수학의 힘
(알파) 중1-1
정답과 해설
2
17
I. 자연수의 성질
II. 정수와 유리수
III. 문자와 식
IV. 일차방정식
46
V. 좌표평면과 그래프 59
35
기초의
9쪽
내공의
12쪽~13쪽
I. 자연수의 성질
01
소수와 거듭제곱
1 ⑴ 1, 2, 4 / 합성수 ⑵ 1, 3, 9 / 합성수 ⑶ 1, 13 / 소수
⑷ 1, 2, 3, 6, 9, 18 / 합성수 ⑸ 1, 3, 17, 51 / 합성수
2 ⑴ ~ ⑶ 풀이 참조 ⑷ ◯
3 ⑴ 밑：3, 지수：2 ⑵ 밑：5, 지수：4 ⑶ 밑：11, 지수：1
⑷ 밑：100, 지수：3 ⑸ 밑：;7!;, 지수：3
4 ⑴ 3Ý` ⑵ 2Û`_5Ü` ⑶
⑷
⑸
⑹ 2_5Ü`_7Û`
⑺ 3Û`_5_7Ý` ⑻
1
3Ü`_5Û`
{;5!;}
3`
⑼
{;4#;}
3`
_
{;2!;}
{;7!;}
2`
1
4Û`
3`
1 ⑴ 4의 약수는 1, 2, 4이고 약수의 개수가 3개이므로 합성수이다.
⑵ 9의 약수는 1, 3, 9이고 약수의 개수가 3개이므로 합성수이다.
⑶ 13의 약수는 1, 13이고 약수의 개수가 2개이므로 소수이다.
⑷ 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18이고 약수의 개수가 3개 이상이므
로 합성수이다.
합성수이다.
03 ① 3Û`=3_3=9
② 4_4_4=4Ü``
③ 7+7+7+7+7+7=7_6
④
_
_
;5@;
;5@;
;5@;
=
{;5@;}
04 16=2Ý`이므로 2`=16=2Ý`
3Ü`=3_3_3=27이므로 b=27
∴ a=4
02 4개
07 서진, 민주
01 3
06 ④
10 8
13 ⑴ 28=5+23, 28=11+17
11 ⑤
12 5개
03 14개
04 ④
08 ①, ③
05 59
09 10
⑵ 28=2+3+23, 28=2+7+19, 28=2+13+13
14 ⑴ 1 ⑵ 3 ⑶ 9
01 소수는 2, 17, 23, 53, 61, 83, 97의 7개이므로 a=7
합성수는 45, 51, 55, 75의 4개이므로 b=4
∴ a-b=7-4=3
02 약수의 개수가 2개인 자연수는 소수이므로
a가 될 수 있는 수는 20 이상 40 이하의 소수이다.
따라서 a는 23, 29, 31, 37의 4개이다.
03 25 미만의 자연수 중에서 합성수는
⑸ 51의 약수는 1, 3, 17, 51이고 약수의 개수가 3개 이상이므로
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24의 14개이다.
2 ⑴ 가장 작은 소수는 2이다.
⑵ 2는 소수이지만 짝수이므로 모든 소수가 홀수인 것은 아니다.
⑶ 모든 자연수는 약수의 개수가 1개 이상이다.
04 ① 3의 배수 중 3은 소수이다.
② 3, 5, 7, 11, y은 홀수이지만 소수이다.
③ 2는 짝수이지만 소수이다.
⑤ 약수의 개수가 2개인 자연수는 소수이다.
05 ㉠ 55보다 크고 60보다 작은 자연수는 56, 57, 58, 59이다.
㉡ 약수의 개수가 2개인 자연수는 소수이다.
따라서 56, 57, 58, 59 중 소수를 찾으면 된다.
56=2_28 (합성수), 57=3_19 (합성수),
58=2_29 (합성수), 59=1_59 (소수)
이므로 두 조건을 모두 만족하는 자연수는 59이다.
06 ① 두 수가 소수이면 두 수의 곱은 합성수이다.
② 1은 소수가 아닌 자연수이지만 약수의 개수가 1개이다.
③ 9는 홀수이지만 소수가 아니다.
⑤ 가장 작은 합성수는 4이다.
07 서진：3Ý`=3_3_3_3=81이므로 3Ý`은 81과 같은 수이다.
민주：3Ý`은 3을 4번 곱한다는 뜻이므로 3의 거듭제곱이다.
따라서 옳지 않은 설명을 한 학생은 서진, 민주이다.
08 ② 5_5_5_5=5Ý`
④ 2_2_2=2Ü`
⑤
_
_
=
;1Á0;
;1Á0;
;1Á0;
{;1Á0;}
3`
개념의
유제
10쪽~11쪽
01 3개
02 ②
03 ⑤
04 a=4, b=27
01 소수는 13, 71, 101의 3개이다.
참고
10의 약수는 1, 2, 5, 10이므로 합성수이다.
33의 약수는 1, 3, 11, 33이므로 합성수이다.
91의 약수는 1, 7, 13, 91이므로 합성수이다.
111의 약수는 1, 3, 37, 111이므로 합성수이다.
02 ① 1은 소수도 아니고 합성수도 아니다.
③ 27은 일의 자리의 숫자가 7인 수이지만 27의 약수는 1, 3, 9, 27
이므로 합성수이다.
④ 19는 일의 자리의 숫자가 9인 수이지만 소수이다.
⑤ 모든 자연수는 1과 소수와 합성수로 이루어져 있다.
2 정답과 해설
3
② 소인수：2, 3
② 소인수：2, 5
09 2_2_2_3_3_4_5_5_5
=2_2_2_3_3_2_2_5_5_5
=2Þ`_3Û`_5Ü`
이므로 a=5, b=2, c=3
∴ a+b+c=5+2+3=10
10 32=2Þ`이므로 2`=32=2Þ`
∴ a=5
=
1
1
3º`
3Ü`
∴ a+b=5+3=8
이므로
;2Á7;
=
=
;2Á7;
1
3Ü`
∴ b=3
11 ① 11 이하의 소수는 2, 3, 5, 7, 11의 5개이다.
② 2+2+2+2+2=2_5로 나타낼 수 있다.
③ 1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수를 합성수라 한다.
④ 5Ý`의 밑은 5, 지수는 4이다.
12 일의 자리의 숫자가 1인 100보다 작은 자연수는
1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91이므로
이 중에서 소수는 11, 31, 41, 61, 71의 5개이다.
13 ⑴ 28을 두 소수의 합으로 나타내는 방법은 다음과 같다.
28=5+23, 28=11+17
⑵ 28을 세 소수의 합으로 나타내는 방법은 다음과 같다.
28=2+3+23, 28=2+7+19, 28=2+13+13
참고
28과 같은 짝수를 세 소수의 합으로 나타낼 때, 반드시 2를 한 개 포함
해야 한다. 왜냐하면 세 홀수의 합은 짝수가 될 수 없기 때문에 짝수를
한 개 포함하고 있어야 하고, 짝수 중 소수는 2뿐이기 때문이다.
1 ⑴
24
12
2
>³
2
>³
2
> ³
6
3
① 24=2Ü`_3
2
2 ⑴
>³
2
>³
28
14
7
28=2Û`_7
소인수：2, 7
⑶
2
>³
2
>³
2
>³
2
>³
80
40
20
10
5
80=2Ý`_5
소인수：2, 5
⑸
2
>³
3
>³
5
>³
150
75
25
5
⑵
100
10
10
2
5
2
5
① 100=2Û`_5Û`
⑵
2
>³
2
>³
2
>³
2
>³
48
24
12
6
3
48=2Ý`_3
소인수：2, 3
⑷
2
>³
2
>³
2
>³
2
>³
2
>³
2
>³
128
64
32
16
8
4
2
128=2à`
소인수：2
3
⑹
>³
3
>³
5
>³
495
165
55
11
14 ⑴
일의 자리의 숫자가 3, 9, 7, 1의 순서로 반복되므로 3Ú`ß`의 지수
를 4로 나눈 나머지에 따라 일의 자리의 숫자가 결정된다.
150=2_3_5Û`
소인수：2, 3, 5
495=3Û`_5_11
소인수：3, 5, 11
이때 16=4_4, 즉 나누어떨어지므로 3Ú`ß`의 일의 자리의 숫자는
⑵ 121=4_30+1, 즉 나머지가 1이므로 3Ú`Û`Ú`의 일의 자리의 숫자
⑶ 2018=4_504+2, 즉 나머지가 2이므로 3Û`â`Ú`¡
¡`의 일의 자리의
1이다.
는 3이다.
숫자는 9이다.
3
_
1
2
1
1_1=1
2_1=2
3
1_3=3
2_3=6
3Û`
3Ü`
1_3Û`=9
2_3Û`=18
1_3Ü`=27
2_3Ü`=54
따라서 2_3Ü`의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54이다.
4 ⑴
2
>³
2
>³
2
>³
40
20
10
5
_
1
5
∴ 40=2Ü`_5
⑵
1
2
2Û`
2Ü`
1_1=1
5_1=5
1_2=2
5_2=10
1_2Û`=4
5_2Û`=20
1_2Ü`=8
5_2Ü`=40
16쪽
⑶ 40의 약수는 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40이다.
5 ⑴ 2Þ`의 약수의 개수는 5+1=6(개)
⑵ 3Ý`_7Û`의 약수의 개수는 (4+1)_(2+1)=15(개)
⑶ 2Û`_3Û`_5의 약수의 개수는
(2+1)_(2+1)_(1+1)=18(개)
⑷ 108=2Û`_3Ü`이므로 108의 약수의 개수는
(2+1)_(3+1)=12(개)
⑸ 420=2Û`_3_5_7이므로 420의 약수의 개수는
(2+1)_(1+1)_(1+1)_(1+1)=24(개)
I. 자연수의 성질 3
02
소인수분해
기초의
1 ⑴ 2, 2, 12, 2, 6 / ① 2Ü`_3 ② 2, 3
⑵ 10, 5, 2 / ① 2Û`_5Û` ② 2, 5
2 ⑴ 28=2Û`_7, 소인수：2, 7 ⑵ 48=2Ý`_3, 소인수：2, 3
⑶ 80=2Ý`_5, 소인수：2, 5 ⑷ 128=2à`, 소인수：2
⑸ 150=2_3_5Û`, 소인수：2, 3, 5
⑹ 495=3Û`_5_11, 소인수：3, 5, 11
3 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54
4 ⑴ 40=2Ü`_5 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
5 ⑴ 6개 ⑵ 15개 ⑶ 18개 ⑷ 12개 ⑸ 24개
17쪽~21쪽
08 ① 2Ü`_3의 약수의 개수는 (3+1)_(1+1)=8(개)
② 2Ü`_7의 약수의 개수는 (3+1)_(1+1)=8(개)
개념의
유제
03 5
02 20
01 ②
05 ⑴ 12개 ⑵ 30개 ⑶ 9개 ⑷ 24개 06 3
08 ③
12 33
10 a=7, b=21
09 6
04 ①, ③
07 5
11 ⑤
2
01
>³
2
>³
2
>³
2
>³
3
>³
144
72
36
18
9
3
∴ 144=2Ý`_3Û`
02 260=2Û`_5_13이므로 소인수는 2, 5, 13이다.
따라서 모든 소인수의 합은
2+5+13=20
03 126=2_3Û`_7이므로 a=2, b=7
∴ b-a=7-2=5
04 432를 소인수분해하면 432=2Ý`_3Ü`
② 2_3Ý`에서 3의 지수가 2Ý`_3Ü`에서 3의 지수보다 크므로 2_3Ý`
④ 2Ý`_3Ý`에서 3의 지수가 2Ý`_3Ü`에서 3의 지수보다 크므로 2Ý`_3Ý`
은 2Ý`_3Ü`의 약수가 아니다.
은 2Ý`_3Ü`의 약수가 아니다.
⑤ 2Þ`_3Ý`에서 2의 지수와 3의 지수가 2Ý`_3Ü`에서 2의 지수와 3의
지수보다 크므로 2Þ`_3Ý`은 2Ý`_3Ü`의 약수가 아니다.
따라서 432의 약수는 ①, ③이다.
05 ⑴ 2_3Þ`의 약수의 개수는
(1+1)_(5+1)=12(개)
⑵ 2_3Þ`_8=2_3Þ`_2_2_2=2Ý`_3Þ`이므로
2_3Þ`_8의 약수의 개수는
(4+1)_(5+1)=30(개)
⑶ 196=2Û`_7Û`이므로 196의 약수의 개수는
(2+1)_(2+1)=9(개)
⑷ 540=2Û`_3Ü`_5이므로 540의 약수의 개수는
(2+1)_(3+1)_(1+1)=24(개)
06 2Û`_3_5`의 약수의 개수가 24개이므로
(2+1)_(1+1)_(a+1)=24에서
6_(a+1)=24, 즉 6_(a+1)=6_4
a+1=4
∴ a=3
07 180=2Û`_3Û`_5이므로 180의 약수의 개수는
(2+1)_(2+1)_(1+1)=18(개)
이때 3Û`_5Ç` 의 약수의 개수도 18개이므로
(2+1)_(n+1)=18에서 3_(n+1)=3_6
4 정답과 해설
③ 2Ü`_9=2Ü`_3Û`이므로 약수의 개수는
(3+1)_(2+1)=12(개)
④ 2Ü`_11의 약수의 개수는 (3+1)_(1+1)=8(개)
⑤ 2Ü`_16=2Ü`_2Ý`=2à`이므로 약수의 개수는 7+1=8(개)
따라서
안에 들어갈 수 없는 것은 ③이다.
09 4=3+1 또는 4=2_2=(1+1)_(1+1)이므로 약수의 개수
가 4개인 자연수는 aÜ` 또는 a_b (a, b는 서로 다른 소수) 꼴이다.
Ú aÜ``꼴일 때, 가장 작은 자연수는 2Ü`=8
Û a_b 꼴일 때, 가장 작은 자연수는 2_3=6
Ú, Û에서 약수의 개수가 4개인 가장 작은 자연수는 6이다.
10 63=3Û`_7이므로 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면 소인수 7의
지수를 짝수로 만들 수 있는 수를 곱해야 한다.
따라서 곱해야 할 가장 작은 자연수는 7이다.
∴ a=7
즉 63_7=441=21Û`이므로 b=21
11 54=2_3Ü`이므로 2_3Ü`_a의 a에 주어진 수를 대입하면
① 2_3Ü`_2Ý`=2Þ`_3Ü`
② 2_3Ü`_2_5Û`=2Û`_3Ü`_5Û`
③ 2_3Ü`_2Û`_3Û`=2Ü`_3Þ`
④ 2_3Ü`_3Ý`_7Û`=2_3à`_7Û`
⑤ 2_3Ü`_2Ü`_3Þ`=2Ý`_3¡`
이때 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면 소인수의 지수가 모두 짝
수가 되어야 하므로 a의 값이 될 수 있는 것은 ⑤이다.
12 132=2Û`_3_11이므로 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면 소인
수의 지수를 짝수로 만들 수 있는 수로 나누어야 한다.
따라서 나누어야 할 자연수 중 가장 작은 수는 3_11=33이다.
내공의
01 ③
06 ④
11 ③
15 15
19 4
03 ②
08 ②
02 7
07 12
12 6개
13 ②
16 ⑴ 6 ⑵ 4032개
21 2
20 9개
22쪽~24쪽
05 ⑤
10 4개
04 ④
09 4
14 ⑴ 10 ⑵ 20 ⑶ 30
17 45
22 98
18 18개
01 ① 36=2Û`_3Û`
④ 80=2Ý`_5
② 42=2_3_7
⑤ 84=2Û`_3_7
02 8_9_10=2_2_2_3_3_2_5=2Ý`_3Û`_5
따라서 a=4, b=2, c=1이므로
n+1=6
∴ n=5
a+b+c=4+2+1=7
03 90=2_3Û`_5이므로 90의 소인수는 2, 3, 5이다.
04 ① 6=2_3이므로 소인수는 2, 3이다.
② 24=2Ü`_3이므로 소인수는 2, 3이다.
③ 36=2Û`_3Û`이므로 소인수는 2, 3이다.
④ 64=2ß`이므로 소인수는 2이다.
⑤ 96=2Þ`_3이므로 소인수는 2, 3이다.
④ 2Ý`_7Ü`의 약수의 개수는 (4+1)_(3+1)=20(개)
⑤ 2Ý`_11Ü`의 약수의 개수는 (4+1)_(3+1)=20(개)
따라서
안에 들어갈 수 없는 것은 ③이다.
12 어떤 자연수의 제곱이 되는 수는 소인수들의 지수가 모두 짝수이어
야 한다.
이때 1008=2Ý`_3Û`_7이므로 약수 중 어떤 자연수의 제곱이 되는
따라서 소인수가 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다.
수는 1, 2Û`, 3Û`, 2Ý`, 2Û`_3Û`, 2Ý`_3Û`의 6개이다.
05 ① 100=2Û`_5Û`
③ 200=2Ü`_5Û`
⑤ 300=2Û`_3_5Û`
② 125=5Ü`
④ 250=2_5Ü`
13 48=2Ý`_3이므로 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면 소인수 3의
지수를 짝수로 만들 수 있는 수를 곱해야 한다.
따라서 x의 값이 될 수 있는 수는 3_(자연수)Û` 꼴이다.
이때 2Ü`_5Ý`의 약수는 2Ü`의 약수와 5Ý`의 약수의 곱으로 이루어지므
② 6=2_3은 3_(자연수)Û``꼴이 아니므로 x의 값이 될 수 없다.
로 2Ü`_5Ý`의 약수가 아닌 것은 ⑤이다.
다른 풀이
06 240=2Ý`_3_5이므로 240의 약수를 큰 수부터 차례로 나열하면
2Ý`_3_5, 2Ü`_3_5, 2Ý`_5, 2Û`_3_5, 2Ý`_3, y
따라서 240의 약수 중 큰 쪽에서 세 번째인 수는 2Ý`_5이다.
07 3Þ`의 약수의 개수는 5+1=6(개)이므로 a=6
2Þ`_3Û`의 약수의 개수는 (5+1)_(2+1)=18(개)이므로
b=18
∴ b-a=18-6=12
08 ① 2_3_7의 약수의 개수는
(1+1)_(1+1)_(1+1)=8(개)
② 6Û`_5=2Û`_3Û`_5이므로 약수의 개수는
(2+1)_(2+1)_(1+1)=18(개)
③ 200=2Ü`_5Û`이므로 약수의 개수는
(3+1)_(2+1)=12(개)
④ 2Û`_9Û`=2Û`_3Ý`이므로 약수의 개수는
(2+1)_(4+1)=15(개)
⑤ 5Ý`_11의 약수의 개수는
(4+1)_(1+1)=10(개)
따라서 약수의 개수가 가장 많은 것은 ②이다.
09 560=2Ý`_5_7이므로 약수의 개수는
(4+1)_(1+1)_(1+1)=20(개)
이때 2`_27=2`_3Ü`의 약수의 개수도 20개이므로
(a+1)_(3+1)=20에서 4_(a+1)=4_5
a+1=5
∴ a=4
10 약수의 개수가 3개인 자연수는 (소수)Û` 꼴이다.
따라서 1에서 100까지의 수 중에서 구하는 수는
2Û`=4, 3Û`=9, 5Û`=25, 7Û`=49의 4개이다.
11 2Ý`_ 의
① 2Ý`_3Ü`의 약수의 개수는 (4+1)_(3+1)=20(개)
안에 주어진 수를 대입하면
② 2Ý`_5Ü`의 약수의 개수는 (4+1)_(3+1)=20(개)
③ 2Ý`_6Ü`=2à`_3Ü`이므로 약수의 개수는
(7+1)_(3+1)=32(개)
② 2Ý`_3 에 6 을 곱하면 2Ý`_3_6=2Þ`_3Û`
따라서 6 은 x의 값이 될 수 없다.
14 ⑴ 40=2Ü`_5이므로 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면 소인수 2,
5의 지수를 짝수로 만들 수 있는 수를 곱해야 한다.
따라서 곱해야 할 가장 작은 자연수는 2_5=10이다.
∴ a=10
⑵ 40_a =40_10=400=20Û`이므로 b=20
⑶ a+b=10+20=30
15 540=2Û`_3Ü`_5이므로 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면 소인수
의 지수를 짝수로 만들 수 있는 수로 나누어야 한다.
따라서 나누어야 할 가장 작은 자연수는 3_5=15이다.
16 ⑴ 1_2_3_4_5_6_7_8_9_10_11_12_13_14_15
= 1_2_3_(2_2)_5_(2_3)_7_(2_2_2)
_(3_3)_(2_5)_11_(2_2_3)_13_(2_7)
_(3_5)
=2Ú`Ú`_3ß`_5Ü`_7Û`_11_13
따라서 소인수 3의 지수는 6이다.
⑵ (11+1)_(6+1)_(3+1)_(2+1)_(1+1)_(1+1)
=4032(개)
17 ㉡ 두 소인수의 합이 8이므로 두 소인수는 3, 5이다.
㉠
소인수가 3, 5인 자연수를 작은 수부터 차례로 구하면
3_5=15, 3Û`_5=45, 3_5Û`=75, 3Ü`_5=135, y이므로
이 중에서 40보다 크고 50보다 작은 자연수는 45이다.
18
450
n
이 자연수가 되려면 n의 값은 450의 약수이어야 한다.
이때 450=2_3Û`_5Û`이고 약수의 개수는
(1+1)_(2+1)_(2+1)=18(개)
이므로 구하는 n의 값의 개수는 18개이다.
19 120=2Ü`_3_5이므로 120의 약수의 개수는
(3+1)_(1+1)_(1+1)=16(개)
f(120)_f(x)=48에서
16_f(x)=48
∴ f(x)=3
I. 자연수의 성질 5
이때 약수의 개수가 3개인 자연수는 (소수)Û` 꼴이므로 이를 만족하
⑵ 3
3
는 자연수 x의 값 중 가장 작은 수는 2Û`=4이다.
20 980=2Û`_5_7Û`=(2Û`_7Û`)_5이므로 980의 약수 중 5의 배수의
>²
>²
30 45
90
10 15 30
6
5
5
2 3
∴ (최대공약수)=3_5=15
개수는 2Û`_7Û`의 약수의 개수와 같다.
따라서 구하는 5의 배수의 개수는
(2+1)_(2+1)=9(개)
21 Ú A가 밑이 3인 수일 때, 3ß`_A=3Ú`Ü`에서 A=3à`
Û A가 밑이 3이 아닌 수일 때, 3ß`_A에서
(3ß`의 약수의 개수)_(A의 약수의 개수)=14
7_(A의 약수의 개수)=14
∴ (A의 약수의 개수)=2
따라서 A는 밑이 3이 아니고 약수의 개수가 2개인 수이므로
A=2, 5, 7, y
Ú, Û에서 A의 값 중 가장 작은 자연수는 2이다.
22 28_a=2Û`_7_a 이므로 28_a가 어떤 자연수의 제곱이 되게 하
려면 a=7_(자연수)Û``꼴이어야 한다.
∴ a=7, 7_2Û`, 7_3Û`, 7_4Û`, y
이때 100 이하의 자연수 a의 값은 7, 28, 63이므로 구하는 합은
7+28+63=98
5 ⑴ 2
2
2
2
12 40
6 20
>²
>²
⑵ 3
3
108 135
2
⑶ 2
⑷ 2
2
2
2
45
15
36
12
4
54 72 90
27 36 45
9 12 15
3
5
4
24 96 132
12 48
6 24
66
33
>²
>²
>²
3
3
3
3
>²
>²
>²
3
3
3
3
>²
>²
>²
3
3
5
∴ (최대공약수)=3_3_3=27
∴ (최대공약수)=2_3_3=18
2
8
11
∴ (최대공약수)=2_2_3=12
3 10
∴ (최대공약수)=2_2=4
6 ⑵
2 _ 3Ü` _ 5
126 = 2 _ 3Û`
_ 7
(최대공약수)= 2 _ 3Û`
7 ⑶
⑷
⑸
(최대공약수)=2`_3`_5`
(최대공약수)=2Û`
2`_3Û`_5`
2Û`_3`_5Û`
2Û`
`_5
2Û`_3Û` _7`
2Û`_3Û`
2Û`_3`_5`
2Ü`_3`_5Û`
(최대공약수)=2Û`_3
03
공약수와 최대공약수
기초의
26쪽
1 ⑴ 1, 2, 3, 6, 9, 18 ⑵ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ⑶ 1, 2, 3, 6 ⑷ 6
2 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ ◯
3 1, 3, 7, 9
4 ⑴ 2, 10, 3 / 최대공약수：4 ⑵ 3, 5, 15, 6 / 최대공약수：15
5 ⑴ 4 ⑵ 27 ⑶ 18 ⑷ 12
6 ⑴ 2, 3 ⑵ 2_3Û`_7, 2, 3Û`
7 ⑴ 2_3Û` ⑵ 2Û`_3 ⑶ 2_3_5 ⑷ 2Û` ⑸ 2Û`_3
2 ⑴ 2와 6의 최대공약수는 2이므로 서로소가 아니다.
⑶ 15와 27의 최대공약수는 3이므로 서로소가 아니다.
2
4 ⑴ 2
2
2
12 20
6 10
>²
>²
3 5
6 정답과 해설
개념의
유제
27쪽~28쪽
01 ⑤
04 ①, ②
02 ④
05 12개
03 ⑴ 2Û`_5 ⑵ 2_5 ⑶ 12 ⑷ 21
01 두 자연수 A, B의 공약수는 이 두 수의 최대공약수인 36의 약수이
므로 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36이다.
따라서 A, B의 공약수가 아닌 것은 ⑤이다.
∴ (최대공약수)=2_2=4
02 ④ 24와 57의 최대공약수는 3이므로 서로소가 아니다.
04 ④ 28과 35의 최대공약수는 7이므로 서로소가 아니다.
05 42와 주어진 수의 최대공약수를 구하면 다음과 같다.
① 2 ② 21 ③ 1 ④ 3 ⑤ 7
따라서 42와 서로소인 것은 ③이다.
06 36과 a의 공약수가 1개이므로 36과 a는 서로소이다.
③ 36과 33의 최대공약수는 3이므로 서로소가 아니다.
따라서 a의 값으로 옳지 않은 것은 ③이다.
07 ③ 4와 15는 서로소이지만 두 수 모두 소수가 아니다.
03 ⑴
⑵
(최대공약수)=2Û` _5
2Ü` _5Û`
2Û`_3Û`_5`
2 _3Û`_5
2Ü` _5Û`_7
2Ý`_3Û`_5Û`
(최대공약수)=2
_5
⑶ 2
2
84 180
>²
>²
>²
42
21
2
2
3
3
90
45
3
⑷ 3
42 105 252
7
7
14
35
84
>²
>²
수이다.
7
15
∴ (최대공약수)=2_2_3=12
08 ⑴
2
5
12
∴ (최대공약수)=3_7=21
(최대공약수)=2Û`_3Û`
04 세 수의 최대공약수는 2Û`_3이므로 세 수의 공약수는 2Û`_3의 약
⑵
3Û`_5`_7
2Û`_3Ü`
2Ü`_3Û`_5
2Ü`_3Ý`_5Û`
3Ü`_5`
따라서 세 수의 공약수인 것은 ①, ②이다.
05 두 수 A, B의 최대공약수가 2Û`_3_7이므로 두 수 A, B의 공약
수의 개수는 2Û`_3_7의 약수의 개수와 같다.
따라서 구하는 공약수의 개수는
(2+1)_(1+1)_(1+1)=12(개)
02 39
05 ③
03 ⑴ 108=2Û`_3Ü` ⑵ 12개
06 ③
07 ③
29쪽~31쪽
내공의
01 ②
04 ④
08 ⑴ 2Û`_3Û` ⑵ 3Û`_5
12 9개
17 4개
21 18
13 2
18 A=40, B=50
23 72
22 35
09 ③
14 ④
10 ①
15 ②
19 108
11 6개
16 ④
20 ④, ⑤
01 두 자연수 a, b의 공약수는 이 두 수의 최대공약수인 20의 약수이
므로 1, 2, 4, 5, 10, 20이다.
따라서 a, b의 공약수가 아닌 것은 ②이다.
02 세 자연수의 공약수는 이 세 수의 최대공약수인 18의 약수이므로
1, 2, 3, 6, 9, 18이다. 따라서 구하는 공약수의 합은
1+2+3+6+9+18=39
(최대공약수)= 3Û`_5`
09 최대공약수를 구하면 다음과 같다.
2
① 2
>
7
7
>
42 98
2 1 49
3
7
∴ (최대공약수)=2_7=14
2
② 2
>
2
2
>
3
3
>
96 180
90
45
48
24
³
8
2
③ 2
>
3
3
>
30 48 72
1 5 24 36
15
∴ (최대공약수)=2_2_3=12
5
8 12
∴ (최대공약수)=2_3=6
④
⑤
(최대공약수)=3Û`_5``=45
3Ü`_5`
3Û`_5Û``
2Û` _5
2Û`_3Û`_5Ü`
2Ü` _5`_7
(최대공약수)=2Û` _5 =20
따라서 최대공약수가 가장 작은 것은 ③이다.
03 ⑴
2
108
54
27
9
>²
>²
>²
>²
2
3
3
10 세 수의 최대공약수는 2Û`_3이므로 이 세 수의 공약수는 2Û`_3의
약수이다.
따라서 세 수의 공약수가 아닌 것은 ①이다.
3
∴ 108=2Û`_3Ü`
⑵
두 수 a, b의 최대공약수가 108이므로 이 두 수의 공약수의
개수는 108의 약수의 개수와 같다.
따라서 구하는 공약수의 개수는
(2+1)_(3+1)=12(개)
11 36과 54의 최대공약수는 2_3Û`이므로 이 두 수의
공약수의 개수는 2_3Û`의 약수의 개수와 같다.
따라서 구하는 공약수의 개수는
(1+1)_(2+1)=6(개)
36 54
18 27
6 9
2
2
>³
3
3
>³
3
3
>³
2 3
I. 자연수의 성질 7
³
³
³
³
³
³
15 28=2Û`_7과 7_a의 최대공약수가 7이므로 a는 2와 서로소이어
Ú, Û에서 A, B는 두 자리의 자연수이므로
12 세 수의 최대공약수는 2Û`_5Û`이므로 이 세 수의 공약수의 개수는
21 세 자연수 A, B, C의 최대공약수는 A와 B의 최대
공약수인 54와 B와 C의 최대공약수인 72의 최대
2Û`_5Û`의 약수의 개수와 같다.
따라서 구하는 공약수의 개수는
(2+1)_(2+1)=9(개)
13 42=2_3_7이므로
2Û`_3º`_7
2`_3Ü`_7Û`
(최대공약수)=2`_3`_7`
따라서 a=1, b=1이므로 a+b=1+1=2
14 2_3Û`_5와 A의 최대공약수가 6=2_3이므로
A=2_3_a(a는 15와 서로소)의 꼴이어야 한다.
이때 5와 15는 서로소가 아니므로 A의 값이 될 수 없는 것은 ④
이다.
야 한다.
따라서 a의 값이 될 수 있는 수는 ②이다.
16 2Ý`_(cid:8641) 와 2_3Ü`_7의 최대공약수가 2_3Û`이므로 (cid:8641)=3Û`_a(a는
21과 서로소)의 꼴이어야 한다.
이때 주어진 수를 소인수분해하면 다음과 같다.
① 18=2_3Û`
② 36=2Û`_3Û` ③
45=3Û`_5
④ 54=2_3Ü`
⑤ 72=2Ü`_3Û`
따라서 (cid:8641) 안에 알맞은 수가 아닌 것은 ④이다.
17 18=2_3Û`이므로 18과 서로소인 수는 2의 배수도 아니고 3의 배
수도 아니다.
18
x
x
8_x
10_x
>³
³
>
8
4
2
2
10
5
이때 최대공약수가 10이므로
x_2=10 ∴ x=5
∴ A=8_5=40, B=10_5=50
54 72
27 36
9 12
2
>
3
>
3
>
3
4
따라서 세 자연수 A, B, C의 최대공약수는
공약수와 같다.
2_3_3=18
22
7
>³
56 70 A
8 10 a
∴ A=7_a`(단, a는 2와 서로소)
따라서 A의 값이 될 수 있는 수를 작은 수부터 차례로 나열하면
7, 21, 35, 49, …이므로 작은 쪽에서 세 번째인 수는 35이다.
23 A=8_a, B=8_b (a>b, a, b는 서로소)라 하면
두 수의 곱이 896이므로
A_B=8_a_8_b=896에서 a_b=14
Ú a=14, b=1일 때, A=112, B=8
Û a=7, b=2일 때, A=56, B=16
A=56, B=16
∴ A+B=56+16=72
04
공배수와 최소공배수
기초의
33쪽
2 21, 42, 63
3 ⑴ 3, 24, 5 / 최소공배수：240 ⑵ 2, 2, 3, 6, 5 / 최소공배수：360
4 ⑴ 40 ⑵ 180 ⑶ 36 ⑷ 450
5 ⑴ 2Û`, 3, 5 ⑵ 2Ü`_3, 2Ü`, 3Û`, 5
6 ⑴ 2Ü`_3Û`_7 ⑵ 2Û`_3Û`_5_7 ⑶ 2Ü`_3_5Û`
⑷ 2Ü`_3Û`_5_7 ⑸ 2Û`_3Û`_5Û`_7
2 어떤 두 자연수의 공배수는 이 두 수의 최소공배수인 21의 배수이
므로 21, 42, 63, y이다.
