수학의 힘 γ(감마) 중2-1
정답과 해설
1
2
3
4
5
6
7
8
9
유리수와 순환소수
단항식의 계산
다항식의 계산
일차부등식
연립방정식
연립방정식의 활용
일차함수 ⑴
일차함수 ⑵
일차함수와 일차방정식
2
6
10
13
19
25
29
34
39
1
유리수와 순환소수
009
;2°2;
_x= 5
2_11
11
3Û`_5
_x=
;4!5!;
_x에서 x는 11의 배수이고,
_x에서 x는 3Û`, 즉 9의 배수이어야 한다.
따라서 x는 11과 9의 공배수, 즉 99의 배수이어야 하므로 구하는
가장 작은 자연수는 99이다.
99
STEP
1
실력 문제
7쪽~9쪽
001 ④ 1.071071071y=1.H07H1
④
010 x=4.05H7=4.05777y이므로
1000x=4057.777y
002
;7#;
=0.H42857H1에서 순환마디의 숫자의 개수는 6개이므로 a=6
37=6_6+1에서 소수점 아래 37번째 자리의 숫자는 순환마디
의 첫 번째 숫자인 4이므로 b=4
∴ a+b=6+4=10
- 100x= 405.777y
1 900x=3652
= 913
∴ x= 3652
225
900
10
따라서 가장 편리한 식은 ⑤ 1000x-100x이다.
⑤
003 1.2H345H6의 순환마디의 숫자의 개수는 4개이고 소수점 아래 첫
011 ① 0.H7=
;9&;
째 자리의 숫자 2는 순환하지 않는다.
소수점 아래 100번째 자리의 숫자는 순환하는 부분만으로 99번째
숫자이고 99=4_24+3이므로 순환마디의 3번째 숫자인 5이다.
5
=
② 1.H0H6= 106-1
99
③ 0.2H3= 23-2
90
;9@0!;
④ 1.8H3H5= 1835-18
=
=
:Á9¼9°:
;3#3%;
=
;3¦0;
= 1817
990
990
999
⑤ 1.H04H8= 1048-1
=
=
:Á9¼9¢9¦:
;3#3$3(;
따라서 옳은 것은 ②이다.
004 ①
=
;3¦0;
7
2_3_5
②
=
;7%2$;
;4#;
= 3
2Û`
= 3
2_5
④
18
2Û`_3_5
③
=
;7!;
;6»3;
⑤
36
2Ý`_3Û`
=
1
2Û`
따라서 유한소수로 나타낼 수 없는 것은 ①, ③이다.
012 ① 0.H1H2=0.121212y이므로 0.H1H2>0.12
② 0.4H5=0.4555y, 0.H4=0.444y이므로 0.4H5>0.H4
①, ③
③ 0.1H2H3=0.1232323y, 0.12H3=0.12333y이므로
0.1H2H3<0.12H3
005
=
;8#;
3
2Ü`
=
3_5Ü`
2Ü`_5Ü`
=
375
10Ü`
=
3750
10Ý`
=
37500
10Þ`
=y
따라서 a+n의 최솟값은 a=375, n=3일 때이므로
④ 0.H3=0.333y,
=0.3이므로 0.H3>
;1£0;
;1£0;
⑤ 0.4H2H5=0.4252525y, 0.H42H5=0.425425425y이므로
375+3=378
378
0.4H2H5<0.H42H5
006 구하는 분수를
라 할 때,
가 유한소수가 되려
a
24
a
24
= a
2Ü`_3
면 a는 3의 배수이어야 한다.
이때
;8!;=;2£4;
,
;3@;=;2!4^;
이므로 3과 16 사이의 3의 배수는 6, 9, 12,
15이다.
따라서 구하는 분수는
,
;2¤4;
;2»4;
;2!4@;
;2!4%;
,
,
의 4개이다.
4개
007
;1ª8Á0;
_A=
_A=
;6¦0;
는 3의 배수이어야 한다.
7
2Û`_3_5
_A가 유한소수가 되려면 A
따라서 A의 값이 될 수 있는 가장 작은 두 자리의 자연수는 12
이다.
008
42
50_x
= 21
25_x
=
3_7
5Û`_x
따라서 옳은 것은 ④이다.
013 ① 4.H5H3=4.535353y
② 4.H5H0=4.505050y
③ 4.H5=4.555555y
④ 4.5
⑤ 4.4H5=4.455555y
따라서 ⑤`<④`<②`<①`<③이므로 가장 큰 수는 ③이다.
014 0.4H6= 46-4
90
=
;9$0@;
이므로
12
0.4H6=4.2_a에서
=
;9$0@;
;1$0@;
_a
∴ a=
;9!;
0.H2H3=
이므로
;9@9#;
0.H2H3=23_b에서
=23_b
∴ b=
;9@9#;
;9Á9;
③ x=18일 때,
3_7
5Û`_18
=
3_7
2_3Û`_5Û`
=
7
2_3_5Û`
이므로 소수로
나타내면 순환소수가 된다.
③
∴ a+b=
+
;9!;
;9Á9;
=
;9!9@;
=0.H1H2
0.H1H2
②
④
③
2 | 정답과 해설
015 0.H6=
=
;9^;
, 0.3H1= 31-3
90
;3@;
=
;9@0*;=;4!5$;
, 1.H2= 12-1
=
9
:Á9Á:
이므로
022 4.3+0.03+0.007+0.0003+0.00007+y=4.3H3H7이므로 소
수점 아래 첫째 자리부터 100번째 자리까지는 소수점 아래 첫째
자리의 숫자 3의 1개와 순환하는 부분의 숫자 99개로 이루어져
0.H6x+0.3H1=1.H2에서
x+
;3@;
=
;4!5$;
:Á9Á:
있다.
x=
;4$5!
;3@;
∴ x=
=1.3H6
;3$0!;
x=1.3H6
이때 99=2_49+1이므로 구하는 3의 개수는
1+49+1=51(개)
51개
016 0.5H3= 53-5
90
=
=
;9$0*;
;1¥5;
, 0.H4=
이므로
;9$;
0.5H3_
=0.H4에서
;aB;
_
=
;aB;
;9$;
;1¥5;
∴
=
_
;9$;
;aB;
:Á8°:
=
;6%;
따라서 a=6, b=5이므로 a-b=6-5=1
1
017
<0.Hx<
에서
;7^;
<
<
;9{;
;3@;
;7^;
이므로
;3@;
<
<
;6&3{;
;6%3$;
;6$3@;
이때 x는 한 자리의 자연수이므로 x=7
7
다.
018 ② 순환소수는 무한소수이다.
③ 순환소수는 모두 분수로 나타낼 수 있다.
④ 무한소수 중에는 순환하지 않는 무한소수도 있다.
①, ⑤
023
77
2Ü`_a_5
= 7_11
2Ü`_a_5
이 순환소수가 되려면 기약분수로 나
타내었을 때 분모에 2나 5 이외의 소인수가 있어야 한다.
따라서 1_[-2_[a]_b]Ö[5ab]
=<10_a_bÜ`>_[-2_aÜ`_b]Ö(5ab)Ü`
=(10abÜ`)Û`_(-2aÜ`b)Ü`Ö125aÜ`bÜ`
=100aÛ`bß`_(-8aá`bÜ`)_
1
125aÜ`bÜ`
=-
a¡`bß`
:£5ª:
(4※6)ß`_(7※4)Ü`Ö(3※3)Û`ÖxÛ`=3ß`_2Ü`Ö2Û`ÖxÛ`
=
3ß`_2
xÛ`
=
;2!;
이때 x는 자연수이므로 xÛ`=3ß`_2Û`=(3Ü`_2)Û`
∴ x=3Ü`_2=54
54
097 3`과 자연수 b가 서로소가 되려면 자연수 b의 소인수 중에는 3이
없어야 한다. 즉 a는 1_2_3_y_100을 소인수분해했을 때 소
인수 3의 지수와 같다.
1에서 100까지의 자연수 중 3을 소인수로 가지는 수는 3의 배수이
다. 이때 9의 배수는 3Û`을 인수로 가지고 있고, 27의 배수는 3Ü`을 인
수로, 81의 배수는 3Ý`을 인수로 가지고 있으므로 a의 값은
( 3의 배수의 개수 )+( 9의 배수의 개수 )+( 27의 배수의 개수 )
-
a¡`bß`
:£5ª:
+( 81의 배수의 개수 )와 같다.
∴ a=33+11+3+1=48
48
098 5x+2(2x+3+2x+5) =5x+2(2x+3+2Û`_2x+3)
=5x+2_5_2x+3
=5x+3_2x+3
=10x+3
STEP
3
고난도 문제
28쪽~30쪽
따라서 a=10, b=3이므로 a+b=13
13
093 2ß`과 값이 같은 수는 2ß`=(2Û`)Ü`=(2Ü`)Û`=(2ß`)Ú`, 즉
2ß`=4Ü`=8Û`=64Ú`
이와 같이 소수의 거듭제곱으로 나타내어진 수와 같은 수는 지수의
약수의 개수만큼 나타난다.
9Û`Ý`=(3Û`)Û`Ý`=348이고, 48=2Ý`_3이므로 48의 약수의 개수는
(4+1)_(1+1)=10(개)
따라서 값이 9Û`Ý`이 되는 수는 모두 10번 나타난다.
10번
094 <7>=7, <7Û`>=9, <7Ü`>=3, <7Ý`>=1, <7Þ`>=7, …
이므로 7Ç`의 일의 자리의 숫자는 7, 9, 3, 1의 4개의 숫자가 반복
된다.
17=4_4+1이므로 <717>=7
83=4_20+3이므로 <783>=3
∴ <717+783>=0
099 n이 자연수이므로 2n은 짝수, 2n+1은 홀수이다.
따라서 (-a)2n+1=-a2n+1, (-a)2n=a2n이므로
a2n+(-a)2n+1+a2n+1+(-a)2n
=a2n-a2n+1+a2n+1+a2n
=2a2n
2a2n
100 4x-1_25x+1 =(2Û`)x-1_(5Û`)x+1
=22x-2_52x+2
=22x-2_52x-2_54
=54_(2_5)2x-2
=625_102x-2
이때 4x-1_25x+1은 9자리의 자연수이므로
0
2x-2=6, 2x=8 ∴ x=4
4
2. 단항식의 계산 | 9
101 ㉠ L[2x_2y]=L[2x+y]=x+y, L[2x]_L[2y]=xy
∴ L[2x_2y]+L[2x]_L[2y]
㉡ x>y이므로
L[2xÖ2y]=L[2x-y]=x-y, L[2x]-L[2y]=x-y
∴ L[2xÖ2y]=L[2x]-L[2y]
㉢ L[(2x)y]=L[2xy]=xy, (L[2x])y=xy
∴ L[(2x)y]+(L[2x])y`
㉣ L[A]=3이므로 A=2Ü =8
따라서 옳은 것은 ㉡, ㉣이다.
㉡, ㉣
102
xÜ`
y }
_
yÛ`
xb }
Ö
xÛ`
2y }
2`
a`
{-
{-
=(-1)a_
{-
x3a
ya _
yÝ`
x2b`
이때 (-1)a=-1이고, 10)
107 -2(axÛ`+3x-1)+(xÛ`+bx+5)
=-2axÛ`-6x+2+xÛ`+bx+5
=(-2a+1)xÛ`+(-6+b)x+7
=3xÛ`+c
즉 -2a+1=3에서 a=-1
-6+b=0에서 b=6
14
c=7
104 만들 수 있는 가장 작은 정사각형의 한 변의 길이는 xÛ`yÞ`과 xÞ`y
의 최소공배수이다.
이때 x, y는 서로소이므로 최소공배수는 xÞ`yÞ`이다.
108 7x-[6x-y+{-x+3y-(2x-y)}]
=7x-{6x-y+(-x+3y-2x+y)}
따라서 정사각형의 한 변의 길이는 xÞ`yÞ`이므로 필요한 직사각형 모
=7x-{6x-y+(-3x+4y)}
양의 종이는
(xÞ`yÞ`ÖxÛ`yÞ`)_(xÞ`yÞ`ÖxÞ`y)=xÜ`yÝ`(장)
②
=7x-(3x+3y)
=7x-3x-3y
=4x-3y
∴ a+b+c=-1+6+7=12
12
109 어떤 식을 A라 하면
A-(2xÛ`+3x-1)=-7xÛ`+x-3
∴ A =-7xÛ`+x-3+(2xÛ`+3x-1)
=-5xÛ`+4x-4
따라서 바르게 계산한 식은
-5xÛ`+4x-4+(2xÛ`+3x-1)=-3xÛ`+7x-5
4x-3y
-3xÛ`+7x-5
10 | 정답과 해설
110 2x(-x+2y+3)-(15xÜ`y-9xÛ`yÛ`+6xÛ`y)Ö3xy
=-2xÛ`+4xy+6x-(5xÛ`-3xy+2x)
=-2xÛ`+4xy+6x-5xÛ`+3xy-2x
=-7xÛ`+7xy+4x
따라서 xy의 계수는 7이다.
