2019년 천재교육 유형 해결의 법칙 수학 중 3

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2019년 천재교육 유형 해결의 법칙 수학 중 3 - 1.pdf Download | FlareBrick FDS

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빠른 정답 유형 해결의 법칙 1 제곱근의 뜻과 성질 1step 개념 마스터 0057 -2a 0058 -2a 0059 3a 0061 >, x-1 0062 <, -x+1 8쪽 0064 > 0068 > 0065 > 0069 > 0072 26, 27, 28, y, 47, 48 0066 > 0070 < 2 ' 0073 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 7, 1 0 0060 3a 0063 < 0067 < 0071 ' 0001 8, -8 0002 0 0003 ;5#;, - ;5#; 0004 없다. 0074 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 0075 3, 4 0076 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 0005 1, -1 0009 _ 0006 12, -12 0007 0.7, -0.7 0008 ;5@;, - 0011 ◯ 0010 _ 0012 _ ;5@; 0013 7 0014 -14 0015 0.6 0016 - 0017 Ñ 2 ' 0018 Ñ1 0019 Ñ 1 0 0020 Ñ .5 0 ' x 2 6 3 ' (-2)Û` 0021 0022 0023 x의 양의 제곱근 x의 음의 제곱근 x의 제곱근 제곱근 x 2 6 ' ' 2 2 6 -' -' -2 2 6 Ñ ' Ñ ' Ñ2 ;2!; ' 2 6 ' ' 2 2step 유형 마스터 9쪽~11쪽 0024 ④ 0028 ① 0025 ③ 0029 ③ 0026 ②, ⑤ 0027 ④ 0030 ②, ③ 0031 3개 0032 ㉡, ㉢, ㉤ 0033 13 0034 ⑤ 0035 -3 0036 - ;2#; 0040 ①, ④ 5 0037 ' 0041 ③ 0038 6 m ` 0039 8 cm ` 0042 3개 2step 유형 마스터 14쪽~22쪽 0093 2a-3 0094 a 0095 -4a+8 0096 ㉠, ㉡, ㉢ 0077 3개 0081 ③ 0085 4 0089 ④ 0097 0 0101 30 0105 5 0109 65 0113 30 0117 1 0121 35 0078 ③ 0082 8 0079 ③ 0083 ④ 0080 -5 0084 ③ 0086 :°5»: 0090 -5a 0087 ⑤ 0088 ②, ④ 0091 a-b 0092 -3a 0098 4a+b 0099 15 0102 6개 0103 6 0100 75 0104 6개 0107 ①, ⑤ 0108 13 0106 12 0110 7개 0114 ② 0111 25 0115 ③ 0118 -2+ 5 0119 4개 ' 0122 14개 0123 25 0112 ②, ⑤ 0116 2 0120 6 0124 3 0128 0 0125 11개 0126 5a 0127 -2a 0129 9 0130 17 0131 ;6!; 0132 ' a 0133 ;a!; 0134 ③ 1step 개념 마스터 12쪽~13쪽 0043 5 0044 1.3 0045 -6 0046 7 0047 ;2!; 0051 4 0052 -2 0048 -2 0049 6 0050 -1 3step 내신 마스터 0135 ③ 0139 ② 0143 0 0136 ⑤ 0140 ① 0144 ② 23쪽~25쪽 0137 3개 0141 6 0138 ③ 0142 ② 0053 0054 0055 0056 aÛ` "Å (-a)Û` "Ã - - "Ã aÛ` "Å (-a)Û` a¾0 a a -a -a a<0 -a -a a a 0145 ⑴ 0 0179 5.604 0156 유 0160 무 0164 _ 0168 _ 0172 < 0157 무 0161 ◯ 0165 ◯ 0169 ◯ 0173 > 0158 유 0162 _ 0166 _ 0170 < 0174 < 0176 5.320 0177 5.431 0178 5.568 2step 유형 마스터 30쪽~35쪽 0180 3개 0181 ⑤ 0182 ③ 0183 4개 0184 ④ 0188 ⑤ 0185 ⑤ 0186 ⑤ 0187 ③, ④ 0189 a=-3+ ' 2, b=1- ' 5 0193 -1+ 2 0190 4+ ' 2 0194 ④ 2 ' 5), C(-1+ ' 0), D(4+ 1 ' 0198 ②, ④ 0202 ① 0206 ⑤ 5) ' 0199 ③ 0203 ③ 0207 ㉠ 0209 ① 0210 ②, ④ 0211 ⑤ 0191 점 B 0192 -2+ 0195 A(-1- 0196 ④, ⑤ 1 0), B(4- ' 0197 ③ ' 0200 ② 0201 ④ 0204 c2 0995 12 0996 8 0997 -1 0998 ④ 0999 ③ 1000 -8 1001 ② 1002 축의 방정식：x=1, 꼭짓점의 좌표：(1, 3) 1003 제 1, 3, 4 사분면 1004 -3 1005 2 1006 2 1007 x<-3 1008 x>2 1009 x<1 1010 -7 1011 ② 1012 -1 1013 a=-2, b=-3, c=-2 1014 -8 1015 -10 1016 ③ 1017 ;3!; 1018 ⑴ y=3(x+1)Û -4 ⑵ 1 ` -4 -2 O 2 4 x 1019 ④ 1020 ⑤ 1021 ⑤ 0953 x y -2 -1 1 2 y 1023 ;4(; 1024 D 5, ;2%;} {' 1022 ;4!; 1025 ;3$; y=- xÛ` ;2!; y -2 y=- (x+1)Û` y y=- (x+1)Û`-2 y ;2!; ;2!; 0 0 -;2!; -;2%; -;2!; 0 -2 -;2!; -;2%; -;2!; -2 -4 -2 y y y -;2(; -:Á2£: 1026 27 1027 18 1028 ⑴ B {;3@;, ;9!;} ⑵ ;9!; 1029 ⑤ 1030 a¾æ2 1031 01 1043 -2 1045 ⑴ y=xÛ , 이차함수이다. ⑵ 20계단 ⑶ 289장 1036 ② 1040 ④ 1044 ③ ` 1046 ②, ④ 2step 유형 마스터 146쪽~158쪽 0954 ④ 0957 ① 0955 ⑤ 0956 A(-6, 0), B(0, 4) 0958 ④ 0959 ② 0960 ②, ⑤ 0961 3개 0962 ③ 0963 ③, ④ 0964 ② 0965 a+2 0966 -4 0967 0 0969 11 0970 ① 0971 ③ 0968 3 0972 ③ 0, b>0, c>0 1053 a<0, b>0, c>0 0990 -8 0991 ③ 0992 ② 0993 ⑤ 1054 a<0, b<0, c<0 1055 a>0, b<0, c<0 8 빠른 정답 2step 유형 마스터 165쪽~172쪽 10 이차함수의 활용 1056 -2 1057 ④ 1058 a=4, p=2, q=-19 1059 -1 1060 ⑤ 1061 (2, -1) 1062 ② 1063 제 2 사분면 1064 ⑤ 1065 x>2 1066 x>3 1067 (0,- 2) 1068 ③ 1069 ㉠, ㉢ 1070 ② 1071 2 1073 -2 1074 (-3, 0), (1, 0) 1072 x=2 1075 (0, 1) 1step 개념 마스터 178쪽 1118 y=3(x-3)Û ` 1120 y=-(x+1)Û -2 +6 ` 1119 y=-2(x-1)Û +3 1121 y=-(x-1)Û ` +4 ` 1122 y=2xÛ -x+1 ` 1123 y=- xÛ + ;6%; ` :Á6£: x-5 1076 ③ 1077 4 1078 k>8 1079 a< ;3@; 1124 y= xÛ -2 ;2!; ` 1125 y=3xÛ`-3x-6 1080 -6 1081 7 1082 -6 1084 ① 1085 제 4 사분면 1083 ④ 1086 35 1087 16 1088 15 1091 9 1092 3 1094 ⑴ a>0, b>0, c<0 ⑵ ③ 1095 ④ 1099 8 1096 ③ 1100 18 1090 - 1089 :£2°: 1093 ⑴ (-a, -aÛ +2a+4) ⑵ 8 ` ;4#; 1097 ② 1098 12 3step 내신 마스터 173쪽~175쪽 1101 ㉠, y=3(x-2)Û +4 1102 ② 1103 ② 1104 ⑴ y=-3(x-1)Û -3 ⑵ y x=1 ` ` 1105 ② 1106 ⑤ 1107 ② 1108 ⑤ 1144 1109 ②, ④ 1110 -3 1111 ⑤ 1112 :Á8¦: 4, - 1113 { 1115 ⑴ A(2, -6) ⑵ B(0, -4) ⑶ 4 :ª2°:} 1114 ④ 1116 15 1117 ⑴ a>0, b<0, c<0 ⑵ a+c O 1 x -3 -6 1step 개념 마스터 182쪽 2step 유형 마스터 179쪽~181쪽 1126 2 1127 28 1128 a= ;2!;, b=-1, c=- ;2(; 1129 -9 1130 ②, ④ 1133 7 1134 -6 3 1131 2 ' 1135 (1, -4) 1132 14 1136 -6 1137 - :Á2°: 1138 y=2xÛ -x+1 ` 1139 6 1140 5 1141 -3 1142 y= xÛ - ;2!; ` ;2(; 1143 -10 ⑴ 없다. ⑵ -3 -4 -2 2 4 y 4 2 4 2 O -2 -4 y O -2 -4 x x 1145 ⑴ 2 ⑵ 없다. -4 -2 2 4 1146 y=-xÛ ` 1149 (12-x) +10x cm ` 1151 36 cmÛ ` ` 1147 25 1148 5, 5 1150 y=-xÛ +12x ` 빠른 정답 9 빠른 정답 유형 해결의 법칙 2step 유형 마스터 183쪽~189쪽 1152 7 1156 11 1153 ④ 1154 3 1155 4 1157 -4, -2 1158 최솟값 -2 1159 -4 1160 (-3, 3) 1161 -2 1163 -3 1164 72 1165 -7 1162 ;2#; 1166 aÉ-3 1167 00일 때, a의 제곱근 ➡ Ñ ① 0의 제곱근은 0이다. ' a, 제곱근 a ➡ a ' ② 9=3의 제곱근은 Ñ 3이다. ' ' ③ -5의 제곱근은 없다. ④ 제곱근 81은 8 1, 즉 9이다. ' ⑤ 4의 음의 제곱근은 - ' 따라서 옳은 것은 ④이다. 4, 즉 -2이다. 0028 제곱근 5 ➡ ' 5 0029 ①, ②, ④, ⑤ Ñ2 ③ 제곱근 4 ➡ 4=2 ' 0030 ① ;9!; 의 음의 제곱근은 - , 즉 - 이다. ®;9!; ;3!; ② 3의 제곱근은 Ñ 3이고, -3의 제곱근은 없다. ' ③ a>0이면 a의 제곱근은 Ñ a, a=0이면 a의 제곱근은 ' 0, a<0이면 a의 제곱근은 없다. ④ (-5)Û`=25의 제곱근은 Ñ 2 5, 즉 Ñ5이다. ' 4, 즉 8이다. 6 ⑤ 제곱근 64는 ' 따라서 옳지 않은 것은 ②, ③이다. 답 ②, ③ 0031 ㉠ 121의 제곱근은 Ñ ㉡ 6=4의 음의 제곱근은 - ' 1 21, 즉 Ñ11이다. 1 4, 즉 -2이다. ' ' ㉢ 제곱근 은 = 이다. ®Â;4!9^; ;7$; ;4!9^; ㉣ 25의 양의 제곱근은 ' ㉤ -4의 제곱근은 없다. 2 5, 즉 5이다. ㉥ (-9)Û Û`=81의 제곱근은 Ñ 8 1, 즉 Ñ9이다. ' 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉣, ㉥의 3개이다. 답 3개 0032 ㉠ 제곱근 36은 3 6, 즉 6이다. ' ㉡ 0.H4= 이므로 의 제곱근은 Ñ , 즉 Ñ 이다. ¾;9$; ;3@; ;9$; ;9$; ㉢ 양수의 두 제곱근은 절댓값이 같고 부호가 서로 다르므로 그 합은 항상 0이다. ㉣ 음수의 제곱근은 없다. ㉤ 0.16의 제곱근은 Ñ 0.16, 즉 Ñ0.4이다. '¶ 따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢, ㉤이다. 답 ㉡, ㉢, ㉤ 답 _ 답 _ 답 ◯ 답 - ;2!; 답 Ñ 2 ' 답 Ñ1 답 Ñ 1 0 ' 답 Ñ .5 0 ' ¶ ¶ 0033 전략 먼저 주어진 수를 간단히 한다. ➡ (-10)Û`=100, ' 1=9 8 닮음인 두 평면도형의 닮음비가 m : n이면 넓이의 비는 mÛ` : nÛ`이다. (-10)Û`=100의 양의 제곱근은 00, 즉 10이므로 a=10 1 ' 9, 즉 -3이므로 b=-3 8 1=9의 음의 제곱근은 - ' ∴ a-b=10-(-3)=13 ' 답 13 나타낼 수 있다. 0040 전략 근호 안의 수가 어떤 수의 제곱이면 근호를 사용하지 않고 (-5)Û`=25의 음의 제곱근은 - 2 5, 즉 -5이므로 ①, ④이다. 답 ①, ④ 0034 ① 49의 제곱근은 Ñ ② (-8)Û`=64의 제곱근은 Ñ 49, 즉 Ñ7이다. '¶ ③ 3 6=6의 제곱근은 Ñ ' ④ 0.09의 제곱근은 Ñ ' 64, 즉 Ñ8이다. '¶ 6이다. ' .09, 즉 Ñ0.3이다. 0 0035 ;2»5; b=-5 의 양의 제곱근은 , 즉 이므로 a= yy ㈎ ®Â;2»5; ;5#; ;5#; ' ∴ ab= _(-5)=-3 ;5#; 채점 기준 ㈎ a의 값 구하기 ㈏ b의 값 구하기 ㈐ ab의 값 구하기 0036 ®Â;1Á6; = ;4!; 의 양의 제곱근은 이므로 a= 0.H1= 의 음의 제곱근은 - 이므로 b=- ;9!; ;2!; ;3!; ;2!; ;3!; ∴ =aÖb= ;bA; Ö - { ;2!; ;3!;} ;2!; = _(-3)=- 답 - ;2#; ;2#; 0037 전략 넓이가 a인 정사각형의 한 변의 길이는 ' xÛ`=1Û`+2Û`이므로 xÛ`=5 a이다. ∴ x= 5 (∵ x>0) ' 답 ' 5 0038 직사각형 모양의 꽃밭의 넓이는 9_4=36 (mÛ`) "Å ➡ 2Û`=2, "Å ① 1000의 제곱근은 Ñ 3Û`=3, "Å 4Û`=4, y ② 0.49의 제곱근은 Ñ 1000이다. 'Ä 0.49, 즉 Ñ0.7이다. ③ 4Û`=4의 제곱근은 Ñ 4, 즉 Ñ2이다. "Å 'Ä ' 답 ⑤ ④ ®É;2»5; = ;5#; 의 제곱근은 Ñ 이다. ®;5#; ⑤ :Á;2^5):); 의 제곱근은 Ñ ®É:Á;2^5):); , 즉 Ñ Ñ8이다. :¢5¼:= 따라서 근호를 사용하지 않고 제곱근을 나타낼 수 없는 것은 yy ㈏ yy ㈐ 답 -3 비율 40`% 40`% 20`% 0041 ① ' ④ - 1 ' 6=4 ② 3 6=6 ' '¶ 8 1=-9 ⑤ 100=10 답 ③ 0042 주어진 수의 제곱근을 구하면 다음과 같다. 0.4 ➡ Ñ 15 ➡ Ñ 0.4 5 1 ' '¶ ➡ Ñ ®É;2Á5; =Ñ ;5!; ;2Á5; 0.H1= ➡ Ñ ;9!; =Ñ ;3!; ®;9!; ➡ Ñ ®É;8¢1; =Ñ ;9@; ;8¢1; 따라서 근호를 사용하지 않고 제곱근을 나타낼 수 있는 것은 , 0.H1, 의 3개이다. ;2Á5; ;8¢1; 답 3개 STEP 개념 마스터 p.12 ~ p.13 0043 0045 0047 답 5 0044 답 -6 0046 답 ;2!; 0048 정사각형 모양의 꽃밭의 한 변의 길이를 x`m라 하면 0049 (주어진 식)=13-7=6 xÛ`=36 ∴ x=6 (∵ x>0) 따라서 정사각형 모양의 꽃밭의 한 변의 길이는 6`m이다. 0050 (주어진 식)=4-5=-1 답 6`m 0051 (주어진 식)=5+7-8=4 0039 두 정사각형의 닮음비가 1：4이므로 넓이의 비는 1：16이다. 작은 정사각형의 넓이를 x cmÛ` 라 하면 큰 정사각형의 넓이 0052 (주어진 식)=-4_ =-2 ;2!; 는 16x cmÛ`이므로 x+16x=68, 17x=68 ∴ x=4 따라서 큰 정사각형의 넓이는 16x=16_4=64 (cmÛ`) 이므로 큰 정사각형의 한 변의 길이는 6 4, 즉 8`cm이다. ' 답 8`cm 0053 0054 0055 0056 aÛ` "Å (-a)Û` "Ã - - "Ã aÛ` "Å (-a)Û` a¾0 a a -a -a a<0 -a -a a a 답 1.3 답 7 답 -2 답 6 답 -1 답 4 답 -2 1. 제곱근의 뜻과 성질 13 § ¶ 0057 a<0에서 2a<0이므로 (2a)Û`=-2a "Ã 답 -2a 0058 a<0에서 -2a>0이므로 (-2a)Û`=-2a "Ã 답 -2a 0074 -5É- ' xÉ-4에서 4É xÉ5 ' 위의 부등식의 각 변을 제곱하면 16ÉxÉ25 따라서 부등식을 만족하는 자연수 x는 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 답 >, x-1 답 <, -x+1 답 3a 답 3a 답 < 답 > 답 > 답 > 답 < 답 > 답 > 답 < 답 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 0075 2< '¶ 4<2x<9 2x<3의 각 변을 제곱하면 각 변을 2로 나누면 20일 때, -(- (-6)Û`=6 ㉢ ' a)Û`=-a, - (-a)Û`=-a "Ã "Ã ㉣ "Ã ㉤ (- ㉥ "Å ' 4Û`=4 (-7)Û`=7이므로 - (-7)Û`=-7 "Ã 2)Û`=2이므로 -(- 2)Û`=-2 ' 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉤의 3개이다. 답 3개 0078 ① "Å ③ -(- 5Û`=5 ' (-5)Û`=5 ⑤ "Ã ② ( - 5)Û`=5 ' 5)Û`=-5 ④ ( 5)Û`=5 ' 따라서 나머지 넷과 다른 하나는 ③이다. 답 ③ 0071 4= 1 6, 5= 2 5이므로 1 6보다 크고 2 5보다 작은 수를 ' ' 찾으면 ' 7과 1 ' ' ' 2 0이다. 답 ' 1 7, 2 0 ' 0079 ① ( ' ② (- 7)Û`=7 4)Û`=4 ' ③ - ®É;3Á6; =- ;6!; ④ 0.5Û`=0.5이므로 - 0.5Û`=-0.5 " " " ⑤ (-3)Û`=3 따라서 옳은 것은 ③이다. 9)Û`=9의 양의 제곱근은 3이므로 0080 (- ' p=3 " q=-2 (-4)Û`=4의 음의 제곱근은 -2이므로 ∴ q-p=-2-3=-5 답 ③ yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 답 -5 답 26, 27, 28, y, 47, 48 답 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 0059 a<0에서 3a<0이므로 (3a)Û`=-(-3a)=3a - 0060 a<0에서 -3a>0이므로 (-3a)Û`=-(-3a)=3a - "Ã "Ã 0061 0062 0063 0064 0065 ® ;3@; < ® ;5$; 이므로 - ® ;3@; >- ® ;5$; 0066 'Ä 0.5< 0.8이므로 - 'Ä 0.5>- 'Ä 'Ä 0.8 8)Û`=8, 3Û`=9에서 0067 ( ' 8<9이므로 8<3 ' .1)Û`=0.1, 0.1Û`=0.01에서 0 0068 ( ' 0.1>0.01이므로 .1>0.1 0 ' 0069 {® ;3@; } = , ;3@; {;2!;} = 에서 ;4!; > ;3@; ;4!; 2` 이므로 2` > ;2!; ® ;3@; 0070 4Û`=16, ( ' 16>15이므로 4> 1 5)Û`=15에서 1 5 ' ∴ -4<- 1 5 ' 0072 5< ' 250이므로 aÛ`=-a ㉠ "Å ㉡ - ㉢ "Ã ㉣ (- ㉤ - "Å (-a)Û`=-(-a)=a "Ã (-a)Û`=-a a)Û`=-a '¶- aÛ`=-(-a)=a 따라서 같은 값을 갖는 것끼리 짝지으면 ㉠, ㉢, ㉣과 ㉡, ㉤이다. 답 ②, ④ 0089 a>0일 때, 2a>0, -3a<0, -5a<0이므로 aÛ`=a ① ② 4aÛ`= (2a)Û`=2a "Ã (-3a)Û`=-(-3a)=3a (2a)Û`=-2a "Å " ③ "Ã ④ - "Ã "Ã 0090 전략 a>0이면 " a<0이므로 -4a>0 aÛ`=a, a<0이면 " aÛ`=-a임을 이용한다. ∴ (주어진 식)=-a+(-4a)=-5a 답 -5a 0091 a<0, b>0이므로 (주어진 식)=-b-(-a)=a-b 답 a-b 답 ③ 0092 a+b<0, ab>0에서 a<0, b<0이므로 3a<0, -2b>0, 2b<0 ∴ (주어진 식)= (3a)Û`- "Ã "Ã (-2b)Û`+ (2b)Û` "Ã ∴ (주어진 식)=-3a-(-2b)+(-2b) ∴ (주어진 식)=-3a+2b-2b ∴ (주어진 식)=-3a 답 -3a 답 4 0093 전략 10, a-2<0이므로 (주어진 식)=(a-1)-{-(a-2)} (주어진 식)=a-1+a-2 (주어진 식)=2a-3 답 :°5»: 0094 00, a-3<0이므로 yy ㈎ (음수)Û`=-(음수)임을 이용한다. (주어진 식)=-(-a)+(3-a)-{-(a-3)} yy ㈏ (주어진 식)=a+3-a+a-3 (주어진 식)=a 0087 전략 "Ã (양수)Û`=(양수), "Ã ① -aÛ`은 음수이므로 -aÛ`의 값은 없다. "Ã ② (- a)Û`=a ' ③ -a<0이므로 (-a)Û`=-(-a)=a "Ã 답 2a-3 yy ㈐ 답 a 1. 제곱근의 뜻과 성질 15 ¶ ¶ 답 -4a+8 0103 전략 96을 소인수분해하여 지수가 홀수인 소인수를 찾는다. 따라서 10 ∴ (주어진 식)=-(2a-5)+(3-2a) ∴ (주어진 식)=-2a+5+3-2a ∴ (주어진 식)=-4a+8 0096 ㉠ x>3이면 3-x<0, x+3>0이므로 ㉠ A=-(3-x)+(x+3)=-3+x+x+3=2x ㉡ 00, x+3>0이므로 ㉠ A=(3-x)+(x+3)=6 ㉢ x<-3이면 3-x>0, x+3<0이므로 ㉠ A =(3-x)+{-(x+3)}=3-x-x-3=-2x ㉣ -30, x+3>0이므로 ㉠ A =(3-x)+(x+3)=6 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉢이다. 답 ㉠, ㉡, ㉢ 0097 00, b-2<0이므로 (주어진 식)=-(a-b)-(2-a)+{-(b-2)} (주어진 식)=-a+b-2+a-b+2=0 답 0 0098 a>0, ab<0일 때, a>0, b<0이므로 -a<0, b-3a<0, 2b<0 ∴ (주어진 식)= (-a)Û`+ "Ã "Ã (b-3a)Û`- (2b)Û` "Ã ∴ (주어진 식)=-(-a)+{-(b-3a)}-(-2b) ∴ (주어진 식)=a-b+3a+2b ∴ (주어진 식)=4a+b 답 4a+b 0099 전략 60을 소인수분해하여 지수가 홀수인 소인수를 찾는다. 2Û`_3_5_x가 자연수가 되려면 60x= "Ã '¶ x=3_5_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다. 따라서 자연수 x의 값 중 가장 작은 수는 3_5=15 답 15 0100 'Ä 300x= 2Û`_3_5Û`_x가 자연수가 되려면 "Ã x=3_(자연수)Û`의 꼴이어야 하므로 가능한 자연수 x의 값은 3_1Û`, 3_2Û`, 3_3Û`, 3_4Û`, 3_5Û`, 3_6Û`, y 즉 3, 12, 27, 48, 75, 108, y 따라서 두 자리 자연수 x의 값 중 가장 큰 수는 75이다. 0101 'Ä 24n= 2Ü`_3_n이 자연수가 되려면 "Ã n=2_3_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다. 16 정답과 해설 0106 전략 109보다 큰 제곱수를 찾는다. 109+x가 자연수가 되려면 109+x가 제곱수이어야 한다. 'Ä 이때 109보다 큰 제곱수는 121, 144, 169, y이므로 답 75 109+x=121, 144, 169, y ∴ x=12, 35, 60, y 따라서 자연수 x의 값 중 가장 작은 수는 12이다. 답 12 æ æ æ æ ¶ ¶ x+60이 자연수가 되려면 x+60이 제곱수이어야 한다. 0107 'Ä 이때 60보다 큰 제곱수는 64, 81, 100, y이므로 한다. 0112 전략 근호가 없는 수는 근호를 사용한 수로 바꾸어 대소를 비교 x+60=64, 81, 100, y ∴ x=4, 21, 40, y 따라서 보기 중 가능한 x의 값은 ①, ⑤이다. 답 ①, ⑤ 43+x=y에서 y가 자연수가 되려면 43+x는 제곱수이어 0108 'Ä 야 한다. 이때 43보다 큰 제곱수는 49, 64, 81, y이므로 43+x=49, 64, 81, y ∴ x=6, 21, 38, y 따라서 x의 값 중 가장 작은 수는 6이므로 a=6 그때의 y의 값은 49=7이므로 b=7 '¶ ∴ a+b=6+7=13 채점 기준 ㈎ a의 값 구하기 ㈏ b의 값 구하기 ㈐ a+b의 값 구하기 yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 답 13 비율 70`% 20`% 10`% 19-a=0, 즉 19-a=0인 경우를 빠뜨리지 않도록 주 0109 전략 'Ä 의한다. 'Ä 다. 이때 19보다 작은 제곱수는 1, 4, 9, 16이므로 19-a=0, 1, 4, 9, 16 ∴ a=3, 10, 15, 18, 19 따라서 구하는 자연수 a의 값의 합은 3+10+15+18+19=65 답 65 64-x가 자연수가 되려면 64-x가 제곱수이어야 한다. 0110 'Ä 이때 64보다 작은 제곱수는 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49이므로 64-x=1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 ∴ x=15, 28, 39, 48, 55, 60, 63 따라서 구하는 자연수 x의 개수는 7개이다. 답 7개 ① 3= 9이므로 8<3 ∴ - 8>-3 ' ' ② 3<7이므로 ' 3< ' 7 ' ③ > ;2!; ;3!; 이므로 > ®;2!; ®;3!; ④ 5= 2 5이므로 2 4<5 ' ⑤ (-4)Û`=4, "Ã ' (-3)Û`=3이므로 "Ã 따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다. (-4)Û` > "Ã "Ã (-3)Û` 답 ②, ⑤ 0113 ( ' - 3)Û`=3, (-5)Û`=5이므로 5<- ' ' 따라서 a= 3)Û`<4< ' (-5)Û`=5, b=- (-5)Û` "Ã 5이므로 ' "Ã 3<0<( "Ã ' aÛ`+bÛ`=5Û`+(- 5)Û`=25+5=30 답 30 0114 ① 6= 3 6이므로 3 5<6 ∴ - 3 5>-6 ' ' ' ② = ;3!; ®;9!; 이므로 < ;3!; ®;8!; ∴ - >- ;3!; ®;8!; ③ 0.2= 0.04이므로 'Ä 0.2>0.2 'Ä ④ > ;4#; ;3@; 이므로 > ®;4#; ®;3@; ⑤ = ;2!; ®;4!; 이므로 > ;2!; ®;5!; ∴ - <- ;2!; ®;5!; 따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 답 ② 2= 4에서 2< 5이므로 2- 5<0, 5-2>0 ' ' ∴ (주어진 식)=-(2- ∴ (주어진 식)=-2+ ' 5)-( ' 5-2) ' 5+2=0 ' 5- ' ' 0116 1< ' 3<2이므로 1- 3<0, 3- 3>0 ∴ (주어진 식)=-(1- ∴ (주어진 식)=-1+ ' ' 3)+(3- ' 3+3- 3) ' 3=2 ' ' 답 ③ 답 2 0117 4= 4- ' ' 1 6, 5= 2 5에서 4< 1 7<5이므로 ' ' 1 7<0, 5- 1 7>0 ' ∴ (주어진 식)=-(4- 1 7)+(5- ' 1 ' 1 7) ' 7=1 ' ∴ (주어진 식)=-4+ 7+5- 1 답 1 19-a가 정수가 되려면 19-a는 0 또는 제곱수이어야 한 0115 전략 2와 ' 사한다. 5의 대소를 비교하여 2- 5와 5-2의 부호를 조 ' ' 30-x가 정수가 되려면 30-x가 0 또는 제곱수이어야 한 0111 'Ä 다. 이때 30보다 작은 제곱수는 1, 4, 9, 16, 25이므로 1, 3= 9, 4= 6에서 1< 1 5<3이므로 0118 1= 1- ' ' ' 5>0, ' 5-4<0 5<0, 3- ' ' ∴ (주어진 식)=-(1- ' 5)+(3- 5)-{-( 5-4)} ' ' ' 30-x=0, 1, 4, 9, 16, 25 ∴ x=5, 14, 21, 26, 29, 30 따라서 M=30, m=5이므로 M-m=30-5=25 ∴ (주어진 식)=-1+ ' ∴ (주어진 식)=-2+ 5 ' 5+3- 5+ 5-4 ' ' 답 25 yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 답 -2+ 5 ' 1. 제곱근의 뜻과 성질 17 § 채점 기준 ㈎ 1- 5, 3- 5, 5-4의 부호 조사하기 ' ' ' ㈏ 제곱근의 성질을 이용하여 주어진 식을 근호를 사 용하지 않고 나타내기 ㈐ 주어진 식을 간단히 하기 비율 40`% 30`% 30`% 0124 전략 ' 121=11, 34와 1 71이 어느 두 자연수 사이의 값인지 찾는다. '¶ 144=12이므로 11< '¶ 134<12 '¶ '¶ ∴ f (134)=11 64=8, '¶ ∴ f (71)=8 81=9이므로 8< '¶ ' 1<9 7 ∴ f (134)-f (71)=11-8=3 답 3 0119 전략 4< 4< '¶ ' n<5의 각 변을 제곱하면 2 2n<5의 각 변을 제곱한 후 각 변을 2로 나눈다. 16<2n<25 ∴ 81임을 이용하여 a+ ;a!;, a- ;a!;, 3a의 따라서 부등식을 만족하는 자연수 x는 2, 3, 4, y, 33이므로 01이므로 a+ >0, a- <0, 3a>0 ;a!; ;a!; ;a!; { 답 35 ∴ (주어진 식)= a+ - - a- [ { ;a!;} ;a!;}] +3a 0122 3< É4의 각 변을 제곱하면 ∴ (주이진 식)=a+ +a- +3a ;a!; ;a!; ∴ (주이진 식)=5a 답 5a ∴ 170 ;a!; ;a!; ∴ (주어진 식)=- a+ { - a- ;a!;} { ;a!;} ∴ (주이진 식)=-a- -a+ ;a!; ;a!; ∴ (주이진 식)=-2a 답 -2a ∴ 1이므로 ;a!; -a<0, a- <0, a+ >0 ;a!; ;a!; N(4)=N(5)=N(6)=N(7)=N(8)=2 N(9)=N(10)=N(11)=N(12)=3 ∴ N(1)+N(2)+N(3)+y+N(12) ∴ (주어진 식)=4{-(-a)}+2 a- - { [ ;a!;}] -2 a+ { ;a!;} ∴ (주어진 식)=4a-2a+ -2a- ;a@; ;a@; ∴ =1_3+2_5+3_4=25 답 25 ∴ (주어진 식)=0 답 0 18 정답과 해설 ¶ 0129 전략 'Ä 가장 큰 자연수, 80-2x- 63+y가 가장 큰 정수가 되려면 'Ä 'Ä 63+y는 가장 작은 자연수가 되어야 한다. 80-2x는 'Ä 80-2x는 가장 큰 정수가 되어야 하므로 80-2x가 80보 'Ä 다 작은 제곱수 중 가장 큰 수이어야 한다. 즉 80-2x=64 ∴ x=8 63+y는 가장 작은 정수가 되어야 하므로 63+y가 63보다 'Ä 큰 제곱수 중 가장 작은 수이어야 한다. 즉 0133 ;a!; , ' a, {;a!;} , ®;a!; ' , ( a)Û`에 a= 을 대입하면 ;5!; =5, a= ' ;a!; 2` ®;5!; , {;a!;} =5Û`=25, ®;a!; = 5, ' 2` ( a)Û`= ' ` = {®;5!; } ;5!; 이때 5= ' 2` 5, 25= 2 큰 수부터 차례대로 나열하면 25, 6 = ;5!; ' ®É;2Á5; 이므로 63+y=64 ∴ y=1 ∴ x+y=8+1=9 답 9 25, 5, 5, ' , ®;5!; ;5!; 0130 'Ä 100-x는 가장 큰 정수가 되어야 하므로 100-x가 100보 다 작은 제곱수 중 가장 큰 수이어야 한다. 즉 100-x=81 ∴ x=19 200y= 2Ü`_5Û`_y는 가장 작은 정수가 되어야 하므로 '¶ y=2_(자연수)Û`의 꼴이어야 하고, 이중 가장 작은 자연수이 "Ã 어야 한다. ∴ y=2 ∴ x-y=19-2=17 답 17 0131 'Ä 75xy= 3_5Û`_xy가 자연수가 되려면 "Ã xy=3_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다. 이때 x, y는 1 이상 6 이하의 자연수이므로 1ÉxyÉ36 ∴ xy=3, 12, 27 Ú xy=3을 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (1, 3), (3, 1)의 2가지 Û xy=12를 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (2, 6), (6, 2), (3, 4), (4, 3)의 4가지 따라서 두 번째에 오는 수는 5, 즉 이다. ;a!; 답 ;a!; a, a에 a=2를 대입하면 0134 a>1이므로 aÛ`, aÛ`=4, ' 이때 2= a= ' 4이므로 ' 2, a=2 ' 2<2<4 ' ∴ ' a0) ' 0132 전략 a= ;2!;을 대입하여 주어진 수의 대소를 비교한다. 00일 때, ( aÛ`=a, "Ã 2)Û`=2 " ① (- ' (-a)Û`=a ' 2Û`=-2 ② - ③ - (-2 )Û`=-2 ④ -(- 2)Û`=-2 ' "Å "Ã ' ⑤ 1 6=4의 음의 제곱근은 - 4, 즉 -2 따라서 그 값이 나머지 넷과 다른 하나는 ①이다. 답 ① 0141 전략 근호를 포함한 수의 제곱근을 구할 때, 먼저 주어진 수를 ' ' 간단히 한 후 제곱근을 구한다. (-11)Û`=11의 양의 제곱근은 1 1이므로 ' 5=5의 음의 제곱근은 - 2 5이므로 ' "Ã a= 1 1 ' b=- 5 ' ∴ aÛ`-bÛ` =( 1 1)Û`-(- 5)Û` ' ' =11-5=6 0142 전략 제곱근의 성질을 이용하여 근호를 없앤 후 계산한다. 6)Û`=-6 ① -( 채점 기준 ㈎ a의 값 구하기 ㈏ b의 값 구하기 ㈐ aÛ`-bÛ`의 값 구하기 ② ' 0.04Ö "Ã (0.1)Û`=0.2Ö0.1=2 ③ 3Û`_ - ®É{ ;3%;} =3_ =5 ;3%; ④ 3 6- (-8)Û`=6-8=-2 2` "Ã 1 ' ⑤ 4+ 6=2+4=6 따라서 옳은 것은 ②이다. '¶ "Å ' ' 20 정답과 해설 0143 전략 a>0일 때, (- a)Û`=a, "Ã ' (-a)Û`=a이다. 44+ 1 - ` _(- 6 )Û`-2 (-7)Û` ' { ®;3!; } ' "Ã =12+ _6-2_7 ;3!; 2` =12+2-14=0 답 0 0144 전략 "Å "Å aÛ`=-a이므로 a<0 aÛ`=-a이면 a<0, "Ã (-b)Û`=b이면 -b<0이다. (-b)Û`=b이므로 -b<0 ∴ b>0 "Ã ∴ (주어진 식) =a+ (-a)Û`+ "Ã "Ã =a+(-a)+3b (3b)Û` =3b 답 ② 구한다. ⑴ -20, -x+1>0이므로 ⑴ (x+2)Û`+ (-x+1)Û` =(x+2)+(-x+1) "Ã "Ã =3 yy ㈏ 답 ⑴ 00, ab<0임을 이용하여 a, b의 부호를 조사한다. a-b>0, ab<0일 때, a>0, b<0이므로 ∴ =a-(-b)-(b-a)-{-(-3a)} ∴ =a+b-b+a-3a=-a 답 -a b-a<0, -3a<0 ∴ (주어진 식) Lecture a, b, a-b, ab의 부호 + + + + - + - - + - - - - + a-b 알 수 없다. 알 수 없다. a b ab 0147 전략 'Ä 5-n이 자연수가 되려면 25-n은 제곱수이어야 한다. 2 25-n이 자연수가 되려면 25-n이 제곱수이어야 한다. ⑴ ' ⑴ 이때 25보다 작은 제곱수는 1, 4, 9, 16이므로 ⑴ 25-n=1, 4, 9, 16 ⑴ ∴ n=9, 16, 21, 24 답 ② ⑴ 따라서 구하는 자연수 n의 개수는 4개이다. yy ㈎ ¶ § ¶ Ä 2 5-n이 자연수가 되도록 하는 자연수 n의 값 중 가장 ⑵ ' 큰 수는 24, 가장 작은 수는 9이므로 a=24, b=9 ⑴ ∴ a+b=24+9=33 yy ㈏ 답 ⑴ 4개 ⑵ 33 채점 기준 25-n이 자연수가 되도록 하는 자연수 n의 개수 ㈎ 'Ä 구하기 ㈏ a, b의 값을 각각 구하여 a+b의 값 구하기 비율 60`% 40`% 0152 전략 부등식의 성질을 이용하여 x의 값의 범위를 구한다. <1.3의 각 변에 10을 곱하면 x 1.2< ' 10 12< x<13 ' 부등식의 각 변을 제곱하면 1440, b>0, c>0일 때 c이면 ( a< b< ' ' 즉 a0) '¶ 답 5 의 한 변의 길이를 x라 하면 9xÛ`=45, xÛ`=5 와 같으므로 OAÓ Û`=5xÛ`=25 ∴ OAÓ= Lecture ⑴ OADE의 넓이 D A ➡ O O ⑵ OABC의 넓이 B A ➡ C 1. 제곱근의 뜻과 성질 21 0150 전략 a와 ' aÛ` 과 [방법 1] ' "Å b의 대소를 비교하는 방법 b를 비교한다. [방법 2] aÛ`과 b를 비교한다. ⑤ = ;2!; ®;4!; 이므로 > ;2!; ®;3!; 답 ⑤ E 0151 전략 2- 2= ' 4, 3= 6과 3- 6의 부호를 조사한다. ' 9에서 2< ' 6<3이므로 ' ' ' 2- 6<0, 3- 6>0 ' ∴ (주어진 식)=9+{-(2- 6)}+(3- 6) ∴ (주어진 식)=9-2+ ∴ (주어진 식)=10 ' 6+3- ' 6 ' ' 답 10 Ä Ä Ä 0155 0157 0158 'Ä 0159 0160 0161 0163 0165 0167 0169 2 무리수와 실수 step 개념 마스터 p.28~p.29 0176 0177 0178 0179 답 5.320 답 5.431 답 5.568 답 5.604 0156 순환소수이므로유리수이다. step 유형 마스터 p.30 ~ p.35 0.04= (0.2)Û`=0.2(유리수) "Ã 0180 전략 근호 안의 수가 (어떤 수)Û`의 꼴이 되어 근호를 없앨 수 있 0162 근호가있더라도 ' 수는유리수이다. 4=2, ' 9=3과같이근호를없앨수있는 0164 무한소수중순환소수는유리수이다. 0166 2와3사이에는무수히많은무리수가있다. 0168 수직선은유리수에대응하는점들로완전히메울수없다. 답 _ 어진것을찾는다. ① 0.H8= (유리수) ;9*; 답 유 답 유 답 무 답 유 답 무 답 무 답 ◯ 답 _ 답 ◯ 답 _ 답 ◯ 답 _ 답 ◯ 답 ◯ 답 < 답 < 답 > 답 < 는지 확인한다. 3 6= 6Û`=6(유리수) ' " = ®É;1¢6; ®;4!; ¾¨{;2!;} ;2!; = Û`= (유리수) 3.H5= 35-3 9 = :£9ª: (유리수) 0.01= (0.1)Û`=0.1(유리수) "Ã 'Ä 따라서주어진수중에서무리수인것은p, ' 이다. 3+1, ' 7의3개 답 3개 0181 ② ®É:ª9°:=¾¨{;3%;} =;3%; Û` (유리수) ③ 5.H4= 54-5 9 = ;;¢9»;; (유리수) ④ 0.09= (0.3)Û`=0.3(유리수) 'Ä "Ã 따라서무리수인것은⑤이다. 