2
=
3'2
'6
+
+
2'3
'1ß8
-5'3
= + + -5'3
3
'3
4
'6
2
'6
=
3'3
3
+
4'6
6
+
2'6
6
-5'3
=-4'3+'6
14
3'3-2'2
'2
-
'2-2'3
'3
=
(3'3-2'2 )_'2
'2_'2
-
('2-2'3 )_'3
'3_'3
06 '1ß0å8-'7å5+'4å5-'8å0=6'3-5'3+3'5-4'5
='3-'5
즉, a=1, b=-1이므로
a+b=1+(-1)=0
07
2'2
3
3
+ -
'2
7'3
6
'3
+ =
3
2'2
3
+
3'2
2
-
7'3
6
+
={;3@;+;2#;}'2-{;6&;-;3!;}'3
=;;¡6£;;'2-;6%;'3
=
3'6-4
2
-
'6-6
3
={;2#;-;3!;} '6-2+2
=
7'6
6
15
8-'3
3'3
=
(8-'3 )_'3
3'3_'3
=
8'3-3
9
즉, a=;;¡6£;;, b=-;6%;이므로
a+b=;;¡6£;;+{-;6%;}=;6*;=;3$;
08 "(√-3)¤ -'2å7+
=3-3'3+
6
2'3
6'3
6
=3-3'3+'3
=3-2'3
3'2
'3
3'6
3
09 '5å4-3'2÷'3+'6=3'6-
+'6
'5å4-3'2÷'3+'6=3'6-
+'6
'5å4-3'2÷'3+'6=3'6-'6+'6
=3'6
(cid:9000) 3'6
2'∂15
15
(cid:9000)
10 ;aB;-;bA;= -
'5
'3
'3
'5
;aB;-;bA;=
'∂15
3
-
'∂15
5
;aB;-;bA;=
2'∂15
15
18 정답 및 풀이
16 4'3_'2+
'8-2'3
'2
=4'6+
('8-2'3 )_'2
'2_'2
=4'6+
4-2'6
2
=4'6+2-'6
=3'6+2
17 ⑴ x=
10+'1å0
'5
⑴ x=
(10+'1å0 )_'5
'5_'5
⑴ x=
10'5+5'2
5
⑴ x=2'5+'2
10-'1å0
'5
⑵ y=
⑴ y=
(10-'1å0)_'5
'5_'5
⑴ y=
10'5-5'2
5
⑴ y=2'5-'2
(cid:9000) -4'3+'6
(cid:9000)
7'6
6
8'3-3
9
(cid:9000)
(cid:9000) ②
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
y❶
y❷
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 0
'3
3
(cid:9000) ;3$;
(cid:9000) ①
유형북
(cid:9000) ③
(cid:9000) ④
(cid:9000)
'6
2
⑶ x-y=(2'5+'2)-(2'5-'2)
=2'5+'2-2'5+'2=2'2
⑶ ∴ '2(x-y)='2_2'2=4
y❸
(cid:9000) ⑴ 2'5+'2 ⑵ 2'5-'2 ⑶ 4
이때 2a-4=0이면 유리수가 되므로 a=2
(cid:9000) ③
05 3(a-2'3)+6-2a'3=3a-6'3+6-2a'3
=(3a+6)-(2a+6)'3
이때 2a+6=0이면 유리수가 되므로 a=-3
(cid:9000) -3
채점 기준
❶ 분모의 유리화를 이용하여 x를 간단히 하기
❷ 분모의 유리화를 이용하여 y를 간단히 하기
❸ '2(x-y)의 값 구하기
배점
30%
30%
40%
18 "(√-4)¤ +(-2'3 )¤ -'3 {2'4å8-Æ;3!; }
=4+12-2'1∂44+'3_
=4+12-24+1=-7
1
'3
19 2'8- +'2('6-3)=4'2-
6
'3
6'3
3
=4'2-2'3+2'3-3'2
+'1å2-3'2
20 '3('6-2'3)+
=3'2-6+
='2
8-'2
'2
(cid:9000) '2
(8-'2)_'2
'2_'2
=3'2-6+
8'2-2
2
=3'2-6+4'2-1
=7'2-7
(cid:9000) ②
06THEME
근호를 포함한 식의 계산
39~43쪽
알고 있나요?
1 ① - ㉢, ② - ㉡, ③ - ㉠
2
'2, '3의 정수 부분：1
'4, '5, '6, '7, '8의 정수 부분：2
'9, '1å0의 정수 부분：3
01 ① (3+2'2)(3-2'2)=9-8=1
② ('2+'3)¤ =2+2'6+3=5+2'6
③ ('3+2'2 )¤ =3+4'6+8=11+4'6
④ (3-'1å2)(4+'3)=12+3'3-4'1å2-'3å6
=12+3'3-8'3-6
=6-5'3
⑤ ('5-'3)¤ =5-2'1å5+3=8-2'1å5
따라서 옳은 것은 ④이다.
02 (3-4'2)(2+3'2)=6+9'2-8'2-24
=-18+'2
즉, a=-18, b=1이므로
a+b=-18+1=-17
03 ('2-3)¤ -('5-2)('5+2)
=(2-6'2+9)-(5-4)
=10-6'2
04 ('3+a)(2'3-4)=6-4'3+2a'3-4a
=(6-4a)+(2a-4)'3
06
a-'2
3-2'2
(a-'2)(3+2'2)
(3-2'2 )(3+2'2)
=
=
3a+2a'2-3'2-4
9-8
=(3a-4)+(2a-3)'2
이때 2a-3=0이면 유리수가 되므로 a=;2#;
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) -7
07
'3-'2
'3+'2
+
'3+'2
'3-'2
('3-'2)¤
('3+'2)('3-'2)
+
('3+'2)¤
('3-'2)('3+'2)
=
=
3-2'6+2
3-2
+
3+2'6+2
3-2
=5-2'6+5+2'6=10
08
2+'2
2-'2
=
(2+'2 )¤
(2-'2)(2+'2)
=
4+4'2+2
4-2
=
6+4'2
2
=3+2'2
즉, a=3, b=2이므로
a-b=3-2=1
09
'3
'6-'2
-
'3
'2+'6
=
3'2+'6
6-2
-
3'2-'6
6-2
=
2'6
4
=
'6
2
10 세로의 길이를 x라 하면
x：8=1：
1+'5
2
이므로
=
'3('6+'2)
('6-'2)('6+'2)
-
'3('6-'2)
('6+'2)('6-'2)
(cid:9000) ④
1+'5
2
x=8
(cid:9000) -17
(cid:9000) ①
∴ x=8÷
1+'5
2
=8_
2
1+'5
∴ x=
16
1+'5
=
16(1-'5)
(1+'5)(1-'5)
∴ x=
16(1-'5)
1-5
∴ x=
16(1-'5)
-4
∴ x=4('5-1)
(cid:9000) 4('5-1)
02. 근호를 포함한 식의 계산 19
11 x, y의 분모를 유리화하면
1
'3-'2
x=
x=
'3+'2
('3-'2)('3+'2)
'3+'2
3-2
x='3+'2
x=
y=
1
'3+'2
y=
'3-'2
('3+'2)('3-'2)
'3-'2
3-2
y='3-'2
y=
x+y='3+'2+'3-'2=2'3
xy=('3+'2)('3-'2)=3-2=1
∴ x¤ +y¤ -xy=(x+y)¤ -3xy=(2'3)¤ -3=9 (cid:9000) ⑤
x¤ +y¤ -xy=(x-y)¤ +xy로 계산할 수도 있다.
12 ab=('5+'2 )('5-'2)=5-2=3
a+b='5+'2+'5-'2=2'5
∴ ab(a+b)=3_2'5=6'5
13 ;[!;=
1
3-'1å5
(cid:9000) 6'5
;[!;=
;[!;=
3+'1å5
(3-'1å5)(3+'1å5)
-3-'1å5
6
;]!;=
;]!;=
;]!;=
1
3+'1å5
3-'1å5
(3+'1å5)(3-'1å5)
-3+'1å5
6
∴ ;[!;-;]!;=
-3-'1å5+3-'1å5
6
∴ ;[!;-;]!;=
-2'1å5
6
=-
'1å5
3
|`다른 풀이`| xy=(3-'1å5)(3+'1å5)=9-15=-6
y-x=3+'1å5-3+'1å5=2'1å5
∴ ;[!;-;]!;=
y-x
xy
=
2'1å5
-6
=-
'1å5
3
14 x=
1
2+'3
=
2-'3
(2+'3)(2-'3)
=2-'3이므로
x-2=-'3
양변을 제곱하면 (x-2)¤ =(-'3)¤
x¤ -4x+4=3(cid:100)(cid:100)
∴ x¤ -4x=-1
∴ x¤ -4x+3=-1+3=2
15 a+2='5이므로
양변을 제곱하면 (a+2)¤ =('5)¤
a¤ +4a+4=5(cid:100)(cid:100)
20 정답 및 풀이
∴ x-;[!;='∂18=3'2
(cid:9000) 3'2
(cid:9000) 4
(cid:9000) ②
∴ a¤ +4a=1
∴ a¤ +4a+3=1+3=4
16 {x-;[!;}2 =x¤ + -2=20-2=18
1
x¤
이때 x>1이므로 x-;[!;>0(cid:100)(cid:100)
17
1
x¤
1
+ =
y¤
y¤ +x¤
x¤ y¤
+ =
+ =
(x+y)¤ -2xy
(xy)¤
(2'5)¤ -2_3
3¤
+ =:¡9¢:
18 (cid:8772)ABCD의 넓이가 5이므로
AB”=AD”='5
점 P에 대응하는 수는 2-'5(cid:100)(cid:100)
∴ a=2-'5
점 Q에 대응하는 수는 2+'5(cid:100)(cid:100)
∴ b=2+'5
ab=(2-'5)(2+'5)=-1
a¤ -b¤ =(2-'5)¤ -(2+'5)¤
=4-4'5+5-(4+4'5+5)
=-8'5
∴ ;;bA;-;aB;=
a¤ -b¤
ab
=
-8'å5
-1
=8'5
(cid:9000) ③
19 (겉넓이)=2{('3+'6)'6+('3+'6)'3+'6_'3 }
=2(3'2+6+3+3'2+3'2)
y❶
=18+18'2
(부피)`=('3+'6)_'6_'3
=(3'2+6)'3
=3'6+6'3
y❷
(cid:9000) 겉넓이：18+18'2, 부피：3'6+6'3
(cid:9000) ②
채점 기준
❶ 겉넓이 구하기
❷ 부피 구하기
배점
50%
50%
20 (cid:8772)ABCD={'3+('6+'3)}_2'3_;2!;
(cid:8772)ABCD=(2'3+'6)_'3
(cid:8772)ABCD=6+'∂18
(cid:8772)ABCD=6+3'2
21 A-B=(2'5+5)-3'5
=-'5+5=-'5+'2å5>0
∴ A>B yy ㉠
A-C=(2'5+5)-(4'3+5)
=2'5-4'3='2å0-'4å8<0
∴ A<C
yy ㉡
㉠, ㉡에서 B<A<C
(cid:9000) 6+3'2
(cid:9000) ②
(cid:9000) 2
22 ① 3'2-('5+'2)=2'2-'5='8-'5>0
∴ 3'2>'5+'2
② (7'5-1)-(6'5+1)='5-2='5-'4>0
∴ 7'5-1>6'5+1
③ 12-('3+10)=2-'3='4-'3>0
④ 2'3-(-'3+4)=3'3-4='2å7-'1å6>0
∴ 12>'3+10
∴ 2'3>-'3+4
∴ 3'3+3<2'7+3
⑤ (3'3+3)-(2'7+3)=3'3-2'7='2å7-'2å8<0
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 1
따라서 대소 관계가 옳은 것은 ⑤이다.
23 분모가 12인 기약분수의 분자를 x라 하면
'2
2
x
< <
12
'6
6
x
2'6
6'2
< <
12
12
12
2'6<x<6'2(cid:100)(cid:100)
∴ '∂24<x<'∂72
즉, 구하는 자연수 x는 x=5, 6, 7, 8
이때
가 기약분수가 되려면 x=5, 7
x
12
따라서 구하는 기약분수의 총합은
;1∞2;+;1¶2;=1
24 ① 'ƒ58000="5√.8_√100¤ =100'5ß.8=240.8
② 'ƒ5800="5√8√_10¤ =10'5å8=76.16
③ '5ß8å0="5√.8√_10¤ =10'5ß.8=24.08
④ '0∂.58=æ≠ = =0.7616
⑤ 'ƒ0.058=æ≠ =
=0.2408
58
10¤
5.8
10¤
'5å8
10
'5å.å8
10
따라서 바르게 계산한 것은 ①이다.
(cid:9000) ①
25 제곱근표는 1부터 99.9까지만 나오기 때문에 '0∂.9ß8å7, '9ß8å7,
'ƒ9870 등은 제곱근표에 없다.
'ƒ9870="9√8.7√_10¤ ="9√.87√_10‹ 이므로 10의 거듭제곱이
근호 밖으로 나올 수 있는 것은 "9√8.7√_10¤ 이다.(cid:100)(cid:100)
따라서 'ƒ9870의 값을 구하려면 'ƒ98.7의 값을 찾아야 한다.
26 ① 'ƒ2.53=1.591
② '2ß4å3='2ƒ.43ƒ_100=10'2∂.43=10_1.559=15.59
③ '∂2.2=1.483
④ '2ß3å4='2ƒ.34ƒ_100=10'2∂.34=10_1.530=15.30
⑤ 'ƒ0.251=æ≠
25.1
100
=
'2∂5.1
10
따라서 주어진 제곱근표를 이용하여 그 값을 구할 수 없는 것은
28 'ƒ300000='ƒ30_10000=100'∂30
=100_5.477=547.7
29 '9ß9å9='1ƒ.11ƒ_900=30'1∂.11
=30_1.054=31.62
30 ① 'ƒ0.002=Æ;1¬0™00;=Æ…;50!0;=;1¡0;_ =
'5
5
'5
50
① 'ƒ0.002=
=0.04472
2.236
50
② '0ß.2=Ƭ;1™0;=Æ;5!;= =
=0.4472
'5
5
2.236
5
③ '4å5="√5_3¤ =3'5=3_2.236=6.708
④ '5∂00å0='5ƒ0_1ß0å0=10'5å0
⑤
1
'5-2
=
'5+2
('5-2)('5+2)
='5+2=4.236
따라서 '5=2.236임을 이용하여 그 값을 구할 수 없는 것은
④이다.
(cid:9000) ④
31 1<'2<2에서 -2<-'2<-1이므로
2<4-'2<3
∴ a=2, b=(4-'2 )-2=2-'2
∴ a¤ +(2-b)¤ =4+('2)¤ =4+2=6
32 1<'3<2이므로
3<2+'3<4
∴ a=3, b=(2+'3)-3='3-1
∴ a-'3b=3-'3('3-1)
=3-3+'3='3
채점 기준
❶ 2+'3의 값의 범위 구하기
❷ 2+'3의 정수 부분, 소수 부분 구하기
❸ a-'3b의 값 구하기
배점
30%
40%
30%
33 1<'3<2이므로 '3의 소수 부분은 '3-1
∴ a='3-1
8<'7å5<9이므로 '7å5의 소수 부분은 '7å5-8
'7å5-8=5'3-8이고
a='3-1에서 '3=a+1이므로
'7å5-8=5'3-8
유형북
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) '3
(cid:9000) ②
44~45쪽
(cid:9000) ③
=5(a+1)-8
=5a-3
⑤이다.
1
'5∂00
27
=Æ;…10™0º00;=
'2å0
100
=
4.472
100
=0.04472
(cid:9000) ⑤
01 '0∂.ß2å3+'2ß3å0=Æ;¬1™0£0;+'2ƒ.3_∂100
'0∂.ß23+'2ß3å0=
+10'2å.å3
'2å3
10
(cid:9000) ①
'0∂.ß23+'2ß3å0=;1¡0;b+10a
(cid:9000) ①
02. 근호를 포함한 식의 계산 21
02 aæ– -bæ– =
2a
3b
a'6åb_'a
'a_'a
-
b'2åa_'3åb
'3åb_'3åb
6b
a
='6∂ab-
'6∂ab
3
=;3@;'6∂ab=;3@;'7å2
=;3@;_6'2=4'2
08 정사각형 A, B, C의 한 변의 길이
는 각각 4'6, 3'6, 2'6이므로
(도형의 둘레의 길이)
=2(4'6+3'6+2'6)+2_4'6
4'6
A
B
C
4'6
3'6 2'6
(cid:9000) ①
=26'6
즉, p=26, q=6이므로
p+q=26+6=32
6b
|`다른 풀이`| aæ– -bæ– =æ–a¤
a
2a
3b
6b
a
≠_ -æ–b¤
≠_
2a
3b
(cid:9000) ⑤
09 정사각형 ABCD의 넓이가 5이므로 한 변의 길이는 '5이다.
즉, BA”=BP”=BC”=BQ”='5
a=-1-'5, b=-1+'5이고
2<'5<3에서 1<-1+'5<2이므로
b의 정수 부분은 1(cid:100)(cid:100)
∴ x=1
b의 소수 부분은 (-1+'5)-1='5-2(cid:100)(cid:100)
∴ y='5-2
∴ a+xy=(-1-'5)+('5-2)
=-3
(cid:9000) -3
='6∂ab-Æ;3¬
@;ab
='6ƒ_12-Æ;3¬
@;_¬12
=6'2-2'2=4'2
03 ('3+1)◎ =('3+1)_ -'3('3+1)+2
1
'3
1
'3
'3
3
=1+ -3-'3+2
= -'3= -'3
1
'3
1
'3
=-
2'3
3
a(1-'2 )
2'2
04 '2(3'2-6)-
=6-6'2-
'2(3'2-6)-
=6-6'2-
'2(3'2-6)-
={6+;2!;a}+{-6-;4A;}'2
이때 -6-;4A;=0이면 유리수가 되므로
-6=;4A;(cid:100)(cid:100)∴ a=-24
(cid:9000) -24
05 f(x)='ßx+'ƒx+1이므로
1
1
f(2)
f(24)
1
f(1)
+y+
+
=
1
1+'2
+
1
'2+'3
+y+
1
'2å4+'2å5
=('2-1)+('3-'2)+y+('2å5-'2å4)
='2å5-1=4
06 {x-;[!;}2 ={x+;[!;}2 -4
{x+;[!;}2 =(3'5)¤ -4
{x+;[!;}2 =45-4=41
이때 0<x<1이므로 x-;[!;<0
∴ x-;[!;=-'∂41
(cid:9000) -'∂41
07
5x+3y
3x-2y
∴ x=7y
=2에서 5x+3y=6x-4y(cid:100)(cid:100)
∴ æ≠
10x-5y
3x+4y
=æ≠
70y-5y
21y+4y
=æ≠
65y
25y
∴ æ≠
65
=æ≠ =
25
'∂65
5
'∂65
5
(cid:9000)
22 정답 및 풀이
(cid:9000) ①
a(1-'2 )_'2
2'2_'2
a'2-2a
4
10
'b
÷ =
'a
'1å0
'7
우민이는 a를 잘못 보고 b는 바로 보았으므로
_ =Æ;;¡7…
º;;_;bA;에서
'1å0
'7
'a
'b
Æ;;¡7…
º;;_;;£b∞;;=Æ;¬;∞bº;;=5(cid:100)(cid:100)
∴ b=2
세영이는 b를 잘못 보고 a는 바로 보았으므로
Æ;;¡7…
º;;_;5A;=Æ;¬;™7Å;;='6(cid:100)(cid:100)
∴ a=21
'1å0
'7
∴
÷
∴
∴
÷
÷
'2
'2å1
=
'1å0
'7
_
'2å1
'2
=Æ;;¡7…
º;;_;;™2¡;;
='1å5
11 (주현이가 가진 수)=2'5
(정희가 가진 수)=2'5+3'3
(연호가 가진 수)=2'5+2
(창용이가 가진 수)=8-2'5
⁄ (2'5+3'3)-(2'5+2)=3'3-2
(cid:9000) ④
(cid:9000) '1å5
(cid:9000) 정희
='2å7-'4>0
⁄ 이므로 (정희)>(연호)
¤ (2'5+2)-(8-2'5)=4'5-6
='8å0-'3å6>0
⁄ 이므로 (연호)>(창용)
‹ (8-2'5)-2'5=8-4'5
='6å4-'8å0<0
⁄ 이므로 (창용)<(주현)
주현이는 정희나 연호보다 작은 수를 가지고 있으므로
(정희)>(연호)>(주현)>(창용)이다.
따라서 가장 먼저 주사위를 던지는 사람은 정희이다.
03. 인수분해
49쪽, 51쪽
01 (cid:9000) y(x-z)
02 (cid:9000) -2a(3+4b)
03 (cid:9000) 5ab(a+2b)
04 x¤ -2_x_3y+(3y)¤ =(x-3y)¤
(cid:9000) (x-3y)¤
05 (4a)¤ -2_4a_b+b¤ =(4a-b)¤
(cid:9000) (4a-b)¤
06 (3x)¤ +2_3x_2y+(2y)¤ =(3x+2y)¤ (cid:9000) (3x+2y)¤
25 x-1=X로 치환하면
(주어진 식)=2X¤ +3X+1
=(X+1)(2X+1)
=(x-1+1){2(x-1)+1}
=x(2x-1)
26 xy-x+y-1=x(y-1)+(y-1)
=(x+1)(y-1)
27 ab+a+b+1=a(b+1)+(b+1)
=(a+1)(b+1)
28 x¤ -4x+4-y¤ =(x-2)¤ -y¤
유형북
(cid:9000) x(2x-1)
(cid:9000) x, x+1
(cid:9000) a, a+1
(cid:9000) 16
(cid:9000) 9b¤
(cid:9000) 8
=(x+y-2)(x-y-2)
(cid:9000) x-2, x+y-2
29 x¤ +xy-3x-3y=x(x+y)-3(x+y)
=(x-3)(x+y) (cid:9000) (x-3)(x+y)
30 a¤ -b¤ -2a+1=a¤ -2a+1-b¤
31 x¤ -y¤ -6x+9=x¤ -6x+9-y¤
(cid:9000) (a+b-1)(a-b-1)
=(a-1)¤ -b¤
=(a-1+b)(a-1-b)
=(a+b-1)(a-b-1)
=(x-3)¤ -y¤
=(x-3+y)(x-3-y)
=(x+y-3)(x-y-3)
32 상수항의 합이 같아지도록 두 개의 항을 묶어 전개하면
(cid:9000) (x+y-3)(x-y-3)
(cid:9000) 1, -1, -x, x, -2x
07 x¤ +8x+(cid:8641)가 완전제곱식이 되려면
(cid:8641)={;2*;}2 =4¤ =16
08 a¤ +6ab+(cid:8641)가 완전제곱식이 되려면
(cid:8641)={;;§2ı;;}2 =(3b)¤ =9b¤
09 x¤ -(cid:8641)x+16=x¤ -(cid:8641)x+4¤ 에서
(cid:8641)=2_1_4=8
10 (cid:9000) (x+8)(x-8)
11 (cid:9000) (3x+2)(3x-2)
12 (cid:9000) (5x+9y)(5x-9y)
13 x¤ -3x+2=(x-1)(x-2)
-1
⁄ -x
x
x
1 55⁄1
55
⁄
-2
⁄ -2x {+
= -3x
14 (cid:9000) (x+8)(x-4)
15 (cid:9000) (x+10)(x-2)
16 (cid:9000) (x-3y)(x-5y)
17 (cid:9000) (x+5y)(x-6y)
18 3x¤ -11x-4=(3x+1)(x-4)
-1
⁄ -12x
3x
x
1 55 ⁄1
55
⁄
-4
⁄ -12x {+
= -11x
19 (cid:9000) (2x+1)(3x-1)
20 (cid:9000) (2x+3)(4x-1)
21 (cid:9000) (2x+y)(x-3y)
22 (cid:9000) (2x+y)(3x+2y)
23 (x+1)¤ -(x+1)-2=A¤ -A-2
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1
=(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)+1
=(x¤ -5x+4)(x¤ -5x+6)+1
x¤ -5x=A로 치환하면
(주어진 식)=(A+4)(A+6)+1
=A¤ +10A+25
=(A+5)¤
=(x¤ -5x+5)¤
(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)-14
=(x-1)(x+3)(x-2)(x+4)-14
=(x¤ +2x-3)(x¤ +2x-8)-14
x¤ +2x=A로 치환하면
(주어진 식)=(A-3)(A-8)-14
=A¤ -11A+10
=(A-1)(A-10)
=(x¤ +2x-1)(x¤ +2x-10)
(cid:9000) 3, 4, 3x, 1, x, -4, -12x
33 상수항의 합이 같아지도록 두 개의 항을 묶어 전개하면
(cid:9000) (x¤ -5x+5)¤
=(A+1)(A-2)
=(x+2)(x-1) (cid:9000) A+1, x+2
24 2a-b=X로 치환하면
(주어진 식)=X¤ -4X+3
=(X-1)(X-3)
=(2a-b-1)(2a-b-3)
(cid:9000) (2a-b-1)(2a-b-3)
(cid:9000) (x¤ +2x-1)(x¤ +2x-10)
34 차수가낮은문자가 y이므로 y에 관하여 내림차순으로 정리하면
x¤ +2+xy-3x-y=y(x-1)+x¤ -3x+2
=y(x-1)+(x-1)(x-2)
=(x-1)(x+y-2)
(cid:9000) x-1
03. 인수분해 23
35 차수가낮은문자가 y이므로 y에 관하여 내림차순으로 정리하면
A=2¤ (cid:100)(cid:100)∴ A=4
x¤ +3xy+4x-3y-5
=3y(x-1)+x¤ +4x-5
=3y(x-1)+(x+5)(x-1)
=(x-1)(x+3y+5)
36 13_57-13_47=13_(57-47)
37 96¤ +2_96_4+4¤ =(96+4)¤
=13_10
=130
=100¤
=10000
38 35¤ -25¤ =(35+25)(35-25)
=60_10
=600
39 3x¤ +xy-2y¤ =(x+y)(3x-2y)
x¤ +Bx+;4(;=x¤ +Bx+{;2#;}2 이므로
B=2_1_;2#; (cid:100)(cid:100)∴ B=3 (∵ B>0)
(cid:9000) x-1
∴ A+B=4+3=7
채점 기준
❶ 완전제곱식이 되도록 하는 A의 값 구하기
❷ 완전제곱식이 되도록 하는 B의 값 구하기
❸ A+B의 값 구하기
배점
40%
40%
20%
(cid:9000) 10000
09 4x¤ +(5k-3)xy+9y¤ =(2x)¤ +(5k-3)xy+(3y)¤ 에서
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 7
(5k-3)xy=—2_2x_3y
∴ 5k-3=—12
⁄ 5k-3=12일 때, k=3
¤ 5k-3=-12일 때, k=-;5(;
=(4.5+5.5)(3_4.5-2_5.5)
=10(13.5-11)
=10_2.5
=25
40 a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
=(1.7+0.3)(1.7-0.3)
=2_1.4
=2.8
⁄, ¤에서 k=3 또는 k=-;5(;
(cid:9000) ②, ④
(cid:9000) 25
10 2<x<3에서 x-2>0, x-3<0이므로
"√x¤ -√4x+4="(√x-2)¤ =x-2
"√x¤ -√6x+9="(√x-3)¤ =-(x-3)=-x+3
∴ "√x¤ -√4x+4+"√x¤ -√6x+9=x-2-x+3=1 (cid:9000) ⑤
11 0<x<4에서 x>0, x-4<0이므로
(cid:9000) 2.8
"≈x¤ =x
52~61쪽
07THEME
인수분해의 뜻과 공식
52~56쪽
알고 있나요?
1 ⑴ m(a+b)
⑷ (a+b)(a-b)
⑹ (ax+b)(cx+d)
⑵ (a+b)¤
⑸ (x+a)(x+b)
⑶ (a-b)¤
01 3a‹ x-6a¤ y=3a¤ (ax-2y)
02 -3ab-6a=-3a(b+2)
03 ① 2x¤ +4x=2x(x+2)
② 2ab-4b=2b(a-2)
④ 3x¤ y+6xy¤ =3xy(x+2y)
⑤ 4xy+2y¤ =2y(2x+y)
따라서 바르게 인수분해한 것은 ③이다.
04 ⑤ 16x¤ -16xy+4y¤ =4(4x¤ -4xy+y¤ )
=4(2x-y)¤
05 4x¤ +4x+1=(2x+1)¤
06 9x¤ +24x+16=(3x+4)¤
즉, a=3, b=4이므로
a+b=3+4=7
07 A={;2^;}2 =3¤ =9
08 Ax¤ -12x+9=Ax¤ -2_2x_3+3¤ 이므로
24 정답 및 풀이
"√x¤ -√8x+1Ω6="(√x-4)¤ =-(x-4)=-x+4
∴ "≈x¤ +"√x¤ -√8x+1Ω6=x-x+4=4
(cid:9000) ②
12 x='2에서 1<'2<2이므로
'2-2<0, '2-1>0
"√x¤ -√4x+4="(√x-2)¤ ="(√'2-2)¤ =-'2+2
"√x¤ -√2x+1="(√x-1)¤ ="(√'2-1)¤ ='2-1
∴ "√x¤ -√4x+4-"√x¤ -√2x+1=-'2+2-('2-1)
=-2'2+3
(cid:9000) -2'2+3
13 4x¤ -9=(2x)¤ -3¤ =(2x+3)(2x-3)
즉, A=2, B=3이므로
A+B=2+3=5
(cid:9000) 5
14 ③ 3x¤ -12y¤ =3(x¤ -4y¤ )=3(x+2y)(x-2y) (cid:9000) ③
15 (2x+1)(x-3)+5(x-1)
=(2x¤ -5x-3)+5x-5
=2x¤ -8
=2(x¤ -4)
=2(x+2)(x-2)
즉, a=2, b=2이므로(cid:100)(cid:100)
a+b=2+2=4(cid:100)
(cid:100)
채점 기준
❶ 주어진 식 정리하기
❷ 인수분해하여 a, b의 값 구하기
❸ a+b의 값 구하기
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 4
배점
30%
50%
20%
(cid:9000) 130
(cid:9000) 600
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
(cid:9000) 7
(cid:9000) 9
16 x° -1=(x› )¤ -1
=(x› +1)(x› -1)
=(x› +1){(x¤ )¤ -1}
=(x› +1)(x¤ +1)(x¤ -1)
=(x› +1)(x¤ +1)(x+1)(x-1)
따라서 x° -1의 인수가 아닌 것은 ④이다.
17 곱이 -15인 두 수 중 합이 2인 수는 5, -3이므로
x¤ +2x-15=(x+5)(x-3)
따라서 구하는 두 일차식의 합은
(x+5)+(x-3)=2x+2
18 곱이 -8인 두 수 중 합이 -2인 수는 2, -4이므로
x¤ -2x-8=(x+2)(x-4)
19 x¤ +ax-8=(x+2)(x-b)
=x¤ +(2-b)x-2b
a=2-b, -8=-2b이므로
a=-2, b=4
∴ a+b=-2+4=2
20 6x¤ -x-2=(2x+1)(3x-2)
21 ① 3x¤ +4x-15=(x+3)(3x-5)
② 3x¤ +2x-8=(x+2)(3x-4)
③ 6x¤ -11x+5=(6x-5)(x-1)
④ 6x¤ -7x-5=(2x+1)(3x-5)
⑤ 9x¤ +3x-2=(3x+2)(3x-1)
따라서 3x-5를 인수로 갖는 것은 ①, ④이다. (cid:9000) ①, ④
(cid:9000) 5x-4y
22 4x¤ -19xy-5y¤ =(4x+y)(x-5y)
따라서 구하는 두 일차식의 합은
(4x+y)+(x-5y)=5x-4y
23 3x¤ +(3a-1)x-8=(3x-4)(x+b)
=3x¤ +(3b-4)x-4b
3a-1=3b-4, -8=-4b이므로
a=1, b=2
∴ a+b=1+2=3
24 ④ 2x¤ +x-1=(x+1)(2x-1)
25 x¤ -2x-15=(x+3)(x-5)
2x¤ +7x+3=(x+3)(2x+1)
따라서 두 다항식의 공통인 인수는 x+3이다.
26 4x¤ +4x+1=(2x+1)¤ (cid:100)(cid:100)
∴ a=1
x¤ -144=(x+12)(x-12)(cid:100)(cid:100)
∴ b=12
x¤ -10x+9=(x-1)(x-9) (cid:100)(cid:100)
∴ c=9
6x¤ -5x-6=(3x+2)(2x-3)(cid:100)(cid:100)
∴ d=2
∴ a+b+c+d=1+12+9+2=24
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
(cid:9000) 2
(cid:9000) ④
(cid:9000) 3
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
y❶
y❷
(cid:9000) 24
유형북
(cid:9000) ②
(cid:9000) ②
(cid:9000) 9
(cid:9000) ①
채점 기준
❶ 인수분해를 이용하여 a, b, c, d의 값 구하기
❷ a+b+c+d의 값 구하기
배점
80%
20%
27 x+2가 x¤ -4x+k의 인수이므로
x¤ -4x+k=(x+2)(x+m)
=x¤ +(2+m)x+2m
2+m=-4에서 m=-6
k=2m이므로 k=2_(-6)=-12
|`다른 풀이`| x¤ -4x+k=(x+2)(x+m)
양변에 x=-2를 대입하면 4+8+k=0(cid:100)(cid:100)
∴ k=-12
28 2x¤ +ax-12=(x-2)(2x+m)
=2x¤ +(m-4)x-2m
-2m=-12에서 m=6
a=m-4이므로 a=6-4=2
29 x¤ -ax+6=(x-2)(x+m)
=x¤ +(m-2)x-2m
-2m=6에서 m=-3
-a=m-2이므로 a=3+2=5
2x¤ -6x+b=(x-2)(2x+n)
=2x¤ +(n-4)x-2n
n-4=-6에서 n=-2
b=-2n이므로 b=(-2)_(-2)=4
∴ a+b=5+4=9
30 주연：(x+2)(x-10)=x¤ -8x-20
˙k 상수항은 -20
기태：(x+6)(x-7)=x¤ -x-42
˙k x의 계수는 -1
따라서 처음 이차식은 x¤ -x-20이므로
x¤ -x-20=(x+4)(x-5)
31 ⑴ 유빈：(x+6)(x-1)=x¤ +5x-6
˙k 상수항은 -6
⑴ 은영：(x+3)(x-4)=x¤ -x-12
˙k x의 계수는 -1
⑴ 따라서 처음 이차식은 x¤ -x-6이다.)
⑵ x¤ -x-6=(x+2)(x-3)
y❶
y❷
(cid:9000) ⑴ x¤ -x-6 ⑵ (x+2)(x-3)
채점 기준
❶ 처음 이차식 구하기
❷ 인수분해하기
배점
60%
40%
32 지환：(x+5)(2x-1)=2x¤ +9x-5
˙k 상수항은 -5
승은：(2x+3)(x-6)=2x¤ -9x-18
˙k x의 계수는 -9
따라서 처음 이차식은 2x¤ -9x-5이므로
2x¤ -9x-5=(2x+1)(x-5)
(cid:9000) (2x+1)(x-5)
03. 인수분해 25
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
(cid:9000) -2
(cid:9000) ②, ④
(cid:9000) ②
(cid:9000) 5
08THEME
복잡한 식의 인수분해
57~59쪽
01 x(y-1)-y+1=x(y-1)-(y-1)
=(x-1)(y-1)
(cid:9000) ①
02 a¤ -b¤ +(a-b)¤ =(a+b)(a-b)+(a-b)¤
=(a-b){(a+b)+(a-b)}
=2a(a-b)
03 (x-1)y¤ +2(1-x)y+x-1
(cid:9000) 2a(a-b)
=(x-1)y¤ -2(x-1)y+x-1
=(x-1)(y¤ -2y+1)
=(x-1)(y-1)¤
04 2x+y=A로 치환하면
(2x+y)(2x+y-2)-8=A(A-2)-8
(cid:9000) ①, ⑤
x‹ +3x¤ -x-3=x¤ (x+3)-(x+3)
=(x¤ -1)(x+3)
=(x+1)(x-1)(x+3)
따라서 공통인 인수는 (x+1)(x-1)이다.
11 a¤ +4a+4-9b¤ =(a+2)¤ -(3b)¤
=(a+3b+2)(a-3b+2)
12 4x¤ -4xy+y¤ -4z¤ =(2x-y)¤ -(2z)¤
=(2x-y+2z)(2x-y-2z)
따라서 a=-1, b=2, c=-1, d=-2 또는
a=-1, b=-2, c=-1, d=2이므로
a+b+c+d=-1+2+(-1)+(-2)=-2
=A¤ -2A-8
=(A+2)(A-4)
=(2x+y+2)(2x+y-4)
13 16a¤ -8ab+b¤ -25c¤ =(4a-b)¤ -(5c)¤
=(4a-b+5c)(4a-b-5c)
따라서 두 일차식의 합은
(2x+y+2)+(2x+y-4)=4x+2y-2
05 x-3=A로 치환하면
(x-3)¤ +(x-3)-6=A¤ +A-6
(cid:9000) 4x+2y-2
=(A+3)(A-2)
=(x-3+3)(x-3-2)
=x(x-5)
(cid:9000) ①
06 2x-y=A로 치환하면
(2x-y)¤ -(2x-y-4)-6=A¤ -(A-4)-6
=A¤ -A-2
=(A+1)(A-2)
=(2x-y+1)(2x-y-2)
(cid:9000) ②
(cid:9000) ②, ⑤
(cid:9000) ④
y❶
y❷
(cid:9000) 3x+y
배점
70%
30%
따라서 a=1, b=-2 또는 a=-2, b=1이므로
a+b=1+(-2)=-1
07 a¤ -ac-b¤ -bc=(a¤ -b¤ )-(ac+bc)
=(a+b)(a-b)-(a+b)c
=(a+b)(a-b-c)
08 x¤ y+2x¤ -y-2=x¤ (y+2)-(y+2)
09 x‹ +x¤ y-x-y=x¤ (x+y)-(x+y)
=(x¤ -1)(y+2)
=(x+1)(x-1)(y+2)
=(x¤ -1)(x+y)
=(x+1)(x-1)(x+y)
따라서 구하는 세 일차식의 합은
(x+1)+(x-1)+(x+y)=3x+y
채점 기준
❶ 주어진 식을 인수분해하기
❷ 세 일차식의 합 구하기
10 x‹ -x¤ -x+1=x¤ (x-1)-(x-1)
=(x¤ -1)(x-1)
=(x+1)(x-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)¤
26 정답 및 풀이
14 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24
=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-24
=(x¤ +5x+4)(x¤ +5x+6)-24
x¤ +5x=A로 치환하면
(주어진 식)=(A+4)(A+6)-24
=A¤ +10A
=A(A+10)
=(x¤ +5x)(x¤ +5x+10)
=x(x+5)(x¤ +5x+10)
15 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1
=(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)+1
=(x¤ -5x+4)(x¤ -5x+6)+1
x¤ -5x=A로 치환하면
(주어진 식)=(A+4)(A+6)+1
=A¤ +10A+25
=(A+5)¤
=(x¤ -5x+5)¤
즉, a=-5, b=5이므로
a+2b=-5+2_5=5
16 (x+1)(x+2)(x+3)(x+6)-8x¤
=(x+1)(x+6)(x+2)(x+3)-8x¤
=(x¤ +7x+6)(x¤ +5x+6)-8x¤
x¤ +6=A로 치환하면
(주어진 식)=(A+7x)(A+5x)-8x¤
=A¤ +12Ax+27x¤
=(A+9x)(A+3x)
=(x¤ +9x+6)(x¤ +3x+6)
(cid:9000) (x¤ +9x+6)(x¤ +3x+6)
17 y에 관하여 내림차순으로 정리하면
x¤ +2xy+2x-2y-3=2y(x-1)+(x¤ +2x-3)
=2y(x-1)+(x+3)(x-1)
=(x-1)(x+2y+3)
(cid:9000) ①
유형북
(cid:9000) ②
(cid:9000) ②
18 b에 관하여 내림차순으로 정리하면
a¤ +ab-a+b-2=b(a+1)+(a¤ -a-2)
=b(a+1)+(a+1)(a-2)
=(a+1)(a+b-2)
(cid:9000) ②
19 y에 관하여 내림차순으로 정리하면
2x¤ +3xy+y¤ -5x-4y+3
=y¤ +(3x-4)y+(2x¤ -5x+3)
=y¤ +(3x-4)y+(x-1)(2x-3)
=(y+x-1)(y+2x-3)
=(x+y-1)(2x+y-3)
|`다른 풀이`| x에 관하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=2x¤ +(3y-5)x+(y¤ -4y+3)
=2x¤ +(3y-5)x+(y-1)(y-3)
=(x+y-1)(2x+y-3)
04 x=
1
'2+1
x='2-1
=
'2-1
('2+1)('2-1)
=
y=
'2+1
('2-1)('2+1)
1
'2-1
y='2+1
이므로 x+y=('2-1)+('2+1)=2'2
∴ 2x¤ +4xy+2y¤ =2(x¤ +2xy+y¤ )
=2(x+y)¤
=2_(2'2)¤ =16
(cid:9000) ②
05 x+3=A로 치환하면
(x+3)¤ -4(x+3)+4=A¤ -4A+4
=(A-2)¤
=(x+3-2)¤
=(x+1)¤
인수분해 공식의 활용
60~61쪽
알고 있나요?
07 주어진 직사각형의 넓이의 합은 2x¤ +6x
이때 x+1='2이므로
(주어진 식)=('2)¤ =2
06 주어진 직사각형의 넓이의 합은 x¤ +7x+12
x¤ +7x+12=(x+3)(x+4)
(cid:9000) (x+3)(x+4)
2x¤ +6x=2x(x+3)이므로 새로운 직사각형의 한 변의 길
이가 될 수 있는 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
08 주어진 직사각형의 넓이의 합은 x¤ +4x+3
x¤ +4x+3=(x+1)(x+3)
따라서 새로운 직사각형의 가로, 세로의 길이는 x+1, x+3
이므로
(둘레의 길이)=2{(x+1)+(x+3)}
=4x+8
(cid:9000) 4x+8
09 (도형 A의 넓이)=(2x+7)¤ -3¤
=(2x+7+3)(2x+7-3)
=(2x+10)(2x+4)
이때 도형 B의 세로의 길이가 2x+4이므로 가로의 길이는
2x+10이다.
(cid:9000) 2x+10
10 3x¤ +7x+2=(x+2)(3x+1)
이때 이 사진의 가로의 길이가 x+2이므로 세로의 길이는
3x+1이다.
(cid:9000) ②
11 (원기둥의 부피)=(밑면의 넓이)_(높이)이므로
(입체도형의 부피)=p(13¤ -3¤ )_12
(cid:9000) 1
=12p(13+3)(13-3)
=12p_16_10
=1920p(cm‹ )
09THEME
1 ⑴ (a+1)¤ ⑵ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
⑶ x¤ +3x+2=(x+1)(x+2)
01 A=8¤ +2_8_92+92¤
=(8+92)¤
=100¤
=10000
B=7.5¤ _0.12-2.5¤ _0.12
=(7.5¤ -2.5¤ )_0.12
=(7.5+2.5)(7.5-2.5)_0.12
|`다른 풀이`| 8=X, 92=Y로 치환하면
A=X¤ +2XY+Y¤
(cid:9000) A=10000, B=6
=10_5_0.12
=6
=(X+Y)¤
=(8+92)¤
=100¤ =10000
02
=
197_198+197
198¤ -1
197_(198+1)
(198-1)(198+1)
197_199
197_199
|`다른 풀이`| 198=A로 치환하면
(A-1)A+(A-1)
A¤ -1
(A+1)(A-1)
(A+1)(A-1)
=1
=
=
=1
03 (주어진 식)
=(1¤ -3¤ )+(5¤ -7¤ )+(9¤ -11¤ )
=(1+3)(1-3)+(5+7)(5-7)+(9+11)(9-11)
=-2(4+12+20)
=-72
01 |x|<3에서 -3<x<3이므로
(cid:9000) -72
x+3>0, x-3<0
(cid:9000) ⑤
62~63쪽
03. 인수분해 27
(cid:9000) ③
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
(cid:9000) 1
"√x¤ +6x+9+"√4x¤ -24x+36
="√(x+3)¤ +"√4(x¤ -6x+9)
="(√x+3)¤ +2"(√x-3)¤
=x+3-2(x-3)
=x+3-2x+6
=-x+9
02
곱이 27인 두 정수(b, c)
-1, -27
-3, -9
3, 9
1, 27
두 정수의 합(a)
-28
-12
12
28
따라서 상수 a는 두 정수의 합이므로 최댓값은 28이다.
03 x¤ +3x+2=(x+1)(x+2)이므로
x¤ +ax-2는 일차식 x+1 또는 x+2를 인수로 갖는다.
⁄ x¤ +ax-2=(x+1)(x+m)일 때
(cid:9000) ①
(cid:9000) ⑤
06 300=x로 치환하면
(300-5)(300+1)+9=(x-5)(x+1)+9
=x¤ -4x+4
=(x-2)¤
=(300-2)¤
=298¤
∴ N=298
07 394=A, 198=B로 치환하면
394¤ +4_394-12
198¤ -4
=
A¤ +4A-12
B¤ -4
=
(A+6)(A-2)
(B+2)(B-2)
=
(394+6)(394-2)
(198+2)(198-2)
=
400_392
200_196
=4
x¤ +ax-2=x¤ +(1+m)x+m이므로
a=1+m, -2=m
∴ a=-1
¤ x¤ +ax-2=(x+2)(x+n)일 때
x¤ +ax-2=x¤ +(2+n)x+2n이므로
a=2+n, -2=2n
∴ n=-1, a=1
따라서 ⁄, ¤에서 a>0이므로 a=1
04 ① xy-x-(1-y)=x(y-1)+(y-1)
=(x+1)(y-1)
② x+y=A로 치환하면
(x+y-1)(x+y)-2=(A-1)A-2
08 x+y=2+'3+2-'3=4
xy=(2+'3 )(2-'3 )=4-3=1
∴ x¤ y+x+xy¤ +y=xy(x+y)+(x+y)
=(x+y)(xy+1)
=4_(1+1)
=8
(cid:9000) 1
09 점선인 원의 반지름의 길이를 r라 하면
2pr=4p(cid:100)(cid:100)
∴ r=2
(색칠한 부분의 넓이)=p(2+a)¤ -p(2-a)¤
=p{(2+a)¤ -(2-a)¤ }
=A¤ -A-2
=(A+1)(A-2)
=(x+y+1)(x+y-2)
③ x¤ -y¤ -4x+4=(x¤ -4x+4)-y¤
=(x-2)¤ -y¤
=(x+y-2)(x-y-2)
④ x¤ y+2xy-3y=y(x¤ +2x-3)
=y(x+3)(x-1)
⑤ x‹ y-x¤ y-6xy=xy(x¤ -x-6)
=xy(x+2)(x-3)
따라서 인수분해가 바르게 된 것은 ②, ③이다.
(cid:9000) ②, ③
05 <x, y, z>+<y, z, x>+<z, x, y>
=x¤ (y-z)+y¤ (z-x)+z¤ (x-y)
=x¤ y-x¤ z+y¤ z-xy¤ +xz¤ -yz¤
이 식을 x에 관하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=(y-z)x¤ -(y¤ -z¤ )x+(y¤ z-yz¤ )
=(y-z)x¤ -(y+z)(y-z)x+yz(y-z)
=(y-z){x¤ -(y+z)x+yz}
=(y-z)(x-y)(x-z)
=(x-y)(y-z)(x-z)
(cid:9000) (x-y)(y-z)(x-z)
28 정답 및 풀이
=p(2+a+2-a)(2+a-2+a)
=p_4_2a
=8ap
8ap=8p이므로 a=1
10 240-1=(220+1)(220-1)
=(220+1)(210+1)(210-1)
=(220+1)(210+1)(25+1)(25-1)
25-1=31, 25+1=33이므로 240-1은 31과 33으로 나누어
(cid:9000) 31, 33
떨어진다.