STEP
2
심화 문제
117 (둘레의 길이)
=2(5aÛ`-3)
=10aÛ`-6
7
=2{(5a-7)+(3aÛ`-2a+5)+(2aÛ`-3a-1)}
35쪽~36쪽
10aÛ`-6
111
xyÛ`-3xÛ`y
xyÛ`-4xÛ`
xy -
x =y-3x-(yÛ`-4x)
=y-3x-yÛ`+4x
=-yÛ`+y+x
즉 -yÛ`+y+x에 x=1, y=-3을 대입하면
-(-3)Û`+(-3)+1=-11
112 어떤 다항식을 A라 하면
AÖ(-2aÛ`b)=-3abÛ`+ 2b
a
∴ A=
-3abÛ`+ 2b
a }
{
_(-2aÛ`b)
=6aÜ`bÜ`-4abÛ`
6aÜ`bÜ`-4abÛ`
113 A-{B-2(A-B)}+B =A-(B-2A+2B)+B
=A-(-2A+3B)+B
=A+2A-3B+B
=3A-2B
=3(2x-y)-2(-x+3y)
=6x-3y+2x-6y
=8x-9y
8x-9y
114 2x+3y=x+y+2에서
x=-2y+2
∴ 3x-2y+5 =3(-2y+2)-2y+5
=-6y+6-2y+5
=-8y+11
115 (x+y) : (x-y)=3 : 2에서
2(x+y)=3(x-y)
2x+2y=3x-3y
5y
+ 4x
5y
5y
5y
x
=
∴ x=5y
4_5y
5y
+
∴
=1+4=5
118 6xÛ`-{x-(4xÛ`+2x-
=6xÛ`-(x-4xÛ`-2x+
)}
)
=6xÛ`-(-4xÛ`-x+
)
=6xÛ`+4xÛ`+x-
-11
=10xÛ`+x-
=5xÛ`-3x+2
∴
=10xÛ`+x-(5xÛ`-3x+2)
=10xÛ`+x-5xÛ`+3x-2
=5xÛ`+4x-2
5xÛ`+4x-2
119 B+(5xÛ`-yÛ`)+(7xÛ`+2xy+yÛ`)=15xÛ`-3yÛ`에서
B+12xÛ`+2xy=15xÛ`-3yÛ`
∴ B =15xÛ`-3yÛ`-(12xÛ`+2xy)
=15xÛ`-3yÛ`-12xÛ`-2xy
=3xÛ`-2xy-3yÛ`
A+B+(8xÛ`+3xy+2yÛ`)=15xÛ`-3yÛ`에서
```` A+(3xÛ`-2xy-3yÛ`)+(8xÛ`+3xy+2yÛ`)=15xÛ`-3yÛ`
A+11xÛ`+xy-yÛ`=15xÛ`-3yÛ`
∴ A =15xÛ`-3yÛ`-(11xÛ`+xy-yÛ`)
=15xÛ`-3yÛ`-11xÛ`-xy+yÛ`
=4xÛ`-xy-2yÛ`
∴ 2A-B =2(4xÛ`-xy-2yÛ`)-(3xÛ`-2xy-3yÛ`)
=8xÛ`-2xy-4yÛ`-3xÛ`+2xy+3yÛ`
=5xÛ`-yÛ`
5xÛ`-yÛ`
-8y+11
120 (색칠한 부분의 넓이)
=2x(4y+2)-
_5_(4y+2)+
_2x_2
[;2!;
;2!;
+
_(2x-5)_4y
;2!;
]
=8xy+4x-(10y+5+2x+4xy-10y)
=8xy+4x-(4xy+2x+5)
=8xy+4x-4xy-2x-5
5
=4xy+2x-5
4xy+2x-5
116 a+b+c=0에서
b+c=-a, c+a=-b, a+b=-c
∴
b+c
a
+ c+a
b
+ a+b
c
= -a
a
+ -b
b
+ -c
c
=-1+(-1)+(-1)
=-3
121 A =2xÛ`y(3xyÜ`-4y)+8x
=6xÜ`yÝ`-8xÛ`yÛ`+8x
∴
A
4xy
=
6xÜ`yÝ`-8xÛ`yÛ`+8x
4xy
-3
=
xÛ`yÜ`-2xy+
;2#;
;]@;
;2#;
xÛ`yÜ`-2xy+
;]@;
3. 다항식의 계산 | 11
122 큰 직육면체의 높이를 hÁ, 작은 직육면체의 높이를 hª라 하면
3a_b_hÁ=aÛ`b+6abÛ`이므로 3abhÁ=aÛ`b+6abÛ`
128 0.H3=
=
;9#;
;3!;
, 0.1H5=
15-1
90
=
=
;9!0$;
;4¦5;
, 0.H4=
이므로
;9$;
∴ hÁ=(aÛ`b+6abÛ`)Ö3ab=
a+2b
;3!;
a_b_hª=aÛ`b-2abÛ`이므로 abhª=aÛ`b-2abÛ`
∴ hª=(aÛ`b-2abÛ`)Öab=a-2b
(0.H3abÛ`c-0.1H5aÛ`bc)Ö0.H4ab-abc
{
5
2a
-
1
b }
=
abÛ`c
{;3!;
-;4¦5;
aÛ`bc
Ö
ab-
bc+ac
;9$;
;2%;
}
}
따라서 전체 상자의 높이 h는 두 직육면체의 높이의 합이므로
=
abÛ`c-
aÛ`bc
_
{;3!;
;4¦5;
;4a(b;-;2%;
bc+ac
h=hÁ+hª=
a+2b
+(a-2b)=
a
{;3!;
}
;3$;
;3$;
a
=
bc-
ac-
bc+ac
;4#;
;2¦0;
;2%;
=-
bc+
;4&;
ac
;2!0#;
-
bc+
;4&;
ac
;2!0#;
123 x+
;]!;
=1에서 x=1-
=
;]!;
y-1
y
y+
=1에서
=1-y
;z!;
;z!;
∴ z=
=-
1
1-y
1
y-1
∴ xyz=
y-1
y
_y_
-
{
1
y-1 }
=-1
-1
129 (A+2B)※{B⊙(3B-A)}
=(A+2B)※{2B-(3B-A)}
=(A+2B)※(A-B)
=2(A-B)-(A+2B)
=A-4B
=3xÛ`-2x-4(2xÛ`-4x-1)
=3xÛ`-2x-8xÛ`+16x+4
124 a : b : c=1 : 2 : 3이므로
a=k, b=2k, c=3k(k+0)라 하면
= 16k
4k
= 3k+10k+3k
4k
3a+5b+c
2b
125
+
;a!;
;b!;=
5에서
a+b
ab
=5
∴ a+b=5ab
∴
a+3ab+b
2a-3ab+2b
= (a+b)+3ab
2(a+b)-3ab
= 5ab+3ab
10ab-3ab
= 8ab
7ab
=
;7*;
=4
4
=-5xÛ`+14x+4
-5xÛ`+14x+4
130 지수법칙을 이용하여 밑을 3으로 같게 한 후 지수끼리 비교한다.
92x_3y
3x =243에서
(3Û`)2x_3y
3x =3Þ`
34x_3y
3x =3Þ`
∴ 33x+y=3Þ``
즉 3x+y=5이므로 y=-3x+5
∴ 4x-2y+7 =4x-2(-3x+5)+7
;7*;
=4x+6x-10+7
=10x-3
10x-3
STEP
3
고난도 문제
37쪽~38쪽
126 n이 자연수이므로 2n-1, 2n+1은 홀수이고, 2n은 짝수이다.
(-1)2n-1=-1, (-1)2n=1, (-1)2n+1=-1이므로
(-1)2n-1(3x-y)+(-1)2n(x+4y)-(-1)2n+1(2x+y)
=-(3x-y)+(x+4y)+(2x+y)
=-3x+y+x+4y+2x+y
=6y
6y
127 8x+3=
16Þ`
2´`
즉 23x+9=220-y=212이므로
=212에서 (2Ü`)x+3=
)Þ
(2Ý
`
2´
`
`
=212
23x+9=212에서 3x+9=12, 3x=3
220-y=212에서 20-y=12
∴ y=8
∴ x=1
∴
15xÛ`y-9xyÛ`
3xy
-
16xÛ`-8x
4x
131 0.2H3= 23-2
90
= 21
9
23-2
9
2.H3=
=
=
;3&;
=
;9@0!;
;3¦0;
즉 (x-y) : (x+y)=0.2H3 : 2.H3에서
(x-y) : (x+y)=
:
=1 : 10
;3¦0;
;3&;
10(x-y)=x+y
10x-10y=x+y, 9x=11y
∴ x=
y
:Á9Á:
xÛ`+yÛ`
xy
∴
+
xÛ`-yÛ`
xy
+
=
;[};
+
;[};
2xÛ`
xy
2x
y
=
+
;[};
=5x-3y-(4x-2)
=5x-3y-4x+2
=x-3y+2
=1-3_8+2
=-21
-21
=2x_
;]!;+
y_
;[!;
=2_
y_
y_
;]!;+
;11(];
:Á9Á:
=
+
:ª9ª:
;1»1;
=
:£9ª9£:
:£9ª9£:
12 | 정답과 해설
132 a-b+c=0에서 b=a+c yy ㉠
a-2b-4c=0에 ㉠을 대입하면
a-2(a+c)-4c=0
a-2a-2c-4c=0
∴ a=-6c
㉠에 a=-6c를 대입하면
b=-6c+c=-5c
∴
4a
b+c
+ 4b
c+a
+ 11c
a+b
+
11c
(-6c)+(-5c)
=
4_(-6c)
-5c+c
+
= -24c
-4c
+ -20c
-5c
=6+4+(-1)=9
4_(-5c)
c+(-6c)
+ 11c
-11c
133 2a+
=1에서 2a=1-
;b!;
= b-1
b
;b!;
∴ a= b-1
2b
b+
=1에서
=1-b
;c!;
;c!;
=- 1
b-1
∴
∴ c= 1
1-b
+2c= 2b
b-1
= 2b-2
b-1
;a!;
=
2(b-1)
b-1
=2
+2_
- 1
{
b-1 }
4
일차부등식
STEP
1
실력 문제
41쪽~45쪽
134 ① -1+1>0 (거짓)
③ 2_(-1)É-3 (거짓) ④ 2_(-1)+3¾6 (거짓)
② 1-(-1)<0 (거짓)
⑤ -1+3_(-1)¾-5 (참)
⑤
135 x=-1일 때, 5-(-1)¾3 (참)
x=0일 때, 5-0¾3 (참)
9
x=1일 때, 5-1¾3 (참)
x=2일 때, 5-2¾3 (참)
x=3일 때, 5-3¾3 (거짓)
따라서 주어진 부등식의 해는 -1, 0, 1, 2의 4개이다.
4개
136 ④ a-
;2B;
;2A;
∴ 1-
>1-
;2A;
;2B;
④
137 ① a
b-3이면
a>
b
∴ a>b
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
2
④ c<0일 때, abc
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
⑤
-1-3
② -0.2x<0.1(x+9)의 양변에 10을 곱하면
-2x-3
③ 2(-x-4)-3
④ 0.2x+1<
(2x+1)의 양변에 10을 곱하면
;5!;
2x+10<4x+2, -2x<-8
∴ x>4
⑤
x+1<
x+
의 양변에 6을 곱하면
;3!;
;2!;
;2#;
2x+6<3x+9, -x<3
∴ x>-3
④
4. 일차부등식 | 13
141 5x-9É3(x-2)+5에서
5x-9É3x-6+5, 2xÉ8 ∴ xÉ4
따라서 주어진 부등식을 만족하는 자연수 x는 1, 2, 3, 4의 4개이
다.
4개
총합은 75_4=300(점)이므로
300+x
5
¾77
∴ x¾85
149 5회째 시험에서의 점수를 x점이라 하면 4회까지의 시험 성적의
따라서 5회째 시험에서 최소한 85점 이상을 받아야 한다. 85점
142 0.3x-1>1.2x+0.8의 양변에 10을 곱하면
3x-10>12x+8
-9x>18
∴ x<-2
x-1
2
-
2x-1
3
<1의 양변에 6을 곱하면
3(x-1)-2(2x-1)<6
3x-3-4x+2<6
-x<7
∴ x>-7
따라서 a=-3, b=-6이므로
a+b=-3+(-6)=-9
143 ax+5É3에서 axÉ-2
이때 a<0이므로 x¾-
;a@;
144 ax-3>3x+5에서 (a-3)x>8
이때 해가 x>1이므로 a-3>0
따라서 x> 8
이므로
=1
8
a-3
a-3
a-3=8
∴ a=11
145 ax+3¾4(x-0.5a)에서 ax+3¾4x-2a
(a-4)x¾-2a-3
이때 해가 xÉ-1이므로 a-4<0
따라서 xÉ
-2a-3
a-4
이므로
-2a-3
a-4
=-1
-2a-3 =-a+4
∴ a=-7
-7
146
x+
<
;3!;
;3@;
;5@;
x-1의 양변에 15를 곱하면
6x+5<10x-15
-4x<-20
∴ x>5
7-3x<2x+a에서
-5x 7-a
5
150 상자의 개수를 x개라 하면
90+20xÉ480
∴ xÉ
:£2»:
따라서 한 번에 운반할 수 있는 상자는 최대 19개이다. 19개
151 음료수를 x개 산다고 하면 과자는 (14-x)개 살 수 있으므로
1000(14-x)+1600xÉ19100
∴ xÉ
:Á2¦:
따라서 음료수는 최대 8개까지 살 수 있다.
8개
152 세로의 길이를 x cm라 하면 가로의 길이는 (x+4) cm이므로
∴ xÉ23
2{(x+4)+x}É100
따라서 세로의 길이는 23 cm 이하이어야 한다.
23`cm
-9
x¾-
;a@;
153 BPÓ의 길이를 x`cm라 하면 PCÓ의 길이는 (40-x)`cm이므로
△APM
11
=40_20-
_x_20+
_(40-x)_10+
_40_10
[;2!;
;2!;
;2!;
]
=800-(10x+200-5x+200)
=-5x+400`(cmÛ`)
이때 -5x+400É280이므로
-5xÉ-120
∴ x¾24
따라서 BPÓ의 길이는 24`cm 이상이어야 한다.
24`cm
154 음료수를 x캔 산다고 하면
800x>500x+1200
∴ x>4
따라서 5캔 이상 살 경우 할인 매장에서 사는 것이 더 유리하다.
5캔
155 일 년에 책을 주문하는 횟수를 x회라 하면
2000x>6000+1000x
∴ x>6
이때 두 부등식의 해가 서로 같으므로
7-a
5
=5
7-a=25 ∴ a=-18
-18
따라서 일 년에 7회 이상 책을 주문하면 회원으로 가입하여 주문하
는 것이 더 유리하다.
7회
147 연속하는 두 짝수를 x, x+2라 하면
156 x명이 입장한다고 하면
4x-7¾2(x+2)
∴ x¾
;;Á2Á;;
5000x>5000_
_20
∴ x>16
;1¥0¼0;
따라서 가장 작은 두 짝수는 6, 8이다.
6, 8
따라서 17명 이상이면 20명의 단체 입장권을 사는 것이 더 유리하
다.
17명
148 연속하는 세 홀수를 x-2, x, x+2라 하면
(x-2)+x+(x+2)<38
∴ x<
:£3¥:
이때 x의 값 중 가장 큰 홀수는 11이므로 가장 큰 세 홀수는 9, 11,
157 원가를 x원이라 하면 정가는
{
1+
;1Á0¥0;}
x원이므로
1+
{
;1Á0¥0;}
x-3000¾
1+
x
∴ x¾50000
{
;1Á0ª0;}
따라서 세 홀수의 합의 최댓값은 9+11+13=33
33
따라서 원가의 최솟값은 50000원이다.
50000원
13이다.
14 | 정답과 해설
따라서 뛰어간 거리는 최소 800 m이다.
800`m
㉣ f (-2c)=-2_(-2c)=4c
158 원가에 x %의 이익을 붙여 정가를 정한다고 하면 정가는
x=0일 때, 2_0+5>-2_(0-3) (거짓)
2500
1+
원이므로
;10{0;}
{
{
2500
1+
_
1-
;10{0;}
{
;1ª0¼0;}
¾2500_
1+
{
;10$0;}
∴ x¾30
따라서 30 % 이상의 이익을 붙여 정가를 정해야 한다. 30`%
159 올라갈 때의 거리를 x km라 하면 내려올 때의 거리는
(x+1) km이므로
x
3
+ x+1
4
É2
∴ xÉ3
따라서 올라갈 수 있는 거리는 최대 3 km이다.
3`km
160 태훈이가 뛰어간 거리를 x m라 하면 걸어간 거리는
(2000-x) m이므로
2000-x
40
+
x
80
É40
∴ x¾800
161 분속 30 m로 걸은 거리를 x m라 하면 분속 50 m로 걸은 거리
는 (5000-x) m이므로
+ 5000-x
50
;3Ó0;
É120
∴ xÉ1500
따라서 분속 30 m로 걸은 거리는 최대 1500 m이다. 1500`m
162 역에서 서점까지의 거리를 x km라 하면
+
+
;6!0%
;;4{;
;2{;
É1
∴ xÉ1
163 8`%의 소금물의 양을 x g이라 하면 14`%의 소금물의 양은
(300-x) g이므로
x+
;10*0;_
;1Á0¢0;_
(300-x)¾
;1Á0ª0;_
300 ∴ xÉ100
따라서 8`%의 소금물을 100 g 이하로 섞어야 한다.
100`g
_200¾
_(200-x)
∴ x¾75
;10%0;
;10*0;
따라서 증발시켜야 하는 물의 양은 75 g 이상이다.
75`g
x=1일 때, 2_1+5>-2_(1-3) (참)
x=2일 때, 2_2+5>-2_(2-3) (참)
따라서 주어진 부등식의 해는 1, 2의 2개이다.
