E0420_Q중3하솔(001-009) 2015.4.20 11:56 AM 페이지1 SinsagoHitec
우공비
중등 수학 (하) 발전편
3
SOLUTION
LECTURE BOOK
WORK BOOK
Ⅳ
통계
Ⅳ 통계
1. 대푯값과 산포도
2
1. 대푯값과 산포도
60
Ⅴ 피타고라스 정리
Ⅴ 피타고라스 정리
1. 피타고라스 정리
2. 피타고라스 정리의 활용
1. 피타고라스 정리
2. 피타고라스 정리의 활용
Ⅵ 삼각비
1. 삼각비
2. 삼각비의 활용
Ⅶ 원의 성질
1. 원과 직선
2. 원주각 ⑴
3. 원주각 ⑵
8
16
26
32
40
46
52
63
67
74
77
81
86
90
Ⅵ 삼각비
1. 삼각비
2. 삼각비의 활용
Ⅶ 원의 성질
1. 원과 직선
2. 원주각 ⑴
3. 원주각 ⑵
S I N S A G O
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LECTURE BOOK
Q BOX
c=7이면 최빈값은 7, 11
이므로 c+7
03-1 최빈값이 11이므로 a, b, c 중 적어도 2개는 11
이어야 한다. a=11, b=11, c+7이라 하면 중앙
값이 10이므로 7b>c
2 | SOLUTION
02 정연이의 사격 점수를 크기순으로 나열하면
(분산)=
(편차)¤ 의 총합
(변량)의 개수
(cid:9120) a>b>c
y+27=35 (cid:100)(cid:100)∴ y=8
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(분산)=
(-2)¤ +(x-7)¤ +(3-x)¤ +1¤ +5¤
5
(분산)=14
에서 x¤ -10x+9=0
(x-1)(x-9)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=9 (∵ x>5)
∴ x-y=1
(cid:9120) ①
04
계급값(분)
도수`(명)
5
2
15
5
25
2
35 합계
1
10
(평균)=
5_2+15_5+25_2+35_1
10
=:¡1¶0º:=17(분)
∴ (분산)
∴ =
(-12)¤ _2+(-2)¤ _5+8¤ _2+18¤ _1
10
∴ =:¶1§0º:=76
(cid:9120) 76
04-1 1+2+6+x+3=20(cid:100)(cid:100)∴ x=8
계급값(권)
도수`(명)
2
1
6
2
10
6
14
8
18 합계
3
20
(평균)=
2_1+6_2+10_6+14_8+18_3
20
=:™2¢0º:=12(권)
(분산)=;2¡0;{(-10)¤ _1+(-6)¤ _2
+(-2)¤ _6+2¤ _8+6¤ _3}
(분산)=:£2£0§:=16.8
∴ (표준편차)='ƒ16.8(권)
(cid:9120) 'ƒ16.8권
05
계급값(시간)
도수`(명)
4
2
6
4
8
2
10
1
12 합계
1
10
(평균)=
4_2+6_4+8_2+10_1+12_1
10
=;1&0);=7(시간)
∴ (분산)=;1¡0;{(-3)¤ _2+(-1)¤ _4+1¤ _2
+3¤ _1+5¤ _1}
∴ (분산)=;1%0*;=5.8
(cid:9120) ②
Q BOX
05-1 자료 A에서
도수분포표에서의 분산
(cid:8857)
{(편차)¤ _(도수)}의 총합
(도수)의 총합
(평균)=
a_1+2a_2+3a_1
1+2+1
= =2a
8a
4
(-a)¤ _1+0¤ _2+a¤ _1
4
=
a¤
2
∴ (분산)=
자료 B에서
(평균)=
b_3+2b_6+3b_3
3+6+3
=
24b
12
=2b
∴ (분산)=
(-b)¤ _3+0¤ _6+b¤ _3
12
=
b¤
2
이때 = 이고 a>0, b>0이므로 a=b
a¤
2
b¤
2
a
∴ =1
b
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
(cid:9120) 1
자료의 분포가 고른 정도
를 비교하려면 표준편차
를 비교한다.
06 근우의 표준편차가 가장 작으므로 근우의 성적이
(cid:9120) ④
가장 고르다고 할 수 있다.
06-1 학생 A의 교육 방송 시청 시간에서
(평균)=
56+57+58+62+57
5
=;;™;5(;º;;=58(분)
∴ (분산)=
(-2)¤ +(-1)¤ +0¤ +4¤ +(-1)¤
5
∴ (분산)=;;™5™;;=4.4
학생 B의 교육 방송 시청 시간에서
(평균)=
49+57+54+49+51
5
=;;™;5^;º;;=52(분)
∴ (분산)=
(-3)¤ +5¤ +2¤ +(-3)¤ +(-1)¤
5
∴ (분산)=;;¢5•;;=9.6
따라서 학생 A의 분산이 학생 B의 분산보다 작
으므로 학생 A의 시청 시간이 학생 B의 시청 시
간보다 더 고르다고 할 수 있다.
(cid:9120) A
발전유형 익히기
▶ 13쪽
01
a+b+c+d+e
5
=4에서
a+b+c+d+e=20
따라서 a+3, b+3, c+3, d+3, e+3의 평균은
a+b+c+d+e+5_3
5
=
20+15
5
=7
Ⅳ. 통계 | 3
히스토그램이 주어지면
계급값과 도수를 구한다.
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LECTURE BOOK
Q BOX
(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ +(d-4)¤ +(e-4)¤
5
=2¤ =4에서 a+3, b+3, c+3, d+3, e+3의
분산은
(a-4)¤+(b-4)¤+(c-4)¤+(d-4)¤+(e-4)¤
5
∴ (표준편차)='4=2
=4
(cid:9120) ④
01-1 5개 과목의 중간고사 점수를 a점, b점, c점, d점,
e점이라 하면
a+b+c+d+e
5
=76에서
a+b+c+d+e=380
따라서 기말고사 점수의 평균은
a+b+c+d+e+5_5
5
=
380+25
5
=81(점)
(a-76)¤ +(b-76)¤ +(c-76)¤ +(d-76)¤ +(e-76)¤
5
=4¤ =16에서 기말고사 점수의 분산은
(a-76)¤ +(b-76)¤ +(c-76)¤ +(d-76)¤ +(e-76)¤
5
=16
∴ (표준편차)='∂16=4(점)
(cid:9120) ③
01-2
a+b+c+d
4
=10에서 a+b+c+d=40
∴ m=
2a+2b+2c+2d
4
∴ m=
2(a+b+c+d)
4
∴ m=
=20
2_40
4
에서
=12
∴ n
∴ =
(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ +(d-10)¤
4
=3
(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ +(d-10)¤
(2a-20)¤ +(2b-20)¤ +(2c-20)¤ +(2d-20)¤
4
∴ =
4{(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ +(d-10)¤ }
4
∴ =
=12
4_12
4
∴ m+n=32
02 A의 그래프가 B의 그래프보다 왼쪽에 있으므로
평균 당도가 낮고, 평균을 중심으로 밀집해 있으
므로 당도의 분포는 고르다.
(cid:9120) 32
(cid:9120) ③
4 | SOLUTION
02-1 자료의 변량들이 평균을 중심으로 흩어져 있는
정도가 작을수록 자료의 분포 상태가 고르므로
100 m 달리기 기록의 분포가 가장 고른 반은 B
반이다.
(cid:9120) B반
자료의 평균이 7이므로
{(a+3)-7}¤ =(a-4)¤
중단원 마무리
▶ 14~17쪽
10 14.5
14 ①
`01 ⑤
`02 ④
`05 52 kg `06 ③
`09 30.4
13 ⑤
17 85점 18 1700
21 2'5
24 평균：8, 분산：10
22 ③
03 13.2æ `04 ②
08 ⑤
`07 평균
12 ③
11 ②
15 2'∂39점 16 ③
19 '5시간 20 2：3
23 ⑴ 176 cm ⑵ a>184
25 ;2&;
01 수학 선생님의 나이를 x세라 하면
45+37+x+27+35
5
=38
144+x=190(cid:100)(cid:100)∴ x=46
(cid:9120) ⑤
02 남학생 수를 x명이라 하면
79_12+74_x=76(12+x)
2x=36(cid:100)(cid:100)∴ x=18
(cid:9120) ④
03
계급값(æ)
도수(개)
10
4
12
10
14
5
16
4
18 합계
2
25
(평균)=
10_4+12_10+14_5+16_4+18_2
25
(평균)=
=13.2(æ)
330
25
(cid:9120) 13.2æ
04
2, 4, x, y, 8의 중앙값이 5이므로 변량을 크기순
으로 나열했을 때 3번째 수가 5이어야 한다.
이때 x184
(cid:9120) ⑴ 176 cm ⑵ a>184
24
채점 기준
평균 구하기
분산 구하기
(평균)=
6_8+4_8
10
=8
6개의 수를 x¡, x™, y, x§이라 하면
(x¡-8)¤ +(x™-8)¤ +y+(x§-8)¤
6
=12
∴ (x¡-8)¤ +(x™-8)¤ +y+(x§-8)¤ =72
4개의 수를 y¡, y™, y£, y¢라 하면
(y¡-8)¤ +(y™-8)¤ +(y£-8)¤ +(y¢-8)¤
4
=7
∴ (y¡-8)¤ +(y™-8)¤ +(y£-8)¤ +(y¢-8)¤ =28
따라서 10개의 수의 분산은
;1¡0;{(x¡-8)¤ +(x™-8)¤ +y+(x§-8)¤
+(y¡-8)¤ +y+(y¢-8)¤ }
=
72+28
10
=10
(cid:9120) 평균：8, 분산：10
25
채점 기준
도수 구하기
분산 구하기
4시간 이상 6시간 미만인 계급의 도수를 x명, 6
시간 이상 8시간 미만인 계급의 도수를 y명이라
하면
3+4+x+y=16
∴ x+y=9
1_3+3_4+5x+7y
16
=4에서
5x+7y=49
•3점
점수
2
4
•2점
•4점
점수
3
3
yy ㉠
yy ㉡
Q BOX
점수
3
3
㉠_5-㉡을 하면
-2y=-4(cid:100)(cid:100)∴ y=2
y=2를 ㉠에 대입하면
x=7
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=7, y=2
•3점
계급값(시간)
도수`(명)
1
3
3
4
5
7
7
2
합계
16
∴ =
(-3)¤ _3+(-1)¤ _4+1¤ _7+3¤ _2
16
∴ (분산)
∴ = =
56
16
7
2
•3점
(cid:9120)
7
2
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
Ⅳ. 통계
최고수준 정복하기
▶ 18쪽
6개의 수와 4개의 수 모
두 평균이 8이므로
(편차)=(변량)-8
이다.
01 a=6, b=12, c=15
04 4
02 144
03 125
01 중앙값이 12이고 a4)
∴ AB”="√12√
¤ +8¤ =4'∂13(cm) (cid:9120) 4'∂13 cm
02 연못의 깊이를 x라 하면
(x+20)¤ =80¤ +x¤
x¤ +40x+400
=6400+x¤
40x=6000
∴ x=150(cm)
80`cm 20`cm
x+20
x
03 △ABC에서 BC”="√15¤ -9¤ =12(cm)이므로
BD”=;2!; BC”=6(cm)
△ABD에서
AD”="√9¤ +6¤ =3'∂13(cm)
04 AB”=BC”=a cm라 하면 △ABC에서
8¤ =a¤ +a¤ , a¤ =32(cid:100)(cid:100)∴ a=4"2
CD”=BC”=4'2(cm)이므로 △ACD에서
AD”=øπ8¤ +(4'2 )¤ =4'6(cm)
(cid:9120) ③
(cid:9120) 4'6 cm
삼각형의 한 내각이 둔각
이면 나머지 두 내각은
모두 예각이다.
A
D
B
C
¤ =BD”_BC”
AB”
¤ =CD”_CB”
AC”
¤ =BD”_CD”
AD”
AB”_AC”=AD”_BC”
(cid:9120) ④
x절편은 3, y절편은 6이
므로 A(3, 0), B(0, 6)
로 △ABC에서
¤ =10¤ -8¤
AC”
=36
∴ △LMG
∴ =;2!; (cid:8772)LMGC
∴ =;2!; (cid:8772)ACHI
(cid:9120) ⑤
I
H
E
A
8 cm
B
L
C
10 cm
GMF
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
∴ =;2!;_36=18(cm¤ )
(cid:9120) ③
07 △AEH=;2!;_AH”_4=16이므로 AH”=8(cm)
△AEH에서 EH”
¤ =4¤ +8¤ =80
이때 (cid:8772)EFGH는 정사각형이므로
(cid:8772)EFGH=EH”
¤ =80(cm¤ )
(cid:9120) 80 cm¤
08 ② a¤ a¤ +c¤ 이면 ∠B>90°이다.
⑤ c¤ >a¤ +b¤ 이면 ∠C>90°이므로 ∠A<90°
(cid:9120) ②, ④
09 △ABH에서 y=øπ4¤ -(2'3)¤ =2
¤ =AH”_CH”이므로
BH”
2'3
3
(cm)
2¤ =2'3_CH”(cid:100)(cid:100)∴ CH”=
△BCH에서
x=æ≠2¤ +{
2'3
3
}2 =
4'3
3
(cid:9120) ②
10 OA”=3, OB”=6이므로 △OAB에서
AB”="√6¤ +3¤ =3'5
OA”_OB”=AB”_OH”이므로
3_6=3'5_OH”
∴ OH”=
6'5
5
(cid:9120)
6'5
5
11 DE”를 그으면 △DBE
A
에서
DE”="√3¤ +4¤ =5
∴ AE”
¤ +CD”
=AC”
¤ +DE”
=8¤ +5¤ =89
8
D
3
B
4
E
C
(cid:9120) 89
Ⅴ. 피타고라스 정리 | 13
¤
¤
¤
¤
E0420_Q중3하솔(010-027) 2015.4.20 12:12 PM 페이지14 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
∠BED=∠BHF=90°,
∠DBE는 공통이므로
△BEDª△BHF
12 두 대각선이 직교하므로
¤ +AD”
¤ +CD”
¤ =BC”
AB”
(4'2 )¤ +14¤ =(4'∂10)¤ +x¤
x¤ =68(cid:100)(cid:100)∴ x=2'∂17
¤ 에서
13 점 D에서 AB”의 연
장선에 내린 수선의
발을 E라 하면
8 cm
BE”=CD”=2(cm)
12 cm
A
B
E
△AED에서
ED”="√12¤ -10¤
=2'∂11(cm)
(cid:9120) ③
C
D
2 cm
BC”=ED”=2'∂11(cm)이므로 △ABC에서
AC”=øπ(2'∂11)¤ +8¤ =6'3(cm)
(cid:9120) 6'3 cm
14 필요한 노끈의 길이를 x cm라 하자.