0182 순환하지않는무한소수는무리수이므로무리수만으로짝지 답 ⑤ ② (유리수) ;7@; ④ 1 6= 4Û`=4(유리수) ' " ⑤ -3.14(유리수), ' 3Û`=3이므로 8 1= 9Û`=9(유리수), " 9= ' " ' 따라서무리수만으로짝지어진것은③이다. 9-5=3-5=-2(유리수) 답 ③ 0183 전략 무한소수 중 순환소수는 유리수이고 순환하지 않는 무한 답 < 소수는 무리수이다. 근호가있더라도근호를없앨수있는수는유리수이다. ㉡㉣ ' 4=2, ' 9=3 유리수이면서무리수인수는없다. 따라서옳은것은㉠,㉢,㉤,㉥의4개이다. 답 4개 0170 (2+ ' ∴2+ 8<5 ' 8)-5= 8-3= 8- 9<0 ' ' 0171 ( ' ∴ 3+1<3 3+1)-3= 3-2= 3- 4<0 ' ' ' ' ' ' 0172 ( ' ∴ 2+3)-( 3+3)= 2- 3<0 ' ' 2+3< ' 3+3 ' 0173 (1- ' ∴1- 2)-(1- 5)= 5- 2>0 2>1- ' ' 5 ' ' ' 0174 ( ' ∴ 3+ 7)-( 5+ 7)= 3- 5<0 ' ' ' 3+ ' ' 5+ ' 7 ' 7< ' ' 22 정답과 해설 5- 6)-(2- 6)= 5-2= 5- 4>0 ' ' 0175 ( ' ∴ ' 5- ' ' 6>2- ' ' 6 ' 0184 전략 실수는 유리수와 무리수로 이루어져 있다. 안의수는무리수이다. 답 > ① 0.25= (0.5)Û`=0.5(유리수) 'Ä "Ã ② = ®É:Á9¤: ¾¨{;3$;} ;3$; Û`= (유리수) ③ - =- =- (유리수) ;2#; ' ⑤ 5- " 6=5- 1 4Û`=5-4=1(유리수) 3 2Û` "Å 3 4 ' 따라서무리수인것은④이다. 답 ④ 0185 ⑤ ' 5는무리수이므로 (정수) (0이 아닌 정수) 의 꼴로나타낼 수없다. 답 ⑤ 0186 ① 3 6= 6Û`=6이므로정수이다. ' " ② 유리수는 ,5.H4,3.14, 3 6의4개이다. ;4#; ' ④ 3.14는무리수가아니다. 0191 한변의길이가1인정사각형의대각선의길이는 ' 점A,B,C,D,E의좌표를구하면다음과같다. 2이므로 A(-2- 2),B(-3+ 2 ),C(- 2 ),D(-2+ 2), ' ' ' 따라서-3+ 2에대응하는점은B이다. 답 점 B E(-1+ ' 2 ) ' ' 0192 전략 = 1 ^9 - 1 ^4 1  ABCD=9-4_ _2_1 =5 {;2!; } 이때넓이가5인정사각형의한변의길이는 5이므로 ABÓ= 5 ' 따라서APÓ=ABÓ= 5이므로점P에대응하는수는 ' 2 ' ③,⑤ 순환하지않는무한소수,즉무리수는 ' 6, ®É:Á9¢: 의2 -2+ 5이다. ' 답 -2+ 5 ' 개이다. 따라서옳은것은⑤이다. 답 ⑤ 0193 (색칠한정사각형의넓이)= _4=2 ;2!; ∴PAÓ=PBÓ= 2 ' 0187 ③ 양수9의제곱근은Ñ 9,즉Ñ3이므로양수의제곱근 따라서점A에대응하는수는-1+ 2이다. 답 -1+ ' 2 ' 이모두무리수인것은아니다. ' ④ 순환하지않는무한소수는모두무리수이다. 답 ③, ④ 0194 ① ABCD=9-4_ _2_1 =5 } {;2!; 전략 (점 P의 좌표)=(점 B의 좌표)- ' (점 Q의 좌표)=(점 A의 좌표)+ 2, 2 ' 0188 ① BPÓ=BDÓ= ' ② AQÓ=ACÓ= 2이므로점P에대응하는수는4- 2이므로점Q에대응하는수는3+ 2이다. ' 2이다. ' ' ' ③ BQÓ=AQÓ-ABÓ= 2-1 ④ AQÓ=ACÓ= 2 ⑤ PAÓ=BPÓ-ABÓ= 2-1 따라서옳은것은⑤이다. ' ' 0189 한변의길이가1인정사각형의대각선의길이는 따라서점A에대응하는수는-3+ 2이므로 ' 2이다. ' a=-3+ 2 ' b=1- 2 ' 또점B에대응하는수는1- 2이므로 ' 채점 기준 ㈎ a의 값 구하기 ㈏ b의 값 구하기 yy㈎ yy㈏ 비율 50`% 50`% 답 a=-3+ 2, b=1- ' 2 ' ②,③ 넓이가5인정사각형의한변의길이는 5이므로 ' BAÓ=BCÓ=BPÓ=BQÓ= 5 ' ⑤ Q(1+ ④ P(1- 5) ' 따라서옳지않은것은④이다. ' 5) 답 ④ 0195 전략 먼저 EFGH, PQRS의 넓이를 구한 후 각각의 한 변 의 길이를 구한다. 답 ⑤  EFGH=16-4_ _3_1 =10이므로 {;2!; } GFÓ=GHÓ= 1 0 ' ' ' ' ' ' 따라서GAÓ=GFÓ= 1 0이므로A(-1- 1 0) ' GCÓ=GHÓ= 1 0이므로C(-1+ 1 0) '  PQRS=9-4_ _2_1 =5이므로 {;2!; } QPÓ=QRÓ= 5 따라서QBÓ=QPÓ= 5이므로B(4- 5) ' QDÓ=QRÓ= 5이므로D(4+ 5) 답 A(-1- 0), B(4- 1 ' 1 0), D(4+ 5) ' ' ' 5), C(-1+ ' 0196 전략 수직선은 유리수 또는 무리수만으로는 완전히 메울 수 없다. 수직선은실수에대응하는점으로빈틈없이메울수있 ① ② 실수는유리수와무리수로이루어져있으므로무리수와 유리수에대응하는점들로수직선을완전히메울수있다. ③ 서로다른두유리수사이에는무수히많은유리수와무 리수가있다. 답 ④, ⑤ 2. 무리수와 실수 23 0190 BPÓ=BDÓ= ' 점B에대응하는수는5이다. 2이고점P에대응하는수가5- 2이므로 ' 다. ABÓ=1이므로점A에대응하는수는4이다. 이때AQÓ=ACÓ= 2이므로점Q에대응하는수는 ' 4+ 2 ' 답 4+ 2 ' 0197 ③ 서로다른두유리수사이에는무수히많은유리수가있 전략 a, b, c 중 둘씩 묶어서 각각의 대소 관계를 알아본다. ' ' 따라서대소관계가옳지않은것은③이다. ' ' 답 ③ ㈐ a, b, c의 대소 관계를 부등호를 사용하여 나타내기 20`% ③ ④ ⑤ ④ ⑤ ③ ④ ⑤ 으므로1에가장가까운유리수를찾을수없다. 따라서옳지않은것은③이다. 답 ③ 0198 ① 수직선은무리수에대응하는점으로빈틈없이메울수없다. ③ 서로다른두유리수사이에는무수히많은유리수와무 리수가있다. ⑤ 두유리수사이에는무수히많은유리수가있다. 따라서옳은것은②,④이다. 답 ②, ④ 전략 두 실수 a, b의 대소 관계는 a-b의 부호로 판단한다. 0199 ① 8+1)=3- 8= 9- 8>0 ' ' ' 4-( ' ∴4> 8+1 ' 2)=-1+ 2>0 ' 5)-1=2- 5= 4- 5<0 ' ' ' ② -3-(-2- ' ∴-3>-2- 2 ' (3- ' ∴3- (1- ' ∴1- ( ' ∴ 5+ ' 5+ 5<1 ' 3)-(1- ' 2 3<1- ' 3)-( ' 6+ ' 6+ ' 5 3< 2)= 2- 3<0 ' ' 5)= 3- 6<0 ' ' 따라서대소관계가옳은것은②이다. 답 ② 0200 ① (-3+ ' ∴-3+ 5)-( 6-3)= 5- 6<0 ' ' ' 6-3 5< ' ' 7+1)-3= ' 7+1>3 7-2= 7- 4>0 5-2)=5- 5= 2 5- 5>0 ' 5-2 2)-( 1 0-1)=- 2+1<0 ' ' ' ' ' ' 1 2< 0-1 ' ' 7)-(-3- 7<-3- ' ' 7 ' 7)=-1<0 ② ( ' ∴ ' ③ 3-( ' ∴3> ' 0- ' 0- 1 1 ( ' ∴ ' (-4- ' ∴-4- 0201 ① 3-( 1 ② ( 2+2)=1- ' 5-4)-1= 2<0 ' 5-5= 1 ∴ 3< 2+2 ' 5<0 2 1 5- ' ' ' ∴ ( ' ∴ ( ' ∴ ( ' ∴ 1 5-4<1 ' 2-1)-( 2-1< ' ' 6+1)-( ' ' 3-1 ' 2+1 6+1> ' 0- 2 ' 7)-( ' 0- 2 ' ' ' 2 ' 7< 0- ' 5 ' 3-1)= 2- 3<0 ' ' ' ' 2+1)= 6- 2>0 2 0- 5)=- 7+ 5<0 ' ' 24 정답과 해설 0202 a-b=( 2+ 3)-( 2+ 5)= 3- 5<0이므로 ' ' ' ' ' ' b-c=( 2+ 5)-( 3+ 5)= 2- 3<0이므로 ' ' ' ' ' ' 0203 a-b=2-( a>b ' 3-1)=3- 3= 9- 3>0이므로 ' ' ' a-c=2-(1+ 2 )=1- 2<0이므로 ' ' 0204 a-b=( 이므로a0 ' ' ' ' ac ∴c5- 6 6>0 ' 3)=1>0 ∴ 3+ ' 3>2+ ' 3 ' ' 2- 5<0 ' ' 5= 1 6- 5>0 ' ' ' ' 5-3)= ② (3+ 3)-(2+ ' 2-3)-( ' 5-3 2-3< ' 5-1)=4- ③ ( ' ∴ ' ④ 3-( ' ∴ 3> 5-1 ' 3 )-(2- ⑤ ( ' ∴ 6- ' 6- 3>2- ' 3 ' ' 따라서 옳은 것은 ③이다. ' Lecture 두 수의 대소 관계는 “양변에 같은 수를 더하거나 빼어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.”는 부등식의 성질을 이용하여 구할 수도 있다. 예를 들어 ②에서 3>2이고 양변에 같은 수 ' 3이다. 의 방향은 바뀌지 않으므로 3+ 3>2+ ' ' 3을 더하여도 부등호 0220 전략 세 수 A, B, C에 대하여 A0이므로 ' ' ' ' a>b b0 ' ' ' 0223 전략 제곱근표는 처음 두 자리 수의 가로줄과 끝자리 수의 세로 줄이 만나는 곳에 있는 수를 읽는다. 답 ③ ① 3.43=1.852 ② 3.5=1.871 ③ 3.51=1.873 ⑤ 3.73=1.931 따라서 옳은 것은 ④이다. 답 ④ ㉠, ㉡㉢에서 b0, b>0일 때, " 4Û`_2= " 2에서a=32 Û`b= 2= 4 3 aÛ aÛ`_ b=a ' b ' ' 2 "Ã 52= ' 6Û`_7=6 ' ∴a "Ã b=32-6=26 ' - 7에서b=6 0264 ① 2 ' - ② 5= 2Û`_5= 2 0 ∴ =20 "Ã ' 70=- 2 3Û`_30=-3 3 0 ∴ =30 ' 1250= ③ 'Ä '¶ 500= "Ã "Ã 25Û`_2=25 "Ã 10Û`_5=10 ' 5 2 ' ' ∴ =25 ∴ =10 ④ ⑤ -4 =- 4Û`_ =- 4 0 ∴ =40 ®;2%; ®É ;2%; ' 따라서 안에들어갈수가가장큰것은⑤이다. 답 ⑤ 답 ;9@; 답 26 28 정답과 해설 0265 ' ' 2_ 4 0_ 1 ' ' 4 ' ' 2_ 4 0_ 2_ 0_ 2_ 4 0_ ' ' 2_ 4 0_ ' ' ∴a=20 ' 1 ' 1 ' ' ' 5= ' 5=2 2_2 1 0_ ' ' 2_10_15 1 5 'Ä 5=2 2Û`_3_5Û` "Ã 5=2_2_5 1 3 ' 1 5=20 3 ' 0266 ' = 2_ 3_ a_ 2_ 1 ' ' ' 2_3_a_12_2a ' 2 a 12Û`_aÛ` 'Ä = "Ã =12a 즉12a=24이므로a=2 답 2 0267 전략 'Ä 0.000a= ®É;100A00; = ®É a 100Û` = ' a 100 이때 a에 제곱인 인수가 있는지 확인한다. 0.0008= ®É;100*00; = ¾Ð 'Ä 2Û`_2 100Û` = 2 2 ' 100 2 = ' 50 ∴k= ;5Á0; 답 ;5Á0; 0268 'Ä 'Ä 0.45= ®É;1¢0°0; = ¾Ð 3Û`_5 10Û` = 3 5 ' 10 에서a= ;1£0; 80= 4Û`_5=4 5에서b=4 "Ã ' ∴ b= a ®É;1£0; _4= = ®É;1!0@; ®É;1!0@0); ∴ b= a 2Û`_30 10Û` = 2 0 3 ' 10 0 3 = ' 5 ¾Ð ' ' 0269 'Ä 1200= "Ã ∴x=20 2Ý`_3_5Û`=20 3 ' 0.005= ®;É10°0¼00; = ¾Ð 'Ä 5Û`_2 100Û` = 5 2 ' 100 2 = ' 20 ∴y= ;2Á0; ∴xy=20_ =1 ;2Á0; 0270 전략 먼저 63을 소인수분해한다. 3Û`_7= 7=( 3= 6 3Û`_ ' "Ã " ' ' ' 3)Û`_ 7=aÛ`b 0271 'Ä '¶ 27000= 2.7_10000=100 2.7=100a 'Ä '¶ 0.27= ®É;1ª0¦0; = ' 2 7 10 = ;1õ0; ∴ 27000- 0.27=100a- 'Ä '¶ ;1õ0; 0.98= ®É;1»0¥0; 7Û` 2 = "Ã _ 10 = " 7)Û` 2_( ' 10 = abÛ` 10 0272 'Ä 답 20 답 ① 답 1 답 ④ 답 ① 답 ③ ¶ ¶ § § § § 0273 전략 분모에 근호를 포함한 무리수가 있으면 분모를 유리화한 0279 전략 (삼각형의 넓이)=(사각형의 넓이)이므로 두 도형의 넓이 다. 6 2 ' 3 ' 5 2 2_ = 6 ' 3_ ' 5_ 2_ 3 ' 3 ' 2 2 = ' ' ' ' ' ' ∴a-b=2- = ;2#; ;2!; = 6 6 ' 3 =2 6 ∴ a=2 ' 0 1 = ' 2 ∴b= ;2!; 0274 ① 5 = ' 5 1 5 ' 2 3 2 ' 5 3 5 2 5 = ' 5_ ' ' = 2_ ' 2_ 3 ' 5_ ' 3_ ' = ' 5 ' 2 ' 3 3 ② ③ ' 5 ' = ' 1 5 15 = 2 2 ' 6 2 = ' 3 ④ ' 2 ' 1 1 ⑤ ' ' 5 ' 2 8 5 6 = ' ' 3 2 3 = 2 3 ' ' = ' ' = 2 3 5_ 6_ ' ' 3_ 2_ ' ' 6 6 2 2 ' ' 0 3 = ' 6 = 2 따라서옳지않은것은⑤이다. 6 ' 6 6 = ' 3 0275 전략 " ' aÛ`b=a b임을 이용하여 분모의 근호 안의 수를 가장 작 은 자연수로 만든다. 2 2 ' 5 ' 5 48 '¶ = 2 2_ = 2 ' 5_ ' = 5 4 ' 5 ' 5 ' = 5_ ' 4 3_ ' 3 0 1 ' 5 3 ' 3 ∴ a b= ' _ = ®É;5@; ;1°2; ®;6!; 이므로a= ;5@; = 5 3 ' 12 이므로b= ;1°2; = 1 6 ' 6 = ' 6 3 0276 3 ' 2 ' _ 8 1 ' 6 5 Ö ' ' Ö _ 8 3 = 3 ' 2 ' = 4 5 ' 2 ' 5 6 _ ' ' 1 = 4 ' 2 _ 8 3 ' =2 0 2 ' 15 6 = 8 '¶ 2 ' 0 답 2 1 1 0 ' 0277 4 3 ' _ 1 2 Ö {- ' _ Ö 1 8 } ' {- } _(-2 2) ' 1 2 ' =- 8 _ = 4 3 ' =- 8 3 ' 3 ' 3 ∴a=- ;3*; 답 - ;3*; ② 0278 ① Ö 8_ 1 0= ' ' _ _10=1 ®;5$; 3 3 ' 2 ' ;8!; ®É;5$; = 3 3 ' 2 ' 6 5 _ 1 5 8 Ö ' ' Ö ®;5!; 3 = ' 2 _ ' 5 3 Ö ' ' 5 _ ' 3 ③ ®;4#; = 6 6 ' = 6 ' 2 ' 1 ' _ 2 5 _ ' 5 6 ' 5= 5 ' 3 ' 6 ④ ⑤ ④ 8_ 2 8_ ' ' ®;4#; _2 ④ =2 2_2 ' 3 7_ ' 2 ' ⑤ 2 4 8 ' ' ' ' 1 6= ' ®;7#; _ 2 3 ' 7 ' 2_4=32 2_2_2 ' =12 ' 2 따라서옳지않은것은③이다. 를 먼저 구한다. (삼각형의넓이)= _6 3_ 2 0 (삼각형의넓이)= _6 3_2 5 (삼각형의넓이)=6 1 5`(cmÛ`) ' ' ' ' ;2!; ;2!; ' 답 ;2#; (사각형의넓이)=x_ 1 8=3 2x`(cmÛ`) ' 이때(삼각형의넓이)=(사각형의넓이)이므로 ' ∴ 6 2x 1 5=3 ' `x= 6 ' 3 ' ' 1 5 2 = 2 5 = 2 0 3 ' 2 = 3 0 ' 1 2 ' ' 답 ' 3 0 0280 BCÓ의길이는 ' CDÓ의길이는 1 1 8=3 ' 2=2 2 3 ' ' 따라서직사각형ABCD의넓이는 BCÓ_CDÓ=3 2_2 3=6 ' ' 6 ' 0281 사각뿔의밑넓이를acmÛ`라하면 답 6 6 ' 답 ⑤ (사각뿔의부피)= _(밑넓이)_(높이)이므로 ;3!; 3 1 4= ' 6 _a_ ;3!; ' 4_ 3 1 ' 6 ' = 9 ∴a=3 2 ' 2 1`cmÛ`이다. 2 따라서사각뿔의밑넓이는3 ' = 6 = 9 8 ' 6 ' ' 1 6 4 4 1 =3 1 2 ' 답 3 2 1`cmÛ` ' 답 ① 0282 ⑤ ®É 0.0314= 3.14 'Ä 100 0.0314= 1.772 'Ä 10 ⑤ = '¶ 3.14 10 =0.1772 답 ⑤ 0283 ⑴ 0.14= 14 '¶ ®É 100 0.14= 3.742 '¶ 10 ⑴ = '¶ 14 10 =0.3742 ⑵ 1 40= 1.4_100=10 1.4 'Ä '¶ ' ' ⑵ 1 40=10_1.183=11.83 답 ⑴ 0.3742 ⑵ 11.83 0284 전략 제곱근의 성질과 분모의 유리화를 이용하여 주어진 수를 = 1.732 10 =0.1732 3 = ' 10 = 1.732 2 =0.866 ③ 1 2=2 3=2_1.732=3.464 간단하게 나타낸다. ① 0.03= 'Ä ®É;10#0; ② ®;4#; 3 = ' 2 18=3 ' '¶ ' 2 ' ' '¶ 따라서 ' 이다. 27=3 3=3_1.732=5.196 3=1.732를이용하여그값을구할수없는것은④ 답 ④ 0285 전략 1800을 4.5_(어떤 수)Û`의 꼴로 나타낸다. 4.5_20Û`=20 4.5_400= 1800= 4.5 'Ä "Ã '¶ 'Ä 'Ä 답 ③ 1800=20_2.121=42.42 답 42.42 3. 근호를 포함한 식의 계산 29 § ¶ ¶ 0286 전략 근호 안의 수를 10의 거듭제곱 꼴을 이용하여 나타낸다. 3.33_100=10 333 = 3.33 ③ 0299 ' 3 2- ' 6 ' ( 2- ' = ' 6_ 6 ' 3)_ 6 = 2 ' 8 1 1 ' 2- 6 ' = ' ' 3-3 6 2 ' 2 답 ' 3-3 6 2 ' 이므로 주어진 표를 이용하 0300 3+ ' 2 5 ' 3 = 2 (3+ 5 3)_ ' ' 2 2_ ' ' = 3 ' 6 ' 2+ 10 3 답 ' 6 ' 2+ 10 답 ② 0301 3 3 2- ' ' 2 2 ' = (3 2- ' 2 3)_ 2 ' 2_ 2 ' ' ' = 6 6- ' 4 답 6 6- ' 4 0302 3 ' 6 5- ' 4 2 ' = 6 3 5- ' ' 6 2 (3 = 3 ' = ' 0-6 3 12 3 = ' 6)_ 6 ' 6_ 6 ' ' 5- ' 2 ' 0-2 4 답 ' 3 0-2 4 답 ② step 유형 마스터 p.48 ~ p.52 0303 전략 근호 안의 제곱인 인수는 근호 밖으로 꺼낸 후 계산한다. (좌변)=3 3-19 3-27 5=10 5+7 3+8 5 ' 따라서 a=10, b=-19이므로 ' ' ' ' ' a+b=10+(-19)=-9 답 -9 0288 (주어진 식)=(9-2+5) 7=12 7 ' ' 0304 (좌변)= - {;2%; ;6!;}' 2+ - + { ;2!; ;3!;}' 6= 7 2 ' 3 6 - ' 6 '¶ '¶ '¶ =10_1.825=18.25 ⑤ 0.03= 'Ä 3 100 3 = ' 10 = 1.732 10 ®É =0.1732 한편 ② 0.31= 'Ä 31 100 = '¶ 31 10 ®É 여 그 값을 구할 수 없다. 0287 ① ③ 1.03=1.015 404= 1.01_400=20 'Ä ④ 0.0804= 2.01_ 'Ä 1.01=20_1.005=20.1 = 1.418 5 2.01 5 = '¶ =0.2836 ;10$0; ®É 'Ä ⑤ 91800= 1.02_90000=300 1.02 'Ä 91800=300_1.010=303 'Ä 'Ä 'Ä 'Ä 20.1의 값은 주어진 표를 이용하여 그 값을 구할 수 ⑤ 'Ä 한편 ② 'Ä 없다. step 개념 마스터 p.47 답 12 7 ' 2 답 3 ' 3 ' 6 ' 6 ' ' ' 0289 (주어진 식)= 3 3 + 2 3 - ' 6 = + - ;6@; {;6#; ;6~ !;}' 3 (주어진 식)= 4 3 = 2 3 3 ' 6 ' 3 0290 (주어진 식)=(1+3) ' 3+(-2+4) 5=4 ' ' 5 3+2 ' 답 4 ' 3+2 5 ' 0291 (주어진 식)=(3-2) ' 7+(4+1) 0= 1 7+5 0 1 ' ' ' 답 7+5 1 0 ' ' 0292 (주어진 식)=3 3+3 3=6 3 ' ' 0293 (주어진 식)=5 2-10 2=-5 2 ' ' 0294 (주어진 식)=5 2+6 2-12 2=- ' ' 2 ' 0295 답 6 3 ' 답 -5 2 ' 답 - 2 ' 답 3 2-2 1 0 ' ' 0296 (주어진 식)= 1 2+3 1 8=2 3+9 ' ' ' 2 ' 답 2 3+9 2 ' ' 0297 (주어진 식)=15- 00=15-10=5 1 ' 답 5 0298 (주어진 식)=-10+4 ' 5 0=-10+20 2 ' 답 -10+20 2 ' 30 정답과 해설 따라서 a= , b=- 이므로 ;3&; ;6!; a-b= - - { ;3&; ;6!;}=:Á6¢:+;6!; = = ;2%; ;;Á6°;; 답 ;2%; 0305 3 3 ' 2 ' 2 0- 4 5+ 80=6 1 5-3 5+6 5 ' ' ' 4 ' ' 1 ' 0- 5- 80=9 5 ' ' 답 9 5 ' 2에서 0306 3 9 ' ' 1 8- 7 2- ' 2-6 2- ' ' a=- a=- ' a=- ' 2 ' 2이므로 3 2- ' a=3 ' ' ' ∴ a=32 2+ ' ' 2=4 2= 4Û`_2= 3 2 ' "Ã ' 0307 전략 근호 안의 제곱인 인수는 근호 밖으로 꺼낸 후 계산한다. '¶ 12- ' ' 1 0 2 + 3 3 ' 45- '¶ =3 5-2 3- 5+ 3 ' ' ' ' =- 3+2 5 ' ' 따라서 a=-1, b=2이므로 a+b=-1+2=1 0308 '§ 96- + 24=4 6- '§ 6 18 ' 6 +2 6 ' 18 6 ' ' ' ' =4 6-3 6+2 6 ' ' =3 6 ∴ k=3 답 32 답 1 답 3 § § ¶ ¶ ¶ § 0309 전략 근호 안의 수가 다르면 더 이상 계산할 수 없음에 주의한다. ① 2는더이상계산할수없다. 3+3 2 ' ' ② 4 3-2 3=(4-2) ' 8+ ' 8-5 1 ③ 3=2 ' 2+3 3 ' 2-5 2=2 ' ③ 8+ 8-5 2=(2+3-5) ' ' 2 ' 2=0 ' ④ - + 5 4=-3 2+3 6 ' 1 ' 6 2 ' ' ' ' ' ' ' 4 2 ' 1 ' ' 2- + ⑤ 1 8+ 1 2- - 2 7=3 2+2 3-2 2-3 3 ' ' ' ' ⑤ 1 8+ 2 7= 2- 3 ' ' 따라서계산결과가옳은것은⑤이다. 답 ⑤ ' ' ' ' 0310 b=a- = 3- ;a!; ' = 3 3- ' 3 ' = 2 3 ' 3 = a ;3@; 1 3 ' 따라서b의값은a의값의 배이다. ;3@; 답 ;3@;배 답 -9 답 1 0311 전략 분배법칙을 이용하여 괄호를 푼다. c )= bÑ bÑ ➡ a( c a a ' 2( ' ' 8+1)- ' 3(2 ' 3- 24) '¶ 3-2 ' 3(2 ' 6 ) ' ' = ' 2(2 ' =4+ ' ' 2+1)- ' 2-6+6 ' 2 ' =-2+7 2 ' 따라서a=-2,b=7이므로 a-b=-2-7=-9 0312 3 ' 3 ' 2-2 2 2 ' ' = (3 2-2 2 = 6-2 4 ' 2_ ' 6 ' = 2 ' 3 )_ 2 ' 6 - ' 2 ;2#; 따라서a= ,b=- 이므로 ;2#; ;2!; a+b= + - { ;2#; ;2!;} =1 0313 a= a= ' 6+ ' 6+2 3( 3( ' ' 1 8+ 2 ) 2+ 2 ) ' ' ' 1 2)- 3)- ' 2_4 ' 2( ' 2(3 ' 2 ' 2+6- ' 2+6-8 ' a=3 a=3 ' ' ' a=3 2-2 8- '¶ 2-2 b=2 ' b=4 b= ∴a+b=(3 ' 2 ' ' 12+ 2( 6-3) ' 3+2 ' 3-3 2 ' ' 0314 (좌변)=6-3 (좌변)=6-3 3 )_ 3 ' 3_ '3 ' 3+ (6-3 ' 3-9 3 3+ 6 ' ' ' 2-2)+ 2=4 2-2 ' ' ' 답 4 2-2 ' (좌변)=6-3 3+2 3-3=3- 3 ' 따라서a=3,b=-1이므로b-a=-4 ' ' 답 -4 0315 (주어진식)=2 3+2 3-3-4 3=-3 ' ' ' 답 -3 0316 ' 2 7 {' 6- - (1- 8 ) ' 2 3 } ' 6- 2 3 2 ' - 3 3 ' 3 } 2 ' 2 +6 =3 3 ' {' 2-6- 3 =9 ' = 15 ' 2 2 2 ' 2 (1-2 2 ) ' 0317 (주어진식)=2 (주어진식)=2 6- 2 2 ' 3 ' 6- 2 6 ' 3 ' ' + 3 ' 3 ' 2- 2 ' 6 +3- ' 2 -3 -3 답 2 15 ' 2 (주어진식)= 2- - 6 { ;3@; ;2!;}' (주어진식)= {:Á6ª: - - ;6$; ;6#;}' 6= 5 6 ' 6 5 답 6 ' 6 0318 (주어진식)= ' 3) ' 2- 2 ' - 4( 2 4-6 3 2 ' - 4( ' ' 6-6 ' 3_ 6 ' ' 2-6 3 3 ' 2 )_ 3 ' - 8-4 2 6 ' (주어진식)= (2 ' (주어진식)= 6 ' ' 2- 3)_ 2 ' 2_ 2 ' ' ' (주어진식)=2 2-2 6-(4-2 6 ) (주어진식)=2 6-4+2 ' 6 ' (주어진식)=2 ' 2-2 ' 2-4 ' ' ' 답 2 2-4 ' 0319 (좌변)=5- (8 3-6)_ 3 3_ ' 3 ' + 4 3 ' 2 3 ' +2 3 ' ' ' 24-6 3 (좌변)=5- (좌변)=5-8+2 3+2 3 ' (좌변)=-3+4 ' 3 ' 따라서a=-3,b=4이므로a+b=1 채점 기준 ㈎ 좌변의 제곱근을 정리하고 분모를 유리화하기 ㈏ 좌변을 간단히 하기 ㈐ a, b의 값을 구한 후 a+b의 값 구하기 0320 B= ' 3( 2 7- 2)= 3(3 3- 2 )=9- 6 ' ' ' ' yy㈎ yy㈏ yy㈐ 답 1 비율 40`% 30`% 30`% 6 ' 9- ' 3 ' (9- ∴C=3 3- ∴C=3 3- ∴C=3 3- 9 ' 6)_ 3 ' 3_ 3 ' ' 3-3 3 ' 2 ' ∴C=3 3-(3 3- ∴C=3 3-3 2 ) ' 2= ' 3+ ' ' 2 ' ' ' ' ' ' ' 답 ' 2 3. 근호를 포함한 식의 계산 31 § 0321 ① ② ' (3 7-2 2= 7- ' ' 2+2)-(4 ∴ 8<0 ' 2+1)=3 2 7<2 ' ' 2+2-4 ' ' 2-1 ' ' =1- 2<0 ' ② ∴3 2+2<4 ③ 3 3-(8-2 ' ' 2+1 ' 3)=3 ' ' 3-8+2 3=5 3-8 ' ' 75- ' 64>0 '¶ = '¶ ② ∴3 3>8-2 3 ' 5)-( ' ' ④ (-3+ 7-3)=-3+ 7+3 5- ' 7<0 ' = 5- ' ' ⑤ 5< 7-3 ' ' 6+1)=3 ② ∴-3+ 54-(2 '¶ ② ∴ ' 54>2 '¶ ' 6+1 6-2 6-1= 6-1>0 ' ' ' 따라서대소관계가옳은것은③이다. 답 ③ 2이다. 수는3- ' 따라서a=-3+ ' 2b=2(-3+ 2a- ' ' ' 2a- 2b=-6+2 2a- 2b=-4- ' 2 ' 2,b=3- 2이므로 ' 2(3- ' 2+2 2) ' 2)- ' 2-3 ' 답 -4- 2 ' 0326 ABCD=2_2-4_ _1_1 =4-2=2 } {;2!; 이므로정사각형ABCD의한변의길이는 2이다. ' 즉ADÓ=ABÓ= ' 이때APÓ=ADÓ= 2 고,AQÓ=ABÓ= ' 2이므로점P에대응하는수는4- ' 2이므로점Q에대응하는수는4+ 2이 ' 2이다. ' 따라서두점P,Q에대응하는두수의차는 4+ 2-(4- 2)=4+ 2-4+ 2=2 ' ' ' ' 2 ' 답 2 2 ' 0322 전략 세 수 A, B, C에 대하여 A0 ' 12- ' 2= '¶ ' ∴A>B ∴BC B-C=(3 2- 3)-2 2= 2- 3<0 ' ' ' ' ' 3+ 2)-2 2= 3- 2>0 ' ' ' ' 따라서㉠,㉡,㉢에의해B0이므로3 2-3<0 2-4>0 ' (2 ' ∴=-(2 ∴=-2 '¶ '¶ 2-3)Û`- "Ã ' 2-3)-(3 ' 2+3-3 ' ' (3 2-4)Û` 2-4) ' 2+4=7-5 2 ' 0324 전략 수직선 위에 두 점 P(a), Q(b)(a0) 2 따라서정사각형D의한변의길이는' 4 cm이다. 0346 2 ' 3+2 2 ' = ' (3+2 2(3-2 2 ) 2 )(3-2 ' 2 ) ' 3 ' 2-4 ' 9-8 = =3 2-4 ' 0347 ' ' 2+1 2-1 = ( 2+1)Û` ' 2-1)( 2+1) ( ' 2+2 ' 2+1 ' 2-1 = =3+2 2 ' 2 답 ' 4 `cm 답 2- 3 ' 답 ' 3+ 2 ' 답 3 2-4 ' 답 3+2 2 ' 3. 근호를 포함한 식의 계산 33 æ æ § æ § § § 3 0348 2- ' 3 2+ ' = (2- 3 )Û` ' 3)(2- (2+ ' 3 ) ' = 4-4 3+3 ' 4-3 =7-4 3 ' 답 7-4 3 ' step 유형 마스터 p.54 ~ p.59 0349 전략 좌변을 전개하여 정리한 후 우변과 비교한다. 2-2)Û`=(3 2 )Û`-2_3 2_2+2Û` (3 ' ' ' ' ' (3 (3 2-2)Û`=18-12 2+4 2-2)Û`=22-12 2 ' ' 따라서a=22,b=-12이므로 a+b=22+(-12)=10 답 10 0350 (5 6- 2 )(5 6+ 2 ) =(5 6 )Û`-( 2 )Û` ' ' ' ' ' ' =150-2=148 답 148 0351 ( ' =( 3-2)Û`-( ' 3 )Û`-2_ 7-3)( 7+3) ' 3_2+2Û`-{( ' =3-4 ' 3+4-(7-9) 7 )Û`-3Û` } ' =3-4 3+4+2 =9-4 3 ' ' ' ' ' 0352 (a-2 (a-2 3 )(3-2 3 )=3a-2a 3-6 3+12 ' 3 )=(3a+12)-(2a+6) ' 3 )(3-2 ' ' 3 ' (a-2 3 )(3-2 3 )=15-b ' ' 즉3a+12=15,2a+6=b이므로 ' 3 a=1,b=8 ∴a-b=1-8=-7 0353 전략 곱셈 공식 (a+b)(a-b)=aÛ`-bÛ`을 이용할 수 있도록 식을 변형한다. (7+5 (7+5 (7+5 (7+5 (7+5 ' ' ' ' ' 2)99(7-5 2)90(7-5 2)90(7-5 2)90(7-5 2)90(7-5 ' ' ' ' ' ' 2)99={(7+5 ' 2)90={7Û`-(5 2)90=(49-50)99 2)90=(-1)99 2)90=-1 2 )}99 2 )(7-5 2 )Û`}99 ' 답 -1 0354 (4 ' =(4 3+ 45)Ü '¶ 3+3 (3 ` 5 )Ü ' (3 5- 48)Ü '¶ 5-4 ` 3 )Ü ' ={(3 ' 5+4 ' ` 3 )(3 ' 5-4 ` 3 )}Ü ' ` ' 5 )Û`-(4 ={(3 ' =(45-48)Ü ' ' ` ' 3 )Û`}Ü ` =(-3)Ü ` =-27 34 정답과 해설 0355 전략 (2- 5 )12=(2- 5 )10(2- 5 )Û`으로 변형하여 ' ' ' aÇ`bÇ`=(ab)Ç` 임을 이용한다. (단, n은 자연수) 5 )12 5 )10(2- (2+ ' 5 )}10(2- 5 )(2- ' 5 )Û`}10{2Û`-2_2_ ' 5 )Û` 5+( 5 )Û`} ' ' ' ={(2+ ' ={2Û`-( ' =(4-5)10(4-4 =(-1)10(9-4 =9-4 5 ' 5+5) ' 5 ) ' 따라서a=9,b=-4이므로 a+b=9+(-4)=5 0356 전략 ' ' 5 5 3+ 3- ' ' ' ' b )Û` a+ b ) ' 이다. a+ ' b )( ' 5 )Û` 3+ a+ a- b b ' ' = ( ( ' a- ' = ( ( 3- ' = 3+2 ' 3+ ' ' 5 )( ' ' 5+5 1 ' 3-5 5 ) ' 답 5 = 8+2 ' -2 1 5 =-4- 1 5 ' 따라서a=-4,b=-1이므로 ab=-4_(-1)=4 답 4 답 9-4 3 ' - ' (4-3 2(4+3 2 ) 2 )(4+3 ' ' 2 ) ' y㈎ 0357 (주어진식) = ' (4+3 2(4-3 ' 2 ) 2 )(4-3 - 4 ' 2+6 ' 16-18 ' 2-6 ' 16-18 = 4 2 ) =(-2 2+3)-(-2 2-3) ' 2+3+2 ' 2+3=6 =-2 ' ' 답 -7 ㈎ 분모를 유리화하는 식을 세우기 ㈏ 식을 정리하여 계산하기 채점 기준 yy㈏ 답 6 비율 60`% 40`% 0358 ① ② =2+ 3 ' = 1 2- ' 6- 6+ 3 2 2 ' ' ' ' 3 2+ ' 3 )(2+ (2- = ' ( ' ( 6+ ' ' 3 = 8-4 ' 6-2 3 ) ' 2 )Û` 6- 6- ' 2)( ' =2- 3 ' 2) ' ② ③ ④ ② = 5- 2 ' ' 2 ) ' 3 5+ ' 2 ' 3 5-4 2 ' = ( = (2 = 6 ' 3( 5+ 2 ) ' 5- ' 5+4) 5- ' 2 )( ' 3(2 ' 5-4)(2 ' = 3 ' 5+12 ' 20-16 ' 2 5 5+4) +3 ⑤ 3 ' 3+ ' 2 ' 3( = ' 3+ ( ' ' 3- ' 2)( 2 ) ' 3- ' 2 ) ' =3- 6 ' 답 -27 따라서옳은것은③이다. 답 ③ 0359 (주어진식)= (2- 3)Û` ' 3 )(2- (2+ (주어진식)= 7-4 ' 4-3 ' 3 3 ) ' + 7+4 ' 4-3 3 + (2+ 3)Û` ' 3 )(2+ (2- ' 3 ) ' =14 답 14 0360 전략 주어진 식을 전개하여 a+b '¶ m의 꼴로 정리한다. (단, a, b는 유리수, '¶ 10+6 10-k 2 )=15k-9 '¶ 2 )=(15k+6)+(-9-k) '¶ 이것이유리수가되려면-9-k=0이어야한다. (3 5- 2 )(k 5-3 (3 5- 2 )(a 5-3 ' ' ' ' ' ' ' ' ∴k=-9 10 '¶ 답 -9 0361 (주어진식)= ' (주어진식)=10-a 5(2 ' 5-a)-2 5(3+ 5 ) ' 5-10 ' 5-6 ' ' (주어진식)=(-a-6) 5 ' 이것이유리수가되려면-a-6=0이어야한다. ∴a=-6 답 -6 0362 ' 5(4- ' 5 )+ a( 5-2) ' 5 2 ' =4 5-5+ =4 5-5+ 5 ' 5a-2a 10 - a 5 ' 5 ;2A; = -5+ { + 4- ;2A;} { ;5A;}' 5 ' ' ;5A; 이것이유리수가되려면4- =0이어야하므로 7 )+(b-3 7 )=(8+b)+(a-3) 7 ' ' 이것이유리수가되려면a-3=0이어야한다. 0363 (8+a ' ∴a=3 (8+3 7 )(b-3 7 )=8b-24 7+3b 7-63 ' ' (8+3 7 )(b-3 7 )=(8b-63)+(-24+3b) 7 ' ' ' ' ' 이것이유리수가되려면-24+3b=0이어야하므로 3b=24 ∴ b=8 ∴a+b=3+8=11 b를 x-a= b로 변형한 후 양변을 제곱한다. 0364 전략 x=a x= +' 5+1에서x-1= ' ' 5 ' 양변을제곱하면(x-1)Û`=( 5 )Û` xÛ`-2x+1=5,xÛ`-2x=4 ∴xÛ`-2x+3=4+3=7 0365 x=4+ ' 3에서x-4= 3 ' 양변을제곱하면(x-4)Û`=( 3 )Û` xÛ`-8x+16=3,xÛ`-8x=-13 ∴xÛ`-8x+1=-13+1=-12 ' ' m은 무리수) 0366 전략 먼저 x의 분모를 유리화한다. 채점 기준 ㈎ x=a+ b를 x-a= b의 꼴로 나타내기 ' ' ㈏㈎의 식의 양변을 제곱하여 정리하기 ㈐ 주어진 식의 값 구하기 비율 20`% 50`% 30`% x= 1 3+2 x= 3-2 ' 9-8 ' 2 2 = 2 3-2 ' 2 )(3-2 2 ) ' (3+2 ' =3-2 2 ' x=3-2 2에서x-3=-2 2 ' 양변을제곱하면(x-3)Û`=(-2 2 )Û` ' ' xÛ`-6x+9=8,xÛ`-6x=-1 ∴xÛ`-6x+1=-1+1=0 답 0 0367 x=2- ' 3에서x-2=- 3 ' 양변을제곱하면(x-2)Û`=(- 3 )Û` ' xÛ`-4x+4=3,xÛ`-4x=-1 ∴ xÛ`-4x+5= "Ã 'Ä -1+5= 4=2 ' 0368 xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy 2 )Û`-2_2 xÛ`+yÛ`=(2 ' xÛ`+yÛ`=8-4=4 답 2 답 4 ➡ ;aB; + + ;aB; ;bA; A; ;bA = aÛ`+bÛ` ab = aÛ`+bÛ` ab 5 )Û`+2_1` ( + = ;bA; ;aB; ' 1 = (a-b)Û`+2ab ab =7 답 7 0370 전략 (x-y)Û`=a(a>0 )이면 x-y=Ñ (x-y)Û`=(x+y)Û`-4xy ' a이다. 