2개
166 ① 4a<4b이므로 4a-9<4b-9
② a-5b
③ a1
;bA;
④ aab
⑤ a|b|이므로 aÛ`>bÛ`
③
167 ㉠ d0이므로 adb이고 c<0이므로
a+b
c
<
;cB;
㉢ a>c이고 c<0이므로 ac-2_(-2-3) (거짓)
170 3(x+a)-2-2_(-1-3) (거짓)
∴ -6a-4b =2(-3a-2b)=2_3=6
6
4. 일차부등식 | 15
171 4½(x-3)=2_4-(x-3)-1=-x+10
(-2x+1)½2=2(-2x+1)-2-1=-4x-1
즉 4½(x-3)<(-2x+1)½2에서
-x+10<-4x-1
3x<-11
∴ x<-
:Á3Á:
따라서 부등식을 만족하는 정수 x의 최댓값은 -4이다. -4
172 (a-1)x-3a+3¾0에서 (a-1)x¾3(a-1)
이때 a<1에서 a-1<0이므로
xÉ
3(a-1)
a-1
∴ xÉ3
xÉ3
173 x-2a¾3x-1에서 -2x¾2a-1
∴ xÉ
-2a+1
2
이때 부등식을 만족하는 자연수 x의
개수가 3개가 되려면 오른쪽 그림과
같아야 하므로
3É
-2a+1
2
<4
6É-2a+1<8, 5É-2a<7
0
1
2
3
4
-2a+1
2
∴ -
2a-2
>x+a에서 3x+2>2x+2a
이때 부등식을 만족하는 자연수 x의
값 중 가장 작은 정수가 3이 되려면 오
른쪽 그림과 같아야 하므로
2É2a-2<3, 4É2a<5
∴ 2Éa<
;2%;
따라서 구하는 자연수 a의 값은 2이다.
2
175 3x+1>0에서 x>-
;3!;
(a+b)x+(2a-3b)<0에서 (a+b)x<-2a+3b
이때 해가 x>
-;3!;
∴ x> -2a+3b
a+b
이므로 a+b<0
즉
-2a+3b
a+b
=-
이므로 6a-9b=a+b
;3!;
5a=10b
∴ a=2b
a+b<0에 a=2b를 대입하면
3b<0
∴ b<0
따라서 (a-3b)x+(b-2a)>0에 a=2b를 대입하면
(2b-3b)x+(b-4b)>0, -bx>3b
이때 b<0에서 -b>0이므로
x>
∴ x>-3
3b
-b
16 | 정답과 해설
176 0.1-0.2x>0.3(x-a)의 양변에 10을 곱하면
1-2x>3(x-a), 1-2x>3x-3a
∴ x< 3a+1
-5x>-3a-1
5
이때 부등식을 만족하는 자연수 x가
하나도 없으려면 오른쪽 그림과 같아
É1, 3a+1É5
∴ aÉ
;3$;
야 하므로
3a+1
5
-2 -1
1
0
3a+1
5
aÉ
;3$;
177 -x+1Éx-3(x-a)에서
-x+1Éx-3x+3a
∴ xÉ3a-1
이때 부등식을 만족하는 자연수 x의
개수가 2개가 되려면 오른쪽 그림과
같아야 하므로
0
1
2
3
3a-1
2É3a-1<3, 3É3a<4
∴ 1Éa<
;3$;
따라서 6É6a<8이므로 1É6a-5<3
∴ 1Éy<3
1Éy<3
178 남학생 20명의 수학 성적의 평균을 x점이라 하면
30_75+20x
30+20
¾70
∴ x¾62.5
따라서 남학생 20명의 수학 성적의 평균은 62.5점 이상이어야 한
다.
62.5점
2
3
4
2a-2
179 책을 x일 동안 대여한다고 하면
1200+700(x-3)É5400
∴ xÉ9
따라서 최대 9일 동안 대여할 수 있다.
9일
180 혜미가 이긴 횟수를 x회라 하면 혜미가 진 횟수는 (20-x)회이
고, 석재가 이긴 횟수는 (20-x)회, 석재가 진 횟수는 x회이다.
20회에 걸쳐 혜미가 얻은 점수는
4x+2(20-x)=2x+40(점)
석재가 얻은 점수는
4(20-x)+2x=80-2x(점)
이때 혜미가 15점 이상 차이로 이겼으므로
2x+40-(80-2x)¾15, 4x¾55
∴ x¾
:°4°:
따라서 혜미가 이긴 횟수는 최소 14회이다.
14회
181 (사다리꼴 ABCD의 넓이)=
(10+16)_12=156`(cmÛ`)
;2!;_
BPÓ의 길이를 x`cm라 하면 APÓ의 길이는 (12-x)`cm이므로
△APD=
(12-x)_10=60-5x (cmÛ`)
x>-3
△PBC=
x_16=8x (cmÛ`)
;2!;_
;2!;_
△PCD =(사다리꼴 ABCD의 넓이)-△APD-△PBC
188 처음 소금물 200`g의 농도를 x`%라 하면 x`%의 소금물 200`g
삼각형 PCD의 넓이가 사다리꼴 ABCD의 넓이의
이상이 되
;2!;
물 60`g을 증발시킨 후 소금 10`g을 넣었으므로
에 들어 있는 소금의 양은
_200=2x`(g)
;10{0;
(소금물의 양)=200-60+10=150`(g)
(소금의 양)=2x+10`(g)
이때 농도가 2x`% 이상이므로
2x+10¾
_150
∴ xÉ10
;1ª0Ó0;
따라서 처음 소금물의 농도는 최대 10`%이었다.
10`%
=156-(60-5x)-8x
=96-3x (cmÛ`)
어야 하므로
96-3x¾156_
∴ xÉ6
;2!;
따라서 BPÓ의 길이는 최대 6`cm이다.
6`cm
182 APÓ의 길이를 x`cm라 하면 PHÓ의 길이는 (10-x) cm이고
(색칠한 부분의 넓이)=△ABC-△PBC이므로
_8_10-
_8_(10-x)¾28
;2!;
;2!;
40-4(10-x)¾28, 4x¾28
∴ x¾7
따라서 APÓ의 길이는 7 cm 이상이어야 한다.
7`cm
183 1인당 입장료를 a원이라 하고, x명이 입장한다고 하면
a_
;1»0¼0;
_x>a_
_30
∴ x>25
;1¦0°0;
STEP
3
고난도 문제
51쪽~52쪽
따라서 26명 이상이면 30명의 단체 입장권을 사는 것이 더 유리하
189 ax-5b<5a-bx에서 (a+b)x<5(a+b)
다.
26명
Ú a+b>0일 때, x<
∴ x<5
184 인형을 x개 산다고 하면
5000x-4000>5000x_
;1»0¢0;
∴ x>
:¢3¼:
따라서 인형을 14개 이상 구입할 때, 6 %를 할인해 주는 쿠폰을 사
용하는 것이 더 유리하다.
14개
5(a+b)
a+b
5(a+b)
a+b
Û a+b<0일 때, x>
∴ x>5
Ü a+b=0일 때, 0´x<0
∴ 해가 없다.
Ú a+b>0일 때, x<5
Û a+b<0일 때, x>5
Ü a+b=0일 때, 해가 없다.
185 원가를 a원이라 하면 정가는
{
1+
;1ª0°0;}
;4%;
a=
a(원)이고, 정가
를 x % 할인한 판매 가격은
a_
1-
원이므로
;4%;
{
;10{0;}
a_
1-
{
;4%;
;10{0;}
¾a
∴ xÉ20
따라서 정가의 최대 20 %까지 할인할 수 있다.
20`%
190 (2x+1)△(5x-2)>3△k에서
(2x+1)-(5x-2)+1>3-k+1
-3x+4>4-k, -3x>-k
∴`x<
;3K;
이때 부등식을 만족하는 정수 x의 최
댓값이 4가 되려면 오른쪽 그림과 같
아야 하므로
3
4
5
k
3
186 집에서 축구장까지의 거리를 x km라 하면
4<
É5
∴`12x+k에 대입하면
3-x
4
>x+k
3-x>4x+4k, -5x>4k-3
∴`x<
187 강물을 x km까지 거슬러 올라갔다 내려온다고 하면 거슬러 올
라갈 때의 배의 속력은 12-8=4, 즉 시속 4 km이고 내려올 때의
배의 속력은 12+8=20, 즉 시속 20 km이므로
;4{;+;2Ó0;
É3
∴ xÉ10
따라서 최대 10 km까지 거슬러 올라갔다 내려올 수 있다.
이때 부등식을 만족하는 자연수 x의
개수가 3개가 되려면 오른쪽 그림과
같아야 하므로
3-4k
5
3<
É4, 15<3-4kÉ20
10`km
12<-4kÉ17
∴`-
Ék<-3
:Á4¦:
-
Ék<-3
:Á4¦:
3-4k
5
1
2
4
3
3-4k
5
4. 일차부등식 | 17
192 2ax+b(x-2)>2a-3b에서 2ax+bx-2b>2a-3b
(2a+b)x>2a-b
되어야 하므로
새로운 입체도형의 겉넓이가 처음 원기둥의 겉넓이의 2배 이상이
이때 해가 x<
이므로 2a+b<0
;4#;
210p+
px¾2_210p, 210p+
px¾420p
;;Á2°;;
;;Á2°;;
∴ x<
2a-b
2a+b
2a-b
2a+b
;4#;
즉
=
이므로 4(2a-b)=3(2a+b)
8a-4b=6a+3b
∴ `2a=7b
2a+b<0에 2a=7b를 대입하면
8b<0
∴ `b<0
px¾210p
∴ x¾28
;;Á2°;;
따라서 구멍을 28개 이상 뚫어야 한다.
28개
195 나중에
;4!;
배만큼 넣었던 20`%의 소금물의 양을 x`g이라 하면
처음에 넣은 물의 양은 4x`g이다.
따라서 (2a-5b)x+2a+5b¾0에 2a=7b를 대입하면
20`%의 소금물 300`g과 더 넣은 20`%의 소금물 x`g에 들어 있는
(7b-5b)x+7b+5b¾0, 2bx¾-12b
소금의 양의 합은
이때 b<0이므로
xÉ
-12b
2b
∴ `xÉ-6
_300+
_x=60+
x`(g)
;1ª0¼0;
;1ª0¼0;
;5!;
xÉ-6
또 4x`g의 물과 x`g의 소금물을 넣었으므로 전체 소금물의 양은
기록한 수들의 평균
É9이고 이 수의 소수점 아래 첫
196 한 개의 수문에서 1분 동안 흘려보내는 물의 양을 p톤이라 하
면 3개의 수문으로 20분 만에 모두 흘려보냈으므로
(300+5x)`g이다.
60+
xÉ
;5!;
;1Á0¢0;
_(300+5x)
6000+20xÉ4200+70x, -50xÉ-1800
∴ x¾36
이때 전체 소금물의 양은 (300+5x)`g이므로
5x¾180
∴ 300+5x¾480
따라서 새로 만들어진 소금물의 양은 480`g 이상이다. 480`g
3_p_20=3000+150_20
60p=6000
∴ p=100
즉 한 개의 수문에서 1분 동안 100톤의 물을 흘려보낸다.
5000톤의 물과 매분 300톤의 비율로 유입되는 물을 x개의 수문을
열어 30분 이내에 모두 흘려보낸다고 하면
x_100_30¾5000+300_30
3000x¾14000
∴ x¾
:Á3¢:
따라서 물을 30분 이내에 모두 흘려보내려면 최소한 5개의 수문을
열어야 한다.
5개
193 기록한 수들의 합을 A라 하면
yy ㉠
A=7x+8y+9z
x+y+z=6
yy ㉡
㉡에서 z=6-x-y를 ㉠에 대입하면
A=7x+8y+9(6-x-y)
∴ A=54-2x-y
yy ㉢
A
6
는 7É
A
6
째 자리의 숫자가 1이므로
7.1É
<7.2 또는 8.1É
<8.2
A
6
A
6
∴ 42.6ÉA<43.2 또는 48.6ÉA<49.2
이때 A는 자연수이므로 A=43 또는 A=49
Ú A=43일 때, ㉢에서 43=54-2x-y, 2x+y=11
이때 x+yÉ6이므로 (x, y)는 (5, 1)
Û A=49일 때, ㉢에서 49=54-2x-y, 2x+y=5
이때 x+yÉ6이므로 (x, y)는 (0, 5), (1, 3), (2, 1)
따라서 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)는 (0, 5, 1), (1, 3, 2),
(2, 1, 3), (5, 1, 0)이다.
(0, 5, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (5, 1, 0)
194 처음 원기둥의 겉넓이는
(p_7Û`)_2+2p_7_8=98p+112p=210p (cmÛ`)
구멍을 x개 뚫는다고 하면 새로운 입체도형의 겉넓이는
p_7Û`-p_
`_x
_2+
2p_7_8+2p_
_8_x
[
{;2!;}
]
{
;2!;
}
=
49p-
_2+(112p+8px)
{
px
}
;4!;
=98p-
px+112p+8px
=210p+
px (cmÛ`)
;2!;
;;Á2°;;
18 | 정답과 해설
2
205 연립방정식
에 x=2, y=3을 대입하면
ax+by=2
[
bx-ay=10
2a+3b=2 yy ㉠
-3a+2b=10 yy ㉡
2a+3b=2
2b-3a=10
[
➡
[
㉠_3+㉡_2를 하면
13b=26
∴ b=2
b=2를 ㉠에 대입하면
2a+6=2, 2a=-4
∴ a=-2
∴ a+b=-2+2=0
0
206
2x+5y=-9 yy ㉠
[
x-4y=2
yy ㉡
㉠-㉡_2를 하면
13y=-13
∴ y=-1
y=-1을 ㉡에 대입하면
x+4=2
∴ x=-2
따라서 주어진 연립방정식의 해는 x=-2, y=-1이므로
x=-2, y=-1을 ax-3y=7에 대입하면
-2a+3=7
∴ a=-2
-2
5
연립방정식
STEP
1
실력 문제
55쪽~58쪽
197 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하면
① -2x+3=0 ➡ 미지수가 1개인 일차방정식이다.
② 분모에 미지수가 있으므로 일차방정식이 아니다.
③ 방정식이 아니다.
④ -xÛ`-2x+y=0 ➡ x의 차수가 2이므로 일차방정식이 아
니다.
⑤ x-3y-6=0 ➡ 미지수가 2개인 일차방정식이다.
⑤
198 x, y가 자연수일 때, 주어진 일차방정식을 만족하는 순서쌍
(x, y)는 (2, 3), (5, 2), (8, 1)의 3개이다.
3개
199 x=3, y=6을 ax-2y=3에 대입하면
3a-12=3, 3a=15
∴ a=5
x=b, y=11을 5x-2y=3에 대입하면
5b-22=3, 5b=25
∴ b=5
∴ a+b=5+5=10
200 ② 연립방정식
[
3x+2y=4
x-3y=5
3_2+2_(-1)=4`(참)
[
2-3_(-1)=5`(참)
201 x=2, y=-3을 ax-y=9에 대입하면
2a+3=9, 2a=6
∴ a=3
x=2, y=-3을 x-by=20에 대입하면
2+3b=20, 3b=18
∴ b=6
∴ a-b=3-6=-3
따라서 해가 (2, -1)인 것은 ②이다.
②
207
x+2y=9 yy ㉠
[
x-y=3
yy ㉡
10
㉠-㉡을 하면
3y=6
∴ y=2
y=2를 ㉡에 대입하면
x-2=3
∴ x=5
에 x=2, y=-1을 대입하면
따라서 두 연립방정식의 해는 x=5, y=2이므로
x=5, y=2를 3x+y=a에 대입하면
15+2=a
∴ a=17
x=5, y=2를 x+by=7에 대입하면
5+2b=7, 2b=2
∴ b=1
∴ a+b=17+1=18
18
-3
208 2x-y=-3에서 -3을 k로 잘못 보았다고 하면
2x-y=k yy ㉠
202 x=-3, y=k를 -3x+y=5에 대입하면
∴ k=-4
9+k=5
y=2를 3x-5y=2에 대입하면
3x-10=2, 3x=12
∴ x=4
x=-3, y=-4를 ax-2y=-1에 대입하면
즉 잘못 보고 푼 연립방정식의 해는 x=4, y=2이므로
-3a+8=-1, -3a=-9
∴ a=3
x=4, y=2를 ㉠에 대입하면
∴ a+k=3+(-4)=-1
-1
8-2=k
∴ k=6
203 ㉠에서 y=11-x
y=11-x를 ㉡에 대입하면 3x-2(11-x)=-2
3x-22+2x=-2, 5x=20
∴ a=5
204 ③ ㉠_3-㉡_2를 하면 -17y=1, 즉 x가 없어진다.
