정답과
해설
⑴ 0.125, 유한소수 ⑵ 0.166y, 무한소수
⑷ 7.272727y ⇨ 소수점 아래 첫째 자리부터 2, 7이 차례대로 반
복되므로 순환마디는 27이다.
∴ 7.H2H7
정답과 해설
I. 유리수와 순환소수
1
유리수의 소수 표현
따라 풀면서
개념 익히기
1-1
⑴ 1Ö8=0.125
⇨ 소수점 아래의 0이 아닌 숫자가
3 개, 즉 유한 번 나타나므로
유한소수이다.
⑵ 1Ö6=0.166y
⇨ 소수점 아래의 0이 아닌 숫자가
무한 번 나타나므로 무한소수
이다.
<Ô
0.125
8
1
8
20
16
40
40
0
본문 | 9, 11 쪽
1
<Ô
0.166y
6
6
40
36
40
36
4
⋮
1-2
⑴ 0.25, 유한 ⑵ 0.111y, 무한
⑶ 0.375, 유한 ⑷ 0.2727y, 무한
⑴
=1Ö4=0.25 ⇨ 유한소수
;4!;
;9!;
;8#;
⑵
=1Ö9=0.111y ⇨ 무한소수
⑶
=3Ö8=0.375 ⇨ 유한소수
⑷
;1£1;
=3Ö11=0.2727y ⇨ 무한소수
2-1
⑴ 순환마디: 04, 0.H0H4 ⑵ 순환마디: 341, 1.H34H1
⑶ 순환마디: 5, 2.01H5 ⑷ 순환마디: 29, 0.6H2H9
⑴ 0.040404y ⇨ 소수점 아래 첫째 자리부터 0, 4가 차례대로 반
복되므로 순환마디는 04이다.
∴ 0.H0H4
⑵ 1.341341341y ⇨ 소수점 아래 첫째 자리부터 3, 4, 1이 차례
대로 반복되므로 순환마디는 341이다.
∴ 1.H34H1
⑶ 2.015555y ⇨ 소수점 아래 셋째 자리부터 5가 반복되므로 순
⑷ 0.6292929y ⇨ 소수점 아래 둘째 자리부터 2, 9가 차례대로 반
복되므로 순환마디는 29 이다.
환마디는 5이다.
∴ 2.01H5
∴ 0.6H2H9
2 I. 유리수와 순환소수
2-2
⑴ 순환마디: 6, 0.H6
⑵ 순환마디: 5, 0.4H5
⑶ 순환마디: 511, 0.H51H1 ⑷ 순환마디: 27, 7.H2H7
⑴ 0.666y ⇨ 소수점 아래 첫째 자리부터 6이 반복되므로 순환마
⑵ 0.4555y ⇨ 소수점 아래 둘째 자리부터 5가 반복되므로 순환
디는 6이다.
∴ 0.H6
마디는 5이다.
∴ 0.4H5
⑶ 0.511511511y ⇨ 소수점 아래 첫째 자리부터 5, 1, 1이 차례
대로 반복되므로 순환마디는 511이다.
∴ 0.H51H1
3-1
⑴
;1£0;
, 10=2_5
⑵
;2¥5;
, 25=5Û`
⑶
, 200=2Ü`_5Û` ⑷
, 80=2Ý`_5
;2°0¦0;
;8£0;
⑴ 0.3=
=
;1£0;
3
2_5
⑵ 0.32=
=
;1£0ª0;
;2¥5;
=
8
5Û`
⑶ 0.285=
285
1000
=
57
200
=
57
2Ü`_5Û`
⑷ 0.0375=
375
10000
=
=
3
80
3
2Ý`_5
3-2
⑴
;1¦0;
, 10=2_5 ⑵
, 4=2Û`
⑶
, 20=2Û`_5 ⑷
, 250=2_5Ü`
;2(0#;
;4!;
;2¦5»0;
⑴ 0.7=
=
;1¦0;
7
2_5
⑵ 0.25=
;1ª0°0;
=
=
;4!;
⑶ 4.65=
=
;1$0^0%;
;2(0#;
=
1
2Û`
93
2Û`_5
⑷ 0.316=
=
;1£0Á0¤0;
;2¦5»0;
=
79
2_5Ü`
4-1
⑴
⑴ 유한 ⑵ 순환
= 1
15
2_3_5Û`
2_5
유한 소수로 나타낼 수 있다.
⑵
=
;9@0!;
;3¦0;
=
7
2_3_5
로 순환 소수로만 나타낼 수 있다.
⇨ 분모의 소인수가 2와 5 뿐이므로
⇨ 분모의 소인수 중에 3 이 있으므
4-2
⑴ 유한 ⑵ 유한 ⑶ 순환 ⑷ 유한
3
2_5
수 있다.
⑴
⇨ 분모의 소인수가 2와 5뿐이므로 유한소수로 나타낼
㉢
=
;4£9°0;
;1Á4;
=
㉤
=
=
;21$0@0;
;5Á0;
1
2_7
1
2_5Û`
㉣
=
;5¥4Á0;
;2£0;
=
3
2Û`_5
따라서 분모에 2와 5 이외의 소인수가 있으면 순환소수로만 나타낼
=
⇨ 분모의 소인수가 2뿐이므로 유한소수로 나타낼
수 있으므로 ㉠, ㉡, ㉢이다.
⇨ 분모의 소인수가 11이므로 순환소수로만 나타낼
05 14
⇨ 분모의 소인수가 2와 5뿐이므로 유한소
셀파 ;10#5;을 기약분수로 고치고 분모를 소인수분해한다.
⑵
14
2Û`_7
수 있다.
;2!;
⑶
=
;2¢2;
;1ª1;
수 있다.
=
⑷
3
2Û`_5
수로 나타낼 수 있다.
;1ª8¦0;
;2£0;
=
=
=
이므로
_x가 유한소수로 나타내어지려
1
5_7
1
5_7
;3Á5;
;10#5;
면 x는 7의 배수이어야 한다.
7의 배수 중 가장 작은 두 자리 자연수는 14이므로 x=14
확인 x =14이면 ;10#5;
_x=
_14=
=0.4 유한소수
;5@;
1
5_7
보고 또 보 고
유형 익히기 - 확인 문제
본문 | 12~16 쪽
01 ③
셀파 순환소수는 소수점 아래에서 순환마디를 찾아 순환마디의 양 끝 숫자 위
06 63
에 점을 찍어 나타낸다.
③ 1.818181y의 순환마디는 81이므로
1.818181y=1.H8H1
02 ⑴ 0.H5 ⑵ 0.H3H9 ⑶ 0.3H6
셀파 (분자)Ö(분모)를 하여 소수점 아래에서 반복되는 부분을 찾는다.
⑴
=5Ö9=0.555y=0.H5
연수는 63이다.
;9%;
⑵
;3!3#;
⑶
;3!0!;
=13Ö33=0.393939y=0.H3H9
=11Ö30=0.3666y=0.3H6
셀파 ;4!5#;, ;7¥0;을 각각 기약분수로 고치고 분모를 소인수분해한다.
이므로
_a가 유한소수로 나타내어지려면
13
3Û`_5
=
13
3Û`_5
;4!5#;
a는 3Û`, 즉 9의 배수이어야 한다.
4
5_7
4
5_7
이므로
;7¥0;
;3¢5;
또
=
=
려면 a는 7의 배수이어야 한다.
_a가 유한소수로 나타내어지
따라서 a는 7과 9의 공배수, 즉 63의 배수이므로 이 중 가장 작은 자
07 ③
셀파 x의 값을 대입하여 약분하였을 때, 분모의 소인수가 2 또는 5만 남게 되면
03 ④
셀파 분모가 2Ü`_5이므로 5Û`을 곱하여 소인수 2와 5의 지수를 같게 만든다.
=
;4£0;
3
2Ü`_5
=
3_ ①`5Û`
③`75
=
= ⑤`0.075
2Ü`_5_ ②`5Û`
④`1000
04 ㉠, ㉡, ㉢
셀파 기약분수로 나타내었을 때, 분모에 2와 5 이외의 소인수가 있으면 순환소
수로만 나타낼 수 있다.
㉠
=
;6¦0;
7
2Û`_3_5
㉡
=
;14#0;
3
2Û`_5_7
유한소수로 나타낼 수 있다.
21
2Û`_x
에 보기의 수를 각각 대입하면
① x=3일 때,
② x=7일 때,
③ x=9일 때,
④ x=12일 때,
⑤ x=15일 때,
7
2Û`
3
2Û`
=
=
=
21
2Û`_3
21
2Û`_7
21
2Û`_9
21
2Û`_12
21
2Û`_15
=
7
2Û`_3
7
2Û`_4
7
2Û`_5
=
=
7
2Ý`
따라서 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이면 유한소수로 나타낼 수 있
으므로 x의 값이 될 수 없는 것은 ③이다.
1. 유리수의 소수 표현 3
정답과 해설
08 (cid:9000) ⑤
셀파 x의 값을 대입하여 약분하였을 때, 분모에 2와 5 이외의 소인수가 있으면
순환소수로만 나타낼 수 있다.
21
2Û`_5_x
에 보기의 수를 각각 대입하면
=
=
① x=2일 때,
③ x=6일 때,
② x=3일 때,
21
2Ü`_5
7
2Û`_5
7
2Ü`_5
3
2Û`_5
7
2Û`_3_5
따라서 분모에 2와 5 이외의 소인수가 있으면 순환소수로만 나타낼
21
2Û`_5_2
21
2Û`_5_3
21
2Û`_5_6
21
2Û`_5_7
21
2Û`_5_9
④ x=7일 때,
⑤ x=9일 때,
=
=
=
수 있으므로 x의 값이 될 수 있는 것은 ⑤이다.
09 (cid:9000) ⑴ 2 ⑵ 4
셀파 순환마디에서 규칙을 찾는다.
;3!3$;
4, 2의 2개이다.
⑴
=14Ö33=0.424242y=0.H4H2이므로 순환마디의 숫자는
이때 100=2_50에서 소수점 아래 100번째 자리의 숫자는 순
환마디의 마지막 숫자인 2이다.
⑵ 19Ö55=0.3454545y=0.3H4H5이므로 순환마디의 숫자는 4, 5
2개씩 50번 반복
참고 ⑴ 0.4242y42y
2개씩 49번 반복
⑵ 0.34545y4545y
1번째
100번째
10 (cid:9000) x=42, y=5
셀파 분모 70을 소인수분해한다.
=
;7Ó0;
x
2_5_7
어야 한다.
를 유한소수로 나타낼 수 있으려면 x는 7의 배수이
또
;7Ó0;
를 기약분수로 나타내면
이므로 x는 3의 배수이다.
;]#;
따라서 x는 3과 7의 공배수, 즉 21의 배수이다.
이때 30³
99 x=23
∴ x=
23
99
⑵ x=0.43H9=0.43999y
1000 x=439.999y
-
100x= 43.999y
>³
900 x=396
∴ x=
396
900
=
;2!5!;
100 x=63.636363y
x= 0.636363y
-
>³
99 x=63
∴ x=
63
99
=
;1¦1;
⑵ x=5.H2=5.222y
10 x=52.222y
x= 5.222y
-
>³
9 x=47
∴ x=
47
9
⑶ x=2.3H6=2.3666y
100 x=236.666y
10x= 23.666y
-
>³
90 x=213
∴ x=
213
90
=
;3&0!;
본문 | 23, 25 쪽
⑷ x=0.2H4H7=0.2474747y
1000 x=247.474747y
-
>³
10x= 2.474747y
990 x=245
∴ x=
245
990
=
;1¢9»8;
2-1
(cid:9000) ⑴
⑴ 1.H34H5=
;9@9#0(;
⑵
;3$3$3*;
1345- 1
999
=
1344
999
=
;3$3$3*;
⑵ 0.2H4H1=
241 - 2
990
=
;9@9#0(;
2-2
(cid:9000) ⑴
;1£1°1;
⑵
⑶
;4Á5;
;4¦5£0;
⑷
:Á4¼5Á:
⑴ 0.H31H5=
=
;9#9!9%;
;1£1°1;
⑵ 0.0H2=
=
;9ª0;
;4Á5;
⑶ 0.16H2=
162-16
900
=
=
;9!0$0^;
;4¦5£0;
⑷ 2.2H4=
224-22
90
=
=
:ª9¼0ª:
:Á4¼5Á:
(cid:9000) ㉠, ㉡, ㉣
3-1
㉠ 0.9는 유한소수이므로 유리수 이다.
㉡ 0.H1H2는 순환 소수이므로 유리수이다.
㉢ p는 유리수가 아니다.
㉣ 0.555y=0.H5는 순환소수이므로 유리수이다.
㉤ 순환마디가 없는 무한소수는 순환하지 않는 무한 소수이므로
유리수가 아니다.
따라서 유리수는 ㉠, ㉡, ㉣이다.
(cid:9000) ㉡, ㉣, ㉥
3-2
㉠ -52는 정수이다.
㉢ 0은 정수이다.
㉡ -0.97은 유한소수이므로 정수가 아닌 유리수이다.
㉣ 5.9H1은 순환소수이므로 정수가 아닌 유리수이다.
㉤ 3.141592y는 순환하지 않는 무한소수이므로 유리수가 아니다.
㉥ 1.696969y=1.H6H9는 순환소수이므로 정수가 아닌 유리수이다.
따라서 정수가 아닌 유리수는 ㉡, ㉣, ㉥이다.
2. 순환소수의 분수 표현 7
(cid:9000) ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 풀이 참조 ⑷ 풀이 참조
1-2
⑴ x=0.H6H3=0.636363y
본문 | 26~29 쪽
0.5<0.Hx<0.75
다른 풀이
<0.Hx<
에서`
=0.5,`
=0.75이므로
;4#;
;2!;
;4#;
;2!;
이때 이 범위를 만족하는 한 자리 자연수 x의 값은 5 또는 6이다.
정답과 해설
보고 또 보 고
유형 익히기 - 확인 문제
01 (cid:9000) ⑤
셀파 소수점 아래 첫째 자리에서부터 순환마디가 시작되는 두 식을 만든다.
x=11.1H2H3=11.1232323y에서
양변에 1000을 곱하면 1000x=11123.232323y
양변에 10을 곱하면
10x= 111.232323y
yy ㉠
yy ㉡
변끼리 빼면
1000x-10x=11012
따라서 가장 편리한 식은 ⑤ 1000x-10x이다.
이때 ㉠, ㉡의 소수점 아래의 부분을 없애야 하므로 ㉠에서 ㉡을
1. 1.H3H2+0.H0H5=
05 (cid:9000) 1. 1.H3H7 2. 1.H6
셀파 순환소수를 분수로 고쳐서 계산한다.
+
;9°9;
132-1
99
131
99
+
;9°9;
=
=1.373737y
=
:Á9£9¤:
=1.H3H7
2. 0.3H6=
36-3
90
=
=
;9#0#;
;3!0!;
, 0.6H1=
=
=
;9%0%;
;1!8!;
이므로
61-6
90
_x=
;3!0!;
;1!8!;
∴ x=
Ö
=
_
;1!8!;
;3!0!;
;1!8!;
;1#1);
;3%;
=
=1.666y=1.H6
참고 기약분수를 순환소수로 나타내기
1. :Á9£9¤:
=1
;9#9&;
=1.H3H7
2. ;3%;
=1
;3@;
=1
;9^;
=1.H6
06 (cid:9000) ㉠, ㉣
유한소수
셀파 소수
`[
무한소수`
[[
순환소수
유리수
순환하지 않는 무한소수 - 유리수가 아니다.
㉡ 무한소수 중 순환소수는 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수이
㉢ 분수로 나타낼 수 없는 유리수는 없다.
㉣ 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니므로 분수로 나타낼
다.
수 없다.
07 (cid:9000) 8개
셀파 (순환소수)_(자연수)가 유한소수이다. ⇨ (순환소수)_(자연수)를 기약
분수로 나타내면 분모의 소인수는 2 또는 5뿐이다.
0.1H6H3=
163-1
990
=
=
;9!9^0@;
;5»5;
=
9
5_11
_a가 정수가 아닌 유한소수가 되려면 분모에서 11만 약분
9
5_11
되어야 한다.
02 (cid:9000) ㉢
셀파 공식을 이용하여 순환소수를 분수로 나타낸다.
=
;9!0^;
;4¥5;
=
;9!9&0$;
;1ª6»5;
㉠ 0.1H7=
㉡ 0.1H7H5=
㉢ 2.H0H5=
㉣ 5.8H1H2=
=
=
17-1
90
175-1
990
205-2
99
5812-58
990
=
;;ª9¼9£;;
=
=
:°9¦9°0¢:
;1(6%5(;
03 (cid:9000) ㉣
셀파 소수점 아래의 부분을 나열하여 숫자를 비교한다.
소수점 아래의 부분을 나열해 보면
㉠ 1.434 =1.43 40 00
40
㉡ 1.4H3 =1.43 33 33y
33
㉢ 1.H4H3 =1.43 43 43y
43
㉣ 1.H43H4 =1.43 44 34y
44
네 수는 소수점 아래 셋째 자리부터 숫자가 다르다.
이때 33<40<43<44이므로 보기에서 가장 큰 수는` ㉣이다.
04 (cid:9000) ③, ④
셀파 분수 또는 소수 중 한 가지로 표현을 통일한다.
0.Hx=
이므로
;9{;
<
<
;9{;
;2!;
;4#;
분모를 통분하면
<
<
;3!6*;
;3$6{;
;3@6&;
, 즉 18<4x<27
즉 a는 11의 배수이지만 5의 배수이면 안 된다.
따라서 18<4x<27을 만족하는 한 자리 자연수 x의 값은
따라서 a의 값이 될 수 있는 100보다 작은 자연수는 11의 배수 9개
중 55의 배수 1개를 빼면 9-1=8(개)
5(③) 또는 6(④)이다.
8 I. 유리수와 순환소수
08 (cid:9000) 0.1H5
셀파 태호는 분모를 바르게 보았고, 보라는 분자를 바르게 보았다.
3.1H7=
317-31
90
=
:Á4¢5£:
태호는 분자를 잘못 보았으므로 바르게 본 것은 분모 45이다.
:ª9¥0¤:
=
이고,
④ 1.H3H2=
⑤ 1.02H6=
:Á9£9Á:
=
132-1
99
1026-102
900
=
=
;9(0@0$;
;7&5&;
0.H6H3=
=
;9^9#;
;1¦1;
이고,
=0.1555y=0.1H5
;4¦5;
보라는 분모를 잘못 보았으므로 바르게 본 것은 분자 7이다.
따라서 처음 기약분수는
이고, 순환소수로 나타내면
;4¦5;
04 (cid:9000)
:ª5¦:
셀파 순환소수를 기약분수로 나타낸 다음, 역수를 구한다.
(cid:8322) a의 값 구하기 [40`%]
0.H6=
=
;9^;
;3@;
이므로 a=
;2#;
(cid:8323) b의 값 구하기 [40`%]
27-2
90
0.2H7=
;9@0%;
=
(cid:8324) ab의 값 구하기 [20`%]
∴ ab=
_
;2#;
:Á5¥:
=
:ª5¦:
=
;1°8;
이므로 b=
:Á5¥:
실력 키우기
본문 | 30~31 쪽
01 (cid:9000) ㈎ 10 ㈏ 1000 ㈐ 990 ㈑ 369 ㈒ 41
셀파 첫 번째 순환마디의 앞뒤로 소수점이 오도록 x에 10의 거듭제곱을 곱한다.
0.3H7H2를 x로 놓으면 x=0.3727272y
10 x= 3.727272y
1000 x=372.727272y
㉡에서 ㉠을 변끼리 빼면 990 x= 369
∴ x=
=
;9#9^0(;
41
110
yy ㉠
yy ㉡
02 (cid:9000) ④
셀파 첫 번째 순환마디의 앞뒤로 소수점이 오도록 x에 10의 거듭제곱을 곱한다.
x=1.23H4=1.23444y에서
1000x=1234.444y
100x= 123.444y
㉠에서 ㉡을 변끼리 빼면
1000x-100x=1111
따라서 가장 편리한 식은 ④`1000x-100x이다.
03 (cid:9000) ③
셀파 • 분모 ⇨ 순환마디의 숫자의 개수만큼 9를 쓰고, 그 뒤에 소수점 아래에
서 순환하지 않는 숫자의 개수만큼 0을 쓴다.
•분자 ⇨ (전체의 수)-(순환하지 않는 수)
② 0.5H2=
③ 0.8H1=
52-5
90
81-8
90
=
;9$0&;
=
;9&0#;
05 (cid:9000) 4
셀파 주어진 식을 계산하여 순환소수로 나타낸 다음, 기약분수로 나타낸다.
=0.3,
=0.03,
;10#0;
;1£0;
;10£00;
=0.003, y이므로
+
+
;10#0;
;1£0;
=0.3+0.03+0.003+y
;10£00;
+y
=0.333y=0.H3
=
=
;9#;
;3!;
yy ㉠
yy ㉡
따라서 x=1, y=3이므로 x+y=4
x=0.273 73 73y=0.2H7H3 ( ④ ) ⇨ 순환소수
06 (cid:9000) ⑤
셀파 x=0.2737373y=0.2H7H3
① 순환소수는 유리수이다.
③ 0.2H7H3=0.273 7 373y
7
0.27H3=0.273 3 333y
3
두 수는 소수점 아래 넷째 자리부터 숫자가 다르다.
이때 7>3이므로 0.2H7H3>0.27H3
273-2
990
;9@9&0!;
⑤ x=0.2H7H3=
=
2. 순환소수의 분수 표현 9
따라서 3<2aÉ12를 만족하는 한 자리 자연수 a는 2, 3, 4, 5, 6의
(cid:8323) 0.1H2를 기약분수로 나타내고, 재영이가 바르게 본 수 구하기 [40`%]
5개이다.
정답과 해설
07 (cid:9000) ②
셀파 순환소수의 소수점 아래의 부분을 나열하여 비교한다.
① 0.H1 =0.1111y
111
0.H1H0=0.1010y
1010
② 0.H3 =0.3333y
333
0.H3H2=0.3232y
3232
③ 0.32H5=0.32555y
55
0.3H2H5=0.32525y
32525
⇨ 1>0
∴ 0.H1>0.H1H0
⇨ 3>2
∴ 0.H3>0.H3H2
⇨ 5>2
∴ 0.32H5>0.3H2H5
=
④ 0.H6H3=
;9^9#;
⑤ 0.H2H5 =0.252525y
;1¦1;
52525
이므로 0.H6H3=
;1¦1;
0.H24H9=0.249249y
249249
⇨ 5>4
∴ 0.H2H5>0.H24H9
08 (cid:9000) 5개
셀파 순환소수를 분수로 고친 다음, 주어진 조건의 식에서 분모를 통분한다.
<0.HaÉ
에서 0.Ha=
이므로
;6!;
;3@;
;9A;
<
É
;9A;
;6!;
;3@;
분모를 통분하면
<
É
;1£8;
;1@8A;
;1!8@;
, 즉 3<2aÉ12
09 (cid:9000) 0.H1H2
셀파 순환소수를 분수로 고친다.
(cid:8322) a의 값 구하기 [35`%]
0.H2H0=
이므로
=a_20
;9@9);
;9@9);
∴ a=
Ö20=
_
=
;9@9);
;2Á0;
;9Á9;
;9@9);
(cid:8323) b의 값 구하기 [35`%]
27-2
9
2.H7=
:ª9°:
=
이므로
=25_b
:ª9°:
∴ b=
Ö25=
_
=
;2Á5;
;9!;
:ª9°:
:ª9°:
(cid:8324) a+b의 값을 순환소수로 나타내기 [30`%]
∴ a+b=
+
=
;9!;
;9Á9;
+
;9!9!;
=
;9!9@;
;9Á9;
=0.H1H2
10 (cid:9000) ③
셀파 분수 꼴로 나타낼 수 있는 수를 유리수라 한다.
① 무한소수 중 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니다.
② 원주율 p는 유리수가 아니다.
④ 정수가 아닌 유리수는 유한소수 또는 순환소수로 나타낼 수 있다.
⑤ 유리수는 모두 분수로 나타낼 수 있다.
10 I. 유리수와 순환소수
11 (cid:9000) 27
셀파 주어진 순환소수를 기약분수로 고친다.
1.9H4=
194-19
90
=
=
:Á9¦0°:
;1#8%;
=
35
2_3Û`
35
2_3Û`
되어야 한다.
즉 a는 9의 배수이지만 2의 배수이면 안 된다.
따라서 가장 작은 두 자리 자연수 a의 값은 27이다.
_a가 정수가 아닌 유한소수가 되려면 분모에서 3Û`만 약분
12 (cid:9000) ⑴
;9!9#;
, 13 ⑵
, 90 ⑶ 0.1H4
;9!0!;
셀파 주혜와 재영이가 각각 바르게 본 것을 찾는다.
(cid:8322) 0.H1H3을 기약분수로 나타내고, 주혜가 바르게 본 수 구하기 [40`%]
⑴ 0.H1H3=
이고, 주혜는 분모를 잘못 보았으므로 바르게 본 것
;9!9#;
은 분자 13이다.
이고, 재영이는 분자를 잘못 보았으므로
⑵ 0.1H2=
12-1
90
바르게 본 것은 분모 90이다.
;9!0!;
=
(cid:8324) 처음 기약분수를 순환소수로 나타내기 [20`%]
⑶ ⑴, ⑵에 의하여 처음 기약분수는`
이고, 순환소수로 나타내면
;9!0#;
;9!0#;
=0.1444y=0.1H4
노랑 → 3, 회색 → 9, 분홍 → 8에 대응되므로 주어진 색 띠를 소수
13 (cid:9000)
;1¦9»8;
셀파 주어진 색 띠를 보고 소수를 구한다.
로 나타내면
0.3989898y=0.3H9H8
이 순환소수를 기약분수로 나타내면
0.3H9H8=
398-3
990
=
=
;9#9(0%;
;1¦9»8;
II. 식의 계산
3
단항식의 계산
1. 지수법칙
따라 풀면서
개념 익히기
(cid:9000) ⑴ 2¡` ⑵ xß` ⑶ a¡` ⑷ aÞ`bÜ`
1-1
⑴ 2Ü`_2Þ`=23+5=2¡`
⑵ xÜ`_xÜ`=x3 + 3=x 6
⑶ aÞ`_a_aÛ`=a 5 +1+ 2 =a 8
⑷ aÛ`_bÛ`_aÜ`_b =aÛ`_aÜ`_bÛ`_b
=a2+ 3 _b2+ 1 =a 5 b 3
(cid:9000) ⑴ 3ß` ⑵ bà` ⑶ xÚ`Ú` ⑷ xß`y¡`
1-2
⑴ 3Û`_3Ý`=32+4=3ß`
⑵ bÜ`_bÝ`=b3+4=bà`
⑶ xß`_xÛ`_xÜ`=x6+2+3=xÚ`Ú`
⑷ xÛ`_yÜ`_xÝ`_yÞ`=xÛ`_xÝ`_yÜ`_yÞ`=x2+4_y3+5=xß`y¡`
(cid:9000) ⑴ 2á` ⑵ xÚ`â` ⑶ xÜ`ß` ⑷ aÚ`¡`
2-1
⑴ (2Ü`)Ü`=23_3=2á`
⑵ (xÞ`)Û`=x5 _ 2=x 10
⑶ {(xß`)Û`}Ü`=(x6_2)Ü`=(xÚ`Û`)Ü`=x12_ 3 =x 36
⑷ (aÜ`)Ý`_(aÛ`)Ü`=a3_4_a2_3=a 12 _a 6 =a 18
(cid:9000) ⑴ 5Ú`Û` ⑵ aÛ`Ú`` ⑶ aÚ`Û` ⑷ xÚ`Ý`
2-2
⑴ (5Û`)ß`=52_6=5Ú`Û`
⑵ (aÜ`)à`=a3_7=aÛ`Ú`
⑶ {(aÛ`)Û`}Ü`=(a2_2)Ü`=(aÝ`)Ü`=a4_3=aÚ`Û`
⑷ (xÛ`)Ý`_(xÜ`)Û`=x2_4_x3_2=x¡`_xß`=x8+6=xÚ`Ý`
(cid:9000) ⑴ 2Û` ⑵ 1 ⑶
3-1
⑴ 2ß`Ö2Ý`=26 - 4=2 2
⑵ xÞ`ÖxÞ`=1
1
aÞ`
⑷
;a!;
⑶ aà`Ö(aÜ`)Ý`=aà`Öa3_4=aà`ÖaÚ`Û`=
⑷ aÝ`ÖaÛ`ÖaÜ`=a4-2ÖaÜ`=aÛ`ÖaÜ`=
=
1
a 5
1
a 12 -7
1
a3-2 =
;a!;
(cid:9000) ⑴ 3Ü` ⑵ 1 ⑶
3-2
⑴ 3ß`Ö3Ü`=36-3=3Ü`
⑵ xÚ`â`ÖxÚ`â`=1
1
xÛ`
⑷ 1
⑶ (xÛ`)Þ`Ö(xÜ`)Ý`=x2_5Öx3_4=xÚ`â`ÖxÚ`Û`=
⑷ xÚ`Û`Öx¡`ÖxÝ`=x12-8ÖxÝ`=xÝ`ÖxÝ`=1
1
x12-10 =
1
xÛ`
본문 | 35, 37 쪽
(cid:9000) ⑴ aÚ`Û`bÝ` ⑵ 8aß` ⑶
4-1
⑴ (aÜ`b)Ý`=(aÜ`)Ý`_bÝ`=a3_4_bÝ`=aÚ`Û`bÝ`
⑵ (2aÛ`)Ü`=2 3 _(aÛ`)Ü`=2Ü`_a2_3= 8 aß`
⑷
yÚ
`
`
16
yá
`
xß
`
y 9
x 6
⑶
yÜ
`
xÛ
`
{
{
⑷
-
(y3) 3
)Ü
(xÛ
=
`
`
=(-1) 4 _
y3_3
x2_3 =
(yÜ
)Ý
`
2Ý
`
`
=
}
3`
yÜ
`
2 }
4`
=(-1)Ý`_
=
y3_4
2Ý
`
yÚ
`
`
16
(cid:9000) ⑴ aß`bß` ⑵ 9bß` ⑶ - xß`
yÜ`
9yÛ
4-2
`
4xÝ
`
⑴ (aÛ`bÛ`)Ü`=(aÛ`)Ü`_(bÛ`)Ü`=a2_3_b2_3=aß`bß`
⑵ (3bÜ`)Û`=3Û`_(bÜ`)Û`=9_b3_2=9bß`
⑷
⑶
-
`=(-1)Ü`_
=-1_
xÛ
`
y }
{
{
⑷
3y
2xÛ` }
`=
(3y)Û
`
)Û
(2xÛ
`
`
=
`
)Ü
(xÛ
`
yÜ
`
3Û
_yÛ
`
_(xÛ
2Û
`
=
`
)Û
`
`
x2_3
yÜ
`
9yÛ
`
4_x2_2 =
=- xß`
yÜ`
9yÛ
`
4xÝ
`
풀고 또 풀고
집중 연습
지수법칙의 종합
본문 | 38 쪽
(cid:9000) ⑴ 2Ú`â` ⑵ aà` ⑶ b¡` ⑷ aÞ`bß`
1
⑴ 2à`_2Ü`=27+3=2Ú`â`
⑵ aÜ`_aÝ`=a3+4=aà`
⑶ b_bÜ`_bÝ`=b1+3+4=b¡`
⑷ aÜ`_b_aÛ`_bÞ`=aÜ`_aÛ`_b_bÞ`=a3+2_b1+5=aÞ`bß`
(cid:9000) ⑴ xÚ`Û` ⑵ aÚ`ß` ⑶ aÚ`Ú`bÚ`Þ` ⑷ xÚ`â`yà`
2
⑴ (xÜ`)Ý`=x3_4=xÚ`Û`
⑵ (aÞ`)Û`_(aÜ`)Û`=a5_2_a3_2=aÚ`â`_aß`=a10+6=aÚ`ß`
⑶ aÜ`_(aÛ`)Ý`_(bÜ`)Þ` =aÜ`_a2_4_b3_5
=aÜ`_a¡`_bÚ`Þ`
=a3+8_bÚ`Þ`
=aÚ`Ú`bÚ`Þ`
3. 단항식의 계산 11
3
2
Û
Û
정답과 해설
⑷ xÛ`_(yÛ`)Ü`_(xÝ`)Û`_y =xÛ`_y2_3_x4_2_y
=xÛ`_yß`_x¡`_y
=xÛ`_x¡`_yß`_y
=x2+8_y6+1
=xÚ`â`yà`
⑴ xÞ` ⑵
1
3
aß`
⑴ x¡`ÖxÜ`=x8-3=xÞ`
⑶ yá` ⑷ xÜ`
⑵ aÜ`ÖaÖa¡`=a3-1Öa¡`=aÛ`Öa¡`=
1
a8-2 =
1
aß`
=xÚ`â`ÖxÖxß`
=x10-1Öxß`
=xá`Öxß`
=x9-6
=xÜ`
참고 연속으로 나눗셈을 할 때는 앞에서부터 차례대로 해야 한다.