따라서 40보다 크고 50보다 작은 자연수 중에서 2의 배수도 아니
1 ⑴ 8, 16, 24, 32, 40, 48, y ⑵ 12, 24, 36, 48, 60, y
고 3의 배수도 아닌 수는 41, 43, 47, 49의 4개이다.
⑶ 24, 48, 72, y ⑷ 24
19 구하는 세 자리의 자연수를 A라 하면
18
>
A 90
³
a
5
∴ A=18_a (단, a는 5와 서로소)
따라서 A의 값이 될 수 있는 수는 18, 36, 54, 72, 108, y이므로
가장 작은 세 자리의 자연수는 108이다.
20
17
>³
A 102
a
6
∴ A=17_a`(단, a는 6과 서로소)
① 34=17_2
② 51=17_3
③ 68=17_4
④ 85=17_5
⑤ 119=17_7
따라서 A의 값이 될 수 있는 것은 ④, ⑤이다.
2
3 ⑴ 2
3
3
30 48
15 24
>²
>²
5 8
5
8
∴ (최소공배수)=2_3_5_8=240
⑵ 2
2
20 24 36
2
2
10 12 18
3
3
5
6 9
>²
>²
>²
5 2 3
5 2 3
∴ (최소공배수)=2_2_3_5_2_3=360
8 정답과 해설
³
³
³
1
4
∴ (최소공배수)=2_5_4=40
(최소공배수)=2Û`_3Ü`_7
4 15
∴ (최소공배수)=3_4_15=180
1
∴ (최소공배수)=3_2_3_2=36
16 25
∴ (최소공배수)=2_16_25=800
∴ (최소공배수) =3_5_3_5_2
=450
4 ⑴
2
10 40
5 20
⑵
12 45
3
⑶
9 12 18
⑷
3
6
3
4
2
2
45 75 90
15 25 30
3
1
5
5
6
2
>²
>²
5
3
>²
>²
>²
>²
3
3
1
2
3
>²
>²
>²
5
3
5 ⑵
2` _ 3Û` _ 5
24 = 2Ü` _ 3` _
(최소공배수)= 2Ü` _ 3Û` _ 5
6 ⑶
2Ü`_3
2 _3_5Û`
(최소공배수)=2Ü`_3_5Û`
⑷
2Ü`_3 _5
3Û`_5_7
(최소공배수)=2Ü`_3Û`_5_7
⑸
2Û`_3
2 _3Û`_5
2 _5Û`_7
(최소공배수)=2Û`_3Û`_5Û`_7
02 ⑴
⑵
2Û`_3Û`
2`_3Ü`_7
2 _3 _5
2 _5Û`_7`
2Ü`_3Û` _7Û`
(최소공배수)=2Ü`_3Û`_5Û`_7Û`
⑶
2
32 50
⑷
21 60 84
>²
3
>²
>²
>²
>²
2
2
7
7 20 28
7 10 14
7
7
1
5
5
1
∴ (최소공배수) =3_2_2_7_5
=420
03 54=2_3Ü`, 72=2Ü`_3Û`이므로 두 수 54와 72의 최소공배수는
2Ü`_3Ü`이고 두 수의 공배수는 2Ü`_3Ü`의 배수이다.
따라서 두 수의 공배수가 아닌 것은 ①, ②이다.
36 72 90
2
⑵
∴ (최대공약수)=2_3_3=18
18 36 45
(최소공배수) =2_3_3_2
_2_5
=360
최소공배수
04 ⑴
2`_3Û`_5
2Û`_3`_5
2 _5_7
(최대공약수)=2 _5
(최소공배수)=2Û`_3Û`_5_7
최대
공약수
>²
>²
>²
>²
3
3
2
6 12 15
2
1
4
2
5
5
2`_3`_5Û`
3`_5Ü`
2Û`_3Û`_5º
(최대공약수)= 3`_5Ú`
(최소공배수)=2Û`_3Ü`_5Ü`
따라서 a=3, b=1이므로
a-b=3-1=2
05
개념의
유제
34쪽~36쪽
02 ⑴ 2Û`_3Ü`_7 ⑵ 2Ü`_3Û`_5Û`_7Û` ⑶ 800 ⑷ 420
01 7개
03 ①, ② 04 ⑴ 최대공약수：2_5, 최소공배수：2Û`_3Û`_5_7
⑵ 최대공약수：18, 최소공배수：360
06 24
05 2
06 세 자연수를 2_x, 3_x, 5_x(x는 자연수)라 하면
2_x 3_x 5_x
x
x
>³
2
2
3
3
5
5
01 두 자연수 A, B의 공배수는 이 두 수의 최소공배수인 35의 배수
이때 최소공배수가 360이므로
이다.
x_2_3_5=360
∴ x=12
따라서 250 미만인 자연수 중 35의 배수는 35, 70, 105, 140, 175,
따라서 세 자연수는 2_x=2_12=24, 3_x=3_12=36,
210, 245의 7개이다.
5_x=5_12=60이므로 구하는 가장 작은 수는 24이다.
I. 자연수의 성질 9
연산의
1 ⑴ 최대공약수：2Û`_5, 최소공배수：2Ü`_3_5Û`
⑵ 최대공약수：2Û`_3_7, 최소공배수：2Û`_3Û`_7
⑶ 최대공약수：3_11, 최소공배수：3_5_7Û`_11Û`
⑷ 최대공약수：3, 최소공배수：2_3Û`_7_11`
⑸ 최대공약수：2_3, 최소공배수：2Û`_3Ü`_5_7
⑹ 최대공약수：3_5, 최소공배수：2_3Û`_5Ü`_7
⑺ 최대공약수：2Û`_5, 최소공배수：2Ü`_3Û`_5Ü`_7
2 ⑴ 최대공약수：4, 최소공배수：48
⑵ 최대공약수：13, 최소공배수：130
⑶ 최대공약수：18, 최소공배수：180
⑷ 최대공약수：6, 최소공배수：546
⑸ 최대공약수：1, 최소공배수：240
⑹ 최대공약수：9, 최소공배수：252
⑺ 최대공약수：5, 최소공배수：630
⑻ 최대공약수：14, 최소공배수：1176
⑼ 최대공약수：12, 최소공배수：720
⑽ 최대공약수：42, 최소공배수：1260
37쪽
2
⑻
2
2
42 56 98
∴ (최대공약수)=2_7=14
7
7
21 28 49
(최소공배수) =2_7_3
3
4
7
최소공배수
_4_7
>²
>²
최대
공약수
최대
공약수
2
2
⑼
2
60 72 144
∴ (최대공약수) =2_2_3
>²
>²
>²
>²
>²
2
2
3
3
2
3
30 36
15 18
5
5
5
6
3
1
72
36
12
6
2
3
3
7
7
42
14
>²
>²
2
63 105
21
3
35
5
=1176
=12
(최소공배수) =2_2_3_2
_3_5_2
=720
(최소공배수) =2_3_7
최소공배수
_2_3_5
=42
=1260
2
⑽
2
2
>²
84 126 210
최대
공약수
최소공배수
∴ (최대공약수) =2_3_7
2
2 ⑴
2
2
12 16
∴ (최대공약수)=2_2=4
(최소공배수) =2_2_3_4
최소공배수
=48
13
13
⑵
13
26 65
∴ (최대공약수)=13
2
5
(최소공배수) =13_2_5 =130
최소공배수
2
2
⑶
2
36 90
∴ (최대공약수)=2_3_3=18
(최소공배수) =2_3_3_2_5
=180
최소공배수
내공의
38쪽~40쪽
03 2Ü`_3_5Û`
07 366
02 ①
06 ②
01 8개
05 ①, ④
08 최대공약수：15, 최소공배수：1575
11 39
13 5
12 21
15 a=7, 최대공약수：14 16 ②
21 3개
19 8
20 ②, ④
09 ②, ④
14 90
17 15
22 ③
04 108
10 7
18 56개
23 6개
01 두 자연수의 공배수는 이 두 수의 최소공배수인 12의 배수이다.
따라서 두 수의 공배수 중 두 자리의 자연수는 12, 24, 36, 48, 60,
2
2
⑷
2
42 78
∴ (최대공약수)=2_3=6
72, 84, 96의 8개이다.
3
3
21 39
(최소공배수) =2_3_7_13
7 13
최소공배수
=546
⑸
>²
15 16 24
2
∴ (최대공약수)=1
8 12
(최소공배수) =2_2_2_3_5_2
6
3
4
2
2
1 최소공배수
=240
3
⑹
3
3
18 36 63
∴ (최대공약수)=3_3=9
6 12 21
(최소공배수) =3_3_2
2Û`_3_5Û`
2Ü`_3_5`
(최소공배수)=2Ü`_3_5Û`
04 6, 12, 18의 최소공배수는
2_3_2_3=36
02 두 수의 공배수는 이 두 수의 최소공배수인 2_3Û`의 배수이다.
따라서 두 수의 공배수가 아닌 것은 ①이다.
03 2_2_3_5_5=2Û`_3_5Û`,
2_2_6_5=2_2_2_3_5=2Ü`_3_5이므로
_2_7
최소공배수
=252
따라서 6, 12, 18의 공배수는 세 수의 최소
공배수인 36의 배수, 즉 36, 72, 108, y이
2
2
6 12 18
>³
3
3
3
>³
1
1
1
2
2
6
9
3
3
5
5
⑺
5
35 45 90
∴ (최대공약수)=5
므로 세 수의 공배수 중 가장 작은 세 자리의 자연수는 108이다.
9 18
(최소공배수) =5_3_3
05 세 수의 최소공배수는 2Û`_3Û`_5이므로 세 수의 공배수는
_7_2
2Û`_3Û`_5의 배수이다.
최소공배수
=630
따라서 세 수의 공배수가 아닌 것은 ①, ④이다.
최대
공약수
2
2
>²
>²
6
3
8
4
최대
공약수
>²
>²
>²
>²
3
3
3
3
18 45
6 15
2
5
최대
공약수
최대
공약수
>²
>²
2
2
3
15
15
15
>²
>²
>²
5
최대
공약수
최대
공약수
>²
>²
>²
3
3
2
>²
>²
>²
3
3
2
1
7
7
7
4
2
3
1
7
7
6
2
10 정답과 해설
²
³
06 30=2_3_5이므로
2 _3 _5
2Û`_3 _5Û`
2Û`_3Ü` _7
(최대공약수)=2 _3
(최소공배수)=2Û`_3Ü`_5Û`_7
07
2 _3Û
2Û`_3`_5
2Ü`_3Û`
(최대공약수)=2 _3 =6
(최소공배수)=2Ü`_3Û`_5=360
따라서 a=6, b=360이므로
a+b=6+360=366
3 _5Û`
3 _5 _7
(최대공약수)=3 _5 =15
(최소공배수)=3Û`_5Û`_7=1575
10
2`_3`_5`
2`_3º`_5`
(최소공배수)=2Û`_3Ü`_5Û`
따라서 a=2, b=3, c=2이므로
a+b+c=2+3+2=7
12
2Û`_3`_5
2`_3º` _c
(최대공약수)=2Ú`_3
(최소공배수)=2Û`_3Ü`_5_7
따라서 a=1, b=3, c=7이므로
a_b_c=1_3_7=21
08 45=3Û`_5, 75=3_5Û`, 105=3_5_7이므로
3Û`_5`
따라서 세 자연수는 3_x=3_15=45, 4_x=4_15=60,
6_x=6_15=90이므로 구하는 가장 큰 수는 90이다.
09
12 30 70
∴ (최대공약수)=2
6 15 35
(최소공배수) =2_3_5_2_7
5 35
=420
1
7 최소공배수
최대공약수
2
2
3
5
>²
>²
>²
2
2
① 세 수의 최대공약수는 2이다.
③ 세 수의 공배수는 최소공배수인 420의 배수이다.
16 120=2Ü`_3_5이므로
120과 A의 최소공배수가 2Ü`_3Û`_5_7이 되려면
⑤ 세 수의 공약수는 최대공약수인 2의 약수이므로 1, 2이다.
A는 2Ü`_3Û`_5_7의 약수이면서 3Û`_7의 배수이어야 한다.
11 두 자연수 2Ý`_3Ü`, 2Ý`_(cid:8641)_5Ü`의 최소공배수가 2Ý`_3Ü`_5Ü`이므로
Y =10☆(12△15)
(cid:8641) 안에는 1을 제외한 3Ü`의 약수가 들어갈 수 있다.
따라서 (cid:8641) 안에 들어갈 수 있는 수는 3, 3Û`, 3Ü`이므로 구하는 수의 합
은 3+3Û`+3Ü`=39
13 300=2Û`_3_5Û`, 12600=2Ü`_3Û`_5Û`_7이므로
2Ü`_3Û`_5``
2Û`_3`_5Û`_b
(최대공약수)=2Û`_3`_5Û`
(최소공배수)=2Ü`_3Û`_5Û`_7
따라서 a=2, b=7이므로
b-a=7-2=5
14 세 자연수를 3_x, 4_x, 6_x(x는 자연수)라 하면
3_x 4_x 6_x
x
x x
>²
>²
3
3
2
2
3
3
>²
1
1
4
2
2
2
6
3
1
1
이때 최소공배수가 180이므로
x_2_3_2=180
∴`x=15
15
a
최대
2
공약수
>²
4_a 6_a 18_a
4
2
2
>²
>²
3
6
3
1
18
9
3
이때 최소공배수가 252이므로
a_2_3_2_3=252 ∴ a=7
따라서 세 자연수의 최대공약수는
a_2=7_2=14
최소공배수
따라서 A의 값이 될 수 없는 것은 ②이다.
참고
② 2Û`_3_5_7은 2Ü`_3Û`_5_7의 약수이지만 3Û`_7의 배수가 아
니다.
이때 두 수 120과 2Û`_3_5_7의 최소공배수는 2Ü`_3_5_7이다.
17 X =(10☆12)△15
=60△15
10과 12의 최소공배수는 60이다.
60과 15의 최대공약수는 15이다.
=15
=10 ☆ 3
=30
12와 15의 최대공약수는 3이다.
10과 3의 최소공배수는 30이다.
∴ (X△Y) ☆ 3 =(15△30) ☆ 3
=15 ☆ 3
=15
15와 30의 최대공약수는 15이다.
15와 3의 최소공배수는 15이다.
18 110 이하의 자연수 중에서
3의 배수는 3, 6, 9, 12, y, 108의 36개,
4의 배수는 4, 8, 12, y, 108의 27개,
3과 4의 최소공배수인 12의 배수는 12, 24, y, 108의 9개이다.
I. 자연수의 성질 11
따라서 110 이하의 자연수 중에서 3의 배수도 아니고 4의 배수도
6 A_18=9_270
∴ A=135
아닌 자연수의 개수는 110 이하의 자연수 중에서 3의 배수이거나
7 80=2_(최소공배수)
∴ (최소공배수)=40
4의 배수인 자연수의 개수를 뺀 것과 같다.
∴`110-(36+27-9)=110-54=56(개)
19
2Ý`_3`
`_7
2Û`_3Û`_5Ü``
2`_3`_5`_7¶`
(최대공약수)=2Ú`_3`
(최소공배수)=2Ý`_3º`_5Ý`_7Ú
따라서 a=1, b=2, c=4, d=1이므로
a+b+c+d=1+2+4+1=8
20 4=2Û`, 25=5Û`, 600=2Ü`_3_5Û`이므로
n은 2Ü`_3_5Û`의 약수이면서 2Ü`_3의 배수이어야 한다.
따라서 구하는 학생 수는 2_2_3=12(명)
⑵ 한 학생이 받는 자두와 오렌지의 개수는 각각
따라서 n의 값이 될 수 있는 수는 2Ü`_3, 2Ü`_3_5, 2Ü`_3_5Û`, 즉
108Ö12=9(개), 120Ö12=10(개)이다.
따라서 a의 값이 될 수 있는 수는 2Û`_3Ü`, 2Û`_3Ü`_5, 2Û`_3Ü`_5Û`의
2_2_2_3=24 (cm)이다.
3개이다.
24, 120, 600이다.
따라서 n의 값이 될 수 없는 수는 ②, ④이다.
21 9=3Û`, 25=5Û`이고 세 수의 최소공배수가 2Û`_3Ü`_5Û`이므로
a는 2Û`_3Ü`_5Û`의 약수이면서 2Û`_3Ü`의 배수이어야 한다.
22 어떤 수는 최대공약수인 2Û`_3Û`을 반드시 포함해야 하고, 5는 포함
하지 않아야 한다. 또한 2Ü`_3Û`_5에 최소공배수 2Ü`_3Ü`_5의 3Ü`이
없으므로 어떤 수는 3Ü`을 반드시 포함해야 한다.
따라서 어떤 수는 2Û`_3Ü`이다.
23 18=2_3Û`, 810=2_3Ý`_5이므로
A는 최대공약수인 2_3Û`의 배수이면서 최소공배수인 2_3Ý`_5
의 약수이어야 한다.
따라서 A의 값이 될 수 있는 자연수는 2_3Û`, 2_3Ü`, 2_3Ý`,
04 어떤 자연수는 93-3, 50+4, 즉 90, 54의 공약수
2_3Û`_5, 2_3Ü`_5, 2_3Ý`_5의 6개이다.
중 4보다 큰 수이다.
개념의
유제
01 ⑴ 12명 ⑵ 자두：9개, 오렌지：10개 02 30개
04 3개
09 9
06 24일
11 80
05 72개
10 120
07 1
44쪽~48쪽
03 26개
08 110
01 ⑴ 가능한 한 많은 학생들에게 똑같이 나누어 주
려면 학생 수는 108과 120의 최대공약수이
어야 한다.
108 120
54 60
27 30
2
2
>³
2
2
>³
3
3
>³
9 10
02 가능한 한 큰 정육면체 모양의 블록으로 채
우려면 블록의 한 모서리의 길이는 120, 72,
48의 최대공약수이어야 한다.
따라서 블록의 한 모서리의 길이는
2
2
>³
2
2
>³
2
2
>³
3
3
>³
120 72 48
60 36 24
30 18 12
15 9 6
5 3 2
이때 가로는 120Ö24=5(개), 세로는 72Ö24=3(개), 높이는
48Ö24=2(개)이므로 필요한 블록의 개수는 5_3_2=30(개)
03 화분의 수를 최소한으로 하려면 화분 사이의 간격을 가능한 한 넓
게 해야 하므로 화분 사이의 간격은 98과 84의 최대공약수이어야
한다.
따라서 화분 사이의 간격은 2_7=14`(m)이다.
이때 98Ö14=7, 84Ö14=6이므로 필요한 화분
의 개수는 (7+6)_2=26(개)
이때 90과 54의 최대공약수는 2_3_3=18이므
로 18의 약수 중 4보다 큰 수는 6, 9, 18의 3개이다.
05 가능한 한 작은 정육면체를 만들려면 정육면체의 3
3
>³
한 모서리의 길이는 12, 9, 6의 최소공배수이어
2
2
>³
12 9 6
4 3 2
야 한다.
2 3 1
2 3 1
98 84
2
>³
49 42
7
>³
7 6
90 54
45 27
15 9
2
2
>³
3
3
>³
3
3
>³
5 3
43쪽
이때 가로는 36Ö12=3(개), 세로는 36Ö9=4(개),
높이는 36Ö6=6(개)이므로 필요한 나무토막의 개수는
3_4_6=72(개)
06 세 사람이 처음으로 다시 모여 축구를 하게 되는 2
>³
2
>³
것은 8, 4, 6의 최소공배수인
8 4 6
4 2 3
2_2_2_3=24(일) 후이다.
2 1 3
따라서 24일 후에 세 사람이 처음으로 다시 모여
축구를 하게 된다.
05
최대공약수와 최소공배수의 활용
따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는
3_2_2_3=36`(cm)이다.
기초의
1 ⑴ 8 ⑵ 8
2 ⑴ 24 ⑵ 24
3 ⑴ 40 ⑵ 40
4 ⑴ 30 ⑵ 오전 9시 30분
5 ⑴ 12 ⑵ 12
6 135
7 40
12 정답과 해설
07 두 톱니바퀴가 처음으로 다시 같은 톱니에서 맞물
릴 때까지 움직인 톱니의 수는 18, 20의 최소공배
18 20
2
>³
9 10
02 되도록 큰 정사각형 모양의 대리석을 붙이려면
대리석의 한 변의 길이는 360과 168의 최대공
수인 2_9_10=180(개)이다.
약수이어야 한다.
따라서 두 톱니바퀴가 처음으로 다시 같은 톱니에서 맞물리는 것은
∴ A=2_2_2_3=24
A：180Ö18=10(바퀴), B：180Ö20=9(바퀴) 회전한 후이다.
이때 가로는 360Ö24=15(개),
따라서 a=10, b=9이므로 a-b=10-9=1
세로는 168Ö24=7(개)이므로 B=15_7=105
08 세 자연수 4, 6, 9의 어느 것으로 나누어도 나머지가 2인 자연수를
x라 하면 x-2는 4, 6, 9의 공배수이다.
∴ B-A=105-24=81
03 어떤 자연수는 180-5, 212-2, 즉 175, 210의 공약수 중 5보다
175 210
큰 수이므로 이러한 수 중 가장 큰 자연수는 175
4 6 9
2 3 9
2
2
>³
3
3
>³
2 1 3
2 1 3
와 210의 최대공약수이어야 한다.
따라서 구하는 수는 5_7=35
360 168
180 84
90 42
45 21
2
2
>³
2
2
>³
2
2
>³
3
3
>³
15 7
5
5
>³
7
7
>³
35 42
5
6
3
3
>³
2
2
>³
6 15 18
2 5 6
3
1 5 3
5
1
이때 4, 6, 9의 최소공배수는
2_3_2_3=36이므로
x-2=36, 72, 108, y
∴ x=38, 74, 110, y
따라서 가장 작은 세 자리의 자연수는 110이다.
참고
① (문제에서 주어진 수)Ö(어떤 자연수) (cid:8857) 공약수 구하기
② (어떤 자연수)Ö(문제에서 주어진 수) (cid:8857) 공배수 구하기
즉 어떤 자연수가 문제에서 주어진 수보다 작은 수이면 최대공약수의
활용 문제, 큰 수이면 최소공배수의 활용 문제이다.
09 n은 18과 63의 공약수이므로 n의 값 중 가장 큰 수
18 63
는 18과 63의 최대공약수이다.
따라서 구하는 수는 3_3=9
10 구하는 수는 15와 24의 최소공배수이므로
3_5_8=120
3
3
>³
3
3
>³
6 21
2 7
15 24
3
>³
5 8
11 (두 수 A, B의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로
640=8_(최소공배수)
∴ (최소공배수)=80
04 ⑴ 가장 작은 정육면체를 만들려면 정육면체의
한 모서리의 길이는 6, 15, 18의 최소공배수
이어야 한다.
따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는
3_2_5_3=90`(cm)
⑵ 가로는 90Ö6=15(장), 세로는 90Ö15=6(장), 높이는
90Ö18=5(장)을 쌓아야 한다.
⑶ 15_6_5=450(장)
05 100과 60의 최소공배수는
2_2_5_5_3=300이므로 두 사람은 300초
마다 동시에 출발한 곳으로 돌아온다.
따라서 두 번째로 두 사람이 동시에 출발한 곳으
로 돌아오는 것은 300_2=600(초) 후이다.
2
2
>³
2
2
>³
5
5
>³
100 60
50 30
25 15
5 3
5 3
06 5, 6, 10의 최소공배수는 2_5_3=30이므로
노선이 다른 세 종류의 버스는 30분 간격으로 동
시에 출발한다.
5 6 10
5 3 5
2
2
>³
5
5
>³
1 3 1
1 3 1
따라서 오전 6시 30분에 출발한 후 오전 7시, 오전 7시 30분, y, 오
전 10시 30분, 오전 11시까지 총 9회 동시에 출발한다.
참고
오전 6시 30분부터 오전 11시까지는 4시간 30분, 즉 270분이다.
∴`270Ö30=9(회)
07 세 톱니바퀴가 처음으로 다시 같은 톱니에서 2
>³
2
맞물릴 때까지 움직인 톱니의 수는 18, 32, 12
>³
3
>³
의 최소공배수인
2_2_3_3_8=288(개)이다.
18 32 12
9 16 6
9 8 3
3 8 1
따라서 세 톱니바퀴가 처음으로 다시 같은 톱니에서 맞물리는 것
은 톱니바퀴 B가 288Ö32=9(바퀴) 회전한 후이다.
08 4, 6, 10의 어느 것으로 나누어도 모두 3이 남는 자연수를 x라 하면
x-3은 4, 6, 10의 공배수이다.
내공의
01 8자루
03 35
04 ⑴ 90`cm ⑵ 가로：15장, 세로：6장, 높이：5장 ⑶ 450장
05 600초
07 9바퀴
08 123
06 9회
02 81
09 8개
49쪽~51쪽
10 :£5¤:
15 334명
11 13
12 40000원 13 10일
14 5명
16 8개
17 72
18 112
01 가능한 한 많은 학생들에게 똑같이 나누
어 주려면 학생 수는 140, 175, 280의 최
5
5
>³
7
7
>³
140 175 280
이때 4, 6, 10의 최소공배수는
28 35 56
2_2_3_5=60이므로
대공약수이어야 한다.
4 5 8
x-3=60, 120, 180, y
따라서 나누어 줄 수 있는 학생 수는 5_7=35(명)이므로 한 학생
∴ x=63, 123, 183, y
이 받는 펜은 280Ö35=8(자루)
따라서 가장 작은 세 자리의 자연수는 123이다.
4 6 10
2
2
>³
2 3 5
2 3 5
I. 자연수의 성질 13
a는 5, 25, 5의 공약수, b는 3, 12, 9의 공배수이어야 한다.
공배수이다.
09 구하는 수는 4와 6의 공배수이다.
이때 4와 6의 최소공배수는 2_2_3=12이므로
4 6
2
2
>³
2 3
2 3
15 6명, 7명, 8명씩 배정하면 모두 2명이 부족하므로 학생 수를 x명이
라 하면 x+2는 6, 7, 8의 공배수이다.
100 이하의 자연수 중 12의 배수는 12, 24, y, 96의
이때 6, 7, 8의 최소공배수는 2_3_7_4=168
두 자연수 A와 143의 최대공약수가 11이므로
∴ a=4, b=1
11
11
>³
A 143
a 13
a 13
8개이다.
10 구하려는 분수를
라 하면
;aB;
_
=(자연수),
_
=(자연수),
;1@2%;
;aB;
;3%;
;aB;
_
=
_
;9%;
;aB;
;aB;
;1!8);
=(자연수)가 되어야 하므로
이때
가 가장 작은 수가 되려면
;aB;
(3, 12, 9의 최소공배수)
(5, 25, 5의 최대공약수)
=
:£5¤:
;aB;=
11 (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로
A_143=11_286
∴ A=22
따라서 A=2_11이므로 구하는 소인수들의 합은
2+11=13
다른 풀이
A=11_a(a와 13은 서로소)라 하면
A와 143의 최소공배수가 286이므로
11_a_13=286
∴ a=2
따라서 A=11_2이므로 구하는 소인수들의 합은
11+2=13
12 가능한 한 큰 정육면체 모양으로 자르려면 떡의 2
>³
3
한 모서리의 길이는 60, 48, 6의 최대공약수인
>³
2_3=6`(cm)이어야 한다.
60 48 6
30 24 3
10 8 1
따라서 구하는 떡의 총 판매 금액은
500_80=40000(원)
13 윤미가 다시 일하는 데 걸리는 기간 : 5+1=6(일)
은성이가 다시 일하는 데 걸리는 기간 : 7+3=10(일)
이때 6과 10의 최소공배수는 2_3_5=30이므로 2
>³
6 10
두 사람은 30일마다 동시에 일을 시작한다.
3 5
따라서 두 사람이 동시에 일을 시작하는 날의 총 일수는
300Ö30=10(일)
14 4열, 5열, 6열로 세워도 항상 3명이 남으므로 학생 수를 x명이라 하
면 x-3은 4, 5, 6의 공배수이다.
이때 4, 5, 6의 최소공배수는 2_2_5_3=60
이므로 x-3은 60의 배수이고 학생 수는 200명
4 5 6
2
>³
2 5 3
01 ③
06 ④
보다 많고 300명보다 적으므로
x-3=240
∴ x=243
따라서 243명을 7열로 세우면
243=7_34+5이므로 5명이 남는다.
14 정답과 해설
이므로 x+2는 168의 배수이고 야영에 참가한
학생 수는 300명에서 350명 사이이므로
x+2=336
∴ x=334
따라서 구하는 학생 수는 334명이다.
6 7 8
2
>³
3 7 4
16 백화점에서 나누어 주는 사은품의 개수는
,
;3!;
,
;9!;
,
;1Á8;
;2!;
의 분모의
이때 2, 3, 9, 18의 최소공배수는
2 3 9 18
2_3_3=18이고 사은품의 개수는 70개에
1 3 9 9
서 80개 사이이므로 72개이다.
1 1 3 3
따라서 세 번째 손님이 받는 사은품의 개수는
1 1 1 1
2
>³
3
>³
3
>³
72_
=8(개)
;9!;
17 A=24_a, B=24_b( a>b이고 a, b는 서로소)라 하면
최소공배수가 96이므로
24_a_b=96에서 a_b=4
따라서 A=24_4=96, B=24_1=24이므로
A-B=96-24=72
18 두 자연수를 A=16_a, B=16_b( a>b이고 a, b는 서로소)라
하면 최소공배수가 160이므로
16_a_b=160에서 a_b=10
Ú a=10, b=1일 때
A=16_10=160, B=16_1=16이므로
A-B=160-16=144
A-B=80-32=48
Ú, Û에서 A=80, B=32
∴ A+B=80+32=112
실전의
02 ①, ④
07 10
12 840
11 ⑤
15 ⑴ 18`m ⑵ 26그루
19 ③
24 1440
20 119
25 190명
03 ③
08 ④
13 10
16 9
21 ④
26 ①, ③
52쪽~55쪽
04 13
09 12개
14 9모둠
17 12명
22 ⑤
05 ③
10 ④, ⑤
18 3바퀴
23 12
이때 가로는 60Ö6=10(개), 세로는 48Ö6=8(개), 높이는
Û a=5, b=2일 때
6Ö6=1(개)이므로 만들 수 있는 떡의 개수는 10_8_1=80(개)
A=16_5=80, B=16_2=32이므로
01 ① 2는 소수이지만 짝수이다.
② 합성수의 약수의 개수는 3개 이상이다.
④ 자연수는 1, 소수, 합성수로 이루어져 있다.
12
2Û`_3Å`_5
2´`_3Û`_5Û`_a
2Þ`_3Ý`_5½
⑤ 21은 1, 3, 7, 21을 약수로 가지므로 합성수이다.
`(최소공배수)=2ß`_3Þ`_5Ý`_7
02 ② 2+2+2+2=2_4=2_2_2=2Ü`
③ 2_2_5_5=2Û`_5Û`
⑤ 밑이 2이고 지수가 7인 거듭제곱은 2à`이다.
03 ① 12=2Û`_3
④ 80=2Ý`_5
② 45=3Û`_5
⑤ 150=2_3_5Û`
04 132=2Û`_3_11이므로 a=2, b=11
∴`a+b=2+11=13
따라서 a=7, x=5, y=6, z=4이므로
a_x_y_z=7_5_6_4=840
13
x x
x
최대
>²
공약수
3_x 4_x 6_x
2
3
>²
>²
3
3
1
4
2
2
6
3
1
최소공배수
이때 최소공배수가 120이므로
x_2_3_2=120
∴`x=10
따라서 세 자연수의 최대공약수는 10이다.
05 36을 소인수분해하면 36=2Û`_3Û`
③ 2Ü`에서 2의 지수가 2Û`_3Û`에서 2의 지수보다 크므로 2Ü`은 2Û`_3Û`
의 약수가 아니다.
06 ① 2_9_7Û`=2_3Û`_7Û`이므로 약수의 개수는
(1+1)_(2+1)_(2+1)=18(개)
② 2_16_7Û`=2_2Ý`_7Û`=2Þ`_7Û`이므로 약수의 개수는
(5+1)_(2+1)=18(개)
③ 2_25_7Û`=2_5Û`_7Û`이므로 약수의 개수는
(1+1)_(2+1)_(2+1)=18(개)
④ 2_49_7Û`=2_7Û`_7Û`=2_7Ý`이므로 약수의 개수는
(1+1)_(4+1)=10(개)
⑤ 2_121_7Û`=2_11Û`_7Û`이므로 약수의 개수는
(1+1)_(2+1)_(2+1)=18(개)
따라서 A의 값이 될 수 없는 것은 ④이다.