⁄ 가장 긴 노끈의 길이가 4 cm일 때
직각삼각형이 되려면
4¤ =(2'2 )¤ +x¤ ∴ x=2'2
¤ 가장 긴 노끈의 길이가 x cm일 때
직각삼각형이 되려면
x¤ =4¤ +(2'2 )¤ ∴ x=2'6
⁄, ¤에서 ab=2'2_2'6=8'3
(cid:9120) ③
15 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
;2!;_4"6_AC”=24"2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=4"3
△ABC에서 BC”=øπ(4'6)¤ +(4'3)¤ =12
AB”_AC”=BC”_AD”이므로
4"6_4"3=12_AD”
∴ AD”=4"2
(cid:9120) ④
16 ∠FBD=∠DBC
E
(접은 각),
A
x
F
8-x
D
8-x
6`cm
8`cm
C
∠FDB=∠DBC
(엇각)이므로
∠FBD=∠FDB
B
즉 △FBD가 이등변
삼각형이므로 FB”=FD”
AF”=x라 하면 FB”=FD”=8-x
△ABF에서 (8-x)¤ =6¤ +x¤`
16x=28(cid:100)(cid:100)∴ x=;4&;(cm)
∴ △FBD=;2!;_{8-;4&;}_6
∴ △FBD=;;¶4∞;;(cm¤ )
(cid:9120) ③
14 | SOLUTION
다른 풀이
△BCD 에서 BD”="√8√
△FBD는 이등변삼각형이므로 점 F에서 BD”에
¤ +6¤ =10(cm)
내린 수선의 발을 H라 하면
BH”=;2!; BD”=5(cm)
△BED ∽△BHF (AA 닮음)이므로
BE” : BH”=DE” : FH”
8 : 5=6 : FH”(cid:100)(cid:100)∴ FH”=;;¡4∞;;(cm)
∴ △FBD=;2!;_10_;;¡4∞;;=;;¶4∞;;(cm¤ )
17
채점 기준
△ABC가 직각삼각형임을 알기
△ABC의 넓이 구하기
AB”
BC”
¤ =18, BC”
¤ =AB”
¤ +AC”
¤ =60, AC”
¤ =42에서
따라서 △ABC는 ∠A=90°인 직각삼각형이
•3점
다.
AB”=3'2 cm, AC”='∂42 cm이므로(cid:100)(cid:100)
△ABC=;2!;_3'2 _'∂42=3'∂21(cm¤ ) •3점
(cid:9120) 3'∂21 cm¤
18
채점 기준
AE”의 길이 구하기
AF”의 길이 구하기
AD”=AB”=10(cm)이므로 △ADE에서
AE”="√10¤ -8¤ =6(cm)
¤ =AF”_AD”이므로
AE”
•3점
6¤ =AF”_10(cid:100)(cid:100)∴ AF”=:¡5•:(cm)
•2점
(cid:9120) :¡5•: cm
19
채점 기준
AC”의 길이 구하기
CD”의 길이 구하기
AD”의 길이 구하기
점수
3
3
점수
3
2
점수
2
2
2
AD”가 ∠A의 이등분선이므로
AB” : AC”=BD” : CD”, 12 : AC”=2 : 1
∴ AC”=6(cm)
•2점
△ABC에서 BC”="√12¤ -6¤ =6'3(cm)이므로
CD”=;3!; BC”=2'3(cm)
△ADC에서
AD”=øπ(2'3 )¤ +6¤ =4'3 (cm)
•2점
•2점
(cid:9120) 4'3cm
¤
E0420_Q중3하솔(010-027) 2015.4.20 12:12 PM 페이지15 SinsagoHitec
Q BOX
직각삼각형임을 보이려면
세 변의 길이가 피타고라
스 정리를 만족시킴을 보
인다.
AB”=AD”, AE”=AF”,
∠B=∠D=90°이므로
△ABE™△ADF
(RHS 합동)
(a+b)¤ =a¤ +2ab+b¤
(a-b)¤ =a¤ -2ab+b¤
각삼각형이다.
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
점수
3
3
점수
2
2
2
24
채점 기준
각 변의 길이의 제곱 구하기
직각삼각형임을 보이기
(m¤ -n¤ )¤ =m› -2m¤ n¤ +n› ,
(2mn)¤ =4m¤ n¤ ,
(m¤ +n¤ )¤ =m› +2m¤ n¤ +n›
•3점
따라서 (m¤ -n¤ )¤ +(2mn)¤ =(m¤ +n¤ )¤ 이므
로 주어진 삼각형은 빗변의 길이가 m¤ +n¤`인 직
•3점
(cid:9120) 풀이 참조
25
채점 기준
변의 길이 조건에서 a의 값의 범위 구하기
aæ8일 때 a의 값의 범위 구하기
a<8일 때 a의 값의 범위 구하기
삼각형의 변의 길이 조건에서
8-66¤ +8¤ (cid:100)(cid:100)
∴ a>10
yy ㉡(cid:100)•2점
㉠, ㉡에서 106¤ +a¤ (cid:100)(cid:100)
∴ a<2'7
㉠, ㉢에서 20, b>0
② 제 2사분면 위의 점
(cid:8857) a<0, b>0
③ 제 3사분면 위의 점
(cid:8857) a<0, b<0
④ 제 4사분면 위의 점
(cid:8857) a>0, b<0
y축 위의 점이므로 x좌
표가 0이다.
07-1 꼭짓점 A에서 BC”에
내린 수선의 발을 D,
A
13
20
x
B
D
21-x
21
C
BD”=x라 하면
CD”=21-x
△ABD에서
AD”
¤ =13¤ -x¤
△ACD에서
AD”
¤ =20¤ -(21-x)¤
즉 169-x¤ =-x¤ +42x-41이므로
42x=210(cid:100)(cid:100)∴ x=5
따라서 AD”="√13¤ -5¤ =12이므로
△ABC=;2!;_21_12=126
(cid:9120) ④
필수유형 다지기
▶ 42~43쪽
01 △ADC에서 AD”：AC”='3：2이므로
AD”：8='3：2(cid:100)(cid:100)
∴ AD”=4'3 (cm)
또 AC”：DC”=2：1이므로
8 : DC”=2 : 1(cid:100)(cid:100)
∴ DC”=4(cm)
△ABD에서 AB”：AD”='2：1이므로
x：4'3='2：1(cid:100)(cid:100)∴ x=4'6(cm)
BD”=AD”=4'3 (cm)이므로
y=BD”+CD”=4+4'3
=4(1+'3 )(cm)
01-1 △ABC에서 AC” : BC”=2 : '3이므로
AC” : 3'3=2 : '3(cid:100)(cid:100)
∴ AC”=6(cm)
△ACD에서 AC” : CD”='2 : 1이므로
”='2 : 1(cid:100)(cid:100)
6 : CD”
∴ CD”=3'2(cm)
01-2 점 A에서 BC”에 내린
수선의 발을 H라 하면
A
8`cm
8`cm
60æ 60æ
B
∠BAH=60°
H
△ABH에서 AB” : BH”=2 : '3이므로
8：BH”=2：'3(cid:100)(cid:100)∴ BH”=4'3(cm)
∴ BC”=2BH”=8'3(cm)
(cid:9120) ②
C
(cid:9120) 8'3 cm
02 오른쪽 그림에서
AC”=x cm라 하면
A 8`cm
45æ
C
B
△ABC에서
x：AB”=1：'2
∴ AB”='2x(cm)
즉 '2x=8이므로
x=4'2
따라서 정사각형의 한 변의 길이는
4'2+8+4'2=8(1+'2)(cm)
02-1
A 4 cm
D
4 cm
B
60æ
E
45æ
C
F
(cid:9120) ④
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
두 점 A, D에서 BC”에 내린 수선의 발을 각각
E, F라 하면 △ABE에서
4 : BE”=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ BE”=2(cm)
4 : AE”=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ AE”=2'3(cm)
△DFC에서
CF”=DF”=AE”=2'3 (cm)
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(4+2+4+2'3 )_2'3
=10'3+6
=2(3+5'3 )(cm¤ )
(cid:9120) 2(3+5'3)cm¤
03 AB”="(√3-7√)¤ +√(-1√-x)¤ =4'2이므로
(-4)¤ +(x+1)¤ =32, x¤ +2x-15=0
(x+5)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-5 또는 x=3
(cid:9120) ②
(cid:9120) (0, -5)
03-1 구하는 점의 좌표를 (0, y)라 하면
"√8¤ +(-3-y)¤ ="√2¤ +(3-y)¤
y¤ +6y+73=y¤ -6y+13
12y=-60(cid:100)(cid:100)∴ y=-5
04
y=3x-5에 x=2, y=a를 대입하면
a=3_2-5=1
또 x=b, y=-8을 대입하면
-8=3b-5, 3b=-3(cid:100)(cid:100)∴b=-1
따라서 P(2, 1), Q(-1, -8)이므로
PQ”="√(-1√-2)√
=3'1å0
¤ +(√-8√-1)¤
(cid:9120) 3'1å0
Ⅴ. 피타고라스 정리 | 17
(cid:9120) ⑤
점 A가 제 1사분면 위의 점이므로 x=3
E0420_Q중3하솔(010-027) 2015.4.20 12:13 PM 페이지18 SinsagoHitec
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04-1 y=2x¤ -4x+1=2(x-1)¤ -1
y=-x¤ -4x-1=-(x+2)¤ +3
두 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 각각
(1, -1), (-2, 3)이므로 두 점 사이의 거리는
"√(-2-1)¤ +√{3-(-1)}¤ =5
(cid:9120) ⑤
05 AB”="√(5-7)¤
BC”="√(1-5)¤
AC”="√(1-7)¤
따라서 △ABC는 BC”=AC”이므로 이등변삼각
¤ 이므로 예각삼각형이
√+{-4-(-2)}¤ =2'2
√+{2-(-4)}¤ =2'∂13
√+{2-(-2)}¤ =2'∂13
형이고 AC”
¤ 1
'2
2
∴ cos Acos A
AD”
2
CD”
2
CD”
4
4
BD”
sin 30°=
=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ AD”=1
cos 30°=
= (cid:100)(cid:100)∴ CD”='3
'3
2
=
∴ tan 15°=
AD”
BD”
1
2+'3
=2-'3
(cid:9120) ①
01-1 △DBC에서
tan 45°=
=1(cid:100)(cid:100)∴ CD”=4
cos 45°=
'2
2
= (cid:100)(cid:100)∴ BD”=4'2
∴ AD”=BD”=4'2
∠A=∠ABD이고 ∠A+∠ABD=45°이므로
2∠A=45°(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=22.5°
∴ tan 22.5°=
BC”
AC”
=
4
4'2+4
='2-1
(cid:9120) '2-1
01-2 OB”=OA”=1이고 ∠BOC=180°-135°=45°
이므로 △BOC에서
sin 45°=
= (cid:100)(cid:100)∴ BC”=
'2
2
'2
2
OC”
1
BC”
1
AC”
BC”
∴ tan x=
'2
2
'2
2
∴ tan x={1+ }÷ ={1+ }_'2
'2
2
'2
2
'2
2
∴ tan x='2+1
(cid:9120) '2+1
0, sin A>0
∴ (주어진 식)=sin A-cos A-sin A
=-cos A
(cid:9120) ②
(cid:9120) 13.289
"≈a¤ =[
-a (aæ0)
-a (a<0)
02-1 45°0, sin A-cos A<0
∴ "√(sin A+cos A)¤ +"√(sin A-cos A)¤
=sin A+cos A-(sin A-cos A)
=2cos A
즉 2cos A=;1#7);이므로
cos A=;1!7%;
오른쪽 그림에서
BC”="√17¤ -15¤ =8
∴ tan A=
BC”
AB”
=;1•5;
A
17
15
C
B
(cid:9120) ;1•5;
중단원 마무리
▶ 68~71쪽
01 ⑤
`02 ④
`05
2'2
5
`06
1-'3
2
`09 3
10 ③
'3
12 9{1+ }
2
15 ④
16 4.2392
19 ;1!2#;
23 2'3
20
24
'∂10
10
3'5
5
`03 ④
`07 ④
11 ④
13 ;5#;
17 ;5#;
21 ③
25 1
04 3'3
`08 ②
14 ④
18 3'3
22 ④
01 △ABC에서 AC”="√10¤ -8¤ =6
△ADC에서 AD”="√3¤ +6¤ =3'5
∴ cos x=
CD”
AD”
=
3
3'5
=
'5
5
02 오른쪽 그림에서
BC”=øπ3¤ -2¤ ='5
④
sin B
sin A
=;3@;_
3
'5
=
2'5
5
⑤ sin¤ B+cos¤ B={;3@;}2 +{
'5
3
}2 =1
3
A
2
C
(cid:9120) ⑤
B
(cid:9120) ④
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
03 AB”=øπ('3 )¤ +1¤ =2
∠B=∠AED=x이므로
sin x=sin B= , tan x=tan B='3
'3
2
∴ sin¤ x_tan x={
'3
2
¤ _'3=
}
3'3
4
(cid:9120) ④
04 △ABC에서
= (cid:100)(cid:100)∴ AC”=8'3
= (cid:100)(cid:100)∴ AD”=12
cos 30°=
AC”
16
△ACD에서
cos 30°=
AD”
8'3
△ADE에서
cos 30°=
AE”
12
'3
2
'3
2
'3
2
= (cid:100)(cid:100)∴ AE”=6'3
△AEF에서 sin 30°=
EF”
6'3
=;2!;
∴ EF”=3'3
(cid:9120) 3'3
05
BH”="√5¤ +3¤ +4¤ =5'2(cm)이므로
4
sin x=
5'2
BF”
BH”
2'2
5
=
=
(cid:9120)
2'2
5
06 ∠A=180°_
1
1+2+3
=30°
∴ sin 30°-cos 30°=
'3
- =
2
1-'3
2
;2!;
(cid:9120)
1-'3
2
07 ㈀ sin 30°+cos 60°=;2!;+;2!;=1
㈁ sin 45°_cos 45°= _ =;2!;
'2
2
'2
2
㈂ sin 60°_tan 30°-tan 45°= _ -1
'3
2
'3
3
㈃ cos 30°÷tan 60°+cos 60°= ÷'3+;2!;
=-;2!;
'3
2
=1
(cid:9120) ④
∴ sin 2x=sin 30°=;2!;
(cid:9120) ②
09
sin 60°=
3'3
x
'3
2
= 에서 x=6
Ⅵ. 삼각비 | 29
0°0,
-;2!;>0
45°cos A이므로
sin A= , cos A=;2!;
'3
2
'2
∴ (주어진 식)=æ≠{ +;2!;}2 -æ≠{ -;2!;}2
2
'2
2
=
'2+1
2
-
'2-1
2
=1
△ABC의 내심 I에 대
하여
∠BIC=90°+;2!;∠A
Ⅵ. 삼각비 | 31
”
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2
삼각비의 활용
AC”가 직각삼각형의 빗
변이 되도록 한 꼭짓점에
서 대변에 수선을 긋는다.