⑶ yÚ`â`ÖyÞ`_(yÛ`)Û` =y10-5_y2_2=yÞ`_yÝ`
03 ③
=y5+4=yá`
⑷ (xÞ`)Û`ÖxÖ(xÛ`)Ü` =x5_2ÖxÖx2_3
02 1. xÚ`Ú`yÚ`Þ` 2. 3
셀파 (am)n=amn임을 이용한다.
1. xÜ`_(yß`)Û`_(xÛ`)Ý`_yÜ` =xÜ`_y6_2_x2_4_yÜ`
=xÜ`_yÚ`Û`_x¡`_yÜ`
=xÜ`_x¡`_yÚ`Û`_yÜ`
=x3+8_y12+3
=xÚ`Ú`yÚ`Þ`
2. (x )ß`_(xÞ`)Ü`=x _6_x5_3=x _6+15=xÜ`Ü`이므로
∴ =3
_6+15=33
am-n (m>n)
1
(m=n)
1
an-m (m ⑶ >
⑴ a bÖ(-3)
⑶ a -3b
양변에
1111Ú
5를 더한다.
양변을
1111Ú
-3으로 나눈다.
양변에
1111Ú
-3을 곱한다.
양변에서
1111Ú
2를 뺀다.
본문 | 73, 75 쪽
-3a-2 > -3b-2
(cid:9000) ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ×
1-1
⑴ 부등호 ‘>’가 있으므로 부등식이다.
⑵ 부등호가 아닌 등호가 있으므로 부등식이 아니다.
⑶ 부등호 ‘É’가 있으므로 부등식 이다.
⑷ 부등호가 없으므로 부등식이 아니다.
등식 이다.
(cid:9000) ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ×
1-2
⑴ 부등호 ‘¾’가 있으므로 부등식이다.
⑵ 부등호가 아닌 등호가 있으므로 부등식이 아니다.
⑶ 부등호 ‘<’가 있으므로 부등식이다.
등식이다.
⑷ 부등호가 없으므로 부등식이 아니다.
2-1
(cid:9000) 0, 1, 2
x의 값
좌변
부등호 우변
참, 거짓
0
1
2
3
4
1
2
3
4
2_0-1=-1
2_1-1=1
2_2-1=3
2_3-1=5
2_4-1=7
좌변
1+1=2
2+1=3
3+1=4
4+1=5
<
<
=
>
>
<
<
=
>
3
3
3
3
3
4
4
4
4
참
참
참
거짓
거짓
거짓
거짓
참
참
2-2
(cid:9000) 표: 풀이 참조, 해: 3, 4
x의 값
부등호 우변
참, 거짓
3-2
⑴ a¾b
(cid:9000) ⑴ ¾ ⑵ ¾ ⑶ ¾ ⑷ É
a+1¾b+1
⑵ a¾b
a-3¾b-3
⑶ a¾b
aÖ5¾bÖ5
⑷ a¾b
-aÉ-b
양변에
1111Ú
1을 더한다.
양변에서
1111Ú
3을 뺀다.
양변을
1111Ú
5로 나눈다.
양변에
1111Ú
-1을 곱한다.
양변에
1111Ú
2를 더한다.
-a+2É-b+2
(cid:9000) ⑴ > ⑵ É ⑶ >
4-1
⑴
a-4>b-4
a-4+4>b-4+4
양변에 4를 더한다.
∴ a>b
⑵
8aÉ8b
8aÖ8É8bÖ8
∴ a É b
양변을 8로 나눈다.
⑶ -3a+2<-3b+2
-3a+2-2<-3b+2-2
양변에서 2를 뺀다.
-3a < -3b
-3aÖ(-3)>-3bÖ(-3)
양변을 -3으로 나눈다.
(cid:9000) ⑴ > ⑵ É ⑶ < ⑷ É
4-2
⑴
a+5>b+5
a+5-5>b+5-5
∴ a>b
⑵
a-1Éb-1
a-1+1Éb-1+1
∴ aÉb
⑶
-
>-
;4A;
;4B;
양변에서 5를 뺀다.
양변에 1을 더한다.
따라서 부등식 2x-1É3의 해는 0, 1 , 2 이다.
참고 주어진 부등식이 2x-1É3이므로 2x-1<3 또는 2x-1=3이
∴ a > b
되는 x의 값이 부등식 2x-1É3의 해이다.
따라서 부등식 x+1¾4의 해는 3, 4이다.
참고 미지수가 1개인 일차방정식의 해는 보통 1개이지만, 부등식의 해는
부등식을 참이 되게 하는 수가 모두 해이므로 보통 여러 개이거나 범위로 주어
진다.
-
_(-4)<-
_(-4)
;4A;
;4B;
∴ a1에 대입하면 3_(-1)+4>1
③ x=-2를 -x+5<7에 대입하면 -(-2)+5<7
즉 3<0이므로 거짓
즉 1>1이므로 거짓
즉 7<7이므로 거짓
즉 4¾3이므로 참
④ x=1을 x+3¾4-x에 대입하면 1+3¾4-1
⑤ x=-2를 2x+8É1-x에 대입하면
2_(-2)+8É1-(-2), 즉 4É3이므로 거짓
따라서 [ ] 안의 수가 부등식의 해인 것은 ④이다.
28 III. 일차부등식
04 (cid:9000) ②
셀파 부등식의 성질을 이용한다.
① aÉb의 양변에 2를 곱하면 2aÉ2b
2aÉ2b의 양변에 1을 더하면 2a+1É2b+1
② aÉb의 양변에 -3을 곱하면 -3a¾-3b
-3a¾-3b의 양변에 5를 더하면
5-3a¾5-3b
③ aÉb의 양변을 5로 나누면
É
;5A;
;5B;
É
의 양변에 -2를 더하면
;5A;
;5B;
-2+
É-2+
;5A;
;5B;
④ aÉb의 양변을 -4로 나누면 -
¾-
;4A;
;4B;
-
¾-
의 양변에 1을 더하면
;4B;
;4A;
;4A;
-
+1¾-
+1
;4B;
⑤ aÉb의 양변에서 1을 빼면 a-1Éb-1
a-1Éb-1의 양변을 2로 나누면
a-1
2
É
b-1
2
05 (cid:9000) ③
셀파 부등식의 성질을 이용하여 a, b의 크기를 비교한다.
-4a+2<-4b+2의 양변에서 2를 빼면 -4a<-4b
-4a<-4b의 양변을 -4로 나누면 a>b (①)
② a>b의 양변에 -3을 곱하면 -3a<-3b
③ a>b의 양변에 3을 곱하면 3a>3b
3a>3b의 양변에서 1을 빼면 3a-1>3b-1
④ a>b의 양변을 -3으로 나누면 -
<-
;3A;
;3B;
-
<-
의 양변에 2를 더하면 2-
<2-
;3A;
;3B;
;3A;
;3B;
⑤ a>b의 양변을 2로 나누면
>
;2A;
;2B;
06 (cid:9000) ⑴ -18É5x+2É2 ⑵ -1É-2x-1É7
셀파 주어진 식의 계수를 보고, 부등식의 각 변에 곱해야 하는 수를 찾는다.
⑴ -4ÉxÉ0의 각 변에 5를 곱하면 -20É5xÉ0
각 변에 2를 더하면 -18É5x+2É2
⑵ -4ÉxÉ0의 각 변에 -2를 곱하면
8¾-2x¾0
음수를 곱하므로
부등호의 방향이 바뀐다.
각 변에서 1을 빼면 7¾-2x-1¾-1
∴ -1É-2x-1É7
실력 키우기
본문 | 80~81 쪽
즉 5<5이므로 거짓
01 2개
셀파 부등호가 있는 식을 찾는다.
㉠ x-3>2x+3 ⇨ 부등호가 있으므로 부등식이다.
㉡ 2x-1+5x-3 ⇨ 다항식이다.
㉢ x-2>-(2-x) ⇨ 부등호가 있으므로 부등식이다.
㉣ 3x-4=2x+1 ⇨ 등식이다.
따라서 부등식은 ㉠, ㉢의 2개이다.
02 ②
셀파 좌변과 우변, 부등호를 정한다.
① 1Éx<4
③ 10x<450
x+10>2x
② ‘크지 않다.’는 ‘작거나 같다.’와 같은 뜻이므로 2a-3É-5
④ 10년 후의 나이는 (x+10)세이고, x세의 2배는 2x세이므로
⑤ 무게 단위를 kg으로 통일하면 0.5`kg짜리 귤 x개의 무게는
이다.
(0.5_x)`kg, 즉 0.5x`kg이므로 1+0.5x¾5
참고 ⑤ 무게 단위를 g으로 통일하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다. 바구
니의 무게는 1000`g, 500`g짜리 귤 x개의 무게는 (500_x)`g, 즉 500x`g
전체 무게는 5000`g 이상이므로 1000+500x¾5000
03 ④
셀파 x=1을 부등식에 대입했을 때, 부등식이 거짓이 되는 것을 찾는다.
① x=1을 2x>x-1에 대입하면 2_1>1-1
즉 2>0이므로 참
② x=1을 -
¾-1에 대입하면 -
¾-1이므로 참
;4{;
;4!;
③ x=1을 2(x-2)É0에 대입하면 2_(1-2)É0
④ x=1을 3x+1<0에 대입하면 3_1+1<0
즉 -2É0이므로 참
즉 4<0이므로 거짓
⑤ x=1을 x-1
즉 0¾-1이므로 참
¾-1에 대입하면 1-1
5
5
¾-1
따라서 x=1이 해가 아닌 부등식은 ④이다.
⑤ x=-1을 3x2x-2에 각각 대입해 보면
05 3
셀파 주어진 x의 값을 부등식에 각각 대입한다.
부등식을 참이 되게 하는 x의 값 구하기 [70`%]
x=-2일 때, 3_(-2)-1>2_(-2)-2
즉 -7>-6이므로 거짓
x=-1일 때, 3_(-1)-1>2_(-1)-2
즉 -4>-4이므로 거짓
x=0일 때, 3_0-1>2_0-2, 즉 -1>-2이므로 참
x=1일 때, 3_1-1>2_1-2, 즉 2>0이므로 참
x=2일 때, 3_2-1>2_2-2, 즉 5>2이므로 참
따라서 부등식 3x-1>2x-2를 참이 되게 하는 x의 값은 0, 1, 2
x의 값의 합 구하기 [30`%]
그러므로 구하는 합은 0+1+2=3
06 ⑤
셀파 부등식의 양변에 같은 음수를 곱하거나 양변을 같은 음수로 나누면 부등
호의 방향이 바뀐다.
① a-
∴ -
+1 > -
+1
;4A;
;4B;
;4A;
;4B;
07 ⑤
셀파 -3x>6의 양변을 -3으로 나누어야 한다.
-3x>6을 x<-2로 바꾸려면 -3x>6의 양변을 -3으로 나누
어야 한다. 이때 음수로 나누었으므로 부등호의 방향이 바뀐다.
따라서 이용한 부등식의 성질은 ⑤ a>b, c<0이면
<
이다.
;cA;
;cB;
04 ④
셀파 주어진 수를 부등식의 x에 대입하여 부등식이 거짓이 되는 것을 찾는다.
① x=5를 x+1>2에 대입하면 5+1>2, 즉 6>2이므로 참
08 ③
셀파 a, b의 크기를 먼저 비교한다.
② x=0을 xÉ2x에 대입하면 0É2_0, 즉 0É0이므로 참
-3a-4<-3b-4의 양변에 4를 더하면 -3a<-3b (②)
③ x=3을 2x-xÉ4에 대입하면 2_3-3É4
즉 3É4이므로 참
양변을 -3으로 나누면 a>b (①)
③ a>b의 양변에 5를 곱하면 5a>5b
④ x=-2를 -x+3<5에 대입하면 -(-2)+3<5
5a>5b의 양변에서 3을 빼면 5a-3>5b-3
5. 부등식의 뜻과 성질 29
정답과 해설
④ a>b의 양변을 4로 나누면
>
;4A;
;4B;
⑤ a>b의 양변을 -2로 나누면 -
<-
;2A;
;2B;
-
<-
의 양변에 3을 더하면 3-
<3-
;2A;
;2B;
;2A;
;2B;
09 ⑴ ㈎ -2, ㈏ 5 ⑵ 4
셀파 부등식의 성질을 이용하여 5-2x의 값의 범위를 구한다.
⑴ 1-2x>-6
의 각 변에 ㈏ 5 를 더한다.
⇨ 3>-2x+5>-1
∴ -1<5-2x<3
⑵ -1<5-2x<3이므로 a=-1, b=3
∴ b-a=4
10 ⑴ -2Éx<2 ⑵ -2<-3x+4É10
셀파 부등식의 성질을 이용하여 x의 값의 범위를 구한다.
x의 값의 범위 구하기 [50 %]
⑴ -1É2x+3<7의 각 변에서 3을 빼면 -4É2x<4
각 변을 2로 나누면 -2Éx<2
-3x+4의 값의 범위 구하기 [50 %]
⑵ -2Éx<2의 각 변에 -3을 곱하면
6¾-3x>-6, 즉 -6<-3xÉ6
각 변에 4를 더하면 -2<-3x+4É10
11 ③
셀파 부등식의 양변을 같은 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다.
① a-b
∴ 1-a>1-b
② a<0이므로 aab
③ a0이므로 a
;a!;
;b!;
⑤ c>0이면
<
이지만, c<0이면
>
이다.
;cA;
;cB;
;cA;
;cB;
12 ②
셀파 c<0bc
④ c0이므로
;aC;
⑤ a-3b
<
;aB;
∴ 1-3a>1-3b
30 III. 일차부등식
6
일차부등식의 풀이
따라 풀면서
개념 익히기
본문 | 85, 87 쪽
⑴ ◯ ⑵ _ ⑶ ◯
1-1
⑴ 우변에 있는 2x를 좌변으로 이항하면 x+1-2x>0
∴ -x+1>0 ⇨ 일차부등식이다.
⑵ 우변에 있는 3과 -x를 좌변으로 이항하면
-x+2-3+x>0
∴ -1 >0
⇨ 일차부등식이 아니다.
⑶ 우변에 있는 xÛ`과 -3x를 좌변으로 이항하면
xÛ`+2-xÛ`+3x<0
∴ 3x+2 <0
⇨ 일차부등식이다.
⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ _ ⑷ ◯
1-2
⑴ 우변에 있는 x를 좌변으로 이항하면 x+2-x<0
∴ 2<0 ⇨ 일차부등식이 아니다.
⑵ 우변에 있는 1과 -2x를 좌변으로 이항하면 2x-5-1+2x>0
∴ 4x-6>0 ⇨ 일차부등식이다.
⑶ 좌변의 괄호를 풀면 xÛ`-2x<3
우변에 있는 3을 좌변으로 이항하면 xÛ`-2x-3<0
⇨ 일차부등식이 아니다.
⑷ 우변에 있는 xÛ`과 -5를 좌변으로 이항하면 xÛ`+x-xÛ`+5É0
∴ x+5É0 ⇨ 일차부등식이다.
풀이 참조
2-1
수직선 위에 수 3 을 나타낸다.
부등호에 등호가 없으므로 3에 대응하는
점을 ○으로 나타낸다.
‘x는 3보다 크다.’이므로 3에서 오른쪽
으로 화살표를 그린다.
3
3
3
2-2
⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
⑶ 풀이 참조 ⑷ 풀이 참조
⑴ x>-1
오른쪽 그림과 같이 수직선 위에 -1에
대응하는 점을 ○으로 나타내고, -1에
-1
서 오른쪽으로 화살표를 그린다.
오른쪽 그림과 같이 수직선 위에 5에 대
응하는 점을 ○으로 나타내고, 5에서 왼
쪽으로 화살표를 그린다.
⑵ x<5
⑶ x¾7
오른쪽 그림과 같이 수직선 위에 7에 대
응하는 점을 ●으로 나타내고, 7에서 오
른쪽으로 화살표를 그린다.
5
7
⑷ xÉ-4
오른쪽 그림과 같이 수직선 위에 -4에
대응하는 점을 ●으로 나타내고, -4에
-4
서 왼쪽으로 화살표를 그린다.
x<3
3-1
x를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항하면
⇨ 3x-x<4+2
양변을 정리하면 ⇨ 2x< 6
양변을 x의 계수 2로 나누면 ⇨ x < 3
⑴ x>-1 ⑵ xÉ-7 ⑶ x¾3
3-2
⑴ 2x+1>-1에서
좌변에 있는 1을 우변으로 이항하면 2x>-1-1
양변을 정리하면 2x>-2
양변을 x의 계수 2로 나누면 x>-1
⑵ 2x-3¾5x+18에서
우변에 있는 5x를 좌변으로, 좌변에 있는 -3을 우변으로 이항
하면 2x-5x¾18+3
양변을 정리하면 -3x¾21
양변을 x의 계수 -3으로 나누면 xÉ-7
⑶ 12-4xÉx-3에서
우변에 있는 x를 좌변으로, 좌변에 있는 12를 우변으로 이항하
면 -4x-xÉ-3-12
양변을 정리하면 -5xÉ-15
양변을 x의 계수 -5로 나누면 x¾3
⑴ x<3 ⑵ x¾1 ⑶ xÉ-2
4-1
⑴ 괄호를 푼다. ⇨ 2x-2-3<1, 즉 2x-5<1
이항하여 ax10
;2%;
⑷ x<-40 ⑸ xÉ24 ⑹ x>2
⑴ 4(x-3)<2x+6의 괄호를 풀면
4x-12<2x+6
2x<18
∴ x<9
⑵ 2(x+1)É3(2x-5)+7의 괄호를 풀면
2x+2É6x-15+7
-4xÉ-10
∴ x¾
;2%;
⑶ 0.2x-0.5>1.5의 양변에 10을 곱하면
(0.2x-0.5)_10>1.5_10
즉 2x-5>15
2x>20
∴ x>10
⑷ 0.05x+1.2>0.07x+2의 양변에 100을 곱하면
(0.05x+1.2)_100>(0.07x+2)_100
즉 5x+120>7x+200
-2x>80
∴ x<-40
⑸
+1¾
x-
의 양변에 분모의 최소공배수 15를 곱하면
;3{;
;5@;
;5#;
+1
_15¾
{;3{;
{;5@;
}
즉 5x+15¾6x-9
x-
_15
;5#;}
-x¾-24
∴ xÉ24
<
2x-1
3
⑹
x+2
4
x+2
4
_12<
2x-1
3
_12
즉 3(x+2)<4(2x-1)
의 양변에 분모의 최소공배수 12를 곱하면
3x+6<8x-4, -5x<-10
∴ x>2
6. 일차부등식의 풀이 31
정답과 해설
보고 또 보 고
유형 익히기 - 확인 문제
⑷ x+2(x-1)É4(x+2)의 괄호를 풀면
본문 | 88~92 쪽
x+2x-2É4x+8, -xÉ10
∴ x¾-10
01 ③
셀파 부등식의 우변에 있는 항을 좌변으로 이항하여 정리하였을 때, 좌변이 일
차식이면 일차부등식이다.
① 2x+3>x에서 x+3>0 ⇨ 일차부등식이다.
②
¾-x+2에서
x-2¾0 ⇨ 일차부등식이다.
;2{;
;2#;
③ 2x-5<1+2x에서 -6<0 ⇨ 일차부등식이 아니다.
④ xÛ`-4>xÛ`-3x에서 3x-4>0 ⇨ 일차부등식이다.
⑤ -x+7¾x+7에서 -2x¾0 ⇨ 일차부등식이다.
04 ⑴ xÉ35 ⑵ x>
;2&;
⑶ x>-20 ⑷ xÉ7
셀파 계수를 정수로 고친 다음 푼다.
⑴ 0.03x+0.02É1.07의 양변에 100을 곱하면
3x+2É107, 3xÉ105
∴ xÉ35
⑵ -0.3(2x-1)>0.2(5-4x)의 양변에 10을 곱하면
-3(2x-1)>2(5-4x)
괄호를 풀면 -6x+3>10-8x
2x>7
∴ x>
;2&;
⑶
-
-1<4의 양변에 4를 곱하면
;4{;
;2{;
x-2x-4<16, -x<20
∴ x>-20
⑷
2x+4
3
5x-3
4
+2¾
의 양변에 12를 곱하면
4(2x+4)+24¾3(5x-3)
괄호를 풀면 8x+16+24¾15x-9
16
-7x¾-49
∴ xÉ7
02 ⑴ x¾16, 그림: 풀이 참조
⑵ x<-5, 그림: 풀이 참조
셀파 부등식의 성질을 이용하여 x ☐ (수) 꼴로 나타낸다.
⑴
x+1¾5
;4!;
x+1-1¾5-1
;4!;
x¾4
;4!;
∴ x¾16
양변에서 1을 뺀다.
양변을 정리한다.
양변에 4를 곱한다.
이때 x¾16을 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같다.
⑵ -x-2>3
-x-2+2>3+2
-x>5
∴ x<-5
양변에 2를 더한다.
양변을 정리한다.
양변에 -1을 곱한다.
이때 x<-5를 수직선 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같다.
-5
03 ⑴ xÉ-5 ⑵ x<4 ⑶ x>0 ⑷ x¾-10
셀파 괄호가 있으면 분배법칙을 이용하여 괄호를 먼저 푼다.
⑴ 3x+4Éx-6에서 2xÉ-10
∴ xÉ-5
⑵ 4x+1>7x-11에서 -3x>-12
∴ x<4
⑶ 2(x-3)>x-6의 괄호를 풀면
2x-6>x-6
∴ x>0
32 III. 일차부등식
05 -2
셀파 3x+4+aÉ2(x+3)을 xÉ(수) 꼴로 나타낸 다음, xÉ4와 비교한다.
3x+4+aÉ2(x+3)의 괄호를 풀면 3x+4+aÉ2x+6
∴ xÉ2-a
이때 xÉ2-a와 xÉ4가 같으므로 2-a=4
-a=2
∴ a=-2
06 3
셀파 두 일차부등식을 각각 풀어 해를 비교한다.
3x-7É2에서 3xÉ9
∴ xÉ3
2x-3¾3x-2a에서 -x¾-2a+3
∴ xÉ2a-3
이때 xÉ3과 xÉ2a-3이 같으므로 3=2a-3
-2a=-6
∴ a=3
부등식 -ax>3의 양변을 양수 -a로 나누면 x>-
;a#;
∴ x<10
셀파 주어진 부등식을 Ax>B 또는 Ax-
2. x>5
;a#;
A의 부호를 알아본다.
1. -ax+3>6에서 -ax>3
이때 a<0이므로 -a>0
2. ax+5
5(a-1)
a-1
∴ x>5
08 -16Éa<-11
셀파 조건을 만족하도록 부등식의 해를 수직선 위에 나타내어 본다.
9-5x>a에서 -5x>a-9
∴ x<
이를 만족하는 자연수 x가 4개이므로 1,
9-a
5
2, 3, 4가 포함되도록 해를 수직선 위에
1
2
3
나타내면 오른쪽 그림과 같다.
4
5
9-a
5
Ú
9-a
5
않는다.
9-a
5
Û
다.
=5일 때, 자연수 x가 1, 2, 3, 4의 4개이므로 5는 포함된
Ú, Û에서 4<
É5이므로 20<9-aÉ25
9-a
5
11<-aÉ16
∴ -16Éa<-11
⑴ x<-11 ⑵ x<10 ⑶ x¾3
2
⑴ 0.8x+1.5<0.3x-4의 양변에 10을 곱하면
8x+15<3x-40, 5x<-55
∴ x<-11
⑵ 0.04x-0.3<-0.01x+0.2의 양변에 100을 곱하면
4x-30<-x+20, 5x<50
⑶ x¾0.3(x+7)의 양변에 10을 곱하면
10x¾3(x+7), 10x¾3x+21
7x¾21
∴ x¾3
3
⑴
⑵
<
;6{;
;2{;
2x<6
x-4
5
⑴ x<3 ⑵ xÉ-1 ⑶ x¾-
;8&;
+1의 양변에 6을 곱하면 3x0.2x-
에서 소수를 분수로 고치면
;4!;
;5!;
4
⑴ x<1 ⑵ x¾2 ⑶ x>-16 ⑷ x¾-
;3!;
⑴ 0.3(2x+1)-
<0.4x의 양변에 10을 곱하면
;2!;
3(2x+1)-5<4x, 6x+3-5<4x
∴ x<1
2x<2
2+3x
5
⑵
É0.2(7x-6)의 양변에 10을 곱하면
2(2+3x)É2(7x-6), 4+6xÉ14x-12
-8xÉ-16
∴ x¾2
양변에 20을 곱하면 5x+12>4x-4
∴ x>-16
Éx-0.5에서 소수를 분수로 고치면
x+
>
;5#;
;5!;
;4!;
x-
;5!;
⑷
2x-1
3
2x-1
3
-
-
x+2
6
x+2
6
Éx-
;2!;
양변에 6을 곱하면 2(2x-1)-(x+2)É6x-3
4x-2-x-2É6x-3, -3xÉ1
∴ x¾-
;3!;
6. 일차부등식의 풀이 33
풀고 또 풀고
집중 연습
일차부등식의 풀이
⑴ x¾-1 ⑵ x>4 ⑶ x¾4 ⑷ xÉ2
1
⑴ 4x+5¾2x+3에서 2x¾-2
∴ x¾-1
⑵ -3x+1<-x-7에서 -2x<-8
∴ x>4
⑶ -(x-10)É2(x-1)의 괄호를 풀면
-x+10É2x-2, -3xÉ-12
⑷ 8-2(x+2)¾3(x-2)의 괄호를 풀면
8-2x-4¾3x-6, -5x¾-10
∴ x¾4
∴ xÉ2
정답과 해설
실력 키우기
본문 | 94~95 쪽
01 (cid:9000) ③
셀파 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하였을 때, 좌변이 일차식
인 것을 찾는다.
① -1É1에서 -2É0 ⇨ 일차부등식이 아니다.
② 5x-1É5x에서 -1É0 ⇨ 일차부등식이 아니다.
③ x-2>5+3x에서 -2x-7>0 ⇨ 일차부등식이다.
④ -x¾xÛ`-1에서 -xÛ`-x+1¾0 ⇨ 일차부등식이 아니다.
⑤ 6xÛ`-2¾3(2xÛ`-4)에서 6xÛ`-2¾6xÛ`-12
∴ 10¾0 ⇨ 일차부등식이 아니다.
05 (cid:9000) -5
셀파 분모 4와 3의 최소공배수 12를 양변에 곱한다.
<1의 양변에 12를 곱하면
-
x-1
4
3+2x
3
3(x-1)-4(3+2x)<12
3x-3-12-8x<12
-5x<27
∴ x>-
:ª5¦:
이때 -
:ª5¦:
작은 정수는 -5이다.
=-5.4이므로 x>-
을 만족하는 x의 값 중 가장
:ª5¦:
㈎ 부등식의 양변에서 같은 수를 빼어도 부등호의 방향은 바뀌지
0.35x-0.4>0.2x+0.05의 양변에 100을 곱하면
㈏ 부등식의 양변을 같은 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다.
02 (cid:9000) ㈎ ㉠, ㈏ ㉢
셀파 부등식의 성질을 이용하여 x>(수) 꼴로 만드는 과정이다.
-2x+3<-5
-2x<-8
∴ x>4
따라서
㈎ 양변에서 3을 뺀다.
㈏ 양변을 -2로 나눈다.
않는다.
∴ ㉠
∴ ㉢
03 (cid:9000) ④
셀파 각 부등식의 해를 구한다.
① -2x>-6에서 x<3
② 4x-1<11에서 4x<12
∴ x<3
③ -3x+7>-2에서 -3x>-9
∴ x<3
④ -x+3>-3x+9에서 2x>6
∴ x>3
⑤ 2+4x<5+3x에서 x<3
04 (cid:9000) -6
셀파 주어진 일차부등식을 풀어 x의 값의 범위를 구한다.
(cid:8322) 주어진 일차부등식의 해 구하기 [40`%]
4-(5+3x)>-2(x-2)의 괄호를 풀면
4-5-3x>-2x+4, -x>5
∴ x<-5
(cid:8323) A의 값의 범위 구하기 [40`%]
x<-5에서 2x<-10
∴ 2x+5<-5, 즉 A<-5
(cid:8324) 가장 큰 정수 A의 값 구하기 [20`%]
따라서 가장 큰 정수 A의 값은 -6이다.
34 III. 일차부등식
06 (cid:9000) 4
셀파 양변에 적당한 수를 곱하여 계수를 정수로 바꾼다.
>x의 양변에 4를 곱하면 1-2(x-1)>4x
-
x-1
2
;4!;
1-2x+2>4x, -6x>-3
∴ x<
, 즉 a=
;2!;
;2!;
35x-40>20x+5, 15x>45
∴ x>3, 즉 b=3
∴ 2a+b=2_
+3=4
;2!;
07 (cid:9000) ③
셀파 양변에 10을 곱하여 계수를 정수로 바꾼다.