14 각 모둠별 인원이 같고 남학생 수와 여학생 수의 비 3
3
>
>
가 같으려면 모둠의 수는 54, 45의 공약수이어야 하
3
3
>
>
고, 최대한 많은 모둠을 만들려면 모둠의 수는 54,
54 45
18 15
6
5
45의 최대공약수이어야 한다.
따라서 모둠의 수는 3_3=9(모둠)
15 ⑴ 나무 사이의 간격이 일정하고 최대가 되어야 2
2
>³
3
3
하므로 나무 사이의 간격은 108과 126의 최
>³
3
3
>³
대공약수이어야 한다.
따라서 구하는 나무 사이의 간격은
108 126
54 63
18 21
6 7
2_3_3=18`(m)
(6+7)_2=26(그루)
⑵ 108Ö18=6, 126Ö18=7이므로 필요한 나무의 수는
07 2Ü`_3Û`_5_a가 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면 소인수들의
지수가 짝수가 되어야 한다.
따라서 곱해야 하는 가장 작은 자연수는 2_5=10이다.
16 어떤 자연수는 56-2, 103-4, 즉 54, 99의 공약수 3
3
>
>
3
3
>
>
중 4보다 큰 수이다.
이때 54, 99의 최대공약수는 3_3=9이므로 구하
54 99
18 33
6 11
∴ a=10
는 수는 9의 약수 중에서 4보다 큰 수인 9이다.
08 ④ 28과 63의 최대공약수는 7이므로 서로소가 아니다.
09 두 수 A, B의 최대공약수가 2Û`_3_7이므로 A, B의 공약수의 개
수는 2Û`_3_7의 약수의 개수와 같다.
∴`(2+1)_(1+1)_(1+1)=12(개)
17 귤은 60개, 바나나는 75-3=72(개), 토마토 2
2
60 72 48
>³
는 50-2=48(개)를 똑같이 나누어 주었으므
2
30 36 24
2
>³
3
3
>³
로 최대 학생 수는 60, 72, 48의 최대공약수이
15 18 12
어야 한다.
5 6 4
따라서 구하는 학생 수는 2_2_3=12(명)
10 54=2_3Ü`, 90=2_3Û`_5이므로 두 수 54와 90의 최소공배수는
2_3Ü`_5이고 두 수의 공배수는 2_3Ü`_5의 배수이다.
따라서 두 수의 공배수인 것은 ④, ⑤이다.
11 50=2_5Û`이므로 세 수 2Û`_5, 2Û`_3Û`_5, 2_5Û`의 최대공약수는
18 두 톱니바퀴가 처음으로 다시 같은 톱니에서 맞물 2
2
>
>
2
2
릴 때까지 움직인 톱니의 수는 36, 48의 최소공배수인
>
>
3
3
>
2_2_3_3_4=144(개)이다.
36 48
18 24
9 12
따라서 두 톱니바퀴가 처음으로 다시 같은 톱니에서
3
3
4
4
2_5, 최소공배수는 2Û`_3Û`_5Û`이다.
맞물리는 것은 톱니바퀴 B가 144Ö48=3(바퀴) 회전한 후이다.
I. 자연수의 성질 15
³
³
³
³
³
³
³
19 할아버지와 할머니 모두에게 처음으로 다시 같은 날 2
>³
8 10
책을 읽어 주는 날은 8과 10의 최소공배수인
4 5
24
24
>³
48 72 N
2 3 n
∴ N=24_n
2_4_5=40(일) 후이다.
이때 최소공배수가 720=24_(2_3_5)이므로 n의 값이 될 수
따라서 40일 후인 5월 12일에 할아버지와 할머니 모두에게 처음으
있는 수는 5, 2_5, 3_5, 2_3_5이다.
로 다시 같은 날 책을 읽어 주게 된다.
따라서 가능한 N의 값은 24_5=120, 24_2_5=240,
20 6, 5, 4의 어느 것으로 나누어도 모두 1이 부족한 자연수를 x라 하
24_3_5=360, 24_2_3_5=720이므로 그 합은
120+240+360+720=1440
6 5 4
2
>³
3 5 2
25 지승이네 학교 1학년 전체 학생 수는 7, 9로 나누면 1이 남고, 10
으로 나누면 나누어떨어지므로 1학년 전체 학생 수는
면 x+1은 6, 5, 4의 공배수이다.
이때 6, 5, 4의 최소공배수는
2_3_5_2=60이므로
x+1=60, 120, y
∴ x=59, 119, y
따라서 100에 가장 가까운 수는 119이다.
21
,
:¥n¢:
:Á;n*;¼:
이 모두 자연수이면 n은 84, 180의
공약수이고, 84와 180의 최대공약수는
2_2_3=12이므로 n의 값은 최대공약수
12의 약수인 1, 2, 3, 4, 6, 12이다.
따라서 n의 값으로 적당하지 않은 것은 ④이다.
84 180
42 90
21 45
2
2
>³
2
2
>³
3
3
>³
7 15
22 (두 수 30, N의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로
∴ N=24
30_N=6_120
23 10의 약수는 1, 2, 5, 10이므로
<10>=1+2+5+10=18
∴ a=18
18=2_3Û`이므로
[18]=(1+1)_(2+1)=6
∴ b=6
따라서 6의 약수는 1, 2, 3, 6이므로
<6>=1+2+3+6=12
(7, 9의 공배수)+1이면서 10의 배수이다.
이때 7, 9의 최소공배수는 7_9=63이므로 공배수는
63, 126, 189, 252, …
∴ (7, 9의 공배수)+1=64, 127, 190, 253, …
따라서 이 중 200 이하의 10의 배수를 찾으면 190이므로 1학년 전
체 학생 수는 190명이다.
26 최대공약수가 12이므로
A=12_a, B=12_b (a>b, a와 b는 서로소)라 하면
최소공배수가 72이므로
72=12_a_b에서 a_b=6
Ú a=6, b=1일 때,
A=12_6=72, B=12_1=12
∴ A+B=72+12=84
Û a=3, b=2일 때,
A=12_3=36, B=12_2=24
∴ A+B=36+24=60
Ú, Û에서 A+B의 값이 될 수 있는 수는 60, 84이다.
16 정답과 해설
II. 정수와 유리수
2 ⑴ +1, 3 ⑵ -5, -
;3(; ⑶ +1, 3, -5, 0, -
;3(; ⑷ +1, 2.5, ;2!;, 3
01
정수와 유리수의 뜻
기초의
1 ⑴ -3 km ⑵ -200 m ⑶ +5일
⑸ -5, -
;3(;, -1.5 ⑹ 2.5, ;2!;, -1.5
3 풀이 참조
4 A： -3, B： -1, C：+1, D：+3, E：+4
5 A： -
;4(;, B： -
;2#;, C： -
;4!;, D： ;4&;
6 풀이 참조
3
-1.4
-
;6#;
-
;4*;
◯
◯
◯
정수
정수가 아닌
유리수
음수
양수
유리수
◯
◯
◯
0
◯
◯
◯
◯
◯
;2%;
◯
◯
◯
-6
◯
◯
◯
6
A：-
=-1
;3$;
, B：;2#;
;3!;
=1
;2!;
, C：0.5=
, D：-
=-2
:Á4Á:
;4#;
;2!;
이므로 점 A, B, C, D를 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다.
D
A
C
B
-3
-2 -1
0
1
2
3
개념의
유제
61쪽 ~ 62쪽
01 ㉠, ㉢, ㉤ 02 ①
03 a=-2, b=3
04 ㉠, ㉡
01 ㉡ 영상 24 ¾：+24 ¾
㉣ 7점 실점：-7점
02 ① 정수는 +7, 0, -
:ª3¢:
`(=-8), -10의 4개이다.
② 양수는 +7, 2.4의 2개이다.
③ 음수는 -
, -
:Á4°:
:ª3¢:
, -10의 3개이다.
④ 자연수는 +7의 1개이다.
⑤ 유리수는 +7, -
, 2.4, 0, -
, -10의 6개이다.
:Á4°:
:ª3¢:
03 수직선 위에 -
=-1
와
;3@;
:Á4Á:
;3%;
=2
;4#;
을 나타내면 다음 그림과
같다.
-
5
3
;3%;
-3 -2 -1
0
1
2
4
따라서 -
에 가장 가까운 정수는 -2이므로 a=-2,
11
4
3
에 가장 가까운 정수는 3이므로 b=3
:Á4Á:
60쪽
04 ㉢ 양의 정수가 아닌 정수는 0이거나 음의 정수이다.
㉣ 0과 2 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다.
내공의
63쪽 ~ 64쪽
01 ⑤
02 ③
03 ②
08 -
07 ③
06 ③
10 ⑴ 풀이 참조 ⑵ a=-2, b=4
;4#;
05 9
04 ③
09 -2
11 a=-4, b=2
12 ㉡, ㉢
13 ③
01 ① 5점 하락 : -5점
② 1년 전 : -1년
③ 영하 1 ¾ : -1 ¾
④ 3000원을 지출 : -3000원
⑤ 해발 2744 m : +2744 m
따라서 나머지 넷과 부호가 다른 하나는 ⑤이다.
02 ① 2득점：+2점
② 영상 36 ¾：+36 ¾
③ 3 % 포인트 하락：-3 % 포인트
④ 19 % 증가：+19 %
⑤ 3일 후：+3일
따라서 음의 부호 -를 사용하여 나타낼 수 있는 것은 ③이다.
03 ☐ 안에 속하는 수는 정수가 아닌 유리수이므로 정수가 아닌 유리
수는 ②이다.
04
:Á3ª:
=4, 5Û`=5_5=25
① 정수는
, -1, 0, 5Û`의 4개이다.
② 양수는
, +2.3, 5Û`의 3개이다.
③ 자연수는
, 5Û`의 2개이다.
:Á3ª:
:Á3ª:
:Á3ª:
:Á3ª:
④ 유리수는
, -1, 0, +2.3, -
, 5Û`의 6개이다.
:Á5Á:
⑤ 음의 유리수는 -1, -
의 2개이다.
:Á5Á:
05 정수는 1, 0, -4, ;2^;(=3)의 4개이므로 a=4
정수가 아닌 유리수는 -3.9, +;5#;의 2개이므로 b=2
양수는 1, +;5#;, ;2^;의 3개이므로 c=3
∴ a+b+c=4+2+3=9
II. 정수와 유리수 17
06 조건을 모두 만족하는 수는 정수가 아닌 유리수 중 음수이므로 ③
이다.
02
수의 대소 관계
기초의
67쪽
1 ⑴ 7 ⑵ 6 ⑶ 0 ⑷ 8 ⑸ 5 ⑹
;4!; ⑺
;5#; ⑻ 2.3
07 ① A： -3
② B： -1
=-
;3@;
;3%;
④ D： 1
=
;5&;
;5@;
⑤ E： 2
=
;2!;
;2%;
08 주어진 수를 수직선 위에 점으로 나타내면 다음 그림과 같다.
-7
-1
-
0
3
4
따라서 왼쪽에서 두 번째에 있는 점이 나타내는 수는 -
이다.
;4#;
+4.5
+4 +5
4 ⑴ > ⑵ < ⑶ < ⑷ > ⑸ > ⑹ < ⑺ < ⑻ >
5 ⑴ x¾-8 ⑵ xÉ
;5#; ⑶ -
;2%;
Éx<6 ⑷ -3b인 두 수 a, b를 나타내는 두 점 사이의 거리가
이므로 두 점은 원점으로부터 각각
_
;2!;
:Á5¤:
=
;5*;
만큼씩 떨어
:Á5¤:
져 있다.
∴ a=
;5*;
04 ①
=
;5@;
;1¢0;
, 0.5=
;1°0;
이므로
<0.5
;5@;
② 0>-2.1
③ -
=-
;3!;
, -
=-
;4!;
;1¢2;
;1£2;
이므로 -
<-
;3!;
;4!;
④ |-2.3 |=2.3이므로 |-2.3 |>2
⑤ |-5 |=5, |+3 |=3이므로 |-5 |>|+3 |
05 ③ -3Éx<8
06 수직선 위에 -3과
;2%;=
;2!;
2
을 나타내면 다음 그림과 같다.
-3 -2 -1
0
1
2
3
5
2
07 절댓값이 같고 a>b인 두 수 a, b를 나타내는 두 점 사이의 거리가
이므로 두 점은 원점으로부터 각각
_
=
;2%;
;4%;
;2!;
만큼씩 떨어져
;2%;
있다.
따라서 -3Éx<
를 만족하는 정수 x는 -3, -2, -1, 0, 1, 2
;2%;
∴ a=
, b=-
;4%;
;4%;
08 ④
|+;5#;|=;5#;
|-;4#;|=;4#;
,
이고
<
;5#;
;4#;
이므로
71쪽 ~ 73쪽
<
|+;5#;|
|-;4#;|
09 주어진 수를 작은 수부터 차례로 나열하면
-
, -2.5, -
, 0, +1,
;2&;
;4#;
, 3
:Á5¢:
11 1개
12 ②
13 7개
따라서 세 번째에 오는 수는 -
이다.
;4#;
이다.
내공의
01 :Á2¦:
02 +2
03 ④
04 a=3, b=-4
05 3개
06 6
07 a=
;4%;, b=-
;4%;
08 ④
10 ②
09 -
;4#;
14 ⑴ 7개 ⑵ 6개
17 -
;8%;, -
19 ④
;8!;,
;8#;, -
;8!;,
;8#;
20 D, B, A, C
15 -7
16 4
18 -6, -5, -4
01 절댓값이 4인 양수는 4이므로 a=4
-
의 절댓값은
이므로 b=
;2(;
;2(;
;2(;
∴ a+b=4+
=
;2(;
:Á2¦:
02 각 수의 절댓값을 구하면 다음과 같다.
10 ② 수직선에서 -
쪽에 있다.
;2#;
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
을 나타내는 점은 -1을 나타내는 점보다 왼
절댓값이 1보다 작은 정수는 절댓값이 0인 수이다.
11 ㉠
따라서 구하는 정수는 0의 1개이다.
㉡ 4는 양수, -5는 음수이지만 |4|<|-5|
㉢ (음의 정수)<0<(양의 정수)
㉣ 음수의 절댓값은 양수이므로 자기 자신과 다르다.
㉤
음의 유리수는 절댓값이 클수록 수직선의 왼쪽에 있고, 양의
-
=
, |0|=0, |+2|=2, |-10|=10,
|
;2#;
+
;4(;|
=
;4(;
;2#;|
|
유리수는 절댓값이 클수록 수직선의 오른쪽에 있다.
이때 절댓값이 큰 수부터 차례대로 나열하면
따라서 옳은 것은 ㉠의 1개이다.
-10, +
, +2, -
, 0
;4(;
;2#;
따라서 세 번째에 오는 수는 +2이다.
03 ① +5의 절댓값은 5이다.
② |-10|=10, |+6|=6이므로 |-10|>|+6|
③ |-2|=|2|이지만 -2+2이다.
④ 절댓값이 3인 수는 +3, -3의 2개이다.
12 ② b는 -5보다 작다. ➡ b<-5
13 수직선 위에 -2
과
;3!;
:Á3¢:
=4
;3@;
를 나타내면 다음 그림과 같다.
-2 1
3
14
3
-3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
따라서 -2
0이므로 a=3
05 각 수의 절댓값을 구하면 다음과 같다.
|+5|=5, |:Á5ª:|
|0|=0, |3.6|=3.6
=
:Á5ª:, |-6|=6, |+4|=4, |-;2(;|
=
;2(;,
따라서 절댓값이 4 미만인 수는 :Á5ª:, 0, 3.6의 3개이다.
14 ⑴
;2&;
=3
이고 x는 정수이므로
;2!;
;2&;
|x|<
을 만족하는 |x|의 값을 구하면
|x|=0 또는 |x|=1 또는 |x|=2 또는 |x|=3이다.
Ú |x|=0일 때, x=0
Û |x|=1일 때, x=1 또는 x=-1
Ü |x|=2일 때, x=2 또는 x=-2
Ý |x|=3일 때, x=3 또는 x=-3
따라서 정수 x는 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3의 7개이다.
⑵
절댓값이 2 이상이고 5 미만인 정수는 절댓값이 2, 3, 4인 수이다.
06 절댓값이 같고 부호가 다른 두 수를 나타내는 두 점 사이의 거리가
12이므로 두 점은 원점으로부터 각각
_12=6만큼씩 떨어져 있다.
;2!;
따라서 두 수는 6, -6이므로 두 수 중 큰 수는 6이다.
Ú 절댓값이 2인 수는 2, -2
Û 절댓값이 3인 수는 3, -3
Ü 절댓값이 4인 수는 4, -4
II. 정수와 유리수 19
따라서 절댓값이 2 이상이고 5 미만인 정수는 -4, -3, -2, 2,
4
⑴
{+;3@;}
+
+;4%;}
{
=
{+;1¥2;}
{+;1!2%;}
+
17 -
=-
,
;8^;
;2!;
=
;8$;
;4#;
이므로 두 수 -
과
사이에 있는 유리수
;4#;
;2!;
⑶
{-;1°2;}
+
+;6%;}
{
=
{-;1°2;}
{+;1!2);}
+
⑵
{-;3@;}
+
-;6%;}
{
=
+
{-;6$;}
{-;6%;}
=+
{;1¥2;+;1!2%;}\
=+;1@2#;
=-
+
{;6$;
;6%;}
=
-;6(;\
\=-;2#;
=+
{;1!2);-;1°2;}
=
+;1°2;
=-
{:Á8ª:-;8(;}
=-;8#;
⑷
{+;8(;}
+
-;2#;}
{
=
+
{+;8(;}
{-:Á8ª:}
6
⑴ (+2)+(-8)+(-1) =(+2)+{(-8)+(-1)}
=(+2)+(-9)=-7
⑵ (+5)+(-12)+(+2)
=(+5)+(+2)+(-12)
={(+5)+(+2)}+(-12)
=(+7)+(-12)=-5
⑶
{-;2%;}+{+;3@;}+{-;6!;}
{-:Á6°:}+{+;6$;}+{-;6!;}
{-:Á6°:}+{-;6!;}+{+;6$;}
[{-:Á
Á6°:}+{-;6!;}]+{+;6$;}
=
=
=
=
{-:Á6¤:}+{+;6$;}
=-:Á6ª:
=-2
⑷ (+1.6)+(-2.8)+(-3.2)
75쪽
=(+1.6)+{(-2.8)+(-3.2)}
=(+1.6)+(-6)=-4.4
3, 4의 6개이다.
15 |-7|=7, |-5|=5, |6|=6이므로
(-7)⁎{(-5)△6} =(-7)⁎(-5)
=-7
16 두 수의 차가 8이므로 두 수의 절댓값은
=4
;2*;
이때 a|2|이므로 a는 음수일 수도 있다.
② a>0이면 점 P는 점 Q보다 오른쪽에 있다.
③ a<0이면 점 P는 점 Q보다 왼쪽에 있다.
④ a의 절댓값이 b의 절댓값보다 크므로 점 P는 점 Q보다 원점에
서 더 멀리 떨어져 있다.
⑤ a<0, b<0이면 점 P와 점 Q는 모두 원점의 왼쪽에 있다.
20 ㉠, ㉡에 의하여 0b이므로 a=
, b=
;2%;
-;2%;
∴`b-a=
-;2%;-;2%;
=-5
12 ㉠, ㉡에서 a=3
㉢ |a|+|b|=8에서 |a|=3이므로
3+|b|=8
∴ |b|=5
이때 b<0이므로 b=-5
∴ a+b=3+(-5)=-2
13 |a|=2이므로 a=-2 또는 a=2
|b|=3이므로 b=-3 또는 b=3
Ú a=-2, b=-3일 때, a+b=-2+(-3)=-5
Û a=-2, b=3일 때, a+b=-2+3=1
Ü a=2, b=-3일 때, a+b=2+(-3)=-1
Ý a=2, b=3일 때, a+b=2+3=5
따라서 a+b의 값이 될 수 없는 것은 ②이다.
14 서울의 일교차는 -1-(-8)=-1+(+8)=7`(¾)
부산의 일교차는 4-2=2`(¾)
광주의 일교차는 5-(-2)=5+(+2)=7`(¾)
대전의 일교차는 0-(-6)=0+(+6)=6`(¾)
강릉의 일교차는 3-(-9)=3+(+9)=12`(¾)
따라서 일교차가 10`¾ 이상인 도시는 강릉이다.
a+1+b=3, 즉 a+1+(-3)=3에서
a-2=3
∴ a=3+2=5
∴ a-b=5-(-3)=5+(+3)=8
16 ㉢ 앞에 뺄셈 기호가 있으므로 가장 큰 값이 나오려면 ㉢에 음수 중
절댓값이 큰 수를 넣어야 한다.
즉 ㉢에 -
, ㉠과 ㉡은 순서에 상관없으므로 -
;2!;
,
;6!;
;3@;
가 오도록
하면
{
-
+
-
-
{
;3@;
;6!;}
;2!;}
=
-
;6!;}+;3@;+{
;2!;}
+
{
{
=1
=
-
+
+
+
{
;6$;
;6!;}
;6#;}
17 -1+2-3+4-5+6-y-47+48-49+50
=(-1+2)+(-3+4)+y+(-49+50)
=1+1+y+1
25개
=1_25
=25
18 a=3+(-1)=2
b=-4-(-8)=-4+(+8)=4
이때 절댓값이 2보다 크고 4 이하인 정수는 절댓값이 3, 4인 수이
므로 절댓값이 3인 수는 3, -3이고 절댓값이 4인 수는 4, -4이다.
따라서 절댓값이 2보다 크고 4 이하인 정수는 -4, -3, 3, 4의 4개
이다.
19 |a|=3_|b|이고 ab이므로 a=-2, b=-7
∴ a+b=-2+(-7)=-9
13 세 수를 선택하여 계산할 때, 가장 큰 값이 되려면 양수이어야 하므
로 음수 2개를 곱한 후 양수를 더해야 하고, 양수는 절댓값이 큰 수
를 선택해야 한다. 즉
+
;4#;
{-;6%;}_{-;2!;}=;4#;+;'1°2;=;1»2;+;1°2;=;'1!2$;=;6&;
14 9번의 가위바위보에서 진수가 5번 이겼으므로 4번은 진 것이다.
따라서 진수가 움직인 계단 수는
5_2+4_(-1)=10+(-4)=6(칸)
즉 진수는 처음 위치에서 6칸 올라가 있다.
06
유리수의 나눗셈
기초의
1 ⑴ +4 ⑵ -9 ⑶ -4 ⑷ 0
2 ⑴
;3%; ⑵ -
;6!; ⑶ 10
98쪽
II. 정수와 유리수 27
09 세 수를 뽑아서 곱한 값이 가장 큰 값이 되려면 양수가 되어야 하므
로 음수 2개, 양수 1개를 곱해야 하고, 양수는 절댓값이 큰 수를 뽑
아야 한다. 즉
A=
{-;2#;}_{-;3$;}
_2=+
{;2#;_;3$;_
}
2
=4
4 ⑴ 8 ⑵ 2 ⑶ -5
5 ㉢ - ㉣ - ㉡ - ㉠ - ㉤
6 ⑴ -1 ⑵ 13 ⑶ -1
3 ⑴ -
;4!;, +
;6!; ⑵ -
;1¤1;, -
;1ª1; ⑶ 4, -
;2!;, +24
∴ a+b=
-;3!;
+
=
;3%;
;3$;
02 ① 6Ö(-3)=-(6Ö3)=-2
②
-
Ö
-
{
;8#;}
;2(;}
=
-
{
_
-
{
;3*;}
;2(;}
=+
_
{;2(;
;3*;}
=12
③
-
Ö(+12)Ö
+
{
;1ª5;}
-
=
{
;5@;}
+
_
{
;1Á2;}
+
_
{
:Á2°:}
;5@;}
{
{
④ (-2)Ö
-
Ö
+
{
;7^;}
:Á3¢:}
=(-2)_
-
{
_
+
{
;6&;}
;1£4;}
{
=-
_
_
{;5@;
;1Á2;
:Á2°:}
=-
;4!;
=+
2_
_
{
;6&;
;1£4;}
=
;2!;
⑤ (+0.1)Ö(+0.01)=
+
;1Á0;}
Ö
+
{
;10!0;}
{
⑤
⑤
=
+
{
;1Á0;}
_(+100)
=10
따라서 계산 결과가 가장 큰 것은 ②이다.
03
{
-
;8#;}
_
:Á7¤:
Ö
-
{
;1»4;}
Ö2
=
-
{
_
_
-
{
:Á7¤:
;8#;}
_
:Á9¢:}
;2!;
=+
_
_
:Á7¤:
:Á9¢:
_
=
;2!;}
;3@;
{;8#;
04 ⑵ 8-2_
3-
-
[{
;2#;}
-
{;4&;
;2#;}]
Û`-
°
=8-2_
3-
-
[;4(;
{;4&;
-
;4^;}]
¤
¤
=8-2_
3-
-
{;4(;
;4!;}]
°
[
=8-2_(3-2)
=8-2
=6
3
⑴
{-;3@;}
Ö(-4)=
-
_
{
;3@;}
-
;4!; }
{
=+
_
{;3@;
;4!;}
= +
;6!;
⑵
{+;3!;}
Ö
-
{
=
:Á6Á:}
{+;3!;}
-
_
{
;1¤1; }
=-
_
{;3!;
;1¤1;}
= -
;1ª1;
⑶ (-12)Ö
Ö(-2)=(-12)_ 4 _
-
{
;2!; }
⑶ (-12)Ö
Ö(-2)=+
12_4_
{
;2!;}
⑶ (-12)Ö
Ö(-2)= +24
;4!;
;4!;
;4!;
4
⑴ (-20)Ö5_(-2) =(-4)_(-2)=8
⑵
+
Ö
-
{
;3%;}
;2!1);}
_
-
{
=
+
{
;7$;}
;3%;}
_
-
{
;1@0!;}
_
-
{
;7$;}
{
⑶
-
{
;2!;}
_(-5)Û`Ö;2%;
=
-
_(+25)Ö;2%;
;2!;}
=+
_
_
{;3%;
;1@0!;
;7$;}
=2
{
{
=
-
_(+25)_
;2!;}
;5@;
=-
_25_
{;2!;
;5@;}
=-5
=-2+(+15)
=13
=2Ö(-2)
=-1
⑴ (-2)Û`-15Ö3=4-5=-1
6
⑵ -12Ö6-(-5)_3 =-2-(-15)
⑶
(-6)_
+4
Ö(-2)={(-2)+4}Ö(-2)
[
;3!;
]
개념의
유제
01 ;3$;
02 ②
03 ;3@;
04 ⑴ ㉣ - ㉥ - ㉤ - ㉢ - ㉡ - ㉠ ⑵ 6
05 -
;2#;
06 ⑴
;1¦2; ⑵ -
;4&;
07 ⑴ -a>0 ⑵ a-b<0 ⑶ b-a>0 ⑷ aÖb<0 ⑸ aÜ`<0
08 a>0, b<0, c>0
05
Ö
{-;4!;}
{-;8#;}
_☐=-1에서
99쪽 ~ 102쪽
{-;4!;}_{-;3*;}
_☐=-1,
_☐=-1
;3@;
∴ ☐=
1Ö
=
1_
;3@;
-
-
;2#;=-;2#;
06 ⑴ A+
-
{
;3!;}
=
;4!;
에서
A=
-
-
{
;4!;
;3!;}
=
+
+
{
;4!;
;3!;}
01 -3=-
;1#;
의 역수는 -
이므로 a=
;3!;
-;3!;
=
+
+
{
;1£2;
;1¢2;}
=
;1¦2;
의 역수는
이므로 b=
;5#;
;3%;
;3%;
⑵
Ö
-
{
;1¦2;
;3!;}
=
;1¦2;
_(-3)=-
;4&;
28 정답과 해설
연산의
103쪽
3`
07 ⑴ -(음수)=(양수)이므로 -a>0
⑵ (음수)-(양수)=(음수)+(음수)=(음수)이므로 a-b<0
⑶ (양수)-(음수)=(양수)+(양수)=(양수)이므로 b-a>0
⑸
{-;6%;}_{+;3@;}
Ö(-0.5)Û`=
{-;6%;}_{+;3@;}Ö{-;2!;}
Û`
⑷ (음수)Ö(양수)=(음수)이므로 aÖb<0
⑸ (음수)Ü`=(음수)이므로 aÜ`<0
08 a_b<0에서 a와 b의 부호는 서로 다르고
a>b이므로 a>0, b<0
b_c<0에서 b와 c의 부호는 서로 다르고
b<0이므로 c>0
1 ⑴ -
;7^; ⑵ -
:Á2°: ⑶
;6%; ⑷ 5 ⑸ -3 ⑹ 3 ⑺ -
;1£6;
2 ⑴ 16 ⑵
;5#; ⑶ -
;4(; ⑷
;3!; ⑸ -
:ª9¼:
3 ⑴ 9 ⑵
;2!; ⑶ 12 ⑷ 2 ⑸ 2 ⑹
;2!; ⑺
:ª2¦: ⑻ 5 ⑼
;1@8%;
1
⑴
+
Ö
-
;1¦5;}
=
+
{
;5@;}
_
-
{
:Á7°:}
=-
;7^;
;5@;}
⑵
-
Ö
+
=
-
_
+
=-
;2(;}
;5#;}
;2(;}
;3%;}
:Á2°:
{
{
{
{
⑶
+
Ö
+
=
+
_
+
=
;4%;}
;6%;
;3@;}
;5$;}
;3@;}
⑷
-
:ª3°:}
Ö
-
{
;3%;}
=
-
{
:ª3°:}
_
-
{
;5#;}
=5
{
{
{
⑸
-
:ª3¥:}
Ö
Ö
+
{
=
-
{
;3*;}
;6&;
:ª3¥:}
_
_
+
{
;7^;
;8#;}
{
{
{
{
{
=-
{:ª3¥:
_
_
;7^;
;8#;}
=-3
=
=
=
{-;6%;}_{+;3@;}Ö;4!;
{-;6%;}_{+;3@;}
_4
-{;6%;_;3@;
}=-:ª9¼:
_4
⑴ (-1)Û`_5-16Ö(2-6) =1_5-16Ö(-4)
=5-(-4)
=5+(+4)=9
⑵
{-;2!;}
Ö
_
;4#;
+
=
{-;5(;}
;5!;
{-;8!;}
Ö
_
;4#;
{-;5(;}
+
;5!;
⑶
12-6Ö
[
{-;5@;}]
_
=
12-6_
;9$;
[
{-;2%;}]
_
;9$;
=
{-;8!;}
_
_
;3$;
{-;5(;}
+
;5!;
=
+
;1£0;
;5!;
=
=;2!;
;1°0;
={12-(-15)}_
={12+(+15)}_
;9$;
;9$;
=27_
;9$;=12
;4!;
{-;2!;}
3`
=(-2)
_(-8)
-;2!;
=(-2)-(-4)
=(-2)+(+4)=2
⑷
_(-2)Ü`-
Ö
;2!;
=
_(-8)
Ö
-;2!;
{-;8!;}
{-;2!;}
2`
⑹
-
{
:Á3¼:}
Ö(-4)Ö
+
{
;1°8;}
-
=
{
:Á3¼:}
-
_
{
;4!;}
+
_
{
:Á5¥:}
=+
{:Á3¼:
_
_
;4!;
:Á5¥:}
=3
⑸ 7-6_
1+
[
{;2!;-
;3@;}]
=7-6_
1+
{;6#;-
;6$;}]
[
[
=7-6_
1+
-;6!;}]
{
⑺
-
Ö
Ö
:Á3¼:
=
-
{
;4#;}
_
;6%;
_
;1£0;
;5^;
;4#;}
{
=-
_
_
;6%;
{;4#;
;1£0;}
=-
;1£6;
=7-6_;6%;
=7-5=2
2
⑴ 4_(-6)Ö
-
=4_(-6)_
-
{
;2#;}
{
;3@;}
⑹
-;2!;-[
-3+;8(;_(-2)Ü`
]
_
;1Á2;
⑶
=+
4_6_
=16
{
;3@;}
=
-;2!;-[
-3+;8(;_(-8)
]
_
;1Á2;
⑵
-
_
{
;2(;}
;5*;Ö
(-12)=
-
_
-
{
;2(;}
;5*;_{
;1Á2;}
=
-;2!;-
{-3+(-9)}_
;1Á2;
=+
_
{;2(;
;5*;_;1Á2;}
=
;5#;
⑶
Ö3_(-3Û`) =
;4#;
;4#;_;3!;_(-9)
=-{;4#;
_;3!;_9}
=-
;4(;
⑷
_
Û`Ö
;3@;
{-;4#;}
;8(;=;3@;_;1»6;Ö;8(;
=;3@;_;1»6;_;9*;=;3!;
=
-;2!;-
(-12)_
;1Á2;
=
(-1)
-;2!;-
=
-;2!;+(+1)=;2!;
⑺ 4-
(-2)Ö4-16_
[
Û`
{-;4#;}
]
=4-
(-2)
-16_
[
_;4!;
;1»6;]
3
⑵
⑵
⑵
⑵
⑵
⑶
⑶
⑶
II. 정수와 유리수 29
1.2=
의 역수는
;5^;
;6%;
-;4#;
의 역수는
-;3$;
1
-
;3@;=-;3%;
의 역수는
-;5#;
따라서 보이지 않는 세 면에 있는 수의 합은
;6%;+{-;3$;}+{-;5#;} =;3@0%;
+
-
{
;3$0);}
-
+
{
;3!0*;}
=-;3#0#;=-;1!0!;
04 ④
{-;5#;}
{-;2»5;}
{-;5#;}
{-:ª9°:}
=
_
Ö
=
;3%;
따라서 계산 결과가 옳지 않은 것은 ④이다.