03-1 꼭짓점 A에서 BC”에
내린 수선의 발을 H라
A
D
(cid:9120) 10'3cm
'3
cos 30°= 이므로
2
1
cos 30°
=
2
'3
필수유형 다지기
▶ 73~75쪽
01 AB”=10 sin C=10_;5$;=8
BC”=10cosC=10_;5#;=6
∴ AB”+BC”=14
01-1 △ABC에서 ∠B=90°-47°=43°
∴ AB”=BC” cos B=9cos 43°
(cid:9120) ③
(cid:9120) ②
01-2 AC”=30sin 30°=30_;2!;=15(cm)
△ABC에서 ∠A=90°-30°=60°이므로
∠DAC=;2!;∠A=30°
∴ AD”=
AC”
cos 30°
=15_ =10'3(cm)
2
'3
02
BC”=AB” tan 60°=4_'3=4'3(m)
따라서 굴뚝의 높이는
1.6+4'3 (m)
(cid:9120) (1.6+4'3)m
02-1 ∠OAB=30°이므로
OB”=AB” tan 30°
OB”=100_ =
(m) (cid:9120)
'3
3
100'3
3
100'3
3
m
(cid:9120) 5(3+'3)m
6
45æ
A
H
C
9'2
02-2 BC”=15tan 30°=5'3(m)
CD”=15tan 45°=15(m)
따라서 나무의 높이는
BC”+CD”=5(3+'3)(m)
03 꼭짓점 A에서
BC” 에 내린 수선
의 발을 H라 하면
B
△ABH에서
AH”=6sin 45°
AH”=6_ =3'2
'2
2
BH”=AH”=3'2이므로
CH”=9'2-3'2=6'2
따라서 △ACH에서
AC”=øπ(3'2)¤ +(6'2)¤ =3'∂10
32 | SOLUTION
4cm
60æ
B
H
3cm
C
하면 △ABH에서
AH”=4sin 60°
=4_
'3
2
=2'3(cm)
BH”=4 cos 60°=4_;2!;=2(cm)이므로
CH”=3-2=1(cm)
따라서 △ACH에서
AC”=øπ(2'3 )¤ +1¤ ='∂13(cm)
(cid:9120) '∂13 cm
04 꼭짓점 B에서 AC”에 내린
수선의 발을 H라 하면
A
45æ
75æ
B
H
60æ
C
2'6 cm
△BCH에서
BH”=2'6 sin 60°
=2'6_
'3
2
=3'2 (cm)
에서
∠A=180°-(75°+60°)=45°이므로 △ABH
AB”=
3'2
sin 45°
=3'2_'2=6(cm)
A
H
04-1 `꼭짓점 A에서 BC”
에 내린 수선의 발
을 H라 하면
△ACH에서
45æ
B
AH”=8sin 30°=8_;2!;=4
△ABH에서
AB”=
4
sin 45°
=4_'2=4'2
(cid:9120) 6cm
8
30æ
C
(cid:9120) ③
05 점 C에서 AB”에 내린
수선의 발을 H라 하면
△ACH에서
CH”=8 sin 60°
'3
2
=8_ =4'3(m)
60æ
8`m
A
6`m
H
B
C
AH”=8cos 60°=8_;2!;=4(m)
이므로 BH”=6-4=2(m)
따라서 △BCH에서
BC”=øπ(4'3 )¤ +2¤ =2'∂13(m)
(cid:9120) ④
(cid:9120) ③
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C
45æ
H
60æ
A
160 m
75æ
B
05-1 점 B에서 AC”에 내린 수선
의 발을 H라 하면
△ABH에서
BH”=160sin60°
'3
2
=80'3(m)
=160_
△BCH에서
80'3
sin45°
BC”=
=80'3_'2=80'6(m)
(cid:9120) 80'6 m
△ABC에서
∠C=180°-(60°+75°)
=45°
06 ∠BAH=60°, ∠CAH=45°이므로 AH”=hcm
라 하면
BH”=h tan 60°='3h (cm)
CH”=h tan 45°=h(cm)
BH”+CH”=12(cm)이므로
'3h+h=12(cid:100)(cid:100)∴ h=6('3-1)
06-1 꼭짓점 A에서 BC”에 내
린 수선의 발을 H라 하고
A
75æ
(cid:9120) 6('3-1)cm
B
45æ
C
H
14cm
AH”=hcm라 하면
BH”=h tan 30°
'3
BH”= h(cm)
3
CH”=h tan 45°=h(cm)
h=14
h+h=14,
'3+3
3
BH”+CH”=14(cm)이므로
'3
3
∴ h=7(3-'3 )
∴ △ABC=;2!;_14_7(3-'3 )
∴ △ABC=49(3-'3 )(cm¤ )
h=
12
'3+1
=
=
12('3-1)
('3+1)('3-1)
12('3-1)
2
=6('3-1)
∠CAH=90°-45°
=45°
이므로
∠BAH=75°-45°
=30°
h=
42
3+'3
=
=
42(3-'3)
(3+'3)(3-'3)
42(3-'3)
6
=7(3-'3)
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
BH”=h tan 30°= h (cm)
'3
3
CH”=h tan 60°='3 h (cm)
CH”-BH”=6(cm)이므로
'3
'3h- h=6,
3
2'3
3
h=6(cid:100)(cid:100)∴ h=3'3
∴ △ABC=;2!;_6_3'3=9'3 (cm¤ )
(cid:9120) 9'3 cm¤
08 ∠BAH=45°, ∠CAH=30°이므로 AH”=hm
라 하면
BH”=h tan 45°=h (m)
CH”=h tan 30°= h (m)
'3
3
BH”+CH”=200(m)이므로
h+ h=200,
h=200
'3
3
3+'3
3
∴ h=100(3-'3)
(cid:9120) ③
08-1 ∠BAH=60°, ∠CAH=30°이므로 AH”=hm
라 하면
BH”
CH”
”=h tan 60°='3h (m)
”=h tan 30°= h (m)
'3
3
”=100 (m)이므로
BH”
”-CH”
'3
'3h- h=100,
3
∴ h=50'3
2'3
3
h=100
(cid:9120) ④
(cid:9120) 49(3-'3 )cm¤
01
;2!;_6_10_sin B=15
07 ∠BAH=45°, ∠CAH=30°이므로 AH”=hcm
sin B=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ ∠B=30°
(cid:9120) 30°
필수유형 다지기
▶ 77~78쪽
라 하면
BH”=htan 45°=h (cm)
CH”=h tan 30°= h (cm)
'3
3
BH”-CH”=4(cm)이므로
'3
h- h=4,
3
3-'3
3
h=4
∴ h=
12
3-'3
=2(3+'3)
01-1 △ABC=;2!;_28_21_sin 60°
'3
2
=;2!;_28_21_
=147'3 (cm¤ )
AD”가 ∠A의 이등분선이므로
BD”：CD”=AB’
”：AC”=4：3
07-1 ∠BAH=30°, ∠CAH=60°이므로 AH”=hcm
라 하면
(cid:9120) ⑤
△AHB에서 삼각형의
외각의 성질에 의하여
∠BAH=120°-90°
=30°
따라서 △ABD：△ADC=4：3이므로
△ABD=;7$;△ABC
△ABD=;7$;_147'3=84'3(cm¤ )
(cid:9120) ③
Ⅵ. 삼각비 | 33
E0420_Q중3하솔(028-039) 2015.4.20 12:16 PM 페이지34 SinsagoHitec
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∠ABC=∠CBD,
∠ACB=∠CBD이므로
∠ABC=∠ACB
sin(180°-∠BAC)
=sin(∠BAH)
=sin 2x
02 △ABC=;2!;_4_12_sin (180°-120°)
'3
=;2!;_4_12_ =12'3(cm¤ )
2
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) 8
02-1 ;2!;_7_x_sin(180°-135°)=14'2이므로
'2
2
;2!;_7_x_ =14'2
∴ x=8
03 AC”를 그으면
(cid:8772)ABCD
=△ABC+△ACD
=;2!;_5_4_sin 60°
A
Â7`cm
D
5`cm
120æ
Â7`cm
B
60æ
4`cm
C
=+;2!;_'7_'7_sin(180°-120°)
'3
=;2!;_5_4_ +;2!;_'7_'7_
2
'3
2
03-1 AC”=8sin 60°=4'3(cm),
AB”=8cos 60°=4(cm)
이므로 △ABC=;2!;_4'3_4=8'3(cm¤ )
(cid:8772)ABCD=14'3(cm¤ )이므로
△ACD=14'3-8'3=6'3 (cm¤ )
따라서 ;2!;_4'3_CD”_sin 30°=6'3이므로
;2!;_4'3_CD”_;2!;=6'3
∴ CD”=6(cm)
(cid:9120) 6cm
04 AD”=BC”=4'3(cm)이고
∠A=180°-120°=60°이므로
(cid:8772)ABCD=4_4'3_sin 60°
=5'3+
7'3
4
=
27'3
4
(cm¤ )
(cid:9120) ②
∠ABC=∠BAP (엇각)
=4_4'3_ =24(cm¤ ) (cid:9120) ④
'3
2
(평행사변형의 넓이)
=(밑변의 길이)_(높이)
04-1 △PBC=;4!;(cid:8772)ABCD=;4!;_(8_6_sin 45°)
△PBC=;4!;_
{
8_6_
'2
2
}
△PBC=6'2(cm¤ )
(cid:9120) 6'2 cm¤
05 (cid:8772)ABCD=;2!;_10_5'3_sin60°
=;2!;_10_5'3_
'3
2
=:¶2∞:
(cid:9120) ①
AP”=CP”이므로
△PBC
=;2!;△ABC
=;2!;_;2!;(cid:8772)ABCD
=;4!;(cid:8772)ABCD
34 | SOLUTION
05-1 ;2!;_10_AC”_sin 90°=55, 5AC”=55
∴ AC”=11(cm)
(cid:9120) 11cm
06 △ABC는 이등변삼
AH
C
x
2
x
x
B
D
각형이므로
AB”=AC”
점 B에서 AC”의 연
장선에 내린 수선의
△ABH에서
AB”=AC”=
2
sin 2x
발을 H라 하면 ∠BAH=2x
∴ △ABC=;2!;_
2
sin 2x
_
2
sin 2x
_sin 2x
=
2
sin 2x
(cid:9120) ⑤
06-1 오른쪽 그림에서
∠BAP=60°이므로
△ABP에서
AB”=
5
sin 60°
4`cm
D
P
A
5`cm
B
60æ
60æ
C
Q
=5_ =
(cm)
2
'3
10'3
3
∠BCQ=60°이므로 △BQC에서
BC”=
4
sin 60°
=4_ =
(cm)
2
'3
8'3
3
(cid:8772)ABCD는 평행사변형이므로
(cid:8772)ABCD=
10'3
3
_
8'3
3
_sin 60°
(cid:8772)ABCD=
(cm¤ )
40'3
3
(cid:9120)
40'3
3
cm¤
다른 풀이
(cid:8772)ABCD=
_4=
(cm¤ )
10'3
3
40'3
3
발전유형 익히기
▶ 79쪽
01 오른쪽 그림에서
OH”=30cos 60°
=15(cm)
∴ AH”=30-15
=15(cm)
O
60æ
H
A
30 cm
B
(cid:9120) 15 cm
E0420_Q중3하솔(028-039) 2015.4.20 12:16 PM 페이지35 SinsagoHitec
Q BOX
정팔각형은 꼭지각의 크기
가
360°
8
=45°인 합동인
이등변삼각형 8개로 나누
어진다.
(거리)=(속력)_(시간)
360°
12
=30°
AB”의 길이에서
① a % 증가
a
100
}AB”
(cid:8857) {1+
② a % 감소
(cid:8857) {1-
a
100
}AB”
B'C'”∥BC”이므로
∠B'=∠B
01-1 오른쪽 그림에서
OH”=20cos 30°
=10'3(cm)
따라서 구하는 높이는
25-10'3
=5(5-2'3)(cm)
O
H
C
30æ 30æ
20 cm
25 cm
A
B
(cid:9120) 5(5-2'3)cm
02
8_{;2!;_8_8_sin 45°}
'2
=8_{;2!;_8_8_ }
2
=128'2
02-1 12_{;2!;_10_10_sin 30°}
=12_{;2!;_10_10_;2!;}
=300(cm¤ )
8
45æ
O
(cid:9120) ④
10 cm
30æ
O
(cid:9120) 300 cm¤
03 △A'BC'=;2!;_0.8 AB”_1.2 BC”_sin B
△A'BC'=0.96_{;2!;_AB”_BC”_sinB}
△A'BC'=0.96_△ABC
따라서 삼각형의 넓이는 4% 감소한다.
03-1 (cid:8772)AB'C'D'=0.9 AB”_1.2 BC”_sinB'
(cid:8772)AB'C'D'=1.08_(AB”_BC”_sinB)
(cid:8772)AB'C'D'=1.08_(cid:8772)ABCD
따라서 평행사변형의 넓이는 8% 증가한다.
(cid:9120) ②
(cid:9120) ⑤
`02 50('3-1)cm¤
01 ②
`06 ⑤
05 ④
04 2'7
08 ③
07 25('3+1)m
12 6'3cm¤
10 ②
11 ⑤
15 ⑤
14 18'2 cm¤
16 36'3 cm‹
17 10'2cm¤
18 {;3$;p-'3}cm¤
`19 15대
`03 ②
`09 ④
`13 45°
20 ③
`22 3'7 km 23 2'3 m/초
21 ;2@5$;
24 400'2 cm¤
중단원 마무리
▶ 80~83쪽
∠A
=180°-(45°+105°)
=30°
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
01
x=
16
cos B
=16_;4%;=20
y=16tan B=16_;4#;=12
∴ x+y=32
(cid:9120) ②
02 AC”=10 tan 60°=10'3(cm)
DC”=10tan 45°=10(cm)
∴ AD”=AC”-DC”=10('3-1)(cm)
∴ △ABD=;2!;_10('3-1)_10
∴ △ABD=50('3-1)(cm¤ )
(cid:9120) 50('3-1)cm¤
03 AC”=350_12=4200(m)이므로
BC”=AC”sin 30°
=4200_;2!;=2100(m)
(cid:9120) ②
04 두 점A, D에서 BC”에
내린 수선의 발을 각각
A
2
D
H, G라 하면
BH”=CG”
=4cos 60°=2
4
60æ
B
H
G
C
∴ CH”=2+2=4
AH”=4sin 60°=2'3이므로 △AHC에서
AC”=øπ4¤ +(2'3)¤ =2'7
(cid:9120) 2'7
05 꼭짓점 C에서 AB”에 내린
수선의 발을 H라 하면
△BCH에서
CH”=8sin 45°=8_
'2
2
A
30æ
105æ
C
H
45æ
B
8 cm
=4'2 (cm)
△ACH에서
AC”=
4'2
sin 30°
=4'2_2=8'2(cm)
(cid:9120) ④
06 점 C에서 AB”에 내린
수선의 발을 H라 하면
60Â2`m
C
45æ
A
H
90`m
B
△ACH에서
CH”=60'2 sin 45°
=60'2_
'2
2
=60(m)
AH”=CH”=60(m)이므로
BH”=90-60=30(m)
따라서 △BCH에서
BC”="√60¤ +30¤ =30'5(m)
(cid:9120) ⑤
Ⅵ. 삼각비 | 35
E0420_Q중3하솔(028-039) 2015.4.20 12:16 PM 페이지36 SinsagoHitec
07 ∠BAH=60°, ∠CAH=45°이므로 AH”=hm
LECTURE BOOK
라 하면
BH”=htan 60°='3h(m)
CH”=htan 45°=h (m)
BH”-CH”=50(m)이므로
'3h-h=50
∴ h=25('3+1)
(cid:9120) 25('3+1)m
C'
B'
4
3
A
08
cos A=
이므로 오른쪽 그
;4#;
림에서
B'C'”="√4¤ -3¤ ='7
∴ sin A=
'7
4
∴ △ABC=;2!;_4_6_sin A
∴ △ABC=;2!;_4_6_
'7
4
∴ △ABC=3'7
(cid:9120) ③
09
;2!;_8_BC”_sin (180°-135°)=10'2이므로
;2!;_8_BC”_ =10'2
'2
2
∴ BC”=5(cm)
(cid:9120) ④
10 AC”∥DE”이므로
△ACD=△ACE
∴ (cid:8772)ABCD
=△ABC+△ACD
=△ABC+△ACE
=△ABE
=;2!;_8_10_sin 60°
=;2!;_8_10_ =20'3
'3
2
11
BD”를 그으면
(cid:8772)ABCD
Q BOX
(cid:8772)ABCD
=2△ABC
=2_(2△AMC)
=4△AMC
∴ △AMC
=;4!;(cid:8772)ABCD
밑변이 AC”로 일치하고
AC” ∥DE” 에서 높이가
같으므로 두 삼각형의 넓
이가 같다.