④ ㉠_4+㉡_3을 하면 17x=41, 즉 y가 없어진다.
따라서 -3을 6으로 잘못 보았다.
6
209 x : y=1 : 3이므로 y=3x
y=3x를 2x-y=6에 대입하면
5
2x-3x=6, -x=6
∴ x=-6
x=-6을 y=3x에 대입하면 y=-18
따라서 x=-6, y=-18을 ax-2y=3에 대입하면
③, ④
-6a+36=3
∴ a=
:Á2Á:
:Á2Á:
5. 연립방정식 | 19
210 y의 값이 x의 값의 2배이므로 y=2x
y=2x를 주어진 연립방정식에 대입하면
[
5x-4x=k
x=k yy ㉠
-3x+2x=k-6
-x=k-6 yy ㉡
➡
[
㉠을 ㉡에 대입하면
214 ⑴ [
x-1
3
x-1
3
=
=
2x+y
4
x-y+5
6
㉠-㉡_2를 하면 y=-18
y=-18을 ㉡에 대입하면
2x+3y=-4 yy ㉠
x+y=7 yy ㉡
➡
[
-k=k-6, -2k=-6
∴ k=3
3
x-18=7 ∴ x=25
211 ⑴
2(3x+y)+2y=10
3x+2y=5 yy ㉠
[
2x+3(y-5)=-5
2x+3y=10 yy ㉡
➡
[
㉠_3-㉡_2를 하면
5x=-5
∴ x=-1
x=-1을 ㉠에 대입하면
-3+2y=5, 2y=8
∴ y=4
0.1x-0.2(x-y)=-0.4
-x+2y=-4 yy ㉠
➡
[
3x-4y=6 yy ㉡
⑵
[
;4{;
-
=
;3};
;2!;
㉠_2+㉡ 을 하면 x=-2
x=-2를 ㉠에 대입하면
2+2y=-4, 2y=-6
∴ y=-3
⑶
x+5y=18
[
0.H3x-0.H5y=1.H5
x+5y=18
➡
[
;9#;
x-
y=
;9%;
:Á9¢:
x+5y=18 yy ㉠
3x-5y=14 yy ㉡
➡
[
㉠+㉡ 을 하면 4x=32
∴ x=8
x=8을 ㉠에 대입하면
8+5y=18, 5y=10
∴ y=2
⑴ x=-1, y=4
(x-1) : (2x+y)=2 : 3
212
[
3x+2y=7
3(x-1)=2(2x+y)
x+2y=-3 yy ㉠
➡
[
3x+2y=7
➡
[
3x+2y=7 yy ㉡
㉠-㉡ 을 하면 -2x=-10
∴ x=5
x=5를 ㉠에 대입하면
5+2y=-3, 2y=-8
∴ y=-4
따라서 m=5, n=-4이므로
m+n=5+(-4)=1
x+0.6y=k
;5!;
213 [
x+2y=3
x+3y=5k
➡
[
x+2y=3
yy ㉠
yy ㉡
y의 값이 x의 값보다 3만큼 크므로 y=x+3
yy ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
x+2(x+3)=3, 3x=-3
∴ x=-1
x=-1을 ㉢에 대입하면 y=2
따라서 x=-1, y=2를 ㉠에 대입하면
-1+6=5k
∴ k=1
20 | 정답과 해설
⑵
3(x-3)+2(y-1)=5x-4y-11
2x-(3-y)=5x-4y-11
[
➡
[
x-3y=0 yy ㉠
3x-5y=8 yy ㉡
㉠_3-㉡을 하면 -4y=-8
∴ y=2
y=2를 ㉠에 대입하면 x-6=0
∴ x=6
⑴ x=25, y=-18
⑵ x=6, y=2
215 주어진 연립방정식의 해가 무수히 많으려면
= -1
-3
;6@;
=
a+4
-12
3a+12=-12, 3a=-24
∴ a=-8
-8
ax+2y=b-2a
216
[
3x+2y=6
에서 연립방정식의 해가 무수히 많으려면
=
=
;2@;
;3A;
b-2a
6
에서 a=3
=
;2@;
= b-6
6
;3A;
;2@;
6x+2y=1
[
ax-y=2
= 2
-1
;2!;
+
;a^;
에서 b-6=6
∴ b=12
a=3, b=12
⑵ x=-2, y=-3
217
에서 연립방정식의 해가 없으려면
⑶ x=8, y=2
2a=-6
∴ a=-3
-3
218
;[!;
=X,
=Y로 놓으면
;]!;
3X-2Y=8 yy ㉠
[
2X+Y=3 yy ㉡
㉠+㉡_2를 하면 7X=14
∴ X=2
X=2를 ㉡에 대입하면 4+Y=3
∴ Y=-1
이때
=2,
=-1이므로
;[!;
;]!;
1
x=
, y=-1
;2!;
x=
;2!;, y=-1
x+y=12 yy ㉠
219
y+z=-8 yy ㉡
[
z+x=2
yy ㉢
㉠+㉡+㉢ 을 하면 2(x+y+z)=6
∴ x+y+z=3
yy ㉣
㉣-㉠ 을 하면 z=-9
㉣-㉡ 을 하면 x=11
1
㉣-㉢ 을 하면 y=1
x=11, y=1, z=-9
다른 풀이 ㉠-㉡ 을 하면 x-z=20 yy ㉤
㉢, ㉤ 을 연립하여 풀면 x=11, z=-9
226
x-2y=9
[
x+y=3
yy ㉠
yy ㉡
x=11을 ㉠ 에 대입하면 11+y=12
∴ y=1
㉠-㉡을 하면 -3y=6
∴ y=-2
y=-2를 ㉡에 대입하면 x-2=3
∴ x=5
따라서 두 연립방정식의 해는 x=5, y=-2이므로
x=5, y=-2를 ax+by=7, 2ax+3by=6에 각각 대입하면
5a-2b=7
5a-2b=7 yy ㉢
[
10a-6b=6
➡
[
5a-3b=3 yy ㉣
㉢-㉣을 하면 b=4
b=4를 ㉢에 대입하면 5a-8=7
∴ a=3
STEP
2
심화 문제
59쪽~64쪽
∴ a+b=3+4=7
7
220 2xÛ`-y+3+5x=axÛ`-3y+bx-7에서
(2-a)xÛ`+(5-b)x+2y+10=0
이 식이 미지수가 2개인 일차방정식이 되려면
2-a=0, 5-b+0
∴ a=2, b+5
a=2, b+5
221 0.H1x+0.H2y=1.H5에서
x+
y=
;9@;
;9!;
:Á9¢:
∴ x+2y=14
따라서 x, y가 자연수일 때, 주어진 일차방정식의 해는 (2, 6),
2x-y-a=0
2x-y=a yy ㉠
227
[
x+2y=2a
➡
[
x+2y=2a yy ㉡
㉠_2+㉡ 을 하면 5x=4a
∴ x=
a
;5$;
x=
a를 ㉠에 대입하면
a-y=a
∴ y=
;5$;
;5*;
a
;5#;
이때 a+0이므로 x : y=
a :
a=4 : 3
;5$;
;5#;
4 : 3
(4, 5), (6, 4), (8, 3), (10, 2), (12, 1)의 6개이다.
6개
228 a와 b를 서로 바꾸어 놓은 연립방정식
bx+ay=1
[
ax+by=4
의 해가
222
x
y
-3 -2 -1
-4 -
-1
;2%;
0
;2!;
1
2
2
;2&;
x=-1, y=2이므로
[
-a+2b=4
➡
[
-a+2b=4 yy ㉡
-b+2a=1
2a-b=1 yy ㉠
㉠_2+㉡을 하면 3a=6
∴ a=2
따라서 x, y가 절댓값이 4 미만인 정수일 때, 주어진 일차방정식
a=2를 ㉠에 대입하면 4-b=1
∴ b=3
을 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (-1, -1), (1, 2)의 2개이다.
3
5
2개
223 x=p-1, y=-1을 2x+(p-2)y=3에 대입하면
2(p-1)-(p-2)=3
∴ p=3
x=2, y=-1을 qx-2y=8에 대입하면
2q+2=8, 2q=6
∴ q=3
224 x=a+1, y=a-2를 2x-3y=7에 대입하면
2(a+1)-3(a-2)=7
∴ a=1
x=2, y=-1을 5x-by=-2에 대입하면
10+b=-2
∴ b=-12
∴ a-b=1-(-12)=13
225 x, y의 값이 서로 같으므로 y=x
y=x를 주어진 연립방정식에 대입하면
ax-x=4 yy ㉠
[
3x+ax=6 yy ㉡
㉠-㉡ 을 하면 -4x=-2 ∴ x=
, y=
;2!;
;2!;
따라서 x=
, y=
을 ㉠에 대입하면
;2!;
;2!;
즉 처음 연립방정식은
2x+3y=1
[
3x+2y=4
yy ㉢
yy ㉣
㉢_3-㉣_2를 하면 5y=-5
∴ y=-1
y=-1을 ㉢에 대입하면 2x-3=1
∴ x=2
x=2, y=-1
229 현주는 b를 바르게 보았으므로 x=-3, y=2를 bx+3y=9
소연이는 a를 바르게 보았으므로 x=6, y=2를 x-ay=-2에
대입하면 6-2a=-2
즉 처음 연립방정식은
∴ a=4
x-4y=-2 yy ㉠
[
-x+3y=9 yy ㉡
㉠+㉡을 하면 -y=7
∴ y=-7
13
y=-7을 ㉠에 대입하면 x+28=-2
∴ x=-30
x=-30, y=-7
230
ax-y=-6
[
2x-3y=-8
yy ㉠
yy ㉡
y의 절댓값이 x의 절댓값의 2배이므로 |y|=2|x|
이때 y>0이므로 y=2|x|
Ú x¾0일 때, y=2x yy ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
5. 연립방정식 | 21
a-
=4 ∴ a=9
;2!;
;2!;
9
2x-6x=-8, -4x=-8
∴ x=2
∴ p+q=3+3=6
6
에 대입하면 -3b+6=9
∴ b=-1
x=2를 ㉢에 대입하면 y=4
즉 연립방정식의 해가 x=2, y=4이므로
x=2, y=4를 ㉠에 대입하면
2a-4=-6 ∴ a=-1
Û x<0일 때, y=-2x yy ㉣
㉣을 ㉡에 대입하면
2x+6x=-8, 8x=-8
∴ x=-1
x=-1을 ㉣에 대입하면 y=2
즉 연립방정식의 해가 x=-1, y=2이므로
x=-1, y=2를 ㉠에 대입하면
-a-2=-6 ∴ a=4
Ú, Û에서 a의 값이 될 수 있는 수는 -1, 4이므로 그 곱은
-1_4=-4
-4
231
4(x-1)=2x-3y+4
2x+3y=8 yy ㉠
[
6x-4y+3=x-3(y-2)
5x-y=3 yy ㉡
➡
[
㉠+㉡_3을 하면 17x=17
∴ x=1
x=1을 ㉡에 대입하면 5-y=3
∴ y=2
따라서 주어진 연립방정식의 해가 x=1, y=2이므로
x=1, y=2를 x+ay+7=0에 대입하면
1+2a+7=0
∴ a=-4
-4
(2x-3y+4)：(2y-x)=2：1
232
[
ax-3y=-1
➡
[
ax-3y=-1
➡
[
x=p, y=q를 ㉠에 대입하면 4p-7q=-4
yy ㉢
이때 q의 값은 p의 값의 2배보다 2만큼 크므로
q=2p+2
yy ㉣
㉣ 을 ㉢ 에 대입하면 4p-7(2p+2)=-4
∴ p=-1
p=-1을 ㉣ 에 대입하면 q=0
따라서 연립방정식의 해가 x=-1, y=0이므로
x=-1, y=0을 ㉡에 대입하면
-a=-1
∴ a=1
∴ a+p+q=1+(-1)+0=0
0
233
x-2
2
=
x+y
3
y+2=2(x-2)
➡
[
x-2y=6 yy ㉠
2x-y=6 yy ㉡
㉠-㉡_2를 하면 -3x=-6
∴ x=2
x=2를 ㉡에 대입하면 4-y=6
∴ y=-2
즉 연립방정식
의 해는 x=2, y=-2이므로 연
x-2
2
=
x+y
3
y+2=2(x-2)
22 | 정답과 해설
x=-2, y=2를 연립방정식
에 대입하면
ax+by=4
[
bx-ay=6
-2a+2b=4
[
-2b-2a=6
➡
a-b=-2 yy ㉢
[
a+b=-3 yy ㉣
㉢+㉣을 하면 2a=-5
∴ a=-
;2%;
a=-
를 ㉣에 대입하면 -
+b=-3
∴ b=-
;2%;
;2%;
;2!;
∴ ab=-
_
-
{
=
;4%;
;2!;}
;2%;
;4%;
234
0.H2x+1.H3y=1.H1
[
0.0H1x+0.0H2(y-7)=0.0H3
➡
x+
;9@;
:Á9ª:
y=
:Á9¼:
;9Á0;
x+
(y-7)=
;9ª0;
;9£0;
x+6y=5 yy ㉠
x+2y=17 yy ㉡
➡
[
㉠-㉡ 을 하면 4y=-12
∴ y=-3
y=-3을 ㉠에 대입하면 x-18=5
∴ x=23
x=23, y=-3
235
2x+ay=19
2x+ay=19 yy ㉠
[
3x+2y+7=19
3x+2y=12 yy ㉡
➡
[
x : y=2 : 3이므로 3x=2y
yy ㉢
㉢ 을 ㉡에 대입하면 4y=12
∴ y=3
y=3을 ㉢에 대입하면 3x=6
∴ x=2
따라서 방정식의 해가 x=2, y=3이므로
236 방정식
x-y
2
=
2x-3y
5
=1에서
=1
x-y
2
2x-3y
5
=1
x-y=2
yy ㉠
2x-3y=5 yy ㉡
➡
[
㉠_2-㉡을 하면 y=-1
y=-1을 ㉠에 대입하면 x+1=2
∴ x=1
방정식 ax-y=x+by-1=2에서
ax-y=2
ax-y=2 yy ㉢
[
x+by-1=2
➡
[
x+by=3 yy ㉣
x=1, y=-1을 ㉢에 대입하면 a+1=2
∴ a=1
x=1, y=-1을 ㉣에 대입하면 1-b=3
∴ b=-2
∴ 2a-b=2_1-(-2)=4
4
237 주어진 연립방정식의 해가 무수히 많으려면
= -b
-a
= a
-a
;bA;
, 즉
=
;bA;
;aB;
=-1
∴ a=-b
립방정식
의 해는 x=-2, y=2이다.