06 a=
-
_
-
Ö
+
;1°2;}
;3$;}
;3@;}
104쪽 ~107쪽
a=
-
_
-
_
+
;1°2;}
;2#;}
;3$;}
{
{
05 a=
;2!;-{-;4#;}=;2!;+{+;4#;}=;4%;
b=
1
-;4!;+
=;4#;
∴`aÖb=
Ö
;4%;Ö
;4#;=;4%;_;3$;=;3%;
{
{
{
{
{
{
{
{
a=+
_
{;3$;
;1°2;
_
=
;2#;}
;6%;
따라서 a의 역수는
이다.
;5^;
07 A=
-
;1£0;}
_
-
Ö
-
;2%;}
;4(;}
A=
-
;1£0;}
_
-
_
-
;2%;}
;9$;}
{
{
A=-
{;1£0;
_
_
;2%;
;9$;}
=-
;3!;
{
{
B=24Ö
-
Ö(-6)
;3*;}
B=24_
-
_
-
{
;8#;}
;6!;}
B=+
24_
{
_
=
;6!;}
;2#;
;8#;
=4-
{-;2!;
-9
}
=4-
{-:Á2»:}
=4+
{+:Á2»:}
:ª2¦:
=
⑻ (-25)Ö
(-4)Û`_
-
-(-3)
{
;2!;}
]
[
=(-25)Ö
[16_
{
-
;2!;}
-(-3)
]
=(-25)Ö{-8+(+3)}
=(-25)Ö(-5)=5
⑼
;2#;-
[{-;3!;}
+{-;9!;}]Ö
+;2°7;
2
Ü`
°
=;2#;-
°
[{-;2Á7;}+{-;9!;}]Ö
2
¤
+;2°7;
¤
=;2#;-[{-;2¢7;}_;2!;+;2°7;]
=;2#;-[{-;2ª7;}+;2°7;]
=;2#;-;9!;
=;1@8&;-;1ª8;=;1@8%;
내공의
06 ;5^;
10 26
01 ④
02 -
03 -
;1!0!;
04 ④
05 ;3%;
07 -
08 ⑤
09 풀이 참조, -14
;4#;
;9@;
11 풀이 참조, ;9*;
12 -6
13 -
;2!7^;
14 -10
15 -
;4!;
17 -
;1!8&;
18 -
;1»4;
19 ⑤
20 ⑤
22 1개
23 ①
16 -
21 -
;4!;
;2%;
24 ;3!;
25 ;2¦4;
01 두 수의 곱이 1이면 두 수는 서로 역수 관계이다.
① -3_
=-1
;3!;
② 2_
{-;2!;}\=-
1
③ 3_(-3)=-9
④
_
{-;4#;}
{-;3$;}=
1
⑤ 0_
=0
;3!;
따라서 두 수가 서로 역수 관계인 것은 ④이다.
02 -0.4=-
;5@;
의 역수는 -
이므로 a=-
;2%;
;2%;
=
3
;3!;
:Á3¼:
의 역수는
이므로 b=
;1£0;
;1£0;
∴ a_b=-
_
=-
;2%;
;1£0;
;4#;
03 마주 보는 면에 있는 두 수의 곱이 1이므로 마주 보는 면에 있는 두
수는 역수 관계이다.
30 정답과 해설
∴ AÖB=
-
Ö
=
-
{
;2#;
;3!;}
_
;3@;
;3!;}
=-
;9@;
{
08 ① 12_(-2)Ö6=12_(-2)_;6!;
=-
12_2_
=-4
{
;6!;}
② (-2)Ý`Ö(-2Û`)=16Ö(-4)=-4
③
Ö
{-:Á4Á:}+{-;4#;}
;5#;={-:Á4Á:}+{-;4#;}_;3%;
={-:Á4Á:}+{-;4%;}
=-4
④
Ö
_(-1)=
;2%;
;8%;
;2%;_;5*;
_(-1)
=-
{;2%;_;5*;
}
_1
=-4
⑤
_3Ö
{-;3!;}
{-;4!;}={
;3!;}
-
_3_(-4)
14
{
-
;3&;}
Ö
-
;6%;}
_ =-28에서
=+{;3!;
=4
_3_4
}
-
{
;3&;}
_
-
;5^;}
_ =-28
{
{
_ =-28
:Á5¢:
따라서 계산 결과가 나머지 넷과 다른 하나는 ⑤이다.
09 14-(-2)_
(-17)+5Ö
_
;3!;
;5!;]
[
=14-(-2)_
(-17)+5Ö
[
;1Á5;]
잘못된 부분
즉 잘못된 부분은
을 먼저 계산한 것이다.
_
;3!;
;5!;
따라서 바르게 계산하면
(주어진 식)=14-(-2)_
(-17)+5_3_
[
;5!;]
=14-(-2)_{(-17)+3}
=14-(-2)_(-14)
=14-(+28)
=14+(-28)=-14
10 -2Û`-
-3+
[{-;2#;}
{-;2%;
+2
}]
_4
Û`Ö
°
=-4-
-3+
Ö
-
{
[;4(;
;2!;}]
_4
¤
=-4-
-3+
_(-2)
[;4(;
=-4-
-3+
-
_4
{
;2(;}]
¤
_4
]
¤
°
°
[
{
=-4-
-
_4
:Á2°:}
=-4-(-30)
=-4+(+30)=26
11
[
°
=
(-4)+
+(-2)
Ö(-3)
;2!;]_;2¢1;
[{-;2&;}_;2¢1;
+(-2)
]
¤
Ö(-3)
=
[{-;3@;}+
]
(-2)
Ö(-3)
=
{-;3*;}_{-;3!;}=;9*;
12 a_(-2)=8에서
a=8Ö(-2)=8_
-
=-4
{
;2!;}
bÖ
-
{
;3!;}
=-2에서
b=-2_
-
=
;3@;
;3!;}
{
13 a_(-3)=-
에서
;2!;
a=-
Ö(-3)=-
_
;2!;
;2!;
{-;3!;}=;6!;
bÖ4=-
에서 b=-
_4=-
;9*;
:£9ª:
;9*;
∴ a_b=
_
;6!;
{-:£9ª:}=-;2!7^;
∴ =-28Ö
=-28_
=-10
:Á5¢:
;1°4;
15
{
-
;3@;}
_ Ö
-
{
;6%;}
=;1ª5;에서
2`
_ _
;9$;
-
{
;5^;}
=;1ª5;
_
_
-
{
;9$;
;5^;}
=;1ª5;
_
-
{
;1¥5;}
=;1ª5;
∴ =
Ö
-
{
;1ª5;
;1¥5;}
=
_
-
{
;1ª5;
:Á8°:}=-;4!;
16 A_6=-9에서
A=-9Ö6=-9_;6!;=-;2#;
따라서 바르게 계산한 값은
-
Ö6=-
;2#;
_
=-
;2#;
;6!;
;4!;
17 AÖ
{-;3@;}=;1°2;
에서
A
=;1°2;_{-;3@;}=-;1°8;
따라서 바르게 계산한 값은
-;1°8;+{-;3@;}=-;1!8&;
18 세 수를 뽑아 곱한 값이 가장 큰 값이 되려면 양수가 되어야 하므로
음수 2개, 양수 1개를 뽑아서 곱해야 하고, 음수는 절댓값이 큰 수
를 뽑아야 한다. 즉
A
={-;2&;}_{-;3&;}_;7(;=+{;2&_;3&;_;7(;}=:ª2Á:
또한 세 수를 뽑아 곱한 값이 가장 작은 값이 되려면 음수가 되어야
하므로 음수 3개를 뽑아야 한다. 즉
B
={-;2&;}
{-;3&;}
_
_(-2)=-
{;2&;_;3&;_
2
=
}
-:¢3»:
∴`AÖB=
Ö
:ª2Á:
{-:¢3»:}=:ª2Á:_{-;4£9;}=-;1»4;
19 ① a와 b의 절댓값에 따라 a+b의 부호가 달라지므로 부호를 알
수 없다.
③ (음수)_(양수)=(음수)이므로 a_b<0
④ (음수)Ö(양수)=(음수)이므로 aÖb<0
⑤ (양수)-(음수)=(양수)+(양수)=(양수)이므로 b-a>0
따라서 항상 양수인 것은 ⑤이다.
20 a_b<0에서 a와 b의 부호는 서로 다르고
a>0이므로 b<0 ( ① )
II. 정수와 유리수 31
∴ aÖb=-4Ö
=-4_
=-6
;3@;
;2#;
② (음수)-(양수)=(음수)+(음수)=(음수)이므로 a-b<0
b_c>0에서 b와 c의 부호는 서로 같고
b<0이므로 c<0 ( ② )
③ b와 c의 절댓값에 따라 b-c의 부호가 달라지므로 부호를 알 수
없다.
④ (음수)Ö(음수)=(양수)이므로 bÖc>0
⑤ (양수)-(음수)=(양수)+(양수)=(양수)이므로 a-c>0
21 정육면체를 만들었을 때 A, B, C와 각각 마주 보는 면에 적혀 있
는 수는
, -5, -
이다. 즉
;4%;
;3@;
의 역수는
이므로 A=
;5$;
;5$;
;4%;
-5의 역수는 -
이므로 B=-
-
의 역수는 -
이므로 C=-
;3@;
;5!;
;2#;
;5!;
;2#;
∴ AÖB-C=
Ö
;5$;
{-;5!;}-{-;2#;}
=
_(-5)+
;5$;
{+;2#;}
=(-4)+
{+;2#;}
=-
;2%;
22 a=
-;3@;+{-;3@;}
_{-;4#;}
{;6!;-;3@;}
Û`
Û`
Ö
Ö
Û`
Û`
=-;3@;+{-;3@;}
_{-;4#;}
{-;2!;}
=-;3@;+;9$;_{-;4#;}
=-;3@;+;9$;_{-;4#;}
Ö;4!;
_4
=-;3@;+{-;3$;}
=-2
=-;3^;
따라서 -2보다 큰 음의 정수는 -1의 1개이다.
23 a=-
;2!;
이라 하면
①
=1Ö
-
{
;2!;}
Ü`=1Ö
-
{
;8!;}
=1_(-8)=-8
②
=1Ö
-
=1_(-2)=-2
{
;2!;}
1
aÜ`
;a!;
③ a=-
;2!;
④ aÛ`=
-
;2!;}
Û`=
;4!;
Ü`=-
{
{
⑤ aÜ`=
-
;2!;}
;8!;
따라서 가장 작은 수는 ①이다.
∴ [
(-2)△
;6%;]◎{(-5)△(-2)}=
{
-
:Á3¢:}◎7
=
-
Ö7+1
:Á3¢:}
=
-
:Á3¢:}
_
+1
;7!;
{
{
=-
+1=
;3@;
;3!;
25 두 점 A, B 사이의 거리는
;2!;-{-;3!;}=;2!;+{+;3!;}=;6%;
4등분된 한 칸의 길이는
Ö4=;6%;_;4!;=;2°4;
;6%;
따라서 점 E에 대응하는 유리수는
;2!;-;2°4;=;2!4@;-;2°4;=;2¦4;
실전의
108쪽~111쪽
01 ⑤
02 -4
03 A=-1, B=4
04 -
05 ⑤
06 ⑤
07 ①
08 ④
09 -
10 ④
11 ;1#3$;
12 ;9@;
13 -7
14 ②
15 3개
16 -
;5#;
17 -
;1!8&;
18 ④
19 14계단
20 6개
21 ③
22 ;4!5!;
23 ;2&;
24 -
:ª2°:
;2(;
;4(;
01 ① 양수는 +
,
;5&;
;2$;
, +3.8의 3개이다.
② 음의 정수는 -5, -
=-3의 2개이다.
:Á4ª:
③ 정수가 아닌 유리수는 +
, -
, +3.8의 3개이다.
;5&;
:Á5¦:
④ 수직선 위에서 -3보다 왼쪽에 있는 수는 -5, -
의 2개
:Á5¦:
⑤
원점으로부터 가까운 거리에 있는 수, 즉 절댓값이 작은 수부
터 차례로 나열하면
+
,
;5&;
;2$;
, -
:Á4ª:
, -
:Á5¦:
, +3.8, -5
이므로 원점으로부터 네 번째로 가까운 거리에 있는 수는 -
:Á5¦:
이다.
이다.
02
거리 : 6
거리 : 6
-10
-9
-8
-7
-6 -5
-4 -3
-1-2
0
1
2
거리 : 12
-10과 2를 나타내는 두 점 사이의 거리가 12이므로 두 점으로
부터 같은 거리에 있는 점은 두 점으로부터
_12=6만큼 떨어져
;2!;
24 (-2)△
;6%;
=(-2)_
-3=-
-3=-
;6%;
;3%;
:Á3¢:
있어야 한다.
(-5)△(-2)=(-5)_(-2)-3=10-3=7
따라서 구하는 수는 -4이다.
32 정답과 해설
03 수직선 위에 -
=-1
와
;3@;
:Á4»:
;3%;
;4#;
=4
을 나타내면 다음 그림과
④
+
-
+
{
-
-
{
;2!;}
;3@;}
=
+
{
;5#;}
+
-
{
;3@;}
;5#;}
+
+
{
;2!;}
{
-3
-2 -1
5
3
-
0
1
2
3
4
5
19
4
=
+
{
;3!0*;}
+
-
{
;3@0);}
+
+
{
;3!0%;}
=
;3!0#;
-
보다 큰 수 중에서 가장 작은 정수는 -1이므로 A=-1
⑤
+
+
-
{
+
+
{
;2!;}
;2%;}
=
+
{
;5&;}
;5&;}
{
+(+2)=
:Á5¦:
보다 작은 수 중에서 가장 큰 정수는 4이므로 B=4
같다.
;3%;
:Á4»:
04 각 수의 절댓값을 구하면 다음과 같다.
|-3|=3, |-;2(;|
=
;2(;, |-:Á3Á:|
=
:Á3Á:, |0|=0, |-;6!;|
=
;6!;, |2|=2
이 중 절댓값이 가장 큰 수는 -
이고, 가장 작은 수는 0이므로
;2(;
a=-
, b=0
;2(;
∴ a+b=-
+0=-
;2(;
;2(;
05 ① |-2|=2이므로 |-2|>0
② (음수)<(양수)이므로
>-
;3@;
;4#;
③
+
=
, |
;4#;
-
;8&;|
=
;8&;
;4#;|
이고
=
;4#;
;8^;
이므로
|
+
|
;4#;|
<
-
|
;8&;|
④ -2.7>-3.5
⑤ -
=-
, -
=-
;2&;
:ª6¼:
:ª6Á:
:Á3¼:
이므로 -
>-
;2&;
:Á3¼:
06 ⑤ x는 -3 이상이고
보다 크지 않다.
;5@;
x¾-3
xÉ
;5@;
➡ -3ÉxÉ
;5@;
|a|=2 또는 |a|=3 또는 |a|=4이다.
따라서 정수 a의 값은 -4, -3, -2, 2, 3, 4이므로
정수 a의 값이 아닌 것은 ①이다.
08 ① (+5)+(-2)+(-5) =(+5)+(-5)+(-2)
② (-2)-(-6)-(-5) =(-2)+(+6)+(+5)
=0+(-2)=-2
=(-2)+(+11)=9
③ (-8.4)+(+2.5)+(+5.1)+(-1.8)
=(-8.4)+(-1.8)+(+2.5)+(+5.1)
=(-10.2)+(+7.6)=-2.6
09 (a-b)_c=
;4%;
에서 a_c-b_c=
;4%;
이때 b_c=-
이므로
;2&;
a_c-
-
=
, a_c+
{
;2&;}
;4%;
=
;2&;
;4%;
∴ a_c=
-
=
-
;4%;
;2&;
;4%;
:Á4¢:
=-
;4(;
10 두 수의 곱이 1이면 두 수는 서로 역수 관계이다.
①
_3=1
;3!;
② (-4)_
-
=1
{
;4!;}
③
;;ª7¼;;_;2¦0;
=1
④ (-1.7)_
-
{
;1!0&;}
=
-
{
;1!0&;}
_
-
{
;1!0&;}
=
;1@0*0(;
+1
⑤ 5_
=1
;5!;
따라서 두 수가 서로 역수 관계가 아닌 것은 ④이다.
11 a=
-
{
;2%;}+{-;3!;}={-;;Á6°;;}+{-;6@;}=-;;Á6¦;;
b=
-
{
;3!;}-;4#;={-;1¢2;}-;1»2;=-;1!2#;
∴ aÖb=
-
Ö
{
;;Á6¦;;}
{-;1!2#;}={-;;Á6¦;;}_{-;1!3@;}=;1#3$;
=
-
{
_
_
-
{
:Á7¤:
;8#;}
_
:Á9¢:}
;6!;
=+
_
_
{;8#;
:Á7¤:
:Á9¢:
_
=
;6!;}
;9@;
13 (-1)2018-(-2)Ý`+(-2)Ü`Ö(-1)2017`
=1-16+(-8)Ö(-1)
=1-16+8
=-7
14 계산 순서는 ㉣ → ㉡ → ㉢ → ㉤ → ㉠이다.
II. 정수와 유리수 33
07 a는 정수이므로 2É|a|<5를 만족하는 |a|의 값을 구하면
12 {
-
;8#;}
_
:Á7¤:
Ö
-
{
;1»4;}
Ö6
15 a=3+
;2!;_[
(-2)Ü`+4Ö
;5@;]
=
;2!;_[
3+
(-8)+4_
;2%;]
=3+
{(-8)+10}
;2!;_
=3+
_2
;2!;
=3+1=4
따라서 4보다 작은 양의 정수는 1, 2, 3의 3개이다.
16 [{
-
+
-
{
;9$;}
;3@;}]
;3@;
Ö
_ =1에서
-
{
:Á9¼:}
_
_ =1, {
-
;2#;
;3%;}
_ =1
이때 {
-
;3%;}
_ =1에서 는 -
의 역수이므로
;3%;
=-
;5#;
17 AÖ
-
{
;3@;}
=
;1°2;
에서
A=
_
-
{
;3@;}
;1°2;
=-
;1°8;
따라서 바르게 계산한 값은
18 ① a와 b의 절댓값에 따라 a+b의 부호가 달라지므로 부호를 알
수 없다.
② (음수)-(양수)=(음수)이므로 a-b<0
③ (음수)_(양수)=(음수)이므로 a_b<0
④ |a|>0이고 (양수)_(양수)=(양수)이므로 |a|_b>0
⑤ (음수)Ö(양수)=(음수)이므로
<0
;bA;
따라서 항상 양수인 것은 ④이다.
19 계단을 올라가는 것을 +, 내려가는 것을 -로 나타내면
세미는 6번 이기고 4번 졌으므로
6_(+5)+4_(-2)=30-8=22(계단) 올라갔다.
은경이는 4번 이기고 6번 졌으므로
4_(+5)+6_(-2)=20-12=8(계단) 올라갔다.
따라서 두 사람은 22-8=14(계단) 떨어져 있다.
21 |a|=4이므로 a=-4 또는 a=4
|b|=3이므로 b=-3 또는 b=3
Ú a=-4, b=-3일 때, a+b=-4+(-3)=-7
Û a=-4, b=3일 때, a+b=-4+3=-1
Ü a=4, b=-3일 때, a+b=4+(-3)=1
Ý a=4, b=3일 때, a+b=4+3=7
따라서 a+b의 값이 될 수 없는 것은 ③이다.
22 |
-
=
, |;3@;|
;5#;
=
;3@;
;5#;|
이므로 두 점 A, C 사이의 거리는
+
=
;3@;
;5#;
;1»5;
+
;1!5);
=
;1!5(;
선분 BC의 길이는
_
=
;3!;
;4!5(;
;1!5(;
따라서 점 B에 대응하는 수는
-
;3@;
;4!5(;
=
-
=
;4#5);
;4!5(;
;4!5!;
23 주어진 네 유리수 중에서 세 수를 뽑아 곱한 값이 가장 큰 값이 되
려면 양수가 되어야 하므로 음수 중 절댓값이 큰 수 2개와 양수 1개
를 곱해야 한다. 즉
또한 세 수를 뽑아 곱한 값이 가장 작은 값이 되려면 음수가 되어야
하므로 음수 3개를 곱해야 한다. 즉
b=
-
{
;3%;}_{-;8!;}
_(-4)=-
_4
{;3%;_;8!;
}=-;6%;
∴ a-b=
;3*;-{-;6%;}
=;3*;+{+;6%;}
=:Á6¤:+{+;6%;}
=;;ª6Á;;=;2&;
24 {
-
;2!;}
Ö
+
{
Ö
-
{
;4#;}
;3@;}
ÖyÖ
{+;4$9*;}
{-;5$0(;}
Ö
=
-
{
_
+
{
_
-
{
;3$;}
;2#;}
;2!;}
_y_
{+;4$8(;}
{-;4%9);}
_
이때 음수의 개수는 25개이므로 계산 결과의 부호는 -이다.
-
{
;1°8;}
+
-
{
;3@;}
=
-
{
;1°8;}
+
-
{
;1!8@;}
=-
;1!8&;
a=
-
{
;3%;}
;5@;
_
_(-4)
=+{;3%;
;5@;
}=;3*;
_
_4
20 두 수 -
=-
과
:Á6¼:
:Á6Á:
;3%;
사이에 있는 유리수 중에서 분모가 6인
∴ (주어진 식)=-
_
_
;2#;
;3$;
{;2!;
_y_
_
;4$8(;
;4%9);}
기약분수는 -
, -
, -
,
,
;6!;
;6!;
;6%;
;6&;
,
;6%;
;6&;
의 6개이다.
=-
=-
:°4¼:
:ª2°:
34 정답과 해설
기초의
116쪽
01 ⑶ 2ÖbÖ5=2_
_
=
;5!;
;b!;
;5ªb;
III. 문자와 식
01
문자의 사용과 식의 값
1 ⑴ 7a ⑵ 2aÛ` ⑶ -xy ⑷ -
2 ⑴ -
;3A; ⑵ :2õ: ⑶ :°]Ó: ⑷
x+y
;bA; ⑸ ⑹ 2x+
2
(a+b)c
2
;3};
3 ⑴ (10000-1200a)원 ⑵ 0.2a원 ⑶ ;;ª]¼;;`시간 ⑷ 3a`km
ah`cmÛ`
⑸ 2(x+y)`cm ⑹ ;2!;
4 ⑴ 9 ⑵ -7 ⑶ 3 ⑷ 15
5 ⑴ 7 ⑵ -12 ⑶ 3 ⑷ -9
2 ⑴ aÖ3_(-1)=
;3A;_
(-1)=
-;3A;
⑵ a_bÖ2=abÖ2
⑶ x_5Öy=5xÖy
ab
2
5x
y
=
=
⑷ (a+b)_cÖ2=(a+b)cÖ2=
(a+b)c
2
3 ⑴ 10000-1200_a=10000-1200a(원)
⑵ a_
=0.2a(원)
;1ª0¼0;
⑷ a_3=3a`(km)
⑸ 2_(x+y)=2(x+y)`(cm)
⑹
_a_h=
ah`(cmÛ`)
;2!;
;2!;
4 ⑴ aÛ`=3Û`=9
⑵ -3a+2=-3_3+2=-7
⑶
=
=3
;3(;
;a(;
⑷ (-a)Û`+2a=(-3)Û`+2_3=15
5 ⑴ 2a-3b=2_2-3_(-1)=7
⑵ -3a+6b=-3_2+6_(-1)=-12
⑶ aÛ`-bÛ`=2Û`-(-1)Û`=3
⑷ -
a+4b=-
_2+4_(-1)=-9
;2%;
;2%;
개념의
유제
117쪽~120쪽
01 ⑴ -4xy ⑵ -aÛ`cÜ` ⑶ ;5ªb; ⑷ :6:
02 ⑴ ;3{;
-2y ⑵ 6+
;5b; ⑶ :4õ:-:Ó2Õ: ⑷
3x
x+y
03 ⑴
a+b
2
점 ⑵ (5000+3000x)원 ⑶ ;2!;
(a+b)h `cmÛ`
04 ⑴ ;a*;시간 ⑵ x`g
05 ⑴ 0.7x원 ⑵ (40000-400y)원 ⑶ (3000+30a)원
06 ⑴ -4 ⑵ ;6%;
07 ⑴ 13 ⑵ -9
08 ⑴ ;2!;
(a+b)h ⑵ 30
⑷ aÖ(6Öc)=aÖ
=a_
;c^;
=
;6C;
:6:
02 ⑵ 6+aÖ(5_b)=6+aÖ5b=6+
;5b;
⑶ a_bÖ4-xÖ2_y=abÖ4-
_y=
;2{;
-
:4õ:
:Ó2Õ:
⑷ 3_xÖ(x+y)=3xÖ(x+y)=
3x
x+y
03 ⑴ (a+b)Ö2=
a+b
2
(점)
⑵ 5000+3000_x=5000+3000x(원)
⑶
_(a+b)_h=
(a+b)h`(cmÛ`)
;2!;
;2!;
04 ⑵ 100_
;10{0;
=x`(g)
05 ⑴ x-x_
;1£0¼0;
=x-0.3x=0.7x(원)
⑵ 40000-40000_
=40000-400y(원)
⑶ 3000+3000_
=3000+30a(원)
;10}0;
;10A0;
06 ⑴ 4xyÛ`-1=4_(-3)_
`-1
{;2!;}
=4_(-3)_
-1
;4!;
=-3-1=-4
⑵
aÛ`-bÛ`
ab
=
2Û`-(-3)Û`
2_(-3)
=
4-9
-6
=
-5
-6
=
;6%;
07 ⑴
+
;a@;
;b#;
=2Öa+3Öb
=2Ö
+3Ö
;2!;
;3!;
=2_2+3_3
=4+9=13
⑵
-
+
;b#;
;c@;
;a^;
=6Öa-3Öb+2Öc
=6Ö
-
{
;2!;}
-3Ö
+2Ö
;3!;
;6!;
=6_(-2)-3_3+2_6
=-12-9+12=-9
08 ⑴ S=
;2!;
_(a+b)_h=
(a+b)h
;2!;
III. 문자와 식 35
2
⑵ a=5,b=10,h=4를대입하면
S=
;2!;
_(5+10)_4=
_15_4=30
;2!;
연산의
121쪽
㉤ a+bÖc=a+
1 ⑴ 100t`km ⑵ 6x`km ⑶ 시속 ;3{;
`km ⑷ 시속 :Á[¼:
`km
⑸ 시속 ;4};
`km ⑹ ;7Ò
Ó0;시간 ⑺ ;8Ó0;시간 ⑻ ;:![@:);시간
⑼ ;2!;
a`km
⑷ 0.8a원
`% ⑵ ;2Á0;
2 ⑴ ;2{;
3 ⑴ (700+7x)원 ⑵ (2500+25y)원 ⑶ (1000-10x)원
x`g ⑶ ;1Á0;
x`g ⑷ ;2#;
x`g ⑸ 3x`g
1 ⑴ 100_t=100t`(km)
⑵ x_6=6x`(km)
⑼ 30분=
시간이므로
;2!;
(거리)=a_
=
;2!;
;2!;
a`(km)
2 ⑴
;20{0;
_100=
`(%)
;2{;
⑵ x_
=
;10%0;
;2Á0;
x`(g)
⑶ x_
=
;1Á0¼0;
;1Á0;
x`(g)
⑷ 150_
=
x`(g)
;10{0;
;2#;
⑸ 300_
=3x`(g)
;10{0;
3 ⑴ 700+700_
;10{0;
=700+7x(원)
⑵ 2500+2500_
=2500+25y(원)
⑶ 1000-1000_
=1000-10x(원)
;10}0;
;10{0;
⑷ a-a_
=a-0.2a=0.8a(원)
;1ª0¼0;
01 ㉠ 0.1_x_x=0.1xÛ`
㉡ xÖyÖ5=x_
_
;]!;
;5!;=;5Ó];
㉢ aÖ
_b=a_4_b=4ab
;4!;
㉣ aÖbÛ`_3=a_
_3=
1
bÛ`
;cB;
3a
bÛ`
3
x-y
㉥ x-3Ö(x-y)=x-
따라서옳은것은㉡,㉢의2개이다.
02 ① aÖb_
=a_
;c!;
=
;b!;_;c!;
;bc;
② aÖ
;b!;_;c!;
=a_b_
=
;c!;
③ aÖ
_c
=aÖ
=a_
=
{;b!;
}
④ a_bÖc=a_b_
=
ab
c
;cB;
ab
c
;bC;
;c!;
ab
c
⑤ a_b_
=
;c!;
ab
c
따라서나머지넷과다른하나는①이다.
03 xÖyÖz=x_
_
=
;z!;
;]!;
;]Óz;
① xÖy_z=x_
_z=
;]!;
xz
y
② xÖ(yÖz)=xÖ
=x_
=
;z};
;]Z;
xz
y
③ xÖ(y_z)=xÖyz=
④ x_(yÖz)=x_
=
⑤ x_yÖz=x_y_
=
;]Óz;
xy
z
xy
z
;z};
;z!;
따라서계산결과가같은것은③이다.
04 ① 10000-a_b=10000-ab(원)
② 3_a+2_b=3a+2b(점)
③ a_
;1Á0¼0=;1Á0;
a`(g)
④ 500`mL=0.5`L이므로
400-0.5_b=400-0.5b`(L)
⑤ (시간)=
(거리)
(속력)
=
;5Ó0;
(시간)
따라서옳지않은것은⑤이다.
내공의
122쪽~124쪽
01 2개
02 ①
03 ③
04 ⑤
05
`m
x-3y
5
07 (4a+50)`g
08 ⑴ (25000+250a)원 ⑵ (2400-24x)원
06 (120-50x)`km
10 ①
11 -9
12 ③
13 -4
15 ⑴ S=2(ab+10a+10b) ⑵ 376 16 0.17ab원 17 :Á5¤:
18 ⑴ (8x+4)개 ⑵ 244개
05 남은줄의길이는(x-3y)`m이므로길이가똑같게다섯조각으
x-3y
5
로나누면한조각의길이는
`m이다.
09 ①
14 -10`¾
06 (x시간동안간거리)=50_x=50x(km)이므로
(남은거리)=(전체거리)-(간거리)
=120-50x(km)
07 {
400_
+
500_
;10A0;}
{
;1Á0¼0;}
=4a+50`(g)
36 정답과 해설
Ò
08 ⑴ 25000+25000_
;10A0;
=25000+250a(원)
16 (정가)=a+a_
;1£0¼0;
=a+0.3a=1.3a(원)
⑵ 2400-2400_
=2400-24x(원)
;10{0;
(판매가격)=1.3a-1.3a_
=1.3a-0.13a=1.17a(원)
;1Á0¼0;
09 ① aÜ`=(-2)Ü`=-8
② (-a)Ü`={-(-2)}Ü`=2Ü`=8
③ -aÜ`=-(-2)Ü`=-(-8)=8
④ 2aÛ`=2_(-2)Û`=2_4=8
⑤ aÛ`+4=(-2)Û`+4=4+4=8
따라서식의값이나머지넷과다른하나는①이다.
10 ① abÛ`=3_(-2)Û`=3_4=12
② aÛ`+b=3Û`+(-2)=9-2=7
③ -a-b=-3-(-2)=-3+2=-1
④ 2a+b=2_3+(-2)=6-2=4
⑤ (-a)Ü`-2b=(-3)Ü`-2_(-2)=-27+4=-23
따라서식의값이가장큰것은①이다.
11
(a+c)Û`
b
+
=
bc
aÛ`
{-2+(-4)}Û`
-3
+
(-3)_(-4)
(-2)Û`
=
36
-3
+
:Á4ª:
=-12+3=-9
12 ① -x=-
-
{
;3!;}
=
;3!;
②
=1Öx=1Ö
-
=1_(-3)=-3
;[!;
;[@;
{
{
;3!;}
;3!;}
③
=2Öx=2Ö
-
=2_(-3)=-6
④ xÛ`=
-
`=
{
;3!;}
;9!;
⑤ -xÛ`=-
-
`=-
{
;3!;}
;9!;
따라서식의값이가장작은것은③이다.
13
;a@;
-
;b*;
+
;c$;
=2Öa-8Öb+4Öc
=2Ö
-8Ö
+4Ö
-
;5!;
;3$;
{
;2!;}
=2_5-8_
+4_(-2)
;4#;
=10-6-8=-4
14 20-6h에h=5를대입하면
20-6h=20-6_5=20-30=-10
따라서지면에서높이가5`km인곳의기온은-10`¾이다.