답 11 =6Û`-4_4 =36-16=20 ∴x-y=Ñ 20=Ñ2 '¶ ' 5 답 ④ 0371 ' ' a+ ' a- ' b` b = = b )Û`` a+ a+ ' b )( ' b a ( ' ( ' a- ' a+b+2 a-b ' b ) ' 이때 (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab=3Û`-4_1=5 이므로a-b=- 5(∵a1일때,x+ >0이므로 2` 2` ;[!; x+ = 29 ;[!; '¶ 0377 전략 xÛ`+axÑ1=0(a는 상수)일 때 x+0이므로 xÛ`+axÑ1=0의 양변을 x로 나누면 x+aÑ =0 ;[!; ∴ xÑ =-a ;[!; x+0이므로xÛ`+3x+1=0의양변을x로나누면 x+3+ =0 ∴x+ =-3 ;[!; ;[!; 답 ⑴ 10 ⑵ 8 따라서a=1,b=(6-3 2)-1=5-3 2이므로 0381 3 2= ' '¶ -5<- 18이므로4< 18<-4 '¶ 18<5 '¶ ∴ 1<6-3 2<2 ' ' 2a-b= ' ' 2_1-(5-3 2) ' 2a-b=-5+4 2 ' ' ' 답 -5+4 2 ' 0382 2+1 1 2-1 = ' 2-1)( ( ' 1< ' 2<2이므로2< 2+1) 2+1<3 = 2+1 ' 답 ' 2 9 ' ∴a=2 ' ' ' ' ' 2-1 1 2+1 = ' 2+1)( ( ' 1< ' 2<2이므로0< 2-1) 2-1<1 = 2-1 ' ' ∴b= 2-1 ' ∴a+b=2+( 2-1)=1+ 2 ' ' 답 1+ 2 ' 2<2이므로a= 2-1 0383 1< ∴ ' 2=a+1 ' ∴ 128= 2à`= 2ß`_2=8 '¶ " ' "Ã 128=8(a+1)=8a+8 '¶ ∴ 2 답 ④ -4=(-3)Û`-4=5 x- { ;[!;} = x+ { ;[!;} ∴x- 2` =Ñ ;[!; 5 ' 2` 답 Ñ 5 ' 36 정답과 해설 0384 전략 f(x)에 x=4, 5, 6, y, 10을 대입하여 값을 구한다. +y+ 1 f(10) + 1 f(6) 1 5+ 6 1 f(4) + 1 f(5) = 1 4+ ' - 5? ' =-2+ ' =( ' 1 1 ' + 5 ' 4 )+( + 1 6+ 7 ' - 6 ' ' )+( 5 ' ' - 7 ' +y+ )+y+( 6 ' 1 0+ 1 ' 1 1 ' 11- '¶ '¶ 답 -2+ 10 ) 1 1 ' 0385 f(1)+f(2)+f(3)+y+f(80) - 4 -1)+( 2 )+( 2 =( - 3 ' ' ' ' ' =-1+9=8 )+y+( 3 81- '¶ 80 ) '¶ 답 8 0386 1 f(1) + 1 f(2) + 1 f(3) +y+ 1 f(60) = + + +y+ ' 1 3+ 3- 2 1 1 ' ' ' 1 5+ 5- 2 3 3 ' ' ' 1 7+ 7- 2 5 ' 5 ' = ' + ' + ' +y+ ' ' 1 1 1 21+ 21- 2 19 1 19 1 ' ' = {( - 3 1 )+( - 5 )+( 3 - 7 ) 5 ' ' ' ' ;2!; ' ' = _(-1+11)=5 ;2!; =+y+( 1 21- 119 )} ' '¶ 답 5 a의 정수 부분이 b이다. ➡ bÉ 0387 전략 ' ' 2x<5 2x의정수부분이4이므로4É ⑴ '¶ a0 ' 5-3 ' a-b=2 a-b= '¶ ∴a>b ' ' b-c=(5-3 5)-(3 3+2) b-c=5-3 ' 5-3 ' 9- ' 45- '¶ 27<0 '¶ b-c= ' ∴b0이므로 2 2-3= ' 5-3 (2 ' ' 25- 2= '¶ ' 2-3)Û`- '¶ (5-3 "Ã "Ã "Ã ' ' ' (2 2-3)Û`- (5-3 (2 2-3)Û`- (5-3 2)Û`=-2 ' 2)Û`=-2+ 2 ' "Ã "Ã "Ã ' ' ' 2)Û`=-(2 2-3)-(5-3 2) ' 2+3-5+3 ' 2 ' 답 -2+ 2 ' 0407 전략 (사다리꼴의 넓이) = _{(윗변의 길이)+(아랫변의 길이)}_(높이) ;2!; (사다리꼴ABCD의넓이) = _{ ;2!; ' 4 0+( 4 5+ 1 0)}_ 7 2 ' ' ' = _{2 1 0+(3 5+ 1 0)}_6 2 ' ' ' ;2!; ;2!; ' ' = _(3 5+3 1 0)_6 2 ' ' • • • ① ② ③ 0408 전략 곱셈 공식을 이용하여 각각의 식을 전개한다. 7_2+2Û`=11-4 ① 7-2)Û`=( 7 )Û`-2_ ( 5 )Û`-2_2 5_3+3Û`=29-12 5 ' 5 )Û`-( 3 )Û`=2 ' 7 ' ' 3- 2_2 2 ' ' ' 3 )=( ' 2 ) ' 2)_ ' ' ' (2 ' 5-3)Û`=(2 ' 5- ' 3-2 ' 2-2 ' 5+ ( ' 3 )( ' ' ( ' =( 3+ 2 )( ' 3)Û`+( ' 6-4 ' =3- ' =-1- 6 ' 6 )(3 2+ ' ' ⑤ ( 2+2 ' 2_3 ' = ' 6 ) 2-4 ' ' 2_(-4 6 ) ' +2 ' =6-8 3+12 3-48 ' ' =-42+4 3 ' 6_3 2+2 6_(-4 ' ' 6 ) ' 0409 전략 aÇ` bÇ`=(ab)Ç` 임을 이용한다. 2 )100(3+2 (3-2 2 )102 ' ' ={(3-2 2 )(3+2 ' =(9-8)100(9+12 =17+12 2 ' 2 )}100(3+2 2 )Û` ' ' 2+8) ' 따라서a=17,b=12이므로 yy ㉡ a+b=17+12=29 답 29 0410 전략 점 Q를 중심으로 하여 그린 원의 반지름의 길이를 구한다.  PQRS=9-4_ _2_1 =5이므로 {;2!; } QPÓ=QRÓ= ' 따라서a=2- 5 aÛ`+bÛ`=(2- 5,b=2+ ' 5 )Û`+(2+ ' 5 )Û` 5이므로 aÛ`+bÛ`=9-4 5+9+4 ' ' ' 5 ' aÛ`+bÛ`=18 답 ④ 0411 전략 a>0, b>0, c>0일 때 b a = ' a b a ' ' ' = ' ' c ' b_ a_ = a a ' ' ( ' b+ a ' c ' a+ ' b+ c )_ a ' a_ a ' = ' c a a b+ a ' ' c( = ' a+ ( ' ' b ' ' a- ' b )( b ) ' a- ' ' b ) = ' c b c- a ' a-b (단, a+b) 6 3 ' 5 ' 3- ' 3 ' = 5_ 5 ' 2_ 2 ' ' ' 3_ 5 = ' ' 5_ 5 ' ' = (3- ' 2 2 5 1 = ' 5 6 )_ 3 ' 3_ ' = 5 2 ' 2 3 ' = 3 ' 3-3 3 2 ' = 3- 2 ' ' 3. 근호를 포함한 식의 계산 39 =18 5+9 1 0`(cmÛ`) ' ' 답 (18 5+9 1 0)`cmÛ` ' ' ④ 1 4- 3 ' = 3 4+ ' 3 )(4+ 3 ) ' (4- ' = 4+ ' 13 3 ⑤ ' ' 5- 5+ 3 ' 3 ' ⑤ = ( ( 5+ ' = 8-2 ' 2 ' ' 5 1 5- ' 3 )( ' 3 )Û` 5- 3 ) ' =4- 1 5 ' 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④ 양변을 제곱하면 (x-2)Û`=( 7 )Û` ' xÛ`-4x+4=7, xÛ`-4x=3 ∴ xÛ`-4x+3=3+3=6 답 ① 0416 전략 먼저 x+y, xy의 값을 구한다. 5 )=2 x+y=(1+ 5 )+(1- ' 5 )(1- ' 5 )=1-( xy=(1+ ' ∴ xÛ`-xy+yÛ`=(x+y)Û`-3xy ' ' 5 )Û`=-4 ∴ xÛ`-xy+yÛ`=2Û`-3_(-4) ∴ xÛ`-xy+yÛ`=4+12=16 답 16 0417 전략 5+2와 6-2 5가 각각 어떤 두 연속하는 정수 사이에 ' 20<5에서 -5<- '¶ 20<-4이므로 '¶ 5<3에서 4< 5+2<5이므로 5+2)-4= 5-2 ' ' ' 있는지 확인한다. 2< ' a=( ' 5= 2 '¶ ' 1<6-2 20이고 4< 5<2 ' ∴ b=(6-2 ∴ aÛ`+bÛ`=( 5 )-1=5-2 ' 5-2)Û`+(5-2 5 ' ' ∴ aÛ`+bÛ`=9-4 5+45-20 5 )Û` ' 5 ' ∴ aÛ`+bÛ`=54-24 5 ' ' 답 54-24 5 ' SÁ= S이므로 SÁ= _9=3 ;3!; ;3!; 따라서 정사각형 AAÁCÁBÁ의 넓이는 3이므로 AAÁÓ= 3 (∵ AAÁÓ>0) ' ;3!; 또 Sª= SÁ이므로 Sª= _3=1 ;3!; 따라서 정사각형 AÁAªCªBª의 넓이는 1이므로 AÁAªÓ=1 (∵ AÁAªÓ>0) 따라서 OAªÓ=OAÓ+AAÁÓ+AÁAªÓ=3+ 3+1=4+ 3이 ' ' 므로 점 Aª의 좌표는 (4+ 3, 0)이다. ' 답 Aª(4+ 3, 0) ' 0412 전략 m a+ n a- ' ' 임을 이용한다. (단, a+b) + ' ' b b = m( ' ( ' a- ' a+ ' b )+n( b )( ' a- a+ ' b ) b ) ' ' 2 3+2 + 3 3-2 = 2(3-2 ' (3+2 ' 2 ' 2 ' 2 )+3(3+2 2 )(3-2 ' 2 ) 2 ) ' + + = 6-4 ' 2+9+6 9-8 2 ' =15+2 2 ' 0413 ⑴ x= ' ' 5-2 5+2 5-2)Û` = ( ( ' ' 5+2)( ' 5-2) ⑴ x=9-4 5 ' = 1 9-4 ⑵ ;[!; ⑵ =9+4 ;[!; 5 ' 5 ' = 5 9+4 ' 5 )(9+4 5 ) ' (9-4 ' ⑴ ∴ x- =9-4 5-(9+4 5) ⑴ ⑵ x- =9-4 5-9-4 5 ;[!; ;[!; ;[!; ' ' 5 ' ⑴ ⑵ x- =-8 ' ' ' ㈏ 의 값 구하기 ;[!; ㈐ x- 의 값 구하기 ;[!; 0414 전략 유리수가 되려면 계산한 결과에서 무리수에 곱해진 유리 수가 0이어야 한다. (5 3-3)(6-a (5 3-3)(6-a 3 )=30 3-15a-18+3a ' 3 )=-15a-18+(30+3a) ' 3 ' ' ' ' 이것이 유리수가 되려면 30+3a=0이어야 하므로 yy ㈏ 3a=-30 ∴ a=-10 채점 기준 ㈎ 주어진 식을 전개하여 간단히 정리하기 ㈏ 정리한 식이 유리수가 되기 위한 조건 구하기 ㈐ a의 값 구하기 7+2의 식을 변형한 후 양변을 제곱하여 무리수가 0415 전략 x= ' 없는 식으로 만든다. x= 7+2에서 x-2= 7 ' ' 40 정답과 해설 답 ① yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ ' 비율 40`% 20`% 3 ' yy ㈎ yy ㈐ 답 -10 비율 40`% 30`% 30`% 답 ⑴ 9-4 5 ⑵ -8 5 ' 채점 기준 0418 전략 넓이가 a인 정사각형의 한 변의 길이는 ' OAÓ=3이고 OACB는 정사각형이므로 a이다. ㈎ 분모, 분자에 5-2를 곱해서 분모를 유리화하기 40`% S=3_3=9 4 인수분해 공식 step 개념 마스터 p.66~p.67 답 1, a+2b, c, (a+2b)c 답 1, x, y, xÛ`, xy, xÛ`y 0421 답 1, a, b, a-b, ab, a(a-b), b(a-b), ab(a-b) 0444 9xÛ`-25yÛ`=(3x)Û`-(5y)Û` =(3x+5y)(3x-5y) 답 (3x+5y)(3x-5y) 0445 ;1Á6; xÛ`- ;4Á9; yÛ`= x } {;4!; Û`- Û` y {;7!; } = x+ y ;7!; }{;4!; x- y ;7!; } {;4!; 답 x+ y ;7!; {;4!; }{;4!; x- y ;7!; } 0446 -aÛ`+25bÛ`=25bÛ`-aÛ`=(5b)Û`-aÛ`=(5b+a)(5b-a) 답 (5b+a)(5b-a) 답 1, a+1, a-2, (a+1)(a-2) 0447 -49aÛ`+4bÛ`=4bÛ`-49aÛ`=(2b)Û`-(7a)Û` =(2b+7a)(2b-7a) 답 1, a, x-y, a(x-y), (x-y)Û`, a(x-y)Û` 답 (2b+7a)(2b-7a) 답 3b(3aÛ`+2ab-1) 따라서x(x+2)(2x-3)의인수가아닌것은⑤이다. 답 a 0425 답 2x 0427 답 xy 답 2xy 답 ab(a-12) 답 a(x-y+z) 답 xy(x-y+1) 0432 답 (a+4)Û` 0433 답 (a-3)Û` 0434 답 (2x+1)Û` 0435 답 (x-6y)Û` 0436 = Û`=9 {;2^;} 0437 = -10 2 { } Û`=25 0438 xÛ`+ x+49=xÛ`+ x+7Û`에서 =Ñ2_7=Ñ14 0439 xÛ`+ xy+16yÛ`=xÛ`+ xy+(4y)Û`에서 =Ñ2_4=Ñ8 답 9 답 25 답 Ñ14 답 Ñ8 step 유형 마스터 p.68 ~ p.71 0448 x(x+2)(2x-3)의인수는 1,x,x+2,2x-3,x(x+2)=xÛ`+2x, x(2x-3)=2xÛ`-3x,(x+2)(2x-3), x(x+2)(2x-3) 0449 aÛ`b(b-1)의인수는 1,a,b,b-1,aÛ`,ab,a(b-1),b(b-1)=bÛ`-b, aÛ`b,aÛ`(b-1),ab(b-1),aÛ`b(b-1) 따라서aÛ`b(b-1)의인수가아닌것은④이다. 답 ④ 0450 전략 주어진 보기 중 a+2가 곱해져 있지 않은 다항식을 찾는다. (a+2)+2=a+4이므로a+2를인수로갖지않는다. ④ 답 ⑤ 답 ④ 전략 공통인수를 이용하여 인수분해한 후 인수를 구한다. 0451 ② ⑤ 3xÛ`y-6xyÛ`=3xy(x-2y) 3x-6y=3(x-2y) ③ xy-2yÛ`=y(x-2y) xÛ`-2xy=x(x-2y) 답 (x+1)(x-1) 따라서3xÛ`y-6xyÛ`의인수가아닌것은④이다. 답 ④ 답 (a+4)(a-4) 답 { a+ ;3!;}{ a- ;3!;} 0452 ① xÛ`-x=x(x-1) ② xy-yz=y(x-z) ④ -3x-9xy=-3x(1+3y) ⑤ 8aÛ`b-4ab=4ab(2a-1) 답 (2x+1)(2x-1) 따라서바르게인수분해한것은③이다. 답 ③ 4. 인수분해 공식 41 0419 0420 0422 0423 0424 0426 0428 0429 0430 0431 0440 0441 0442 0443 0453 8xÛ`y-4x=4x(2xy-1) xÛ`y-4xy=xy(x-4) 채점 기준 ㈎ 주어진 식을 전개하기 따라서 두 다항식에 공통으로 들어 있는 인수는 ①이다. ㈏㈎의 식이 완전제곱식이 되기 위한 조건을 이용하 0454 전략 공통인수가 있으면 먼저 공통인수로 묶어낸 후 인수분해 공식을 이용한다. ② 4xÛ`+16x+16 =4(xÛ`+4x+4)=4(x+2)Û` 0462 xÛ`+(n+3)x+36=xÛ`+(n+3)x+6Û`에서 n+3=Ñ2_6=Ñ12이므로 답 ① 여 식 세우기 ㈐ k의 값 구하기 ⑤ xÛ`+x+ = x+ ;4!; { ;2!;} Û` 따라서 완전제곱식으로 인수분해되는 것은 ②, ⑤이다. 답 ②, ⑤ 답 ② 0455 ② 25xÛ`+30xy+9yÛ`=(5x+3y)Û` 전략 우변을 전개하여 각 항의 계수를 비교한다. 0456 AxÛ`+12x+B=(2x+C)Û`에서 AxÛ`+12x+B=4xÛ`+4Cx+CÛ` ∴ A=4, 12=4C, B=CÛ` 12=4C에서 C=3 B=CÛ`에서 B=3Û`=9 ∴ A+B-C=4+9-3=10 답 10 0457 aÛ`+ a+ 에서 = ;2!; Ö2 } {;2!; Û`= Û`= {;4!;} ;1Á6; xÛ`+ x+16=xÛ`+ x+4Û`에서 =2_4=8 (∵ >0) 답 ;1Á6;, 8 0458 xÛ`+12x+ 가 완전제곱식이 되려면 Û`=36 = {:Á2ª:} 즉 xÛ`+12x+36=(x+6)Û`이므로 안에 알맞은 수는 차 0459 전략 xÛ`의 계수가 제곱수가 아니므로 xÛ`의 계수로 묶어낸 후 완 전제곱식이 될 조건을 이용한다. 2xÛ`-6x+ =2 xÛ`-3x+ 에서 2 } = { 2 -3 2 } { Û`= ;4(; ∴ = ;2(; 답 ;2(; 0460 xÛ`-10x+3a+7이 완전제곱식이 되려면 3a+7= -10 2 { } Û`=25 3a=18 ∴ a=6 0461 (x+3)(x-5)+k=xÛ`-2x-15+k 이 식이 완전제곱식이 되려면 -15+k= -2 2 } { Û`=1 ∴ k=16 42 정답과 해설 답 6 yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 답 16 비율 30 % 50 % 20 % 답 -6 n+3=12에서 n=9 n+3=-12에서 n=-15 따라서 구하는 n의 값의 합은 9+(-15)=-6 0463 전략 먼저 주어진 식을 (x)Û`+(a-4)x+▲Û`으로 고친 후 a-4=Ñ2__▲임을 이용한다. 4xÛ`+(a-4)x+36=(2x)Û`+(a-4)x+6Û`에서 a-4=Ñ2_2_6=Ñ24이므로 a-4=24에서 a=28 a-4=-24에서 a=-20 답 28, -20 0464 ;9!; xÛ`+ xy+ yÛ`= ;4!; x Û`+ xy+ } y {;2!; } {;3!; Û`이므로 =Ñ2_ _ =Ñ ;3!; ;2!; ;3!; 답 Ñ ;3!; 0465 ① aÛ`+6a+ 에서 = Û`=9 {;2^;} ② aÛ`+ a+1에서 =2_1_1=2 (∵ >0) ③ xÛ`-16x+4= xÛ`-2_4_2_x+2Û`이므로 ④ 9yÛ`+ y+ =(3y)Û`+ y+ Û`이므로 {;3!;} =4Û`=16 ;9!; ;3!; ⑤ 4xÛ`+ xy+25yÛ`=(2x)Û`+ xy+(5y)Û`이므로 =2_2_5=20 (∵ >0) 따라서 가장 큰 수는 ⑤이다. 답 ⑤ 0466 16xÛ`+(2k+4)x+9=(4x)Û`+(2k+4)x+3Û`에서 2k+4=Ñ2_4_3=Ñ24이므로 2k+4=24에서 k=10 2k+4=-24에서 k=-14 이때 k는 양수이므로 k=10 답 10 0467 전략 xÛ`+2x+1=(x+1)Û`, xÛ`-6x+9=(x-3)Û`이므로 주 어진 x의 값의 범위를 이용하여 x+1, x-3의 부호를 판단한다. xÛ`+2x+1- xÛ`-6x+9 "Ã = "Ã (x+1)Û`- "Ã (x-3)Û` "Ã 이때 -10, x-3<0 ∴ (주어진 식) =x+1-{-(x-3)} =x+1+x-3=2x-2 답 2x-2 례대로 36, 6이다. 답 ④ =2_3_ =2 (∵ >0) 0468 "Ã = "Ã aÛ`+4a+4+ aÛ`-4a+4 (a+2)Û`+ (a-2)Û` "Ã "Ã 이때 00, a-2<0 ∴ (주어진 식) =a+2-(a-2)=a+2-a+2=4 답 4 0477 xÛ`-8x+7 -1 ➡ -x -7 ➡ -7x + >³ -8x ∴ xÛ`-8x+7=(x-1)(x-7) 답 (x-1)(x-7) 0469 "Ã = xÛ`-2xy+yÛ`+ xÛ`+2xy+yÛ` (x-y)Û`+ "Ã "Ã "Ã (x+y)Û` 이때 y0, x+y<0 ∴ (주어진 식) =x-y-(x+y) =x-y-x-y=-2y 답 -2y 0470 ®É{ a+ ;a!;} Û`-4+ a- ®É{ ;a!;} Û`+4 = ®ÉaÛ`+ -2+ ®ÉaÛ`+ +2 1 aÛ` = ®É{ a- ;a!;} a+ ®É{ ;a!;} Û`+ 1 aÛ` Û` x x x x x x 0478 xÛ`+xy-6yÛ` 3y ➡ 3xy -2y ➡ -2xy + >³ xy ∴ xÛ`+xy-6yÛ`=(x+3y)(x-2y) 0479 xÛ`-5xy+6yÛ` -2y ➡ -2xy -3y ➡ -3xy + >³ -5xy 답 (x+3y)(x-2y) 01이므로 a- <0, a+ >0 ;a!; ;a!; ;a!; ∴ xÛ`-5xy+6yÛ`=(x-2y)(x-3y) ∴ (주어진 식)=- a- { + a+ ;a!;} { ;a!;} =-a+ +a+ ;a!; = ;a@; ;a!; 답 ② 0480 답 (x-2y)(x-3y) 답 2x, 2x, 3, 6x, 2x+3 0471 xÜ`-x=x(xÛ`-1)=x(x+1)(x-1) 따라서 xÜ`-x의 인수가 아닌 것은 ①이다. 답 ① 0481 답 3y, 6xy, 2x, -y, -xy, 3y, 2x-y 따라서 xÝ`-1의 인수가 아닌 것은 ⑤이다. 답 ⑤ ∴ 3xÛ`+4x-15=(x+3)(3x-5) 답 (x+3)(3x-5) 0472 ① xÛ`-25=(x+5)(x-5) ② 9xÛ`-16=(3x)Û`-4Û`=(3x+4)(3x-4) ③ -16aÛ`+25bÛ` =25bÛ`-16aÛ`=(5b)Û`-(4a)Û` =(5b+4a)(5b-4a) ④ xÛ`-yÛ`=(x+y)(x-y) ⑤ 4xÛ`-36=4(xÛ`-9)=4(x+3)(x-3) 따라서 인수분해를 바르게 한 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 0473 xÝ`-1 =(xÛ`+1)(xÛ`-1) =(xÛ`+1)(x+1)(x-1) p.72 답 1, 2 답 3x, -4, -4x, 3, 4 step 개념 마스터 0474 0475 0476 xÛ`+6x+8 x x 2 ➡ 2x 4 ➡ 4x + >³ 6x ∴ xÛ`+6x+8=(x+2)(x+4) 답 (x+2)(x+4) ∴ 2xÛ`+9x+4=(x+4)(2x+1) 답 (x+4)(2x+1) 0482 2xÛ`+9x+4 x 2x 4 ➡ 8x 1 ➡ x + >³ 9x 0483 3xÛ`+4x-15 x 3x 3 ➡ 9x -5 ➡ -5x + >³ 4x 0484 6xÛ`-7x+2 2x 3x -1 ➡ -3x -2 ➡ -4x + >³ -7x ∴ 6xÛ`-7x+2=(2x-1)(3x-2) 답 (2x-1)(3x-2) 0485 3xÛ`+5xy+2yÛ` x 3x y ➡ 3xy 2y ➡ 2xy + >³ 5xy ∴ 3xÛ`+5xy+2yÛ`=(x+y)(3x+2y) 답 (x+y)(3x+2y) 4. 인수분해 공식 43 step 유형 마스터 p.73 ~ p.78 0494 전략 공통인수가 있으면 공통인수로 묶어낸 후 인수분해 공식 0486 전략 3+B=A, 3B=6임을 안다. xÛ`+Ax+6=(x+B)(x+3)에서 3B=6이므로 B=2 3+B=A이므로 A=3+2=5 ∴ A-B=5-2=3 0487 (x+1)(x-5)-16 =xÛ`-4x-21 =(x+3)(x-7) 0488 xÛ`-4x-12=(x+2)(x-6) 따라서 두 일차식의 합은 (x+2)+(x-6)=2x-4 채점 기준 ㈎ xÛ`-4x-12를 인수분해하기 ㈏ 두 일차식의 합 구하기 을 이용한다. ① 4xÛ`-25yÛ`=(2x+5y)(2x-5y) ② 6xÛ`+10x-4=2(3x-1)(x+2) ⑤ 2xÛ`-4x-30=2(x-5)(x+3) 따라서 인수분해가 바르게 된 것은 ③, ④이다. 답 ③, ④ 답 3 0495 ㉠ ax-3a=a(x-3) ㉡ 9xÛ`-4=(3x+2)(3x-2) 답 (x+3)(x-7) yy ㈎ yy ㈏ 답 2x-4 비율 70`% 30`% ㉢ xÛ`+x-6=(x+3)(x-2) ㉣ xÛ`-2x-3=(x+1)(x-3) 따라서 x-3을 인수로 갖는 다항식은 ㉠, ㉣이다. 답 ㉠, ㉣ 0496 ① xÛ`-8x+16=(x- 4 )Û` ② xÛ`+2x-15=(x- 3 )(x+5) ③ 2xÛ`-2yÛ`= 2 (x+y)(x-y) ④ 3xÛ`-8x+5=(x- 1 )(3x-5) ⑤ 2xÛ`+xy-6yÛ`=(x+2y)(2x- 3 y) 따라서 안에 알맞은 수 중 가장 작은 것은 ④이다. 답 ④ 0489 전략 인수분해하는 과정에서 y를 빠뜨리지 않도록 주의한다. xÛ`-xy-56yÛ`=(x+7y)(x-8y) 따라서 두 일차식의 합은 0497 전략 두 다항식을 각각 인수분해한다. xÛ`-8x+12=(x-2)(x-6) (x+7y)+(x-8y)=2x-y 답 2x-y 2xÛ`-7x+6=(x-2)(2x-3) 0490 10xÛ`+x-21=(2x+3)(5x-7) 따라서 두 일차식의 합은 (2x+3)+(5x-7)=7x-4 답 7x-4 0498 2ax-4ay=2a(x-2y) xÛ`-4yÛ`=(x+2y)(x-2y) 따라서 두 다항식의 공통인 인수는 ①이다. 답 ① 0491 6xÛ`+ax-20=(2x+5)(3x+b)에서 5b=-20이므로 b=-4 2b+5_3=a이므로 a=2_(-4)+15=7 ∴ a+b=7+(-4)=3 답 3 0492 전략 주어진 식을 전개하여 다항식으로 나타낸 후 인수분해한 다. (2x+7)(5x-1)+16 =10xÛ`+33x+9 =(x+3)(10x+3) 따라서 보기 중 인수는 ①`x+3, ⑤`10x+3이다. 따라서 1이 아닌 공통인 인수는 x-2y이다. 답 x-2y 0499 4xÛ`-9=(2x+3)(2x-3) 4xÛ`-4x-15=(2x+3)(2x-5) 따라서 두 다항식의 공통인 인수는 2x+3이므로 a=2 답 2 0500 ① xÛ`-3x=x(x-3) ② xÛ`-5x+6=(x-2)(x-3) ③ xÛ`-2x-3=(x+1)(x-3) ④ xÛ`+3x-4=(x-1)(x+4) ⑤ 2xÛ`-5x-3=(2x+1)(x-3) 답 ①, ⑤ 따라서 나머지 넷과 1을 제외한 공통인 인수를 갖지 않는 것 은 ④이다. 답 ④ 0493 전략 -3b=-15, 3-2b=2a-1임을 안다. 2xÛ`+(2a-1)x-15=(x-b)(2x+3)에서 -3b=-15이므로 b=5 3-2b=2a-1이므로 3-2_5=2a-1, -7=2a-1 2a=-6 ∴ a=-3 ∴ ab=(-3)_5=-15 44 정답과 해설 0501 전략 8xÛ`+ax+3의 xÛ`의 계수가 8이므로 8xÛ`+ax+3=(2x-1)(4x+ )로 놓을 수 있다. 8xÛ`+ax+3=(2x-1)(4x+ )로 놓으면 -1_ =3 ∴ =-3 (2x-1)(4x-3)=8xÛ`-10x+3이므로 답 -15 a=-10 답 -10 0502 xÛ`+4x+a=(x+1)(x+ )로놓으면 ∴ =3 1+ =4 0507 연서는xÛ`의계수와상수항을제대로보았으므로 (2x-1)(2x+7)=4xÛ`+12x-7 (x+1)(x+3)=xÛ`+4x+3이므로a=3 답 3 ➡xÛ`의계수는4,상수항은-7 0503 xÛ`+ax-2=(x-2)(x+ )로놓으면 -2_ =-2 ∴ =1 (x-2)(x+1)=xÛ`-x-2이므로a=-1 yy㈎ 2xÛ`-7x+b=(x-2)(2x+ )로놓으면 +(-2)_2=-7 ∴ =-3 (x-2)(2x-3)=2xÛ`-7x+6이므로b=6 ∴a-b=-1-6=-7 채점 기준 ㈎ xÛ`+ax-2=(x-2)(x+ )로 놓고 a의 값 ㈏ 2xÛ`-7x+b=(x-2)(2x+ )로 놓고 b의 값 ㈐ a-b의 값 구하기 구하기 구하기 구한다. yy㈏ yy㈐ 답 -7 비율 40 % 40 % 20 % 3xÛ`-6x+3=3(xÛ`-2x+1)=3(x-1)Û` 2xÜ`y-2xy=2xy(xÛ`-1)=2xy(x+1)(x-1) 위의두다항식의1이아닌공통인인수는x-1이므로 xÛ`+3x+a도x-1을인수로갖는다. xÛ`+3x+a=(x-1)(x+ )로놓으면 -1+ =3 ∴ =4 즉(x-1)(x+4)=xÛ`+3x-4이므로a=-4 답 -4 0504 전략 미지수가 없는 두 다항식을 인수분해하여 공통인 인수를 (x+8)(x-1)=xÛ`+7x-8 ➡xÛ`의계수는1,상수항은-8 영환이는xÛ`의계수와x의계수를제대로보았으므로 (x-5)(x+3)=xÛ`-2x-15 ➡xÛ`의계수는1,x의계수는-2 따라서처음이차식은xÛ`-2x-8이므로 xÛ`-2x-8=(x-4)(x+2) 답 (x-4)(x+2) 0506 대성이는xÛ`의계수와상수항을제대로보았으므로 (x-2)(x+9)=xÛ`+7x-18 ➡xÛ`의계수는1,상수항은-18 태연이는xÛ`의계수와x의계수를제대로보았으므로 준호는xÛ`의계수와x의계수를제대로보았으므로 (2x-3)Û`=4xÛ`-12x+9 ➡xÛ`의계수는4,x의계수는-12 따라서처음이차식은4xÛ`-12x-7이므로 4xÛ`-12x-7=(2x+1)(2x-7) 답 ⑤ 0508 전략 주어진 9개의 도형의 넓이의 합을 식으로 나타낸 후 인수 분해한다. 주어진직사각형의넓이의합을식으로나타내면 aÛ`+aÛ`+a+a+a+a+a+1+1 =2aÛ`+5a+2 =(2a+1)(a+2) 즉직사각형의가로의길이와세로의길이는각각2a+1, a+2또는a+2,2a+1이므로둘레의길이는 2{(2a+1)+(a+2)} =2(3a+3)=6a+6 답 6a+6 0509 주어진직사각형의넓이의합을식으로나타내면 xÛ`+x+x+x+x+1+1+1+1 =xÛ`+4x+4 =(x+2)Û` 따라서구하는정사각형의한변의길이는x+2이다. 답 x+2 0510 전략 [그림 2]의 가로와 세로의 길이를 각각 a, b의 식으로 나타 [그림2]에서가로의길이는a+b,세로의길이는a-b이므 로넓이는(a+b)(a-b) 이때[그림1]과[그림2]의넓이가같으므로 aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b) 답 ③ 0511 2xÛ`+7x+3=(x+3)(2x+1) 이때직사각형의가로의길이가x+3이므로세로의길이는 2x+1이다. ∴(둘레의길이)=2{(x+3)+(2x+1)} =2(3x+4) =6x+8 답 6x+8 (x+1)(x+2)=xÛ`+3x+2 ➡xÛ`의계수는1,x의계수는3 0512 10xÛ`+17x+3=(5x+1)(2x+3) 이때직사각형의가로의길이가5x+1이므로세로의길이 따라서처음이차식은xÛ`+3x-18이다. 답 ④ 는2x+3이다. 답 2x+3 4. 인수분해 공식 45 0505 전략 재준이는 xÛ`의 계수, 상수항을 제대로 보았고, 영환이는 xÛ` 의 계수, x의 계수를 제대로 보았음을 이용한다. 재준이는xÛ`의계수와상수항을제대로보았으므로 낸다. [그림1]의넓이는aÛ`-bÛ` 0513 전략 (삼각형의 넓이)= _(밑변의 길이)_(높이) ;2!; xÛ`+x-6=(x+3)(x-2)이므로주어진삼각형의높이를 (7,4),(8,3),(9,2),(10,1)이므로p=ab의최댓값은 5_6=30,최솟값은1_10=10 따라서p의최댓값과최솟값의차는 h라하면 _(x-2)_h=(x+3)(x-2) ;2!; 30-10=20 답 20 h=x+3 ;2!; ∴h=2(x+3)=2x+6 답 2x+6 0520 전략 곱이 12인 두 정수를 모두 찾는다. xÛ`+ x+12=(x+a)(x+b)로놓으면 0514 전략 (사다리꼴의 넓이) = ;2!; _{(윗변의 길이)+(아랫변의 길이)}_(높이) 2aÛ`+9a+4=(a+4)(2a+1)이므로 _{(a+1)+(a+7)}_(높이)=(a+4)(2a+1) ;2!; (a+4)_(높이)=(a+4)(2a+1) ∴(높이)=2a+1 답 2a+1 0515 전략 (원의 넓이)=p_(반지름의 길이)Û` (피자의넓이)=(4xÛ`+20xy+25yÛ`)p =(2x+5y)Û`p 따라서피자의반지름의길이는2x+5y이므로 지름의길이는2(2x+5y)=4x+10y 답 ① 0516 직사각형B의세로의길이를 라하면 (직사각형A의넓이)-1_5=2_(직사각형B의넓이) 이므로(4x+1)(6x+1)-1_5=2_(4x-1)_ 이때 (4x+1)(6x+1)-1_5=24xÛ`+10x-4 =2(4x-1)(3x+2) 이므로 =3x+2 답 3x+2 0517 xÛ`+7x+k=(x+a)(x+b) =xÛ`+(a+b)x+ab 에서a+b=7,ab=k a+b=7을만족하는두자연수a,b를순서쌍(a,b)로나 타내면(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)이다. a+b= ,ab=12 내면다음과같다. ab=12를만족하는두정수a,b와a+b의값을표로나타 a+b= a b a+b= 13 8 7 7 8 13 -1 -12 -13 -2 -6 -3 -4 -4 -3 -6 -2 -8 -7 -7 -8 -12 -1 -13 a 1 2 3 4 6 12 b 12 6 4 3 2 1 개이다. 따라서 안에알맞은정수는-13,-8,-7,7,8,13의6 답 6개 0521 xÛ`+mx-24=(x+a)(x+b)에서 a+b=m,ab=-24 ab=-24를만족하는두정수a,b와a+b의값을표로나 a b a+b=m a+b=m 타내면다음과같다. 1 -24 2 -12 3 -8 4 -6 6 -4 8 -3 12 -2 24 -1 -23 -10 -5 -2 2 5 10 23 a -1 -2 -3 -4 -6 -8 -12 -24 b 24 12 8 6 4 3 2 1 23 10 5 2 -2 -5 -10 -23 이때k=ab의최댓값은3_4=12이다. 답 12 따라서m의값이될수없는것은⑤이다. 답 ⑤ 0518 전략 보기에 주어진 수를 ☐에 대입하여 인수분해한다. ① xÛ`+5x+10 0522 2xÛ`+ x-10=(2x+a)(x+b)로놓으면 a+2b= ,ab=-10 ② ③ ④ xÛ`+5x+6=(x+2)(x+3) xÛ`+5x-6=(x+6)(x-1) xÛ`+5x-14=(x+7)(x-2) ⑤ xÛ`+5x-300=(x+20)(x-15) 따라서 안에들어갈수없는것은①이다. 답 ① 0519 xÛ`+11x+p=(x+a)(x+b)=xÛ`+(a+b)x+ab에서 a+b=11,ab=p ab=-10을만족하는두정수a,b와a+2b의값을표로나 a b a+2b= a+2b= 타내면다음과같다. 1 -10 2 -5 5 -2 10 -1 -19 -8 1 8 a -1 -2 -5 -10 b 10 5 2 1 19 8 -1 -8 a+b=11을만족하는두자연수a,b를순서쌍(a,b)로나 따라서 안에알맞은정수는-19,-8,-1,1,8,19이 타내면(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),(6,5), 다. 답 -19, -8, -1, 1, 8, 19 46 정답과 해설 0523 전략 p가 소수일 때 p=mn이면 m=1 또는 n=1이다. 2aÛ`-a-15=(a-3)(2a+5)가 소수이므로 0529 전략 aÛ`xÛ`+☐x+bÛ`이 완전제곱식이 되려면 ➡ ☐=Ñ2ab (2x-1)(8x-1)+ax =16xÛ`-10x+1+ax a-3=1 또는 2a+5=1이다. Ú a-3=1일 때, a=4 ∴ 2a+5=2_4+5=13 Û 2a+5=1일 때, a=-2 이때 a는 자연수이므로 성립하지 않는다. 따라서 구하는 소수는 13이다. 답 13 a-10=8에서 a=18 a-10=-8에서 a=2 =16xÛ`+(a-10)x+1 =(4x)Û`+(a-10)x+1Û` yy ㈎ 이 식이 완전제곱식이 되려면 a-10=Ñ2_4_1=Ñ8이므로 yy ㈏ 따라서 구하는 상수 a의 값은 2, 18이다. 채점 기준 ㈎ 주어진 다항식을 전개하기 ㈏ 완전제곱식이 되기 위한 조건 구하기 ㈐ a의 값 구하기 yy ㈐ 답 2, 18 비율 40 % 30 % 30 % 0524 nÛ`-2n-35=(n+5)(n-7)이 소수가 되려면 n+5=1 또는 n-7=1이어야 한다. Ú n+5=1일 때, n=-4 이때 n은 자연수이므로 성립하지 않는다. Û n-7=1일 때, n=8 따라서 구하는 n의 값은 8이다. 답 8 0525 3aÛ`-10a-8=(3a+2)(a-4)가 소수이므로 3a+2=1 또는 a-4=1이다. 0530 전략 xÛ`Ñbx+☐가 완전제곱식이 되려면 ➡ ☐= Û` Ñb 2 } { Ú 3a+2=1일 때, 3a=-1 ∴ a=- ;3!; 이때 a는 자연수이므로 성립하지 않는다. Û a-4=1일 때, a=5 ∴ 3a+2=3_5+2=17 따라서 구하는 소수는 17이다. xÛ`+6x+a가 완전제곱식이 되려면 a= {;2^;} Û`=9 9yÛ`-by+4=(3y)Û`-by+2Û`이 완전제곱식이 되려면 -b=Ñ2_3_2=Ñ12이므로 답 17 b=Ñ12 이때 ab<0이고 a>0이므로 b<0 ∴ b=-12 ∴ a+b=9+(-12)=-3 답 -3 step3 내신 마스터 p.79 ~ p.81 0526 전략 x(x-3)(x+3)의 인수를 모두 구한다. x(x-3)(x+3)의 인수는 1, x, x-3, x+3, x(x-3)=xÛ`-3x, x(x+3)=xÛ`+3x, (x-3)(x+3)=xÛ`-9, x(x-3)(x+3) 따라서 x(x-3)(x+3)의 인수가 아닌 것은 ⑤이다. 0531 전략 AÛ`= " A (A¾0) [ -A (A<0) 임을 이용한다. xÛ`+8x+16- xÛ`-10x+25 "Ã = "Ã (x+4)Û`- "Ã "Ã (x-5)Û` 00, x-5<0이므로 (주어진 식) =x+4-{-(x-5)} 답 ⑤ =x+4+x-5 =2x-1 0527 0528 전략 주어진 다항식을 공통인수로 묶어 인수분해한다. xy(x+y)-xy=xy(x+y-1) 따라서 xy(x+y)-xy의 인수가 아닌 것은 ④이다. 답 ④ 전략 aÛ`Ñ2ab+bÛ`=(aÑb)Û`임을 이용한다. ① xÛ`-12x+36=(x-6)Û` ② 4xÛ`+4x+1=(2x+1)Û` ③ 9xÛ`-12x+4=(3x-2)Û` ④ xÛ`+ x+1= x+1 ;9!; ;3@; {;3!; Û` } 채점 기준 ㈎ 근호 안의 식을 완전제곱식으로 인수분해하기 ㈏ x+4와 x-5의 부호 파악하기 ㈐ 주어진 식의 근호를 없애고 간단히 하기 0532 전략 공통인수를 묶어내고 aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)임을 이용 하여 인수분해한다. 2xÜ`-8x=2x(xÛ`-4)=2x(x+2)(x-2) 따라서 완전제곱식으로 인수분해되지 않는 것은 ⑤이다. 따라서 보기 중 2xÜ`-8x의 인수는 ㉠, ㉡, ㉢, ㉤의 4개이다. 답 ⑤ 답 4개 yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 답 2x-1 비율 40 % 30 % 30 % 4. 인수분해 공식 47 ④ ⑤ ① ③ ⑤ 0533 전략 주어진 식을 전개하여 다항식으로 나타낸 후 인수분해한 Lecture x에 대한 두 이차식 A, B의 공통인수가 mx+n일 때 A=(mx+n)_(●x+▲) B=(mx+n)_(█x+★) 답 ④ 이때 A에서 (xÛ`의 계수)=m_●,(상수항)=n_▲ B에서 (xÛ`의 계수)=m_█, (상수항)=n_★ 다. (x-3)(x+7)+9=xÛ`+4x-21+9 =xÛ`+4x-12 =(x-2)(x+6) 0534 전략 a=5+b, -30=5b임을 이용한다. xÛ`+ax-30=(x+5)(x+b)에서 -30=5b이므로b=-6 5+b=a이므로a=5+(-6)=-1 ∴a-b=-1-(-6) =-1+6=5 0539 전략 민성이와 윤찬이가 제대로 본 것은 무엇인지 파악한다. 민성이는xÛ`의계수와상수항을제대로보았고,윤찬이는xÛ` 0535 전략 axÛ`+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)임을 이용 하여 인수분해한다. (5x-3)(3x+2)+4=15xÛ`+x-2 답 5 의계수와x의계수를제대로보았다. 민성：(x-2)(x+8)=xÛ`+6x-16 ➡xÛ`의계수는1,상수항은-16 윤찬：(x-10)(x+4)=xÛ`-6x-40 ➡xÛ`의계수는1,x의계수는-6 =(3x-1)(5x+2) 따라서처음이차식은xÛ`-6x-16이므로이를인수분해 따라서일차식인두인수는3x-1,5x+2이다. 답 ③, ④ 하면 0536 전략 공통인수가 있으면 먼저 공통인수를 묶어낸 후 인수분해 공식을 이용한다. ① 3aÛ`+11a+6=(3a+2)(a+3) xÛ`-6x-16=(x+2)(x-8) 따라서a=2,b=-8`(∵a>b)이므로 aÛ`-bÛ`=2Û`-(-8)Û`=-60 답 -60 ② aÛ`-2ab-15bÛ`=(a+3b)(a-5b) ③ 16axÛ`-9ayÛ`=a(16xÛ`-9yÛ`) =a(4x+3y)(4x-3y) 3xÛ`-12xy+12yÛ`=3(xÛ`-4xy+4yÛ`) =3(x-2y)Û` 10aÛ`+3ab-4bÛ`=(2a-b)(5a+4b) 따라서인수분해가바르게된것은③이다. 답 ③ 0537 전략 각각의 식을 인수분해하여 x-2를 인수로 갖는지 확인한 다. xÛ`-2x=x(x-2) ② xÛ`-4=(x+2)(x-2) xÛ`-4x+4=(x-2)Û` ④ xÛ`+3x-10=(x+5)(x-2) 2xÛ`+3x-2=(2x-1)(x+2) 따라서x-2를인수로갖지않는것은⑤이다. 답 ⑤ 0538 전략 2xÛ`-ax-14=(x+2)(2x+☐), xÛ`+bx-8=(x+2)(x+☐)로 놓는다. 2xÛ`-ax-14=(x+2)(2x+ )로놓으면 2_ =-14 ∴ =-7 (x+2)(2x-7)=2xÛ`-3x-14이므로a=3 xÛ`+bx-8=(x+2)(x+ )로놓으면 2_ =-8 ∴ =-4 (x+2)(x-4)=xÛ`-2x-8이므로b=-2 48 정답과 해설 0540 전략 주어진 직사각형의 넓이의 합을 식으로 나타낸 후 인수분 주어진직사각형의넓이의합을식으로나타내면 해한다. xÛ`+xÛ`+x+x+x+1 =2xÛ`+3x+1 =(x+1)(2x+1) 따라서 새로 만든 직사각형의 가로, 세로의 길이는 x+1, 2x+1또는2x+1,x+1이므로둘레의길이는 2{(x+1)+(2x+1)}=6x+4 답 6x+4 직사각형 모양의 막대의 넓이를 이용하여 인수분해할 수 있다. ➡ xÛ`+2x+1=(x+1)Û` x x x 11 1 1 1 x x x x 1 1 1 1 ➡ xÛ`+3x+2=(x+1)(x+2) Lecture x x x x¤ x x¤ x x¤ x x¤ x x x x 1 1 1 1 ∴a-b=3-(-2)=5 답 ⑤ ➡ 2xÛ`+3x+1=(x+1)(2x+1) 0541 전략 9aÛ`+30ab+25bÛ`을 인수분해하여 한 변의 길이를 먼저 이때선희와민국이가공통으로뽑은카드는A이므로 구한다. 9aÛ`+30ab+25bÛ`=(3a+5b)Û` A카드의뒷면에적힌식은x+3,B,C카드의뒷면에적힌 식은각각2x+1,x-1이다. 따라서정사각형모양의공원의한변의길이가3a+5b이므 따라서아름이가뽑은B,C카드의뒷면에적힌일차식의 로둘레의길이는4(3a+5b)=12a+20b 답 ⑤ 곱셈결과는 (2x+1)(x-1)=2xÛ`-x-1 답 2xÛ`-x-1 0542 전략 도형 A의 넓이를 먼저 구해 본다. (도형A의넓이)=(2x+3)Û`-2Û` =4xÛ`+12x+5 =(2x+1)(2x+5) 이때도형A와도형B의넓이가같고,도형B의세로의길 이가2x+1이므로가로의길이는2x+5이다. 