ax+by=4
[
bx-ay=6
a=-b를 ax-by=a에 대입하면 -bx-by=-b
이때 b+0이므로 양변을 -b로 나누면 x+y=1
1
2x-3y+4=2(2y-x)
4x-7y=-4 yy ㉠
x=2, y=3을 ㉠에 대입하면
ax-3y=-1 yy ㉡
4+3a=19
∴ a=5
5
238
(m+6)x-3y=-1
[
3x+3y=n-3
에서 연립방정식의 해가 없으려면
+
-1
n-3
m+6
3
m+6
3
=
=
-3
3
-3
3
-3
3
+
-1
n-3
에서 m+6=-3
∴ m=-9
에서 n-3+1
∴ n+4
m=-9, n+4
2y=3x
∴ y=
x
;2#;
이때 y+z=
x+2x=
x, z+x=2x+x=3x,
;2#;
;2&;
243
x-2y+z=0
[
3x+2y-3z=0
yy ㉠
yy ㉡
㉠+㉡ 을 하면 4x-2z=0
∴ z=2x
yy ㉢
㉢ 을 ㉠ 에 대입하면 x-2y+2x=0
239 x=1, y=-2를 주어진 연립방정식에 대입하면
ka+2b=-7
[
4a+b=2
이때 이 연립방정식의 해가 없으므로
=
+
;1@;
;4K;
-7
2
∴ k=8
240 주어진 연립방정식의 해가 없으려면
5
b
∴ a=4, b+-10
-2
a
1
-2
=
+
x=-1, y=-3을 ax-2y=b에 대입하면
-a+6=b
이때 a=4이므로 -4+6=b
∴ b=2
∴ a-b=4-2=2
241
1
x+2
1
y-3
=X,
=Y로 놓으면
2X+Y=
X+3Y=2
;2#;
➡
[
4X+2Y=3 yy ㉠
X+3Y=2 yy ㉡
㉠-㉡_4를 하면 -10Y=-5
∴ Y=
;2!;
Y=
을 ㉡에 대입하면 X+
=2
∴ X=
;2#;
;2!;
;2!;
이때
1
x+2
=
,
;2!;
1
y-3
=
;2!;
이므로
x+2=2, y-3=2 ∴ x=0, y=5
x=0, y=5
242
x+2y=7
2y-3z=6
x-3z=5
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
㉠+㉡+㉢ 을 하면 2(x+2y-3z)=18
∴ x+2y-3z=9 yy ㉣
㉣-㉠ 을 하면 -3z=2 ∴ z=-
;3@;
㉣-㉡ 을 하면 x=3
x+y=x+
x=
x
;2%;
;2#;
이므로
x
y+z
+
y
z+x
+
z
x+y
=xÖ(y+z)+yÖ(z+x)+zÖ(x+y)
8
=xÖ
x+
xÖ3x+2xÖ
;2#;
=x_
+
;2#;
x_
1
3x
+2x_
;2&;
2
7x
x
;2%;
2
5x
=
;7@;+;2!;+;5$;
:Á7Á0Á:
=
:Á7Á0Á:
2
STEP
3
고난도 문제
65쪽~66쪽
244
5x-2y=4a
yy ㉠
[
2x+3y=13a yy ㉡
㉠_3+㉡_2를 하면 19x=38a
∴ x=2a
x=2a를 ㉠에 대입하면 10a-2y=4a
-2y=-6a
∴ y=3a
이때 2a와 3a의 최소공배수는 6a이므로
6a=12
∴ a=2
2
245 x=1, y=-21을
ax+by=25
[
dx-y=17
에 대입하면
a-21b=25 yy ㉠
[
d+21=17 yy ㉡
x=8, y=7을
에 대입하면
ax+by=25
[
cx-y=17
8a+7b=25 yy ㉢
[
8c-7=17 yy ㉣
㉠+㉢ _3을 하면 25a=100
∴ a=4
a=4를 ㉠에 대입하면 4-21b=25
∴ b=-1
㉡에서 d=-4
㉣에서 8c=24
∴ c=3
∴ a+b+c+d =4+(-1)+3+(-4)
㉣-㉢ 을 하면 2y=4 ∴ y=2
x=3, y=2, z=-
;3@;
=2
2
5. 연립방정식 | 23
246 Ú x¾y일 때,
249 xy+0이므로 3x-xy+y=0의 양변을 xy로 나누면
x=4x+2y-6
3x+2y=6 yy ㉠
[
y=-3x+6y+27
3x-5y=27 yy ㉡
➡
[
㉠-㉡을 하면 7y=-21
∴ y=-3
y=-3을 ㉠에 대입하면 3x-6=6
3x=12
∴ x=4
Û xy이므로 조건을 만족하지 않는다.
Ú, Û에서 연립방정식의 해는 x=4, y=-3이므로
x-y=4-(-3)=7
7
247
ax-y=3b yy ㉠
[
2ax-y=9b yy ㉡
㉠-㉡을 하면 -ax=-6b
이때 a는 자연수이므로 -a+0
∴ x=
:¤aõ:
x=
를 ㉠ 에 대입하면 6b-y=3b
∴ y=3b
:¤aõ:
또 x, y가 모두 자연수이고 xy=12인 순서쌍 (x, y)는 (1, 12),
(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1)
Ú x=1, y=12일 때,
=1, 3b=12이므로 a=24, b=4
:¤aõ:
∴ a+b=24+4=28
Û x=2, y=6일 때,
=2, 3b=6이므로 a=6, b=2
:¤aõ:
∴ a+b=6+2=8
Ü x=3, y=4일 때, x=4, y=3일 때, x=6, y=2일 때, x=12,
y=1일 때에는 a, b가 자연수일 조건을 만족하지 않는다.
Ú ~ Ü 에서 a+b의 최솟값은 8이다.
8
248 3y+1=3y_3, 2x+1=2Å`_2,
y>1이므로, 3y-1=3yÖ3=3y_
;3!;
2Å`=X, 3´`=Y로 놓으면
X+3Y=35
[
2X-
Y=13
;3!;
➡
[
X+3Y=35 yy ㉠
6X-Y=39 yy ㉡
㉠+㉡_3을 하면 19X=152
∴ X=8
X=8을 ㉠에 대입하면 8+3Y=35
∴ Y=9
이때 2Å`=8=2Ü`이므로 x=3
3´`=9=3Û`이므로 y=2
∴ x+y=3+2=5
24 | 정답과 해설
연립방정식
에서
=X,
=Y로 놓으면
;[!;
;]!;
-1+
=0
∴
;]#;
;[!;
=1
;[!;+;]#;
;[!;+;]#;=
1
[
;[@;-;]%;=-
9
X+3Y=1 yy ㉠
[
2X-5Y=-9 yy ㉡
㉠_2-㉡을 하면 11Y=11
∴ Y=1
Y=1을 ㉠에 대입하면 X+3=1
∴ X=-2
이때
=-2,
=1이므로
;[!;
;]!;
x=-
, y=1
;2!;
x=-
;2!;, y=1
250
x+4y-3z=0 yy ㉠
[
4x-8y+3z=0 yy ㉡
㉠+㉡을 하면 5x-4y=0, 5x=4y
∴ x=
y
;5$;
x=
y를 ㉠ 에 대입하면
y+4y-3z=0
;5$;
;5$;
3z=
y
∴ z=
:ª5¢:
y
;5*;
이때 x：y：z=
y：y：
y=4：5：8이므로
;5$;
;5*;
x=4k, y=5k, z=8k(k는 자연수)라 하면 x, y, z의 최소공배수
는 40k이다.
즉 40k=200이므로 k=5
따라서 x=20, y=25, z=40이므로
x+y+z=20+25+40=85
85
251 xyz+0이므로 세 방정식의 양변을 각각 xy, yz, zx로 나누고
정리하면
;[!;+;]!;=;2!;
;]!;+;z!;=;3!;
;z!;+;[!;=;4!;
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
㉠+㉡+㉢을 하면 2
{;[!;+;]!;+;z!;}
;1!2#;
=
∴
;[!;+;]!;+;z!;=;2!4#;
yy ㉣
㉣-㉠을 하면
;z!;=;2Á4;
∴ z=24
㉣-㉡을 하면
∴ 5x=24
;[!;=;2°4;
㉣-㉢을 하면
;]!;=;2¦4;
∴ 7y=24
5
∴ 5x+7y+z=24+24+24=72
72
6
연립방정식의 활용
259 상품 A를 x개, 상품 B를 y개 판매하였다고 하면
x+y=54
[
{
∴ x=24, y=30
300_
x+
700_
;1°0¼0;}
{
;1£0¼0;}
y=9900
x+y=54
➡
[
5x+7y=330
STEP
1
실력 문제
69쪽~71쪽
따라서 상품 A는 24개 판매하였다.
24개
252 처음 수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자를 y라 하면
260 전체 일의 양을 1이라 하고, 서영이와 정훈이가 하루에 할 수 있
y=x+5
[
10y+x=2(10x+y)+18
19x-8y=-18
y=x+5
➡
[
∴ x=2, y=7
따라서 처음 수는 27이다.
253 슬비네 반 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면
x+y=50
[
65x+60y=62_50
13x+12y=620
x+y=50
➡
[
∴ x=20, y=30
따라서 슬비네 반 남학생은 20명, 여학생은 30명이다.
는 일의 양을 각각 x, y라 하면
6x+6y=1
[
9x+4y=1
∴ x=
, y=
;1Á5;
;1Á0;
27
따라서 서영이가 혼자서 이 일을 끝마치려면 15일이 걸린다.
15일
261 버스를 타고 간 거리를 x`km, 걸어간 거리를 y`km라 하면
x+y=183
[
+
=4
;3};
;6Ó0;
➡
x+y=183
x+20y=240
[
∴ x=180, y=3
남학생：20명, 여학생：30명
따라서 버스를 타고 간 거리는 180`km이다.
180 km
254 현재 아버지의 나이를 x세, 아들의 나이를 y세라 하면
262 올라간 거리를 x`km, 내려온 거리를 y`km라 하면
x-y=28
[
x+10=2(y+10)+4
➡
x-y=28
[
x-2y=14
∴ x=42, y=14
따라서 현재 아버지의 나이는 42세, 아들의 나이는 14세이다.
아버지：42세, 아들：14세
255 어른 1명의 입장료를 x원, 어린이 1명의 입장료를 y원이라 하면
y=x+3
[
;2{;
+
;3};
=
;2&;
➡
y=x+3
3x+2y=21
[
∴ x=3, y=6
따라서 올라간 거리는 3`km, 내려온 거리는 6`km이다.
올라간 거리：3`km, 내려온 거리：6`km
4x+10y=10000
2x+5y=5000
[
5y=3x
➡
[
5y=3x
∴ x=1000, y=600
까지 가는 데 걸린 시간을 y분이라 하면
263 형이 학교 정문까지 가는 데 걸린 시간을 x분, 동생이 학교 정문
따라서 어른 1명의 입장료는 1000원, 어린이 1명의 입장료는 600
원이다.
어른 1명：1000원, 어린이 1명：600원
256 노새의 짐을 x자루, 당나귀의 짐을 y자루라 하면
x+1=2(y-1)
x-2y=-3
[
x-1=y+1
➡
[
x-y=2
∴ x=7, y=5
따라서 노새의 짐은 7자루, 당나귀의 짐은 5자루이다.
노새：7자루, 당나귀：5자루
x=y+20
[
50x=150y
x=y+20
➡
[
x=3y
∴ x=30, y=10
따라서 동생이 학교 정문까지 가는 데 걸린 시간은 10분이다.
10분
264 민호의 속력을 분속 x`m, 수지의 속력을 분속 y`m라 하면
10x+10y=2000
x+y=200
[
50x-50y=2000
[
x-y=40
➡
∴ x=120, y=80
따라서 민호의 속력은 분속 120`m, 수지의 속력은 분속 80`m이다.
257 혜지가 이긴 횟수를 x회, 진 횟수를 y회라 하면 진욱이가 이긴 횟
민호：분속 120 m, 수지：분속 80 m
수는 y회, 진 횟수는 x회이므로
3x-2y=30
3y-2x=10
[
∴ x=22, y=18
따라서 혜지가 이긴 횟수는 22회이다.
22회
258 작년의 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면
x+y=1000
[
x-
;10%0;
;1Á0¼0;
y=-10
➡
x+y=1000
[
x-2y=-200
∴ x=600, y=400
따라서 작년의 남학생 수는 600명이므로 올해의 남학생 수는
265 정지한 물에서의 배의 속력을 시속 x`km, 강물의 속력을 시속
y`km라 하면
3(x-y)=60
x-y=20
[
2(x+y)=60
[
x+y=30
➡
∴ x=25, y=5
따라서 정지한 물에서의 배의 속력은 시속 25`km이다.
시속 25`km
266 기차의 길이를 x`m, 기차의 속력을 초속 y`m라 하면
x+600=30y
x+1600=70y
[
∴ x=150, y=25
1+
{
;10%0;}
_600=630(명)
630명
따라서 기차의 속력은 초속 25`m이다.
초속 25`m
6. 연립방정식의 활용 | 25
267 4`%의 소금물의 양을 x`g, 7`%의 소금물의 양을 y`g이라 하면
6+x+4+y=15
x+y=300
[
;10$0;
x+
y=
;10&0;
;10%0;
_300
x+y=300
➡
[
4x+7y=1500
∴ x=200, y=100
3000+800x+1600+300y=7100
8x+3y=25
x+y=5
➡
[
[
∴ x=2, y=3
따라서 은호가 구입한 형광펜은 2자루이다.
2자루
따라서 4`%의 소금물은 200`g, 7`%의 소금물은 100`g 섞어야 한
다.
4 %의 소금물：200 g, 7 %의 소금물：100 g
273 천안역에서 승차한 승객을 x명, 하차한 승객을 y명이라 하면
천안역에서 목포역까지 가는 표를 끊은 승객은 x명,
268 식품 A를 x`g, 식품 B를 y`g 섭취한다고 하면
;1£0¼0;
[
;1ª0¼0;
x+
;1Á0¼0;
y=45
x+
;1¢0¼0;
y=40
∴ x=140, y=30
➡
3x+y=450
[
x+2y=200
따라서 식품 A는 140`g, 식품 B는 30`g 섭취해야 한다.
식품 A：140 g, 식품 B：30 g
서울역에서 천안역까지 가는 표를 끊은 승객은 y명,
서울역에서 목포역까지 가는 표를 끊은 승객은 (70-y)명이므로
70+x-y=62
[
5x+2y+6(70-y)=420
[
5x-4y=0
x-y=-8
➡
∴ x=32, y=40
따라서 천안역에서 승차한 승객은 32명, 하차한 승객은 40명이다.
승차한 승객：32명, 하차한 승객：40명
274 합격자의 평균 점수를 x점, 불합격자의 평균 점수를 y점이라
하면
(전체 지원자의 평균 점수)=
10x+50y
60
=
x+5y
6
(점)이므로
x+5y
6
[
3y=2x+10
+1=x-5
5x-5y=36
➡
[
2x-3y=-10
STEP
2
심화 문제
72쪽~76쪽
∴ x=
=31.6, y=
=24.4
;:!5%:*;
;:!5@:@;
269 처음 수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자를 y라 하면
10x+y=7(x+y)
[
10y+x=(10x+y)-27
➡
x-2y=0
x-y=3
[
∴ x=6, y=3
따라서 처음 수는 63이므로 바꾼 수는 36이다.
270 큰 스님의 수를 x명, 작은 스님의 수를 y명이라 하면
x+y=100
[
3x+
y=100
;3!;
➡
x+y=100
9x+y=300
[
따라서 작은 스님은 모두 75명이다.
따라서 합격자의 최저 점수는 31.6-5=26.6(점)
26.6점
275 합금에 금이 x`g, 구리가 y`g 섞여 있다고 하면
x+y=54
[
;1Á9;
x+
y=4
;8!;
x+y=54
➡
[
8x+19y=608
∴ x=38, y=16
따라서 이 합금에는 금이 38`g 섞여 있다.
38`g
36
∴ x=25, y=75
꼭지 A, B로 1분 동안 채울 수 있는 물의 양을 각각 x, y라 하면
276 물탱크에 물을 가득 채웠을 때의 물의 양을 1이라 하고, 두 수도
75명
[
20x+50y=1
30x+20(x+y)=1
➡
50x+20y=1
[
20x+50y=1
271 제품 A를 x개, 제품 B를 y개 만들었다고 하면
∴ x=
, y=
;7Á0;
;7Á0;
6x+5y=70
[
4x+3y=44
∴ x=5, y=8
따라서 제품 A를 5개, 제품 B를 8개 만들었으므로 총 비용은
5_8+8_6=88(만 원)
88만 원
따라서 수도꼭지 B로만 물탱크에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시
간은 70분이다.
