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우공비 중등 수학 (하) 표준편
3
LECTURE BOOK
WORK BOOK
통계ⅣⅣ
통계ⅣⅣ
1. 대푯값과 산포도
1. 대푯값과 산포도
ⅤⅤ
피타고라스 정리
ⅤⅤ
피타고라스 정리
1. 피타고라스 정리
2. 피타고라스 정리의 활용
1. 피타고라스 정리
2. 피타고라스 정리의 활용
ⅥⅥ
삼각비
1. 삼각비
2. 삼각비의 활용
ⅦⅦ
원의 성질
1. 원과 직선
2. 원주각 ⑴
3. 원주각 ⑵
ⅥⅥ
삼각비
1. 삼각비
2. 삼각비의 활용
ⅦⅦ
원의 성질
1. 원과 직선
2. 원주각 ⑴
3. 원주각 ⑵
2
8
16
24
30
38
45
52
58
62
67
75
78
83
88
92
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BOOK
QQ BBooxx
통계Ⅳ
1
대푯값과 산포도
01
291
6
01 (평균)=
42+48+51+46+54+50
6
(평균)=
=48.5(kg)
(cid:9000) 48.5 kg
8p
01- 1(평균)=
5_2+6_3+7_4+8_5+9_1
15
(평균)=
=7(회)
105
15
(cid:9000) 7회
(평균)=
(변량)의 총합
(변량)의 개수
01 학생 B의 점수를 x점이라 하면
72+x+82+90+76
5
=80
320+x=400(cid:100)(cid:100)∴ x=80
02- 1자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
85, 90, 90, 95, 95, 95, 95, 100, 100, 105,
105
따라서 95의 도수가 4로 가장 크므로 최빈값은
95cm이다.
(cid:9000) 95cm
10p
따라서 학생 B의 점수는 80점이다.
(cid:9000) 80점
01- 1
a+b+c
3
=14에서 a+b+c=42이므로
(평균)=
3+a+b+c+10
5
=
3+42+10
5
=11
(cid:9000) ②
02 A모둠의 턱걸이 횟수를 작은 값부터 순서대로
나열하면
3, 5, 6, 8, 8, 10
이므로 중앙값은 a=
6+8
2
B모둠의 턱걸이 횟수를 작은 값부터 순서대로
=7(회)
나열하면
4, 5, 5, 6, 8, 9, 12
이므로 중앙값은 b=6(회)
∴ a+b=7+6=13
(cid:9000) 13
02- 1중앙값이 12이므로 1015이면 중앙값은
10+15
2
=12.5
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QQ BBooxx
(편차)=(변량)-(평균)
(cid:8857) (평균)=(변량)-(편차)
(분산)=
(편차)¤ 의 총합
(변량)의 개수
분산에는 단위를 붙이지 않
으며 표준편차의 단위는 변
량의 단위와 같다.
도수분포표에서의 평균
{(계급값)_(도수)}의 총합
(도수)의 총합
(cid:8857)
03
p
11
01 ⑴ (평균)=
3+5+1+0+2+6+4
7
21
7
= =3(점)
⑵
득점(점)
3
5
1
0
2
6
4 합계
(득점)-(평균) 0
2 -2 -3 -1 3
{(득점)-(평균)}¤
0
4
4
9
1
9
1
1
0
28
⑶ (분산)=;;™7•;;=4
⑷ (표준편차)='4=2(점)
(cid:9000) ⑴ 3점 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 4 ⑷ 2점
01- 1⑴ (평균)=
76+84+82+86
4
(-6)¤ +2¤ +0¤ +4¤
4
⑶ (표준편차)='∂14 (점)
⑵ (분산)=
= =82(점)
328
4
56
= =14
4
(cid:9000) ⑴ 82점 ⑵ 14 ⑶ '∂14 점
04
01
12p
통학시간(분) 도수(명) 계급값 (계급값)_(도수) 편차 (편차)¤ _(도수)
이상 미만
10~20
20~30
30~40
40~50
4
5
8
3
15
25
35
45
15_4=60
-15
(-15)¤ _4=900
25_5=125
-5
(-5)¤ _5=125
35_8=280
5
5¤ _8=200
45_3=135
15
15¤ _3=675
합계
20
600
1900
600
20
1900
20
⑵ (평균)=
=30(분)
⑶ (분산)=
=95
⑷ (표준편차)='∂95 (분)
(cid:9000) ⑴ 풀이 참조 ⑵30분 ⑶ 95 ⑷ '∂95 분
01- 1⑴ (평균)=
4_3+12_7+20_5+28_1
16
⑵ (평균)=
⑵ (분산)=
=14(권)
224
16
(-10)¤ _3+(-2)¤ _7+6¤ _5+14¤ _1
16
⑵ (분산)=
=44
704
16
⑶ (표준편차)='∂44=2'∂11 (권)
(cid:9000) ⑴ 14권 ⑵ 44 ⑶ 2'∂11 권
01 (-1)+(-2)+4+x+(-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2
따라서 D의 키는2+162=164(cm)
편차의 총합은 0이다.
p
13~15
(cid:9000) ⑤
01- 1(-6)+2+x+8+(-3)+1=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-2
C의 도서관 방문 횟수가 16회이므로
(평균)=16-(-2)=18(회)
(cid:9000) 18회
02 B학생의 편차를 x점이라 하면
1+x+(-3)+1+0=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1
∴ (분산)=
1¤ +1¤ +(-3)¤ +1¤ +0¤
5
=;;¡5™;;=2.4
(cid:9000) 2.4
B
O
O
K
02- 1평균이 9이므로
7+8+11+13+10+x
6
=9
49+x=54(cid:100)(cid:100)∴ x=5
(분산)=
(-2)¤ +(-1)¤ +2¤ +4¤ +1¤ +(-4)¤
6
(분산)=;;¢6™;;=7
∴ (표준편차)='7
(cid:9000) ③
03 평균이 8이므로
6+x+9+y+10
5
=8
25+x+y=40(cid:100)(cid:100)∴ x+y=15
yy ㉠
또 분산이 2이므로
(-2)¤ +(x-8)¤ +1¤ +(y-8)¤ +2¤
5
=2
∴ x¤ +y¤ -16(x+y)+137=10
yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
x¤ +y¤ -16_15+137=10(cid:100)(cid:100)
∴ x¤ +y¤ =113
(cid:9000) ②
03- 1평균이 7이므로
10+5+6+a+b+11
6
=7
32+a+b=42(cid:100)(cid:100)∴ a+b=10
또 표준편차가 '6이므로
3¤ +(-2)¤ +(-1)¤ +(a-7)¤ +(b-7)¤ +4¤
6
yy ㉠
=('6 )¤`
∴ a¤ +b¤ -14(a+b)+128=36
yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
a¤ +b¤ -14_10+128=36
따라서 a¤ +b¤ =48이므로
(a+b)¤ =a¤ +2ab+b¤ 에서
100=48+2ab(cid:100)(cid:100)∴ 2ab=52
(cid:9000) 52
04
a+b+c+d
4
=5에서 a+b+c+d=20이므로
(평균)=
2(a+b+c+d)
4
=
2_20
4
=10
Ⅳ. 통계 3
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(2a-10)¤ ={2(a-5)}¤
=4(a-5)¤
(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤
4
=3
(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ =12
에서
이므로
(분산)
=
=
(2a-10)¤ +(2b-10)¤ +(2c-10)¤ +(2d-10)¤
4
4{(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ }
4
=
4_12
4
=12
∴ (표준편차)='∂12=2'3
(cid:9000) 평균：10, 표준편차：2'3
04- 1
a+b+c+d+e
5
=6에서
a+b+c+d+e=30이므로
a+b+c+d+e+5_5
5
m=
m=
30+25
5
=11
(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤ +(e-6)¤
5
=2
(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤ +(e-6)¤ =10
n=
(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤ +(e-6)¤
5
에서
이므로
10
n= =2
5
∴ m+n=13
(cid:9000) ④
05 (평균)=
10_1+12_1+14_2+16_4+18_2
10
150
(평균)= =15(æ)
10
(분산)=;1¡0;{(-5)¤ _1+(-3)¤ _1+(-1)¤ _2
+1¤ _4+3¤ _2}
(평균)= =5.8
58
10
(cid:9000) ④
05- 13+6+x+4+4=20(cid:100)(cid:100)∴ x=3
(평균)=
1_3+3_6+5_3+7_4+9_4
20
100
(평균)= =5(시간)
20
(분산)=;2¡0;{(-4)¤ _3+(-2)¤ _6+0¤ _3
+2¤ _4+4¤ _4}
(평균)= =7.6
152
20
∴ (표준편차)='∂7.6 (시간)
(cid:9000) '∂7.6 시간
4
SOLUTION
150
30
1
30
174
30
a, b, c, d, e의 평균이
k이면 a+5, b+5,
c+5, d+5, e+5의
평균은 k+5이다.
(분산)= {(-3)¤ _7+(-1)¤ _10+1¤ _6
+3¤ _5+5¤ _2}
(평균)= =5.8
(cid:9000) 5.8
{(a+5)-11}¤ =(a-6)¤
07 변량들이 평균에서 멀리 흩어져 있을수록 표준편
차가 크므로 표준편차가 가장 큰 것은 ①이다.
06
계급값(점)
도수(명)
55
2
65
5
75
7
85
3
95
3
합계
20
(평균)=
55_2+65_5+75_7+85_3+95_3
20
(평균)=
=75(점)
1500
20
1
20
(분산)= {(-20)¤ _2+(-10)¤ _5+0¤ _7
+10¤ _3+20¤ _3}
(평균)=;;™;2*0);º;;=140
∴ (표준편차)='1∂40=2'3å5(점)
(cid:9000) 2'3å5점
06- 1
계급값(시간)
도수(명)
2
7
4
10
6
6
8
5
10
2
합계
30
(평균)=
2_7+4_10+6_6+8_5+10_2
30
(평균)=
=5(시간)
(cid:9000) ①
07- 1변량들이 평균에 밀집되어 있을수록 분포가 고르
므로 ④`모둠의 표준편차가 가장 작다. (cid:9000) ④
08 A반의 표준편차가 B반보다 작으므로 A반의 성
적이 B반의 성적보다 고르다고 할 수 있다.
또 두 반의 평균은 같으므로 어느 반의 성적이 더
높다고 할 수 없다.
(cid:9000) ①
08- 1성적이 가장 고른 학생은 표준편차가 가장 작은
(cid:9000) ④
학생이므로 D이다.
p
16~19
01 ② 02 79점 03 15 04 ③ 05 12.5
06 ① 07 ⑴ 21회 ⑵ 15회 ⑶ 5회 08 ②
09 ⑴ -12 ⑵ 165명
12 ② 13 ③ 14 '3
17 3'∂14점
16 '∂4.2시간
19 ②, ④
20 71 kg
21 ⑴ 180 cm ⑵ 커진다. 22 a=2, b=12
23 4
10 ③ 11 11.8
15 ⑤
24 ⑴ 5 ⑵ 8
18 ②
25 '∂89분
표준편차에는 변량과 같은
단위를 붙인다.
3하표준렉처해설Ⅳ(001~007) 2015.1.30 8:48 PM 페이지5 SinsagoHitec
01 (평균)=
4+3+5+1+3+7+5
7
28
7
= =4(개)
(cid:9000) ②
02 남학생 4명의 중간고사 성적의 총합은
여학생 6명의 중간고사 성적의 총합은
76_4=304(점)
81_6=486(점)
따라서 10명의 중간고사 성적의 총합은
304+486=790(점)
이므로 구하는 평균은 :¶1ª0º:=79(점) (cid:9000) 79점
03 조건 ㈎의 변량은 모두 5개이므로 중앙값은 작은
값부터 순서대로 나열했을 때 3번째 변량이다.
이때 중앙값이 45이므로 a=45
조건 ㈏의 변량은 모두 6개이므로 중앙값은 작은
값부터 순서대로 나열했을 때 3번째와 4번째 변
량의 평균이다.
이때 중앙값이 56이므로
52+b
2
∴ b-a=60-45=15
=56, 52+b=112(cid:100)(cid:100)∴ b=60
(cid:9000) 15
04 주어진 자료의 중앙값이 6이고 평균과 중앙값이
같으므로
3+5+6+7+x
5
=6(cid:100)(cid:100)∴ x=9
(cid:9000) ③
05 주어진 자료의 최빈값이 12이므로 a=12
자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
9, 12, 12, 13, 14, 15
따라서 중앙값은 3번째와 4번째 변량의 평균이므로
12+13
2
(cid:9000) 12.5
=12.5
07 ⑴ (평균)
5_12+15_9+25_7+35_7+45_5
40
=
=
840
40
=21(회)
⑵ 작은 값부터 순서대로 나열하면 20번째와 21
번째인 변량 모두 10회 이상 20회 미만인 계급
에 속하므로 중앙값은 이 계급의 계급값인 15
회이다.
⑶ 도수가 가장 큰 계급은 0회 이상 10회 미만인
계급이므로 최빈값은 이 계급의 계급값인 5회
이다.
(cid:9000) ⑴ 21회 ⑵ 15회 ⑶ 5회
QQ BBooxx
남학생 수와 여학생 수가
다르므로 10명의 평균을
76+81
2
=78.5(점)
으로 구하지 않도록 한다.
08 ② (편차)=(변량)-(평균)이므로 평균보다 큰 변
량의 편차는 양수이고, 평균보다 작은 변량의
편차는 음수이다.
(cid:9000) ②
09 ⑴ (-11)+(-6)+(-8)+x+12+15+10=0
12+x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-12
⑵ 토요일에 온 관람객 수를 a명이라 하면
15=a-150(cid:100)(cid:100)∴ a=165
따라서 토요일에 온 관람객 수는 165명이다.
(cid:9000) ⑴ -12 ⑵ 165명
B
O
O
K
(분산)=
(편차)¤ 의 총합
(변량)의 개수
10 (분산)=
3¤ +2¤ +(-4)¤ +2¤ +(-3)¤
5
(분산)= =8.4
42
5
(cid:9000) ③
12 자료 A에서
표준편차를 구할 때는
① 평균
② 편차
③ 분산
④ 표준편차
의 순서로 구한다.
11 A, B 두 모둠의 (편차)¤ 의 총합은 각각
16_3¤ =144, 14_('∂15)¤ =210
따라서 전체 학생의 (편차)¤ 의 총합은
144+210=354
354
30
∴ (분산)=
=11.8
(cid:9000) 11.8
(평균)=
1+2+3+4+5
5
= =3
15
5
(분산)=
(-2)¤ +(-1)¤ +0¤ +1¤ +2¤
5
10
= =2
5
∴ a=(표준편차)='2
자료 B에서
(평균)=
6+7+8+9+10
5
40
= =8
5
(분산)=
(-2)¤ +(-1)¤ +0¤ +1¤ +2¤
5
10
= =2
5
∴ b=(표준편차)='2
자료 C에서
(분산)=
(평균)=
1+3+5+7+9
5
=:™5∞:=5
(-4)¤ +(-2)¤ +0¤ +2¤ +4¤
5
∴ c=(표준편차)=2'2
∴ a=bb이므로 b=2
∴ a=12-2=10
(-7)+2+4+a+6+b+(-3)
7
=2
a+b+2=14(cid:100)(cid:100)∴ a+b=12
2단계
이때 최빈값이 2이므로 a, b의 값 중 하나는 2
이고 a>b이므로 a=10, b=2
3단계
∴ a-b=10-2=8
20p
배점
40%
40%
20%
40%
40%
20%
(cid:9000) 8
Ⅳ. 통계 7
3하표준렉처해설Ⅴ(008~023) 2015.1.30 8:51 PM 페이지8 SinsagoHitec
BOOK
QQ BBooxx
3+7+(-2)+4+(-1)+a+b+5
8
=4
삼각형의 변의 길이는
항상 양수이다.
a+b+16=32(cid:100)(cid:100)∴ a+b=16
40%
2단계
이때 최빈값이 4이므로 a, b의 값 중 하나는 4
이고 a>b이므로 a=12, b=4
3단계
∴ a+3b=12+12=24
유제 1
채점 기준
a, b의 관계식 세우기
a, b의 값 구하기
a+3b의 값 구하기
1단계
평균이 4이므로
예제 2
채점 기준
평균을 이용하여 식 세우기
각 변량 구하기
표준편차 구하기
1단계
평균이 14이므로
12+15+x+18+(x+1)
5
=14
30%
2단계
2x+46=70, 2x=24(cid:100)(cid:100)∴ x=12
따라서 각 변량은 12, 15, 12, `18, 13이다. 30%
3단계
이때 분산은
(-2)¤ +1¤ +(-2)¤ +4¤ +(-1)¤
5
= =5.2
26
5
이므로 표준편차는 '∂5.2
(평균)=
(변량)의 총합
(변량)의 개수
배점
40%
40%
20%
40%
20%
(cid:9000) 24
배점
30%
30%
40%
40%
(cid:9000) '∂5.2
배점
30%
30%
40%
05
p
22
Ⅴ
피타고라스 정리
1
피타고라스 정리
01 ⑴ x¤ =8¤ +6¤ 이므로 x¤ =100
∴ x=10 (∵ x>0)
⑵ (2'3 )¤ =3¤ +x¤ 이므로 x¤ =3
∴ x='3 (∵ x>0)
01- 1⑴ x¤ =5¤ +12¤ 이므로 x¤ =169
∴ x=13 (∵ x>0)
⑵ 4¤ =('7 )¤ +x¤ 이므로 x¤ =9
∴ x=3 (∵ x>0)
(cid:9000) ⑴ 10 ⑵ '3
(cid:9000) ⑴ 13 ⑵ 3
02 ⑴ x="√5¤ -3¤ =4, y="√8¤ +4¤ =4'5
⑵ x="√5¤ -4¤ =3, y="√6¤ +3¤ =3'5
(cid:9000) ⑴ x=4, y=4'5 ⑵ x=3, y=3'5
02- 1⑴ x="√10¤ -6¤ =8, y="√8¤ +4¤ =4'5
⑵ x="√2¤ -('3 )¤ =1, y="√1¤ +1¤ ='2
(cid:9000) ⑴ x=8, y=4'5 ⑵ x=1, y='2
06
23p
01 (cid:9000) ㈎ GB” ㈏ ∠GBC ㈐ SAS ㈑ △GBL
01- 1(cid:8772)AFGB=(cid:8772)BHIC+(cid:8772)ACDE이므로
16=(cid:8772)BHIC+6(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)BHIC=10(cm¤ )
01- 2(cid:8772)AFML=(cid:8772)ACDE=3¤ =9(cm¤ )
(cid:9000) 10cm¤
(cid:9000) 9 cm¤
유제 2
채점 기준
평균을 이용하여 식 세우기
각 변량 구하기
표준편차 구하기
1단계
평균이 9이므로
6+x+(x+1)+(x+2)+12
5
=9
30%
2단계
3x+21=45, 3x=24(cid:100)(cid:100)∴ x=8
따라서 각 변량은 6, 8, 9, 10, 12이다.