답 2x+5 0544 전략 일차함수의 그래프를 보고 a, b의 값을 먼저 구한다. 주어진일차함수y=ax+b의그래프가두점(-3,0), (0,-6)을지나므로 (기울기)= =-2 ∴a=-2 -6-0 0-(-3) ( y절편)=-6 ∴ b=-6 ∴-2xÛ`+7x-6=-(2xÛ`-7x+6) =-(x-2)(2x-3) 답 ④ 0543 전략 A, B, C 카드의 뒷면에 적힌 일차식을 각각 구한다. 선희가뽑은A,B카드의뒷면에적힌일차식의곱셈결과를 민국이가뽑은A,C카드의뒷면에적힌일차식의곱셈결과 인수분해하면 2xÛ`+7x+3=(x+3)(2x+1) 를인수분해하면 xÛ`+2x-3=(x+3)(x-1) Lecture 일차함수 y=ax+b의 그래프에서 a=(기울기), b=(y절편) 이때 (기울기)= ( y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) , (y절편)=(그래프와 y축의 교점의 y좌표) 4. 인수분해 공식 49 5 인수분해 공식의 활용 step 개념 마스터 p.84 0545 답 A-2, x-2, (x-2)-2, (x+2)(x-4) 0554 aÛ`+4a+4-bÛ`=(a+2)Û`-bÛ` aÛ`+4a+4-bÛ`={(a+2)+b}{(a+2)-b} aÛ`+4a+4-bÛ`=(a+b+2)(a-b+2) 답 (a+b+2)(a-b+2) step 유형 마스터 p.85 ~ p.88 0546 x+4=A로치환하면 (x+4)Û`-2(x+4)-15 =AÛ`-2A-15 =(A-5)(A+3) ={(x+4)-5}{(x+4)+3} 0547 x-1=A로치환하면 (x-1)Û`-(x-1)-6 =AÛ`-A-6 =(A-3)(A+2) ={(x-1)-3}{(x-1)+2} 0555 전략 먼저 공통인수를 찾아 묶어 낸다. (x-1)xÛ`+3(x-1)x-10(x-1) =(x-1)(xÛ`+3x-10) =(x-1)(x-2)(x+5) ⑤ xÛ`+4x-5=(x-1)(x+5) 0556 전략 공통인수가 보이도록 식을 정리한다. (a-b)(a-c)+(b-a)(b-c) =(a-b)(a-c)-(a-b)(b-c) =(a-b){(a-c)-(b-c)} =(a-b)(a-c-b+c) =(x-1)(x+7) 답 (x-1)(x+7) 따라서인수가아닌것은④이다. 답 ④ =(x-4)(x+1) 답 (x-4)(x+1) =(a-b)Û` 답 (a-b)Û` 0548 3x-4=A,x+5=B로치환하면 (3x-4)Û`-(x+5)Û` =AÛ`-BÛ` =(A+B)(A-B) ={(3x-4)+(x+5)}{(3x-4)-(x+5)} =(4x+1)(2x-9) 답 (4x+1)(2x-9) 0549 4x+y=A,x-3y=B로치환하면 (4x+y)Û`-(x-3y)Û` =AÛ`-BÛ` =(A+B)(A-B) ={(4x+y)+(x-3y)}{(4x+y)-(x-3y)} =(5x-2y)(3x+4y) 답 (5x-2y)(3x+4y) 0550 xy-y+2x-2=y(x-1)+2(x-1) xy-y+2x-2=(x-1)(y+2) 답 (x-1)(y+2) 0551 aÛ`+4a-ab-4b=a(a+4)-b(a+4) aÛ`+4a-ab-4b=(a+4)(a-b) 0552 4xÛ`+4x+1-yÛ`=(2x+1)Û`-yÛ` 4xÛ`+4x+1-yÛ`={(2x+1)+y}{(2x+1)-y} 4xÛ`+4x+1-yÛ`=(2x+y+1)(2x-y+1) 답 2x+1, 2x-y+1 0553 xÛ`-2x+1-yÛ`=(x-1)Û`-yÛ` xÛ`-2x+1-yÛ`={(x-1)+y}{(x-1)-y} 0557 4aÛ`(x-y)-bÛ`(x-y) =(x-y)(4aÛ`-bÛ`) =(x-y)(2a+b)(2a-b) 답 ③ 0558 전략 치환하여 인수분해한 후 반드시 원래의 식을 대입한다. x+3=A로치환하면 2(x+3)Û`+5(x+3)-12=2AÛ`+5A-12 2(x+3)Û`+5(x+3)-12=(2A-3)(A+4) 2(x+3)Û`+5(x+3)-12={2(x+3)-3}{(x+3)+4} 2(x+3)Û`+5(x+3)-12=(2x+3)(x+7) 답 (2x+3)(x+7) 0559 x-2=A로치환하면 (x-2)Û`-5(x-2)+6=AÛ`-5A+6 (x-2)Û`-5(x-2)+6=(A-2)(A-3) (x-2)Û`-5(x-2)+6={(x-2)-2}{(x-2)-3} (x-2)Û`-5(x-2)+6=(x-4)(x-5) (x-4)+(x-5)=2x-9 답 2x-9 0560 x-3=A로치환하면 (x-3)Û`-2(x-3)-8=AÛ`-2A-8 (x-3)Û`-2(x-3)-8=(A-4)(A+2) (x-3)Û`-2(x-3)-8={(x-3)-4}{(x-3)+2} (x-3)Û`-2(x-3)-8=(x-7)(x-1) 답 (a+4)(a-b) 따라서두일차식의합은 xÛ`-2x+1-yÛ`=(x+y-1)(x-y-1) 따라서a=-7,b=-1또는a=-1,b=-7이므로 답 (x+y-1)(x-y-1) a+b=-8 답 -8 50 정답과 해설 0561 전략 유리수의 범위에서 인수분해가 가능할 때까지 끝까지 인수 0567 전략 공통부분이 2개 있으면 각각 서로 다른 문자로 치환하여 분해한다. xÛ`-3x=A로치환하면 (xÛ`-3x)Û`-14(xÛ`-3x)+40 =AÛ`-14A+40 =(A-4)(A-10) =(xÛ`-3x-4)(xÛ`-3x-10) =(x-4)(x+1)(x-5)(x+2) 따라서일차식으로이루어진인수들의합은 (x-4)+(x+1)+(x-5)+(x+2)=4x-6 인수분해한다. x+3=A,x-2=B로치환하면 2(x+3)Û`+5(x+3)(x-2)-3(x-2)Û` =2AÛ`+5AB-3BÛ` =(2A-B)(A+3B) ={2(x+3)-(x-2)}{(x+3)+3(x-2)} =(x+8)(4x-3) 답 (x+8)(4x-3) 답 4x-6 0568 x+1=A,y-1=B로치환하면 2(x+1)Û`-(x+1)(y-1)-6(y-1)Û` 0562 전략 공통부분을 한 문자로 치환한 후 전개하고 인수분해한다. a-b=A로치환하면 =2AÛ`-AB-6BÛ` =(2A+3B)(A-2B) (a-b)(a-b+1)-2=A(A+1)-2 (a-b)(a-b+1)-2=AÛ`+A-2 (a-b)(a-b+1)-2=(A-1)(A+2) ={2(x+1)+3(y-1)}{(x+1)-2(y-1)} =(2x+3y-1)(x-2y+3) 따라서a=2,b=3,c=-2이므로 (a-b)(a-b+1)-2=(a-b-1)(a-b+2) 답 ①, ④ a +b+c=2+3+(-2)=3 답 3 0563 x+y=A로치환하면 (x+y)(x+y-4)+3=A(A-4)+3 (x+y)(x+y-4)+3=AÛ`-4A+3 (x+y)(x+y-4)+3=(A-1)(A-3) (x+y)(x+y-4)+3=(x+y-1)(x+y-3) 답 ③ 0564 x-3y=A로치환하면 (x-3y)(x-3y+7)-18 =A(A+7)-18 =AÛ`+7A-18 =(A-2)(A+9) =(x-3y-2)(x-3y+9) 따라서두일차식의합은 (x-3y-2)+(x-3y+9)=2x-6y+7 0565 2x-1=A,x+2=B로치환하면 (2x-1)Û`-(x+2)Û` =AÛ`-BÛ`=(A+B)(A-B) ={(2x-1)+(x+2)}{(2x-1)-(x+2)} =(3x+1)(x-3) 따라서a=1,b=-3이므로 3a+b=3_1+(-3)=0 0566 2x+3=A,x-4=B로치환하면 (2x+3)Û`-(x-4)Û` =AÛ`-BÛ`=(A+B)(A-B) ={(2x+3)+(x-4)}{(2x+3)-(x-4)} =(3x-1)(x+7) 답 (3x-1)(x+7) 0569 전략 일차식을 두 개씩 짝을 지어 공통부분이 생기는지 확인한 다. x(x+1)(x+2)(x+3)+1 ={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}+1 =(xÛ`+3x)(xÛ`+3x+2)+1 =A(A+2)+1 =AÛ`+2A+1 =(A+1)Û` =(xÛ`+3x+1)Û` 따라서a=3,b=1이므로 a+b=3+1=4 xÛ`+3x=A로 치환 답 4 답 2x-6y+7 0570 (x-5)(x-3)(x+3)(x+1)+35 ={(x-5)(x+3)}{(x-3)(x+1)}+35 yy㈎ =(xÛ`-2x-15)(xÛ`-2x-3)+35 =(A-15)(A-3)+35 =AÛ`-18A+80 =(A-8)(A-10) =(xÛ`-2x-8)(xÛ`-2x-10) xÛ`-2x=A로 치환 yy㈏ 답 0 =(x-4)(x+2)(xÛ`-2x-10) yy㈐ 답 (x-4)(x+2)(xÛ`-2x-10) 채점 기준 ㈎ 공통부분이 생기도록 일차식을 두 개씩 묶기 ㈏ 공통부분을 A로 치환하여 인수분해하기 ㈐ A에 원래의 식을 대입하여 인수분해하기 비율 30`% 30`% 40`% 5. 인수분해 공식의 활용 51 2aÜ`+2aÛ`-8a-8=2(a+1)(aÛ`-4) 2aÜ`+2aÛ`-8a-8=2(a+1)(a+2)(a-2) 0577 xÛ`-4yÛ`-6x+9 =(xÛ`-6x+9)-4yÛ` 따라서 인수가 아닌 것은 ⑤이다. 답 ⑤ =(x-3)Û`-(2y)Û` 0575 aÛ`-bÛ`-a+b=(a+b)(a-b)-(a-b) aÛ`-bÛ`-a+b=(a-b)(a+b-1) aÛ`-ab+a-b=a(a-b)+(a-b) aÛ`-ab+a-b=(a-b)(a+1) aÛ`-3a=A로 치환 따라서 두 다항식의 공통인 인수는 a-b이다. 답 ② 0571 전략 xÛ`+px+q가 완전제곱식이 되려면 q= 이어야 한다. {;2P;} 2` (a+1)(a+2)(a-4)(a-5)+k ={(a+1)(a-4)}{(a+2)(a-5)}+k =(aÛ`-3a-4)(aÛ`-3a-10)+k =(A-4)(A-10)+k =AÛ`-14A+40+k 이것이 완전제곱식이 되려면 40+k= =49이어 -14 2 { } 2` 답 9 야 하므로 k=9 k=9일 때 (주어진 식)=AÛ`-14A+49 (주어진 식)=(A-7)Û` (주어진 식)=(aÛ`-3a-7)Û` 0572 전략 공통인수를 찾을 때 수인 인수를 빠뜨리지 않도록 주의한다. 2aÜ`+2aÛ`-8a-8=2aÛ`(a+1)-8(a+1) 0573 ① axÛ`-a+bxÛ`-b=a(xÛ`-1)+b(xÛ`-1) ① axÛ`-a+bxÛ`-b=(xÛ`-1)(a+b) ① axÛ`-a+bxÛ`-b=(x+1)(x-1)(a+b) ② xÜ`+xÛ`-4x-4=xÛ`(x+1)-4(x+1) ② xÜ`+xÛ`-4x-4=(x+1)(xÛ`-4) ② xÜ`+xÛ`-4x-4=(x+1)(x+2)(x-2) ③ xy+2z-xz-2y=xy-xz-2y+2z ③ xy+2z-xz-2y=x(y-z)-2(y-z) ③ xy+2z-xz-2y=(y-z)(x-2) ④ aÛ`x+1-x-aÛ`=aÛ`x-aÛ`-x+1 ④ aÛ`x+1-x-aÛ`=aÛ`(x-1)-(x-1) ④ aÛ`x+1-x-aÛ`=(x-1)(aÛ`-1) ④ aÛ`x+1-x-aÛ`=(x-1)(a+1)(a-1) ⑤ xÛ`+ax-bx-ab=x(x+a)-b(x+a) ⑤ xÛ`+ax-bx-ab=(x+a)(x-b) 따라서 인수분해가 바르게 된 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 0574 xÛ`yÛ`-xÛ`-yÛ`+1 =xÛ`(yÛ`-1)-(yÛ`-1) =(xÛ`-1)(yÛ`-1) =(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) 채점 기준 ㈎두항씩묶기 ㈏공통인수로묶기 ㈐인수분해공식이용하기 52 정답과 해설 답 (x+1)(x-1)(y+1)(y-1) yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 비율 40`% 30`% 30`% 0576 전략 2개의 항씩 묶어 공통부분이 생기지 않으면 3개의 항을 묶 어 완전제곱식이 만들어지는지 확인한다. xÛ`+9yÛ`-6xy-25=(xÛ`-6xy+9yÛ`)-25 xÛ`+9yÛ`-6xy-25=(x-3y)Û`-5Û` xÛ`+9yÛ`-6xy-25=(x-3y+5)(x-3y-5) 따라서 a=-3, b=5, c=-3, d=-5 또는 a=-3, b=-5, c=-3, d=5이므로 a+b+c+d=-6 답 -6 =(x-3+2y)(x-3-2y) =(x+2y-3)(x-2y-3) 따라서 두 일차식의 합은 (x+2y-3)+(x-2y-3)=2x-6 답 2x-6 0578 1+2xy-xÛ`-yÛ` =1-(xÛ`-2xy+yÛ`) =1Û`-(x-y)Û` ={1+(x-y)}{1-(x-y)} =(1+x-y)(1-x+y) 답 ② 0579 주어진 식을 y에 대하여 내림차순으로 정리하면 xÛ`-2xy+2x+2y-3 =-2xy+2y+xÛ`+2x-3 =-2y(x-1)+(x-1)(x+3) =(x-1)(-2y+x+3) =(x-1)(x-2y+3) 0580 xÛ`+3x-yÛ`+y+2 =xÛ`+3x-(y+1)(y-2) =(x+y+1)(x-y+2) 따라서 a=1, b=-1, c=2이므로 a+b+c=1+(-1)+2=2 xÛ`+3x- (y+1)(y-2) x x y+1 ➡ x(y+1) -(y-2) ➡ -x(y-2) >³ + (2y+1) ⇨ 3x 답 ④ 답 2 0581 전략 두 문자의 차수가 같은 경우 어느 한 문자에 대하여 내림 차순으로 정리한다. 주어진식을x에대하여내림차순으로정리하면 xÛ`+2yÛ`+3xy-y-1 =xÛ`+3xy+2yÛ`-y-1 =xÛ`+3xy+(y-1)(2y+1) =(x+y-1)(x+2y+1) 답 (x+y-1)(x+2y+1) xÛ`+3xy+ (y-1)(2y+1) x x y-1 ➡ x(y-1) 2y+1 ➡ x(2y+1) + >³ (2y+1) ⇨ 3xy step 유형 마스터 p.90 ~ p.94 0593 전략 분자, 분모를 각각 인수분해 공식을 이용하여 간단히 한 후 계산한다. 73_17+73_13 37Û`-36Û` = 73_(17+13) (37+36)(37-36) = 73_30 73 =30 답 30 0594 3.14_54Û`-3.14_46Û` =3.14_(54Û`-46Û`) =3.14_(54+46)(54-46) ㈎㈏ =3.14_100_8 =2512 step 개념 마스터 p.89 0582 0583 풀이과정㈎에서는공통인수를묶어내었으므로 답 7, 7, 70, 4900 ma+mb=m(a+b)를사용하였고,풀이과정㈏에서는 인수분해공식aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)를사용하였다. 답 98, 98, 200, 4, 800 답 ㉠, ㉢ 답 100 답 ;2!; 0584 89_44+89_56=89_(44+56) 89_44+89_56=89_100=8900 답 8900 0585 95Û`+95_10+5Û`=95Û`+2_95_5+5Û` 95Û`+95_10+5Û`=(95+5)Û`=100Û`=10000 0586 103Û`-6_103+9=103Û`-2_103_3+3Û` 103Û`-6_103+9=(103-3)Û`=100Û`=10000 0587 101Û`-99Û`=(101+99)(101-99) 101Û`-99Û`=200_2=400 0588 "Ã "Ã 53Û`-47Û`= (53+47)(53-47) 53Û`-47Û`= 100_6=10 6 ' "Ã 'Ä 0589 xÛ`-8x+16=(x-4)Û`=(104-4)Û` xÛ`-8x+16=100Û`=10000 0590 xÛ`+2x+1=(x+1)Û`=( xÛ`+2x+1=( 2 )Û`=2 ' ' 2-1+1)Û` 0591 xÛ`+2xy+yÛ`=(x+y)Û` xÛ`+2xy+yÛ`=(2+ ' xÛ`+2xy+yÛ`=4Û`=16 3+2- 3 )Û` ' 답 400 답 10 6 ' 답 10000 답 2 답 16 0592 xÛ`-yÛ`=(x+y)(x-y) 3- xÛ`-yÛ`=( 3+ 5+ xÛ`-yÛ`=2 ' ' ' 3_2 ' 5=4 ' 15 ' '¶ 5 )( 3+ 5- 3+ 5 ) ' ' ' ' 0595 "Ã "Ã "Ã 101Û`-2_101+1= (101-1)Û` 101Û`-2_101+1= 100Û` 101Û`-2_101+1=100 "Ã "Ã 답 10000 0596 95_95+205_99-105_105-205_91 =(95_95-105_105)+(205_99-205_91) =(95Û`-105Û`)+(205_99-205_91) =(95+105)(95-105)+205_(99-91) 답 10000 =200_(-10)+205_8 =-2000+1640 =-360 답 -360 0597 2_2015Û`+12_2015+18 4_2018Û` = 2_(2015Û`+2_3_2015+3Û`) 4_2018Û` = 2_(2015+3)Û` 4_2018Û` = ;2!; 0598 전략 2016=A라 하면 2020=A+4이다. 2016=A로치환하면 2016_2020+4=A(A+4)+4 2012_2016+4=AÛ`+4A+4 2012_2016+4=(A+2)Û` 2012_2016+4=(2016+2)Û`=2018Û` 답 4 1 5 ' ∴k=2018 답 2018 5. 인수분해 공식의 활용 53 0599 전략 aÛ`-bÛ`의 꼴이 보이도록 두 항씩 짝을 짓는다. (주어진식) =(1Û`-2Û`)+(3Û`-4Û`)+y+(19Û`-20Û`) =(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4) +y+(19+20)(19-20) =(-1)_(1+2+3+4+y+19+20) =(-1)_210=-210 답 -210 1+2+3+y+18+19+20=21_10=210 21 21 21 0600 (주어진식) =(11Û`-13Û`)+(15Û`-17Û`)+(19Û`-21Û`)+(23Û`-25Û`) =(11+13)(11-13)+(15+17)(15-17) +(19+21)(19-21)+(23+25)(23-25) =(-2)_(11+13+15+17+19+21+23+25) 답 -288 =(-2)_144 =-288 0601 (주어진식) = (2-1)(2+1) 2Û` _ (3-1)(3+1) 3Û` _ (4-1)(4+1) 4Û` (10-1)(10+1) 10Û` _y_ = 1_3 2Û` _ 2_4 3Û` _ 3_5 4Û` _y_ 9_11 10Û` = _ ;2!; ;2#; _ ;3@; _ ;3$; _ ;4#; _ ;4%; _y_ _ ;1»0; ;1!0!; = _ = ;2!0!; ;1!0!; ;2!; 답 ;2!0!; 0602 전략 먼저 x, y의 분모를 유리화한다. x= y= 1 1+ 1 1- 2 ' 2 ' = = 2 1- ' 2 )(1- ' 1+ ' 2 )(1+ 2 2 ) ' 2 ) ' (1+ (1- ' ∴xÛ`-yÛ`=(x+y)(x-y) = 1- ' -1 2 = 2-1 ' = 2 1+ ' -1 =- 2-1 ' ∴xÛ`+yÛ`={( ' 2-1)+(- 2-1)}{( ' ' 2-1)-(- 2-1)} ' ∴xÛ`+yÛ`=(-2)_2 2 ' ∴xÛ`+yÛ`=-4 2 ' 0603 xÛ`-5x+6=(x-2)(x-3) xÛ`-5x+6={(2+ 3 )-2}{(2+ 3 )-3} ' xÛ`-5x+6= 3( ' xÛ`-5x+6=3- ' 3-1) ' 3 ' 답 3- 3 ' 0604 x= 6 5+2 ' 6 )(5+2 6 ) ' (5-2 ' =5+2 6 ' ∴xÛ`-10x+25=(x-5)Û` ∴xÛ`-10x+25={(5+2 6 )-5}Û` ∴xÛ`-10x+25=(2 ' 6 )Û`=24 ' 54 정답과 해설 0605 (주어진식)= x+y (x+y)(x+3y) (주어진식)= 1 x+3y (주어진식)= (주어진식)= ' 1 2 )+3(2 1 2+6 2-3 ' ' (5-6 5-6 ' 2-1) (주어진식)= ;2!; 0606 x= 2+ 2- y= 2- 2+ 3 3 ' ' 3 3 ' ' = (2+ (2- = (2- (2+ ' ' 3 )Û`` ' 3 )(2+ 3)Û`` ' 3 )(2- ∴xÛ`-2xy+yÛ`=(x-y)Û` 3 ) ' 3 ) ' =7+4 3 =7-4 3 ' ' ∴xÛ`+2xy+yÛ`={(7+4 3 )-(7-4 3 )}Û` ' ∴xÛ`+2xy+yÛ`=(8 ' ∴xÛ`+2xy+yÛ`=192 ' 3 )Û` 0607 x= 1 5- 1 5+ ' ' 3 ' 3 ' = = 5+ 3)( ' ' 5- 3)( 3 5+ ' ' 3 5- ' ' ' ' 3) ' 3) ' 5- ( ' 5+ ( ' = ' 3 ' 5+ 2 = ' 3 ' 5- 2 y= 답 ;2!; 답 192 yy㈎ yy㈏ - ;[}; ;]{; = yÛ`-xÛ` xy = (y+x)(y-x) xy 이때y+x= ' 3 ' 5- 2 + ' 3 ' 5+ 2 = 2 5 ' 2 = 5, ' y-x= ' 3 ' 5- 2 - ' 3 ' 5+ 2 = -2 ' 2 3 =- 3, ' xy= ' 3 ' 5+ 2 _ ' 5- 2 3 ' = ( ' 3 )Û` 5 )Û`-( 4 ' = ;2!; 이므로 (주어진식)={ 5_(- 3 )}Ö =-2 1 5 yy㈐ ' ' ;2!; ' 채점 기준 ㈎ x, y의 분모를 유리화하기 답 -4 2 ' ㈏ 주어진 식을 통분한 후 분자를 인수분해하기 ㈐ y+x, y-x, xy의 값을 대입하여 식의 값 구하기 50`% 답 -2 1 5 ' 비율 20`% 30`% 0608 전략 (소수 부분)=(무리수)-(정수 부분)이다. 5<3이므로a= 5-2 2< ' ' ∴aÜ`+6aÛ`+8a=a(aÛ`+6a+8) ∴aÜ`+6aÛ`+8a=a(a+2)(a+4) ∴aÜ`+6aÛ`+8a=( 5-2)( 5-2+2)( 5-2+4) ∴aÜ`+6aÛ`+8a= ∴aÜ`+6aÛ`+8a= ' 5+2) ' 5( ' 5{( ' 5-2)( ' 5)Û`-2Û`} ' ' ' ' 답 24 ∴aÜ`+6aÛ`+8a= 5 답 ' 5 0609 전략 주어진 식을 인수분해하여 x+y, x-y의 값을 대입한다. xÜ`-xÛ`y-xyÛ`+yÜ`=xÛ`(x-y)-yÛ`(x-y) xÜ`-xÛ`y-xyÛ`+yÜ`=(x-y)(xÛ`-yÛ`) xÜ`-xÛ`y-xyÛ`+yÜ`=(x-y)(x+y)(x-y) xÜ`-xÛ`y-xyÛ`+yÜ`=(x+y)(x-y)Û` 0614 전략 (색칠한 부분의 둘레의 길이) =(큰 원의 둘레의 길이)+(작은 원의 둘레의 길이) 큰 원의 반지름의 길이를 a cm, 작은 원의 반지름의 길이를 b cm라 하면 CBÓ=6 cm이므로 2a-2b=6 ∴ a-b=3 xÜ`-xÛ`y-xyÛ`+yÜ`=3_5Û`=75 답 75 또한 색칠한 부분의 둘레의 길이가 16p cm이므로 x, y의 값을 구하여 식의 값을 계산해도 된다. 2ap+2bp=16p x+y=3, x-y=5를 연립하여 풀면 x=4, y=-1 2p(a+b)=16p ∴ a+b=8 ∴ xÜ`-xÛ`y-xyÛ`+yÜ` ∴ =4Ü`-4Û`_(-1)-4_(-1)Û`+(-1)Ü` ∴ =64+16-4-1=75 0610 xÛ`+10xy+25yÛ`-4=(x+5y)Û`-4 xÛ`+10xy+25yÛ`-4=4Û`-4=12 답 12 0615 색칠한 부분의 넓이는 따라서 색칠한 부분의 넓이는 paÛ`-pbÛ`=p(aÛ`-bÛ`) paÛ`-pbÛ`=p(a+b)(a-b) paÛ`-pbÛ`=p_8_3=24p (cmÛ`) 답 24p`cmÛ` _{반지름의 길이가 (a+b)인 원의 넓이} ;2!; + _(반지름의 길이가 a인 원의 넓이) - _(반지름의 길이가 b인 원의 넓이) ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; = p(a+b)Û`+ paÛ`- pbÛ` ;2!; = p(a+b)Û`+ p(aÛ`-bÛ`) = p(a+b)Û`+ p(a+b)(a-b) = p(a+b)(a+b+a-b) ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; = p(a+b)_2a =a(a+b)p 답 a(a+b)p 0616 전략 (원기둥의 부피)=(밑넓이)_(높이) (큰 원기둥의 부피)=p_7.5Û`_10 (cmÜ`) (작은 원기둥의 부피)=p_1.5Û`_10 (cmÜ`) 따라서 화장지의 부피는 p_7.5Û`_10-p_1.5Û`_10 =10p_(7.5Û`-1.5Û`) =10p_(7.5+1.5)(7.5-1.5) ⑴ p( a+r)Û`-prÛ`=a(a+2r)p ⑵ l=2p r+ =p(a+2r)이므로 { ;2A;} ⑴ a+2r= l p ⑴ 따라서 산책로의 넓이는 ⑴ a(a+2r)p=a_ l p=al p _ 답 6 답 ⑴ a(a+2r)p ⑵ al 5. 인수분해 공식의 활용 55 0611 aÛ`-bÛ`+2a+1=(aÛ`+2a+1)-bÛ` aÛ`-bÛ`+2a+1=(a+1)Û`-bÛ` aÛ`-bÛ`+2a+1=(a+b+1)(a-b+1) yy ㈎ aÛ`-bÛ`+2a+1=(2 2-1+1) aÛ`-bÛ`+2a+1=(2 ' aÛ`-bÛ`+2a+1=4+ ' 2+1)( ' 2+1)_ 2 ' 2 ' 채점 기준 ㈎주어진식인수분해하기 ㈏a+b,a-b의값을대입하여식의값구하기 yy ㈏ 답 4+ 2 ' 비율 60`% 40`% 0612 aÛ`-bÛ`-2b-1=aÛ`-(bÛ`+2b+1) aÛ`-bÛ`-2b-1=aÛ`-(b+1)Û` aÛ`-bÛ`-2b-1=(a+b+1)(a-b-1) 즉 ( 5+1)(a-b-1)=40이므로 ' a-b-1= 40 5+1 ' 5-1) = 40( ( ' ' 5+1)( 5-1) ' 5-10 a-b-1=10( ∴ a-b =10 5-1)=10 ' 5-10+1 ' ' 5-9 =10 ' 색칠한 부분의 넓이는 90이므로 이때 aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)이므로 4a+4b=60 ∴ a+b=15 aÛ`-bÛ`=90 90=15(a-b) ∴ a-b=6 0613 전략 한 변의 길이가 a인 정사각형의 둘레의 길이는 4a이다. 두 정사각형의 둘레의 길이의 합이 60이므로 답 10 5-9 ' =10p_9_6=540p`(cmÜ`) 답 540p`cmÜ` 0617 ⑴ 산책로의 넓이는 ⑴ p( a+r)Û`-prÛ`=p(a+r+r)(a+r-r) 0618 전략 240=(220)Û`, 1=1Û`임을 알고 aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)를 이용한다. 240-1=(220)Û`-1Û` 240-1=(220+1)(220-1) 240-1=(220+1)(210+1)(210-1) 240-1=(220+1)(210+1)(2Þ`+1)(2Þ`-1) 240-1=(220+1)(210+1)_33_31 따라서두자연수는31,33이므로그합은 31+33=64 답 64 0623 xÛ`y+2x+xyÛ`+2y=xÛ`y+xyÛ`+2x+2y xÛ`y+2x+xyÛ`+2y=xy(x+y)+2(x+y) xÛ`y+2x+xyÛ`+2y=(x+y)(xy+2) 즉5_(xy+2)=20이므로 xy+2=4 ∴ xy=2 ∴xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy ∴xÛ`+yÛ`=5Û`-2_2 ∴xÛ`+yÛ`=25-4=21 답 21 x는 a로 나누어떨어진다. ➡ a는 x의 약수이다. 즉 x=a_☐ 0619 5¡`-1=(5Ý`+1)(5Ý`-1) 5¡`-1=(5Ý`+1)(5Û`+1)(5Û`-1) 5¡`-1=(5Ý`+1)(5Û`+1)(5+1)(5-1) 5¡`-1=626_26_6_4 5¡`-1=2Þ`_3_13_313 ① 8=2Ü`➡약수 ② 39=3_13➡약수 ③ 52=2Û`_13➡약수 ⑤ 313➡약수 따라서약수가아닌것은④이다. 답 ④ 0620 316-1=(3¡`+1)(3¡`-1) 316-1=(3¡`+1)(3Ý`+1)(3Ý`-1) 316-1=(3¡`+1)(3Ý`+1)(3Û`+1)(3Û`-1) 316-1=(3¡`+1)(3Ý`+1)(3Û`+1)(3+1)(3-1) 316-1=(3¡`+1)(3Ý`+1)_10_4_2 316-1=(3¡`+1)(3Ý`+1)_2Ý`_5 step3 내신 마스터 p.95 ~ p.97 0624 전략 먼저 공통인수를 찾아본다. xÛ`(yÛ`-1)+2x(yÛ`-1)+yÛ`-1 =(yÛ`-1)(xÛ`+2x+1) =(yÛ`-1)(x+1)Û` =(y+1)(y-1)(x+1)Û` 따라서인수가아닌것은③이다. 답 ③ 0625 전략 x+y=A로 치환하여 인수분해 공식을 이용한다. x+y=A로치환하면 4(x+y)Û`+5(x+y)-9 =4AÛ`+5A-9 =(A-1)(4A+9) =(x+y-1)(4x+4y+9) 답 ② 이때나누어떨어지게하는1보다크고10이하인자연수는 2,2Û`,2Ü`,5,2_5이므로이수들의합은 2+4+8+5+10=29 답 29 0626 전략 x-y=A로 치환하여 전개한다. x-y=A로치환하면 0621 전략 곱셈 공식의 변형 ➡ (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab aÛ`(a-b)+bÛ`(b-a)=aÛ`(a-b)-bÛ`(a-b) aÛ`(a-b)+bÛ`(b-a)=(a-b)(aÛ`-bÛ`) aÛ`(a-b)+bÛ`(b-a)=(a-b)(a+b)(a-b) aÛ`(a-b)+bÛ`(b-a)=(a-b)Û`(a+b) 이때(a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab =3Û`-4_(-1)=13 ∴(주어진식)=(a-b)Û`(a+b) ∴(주어진식)=13_3=39 0622 xÛ`y-xyÛ`+2x-2y=xy(x-y)+2(x-y) xÛ`y-xyÛ`+2x-2y=(x-y)(xy+2) xÛ`y-xyÛ`+2x-2y=(x-y)(6+2) xÛ`y-xyÛ`+2x-2y=8(x-y) (x-y-3)(x-y+2)-6 =(A-3)(A+2)-6 =AÛ`-A-12 =(A+3)(A-4) =(x-y+3)(x-y-4) ∴(x-y+3)+(x-y-4)=2x-2y-1 답 ③ 0627 전략 a+b=A, ab+1=B로 치환하여 AÛ`-BÛ` 으로 나타낸다. a+b=A,ab+1=B로치환하면 답 39 (a+b)Û`-(ab+1)Û` =AÛ`-BÛ` =(A+B)(A-B) =(a+b+ab+1)(a+b-ab-1) ={a(b+1)+(b+1)}{(a-1)-b(a-1)} 이때(x-y)Û`=(x+y)Û`-4xy=5Û`-4_6=1이므로 =(b+1)(a+1)(a-1)(1-b) x-y=1(∵x>y) =-(a+1)(a-1)(b+1)(b-1) ∴(주어진식)=8(x-y)=8_1=8 답 8 따라서인수가아닌것은⑤이다. 답 ⑤ 56 정답과 해설 0628 전략 a+b=A, a-b=B로 치환한다. a+b=A, a-b=B로 치환하면 (a+b)Û`-2(a+b)(a-b)-8(a-b)Û` =AÛ`-2AB-8BÛ` =(A+2B)(A-4B) ={a+b+2(a-b)}{a+b-4(a-b)} =(a+b+2a-2b)(a+b-4a+4b) =(3a-b)(-3a+5b) =-(3a-b)(3a-5b) 0629 전략 공통부분이 보이도록 두 항씩 짝지어 전개해 본다. a(a+2)(a+4)(a+6)-9 ={a(a+6)}{(a+2)(a+4)}-9 =(aÛ`+6a)(aÛ`+6a+8)-9 aÛ`+6a=A로 치환 =(3x+2y-1)(3x-2y-1) 답 (3x+2y-1)(3x-2y-1) 0632 전략 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리한다. xÛ`+2yÛ`+3xy+x+3y-2 =xÛ`+3xy+x+2yÛ`+3y-2 =xÛ`+(3y+1)x+(y+2)(2y-1) =(x+y+2)(x+2y-1) Lecture x x xÛ`+(3y+1)x+ (y+2)(2y-1) y+2 (cid:8857) x(y+2) 2y-1 (cid:8857) x(2y-1) (3y+1)x + >³ ={x+(y+2)}{x+(2y-1)} =(x+y+2)(x+2y-1) 답 ⑤ 답 (x+y+2)(x+2y-1) a(a+2)(a+4)(a+6)에서 일차식을 두 개씩 짝지어 보면 다음 =1.5_(8.5+1.5)(8.5-1.5) 답 ⑤ 0633 전략 공통인수로 묶은 후 인수분해 공식을 이용한다. 8.5Û`_1.5-1.5Û`_1.5 =1.5_(8.5Û`-1.5Û`) =1.5_10_7 =105 =A(A+8)-9 =AÛ`+8A-9 =(A+9)(A-1) =(aÛ`+6a+9)(aÛ`+6a-1) =(a+3)Û`(aÛ`+6a-1) Lecture 과 같다. Ú {a(a+2)}{(a+4)(a+6)} Ú =(aÛ`+2a)(aÛ`+10a+24) 0+2 4+6 Û {a(a+4)}{(a+2)(a+6)} Ú =(aÛ`+4a)(aÛ`+8a+12) 0+4 2+6 Ü {a(a+6)}{(a+2)(a+4)} Ú =(aÛ`+6a)(aÛ`+6a+8) a)(aÛ`+6 =(aÛ`+6a)(aÛ`+6 =(aÛ`+6a)(aÛ`+6a+ 0+6 2+4 yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 답 105 비율 20`% 30`% 채점 기준 ㈎ 공통인수로 묶기 ㈐ 식의 값 구하기 ㈏ aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)를 이용하여 인수분해하기 50`% 0634 전략 인수분해 공식을 이용하여 분모, 분자를 각각 간단히 한다. 996_994+996_6 998Û`-2Û` = 996_(994+6) (998+2)(998-2) = 996_1000 1000_996 =1 답 1 0635 전략 인수분해 공식을 이용하여 각각 계산해 본다. ① 31Û`-2_31+1=(31-1)Û`=30Û`=900 ② 67Û`-33Û`=(67+33)(67-33) ② 67Û`-33Û`=100_34=3400 ③ 39Û`+2_39+1=(39+1)Û`=40Û`=1600 ④ 102Û`-4_102+4 = (102-2)Û` "Ã "Ã "Ã ⑤ 95Û`-5Û` = = 100Û`=100 "Ã (95+5)(95-5) "Ã 'Ä = 100_90=30 10 '¶ 따라서 계산 결과가 가장 큰 것은 ②이다. 답 ② 5. 인수분해 공식의 활용 57 Ú ~ Ü에서 공통부분이 생기는 경우는 Ü뿐이고 이는 짝지은 두 일차식의 상수항의 합이 6으로 같은 경우이다. 0630 전략 두 다항식을 각각 인수분해하여 공통인 인수를 찾는다. aÛ`b-b-2+2aÛ`=aÛ`(b+2)-(b+2) aÛ`b-b-2+2aÛ`=(b+2)(aÛ`-1) aÛ`b-b-2+2aÛ`=(b+2)(a+1)(a-1) aÛ`-ab-2a+b+1=(aÛ`-2a+1)-b(a-1) aÛ`-ab-2a+b+1=(a-1)Û`-b(a-1) aÛ`-ab-2a+b+1=(a-1)(a-1-b) aÛ`-ab-2a+b+1=(a-1)(a-b-1) 따라서 두 다항식의 공통인 인수는 a-1이다. 답 ④ 0631 전략 aÛ`-bÛ`의 꼴이 되도록 (셋)+(하나)로 묶는다. 9xÛ`-4yÛ`-6x+1 =(9xÛ`-6x+1)-4yÛ` =(3x-1)Û`-(2y)Û` =(3x-1+2y)(3x-1-2y) 0636 전략 적당히 두 항씩 묶어 aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)를 이용한 0640 전략 한 변의 길이가 x인 정사각형의 둘레의 길이는 4x이다. 두 정사각형의 둘레의 길이의 합은 80이므로 =(1+3)(1-3)+(5+7)(5-7)+(9+11)(9-11) xÛ`-yÛ`=100 4x+4y=80 ∴ x+y=20 두 정사각형의 넓이의 차는 100이므로 이때 xÛ`-yÛ`=(x+y)(x-y)이므로 답 -72 20(x-y)=100 ∴ x-y=5 답 5 1Û`-3Û`+5Û`-7Û`+9Û`-11Û` =(1Û`-3Û`)+(5Û`-7Û`)+(9Û`-11Û`) =-2_(1+3+5+7+9+11) =-2_36=-72 다. 다. 0637 전략 주어진 식을 두 항씩 묶어 인수분해한 후 식의 값을 구한 0641 전략 aÛ`-2ab+bÛ`=(a-b)Û` 을 이용한다. 841=900-60+1 841=30Û`-2_30_1+1Û` 841=(30-1)Û` 841=29Û` 따라서 841은 소수가 아니다. 답 소수가 아니다. 0642 전략 CDÓ=ABÓ-(ACÓ+BDÓ)임을 이용한다. 큰 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 ABÓ=2r`cm이므로 CDÓ=ABÓ-(ACÓ+BDÓ)=2r-1.2`(cm) 이때 색칠한 부분의 둘레의 길이가 20p`cm이므로 2pr+2p_ 2r-1.2 2 { } =20p 2pr+2pr-1.2p=20p 4pr=21.2p ∴ r=5.3 따라서 큰 원의 반지름의 길이는 5.3`cm, 작은 원의 반지름 의 길이는 2_5.3-1.2 2 색칠한 부분의 넓이는 =4.7`(cm)이므로 p_5.3Û`-p_4.7Û`=p_(5.3Û`-4.7Û`) p_5.3Û`-p_4.7Û`=p(5.3+4.7)(5.3-4.7) 답 ⑤ p_5.3Û`-p_4.7Û`=p_10_0.6 p_5.3Û`-p_4.7Û`=6p`(cmÛ`) 답 6p`cmÛ` xÛ`-yÛ`-8x+8y=(x+y)(x-y)-8(x-y) xÛ`-yÛ`-8x+8y=(x-y)(x+y-8) yy ㈎ 이때 x+y=(3+ 2 )+(3- 2 )=6, x-y=(3+ ' (주어진 식)=2 ' 2 )-(3- ' 2 )=2 ' ' 2_(6-8)=-4 ' 2 ' 2이므로 채점 기준 ㈎주어진식인수분해하기 ㈏x+y,x-y의값구하기 ㈐식의값구하기 yy ㈏ yy ㈐ 답 -4 2 ' 비율 50`% 20`% 30`% 0638 전략 먼저 x, y의 분모를 유리화한다. 5+2) = 5+2 ' = 5-2 x= 1 ' y= 1 ' ( ' 5+2 ' 5-2)( ' 5-2 5+2 = ' 5+2)( ( ' ∴ xÜ`y-xyÜ` =xy(xÛ`-yÛ`) ' 5-2) = 5-2 ' =xy(x+y)(x-y) =( 5+2)( 5-2)_2 5_4 ' ' ' ' =8 5 0639 전략 ax+bx+ay+by를 인수분해하여 x+y의 값을 구한다. ⑴ ax+bx+ay+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) yy ㈎ ⑵ a+b=4, (a+b)(x+y)=12이므로 4(x+y)=12 ∴ x+y=3 ∴ xÛ`+2xy+yÛ`=(x+y)Û`=3Û`=9 채점 기준 ㈎ax+bx+ay+by를인수분해하기 ㈏x+y의값구하기 ㈐xÛ`+2xy+yÛ`의값구하기 yy ㈏ yy ㈐ 비율 30`% 40`% 30`% 답 ⑴ (a+b)(x+y) ⑵ 9 58 정답과 해설 11x+5=0➡일차방정식 -3xÛ`+3x+2=0➡이차방정식 ⑤ -2x-9=0➡일차방정식 따라서이차방정식이아닌것은③,⑤이다. 