(3x+2)¾0.4x+1의 양변에 10을 곱하면
;5!;
2(3x+2)¾4x+10, 6x+4¾4x+10
따라서 일차부등식의 해를 수직선 위에 나타
내면 오른쪽 그림과 같다.
3
08 (cid:9000) -3
셀파 ax-5>4의 해가 x<-3이다.
주어진 그림은 x<-3을 나타낸다.
이때 ax-5>4에서 ax>9
ax>9의 양변을 음수 a로 나누면 x<
;a(;
따라서
=-3이어야 하므로 a=-3
;a(;
ax>9와 x<-3의 부등호의 방향이 다르므로 a는 음수이다.
따라서 부등식 중 해가 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다.
2x¾6
∴ x¾3
09 7
셀파 주어진 부등식의 해를 각각 구한다.
x-2<3x+4에서 -2x<6
∴ x>-3
5x+a>-2(1-x)에서 5x+a>-2+2x
3x>-2-a
∴ x>
이때 x>-3과 x>
가 같으므로
-3=
-2-a
3
, -9=-2-a
∴ a=7
-2-a
3
-2-a
3
10 x>1
셀파 x의 계수의 부호를 따져 본다.
3x+a>ax+3에서 3x-ax>3-a
(3-a)x>3-a
이때 a<3이므로 3-a>0
부등식 (3-a)x>3-a의 양변을 양수 3-a로 나누면
x>
3-a
3-a
∴ x>1
11 x¾
;5(;
셀파 순환소수를 분수로 나타낸다.
순환소수를 분수로 나타내기 [30`%]
0.H4x-0.H3xÉ
3x-5
2
에서
0.H4=
, 0.H3=
;9$;
이므로
;3!;
=
;9#;
3x-5
2
x-
xÉ
;3!;
;9$;
계수를 정수로 바꾸기 [30`%]
양변에 9, 3, 2의 최소공배수 18을 곱하면
8x-6xÉ9(3x-5)
부등식 풀기 [40`%]
∴ x¾
;5(;
8x-6xÉ27x-45, -25xÉ-45
LECTURE 순환소수를 분수로 나타내기
•0.Ha=
;9A;
;9A;
•0.HabHc=
;9A9B9C;
•0.abHc= abc-ab
900
•0.HaHb=
;9A9B;
•0.aHb= ab-a
90
•0.aHbHc= abc-a
990
12 xÉ
;aÁb;
셀파 a, b의 부호를 각각 알아본다.
;a!;
부등호의 방향이 바뀜
bx<1의 해가 x<
;b!;
부등호의 방향이 바뀌지 않음
ax>1의 해가 x<
이므로 x의 계수 a는 음수이다.
∴ a<0
이므로 x의 계수 b는 양수이다.
∴ b>0
이때 ab<0이므로 abx¾1의 양변을 ab로 나누면 xÉ
;aÁb;
13 ⑴ xÉ
-a-3
2
⑵ 풀이 참조 ⑶ -92 ⑶ 3, 4
1-2
⑴ 두 정수 중 작은 수를 x라 하면 큰 수는 x+1이다.
므로
2x+5<3(x+1)
⑵ ⑴에서 세운 부등식의 괄호를 풀면
2x+5<3x+3
-x<-2
∴ x>2
⑶ x의 값 중 가장 작은 정수는 3이므로 구하는 두 정수는 3, 4이
∴ x<17
17이다.
다.
(cid:9000) 5개
2-1
과자를 x개 산다고 하면
개수
사탕
10-x
과자
x
금액`(원)
300(10-x)
1000x
이때 전체 가격이 6500원 이하이어야 하므로
300(10-x) +1000xÉ6500
괄호를 풀면 3000-300x+1000xÉ6500
700xÉ3500
∴ xÉ5
따라서 과자를 최대 5 개까지 살 수 있다.
2-2
(cid:9000) ⑴ 12-x, 300(12-x)
⑵ 500x+300(12-x)É5000
⑶ xÉ7 ⑷ 7권
⑴ 한 권에 500원인 공책을 x권 산다고 하면
한 권에 500원인 공책 한 권에 300원인 공책
권수
금액`(원)
x
500x
12-x
300(12-x)
36 III. 일차부등식
(cid:9000) 1200`m
3-1
x`m 떨어진 지점까지 갔다 온다고 하면
거리
속력
갈 때
x`m
올 때
x`m
분속 80`m
분속 60`m
걸린 시간
분
;8Ó0;
분
;6Ó0;
양변에 240을 곱하면 3x+4xÉ8400
7xÉ8400
∴ xÉ1200
따라서 최대 1200 `m 떨어진 지점까지 갔다 올 수 있다.
(cid:9000) ⑴ (x+3)`km,
x+3
4
시간 ⑵
+
;2{;
x+3
4
É3
3-2
⑶ 3`km
⑴ 올라갈 때의 거리를 x`km라 하면
거리
속력
걸린 시간
올라갈 때
x`km
시속 2`km
시간
;2{;
내려올 때
(x+3)`km
시속 4`km
x+3
4
시간
⑵ 총 걸린 시간이 3시간 이내이어야 하므로
⑶ ⑵에서 세운 부등식의 양변에 4를 곱하면
+
;2{;
x+3
4
É3
2x+(x+3)É12
3xÉ9
∴ xÉ3
따라서 올라갈 수 있는 거리는 최대 3`km이다.
(cid:9000) 100`g
4-1
더 넣는 물의 양을 x`g이라 하면
소금물의 양 (g)
소금의 양 (g)
물을 넣기 전
100
_100=20
;1ª0¼0;
물을 넣은 후
100+x
20
이때 물을 더 넣은 후 소금물의 농도는
20
100+x
_100`(%)
이 농도가 10`% 이하이어야 하므로
_100É10
20
100+x
양변에 100+x를 곱하면 2000É10(100+x)
2000É1000+10x, -10xÉ-1000
∴ x¾100
따라서 100 `g 이상의 물을 넣어야 한다.
⑴ 36, 36 ⑵
4-2
⑴ 증발시켜야 하는 물의 양을 x`g이라 하면
36
600-x
_100¾9 ⑶ 200`g
소금물의 양 (g)
소금의 양 (g)
증발시키기 전
600
_600=36
;10^0;
증발시킨 후
600-x
36
⑵ 물을 증발시킨 후 소금물의 농도는
36
600-x
_100`(%)
36
600-x
_100¾9
⑶ ⑵에서 세운 부등식의 양변에 600-x를 곱하면
3600¾9(600-x)
3600¾5400-9x, 9x¾1800
∴ x¾200
따라서 증발시켜야 하는 물의 양은 200`g 이상이다.
02 12`cm
셀파 (사다리꼴의 넓이)=
_{(윗변의 길이)+(아랫변의 길이)}_(높이)
;2!;
사다리꼴의 아랫변의 길이를 x`cm라 하면 그 넓이는
_(4+x)_6=3x+12`(cmÛ`)
;2!;
사다리꼴의 넓이가 48`cmÛ` 이상이므로
3x+12¾48
3x¾36
∴ x¾12
따라서 사다리꼴의 아랫변의 길이는 12`cm 이상이다.
03 11개월
셀파 ( x개월 후의 아라의 예금액)<2_( x개월 후의 민아의 예금액)
x개월 후부터 아라의 예금액이 민아의 예금액의 2배보다 적어진다
고 하면 x개월 후의 아라의 예금액은 (300000+30000x)원,
민아의 예금액은 (100000+20000x)원이므로
300000+30000x<2(100000+20000x)
300000+30000x<200000+40000x
-10000x<-100000
∴ x>10
따라서 아라의 예금액이 민아의 예금액의 2배보다 적어지는 것은
04 7송이
셀파 장미를 x송이 산다고 하고, 부등식을 세운다.
장미를 x송이 산다고 하면 장미 x송이의 가격은 600x원,
카네이션 2송이의 가격은 1000_2=2000(원), 포장비는 1500원
이고 전체 비용이 8000원 이하이어야 하므로
600x+2000+1500É8000
600x+3500É8000, 600xÉ4500
∴ xÉ
=7.5
:Á2°:
따라서 장미는 최대 7송이까지 살 수 있다.
이 농도가 9`% 이상이어야 하므로
11개월 후부터이다.
보고 또 보 고
유형 익히기 - 확인 문제
본문 | 102~107 쪽
05 13장
셀파 사진을 x(x>5)장 인화하면 (x-5)장은 추가 요금을 내야 한다.
01 24
셀파 연속하는 세 짝수를 x, x+2, x+4로 놓고, 부등식을 세운다.
사진을 x(x>5)장 인화한다고 하면 5장 인화 비용은 6000원,
(x-5)장은 한 장에 500원씩 추가되므로 총 비용은
연속하는 세 짝수를 x, x+2, x+4라 하면 세 짝수의 합이 72보다
{6000+500(x-5)}원이다.
크므로
x+(x+2)+(x+4)>72
3x+6>72, 3x>66
∴ x>22
이때 총 비용이 10000원 이하이어야 하므로
6000+500(x-5)É10000
6000+500x-2500É10000
500xÉ6500
∴ xÉ13
따라서 x의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 24이다.
따라서 10000원으로 인화할 수 있는 사진은 최대 13장이다.
7. 일차부등식의 활용 37
06 4봉지
셀파 (집 앞 가게에서 산 과자 가격)
>(할인 매장에서 산 과자 가격)+(왕복 교통비)
과자를 x봉지 산다고 하면 집 앞 가게에서는 1200x원이 들고,
할인 매장에서는 왕복 교통비를 포함하여 (800x+1500)원이 든
440-x
100
시간
시속 100`km로 달린 시간은
이때 5시간 이내에 도착하므로
+
440-x
100
;8Ó0;
5x+4(440-x)É2000
É5
5x+1760-4xÉ2000
∴ xÉ240
이때 할인 매장에서 사는 것이 유리해야 하므로
따라서 시속 80`km로 달린 거리는 240`km 이하이다.
다.
하다.
1200x>800x+1500
400x>1500
∴ x>
=3.75
:Á4°:
따라서 과자를 4봉지 이상 사는 경우 할인 매장에서 사는 것이 유리
1인당 입장료가 12000원이므로 x명이 입장할 때 입장료는
이때 물건을 사는 데 12분, 즉
(시간)이 걸리고 영화관까지
=
;6!0@;
;5!;
이때 x명의 입장료가 20명의 단체 입장료보다 많아야 하므로
∴ xÉ2
12000x>192000
∴ x>16
따라서 영화관에서 최대 2`km 이내에 있는 상점을 다녀올 수 있다.
따라서 17명 이상이면 20명의 단체 입장권을 사는 것이 유리하다.
10 2`km
셀파 (상점까지 가는 데 걸린 시간)+(물건을 사는 데 걸린 시간)
+(영화관까지 오는 데 걸린 시간)É( 1시간)
영화관에서 상점까지의 거리를 x`km라 하면
갈 때 걸린 시간은
시간, 올 때 걸린 시간은
시간이다.
;5{;
;5{;
돌아오는 데 총 1시간을 넘기지 않아야 하므로
+
+
É1
;5!;
;5{;
;5{;
x+1+xÉ5, 2xÉ4
11 160`g
셀파 증발시켜야 하는 물의 양을 x`g이라 하고, 부등식을 세운다.
3`%의 소금물 400`g에 들어 있는 소금의 양은
_400=12`(g)
;10#0;
증발시켜야 하는 물의 양을 x`g이라 하면
소금물의 양은 (400-x)`g이고 소금의 양은 12 g이므로
12
400-x
_100¾5
1200¾5(400-x), 1200¾2000-5x
5x¾800
∴ x¾160
따라서 증발시켜야 하는 물의 양은 160`g 이상이다.
07 17명
셀파 ( x명의 입장료)>( 20명의 단체 입장료)
12000x원이다.
20`%를 할인한 20명의 단체 입장료는
12000_
1-
{
;1ª0¼0;}
_20=192000(원)
08 7200원
셀파 (이익)=(판매 가격)-(원가)
정가를 x원이라 하면 판매 가격은 정가에서 30`% 할인한 가격이므
로 x
1-
=
x(원)
{
;1£0¼0;}
;1¦0;
원가 4200원의 20`%에 해당하는 이익은
4200_
=840(원)
;1ª0¼0;
이때 (이익)=(판매 가격)-(원가)이고
원가의 20`% 이상의 이익을 얻어야 하므로
x-4200¾840
;1¦0;
x¾5040
∴ x¾7200
;1¦0;
따라서 정가는 7200원 이상으로 정해야 한다.
12 180`g
셀파 8`%의 설탕물을 x`g 섞는다고 하고, 설탕의 양에 대한 부등식을 세운다.
09 240`km
셀파 (시속 80`km로 달린 시간)+(시속 100`km로 달린 시간)É(5시간)
시속 80`km로 달린 거리를 x`km라 하면
시속 100`km로 달린 거리는 (440-x)`km이다.
시속 80`km로 달린 시간은
시간,
;8Ó0;
8`%의 설탕물을 x`g 섞는다고 하면
_120+
_x¾
_(120+x)
;10#0;
360+8x¾6(120+x), 360+8x¾720+6x
;10^0;
;10*0;
2x¾360
∴ x¾180
따라서 8`%의 설탕물을 180`g 이상 섞어야 한다.
38 III. 일차부등식
정답과 해설 실력 키우기
본문 | 108~109 쪽
01 20
셀파 연속하는 두 홀수를 x, x+2로 놓고, 부등식을 세운다.
연속하는 두 홀수를 x, x+2라 하면
3x-5¾2(x+2)
3x-5¾2x+4
∴ x¾9
가장 작은 값은 9+11=20
부등식 풀기 [40`%]
괄호를 풀면
25000+5000x>40000+3000x
2000x>15000
∴ x>
=7.5
:Á2°:
답 구하기 [20`%]
따라서 x의 값 중 가장 작은 자연수가 9이므로 두 홀수의 합 중에서
월 후부터이다.
따라서 형의 예금액이 동생의 예금액의 2배보다 많아지는 것은 8개
02 89점
셀파 네 번째 수학 시험 점수를 x점이라 하고, 평균을 구하는 식을 세운다.
네 번째 수학 시험에서 x점을 받는다고 하면
네 번째 시험까지의 평균은
82+91+86+x
4
259+x
4
=
(점)
평균이 87점 이상이어야 하므로
259+x
4
¾87
259+x¾348
∴ x¾89
따라서 네 번째 수학 시험에서 89점 이상을 받아야 한다.
03 10`cm
셀파 (삼각형의 넓이)=
_(밑변의 길이)_(높이)
;2!;
삼각형의 높이를 h`cm라 하면
삼각형의 넓이가 30`cmÛ` 이상이므로
_6_h¾30
;2!;
3h¾30
∴ h¾10
따라서 삼각형의 높이는 10`cm 이상이어야 한다.
05 11개
셀파 (사람의 몸무게)+(상자의 무게)É500
한 번에 x개의 상자를 운반한다고 하면
(사람의 몸무게)+(상자의 무게)=50+40x`(kg)
이때 전체 무게는 500 kg 이하이어야 하므로
50+40xÉ500
40xÉ450
∴ xÉ
=11.25
:¢4°:
따라서 한 번에 최대 11개의 상자를 운반할 수 있다.
06 130분
셀파 (기본요금)+(추가 요금)É8000
주차를 x(x>30)분 동안 한다고 하면
추가 요금은 50(x-30)원
이때 총 주차 요금은 {3000+50(x-30)}원이고
주차 요금이 8000원 이하이어야 하므로
3000+50(x-30)É8000
3000+50x-1500É8000
50xÉ6500
∴ xÉ130
따라서 최대 130분 동안 주차할 수 있다.
04 8개월
셀파 x개월 후부터 형의 예금액이 동생의 예금액의 2배보다 많아진다고 하고,
부등식을 세운다.
부등식 세우기 [40`%]
07 36명
셀파 x명의 입장료와 50명의 단체 입장료를 비교한다.
1인당 입장료가 8000원이므로 x명이 입장할 때 입장료는
8000x원이다.
30`%를 할인한 50명의 단체 입장료는
8000_
1-
{
;1£0¼0;}
_50=280000(원)
x개월 후부터 형의 예금액이 동생의 예금액의 2배보다 많아진다고
하면 x개월 후의 형의 예금액은 (25000+5000x)원,
이때 x명의 입장료가 50명의 단체 입장료보다 많아야 하므로
동생의 예금액은 (20000+1500x)원이므로
8000x>280000
∴ x>35
25000+5000x>2(20000+1500x)
따라서 36명 이상이면 50명의 단체 입장권을 사는 것이 유리하다.
7. 일차부등식의 활용 39
정답과 해설
08 30000원
셀파 정가를 x원이라 하면 정가에서 50`% 할인한 가격은
1-
x
{
;1°0¼0;}
=
;2!;
x (원)
정가를 x원이라 하면 판매 가격은 정가에서 50`%를 할인한 가격이
므로 x
1-
=
x(원)
{
;2!;
원가 10000원의 50`%에 해당하는 이익은
;1°0¼0;}
10000_
=5000(원)
;1°0¼0;
이때 (이익)=(판매 가격)-(원가)이고
원가의 50`% 이상의 이익을 얻어야 하므로
x-10000¾5000
;2!;
x¾15000
∴ x¾30000
;2!;
따라서 정가는 30000원 이상으로 정해야 한다.
09 40`km
셀파 (갈 때 걸린 시간)+(휴식 시간)+(돌아올 때 걸린 시간)É(총 소요 시간)
부등식 세우기 [40`%]
x`km 떨어진 지점까지 갔다 온다고 하면
갈 때 걸린 시간은
시간, 올 때 걸린 시간은
시간
;4Ó0;
;3Ó0;
이때 10분, 즉
=
;6!0);
;6!;
(시간) 쉬고
2시간 30분, 즉 2
=
;6#0);
;2%;
(시간) 이내로 돌아와야 하므로
+
+
;6!;
;4Ó0;
;3Ó0;
É
;2%;
부등식 풀기 [40`%]
7xÉ280
∴ xÉ40
답 구하기 [20`%]
양변에 120을 곱하면 3x+20+4xÉ300
따라서 최대 40`km 떨어진 지점까지 갔다 올 수 있다.
10 45`g
셀파 (소금의 양)=
_(소금물의 양)
(소금물의 농도)
100
8`%의 소금물 300`g에 들어 있는 소금의 양은
_300=24`(g)
;10*0;
소금을 x`g 더 넣는다고 하면 소금물의 양은 (300+x)`g이고
소금의 양은 (24+x)`g이므로
24+x
300+x
_100¾20
40 III. 일차부등식
100(24+x)¾20(300+x), 2400+100x¾6000+20x
80x¾3600
∴ x¾45
따라서 더 넣어야 하는 소금의 양은 최소 45`g이다.
11 5
셀파 n각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(n-2)
n각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(n-2)이므로
180(n-2)<700
180n-360<700, 180n<1060
∴ n<
=
=5.888y
:Á1¼8¤0¼:
:°9£:
이때 n은 자연수이므로 가장 큰 n의 값은 5이다.
LECTURE 다각형의 내각의 크기의 합
삼각형의 내각의 크기의 합은 180ù임을 이용하여 다음과 같이 다각
삼각형의 내각의 크기의 합은
형의 내각의 크기의 합을 구할 수 있다.
다각형
내각의 크기의 합
사각형
오각형
육각형
⋮
n각형
180ù_2
=180ù_(4-2)
180ù_3
=180ù_(5-2)
180ù_4
=180ù_(6-2)
⋮
180ù_(n-2)
● 정 n각형의 한 내각의 크기는
180ù_(n-2)
n
12 ⑴ 식품 A：3`kcal, 식품 B：5`kcal ⑵ 150`g
셀파 두 식품 A, B의 1`g당 열량을 구한다.
⑴ 식품 A의 10`g당 열량이 30`kcal이므로 1`g당 열량은
식품 B의 10`g당 열량이 50`kcal이므로 1`g당 열량은
=3`(kcal)
;1#0);
=5`(kcal)
;1%0);
⑵ 섭취해야 하는 식품 A의 양을 x`g이라 하면 식품 B의 양은
이때 두 식품 A, B를 합하여 열량을 700`kcal 이상 얻어야 하
(200-x)`g이다.
므로
3x+5(200-x)¾700
3x+1000-5x¾700
-2x¾-300
∴ xÉ150
따라서 섭취해야 하는 식품 A의 양은 최대 150`g이다.
IV. 연립일차방정식
8
연립일차방정식과 그 해
따라 풀면서
개념 익히기
본문 | 113, 115 쪽
1-1
⑴ x+2y-1=0, 미지수가 2개인 일차방정식이다.
⑵ 3x-y-1=0, 미지수가 2개인 일차방정식이다.
⑶ 5x+4=0, 미지수가 2개인 일차방정식이 아니다.
⑴ x+2y=1 ⇨ x+2y-1=0이므로 미지수가 2개인 일차방정
13 ⑴ 2 ⑵ 2x+1 ⑶ 69개
셀파 수량 사이의 관계를 표로 나타내고, 규칙을 찾아 식을 세운다.
식이다.
⑴ 2
정삼각형의
성냥개비의
개수
개수
1
3
2
3
4
인 일차방정식이다.
3+2
3+2+ 2
3+2+ 2 + 2
인 일차방정식이다.
⑶ 5x-3y=-4-3y ⇨ 5x+4 =0이므로 미지수가 1 개
⑵ 2x-y=-x+1 ⇨ 3x-y-1 =0이므로 미지수가 2 개
⇨ 정삼각형이 1개씩 늘어날 때마다 성냥개비가 2 개씩 늘어
⑵ 정삼각형의 개수 성냥개비의 개수
난다.
1
2
3
4
⋮
x
3
3+2
3+2+2
3+2+2+2
⋮
3+2+2+y+2
( { 9
(x-1)개
따라서 정삼각형을 x개 만들 때, 필요한 성냥개비의 개수는
3+2(x-1)=2x+1
⑶ 2x+1É140에서 2xÉ139
∴ xÉ
=69.5
;:!2#:(;
따라서 정삼각형을 최대 69개 만들 수 있다.
⑴ ◯ ⑵ × ⑶ × ⑷ ◯
1-2
⑴ 2x+3y=1 ⇨ 2x+3y-1=0이므로 미지수가 2개인 일차방
⑵ x+yÛ`+3=0 ⇨ 미지수는 x, y의 2개이지만 y의 차수가 2이므
로 일차방정식이 아니다.
⑶ x+2y+2=3+x+y ⇨ y-1=0이므로 미지수가 1개인 일차
⑷ 3x+y=-y ⇨ 3x+2y=0이므로 미지수가 2개인 일차방정
정식이다.
방정식이다.
식이다.
(1, 6), (2, 4), (3, 2)
2-1
2x+y=8에서 y=8-2x
이 식의 x에 1, 2, 3, y을 차례대로 대입하여 y의 값을 구하면 다음
표와 같다.
(3, 2)
x
y
1
6
2
4
3
2
4
0
5
-2
y
y
따라서 x, y가 자연수일 때, 2x+y=8의 해는 (1, 6), (2, 4 ),
2-2
⑴ 표: 풀이 참조 / (1, 2), (2, 1)
⑵ 표: 풀이 참조 / (3, 1), (1, 2)
⑴ x+y=3에서 y=3-x
x
y
1
2
2
1
3
0
y
y
따라서 x, y가 자연수일 때, x+y=3의 해는 (1, 2), (2, 1)
8. 연립일차방정식과 그 해 41
정답과 해설
⑵ x+2y=5에서 x=5-2y
-1
3
y
y
따라서 x, y가 자연수일 때, x+2y=5의 해는 (3, 1), (1, 2)
3-1
⑴ 표: 풀이 참조 / (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)
⑵ 표: 풀이 참조 / (1, 6), (2, 3) ⑶ (2, 3)
⑴ x+y=5에서 y=5-x
⇨ x+y=5의 해: (1, 4), (2, 3 ), (3, 2), (4, 1)
(2, 3 )
⑵ 3x+y=9에서 y=9-3x
3
2
3
0
4
1
5
0
4
-3
5
-6
x
y
x
y
x
y
(2, 3)
⇨ 3x+y=9의 해: (1, 6 ), (2, 3)
⑶ 두 일차방정식 x+y=5, 3x+y=9를 동시에 만족하는 순서
쌍 (x, y)는 (2, 3) 이다.
(3, 1)
② ㉠의 해: (1, 3), (2, 2), (3, 1)
(3, 1)
㉡의 해: (3, 1), (4, 2), y
③ 연립방정식의 해는 (3, 1)
⑵ ① ㉠ 2x+y=8에서 y=8-2x
2
2
2
0
2
4
2
4
3
1
3
1
3
2
3
7
4
0
4
2
4
0
4
10
② ㉠의 해: (1, 6), (2, 4), (3, 2)
㉡의 해: (1, 1), (2, 4), (3, 7), (4, 10), y
③ 연립방정식의 해는 (2, 4)
42 IV. 연립일차방정식
3
1
1
4
1
6
x
y
x
y
x
y
x
y
1
2
2
3
2
3
-1
1
3
1
1
6
1
1
보고 또 보 고
유형 익히기 - 확인 문제
본문 | 116~119 쪽
01 ①, ④
셀파 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한 다음, 등식인지, 미지수가 2개인지,
미지수가 모두 1차인지 확인한다.
① xÛ`이 있으므로 일차방정식이 아니다.
② 8x+2y=0 ⇨ 미지수가 2개인 일차방정식이다.
③ 2x=2(x-y)-x에서 x+2y=0
⇨ 미지수가 2개인 일차방정식이다.
④ xy-x=y ⇨ xy는 미지수 x, y에 대하여 2차이므로 일차방정
식이 아니다.
⑤
x-
y-1=0 ⇨ 미지수가 2개인 일차방정식이다.
;2!;
;3!;
02 ⑴ 500x+1000y=7000 ⑵ 10x+8y=84
셀파 주어진 상황을 x, y에 대한 등식으로 나타낸다.
⑴ 500원짜리 장미 x송이의 가격은 500x원
1000원짜리 튤립 y송이의 가격은 1000y원
장미와 튤립을 7000원에 샀으므로 500x+1000y=7000
⑵ 10점을 x회 맞힌 점수는 10x점
03 ⑤
셀파 x=2, y=3을 대입했을 때, 등식이 성립하는 것을 찾는다.
x=2, y=3을 각 일차방정식에 대입하면
;3!;
④ 4_3+11-2
③ 2+3_3
⑤ 2-3_3=-7
따라서 x=2, y=3을 해로 갖는 것은 ⑤이다.
04 3개
셀파 y의 계수의 절댓값이 x의 계수의 절댓값보다 크므로 y에 1, 2, 3, y을 차
례대로 대입하여 x의 값을 구한다.
x+4y=15에서 x=15-4y
다음 표와 같다.
y
x
1
11
2
7
3
3
4
-1
5
-5
y
y
따라서 x, y가 자연수일 때, 일차방정식 x+4y=15의 해 (x, y)는
(11, 1), (7, 2), (3, 3)의 3개이다.
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
3-2
⑴ ① 풀이 참조 ② ㉠ : (1, 3), (2, 2), (3, 1), ㉡ : (3, 1),
8점을 y회 맞힌 점수는 8y점
(4, 2), y ③ (3, 1)
10점과 8점을 맞혀 84점을 얻었으므로 10x+8y=84
⑵ ① 풀이 참조 ② ㉠ : (1, 6), (2, 4), (3, 2), ㉡ : (1, 1),
(2, 4), (3, 7), (4, 10), y ③ (2, 4)
⑴ ① ㉠ x+y=4에서 y=4-x
㉡ x-y=2에서 y=x-2
① 5_2+2_3=16+10
② -2+
_3=-1+2
㉡ 3x-y=2에서 y=3x-2
이 식의 y에 1, 2, 3, y을 차례대로 대입하여 x의 값을 구하면
오답 피하기
실력 키우기
본문 | 120~121 쪽
이 문제처럼 y에 1, 2, 3, y을 차례대로 대입하여 x의 값을 구한 다음 답
을 쓸 때는 y의 값을 먼저 쓰지 않도록 한다. 즉 이 문제의 답을 (1, 11),
(2, 7)과 같이 쓰지 않도록 한다.
01 ㉠, ㉣
셀파 미지수가 2개이고, 그 차수가 모두 1인 방정식을 찾는다.
㉠ 미지수가 2개인 일차방정식이다.
㉡ 4x(y+3)=5에서 4xy+12x=5 ⇨ 4xy는 x, y에 대하여 2차
05 1. 3 2. 2
셀파 1. x=3, y=2를 x+ay=9에 대입하면 등식이 성립한다.
이므로 미지수가 2개인 일차방정식이 아니다.
㉢ xÛ`이 있으므로 일차방정식이 아니다.
2. x=-1, y=k를 2x-3y+8=0에 대입하면 등식이 성립한다.
㉣ x(3y-2)=y+3xy에서 -2x-y=0
⇨ 미지수가 2개인 일차방정식이다.
3+2a=9, 2a=6
1. x=3, y=2를 x+ay=9에 대입하면
2. x=-1, y=k를 2x-3y+8=0에 대입하면
-2-3k+8=0, 3k=6
∴ k=2
∴ a=3
x+y=5
06
[
300x+500y=2100
셀파 구하는 연립방정식은
[
(개수에 대한 일차방정식)
(금액에 대한 일차방정식)
이다.
연필과 볼펜을 합하면 5자루이므로 x+y=5
따라서 구하는 연립방정식은
x+y=5
300x+500y=2100
[
02 a=-3, b+-5
셀파 ax+by+c=0 (a, b, c는 상수) 꼴에서 a+0, b+0이면 미지수가 2개인
일차방정식이다.
주어진 식을 간단히 하기 [40 %]
-3xÛ`+2y-7+bx=axÛ`+4y-5x-6에서
-3xÛ`+2y-7+bx-axÛ`-4y+5x+6=0
∴ (-3-a)xÛ`+(b+5)x-2y-1=0
이 식이 미지수가 2개인 일차방정식이 되려면
-3-a=0, b+5+0
a, b의 조건 구하기 [20 %]
∴ a=-3, b+-5
지불한 금액이 2100원이므로 300x+500y=2100
미지수가 2개인 일차방정식이 되기 위한 조건 찾기 [40 %]
07 ㉠, ㉣
셀파 x=2, y=-6을 각 연립방정식에 대입했을 때, 두 일차방정식이 모두 참
인 연립방정식을 찾는다.
x=2, y=-6을 각 연립방정식에 대입하면
㉠
2-(-6)=8
3_2+(-6)=0
[
㉡
2-(-6)=8+4
2+(-6)=-4
[
㉢
2+(-6)=-4+4
2+2_(-6)=-10+10
[
㉣
2+2_(-6)=-10
2_2+(-6)=-2
[
따라서 x=2, y=-6을 해로 갖는 것은 ㉠, ㉣이다.
03 ②
셀파 문장을 수, 문자, 기호를 사용하여 x, y에 대한 식으로 나타낸다.
① 3x=2y+1 ⇨ 미지수가 2개인 일차방정식이다.
② y=pxÛ`` ⇨ 일차방정식이 아니다.