11 거실과 발코니의 넓이의 합은
(6a¤ +a-1)+(4a+2)=6a¤ +5a+1
=(3a+1)(2a+1)
따라서 세로의 길이는 (3a+1)m이다.
(cid:9000) ③
12 (과학실의 바닥 넓이)=3b_(2a+b)=6ab+3b¤
(음악실의 바닥 넓이)=3b_3b=9b¤
이므로 그 합은
6ab+3b¤ +9b¤ =6ab+12b¤
(화장실의 바닥 넓이)=3_2b=6b
이때 6ab+12b¤ =6b(a+2b)이므로
과학실과 음악실의 바닥 넓이의 합은 화장실의 바닥 넓이의
(a+2b)배이다.
(cid:9000) ②
04. 이차방정식의 뜻과 풀이
∴ x=;2!; (중근)
(cid:9000) x=;2!; (중근)
23 x¤ +16=-8x에서 x¤ +8x+16=0
65쪽, 67쪽
(cid:9000) (cid:8776)
(cid:9000) (cid:8776)
(cid:9000) ×
(cid:9000) ×
(cid:9000) (cid:8776)
(cid:9000) (cid:8776)
(cid:9000) ×
(cid:9000) ×
(cid:9000) 2
(cid:9000) 4
(cid:9000) 2
01 3x¤ =4x-1에서 3x¤ -4x+1=0
˙k 이차방정식
02 x‹ +x¤ =2x¤ +x‹ 에서 -x¤ =0
03 x¤ + =x에서 x¤ + -x=0
˙k 이차방정식
1
x¤
1
x¤
˙k 이차방정식이 아니다.
04 x¤ -x=x¤ +2x+1에서 -3x-1=0
˙k 이차방정식이 아니다.
05 (cid:9000) a+0
06 0_(-1)=0
07 2¤ -4=0
08 (-2)¤ +2_(-2)-3+0
09 2_(-1)¤ -7_(-1)-4+0
10 x=1을 x¤ -ax+1=0에 대입하면
1-a+1=0(cid:100)(cid:100)∴ a=2
11 x=-2를 x¤ +4x+a=0에 대입하면
4-8+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=4
12 x=-1을 ax¤ -3x-5=0에 대입하면
a+3-5=0(cid:100)(cid:100)∴ a=2
13 2x(x-1)=0에서 x=0 또는 x-1=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=0 또는 x=1
(cid:9000) x=0 또는 x=1
14 ;3!;(x+4)(x-1)=0에서 x+4=0 또는 x-1=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-4 또는 x=1
(cid:9000) x=-4 또는 x=1
15 (2x+3)(x-4)=0에서 2x+3=0 또는 x-4=0
∴ x=-;2#; 또는 x=4
(cid:9000) x=-;2#; 또는 x=4
16 x¤ -4x+3=0의 좌변을 인수분해하면
(x-1)(x-3)=0이므로
x-1=0 또는 x-3=0
∴ x=1 또는 x=3
(cid:9000) x-3, x-3, 3
17 x¤ -4=0에서 (x+2)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-2 또는 x=2
(cid:9000) x=-2 또는 x=2
18 x¤ +5x-14=0에서 (x+7)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-7 또는 x=2
(cid:9000) x=-7 또는 x=2
19 6x¤ -5x-6=0에서 (3x+2)(2x-3)=0
∴ x=-;3@; 또는 x=;2#;
(cid:9000) x=-;3@; 또는 x=;2#;
20 10x¤ -3x=1에서 10x¤ -3x-1=0
(5x+1)(2x-1)=0(cid:100)(cid:100)
(x+4)¤ =0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-4 (중근)
24 x¤ -3=0에서 x¤ =3
∴ x=—'3
25 2x¤ -5=0에서 x¤ =;2%;
'1å0
2
∴ x=—Æ;2%;=—
26 (x-3)¤ =5에서 x-3=—'5
∴ x=3—'5
27 4(x+2)¤ =12에서 (x+2)¤ =3
x+2=—'3(cid:100)(cid:100)
∴ x=-2—'3
28 x¤ -8x+5=0에서
x¤ -8x+16=-5+16
∴ (x-4)¤ =11
29 x¤ -x-4=0에서 x¤ -x=4
x¤ -x+;4!;=4+;4!;
30 2x¤ -4x-6=0에서
x¤ -2x-3=0, x¤ -2x=3
x¤ -2x+1=3+1
∴ (x-1)¤ =4
31 3x¤ +4x-1=0에서
x¤ +;3$;x-;3!;=0, x¤ +;3$;x=;3!;
x¤ +;3$;x+;9$;=;3!;+;9$;
32 x¤ -4x-2=0에서 x¤ -4x=2
x¤ -4x+4=2+4, (x-2)¤ =6
x-2=—'6(cid:100)(cid:100)
∴ x=2—'6
33 x¤ +6x-2=0에서 x¤ +6x=2
x¤ +6x+9=2+9, (x+3)¤ =11
x+3=—'1å1(cid:100)(cid:100)
∴ x=-3—'1å1
34 4x¤ -4x-5=0에서
x¤ -x-;4%;=0, x¤ -x=;4%;
x¤ -x+;4!;=;4%;+;4!;
∴ {x-;2!;}2 =;;¡4¶;;
(cid:9000) {x-;2!;}2 =;;¡4¶;;
∴ {x+;3@;}2 =;9&;
(cid:9000) {x+;3@;}2 =;9&;
유형북
(cid:9000) x=-4 (중근)
(cid:9000) x=—'3
(cid:9000) x=—
'1å0
2
(cid:9000) x=3—'5
(cid:9000) x=-2—'3
(cid:9000) 16, 16, 4, 11
(cid:9000) (x-1)¤ =4
(cid:9000) x=2—'6
(cid:9000) x=-3—'1å1
∴ x=-;5!; 또는 x=;2!;
(cid:9000) x=-;5!; 또는 x=;2!;
{x-;2!;}2 =;2#;, x-;2!;=—Æ;2#; =—
21 2(x-3)¤ =0에서 x=3 (중근)
22 3(2x-1)¤ =0에서 2x-1=0
(cid:9000) x=3 (중근)
∴ x=;2!;—
'6
2
'6
2
(cid:9000) x=;2!;—
'6
2
04. 이차방정식의 뜻과 풀이 29
35 ax¤ +bx+c=0 (a+0)의 양변을 a로 나누면
x¤ +;aB;x+;aC;=0(cid:100)(cid:100)
상수항을 우변으로 이항하면
x¤ +;aB;x=-;aC;
완전제곱식으로 만들기 위해 양변에 {;2ıa;}2 을 더하면
x¤ +;aB;x+{;2ıa;}2 =-;aC;+{;2ıa;}2
b¤ -4ac
4a¤
b¤ -4ac
4a¤
¤ -4≈aΩc
{x+;2ıa;}2 =
x+;2ıa;=—æ≠
∴ x=
-b—"b√
2a
(cid:9000) -;aC;, ;2ıa;, ;2ıa;, ;2ıa;, ;2ıa;, b¤ -4ac, ;2ıa;,
b¤ -4ac, -b, b¤ -4ac
42 ;3!;x¤ +;2!;=;2#;x의 양변에 6을 곱하면
2x¤ +3=9x
2x¤ -9x+3=0에서
a=2, b=-9, c=3이므로
¤ -4√_√2_3
9—"(√-9)√
x=
2_2
=
9—'5å7
4
(cid:9000) x=
9—'5å7
4
43
x(x-3)
2
=
x¤ -4
3
의 양변에 6을 곱하면
3x(x-3)=2(x¤ -4)
3x¤ -9x=2x¤ -8, x¤ -9x+8=0
(x-1)(x-8)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=1 또는 x=8
(cid:9000) x=1 또는 x=8
36 2x¤ -3x-3=0에서
a=2, b=-3, c=-3이므로
3—"(√-3)√
x=
¤ -4√_2√_√(-3)
2_2
=
3—'3å3
4
37 x¤ -8=-3x에서 x¤ +3x-8=0
a=1, b=3, c=-8이므로
-3—"3√
¤ -4√_1√_√(-8)
x=
2_1
=
-3—'4å1
2
38 3x¤ -5x=5에서 3x¤ -5x-5=0
a=3, b=-5, c=-5이므로
5—"(√-5)√
x=
¤ -4√_3√_√(-5)
2_3
=
5—'8å5
6
(cid:9000) x=
3—'3å3
4
10THEME
이차방정식의 뜻과 해
68~69쪽
알고 있나요?
1
(x에 관한 이차식)=0의 꼴로 나타내어지는 방정식,
ax¤ +bx+c=0 (단, a, b, c는 상수, a+0)
68~77쪽
(cid:9000) x=
-3—'4å1
2
(cid:9000) x=
5—'8å5
6
01 x(ax-2)=3x¤ -3에서 ax¤ -2x=3x¤ -3
(a-3)x¤ -2x+3=0
따라서 이차방정식이 되기 위한 조건은 a-3+0
∴ a+3
(cid:9000) ③
02 ① x¤ =9에서 x¤ -9=0
˙k 이차방정식
③ (x+2)(3x-1)=0에서 3x¤ +5x-2=0
④ 2x¤ (x-1)=x+2x‹ 에서 2x‹ -2x¤ =x+2x‹
x=
2—"(√-2)√
2
¤ -2ç_Ω1
=
2—'2
2
(cid:9000) x=
2—'2
2
⑤ x¤ -5x+1=x(x-3)에서 x¤ -5x+1=x¤ -3x
˙k 이차방정식
-2x¤ -x=0
˙k 이차방정식
-2x+1=0
˙k 일차방정식
39 3x¤ -4x+1=x¤ 에서 2x¤ -4x+1=0
a=2, b'=-2, c=1이므로
40 (x+1)(x-5)+3=0에서
x¤ -4x-5+3=0, x¤ -4x-2=0
a=1, b'=-2, c=-2이므로
¤ -1√_√(-2)
1
2—"(√-2)√
x=
41 x¤ +0.1x=0.2의 양변에 10을 곱하면
10x¤ +x=2, 10x¤ +x-2=0
(2x+1)(5x-2)=0
=2—'6
(cid:9000) x=2—'6
∴ x=-;2!; 또는 x=;5@;
(cid:9000) x=-;2!; 또는 x=;5@;
30 정답 및 풀이
따라서 x에 관한 이차방정식이 아닌 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
03 ① x¤ =4x+;2!;에서 x¤ -4x-;2!;=0
⑤ ˙k 이차방정식
② x¤ -x+1=x¤ +3에서 -x-2=0
˙k 일차방정식
③ (3x-1)(x+1)=3x¤ -2x에서
3x¤ +2x-1=3x¤ -2x, 4x-1=0
˙k 일차방정식
④ 2x¤ -(x-1)=x‹ -x¤ +1에서 -x‹ +3x¤ -x=0
˙k 이차방정식이 아니다.
x¤ -x
2
⑤
=-1에서 ;2!;x¤ -;2!;x+1=0 ˙k 이차방정식
따라서 x에 관한 이차방정식은 ①, ⑤이다.
(cid:9000) ①, ⑤
04 ① 2¤ -3_2+1+0
② 2_2¤ -4_2+1+0
③ 2¤ -4_2+4=0
④ 2_2¤ -6_2+1+0
⑤ 3_2¤ -4_2-2+0
따라서 x=2를 해로 갖는 것은 ③이다.
05 ① 2¤ +2_2+0
② 2_3¤ -3_3+2+0
③ 5¤ +3_5=2_5_(5-1)
④ 5-6-2+0
⑤ (2_2+1)(2-1)+3
따라서 [ ] 안에 수가 주어진 방정식의 해인 것은 ③이다.
06 ① 1_2=3-1
② 3-4+1=6-6
③ 3_(-1)=-3
④ 1+3-1=6-3
⑤ (3+1)¤ +0_3
따라서 x=1을 해로 갖지 않는 것은 ⑤이다.
07 x=1을 2x¤ +x+a=0에 대입하면
2+1+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-3
x=-2를 3x¤ -5x-b=0에 대입하면
12+10-b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=22
∴ a+b=-3+22=19
08 x=-1을 3x¤ -ax-4a+3=0에 대입하면
3+a-4a+3=0, -3a=-6(cid:100)(cid:100)
∴ a=2
09 x=2를 2x¤ -x+a=0에 대입하면
8-2+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-6
x=2를 x¤ -bx+2=0에 대입하면
4-2b+2=0(cid:100)(cid:100)∴ b=3
∴ a+b=-6+3=-3
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) -3
유형북
(cid:9000) 7
(cid:9000) 1
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=11
∴ a+b=-4+11=7
11 x=a를 x¤ -2x-1=0에 대입하면
a¤ -2a-1=0
① a¤ -2a=1
② 3a¤ -6a+4=3(a¤ -2a)+4=3_1+4=7
③ a¤ -2a-2=1-2=-1
④ a¤ -2a-1=0에서 양변을 a로 나누면
④ a-2- =0(cid:100)(cid:100)∴ a- =2
1
a
1
a
⑤ 4a¤ -8a+6=4(a¤ -2a)+6=4_1+6=10
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
④ a=0이면 0¤ -2_0-1+0으로 등식이 성립하지 않는다.
즉, a+0이다.
12 x=p를 2x¤ -4x+1=0에 대입하면
2p¤ -4p+1=0, 2p¤ -4p=-1
∴ 4p-2p¤ =-(2p¤ -4p)=1
13 x=a를 x¤ -3x+1=0에 대입하면
a¤ -3a+1=0(cid:100)(cid:100)
∴ a¤ -3a=-1
x=b를 3x¤ -2x-4=0에 대입하면
3b¤ -2b-4=0(cid:100)(cid:100)
∴ 3b¤ -2b=4
∴ a¤ +3b¤ -3a-2b=a¤ -3a+3b¤ -2b
=-1+4=3
(cid:9000) ③
인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
70~72쪽
알고 있나요?
① A=0이고 B=0(cid:100)② A=0이고 B+0(cid:100)③ A+0이고 B=0
의 세 경우를 간단히 A=0 또는 B=0이라 한다.
11THEME
1 A=0 또는 B=0
2 완전제곱식
01 2x¤ -3x-5=0에서
(x+1)(2x-5)=0
∴ x=-1 또는 x=;2%;
채점 기준
❶ x=2를 대입하여 a의 값 구하기
❷ x=2를 대입하여 b의 값 구하기
❸ a+b의 값 구하기
배점
40%
40%
20%
이때 a>b이므로 a=;2%;, b=-1
∴ 2a-b=2_;2%;-(-1)=6
(cid:9000) ③
02 각각의 방정식의 해를 구하면 다음과 같다.
10 x=1을 2ax¤ -3x+b=0에 대입하면
yy`㉠
2a-3+b=0(cid:100)(cid:100)
∴ 2a+b=3
x=-1을 x¤ -bx+3a=0에 대입하면
1+b+3a=0(cid:100)(cid:100)
∴ 3a+b=-1 yy`㉡
① x=-3 또는 x=2
② x=3 또는 x=2
③ x=-3 또는 x=-2
④ x=-;3!; 또는 x=;2!;
⑤ x=-;2!; 또는 x=;3!;
(cid:9000) ①
04. 이차방정식의 뜻과 풀이 31
03 3x¤ =2(4-x)에서 3x¤ =8-2x
3x¤ +2x-8=0, (x+2)(3x-4)=0
∴ x=-2 또는 x=;3$;
(cid:9000) x=-2 또는 x=;3$;
(cid:9000) ②
y❶
04 x=-1을 x¤ -ax-2a+1=0에 대입하면
1+a-2a+1=0
-a+2=0∴∴∴ a=2
즉, x¤ -2x-4+1=0에서 x¤ -2x-3=0이므로
(x+1)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-1 또는 x=3
따라서 다른 한 근은 x=3이므로 b=3
∴ 2a-b=2_2-3=1
05 x=3을 x¤ +ax-6=0에 대입하면
9+3a-6=0, 3a+3=0∴∴
∴ a=-1∴∴
a=-1을 ax¤ +8x-15=0에 대입하면
-x¤ +8x-15=0, x¤ -8x+15=0
(x-3)(x-5)=0∴∴
∴ x=3 또는 x=5
y❷
(cid:9000) x=3 또는 x=5
채점 기준
❶ x=3을 대입하여 a의 값 구하기
❷ 이차방정식 ax¤ +8x-15=0의 해 구하기
배점
50%
50%
06 x=5를 2x¤ -9x+k=0에 대입하면
50-45+k=0, 5+k=0∴∴
∴ k=-5
2x¤ -9x-5=0에서 (2x+1)(x-5)=0
∴ x=-;2!; 또는 x=5
즉, 나머지 한 근은 x=-;2!;이므로 m=-;2!;
∴ -k+2m=-(-5)+2_{-;2!;}=4
(cid:9000) ④
07 x(x-3)-4=0에서 x¤ -3x-4=0
(x+1)(x-4)=0∴∴
∴ x=-1 또는 x=4
두 근 중 작은 근은 x=-1이므로
x=-1을 x¤ -ax-3=0에 대입하면
1+a-3=0∴∴∴ a=2
08 3x¤ -x-2=0에서 (3x+2)(x-1)=0
∴ x=-;3@; 또는 x=1
두 근 중 큰 근이 x=1이므로
x=1을 mx¤ -2mx+3m-8=0에 대입하면
m-2m+3m-8=0
2m=8∴∴∴ m=4
09 2x¤ -3x-5=0에서 (x+1)(2x-5)=0
∴ x=-1 또는 x=;2%;
두 근 중 음수인 근은 x=-1이므로
32 정답 및 풀이
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=4이다. (cid:9000) x=4
11 x¤ +x-2=0에서 (x+2)(x-1)=0
x=-1을 3x¤ -ax+2a-6=0에 대입하면
3+a+2a-6=0
3a-3=0, 3a=3∴∴
∴ a=1
10 x¤ -2x-8=0에서 (x+2)(x-4)=0
∴ x=-2 또는 x=4
3x¤ -11x-4=0에서 (3x+1)(x-4)=0
∴ x=-;3!; 또는 x=4
∴ x=-2 또는 x=1
x¤ -x-6=0에서 (x+2)(x-3)=0
∴ x=-2 또는 x=3
두 이차방정식의 공통인 근은 x=-2이므로
x=-2를 2x¤ -ax+2a+4=0에 대입하면
8+2a+2a+4=0, 4a+12=0∴∴
∴ a=-3
12 3x¤ +4x-4=0에서 (x+2)(3x-2)=0
∴ x=-2 또는 x=;3@;
2x¤ -3x-14=0에서 (x+2)(2x-7)=0
∴ x=-2 또는 x=;2&;
(cid:9000) ③
(cid:9000) -3
따라서 두 이차방정식의 공통인 근이 x=-2이므로 공통이
아닌 근은 x=;3@;, x=;2&;이다.
즉, 구하는 곱은 ;3@;_;2&;=;3&;
(cid:9000) ;3&;
13 x=1을 2x¤ -3x+m=0에 대입하면
2-3+m=0∴∴∴ m=1
m=1을 x¤ -2(2m-1)x-3=0에 대입하면
x¤ -2x-3=0, (x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
m=1을 (2+m)x¤ -2(m+3)x-3=0에 대입하면
3x¤ -8x-3=0, (3x+1)(x-3)=0
∴ x=-;3!; 또는 x=3
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=3이다.
(cid:9000) ④
(cid:9000) 2
(cid:9000) ②
14 ㄱ. x¤ -4=0에서 (x+2)(x-2)=0
∴ x=-2 또는 x=2
ㄴ. x¤ =4x-4에서 x¤ -4x+4=0, (x-2)¤ =0
∴ x=2 (중근)
ㄷ. 3x¤ -3x-18=0에서 x¤ -x-6=0
ㄹ. x(x-8)+2=-14에서 x¤ -8x+16=0
(x+2)(x-3)=0
∴ x=-2 또는 x=3
(x-4)¤ =0
∴ x=4 (중근)
따라서 중근을 갖는 것은 ㄴ, ㄹ이다.
(cid:9000) ④
유형북
(cid:9000) 6
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
(cid:9000) 9
(cid:9000) ④
15 ① x¤ -2x+1=0에서 (x-1)¤ =0(cid:100)(cid:100)
01 3(x-1)¤ =15에서 (x-1)¤ =5
(cid:9000) 3
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①
y❶
∴ x=1 (중근)
② (x+1)¤ =0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-1 (중근)
③ x¤ -x+;4!;=0에서 {x-;2!;}¤ =0(cid:100)(cid:100)
③ ∴ x=;2!; (중근)
④ x¤ +6x+9=0에서 (x+3)¤ =0(cid:100)(cid:100)
⑤ x¤ -3x+2=0에서 (x-1)(x-2)=0
∴ x=-3 (중근)
∴ x=1 또는 x=2
x¤ +2x+1=0
즉, a=2, b=1이므로
a+b=2+1=3
17 3a-5={-;2^;}
이므로
3a-5=9∴∴∴ 3a=14
18 x¤ -3(2x-1)+2a=0에서
x¤ -6x+2a+3=0이 중근을 가지므로
2a+3={-;2^;}
, 2a+3=9
2
2
x-1=—'5(cid:100)(cid:100)
∴ x=1—'5
즉, a=1, b=5이므로
a+b=1+5=6
02 4x¤ =3에서 x¤ =;4#;
∴ x=—
'3
2
03 ① (x-1)¤ =5에서 x-1=—'5(cid:100)(cid:100)
∴ x=1—'5
② (x-2)¤ =5에서 x-2=—'5(cid:100)(cid:100)
④ (x+1)¤ =5에서 x+1=—'5(cid:100)(cid:100)
⑤ (x+2)¤ =5에서 x+2=—'5(cid:100)(cid:100)
∴ x=3—'5
∴ x=-1—'5
∴ x=-2—'5
따라서 해가 x=2—'5인 이차방정식은 ②이다.
(cid:9000) ②
04 (x+3)¤ -5=0에서 (x+3)¤ =5
x+3=—'5(cid:100)(cid:100)
∴ x=-3—'5
∴ (두 근의 차)=-3+'5-(-3-'5)=2'5
따라서 중근을 갖지 않는 것은 ⑤이다.
16 중근 x=-1을 가지므로 (x+1)¤ =0
(cid:9000) ⑤
∴ x=2—'5
③ (x-3)¤ =5에서 x-3=—'5(cid:100)(cid:100)
2a=6에서∴ a=3
즉, x¤ -6x+9=0에서 (x-3)¤ =0이므로 x=3 (중근)∴
∴ b=3
∴ ;aB;=;3#;=1
19 x¤ -4x+k=0이 한 개의 해, 즉 중근을 가지므로
2
k={-;2$;}
에서∴ k=4
k=4를 (k-6)x¤ +9x-9=0에 대입하면
-2x¤ +9x-9=0, 2x¤ -9x+9=0
05 2(x-1)¤ =8에서 (x-1)¤ =4
x-1=—2(cid:100)(cid:100)
∴ x=-1 또는 x=3
06 3(x-a)¤ =b에서 (x-a)¤ =;3B;
x-a=—æ;3B;∴∴
∴ x=a—æ;3B;
(2x-3)(x-3)=0에서∴ x=;2#; 또는 x=3
y❷
즉, a=2이고` ;3B;=6에서 b=18
(cid:9000) x=;2#; 또는 x=3
∴ ;aB;=:¡2•:=9
채점 기준
❶ 중근을 가질 조건을 이용하여 상수 k의
❷ 이차방정식 (k-6)x¤ +9x-9=0의 해
값 구하기
구하기
배점
50%
50%
12THEME
이차방정식의 근의 공식
73~77쪽
알고 있나요?
1
a, b, m, 'ßk , -p—'ßk
2 ⑴ x=
-b—"√b¤ -4ac
2a
(cid:100)⑵ x=
-b'—"√b'¤ -ac
a
|`다른 풀이`| x=2—'6 에서 x-2=—'6
(x-2)¤ =6∴∴
∴ 3(x-2)¤ =18
즉, a=2, b=18이므로 ;aB;=:¡2•:=9
07 ㄱ. x=p—'ßk 이지만 부호가 반대인 것은 아니다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
08 이차방정식의 근이 존재하려면 mæ0
따라서 보기 중 상수 m의 값이 될 수 없는 것은 ① -1이다.
(cid:9000) ①
09 서로 다른 두 근을 가지려면
>0이어야 하므로
m-2
4
m-2>0∴∴∴ m>2
(cid:9000) m>2
10 2x¤ -8x+3=0에서 x¤ -4x+;2#;=0
04. 이차방정식의 뜻과 풀이 33
x¤ -4x=-;2#;, x¤ -4x+4=-;2#;+4
(x-2)¤ =;2%;
즉, a=2, b=;2%;이므로
a+2b=2+2_;2%;=7
11 x¤ -5x+2=0에서 x¤ -5x=-2
2
x¤ -5x+{-;2%;}
2
=-2+{-;2%;}
2
{x-;2%;}
=:¡4¶:∴∴∴ k=:¡4¶:
12 ;2!;x¤ -2x-3=0의 양변에 2를 곱하면
x¤ -4x-6=0, x¤ -4x=6
x¤ -4x+4=6+4
(x-2)¤ =10∴∴
즉, p=2, q=10이므로
2p-q=2_2-10=-6
채점 기준
❶ 완전제곱식 꼴로 나타내기
❷ p, q의 값 구하기
❸ 2p-q의 값 구하기
13 3x¤ -6x-5=0의 양변을 3으로 나누면
x¤ -2x-;3%;=0, x¤ -2x=;3%;
x¤ -2x+1=;3%;+1, (x-1)¤ =;3*;
x-1=—Æ;3*; , x-1=—
2'6
3
∴ x=1—
2'6
3
따라서 (cid:8641) 안에 들어갈 수는
① -2, ② ;3%;, ③ -1, ④ ;3*;, ⑤ 1—
2'6
3
이므로 옳지 않은 것은 ⑤이다.
14 x¤ -6x-4=0에서 x¤ -6x=4
x¤ -6x+9=4+9
(x-3)¤ =13
x-3=—'∂13
∴ x=3—'∂13
채점 기준
❶ 상수항을 우변으로 이항하기
x의 계수
2
❷ 양변에 {11113}
더하기
2
❸ 좌변을 완전제곱식으로 바꾸기
❹ 이차방정식의 해 구하기
15 3x¤ -2x-3=0의 양변을 3으로 나누면
x¤ -;3@;x-1=0, x¤ -;3@;x=1
34 정답 및 풀이
2
x¤ -;3@;x+{-;3!;}
=1+{-;3!;}
2
2
{x-;3!;}
=:¡9º:, x-;3!;=—
'∂10
3
∴ x=;3!;—
'∂10
3
=
1—'∂10
3
즉, a=1, b=10이므로
a+b=1+10=11
16 3x¤ -x+a=0에서 x=
1—'ƒ1-12a
6
(cid:9000) :¡4¶:
1-12a=13∴∴∴ a=-1
17 2x¤ +3x-1=0에서
-3—'∂17
4
=
x=
-3—'ƒ9+8
4
즉, a=-3, b=17이므로
a+b=-3+17=14
18 2x¤ -6x+1=0에서
x=
3—'ƒ9-2
2
=
3—'7
2
(cid:9000) 7
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) -6
배점
60%
20%
20%
두 근 중 큰 근은 x=
이므로 a=
3+'7
2
3+'7
2
∴ 2a-'7 =3+'7 -'7 =3
(cid:9000) ③
19 주어진 이차방정식의 양변에 4를 곱하면
x(x-4)=2(3x-1)
x¤ -4x=6x-2, x¤ -10x+2=0
∴ x=5—'ƒ25-2 =5—'∂23
즉, a=5, b=23이므로
3a-b=3_5-23=-8
20 주어진 이차방정식의 양변에 10을 곱하면
5x¤ -8x-4=0, (5x+2)(x-2)=0
∴ x=-;5@; 또는 x=2
21 주어진 이차방정식의 양변에 6을 곱하면
4x¤ -3x(x-4)+12x=0
4x¤ -3x¤ +12x+12x=0
x¤ +24x=0, x(x+24)=0
∴ x=0 또는 x=-24
22 (2x-1)(x-1)-5=0에서
2x¤ -3x-4=0
∴ x=
3—'ƒ9+32
4
=
3—'∂41
4
따라서 두 근의 곱은
3-'∂41
3+'∂41
4
4
_
=
-32
16
=-2
23 0.6x¤ -1.3x+0.5=0의 양변에 10을 곱하면
6x¤ -13x+5=0, (2x-1)(3x-5)=0
∴ x=;2!; 또는 x=;3%;
;3@;x¤ -;3&;x+1=0의 양변에 3을 곱하면
2x¤ -7x+3=0, (2x-1)(x-3)=0
(cid:9000) x=0 또는 x=-24
(cid:9000) ⑤
y❶
y❷
y❸
y❹
(cid:9000) x=3—'∂13
배점
20%
20%
30%
30%
(cid:9000) 11
(cid:9000) -1
(cid:9000) 14
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) x=;2!;
배점
40%
40%
20%
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
∴ x=;2!; 또는 x=3
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=;2!;이다.
채점 기준
❶ 0.6x¤ -1.3x+0.5=0의 근 구하기
❷ ;3@;x¤ -;3&;x+1=0의 근 구하기
❸ 두 이차방정식의 공통인 근 구하기
24 주어진 이차방정식의 양변에 10을 곱하면
2(x¤ -x+2)=5x(x-1)
2x¤ -2x+4=5x¤ -5x
3x¤ -3x-4=0
∴ x=
3—'ƒ9+48
6
=
3—'∂57
6
즉, a=3, b=57이므로
a+b=3+57=60
25 (x-1)(x+2)=-4x+4에서
x¤ +x-2=-4x+4
x¤ +5x-6=0, (x+6)(x-1)=0
∴ x=-6 또는 x=1
그런데 a>b이므로 a=1, b=-6
즉, x¤ +2ax+b=0에서 x¤ +2x-6=0
∴ x=-1—'ƒ1+6 =-1—'7
26 x-1=A로 치환하면
3A¤ -4A+1=0, (3A-1)(A-1)=0
∴ A=;3!; 또는 A=1
x-1=;3!; 또는 x-1=1이므로
x=;3$; 또는 x=2
이때 a>b에서 a=2, b=;3$;
27 x-;2!;=A로 치환하면
3A¤ -1=2A, 3A¤ -2A-1=0
(3A+1)(A-1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ A=-;3!; 또는 A=1
x-;2!;=-;3!; 또는 x-;2!;=1이므로
28 a-b=A로 치환하면
A(A-1)=6, A¤ -A-6=0
(A+2)(A-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ A=-2 또는 A=3
∴ a-3b=2-3_;3$;=-2
(cid:9000) -2
유형북
(cid:9000) 3
그런데 a>b이므로 a-b>0(cid:100)(cid:100)
∴ a-b=3
29 x¤ -4x+2=0에서
x=2—'ƒ4-2=2—'2
이때 a>b이므로 a=2+'2 , b=2-'2
b-2<n<a-2에서 -'2 <n<'2
12
1.4y
12
-1.4y
따라서 주어진 부등식을 만족하는 정수 n은 -1, 0, 1의 3개
이다.
(cid:9000) ③
30 x¤ -6x+4=0에서
x=3—'ƒ9-4 =3—'5
이때 a>b이므로 a=3+'5 , b=3-'5
b-3<n<a-3에서 -'5 <n<'5
12
2.2y
12
-2.2y
따라서 주어진 부등식을 만족하는 정수 n은 -2, -1, 0, 1,
2의 5개이다.
(cid:9000) ④
31 4x¤ +4x-1=0에서
x=
-2—'ƒ4+4
4
=
-2—2'2
4
=
-1—'2
2
이때 a<b에서 a=
-1-'2
2
, b=
-1+'2
2
이므로
b-a=
-1+'2 -(-1-'2 )
2
='2
즉, n<'2 <n+1을 만족하는 정수 n의 값은 1이다. (cid:9000) 1
78~79쪽
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
01 주어진 방정식을 정리하면
(a¤ -3a+2)x¤ +(a-1)x-1=0
이차방정식이 되기 위한 조건은 a¤ -3a+2+0
(a-1)(a-2)+0
∴ a+1이고 a+2
02 x=a를 x¤ -3x-5=0에 대입하면
a¤ -3a-5=0에서 a¤ -3a=5
∴ (a+1)(a+4)(a-4)(a-7)
=(a+1)(a-4)(a+4)(a-7)
=(a¤ -3a-4)(a¤ -3a-28)
=(5-4)(5-28)
=1_(-23)=-23
03 x=2를 주어진 이차방정식에 대입하면
4(m-1)-2(m¤ +1)+2(m+1)=0
m¤ -3m+2=0
(m-1)(m-2)=0(cid:100)(cid:100)
∴ m=1 또는 m=2
이때 m=1이면 이차방정식이 아니므로 m=2
즉, x¤ -5x+6=0이므로
04. 이차방정식의 뜻과 풀이 35
x=;6!; 또는 x=;2#;
(cid:9000) ③
-2m¤ +6m-4=0
(x-2)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=2 또는 x=3
따라서 상수 m의 값과 다른 한 근의 합은
2+3=5
04 2x¤ -5x=-2에서 2x¤ -5x+2=0
(2x-1)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=;2!; 또는 x=2
x=2가 x¤ -(m-1)x+m+3=0의 근이므로
4-2(m-1)+m+3=0, -m+9=0
∴ m=9
x=;2!;이 4x¤ -nx-5=0의 근이므로
4_;4!;-;2!;n-5=0, ;2!;n=-4(cid:100)(cid:100)
∴ n=-8
∴ m-n=9-(-8)=17
05 3x¤ +2x-1=0에서
(x+1)(3x-1)=0
∴ x=-1 또는 x=;3!;
⁄ 공통인 근이 x=-1일 경우
⁄ x=-1을 x¤ -2x+k=0에 대입하면
⁄ (-1)¤ -2_(-1)+k=0(cid:100)(cid:100)
⁄ ∴ k=-3
¤ 공통인 근이 x=;3!;일 경우
⁄ x=;3!;을 x¤ -2x+k=0에 대입하면
⁄ {;3!;}2 -2_;3!;+k=0(cid:100)(cid:100)
⁄ ∴ k=;9%;
k>0이므로 k=;9%;
06 x¤ -kx+k-1=0이 중근을 가지므로
2
k-1={-;2K;}
, k-1=
k¤
4
-k+1=0, k¤ -4k+4=0
k¤
4
(k-2)¤ =0(cid:100)(cid:100)
∴ k=2
즉, x¤ -2x+1=0에서
(x-1)¤ =0
∴ x=1 (중근)(cid:100)(cid:100)
∴ a=1
∴ k+a=2+1=3
07 5(x-4)¤ =a에서 (x-4)¤ =;5A;
'∂5a
5
x-4=—
(cid:100)(cid:100)
∴ x=4—
'∂5a
5
이때 두 근의 차가 1이므로
36 정답 및 풀이
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ;9%;
{4+
}-{4-
}=1
'∂5a
5
=1, '∂5a =;2%;, 5a=:™4∞: (cid:100)(cid:100)
'∂5a
5
2'∂5a
5
∴ a=;4%;
08 주어진 이차방정식의 양변에 12를 곱하면
9x¤ =6x+10, 9x¤ -6x-10=0
3—'∂99
9
3—'ƒ9+90
9
∴ x=
=
∴ x=
1—'∂11
3
즉, a=1, b=11이므로
a-b=1-11=-10
09 (3x-2)¤ -(3x-2)(x+2)-2(x+2)¤ =0에서
(cid:9000) ①
(cid:9000) ①
(cid:9000) ⑤
10 두 이차방정식 A, B의 공통인 해가 x=-2이고, B는 중근
3x-2=A, x+2=B로 치환하면
A¤ -AB-2B¤ =0
(A+B)(A-2B)=0
(3x-2+x+2)(3x-2-2x-4)=0
4x(x-6)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=0 또는 x=6
∴ a¤ +b¤ =0¤ +6¤ =36
을 가지므로
A：(-2)¤ +a_(-2)-10=0
-2a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=-3
B：(x+2)¤ =0, x¤ +4x+4=0(cid:100)(cid:100)
∴ b=4, c=4
∴ a+b+c=-3+4+4=5
(cid:9000) ①
11 x¤ -6x-(cid:8641)=0에서
x=3—"√9+(cid:8641)
이때 나올 수 있는 이차방정식의 해 중 가장 큰 정수인 해는
제곱근 안의 수 9+(cid:8641)가 가장 큰 제곱인 수가 되는 경우이므로
(cid:8641)=16
∴ x=3+'ƒ9+16 =3+5=8
(cid:9000) 8
12 주어진 이차방정식의 괄호를 풀어 정리하면
3(2x¤ -x-3)-2(x¤ -2x+1)=2x-10
4x¤ +x-11=2x-10
4x¤ -x-1=0
∴ x=
1—'∂17
8
(cid:9000) ③
이때 양수인 근이 x=
1+'∂17
8
이므로
a=
1+'∂17
8
4<'∂17 <5이므로 5<1+'∂17 <6
;8%;<
1+'∂17
8
<;8^;
즉, ;8%;<a<;4#;이므로 정수 n의 값은 0이다.
(cid:9000) 0
05. 이차방정식의 활용
01 2x¤ -5x-1=0에서
a=2, b=-5, c=-1이므로
b¤ -4ac=(-5)¤ -4_2_(-1)=33
즉, b¤ -4ac>0이므로 근이 2개
02 3x¤ +5x+3=0에서
a=3, b=5, c=3이므로
b¤ -4ac=5¤ -4_3_3=-11
즉, b¤ -4ac<0이므로 근이 0개
03 2x¤ +8x+8=0에서
a=2, b=8, c=8이므로
b¤ -4ac=8¤ -4_2_8=0
즉, b¤ -4ac=0이므로 근이 1개
04 (cid:9000) -4, 3
05 (cid:9000) 0, -3
06 (cid:9000) -;2!;, -;2#;
07 (x+1)(x-5)=0, x¤ -4x-5=0
08 {x-;2!;}{x-;3!;}=0, x¤ -;6%;x+;6!;=0
81쪽
(cid:9000) 33, 2
(cid:9000) -11, 0
(cid:9000) 0, 1
(cid:9000) x¤ -4x-5=0
(cid:9000) x¤ -;6%;x+;6!;=0
(cid:9000) x¤ -10x+25=0
09 (x-5)¤ =0, x¤ -10x+25=0
10 (cid:9000) 3+'5
11 (cid:9000) 2-'7
12 (cid:9000) x+1
13 x(x+1)=132에서
x¤ +x-132=0
(x+12)(x-11)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=11 (∵ x는 자연수)
14 (cid:9000) 11, 12
15 (cid:9000) (20-x)(15-x) m¤
16 (20-x)(15-x)=204에서
x¤ -35x+300=204
x¤ -35x+96=0
(x-3)(x-32)=0
이때 0<x<15이므로 x=3
따라서 도로의 폭은 3 m이다.
17 60x-5x¤ =160에서
5x¤ -60x+160=0
x¤ -12x+32=0
(x-4)(x-8)=0
∴ x=4 또는 x=8
따라서 공의 높이가 160 m가 되는 것은 공을 쏘아 올린 지 4
초 후 또는 8초 후이다.
(cid:9000) 4초 후 또는 8초 후
18 60x-5x¤ =0에서
-5x(x-12)=0
∴ x=0 또는 x=12
따라서 공이 다시 지면에 떨어지는 것은 12초 후이다.
유형북
(cid:9000) 12초 후
82~89쪽
이차방정식의 성질
82~85쪽
알고 있나요?
13THEME
1 ① •(cid:100)(cid:100)(cid:100)•`㉠
② •(cid:100)(cid:100)(cid:100)•`㉡
③ •(cid:100)(cid:100)(cid:100)•`㉢
④ •(cid:100)(cid:100)(cid:100)•`㉣
2 ⑴ -;aB;(cid:100)(cid:100)⑵ ;aC;
01 ① (-3)¤ -4_2_1>0
˙k 근은 2개
② (-2)¤ -4_4_(-1)>0
③ 2¤ -4_1_(-1)>0
˙k 근은 2개
˙k 근은 2개
④ (-4)¤ -4_3_3<0
˙k 근은 없다.
⑤ (-9)¤ -4_3_(-2)>0
˙k 근은 2개
(cid:9000) 11
따라서 근의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다. (cid:9000) ④
02 ㄱ. m=-3, n=2이면 x¤ -3x+2=0에서
(-3)¤ -4_1_2>0이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.
ㄴ. m=0, n=9이면 x¤ +9=0에서
0¤ -4_1_9<0이므로 근이 없다.
ㄷ. m=2, n=1이면 x¤ +2x+1=0에서
2¤ -4_1_1=0이므로 중근을 갖는다.
ㄹ. n<0이면 m¤ -4n>0이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.
(cid:9000) ㄱ, ㄹ
(cid:9000) 3 m
03 2x¤ -5x-3=0에서
(-5)¤ -4_2_(-3)>0
∴ a=2
;5!;x¤ -2x+5=0에서
(-2)¤ -4_;5!;_5=0
05. 이차방정식의 활용 37
∴ b=1
-2(x+1)¤ =4에서
(x+1)¤ =-2
x¤ +2x+3=0
2¤ -4_1_3<0
∴ c=0
∴ a-b+c=2-1+0=1
04 x¤ +k(2x-3)+4=0에서
x¤ +2kx-3k+4=0이므로
(2k)¤ -4(-3k+4)=0
4k¤ +12k-16=0
k¤ +3k-4=0
(k+4)(k-1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ k=-4 또는 k=1
이때 k>0이므로 k=1
05 x¤ -4x+p=0에서
(-4)¤ -4p=0
16-4p=0(cid:100)(cid:100)
∴ p=4
x¤ -2(p+1)x+q=0에서
x¤ -10x+q=0
(-10)¤ -4q=0
100-4q=0(cid:100)(cid:100)
∴ q=25
∴ Æ;pQ; =Ƭ:™4∞: =;2%;
(cid:9000) 1
(cid:9000) 1
¤ (k-2)x¤ +4x-3=0이 서로 다른 두 근을 가지므로
4¤ -4_(k-2)_(-3)>0
-16k>-17(cid:100)(cid:100)
∴ k<;1!6&;
16+12k-24>0
12k>8(cid:100)(cid:100)
∴ k>;3@
이때 k+2이므로 `;3@;<k<2, k>2
⁄, ¤를 모두 만족하는 상수 k의 값의 범위는
;3@;<k<;1!6&;
(cid:9000) ;3@;<k<;1!6&;
채점 기준
❶ 2x¤ -3x+2k-1=0이 서로 다른 두 근
을 가질 조건 구하기
❷ (k-2)x¤ +4x-3=0이 서로 다른 두
근을 가질 조건 구하기
❸ ⁄과 ¤의 공통 범위 구하기
배점
40%
40%
20%
10 이차방정식 3x¤ -2x-5=0에서
a=-
=;3@;, b=-;3%;
-2
3
∴ a+b=;3@;+{-;3%;}=-1
(cid:9000) -1
(cid:9000) ②
11 (x+4)(x-4)=2(x+1)¤ -20에서
x¤ -16=2x¤ +4x+2-20
x¤ +4x-2=0
따라서 두 근의 합은 -;1$;=-4
(cid:9000) ②
12 2x¤ -5x+a=0에서 두 근의 곱은
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 102
(cid:9000) ④
06 x¤ +6x+(k-3)=0에서
6¤ -4_1_(k-3)=0
-4k+48=0(cid:100)(cid:100)
∴ k=12
k=12를 x¤ +(k-5)x+2(k-7)=0에 대입하면
x¤ +7x+10=0
(x+5)(x+2)=0
∴ x=-5 또는 x=-2
07 이차방정식이 서로 다른 두 근을 가지므로
(-8)¤ -4_2_(k-5)>0에서
64-8k+40>0
-8k>-104중근
∴ k<13
(cid:9000) ①, ②
08 이차방정식의 해가 없으므로
4¤ -4(k-2)<0에서
16-4k+8<0
-4k<-24(cid:100)(cid:100)
∴ k>6
따라서 상수 k의 값이 될 수 있는 것은 ⑤ 7이다.
09 ⁄ 2x¤ -3x+2k-1=0이 서로 다른 두 근을 가지므로
(cid:9000) ⑤
(-3)¤ -4_2_(2k-1)>0
9-16k+8>0
38 정답 및 풀이
;2A;=-;2(;(cid:100)(cid:100)
x=
∴ a=-9
2x¤ -5x-9=0에서
5—'ƒ25+72
4
즉, A=5, B=97이므로
A+B=5+97=102
=
5—'∂97
4
(cid:9000) ④
13 ;4!;x¤ +;2!;x-3=0의 양변에 4를 곱하면
x¤ +2x-12=0
두 근의 합이 -;1@;=-2이므로
x=-2를 x¤ +3x-k=0에 대입하면
(-2)¤ +3_(-2)-k=0
4-6-k=0(cid:100)(cid:100)
∴ k=-2
14 이차방정식 2x¤ -4x-5=0에서
a+b=2, ab=-;2%;
∴ a¤ b+ab¤ ={-;2&;}_2=-7
(cid:9000) ①
22 x¤ 의 계수가 3이고 중근 x=3을 가지므로
∴ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
∴ a¤ +b¤ =2¤ -2_{-;2%;}
∴ a¤ +b¤ =4+5=9
15 이차방정식 x¤ -5x-3=0에서
a+b=5, ab=-3
1
a+b
b
ab
∴ + =
1
a
=-;3%;
16 이차방정식 2x¤ -4x-7=0에서
a+b=2, ab=-;2&;
∴ a¤ b+ab¤ =ab(a+b)
17 이차방정식 x¤ +2x-1=0에서
a+b=-2, ab=-1
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
=(-2)¤ -2_(-1)=6
∴ + =
b
a
a
b
a¤ +b¤
ab
6
-1
∴ + =
=-6
(cid:9000) ③
18 두 근을 a, a+2로 놓으면 두 근의 합이 10이므로
a+(a+2)=10, 2a=8(cid:100)(cid:100)
∴ a=4
따라서 두 근이 4, 6이므로 두 근의 곱은
4_6=k-2, k-2=24(cid:100)(cid:100)
∴ k=26
19 두 근을 a, 2a로 놓으면 두 근의 곱이 32이므로
a_2a=32, a¤ =16(cid:100)(cid:100)
∴ a=—4
두 근의 합이 a+2a=k+1이므로 k=3a-1
∴ k=-13 또는 k=11
20 두 근을 2a, 3a로 놓으면 두 근의 합이 ;3%;이므로
2a+3a=;3%;, 5a=;3%;(cid:100)(cid:100)
∴ a=;3!;
따라서 두 근이 ;3@;, 1이므로 두 근의 곱은
;3@;_1=:™3;;(cid:100)(cid:100)
∴ k=1
21 두 근이 -;3!;, 2이고 x¤ 의 계수가 6인 이차방정식은
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
(cid:9000) 1
6{x+;3!;}(x-2)=0
6{x¤ -;3%;x-;3@;}=0
6x¤ -10x-4=0(cid:100)(cid:100)
∴ a=6, b=-10, c=-4
유형북
∴ a+b-c=6+(-10)-(-4)=0
(cid:9000) ③
|`다른 풀이`| 두 근이 -;3!;, 2이므로
(cid:9000) 9
(두 근의 합)=-;3!;+2=;3%;
(두 근의 곱)={-;3!;}_2=-;3@;
(cid:9000) -;3%;
즉, 두 근의 합이 ;3%;, 곱이 -;3@;이고 x¤ 의 계수가 6인 이차방
정식은
6{x¤ -;3%;x-;3@;}=0(cid:100)(cid:100)
∴ 6x¤ -10x-4=0
3(x-3)¤ =0에서
3(x¤ -6x+9)=0
3x¤ -18x+27=0(cid:100)(cid:100)
∴ a=18, b=27
∴ a+b=18+27=45
(cid:9000) 45
23 이차방정식 x¤ +ax+b=0의 두 근이 2, 4이므로
(x-2)(x-4)=0에서
x¤ -6x+8=0
y❶
∴ a=-6, b=8
이차항의 계수가 2이고 a, b를 두 근으로 하는 이차방정식은
2(x+6)(x-8)=0
∴ 2x¤ -4x-96=0
y❷
(cid:9000) 2x¤ -4x-96=0
채점 기준
❶ 이차방정식을 만들어 a, b의 값 구하기
❷ 주어진 조건에 맞는 이차방정식 구하기
배점
60%
40%
24 x¤ -x-6=0에서
a+b=1, ab=-6
(a-1)+(b-1)=a+b-2
=1-2=-1
(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1
=-6-1+1=-6
즉, 두 근의 합이 -1, 곱이 -6이고, x¤ 의 계수가 1인 이차
방정식은
x¤ +x-6=0
(cid:9000) x¤ +x-6=0
25 계수가 유리수이고 한 근이 3+'2 이므로 다른 한 근은
3-'2 이다.
k=(3+'2 )(3-'2 )=9-2=7
26 계수가 유리수이고 한 근이 -1+'5 이므로 다른 한 근은
-1-'5 이다.
k+1=(-1+'5 )+(-1-'5 )=-2
∴ k=-3
27 계수와 상수항이 모두 유리수이고 한 근이 3+'6 이므로
다른 한 근은 3-'6 이다.