답 ③, ⑤ 0658 ㉠ xÛ`=0➡이차방정식 ㉡ 12x-9=0➡일차방정식 xÛ`-3x+1➡이차식 ㉣ xÛ`-x-2=0➡이차방정식 -2xÛ`+4x-1=0➡이차방정식 ㉥ x-7=0➡일차방정식 0659 ① 3xÛ`+5x➡이차식 ② 10x+3=0➡일차방정식 ③ xÛ`+3=0➡이차방정식 -6x+11=0➡일차방정식 따라서이차방정식은㉠,㉣,㉤이다. 답 ㉠, ㉣, ㉤ 분모에xÛ`이있으므로이차방정식이아니다. 따라서이차방정식인것은③이다. 답 ③ 0660 전략 우변의 항을 좌변으로 이항하여 정리한 후 xÛ`의 계수가 0 이 아닐 조건을 확인한다. axÛ`+2x+1=3x(x-1)에서 axÛ`+2x+1=3xÛ`-3x,(a-3)xÛ`+5x+1=0 이식이이차방정식이되려면a-3+0이어야한다. 0661 2(x-1)Û`+3=axÛ`-4x+5에서 2xÛ`-4x+2+3=axÛ`-4x+5,(2-a)xÛ`=0 이식이이차방정식이되려면2-a+0이어야한다. ∴a+2 답 ④ 답 ④ 6 이차방정식의 풀이 step 개념 마스터 0643 0644 일차방정식 0645 2xÛ`+x=(2x+1)(x+1)에서 2xÛ`+x=2xÛ`+3x+1 ∴-2x-1=0(일차방정식) 0646 0647 xÛ`-3x=0(이차방정식) 0648 xÜ`+3xÛ`-x+1=0(이차방정식이아니다.) 0649 등식이아니므로이차방정식이아니다. 0650 -5x+1=0(일차방정식) 0651 x=0일때0_(0-7)=0(참) 0652 x=1일때1Û`-4_1+3(거짓) p.100 답 ◯ 답 _ 답 _ 답 ◯ 답 ◯ 답 _ 답 _ 답 _ 답 ◯ 답 _ 답 _ 0655 x=0일때0Û`-6_0=0(참) x=1일때1Û`-6_1+0(거짓) x=2일때2Û`-6_2+0(거짓) x=3일때3Û`-6_3+0(거짓) 따라서구하는해는x=0이다. 0656 x=-1일때(-1)Û`+4_(-1)+3=0(참) x=0일때0Û`+4_0+3+0(거짓) x=1일때1Û`+4_1+3+0(거짓) 따라서구하는해는x=-1이다. 답 x=-1 0653 x=2일때2_2Û`-6_2-1+0(거짓) ∴a+3 0654 x=-4일때(-4)Û`+3_(-4)-4=0(참) 답 ◯ 답 x=0 0662 전략 [ ] 안의 수를 이차방정식에 대입해 본다. ① x=-2일때(-2)Û`-2_(-2)+0(거짓) ② x=-1일때2_(-1)Û`+(-1)+0(거짓) ③ x=0일때0Û`+0+1+0(거짓) ④ x=-1일때(-1)Û`-2_(-1)-3=0(참) Û`+ -1+0(거짓) 일때3_ ⑤ x= ;3!; {;3!;} ;3!; 따라서[ ]안의수가주어진이차방정식의해인것은④이 다. 답 ④ step 유형 마스터 p.101 ~ p.103 0657 전략 주어진 등식에서 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정 리한 후 이차방정식인지 아닌지 판단한다. ① 2xÛ`=0➡이차방정식 ② xÛ`+x=0➡이차방정식 0663 x=-1일때(-1)Û`+2_(-1)-8+0(거짓) x=0일때0Û`+2_0-8+0(거짓) x=1일때1Û`+2_1-8+0(거짓) x=2일때2Û`+2_2-8=0(참) 따라서xÛ`+2x-8=0의해는x=2이다. 답 ③ 6. 이차방정식의 풀이 59 ③ ④ ㉢㉤ ④ ⑤ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-2, b=-3 으므로 a+0이다. 채점 기준 ㈎ x=a를 대입하여 aÛ`-2a의 값 구하기 ㈏ x=b를 대입하여 bÛ`-2b의 값 구하기 ㈐ 주어진 식의 값 구하기 비율 20 % 20 % 60 % 0671 x=a를 xÛ`+3x-5=0에 대입하면 ∴ aÛ`+3a=5 aÛ`+3a-5=0 x=b를 2xÛ`-6x-7=0에 대입하면 2bÛ`-6b-7=0 ∴ 2bÛ`-6b=7 ∴ 2(aÛ`+bÛ`)+6(a-b)-2 =2(aÛ`+3a)+(2bÛ`-6b)-2 =2_5+7-2=15 답 15 0672 전략 x=a를 xÛ`-7x+1=0에 대입한 후 양변을 a로 나눈다. x=a를 xÛ`-7x+1=0에 대입하면 aÛ`-7a+1=0 이때 a+0이므로 양변을 a로 나누면 a-7+ =0 ∴ a+ =7 ;a!; ;a!; 답 7 x=0을 xÛ`-7x+1=0에 대입하면 등식이 성립하지 않 0673 x=a를 xÛ`- aÛ`- 5a+1=0 ' ' 5x+1=0에 대입하면 이때 a+0이므로 양변을 a로 나누면 a- 5+ =0 ∴ a+ ' ;a!; = 5 ' ;a!; ∴ aÛ`+ 1 aÛ` = a+ { ;a!;} Û`-2=( ' 5)Û`-2=3 답 3 0674 x=a를 xÛ`-8x+1=0에 대입하면 aÛ`-8a+1=0 이때 a+0이므로 양변을 a로 나누면 a-8+ =0 ∴ a+ =8 ;a!; a- ∴ { ;a!;} a+ { ;a!;} Û`= ;a!; Û`-4=8Û`-4=60 답 60 0675 전략 mÛ`+m+ + ;m! ; 1 mÛ` = mÛ`+ { 1 mÛ` } + m+ { ;m! ;} 에서 답 10 답 3 yy ㉠ yy ㉡ 답 -5 yy ㉠ yy ㉡ 0664 ① x-3=0은 일차방정식이다. ② -3Û`+3+0 (거짓) ③ 3_3Û`-8_3-3=0 (참) ④ (3+1)_(3+3)+0 (거짓) ⑤ (x+2)(x-3)=(x-3)(x+3)에서 xÛ`-x-6=xÛ`-9 ∴ -x+3=0 (일차방정식) 따라서 x=3을 해로 갖는 이차방정식은 ③이다. 답 ③ 0665 전략 x=-2를 주어진 이차방정식에 대입하여 k의 값을 구한다. x=-2를 xÛ`+(2k-3)x+3k=0에 대입하면 (-2)Û`+(2k-3)_(-2)+3k=0 4-4k+6+3k=0, -k+10=0 ∴ k=10 0666 x=2를 xÛ`+ax-10=0에 대입하면 2Û`+2a-10=0, 2a-6=0 ∴ a=3 0667 x=3을 xÛ`+ax+b=0에 대입하면 9+3a+b=0 x=-1을 xÛ`+ax+b=0에 대입하면 1-a+b=0 ∴ a+b=-2+(-3)=-5 9+3a+b=0에서 3a+b=-9 1-a+b=0에서 -a+b=-1 ㉠-㉡을 하면 4a=-8 ∴ a=-2 a=-2를 ㉡에 대입하면 -(-2)+b=-1 ∴ b=-3 0668 전략 x=a를 2xÛ`-7x+3=0에 대입하고, x=b를 xÛ`-4x+2=0에 대입한다. x=a를 2xÛ`-7x+3=0에 대입하면 2aÛ`-7a+3=0 ∴ 2aÛ`-7a=-3 x=b를 xÛ`-4x+2=0에 대입하면 bÛ`-4b+2=0 ∴ bÛ`-4b=-2 ∴ 2aÛ`-bÛ`-7a+4b =2aÛ`-7a-(bÛ`-4b) 0669 x=a를 xÛ`+x-1=0에 대입하면 aÛ`+a-1=0이므로 1-a=aÛ`, 1-aÛ`=a = aÛ` aÛ` aÛ` 1-a + a + a a 1-aÛ` ∴ =1+1=2 0670 x=a를 xÛ`-2x-5=0에 대입하면 ∴ aÛ`-2a=5 aÛ`-2a-5=0 x=b를 xÛ`-2x-5=0에 대입하면 60 정답과 해설 =-3-(-2)=-1 답 -1 mÛ`+ 을 변형한다. 1 mÛ` x=m을 xÛ`-4x+1=0에 대입하면 mÛ`-4m+1=0 이때 m+0이므로 양변을 m으로 나누면 답 2 yy ㈎ bÛ`-2b-5=0 ∴ bÛ`-2b=5 yy ㈏ ∴ (aÛ`-2a+8)(bÛ`-2b+5) =(5+8)_(5+5) m-4+ =0 ∴ m+ =4 ;m! ; ;m! ; ∴ mÛ`+m+ + ;m! ; 1 mÛ` = mÛ`+ { 1 mÛ` } m+ ;m! ;} + { Û`-2 =13_10=130 yy ㈐ 답 130 = m+ [{ ;m! ;} + m+ ] { ;m! ;} =4Û`-2+4=18 답 18 step 개념 마스터 p.104 ~ p.105 0693 2(x-2)Û`-7=0에서(x-2)Û`= ;2&; x-2=Ñ ®Æ;2&; 4 1 ∴x=2Ñ ' 2 1 답 x=2Ñ ' 2 4 ∴x=0또는x=1 답 x=0 또는 x=1 0694 xÛ`-4x+1=0에서xÛ`-4x=-1 xÛ`-4x+4=-1+4 ∴(x-2)Û`=3 답 (x-2)Û`=3 ∴x=-1또는x=4 답 x=-1 또는 x=4 0695 2xÛ`+7x+4=0에서xÛ`+ x+2=0 ;2&; 0676 2x(x-1)=0에서 x=0또는x-1=0 0677 (x+1)(x-4)=0에서 x+1=0또는x-4=0 0678 ;3!; (x+2)(4x+5)=0에서 x+2=0또는4x+5=0 xÛ`+ x=-2,xÛ`+ x+ =-2+ ;2&; ;1$6(; ;1$6(; ;2&; ∴ x+ { ;4&;} Û`= ;1!6&; 답 { x+ ;4&;} Û`= ;1!6&; ∴x=-2또는x=- ;4%; 답 x=-2 또는 x=- ;4%; 0696 xÛ`-8x+1=0에서xÛ`-8x=-1 xÛ`-8x+16=-1+16,(x-4)Û`=15 0679 xÛ`-9=0에서(x+3)(x-3)=0 ∴x=-3또는x=3 답 x=-3 또는 x=3 0680 xÛ`+7x+10=0에서(x+2)(x+5)=0 ∴x=-2또는x=-5 답 x=-2 또는 x=-5 0681 2xÛ`+x-6=0에서(x+2)(2x-3)=0 ∴x=4Ñ 1 5 ' 답 x=4Ñ 1 5 ' 0697 xÛ`+5x+3=0에서xÛ`+5x=-3 xÛ`+5x+ =-3+ :ª4°: , x+ :ª4°: { ;2%;} Û`= :Á4£: ∴x= 1 3 -5Ñ 2 ' 답 x= 1 3 -5Ñ 2 ' ∴x=-2또는x= ;2#; 답 x=-2 또는 x= ;2#; 0698 2xÛ`+8x+5=0에서xÛ`+4x+ 답 x=4 (중근) xÛ`+4x=- ,xÛ`+4x+4=- +4 ;2%; (x+2)Û`= ;2#; 6 ∴ x=-2Ñ ' 2 =0 ;2%; ;2%; 답 x=-1 (중근) 답 x= ;2!; (중근) 6 답 x=-2Ñ ' 2 0682 0683 0684 0685 xÛ`+4x+4=0에서(x+2)Û`=0 ∴x=-2(중근) 답 x=-2 (중근) 0699 3xÛ`+5x-1=0에서xÛ`+ x- =0 ;3!; ;3%; 0686 xÛ`-10x+25=0에서(x-5)Û`=0 ∴x=5(중근) 답 x=5 (중근) 0687 6xÛ`-12x+6=0에서6(xÛ`-2x+1)=0 ∴ x=1(중근) 6(x-1)Û`=0 답 x=1 (중근) 0688 0689 xÛ`=8에서x=Ñ 8=Ñ2 2 ' ' 0691 (x-3)Û`=8에서x-3=Ñ2 ∴x=3Ñ2 2 2 ' 0692 4(x-3)Û`=20에서(x-3)Û`=5 5 5 ∴x=3Ñ x-3=Ñ ' ' ' 답 x=Ñ 답 x=Ñ2 3 ' 2 ' 5 ' 답 x=3Ñ2 2 ' 답 x=3Ñ 5 ' xÛ`+ x= ,xÛ`+ ;3%; ;3!; x+ = + ;3!; ;3@6%; ;3@6%; ;3%; x+ { ;6%;} Û`= ;3#6&; ∴ x= 3 7 -5Ñ 6 ' 답 x= 3 7 -5Ñ 6 ' step 유형 마스터 p.106 ~ p.112 차방정식의 해를 구한다. ① x=-2또는x=3② x=2또는x=-3 ③ x=2또는x= ④ x=- 또는x= ;2!; ;3!; ;3!; ⑤ x= 또는x=- ;2!; ;3!; 답 ② 6. 이차방정식의 풀이 61 0690 3xÛ`=15에서xÛ`=5 ∴ x=Ñ 5 답 x=Ñ ' 0700 전략 AB=0이면 A=0 또는 B=0임을 이용하여 각각의 이 0701 (x+3)(x-5)=0에서 x+3=0 또는 x-5=0 ∴ x=-3 또는 x=5 따라서 a=-3, b=5 또는 a=5, b=-3이므로 aÛ`+bÛ`=(-3)Û`+5Û`=9+25=34 답 34 0702 ① x=-2 또는 x=4이므로 두 근의 합은 2 x=-2 또는 x=2이므로 두 근의 합은 0 ② ③ x=0 또는 x=-2이므로 두 근의 합은 -2 ④ x=-1 또는 x=3이므로 두 근의 합은 2 0710 2xÛ`+5x-3=0에서 (x+3)(2x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x= ;2!; x=-3을 xÛ`+kx-2kÛ`-7=0에 대입하면 9-3k-2kÛ`-7=0, 2kÛ`+3k-2=0 (k+2)(2k-1)=0 ∴ k=-2 또는 k= ;2!; 따라서 모든 k의 값의 곱은 -2_ =-1 답 -1 ;2!; ⑤ x= 또는 x=-3이므로 두 근의 합은 - ;2!; ;2%; 0711 전략 a의 값을 구해 이차방정식에 대입하여 이차방정식을 푼 따라서 두 근의 합이 -2인 것은 ③이다. 답 ③ 다. 0703 전략 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한 후 인수분해 공식을 이용한다. 3xÛ`-8x+4=-1에서 3xÛ`-8x+5=0 (3x-5)(x-1)=0 따라서 a=-5, b=-1이므로 a+b=-5+(-1)=-6 답 -6 0704 xÛ`+2=-2x+10에서 xÛ`+2x-8=0 (x+4)(x-2)=0 ∴ x=-4 또는 x=2 답 x=-4 또는 x=2 0705 전략 먼저 괄호를 풀어 식을 정리한다. (x+6)(x-2)=4x-8에서 xÛ`+4x-12=4x-8 xÛ`-4=0, (x+2)(x-2)=0 ∴ x=-2 또는 x=2 답 ⑤ 0706 2xÛ`+5x-7=0에서 (x-1)(2x+7)=0 ∴ x=1 또는 x=- ;2&; 이때 a>b이므로 a=1, b=- ;2&; x=2를 (a+2)xÛ`+3x-2=0에 대입하면 4(a+2)+6-2=0, 4a+12=0 ∴ a=-3 이때 주어진 이차방정식은 -xÛ`+3x-2=0이므로 xÛ`-3x+2=0에서 (x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2 따라서 다른 한 근은 1이다. 답 1 0712 x=3을 (a-1)xÛ`-7x+3=0에 대입하면 9(a-1)-21+3=0, 9a-27=0 ∴ a=3 이때 주어진 이차방정식은 2xÛ`-7x+3=0이므로 (2x-1)(x-3)=0 ∴ x= 또는 x=3 ;2!; 따라서 다른 한 근은 이다. ;2!; 답 3, ;2!; 0713 x=5를 2xÛ`-3ax-2a+1=0에 대입하면 50-15a-2a+1=0 -17a=-51 ∴ a=3 yy ㈎ 이때 주어진 이차방정식은 2xÛ`-9x-5=0이므로 ∴ a-4b=1-4_ - =15 { ;2&;} 답 15 (2x+1)(x-5)=0 ∴ x=- 또는 x=5 ;2!; 0707 전략 x=5를 주어진 이차방정식에 대입한 후, a에 대한 이차방 즉 b=- ;2!; ∴ ab=3_ - { ;2!;} =- ;2#; 정식을 푼다. x=5를 xÛ`-ax-2aÛ`-7=0에 대입하면 25-5a-2aÛ`-7=0, 2aÛ`+5a-18=0 (2a+9)(a-2)=0 ∴ a=- 또는 a=2 ;2(; 0708 x=k를 xÛ`-x+3k=0에 대입하면 kÛ`-k+3k=0, kÛ`+2k=0 k(k+2)=0 ∴ k=-2 (∵ k+0) 답 -2 답 - ;2(;, 2 채점 기준 ㈎ x=5를 이차방정식에 대입하여 a의 값 구하기 ㈏ a의 값을 이차방정식에 대입하여 b의 값 구하기 40`% ㈐ ab의 값 구하기 0709 전략 (xÛ`의 계수)+0임에 주의한다. x=-1을 (a-2)xÛ`-aÛ`x-4=0에 대입하면 0714 x=3을 xÛ`+ax-3=0에 대입하면 9+3a-3=0, 3a=-6 ∴ a=-2 (a-2)+aÛ`-4=0, aÛ`+a-6=0 이때 주어진 이차방정식은 xÛ`-2x-3=0이므로 (a+3)(a-2)=0 ∴ a=-3 또는 a=2 (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 이때 a-2+0이므로 a+2 ∴ a=-3 답 -3 따라서 다른 한 근은 -1이다. yy ㈏ yy ㈐ 답 - ;2#; 비율 40`% 20`% 62 정답과 해설 x=-1을 3xÛ`-8x+b=0에 대입하면 3+8+b=0 ∴ b=-11 0720 전략 x=2를 각각의 이차방정식에 대입하여 a, b의 값을 구한다. x=2를 xÛ`+4x+a=0에 대입하면 ∴ a+b=-2+(-11)=-13 답 -13 4+8+a=0 ∴ a=-12 0715 x=-1을 4xÛ`-ax+a(a-6)=0에 대입하면 4+a+aÛ`-6a=0, aÛ`-5a+4=0 (a-4)(a-1)=0 ∴ a=4 (∵ a>1) 이때 주어진 이차방정식은 4xÛ`-4x-8=0이므로 xÛ`-x-2=0, (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 따라서 다른 한 근은 2이다. 0716 x=2를 (a-1)xÛ`+(aÛ`+1)x-4=0에 대입하면 4(a-1)+2(aÛ`+1)-4=0, 2aÛ`+4a-6=0 aÛ`+2a-3=0, (a+3)(a-1)=0 ∴ a=-3 또는 a=1 이때 a-1+0이므로 a+1 ∴ a=-3 즉 주어진 이차방정식은 -4xÛ`+10x-4=0이므로 2xÛ`-5x+2=0, (2x-1)(x-2)=0 ∴ x= 또는 x=2 ;2!; 따라서 다른 한 근은 이다. ;2!; 답 ;2!; 0717 전략 각각의 이차방정식을 푼 후 공통인 근을 찾는다. xÛ`-3x-10=0에서 (x-5)(x+2)=0 ∴ x=5 또는 x=-2 5xÛ`+7x-6=0에서 (x+2)(5x-3)=0 ∴ x=-2 또는 x= ;5#; 따라서 공통인 근은 -2이다. 답 -2 0718 xÛ`+x-6=0에서 (x+3)(x-2)=0 ∴ x=-3 또는 x=2 3xÛ`-4x-4=0에서 (3x+2)(x-2)=0 ∴ x=- 또는 x=2 ;3@; 따라서 두 이차방정식을 모두 만족하는 x의 값은 2이다. 답 2 0719 xÛ`+4x-21=0에서 (x+7)(x-3)=0 ∴ x=-7 또는 x=3 5xÛ`-8x-21=0에서 (5x+7)(x-3)=0 ∴ x=- 또는 x=3 ;5&; x=2를 xÛ`-2x+b=0에 대입하면 4-4+b=0 ∴ b=0 ∴ a+b=-12+0=-12 0721 x=3을 xÛ`+ax-6=0에 대입하면 9+3a-6=0, 3a+3=0 ∴ a=-1 x=3을 4xÛ`-11x-b=0에 대입하면 답 2 36-33-b=0 ∴ b=3 ∴ ab=-1_3=-3 답 -12 답 -3 0722 x=-3을 2xÛ`+px-6=0에 대입하면 18-3p-6=0, -3p+12=0 ∴ p=4 x=-3을 xÛ`-4x+q=0에 대입하면 9+12+q=0 ∴ q=-21 p=4, q=-21을 xÛ`+px+q=0에 대입하면 xÛ`+4x-21=0, (x+7)(x-3)=0 ∴ x=-7 또는 x=3 답 x=-7 또는 x=3 0723 전략 (완전제곱식)=0의 꼴로 인수분해되지 않는 것을 고른다. ∴ x=0 또는 x=6 ① x(x-6)=0 ② xÛ`+8x+16=0에서 (x+4)Û`=0 ∴ x=-4 (중근) ③ xÛ`+x+ =0에서 x+ Û`=0 { ;2!;} ∴ x=- (중근) ;4!; ;2!; ④ xÛ`-4x+4=0에서 (x-2)Û`=0 ∴ x=2 (중근) ⑤ 2(xÛ`+10x+25)=0에서 2(x+5)Û`=0 ∴ x=-5 (중근) 따라서 중근을 갖지 않는 것은 ①이다. 답 ① 0724 ㉠ xÛ`+4x+4=0에서 (x+2)Û`=0 ∴ x=-2 (중근) ㉡ xÛ`-25=0에서 (x+5)(x-5)=0 ∴ x=-5 또는 x=5 ㉢ xÛ`-2x+1=0에서 (x-1)Û`=0 ∴ x=1 (중근) ㉣ xÛ`-10x+25=0에서 (x-5)Û`=0 ∴ x=5 (중근) ㉤ xÛ`-6x=0에서 x(x-6)=0 ∴ x=0 또는 x=6 따라서 두 이차방정식을 모두 만족하는 x의 값은 3이므로 ㉥ xÛ`+7x+10=0에서 (x+5)(x+2)=0 x=3을 2xÛ`-ax+2-a=0에 대입하면 18-3a+2-a=0, -4a+20=0 ∴ a=5 답 5 ∴ x=-5 또는 x=-2 따라서 중근을 갖는 이차방정식은 ㉠, ㉢, ㉣이다. 답 ㉠, ㉢, ㉣ 6. 이차방정식의 풀이 63 0725 전략 xÛ`의 계수가 1이고 중근 a를 갖는 이차방정식은 (x-a)Û`=0이다. xÛ`의 계수가 1이고 중근 3을 갖는 이차방정식은 (x-3)Û`=0 ∴ xÛ`-6x+9=0 따라서 a=-6, b=9이므로 a+b=-6+9=3 0726 전략 이차방정식 xÛ`+ax+b=0이 중근을 가질 조건 ➡ b= Û` {;2A;} xÛ`-6x-2k+5=0이 중근을 가지려면 -2k+5= -6 2 } { Û`이어야 하므로 -2k+5=9 -2k=4 ∴ k=-2 0727 xÛ`-2(x-k)+9=0에서 xÛ`-2x+2k+9=0 이 이차방정식이 중근을 가지려면 2k+9= -2 2 } { Û`=1 2k=-8 ∴ k=-4 이때 주어진 이차방정식은 xÛ`-2x+1=0이므로 (x-1)Û`=0 ∴ x=1 (중근) 채점 기준 ㈎ 괄호를 풀어 식 정리하기 ㈏ 중근을 가질 조건을 이용하여 k의 값 구하기 ㈐ k의 값을 대입하여 중근 구하기 답 -2 yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 답 -4, 1 비율 20`% 40`% 40`% 0731 2(2x+3)Û`=16에서 (2x+3)Û`=8 2, 2x=-3Ñ2 2x+3=Ñ2 2 ' -3Ñ2 2 ' 2 ∴ x= ' =- Ñ 2 ' ;2#; 답 ④ 답 3 0732 (x+A)Û`=B에서 x+A=Ñ B=2Ñ '¶ 따라서 A=-2, B=7이므로 ∴ x=-AÑ ' 7 B '¶ A+B=-2+7=5 답 5 0733 3(x-2)Û`=a에서 (x-2)Û`= ;3A; ®;3A; x-2=Ñ ∴ x=2Ñ ®Æ;3A; yy ㈎ 이때 주어진 이차방정식의 해가 x=bÑ 2이므로 ' 2Ñ ®;3A; =bÑ 2 ' 즉 2=b, =2이므로 a=6, b=2 ;3A; ∴ a+b=6+2=8 채점 기준 ㈎ 이차방정식 풀기 ㈏ 해를 이용하여 a, b의 값 구하기 ㈐ a+b의 값 구하기 yy ㈏ yy ㈐ 답 8 비율 40`% 40`% 20`% 0728 xÛ`+kx+ =0이 중근을 가지려면 ;9$; = ;9$; {;2K;} Û`에서 kÛ` 4 = ;9$; kÛ`= ∴ k=Ñ :Á9¤: ®É:Á9¤: =Ñ ;3$; 답 - ;3$;, ;3$; 0729 전략 xÛ`의 계수를 1로 만든 후 중근을 가질 조건을 생각한다. 3xÛ`-12x-m+3=0의 양변을 3으로 나누면 0734 전략 이차방정식 (x-p)Û`=q의 근 Ú q>0 ➡ x=pÑ q (2개) ' Û q=0 ➡ x=p (중근) Ü q<0 ➡ 근이 없다. 2(x-p)Û`=q에서 (x-p)Û`= ;2Q; ㉠ p=3, q=8이면 (x-3)Û`=4 x-3=Ñ2 ∴ x=1 또는 x=5 xÛ`-4x- m-3 3 =0 이 이차방정식이 중근을 가지려면 - m-3 3 = { -4 2 } Û`, m-3=-12 ∴ m=-9 답 -9 ㉢ q<0이면 <0이므로 0730 전략 (x-█)Û`=▲ (단, ▲¾0) ➡ x=█Ñ (x-3)Û`-7=0에서 (x-3)Û`=7 ▲ '¶ x-3=Ñ 7 ∴ x=3Ñ 7 ' 따라서 a=3+ 7, b=3- ' ' ' 7 또는 a=3- 7, b=3+ 7이 ' ' 므로 a+b=(3+ 7)+(3- 7)=6 ' ' 답 6 0735 (x-4)Û`=15k에서 x-4=Ñ ∴ x=4Ñ 15k 'Ä 15k 'Ä 64 정답과 해설 즉 q>0일 때 부호가 같은 두 근을 갖는 경우도 있다. ㉡ q=0이면 =0이므로 ;2Q; (x-p)Û`=0 ∴ x=p (중근) 따라서 주어진 이차방정식은 중근을 갖는다. (x-p)Û`= 는 근이 없다. ;2Q; ;2Q; 따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢이다. 답 ㉡, ㉢ 이때 이차방정식의 해가 정수가 되려면 15k는 제곱수이어야 ⑵ (x-3)Û`=21에서 x-3=Ñ 2 1 ' ∴ x=3Ñ 2 1 ' 답 ⑴ a=-3, b=21 ⑵ x=3Ñ 2 1 하므로 k=3_5_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다. k=3_5_1Û`, 3_5_2Û`, 3_5_3Û`, y 즉 k=15, 60, 135, y 따라서 구하는 자연수 k의 값 중 가장 작은 수는 15이다. 채점 기준 ㈎ (x+a)Û`=b의 꼴로 나타내기 답 15 ㈏ a, b의 값 구하기 ㈐ 제곱근을 이용하여 해 구하기 yy ㈐ ' 비율 40`% 20`% 40`% 0736 전략 먼저 xÛ`의 계수를 1로 만든다. 3xÛ`+6x-10=0에서 xÛ`+2x- =0 :Á3¼: xÛ`+2x= , xÛ`+2x+1= :Á3¼: +1 :Á3¼: ∴ (x+1)Û`= :Á3£: 따라서 p=1, q= 이므로 :Á3£: p+q=1+ :Á3£:=:Á3¤: 답 :Á3¤: 0737 xÛ`+6x-2=0에서 xÛ`+6x=2 xÛ`+6x+9=2+9 ∴ (x+3)Û`=11 따라서 a=3, b=11이므로 a+b=3+11=14 답 14 0738 (x-1)(x-5)=4에서 xÛ`-6x+5=4 xÛ`-6x=-1, xÛ`-6x+9=-1+9 ∴ (x-3)Û`=8 답 (x-3)Û`=8 0739 2xÛ`-8x+5=0에서 xÛ`-4x+ xÛ`-4x=- , xÛ`-4x+4=- +4 ;2%; =0 ;2%; ;2%; ∴ (x-2)Û`= ;2#; 0740 xÛ`-8x+9=0에서 xÛ`-8x=-9 xÛ`-8x+16=-9+16, (x-4)Û`=7 0743 전략 세 수가 모두 주어진 세로, 대각선에서 세 수의 합이 같음 을 이용하여 이차방정식을 만들어 푼다. 가로, 세로, 대각선에 있는 세 수의 합이 같으므로 xÛ`+5+(x-2)=2x+5+4, xÛ`-x-6=0 (x+2)(x-3)=0 ∴ x=-2 또는 x=3 그런데 x는 자연수이므로 x=3이다. 따라서 x=3을 주어진 표에 대입하 합이 15 면 오른쪽 그림과 같으므로 A+9+4=15에서 A=2 A+B+6=15에서 B=7 B+5+C=15에서 C=3 6+1+D=15에서 D=8 A B 6 9 5 1 4 C D 답 ④ 0744 2≪x≫Û`-5≪x≫+2=0에서 (2≪x≫-1)(≪x≫-2)=0 ∴ ≪x≫= 또는 ≪x≫=2 ;2!; ≪x≫가 양수 x의 양의 제곱근이므로 ≪x≫= 에서 x= ;2!; ;4!; ≪x≫=2에서 x=4 0745 xÛ`+ax+b=0이 중근을 가지려면 Û`, 즉 aÛ`=4b b= {;2A;} 따라서 p=2, q= 이므로 pq=2_ =3 답 3 ;2#; ;2#; 답 ;4!;, 4 x-4=Ñ 7 ∴ x=4Ñ ' 7 ' 따라서 A=-9, B=16, C=-4, D=7, E=4Ñ 7이므 로 옳지 않은 것은 ③이다. ' 답 ③ 개이다. 이때 aÛ`=4b를 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (2, 1), (4, 4)의 2 따라서 구하는 확률은 2 6_6 = ;1Á8; 답 ;1Á8; 0741 전략 이차방정식을 (x-p)Û`=q의 꼴로 바꾸어 해를 구한 후 주어진 해와 비교한다. xÛ`-2x-a=0에서 xÛ`-2x=a xÛ`-2x+1=a+1, (x-1)Û`=a+1 x-1=Ñ a+1 ∴ x=1Ñ a+1=1Ñ 'Ä 6 ' 'Ä 따라서 a+1=6이므로 a=5 답 5 step3 내신 마스터 p.113 ~ p.115 0742 ⑴ ;2!; xÛ`-3x-6=0에서 xÛ`-6x-12=0 xÛ`-6x=12, xÛ`-6x+9=12+9 (x-3)Û`=21 ∴ a=-3, b=21 yy ㈎ yy ㈏ 0746 전략 모든 항을 좌변으로 이항하여 식을 정리한다. ① xÛ`-6x=0 ;5!; ② 3x-1=0 (일차방정식) ③ xÛ`-2x+2=0 ④ -xÛ`+3x=0 따라서 이차방정식이 아닌 것은 ②이다. 답 ② 6. 이차방정식의 풀이 65 0747 전략 식을 전개하여 정리한 후 xÛ`의 계수가 0이 아닐 조건을 구 한다. Lecture -3x(ax-2)=xÛ`+1에서 -3axÛ`+6x=xÛ`+1 (-3a-1)xÛ`+6x-1=0 이 식이 이차방정식이 되려면 (xÛ`의 계수)+0이어야 하므로 -3a-1+0 ∴ a+- ;3!; 답 a+- ;3!; 어떤 등식이 x에 대한 이차방정식이 되기 위한 조건을 구하는 문제 는 반드시 식을 █xÛ`+▲x+=0의 꼴로 정리한 후 xÛ`의 계수가 0이 아닐 조건을 따져봐야 한다. 0748 전략 각각의 이차방정식에 x=-1을 대입한다. ① (-1)Û`-(-1)+0 (거짓) ② (-1)Û`+2_(-1)+1=0 (참) ③ (-1)Û`-5_(-1)-6=0 (참) ④ 2_(-1)Û`+(-1)-1=0 (참) ⑤ _(-1)Û`- _(-1)-1=0 (참) ;2!; ;2!; 0749 전략 x=1을 이차방정식에 대입하여 a의 값을 구한다. x=1을 xÛ`+ax-2a+1=0에 대입하면 1+a-2a+1=0, -a+2=0 ∴ a=2 0750 전략 x=a를 이차방정식에 대입한 후 양변을 a로 나눈다. x=a를 xÛ`-3x+1=0에 대입하면 aÛ`-3a+1=0 이때 a+0이므로 양변을 a로 나누면 a-3+ =0에서 a+ =3 ;a!; ;a!; 0752 전략 좌변을 인수분해하여 이차방정식을 푼다. 5xÛ`-7x-6=0에서 (x-2)(5x+3)=0 ∴ x=2 또는 x=- ;5#; 답 ③ 0753 전략 인수분해를 이용하여 xÛ`+x-6=0의 두 근을 구한다. xÛ`+x-6=0에서 (x+3)(x-2)=0 ∴ x=-3 또는 x=2 이때 a>b이므로 a=2, b=-3 즉 xÛ`+2x-3=0에서 (x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1 답 ② 0754 전략 x=4를 xÛ`+ax-4=0에 대입하여 a의 값을 구한 후 다 른 한 근을 구한다. x=4를 xÛ`+ax-4=0에 대입하면 16+4a-4=0 12+4a=0 ∴ a=-3 a=-3을 xÛ`+ax-4=0에 대입하면 (x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4 따라서 다른 한 근은 -1이다. x=-1을 2xÛ`+7x+b=0에 대입하면 2-7+b=0 ∴ b=5 답 a=-3, b=5 0755 전략 각각의 이차방정식을 푼 후 공통인 근을 찾는다. ⑴ xÛ`+5x-24=0에서 (x+8)(x-3)=0 ∴ x=-8 또는 x=3 ⑵ 5xÛ`-16x+3=0에서 (5x-1)(x-3)=0 ∴ x= 또는 x=3 ;5!; ⑶ 두 이차방정식의 공통인 근은 3이다. 따라서 x=-1을 해로 갖는 이차방정식이 아닌 것은 ①이다. xÛ`-3x-4=0 ∴ -2a- =-2 a+ =-2_3=-6 yy ㈐ ;a@; { ;a!;} 답 ⑴ x=-8 또는 x=3 ⑵ x= ;5!; 또는 x=3 ⑶ 3 채점 기준 ㈎ x=a를 이차방정식에 대입하여 a에 대한 식 만들기 20`% ㈏ 양변을 a로 나누어 a+ 의 값 구하기 ;a!; ㈐ -2a- 의 값 구하기 ;a@; 채점 기준 ㈎ xÛ`+5x-24=0 풀기 ㈏ 5xÛ`-16x+3=0 풀기 ㈐ 공통인 근 구하기 0756 전략 각각의 이차방정식에 x=2를 대입하여 a, b의 값을 구한 0751 전략 AB=0이면 A=0 또는 B=0임을 이용한다. ① x= 또는 x=1 ② x=- 또는 x=1 ③ x=- 또는 x=-1 ④ x= 또는 x=1 ⑤ x=- 또는 x=-1 답 ① ;2#; ;3@; ;2#; ;2#; ;3@; 다. x=2를 xÛ`+ax+4-a=0에 대입하면 4+2a+4-a=0 ∴ a=-8 x=2를 2xÛ`-3x+b=0에 대입하면 8-6+b=0 ∴ b=-2 ∴ b-a=-2-(-8)=6 답 ① 답 2 yy ㈎ yy ㈏ 답 -6 비율 50`% 30`% yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 비율 40`% 40`% 20`% 답 ⑤ 66 정답과 해설 0757 전략 좌변이 완전제곱식으로 인수분해되는지 확인한다. 0761 2xÛ`+4x+1=0의 양변을 2로 나누면 xÛ`+2x+ =0 ;2!; xÛ`+2x=- xÛ`+2x+1=- +1 ;2!; ;2!; (x+1)Û`= ;2!; ∴ x= -2Ñ 2 2 ' ② xÛ`-5x+ =0에서 x- :ª4°: { ;2%;} Û`=0 ∴ x= (중근) ;2%; 0758 전략 이차방정식 xÛ`+ax+b=0이 중근을 가지려면 b= 이어야 한다. 이차방정식 xÛ`+4x+k=0이 중근을 가지려면 k= {;2$;} Û`이어야 하므로 k=4 이때 주어진 이차방정식은 xÛ`+4x+4=0이므로 (x+2)Û`=0 ∴ x=-2 (중근), 즉 m=-2 ∴ k+m=4+(-2)=2 채점 기준 ㈎ 이차방정식이 중근을 가질 조건을 이용하여 k의 값 구하기 ㈏ 중근 m의 값 구하기 ㈐ k+m의 값 구하기 답 ② Û` {;2A;} yy ㈏ yy ㈐ 답 2 비율 40`% 40`% 20`% 0759 전략 제곱근을 이용하여 해를 구한 후 x=5Ñ 2와 비교한다. ' 3(x-a)Û`=b에서 (x-a)Û`= ;3B; x-a=Ñ ∴ x=aÑ ®;3B; ®;3B; =5Ñ 2 ' 즉 a=5, =2이므로 a=5, b=6 ;3B; ∴ a+b=5+6=11 0760 전략 a+1의 부호에 따라 근의 개수가 결정된다. ㉠ a=0이면 (x-4)Û`=1 x-4=Ñ1 ∴ x=3 또는 x=5 따라서 두 근의 곱은 3_5=15 ㉡ a=-1이면 (x-4)Û`=0 ∴ x=4 (중근) ㉢ a=-2이면 (x-4)Û`=-1이므로 근이 없다. 따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢이다. 답 ⑤ Lecture 이차방정식 (x-p)Û`=q의 꼴에서 Ú q>0이면 x-p=Ñ q이므로 ' q ➡ 서로 다른 2개의 근 x=pÑ ' Û q=0이면 (x-p)Û`=0이므로 x=p (중근) ➡ 1개의 근 yy ㈎ 따라서 A=1, B=1, C= , D=-2이다. ;2!; 답 A=1, B=1, C= ;2!;, D=-2 0762 ⑴ x x x 6 3 3 3 3 ⑵ x 3 x 3 ⑶ x 3 3 ➡ xÛ`+6x=16 ➡ xÛ`+6x+9=16+9 ➡ (x+3)Û`=25 x+3=5 ∴ x=2 답 x=2 답 ⑤ 0763 전략 일차함수 y=ax+b의 그래프가 점 (█, ▲)를 지난다. ➡ y=ax+b에 x=█, y=▲를 대입한다. 일차함수 y=ax+1의 그래프가 점 (a-2, 2aÛ`-2)를 지나 므로 x=a-2, y=2aÛ`-2를 대입하면 2aÛ`-2=a(a-2)+1, aÛ`+2a-3=0 (a+3)(a-1)=0 ∴ a=-3 또는 a=1 이때 일차함수의 그래프가 제`3`사분면을 지나지 않으려면 a<0이어야 하므로 a=-3 답 -3 Lecture 일차함수 y=ax+1의 그래프는 y절편이 1이고 기울기가 a인 직선 이므로 a의 부호에 따라 다음과 같이 두 가지로 그려질 수 있다. a>0 a<0 y y=ax+1 1 O x y 1 O x y=ax+1 6. 이차방정식의 풀이 67 Ü q<0이면 어떤 수를 제곱하여 음수가 되는 경우는 없으므로 (x-p)Û`=q를 만족하는 x-p의 값은 없다. 즉 이차방정식의 근이 없다. 따라서 제 3 사분면을 지나지 않으려면 a<0이어야 한다. 7 근의 공식과 이차방정식의 활용 step 개념 마스터 p.118 ~ p.119 0764 xÛ`+3x-5=0에서 a=1, b=3, c=-5이므로 x= -3Ñ "Ã 3Û`-4_1_(-5) 2_1 = -3Ñ 2 ' 2 9 0773 0.09xÛ`-0.12x=0.05의 양변에 100을 곱하면 9xÛ`-12x=5, 9xÛ`-12x-5=0 (3x+1)(3x-5)=0 ∴ x=- 또는 x= ;3!; ;3%; 답 x=- ;3!; 또는 x= ;3%; 0774 x+3=A로 치환하면 AÛ`-4A+4=0, (A-2)Û`=0 ∴ A=2 (중근) 답 x= 2 9 -3Ñ 2 ' 즉 x+3=2이므로 x=-1 (중근) 답 x=-1 (중근) 0765 3xÛ`-5x-1=0에서 a=3, b=-5, c=-1이므로 x= -(-5)Ñ "Ã (-5)Û`-4_3_(-1) 2_3 = 5Ñ ' 6 3 7 0775 x-1=A로 치환하면 AÛ`+6A-27=0, (A+9)(A-3)=0 답 x= 3 7 5Ñ ' 6 ∴ A=-9 또는 A=3 즉 x-1=-9 또는 x-1=3 답 x= 3 1Ñ ' 2 답 x= 1 0 2Ñ ' 3 답 x= 3 7 3Ñ ' 2 0766 2xÛ`-2x-1=0에서 a=2, b'=-1, c=-1이므로 x= -(-1)Ñ "Ã (-1)Û`-2_(-1) = 1Ñ ' 2 3 0767 3xÛ`-4x-2=0에서 a=3, b'=-2, c=-2이므로 x= -(-2)Ñ "Ã (-2)Û`-3_(-2) = 2Ñ ' 3 1 0 2 3 0768 x(x-3)=7에서 xÛ`-3x-7=0 ∴ x= 3Ñ ' 2 3 7 0769 xÛ`+13=3(4-x)에서 xÛ`+3x+1=0 ∴ x= -3Ñ 2 5 ' 답 x= -3Ñ 2 5 ' 0770 ;2!; xÛ`- x+ =0의 양변에 6을 곱하면 ;3$; ;6%; 3xÛ`-8x+5=0, (x-1)(3x-5)=0 ∴ x=1 또는 x= ;3%; 답 x=1 또는 x= ;3%; 0771 ;3!; xÛ`- ;2!; x-1=0의 양변에 6을 곱하면 2xÛ`-3x-6=0 ∴ x= 3Ñ '¶ 4 57 답 x= 5 7 3Ñ ' 4 0772 0.1x=0.3-xÛ`의 양변에 10을 곱하면 x=3-10xÛ`, 10xÛ`+x-3=0 (5x+3)(2x-1)=0 ∴ x=- 또는 x= ;5#; ;2!; 68 정답과 해설 ∴ x=-8 또는 x=4 답 x=-8 또는 x=4 0776 bÛ`-4ac=(-8)Û`-4_3_2=40>0이므로 근은 2개이다. 답 2개 0777 bÛ`-4ac=(-4)Û`-4_4_1=0이므로 근은 1개이다. 답 1개 0778 bÛ`-4ac=1Û`-4_1_3=-11<0이므로 근이 없다. 답 0개 0779 bÛ`-4ac=0Û`-4_1_(-9)=36>0이므로 근은 2개이다. 답 2개 0780 (x+2)Û`=6에서 xÛ`+4x-2=0 bÛ`-4ac=4Û`-4_1_(-2)=24>0이므로 근은 2개이다. (x+2)Û`=6에서 6>0이므로 근은 2개이다. 