30%
3단계
이때 분산은
(-3)¤ +(-1)¤ +0¤ +1¤ +3¤
5
20
= =4
5
이므로 표준편차는 '4=2
40%
(cid:9000) 2
8
SOLUTION
(SAS 합동)
△AEH™△BFE
™△CGF
™△DHG
이므로
∠HEF=∠EFG
=∠FGH
=∠GHE
=90°
이고
EF”=FG”=GH”=HE”
(cid:8857) (cid:8772)EFGH는 정사각형
07
24p
01 ⑴ (cid:8772)EFGH는 정사각형이므로 EF”='2å5=5
⑵ ∴ BE”="√5¤ -3¤ =4
⑵ AB”=3+4=7이므로 (cid:8772)ABCD=7¤ =49
(cid:9000) ⑴ 4 ⑵ 49
01- 1△ABC에서 AB”="√5¤ +12¤ =13
(cid:8772)AEGB는 정사각형이므로
(cid:8772)AEGB=AB”
¤ =169
(cid:9000) 169
02 ⑴ BC”="√5¤ -3¤ =4
⑵ BC”=4이고 BF”=AC”=3이므로
CF”=BC”-BF”=1
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QQ BBooxx
(cid:8772)CFGH는 정사각형이므로
(cid:8772)CFGH=1¤ =1
(cid:9000) ⑴ 4 ⑵ 1
02- 1HC”='1å2=2'3이므로 AC”='3+2'3=3'3
△ABC에서 AB”
¤ =('3)¤ +(3'3)¤ =30
∴ (cid:8772)ABDE=AB”
¤ =30
(cid:9000) 30
03 오른쪽 그림과 같이 BD”를
그으면 △DBC에서
DB¤
” =4¤ +('6)¤ =22
AB”=AD”=x라 하면
A
B
4
D
'6
C
△ABD에서
x¤ +x¤ =22, x¤ =11
∴ x='1å1 (∵ x>0)
B
O
O
K
(cid:9000) '1å1
08
01 ⑴ 1¤ +2¤ =('5 )¤
⑷ 5¤ +12¤ =13¤
(cid:9000) ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ × ⑷ ◯
01- 1㈂ 5¤ +7¤ =('7ß4)¤
㈃ 6¤ +8¤ =10¤
(cid:9000) ㈂, ㈃
직각삼각형 찾는 순서
① 가장 긴 변의 길이
를 찾는다.
② 가장 긴 변의 길이
의 제곱과 나머지
두 변의 길이의 제
곱의 합을 비교한다.
25p
(cid:9000) 6
(cid:9000) 7
02 (x+4)¤ =x¤ +8¤ 이어야 하므로 8x=48
∴ x=6
02- 1x+6이 가장 긴 변의 길이이므로
(x+6)¤ =5¤ +(x+5)¤
x¤ +12x+36=x¤ +10x+50, 2x=14
∴ x=7
p
26~28
01 △ADC에서 AD”="√6¤ +8¤ =10(cm)
BC”=BD”+DC”=10+6=16(cm)
따라서 △ABC에서
AB”="√16¤ +8¤ =8'5(cm)
(cid:9000) 8'5 cm
01- 1△ABC에서 AC”="√4¤ +(4'3)¤ =8(cm)
OA”=OB”=OC”이므로
OB”=;2!;AC”=;2!;_8=4(cm)
(cid:9000) ①
02 BE”=BD”="√2¤ +2¤ =2'2(cm)
∴ BG”=BF”="√(2'2)¤ +2¤ =2'3(cm) (cid:9000) ②
02- 1AC”="√1¤ +1¤ ='2(cm)
AD”="√1¤ +('2)¤ ='3(cm)
AE”="√1¤ +('3)¤ =2(cm)
∴ AF”="√1¤ +2¤ ='5(cm)
(cid:9000) '5 cm
△ABC™△EAD
™△GEF
™△BGH
(cid:8857) (cid:8772)AEGB는 정사각형
03- 1점 D에서 BC”에 내린
수선의 발을 H라 하면
5 cm
D
A
DH”=AB”=8 cm
8 cm
10 cm
△DHC에서
CH”="√10¤ -8¤
=6(cm)
B
H
C
또 BH”=AD”=5 cm이므로
BC”=BH”+CH”=5+6=11(cm)
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(5+11)_8=64(cm¤ )
(cid:9000) 64 cm¤
04 △CDE=△ACE=△ABE
=△AFC=△AFL
(cid:9000) ③
04- 1△ACG™△HCB (SAS 합동)이고
△HCB=△HCA=;2!;(cid:8772)ACHI
이때 AC”="√10¤ -8¤ =6(cm)이므로
(cid:8772)ACHI=6¤ =36(cm¤ )
∴ △ACG=;2!;(cid:8772)ACHI=;2!;_36=18(cm¤ )
(cid:9000) 18 cm¤
05 (cid:8772)AEGB는 정사각형이므로 AB”
¤ =52
△ABC에서
¤ =AB”
AC”
¤ -BC”
∴ AC”=6(cm) (∵ AC”>0)
¤ =52-16=36
CD”=6+4=10(cm)이므로
(cid:8772)CDFH=10¤ =100(cm¤ )
(cid:9000) 100cm¤
05- 1;2!;_12_AF”=30에서 AF”=5(cm)
¤ =12¤ +5¤ =169이므로
EF”=13(cm) (∵ EF”>0)
EF”
(cid:8772)EFGH는 정사각형이므로 둘레의 길이는
4_13=52(cm)
(cid:9000) 52 cm
06 AE”="√17¤ -8¤ =15이므로 HE”=15-8=7
∴ (cid:8772)EFGH=7¤ =49
(cid:9000) ③
Ⅴ. 피타고라스 정리 9
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BOOK
QQ BBooxx
06- 1① AB”="√2¤ +5¤ ='∂29
② EH”=AC”=2
③ CH”=AH”-AC”=5-2=3
④ △DFB=;2!;_2_5=5
⑤ (cid:8772)CFGH=3¤ =9
(cid:9000) ④
07 (cid:9000) ㈎ 90° ㈏ ;2!;ab ㈐ a¤ +b¤
07- 1△ABE™△ECD이므로 AB”=EC”=4cm
△ABE에서 AE”="√8¤ +4¤ =4'5(cm)
DE”=AE”=4'5cm, ∠AED=90°이므로
△AED=;2!;_4'5_4'5=40(cm¤ ) (cid:9000) ③
08 가장 긴 변의 길이가 x+2이므로
x+29
직각삼각형이 되기 위한 조건에서
(x+2)¤ =x¤ +(x-7)¤ , x¤ -18x+45=0
(x-3)(x-15)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=15 (∵ x>9)
(cid:9000) 15
08- 1⁄ 가장 긴 변의 길이가 x이면
x="√4¤ +2¤ =2'5
¤ 가장 긴 변의 길이가 4이면
x="√4¤ -2¤ =2'3
(cid:9000) ②, ④
09 DE”=AE”=xcm라 하면 EB”=(6-x)cm이고
BD”=CD”=3(cm)
△EBD에서 x¤ =(6-x)¤ +3¤ 이므로
12x=45(cid:100)(cid:100)∴ x=;;¡4∞;;
∴ DE”=;;¡4∞;;(cm)
(cid:9000) ;;¡4∞;; cm
이므로
△ABE에서
AE”="√10¤ -8¤
=6(cm)
∴ED”=10-6
=4(cm)
A
B
x cm
10 cm
8 cm
F
x cm
C
10 cm
EF”=CF”=xcm라 하면DF ”=(8-x)cm
△EFD에서 x¤ =4¤ +(8-x)¤ 이므로
16x=80(cid:100)(cid:100)∴ x=5
(cid:9000) ③
10
SOLUTION
삼각형의 세 변의 길이
가 a, b, c일 때 (단, c
는 가장 긴 변의 길이)
① c¤ a¤ +b¤
(cid:8857) 둔각삼각형
09
29p
01 ⑴ 4¤ +6¤ >7¤ 이므로 예각삼각형이다.
⑵ ('3 )¤ +2¤ <3¤ 이므로 둔각삼각형이다.
⑶ 5¤ +8¤ <11¤ 이므로 둔각삼각형이다.
⑷ (2'2)¤ +4¤ =(2'6)¤ 이므로 직각삼각형이다.
(cid:9000) ⑴ 예각삼각형 ⑵ 둔각삼각형
⑶ 둔각삼각형 ⑷ 직각삼각형
∠AEB+∠DEC
=∠AEB+∠EAB
=90°
이므로 ∠AED=90°
90°<∠B<180°
삼각형의 한 변의 길이
는 나머지 두 변의 길
이의 차보다 크고 합보
다 작다.
4-32¤ 이므로 예각삼각형이다.
㈂ 2¤ +('5 )¤ =3¤ 이므로 직각삼각형이다.
㈃ 3¤ +4¤ =5¤ 이므로 직각삼각형이다.
㈄ 4¤ +5¤ <7¤ 이므로 둔각삼각형이다.
㈅ 5¤ +7¤ >8¤ 이므로 예각삼각형이다.
(cid:9000) ⑴ ㈁, ㈅ ⑵ ㈂, ㈃ ⑶ ㈀, ㈄
02 x가 가장 긴 변의 길이이므로 x>8
삼각형의 변의 길이 조건에 의하여
yy ㉠
8-66¤ +8¤ (cid:100)(cid:100)∴ x>10 (∵ x>0) yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢에 의하여
104이고 삼각형의 변의 길이 조건에 의하여
10) yy ㉡
㉠, ㉡에 의하여
40)
(cid:9000) 3'5
11
p
31
01 (cid:9000) ㈎ b¤ ㈏ b¤ ㈐ d¤ ㈑ d¤ ㈒ b¤ +d¤
02 삼각형의 변의 길이 조건에 의하여
(cid:9000) ②
B
O
O
K
12
p
32
02- 2x<8이고 삼각형의 변의 길이 조건에 의하여
01- 1① 4¤ +('∂10 )¤`<7¤`이므로 둔각삼각형이다.
② 4¤ +(2'5 )¤ <7¤`이므로 둔각삼각형이다.
③ 4¤ +5¤ <7¤`이므로 둔각삼각형이다.
④ 4¤ +6¤ >7¤`이므로 예각삼각형이다.
⑤ 4¤ +7¤`>(5'2 )¤ 이므로 예각삼각형이다.
190°이므로 x¤ >7¤ +8¤
x¤ >113(cid:100)(cid:100)∴ x>'∂113 (∵ x>0) yy ㉡
㉠, ㉡에 의하여 '∂1136이고 삼각형의 변의 길이 조건에 의하여
20) yy ㉡
㉠, ㉡에 의하여 66¤ +x¤
x¤ <28(cid:100)(cid:100)∴ 00) yy ㉡
㉠, ㉡에 의하여 20)
△ABD에서 AD”=øπ(4'3)¤ -4¤ =4'2
∴ △ABD=;2!;_4_4'2=8'2
(cid:9000) 8'2
03- 1△ABC에서 AB”="√12¤ +9¤ =15
AB”_CD”=BC”_AC”이므로
15_CD”=9_12(cid:100)(cid:100)∴ CD”=;;£5§;;
(cid:9000) ;;£5§;;
04 ('1å4 )¤ +4¤ =x¤ +5¤ 이므로 x¤ =5
∴ x='5 (∵ x>0)
(cid:9000) ③
04- 1삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에
의하여
DE”=;2!;AC”=5
∴ AE”
¤ +CD”
¤ =5¤ +10¤ =125
(cid:9000) ②
MN”=;2!;BC”
05 4¤ +5¤ =AD”
¤ +('∂21)¤ 이므로 AD”
¤ =20
∴ AD”=2'5 (∵ AD”>0)
△AOD에서 AO”="√(2'5 )¤ -4¤ =2
(cid:9000) 2
Ⅴ. 피타고라스 정리 11
01- 1(2'3 )¤ +CD”
¤ =3¤ +('∂21)¤ 이므로 CD”
∴ CD”=3'2 (∵ CD”>0)
¤ =18
(cid:9000) 3'2
02 (cid:9000) ㈎ c¤ ㈏ d¤ ㈐ b¤ +c¤
8-70)
(cid:9000) 3'2
6-412¤ (cid:8857) 예각삼각형
(cid:9000) ④
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BOOK
QQ BBooxx
05- 1△ABH에서 AB”="√2¤ +2¤ =2'2
∴ AD”
¤ +BC”
¤ =AB”
¤ +DC”
=(2'2)¤ +3¤
=17
06 4¤ +6¤ =BP”
¤ +5¤ 이므로 BP”
∴ BP”=3'3 (∵ BP”>0)
¤ =27(cid:100)(cid:100)
06- 1AP”
¤ +7¤ =BP”
¤ -BP”
¤ +9¤ (cid:100)(cid:100)
¤=81-49=32
∴ AP”
07 S¡+S™=S£에서
S™=S£-S¡=50p-32p=18p
(cid:9000) 17
(cid:9000) ④
(cid:9000) 32
S™=;2!;_p_{
AC”
2
}
¤ =18p에서 AC”
¤ =144
∴ AC”=12 `(∵ AC”>0)
(cid:9000) 12
직각삼각형에서 빗변의
길이의 제곱은 나머지
두 변의 길이의 제곱의
합과 같다.
01 △ABD에서 BD”="√10¤ -8¤ =6
∴ BC”=6+9=15
△ABC에서 AC”="√8¤ +15¤ =17
(cid:9000) ③
02 AB”=BC”=CD”=x cm라 하면 △ABC에서
x¤ +x¤ =4¤ 이므로
x¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ x=2'2 (∵ x>0)
△ACD에서 AD”="√4¤ +(2'2 )¤ =2'6(cm)
03 △ABC에서 BC”="√13¤ -5¤ =12(cm)
점 D를 지나면서
BC”와 평행한 직선
이 AB”의 연장선과
만나는 점을 E라
하면
5`cm
A
B
E
BE”=CD”=3cm, ED”=BC”=12cm
△AED에서 AD”="√8¤ +12¤ =4'∂13(cm)
(cid:9000) 2'6 cm
13`cm
C
3`cm
D
(cid:9000) 4'∂13 cm
(cid:9000) ③
D
5Â2
C
8
A
05 BD”를 그으면
△ABD에서
BD”="√6¤ +8¤ =10
따라서 △BCD에서
BC”=øπ10¤ -(5'2 )¤ =5'2
∴ (cid:8772)ABCD=△ABD+△BCD
B
6
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_8_6+;2!;_5'2_5'2
∴ (cid:8772)ABCD=24+25=49
(cid:9000) ③
06 점 A에서 BC”에 내린 수
선의 발을 H라 하면
HC”=AD”=5이므로
BH”=8-5=3
A
5
5
B
H
8
D
C
△ABH에서
AH”="√5¤ -3¤ =4이므로 DC”=AH”=4
△DBC에서 BD”="√8¤ +4¤ =4'5
(cid:9000) 4'5
07 △ABC에서 AB”="√(4'3)¤ -6¤ =2'3(cm)
∴ (cid:8772)ADEB=(2'3)¤ =12(cm¤ )
∴ △EBC=△EBA=;2!;(cid:8772)ADEB
∴ △EBC=;2!;_12=6(cm¤ )
(cid:9000) 6cm¤
07- 1색칠한 부분의 넓이는 BC”를 지름으로 하는 반원
의 넓이와 같으므로
(색칠한 부분의 넓이)=;2!;_p_4¤ =8p(cm¤ )
AE”=AB”+BE”
=5+3=8(cm)
(cid:9000) ①
피타고라스 정리를 이용하
여 BD”, BF”, BH”의 길이
를 차례로 구한다.
04 BD”="√('3)¤ +('3)¤ ='6
BF”="√('6 )¤ +('3 )¤ =3
BH”="√3¤ +('3 )¤ =2'3
∴ BI”=BH”=2'3
08 (색칠한 부분의 넓이)=△ABC이므로
;2!;_12_AC”=30 ∴ AC”=5(cm)
∴ BC”="√12¤ +5¤ =13(cm)
(cid:9000) 13cm
08- 1AB”
¤ =10¤ 이므로 2AB”
¤ +AC”
¤ =50(cid:100)(cid:100)∴ AB”=5'2(cm) (∵ AB”>0)
¤ =100
AB”
∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC
∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_5'2_5'2
∴ (색칠한 부분의 넓이)=25(cm¤ )
(cid:9000) 25cm¤
p
36~39
01 ③ 02 2'6cm
04 ③ 05 ③ 06 4'5 07 6 cm¤
08 ① 09 10
03 4'∂13 cm
10 ① 11 ④ 12 ②
13 :¢5•: cm
14 4'6 cm
15 ③
16 5cm 17 ④ 18 ③ 19 ④
20 2'∂41 cm
21 10'3 22 ;2(; cm¤
23 10cm¤
24 :¡2£:cm
25 2'∂65
12
SOLUTION
△ABH는 ∠H=90°인
직각삼각형이므로
AH”=øπAB”
¤ -BH”
¤
”
¤
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∴ (cid:8772)CFGH=2¤ =4(cm¤ )
(cid:9000) ①
17 BP”
¤ +DP”
¤ =4¤ +6¤ =52
QQ BBooxx
△ABC™△BDF
™△DEG
™△EAH
(cid:8857) (cid:8772)CFGH는 정사각형
16 4¤ +CD”
¤ =3¤ +(4'2 )¤ 이므로 CD”
¤ =25
∴ CD”=5(cm) (∵ CD”>0)
(cid:9000) 5cm
(cid:9000) ④
B
O
O
K
08 AB”='∂20=2'5(cm)이므로
BC”="√(2'5 )¤ -2¤ =4(cm)
BF”=DG”=EH”=AC”=2cm이므로
CF”=4-2=2(cm)
09 EF”=x라 하면
EB”=16-x
△EBF에서
x¤ =(16-x)¤ +8¤ 이므로
32x=320
∴ x=10
A
E
16-x
B
D
C
(cid:9000) 10
x
F
16
10 (3'6)¤ =(3'2)¤ +6¤ 이므로 주어진 삼각형은 빗
변의 길이가 3'6인 직각삼각형이다.
따라서 구하는 넓이는
;2!;_3'2_6=9'2
11 ①, ⑤ 직각삼각형
②, ③ 예각삼각형
(cid:9000) ①
(cid:9000) ④
12 a>7이고 삼각형의 변의 길이 조건에 의하여
30) yy`㉡
㉠, ㉡에 의하여 70)라 하면
BC”="√(3k)¤ +(2k)¤ ='1å3k
3k_2k='1å3k_'1å3이므로 k=:¡6£:(cid:100)(cid:100) … 2점
… 2점
∴ AB”=3k=:¡2£:(cm)
… 2점
(cid:9000) :¡2£: cm
25
채점
기준
OC”의 길이 구하기
△OCD의 넓이 구하기
8¤ +CD”
¤ =10¤ +6¤ 이므로
CD”
¤ =72(cid:100)(cid:100)∴ CD”=6'2 (∵ CD”>0)
△OCD에서
OC”="√(6'2)¤ -(2'5)¤
=2'1å3
… 4점
∴ △OCD=;2!;_2'5_2'1å3=2'6å5 … 2점
(cid:9000) 2'6å5
14
SOLUTION
∠EBD=∠DBC
(접은 각),
∠EDB=∠CBD (엇각)
∴ ∠EBD=∠EDB
예제 1
식 세우기
채점 기준
두 못 B, C 사이의 거리 구하기
1단계
BC”=x cm라 하면AC”=(23- x)cm
△ABC에서 ∠C=90°이므로
17¤ =x¤ +(23-x)¤
2단계
x¤ -23x+120=0, (x-15)(x-8)=0
∴ x=8 (∵ AC”>BC”)
따라서 두 못B , C 사이의 거리는 8cm이다.
유제 1
식 세우기
채점 기준
지면에서 부러진 지점까지의 높이 구하기
1단계
AB”=x m라 하면AC”=(12-x)m
△ABC에서 ∠B=90°이므로
x¤ +6¤ =(12-x)¤
p
40~41
배점
50%
50%
50%
50%
(cid:9000) 8cm
배점
50%
50%
50%
50%
(cid:9000)
m
;2(;
배점
40%
40%
20%
ED”를 밑변으로 하면 높이
는 AB”의 길이와 같은 삼
각형이다.