70분
277 전체 일의 양을 1이라 하고, 갑과 을이 하루에 할 수 있는 일의
272 구입한 볼펜은 3000Ö500=6(자루)
형광펜을 x자루, 연필을 y자루 구입했다고 하면
양을 각각 x, y라 하면
3x+3y=1
[
x+9y=1
∴ x=
, y=
;4!;
;1Á2;
단가 (원)
수량 (자루)
금액 (원)
즉 갑과 을이 하루에 할 수 있는 일의 양은 각각
,
이므로 을
;4!;
;1Á2;
이 혼자 6일 동안 일한 후 나머지를 갑이 혼자 k일 동안 일하여 모
두 마쳤다고 하면
_6+
_k=1
∴ k=2
;1Á2;
;4!;
따라서 갑이 혼자 일한 날은 2일이다.
2일
품목
볼펜
형광펜
사인펜
연필
500
800
400
300
합계
6
x
4
y
15
3000
800x
1600
300y
7100
26 | 정답과 해설
278 걸어간 거리를 x`km, 버스를 타고 이동한 거리를 y`km라 하면
따라서 소금물 A의 농도는 4`%, 소금물 B의 농도는 10`%이다.
소금물 A：4`%, 소금물 B：10`%
x+y=20
[
;6{;
+
+
;6ª0;
;6Õ0;
=
;6$0);
x+y=20
➡
[
10x+y=38
∴ x=2, y=18
따라서 버스를 타고 이동한 거리는 18`km이다.
18`km
285 3`%의 소금물의 양을 x`g, 6`%의 소금물의 양을 y`g이라 하면
279 학교에서 미술관까지의 거리를 x`km, 가는 데 걸리는 예상 시
더 넣은 물의 양은
x`g이므로
;2!;
따라서 학교에서 미술관까지의 거리는 55`km, 가는 데 걸리는 예
따라서 6`%의 소금물은 225`g 섞었다.
225 g
간을 y시간이라 하면
;6Ó0;
[
;5Ó0;
=y-
;6°0;
=y+
;6¤0;
상 시간은 1시간이다.
x=60y-5
x=50y+5
[
➡
∴ x=55, y=1
학교에서 미술관까지의 거리：55 km, 예상 시간：1시간
280 동현이의 속력을 분속 x`m, 지나의 속력을 분속 y`m라 하면
x : y=600 : 500
5x-6y=0
[
15x+15y=1650
x+y=110
따라서 지나의 속력은 분속 50`m이므로 이 호수를 지나가 혼자서
∴ x=60, y=50
➡
[
x=450
;2!;
x+y+
[
;10#0;
x+
y=
;10^0;
;10$0;
_450
3x+2y=900
➡
[
x+2y=600
∴ x=150, y=225
286 5`%의 소금물 x`g과 10`%의 소금물 y`g을 섞었을 때 7`%의 소
금물이 만들어진다고 하면
;10%0;
x+
y=
;1Á0¼0;
;10&0;
(x+y)
∴ x=
y
yy ㉠
;2#;
한 바퀴 도는 데 걸리는 시간은
=33(분)
:Á;5^0%:);
한편 두 소금물의 양을 바꾸어 넣었을 때 만들어진 소금물의 농도
33분
를 p`%라 하면
281 정지한 물에서의 보트의 속력을 시속 x`km, 강물의 속력을 시
속 y`km라 하면
3(x-y)-y=20
[
x+y=20
➡
3x-4y=20
x+y=20
[
∴ x=
:Á;7)
):);
, y=
:¢7¼:
따라서 정지한 물에서의 보트의 속력은 시속
`km이다.
:Á;7)
):);
y+
;10%0;
;1Á0¼0;
x=
;10P0;
(x+y)
∴ p(x+y)=10x+5y
yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
p
y
y
}
+
{;2#;
=10_
y+5y
;2#;
py=20y
∴ p=8 (∵ y+0)
;2%;
시속 :Á;7)
):); km
따라서 두 소금물의 양을 바꾸어 넣었을 때 만들어진 소금물의 농
도는 8`%이다.
8 %
282 양초 A의 길이를 x cm, 양초 B의 길이를 y cm라 하면 양초 A,
x
10
B가 타는 속력은 각각 분속
cm이므로
cm,
y
15
x=y+8
[
x-
x
10
_5=y-
_5
y
15
➡
x=y+8
3x=4y
[
∴ x=32, y=24
따라서 양초 B의 길이는 24 cm이다.
24 cm
283 4 %의 소금물의 양을 x g, 더 넣어야 하는 소금의 양을 y g이
라 하면
x+y=300
[
x+y=
;10$0;
;1ª0¼0;
∴ x=250, y=50
x+y=300
➡
_300
[
x+25y=1500
287 작년에 A 기숙사에 있던 학생 수를 x명, B 기숙사에 있던 학생
수를 y명이라 하면
;1¦0¼0;x+
[
;1£0¼0;
x+
;1¢0¼0;y=580
y=420
;1¤0¼0;
∴`x=600, y=400
➡
7x+4y=5800
[
x+2y=1400
따라서 작년에 A 기숙사에 있던 학생 수는 600명이다. 600명
따라서 더 넣어야 하는 소금의 양은 50 g이다.
50 g
284 소금물 A의 농도를 x`%, 소금물 B의 농도를 y`%라 하면
_100+
_200=
_300
_200+
_100=
_300
;10*0;
;10^0;
➡
x+2y=24
[
2x+y=18
;10{0;
[
;10{0;
;10}0;
;10}0;
∴ x=4, y=10
288 필요한 합금 A의 양을 x`g, 합금 B의 양을 y`g이라 하면
x+
y=420_
;2!;
[
;2!;
;4#;
;4!;
x+
y=420_
➡
;3@;
;3!;
2x+3y=1120
[
2x+y=560
∴ x=140, y=280
따라서 필요한 합금 A의 양은 140`g, 합금 B의 양은 280`g이다.
합금 A：140 g, 합금 B：280 g
6. 연립방정식의 활용 | 27
STEP
3
고난도 문제
77쪽~78쪽
293 기계 A 1대가 1분 동안 만드는 물건의 개수를 x개, 기계 B 1대
289 처음 수의 백의 자리의 숫자를 x, 십의 자리의 숫자를 y, 일의 자
리의 숫자를 z라 하면
x+y+z=9
y+z=2x
[
100z+10y+x=(100x+10y+z)+99
x+y+z=9
yy ㉠
➡
2x-y-z=0 yy ㉡
[
x-z=-1
㉠+㉡을 하면 3x=9
yy ㉢
∴ x=3
x=3을 ㉢에 대입하면 3-z=-1
∴ z=4
x=3, z=4를 ㉠에 대입하면 3+y+4=9
∴ y=2
가 1분 동안 만드는 물건의 개수를 y개라 하면
5(x+4y)=100
x+4y=20
[
4(2x+3y)=100
[
2x+3y=25
➡
∴ x=8, y=3
이때 기계 A 3대와 기계 B 2대를 동시에 사용하여 물건 120개를
만드는 데 걸리는 시간을 k분이라 하면
(3_8+2_3)k=120
30k=120
∴ k=4
따라서 걸리는 시간은 4분이다.
4분
294 합격자 중 남자의 수는 350_
=200(명),
;7$;
여자의 수는 350_
=150(명)
;7#;
따라서 처음 수의 각 자리의 숫자의 곱은 3_2_4=24 24
전체 응시자 수를 x명, 불합격자 중 남자의 수를 y명이라 하면
290 목수 1명, 미장공 1명, 철근공 1명의 1일 임금을 각각 x만 원, y
만 원, z만 원이라 하면
5x+3y+2z=78
6x+y+5z=91
[
4x+5y+2z=89
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
㉠_5-㉡_2를 하면 13x+13y=208
∴ x+y=16
yy ㉣
㉠-㉢을 하면 x-2y=-11
yy ㉤
㉣, ㉤을 연립하여 풀면 x=7, y=9
x=7, y=9를 ㉠에 대입하면
35+27+2z=78, 2z=16
∴ z=8
따라서 받을 총 임금은
5_7+4_9+3_8=95(만 원)
95만 원
291 찬성한 사람의 수를 x명, 반대한 사람의 수를 y명이라 하면
x+2=y-2
[
y+1=
(x+y)
;3@;
∴ x=7, y=11
x-y=-4
➡
[
2x-y=3
따라서 찬성한 사람의 수는 7명, 반대한 사람의 수는 11명이다.
합격자 수 (명)
불합격자 수 (명)
응시자 수 (명)
남자
200
y
x
;1¦2;
여자
150
y
;3@;
x
;1°2;
200+y=
x
;1¦2;
[
150+
y=
x
;1°2;
;3@;
7x-12y=2400
➡
[
5x-8y=1800
∴ x=600, y=150
따라서 전체 응시자 수는 600명이다.
600명
295 구매한 식품 A의 양을 x`g, 식품 B의 양을 y`g이라 하면
0.4
100
[
;1#0*0);
x+
y=13.6
0.8
100
x :
;1(0%0);
y=1 : 3
∴`x=1000, y=1200
x+2y=3400
➡
[
6x-5y=0
따라서 구매한 두 식품의 열량의 합은
_1000+
_1200=560`(kcal)
;1£0ª0;
;1ª0¼0;
560 kcal
찬성한 사람：7명, 반대한 사람：11명
296 전체 일의 양을 1이라 하면 소희는 하루에
만큼, 유이는 하루
;[!;
292 처음에 8분짜리 x곡과 6분짜리 y곡을 연주하기로 계획했다고
하면 곡과 곡 사이에 1분 동안의 쉬는 시간이 있으므로 총 쉬는 시
에
만큼 일을 하므로
;]!;
간은 (x+y-1)분이다.
처음 계획대로 연주하는 데 걸린 시간은 105분이므로
8x+6y+(x+y-1)=105
∴ 9x+7y=106
yy ㉠
곡의 수가 바뀌어서 연주하는 데 걸린 시간은 117분이므로
6x+8y+(x+y-1)=117
∴ 7x+9y=118
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=4, y=10
;[!;+;]!;=;8!4#;
[
5
{;[!;+;]!;}+;[@;+;]!;=
;[!;+;]!;=;8!4#;
➡ [
1
;[&;+;]^;=
1
=X,
=Y라 하면
;[!;
;]!;
+
X
[
7X
Y
=;8!4#;
6Y
1
=
+
∴ `X=
, Y=
;1Á4;
;1Á2;
이때
=
,
;1Á4;
;]!;
=
;[!;
;1Á2;
이므로 x=14, y=12
따라서 처음 계획했던 6분짜리 곡은 모두 10곡이다. 10곡
∴`x+y=14+12=26
26
28 | 정답과 해설
7
일차함수 ⑴
STEP
1
실력 문제
297 ① y=3000x
② x+y=24
③ y=250-x
④ y=2x
수가 아니다.
∴ y=24-x
㉣ y=5(-x+4)
∴ y=-5x+20
㉤ xÛ`의 차수가 2이므로 일차함수가 아니다.
㉥ 2x+y=2(x-3)에서 y=-6이므로 일차함수가 아니다.
따라서 y가 x에 대한 일차함수인 것은 ㉡, ㉣이다.
㉡, ㉣
81쪽~84쪽
303 ① y=pxÛ`이므로 일차함수가 아니다.
② y=5x
③ y=2(x+5)
④ xy=3000에서 y= 3000
x
∴ y=2x+10
⑤ y=2x
이므로 일차함수가 아니다.
⑤ x=4일 때, 4보다 큰 자연수 y는 5, 6, 7, y이므로 y는 x의 함
따라서 y가 x에 대한 일차함수가 아닌 것은 ①, ④이다. ①, ④
따라서 y가 x의 함수가 아닌 것은 ⑤이다.
⑤
298 ㉠ y=3x
㉡ 자연수 x의 값이 정해짐에 따라 x보다 작은 소수의 개수 y의
304 f(1)=-2에서 a+b=-2 yy ㉠
yy ㉡
f(3)=6에서 3a+b=6
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=-6
따라서 f(x)=4x-6이므로 f(2)=8-6=2, f(0)=-6
값이 하나로 정해지므로 y는 x의 함수이다.
∴ f(2)+f(0)=2+(-6)=-4
-4
㉢ x+y=100
∴ y=100-x
㉣ x=3일 때, 절댓값이 3인 정수는 -3, 3으로 y의 값이 2개 정
305 y=
;2!;
x-3의 그래프를 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한
해지므로 y는 x의 함수가 아니다.
그래프가 나타내는 일차함수의 식은
㉤ 몸무게가 x`kg인 사람의 키 y`cm가 2개 이상 정해지는 경우
도 있으므로 y는 x의 함수가 아니다.
㉥ y=x-1
따라서 y가 x의 함수인 것은 ㉠, ㉡, ㉢, ㉥이다. ㉠, ㉡, ㉢, ㉥
y=
x-3-1, 즉 y=
x-4
;2!;
y=
x-4에 x=4, y=a를 대입하면
;2!;
;2!;
299 f(a)=1에서
2a-5
3
=1
2a-5=3, 2a=8
∴ a=4
f(1)=b에서
2_1-5
3
=b
-3=3b
∴ b=-1
∴ a+b=4+(-1)=3
300 f(2)=-3_2=-6, f(-1)=-3_(-1)=3이므로
f(2)+f(-1)=-6+3=-3
∴ g( f(2)+f(-1))=g(-3)=
=-1
-1
3
-3
301 ㉠ 1보다 작은 소수는 없으므로 f(1)=0
㉡ 2보다 작은 소수는 없으므로 f(2)=0
㉢ 5보다 작은 소수는 2, 3의 2개이므로 f(5)=2
8보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7의 4개이므로 f(8)=4
∴ f(5)+f(8)=2+4=6
㉣ 4보다 작은 소수는 2, 3의 2개이므로 f(4)=2
7보다 작은 소수는 2, 3, 5의 3개이므로 f(7)=3
∴ f(4)-f(7)=2-3=-1
따라서 옳지 않은 것은 ㉡, ㉢이다.
㉡, ㉢
a=
;2!;_
4-4=-2
-2
306 y=ax+4의 그래프가 점 (3, -1)을 지나므로
-1=3a+4
∴ a=-
;3%;
y=-
x+9의 그래프가 점 (k, -k)를 지나므로
;3%;
3
-k=-
k+9,
k=9
∴ k=
;3%;
;3@;
:ª2¦:
:ª2¦:
307 y=-3x+8+b의 그래프가 점 (4, -1)을 지나므로
∴ b=3
-1=-12+8+b
y=-3x+11의 그래프가 점 (a-1, -a)를 지나므로
-a=-3(a-1)+11, -a=-3a+3+11
2a=14
∴ a=7
∴ a+b=7+3=10
10
308 y=
;3@;
x의 그래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그래프
가 나타내는 일차함수의 식은 y=
x+4
;3@;
;3@;
y=
x+4에 y=0을 대입하면 0=
x+4
∴ x=-6
;3@;
;3@;
y=
x+4에 x=0을 대입하면 y=4
302 ㉠ 3y+2=0에서 y=-
이므로 일차함수가 아니다.
;3@;
㉢ 분모에 x가 있으므로 일차함수가 아니다.
따라서 a=-6, b=4이므로
b-a=4-( -6)=10
10
7. 일차함수 ⑴ | 29
309 주어진 그래프에서 y절편이 8이므로 k=8
315 f(b)-4b=f(a)-4a에서 f(b)-f(a)=4(b-a)
따라서 점 A의 좌표는 A(10, 0)이다.
A(10, 0)
∴
=(기울기)=4
4
y=-
x+8에 y=0을 대입하면
0=-
x+8
∴ x=10
;5$;
;5$;
310 y=2x+6에 y=0을 대입하면
∴ x=-3
0=2x+6
즉 y=ax+7의 그래프의 x절편이 -3이므로
y=ax+7에 x=-3, y=0을 대입하면
0=-3a+7
∴ a=
;3&;
∴
f(b)-f(a)
b-a
=4
f(2)-f(-2)
2-(-2)
즉 일차함수 y=f(x)의 그래프의 기울기는 4이다.