(두 근의 합)=(3+'6 )+(3-'6 )=6
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
05. 이차방정식의 활용 39
(두 근의 곱)=(3+'6 )(3-'6 )=9-6=3
따라서 구하는 이차방정식은 x¤ -6x+3=0
(cid:9000) x¤ -6x+3=0
14THEME
이차방정식의 활용
86~89쪽
01 대각선의 개수가 54이므로
n(n-3)
2
=54
n¤ -3n-108=0
(n+9)(n-12)=0(cid:100)(cid:100)
∴ n=12 (∵ n>3)
따라서 구하는 다각형은 십이각형이다.
n(n-1)
2
=190이므로
n¤ -n-380=0
(n+19)(n-20)=0
∴ n=20 (∵ n>1)
따라서 이 모임의 회원은 모두 20명이다.
n(n+1)
2
=36이므로
n¤ +n-72=0
02
03
(n+9)(n-8)=0
∴ n=8 (∵ n>0)
따라서 구하는 삼각형은 8단계 삼각형이다.
04 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면
(cid:9000) 8단계
(x+1)¤ =x¤ +(x-1)¤ -12
x¤ +2x+1=x¤ +x¤ -2x+1-12
x¤ -4x-12=0
(x+2)(x-6)=0이므
∴ x=6 (∵ x는 자연수)
따라서 세 자연수는 5, 6, 7이므로 구하는 합은
5+6+7=18
x¤ +(x+1)¤ =145
x¤ +x¤ +2x+1=145
2x¤ +2x-144=0
x¤ +x-72=0
(x+9)(x-8)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=8 (∵ x는 자연수)
따라서 두 자연수는 8, 9이므로 두 자연수의 합은
8+9=17
06 어떤 자연수를 x라 하면
2x=x¤ -35
x¤ -2x-35=0
(x+5)(x-7)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=7 (∵ x는 자연수)
따라서 구하는 자연수는 7이다.
40 정답 및 풀이
(cid:9000) ②
(cid:9000) 20명
(cid:9000) 17
(cid:9000) ③
07 십의 자리의 수를 x라 하면 일의 자리의 수는 7-x이므로
이 두 자리의 자연수는
10x+(7-x)
두 수의 곱은 원래의 자연수보다 15만큼 작으므로
x(7-x)=10x+(7-x)-15
x¤ +2x-8=0
y❶
(x+4)(x-2)=0
∴ x=2 (∵ x는 자연수)
따라서 십의 자리의 수는 2, 일의 자리의 수는 7-2=5이므
y❷
로 두 자리의 자연수는 25이다.
(cid:9000) 25
채점 기준
❶ 주어진 조건에 맞는 식 세우기
❷ 두 자리의 자연수 구하기
배점
50%
50%
08 서현이의 나이를 x살이라 하면 동생의 나이는 (x-4)살이
므로
(x-4)¤ =4x+5
x¤ -8x+16=4x+5
x¤ -12x+11=0
(x-1)(x-11)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=11 (∵ x>4)
따라서 서현이의 나이는 11살이다.
09 봉사 활동 모임의 전체 회원 수를 x명이라 하면
회원 1인당 모은 그림책의 수는 (x-3)권이므로
x(x-3)=130
x¤ -3x-130=0
(x+10)(x-13)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=13 (∵ x는 자연수)
따라서 봉사 활동 모임의 회원 수는 13명이다.
10 올린 금액을 x원이라 하면 왕만두 한 개의 가격은
(1000+x)원이고, 팔린 개수는 600-;2!;x이다.
x¤
2
600000=600000+100x-
-100x=0
x¤
2
x¤ -200x=0
x(x-200)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=200 (∵ x>0)
따라서 올린 금액은 200원이다.
55+50t-5t¤ =0
5t¤ -50t-55=0
t¤ -10t-11=0
(t+1)(t-11)=0
∴ t=11 (∵ t>0)
11 물체가 지면에 떨어졌을 때의 높이는 0 m이므로
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
(cid:9000) ②
05 연속하는 두 자연수를 x, x+1이라 하면
1000_600=(1000+x){600-;2{;}
(cid:9000) ④
가격을 올리기 전과 올린 후의 총판매 금액이 같으므로
따라서 물체가 지면에 떨어지는 것은 쏘아 올린 지 11초 후이
(cid:9000) 11초 후
다.
12 2+3t-2t¤ =0에서
2t¤ -3t-2=0
(2t+1)(t-2)=0에서
∴ t=2 (∵ t>0)
따라서 이 선수가 던진 공은 2초 후에 지면에 떨어진다.
∴ x=-3+3'2 (∵ x>0)
따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 (-3+3'2 ) cm이
다.
(cid:9000) ②
18 도로의 폭을 x m라 하면 도로를
제외한 땅의 넓이는 오른쪽 그림의
30 m
x m
색칠된 부분의 넓이와 같으므로
(30-x)(24-x)=520
24 m
x m
유형북
(cid:9000) ③
x¤ -54x+200=0
(x-4)(x-50)=0
∴ x=4 (∵ 0<x<24)
따라서 도로의 폭은 4 m이다.
(cid:9000) 4 m
19 꽃밭의 세로의 길이를 x m라 하면 가로의 길이는 2x m이므로
13 10+30t-5t¤ =55에서
5t¤ -30t+45=0
t¤ -6t+9=0, (t-3)¤ =0
∴ t=3
따라서 지면으로부터 축구공까지의 높이가 55 m인 것은 축
(cid:9000) 3초 후
구공을 차 올린 지 3초 후이다.
14 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는 (13-x) cm
이므로
x(13-x)=42
x¤ -13x+42=0
(x-6)(x-7)=0
∴ x=6 또는 x=7
이때 가로의 길이보다 세로의 길이가 더 길어야 하므로 가로
(cid:9000) 6 cm
의 길이는 6 cm이다.
15 처음 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 늘인 직사각형
의 가로의 길이는 (x+4) cm, 세로의 길이는 (x+6) cm이
고 늘인 직사각형의 넓이가 처음 정사각형의 넓이의 2배이므로
(x+4)(x+6)=2x¤
x¤ -10x-24=0
(x+2)(x-12)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=12 (∵ x>0)
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 12 cm이다.
(cid:9000) 12 cm
16 큰 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 작은 정사각형의
한 변의 길이는 (8-x) cm이므로
x¤ +(8-x)¤ =34
2x¤ -16x+30=0
x¤ -8x+15=0
(x-3)(x-5)=0
∴ x=5 (∵ 4<x<8)
따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는 5 cm이다. (cid:9000) 5 cm
17 작은 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 작은 정사각형
의 둘레의 길이는 4x cm이므로 큰 정사각형의 둘레의 길이
는 (12-4x) cm이고, 큰 정사각형의 한 변의 길이는
(3-x) cm이다.
이때 두 정사각형의 넓이의 비가 1：2이므로
x¤ ：(3-x)¤ =1：2
2x¤ =(3-x)¤
2x¤ =9-6x+x¤
x¤ +6x-9=0
x(2x-2)=40
x¤ -x-20=0
(x+4)(x-5)=0
∴ x=5 (∵ x>0)
따라서 꽃밭의 세로의 길이는 5 m이다.
20 오려 낸 부분의 폭을 x cm라 하
면 오려 낸 부분을 제외한 종이
의 넓이는 오른쪽 그림의 색칠된
30 cm
20 cm
x cm
부분의 넓이와 같으므로
(30-x)(20-x)=375
x¤ -50x+225=0
(x-5)(x-45)=0
∴ x=5 (∵ 0<x<20)
따라서 오려 낸 부분의 폭은 5 cm이다.
21 처음 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
(x-6)_(x-6)_3=192
(x-6)¤ =64
(cid:9000) ②
x cm
(cid:9000) 5 cm
x-6=—8
∴ x=-2 또는 x=14
∴ x=14 (∵ x>6)
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 14 cm이다. (cid:9000) ③
22 ⑴ 접은 부분의 한쪽 폭을 x cm라 하면 빗금친 부분의 가로
의 길이는 (60-2x) cm, 세로의 길이는 x cm이다.
따라서 빗금친 부분의 넓이는
(60-2x)x=-2x¤ +60x(cm¤ )
y❶
⑵ -2x¤ +60x=450에서
-2x¤ +60x-450=0
x¤ -30x+225=0
(x-15)¤ =0
∴ x=15
따라서 물받이의 높이는 15 cm이다.
y❷
(cid:9000) ⑴ (-2x¤ +60x) cm¤ (cid:100)⑵ 15 cm
채점 기준
❶ 빗금친 부분의 넓이를 x에 관한 이차식으
로 나타내기
❷ 물받이의 높이 구하기
배점
50%
50%
05. 이차방정식의 활용 41
23 AB”=x cm라 하면 OA”=(x+1) cm이므로
02 {-(k+3)}¤ -4=0에서
k¤ +6k+5=0
(k+5)(k+1)=0중근
∴ k=-5 또는 k=-1
상수 k의 값 중에서 큰 값은 -1이므로 x=-1을
2x¤ -2ax+a¤ -1=0에 대입하면
2+2a+a¤ -1=0
(cid:9000) ③
a¤ +2a+1=0
(a+1)¤ =0중근
∴ a=-1
03 주어진 이차방정식의 양변에 3을 곱하면
3x-(x¤ +7)=6(x-1)
-x¤ +3x-7=6x-6
즉, x¤ +3x+1=0에서
a+b=-3, ab=1이므로
b
a
a
+ =
b
a¤ +b¤
ab
+ =
+ =
(a+b)¤ -2ab
ab
(-3)¤ -2_1
1
=9-2=7
p(2x+1)¤ -p(x+1)¤ =40p
4x¤ +4x+1-(x¤ +2x+1)=40
3x¤ +2x-40=0
(x+4)(3x-10)=0
∴ x=:¡3º: (∵ x>0)
∴ AB”=:¡3º: cm
라 하면
(2p_2x)_3x=48p
24 원기둥의 높이를 3x cm, 밑면인 원의 반지름의 길이를 2x cm
12x¤ =48
x¤ =4(cid:100)(cid:100)
∴ x=2 (∵ x>0)
따라서 원기둥의 높이는 6 cm, 밑면인 원의 반지름의 길이는
4 cm이므로 이 원기둥의 부피는
(p_4¤ )_6=96p(cm‹ )
(cid:9000) ①
25 가장 작은 반원의 반지름의 길이를 x cm라 하면 중간 크기의
반원의 반지름의 길이는 (15-x) cm이므로
;2!;p{15¤ -x¤ -(15-x)¤ }=50p
;2“;(-2x¤ +30x)=50p
x¤ -15x+50=0
(x-5)(x-10)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=5 {∵ 0<x<:¡2∞:}
따라서 가장 작은 반원의 반지름의 길이는 5 cm이다.
(cid:9000) ②
(cid:9000) 7
(cid:9000) ④
04 x¤ -3x-2=0에서
a+b=3, ab=-2
또, a는 x¤ -3x-2=0의 근이므로
a¤ -3a-2=0
∴ a¤ -3a=2 yy`㉠(cid:100)
∴ a‹ -3a¤ +ab+2b=a(a¤ -3a)+ab+2b
=2a+ab+2b (∵ ㉠)
=2(a+b)+ab
=6+(-2)=4
(cid:9000) ③
05 두 근의 비가 2：3이므로 두 근을 각각 2a, 3a라 하면
(cid:9000) 5 cm
90~91쪽
근과 계수의 관계에 의해
2a+3a=k(cid:100)
yy ㉠
2a_3a=k-1(cid:100) yy ㉡
㉠, ㉡에서 5a=6a¤ +1
6a¤ -5a+1=0
(2a-1)(3a-1)=0
∴ a=;2!; 또는 a=;3!;
k=5a이므로 k=;2%; 또는 k=;3%;
따라서 k의 값의 합은
;2%;+;3%;=:™6∞:
06 (x-2)(x-4)=6에서
x¤ -6x+2=0이므로
a+b=6, ab=2
1
1
a+b
+ =
a
b
ab
=3
(cid:9000) ④
01 (x-4)¤ =3을 정리하면
x¤ -8x+13=0이므로
(-8)¤ -4_1_13>0(cid:100)(cid:100)
∴ a=2
x¤ +6=-2x를 정리하면
x¤ +2x+6=0이므로
2¤ -4_1_6<0(cid:100)(cid:100)
∴ b=0
4x¤ -12x=-9를 정리하면
4x¤ -12x+9=0이므로
(-12)¤ -4_4_9=0(cid:100)(cid:100)
∴ c=1
∴ a-b+c=2-0+1=3
42 정답 및 풀이
유형북
95쪽, 97쪽
(cid:9000) 6
(cid:9000) 9
따라서 x¤ 의 계수가 2이고 두 근의 합이 3, 곱이 ;2!;인 이차방
∴ 2x¤ -6x+1=0
(cid:9000) 2x¤ -6x+1=0
07 둘째 주 수요일의 날짜의 수를 x라 하면 넷째 주 금요일의 날
1
a
_ = =;2!;
1
b
1
ab
정식은
2{x¤ -3x+;2!;}=0
짜의 수는 x+16이므로
x(x+16)=192
x¤ +16x-192=0
(x+24)(x-8)=0
∴ x=8 (∵ x는 자연수)
따라서 이 달의 둘째 주 수요일은 8일이다.
08 점 A의 좌표를 A{a, -;2!;a+6}이라 하면
(cid:9000) 8일
점 P의 좌표는 P(a, 0)
점 Q의 좌표는 Q{0, -;2!;a+6}
따라서 (cid:8772)AQOP의 넓이는
{-;2!;a+6}_a=16, -;2!;a¤ +6a=16
a¤ -12a+32=0
(a-4)(a-8)=0
∴ a=4 또는 a=8
따라서 점 A의 좌표는 (4, 4) 또는 (8, 2)
09 통로의 폭을 x m라 하면
(8+2x)(5+2x)-8_5=30
40+26x+4x¤ -40=30
4x¤ +26x-30=0
2x¤ +13x-15=0
(2x+15)(x-1)=0
∴ x=1 (∵ x>0)
따라서 통로의 폭은 1 m이다.
(cid:9000) ③, ⑤
n¤ -n-600=0
(n+24)(n-25)=0
∴ n=25 (∵ n은 자연수)
(cid:9000) n(n+1)-2n, 25
11 연못의 반지름의 길이를 r라 하면 정사각형 모양의 밭의 한
변의 길이는 2r+9이다.
(연못을 제외한 나머지 부분의 넓이)=(2r+9)¤ -3_r¤
이므로
4r¤ +36r+81-3r¤ =486
r¤ +36r-405=0
(r+45)(r-9)=0
∴ r=9 (∵ r>0)
따라서 연못의 지름의 길이는 18이다.
06. 이차함수와 그 그래프
01 (cid:9000) (cid:8776)
02 (cid:9000) ×
03 (cid:9000) (cid:8776)
04 (cid:9000) y=;2#;(x+2), ×
05 (cid:9000) y=;2!;(x+3)(x-2), (cid:8776)
06 f(2)=2¤ -2_2+6=6
07 f(-1)=(-1)¤ -2_(-1)+6=9
08 (cid:9000) 아래
09 (cid:9000) y축
10 (cid:9000) 감소, 증가
11 (cid:9000) (0, 0)
12 (cid:9000) x=0
13 (cid:9000) >, <
14 (cid:9000) a의 절댓값
15 (cid:9000) ②
16 (cid:9000) ①
17 (cid:9000) y=-3x¤`, y=-;3!;x¤
18 (cid:9000) y=4x¤
19 (cid:9000) y=;3!;x¤ , y=-;3!;x¤
20 (cid:9000) y=;3!;x¤ , y=2x¤ , y=4x¤
21 (cid:9000) y=2x¤ +4
22 (cid:9000) y=;3!;x¤ -1
23 (cid:9000)
y y=x
+2
™
y=- x
-1
2
3
, y=-;3@;x¤ -1
25 (cid:9000) y=5(x+2)¤
26 (cid:9000) y=;3!;(x-5)¤
27 (cid:9000)
™
y y=2(x+2)
O-2
, y=2(x+2)¤
28 (cid:9000)
y
1
O
x
™
x
x
(cid:9000) ②
10 규칙에 따라 (cid:8641) 안에 들어갈 식은 n_(n+1)-2_n이다.
n_(n+1)-2_n=600이 되는 n의 값을 구하면
n¤ +n-2n=600
2
O
y
O
-1
24 (cid:9000)
x
, y=x¤ +2
(cid:9000) 18
™
y=-3(x-1)
, y=-3(x-1)¤
06. 이차함수와 그 그래프 43
29 (cid:9000) y=3(x+2)¤ +4, (-2, 4), x=-2
30 (cid:9000) 꼭짓점의 좌표：(-1, -5), 축의 방정식：x=-1
31 (cid:9000) 꼭짓점의 좌표：(3, 1), 축의 방정식：x=3
32 (cid:9000)
4
2
y
8
6
y
8
6
4
-2-4
O
2
4
x
33 (cid:9000)
2
-2
-4
O
2
4
x
34 (cid:9000) a>0, p>0, q<0
35 (cid:9000) a<0, p>0, q<0
98~105쪽
15THEME
이차함수 y=ax¤ 의 그래프
98~101쪽
알고 있나요?
1 축, 포물선, 꼭짓점, 아래, 위, y, x
01 ① y=x(6-x)=-x¤ +6x ˙k 이차함수
② y= -1 ˙k 이차함수가 아니다.
1
x¤
③ y=x¤ -(1-x)¤ =x¤ -(1-2x+x¤ )=2x-1
˙k 일차함수
④ 2x¤ +x+3 ˙k 이차식
⑤ y=x‹ +(2-x)¤ =x‹ +x¤ -4x+4
˙k 이차함수가 아니다.
따라서 이차함수인 것은 ①이다.
02 ① y=x_5=5x ˙k 일차함수
② y=x‹ ˙k 삼차함수
③ y=2_p_x=2px ˙k 일차함수
④ y=;2!;_x_(x+5)=;2!;x¤ +;2%;x ˙k 이차함수
⑤ y=2{(x+2)+(x+3)}=4x+10 ˙k 일차함수
따라서 y가 x에 관한 이차함수인 것은 ④이다.
03 y=(x+4)¤ -ax¤ -1=(1-a)x¤ +8x+15
(cid:9000) ①
(cid:9000) ④
이 함수가 이차함수가 되기 위해서는 1-a+0이어야 하므로
(cid:9000) a+1
a+1
04 y=4x¤ +1-2x(ax+1)
=(4-2a)x¤ -2x+1
44 정답 및 풀이
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②, ⑤
이때 4-2a+0이므로 a+2
05 y=k(k-2)x¤ +5x-3x¤
=(k¤ -2k-3)x¤ +5x
이때 k¤ -2k-3+0이므로
(k+1)(k-3)+0
∴ k+-1이고 k+3
06 f(1)=1+2-1=2
f(-1)=1-2-1=-2
07 f(a)=2a¤ -9a-4=1이므로
2a¤ -9a-5=0
(2a+1)(a-5)=0∴∴
∴ a=-;2!; 또는 a=5
f(-2)=4-4-1=-1
∴ f(1)-f(-1)_f(-2)=2-(-2)_(-1)
=0
(cid:9000) ③
따라서 정수 a의 값은 5이다.
(cid:9000) 5
08 f(-2)=(-2)_4+2+3=-3이므로 a=-3
f(b)=-2b¤ -b+3=2이므로
2b¤ +b-1=0
(b+1)(2b-1)=0
b<0이므로 b=-1
∴ a+b=(-3)+(-1)=-4
09 ㄱ. a>0이면 아래로 볼록한 포물선이다.
ㄴ. 점 (1, a)를 지난다.
ㅁ. a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다.
10 ① y축에 대하여 대칭인 도형이다.
② 점 (2, -4)를 지난다.
③ 제3, 4사분면을 지나는 포물선이다.
④ 위로 볼록한 포물선이다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
11 ① 그래프 ㈏의 폭이 가장 넓다.
12 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
(cid:9000) ③
(cid:9000) ㄷ, ㄹ
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①
y=ax¤ 의 그래프의 폭은 y=3x¤ 의 그래프보다 넓고 y=;2!;x¤
의 그래프보다 좁으므로 ;2!;<a<3
따라서 실수 a의 값이 될 수 있는 것은 ④이다.
(cid:9000) ④
13 이차함수 y=ax¤ 에서
위로 볼록 ˙k a<0
폭이 가장 좁다. ˙k a의 절댓값이 가장 크다.
따라서 위로 볼록하면서 폭이 가장 좁은 것은 ①이다. (cid:9000) ①
14 y=ax¤ 의 그래프가 y=;3@;x¤ 의 그래프보다 폭이 좁으므로
|a|>;3@;(cid:100)(cid:100)
∴ a>;3@; 또는 a<-;3@; yy ㉠
y=ax¤ 의 그래프가 y=-3x¤ 의 그래프보다 폭이 넓으므로
|a|<|-3|(cid:100)(cid:100)
∴ -3<a<3 yy ㉡
㉠, ㉡에서 -3<a<-;3@; 또는 ;3@;<a<3
따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
22 점 B의 좌표를 (a, b)라 하면
A(-a, b), C(a, 0),
D(-a, 0)
AB”：BC”=2：1이므로
2a：b=2：1(cid:100)(cid:100)
∴ a=b
15 x=a, y=3a를 주어진 식에 대입하면
3a=-2a¤ , a(2a+3)=0
∴ a=-;2#; (∵ a+0)
(cid:9000) -;2#;
b=;4!;a¤
16 주어진 점의 좌표를 이차함수 y=x¤ 의 식에 대입하여 등호가
a=b이므로 b=;4!;b¤
점 B(a, b)는 y=;4!;x¤ 의 그래프 위의 점이므로
유형북
y
b
O
A
D
-a
™
1
y= x
4
B(a, b)
C
a
x
성립하지 않는 것을 찾는다.
④ 0+1¤
17 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 점 (2, -8)을 지나므로
-8=a_2¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-2
y=-2x¤ 의 그래프가 점 (-1, b)를 지나므로
b=-2_(-1)¤ =-2
∴ a+b=(-2)+(-2)=-4
채점 기준
❶ a의 값 구하기
❷ b의 값 구하기
❸ a+b의 값 구하기
가 점 (-2, -6)을 지나므로
-6=4a(cid:100)(cid:100)∴ a=-;2#;
18 주어진 이차함수의 그래프의 식을 y=ax¤ 이라 하면 그래프
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-;2#;x¤
(cid:9000) ②
19 x축에 대하여 서로 대칭인 것은 ㄱ과 ㅂ, ㄷ과 ㄹ이다.
(cid:9000) ③, ⑤
20 이차함수 y=ax¤ 의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래프는
1
y=-ax¤ 이다.
y=-ax¤ 의 그래프가 점 (2, a¤ )을 지나므로
a¤ =-a_2¤ , a¤ +4a=0
a(a+4)=0(cid:100)(cid:100)
∴ a=0 또는 a=-4
이때 y=ax¤ 은 이차함수이므로 a+0(cid:100)(cid:100)
∴ a=-4
21 ⑴ y=4x¤ 의 그래프가 점 (-2, a)를 지나므로
a=4_(-2)¤ =16
(cid:9000) -4
y❶
배점
40%
40%
20%
y=-4x¤ 이므로 b=-4
⑶ a+b=16+(-4)=12
y❷
y❸
(cid:9000) ⑴ 16(cid:100)⑵ -4(cid:100)⑶ 12
채점 기준
❶ a의 값 구하기
❷ b의 값 구하기
❸ a+b의 값 구하기
4b=b¤ , b(b-4)=0
이때 b>0이므로 b=4
23 두 점 B, C의 x좌표가 1이므로
B(1, 1), C(1, a)
AB”=1-0=1
BC”=a-1
이때 AB”=BC”이므로
a-1=1(cid:100)(cid:100)
∴ a=2
(cid:9000) ④
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) -4
배점
40%
40%
20%
24 AB”=4, CD”=12이고 B(2, 4a), C(6, 36a)이므로
(cid:8772)ABCD=(4+12)_(36a-4a)_;2!;=64
(cid:9000) 4
(cid:9000) ②
(cid:9000) ;4!;
256a=64
∴ a=;4!;
16THEME
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프
102~105쪽
알고 있나요?
y=ax¤ +q
y=a(x-p)¤
y=a(x-p)¤ +q
평행이동
y축의 방향으로
q만큼
x축의 방향으로
p만큼
꼭짓점의 좌표
축의 방정식
그래프의 모양
(단, a>0,
p>0, q>0)
(0, q)
x=0
y
q
O
(p, 0)
x=p
y
x축의 방향으로
p만큼, y축의
방향으로 q만큼
(p, q)
x=p
y
q
O
y=ax¤ +q
y=a(x-p)¤
y=a(x-p)¤ +q
x
O
p
x
p
x
방향으로 -1만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=3(x-4)¤ -1
즉, p=4, q=-1이므로
p+q=4+(-1)=3
(cid:9000) 3
02 이차함수 y=2x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -1만큼 평행
이동한 그래프의 식은
y=2x¤ -1
(cid:9000) y=2x¤ -1
06. 이차함수와 그 그래프 45
⑵ y=4x¤ 의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래프는
01 이차함수 y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼, y축의
03 이차함수 y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼 평
10 꼭짓점의 좌표가 (-3, 0)이므로 이차함수의 식은
행이동한 그래프의 식은
y=-(x+3)¤
(cid:9000) ①
04 ① 이차함수 y=-;2!;x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼
① 평행이동하면 y=-;2!;(x+1)¤ 의 그래프와 포개어진다.
④ 이차함수 y=-;2!;x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼
① 평행이동하면 y=-;2!;x¤ -3의 그래프와 포개어진다.
(cid:9000) ①, ④
05 ⑴ 이차함수 y=-3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼,
y축의 방향으로 8만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-3(x-1)¤ +8
y❶
⑵ 이차함수 y=-3(x-1)¤ +8의 그래프가 점 (-4, a)를
지나므로
a=-3(-4-1)¤ +8=-75+8=-67
y❷
(cid:9000) ⑴ y=-3(x-1)¤ +8(cid:100)⑵ -67
채점 기준
❶ 평행이동한 그래프의 식 구하기
❷ a의 값 구하기
배점
60%
40%
06 ㄴ. 이차함수 y=-x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평
행이동한 것이다.
ㄹ. 축의 방정식은 x=0이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
(cid:9000) ㄱ, ㄷ
07 꼭짓점의 좌표가 (0, 1)이므로 이차함수의 식은
y=ax¤ +1
∴ q=1
이 이차함수의 그래프가 점 (2, 17)을 지나므로
17=4a+1, 4a=16을을
∴ a=4
∴ a+q=4+1=5
(cid:9000) 5
08 이차함수 y=3x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -;4!;만큼 평행
이동한 그래프의 식은
y=3x¤ -;4!;
① 꼭짓점의 좌표는 {0, -;4!;}이다.
② 아래로 볼록한 포물선이다.
③ 축의 방정식은 x=0이다.
④ x=;2!;을 대입하면 y=3_;4!;-;4!;=;2!;이므로
④ 점 {;2!;, ;2!;}을 지난다.
⑤ 모든 사분면을 지난다.
따라서 옳은 것은 ④이다.
y=a(x+3)¤
이 그래프가 점 (0, -3)을 지나므로
-3=a(0+3)¤ , 9a=-3을을
∴ a=-;3!;
∴ y=-;3!;(x+3)¤
즉, a=-;3!;, p=3이므로
ap={-;3!;}_3=-1
11 ① 꼭짓점의 좌표는 (2, 0)이다.
② 축의 방정식은 x=2이다.
③ 이차함수 y=3(x-2)¤ 의 그래프와 x축에 대하여 대칭이
다.
⑤ 이차함수 y=-3x¤ 의 그래프를 x축의 양의 방향으로 2
만큼 평행이동한 그래프이다.
따라서 옳은 것은 ④이다.
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
12 이차함수 y=-;3@;x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y
축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 그래프이므로 꼭짓점의
좌표는 (-2, -3)이고 축의 방정식은 x=-2이다.
(cid:9000) 꼭짓점의 좌표 : (-2, -3), 축의 방정식 : x=-2
13 이차함수 y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의
방향으로 -3만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=2(x-1)¤ -3이므로 꼭짓점의 좌표는 (1, -3)이고, 축
의 방정식은 x=1이다.
즉, p=1, q=-3, m=1이므로
p+q+m=1+(-3)+1=-1
(cid:9000) -1
14 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(p, q)이므로
p=-2, q=1
y=a(x+2)¤ +1의 그래프가 점 (0, -5)를 지나므로
-5=a(0+2)¤ +1
4a=-6(cid:100)(cid:100)
∴ a=-;2#;
∴ apq={-;2#;}_(-2)_1=3
(cid:9000) ⑤
15 이차함수 y=3(x+2p)¤ -p의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(-2p, -p)이고, 이 점이 직선 y=-x+6 위에 있으므로
-p=2p+6, -3p=6(cid:100)(cid:100)
∴ p=-2
(cid:9000) ②
16 ① 꼭짓점의 좌표는 (-2, -1)이다.
09 이차함수 y=3(x-1)¤ 의 그래프에서 꼭짓점의 좌표는
(1, 0)이고, 축의 방정식이 x=1이므로
p=1, q=0, r=1
∴ p+q+r=1+0+1=2
③ 의 좌표는 {0, ;3!;}이다.
④ 축의 방정식은 x=-2이다.
따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다.
(cid:9000) ②
(cid:9000) ②, ⑤
(cid:9000) ④
③ x=0을 대입하면 y=;3$;-1=;3!;이므로 y축과 만나는 점
46 정답 및 풀이
17 이차함수 y=(x-3)¤ -1의 그래프
는 오른쪽 그림과 같으므로 제3사분
면을 지나지 않는다.
y
8
3
O
-1
x
(cid:9000) ③
18 ③ 이차함수 y=(x-3)¤ -2의 그래프와 x축에 대하여 대칭
(cid:9000) ③
이다.
19 그래프의 모양이 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점 (p, q)가 제2사분면 위에 있으므로
p<0, q>0
20 그래프의 모양이 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점 (p, q)가 제1사분면 위에 있으므로 p>0, q>0
⑤ 주어진 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표가 0이므로
(cid:9000) ②
(cid:9000) ⑤
ap¤ +q=0
21 x=0을 대입하면
y=-2_(-1)¤ +8=6
즉, 점 A의 좌표는 (0, 6)이다.
y=0을 대입하면
-2(x-1)¤ +8=0
-2x¤ +4x-2+8=0
y
6 A
B
-1
C
3
O
y=-2(x-1)
x
™
+8
x¤ -2x-3=0
(x+1)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-1 또는 x=3
즉, 점 B의 좌표는 (-1, 0), 점 C의 좌표는 (3, 0)이므로
△ABC=;2!;_4_6=12
(cid:9000) 12
22 점 P의 좌표를 (a, -a¤ +3)이라 하면
Q(-a, -a¤ +3), S(-a, 0), R(a, 0)
(cid:8772)PQSR가 정사각형이므로 PQ”=PR”에서
2a=-a¤ +3
a¤ +2a-3=0
(a+3)(a-1)=0
이때 a>0이므로 a=1(cid:100)(cid:100)
∴ P(1, 2)
즉, PQ”=PR”=2이므로
(cid:8772)PQSR=2_2=4
(cid:9000) 4
106~107쪽
(cid:9000) -1
01 ⁄ a¤ -4+0이어야 하므로
⁄ (a+2)(a-2)+0
⁄ ∴ a+-2이고 a+2
¤ a¤ +3a+2=0이어야 하므로
⁄ (a+2)(a+1)=0
⁄ ∴ a=-2 또는 a=-1
⁄, ¤에서 a=-1
유형북
02 이차함수 y=f(x)의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼 평행
이동한 그래프가 y=g(x)이므로
f(1)=g(2), f(2)=g(3), f(3)=g(4), y
f(1)_f(2)_f(3)_y_f(10)
g(1)_g(2)_g(3)_y_g(10)
∴
=
f(10)
g(1)
=
102
2
=51
03 이차함수 y=5x¤ 의 그래프에서
점 A의 y좌표가 k이므로
(cid:9000) ⑤
y=
y
™
x
1
5
™
y=5x
A B
y=k
x
O
k=5x¤ , x¤ =;5K;(cid:100)(cid:100)
∴ x=
'∂5k
5
(∵ x>0)
이차함수 y=;5!;x¤ 의 그래프에서
점 B의 y좌표가 k이므로
k=;5!;x¤ , x¤ =5k(cid:100)(cid:100)
∴ x='∂5k (∵ x>0)
AB”=4이므로 '∂5k -
'∂5k
5
=4
=4, '∂5k =5, 5k=25(cid:100)(cid:100)
4'∂5k
5
∴ k=5
|`다른 풀이`| 점 A의 좌표를 (a, 5a¤ )(a>0)이라 하면
AB”=4이므로 B(a+4, 5a¤ )
(cid:9000) ①
04 점 D의 좌표를 D{a, ;2!;a¤ } (a>0)이라 하면 AD”=2a
점 B는 y=;5!;x¤ 위의 점이므로
5a¤ =;5!;(a+4)¤
(3a+2)(a-1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ a=1 (∵ a>0)
이때 5a¤ =k이므로 k=5
점 C의 좌표는 C(a, -2a¤ )이므로
CD”=;2!;a¤ -(-2a¤ )=;2%;a¤
(cid:8772)ABCD가 정사각형이므로
;2%;a¤ =2a, 5a¤ -4a=0
a(5a-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=;5$; (∵ a>0)
∴ AD”=2a=2_;5$;=;5*;
∴ ((cid:8772)ABCD의 둘레의 길이)=4_;5*;=:£5™:
(cid:9000) :£5™:
05 주어진 이차함수의 그래프의 축의 방정식이 x=-2이므로
a=2
이차함수 y=bx¤ +1의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼,
y축의 방향으로 c만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=b(x+2)¤ +1+c
이때 b=-2이고, 1+c=3에서 c=2
∴ a+b+c=2+(-2)+2=2
(cid:9000) ⑤
06. 이차함수와 그 그래프 47
2
5
x
05 y=2x¤ +4x-1
=2(x¤ +2x)-1
=2(x¤ +2x+1-1)-1
=2(x+1)¤ -3
06 이차함수 y=a(x-2)¤ -6의 그래프의
꼭짓점의 좌표는 (2, -6)이므로 이 그
래프가 모든 사분면을 지나려면 오른쪽
y
O
2
x
그림과 같아야 한다.
즉, a>0, (y축과의 교점의 y좌표)<0
주어진 식에 x=0을 대입하면
4a-6<0, 4a<6(cid:100)(cid:100)
-6
∴ a<;2#;
0<a<;2#;
따라서 상수 a의 값의 범위는
(cid:9000) 0<a<;2#;
그래프가 사분면을 지나는 조건에 관한 문제는 x¤ 의 계수와 y축과의
교점의 y좌표의 부호를 먼저 생각한다.
07 그래프의 모양이 아래로 볼록하므로 a>0
꼭짓점 (p, q)가 제4사분면 위에 있으므로 p>0, q<0
즉, ap>0이고 pq<0이므로 (기울기)>0이고 (`y절편)<0인
일차함수의 그래프는 ③`이다.
(cid:9000) ③
일차함수 y=ax+b의 그래프에서 a는 기울기, b는 y절편이다.
08 y=(x-5)¤ -4의 그래프는
y
y=(x-2)¤ -4의 그래프를 x축
의 방향으로 3만큼 평행이동한 것
이므로 오른쪽 그림에서 빗금친 부
O
-4
분의 넓이는 서로 같다.
이차함수 y=(x-2)¤ -4의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(2, -4), 이차함수 y=(x-5)¤ -4의 그래프의 꼭짓점의 좌
표는 (5, -4)이므로
(색칠한 부분의 넓이)=3_4=12
09 B(k, 0)이므로 A(k, 2k¤ ), C(k, ak¤ )
(cid:9000) ④
이때 AB”：BC”=4：1이므로
2k¤ ：|ak¤ |=4：1
2：|a|=4：1
4|a|=2
∴ |a|=;2!;
이때 a<0이므로 a=-;2!;
(cid:9000) -;2!;
10 x=0일 때` y=4
즉, 점 A의 좌표는 (0, 4)
y=4일 때 (x-2)¤ =4에서
`x¤ -4x=0, x(x-4)=0
∴ x=0 또는 x=4
즉, 점 B의 좌표는 (4, 4)
⁄ 직선 y=x+k가 점 A(0, 4)를 지날 때,
¤ 직선 y=x+k가 점 B(4, 4)를 지날 때,
4=0+k(cid:100)(cid:100)
∴ k=4
4=4+k(cid:100)(cid:100)
∴ k=0
48 정답 및 풀이
07. 이차함수의 활용
01 (cid:9000) 1, 1, 1, 2
02 (cid:9000) 4, 4, 2, 13
03 y=3x¤ +6x-2
=3(x¤ +2x)-2
=3(x¤ +2x+1-1)-2
=3(x+1)¤ -5
04 y=-;2!;x¤ -2x+5
y=-;2!;(x¤ +4x)+5
y=-;2!;(x¤ +4x+4-4)+5
y=-;2!;(x+2)¤ +7
109쪽, 111쪽
(cid:9000) y=3(x+1)¤ -5
(cid:9000) y=-;2!;(x+2)¤ +7
(cid:9000) 꼭짓점의 좌표：(-1, -3)
축의 방정식：x=-1
(cid:9000) 꼭짓점의 좌표：(3, 21)
축의 방정식：x=3
(cid:9000) 꼭짓점의 좌표：{;2!;, -1}
(cid:9000) 축의 방정식：x=;2!;
06 y=-2x¤ +12x+3
=-2(x¤ -6x)+3
=-2(x¤ -6x+9-9)+3
=-2(x-3)¤ +21
07 y=-4x¤ +4x-2
y=-4(x¤ -x)-2
y=-4{x¤ -x+;4!;-;4!;}-2
y=-4{x-;2!;}2 -1
08 y=2x¤ +3x-1
y=2{x¤ +;2#;x}-1
y=2{x¤ +;2#;x+;1ª6;-;1ª6;}-1
y=2{x+;4#;}2 -:¡8¶:
⁄, ¤에서 구하는 상수 k의 값의 범위는 0…k…4 (cid:9000) ⑤
(cid:9000) 꼭짓점의 좌표：{-;4#;, -:¡8¶:}
(cid:9000) 축의 방정식：x=-;4#;
09 y=x¤ +4x+1
=(x¤ +4x+4-4)+1
=(x+2)¤ -3
즉, 꼭짓점의 좌표는 (-2, -3), y절편은 1이다.
(cid:9000)
y
4
2
-2-4
xO
2
-2
10 y=0이면 x¤ -5x-14=0이므로
(x+2)(x-7)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-2 또는 x=7
따라서 x축과의 교점의 좌표는 (-2, 0), (7, 0)이다.
x=0이면 y=-14이므로
y축과의 교점의 좌표는 (0, -14)이다.
(cid:9000) x축과의 교점의 좌표：(-2, 0), (7, 0)
(cid:9000) y축과의 교점의 좌표：(0, -14)
11 y=0이면 -2x¤ +6x-4=0이므로
x¤ -3x+2=0
(x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x=2
따라서 x축과의 교점의 좌표는 (1, 0), (2, 0)이다.
x=0이면 y=-4이므로
y축과의 교점의 좌표는 (0, -4)이다.
(cid:9000) x축과의 교점의 좌표：(1, 0), (2, 0)
(cid:9000) y축과의 교점의 좌표：(0, -4)
12 y=0이면 -x¤ -x+20=0이므로
x¤ +x-20=0
(x+5)(x-4)=0
∴ x=-5 또는 x=4
따라서 x축과의 교점의 좌표는 (-5, 0), (4, 0)이다.
x=0이면 y=20이므로 y축과의 교점의 좌표는 (0, 20)이다.
(cid:9000) x축과의 교점의 좌표：(-5, 0), (4, 0)
(cid:9000) y축과의 교점의 좌표：(0, 20)
13 y=0이면 ;2!;x¤ +2x+;/2#;=0이므로
x¤ +4x+3=0
(x+3)(x+1)=0
∴ x=-3 또는 x=-1
따라서 x축과의 교점의 좌표는 (-3, 0), (-1, 0)이다.
x=0이면 y=;/2#;이므로
y축과의 교점의 좌표는 {0, ;/2#;}이다.
(cid:9000) x축과의 교점의 좌표：(-3, 0), (-1, 0)
(cid:9000) y축과의 교점의 좌표：{0, ;/2#;}, (-1, 0),
14 (cid:9000) >
15 (cid:9000) >, >
16 (cid:9000) <
17 (cid:9000) <
유형북
18 (cid:9000) <, >
19 (cid:9000) <
20 이차함수의 식을 y=a(x-2)¤ +1로 놓고 x=3, y=4를 대
입하면
4=a+1(cid:100)(cid:100)
∴ a=3
따라서 이차함수의 식은 y=3(x-2)¤ +1
(cid:9000) y=3(x-2)¤ +1
21 이차함수의 식을 y=a(x-1)¤ +q로 놓고
x=2, y=-1을 대입하면 -1=a+q yy ㉠
x=4, y=15를 대입하면 15=9a+q(cid:100)(cid:100) yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=2, q=-3
따라서 이차함수의 식은 y=2(x-1)¤ -3
(cid:9000) y=2(x-1)¤ -3
22 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓고
x=0, y=1을 대입하면 1=c(cid:100)(cid:100)
yy ㉠
x=1, y=4를 대입하면 4=a+b+c(cid:100)(cid:100) yy ㉡
x=4, y=1을 대입하면 1=16a+4b+c(cid:100) yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
a=-1, b=4, c=1
따라서 이차함수의 식은 y=-x¤ +4x+1
23 이차함수의 식을 y=a(x+3)(x-1)로 놓고
(cid:9000) y=-x¤ +4x+1
x=2, y=-4를 대입하면
-4=5a(cid:100)(cid:100)∴ a=-;5$;
따라서 이차함수의 식은
y=-;5$;(x+3)(x-1)
y=-;5$;x¤ -;5*;x+:¡5™:
(cid:9000) y=-;5$;x¤ -;5*;x+:¡5™:
24 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-2, -3)이고,
점 (0, 5)를 지나므로
y=a(x+2)¤ -3에 x=0, y=5를 대입하면
5=4a-3(cid:100)(cid:100)
∴ a=2
∴ y=2(x+2)¤ -3
=2x¤ +8x+5
(cid:9000) y=2x¤ +8x+5
25 이차함수의 그래프의 축의 방정식이 x=3이고, 두 점 (1, 2),
(7, 0)을 지나므로
y=a(x-3)¤ +q에
x=1, y=2를 대입하면 2=4a+q(cid:100)(cid:100) yy ㉠
x=7, y=0을 대입하면 0=16a+q(cid:100) yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-;6!;, q=;3*;
∴ y=-;6!;(x-3)¤ +;3*;
∴ y=-;6!;x¤ +x+;6&;
(cid:9000) y=-;6!;x¤ +x+;6&;
07. 이차함수의 활용 49
26 이차함수의 그래프가 세 점 (-2, 1), (0, 1), (1, -5)를
지나므로 y=ax¤ +bx+c에
x=-2, y=1을 대입하면 1=4a-2b+c yy ㉠
x=0, y=1을 대입하면 1=c
yy ㉡
x=1, y=-5를 대입하면 -5=a+b+c yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
a=-2, b=-4, c=1
∴ y=-2x¤ -4x+1
(cid:9000) y=-2x¤ -4x+1
27 이차함수의 그래프와 x축과의 교점의 좌표가 (-1, 0), (4, 0)
이고, 한 점 (0, -1)을 지나므로
y=a(x+1)(x-4)에 x=0, y=-1을 대입하면
-1=-4a(cid:100)(cid:100)
∴ a=;4!;
∴ y=;4!;(x+1)(x-4)=;4!;x¤ -;4#;x-1
(cid:9000) y=;4!;x¤ -;4#;x-1
28 (cid:9000) 최댓값：없다., 최솟값：1
29 (cid:9000) 최댓값：-;4!;, 최솟값：없다.
30 y=3x¤ +12x+17
=3(x¤ +4x)+17
=3(x¤ +4x+4-4)+17
=3(x+2)¤ +5
31 y=-;4!;x¤ +x+5
y=-;4!;(x¤ -4x)+5
y=-;4!;(x¤ -4x+4-4)+5
32 y=-5x¤ +30x
=-5(x¤ -6x)
=-5(x¤ -6x+9-9)
y=-;4!;(x-2)¤ +6
(cid:9000) x=2일 때 최댓값 6
=-5(x-3)¤ +45
(cid:9000) y=-5(x-3)¤ +45
33 x=3일 때 최댓값이 45이므로 가장 높이 올라갔을 때의 높
(cid:9000) 45 m
34 가로의 길이가 x cm이고 둘레의 길이가 12 cm이므로 세로
이는 45 m이다.
의 길이는 (6-x) cm이다.
따라서 직사각형의 넓이는 y=x(6-x)
112~123쪽
17THEME
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
112~116쪽
알고 있나요?
1 ⑴ {-;2ıa;, -
}(cid:100)⑵ x=-;2ıa;(cid:100)⑶ (0, c)
b¤ -4ac
4a
01 y=-x¤ -ax-5
=-(x¤ +ax)-5
y=-{x¤ +ax+;4!;a¤ -;4!;a¤ }-5
2
y=-{x+;2!;a}
+;4!;a¤ -5
꼭짓점의 좌표가 (-1, b)이므로
-;2!;a=-1
;4!;a¤ -5=b
∴ a=2, b=-4
∴ a-b=2-(-4)=6
02 y=;4!;x¤ -2x+3
y=;4!;(x¤ -8x)+3
(cid:9000) ④
y=;4!;(x-4)¤ -1
따라서 꼭짓점의 좌표는 (4, -1), 축의 방정식은 x=4이
다.