답 2개 0781 0782 0783 0784 답 (두 근의 합)=1, (두 근의 곱)=-6 답 (두 근의 합)=- ;4%;, (두 근의 곱)= ;4!; 답 (두 근의 합)=-1, (두 근의 곱)=0 답 (두 근의 합)=0, (두 근의 곱)=-7 0785 a+b=- -2 1 =2 답 x=- ;5#; 또는 x= ;2!; 0786 ab= -1 1 =-1 답 2 답 -1 0787 aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=2Û`-2_(-1)=6 답 6 0793 xÛ`-3x+m=0에서 근의 공식에 의해 0788 1 a + 1 b = a+b ab = 2 -1 =-2 답 -2 = 3Ñ 'Ä 9-4m 2 (-3)Û`-4_1_m 2_1 = 3Ñ ' 2 이므로 1 3 x= -(-3)Ñ "Ã 'Ä 3Ñ 이때 9-4m 2 9-4m=13, -4m=4 ∴ m=-1 0794 3xÛ`-5x+a=0에서 근의 공식에 의해 x= -(-5)Ñ "Ã (-5)Û`-4_3_a 2_3 x= 5Ñ 'Ä 25-12a 6 이때 5Ñ 'Ä 25-12a 6 = bÑ ' 6 3 7 이므로 b=5, 25-12a=37 ∴ a=-1, b=5 ∴ b-a=5-(-1)=6 채점 기준 ㈎ 근의 공식을 이용하여 해 구하기 ㈏ 주어진 근과 비교하여 a, b의 값 구하기 ㈐ b-a의 값 구하기 답 -1 yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 답 6 비율 40`% 40`% 20`% 0795 전략 0.3과 - ;2!;을 모두 정수로 만들 수 있는 적당한 수를 양변 0.3xÛ`=x- 의 양변에 10을 곱하면 ;2!; 3xÛ`=10x-5, 3xÛ`-10x+5=0 ∴ x= -(-5)Ñ (-5)Û`-3_5 3 "Ã = 5Ñ 'Ä 3 10 따라서 a=3, b=10이므로 = ;1£0; ;bA; 답 ;1£0; 0796 0.1xÛ`- x-0.8=0의 양변에 10을 곱하면 ;5!; xÛ`-2x-8=0, (x+2)(x-4)=0 ∴ x=-2 또는 x=4 이때 a>b이므로 a=4, b=-2 따라서 주어진 이차방정식은 xÛ`-4x-2=0이므로 x=-(-2)Ñ (-2)Û`-1_(-2)=2Ñ 6 "Ã ' 답 x=2Ñ 6 ' 따라서 A=-3, B=2이므로 =- ;2#; ;bA; 답 - ;2#; 에 곱한다. step 유형 마스터 p.120 ~ p.127 0789 전략 근의 공식을 이용하여 2xÛ`-7x+4=0의 해를 구한다. 2xÛ`-7x+4=0에서 근의 공식에 의해 x= -(-7)Ñ (-7)Û`-4_2_4 2_2 "Ã = 7Ñ ' 4 1 7 따라서 A=7, B=17이므로 A+B=24 답 24 0790 전략 이차방정식의 x의 계수가 짝수이므로 짝수 공식을 이용하 면 계산이 더 편리하다. xÛ`+6x+1=0에서 근의 공식에 의해 x=-3Ñ 3Û`-1_1=-3Ñ 8=-3Ñ2 2 ' ' "Ã 0791 xÛ`-6x+2=0에서 근의 공식에 의해 (-3)Û`-1_2=3Ñ x=-(-3)Ñ "Ã 이때 a>b이므로 a=3+ 7 ' 7 7, b=3- ' ' 7-3에서 - 즉 3- 7-3b이므로 a=5, b=- ;2!; ∴ a+2b=5+2_ - =4 { ;2!;} 채점 기준 ㈎ 주어진 이차방정식의 계수를 정수로 바꾸기 ㈏ 이차방정식을 풀어 a, b의 값 구하기 ㈐ a+2b의 값 구하기 yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 답 4 비율 40`% 40`% 20`% 0800 xÛ`+1 3 + x-3 2 ;6{; = 의 양변에 6을 곱하면 2(xÛ`+1)+3(x-3)=x, 2xÛ`+2x-7=0 ∴ x= -1Ñ 1Û`-2_(-7) 1 ' "Ã 5 = -1Ñ 2 2 따라서 p=-1, q=15이므로 pq=(-1)_15=-15 답 -15 0801 (x-1)(x+4)=-3x+6에서 xÛ`+6x-10=0 3Û`-1_(-10)=-3Ñ ∴ x=-3Ñ 19 "Ã 이때 4< '¶ 또 -5<- '¶ 19<5이므로 1<-3+ '¶ 19<2 '¶ '¶ (A+3)(A-4)=0 ∴ A=-3 또는 A=4 즉 x+y=-3 또는 x+y=4이므로 구하는 작은 수는 -3 이다. 답 -3 0805 전략 각각의 이차방정식에서 bÛ`-4ac의 부호를 알아본다. bÛ`-4ac=2Û`-4_1_(-2)=12>0 ➡ 근이 2개 ① ② bÛ`-4ac=0Û`-4_4_(-5)=80>0 ➡ 근이 2개 ③ bÛ`-4ac=(-4)Û`-4_3_(-5)=76>0 ➡ 근이 2개 ④ bÛ`-4ac=2Û`-4_1_4=-12<0 ➡ 근이 없다. ⑤ bÛ`-4ac=3Û`-4_2_(-1)=17>0 ➡ 근이 2개 따라서 근이 없는 이차방정식은 ④이다. 답 ④ 0806 ① bÛ`-4ac=0Û`-4_1_0=0 ➡ 근이 1개 (중근) ② bÛ`-4ac=(-4)Û`-4_1_4=0 ➡ 근이 1개 (중근) ③ bÛ`-4ac=(-1)Û`-4_1_1=-3<0 ➡ 근이 없다. ④ bÛ`-4ac=2Û`-4_1_1=0 ➡ 근이 1개 (중근) ⑤ bÛ`-4ac=(-1)Û`-4_2_(-1)=9>0 ➡ 근이 2개 따라서 서로 다른 두 개의 근을 갖는 이차방정식은 ⑤이다. 답 ⑤ 0807 ㉠ bÛ`-4ac=(-6)Û`-4_9_1=0 ➡ 근이 1개`(중근) ㉡ (x-2)Û`=4에서 xÛ`-4x=0 bÛ`-4ac=(-4)Û`-4_1_0=16>0 19<-4이므로 -8<-3- 19<-7 ➡ 근이 2개 따라서 두 근 사이에 있는 정수는 -7, -6, -5, -4, -3, ㉢ bÛ`-4ac=(-3)Û`-4_1_(-4)=25>0 -2, -1, 0, 1의 9개이다. 답 9개 ➡ 근이 2개 0802 전략 치환하여 이차방정식을 푼 후 반드시 원래의 식을 대입한 다. x-2=A로 치환하면 AÛ`+2A-8=0, (A+4)(A-2)=0 ∴ A=-4 또는 A=2 즉 x-2=-4 또는 x-2=2이므로 ㉣ (x+2)(x-2)=2x-5에서 xÛ`-2x+1=0 bÛ`-4ac=(-2)Û`-4_1_1=0 ➡ 근이 1개`(중근) 따라서 중근을 갖는 이차방정식은 ㉠, ㉣이다. 답 ㉠, ㉣ 0808 xÛ`+4x+1-m=0이 서로 다른 두 근을 가지려면 4Û`-4_1_(1-m)>0, 4m+12>0 x=-2 또는 x=4 답 ③ ∴ m>-3 답 ⑤ 70 정답과 해설 0809 xÛ`+8x+11-m=0의 해가 없으려면 8Û`-4_1_(11-m)<0 4m+20<0 ∴ m<-5 0814 (a+1)xÛ`-(a+1)x+1=0이 중근을 가지려면 {-(a+1)}Û`-4_(a+1)_1=0 aÛ`-2a-3=0, (a+1)(a-3)=0 따라서 m의 값이 될 수 있는 것은 ⑤이다. 답 ⑤ ∴ a=-1 또는 a=3 0810 전략 이차방정식 axÛ`+bx+c=0이 근을 가지려면 그런데 이차방정식의 이차항의 계수는 0이 아니어야 하므로 a+1+0, 즉 a+-1 ∴ a=3 답 3 bÛ`-4ac¾0이어야 함을 이용한다. 3xÛ`-18x+5-k=3에서 3xÛ`-18x+2-k=0 이 이차방정식이 근을 가지려면 (-18)Û`-4_3_(2-k)¾æ0 300+12k¾æ0, 12k¾-300 ∴ kæ¾-25 채점 기준 ㈎ 이차방정식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리 ㈏ 이차방정식이 근을 가질 조건을 이용하여 부등식 하기 세우기 ㈐ k의 값의 범위 구하기 yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 답 k¾-25 비율 20`% 50`% 30`% 0811 xÛ`-x+k-4=0이 근을 가지려면 (-1)Û`-4_1_(k-4)æ¾0 1-4k+16¾æ0 ∴ kÉ :Á4¦: xÛ`-3x+k+7=0이 근을 갖지 않으려면 (-3)Û`-4_1_(k+7)<0 -19-4k<0 ∴ k>- :Á4»: 0815 (x+4)Û`=k(x+1)에서 xÛ`+(8-k)x+16-k=0 이 이차방정식이 중근을 가지려면 (8-k)Û`-4_1_(16-k)=0 kÛ`-12k=0, k(k-12)=0 ∴ k=12 (∵ k+0) 따라서 주어진 이차방정식은 5xÛ`+16x+3=0이므로 (x+3)(5x+1)=0 ∴ x=-3 또는 x=- ;5!; 답 x=-3 또는 x=- ;5!; 0816 xÛ`+2mx+3m=0이 중근을 가지려면 (2m)Û`-4_1_3m=0에서 4mÛ`-12m=0 4m(m-3)=0 ∴ m=3 (∵ m+0) x=3을 2xÛ`-7x+a=0에 대입하면 18-21+a=0 ∴ a=3 즉 2xÛ`-7x+3=0에서 (2x-1)(x-3)=0 ∴ x= 또는 x=3 ;2!; 따라서 다른 한 근은 x= 이므로 n= ;2!; ;2!; 따라서 - 0, b>0이므로 a+b=6 ∴ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=6Û`-2_8=20 답 20 즉 xÛ`-4x-a+3=0의 한 근이 2- 3이므로 다른 한 근은 ' 따라서 (두 근의 곱)=-a+3이므로 3 )(2+ 3 )=-a+3에서 1=-a+3 2+ 3이다. ' (2- ' ∴ a=2 ' 0837 x-y=A로 치환하면 (A-3)A=4, AÛ`-3A-4=0 (A+1)(A-4)=0 ∴ A=-1 또는 A=4 즉 x-y=-1 또는 x-y=4 그런데 x>y이므로 x-y=4 답 2 ㉠과 2x+y=5를 연립하여 풀면 x=3, y=-1 ∴ x+y=3+(-1)=2 yy ㉠ 답 2 0833 전략 근의 공식을 이용하여 이차방정식의 해를 구한다. 2xÛ`-3x+a-5=0에서 x= -(-3)Ñ "Ã 2_2 (-3)Û`-4_2_(a-5) x= 3Ñ 'Ä 49-8a 4 3Ñ 'Ä 49-8a 4 제곱수이어야 한다. 가 유리수가 되려면 근호 안의 수가 0 또는 0838 전략 공통부분이 보이도록 식을 정리한다. 2(2x+y)Û`-30x-15y+7=0에서 2(2x+y)Û`-15(2x+y)+7=0 2x+y=A로 치환하면 2AÛ`-15A+7=0, (2A-1)(A-7)=0 ∴ A= 또는 A=7 ;2!; 즉 2x+y= 또는 2x+y=7 ;2!; 따라서 자연수 a는 3, 5, 6의 3개이다. 답 3개 49-8a=0, 1, 4, 9, 16, 25, 36이므로 그런데 x, y는 자연수이므로 2x+y=7 a= :¢8»:, 6, :¢8°:, 5, :£8£:, 3, :Á8£: 이때 a는 자연수이므로 가능한 a의 값은 3, 5, 6이다. 따라서 2x+y=7을 만족하는 순서쌍 (x , y)는 (1 , 5), (2, 3), (3, 1)이다. 답 (1, 5), (2, 3), (3, 1) 0834 xÛ`-5x+a-2=0에서 x= -(-5)Ñ "Ã (-5)Û`-4_1_(a-2) 2_1 가 유리수가 되려면 근호 안의 수가 0 또는 제 따라서 자연수 a의 값은 2, 6, 8이므로 이중 가장 큰 수는 8이 0839 전략 두 근의 합과 곱을 이용하여 a, b의 값을 먼저 구한다. 3xÛ`-ax+b=0의 두 근의 합이 , 곱이 -2이므로 ;3%; = ;3%; ;3A; 에서 a=5, -2= 에서 b=-6 ;3B; 이때 5xÛ`-6x-1=0의 두 근이 a, b이므로 a+b= , ab=- ;5^; ;5!; ∴ (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab 답 8 ∴ (a-b)Û`= {;5^;} -4_ - { = ;2%5^; ;5!;} 답 ;2%5^; 0835 xÛ`-4x+a-1=0에서 x=-(-2)Ñ (-2)Û`-1_(a-1) "Ã 2Ñ 5-a가 유리수가 되려면 근호 안의 수가 0 또는 제곱수 따라서 자연수 a의 값은 1, 4, 5이므로 그 합은 2` 0840 xÛ`+4x+3=1에서 xÛ`+4x+2=0 a+b=-4, ab=2 (a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab =(-4)Û`-4_2=8 ∴ a-b=2 2 (∵ a>b) ' ∴ aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b) x= 5Ñ 'Ä 33-4a 2 5Ñ 'Ä 33-4a 2 곱수이어야 한다. 다. x=2Ñ 5-a 'Ä 'Ä 이어야 한다. 1+4+5=10 답 10 ∴ aÛ`-bÛ`=-4_2 2=-8 2 ' ' 답 -8 2 ' 7. 근의 공식과 이차방정식의 활용 73 0841 x=a를 xÛ`+2x-4=0에 대입하면 ∴ aÛ`+2a=4 aÛ`+2a-4=0 0851 (x+3)(x+2)=2xÛ`에서 xÛ`-5x-6=0 (x+1)(x-6)=0 ∴ x=-1 또는 x=6 또 xÛ`+2x-4=0의 두 근이 a, b이므로 그런데 x>0이므로 x=6 따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 6 cm이다. 답 6 cm a+b=-2, ab=-4 ∴ aÜ`+2aÛ`+ab+4b ∴ =a(aÛ`+2a)+ab+4b ∴ =4a+ab+4b ∴ =4(a+b)+ab ∴ =4_(-2)+(-4)=-12 답 -12 step 유형 마스터 p.129 ~ p.135 0852 전략 xÛ`+ax+b=0의 두 근이 a, b이면 a+b=-a, ab=b xÛ`-3x-7=0의 두 근이 a, b이므로 a+b=3, ab=-7 2(x-3)(x+7)=0 step 개념 마스터 p.128 이때 3, -7을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 2인 이차방정식은 0842 (x-3)(x-4)=0 ∴ xÛ`-7x+12=0 답 xÛ`-7x+12=0 2(xÛ`+4x-21)=0 ∴ 2xÛ`+8x-42=0 답 2xÛ`+8x-42=0 0843 3(x+1) x+ { ;3@;} =0, 3 xÛ`+ x+ =0 ;3%; ;3@;} { ∴ 3xÛ`+5x+2=0 답 3xÛ`+5x+2=0 0844 (x-4)Û`=0 ∴ xÛ`-8x+16=0 답 xÛ`-8x+16=0 0845 9 x+ { ;3@;} 2` =0 ∴ 9xÛ`+12x+4=0 답 9xÛ`+12x+4=0 0846 답 xÛ`+(x+1)Û`=85 0853 -1과 2를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 2인 이차방정식은 2(x+1)(x-2)=0, 2(xÛ`-x-2)=0 ∴ 2xÛ`-2x-4=0 답 ① 0854 중근이 x=3이고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x-3)Û`=0, 즉 xÛ`-6x+9=0 ∴ a=-6, b=9 따라서 bxÛ`+ax-10=0, 즉 9xÛ`-6x-10=0의 근은 x= -(-3)Ñ (-3)Û`-9_(-10) "Ã x= 3Ñ3 ' 9 1 1 9 = 1Ñ ' 3 1 1 답 x= 1 1 1Ñ ' 3 0847 xÛ`+(x+1)Û`=85에서 2xÛ`+2x-84=0 xÛ`+x-42=0, (x+7)(x-6)=0 ∴ x=-7 또는 x=6 그런데 x는 자연수이므로 x=6 따라서 두 자연수는 6, 7이다. 0855 xÛ`-3x-4=0의 두 근이 a, b이므로 a+b=3, ab=-4 + 1 b 이때 1 a = a+b ab =- , ;4#; 1 a _ 1 b = 1 ab =- ;4!; 따라서 구하는 이차방정식은 4 xÛ`+ x- =0, 즉 { ;4#; ;4!;} 답 6, 7 0848 답 50x-5xÛ`=0 4xÛ`+3x-1=0 답 4xÛ`+3x-1=0 0849 50x-5xÛ`=0에서 xÛ`-10x=0 x(x-10)=0 ∴ x=0 또는 x=10 그런데 x>0이므로 x=10 0856 전략 가은이와 종혁이가 바르게 본 항이 무엇인지 파악한다. 가은이는 상수항을 바르게 보았으므로 (x-2)(x+3)=0, 즉 xÛ`+x-6=0에서 b=-6 따라서 구하는 시간은 10초이다. 답 10초 종혁이는 일차항의 계수를 바르게 보았으므로 (x-1)(x+8)=0, 즉 xÛ`+7x-8=0에서 a=7 0850 답 (x+3)(x+2)=2xÛ` ∴ a+b=7+(-6)=1 답 1 74 정답과 해설 가은이는 상수항을, 종혁이는 일차항의 계수를 바 0863 전략 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면 x¾2임에 답 x=-2Ñ 1 9 ' 0865 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1(xæ¾2)이라 하면 (x+1)Û`=(x-1)Û`+xÛ`-5에서 yy ㈎ 르게 보았으므로 2_(-3)=b에서 b=-6 1+(-8)=-a에서 a=7 ∴ a+b=7+(-6)=1 0857 아람이는 상수항을 바르게 보았으므로 (x-1)(x+15)=0, 즉 xÛ`+14x-15=0에서 처음 이차방 정식의 상수항은 -15이다. 나연이는 일차항의 계수를 바르게 보았으므로 {x-(-2+ 7)}{x-(-2- 7)}=0, 즉 ' ' xÛ`+4x-3=0에서 처음 이차방정식의 일차항의 계수는 4이다. 따라서 처음 이차방정식은 xÛ`+4x-15=0이므로 x=-2Ñ 2Û`-1_(-15)=-2Ñ 19 '¶ "Ã 0858 일차항의 계수와 상수항을 바꾼 이차방정식은 xÛ`+(k+1)x-2k=0 x=-4를 xÛ`+(k+1)x-2k=0에 대입하면 (-4)Û`+(k+1)_(-4)-2k=0 16-4k-4-2k=0, -6k=-12 ∴ k=2 따라서 처음 이차방정식은 xÛ`-4x+3=0이므로 (x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3 즉 두 근의 차는 3-1=2이다. 답 2 0859 전략 차가 4인 두 자연수를 x, x+4로 놓는다. 차가 4인 두 자연수를 x, x+4(x¾1)라 하면 x(x+4)=117에서 xÛ`+4x-117=0 (x-9)(x+13)=0 ∴ x=9 (∵ x¾1) 따라서 구하는 두 자연수는 9, 13이다. 답 9, 13 0860 xÛ`=5x+24에서 xÛ`-5x-24=0 (x+3)(x-8)=0 ∴ x=8 (∵ x는 자연수) 답 8 주의한다. 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1(x¾2)이라 하면 (x-1)Û`+xÛ`+(x+1)Û`=149에서 3xÛ`=147, xÛ`=49 ∴ x=7 (∵ x¾2) 따라서 연속하는 세 자연수는 6, 7, 8이므로 이중 가장 큰 수 는 8이다. 답 8 0864 연속하는 두 자연수를 x, x+1(x¾1)이라 하면 x(x+1)=210에서 xÛ`+x-210=0 (x-14)(x+15)=0 ∴ x=14 (∵ x¾1) 따라서 연속하는 두 자연수는 14, 15이므로 15Û`-14Û`=(15+14)(15-14)=29 답 29 xÛ`-4x-5=0, (x+1)(x-5)=0 ∴ x=5 (∵ x¾2) 따라서 연속하는 세 자연수는 4, 5, 6이므로 그 합은 4+5+6=15 채점 기준 ㈎ 연속하는 세 자연수를 x를 이용하여 나타내어 방정 식 세우기 ㈏㈎에서 세운 방정식 풀기 ㈐ 연속하는 세 자연수의 합 구하기 yy ㈏ yy ㈐ 답 15 비율 40`% 40`% 20`% 0866 전략 구하는 학생 수를 x명이라 하고 조건에 맞는 식을 세운다. ➡ (학생 수)_(한 학생이 받는 사탕 수)=(사탕의 총 개수) 모둠의 학생 수를 x명이라 하면 x(x-3)=54에서 xÛ`-3x-54=0 (x+6)(x-9)=0 ∴ x=9 (∵ x는 자연수) 따라서 모둠의 학생 수는 9명이다. 답 9명 0861 n(n-3) 2 =27에서 nÛ`-3n-54=0 0867 동생의 나이를 x살이라 하면 형의 나이는 (26-x)살이므로 x(26-x)=165에서 xÛ`-26x+165=0 (n+6)(n-9)=0 ∴ n=9 (∵ n¾æ3) (x-11)(x-15)=0 ∴ x=11 또는 x=15 따라서 구하는 다각형은 구각형이다. 답 구각형 그런데 동생의 나이가 형의 나이보다 적으므로 x<13이어 0862 탁자에 앉은 사람 수를 x명이라 하면 양옆에 앉은 사람을 제 외하고 모든 사람과 서로 한 번씩 악수를 하는 총 횟수는 야 한다. 즉 x=11 따라서 동생의 나이는 11살이다. 답 11살 x(x-3) 2 (회) 즉 x(x-3) 2 =54에서 xÛ`-3x-108=0 0868 경희의 생일을 6월 x일이라 하면 재현이의 생일은 6월 (x+14)일이므로 x(x+14)=176에서 xÛ`+14x-176=0 (x+9)(x-12)=0 ∴ x=12 (∵ x는 자연수) (x-8)(x+22)=0 ∴ x=8 (∵ x는 자연수) 따라서 탁자에 앉아 있는 사람 수는 12명이다. 답 12명 따라서 경희의 생일은 6월 8일이다. 답 8일 7. 근의 공식과 이차방정식의 활용 75 0869 비가 온 날수를 x일이라 하면 비가 오지 않은 날수는 (30-x)일이므로 따라서 사다리꼴의 윗변의 길이는 10`cm이므로 높이는 10-4=6 (cm) 답 6`cm 0877 APÓ=x cm라 하면 BPÓ=(10-x) cm이므로 xÛ`+(10-x)Û`=52에서 2xÛ`-20x+48=0 xÛ`-10x+24=0, (x-4)(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ APÓ>BPÓ) 따라서 APÓ의 길이는 6 cm이다. 답 6 cm 0878 타일 한 개의 긴 변의 길이를 x cm, 짧은 변의 길이를 y cm 라 하면 다음 그림과 같다. y cm y cm y cm y cm y cm A D x cm y cm B x cm x cm x cm C ADÓ=BCÓ이므로 5y=3x에서 y= x ;5#; 이때 ABCD의 넓이가 270 cmÛ`이므로 3x(x+y)=270에서 3x x+ { x } ;5#; =270 xÛ`=270 xÛ`= ∴ x= ( ∵ x>0) ;;ª5¢;; , ;;ª;4@;°;; :Á2°: 따라서 타일 한 개의 긴 변의 길이는 cm이다. :Á2°: xÛ`=2(30-x)+3에서 xÛ`+2x-63=0 (x-7)(x+9)=0 ∴ x=7 ( ∵ x는 자연수) 따라서 비가 온 날은 모두 7일이다. 답 7일 0870 30t-5tÛ`=45에서 5tÛ`-30t+45=0 tÛ`-6t+9=0, (t-3)Û`=0 ∴ t=3 (중근) 따라서 폭죽이 45 m 되는 지점에서 터지도록 하려면 3초 후 에 터트려야 한다. 답 3초 후 0871 전략 공이 땅에 떨어진다는 것은 높이가 0`m라는 뜻이다. 공이 땅에 떨어질 때의 높이가 0 m이므로 40x-5xÛ`=0에서 xÛ`-8x=0 x(x-8)=0 ∴ x=8(∵ x>0) 따라서 공이 땅에 떨어질 때까지 걸린 시간은 8초이다. 답 8초 0872 20t-5tÛ`=15에서 5tÛ`-20t+15=0 tÛ`-4t+3=0, (t-1)(t-3)=0 ∴ t=1 또는 t=3 따라서 물로켓이 15 m 이상의 높이에서 머무는 시간은 1초 부터 3초까지이므로 2초 동안이다. 답 2초 0873 0.01xÛ`+0.3x=88에서 xÛ`+30x-8800=0 (x-80)(x+110)=0 ∴ x=80 (∵ x>0) 따라서 자동차의 속력은 시속 80 km이었다. 0874 전략 (직사각형의 넓이)=(가로의 길이)_(세로의 길이) 직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는 (x-5) cm이므로 x(x-5)=104에서 xÛ`-5x-104=0 (x+8)(x-13)=0 ∴ x=13 ( ∵ x>5) 따라서 직사각형의 가로의 길이는 13 cm, 세로의 길이는 8 cm이다. 답 가로의 길이 : 13 cm, 세로의 길이 : 8 cm 답 시속 80 km 0879 가장 작은 반원의 반지름의 길이를 x cm라 하면 반원 안의 큰 반원의 반지름의 길이는 (10-x) cm이다. 답 :Á2°: cm 두 반원의 넓이의 합은 큰 반원의 넓이의 이므로 p_(10-x)Û`+ ;2!; xÛ`-10x+20=0 p_xÛ`= _ p_10Û` ;5#; ;2!; ;2!; ∴ x=-(-5)Ñ (-5)Û`-1_20=5Ñ 5 "Ã 그런데 00) 0880 BDÓ=x cm라 하면 △FEC는 직각이등변삼각형이므로 BDÓ=EFÓ=ECÓ=x cm 따라서 삼각형의 밑변의 길이는 2 cm이다. 답 2`cm ∴ BEÓ=10-x (cm) 0876 사다리꼴의 윗변의 길이를 x cm라 하면 아랫변의 길이는 (x+5) cm, 높이는 (x-4) cm이므로 _{x+(x+5)}_(x-4)=75에서 (2x+5)(x-4)=75 2xÛ`-3x-20=150, 2xÛ`-3x-170=0 x(10-x)=24에서 xÛ`-10x+24=0 (x-4)(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ BDÓ>BEÓ) 따라서 BDÓ=6 cm, BEÓ=10-6=4 (cm)이므로 BDÓ-BEÓ=6-4=2 (cm) 답 2`cm 0881 전략 새로 만든 직사각형의 가로, 세로의 길이를 구한다. 처음 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 (x-10)(2x+17)=0 ∴ x=10 ( ∵ x>4) (x+6)(x+3)=88에서 76 정답과 해설 xÛ`+9x-70=0, (x+14)(x-5)=0 따라서 처음 정사각형의 넓이는 xÛ`=100 (cmÛ`)이다. ∴ x=5 ( ∵ x>0) 따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 5 cm이다. 답 100 cmÛ` 0882 늘인 길이를 x cm라 하면 (8+x)(4+x)=3_(8_4)에서 xÛ`+12x-64=0, (x+16)(x-4)=0 ∴ x=4 ( ∵ x>0) 따라서 늘인 길이는 4 cm이다. 채점 기준 ㈎ 문제의 뜻에 맞게 방정식 세우기 ㈏ 방정식을 풀어 답 구하기 답 5`cm yy ㈎ yy ㈏ 답 4 cm 비율 40`% 60`% 0889 물받이의 높이를 x cm라 하면 (30-2x)x=100, xÛ`-15x+50=0 (x-5)(x-10)=0 ∴ x=5 또는 x=10 그런데 00) 답 3 이때 xÛ`-9x+9=0의 두 근이 mÛ`+1, nÛ`+1이므로 0884 t초 후의 직사각형의 가로, 세로의 길이는 각각 (60-2t) cm, (33+3t) cm이므로 (60-2t)(33+3t)=60_33에서 tÛ`-19t=0 t(t-19)=0 ∴ t=19 (∵ 04) a+b+2k=0에서 2+2k=0 ∴ k=-1 답 -1 7. 근의 공식과 이차방정식의 활용 77 0893 ABCD»BFEA이므로 ABÓ : BFÓ=ADÓ : BAÓ 0897 직사각형 모양의 타일 하나의 가로, 세로의 길이를 각각 x cm, y cm(x>y)라 하면 다음 그림과 같다. 이때 BFÓ=x라 하면 ADÓ=8+x이므로 y cm y cm y cm y cm 8 : x=(8+x) : 8에서 x(8+x)=64, xÛ`+8x-64=0 ∴ x=-4Ñ4 5 ' 그런데 x>0이므로 x=-4+4 5 ' ' 따라서 BFÓ의 길이는 -4+4 5이다. 답 -4+4 5 ' 0894 전략 닮음비가 m : n이면 넓이의 비는 mÛ` : nÛ`이다. 작은 정삼각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 큰 정삼각형 이때 두 정삼각형은 닮음이고 닮음비는 x : (6-x)이므로 의 한 변의 길이는 _(18-3x)=6-x (cm) ;3!; 넓이의 비는 xÛ` : (6-x)Û` 즉 xÛ` : (6-x)Û`=2 : 3에서 2(6-x)Û`=3xÛ`, xÛ`+24x-72=0 ∴ x=-12Ñ6 6 ' 그런데 x>0이므로 x=-12+6 6 ' 이다. 0895 PQÓ=x cm라 하면 RCÓ=10-BRÓ=10-PQÓ=10-x (cm) 이때 △ABC»△PRC(AA 닮음)이므로 ABÓ : : RCÓ에서 8 : PRÓ=BCÓ PRÓ=10 : (10-x) 10PRÓ=8(10-x) ∴ PRÓ=8- x (cm) ;5$; △PQR의 넓이가 10 cmÛ` 이므로 _PQÓ_PRÓ=10에서 x { ;2!; 8- x } ;5$; =10 ;2!; xÛ`-10x+25=0, (x-5)Û`=0 ∴ x=5 (중근) A x cm y cm D C B x cm x cm 12 cm 4y=2x+12 ∴ x=2y-6 이때 ABCD의 넓이가 960 cmÛ`이므로 (x+y)4y=960, (2y-6+y)4y=960 12yÛ`-24y-960=0, yÛ`-2y-80=0 (y+8)(y-10)=0 ∴ y=10 ( ∵ y>0) 따라서 x=2_10-6=14이므로 타일 한 개의 둘레의 길이는 2_(14+10)=48 (cm) 답 48 cm 0898 점 A(a, b)는 일차함수 y= x+2의 그래프 위의 점이므로 ;2!; b= a+2, 즉 A a, a+2 , D 10, a+2 { ;2!; } { ;2!; ;2!; } 이때 ABCD=ADÓ_ABÓ=(10-a) a+2 =12 {;2!; } aÛ`-6a-16=0에서 (a+2)(a-8)=0 ∴ a=8 ( ∵ 00) 따라서 8000 1+ =10000(원)으로 인상해야 한다. { ;1ª0°0;} 0900 전략 이차방정식의 x의 계수가 짝수이면 짝수 공식을 이용한다. xÛ`-2x-a=0에서 근의 공식에 의해 x=-(-1)Ñ (-1)Û`+a=1Ñ 1+a=1Ñ 7 'Ä ' "Ã ∴ a=6 x=6을 xÛ`-5x+k=0에 대입하면 답 10000원 36-30+k=0 ∴ k=-6 답 ② 78 정답과 해설 0901 전략 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 정수로 만든다. Lecture x-1 5 = (x+1)(x-3) 3 의 양변에 15를 곱하면 3(x-1)=5(x+1)(x-3) 5xÛ`-13x-12=0 ∴ x= -(-13)Ñ "Ã ∴ x= 13Ñ ' 10 09 4 (-13)Û`-4_5_(-12) 2_5 답 ⑤ 0902 전략 공통부분을 한 문자로 치환한다. x-2y=A로 치환하면 (A+1)(A+3)=-1, AÛ`+4A+4=0 (A+2)Û`=0 ∴ A=-2`(중근) 즉 x-2y=-2이므로 2y-x=-(x-2y)=-(-2)=2 답 ④ 0903 전략 인수분해 또는 제곱근의 성질 또는 근의 공식을 이용하여 각각의 해를 구한다. ㉠ xÛ`=49 ∴ x=Ñ7 ㉡ (x-3)Û`=0 ∴ x=3 (중근) ㉢ (x-3)(x-4)=0 ∴ x=3 또는 x=4 ㉣ x+3=Ñ5 ㉤ x= -(-4)Ñ ∴ x=-8 또는 x=2 = 4Ñ ' 3 (-4)Û`-3_2 3 "Ã 1 0 ③ 두 근의 곱이 음수인 것은 ㉠, ㉣의 2개이다. 답 ③ 0904 전략 이차방정식 axÛ`+bx+c=0에서 bÛ`-4ac¾0이면 근을 갖고 bÛ`-4ac<0이면 근을 갖지 않는다. xÛ`-2(3-2k)x+4kÛ`=0이 근을 가지려면 {-2(3-2k)}Û`-4_1_4kÛ`¾æ0 36-48k+16kÛ`-16kÛ`¾æ0, -48kæ¾-36 ∴ kÉ ;4#; xÛ`-x+2k=0이 근을 갖지 않으려면 (-1)Û`-4_1_2k<0, 1-8k<0 ∴ k> ;8!; 따라서 0) :£5¢: ⑴ :£5¢: 초 후이다. 답 ⑴ 48 m ⑵ 3초 또는 :Á5»:초 ⑶ :£5¢:초 후 Lecture 번이다. 공의 높이가 57`m가 될 때는 오른쪽 그림과 같이 올라갈 때 1번, 내려갈 때 1번으로 총 2 57 m 0916 전략 가로, 세로의 길이를 한 문자로 나타내어 본다. 핸드볼 경기장의 세로의 길이를 x m라 하면 가로의 길이는 (x+20) m이므로 x(x+20)=800에서 xÛ`+20-800=0 (x-20)(x+40)=0 ∴ x=20 (∵ x>0) 따라서 세로의 길이는 20 m이다. 답 20 m 0917 전략 CBÓ=ABÓ-ACÓ임을 이용한다. ACÓ=x cm라 하면 CBÓ=(5-x) cm이므로 xÛ`=2(5-x)Û`에서 xÛ`=50-20x+2xÛ` xÛ`-20x+50=0 ∴ x=-(-10)Ñ (-10)Û`-1_50=10Ñ5 "Ã ' 2 이때 00) 따라서 처음 화단의 한 변의 길이는 6 m이다. yy ㈏ 채점 기준 ㈎ 화단의 한 변의 길이를 x`m로 놓고 방정식 세우기 50`% ㈏ 방정식을 풀어 답 구하기 답 6 m 비율 50`% 단계 1단계 2단계 3단계 … x단계 바둑돌의 개수(개) 3_1 4_2 5_3 … (x+2)_x 바둑돌의 개수가 195개인 단계를 x단계라 하면 (x+2)_x=195에서 xÛ`+2x-195=0, (x-13)(x+15)=0 ∴ x=13 (∵ x는 자연수) 따라서 바둑돌의 개수가 195개인 단계는 13단계이다. 답 ② 0919 전략 다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이는 같다. ➡ 산책로의 폭을 x m라 하면 (18-x)(24-x)=352 432-42x+xÛ`=352, xÛ`-42x+80=0 (x-2)(x-40)=0 ∴ x=2 (∵ 00이므로 x= 1+ ' 2 5 답 ⑴ 1 : x=x : (1+x) ⑵ 5 1+ ' 2 7. 근의 공식과 이차방정식의 활용 81 8 이차함수의 그래프 ⑴ step 개념 마스터 p.142~145 0944 0945 0946 0947 0948 0949 답 꼭짓점의 좌표：(-2, 0), 축의 방정식：x=-2 답 y=3(x-1)Û`-2 답 y= (x+2)Û`+5 ;2!; 답 꼭짓점의 좌표：(1, 4), 축의 방정식：x=1 답 꼭짓점의 좌표：(2, -1), 축의 방정식：x=2 답 꼭짓점의 좌표：(-1, 4), 축의 방정식：x=-1 x y -2 -1 y=xÛ` y=2xÛ` y 4 y 8 y= xÛ` y 2 ;2!; 1 2 ;2!; 0 0 0 0 1 1 2 ;2!; 2 y 4 y 8 y 2 y 0924 y=x(x+1)-1=xÛ`+x-1이므로이차함수이다. 답 ◯ 0950 답 0926 y=pxÛ`이므로이차함수이다. 답 y=pxÛ`, ◯ 0927 y=4x이므로이차함수가아니다. 답 y=4x, _ y=2x¤ y=x¤ 0928 y= ;2!; x(x+1)= xÛ`+ x이므로이차함수이다. ;2!; ;2!; 답 y= xÛ`+ x, ◯ ;2!; ;2!; 1 y= x¤ 2 -4 -2 O 2 4 x 0930 y축에대칭이다. 0931 아래로볼록한포물선이다. 0932 x>0일때,x의값이증가하면y의값도증가한다. 답 _ 0951 답 x y -2 -1 0 1 2 y y=-2xÛ` y -8 -2 0 -2 -8 y y=-2xÛ`+3 y -5 1 3 1 -5 y y=-2xÛ`-1 y -9 -3 -1 -3 -9 y 답 ◯ 답 _ 답 ◯ 답 _ 답 ◯ 답 _ 답 _ -4 -2 2 4 x y=-2x¤+3 y=-2x¤ y=-2x¤-1 0952 답 x y -2 -1 y=xÛ` y 4 y=(x-2)Û` y 16 y=(x+3)Û` y 1 1 9 4 0 0 4 9 1 1 1 2 y 4 y 0 y 16 25 y 답 꼭짓점의 좌표：(0, -1), 축의 방정식：x=0 답 꼭짓점의 좌표：(0, 4), 축의 방정식：x=0 y=(x+3)¤ y=x¤ y=(x-2)#¤ 답 ㉠, ㉡, ㉣ 답 ㉠ 답 ㉡과 ㉢ 답 y= xÛ`+2 ;3@; 답 y=-2xÛ`- ;3!; 답 y=(x-1)Û` 답 y=3(x+2)Û` y 6 4 2 y 2 O -2 -4 y 6 4 2 0922 0923 0925 0929 0933 0934 0935 0936 0937 0938 0939 0940 0941 0942 0943 답 꼭짓점의 좌표：(3, 0), 축의 방정식：x=3 -4 -2 O 2 4 x 82 정답과 해설 0953 답 x y -2 -1 1 2 y 0956 y= x+4에 y=0을 대입하면 y=- xÛ` ;2!; y -2 y=- (x+1)Û` y ;2!; y=- (x+1)Û`-2 y ;2!; -;2!; -;2%; 0 0 -;2!; -;2%; -;2!; 0 -2 -;2!; -2 -4 -2 y y y -;2(; -:Á2£: ;3@; ;3@; ;3@; ;3@; 0= x+4 ∴ x=-6, 즉 A(-6, 0) y= x+4에 x=0을 대입하면 y= _0+4=4 ∴ B(0, 4) ④ ⑤ ② ③ 답 A(-6, 0), B(0, 4) 0957 (기울기)= (y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) = -4 2 =-2 따라서 기울기가 -2인 것을 찾으면 ①이다. 답 ① 0958 그래프가 오른쪽 아래로 향하므로 a<0 y절편이 음수이므로 b<0 답 ④ 0959 ① 점 (1, a+b)를 지난다. ③ 기울기가 같지 않으므로 서로 평행하지 않다. 그래프가 오른쪽 아래로 향하므로 a<0이고, y절편이 양 기울기가 a이므로 x의 값이 1만큼 증가할 때, y의 값은 a 수이므로 b>0이다. 만큼 증가한다. 따라서 옳은 것은 ②이다. 답 ② 0960 전략 주어진 식에 괄호가 있으면 괄호를 풀어 간단히 한 후 이 차함수인지 아닌지 판단한다. ② y=(1-x)(1+x)=1-xÛ`이므로 이차함수이다. ③ y=xÛ`-(x-1)Û`=xÛ`-(xÛ`-2x+1)=2x-1이므로 이차함수가 아니다. 따라서 이차함수인 것은 ②, ⑤이다. 답 ②, ⑤ 0961 ㉠ y=2x(x-1)=2xÛ`-2x이므로 이차함수이다. ㉥ y=xÜ`-x(xÛ`+5x)=-5xÛ`이므로 이차함수이다. 따라서 이차함수가 아닌 것은 ㉡, ㉣, ㉤의 3개이다. 답 3개 0962 ① y=4_2x=8x이므로 이차함수가 아니다. ;2!; ;3!; ;3%; ;2!; y= _p_(x+1)Û`_5= p(x+1)Û` ;3%; = pxÛ`+ px+ p ;3%; :Á3¼: 이므로 이차함수이다. ④ y=3_x=3x이므로 이차함수가 아니다. ⑤ y= _{(2x+1)+3x}_4=10x+2이므로 이차함수 가 아니다. -4 -2 2 4 1 y=- (x+1)#¤ 2 x 1 2 y=- x¤ y O -2 -4 -6 1 2 y=- (x+1)¤-2 step 유형 마스터 p.146 ~ p.158 0954 전략 a의 값을 구한 후 보기의 점의 좌표를 대입하여 등식이 성 립하는지 확인한다. y=ax-5에 x=1, y=-3을 대입하면 -3=a-5 ∴ a=2, 즉 y=2x-5 -10+2_(-3)-5 ② 7+2_(-1)-5 9+2_(-2)-5 -1=2_2-5 ⑤ 2+2_3-5 ① ③ ④ 따라서 y=2x-5의 그래프 위의 점은 ④이다. 답 ④ 0955 ① y=2x+ 의 그래프는 y=2x의 그래프를 y축의 방향 ;2!; 으로 만큼 평행이동한 것이다. ;2!; 로 7만큼 평행이동한 것이다. ③ y=3(x+1)-x=2x+3 로 3만큼 평행이동한 것이다. ④ y=2(-2+x)=2x-4 로 -4만큼 평행이동한 것이다. ⑤ y=2(2-x)=-2x+4 y=2x+3의 그래프는 y=2x의 그래프를 y축의 방향으 y=2x-4의 그래프는 y=2x의 그래프를 y축의 방향으 y=-2x+4의 그래프는 y=-2x의 그래프를 y축의 방 따라서 y가 x에 대한 이차함수인 것은 ③이다. 답 ③ 향으로 4만큼 평행이동한 것이다. 따라서 y=2x의 그래프를 평행이동하여 포개어지지 않는 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 0963 ① y=pxÛ`이므로 이차함수이다. x(x-3) 2 ② y= xÛ`- = ;2#; ;2!; x이므로 이차함수이다. 8. 이차함수의 그래프 ⑴ 83 ② y=2x+7의 그래프는 y=2x의 그래프를 y축의 방향으 y= _x_4=2x이므로 이차함수가 아니다. ③ y=60_x=60x이므로 이차함수가 아니다. ④ y=1000_x=1000x이므로 이차함수가 아니다. ⑤ y= x } {;2!; Û`= ;4!; xÛ`이므로 이차함수이다. 따라서 y가 x에 대한 이차함수가 아닌 것은 ③, ④이다. 0973 y=axÛ`의 그래프가 y=2xÛ`의 그래프와 y= xÛ`의 그래프 ;3!; 답 ③, ④ 0974 전략 y=axÛ`의 그래프에서 a<0인 경우와 a>0인 경우로 나 답 ;3!; 0일때,x의값이증가하면 y의값도증가한다. 