③ 1500x+1000y=10000 ⇨ 미지수가 2개인 일차방정식이다.
④ 2(x+y)=36 ⇨ 미지수가 2개인 일차방정식이다.
⑤ 4x+5y=50 ⇨ 미지수가 2개인 일차방정식이다.
08 a=4, b=4
셀파 x=3, y=b-2를 연립방정식을 이루는 두 일차방정식에 각각 대입하면
04 ④
셀파 x=p, y=q가 일차방정식 ax+by+c=0의 해일 때,
등식이 모두 성립한다.
x=p, y=q를 ax+by+c=0에 대입하면 등식이 성립한다.
연립방정식
[
x+2y=7 y ㉠
ax+y=14 y ㉡
의 해가 (3, b-2)이므로
x=3, y=b-2를 ㉠에 대입하면 3+2(b-2)=7
3+2b-4=7, 2b=8
∴ b=4
b=4이므로 주어진 연립방정식의 해는 (3, 2)이다.
따라서 x=3, y=2를 ㉡에 대입하면
3a+2=14, 3a=12
∴ a=4
일차방정식 4x-2y=-8에
① x=-3, y=-2를 대입하면 4_(-3)-2_(-2)=-8
② x=-2, y=0을 대입하면 4_(-2)-2_0=-8
③ x=0, y=4를 대입하면 4_0-2_4=-8
④ x=1, y=-2를 대입하면 4_1-2_(-2)=8+-8
⑤ x=2, y=8을 대입하면 4_2-2_8=-8
따라서 일차방정식 4x-2y=-8의 해가 아닌 것은 ④이다.
8. 연립일차방정식과 그 해 43
05 ③, ⑤
셀파 3x+2y=18에 x=1, 2, 3, y을 차례대로 대입하여 y의 값을 구한다.
09 ②
셀파 x=3, y=2를 각 연립방정식에 대입했을 때, 두 방정식이 모두 참인 것을
3x+2y=18에서 y=9-
x
;2#;
다음 표와 같다.
이 식의 x에 1, 2, 3, y을 차례대로 대입하여 y의 값을 구하면
x
y
1
:Á2°:
2
6
3
;2(;
4
3
5
;2#;
6
0
y
y
③ x, y는 자연수이므로 (6, 0)은 해가 아니다.
④, ⑤ 해는 (2, 6), (4, 3)의 2개이다.
찾는다.
x=3, y=2를 각 연립방정식에 대입하면
①
3_3-2=7
2_3+3_2=12+-1
[
②
3+2=5
2_3+2=8
[
③
2_3+2=8
3_3+2=11+5
[
④
⑤
3-2_2=-1
5_3+4_2=23+3
[
3+3_2=9+-1
2_3-4_2=-2
[
따라서 순서쌍 (3, 2)를 해로 갖는 것은 ②이다.
06 4
셀파 x=2, y=9를 ax+y-5=0에 대입하여 a의 값을 먼저 구한다.
x=2, y=9를 ax+y-5=0에 대입하면
2a+9-5=0, 2a=-4
∴ a=-2
a=-2를 ax+y-5=0에 대입하면 -2x+y-5=0
x=k, y=13을 -2x+y-5=0에 대입하면 -2k+13-5=0
-2k=-8
∴ k=4
07 ⑴ x+2y=12
⑵ (2, 5), (4, 4), (6, 3), (8, 2), (10, 1)
⑶ 5대
셀파 주어진 문장을 ax+by+c=0 (a, b, c는 상수 a+0, b+0) 꼴로 나타낸다.
⑴ x+2y=12
⑵ x+2y=12에서 x=12-2y
면 다음 표와 같다.
이 식의 y에 1, 2, 3, y을 차례대로 대입하여 x의 값을 구하
y
x
1
10
2
8
3
6
4
4
5
2
6
0
y
y
10 ②
셀파 x=-3, y=a를 x+2y=5에 대입하여 a의 값을 먼저 구한다.
x=-3, y=a가 일차방정식 x+2y=5의 해이므로
-3+2a=5, 2a=8
∴ a=4
즉 주어진 연립방정식의 해가 x=-3, y=4이므로 보기의 일차방
정식 중 x=-3, y=4가 해가 아닌 것을 찾으면 된다.
x=-3, y=4를 각 일차방정식에 대입하면
① -3+4=1 ②
2_(-3)-3_4=-18+6
③ -(-3)-2_4=-5 ④
2_(-3)+4=-2
⑤ -3_(-3)-4=5
따라서
안에 들어갈 수 없는 일차방정식은 ②이다.
11 40
셀파 x=-1, y=-2를 각 일차방정식에 대입하여 a, b의 값을 구한다.
연립방정식
[
x-ay=15 y ㉠
bx-7y=9 y ㉡
x=-1, y=-2를 ㉠에 대입하면 -1+2a=15
의 해가 (-1, -2)이므로
∴ a=8
이때 x, y는 모두 자연수이므로 구하는 해 (x, y)는 (2, 5),
x=-1, y=-2를 ㉡에 대입하면 -b+14=9
∴ b=5
(4, 4), (6, 3), (8, 2), (10, 1)이다.
∴ ab=8_5=40
⑶ ⑵에서 구한 해 중 y의 값이 가장 큰 해는 (2, 5)이다.
따라서 2인용 자전거는 최대 5대를 빌려야 한다.
08 15
셀파 구하는 연립방정식은
[
(자전거 대수에 대한 일차방정식)
(자전거 바퀴 수에 대한 일차방정식)
이다.
세발자전거와 두발자전거를 합하면 10대이므로 x+y=10
세발자전거와 두발자전거의 바퀴 수를 합하면 26개이므로
3x+2y=26
따라서 연립방정식으로 나타내면
[
x+y=10
3x+2y=26
즉 a=10, b=3, c=2이므로 a+b+c=15
44 IV. 연립일차방정식
12 ⑴ (3, 2) ⑵ -1
셀파 x=3을 2x+y=8에 대입하여 y의 값을 먼저 구한다.
주어진 연립방정식의 해 구하기 [50 %]
2x+y=8
⑴ 연립방정식
[
2x-2y=-2a y ㉡
y ㉠
를 만족하는 x의 값이 3이
므로 x=3을 ㉠에 대입하면 6+y=8
∴ y=2
따라서 주어진 연립방정식의 해는 (3, 2)이다.
상수 a의 값 구하기 [50 %]
⑵ x=3, y=2를 ㉡에 대입하면 6-4=-2a
2=-2a
∴ a=-1
정답과 해설 2-2
⑴ x=-1, y=3 ⑵ x=2, y=-2 ⑶ x=5, y=2
9
연립일차방정식의 풀이
따라 풀면서
개념 익히기
x=-4, y=3
1-1
x+2y=2 y`㉠
y`㉡
2x+3y=1
[
에서
본문 | 125, 127 쪽
㉠ 을 x=( y의 식)으로 나타내면 x= -2y+2
…… ㉢
㉢ 을 ㉡에 대입하면 2( -2y+2 )+3y=1
-4y+4+3y=1, -y=-3
∴ y=3
y=3을 ㉢에 대입하면 x=-2_3+2= -4
따라서 연립방정식의 해는 x= -4 , y=3
1-2
⑴ x=-5, y=-4 ⑵ x=-1, y=-2
⑶ x=3, y=-2
⑴
x=2y+3 y`㉠
y`㉡
2x-y=-6
[
에서
⑴ ㉠ 을 ㉡에 대입하면 2(2y+3)-y=-6
⑴ 4y+6-y=-6, 3y=-12
∴ y=-4
⑴ y=-4를 ㉠에 대입하면 x=2_(-4)+3=-5
⑵
y=3x+1 y`㉠
y`㉡
3x-2y=1
[
에서
⑴ ㉠ 을 ㉡에 대입하면 3x-2(3x+1)=1
⑴ 3x-6x-2=1, -3x=3
∴ x=-1
⑴ x=-1을 ㉠에 대입하면 y=3_(-1)+1=-2
⑶
x+3y=-3 y`㉠
5x+y=13 y`㉡
[
에서
⑴ ㉠ 을 x=( y의 식)으로 나타내면 x=-3y-3
yy`㉢
⑴ ㉢ 을 ㉡에 대입하면 5(-3y-3)+y=13
⑴ -15y-15+y=13, -14y=28
∴ y=-2
⑴ y=-2를 ㉢에 대입하면 x=-3_(-2)-3=3
x=-4, y=3
2-1
x+2y=2 y`㉠
y`㉡
2x+3y=1
[
에서
미지수 x를 없애기 위해 ㉠_2 - ㉡ 을 하면
2x+4y=4
-
2x+3y=1
>³
2x+3y=3
⑴
2x+y=1
x-y=-4
[
y`㉠
y`㉡
에서
⑴ 미지수 y를 없애기 위해 ㉠ +㉡ 을 하면
⑴
2x+y=1
2x-y=-4
>³
+
3x-y=-3
∴ x=-1
⑴ x=-1을 ㉠에 대입하면 2_(-1)+y=1
⑴ ∴ y=3
⑵
x-3y=8
x-2y=6
[
y`㉠
y`㉡
에서
⑴ 미지수 x를 없애기 위해 ㉠-㉡ 을 하면
⑴
x-3y=8
x-2y=6
-
x--y=2
>³
∴ y=-2
⑴ y=-2를 ㉡에 대입하면 x-2_(-2)=6
⑴ ∴ x=2
⑶
-2x+3y=-4
x-4y=-3
[
y`㉠
y`㉡
에서
⑴ 미지수 x를 없애기 위해 ㉠+㉡_2 를 하면
⑴
-2x+3y=-4
+
-2x-8y=-6
>³
-2x-5y=-10
∴ y=2
⑴ y=2를 ㉡에 대입하면 x-4_2=-3
⑴ ∴ x=5
x=5, y=-1
3-1
+
=
;6&;
;2};
;3{;
[
0.2x-0.3y=1.3 y`㉡
y`㉠
에서
㉠의 양변에 분모의 최소공배수 6 을 곱하면
2x+3y =7
yy`㉢
㉡의 양변에 10을 곱하면
2x-3y =13
yy`㉣
㉢+㉣ 을 하면 4x=20
∴ x=5
x=5를 ㉢에 대입하면 10+3y=7
3y=-3
∴ y= -1
3-2
⑴ x=1, y=0 ⑵ x=6, y=-2
⑴
0.5x+0.3y=0.5 y`㉠
0.2x-0.1y=0.2 y`㉡
[
에서
y=3을 ㉠에 대입하면 x+2_3=2 ∴ x= -4
따라서 연립방정식의 해는 x= -4 , y=3
⑴ ㉠의 양변에 10을 곱하면 5x+3y=5
yy`㉢
⑴ ㉡의 양변에 10을 곱하면 2x-y=2
yy`㉣
9. 연립일차방정식의 풀이 45
정답과 해설
⑴ ㉢+㉣_3을 하면
15x+3y=5
16x-3y=6
>³
+
11x+1y=11
∴ x=1
⑴ x=1을 ㉣에 대입하면 2-y=2
∴ y=0
+
=1 y`㉠
;3{;
;2};
⑵ [
;4{;
+
=
;3};
;6%;
y`㉡
에서
⑴ ㉠의 양변에 6을 곱하면 2x+3y=6
yy`㉢
⑴ ㉡의 양변에 12를 곱하면 3x+4y=10
6x+9y=18
⑴ ㉢_3-㉣_2를 하면
yy`㉣
-
6x+8y=20
>³
6x+8y=-2
⑴ y=-2를 ㉢에 대입하면 2x-6=6
⑴ 2x=12
∴ x=6
4-1
⑴ 풀이 참조 ⑵ x=2, y=1
⑴
2x-y=x+y
2x-y=3
[
,
[
2x-y=x+y
x+y=3
,
2x-y=3
x+y=3
[
⑵
2x-y=3 y`㉠
x+y=3 y`㉡
[
에서
㉠+㉡ 을 하면 3x=6
∴ x= 2
x=2를 ㉡에 대입하면 2+y=3
∴ y= 1
4-2
⑴
[
⑴ 4x+y / x=2, y=2 ⑵ x-y+8 / x=4, y=-4
2x+3y=10 y`㉠
에서 ㉠_2-㉡ 을 하면
4x+y =10 y`㉡
⑴
4x+6y=20
-
4x+8y=10
>³
6x+5y=10
∴ y=2
⑴ y=2를 ㉡에 대입하면 4x+2=10
⑴ 4x=8
∴ x=2
⑵
3x-y=5x+y
[
5x+y= x-y+8
⑴
-2x-2y=0 y`㉠
4x+2y=8 y`㉡
[
⑴ ㉠+㉡을 하면 2x=8
∴ x=4
⑴ x=4를 ㉠에 대입하면 -8-2y=0
⑴ -2y=8
∴ y=-4
46 IV. 연립일차방정식
의 각 방정식을 정리하면
보고 또 보 고
유형 익히기 - 확인 문제
본문 | 128~134 쪽
01 ⑴ x=1, y=4 ⑵ x=-1, y=1
셀파 한 방정식을 x=( y의 식) 또는 y=( x의 식)으로 나타낸 다음, 다른 방정
식에 대입한다.
⑴
x=-y+5 y`㉠
x=2y-7 y`㉡
[
에서 ㉠ 을 ㉡에 대입하면
⑴ -y+5=2y-7, -3y=-12
∴ y=4
⑴ y=4를 ㉠에 대입하면 x=-4+5=1
⑵
x-2y=-3 y`㉠
2x-3y=-5 y`㉡
[
x=2y-3
yy`㉢
㉢ 을 ㉡에 대입하면 2(2y-3)-3y=-5
4y-6-3y=-5
∴ y=1
y=1을 ㉢에 대입하면 x=2_1-3=-1
에서 ㉠ 을 x=( y의 식)으로 나타내면
02 ⑴ x=1, y=-
;4&;
⑵ x=3, y=2
셀파 없애려는 미지수의 계수의 절댓값을 같게 한 다음, 더하거나 뺀다.
⑴
2x-4y=9 y`㉠
3x-4y=10 y`㉡
[
에서 y의 계수가 같으므로
㉠-㉡ 을 하면 -x=-1
∴ x=1
x=1을 ㉠에 대입하면 2_1-4y=9
-4y=7
∴ y=-
;4&;
y`㉠
x+2y=7
-3x+4y=-1 y`㉡
⑵
[
⑴ -3x+6y=21
-3x+4y=-1
>³
+
-3+10y=20
∴ y=2
에서 ㉠_3+㉡ 을 하면
⑴ y=2를 ㉠에 대입하면 x+2_2=7
∴ x=3
03 ⑴ x=-2, y=3 ⑵ x=2, y=-1
셀파 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀고, 동류항끼리 정리한다.
⑴
2(x-y)+5y=5
x-3(x-2y)=22
[
에서 괄호를 풀면
2x-2y+5y=5
x-3x+6y=22
[
, 즉
y`㉠
2x+3y=5
-2x+6y=22 y`㉡
[
㉠+㉡ 을 하면 9y=27
∴ y=3
y=3을 ㉠에 대입하면 2x+3_3=5
2x=-4
∴ x=-2
⑵
6(x-y)-3=7x+y+2
7x+y-11=x-2(y+1)
[
에서 괄호를 풀면
6x-6y-3=7x+y+2
[
7x+y-11=x-2y-2
, 즉
-x-7y=5 y`㉠
6x+3y=9 y`㉡
[
에서 ㉠_10, ㉡_10을 하면
⑴ ㉠_2-㉡ 을 하면
2x-6y=2
-
-20x-10y=20
>³
-17x-10y=-17
∴ x=1
⑵
3x+4y+7
2
=
2y+10
3
=
6x-2y+12
5
에서
㉠_6+㉡ 을 하면 -6x-42y=30
-6x+43y=9
>³
+
-6x-39y=39
∴ y=-1
y=-1을 ㉠에 대입하면 -x-7_(-1)=5
-x=-2
∴ x=2
다른 풀이
y`㉠
-x-7y=5
6x+3y=9 y`㉡
[
의 ㉠에서
x=-7y-5
yy`㉢
㉢ 을 ㉡에 대입하면 6(-7y-5)+3y=9
-42y-30+3y=9, -39y=39
∴ y=-1
y=-1을 ㉢에 대입하면 x=-7_(-1)-5=2
04 ⑴ x=1, y=0 ⑵ x=19, y=2
셀파 계수가 소수이므로 양변에 10의 거듭제곱을 곱하여 계수를 정수로 고친다.
⑴
y`㉠
0.3x-y=0.3
0.2x-0.1y=0.2 y`㉡
[
⑴
3x-10y=3 y`㉢
2x-y=2 y`㉣
[
⑴ ㉢-㉣_10을 하면
-33x-10y=3
에서 ㉠_10, ㉡_100을 하면
x=1을 ㉣에 대입하면 2-y=2
∴ y=0
⑵
y`㉠
0.1x-0.5y=0.9
0.02x+0.03y=0.44 y`㉡
[
⑴
x-5y=9 y`㉢
2x+3y=44 y`㉣
[
⑴ ㉢_2-㉣ 을 하면
2x-10y=18
-
2x+13y=44
>³
20-13y=-26
∴ y=2
y=2를 ㉢에 대입하면 x-5_2=9
∴ x=19
05 ⑴ x=
;3!;
, y=3 ⑵ x=-26, y=-38
셀파 분모의 최소공배수를 양변의 모든 항에 곱하여 계수를 정수로 고친다.
x-
;3!;
x-1
2
⑴ [
y=-
;3@;
y+1
3
+
=1 y`㉡
y`㉠
에서 ㉠_3, ㉡_6을 하면
3x-y=-2
3(x-1)+2(y+1)=6
[
, 즉
3x-y=-2 y`㉢
3x+2y=7 y`㉣
[
㉢-㉣ 을 하면 -3y=-9
∴ y=3
y=3을 ㉢에 대입하면 3x-3=-2
3x=1
∴ x=
;3!;
(x+y)=x-6 y`㉠
;2!;
⑵ [
에서 ㉠_2, ㉡_2를 하면
y=-(5-2x) y`㉡
;2#;
x+y=2(x-6)
3y=-2(5-2x)
[
, 즉
-x+y=-12 y`㉢
-4x+3y=-10 y`㉣
[
㉢_3-㉣ 을 하면 -3x+3y=-36
-4x+3y=-10
>³
-
-4xx+3=-26
x=-26을 ㉢에 대입하면 -(-26)+y=-12
∴ y=-38
06 ⑴ x=-2, y=-1 ⑵ x=
, y=-
;2!;
셀파 A=B=C 꼴에서 C가 상수이면
[
꼴로 고쳐서 푼다.
⑴ x-3y=2x-5y=1에서
x-3y=1 y`㉠
[
2x-5y=1 y`㉡
;3!;
A=C
B=C
2x-5y=1
>³
-
2xx-y=1
∴ y=-1
⑴ y=-1을 ㉠에 대입하면 x-3_(-1)=1
∴ x=-2
=
2y+10
3
3x+4y+7
2
2y+10
3
⑴ [
⑴ ㉠_6, ㉡_15를 하면
6x-2y+12
5
=
y`㉠
y`㉡
⑴
3(3x+4y+7)=2(2y+10)
5(2y+10)=3(6x-2y+12)
[
, 즉
9x+8y=-1 y`㉢
9x-8y=7 y`㉣
[
⑴ ㉢+㉣ 을 하면 18x=6
∴ x=
;3!;
⑴ x=
을 ㉢에 대입하면 9_
+8y=-1
;3!;
;3!;
⑴ 8y=-4
∴ y=-
;2!;
07 a=2, b=1
셀파 x=3, y=-4를 두 일차방정식에 각각 대입한다.
ax+by=2
x=3, y=-4를
에 각각 대입하면
3a-4b=2
[
3b+4a=11
⇨
[
㉠_3+㉡_4를 하면
[
bx-ay=11
3a-4b=2 y`㉠
4a+3b=11 y`㉡
19a-12b=6
16a+12b=44
>³
+
25a+12b=50
∴ a=2
a=2를 ㉡에 대입하면 4_2+3b=11, 3b=3
∴ b=1
9. 연립일차방정식의 풀이 47
정답과 해설
08 (cid:9000) 3
셀파 x : y=1 : 2에서 y=2x
x : y=1 : 2에서 y=2x
2x+y=8
y`㉠
[
x+3y=a+11 y`㉡
에서 y=2x이므로
y=2x를 ㉠ 에 대입하면 2x+2x=8
4x=8
∴ x=2
x=2를 y=2x에 대입하면 y=2_2=4
x=2, y=4를 ㉡ 에 대입하면 2+3_4=a+11
∴ a=3
09 (cid:9000) p=1, q=1
셀파 x, y 이외의 미지수가 없는 두 일차방정식 x-y=3, 2x+y=12로 연립
방정식을 세운다.
두 연립방정식
x-y=3
px+3y=11
[
2x+y=12
x-2y=q
[
,
의 해가 서로 같으므
로 그 해는 연립방정식
x-y=3 y`㉠
2x+y=12 y`㉡
[
의 해와 같다.
㉠+㉡ 을 하면 3x=15
∴ x=5
x=5를 ㉠ 에 대입하면 5-y=3
-y=-2
∴ y=2
따라서 두 연립방정식의 해가 x=5, y=2이므로
x=5, y=2를 px+3y=11에 대입하면
5p+3_2=11, 5p=5
∴ p=1
x=5, y=2를 x-2y=q에 대입하면
5-2_2=q
∴ q=1
10 (cid:9000) x=4, y=1
셀파 a와 b를 바꾸어 놓고 푼 경우에는 a 대신 b, b 대신 a로 바꾸어 새로운 연
립방정식을 만든다.
ax+by=10
bx+ay=-5
[
에서 a와 b를 바꾼 식은
bx+ay=10
ax+by=-5
[
이 연립방정식의 해가 x=1, y=4이므로 이것을 대입하면
b+4a=10
a+4b=-5
[
, 즉
[
㉠-㉡_4를 하면
4a+b=10 y`㉠
a+4b=-5 y`㉡
4a+16b=10
4a+16b=-20
-
--15b=30
>³
∴ b=-2
b=-2를 ㉡ 에 대입하면 a+4_(-2)=-5
∴ a=3
따라서 처음 연립방정식은
3x-2y=10 y`㉢
-2x+3y=-5 y`㉣
[
㉢_2+㉣_3을 하면 -6x-4y=20
-6x+9y=-15
+
-6x-5y=5
>³
∴ y=1
y=1을 ㉢에 대입하면 3x-2=10
3x=12
∴ x=4
48 IV. 연립일차방정식
11 (cid:9000) ⑤
셀파 한 문자의 계수를 같게 만들었을 때, 두 일차방정식이 일치하는 것을 찾
는다.
①
y`㉠
x+y=4
2x+y=3 y`㉡
[
에서
㉠-㉡ 을 하면 -x=1
∴ x=-1
x=-1을 ㉠ 에 대입하면 -1+y=4
∴ y=5
㉡, ㉢에서 x, y의 계수는 각각 같고 상수항이 다르므로 해가 없다.
㉡, ㉢ 에서 x, y의 계수는 각각 같고 상수항이 다르므로 해가 없다.
에서 ㉠_3을 하면
에서 ㉠_3을 하면
즉 한 쌍의 해를 가진다.
x+4y=2 y`㉠
3x+12y=5 y`㉡
[
②
3x+12y=6 yy`㉢
③
x-2y=3 y`㉠
3x-6y=6 y`㉡
[
3x-6y=9
yy`㉢
④
3x+2y=1 y`㉠
6x+2y=3 y`㉡
[
에서
㉠-㉡ 을 하면 -3x=-2
∴ x=
;3@;
x=
를 ㉠ 에 대입하면 3_
+2y=1
;3@;
;3@;
2y=-1
∴ y=-
;2!;
즉 한 쌍의 해를 가진다.
2x-3y=5 y`㉠
4x-6y=10 y`㉡
⑤
[
4x-6y=10 yy`㉢
에서 ㉠_2를 하면
㉡, ㉢이 일치하므로 해가 무수히 많다.
참고 ②
[
x+4y=2
3x+12y=5
에서 ;3!;
=
;1¢2;
+
;5@;이므로 해가 없다.
x-2y=3
3x-6y=6
2x-3y=5
4x-6y=10
③
[
⑤
[
에서 ;3!;
=
-2
-6
+
;6#;이므로 해가 없다.
에서 ;4@;
=
-3
-6
=
;1°0;이므로 해가 무수히 많다.
;2!;로 같다.
LECTURE 어떤 경우에 해가 한 쌍일까?
에서 좌변을 같게 할 수 없으면, 즉 한 방정식에 적당
한 수를 곱해 다른 방정식과 x, y의 계수를 각각 같게 할 수 없으면
ax+by
ax+by=c
a'x+b'y=c'
[
[
해는 한 쌍이다.
①, ④ y의 계수는 같으나 x의 계수가 다르므로 한 쌍의 해를 가진다.
12 a=12, b+5
셀파 x의 계수가 같아지도록 식을 변형하여 x의 계수, y의 계수, 상수항을 비교
한다.
3x+4y=b y`㉠
[
9x+ay=15 y`㉡
하므로 a=12, 15+3b
∴ a=12, b+5
에서 ㉠_3을 하면 9x+12y=3b
y`㉢
에서 괄호를 풀면
해가 없으려면 ㉡, ㉢의 x, y의 계수는 각각 같고, 상수항은 달라야
에서 ㉠_10, ㉡_100을 하면
2 ⑴ x=6, y=4 ⑵ x=
;2#;
, y=1 ⑶ x=6, y=1
⑷ x=2, y=3 ⑸ x=1, y=2 ⑹ x=-
, y=-2
;2&;
⑴
[
x+3(y-1)=15
2(x+2)+y=20
x+3y-3=15
[
2x+4+y=20
㉠_2-㉡ 을 하면
, 즉
[
x+3y=18
y`㉠
2x+y=16
2x+6y=36
y`㉡
2x+6y=16
-
-145y=20
>³
∴ y=4
y=4를 ㉠ 에 대입하면 x+3_4=18
∴ x=6
⑵
[
2(x+1)+y=4x-3(y-1)
4x-3y+3=2(x+y)+1
2x+2+y=4x-3y+3
[
4x-3y+3=2x+2y+1
[
2x-5y=-2
y`㉡
-2x+4y=1
y`㉠
, 즉
에서 괄호를 풀면
㉠+㉡ 을 하면 -y=-1
∴ y=1
y=1을 ㉠ 에 대입하면 -2x+4_1=1
-2x=-3
∴ x=
;2#;
⑶
[
0.5x-y=2
y`㉠
0.03x-0.12y=0.06 y`㉡
5x-10y=20 y`㉢
[
3x-12y=6 y`㉣
㉢_3-㉣_5를 하면
15x-30y=60
15x-60y=30
>³
-
15x-30y=30
∴ y=1
y=1을 ㉣ 에 대입하면 3x-12_1=6
3x=18
∴ x=6
;1!2&;
+
;3{;
⑷ [
2x-
=
;4};
y-1
3
=
:Á3¼:
y`㉡
y`㉠
에서 ㉠_12, ㉡_3을 하면
4x+3y=17
6x-(y-1)=10
[
, 즉
4x+3y=17 y`㉢
[
6x-y=9 y`㉣
㉢+㉣_3을 하면
14x+3y=17
18x-3y=27
>³
+
22x-14=44
∴ x=2
x=2를 ㉣에 대입하면 6_2-y=9
∴ y=3
에서 ㉠_10, ㉡_2를 하면
0.1x+0.2y=0.5 y`㉠
⑸ [
;2%;
x-y=
;2!;
y`㉡
x+2y=5 y`㉢
[
5x-2y=1 y`㉣
㉢+㉣ 을 하면 6x=6
∴ x=1
x=1을 ㉢ 에 대입하면 1+2y=5
2y=4
∴ y=2
9. 연립일차방정식의 풀이 49
풀고 또 풀 고
집중 연습
연립일차방정식의 풀이
본문 | 135 쪽
1 ⑴ x=3, y=4 ⑵ x=-1, y=-4
⑶ x=-7, y=-
` ⑷ x=0, y=4 ⑸ x=2, y=2
:ª3¼:
⑴
5x-y=11 y`㉠
-x+y=1 y`㉡
[
4x=12
∴ x=3
에서 ㉠+㉡ 을 하면
x=3을 ㉡에 대입하면 -3+y=1
∴ y=4
⑵
[
x=y+3
y`㉠
3x+2y=-11 y`㉡
에서 ㉠ 을 ㉡ 에 대입하면
3(y+3)+2y=-11, 3y+9+2y=-11
5y=-20
∴ y=-4
y=-4를 ㉠에 대입하면 x=-4+3=-1
⑶
3y=2x-6 y ㉠
-4x+3y=8 y ㉡
[
에서 ㉠ 을 ㉡에 대입하면
-4x+(2x-6)=8, -2x=14
∴ x=-7
x=-7을 ㉠에 대입하면 3y=2_(-7)-6
3y=-20
∴ y=-
:ª3¼:
⑷
y`㉠
x+2y=8
4x+3y=12 y`㉡
[
에서 ㉠_4-㉡ 을 하면
4x+8y=32
4x+3y=12
>³
-
4x+5y=20
∴ y=4
y=4를 ㉠에 대입하면 x+2_4=8
∴ x=0
⑸
[
4x-2y=4
y`㉠
-7x+3y=-8 y`㉡
에서 ㉠_3+㉡_2를 하면
-12x-6y=12
-14x+6y=-16
>³
+
1-2x+6y=-4
∴ x=2
x=2를 ㉠에 대입하면 4_2-2y=4
-2y=-4
∴ y=2
정답과 해설
⑹ [
3(2x-y)-4(3x-4y)=-5 y`㉠
x-4y
3
x+5
2
y`㉡
;4#;
-
=
고, ㉡_12를 하면
에서 ㉠ 의 괄호를 풀
6x-3y-12x+16y=-5
-6x+13y=-5 y`㉢
[
4(x-4y)-6(x+5)=9
-2x-16y=39 y`㉣
, 즉
[
㉢-㉣_3을 하면 -6x+13y=-5
-6x-48y=117
>³
-
-6x-61y=-122
∴ y=-2
y=-2를 ㉣에 대입하면 -2x-16_(-2)=39
-2x=7
∴ x=-
;2&;
실력 키우기
본문 | 136~137 쪽
01 ㈎ y=-3x+2 ㈏ 34 ㈐ 2 ㈑ -4
셀파 ㉡을 y=( x의 식)으로 나타낸 다음, ㉠에 대입하여 푼다.