2단계
24x=108(cid:100)(cid:100)∴ x=
;2(;
따라서 지면에서 부러진 지점까지의 높이는
m이다.
;2(;
삼각형의 한 변의 길이
는 나머지 두 변의 길
이의 차보다 크고 합보
다 작다.
8176
∴ x>4'∂11 (∵ x>0)
㉠, ㉡에서 4'∂11a¤ +b¤
(cid:8857) 둔각삼각형
50%
(cid:9000) 3'2cm¤
B
O
O
K
배점
50%
50%
2단계
색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므
로 구하는 넓이는
;2!;_2'3_'6=3'2(cm¤ )
유제 4
채점 기준
AD”의 길이 구하기
색칠한 부분의 넓이 구하기
1단계
AD”
¤ =BD”_CD”이므로
¤ =9_6=54
AD”
∴ AD”=3'6 (cm) (∵ AD”>0)
색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므
50%
2단계
로 구하는 넓이는
;2!;_(9+6)_3'6=
45'6
2
(cm¤ )
50%
(cid:9000)
45'6
2
cm¤
3하표준렉처해설Ⅴ(008~023) 2015.1.30 8:51 PM 페이지15 SinsagoHitec
1단계
삼각형의 변의 길이 조건에 의하여
46¤ +10¤ , x¤ >136
∴ x>2'∂34 (∵ x>0)
㉠, ㉡에서 2'∂340)
30%
¤ 이므로
50%
(cid:9000) 2'5cm
두 대각선이 직교하는
사각형에서 두 대변의
길이의 제곱의 합은 같
다.
예제 4
채점 기준
AB”의 길이 구하기
색칠한 부분의 넓이 구하기
1단계
△ABC에서
AB”="√(3'2)¤ -('6)¤
=2'3(cm)
40%
20%
(cid:9000) 54
배점
50%
50%
50%
50%
(cid:9000) 75
배점
20%
30%
50%
배점
50%
50%
50%
Ⅴ. 피타고라스 정리 15
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BOOK
QQ BBooxx
2
피타고라스 정리의 활용
13
p
42
01 ⑴ "√4¤ +3¤ =5(cm)
⑵ "√6¤ +10¤ =2'∂34(cm)
01- 1⑴ x="√15¤ -12¤ =9
⑵ x="√8¤ -4¤ =4'3
02 ⑴ '2_2=2'2 (cm)
⑵ '2_'6=2'3 (cm)
02- 1⑴ '2x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=4'2
⑵ '2x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=3'2
(cid:9000) ⑴ 5cm ⑵ 2'3å4 cm
(cid:9000) ⑴ 2'2cm ⑵ 2'3cm
14
43p
a
01 (cid:9000) ㈎ (cid:100)㈏ (cid:100)㈐ (cid:100)㈑ a¤
2
'3
4
3
4
1
2
'3
01- 1(높이)= _4=2'3(cm)
2
'3
4
(넓이)= _4¤ =4'3(cm¤ )
02 ⑴ BH”=3(cm)이므로
AH”="√5¤ -3¤ =4(cm)
⑵ △ABC=;2!;_6_4=12(cm¤ )
(cid:9000) 높이 : 2'3 cm, 넓이 : 4'3 cm¤
(cid:9000) ⑴ 4cm ⑵ 12cm¤
02- 1⑴ BH”=4이므로 AH”="√6¤ -4¤ =2'5
⑵ △ABC=;2!;_8_2'5=8'5
p
44~45
(cid:9000) ③
01 직사각형의 세로의 길이는 "√13¤ -5¤ =12(cm)
따라서 직사각형의 넓이는 5_12=60(cm¤ )
01- 1(원의 지름의 길이)=(정사각형의 대각선의 길이)
=10cm
정사각형의 한 변의 길이를 xcm라 하면
'2x=10(cid:100)(cid:100)∴ x=5'2
(cid:9000) 5'2cm
16
SOLUTION
(cid:9000) ⑴ 9 ⑵ 4'3
5¤ =BH”_13(cid:100)(cid:100)∴ BH”=;1@3%;
(cid:9000) ;1@3%;
한 변의 길이가 a인 정
사각형의 대각선의 길이
(cid:8857) '2a
한 변의 길이가 a인 정
삼각형에서
(높이)= a
(넓이)= a¤
'3
2
'3
4
(cid:9000) ⑴ 4'2 ⑵ 3'2
03- 1AD”= _8=4'3(cm)이므로
02 BD”는 대각선이므로 BD”="√3¤ +4¤ =5(cm)
AB”_AD”=BD”_AH”이므로
3_4=5_AH”(cid:100)(cid:100)∴ AH”=:¡5™:(cm)
(cid:9000) :¡5™: cm
02- 1BD”는 대각선이므로 BD”="√5¤ +12¤ =13
AB”
¤ =BH”_BD”이므로
03 정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 a라 하면
'3
2
a=5'3(cid:100)(cid:100)∴ a=10
'3
∴ △ABC= _10¤ =25'3
4
(cid:9000) ⑤
'3
2
'3
2
AF”= _4'3=6(cm)
∴ △AFG= _6¤ =9'3(cm¤ )
'3
4
(cid:9000) 9'3 cm¤
04 오른쪽 그림에서
2Â5
B
60æ
A
C
△ABC™ △ADC이
고 △ABC는 정삼각형
이므로 구하는 넓이는
2_[ _(2'5 )¤ ]=10'3
'3
4
D
(cid:9000) ④
이등변삼각형의 꼭지각의
꼭짓점에서 밑변에 내린
수선은 그 밑변을 이등분
하므로
BH”=CH”=;2!; BC”
=;2!;_6=3(cm)
04- 1오른쪽 그림과 같이 정육각
형은 6개의 정삼각형으로 이
루어져 있으므로
'3
4
6_{ _x¤ }=72'3
x¤ =48
∴ x=4'3 (∵ x>0)
x cm
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑴ 2'5 ⑵ 8'5
05 BH”
”=;2!; BC”=5(cm)
A
△ABH에서
AH”="√13¤ -5¤ =12(cm)
∴ △ABC=;2!;_10_12
13`cm
13`cm
=60(cm¤ )
B
H
10`cm
C
(cid:9000) ④
05- 1;2!;_8_AH”=8'5
A
이므로
AH”=2'5 (cm)
△ABH에서
AB”="√
√4¤ +(2'5)¤
=6(cm)
B
C
H
8 cm
√
3하표준렉처해설Ⅴ(008~023) 2015.1.30 8:51 PM 페이지17 SinsagoHitec
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
6+8+6=20(cm)
(cid:9000) 20cm
06 BH”=x라 하면
A
CH”=16-x이므로
10¤ -x¤
=14¤ -(16-x)¤
32x=160
10
x
B
14
16-x
H
16
C
∴ x=5
따라서 AH”="√10¤ -5¤ =5'3이므로
△ABC=;2!;_16_5'3=40'3
(cid:9000) 40'3
06- 1△ABC에서
BH”=x라 하면
CH”=9-x이므로
4¤ -x¤ =7¤ -(9-x)¤
18x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=;3*;
A
4
x
B
7
9-x
H
9
C
따라서 AH”=æ≠4¤ -{;3*;}
4'5
3
△ABC=;2!;_9_
=6'5
¤ =
4'5
3
이므로
(cid:9000) ③
15
46p
01 (cid:9000) ⑴ '2, 3'2, 1, 3 ⑵ 2, 4, '3, 2'3
01- 1⑴ x : 4=1 : '2이므로 x=2'2
y : 4=1 : '2이므로 y=2'2
⑵ x : 3=1 : '3이므로 x='3
y : 3=2 : '3이므로 y=2'3
(cid:9000) ⑴ x=2'2, y=2'2 ⑵ x='3, y=2'3
16
p
47
01 ⑴ P(-1, 3)이므로 OP”="√(-1)¤ +3¤ ='1å0
⑵ Q(3, 2)이므로 OQ”="√3¤ +2¤ ='1å3
⑶ PQ”="√{3-(-1)}¤ +(2-ç3)¤ ='1å7
(cid:9000) ⑴ '1å0 ⑵ '1å3 ⑶ '1å7
01- 1⑴ øπ(3-1)¤ +(5-1)¤ =2'5
⑵ "√(-2-2)¤ +(6-0)¤ =2'1å3
⑶ øπ(-1-1)¤ +π(-2-3)¤ ='2ß9
⑷ øπ{0-(-3)}¤
π+{-1-(-2)}¤ ='1å0
(cid:9000) ⑴ 2'5 ⑵ 2'1å3 ⑶ '2å9 ⑷ '1å0
02 AB”="√(3-√1)¤
√+(5-2)¤ ='1å3
BC”="√(-2-3)¤ +(√4-5)¤ ='2å6
CA”="√{1-(-2)}¤
√+(2-4)¤ ='1å3
QQ BBooxx
삼각형의 높이
(cid:8857) 한 꼭짓점에서 대변에
수선을 그은 후 피타고
라스 정리를 이용하여
구한다.
¤ 이므로
따라서 AB”=CA”이고 BC”
△ABC는 ∠A=90°인 직각이등변삼각형이다.
(cid:9000) ∠A=90°인 직각이등변삼각형
¤ =AB”
¤ +CA”
02- 1AB”="√{-1-(-3)}¤
√+(-3-0)¤ ='1å3
BC”="√{3-(-1)}¤ +√{2-(-3)}¤ ='4å1
CA”="√(-3-3)¤ +√(0-2)¤ ='4å0=2'1å0
¤ +CA”
따라서 BC”
¤ 0)
(cid:9000) 5
이차함수
y=a(x-p)¤ +q의 그
래프의 꼭짓점의 좌표
(cid:8857) (p, q)
02 ⑴ '3_7=7'3(cm)
⑵ '3_'2='6(cm)
(cid:9000) ⑴ 7'3 cm ⑵ '6 cm
02- 1정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
'3a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=2'3
(cid:9000) 2'3
삼각형의 세 변의 길이
가 a, b, c일 때(단, c
는 가장 긴 변의 길이)
c¤ a¤ +b¤
(cid:8857) 둔각삼각형
두 점 A, A'이 x축에 대
하여 대칭이므로 x축 위의
점 P에 대하여 AP”=A'P”
(뿔의 부피)
=;3!;_(밑넓이)_(높이)
18
p
51
01 ⑴ "√13¤ -5¤ =12(cm)
⑵ ;3!;_p_5¤ _12=100p(cm‹ )
(cid:9000) ⑴ 12cm ⑵ 100p cm‹
01- 1(높이)="√5¤ -3¤ =4(cm)
(부피)=;3!;_p_3¤ _4=12p(cm‹ )
(cid:9000) 4 cm, 12p cm‹
02 ⑴ AC”="√6¤ +6¤ =6'2
⑵ CH”=;2!; AC”=;2!;_6'2 =3'2
△OHC에서 OH”=øπ6¤ -(3'2 )¤ =3'2
⑶ (부피)=;3!;_6¤ _3'2=36'2
(cid:9000) ⑴ 6'2 ⑵ 3'2 ⑶ 36'2
02- 1CH”=;2!; AC”=;2!;_4'2=2'2이므로
h=øπ6¤ -(2'2 )¤ =2'7
V=;3!;_4¤ _2'7=
32'7
3
(cid:9000) h=2'7, V=
32'7
3
¤
3하표준렉처해설Ⅴ(008~023) 2015.1.30 8:51 PM 페이지19 SinsagoHitec
정사각뿔의 꼭짓점에서 밑
면에 내린 수선의 발은 밑
면인 정사각형의 두 대각선
의 교점이다.
07 CH”=;2!; AC”=;2!;_8'2=4'2
OH”=øπ9¤ -(4'2 )¤ =7
∴ △OAC=;2!;_8'2_7=28'2
(cid:9000) 28'2
QQ BBooxx
밑면의 반지름의 길이
가 r, 모선의 길이가 l
인 원뿔에서
(옆넓이)=prl
구를 평면으로 자른 단면
(cid:8857) 원
한 변의 길이가 a인 정
삼각형의 넓이
'3
4
(cid:8857)
a¤
△BMN은 이등변삼각형
이므로 꼭짓점 B에서
MN”에 내린 수선은 MN”
을 이등분한다. 즉
MI”=NI”=;2!;MN”='2
정사면체의 꼭짓점 A에서
밑면 BCD에 내린 수선의
발 H는 △BCD의 무게중
심이다.
p
52~53
(cid:9000) ②
01 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'3a=3(cid:100)(cid:100)∴ a='3
따라서 정육면체의 부피는
('3)‹ =3'3(cm‹ )
01- 1AE”=xcm라 하면
"√(4'3)¤ +4¤ +x¤ =10, 64+x¤ =100
x¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0)
또 EG”="√(4'3)¤ +4¤ =8(cm)
∴ △AEG=;2!;_8_6=24(cm¤ ) (cid:9000) 24cm¤
02 AG”="√8¤ +6¤ +10¤ =10'2, EG”="√8¤ +6¤ =10
△AEG에서 10_10=10'2_EP”이므로
EP”=5'2
(cid:9000) ⑤
02- 1FH”를 그으면
FH”='2_3'2=6
BH”='3_3'2=3'6
△BFH에서
3'2_6=3'6_FP”
이므로 FP”=2'3
D
H
A
B
F
P
C
E
3 2
G
(cid:9000) 2'3
03 BD”=BG”=DG”='2_2'2=4(cm)
△BGD는 정삼각형이므로 구하는 넓이는
'3
4
_4¤ =4'3(cm¤ )
(cid:9000) 4'3 cm¤
03- 1B’M”=BN”="√4¤ +2¤ =2'5
MN”="√2¤ +2¤ =2'2
꼭짓점 B에서 MN”에 내린
수선의 발을 I라 하면
△BMI에서
BI”=øπ(2'5 )¤ -('2 )¤
=3'2
B
2Â5
2Â5
M
Â2
I
Â2
N
∴ △BMN=;2!;_2'2_3'2=6
(cid:9000) ②
04 밑면의 반지름의 길이를 rcm라 하면
2pr=6p(cid:100)(cid:100)∴ r=3
∴ (높이)="√4¤ -3¤ ='7(cm)
(cid:9000) '7 cm
04- 1OA”=r, OB”=h라 하면 △OAB에서
h : 6='3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ h=3'3
r : 6=1 : 2(cid:100)(cid:100)∴ r=3
∴ (부피)=;3!;_p_3¤ _3'3=9'3p
(cid:9000) 9'3 p
05 (높이)=øπ10¤ -8¤ =6(cm)이므로
(부피)=;3!;_p_8¤ _6=128p(cm‹ )
(cid:9000) 128p cm‹
05- 1밑면인 원의 반지름의 길이를 rcm라 하면
2pr=8p(cid:100)(cid:100)∴ r=4
모선의 길이를 lcm라 하면
p_4_l=48p(cid:100)(cid:100)∴ l=12
∴ (높이)="√12¤ -4¤ =8'2(cm) (cid:9000) 8'2cm
B
O
O
K
06 단면인 원의 반지름의 길이는
"√7¤ -5¤ =2'6
∴ (단면의 넓이)=p_(2'6 )¤ =24p (cid:9000) 24p
06- 1단면인 원의 반지름의 길이는
"√4¤ -2¤ =2'3
∴ (단면의 넓이)=p_(2'3)¤ =12p
(cid:9000) ②
07- 1(높이)=øπ7¤ -(3'2 )¤ ='3å1(cm)이므로
(부피)=;3!;_6¤ _'3å1=12'3å1(cm‹ )
(cid:9000) 12'3å1 cm‹
19
54p
01 ⑴ DM”= _12=6'3
'3
2
⑵ DH”=;3@; DM”=;3@;_6'3=4'3
⑶ AH”=øπ12¤ -(4'3 )¤ =4'6
'3
⑷ △BCD= _12¤ =36'3
4
⑸ ;3!;_36'3_4'6=144'2
(cid:9000) ⑴ 6'3 ⑵ 4'3 ⑶ 4'6
⑷ 36'3 ⑸ 144'2
01- 1⑴ (높이)= _3='6
⑵ (부피)= _3‹ =
9'2
4
'6
3
'2
12
(cid:9000) ⑴ '6 ⑵
9'2
4
Ⅴ. 피타고라스 정리 19
”
3하표준렉처해설Ⅴ(008~023) 2015.1.30 8:51 PM 페이지20 SinsagoHitec
BOOK
QQ BBooxx
20
01 (cid:9000) 3, 2, 5, '4å1
01- 1오른쪽 전개도에서
최단 거리는 AG”이므로
AG”="√8¤ +(4+2)¤
AG”='1∂00=10
A
4
B
2
F
01- 2오른쪽 전개도에서
최단 거리는 AB'”
이므로
AB'”="√8¤ +(8p)¤
B
8`cm
A
8π`cm
=8"√1+p¤ (cm)
(cid:9000) 8"√1+p¤` cm
55p
D
C
G
B'
A'
01 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'6
3
a=2'6(cid:100)(cid:100)∴ a=6
따라서 구하는 부피는
'2
12
_6‹ =18'2(cm‹ )
p
56~57
(cid:9000) ②
01- 1DM”=3HM”=3_3=9(cm)
정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'3
2
a=9(cid:100)(cid:100)∴ a=6'3
따라서 구하는 부피는
'2
12
_(6'3)‹ =54'6 (cm‹ )
(cid:9000) 54'6 cm‹
02 MN”=;3!;MÚD”=;3!;_{ _3}=
'3
2
'3
2
'6
AH”= _3='6
3
∴ △AMH=;2!;_ _'6=
'3
2
3'2
4
(cid:9000)
3'2
4
02- 1DH”=;3@; DM”=;3@;_{ _3'2}='6(cm)
'3
2
AH”= _3'2=2'3(cm)
'6
3
∴ △AHD=;2!;_'6_2'3=3'2(cm¤ )
(cid:9000) ②
20
SOLUTION
이등변삼각형 PCD에서
CQ”=DQ”이므로 PQ”⊥CD”
8
(cid:9000) 10
△PCQ에서
PQ”=øπ(5'3 )¤ -5¤ =5'2(cm)
원기둥의 전개도에서 옆면
의 가로의 길이는 밑면인
원의 둘레의 길이와 같다.
03- 1△ABD에서 삼각형의
두 변의 중점을 연결한
선분의 성질에 의하여
03 PC”, PD”를 그으면
A
△PCD는 이등변삼각형
이므로
PC”=PD”= _10
'3
2
=5'3(cm)
CQ”=DQ”=5(cm)
P
B
10`cm
D
Q
C
(cid:9000) ④
A
P H
Q
B
D
8
C
PQ”=;2!; BD”=4
'3
2
CP”=CQ”= _8
=4'3
점 C에서 PQ”에 내린 수선의 발을 H라 하면
CH”=øπ(4'3 )¤ -2¤ =2'∂11
∴ △PCQ=;2!;_4_2'∂11=4'∂11
(cid:9000) 4'∂11
04 오른쪽 전개도에서 최
단 거리는 AD'”이므로
A'
B
C
A
AD’'”
="√(3+3+4)¤ +6¤
=2'∂34
D'
3
E
3
F
4
6
D
(cid:9000) 2'∂34
3`cm
(cid:9000) ④
05 오른쪽 전개도에서
A’A'”=2p_4'3
=8'3p(cm)
원기둥의 높이는 AB”이므로
AB”="√(16p)¤ -(8'3p)¤
=8p(cm)
B
A
16π`cm
8Â3π`cm
B'
A'
05- 1오른쪽 전개도에서 최
단 거리는 AB"”이므로
AB"”
="√(6p+6p)¤ +(4p)¤
=4'1å0p
B
4p
A
(cid:9000) 8p cm
B'
B"
6p
A'
6p
A"
(cid:9000) 4'1å0p
점 H는 △BCD의 무게중
심이므로
DH” : HM”=2 : 1에서
DM”=3HM”
04- 1오른쪽 전개도에서
최단 거리는 BG”이
C
D
A
B
G
H
E
F
므로
BG”
="√(3+3+3)¤ +3¤
=3'1å0(cm)
3하표준렉처해설Ⅴ(008~023) 2015.1.30 8:51 PM 페이지21 SinsagoHitec
9 cm
30æ
60æ
B
A
H
원뿔의 전개도는 부채꼴과
원으로 이루어져 있고 부채
꼴의 호의 길이는 원의 둘
레의 길이와 같다.