(cid:9000) ④
03 y=x¤ +2px-5
=(x¤ +2px+p¤ -p¤ )-5
=(x+p)¤ -p¤ -5
그래프의 축의 방정식이 x=-2이므로 -p=-2
∴ p=2
(cid:9000) 2
04 y=-2x¤ +4x-1
=-2(x¤ -2x)-1
=-2(x¤ -2x+1-1)-1
=-2(x-1)¤ +1
이 이차함수의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향
으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-2(x-m-1)¤ +1+n
(cid:9000) x=-2일 때 최솟값 5
y=;4!;(x¤ -8x+16-16)+3
(cid:9000) y=x(6-x)
y=-2x¤ -8x+5
=-2(x¤ +4x+4-4)+5
=-2(x+2)¤ +13
즉, -m-1=2, 1+n=13이므로
m=-3, n=12
∴ m+n=-3+12=9
=-(x-3)¤ +9
따라서 x=3일 때 최댓값이 9이므로 넓이가 최대일 때의 가
(cid:9000) 3 cm
로의 길이는 3 cm이다.
36 최댓값이 9이므로 넓이의 최댓값은 9 cm¤ 이다. (cid:9000) 9 cm¤
05 y=-;2!;x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으
로 b만큼 평행이동한 그래프의 식은
(cid:9000) 9
35 y=x(6-x)
=-x¤ +6x
=-(x¤ -6x)
=-(x¤ -6x+9-9)
50 정답 및 풀이
유형북
y❶
y❷
⑤
y
-2
O
-3
x
-15
y=-;2!;(x-a)¤ +b
y=-;2!;x¤ +2x-4
y=-;2!;(x¤ -4x)-4
y=-;2!;(x¤ -4x+4-4)-4
y=-;2!;(x-2)¤ -2
즉, a=2, b=-2이므로
a+b=2+(-2)=0
06 y=x¤ -6x+5
=(x¤ -6x+9-9)+5
=(x-3)¤ -4
이 이차함수의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향
으로 5만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=(x-3-3)¤ -4+5
=(x-6)¤ +1
이 그래프가 점 (5, k)를 지나므로
k=(5-6)¤ +1=2
07 y=-x¤ -4x-5
=-(x¤ +4x+4-4)-5
=-(x+2)¤ -1
꼭짓점의 좌표는 (-2, -1)이고, 이차항의 계수가 음수이
므로 위로 볼록한 그래프이다.
또, x=0을 대입하면 y=-5이므로 점 (0, -5)를 지난다.
따라서 이차함수 y=-x¤ -4x-5의 그래프는 ①이다.
08 y=-3x¤ +12x-10
=-3(x¤ -4x+4-4)-10
=-3(x-2)¤ +2
꼭짓점의 좌표는 (2, 2)이고, 이차
항의 계수가 음수이므로 위로 볼록
y
2
O
2
x
-10
한 그래프이다.
또, x=0을 대입하면 y=-10이므
로 점 (0, -10)을 지난다.
따라서 이차함수
y=-3x¤ +12x-10의 그래프는
오른쪽 그림과 같으므로 그래프가 지나는 사분면은 제1, 3, 4
(cid:9000) ㄱ, ㄷ, ㄹ
사분면이다.
y
O
-1
-2
y=-3x2+12x-10
②
O
x
x
1
y
2
09 ①
③
y
2
O
x
-2
-2
-4
④
y
-5
-9
2
O
x
따라서 그래프가 모든 사분면을 지나는 것은 ④이다. (cid:9000) ④
10 y=-2x¤ -12x-10
=-2(x¤ +6x+9-9)-10
=-2(x+3)¤ +8
이차항의 계수가 음수이므로 x의 값이 증가할 때 y의 값이 감
소하는 x의 값의 범위는 x>-3
(cid:9000) ⑤
11 y=x¤ +8x+20
=(x¤ +8x+16-16)+20
=(x+4)¤ +4
이차항의 계수가 양수이므로 x의 값이 증가할 때 y의 값도 증
(cid:9000) x>-4
가하는 x의 값의 범위는 x>-4
12 주어진 이차함수의 그래프가 점 (3, 1)을 지나므로
(cid:9000) 0
(cid:9000) 2
x=3, y=1을 대입하면
1=-6+3k-5(cid:100)(cid:100)
∴ k=4
y=-;3@;x¤ +4x-5
y=-;3@;(x¤ -6x+9-9)-5
y=-;3@;(x-3)¤ +1
(cid:9000) ①
이차항의 계수가 음수이므로 x의 값이 증가할 때 y의 값도 증
y❸
가하는 x의 값의 범위는 x<3
(cid:9000) x<3
채점 기준
❶ 점 (3, 1)을 대입하여 상수 k의 값 구하기
❷ 이차함수를 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나
타내기
❸ x의 값의 범위 구하기
배점
30%
40%
30%
13 y=0을 대입하면
0=-(x-2)(x-3)(cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=3
∴ p=2, q=3 또는 p=3, q=2
x=0을 대입하면
y=-(-2)_(-3)=-6(cid:100)(cid:100)∴ r=-6
∴ p+q+r=2+3+(-6)=-1
(cid:9000) -1
14 이차함수의 그래프가 두 점 (0, 10), (5, 0)을 지나므로
y=-2x¤ +ax+b에 x=0, y=10을 대입하면 b=10
x=5, y=0을 대입하면
0=-50+5a+10, 5a=40(cid:100)(cid:100)
∴ a=8
즉, 이차함수의 그래프의 식은
y=-2x¤ +8x+10
점 A는 그래프가 x축과 만나는 점이므로 y=0을 대입하면
07. 이차함수의 활용 51
0=-2x¤ +8x+10
x¤ -4x-5=0
(x+1)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-1 또는 x=5
따라서 점 A의 좌표는 (-1, 0)이다.
15 y=x¤ +5x+4
y={x¤ +5x+:™4∞:-:™4∞:}+4
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
(cid:9000) ⑤
19 주어진 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
축이 y축을 기준으로 오른쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 다
르다. 즉, b<0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
따라서 ;aB;<0, ;aC;>0이므로 일차함수 y=;aB;x+;aC;의 그래
프로 가장 알맞은 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
(cid:9000) ④
y={x+;2%;}2 -;4(;
20 주어진 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점의 좌표는 B{-;2%;, -;4(;}
y=0을 대입하면
0=x¤ +5x+4에서
(x+4)(x+1)=0
∴ x=-4 또는 x=-1
즉, A(-4, 0), C(-1, 0)
x=0을 대입하면 y=4이므로 D(0, 4)
ED”는 x축에 평행하므로 점 E의 y좌표는 4이다.
4=x¤ +5x+4에서
x¤ +5x=0
16 ① 이차항의 계수가 음수이므로 위로 볼록한 그래프이다.
(cid:9000) ③
x(x+5)=0
∴ x=0 또는 x=-5(cid:100)(cid:100)
∴ E(-5, 4)
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
② y=-2x¤ +12x-16
=-2(x¤ -6x+9-9)-16
=-2(x-3)¤ +2
② 이므로 축의 방정식은 x=3이다.
③ 꼭짓점의 좌표는 (3, 2)이다.
④ x<3일 때 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
⑤ 이차함수 y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축
의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=2(x-3)¤ +2
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
축이 y축을 기준으로 오른쪽에 있으므로 a와 -b의 부호는
다르다.
즉, -b>0에서 b<0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
① a<0, c>0이므로 ac<0
② x=1을 대입하면 a-b+c>0
③ x=-2를 대입하면 4a+2b+c<0
④ a<0, b<0, c>0이므로 abc>0
⑤ x=-1을 대입하면 a+b+c<0
따라서 옳은 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
21 y=ax¤ +bx+c에서 a<0, b>0, c>0
① a<0, b>0이므로 ab<0
② b>0, c>0이므로 bc>0
③ a<0, b>0, c>0이므로 abc<0
④ x=;3!;을 대입하면 ;9!;a+;3!;b+c>0
⑤ x=-3을 대입하면 9a-3b+c<0
따라서 옳지 않은 것은 ③, ⑤이다.
22 주어진 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
(cid:9000) ③, ⑤
축이 y축을 기준으로 왼쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 같다.
즉, b<0
y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c<0
이차함수 y=cx¤ -bx+a의 그래프에서 c<0이므로 위로
볼록하고 c_(-b)<0이므로 축은 y축의 오른쪽에 위치한
다.
또, a<0이므로 그래프와 y축과의 교점은 x축보다 아래쪽에
있다.
따라서 이차함수 y=cx¤ -bx+a의 그래프로 가장 알맞은
것은 ③이다.
(cid:9000) ③
17 y=-;2!;x¤ +2x-1
y=-;2!;(x¤ -4x+4-4)-1
y=-;2!;(x-2)¤ +1
y
1
O -1
2
x
23 y=-;2!;x¤ +2x+k
이므로 이 이차함수의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
따라서 제2사분면을 지나지 않는다.
그러므로 옳지 않은 것은 ②이다.
™
+2x-1
y=- x
1
2
(cid:9000) ②
18 주어진 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
축이 y축을 기준으로 왼쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 같다.
즉, b<0
y=-;2!;(x¤ -4x+4-4)+k
y=-;2!;(x-2)¤ +k+2
이므로 꼭짓점의 좌표는 A(2, k+2)
y축과 만나는 점의 좌표는 B(0, k)
△OAB=;2!;_k_2=4
∴ k=4
52 정답 및 풀이
(cid:9000) 4
(cid:9000) ⑴ A(-4, 0), B(2, 0), C(0, -8)(cid:100)⑵ 24
채점 기준
❶ 세 점 A, B, C의 좌표 구하기
❷ △ACB의 넓이 구하기
배점
60%
40%
24 ⑴ y=x¤ +2x-8에서 C(0, -8)
0=x¤ +2x-8에서
(x+4)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-4 또는 x=2
즉, A(-4, 0), B(2, 0)
⑵ AB”=2-(-4)=6이므로
△ACB=;2!;_6_8=24
25 0=x¤ -2x-3에서
(x+1)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-1 또는 x=3
즉, A(-1, 0), B(3, 0)
y=x¤ -2x-3
=(x¤ -2x+1-1)-3
=(x-1)¤ -4
이므로 꼭짓점의 좌표는 D(1, -4)
y축과 만나는 점의 좌표는 C(0, -3)
AB”=3-(-1)=4이므로
△ACB=;2!;_4_3=6
△ADB=;2!;_4_4=8
∴ △ACB：△ADB=6：8=3：4
(cid:9000) ③
|`다른 풀이`|
y=x¤ -2x-3=(x-1)¤ -4이므로 D(1, -4)
x=0을 대입하면 y=-3이므로 C(0, -3)
△ACB, △ADB는 밑변이 AB”이므로 넓이의 비는 높이의
비와 같다.
∴ △ACB：△ADB=3：4
26 두 그래프가 x축에서 만나므로 y=x¤ -4에 y=0을 대입하면
x¤ -4=0, x¤ =4(cid:100)(cid:100)
∴ x=—2
∴ B(-2, 0), D(2, 0)
y=x¤ -4에서 꼭짓점의 좌표는 C(0, -4)
y=-;2!;x¤ +a의 그래프가 점 D(2, 0)을 지나므로
0={-;2!;}_4+a(cid:100)(cid:100)∴ a=2
∴ A(0, 2)
∴ (cid:8772)ABCD=△ABD+△BCD
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_4_2+;2!;_4_4
유형북
라 하고 이 두 점의 좌표를 y=2x¤ 에 각각 대입하면
8=2a¤ , 2=2b¤ (cid:100)(cid:100)
∴ a=—2, b=—1
이때 a<0, b>0이므로 a=-2, b=1
∴ A(-2, 8), B(1, 2)
직선 y=mx+n이 점 A(-2, 8)을 지나므로
8=-2m+n
yy ㉠
직선 y=mx+n이 점 B(1, 2)를 지나므로
2=m+n
yy ㉡
y❶
y❷
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
m=-2, n=4
(cid:9000) m=-2, n=4
28 y=;2!;x¤ 의 그래프와 직선 y=;2!;x+3의 교점의 x좌표는
;2!;x¤ =;2!;x+3
x¤ -x-6=0
(x+2)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-2 또는 x=3
따라서 두 점 A, B의 좌표는 각각
A(-2, 2), B{3, ;2(;}
(cid:9000) A(-2, 2), B{3, ;2(;}
이차함수의 식 구하기
117~118쪽
알고 있나요?
18THEME
1 ① •(cid:100)(cid:100)(cid:100)
② •(cid:100)(cid:100)(cid:100)
③ •(cid:100)(cid:100)(cid:100)
④ •(cid:100)(cid:100)(cid:100)
•`㉠
•`㉡
•`㉢
01 꼭짓점의 좌표가 (-3, -4)이므로
y=a(x+3)¤ -4
점 (0, 5)를 지나므로 x=0, y=5를 대입하면
5=9a-4, 9a=9(cid:100)(cid:100)∴ a=1
∴ y=(x+3)¤ -4
=x¤ +6x+5
02 꼭짓점의 좌표가 (-3, 2)이므로
y=a(x+3)¤ +2
점 (0, -1)을 지나므로 x=0, y=-1을 대입하면
-1=9a+2, 9a=-3(cid:100)(cid:100)∴ a=-;3!;
(cid:9000) ④
y=-;3!;(x+3)¤ +2
y=-;3!;(x¤ +6x+9)+2
y=-;3!;x¤ -2x-1
∴ (cid:8772)ABCD=4+8=12
(cid:9000) 12
27 두 점 A, B의 좌표를 각각
A(a, 8)(a<0), B(b, 2)(b>0)
즉, a=-;3!;, b=-2, c=-1이므로
3a-b+c=3_{-;3!;}-(-2)+(-1)=0
(cid:9000) 0
07. 이차함수의 활용 53
03 꼭짓점의 좌표가 (3, 0)이므로
y=a(x-3)¤
점 (1, 4)를 지나므로 x=1, y=4를 대입하면
4=4a(cid:100)(cid:100)∴ a=1
즉, y=(x-3)¤ 이므로
a=1, p=3, q=0
∴ a+p+q=1+3+0=4
04 축의 방정식이 x=1이므로
y=a(x-1)¤ +q
이 그래프가 두 점 (-2, 16), (2, 0)을 지나므로
16=9a+q, 0=a+q
두 식을 연립하여 풀면
a=2, q=-2
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=2(x-1)¤ -2
=2(x¤ -2x+1)-2
=2x¤ -4x
즉, a=2, b=-4, c=0이므로
a+b-c=2+(-4)-0=-2
05 축의 방정식이 x=1이므로
y=a(x-1)¤ +q
이 그래프가 두 점 (0, 3), (3, 0)을 지나므로
a+q=3, 4a+q=0
두 식을 연립하여 풀면
a=-1, q=4
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=-(x-1)¤ +4
=-(x¤ -2x+1)+4
=-x¤ +2x+3
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=x¤ -5x+6
y={x¤ -5x+;;™4∞;;-;;™4∞;;}+6
y={x-;2%;}2 -;4!;
이므로 꼭짓점의 좌표는 {;2%;, -;4!;}
(cid:9000) {;2%;, -;4!;}
(cid:9000) 4
08 y=ax¤ +bx+c에
yy ㉠
x=0, y=1을 대입하면 c=1(cid:100)(cid:100)
x=1, y=2를 대입하면 2=a+b+c(cid:100)(cid:100) yy ㉡
x=-1, y=4를 대입하면 4=a-b+c(cid:100) yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
a=2, b=-1, c=1
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=2x¤ -x+1
이 그래프가 점 (2, k)를 지나므로
k=8-2+1=7
y❶
y❷
(cid:9000) 7
배점
60%
40%
yy ㉠
x=0, y=-2를 대입하면 c=-2(cid:100)(cid:100)
x=3, y=1을 대입하면 1=9a+3b+c
yy ㉡
x=-2, y=-14를 대입하면 -14=4a-2b+c yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
a=-1, b=4, c=-2
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=-x¤ +4x-2
(cid:9000) ②
10 그래프가 x축과 두 점 (-1, 0), (3, 0)에서 만나므로
(cid:9000) -2
채점 기준
❶ 상수 a, b, c의 값 구하기
❷ k의 값 구하기
09 y=ax¤ +bx+c에
(cid:9000) ④
y❶
y❷
y❸
y❹
(cid:9000) 6
06 y=x¤ 의 그래프와 모양이 같으므로 a=1
축의 방정식이 x=2이므로 y=(x-2)¤ +q
f(2)=5에서 이 그래프가 점 (2, 5)를 지나므로 5=q
y=(x-2)¤ +5
=x¤ -4x+9
즉, a=1, b=-4, c=9이므로
a+b+c=1+(-4)+9=6
채점 기준
❶ 상수 a의 값 구하기
❷ 축이 x=2인 이차함수의 식 세우기
❸ 상수 b, c의 값 구하기
❹ a+b+c의 값 구하기
배점
20%
30%
30%
20%
07 y=ax¤ +bx+c에
yy ㉠
x=0, y=6을 대입하면 c=6
x=1, y=2를 대입하면 2=a+b+c
yy ㉡
x=3, y=0을 대입하면 0=9a+3b+c yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
a=1, b=-5, c=6
54 정답 및 풀이
y=a(x+1)(x-3)
이 그래프가 점 (1, 4)를 지나므로
4=-4a(cid:100)(cid:100)
∴ a=-1
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=-(x+1)(x-3)
=-x¤ +2x+3
즉, a=-1, b=2, c=3이므로
a+bc=-1+2_3=5
(cid:9000) ⑤
11 y=ax¤ +bx+c에서
y=2x¤ 의 그래프와 모양이 같으므로 a=2
x축과 두 점 (2, 0), (5, 0)에서 만나므로
y=2(x-2)(x-5)
=2(x¤ -7x+10)
=2x¤ -14x+20
(cid:9000) ③
12 주어진 그래프가 x축과 두 점 (-2, 0), (3, 0)에서 만나므로
y=a(x+2)(x-3)
이 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로
19THEME
이차함수의 최댓값과 최솟값
119~123쪽
05 y=2x¤ -12x+3k+1
알고 있나요?
④ 이므로 x=2일 때 최댓값 8을 갖는다.
따라서 최댓값이 가장 큰 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
1 ⑴ 최댓값：x=0에서 0 최솟값：없다.
⑵ 최댓값：없다.
⑶ 최댓값：x=p에서 q 최솟값：없다.
최솟값：x=p에서 q
2 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 변형하여 꼭짓점
=(x¤ -2x+1-1)-15
=(x-1)¤ -16
따라서 x=1일 때 최솟값 -16을 갖는다.
06 y=x¤ +6x+k
=(x¤ +6x+9-9)+k
(cid:9000) ④
2=-6a(cid:100)(cid:100)∴ a=-;3!;
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=-;3!;(x+2)(x-3)
y=-;3!;(x¤ -x-6)
y=-;3!;x¤ +;3!;x+2
y=-;3!; {x¤ -x+;4!;-;4!;}+2
y=-;3!; {x-;2!;}2 +;1@2%;
이므로 꼭짓점의 좌표는 {;2!;, ;1@2%;}
(cid:9000) {;2!;, ;1@2%;}
의 좌표를 구한다.
01 y=(x+3)(x-5)
=x¤ -2x-15
02 y=-2x¤ +2x+1
y=-2{x¤ -x+;4!;-;4!;}+1
y=-2{x-;2!;}¤ +;2#;
이므로 x=;2!;일 때 최댓값 ;2#;을 갖는다.(cid:100)(cid:100)
∴ M=;2#;
y=x¤ -4x+1
=(x¤ -4x+4-4)+1
=(x-2)¤ -3
이므로 x=2일 때 최솟값 -3을 갖는다.(cid:100)(cid:100)
∴ m=-3
∴ M-m=;2#;-(-3)
∴ M-m=;2#;+3=;2(;
나므로
3=1+a(cid:100)(cid:100)∴ a=2
03 이차함수 y=-2x¤ +8x+1+a의 그래프가 점 (0, 3)을 지
유형북
∴ y=-2x¤ +8x+3
=-2(x¤ -4x+4-4)+3
=-2(x-2)¤ +11
따라서 x=2일 때 최댓값 11을 갖는다.
(cid:9000) 11
04 ① x=-3일 때 최댓값 -1을 갖는다.
② x=-1일 때 최댓값 3을 갖는다.
③ x=4일 때 최댓값 5를 갖는다.
④ y=-3x¤ +6x+1
=-3(x¤ -2x+1-1)+1
=-3(x-1)¤ +4
④ 이므로 x=1일 때 최댓값 4를 갖는다.
⑤ y=-2x¤ +8x
=-2(x¤ -4x+4-4)
=-2(x-2)¤ +8
=2(x¤ -6x+9-9)+3k+1
=2(x-3)¤ +3k-17
이므로 꼭짓점의 좌표는 (3, 3k-17)
점 (3, 3k-17)이 직선 y=-3x-2 위에 있으므로
3k-17=(-3)_3-2
3k-17=-11, 3k=6(cid:100)(cid:100)
∴ k=2
따라서 x=3일 때 최솟값은
3k-17=3_2-17=-11
=(x+3)¤ +k-9
즉, x=-3에서 최솟값 k-9를 가지므로
k-9=3(cid:100)(cid:100)∴ k=12
07 y=-;2!;x¤ +bx+c가 x=2에서 최댓값 8을 가지므로
y=-;2!;(x-2)¤ +8
y=-;2!;x¤ +2x+6
즉, b=2, c=6이므로
b+c=2+6=8
08 y=x¤ +2x+c
=(x¤ +2x+1-1)+c
(cid:9000) ②
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 8
=(x+1)¤ +c-1
이 이차함수의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방
향으로 3만큼 평행이동하면
y=(x+3+1)¤ +c-1+3
(cid:9000) ②
=(x+4)¤ +c+2
최솟값이 -6이므로 c+2=-6(cid:100)(cid:100)
∴ c=-8
(cid:9000) ②
07. 이차함수의 활용 55
09 x=-1에서 최댓값 8을 가지므로 이차함수의 식은
y=a(x+1)¤ +8
이 그래프가 점 (-2, 0)을 지나므로
a+8=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-8
즉, y=-8(x+1)¤ +8에서
a=-8, b=1, c=8이므로
a+b+c=-8+1+8=1
x=-2에서 최댓값 1을 가지므로
y=-;3!;(x+2)¤ +1
y=-;3!;x¤ -;3$;x-;3!;
10 구하는 이차함수의 식의 이차항의 계수가 -;3!;이고,
(cid:9000) 1
y=x(42-x)
=-x¤ +42x
n=-a¤ +4a-6
=-(a¤ -4a+4-4)-6
=-(a-2)¤ -2
따라서 n은 a=2에서 최댓값 -2를 갖는다.
15 두 수를 x, 42-x라 하고, 두 수의 곱을 y라 하면
=-(x¤ -42x+441-441)
=-(x-21)¤ +441
따라서 두 수의 곱의 최댓값은 441이다.
16 두 수를 x, 16-x라 하고, 두 수의 곱을 y라 하면
(cid:9000) ④
y=x(16-x)
=-x¤ +16x
11 조건 ㈏에서 최솟값을 가지므로 이차항의 계수는 양수이고,
=-(x¤ -16x+64-64)
조건 ㈐에서 y=-;2!;x¤ 의 그래프와 폭이 같으므로 이차항의
=-(x-8)¤ +64
따라서 두 수의 곱이 최대가 될 때의 두 수는 8, 8이다.
조건 ㈎, ㈏에서 꼭짓점의 좌표가 (-2, 5)이므로
계수는 ;2!;이다.
y=;2!;(x+2)¤ +5
y=;2!;x¤ +2x+7
17 ⑴ x-y=6에서 y=x-6
⑵ x¤ +y¤ =x¤ +(x-6)¤
=x¤ +x¤ -12x+36
=2x¤ -12x+36
=2(x¤ -6x+9-9)+36
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①
(cid:9000) ④
(cid:9000) 8, 8
y❶
12 y=3x¤ -6ax+9a
=3(x¤ -2ax+a¤ -a¤ )+9a
=3(x-a)¤ -3a¤ +9a
즉, 최솟값 m은
m=-3a¤ +9a
m=-3{a¤ -3a+;4(;-;4(;}
m=-3{a-;2#;}2 +:™4¶:
따라서 m은 a=;2#;에서 최댓값 :™4¶:을 갖는다.
(cid:9000) ③
13 y=-x¤ +4tx+8t+7
=-(x¤ -4tx+4t¤ -4t¤ )+8t+7
=-(x-2t)¤ +4t¤ +8t+7
즉, 최댓값 f(t)는
f(t)= 4t¤ +8t+7
=4(t¤ +2t+1-1)+7
=4(t+1)¤ +3
따라서 f(t)는 t=-1에서 최솟값 3을 갖는다.
즉, p=-1, q=3이므로
p+q=-1+3=2
14 y=;3@;x¤ -4x-a¤ +4a
=2(x-3)¤ +18
(cid:100) 따라서 최솟값은 18이다.
y❷
⑶ x=3이면 y=-3이므로 x¤ +y¤ 이 최소일 때의 x, y의 값
y❸
(cid:9000) ⑴ y=x-6(cid:100)⑵ 18(cid:100)⑶ x=3, y=-3
은 x=3, y=-3이다.
채점 기준
❶ y를 x에 관한 식으로 나타내기
❷ x¤ +y¤ 의 최솟값 구하기
❸ x¤ +y¤ 이 최소일 때의 x, y의 값 구하기
배점
20%
40%
40%
18 x초 후의 물의 높이를 h m라 하면
h=-5x¤ +40x
=-5(x¤ -8x+16-16)
=-5(x-4)¤ +80
따라서 물을 쏘아 올릴 수 있는 최대 높이는 80 m이다.
(cid:9000) ⑤
19 y=-4.9x¤ +9.8x+2.3
=-4.9(x¤ -2x+1-1)+2.3
=-4.9(x-1)¤ +7.2
(cid:9000) ③
따라서 공이 가장 높이 올라갔을 때의 지면으로부터의 높이
는 7.2 m이다.
20 y=-5x¤ +30x+80
(cid:9000) ⑤
=-5(x-3)¤ +125
따라서 x=3일 때 최댓값 125를 가지므로 최고 높이에 도달
하는 데 걸리는 시간은 3초이다.
(cid:9000) ②
y=;3@;(x¤ -6x+9-9)-a¤ +4a
=-5(x¤ -6x+9-9)+80
y=;3@;(x-3)¤ -a¤ +4a-6
즉, 최솟값 n은
56 정답 및 풀이
유형북
21 AP”=x cm라 하면 BP”=(8-x) cm이므로 두 정사각형
의 넓이의 합을 y cm¤ 라 하면
y=x¤ +(8-x)¤
=2x¤ -16x+64
=2(x¤ -8x+16-16)+64
=2(x-4)¤ +32
따라서 두 정사각형의 넓이의 합의 최솟값은 32 cm¤ 이다.
22 닭장의 세로의 길이를 x m라 하면 가로의 길이는
(12-2x) m이므로 닭장의 넓이를 y m¤ 라 하면
y=x(12-2x)
=-2x¤ +12x
=-2(x¤ -6x+9-9)
=-2(x-3)¤ +18
따라서 x=3에서 최댓값 18을 가지므로 닭장의 최대 넓이는
(cid:9000) 18 m¤
18 m¤ 이다.
23 직사각형의 세로의 길이를 x cm라 하면 가로의 길이는
(cid:8772)OQPR=t(-t+4)
=-t¤ +4t
=-(t¤ -4t+4-4)
=-(t-2)¤ +4
따라서 t=2에서 최댓값 4를 가지므로 (cid:8772)OQPR의 넓이가
최대가 되도록 하는 점 P의 좌표는 (2, 2)이다. (cid:9000) (2, 2)
28 점 P의 좌표를 (t, -2t+12)라 하면
(cid:9000) ②
PR”=t, PQ”=-2t+12
△PRQ=;2!;_t_(-2t+12)
△PQR=-t¤ +6t
=-(t¤ -6t+9-9)
=-(t-3)¤ +9
따라서 t=3에서 최댓값 9를 가지므로 △PRQ의 넓이의 최
(cid:9000) 9
댓값은 9이다.
124~125쪽
=-(x-15)¤ +225
따라서 x=15에서 최댓값 225를 가지므로 넓이가 최대가 되
도록 하는 직사각형의 세로의 길이는 15 cm이다. (cid:9000) 15 cm
24 새로운 직사각형의 가로의 길이는 (10-x) cm, 세로의 길
01 y=;2!;x¤ -2x+k
y=;2!;(x¤ -4x+4-4)+k
y=;2!;(x-2)¤ +k-2
꼭짓점의 좌표는 (2, k-2)
y=-3x¤ +6x-2k+4
(30-x) cm이므로
직사각형의 넓이를 y cm¤ 라 하면
y=x(30-x)
=-x¤ +30x
=-(x¤ -30x+225-225)
이는 (8+2x) cm이므로
y=(10-x)(8+2x)
=-2x¤ +12x+80
=-2(x¤ -6x+9-9)+80
=-2(x-3)¤ +98
따라서 y의 최댓값은 98이다.
25 부채꼴의 반지름의 길이를 x cm, 넓이를 y cm¤ 라 하면
(cid:9000) ②
y=;2!;x(16-2x)
y=-x¤ +8x
x cm
(16-2x) cm
=-(x¤ -8x+16-16)
=-(x-4)¤ +16
x cm
따라서 부채꼴의 넓이가 최대가 되도록 하는 부채꼴의 반지
름의 길이는 4 cm이다.
(cid:9000) ④
26 한 원의 반지름의 길이를 x라 하면 다른 원의 반지름의 길이
는 8-x이다. 두 원의 넓이의 합을 y라 하면
y=px¤ +p(8-x)¤
=2px¤ -16px+64p
=2p(x¤ -8x+16-16)+64p
=2p(x-4)¤ +32p
따라서 두 원의 넓이의 합의 최솟값은 32p이다.
(cid:9000) ④
27 점 P의 좌표를 (t, -t+4)라 하면
OQ”=t, OR”=-t+4
=-3(x¤ -2x+1-1)-2k+4
y=-3(x-1)¤ -2k+7
꼭짓점의 좌표는 (1, -2k+7)
두 이차함수의 꼭짓점을 이은 직선이 x축에 평행하므로 두
꼭짓점의 y좌표가 같다.
k-2=-2k+7, 3k=9(cid:100)(cid:100)
∴ k=3
(cid:9000) 3
02 y=2x¤ +4mx+2m+1
=2(x¤ +2mx+m¤ -m¤ )+2m+1
=2(x+m)¤ -2m¤ +2m+1
축의 방정식은 x=-m이고, x=-m의 좌우에서 x의 값의
증가에 따른 y의 값의 증가, 감소가 바뀌므로
-m=-3(cid:100)(cid:100)∴ m=3
따라서 이 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(-m, -2m¤ +2m+1)이므로
m=3을 대입하면 (-3, -11)
(cid:9000) ②
03 y=-2x¤ +6x+k
y=-2{x¤ -3x+;4(;-;4(;}+k
y=-2{x-;2#;}¤ +k+;2(;
이 이차함수의 그래프는 위로 볼록하므로 x축과 만나지 않으
려면 꼭짓점의 y좌표가 음수이어야 한다.
07. 이차함수의 활용 57
k+;2(;<0(cid:100)(cid:100)∴ k<-;2(;
(cid:9000) k<-2(;
04 a>0이고 그래프의 꼭짓점이 제4사분면에 있으므로
p>0, q<0
그래프에서 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 -b<0(cid:100)(cid:100)
∴ b>0
그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표가 음수이므로 c<0
⑤ abc<0이고, pq<0이므로 abc+pq<0
05 y=kx¤ +4kx+4k+4
=k(x¤ +4x+4)+4
=k(x+2)¤ +4
이므로 꼭짓점의 좌표는 (-2, 4)
이 그래프가 모든 사분면을 지나려
(cid:9000) ⑤
y
4
O-2
x
면 오른쪽 그림과 같이 위로 볼록하
면서 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 위치하여야 한다.
즉, k<0이고 4k+4>0에서 k>-1
∴ -1<k<0
(cid:9000) ④
06 y=-;2!;x¤ +2x+c
y
4
3
c+2
y=-;2!;(x¤ -4x+4-4)+c
y=-;2!;(x-2)¤ +c+2
y의 값의 범위에 속하는 자연수가
3개이려면 3…(최댓값)<4
3…c+2<4
∴ 1…c<2
O 2
x
(3, -4)이므로
y=a(x-3)¤ -4
=ax¤ -6ax+9a-4
이 그래프가 최솟값을 가지므로 그래프
y
는 아래로 볼록한 포물선이다.
즉, a>0
이 그래프가 제3사분면을 지나려면 y
축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 위치
해야 하므로
O 3
x
-4
9a-4<0, a<;9$;(cid:100)(cid:100)
∴ 0<a<;9$;
08 y=x¤ -6x-m¤ +4m
=(x¤ -6x+9-9)-m¤ +4m
=(x-3)¤ -m¤ +4m-9
즉, x=3에서 최솟값 -m¤ +4m-9를 가지므로
a=3, n=-m¤ +4m-9
∴ 3a+n=9-m¤ +4m-9
=-m¤ +4m
=-(m¤ -4m+4-4)
=-(m-2)¤ +4
58 정답 및 풀이
따라서 3a+n의 최댓값은 4이다.
09 점 A의 x좌표를 k라 하면 A(k, k¤ +3)
(cid:9000) ⑤
이때 점 B의 y좌표도 k¤ +3이므로 y=x-1에 대입하면
k¤ +3=x-1, x=k¤ +4
∴ AB”=k¤ +4-k
=k¤ -k+4
∴ AB”={k¤ -k+;4!;-;4!;}+4
∴ AB={k-;2!;}¤ +:¡4∞:
따라서 AB”의 최솟값은 :¡4∞:이다.
(cid:9000) :¡4∞:
y
O
-20
A
10 오른쪽 그림과 같이 호수의 중앙 M을
원점으로 하는 좌표평면을 생각하면
점 A의 좌표는 (-20, 0), 점 B의 좌
표는 (20, 0), 꼭짓점의 좌표는
(0, -10)이다.
단면인 포물선의 식을 y=a(x+20)(x-20)이라 하면
이 그래프가 점 (0, -10)을 지나므로
-10=-400a(cid:100)(cid:100)
-10
20
B x
∴ a=;/4¡0;
즉, 구하는 이차함수의 식은
y=;4¡0;(x+20)(x-20)
y=;4¡0;x¤ -10
y=;4^0$;-10=-:¢5™:=-8.4
따라서 구하는 수심은 8.4 m이다.
11 (매출액)=(가격)_(판매량)이므로
(cid:9000) 8.4 m
30개를 초과하는 판매량을 x개, 매출액을 y원이라 하면
y=(2000-20x)(30+x)
=-20x¤ +1400x+60000
=-20(x¤ -70x+1225-1225)+60000
=-20(x-35)¤ +84500
따라서 x=35일 때 최댓값이 84500이므로 매출액이 최대일
때의 판매량은
30+35=65(개)
(cid:9000) ①
(cid:9000) ②
12 x초 후에 AM”=3x cm, BN”=4x cm이므로
MB”=(30-3x) cm
△MBN의 넓이를 y cm¤ 라 하면
y=;2!;_(30-3x)_4x
y=-6x¤ +60x
y=-6(x¤ -10x+25-25)
y=-6(x-5)¤ +150
따라서 5초 후에 △MBN의 넓이는 최대가 된다.
(cid:9000) 5초 후
07 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌표가
(cid:9000) ⑤
점 M에서 점 B의 방향으로 8 m 떨어진 곳의 수심을 구하기
위해 x=8을 대입하면
4쪽
실전 연습 문제
1회
(cid:9000) ③, ⑤
실전북
01. 제곱근과 실수
01THEME
제곱근의 뜻과 표현
01 x¤ =5
02 ① '2ß5=5
② "(√-25≈)¤ =25의 제곱근은 —5
③ —5
④ —5
⑤ (-5)¤ =25의 제곱근은 —5
따라서 그 값이 나머지 넷과 다른 하나는 ①이다.
03 (-13)¤ =169의 제곱근은 —13
04 제곱근 4는 '4=2이므로 a=2
'1å6=4이므로 4의 음의 제곱근은 -2(cid:100)(cid:100)
∴ b=-2
∴ a+b=2+(-2)=0
05 ④ 0.H4=;9$;의 제곱근은 —;3@;
06 (부피)=p_r¤ _10=70p(cid:100)(cid:100)
∴ r¤ =7
즉, r는 7의 제곱근인 —'7이다.
이때 r는 양수이므로 r='7
07 ㄱ. 모든 자연수는 양수이므로 제곱근은 2개이다.
ㄴ. 음수의 제곱근은 없다.
ㄷ. 제곱근 16은 '∂16=4이다.
ㄹ. "(√-1)¤ =1의 음의 제곱근은 -1이다.
ㅁ. 제곱하여 ;5@;가 되는 수는 —Æ;5@;이다.
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.
(cid:9000) ③
01THEME
제곱근의 뜻과 표현
01 a¤ =11, b¤ =10이므로
a¤ -b¤ =11-10=1
02 ① 제곱근 2는 '2이다.
5쪽
실전 연습 문제
2회
(cid:9000) 1
③ 3의 제곱근은 —'3이다.
④ 5의 음의 제곱근은 -'5이다.
⑤ 양수의 제곱근은 2개, 0의 제곱근은 1개, 음수의 제곱근은
없다.
따라서 옳은 것은 ②이다.
(cid:9000) ②
03 처음 정사각형의 넓이가 5이므로 정사각형 ABCD의 넓이는
10이다.
따라서 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 '1å0이다. (cid:9000) ④
04 ① 0의 제곱근은 0이다.
② '2ß5=5의 제곱근은 —'5이다.
③ '1ß6=4의 제곱근은 —2이다.
④ (-3)¤ =9의 음의 제곱근은 -3이다.
⑤ 2는 (-2)¤ =4의 제곱근이다.
따라서 옳은 것은 ③, ⑤이다.
05 ① Æ…;¬1¡6;=;4!;
② '3å6=6
③ "(√-4)› ='2ß5å6=16
④ "0≈.H3=Æ;9#;=Æ;3!;
⑤ 'ƒ0.25=0.5
따라서 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 없는 것은 ④이다.
06 (-3)¤ =9의 양의 제곱근은 3(cid:100)(cid:100)
Ƭ;8¡1;=;9!;의 음의 제곱근은 -;3!;(cid:100)(cid:100)
∴ a=3
∴ b=-;3!;
∴ ab=3_{-;3!;}=-1
07 A의 제곱근 ˙k —"≈A
민수의 말에 의해 A는 제곱인 수이거나 0이다.
주현이의 말에 의해 A=0 또는 A=1
미옥이의 말에 의해 A=1이다.
02THEME
제곱근의 성질과 대소 관계
6~7쪽
실전 연습 문제
1회
01 ③ -"(√-5)¤ =-5
02 "≈3¤ -(-'4)¤ +"(√-5)¤ -(-'6)¤
=3-4+5-6
=-2
03 x<0이므로 -x>0
① -"3ç6xΩ
¤ =-(-6x)=6x
② -"(√3x)¤ =-(-3x)=3x
③ "(√-9xç)¤ =-9x
④ -Æ{…;1”6;}2 =-{-;1”6;}=;1”6;
⑤ "2ç5x¤ =-5x
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
04 a-b>0에서 a>b, ab<0이므로 a>0, b<0
∴ ('a)¤ -"Ωb¤ +"(√-2a)¤
=a-(-b)+2a
=a+b+2a
=3a+b
05 0<a<b<2에서 a-2<0, b-a>0, -b<0이므로
01. 제곱근과 실수 59
(cid:9000) ④
(cid:9000) -1
(cid:9000) 1
(cid:9000) ③
(cid:9000) ①
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ⑤
"(√a-2)¤ -"(√b-a)¤ -"(√-b)¤
=-(a-2)-(b-a)-b
=-a+2-b+a-b
=2-2b
(cid:9000) ⑤
06 '3åa가 자연수가 되려면 소인수의 지수가 모두 짝수이어야 하
f(9)=f(10)=1+2+3=6
∴ f(1)-f(2)+f(3)-f(4)+f(5)-f(6)+f(7)
-f(8)+f(9)-f(10)
=1-1+1-3+3-3+3-3+6-6
=-2
(cid:9000) ⑴ 3 ⑵ -2
=33.y
3k¤ …100에서 k¤ …
므로 a=3k¤ (k는 자연수) 꼴이 되어야 한다.
100
3
즉, k¤ =1, 4, 9, 16, 25
a=3k¤ 이므로 a=3, 12, 27, 48, 75
따라서 구하는 자연수 a는 모두 5개이다.
07 10…x…100이므로 85…75+x…175
85보다 크고 175보다 작은 제곱인 수는 100, 121, 144, 169
이므로
75+x=100, 121, 144, 169
∴ x=25, 46, 69, 94
따라서 구하는 자연수 x는 모두 4개이다.
(cid:9000) ②
08 20-x가 20보다 작은 제곱인 수 또는 0이어야 하므로
20-x=0, 1, 4, 9, 16
∴ x=20, 19, 16, 11, 4
따라서 M=20, m=4이므로
M-m=20-4=16
09 ③ ;3!;=Æ;9!;이므로 Æ;9!;<Æ;3!;(cid:100)(cid:100)
∴ ;3!;<Æ;3!;
10 1<'x<11에서
1¤ <x<11¤ , 1<x<121
따라서 구하는 자연수 x는 2, 3, 4, y, 120의 119개이다.
11 ab>0에서 a, b의 부호가 같고,
a+b<0이므로 a<0, b<0
∴ "≈a¤ -|b|-"(√a-|√b|)¤ =-a-(-b)-"(√a+b)¤
=-a+b+a+b=2b (cid:9000) ③
즉, 8-n이 8보다 작은 제곱인 수 또는 0이어야 하므로
8-n=0, 1, 4
∴ n=8, 7, 4
따라서 구하는 자연수 n은 모두 3개이다.
13 '6<'5ƒ0-2åx…"(√-8)¤ 에서 6<50-2x…64
(cid:9000) 3개
-44<-2x…14(cid:100)(cid:100)
∴ -7…x<22
따라서 구하는 정수 x는 -7, -6, y, 21의 29개이다.
14 ⑴ 2<'5<3이므로 '5 이하의 자연수는 1, 2이다.
∴ f(5)=1+2=3
⑵ '1=1, '4=2, '9=3이므로
f(1)=f(2)=f(3)=1
02THEME
(cid:9000) ④
제곱근의 성질과 대소 관계
8~9쪽
실전 연습 문제
2회
01 ①, ③, ④, ⑤ 2
② -2
따라서 그 값이 나머지 넷과 다른 하나는 ②이다.
(cid:9000) ②
02 "≈2¤ +(-'5 )¤ +"(√-4)¤ +'9=2+5+4+3=14 (cid:9000) ⑤
03 ③ a<0이므로 "≈a¤ =-a
04 "(√-2a≈)¤ +"√(3a)¤ =2a+3a=5a
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
05 2<x<3에서 2-x<0, x-3<0, 4-x>0이므로
"(√2-x)¤ -"(√x-3)¤ +"(√4-x)¤
=-(2-x)+(x-3)+(4-x)
(cid:9000) ⑤
=-2+x+x-3+4-x
=x-1
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
06 18x=2_3¤ _x에서 소인수의 지수가 모두 짝수이려면
x=2_(자연수)¤
따라서 가장 작은 두 자리의 자연수 x는
x=2_3¤ =18
07 æ≠
320
x
=æ≠
2fl _5
x
에서 소인수의 지수가 모두 짝수가 되도
록 하는 자연수 x는 5, 5_2¤ , 5_2› , 5_2fl 의 4개이다.
∴ a=4
이때 가장 작은 자연수는 5이므로 b=5
∴ a+b=4+5=9
(cid:9000) ②
100-x=1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81
∴ x=99, 96, 91, 84, 75, 64, 51, 36, 19
즉, M=99, m=19이므로
M-m=99-19=80)
09 2<'5<3에서 2-'5<0, 3-'5>0이므로
"√(2-'5)¤ +"√(3-'5)¤ =-(2-'5)+(3-'5)
"√(2-'5)¤ +"√(3-'5)¤ =-2+'5+3-'5=1 (cid:9000) ③
(cid:9000) 29개
10 4<'x<6이므로 16<x<36
따라서 구하는 자연수 x는 17, 18, y, 35의 19개이다. (cid:9000) ③
11 Æ…;2¢5;_'6∂25+"(√-2)¤ +"5Ω
¤ ÷[-Æ{…-;7%;}2 ]
=;5@;_25+2+5÷{-;7%;}
(cid:9000) ④
(cid:9000) 18
(cid:9000) ④
12 'ƒ32-4n='ƒ4(8-n)
08 100-x가 100보다 작은 제곱인 수가 되어야 하므로
f(4)=f(5)=f(6)=f(7)=f(8)=1+2=3
=10+2-7=5
(cid:9000) ②
60 정답 및 풀이
실전북
(cid:9000) ①
(cid:9000) ⑤
①
3
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
12 ac>0, bc<0에서 a와 c는 같은 부호이고 b와 c는 다른 부
호이므로 a와 b는 다른 부호이다.(cid:100)(cid:100)
∴ ab<0
즉, -ab>0, 1-ab>0, ab-1<0, ab-2<0이므로
"(√-ab)¤ +"(√1-açb)¤ -"(√ab-ç1)¤ -"(√ab-ç2)¤
=-ab+(1-ab)+(ab-1)+(ab-2)
=-2
(cid:9000) ①
13 1000a=2‹ _5‹ _a에서 소인수의 지수가 모두 짝수이려면
a=2_5_(자연수)¤
따라서 가장 작은 자연수 a는
a=2_5=10(cid:100)(cid:100)
54보다 작은 제곱인 수 중 가장 큰 것은 49이므로
54-b=49(cid:100)(cid:100)∴ b=5
∴ a+b=10+5=15
14 0<a<'x<a+3에서 a¤ <x<(a+3)¤
이때 조건을 만족하는 자연수가 74개이므로
(a+3)¤ -a¤ -1=74
a¤ +6a+9-a¤ -1=74, 6a=66(cid:100)(cid:100)
∴ a=11
자연수 a, b에 대하여 a<k<b일 때
자연수 k의 개수는 ˙k b-a-1(개)
③ '9=3이다.
⑤ 순환하지 않는 무한소수가 무리수이다.
따라서 옳은 것은 ④이다.
(cid:9000) ④
08 ① '5-1-2='5-'9<0
② 1+'2-2='2-1='2-'1>0
∴ '5-1<2
∴ 1+'2>2
③ '2<'3이므로 -'2>-'3
∴ 3-'2>3-'3
④ "(√-3)¤ =3이므로 3-('5+2)=1-'5<0
∴ "(√-3)¤ <'5+2
⑤ 3>'8이므로 3-'5>'8-'5
따라서 대소 관계가 옳은 것은 ①이다.
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①
09 a-b=3+'2-4='2-1
='2-'1>0
∴ a>b(cid:100)(cid:100)yy`㉠
b-c=4-('3å5-2)=6-'3å5
='3å6-'3å5>0
∴ b>c(cid:100)(cid:100)yy`㉡
㉠, ㉡에서 c<b<a
10 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이므로
AB”=AQ”='2
점 Q에 대응하는 수가 1이므로 점 A에 대응하는 수는
1-'2
(cid:9000) 1-'2
10~11쪽
실전 연습 문제
1회
11 ① 3<p<4
03THEME
01 ㄱ. '0∂.16=0.4 ˙k 유리수
무리수와 실수
ㄴ. '9-3=3-3=0 ˙k 유리수
ㄷ. Æ;¬2£5; ˙k 무리수
ㄹ. -'8å1=-9 ˙k 유리수
ㅁ. "0≈.H5=Æ;9%; ˙k 무리수
따라서 무리수인 것은 ㄷ, ㅁ이다.
(cid:9000) ⑤
02 A는 무리수이고, B는 순환소수이므로 유리수이다. 유리수
(cid:9000) ⑤
는 실수이므로 B는 실수라 할 수도 있다.