316 두 점 (1, -2), (2, 3)을 지나는 직선의 기울기는
이때 y=
x+7의 그래프와 y=-
x+b의 그래프가 y축 위에
;3!;
서 만나므로 y절편이 같다.
=5, 2k-3=5k-15
즉 y=
x+7의 그래프의 y절편이 7이므로 b=7
-3k=-12
∴ k=4
4
;3&;
;3&;
이때 두 점 (2,`3), (k-1,`2k)를 지나는 직선의 기울기도 5이
3-(-2)
2-1
=5
므로
2k-3
(k-1)-2
a=
;3&;, b=7
311 y=ax-b에 x=3, y=0을 대입하면
3a-b=0
yy ㉠
y=ax-b에 x=-1, y=-2를 대입하면
-2=-a-b
∴ a+b=2
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=
, b=
;2!;
;2#;
∴ b-a=
-
;2#;
;2!;
=1
312 y=ax-5에 x=3, y=-3을 대입하면
-3=3a-5, 3a=2
∴ a=
;3@;
즉 (기울기)=
(y의 값의 증가량)
7-(-2)
=
;3@;
이므로
313 (기울기)=
(y의 값의 증가량)
(x의 값의 증가량)
이므로
a=
-1-7
2-(-2)
=-2
7=4+b
∴ b=3
∴ a+b=-2+3=1
이때 y=-2x+b의 그래프가 점 (-2, 7)을 지나므로
317 y=
;3%;
x-5의 그래프의 x절편은 3, y절편은 -5이므로
A(3, 0), B(0, -5)
C(0, 3)
y=-x+3의 그래프의 x절편은 3, y절편은 3이므로
∴ △ACB=
;2!;
_8_3=12
12
y
2
O
x
1
318 y=ax+2에서 a>0이므로 그래프를
그리면 오른쪽 그림과 같다.
이때 색칠한 부분의 넓이가 8이므로
A
OAÓ_2=8
∴ OAÓ=8
;2!;_
즉 점 A의 좌표가 (-8, 0)이므로 y=ax+2에 x=-8, y=0을
0=-8a+2
∴ a=
;4!;
;4!;
319 y=2x+4의 그래프의 x절편은 -2,
y절편은 4이고, y=ax+4(a<0)의
y
y=2x+4
1
그래프의 y절편은 4이므로 두 일차
함수의 그래프를 그리면 오른쪽 그
A4
B
-2
O
C
x
y=ax+4
(y의 값의 증가량)=6
6
대입하면
314 y=-
;4#;
x+6의 그래프의 기울기는 -
이므로 x의 값이 4만
;4#;
림과 같다.
큼 증가할 때 y의 값은 -3만큼 증가한다.
∴ p=-3
이때 △ABC의 넓이가 28이므로
;2!;_
BCÓ_4=28
∴ BCÓ=14
y=-
x+6에 x=0을 대입하면 y=6
∴ r=6
따라서 y=ax+4에 x=12, y=0을 대입하면
∴ p-q+r=-3-8+6=-5
-5
0=12a+4
∴ a=-
;3!;
-
;3!;
즉 OCÓ=BCÓ-OBÓ=14-2=12이므로 점 C의 좌표는 (12, 0)
이다.
y=-
x+6에 y=0을 대입하면
0=-
x+6, x=8
∴ q=8
;4#;
;4#;
;4#;
30 | 정답과 해설
STEP
2
심화 문제
85쪽~88쪽
⑤ 0+-3_7+7
따라서 일차함수 y=-3x+7의 그래프 위에 있는 점은 ①이다.
①
320 ① x=6일 때, 6의 소인수는 2, 3으로 y의 값이 2개 정해진다.
따라서 y는 x의 함수가 아니다.
③ x의 값이 정해짐에 따라 y의 값이 하나씩 정해지므로 y는 x의
② y=xÛ`
함수이다.
④ y=2px
⑤ y=
_100
∴ y=
;20{0;
x
;2!;
따라서 y가 x의 함수가 아닌 것은 ①이다.
①
321 f(1)=5에서 a+2+1+a=5
∴ a=1, 즉 f(x)=2x+3
2a=2
따라서 f(0)=3, f(k)=2k+3이므로
f(0)=3f(k)에서
3=3(2k+3), 3=6k+9
-6k=6
∴ k=-1
322 f(a)=3a, f(a-1)=3(a-1)=3a-3,
g
{;2!;}
;2!;
=6Ö
=6_2=12이므로
f(a)+f(a-1)+g
=17에서
{;2!;}
3a+(3a-3)+12=17
6a=8
∴ a=
;3$;
323 f(2)=
;2!;
_2=1, f(a+b)=
(a+b)이므로
;2!;
f(2)=-f(a+b)에서
1=-
(a+b)
∴ a+b=-2
;2!;
∴ f(a)+f(b)=
a+
b=
(a+b)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
324 ① f(8)=1, f(15)=1
③ f(25)=4, f(40)=5, f(65)=2
∴ f(8)=f(15)
∴ f(25)+f(40)>f(65)
④ f(14n)=0, f(21n)=0
∴ f(14n)=f(21n)
⑤ 7n-3=7(n-1)+4이므로 f(7n-3)=4
이 식이 일차함수가 되려면 xÛ`의 계수는 0이고, x의 계수는 0이 아
a=0, b+3
326 y=x(ax+3)-bx+8에서
y=axÛ`+(3-b)x+8
니어야 한다.
따라서 a=0, 3-b+0이므로
a=0, b+3
327 f(2)=6a-a+1=-4이므로
∴ a=-1
5a=-5
∴ `f(x)=-3x+2
따라서 3f(-2)+f(5)=f(b)에서
3_8+(-13)=-3b+2
3b=-9
∴ b=-3
-1
-3
328 y=ax-2+b의 그래프가 두 점 (5, 2), (-1, 5)를 지나므로
2=5a-2+b
5a+b=4
[
5=-a-2+b
-a+b=7
➡
[
∴ a=-
, b=
;2!;
:Á2£:
∴ ab=-
_
;2!;
:Á2£:
=-
:Á4£:
-
:Á4£:
;3$;
329 y=-
;2A;
x+1의 그래프를 y축의 방향으로 2b만큼 평행이동한
그래프가 나타내는 일차함수의 식은
y=-
x+1+2b
;2A;
이 식에 x=2, y=0을 대입하면
0=-a+1+2b
∴ a=1+2b
yy ㉠
y=bx-1의 그래프를 y축의 방향으로 a만큼 평행이동한 그래프
가 나타내는 일차함수의 식은
이 식에 ㉠을 대입하면
y=bx-1+(1+2b)=bx+2b
즉 y=bx+2b에 y=0을 대입하면
0=bx+2b, -bx=2b
∴ x=-2
따라서 구하는 x절편은 -2이다.
-2
=
_(-2)=-1
-1
y=bx-1+a
이때 f(7n+4)=4이므로
f(7n-3)=f(7n+4)
따라서 옳지 않은 것은 ③, ⑤이다.
330 y=
x+
에 x=-1, y=0을 대입하면
;cA;
;cB;
③, ⑤
0=-
+
;cB;
;cA;
∴ a=b
yy ㉠
325 y=-3x+k에 x=4, y=-5를 대입하면
-5=-12+k
∴ k=7
즉 y=-3x+7이므로
① 10=-3_(-1)+7
② 0+-3_0+7
③ 8+-3_0+7
④ 13+-3_2+7
y=
x+
에 x=0, y=-3을 대입하면
;cA;
;cB;
-3=
;cB;
∴ b=-3c
yy ㉡
㉠, ㉡에서 a=b=-3c이므로
b-c
a+c
=
-3c-c
-3c+c
=
-4c
-2c
=2
2
7. 일차함수 ⑴ | 31
336 y=-3x+3, y=-3x-3,
y=3x+3, y=3x-3의 그래프로 둘
러싸인 도형은 오른쪽 그림과 같은 마
름모이다.
따라서 구하는 넓이는
_2_6=6
;2!;
y
3
y=3x+3
y=3x-3
O-1
1
x
-3
y=-3x+3
y=-3x-3
6
p=18, q=3
STEP
3
고난도 문제
89쪽~90쪽
337 f(x+3)=
f(x)-1
f(x)+1
에서
Ú x=8을 양변에 대입하면
f(11)=
f(8)-1
f(8)+1
, 11=
f(8)-1
f(8)+1
11f(8)+11=f(8)-1
10f(8)=-12
∴ f(8)=-
;5^;
Û x=5를 양변에 대입하면
f(8)=
f(5)-1
f(5)+1
, -
=
;5^;
f(5)-1
f(5)+1
6f(5)+6=-5f(5)+5
11f(5)=-1
∴ f(5)=-
;1Á1;
Ü x=2를 양변에 대입하면
f(5)=
f(2)-1
f(2)+1
, -
=
;1Á1;
f(2)-1
f(2)+1
f(2)+1=-11f(2)+11
12f(2)=10
∴ f(2)=
;6%;
Ý x=11을 양변에 대입하면
f(14)=
f(11)-1
f(11)+1
=
11-1
11+1
=
;1!2);=;6%;
Þ x=14를 양변에 대입하면
331 y=-3x+p의 그래프의 x절편은
, y절편은 p이므로
;3P;
y=
x+q의 그래프의 x절편은 -2q, y절편은 q이므로
;2!;
A(0, p), D
, 0
}
{;3P;
B(0, q), C(-2q, 0)
ABÓ`: BOÓ=5 : 1이므로
(p-q) : q=5 : 1
p-q=5q
∴ p=6q
yy ㉠
CDÓ=12이므로
;3P;
-(-2q)=12
∴
+2q=12
yy ㉡
;3P;
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면
p=18, q=3
332 y=ax+1의 그래프가 두 점 (-1, k+1), (4, k)를 지나므로
a=(기울기)=
k-(k+1)
4-(-1)
=-
;5!;
즉 y=-
x+1에 x=4, y=k를 대입하면
;5!;
k=-
_4+1=
;5!;
;5!;
∴ a-k=-
-
=-
;5!;
;5!;
;5@;
-
;5@;
333 f(p)-f(q)=2p-2q에서
f(p)-f(q)
p-q
=2
즉 일차함수 y=f(x)의 그래프의 기울기는 2이고,
두 점 (3, -6),`(-1,`c)를 지나므로
c-(-6)
-1-3
=2, c+6=-8
∴ c=-14
-14
334 (기울기)=a=
5-3
1-(-1)
y=x+b의 그래프가 점 (-1, 3)을 지나므로
=1
3=-1+b
∴ b=4
y=x+4의 그래프가 점 (c, 2c)를 지나므로
2c=c+4
∴ c=4
∴ a+b-c=1+4-4=1
1
f(17)=
f(14)-1
f(14)+1
=
-1
+1
;6%;
;6%;
-
;6!;
=
:Á6Á:
=-
;1Á1;
335 두 일차함수 y=ax+b, y=-x+6의 그래프의 기울기가 서로
같으므로 a=-1
즉 y=ax+b의 그래프의 기울기는 -1, x절편은 3이므로
y=-x+b에 x=3, y=0을 대입하면
0=-3+b
∴ b=3
즉 `f(2)=
, `f(5)=-
, `f(8)=-
, `f(11)=11,
;5^;
f(14)=
, `f(17)=-
, y이므로 x의 값을 4로 나누어 나머
;6%;
;6%;
;1Á1;
;1Á1;
지가 2, 1, 0, 3인 경우 함숫값은
, -
, -
, 11의 순서로 반
;6%;
;1Á1;
;5^;
따라서 y=-x+3의 그래프의 y절편은 3이므로 구하는 도형의
복된다.
따라서 1205를 4로 나눈 나머지는 1이므로
:ª2¦:
f(1205)=-
;1Á1;
-
;1Á1;
넓이는
_6_6-
_3_3=
;2!;
;2!;
:ª2¦:
32 | 정답과 해설
339 f(m)+m=n+f(n)에서 f(m)-f(n)=n-m
-a+b>0
∴ `a-b<0
338 일차함수 y=2mx-m+3이 -2ÉxÉ2에서 y의 값이 항상
양수가 되려면 x=-2, x=2일 때의 y의 값이 각각 양수이어야
Ü CAÓ의 기울기는
=1이므로 x의 값이 1만큼 증
17-5
30-18
=
;1!2@;
y=-4m-m+3>0, -5m>-3
∴ m<
;5#;
(28, 15), (29, 16), (30, 17)의 13개
한다.
x=-2일 때,
x=2일 때,
y=4m-m+3>0, 3m>-3
∴ m>-1
한편 y=2mx-m+3이 일차함수이므로 m+0
따라서 구하는 상수 m의 값의 범위는
-10이므로
㉢ y=cx+d의 그래프는 x=-1일 때 y<0이므로
-c+d<0
∴ `c-d>0
㉣ y=ax+b, y=cx+d의 그래프의 x절편은 각각 -
, -
;aB;
;cD;
이다. 이때 -
<-
이므로
;aB;
;cD;
>
;cD;
;aB;
따라서 옳은 것은 ㉠, ㉣이다.
㉠, ㉣
3
343
y
y=
x+1
1
2
C
B
b
A
a
O
a
b
x
작은 정사각형의 한 변의 길이를 a, 큰 정사각형의 한 변의 길이를
b라 하면 두 정사각형 각각의 둘레의 길이의 합이 40이므로
4a+4b=40
∴ a+b=10 yy ㉠
341 세 점 A(30, 17), B(2, 9), C(18, 5)
를 꼭짓점으로 하는 △ABC를 좌표평
면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
Ú BAÓ의 기울기는
17-9
30-2
=
=
;2¥8;
;7@;
이므로 x의 값이 7만큼 증가할 때 y
의 값도 2만큼 증가한다.
y
O
-1
또 일차함수의 기울기가
이므로
;2!;
b-a
a
=
;2!;
∴ 2b=3a
yy ㉡
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=4, b=6
A(30, 17)
B(2, 9)
y=
x+1에 y=4를 대입하면
C(18, 5)
x
4=
x+1, x=6
∴ A(6, 4)
점 B의 x좌표는 6+4=10이므로
B(10, 6)
따라서 구하는 점 (x, y)는 (2, 9), (9, 11), (16, 13),
점 C의 x좌표는 10+6=16이므로
(23, 15), (30, 17)의 5개
y=
x+1에 x=16을 대입하면
Û BCÓ의 기울기는
5-9
18-2
=
-4
16
=-
이므로 x의 값이 4만큼
;4!;
증가할 때 y의 값은 1만큼 감소한다.
따라서 구하는 점 (x, y)는 (2, 9), (6, 8), (10, 7), (14, 6),
(18, 5)의 5개
y=
_16+1=9
∴ C(16, 9)
따라서 색칠한 부분의 넓이는
_4_(6-4)+
_6_(9-6)=4+9=13
13
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
7. 일차함수 ⑴ | 33
344 y=x+3에 y=0을 대입하면
0=x+3, x=-3
∴ A(-3, 0)
y y=ax+b
y=x+3
p+3
P
y=x+3에 x=0을 대입하면
y=3
∴ B(0, 3)
y=ax+b에 x=0을 대입하면
y=b
∴ C(0, b)
B
3
A
-3
O
bC
p
x
점 P의 x좌표를 p라 하면 P(p, p+3)
△PAO=
_3_(p+3)=
(p+3)
;2#;
;2!;
△AOB=
;2!;
이때 △PAO=2△AOB이므로
;2(;
_3_3=
(p+3)=2_
, p+3=6
∴ p=3, 즉 P(3, 6)
△PBC=
_(3-b)_3=
(3-b)
;2!;
;2#;
△PBC=3△AOB에서
(3-b)=3_
, 3-b=9
∴ b=-6
;2(;
;2(;
;2#;
;2#;
즉 y=ax-6의 그래프가 점 P(3, 6)을 지나므로
6=3a-6, 3a=12
∴ a=4
a=4, b=-6
34 | 정답과 해설
8
일차함수 ⑵
STEP
1
실력 문제
93쪽~95쪽
345 ㉠ 일차함수 y=2x+1의 그래프를 y축의 방향으로 -6만큼
평행이동한 것이다.