2x-5y=24 y`㉠
y`㉡
3x+y=2
[
에서
㉡ 을 y=( x의 식)으로 나타내면 ㈎ y=-3x+2
㉢ 을 ㉠에 대입하면 2x-5(-3x+2)=24
…… ㉢
2x+15x-10=24, 17x= ㈏ 34
∴ x= ㈐ 2
x= ㈐ 2 를 ㉢에 대입하면
y=-3_2+2= ㈑ -4
3 ⑴ x=
;5#;
⑶ x=-1, y=-7
;5#;
, y=
⑵ x=1, y=-6
⑴ 2x+3y=4x+y=3에서
2x+3y=3
y`㉠
[
4x+y=3 y`㉡
㉠_2-㉡ 을 하면
4x+6y=6
4x+0y=3
>³
-
4x+5y=3
∴ y=
;5#;
y=
을 ㉡ 에 대입하면 4x+
=3
;5#;
;5#;
4x=
:Á5ª:
∴ x=
;5#;
⑵ x+y-2=4x+2y+1=3x-y-16에서
x+y-2=4x+2y+1
4x+2y+1=3x-y-16
[
, 즉
-3x-y=3 y`㉠
x+3y=-17 y`㉡
[
y=-6을 ㉠에 대입하면 -3x-(-6)=3
-3x=-3
∴ x=1
⑶
x-y
3
=
3x-y
2
=2에서 [
x-y
3
3x-y
2
=2 y`㉠
=2 y`㉡
㉠_3, ㉡_2를 하면
x-y=6 y`㉢
[
3x-y=4 y`㉣
㉢-㉣ 을 하면 -2x=2
∴ x=-1
x=-1을 ㉢ 에 대입하면 -1-y=6
∴ y=-7
50 IV. 연립일차방정식
02 ②
셀파 y를 없애기 위해 y의 계수의 절댓값을 같게 만든다.
4x+3y=11 y`㉠
[
3x+2y=8 y`㉡
즉
8x+6y=22 y`㉠_2
9x+6y=24 y`㉡_3
[
에서
의 y를 없애려면 ㉠_2, ㉡_3,
㉠_2-㉡_3을 하면 된다. 따라서 필요한 식은 ②이다.
03 ⑴ x=-6, y=-16 ⑵ 26
셀파 연립방정식
[
3x=y-2
x-y=10
의 해를 구한다.
연립방정식 풀기 [50 %]
3x=y-2
x-y=10
, 즉
⑴
[
[
3x-y=-2 y`㉠
x-y=10 y`㉡
에서
㉠-㉡ 을 하면 2x=-12
∴ x=-6
x=-6을 ㉡ 에 대입하면 -6-y=10
⑵ x=-6, y=-16을 일차방정식 x-2y=a에 대입하면
a=-6-2_(-16)=26
04 x=7, y=-
;6%;
셀파 계수를 정수로 고친 다음 푼다.
y`㉠
+3(y+2)=5 y`㉡
0.6x+1.2y=3.2
x-1
4
[
6x+12y=32
x-1+12(y+2)=20
[
㉢-㉣ 을 하면 5x=35
∴ x=7
x=7을 ㉣ 에 대입하면 7+12y=-3
12y=-10
∴ y=-
;6%;
에서 ㉠_10, ㉡_4를 하면
, 즉
6x+12y=32 y`㉢
x+12y=-3 y`㉣
[
㉠+㉡_3 을 하면 -3x-9y=3
-y=16
∴ y=-16
3x+9y=-51
+
-3x+8y=-48
>³
∴ y=-6
a의 값 구하기 [50 %]
05 x=0, y=2
셀파 비례식을 방정식으로 나타낸다.
(x+3)：(2y+1)=3：5 y`㉠
y`㉡
0.2x+0.3y=0.6
[
에서
비례식 ㉠을 방정식으로 나타내기 [30 %]
㉠을 방정식으로 나타내면 5(x+3)=3(2y+1)
5x+15=6y+3
∴ 5x-6y=-12
㉡의 계수를 정수로 고치기 [20 %]
㉡_10을 하면 2x+3y=6
연립방정식 풀기 [50 %]
즉
5x-6y=-12 y`㉢
y`㉣
2x+3y=6
[
㉢+㉣_2를 하면
5x-6y=-12
4x+6y=12
>³
+
9x4x+=0
∴ x=0
x=0을 ㉣에 대입하면 3y=6
∴ y=2
06 x=7, y=14
셀파
꼴로 고쳐서 푼다.
A=B
B=C
[
x+21
4
=
y`㉠
;2};
에서 [
=
;2};
x+y
3
y`㉡
x+21
4
=
=
;2};
x+y
3
㉠_4, ㉡_6을 하면
x+21=2y
3y=2(x+y)
[
, 즉
x-2y=-21 y`㉢
-2x+y=0 y`㉣
[
㉣에서 y=2x이므로 이것을 ㉢에 대입하면
x-2_2x=-21, -3x=-21
∴ x=7
x=7을 y=2x에 대입하면 y=14
07 7
셀파 x=5, y=-1을 두 일차방정식에 각각 대입한다.
x=5, y=-1을
에 각각 대입하면
ax+by=7
bx+ay=13
[
5a-b=7
5b-a=13
[
, 즉
y`㉠
5a-b=7
-a+5b=13 y`㉡
[
㉠_5+㉡ 을 하면
25a-5b=35
+
-a+5b=13
>³
24a-14=48
∴ a=2
a=2를 ㉠ 에 대입하면 5_2-b=7
-b=-3
∴ b=3
∴ 2a+b=2_2+3=7
08 -1
셀파 x의 값이 y의 값보다 15만큼 작으므로 x=y-15, 즉 y=x+15로 놓
을 수 있다.
x의 값이 y의 값보다 15만큼 작으므로
x=y-15에서 y=x+15 y`㉠
3x+y=7 y`㉡
2x-ay=9 y`㉢
연립방정식
[
에서 ㉠ 을 ㉡ 에 대입하면
3x+(x+15)=7, 4x=-8
∴ x=-2
x=-2를 ㉠ 에 대입하면 y=-2+15=13
따라서 주어진 연립방정식의 해가 x=-2, y=13이므로
x=-2, y=13을 ㉢ 에 대입하면 2_(-2)-13a=9
-13a=13
∴ a=-1
09 -20
셀파 x, y 이외의 미지수가 없는 두 일차방정식 4x+3y=5, 3x-5y=11로
연립방정식을 세운다.
두 연립방정식
4x+3y=5
ax+by=13
ax-2by=-2
3x-5y=11
,
[
[
의 해가 서로 같으
므로 그 해는 연립방정식
4x+3y=5 y`㉠
3x-5y=11 y`㉡
[
의 해와 같다.
㉠_5+㉡_3을 하면
20x+15y=25
+
29x-15y=33
>³
29x-15y=58
∴ x=2
x=2를 ㉠에 대입하면 4_2+3y=5
3y=-3
∴ y=-1
따라서 두 연립방정식의 해가 x=2, y=-1이므로
x=2, y=-1을 ax+by=13에 대입하면
2a-b=13
yy`㉢
x=2, y=-1을 ax-2by=-2에 대입하면
2a+2b=-2, 즉 a+b=-1
yy`㉣
㉢+㉣ 을 하면 3a=12
∴ a=4
a=4를 ㉣ 에 대입하면 4+b=-1
∴ b=-5
∴ ab=4_(-5)=-20
10 ⑴ a=-4, b=2 ⑵ x=1, y=2
셀파 x=-2, y=4는 bx+3y=8의 해이고
x=-3, y=-1은 3x+ay=-5의 해이다.
b의 값 구하기 [30 %]
⑴ x=-2, y=4는 bx+3y=8의 해이므로
⑴ -2b+3_4=8, -2b=-4
∴ b=2
a의 값 구하기 [30 %]
⑴ x=-3, y=-1은 3x+ay=-5의 해이므로
⑴ 3_(-3)-a=-5
∴ a=-4
9. 연립일차방정식의 풀이 51
3x-4y=-5 y`㉠
2x+3y=8 y`㉡
[
히 많다.
12 -9
셀파 연립방정식을 이루는 두 일차방정식이 일치하면 연립방정식의 해는 무수
처음 연립방정식의 해 구하기 [40 %]
⑵ a=-4, b=2이므로 처음 연립방정식은
⑵ 이다.
⑵ ㉠_2-㉡ _3을 하면
6x-8y=-10
6x+9y=24
>³
-
-17y=-34
∴ y=2
⑵ y=2를 ㉡에 대입하면 2x+3_2=8
⑵ 2x=2
∴ x=1
11 ④
셀파 두 일차방정식의 x, y의 계수는 각각 같고 상수항이 다르면 연립방정식의
⇨ ㉠, ㉡에서 y의 계수는 같으나 x의 계수가 다르므로 한 쌍의
에서 ㉠_2, ㉡_3을 하면
⇨ ㉢, ㉣에서 x의 계수는 같으나 y의 계수가 다르므로 한 쌍의
⇨ ㉡, ㉢에서 x의 계수는 같으나 y의 계수가 다르므로 한 쌍의
⇨ ㉡, ㉢에서 x, y의 계수는 각각 같고 상수항이 다르므로 해
에서 ㉠_3을 하면
에서 ㉠_2를 하면
에서 ㉠_3을 하면
해는 없다.
①
x+y=4
2x+y=3
[
y`㉠
y`㉡
해를 가진다.
3x+5y=25 y`㉠
2x-2y=9 y`㉡
②
[
6x+10y=50 y`㉢
6x-6y=27 y`㉣
[
해를 가진다.
y`㉠
x-2y=7
3x+y=14 y`㉡
③
[
3x-6y=21 yy`㉢
해를 가진다.
y`㉠
3x+y=5
6x+2y=7 y`㉡
④
[
6x+2y=10 yy`㉢
가 없다.
3x+4y=5 y`㉠
9x+12y=15 y`㉡
⑤
[
9x+12y=15 yy`㉢
52 IV. 연립일차방정식
⇨ ㉡과 ㉢이 일치하므로 해가 무수히 많다.
연립방정식
y`㉠
x-y=a
2x+3by=12 y`㉡
[
에서 ㉠_2를 하면
2x-2y=2a
yy`㉢
해가 무수히 많으려면 ㉡과 ㉢이 일치해야 하므로
3b=-2, 12=2a
∴ a=6, b=-
;3@;
∴
=aÖb=6Ö
;bA;
{-;3@;}=
6_
-
{
;2#;}
=-9
x-y=a
다른 풀이
[
2x+3by=12
의 해가 무수히 많으므로
=
;12;
=
;2!;
=
;2!;
=
;2!;
-1
3b
-1
3b
a
12
에서 3b=-2
∴ b=-
;3@;
에서 2a=12
∴ a=6
∴
=aÖb=6Ö
-
{
;3@;}
=6_
-
=-9
{
;2#;}
;bA;
13 1
셀파 x=1, y=-1은 일차방정식 x-ay=4의 해이다.
x=1, y=-1을 x-ay=4에 대입하면
1+a=4
∴ a=3
x=-2, y=b를 x-3y=4에 대입하면
-2-3b=4, -3b=6
∴ b=-2
x=-2, y=-2를 x+cy=2에 대입하면
-2-2c=2, -2c=4
3x-y=4 y`㉠
x-2y=2 y`㉡
[
∴ c=-2
에서 ㉠_2-㉡ 을 하면
6x-2y=8
6x-2y=2
>³
-
5x-14=6
∴ x=
, 즉 d=
;5^;
;5^;
x=
을 ㉡에 대입하면
-2y=2
;5^;
-2y=
;5$;
∴ y=-
, 즉 e=-
;5@;
∴ a+b+c+5d+10e
;5^;
;5@;
∴ =3+(-2)+(-2)+5_
+10_
-
;5^;
{
;5@;}
∴ =1
정답과 해설 10
연립일차방정식의 활용
따라 풀면서
개념 익히기
(cid:9000) 오리: 2마리, 사슴: 8마리
1-1
오리 수를 x, 사슴 수를 y로 놓으면
수
다리 수
오리
x
2x
사슴
y
4y
합계
10
36
∴
[
x+y= 10 y`㉠
2x+ 4y =36 y`㉡
㉠_2-㉡ 을 하면
2x+2y=20
2x+4y=36
>³
-
2x-2y=-16
∴ y=8
y=8을 ㉠에 대입하면 x+8=10
∴ x=2
따라서 오리는 2마리, 사슴은 8마리이다.
1-2 (cid:9000) ⑴ 4x, 2y, 180 ⑵
x+y=48
[
4x+2y=180
(cid:9000) ⑶ 자동차: 42대, 자전거: 6대
⑴
자동차
자전거
수
바퀴 수
x
4x
y
2y
합계
48
180
에서 ㉠_2-㉡ 을 하면
⑵
x+y=48
4x+2y=180
[
⑶
y`㉠
x+y=48
4x+2y=180 y`㉡
[
⑶ -2x+2y=96
-4x+2y=180
>³
-
-2x-8y=-84
∴ x=42
⑶ 따라서 자동차는 42대, 자전거는 6대이다.
2-1 (cid:9000) 23
처음 수의 십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y로 놓으면
십의 자리
일의 자리 두 자리 자연수
처음 수
바꾼 수
x
y
y
x
10x+y
10y+x
이때 처음 수의 각 자리의 숫자의 합이 5이므로 x+y=5
바꾼 수가 처음 수보다 9만큼 크므로 10y+x=(10x+y)+9
본문 | 141, 143 쪽
∴
[
x+y= 5
y`㉠
10y+x =(10x+y)+9 y`㉡
㉡의 괄호를 풀어 정리하면 x-y=-1
yy ㉢
㉠+㉢ 을 하면 2x=4
∴ x=2
x=2를 ㉠에 대입하면 2+y=5
∴ y=3
따라서 처음 수는 23이다.
2-2 (cid:9000) ⑴ 10x+y, x, 10y+x ⑵
x+y=6
[
10y+x=(10x+y)-18
(cid:9000) ⑶ 42
⑴
십의 자리
일의 자리 두 자리 자연수
처음 수
바꾼 수
x
y
y
x
10x+y
10y+x
⑵ 처음 수의 각 자리의 숫자의 합이 6이므로 x+y=6
⑵ 바꾼 수가 처음 수보다 18만큼 작으므로
⑵ 10y+x=(10x+y)-18
⑵ ∴
x+y=6
10y+x=(10x+y)-18
[
⑶
x+y=6
10y+x=(10x+y)-18
[
⇨
x+y=6 y`㉠
x-y=2 y`㉡
[
⑵ ㉠+㉡ 을 하면 2x=8
∴ x=4
⑵ x=4를 ㉠에 대입하면 4+y=6
∴ y=2
⑵ 따라서 처음 수는 42이다.
3-1 (cid:9000) 올라간 거리: 3`km, 내려온 거리: 8`km
올라간 거리를 x`km, 내려온 거리를 y`km라 할 때
거리
속력
시간
올라갈 때
내려올 때
x`km
y`km
시속 3`km
시속 4`km
시간
;3{;
;4}; 시간
전체 걸린 시간은 3시간이므로
+
=3
;4};
;3{;
y=x+ 5 y`㉠
∴ [
;3{;
+ ;4}; =3 y`㉡
㉡_12를 하면 4x+3y=36
yy ㉢
㉠ 을 ㉢에 대입하면 4x+3(x+5)=36
7x=21
∴ x=3
x=3을 ㉠에 대입하면 y=3+5=8
따라서 올라간 거리는 3`km, 내려온 거리는 8`km이다.
10. 연립일차방정식의 활용 53
⑶ x=42를 ㉠에 대입하면 42+y=48
∴ y=6
이때 내려온 거리가 올라간 거리보다 5`km 더 멀므로 y=x+5
⑵ 내려온 거리가 올라간 거리보다 3`km 더 멀므로 y=x+3
⑶ 전체 걸린 시간은 5시간이므로 x+
=5
;3};
⑴ ㉠_11-㉡ 을 하면
11x+11y=3300
⇨
y`㉠
x+y=300
11x+20y=5100 y`㉡
[
정답과 해설
y=x+3
3-2 ⑴ x시간,
시간 ⑵ [
⑶ 올라간 거리: 3`km, 내려온 거리: 6`km
x+
=5
;3};
;3};
⑴
거리
속력
시간
올라갈 때
내려올 때
x`km
y`km
시속 1`km
시속 3`km
x시간
시간
;3};
y=x+3
⑶ ∴ [
x+
=5
;3};
y=x+3
⑶
[
x+
=5
;3};
⇨
y=x+3 y`㉠
3x+y=15 y`㉡
[
⑶ ㉠ 을 ㉡에 대입하면 3x+(x+3)=15
⑶ 4x=12
∴ x=3
⑶ x=3을 ㉠에 대입하면 y=3+3=6
⑶ 따라서 올라간 거리는 3`km, 내려온 거리는 6`km이다.
4-1 5`%의 소금물의 양: 300`g, 8`%의 소금물의 양: 600`g
5`%의 소금물의 양을 x`g, 8`%의 소금물의 양을 y`g이라 할 때
5`%의 소금물 8`%의 소금물
7`%의 소금물
소금물의 양
x`g
y`g
900`g
소금의 양
x`g
;10%0;
y `g
;10*0;
;10&0;
_900=63`(g)
x+y=900
y`㉠
∴ [
;10%0;x+ ;10*0;y = 63 y`㉡
㉡_100을 하면 5x+8y=6300 yy`㉢
㉠_5-㉢ 을 하면
5x+5y=4500
-
5x+8y=6300
>³
5x-3y=-1800
∴ y=600
11`%의 소금물 20`%의 소금물 17`%의 소금물
소금물의 양
x`g
y`g
300`g
소금의 양
x`g
;1Á0Á0;
y`g
;1ª0¼0;
;1Á0¦0;
_300=51`(g)
⑴
⑵
⑶
x+y=300
[
;1Á0Á0;
x+
;1ª0¼0;
y=51
x+y=300
[
;1Á0Á0;
x+
;1ª0¼0;
y=51
-
11x+20y=5100
>³
11xx-9y=-1800
∴ y=200
⑶ y=200을 ㉠에 대입하면 x+200=300
∴ x=100
⑶
따라서 11`%의 소금물의 양은 100`g, 20`%의 소금물의 양은
200`g이다.
보고 또 보 고
유형 익히기 - 확인 문제
본문 | 144~151 쪽
01 47
셀파 십의 자리 숫자가 x, 일의 자리 숫자가 y인 두 자리 자연수 ⇨ 10x+y
처음 수의 십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y라 하면
x+y=11
10y+x=2(10x+y)-20
[
⇨
y`㉠
x+y=11
19x-8y=20 y`㉡
[
㉠_8+㉡ 을 하면
y8x+8y=88
+
19x-8y=20
>³
27x-8y=108
∴ x=4
x=4를 ㉠에 대입하면
4+y=11
∴ y=7
따라서 처음 수는 47이다.
y=600을 ㉠에 대입하면 x+600=900
∴ x=300
따라서 5`%의 소금물의 양은 300`g, 8`%의 소금물의 양은 600`g
02 18세
이다.
셀파 현재 x세인 사람의 8년 전의 나이는 (x-8)세이다.
현재 형의 나이를 x세, 동생의 나이를 y세라 하면
x+y=30
x-8=2(y-8)+2
[
⇨
x+y=30 y`㉠
x-2y=-6 y`㉡
[
㉠-㉡ 을 하면 3y=36
∴ y=12
y=12를 ㉠에 대입하면 x+12=30
∴ x=18
4-2 ⑴ 300`g,
;1ª0¼0;
y`g, 51`g ⑵ [
x+y=300
x+
;1Á0Á0;
;1ª0¼0;
y=51
54 IV. 연립일차방정식
⑶ 11`%의 소금물의 양: 100`g, 20`%의 소금물의 양: 200`g
따라서 현재 형의 나이는 18세이다.
03 400원짜리 기념품: 7개, 700원짜리 기념품: 5개
x=350을 ㉠에 대입하면 350+y=600
∴ y=250
셀파
(구입한 기념품의 총 개수)=12
(지불한 총 금액)=6300
[
으로 연립방정식을 세운다.
따라서 올해의 여학생 수는 250_
1+
=300(명)
{
;1ª0¼0;}
구입한 400원짜리 기념품의 개수를 x, 700원짜리 기념품의 개수를
다른 풀이 -(남학생 수의 감소량)+(여학생 수의 증가량)=22
y라 하면
x+y=12
400x+700y=6300
[
⇨
x+y=12 y`㉠
4x+7y=63 y`㉡
[
㉠_4-㉡ 을 하면
4x+4y=48
-
4x+7y=63
>³
5x-3y=-15
∴ y=5
y=5를 ㉠에 대입하면 x+5=12
∴ x=7
임을 이용해 연립방정식을 세우면
x+y=600
[
-
x+
;10*0;
;1ª0¼0;
y=22
⇨
y`㉠
x+y=600
-2x+5y=550 y`㉡
[
㉠_2+㉡ 을 하면 -2x+2y=1200
-2x+5y=1550
>³
+
-2x+7y=1750
∴ y=250
따라서 400원짜리 기념품은 7개, 700원짜리 기념품은 5개 샀다.
따라서 올해의 여학생 수는 250_
1+
=300(명)
{
;1ª0¼0;}
04 가로의 길이: 23 cm, 세로의 길이: 32 cm
셀파 처음 직사각형의 가로의 길이를 x`cm, 세로의 길이를 y`cm로 놓고, 연립
06 3`km
방정식을 세운다.
셀파
(거리에 대한 일차방정식)
(시간에 대한 일차방정식)
[
으로 연립방정식을 세운다.
처음 직사각형의 가로의 길이를 x`cm, 세로의 길이를 y`cm라 하
시속 3`km로 걸어서 간 거리를 x`km, 시속 4`km로 걸어서 간 거
면
2(x+y)=110
x+4=y-5
[
⇨
x+y=55 y`㉠
x-y=-9 y`㉡
[
㉠+㉡ 을 하면 2x=46
∴ x=23
x=23을 ㉠에 대입하면 23+y=55
∴ y=32
따라서 처음 직사각형의 가로의 길이는 23`cm, 세로의 길이는
32`cm이다.
05 300명
셀파
(작년의 전체 학생 수에 대한 일차방정식)
(올해의 전체 학생 수에 대한 일차방정식)
[
으로 연립방정식을 세운다.
작년의 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면 올해의 남학생
수와 여학생 수는 다음 표와 같다.
남학생 수
여학생 수
작년
x명
y명
증감 비율
올해
8`% 감소
1-
x
{
;10*0;}
명
20`% 증가
1+
y
{
;1ª0¼0;}
명
x+y=600
∴ [
x
1-
{
;10*0;}
+y
1+
{
;1ª0¼0;}
=622
∴ ⇨
y`㉠
x+y=600
23x+30y=15550 y`㉡
[
㉠_30-㉡ 을 하면
30x+30y=18000
리를 y`km라 하면
x+y=9
[
;3{;
+
;4};
=
;2%;
⇨
y`㉠
x+y=9
4x+3y=30 y`㉡
[
㉠_3-㉡ 을 하면
13x+3y=27
2시간 30분
14x+3y=30
>³
-
-x+3y=-3
∴ x=3
x=3을 ㉠에 대입하면 3+y=9
∴ y=6
따라서 시속 3`km로 걸어서 간 거리는 3`km이다.
07 3시간
셀파
24`km
희정
만났다.
민호
x`km
시속 3`km
x
시간3
y`km
시속 5`km
y
시간5
희정이가 움직인 거리를 x`km, 민호가 움직인 거리를 y`km라 하면
x+y=24
[
;3{;
=
;5};
⇨
x+y=24 y`㉠
5x=3y y`㉡
[
㉠에서 y=24-x
yy`㉢
㉢ 을 ㉡에 대입하면 5x=3(24-x)
5x=72-3x, 8x=72
∴ x=9
x=9를 ㉢에 대입하면 y=15
-
23x+30y=15550
>³
27x+30y=2450
∴ x=350
=3(시간)
;3(;
따라서 희정이와 민호가 만날 때까지 걸린 시간은
10. 연립일차방정식의 활용 55
08 25분
셀파 민지와 민서가 간 거리는 같다.
11 길이: 120`m, 속력: 초속 40`m
셀파 (기차가 이동한 거리) =(터널 또는 다리의 길이)+(기차의 길이)
민지가 출발한 지 x분 후에, 민서가 출발한 지 y분 후에 서로 만났
기차의 길이를 x`m, 기차의 속력을 초속 y`m라 하면 길이가
다고 하면
x=y+10 y`㉠
30x=50y y`㉡
[
㉠ 을 ㉡에 대입하면 30(y+10)=50y
30y+300=50y, 20y=300
∴ y=15
y=15를 ㉠에 대입하면 x=25
800`m인 터널을 완전히 통과하는 데 23초, 길이가 400`m인 다리
를 완전히 통과하는 데 13초가 걸렸으므로
800+x=23y y`㉠
400+x=13y y`㉡
[
㉠-㉡ 을 하면 400=10y
∴ y=40
y=40을 ㉡에 대입하면 400+x=520
∴ x=120
따라서 민지가 출발한 지 25분 후에 민지와 민서는 만나게 된다.
따라서 기차의 길이는 120`m, 속력은 초속 40`m이다.
12 흐르지 않는 물에서의 배의 속력: 시속 12`km
강물의 속력: 시속 6`km
셀파 • (강물이 흐르는 방향과 같은 방향으로 내려올 때의 배의 속력)
=(흐르지 않는 물에서의 배의 속력)+(강물의 속력)
• (강물이 흐르는 방향과 반대 방향으로 올라갈 때의 배의 속력)
=(흐르지 않는 물에서의 배의 속력)-(강물의 속력)
흐르지 않는 물에서의 배의 속력을 시속 x`km, 강물의 속력을 시
속 y`km라 하면
강을 거슬러 올라갈 때의 배의 속력은 시속 (x-y)`km,
강을 따라 내려올 때의 배의 속력은 시속 (x+y)`km이므로
3_(x-y)=18
1_(x+y)=18
[
⇨
x-y=6 y`㉠
x+y=18 y`㉡
[
㉠+㉡ 을 하면 2x=24
∴ x=12
09 6`%의 설탕물: 500`g, 15`%의 설탕물: 1000`g
셀파 6`%의 설탕물의 양을 x`g, 15`% 설탕물의 양을 y`g으로 놓고 연립방정
6`%의 설탕물을 x`g, 15`%의 설탕물을 y`g 섞었다고 하면
식을 세운다.
x+y=1500
[
;10^0;
_x+
;1Á0°0;
_y=
;1Á0ª0;
_1500
즉
x+y=1500 y`㉠
2x+5y=6000 y`㉡
[
㉠_2-㉡ 을 하면
2x+2y=3000
2x+5y=6000
-
--3y=-3000
>³
y=1000을 ㉠에 대입하면
x+1000=1500
∴ x=500
따라서 섞은 6`%의 설탕물의 양은 500`g, 15`%의 설탕물의 양은
1000`g이다.
∴ y=1000
x=12를 ㉡에 대입하면 12+y=18
∴ y=6
따라서 흐르지 않는 물에서의 배의 속력은 시속 12`km, 강물의 속
력은 시속 6`km이다.
13 16일
셀파 초은이와 도현이가 1일 동안 할 수 있는 일의 양을 각각 x, y로 놓고 연립
방정식을 세운다.
전체 일의 양을 1이라 하고 초은이가 하루에 할 수 있는 일의 양을
x, 도현이가 하루에 할 수 있는 일의 양을 y라 하면
10 소금물 A: 8`%, 소금물 B: 12`%
셀파 소금물 A의 농도를 x`%, 소금물 B의 농도를 y`%로 놓고, 소금의 양에
대한 연립방정식을 세운다.
12x+12y=1 y`㉠
8x+24y=1 y`㉡
[
소금물 A의 농도를 x`%, 소금물 B의 농도를 y`%라 하면
㉠_2-㉡ 을 하면
24x+24y=2
_100+
_100=
_200
;10{0;
[
;10{0;
;10}0;
;10}0;
;1Á0¼0;
;10(0;
_300+
_100=
_400
즉
x+y=20 y`㉠
3x+y=36 y`㉡
[
㉠-㉡ 을 하면 -2x=-16
∴ x=8
x=8을 ㉠에 대입하면 8+y=20
∴ y=12
28x+24y=1
-
>³
16x28x+=1
∴ x=
;1Á6;
x=
;1Á6;
을 ㉡에 대입하면 8_
+24y=1
;1Á6;
24y=
;2!;
∴ y=
;4Á8;
따라서 초은이는 하루에
만큼 일을 하므로 혼자 하면 16일이 걸
;1Á6;
따라서 소금물 A의 농도는 8`%, 소금물 B의 농도는 12`%이다.
린다.
56 IV. 연립일차방정식
정답과 해설 실력 키우기
본문 | 152~153 쪽
01 3252
셀파 네 자리의 비밀번호를 xy52로 놓고 식을 세운다.
맨 앞자리 숫자를 x, 두 번째 자리 숫자를 y라 하면
x+y+5+2=12
x=y+1
[
⇨
x+y=5 y`㉠
x=y+1 y`㉡
[
㉡ 을 ㉠에 대입하면 (y+1)+y=5
2y+1=5, 2y=4
∴ y=2
y=2를 ㉡에 대입하면 x=2+1=3
따라서 비밀번호는 3252이다.
02 어머니: 47세, 아들: 14세
셀파 현재 x세인 사람의 a년 후의 나이 ⇨ (x+a)세
현재 어머니의 나이를 x세, 아들의 나이를 y세라 하면
x+y=49
x+12=3(y+12)-7
[
x+y=49 y`㉠
x-3y=17 y`㉡
⇨
[
㉠-㉡ 을 하면 4y=32
∴ y=8
y=8을 ㉠에 대입하면 x+8=49
∴ x=41
즉 현재 어머니의 나이는 41세, 아들의 나이는 8세이다.
따라서 6년 후의 어머니의 나이는 41+6=47(세),
아들의 나이는 8+6=14(세)이다.
2x+y=100 y`㉠
x+2y=92 y`㉡
[
㉠_2-㉡ 을 하면
4x+2y=200
-
6x+2y=692
>³
3x+2y=108
∴ x=36
x=36을 ㉡에 대입하면 36+2y=92
2y=56
∴ y=28
따라서 말 한 마리 값은 36냥, 소 한 마리 값은 28냥이다.
㉠-㉡ 을 하면 -x=-5
∴ x=5
x=5를 ㉠에 대입하면 5+y=15
∴ y=10
따라서 처음 직사각형의 가로의 길이는 5`cm, 세로의 길이는
10`cm이므로 그 넓이는 5_10=50`(cmÛ`)
05 ⑴ y, x, +15 ⑵
3x-2y=40
-2x+3y=15
[
⑶ 30
셀파 1계단 올라가는 것을 +1, 1계단 내려오는 것을 -1로 생각한다.
표 완성하기 [20 %]
⑴ 비기는 경우는 없으므로 준서가 x번 이기면 성하는 x번 진다.
따라서 표를 완성하면 다음과 같다.
이긴 횟수
진 횟수
위치 변화
준서
성하
x
y
y
x
+40
+15
⑵ 이긴 사람은 3계단씩 올라가고, 진 사람은 2계단씩 내려가므로
연립방정식 세우기 [30 %]
⑵
3x-2y=40 y`㉠
-2x+3y=15 y`㉡
[
연립방정식 풀고 답 구하기 [50 %]
⑶ ㉠_2+㉡_3을 하면 -6x-4y=80
-6x+9y=45
>³
+
-6x+5y=125
∴ y=25
참고 가위바위보를 하여 이기면 a계단씩 올라가고 지면 b계단씩 내려갈
때, 어떤 사람이 x번 이기고 y번 졌다면
⇨ 이 사람의 위치 변화는 (ax-by)계단이다.