-1
0
1
2
따라서 수직선 위에 나타내었을 때 가장 왼쪽에 위치하는 수
는 ④이다.
03 ④ 순환소수의 제곱근 중 유리수인 것이 존재한다.
12 4<'1å9<5이므로 -5<-'1å9<-4
② 1<'3<2이므로 0<-1+'3<1
④ 1<'2<2에서 -2<-'2<-1이므로
-1<1-'2<0
⑤ -2<-'3<-1에서 0<2-'3<1이므로
0<
2-'3
2
<;2!;
④
⑤
② ③
∴ -4<1-'1å9<-3
4<'1å9<5이므로 5<1+'1å9<6
따라서 1-'1å9와 1+'1å9 사이에 있는 정수는
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5의 9개이다.
03THEME
무리수와 실수
12~13쪽
실전 연습 문제
2회
01 -'ƒ0.04=-0.2, '1å6=4이므로 유리수이다.
따라서 무리수는 '3, '6+2, '1å8, p의 4개이다.
(cid:9000) 4개
01. 제곱근과 실수 61
④ 0.H1의 제곱근 ˙k —"0≈.H1=—Æ;9!;=—;3!;
(cid:9000) ④
04 AC”=AP”=AQ”='2
따라서 점 P에 대응하는 수는 -3-'2, 점 Q에 대응하는 수
(cid:9000) P：-3-'2, Q：-3+'2
는 -3+'2
05 색칠한 정사각형의 넓이가 5이므로 한 변의 길이는 '5이다.
(cid:9000) ③
따라서 점 A에 대응하는 수는 '5이다.
06 ⑤ '2와 -'2의 합은 0이므로 무리수가 아니다.
(cid:9000) ⑤
07 ① '1å6=4이므로 4의 제곱근은 —2이다.
② 0의 제곱근은 0이다.
02 ① 정수가 아닌 수 ;2!;, -;3!; 등은 유리수이다.
② 순환소수는 유리수이다.
③ ;bA; 꼴로 나타낼 수 있는 수는 유리수이다.
⑤ '9=3과 같이 근호를 사용하여 나타낸 수 중에서 유리수
가 되는 것도 있다.
따라서 옳은 것은 ④이다.
03 (cid:8772)ABCD와 (cid:8772)EFGH는 넓이가 1인 정사각형이므로
CA”=CP”=FH”=FQ”='2
따라서 점 P에 대응하는 수는 -'2이고, 점 Q에 대응하는
수는 1+'2이다.
(cid:9000) ③
04 ⑤ 정사각형 ABCD의 넓이는 5이다.
(cid:9000) ⑤
05 ④ 수직선은 유리수에 대응하는 점으로 완전히 메울 수 없다.
(cid:9000) ④
06 ① "(√-2)¤ =2이므로
2-('1å5-2)=4-'1ß5='1å6 -'1å5>0
∴ 4-"(√-2)¤ >'1å5-2
② Æ;2!;>Æ;3!;이므로 -Æ;2!;<-Æ;3!;
∴ -Æ;2!;+1<-Æ;3!;+1
③ 2-('1å0-1)=3-'1å0='9-'1å0<0
④ '3>'2이므로 '3+'5>'2+'5
⑤ 3-(5-'1å2)=-2+'1å2=-'4+'1å2>0
∴ 2<'1å0-1
∴ 3>5-'1å2
(cid:9000) ②
따라서 대소 관계가 옳은 것은 ②이다.
07 a-b='5+'3-('5+1)='3-1
='3-'1>0
∴ a>b(cid:100)(cid:100)yy`㉠
a-c='5+'3-(3+'3 )='5-3
='5-'9<0
∴ a<c(cid:100)(cid:100)yy`㉡
㉠, ㉡에서 b<a<c
(cid:9000) ②
b-c='5-'3-2가 되어 b-c의 부호를 알기 어렵다. 이런 경우는
공통된 부분이 있는 것끼리 두 개씩 짝을 지어 비교하는 것이 좋다.
08 1<'2<2에서 -2<-'2<-1이므로
0<2-'2<1
따라서 2-'2는 0과 1 사이의 점 Q에 대응된다.
09 ③ '6-2는 약 0.449이므로 '3과 '6 사이에 있지 않다.
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
2+'5
2
도
⑤ 2와 '5는 모두 '3과 '6 사이에 있기 때문에 그 평균인
⑤ '3과 '6 사이에 있다.
10 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 '2인
(cid:8772)ABCD의 넓이가 2이므로
(cid:8772)ACEF의 넓이는 4이다.
즉, 넓이가 4인 정사각형의 한 변의 길이
는 2이므로 AC”=AP”=2
F
E
D
A
2
C
P
B
62 정답 및 풀이
따라서 점 P에 대응하는 수는 4이다.
(cid:9000) 4
11 OA”=r라 하면
pr¤ =5p, r¤ =5
즉, 원 O의 반지름의 길이는 '5이다.
따라서 점 O에 대응하는 수는 6-'5
12 a+b=3+'5+1=4+'5>0
(cid:9000) ④
a-b=3-('5+1)=2-'5='4-'5<0
∴ "(√a+b≈)¤ -"(√a-b≈)¤ =a+b+a-b
=2a=2_3=6
(cid:9000) 6-'5
(cid:9000) 6
THEME
모아
중단원 실전 평가
14~17쪽
01 ① '1ß2å1=11이므로 11의 제곱근은 —'1å1이다.
② 제곱근 36 ˙k '3å6=6
③ 음수의 제곱근은 없다.
④ 0의 제곱근은 0이다.
⑤ -"(√-3)¤ =-'9=-3
따라서 옳은 것은 ①, ⑤이다.
(cid:9000) ①, ⑤
(cid:9000) ④
02 (-25)¤ 의 제곱근 ˙k —"(√-2ç5)¤ =—25
03 '8å1=9이므로 9의 음의 제곱근은 -3이다.(cid:100)(cid:100)
∴ a=-3
제곱근 16은 '1å6이므로 b='1å6=4
"(√-13≈)¤ =13이므로 (-13)¤ 의 양의 제곱근은 13이다.
∴ c=13
∴ a+b+c=-3+4+13=14
04 ⑤ "(√-1)¤ =1이고 1의 제곱근은 —1이다.1
05 '1∂96-"(√-4)¤ +Æ…;;;!9);º;;÷æ{≠-;9%;}2
="1≈4Ω
¤ -"(√-4)¤ +æ{≠;;¡3º;;}2 ÷æ{≠-;9%;}2
=14-4+;;¡3º;;÷;9%;
=10+;;¡3º;;_;5(;
=10+6=16
06 ①, ②, ③, ⑤ 2
④ '2
따라서 그 값이 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다.
07 a>0이고, ab<0이므로 a>0, b<0
∴ "≈a¤ +"≈b¤ =a-b
08 3<a<5이므로 a-3>0, a-5<0
∴ "(√a-3)¤ -"(√a-5)¤ =a-3+a-5
=2a-8
09 48n=2› _3_n에서 소인수의 지수가 모두 짝수이려면
n=3k¤ (k는 자연수)
n은 100보다 작은 자연수이므로 3k¤ <100(cid:100)(cid:100)∴ k¤ <;;;!3);º;;
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
(cid:9000) ①
실전북
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 5
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 10
y❶
배점
2점
2점
2점
배점
2점
2점
2점
k¤ =1, 4, 9, 16, 25이므로 n=3, 12, 27, 48, 75
따라서 가장 큰 자연수 n의 값은 75이다.
(cid:9000) ⑤
10 32-n이 32보다 작은 제곱인 수, 즉 1, 4, 9, 16, 25가 되어
20 (음수)<0<(양수)이므로 양수와 음수로 나누어서 비교한다.
⁄ 음수일 때
'∂21>'∂17이므로 -'∂21<-'∂17
즉, 가장 작은 수 a는 a=-'∂21
(cid:9000) ①
¤ 양수일 때
'∂11, 4, '7, 3의 각 수를 제곱하면 11, 16, 7, 9
16>11>9>7이므로 4>'∂11>3>'7
즉, 가장 큰 수 b는 b=4
∴ a¤ -b¤ =(-'∂21)¤ -4¤ =21-16=5
야 한다.
따라서 n의 값은 31, 28, 23, 16, 7이다.
11 0<a<1이므로 a=;2!;이라 하면
Æ;a!; ='2, a=;2!;, ;a!;=2, 'ßa=Æ;2!; , =4
1
a¤
따라서 큰 수부터 차례로 나열하면
1
a¤
, ;a!;, Æ;a!; , 'ßa, a
이므로 세 번째에 오는 수는 Æ;a!; 이다.
(cid:9000) Æ;a!;
12 '1ß2å1<'1∂36<'1∂44에서 11<'1∂36<12
∴ f(136)=11
'4å9<'5å0<'6å4에서 7<'5å0<8(cid:100)(cid:100)∴ f(50)=7
'4=2이므로 f(4)=2
∴ f(136)-f(50)+f(4)=11-7+2=6
(cid:9000) ④
13 '0∂.01=0.1
Ƭ;3*6!;=;6(;=;2#;
1+'1å6=1+4=5
따라서 무리수는 '0ß.9, '0ß.1, -1+'8의 3개이다. (cid:9000) ①
14 "(√제곱√인 수)는 유리수로 나타낼 수 있고, 그 외의 경우는 순
환하지 않는 무한소수, 즉 무리수이다. 100 이하의 자연수 중
제곱인 수는 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100의 10개이
므로 무리수에 대응하는 점은
100-10=90(개)
(cid:9000) ⑤
15 ③ 순환소수는 유리수이며, 유리수인 동시에 무리수가 되는
(cid:9000) ③
수는 없다.
16 (cid:8772)ABCD는 한 변의 길이가 1인 정사각형이므로
CA”=CP”=BD”=BQ”='2
따라서 점 P에 대응하는 수는 2-'2, 점 Q에 대응하는 수는
(cid:9000) P：2-'2, Q：1+'2
1+'2
17 반지름의 길이가 1인 원의 둘레의 길이는 2p이므로 원을 한
바퀴 반을 굴렸을 때, 점 P가 수직선 위에 닿는 점에 대응하는
수는 -3+3p
(cid:9000) ⑤
18 ⑤ '2+1-3='2-2='2-'4<0(cid:100)(cid:100)
⑤ ∴ '2+1<3
19 조건 ㈎에서 'a는 무리수이다.
조건 ㈏에서 'a<'1å7이므로 a는 17보다 작은 자연수 중에
y❶
서 제곱인 수가 아닌 수이다.
17보다 작은 자연수 중 제곱인 수는 1, 4, 9, 16의 4개이므로
y❷
a는 16-4=12(개)
(cid:9000) 12개
채점 기준
❶ a의 조건 구하기
❷ a의 개수 구하기
배점
3점
3점
채점 기준
❶ a의 값 구하기
❷ b의 값 구하기
❸ a¤ -b¤ 의 값 구하기
21 (cid:8772) AEFG의 넓이가 2이므로
AG”=AP”='2
따라서 점 P에 대응하는 수는 -'2(cid:100)(cid:100)
∴ a=-'2
(cid:8772) ABCD의 넓이가 5이므로
AB”=AQ”='5
따라서 점 Q에 대응하는 수는 '5(cid:100)(cid:100)
∴ b='5
∴ a¤ b¤ =(-'2)¤ _('5)¤ =2_5=10
채점 기준
❶ 점 P에 대응하는 수 구하기
❷ 점 Q에 대응하는 수 구하기
❸ a¤ b¤ 의 값 구하기
22 처음 정사각형의 넓이는
('∂480)¤ =480(cm¤ )
1단계에서 생기는 정사각형의 넓이는
;2!;_480=240(cm¤ )
2단계에서 생기는 정사각형의 넓이는
;2!;_240=120(cm¤ )
3단계에서 생기는 정사각형의 넓이는
;2!;_120=60(cm¤ )
(cid:9000) ⑤
4단계에서 생기는 정사각형의 넓이는
;2!;_60=30(cm¤ )
y❷
y❸
(cid:9000) '∂30 cm
따라서 4단계에서 생기는 정사각형의 한 변의 길이는
'∂30 cm이다.
채점 기준
❶ 처음 정사각형의 넓이 구하기
❷ 4단계에서 생기는 정사각형의 넓이 구하기
❸ 4단계에서 생기는 정사각형의 한 변의 길
이 구하기
배점
1점
3점
2점
01. 제곱근과 실수 63
02. 근호를 포함한 식의 계산
04THEME
근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈
1회
18~19쪽
실전 연습 문제
01 '2_'3_'a_'1å2_'2åa="√144a¤ =12a=24
∴ a=2
02 3'5_2Æ;5#;_{-;2#;}_'1å0
=[3_2_{-;2#;}]Æ5…_;5#;…_10
=-9'3å0
03 5'3="√5¤ _3='7å5
'9å9='1ƒ1_9="1√1_3¤ =3'1å1이므로 b=11
∴ a+b=-4+11=7
05 ① -4'1å0÷2'2=-
=-2'5
4'1å0
2'2
② '7å2_Æ;2!;=Æ7…2_;2!;='3å6=6
③ '1å0÷'1å5=Æ;¬1!5);=Æ;3@;= =
'2
'3
'2_'3
'3_'3
=
'6
3
④ -'3å6_{-
1
6'2
}=
6
6'2
1
= =
'2
1_'2
'2_'2
=
'2
2
(cid:9000) ①
(cid:9000) ①
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ⑤
'5
⑤ =
'3
'5_'3
'3_'3
=
'1å5
3
따라서 옳은 것은 ②이다.
8
10'2
8
'2ß0å0
8'2
20
=
=
=
2'2
5
11
=;5@;'2에서 a=;5@;
(cid:9000) ②
'0∂.03=Æ;1¬0#0;= =;1¡0;'3에서 b=;1¡0;
'3
10
'7∂50å0="3√_50¤ =50'3에서 c=50
∴ abc=;5@;_;1¡0;_50=2
(cid:9000) 2
12
÷A_
'2ß4
'5
'1ß0
'6
=
1
_ _
A
'1ß0
'6
÷A_
= _Æ;;™5…
¢;;_¬;;¡6º;;
'2ß4
'5
1
A
1
A
∴ A= =
'8
'6
'4å8
6
=
4'3
6
=
2'3
3
13 직육면체의 높이를 h cm라 하면
2'3_'1å0_h=30'6이므로
=
15'6
'3_'1å0
h=
30'6
2'3_'1å0
15
h= =3'5
'5
14 삼각형의 높이를 h라 하면
04 -'3å2=-'ƒ1∂6∂_å2=-"√4¤ _2=-4'2이므로 a=-4
÷A_
= _'8='6
(cid:9000) ①
(cid:9000) 3'5 cm
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
(cid:9000) 36'5
(cid:9000) ②
(삼각형의 넓이)=;2!;_'1å8_h=;2!;_3'2_h=
3'2
2
(직사각형의 넓이)='2å4_'1å2=2'6_2'3=12'2
h
(cid:9000) ⑤
이때
3'2
2
h=12'2이므로
h=12'2_
=8
2
3'2
(cid:9000) 2'6
04THEME
근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈
20~21쪽
실전 연습 문제
2회
01 a'b='2_'8='1å6=4
02 '4_'6_'1å0_'2å7
=2_'6_'1å0_3'3
=6'∂180
=36'5
(cid:9000) ②
(cid:9000) ①
03 A='2å7÷'3='9=3, B='2_'1å8='3å6=6
따라서 A, B의 최대공약수는 3이다.
최대공약수：공약수 중에서 가장 큰 수
04
'3å5
2'6
'1å4
6'3
÷{-
}÷{-Æ;¬4∞8; }
=;2!;Æ;¬;£6∞;;_{-6Æ;¬1£4; }_{-Æ;¬;¢5•;; }
=[;2!;_(-6)_(-1)]æ;;£6≠
∞;;_;1£
≠4;≠_;;¢5•;;
=3'1å2=6'3
(cid:9000) 6'3
⑤ '4_'3å6=2_6=12
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
06
'2å8
-2'3
÷{-
}÷
3'7
'1å2
'2
6'3
=
'2å8
-2'3
_{-
}_
'1å2
3'7
6'3
'2
=[{-;2!;}_{-;3!;}_6]Æ;;™3…
•;;_;;¡
…7™;;_;2#;
='2å4=2'6
07
=
=
3'6
3'2
'5å4
'9∂_å6
3'2
3'2
따라서 a=3, b=3이므로
a-b=3-3=0
= =Æ;2^;='3
'6
'2
08 '0∂.0ß0å2=Æ;1…0™0º00;=
'2å0
100
=
2'5
100
=
'5
50
∴ k=;5¡0;
10 ① =
3'3
'3_'3
='3
3
'3
8
3'2
10
3'5
②
③
=
=
8'2
3'2_'2
10'5
3'5_'5
1
④ =
'3
1_'3
'3_'3
=
4'2
3
2'5
3
=
=
'3
3
64 정답 및 풀이
09 '2ß2å5="3√
¤ _5¤ ="≈3¤ _"≈5¤ =('3 )¤ _('5 )¤ =a¤ b¤ (cid:9000) ④
¤ _√3_7=2'3'7=2ab
05 '8å4="2√
06 'aåb='1ƒ00kƒ_1ƒ000k="1√000√00k¤ =100'1å0k
1_'2
3'2_'2
= =;6!;'2에서
1
'1å8
1
3'2
'2
6
07
=
=
08
=
k=;6!;
5
'1å2
1
5'2
5
2'3
'2
10
=
5'3
6
=;6%;'3에서 a=;6%;
= =;1¡0;'2에서 b=;1¡0;
∴ ab=;6%;_;1¡0;=;1¡2;
=
'b
b
=
=
=
a'åb
ab
09 ⑤
"ça¤ b
ab
'a_'aåb
'aåb_'aåb
'a
'aåb
10 ① '1å0
② '1å1
③ '1å2
④ '3
⑤ '6
따라서 계산 결과가 가장 작은 것은 ④이다.
5
'1å0
11 a='2ß.5=Æ;¬1@0%;=
b='1∂4.4=Æ;;¬
¬1¢0¢;;=
12
'1å0
∴ ab=
5
'1å0
_
12
'1å0
=;1^0);=6
(cid:9000) 2ab
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
(cid:9000) ①
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
12 (사다리꼴의 넓이)=(6+9)_4_;2!;=30(cm¤ )
정사각형의 넓이가 30 cm¤ 이므로 정사각형의 한 변의 길이
를 a cm라 하면 a¤ =30(cid:100)(cid:100)
∴ a='3å0 (∵ a>0)
∴ (정사각형의 둘레의 길이)=4'3å0 cm
(cid:9000) 4'3å0 cm
13 정사각형 A의 넓이가 2 cm¤ 이므로
(정사각형 B의 넓이)=;3!;_2=;3@;(cm¤ )
(정사각형 C의 넓이)=;3!;_;3@;=;9@;(cm¤ )
(정사각형 D의 넓이)=;3!;_;9@;=;2™7;(cm¤ )
따라서 정사각형 D의 한 변의 길이는
'6
9
= (cm)
Ƭ;¬2™7;=
'2
3'3
14 일차함수 y='7x의 그래프를 y축의
방향으로 2'7만큼 평행이동한 그래
프의 식은 y='7x+2'7
이때 x절편은 -2, y절편은 2'7이
므로 이 일차함수의 그래프와 x축,
y축으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그
림의 색칠한 부분과 같다.
따라서 구하는 삼각형의 넓이는
(cid:9000) ④
y
2'7
-2
O x
y='7x+2'7
;2!;_2_2'7=2'7
(cid:9000) 2'7
05THEME
근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈
22쪽
실전 연습 문제
1회
01
3'3
4
'2
6
'3
2
- +'2+ ={-;6!;+1}'2+{;4#;+;2!;}'3
- +'2+ =
5'2
6
+
5'3
4
02 '2å0-a'5+'1∂25=2'5-a'5+5'5
=(7-a)'5='5
즉, 7-a=1에서 a=6
03 '2å0+ -'4å5=2'5+
-3'5
10'5
5
10
'5
=2'5+2'5-3'5
='5
04 a='2ß4-2'5=2'6-2'5
b= -'5= -'5
3
'6
'6
2
∴ '5a+'6b='5(2'6-2'5 )+'6{ -'5 }
'6
2
∴ '5a+'6b=2'3å0-10+3-'3å0
='3å0-7
05
'1å0+'2å5
'5
-
'1å2+'1å8
'6
=
('1å0+5)_'5
'5_'5
-
('1å2+'1å8)_'6
'6_'6
=
5'2+5'5
5
-
6'2+6'3
6
='2+'5-'2-'3
='5-'3
06 '3-
='3-
1
11155555
1
'3+12
'3
1
11155555
'3
'3+12
3
(cid:9000) '5-'3
='3-
='3-
='3-
1
115
4'3
12
3
3
4'3
3'3
12
'3
4
='3- =
3'3
4
07 '2å0 {'3-Æ;5@; }+ (10'3+2'1å0)
=2'5 {'3- }+ (10'3+2'1å0)
3
'5
3
'5
'2
'5
+6'2
=2'1å5-2'2+
30'3
'5
=2'1å5+4'2+6'1å5
=4'2+8'1å5
즉, a=2, b=8이므로
a+b=2+8=10
실전북
(cid:9000) ②
(cid:9000) ①
(cid:9000) '5
(cid:9000) ①
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
02. 근호를 포함한 식의 계산 65
¡
05THEME
근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈
23쪽
실전 연습 문제
2회
이때 a-6=0이면 유리수가 되므로 a=6
(cid:9000) 6
03 (주어진 식)=
('2+1)¤
('2-1)('2+1)
+
('2-1)¤
('2+1)('2-1)
따라서 x+;[!;의 값은 x의 값의 ;7*;배이다.
(cid:9000) ③
01 '2å7+2'∂50-'∂32-'∂48
=3'3+10'2-4'2-4'3
=6'2-'3
02 ① 2'2å7+'3=6'3+'3=7'3
② 5'3-3'3=(5-3)'3=2'3
③ '1ß2å8-'5å0=8'2-5'2=3'2
④ '1å2-'3=2'3-'3='3
⑤ '3+2는 더 이상 계산할 수 없다.
따라서 옳은 것은 ④이다.
03 '1ß8+'3å2-'a=3'2+4'2-'a
=7'2-'a=5'2
즉, 'a=2'2='8이므로 a=8
04 x='7이므로
x+;[!;='7+ ='7+ =;7*;'7
1
'7
'7
7
05 '4å8-(-'5 )¤ - =4'3-5-3'3
9
'3
='3-5
06 '3å2 {'8- }+2'2('2+'3å2)
6
'2
=4'2 (2'2-3'2 )+2'2('2+4'2 )
=4'2_(-'2 )+2'2_5'2
=-8+20=12
07 ('5-'1å2 )÷'4-'3{ +
2
'9
6'5
'2å7
}
'5
= -
'4
'1å2
'4
2
- -
'3
6'5
'9
= -'3-
-2'5
'5
2
2'3
3
=-
5'3
3
-
3'5
2
즉, a=-;3%;, b=-;2#;이므로
(cid:9000) ③
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
(cid:9000) 12
04 x=
+
(주어진 식)=
2+2'2+1
2-2'2+1
2-1
2-1
(주어진 식)=(3+2'2 )+(3-2'2 )
(주어진 식)=6
'2+'3
'2
'2-'3
'2
('2+'3 )_'2
'2_'2
('2-'3 )_'2
'2_'2
2+'6
2
2-'6
2
y=
=
=
=
=
∴ (x+y)¤ ={
2+'6
2
+
2-'6
2
}2 =2¤ =4
05 x=
y=
1
2-'3
1
2+'3
=
=
2+'3
(2-'3 )(2+'3 )
2-'3
(2+'3 )(2-'3 )
=2+'3
=2-'3
x+y=2+'3+2-'3=4
xy=(2+'3 )(2-'3 )=4-3=1
∴ x¤ -3xy+y¤ =(x+y)¤ -5xy
=4¤ -5_1=11
06 PQ”=PA”='2이므로 점 A에 대응하는 수는 -2+'2
RS”=RB”='2이므로 점 B에 대응하는 수는 3-'2
∴ AB”=(3-'2 )-(-2+'2 )
=5-2'2
07 A-B=5'2-2-5=5'2-7
='5å0-'4å9>0
yy ㉠
∴ A>B
B-C=5-(4'3-2)=7-4'3
='4å9-'4å8>0
∴ B>C
yy ㉡
㉠, ㉡에서 C<B<A
08 ① '0ƒ.0032=æ–
32
100¤
=
'3å2
100
=0.05657
② 'ƒ0.032=æ– =
3.2
10¤
'3å.å2
10
=0.1789
③ '3ß2å0="3√.2√_10¤ =10'3ß.2=17.89
④ '3∂20å0="3√2_1≈0¤ =10'3å2=56.57
⑤ 'ƒ32000="3√.2_√100¤ =100'3ß.2=178.9
따라서 옳은 것은 ④이다.
09 2<'5<3이므로 '5의 소수 부분은 '5-2(cid:100)(cid:100)
∴ a='5-2
1<'3<2이므로 '3의 소수 부분은 '3-1(cid:100)(cid:100)
∴ b='3-1
∴ a-2b='5-2-2('3-1)
='5-2'3
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 4
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
a-b=-;3%;-{-;2#;}=-;3%;+;2#;=-;6!;
(cid:9000) ③
06THEME
근호를 포함한 식의 계산
24~25쪽
실전 연습 문제
1회
01 (2+5'2 )(3'2-4)=6'2-8+30-20'2
=22-14'2
즉, a=22, b=-14이므로
a+b=22+(-14)=8
02 '2å4{ -3}+ ('1å8-'2å7 )=2-6'6+a'6-3a
1
'6
a
'3
=(2-3a)+(a-6)'6
8…'n<9(cid:100)(cid:100)∴ 64…n<81
따라서 n은 자연수이므로 64부터 80까지의 자연수는 17개이
다.
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
10 f(n)=8에서 'n의 정수 부분이 8이므로
66 정답 및 풀이
11
1
3-'8
-
1
'8-'7
+
1
'7-'6
-
1
'6-'5
+
1
'5-2
=
3+'8
9-8
-
'8+'7
8-7
+
'7+'6
7-6
-
'6+'5
6-5
+
'5+2
5-4
=3+'8-'8-'7+'7+'6-'6-'5+'5+2
=5
12
'ƒ2-x
'ƒ2+x
'ƒ2+x
'ƒ2-x
('ƒ2-x)¤ +('ƒ2+x)¤
'ƒ2+x 'ƒ2-x
06THEME
근호를 포함한 식의 계산
26~27쪽
실전 연습 문제
2회
01 ('3-'2 )¤ =('3 )¤ -2_'3_'2+('2 )¤ =3-2'6+2
=5-2'6
(cid:9000) ③
02 (3-3'3 )(a+5'3 )=3a+15'3-3a'3-45
=(3a-45)-(3a-15)'3
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
2-x+2+x
"(√2+x√)(2√-x)
4
"√4-x¤
4
Æ4¬-¬{ ¬1¬55}2
2
'3
=
=4_Æ;8#;
4
Æ;3*;
=4_
'6
4
='6
13 (cid:8772) ABCD의 넓이가 5이므로 한 변의 길이는 '5이고
(cid:9000) ④
AB”=AD”='5
점 P에 대응하는 수는 -1+'5(cid:100)(cid:100)
∴ a=-1+'5
점 Q에 대응하는 수는 -1-'5(cid:100)(cid:100)
∴ b=-1-'5
-1+'5
-1-'5
(-1+'5)¤
1-5
;bA;=
=
=
-3+'5
2
;aB;=
-1-'5
-1+'5
=
(-1-'5)¤
1-5
=
-3-'5
2
∴ ;bA;-;aB;=
-3+'5+3+'5
2
='5
(cid:9000) '5
14 일차함수의 식을 y=ax+b로 놓고 두 점의 좌표를 대입하면
'2a+b=6'2(cid:100)(cid:100)
yy`㉠
-2a+b=3'2-6(cid:100)(cid:100) yy`㉡
㉠-㉡을 하면
('2+2)a=3'2+6
∴ a=
6+3'2
2+'2
=
3(2+'2)
2+'2
=3
∴ b=3'2
즉, 일차함수의 식은 y=3x+3'2이
다. 이때 x절편은 -'2, y절편은 3'2
이므로 주어진 일차함수의 그래프와
x축, y축으로 둘러싸인 부분은 오른
쪽 그림의 색칠한 부분과 같다.
따라서 구하는 삼각형의 넓이는
;2!;_'2_3'2=3
y
3'2
-'2
O x
y=3x+3'2
(cid:9000) ⑤
|`다른 풀이`| (기울기)=
6'2-(3'2-6)
'2-(-2)
=
3'2+6
'2+2
=3
실전북
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①
(cid:9000) ①
(cid:9000) ③
이때 3a-15=0이면 유리수가 되므로
a=5, b=3a-45=-30
∴ a-b=5-(-30)=35
1
'2-1
1
'2+1
-
=
'2-1-('2+1)
('2+1)('2-1)
-2
1
= =-2
-
03
04
'6-'5
'6+'5
-
'6+'5
'6-'5
=
('6-'5)¤
6-5
-
('6+'5)¤
6-5
=(11-2'3å0)-(11+2'3å0)
05 x=
'5-2
5-4
='5-2, y=
='5+2이므로
=-4'3å0
'5+2
5-4
x+y='5-2+'5+2=2'5
xy=('5-2)('5+2)=5-4=1
∴ x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy
=(2'5)¤ -2=18
06 x=
1
3+2'2
=
3-2'2
(3+2'2 )(3-2'2 )
=3-2'2
이므로 x-3=-2'2
양변을 제곱하면 (x-3)¤ =(-2'2 )¤
x¤ -6x+9=8(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -6x=-1
x¤ -6x+8=-1+8=7
(cid:9000) ④
07 색칠한 두 정사각형의 넓이가 모두 2이므로 이 정사각형의 한
변의 길이는 '2이다. 즉,
AD”=AQ”=BC”=BP”='2
점 P에 대응하는 수는 2-'2(cid:100)(cid:100)
∴ a=2-'2
점 Q에 대응하는 수는 1+'2(cid:100)(cid:100)
∴ b=1+'2
'2
a
∴ -;b@;=
-
'2
2-'2
2
1+'2
'2(2+'2 )
(2-'2 )(2+'2 )
∴ -;b@;=
-
2(1-'2 )
(1+'2 )(1-'2 )
∴ -;b@;='2+1+2(1-'2 )=3-'2
(cid:9000) ⑤
08 ① 8-3'3-(2'3-2)=10-5'3
='1ß
å0å0-'7å5>0
② ∴ 8-3'3>2'3-2
② 1-'1å4-(1-3'2)=-'1å4+3'2
=-'1å4+'1å8>0
② ∴ 1-'1å4>1-3'2
③ 3'3-(5'3-2)=-2'3+2
=-'1å2+'4<0
02. 근호를 포함한 식의 계산 67
å
② ∴ 3'3<5'3-2
④ '5+2-('3+'5 )=2-'3>0(cid:100)(cid:100)
② ∴ '5+2>'3+'5
⑤ 2-('2+1)=1-'2<0(cid:100)(cid:100)
② ∴ 2<'2+1
따라서 대소 관계가 옳은 것은 ①이다.
09 ① 'ƒ0.005=Æ;1…0∞0º00;=
=0.07071
'5å0
100
② '0ß.5=Æ;1¬
∞0º0;=
=0.7071
'5å0
10
③ '5ß0å0='5ƒ_10å0=10'5
④ '5∂00å0='5ƒ0_1ß0å0=10'5å0=70.71
⑤ '5ƒ00000='5ƒ0_∂10∂00å0=100'5å0=707.1
따라서 '5å0=7.071임을 이용하여 그 값을 구할 수 없는 것
은 ③이다.
(cid:9000) ③
10 2'1å4='5å6이고 7<'5å6<8이므로
2'1å4의 정수 부분은 7(cid:100)(cid:100)∴ a=7
소수 부분은 2'1å4-7(cid:100)(cid:100)∴ b=2'1å4-7
11
1
1+'2
+
1
'2+'3
+
1
'3+2
+
(cid:9000) a=7, b=2'1å4-7
1
'5+'6
+
1
2+'5
=
1-'2
1-2
+
'2-'3
2-3
+
'3-2
3-4
+
2-'5
4-5
+
'5-'6
5-6
='2-1+'3-'2+2-'3+'5-2+'6-'5
c=
2
1+2+'3
_12
c=
24
3+'3
c=
24(3-'3 )
(3+'3 )(3-'3 )
c=4(3-'3 )
c=12-4'3
THEME
모아
중단원 실전 평가
28~31쪽
01 ① (-3)¤ =9이므로 9의 제곱근은 —3이다.
② '3_'5_'6_'8='3_'5_'2_'3_2'2=12'5
④ '2+(-'2 )=0에서 0은 유리수이므로 무리수와 무리수
(cid:9000) ①
의 합이 항상 무리수인 것은 아니다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
02 '1å2_'1å5_'3å5=2'3_'3_'5_'5_'7
=30'7
∴ a=30
03 '2ß1å6="2√
¤ _√3¤ _6=2_3_'6=6'6
즉, a=6, b=6이므로
a+b=6+6=12
04 3'2_(-2'6 )÷ =(-12'3)_
'3
2
=-24
2
'3
05 ① a'b="√a¤ _b="ça¤
¤ b=-"a≈
Ωb
③
=
¤ b=-a'b
② -"(√-a)≈
ab'a
'b
④ a'b-b"aç
따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다.
ab'a_'b
'b_'b
¤ `b=a'b-ab'b=(a-ab)'b
=a'aåb
06 ①, ②, ③, ⑤ '1å0
07 '∂24-2'6-5'5+'∂125
=2'6-2'6-5'5+5'5=0
08 ① '3å2-'1å8+7'1å2+'2å7=4'2-3'2+14'3+3'3
='2+17'3
② 2'3-'4å8-3'7å5=2'3-4'3-15'3=-17'3
③ 2'2+'1å8-'5å0=2'2+3'2-5'2=0
④ '5('å8+3)-3'5=2'1å0+3'5-3'5=2'1å0
⑤ '3å2-(4-'å8 )'2=4'2-(4-2'å2 )'2
=4'2-4'2+4=4
따라서 옳은 것은 ①이다.
(cid:9000) ①
=-1+'6
12 세 변의 길이를 a, b, c (a<b<c)라 하면
(cid:9000) ②
④ '2+'8='2+2'2=3'2
따라서 계산 결과가 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다. (cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
13 x=
=
2(3+'7 )
9-7
=3+'7이므로
2
3-'7
x-3='7
양변을 제곱하면 (x-3)¤ =('7)¤
x¤ -6x+9=7(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -6x=-2
∴ (x¤ -6x+3)(x¤ -6x+5)=(-2+3)(-2+5)
=3
(cid:9000) ③
14
='2+1이고 1<'2<2에서
1
'2-1
2<'2+1<3
'2+1의 정수 부분은 2(cid:100)(cid:100)
∴ a=2
소수 부분은 '2+1-2='2-1(cid:100)(cid:100)
∴ b='2-1
∴ '2a-2b=2'2-2'2+2=2
68 정답 및 풀이
09 8'2+3'5-'1å8+'2å0-'5
=8'2+3'5-3'2+2'5-'5
=5'2+4'5
즉, a=5, b=4이므로(cid:100)(cid:100)
a-b=5-4=1
10
2-'2
'2
(2-'2 )'2
'2_'2
=
=
2'2-2
2
=-1+'2
즉, a=-1, b=1이므로
ab=(-1)_1=-1
(cid:9000) 2
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
(cid:9000) 12
(cid:9000) -24
(cid:9000) ②, ④
(cid:9000) 0
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
실전북
11
=
(2-'3 )¤
(2+'3 )(2-'3 )
2-'3
2+'3
즉, A=7, B=4이므로
A-B=7-4=3
=7-4'3
12 ①
6'3
3+'3
=
6'3(3-'3 )
(3+'3 )(3-'3 )
①
=
6'3(3-'3 )
6
(cid:9000) ④
='1ß5å0-'1ß8å0<0
② 3'5-2'1å1='4å5-'4å4>0(cid:100)(cid:100)
① ∴ 3'5>2'1å1
③ 5'6+'7-('7+6'5 )=5'6-6'5
③ ∴ 5'6+'7<'7+6'5
④ 2'3-(-'3 )=2'3+'3=3'3>0
∴ 2'3>-'3
=3'3-3
①
② '2å0-2'4å5-8'5=2'5-6'5-8'5=-12'5
③
'2
'3-'2
+
'3-'2
'3+'2
=
'2('3+'2 )+('3-'2 )¤
('3-'2 )('3+'2 )
='6+2+3-2'6+2
=7-'6
④ 1-'2<0, 2-'2>0이므로
④ "(√1-√'2 )¤ -"(√2-√'2 )¤ ='2-1-2+'2=2'2-3
2
2'2
⑤ - -'2= -
3
'2
2
'8
3
'2
-'2
⑤ - -'2=
3'2
2
'2
2
- -'2=0
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
(cid:9000) ④
13 x=
1
'3+'2
x='3-'2x
=
'3-'2
('3+'2 )('3-'2 )
=
y=
'3+'2
('3-'2 )('3+'2 )
1
'3-'2
y='3+'2
x+y=2'3, xy=1
∴ x¤ +3xy+y¤ =(x+y)¤ +xy
=(2'3 )¤ +1=13
14 x¤ +6x+1=0의 양변을 x로 나누면
x+6+;[!;=0(cid:100)(cid:100)∴ x+;[!;=-6
{x-;[!;}2 ={x+;[!;}2 -4
{x-;[!;}2 =(-6)¤ -4=32
∴ x-;[!;=—'∂32=—4'2
15 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이므로
CA”=CP”=BD”=BE”=EF”=EQ”='2
따라서 점 P에 대응하는 수는 -1-'2, 점 E에 대응하는 수
는 -2+'2이다.
점 Q는 점 E에서 오른쪽으로 '2만큼 이동한 점이므로 점 Q
에 대응하는 수는 (-2+'2 )+'2=-2+2'2
즉, a=-1-'2, b=-2+2'2이므로
2a+b=2(-1-'2 )+(-2+2'2 )=-4
(cid:9000) ②
16 ① -'1å8-(-4)=-'1å8+'1å6<0(cid:100)(cid:100)
① ∴ -'1å8<-4
⑤ 3'3-4'2-(-'1å2+'8 )=3'3-4'2+2'3-2'2
=5'3-6'2
='7å5-'7å2>0
③ ∴ 3'3-4'2>-'1å2+'8
따라서 대소 관계가 옳은 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
17 ① '2ß1å3='2ƒ.13ƒ_100=10'2∂.13
=10_1.459=14.59
② '2∂13å0='2ƒ1.3ƒ_100=10'2∂1.3
=10_4.615=46.15
③ '0∂.2ß1å3=Æ…
21.3
100
=
'2∂1.3
10
③ '0∂.2ß1å3=
=0.4615
4.615
10
④ '0ƒ.0213=Æ…
2.13
100
=
'2∂.13
10
④ '0ƒ.0213=
=0.1459
1.459
10
⑤ 'ƒ21300='2ƒ.13ƒ_1ƒ0000=100'2∂.13
=100_1.459
=145.9
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
(cid:9000) ④
(cid:9000) 13
(cid:9000) —4'2
18 1<'3<2에서 -2<-'3<-1이므로
1<3-'3<2
∴ a=(3-'3)-1=2-'3
2<'7<3에서 -3<-'7<-2이므로
2<5-'7<3
∴ b=(5-'7)-2=3-'7
∴ 4a+'7b=4(2-'3)+'7(3-'7)
19 '1å0{'2-
1-'5
'2
a
'5
}- (6'5+3)
=('2å0-'5+5)-{6a+ }
3a
'5
=2'5-'5+5-6a-:£5Å:'5
=(5-6a)+{1-:£5Å:}'5
이때 1-:£5Å:=0이면 유리수가 되므로
5-3a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=;3%;
=8-4'3+3'7-7
=1-4'3+3'7
(cid:9000) 1-4'3+3'7
y❶
y❷
(cid:9000) ;3%;
02. 근호를 포함한 식의 계산 69
채점 기준
❶ 주어진 식 간단히 하기
❷ 유리수 a의 값 구하기
20 x=
=
10(4+'6 )
(4-'6 )(4+'6 )
10
4-'6
x=4+'6
즉, x-4='6이므로 양변을 제곱하면
x¤ -8x+16=6
x¤ -8x=-10(cid:100)(cid:100)
∴ x¤ -8x+3=-10+3=-7
채점 기준
❶ x의 분모를 유리화하기
❷ x¤ -8x+3의 값 구하기
21 ⑴ 2'7='2å8이므로 5<'2å8<6
-6<-'2å8<-5에서 1<7-'2å8<2
즉, 7-2'7의 정수 부분은 1(cid:100)(cid:100)
∴ a=1
⑵ 7-2'7-1=6-2'7(cid:100)(cid:100)
∴ b=6-2'7
⑶ ;bA;=
1
6-2'7
⑶ ;bA;=
6+2'7
(6-2'7 )(6+2'7 )
⑶ ;bA;=
)
3+'7
4
채점 기준
❶ a의 값 구하기
❷ b의 값 구하기
❸ ;bA;의 값 구하기
22 큰 정사각형의 둘레의 길이가 12+4'3이므로 한 변의 길이는
(12+4'3 )_;4!;=3+'3
작은 정사각형의 둘레의 길이가 12-4'3이므로 한 변의 길이는
(12-4'3 )_;4!;=3-'3
따라서 구하는 넓이는
(큰 정사각형의 넓이)-(작은 정사각형의 넓이)
=(3+'3 )¤ -(3-'3 )¤
=(12+6'3 )-(12-6'3 )
=12'3
채점 기준
❶ 큰 정사각형의 한 변의 길이 구하기
❷ 작은 정사각형의 한 변의 길이 구하기
❸ 색칠한 부분의 넓이 구하기
70 정답 및 풀이
배점
3점
3점
배점
2점
4점
y❶
y❷
(cid:9000) -7
y❸
3+'7
4
배점
2점
2점
2점
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 12'3
배점
2점
2점
2점
03. 인수분해
07THEME
인수분해의 뜻과 공식
02 ① x¤ +x+;4!;={x+;2!;}2
32~33쪽
실전 연습 문제
1회
01 a¤ b-3ab¤ =ab(a-3b)이므로 인수는 ㄱ, ㄷ이다. (cid:9000) ②
② x¤ -4x+4=(x-2)¤
③ 3x¤ +6x+3=3(x¤ +2x+1)=3(x+1)¤
④ 4x¤ -20x+25=(2x-5)¤
따라서 완전제곱식으로 인수분해할 수 없는 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
03 ① (cid:8641)={
-2
2
}2 =1
② 4x¤ +(cid:8641) x+1=(2x)¤ +(cid:8641) x+1¤ 에서
(cid:8641)=2_2_1=4
③ 9x¤ +(cid:8641) xy+;4!;y¤ =(3x)¤ +(cid:8641) xy+{;2!;y}2 에서
y❶
y❷
(cid:8641)=2_3_;2!;=3
④ (cid:8641)={;2^;}2 =9
⑤ 4y¤ +(cid:8641) y+;4!;=(2y)¤ +(cid:8641) y+{;2!;}2 에서
(cid:8641)=2_2_;2!;=2
따라서 (cid:8641) 안에 들어갈 양수 중 가장 큰 것은 ④이다.
3(k-1)=—2_3_5
k-1=—10
∴ k=-9 또는 k=11
|`다른 풀이`|
3(k-1)=—2'ƒ9_25=—30
k-1=—10
∴ k=-9 또는 k=11
05 0<a<2에서 a+2>0, a-2<0이므로
"√a¤ +√4a+4="(√a+2)¤ =a+2
"√a¤ -√4a+4="(√a-2)¤ =-(a-2)=-a+2
∴ "√a¤ +√4a+4+"√a¤ -√4a+4=(a+2)+(-a+2)
=4
06 16x¤ -4=4(4x¤ -1)
=4(2x+1)(2x-1)
따라서 인수가 아닌 것은 ②이다.
07 x¤ -4x-12=(x+2)(x-6)
따라서 구하는 두 일차식의 합은
(x+2)+(x-6)=2x-4
08 ① 2x¤ +5x+3=(2x+3)(x+1)
② 2x¤ +3x-2=(x+2)(2x-1)
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②, ④
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
(cid:9000) 2x-4
(cid:9000) ⑴ 1 ⑵ 6-2'7 ⑶
04 9x¤ +3(k-1)x+25=(3x)¤ +3(k-1)x+5¤ 에서
③ 2x¤ +6x+4=2(x¤ +3x+2)=2(x+1)(x+2)
④ 2x¤ +x-6=(x+2)(2x-3)
⑤ 3x¤ +7x+2=(3x+1)(x+2)
따라서 x+2를 인수로 갖지 않는 것은 ①이다.
09 ⑤ 2x¤ +5x-3=(x+3)(2x-1)
10 ⑴ 서준：(x+5)(x-3)=x¤ +2x-15
지우：(x+2)(x-4)=x¤ -2x-8
(cid:9000) ①
(cid:9000) ⑤
⑵ 서준이는 x의 계수를 바르게 보고, 지우는 상수항을 바르
게 보았으므로 처음의 이차식은 x¤ +2x-8이다.
⑶ x¤ +2x-8=(x+4)(x-2)
(cid:9000) ⑴ 서준：x¤ +2x-15, 지우：x¤ -2x-8
(cid:9000) ⑵ x¤ +2x-8 ⑶ (x+4)(x-2)
11 3<'1å0<4에서 -1<'1å0-4<0이므로
x-4<0, x+1>0
"x√
¤ -√8√x+16="(√x-4≈)¤ =-(x-4)=-x+4
¤ +√2√x+1="(√x+1≈)¤ =x+1
"x√
∴ "x√
¤ -√8√x+16-"x√
¤ +√2√x+1=-x+4-(x+1)
=-2x+3
=-2('1å0-4)+3
=-2'1å0+11
(cid:9000) ④
12 (2x+3)¤ -(x+2)¤ =(2x+3+x+2)(2x+3-x-2)
=(3x+5)(x+1)
즉, a=3, b=5, c=1이므로
a+b+c=3+5+1=9
13 3 [ x, -1, 1 ]- [ x, -2, 3 ]
=3(x-1)(x-1)-(x-2)(x-3)
=3(x¤ -2x+1)-(x¤ -5x+6)
=2x¤ -x-3
=(x+1)(2x-3)
14 6x¤ -5x-6=(3x+2)(2x-3)
3x¤ -19x-14=(3x+2)(x-7)
즉, 세 이차식의 공통인 인수는 3x+2이므로
3x¤ -10x+a=(3x+2)(x+m)
=3x¤ +(3m+2)x+2m
3m+2=-10에서 m=-4
a=2m이므로 a=2_(-4)=-8
(cid:9000) (x+1)(2x-3)
07THEME
인수분해의 뜻과 공식
34~35쪽
실전 연습 문제
2회
01 -2a‹ b+8a¤ b=-2a¤ b(a-4)
02 2a¤ (a-1)의 인수가 아닌 것은 ④ a¤ -1이다.
03 9x¤ -12x+4=(3x-2)¤
04 9x¤ +(k+3)xy+16y¤ =(3x)¤ +(k+3)xy+(4y)¤ 에서
k+3=—2_3_4
k+3=—24
∴ k=-27 또는 k=21
|`다른 풀이`|
k+3=—2'ƒ9_16=—24
∴ k=-27 또는 k=21
05 ① (cid:8641)={-;;¡2™;;}2 =36
② 9x¤ +6x+(cid:8641)=(3x)¤ +2_3x_1+1¤ 에서 (cid:8641)=1
③ 16x¤ +(cid:8641) xy+9y¤ =(4x)¤ +(cid:8641) xy+(3y)¤ 에서
③ (cid:8641)=2_4_3=24
④ (cid:8641)={-;2!;}2 =;4!;
③ (cid:8641)=2_2_;2!;=2
⑤ 4y¤ +(cid:8641) y+;4!;=(2y)¤ +(cid:8641) y+{;2!;}2 에서
따라서 (cid:8641) 안에 들어갈 양수 중 가장 작은 것은 ④이다.