06 원뿔의 옆면의 전개도에서 부채꼴의 중심각의 크
2p_9_ =2p_3(cid:100)(cid:100)∴ x=120
기를 x°라 하면
x
360
△ABH에서
9 : BH”=2 : '3(cid:100)(cid:100)
9'3
∴ BH”=
(cm)
2
따라서 구하는 최단 거리는
BB'”=2BH”=9'3(cm)
06- 1(cid:8772)ACDB는 마름모이
므로 AD”⊥CB”
따라서 구하는 최단 거
C
리는
'3
CB”=2HB”=2_{ _2'3 }=6(cm)
2
B'
(cid:9000) ⑤
A
D
60æ
H
2'3 cm
B
30æ
(cid:9000) 6cm
p
58~61
01 ④ 02 27'3 03 ③ 04 48 05 ⑤
08 ② 09 ③
06 ③ 07 24+32'3
10 8'2 11 ④ 12 6'∂41 cm¤
13 ④
14 ③ 15 7'3 cm
17 288 cm‹
20 10'5 cm
22 2'3cm
25 8'2 cm
16 ②
18 ② 19 ③
21 2'7 cm
23 18개 24 4'2 cm¤
01 정사각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면
a¤ =50(cid:100)(cid:100)∴ a=5'2 (∵ a>0)
따라서 대각선의 길이는
'2_5'2=10(cm)
(cid:9000) ④
02 큰 정삼각형의 한 변의 길이는
3_2'3=6'3이므로 구하는 넓이는
'3
4
_(6'3 )¤ =27'3
(cid:9000) 27'3
03 AD”= _18
'3
2
=9'3 (cm)
점 G는 △ABC의 무게중심
이므로
AG”=;3@;AD”
18`cm
A
G
D
B
C
=;3@;_9'3=6'3 (cm)
(cid:9000) ③
QQ BBooxx
04 B’H”=x라 하면C ’H”=17-x이므로
AH”
¤ =(4'∂13 )¤ -x¤ =15¤ -(17-x)¤
34x=272(cid:100)(cid:100)∴ x=8
따라서 AH”=øπ(4'∂13 )¤ -8¤ =12이므로
△ABH=;2!;_8_12=48
05 △ABC에서 '6 : BC”=1 : '3(cid:100)(cid:100)∴ BC”=3'2
△BCD에서 3'2 : BD”=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ BD”=6
B
O
O
K
(cid:9000) 48
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
AC”=CD”=DB”=BA”이
므로 (cid:8772)ACDB는 마름모
이다.
06 △ABC에서 12 : AC”=2 : 1
∴ AC”=6(cm)
△ADC에서 AD” : 6=2 : '3
∴ AD”=4'3 (cm)
△ACD와 △ADB는 각
각 한 변의 길이가 2'3cm
인 정삼각형이다.
07 두 점 A, D에서
BC”에 내린 수선의
발을 각각 E, F라
A
6
D
4Â6
45æ
60æ
F
C
B
E
하면 △ABE에서
AE” : BE” : 4'6=1 : 1 : '2
∴ AE”=BE”=4'3
DF”=AE”=4'3이므로 △DFC에서
CF” : 4'3=1 : '3(cid:100)(cid:100)∴ CF”=4
따라서 (cid:8772)ABCD의 넓이는
;2!;_{6+(4'3+6+4)}_4'3=24+32'3
(cid:9000) 24+32'3
08 ① "√{1-(-4)}¤ +√(2-0)¤ ='2å9
② "√{-2-(-3)}¤ +{0√-(-6)}¤ ='3å7
③ "√{3-(-1)}¤ +(-√1-2)¤ =5
④ "√2¤ +3¤ ='1å3
⑤ "√(5-3)¤ +(9-5)¤ =2'5
(cid:9000) ②
09 AB”="√{0-(-4)}¤ +(√-3-1)¤ ='∂32=4'2
BC”="√(4-0)¤ +{9√-(-3)}¤ ='∂160=4'∂10
AC”="√{4-(-4)}¤
√+(9-1)¤ ='∂128=8'2
¤ 이므로 △ABC는 ∠A=90°
¤ +AC”
BC”
(cid:9000) ③
인 직각삼각형이다.
¤ =AB”
10 점 A와 x축에 대하여 대
칭인 점을 A'이라 하면
A'(-5, -2)
AP”+BP”
=A'P”+BP”æA'B”
B
y
6
2
OP
3
x
-2
A
-5
A'
이고
A'B”="√{3-(-5)}¤ +{√6-(-2)}¤ =8'2
따라서 AP”+BP”의 최솟값은 8'2이다.
(cid:9000) 8'2
Ⅴ. 피타고라스 정리 21
(사다리꼴의 넓이)
=;2!;_{(윗변의 길이)
= +(아랫변의 길이)}
=_(높이)
삼각형의 무게중심은 삼
각형의 세 중선의 교점
이고 세 중선의 길이를
꼭짓점으로부터 2 : 1로
나눈다.
3하표준렉처해설Ⅴ(008~023) 2015.1.30 8:51 PM 페이지22 SinsagoHitec
BOOK
QQ BBooxx
11 "√40¤ +50¤ +30¤ =50'2(cm)
(cid:9000) ④
12 EF”=BC”=6(cm)
AF”="√10¤ +10¤ =10'2(cm)
AE”="√10¤ +8¤ =2'4å1(cm)
이때 AF”
∠AEF=90°인 직각삼각형이다.
¤ =AE”
¤ +EF”
¤ 이므로 △AEF는
∴ △AEF=;2!;_6_2'4å1=6'4å1(cm¤ )
13 AN”=NG”=GM”=MA”="√6¤ +3¤ =3'5(cm)
즉 (cid:8772)ANGM은 마름모이다.
MN”=HF”=6'2 (cm), AG”=6'3 (cm)이므로
(cid:8772)ANGM=;2!;_MN”_AG”=;2!;_6'2_6'3
(cid:8772)ANGM=18'6(cm¤ )
(cid:9000) ④
14 점 A에서 밑면에 내린 수선
의 발을H 라 하면
HO'”=AO”=5(cm)이므로
BH”=10-5=5(cm)
△ABH에서
AH”="√13¤ -5¤ =12(cm)
∴ O’O'”=AH”=12(cm)
5`cm
O
A
13`cm
O'H
B
10`cm
(cid:9000) ③
15 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2pr=14p(cid:100)(cid:100)∴ r=7
OA”=l cm라 하면2p _l_
=14p
180°
360°
∴ l=14
주어진 전개도로 원뿔을 만들
면 오른쪽 그림과 같으므로
14 cm
원뿔의 높이는
"√14¤ -7¤ =7'3(cm)
7 cm
(cid:9000) 7'3 cm
16 AB”="√8¤ -4¤ =4'3(cm)이므로
(단면의 넓이)=p_(4'3)¤ =48p(cm¤ )
17 꼭짓점 A에서 (cid:8772)BCDE에
내린 수선의 발을 H라 하면
HD”=;2!; BD”
HD”=;2!;_('2_6'2)
HD”=6(cm)
E
B
6'2 cm
D
A
H C
F
△AHD에서 AH”="√(6'2)¤ -6¤ =6(cm)
22
SOLUTION
∴ (정팔면체의 부피)=2_(정사각뿔의 부피)
∴ (정팔면체의 부피)=2_;3!;_(6'2)¤ _6
∴ (정팔면체의 부피)=288(cm‹ ) (cid:9000) 288 cm‹
한 모서리의 길이가 a
인 정사면체에서
(높이)= a
'6
3
'2
12
(cid:9000) 6'4å1 cm¤
(부피)= a‹
18
'6
3
a=6이므로 a=3'6
따라서 정사면체의 부피는
'2
12
_(3'6 )‹ =27'3
(cid:9000) ②
(마름모의 넓이)
=;2!;_(두 대각선의
길이의 곱)
△MBC는 MB”=MC”인
이등변삼각형이므로
BH”=CH”=;2!;BC”
=2(cm)
19 MB”=MC”= _4
'3
2
=2'3(cm)
A
4 cm
M
점 M에서 BC”에 내린
수선의 발을 H라 하면
B
BH”=CH”=2(cm)
D
H
C
이므로 △MBH에서
MH”=øπ(2'3 )¤ -2¤ =2'2(cm)
∴ △MBC=;2!;_4_2'2=4'2(cm¤ ) (cid:9000) ③
20
채점
기준
직사각형의 대각선의 길이 구하기
OC”, OD”의 길이 구하기
△OCD의 둘레의 길이 구하기
2점
2점
2점
직사각형의 두 대각선의 길이는 같으므로
AC”=BD”="√10¤ +(4'5)¤ =6'5(cm) … 2점
두 대각선은 서로를 이등분하므로
OC”=OD”=;2!; BD”=;2!;_6'5=3'5(cm) … 2점
따라서 △OCD의 둘레의 길이는
OC”+CD”+OD”=3'5+4'5+3'5
=10'5(cm)
… 2점
(cid:9000) 10'5 cm
21
채점
기준
CH”의 길이 구하기
AH”의 길이 구하기
AC”의 길이 구하기
△ABH에서 4：BH”=2：1이므로
BH”=2(cm)
∴ CH”=BC”-BH”=6-2=4(cm)
또 4 : AH”=2 : '3이므로
AH”=2'3(cm)
따라서 △AHC에서
AC”="√
√(2'3)¤ +4¤ =2'7(cm)
2점
2점
2점
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) 2'7cm
(cid:9000) ②
구를 평면으로 자른 단면은
원이다.
3하표준렉처해설Ⅴ(008~023) 2015.1.30 8:51 PM 페이지23 SinsagoHitec
QQ BBooxx
△BCD를 밑면으로 생각
하면 높이는 CG”이다.
예제 1
채점 기준
BD”의 길이 구하기
AH”의 길이 구하기
△BGD는 한 변의 길이가
6'2 cm인 정삼각형이다.
삼각뿔 C-BGD의 부피
1단계
2단계
BD”=øπ6¤ +(2'3 )¤ =4'3
AB”_AD”=BD”_AH”이므로
2'3_6=4'3_AH”
∴ AH”=3
p
62~63
B
O
O
K
2점
2점
2점
2점
2점
2점
22
삼각뿔 G-BCD의 부피 구하기
채점
기준
△BGD의 넓이 구하기
CI”의 길이 구하기
삼각뿔 G-BCD의 부피는
;3!;_{;2!;_6_6}_6=36(cm‹ )
… 2점
'3
4
△BGD= _(6'2 )¤ =18'3(cm¤ ) … 2점
이므로
;3!;_18'3_CI”=36(cid:100)
∴ CI”=2'3(cm)
… 2점
(cid:9000) 2'3 cm
23
채점
기준
정사각뿔의 부피 구하기
정육면체의 부피 구하기
금괴의 최대 개수 구하기
(정사각뿔의 높이)=øπ30¤ -(15'2 )¤
=15'2(cm)
∴ (정사각뿔의 부피)=;3!;_30¤ _15'2
∴ (정사각뿔의 부피)=4500'2(cm‹ ) … 2점
이때 정육면체 모양의 금괴 1개의 부피는
(5'2 )‹ =250'2 (cm‹ )
따라서 만들 수 있는 금괴의 최대 개수는
4500'2÷250'2=18(개)
… 2점
… 2점
(cid:9000) 18개
2점
2점
2점
24
EH”의 길이 구하기
AH”의 길이 구하기
채점
기준
△AEH의 넓이 구하기
'3
AE”=DE”= _4'3=6(cm)
2
EH”=;3!; DE”=2(cm)
△AEH에서 AH”="√6¤ -2¤ =4'2(cm) … 2점
∴ △AEH=;2!;_2_4'2=4'2(cm¤ ) … 2점
(cid:9000) 4'2cm¤
… 2점
25
채점
기준
부채꼴의 중심각의 크기 구하기
최단 거리 구하기
3점
3점
A
8cm
B'
B
원뿔의 옆면의 전개도에서 부
채꼴의 중심각의 크기를 x°
라 하면
x
2p_8_ =2p_2
360
∴ x=90
∴ (최단 거리)=BB'”=8'2(cm)
∠AEB=∠CFD=90°
AB”=CD”,
∠ABE=∠CDF (엇각)
AH”는 정사면체의 높이이
므로
'6
AH”= _4'3
3
=4'2(cm)
… 3점
… 3점
(cid:9000) 8'2 cm
원뿔의 전개도에서 옆면인
부채꼴의 호의 길이는 밑면
인 원의 둘레의 길이와 같
다.
배점
50%
50%
50%
50%
(cid:9000) 3
배점
30%
70%
30%
70%
배점
50%
50%
50%
배점
50%
50%
50%
유제 1
채점 기준
BD”의 길이 구하기
EF”의 길이 구하기
1단계
2단계
BD”="√8¤ +24¤ =8'∂10(cm)
AB”
¤ =BE”_BD”에서 8¤ =BE”_8'∂10
(cm)
∴ BE”=
4'∂10
5
△ABE™△CDF(RHA 합동)이므로
BE”=DF”
∴ EF”=8'∂10-2_
4'∂10
5
∴ EF=
(cm)
32'∂10
5
(cid:9000)
32'∂10
5
cm
50%
(cid:9000) 3'3 cm¤
예제 2
채점 기준
AD”의 길이 구하기
△ADE의 넓이 구하기
1단계
AD”= _4=2'3 (cm)
'3
2
2단계
∴ △ADE= _(2'3)¤
'3
4
∴ △ADE=3'3 (cm¤ )
유제 2
채점 기준
AD”의 길이 구하기
AB”의 길이 구하기
1단계
¤ =24
_AD”
¤ =6'3이므로 AD”
'3
4
∴ AD”=2'6(cm)(∵ AD”>0)
'3
2
2단계
_AB”=2'6이므로 AB”=4'2(cm) 50%
(cid:9000) 4'2 cm
Ⅴ. 피타고라스 정리 23
3하표준렉처해설Ⅵ(024~037) 2015.1.30 8:53 PM 페이지24 SinsagoHitec
BOOK
QQ BBooxx
예제 3
채점 기준
EG”의 길이 구하기
AG”의 길이 구하기
E’I’의 길이 구하기
1단계
2단계
3단계
EG”='2_6=6'2(cm)
AG”='3_6=6'3(cm)
△AEG에서 AE”_EG”=AG”_EI”이므로
6_6'2=6'3_EI”
∴ EI”=2'6(cm)
피타고라스 정리를 이용하여
AC”의 길이를 구한다.
한 모서리의 길이가 a
인 정육면체의 대각선
의 길이
(cid:8857) '3a
배점
30%
30%
40%
30%
30%
배점
30%
30%
40%
40%
(cid:9000) 2'6 cm
유제 3
채점 기준
OH”의 길이 구하기
DO”의 길이 구하기
H’I’의 길이 구하기
1단계
2단계
3단계
OH”=;2!; FH”=;2!;_8'2=4'2(cm)
△DOH에서
DO”="√8¤ +(4'2)¤ =4'6(cm)
△DOH에서 DH”_OH”=DO”_H’I’이므로
8_4'2=4'6_H’I’
8'3
3
∴ H’I’=
(cm)
30%
30%
40%
(cid:9000)
8'3
3
cm
예제 4
채점 기준
밑면의 반지름의 길이 구하기
원뿔의 부피 구하기
1단계
2단계
밑면의 반지름의 길이는
"√12¤ -9¤ =3'7(cm)
따라서 원뿔의 부피는
;3!;_p_(3'7 )¤ _9=189p(cm‹ )
유제 4
채점 기준
OH”의 길이 구하기
△OMN의 넓이 구하기
배점
50%
50%
50%
50%
배점
70%
30%
1단계
AC”=
_10'2=5'2(cm)
;2!;
CH”=
;2!;
△OHC에서
OH”=ø1π0¤
∴ △OMN=
2단계
π-(π5'2 )¤ =5'2 (cm)
70%
_10_5'2=25'2(cm¤ ) 30%
;2!;
(cid:9000) 25'2 cm¤
24
SOLUTION
Ⅵ
삼각비
1
삼각비
21
66p
01 AC”="√8¤ +6¤ =10
(cid:9000) ⑴ ;5#; ⑵ ;5$; ⑶ ;4#;
01- 1AC”="√3¤ -1¤ =2'2
(cid:9000) ⑴
2'2
3
(cid:9000) ⑷ ;3!; ⑸
⑵ ;3!; ⑶ 2'2
⑹ '2
4
2'2
3
02 ⑴ sin A=
BC”
AC”
BC”
10
⑵ AB”="√10¤ -8¤ =6
=
02- 1⑴ cos A=
AB”
AC”
6
AC”
⑵ BC”="√8¤ -6¤ =2'7
=
=;5$;(cid:100)(cid:100)∴ BC”=8
(cid:9000) ⑴ 8 ⑵ 6
=;4#;(cid:100)(cid:100)∴ AC”=8
(cid:9000) ⑴ 8 ⑵ 2'7 ⑶
'7
4
⑷ '7
3
22
p
67
01 ⑴ (주어진 식)=;2!;+1=;2#;
'2
2
'2
2
⑵ (주어진 식)= _ + _ =1
'3
2
'3
3
(cid:9000) ⑴ ;2#; ⑵ 1
01- 1⑴ (주어진 식)=;2!;+;2!;=1
⑵ (주어진 식)={
'3
2
}2 +{;2!;}2 =1
'3
2
'3
2
⑶ (주어진 식)=1-4_ _ _1=-2
⑷ (주어진 식)= ÷'3+ _'3=2
'3
2
'3
2
(cid:9000) ⑴ 1 ⑵ 1 ⑶ -2 ⑷ 2
(cid:9000) x='3, y=2'3
02- 1⑴ cos 45°=
sin 45°=
⑵ sin 60°=
(cid:100)(cid:100)∴ x=5'2
'2
2
'2
(cid:100)(cid:100)∴ y=5'2
2
'3
2
(cid:100)(cid:100)∴ x=4
=
x
10
=
y
10
=
2'3
x
2'3
y
tan 60°=
='3(cid:100)(cid:100)∴ y=2
(cid:9000) ⑴ x=5'2, y=5'2 ⑵ x=4, y=2
(cid:9000) 189p cm‹
밑면의 반지름의 길이
가 r, 높이가 h인 원뿔
의 부피 (cid:8857) ;3!;pr¤ h
x
02 tan 30°= = (cid:100)(cid:100)∴ x='3
3
'3
3
'3
cos 30°= = (cid:100)(cid:100)∴ y=2'3
2
3
y
3하표준렉처해설Ⅵ(024~037) 2015.1.30 8:53 PM 페이지25 SinsagoHitec
01 AC”="√5¤ +10¤ =5'5이므로
AB”
'5
5
AC”
cos A=
=
=
5
5'5
10
5'5
sin A=
BC”
AC”
=
∴ cos A+sin A= +
=
'5
5
2'5
5
2'5
5
=
3'5
5
01- 1AC”="8√
cos B=
sin B=
¤ -6¤ =2'7이므로
AB”
6
= =
8
BC”
3
4
AC”
BC”
=
2'7
8
=
'7
4
∴
cosB
sin B
= ÷ =
'7
4
3'7
7
3
4
(cid:9000)
3'5
5
(cid:9000)
3'7
7
02 tan C=
AB”
BC”
∴ AC”="9√
=
9
BC”
¤ +6¤ =3'1å3(cm)
=;2#;(cid:100)(cid:100)∴ BC”=6(cm)
02- 1cos A=
=
=
'2
3
AB”
AB”
6
AC”
∴ AB”=2'2(cm)
∴ BC”=øπ6¤ -(2'2 )¤ =2'7(cm)
03 오른쪽 그림에서
BC”="√13¤ -12¤ =5
∴ tan A=
BC”
AB”
=;1∞2;
03- 13tan A-4=0에서 tan A=
오른쪽 그림에서(cid:100)(cid:100)
AC”="√3¤ +4¤ =5이므로
BC”
sin A=
AC”
AB”
AC”
cos A=
4
5
3
5
=
=
∴ sin A-cos A
3
5
= - =
4
5
1
5
13
12
A
4
3
A
3
(cid:9000) ⑤
C
B
(cid:9000) ②
C
4
B
(cid:9000) ④
p
68~70
04 △ABCª△HBA (AA 닮음)이므로
QQ BBooxx
∠A=∠BHA=90°,
∠B는 공통이므로
△ABCª△HBA
(AA 닮음)
∠C=∠BAH=x
△ABC에서 AB”="√5¤ -4¤ =3
∴ tan x=tan C=
=;4#;
AB”
AC”
04- 1△ABCª△EBD (AA 닮음)이므로
∠A=∠BED=x
△ABC에서 AC”="√12√
AC”
∴ cos x=cos A=
AB”
¤ -8¤ =4'5
4'5
=
=
12
'5
3
(cid:9000) ;4#;
B
O
O
K
(cid:9000) '5
3
(cid:9000) ④
△FGH는 ∠FGH=90°,
△BFH는 ∠BFH=90°
인 직각삼각형이다.