06 A도시: 424톤, B도시: 176톤
셀파 두 도시의 쓰레기 배출량의 합이 지난달과 같으므로
( A도시의 증가한 쓰레기 배출량)=( B도시의 감소한 쓰레기 배출량)
지난달 A도시의 쓰레기 배출량을 x톤, B도시의 쓰레기 배출량을
03 말 한 마리 값: 36냥, 소 한 마리 값: 28냥
셀파 말 한 마리 값을 x냥, 소 한 마리 값을 y냥이라 하고 식을 세운다.
말 한 마리 값을 x냥, 소 한 마리 값을 y냥이라 하면
y=25를 ㉠에 대입하면 3x-50=40
3x=90
∴ x=30
따라서 준서가 이긴 횟수는 30이다.
04 50`cmÛ`
셀파 (직사각형의 둘레의 길이)=2_{(가로의 길이)+(세로의 길이)}
처음 직사각형의 가로의 길이를 x`cm, 세로의 길이를 y`cm라 하
면 나중 직사각형의 가로의 길이는 2x`cm, 세로의 길이는
y톤이라 하면
x+y=600
[
;10^0;
x=
y
;1Á0ª0;
⇨
x+y=600 y`㉠
y`㉡
x=2y
[
(y+4)`cm이므로
2(x+y)=30
2{2x+(y+4)}=48
[
⇨
x+y=15 y`㉠
2x+y=20 y`㉡
[
㉡ 을 ㉠에 대입하면 2y+y=600
3y=600
∴ y=200
y=200을 ㉡에 대입하면 x=2_200=400
10. 연립일차방정식의 활용 57
07 32`m
셀파 자유형으로 수영한 거리를 x`m, 평영으로 수영한 거리를 y`m로 놓고 연
립방정식을 세운다.
자유형으로 수영한 거리를 x`m, 평영으로 수영한 거리를 y`m라 하
직인 거리는 (1290-x)`m이다.
따라서 A도시의 이번 달 쓰레기 배출량은
400
+;10^0;
_400=400+24=424(톤)
B도시의 이번 달 쓰레기 배출량은
200
-;1Á0ª0;
_200=200-24=176(톤)
면
x+y=50
[
;1{;
+
y
0.6
=62
⇨
y`㉠
x+y=50
3x+5y=186 y`㉡
[
㉠_3-㉡ 을 하면
3x+3y=150
1분 2초=62초
3x+5y=186
>³
-
3x-2y=-36
∴ y=18
y=18을 ㉠에 대입하면 x+18=50
∴ x=32
따라서 자유형으로 수영한 거리는 32`m이다.
x=
을 ㉡에 대입하면
+4y=1
;1Á2;
;3!;
4y=
;3@;
∴ y=
;6!;
따라서 호스 A를 사용하여 1분 동안 채울 수 있는 물의 양은
이
;1Á2;
므로 호수 A만 사용하여 물탱크를 가득 채우는 데 걸리는 시간은
12분이다.
10 길이: 90`m, 속력: 초속 15`m
셀파 기차의 길이를 x`m라 하면 터널에서 완전히 보이지 않는 동안 기차가 움
기차의 길이를 x`m라 하면
Ú (다리를 완전히 통과할 때, 기차가 움직인 거리)=510+x`(m)
Û (터널에서 완전히 보이지 않는 동안 기차가 움직인 거리)
=1290-x`(m)
이때 기차의 속력을 초속 y`m라 하면
510+x=40y y`㉠
1290-x=80y y`㉡
[
㉠+㉡ 을 하면 1800=120y
1분 20초=80초
∴ y=15
y=15를 ㉠에 대입하면 510+x=600
∴ x=90
따라서 기차의 길이는 90`m, 속력은 초속 15`m이다.
08 240`g
셀파 5`%의 소금물의 양을 x`g, 10`%의 소금물의 양을 y`g으로 놓고 연립방정
11 ⑴ 15x+15y=1500 ⑵ 50x-50y=1500
⑶ 형의 속력: 분속 65`m, 동생의 속력: 분속 35`m
식을 세운다.
셀파 서로 반대 방향이면 두 사람이 이동한 거리의 합을 생각하고,
5`%의 소금물의 양을 x`g, 10`%의 소금물의 양을 y`g이라 하면
서로 같은 방향이면 두 사람이 이동한 거리의 차를 생각한다.
x+y=300
[
;10%0;
x+
;1Á0¼0;
y=
;10^0;
_300
⇨
x+y=300
x+2y=360
[
y`㉠
y`㉡
형의 속력이 분속 x`m, 동생의 속력이 분속 y`m이므로
반대 방향으로 도는 경우를 일차방정식으로 나타내기 [30 %]
⑴ 형과 동생이 같은 지점에서 동시에 출발하여 호수의 둘레를 반
㉠-㉡ 을 하면 -y=-60
∴ y=60
y=60을 ㉠에 대입하면 x+60=300
∴ x=240
따라서 섞어야 할 5`%의 소금물의 양은 240`g이다.
09 12분
셀파 물탱크에 물을 가득 채웠을 때의 물의 양을 1로 놓고 연립방정식을 세운다.
호스 A를 사용하여 1분 동안 채울 수 있는 물의 양을 x, 호스 B를
사용하여 1분 동안 채울 수 있는 물의 양을 y라 하면
8x+2y=1 y`㉠
4x+4y=1 y`㉡
[
㉠_2-㉡ 을 하면
16x+4y=2
-
14x+4y=1
>³
12x+4y=1
∴ x=
;1Á2;
58 IV. 연립일차방정식
대 방향으로 돌다가 처음으로 만나는 경우
(형이 이동한 거리)+(동생이 이동한 거리)
=(호수의 둘레의 길이)
이때 처음으로 만날 때까지 15분이 걸리므로 형이 이동한 거리
는 15_x`(m), 동생이 이동한 거리는 15_y`(m)이다.
∴ 15x+15y=1500
1.5`km=1500`m
같은 방향으로 도는 경우를 일차방정식으로 나타내기 [40 %]
⑵ 형과 동생이 같은 지점에서 동시에 출발하여 호수의 둘레를 같
은 방향으로 돌다가 처음으로 만나는 경우, 형이 동생보다 빠르
므로
(형이 이동한 거리)-(동생이 이동한 거리)
=(호수의 둘레의 길이)
이때 처음으로 만날 때까지 50분이 걸리므로 형이 이동한 거리
는 50_x`(m), 동생이 이동한 거리는 50_y`(m)이다.
∴ 50x-50y=1500
정답과 해설 형의 속력과 동생의 속력 구하기 [30 %]
⑶
15x+15y=1500
50x-50y=1500
[
⇨
x+y=100 y`㉠
x-y=30 y`㉡
[
㉠+㉡ 을 하면 2x=130
∴ x=65
x=65를 ㉠에 대입하면
65+y=100
∴ y=35
따라서 형의 속력은 분속 65`m, 동생의 속력은 분속 35`m이다.
12 100`g
셀파 합금 A의 양을 x`g, 합금 B의 양을 y`g으로 놓고 연립방정식을 세운다.
합금 A는 x`g, 합금 B는 y`g 필요하다고 하면
;1Á0°0;
[
;1Á0°0;
x+
;1Á0¼0;
y=20
x+
;1£0¼0;
y=30
⇨
15x+10y=2000 y`㉠
15x+30y=3000 y`㉡
[
㉠-㉡ 을 하면 -20y=-1000
∴ y=50
y=50을 ㉠에 대입하면 15x+500=2000
15x=1500
∴ x=100
따라서 합금 A는 100`g이 필요하다.
V. 함수
11
일차함수와 그래프 ⑴
1. 함수의 뜻과 일차함수
따라 풀면서
개념 익히기
본문 | 157, 159 쪽
⑴ 함수이다. ⑵ 함수가 아니다.
1-1
⑴ x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나 씩 정해지므로 y는 x의
함수이다 .
⑵ x의 값 하나에 y의 값이 정해지지 않거나 두 개인 경우가 있으
므로 y는 x의 함수가 아니다.
1-2
⑴ 표：풀이 참조, 함수이다.
⑵ 표：풀이 참조, 함수가 아니다.
⑴ y는 x의 절댓값이므로 주어진 표를 완성하면 다음과 같다.
x
y
-2
2
-1
1
0
0
1
1
2
2
x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지므로 y는 x의 함
수이다.
개념 다시 보기
절댓값이란?
절댓값이란?
수직선 위에서 어떤 수에 대응하는 점과 원점 사이의 거리를 그 수
의 절댓값이라 한다.
➊ 양수, 음수의 절댓값은 그 수에서 부호 +, -를 뗀 수와 같다.
➋ 절댓값이 a(a>0)인 수는 -a, a의 2개이다.
➌ 0의 절댓값은 0이다.
⑵ y는 x의 배수이므로 주어진 표를 완성하면 다음과 같다.
x
1
2
3
4
5
y 1, 2, 3, y 2, 4, 6, y 3, 6, 9, y 4, 8, 12, y 5, 10, 15, y
x의 값 하나에 y의 값이 두 개 이상 정해지므로 y는 x의 함수가
아니다.
2-1
⑴
⑴ 풀이 참조 ⑵ 함수이다. ⑶ y=500x
x (자루)
y (원)
1
500
2
3
4
1000
1500
2000
y
y
⑵ x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지므로 y는 x의
함수이다 .
⑶ x와 y 사이의 관계식은 y= 500 x
11. 일차함수와 그래프 ⑴ 59
⑵ x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지므로 y는 x의 함
• 함수가 아닌 경우 ⇨ 어떤 x의 값에 대하여 y의 값이 정해지지 않거나
정답과 해설
2-2
⑴
(cid:9000) ⑴ 풀이 참조 ⑵ 함수이다. ⑶ y=
x`(cm)
y`(cm)
1
24
2
12
3
8
:ª[¢:
4
6
6
4
수이다.
⑶ xy=24에서 y=
:ª[¢:
(cid:9000) ⑴ 1 ⑵ -7
3-1
⑴ f(1)=2_ 1 -1= 1
⑵ f(-3)=2_( -3 )-1= -7
(cid:9000) ⑴ 4 ⑵ -3 ⑶ -4
3-2
⑴ f(-2)=-2_(-2)=4
6
-2
⑶ f(-2)=3_(-2)+2=-4
⑵ f(-2)=
=-3
(cid:9000) ⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ ◯
4-1
⑴ y=(x에 대한 일차식)이므로 일차함수이다.
⑵ y=
+2=
x+2이므로 일차함수이다.
;3{;
;3!;
⑶ y=-(x+3)+x=-x-3+x=-3, 즉 y= -3
⇨ y=ax+b에서 a=0이므로 y는 x에 대한
일차함수가 아니다 .
⑷ y=xÛ`-x(x+1)=xÛ`-xÛ`-x=-x, 즉 y= -x
⇨ y는 x에 대한 일차함수이다 .
(cid:9000) ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ ◯
4-2
⑴ y=
;[%;
⑵ y=(x에 대한 일차식)이므로 일차함수이다.
⑶ y=ax+b에서 a=0이므로 y는 x에 대한 일차함수가 아니다.
⑷ y=2xÛ`-x(2x+5)=2xÛ`-2xÛ`-5x=-5x, 즉 y=-5x
⇨ y는 x에 대한 일차함수이다.
보고 또 보 고
유형 익히기 - 확인 문제
본문 | 160~161 쪽
01 (cid:9000) ㉢
셀파 •함수인 경우 ⇨ x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해질 때
㉠ 자연수 x를 5로 나누었을 때의 나머지 y는 하나로 정해지므로
두 개 이상으로 정해질 때
y는 x의 함수이다.
㉡ (정삼각형의 둘레의 길이)=3_(한 변의 길이)에서
y=3x이므로 y는 x의 함수이다.
㉢ 가로, 세로의 길이가 각각 2`cm, 2`cm인 직사각형과 가로, 세
로의 길이가 각각 3`cm, 1`cm인 직사각형의 둘레의 길이는 모
두 8`cm이지만 넓이가 각각 4`cmÛ`, 3`cmÛ`이다.
즉 x=8일 때, y의 값이 하나로 정해지지 않는다.
02 (cid:9000) 1. -2 2. 5
셀파 1. f(x)=2x-3에 x 대신 2, -1을 각각 대입한다.
2. f(x)=-
:Á[ª:에 x 대신 -4, 6을 각각 대입한다.
1. f(2)=2_2-3=1, f(-1)=2_(-1)-3=-5
∴ 3 f(2)+f(-1)=3_1+(-5)=3-5=-2
2. f(-4)=-
=3, f(6)=-
=-2
:Á6ª:
12
-4
∴ f(-4)-f(6)=3-(-2)=3+2=5
03 (cid:9000) ①
셀파 y항은 좌변으로, 나머지 항은 우변으로 이항하여 정리한 식이
y=ax+b(a+0) 꼴이면 y는 x에 대한 일차함수이다.
① x-y=1-y에서 x=1 ⇨ 일차함수가 아니다.
② 2x+y-1=0에서 y=-2x+1 ⇨ 일차함수이다.
③ y=x(x+2)-xÛ`에서 y=2x ⇨ 일차함수이다.
④ y+1=
에서 y=
x-
⇨ 일차함수이다.
;3!;
;3@;
x+1
3
04 (cid:9000) 1
셀파 f(-9)=12를 이용하여 상수 a의 값을 먼저 구한다.
f(x)=-x+a에서 f(-9)=12이므로
f(-9)=-(-9)+a=12
∴ a=3
따라서 f(x)=-x+3에서
f(b)=-b+3=1이므로 b=2
에서 분모에 x가 있으므로 일차함수가 아니다.
⑤ yÛ`+2y=x+yÛ`+3에서 y=
x+
⇨ 일차함수이다.
;2!;
;2#;
(cid:9000) ⑴ y=80-x ⑵ 일차함수이다.
4-3
⑴ y=80-x
60 V. 함수
⑵ y=(x에 대한 일차식)이므로 일차함수이다.
∴ a-b=3-2=1
함수 y=-2x+1의 그래프는 오른쪽 그림
-2
O
2
x
따라서 x절편은 3 , y절편은 -6이다.
본문 | 163, 165 쪽
의 그래프를 y축의 방향으로 3만
2-2
⑴ y=
;3@;
(cid:9000) ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
x+3의 그래프는 y=
x
;3@;
큼 평행이동한 직선이다.
⑵ y=
x-2의 그래프는 y=
;3@;
x
;3@;
의 그래프를 y축의 방향으로 -2
만큼 평행이동한 직선이다.
⑴
⑵
4
x
y
4
2
2
+3
O
-2
-4
-4 -2
-2
(cid:9000) x절편 3, y절편 -6
3-1
y=2x-6에 y= 0 을 대입하면
0=2x-6
∴ x= 3
또 y=2x-6에 x= 0 을 대입하면
y=2_0-6=-6
3-2
(cid:9000) ⑴ x절편 3, y절편 -3 ⑵ x절편 1, y절편 5
⑶ x절편 6, y절편 -4
⑴ y=x-3에 y=0을 대입하면
0=x-3
∴ x=3
또 y=x-3에 x=0을 대입하면 y=-3
따라서 x절편은 3, `y절편은 -3이다.
⑵ y=-5x+5에 `y=0을 대입하면
0=-5x+5, 5x=5
∴ x=1
또 y=-5x+5에 x=0을 대입하면 `y=5
따라서 x절편은 1, `y절편은 5이다.
⑶ y=
x-4에 y=0을 대입하면
0=
x-4,
x=4
∴ x=6
;3@;
;3@;
;3@;
;3@;
따라서 x절편은 6, y절편은 -4이다.
2. 일차함수의 그래프
따라 풀면서
개념 익히기
(cid:9000) 풀이 참조
1-1
일차함수 y=-2x+1에 대하여 x의 값에 따른 y의 값을 구하면
다음 표와 같다.
x
y
… -2 -1
…
5
3
0
1
1
2
-1 -3
y
…
위의 표에서 얻어지는 순서쌍 (x, y)를 구하면
(-2, 5), (-1, 3) (0, 1), (1, -1), (2, -3)
이것을 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나
타내면 오른쪽 그림의 점과 같다.
따라서 x의 값의 범위가 수 전체일 때, 일차
과 같이 이 점들을 모두 지나는 직선 이다.
y
4
2
-2
-4
(cid:9000) 풀이 참조
1-2
일차함수 y=
;2!;
x+1에 대하여 주어진 표를 완성하면 다음과 같다.
x
y
… -4 -2
… -1
0
0
1
2
2
4
3
y
…
위의 표에서 얻어지는 순서쌍 (x, y)를 구하면
(-4, -1), (-2, 0), (0, 1), (2, 2), (4, 3)
이것을 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에
나타내면 오른쪽 그림의 점과 같다.
따라서 x의 값의 범위가 수 전체일 때,
일차함수 y=
x+1의 그래프는 오른
;2!;
쪽 그림과 같이 이 점들을 모두 지나는
직선이다.
(cid:9000) ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
2-1
⑴ y=x+1의 그래프는 y=x의 그
래프를 y축의 방향으로 1 만큼
평행이동한 직선이다.
y
4
2
-2
-4
y
4
2
O
-4 -2
O
2
4
x
또 y=
x-4에 x=0을 대입하면 y=-4
(cid:9000) 1.
2. ⑴ 1 ⑵
4-1
1. 오른쪽 그림과 같이 x의 값이 3만큼 증가할
;3@;
;2!;
때, y의 값은 2 만큼 증가하므로
⑴
⑵
(기울기)=
;3@;
y
O
-2
3
x
+2
+3
⑵ y=x-1의 그래프는 y=x의 그
-4 -2
2
4
x
래프를 y축의 방향으로 -1 만
큼 평행이동한 직선이다.
+1
-1
-2
-4
2. ⑴ (기울기)= 5-2
2-(-1)
=
= 1
;3#;
⑵ (기울기)=
5 - 2
3-( -3 )
=
=
;6#;
;2!;
11. 일차함수와 그래프 ⑴ 61
풀고 또 풀고
집중 연습
일차함수 y=ax+b의 그래프 그리기
본문 | 166~167 쪽
y=
x-2의 그래프이다.
정답과 해설
-2
4-2
오른쪽 그림과 같이 x의 값이 2만큼 증가할
때, y의 값은 4만큼 감소하므로
(기울기)=
=-2
-4
2
4-3
⑴ 1 ⑵ 3
⑴ (기울기)=
⑵ (기울기)=
3-(-1)
3-(-1)
-6-0
0-2
=
=
=1
;4$;
-6
-2
=3
y
+2
4
-4
O
2
x
⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 풀이 참조
2
⑴ y=-3x의 그래프는 원점과 점
(1, -3)을 지나므로 그 두 점을
직선으로 연결한다.
-4
y=-3x의 그래프를 y축의 방
-4 -2
O
2
4
x
향으로 -4만큼 평행이동한 것
y=-3x-4
이 y=-3x-4의 그래프이다.
y=-3x
y=
x+3
;2!;
y=
x
;2!;
+3
-4 -2
O
2
4
x
⑵ y=
x의 그래프는 원점과
점 (2, 1)을 지나므로 그 두 점을
직선으로 연결한다.
y=
x의 그래프를 y축의 방향
으로 3만큼 평행이동한 것이
y=
;2!;x+3의 그래프이다.
⑶ y=
x의 그래프는 원점과
점 (2, 3)을 지나므로 그 두 점을
-2
직선으로 연결한다.
y=
x의 그래프를 y축의 방향
-4 -2
2
4
x
-2
y=
x
;2#;
y=
x-2
;2#;
으로 -2만큼 평행이동한 것이
-4
;2!;
;2!;
;2#;
;2#;
;2#;
⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 풀이 참조
3
⑴ x=0일 때 y=6,
y=0일 때 x=-2
∴ x절편：-2, y절편：6
두 점 (-2, 0), (0, 6)을 좌표평
면 위에 나타내고, 그 두 점을 직
-4
2
4
x
-2
O
-2
선으로 연결한다.
⑵ x=0일 때 y=4,
y=0일 때 x=2
∴ x절편：2, y절편：4
로 연결한다.
⑶ x=0일 때 y=2,
y=0일 때 x=-3
두 점 (2, 0), (0, 4)를 좌표평면
위에 나타내고, 그 두 점을 직선으
-4 -2
O
2
4
x
y
4
2
y
4
2
-2
-4
-2
-4
y
4
2
O
y
6
4
2
y
6
4
2
y
4
2
-2
-2
-4
이므로 두 점 (0, 2), (1, -1)을
지난다.
-4 -2
O
2
4
x
⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 풀이 참조
1
⑴ x=0일 때 y=-2,
x=2일 때 y=0
이므로 두 점 (0, -2), (2, 0)을
지난다.
-4 -2
O
2
4
x
두 점 (0, -2), (2, 0)을 좌표평
면 위에 나타내고, 그 두 점을 직
선으로 연결한다.
⑵ x=0일 때 y=2,
x=1일 때 y=-1
두 점 (0, 2), (1, -1)을 좌표평
면 위에 나타내고, 그 두 점을 직
선으로 연결한다.
⑶ x=0일 때 y=-3,
x=4일 때 y=-2
이므로 두 점 (0, -3), (4, -2)
두 점 (0, -3), (4, -2)를 좌표
평면 위에 나타내고, 그 두 점을
직선으로 연결한다.
62 V. 함수
4
y
2
y
4
2
-2
-4
-2
-4
y
4
2
-2
-4
를 지난다.
-4
-2
O
2
4
x
∴ x절편：-3, y절편：2
두 점 (-3, 0), (0, 2)를 좌표평
면 위에 나타내고, 그 두 점을 직
선으로 연결한다.
-4
-2
O
2
4
x
서 x의 값이 1만큼 증가할 때, y
-4 -2
O
4
x
4
+1
y
2
-2
2
-2
-4
⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 풀이 참조
4
⑴ y절편이 3이므로 점 (0, 3)을 좌
표평면 위에 나타낸다.
기울기가 -2이므로 점 (0, 3)에
의 값이 -2만큼 증가하는 점의
좌표는 (1, 1)이다.
두 점 (0, 3), (1, 1)을 직선으로 연결한다.
⑵ y절편이 -2이므로 점 (0, -2)를
좌표평면 위에 나타낸다.
기울기가
이므로 점 (0, -2)에
-2
O
;4#;
서 x의 값이 4만큼 증가할 때, y의
값이 3만큼 증가하는 점의 좌표는
(4, 1)이다.
-2
-4
y
2
y
2
일차함수 y=-2x+8의 그래프를 y축의 방향으로 k만큼 평행이
02 -1
셀파 평행이동한 그래프의 식을 구한다.
동한 그래프의 식은 y=-2x+8+k
이때 이 그래프가 점 (2, 3)을 지나므로
3=-4+8+k, 3=4+k
∴ k=-1
다른 풀이 일차함수 y=-2x+8의 그래프를 y축의 방향으로 k
만큼 평행이동한 그래프를 다시 y축의 방향으로 -k만큼 평행이동
하면 원래의 일차함수 y=-2x+8의 그래프이다.
또 점 (2, 3)을 y축의 방향으로 -k만큼 평행이동한 점의 좌표는
2
+4
x
4
+3
(2, 3-k)이다.
즉 점 (2, 3-k)가 일차함수 y=-2x+8의 그래프 위에 있으므로
3-k=-4+8, 3-k=4
∴ k=-1
두 점 (0, -2), (4, 1)을 직선으로 연결한다.
03 -2
⑶ y절편이 1이므로 점 (0, 1)을 좌표
평면 위에 나타낸다.
기울기가 -
이므로 점 (0, 1)에
;3@;
서 x의 값이 3만큼 증가할 때, y의
값이 -2만큼 증가하는 점의 좌표
는 (3, -1)이다.
+3
2
-2
4
x
-2
O
-2
-4
두 점 (0, 1), (3, -1)을 직선으로 연결한다.
셀파 a, b는 각각 일차함수 y=
x+6의 그래프의 x절편, y절편이다.
일차함수 y=
x+6의 그래프에서 a, b는 각각 x절편, y절편이다.
;4#;
y=
x+6에 y=0을 대입하면 0=
x+6
;4#;
x=-6
∴ x=-6_
=-8, 즉 a=-8
;4#;
;4#;
또` y=
x+6에 x=0을 대입하면 y=6, 즉 b=6
;4#;
∴ a+b=-8+6=-2
;4#;
;3$;
04 2
을 지난다.
셀파 일차함수 y=-3x+k의 그래프는 점
{;3@;, 0
}
을 지난다.
일차함수 y=-3x+k의 그래프는 x절편이
이므로 점
;3@;
, 0
}
{;3@;
보고 또 보 고
유형 익히기 - 확인 문제
본문 | 168~172 쪽
따라서 y=-3x+k에 x=
, y=0을 대입하면
;3@;
01 1. 3 2. 12
셀파 일차함수 y=ax+b의 그래프가 점 (p, q)를 지난다.
⇨ y=ax+b에 x=p, y=q를 대입하면 등식이 성립한다.
1. 점 (k, 4)가 일차함수 y=3x-5의 그래프 위에 있으므로
∴ k=3
4=3k-5, 3k=9
0=-2+k
∴ k=2
∴ y=-3x+2
따라서 y절편은 2이다.
y=ax+b에서 a: 기울기, b：y절편
2. 일차함수 y=-
x+a의 그래프가 점 (-2, 3)을 지나므로
3=1+a
;2!;
∴ a=2
05 5
y=-
x+2의 그래프가 점 (b, -3)을 지나므로
;2!;
상수 a의 값을 구한다.
셀파 일차함수 y=ax+1의 그래프가 점
{
-
;2#;, 0
}
을 지나는 것을 이용하여
b+2,
-3=-
;2!;
∴ a+b=2+10=12
;2!;
b=5
∴ b=10
일차함수 y=ax+1의 그래프는 x절편이 -
-
이므로 점
{
, 0
}
;2#;
;2#;
을 지난다.
11. 일차함수와 그래프 ⑴ 63
따라서 y=ax+1에 x=-
, y=0을 대입하면
;2#;
0=-
a+1,
a=1
∴ a=
;2#;
;2#;
;3@;
이때 일차함수 y=
x+1의 그래프의 기울기가
이고,
;3@;
;3@;
③ y=2x-1의 그래프의 x절편이
, y절편
;2!;
이 -1이므로 그 그래프는 오른쪽 그림과 같
고, 제2사분면을 지나지 않는다.
y
O
-1
x의 값이 9만큼 증가할 때, y의 값은 -3에서 k까지 증가하므로
④ y=-x-4의 그래프의 x절편이 -4, y절
k-(-3)
9
=
, 즉
;3@;
k+3
9
=
;3@;
편이 -4이므로 그 그래프는 오른쪽 그림
-4
과 같고, 제2사분면을 지난다.
x
;2!;
y
xO
-4
y
4
xO
-
;3$;
⑤ y=3x+4의 그래프의 x절편이 -
;3$;
y절편이 4이므로 그 그래프는 오른쪽
,
그림과 같고, 제2사분면을 지난다.
09
;5&;
셀파 세 점 A(-4, -1), B(-1, a), C(1, 3)이 한 직선 위에 있으면 어떤 두
점을 선택해도 기울기가 같다.
두 점 B(-1, a), C(1, 3)을 지나는 직선의 기울기는
3-a
1-(-1)
두 점 A(-4, -1), C(1, 3)을 지나는 직선의 기울기는
3-a
2
yy ㉠
=
yy ㉡
3-(-1)
1-(-4)
=
;5$;
이때 ㉠, ㉡이 같으므로
3-a
2
=
;5$;
3-a=
;5*;
∴ a=
;5&;
( y의 값의 증가량)
( x의 값의 증가량)
k+3=6
∴ k=3
=
∴ 3a+k=3_
+3=5
;3@;
06
;2%;
셀파 두 점 (-2, 2), (2, 7)을 지나는 일차함수의 그래프의 기울기를 구한다.
두 점 (-2, 2), (2, 7)을 지나는 일차함수의 그래프의 기울기는
=
7-2
2-(-2)
이때 x의 값이 -1에서 1까지 증가할 때의 x의 값의 증가량은
;4%;
1-(-1)=2이므로
(y의 값의 증가량)
(x의 값의 증가량)
=
(y의 값의 증가량)
2
=
;4%;
∴ ( y의 값의 증가량)=
_2=
;4%;
;2%;
07 -3
b이다.
셀파 일차함수 y=ax+b의 그래프에서 기울기는 a, x절편은 -
;aB;, y절편은
일차함수 y=
x+2의 그래프의 y절편이 2이므로 a=2
;5#;
일차함수 y=6x-5의 그래프의 기울기가 6이므로 b=6
y=2x+6에 y=0을 대입하면
0=2x+6, 2x=-6
∴ x=-3
따라서 일차함수 y=2x+6의 그래프의 x절편은 -3이다.
08 ③
셀파 x절편, y절편을 이용하여 각 보기의 일차함수의 그래프를 그려 본다.
셀파 일차함수 y=
x-3의 그래프에서 x절편과 y절편을 구한다.
;4#;
① y=
x+3의 그래프의 x절편이 -6,
;2!;
y절편이 3이므로 그 그래프는 오른쪽
그림과 같고, 제2사분면을 지난다.
y
3
y=
x-3에 y=0을 대입하면
0=
x-3
∴ x=4
-6
xO
또 y=
x-3에 x=0을 대입하면
y
O
-3
y=
x-3
;4#;
4
x
10 6
;4#;
;4#;
;4#;
y=-3
② y=-
x+2의 그래프의 x절편이 6,
;3!;
y절편이 2이므로 그 그래프는 오른쪽
그림과 같고, 제2사분면을 지난다.
y
2
O
64 V. 함수
따라서 일차함수 y=
x-3의 그래프의 x절편은 4, y절편은 -3
;4#;
x
6
이므로 구하는 도형의 넓이는
_4_|-3|=6
;2!;
정답과 해설 실력 키우기
본문 | 173~175 쪽
다른 풀이 소인수분해를 이용하여 구할 수도 있다.
01 (cid:9000) ③, ④
셀파 두 변수 x, y에 대하여 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지면
y는 x의 함수이다.
① xy=-2에서 y=-
이므로 함수이다.
;[@;
② x+y=5에서 y=-x+5이므로 함수이다.
함수 f(x)=(자연수 x의 약수의 개수)에 대하여
x=10일 때, 10=2_5이므로 약수의 개수는
(1+1)_(1+1)=4
∴ f(10)=4
x=18일 때, 18=2_3Û`이므로 약수의 개수는
(1+1)_(2+1)=6
∴ f(18)=6
∴ f(10)+f(18)=4+6=10
③ y=(자연수 x의 배수)에서 x=2일 때, y=2, 4, 6, 8, y로 x의
값 하나에 y의 값이 두 개 이상 정해지므로 함수가 아니다.
④ y=(자연수 x와 서로소인 자연수)에서 x=2일 때, y=1, 3, 5,
7, y로 x의 값 하나에 y의 값이 두 개 이상 정해지므로 함수가
개념 다시 보기
자연수의 약수의 개수
자연수의 약수의 개수
자연수 N이 aµ``_bÇ`으로 소인수분해될 때
N의 약수의 개수는 (m+1)(n+1)
아니다.