06 1<x<2에서 x-1>0, x+1>0이므로
"√1-2x+x¤ ="√(x-1)¤ =x-1
"√x¤ +2x+1="√(x+1)¤ =x+1
∴ "√1-2x+x¤ -"√x¤ +2x+1=x-1-(x+1)=-2
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
07 6x¤ +x-2=(3x+2)(2x-1)
2x¤ -5x+2=(2x-1)(x-2)
따라서 두 다항식의 공통인 인수는 2x-1이다.
08 ① x¤ -1=(x+1)(x-1)
② x¤ +x=x(x+1)
③ x¤ +2x+1=(x+1)¤
④ x¤ +2x-3=(x+3)(x-1)
⑤ 3x¤ +4x+1=(3x+1)(x+1)
따라서 x-1을 인수로 갖는 것은 ①, ④이다.
09 ① ma¤ +mb=m(a¤ +b)
② 4x¤ -4x+4=4(x¤ -x+1)
③ x¤ +2x-3=(x+3)(x-1)
④ x› -1=(x¤ +1)(x+1)(x-1)
따라서 인수분해한 것이 옳은 것은 ⑤이다.
10 공통인 인수가 2x-3이므로
4x¤ +ax-12=(2x-3)(2x+4)
=4x¤ +2x-12
∴ a=2
2x¤ -x+b=(2x-3)(x+B)
=2x¤ +(2B-3)x-3B
2B-3=-1에서 B=1(cid:100)(cid:100)
∴ b=-3B=-3
∴ a-b=2-(-3)=5
실전북
(cid:9000) ①
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
(cid:9000) ①
(cid:9000) ①, ④
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ⑤
03. 인수분해 71
11 (2x-1)(2x-3)+k=4x¤ -8x+3+k
이 식이 완전제곱식이 되려면
8=2_2_'ƒk+3
'ƒk+3=2
k+3=4(cid:100)(cid:100)
∴ k=1
따라서 구하는 두 일차식의 합은
(x-2y)+(7x-3y)=8x-5y
04 16x¤ -8xy+y¤ -z¤ =(4x-y)¤ -z¤
=(4x-y+z)(4x-y-z)
(cid:9000) 1
05 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1
12 (2x+y+1)¤ -(x-y+1)¤
={(2x+y+1)+(x-y+1)}{(2x+y+1)-(x-y+1)}
(cid:9000) (3x+2)(x+2y)
=(3x+2)(x+2y)
13 x¤ +Ax+B=(x+a)(x-b)에서
A=a-b, B=-ab
∴ x¤ -(A-B)x-AB=(x-A)(x+B)
=(x¤ +5x+4)(x¤ +5x+6)+1
x¤ +5x=A로 치환하면
(주어진 식)=(A+4)(A+6)+1
=A¤ +10A+25
=(A+5)¤
=(x¤ +5x+5)¤
=(x-a+b)(x-ab)
(cid:9000) ③
06 ㄱ. a‹ -a¤ b-a+b=a¤ (a-b)-(a-b)
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
14 3x¤ +Ax-5=(3x+a)(x+b)
=3x¤ +(a+3b)x+ab
ab=-5이므로 A=a+3b의 값은
⁄ a=1, b=-5일 때,
a+3b=1+3_(-5)=-14
¤ a=-1, b=5일 때,
a+3b=-1+3_5=14
‹ a=5, b=-1일 때,
a+3b=5+3_(-1)=2
› a=-5, b=1일 때,
a+3b=-5+3_1=-2
따라서 상수 A의 최댓값은 14, 최솟값은 -14이므로 구하는
합은
14+(-14)=0
(cid:9000) ③
08THEME
복잡한 식의 인수분해
36쪽
실전 연습 문제
1회
01 y+x¤ (x-y)-x=x¤ (x-y)-(x-y)
=(x¤ -1)(x-y)
=(x+1)(x-1)(x-y)
(cid:9000) ④
=(2x+y-7)(4x+2y-1)
(cid:9000) ⑤
따라서 인수인 것은 ④이다.
02 2(2x+y)¤ -30x-15y+7
=2(2x+y)¤ -15(2x+y)+7
2x+y=A로 치환하면
(주어진 식)=2A¤ -15A+7
=(A-7)(2A-1)
03 2x-y=A로 치환하면
6(2x-y)¤ -7(2x-y)x-3x¤
=6A¤ -7Ax-3x¤
=(2A-3x)(3A+x)
=(4x-2y-3x)(6x-3y+x)
=(x-2y)(7x-3y)
72 정답 및 풀이
=(a-b)(a¤ -1)
=(a-b)(a+1)(a-1)
ㄴ. (x+1)¤ -(x-1)¤
={(x+1)+(x-1)}{(x+1)-(x-1)}
=2x_2=4x
ㄷ. 2xy-x¤ -y¤ +4=4-(x¤ -2xy+y¤ )
=2¤ -(x-y)¤
=(2+x-y)(2-x+y)
ㄹ. 2x-1=A로 치환하면
ㄹ. 6(2x-1)¤ -(2x-1)-2=6A¤ -A-2
=(2A+1)(3A-2)
=(4x-2+1)(6x-3-2)
=(4x-1)(6x-5)
따라서 인수분해한 것이 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
(cid:9000) ③
07 x에 관하여 내림차순으로 정리하면
xy+x-y¤ +2y+3=x(y+1)-(y¤ -2y-3)
=x(y+1)-(y+1)(y-3)
=(y+1)(x-y+3)
(cid:9000) (y+1)(x-y+3)
08THEME
복잡한 식의 인수분해
37쪽
실전 연습 문제
2회
01 x(y-1)-2(y-1)-2x+4
=(x-2)(y-1)-2(x-2)
=(x-2)(y-1-2)
=(x-2)(y-3)
02 (x-y)(x-z)+(y-x)(y-z)
=(x-y)(x-z)-(x-y)(y-z)
=(x-y){x-z-(y-z)}
=(x-y)(x-y)
=(x-y)¤
(cid:9000) ②
(cid:9000) ①
(cid:9000) ①
(cid:9000) (3x+y+4z)(3x+y-4z)
=(x¤ +3x+5)(x¤ +3x-3)
따라서 구하는 두 이차식의 합은
(x¤ +3x+5)+(x¤ +3x-3)=2x¤ +6x+2
(cid:9000) ⑤
03 x-1=A, x+3=B로 치환하면
3(x-1)¤ -2(x-1)(x+3)-5(x+3)¤
=3A¤ -2AB-5B¤
=(A+B)(3A-5B)
=(x-1+x+3)(3x-3-5x-15)
=(2x+2)(-2x-18)
=-4(x+1)(x+9)
04 9x¤ +y¤ -16z¤ +6xy
=9x¤ +6xy+y¤ -16z¤
=(3x+y)¤ -(4z)¤
=(3x+y+4z)(3x+y-4z)
05 x(x+1)(x+2)(x+3)-15
=x(x+3)(x+1)(x+2)-15
=(x¤ +3x)(x¤ +3x+2)-15
x¤ +3x=A로 치환하면
(주어진 식)=A(A+2)-15
=A¤ +2A-15
=(A+5)(A-3)
06 ① a¤ -b¤ -(a-b)¤
=(a+b)(a-b)-(a-b)¤
=(a-b)(a+b-a+b)
=2b(a-b)
② x¤ +xy-x-y
=x(x+y)-(x+y)
=(x+y)(x-1)
③ ab¤ -b¤ -4a+4
=b¤ (a-1)-4(a-1)
=(a-1)(b¤ -4)
=(a-1)(b+2)(b-2)
④ x¤ -2y¤ -xy-yz-zx
=(x¤ -xy-2y¤ )-z(x+y)
=(x+y)(x-2y)-z(x+y)
=(x+y)(x-2y-z)
⑤ (y-z)(z-x)¤ +(x-z)¤ (x-y)
=(y-z)(x-z)¤ +(x-z)¤ (x-y)
=(x-z)¤ (y-z+x-y)
=(x-z)‹
07 x에 관하여 내림차순으로 정리하면
x¤ +y¤ +2xy+3x+3y+2
=x¤ +(2y+3)x+y¤ +3y+2
=x¤ +(2y+3)x+(y+1)(y+2)
=(x+y+1)(x+y+2)
즉, a=1, b=1, c=1, d=1이므로
a+b+c+d=1+1+1+1=4
따라서 인수분해한 것이 옳지 않은 것은 ④이다.
(cid:9000) ④
실전북
(cid:9000) 250
(cid:9000) 8
(cid:9000) ③
09THEME
인수분해 공식의 활용
38쪽
실전 연습 문제
1회
01 5_7.5¤ -5_2.5¤ =5_(7.5¤ -2.5¤ )
=5_(7.5+2.5)(7.5-2.5)
=5_10_5
=250
02 x-y=3+'2-(3-'2)=2'2이므로
x¤ -2xy+y¤ =(x-y)¤
=(2'2)¤ =8
03 x¤ -y¤ +3x-3y=(x+y)(x-y)+3(x-y)
=(x-y)(x+y+3)
=2'3_('3-3+3)
=6
04 주어진 직사각형의 넓이의 합은 3x¤ +7x+2
3x¤ +7x+2=(x+2)(3x+1)
따라서 새로운 직사각형의 가로, 세로의 길이는 x+2, 3x+1
이므로
(둘레의 길이)=2{(x+2)+(3x+1)}
=8x+6
05 3a¤ +5a-12=(a+3)(3a-4)이므로
직사각형의 세로의 길이는 3a-4이다.
따라서 구하는 정사각형의 넓이는
(3a-4)¤ =9a¤ -24a+16
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
1
06 {1- }{1- }{1- }{1- }
3¤
1
2¤
1
4¤
1
5¤
={1-;2!;}{1+;2!;}{1-;3!;}{1+;3!;}{1-;4!;}{1+;4!;}{1-;5!;}{1+;5!;}
=;2!;_;2#;_;3@;_;3$;_;4#;_;4%;_;5$;_;5^;
=;5#;
07 둘레의 길이의 합이 120 cm이므로
4(a+b)=120에서 a+b=30
넓이의 차가 600 cm¤ 이므로
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)=600이므로
30(a-b)=600(cid:100)(cid:100)∴ a-b=20
∴ (둘레의 길이의 차)=4(a-b)=80(cm)
(cid:9000) ;5#;
(cid:9000) ⑤
09THEME
인수분해 공식의 활용
39쪽
실전 연습 문제
2회
01 36› -1=(36¤ )¤ -1=(36¤ +1)(36¤ -1)
=(36¤ +1)(36+1)(36-1)
=(36¤ +1)(36+1)(6+1)(6-1)
=(36¤ +1)_37_7_5
따라서 약수가 아닌 것은 ② 43이다.
(cid:9000) ②
(cid:9000) ②
02 x=
1
'3+'2
=
'3-'2
('3+'2)('3-'2)
='3-'2
03. 인수분해 73
03 2x¤ -(3a+1)x-6=(x-2)(2x+b)
=2x¤ +(b-4)x-2b
-2b=-6에서 b=3
b-4=-(3a+1)에서 -1=-(3a+1)
3a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=0
∴ a+b=0+3=3
04 ① 4x¤ -y¤ =(2x+y)(2x-y)
② x¤ +5x-6=(x+6)(x-1)
③ 4x¤ -12x+9=(2x-3)¤
⑤ (x-1)(x-2)-2=x¤ -3x=x(x-3)
따라서 인수분해한 것이 옳은 것은 ④이다.
05 공통인 인수가 x-2이므로
x¤ -ax+12=(x-2)(x-6)
=x¤ -8x+12
∴ a=8
2x¤ -7x+b=(x-2)(2x-3)
=2x¤ -7x+6
∴ b=6
∴ a+b=8+6=14
06 A：(x+3)(x-2)=x¤ +x-6
A：˙k x의 계수는 1
B：(x+4)(x-5)=x¤ -x-20
A：˙k 상수항은 -20
따라서 처음 이차식은 x¤ +x-20이므로
x¤ +x-20=(x+5)(x-4)
y=
1
'3-'2
=
'3+'2
('3-'2)('3+'2)
='3+'2
x+y=2'3, x-y=-2'2
∴ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)
=2'3_(-2'2)=-4'6
03 주어진 직사각형의 넓이의 합은
x¤ +5x+6=(x+2)(x+3)
(cid:9000) ②
(cid:9000) ⑤
04 4x-8y+xy-y¤ -16=(y+4)x-(y¤ +8y+16)
=(y+4)x-(y+4)¤
=(y+4)(x-y-4)
따라서 직사각형의 가로의 길이는 y+4, 세로의 길이는
x-y-4이므로
(둘레의 길이)=2{(y+4)+(x-y-4)}=2x
(cid:9000) ③
05 (부피)=p_6.5¤ _12-p_3.5¤ _12
=12p(6.5¤ -3.5¤ )
=12p(6.5+3.5)(6.5-3.5)
=12p_10_3
=360p(cm‹ )
06 x=2+'3, y=
=2-'3이고
1
2+'3
(cid:9000) 360p cm‹
x¤ +4xy-4x+4y¤ -8y+4=(x+2y)¤ -4(x+2y)+4
x+2y=A로 치환하면
(주어진 식)=A¤ -4A+4
=(A-2)¤
=(x+2y-2)¤
=(2+'3+4-2'3-2)¤
=(4-'3)¤
=19-8'3
07 xy+x-3y-3=65에서
x(y+1)-3(y+1)=65
(x-3)(y+1)=65
65=1_65, 65=5_13에서
x, y는 x>y인 자연수이므로
x-3=13, y+1=5(cid:100)(cid:100)
∴ x=16, y=4
∴ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)=20_12=240
(cid:9000) 19-8'3
(x-2)¤ +3(x-2)-4=A¤ +3A-4
07 x-2=A로 치환하면
=(A+4)(A-1)
=(x-2+4)(x-2-1)
=(x+2)(x-3)
08 a¤ +2a+2b-b¤ =a¤ -b¤ +2a+2b
=(a+b)(a-b)+2(a+b)
=(a+b)(a-b+2)
(cid:9000) 240
ab-a+b¤ -b=a(b-1)+b(b-1)=(b-1)(a+b)
따라서 두 다항식의 1이 아닌 공통인 인수는 a+b이다.
THEME
모아
중단원 실전 평가
40~43쪽
01 ① x¤ +2x+1=(x+1)¤
③ x¤ +4x+4=(x+2)¤
④ 9x¤ +24xy+16y¤ =(3x+4y)¤
⑤ 25x¤ -70x+49=(5x-7)¤
따라서 완전제곱식으로 인수분해할 수 없는 것은 ②이다.
09 x¤ -y¤ +z¤ +2xz=x¤ +2xz+z¤ -y¤
=(x+z)¤ -y¤
=(x+y+z)(x-y+z)
따라서 구하는 두 일차식의 합은
(x+y+z)+(x-y+z)=2x+2z
10 ㄱ. x¤ -2xy+y¤ -25=(x-y)¤ -5¤
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
=(x-y+5)(x-y-5)
ㄴ. 5x¤ +4xy-9y¤ =(x-y)(5x+9y)
ㄷ. 2x¤ -y¤ -xy-x+y=2x¤ -xy-y¤ -(x-y)
=(2x+y)(x-y)-(x-y)
=(x-y)(2x+y-1)
02 3x¤ -2x-5=(x+1)(3x-5)
즉, A=1, B=-5이므로
5A+B=5+(-5)=0
74 정답 및 풀이
(cid:9000) 3
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
(cid:9000) a+b
(cid:9000) ③
ㄹ. x-y=A로 치환하면
ㄹ. (x-y)(x-y-4)+3=A(A-4)+3
;2“;(18¤ -10¤ )=;2“;(18+10)(18-10)=;2“;_28_8
=A¤ -4A+3
=(A-1)(A-3)
=(x-y-1)(x-y-3)
;2“;(18¤ -10¤ )=112p(cm¤ )
19 ⑴ x¤ +18x+81=(x+9)¤
⑵ ;4!;a¤ -;9$;b¤ ={;2!;a}2 -{;3@;b}2
따라서 x-y를 인수로 갖는 것은 ㄴ, ㄷ이다.
(cid:9000) ③
11 (x-3)(x-2)(x+2)(x+3)-84
=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)-84
⑵ ;4!;a¤ -;9$;b¤ ={;2!;a+;3@;b}{;2!;a-;3@;b}
⑶ x¤ +2xy+y¤ -2x-2y-15=(x+y)¤ -2(x+y)-15
실전북
(cid:9000) ③
y❶
y❷
y❸
배점
2점
2점
2점
배점
3점
3점
y❶
y❷
(cid:9000) 20'1å5
y❶
y❷
(cid:9000) 5'5+4
배점
3점
3점
x+y=A로 치환하면
(주어진 식)=A¤ -2A-15
=(A+3)(A-5)
=(x+y+3)(x+y-5)
(cid:9000) ⑴ (x+9)¤ ⑵ {;2!;a+;3@;b}{;2!;a-;3@;b}
(cid:9000) ⑶ (x+y+3)(x+y-5)
채점 기준
❶ 완전제곱식을 이용하여 인수분해하기
❷ 제곱의 차를 이용하여 인수분해하기
❸ 치환을 이용하여 인수분해하기
20 "5√03¤
"5√03¤
√-49≈7Ω
¤ ="(√503√+49√7)(5√03-√497)
√-49≈7Ω
¤ ='1ƒ000∂_å6
="2√0¤ _ç15=20'1å5
채점 기준
❶ 인수분해 공식을 이용하여 나타내기
❷ "a≈
¤ b=a'b임을 이용하여 간단히 하기
21 a¤ -b¤ +2b-1=20
a¤ -(b¤ -2b+1)=20
a¤ -(b-1)¤ =20
(a+b-1)(a-b+1)=20
a+b='5이므로 ('5-1)(a-b+1)=20
20('5+1)
('5-1)('5+1)
a-b+1=
=5('5+1)
∴ a-b=5('5+1)-1=5'5+4
채점 기준
❶ 인수분해를 이용하여 주어진 식 정리하기
❷ 분모의 유리화를 이용하여 a-b의 값 구하기
22 ⑴ 두 액자의 둘레의 길이의 합이 28이므로
4a+4b=28(cid:100)(cid:100)
yy ㉠
⑵ ∴ a+b=7
⑵ 큰 액자의 넓이가 작은 액자의 넓이보다 21만큼 크므로
⑵ a¤ -b¤ =21, (a+b)(a-b)=21
⑵ ㉠에 의해 a-b=3 yy ㉡
y❶
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=2
y❷
(cid:9000) ⑴ 7 ⑵ a=5, b=2
채점 기준
❶ 둘레의 길이를 이용하여 a+b의 값 구하기
❷ 넓이의 차를 이용하여 a, b의 값 구하기
배점
2점
3점
03. 인수분해 75
=(x¤ -9)(x¤ -4)-84
=x› -13x¤ -48
=(x¤ +3)(x¤ -16)
=(x¤ +3)(x+4)(x-4)
따라서 인수가 아닌 것은 ①이다.
(cid:9000) ①
12 36¤ -4¤ =(36+4)(36-4)=40_32이므로
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)를 이용하면 가장 편리하다. (cid:9000) ③
13 A=12_70-12_65=12_(70-65)=12_5=60
B=54¤ -46¤ =(54+46)(54-46)=100_8=800
C="1√02¤
√-40√8+2¤
="1√02¤
√-2√_10√2_√2+2¤
="(√102√-2)¤ =100
14 220-1=(210+1)(210-1)
=(210+1)(25+1)(25-1)
=1025_33_31
∴ A+B+C=60+800+100=960
(cid:9000) ①
따라서 220-1은 30과 40 사이의 두 자연수 31, 33으로 나누
어떨어지므로 두 자연수의 합은
31+33=64
(cid:9000) ①
15 x=
1
3-'8
1
3+'8
=
=
3+'8
(3-'8)(3+'8)
3-'8
(3+'8)(3-'8)
y=
=3+2'2
=3-2'2
x+y=(3+2'2 )+(3-2'2 )=6
xy=(3+2'2 )(3-2'2 )=9-8=1
∴ x¤ y+xy¤ =xy(x+y)=1_6=6
16 새로 만든 직사각형의 넓이는 2x¤ +3x+1이므로
2x¤ +3x+1=(x+1)(2x+1)
따라서 새로 만든 직사각형의 둘레의 길이는
2{(x+1)+(2x+1)}=6x+4
17 도형 ㈎의 넓이는
(3x-4)¤ -5¤ =(3x-4+5)(3x-4-5)
=(3x+1)(3x-9)
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①
두 도형 ㈎, ㈏의 넓이가 같고, 도형 ㈏의 가로의 길이가
3x+1이므로 세로의 길이는 3x-9이다.
(cid:9000) ③
18 AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이는 ;2!;_p_18¤ (cm¤ )
AC”=AB”-CB”=36-16=20(cm)이므로
AC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는 ;2!;_p_10¤ (cm¤ )
따라서 구하는 넓이는
04. 이차방정식의 뜻과 풀이
10THEME
이차방정식의 뜻과 해
1회
44쪽
실전 연습 문제
01 ㄱ. 이차식
ㄴ. x¤ +5x=1+x¤ , 5x-1=0 ˙k 일차방정식
ㅂ. x‹ +x=6x+1, x‹ -5x-1=0 ˙k 이차방정식이 아니다.
따라서 이차방정식인 것은 ㄷ, ㄹ, ㅁ이다.
(cid:9000) ③
02 (x-1)(4x+1)=(a-1)x¤ -x에서
4x¤ -3x-1=(a-1)x¤ -x
(a-5)x¤ +2x+1=0
따라서 x에 관한 이차방정식이 되기 위한 조건은 a-5+0
∴ a+5
(cid:9000) a+5
03 ① 3¤ -3_3+5+0
② 3¤ -8_3+-12
③ 3¤ +2_3+1+0
④ 2_3¤ -5_3-3=0
⑤ 2_3¤ +3-1+0
따라서 x=3을 해로 갖는 것은 ④이다.
04 x=1을 x¤ +ax-3=0에 대입하면
1+a-3=0(cid:100)(cid:100)∴ a=2
x=1을 3x¤ -4x-b=0에 대입하면
3-4-b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=-1
∴ ab=2_(-1)=-2
05 x=a를 x¤ +4x+3=0에 대입하면
a¤ +4a+3=0에서 a¤ +4a=-3
∴ 2a¤ +8a-3=2(a¤ +4a)-3
=2_(-3)-3
x=0을 x¤ -6x+1=0에 대입하면 성립하지 않으므로 p+0이다.
즉, 양변을 p를 나누어도 주어진 등식은 성립한다.
10THEME
이차방정식의 뜻과 해
45쪽
실전 연습 문제
2회
01 ⑤ x¤ +4x=(x+2)(x-3)에서
x¤ +4x=x¤ -x-6
5x+6=0 ˙k 일차방정식
02 (2x-2)¤ +(x+3)(x+2)=2x(2x+1)에서
4x¤ -8x+4+x¤ +5x+6=4x¤ +2x
5x¤ -3x+10=4x¤ +2x
(cid:9000) ⑤
x¤ -5x+10=0
즉, a=-5, b=10이므로
a-b=-5-10=-15
03 ① 3_1¤ -7_1+2+0
② 3_2¤ -7_2+2=0
③ 3_3¤ -7_3+2+0
④ 3_4¤ -7_4+2+0
⑤ 3_5¤ -7_5+2+0
따라서 3x¤ -7x+2=0의 해가 될 수 있는 것은 x=2이다.
(cid:9000) ②
(cid:9000) ①
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
04 x=1을 x¤ +ax-5=0에 대입하면
1+a-5=0∴∴∴ a=4
05 x=-;2!;을 ax¤ -2=0에 대입하면
;4!;a-2=0, ;4!;a=2∴∴∴ a=8
(cid:9000) 4
(cid:9000) ⑤
=-9
(cid:9000) ①
x=-;2!;을 2x¤ -bx-3=0에 대입하면
06 x=a, x=b를 각각 주어진 이차방정식에 대입하면
a¤ -a-1=0에서 a¤ -a=1
b¤ -b-1=0에서 b¤ -b=1
∴ (a¤ -a-3)(b¤ -b+2)=(1-3)(1+2)
=(-2)_3
=-6
;2!;+;2!;b-3=0, ;2!;b=;2%;∴∴∴ b=5
∴ a+b=8+5=13
06 x=a를 x¤ -4x-1=0에 대입하면
a¤ -4a-1=0
(cid:9000) ②
양변을 a로 나누면 a-4-;a!;=0
∴ a-;a!;=4
∴ a¤ + ={a-;a!;}
2
+2=4¤ +2=18
1
a¤
(cid:9000) ③
07 x=p를 x¤ -5x+2=0에 대입하면
p¤ -5p+2=0
양변을 p로 나누면 p+ =5
2
p
p¤ + ={p+ }
2
-4=5¤ -4=21
4
p¤
∴ p¤ +p+ + ={p¤ + }+{p+ }
4
p¤
2
p
2
p
4
p¤
2
p
∴ p-;p!;=-'∂32 =-4'2
(cid:9000) ②
=21+5=26
(cid:9000) ③
07 x=p를 x¤ -6x+1=0에 대입하면
p¤ -6p+1=0
양변을 p로 나누면 p-6+;p!;=0(cid:100)(cid:100)
∴ p+;p!;=6
2
{p-;p!;}
={p+;p!;}
2
-4이므로
2
=6¤ -4=32
{p-;p!;}
이때 0<p<1이므로 p-;p!;<0(cid:100)(cid:100)
76 정답 및 풀이
11THEME
인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
46~47쪽
실전 연습 문제
1회
01 x¤ +2x-15=0에서 (x+5)(x-3)=0
∴ x=-5 또는 x=3
02 6x¤ -7x-3=0에서 (3x+1)(2x-3)=0
(cid:9000) ③
∴ x=-;3!; 또는 x=;2#;
이때 a>b이므로 a=;2#;, b=-;3!;
∴ a-b=;2#;-{-;3!;}=:¡6¡:
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
(cid:9000) x=-2
03 x=k를 2x¤ -kx-k-6=0에 대입하면
2k¤ -k¤ -k-6=0, k¤ -k-6=0
(k+2)(k-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ k=-2 또는 k=3
따라서 양수 k의 값은 3이다.
04 x=-4를 x¤ -3ax-2a+4=0에 대입하면
16+12a-2a+4=0
10a=-20(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
x¤ +6x+8=0에서 (x+4)(x+2)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-4 또는 x=-2
따라서 다른 한 근은 x=-2이다.
05 x=-4를 x¤ -2x+a=0에 대입하면
16+8+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-24
즉, 4x¤ -24x+35=0이므로
(2x-5)(2x-7)=0
06 2x¤ -9x-5=0에서 (2x+1)(x-5)=0
∴ x=-;2!; 또는 x=5
이때 x=-;2!;이 x¤ +3x+k=0의 근이므로
2
{-;2!;}
+3_{-;2!;}+k=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=;2%; 또는 x=;2&;
(cid:9000) x=;2%; 또는 x=;2&;
∴ k=;4%;
(cid:9000) ③
07 x¤ +x-2=0에서 (x+2)(x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=1
x¤ -x-6=0에서 (x+2)(x-3)=0
∴ x=-2 또는 x=3
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-2이다. (cid:9000) ①
08 x=;2!;을 Ax¤ -1=0에 대입하면
;4!;A-1=0, ;4!;A=1
∴ A=4
x=;2!;을 2x¤ -Bx-3=0에 대입하면
;2!;-;2!;B-3=0, -;2!;B=;2%;
∴ B=-5
실전북
(cid:9000) -20
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②, ④
(cid:9000) -39
(cid:9000) ①
(cid:9000) ①
∴ AB=4_(-5)=-20
09 ① (x+1)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)
③ ∴ x=-1 또는 x=1
② x=0 또는 x=-2
③ x¤ +6x+9=0에서 (x+3)¤ =0
③ ∴ x=-3 (중근)
④ x¤ -4x-5=0, (x+1)(x-5)=0
③ ∴ x=-1 또는 x=5
⑤ x=-1 또는 x=1
따라서 중근을 갖는 것은 ③이다.
10 4x¤ +(3-5k)x+4=0에서
x¤ +{
3-5k
4
1={
3-5k
8
2
}
} x+1=0이므로
, (3-5k)¤ =64
3-5k=—8
3-5k=8일 때, k=-1
3-5k=-8일 때, k=:¡5¡:
11 x=1을 (a-2)x¤ +(a¤ +3)x-6a+5=0에 대입하면
(a-2)+(a¤ +3)-6a+5=0
a¤ -5a+6=0, (a-2)(a-3)=0
∴ a=2 또는 a=3
이때 a=2이면 이차방정식이 아니므로 a=3
즉, x¤ +12x-13=0에서 (x+13)(x-1)=0
∴ x=-13 또는 x=1
즉, 다른 한 근은 x=-13이므로 b=-13
∴ ab=3_(-13)=-39
12 x=-3을 x¤ +ax+12=0에 대입하면
9-3a+12=0
3a=21∴∴∴ a=7
즉, x¤ +7x+12=0에서
(x+4)(x+3)=0
∴ x=-4 또는 x=-3
따라서 x=-4가 2x¤ -3x+b=0의 근이므로
2_16+12+b=0∴∴
∴ b=-44
∴ b-a=-44-7=-51
13 4x¤ +ax+b=0이 중근 x=;2#;을 가지므로
2
4{x-;2#;}
=0
4{x¤ -3x+;4(;}=0
∴ 4x¤ -12x+9=0
즉, a=-12, b=9이므로
a+b=-12+9=-3
|`다른 풀이`| 이차항의 계수가 4이므로
(2x-k)¤ =0의 꼴로 나타낼 수 있다.
04. 이차방정식의 뜻과 풀이 77
이때 중근 x=;2K;를 가지므로
;2K;=;2#;므로∴ k=3
즉, (2x-3)¤ =0에서 4x¤ -12x+9=0
14 9x¤ -30x+a=0에서 x¤ -:¡3º:x+;9A;=0
이 식이 중근을 가지려면 ;9A;={-;3%;}
므로
2
∴ a=25
9x¤ -30x+25=0에서 (3x-5)¤ =0
∴ x=;3%; (중근)므로∴ k=;3%;
∴ ;aK;=;3%;_;2¡5;=;1¡5;
(cid:9000) ②
11THEME
인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
48~49쪽
실전 연습 문제
2회
01 각각의 방정식의 해를 구하면 다음과 같다.
① x=;3!; 또는 x=-;6!;
② x=;3!; 또는 x=-;6!;
③ x=-;3!; 또는 x=;6!;
④ x=;3!; 또는 x=-;6!;
⑤ x=;3!; 또는 x=-;6!;
05 3x¤ -5x-2=0에서 (3x+1)(x-2)=0
∴ x=-;3!; 또는 x=2
이때 x=2가 3x¤ +(a-5)x-8=0의 근이므로
12+2(a-5)-8=0
2a-6=0면면∴ a=3
(cid:9000) ③
06 x¤ -4x+4=0에서 (x-2)¤ =0
∴ x=2 (중근)
x=2가 이차방정식 2x¤ -2ax-4=0의 근이므로
8-4a-4=0∴∴∴ a=1
즉, 2x¤ -2x-4=0에서 x¤ -x-2=0
(x+1)(x-2)=0∴∴
∴ x=-1 또는 x=2
따라서 이차방정식의 다른 한 근은 x=-1이다.
07 2x¤ +x-3=0에서 (2x+3)(x-1)=0
∴ x=-;2#; 또는 x=1
6x¤ +11x+3=0에서 (2x+3)(3x+1)=0
∴ x=-;2#; 또는 x=-;3!;
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-;2#;이다.
(cid:9000) ①
(cid:9000) x=-;2#;
08 x¤ -2x-3=0에서 (x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
2x¤ -3x-5=0에서 (x+1)(2x-5)=0
∴ x=-1 또는 x=;2%;
따라서 해가 나머지 넷과 다른 하나는 ③이다.
(cid:9000) ③
따라서 두 이차방정식의 공통인 근이 x=-1이므로 공통이
02 3x¤ +7x=6에서 3x¤ +7x-6=0
(x+3)(3x-2)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-3 또는 x=;3@;
따라서 -3과 ;3@; 사이에 있는 정수는 -2, -1, 0이므로 구
하는 합은
(-2)+(-1)+0=-3
03 (x+1)(x-2)=-6x+4에서
x¤ -x-2=-6x+4, x¤ +5x-6=0
(x+6)(x-1)=0∴∴
따라서 a=6, b=-1 또는 a=-1, b=6이므로
ab=6_(-1)=-6
04 x=-5를 x¤ +ax+20=0에 대입하면
25-5a+20=0, 5a=45
∴ a=9
즉, x¤ +9x+20=0에서 (x+5)(x+4)=0
∴ x=-5 또는 x=-4
따라서 다른 한 근은 x=-4이므로 b=-4
∴ a+b=9+(-4)=5
(cid:9000) -3
(cid:9000) ④
78 정답 및 풀이
아닌 근은 x=3, x=;2%;이다.
즉, p=3, q=;2%;이므로
p+q=3+;2%;=:¡2¡:
09 ① x(x-7)=0∴∴
② ∴ x=0 또는 x=7
② x¤ -x-12=0, (x+3)(x-4)=0
② ∴ x=-3 또는 x=4
③ (x+5)(x-5)=0∴∴
② ∴ x=-5 또는 x=5
④ x¤ -4x-5=0, (x+1)(x-5)=0
⑤ x(x-6)=-9에서 x¤ -6x+9=0
(x-3)¤ =0∴∴
② ∴ x=3 (중근)
따라서 중근을 갖는 것은 ⑤이다.
10 x¤ -12x-a=0이 중근을 가지려면
-a={
-12
2
2
}
∴∴∴ a=-36
(cid:9000) ②
∴ x=-1 또는 x=5
(cid:9000) :¡2¡:
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
11 x=1을 주어진 이차방정식에 대입하면
a-1-a¤ +1+2a-2=0
a¤ -3a+2=0
(a-1)(a-2)=0면면
∴ a=1 또는 a=2
이때 a=1이면 이차방정식이 되지 않으므로 a=2
즉, a=2를 주어진 이차방정식에 대입하면
x¤ -3x+2=0, (x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x=2
따라서 a=2, m=2이므로
a+m=2+2=4
12 x¤ +5x-14=0에서 (x+7)(x-2)=0
∴ x=-7 또는 x=2
이때 x=2가 x¤ -(a-1)x+a=0의 근이므로
4-2(a-1)+a=0∴∴∴ a=6
즉, x¤ -5x+6=0에서 (x-2)(x-3)=0
∴ x=2 또는 x=3
따라서 다른 한 근은 x=3이다.
13 x=1이 2x¤ -ax+b=0의 중근이므로
2(x-1)¤ =0
2x¤ -4x+2=0에서 a=4, b=2
x=-2를 x¤ -3x+c=0에 대입하면
4+6+c=0∴∴∴ c=-10
∴ a+b+c=4+2+(-10)=-4
14 x¤ -(m-4)x-2m+5=0이 중근을 가지려면
m-4
2
-2m+5={-
이므로
2
}
m¤ -8m+16=-8m+20
m¤ -4=0
(m+2)(m-2)=0(cid:100)(cid:100)
∴ m=-2 또는 m=2
따라서 상수 m의 값의 곱은
(-2)_2=-4
즉, a=;4#;, b=3이므로
ab=;4#;_3=;4(;
03 서로 다른 두 근을 가지려면
>0에서 a-3>0
a-3
4
∴ a>3
04 해가 존재하지 않으려면
a-5
2
<0에서
(cid:9000) 4
a-5<0∴∴∴ a<5
05 x¤ +6x+3=0에서
x¤ +6x=-3
x¤ +6x+9=-3+9
(x+3)¤ =6에서
∴ x=-3—'6
∴ ㈎：9, ㈏：3, ㈐：6, ㈑：-3
06 3x¤ +x-3=0에서 x¤ +;3!;x=1
(cid:9000) ③
x¤ +;3!;x+;3¡6;=1+;3¡6;, {x+;6!;}
=;3#6&;
2
즉, p=;6!;, q=;3#6&;이므로
p+q=;6!;+;3#6&;=;3$6#;
07 ax¤ -2x-4=0에서 근의 공식을 이용하면
(cid:9000) -4
x=
1—'∂1+4a
a
즉, a=4, 1+4a=b이므로 b=17
∴ a+b=4+17=21
08 x¤ +ax+b=0에서 근의 공식을 이용하면
x=
-a—"√a¤ -4b
2
즉, a=-5, a¤ -4b=13이므로 4b=12∴∴∴ b=3
∴ 2a+b=2_(-5)+3=-7
(cid:9000) ①
(cid:9000) ①
|`다른 풀이`| x=
5—'∂13
2
에서
2x=5—'∂13 , 2x-5=—'∂13
(2x-5)¤ =13, 4x¤ -20x+25=13
4x¤ -20x+12=0, x¤ -5x+3=0
09 주어진 이차방정식의 양변에 10을 곱하면
12THEME
이차방정식의 근의 공식
50~51쪽
실전 연습 문제
1회
01 3(x-1)¤ -9=0에서 (x-1)¤ =3
02 4{x-;4#;}
=3에서 {x-;4#;}
2
2
=;4#;
(cid:9000) ④
x-1=—'3(cid:100)(cid:100)
∴ x=1—'3
즉, a=1, b=3이므로
a+b=1+3=4
x-;4#;=—
(cid:100)(cid:100)
∴ x=;4#;—
'3
2
'3
2
2x¤ +5x-5=0
∴ x=
-5—'∂65
4
5(2x+1)=6(x¤ +x-2)
10x+5=6x¤ +6x-12
6x¤ -4x-17=0
∴ x=
2—'∂106
6
즉, a=106, b=6이므로
a+b=106+6=112
10 주어진 이차방정식의 양변에 15를 곱하여 정리하면
04. 이차방정식의 뜻과 풀이 79
실전북
(cid:9000) ;4(;
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) a<5
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①
(cid:9000) ①
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
11 x-3=A로 치환하면
A¤ -4A+3=0, (A-1)(A-3)=0∴∴
∴ A=1 또는 A=3
즉, x-3=1 또는 x-3=3이므로
x=4 또는 x=6
따라서 두 근의 합은 4+6=10
12 (x-3)(x+1)-1=0에서 x¤ -2x-4=0
(x-1)¤ =4+1, x-1=—'5
∴ x=1—'5에
6x-5>2(x+2)에서 6x-2x>4+5
yy ㉠
4x>9(cid:100)(cid:100)∴ x>;4(;에 yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡을 동시에 만족하는 x의 값은
x=1+'5
13 x-y=A로 치환하면
A(A+5)-7=0, A¤ +5A-7=0
∴ A=
-5—'5å3
2
이때 x>y이므로 x-y>0
∴ x-y=
-5+'5å3
2
14 x¤ -12x+5=0에서
x=6—'3å1
이때 a=6-'3å1이고, 5<'3å1<6이므로
-6<-'3å1<-5, 0<6-'3å1<1
따라서 부등식 n<a<n+1을 만족하는 정수 n의 값은 0이다.
(cid:9000) ①
12THEME
이차방정식의 근의 공식
52~53쪽
실전 연습 문제
2회
01 ;3!;(x-1)¤ =4에서 (x-1)¤ =12
x-1=—2'3(cid:100)(cid:100)∴ x=1—2'3
02 2(x+3)¤ =k에서 (x+3)¤ =;2K;
x+3=—æ;2K; (cid:100)(cid:100)∴ x=-3—æ;2K;
따라서 두 근의 합은
{-3+æ;2K; }+{-3-æ;2K; }=-6
03 ④ kæ0
04 ① q=0일 때, x=0 (중근)을 갖는다.
② q=1일 때, x=—1이다.
③ q>0일 때, x=—'ßq 이다.
④ q<0일 때, 근은 없다.
⑤ |-1|=|1|이므로 q=1일 때, 두 근의 절댓값은 같다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
05 3x¤ -6x-15=0에서 x¤ -2x=5
x¤ -2x+1=5+1, (x-1)¤ =6
즉, a=-1, b=6이므로
80 정답 및 풀이
a+b=(-1)+6=5
(cid:9000) ③
06 2x¤ +4x-1=0에서 x¤ +2x-;2!;=0
(cid:9000) 10
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
(cid:9000) ④
x¤ +2x=;2!;, x¤ +2x+1=;2!;+1
(x+1)¤ =;2#;, x+1=—
'6
2
∴ x=-1—
'6
2
즉, a=1, b=;2#;, c=6이므로
abc=1_;2#;_6=9
07 3x¤ +4x+a=0에서 x=
-2—'ƒ4-3a
3
즉, b=-2이고 4-3a=13이므로 a=-3
∴ a+b=(-3)+(-2)=-5
08 주어진 이차방정식의 양변에 10을 곱하면
x¤ -x=30, x¤ -x-30=0
(x+5)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-5 또는 x=6
09 주어진 이차방정식의 양변에 6을 곱하면
x¤ -4x=2(5x-4), x¤ -14x+8=0
∴ x=7—'4å1
즉, p=7, q=41이므로
p+q=7+41=48
10 x-1=A로 치환하면
5A¤ -6A+1=0, (5A-1)(A-1)=0
∴ A=;5!; 또는 A=1
x-1=;5!; 또는 x-1=1
∴ x=;5^; 또는 x=2
11 x¤ -2kx+3k=0에서 x¤ -2kx=-3k
x¤ -2kx+k¤ =k¤ -3k, (x-k)¤ =k¤ -3k
k¤ -3k=4에서 k¤ -3k-4=0
(k+1)(k-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-1 또는 k=4
이때 k>0이므로 k=4
∴ p=-k=-4
12 (2x-1)¤ -2x-x¤ -5=(x+1)(x-1)에서
4x¤ -4x+1-2x-x¤ -5=x¤ -1
2x¤ -6x-3=0(cid:100)(cid:100)∴ x=
3—'∂15
2
∴ a+b=
3-'∂15 +3+'∂15
2
=3
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
(cid:9000) ②
(cid:9000) 3
13 x¤ -4x+2=0에서 x=2—'2
∴ x=2-'2 또는 x=2+'2
이때 1<'2<2이므로
0<2-'2<1, 3<2+'2<4
따라서 두 근 사이에 있는 정수는 1, 2, 3의 3개이다. (cid:9000) 3개
14 주어진 이차방정식을 정리하면
x¤ -4x+4=2x+2, x¤ -6x+2=0
∴ x=3—'7
이때 k=3+'7이고 2<'7<3이므로
5<3+'7<6
따라서 구하는 정수 n의 값은 5이다.
THEME
모아
중단원 실전 평가
01 ㄴ. -4x-4=0 ˙k 일차방정식
ㄷ. x¤ +2x+1 ˙k 이차식
ㅁ. 이차방정식이 아니다.
따라서 이차방정식은 ㄱ, ㄹ, ㅂ의 3개이다.
02 ① (-5)¤ -2_(-5)-15+0
② 3_2¤ +7_2+2+0
2
③ 4_{;3!;}
-13_;3!;+3+0
(cid:9000) ③
54~57쪽
(cid:9000) ③
④ 3_3¤ -5_3-2+0
⑤ 2_1¤ +1-3=0
따라서 [ ] 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인 것은 ⑤이
실전북
(cid:9000) ③
x=-1 또는 x=;3!;이므로
(x+1)(3x-1)=0, 3x¤ +2x-1=0(cid:100)(cid:100)
∴ a=2, b=-1(cid:100)(cid:100)∴ ab=-2
06 a¤ +3a+1=0이므로
a¤ +3a+3=(a¤ +3a+1)+2=2
07 x=a를 x¤ -3x+1=0에 대입하면
a¤ -3a+1=0, a-3+;a!;=0(cid:100)(cid:100)
∴ a+;a!;=3
1
a¤
1
a›
a¤ + ={a+;a!;}
2
-2=3¤ -2=7
∴ a› + ={a¤ + }
-2=7¤ -2=47
(cid:9000) 47
2
1
a¤
08 (x+3)(2x-5)-3=-12에서
2x¤ +x-6=0, (x+2)(2x-3)=0
∴ x=-2 또는 x=;2#;
따라서 구하는 곱은 (-2)_;2#;=-3
(cid:9000) ②
(cid:9000) ⑤
09 x=-2를 (a-1)x¤ +(a¤ -3)x-6a+2=0에 대입하면
다.
03 x=2를 x¤ -ax+a-7=0에 대입하면
2¤ -a_2+a-7=0(cid:100)(cid:100)
∴ a=-3
즉, x¤ +3x-10=0이므로
(x+5)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-5 또는 x=2
따라서 상수 a의 값과 다른 한 근의 합은
(-3)+(-5)=-8
04 일차항의 계수와 상수항을 바꾸면
x¤ +(k-1)x-k=0
(x+k)(x-1)=0
∴ x=-k 또는 x=1
이때 한 근이 -3이므로
-k=-3∴∴∴ k=3
즉, 처음 방정식은 x¤ -3x+2=0이므로
(x-1)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=1 또는 x=2
따라서 구하는 두 근의 합은 1+2=3
05 x=-1을 3x¤ +ax+b=0에 대입하면
3-a+b=0(cid:100)(cid:100)
∴ a-b=3(cid:100)
yy ㉠
x=;3!;을 3x¤ +ax+b=0에 대입하면
;3!;+;3!;a+b=0(cid:100)(cid:100)
∴ a+3b=-1(cid:100) yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-1
∴ ab=2_(-1)=-2
|`다른 풀이`| 3x¤ +ax+b=0의 두 근이
4(a-1)-2(a¤ -3)-6a+2=0
4a-4-2a¤ +6-6a+2=0
-2a¤ -2a+4=0, a¤ +a-2=0
(a+2)(a-1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ a=-2 또는 a=1
이때 a=1이면 이차방정식이 아니므로 a=-2
즉, (-2-1)x¤ +(4-3)x-6_(-2)+2=0에서
-3x¤ +x+14=0, 3x¤ -x-14=0
(x+2)(3x-7)=0
∴ x=-2 또는 x=;3&;
따라서 다른 한 근은 x=;3&;이다.
(cid:9000) x=;3&;
10 x¤ -3x+2=0에서 (x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x=2
이때 두 근 중 작은 근은 x=1이므로
x=1을 2kx¤ +(k+3)x-5=0에 대입하면
2k+(k+3)-5=0
3k-2=0∴∴∴ k=;3@;
(cid:9000) ;3@;
11 x=-2를 3x¤ +3x+a=0에 대입하면
3_(-2)¤ +3_(-2)+a=0∴∴
∴ a=-6
x=-2를 x¤ +bx-8=0에 대입하면
(-2)¤ -2b-8=0∴∴
∴ b=-2
∴ a+b=(-6)+(-2)=-8
12 ㄱ. x¤ -14x+49=0, (x-7)¤ =0
∴ x=7 (중근)
(cid:9000) ①
04. 이차방정식의 뜻과 풀이 81
(cid:9000) ①
(cid:9000) 3
(cid:9000) ①
ㄴ. x¤ =1(cid:100)(cid:100)∴ x=—1
ㄷ. (x-2)¤ =2, x-2=—'2
∴ x=2—'2
ㄹ. 4x¤ +4x+1=0, (2x+1)¤ =0
ㄹ. ∴ x=-;2!; (중근)
따라서 중근을 갖는 것은 ㄱ, ㄹ이다.