세 모서리의 길이가 각
각 a, b, c인 직육면체
의 대각선의 길이
(cid:8857) "√a¤ +b¤ +c¤
05 FH”="√6¤ +6¤ =6'2
BH”="√6¤ +6¤ +6¤ =6'3
FH”
6'2
∴ cos x=
BH”
6'3
=
=
'6
3
05- 1EG”="√3√
¤ +4¤ =5,
AG”="√3¤ +4¤ +5¤ =5'2이므로
sin x=
=
cos x=
=
=
AE”
AG”
EG”
AG”
=
'2
2
5
5'2
5
5'2
'2
2
'2
2
'2
2
(cid:9000) 3'∂13 cm
∴ sin x+cos x= +='2
(cid:9000) ④
주어진 삼각비의 값을 만족
시키는 직각삼각형을 그려
서 해결한다.
주어진 등식에서 tan A의
값을 구한 후, 직각삼각형
을 그려 AC”의 길이를 구
한다.
06 ⑤ tan 30°_tan 60°-sin 30°= _'3-;2!;
'3
3
⑤ tan 30°_tan 60°-sin 30°=;2!;
(cid:9000) ⑤
06- 1(주어진 식)= ÷ - _
'3
2
'3
3
'3
2
'3
3
(주어진 식)=;2#;-;2!;=1
(cid:9000) 1
07 cos 60°=;2!;이므로 2x-30°=60°
2x=90°(cid:100)(cid:100)∴ x=45°
∴ sin 45°+cos45°= +
'2
2
∴ sin 45°+cos45°='2
'2
2
07- 1sin 60°= 이므로 3x-15°=60°
'3
2
3x=75°(cid:100)(cid:100)∴ x=25°
∴ tan(2x+10°)=tan60°='3
08 △ABC에서 tan 30°=
4
BC”
= 이므로
'3
3
BC”=4'3
DB”=2'6
△DBC에서 cos 45°=
= 이므로
DB”
4'3
'2
2
(cid:9000) ④
(cid:9000) '3
(cid:9000) ②
Ⅵ. 삼각비 25
3하표준렉처해설Ⅵ(024~037) 2015.1.30 8:53 PM 페이지26 SinsagoHitec
BOOK
QQ BBooxx
24
72p
01 (cid:9000) ⑴ 0.4540 ⑵ 0.9063 ⑶ 0.4877
01- 1(cid:9000) ⑴ 0.4067 ⑵ 0.8829 ⑶ 0.5095
02 (cid:9000) ⑴ 64° ⑵ 62° ⑶ 65°
02- 1(cid:9000) ⑴ 63° ⑵ 61° ⑶ 64°
08- 1△ABC에서 tan 30°=
6
BC”
= 이므로
'3
3
BC”=6'3 (cm)
△ADC에서 tan 60°=
6
DC”
='3이므로
DC”=2'3 (cm)
∴ BD”=BC”-DC”=6'3-2'3
=4'3 (cm)
09 직선 2x-3y+6=0의 x
절편이 -3, y절편이 2이
므로 오른쪽 그림에서
A(-3, 0), B(0, 2)
∴ tan a=
OB”
OA”
=;3@;
(cid:9000) ③
y
B
2
(cid:9000) ;3@;
09- 1(직선의 기울기)=
=tan 60°='3이므로
OB”
OA”
OB”
2
='3(cid:100)(cid:100)∴ OB”=2'3
따라서 구하는 직선의 방정식은
y='3x+2'3
(cid:9000) y='3x+2'3
23
p
71
01 ⑴ sin 39°=
AB”
OA”
=
0.6293
1
⑴ sin 39°=0.6293
⑵ cos 39°=
OB”
OA”
=
0.7771
1
⑵ cos 39°=0.7771
(cid:9000) ⑴ 0.6293 ⑵ 0.7771
01- 1tan 39°=
CD”
OD”
=
0.8098
1
=0.8098
a
A
-3
2x-3y+6=0
O
x
BC”∥DE”이므로
z=y (동위각)
01 ④ cos z=cos y=
=BC”
(cid:9000) ④
BC”
AC”
=
BC”
1
73p
01- 1sin x=
=
=AB”
AB”
OA”
OB”
OA”
AB”
1
OB”
1
cos x=
=
=OB”
02 sin 30°=;2!;, tan 60°='3,
'2
cos 45°= , sin 90°=1
2
(cid:9000) sin x=AB”, cos x=OB”
기울기가 a이고 y절편
이 b인 직선의 방정식
(cid:8857) y=ax+b
빗변의 길이가 1인 직각삼
각형을 이용한다.
삼각비의 표를 이용한
삼각비의 값
(cid:8857) 각도의 가로줄과 sin,
cos, tan의 세로줄
이 만나는 곳의 수
(cid:9000) sin 30°, cos 45°, sin 90°, tan 60°
02- 1① sin 0°=0, sin 30°=;2!;이므로
sin 0°cos 45°
③ tan 0°=0, tan 60°='3이므로
tan 0°cos 30°
③ sin30°=;2!;, tan 30°= 이므로
sin30°sin 60°
⑤ sin 90°=1, cos 60°=;2!;이므로
;2!; sin 90°=cos 60°
(cid:9000) ④
18 sin 30°-cos 30°=;2!;- <0,
'3
2
'3
2
cos 30°-sin 30°= -;2!;>0이므로
(주어진 식)
=-(sin 30°-cos 30°)-(cos 30°-sin 30°)
=-sin 30°+cos 30°-cos 30°+sin 30°=0
19 tan 13°+cos 16°=0.2309+0.9613
=1.1922
(cid:9000) 1.1922
(cid:9000) ③
2점
2점
2점
20
채점
기준
∠ADB=x임을 알기
BD”의 길이 구하기
cos x의 값 구하기
28
SOLUTION
sin 30°=
tan 30°=
1
AD”
1
DC”
=;2!;
= '3
3
직선 y=ax+b에서
b
a
x절편 (cid:8857) -
y절편 (cid:8857) b
cos x의 값은 빗변의 길이
가 1인 직각삼각형을, tan x
의 값은 밑변의 길이가 1인
직각삼각형을 이용한다.
△ABDª△HBA (AA 닮음)이므로
∠ADB=∠HAB=x
△ABD에서
BD”="√12¤ +9¤ =15(cm)
AD”
∴ cos x=
=;1!5@;=;5$;
BD”
21
채점
기준
일차함수의 그래프의 x절편, y절편 구하기
2점
sina의 값 구하기
4점
1-2
y= x+2
y
B
O
2
a
A
-4
x
직선 y=;2!;x+2의 x
절편이 -4, y절편이
2이므로
… 2점
오른쪽 그림에서
AB”="√4¤ +2¤ =2'5
∴ sin a=
=
OB”
AB”
=
'5
5
2
2'5
22
채점
기준
AB”, AC”의 길이 구하기
△ABC의 둘레의 길이 구하기
AB”=AC”이고 ∠`B=∠`C=45°이므로
cos B=cos 45°=
AB”
4
=
'2
2
∴ AB”=AC”=2"2(cm)
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
4+2'2+2'2=4+4'2(cm)
… 2점
(cid:9000) 4(1+'2)cm
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) ;5$;
… 4점
(cid:9000) '5
5
4점
2점
… 4점
2점
2점
2점
… 2점
"≈a¤ =[
-a (aæ0)
-a (a<0)
23
채점
기준
BH”의 길이 구하기
CH”의 길이 구하기
BC”의 길이 구하기
△ABH에서
cos 30°=
△AHC에서
cos 45°=
BH”
AB”
CH”
AC”
cos 30°=
BH”
8
'3
= 에서
2
cos 45°=
'2
= 에서
2
BH”=4'3(cm)
CH”
4'2
CH”=4(cm)
∴ BC”=BH”+CH”=4+4'3 (cm)
… 2점
… 2점
(cid:9000) 4(1+'3)cm
24
채점
기준
식 간단히 하기
cos A+1, cosA-1의 부호 정하기
3점
3점
0°0, cos A-1<0
… 3점
3하표준렉처해설Ⅵ(024~037) 2015.1.30 8:53 PM 페이지29 SinsagoHitec
∴ (주어진 식)=(cos A+1)-{-(cos A-1)}
=cos A+1+cos A-1
=2cos A
… 3점
(cid:9000) 2cos A
25
채점
기준
DE”, BD”, BC”의 길이 구하기
색칠한 부분의 넓이 구하기
3점
3점
AD”=AC”=1이므로
tan 60°=
=DE”='3,
cos60°=
=AB”=;2!;,
DE”
AD”
AB”
AC”
BD”=AD”-AB”=;2!;
∴ (색칠한 부분의 넓이)
'3
=;2!;_{ +'3}_;2!;
2
=
3'3
8
또 sin 60°=
=BC”=
… 3점
BC”
AC”
'3
2
… 3점
(cid:9000)
3'3
8
p
78~79
배점
40%
40%
20%
40%
40%
20%
(cid:9000) '7
3
배점
40%
40%
20%
예제 1
채점 기준
AC”의 길이 구하기
BC”의 길이 구하기
tan A의 값 구하기
1단계
sin B=
= 이므로
AC”
8
3
4
AC”=6(cm)
2단계
3단계
피타고라스 정리에 의하여
BC”="√8¤ -6¤ =2'7 (cm)
2'7
6
∴ tan A=
'7
3
=
유제 1
채점 기준
BC”의 길이 구하기
AB”의 길이 구하기
cos B의 값 구하기
QQ BBooxx
sin 60°=
tan 30°=
'3
2
'3
3
sin 45°=cos 45°= '2
2
(사다리꼴의 넓이)
=;2!;_{(윗변의 길이)
+(아랫변의 길이)}
_(높이)
sin 30°=cos 60°=
1
2
tan 30°=
'3
3
tan 60°='3
1단계
cos C=
= 이므로
4
BC”
'3
3
2단계
3단계
BC”=4'3(cm)
피타고라스 정리에 의하여
AB”="√(4'3 )¤ -4¤ =4'2 (cm)
4'2
4'3
∴ cos B=
'6
3
=
B
O
O
K
예제 2
채점 기준
A의 값 구하기
B의 값 구하기
A+B의 값 구하기
1단계
A= _ =
1
2
2단계
B= ÷ =1
'3
2
'2
2
3단계
∴ A+B= +1=
3
2
'3
3
'2
2
1
2
유제 2
채점 기준
A의 값 구하기
B의 값 구하기
2A+3B의 값 구하기
1단계
2단계
1
A= _'3=
2
'3
2
'3
B= ÷ =
3
1
2
2'3
3
3단계
∴ 2A+3B=2_ +3_
'3
2
2'3
3
∴ 2A+3B=3'3
예제 3
채점 기준
주어진 이차방정식의 해 구하기
a의 크기 구하기
cos a+tan a의 값 구하기
40%
40%
20%
(cid:9000) '6
3
배점
40%
40%
20%
40%
40%
20%
(cid:9000)
3
2
배점
40%
40%
20%
40%
40%
20%
(cid:9000) 3'3
배점
40%
40%
20%
40%
40%
1단계
2x¤ -3x+1=0에서 (2x-1)(x-1)=0
∴ x=;2!; 또는 x=1
0°0)
따라서 마름모 ABCD의 둘레의 길이는
2'5_4=8'5 (cm)
(cid:9000) 8'5 cm
18 (cid:8772)ABCD=;2!;_4'2_11_sin 45°
=;2!;_4'2_11_ =22(cm¤ )
'2
2
19 AC”=BD”=x cm라 하면
;2!;_x_x_sin(180°-120°)=20'3
'3
4
∴ x=4'5 (cm) (∵ x>0)
x¤ =20'3, x¤ =80(cid:100)
20
채점
기준
원뿔의 높이 구하기
원뿔의 부피 구하기
원뿔의 높이를 h라 하면
h=3 tan 60°=3_'3=3'3(cm)
36
SOLUTION
(cid:9000) ④
(cid:9000) 60°
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
3점
3점
… 3점
AB”, BC”가 각각 빗변이
되도록 수선을 그어 2개의
직각삼각형으로 나눈다.
22 채점
기준
BH”, CH” (또는 AH'”, CH'”)의 길이 구하기
A, B 사이의 거리 구하기
두 변의 길이와 끼인 각의
크기를 이용할 수 있도록
보조선을 긋는다.
AH”=AC”-CH”
직각삼각형 AHB에서
AB”=øπBH”
¤ +AH”
2점
2점
2점
4점
2점
B
따라서 원뿔의 부피는
;3!;_p_3¤ _3'3=9'3 p(cm‹ )
… 3점
(cid:9000) 9'3p cm‹
2121
채점
기준
BC”의 길이 구하기
AC”의 길이 구하기
AD”의 길이 구하기
BC”=
15
tan 30°
=15_'3=15'3(m)
… 2점
△ABC에서 ∠ABC=15°+30°=45°이므로
AC”=15'3 tan 45°=15'3_1=15'3(m)… 2점
따라서 국기 게양대의 높이 AD”의 길이는
15'3-15=15('3-1)(m)
… 2점
(cid:9000) 15('3-1)m
점 B에서 AC”에 내린
수선의 발을 H라 하면
△BHC에서
BH”=60 sin 60°
=30'3(m)
CH”=60 cos 60°
=30(m)
A
H
40`m
H'
60`m
60æ
C
AH”=40-30=10(m)이므로
AB”=øπ(30'3 )¤ +10¤ =20'7(m)
23
채점
기준
sin(180°-C)의 값 구하기
∠C의 크기 구하기
;2!;_6_10_sin(180°-C)=15'3이므로
'3
2
sin(180°-C)=
… 4점
'3
sin 60°= 이므로
2
180°-C=60°(cid:100)(cid:100)∴ ∠C=120°
… 4점
… 2점
(cid:9000) 20'7m
4점
2점
… 2점
(cid:9000) 120°
2점
4점
O
4 cm
45æ
A
B
(cid:9000) 32'2cm¤
등변사다리꼴의 성질
(cid:8857) 두 대각선의 길이가
서로 같다.
24
채점
기준
∠AOB의 크기 구하기
정팔각형의 넓이 구하기
∠AOB=360°÷8=45°
… 2점
따라서 정팔각형의 넓이는
8_{;2!;_4_4_sin 45°}
=32'2(cm¤ )
… 4점
정팔각형은 8개의 합동
인 이등변삼각형으로
이루어져 있다.
¤
3하표준렉처해설Ⅵ(024~037) 2015.1.30 8:53 PM 페이지37 SinsagoHitec
25
△EBC가 이등변삼각형임을 알기
채점
기준
△EBC의 높이 구하기
△EBC의 넓이 구하기
2점
2점
2점
∠EBC=∠ECB=30°
이므로 △EBC는 이등변
삼각형이다.
… 2점
점 E에서 BC”에 내린 수
선의 발을 H라 하면
A
D
E
30æ
B
H
6`cm
C
BH”=CH”=;2!; BC”=3(cm)
△EBH에서
EH”=3tan 30°=3_ ='3 (cm)
∴ △EBC=;2!;_6_'3=3'3 (cm¤ )
'3
3
… 2점
… 2점
(cid:9000) 3'3 cm¤
QQ BBooxx
특수한 각의 삼각비를 이용
할 수 있도록 수선을 긋는
다.
예제 2
채점 기준
△ABC의 높이 구하기
△ABC의 넓이 구하기
1단계
AH”=h라 하면
BH”=h tan 60°='3 h,
CH”=h tan 45°=h
B
BC”=BH”+CH”
이등변삼각형의 꼭지각
의 꼭짓점에서 밑변에
내린 수선은 밑변을 이
등분한다.
2단계
이므로
12='3 h+h, ('3+1)h=12
∴ h=6('3-1)
∴ △ABC=;2!;_12_6('3-1)
∴ △ABC=36('3-1)
B
O
O
K
배점
80%
20%
A
45æ
60æ h
H
12
45æ
C
80%
20%
(cid:9000) 36('3-1)
x=6 sin 60°=6_ =3'3 (cm)
∠C=180°-(90°+60°)=30°이므로
'3
2
2단계
40%
y=
3'3
tan 30°
=3'3_'3=9(cm)
40%
3단계
∴ xy=3'3_9=27'3
BC”=BH”-CH”
채점 기준
예제 1
x의 값 구하기
y의 값 구하기
xy의 값 구하기
1단계
△ABH에서
유제 1
채점 기준
x의 값 구하기
y의 값 구하기
x+y의 값 구하기
1단계
△ABH에서
p
94~95
배점
40%
40%
20%
20%
(cid:9000) 27'3
배점
40%
40%
20%
x=8'2 sin 45°=8'2_ =8(cm)
40%
'2
2
2단계
BH”=AH”=8 cm이므로
CH”=BC”-BH”=14-8=6(cm)
△AHC에서 y="√8¤ +6¤ =10(cm)
∴ x+y=8+10=18
3단계
40%
20%
(cid:9000) 18
(부채꼴 AOB의 넓이)
-△AOB
배점
80%
20%
60æ
30æ
A
h
80%
20%
(cid:9000) 4'3
배점
40%
40%
20%
유제 2
채점 기준
△ABC의 높이 구하기
△ABC의 넓이 구하기
1단계
AH”=h라 하면
BH”=h tan 60°='3 h,
CH”=h tan 30°= h
'3
3
이므로
4='3 h- h,
'3
3
2'3
3
h=4
∴ h=2'3
∴ △ABC=;2!;_4_2'3=4'3
2단계
B
30æ
4
120æ
60æ
C
H
예제 3
채점 기준
부채꼴 AOB의 넓이 구하기
△AOB의 넓이 구하기
색칠한 부분의 넓이 구하기
1단계
부채꼴 AOB의 넓이는
p_8¤ _
=24p(cm¤ )
40%
135
360
2단계
△AOB의 넓이는
;2!;_8_8_sin(180°-135°)
'2
=;2!;_8_8_ =16'2(cm¤ )
2
따라서 색칠한 부분의 넓이는
24p-16'2=8(3p-2'2 )(cm¤ )
3단계
40%
20%
(cid:9000) 8(3p-2'2)cm¤
Ⅵ. 삼각비 37
3하표준렉처해설Ⅶ(038~057) 2015.1.30 8:58 PM 페이지38 SinsagoHitec
BOOK
QQ BBooxx
20%
(cid:9000) 4(4p-3'3) cm¤
원 O의 반지름의 길이는
OC”=OB”=xcm이므로
OM”=(x-2)cm
02 BM”=AM”=4 cm이고 OM”=(x-2)cm이므로
△OMB에서
(x-2)¤ +4¤ =x¤ , 4x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=5
배점
40%
40%
20%
배점
50%
50%
배점
50%
50%
1단계
∠OCB=∠OBC=30°이므로
∠BOC=180°-(30°+30°)=120°
△OBC는 OB”=OC”인 이
등변삼각형이다.