⑤ y=(자연수 x를 2로 나눈 나머지)에서 x를 2로 나눈 나머지는
0, 1 중 하나로만 정해지므로 함수이다.
(단, a, b는 서로 다른 소수, m, n은 자연수)
02 (cid:9000) ⑴ 풀이 참조 ⑵ y=30x ⑶ 300
셀파 (총 무게)=(과자 한 개의 무게)_(과자의 개수)
(cid:8322) 표 완성하기 [30`%]
⑴
x (개)
y`(g)
1
30
2
60
3
90
4
120
y
y
(cid:8323) x와 y 사이의 관계식 구하기 [40`%]
⑵ (총 무게)=(과자 한 개의 무게)_(과자의 개수)이므로
y=30x
(cid:8324) f(10)의 값 구하기 [30`%]
⑶ y=30x에서 f(x)=30x이므로
f(10)=30_10=300
03 (cid:9000) 0
셀파 y=-x+a에 x=-2, y=6을 대입하여 상수 a의 값을 구한다.
05 (cid:9000) a=-1, b+1
셀파 y=axÛ`+bx+c에서 a=0, b+0이면 y는 x에 대한 일차함수이다.
y=x(x-1)+axÛ`+bx+3에서 y=xÛ`-x+axÛ`+bx+3
∴ y=(a+1)xÛ`+(b-1)x+3
이 함수가 일차함수가 되려면 xÛ`의 계수는 0이고 x의 계수는 0이
아니어야 하므로 a+1=0, b-1+0
∴ a=-1, b+1
06 (cid:9000) 은정
셀파 y를 x에 대한 식으로 나타낸다.
이때 y=( x에 대한 일차식)이면 y는 x에 대한 일차함수이다.
준수: 한 끼에 x`kcal씩 세 끼를 먹었으므로 오늘 섭취한 총 열량
y`kcal는 y=3x ⇨ 일차함수이다.
은정: (거리)=(속력)_(시간)이므로 100=x_y
∴ y=
100
x
승호: (직사각형의 둘레의 길이)
⇨ 일차함수가 아니다.
=2_{(가로의 길이)+(세로의 길이)}이므로
y=-x+a에 x=-2, y=6을 대입하면 6=2+a
∴ a=4
40=2(x+y), 20=x+y
∴ y=-x+4
∴ y=-x+20 ⇨ 일차함수이다.
따라서 y=-x+4에 x=4를 대입하면 y=-4+4=0
미영: 사탕 100개를 5개씩 x명에게 나누어 주었으므로
남은 사탕 y개는 y=100-5x ⇨ 일차함수이다.
04 (cid:9000) 10
셀파 10, 18의 약수를 각각 구한다.
함수 f(x)=(자연수 x의 약수의 개수)에 대하여
x=10일 때, 10의 약수는 1, 2, 5, 10의 4개
∴ f(10)=4
∴ f(18)=6
∴ f(10)+f(18)=4+6=10
x=18일 때, 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18의 6개
f(3)=4이므로 3a-b=4
07 (cid:9000) a=2, b=2
셀파 f(x)=ax-b에 x=-1, x=3을 각각 대입한다.
f(x)=ax-b에서
f(-1)=-4이므로 -a-b=-4
㉠-㉡ 을 하면 -4a=-8
∴ a=2
a=2를 ㉠에 대입하면 -2-b=-4
∴ b=2
yy ㉠
yy ㉡
11. 일차함수와 그래프 ⑴ 65
일차함수 y=3ax-2의 그래프를 y축의 방향으로 -2만큼 평행이
⑶ `f(x)=-4x+5이므로 `f(2)=-8+5=-3
셀파 일차함수 y=
x+a의 그래프가 점 (2, -2)를 지나는 것을 이용해서
셀파 일차함수 f(x)=ax+b의 그래프에서
는 기울기를 뜻한다.
f(p)-f(q)
p-q
13 (cid:9000) ⑴ -4 ⑵ 5 ⑶ -3
정답과 해설
08 (cid:9000) -2
;2!;
상수 a의 값을 구한다.
일차함수 y=
x+a의 그래프가 점 (2, -2)를 지나므로
-2=1+a
;2!;
∴ a=-3
따라서 주어진 일차함수의 식은 y=
x-3
;2!;
이 함수의 그래프가 점 (k, -4)를 지나므로
-4=
k-3,
=-1
∴ k=-2
;2!;
;2K;
09 (cid:9000) 0
셀파 그래프를 평행이동하여도 그래프의 모양은 변하지 않으므로 기울기는 변
하지 않는다.
동한 그래프의 식은 y=3ax-2-2, 즉 y=3ax-4
이 그래프가 y=12x+b의 그래프와 일치하므로
3a=12, -4=b
∴ a=4, b=-4
∴ a+b=0
10 (cid:9000) 3
셀파 주어진 일차함수의 그래프를 평행이동한 그래프의 식을 구한다.
y=ax-1의 그래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그래프
의 식은 y=ax-1+4, 즉 y=ax+3
y=ax+3의 그래프의 x절편이 -1이므로
0=-a+3
∴ a=3
11 (cid:9000) ⑤
셀파 일차함수 y=ax+b의 그래프에서 (기울기)=
( y의 값의 증가량)
( x의 값의 증가량)
x의 값이 -1에서 2까지 증가할 때, y의 값은 5만큼 감소하는
=a
일차함수의 그래프의 기울기는
-5
2-(-1)
=-
;3%;
따라서 그래프의 기울기가 -
인 것은 ⑤이다.
;3%;
12 (cid:9000) 10
셀파 주어진 그래프의 기울기를 먼저 구한다.
(cid:8322) y=ax+b의 그래프의 기울기 구하기 [50`%]
그래프가 두 점 (0, 3), (5, 0)을 지나므로
(기울기)=
0-3
5-0
=-
;5#;
(cid:8323) x의 값의 증가량 구하기 [50`%]
따라서
-6
(x의 값의 증가량)
=-
이므로
;5#;
(x의 값의 증가량)=-6_
-
=10
{
;3%;}
66 V. 함수
(cid:8322) 상수 a의 값 구하기 [40`%]
일차함수 f(x)=ax+b에서 f(p)=ap+b, f(q)=aq+b
ap+b-(aq+b)
p-q
f(p)-f(q)
p-q
ap-aq
p-q
⑴
=
=
=
a(p-q)
p-q
=a (∵ p+q)
이때
f(p)-f(q)
p-q
=-4이므로 a=-4
(cid:8323) 상수 b의 값 구하기 [30`%]
⑵ `f(x)=-4x+b에서 `f(1)=1이므로
-4+b=1
∴ b=5
(cid:8324) f(2)의 값 구하기 [30`%]
LECTURE
`f(p)-f(q)
p-q
의 의미
일차함수` f(x)=ax+b에 대하여 `f(p)는 x=p일 때의 함숫값이
일차함수
고,` f(q)는 x=q일 때의 함숫값이다. 즉 일차함수` f(x)=ax+b
의 그래프는 두 점 (p,` f(p)), (q,` f(q))를 지난다.
이때 일차함수` f(x)=ax+b의 그래프의 기울기를 위의 두 점의 좌
표를 이용하여 구하면
`f(p)-`f(q)
p-q
, 즉
`f(p)-`f(q)
p-q
는 기울기
a를 뜻한다. 따라서 풀이처럼
를 구하지 않아도 a의
`f(p)-`f(q)
p-q
값은 -4임을 알 수 있다.
14 (cid:9000) -2
셀파 일차함수 y=ax+b의 그래프를 y축의 방향으로 p만큼 평행이동한 그
래프의 식은 y=ax+b+p이다.
y=4x-12의 그래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그래프
의 식은 y=4x-12+4, 즉 y=4x-8
y=4x-8의 그래프에서 기울기는 4, y절편은 -8이므로
a=4, c=-8
y=4x-8에 y=0을 대입하면 0=4x-8
4x=8
∴ x=2, 즉 b=2
∴ a+b+c=4+2-8=-2
15 (cid:9000) ④
셀파 y=4x-1의 그래프를 그려 본다.
① y=4x-1에 x=0을 대입하면 y=-1
② y=4x-1에 y=0을 대입하면 0=4x-1
∴ x=
;4!;
③ y=4x-1에 x=1, y=3을 대입하면 3=4_1-1
이때 세 점 A, B, C가 일직선, 즉 한 직선 위에 있으므로 ㉠, ㉡이
따라서 점 (1, 3)을 지난다.
④ y=4x-1의 그래프는 오른쪽 그림과 같
으므로 제1, 3, 4사분면을 지난다.
⑤ y=4x+2
y축의 방향으로
-3만큼 평행이동
111111Ú
y =4x+2-3=4x-1
y
O
-1
같다. 즉
1-2a
2
=
a-5
2
1-2a=a-5, 3a=6
∴ a=2
x
;4!;
18 3
셀파 (삼각형 AOB의 넓이)=
_|x절편|_|y절편|
;2!;
y=ax+12의 그래프의 x절편은 -
,
:Áaª:
y절편은 12이다.
이때 삼각형 AOB의 넓이가 24이므로
y
12
B
y=ax+12
A
-
;;Áaª;;
xO
16 ④
셀파 x절편, y절편을 이용하여 각 보기의 일차함수의 그래프를 그려 본다.
① y=3x-1의 그래프의 x절편이
, y절편이
;3!;
-1이므로 그 그래프는 오른쪽 그림과 같고,
제1사분면을 지난다.
x
;3!;
y
O
-1
y
1
_
-
|
;2!;
:Áaª:|
_12=24
즉
_
;2!;
:Áaª:
_12=24
=24
∴ a=3
:¦aª:
다른 풀이 y=ax+12의 그래프에서 y절편이 12이므로 OBÓ=12
이때 삼각형 AOB의 넓이가 24이므로
O
x
24=
_OAÓ_12
∴ OAÓ=4
;2!;
따라서 점 A의 좌표는 A(-4, 0)이므로
0=-4a+12
∴ a=3
-;2!;
O
x
오답 피하기
점 A가 y축보다 왼쪽에 있으므로 OAÓ=4에서 점 A의 좌표를 A(4, 0)
으로 생각하지 않는다.
② y=-2x+1의 그래프의 x절편이
, y절편
이 1이므로 그 그래프는 오른쪽 그림과 같
고, 제1사분면을 지난다.
③ y=2x+1의 그래프의 x절편이 -
, y절편
이 1이므로 그 그래프는 오른쪽 그림과 같
고, 제1사분면을 지난다.
;2!;
;2!;
④ y=-x-3의 그래프의 x절편이 -3, y절편
이 -3이므로 그 그래프는 오른쪽 그림과 같
-3
고, 제1사분면을 지나지 않는다.
;2!;
y
1
y
xO
-3
y
2
⑤ y=4x+2의 그래프의 x절편이 -
, y절편
;2!;
이 2이므로 그 그래프는 오른쪽 그림과 같고,
제1사분면을 지난다.
따라서 일차함수의 그래프 중 제1사분면을 지나
지 않는 것은 ④이다.
-;2!;
O
x
19 12
셀파 두 그래프의 x절편을 각각 구한다.
일차함수 y=
x+3의 그래프의 x절편 구하기 [30`%]
;2#;
y=
;2#;x+3에 y=0을 대입하면 0=
;2#;x+3
x=-3
∴ x=-2, 즉 x절편：-2
일차함수 y=-
x+3의 그래프의 x절편 구하기 [30`%]
;2!;
y=-
x+3에 y=0을 대입하면 0=-
x+3
;2!;
;2!;
x=3
∴ x=6, 즉 x절편：6
;2#;
;2!;
17 2
셀파 세 점이 한 직선 위에 있으면 어떤 두 점을 선택해도 기울기가 같다.
세 점 A(-1, 2a), B(1, 1), C(3, a-4)에 대하여
두 점 A(-1, 2a), B(1, 1)을 지나는 직선의 기울기는
=
1-2a
2
1-2a
1-(-1)
두 점 B(1, 1), C(3, a-4)를 지나는 직선의 기울기는
a-4-1
3-1
a-5
2
yy ㉠
yy ㉡
=
도형의 넓이 구하기 [40`%]
따라서 오른쪽 그림에서
(구하는 도형의 넓이)
=
_|6-(-2)|_3
;2!;
;2!;
=
_8_3=12
y
x+3
y=-
;2!;
y=
x+3
;2#;
3
-2
O
x
6
11. 일차함수와 그래프 ⑴ 67
⑶ y축과 음의 부분에서 만나는 직선은 (y절편) < 0이므로 그래
⑴ 기울기가
이고 y절편이 -2이므로 구하는 일차함수의 식은
정답과 해설
12
일차함수와 그래프 ⑵
따라 풀면서
개념 익히기
(cid:9000) ⑴ ㉢, ㉣ ⑵ ㉠, ㉡ ⑶ ㉡, ㉢
1-1
보기의 각 일차함수의 그래프에서 기울기와 y절편을 각각 구하면
다음과 같다.
㉠ y=3x+2의 그래프에서 기울기: 3, y절편: 2
㉡ y=
x-3의 그래프에서 기울기:
, y절편: -3
;4!;
㉢ y=-5x-2의 그래프에서 기울기: -5, y절편: -2
㉣ y=-
x+3의 그래프에서 기울기: -
, y절편: 3
;2!;
⑴ x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하는 직선은 (기울기) < 0이
므로 그래프의 기울기가 음수인 것은 ㉢, ㉣이다.
⑵ 오른쪽 위로 향하는 직선은 (기울기) > 0이므로 그래프의 기
울기가 양수인 것은 ㉠, ㉡이다.
;4!;
;2!;
프의 y절편이 음수인 것은 ㉡, ㉢이다.
(cid:9000) 음수, 감소, 아래, 양수, 양
1-2
일차함수 y=-2x+3의 그래프에서 기울기: -2, y절편: 3
따라서 일차함수 y=-2x+3의 그래프는 기울기가 음수이므로 x
의 값이 증가할 때 y의 값은 감소하고, 오른쪽 아래로 향하는 직선이
다. 또 y절편이 양수이므로 y축과 양의 부분에서 만난다.
(cid:9000) ⑴ ㉡, ㉢ ⑵ ㉠, ㉣
2-1
㉣ y=-3(1+x)=-3x-3
⑴ 두 일차함수의 그래프가 서로 평행하려면 기울기 가 같고
y절편 은 달라야 하므로 서로 평행한 것은 ㉡, ㉢이다.
(cid:9000) ⑴ ㉠, ㉣ ⑵ ㉡, ㉢
2-2
㉡ y=2(x+1)+3=2x+5
⑴ 두 일차함수의 그래프가 서로 평행하려면 기울기가 같고 y절편
은 달라야 하므로 서로 평행한 것은 ㉠, ㉣이다.
⑵ 두 일차함수의 그래프가 일치하려면 기울기와 y절편이 각각 같
아야 하므로 일치하는 것은 ㉡, ㉢이다.
68 V. 함수
(cid:9000) ⑴ y=x-3 ⑵ y=3x-5
3-1
⑴ (cid:8414) 기울기가 1이므로 구하는 일차함수의 식을 y=x+b로 놓는
본문 | 179, 181 쪽
⑴ (cid:8415) (cid:8414)의 식에 x=1, y= -2 를 대입하면
다.
⑴ (cid:8415) -2 =1+b
∴ b= -3
∴ y=x-3
⑵ (cid:8414) (기울기)=
4-(-2)
3-1
=
=3
;2^;
⑴ (cid:8415) 구하는 일차함수의 식을 y= 3 x+b로 놓고
이 식에 x=1, y=-2를 대입하면
-2= 3 _1+b
∴ b= -5
∴ y=3x-5
3-2 (cid:9000) ⑴ y=
;3!;
x-2 ⑵ y=4x+
⑶ y=-2x-1
;2!;
;3!;
y=
x-2
;3!;
⑵ y축과 점
{
0,
;2!;}
에서 만나므로 y절편이
이다.
;2!;
x=0일 때 y의 값
따라서 기울기가 4이고 y절편이
인 직선을 그래프로 하는
;2!;
일차함수의 식은 y=4x+
;2!;
⑶ 기울기가 -2이므로 구하는 일차함수의 식을 y=-2x+b로
놓고, 이 식에 x=-1, y=1을 대입하면
1=-2_(-1)+b
∴ b=-1
∴ y=-2x-1
3-3 (cid:9000) ⑴ y=2x-3 ⑵ y=
;;5@;x+2
⑴ (기울기)=
5-(-1)
4-1
=
=2
;3^;
이 식에 x=1, y=-1을 대입하면
-1=2_1+b
∴ b=-3
∴ y=2x-3
⑵ (기울기)=
2-0
0-(-5)
=
;5@;
구하는 일차함수의 식을 y=
;5@;
이 식에 x=0, y=2를 대입하면
x+b로 놓고
2=
_0+b
∴ b=2
;5@;
∴ y=
x+2
;5@;
⑵ 두 일차함수의 그래프가 일치하려면 기울기와 y절편이 각각 같
구하는 일차함수의 식을 y=2x+b로 놓고
아야 하므로 일치하는 것은 ㉠, ㉣이다.
(cid:9000) 10분
4-1
(cid:8414) 가열한 지 x분 후의 물의 온도를 y`¾라 하자.
(cid:8415) 1분마다 물의 온도가 5`¾씩 올라가므로 x분이 지나면 5x `¾
02 (cid:9000) ⑤
올라간다. 이때 처음 온도가 20`¾이므로
y=20+ 5x
(cid:8416) (cid:8415)의 식에 y=70을 대입하면 70=20+5x
5x=50
∴ x= 10
따라서 물을 가열한 지 10 분 후에 물의 온도가 70`¾가 된다.
셀파 기울기의 절댓값이 작을수록 x축에 가깝다.
y=ax+b의 그래프는 |a|가 작을수록 x축에 가깝다.
이때
<
-
<|2|<|3|<|-5|이므로 그래프가 x축에
|;3!;|
|
가장 가까운 것은 ⑤이다.
;2#;|
03 (cid:9000) 제 2 사분면
셀파 y=ax+b에서 a, b의 부호를 각각 알아본다.
ab<0에서 a>0, b<0 또는 a<0, b>0
a-b>0에서 a>b이므로 a>0, b<0
y
O
따라서 y=ax+b의 그래프는 오른쪽 그림과
같으므로 제 2 사분면을 지나지 않는다.
x
LECTURE 일차함수의 그래프의 모양
일차함수 y=ax+b의 그래프는 a, b의 부호에 따라 4가지 형태로
일차함수
4-2 (cid:9000) ⑴ y=20-6x ⑵ 17`¾ ⑶ 2`km
⑴ 높이가 100`m 높아질 때마다 기온이 0.6`¾씩 내려가므로 높이
가 1`km(=1000`m) 높아질 때마다 기온은 6`¾씩 내려간다.
이때 지면의 기온이 20`¾이므로 y=20-6x
⑵ y=20-6x에 x=0.5를 대입하면 y=20-6_0.5=17
따라서 높이가 0.5`km인 곳의 기온은 17`¾이다.
⑶ y=20-6x에 y=8을 대입하면 8=20-6x
6x=12
∴ x=2
따라서 기온이 8`¾인 곳은 지면으로부터 2`km 높이에 있다.
참고 ‘`높이가 x`km인 곳의 기온을 y`¾라 할 때’에서 높이의 단위가 km
이므로 단위를 km로 통일시킨다.
보고 또 보 고
유형 익히기 - 확인 문제
본문 | 182~190 쪽
01 (cid:9000) ③
셀파 기울기, x절편, y절편을 각각 구한다.
;4#;
이다.
② y=
x-3에 y=0을 대입하면 0=
x-3
;4#;
;4#;
x=3
∴ x=4, 즉 x절편: 4
;4#;
③ 일차함수 y=
;4#;
오른쪽 그림과 같으므로 제2사분
x-3의 그래프는
분면을 지나지 않는다.
④ 기울기가 양수이므로 x의 값이 증가
y
O
-3
할 때 y의 값도 증가한다.
➋ a>0, b<0
y
O
x
➍ a<0, b<0
y
O x
그려진다.
➊ a>0, b>0
y
O x
➌ a<0, b>0
y
x
O
04 (cid:9000) a<0, b<0
로 기울기는 양수이다.
즉 -a>0
∴ a<0
즉 -b>0
∴ b<0
y축과 양의 부분에서 만나므로 y절편은 양수이다.
4
x
05 (cid:9000) 1. -7 2. 5
셀파 서로 평행한 두 일차함수의 그래프의 기울기는 같다.
1. 두 점 (-1, 4), (a, 0)을 지나는 직선의 기울기는
y=
x-3의 그래프에서 기울기는
(①)이고, y절편은 -3(②)
;4#;
셀파 y=-ax-b의 그래프에서 기울기는 -a이고, y절편은 -b이다.
일차함수 y=-ax-b의 그래프가 오른쪽 위로 향하는 직선이므
⑤ 일차함수 y=
x-3의 그래프는 일차함수 y=
x의 그래프
;4#;
;4#;
를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다.
0-4
a-(-1)
=-
4
a+1
12. 일차함수와 그래프⑵ 69
이 직선이 일차함수 y=
x+5의 그래프와 평행하므로
이 일차함수의 그래프가 점 (-3, 3)을 지나므로
;3@;
-
=
, 2(a+1)=-12
4
a+1
;3@;
2a=-14
∴ a=-7
2. 일차함수 y=ax-1의 그래프가 두 점 (0, -3), (5, 0)을 지나
는 그래프와 평행하므로
a=
0-(-3)
5-0
=
;5#;
y=
x-1의 그래프가 점 (p, 4)를 지나므로
;5#;
;5#;
4=
p-1,
p=5
∴ p=
;5#;
:ª3°:
∴ ap=
_
;5#;
:ª3°:
=5
06 m=-2, n=-2
셀파 두 일차함수의 그래프가 일치하면 기울기와 y절편이 각각 같다.
두 일차함수 y=2x+
, y=-nx-1의 그래프가 일치하므로
m
2
두 그래프는 기울기와 y절편이 각각 같다.
m
2
일차함수 y=2x+
의 그래프에서 기울기는 2, y절편은
이고
m
2
일차함수 y=-nx-1의 그래프에서 기울기는 -n, y절편은 -1
이다.
따라서 2=-n,
=-1이므로 m=-2, n=-2
m
2
07 y=-2x+3
⇨ y=ax+b
울기는 -2이다.
직선의 y절편은 3이다.
함수의 식은 y=-2x+3
일차함수 y=-2x+1의 그래프와 평행하므로 구하는 직선의 기
또 일차함수 y=-5x+3의 그래프와 y축 위에서 만나므로 구하는
따라서 기울기가 -2이고 y절편이 3인 직선을 그래프로 하는 일차
3=-
_(-3)+b, 3=1+b
∴ b=2
;3!;
따라서 구하는 일차함수의 식은 y=-
x+2
;3!;
09 y=
x-
;3@;
;3&;
셀파 주어진 그래프는 두 점 (-1, -3), (5, 1)을 지나는 직선이다.
두 점 (-1, -3), (5, 1)을 지나는 직선의 기울기는
1-(-3)
5-(-1)
=
=
;6$;
;3@;
구하는 일차함수의 식을 y=
;3@;
x=-1, y=-3을 대입하면
x+b로 놓고,
-3=
_(-1)+b
∴ b=-3+
=-
;3@;
;3&;
;3@;
따라서 구하는 일차함수의 식은 y=
x-
;3@;
;3&;
10 y=
x-6
;2#;
셀파 두 직선이 y축 위에서 만나므로 두 직선의 y절편은 같다.
일차함수 y=5x-6의 그래프와 y축 위에서 만나므로
구하는 직선의 y절편은 -6이다.
따라서 두 점 (4, 0), (0, -6)을 지나는 직선의 기울기는
-6-0
0-4
-6
-4
=
=
;2#;
따라서 기울기가
이고 y절편이 -6인 직선을 그래프로 하는
;2#;
11 1. 42`cm 2. 30분
셀파 1. 추의 무게가 5`g 늘어날 때마다 용수철의 길이는 3`cm씩 늘어난다.
2. 2분마다 10`L씩 물을 내보내므로 1분에 5`L씩 물을 내보낸다.
1. 추의 무게가 5`g 늘어날 때마다 용수철의 길이는 3`cm씩 늘어
나므로 추의 무게가 1`g 늘어날 때마다 용수철의 길이는
`cm
;5#;
원래 용수철의 길이는 18`cm이고, 무게가 x`g인 추를 매달았을
때 용수철의 길이는
x`cm 늘어나므로 용수철의 길이 y`cm는
;5#;
씩 늘어난다.
y=18+
x
;5#;
;5#;
;5#;
08 y=-
x+2
;3!;
셀파 (기울기)=
( y의 값의 증가량)
(x의 값의 증가량)
(기울기)=
-2
6
=-
;3!;
70 V. 함수
x의 값이 6만큼 증가할 때 y의 값은 2만큼 감소하므로
따라서 무게가 40`g인 추를 매달았을 때, 용수철의 길이는
y=18+
x에 x=40을 대입하면
이때 구하는 일차함수의 식을 y=-
x+b로 놓으면
;3!;
y=18+
_40=42`(cm)
셀파 기울기가 a이고 y절편이 b인 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식
일차함수의 식은 y=
x-6
;2#;
정답과 해설 2. 물탱크에서 2분마다 10`L씩 일정한 양의 물을 내보내므로 1분
실력 키우기
본문 | 191~193 쪽
동안 5`L의 물을 내보낸다.
따라서 x분 동안 5x`L의 물을 내보내므로 물탱크에 남아 있는
물의 양을 y`L라 하면 y=200-5x
물탱크에 50`L의 물이 남을 때 y=50이므로
y=200-5x에 y=50을 대입하면
50=200-5x, 5x=150
∴ x=30
01 ⑴ ②, ④ ⑵ ①, ③ ⑶ ①
셀파 y축에 가까운 직선일수록 기울기의 절댓값이 크다.
⑴
기울기가 음수인 직선은 오른쪽 아래로 향하는 직선이므로
따라서 물탱크에 50`L의 물이 남는 것은 물을 내보내기 시작한
하는 직선이므로 ①, ③
지 30분 후이다.
⑶ 기울기의 절댓값이 가장 큰 직선은 y축에 가장 가까운 직선이므
⑵ x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가하는 직선은 오른쪽 위로 향
②, ④
로 ①
참고 기울기의 절댓값이 클수록 y축에 가까워지고,
기울기의 절댓값이 작을수록 x축에 가까워진다.
12 ⑴ y=256-8x ⑵ 14초
셀파 1초에 1`cm씩 움직이므로 x초 동안 x`cm 움직인다.
⑴ x초 후의 PCÓ의 길이는 x`cm이므로
16`cm
D
BPÓ=(16-x)`cm
넓이 y`cmÛ`는
따라서 x초 후의 사다리꼴 ABPD의
y`cmÛ
y=
_{16+(16-x)}_16
;2!;
C
P
(16-x)`cm
x`cm
A
B
y =8_(32-x)
=256-8x
∴ y=256-8x
⑵ y=256-8x에 y=144를 대입하면
144=256-8x, 8x=112
∴ x=14
넓이가 144`cmÛ`가 된다.
13 ⑴ y=2000x+3000 ⑵ 43000원
셀파 그래프가 지나는 점을 이용하여 일차함수의 식을 구한다.
⑴ 그래프가 두 점 (0, 3000), (5, 13000)을 지나므로
(기울기)=
13000-3000
5-0
=
10000
5
=2000
구하는 일차함수의 식을 y=2000x+b라 하면
점 (0, 3000)을 지나므로
3000=2000_0+b
∴ b=3000
∴ y=2000x+3000
⑵ y=2000x+3000에 x=20을 대입하면
y=2000_20+3000=43000
따라서 무게가 20`kg인 물건의 배송 가격은 43000원이다.
02 ①, ③
셀파 기울기와 x절편, y절편을 각각 구한다.
① y=2x-6에 x=0을 대입하면 y=2_0-6=-6
따라서 y축과의 교점의 좌표는 (0, -6)이다.
② y=2x-6에 y=0을 대입하면 0=2x-6
∴ x=3, 즉 x절편: 3
③ 기울기가 2로 같고 y절편은 다르므로 일차함수 y=2x+1의 그
래프와 평행하다.
④ 일차함수 y=2x-6의 그래프는 오른
y
O
지난다.
⑤ 기울기가 2이므로 x의 값이 1만큼 증가
할 때 y의 값도 2만큼 증가한다.
-6
03 ①
셀파 y=ax+b(a+0)에서 |a|가 클수록 그래프가 y축에 가깝게 그려진다.
y=ax+b의 그래프는 오른쪽 아래로 향하는 직선이므로 a<0
따라서 양수인
, 2는 제외한다.
;4#;
주어진 그림에서 y=ax+b의 그래프가 y=-
;3@;x+b의 그래프
보다 y축에 더 가까우므로 |a|>
-
, 즉 |a|>
|
;3@;|
;3@;
이때 |-2|=2,
|
-
=
,
|
;2!;
-
;2!;|
;5@;|
=
;5@;
이고
<
<
;2!;
;5@;
;3@;
<2이므로 a의 값이 될 수 있는 것은 ① -2이다.
12. 일차함수와 그래프⑵ 71
따라서 점 P가 점 C를 출발한 지 14초 후에 사다리꼴 ABPD의
쪽 그림과 같으므로 제 1, 3, 4 사분면을
3
x
04 ③
셀파 주어진 그래프를 보고 a, b의 부호를 구한다.
주어진 그림에서 a<0, -b>0
따라서 a<0, b<0이므로 일차함수
y=bx+a의 그래프는 ③과 같다.
08 y=-
x+8
;3$;
y
O x
셀파 민호의 설명에서 그래프의 기울기를, 은서의 설명에서 그래프가 지나는
한 점의 좌표를 구할 수 있다.
일차함수 y=ax+b의 그래프는 x의 값이 2에서 5까지 증가할 때
y의 값이 4만큼 감소하므로 기울기 a는 a=
-4
5-2
=-
;3$;
y=-
x+3의 그래프의 x절편은 y=0일 때 x의 값이므로
05 ④
셀파 일차함수 y=ax+b의 그래프가 제1, 2, 4사분면을 지나도록 그려 본다.
y=ax+b의 그래프가 오른쪽 그림과 같아
0=-
x+3,
x=3
∴ x=6
;2!;
이때 일차함수 y=-
x+3의 그래프와 y=-
x+b의 그래프
;3$;
는 x절편이 같으므로 y=-
x+b의 그래프는 점 (6, 0)을 지난다.