13 x¤ -12x+k=0이 중근을 가지므로
k={
-12
2
2
}
∴∴∴ k=36
즉, 36x¤ =5에서 x¤ =;3∞6;∴∴
∴ x=—
'5
6
14 (x-5)¤ =k-4가 중근을 가지므로
k-4=0에서 k=4
즉, (x-5)¤ =0에서 x=5 (중근)이므로 a=5
∴ a+k=5+4=9
15 2x¤ -6x+m=0에서
x=
3—'ƒ9-2m
2
즉, n=3이고, 9-2m=3에서 m=3
∴ 2m+n=2_3+3=9
16 주어진 이차방정식의 양변에 10을 곱하면
17 x¤ +0.1x-0.2=0의 양변에 10을 곱하면
2(x+1)¤ =2(x+1)+5
2x¤ +4x+2=2x+2+5
2x¤ +2x-5=0
∴ x=
-1—'∂11
2
10x¤ +x-2=0
(2x+1)(5x-2)=0
∴ x=-;2!; 또는 x=;5@;(cid:100)(cid:100)
∴ a=;5@;
;2!;x¤ +;3$;x+;6%;=0의 양변에 6을 곱하면
3x¤ +8x+5=0
(x+1)(3x+5)=0
∴ x=-1 또는 x=-;3%;(cid:100)(cid:100)
∴ b=-;3%;
18 (12x+1)¤ +(12x+1)-6=0에서
12x+1=X로 치환하면
X¤ +X-6=0
(X+3)(X-2)=0
∴ X=-3 또는 X=2
즉, 12x+1=-3 또는 12x+1=2이므로
82 정답 및 풀이
(cid:9000) ③
(cid:9000) ①
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
x=-;3!; 또는 x=;1¡2;
두 근의 차는 ;1¡2;-{-;3!;}=;1∞2;
따라서 p=12, q=5이므로
p+q=12+5=17
19 x¤ -5x-9=0의 한 근이 x=m이므로
m¤ -5m-9=0∴∴
∴ m¤ -5m=9
x¤ -7x-5=0의 한 근이 x=n이므로
n¤ -7n-5=0∴∴
∴ n¤ -7n=5
∴ m¤ +2n¤ -5m-14n=m¤ -5m+2(n¤ -7n)
=9+2_5=19
채점 기준
❶ x=m을 x¤ -5x-9=0에 대입하기
❷ x=n을 x¤ -7x-5=0에 대입하기
❸ m¤ +2n¤ -5m-14n의 값 구하기
20 x¤ -6x+k=0이 중근을 가지므로
k={-;2^;}
2
=9
k=9를 (k-7)x¤ -5x-3=0에 대입하면
2x¤ -5x-3=0, (2x+1)(x-3)=0
∴ x=-;2!; 또는 x=3
채점 기준
❶ 상수 k의 값 구하기
❷ 이차방정식의 근 구하기
21 x¤ -4x-7=0에서 x¤ -4x=7
x¤ -4x+4=11, (x-2)¤ =11
x-2=—'∂11
∴ x=2—'∂11
채점 기준
❶ 완전제곱식 꼴로 나타내기
❷ 이차방정식의 해 구하기
22 AE”=x라 하면 AB”=DC”=AE”=x이므로
AD”：AB”=DC”：DE”에서
6：x=x：(6-x)
x¤ =6(6-x), x¤ +6x-36=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-3—3'5
이때 x>0이므로 x=-3+3'5
따라서 선분 AE의 길이는 -3+3'5이다.
채점 기준
❶ 닮음을 이용하여 비례식 세우기
❷ 선분 AE의 길이 구하기
(cid:9000) ③
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 19
y❶
y❷
배점
2점
2점
2점
배점
3점
3점
배점
3점
2점
y❶
y❷
(cid:9000) x=2—'∂11
y❶
y❷
(cid:9000) -3+3'5
배점
2점
4점
(cid:9000) x=-;2!; 또는 x=3
∴ ab=;5@;_{-;3%;}=-;3@;
(cid:9000) ①
05. 이차방정식의 활용
13THEME
이차방정식의 성질
58~59쪽
실전 연습 문제
1회
07 x¤ -3x-5=0에서
-3
1
(두 근의 합)=-
=3
(두 근의 곱)=
=-5
-5
1
실전북
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
두 근이 3, -5이고, x¤ 의 계수가 2인 이차방정식은
2(x-3)(x+5)=0
08 x=-3이 중근이고, x¤ 의 계수가 2이므로
2(x¤ +2x-15)=0
2x¤ +4x-30=0∴∴
즉, a=4, b=-30이므로
a+b=4+(-30)=-26
2(x+3)¤ =0
2(x¤ +6x+9)=0
2x¤ +12x+18=0
즉, a=12, b=18이므로
a+b=12+18=30
(x+2)(x-3)=0
x¤ -x-6=0
즉, a=-1, b=-6이므로
bx¤ +ax+1=0에서
-6x¤ -x+1=0
09 두 근이 -2, 3이고, x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은
따라서 두 근의 합은 -;6!;이다.
(cid:9000) -;6!;
10 계수가 유리수이고 한 근이 1-'3 이므로 다른 한 근은
1+'3 이다.
(두 근의 합)=(1-'3 )+(1+'3 )=2
(두 근의 곱)=(1-'3 )(1+'3 )=-2
즉, a=2, b=-2이므로
a+b=2+(-2)=0
11 x¤ -5x-a=0이 중근을 가지므로
(-5)¤ -4_1_(-a)=0
25+4a=0
∴ a=-:™4∞:
x¤ -5x+:™4∞:=0에서
2
{x-;2%;}
=0이므로 x=;2%; (중근)
∴ b=;2%;
01 ① b¤ -4ac=36-36=0
˙k 근은 1개
② b¤ -4ac=9+40=49>0
③ b¤ -4ac=1-16=-15<0
④ b¤ -4ac=16+16=32>0
˙k 근은 2개
˙k 근은 없다.
˙k 근은 2개
˙k 근은 2개
⑤ b¤ -4ac=121-100=21>0
따라서 해가 없는 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
02 4x¤ +4x-k=0이 중근을 가지므로
4¤ -4_4_(-k)=0, 16k=-16∴∴
∴ k=-1
k=-1을 (k-1)x¤ +3x-1=0에 대입하면
-2x¤ +3x-1=0, 2x¤ -3x+1=0
∴ a+b=-
-3
2
=;2#;
(두 근의 합)=-
03 x¤ -2x-1=0에서
-2
1
x=2가 2x¤ -x+k=0의 한 근이므로
8-2+k=0∴∴
∴ k=-6
=2
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
∴ a+b+ab=4+(-2)=2
(cid:9000) 2
04 x¤ -4x-2=0에서
a+b=-
=4
-4
1
ab=
=-2
-2
1
05 3x¤ +4x-2=0에서
a+b=-;3$;, ab=-;3@;이므로
(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab
(a-b)¤ ={-;3$;}2 -4_{-;3@;}
(a-b)¤ =:¢9º:
(cid:9000) ⑤
∴ 2a+b=2_{-:™4∞:}+;2%;=-10
(cid:9000) ①
06 x¤ +ax+8=0의 한 근을 a라 하면 다른 한 근은 2a이므로
12 주어진 이차방정식이 서로 다른 두 근을 가지므로
(두 근의 곱)=a_2a=8, a¤ =4∴∴
∴ a=—2
(두 근의 합)=-a=a+2a=3a=—6
따라서 양수 a의 값은 6이다.
4(m-1)¤ -4m¤ >0
4m¤ -8m+4-4m¤ >0
-8m+4>0∴∴
(cid:9000) ④
∴ m<;2!;
05. 이차방정식의 활용 83
(cid:9000) m<0 또는 0<m<;2!;
x¤ -13x+22=0
이때 m+0이므로 m<0 또는 0<m<;2!;
13 (x+2)△(x-3)=3에서
(x+2)(x-3)+(x+2)-(x-3)=3
x¤ -x-6+5-3=0
즉, x¤ -x-4=0이므로
a+b=1, ab=-4
1
a+1
+
1
b+1
=
b+1+a+1
(a+1)(b+1)
∴
=
=
a+b+2
ab+a+b+1
1+2
(-4)+1+1
=-;2#;
14 2x¤ +3x-5=0에서
a+b=-;2#;, ab=-;2%;이므로
(a+1)+(b+1)=a+b+2
(a+1)+(b+1)={-;2#;}+2=;2!;
(a+1)(b+1)=ab+a+b+1
(a+1)(b+1)={-;2%;}+{-;2#;}+1=-3
03 (x-5)(x+6)=2(x-3)¤ -26에서
x¤ +x-30=2x¤ -12x+18-26
따라서 두 근의 합은
-
=13
-13
1
04 x¤ +2x-1=0에서
a+b=-2, ab=-1
∴ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
=(-2)¤ -2_(-1)=6
05 3x(x+1)=2x¤ +4
3x¤ +3x=2x¤ +4
x¤ +3x-4=0에서
a+b=-3, ab=-4
1
b
∴ + =
a+b
ab
1
a
∴ + =;4#;
(cid:9000) ①
06 두 근의 차가 5이므로 두 근을 a, a+5라 하자.
두 근의 합이 -
=1이므로
-2
2
a+a+5=1, 2a=-4이므
∴ a=-2
즉, 두 근은 -2, 3이므로 두 근의 곱은
따라서 a+1, b+1을 두 근으로 하고, x¤ 의 계수가 2인 이차
;2K;=(-2)_3이므
방정식에서 두 근의 합은 ;2!;, 두 근의 곱은 -3이므로
∴ k=-12
2{x¤ -;2!;x-3}=0
∴ 2x¤ -x-6=0
07 두 근이 ;5!;, -;2!;이고, x¤ 의 계수가 10인 이차방정식은
(cid:9000) ③
10{x-;5!;}{x+;2!;}=0
10x¤ +3x-1=0
즉, p=3, q=-1이므로
p+q=3+(-1)=2
08 계수가 유리수이고 한 근이 b+'5 이므로 다른 한 근은
b-'5 이다.
(두 근의 합)=(b+'5 )+(b-'5 )
=-4
2b=-4에서 b=-2
(두 근의 곱)=(-2+'5 )(-2-'5 )
=4-5=-1
a=-1
∴ ab=(-1)_(-2)=2
09 계수가 유리수이고 한 근이
이므로 다른 한 근은
3-2'3
2
3+2'3
2
이다.
(두 근의 합)=
3-2'3
2
+
3+2'3
2
=3
(cid:9000) ④
-;4A;=3에서 a=-12
13THEME
이차방정식의 성질
60~61쪽
실전 연습 문제
2회
01 ㄱ. (-1)¤ -4_1_3<0이므로 해는 없다.
ㄴ. (-1)¤ -4_1_(-1)>0이므로 서로 다른 두 근을 갖
ㄷ. A<0이면 (-1)¤ -4A>0이므로 서로 다른 두 근을 갖
는다.
는다.
ㄹ. A=0이면 (-1)¤ >0이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
(cid:9000) ③
02 ax¤ +3ax+2a+1=0이 중근을 가지려면
(3a)¤ -4a(2a+1)=0
9a¤ -8a¤ -4a=0
a¤ -4a=0
a(a-4)=0∴∴
∴ a=0 또는 a=4
이때 주어진 식이 이차방정식이므로 a+0
∴ a=4
84 정답 및 풀이
(cid:9000) ②
(cid:9000) ②
(cid:9000) ①
(cid:9000) ①
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
(두 근의 곱)=
3-2'3
2
_
3+2'3
2
=
9-12
4
=-;4#;
a=2, b=-8
∴ a+b=2+(-8)=-6
∴ a+b=(-12)+(-3)=-15
(cid:9000) ①
10 x¤ +(k+1)x+k+4=0이 중근을 가지므로
;4B;=-;4#;에서 b=-3
(k+1)¤ -4(k+4)=0
k¤ -2k-15=0
(k+3)(k-5)=0
∴ k=-3 또는 k=5 yy ㉠
2x¤ -3x+4-2k=0이 서로 다른 두 근을 가지므로
(-3)¤ -4_2_(4-2k)>0
yy ㉡
02 두 수를 x, x+5라 하면
x(x+5)=14
x¤ +5x-14=0
(cid:9000) 5
11 x=a를 이차방정식 x¤ -(k+12)x+1=0에 대입하면
k¤ -k-12=0
따라서 상수 k의 값의 합은 1이다.
(cid:9000) ③
62~63쪽
실전 연습 문제
1회
14THEME
이차방정식의 활용
01
n(n-3)
2
=44이므로
n¤ -3n-88=0
(n+8)(n-11)=0∴∴
∴ n=11 (∵ n>3)
따라서 구하는 다각형은 십일각형이다.
(x+7)(x-2)=0
∴ x=2 (∵ x는 양의 정수)
따라서 두 양의 정수는 2와 7이므로 두 수의 합은
2+7=9
03 어떤 자연수를 x라 하면
(x-4)¤ =2(x+8)
x¤ -8x+16=2x+16
x¤ -10x=0, x(x-10)=0
∴ x=10 (∵ x는 자연수)
따라서 구하는 자연수는 10이다.
(cid:9000) 10
04 형의 나이를 x살이라 하면 동생의 나이는 (x-3)살이므로
x¤ =2(x-3)¤ -7
x¤ =2x¤ -12x+18-7
x¤ -12x+11=0
(x-1)(x-11)=0
∴ x=11 (∵ x>3)
따라서 형의 나이는 11살이다.
-5t¤ +40t+100=0
t¤ -8t-20=0
9-32+16k>0
16k>23
∴ k>;1@6#;
㉠, ㉡에서 k=5
a¤ -(k+12)a+1=0
a-(k+12)+ =0
1
a
1
이때 a+ =k¤ 이므로
a
k¤ -(k+12)=0
12 x¤ -2x-5=0에서
a+b=-
=2
-2
1
ab=
=-5
-5
1
=-;5@;
이므로
1
1
+ =
a
b
1
1
b
a
a+b
ab
1
_ = =-;5!;
ab
1
b
1
a
은 -;5@;, 곱은 -;5!;이므로
x¤ +;5@;x-;5!;=0(cid:100)(cid:100)
∴ 5x¤ +2x-1=0
따라서 , 을 두 근으로 하는 이차방정식에서 두 근의 합
05 물체가 지면에 떨어질 때의 높이는 0 m이므로
(t+2)(t-10)=0
∴ t=10 (∵ t>0)
따라서 이 물체가 지면에 떨어지는 것은 10초 후이다.
(cid:9000) ④
13 -8과 1을 두 근으로 하고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은
(x+8)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x¤ +7x-8=0
˙k 상수항은 -8
-5와 3을 두 근으로 하고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은
(x+5)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x¤ +2x-15=0
˙k x의 계수는 2
따라서 원래의 이차방정식은 x¤ +2x-8=0이므로
06 처음 정사각형 모양의 꽃밭의 한 변의 길이를 x m라 하면
(x+3)(x-2)=66
x¤ +x-72=0
(x+9)(x-8)=0
∴ x=8 (∵ x>0)
따라서 처음 꽃밭의 한 변의 길이는 8 m이다.
07 AC”=x cm라 하면 CB”=(6-x) cm이므로
x¤ =2(6-x)¤
05. 이차방정식의 활용 85
실전북
(cid:9000) -6
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
(cid:9000) 11살
(cid:9000) ③
(cid:9000) 8 m
x¤ -24x+72=0
∴ x=12—'∂72=12—6'2
이때 0<x<6이므로 x=12-6'2
∴ AC”=(12-6'2 ) cm
08 오려 낸 부분의 폭을
x cm라 하면 오려 낸
부분을 제외한 종이의
넓이는 오른쪽 그림의
10 cm
x cm
색칠된 부분의 넓이와 같으므로
(24-x)(10-x)=147
240-34x+x¤ =147
x¤ -34x+93=0
(x-3)(x-31)=0
∴ x=3 (∵ 0<x<10)
따라서 오려 낸 부분의 폭은 3 cm이다.
(cid:9000) ②
09 처음 직사각형의 세로의 길이를 x cm로 놓으면 가로의 길이
는 (x+4) cm이다. 이 종이의 네 모퉁이에서 한 변의 길이
가 3 cm인 정사각형을 잘라 내어 직육면체를 만들었으므로
직육면체의 가로의 길이는 (x+4-6) cm, 세로의 길이는
(x-6) cm, 높이는 3 cm이다.
이 직육면체의 부피가 96 cm‹ 이므로
3(x-2)(x-6)=96
(cid:9000) ③
10 십의 자리의 수를 x라 하면 일의 자리의 수는 3x이므로 처음
(cid:9000) 39
11 직육면체에서 밑면의 세로의 길이를 x cm라 하면 가로의 길
이는 (3x+2) cm
직육면체의 높이는 10 cm이고, 부피는 400 cm‹ 이므로
10x(3x+2)=400
따라서 밑면의 세로의 길이는 :¡3º: cm이다.
(cid:9000) :¡3º: cm
12 △AED는 직각이등변삼각형이므로
수는 10x+3x=13x
3x_x=13x-12
3x¤ -13x+12=0
(3x-4)(x-3)=0
∴ x=3 (∵ x는 양의 정수)
따라서 이 양의 정수는
13x=13_3=39
3x¤ +2x-40=0
(x+4)(3x-10)=0
∴ x=:¡3º: (∵ x>0)
CD”=x cm라 하면
DE”=AD”=(12-x) cm
(12-x)x=32이므로
x¤ -12x+32=0
(x-4)(x-8)=0
∴ x=8 (∵ x>6)
∴ CD”=8 cm
CD”>AD”에서 x>12-x(cid:100)(cid:100)∴ x>6
(cid:9000) 8 cm
86 정답 및 풀이
13 처음 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면 반지름의 길이를
2 cm 늘여서 만든 원의 반지름의 길이는 (x+2) cm이므로
p(x+2)¤ =3_px¤
(cid:9000) (12-6'2 ) cm
24 cm
x cm
x¤ +4x+4=3x¤
x¤ -2x-2=0
∴ x=1—'3
이때 x>0이므로 x=1+'3
따라서 처음 원의 넓이는
p(1+'3 )¤ =(4+2'3 )p(cm¤ )
(cid:9000) ④
14THEME
이차방정식의 활용
01
n(n+1)
2
=120이므로
64~65쪽
실전 연습 문제
2회
n¤ +n-240=0
(n+16)(n-15)=0(cid:100)(cid:100)
∴ n=15 (∵ n은 자연수)
따라서 1부터 15까지의 자연수를 더해야 한다.
02 두 자연수 중 작은 수를 x라 하면 큰 수는 x+3이므로
(cid:9000) ③
x¤ +(x+3)¤ =185
x¤ +x¤ +6x+9=185
x¤ +3x-88=0
(x+11)(x-8)=0
∴ x=8 (∵ x는 자연수)
따라서 두 자연수는 8과 11이다.
(cid:9000) 8, 11
03 여행의 출발 날짜를 x일이라 하면 3일간의 날짜는 각각 x,
x+1, x+2이므로
x¤ +(x+1)¤ +(x+2)¤ =245
3x¤ +6x-240=0
x¤ +2x-80=0
(x+10)(x-8)=0
∴ x=8 (∵ 1…x…29)
따라서 여행의 출발 날짜는 8일이다.
(cid:9000) ②
04 전체 학생 수를 x명이라 하면 한 학생이 받은 노트의 수는
(x-3)권이다. 노트의 수가 108권이므로
x(x-3)=108
x¤ -3x-108=0
(x+9)(x-12)=0
∴ x=12 (∵ x>0)
따라서 전체 학생 수는 12명이다.
(cid:9000) 12명
05 125-5t¤ =80이므로
5t¤ =45, t¤ =9(cid:100)(cid:100)
∴ t=3 (∵ t>0)
따라서 쇠공의 높이가 지면으로부터 80 m가 되는 것은 쇠공
(cid:9000) 3초 후
을 떨어뜨린 지 3초 후이다.
06 직사각형의 세로의 길이를 x cm라 하면 가로의 길이는
(21-x) cm이므로
x(21-x)=98
x¤ -21x+98=0
(x-7)(x-14)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=7 또는 x=14
이때 가로의 길이가 세로의 길이보다 길어야 하므로 세로의
길이는 7 cm이다.
07 늘어난 길이를 x m라 하면
(cid:9000) ①
(x+7)(x+5)=7_5+85
x¤ +12x-85=0
(x+17)(x-5)=0
∴ x=5 (∵ x>0)
따라서 가로의 길이는 5 m만큼 늘어났다.
08 산책로의 폭을 x m라 하면 산
책로를 제외한 나머지 부분의
(10-x) m
넓이는 가로의 길이가
(15-x) m, 세로의 길이가
(10-x) m인 직사각형의 넓이와 같으므로
(15-x)(10-x)=50
x m
x¤ -25x+150=50
x¤ -25x+100=0
(x-5)(x-20)=0
∴ x=5 (∵ 0<x<10)
따라서 산책로의 폭은 5 m이다.
09 (x+10)¤ ph=10¤ ph_;1!0@0!;
x¤ +20x+100=121
x¤ +20x-21=0
(x+21)(x-1)=0
∴ x=1 (∵ x>0)
x, x+1, x+2, x+3이므로
(x+3)¤ -x¤ =(x+1)(x+2)-11
x¤ +6x+9-x¤ =x¤ +3x+2-11
x¤ -3x-18=0
(x+3)(x-6)=0
∴ x=6 (∵ x는 자연수)
따라서 가장 작은 자연수는 6이다.
10 가장 작은 자연수를 x라 하면 연속하는 4개의 자연수는
(cid:9000) 5 m
(cid:9000) 1
(cid:9000) ③
11 삼각형의 넓이가 처음 삼각형의 넓이와 같아지는 때를 x초
후라 하면 x초 후의 밑변의 길이는 (18+2x) cm, 높이는
(20-x) cm이므로
;2!;(18+2x)(20-x)=;2!;_18_20
-2x¤ +22x+360=360
x¤ -11x=0
x(x-11)=0
∴ x=11 (∵ x>0)
실전북
따라서 삼각형의 넓이가 처음 삼각형의 넓이와 같아지는 것
은 11초 후이다.
(cid:9000) ②
12 색종이 한 장에서 짧은 변의 길
이를 x cm라 하면 짧은 변 5
개의 길이는 긴 변 4개의 길이
와 같으므로 긴 변의 길이는
A
B
5x cm
x cm
x cm
D
5
4
C
;4%;x cm이다.
AD”=5x cm
CD”=x+;4%;x=;4(;x(cm)
이때 (cid:8772)ABCD의 넓이가 180 cm¤ 이므로
5x_;4(;x=180, :¢4∞:x¤ =180
(cid:9000) ④
(15-x) m
x m
x¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
따라서 색종이 한 장에서 짧은 변과 긴 변의 길이는 각각
4 cm, 5 cm이므로 구하는 둘레의 길이는
(4+5)_2=18(cm)
(cid:9000) 18 cm
THEME
모아
중단원 실전 평가
66~69쪽
01 ㄱ. (-5)¤ -4_2_1>0 ˙k 근은 2개
ㄴ. (-1)¤ -4_3_2<0 ˙k 근은 없다.
ㄷ. 주어진 이차방정식을 정리하면 x¤ +4x+5=0
4¤ -4_1_5<0 ˙k 근은 없다.
ㄹ. 주어진 이차방정식을 정리하면
2x¤ -3x-3=0
(-3)¤ -4_2_(-3)>0 ˙k 근은 2개
따라서 서로 다른 두 근을 갖는 것은 ㄱ, ㄹ의 2개이다.
(cid:9000) ③
(cid:9000) -2, 2
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
02 x¤ -(k+2)x+k+2=0이 중근을 가지려면
(k+2)¤ -4_1_(k+2)=0
k¤ -4=0, k¤ =4
∴ k=—2
03 x¤ -4x+2a=0이 서로 다른 두 근을 가지려면
(-4)¤ -4_1_2a>0
-8a>-16
∴ a<2
04 (두 근의 합)=-
=3이므로
-3
1
x=3을 x¤ +2x+k=0에 대입하면
9+6+k=0
∴ k=-15
05 x¤ -5x+3=0에서
a+b=-
=5
-5
1
ab=;1#;=3
∴ a¤ +ab+b¤ =(a+b)¤ -ab=5¤ -3=22
(cid:9000) ④
05. 이차방정식의 활용 87
=(-4)_20
=-80
(cid:9000) ①
4x¤ -12x=0
06 주어진 이차방정식을 정리하면
x¤ -6x+4=0
두 근이 a, b이므로
-6
1
① a+b=-
=6
② ab=;1$;=4
③ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=6¤ -2_4=28
④ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=6¤ -4_4=20
⑤ + =
1
b
a+b
ab
1
a
=;4^;=;2#;
따라서 옳은 것은 ④이다.
07 주어진 이차방정식을 정리하면
x¤ -12x+20=0
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=12, ab=20
∴ (a-b)¤ -(a+b)¤ =a¤ -2ab+b¤ -a¤ -2ab-b¤
=-4ab
08 주어진 이차방정식을 정리하면
3x¤ -24x+48-a=0
이 이차방정식의 두 근을 k, k+1이라 하면
(두 근의 합)=k+(k+1)=-
-24
3
=8
2k=7(cid:100)(cid:100)∴ k=;2&;
즉, 두 근은 ;2&;, ;2(;이므로 두 근의 곱은
;2&;_;2(;=
48-a
3
:§4£:=
48-a
3
3_63=4(48-a)
189=192-4a, 4a=3(cid:100)(cid:100)
∴ a=;4#;
(x-1)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=1 또는 x=3
이때 각 칸에 있는 수는 모두 자연수이므로
x-1>0에서 x>1(cid:100)(cid:100)
∴ x=3
즉, 가로, 세로, 대각선 방향에 있는 세 자연수의 합은
x¤ +6+3=3¤ +6+3=18
∴ A=18-6-8=4
(cid:9000) ③
11 가운데의 홀수를 x라 하면 연속하는 세 홀수는
(cid:9000) ④
x-2, x, x+2 (xæ3)이므로
(x-2)¤ +x¤ =(x+2)¤ -7
x¤ -8x+7=0
(x-1)(x-7)=0
∴ x=7 (∵ xæ3)
(cid:9000) 5
가운데의 홀수가 7이므로 가장 작은 홀수는 5이다.
|`다른 풀이`| 세 홀수를 각각 2x-1, 2x+1, 2x+3 (xæ1)이
라 하면
(2x-1)¤ +(2x+1)¤ =(2x+3)¤ -7
4x(x-3)=0
∴ x=3 (∵ xæ1)
따라서 가장 작은 홀수는 5이다.
x+1이므로
x(x+1)=210
x¤ +x-210=0
12 펼친 책의 왼쪽 면의 쪽수를 x라 하면 오른쪽 면의 쪽수는
(x+15)(x-14)=0
∴ x=14 (∵ x는 자연수)
따라서 펼친 두 면의 쪽수는 각각 14, 15이므로 두 면의 쪽수
의 합은
14+15=29
(cid:9000) ②
13 동생의 나이를 x살이라 하면 형의 나이는 (x+2)살이므로
09 이차방정식 x¤ -8x+k=0의 계수가 유리수이고 한 근이
4+'7 이므로 다른 한 근은 4-'7 이다.
근과 계수의 관계에 의하여
k=(4+'7 )(4-'7 )
=4¤ -('7 )¤
=16-7=9
|`다른 풀이`| 주어진 이차방정식에 x=4+'7 을 대입하면
(4+'7 )¤ -8(4+'7 )+k=0
(cid:9000) ④
16+8'7 +7-32-8'7 +k=0
-9+k=0∴∴∴ k=9
(cid:9000) ③
3x=(x+2)¤ -60
x¤ +x-56=0
(x+8)(x-7)=0
∴ x=7 (∵ x는 자연수)
따라서 동생의 나이는 7살이다.
14 -5t¤ +30t+40=80에서
5t¤ -30t+40=0
t¤ -6t+8=0
(cid:9000) ①
(t-2)(t-4)=0
∴ t=2 또는 t=4
따라서 공이 처음으로 지면으로부터 높이가 80 m인 지점을
지나는 것은 공을 던진 지 2초 후이다.
(cid:9000) ②
(꽃밭의 넓이)=(큰 직사각형의 넓이)-(작은 직사각형의 넓이)
이므로
10 x¤ +6+3=(x-1)+6+(3x+1)
15 꽃밭의 너비를 x m라 하면
x¤ +9=4x+6
x¤ -4x+3=0
88 정답 및 풀이
(2x+8)(2x+5)-5_8=68
4x¤ +26x+40-40=68
2x¤ +13x-34=0
(2x+17)(x-2)=0작은
∴ x=2 (∵ x>0)
따라서 꽃밭의 너비는 2 m이다.
16 x초 후의 가로의 길이는 (20-x) cm,
세로의 길이는 (16+2x) cm이다.
(20-x)(16+2x)=20_16이므로
320+24x-2x¤ =320
x¤ -12x=0
x(x-12)=0
∴ x=12 (∵ x>0)
따라서 12초 후에 넓이가 처음 직사각형의 넓이와 같아진다.
(cid:9000) ⑤
17 접어 올린 종이의 높이를 x cm라 하면
(80-2x)x=800
2x¤ -80x+800=0
x¤ -40x+400=0
(x-20)¤ =0∴∴
∴ x=20 (중근)
따라서 접어 올린 종이의 높이는 20 cm이다.
18 처음 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면
p(x+2)¤ =4px¤
x¤ +4x+4=4x¤
3x¤ -4x-4=0
(3x+2)(x-2)=0
∴ x=2 (∵ x>0)
따라서 처음 원의 반지름의 길이는 2 cm이다.
19 두 근의 차가 3이므로 작은 근을 a라 하면 큰 근은 a+3
큰 근이 작은 근의 4배이므로
a+3=4a, 3a=3(cid:100)(cid:100)
∴ a=1
즉, 두 근은 1, 4이므로
2(x-1)(x-4)=0
2(x¤ -5x+4)=0
2x¤ -10x+8=0(cid:100)(cid:100)
∴ a=-10, b=8
∴ b-a=8-(-10)=18
(cid:9000) ②
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 18
(cid:9000) ②
채점 기준
❶ △PBQ의 넓이를 이용하여 식 세우기
❷ 이차방정식의 해 구하기
❸ AP”의 길이 구하기
21 길의 폭을 x m라 하면 꽃밭의 넓이는 전체 땅의 넓이에서 길
x¤ -26x+88=0
(x-4)(x-22)=0
∴ x=4 (∵ 0<x<10)
∴ AP”=4 cm
의 넓이를 뺀 것과 같으므로
(15-x)(12-x)=130
x¤ -27x+180=130
x¤ -27x+50=0
(x-2)(x-25)=0
∴ x=2 (∵ 0<x<12)
따라서 길의 폭은 2 m이다.
채점 기준
❶ 꽃밭의 넓이를 구하는 식 세우기
❷ 이차방정식의 해 구하기
(cid:9000) ①
❸ 길의 폭 구하기
22 ⑴ -5x¤ +10x+2=0에서 5x¤ -10x-2=0
∴ x=
10—"√10¤
√-4√_5√_(√-2)
2_5
실전북
y❷
y❸
(cid:9000) 4 cm
배점
3점
2점
1점
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) 2 m
배점
3점
2점
1점
∴ x=
10—'∂140
10
'∂140 =10'∂1.4 =11.8이므로
x=2.18 (∵ x>0)
따라서 지구에서 던진 공이 지면에 떨어질 때까지 걸리는
y❶
시간은 2.18초이다.
⑵ -x¤ +10x+2=0에서 x¤ -10x-2=0
∴ x=
10—"√10¤
√-4√_1√_(√-2)
2_1
∴ x=
10—'∂108
2
'∂108 =10'∂1.08 =10.4이므로
x=10.2 (∵ x>0)
따라서 달에서 던진 공이 지면에 떨어질 때까지 걸리는 시
y❷
간은 10.2초이다.
⑶ 10.2-2.18=8.02이므로 달에서 던진 공이 지구에서 던
y❸
(cid:9000) ⑴ 2.18초(cid:100)⑵ 10.2초(cid:100)⑶ 8.02초
진 공보다 8.02초 더 공중에 머무른다.
채점 기준
❶ 지구에서 던진 공이 지면에 떨어질 때까
지 걸리는 시간 구하기
❷ 달에서 던진 공이 지면에 떨어질 때까지
배점
2점
2점
2점
05. 이차방정식의 활용 89
채점 기준
❶ 조건을 이용하여 두 근 구하기
❷ a, b의 값 각각 구하기
❸ b-a의 값 구하기
배점
3점
2점
1점
20 AP”=x cm라 하면 CQ”=2x cm
△PBQ=;2!;_BQ”_PB”=72이므로
;2!;(20-2x)(16-x)=72
y❶
걸리는 시간 구하기
❸ 두 시간의 차 구하기
06. 이차함수와 그 그래프
15THEME
이차함수 y=ax¤ 의 그래프
1회
70~71쪽
실전 연습 문제
따라서 이차함수가 아닌 것은 ②이다.
(cid:9000) ②
01 ① y=x¤
˙k 이차함수
② y=2px
˙k 일차함수
③ y=6x¤
˙k 이차함수
④ y=;2!;_(x+2x)_x=;2#;x¤
④ ˙k 이차함수
⑤ y=2px¤ +2px_2x=6px¤
˙k 이차함수
02 ① y=2x-5
˙k 일차함수
② y=x¤ -(x+1)¤
=x¤ -(x¤ +2x+1)
=-2x-1
③ ˙k 일차함수
③ y=;2!;x¤ +(x-1)¤
③ y=;2!;x¤ +x¤ -2x+1
③ y=;2#;x¤ -2x+1
③ ˙k 이차함수
④ y=x‹ -(x-3)¤
=x‹ -(x¤ -6x+9)
=x‹ -x¤ +6x-9
③ ˙k 이차함수가 아니다.
1
⑤ y= +3
x¤
③ ˙k 이차함수가 아니다.
따라서 이차함수인 것은 ③이다.
03 5-a+0이므로 a+5
04 f(a)=2a¤ -5a+4=22
2a¤ -5a-18=0
(a+2)(2a-9)=0
∴ a=-2 또는 a=;2(;
㈐에서 |a|<|;2!;|
따라서 조건을 모두 만족하는 이차함수의 그래프의 식은 ③
이다.
(cid:9000) ③
07 이차함수의 그래프의 폭은 x¤ 의 계수의 절댓값이 클수록 좁아
진다. |4|>|-2|>|;3%;|>|;6!;|이므로 그래프의 폭이 좁은
것부터 차례로 나열하면 ㄷ, ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.
(cid:9000) ③
08 이차함수 y=-;3!;x¤ 의 그래프는 위로 볼록한 그래프이고
y=-x¤ 의 그래프보다 폭이 넓으므로 ㉢이다.
(cid:9000) ㉢
09 원점을 꼭짓점으로 하는 이차함수의 그래프는 y=ax¤ 의 꼴
이다. 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 점 (-3, 27)을 지나므로
27=a_(-3)¤ , 9a=27(cid:100)(cid:100)
∴ a=3
이차함수 y=3x¤ 의 그래프가 점 (k, 18)을 지나므로
18=3_k¤ , k¤ =6(cid:100)(cid:100)
∴ k='6 (∵ k>0)
(cid:9000) '6
10 y=5x¤ 의 그래프가 점 (3, a)를 지나므로
a=5_3¤ =45
y=bx¤ 의 그래프가 y=5x¤ 의 그래프와 x축에 대하여 대칭
이므로 b=-5
∴ a-2b=45+10=55
11 점 B의 x좌표를 a라 하면
(cid:9000) ⑤
y=;3@;x¤ 의 그래프가 점 B(a, 6)을 지나므로
6=;3@;a¤ , a¤ =9∴∴
∴ a=—3
이때 a>0이므로 B(3, 6)
A(-3, 6)이고
AB”=3-(-3)=6
이차함수 y=;3@;x¤ 의 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로
12 점 A의 좌표를 {k, ;5!;k¤ }이라하면점 B의 좌표는{-k, ;5!;k¤ }
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
2BC”=AB”이므로
2_;5!;k¤ =2k, ;5@;k¤ -2k=0
k¤ -5k=0, k(k-5)=0∴∴
∴ k=5 (∵ k>0)
따라서 점 C의 좌표는 (-5, 0)이다.
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
이때 a는 정수이므로 a=-2
(cid:9000) ②
05 ㄱ. 원점을 꼭짓점으로 하고, y축을 축으로 하는 포물선이다.
ㄷ. a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
06 ㈎에서 y=ax¤ 의 그래프이다.
㈏에서 x<0일 때 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로
a<0
01 ① y=2px
˙k 일차함수
(cid:9000) ③
15THEME
이차함수 y=ax¤ 의 그래프
72~73쪽
실전 연습 문제
2회
90 정답 및 풀이
따라서 이차함수인 것은 ㄱ, ㄷ, ㅂ이다.
(cid:9000) ②
12 점 D의 좌표를 {a, ;3!;a¤ }이라 하면
② y=;2!;_x_4=2x
④ ˙k 일차함수
③ y=x(15-x)=-x¤ +15x
˙k 이차함수
④ y=5x ˙k 일차함수
⑤ y=;2!;_{x+(x+2)}_4=4x+4
④ ˙k 일차함수
따라서 y가 x에 관한 이차함수인 것은 ③이다.
02 ㄱ. y=2x(x-1)=2x¤ -2x ˙k 이차함수
ㄷ. y=-3x¤ +7 ˙k 이차함수
ㅂ. y=
x¤ +2
3
=;3!;x¤ +;3@; ˙k 이차함수
03 y=(5-4a¤ )x¤ +4x(x-1)+3
=(9-4a¤ )x¤ -4x+3
따라서 이차함수가 되기 위해서는 9-4a¤ +0
즉, 4a¤ -9+0, (2a+3)(2a-3)+0
∴ a+-;2#;이고 a+;2#;
04 f(2)=2¤ -2+1=3
f(-1)=(-1)¤ -(-1)+1=3
∴ f(2)+f(-1)=3+3=6
05 ㄱ. 그래프의 폭이 가장 좁은 것은 ㈐이다.
ㄴ. 그래프가 아래로 볼록한 것은 ㈏, ㈑이다.
따라서 옳은 것은 ㄷ이다.
06 ④ 이차함수 y=-2x¤ 의 그래프보다 폭이 좁다.
(cid:9000) ③
(cid:9000) 6
(cid:9000) ①
(cid:9000) ④
07 위로 볼록한 그래프는 ②, ③이고, |-4|>|-;3@;|이므로
그래프의 폭이 가장 좁은 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
08 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
y=ax¤ 의 그래프의 폭은 y=-2x¤ 의 그래프보다 넓고
y=-;3!;x¤ 의 그래프보다 좁으므로
-2<a<-;3!;
(cid:9000) ④
09 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 점 (3, 3)을 지나므로
f(-1)=;3!;_(-1)¤ =;3!;
(cid:9000) ;3!;
3=a_3¤ , 9a=3(cid:100)(cid:100)
∴ a=;3!;
즉, f(x)=;3!;x¤ 이므로
10 3=;3!;x¤ 에서 x¤ =9(cid:100)(cid:100)
∴ x=—3
즉, A(-3, 3), E(3, 3)이므로
B{-;2#;, 3}, D{;2#;, 3}
실전북
(cid:9000) ;3$;
y=ax¤ 에 x=;2#;, y=3을 대입하면
2
3=a_{;2#;}
(cid:100)(cid:100)
∴ a=;3$;
11 점 P의 좌표를 {a, ;5!;a¤ }이라 하면
△APO=;2!;_8_;5!;a¤ =20
(cid:9000) ③
;5$;a¤ =20, a¤ =25∴∴
∴ a=—5
이때 점 P는 제1사분면 위의 점이므로 점 P의 좌표는
(5, 5)이다.
(cid:9000) ④
A{-a, ;3!;a¤ }, B{-a, -;3!;a¤ }, C{a, -;3!;a¤ }
(cid:8772)ABCD의 한 변의 길이는 2a이므로
2a=;3@;a¤ , 2a¤ -6a=0
a(a-3)=0
이때 a>0이므로 a=3
따라서 (cid:8772)ABCD의 한 변의 길이는 6이므로
(cid:8772)ABCD=6_6=36
(cid:9000) ⑤
16THEME
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프
74~75쪽
실전 연습 문제
1회
01 이차함수 y=x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -2만큼 평행이
동한 그래프의 식은
y=x¤ -2
(cid:9000) ①
02 이차함수 y=-2x¤ 의 그래프를 평행이동하여 꼭짓점의 좌표
가 (2, -1)이 되려면 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으
로 -1만큼 평행이동해야 하므로
y=-2(x-2)¤ -1
∴ a=-2, p=2, q=-1
∴ a+p+q=(-2)+2+(-1)=-1
(cid:9000) ③
03 이차함수 y=-3(x-1)¤ +1의 그래프를 x축의 방향으로
-2만큼, y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-3(x+2-1)¤ +1+4
04 y=;2!;x¤ -4의 그래프에서 꼭짓점의 좌표는 (0, -4),
=-3(x+1)¤ +5
x=0을 대입하면 y=-3_1¤ +5=2
따라서 구하는 점의 좌표는 (0, 2)이다.
축의 방정식은 x=0이므로
a=0, b=-4, p=0
∴ a+b+p=0+(-4)+0=-4
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
06. 이차함수와 그 그래프 91
05 이차함수 y=(x-1)¤ 의 그래프는 꼭짓점의 좌표가 (1, 0)
이고, x=0일 때 y=1인 아래로 볼록한 포물선이므로 ⑤이
다.
(cid:9000) ⑤
06 이차함수 y=;3%;(x-p)¤ 의 그래프의 축의 방정식은 x=p
주어진 그림에서 그래프의 축의 방정식은 x=-2
∴ a=-2, p=-2
∴ a+p=(-2)+(-2)=-4
(cid:9000) -4
07 이차함수 y=;4!;(x+3)¤ -1의 그래프의 축의 방정식은
x=-3이다.
08
y=4x¤ -1
② 그래프가 y축과 만나는 점 (0, -1)
③ 축의 방정식
x=0
(0, -1)
④ 꼭짓점의 좌표
y=-4(x-1)¤
(0, -4)
x=1
(1, 0)
⑤ x¤ 의 계수의 부호가 다르므로 평행이동하여 서로 포갤 수
(cid:9000) ①
없다.
09 이차함수 y=-;2!;(x+2)¤ +1
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
① 이차함수 y=-;2!;x¤ +1의 그
y
1
-2
x
O
-1
래프를 x축의 방향으로 -2
만큼 평행이동한 것이다.
1
y=- (x+2)
2
™
+1
③ x>-2일 때 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
④ 축의 방정식이 x=-2이므로 절댓값이 같은 두 수 x의
값에 대한 y의 값은 서로 다르다.
⑤ |-;2!;|>;3!;이므로 y=;3!;(x+4)¤ 의 그래프보다 포물선
⑤ 의 폭이 좁다.
따라서 옳은 것은 ②이다.
(cid:9000) ②
10 이차함수 y=;2!;(x+1)¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 k만큼,
y축의 방향으로 k+2만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=;2!;(x-k+1)¤ +k+2
꼭짓점 (k-1, k+2)가 제2사분면 위에 있으므로
k-1<0, k+2>0
∴ -2<k<1
11 a>0, q<0이므로 -a<0, -q>0
x¤ 의 계수가 음수이므로 위로 볼록한 그래프이고, 꼭짓점의 좌
표 (0, -q)에서 -q>0이므로 이차함수 y=-ax¤ -q의
그래프로 알맞은 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
12 이차함수 y=-x¤ +2의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, 2)
이고, 이차함수 y=a(x-b)¤ -1의 그래프의 꼭짓점의 좌표
는 (b, -1)이다.
각각의 그래프가 서로의 꼭짓점을 지나므로 이차함수
y=-x¤ +2의 그래프가 점 (b, -1)을 지난다.
-1=-b¤ +2, b¤ =3(cid:100)(cid:100)
∴ b='3 (∵ b>0)
92 정답 및 풀이
이차함수 y=a(x-b)¤ -1의 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로
2=ab¤ -1, 3a=3(cid:100)(cid:100)
∴ a=1(cid:100)(cid:100)
∴ ab=1_'3 ='3
(cid:9000) ④
16THEME
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프
76~77쪽
실전 연습 문제
2회
(cid:9000) ①
01 이차함수 y=x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의
방향으로 b만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=(x-a)¤ +b
이 그래프가 y=(x+1)¤ +2와 일치하므로
a=-1, b=2
∴ a+b=-1+2=1
02 이차함수 y=-;3!;x¤ -4의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼,
y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-;3!;(x-p)¤ -4+q
이 그래프의 식이 y=-;3!;(x-3)¤ +2와 일치하므로
03 점 (a, 2a)가 이차함수 y=-x¤ +3 위에 있으므로
p=3, -4+q=2에서 q=6
∴ p+q=3+6=9
2a=-a¤ +3
a¤ +2a-3=0
(a+3)(a-1)=0
∴ a=-3 또는 a=1
이때 점 a가 제3사분면 위의 점이므로 a<0
∴ a=-3
04 주어진 그래프에서 꼭짓점의 좌표가 (2, 0)이므로
y=a(x-2)¤ (cid:100)(cid:100)
∴ p=-2
이 그래프가 점 (0, -3)을 지나므로
-3=a_4(cid:100)(cid:100)
(cid:9000) ③
∴ a=-;4#;
∴ a+p={-;4#;}+(-2)=-:¡4¡:
(cid:9000) ①
05 이차함수 y=;4!;(x-p)¤ +q의 그래프의 축의 방정식이
x=-1이므로 p=-1
즉, y=;4!;(x+1)¤ +q의 그래프가 점 (1, 0)을 지나므로
0=1+q(cid:100)(cid:100)
∴ q=-1
∴ p+q=(-1)+(-1)=-2
(cid:9000) -2
06 이차함수 y=;4#;(x-p)¤ +4p의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(cid:9000) ③
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
(p, 4p)이고, 이 점이 직선 y=-;2!;x+18 위에 있으므로
4p=-;2!;p+18, ;2(;p=18∴∴
∴ p=4
(cid:9000) ⑤
07 이차함수의 그래프에서 x의 값이 증가함에 따라 y의 값이 증가
또는 감소하는 x의 값의 범위는 축을 기준으로 나뉜다.
주어진 이차함수는 위로 볼록한 포물선이고, 축의 방정식은
x=-1이므로 x의 값이 증가함에 따라 y의 값이 감소하는
x의 값의 범위는
x>-1
(cid:9000) ③
08 이차함수 y=-2(x-2)¤ +5의 그래프는
오른쪽 그림과 같으므로 제2사분면을 지나
지 않는다.
y
5
O
-3
2
x
(cid:9000) ②
y=(x-1)
+2
™
x
(cid:9000) ④
y
3
2
O 1
09 이차함수 y=(x-1)¤ +2의 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
④ 꼭짓점의 좌표는 (1, 2)이다.
10 이차함수 y=-2(x-1)¤ +3의 그래프를 x축의 방향으로 p
만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동하면
y=-2(x-p-1)¤ +3+q
이 그래프가 y=-2(x-3)¤ +2의 그래프와 일치하므로
p+1=3, 3+q=2(cid:100)(cid:100)
∴ p=2, q=-1
∴ p+q=2+(-1)=1
(cid:9000) ③
11 이차함수 y=ax¤ +q의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, q)이
다. 이차함수 y=ax¤ +q의 그래프가 모든 사분면을 지나도
록 그려 보면
⁄ a>0
⁄
y
O
q
x
¤ a<0
⁄
y
q
O
x
실전북
y
3
-4
12 이차함수 y=2x¤ -4의 그래프의 꼭짓
점의 좌표는 (0, -4), 이차함수
y=-;2#;(x+2)¤ 의 그래프의 꼭짓점의
-2
O
2
x
의 좌표는 (-2, 0), 이차함수
y=(x-2)¤ +3의 그래프의 꼭짓점의
좌표는 (2, 3)이다.