따라서옳지않은것은④이다. y 1 O 0988 y=-xÛ`+q의그래프가점(-1,3)을지나므로 3=-1+q ∴ q=4 따라서y=-xÛ`+4의그래프의꼭짓점의좌표는(0,4)이 다. 답 (0, 4) 0989 ⑴ y=- ;2!; xÛ`의그래프를y축의방향으로8만큼평행이동 한그래프를나타내는이차함수의식은 ⑵ y=- xÛ`+8의그래프가점(-2,a)를지나므로 y=- xÛ`+8 ;2!; ;2!; ;2!; a=- _(-2)Û`+8=-2+8=6 답 ⑴ y=- xÛ`+8 ⑵ 6 ;2!; 0990 y=axÛ`+q의그래프가점(1,2)를지나므로 2=a+q 또점(2,-7)을지나므로-7=4a+q ㉠,㉡ 을연립하여풀면a=-3,q=5 ∴a-q=-3-5=-8 yy㉠ yy㉡ 답 -8 0991 전략 y=-(x+4)Û`의 그래프는 y=-xÛ`의 그래프를 x축의 -4 y O x 방향으로 -4만큼 평행이동한 것이다. y=-(x+4)Û`의그래프는오른쪽그 림과같다. ③ 축의방정식은x=-4이다. ⑤ y=-(x+4)Û`에x=0,y=-16 을대입하면 -16=-(0+4)Û` 이므로점(0,-16)을지난다. 따라서옳지않은것은③ 이다. 답 ③ 0992 y=-5xÛ`의그래프를x축의방향으로-1만큼평행이동한 그래프를나타내는식은 ② y=-5(x+1)Û` 답 ② 0993 위로볼록하고꼭짓점의좌표가(3,0)인그래프를찾으면 답 ⑤ ⑤이다. x 답 ④ 0994 y=3(x-2)Û`의그래프는아래로볼록하고축의방정식이 x=2이므로x>2일때,x의값이증가하면y의값도증가한 다. 답 x>2 0986 y=-2xÛ`-6의그래프는y=-2xÛ`의그래프를y축의방향 으로-6만큼평행이동한것이므로꼭짓점의좌표는 (0,-6)이고,축의방정식은x=0이다. 래프를나타내는식은 y=-(x-3)Û` 0995 y=-xÛ`의그래프를x축의방향으로3만큼평행이동한그 답 꼭짓점의 좌표：(0, -6), 축의 방정식：x=0 이그래프가두점(1,m),(-1,n)을지나므로 8. 이차함수의 그래프 ⑴ 85 m=-(1-3)Û`=-4, n=-(-1-3)Û`=-16 한편y=- (x+4)Û`+5에x=0을대입하면 ;8!; ∴m-n=-4-(-16)=12 답 12 y=- _4Û`+5=3 ;8!; 0996 전략 꼭짓점의 좌표를 이용하여 p의 값을 구한 후 그래프가 지 나는 점의 좌표를 대입하여 a의 값을 구한다. y=a(x-p)Û`의그래프의꼭짓점의좌표가(4,0)이므로 p=4 y=a(x-4)Û`의그래프가점(2,8)을지나므로 8=a(2-4)Û`,4a=8 ∴ a=2 ∴ap=2_4=8 0997 y=a(x-p)Û`의그래프의축의방정식이x=-2이므로 p=-2 yy㈎ y=a(x+2)Û`의그래프가점(0,4)를지나므로 4=4a ∴a=1 ∴a+p=1+(-2)=-1 채점 기준 ㈎ p의 값 구하기 ㈏ a의 값 구하기 ㈐ a+p의 값 구하기 yy㈏ yy㈐ 답 -1 비율 40 % 40 % 20 % 0998 전략 y= ;3!; (x+2)Û`-1의 그래프는 y= xÛ`의 그래프를 x축 ;3!; 의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것 이다. ;3!; 쪽그림과같다. y= (x+2)Û`-1의그래프는오른 y ② y= (x+2)Û`-1에x=-5, ;3!; ;3!; y=2를대입하면 2= _(-5+2)Û`-1 이므로점(-5,2)를지난다. ④ 제 1,2,3 사분면을지난다. 따라서옳지않은것은④이다. 0999 xÛ`의계수가3이아닌것을고르면 ③ y=-3(x-5)Û`+1이다. 즉점(0,3)을지나므로구하는그래프는②이다. 답 ② 1002 y=2(x-1)Û`+3의그래프는y=2xÛ`의그래프를x축의방 향으로1만큼,y축의방향으로3만큼평행이동한것이므로 축의방정식은x=1이고,꼭짓점의좌표는(1,3)이다. 답 축의 방정식：x=1, 꼭짓점의 좌표：(1, 3) 답 8 1003 y=- ;4#; (x-2)Û`+1의그래프는꼭짓점의좌표가(2,1)이 고위로볼록하다. y=- (x-2)Û`+1에x=0을대입하면 ;4#; ;4#; y=- _(-2)Û`+1=-2 즉점(0,-2)를지나므로그래프는 오른쪽그림과같다. 따라서그래프는제1,3,4사분면을 y 1 O -2 2 x 지난다. 답 제 1, 3, 4 사분면 1004 y=-xÛ`의그래프를x축의방향으로-3만큼,y축의방향 으로1만큼평행이동한그래프를나타내는식은 y=-(x+3)Û`+1 이그래프가점(-1,a)를지나므로 a=-(-1+3)Û`+1=-3 채점 기준 ㈎ 평행이동한 그래프의 식 구하기 ㈏ a의 값 구하기 yy㈎ yy㈏ 답 -3 비율 50 % 50 % 1 3 O x -2 -1 1005 y=a(x-p)Û`+q의그래프의꼭짓점의좌표가(2,-1)이 므로p=2,q=-1 y=a(x-2)Û`-1의그래프가점(0,3)을지나므로 3=a_(-2)Û`-1,4a=4 ∴ a=1 ∴a+p+q=1+2+(-1)=2 답 2 답 ④ 답 ③ 1000 y=-2xÛ`의그래프를x축의방향으로a만큼,y축의방향으 1006 y= ;4#; (x-p)Û`+3p의그래프의꼭짓점의좌표는(p,3p) 로b만큼평행이동한그래프를나타내는식은 y=-2(x-a)Û`+b 이때이식이y=-2(x+3)Û`-5이므로 a=-3,b=-5 ∴a+b=-3+(-5)=-8 답 -8 1001 위로볼록하고꼭짓점의좌표가(-4,5)인그래프를찾으 이고,이꼭짓점이직선y=-x+8위에있으므로 3p=-p+8,4p=8 ∴ p=2 답 2 1007 전략 그래프의 모양을 확인하고 축을 기준으로 x의 값이 증가 하면 y의 값도 증가하는 범위를 구한다. 그래프가위로볼록하고축의방정식이x=-3이므로 x<-3일때,x의값이증가하면y의값도증가한다. 답 x<-3 면②,③이다. 86 정답과 해설 1008 그래프가아래로볼록하고축의방정식이x=2이므로 x>2일때,x의값이증가하면y의값도증가한다. 채점 기준 ㈎ 평행이동한 그래프를 나타내는 식 구하기 답 x>2 ㈏ 평행이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표와 축의 방정 1009 y=4xÛ`의그래프를x축의방향으로1만큼,y축의방향으로 5만큼평행이동한그래프를나타내는식은 y=4(x-1)Û`+5 식 구하기 ㈐ a, b, c의 값 구하기 이 그래프가 아래로 볼록하고 축의 방정식이 x=1이므로 1014 y= ;2!; (x+3)Û`-2의그래프를x축의방향으로-1만큼, x<1일때,x의값이증가하면y의값은감소한다. y축의방향으로4만큼평행이동한그래프를나타내는식은 비율 50 % 30 % 20 % ∴m+n=-4+(-3)=-7 답 -7 1015 y=a(x-3)Û`+2의그래프를x축의방향으로3만큼,y축의 y=-2(x-1)Û`+4의그래프와 방향으로-5만큼평행이동한그래프를나타내는식은 답 x<1 1010 전략 평행이동한 그래프를 나타내는 식을 m, n을 이용하여 나 타내고 그 식이 y=-2(x+3)Û`+1과 같음을 이용하여 m, n의 값을 구한다. y=-2(x-1)Û`+4의그래프를x축의방향으로m만큼,y 축의방향으로n만큼평행이동한그래프를나타내는식은 y=-2(x-1-m)Û`+4+n 이식이y=-2(x+3)Û`+1과같으므로 -1-m=3,4+n=1 ∴m=-4,n=-3 y=-2(x+3)Û`+1의그래프의꼭짓점의좌표는각각 (1,4),(-3,1)이므로 (1,4) x축의 방향으로 m만큼 y축의 방향으로 n만큼 평행이동 1111111111Ú (-3,1) 따라서1+m=-3,4+n=1이므로m=-4,n=-3 ∴m+n=-7 1011 y=-(x+1)Û`-2의그래프를x축의방향으로-5만큼,y 축의방향으로3만큼평행이동한그래프를나타내는식은 y= (x+3+1)Û`-2+4 ;2!; ∴y= (x+4)Û`+2 ;2!; 이그래프가점(a,4)를지나므로 4= (a+4)Û`+2 ;2!; (a+4)Û`=4,aÛ`+8a+12=0 (a+2)(a+6)=0 ∴ a=-2또는a=-6 따라서모든a의값의합은 -2+(-6)=-8 답 -8 y=a(x-3-3)Û`+2-5 ∴y=a(x-6)Û`-3 이식이y=-(x+b)Û`+c와같으므로 a=-1,b=-6,c=-3 ∴a+b+c=-1+(-6)+(-3)=-10 답 -10 1016 y=(x-1)Û`+3의그래프를x축에대칭이동한그래프를나 타내는식은 -y=(x-1)Û`+3,y=-(x-1)Û`-3 답 ② ∴y=-xÛ`+2x-4 답 ③ 내는식은 y=a(-x-1)Û` ∴y=a(x+1)Û` y=a(x+1)Û`의그래프가점(2,3)을지나므로 3=a(2+1)Û`,3=9a ∴ a= ;3!; 답 ;3!; 1012 y=axÛ`+1의그래프를y축의방향으로q만큼평행이동한 1017 y=a(x-1)Û`의그래프를y축에대칭이동한그래프를나타 ∴a+q=4+(-5)=-1 답 -1 1013 y=5(x-2)Û`의그래프를x축의방향으로-4만큼,y축의 1018 ⑴ y=3(x-1)Û`-4의그래프를y축에대칭이동한그래프 방향으로-3만큼평행이동한그래프를나타내는식은 이그래프의꼭짓점의좌표는(-2,-3)이고축의방정식 ⑵ y=3(x+1)Û`-4의그래프를x축에대칭이동한그래프 yy㈎ 를나타내는식은 y=3(-x-1)Û`-4 ∴y=3(x+1)Û`-4 를나타내는식은 -y=3(x+1)Û`-4 yy㈎ yy㈏ yy㈐ 답 a=-2, b=-3, c=-2 ∴y=-3(x+1)Û`+4 yy㈏ 8. 이차함수의 그래프 ⑴ 87 y=-(x+1+5)Û`-2+3 ∴y=-(x+6)Û`+1 그래프를나타내는식은 y=axÛ`+1+q 이식이y=4xÛ`-4와일치하므로 a=4,1+q=-4 ∴a=4,q=-5 y=5(x-2+4)Û`-3 ∴y=5(x+2)Û`-3 은x=-2이므로 a=-2,b=-3,c=-2 y=-3(x+1)Û`+4의 그래프가 점 (-2, k)를 지나므로 y=axÛ`에 x=2m을 대입하면 k=-3_(-2+1)Û`+4=1 yy ㈐ y=a_(2m)Û`=4amÛ`, 즉 C(2m, 4amÛ`) 답 ⑴ y=3(x+1)Û`-4 ⑵ 1 이때 점 A와 점 C의 y좌표는 같으므로 채점 기준 ㈎ y=3(x-1)Û`-4의 그래프를 y축에 대칭이동한 ㈏ y=3(x+1)Û`-4의 그래프를 x축에 대칭이동한 그래프의 식 구하기 그래프의 식 구하기 ㈐ k의 값 구하기 비율 40 % 40 % 20 % 9mÛ`=4amÛ`, 9=4a ∴ a= ;4(; 답 ;4(; 1024 전략 ACDB가 평행사변형이므로 ABÓ∥CDÓ이고 ABÓ=CDÓ 임을 이용한다. 점 D의 x좌표를 a라 하면 D a, { ;2!; aÛ` , C } a, aÛ` } ;2!; {- yy ㉠ 1019 전략 그래프의 모양과 꼭짓점의 위치로 a, p, q의 부호를 정한 점 B의 y좌표가 10이므로 y= xÛ`에 y=10을 대입하면 다. 그래프의 모양이 아래로 볼록하므로 a>0 10= xÛ`, xÛ`=20 ∴ x=2 5 (∵ x>0) ;2!; ;2!; ' 꼭짓점이 제 4 사분면 위에 있으므로 p>0, q<0 답 ④ ∴ B(2 5, 10) ' 1020 그래프의 모양이 아래로 볼록하므로 a>0 꼭짓점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 q<0 ⑤ a+q의 부호는 알 수 없다. 답 ⑤ ㉠, ㉡에서 -a=a-2 5이므로 -2a=-2 5 ∴ a= 5 ' ' ' 한편 CDÓ=ABÓ=2 5이므로 C a-2 5, aÛ` yy ㉡ ' { ' ;2!; } 1021 y=a(x-p)Û`의 그래프의 모양이 위로 볼록하므로 a<0 1025 점 D의 x좌표를 a라 하면 따라서 점 D의 좌표는 5, 이다. {' ;2%;} 답 D 5, ;2%;} {' 꼭짓점이 y축의 왼쪽에 있으므로 p<0 즉 y=pxÛ`+a의 그래프는 p<0, a<0이므로 오른쪽 그림과 같다. 따라서 제 3, 4 사분면을 지난다. D(a, -aÛ`), C(-a, -aÛ`), B a, aÛ` , A -a, { ;2!; } { aÛ` } ;2!; 이때 CDÓ=2a, BDÓ= aÛ`-(-aÛ`)= aÛ`이고 CDÓ=BDÓ ;2!; ;2#; y O x 이므로 2a= aÛ`, 3aÛ`-4a=0 ;2#; a(3a-4)=0 ∴ a= `(∵ a>0) ;3$; ;3$; 답 ⑤ 따라서 점 D의 x좌표는 이다. 답 ;3$; 1022 전략 ACÓ=CEÓ이므로 점 C의 x좌표가 k이면 점 E의 x좌표는 직선 y=4와 y축의 교점의 좌표는 (0, 4)이므로 2k이다. A(0, 4) 점 B, C의 y좌표는 4이므로 y=xÛ`에 y=4를 대입하면 1026 A p, { ;3!; } pÛ` , B(p, pÛ`)이므로 ABÓ=pÛ`- pÛ`= pÛ`, ADÓ=p ;3!; ;3@; 이때 ABCD의 넓이가 18이므로 xÛ`=4 ∴ x=Ñ2 즉 B(-2, 4), C(2, 4) 이때 ACÓ=CEÓ이므로 E(4, 4) pÛ`_p=18 ∴ pÜ`=27 ;3@; 답 27 1027 y=axÛ`의 그래프가 점 (2, 1)을 지나므로 따라서 y=axÛ`의 그래프는 점 (4, 4)를 지나므로 1=4a ∴ a= , 즉 y= ;4!; xÛ` ;4!; 4=16a ∴ a= ;4!; 답 ;4!; CDÓ=8이고 축의 방정식이 x=0이므로 점 D의 x좌표는 4 1023 전략 점 A와 점 C의 y좌표가 같음을 이용한다. 점 A의 x좌표를 3m(m<0)이라 하면 점 C의 x좌표는 2m 이다. y=xÛ`에 x=3m을 대입하면 y=(3m)Û`=9mÛ`, 즉 A(3m, 9mÛ`) 88 정답과 해설 이다. ;4!; 이다. y= xÛ`에 x=4를 대입하면 y= _4Û`=4, 즉 D(4, 4) ;4!; ∴ ABDC= _(8+4)_(4-1)=18 답 18 ;2!; ABDC에서 ABÓ∥CDÓ이므로 ABDC는 사다리꼴 1028 ⑴ 점A의x좌표를a, 점B의x좌표를b라 y y=4x¤ y=x¤ step3 내신 마스터 p.159 ~ p.161 하면 A(a,aÛ`),B(b,aÛ`), C(b,bÛ`),D(a,4aÛ`) 이때점C와D의y좌표가 같으므로 4a¤ (=b¤) a¤ O D A a C B b x 1032 전략 y를 x의 식으로 나타낸다. y= pxÜ`이므로이차함수가아니다. ;3$; ② y=110x이므로이차함수가아니다. xy=3000,즉y= 이므로이차함수가아니다. 3000 x y=xÛ`+(x+1)Û`=2xÛ`+2x+1이므로이차함수이다. y=6xÛ`이므로이차함수이다. 따라서y가x에대한이차함수인것은④,⑤이다.답 ④, ⑤ Lecture •반지름의 길이가 r인 구의 부피는 ;3$; •(거리)=(속력)_(시간) prÜ`이다. •한 모서리의 길이가 x`cm인 정육면체의 겉넓이는 6_(한 면의 넓이)=6_xÛ`=6xÛ``(cmÛ`) 을 구한다. f(x)=2xÛ`+ax+b에서 f(0)=1이므로b=1 f(-1)=6이므로2-a+b=6 2-a+1=6 ∴a=-3 즉 f(x)=2xÛ`-3x+1이므로 채점 기준 ㈎ b의 값 구하기 ㈏ a의 값 구하기 ㈐ f(2)의 값 구하기 yy㈎ yy㈏ yy㈐ 답 3 비율 35 % 35 % 30 % 답 ⑴ B {;3@;, ;9!;} ⑵ ;9!; 1033 전략 y=f(x)에 x 대신 0, -1을 각각 대입하여 상수 a, b의 값 O 2 x f(2)=2_2Û`-3_2+1=8-6+1=3 bÛ`=4aÛ` ∴b=2a(∵a>0,b>0) 이때ABÓ=b-a,ADÓ=4aÛ`-aÛ`이고ABÓ=ADÓ이므로 b-a=4aÛ`-aÛ` 2a-a=3aÛ`,3aÛ`-a=0,a(3a-1)=0 ∴a= (∵a>0) ;3!; 따라서b=2a= 이므로점B의좌표는 , {;3@; ;9!;} 이다. ⑵ ABCD= ;3@; Û`= {;3!;} ;9!; 1029 전략 y절편은 x=0일 때 y의 값이다. 꼭짓점의좌표가(2,4)이므로 y=a(x-2)Û`+4의그래프가제2사분 면을지나지않으려면위로볼록해야하 y 4 p=2,q=4 므로a<0 또한(y절편)É0이어야한다. 즉x=0일때y의값이0보다작거나같 아야하므로 4a+4É0 ∴ aÉ-1 따라서a의값이될수없는것은⑤`- 이다. 답 ⑤ ;2!; 1030 y=-a(x+2)Û`+8의그래프가제 1 사 분면을지나지않으려면위로볼록해야 y 8 -a<0 ∴ a>0 yy㉠ 또한(y절편)É0이어야하므로 -4a+8É0 ∴ aæ¾2 yy㉡㉠,㉡에서상수a의값의범위는 하므로 a¾æ2 ① ③ ④ ⑤ 1034 전략 이차함수의 xÛ`의 계수의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 O -2 x ㈎에서구하는이차함수의식은y=axÛ`의꼴이다. ㈏,㈐에서그래프가아래로볼록하고y=xÛ`의그래프보다 좁다. 폭이넓으므로 00 yy㉠ 또한(y절편)<0이어야하므로 a-3<0 ∴ a<3 yy㉡㉠,㉡에서상수a의값의범위는 y 1 O -3 답 a¾æ2 따라서보기중조건을모두만족하는것은③ y= xÛ`이다. ;3@; 답 ③ x 1035 전략 이차함수 y=axÛ`과 y=-axÛ`의 그래프는 x축에 서로 대 y=2xÛ`의그래프와x축에대칭인그래프를나타내는식은 칭이다. y=-2xÛ` 이그래프가점(a,2a)를지나므로 00이면 아래로 볼록, a<0이면 위로 볼록하다. Û 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)이고 y축에 대칭이다. 위로볼록한그래프는㉠,㉢,㉤ 이다. 폭이가장넓은그래프는㉤,㉥ 이다. ④ ㉤과㉥ 은x축에대칭이다. ① ③ ⑤ ㉢의꼭짓점의좌표는(0,0)이고대칭축은y축이다. ⑤ 답 ② 답 ② y 8 O -4 2 y 5 O -3 x x -13 y 4 3 O 1 x 1037 전략 원점을 꼭짓점으로 하고 y축에 대칭인 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=axÛ`의 꼴이다. 따라서그래프가모든사분면을지나는것은④이다. 답 ④ 이차함수의식을y=axÛ`이라하면이그래프가점(3,4)를 Lecture 지나므로 4=a_3Û` ∴ a= ;9$; 이차함수의 그래프를 그릴 때 반드시 y절편을 구해서 표시한다. 이때 y절편은 x=0일 때 y의 값이다. 따라서구하는이차함수의식은② y= xÛ`이다. 답 ② ;9$; 1041 전략 주어진 그래프의 설명에 알맞은 그래프를 보기에서 찾는 1038 전략 이차함수 y=a(x-p)Û`의 그래프는 y=axÛ`의 그래프를 ㈎,㈏,㈐에서y=-2(x+1)Û`+4의그래프와폭이같고아 x축의 방향으로 p만큼 평행이동한 것이다. y=-2(x+3)Û`의그래프는오른쪽그 림과같다. ① 제 3,4 사분면을지난다. ③ 축의방정식은x=-3이다. ④ y=-2xÛ`의그래프를x축의방향 으로-3만큼평행이동한것이다. 래로볼록하며축의방정식이x=3인그래프는④,⑤이다. y -3 O x ㈑에서그래프가점(2,7)을지나므로 ④ y=2(x-3)Û`-5에x=2,y=7을대입하면 7+2_(2-3)Û`-5 ⑤ y=2(x-3)Û`+5에x=2,y=7을대입하면 -18 7=2_(2-3)Û`+5 다. 따라서조건을모두만족하는이차함수의식은⑤이다. Lecture 이차함수의 식을 y=a(x-p)Û`+q라 하면 ㈎에서 이차함수 y=-2(x+1)Û`+4의 그래프와 폭이 같고 ㈏에 답 ⑤ 서 아래로 볼록한 포물선이므로 a=2 ㈐에서 축의 방정식이 x=3이므로 p=3 즉 이차함수의 식은 y=2(x-3)Û`+q ㈑에서 이 그래프가 점 (2, 7)을 지나므로 7=2_(2-3)Û`+q ∴ q=5 따라서 조건을 모두 만족하는 이차함수의 식은 y=2(x-3)Û`+5 이다. 따라서옳은것은②,⑤이다. 답 ②, ⑤ 1039 전략 이차함수 y=a(x-p)Û`+q의 그래프는 y=axÛ`의 그래프 를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 것 ④ y=a(x-p)Û`+q의그래프의꼭짓점의좌표가(3,4)이 이다. 므로 p=3,q=4 y=a(x-3)Û`+4의그래프가점(0,-5)를지나므로 -5=a_(-3)Û`+4,9a=-9 ∴ a=-1 따라서옳지않은것은④이다. 답 ④ 래프를 찾는다. 각이차함수의그래프를그리면다음과같다. ① y ② 2 -1 O x 90 정답과 해설 1040 전략 각 이차함수의 그래프를 그리고 모든 사분면을 지나는 그 1042 전략 축을 기준으로 xÛ`의 계수의 부호에 따라 증가·감소하는 x 의 값의 범위를 구한다. 그래프가위로볼록하고축의방정식이x=1이므로x>1일 때,x의값이증가하면y의값은감소한다. 답 x>1 1043 전략 먼저 평행이동한 그래프를 나타내는 식을 구한다. y=2xÛ`+q의그래프를y축의방향으로-3만큼평행이동 한그래프를나타내는식은 y 7 3 -2 O x y=2xÛ`+q-3 yy㈎ 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 ( 0, -5)이므로 q-3=-5 ∴ q=-2 yy ㈏ 답 -2 비율 50 % 50 % 채점 기준 ㈎ y=2xÛ`+q의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 식 구하기 ㈏ q의 값 구하기 이다. y=2xÛ`+q-3의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, q-3) 1044 전략 a의 부호로 그래프의 모양을 정하고 -q의 부호로 꼭짓점 의 위치를 정한다. a<0이므로 그래프가 위로 볼록하고, q<0에서 -q>0이므로 꼭짓점이 x축보다 위쪽에 있다. 따라서 y=axÛ`-q의 그래프로 적당한 것은 ③이다. 답 ③ 1045 전략 계단 모양으로 배열할 때 나타나는 x와 y 사이의 규칙을 찾아 y를 x의 식으로 나타낸다. ⑴ 1계단을 만들려면 1장, 2계단을 만들려면 1+3=4=2Û`(장), 3계단을 만들려면 1+3+5=9=3Û`(장), 4계단을 만들려면 1+3+5+7=16=4Û`(장), y 의 카드를 배열해야 하므로 x계단을 만들려면 xÛ`장의 카 따라서 y를 x의 식으로 나타내면 y=xÛ`이므로 이차함수 드를 배열해야 한다. 이다. ⑵ y=xÛ`에 y=400을 대입하면 400=xÛ` ∴ x=20 (∵ x>0) 따라서 20계단을 만들 수 있다. ⑶ y=xÛ`에 x=17을 대입하면 y=17Û`=289 따라서 카드는 289장이 필요하다. 답 ⑴ y=xÛ`, 이차함수이다. ⑵ 20계단 ⑶ 289장 1046 전략 y=3xÛ`의 그래프를 x축을 접는 선으로 하여 접었다가 펼 치는 것은 y=3xÛ`의 그래프와 x축에 대칭인 그래프를 그리는 것 과 같다. ㈎, ㈏ 에서 y=3xÛ`의 그래프를 y=3x¤ x축을 접는 선으로 하여 접었다 가 펼칠 때 생기는 이차함수의 그래프는 y=3xÛ`의 그래프를 x 축에 대칭이동한 그래프이므로 y=-3xÛ`이다. 나므로 구하는 a의 값의 범위는 -30, b>0, c>0 따라서 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-1, -4)이고 축의 방 답 a<0, b>0, c>0 정식은 x=-1이다. 답 1, 1, 4, 꼭짓점의 좌표 : (-1, -4), 답 축의 방정식 : x=-1 1054 그래프가 위로 볼록하므로 a<0 축이 y축의 왼쪽에 있고 a<0이므로 따라서 꼭짓점의 좌표는 (2, 7)이고 축의 방정식은 x=2이 다. 답 꼭짓점의 좌표 : (2, 7), 축의 방정식 : x=2 답 a<0, b<0, c<0 1053 그래프가 위로 볼록하므로 a<0 p.164 축이 y축의 오른쪽에 있고 a<0이므로 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0 b>0 c>0 b<0 c<0 b<0 c<0 y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 1055 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축의 오른쪽에 있고 a>0이므로 y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 답 a>0, b<0, c<0 step 유형 마스터 p.165 ~ p.172 1056 전략 먼저 xÛ`의 계수로 이차항과 일차항을 묶은 후 완전제곱식 의 꼴로 변형한다. y= xÛ`-2x+1 ;3!; ;3!; ;3!; y= (xÛ`-6x+9-9)+1 y= (x-3)Û`-2 따라서 a= , p=3, q=-2이므로 ;3!; apq= _3_(-2)=-2 ;3!; 답 -2 1057 y=-xÛ`+6x-5 y=-(xÛ`-6x)-5 y=-(xÛ`-6x+9-9)-5 y=-(x-3)Û`+4 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④ step 개념 마스터 1047 y=xÛ`+2x-3 y=(xÛ`+2x+1- 1 )-3 y=(x+ 1 )Û`- 4 1048 y=-xÛ`+4x+3 y=-(xÛ`-4x+4-4)+3 y=-(x-2)Û`+7 1049 y= xÛ`-3x-6 ;2!; ;2!; ;2!; y= (xÛ`-6x+9-9)-6 y= (x-3)Û`- ;;ª2Á;; 따라서 꼭짓점의 좌표는 { 3, - ;;ª2Á;;} 이고 축의 방정식은 x=3이다. 답 꼭짓점의 좌표 : { 3, - ;;ª2Á;;} , 축의 방정식 : x=3 1050 y=3xÛ`+6x+4 y=3(xÛ`+2x+1-1)+4 y=3(x+1)Û`+1 따라서 꼭짓점의 좌표는 (-1, 1)이고 축의 방정식은 x=-1이다. 답 꼭짓점의 좌표 : (-1, 1), 축의 방정식 : x=-1 1051 y=-2xÛ`+16x-17 y=-2(xÛ`-8x+16-16)-17 y=-2(x-4)Û`+15 따라서 꼭짓점의 좌표는 (4, 15)이고 축의 방정식은 x=4이 다. 답 꼭짓점의 좌표 : (4, 15), 축의 방정식 : x=4 1052 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 축이 y축의 왼쪽에 있고 a>0이므로 b>0 92 정답과 해설 1058 y=4xÛ`+16x-3 y=4(xÛ`+4x+4-4)-3 y=4(x+2)Û`-19 y=2xÛ`+4x-1=2(x+1)Û`-3 이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-1, -3)이고 y축과의 교점의 좌표는 (0, -1)이다. ∴ a=4, p=2, q=-19 답 a=4, p=2, q=-19 따라서 구하는 그래프는 ②이다. 답 ② 1059 전략 두 식 모두 y=m(x-p)Û`+q의 꼴로 고쳐서 꼭짓점의 좌 y=-2xÛ`+4x+a=-2(x-1)Û`+a+2의 그래프의 꼭짓 표를 비교한다. 점의 좌표는 (1, a+2) y=xÛ`-2bx+1=(x-b)Û`-bÛ`+1의 그래프의 꼭짓점의 1063 y=-3xÛ`+6x-1 y=-3(x-1)Û`+2 따라서 이차함수의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로 그래프가 지나 지 않는 사분면은 제 2 사분면이다. 좌표는 ( b, -bÛ`+1) 두 그래프의 꼭짓점이 일치하므로 y 2 O -1 1 x 답 제 2 사분면 1=b, a+2=-bÛ`+1 ∴ a=-2, b=1 1064 ① y=4xÛ`-4x+1 ② y=2xÛ`+3x+4 ∴ a+b=(-2)+1=-1 답 -1 ① y=4 x- ;2!;} ① y=2 x+ { + ;;ª8£;; ;4#;} ① 2` ① 1060 ① y=-xÛ`+4x-2=-(x-2)Û`+2이므로 꼭짓점의 좌 ② y=xÛ`+8x+12=(x+4)Û`-4이므로 꼭짓점의 좌표는 ③ y=-2xÛ`+4x-1=-2(x-1)Û`+1이므로 꼭짓점의 ③ y=xÛ`-3x+2 ④ y=2xÛ`-16x+30=2(x-4)Û`-2이므로 꼭짓점의 좌 ⑤ y=-3xÛ`-12x-5=-3(x+2)Û`+7이므로 꼭짓점의 따라서 꼭짓점이 제 2 사분면 위에 있는 것은 ⑤이다. 답 ⑤ ① 1061 주어진 일차함수의 그래프에서 x절편이 2, y절편이 4이므로 { y 1 O 1 2 x 2` y 4 23 8 - O 3 4 x ④ y=-2xÛ`+4x-3 =-2(x-1)Û`-1 ① y= x- - ;4!; ;2#;} ① y ① y 2` ① { 2 O - 1 4 3 2 x y O 1 -1 -3 x ⑤ y=- xÛ`-x+1=- (x+1)Û`+ ;2!; ;2#; ;2!; y 1 -1 O 3 2 x 표는 (2, 2) ➡ 제 1 사분면 (-4, -4) ➡ 제 3 사분면 좌표는 (1, 1) ➡ 제 1 사분면 표는 (4, -2) ➡ 제 4 사분면 좌표는 (-2, 7) ➡ 제 2 사분면 ;2$; ;2!; a=- =-2, b=4 ∴ y= axÛ`+bx-5 ∴ y=-xÛ`+4x-5 ∴ y=-(x-2)Û`-1 따라서 구하는 꼭짓점의 좌표는 (2, -1)이다. 일차함수 y=ax+b의 그래프에서 x절편이 m, y절편이 답 (2, -1) n이면 이 그래프는 두 점 (m, 0), (0, n)을 지나므로 =- n a=(기울기)= 0-n m m-0 b=( y절편)=n 따라서 그래프가 모든 사분면을 지나는 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 1065 전략 y=a(x-p)Û`+q의 꼴로 고쳐서 x=p를 기준으로 증 가·감소하는 범위를 구한다. y=3xÛ`-12x+2=3(x-2)Û`-10 이 그래프는 아래로 볼록하고 축의 방정식이 x=2이므로 x>2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. 1066 y=-2xÛ`+12x-11=-2(x-3)Û`+7` 이 그래프는 위로 볼록하고 축의 방정식이 x=3이므로 yy ㈎ 답 x>2 답 x>3 9. 이차함수의 그래프 ⑵ 93 1062 전략 y=2xÛ`+4x-1을 y=a(x-p)Û`+q의 꼴로 고쳐서 꼭짓 x>3일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. yy ㈏ 점의 좌표를 구한다. 채점 기준 ㈎ y=-2xÛ`+12x-11을 y=a(x-p)Û`+q의 꼴로 1072 y=-3xÛ`-6x+5=-3(x+1)Û`+8 이 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -1만 xk이 면 x의 값이 증가할 때 y의 값은 감소한다. 1073 y=xÛ`-6x+3=(x-3)Û`-6 이 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 그래프를 비율 50`% 50`% ㈏ x의 값이 증가할 때 y의 값은 감소하는 x의 값의 범 나타내기 위 구하기 1067 y=-xÛ`+2kx+k=-(x-k)Û`+kÛ`+k 이 그래프는 위로 볼록하고 축의 방정식이 x=k이므로 ∴ k=-2 즉 y=-xÛ`-4x-2의 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -2)이다. 답 (0, -2) 1068 전략 y=a(x-p)Û`+q의 꼴로 고쳐서 그래프의 성질을 확인한다. y=-3xÛ`+6x-2=-3(x-1)Û`+1 ① 위로 볼록하고, 대칭축은 y축의 오른쪽에 위치한다. ② y=-3xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방 향으로 1만큼 평행이동한 것이다. ④ x<1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. ⑤ y=-3xÛ`+6x-2의 그래프와 x축에 대칭인 그래프를 나타내는 식은 y=3xÛ`-6x+2이다. 따라서 옳은 것은 ③이다. 답 ③ 1069 y=-xÛ`+4x-1 y=-(x-2)Û`+3 x=2 y 3 O -1 ㉠ 축의 방정식이 x=2이므로 직선 x=2에 대칭이다. ㉡ y=-(x-2)Û`+3의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같으므로 제`1, 3, 4`사분면을 지난다. ㉢ xÛ`의 계수가 같으므로 그래프의 모양이 같다. 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢이다. 답 ㉠, ㉢ 1070 ② x절편은 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 해이고 y절편이 c이다. 따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 답 ② 1071 전략 y=a(x-p)Û`+q의 꼴로 고친 후 평행이동한 그래프를 나타내는 식을 구한다. y=3xÛ`+12x+13=3(x+2)Û`+1 이차함수 y=3xÛ`+12x+13의 그래프를 x축의 방향으로 m 만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이때 y=3xÛ`-18x+25=3(x-3)Û`-2이므로 식은 y=3(x+2-m)Û`+1+n 2-m=-3, 1+n=-2 따라서 m=5, n=-3이므로 m+n=5+(-3)=2 94 정답과 해설 큼 평행이동한 그래프를 나타내는 식은 y=-3(x+1-3)Û`+8-1, 즉 y=-3(x-2)Û`+7 따라서 이 그래프의 축의 방정식은 x=2이다. 답 x=2 나타내는 식은 y={x-3-(-2)}Û`-6, 즉 y=(x-1)Û`-6 이때 y=(x-1)Û`-6의 그래프가 점 (3, k)를 지나므로 k=(3-1)Û`-6=-2 답 -2 1074 전략 y=-2xÛ`의 그래프를 평행이동한 그래프의 식을 구하고 y=0을 대입한다. y=-2xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향 으로 8만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 식은 y=-2(x+1)Û`+8=-2xÛ`-4x+6 y=-2xÛ`-4x+6에 y=0을 대입하면 -2xÛ`-4x+6=0, xÛ`+2x-3=0 (x-1)(x+3)=0 ∴ x=1 또는 x=-3 따라서 구하는 점의 좌표는 (-3, 0), (1, 0)이다. 답 (-3, 0), (1, 0) 2 x 1075 y=3xÛ`-2x+1에 x=0을 대입하면 y=1 따라서 구하는 점의 좌표는 (0, 1)이다. 답 (0, 1) 1076 ① y=xÛ`+5x+4= x+ { - ;4(; ;2%;} ∴ A - , - { ;2%; ;4(;} ②, ③ y=xÛ`+5x+4에 y=0을 대입하면 2` ① xÛ`+5x+4=0, (x+1)(x+4)=0 ① ∴ x=-1 또는 x=-4, 즉 B(-4, 0), C(-1, 0) ④ y=xÛ`+5x+4에 x=0 을 대입하면 ① y=4 ∴ D(0, 4) ⑤ 점 E의 y좌표가 4이므로 ① xÛ`+5x+4=4, xÛ`+5x=0, x(x+5)=0 ① ∴ x=0 또는 x=-5, 즉 E(-5, 4) 따라서 옳은 것은 ③이다. 답 ③ 1077 전략 이차함수의 그래프가 x축과 한 점에서 만나는 경우는 꼭 짓점이 x축 위에 있는 경우이다. y=-3xÛ`+6x-2a+5=-3(x-1)Û`-2a+8 이 그래프가 x축과 한 점에서 만나려면 꼭짓점의 y좌표가 0 이어야 하므로 답 2 -2a+8=0 ∴ a=4 답 4 1078 y=xÛ`+2x+k-7=(x+1)Û`+k-8 이 그래프가 x축과 만나지 않으려면 꼭짓점의 y좌표가 0보 0=2+4+a ∴ a=-6 답 -6 y= xÛ`-2x+a의 그래프가 점 (6, 0)을 지나므 ;2!; 다 커야 하므로 k-8>0 ∴ k>8 답 k>8 로 0=18-12+a ∴ a=-6 1079 y=- ;2!; xÛ`-2x-3a=- (x+2)Û`-3a+2 yy ㈎ ;2!; 이 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나려면 꼭짓점의 1083 전략 a+b+c는 x=1일 때의 y의 값, 4a-2b+c는 x=-2 일 때의 y의 값, a-b+c는 x=-1일 때의 y의 값이므로 그래 y좌표가 0보다 커야 하므로 -3a+2>0 -3a>-2 ∴ a< ;3@; 채점 기준 ㈎ y=a(x-p)Û`+q의 꼴로 나타내기 ㈏ x축과 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 조건 알기 35`% ㈐ a의 값의 범위 구하기 yy ㈏ yy ㈐ 답 a< ;3@; 비율 35`% 30`% 프에서 x의 값에 따른 y의 값의 부호를 정한다. 그래프가 위로 볼록하므로 축이 y축의 왼쪽에 있고 a<0이므로 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 a<0 b<0 c>0 ① ab>0 ② ac<0 ③ x=1일 때, y=0이므로 a+b+c=0 ④ x=-2일 때, y=0이므로 4a-2b+c=0 ⑤ x=-1일 때, y>0이므로 a-b+c>0 y=x¤+ax+b y 따라서 옳은 것은 ④이다. 답 ④ 1080 그래프가 아래로 볼록하고 축의 방정식이 x=-1, x축과 만나 는 두 점 사이의 거리가 6이므로 y=xÛ`+ax+b의 그래프가 x축 과 만나는 두 점의 좌표는 (-4, 0), (2, 0)이다. 오른쪽 그림과 같이 -4 -1 O 2 x 1084 전략 a, -b, -c의 부호로 a, b, c의 부호를 정한다. 그래프가 위로 볼록하므로 x=-1 a<0 y=xÛ`+ax+b에 x=-4, y=0을 대입하면 0=16-4a+b ∴ 4a-b=16 yy ㉠ y=xÛ`+ax+b에 x=2, y=0을 대입하면 0=4+2a+b ∴ 2a+b=-4 yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-8 축이 y축의 왼쪽에 있고 a<0이므로 -b<0 ∴ b>0 y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 -c<0 ∴ c>0 답 ① 1085 a>0이므로 그래프가 아래로 볼록하고 b<0, 즉 a와 b의 부호가 다르므로 축이 y축의 오른쪽에 있 ∴ a+b=2+(-8)=-6 답 -6 다. 1081 전략 이차함수의 식에 y=0을 대입하여 x축과의 교점의 좌표 따라서 y=axÛ`+bx+c의 그래프의 y 또 c<0이므로 y축과의 교점은 x축의 아래쪽에 있다. 를 구한다. y=xÛ`-5x-6에 y=0을 대입하면 xÛ`-5x-6=0, (x+1)(x-6)=0 ∴ x=-1 또는 x=6 따라서 A(-1, 0), B(6, 0) 또는 A(6, 0), B(-1, 0)이므 로 ABÓ=6-(-1)=7 답 7 모양은 오른쪽 그림과 같으므로 꼭짓 점은 제 4 사분면 위에 있다. O x 답 제 4 사분면 1086 전략 -xÛ`-3x+10=0의 해를 구해서 두 점 A, B의 좌표를 1082 y= ;2!; xÛ`-2x+a= (x-2)Û`+a-2 ;2!; 이 그래프의 축의 방정식은 x=2이고 ABÓ=8이므로 A(-2, 0), B(6, 0)이다. 따라서 y= xÛ`-2x+a의 그래프가 점 (-2, 0)을 지나므로 ;2!; 구한다. y=-xÛ`-3x+10에 y=0을 대입하면 -xÛ`-3x+10=0 xÛ`+3x-10=0, (x+5)(x-2)=0 ∴ x=-5 또는 x=2 9. 