12 △AMC=;4!; (cid:8772)ABCD
△AMC=;4!;_(8_6_sin 60°)
'3
△AMC=;4!;_{8_6_ }
2
△AMC=6'3 (cm¤ )
13
4_4_sin B=8'2
'2
sin B= (cid:100)(cid:100)∴ ∠B=45°
2
(cid:9120) 6'3 cm¤
(cid:9120) 45°
C
45æ
B
6`cm
Q
(cid:9120) 18'2 cm¤
14 오른쪽 그림에서
P
A
∠ABP=45°이므로
6`cm
△ABP에서
AB”
”=
6
cos 45°
AB”
AB”
”=6_'2
”=6'2(cm)
∠CBQ=45°이므로 △BCQ에서
BC”=
6
cos 45°
=6_'2=6'2(cm)
∴ △ABC=;2!;_6'2_6'2_sin 45°
∴ △ABC=;2!;_6'2_6'2_
'2
2
∴ △ABC=18'2(cm¤ )
다른 풀이
AB”=
6
cos 45°
AB”=6_'2=6'2 (cm)
BQ”=6 cm이므로
△ABC=;2!;_6'2_6=18'2(cm¤ )
=△ABD+△BCD
=;2!;_16_4_sin 60°
B
4Â3
C
8
150æ
=+;2!;_4'3_8_sin(180°-150°)
'3
2
=;2!;_16_4_ +;2!;_4'3_8_;2!;
=16'3+8'3=24'3
(cid:9120) ②
A
4
D
16
60æ
A
D
E
30æ
B
30æ
12`cm
30æ
C
15 △DBC에서
DC”=12 sin 30°
=12_;2!;
=6(cm)
△DEC에서
EC”=
DC”
cos 30°
△ABC™△DCB
이므로
∠ACB=∠DBC=30°
∴ ∠DCE=60°-30°
=30°
(cid:9120) ⑤
=6_ =4'3(cm)
2
'3
∴ △EBC=;2!;_BC”_EC”_sin 30°
=;2!;_12_4'3_;2!;
=12'3 (cm¤ )
(cid:9120) ⑤
36 | SOLUTION
E0420_Q중3하솔(028-039) 2015.4.20 12:16 PM 페이지37 SinsagoHitec
Q BOX
16
채점 기준
BE”의 길이 구하기
AE”의 길이 구하기
나무토막의 부피 구하기
△ABE에서
BE”=AB”
” cos 30°
'3
BE”=6_ =3'3(cm)
2
AE”=AB”
” sin 30°
AE”=6_;2!;=3(cm)
따라서 나무토막의 부피는
{;2!;_3'3_3}_8=36'3(cm‹ )
•2점
(cid:9120) 36'3 cm‹
17
채점 기준
△ABC의 넓이 구하기
△AGC의 넓이 구하기
△ABC=;2!;_10_12_sin 45°
=;2!;_10_12_
'2
2
=30'2(cm¤ )
∴ △AGC=;3!;△ABC=;3!;_30'2
=10'2(cm¤ )
•2점
(cid:9120) 10'2 cm¤
18
채점 기준
부채꼴 AOC의 넓이 구하기
△AOC의 넓이 구하기
색칠한 부분의 넓이 구하기
OC”를 그으면 △AOC
가 이등변삼각형이므로
∠AOC
=180°-2_30°
=120°
30æ
A
O
4`cm
B
따라서 부채꼴 AOC의 넓이는
p_2¤ _
120°
360°
=;3$;p(cm¤ )
△AOC=;2!;_2_2_sin(180°-120°)
=;2!;_2_2_
'3
2
='3(cm¤ )
따라서 색칠한 부분의 넓이는
;3$;p-'3 (cm¤ )
(cid:9120) {;3$;p-'3} cm¤
점수
2
2
2
•2점
•2점
점수
4
2
•4점
점수
2
3
1
C
•2점
•3점
•1점
19
50`m
3Â3`m
A
B
3`m
30æ
E
…
D
C
위의 그림에서
BE”=3'3 tan 30°
BE”=3'3_ =3(m)
'3
3
∴ EC”=50-3=47(m)
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
47÷3=15.___이므로 주어진 주차장은 최대
15대의 차를 주차할 수 있다.
(cid:9120) 15대
20 AB”=2a라 하면 AE”=a이므로 △ABE에서
BE”="√(2a)¤ +a¤ ='5a
같은 방법으로 하면
BF”='5a
∴ △ABE+△BEF+△BCF+△EDF
∴ =;2!;_2a_a+;2!;_'5a_'5a_sin x
△ABC의 무게중심 G
에 대하여
△ABG=△BCG
△ABG=△CAG
△ABG=;3!;△ABC
가로, 세로의 길이가 각
각 a, b인 직사각형의 대
각선의 길이
(cid:8857) "√a¤ +b¤
∴ =+;2!;_2a_a+;2!;_a_a
∴ =;2%;a¤ + sin x
5a¤
2
이때 (cid:8772)ABCD=4a¤ 이므로
;2%;a¤ + sin x=4a¤
5a¤
2
;2%; sin x=;2#;(cid:100)(cid:100)∴ sin x=;5#;
21 AC”=BD”="√6¤ +8¤ =10
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_10_10_sin x
∴ (cid:8772)ABCD=50sin x
이때 (cid:8772)ABCD=6_8=48이므로
50sin x=48(cid:100)(cid:100)∴ sin x=;2@5$;
(cid:9120) ③
(cid:9120) ;2@5$;
점수
2
2
2
•2점
Ⅵ. 삼각비 | 37
22
채점 기준
OP”, OQ”의 길이 구하기
QH”, PH”의 길이 구하기
PQ”의 길이 구하기
착하므로
OP”=18_;2!;=9(km)
OQ”=12_;2!;=6(km)
두 사람 A, B는 30분 후 각각 두 지점P, Q에 도
E0420_Q중3하솔(028-039) 2015.4.20 12:16 PM 페이지38 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
꼭짓점 Q에서 OP”에 내린
P
수선의 발을 H라 하면
△OQH에서
Q
9`km
H
60æ
6`km
QH”=6sin 60°=6_
O
'3
2
QH”=3'3(km)
OH”=6cos 60°=6_;2!;=3(km)
이므로 PH”=OP”-OH”=6(km)
따라서 △PQH에서
PQ”=øπ6¤ +(3'3)¤ =3'7(km)
•2점
•2점
(cid:9120) 3'7 km
점수
3
1
2
•3점
•1점
•2점
점수
2
4
•2점
23
채점 기준
BH”, CH”의 길이 구하기
BC”의 길이 구하기
자동차의 속력 구하기
BH”=15 tan 60°
BH”=15_'3=15'3 (m)
CH”=15 tan 30°
'3
CH”=15_ =5'3 (m)
3
∴ BC”=BH”-CH”=10'3 (m)
따라서 자동차의 속력은
10'3
5
=2'3 (m/초)
24
채점 기준
마름모의 한 예각의 크기 구하기
무늬 전체의 넓이 구하기
마름모의 한 예각의 크기를 ∠x라 하면 합동인 8
개의 마름모가 모여 있으므로
∠x=
=45°
360°
8
따라서 무늬 전체의 넓이는
'2
8_(10_10_sin 45°)=8_{10_10_ }
2
8_(10_10_sin 45°)=400'2 (cm¤ ) •4점
(cid:9120) 400'2 cm¤
Ⅵ. 삼각비
최고수준 정복하기
▶ 84~85쪽
01
'6
9
02
4+'7
3
05 3('2 +'6)
08 4'5
03 2-'3
06
'3
3
a
04
1+'5
4
07 4'2å1
38 | SOLUTION
(속력)=
(거리)
(시간)
(cid:9120) 2'3 m/초
세 내각의 크기가 30°,
60°, 90°인 직각삼각형의
세 변의 길이의 비
(cid:8857) 1 : '3 : 2
01 AG”='3_6=6'3, AH”='2_6=6'2
점 M에서 AG”에 내린 수
선의 발을 I라 하면
△AMG=;2!;_GM”_AH”
=;2!;_AG”_MI”
이므로
A
x
E
B
F
D
H
C
I
M
G
;2!;_3_6'2=;2!;_6'3_MI”
∴ MI”='6
△AHM에서 ∠AHM=90°이므로
AM”=øπ(6'2)¤ +3¤ =9
따라서 △AMI에서
MI”
'6
9
AM”
sin x=
=
(cid:9120)
'6
9
D
C
4
3
4
H
P
xx
x
Q
4
R
02 ∠CQP
A
3
B
=∠APQ(엇각)
=∠CPQ(접은 각)
=x
이므로 △CPQ는
이등변삼각형이다.
∴ CQ”=CP”=AP”=4
점 Q에서 AD”에 내린 수선의 발을 H라 하면
AH”=BQ”=QR”="√4¤ -3¤ ='7
∴ PH”=AP”-AH”=4-'7
따라서 △PHQ에서
3
4-"7
tan x=
tan x=
=
HQ”
PH”
4+'7
3
(cid:9120)
4+'7
3
03 △ABE™△CBF(RHS 합동)이므로
∠CBF=;2!;_(90°-60°)=15°
오른쪽 그림과 같이
15æ
15æ
30æ
F
x
C
P
△BCF에서 BC” 위
에 BP”=PF”가 되도
B
록 점P를 잡으면
∠FPC=15°+15°=30°
△FPC에서 FC”=x라 하면
PC”='3x, PF”=2x
BP”=PF”=2x이므로 BC”=(2+'3)x=2
=2(2-'3 )
∴ x=
2
2+'3
따라서 △FBC에서
tan 15°=
FC”
BC”
=
2(2-'3 )
2
=2-'3
(cid:9120) 2-'3
E0420_Q중3하솔(028-039) 2015.4.20 12:16 PM 페이지39 SinsagoHitec
Q BOX
이등변삼각형의 꼭짓점에
서 밑변에 내린 수선은
그 밑변을 이등분한다.
한 변의 길이가 a인 정삼
각형의 넓이
'3
4
(cid:8857)
a¤
04 △ABC에서
∠B=∠C=;2!;_(180°-36°)=72°
이므로 ∠ABD=∠DBC=36°
즉 △DAB는 이등변삼각형
A
H
D
B
C
4
이므로
AD”=BD”=BC”=4
또 점 D에서 AB”에 내린 수선
의 발을 H라 하면
AH”=BH”
한편 △ABCª△BDC이므로
AC” : BC”=BC” : DC”
DC”=x라 하면 (4+x) : 4=4 : x
4¤ =(4+x)x, x¤ +4x-16=0
∴ x=-2+2'5 (∵ x>0)
AB”=AC”=4+(-2+2'5)
AB”=2+2'5
1
이므로 AH”= AB”=1+'5
2
따라서 △ADH에서
cos36°=
AH”
AD”
=
1+'5
4
05 △ABC에서
∠B=∠C=;2!;_(180°-30°)=75°
점 D에서 AB”에 내린 수선의 발을
A
∠DBE=75°-30°
=45°
(cid:9120)
1+'5
4
30æ
E
D
75æ
C
45æ
30æ
6
B
=3'6+3'2=3('2 +'6)
(cid:9120) 3('2 +'6)
xy의 값이 최대이려면
sin a의 값이 최소이어야
하므로 a의 값이 최소이
어야 한다.
06 △ABC는 직각이등변삼각형이므로 BD”=b라
E라 하면 △DBE에서
EB”=6 cos 45°=3'2
DE”=EB”=3'2
△ADE에서
AE”=
3'2
tan 30°
AE”=3'2_'3=3'6
∴ AB”=AE”+EB”
하면
BC”=AB”=a+b
△CDB에서 tan 75°=
이므로
a+b
b
a+b
b
=2+'3
a+b=b(2+'3 ), a=(1+'3 )b
∴ b=
a
1+'3
=
('3 -1)a
2
△ABE에서
BE”=(a+b)tan 30°= (a+b)
'3
3
'3
3
∴ EC”=BC”-BE”=a+b- (a+b)
'3
∴ EC”=(a+b){1- }
3
∴ EC”=
a+
[
('3 -1)a
2
'3
]{1- }
3
=a _
1+'3
2
_
3-'3
3
'3
= a
3
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
'3
(cid:9120) a
3
'3
07 △ABC= _24¤ =144'3
4
이때 △ADF™△BED™△CFE (SAS 합동)이므
로
△ADF=△BED=△CFE
△ADF=;2!;_4_20_sin 60°=20'3
△ABC=△ADF+△BED+△CFE+△DEF
이므로 △DEF의 한 변의 길이를 x라 하면
'3
4
144'3=3_20'3+ x¤
'3
4
x¤ =84'3 , x¤ =336
∴ x=4'2å1
08 ∠BPC=a라 하면
(cid:9120) 4'2å1
△BCP=;2!;_x_y_sin a=;2!;_4_2
이므로
xy sin a=8(cid:100)(cid:100)∴ xy=
8
sin a
점 P가 점A에서 점 D
로 움직일수록 a의 값이
작아지므로 점 P가 점
D에 있을 때 sin a의 값
A
P2
å
D
2
C
B
4
이 최소이고 이때 xy는 최댓값을 갖는다.
따라서 x=BD”="√4¤ +2¤ =2'5, y=2이므로 xy
의 최댓값은 2'5_2=4'5
(cid:9120) 4'5
Ⅵ. 삼각비 | 39
E0420_Q중3하솔(040-059) 2015.4.20 12:18 PM 페이지40 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
Ⅶ 원의 성질
1
원과 직선
필수유형 다지기
▶ 89~90쪽
01 AM”=;2!;AB”=10
OA”, OD”를 그으면
△OAM에서
OA”="√10¤ +3¤ ='ƒ109
OD”=OA”='∂109이므로
△ODN에서
DN”=øπ('∂109)¤ -5¤ =2'∂21
∴ CD”=2DN”=2_2'∂21=4'∂21
A
D
20
M
O
3 5
N
B
C
(cid:9120) ④
01-1 OC”를 그으면
OC”=;2!;AB”=10
A
C
8
20
O
M
E
B
D
CM”=;2!;CD”=8이므로
△OCM에서
OM”="√10¤ -8¤ =6
∴ EM”=OE”-OM”=10-6=4
02 원의 중심을 O, 반지
름의 길이를 r라 하
면 △OAM에서
r¤ =(r-3)¤ +(3'3)¤
6r=36(cid:100)(cid:100)∴ r=6(cm)
A
3Â3`cm
3`cm
M
r-3
r
C
O
(cid:9120) ③
B
(cid:9120) ①
02-1 피자의 중심을 O, 반지름
의 길이를 r, 점 O에서
A
30`cm
H
B
25-r
r
O
AB”에 내린 수선의 발을
H라 하면 △OAH에서
r¤ =(25-r)¤ +15¤
50r=850(cid:100)(cid:100)∴ r=17(cm)
따라서 피자의 지름의 길이는
원의 중심에서 현에 내린
수선은 그 현을 이등분한
다.