따라서 구하는 삼각형의 넓이는
4_7-{;2!;_3_4+;2!;_2_4+;2!;_2_7}
=28-(6+4+7)=11
(cid:9000) 11
THEME
모아
중단원 실전 평가
78~81쪽
01 ㄱ. y=;3$;px‹
ㄹ. ˙k 이차함수가 아니다.
x
100
_3x=;10#0;x¤
ㄴ. y=
ㄹ. ˙k 이차함수
ㄷ. y=2px¤ +2px¤ =4px¤
ㄹ. ˙k 이차함수
ㄹ. y=(x+3)(x-2)=x¤ +x-6
ㄹ. ˙k 이차함수
따라서 이차함수인 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.
02 f(-2)=3_(-2)¤ -5_(-2)+2=24
f(1)=3-5+2=0
∴ f(-2)+f(1)=24+0=24
(cid:9000) ②
03 ③ |-4|>|-2|이므로 y=-2x¤ 의 그래프보다 폭이 좁다.
(cid:9000) ③
04 y=ax¤ 의 그래프가 y=;2!;x¤ 의 그래프보다 폭이 좁으므로
a>;2!; (∵ a>0)
∴ ;2!;<a<2
y=2x¤ 의 그래프보다 폭이 넓으므로 0<a<2
따라서 양수 a의 값으로 적당하지 않은 것은 ⑤이다. (cid:9000) ⑤
05 포물선 ㉠은 아래로 볼록한 그래프이고 2>;3@;이므로 포물선
㉠이 나타내는 식은 y=;3@;x¤ 이다.
이 그래프가 점 (2, a)를 지나므로
a=;3@;_2¤ =;3*;
06 이차함수 y=3x¤ +2의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
06. 이차함수와 그 그래프 93
즉, a>0이면 q<0이고, a<0이면 q>0이어야 하므로
y=ax+q의 그래프로 알맞은 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
프의 식은
-y=3x¤ +2(cid:100)(cid:100)
∴ y=-3x¤ -2
07 이차함수 y=2x¤ 의 그래프 위의 점 P의 좌표를 (k, 2k¤ )이
14 ① 2+3(-2+1)¤ +5이므로 점 (-2, 2)를 지나지 않는다.
라 하면 Q(k, ak¤ ), R(k, 0)
PQ”=;4%; QR”이므로
2k¤ -ak¤ =;4%;_ak¤
;4(;ak¤ =2k¤ , ;4(;a=2∴∴
∴ a=;9*;
(cid:9000) ;9*;
08 ④ 이차함수 y=-3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y
축의 방향으로 5만큼 평행이동하면 y=-3(x-1)¤ +5
(cid:9000) ④
의 그래프와 포개어진다.
09 이차함수 y=;3!;x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -4만큼 평행
이동한 그래프의 식은
y=;3!;x¤ -4
이 그래프가 점 (k, -1)을 지나므로
-1=;3!;k¤ -4, 3=;3!;k¤ , k¤ =9(cid:100)(cid:100)
∴ k=—3
(cid:9000) ⑤
10 이차함수 y=5(x-2)¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -3만
큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=5(x+3-2)¤ +n
=5(x+1)¤ +n
이때 꼭짓점의 좌표는 (-1, n)이다.
꼭짓점 (-1, n)이 직선 y=2x+5 위에 있으므로
n=-2+5=3
11 이차함수 y=2(x+2)¤ +1의 그래프를 x축의 방향으로 m
만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=2(x-m+2)¤ +1+n
이 그래프의 식이 y=2(x-3)¤ -3과 일치하므로
-m+2=-3, 1+n=-3(cid:100)(cid:100)
∴ m=5, n=-4
∴ m+n=5+(-4)=1
(cid:9000) ④
12 y=-2(x-p)¤ +4p¤ 의 그래프의 꼭짓점 (p, 4p¤ )이 제2사
분면 위에 있으므로 p<0
이 그래프가 점 (3, -4)를 지나므로
-4=-2(3-p)¤ +4p¤ (cid:100)(cid:100)
-4=-2(9-6p+p¤ )+4p¤ (cid:100)(cid:100)
p¤ +6p-7=0
(p+7)(p-1)=0
이때 p<0이므로
p=-7
② 축의 방정식은 x=-1이다.
③ 꼭짓점의 좌표는 (-1, 5)이다.
④ 이차함수 y=3(x+1)¤ +5의 그래
프는 오른쪽 그림과 같이 제1, 2사분
면을 지난다.
y
8
5
-1
O
x
⑤ 이차함수 y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y
축의 방향으로 5만큼 평행이동한 그래프이다.
따라서 옳은 것은 ④이다.
15 y=a(x-p)¤ +q의 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
꼭짓점 (p, q)가 제4사분면 위에 있으므로
p>0, q<0
16 주어진 일차함수의 그래프에서 기울기와 y절편이 모두 양수
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
이므로
a>0, b>0
이차함수 y=a(x-b)¤ 의 그래프에서
a>0이므로 그래프는 아래로 볼록하고
꼭짓점의 좌표 (b, 0)에서 b>0이므로
그래프는 오른쪽 그림과 같다.
y
y=a(x-b)¤
O
b
x
(cid:9000) ①
17 이차함수 y=(x-1)¤ 의 그래프는 y=(x+4)¤ 의 그래프를
x축의 방향으로 5만큼 평행이동한 것이므로
AB”=5
(cid:9000) 5
(cid:9000) ③
18 y=(x-2)¤ -4의 그래프는
™
y=(x-2)
-4
y
y=(x-2)¤ 의 그래프를 y축의 방
향으로 -4만큼 평행이동한 것이
므로 두 이차함수의 그래프의 모양
은 같다. 즉, 오른쪽 그림에서 ㉠,
㉡의 넓이가 같으므로 구하는 부분
의 넓이는 (cid:8772)OABC의 넓이와 같다.
∴ (cid:8772)OABC=2_4=8
19 f(2)=(2+a)_4=-16이므로
2+a=-4∴∴
∴ a=-6
즉, f(x)=(x-6)(x+2)이므로
f(4)=(-2)_6=-12
채점 기준
❶ a의 값 구하기
❷ f(4)의 값 구하기
㉠
O
㉡
-4
2
C
A
B
x
™
y=(x-2)
(cid:9000) 8
y❶
y❷
(cid:9000) -12
배점
2점
3점
y❶
13 이차함수 y=(x-3)¤ +5의 그래프의 축의 방정식이 x=3
이므로 x의 값이 증가할 때, y의 값도 증가하는 x의 값의 범
위는 x>3이다.
(cid:9000) ④
-2=4a∴∴∴ a=-;2!;
∴ y=-;2!;x¤
(cid:9000) ①
20 점 A의 좌표가 (-2, -2)이므로 y=ax¤ 에 대입하면
94 정답 및 풀이
이때 두 점 B, C는 y축에 대하여 대칭이고 BC”=12이므로
점 B의 x좌표는 -6이다.
x=-6일 때, y=-;2!;_36=-18
따라서 점 B의 좌표는 (-6, -18)이므로
y❷
(cid:8772)ABCD=;2!;_(4+12)_{-2-(-18)}
(cid:8772)ABCD=128
채점 기준
❶ 이차함수의 식 구하기
❷ 점 B의 좌표 구하기
❸ (cid:8772)ABCD의 넓이 구하기
y❸
(cid:9000) 128
배점
2점
2점
2점
21 평행이동하여도 x¤ 의 계수는 변하지 않으므로
a=-3
y❶
이차함수 y=-3(x+b)¤ +c의 그래프를 x축의 방향으로
-3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-3(x+3+b)¤ +c+2
즉, 3+b=2, c+2=3이므로
b=-1, c=1
∴ a+b+c=(-3)+(-1)+1=-3
y❷
y❸
(cid:9000) -3
채점 기준
❶ a의 값 구하기
❷ b, c의 값 구하기
❸ a+b+c의 값 구하기
22 AB”=4, CD”=5이므로 터널의 단면을
점 C를 원점으로 하는 좌표평면 위에 나
타내면 오른쪽 그림과 같다.
꼭짓점의 좌표는 (0, 5)이므로
y=ax¤ +5
이때 두 점 A, B는 y축에 대하여 대칭
이므로 점 B의 좌표는 (2, 0)이다.
즉, y=ax¤ +5의 그래프가 점 (2, 0)을 지나므로
0=4a+5(cid:100)(cid:100)
A
배점
2점
3점
1점
D
y
5
2
4
B
O
1 2
x
07. 이차함수의 활용
17THEME
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
82~83쪽
실전 연습 문제
1회
01 y=-x¤ +4x+9
y=-(x¤ -4x+4-4)+9
y=-(x-2)¤ +13
꼭짓점의 좌표는 (2, 13)이므로 a=2, b=13
∴ ab=2_13=26
02 y=-x¤ +4x+2k-3
=-(x¤ -4x+4-4)+2k-3
=-(x-2)¤ +2k+1
꼭짓점의 좌표는 (2, 2k+1)이다.
이 점이 직선 y=x+5 위에 있으므로
2k+1=7, 2k=6(cid:100)(cid:100)∴ k=3
(cid:9000) 3
03 y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로
-3만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=2(x-2)¤ -3
=2(x¤ -4x+4)-3
=2x¤ -8x+5
즉, a=2, b=-8, c=5이므로
a+b+c=2+(-8)+5=-1
04 y=-3x¤ +6x-4
=-3(x¤ -2x+1-1)-4
1
y
O
=-3(x-1)¤ -1
꼭짓점의 좌표는 (1, -1)이고, 이차항
의 계수가 음수이므로 위로 볼록한 그래
프이다. 이 그래프가 y축과 만나는 점의
좌표가 (0, -4)이므로 이차함수
y=-3x¤ +6x-4의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
따라서 그래프가 지나지 않는 사분면은 제1, 2사분면이다.
y=-3x
-4
-1
™
+6x-4
x
∴ a=-;4%;
y=-;4%;x¤ +5
05 y=-;2!;x¤ -5x-:¡2ª:
y❶
y=-;2!;(x+5)¤ +3
즉, 터널의 단면의 모양인 포물선을 나타내는 이차함수의 식은
y=-;2!;(x¤ +10x+25-25)-:¡2ª:
이삿짐 트럭의 폭이 2 m이므로 x=1일 때의 y의 값은
y=-;4%;+5=:¡4∞:
꼭짓점의 좌표는 (-5, 3)이고, x¤ 의 계수가 음수이므로 위
로 볼록한 그래프이다. 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표가
따라서 이삿짐 트럭의 높이는 :¡4∞: m보다 낮아야 한다. y❷
{0, -:¡2ª:}이므로 이차함수 y=-;2!;x¤ -5x-:¡2ª:의 그래
(cid:9000) :¡4∞: m
프는 ①이다.
06 y=-2x¤ +6x-3
채점 기준
❶ 터널의 단면을 나타내는 이차함수의 식 구하기
❷ 이삿짐 트럭의 높이가 몇 m보다 낮아야 하
는지 구하기
배점
3점
3점
y=-2{x¤ -3x+;4(;-;4(;}-3
y=-2{x-;2#;}
+;2#;
2
07. 이차함수의 활용 95
실전북
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) -1
(cid:9000) ①
(cid:9000) ①
이차항의 계수가 음수이므로 x의 값이 증가할 때, y의 값도
10 y=x¤ -4x+k
증가하는 x의 값의 범위는 x<;2#;
(cid:9000) ②
=(x¤ -4x+4-4)+k
=(x-2)¤ +k-4
07 ① a>0이면 아래로 볼록한 포물선이다.
② 점 (0, c)를 지난다.
③ y=ax¤ +bx+c
③ y=a{x¤ +;aB;x+ - }+c
③ y=a{x+ }
b
2a
2
-
③ 축의 방정식은 x=- 이다.
b¤
4a¤
b¤
4a¤
b¤ -4ac
4a
b
2a
④ 꼭짓점의 좌표는 {- , -
b
2a
⑤ a의 절댓값이 작을수록 그래프의 폭은 넓어진다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
b¤ -4ac
4a
}이다.
(cid:9000) ⑤
08 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0이다.
축의 방정식이 y축을 기준으로 오른쪽에 있으므로 a와 b의
부호는 다르다. 즉, b<0이다.
그래프와 y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c<0
이다.
① a>0, c<0이므로 ac<0
② b<0, c<0이므로 bc>0
③ x=-1을 대입하면
따라서 옳은 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
a-b+c>0
④ x=1을 대입하면
a+b+c<0
⑤ x=-2를 대입하면
4a-2b+c>0
09 y=x¤ -4x
=x¤ -4x+4-4
=(x-2)¤ -4
˙k 꼭짓점의 좌표는 (2, -4)
y=-x¤ -2ax-b
y=-(x¤ +2ax+a¤ -a¤ )-b
y=-(x+a)¤ +a¤ -b
˙k 꼭짓점의 좌표는 (-a, a¤ -b)
두 꼭짓점이 서로 같으므로 a=-2
a¤ -b=-4에서 4-b=-4(cid:100)(cid:100)
∴ b=8
∴ a+b=-2+8=6
|`다른 풀이`| 꼭짓점의 좌표가 같으므로
y=-(x-2)¤ -4
y=-(x¤ -4x+4)-4
y=-x¤ +4x-8
즉, -2a=4, -b=-8(cid:100)(cid:100)
∴ a=-2, b=8
∴ a+b=-2+8=6
96 정답 및 풀이
이므로 축의 방정식은 x=2이다.
이 그래프의 축에서 x축과 만나는 두 점까지의 거리는 각각 3이
므로 x축과 만나는 두 점의 좌표는 (-1, 0), (5, 0)이다.
따라서 y=x¤ -4x+k에 x=-1, y=0을 대입하면
0=1+4+k(cid:100)(cid:100)
∴ k=-5
11 ax+by=1에서
by=-ax+1
(cid:9000) -5
∴ y=-;bA;x+;b!;
주어진 일차함수의 그래프에서
(기울기)<0, (y절편)>0이므로
-;bA;<0, ;b!;>0
∴ a>0, b>0
y=a(x-b)¤ +ab에서 a>0이므로 그래프는 아래로 볼록
하고, 꼭짓점의 좌표 (b, ab)에서 b>0, ab>0이므로 꼭짓
점은 제1사분면에 위치한다.
따라서 y=a(x-b)¤ +ab의 그래프로 알맞은 것은 ①이다.
(cid:9000) ①
12 y=-x¤ +4x+5
=-(x¤ -4x+4-4)+5
=-(x-2)¤ +9
꼭짓점의 좌표는 A(2, 9)
y축과 만나는 점의 좌표는 B(0, 5)
0=-x¤ +4x+5
x¤ -4x-5=0
(x+1)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-1 또는 x=5
그래프가 x축의 양의 방향에서 만나는 점의 좌표는 C(5, 0)
∴ △ABC=△ABO+△AOC-△BOC
∴ △ABC=;2!;_5_2+;2!;_5_9-;2!;_5_5
∴ △ABC=5+:¢2∞:-:™2∞:
∴ △ABC=15
(cid:9000) ①
(cid:9000) 6
17THEME
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
84~85쪽
실전 연습 문제
2회
01 이차항의 계수가 -1이고, 꼭짓점의 좌표가 (-2, 3)이므로
y=-(x+2)¤ +3
=-(x¤ +4x+4)+3
=-x¤ -4x-1
∴ apq={-;2!;}_(-3)_2=3
(cid:9000) 3
07 ① 이차항의 계수가 양수이므로 아래로 볼록한 포물선이다.
즉, a=-4, b=-1이므로
a+b=(-4)+(-1)=-5
(cid:9000) ①
따라서 A(4, 0), B(8, 0) 또는 A(8, 0), B(4, 0)이므로
AB”=8-4=4
(cid:9000) 4
02 y=ax¤ -3x-;2%;의 그래프가 점 (-5, 0)을 지나므로
0=25a+15-;2%;
25a=-:™2∞:(cid:100)(cid:100)
∴ a=-;2!;
y=-;2!;x¤ -3x-;2%;
y=-;2!;(x¤ +6x)-;2%;
y=-;2!;(x¤ +6x+9-9)-;2%;
y=-;2!;(x+3)¤ +2
따라서 꼭짓점의 좌표가 (-3, 2)이므로
p=-3, q=2
03 y=x¤ -4x
=x¤ -4x+4-4
=(x-2)¤ -4
이 이차함수의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향
으로 q만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=(x-p-2)¤ -4+q
y=x¤ -6x+11
=(x¤ -6x+9-9)+11
=(x-3)¤ +2
즉, -p-2=-3, -4+q=2이므로
p=1, q=6
∴ p-q=1-6=-5
04 y=-;2!;x¤ +2x-3
y=-;2!;(x¤ -4x+4-4)-3
y=-;2!;(x-2)¤ -1
실전북
06 ㄱ. 이차항의 계수의 절댓값이 작을수록 그래프의 폭이 넓다.
|2|<|-:¡3º:|이므로 y=-:¡3º:x¤ +2x+3의 그래프보
다 폭이 넓다.
ㄴ. y=2x¤ +8x-9
=2(x¤ +4x+4-4)-9
=2(x+2)¤ -17
따라서 꼭짓점의 좌표는 (-2, -17)이다.
ㄷ. x=0을 대입하면 y=-9이므로 그래프가 y축과 만나는
점의 좌표는 (0, -9)이다.
ㄹ. y=2(x-3)¤ -5의 그래프를 x축의 방향으로 -5만큼,
y축의 방향으로 12만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=2(x+5-3)¤ -5+12(cid:100)(cid:100)
∴ y=2(x+2)¤ +7
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
(cid:9000) ㄱ, ㄴ
(cid:100) y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향
② y=2x¤ +4x-3
=2(x¤ +2x+1-1)-3
=2(x+1)¤ -5
으로 -5만큼 평행이동하면 일치한다.
③ 꼭짓점의 좌표는 (-1, -5)이다.
④ 이차항의 계수가 양수이므로 x<-1
일 때 x의 값이 증가하면 y의 값은 감
소한다.
⑤ y=2x¤ +4x-3의 그래프는 오른쪽
그림과 같으므로 모든 사분면을 지난
다.
y
O
-1
x
-3
-5
(cid:9000) ③
y
O
x
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
08 y=-ax¤ -bx+c에서 그래프가 위로 볼록하므로 -a<0,
즉 a>0이다.
축이 y축을 기준으로 왼쪽에 있으므로 -a와 -b의 부호는
같다. 즉, b>0이다.
이때 그래프와 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로
c>0이다.
꼭짓점의 좌표는 (2, -1)이고, x¤ 의 계수가 음수이므로 위
로 볼록한 그래프이다.
또, x=0을 대입하면 y=-3이므로 점 (0, -3)을 지난다.
따라서 이차함수 y=-;2!;x¤ +2x-3의 그래프는 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
일차함수 y=;bC;x+a에서 ;bC;>0이고,
a>0이므로 그래프는 오른쪽 그림과
같다.
따라서 제4사분면을 지나지 않는다.
05 y=0을 대입하면
;4!;x¤ -3x+8=0
x¤ -12x+32=0
(x-4)(x-8)=0
∴ x=4 또는 x=8
09 y=2x-3에서 x절편은 ;2#;, y절편은 -3이고
y=a(x-p)¤ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 {;2#;, 0}이므로
p=;2#;
07. 이차함수의 활용 97
또한, y=a(x-p)¤ 의 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표는
(0, -3)이므로
2
-3=a{0-;2#;}
(cid:100)(cid:100)
∴ a=-;3$;
-3=a-4좌표∴ a=1
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=(x-1)¤ -4
=x¤ -2x-3
02 축의 방정식이 x=2이므로
(cid:9000) y=x¤ -2x-3
∴ ap={-;3$;}_;2#;=-2
(cid:9000) ①
10 y=-2x¤ -4x+3
=-2(x¤ +2x+1-1)+3
=-2(x+1)¤ +5
이 그래프를 x축의 방향으로 k만큼 평행이동한 그래프의 식
은 y=-2(x-k+1)¤ +5
k-1=3이므로 k=4
(cid:9000) 4
11 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
축이 y축을 기준으로 오른쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 서
로 다르다. 즉, b<0
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
ㄱ. a>0, b<0이므로 a-b>0
ㄴ. a>0, b<0, c>0이므로 abc<0
ㄷ. 꼭짓점이 제4사분면에 있으므로 p>0, q<0
∴ pq<0
ㄹ. a>0, p>0, q<0이므로 ap-q>0
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
(cid:9000) ④
12 y=;2!;x¤ -3x-1
y=;2!;(x¤ -6x+9-9)-1
y=;2!;(x-3)¤ -:¡2¡:
△ADB와 △ACB는 밑변이
AB”로 같은 삼각형이므로 두
삼각형의 넓이는 높이에 비례한
다. 점 D에서 x축에 내린 수선
의 발을 H라 하면 점 C의 좌표
는 (0, -1)이므로
△ADB：△ACB=DH”：CO”
△ADB：△ACB=:¡2¡:：1
△ADB：△ACB”=11：2
y
™
1
y= x
2
-3x-1
A
O
H
C
B
x
D
(cid:9000) ⑤
18THEME
이차함수의 식 구하기
86쪽
실전 연습 문제
1회
01 꼭짓점의 좌표가 (1, -4)이므로
y=a(x-1)¤ -4
이 그래프가 점 (0, -3)을 지나므로
98 정답 및 풀이
y=a(x-2)¤ +q
이 그래프가 두 점 (1, -4), (-1, 4)를 지나므로
-4=a+q yy ㉠
yy ㉡
4=9a+q
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=1, q=-5
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=(x-2)¤ -5
즉, a=1, p=2, q=-5이므로
a+p+q=1+2+(-5)=-2
03 y=ax¤ +bx+c에
yy ㉠
x=0, y=3을 대입하면
c=3식
x=-3, y=5를 대입하면
9a-3b+c=5식 yy ㉡
x=1, y=-7을 대입하면
a+b+c=-7식 yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
a=-;3&;, b=-:™3£:, c=3
(cid:9000) -2
∴ a+b-c={-;3&;}+{-:™3£:}-3=-13
(cid:9000) ②
04 그래프가 세 점 (0, 2), (-1, 5), (2, 8)을 지나므로
yy ㉠
y=ax¤ +bx+c에
x=0, y=2를 대입하면
c=2점
x=-1, y=5를 대입하면
a-b+c=5점 yy ㉡
x=2, y=8을 대입하면
4a+2b+c=8점 yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
a=2, b=-1, c=2
따라서 y=2x¤ -x+2의 그래프가 점 (1, k)를 지나므로
k=2-1+2=3
(cid:9000) 3
05 그래프가 x축과 두 점 (2, 0), (-4, 0)에서 만나므로
y=a(x-2)(x+4)
이 그래프가 점 (0, -16)을 지나므로
-16=-8a점점
∴ a=2
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=2(x-2)(x+4)
=2(x¤ +2x-8)
=2x¤ +4x-16
(cid:9000) y=2x¤ +4x-16
06 축의 방정식이 x=-2, 꼭짓점의
y
x
y=-4
(cid:9000) -5
O
-4
x=-2
좌표가 (-2, -4)이므로
y=a(x+2)¤ -4
이 그래프가 점 (0, 0)을 지나므로
4a-4=0점점
∴ a=1
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=(x+2)¤ -4
즉, a=1, p=-2, q=-4이므로
a+p+q=1+(-2)+(-4)=-5
|`다른 풀이`| x축과 두 점 (-4, 0), (0, 0)에서 만나므로
y=ax(x+4)
이 그래프가 점 (-2, -4)를 지나므로
-4=-4a을을
∴ a=1
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=x(x+4)
=(x+2)¤ -4
07 축의 방정식이 x=-1이고 그래프가 x축과 만나는 두 점 사
이의 거리가 8이므로 그래프와 x축과의 교점의 좌표는
(-5, 0), (3, 0)이다.
즉, y=a(x+5)(x-3)에서
그래프가 점 (-6, 9)를 지나므로
9=9a을을
∴ a=1
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=(x+5)(x-3)
=x¤ +2x-15
01 꼭짓점의 좌표가 (-2, 4)이므로
y=a(x+2)¤ +4
이 그래프가 점 (-1, 1)을 지나므로
1=a+4(cid:100)(cid:100)
∴ a=-3
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=-3(x+2)¤ +4
y=-3x¤ -12x-8
즉, a=-3, b=-12, c=-8이므로
a+b+c=(-3)+(-12)+(-8)=-23
02 이차함수 y=-2(x-3)¤ 의 그래프의 축의 방정식이
x=3이므로 구하는 이차함수의 식은
y=a(x-3)¤ +q
이 그래프가 두 점 (5, 5), (2, -4)를 지나므로
5=4a+q
yy ㉠
-4=a+q yy ㉡
실전북
(cid:9000) ④
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=3, q=-7
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=3(x-3)¤ -7
=3x¤ -18x+20
03 축의 방정식이 x=2이므로
y=a(x-2)¤ +q
이 그래프가 두 점 (1, 7), (-1, -1)을 지나므로
7=a+q
yy ㉠
-1=9a+q yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-1, q=8
∴ y=-(x-2)¤ +8
=-x¤ +4x+4
따라서 이 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표는 4이다. (cid:9000) ④
04 y=ax¤ +bx+c에
yy ㉠
yy ㉡
x=3, y=0을 대입하면
0=9a+3b+c하
x=0, y=6을 대입하면
6=c하
x=-3, y=-24를 대입하면
-24=9a-3b+c하 yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
a=-2, b=4, c=6
따라서 구하는 이차함수의 식은
y=-2x¤ +4x+6
=-2(x¤ -2x+1-1)+6
(cid:9000) ③
=-2(x-1)¤ +8
(cid:9000) y=-2(x-1)¤ +8
05 이차항의 계수가 2이고, x축과 두 점 (-3, 0), (1, 0)에서
06 꼭짓점의 좌표가 (3, 0)이므로
y=a(x-3)¤
이 그래프가 점 (1, 4)를 지나므로
4a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=1
∴ y=(x-3)¤
② 16=(-1-3)¤ 이므로 이 그래프 위의 점인 것은
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
(-1, 16)이다.
07 y=-x¤ +2x+a
(cid:9000) ①
y=-(x¤ -2x+1-1)+a
y=-(x-1)¤ +1+a
축의 방정식은 x=1이고 AB”=6이므로
A(-2, 0), B(4, 0) 또는 A(4, 0), B(-2, 0)
따라서 y=-x¤ +2x+a의 그래프가 점 (4, 0)을 지나므로
0=-16+8+a(cid:100)(cid:100)
∴ a=8
(cid:9000) ⑤
07. 이차함수의 활용 99
18THEME
이차함수의 식 구하기
87쪽
실전 연습 문제
2회
만나므로
y=2(x+3)(x-1)
=2x¤ +4x-6
19THEME
이차함수의 최댓값과 최솟값
88~89쪽
실전 연습 문제
1회
01 y=;2!;x¤ -4x-5
y=;2!;(x¤ -8x+16-16)-5
y=;2!;(x-4)¤ -13
따라서 x=4에서 최솟값 -13을 갖는다.
즉, ㈎ 16, ㈏ 4, ㈐ -13이므로 구하는 합은
16+4+(-13)=7
(cid:9000) ②
02 y=-2x¤ +8x-3
=-2(x¤ -4x+4-4)-3
=-2(x-2)¤ +5
축의 방정식은 x=2이고, 꼭짓점의 좌표는 (2, 5)이다.
즉, x=2일 때 최댓값 5를 갖는다.
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
(cid:9000) ②
03 이차항의 계수가 1이고, 축의 방정식이 x=3이므로
y=(x-3)¤ +q
=x¤ -6x+9+q(cid:100)(cid:100)
∴ k=6
y=x¤ -6x+5
=(x¤ -6x+9-9)+5
=(x-3)¤ -4
따라서 x=3에서 최솟값 -4를 갖는다.
(cid:9000) ①
04 y=2x¤ +kx-1
y=2{x¤ +;2K;x+;1¡6;k¤ -;1¡6;k¤ }-1
y=2{x+;4!;k}¤ -;8!;k¤ -1
즉, x=-;4!;k에서 최솟값 -;8!;k¤ -1을 가지므로
-;8!;k¤ -1=-3
;8!;k¤ =2, k¤ =16
∴ k=4(∵ k>0)
05 y=-(x-3)¤ +6은 x=3에서 최댓값 6을 갖는다.
y=2x¤ -8x+k+4
y=2(x¤ -4x+4-4)+k+4
y=2(x-2)¤ +k-4
이므로 x=2에서 최솟값 k-4를 갖는다.
이때 6=k-4이므로 k=10
06 꼭짓점의 좌표가 (-2, 3)이므로 이차항의 계수를 a라 하면
y=a(x+2)¤ +3
이 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로
1=4a+3∴∴
∴ a=-;2!;
100 정답 및 풀이
∴ y=-;2!;x¤ -2x+1
(cid:9000) ②
∴ y=-;2!;(x+2)¤ +3
∴ y=-;2!;(x¤ +4x+4)+3
07 y=x¤ +2kx+2k
=(x¤ +2kx+k¤ -k¤ )+2k
=(x+k)¤ -k¤ +2k
즉, 최솟값 m은
m=-k¤ +2k
=-(k¤ -2k+1-1)
=-(k-1)¤ +1
08 x-3y=12에서
x=3y+12
∴ xy=(3y+12)y
=3y¤ +12y
=3(y¤ +4y+4-4)
=3(y+2)¤ -12
09 ⑴ 가로：(6-x) cm
세로：(8+2x) cm
⑵ y=(6-x)(8+2x)
=-2x¤ +4x+48
⑶ y=-2x¤ +4x+48
따라서 m은 k=1에서 최댓값 1을 갖는다.
(cid:9000) 1
따라서 xy의 최솟값은 -12이다.
(cid:9000) ①
=-2(x¤ -2x+1-1)+48
=-2(x-1)¤ +50
따라서 y는 x=1에서 최댓값 50을 갖는다.
(cid:9000) ⑴ 가로：(6-x) cm, 세로：(8+2x) cm
(cid:9000) ⑵ y=-2x¤ +4x+48(cid:100)⑶ 50
10 점 P(a, b)가 y=2x¤ -2x+1의 그래프 위에 있으므로
(cid:9000) 4
b=2a¤ -2a+1
∴ a+b=a+2a¤ -2a+1
=2a¤ -a+1
∴ a+b=2{a¤ -;2!;a+;1¡6;-;1¡6;}+1
∴ a+b=2{a-;4!;}
+;8&;
2
따라서 a+b는 a=;4!;에서 최솟값 ;8&;을 가지고, 그때의 b의
값은
(cid:9000) ④
2
-2_;4!;+1
b=2_{;4!;}
b=;8!;-;2!;+1=;8%;
(cid:9000) ④
11 y=-x¤ -6x+c
=-(x¤ +6x+9-9)+c
=-(x+3)¤ +c+9
이 그래프의 축이 x=-3이고, AB”=8이므로
A(-7, 0), B(1, 0)
이 그래프가 점 B(1, 0)을 지나므로
0=-16+c+9(cid:100)(cid:100)
∴ c=7
따라서 y=-(x+3)¤ +16에서 이 함수의 최댓값은 16이
다.
(cid:9000) ⑤
12 AP”=x cm, BP”=(12-x) cm라 하고, 두 도형의 넓이의
합을 y cm¤ 라 하면
y=;2!;x¤ +(12-x)¤
y=;2!;x¤ +x¤ -24x+144
y=;2#;x¤ -24x+144
y=;2#;(x¤ -16x+64-64)+144
y=;2#;(x-8)¤ +48
따라서 x=8에서 최솟값 48을 가지므로 AP”=8 cm
(cid:9000) 8 cm
19THEME
이차함수의 최댓값과 최솟값
90~91쪽
실전 연습 문제
2회
01 ① y=-3(x+2)¤ +2의 그래프는 x=-2일 때 최댓값 2
를 갖는다.
② y=-x¤ +x-2
② y=-{x¤ -x+;4!;-;4!;}-2
② y=-{x-;2!;}2 -;4&;
② 이므로 x=-;2!;일 때 최댓값 -;4&;을 갖는다.
③ y=-;2!;(x+3)¤ -2의 그래프는 x=-3일 때 최댓값
② -2를 갖는다.
④ y=(x-2)¤ -1의 그래프는 x=2일 때 최솟값 -1을 갖
⑤ y=4(x-5)¤ +2의 그래프는 x=5일 때 최솟값 2를 갖
는다.
는다.
따라서 최댓값이 2인 것은 ①이다.
(cid:9000) ①
02 점 P(a, b)가 직선 y=-2x-4 위의 점이므로
b=-2a-4
∴ ab=a(-2a-4)
=-2a¤ -4a
=-2(a¤ +2a+1-1)
=-2(a+1)¤ +2
실전북
03 y=-3x¤ +6kx-7
=-3(x¤ -2kx+k¤ -k¤ )-7
=-3(x-k)¤ +3k¤ -7
최댓값이 5이므로
3k¤ -7=5, 3k¤ =12
k¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ k=—2
이때 그래프의 꼭짓점이 제1사분면 위에 있으므로 꼭짓점
(k, 3k¤ -7)에서
k=2
(cid:9000) ③
04 이차함수 y=-2x¤ +ax+2에서 이차항의 계수는 -2이고,
05 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-1, 5)이므로
(cid:9000) ④
꼭짓점의 좌표가 (-1, b)이므로
y=-2(x+1)¤ +b
y=-2x¤ -4x-2+b
즉, a=-4, -2+b=2에서 b=4
∴ a+b=-4+4=0
y=a(x+1)¤ +5
이 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로
2=a+5(cid:100)(cid:100)∴ a=-3
∴ y=-3(x+1)¤ +5
=-3x¤ -6x+2
① 최댓값이 5이므로 y의 값의 범위는 y…5이다.
② 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표는 2이다.
③ 축의 방정식은 x=-1이다.
④ y=3x¤ +6x-2의 그래프와 x축에 대하여 대칭이다.
⑤ y=-3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방
향으로 5만큼 평행이동한 그래프이다.
따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다.
(cid:9000) ②, ④
06 y=3x¤ +6ax+2a
y=3(x¤ +2ax+a¤ -a¤ )+2a
y=3(x+a)¤ -3a¤ +2a
즉, 최솟값 m은
m=-3a¤ +2a
m=-3{a¤ -;3@;a+;9!;-;9!;}
2
+;3!;
m=-3{a-;3!;}
따라서 m은 a=;3!;에서 최댓값 ;3!;을 갖는다.
(cid:9000) ①
07 두 수를 x, x+12라 하고, 두 수의 곱을 y라 하면
y=x(x+12)
=x¤ +12x
=x¤ +12x+36-36
=(x+6)¤ -36
따라서 두 수의 곱의 최솟값은 -36이다.
(cid:9000) ①
08 y=-5x¤ +20x+25
=-5(x¤ -4x+4-4)+25
07. 이차함수의 활용 101
따라서 a=-1일 때 최댓값 2를 갖는다.
(cid:9000) ⑤
=-5(x-2)¤ +45
따라서 x=2일 때 최댓값 45를 가지므로 물로켓이 가장 높
이 올라갔을 때의 높이는 45 m이다.
(cid:9000) 45 m
09 한 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
다른 정사각형의 한 변의 길이는 (10-x) cm이다.
두 정사각형의 넓이의 합을 y cm¤ 라 하면
y=x¤ +(10-x)¤
y=2x¤ -20x+100
y=2(x¤ -10x+25-25)+100
y=2(x-5)¤ +50
따라서 x=5일 때 최솟값 50을 가지므로 넓이의 합의 최솟
값은 50 cm¤ 이다.
(cid:9000) ⑤
10 y=-;3@;x¤ +ax+b가 점 (0, 0)을 지나므로 b=0
축의 방정식이 x=3이므로
y=-;3@;x¤ +ax
y=-;3@;(x-3)¤ +q
y=-;3@;x¤ +4x-6+q
a=4, -6+q=0에서 q=6
∴ y=-;3@;(x-3)¤ +6
따라서 x=3일 때 최댓값 6을 갖는다.
(cid:9000) ③
11 y=f(x)의 그래프가 x축과 두 점 (-2, 0), (4, 0)에서 만
나므로
f(x)=a(x+2)(x-4)
=ax¤ -2ax-8a
=a(x¤ -2x+1-1)-8a
=a(x-1)¤ -9a
이차함수 f(x)의 최댓값이 10이므로 -9a=10(cid:100)(cid:100)
∴ a=-:¡9º:
따라서 f(x)=-:¡9º:(x-1)¤ +10이므로
12 △ARS, △CPQ가 직각이등변삼각형이므로
PQ”=x cm이면
CP”=AS”=x cm, PS”=(4-2x) cm
∴ y=x(4-2x)
=-2x¤ +4x
=-2(x¤ -2x+1-1)
=-2(x-1)¤ +2
따라서 구하는 넓이의 최댓값은 2 cm¤ 이다.
(cid:9000) 2 cm¤
-2=1+a+1(cid:100)(cid:100)∴ a=-4
y=x¤ -4x+1
=(x¤ -4x+4-4)+1
=(x-2)¤ -3
따라서 꼭짓점의 좌표는 (2, -3)이다.
02 y=x¤ -2px+p¤ +2p
=(x-p)¤ +2p
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p, 2p)이다.
이 점이 직선 y=;2!;x+15 위에 있으므로
2p=;2!;p+15, ;2#;p=15(cid:100)(cid:100)∴ p=10
(cid:9000) ⑤
03 y=ax¤ +bx+c의 그래프를 x축의 방향으로 5만큼, y축의
방향으로 7만큼 평행이동한 후의 꼭짓점의 좌표가 (0, 0)이
므로 이동 전의 꼭짓점의 좌표는 (-5, -7)이고, 이차항의
계수는 1이므로 a=1
y=(x+5)¤ -7=x¤ +10x+18
즉, a=1, b=10, c=18이므로
a+b+c=1+10+18=29
(cid:9000) 29
04 y=-x¤ +6x-8
=-(x¤ -6x+9-9)-8
=-(x-3)¤ +1
이 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼
평행이동하면
y=-(x-a-3)¤ +b+1
축의 방정식은 x=a+3이므로 a+3=0(cid:100)(cid:100)
∴ a=-3
점 (2, -3)을 지나므로
-3=-(2+3-3)¤ +b+1
(cid:9000) ③
(cid:9000) ①
-3=-4+b+1
∴ b=0
∴ b-a=0-(-3)=3
y=-;3!;(x-3)¤ +q
y=-;3!;(x¤ -6x+9)+q
y=-;3!;x¤ +2x-3+q하
-(k+1)=2에서 k=-3
-3k=-3+q에서 q=12
∴ y=-;3!;(x-3)¤ +12
06 y=x¤ -4x+k
=(x¤ -4x+4-4)+k
=(x-2)¤ +k-4
따라서 꼭짓점의 좌표는 (3, 12)이다.
(cid:9000) (3, 12)
f(2)=-:¡9º:(2-1)¤ +10=:•9º:
(cid:9000) ⑤
05 이차함수의 축의 방정식이 x=3이므로
THEME
모아
중단원 실전 평가
92~95쪽
01 y=x¤ +ax+1의 그래프가 점 (1, -2)를 지나므로
꼭짓점의 좌표는 (2, k-4)이고, 이 그래프가 x축과 서로 다
른 두 점에서 만나려면
102 정답 및 풀이
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ, ㅁ, ㅂ이다.
(cid:9000) ⑤
4a+b+c=4_{-;2!;}+(-2)+2=-2
(cid:9000) ①
09 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
13 축의 방정식이 x=-1이므로
(꼭짓점의 y좌표)=k-4<0(cid:100)(cid:100)
∴ k<4
07 y=x¤ -6x+m
=(x¤ -6x+9-9)+m
=(x-3)¤ +m-9
에서 축의 방정식은 x=3
그래프가 x축과 만나는 두 점 사이의 거리가 4이므로 그래프
가 x축과 만나는 점의 좌표는 (1, 0), (5, 0)
따라서 y=x¤ -6x+m에 x=1, y=0을 대입하면
0=-5+m(cid:100)(cid:100)
∴ m=5
(cid:9000) 5
08 y=x¤ -2x+5
y=(x¤ -2x+1-1)+5
y=(x-1)¤ +4
꼭짓점의 좌표는 (1, 4)이고 y축과 만나는
점의 좌표는 (0, 5)이므로 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
y
45
O
1
x
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a와 -b의 부호는 같다.
즉, -b<0이므로 b>0
그래프와 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 -c>0
에서 c<0
ax+by+c=0에서
by=-ax-c
∴ y=-;bA;x-;bC;
a<0, b>0, c<0이므로
-;bA;>0, -;bC;>0
즉, (기울기)>0, (y절편)>0이므로
이 그래프는 오른쪽 그림과 같고 제4
사분면을 지나지 않는다.
(cid:9000) 제4사분면
10 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
y
O
x
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 서로 다르
다.(cid:100)(cid:100)∴ b<0
그래프와 y축과의 교점이 원점이므로 c=0
① a>0, b<0
② a>0, c=0이므로 ac=0
③ a>0, b<0이므로 ab<0
④ x=-1을 대입하면 a-b+c>0
⑤ x=1을 대입하면 a+b+c<0
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
11 0=x¤ -2x-3에서
(x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
실전북
y
A
-1
1
O
B
3
x
(cid:9000) ④
즉, A(-1, 0), B(3, 0)
y=x¤ -2x-3
=(x¤ -2x+1-1)-3
=(x-1)¤ -4
이므로 꼭짓점의 좌표는 C(1, -4)
-4
C
∴ △ABC=;2!;_4_4=8
(cid:9000) ④
12 꼭짓점의 좌표가 (-2, 4)이므로
y=a(x+2)¤ +4
이 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로
2=4a+4(cid:100)(cid:100)
∴ a=-;2!;
∴ y=-;2!;(x+2)¤ +4
∴ y=-;2!;x¤ -2x+2
즉, a=-;2!;, b=-2, c=2이므로
y=a(x+1)¤ +q
이 그래프가 점 (0, 3), (-3, -3)을 지나므로
3=a+q
yy ㉠
-3=4a+q yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-2, q=5
y=-2(x+1)¤ +5의 그래프가 점 (2, k)를 지나므로
k=-18+5=-13
(cid:9000) -13
14 이차함수의 그래프가 두 점 (-3, 0), (1, 0)을 지나므로
y=a(x+3)(x-1)
=a(x¤ +2x-3)
y=a(x¤ +2x)-3a
=a(x¤ +2x+1-1)-3a
y=a(x+1)¤ -4a
이때 최댓값이 4이므로 -4a=4(cid:100)(cid:100)
∴ a=-1
∴ y=-(x+3)(x-1)
=-x¤ -2x+3
2a-b-1=0
∴ b=2a-1
∴ 2a¤ -b¤ =2a¤ -(2a-1)¤
=2a¤ -(4a¤ -4a+1)
=-2a¤ +4a-1
=-2(a¤ -2a+1-1)-1
15 점 P(a, b)가 직선 2x-y-1=0 위의 점이므로
(cid:9000) ⑤
=-2(a-1)¤ +1
따라서 a=1일 때 최댓값 1을 갖는다.
(cid:9000) ④
07. 이차함수의 활용 103
16 축의 방정식이 x=1이고 최댓값이 3이므로 꼭짓점의 좌표는
20 y=ax¤ +bx+c에 x=0, y=-3을 대입하면
yy ㉠
yy ㉡
c=-3
x=1, y=0을 대입하면
a+b+c=0
x=2, y=5를 대입하면
4a+2b+c=5 yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
a=1, b=2, c=-3
y=x¤ +2x-3
=(x¤ +2x+1-1)-3
채점 기준
❶ a, b, c의 값 구하기
❷ d의 값 구하기
❸ a+b+c+d의 값 구하기
=(x+1)¤ -4
즉, x=-1에서 최솟값 -4를 가지므로 d=-4
∴ a+b+c+d=1+2+(-3)+(-4)=-4
21 지면에서 공이 가장 높이 올라갔을 때의 수평거리는 주어진
이차함수의 꼭짓점의 x좌표를 의미한다.
y=-0.1x¤ +1.2x+15
=-0.1(x¤ -12x+36-36)+15
=-0.1(x-6)¤ +18.6
y❶
따라서 x=6일 때 최댓값은 18.6이므로 공이 가장 높이 올라
y❷
갔을 때의 수평거리는 6 m이다.
(cid:9000) 6 m
채점 기준
❶ y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
❷ 수평거리 구하기
y❶
y❷
y❸
(cid:9000) -4
배점
3점
2점
1점
배점
3점
2점
y❷
y❸
(cid:9000) (1, 1)
배점
2점
2점
2점
(cid:9000) ④
y❶
y❷
y❸
y❹
y=(x+2)¤ +a+2b-4
이므로 꼭짓점의 좌표는 (-2, a+2b-4)이다.
꼭짓점이 제3사분면 위에 있으려면 a+2b-4<0이므로
a+2b<4
이를 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 1)이다.
y❶
채점 기준
❶ 꼭짓점의 좌표 구하기
❷ 꼭짓점이 제3사분면 위에 있을 조건 구하기
❸ 순서쌍 (a, b) 구하기
(1, 3)이다. 이차항의 계수가 -1이므로
y=-(x-1)¤ +3
=-(x¤ -2x+1)+3
=-x¤ +2x+2
∴ f(2)=-4+4+2=2
17 y=;2!;x¤ +2의 그래프 위의 한 점 P의 좌표를 {a, ;2!;a¤ +2}
(cid:9000) ④
로 놓으면 점 Q의 좌표는 (a, a)
PQ”=;2!;a¤ +2-a
PQ”=;2!;(a¤ -2a+1-1)+2
PQ”=;2!;(a-1)¤ +;2#;
따라서 a=1에서 PQ”의 길이의 최솟값은 ;2#;이고
그때의 점 P의 좌표는 {1, ;2%;}이다.
(cid:9000) ;2#;, {1, ;2%;}
18 화단의 세로의 길이를 x m, 넓이를 y m¤
x m
a-2x
2
m이므로
a-2x
2
m
라 하면
가로의 길이는
y=x{
a-2x
2
}
y=
-2x¤ +ax
2
y=-x¤ +;2A;x
y=-{x¤ -;2A;x+ - }
2
y=-{x-;4A;}
+
a¤
16
a¤
16
a¤
16
값은
a¤
16
m¤ 이다.
19 ⑴ y=;2!;x¤ -3x+;2!;
⑴ y=;2!;(x¤ -6x+9-9)+;2!;
⑴ y=;2!;(x-3)¤ -4
⑵ 꼭짓점의 좌표는 (3, -4)이다.
⑶ 축의 방정식은 x=3이다.
⑷ x=3에서 최솟값 -4를 갖는다.
(cid:9000) ⑴ y=;2!;(x-3)¤ -4(cid:100)⑵ (3, -4)
(cid:9000) ⑶ x=3(cid:100)⑷ 최솟값：-4
채점 기준
❶ y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
❷ 꼭짓점의 좌표 구하기
❸ 축의 방정식 구하기
❹ 최솟값 구하기
배점
3점
1점
1점
1점
104 정답 및 풀이
따라서 x=;4A;일 때 최댓값은
이므로 화단의 넓이의 최댓
a¤
16
22 y=x¤ +4x+a+2b
=(x¤ +4x+4-4)+a+2b
'동아' 카테고리의 다른 글
| 빨리 이해하는 중학 수학 1 - 1 답지 (2019) (0) | 2020.07.01 |
|---|---|
| 빨리 강해지는 중학 수학 3 - 2 답지 (2019) (0) | 2020.07.01 |
| 빨리 강해지는 중학 수학 2 - 2 답지 (2019) (0) | 2020.07.01 |
| 빨리 강해지는 중학 수학 2 - 1 답지 (2019) (0) | 2020.07.01 |
| 빨리 강해지는 중학 수학 1 - 1 답지 (2019) (0) | 2020.07.01 |