유제 3
채점 기준
부채꼴 BOC의 넓이 구하기
△BOC의 넓이 구하기
색칠한 부분의 넓이 구하기
부채꼴 BOC의 넓이는
p_(4'3 )¤ _
120
360
2단계
△BOC의 넓이는
=16p(cm¤ )
40%
;2!;_4'3_4'3_sin(180°-120°)
=;2!;_4'3_4'3_ =12'3(cm¤ )
40%
'3
2
3단계
따라서 색칠한 부분의 넓이는
16p-12'3=4(4p-3'3)(cm¤ )
예제 4
채점 기준
(cid:8772)ABCD의 넓이 구하기
△ABO의 넓이 구하기
1단계
∠ABC=∠ADC=135°이므로
(cid:8772)ABCD=8_11_sin (180°-135°)
'2
(cid:8772)ABCD=8_11_ =44'2 (cm¤ ) 50%
2
평행사변형에서 두 쌍
의 대각의 크기는 각각
같다.
2단계
∴ △ABO=;4!;(cid:8772)ABCD
∴ △ABO=;4!;_44'2
∴ △ABO=11'2 (cm¤ )
50%
(cid:9000) 11'2 cm¤
유제 4
채점 기준
(cid:8772)ABCD의 넓이 구하기
△ACM의 넓이 구하기
1단계
BC”=AD”=14 cm이므로
(cid:8772)ABCD=12_14_sin 60°
△ACM
=;2!;△ACD
'3
(cid:8772)ABCD=12_14_ =84'3 (cm¤ ) 50%
2
=;2!;_;2!;(cid:8772)ABCD
2단계
∴ △ACM=;4!;(cid:8772)ABCD
이등변삼각형의 두 밑
각의 크기는 같다.
∴ △ACM=;4!;_84'3=21'3 (cm¤ )
50%
(cid:9000) 21'3 cm¤
38
SOLUTION
Ⅶ
원의 성질
1
원과 직선
30
01 ⑴ x=B’M”=5
98p
⑵ A’M”="√5¤ -3¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ x=2A’M”=8
(cid:9000) ⑴ 5 ⑵ 8
01- 1⑴ AM”=;2!;AB”=8(cm)
∴ x="√8¤ +6¤ =10
⑵ B’M”=A’M”=12 cm
∴ x="√13¤ -12¤ =5
(cid:9000) ⑴ 10 ⑵ 5
(cid:9000) 5
x`cm
6`cm
B
O
M
4`cm
C
02- 1OB”를 긋고 OB”=x cm
라 하면
BM”=;2!;AB”=6(cm)이고
O’M”=(x-4)cm이므로
A
△OMB에서
(x-4)¤ +6¤ =x¤ , 8x=52
∴ x=
:¡2£:
(cid:9000) :¡2£: cm
31
99p
01 ⑴ OM”=ON”이므로 x=AB”=13
⑵ AB”=CD”이므로 x=OM”=4
(cid:9000) ⑴ 13 ⑵ 4
01- 1⑴ MB”="√10¤ -6¤ =8이므로 AB”=2 MÚB”=16
OM”=ON”이므로 x=AB”=16
⑵ OM”⊥AB”이므로 BM”=AM”=6
∴ AB”=12
따라서 AB”=CD”이므로 x=OM”=5
(cid:9000) ⑴ 16 ⑵ 5
02 O’M”=ON”이므로 AB”=AC”
따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로
∠B=
_(180°-50°)=65°
(cid:9000) 65°
;2!;
02- 1O’M”=ON”이므로 AB”=AC”
따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로
∠A=180°-2_55°=70°
(cid:9000) 70°
3하표준렉처해설Ⅶ(038~057) 2015.1.30 8:58 PM 페이지39 SinsagoHitec
p
100~101
01 △OAD에서 AD”="√13¤ -5¤ =12(cm)
AB”⊥OC”이므로 DB”=AD”=12 cm
OC”=OA”=13 cm이므로
DC”=13-5=8(cm)
△DCB에서 CB”="√8¤ +12¤ =4'∂13(cm)
(cid:9000) ⑤
01- 1AB”⊥OC”이므로 AM”=BM”=;2!;AB”=4(cm)
OA”=;2!; CD”=5(cm)이므로
△OAM에서 OM”="√5¤ -4¤ =3(cm)
∴ CM”=5-3=2(cm)
(cid:9000) 2 cm
02 원의 중심을 O라 하면
A
AM”=;2!; AB”=8(cm)
△AOM에서
MO”="√10¤ -8¤ =6(cm)
∴ CM”=10-6=4(cm)
10 cm
C
M
O
B
16`cm
(cid:9000) ④
02- 1AO”=r cm라 하면
OM”=(r-2)cm
△OAM에서
r¤ =(r-2)¤ +6¤
6 cm
6 cm
B
A
r cm
C
2 cm
M
O
4r=40(cid:100)(cid:100)∴ r=10
따라서 토기의 지름의 길이는
10_2=20(cm)이다.
(cid:9000) 20cm
03 중심 O에서 AB”에 내린
수선의 발을 M이라 하면
OA”=4cm
OM”=;2!;OA”=2(cm)
△OAM에서
AM”="√4¤ -2¤ =2'3(cm)
∴ AB”=2AM”=4'3(cm)
03- 1중심 O에서 AB”에 내린
수선의 발을 M이라 하면
AM”=;2!;AB”=4'3(cm)
OA”=r cm라 하면
OM”= cm
r
2
4 cm
A
M
O
2 cm
B
(cid:9000) 4'3cm
r
-cm
2
r cm
O
A
M
8'3 cm
B
△OAM에서 r¤ =(4'3 )¤ +{
r¤ =64(cid:100)(cid:100)∴ r=8 (∵ r>0)
r
2
, ;4#;r¤ =48
}
(cid:9000) 8cm
QQ BBooxx
04 중심 O에서 AB”에 내린
수선의 발을 M이라 하면
CM”=DM”=;2!; CD”
A
C
B
D
O
M
=;2!;_6=3(cm)
AM”=BM”=;2!;AB”=;2!;_10=5(cm)
∴ AC”=AM”-CM”=5-3=2(cm) (cid:9000) ①
B
O
O
K
원의 접선은 그 접점을 지
나는 반지름과 수직이므로
AB”⊥OT”
‘원의 일부’,‘잘린 원’등
의 조건이 있으면 원의 중
심을 찾아 반지름을 그려서
직각삼각형을 만든다.
원 O의 반지름은 OC”이다.
04- 1∠OTA=90°이므로 AT”="“6¤ -4¤ =2'5(cm)
(cid:9000) 4'5cm
∴ AB”=2AT”=4'5(cm)
05 BM”=;2!; AB”=12
△OBM에서 OM”="√13¤ -12¤ =5
이때 AB”=CD”이므로 ON”=OM”=5 (cid:9000) ④
05- 1OM”=ON”이므로
6'5 cm
B
A
CD”=AB”=6'5 cm
∴ CN”=;2!; CD”
∴ CN”=3'5(cm)
△OCN에서 OC”=øπ3¤ +(3'5 )¤ =3'6(cm)
∴ (원 O의 넓이)=p_(3'6 )¤ =54p(cm¤ )
M
O
3 cm
N
C
D
원의 중심을 지나도록
접었을 때 원의 중심에
서 현에 이르는 거리
(cid:8857) ;2!;_(반지름의 길이)
06 OL”=ON”이므로 AB”=AC”
즉 △ABC는 이등변삼각형이므로
∠B=;2!; _(180°-70°)=55°
∴ ∠LOM=360°-(90°+90°+55°)=125°
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
06- 1(cid:8772)OMCN에서 ∠OMC=∠ONC=90°이므로
∠C=360°-(90°+90°+120°)=60°
이때 OM”=ON”이므로 AC”=BC”
∴ ∠A=∠B=;2!;_(180°-60°)=60°
즉 △ABC는 정삼각형이다.
AC”=2AN”=10(cm)이므로
(△ABC의 둘레의 길이)=30(cm) (cid:9000) 30cm
32
p
102
01 직선 PA, PB는 원 O의 접선이므로
∠OAP=∠OBP=90°
(cid:8772)APBO에서
∠P=360°-(90°+90°+100°)=80° (cid:9000) 80°
01- 1△OPA는 ∠OAP=90°인 직각삼각형이고
OA”=3이므로 PA”="‘5¤ -3¤ =4
(cid:9000) 4
Ⅶ. 원의 성질 39
¤
3하표준렉처해설Ⅶ(038~057) 2015.1.30 8:58 PM 페이지40 SinsagoHitec
BOOK
QQ BBooxx
02 △OPA는 ∠OAP=90°인 직각삼각형이므로
01- 1AB”+CD”=AD”+BC”이므로
AP”="√8¤ -4¤ =4'3
∴ AP”+BP”=2AP”=8'3
(cid:9000) 8'3
02- 1PA”=PB”이므로
∠PAB=;2!;_(180°-40°)=70°
(cid:9000) 70°
원 밖의 한 점에서 그
원에 그은 두 접선의
길이는 같다.
⑴ 11+(3+x)=(5+3)+10(cid:100)(cid:100)∴ x=4
⑵ 10+(4+x)=8+13(cid:100)(cid:100)∴ x=7
(cid:9000) ⑴ 4 ⑵ 7
02 CD”=2OF”=8(cm)이고
AB”+CD”=AD”+BC”이므로
AB”+8=6+12(cid:100)(cid:100)∴ AB”=10(cm)
(cid:9000) 10cm
02- 1AB”+CD”=AD”+BC”이므로
13+CD”=10+15(cid:100)(cid:100)∴ CD”=12(cm)
CD”는 원 O의 지름과 길이가 같으므로 반지름의
길이는 ;2!;_12=6(cm)
(cid:9000) 6cm
p
105~107
01 OA”=OB”=r cm라 하면
OP”=(3+r)cm
∠OAP=90°이므로
△OAP에서
(3+r)¤ =r¤ +(3'3 )¤
6r=18(cid:100)(cid:100)∴ r=3
O
B
r cm
r cm
3 cm
P
3'3 cm
A
(cid:9000) ③
01- 1∠OAP=∠OBP=90°이므로
∠AOB=360°-(90°+90°+30°)=150°
따라서 구하는 넓이는
p_6¤ _
=21p
210
360
(cid:9000) 21p
6 cm
P
02 OP”를 그으면 직각삼
각형 AOP에서
∠AOP=60°이므로
AO”=
6
tan 60°
60æ
O
120æ
A
B
AO”=2'3(cm)
∠APB=360°-(90°+90°+120°)=60°이고
PA”=PB”이므로 △PAB는 정삼각형이다.
∴ AB”=AP”=6 cm
(cid:9000) AO”=2'3 cm, AB”=6 cm
02- 1OP”를 그으면 직각삼각형
AOP에서 ∠APO=30°
이므로
PA”
PA”
”=
3
tan 30°
”=3'3(cm)
3`cm
O
A
B
30æ
P
60æ
33
p
103
01 AE”=AF”=4cm이므로
CD”=CE”=7-4=3(cm)
또 BD”=BF”=9-4=5(cm)
∴ BC”=BD”+CD”=5+3=8(cm) (cid:9000) 8cm
01- 1BE”=BD”=4이므로
CF”=CE”=8-4=4
∴ AD”=AF”=6-4=2
02 OR”=CQ”=CR”=r
라 하면
AP”=AR”=6-r,
BP”=BQ”=8-r
AB”=AP”+BP”에서
B
(6-r)+(8-r)=10
2r=4(cid:100)(cid:100)∴ r=2
다른풀이
(cid:9000) 2
A
10
P
8
r
6
R
C
O
Q
(cid:9000) 2
02- 1OQ”=BP”=BQ”=r
A
라 하면
AR”=AP”=8-r,
CR”=CQ”=15-r
AC”=AR”+CR”
R
17
8
P
O
r
B
Q
15
에서 (8-r)+(15-r)=17
2r=6(cid:100)(cid:100)∴ r=3
다른풀이
반지름의 길이가 r, 중심
각의 크기가 x°인 부채
꼴의 넓이
(cid:8857) pr¤ _
x
360
△OAP™△OBP
(RHS 합동)
이므로 ∠AOP=∠BOP
C
(cid:9000) 3
;2!;_r_(8+15+17)=;2!;_15_8(cid:100)(cid:100)∴ r=3
34
p
104
01 AB”+CD”=AD”+BC”이므로
⑴ 6+7=x+8(cid:100)(cid:100)∴ x=5
⑵ 8+x=7+12(cid:100)(cid:100)∴ x=11
(cid:9000) ⑴ 5 ⑵ 11
40
SOLUTION
;2!;_r_(10+8+6)=;2!;_8_6(cid:100)(cid:100)∴ r=2
;2!;r(AB”+BC”+CA”)
=△ABC
색칠한 부채꼴의 중심각의 크기는
360°-150°=210°
3하표준렉처해설Ⅶ(038~057) 2015.1.30 8:58 PM 페이지41 SinsagoHitec
QQ BBooxx
∴ (cid:8772)AOBP=2△AOP=2_{;2!;_
AO”_PA”}
=2_{;2!;_
3_3'3}=9'3(cm¤ )
(cid:9000) ②
03 CT”=CA”=10 cm,
C
DT”=DB”=4 cm
이므로
CD”=10+4
=14(cm)
10`cm
H
A
O
T
4`cm
D
B
점 D에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
CH”=10-4=6(cm)
△CHD에서 DH”="√14¤ -6¤ =4'∂10(cm)
∴ AB”=DH”=4'∂10 cm
(cid:9000) 4'∂10 cm
03- 1CA”=CT”, DB”=DT”이므로
CA”+DB”=CT”+DT”=9(cm)
따라서 (cid:8772)ABDC의 둘레의 길이는
2_4+9+9=26(cm)
(cid:9000) 26 cm
04 BE”=x라 하면BT” =x, CF”=CT”=10-x
AE”=AF”이므로
x+7=9+(10-x)(cid:100)(cid:100)∴ x=6
(cid:9000) ①
04- 1DA”=DC”, EB”=EC”이므로
(△PDE의 둘레의 길이)
=PD”+DE”+PE”
=PD”+(DC”+EC”)+PE”
=PD”+(DA”+EB”
”)+PE”
=PA”+PB”=2PA”=4
05 AF”=AE”=x cm라 하면
BD”=BF”=(13-x)cm,
CD”=CE”=(8-x)cm
(13-x)+(8-x)=9이므로
∴ PA”=
_4=2(km)
;2!;
(cid:9000) 2 km
2x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=6
(cid:9000) 6cm
BD”+CD”=BC”
05- 1AF”=AD”, BD”=BE”, CE”=CF”이므로
(△ABC의 둘레의 길이)=2(AD”+BE”+CF”)
=2_(5+7+4)
=32(cm) (cid:9000) 32 cm
06 AC”="√15¤ +8¤ =17(cm)
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
AF”=AD”=(15-r)cm,
CF”=CE”=(8-r)cm이므로
(15-r)+(8-r)=17(cid:100)(cid:100)∴ r=3
(cid:9000) ③
AF”+CF”=AC”
다른풀이
;2!; _r_(15+8+17)=;2!;_8_15
20r=60(cid:100)(cid:100)∴ r=3
06- 1BD”=BE”=10 cm, CF”=CE”=2 cm
AD”=AF”=x cm라 하면
AB”=(10+x)cm, AC”=(x+2)cm
B
O
O
K
△ABC는 직각삼각형이므로
(10+x)¤ =12¤ +(x+2)¤
16x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=3
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
13+12+5=30(cm)
(cid:9000) ②
원에 외접하는 사각형
의 대변의 길이의 합은
같다.
07 AP”=AS”=3 cm이므로
AB”=3+3=6(cm)
AB”+CD”=AD”+BC”이므로
AB”+BC”+CD”+DA”=2(AB”+CD”)
=2_(6+7)
=26(cm)
(cid:9000) ③
07- 1CF”=CG”=6 cm이고
AB”+CD”=AD”+BC”이므로
원 O 밖의 점 A에서 그은
접선 AE”, AF”의 길이는
같다.
8+DG”+6=7+6+6(cid:100)(cid:100)∴ DG”=5(cm)
(cid:9000) 5 cm
∠C=90°이므로 △DEC
에서 피타고라스 정리를 이
용한다.
08 CE”="√10√
¤ -8¤ =6(cm)
BE”=x cm라 하면AD ”=BC”=(x+6)cm
AB”+DE”=AD”+BE”이므로
8+10=(x+6)+x(cid:100)(cid:100)∴ x=6
(cid:9000) ③
08- 1DE”=x라 하면6+x=8+BE ”에서
BE”=x-2
∴ CE”=8-(x-2)=10-x
△DEC에서 x¤ =(10-x)¤ +6¤
20x=136(cid:100)(cid:100)∴ x=:£5¢:
(cid:9000) :£5¢:
p
108~111
01 ③ 02 4'∂13 cm
03 ② 04 ③
07 100° 08 ③
05 ② 06 18'5 cm¤
10 ③ 11 4'3 12 ⑤
09 12000 km
13 ② 14 ③ 15 ① 16 2 cm 17 ⑤
21 4
18 ② 19 ② 20 8'3 cm
22 60 cm¤
25 36
23 6cm 24 36pcm¤
Ⅶ. 원의 성질 41
3하표준렉처해설Ⅶ(038~057) 2015.1.30 8:58 PM 페이지42 SinsagoHitec
BOOK
QQ BBooxx
원의 중심에서 현에 내
린 수선은 그 현을 이
등분한다.
한 변의 길이가 a인 정
삼각형의 넓이
'3
4
(cid:8857)
a¤
OD”=OC”-CD”
△OAH™△OBH
(SAS 합동)
이므로
∠OHA=∠OHB=90°
△APO의 넓이
01 OM”=10-4=6(cm)
△OAM에서 AM”="√10¤ -6¤ =8(cm)
∴ AB”=2AM”=16(cm)
(cid:9000) ③
02 이등변삼각형 ABC의 꼭
짓점 A에서 BC”에 내린
수선의 발을 M이라 하면
B
C
24 cm
A
M
13 cm
O
BM”=CM”=;2!; BC”
BM”=12(cm)
따라서 AM”은 BC”의 수직이등분선이므로 AM”
의 연장선은 원의 중심 O를 지난다.