15 ⑴ S=2_(a_b+a_10+b_10)
=2(ab+10a+10b)
⑵ a=6,b=8을대입하면
S=2_(6_8+10_6+10_8)
=2_188=376
따라서상품을b개판매하였을때의이익금은
{(판매가격)-(원가)}_(판매개수)
=(1.17a-a)_b=0.17a_b=0.17ab(원)
17 a+b=
+
=
;3!;
;6%;
;2!;
,a-b=
-
=
,
;6!;
;3!;
;2!;
b+c=
+
-
{
;3!;
;4!;}
=
;1Á2;
이므로
a-b
a+b
-
c
b+c
=(a-b)Ö(a+b)-cÖ(b+c)
=
Ö
;6!;
;6%;
-
-
Ö
;4!;}
;1Á2;
=
_
;6!;
;5^;
-
-
_12
;4!;}
{
{
=
+3=
;5!;
:Á5¤:
18 ⑴
정사각형의 개수 (개)
사용한 바둑돌의 개수 (개)
1
2
3
⋮
x
+8
+8
12
12+8_1
12+8_2
⋮
12+8_(x-1)
따라서정사각형이x개일때,사용한바둑돌의개수는
12+8_(x-1)=12+8x-8=8x+4(개)
⑵ 8x+4에x=30을대입하면8_30+4=244
따라서정사각형이30개일때,사용한바둑돌의개수는244개
이다.
02
일차식의 계산 ⑴
기초의
127쪽
1 풀이 참조 2 차수：⑴ 1 ⑵ 2 ⑶ 1 ⑷ 1, 일차식：⑴, ⑶, ⑷
3 ㉢, ㉤
4 ⑴ 12x ⑵ -12x ⑶ 15a ⑷ 4x ⑸ -
a ⑹ 12y
;2!;
5 ⑴ ;3!;
x-2 ⑵ -4y+32 ⑶ -2x+8 ⑷ 2x-1 ⑸ x-4
⑹ 20a-10 ⑺ -x-2 ⑻ -4a+12
1
+3
;5{;
4y
항
, 3
;5{;
4y
xÛ`-5x+2
xÛ`,-5x,2
상수항 x의 계수 다항식의 차수
3
0
2
;5!;
0
-5
1
1
2
III. 문자와 식 37
2
2
3 ㉠ 차수가2이므로일차식이아니다.
㉡ 분모에x가있으므로일차식이아니다.
㉣,㉥ 차수가0이므로일차식이아니다.
따라서일차식은㉢,㉤이다.
4 ⑴ 2x_6=2_6_x=12x
⑵ 3_(-4x)=3_(-4)_x=-12x
⑶ -6a_
{-;2%;}
=-6_
_a=15a
{-;2%;}
⑷ 10xÖ
=10x_
=10_
_x=4x
;2%;
;5@;
;5@;
은분모에x가있으므로일차식이아니다.
;4Á[;
따라서일차식은2x,
의2개이다.
x+1
3
03 ⑶ 15xÖ(-3)=15x_
-
{
;3!;}
=-5x
⑷
-
x
}
;4!;
Ö
-
{
=
-
{
x
}
;4!;
;2!;}
{
_(-2)=
x
;2!;
04 ⑴
;3!;
(6x-12)=2x-4
⑵ -3(-2y+7)=6y-21
⑸ -9aÖ18=-9a_
=-9_
_a=-
;1Á8;
;1Á8;
a
;2!;
⑶ (3y-15)Ö3=(3y-15)_
=y-5
;3!;
⑹ -8yÖ
{-;3@;}=
{-;2#;}
-8y_
=-8_
{-;2#;}
_y=12y
⑷ (18x-6)Ö
=(18x-6)_
{-;5^;}
{-;6%;}
=-15x+5
5 ⑴
;3!;
(x-6)=
_x-
_6=
x-2
;3!;
;3!;
;3!;
⑵ (y-8)_(-4)=y_(-4)-8_(-4)=-4y+32
⑶ -2(x-4)=(-2)_x-(-2)_4=-2x+8
⑷ -(-2x+1)=(-1)_(-2x)+(-1)_1=2x-1
⑸ (2x-8)Ö2=(2x-8)_
;2!;
⑹ (8a-4)Ö
=(8a-4)_
;5@;
;2%;
=2x_
-8_
;2!;
;2!;
=x-4
=8a_
-4_
;2%;
;2%;
=20a-10
⑺ (5x+10)Ö(-5)=(5x+10)_
{-;5!;}
=5x_
-
+10_
-
{
;5!;}
{
;5!;}
=-x-2
⑻ (-3a+9)Ö
=(-3a+9)_
;4#;
;3$;
=(-3a)_
+9_
;3$;
;3$;
=-4a+12
개념의
유제
128쪽~129쪽
01 6
02 2개
03 ⑴ -5x ⑵ 9x ⑶ -5x ⑷ ;2!;
x
04 ⑴ 2x-4 ⑵ 6y-21 ⑶ y-5 ⑷ -15x+5
01 항은-x,-8y,2의3개이므로a=3
상수항은2이므로b=2
x의계수는-1이므로c=-1
∴a+b-c=3+2-(-1)=3+2+1=6
02 xÛ`+3,xy-1은차수가2이므로일차식이아니다.
5는차수가0이므로일차식이아니다.
38 정답과 해설
내공의
01 ②, ③
06 7
11 -1
02 ③
07 ④
12 -18
03 ⑤
08 ⑤
13 -7
04 -12
09 ③
14 6
130쪽~131쪽
05 ①, ④
10 ⑤
01 ② 항은-xÛ`,4x,-3이다.
③ xÛ`의계수는-1이다.
따라서옳지않은것은②,③이다.
02 ② x의계수는2,y의계수는5,z의계수는-4이므로
2+5+(-4)=3
③ x의계수는-2이다.
④ 계수의절댓값이가장큰항은-4x이고그차수는1이다.
따라서옳지않은것은③이다.
03 ① 단항식은㉣,㉥,㉦의3개이다.
② 일차식은㉠,㉢,㉥,㉧,㉨의5개이다.
④ ㉠의상수항은1,㉧의상수항은-
이므로
;3$;
1+
-
{
;3$;}
=-
;3!;
⑤ ㉥의x의계수는-0.2,㉨의x의계수는
이므로
;5@;
-0.2_
=-
_
=-
;5!;
;5@;
;2ª5;
;5@;
따라서옳지않은것은⑤이다.
04 y의계수는3이므로a=3,상수항은-4이므로b=-4
∴ab=3_(-4)=-12
05 ② 4x-2(2x-1)=4x-4x+2=2이므로일차식이아니다.
③ 분모에x가있으므로일차식이아니다.
④ 2xÛ`+x-2xÛ`=x이므로일차식이다.
⑤ 차수가2이므로일차식이아니다.
따라서일차식은①,④이다.
06 (20x-8)Ö4=(20x-8)_
=5x-2
;4!;
이때a=5,b=-2이므로
a-b=5-(-2)=5+2=7
07 ① 2(5a+3)=10a+6
② (4-2b)_(-3)=6b-12
③ -
(9x+6)=-6x-4
;3@;
④ (10x+5)Ö(-5)=(10x+5)_
-
=-2x-1
{
;5!;}
⑤ (3y-7)Ö
=(3y-7)_2=6y-14
;2!;
따라서옳은것은④이다.
08 ① (-6x)Ö
;3@;
=(-6x)_
=-9x
;2#;
② -3(2x-5)=-6x+15
③ (3y-1)Ö(-1)=(3y-1)_(-1)=-3y+1
④
9x-6
3
=
9x
3
-
=3x-2
;3^;
⑤ (4x-3)Ö
=(4x-3)_
=3x-
;3$;
;4#;
;4(;
따라서옳지않은것은⑤이다.
-5
09 ① -(7x+5)=-7x-5
②
+3
(6x+9)=2x+3
;3!;
;5!;
③ (x-5)Ö
=(x-5)_
;3@;
=
;2#;
;2#;
-
x-
:Á2°:
:Á2°:
④
_75xÖ(-15)=15xÖ(-15)=-x
상수항은 0이다.
⑤ (-24a+18)Ö(-6)=(-24a+18)_
-3
=4a-3
{-;6!;}
따라서상수항이가장작은것은③이다.
10 ① (3-x)Ö
;5!;
-5x
=(3-x)_5=15-5x
② (15-3x)_
=5-x
;3!;
③ -
_(-12x)=8x
_(-12x)=8x
x의 계수는 -1이다.
④ -
xÖ
{-;4#;}=
-
x_
;2#;
{-;3$;}
=2x
=2x
;3@;
;2#;
⑤ (32x-4)Ö(-4)=(32x-4)_
-8x+1
=-8x+1
{-;4!;}
따라서x의계수가가장작은것은⑤이다.
11 (6x-3)_
-
{
;3@;}
=-4x+2이므로a=-4,b=2
x+
Ö
=
x+
;2#;}
;2!;
{
;2#;}
{
_2=2x+3이므로c=2,d=3
∴a+b-c+d=-4+2-2+3=-1
12 (4x-12)Ö
-
{
;3@;}
`=(4x-12)Ö
;9$;
;4(;
=(4x-12)_
=9x-27
이때x의계수는9이므로a=9,상수항은-27이므로b=-27
∴a+b=9+(-27)=-18
13 (ax+b)_
-
{
;3$;}
=3x-4에서
ax+b=(3x-4)Ö
-
=(3x-4)_
-
{
{
;3$;}
;4#;}
=-
x+3
;4(;
∴a=-
,b=3
;4(;
cx+d=(3x-4)_
-
=-4x+
{
;3$;}
:Á3¤:
∴c=-4,d=
∴ac-bd=-
_(-4)-3_
:Á3¤:
:Á3¤:
;4(;
=9-16=-7
14 x의계수가3인일차식을3x+k라하자.(단,k는상수)
3x+k에x=1을대입하면a=3+k
3x+k에x=-1을대입하면b=-3+k
∴a-b=(3+k)-(-3+k)
=3+k+3-k=6
03
일차식의 계산 ⑵
기초의
1 2a와 -8a, -3과
;3@;, ;2{;와 -3x
133쪽
2 ⑴ -5x ⑵ 3a ⑶ 3a+2 ⑷ x-y ⑸ 2b ⑹ -
x
;3!;
⑺ -13-
a ⑻ -x+
;1Á5;
y
;3!;
3 ⑴ 14x ⑵ 27a-14 ⑶ 14x-2 ⑷ 8a-8
4 ⑴ 4x+3 ⑵ -6x-4 ⑶ -26a ⑷ 10
5 ⑴
-x-5
6
⑵ -
;2!; ⑶ ;1ª5;
x-
;3%; ⑷
-a-7
12
⑸
x-5
6
⑹
-17x+29
12
2 ⑴ 2x-7x=(2-7)x=-5x
⑵ a-4a+6a=(1-4+6)a=3a
⑶ 4a-3-a+5=4a-a-3+5
=(4-1)a+(-3+5)
=3a+2
⑷ -2x+5y+3x-6y=-2x+3x+5y-6y
=(-2+3)x+(5-6)y
=x-y
⑸
b+
b=
;2!;
;2#;
+
{;2!;
;2#;}
b=2b
III. 문자와 식 39
2
⑹ -
x+
x-
x=
-
;2!;
;3!;
;6!;
+
-
;3!;
;2!;
;6!;}
x
⑵
2y-5
6
+
-y+1
3
=
2y-5+2(-y+1)
6
⑺ -5+
a-8-
a=-5-8+
;5#;
;3@;
a-
a
;3@;
;5#;
⑶
x+
;5$;
-2x-5
3
=
12x+5(-2x-5)
15
=
-
+
-
;6@;
;6#;
;6!;}
x
{
{
=-
x
;3!;
=-13+
-
a
;3@;}
{;5#;
=-13+
-
{;1»5;
;1!5);}
a
=-13-
a
;1Á5;
=(5-6)x+
-
+
y
;3@;}
;3!;
{
=-x+
y
;3!;
⑻ 5x-
y-6x+
y=5x-6x-
;3!;
;3@;
y+
y
;3@;
;3!;
⑷
3a-1
4
-
5a+2
6
=
3(3a-1)-2(5a+2)
12
=
2y-5-2y+2
6
=-
=-
;6#;
;2!;
=
12x-10x-25
15
=
2x-25
15
=
x-
;3%;
;1ª5;
=
9a-3-10a-4
12
=
-a-7
12
=
9x-15-4x-10
30
=
5x-25
30
=
x-5
6
⑸
3x-5
10
-
2x+5
15
=
3(3x-5)-2(2x+5)
30
⑹
-2x+5
3
-
3(x-1)
4
=
4(-2x+5)-9(x-1)
12
=
-8x+20-9x+9
12
=
-17x+29
12
3 ⑴ 3(2x-4)+4(2x+3)=6x-12+8x+12=14x
⑵ 4(3a+4)-5(-3a+6)=12a+16+15a-30
⑶ 6
2x+
+4
-1
=12x+2+2x-4
{
;3!;}
{;2{;
}
⑷
(8a-16)+
(9a-6)=2a-4+6a-4
;4!;
;3@;
=27a-14
=14x-2
=8a-8
4 ⑴ 1-{3x-2(4x+1)}-x=1-(3x-8x-2)-x
=1-(-5x-2)-x
=1+5x+2-x
=4x+3
⑵ -2x-{-x-(2x-3)}-(7x+1)
=-2x-(-x-2x+3)-7x-1
=-2x-(-3x+3)-7x-1
=-2x+3x-3-7x-1
=-6x-4
⑶ -2(5a+3)+{-4a-2(6a-3)}
=-10a-6+(-4a-12a+6)
=-10a-6+(-16a+6)
=-10a-6-16a+6
=-26a
⑷ -4(2x-1)-{7x-3(5x+2)}
=-8x+4-(7x-15x-6)
=-8x+4-(-8x-6)
=-8x+4+8x+6
=10
5 ⑴
x-1
3
-
x+1
2
=
2(x-1)-3(x+1)
6
=
2x-2-3x-3
6
=
-x-5
6
40 정답과 해설
개념의
유제
134쪽~137쪽
01 ①
02 ⑴ -4x+1 ⑵ x+17 ⑶ 5x-7 ⑷ -25x+25
04 ⑴
03 -4
⑵ ;6&;
06 ⑴ 5x-10 ⑵ x-5 07 -4x+8 08 (4a+32)`cmÛ`
;2!; 05 12x-14
x+
x+2
9
01 ① 차수는같으나문자가다르므로동류항이아니다.
따라서옳지않은것은①이다.
02 ⑴ -(x+2)+3(1-x)=-x-2+3-3x
⑵ 2(4x+5)-7(x-1)=8x+10-7x+7
=-4x+1
=x+17
⑶ 6
x-
+8
;3@;}
{;4!;
{;2!;
x-
;8#;}
=3x-4+2x-3
=5x-7
⑷ -12
x-
-3(7x-5)=-4x+10-21x+15
{;3!;
;6%;}
=-25x+25
03 x+2y-[2x-y-{3(x-y)-4(x+y)}]
=x+2y-{2x-y-(3x-3y-4x-4y)}
=x+2y-{2x-y-(-x-7y)}
=x+2y-(2x-y+x+7y)
=x+2y-(3x+6y)
=x+2y-3x-6y
=-2x-4y
따라서y의계수는-4이다.
04 ⑴
x+2
3
-
2x+4
9
=
3(x+2)-(2x+4)
9
⑵
3x-1
2
-
x-3
3
=
3(3x-1)-2(x-3)
6
=
3x+6-2x-4
9
=
x+2
9
=
9x-3-2x+6
6
=
7x+3
6
=
x+
;6&;
;2!;
05 A=-2(3x-1)=-6x+2
B=(4x-8)Ö
=(4x-8)_
=3x-6
;3$;
;4#;
∴-A+2B=-(-6x+2)+2(3x-6)
=6x-2+6x-12
=12x-14
06 ⑴
=(2x-9)+(3x-1)
⑵
=(-2x+4)-3(-x+3)
=2x-9+3x-1
=5x-10
=-2x+4+3x-9
=x-5
07 어떤다항식을A라하면
A+(3x-2)=2x+4
∴A=2x+4-(3x-2)
=2x+4-3x+2
=-x+6
따라서바르게계산한식은
-x+6-(3x-2)=-x+6-3x+2
=-4x+8
08 (색칠한부분의넓이)=a_12-(a-4)_8
=12a-8a+32
=4a+32`(cmÛ`)
내공의
138쪽~141쪽
05 -2
01 ㉡, ㉢
02 ㉡
06 15
07 -2
03 ;3%;
08 12
04 ⑤
09 0
10
-x+11
12
11 -2
12 -3
13 1
14 7x-11 15 7x
16 3a+9 17 -
18 5a-9b
;2!;
19 5x-6, 7x-11
21 (3x+60)`cm
20 (700-35x)`mÛ`
22 x-8
23 6x-7
24 ㈎ 2x-3 ㈏ -5x+12
25 ;2%;
ab
26 ⑴ 36`cmÛ` ⑵ 9`cmÛ` ⑶ (27n+9)`cmÛ`
01 ㉠,㉣ 차수는같으나문자가다르므로동류항이아니다.
㉡ 상수항끼리는모두동류항이다.
㉥ 문자는같으나차수가다르므로동류항이아니다.
따라서동류항끼리짝지어진것은㉡,㉢이다.
02 ㉠과㉣이동류항이고,㉢과㉤이동류항이다.
따라서동류항으로짝지을수없는하나는㉡이다.
03 -
;3!;
(1-4x)-
(2x-12)=-
;6!;
+
;3!;
;3$;
x-
x+2
;3!;
=x+
;3%;
따라서a=1,b=
이므로
;3%;
ab=1_
=
;3%;
;3%;
04 ① 4(2x-4)-(4+x)=8x-16-4-x=7x-20
② (-8x-5)+(15x-2)=7x-7
③ -4(-2x+1)-
3x+
=8x-4-x-
;3!;{
;2!;}
;6!;
=7x-
:ª6°:
④ 2(6x-5)+5(-x+4)=12x-10-5x+20=7x+10
⑤ (9x-3)-(2-2x)=9x-3-2+2x=11x-5
따라서x의계수가나머지넷과다른하나는⑤이다.
05 -x+3-(ax+b)=-x+3-ax-b
=(-1-a)x+3-b
이때x의계수는-3,상수항은-1이므로
-1-a=-3에서a=-1+3=2
3-b=-1에서b=3+1=4
∴a-b=2-4=-2
06 -2x-{-(2-3x)-3(2x+4)}
=-2x-(-2+3x-6x-12)
=-2x-(-3x-14)
=-2x+3x+14
=x+14
따라서a=1,b=14이므로
a+b=1+14=15
III. 문자와 식 41
=2(x+2)-3(5x-7)
=2x+4-15x+21
=-13x+25
07 2x-[y-{3x-2(x+2y)}]
=2x-{y-(3x-2x-4y)}
=2x-{y-(x-4y)}
=2x-(y-x+4y)
=2x-(5y-x)
=2x-5y+x
=3x-5y
이때x의계수는3,y의계수는-5이므로
3+(-5)=-2
08 {
x+2
3
-
5x-7
2
}
Ö
=
{
;6!;
x+2
3
-
5x-7
2
}
_6
따라서a=-13,b=25이므로
a+b=-13+25=12
09
-3x+4
5
-
x+1
3
=
3(-3x+4)-5(x+1)
15
=
-9x+12-5x-5
15
=
-14x+7
15
=-
x+
;1!5$;
;1¦5;
따라서a=-
,b=
이므로
;1!5$;
;1¦5;
a+2b=-
+2_
=0
;1!5$;
;1¦5;
10
5x-3
4
-
4x-2
3
+1=
3(5x-3)-4(4x-2)+12
12
=
15x-9-16x+8+12
12
=
-x+11
12
11
x+2
3
-
2x-1
2
+
3x-5
6
=
2(x+2)-3(2x-1)+3x-5
6
=
2x+4-6x+3+3x-5
6
=
-x+2
6
=-
x+
;6!;
;3!;
따라서a=-
,b=
이므로
;6!;
;3!;
=bÖa=
Ö
-
{
;3!;
;6!;}
;3!;
=
_(-6)=-2
;aB;
42 정답과 해설
13 4A-3B=4(3x-2y)-3(-x+2y)
=12x-8y+3x-6y
=15x-14y
따라서a=15,b=-14이므로
a+b=15+(-14)=1
14 2C-(3B-A)=2C-3B+A
=2(x-1)-3(-x+2)+(2x-3)
=2x-2+3x-6+2x-3
=7x-11
15 3(2A-B)-4(A-3B)=6A-3B-4A+12B
=2A+9B
=2_
+9_
x+3
2
2x-1
3
=x+3+3(2x-1)
=x+3+6x-3
=7x
16 A=
;3!;
;2!;
a+
,B=-
a-3이므로
;2!;
6A-2B=6
a+
-2
-
a-3
{
;2!;
}
;2!;}
{;3!;
=2a+3+a+6
=3a+9
17 a：b=1：3에서b=3a
∴
a-b
a+b
=
a-3a
a+3a
=
-2a
4a
=-
;2!;
18
=(3a-4b)-(-2a+5b)
=3a-4b+2a-5b
=5a-9b
19 어떤다항식을A라하면
A+(-2x+5)=3x-1
∴A=3x-1-(-2x+5)
=3x-1+2x-5
=5x-6
따라서바르게계산한식은
5x-6-(-2x+5)=5x-6+2x-5
=7x-11
20
40 m
(40-5) m
x m
20 m
➡
(20-x) m
12 3xÛ`-4x+5+axÛ`-x+1=(3+a)xÛ`-5x+6
이식이x에대한일차식이되려면xÛ`의계수가0이어야하므로
3+a=0 ∴a=-3
∴(밭의넓이)=(40-5)(20-x)
5 m
=35(20-x)
=700-35x`(mÛ`)
21 (색칠한부분의둘레의길이)
=
(직사각형의둘레의길이)_2
⑶
종이n장을겹쳐놓았을때의겹쳐진부분은모두(n-1)개
로이루어졌으므로보이는부분의넓이는
-(겹쳐진부분의직사각형의둘레의길이)
36_n-9_(n-1)=36n-9n+9
=27n+9`(cmÛ`)
∴C=(7x-3)-(7x-9)=7x-3-7x+9=6
③ aÖ2_b=a_
_b=
24 보기에서5x-3x=2x이므로규칙은아래층에있는오른쪽일차
식에서왼쪽일차식을뺀것을위층에적는것이다.
㈎(7x-2)-(5x+1)=7x-2-5x-1
02 a`%의소금물400`g에들어있는소금의양은
400_
=4a`(g)
;10A0;
={2_(20+x)}_2-2_
10+
{
x
}
;2!;
=80+4x-20-x
=3x+60`(cm)
22 n이짝수일때,n+1은홀수,n+2는짝수이므로
(주어진식)=(3x-2)+(-1)_(-2x+1)-(4x+5)
=3x-2+2x-1-4x-5
=x-8
23 두번째가로줄에서(4x+1)+(-x+1)+(4x-5)=7x-3이
므로가로,세로에놓여있는세일차식또는수의합은7x-3이다.
첫번째세로줄에서(2x-3)+(4x+1)+A=7x-3
(6x-2)+A=7x-3
∴A=(7x-3)-(6x-2)=7x-3-6x+2=x-1
두번째세로줄에서첫번째칸에놓여있는일차식또는수를C라
하면
C+(-x+1)+(8x-10)=7x-3
C+(7x-9)=7x-3
첫번째가로줄에서(2x-3)+C+B=7x-3
(2x-3)+6+B=7x-3,(2x+3)+B=7x-3
∴B=(7x-3)-(2x+3)=7x-3-2x-3=5x-6
∴A+B=(x-1)+(5x-6)=6x-7
㈏(-3x+9)-㈎=(-3x+9)-(2x-3)
=2x-3
=-3x+9-2x+3
=-5x+12
25 오른쪽그림에서
(색칠한부분의넓이)
=(직사각형ABCD의넓이)
-(①`+②`+③의넓이)
=3a_2b
A
2b
①
a
B
3a
D
b
b
C
②
③
2a
-
{;2!;
_a_2b+
_3a_b+
;2!;
_2a_b
}
;2!;
=6ab-
ab+
ab+ab
;2#;
}
{
;2&;
=6ab-
ab=
ab
;2%;
26 ⑴ 6_6=36`(cmÛ`)
⑵
로그넓이는
3_3=9`(cmÛ`)
겹쳐진부분을이루는정사각형의한변의길이가3`cm이므
실전의
02 4a`g
01 ⑤
05 19700원 06 12`¾
08 ⑤
09 ⑤
14 2
13 ⑤
17 -17x+14
21 20
22 2x
142쪽~145쪽
04 ④
03 ①
07 ⑴ 2(ab+bc+ca) ⑵ 262 ⑶ 280
10 6
11 -20
15 4a-15 16 -2a-5
18 ④
12 ③, ④
19 9x-3 20 -6x
24 -96
23 ①
01 ① aÖ(b-2)_b=a_
_b=
ab
b-2
1
b-2
x
yz
ab
2
=
② xÖyÖz=x_
_
;]!;
;z!;
④ xÖ4-2_y=
-2y
;2!;
;4{;
⑤ x_yÖa+1=x_y_
+1=
+1
;a!;
xy
a
참고
①에서 괄호가 있는 (b-2)는 한 개의 항처럼 생각한다.
03 경일이가학교에서출발하여집에도착할때까지걸린시간은
(학교에서집까지걸은시간)+(휴식시간)
=
+
=
+
;[*;
;6!;
;6!0);
;[*;
(시간)
04 ① -xy=-(-3)_1=3
(-3)Û`
9
②
xÛ`
9
=1
=
=
;9(;
③ yÛ`=1Û`=1
④
xy
3
=
(-3)_1
3
=
-3
3
=-1
⑤ -x+yÛ`=-(-3)+1Û`=3+1=4
따라서식의값이가장작은것은④이다.
05 12000+70x에x=110을대입하면
12000+70_110=19700
따라서지불해야하는요금은19700원이다.
06 30-6h에h=3을대입하면
30-6_3=30-18=12
따라서지면에서높이가3`km인곳의기온은12`¾이다.
III. 문자와 식 43
07 ⑴ (직육면체의겉넓이)=2ab+2bc+2ca
=2(ab+bc+ca)
14 {
ax+
-
x-b
}
{;5#;
;3$;}
=ax+
-
;3$;
;5#;
x+b
⑵ 2(ab+bc+ca)에a=5,b=8,c=7을대입하면
=
a-
{
x+
+b
;3$;
;5#;}
이때a-
=1,
+b=-2이므로a=
,b=-
;5#;
;3$;
;5*;
;;Á3¼;;
∴-5a-3b=-5_
-3_
-
;5*;
{
;;Á3¼;;}
=-8+10=2
10 -6xÛ`+4x+axÛ`-5x-7=(-6+a)xÛ`-x-7
이식이x에대한일차식이되려면xÛ`의계수가0이어야하므로
-6+a=0
∴ a=6
17 A-3B-(B+2A)=A-3B-B-2A
=-A-4B
∴-A-4B=-(x-2)-4(4x-3)
2_(5_8+8_7+5_7)
=2_(40+56+35)
=2_131=262
⑶ (직육면체의부피)=(밑면의넓이)_(높이)
=(a_b)_c
=abc
즉abc에a=5,b=8,c=7을대입하면
5_8_7=280
08 ①,③ y의계수는-
,상수항은7이므로
;2#;
-
{
;2#;}
_7=-
;;ª2Á;;
② 항은yÛ`,-
y,7이다.
;2#;
④ y=-2일때,yÛ`-
y+7=(-2)Û`-
_(-2)+7
;2#;
;2#;
=4+3+7=14
09 ② x(x-1)-xÛ`=xÛ`-x-xÛ`=-x➡일차식
⑤ xÛ`-2x+3의차수는2이므로일차식이아니다.
11 (3x-12)Ö
-
{
;4#;}
=(3x-12)_
-
{
;3$;}
=3x_
-
-12_
-
{
;3$;}
{
;3$;}
=-4x+16
따라서a=-4,b=16이므로
a-b=-4-16=-20
12 ③ 상수항끼리는모두동류항이다.
④ 문자와차수가각각같으므로동류항이다.
13 ① 2(-5a+1)+3(4-2a)=-10a+2+12-6a
=-16a+14
③
(x-1)+
(2x+3)=
x-
;3@;
;4!;
+
;3@;
;2!;
x+
;4#;
=
x+
x-
;6#;
+
;1¥2;
;1»2;
=24b
;3@;
;6$;
=
x+
;6&;
;1Á2;
=-13y+6
44 정답과 해설
15 (6a-8)Ö
-
;3@;
;4!;
(20a+12)
=(6a-8)_
-5a-3
;2#;
=9a-12-5a-3
=4a-15
16 2a-[5a-1-{a-2b+2(b-3)}]
=2a-{5a-1-(a-2b+2b-6)}
=2a-{5a-1-(a-6)}
=2a-(5a-1-a+6)
=2a-(4a+5)
=2a-4a-5
=-2a-5
=-x+2-16x+12
=-17x+14
18 (3a-4b)-
=-2a+5b에서
=(3a-4b)-(-2a+5b)
=3a-4b+2a-5b=5a-9b
19 어떤다항식을A라하면
A+(-3x+2)=3x+1에서
A=3x+1-(-3x+2)
=3x+1+3x-2=6x-1
따라서바르게계산한식은
=9x-3
20 A+(2x-1)=x-4에서
A=(x-4)-(2x-1)
=x-4-2x+1=-x-3
B-(2x-1)=3x-2에서
∴A-B=-x-3-(5x-3)
② 3(8+4b)-4(-3b+6)=24+12b+12b-24
6x-1-(-3x+2)=6x-1+3x-2
④ (-4y+1)-(9y-5)=-4y+1-9y+5
B=(3x-2)+(2x-1)=5x-3
⑤ 2(-3b+2)-3(3-2b)=-6b+4-9+6b=-5
=-x-3-5x+3=-6x
21 ;a!;
4
3a
=3,
=-4,
=5이므로
;c!;
1
b
-
+
2
b
8
5c
=
_
;3$;
;a!;
-2_
+
_
;5*;
;c!;
1
b
=
_3-2_(-4)+
_5
;3$;
;5*;
=4+8+8=20
22 (-1)홀수=-1,(-1)짝수=1이고
n이홀수이면n+1은짝수,n+2는홀수이므로
(-1)Ç` ±Ú`(x-5)-(-1)Ç` ±Û`(x+5)
=1_(x-5)-(-1)_(x+5)
=x-5+x+5=2x
23 x의계수가2인일차식을2x+k라하자.(단,k는상수)
2x+k에x=1을대입하면A=2+k
2x+k에x=3을대입하면B=6+k
∴A-B=(2+k)-(6+k)
=2+k-6-k=-4
24 x⦿y=3x-2y,y▼x=2y-3x이므로
3(x⦿y)-(y▼x)=3(3x-2y)-(2y-3x)
=9x-6y-2y+3x
=12x-8y
따라서x의계수는12,y의계수는-8이므로x의계수와y의계
수의곱은12_(-8)=-96
III. 문자와 식 45
IV. 일차방정식
01
방정식과 항등식
기초의
1 ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ×
2 ⑴ 3+8=11 ⑵ 2x+5=11 ⑶ 400x+800y=4000 ⑷ 80x=160
3 ⑴ 방 ⑵ 항 ⑶ ×
4 ⑴ x=1 ⑵ x=3 ⑶ x=2 ⑷ x=0
5 ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ × ⑷ ◯ ⑸ ◯
6 ⑴ 4, 5 ⑵ 6, 4 ⑶ 4, -8 ⑷ 3, -4
1 ⑵, ⑷ 등호가 없으므로 등식이 아니다.
5 ⑴
;4A;=;3B;
의 양변에 12를 곱하면 3a=4b (○)
⑵ a=2, b=3, c=0일 때, 2_0=3_0
즉 ac=bc이지만 a+b (×)
⑶ 2a=b의 양변에 1을 더하면 2a+1=b+1 (×)
⑷ 1-a=1-b의 양변에서 1을 빼면 -a=-b
이 식의 양변에 -1을 곱하면 a=b (○)
⑸ x=y의 양변에서 y를 빼면 x-y=0 (○)
개념의
유제
151쪽 ~ 153쪽
01 ⑴ 10-x=3 ⑵ 3x=15 ⑶ x-y=32
03 1
04 ②
05 ②
02 ㉢, ㉣, ㉥
06 ⑴ x=3 ⑵ x=-12
02 ㉠, ㉡ 방정식이다.
㉢
이다.
좌변을 정리하면 x+x=2x, 즉 (좌변)=(우변)이므로 항등식
04 ① x-3=2에 x=5를 대입하면
5-3=2 (참)
② 2x+3=-1에 x=-1을 대입하면
2_(-1)+3+-1 (거짓)
③ x+3=1-x에 x=-1을 대입하면
(-1)+3=1-(-1) (참)
④ 2x-1=x+3에 x=4를 대입하면
2_4-1=4+3 (참)
150쪽
⑤ -(x+2)=x+4에 x=-3을 대입하면
-{(-3)+2}=(-3)+4 (참)
05 ① a+5=b+3의 양변에서 5를 빼면 a=b-2
② 3a=2b의 양변을 6으로 나누면
;2A;=;3B;
③ 5a-5=5b의 양변을 5로 나누면 a-1=b
④ a-3=b-3의 양변에 3을 더하면 a=b
이 식의 양변에 2를 곱하면 2a=2b
⑤ a=
의 양변에 -4를 곱하면 -4a=-b
;4B;
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
06
⑴ -2x+4=-2
-2x+4-4=-2-4
양변에서 4를 뺀다.