AB”⊥OP”이므로
AP”=BP”
현의 수직이등분선은 원
의 중심을 지나므로 CM”
의 연장선은 원의 중심을
지난다.
2_17=34(cm)
(cid:9120) 34cm
03 점 O에서 AB”에 내린 수
선의 발을 H라 하면
OA”=4cm이므로
A
OH”=;2!;OA”=2(cm)
△OAH에서 AH”="√4¤ -2¤ =2'3 (cm)
∴ AB”=2AH”=2_2'3=4'3 (cm)
H
4 cm
O
2 cm
B
(cid:9120) 4'3 cm
이등변삼각형에서 두 밑각
의 크기는 서로 같으므로
∠B=∠C=66°
한 변의 길이가 a인 정삼
각형의 넓이
'3
(cid:8857) a¤
4
40 | SOLUTION
03-1 점 O에서 AB”에 내린 수선
의 발을 H라 하면
AH”=;2!;AB”=3'3(cm)
OA”=r라 하면 OH”=
;2R;
△OAH에서 r¤ =(3'3 )¤ +{;2R;}
r-
2
O
r
A
H
B
;4#; r¤ =27, r¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ r=6(cm) (cid:9120) 6 cm
04 OA”, OP”를 그으면
∠OPA=90°이므로
△OAP에서
AP”="√5¤ -3¤ =4(cm)
∴ AB”=2AP”=8(cm)
A
B
P
3`cm
O
5`cm
(cid:9120) 8cm
04-1 점 O에서 AB” 에 내린 수
선의 발을 P라 하면
AP”=;2!;AB”=4(m)
6`m
O
P
8`m
작은 원의 반지름의 길이를
A
B
r라 하면 △OAP에서
6¤ =4¤ +r¤ (cid:100)(cid:100)∴ r¤ =20
따라서 구하는 넓이는
36p-20p=16p(m¤ )
(cid:9120) 16p m¤
05 △OAM에서 OM”="√5¤ -4¤ =3
OM”⊥AB”이므로 AB”=2AM”=8
따라서 AB”=CD”이므로 x=OM”=3
(cid:9120) ③
05-1 OM”=ON”이므로 AB”=CD”=16(cm)
OM”⊥AB”이므로 AM”=;2!; AB”=8(cm)
△OAM에서 OM”="√10¤ -8¤ =6(cm)
∴ △OAB=;2!;_16_6=48(cm¤ )
(cid:9120) ⑤
06 O’M”=ON”이므로 AB”=AC”
따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로
∠A=180°-2_66°=48°
(cid:9120) ①
06-1 원의 중심 O로부터 두 현 AB, AC가 같은 거리
에 있으므로 AB”=AC”
즉 △ABC는 이등변삼각형이므로
∠B=∠C=;2!;_(180°-60°)=60°
따라서 △ABC는 정삼각형이므로
△ABC= _(4'2 )¤ =8'3 (cm¤ ) (cid:9120) ③
'3
4
¤
E0420_Q중3하솔(040-059) 2015.4.20 12:18 PM 페이지41 SinsagoHitec
Q BOX
필수유형 다지기
▶ 92~94쪽
01 직선 PA는 원 O의 접선이므로
∠OAP=90°
따라서 △OPA에서
OP”="√15¤ +8¤ =17(cm)
∴ x=17-8=9
01-1 직선 PT는 원 O의 접선이므로
∠OTP=90°
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
△OTP=;2!;_4'3_r=2'3r
즉 2'3r=6'6이므로 r=3'2
따라서 원 O의 넓이는
p_(3'2)¤ =18p
02
PA”=PB”이므로 △PAB는 이등변삼각형이다.
∴ ∠PBA=;2!;_(180°-50°)=65°
이때 ∠OBP=90°이므로
∠ABO=90°-65°=25°
(cid:9120) ③
02-1 ∠OAP=90°이고 OA”=5이므로 △OAP에서
PA”="√(5+8)¤ -5¤ =12
PB”=PA”=12이므로 (cid:8772)AOBP의 둘레의 길이는
5+5+12+12=34
(cid:9120) ②
03 OP”를 그으면
∠OPB=30°
∠OBP=90°이므로
△OBP에서
PB”=
2
tan 30°
A
30æ
30æ
P
O
2`cm
B
PB”=2_'3=2'3(cm)
또 PA”=PB”이므로
PA”+PB”=2_2'3=4'3(cm)
03-1 OP”를 그으면
∠AOP=60°
∠OAP=90°이므
로 △OAP에서
OA”=
4'3
tan 60°
4'3
OA= =4
'3
∴ (cid:8772)AOBP=2△OAP=2_{;2!;_4'3 _4}
(cid:9120) 16'3
=16'3
△OAP™△OBP
∴ ∠OPA=∠OPB
=30°
(cid:9120) ⑤
원 밖의 한 점에서 그 원
에 그은 두 접선의 길이
는 같다.
P
△OAP™△OBP
∴ ∠AOP=∠BOP
=60°
A
4'3
60æ
O 60æ
B
(cid:9120) ③
점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
04 DP”=D’A”
=4(cm)
PC”=BC”
=6(cm)
∴ DC”=DP”+PC”
=10(cm)
D
4`cm
A
6 cm
C
4 cm
P
H
6`cm
O
B
BH”=A’D”=4(cm)
이므로 HC”=6-4=2(cm)
△DHC에서
DH”="√10¤ -2¤ =4'6(cm)
∴ AB”=DH”=4'6 (cm)
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
(cid:9120) 4'6 cm
(cid:9120) ⑤
∠DAB=∠CBA=90°
∴ DA”∥CB”
따라서 (cid:8772)ABCD는 사
다리꼴이다.
04-1 DA”=DE”, CB”=CE”이므로
DA”+CB”=DC”=13(cm)
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(DA”+CB”)_12
=;2!;_13_12=78(cm¤ ) (cid:9120) ③
05
CE”=CA”, DE”=DB”이므로
PA”+PB”=(PC”+CA”)+(PD”+DB”)
=PC”+(CE”+DE”)+PD”
=PC”+CD”+PD”
=9+5+8=22(cm)
PA”=PB”이므로 PB”=;2!;_22=11(cm)
∴ DB”=PB”-PD”=11-8=3(cm)
(cid:9120) ③
05-1 OP”를 그으면
∠OPA=30°
∠OAP=90°이므로
△OPA에서
PA”=
5
tan 30°
A
D
5`cm
O
C
30æ
P
30æ
E
B
OB=5_'3=5'3 (cm)
이때 PB”=PA”이고 DC”=DA”, EC”=EB”이므로
△PDE의 둘레의 길이는
PD”+DE”+PE”=PD”+(DC”+EC”)+PE”
=(PD”+DA”)+(EB”+PE”)
=PA”+PB”=2PA”
=10'3(cm)
(cid:9120) 10'3 cm
06 AF”=AE”=x라 하면
BD”=BF”=10-x, CD”=CE”=6-x이므로
(10-x)+(6-x)=12, 2x=4
∴ x=2(cm)
(cid:9120) 2cm
Ⅶ. 원의 성질 | 41
E0420_Q중3하솔(040-059) 2015.4.20 12:18 PM 페이지42 SinsagoHitec
Q BOX
내접원의 반지름의 길이
가 r이고 세 변의 길이가
a, b, c인 삼각형의 넓이
(cid:8857) ;2!;r(a+b+c)
AD”+BD”=AB”
(cid:9120) ④
AB”의 길이가 원 O의 지
름의 길이와 같으므로 원
O의 반지름의 길이는
;2!;AB”=8(cm)
LECTURE BOOK
06-1 △ABC=;2!;_3_(AB”+BC”+CA”)=45
이므로 AB”+BC”+CA”=30
AF”=AE”, BF”=BD”, CD”=CE”이므로
AF”+BD”+CE”=;2!;(AB”+BC”+CA”)
AF”+BD”+CE”=;2!;_30=15(cm)
(cid:9120) ④
07 AC”="1√3¤ -ç12¤ =5(cm)
오른쪽 그림에서 원 O
D
A
O
E
F
C
의 반지름의 길이를 r
13 cm
라 하면
CE”=CF”=r,
B
12 cm
AD”=AF”=5-r, BD”=BE”=12-r이므로
(5-r)+(12-r)=13(cid:100)(cid:100)∴ r=2(cm)
따라서 원 O의 넓이는 p_2¤ =4p (cm¤ )
다른 풀이
하면
AC”=5cm이므로 원 O의 반지름의 길이를 r라
△ABC=;2!;_12_5=;2!;_r_(12+13+5)
∴ r=2(cm)
따라서 원 O의 넓이는 p_2¤ =4p (cm¤ )
07-1 BD”=BE”=x라 하면
AB”=x+3, BC”=x+9
△ABC에서 (x+9)¤ =(x+3)¤ +12¤
12x=72(cid:100)(cid:100)∴ x=6(cm)
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
AB”+BC”+CA”=(6+3)+(6+9)+12
=36(cm)
(cid:9120) 36 cm
08 (cid:8772)ABCD가 등변사다리꼴이므로
DC”=AB”=5
AB”+DC”=AD”+BC”이므로
5+5=x+6(cid:100)(cid:100)∴ x=4
(cid:9120) 4
08-1 AB”+DC”=AD”+BC”이므로
10+DC”=AD”+12
∴ DC”-AD”=2(cm)
(cid:9120) 2 cm
09
CE”="√10¤ -6¤ =8(cm)
BE”=x라 하면 AD”=BC”=x+8
(cid:8772)ABED는 원O에 외접하므로
AB”+DE”=AD”+BE”
6+10=(x+8)+x, 2x=8
∴ x=4(cm)
(cid:9120) 4cm
42 | SOLUTION
PQ”
¤ -PH”
¤ -OH”
¤ =QO”
=QH”
09-1 BE”=x라 하면 EC”=12-x
(cid:8772)AECD가 원O에 외접하므로
AE”+DC”=AD”+EC”
AE”+8=12+(12-x)(cid:100)(cid:100)∴ AE”=16-x
△ABE에서 (16-x)¤ =8¤ +x¤
32x=192(cid:100)(cid:100)∴ x=6(cm)
∴ △ABE=;2!;_6_8=24(cm¤ )
(cid:9120) 24 cm¤
발전유형 익히기
▶ 95쪽
01 원 O'의 반지름의 길
이를 r라 하면 오른
A
18 cm
D
쪽 그림에서
OH”=8-r
OO'”=8+r
HO'”=18-8-r
=10-r
16 cm
O
8-r
H
B
8 cm
8 cm
r
H'
O'
C
△OHO'에서 (8+r)¤ =(8-r)¤ +(10-r)¤
r¤ -52r+100=0, (r-2)(r-50)=0
∴ r=2(cm)(∵ 0DP”)
(cid:9120) 3cm
03 AC”를 그으면
B
반원에 대한 원주각의 크
기는 90°이다.
E0420_Q중3하솔(040-059) 2015.4.20 12:19 PM 페이지53 SinsagoHitec
01-1 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
x¤ =5_20=100
∴ x=10(cm)
02
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
3_(3+7)=2_(2+x)
2x=26(cid:100)(cid:100)∴ x=13(cm)
(cid:9120) 13cm
02-1 PC”=6-x이고 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
3_(3+5)=(6-x)_6
6x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=2
03
PB”=11-3=8(cm)이고 CP”
¤ =PA”_PB”이
므로
¤ =3_8=24(cid:100)(cid:100)
CP”
∴ CP”=2'6(cm)
03-1 BP”=xcm라 하면 PC”
4¤ =8x(cid:100)(cid:100)∴ x=2
¤ =PA”_PB”이므로
즉 AB”=10 cm이므로 원 O의 반지름의 길이는
5 cm이다.
따라서 원 O의 넓이는
p_5¤ =25p(cm¤ )
(cid:9120) 25p cm¤
04-1 원 O의 반지름의 길이를 rcm라 하면
AP”=;2!;r(cm), BP”=;2#;r(cm)
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
;2!;r_;2#;r=3_4, r¤ =16
∴ r=4
(cid:9120) 4cm
05 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
4_9=3_(3+2r), 6r=27(cid:100)(cid:100)∴ r=;2(;
따라서 원 O의 둘레의 길이는
2p_;2(;=9p(cm)
(cid:9120) ④
05-1 OP”=5+7=12(cm)이므로
CP”="√5¤ +12¤ =13(cm)
CD”=xcm라 하면 DP”=(13-x)cm
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
17_7=13_(13-x), 13x=50
04
PO”=xcm라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
8_7=(8-x)(8+x), 56=64-x¤
x¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ x=2'2
(cid:9120) 2'2cm
PC”=CO”-PO”
=8-x(cm)
PD”=DO”+PO”
=8+x(cm)
Q BOX
(cid:9120) 10cm
4x=24(cid:100)(cid:100)∴ x=6
(cid:9120) ⑤
06
PA”_PB”=PE”_PF”=PC”_PD”이므로
2_(2+18)=4_(4+x)
06-1 PA”_PC”=PQ”_PR”=PB”_PD”이므로
(8+3)_PC”=3_15
∴ PC”=
(cm)
;1$1%;
(cid:9120)
cm
;1$1%;
(cid:9120) ②
(cid:9120) ④
원의 중심에서 현에 내린
수선은 그 현을 이등분하
므로 CP”=DP”
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
필수유형 다지기
▶ 119쪽
01
¤ =PA”_PB”이므로
PT”
(2'3 )¤ =x(x+4), x¤ +4x-12=0
(x+6)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2
(cid:9120) 2
01-1 CA”_CB”=CD”_CT”이므로
4_CB”=3_8(cid:100)(cid:100)∴ CB”=6(cm)
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =8_(8+4+6)=144
또 PT”
PT”
∴ PT”=12(cm)
(cid:9120) ③
02 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
¤ =PA”_PB”이므로
PT”
8¤ =(10-r)(10+r), r¤ =36
∴ r=6
∴ PA”=10-6=4
(cid:9120) ③
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =4_(4+8)=48(cid:100)(cid:100)
02-1 PT”
PT”
∴ PT”=4'3
∴ QT”=PT”=4'3
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
(4'3 )¤ =3_(3+2r), 6r=39
∴ r=:¡2£:
03 원 O에서 PT”
¤ =PA”_PB”이므로
5¤ =3_(3+AB” )
3AB”=16(cid:100)(cid:100)∴ AB”=:¡3§:(cm)
또 P’T'”=PT”=5(cm)이므로
(cid:9120) :¡2£:
Ⅶ. 원의 성질 | 53
∴ x=;1%3);
(cid:9120) ;1%3); cm
AB”+PT'”=:£3¡:(cm)
(cid:9120) :£3¡:cm
직각삼각형 COP에서
CP”=øπCO”
¤ +OP”
¤ =PA”_PB”=PT'”
PT”
∴ PT”=PT'”
¤
¤
E0420_Q중3하솔(040-059) 2015.4.20 12:19 PM 페이지54 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
03-1 원 O에서 PT”
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =PC”_PD”
¤ =5_(5+4)=45
PT”
∴ PT”=3'5
원 O'에서 PT”
(3'5)¤ =3_(3+CD”)
3CD”=36(cid:100)(cid:100)∴ CD”=12
∴ PT”+CD”=3(4+'5)
”이므로
(cid:9120) ⑤
발전유형 익히기
▶ 120~121쪽
01
PA”=x라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
x(x+11)=6_(6+4), x¤ +11x-60=0
반원에 대한 원주각의 크
기는 90°이다.