△OMB에서 OM”="√13¤ -12¤ =5(cm)
∴ AM”=13-5=8(cm)
△ABM에서 AB”="√12¤ +8¤ =4'∂13(cm)
(cid:9000) 4'∂13 cm
=25p(cm¤ )
(cid:9000) ②
03 AB”⊥OC”이므로
AD”=;2!; AB”=4(cm)
OA”=r cm라 하면
OD”=(r-2)cm
△OAD에서
r¤ =(r-2)¤ +4¤
4r=20(cid:100)(cid:100)∴ r=5
∴ (원 O의 넓이)=p_5¤
04 중심 O에서 AB”에 내린 수
선의 발을 M이라 하고 OA”
를 그으면 △OAM에서
OA”=12 cm,
OM”=;2!;_12=6(cm)
이므로
AM”="√12¤ -6¤ =6'3(cm)
∴ AB”=2AM”=12'3(cm)
O
r cm
A
(r-2)cm
8 cm
B
2 cm
D
C
6 cm
O
B
12 cm
M
P
A
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
05 AB”⊥OP”이므로 AP”=;2!;AB”=2
∴ OP”="√3¤ -2¤ ='5
06 중심 O에서 CD”에 내린
수선의 발을 N이라 하면
D
9`cm
N
AB”=CD”이므로
ON”=OM”=6 cm
∴ DN”="√9¤ -6¤
=3'5(cm)
A
6`cm
O
C
M
B
따라서 CD”=2DN”=6'5 (cm)이므로
△OCD=;2!;_6'5_6=18'5(cm¤ )
(cid:9000) 18'5 cm¤
42
SOLUTION
07 OM”=ON”이므로 AB”=AC”
즉 △ABC는 이등변삼각형이므로
∠BAC=180°-2_50°=80°
∴ ∠MON=360°-(90°+90°+80°)=100°
(cid:9000) 100°
08 OP”=OQ”=OR”이므로 AB”=BC”=CA”
즉 △ABC는 정삼각형이다.
'3
4
∴ △ABC= _8¤ =16'3(cm¤ )
(cid:9000) ③
09 OP”=7200+6400=13600(km)
∠PTO=90°이므로 △OTP에서
PT”="√13600¤ -6400¤
='(ƒ13600+6400)ƒ(13600-6400)
='2ƒ0000_7200=12000(km)
(cid:9000) 12000 km
10 PA”=PB”이므로
∠PAB=∠PBA=;2!;_(180°-60°)=60°
즉 △ABP는 정삼각형이므로
AB”=AP”=10 cm
(cid:9000) ③
11 ∠PAO=90°이므로
△APO에서
PO”="√(4'3 )¤ +4¤ =8
PO”⊥AB”이므로
4Â3
P
4
O
;2!;_PA”_OA”=;2!;_PO”_AH”
;2!;_4'3_4=;2!;_8_AH”(cid:100)(cid:100)∴ AH”=2'3
∴ AB”=2AH”=4'3
(cid:9000) 4'3
12 DP”=DA”=4,
CP”=CB”=6이므로
CD”=4+6=10
점 D에서 BC”에 내린 수
선의 발을 H라 하면
D
4
A
HB”=DA”=4이므로 DH”=6-4=2
△CDH에서 DH”="√10¤ -2¤ =4'6
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(4+6)_4'6=20'6
A
H
B
P
O
13 ∠ODC=90°이므로 △ODC에서
CD”="√8¤ -4¤ =4'3(cm)
AE”=AD”, BE”=BF”이므로
(△ABC의 둘레의 길이)
=AC”+AB”+BC”
=AC”+(AE”+BE”)+BC”
=(AC”+AD”)+(BF”+BC”)
=CD”+CF”=2CD”=8'3(cm)
C
H
6
B
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
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QQ BBooxx
14 AF”=AD”=2 cm, CF”=CE”=3 cm이므로
AC”=2+3=5(cm)
이때 BE”=BD”=x cm라 하면
(2+x)+(x+3)+5=18
2x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=4
∴ BC”=4+3=7(cm)
15 BD”=BE”=10 cm이므로
AD”=18-10=8(cm)
A
8`cm
D
G
6`cm
F
△ADO에서
AO”="√8¤ +6¤ =10(cm)
∴ AG”=10-6=4(cm)
10`cm
O
6`cm
E
B
10`cm
(cid:9000) ③
C
(cid:9000) ①
16 BC”="√13¤ -5¤ =12(cm)
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
AR”=AP”=(5-r)cm,
CR”=CQ”=(12-r)cm
AR”+CR”=AC”이므로
(5-r)+(12-r)=13
2r=4(cid:100)(cid:100)∴ r=2
다른풀이
원의 중심에서 현에 내
린 수선은 그 현을 이
등분한다.
(cid:9000) 2 cm
;2!;_r_(5+12+13)=;2!;_5_12
이므로 r=2
△ABC의 넓이
OA”=OB”이므로
∠OAB
=∠OBA
=;2!;_(180°-120°)
=30°
O
120æ
8`cm
A
30æ
H
B
중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면
△OAH에서 ∠OAH=30°이므로
AH”=8cos 30°=4'3(cm)
∴ AB”=2AH”=8"3(cm)
… 4점
… 2점
(cid:9000) 8'3 cm
B
O
O
K
21
채점
기준
PC”의 길이 구하기
OC”의 길이 구하기
x의 값 구하기
2점
2점
2점
OP”를 그으면
OP”⊥AB”
즉 BP”=AP”=4 cm
이므로
PC”=4+4
=8(cm) … 2점
또 OP”=6 cm이므로 △OPC에서
OC”="‘6¤ +8¤ =10(cm)
∴ x=10-6=4
O
6`cm
Q
P
B
x`cm
C
4`cm
A
4`cm
… 2점
… 2점
(cid:9000) 4
2점
2점
2점
… 2점
… 2점
∠OBP=90°이므로 △PBO에서
PB”="√13¤ -5¤ =12(cm)
∴ △PBO=;2!;_12_5=30(cm¤ )
∴ (cid:8772)APBO=2△PBO
=2_30=60(cm¤ )
… 2점
(cid:9000) 60cm¤
23 채점
기준
AD”의 길이에 대한 식 세우기
AD”의 길이 구하기
4점
2점
AD”=AF”=x cm라 하면 AB”=(x+2)cm
또 CE”=CF”=(10-x)cm이므로
(x+2)¤ +(12-x)¤ =10¤
… 4점
BC”=(12-x)cm
따라서 △ABC에서
x¤ -10x+24=0
(x-4)(x-6)=0
∴ x=6 (∵ AB”>BC”)
… 2점
(cid:9000) 6 cm
Ⅶ. 원의 성질 43
17 AB”+CD”=AD”+BC”이므로
(2x+3)+(x+4)=x+(4x-1)
2x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=4
(cid:9000) ⑤
원에 외접하는 사각형
의 대변의 길이의 합은
같다.
22
PB”의 길이 구하기
채점
기준
△PBO의 넓이 구하기
(cid:8772)APBO의 넓이 구하기
18 △ABE에서 BE”="√13¤ -12¤ =5
AD”=x라 하면CE”=x-5
AE”+DC”=AD”+EC”이므로
13+12=x+(x-5)(cid:100)(cid:100)∴ x=15
(cid:9000) ②
OP”=8+5=13(cm)
19 EC”=EF”=x cm
A
8 cm
D
라 하면
DE”=(8-x)cm,
8 cm
AF”=AB”=8cm
이므로
AE”=(8+x)cm
8 cm
x cm
(8-x)cm
F
E
x cm
C
B
8 cm
△ADE에서 (8+x)¤ =8¤ +(8-x)¤
32x=64(cid:100)(cid:100)∴ x=2
∴ AE”=8+2=10(cm)
20 채점
기준
AH”의 길이 구하기
AB”의 길이 구하기
(cid:9000) ②
4점
2점
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BOOK
QQ BBooxx
24
AB”의 길이 구하기
채점
기준
원 O의 지름의 길이 구하기
원 O의 넓이 구하기
AB”+CD”=AD”+BC”=26(cm)이므로
AB”=CD”=;2!;_26=13(cm)
점 A에서 BC”에 내린
수선의 발을 H라 하면
A
8`cm
D
O
BH”=;2!;_(18-8)
BH”=5(cm)
B
H
18`cm
C
△ABH에서
AH”="√13¤ -5¤ =12(cm)
따라서 원 O의 반지름의 길이는 6cm이므로
원의 넓이는 p_6¤ =36p(cm¤ )
… 2점
… 2점
(cid:9000) 36p cm¤
25 채점
기준
AD”의 길이 구하기
(cid:8772)ABCD의 둘레의 길이 구하기
AD”=x라 하면
AB”+CD”=AD”+BC”
이므로
AB”+8=x+12
∴ AB”=x+4
12-x
A
x
D
x+4
E
B
12
△ABE에서 (x+4)¤ =(12-x)¤ +8¤
32x=192(cid:100)(cid:100)∴ x=6
따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는
10+12+8+6=36
2점
2점
2점
… 2점
4점
2점
8`
C
… 4점
… 2점
(cid:9000) 36
배점
30%
40%
30%
30%
40%
30%
p
112~113
예제 1
채점 기준
BD”의 길이 구하기
OD”의 길이 구하기
CD”의 길이 구하기
1단계
AB”⊥CO”이므로
BD”=AD”=;2!;AB”=6(cm)
△OBD에서
OD”="√10¤ -6¤ =8(cm)
OC”=OB”=10 cm이므로
2단계
3단계
CD”=10-8=2(cm)
44
SOLUTION
유제 1
채점 기준
OA”의 길이 구하기
CA”의 길이 구하기
CD”의 길이 구하기
1단계
OB”=OC”=9 cm이므로
OA”=9-3=6(cm)
2단계
3단계
△OAC에서
CA”="√9¤ -6¤ =3'5(cm)
OB”⊥CD”이므로
CD”=2CA”=6'5(cm)
예제 2
채점 기준
AB”의 길이 구하기
OM”의 길이 구하기
△OAB의 넓이 구하기
등변사다리꼴은 평행하
지 않은 한 쌍의 대변
의 길이가 같다.
BH”=;2!;(BC”-AD”)
원의 중심으로부터 같
은 거리에 있는 두 현
의 길이는 같다.
(cid:9000) 6'5 cm
배점
30%
40%
30%
30%
40%
30%
배점
30%
40%
30%
40%
30%
(cid:9000) 48
배점
30%
40%
30%
30%
40%
30%
(cid:9000) 8'5
배점
60%
40%
1단계
OM”=ON”이므로 AB”=CD”=12
30%
2단계
△DON에서 DN”=;2!; DC”=6이므로
ON”="√10¤ -6¤ =8
∴ OM”=ON”=8
3단계
따라서 △OAB의 넓이는
;2!;_AB”_OM”=;2!;_12_8=48
유제 2
채점 기준
CD”의 길이 구하기
ON”의 길이 구하기
△ODC의 넓이 구하기
1단계
2단계
3단계
AB”=2 MB”=8이므로 CD”=AB”=8
△OBM에서 OM”="√6¤ -4¤ =2'5
AB”=CD”이므로 ON”=OM”=2'5
따라서 △ODC의 넓이는
;2!;_CD”_ON”=;2!;_8_2'5=8'5
예제 3
채점 기준
BF”, BH”의 길이 구하기
AC”의 길이 구하기
원 밖의 한 점에서 그
원에 그은 두 접선의
길이는 같다.
1단계
DG”=DF”=x라 하면EH ”=EG”=5-x
BF”=BH”이므로 8+x=7+(5-x)
2x=4(cid:100)(cid:100)∴ x=2
(cid:9000) 2 cm
∴ BH”=BF”=8+2=10
60%
3하표준렉처해설Ⅶ(038~057) 2015.1.30 8:58 PM 페이지45 SinsagoHitec
QQ BBooxx
2단계
AF”+AI”+IC”+CH”=40-20=20이고
AF”=AI”, IC”=CH”이므로
AC”=AI”+IC”=;2!;_20=10
유제 3
채점 기준
BF”, BH”의 길이 구하기
△BED의 둘레의 길이 구하기
1단계
BF”=BH”=x cm라 하면
AI”=AF”=(6-x)cm, CI”=CH”=(8-x)cm
AI”+CI”=6(cm)이므로
(6-x)+(8-x)=6, 2x=8
∴ x=4
2단계
따라서 △BED의 둘레의 길이는
BE”+ED”+DB”=BE”+(EG”+GD”)+DB”
=BE”+(EH”+DF”)+DB”
=BH”+BF”=8(cm)
40%
(cid:9000) 8 cm
®AQB에 대한 원주각은
∠APB이므로 중심각의
크기는 2_115°=230°
60%
원의 접선은 접점을 지
나는 반지름에 수직이다.
2
원주각 ⑴
35
01 ⑴ ∠x=;2!;_120°=60°
⑵ ∠x=2_55°=110°
p
114
(cid:9000) ⑴ 60° ⑵ 110°
B
O
O
K
01- 1⑴ ∠AOB=360°-250°=110°
∴ ∠x=;2!;_110°=55°
⑵ ∠AOB=360°-2_115°=130°
∴ ∠x=;2!;_130°=65°
(cid:9000) ⑴ 55° ⑵ 65°
01- 2⑴ ∠PAO=∠PBO=90°이므로
∠AOB=360°-(90°+90°+50°)=130°
∴ ∠x=;2!;_130°=65°
⑵ ∠AOB=2_75°=150°
∠PAO=∠PBO=90°이므로
∠x=360°-(90°+90°+150°)=30°
(cid:9000) ⑴ 65° ⑵ 30°
예제 4
채점 기준
AD”, BC”의 길이에 대한 식 세우기
AD”, BC”의 길이 구하기
1단계
AD”=x cm라 하면BC ”=2x cm
AD”+BC”=AB”+CD”이므로
x+2x=10+8=18(cid:100)(cid:100)∴ x=6
2단계
∴ AD”=6 cm, BC”=2_6=12(cm)
(cid:9000) AD”=6 cm, BC”=12 cm
유제 4
채점 기준
AB”
”, AD”의 길이에 대한 식 세우기
AB”
”, AD”의 길이 구하기
1단계
AB”=3x cm라 하면AD” =2x cm
AB”+CD”=AD”+BC”이므로
3x+9=2x+13(cid:100)(cid:100)∴ x=4
2단계
∴ AB”=3_4=12(cm),
AD”=2_4=8(cm)
(cid:9000) AB”=12 cm, AD”=8 cm
36
p
115
01 ⑴ 한 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로
∠x는 μ BD에 대한 원주각
∠y는 μAC에 대한 원주각
∠x=∠BCD=50°
∠y=∠ABC=30°
⑵ ∠x=∠ABD=35°
∠y=∠BAC=40°
삼각형의 한 외각의 크
기는 그와 이웃하지 않
는 두 내각의 크기의
합과 같다.
01- 1⑴ ∠x=∠ADC=55°
∠y=115°-55°=60°
⑵ ∠x=∠BAC=30°
∠y=95°-30°=65°
μ AD에 대한 원주각
02 ⑴ AB”는 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90°
∴ ∠x=90°-40°=50°
∴ ∠y=∠x=50°
⑵ AB”는 원 O의 지름이므로 ∠ADB=90°
∴ ∠x=180°-(90°+35°)=55°
∴ ∠y=∠ADB=90°
(cid:9000) ⑴ ∠x=50°, ∠y=30°
⑵ ∠x=35°, ∠y=40°
(cid:9000) ⑴ ∠x=55°, ∠y=60°
⑵ ∠x=30°, ∠y=65°
(cid:9000) ⑴ ∠x=50°, ∠y=50°
⑵ ∠x=55°, ∠y=90°
Ⅶ. 원의 성질 45
40%
(cid:9000) 10
배점
60%
40%
배점
60%
40%
60%
40%
배점
60%
40%
60%
40%
3하표준렉처해설Ⅶ(038~057) 2015.1.30 8:58 PM 페이지46 SinsagoHitec
BOOK
QQ BBooxx
02- 1⑴ ∠ACB=90°이므로
∠x=90°-45°=45°
∠CAB=∠CDB=35°이므로
∠y=180°-(90°+35°)=55°
⑵ ∠x=∠CDB=52°
∠ACB=90°이므로
∠y=180°-(90°+52°)=38°
(cid:9000) ⑴ ∠x=45°, ∠y=55°
⑵ ∠x=52°, ∠y=38°
37
01 ⑴ μAB=μ`CD이므로
∠CQD=∠APB=20°
∴ x=20
⑵ ∠BEC=∠ADB이므로
μ BC=μAB=6(cm)
∴ x=6
01- 1⑴ AD”를 그으면
μAB=μ BC이므로
∠x=∠ADB
∠x=;2!;∠AOB
∠x=30°
⑵ μAB=μCD이므로
⑵ ∠DBC=∠ACB=40°
⑵ ∴ ∠x=40°+40°=80°
(cid:9000) ⑴ 20 ⑵ 6
D
x
O
B
A
60æ
C
5`cm
5`cm
(cid:9000) ⑴ 30° ⑵ 80°
02- 1μAB：μBC=∠APB：∠BPC이므로
4：8=30°：∠x(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=60°
(cid:9000) 60°
01 ⑶ ∠D=180°-(45°+75°)=60°
∠C=∠D이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원
위에 있다.
⑷ ∠D=100°-65°=35°
∠C+∠D이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원
위에 있지 않다.
(cid:9000) ⑴ _ ⑵ (cid:8776) ⑶ (cid:8776) ⑷ _
46
SOLUTION
01- 1㈁ ∠BAC=180°-(105°+45°)=30°이므로
∠BAC=∠BDC
㈂ ∠A=110°-35°=75°이므로
㈃ ∠D=60°-35°=25°이므로
∠A=∠D
∠D+∠C
(cid:9000) ㈁, ㈂
02 ∠C=180°-(25°+110°)=45°이므로
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면
∠B=∠C=45°
(cid:9000) 45°
02- 1네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면
∠BDC=∠BAC=48°
△DEC에서 ∠x=48°+58°=106° (cid:9000) 106°
p
116
호의 길이가 같으면 그
호에 대한 원주각의 크
기도 같다.
01 ∠x=;2!;_150°=75°
®BAD에 대한 중심각
∠y=;2!;_(360°-150°)=105°
∴ ∠y-∠x=105°-75°=30°
(cid:9000) ④
△OPA, △OPB는 모두
이등변삼각형이다.
중심각의 크기는 원주
각의 크기의 2배이다.
01- 1OP”를 그으면
∠OPA=∠OAP=20°
∠OPB=∠OBP=35°
이므로 ∠APB=55°
∴ ∠x=2∠APB
02 AO”, BO”를 그으면
∠AOB=2_70°
=140°
=90°
=2_55°=110°
(cid:9000) ③
p
118~120
P
20æ
A
O
35æ
x
B
A
C
70æ
O
(cid:9000) 40°
μAB에 대한 중심각
02- 1∠PAO=∠PBO=90°이므로
∠AOB=360°-(90°+90°+50°)=130°
∴ ∠x=;2!;_130°=65°
∴ ∠y=;2!;_(360°-130°)=115°
03 ED”를 그으면
∠BED=;2!;∠BOD=40°
∠AED=∠ACD=35°
∴ ∠AEB=35°+40°
C
35æ
E
A
O
80æ
=75°
D
B
(cid:9000) ①
02 μAB：μCD=∠APB：∠CQD이므로
1：3=25°：∠CQD(cid:100)(cid:100)∴ ∠CQD=75°
호의 길이는 원주각의
크기에 정비례한다.