㉡
기울기가 2이므로 x의 값이 2만큼 증가할 때, y의 값은 4만큼
증가한다.
㉢ -1=2_2-5이므로 점 (2, -1)을 지난다.
또한 기울기가 양수이므로 오른쪽 위로 향하는 직선이다.
㉣
일차함수 y=2x-5의 그래프의 x절편은
, y절편은 -5이
;2%;
고, 일차함수 y=-2x-5의 그래프의 x절편은 -
, y절편
;2%;
은 -5이므로 두 그래프는 y축 위에서 만난다.
따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢이다.
㉡, ㉢
346 a<0,``b<0이므로 a+b<0, ab>0
따라서 일차함수 y=(a+b)x+ab의 그
래프는 오른쪽 그림과 같으므로 제 3 사분
면을 지나지 않는다.
y
O
x
제 3사분면
347 ① 점 (1, a+b)를 지난다.
③ 기울기가 서로 다르므로 평행하지 않다.
④
오른쪽 아래로 향하는 직선이므로 a<0이고, y절편이 양수이
⑤ 기울기가 a이므로 x의 값이 1만큼 증가할 때, y의 값은 a만큼
므로 b>0이다.
증가한다.
따라서 옳은 것은 ②이다.
따라서 제 1사분면을 지나지 않는다.
제 1사분면
348 y=mx+n의 그래프가 오른쪽 위로
향하고 y절편이 음수이므로 m>0,
n<0, 즉 n<0, -m<0
이므로 y=nx-m의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
349 일차함수의 그래프가 제1, 2, 3사분면을
지나려면 오른쪽 그림과 같이 그래프가
오른쪽 위로 향하고 y절편이 양수이어야
한다.
k+1>0에서 k>-1
yy ㉠
②
y
O
x
y
O
x
-(2k+1)>0에서 -2k-1>0
∴ k<-
;2!;
yy ㉡
㉠, ㉡에서 -10, b<0이면 그래프는 제 2 사분면을 지나지 않는다.
로 b=3
㉣ a는 x의 값의 증가량에 대한 y의 값의 증가량의 비율이다.
y=3x-c에 x=1, y=5를 대입하면
따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢이다.
㉠, ㉢
5=3-c
∴ c=-2
∴ b+c=3+(-2)=1
1
363 y=ax+4에 y=0을 대입하면
0=ax+4
∴ x=-
;a$;
y=
x-
에 x=0을 대입하면 y=-
;3!;{
;3A;}
;9A;
이때 y=ax+4의 그래프의 x절편과 y=
x-
의 그래프의
;3!;{
;3A;}
y절편이 같으므로
-
=-
, aÛ`=36
∴ a=-6, 6
;a$;
;9A;
한편 y=
x-5의 그래프가 제 1 사분면을 지나지 않으려면
;a!;
367 두 점 (1, -6), (2, -4)를 지나는 직선을 그래프로 하는 일차
함수의 식은 y=2x-8
이때 규태는 b를 바르게 보았으므로 b=-8
두 점 (-3, 4), (0, 8)을 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수
의 식은 y=
x+8
;3$;
이때 기제는 a를 바르게 보았으므로 a=
;3$;
따라서 일차함수의 식은 y=
x-8이므로 x=18, y=k를 대입
;3$;
k=
;3$;_
18-8=16
16
<0이어야 하므로 a<0
;a!;
∴ a=-6
-6
하면
364 p>0, q<0이므로 일차함수 y=px+q의 그래프의 기울기는
양수이고 y절편은 음수이다.
또 일차함수 y=qx-p의 그래프의 기울기는 음수이고 y절편도
음수이다.
368 △ABC=
;2!;_
{4-(-6)}
4=20
_
이때 |p|<|q|이므로 일차함수 y=px+q의 그래프의 y절편이
점 D의 좌표를 (p, 0)이라 하면
일차함수 y=qx-p의 그래프의 y절편보다 더 작다.
y
따라서 두 일차함수의 그래프는 오른쪽
y=px+q
그림과 같으므로 제4 사분면에서 만난다.
△ABD=
;5@;△ABC에서
_{p-(-6)}_4=
_20
;5@;
;2!;
2p+12=8
∴ p=-2
O
x
-p
q
따라서 두 점 A(-4, 4), D(-2, 0)을 지나는 직선을 그래프로
y=qx-p
하는 일차함수의 식은
제 4사분면
y=-2x-4
y=-2x-4
36 | 정답과 해설
369 오른쪽 그림과 같이 점 A(-2, 3)
과 y축에 대칭인 점을 A'이라 하면
A'(2, 3)
A
A'
y
3
P
B
-4
374 물을 5분 동안 빼낸 후의 줄어든 수면의 높이는
25-5=20 (cm)이므로 처음 수면의 높이는
25+20=45 (cm)
APÓ=A'PÓ이므로 APÓ+PBÓ의 길이가
O-2
2
x
이때 물을 1분 동안 빼낸 후의 줄어든 수면의 높이는 4 cm이므로
최소일 때는 A'PÓ+PBÓ의 길이가 최
y=45-4x
소일 때, 즉 세 점 A', P, B가 한 직선 위에 있을 때이다.
y=45-4x에 y=13을 대입하면
따라서 두 점 A'(2, 3), B(-4, 0)을 지나는 직선을 그래프로 하
13=45-4x
∴ x=8
는 일차함수의 식은 y=
x+2``
따라서 수면의 높이가 13 cm가 되는 것은 8분 후이다. 8분
371 링거 주사를 x분 동안 맞았을 때 병에 남아 있는 주사약의 양을
음수이다.
y=x+4
㉠ ac>0이면 -
<0이므로 x절편은
;2!;
;2!;
이때 점 P는 일차함수 y=
x+2의 그래프와 y축과의 교점이므
로 P(0, 2)``
P(0, 2)
370 ㈎ 에서 x절편을 a, y절편을 -a라 하면 구하는 일차함수의 그
래프는 두 점 (a, 0), (0, -a)를 지나므로
(기울기)=
-a-0
0-a
=1
즉 일차함수의 식은 y=x-a
㈏ 에서 y=x-a에 x=1, y=5를 대입하면
5=1-a
∴ a=-4
따라서 구하는 일차함수의 식은
y=x+4
y mL라 하면
y=500-4x
y=500-4x에 y=0을 대입하면
0=500-4x
∴ x=125
STEP
3
고난도 문제
375 일차함수 y=-
x-
의 그래프의 기울기는 -
,
a
b
c
b
c
b
c
a
x절편은 -
, y절편은 -
이다.
99쪽~100쪽
a
b
y
O
㉠
㉡
x
㉢
bc<0이면 -
>0이므로 y절편은
양수이다.
따라서 제 1, 2, 3사분면을 지난다.
c
a
c
b
a
b
c
b
a
b
따라서 주사약을 다 맞는 데 125분, 즉 2시간 5분이 걸리므로 링거
㉡ ab<0이면 -
>0이므로 기울기는 양수이다.
주사를 맞기 시작한 시각은 오후 4시 55분이다. 오후 4시 55분
bc>0이면 -
<0이므로 y절편은 음수이다.
372 무게가 5 g 늘어날 때마다 용수철의 길이는 2 cm씩 늘어나므로
따라서 제 1, 3, 4사분면을 지난다.
무게가 1 g 늘어날 때마다 용수철의 길이는
cm씩 늘어난다.
;5@;
㉢ ab>0이면 -
<0이므로 기울기는 음수이다.
즉 x g짜리 추를 매달았을 때 용수철의 길이를 y cm라 하면
bc=0이면 b+0이므로 c=0, 즉 원점을 지난다.
y=20+
x
;5@;
y=20+
x에 x=25를 대입하면
;5@;
;5@;
y=20+
_25=30
따라서 용수철의 길이는 30 cm이다.
30`cm
373 온도가 x`¾ 올라갔을 때 기체의 부피를 y`cmÜ`라 하면 온도가
0`¾일 때의 부피가 1638 cmÜ`이고, 온도가 1`¾ 올라갈 때마다
기체의 부피는 1638_
=6 (cmÜ`)만큼 증가하므로
;27!3;
y=6x+1638
y=6x+1638에 y=1830을 대입하면
1830=6x+1638
∴ x=32
따라서 기체의 부피가 1830 cmÜ`가 되는 온도는 32 ¾이다.
따라서 제 2, 4사분면을 지난다.
따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢이다.
376 OAÓ를 밑변으로 하는 삼각형의 넓
이가 항상 일정하려면 높이가 일정해
야 하므로 일차함수 y=ax+b의 그
래프는 오른쪽 그림과 같이 OAÓ와 평
y=ax+b
행해야 한다.
㉠, ㉢
y
O
x
2
b
A
-3
P
즉 OAÓ의 기울기는 -
이므로
;3@;
a=-
;3@;
△OAP의 넓이가 항상 9이므로
△OAP=
_|b|_3=9
∴ b=-6`(∵ b<0)
32 ¾
∴ ab=-
_(-6)=4
4
;2!;
;3@;
8. 일차함수 ⑵ | 37
377 일차함수 y=ax+b의 그래프가 일차함수 y=
x+5의 그래
;2!;
프와 평행하므로 a=
;2!;
x절편이 -7 이상 3 이하일 때 일차함수
y
y=
x+b의 그래프는 오른쪽 그림의
;2!;
색칠한 부분에 있으므로 y절편 b는 x절
-7
편이 -7일 때 최댓값을 갖고, x절편이 3
380 OAÓ=OBÓ이므로 두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기는 1이다.
두 점 A, B를 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을
y=x-k(k>0)라 하면
A(0, -k), B(k, 0)
이때 원 O의 반지름의 길이는 k이므로
O
3 x
(색칠한 부분의 넓이)=(p_kÛ`)_
-
;4!;
;2!;
_k_k
=
p-
kÛ`
4
kÛ`
2
kÛ`
2
p-
kÛ`
4
kÛ`=9
=
p-
;4(;
;2(;
이므로
∴ `k=3 (∵`k>0)
따라서 구하는 일차함수의 식은 y=x-3
y=x-3
일 때 최솟값을 갖는다.
Ú x절편이 -7일 때
0=-
+b
∴ b=
;2&;
Û x절편이 3일 때
0=
+b
∴ b=-
;2#;
;2&;
;2#;
Ú, Û에서 b의 최댓값은
, 최솟값은 -
이므로 그 합은
;2&;
;2#;
381 펌프 수리 후 1시간에 넣는 물의 양은
10+10_
=12`(mÜ`)
;1ª0¼0;
+
-
{
;2&;
;2#;}
=2
2
펌프 수리 후 물이 가득 찰 때까지 물을 넣은 시간을 x시간, 물이
378 세 점 A(-3, 2), B(-4, a), C(-1, b)가 일직선 위에 있으
므로
a-2
-4-(-3)
2a-4=-b+2
= b-2
-1-(-3)
∴ 2a+b=6
또 세 점 A, B, C를 지나는 직선이 일차함수 f(x)=mx+n의 그
래프와 일치하므로 f(x)=mx+n에 점 A(-3, 2)를 대입하면
-3m+n=2 yy ㉠
f(1)=-4이므로
m+n=-4
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=-
, n=-
;2#;
;2%;
∴ 2a+b+m-n=6+
-
-
-
{
;2%;}
;2#;}
=7
{
7
y=mx+n의 그래프가 두 점 (-3, 2), (1, -4)를 지나므로
다른 풀이
m=
-4-2
1-(-3)
=-
;2#;
y=-
x+n에 x=1, y=-4를 대입하면
;2#;
;2#;
-4=-
+n
∴ n=-
;2%;
379 y=
39-7x
5
이므로 39-7x는 5의 배수이다.
또한 x>0,
>0이므로 00, ( y절편)<0
즉 -
>0,
<0이므로
;bA;
;b!;
a>0, b<0
107쪽~110쪽
y
O
x
②
409 주어진 그래프는 점 (0, 3)을 지나고 x축에 평행하므로 y=3
y=3에서 -2y=-6
∴ -2y+6=0
이 식이 ax-2y+b=0과 같으므로 a=0, b=6
즉 bx+ay+6=0에서 6x+6=0
∴ x=-1
따라서 방정식 x=-1의 그래프는 오른
y
쪽 그림과 같다.
-1
O
x
풀이 참조
9. 일차함수와 일차방정식 | 41
410 2x-3=3에서 2x=6
∴ x=3
x=3에 수직인 직선의 방정식은 y=q의 꼴이므로 a=0
즉 by+6=0이므로 by=-6
∴ y=-
;b^;
이때 그래프가 제3, 4사분면을 지나야 하므로
-
<0
∴ b>0
;b^;
Ú 직선 y=
x+k가 점 D(1, 3)을 지날 때
3=
+k
∴ k=
;2!;
;2%;
Û 직선 y=
x+k가 점 C(3, -2)를 지날 때
;2!;
;2!;
②
-2=
+k
∴ k=-
;2#;
;2&;
Û 직선 y=(a-2)x+1이 점 B(2,-1)을 지날 때
k+3(-k+4)-2a=0, 2k+2a=12
411 직선 y=(a-2)x+1은 항상 점
(0, 1)을 지나므로 선분 AB와 만나
(ii)
기 위해서는 오른쪽 그림의 색칠한
부분에 있어야 한다.
Ú 직선 y=(a-2)x+1이 점
A(1, 3)을 지날 때
3=(a-2)+1
∴ a=4
(i)
A
y
3
1
1
O
-1
2
B
x
-1=2(a-2)+1
∴ a=1
Ú, Û에서 a의 값의 범위는
따라서 정수 a의 값은 1, 2, 3, 4이므로 구하는 합은
1ÉaÉ4
1+2+3+4=10
Ú, Û에서 k의 최댓값은
, 최솟값은 -
이므로
;2%;
;2&;
+
-
{
;2%;
;2&;}
=-1
-1
414 두 일차방정식의 그래프의 교점이 직선 y=-x+4 위에 있으
므로 교점의 좌표를 (k, -k+4)라 하자.
2x-y+a=0에 x=k, y=-k+4를 대입하면
2k-(-k+4)+a=0
∴ 3k+a=4
yy ㉠
x+3y-2a=0에 x=k, y=-k+4를 대입하면
∴ k+a=6
yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 k=-1, a=7
따라서 교점의 좌표는 (-1, 5)이다.
a=7, (-1, 5)
412 kx-y+1=0에서 y=kx+1
이 그래프는 항상 점 (0, 1)을 지나
므로 네 일차방정식의 그래프로 둘
러싸인 도형과 만나기 위해서는 오
른쪽 그림과 같이 점 (3, 4)를 지나
는 직선의 기울기보다 작고 점 (5, 2)
를 지나는 직선의 기울기보다 커야
한다.
Ú 직선 y=kx+1이 점 (3, 4)를 지날 때
4=3k+1
∴ k=1
Û 직선 y=kx+1이 점 (5, 2)를 지날 때
2=5k+1
∴ k=
;5!;
Ú, Û에서 k의 값의 범위는
ÉkÉ1
;5!;
y
4
2
1
O
(i)
y=4
(ii)
y=2
3
5
x
x=3 x=5
10
415 연립방정식
2x+y-4=0
[
x-y+a=0
을 풀면 x=
4-a
3
, y=
4+2a
3
이때 두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표는
{
이고, 이 점이 제 1 사분면 위에 있으려면
>0,
4-a
3
,
4+2a
3
}
4-a
3
4+2a
3
>0
>0에서 a<4
4-a
3
4+2a
3
∴ -20에서 a>-2
416 연립방정식
[
4x+3y=-6
x-2y=-7
의 좌표는 (-3, 2)이다.
-2