이차함수의 그래프 ⑵ 95 즉 A(-5, 0), B(2 , 0) y=-xÛ`-3x+10에 x=0을 대입하면 y=10 ∴ C(0, 10) ∴ △ABC= _7_10=35 ;2!; 1087 y=-2xÛ`+4x+6에 y=0을 대입하면 -2xÛ`+4x+6=0 xÛ`-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 즉 A(-1, 0), B(3, 0) 또는 A(3, 0), B(-1, 0) yy ㈎ 또 y=-2xÛ`+4x+6=-2(x-1)Û`+8이므로 C(1, 8) ∴ △ABC= _4_8=16 ;2!; 채점 기준 ㈎ 두 점 A, B의 좌표 구하기 ㈏ 점 C의 좌표 구하기 ㈐ △ABC의 넓이 구하기 답 35 yy ㈏ yy ㈐ 답 16 비율 50`% 25`% 25`% 1088 y=xÛ`+4x-5=(x+2)Û`-9이므로 A(-2, -9) y=xÛ`+4x-5에 y=0을 대입하면 xÛ`+4x-5=0 (x+5)(x-1)=0 ∴ x=-5 또는 x=1 즉 B(-5, 0) y=xÛ`+4x-5에 x=0을 대입하면 ∴ C(0, -5) y=-5 ∴ △ABC=△BAO+△OAC-△BCO ∴ △ABC= ;2!; _5_9+ _5_2- _5_5 ;2!; ;2!; ∴ △ABC= ;;¢2°;; ∴ △ABC=15 +5-;;ª2°;; 1089 y=-xÛ`+3x+4=- x- { + ;2#;} :ª4°: 이므로 C , {;2#; :ª4°:} 2` y=-xÛ`+3x+4에 y=0을 대입하면 -xÛ`+3x+4=0, xÛ`-3x-4=0 (x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4 ∴ A(-1, 0), B(4, 0) D(0, 4) 96 정답과 해설 ∴ ABCD ∴ =△AOD+△CDO+△COB ∴ = _1_4+ _4_ ;2!; ;2#; ;2!; C y 25 4 4 D + _4_ ;2!; :ª4°: A -1 O B 4 x 3 2 ∴ =2+3+ = ;;ª2°;; ;;£2°;; 답 :£2°: 1090 y=a(xÛ`-2x-3)에 y=0을 대입하면 a(xÛ`-2x-3)=0 xÛ`-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 즉 A(-1, 0), B(3, 0) 또 y=a(xÛ`-2x-3)=a(x-1)Û`-4a이므로 C(1, -4a) 따라서 △ABC의 넓이가 6이므로 _4_(-4a)=6 ∴ a=- ;4#; ;2!; 답 - ;4#; 1091 전략 꼭짓점의 좌표를 a의 식으로 나타낸 후 y=-2x+7에 대 입하여 a의 값을 구한다. y=xÛ`-2ax-b의 그래프가 점 (1, 4)를 지나므로 4=1-2a-b ∴ b=-2a-3 yy ㉠ 이 그래프의 꼭짓점 (a, -aÛ`+2a+3)이 직선 y=-2x+7 y=xÛ`-2ax-b y=(x-a)Û`-aÛ`-b y=(x-a)Û`-aÛ`+2a+3`(∵ ㉠) aÛ`-4a+4=0, (a-2)Û`=0 ∴ a=2 위에 있으므로 -aÛ`+2a+3=-2a+7 ㉠에 a=2를 대입하면 b=-2_2-3=-7 ∴ a-b=2-(-7)=9 답 9 답 3 답 15 1092 y=-xÛ`+4x+2k-3=-(x-2)Û`+2k+1 이 그래프의 꼭짓점 (2, 2k+1)이 직선 y=x+5 위에 있으 2k+1=2+5, 2k=6 므로 ∴ k=3 ⑴ y=xÛ`+2ax+2b ⑴ y=(x+a)Û`-aÛ`+2b 1093 ⑴ y=xÛ`+2ax+2b의 그래프가 점 (-1, 5)를 지나므로 yy ㉠ ⑴ 5=1-2a+2b ∴ b=a+2 y=-xÛ`+3x+4에 x=0을 대입하면 y=4이므로 ⑴ y=(x+a)Û`-aÛ`+2a+4 (∵ ㉠) ⑴ 따라서 꼭짓점의 좌표는 (-a, -aÛ`+2a+4)이다. ⑵ 꼭짓점 (-a, -aÛ`+2a+4)가 직선 y=2x+8 위에 있 으므로 ⑴ -aÛ`+2a+4=-2a+8 ⑴ aÛ`-4a+4=0, (a-2)Û`=0 ∴ a=2 1097 y=ax+b의 그래프에서 기울기가 음수이므로 a<0 y절편이 양수이므로 b>0 x=1일 때, y>0이므로 a+b>0 ⑴ ㉠에 a=2를 대입하면 ⑴ b=2+2=4 ⑴ ∴ ab=2_4=8 y=xÛ`+(a+b)x+ab의 그래프는 아래로 볼록하고, 1과 a+b의 부호가 같으므로 축은 y축의 왼쪽에 있으며 ab<0이므로 y축과의 교점은 x축보다 아래쪽에 있다. 답 ⑴ (-a, -aÛ`+2a+4) ⑵ 8 따라서 y=xÛ`+(a+b)x+ab의 그래프로 적당한 것은 ② 1094 전략 그래프의 모양으로 a의 부호, 축의 위치로 b의 부호, y축과 이다. 답 ② 의 교점의 위치로 c의 부호를 정할 수 있다. ⑴ 그래프가 아래로 볼록하므로 1098 전략 대칭축을 기준으로 넓이가 같은 부분을 찾아본다. y=xÛ`-2x-3=(x-1)Û`-4이므로 ⑴ 축이 y축의 왼쪽에 있고 a>0이므로 y=xÛ`-8x+12=(x-4)Û`-4이므로 P(1, -4) Q(4, -4) ⑴ y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 y=x¤-2x-3 y y=x¤-8x+12 ⑵ y=cxÛ`+bx+a의 그래프는 c<0이므로 위로 볼록하다. 이때 c와 b의 부호가 다르므로 축은 y축의 오른쪽에 있으 며 a>0이므로 y축과의 교점은 x축보다 위쪽에 있다. 따라서 y=cxÛ`+bx+a의 그래프로 적당한 것은 ③이다. -1 1 2 O ㉠ 4 3 ㉡ 6 x -4 P Q 답 ⑴ a>0, b>0, c<0 ⑵ ③ 위의 그림에서 ㉠과 ㉡의 넓이가 같으므로 문제에서 색칠한 1095 그래프가 위로 볼록하므로 a<0 축이 y축의 오른쪽에 있고 a<0이므로 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 부분의 넓이는 가로의 길이가 3, 세로의 길이가 4인 직사각 형의 넓이와 같다. ∴ (색칠한 부분의 넓이)=3_4=12 답 12 1099 y=xÛ`-4x=(x-2)Û`-4이므로 A(2, -4) y=xÛ`에 x=2를 대입하면 y=2Û`=4 y=bxÛ`-ax+c의 그래프는 b>0이므로 아래로 볼록하다. ∴ B(2, 4) 이때 b와 -a의 부호가 같으므로 축은 y축의 왼쪽에 있으며 오른쪽 그림에서 ㉠과 ㉡의 넓이가 y=x¤ c>0이므로 y축과의 교점은 x축의 위쪽에 있다. 따라서 y=bxÛ`-ax+c의 그래프로 적당한 것은 ④이다. 답 ④ 1096 전략 일차방정식을 y=mx+n의 꼴로 바꾸어 m, n의 부호를 같으므로 문제에서 색칠한 부분의 넓이는 OEBD의 넓이와 같다. ∴ (색칠한 부분의 넓이) ∴ =OEBD=2_4=8 y 4 D ㉡ B E 2 O ㉠ -4 C A y=x¤-4x x 답 8 확인한다. 그래프가 아래로 볼록하므로 축이 y축의 오른쪽에 있고 a>0이므로 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 일차방정식 ax+by+c=0에서 y=- x- 이므로 ;bA; ;bC; - >0, - >0 ;bC; ;bA; ③이다. 따라서 일차방정식 ax+by+c=0의 그래프로 적당한 것은 1100 y=- xÛ`+3에 y=0을 대입하면 0=- xÛ`+3, xÛ`=9 ∴ x=Ñ3 즉 A(-3, 0), B(3, 0) y=- xÛ`에 x=-3을 대입하면 y=- _(-3)Û`=-3 ∴ C(-3, -3) y=- xÛ`에 x=3을 대입하면 ;3!; ;3!; ;3!; ;3!; ;3!; ;3!; 답 ③ y=- _3Û`=-3 ∴ D(3, -3) ⑴ a>0 ⑴ b>0 ⑴ c<0 b>0 c>0 a>0 b<0 c>0 9. 이차함수의 그래프 ⑵ 97 오른쪽 그림에서 ㉠과 ㉡의 넓이 가 같으므로 문제에서 색칠한 부 분의 넓이는 ACDB의 넓이 와 같다. y 3 1 y=- x¤+3 3 ㉠㉡ O B 3 x A -3 ∴ (색칠한 부분의 넓이) ∴ =ACDB=6_3=18 C -3 D y=- x¤ 1 3 답 18 step3 내신 마스터 p.173 ~ p.175 1101 전략 xÛ`의 계수로 이차항과 일차항을 묶을 때 빠짐없이 묶도록 주의한다. y=3xÛ`-12x+16 y=3(xÛ`-4x)+16 y=3(xÛ`-4x+4-4)+16 y=3(x-2)Û`+4 처음으로 틀린 부분 답 ㉠, y=3(x-2)Û`+4 a= 0-5 1-3 = ;2%; y= x+b의 그래프가 점 (1, 0)을 지나므로 ;2%; ;2%; 0= +b ∴ b=- ;2%; ∴ y= x- , 즉 5x-2y-5=0 ;2%; ;2%; 답 ② 1104 전략 y=a(x-p)Û`+q의 그래프에서 꼭짓점의 좌표는 (p, q) 이고 축의 방정식은 x=p이다. ⑴ y=-3xÛ`+6x-6 ⑴ y=-3(xÛ`-2x+1-1)-6 ⑴ y=-3(x-1)Û`-3 yy ㈎ ⑵ y=-3(x-1)Û`-3의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, -3), 축의 방정식은 x=1이다. yy ㈏ ⑴ y=-3xÛ`+6x-6에 x=0을 대입하면 y=-6 ⑴ 즉 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, -6)이다. yy ㈐ ⑴ 따라서 그래프를 그리면 오른쪽 y x=1 그림과 같다. O 1 x -3 -6 yy ㈑ 비율 25`% 25`% 25`% 25`% ① x=0 ① x=-2 ① x=2 ① x=1 ⑤ 정식은 ① x=- ;2#; 1102 전략 축의 방정식을 각각 구한다. ① y=xÛ`+3의 그래프의 축의 방정식은 ② y=-(x+2)Û`의 그래프의 축의 방정식은 ③ y=3(x-2)Û`+5의 그래프의 축의 방정식은 답 ⑴ y=-3(x-1)Û`-3 ⑵ 풀이 참조 채점 기준 ㈎y=a(x-p)Û`+q의꼴로나타내기 ㈏꼭짓점의좌표와축의방정식구하기 ㈐y축과의교점의좌표구하기 ④ y=xÛ`-2x+2=(x-1)Û`+1의 그래프의 축의 방정식은 ㈑꼭짓점,축,y축과의교점을나타내고,그래프그 리기 한다. ⑤ y= xÛ`+x+1= ;3!; x+ + ;4!; ;2#;} ;3!;{ 의 그래프의 축의 방 1105 전략 그래프의 모양, 꼭짓점의 좌표, y축과의 교점의 좌표를 구 2` 따라서 그래프의 축이 가장 왼쪽에 있는 것은 ②이다. 1103 전략 두 점 (a, b), (c, d)를 지나는 직선의 기울기는 d-b c-a 이다. y=xÛ`-6x+14=(x-3)Û`+5의 그래프의 꼭짓점의 좌표 y=2xÛ`-4x+2=2(x-1)Û`의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 이때 두 점 (3, 5), (1, 0)을 지나는 직선의 방정식을 y=ax+b라 하면 는 (3, 5) (1, 0) 98 정답과 해설 y=- xÛ`-6x-2=- (x+2)Û`+4의 그래프는 위로 볼 ;2#; ;2#; 록하고 꼭짓점의 좌표가 (-2, 4), y축과의 교점의 좌표가 답 ② (0, -2)이므로 구하는 그래프는 ②이다. 답 ② 1106 전략 그래프의 식을 y=a(x-p)Û`+q의 꼴로 고쳐서 그래프를 그린다. y=2xÛ`-4x-1 y=2(x-1)Û`-3 따라서 이차함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 그래프가 지나지 않 는 사분면은 없다. y -1 -3 1 O x 답 ⑤ 1107 전략 y=a(x-p)Û`+q에서 축 x=p를 기준으로 증가·감소하 Lecture 는 범위가 바뀐다. y=- xÛ`-x+5=- (x+1)Û`+ ;2!; :Á2Á: ;2!; y=(x+4-p)Û`+5+q의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-4+p, 5+q)이다. y=xÛ`-2x-2=(x-1)Û`-3의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 이 그래프는 위로 볼록하고 축의 방정식이 x=-1이므로 (1, -3)이다. x>-1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 즉 (-4+p, 5+q)와 (1, -3)은 서로 같으므로 답 ② -4+p=1, 5+q=-3 ∴ p=5, q=-8 1108 전략 y=axÛ`+bx+c의 그래프에서 a의 절댓값이 클수록 폭이 1111 전략 y=xÛ`-7x+6에 y=0을 대입하여 p, q의 값을 구하고 좁아진다. xÛ`의 계수의 절댓값을 비교하면 - | ;2!;| <|-1|<|2|<|5|<|-7| 이므로 그래프의 폭이 가장 좁은 것은 ⑤이다. 답 ⑤ x=0을 대입하여 r의 값을 구한다. y=xÛ`-7x+6에 y=0을 대입하면 xÛ`-7x+6=0, (x-1)(x-6)=0 ∴ x=1 또는 x=6 즉 p=1, q=6 또는 p=6, q=1 y=xÛ`-7x+6에 x=0을 대입하면 y=6 ∴ r=6 1109 전략 y=a(x-p)Û`+q의 꼴로 고쳐서 그래프의 성질을 확인 ∴ p+q+r=1+6+6=13 답 ⑤ 한다. y=-xÛ`+6x-8=-(x-3)Û`+1 ① 직선 x=3을 축으로 한다. ③ 꼭짓점의 좌표는 (3, 1)이다. ⑤ y=-xÛ`의 그래프를 x축의 방향 으로 3만큼, y축의 방향으로 1만 큼 평행이동한 것이다. 따라서 옳은 것은 ②, ④이다. y 1 O -8 3 x 1112 전략 이차함수의 그래프가 x축에 접하려면 꼭짓점의 y좌표가 0이어야 한다. y=2xÛ`+3x+a-1 y=2 x+ { ;4#;} +a- :Á8¦ ¶: 므로 이 그래프가 x축에 접하려면 꼭짓점의 y좌표가 0이어야 하 2` 답 ②, ④ a- =0 ∴ a= :Á8¦ ¶: :Á8¦ ¶: 답 :Á8¦: 1110 전략 평행이동한 그래프를 나타내는 식을 구하고, 이 식이 y=xÛ`-2x-2와 같음을 이용한다. y=xÛ`+8x+21=(x+4)Û`+5의 그래프를 x축의 방향으 로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프를 나타 내는 식은 y=(x+4-p)Û`+5+q yy ㈎ 이때 y=xÛ`-2x-2=(x-1)Û`-3이므로 4-p=-1, 5+q=-3 ∴ p=5, q=-8 ∴ p+q=5+(-8)=-3 채점 기준 식 구하기 ㈏ p, q의 값 구하기 ㈐ p+q의 값 구하기 yy ㈏ yy ㈐ 답 -3 비율 40`% 20`% 1113 전략 ABÓ=10이므로 두 점 A, B는 각각 대칭축과 x축의 교점 으로부터 5만큼 떨어져 있다. y= xÛ`-4x+k= (x-4)Û`+k-8 ;2!; ;2!; 이 그래프의 축의 방정식은 x=4이고 ABÓ=10이므로 A(-1, 0), B(9, 0) 또는 A(9, 0), B(-1, 0) 즉 y= xÛ`-4x+k의 그래프가 점 (-1, 0)을 지나므로 ;2!; 0= +4+k ∴ k=- ;2!; ;2(; 따라서 y= (x-4)Û`- 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 ;2!; :ª2°: 4, - { :ª2°:} 이다. 답 { 4, - :ª2°:} 축이 y축의 오른쪽에 있고 a>0이므로 a>0 b<0 9. 이차함수의 그래프 ⑵ 99 ㈎ y=xÛ`+8x+21의 그래프를 x축의 방향으로 p만 큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프의 40`% 1114 전략 x=-1, x=1, x=2일 때의 y의 값의 부호를 판단한다. 그래프가 아래로 볼록하므로 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 y=xÛ`-4x-2와 y=x-2의 그래프에서 c>0 ① ab<0 ② bc<0 ③ x=1일 때, y<0이므로 a+b+c<0 ④ x=2일 때, y>0이므로 4a+2b+c>0 ⑤ x=-1일 때, y>0이므로 a-b+c>0 답 ④ 1115 전략 두 점 A, B의 좌표를 각각 구한 후 △AOB를 그린다. ⑴ y= xÛ`-2x-4= (x-2)Û`-6이므로 ;2!; ⑴ A(2, -6)이다. yy ㈎ ⑵ y= xÛ`-2x-4에 x=0을 대 x ;2!; ;2!; ⑴ 입하면 ⑴ y=-4 y O -4 -6 2 B A ⑴ 즉 B(0, -4)이다. yy ㈏ ⑶ △AOB= _4_2=4 ;2!; 채점 기준 ㈎ 점 A의 좌표 구하기 ㈏ 점 B의 좌표 구하기 ㈐ △AOB의 넓이 구하기 비율 30`% 30`% 40`% 표이다. y=xÛ`-4x-2=(x-2)Û`-6이므로 꼭짓점의 좌표는 (2, -6), 즉 C(2, -6) xÛ`-4x-2=x-2 xÛ`-5x=0, x(x-5)=0 ∴ x=0 또는 x=5 따라서 A(0, -2), B(5, 3)이므로 △ABC =△ACD+△BDC y 3 = _6_2+ _6_3 ;2!; ;2!; =6+9=15 D O 2 C A -2 -6 y=x-2 B 5 x y=x¤-4x-2 답 15 ⑴ 축이 y축의 오른쪽에 있고 a>0이므로 ⑴ y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 ⑴ a>0 ⑴ b<0 ⑴ c<0 ⑵ a-b>0, b+c<0이므로 "Ã "Ã "Ã "Ã "Ã "Ã ⑴ (a-b)Û`- (b+c)Û`=a-b+b+c ⑴ (a-b)Û`- (b+c)Û`=a+c 답 ⑴ a>0, b<0, c<0 ⑵ a+c 1117 전략 " AÛ`= -A (A¾0) [ -A (A<0) 이므로 a, b, c의 부호를 정한 후 답 ⑴ A(2, -6) ⑵ B(0, -4) ⑶ 4 ⑴ 그래프가 아래로 볼록하므로 yy ㈐ a-b, b+c의 부호를 판단한다. 1116 전략 이차방정식 xÛ`-4x-2=x-2의 해가 두 점 A, B의 x좌 ⑴ (a-b)Û`- (b+c)Û`=(a-b)-{-(b+c)} 100 정답과 해설 10 이차함수의 활용 step 개념 마스터 ㉠, ㉡, ㉢ 을 연립하여 풀면 a=- , b= , c=-5 ;6%; :Á6£: ∴ y=- xÛ`+ x-5 ;6%; :Á6£: 답 y=- xÛ`+ x-5 ;6%; :Á6£: p.178 1124 x축과의 교점의 좌표가 (-2, 0), (2, 0)이므로 y=a(x+2)(x-2)로 놓고 x=0, y=-2를 대입하면 1118 꼭짓점의 좌표가 (3, -2)이므로 구하는 이차함수의 식을 y=a(x-3)Û`-2로 놓고 x=4, y=1을 대입하면 -2=-4a ∴ a= ;2!; 1=a-2 ∴ a=3 ∴ y=3(x-3)Û`-2 답 y=3(x-3)Û`-2 ∴ y= (x+2)(x-2)= xÛ`-2 ;2!; ;2!; 답 y= xÛ`-2 ;2!; 1119 꼭짓점의 좌표가 (1, 3)이므로 구하는 이차함수의 식을 y=a(x-1)Û`+3으로 놓고 x=0, y=1을 대입하면 1=a+3 ∴ a=-2 ∴ y=-2(x-1)Û`+3 답 y=-2(x-1)Û`+3 1120 축의 방정식이 x=-1이므로 구하는 이차함수의 식을 y=a(x+1)Û`+q로 놓고 두 점 (1, 2), (-2, 5)의 좌표를 1125 x축과 두 점 (-1, 0), (2, 0)에서 만나므로 y=a(x+1)(x-2)로 놓고 x=3, y=12를 대입하면 12=4a ∴ a=3 ∴ y=3(x+1)(x-2)=3xÛ`-3x-6 답 y=3xÛ`-3x-6 ∴ y=-(x+1)Û`+6 답 y=-(x+1)Û`+6 1121 축의 방정식이 x=1이므로 구하는 이차함수의 식을 y=a(x-1)Û`+q로 놓고 두 점 (2, 3), (3, 0)의 좌표를 각 각각 대입하면 2=4a+q 5=a+q ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-1, q=6 각 대입하면 3=a+q 0=4a+q ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-1, q=4 2=a+b+c 4=a-b+c ㉠, ㉡, ㉢ 을 연립하여 풀면 a=2, b=-1, c=1 ∴ y=2xÛ`-x+1 step 유형 마스터 p.179 ~ p.181 1126 전략 이차함수의 그래프에서 꼭짓점의 좌표는 (2, 1)이고 지나 는 한 점의 좌표는 (0, 5)이다. 꼭짓점의 좌표가 ( 2, 1)이므로 y=a(x-2)Û`+1로 놓고 x=0, y=5를 대입하면 5=4a+1 ∴ a=1 ∴ y =(x-2)Û`+1 =xÛ`-4x+5 따라서 a=1, b=-4, c=5이므로 a+b+c=1+(-4)+5=2 답 2 -7=4a-3 ∴ a=-1 ∴ y =-(x-2)Û`-3 =-xÛ`+4x-7 따라서 a=-1, b=4, c=-7이므로 abc=-1_4_(-7)=28 답 28 ∴ y=-(x-1)Û`+4 답 y=-(x-1)Û`+4 1127 꼭짓점의 좌표가 (2, -3)이므로 y=a(x-2)Û`-3으로 놓고 x=0, y=-7을 대입하면 1122 y=axÛ`+bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 각각 대입하면 1=c 답 y=2xÛ`-x+1 1128 꼭짓점의 좌표가 (1, -5)이므로 y=a(x-1)Û`-5로 놓고 x=3, y=-3을 대입하면 1123 y=axÛ`+bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 각각 대입하면 -5=c -4=4a+2b+c -8=a-b+c -3=4a-5 ∴ a= ;2!; 따라서 y= (x-1)Û`-5= xÛ`-x- 이므로 ;2!; ;2(; ;2!; a= , b=-1, c=- ;2!; ;2(; 답 a= ;2!;, b=-1, c=- ;2(; 10. 이차함수의 활용 101 yy ㉠ yy ㉡ yy ㉠ yy ㉡ yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ 1134 축의 방정식이 x=-1이므로 y=a(x+1)Û`+q로 놓고 두 점 (0, -3), (1, 0)의 좌표를 각각 대입하면 따라서 a=1, b=2, c=-3이므로 abc=1_2_(-3)=-6 답 -6 1135 전략 그래프 위의 세 점을 알면 이차함수의 식을 구할 수 있다. y=axÛ`+bx+c로 놓고 세 점 (-2, 5), ( 1, -4), (0, -3) ④ y=-3xÛ`-6x+2의 그래프와 x축에 대칭인 그래프는 의 좌표를 각각 대입하면 1129 꼭짓점의 좌표가 (-2, 0)이므로 y=a(x+2)Û`으로 놓고 yy ㈎ x=0, y=-4를 대입하면 -4=4a ∴ a=-1 ∴ y=-(x+2)Û` 이 그래프가 점 (1, k)를 지나므로 k=-(1+2)Û`=-9 채점 기준 ㈎ 이차함수의 식을 y=a(x+2)Û`으로 놓기 ㈏ 이차함수의 식 구하기 ㈐ k의 값 구하기 yy ㈏ yy ㈐ 답 -9 비율 30 % 40 % 30 % 1130 꼭짓점의 좌표가 (-1, 5)이므로 y=a(x+1)Û`+5로 놓고 x=0, y=2를 대입하면 2=a+5 ∴ a=-3 ∴ y =-3(x+1)Û`+5 =-3xÛ`-6x+2 ② 주어진 그래프에서 y절편은 2이다. y=3xÛ`+6x-2이다. 따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다. 답 ②, ④ 1131 꼭짓점의 좌표가 (1, 6)이므로 y=a(x-1)Û`+6으로 놓고 x=0, y=4를 대입하면 4=a+6 ∴ a=-2 즉 y=-2(x-1)Û`+6에 y=0을 대입하면 0=-2(x-1)Û`+6, (x-1)Û`=3 x-1=Ñ 3 ' 따라서 A(1- ∴ x=1Ñ ' 3, 0), B(1+ 3 ABÓ=(1+ 3)-(1- ' ' ' 3)=2 ' 3 ' 3, 0)이므로 1132 전략 축의 방정식과 그래프가 지나는 두 점을 알면 이차함수의 식을 구할 수 있다. 축의 방정식이 x=-4이므로 y=a(x+4)Û`+q로 놓고 두 점 (-1, 7), (-2, 2)의 좌표를 각각 대입하면 7=9a+q 2=4a+q ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=1, q=-2 ∴ y =(x+4)Û`-2=xÛ`+8x+14 따라서 구하는 y절편은 14이다. 답 2 3 ' yy ㉠ yy ㉡ 답 14 1133 축의 방정식이 x=2이므로 y=- (x-2)Û`+q로 놓고 ;3!; x=5, y=4를 대입하면 4=-3+q ∴ q=7 102 정답과 해설 ∴ y=- (x-2)Û`+7 ;3!; ;3!; =- xÛ`+ x+ ;3$; :Á3¦: 따라서 a= , b= 이므로 ;3$; :Á3¦: a+b= + ;3$; :Á3¦: =7 -3=a+q 0=4a+q ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=1, q=-4 ∴ y =(x+1)Û`-4 =xÛ`+2x-3 5=4a-2b+c -4=a+b+c -3=c ㉠, ㉡, ㉢ 을 연립하여 풀면 a=1, b=-2, c=-3 ∴ y =xÛ`-2x-3 =(x-1)Û`-4 입하면 5=3-a+b 2=12+2a+b ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-4, b=-2 대입하면 0=-16-4a+b 3=b ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=- , b=3 :Á4£: 따라서 꼭짓점의 좌표는 ( 1, -4)이다. 답 (1, -4) 1136 y=3xÛ`+ax+b에 두 점 (-1, 5), (2, 2)의 좌표를 각각 대 ∴ a+b=-4+(-2)=-6 답 -6 1137 y=-xÛ`+ax+b에 두 점 (-4, 0), (0, 3)의 좌표를 각각 즉 y=-xÛ`- x+3의 그래프가 점 (2, k)를 지나므로 :Á4£: k=-2Û`- _2+3=- :Á4£: :Á2°: 답 - :Á2°: 답 7 yy ㉠ yy ㉡ yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ yy ㉠ yy ㉡ yy ㉠ yy ㉡ 1138 y=axÛ`+bx+c로 놓고 세 점 (0, 1), (1, 2), (2, 7)의 좌표 1143 x축과 만나는 두 점의 좌표가 (2, 0), (6, 0)이므로 y=a(x-2)(x-6)으로 놓고 x=0, y=5를 대입하면 답 y=2xÛ`-x+1 따라서 a= , b=- , c=5이므로 ;1°2; :Á3¼: 1139 그래프가 세 점 (0, 8), (3, 5), (4, 0)을 지나므로 yy ㈎ y=axÛ`+bx+c에 세 점의 좌표를 각각 대입하면 12a+6b+c=12_ +6_ +5=-10 ;1°2; {-:Á3¼:} 를 각각 대입하면 1=c 2=a+b+c 7=4a+2b+c ㉠, ㉡, ㉢ 을 연립하여 풀면 a=2, b=-1, c=1 ∴ y=2xÛ`-x+1 8=c 5=9a+3b+c 0=16a+4b+c ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-1, b=2, c=8 ∴ 4a+b+c=4_(-1)+2+8=6 채점 기준 ㈎ 그래프가 지나는 세 점의 좌표 구하기 ㈏ a, b, c의 값 구하기 ㈐ 4a+b+c의 값 구하기 yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ yy ㈏ yy ㈐ 답 6 비율 30 % 50 % 20 % 5=12a ∴ a= ;1°2; ∴ y= (x-2)(x-6) ;1°2; = xÛ`- ;1°2; :Á3¼: x+5 step 개념 마스터 1144 y=xÛ`-4x+1=(x-2)Û`-3이므로 x=2에서 최솟값은 -3이고 최댓값은 없다. 답 답 -10 p.182 ⑴ 없다. ⑵ -3 ⑴ 2 ⑵ 없다. x x y 4 2 O -2 -4 y 4 2 O -2 -4 -4 -2 2 4 -4 -2 2 4 1146 두 수 중 한 수를 x라 하면 다른 한 수는 10-x ∴ y=x(10-x)=-xÛ`+10x 답 y=-xÛ`+10x 1147 y=-xÛ`+10x=-(x-5)Û`+25 따라서 두 수의 곱의 최댓값은 25이다. 1148 x=5에서 최댓값을 가지므로 다른 한 수는 10-x=10-5=5 답 25 답 5, 5 3=-3a ∴ a=-1 ∴ y =-(x+1)(x-3) =-xÛ`+2x+3 따라서 a=-1, b=2, c=3이므로 3a+b+2c=3_(-1)+2+2_3=5 답 5 1141 x축과 만나는 두 점의 좌표가 (-4, 0), (2, 0)이고 xÛ`의 계 수가 이므로 ;2!; y= (x+4)(x-2) ;2!; ;2!; = xÛ`+x-4 따라서 a=1, b=-4이므로 a+b=1+(-4)=-3 1140 전략 x축과 만나는 두 점과 다른 한 점을 알면 이차함수의 식을 구할 수 있다. x축과 만나는 두 점의 좌표가 (-1, 0), (3, 0)이므로 y=a(x+1)(x-3)으로 놓고 x=0, y=3을 대입하면 1145 y=-xÛ`-2x+1=-(x+1)Û`+2이므로 x=-1에서 최 댓값은 2이고 최솟값은 없다. 답 답 -3 1149 가로의 길이가 x`cm이므로 세로의 길이는 (12-x)`cm이 답 (12-x)`cm 다. 1142 x축과 만나는 두 점의 좌표가 (-3, 0), (3, 0)이므로 y=a(x+3)(x-3)으로 놓고 x=-1, y=-4를 대입하면 -4=-8a ∴ a= ;2!; ∴ y= (x+3)(x-3)= ;2!; xÛ`- ;2(; ;2!; 답 y= xÛ`- ;2!; ;2(; 1150 y=x(12-x)=-xÛ`+12x 답 y=-xÛ`+12x 1151 y=-xÛ`+12x=-(x-6)Û`+36 따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 36`cmÛ`이다. 답 36`cmÛ` 10. 이차함수의 활용 103 채점 기준 -a=3 ∴ a=-3 ㈎ 이차함수의 식을 y=a(x-p)Û`+q의 꼴로 고치기 40 % 따라서 y=(x+3)Û`+3이므로 꼭짓점의 좌표는 (-3, 3)이 다. 답 (-3, 3) 1155 전략 xÛ`의 계수와 그래프에서 x축과 만나는 두 점으로 이차함 1161 y=-2xÛ`+4kx-5=-2(x-k)Û`+2kÛ`-5 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (k, 2kÛ`-5)이고 제 2 사분면 xÛ`의 계수가 -1이고 그래프가 x축과 두 점 (-1, 0), (3, 0) step 유형 마스터 p.183 ~ p.189 1152 전략 두 이차함수의 식을 y=a(x-p)Û`+q의 꼴로 고친다. y=-2xÛ`+4x=-2(x-1)Û`+2이므로 x=1에서 최댓값은 2이다. ∴ M=2 y= xÛ`-4x+3= (x-4)Û`-5이므로 ;2!; ;2!; x=4에서 최솟값은 -5이다. ∴ m=-5 ∴ M-m=2-(-5)=7 답 7 1153 y=(x+3)(x-5)=xÛ`-2x-15=(x-1)Û`-16 따라서 x=1에서 최솟값은 -16이다. 1154 y= ;2!; xÛ`-2x+3= (x-2)Û`+1 ;2!; 즉 x=2에서 최솟값은 1이므로 p=2, q=1 ∴ p+q=2+1=3 답 ④ yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 답 3 비율 40 % 20 % ㈏ p, q의 값 구하기 ㈐ p+q의 값 구하기 수의 식을 세운다. 에서 만나므로 y =-(x+1)(x-3) =-xÛ`+2x+3 =-(x-1)Û`+4 따라서 x=1에서 최댓값은 4이다. 답 4 1156 y=-2xÛ`+8x+1+a에 x=0, y=3을 대입하면 ∴ a=2 3=1+a ∴ y =-2xÛ`+8x+3 =-2(x-2)Û`+11 따라서 x=2에서 최댓값은 11이다. 답 11 1157 y=2xÛ`-4x+k=2(x-1)Û`+k-2 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, k-2)이므로 y=-x-3에 x=1, y=k-2를 대입하면 k-2=-1-3 ∴ k=-2 따라서 최솟값은 k-2=-2-2=-4 답 -4, -2 1158 y=axÛ`+bx+c에 세 점 (0, -1), (1, 2), (-1, -2)의 좌 표를 각각 대입하면 104 정답과 해설 -1=c 2=a+b+c -2=a-b+c ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=1, b=2, c=-1 즉 y=xÛ`+2x-1=(x+1)Û`-2이므로 x=-1에서 최솟값은 -2이다. 채점 기준 ㈎ a, b, c의 값 구하기 ㈏ 이차함수의 식을 y=a(x-p)Û`+q의 꼴로 고치기 ㈐ 이차함수의 최솟값 구하기 1159 전략 꼭짓점의 y좌표와 최솟값이 같음을 이용한다. y=3xÛ`-6x+k=3(x-1)Û`+k-3 이때 최솟값이 -7이므로 k-3=-7 ∴ k=-4 1160 y=xÛ`-2ax+aÛ`-a=(x-a)Û`-a 이때 최솟값이 3이므로 답 최솟값 -2 yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ yy ㈎ yy ㈏ yy ㈐ 비율 50 % 25 % 25 % 답 -4 위에 있으므로 k<0 이때 최댓값이 3이므로 2kÛ`-5=3, 2kÛ`=8 kÛ`=4 ∴ k=-2 (∵ k<0) 답 -2 1162 y=-xÛ`+4ax+b=-(x-2a)Û`+4aÛ`+b 이때 최댓값은 2이므로 4aÛ`+b=2 y=-xÛ`+4ax+b에 x=1, y=2를 대입하면 2=-1+4a+b에서 b=-4a+3 ㉠에 ㉡을 대입하면 4aÛ`-4a+3=2 4aÛ`-4a+1=0, (2a-1)Û`=0 ∴ a= ;2!; ㉡에 a= 을 대입하면 ;2!; b=-4_ +3=1 ;2!; ;2!; ∴ a+b= +1= ;2#; yy ㉠ yy ㉡ 답 ;2#; 1163 전략 x=p에서 최댓값 또는 최솟값이 q이다. ➡ 꼭짓점의 좌표가 (p, q)이다. 1168 x=-2에서 최솟값이 -2이므로 꼭짓점의 좌표는 (-2, -2)이고 a>0이다. y= xÛ`+ax+b가 x=2에서 최솟값이 -3이므로 ;2!; ;2!; y= (x-2)Û`-3= xÛ`-2x-1 ;2!; 따라서 a=-2, b=-1이므로 a+b=-2+(-1)=-3 즉 y=a(x+2)Û`-2로 놓고 그래프 y 가 오른쪽 그림과 같이 제 1, 2, 3 사분 면을 지나려면 (y절편)æ¾0이어야 하 -2 O x -2 므로 답 -3 4a-2¾æ0 ∴ aæ¾ ;2!; 1164 y=-2xÛ`+2ax+b가 x=-3에서 최댓값이 6이므로 y=-2(x+3)Û`+6=-2xÛ`-12x-12 따라서 2a=-12, b=-12이므로 a=-6, b=-12 ∴ ab=-6_(-12)=72 답 72 1165 y=-xÛ`+ax+b가 x=2에서 최댓값이 5이므로 y=-(x-2)Û`+5=-xÛ`+4x+1 따라서 a=4, b=1이므로 y= xÛ`+4x+1= (x+4)Û`-7 ;2!; ;2!; 즉 x=-4에서 최솟값은 -7이다. 답 -7 1166 전략 최댓값을 가지면 그래프는 위로 볼록하고, 최솟값을 가지 면 그래프는 아래로 볼록하다. x=1에서 최댓값이 3이므로 꼭짓점의 좌표는 (1, 3)이고 a<0이다. 즉 y=a(x-1)Û`+3으로 놓고 그래 프가 오른쪽 그림과 같이 제 2 사분면 을 지나지 않으려면 (y절편)É0이어 y 3 야 하므로 a+3É0 ∴ aÉ-3 따라서 a의 값의 범위는 aÉ-3이다. 1167 x=-2에서 최솟값이 -3이므로 꼭짓점의 좌표는 (-2, -3)이고 a>0이다. yy ㈎ 즉 y=a(x+2)Û`-3으로 놓고 그 y 래프가 오른쪽 그림과 같이 모든 사 분면을 지나려면 (y절편)<0이어 -2 O 야 하므로 yy ㈏ 4a-3<0 ∴ a< ;4#; 따라서 a의 값의 범위는 00)로 놓는다. ∴ y=3(x+1)Û`+4=3xÛ`+6x+7 답 ③ 1207 전략 m=(k에 대한 이차식)으로 나타내고 m의 최댓값을 구 a=3 한다. y =3xÛ`-6kx+2k =3(x-k)Û`-3kÛ`+2k 직선 l의 x절편이 6, y절편이 4이므로 (기울기)=- =- ;6$; ;3@; 즉 직선 l의 방정식은 y=- x+4이다. ;3@; 직선 l 위의 점 P의 x좌표를 a라 하면 P a, - a+4 이므로 ;3@; } { 10. 이차함수의 활용 109 않으려면 (y절편)É0이어야 하므로 9a+5É0 ∴ aÉ- ;9%; Lecture 꼭짓점의 좌표가 (3, 5)이므로 이차함 수의 식을 y=a(x-3)Û`+5로 놓고 그래프가 제 2 사분면을 지나지 않도록 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같이 y절편의 위치가 x축 또는 x축보다 아 래쪽에 있어야 한다. y 5 O 이때 y절편은 x=0일 때의 y의 값이므로 y=a(x-3)Û`+5에 x=0을 대입하면 y=9a+5 즉 9a+5É0이므로 aÉ- ;9%;이다. PRÓ=OQÓ=a, PQÓ=- a+4 ;3@; ∴ PRQ= _a_ - a+4 ;2!; { ;3@; } =- aÛ`+2a =- (a-3)Û`+3 ;3!; ;3!; 따라서 a=3일 때, PRQ의 넓이가 최대가 되므로 그때의 점 P의 좌표는 (3, 2)이다. 답 ④ 1212 전략 주어진 그림의 M 지점을 기준으로 x축, y축을 그린다. 호수 바닥의 단면을 좌표평 ⑴ y 면 위에 나타내면 오른쪽 그 림과 같다. 이때 이차함수의 식을 y=a(x-50)(x+50) M B 50 x A -50 O -25 으로 놓고 x=0, y=-25를 대입하면 -25=-2500a ∴ a= ;10!0; ∴ y= (x-50)(x+50)= xÛ`-25 ;10!0; ;10!0; ⑵ y= xÛ`-25에 x=20을 대입하면 ;10!0; ;10!0; y= _20Û`-25=-21 따라서 구하는 수심은 21`m이다. 답 ⑴ y= xÛ`-25 ⑵ 21`m ;10!0; 1213 전략 그래프는 x축과 두 점 (0, 0), (8, 0)에서 만나고, 점 (2, 36) 을 지난다. ⑴ 그래프가 두 점 (0, 0), (8, 0)을 지나므로 y=ax(x-8)로 놓고 x=2, y=36을 대입하면 36=-12a ∴ a=-3 ∴ y=-3x(x-8)=-3xÛ`+24x ⑵ y=-3xÛ`+24x=-3(x-4)Û`+48 이므로 공이 가장 높이 올라갔을 때의 지면으로부터의 높 이는 48`m이다. ⑶ y=-3xÛ`+24x에 y=21을 대입하면 21=-3xÛ`+24x xÛ`-8x+7=0, (x-1)(x-7)=0 ∴ x=1 또는 x=7 따라서 21`m 이상의 높이에 머무른 시간은 7-1=6(초)이다. 답 ⑴ y=-3xÛ`+24x ⑵ 48`m ⑶ 6초 Lecture ① 물체의 높이에 대한 식은 시간(x초)와 높이(y`m) 사이의 관 계식이기 때문에 x, y가 음수인 경우는 생각하지 않는다. ② 물체의 높이가 k`m일 때 시간이 a초, b초(a

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