-2x=-6
-6
-2
=
-2x
-2
∴ x=3
⑵
x+2=-2
;3!;
x+2-2=-2-2
;3!;
x=-4
;3!;
x_3=-4_3
;3!;
∴ x=-12
양변을 -2로 나눈다.
양변에서 2를 뺀다.
양변에 3을 곱한다.
㉣
우변을 정리하면 3x+1-2x=x+1, 즉 (좌변)=(우변)이므
내공의
로 항등식이다.
㉤
등호가 없으므로 등식이 아니다.
㉥
좌변을 정리하면
=-2x+
, 즉 (좌변)=(우변)이
-6x+1
3
;3!;
01 ④
02 5개
03 ⑤
06 ③
07 ③
10 a=-1, b=-2
08 ②, ⑤
11 8
04 -1
09 4개
12 ⑤
154쪽 ~ 155쪽
05 ①, ⑤
13 60 g
므로 항등식이다.
따라서 항등식은 ㉢, ㉣, ㉥이다.
03 2(x-a)=bx-1에서 2x-2a=bx-1
이 등식이 x에 대한 항등식이므로
2=b, -2a=-1에서 a=
, b=2
;2!;
∴ ab=
_2=1
;2!;
46 정답과 해설
01 ④ 2x-1=3(x-2)
02 ㉡, ㉤, ㉧은 등호가 없으므로 등식이 아니다.
따라서 등식은 ㉠, ㉢, ㉣, ㉥, ㉦의 5개이다.
03 x의 값에 관계없이 항상 참인 등식은 항등식이다.
⑤
우변을 정리하면 2x+1-x=x+1, 즉 (좌변)=(우변)이므로
항등식이다.
04 3x+2a=3b+ax가 x에 대한 항등식이므로
3=a, 2a=3b에서 a=3, b=2
∴ b-a=2-3=-1
⑤ x=2y의 양변에서 2를 빼면 x-2=2y-2
즉 x-2=2(y-1)
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
05 ① 2-x=3에 x=-1을 대입하면
2-(-1)=3 (참)
② 2x+1=x에 x=1을 대입하면
2_1+1+1 (거짓)
③ 3x=2(x-1)+3에 x=4를 대입하면
3_4+2_(4-1)+3 (거짓)
④
+
=2에 x=2를 대입하면
;2{;
;2!;
+
;2@;
;2!;
+2 (거짓)
⑤ -
x=1에 x=-
을 대입하면
;3@;
;2#;
-
_
-
{
;3@;
;2#;}
=1 (참)
06 ③ c=0일 때,
=
;aC;
;bC;
이지만 a+b일 수도 있다.
07 ㉠ 6 ㉡ 6 ㉢ -3 ㉣ 3 ㉤ -1
08 4x+3=27
4x=24
∴ x=6
양변에서 3을 뺀다. (⑤)
양변을 4로 나눈다. (②)
09 한 개에 5`g인 사탕의 개수를 x개라 하면
5_x+10=6_5
∴ 5x+10=30
이 식의 양변에서 10을 빼면 5x=20
이 식의 양변을 5로 나누면 x=4
따라서 구하는 사탕의 개수는 4개이다.
10 3(x-2)+4=2x-ax+b에서
3x-6+4=2x-ax+b
즉 3x-2=(2-a)x+b가 x에 대한 항등식이므로
3=2-a, -2=b
∴ a=-1, b=-2
11 5a+10=5(b-3)의 양변을 5로 나누면
a+2=b-3
양변에서 5를 빼면
따라서 ☐ 안에 알맞은 수는 8이다.
12 ① 5-x=2-y의 양변에 2를 곱하면 10-2x=4-2y
② a-b=x-y의 양변에 b+y를 더하면 a+y=b+x
③ 8a+4=4b-12의 양변에 12를 더하면 8a+16=4b
이 식의 양변을 4로 나누면 2a+4=b
④ x=y의 양변에 a를 더하면 x+a=y+a
이때 a=b이므로 x+a=y+b
13 양쪽에서 흰 구슬 2개, 검은 구슬 1개를 각각 덜어내면 왼쪽에는 검
은 구슬 2개, 오른쪽에는 흰 구슬 4개가 남는다.
이때 검은 구슬 2개와 흰 구슬 4개의 무게가 같으므로 검은 구슬
1개의 무게는 흰 구슬 2개의 무게와 같다.
따라서 검은 구슬 1개의 무게는
2_30=60`(g)
02
일차방정식
기초의
1 ⑴ x=5-4 ⑵ 2x=-5+1 ⑶ 2x-x=-3 ⑷ 3x-x=1+3
2 ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ◯
158쪽
3 ⑴ x=4 ⑵ x=
:ª3ª: ⑶ x=-
;5(;
4 ⑴ x=3 ⑵ x=-2 ⑶ x=
:Á5ª:
5 ⑴ 8 ⑵
:Á5Á:
6 ⑴ x=-4 ⑵ x=4 ⑶ x=4
7 ⑴ x=-
;7%; ⑵ x=-
;2!; ⑶ x=12
모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하면
2
⑴ 1+2x-3x=0이므로 -x+1=0 (일차방정식)
⑵ 3(x+2)+1=3x+5에서
3x+7=3x+5, 3x+7-3x-5=0
∴ 2=0 (일차방정식이 아니다.)
⑶ 4x=0 (일차방정식)
⑷ x(x+5)=xÛ`-2에서
xÛ`+5x=xÛ`-2, xÛ`+5x-xÛ`+2=0
∴ 5x+2=0 (일차방정식)
⑴ 3x-5=7에서 3x=7+5
3x=12 ∴ x=4
⑵ 2x-4=18-x에서 2x+x=18+4
3x=22 ∴ x=
:ª3ª:
-5x=9 ∴ x=-
;5(;
⑴ 5x-3(x-1)=9에서
5x-3x+3=9, 2x=9-3
2x=6 ∴ x=3
⑵ -2(x+1)=3x+8에서
-2x-2=3x+8, -2x-3x=8+2
-5x=10 ∴ x=-2
3
4
IV. 일차방정식 47
a+2-5=b-3-5
∴ a-3=b-8
⑶ 2-4x=x+11에서 -4x-x=11-2
⑶ 3(x-2)=2(-x+3)에서
3x-6=-2x+6, 3x+2x=6+6
5x=12 ∴ x=
;;Á5ª;;
5
⑴ 3：4=(x-2)`: 8에서
24=4(x-2), 24=4x-8
-4x=-32
∴ x=8
⑵ (x-3)`:`4=(2-x)：1에서
x-3=4(2-x), x-3=8-4x
5x=11 ∴ x=
;;Á5Á;;
2x+15=7, 2x=-8
⑴ 0.2x+1.5=0.7의 양변에 10을 곱하면
6
⑵ 3.2x-2.8=2.5x의 양변에 10을 곱하면
32x-28=25x, 7x=28
∴ x=-4
∴ x=4
⑶ -0.3x+0.4=0.2x-1.6의 양변에 10을 곱하면
-3x+4=2x-16
-5x=-20
∴ x=4
7
;2#;
⑴
x-2=5x+
의 양변에 2를 곱하면
;2!;
3x-4=10x+1, -7x=5
∴ x=-
;7%;
⑵
2x-1
4
=
x-1
3
의 양변에 12를 곱하면
3(2x-1)=4(x-1), 6x-3=4x-4
2x=-1 ∴ x=-
;2!;
⑶
-6=
-8의 양변에 6을 곱하면
;3{;
;2{;
2x-36=3x-48
-x=-12
∴ x=12
01 ③
02 ⑤
03 ①
04 ③
05 ⑴
;2!; ⑵ -
;5!;
06 ⑴ x=-3 ⑵ x=4
07 ⑴ x=
;3$; ⑵ x=
;2!; 08 2
09 3
10 7
01 ③ 3x-2=7x-5 ➡ 3x-7x=-5+2
02 ① x+2=x-5에서
x+2-x+5=0
② x(x-5)=0에서
xÛ`-5x=0 (일차방정식이 아니다.)
③ 3x-4=3(x+1)에서
3x-4=3x+3, 3x-4-3x-3=0
∴ -7=0 (일차방정식이 아니다.)
④ 일차식
⑤ 일차방정식
48 정답과 해설
03 4x-5=2(3-ax)+1에서 4x-5=6-2ax+1
∴ (4+2a)x-12=0
이 등식이 x에 대한 일차방정식이 되려면
4+2a+0
∴ a+-2
따라서 상수 a의 값으로 옳지 않은 것은 ①이다.
04 3(1-x)=-4(x-2)에서
3-3x=-4x+8 ∴ x=5
① 3(x+1)=2(2x-1)에서
3x+3=4x-2, -x=-5 ∴ x=5
② 4x=2(x+3)+4에서
4x=2x+6+4, 2x=10 ∴ x=5
③ 2(x+3)=5(6-x)+4x에서
2x+6=30-5x+4x, 3x=24 ∴ x=8
④ -2x+14=4에서
-2x=-10 ∴ x=5
⑤ 5(x+2)-3=3x+17에서
5x+10-3=3x+17, 2x=10 ∴ x=5
05 ⑴ (x-2)：(2x-3)=3：4에서
4(x-2)=3(2x-3), 4x-8=6x-9
-2x=-1
∴ x=
⑵ (3x-1)：2=2(x-1)：3에서
3(3x-1)=2_2(x-1), 9x-3=4x-4
5x=-1
∴ x=-
;2!;
;5!;
06 ⑴ 0.3(2x+3)=0.2(x-1)-0.1의 양변에 10을 곱하면
3(2x+3)=2(x-1)-1, 6x+9=2x-2-1
4x=-12
∴ x=-3
⑵ 3(x-0.9)-4=2.6x-5.1에서
3x-2.7-4=2.6x-5.1
4x=16
∴ x=4
07 ⑴
x-8
8
-
3-2x
2
=-1의 양변에 8을 곱하면
x-8-4(3-2x)=-8, x-8-12+8x=-8
9x=12
∴ x=
;3$;
⑵
;3@;
x+ x-7
=
6
;2!;
x-1의 양변에 6을 곱하면
08 3(x+a)-2=5에 x=
을 대입하면
;3!;
3
+a
-2=5, 1+3a-2=5
{;3!;
}
3a=6 ∴ a=2
09 -(2x-3)=-x+5에서
-2x+3=-x+5, -x=2
∴ x=-2
개념의
유제
159쪽 ~ 163쪽
양변에 10을 곱하면 30x-27-40=26x-51
∴ 7=0 (일차방정식이 아니다.)
4x+x-7=3x-6, 2x=1 ∴ x=
;2!;
-x=
에 x=-2를 대입하면
3-a
2
3-a
2
+2=
4-ax
5
4+2a
5
양변에 10을 곱하면 5(3-a)+20=2(4+2a)
15-5a+20=8+4a
-9a=-27
∴ a=3
10 3x+11=a-2x에서
5x=a-11
∴`x=
a-11
5
-20, …이어야 한다.
Ú a-11=-5일 때, a=6
Û a-11=-10일 때, a=1
Ü a-11=-15일 때, a=-4
Ý a-11=-20일 때, a=-9
y
이때
a-11
5
이 음의 정수가 되려면 a-11=-5, -10, -15,
따라서 조건을 만족하는 자연수 a의 값은 1, 6이므로 그 합은
1+6=7
연산의
164쪽 ~ 165쪽
1 ⑴ x=8 ⑵ x=3 ⑶ x=-3 ⑷ x=-1 ⑸ x=-5 ⑹ x=2
⑺ x=-1 ⑻ x=1 ⑼ x=-2 ⑽ x=2
2 ⑴ x=-9 ⑵ x=2 ⑶ x=-3 ⑷ x=-2 ⑸ x=10
⑹ x=6 ⑺ x=7 ⑻ x=2
3 ⑴ x=3 ⑵ x=5 ⑶ x=-3 ⑷ x=1 ⑸ x=5 ⑹ x=6
⑺ x=-3 ⑻ x=8
4 ⑴ x=16 ⑵ x=
;4(; ⑶ x=
;6%; ⑷ x=2 ⑸ x=-
;5*;
⑹ x=
;7!; ⑺ x=-
;2%; ⑻ x=-4
4
⑴
-2=
+2의 양변에 4를 곱하면
;2{;
;4{;
2x-8=x+8
∴ x=16
⑵ x-
=
;4!;
;3@;
x+
;2!;
의 양변에 12를 곱하면
12x-3=8x+6, 4x=9
∴ x=
;4(;
⑶ -
x+
=
;2!;
;3@;
;6%;
x-
;4#;
의 양변에 12를 곱하면
-10x+6=8x-9, -18x=-15
∴ x=
;6%;
⑷ 2x-1=
x+7
3
6x-3=x+7, 5x=10
의 양변에 3를 곱하면
∴ x=2
⑸
2x-1
3
=
3x+2
2
의 양변에 6을 곱하면
2(2x-1)=3(3x+2), 4x-2=9x+6
의 양변에 18을 곱하면
-5x=8
∴ x=-
;5*;
⑹ x-2-
4-x
9
=
3x-5
2
18x-36-2(4-x)=9(3x-5)
18x-36-8+2x=27x-45
-7x=-1
∴ x=
;7!;
;2%;
⑺
4(x-2)
3
=
3(2x-3)
4
의 양변에 12를 곱하면
16(x-2)=9(2x-3), 16x-32=18x-27
-2x=5
∴ x=-
⑻
3(x-2)
2
=
4x-5
3
-2의 양변에 6을 곱하면
9(x-2)=2(4x-5)-12
9x-18=8x-10-12
∴ x=-4
⑶ 0.5x+0.3=0.2x-0.6의 양변에 10을 곱하면
06 -16
07 x=-2 08 35
3
⑴ 0.2x+0.6=1.2의 양변에 10을 곱하면
2x+6=12, 2x=6
∴ x=3
⑵ 0.3x-2=-0.5의 양변에 10을 곱하면
3x-20=-5, 3x=15
∴ x=5
5x+3=2x-6, 3x=-9
∴ x=-3
⑷ 2.4-1.3x=2.1x-1의 양변에 10을 곱하면
24-13x=21x-10, -34x=-34
∴ x=1
⑸ 1.3x-1=0.7x+2의 양변에 10을 곱하면
13x-10=7x+20, 6x=30
∴ x=5
⑹ 0.05x-0.1=0.2x-1의 양변에 100을 곱하면
5x-10=20x-100, -15x=-90
∴ x=6
⑺ 0.8-0.1(x-1)=1.2의 양변에 10을 곱하면
8-(x-1)=12, 8-x+1=12
-x=3
∴ x=-3
⑻ 0.3x-0.2=0.2(x+3)의 양변에 10을 곱하면
내공의
01 ⑤
02 ㉢, ㉣, ㉤ 03 ①
166쪽 ~ 168쪽
04 4
09 ③
05 x=2
10 -12
11 x=-5 12 -1
16 ⑤
21 5
17 1
22 -
;2#;
13 x=
;2#; 14 -
18 x=-1 19 1
;3@;
15 8
20 3
01 ① x+5=2x-1 ➡ x-2x=-1-5
② -3x+6=9 ➡ -3x=9-6
③ 3x=1-x ➡ 3x+x=1
④ 2x+1=3 ➡ 2x=3-1
02 ㉠ 일차방정식이 아니다.
㉡ 2x-4=2(x-2)에서
IV. 일차방정식 49
3x-2=2(x+3), 3x-2=2x+6
∴ x=8
2x-4=2x-4 (항등식)
xÛ`+4x+1=xÛ`+2x ∴ 2x+1=0 (일차방정식)
2(x-3)=10x+18, 2x-6=10x+18
㉢ 3x+1=4x+5에서
-x-4=0 (일차방정식)
㉣ xÛ`+4x+1=x(x+2)에서
㉤ 8x-4=2(x-4)에서
8x-4=2x-8
∴ 6x+4=0 (일차방정식)
㉥ xÛ`+4x=xÛ`+4x+2에서
-2=0 (일차방정식이 아니다.)
따라서 일차방정식은 ㉢, ㉣, ㉤이다.
03 ax-6=3(x+b)에서 ax-6=3x+3b
∴ (a-3)x-6-3b=0
이 등식이 x에 대한 일차방정식이 되려면
a-3+0
∴ a+3
04 ㉠ 5(x-3)=3(x-5)에서
5x-15=3x-15, 2x=0
∴ x=0
㉡ 2(x-2)=3x-10에서
2x-4=3x-10, -x=-6
∴ x=6
㉢ 5x+3=2(x+6)에서
5x+3=2x+12, 3x=9
∴ x=3
㉣ -2(x+2)=3x+6에서
-2x-4=3x+6, -5x=10
∴ x=-2
따라서 가장 큰 값은 6이므로 a=6
가장 작은 값은 -2이므로 b=-2
∴ a+b=6+(-2)=4
05 2x-4=5x-{2x-7(1-x)}+1에서
2x-4=5x-(2x-7+7x)+1
2x-4=5x-(9x-7)+1
2x-4=5x-9x+7+1
6x=12
∴ x=2
06 (x-6)`:`1=(0.2x+1)`:`0.1에서
0.1(x-6)=0.2x+1
양변에 10을 곱하면
x-6=2x+10, -x=16 ∴ x=-16
07 0.19(2x-1)+0.2=0.4x+0.05의 양변에 100을 곱하면
19(2x-1)+20=40x+5
38x-19+20=40x+5
-2x=4
∴ `x=-2
08
3-x
2
+1=
-2x+5
3
의 양변에 6을 곱하면
3(3-x)+6=2(-2x+5)
9-3x+6=-4x+10
∴ x=-5
따라서 a=-5이므로
aÛ`-2a =(-5)Û`-2_(-5)=25+10=35
50 정답과 해설
09 ① 6(2x+3)=5x-3에서
12x+18=5x-3, 7x=-21
∴ x=-3
② 0.2(x-3)=x+1.8의 양변에 10을 곱하면
-8x=24
∴ x=-3
③
-1=
;3{;
5x-3
4
-x의 양변에 12를 곱하면
4x-12=3(5x-3)-12x
4x-12=15x-9-12x
∴ x=3
④ 3x+1=-2x-14에서
5x=-15
∴ x=-3
⑤
(x-3)+
(4x+13)의 양변에 12를 곱하면
;4!;
=
;3%;
;6!;
3(x-3)+20=2(4x+13), 3x-9+20=8x+26
-5x=15
∴ x=-3
따라서 일차방정식의 해가 나머지 넷과 다른 하나는 ③이다.
10 0.2(x+6)-0.4x=1.6의 양변에 10을 곱하면
2(x+6)-4x=16, 2x+12-4x=16
∴ x=-2
-2x=4
x+1
2
-
2x-3
3
=2의 양변에 6을 곱하면
3(x+1)-2(2x-3)=12, 3x+3-4x+6=12
-x=3
∴ x=-3
따라서 a=-2, b=-3이므로
-2ab=-2_(-2)_(-3)=-12
11
x-5
2
-0.5(2x-5)=-0.4x+
의 양변에 10을 곱하면
;2!;
5(x-5)-5(2x-5)=-4x+5
5x-25-10x+25=-4x+5
-x=5
∴ x=-5
-
에 x=-1을 대입하면
12
5x+2a
2
-5+2a
2
=
7x-a
3
;2#;
=
-7-a
3
-
;2#;
양변에 6을 곱하면
3(-5+2a)=2(-7-a)-9
-15+6a=-14-2a-9
8a=-8
∴ a=-1
13
x+a=
x에 x=12를 대입하면
;6!;
;3!;
2+a=4 ∴ a=2
a(x+1)=11-4x에 a=2를 대입하면
2(x+1)=11-4x, 2x+2=11-4x
6x=9 ∴ x=
;2#;
14 0.4(x+1)=0.6x의 양변에 10을 곱하면
4(x+1)=6x, 4x+4=6x
-2x=-4
∴ x=2
7-a(x+1)=5x-1에 x=2를 대입하면
7-3a=9, -3a=2
∴ a=-
;3@;
15 x-3=2(2x+3)에서
x-3=4x+6, -3x=9 ∴ x=-3
0.4x+
=0.2(a-1)에 x=-3을 대입하면
4-3x
5
-1.2+
=0.2(a-1)
;;Á5£;;
양변에 10을 곱하면
-12+26=2(a-1), -12+26=2a-2
-2a=-16 ∴ a=8
16 x-4=
;2!;
(x-a)의 양변에 2를 곱하면
2x-8=x-a
∴ x=8-a
y, 7이어야 한다.
따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ⑤이다.
이때 8-a가 자연수가 되려면 a는 8보다 작은 자연수, 즉 1, 2, 3,
17
a-2x
3
-2=-1의 양변에 3을 곱하면
a-2x-6=-3, -2x=3-a
∴ x=
a-3
2
20 6x-(x+5a)=-2에서
6x-x-5a=-2, 5x=5a-2
∴`x=
5a-2
5
가 2보다 작은 기약분수가 되려면 5a-2=1, 2, 3, 4,
따라서 a=
,
;5$;
;5#;
, 1,
,
;5*;
,
;5(;
;5^;
, 2,
:Á5Á:
이고, 이 중 자연수 a의 값은
이때
5a-2
5
6, 7, 8, 9이어야 한다.
1, 2이므로 그 합은
1+2=3
21 (a-3)x+5=3, 즉 (a-3)x=-2의 해가 없으므로
∴ a=3
a-3=0
bx+2=c, 즉 bx=c-2의 해가 무수히 많으므로
b=0, c-2=0
∴ b=0, c=2
∴ a+b+c=3+0+2=5
참고
방정식 ax=b(a, b는 상수)에 대하여
Ú a=0, b+0이면 해가 없다.
Û a=0, b=0이면 해가 무수히 많다.
22 (x▲2)▲3 =(2x+2)▲3
=3(2x+2)+3
(-2▲1)▲x =(-2+1)▲x
=6x+6+3
=6x+9
=(-1)▲x
=-x+x
=0
이때
이 음의 정수가 되려면 a-3=-2, -4, -6, …이어야
a-3
2
한다.
따라서 조건을 만족하는 자연수 a의 값은 1이다.
따라서 6x+9=0이므로
6x=-9 ∴ x=
-;2#;
18 2x-3(a+1)+x=-2a에서 상수 a의 부호를 잘못 보았으므로
2x-3(-a+1)+x=2a의 해가 x=3이다.
2x-3(-a+1)+x=2a에 x=3을 대입하면
6+3a-3+3=2a
∴ a=-6
따라서 주어진 방정식은 2x+15+x=12이므로
3x=-3
∴ x=-1
19
x-3a
5
=1-
x의 양변에 15를 곱하면
;3!;
3(x-3a)=15-5x, 3x-9a=15-5x
8x=15+9a
∴ x=
15+9a
8
x-2a=
x의 양변에 6을 곱하면
;6%;
;3!;
5x-12a=2x, 3x=12a
∴ x=4a
이때
15+9a
8
:`4a=3`:`4이므로
15+9a
2
=12a
양변에 2를 곱하면
03
일차방정식의 활용 ⑴
기초의
170쪽
1 ⑴ 2(x+3)=3x ⑵ x=6 ⑶ 6
2 ⑴ x-1, x, x+1 ⑵ (x-1)+x+(x+1)=39 ⑶ x=13
⑷ 12, 13, 14
3 ⑴ 처음 수：10x+4, 바꾼 수：40+x ⑵ 40+x=(10x+4)-9
⑶ x=5 ⑷ 54
4 ⑴ 39+x, 12+x, 39+x=2(12+x) ⑵ 15년
5 ⑴ 10-x, 1200(10-x), 1000x, 1200(10-x)+1000x=11200
⑵ 4개
6 ⑴ (x-4) cm ⑵ 2{x+(x-4)}=36 ⑶ x=11
⑷ 가로의 길이：11 cm, 세로의 길이：7 cm
IV. 일차방정식 51
15+9a=24a, -15a=-15
∴ a=1
2x+6=3x, -x=-6
∴ x=6
1
⑵ 2(x+3)=3x에서
2
3
⑶ (x-1)+x+(x+1)=39에서
3x=39
∴ x=13
⑶ 40+x=(10x+4)-9에서
-9x=-45 ∴ x=5
⑷ 처음 수는 10_5+4=54이다.
4 ⑵ 39+x=2(12+x)에서
39+x=24+2x, -x=-15 ∴ x=15
따라서 아버지의 나이가 딸의 나이의 2배가 되는 것은 15년 후
이다.
5 ⑵ 1200(10-x)+1000x=11200에서
12000-1200x+1000x=11200
-200x=-800 ∴ x=4
따라서 과자는 4개 샀다.
6 ⑶ 2{x+(x-4)}=36에서
2(2x-4)=36, 4x-8=36
4x=44
∴ x=11
⑷
직사각형의 가로의 길이는 11 cm, 세로의 길이는
11-4=7 (cm)이다.
05 x개월 후에 형의 예금액이 동생의 예금액의 2배가 된다고 하면
65800+2500x=2(35200+1200x)
65800+2500x=70400+2400x
100x=4600
∴ x=46
따라서 형의 예금액이 동생의 예금액의 2배가 되는 것은 46개월 후
이다.
06 직사각형 모양의 땅의 가로의 길이를 x m라 하면 세로의 길이는
(x-2) m이므로
2{x+(x-2)}=40
2(2x-2)=40, 4x-4=40
4x=44
∴ x=11
따라서 가로의 길이는 11 m, 세로의 길이는 11-2=9 (m)이므로
구하는 땅의 넓이는 11_9=99 (mÛ`)
07 의자의 개수가 a개이므로
4명씩 앉을 때 학생 수는 (4a+9)명
5명씩 앉을 때 학생 수는 {5(a-1)+3}명
㉠=㉡이므로 4a+9=5(a-1)+3
4a+9=5a-5+3, -a=-11 ∴ a=11
b=4_11+9=53
yy`㉠
yy`㉡
개념의
유제
171쪽 ~ 175쪽
∴ a+b=11+53=64
01 26
06 99 m2
02 28
07 64
03 11세
08 30000원 09 420명
04 8명
05 46개월
10 4일
01 연속하는 세 짝수를 x-2, x, x+2라 하면
(x-2)+x+(x+2)=84
3x=84 ∴ x=28
따라서 가장 작은 짝수는 28-2=26이다.
02 처음 수의 십의 자리의 숫자를 x라 하면 일의 자리의 숫자는 x+6
이다.
이때 처음 수는 10x+(x+6)이고 바꾼 수는 10(x+6)+x이므로
10(x+6)+x=3{10x+(x+6)}-2
10x+60+x=33x+18-2
-22x=-44 ∴ x=2
따라서 처음 수는 10_2+(2+6)=28
59-x=3x+15, -4x=-44 ∴ x=11
따라서 현재 딸의 나이는 11세이다.
04 청소년을 x명이라 하면 어른은 (20-x)명이므로
3000(20-x)+1200x=45600
60000-3000x+1200x=45600
-1800x=-14400 ∴ x=8
따라서 입장한 청소년은 8명이다.
52 정답과 해설
08 가방의 원가를 x원이라 하면
(정가)=x+0.3x=1.3x(원)
(판매 가격)=1.3x-2000(원)
이때 7000원의 이익이 생겼으므로
(1.3x-2000)-x=7000
13x-20000-10x=70000
3x=90000
∴`x=30000
따라서 가방의 원가는 30000원이다.
09 작년의 남학생 수를 x명이라 하면 여학생 수는 (1200-x)명이므로
남학생 수
x명
5`% 증가
여학생 수
(1200-x)명
4`% 감소
전체 학생 수
1200명
12명 감소
작년
변화
올해
이때 (올해의 남학생 수)+(올해의 여학생 수)
=(올해의 전체 학생 수)이므로
1.05x+0.96(1200-x)=1188
105x+115200-96x=118800
9x=3600
∴ x=400
따라서 작년의 남학생 수가 400명이므로 올해의 남학생 수는
1.05_400=420(명)
03 현재 딸의 나이를 x세라 하면 아버지의 나이는 (54-x)세이므로
(54-x)+5=3(x+5)
x_(1+0.05)
(1200-x)_(1-0.04)
1200-12
=1.05x(명)
=0.96(1200-x)(명)
=1188(명)
다른 풀이 변화량만으로 방정식을 세워 보자.
05 x년 후에 아버지의 나이가 아들의 나이의 2배보다 5살이 많아진다
작년의 남학생 수를 x명이라 하면
여학생 수는 (1200-x)명이므로
남학생 수의 변화는 ;10%0;x명
여학생 수의 변화는 -
(1200-x)명
;10$0;
전체 학생 수의 변화는 -12명
이때 ㉠+㉡=㉢이므로
;10%0;x-
;10$0;
(1200-x)=-12
∴ x=400
따라서 올해의 남학생 수는
_400=420(명)
;1!0)0%;
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
고 하면
45+x=2(13+x)+5
45+x=26+2x+5, -x=-14
∴ x=14
따라서 아버지의 나이가 아들의 나이의 2배보다 5살이 많아지는
것은 14년 후이다.
06 3점 슛을 x골 넣었다고 하면 2점 슛은 (13-x)골 넣었으므로
2(13-x)+3x=30
26-2x+3x=30
∴ x=4
따라서 3점 슛을 4골 넣었다.
07 사다리꼴의 윗변의 길이를 x`cm라 하면 아랫변의 길이는
10 전체 일의 양을 1이라 하면 A와 B가 하루 동안 하는 일의 양은 각
각
,
;1Á2;
;1Á6;
이다. 이때 B가 일을 한 기간을 x일이라 하면
_9+
_x=1
;1Á6;
;1Á2;
+
;4#;
;1Ó6;
=1, 12+x=16
∴ x=4
따라서 B가 일을 한 기간은 4일이다.
(x+3) cm이므로
_{x+(x+3)}_8=68
;2!;
4(2x+3)=68, 8x+12=68
8x=56
∴ x=7
따라서 사다리꼴의 윗변의 길이는 7`cm이다.
08 x개월 후에 시우와 지희의 예금액이 같아진다고 하면
100000-2200x=75000-1200x
-1000x=-25000
∴ x=25
따라서 시우와 지희의 예금액이 같아지는 것은 25개월 후이다.
내공의
176쪽 ~ 178쪽
01 10
06 4골
11 43명
16 5일
04 8
02 8
07 7 cm
12 8000원 13 12
18 7명
05 14년
03 85
10 9개
08 25개월 09 75개
14 19명
15 8시간
19 15마리 20 140명
17 ③
01 어떤 수를 x라 하면
3x=(x+3)+17
2x=20
∴ x=10
따라서 어떤 수는 10이다.
02 연속하는 세 짝수를 x-2, x, x+2라 하면
(x-2)+x+(x+2)=2(x+2)+6
3x=2x+4+6
∴ x=10
따라서 가장 작은 짝수는 10-2=8이다.
03 십의 자리의 숫자를 x라 하면 두 자리의 자연수는 10x+5이므로
10x+5=6(x+5)+7
10x+5=6x+30+7, 4x=32
∴ x=8
따라서 구하는 자연수는 85이다.
04 처음 수의 십의 자리의 숫자를 x라 하면 일의 자리의 숫자는
12-x이다. 이때 처음 수는 10x+(12-x)이고 바꾼 수는
10(12-x)+x이므로
10(12-x)+x=10x+(12-x)-36
09 학생 수를 x명이라 하면
6개씩 나누어 줄 때 귤의 개수는 (6x+3)개
7개씩 나누어 줄 때 귤의 개수는 (7x-9)개
㉠=㉡이므로 6x+3=7x-9
-x=-12 ∴ x=12
따라서 귤의 개수는 6_12+3=75(개)
10 방의 개수를 x개라 하면
5명씩 들어갈 때 학생 수는 (5x+4)명
7명씩 들어갈 때 학생 수는 7(x-2)명
㉠=㉡이므로 5x+4=7(x-2)
5x+4=7x-14, -2x=-18
∴ x=9
따라서 방은 9개이다.
11 학생들을 5명씩 세울 때의 줄 수를 x줄이라 하면
5명씩 세울 때 학생 수는 (5x+3)명
6명씩 세울 때 학생 수는 {6(x-1)+1}명
㉠=㉡이므로 5x+3=6(x-1)+1
5x+3=6x-6+1, -x=-8
∴ x=8
따라서 학생 수는 5_8+3=43(명)
12 물건의 원가를 x원이라 하면
(정가)=x+0.15x=1.15x(원)
(판매 가격)=1.15x-800(원)
120-10x+x=9x-24, -18x=-144
∴ x=8
이때 5 %의 이익이 생겼으므로
따라서 처음 수의 십의 자리의 숫자는 8이다.