(x+15)(x-4)=0
∴ x=4(cm)
△PAC와 △PDB에서
∠PCA=∠PBD, ∠P는 공통이므로
△PACª△PDB (AA 닮음)
PA” : PD”=AC” : DB”이므로
4 : 10=3 : BD”
∴ BD”=:¡2∞:(cm)
(cid:9120) :¡2∞:cm
원에 내접하는 사각형의
한 외각의 크기는 그 내
대각의 크기와 같다.
01-1 PC”=x라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
7_(7+5)=x(x+8), x¤ +8x-84=0
μAC에 대한 원주각
(x+14)(x-6)=0
∴ x=6(cm)
△PAC와 △PDB에서
∠PAC=∠PDB, ∠P는 공통이므로
△PACª△PDB (AA 닮음)
PA” : PD”=AC” : DB”이므로
7 : 14=AC” : 8
∴ AC”=4(cm)
02
PT”
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =3_(3+9)=36
∴ PT”=6(cm)
△PTA와 △PBT에서
(cid:9120) ③
μAB에 대한 원주각
∠PTA=∠PBT, ∠P는 공통이므로
△PTAª△PBT(AA 닮음)
PT”：PB”=TA”：BT”이므로
6：12=5：BT”
∴ BT”=10(cm)
(cid:9120) 10 cm
접선과 현이 이루는 각의
크기는 그 각의 내부에
있는 호에 대한 원주각의
크기와 같다.
54 | SOLUTION
02-1 PA”=x라 하면 PT”
¤ =PA”_PB”이므로
8¤ =x(x+12), x¤ +12x-64=0
(x+16)(x-4)=0
∴ x=4
△PTA와 △PBT에서
∠PTA=∠PBT, ∠P는 공통이므로
△PTAª△PBT(AA 닮음)
PT” : PB”=TA” : BT”이므로
8 : 16=AT” : 12
∴ AT”=6
(cid:9120) 6
02-2 BT”를 그으면 △APT와
△ATB에서
∠APT=∠ATB=90°,
∠ATP=∠ABT
이므로
A
8
C
P
5
B
O
T
△APTª△ATB (AA 닮음)
AP” : AT”=AT” : AB”이므로
¤ =80
8 : AT”=AT” : 10, AT”
∴ AT”=4'5
△APT에서 PT”="√(4'5 )¤ -8¤ =4
¤ =PC”_PA”이므로
이때 PT”
4¤ =PC”_8(cid:100)(cid:100)∴ CP”=2
(cid:9120) 2
03 △ABP와 △AQC에서
∠BAP=∠QAC, ∠ABP=∠AQC이므로
△ABPª△AQC (AA 닮음)
AB” : AQ”=AP” : AC”이므로
4 : AQ”=3 : 6
∴ AQ”=8(cm)
∴ PQ”=8-3=5(cm)
(cid:9120) 5cm
B
C
6
A
4.8
O H
4
D
03-1 BD”를 그으면 △ABD와
△AHC에서
∠ADB=∠ACH,
∠ABD=∠AHC=90°
이므로
△ABDª△AHC
(AA 닮음)
AB” : AH”=AD” : AC”이므로
6 : AH”=8 : 4.8
∴ AH”=3.6
(cid:9120) ④
04 △ABP에서∠APB=90°이므로
∠ABP=90°-22°=68°
E0420_Q중3하솔(040-059) 2015.4.20 12:19 PM 페이지55 SinsagoHitec
∠y+(∠PAB+∠PAC)=180°
∴ ∠x+∠y=180°
(cid:9120) 180°
∠x=∠PAB+∠PAC
Q BOX
OA”=6이므로
O'P”=;2!; OA”=3
∠QPT는 접선 PT와
현 QP가 이루는 각의 크
기이고 ∠QCP는 호 PQ
에 대한 원주각이므로
∠QPT=∠QCP
원 O'의 반지름의 길이가
2 cm이므로
AO'”=4+2=6(cm)
CQ”를 긋고 점 P에서
반원 O와 원O'에 접
하는 직선 PT를 긋자.
∠PQB=∠x라 하면
P
C
O'
T
x
22æ
A
O
Q
B
∠QPT=∠QCP=∠PQB=∠x
또 BP”를 그으면
∠BPT=∠BAP=22°(cid:100)(cid:100)
∴ ∠QPB=∠x-22°
△PQB에서
(∠x-22°)+∠x+68°=180°
2∠x=134°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=67°
(cid:9120) 67°
04-1 AP”를 그으면
∠PBC=∠PAB,
∠PCB=∠PAC
△PBC에서
∠y+∠PBC+∠PCB
=180°이므로
A
x
P
B
y
C
05 AP”
AP”
¤ =AO”_AB”이므로
¤ =4_(4+4)=32(cid:100)(cid:100)∴ AP”=4'2(cm)
Q
PO'”, QB”를 그으면
P
A
4cm
O O'
B
△APO'과 △AQB에서
∠APO'=∠AQB
=90°,
∠A는 공통이므로
△APO'ª△AQB(AA 닮음)
AP”：AQ”=AO'”：AB”이므로
4'2 : AQ”=6 : 8(cid:100)(cid:100)∴ AQ”=
16'2
3
(cm)
∴ PQ”=
16'2
3
4'2
-4'2= (cm) (cid:9120)
3
4'2
3
cm
다른 풀이
AO'”=6 cm, PO'”=2 cm이므로 △APO'에서
AP”="√6¤ -2¤ =4'2(cm)
AP”：PQ”=AO'”：O'B”이므로
4'2 : PQ”=6 : 2(cid:100)(cid:100)∴ PQ”= (cm)
4'2
3
05-1 OB”=x라 하면 BP”
¤ =BO”_BA”이므로
(6'2)¤ =x_2x, x¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ x=6
PO'”을 그으면
△QAB와 △PO'B에서
Q
P
6 2
∠AQB=∠O'PB
A
OO'
B
=90°,
∠B는 공통이므로
△QABª△PO'B(AA 닮음)
AQ” : O'P”=AB” : O'B”이므로
AQ” : 3=12 : 9
∴ AQ”=4
(cid:9120) 4
05-2
Q
P
B
A
O
O'
C
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
AQ”
AB”=6(cm), AC”=12(cm)
¤ =AB”_AC”이므로
¤ =6_12=72(cid:100)(cid:100)∴ AQ”=6'2(cm)
AQ”
QO'”을 그으면 △APB와 △AQO'에서
∠APB=∠AQO'=90°, ∠A는 공통이므로
△APBª△AQO'(AA 닮음)
AP” : AQ”=AB” : AO'”이므로
AP” : 6'2=6 : 9(cid:100)(cid:100)∴ AP”=4'2(cm)
또 PB” : QO'”=AB” : AO'”이므로
BP” : 3=6 : 9(cid:100)(cid:100)∴ BP”=2(cm)
∴ △ABP=;2!;_4'2_2=4'2(cm¤ )
(cid:9120) 4'2 cm¤
중단원 마무리
▶ 122~125쪽
`03 75'3 cm¤
`
`01 ④
04 ③
`02 ⑤
`05 2'3 cm `06 ⑤
10 ;5(;
`09 ③
14 ④
`13 4 cm
12 ⑤
`16 3cm `17 ⑴ 52° ⑵ 78°
`08 ④
`07 2
11 8'3 cm
`15 ③
18 x=6, y=:¡1£7∞:
21 ①
`22 ⑤
25 6cm
19 '3 cm 20 ③
`23 56'2
24 18 cm
01 ∠ACP=∠ADC=80°이므로 △ACP에서
∠x=180°-45°-80°=55°
02 직선 PT가 원O의 접선이므로
∠APT=∠ABP
(cid:8772)ABCD가 원 O'에 내접하므로
∠ABP=∠ADC=70°
∴ ∠APT=70°
(cid:9120) ④
(cid:9120) ⑤
Ⅶ. 원의 성질 | 55
E0420_Q중3하솔(040-059) 2015.4.20 12:19 PM 페이지56 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
03 ∠PAC=∠BCP=30°
∠BCA=90°이므로 △ABC에서
AC”=AB” cos 30°
=20_
'3
2
=10'3(cm)
△APC에서
∠APC=180°-(30°+90°+30°)=30°
이므로 PC”=AC”=10'3(cm)
∠PCA=120°이므로
△CAP=;2!;_10'3_10'3_sin(180°-120°)
△CAP=75'3(cm¤ )
(cid:9120) 75'3cm¤
04
x(x+5)=2_(2+10)이므로
x¤ +5x-24=0, (x+8)(x-3)=0
∴ x=3 (∵ x>0)
원의 접선은 그 접점을 지
나는 반지름에 수직이다.
두 변의 길이가 a, b이고
그 끼인 각의 크기가 C
인 삼각형의 넓이
(cid:8857) ;2!;absin(180°-C)
(단, 90°b이므로 a=0, b=-3
∴ a-b=3
(cid:9120) ③
010 3+(-5)+(-1)+0+x+2=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1
따라서 E의 인터넷 사용 시간은
1+11=12(시간)
(cid:9120) ③
011 ㈀ -2+5+4+x+(-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-4
㈁ 편차가 양수이므로 C는 평균보다 맥박 수가
㈂ A의 맥박 수는 77+(-2)=75(회)
㈃ D의 편차가 가장 작으므로 맥박 수가 가장 작
은 학생은 D이다.
(cid:9120) ③
012 기현이의 몸무게의 편차를 xkg이라 하면
-6+4+3+1+x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-2
∴ (분산)=
(-6)¤ +4¤ +3¤ +1¤ +(-2)¤
5
=:§5§:=13.2
(cid:9120) ③
013 남학생, 여학생의 (편차)¤ 의 총합은 각각
8¤ _20=1280, 4¤ _10=160
따라서 전체 학생의 (편차)¤ 의 총합은
1280+160=1440
∴ (분산)=
1440
30
∴ (표준편차)='∂48=4'3(점)
=48
(cid:9120) 4'3 점
014 (평균)=
2+4+6+x+y
5
=5에서
12+x+y=25(cid:100)(cid:100)∴ x+y=13
yy ㉠
(분산)=
(-3)¤ +(-1)¤ +1¤ +(x-5)¤ +(y-5)¤
5
(분산)=2¤ =4
에서 (x-5)¤ +(y-5)¤ =9
∴ x¤ +y¤ -10(x+y)+50=9
yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 x¤ +y¤ -10_13+50=9
∴ x¤ +y¤ =89
(cid:9120) ④
015 (평균)=
x+y+z
3
=6에서
x+y+z=18
(분산)=
(x-6)¤ +(y-6)¤ +(z-6)¤
3
yy ㉠
=4에서
E0420_Q중3하솔(060-062) 2015.4.20 12:22 PM 페이지61 SinsagoHitec
017 (평균)=
4_4+6_5+8_2+10_1
12
도수분포표에서의 평균
{(계급값)_(도수)}의총합
(도수)의 총합
(cid:8857)
(x-6)¤ +(y-6)¤ +(z-6)¤ =12
∴ x¤ +y¤ +z¤ -12(x+y+z)+108=12 yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
x¤ +y¤ +z¤ -12_18+108=12
∴ x¤ +y¤ +z¤ =120
따라서 x¤ , y¤ , z¤ 의 평균은
x¤ +y¤ +z¤
3
=
120
3
=40
016 (평균)=
5+3x+4
3
=x+3(개)
(분산)=
(2-x)¤ +(2x-3)¤ +(1-x)¤
3
=:¡3¢:
에서 (2-x)¤ +(2x-3)¤ +(1-x)¤ =14
6x¤ -18x=0, 6x(x-3)=0
∴ x=3 (∵ x>0)
(cid:9120) ③
=;1&2@;=6(분)
(분산)=
(-2)¤ _4+0¤ _5+2¤ _2+4¤ _1
12
=;1$2);=:¡3º:
∴ (표준편차)=æ–:¡3º:=
'∂30
3
(분)
(cid:9120)
'∂30
3
분
018 20개 이상 30개 미만인 계급의 도수를 x명이라
2+x+12+7+4=30(cid:100)(cid:100)∴ x=5
하면
(평균)
=
15_2+25_5+35_12+45_7+55_4
30
=37(개)
=
1110
30
∴ (분산)
=
(-22)¤ _2+(-12)¤ _5+(-2)¤ _12+8¤ _7+18¤ _4
30
=
3480
30
=116
(cid:9120) 116
019 10분 이상 20분 미만인 계급의 도수를 x명, 20분
이상 30분 미만인 계급의 도수를 y명이라 하면
2+x+y+1=10에서 x+y=7
yy ㉠
(평균)=
5_2+15x+25y+35_1
10
=19에서
15x+25y=145(cid:100)(cid:100)∴ 3x+5y=29 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=3, y=4
Q BOX
∴ (분산)
=
=
840
10
=84
(-14)¤ _2+(-4)¤ _3+6¤ _4+16¤ _1
10
(cid:9120) 84
주어진 그래프에서 계급
값과 도수를 구한다.
020
계급값(권)
도수(명)
2
3
6
5
10
7
14
4
18 합계
1
20
(cid:9120) 40
{5-(x+3)}¤ =(2-x)¤
(평균)
=
2_3+6_5+10_7+14_4+18_1
20
W
O
R
K
B
O
O
K
=:¡2•0º:=9(권)
(분산)
=
=
380
20
=19
(-7)¤ _3+(-3)¤ _5+1¤ _7+5¤ _4+9¤ _1
20
∴ (표준편차)='∂19 (권)
(cid:9120) ⑤
021 8ppb 이상 12ppb 미만인 계급의 도수를 x개라
하면
6+x+2+2=20(cid:100)(cid:100)∴ x=10
계급값(ppb)
도수(개)
6
6
10
10
14
2
18 합계
2
20
(평균)=
6_6+10_10+14_2+18_2
20
(평균)=:™2º0º:=10(ppb)
∴ (분산)=
(-4)¤ _6+0¤ _10+4¤ _2+8¤ _2
20
∴ (분산)=:™2∞0§:=12.8
(cid:9120) 12.8
표준편차가 작을수록 변
량의 분포 상태가 고르다.
022 수면 시간이 가장 고르지 않은 학생은 표준편차
(cid:9120) ②
가 가장 큰 학생이므로 B이다.
023 성연이의 점수의 평균과 분산은
(평균)=
6+7+6+5+6
5
=6(점)
(분산)=
0¤ +1¤ +0¤ +(-1)¤ +0¤
5
=;5@;
지애의 점수의 평균과 분산은
(평균)=
8+4+8+2+8
5
=6(점)
(분산)=
2¤ +(-2)¤ +2¤ +(-4)¤ +2¤
5
=;;£5™;;
따라서 성연이의 점수의 분산이 지애의 점수의
분산보다 더 작으므로 성연이의 점수가 더 고르
게 분포되어 있다.