;2!;
;3$;
야 하므로 a<0, b>0
③ -b<0이므로 a-b<0
④ bÛ`>0이므로 abÛ`<0
⑤ aÛ`>0이므로 aÛ`+b>0
y
O
y=ax+b
x
06 제 3 사분면
셀파 y=-abx+a-b에서 -ab의 부호와 a-b의 부호를 확인한다.
a, b의 부호 구하기 [50 %]
주어진 일차함수 y=-abx+a-b의 그래프의 기울기가 양수이
므로 -ab>0
∴ ab<0 yy`㉠
또 y절편은 음수이므로 a-b<0
∴ a0
y=ax+b의 그래프가 지나지 않는 사분면 구하기 [50 %]
따라서 일차함수 y=ax+b의 그래프는 오
른쪽 그림과 같으므로 제 3 사분면을 지나지
않는다.
y
O
x
07 0
셀파 두 일차함수 y=ax+b, y=a'x+b'의 그래프에 대하여
•두 그래프가 서로 평행하다. ⇨ a=a', b+b'
•두 그래프가 일치한다. ⇨ a=a', b=b'
a의 값 구하기 [40 %]
㈎에서 -3=a+1
∴ a=-4
b의 값 구하기 [40 %]
㈏에서 -a+3=3b-5, 즉 7=3b-5
3b=12
∴ b=4
a+b의 값 구하기 [20 %]
∴ a+b=-4+4=0
72 V. 함수
;2!;
;2!;
;3$;
;3$;
y=-
x+b에 x=6, y=0을 대입하면
0=-
_6+b, 0=-8+b
∴ b=8
따라서 구하는 일차함수의 식은 y=-
x+8
;3$;
09 ②, y=2x
셀파 (기울기)=
( y의 값의 증가량)
( x의 값의 증가량)
처음으로 잘못된 부분: ②
옳은 답을 구하면 다음과 같다.
(기울기)=
=2
;3^;
이때 구하는 일차함수의 식을 y=2x+b로 놓고
x=4, y=8을 대입하면
8=2_4+b
∴ b=0
따라서 구하는 일차함수의 식은 y=2x
10 3
셀파 두 점 (-1, -2), (2, -5)를 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의
식을 구한다.
두 점 (-1, -2), (2, -5)를 지나는 직선의 기울기는
-5-(-2)
2-(-1)
-3
3
=-1
=
일차함수의 식을 y=-x+b로 놓고 x=-1, y=-2를 대입하면
이때 y=-x-3의 그래프를 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그
-2=1+b
∴ b=-3
∴ y=-x-3
래프의 식은
y=-x-3+2
∴ y=-x-1
이 직선이 점 (p, -4)를 지나므로
-4=-p-1
∴ p=3
정답과 해설 11 y=
x+1
;6!;
나면 y절편이 같다.
셀파 두 일차함수의 그래프가 x축 위에서 만나면 x절편이 같고, y축 위에서 만
일차함수 y=
x+2의 그래프의 x절편은 y=0일 때 x의 값이므로
;3!;
y=340을 대입하면 340=331+
x
;5#;
x=9
∴ x=15
;5#;
따라서 소리의 속력이 초속 340`m일 때의 기온은 15`¾이다.
0=
x+2
∴ x=-6
;3!;
일차함수 y=-
x+1의 그래프의 y절편은 1이므로
;2#;
구하는 직선은 두 점 (-6, 0), (0, 1)을 지난다.
이때 구하는 직선의 기울기는
1-0
0-(-6)
=
이므로
;6!;
y=
x+1
;6!;
14 오후 3시 30분
셀파 환자가 1시간 동안 맞는 주사약의 양은 4_60=240`(mL)
1분에 4`mL씩 맞으므로 1시간, 즉 60분 동안 맞는 주사약의 양은
이때 1시간 동안 맞은 후 남아 있는 주사약의 양이 360`mL이므로
4_60=240`(mL)
처음 주사약의 양은
240+360=600`(mL)
12 ⑴ y=3x-1 ⑵ y=-x+5 ⑶ a=-1, b=-1
셀파 민서는 y절편을, 창민이는 기울기를 바르게 보았다.
1분에 4`mL씩 맞으면 x분 동안에 4x`mL의 주사약을 맞으므로
주사를 맞기 시작한 지 x분 후에 남아 있는 주사약의 양 y`mL는
y=600-4x
y=600-4x에 y=0을 대입하면
0=600-4x
∴ x=150
따라서 민서가 그린 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식은
시에 주사를 맞기 시작하면 오후 3시 30분에 다 맞는다.
즉 주사약을 모두 맞는 데 150분, 즉 2시간 30분이 걸리므로 오후 1
민서가 그린 그래프의 식 구하기 [40 %]
⑴ 두 점 (0, -1), (2, 5)를 지나는 직선의 기울기는
y절편은 -1이다.
5-(-1)
2-0
=
=3
;2^;
y=3x-1
창민이가 그린 그래프의 식 구하기 [40 %]
⑵ 두 점 (2, 3), (4, 1)을 지나는 직선의 기울기는
이때 구하는 일차함수의 식을 y=-x+k로 놓고
1-3
4-2
=
-2
2
=-1
x=2, y=3을 대입하면
3=-2+k
∴ k=5
y=-x+5
a, b의 값 구하기 [20 %]
따라서 창민이가 그린 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식은
⑶ 일차함수 y=ax+b의 그래프에서 민서는 a를 잘못 보고 b는
바르게 보았으므로 b=-1
창민이는 b를 잘못 보고 a는 바르게 보았으므로 a=-1
13 15`¾
셀파 기온이 5`¾ 올라갈 때마다 소리의 속력은 초속 3`m씩 증가
⇨ 기온이 1`¾ 올라갈 때마다 소리의 속력은 초속 ;5#;
`m씩 증가
기온이 5`¾ 올라갈 때마다 소리의 속력은 초속 3`m씩 증가하므로
15 5초
셀파 점 P가 1초에 2`cm씩 움직이므로 x초 동안 2x`cm 움직인다.
x초 후에 BPÓ=2x`cm이므로
PCÓ=(16-2x)`cm
이때 x초 후의 △ABP와 △DPC
의 넓이의 합을 y`cmÛ`라 하면
A
8`cm
B
_(16-2x)_10
D
10`cm
C
P
(16-2x)`cm
2x`cm
y=
_2x_8+
;2!;
;2!;
y =8x+5(16-2x)
y =-2x+80
∴ y=-2x+80
이 식에 y=70을 대입하면
∴ x=5
70=-2x+80, 2x=10
따라서 △ABP와 △DPC의 넓이의 합이 70`cmÛ`가 되는 것은 점
P가 점 B를 출발한 지 5초 후이다.
16 ⑴ y=-2x+20 ⑵ 6`cm ⑶ 9시간
셀파 그래프가 두 점 (10, 0), (0, 20)을 지남을 이용하여 그래프의 식을 구
기온이 1`¾ 올라갈 때마다 소리의 속력은 초속
`m씩 증가한다.
;5#;
한다.
기온이 x`¾일 때의 소리의 속력을 초속 y`m라 하면 기온이 0`¾
⑴ 그래프가 두 점 (10, 0), (0, 20)을 지나므로
일 때의 소리의 속력은 초속 331`m이므로
y=331+
x
;5#;
(기울기)=
20-0
0-10
∴ y=-2x+20
=-2
12. 일차함수와 그래프⑵ 73
⑵ y=-2x+20에 x=7을 대입하면
y=-2_7+20=6
13
일차함수와 일차방정식
따라서 불을 붙인 지 7시간 후에 남은 양초의 길이는 6`cm이다.
따라 풀면서
⑶ y=-2x+20에 y=2를 대입하면
2=-2x+20, 2x=18
∴ x=9
따라서 불을 붙인 지 9시간 후에 남은 양초의 길이가 2`cm가 된
다.
17 ⑴ ㉠ 10, ㉡ 16 ⑵ a=3, b=1 ⑶ 31개
셀파 정사각형이 1개 늘어날 때마다 성냥개비가 3개씩 더 필요하다.
⑴
정사각형이 1개 늘어날 때마다 성냥개비가 3개씩 더 필요하므
로 ㉠에 알맞은 수는 7+3=10,
㉡에 알맞은 수는 13+3=16
⑵ 정사각형의 개수
성냥개비의 개수
1
2
3
4
⋮
x
4
4+3
4+3+3
4+3+3+3
⋮
4+3+3+y+3
( | { | 9
(x-1)개
따라서 x와 y 사이의 관계를 식으로 나타내면
y=4+3(x-1), 즉 y=3x+1
∴ a=3, b=1
⑶ y=3x+1에 x=10을 대입하면
y=3_10+1=31
따라서 정사각형 10개를 만들려면 31개의 성냥개비가 필요하다.
74 V. 함수
개념 익히기
본문 | 197, 199 쪽
1-1
y=-
x+2, 그래프: 풀이 참조
;2!;
x+2y-4=0에서 2y=-x+4
∴ y= -
;2!; x+ 2
이때 x절편은 4 , y절편은 2이므로
그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같다.
y
2
O
4
x
⑵
x
⑵
1-2
⑴ y=-2x+3, 그래프: 풀이 참조
⑵ y=3x-5, 그래프: 풀이 참조
⑴ 2x+y-3=0에서 y=-2x+3
이때 x절편은
, y절편은 3이므로
;2#;
그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같
⑵ -3x+y+5=0에서 y=3x-5
이때 x절편은
, y절편은 -5이므
;3%;
로 그래프를 그리면 오른쪽 그림과
다.
같다.
y
⑴
4
2
-2
-4
-4 -2
O
2
4
x
⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
2-1
⑴ x-1=0에서 x=1이므로 그래프는 오
른쪽 그림과 같이 점 ( 1 , 0)을 지나
y
x=1
고 y축에 평행한 직선이다.
O
1
x
⑵ 2y+10=0에서 y= -5 이므로 그래
프는 오른쪽 그림과 같이 점 (0, -5)를
y
O
지나고 x 축에 평행한 직선이다.
-5
y=-5
⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
2-2
⑴ x=-2의 그래프는 점 (-2, 0)을
지나고 y축에 평행한 직선이다. 따
라서 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
y=4의 그래프는 점 (0, 4)를 지나
고 x축에 평행한 직선이다. 따라서
그래프는 오른쪽 그림과 같다.
y
4
2
-2
-4
⑴
⑵ 2y-8=0에서 y=4
-4 -2
O
2
4
x
정답과 해설 다.
⑵ 두 그래프의 교점의 좌표는
2x-3y=8
-4 -2
O
2
4
x
3x-4y+2=0에서 y=
x+
;4#;
;2!;
3-1
x+y=5
[
2x-y=-2
그래프: 풀이 참조, x=1, y=4
를 y=( x의 식)으로 나타내면
[
y= -x+5
y= 2x+2
각 일차방정식의 그래프를 그리면 오
y
2x-y=-2
른쪽 그림과 같으므로 교점의 좌표는
(1, 4) 이다.
따라서 주어진 연립방정식의 해는
x=1, y=4이다.
4
2
-2
-2
O
2
4
6
x
x+y=5
3-2
⑴ 풀이 참조 ⑵ (-2, -4) ⑶ x=-2, y=-4
⑴
3x-y=-2
2x-3y=8
[
을 y=( x의 식)으로 나타내면
y=3x+2
y=
x-
;3@;
;3*;
각 일차방정식의 그래프를 좌표평
3x-y=-2
면 위에 그리면 오른쪽 그림과 같
à
y
4
2
-2
-4
(-2, -4)이다.
⑶ 연립방정식의 해는
x=-2, y=-4
4-1
⑴
⑵ 평행하다. ⑶ 0
y=
y=
x+
;3!;
;3@;
x-
;3!;
;6!;
을 y=(x의 식)으로 나타내면
à
x-3y+2=0
-2x+6y+1=0
⑴
[
y=
x+
;3!;
;3@;
y=
à
x-
;3!;
;6!;
⑵ 두 직선 y=
x+
, y=
x-
;3!;
;3@;
;3!;
;6!; 은 기울기가 같고 y절편
은 다르므로 평행 하다.
⑶ 두 직선이 평행하므로 두 직선의 방정식으로 이루어진 연립방
정식의 해는 없다. 즉 해의 개수는 0 이다.
4-2
⑴ ㉡ ⑵ ㉠ ⑶ ㉢
㉠
x-3y+1=0
-2x+6y-2=0
[
⇨
y=
y=
x+
;3!;
;3!;
x+
;3!;
;3!;
à
기울기와 y절편이 각각 같으므로 일치한다.
따라서 연립방정식의 해는 무수히 많다.
㉡
2x-y+1=0
-x+y-1=0
[
⇨
[
y=2x+1
y=x+1
기울기가 다르므로 한 점에서 만난다.
따라서 연립방정식의 해는 한 쌍이다.
㉢
x+y-2=0
3x+3y-4=0
[
⇨
y=-x+2
y=-x+
;3$;
à
기울기가 같고 y절편은 다르므로 평행하다.
따라서 연립방정식의 해는 없다.
보고 또 보 고
유형 익히기 - 확인 문제
본문 | 200~208 쪽
01 -1
셀파 일차방정식을 y=( x의 식)으로 나타낸다.
이때 기울기는
, y절편은
이므로 a=
, c=
;4#;
;2!;
;4#;
;2!;
;3@;
x절편은 -
이므로 b=-
;3@;
∴ 4abc=4_
_
-
{
;4#;
;3@;}
_
=-1
;2!;
02 ④
셀파 일차방정식의 그래프 위의 점은 그 일차방정식의 해이다.
일차방정식 3x+2y-7=0에 보기의 각 점의 좌표를 대입하면
① 3_(-3)+2_8-7=0
② 3_3+2_(-1)-7=0
③ 3_
-
+2_
-7=0 ④ 3_1+2_5-7+0
{
;2!;}
:Á4¦:
⑤ 3_(-2)+2_
-7=0
:Á2£:
따라서 그래프 위의 점이 아닌 것은 ④이다.
03 -6
셀파 두 점 (0, -1), (2, -3)의 좌표를 ax-3y+b=0에 대입한다.
ax-3y+b=0에 x=0, y=-1을 대입하면
3+b=0
∴ b=-3
ax-3y+b=0에 x=2, y=-3을 대입하면
2a+9+b=0
∴ 2a+b=-9
yy ㉠
b=-3을 ㉠에 대입하면 2a-3=-9
2a=-6
∴ a=-3
∴ a+b=-6
다른 풀이 그래프가 두 점 (0, -1), (2, -3)을 지나므로 기울기는
-3-(-1)
2-0
y절편이 -1이다.
-2
2
=-1
=
13. 일차함수와 일차방정식 75
즉 기울기가 -1이고 y절편이 -1인 직선의 방정식은
07 4
y=-x-1, 즉 x+y+1=0
양변에 -3을 곱하면 -3x-3y-3=0
주어진 일차방정식의 y의 계수가 -3이다.
∴ a=-3, b=-3
∴ a+b=-6
04 a>0, b<0
셀파 주어진 그래프의 기울기의 부호와 y절편의 부호를 각각 확인한다.
-x+ay+b=0에서 y=
x-
;a!;
;aB;
그래프가 오른쪽 위로 향하는 직선이므로
>0
∴ a>0
;a!;
y축과 양의 부분에서 만나므로 -
>0, 즉
<0
;aB;
;aB;
이때 a>0이므로 b<0
05 ⑴ y=5 ⑵ y=-4 ⑶ x=1
셀파 조건에 맞게 그래프를 그려 본다.
⑴ 점 (-2, 5)를 지나고 x축에 평행한 직선
의 방정식은
y=5
⑵ 점 (3, -4)를 지나고 y축에 수직인 직선
x축에 평행
의 방정식은
y=-4
셀파 연립방정식
[
x-y=-1
2x+y=a
의 해는 (1, ▲)이다.
두 일차방정식 x-y=-1, 2x+y=a의 그래프의 교점의 좌표를
(1, b)로 놓고, x-y=-1에 대입하면
1-b=-1
∴ b=2
즉 두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표는 (1, 2)이다.
x=1, y=2를 2x+y=a에 대입하면 a=4
08 x=3
셀파 y축에 평행한 직선의 방정식은 x=p 꼴이다.
두 직선 x-y+2=0, 2x-y-1=0의 교점의 좌표는 연립방정식
x-y+2=0 y ㉠
2x-y-1=0 y ㉡
[
의 해와 같다.
㉠-㉡ 을 하면 -x+3=0
∴ x=3
y
y=5
5
x=3을 ㉠에 대입하면 3-y+2=0
∴ y=5
따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (3, 5)이고,
이 점을 지나고 y축에 평행한 직선의 방정식은 x=3
O-2
x
x
3
y
O
09 -3
셀파 두 직선 x=3, 2x-y+5=0의 교점을 직선 ax+y-2=0도 지난다.
두 직선 x=3, 2x-y+5=0의 교점의 좌표는 연립방정식
-4
y=-4
x=3
2x-y+5=0 y ㉡
y ㉠
[
의 해와 같다.
⑶ 두 점 (1, -1), (1, 2)를 지나는 직선은
y x=1
오른쪽 그림과 같이 y축에 평행하므로 구
하는 직선의 방정식은
x=1
2
O
-1
㉠ 을 ㉡에 대입하면 6-y+5=0
∴ y=11
즉 두 직선의 교점의 좌표는 (3, 11)이다.
이때 직선 ax+y-2=0이 점 (3, 11)을 지나므로
1
x
ax+y-2=0에 x=3, y=11을 대입하면 3a+11-2=0
3a+9=0
∴ a=-3
06 ⑴ a+0, b=1 ⑵ a=0, b+1
셀파 직선이 x축에 평행하면 직선 위의 모든 점은 y좌표가 같고,
10 -
;3$;
y축에 평행하면 직선 위의 모든 점은 x좌표가 같다.
셀파 연립방정식의 해가 없으려면 두 일차방정식의 그래프가 평행해야 한다.
⑴ 서로 다른 두 점 (a-2, b+1), (3a-2, 3-b)를 지나는 직선
이 x축에 평행하려면 두 점의 x좌표는 다르고 y좌표는 같아야
연립방정식
[
2x+3y-6=0
ax-2y-3=0
의 해가 없으므로 두 일차방정식
한다. 즉 a-2+3a-2, b+1=3-b
a-2+3a-2에서 -2a+0
∴ a+0
b+1=3-b에서 2b=2
∴ b=1
⑵ 서로 다른 두 점 (a-2, b+1), (3a-2, 3-b)를 지나는 직선
이 y축에 평행하려면 두 점의 x좌표는 같고 y좌표는 달라야 한
다. 즉 a-2=3a-2, b+1+3-b
a-2=3a-2에서 -2a=0
∴ a=0
b+1+3-b에서 2b+2
∴ b+1
76 V. 함수
2x+3y-6=0, ax-2y-3=0의 그래프가 평행해야 한다.
즉 기울기는 같고 y절편은 달라야 한다.
2x+3y-6=0에서 3y=-2x+6
∴ y=-
;3@;x+2
ax-2y-3=0에서 2y=ax-3
∴ y=
x-
두 그래프의 기울기가 서로 같아야 하므로 -
=
;2A;
;2#;
;3@;
;2A;
3a=-4
∴ a=-
;3$;
정답과 해설 다른 풀이 연립방정식의 해가 없으므로
=
;a@;
3
-2
에서 3a=-4
∴ a=-
;3$;
=
;a@;
3
-2
+
-6
-3
물통 B의 그래프
두 점 (0, 75), (25, 0)을 지나므로 직선의 기울기는
0-75
25-0
=-3
y=-3x+75
따라서 기울기가 -3이고 y절편이 75인 직선의 방정식은
11 1
셀파 좌표평면 위에 네 직선을 그려 본다.
⑵ 두 물통 A, B에 남아 있는 물의 양이 같아지는 시간은
-2x+56=-3x+75에서 x=19
네 방정식
x=-a
x=4
따라서 두 물통 A, B에 남아 있는 물의 양이 같아지는 것은 물
x+a=0, x=4, 2y+4=0, y=3
y=3
을 내보내기 시작한 지 19분 후이다.
y
3
즉 x=-a, x=4, y=-2, y=3
의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같
다. 이때 a>0이므로 x=-a의 그래프
는 제2사분면과 제3사분면을 지난다.
따라서 네 직선으로 둘러싸인 도형은
직사각형이고, 그 넓이가 25이므로
{4-(-a)}_{3-(-2)}=25, 즉 5(4+a)=25
4+a=5
∴ a=1
12 4
셀파 좌표평면 위에 두 직선을 그려 도형을 확인한다.
두 직선 y=
x+3, y=-
x-1
;2#;
;2!;
을 그리면 오른쪽 그림과 같다.
이때 두 직선의 교점은 연립방정식
;2#;
y=
y=-
à
x+3 y ㉠
x-1 y ㉡
;2!;
의 해이므로
x+3=-
x-1에서 2x=-4
∴ x=-2
;2#;
x=-2를 ㉠에 대입하면 y=0
;2!;
즉 두 직선의 교점의 좌표는 (-2, 0)이다.
따라서 구하는 넓이는
_{3-(-1)}_|-2|=
_4_2=4
;2!;
;2!;
13 ⑴ 물통 A: y=-2x+56, 물통 B: y=-3x+75
⑵ 19분
셀파 두 물통에 남아 있는 물의 양이 같아지는 때는 두 그래프가 만날 때이다.
⑴ 물통 A의 그래프
두 점 (0, 56), (28, 0)을 지나므로 직선의 기울기는
0-56
28-0
따라서 기울기가 -2이고 y절편이 56인 직선의 방정식은
=-2
y=-2x+56
-a
O
4
x
y=-2
-2
14 -
;2#;
ÉaÉ-
;3!;
셀파 직선 y=ax+1이 두 점 A, B를 지날 때의 a의 값을 각각 구해 본다.
직선 y=ax+1의 y절편은 1이므로 직
선 y=ax+1은 a의 값에 관계없이 점
Û
B
(0, 1)을 지난다.
Ú 직선 y=ax+1이 점 A(-3, 2)를
Ú
A
4
2
y
1
O
-2-3
x
지날 때
2=-3a+1, -3a=1
∴ a=-
;3!;
y
3
y=
x+3
;2#;
Û 직선 y=ax+1이 점 B(-2, 4)를 지날 때
4=-2a+1, -2a=3
∴ a=-
;2#;
Ú, Û에서 구하는 a의 값의 범위는 -
ÉaÉ-
;2#;
;3!;
O
-2
-1
x
y=-
x-1
;2!;
15 a=4, b=-8
셀파 직선 y=ax+b와 x축의 교점을 C라 하면 △PCB=
;2!;△PAB이다.
직선 y=x+1의 x절편은 -1, 직선 y=-2x+10의 x절편은 5이
다. 두 직선 y=x+1, y=-2x+10의 교점 P의 좌표를 구하면
x+1=-2x+10에서 x=3
x=3을 y=x+1에 대입하면 y=4
∴ P(3, 4)
직선 y=ax+b가 점 P(3, 4)를 지나므로 4=3a+b
y ㉠
오른쪽 그림에서
y
y=x+1
△PAB=
_{5-(-1)}_4
;2!;
;2!;
=
_6_4=12
이므로 직선 y=ax+b와 x축의
교점을 C라 하면
△PCB=
;2!;△PAB=6
P(3, 4)
y=-2x+10
A
-1
C
k
O
B
5
x
y=ax+b
따라서 점 C의 좌표를 (k, 0)이라 하면
_(5-k)_4=6
;2!;
13. 일차함수와 일차방정식 77
10-2k=6
∴ k=2
② 3x+y-2=0에 x=-2, y=8을 대입하면
y
즉 직선 y=ax+b가 점 C(2, 0)을 지나므로 0=2a+b y ㉡
3_(-2)+8-2=0
정답과 해설
㉠-㉡ 을 하면 a=4
a=4를 ㉡에 대입하면 0=8+b
∴ b=-8
다른 풀이 직선 y=ax+b가 삼
y
각형 PAB의 넓이를 이등분하고
x축과 만나는 점을 C라 하면 점
C는 ABÓ의 중점이므로
y=x+1
P(3, 4)
y=-2x+10
A
-1
C
O
B
5
x
y=ax+b
BCÓ=
ABÓ
;2!;
;2!;
;2!;
=
_{5-(-1)}
=
_6=3
이때 점 C의 x좌표는 OCÓ의 길이와 같으므로
OCÓ=OBÓ-BCÓ=5-3=2
∴ C(2, 0)
따라서 직선` y=ax+b는 두 점 P(3, 4), C(2, 0)을 지나므로
4=3a+b
y ㉠, 0=2a+b
y ㉡
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=4, b=-8
실력 키우기
본문 | 209~211 쪽
01 3
셀파 일차방정식 -x+3y-6=0을 y=( x의 식)으로 나타낸다.
-x+3y-6=0에서 y=
x+2
;3!;
따라서 a=1, b=2이므로 a+b=3
02 ②
셀파 x절편, y절편을 구하여 그래프를 그린다.
3x-2y+6=0에 y=0을 대입하면
3x+6=0
∴ x=-2, 즉 x절편: -2
3x-2y+6=0에 x=0을 대입하면
-2y+6=0
∴ y=3, 즉 y절편: 3
따라서 일차방정식 3x-2y+6=0의 그
래프는 오른쪽 그림과 같으므로 ②이다.
03 ①, ④
셀파 일차방정식 3x+y-2=0을 y=( x의 식)으로 나타낸다.
3x+y-2=0에서 y=-3x+2
① y절편은 2이다.
78 V. 함수
③ 일차방정식 3x+y-2=0의 그래프를 그리면
오른쪽 그림과 같으므로 제3사분면을 지나지
않는다.
④ x의 값이 증가할 때 y의 값은 감소한다.
2
O
x
;3@;
04 y=3
셀파 y축에 수직인 직선 ⇨ x축에 평행한 직선 ⇨ 방정식 y=q
y축에 수직인 직선이면 x축에 평행한 직선이므로 직선 위의 모든
점의 y좌표가 같다. 즉 a-1=2a-5에서 a=4
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=a-1=3
∴ y=3
05 ㉠, ㉢
셀파 y축에 평행한 직선의 방정식은 x=p 꼴이다.
오른쪽 그림과 같이 점 (1, 2)를 지나고 y
y x=1
축에 평행한 직선의 방정식은 x=1이다.
㉡ 점 (3, 2)를 지나지 않는다.
㉢ 직선 y=1과 수직으로 만난다.
㉣ 제1사분면과 제4사분면을 지난다.
2
1
O
(3, 2)
y=1
1
3
x
참고 y축에 평행한 직선은 x축에 수직이므로 x축에 평행한 직선과는 항상
수직으로 만난다.
06 1
셀파 주어진 직선의 방정식을 구한다.
주어진 직선의 방정식 구하기 [40 %]
그래프의 식은 x=2, 즉 x-2=0
a, b의 값 구하기 [40 %]
주어진 그래프는 점 (2, 0)을 지나고 y축에 평행한 직선이므로 그
x-2=0에서 -
x+1=0이고, 이 식이 ax+by+1=0과 같으
;2!;
므로 a=-
, b=0
;2!;
y
3
b-2a의 값 구하기 [20 %]
∴ b-2a=0-2_
-
=1
{
;2!;}
-2
xO
07 제 1 사분면, 제 4 사분면
셀파 일차방정식 ax-by+c=0을 y=( x의 식)으로 나타낸다.
일차방정식 ax-by+c=0에서 y=
x+
;bA;
;bC;
이 그래프의 기울기가 양수이므로
>0
;bA;
또 원점을 지나므로
=0
∴ c=0
;bC;
이때 ax+cy-b=0에서 c=0이므로 ax-b=0
∴ x=
11
;3@;
>0이므로
>0
;aB;
;bA;
따라서 x=
의 그래프는 오른쪽 그림과 같
;aB;
고 제1사분면과 제4분면을 지난다.
y
O
;aB;
x=
;aB;
x
;aB;
08 5
셀파 주어진 연립방정식의 해가 x=3, y=1임을 이용한다.
x+y-a=0에 x=3, y=1을 대입하면
3+1-a=0
∴ a=4
2x-3y-b=0에 x=3, y=1을 대입하면
6-3-b=0
∴ b=3
이때 두 일차방정식 x+y-4=0, 2x-3y-3=0의 그래프가 y축
과 만나는 점의 좌표는 각각 A(0, 4), B(0, -1)이므로
ABÓ=|4-(-1)|=5
09 a=-1, b=3
셀파 미지수를 포함하지 않은 두 직선의 교점의 좌표를 구한다.
네 직선의 교점의 좌표 구하기 [50 %]
두 직선 3x-5y=-8, x+3y=2의 교점을 직선 ax+2y=b와
직선 2ax+y=b도 지나면 네 직선이 한 점에서 만난다.
연립방정식
[
3x-5y=-8 y ㉠
x+3y=2 y ㉡
에서
㉠-㉡_3을 하면
3x-5y=-8
-
3x+9y=6
>³
-14y=-14
∴ y=1
y=1을 ㉡에 대입하면 x+3=2
∴ x=-1
따라서 네 직선의 교점의 좌표는 (-1, 1)이다.
a, b의 값 각각 구하기 [50 %]
이때 두 직선 ax+2y=b, 2ax+y=b는 점 (-1, 1)을 지나므로
-a+2=b
y ㉢, -2a+1=b
y ㉣
㉢-㉣ 을 하면 a+1=0
∴ a=-1
a=-1을 ㉢에 대입하면 1+2=b
∴ b=3
10
;3!;
셀파 연립방정식을 이루는 두 일차방정식의 그래프는 평행하다.
(a-1)x+y=2에서 y=-(a-1)x+2
2x-3y=3에서 y=
x-1
;3@;
해가 없으려면 두 그래프가 평행해야 하므로
-(a-1)=
, a-1=-
∴ a=
;3@;
;3@;
;3!;
셀파 연립방정식의 해가 2개 이상이면 그 연립방정식의 해는 무수히 많다.
x
(2-k)x+2y=0에서 y=
(3k-4)x-3y=0에서 y=
k-2
2
3k-4
3
해가 무수히 많으려면 두 일차방정식의 그래프가 일치해야 하므로
k-2
2
, 즉 3(k-2)=2(3k-4)
3k-4
3
=
x
3k-6=6k-8, 3k=2
∴ k=
;3@;
12
;2&;
셀파 네 방정식의 그래프를 좌표평면 위에 나타낸다.
y-2=0에서 y=2, 2(y+1)+4=0에서 y=-3
2x=3에서 x=
, x-a=0에서 x=a
a>
;2#;
{
;2#;}
네 방정식의 그래프를 좌표평면 위에
나타내면 오른쪽 그림과 같다.
y=2
네 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이가
10이므로
{
a-
;2#;}
_{2-(-3)}=10
a
x
;2#;
5a-
=10
∴ a=
:Á2°:
;2&;
y=-3
-3
x=
;2#;
x=a
y
2
O
y=x-2
2
x
y=a(x-2)
13 -
;2!;
셀파 y=a(x-2)의 그래프의 x절편은 2이다.
y=x-2의 그래프의 x절편은 2,
y절편은 -2이다.
y=a(x-2), 즉 y=ax-2a의 그래프
의 x절편은 2, y절편은 -2a이다.
이때 색칠한 도형의 넓이가 3이므로
-2a
y
O
-2
_{-2a-(-2)}_2=3
;2!;
-2a+2=3, -2a=1
∴ a=-
;2!;
14 ⑴ A: 3, B: -1, C: 0 ⑵ -1