(1.15x-800)-x=0.05x
yy`㉠
yy`㉡
yy ㉠
yy ㉡
yy㉠
yy㉡
IV. 일차방정식 53
115x-80000-100x=5x, 10x=80000
∴ x=8000
따라서 물건의 원가는 8000원이다.
17 8시 x분에 시침과 분침이 서로 반대 방향으로 일직선이 된다고 하면
(시침이 12시 지점으로부터 회전한 각도) =30ù_8+0.5ùx
14 작년의 여학생 수를 x명이라 하면 남학생 수는 (60-x)명이므로
깊은 사색에 잠겨 있는 제자는
x명
13 (정가)=32000+32000_
;1ª0°0;
=32000+8000
=40000(원)
(판매 가격)=40000-40000_
;10{0;
=40000-400x(원)
(이익금)=32000_
=3200(원)
;1Á0¼0;
이때 (판매 가격)-(원가)=(이익금)이므로
40000-400x-32000=3200
-400x=-4800
∴`x=12
작년
변화
올해
여학생 수
x명
5`% 감소
남학생 수
(60-x)명
10`% 증가
전체 학생 수
60명
3명 증가
x_(1-0.05)
(60-x)_(1+0.1)
=0.95x(명)
=1.1(60-x)(명)
60+3=63(명)
이때 (올해 여학생 수)+(올해 남학생 수)
=(올해 전체 학생 수)이므로
0.95x+1.1(60-x)=63
95x+6600-110x=6300
-15x=-300 ∴ x=20
따라서 작년의 여학생 수가 20명이므로 올해 여학생 수는
0.95_20=19(명)
(분침이 12시 지점으로부터 회전한 각도)=6ùx
이때 시침과 분침이 이루는 각의 크기가 180ù이므로
=240ù+0.5ùx
(240ù+0.5ùx)-6ùx=180ù
-5.5x=-60 ∴ x=
;;Á1ª1¼;;
따라서 구하는 시각은 8시 ;;Á1ª1¼;;분이다.
18 피타고라스의 전체 제자의 수를 x명이라 하면
수의 아름다움을 탐구하는 제자는
x명
;2!;
자연의 이치를 연구하는 제자는
x명
;4!;
;7!;
yy㉠
yy㉡
yy㉢
이때 ㉠+㉡+㉢+3=(피타고라스의 전체 제자의 수)이므로
x+
x+
x+3=x
;4!;
;7!;
;2!;
14x+7x+4x+84=28x, -3x=-84
∴ x=28
따라서 피타고라스의 전체 제자의 수는 28명이므로 자연의 이치를
연구하는 제자의 수는
_28=7(명)
;4!;
19 전체 벌의 수를 x마리라 하면
목련꽃으로 날아간 벌의 수는
x마리
나팔꽃으로 날아간 벌의 수는
x마리
;5!;
;3!;
장미꽃으로 날아간 벌의 수는 3
x-
x}마리
;5!;
{;3!;
yy ㉠
yy ㉡
yy ㉢
20 지원자의 수를 x명이라 하면 불합격자의 수는 (x-120)명이다.
남자 지원자의 수는
x명
;7$;
yy ㉠
합격한 남자 지원자의 수는 120_
=70(명)
yy ㉡
불합격한 남자 지원자의 수는
(x-120)명
yy ㉢
;1¦2;
;2!;
이때 ㉠=㉡+㉢이므로
x=70+
(x-120)
;7$;
;2!;
8x=980+7x-840
∴ x=140
15 전체 일의 양을 1이라 하면 갑과 을이 한 시간 동안 하는 일의 양은
이때 ㉠+㉡+㉢+1=(전체 벌의 수)이므로
각각
,
이다. 이때 을이 혼자 일한 시간을 x시간이라 하면
;9!;
;1Á2;
_3+
_x=1
;1Á2;
;9!;
+
;3!;
;1Ó2;
=1, 4+x=12
∴ x=8
따라서 을이 혼자 일한 시간은 8시간이다.
x+
x+3
;3!;
x-
x}
;5!;
{;3!;
;5!;
+1=x
3x+5x+15x-9x+15=15x
-x=-15
∴ x=15
따라서 벌은 모두 15마리이다.
16 전체 일의 양을 1이라 하면 정호와 세리가 하루 동안 하는 일의 양
은 각각 ;1Á2;, ;1Á5;이다. 이때 정호와 세리가 함께 일한 날을 x일이
라 하면
{;1Á2;+;1Á5;}_x+;1Á2;_3=1
x+
=1, 3x+5=20
;2£0;
;4!;
3x=15
∴ x=5
54 정답과 해설
따라서 정호와 세리가 함께 일한 날은 5일이다.
따라서 지원자의 수는 140명이다.
04
일차방정식의 활용 ⑵
기초의
개념의
유제
181쪽 ~ 183쪽
03 8시 30분 04 40분
05 200 g
01 0.8 km 02 8 km
06 300 g
180쪽
1 ⑴ 풀이 참조 ⑵
+
;2{;
=2 ⑶
:Á5ª: km
2 ⑴ 풀이 참조 ⑵
+
;2{;
=5 ⑶ 7 km
3 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 100_
=(100+x)_
4 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 200_
=(200-x)_
;3{;
x-1
4
;10^0;
;1Á0ª0;
;10#0; ⑶ 100 g
;1Á0°0; ⑶ 40 g
1
⑴
거리 (km)
속력 (km/시)
걸린 시간 (시간)
갈 때
x
2
;2{;
⑶
+
=2의 양변에 6을 곱하면
;2{;
;3{;
3x+2x=12, 5x=12
∴ x=
따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는
km이다.
:Á5ª:
:Á5ª:
올 때
x
3
;3{;
2
⑴
거리 (km)
속력 (km/시)
걸린 시간 (시간)
올라갈 때
x
2
;2{;
내려올 때
x-1
4
x-1
4
⑶
+
;2{;
x-1
4
=5의 양변에 4를 곱하면
2x+x-1=20, 3x=21
∴ x=7
따라서 민철이가 올라간 거리는 7 km이다.
3
⑴
농도 (%)
소금물의 양 (g)
소금의 양 (g)
물을 넣기 전
6
100
100
_;10^0;
물을 넣은 후
3
100+x
(100+x)
_;10#0;
⑶ 100
=(100+x)
의 양변에 100을 곱하면
_;10^0;
_;10#0;
600=300+3x, -3x=-300
∴ x=100
따라서 더 넣어야 하는 물의 양은 100 g이다.
4
⑴
농도 (%)
소금물의 양 (g)
소금의 양 (g)
증발 전
12
200
증발 후
15
200-x
200
_;1Á0ª0;
(200-x)
_;1Á0°0;
01 뛰어간 거리를 x`m라 하면 2.4 km=2400 m이므로 걸어간 거리
(뛰어갈 때 걸린 시간)+(걸어갈 때 걸린 시간)=20이므로
는 (2400-x) m이고
+
;20{0;
2400-x
100
=20
x+4800-2x=4000, -x=-800 ∴ x=800
따라서 뛰어간 거리는 800`m, 즉 0.8`km이다.
02 집에서 도서관까지의 거리를 x`km라 하면
(자전거를 타고 갈 때 걸린 시간)-(버스를 타고 갈 때 걸린 시간)
=
이므로
;6$0);
-
=
;6Ó0;
;3@;
;1Ó0;
6x-x=40, 5x=40 ∴ x=8
따라서 집에서 도서관까지의 거리는 8`km이다.
03 대훈이가 학교를 출발한 지 x분 후에 정식이를 만난다고 하면 정식
이가 학교를 출발하여 대훈이를 만날 때까지 걸린 시간은
이때 (대훈이가 간 거리)=(정식이가 간 거리)이므로
(x+10)분이다.
60x=40(x+10)
60x=40x+400, 20x=400 ∴ x=20
따라서 정식이와 대훈이가 만나는 시각은 대훈이가 학교를 출발한
지 20분 후인 8시 30분이다.
04 두 사람이 출발한 지 x분 후에 처음으로 만난다고 하면
(A가 걸은 거리)+(B가 걸은 거리)=(호수의 둘레의 길이)이므로
60x+40x=4000
100x=4000
∴ x=40
따라서 두 사람은 출발한 지 40분 후에 처음으로 만나게 된다.
05 더 넣어야 하는 물의 양을 x`g이라 하면
(물을 넣기 전 소금의 양)=(물을 넣은 후 소금의 양)이므로
300_
=(300+x)_
;1Á0¼0;
;10^0;
3000=1800+6x
-6x=-1200 ∴ x=200
따라서 물을 200`g 더 넣어야 한다.
06 15 %의 소금물의 양을 x g이라 하면
150_
+x_
;10^0;
;1Á0°0;
=(150+x)_
;1Á0ª0;
IV. 일차방정식 55
⑶ 200_
=(200-x)_
의 양변에 100을 곱하면
;1Á0ª0;
;1Á0°0;
2400=3000-15x, 15x=600 ∴ x=40
900+15x=1800+12x
3x=900
∴ x=300
따라서 증발시킨 물의 양은 40 g이다.
따라서 15 %의 소금물의 양은 300 g이다.
내공의
184쪽 ~ 185쪽
07 두 사람이 출발한 지 x분 후에 처음으로 만난다고 하면
(상호가 걸은 거리)-(은정이가 걸은 거리)=(산책로의 둘레의 길이)
01 200 km 02 1860 m 03 75분
04 300 m 05 1400 m
06 20분
07 90분
08 150 g
09 :ª;9%;¼: g 10 26
11 100 g
12 80 m
13 220 g
이므로
70x-50x=1800
20x=1800 ∴ x=90
01 두 도시 사이의 거리를 x`km라 하면
(갈 때 걸린 시간)+(올 때 걸린 시간)=4
이므로
;6#0);
+
=
;10{0;
;8Ò
Ó0;
;2(;
4x+5x=1800, 9x=1800
∴ x=200
따라서 두 도시 사이의 거리는 200`km이다.`
따라서 두 사람은 출발한 지 90분 후에 처음으로 만난다.
08 더 넣어야 하는 물의 양을 x g이라 하면
(물을 넣기 전 소금의 양)=(물을 넣은 후 소금의 양)이므로
300_
=(300+x)_
;1Á0ª0;
;10*0;
3600=2400+8x
-8x=-1200
∴ x=150
02 자전거를 타고 간 거리를 x`m라 하면 2 km=2000 m이므로 걸어
따라서 150 g의 물을 더 넣어야 한다.
(자전거를 타고 갈 때 걸린 시간)+(걸어갈 때 걸린 시간)=15이므로
09 더 넣은 소금의 양을 x`g이라 하면
간 거리는 (2000-x)`m이고,
+
2000-x
30
;18{0;
=15
x+12000-6x=2700, -5x=-9300
∴ x=1860
따라서 자전거를 타고 간 거리는 1860 m이다.
500_
+x=(500+x)_
;10%0;
;1Á0¼0;
2500+100x=5000+10x
90x=2500
∴ x=
;:@9%:);
03 집에서 놀이공원까지의 거리를 x`km라 하면
(자전거를 타고 갈 때 걸리는 시간)-(자동차를 타고 갈 때 걸리는 시간)
따라서 더 넣은 소금의 양은 ;:@9%;¼;;
`g이다.
=
이므로
;6$0%;
-
=
;1Ó6;
;4Ó0;
;4#;
5x-2x=60, 3x=60 ∴ x=20
10 200_
;10{0;
+300_
=500_
이므로
;1Á0¤0;
;1ª0¼0;
200x+4800=10000
200x=5200
∴ x=26
따라서 집에서 놀이공원까지 자전거를 타고 가는 데 걸리는 시간은
11 13`%의 소금물의 양을 x`g이라 하면
시간, 즉
_60=75(분)이다.
;1@6);
;1@6);
(400-x)_
+x_
=400_
;10%0;
;1Á0£0;
;10&0;
04 형이 집을 출발한 지 x분 후에 동생과 만난다고 하면 동생이 집을
출발하여 형을 만날 때까지 걸린 시간은 (x+4)분이다.
이때 (형이 간 거리)=(동생이 간 거리)이므로
50x=30(x+4)
50x=30x+120, 20x=120 ∴ x=6
2000-5x+13x=2800
8x=800
∴ x=100
따라서 13`%의 소금물은 100`g 넣어야 한다.
12 기차의 길이를 x`m라 하면 길이가 720`m인 철교를 완전히 통과하
려면 (720+x)`m를 달려야 하고, 길이가 120`m인 터널을 완전히
따라서 형은 집으로부터 50_6=300`(m) 떨어진 지점에서 동생
통과하려면 (120+x)`m를 달려야 한다.
을 만나게 된다.
이때 기차의 속력은 일정하므로
05 두 사람이 출발한 지 x분 후에 만난다고 하면
(예희가 간 거리)+(진현이가 간 거리)=2400이므로
70x+50x=2400
120x=2400
∴ x=20
따라서 두 사람이 만난 지점은 예희네 집으로부터
720+x
60
=
120+x
15
720+x=480+4x
-3x=-240
∴ x=80
따라서 기차의 길이는 80`m이다.
70_20=1400`(m) 떨어진 곳이다.
13 3`%의 소금물의 양이 640 g이므로 2 %의 소금물은 240 g 섞었다.
06 두 사람이 출발한 지 x분 후에 처음으로 만난다고 하면
(형이 걸은 거리)+(동생이 걸은 거리)=(호수의 둘레의 길이)이므로
90x+60x=3000
150x=3000
∴ x=20
이때 컵으로 퍼낸 소금물의 양을 x g이라 하면
(400-x)_
+240_
=640_
;10*0;
;10@0;
;10#0;
3200-8x+480=1920
-8x=-1760
∴ x=220
따라서 두 사람이 출발한 지 20분 후에 처음으로 만난다.
따라서 컵으로 퍼낸 소금물의 양은 220 g이다.
56 정답과 해설
186쪽~189쪽
09 ① 3x-1=5에서 3x-6=0 (일차방정식)
② xÛ`-2x=x에서 xÛ`-3x=0 (일차방정식이 아니다.)
③ 4x+4=3(x+1)에서 4x+4=3x+3
∴ x+1=0 (일차방정식)
④ x+7 (일차식)
⑤ x=x-11에서 11=0 (일차방정식이 아니다.)
따라서 일차방정식인 것은 ①, ③이다.
10 axÛ`-3x=bx+4에서 axÛ`+(-3-b)x-4=0
이 등식이 x에 대한 일차방정식이 되려면 이차항이 없어야 하므로
실전의
01 ③
06 2b+7 07 ㈎ ㉢ ㈏ ㉠
02 ③
03 2
04 ⑤
08 ④
05 ④
09 ①, ③
10 ⑤
15 9
20 5일
11 ;1¤1;
16 3
21 2 km
12 x=
;5*; 13 x=-1 14 11
17 7
22 500 g
18 39세
23 6
19 10문제
24 4시간
25 6시 :Á1¥1¼:분
01 ①, ②, ④, ⑤ 방정식 ③ 항등식
02 x의 값에 관계없이 항상 참인 등식은 항등식이다.
③
좌변을 정리하면 4x+5-x=3x+5, 즉 (좌변)=(우변)이므로
항등식이다.
03 ax-8=4(x+b)에서 ax-8=4x+4b
이 등식이 x의 값에 관계없이 항상 성립, 즉 x에 대한 항등식이므로
a=4, -8=4b
∴ b=-2
∴ a+b=4+(-2)=2
04 ① 2x+4=3x+5에 x=-1을 대입하면
2_(-1)+4=3_(-1)+5 (참)
② x-2=2x-3에 x=1을 대입하면
1-2=2_1-3 (참)
③ 6x-4=8에 x=2를 대입하면
6_2-4=8 (참)
;3!;
;3!;
_0+2=2 (참)
⑤ 2x+9=x+4에
④
x+2=2에 x=0을 대입하면
x=0을 대입하면 2_0+9+0+4 (거짓)
x=1을 대입하면 2_1+9+1+4 (거짓)
x=2를 대입하면 2_2+9+2+4 (거짓)
이므로 방정식의 해가 없다.
따라서 해가 없는 것은 ⑤이다.
05 ④ c=0일 때, ac=bc이지만 a+b일 수도 있다.
06 2a-3=b의 양변에 2를 곱하면 4a-6=2b
이 식의 양변에 7을 더하면 4a+1=2b+7
따라서
안에 알맞은 식은 2b+7이다.
07 ㈎ 양변에 4를 곱한다. ➡ ㉢
㈏ 양변에 1을 더한다. ➡ ㉠
08 ① 3x-1=5 ➡ 3x=5+1
② 4x=7-3x ➡ 4x+3x=7
a=0
한편 (x의 계수)+0이어야 하므로
-3-b+0 ∴ b+-3
11 (5x-2)：
;2!;
=(6-3x) : 3에서
3(5x-2)=
(6-3x)
;2!;
양변에 2를 곱하면
6(5x-2)=6-3x, 30x-12=6-3x
33x=18 ∴ x=
;1¤1;
12 0.5x-
=1.5
{x-
;3$;}에서
;5@;
;2!;
=
x-
;2#;{x-
양변에 10을 곱하면
;5@;
;3$;}
5x-4=15
{x-
;3$;}, 5x-4=15x-20
-10x=-16
∴ x=
;5*;
2(2x-1)-3(5x-1)=12
4x-2-15x+3=12
-11x=11
∴ x=-1
14 ax-5=4(x-2)에 x=-3을 대입하면
-3a-5=-20, -3a=-15
∴ a=5
∴ aÛ`-3a+1 =5Û`-3_5+1
=25-15+1
=11
15 3(x-2)=-x+6에서
3x-6=-x+6, 4x=12
∴ x=3
+1=
에 x=3을 대입하면
;6{;
;6#;
+1=
x+a
8
3+a
8
=
,
;2#;
3+a
8
양변에 8을 곱하면
x=-2를 대입하면 2_(-2)+9+-2+4 (거짓)
x=-1을 대입하면 2_(-1)+9+-1+4 (거짓)
13
2x-1
6
-
5x-1
4
=1의 양변에 12를 곱하면
⑤ -x+5=2x-1 ➡ -x-2x=-1-5
12=3+a, -a=-9
∴ a=9
IV. 일차방정식 57
16 2x▽(3x-10) =2x+3(3x-10)
=2x+9x-30
=11x-30
이때 11x-30=3이므로
11x=33
∴ x=3
17 어떤 수를 x라 하면 x+9=2x+2
-x=-7
∴ x=7
따라서 어떤 수는 7이다.
18 현재 어머니의 나이를 x세라 하면 딸의 나이는 (x-28)세이고,
9년 후에 어머니의 나이는 (x+9)세, 딸의 나이는 (x-28+9)세
이므로
x+9=2(x-28+9)+8
x+9=2(x-19)+8, x+9=2x-30
-x=-39
∴ x=39
따라서 현재 어머니의 나이는 39세이다.
19 2점짜리 문제의 수를 x문제라 하면 4점짜리 문제의 수는
(30-x)문제이므로
2x+4(30-x)=100
2x+120-4x=100
-2x=-20
∴ x=10
따라서 2점짜리 문제는 10문제 출제되었다.
자전거를 타고 가면 10분 전, 즉 8시 20분에 도착하고 걸어서 가면
15분 지각, 즉 8시 45분에 도착하므로 시간 차는 25분이다.
즉
-
=
;8{;
;3{;
;1°2;
이므로
8x-3x=10, 5x=10
∴ x=2
따라서 유정이네 집에서 학교까지의 거리는 2 km이다.
22 8 %의 소금물을 x g 섞는다고 하면
농도
소금물의 양 (g)
20 %
100
8 %
x
10 %
100+x
소금의 양 (g)
100_
;1ª0¼0;
x_
;10*0;
(100+x)_
;1Á0¼0;
이때 100_
+x_
=(100+x)_
이므로
;1ª0¼0;
;10*0;
;1Á0¼0;
2000+8x=1000+10x, -2x=-1000
∴ x=500
따라서 8 %의 소금물을 500`g 섞어야 한다.
23 x-
;3@;
(x-5a)=11의 양변에 3을 곱하면
3x-2(x-5a)=33, 3x-2x+10a=33
∴ x=-10a+33
이때 -10a+33이 양의 정수가 되려면 a는 4보다 작은 자연수이
어야 한다.
따라서 a의 값은 1, 2, 3이므로 그 합은 1+2+3=6
24 전체 일의 양을 1이라 하면 A와 B가 1시간 동안 하는 일의 양은 각
각
,
이다.
;6!;
;1Á2;
20 x일 후에 보현이의 예금액의 5배가 선혜의 예금액의 2배와 같아진
A와 B가 같이 일한 시간을 x시간이라 하면
다고 하면
5(2500+500x)=2(10000+500x)
12500+2500x=20000+1000x
1500x=7500
∴ x=5
따라서 보현이의 예금액의 5배가 선혜의 예금액의 2배와 같아지는
것은 5일 후이다.
21 유정이네 집에서 학교까지의 거리를 x km라 하면
+
;6{;
;1Ó2;
;4!;
=1,
x=1 ∴ x=4
따라서 A와 B가 같이 하면 완성하는 데 4시간이 걸린다.
25 6시 x분에 시침과 분침이 직각을 이룬다고 하면
(시침이 12시 지점으로부터 회전한 각도) =30ù_6+0.5ùx
=180ù+0.5ùx
(분침이 12시 지점으로부터 회전한 각도) =6ùx
이때 시침과 분침이 이루는 각의 크기가 90ù이므로
속력(km/시)
거리(km)
시간(시간)
x
;8{;
자전거로 갈 때
8
걸어서 갈 때
3
(180ù+0.5ùx)-6ùx=90ù
-5.5x=-90
∴ x=
x
;3{;
따라서 구하는 시각은 6시
분이다.
:Á1¥1¼:
:Á1¥1¼:
58 정답과 해설
V. 좌표평면과 그래프
04 ① 제 1 사분면 ② 제 3 사분면 ④ 제 4 사분면
⑤ 어느 사분면에도 속하지 않는다.
05 점 P(a, b)가 제 4 사분면 위의 점이므로 a>0, b<0
이때 ab<0, a-b>0이므로 점 Q(ab, a-b)는 제 2 사분면 위에
01
순서쌍과 좌표
기초의
1 A(-4), B(-1), C
, D(5)
{;2&;}
2 A(2, 3), B(-3, -4), C(-4, 2), D(1, -1)
3 풀이 참조
4 ⑴ (3, -2) ⑵ (-1, -6) ⑶ (3, 0) ⑷ (0, 2)
5 ⑴ 제 2 사분면 ⑵ 제 3 사분면 ⑶ 제 1 사분면 ⑷ 제 4 사분면
⑸ 제 4 사분면 ⑹ 어느 사분면에도 속하지 않는다.
6 점 C, 점 D
7 ⑴ 제 2 사분면 ⑵ 제 4 사분면 ⑶ 제 1 사분면 ⑷ 제 3 사분면
8 ⑴ (2, 1) ⑵ (-2, -1) ⑶ (-2, 1)
3
y
4 A
B
-4
-2
C
2
O
-2
-4
F
E
2
x
4
D
7 ⑶ -a>0, b>0이므로 점 (-a, b)는 제 1 사분면 위의 점이다.
⑷ a<0, -b<0이므로 점 (a, -b)는 제 3 사분면 위의 점이다.
06 ab<0, a>b이므로 a>0, b<0
① -a<0, b<0이므로 점 (-a, b)는 제 3 사분면 위의 점이다.
② a>0, -b>0이므로 점 (a, -b)는 제 1 사분면 위의 점이다.
③ -a<0, -b>0이므로 점 (-a, -b)는 제 2 사분면 위의 점
194쪽
있다.
이다.
이다.
대이다. 즉
④ b<0, a>0이므로 점 (b, a)는 제 2 사분면 위의 점이다.
⑤ -b>0, -a<0이므로 점 (-b, -a)는 제 4 사분면 위의 점
07 두 점 A, B가 원점에 대칭이므로 x좌표, y좌표의 부호가 모두 반
2a=-(a+3)에서 3a=-3 ∴ a=-1
-2b=-(b-2)에서 -b=2 ∴ b=-2
∴ a-b=-1-(-2)=1
내공의
01 ;3%;
06 30
11 ②
16 13
20 제 1 사분면
07 ②
12 -6
17 10
02 ④
03 ②
04 11
05 24
198쪽~200쪽
08 ⑤
13 -24
18 18
21 ⑤
09 ④
14 -3
19 제 2 사분면
10 -1
15 12
01 두 순서쌍 (2a-6, b-1), (-3-a, 4b-3)이 서로 같으므로
2a-6=-3-a에서 3a=3
∴ a=1
개념의
유제
01 ④
05 제 2 사분면
02 3
03 12
06 ①
04 ③
07 1
01 ① A(3, 3)
③ C(-4, -2)
② B(2, -2)
⑤ E(3, 0)
02 점 (2a, a+1)이 x축 위의 점이므로 y좌표가 0이다.
∴ a=-1
a+1=0
점 (b-4, b-2)가 y축 위의 점이므로 x좌표가 0이다.
b-4=0
∴ b=4
∴ a+b=-1+4=3
내면 오른쪽 그림과 같으므로
(사각형 ABCD의 넓이)
=4_3=12
195쪽~197쪽
b-1=4b-3에서 -3b=-2
∴ b=
;3@;
∴ a+b=1+
=
;3@;
;3%;
02 ④ D(3, 0)
03 y축 위의 점의 좌표는 x좌표가 0이므로 ② (0, 5)이다.
04 점 P가 x축 위의 점이므로 y좌표가 0이다.
∴ a=7
a-7=0
점 Q가 y축 위의 점이므로 x좌표가 0이다.
-b+4=0
∴ b=4
∴ a+b=7+4=11
03 네 점 A, B, C, D를 좌표평면 위에 나타
05 세 점 P, Q, R를 좌표평면 위에 나타내면
A
-2
B
y
2
O
-2
D
x
2
C
오른쪽 그림과 같으므로
(삼각형 PQR의 넓이)
_8_6
=
;2!;
=24
y
5
P
4
-1
O
-3
R
5
x
Q
V. 좌표평면과 그래프 59
06 네 점 A, B, C, D를 좌표평면 위에 나타
내면 오른쪽 그림과 같으므로
(사각형 ABCD의 넓이)
=
_(5+7)_5
;2!;
=30
y
2
A
D
-3
O
2
B
-3
4
x
C
07 ① 제 4 사분면
③ 제 3 사분면
② 제 2 사분면
④ 제 1 사분면
⑤ 어느 사분면에도 속하지 않는다.
3-2b=-(a-b+2)에서 3-2b=b
-3b=-3
∴ b=1
∴ a-b=-2-1=-3
15 점 P(3, -2)와 x축에 대칭인 점 Q의 x좌표는 같고 y좌표는 부호
가 반대이다.
∴ Q(3, 2)
점 P(3, -2)와 y축에 대칭인 점 R의 x좌표는 부호가 반대이고 y
좌표는 같다.
∴ R(-3, -2)
따라서 세 점 P, Q, R를 좌표평면 위에 나
타내면 오른쪽 그림과 같으므로
08 ⑤ 점 (3, 4)는 제 1 사분면 위의 점이고, 점 (0, 4)는 y축 위의 점
이므로 어느 사분면에도 속하지 않는다.
(삼각형 PQR의 넓이)
=
_6_4=12
;2!;
09 점 P(a, b)가 제 2 사분면 위의 점이므로 a<0, b>0이다.
① a<0, -b<0이므로 점 A(a, -b)는 제 3 사분면 위의 점이다.
② a<0, a-b<0이므로 점 B(a, a-b)는 제 3 사분면 위의 점
③ b>0, b-a>0이므로 점 C(b, b-a)는 제 1 사분면 위의 점
④ -a>0, -b<0이므로 점 D(-a, -b)는 제 4 사분면 위의 점
16 세 점 A, B, C를 좌표평면 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같다.
∴ (삼각형 ABC의 넓이)
= (사각형 DEFC의 넓이)
-{ (삼각형 DAC의 넓이)
+(삼각형 AEB의 넓이)
+(삼각형 CBF의 넓이)}
⑤ -b<0, -a>0이므로 점 E(-b, -a)는 제 2 사분면 위의 점
=7_6-
_7_4+
_3_2+
_4_6
;2!;
;2!;
}
{;2!;
이다.
이다.
이다.
이다.
-2
O
2
y
2
-2
y
5
R
D
Q
x
P
C
A
-3
1
O
E -1
B
4
x
F
10 |a|=2이므로 a=-2 또는 a=2
|b|=3이므로 b=-3 또는 b=3
따라서 a=2, b=-3이므로
a+b=2+(-3)=-1
이때 점 (a, b)가 제 4 사분면 위의 점이므로 a>0, b<0
으로 생각하면
11 ab>0이므로 a와 b는 서로 같은 부호이고
a+b<0이므로 a<0, b<0이다.
이때 -a>0, b<0이므로 점 (-a, b)는 제 4 사분면 위의 점이다.
따라서 제 4 사분면 위에 있는 점은 ②이다.
12 두 점 P, Q가 x축에 대칭이므로 x좌표는 같고, y좌표의 부호는 반
대이다.
따라서 a=-2, b=-4이므로
a+b=-2+(-4)=-6
는 같다.
a+1=-5
∴ a=-6
-1=3-b
∴ b=4
∴ ab=(-6)_4=-24
13 두 점 A, B가 y축에 대칭이므로 x좌표의 부호는 반대이고 y좌표
=
_9_4=18
;2!;
=42-(14+3+12)
=42-29=13
17 삼각형 ABC에서 선분 BC를 밑변
y
C(4, a)
(밑변의 길이)=a, (높이)=4이고
A(0, 5)
a
4
넓이는 20이므로
_a_4=20
;2!;
2a=20
∴ a=10
O
B(4, 0)
x
18 두 점 A, B가 x축 위의 점이므로 y좌표가 0이다.
b+3=0에서 b=-3
a-2=0에서 a=2
∴ A(4, 0), B(-5, 0), C(5, -4)
세 점 A, B, C를 좌표평면 위에 나타내
면 오른쪽 그림과 같으므로
(삼각형 ABC의 넓이)
B
-5
y
O
-4
A
5
4 x
C
19 점
{
b-a,
;bA;}
가 제 4 사분면 위의 점이므로
b-a>0,
<0
∴ a<0, b>0
;bA;
따라서 점 (a, b)는 제 2 사분면 위의 점이다.
참고
;bA;
<0이므로 a, b는 서로 다른 부호이다.
이때 b-a>0, 즉 b>a이므로 b>0, a<0
14 두 점 P, Q가 원점에 대칭이므로 x좌표, y좌표 모두 부호가 반대
4-a=-3a에서 2a=-4
∴ a=-2
이다.
60 정답과 해설
20 점 A(a, b)가 제 2 사분면 위의 점이므로 a<0, b>0
∴ a-b<0, ab<0
이때 점 B(a-b, ab)와 원점에 대칭인 점의 좌표의 부호는
(+, +)이므로 제 1 사분면 위의 점이다.
개념의
유제
203쪽~206쪽
01 ㉡
04 30`cm 05 ⑴ 거북 ⑵ 40분 ⑶ 30분
02 ④
03 ⑴ 8 ⑵ 8로 일정하다. ⑶ 풀이 참조
21 a<0, 00이므로 점 A(ab, c-b)는 제 2 사분면 위에
01 수호가 처음에는 음료수를 마시지 않으므로 음료수의 양의 변화가
없다. 이후 음료수를 일정하게 반 정도 마시므로 음료수의 양이 절
있다.
면 위에 있다.
위에 있다.
c-a
b
a-b
c
있다.
② c>0, bc>0이므로 점 B(c, bc)는 제 1 사분면 위에 있다.
③ -a+b>0, a-b<0이므로 점 C(-a+b, a-b)는 제 4 사분
④
>0, a-c<0이므로 점 D
c-a
b
{
는 제 4 사분면
, a-c
}
⑤
<0, ac<0이므로 점 E
a-b
c
{
, ac
는 제 3 사분면 위에
}
반까지 줄어들다가 이후에 변화가 없다.
따라서 상황에 알맞은 그래프는 ㉡이다.
02 그릇의 폭이 아랫부분은 좁고 위로 갈수록 점점 넓어지므로 물의
높이는 빠르게 증가하다가 천천히 증가한다.
따라서 그래프로 알맞은 것은 ④이다.
03 ⑴ x=5일 때, y의 값은 8이다.
⑵ x의 값이 5에서 9까지 증가할 때, y의 값은 8로 일정하다.
⑶ x의 값이 0에서 5까지 증가할 때 y의 값은 0에서 8까지 증가하
고, x의 값이 5에서 9까지 증가할 때 y의 값은 8로 일정하고, x의
값이 9에서 14까지 증가할 때 y의 값은 8에서 0으로 감소한다.
04 그래프에서 x=10일 때 y의 값은
30이므로 빈 용기에 물을 10분 동
y(cm)
안 넣었을 때의 물의 높이는
30`cm이다.
30
20
10
O
05 ⑴ 거북은 출발한 지 50분 후에, 토끼는 출발한 지 60분 후에 도착
하므로 결승점에 먼저 도착한 동물은 거북이다.
⑵ 거북은 출발한 지 40분 후에 토끼를 추월한다.