(cid:9120) 성연
Ⅳ. 통계 | 61
㉠_3-㉡을 하면
-2y=-8(cid:100)(cid:100)∴ y=4
y=4를 ㉠에 대입하면
x=3
E0420_Q중3하솔(060-062) 2015.4.20 12:22 PM 페이지62 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
024 광현이의 기록의 평균과 분산은
13+12+11+16+13
5
(평균)=
=13(초)
(분산)=
0¤ +(-1)¤ +(-2)¤ +3¤ +0¤
5
=:¡5¢:
만수의 기록의 평균과 분산은
(평균)=
15+13+15+13+14
5
=14(초)
(분산)=
1¤ +(-1)¤ +1¤ +(-1)¤ +0¤
5
=;5$;
따라서 광현이의 기록의 평균이 만수의 기록의
평균보다 더 짧고, 만수가 광현이보다 기록의 분
포가 더 고르다.
(cid:9120) ①, ④
025
a+b+c
3
=5에서 a+b+c=15
따라서 3a, 3b, 3c의 평균은
3(a+b+c)
3
=
3_15
3
=15
(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤
3
=4¤ =16에서
(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ =48
따라서 3a, 3b, 3c의 분산은
(3a-15)¤ +(3b-15)¤ +(3c-15)¤
3
=
9{(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ }
3
=
9_48
3
=144
∴ (표준편차)='∂144=12
(cid:9120) 15, 12
026 m=;5!;(a+b+c+d+e)
s¤ =;5!;{(a-m)¤ +(b-m)¤ +(c-m)¤
+(d-m)¤ +(e-m)¤ }
자료 B의 평균과 분산을 각각 m', s'이라 하면
m'=;5!;{(2a-1)+(2b-1)+(2c-1)
+(2d-1)+(2e-1)}
=;5@;(a+b+c+d+e)-1=2m-1
s'=;5!;{4(a-m)¤ +4(b-m)¤ +4(c-m)¤
+4(d-m)¤ +4(e-m)¤ }
=;5$; {(a-m)¤ +(b-m)¤ +(c-m)¤
+(d-m)¤ +(e-m)¤ }
=4s¤
따라서 자료 B의 평균은 2m-1, 분산은 4s¤ 이
다.
(cid:9120) 평균：2m-1, 분산：4s¤
62 | SOLUTION
027 ㈀ B반의 그래프가 A반의 그래프보다 오른쪽으
로 치우쳐 있으므로 B반의 성적의 평균이 A
반의 성적의 평균보다 더 높다.
㈁ B반의 성적이 평균을 중심으로 더 모여 있으
므로 B반의 성적이 A반의 성적보다 더 고르
다고 할 수 있다.
㈂ 편차의 총합은 항상 0이다.
(cid:9120) ④
A반의 성적의 평균과 분산은
=
45_4+55_5+65_4+75_4+85_2+95_1
20
다른 풀이
(평균)
=64(점)
(분산)
=209
(평균)
=77(점)
(분산)
=86
=
(-19)¤_4+(-9)¤_5+1¤_4+11¤_4+21¤_2+31¤_1
20
B반의 성적의 평균과 분산은
=
55_1+65_3+75_8+85_7+95_1
20
=
(-22)¤ _1+(-12)¤ _3+(-2)¤ _8+8¤ _7+18¤ _1
20
따라서 A반의 성적의 평균이 B반의 성적의 평
균보다 더 낮고, B반의 성적이 A반의 성적보다
더 고르다.
028 A, B, C 세 사람의 점수는
A：4, 4, 6, 8, 8
B：4, 6, 6, 6, 8
C：4, 4, 4, 8, 10
점수의 평균은 모두 6이고, 점수가 평균을 중심
으로 더 모여 있을수록 점수의 분포가 고르다고
할 수 있으므로 점수의 분포가 고른 사람부터 차
례로 나열하면 B, A, C이다.
(cid:9120) ③
다른 풀이
A, B, C 세 사람의 점수의 분산은
A：
(-2)¤ +(-2)¤ +0¤ +2¤ +2¤
5
=;;¡5§;;
B：
(-2)¤ +0¤ +0¤ +0¤ +2¤
5
=;5*;
C：
(-2)¤ +(-2)¤ +(-2)¤ +2¤ +4¤
5
=;;£5™;;
(3a-15)¤ ={3(a-5)}¤
=9(a-5)¤
분산이 작을수록 성적의
분포가 더 고르다.
A：
B：
C：
4+4+6+8+8
5
4+6+6+6+8
5
4+4+4+8+10
5
=6
=6
=6
{2a-1-(2m-1)}¤
=(2a-2m)¤
={2(a-m)}¤
=4(a-m)¤
E0420_Q중3하솔(063-075) 2015.4.20 12:22 PM 페이지63 SinsagoHitec
Q BOX
Ⅴ 피타고라스 정리
1
피타고라스 정리
▶7~17쪽
029 AC”
¤ =4¤ +6¤ =52이므로
(cid:8772)ACDE=AC”
¤ =52(cm¤ )
(cid:9120) ②
030 (x+2)¤ =x¤ +6¤ , 4x=32 ∴ x=8 (cid:9120) 8
031 넓이가 36 cm¤ , 100 cm¤ 인 두 정사각형의 한 변
의 길이는 각각 6 cm, 10 cm이므로
x="√(6+10)¤ +10¤ =2'∂89
(cid:9120) ④
032 △ABC에서 AB”="√10¤ -6¤ =8(cm)
△ABD에서 x="√8¤ +3¤ ='7å3
(cid:9120) '7å3
033 △ACD에서 AD”="√3¤ +4¤ =5
BD”=AD”=5이므로 BC”=5+3=8
△ABC에서 x="√8¤ +4¤ =4'5
034 △ADC에서 AD”="√15¤ -9¤ =12
△ABD에서 AB”="√12¤ +16¤ =20
035 OB”="√4¤ +2¤ =2'5(cm)
OC”=øπ(2'5)¤ +2¤ =2'6(cm)
∴ OD”=øπ(2'6 )¤ +2¤ =2'7(cm)
036 BD”="√2¤ +2¤ =2'2(cm)
BF”=øπ(2'2)¤ +2¤ =2'3(cm)
BH”=øπ(2'3)¤ +2¤ =4(cm)
BJ”="√4¤ +2¤ =2'5(cm)
BK”=BJ”=2'5(cm)이므로
△BKL=;2!;_2'5_2=2'5(cm¤ )
037 AB”=BC”=CD”=DE”=x라 하면
AC”="√x¤ +x¤ ='2x
AD”=øπ('2x)¤ +x¤ ='3x
AE”=øπ('3x)¤ +x¤ =2x
즉 2x=8이므로 x=4
038 BD”를 그으면 △BCD
A
에서
BD”
¤ =6¤ +('∂14)¤ =50
AD”=AB”=x라 하면
△ABD에서
x¤ +x¤ =50, x¤ =25
∴ x=5
B
6
(cid:9120) ④
(cid:9120) ①
(cid:9120) ③
(cid:9120) ④
D
C
14
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) 2'5 cm¤
039 점 D에서 AC”에 내린
수선의 발을 H라 하
면
HA”=DB”=5(m)
∴ CH”=9-5
∴ CH”=4(m)
HD”=AB”=6(m)
이므로 △CHD에서
CD”="√6¤ +4¤ =2'1å3(m)
040 점 D에서 BC”에 내린
수선의 발을 H라 하면
C
H
9 m
D
5 m
A
6 m
B
(cid:9120) 2'1å3 m
8
D
6
C
H
10
A
B
CH”=BC”-BH”
=10-8=2
△DHC에서
DH”="√6¤ -2¤
=4'2
AB”=DH”=4'2이므로 △ABC에서
AC”=øπ(4'2)¤ +10¤ =2'∂33
(cid:9120) 2'∂33
041 △EBA=△EBC=△ABF=△JBF=△JFK
(cid:9120) ①
W
O
R
K
B
O
O
K
EB”=AB”, BC”=BF”,
∠EBC=∠ABF이므로
△EBC™△ABF
△ABE™△ADG
(SAS 합동)
BE”=BD”=2'2 (cm)
BG”=BF”=2'3 (cm)
BI”=BH”=4(cm)
△BFL=△ABF
=△EBC=△EBA
∴ (cid:8772)BFML
=(cid:8772)ADEB
(SAS 합동)
042 △AED에서 AE”=øπ4¤ -(2'3 )¤ =2(cm)
오른쪽 그림과 같이 AE”를
한 변으로 하는 정사각형
G
AEFG를 그리면
△ABE=△ADG
F
A
B
E
2Â3`cm
4`cm
D
C
=△AEG
=;2!;(cid:8772)AEFG
=;2!;_2¤
=2(cm¤ )
(cid:9120) ②
043 BC”=BF”=5(cm)이므로 △ABC에서
¤ -3¤ =4(cm)
AB”="5√
(cid:8772)BFML=(cid:8772)ADEB이므로
BL”_5=4¤
∴ BL”=:¡5§:(cm) (cid:9120) :¡5§: cm
044 BF”=12-9=3이므로 △EBF에서
EF”
¤ =9¤ +3¤ =90
이때 (cid:8772)EFGH는 정사각형이므로
(cid:8772)EFGH=EF”
¤ =90
(cid:9120) ③
045 (cid:8772)EFGH는 정사각형이므로
EF”='∂169=13
△EBF에서 BE”="√13¤ -12¤ =5
∴ (cid:8772)ABCD=(5+12)¤ =289
(cid:9120) ②
Ⅴ. 피타고라스 정리 | 63
E0420_Q중3하솔(063-075) 2015.4.20 12:23 PM 페이지64 SinsagoHitec
4_10=40(cm)
(cid:9120) 40 cm
(17-x)cm이므로
WORK BOOK
Q BOX
046 네 변의 중점을 각각
E, F, G, H라 하면
(cid:8772)EFGH는 마름모
이다.
BE”=;2!;_12
BE”=6(cm),
A
E
B
H
D
12 cm
G
F
16 cm
C
BF”=;2!;_16=8(cm)
이므로 EF”="√6¤ +8¤ =10(cm)
따라서 구하는 사각형의 둘레의 길이는
047 △ADE™△BAF™△CBG™△DCH
(RHA 합동)
① CG”=BF”=3 cm
② DE”=AF”=øπ('∂73)¤ -3¤ =8(cm)
③ EF”=AF”-AE”=8-3=5(cm)
④ △ABF=;2!;_3_8=12(cm¤ )
¤ =5¤ =25(cm¤ )
⑤ (cid:8772)EFGH=EF”
(cid:9120) ③
삼각형의 변의 길이 조건
에서
2x-(x-1)<2x+1
<2x+(x-1)
x+1<2x+1<3x-1
∴ x>2
삼각형의 변의 길이 조건
에서
(x+5)-(x+3)
-1
AE”=BF”=3 cm
048 △ABE에서 AE”=øπ('8å9)¤ -8¤ =5
AH”=BE”=8이므로 EH”=8-5=3
이때 (cid:8772)EFGH는 정사각형이므로
(cid:8772)EFGH=3¤ =9
(cid:9120) 9
(cid:8772)ABCD=89이므로
AB”='8å9
049 (cid:9120) 90°, ;2!;c¤ , a¤ +b¤
050 △ABP≡△PCD이므로
BP”=CD”=15
∴ AP”="√8¤ +15¤
=17
A
8
B
D
15
P
C
∠APD=180°-(∠APB+∠DPC)
=180°-(∠APB+∠PAB)
=90°
에서 △APD는 직각이등변삼각형이므로
AD”="√17¤ +17¤ =17'2
(cid:9120) 17'2
051 △ABC에서 AC”
AD”
¤ =8, CD”
¤ =3¤ +2¤ =13
¤ =5이므로 AC”
¤ =AD”
¤ +CD”
즉 △ACD는 ∠ADC=90°인 직각삼각형이므로
△ACD=;2!;_2'2_'5='∂10
(cid:9120) ①
052 ∠B=90°인 직각삼각형이 되려면 b¤ =a¤ +c¤ 을
만족시켜야 한다.
④ ('6)¤ =('2)¤ +2¤
(cid:9120) ④
64 | SOLUTION
053 AB”가 빗변이므로
(2x+1)¤ =(2x)¤ +(x-1)¤
x¤ -6x=0, x(x-6)=0
∴ x=6 (∵ x>2)
(cid:9120) ③
054 가장 긴 변의 길이가 x+7이므로
(x+7)¤ =(x+3)¤ +(x+5)¤
x¤ +2x-15=0, (x+5)(x-3)=0
∴ x=3 (∵ x>-1)
(cid:9120) 3
055 한 변의 길이를 x cm라 하면 다른 한 변의 길이는
13¤ =x¤ +(17-x)¤ , x¤ -17x+60=0
(x-5)(x-12)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 또는 x=12
따라서 빗변이 아닌 두 변의 길이가 5 cm, 12 cm
이므로 구하는 넓이는
;2!;_5_12=30(cm¤ )
056 AD”=DC”=x cm라
A
(cid:9120) ①
(cid:9120) ②
3 cm
E
x cm
x cm
B
D
(5-x)cm
5 cm
C
하면
BD”=(5-x)cm
△ABD에서
x¤ =3¤ +(5-x)¤
10x=34(cid:100)(cid:100)
∴ x=:¡5¶:
057 CF”=xcm라 하면
DF”=BF”
=(12-x)cm
△DFC에서
(12-x)¤ =x¤ +8¤
24x=80(cid:100)(cid:100)
∴ x=:¡3º:
A'
A
E
(12-x)cm
D
8 cm
B
(12-x)cm
xcm
C
F
12 cm
(cid:9120) :¡3º:cm
△ABP≡△PCD이므로
AP”=PD”
058 CF”=xcm라 하면
DF”=BF”
A
(8-x)cm
삼각형의 세 변의 길이가
a, b, c( cæa, cæb)일
때
① c¤ a¤ +b¤
(cid:8857) 둔각삼각형
=(8-x)cm
E
D
8 cm
(8-x)cm
CD”=AD”
=4(cm)
이므로 △DFC에서
B
F
8 cm
C
x cm
(8-x)¤ =x¤ +4¤ , 16x=48 ∴ x=3
∴ △DFC=;2!;_3_4=6(cm¤ )
(cid:9120) ③
059 ① (3'2 )¤ <2¤ +4¤ 이므로 예각삼각형
② (3'7 )¤ >3¤ +6¤ 이므로 둔각삼각형
③ (4'5 )¤ =4¤ +8¤ 이므로 직각삼각형
¤
E0420_Q중3하솔(063-075) 2015.4.20 12:23 PM 페이지65 SinsagoHitec
④ 8¤ <5¤ +7¤ 이므로 예각삼각형
⑤ 9¤ <6¤ +8¤ 이므로 예각삼각형
067 AC”="√25¤ -15¤ =20(cm)
AB”_AC”=BC”_AH”이므로
(cid:9120) ②
15_20=25_AH”(cid:100)(cid:100)∴ AH”=12(cm)
(cid:9120) 12cm
(cid:9120) 풀이 참조
(cid:9120) x=20, y=:¢5•:
Q BOX
세 변의 길이의 비가
a : b : c
(cid:8857) 세 변의 길이를
ak, bk, ck(k>0)로
놓는다.
세 변의 길이가 주어진
삼각형의 모양을 알기 위
해서는 가장 긴 변의 길
이의 제곱과 나머지 두
변의 길이의 제곱의 합을
비교한다.
060 세 변의 길이를 각각 4k, 5k, 6k(k>0)라 하면
가장 긴 변의 길이가 6k이고
(6k)¤ =36k¤ , (4k)¤ +(5k)¤ =41k¤ (cid:100)
이므로 (6k)¤ <(4k)¤ +(5k)¤
따라서 주어진 삼각형은 예각삼각형이다.
061 ⑤ (4'5 )¤ >4¤ +6¤ 이므로 △ABC는 둔각삼각
(cid:9120) ⑤
형이다.
062 (cid:9120) ②, ⑤
063 ① 3¤ +5¤ <7¤ 이므로 둔각삼각형
② 4¤ +5¤ <7¤ 이므로 둔각삼각형
③ 5¤ +5¤ >7¤ 이므로 예각삼각형
④ 5¤ +6¤ >7¤ 이므로 예각삼각형
⑤ 5¤ +7¤ >7¤ 이므로 예각삼각형
064 삼각형의 변의 길이 조건에서
15-80, y>0이므로
=
;[};
'3
2
066 △ABD에서 BD”="√3¤ -1¤ =2'2(cm)
△ABC에서 3¤ =1_AC”(cid:100)(cid:100)∴ AC”=9(cm)
∴ △ABC=;2!;_9_2'2=9'2(cm¤ )
(cid:9120) 9'2 cm¤
(cid:9120) ①, ②
yy ㉠
(cid:9120) ③
(cid:9120) ③
∠B가 둔각이므로 x¤ >8¤ +15¤ , x¤ >289
∴ x>17
㉠, ㉡에서 172
BG” : GD”=2 : 1이므로
BG” : BD”=2 : 3
AM”=BM”=CM”
∠BFD=∠CFE
(맞꼭지각),
∠BDF=∠CEF=90°
이므로
△BDFª△CEF
(AA 닮음)
086 △ABD에서
보조선을 그어 길이를 구
하는 변을 포함하는 직각
삼각형을 만든다.
077 AC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
p+4p=5p(cm¤ )
AC”
2
;2!;_p_{
∴ AC”=2'∂10(cm)
¤ =5p에서 AC”
}
¤ =40
(cid:9120) ①
078 AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
8p-2p=6p
AB”
;2!;_p_{
2
∴ AB”=4'3
AC”
;2!;_p_{
2
∴ AC”=4
}
}
¤ =6p에서 AB”
¤ =48
¤ =2p에서 AC”
¤ =16
∴ △ABC=;2!;_4_4'3=8'3
(cid:9120) 8'3
079 AC”=øπ6¤ +(6'3)¤ =12(cm)
점 D가 △ABC의 외심이므로
BD”=AD”=CD”=6(cm)
점 G가 △ABC의 무게중심이므로
BG”=;3@; BD”=4(cm)
(cid:9120) 4 cm
080 점 M은 △ABC의 외심이므로
BC”=2AM”=8'2(cm)
△ABC에서
AC”=øπ(8'2)¤ -10¤ =2'7(cm)
∴ △ABC=;2!;_10_2'7=10'7 (cm¤ )
081 △ABC에서 BC”="√13¤ -5¤ =12(cm)
점 D에서 AB”의
A
연장선에 내린 수
5 cm
선의 발을 E라 하
면 BE”=CD”이므
B
E
로
AE”=5+3=8(cm)
ED”=BC”=12(cm)이므로 △AED에서
¤ +12¤ =4'1å3(cm)
AD”="8√
(cid:9120) 10'7 cm¤
13 cm
C
3 cm
D
(cid:9120) ②
66 | SOLUTION
E0420_Q중3하솔(063-075) 2015.4.20 12:23 PM 페이지67 SinsagoHitec
Q BOX
087 AB”="√25¤ -20¤ =15(cm)
색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므
로 구하는 넓이는
;2!;_15_20=150(cm¤ )
(cid:9120) ②
088 AB”="√13¤ -5¤ =12(cm)
∴ (색칠한 부분의 넓이)=2△ABC
=2_{;2!;_5_12}
=60(cm¤ )
(cid:9120) ③
089 BC”=øπ(2'5)¤ -2¤ =4(cm)
AD”가 ∠A의 이등분선이므로
BD” : CD”=2'5 : 2='5 : 1
∴ CD”=4_
='5-1(cm)
1
'5+1
(cid:9120) ('5-1)cm
090 AD”가 ∠A의 이등분선이므로
AB” : AC”=BD” : CD”=5 : 4
(a+4)-5<2a-3
<(a+4)+5
에서 20)라 하면 △ABC에서
(5x)¤ =9¤ +(4x)¤ , 9x¤ =81
x¤ =9 ∴ x=3
∴ AC”=4x=12
(cid:9120) ④
2
피타고라스 정리의 활용
▶18~30쪽
093 주어진 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
AB”="√x¤ +(2x)¤ ='1å5이므로
'5x='1å5(cid:100)(cid:100)∴ x='3
∴ AC”
”=øπ('3 )¤ +(3'3 )¤ ='3å0(cm)
(cid:9120) ⑤
094 가로, 세로의 길이를 각각 k, 2k (k>0)라 하면
øπk¤ +(2k)¤ =4'5이므로
'5k=4'5(cid:100)(cid:100)∴ k=4(cm)
따라서 가로, 세로의 길이가 각각 4cm, 8cm이
므로 직사각형의 넓이는
4_8=32(cm¤ )
(cid:9120) 32cm¤
095 (a+4)¤ +5¤ =(2a-3)¤ 이므로
3a¤ -20a-32=0
(3a+4)(a-8)=0
∴ a=8 (∵ 2sin 30°=;2!;이므로
cos 60°tan 45°=1
2
∴ cos 65°0, sin A-cos A<0
∴ (주어진 식)=cos A-{-(sin A-cos A)}
=sin A
(cid:9120) sin A
209 45°0, cos A-sin A<0
∴ "√(1-cos A)¤ -"√(cos A-sin A)¤
=1-cos A-{-(cos A-sin A)}
=1-sin A
즉 1-sin A=;5!;이므로 sin A=;5$;
오른쪽 그림에서
AB”="√5¤ -4¤ =3이므로
BC”
AB”
tan A=
=;3$;
(cid:9120) ③
5
A
C
4
B
2
삼각비의 활용
▶38~45쪽
b
210 ④ cos A= 이므로 b=ccos A
c
(cid:9120) ④
211 x=26 cos B=26_;1∞3;=10
y=26sin B=26_;1!3@;=24
∴ y-x=24-10=14
(cid:9120) 14
AC”=4 cos 30°=4_ =2'3(cm)
따라서 구하는 부피는
'3
2
{;2!;_2_2'3}_4'3=24(cm‹ )
(cid:9120) 24cm‹
213 5tan54°=5_1.38=6.9(m)
(cid:9120) 6.9 m
214 AB”=10'3 tan 30°=10'3_ =10(m)
'3
3
AC”=
10'3
cos 30°
2
=10'3_ =20(m)
'3
따라서 부러지기 전의 나무의 높이는
AB”+AC”=30(m)
(cid:9120) 30m
W
O
R
K
B
O
O
K
215 AH”=100cos 60°=100_;2!;=50(m)
∴ CH”=50 tan 45°
∴ CH”=50_1=50(m)
(cid:9120) ①
6 cm
30æ
C
B
H
4'3 cm
면 △ACH에서
AH”=6sin 30°
=6_;2!;=3(cm)
'3
CH”=6 cos 30°=6_ =3'3(cm)이므로
2
BH”=4'3-3'3='3 (cm)
따라서 △ABH에서
AB”=øπ3¤ +('3 )¤ =2'3(cm)
(cid:9120) 2'3 cm
217 (cid:8772)ABCD가 평행사
변형이므로
A
8 cm
D
∠B=180°-120°
=60°
60æ
B
H
12 cm
120æ
C
Ⅵ. 삼각비 | 77
보조선을 그어 AB”를 빗
변으로 하는 직각삼각형
을 만든다.
216 꼭짓점 A에서 BC”에 내
린 수선의 발을 H라 하
A
E0420_Q중3하솔(076-081) 2015.4.20 12:24 PM 페이지78 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하
∠C=180°-(75°+60°)=45°이므로
면 △ABH에서
AH”=8sin 60°=8_ =4'3(cm)
'3
2
BH”=8cos 60°=8_;2!;=4(cm)이므로
CH”=12-4=8(cm)
따라서 △ACH에서
AC”=øπ(4'3)¤ +8¤ =4'7(cm)
(cid:9120) ④
A
135æ
4Â2
6
C
45æ
H
218 꼭짓점 A에서 BC” 의
연장선에 내린 수선의
발을 H라 하면
B
∠ACH=180°-135°
=45°
△ACH에서
CH”=AH”=4'2 sin 45°=4'2_ =4
'2
2
따라서 BH”=6+4=10이므로 △ABH에서
AB”="√10¤ +4¤ =2'∂29
(cid:9120) ④
219 꼭짓점 C에서 AB”에 내
린 수선의 발을 H라 하
A
60æ
H
8 cm
45æ
B
C
면 △AHC에서
CH”=8sin60°
'3
2
=8_
=4'3(cm)
△BCH에서
BC”=
4'3
sin 45°
=4'3_'2=4'6(cm) (cid:9120) ①
220 꼭짓점 B에서 AC”
에 내린 수선의 발
을 H라 하면
A
45æ
H
10Â2`cm
105æ
30æ
C
B
△ABH에서
BH”=10'2sin 45°
'2
BH”=10'2_ =10(cm)
2
∠C=180°-(45°+105°)=30°이므로
△BCH에서
10
sin 30°
BC”=
=10_2=20(cm)
(cid:9120) ⑤
221 꼭짓점 A에서 BC”
에 내린 수선의 발
A
75æ
4'6 cm
을 H라 하면
△ABH에서
AH”=4'6 sin 60°
'3
2
=4'6_ =6'2(cm)
60æ
B
H
45æ
C
78 | SOLUTION
△AHC에서
6'2
sin 45°
AC”=
=6'2_'2=12(cm)
222 점 A에서 BC”에 내린 수
선의 발을 H라 하면
△ABH에서
A’H”=50sin60°
'3
2
=50_
=25'3(m)
(cid:9120) 12cm
C
60`m
H
A
50`m
60æ
B
BH”=50 cos 60°=50_;2!;=25(m)이므로
CH”=60-25=35(m)
따라서 △ACH에서
AC”="√35¤ +(25'3 )¤ =10'∂31(m)
(cid:9120) ③
223 점 A에서 BC”에 내린
수선의 발을 H라 하면
B
60æ
H
75æ
45æ
A
60`m
C
△ACH에서
AH”=60sin 45°
'2
2
AH”=60_
=30'2(m)
에서
AB”=
∠B=180°-(75°+45°)=60°이므로 △ABH
AH”
sin 60°
2
=30'2_ =20'6(m)
'3
(cid:9120) 20'6 m
224 ∠BAH=45°, ∠CAH=30°이므로
AH”=hcm라 하면 BH”=AH”=h(cm),
CH”=h tan 30°= h(cm)
'3
3
BH”+CH”=18(cm)이므로
h+ h=18,
h=18
3+'3
3
'3
3
∴ h=9(3-'3)
225 꼭짓점 C에서 AB”에 내린
수선의 발을 H라 하면
∠BCH=30°
∠ACH=45°
CH”=h cm라 하면
20`cm
H
60æ
B
AH”=CH”=h(cm),
'3
3
BH”=h tan 30°= h(cm)
(cid:9120) ⑤
A
45æ
h`cm
C
75æ
h=
54
3+'3
=
54(3-'3)
(3+'3)(3-'3)
=9(3-'3)
E0420_Q중3하솔(076-081) 2015.4.20 12:24 PM 페이지79 SinsagoHitec
Q BOX
AB”=AC”인 이등변삼각
형에서
∠B=∠C
∴ ∠A=180°-2_∠B
231 ∠A=180°-2_75°=30°
∴ △ABC=;2!;_10_10_sin 30°
△ABG=△BCG
=△CAG
=;3!;△ABC
(cid:9120) ③
233 ;2!;_12_15_sin B=72이므
(cid:9120) 25'3 cm¤
△ABC에서 밑변을 BC”
라 하면 높이는 AH”의
길이이다.
234 △ABC=;2!;_7_4_sin(180°-135°)
△ABC=;2!;_7_4_ =7'2(cm¤ )
'2
2
=;2!;_10_10_;2!;=25(cm¤ )
(cid:9120) ②
232 △ABC=;2!;_8_6_sin 45°
'2
=;2!;_8_6_ =12'2(cm¤ )
2
∴ △ABG=;3!;△ABC=;3!;_12'2
=4'2 (cm¤ )
(cid:9120) 4'2cm¤
로 sin B=;5$;
오른쪽 그림에서
BA'”="√5¤ -4¤ =3
∴ cos B=;5#;
W
O
R
K
B
O
O
K
5
B
C'
4
A'
(cid:9120) ④
(cid:9120) ④
235 ;2!;_9_12_sin(180°-∠B)=27에서
sin(180°-∠B)=;2!;
이때 sin 30°=;2!;이므로 180°-∠B=30°
∴ ∠B=150°
(cid:9120) 150°
236 A=;2!;_4_5_sin 45°
'2
A=;2!;_4_5_ =5'2 (cm¤ )
2
B=;2!;_5_3=;;¡2∞;;(cm¤ )
C=;2!;_3_6_sin(180°-120°)
'3
C=;2!;_3_6_ = (cm¤ )
2
9'3
2
AH”+BH”=20(cm)이므로
h+ h=20,
h=20
3+'3
3
'3
3
∴ h=10(3-'3)
∴ △ABC=;2!;_20_10(3-'3)
=100(3-'3)(cm¤ )
(cid:9120) 100(3-'3)cm¤
226 ∠BAH=45°, ∠CAH=60°이므로 AH”=h라
하면
BH”=AH”=h, CH”=h tan 60°='3h
CH”-BH”=10이므로
'3 h-h=10, ('3-1)h=10
∴ h=5('3+1)
227 ∠BAH=60°, ∠CAH=30°이므로 AH”=hcm
라 하면 BH”=h tan 60°='3 h(cm),
'3
CH”=h tan 30°= h(cm)
3
BH”-CH”=10(cm)이므로
'3
'3 h- h=10,
3
2'3
3
h=10(cid:100)(cid:100)∴ h=5'3
∴ △ABC=;2!;_10_5'3=25'3(cm¤ )
228 ∠ACD=45°, ∠BCD=30°이므로 CD”=h m
라 하면
AD”=CD”=h(m), BD”=h tan 30°= h(m)
'3
3
AD”-BD”=200(m)이므로
h- h=200,
h=200
'3
3
3-'3
3
∴ h=100(3+'3)
(cid:9120) 100(3+'3)m
229 ∠ACH=45°, ∠BCH=60°이므로 CH”=h m
라 하면
AH”=CH”=h(m), BH”=htan 60°='3 h(m)
AH”+BH”=40(m)이므로
h+'3 h=40, (1+'3 )h=40
∴ h=20('3-1)
(cid:9120) ②
230 ∠BAH=30°, ∠CAH=45°이므로 AH”=hm
라 하면
BH”=h tan 30°= h(m), CH”=AH”=h(m)
'3
3
BH”+CH”=100(m)이므로
'3
3
∴ h=50(3-'3)
h+h=100,
'3+3
3
h=100
(cid:9120) ④
5'2=
:¡2∞:=
9'3
2
'∂200
2
'∂225
2
= '∂243
2
∴ A