⑶ 토끼는 출발한 지 20분 후부터 50분 후까지 거리에 변화가 없
으므로 토끼가 쉰 시간은 50-20=30(분)이다.
202쪽
4
8 10 12 x(분)
내공의
207쪽~208쪽
01 ⑴ (1, 23), (2, 22), (4, 20), (7, 17), (11, 13) ⑵ 풀이 참조
04 ③, ⑤
02 ④
03 ④
05 ③
06 ⑴ 40`m ⑵ 20분 ⑶ 15분 후
07 ⑴ 7분 ⑵ ;2%;배
08 ⑴ 5분 후 ⑵ 15분 후 ⑶ 0.5`km ⑷ 5분 후
01 ⑵
y
22
20
18
16
14
12
02
그래프
기초의
1 ⑴ (1, 8), (2, 4), (4, 2), (8, 1) ⑵ 풀이 참조
2 풀이 참조
3 ⑴ 20`% ⑵ 0시부터 12시까지 ⑶ 18시
4 ⑴ 90분 ⑵ 40분
y
1 ⑵
8
7
6
5
4
3
2
1
4
2
O
-2
-4
O 1
2
3
4
5
6
7
8
x
2
y(#)
6
3 6 9 12 15 18 21
x(시)
4 ⑵ 유영이가 마트에 도착한 시각은 집에서 출발한 지 20분 후이고,
마트에서 집으로 출발한 시각은 집에서 출발한 지 60분 후이므
로 마트에서 장을 본 시간은 60-20=40(분)이다.
O
2
4
6
8
10
x
V. 좌표평면과 그래프 61
02 준호가 집에서 출발하여 일정한 속력으로 걸어가므로 집으로부터
의 거리는 일정하게 증가한다.
중간에 편의점에 앉아 잠깐 쉬므로 거리의 변화는 없다가 다시 일
정한 속력으로 뛰어가므로 집으로부터의 거리는 다시 일정하게 증
03
정비례
기초의
가한다.
따라서 상황에 알맞은 그래프는 ④이다.
03 원기둥 모양의 그릇에 시간당 일정한 양의 물을 넣을 때, 원기둥의
밑넓이가 넓을수록 물의 높이가 천천히 증가하므로 x와 y 사이의
관계를 나타내는 그래프는 먼저 y의 값이 천천히 증가하다가 y의
값이 빠르게 증가하는 ④이다.
210쪽
1 ⑴
4
x
y
1
300
2
600
3
900
y
1200 y , y=300x
x
⑵
4
16
3
12
2
8
1
4
y
y
y , y=4x
2 ⑴ × ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ◯ ⑸ ◯ ⑹ × ⑺ ◯ ⑻ ×
3 풀이 참조
4 ⑴ ㉡, ㉢ ⑵ ㉠, ㉣
5 ⑴ y=
x ⑵ y=-
;2#;
;3@;
6 ⑴ y=15x ⑵ 105`km
x ⑶ y=
x ⑷ y=-2x
;3!;
04 ③ 해수면이 가장 높은 순간은 6시일 때이므로 1번 있었다.
⑤ 3시부터 9시까지 해수면의 높이가 점점 높아지다가 6시를 기준
2 ⑵ y=
;[#;
⑶ y=3x
⑷ y=
x
⑸ y=
;2!;
x
;4!;
으로 점점 낮아진다.
3 ⑴
⑵
05 ③ B 구간에서 자동차는 30`m/s의 속력으로 달리고 있다.
-4
-2
4
x
-4
-2
2
4
x
y
4
2
O 2
-2
-4
y
4
2
O
-2
-4
5 ⑴ 그래프가 원점을 지나는 직선이므로
y=ax에 x=2, y=3을 대입하면
3=2a ∴ a=
, 즉 y=
;2#;
x
;2#;
⑵ 그래프가 원점을 지나는 직선이므로
y=ax에 x=3, y=-2를 대입하면
;3@;
;3!;
-2=3a ∴ a=-
, 즉 y=-
x
;3@;
⑶ 그래프가 원점을 지나는 직선이므로
y=ax에 x=-3, y=-1을 대입하면
-1=-3a ∴ a=
, 즉 y=
x
;3!;
⑷ 그래프가 원점을 지나는 직선이므로
y=ax에 x=2, y=-4를 대입하면
-4=2a ∴ a=-2, 즉 y=-2x
6 ⑵ y=15x에 x=7을 대입하면
y=15_7=105`(km)
개념의
유제
211쪽~215쪽
02 ③, ⑤
05 ③
03 ⑴ y=4x ⑵ y=-8x
06 10
07 ②, ⑤
08 2
01 ②
04 29
09 ;3&;
10 10분
06 ⑴ 준민이가 탑승한 칸이 지면으로부터 가장 높은 곳에 있을 때의
높이는 40`m이다.
⑵ 대관람차가 한 바퀴 회전하는 데 걸리는 시간은 20분이다.
⑶ 지면으로부터 준민이가 탑승한 칸의 높이가 두 번째로 20`m가
되는 때는 탑승한 지 15분 후이다.
07 ⑴ 효중이가 집에서 400`m 떨어진 마트까지 가는데 멈추어 있던 시
간은 5분에서 8분 사이이므로 멈추어 있지 않고 이동한 시간은
⑵ (속력)=
이므로 효중이가 8분에서 10분 사이에 걸어간
10-3=7(분)
(거리)
(시간)
400-200
2
속력은
=100`(m/분)
또 0분에서 5분 사이에 걸어간 속력은
=40`(m/분)
200-0
5
따라서 효중이가 8분에서 10분 사이에 걸어간 속력은 0분에서
5분 사이에 걸어간 속력의 100Ö40=
(배)이다.
;2%;
08 ⑴ 은찬이가 출발한 지 5분 후에 승기가 출발하였다.
⑵ 은찬이는 출발한 지 15분 후에 처음으로 승기와 만났다.
⑶ 은찬이가 출발한 지 25분 후의 은찬이와 승기의 학교로부터의
거리는 각각 2.5`km, 3`km이므로 은찬이와 승기 사이의 거리
는 3-2.5=0.5`(km)이다.
⑷ 은찬이는 출발한 지 35분 후에 목적지에 도착하였고 승기는 은
찬이가 출발한 지 40분 후에 목적지에 도착하였으므로 은찬이
가 목적지에 도착한 지 5분 후에 승기가 도착하였다.
62 정답과 해설
01 x의 값이 2배, 3배, 4배, y로 변함에 따라 y의 값도 2배, 3배,
4배, y로 변하는 것은 y가 x에 정비례하는 것이다.
08 y=ax의 그래프가 점 (4, -2)를 지나므로
y=ax에 x=4, y=-2를 대입하면
따라서 y가 x에 정비례하는 것은 ②이다.
02 ① xy=20에서 y=
:ª[¼:
➡ 정비례하지 않는다.
② y=34-x ➡ 상수항 34가 있으므로 정비례하지 않는다.
③ y=5x ➡ 정비례
④ xy=4000에서 y=
➡ 정비례하지 않는다.
4000
x
⑤ y=800x ➡ 정비례
따라서 y가 x에 정비례하는 것은 ③, ⑤이다.
-2=4a
∴ a=-
, 즉 y=-
;2!;
x
;2!;
y=-
x에 x=-6, y=b를 대입하면
;2!;
;2!;
b=-
_(-6)=3
∴ 2a+b=2_
-
+3=2
{
;2!;}
09 점 A와 점 B의 y좌표가 모두 2이므로
y=3x에 y=2를 대입하면
2=3x
∴ x=
, 즉 A
;3@;
, 2
}
{;3@;
y=
x에 y=2를 대입하면
2=
x
∴ x=3, 즉 B(3, 2)
;3@;
;3@;
따라서 선분 AB의 길이는 3-
=
이므로
;3@;
;3&;
(삼각형 AOB의 넓이)=
_
_2=
;2!;
;3&;
;3&;
10 걷기 운동을 할 때 소모되는 열량이 3분에 9`kcal이므로 1분에
3`kcal이다.
즉 x분에 3x`kcal의 열량이 소모되므로 y=3x
y=3x에 y=30을 대입하면
30=3x ∴ x=10
따라서 30`kcal의 열량을 소모하려면 걷기 운동을 10분 해야 한다.
내공의
01 ⑤
06 ④
02 ㉠, ㉢, ㉣ 03 4
07 ④
08 ;2!;
04 ④
09 30
11 ⑴ y=
x ⑵ 4바퀴 12 ;2!;
;5@;
ÉaÉ8
216쪽~217쪽
05 4
10 2`cm
13 60분
01 x의 값이 2배, 3배, 4배, y로 변함에 따라 y의 값도 2배, 3배, 4배,
y로 변하는 것은 y가 x에 정비례하는 것이다.
따라서 y가 x에 정비례하는 것은 ⑤이다.
05 y=4x의 그래프는 원점을 지나는 직선이고 제 1 사분면과 제 3 사
분면을 지난다.
한편 x=1일 때 y=4_1=4이므로 그래프는 점 (1, 4)를 지난다.
06 y=-
x에 x=-a, y=4를 대입하면
4=-
_(-a),
a=4 ∴ a=10
;5@;
07 ② 점 (-4, -12)를 지난다.
④ |3|>|-2|이므로 y=3x의 그래프가 y=-2x의 그래프보
다 y축에 더 가깝다.
02 ㉠ y=15x ➡ 정비례
600
x
㉡ y=
㉢ y=5x ➡ 정비례
㉣ y=200x ➡ 정비례
➡ 정비례하지 않는다.
⑤ 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지난다.
따라서 y가 x에 정비례하는 것은 ㉠, ㉢, ㉣이다.
V. 좌표평면과 그래프 63
03 ⑴ 관계식을 y=ax(a+0)라 하고
x=2, y=8을 대입하면
8=2a
∴ a=4
따라서 구하는 관계식은 y=4x
⑵ 관계식을 y=ax(a+0)라 하고
x=
, y=-6을 대입하면
;4#;
;4#;
-6=
a
∴ a=-8
따라서 구하는 관계식은 y=-8x
04 관계식을 y=ax(a+0)라 하고
x=-4, y=2를 대입하면
2=-4a
∴ a=-
, 즉 y=-
;2!;
x
;2!;
y=-
x에 x=-2, y=A를 대입하면
A=-
_(-2)=1
y=-
x에 x=B, y=-14를 대입하면
-14=-
B
∴ B=28
;2!;
∴ A+B=1+28=29
;2!;
;2!;
;2!;
;5@;
;5@;
03 관계식을 y=ax(a+0)라 하고 x=3, y=-12를 대입하면
-12=3a ∴ a=-4, 즉 `y=-4x
y=-4x에 y=-16을 대입하면
-16=-4x ∴ x=4
04 ④ x=3, y=9를 y=2x에 대입하면
9+2_3
05 y=-
x에 x=-3, y=a를 대입하면
a=-
_(-3)=1
y=-
x에 x=b, y=-1을 대입하면
;3!;
;3!;
;3!;
-1=-
b
∴ b=3
;3!;
∴ a+b=1+3=4
06 ④ x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
⑤
|
-
;3@;|
<|-1|이므로 y=-
x의 그래프가 y=-x의 그래
;3@;
프보다 x축에 더 가깝다.
07 y=ax의 그래프는 a의 절댓값이 클수록 y축에 가깝다.
|-3|>|2|>
>
>
|;4%;|
|-;3@;|
|;2!;|
따라서 y축에 가장 가까운 것은 ④이다.
08 y=ax에 x=4, y=10을 대입하면
10=4a
∴ a=
, 즉 y=
;2%;
x
;2%;
y=
x에 x=b, y=-5를 대입하면
;2%;
-5=
b
∴ b=-2
;2%;
∴ a+b=
+(-2)=
;2%;
;2!;
09 y=2x에 x=6을 대입하면
y=2_6=12 ∴ A(6, 12)
y=
x에 x=6을 대입하면
y=
_6=2
∴ B(6, 2)
;3!;
;3!;
;2!;
;2!;
10 (삼각형 ABP의 넓이)=
_x_4=2x
즉 y=2x에 y=8을 대입하면
8=2x ∴ x=4
=6-4=2`(cm)
따라서 A가 10바퀴 회전할 때, B는 4바퀴 회전한다.
14_x=35_y
∴ y=
x
;5@;
⑵ y=
x에 x=10을 대입하면
;5@;
;5@;
y=
_10=4
12 y=ax의 그래프가 점 A(1, 8)을 지날 때
a=8, 즉 y=8x
y=ax의 그래프가 점 B(6, 3)을 지날 때
3=6a ∴ a=
, 즉 y=
;2!;
x
;2!;
따라서 y=ax의 그래프가 y=
x와 y=8x의 그래프 사이에 있
;2!;
으므로
ÉaÉ8
;2!;
13 Ú 동욱이의 그래프 : y=ax로 놓고 x=5, y=200을 대입하면
200=5a
∴ a=40, 즉 y=40x
Û 윤아의 그래프 : y=bx로 놓고 x=1, y=200을 대입하면
b=200, 즉 y=200x
동욱：y=40x에 y=3000을 대입하면 x=75
윤아：y=200x에 y=3000을 대입하면 x=15
따라서 윤아가 학교에 도착한 후 75-15=60(분)을 기다려야 동
욱이가 도착한다.
04
반비례
기초의
1 ⑴
4
6
1
24
2
12
3
8
x
y
x
⑵
4
3
1
12
2
6
3
4
y
219쪽
y
y , y=
y
y , y=
:ª[¢:
:Á[ª:
2 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ × ⑸ ◯ ⑹ ◯ ⑺ × ⑻ ◯
3 풀이 참조
4 ㉡, ㉣
5 ⑴ y=- 10
x
6 ⑴ y= 20
x
⑵ 4`cm
2 ⑵ y=
;[#;
⑷ y=
x
⑸ y=
;2!;
;[@;
-4
-2
2
4
x
-4
-2
2
x
4
y
4
2
O
-2
-4
y
4
2
O
-2
-4
∴ (선분 PC의 길이) =(선분 BC의 길이)-(선분 BP의 길이)
3 ⑴
⑵
11 ⑴ 톱니바퀴 A와 B가 서로 맞물려 돌아간 톱니의 수는 같다.
(A의 톱니의 수)_(A의 회전수)
=(B의 톱니의 수)_(B의 회전수)이므로
64 정답과 해설
이때 (선분 AB의 길이)=12-2=10, (선분 OC의 길이)=6이므로
(삼각형 AOB의 넓이)=
_10_6=30
⑵ y= 12
x
⑶ y= 18
x
⑷ y=- 14
x
5 ⑴ 그래프가 원점에 대칭인 한 쌍의 매끄러운 곡선이므로
03 ⑴ 관계식을 y=
;[A;
(a+0)라 하고 x=-2, y=-5를 대입하면
y=
에 x=-2, y=5를 대입하면
5=
∴ a=-10, 즉 y=-
10
x
⑵ 그래프가 원점에 대칭인 한 쌍의 매끄러운 곡선이므로
⑶ 그래프가 원점에 대칭인 한 쌍의 매끄러운 곡선이므로
y=
에 x=3, y=4를 대입하면
4=
∴ a=12, 즉 y=
12
x
y=
에 x=4, y=
를 대입하면
;2(;
=
;2(;
;4A;
∴ a=18, 즉 y=
18
x
⑷ 그래프가 원점에 대칭인 한 쌍의 매끄러운 곡선이므로
y=
에 x=-2, y=7을 대입하면
7=
∴ a=-14, 즉 y=-
14
x
6 ⑴
;2!;
_x_y=10 ∴ y=
20
x
⑵ y=
에 x=5를 대입하면
y=
=4`(cm)
;[A;
a
-2
;[A;
;3A;
;[A;
;[A;
a
-2
20
x
:ª5¼:
-5=
∴ a=10
a
-2
따라서 구하는 관계식은 y=
:Á[¼:
6=aÖ
∴ a=4
;3@;
따라서 구하는 관계식은 y=
;[$;
⑵ 관계식을 y=
(a+0)라 하고 x=
, y=6을 대입하면
;[A;
;3@;
04 관계식을 y=
;[A;
(a+0)라 하고 x=-5, y=4를 대입하면
4=
a
-5
∴ a=-20, 즉 y=-
20
x
y=-
에 x=-1, y=A를 대입하면 A=-
20
-1
=20
y=-
에 x=B, y=-10을 대입하면
20
x
20
x
-10=-
에서 B=2
20
B
∴ A-B=20-2=18
개념의
유제
220쪽~224쪽
01 ④
02 ②, ④
03 ⑴ y=
:Á[¼: ⑵ y=
;[$; 04 18
06 -2
07 ⑤
08 (1, -9) 09 -18
05 ②
10 20명
01 x의 값이 2배, 3배, 4배, y로 변함에 따라 y의 값은
배,
배,
;3!;
;2!;
배, y로 변하는 것은 y가 x에 반비례하는 것이다.
;4!;
① 정비례
④ 반비례
②, ③, ⑤ 정비례하지도 반비례하지도 않는다.
02 ① y=xÛ` ➡ 정비례하지도 반비례하지도 않는다.
② xy=50에서 y=
➡ 반비례
:°[¼:
③ y=5x ➡ 정비례
④ y=
➡ 반비례
100
x
⑤ 정비례하지도 반비례하지도 않는다.
05 y=
;[#;
의 그래프는 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지나는 한 쌍의 매
끄러운 곡선이다.
한편 x=1일 때 y=
=3이므로 그래프는 점 (1, 3)을 지난다.
;1#;
06 y=
20
x
에 x=2a, y=-5를 대입하면
-5=
, -10a=20 ∴ a=-2
20
2a
07 ① x=
;2!;
일 때 y=4이므로 점
, 4
를 지난다.
{;2!;
}
② 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지난다.
③ 원점을 지나지 않고 원점에 대칭인 한 쌍의 매끄러운 곡선이다.
④ x축, y축과 만나지 않는다.
08 y=
;[A;
의 그래프가 점 (-3, 3)을 지나므로
y=
에 x=-3, y=3을 대입하면
∴ a=-9, 즉 `y=-
;[(;
y=-
의 그래프가 점 A를 지나므로
y=-
에 x=1, y=b를 대입하면
;[A;
3=
a
-3
;[(;
;[(;
;1(;
b=-
=-9
V. 좌표평면과 그래프 65
따라서 y가 x에 반비례하는 것은 ②, ④이다.
따라서 점 A의 좌표는 (1, -9)이다.
09 y=-3x에 x=-2, y=b를 대입하면
b=-3_(-2)=6
이때 점 (-2, 6)이 y=
의 그래프 위에 있으므로
;[A;
y=
에 x=-2, y=6을 대입하면
;[A;
a
-2
6=
∴ a=-12
∴ a-b=-12-6=-18
4_15=60이다.
즉 xy=60이므로 y=
:¤[¼:
y=
:¤[¼:
에 y=3을 대입하면
3=
∴`x=20
:¤[¼:
10 일을 4명이 하면 완성하는 데 15일이 걸리므로 전체 일의 양은
-2-4
2
4
x
-2-4
2
4
x
따라서 3일 만에 작업을 완성하려면 20명이 일을 해야 한다.
-2-4
2
4
x
-2-4
2
4
-2-4
O
-2
-4
2
4
x
-2-4
4
x
O
2
-2
-4
3 ⑴
4 ⑴
5 ⑴
⑶
y
4
2
y
4
2
y
4
2
y
4
2
O
-2
-4
O
-2
-4
O
-2
-4
⑵
⑵
⑵
⑷
y
4
2
y
4
2
O
-2
-4
O
-2
-4
y
4
2
O
-2
-4
y
4
2
x
-2-4
2
4
x
-2-4
2
4
x
내공의
226쪽~227쪽
01 2개
02 -12
04 ②, ④
05 ④
06 2
07 24
⑵ 3번
09 6`cmÜ`
03 -10
08 ⑴ y= 126
x
10 12개
11 15
12 14
01 ㉠ 정비례
;2!;
㉢ 반비례
㉡ y=
x-2 ➡ 정비례하지도 반비례하지도 않는다.
㉣ 정비례하지도 반비례하지도 않는다.
㉤ y=5x ➡ 정비례
㉥ y=
➡ 반비례
;[%;
따라서 반비례하는 것은 ㉢, ㉥의 2개이다.
02 관계식을 y=
;[A;
(a+0)라 하고 x=-2, y=9를 대입하면
9=
∴ a=-18, 즉 `y=-
18
x
a
-2
18
x
`y=-
에 x=1, y=p를 대입하면 p=-18
그래프의
1 ⑴
225쪽
-4
-2
2
4 x
-4
-2
2
4
x
O
-2
-4
-4
-2
2
4 x
-4
-2
O
4 x
⑵
⑷
⑵
⑷
y
4
2
y
4
2
y
4
2
y
4
2
O
-2
-4
2
-2
-4
2
-2
-4
-4
-2
2
4 x
-4
-2
2
4 x
O
2
4 x
-4
-2
O
4 x
O
-2
-4
y
4
2
y
4
2
O
-2
-4
y
O
-2
-4
y
4
2
-2
-4
⑶
2 ⑴
4
2
⑶
-4
-2
66 정답과 해설
03 관계식을 y=
;[A;
(a+0)라 하고 x=-1, y=12를 대입하면
이때 x와 y는 반비례 관계이므로 관계식을 y=
(a+0)로 놓고
;[A;
`y=-
에 x=q, y=-3을 대입하면
⑵ y=
에 x=42를 대입하면 y=
126
x
126
42
=3
18
x
a
-1
12
x
:Á2ª:
-3=-
18
q
∴ p+q=-18+6=-12
∴ q=6
12=
∴ a=-12, 즉 `y=-
12
x
`y=-
에 x=2를 대입하면
`y=-
=-6
∴ m=-6
에 x=-3을 대입하면
`y=-
12
x
12
-3
∴ m-n=-6-4=-10
`y=-
=4
∴ n=4
04 ① x=2이면 y=-2이다.
③ 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지난다.
⑤ x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
05 y=
;[A;
에 x=3, y=2를 대입하면
2=
;3A;
∴ a=6, 즉 `y=
;[^;
이때 y=
에 주어진 점의 좌표를 대입하면
① -2=
② -6=
6
-1
③ 6=
;1^;
;[^;
6
-3
④ -3+
;2^;
⑤
=
;5^;
;5^;
따라서 y=
의 그래프 위에 있는 점이 아닌 것은 ④이다.
;[^;
06 점 P의 좌표를 (p, 4)라 하자.
이때 y=
의 그래프가 점 P를 지나므로 y=
에 x=p, y=4를
;[*;
;[*;
대입하면
4=
;p*;
∴ p=2, 즉 P(2, 4)
한편 y=ax의 그래프가 점 P를 지나므로 y=ax에 x=2, y=4를
대입하면 4=2a
∴ a=2
07 점 P의 좌표를 (a, b)라 하면 b=
:ªa¢:
∴ (직사각형 BOAP의 넓이)=ab=a_
=24
:ªa¢:
08 ⑴ (A의 톱니의 수)_(A의 회전수)
=(B의 톱니의 수)_(B의 회전수)이므로
18_7=x_y
∴ y=
126
x
따라서 톱니바퀴 B의 톱니의 수가 42개일 때, 톱니바퀴 A가 7
번 회전하는 동안 톱니바퀴 B는 3번 회전한다.
09 압력이 x기압일 때, 기체의 부피를 y cmÜ`라 하자.
x=3, y=12를 대입하면
12=
;3A;
∴ a=36, 즉 y=
36
x
y=
에 x=6을 대입하면 y=
=6
:£6¤:
36
x
18
x
따라서 압력이 6기압일 때, 이 기체의 부피는 6 cmÜ`이다.
10 y=
의 그래프 위에 있는 점의 x좌표와 y좌표가 모두 정수이려
면 x좌표가 +(18의 약수) 또는 -(18의 약수)이어야 한다.
18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18이므로 x좌표와 y좌표가 모두 정수인
점은 (1, 18), (2, 9), (3, 6), (6, 3), (9, 2), (18, 1),
(-1, -18), (-2, -9), (-3, -6), (-6, -3), (-9, -2),
(-18, -1)의 12개이다.
11 y=
;[A;
에 x=3을 대입하면 y=
, 즉 P
3,
y=
에 x=5를 대입하면 y=
, 즉 Q
5,
;[A;
이때 두 점 P, Q의 y좌표의 차가 2이므로
;3A;
;5A;
{
;3A;}
{
;5A;}
-
=2,
;3A;
;5A;
;1ª5;
a=2
∴ a=15
12 점 A의 x좌표가 4이므로 y좌표는
이다.
;4A;
이때 (선분 AB의 길이)=8, (선분 AD의 길이)=
+
=
;4A;
;4A;
;2A;
이
므로 (직사각형 ABCD의 넓이)=8_
=56
;2A;
4a=56
∴ a=14
실전의
228쪽~231쪽
01 ④
05 ②
02 a=-5, b=2
06 ④
07 ③, ⑤
03 ⑤
04 ①
08 150`kcal 09 3개
10 -9
11 ㉤
12 -1
15 -2
16 ⑤
17 ①, ③
13 ;2%;
18 -6
14 30분 후
19 30
20 20`L
21 :Á3¼:분
22 4
23 (10, 12) 24 ;2!5@;
01 ④ D(1, -3)
02 두 점 A, B가 모두 x축 위의 점이므로 y좌표가 0이다.
∴ b=2
b-2=0
a+5=0
∴ a=-5
V. 좌표평면과 그래프 67
03 세 점 A, B, C를 좌표평면 위에 나타
내면 오른쪽 그림과 같다.
∴ (삼각형 ABC의 넓이)
=(사각형 BEFD의 넓이)
-(①+②+③의 넓이)
B
y
2
1
-2
E
O
②
-2
①
6
x
③
D
A
F
2
C
11 y=
;5@;
;5@;
x의 그래프에서
가 양수이므로 그래프는 오른쪽 위로 향하
는 직선이고,
<|1|이므로 y=x의 그래프보다 x축에 가깝다.
따라서 y=
x의 그래프가 될 수 있는 것은 ㉤이다.
|;5@;|
;5@;
=8_4-
_1_8+
_4_4+
_4_3
;2!;
;2!;
}
{;2!;
=32-18=14
12 y=ax의 그래프가 점 (4, 1)을 지나므로
y=ax에 x=4, y=1을 대입하면
1=4a
∴ a=
;4!;
04 a<0, b<0이므로 -b>0, ab>0
y=bx의 그래프가 점 (1, -4)를 지나므로
따라서 점 Q(-b, ab)는 제 1 사분면 위의 점이다.
y=bx에 x=1, y=-4를 대입하면 b=-4
05 두 점 A, B가 원점에 대칭이므로 x좌표, y좌표의 부호가 모두 반
∴ ab=
_(-4)=-1
;4!;
대이다. 즉
a+3=-(2a-1)에서 a+3=-2a+1
3a=-2
∴ a=-
2-b=-(-3b)에서 2-b=3b
;3@;
;2!;
-4b=-2
∴ b=
∴ ab=
-
_
=-
{
;3@;}
;2!;
;3!;
13 점 A의 좌표는 (4, 4a), 점 B의 좌표는 (4, 2)이므로
(선분 AB의 길이)=4a-2
따라서 (삼각형 AOB의 넓이)=
_4_(4a-2)=16이므로
;2!;
8a-4=16 ∴ a=
;2%;
14 x분 후에 줄어든 양초의 길이를 y`cm라 하면
y=0.5x
양초가 다 탔을 때 줄어든 양초의 길이는 15`cm이므로
06 시간당 일정한 양의 물을 채울 때, 용기의 밑넓이가 작을수록 물의
높이는 더 빨리 증가하므로 각 용기에 해당하는 그래프는 A-㉢,
y=0.5x에 y=15를 대입하면
15=0.5x
∴ x=30
B-㉡, C-㉠이다.
한편 용기 D는 밑넓이가 큰 용기 위에 밑넓이가 작은 용기가 붙어
있는 모양이므로 해당하는 그래프는 ㉣이다.
따라서 용기와 그래프가 바르게 연결된 것은 ④이다.
따라서 양초가 다 타는 것은 불을 붙인 지 30분 후이다.
15 관계식을 y=
;[A;
(a+0)라 하고 x=5, y=-8을 대입하면
07 ③ 휴게소에 도착한 시각은 11시이고, 휴게소에서 출발한 시각은
12시이므로 휴게소에서 머문 시간은 12-11=1(시간)이다.
⑤ 지안이네 가족이 집으로 돌아오기 시작한 시각은 17시, 즉 오후
5시이다.
08 서준이가 수영을 50분 할 때 소모되는 열량은 400`kcal이고, 줄넘
기를 50분 할 때 소모되는 열량은 250`kcal이므로 소모되는 열량
의 차는 400-250=150`(kcal)
09 ㉠, ㉤, ㉥ 정비례
㉢, ㉣ 반비례
㉡ 정비례하지도 반비례하지도 않는다.
10 y=-4x에 x=a, y=4를 대입하면
∴ a=-1
4=-4a
y=-4x에 x=2, y=b를 대입하면
b=-4_2=-8
∴ a+b=-1+(-8)=-9
68 정답과 해설
-8=
∴ a=-40, 즉 y=-
:¢[¼:
;5A;
:¢[¼:
y=-
에 y=20을 대입하면
20=-
∴ x=-2
:¢[¼:
16 ⑤ 반비례 관계 y=
;[A;
(a+0)의 그래프는 원점을 지나지 않는다.
17 정비례 관계 y=ax의 그래프와 반비례 관계 y=
의 그래프는 모
;[A;
두 a<0일 때, 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지난다.
따라서 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지나는 그래프는 ①, ③이다.
18 점 P의 x좌표가 -3이므로 y=-
x에 x=-3을 대입하면
;3@;
y=-
_(-3)=2, 즉 P(-3, 2)
y=
의 그래프가 점 P(-3, 2)를 지나므로
y=
에 x=-3, y=2를 대입하면
2=
∴ a=-6
;3@;
;[A;
;[A;
a
-3
19 점 C의 좌표를 (a, b)라 하면 b=
:£a¼:
∴ (직사각형 OACB의 넓이)=ab=a_
=30
:£a¼:
20 휘발유 1`L로 갈 수 있는 거리가 x`km이므로
xy=300
∴ y=
300
x
y=
300
x
에 x=15를 대입하면 y=
=20
:£1¼5¼:
따라서 연비가 15`km인 자동차로 300`km를 가는 데 필요한 휘발
유의 양은 20`L이다.
Û 지성이의 그래프：y=bx로 놓고 x=5, y=2를 대입하면
3=5a
∴ a=
, 즉 y=
;5#;
;5@;
x
;5#;
x
;5@;
2=5b
∴ b=
, 즉 y=
민지：y=
x에 y=4를 대입하면 4=
x
∴ x=
:ª3¼:
지성：y=
x에 y=4를 대입하면 4=
x
∴ x=10
;5#;
;5@;
;5#;
;5@;
이때 y=ax의 그래프가 점 B(-8, 2)를 지나므로
y=ax에 x=-8, y=2를 대입하면
2=-8a ∴ a=-
;4!;
∴ ab=-
_(-16)=4
;4!;
23 정사각형 ABCD의 넓이가 49이므로 한 변의 길이는 7이다.
이때 점 A가 y=4x의 그래프 위에 있으므로 점 A의 좌표를
(a, 4a)라 하면
(점 C의 x좌표) =(점 B의 x좌표)+7
=(점 A의 x좌표)+7
=a+7
=(점 A의 y좌표)-7
=4a-7
한편 점 C(a+7, 4a-7)이 y=
x의 그래프 위에 있으므로
;2!;
4a-7=
(a+7), 8a-14=a+7
;2!;
7a=21
∴ a=3
따라서 점 D의 좌표는 (a+7, 4a)이므로 (10, 12)이다.
21 Ú 민지의 그래프：y=ax로 놓고 x=5, y=3을 대입하면
(점 C의 y좌표) =(점 D의 y좌표)-7
따라서 민지가 도서관에 도착하고 10-
=
:ª3¼:
:Á3¼:
(분) 후에 지성이
24 사다리꼴 COAB의 넓이는
가 도착한다.
22 점 A의 x좌표를 m이라 하고 y=-4x에 x=m, y=8을 대입하면
8=-4m ∴ m=-2, 즉 A(-2, 8)
y=
의 그래프가 점 A(-2, 8)을 지나므로
;[B;
;[B;
b
-2
y=
에 x=-2, y=8을 대입하면
8=
∴ b=-16, 즉 `y=-
16
x
16
x
n=-
=2 ∴ B(-8, 2)
16
-8
점 D의 x좌표가 5이므로 y=ax에 x=5를 대입하면
=
_(선분 OA의 길이)_(선분 DA의 길이)
_(3+5)_3=12
;2!;
y=5a
∴ D(5, 5a)
(삼각형 DOA의 넓이)
;2!;
;2!;
=
_5_5a
=
a
:ª2°:
a=6
∴ `a=
;2!5@;
:ª2°:
점 B의 y좌표를 n이라 하고 y=-
에 x=-8, y=n을 대입하면
이때 삼각형 DOA의 넓이가 사다리꼴 COAB의 넓이의
이므로
;2!;
V. 좌표평면과 그래프 69
Memo
Memo
Memo