∠PAO=∠PBO
P
B
(cid:9000) 75°
∴ ∠P=360°-(90°+90°+140°)=40°
38
p
117
®ACB에 대한 중심각
(cid:9000) ∠x=65°, ∠y=115°
3하표준렉처해설Ⅶ(038~057) 2015.1.30 8:58 PM 페이지47 SinsagoHitec
03- 1 BDC= BAC=45°이므로 △DPC에서
∠BPC=45°+35°=80°
(cid:9000) 80°
07 ∠PCD=60°-35°=25°
25 : 35=20 : μ BC(cid:100)
QQ BBooxx
길이가 같은 호에 대한
원주각의 크기는 같다.
한 원에서 모든 호에
대한 원주각의 크기의
합은 180°이다.
원주각의 크기는 호의
길이에 정비례한다.
04 AQ”를 그으면 ∠AQB는 반
원에 대한 원주각이므로
∠AQB=90°
∠AQR=∠APR=48°이
므로
∠BQR=90°-48°=42°
다른풀이
P
48æ
Q
48æ
A
B
O
R
(cid:9000) ④
∠AOR=2∠APR=2_48°=96°
따라서 ∠BOR=180°-96°=84°이므로
∠BQR=;2!;∠BOR=42°
04- 1∠BCD=90°이므로
∠y=180°-(35°+90°)=55°
∠ACD=90°-40°=50°이므로
∠x=∠ACD=50°
(cid:9000) ∠x=50°, ∠y=55°
05 ∠ADC=∠ABC=40°
△PDA에서
∠BAD=∠P+∠ADP
=45°+40°=85°
다른풀이
(cid:9000) 85°
△BPC에서 ∠BCD=45°+40°=85°이므로
∠BAD=∠BCD=85°
05- 1∠BCD=∠BAD=∠x
△ADQ에서 ∠PDC=∠x+40°
또 △PCD에서 ∠x+(∠x+40°)=80°
∴ ∠x=20°
(cid:9000) 20°
06 BO”의 연장선과 원 O의 교점을
A'이라 하면 △A'BC에서
∠A'CB=90°이므로
A'C”="√10¤ -6¤ =8
∴ cos A=cos A'=;1•0;=;5$;
A
A'
5
O
6
B
C
06- 1오른쪽 그림에서
∠AC'B=∠ACB=60°,
∠ABC'=90°이므로
AB”
sin 60°
AC'”=
=60'3(m)
μBC에 대한 원주각
(cid:8857) ∠A=∠A'
(cid:8857) cos A=cos A'
(cid:9000) ④
C
60æ
C'
60æ
O
A
90 m
B
(cid:9000) 60'3 m
△ABC'에서
sin 60°=
AB”
AC'”
∴ μ BC=28
(cid:9000) ③
07- 1μAB=μ BC이므로
∠ACB=∠BDC=35°
△BDC에서
∠PCD=180°-(35°+35°+50°)=60°
∴ μAB : μAD=∠ACB : ∠ACD
=35 : 60=7 : 12
(cid:9000) 7 : 12
B
O
O
K
08 원주각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로
∠ACB : ∠BAC : ∠ABC=3 : 4 : 2
∴ ∠BAC=180°_;9$;=80°
(cid:9000) ③
08- 1BC”를 그으면
∠ACB=;6!;_180°=30°
∠ACB : ∠CBD=2 : 3
B
이므로
30° : ∠CBD=2 : 3
∴ ∠CBD=45°
∴ ∠DPC=45°+30°=75°
A
D
P
C
(cid:9000) 75°
09 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면
∠ABD=∠ACD=40°
∴ ∠A=180°-(40°+80°)=60°
(cid:9000) 60°
09- 1∠ADB=∠ACB이므로 네 점 A, B, C, D가
한 원 위에 있다.
∴ ∠BAC=∠BDC=60°
39
01 ⑴ ∠x=180°-110°=70°
⑵ ∠x=∠DAB=100°
(cid:9000) ⑴ 70° ⑵ 100°
01- 1⑴ ∠x=180°-(45°+20°)=115°
∠y=180°-115°=65°
⑵ ∠x=∠DCB=180°-80°=100°
∠y=180°-95°=85°
(cid:9000) ⑴ ∠x=115°, ∠y=65°
⑵ ∠x=100°, ∠y=85°
Ⅶ. 원의 성질 47
(cid:9000) ④
p
121
3하표준렉처해설Ⅶ(038~057) 2015.1.30 8:58 PM 페이지48 SinsagoHitec
BOOK
QQ BBooxx
02 ⑷ ∠EAD=∠BCD=180°-120°=60°
(cid:9000) ⑴ (cid:8776) ⑵ _ ⑶ _ ⑷ (cid:8776)
02- 1(cid:8772)ABCD가 원에 내접하려면
∠x=∠ABE=85°
∠A+∠y=180°이어야 하므로
∠y=180°-90°=90°
∴ ∠x+∠y=85°+90°=175°
(cid:9000) 175°
한 외각의 크기와 그 내
대각의 크기가 같은 사
각형은 원에 내접한다.
삼각형의 내각의 크기
의 합은 180°이다.
03- 1(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 ∠EAD=∠BCD
△ DFC에서 ∠EDA=46°+∠BCD
따라서 △EAD에서
38°+∠BCD+(46°+∠BCD)=180°
2∠BCD=96°(cid:100)(cid:100)∴ ∠BCD=48°
(cid:9000) ③
p
122~123
중심각의 크기는 원주
각의 크기의 2배이다.
∠FCD+∠E=180°
04- 1CF”를 그으면 (cid:8772)CDEF가
01 (cid:8772)ABCD가 원 O에
내접하므로
∠ABC+125°=180°
∴ ∠ABC=55°
A
30æ
D
125æ
O
x
C
B
BO”를 그으면
∠OBA=∠OAB=30°
이므로
∠OBC=55°-30°=25°
∴ ∠x=∠OBC=25°
∠x+∠BCF=180°
(cid:9000) ④
△OAB, △OBC는 이등
변삼각형이다.
원에 내접하므로
∠FCD=180°-130°
=50°
∴ ∠BCF=125°-50°
=75°
(cid:8772)ABCF가원에 내접하므로
∠x=180°-75°=105°
04 BD”를 그으면 (cid:8772)ABDE는
A
원에 내접하므로
∠EAB+∠EDB=180°
∴ ∠EDB=180°-110°
=70°
∠BDC=135°-70°=65°
∴ ∠x=2∠BDC=2_65°=130°
B
B
110æ
O
x
E
135æ
D
C
(cid:9000) ⑤
F
E
A
x
125æ
130æ
C
D
(cid:9000) 105°
05 (cid:8772)ABQP가 원 O에 내접하므로
∠DPQ=∠ABQ=95°
∠DPQ+∠C=180°
(cid:8772)PQCD가 원 O'에 내접하므로
95°+∠QCD=180°(cid:100)(cid:100)∴ ∠QCD=85°
(cid:9000) ①
01- 1AB”는 반원O의 지름이므로 ∠ACB=90°(cid:100)(cid:100)
△ ABC에서
∠ABC=180°-(90°+40°)=50°
(cid:8772)ABCD는 원 O에 내접하므로
∠ADC=180°-50°=130°
(cid:9000) ③
02 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠x=∠ADC=80°
또 (cid:8772)EBCD가 원에 내접하므로
65°+∠y+80°=180°
∴ ∠y=35°
∴ ∠x-∠y=80°-35°=45°
(cid:9000) 45°
02- 1(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠DAB=∠DCE=55°
∠y+30°=55°(cid:100)(cid:100)∴ ∠y=25°
이때 AB”는 지름이므로 ∠ACB=90°이고
△ABC에서 ∠B=180°-(90°+30°)=60°
∠x+∠B=180°이므로
∠x=180°-60°=120°
(cid:9000) ⑤
03 △PAB에서 ∠PAB=100°-35°=65°
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠BCD=∠PAB=65°
(cid:9000) ⑤
삼각형의 외각의 성질
48
SOLUTION
05- 1
A
110æ
P
B
O
D
O'
Q
C
PQ”를 그으면 (cid:8772)ABQP가 원 O에 내접하므로
∠PQC=∠BAP=110°
(cid:8772)PQCD가 원 O'에 내접하므로
∠PQC+∠PDC=180°
따라서 ∠PDC=180°-110°=70°이므로
∠PO'C=2∠PDC=2_70°=140°
(cid:9000) 140°
06 △ABC에서 ∠BAC=180°-(65°+55°)=60°
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠x=∠BAC=60°
또 한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같아야
하므로
∠y=∠BAD=60°+35°=95°
∴ ∠x+∠y=60°+95°=155°
(cid:9000) 155°
3하표준렉처해설Ⅶ(038~057) 2015.1.30 8:58 PM 페이지49 SinsagoHitec
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06- 1△ABC에서 ∠A=180°-(40°+25°)=115°
06 점 O에서 BC”에 내린 수선의
(cid:8772)ABPC가 원에 내접하려면
∠A+∠P=180°이어야 하므로
∠P=180°-115°=65°
(cid:9000) 65°
원의 중심에서 현에 내
린 수선은 그 현을 이
등분한다.
p
124~127
01 ④ 02 ③ 03 35° 04 ④ 05 ④
06 60° 07 ④ 08 110° 09 ③
10 4p cm
11 ⑤ 12 ④ 13 ④
14 ② 15 ⑤ 16 ④ 17 125° 18 ③
19 ⑤ 20 3 cm 21 83° 22 162° 23 30°
24 18° 25 40°
01 ∠x=2∠BAD=2_35°=70°
∠y=;2!;_(360°-70°)=145°
∴ ∠y-∠x=145°-70°=75°
(cid:9000) ④
®BAD에 대한 중심각의
크기
△A'BC에서
BC”
A'B”
sin 45°=
02 TO”, T'O”를 그으면
∠PTO
=∠PT'O
=90°
이므로
P
30æ
A
O
T
T'
(cid:8772) TPT'O에서
∠TOT'=360°-(90°+90°+30°)=150°
∴ ∠TAT'=;2!;_(360°-150°)=105°
발을 H라 하면
B’H”=C’H”=2'3이고
직각삼각형 OBH에서
2'3
4
cos B=
'3
2
= 이므로
∠OBH=30°
∴ ∠BOH=90°-30°=60°
A
O
4
H
4'3
B
C
B
O
O
K
따라서 ∠BOC=2∠BOH=120°이므로
∠BAC=;2!;_120°=60°
(cid:9000) 60°
07 BO”의 연장선이 원 O와 만나는
점을 A'이라 하면 △A'BC에서
∠BA'C=∠BAC=45°,
∠A'CB=90°이므로
6
sin 45°
=6'2(cm)
A'B”=
따라서 원 O의 반지름의 길이는
A
45æ
45æ
O
6`cm
B
A'
C
OB”=;2!; A'B”=3'2 (cm)
이므로 원 O의 넓이는
p_(3'2 )¤ =18p(cm¤ )
(cid:9000) ④
08 μAB=μAC이므로 ∠ACB=∠ABC=35°
∴ ∠BAC=180°-2_35°=110°
(cid:9000) 110°
09 OM”=ON”이므로 AB”=AC”
즉 △ABC는 이등변삼각형이므로
∠ABC=∠ACB=55°
∴ ∠BAC=180°-2_55°=70°
55 : 70=μAB : 28p이므로
μAB=22p
(cid:9000) ③
호의 길이는 원주각의
크기에 정비례한다.
03 ∠ADB=∠ACB=55°이므로
∠x=180°-(90°+55°)=35°
(cid:9000) 35°
10 BC”를 긋고
∠PBC=∠x,
04 AC”가 원의 지름이므로 ∠ADC=90°
△ACD에서
∠ACD=180°-(90°+50°)=40°
∴ ∠ABD=∠ACD=40°
05 AD”를 그으면
∠ADB=90°이므로
△PAD에서
∠CAD=90°-55°
=35°
P
55æ
C
(cid:9000) ④
D
B
반원에 대한 원주각의
크기는 90°이다.
한 원에서 모든 호에
대한 원주각의 크기의
합은 180°이다.
∠PCB=∠y라 하면
B
△PBC에서
∠x+∠y=∠APB=45°
호의 길이는 원주각의 크기에 정비례하므로
μAB+μCD=2p_8_
=4p(cm)
45°
180°
11 ∠BAC : ∠ABC : ∠ACB=5 : 4 : 6
∴ ∠ACB=180°_;1§5;=72°
∴ ∠COD=2∠CAD
A
O
=2_35°=70°
(cid:9000) ④
12 ④ ∠A=100°-45°=55°이므로
∠A≠∠D
(cid:9000) ③
A
D
C
45æ
x
P
yO
(cid:9000) 4p cm
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
Ⅶ. 원의 성질 49
3하표준렉처해설Ⅶ(038~057) 2015.1.30 8:58 PM 페이지50 SinsagoHitec
BOOK
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13 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면
∠BDC=∠BAC=60°
△DBC에서 ∠BCD=180°-(35°+60°)=85°
(cid:9000) ④
μAB에 대한 원주각
19 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하려면
∠BCD=∠PAB=70°
∴ ∠x=∠ACB=70°-45°=25°
20
채점
기준
∠AOB의 크기 구하기
AB”의 길이 구하기
OA’
”, OB”
”를 그으면
∠AOB=2∠ACB
=60°
… 3점
이때 OA”=OB’
”이므로
△OAB는 정삼각형이다.
∴ AB”=OA”=3(cm)
(cid:9000) ⑤
3점
3점
C
O 30æ
A
B
… 3점
(cid:9000) 3cm
2점
2점
2점
채점
기준
∠ACB의 크기 구하기
∠ABC의 크기 구하기
∠APD의 크기 구하기
CB”를 그으면 AB”가 지름이
므로
∠ACB=90°
∠ABC=∠ADC
D
A
35æ
… 2점
28æ
OP
원에 내접하는 사각형
의 한 쌍의 대각의 크
기의 합은 180°이다.
2121
μAC에 대한 원주각
=35°
… 2점
C
B
삼각형의 외각의 성질
△ACB에서
∠BAC=180°-(90°+35°)=55°
∴ ∠APD=28°+55°=83°
원주각의 크기는 호의
길이에 정비례한다.
22
채점
기준
∠BPC의 크기 구하기
∠BOC의 크기 구하기
PC”를 그으면
μ BC=3μAB이므로
∠BPC=3_27°
∴ ∠BOC
=2∠BPC
=2_81°=162°
=81° … 4점
A
P
C
O
27æ
7`cm
B
보조선을 그어 원에 내접
하는 사각형의 성질을 이용
한다.
23
채점
기준
식 세우기
∠CBD의 크기 구하기
… 2점
(cid:9000) 83°
4점
2점
21`cm
… 2점
(cid:9000) 162°
4점
2점
D
x
x
B
14 BD”를 그으면
A
D
∠DBC=∠DPC=35°
이고 ∠BDC=90°이므로
△DBC에서
∠DCB=180°-(90°+35°)
35æ
B
O
35æ
C
P
=55°
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
∠BAD=180°-55°=125°
(cid:9000) ②
15 ∠BCD=∠EAD=80°이므로
∠x=∠ACD=80°-50°=30°
∠DBC=∠DAC=35°이고
∠ABC+∠ADC=180°이므로
30°+35°+∠y=180°(cid:100)(cid:100)∴ ∠y=115°
∴ ∠y-∠x=115°-30°=85°
(cid:9000) ⑤
16 ∠Q=∠x라 하면 ∠P=2∠x이고
△BCP에서 ∠PCQ=54°+2∠x
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠CDQ=∠ABC=54°
△CDQ에서 54°+(54°+2∠x)+∠x=180°
3∠x=72°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=24°
(cid:9000) ④
17 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠BAD=180°-110°=70°
BD”를 그으면 △ABD는 이
A
70æ
E
B
D
110æ
C
등변삼각형이므로
∠ABD
=;2!;_(180°-70°)=55°
또 (cid:8772)ABDE가 원에 내접하므로
∠AED=180°-55°=125°
(cid:9000) 125°
18
A
85æ
B
P
Q
85æ
D
C
50
SOLUTION
PQ”를 그으면 (cid:8772)ABQP가 원에 내접하므로
∠PQC=∠PAB=85°
또 (cid:8772)PQCD가 원에 내접하므로
∠PDC=180°-85°=95°
(cid:9000) ③
AB”∥CD”이므로
∠CBA=∠DCB (엇각)
∠CBD=∠DCB=∠x
라 하면
∠CBA=∠DCB=∠x
AC”를 그으면
μCB=2μCD이므로
∠CAB=2∠x
C
x
2x
A
O
’
3하표준렉처해설Ⅶ(038~057) 2015.1.30 8:58 PM 페이지51 SinsagoHitec
QQ BBooxx
이때 ∠ACB=90°이므로
2∠x+∠x=90°
∴ ∠x=30°
24
채점
기준
식 세우기
∠ACD의 크기 구하기
BD”를 긋고
∠ACD=∠ABD
=∠x
B
x
x
라하면 △ACE에서
∠BAC=∠x+36°
이때 μAB=μBC=μCD이므로
∠BCA=∠BAC=∠CBD=∠x+36°
C
D
△ABC에서
(∠x+36°)+(∠x+36°)+∠x+(∠x+36°)
=180°
4∠x=72°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=18°
… 4점
… 2점
길이가 같은 호에 대한
원주각의 크기는 같다.
반원에 대한 원주각의
크기는 90°이다.
… 4점
… 2점
(cid:9000) 30°
4점
2점
x+36æ
A
36æ
E
(cid:9000) 18°
2점
2점
2점
D
… 2점
… 2점
(cid:9000) 40°
배점
50%
50%
50%
50%
(cid:9000) 54°
25
채점
기준
∠BAD의 크기 구하기
∠EAD의 크기 구하기
∠EBD의 크기 구하기
AD”를 그으면 (cid:8772)ABCD가
… 2점
원에 내접하므로
∠BAD=180°-105°
=75°
∠EAD=115°-75°
=40°
이므로
∠EBD=∠EAD=40°
A
115æ
E
B
105æ
C
예제 1
채점 기준
∠AOB의 크기 구하기
∠APB의 크기 구하기
1단계
OA”=OB”이므로 ∠OBA=∠OAB=36°
∴ ∠AOB=180°-2_36°=108°
2단계
∴ ∠APB=;2!;∠AOB=54°
유제 1
채점 기준
∠AOB의 크기 구하기
μAB의 길이 구하기
1단계
∠AOB=2∠APB=160°
2단계
∴ μAB=2p_9_;3!6^0);=8p(cm)
B
O
O
K
(cid:9000) 8p cm
예제 2
채점 기준
AC”의 길이 구하기
BC”의 길이 구하기
△ABC의 둘레의 길이 구하기
1단계
∠ACB=90°이므로
AC”=AB”cos 60°=12_;2!;=6
2단계
3단계
BC”=AB”sin 60°=12_ =6'3
'3
2
∴ (△ABC의 둘레의 길이)
=6+12+6'3
=18+6'3
20%
(cid:9000) 18+6'3
유제 2
채점 기준
AC”의 길이 구하기
△ABC의 넓이 구하기
1단계
∠ACB=90°이므로
예제 3
채점 기준
∠ECB의 크기 구하기
∠CBA의 크기 구하기
∠BQE의 크기 구하기
배점
50%
50%
50%
50%
배점
40%
40%
20%
40%
40%
배점
50%
50%
(cid:9000) 2'3
배점
40%
40%
20%
μ DE에 대한 원주각
AC”=AB” cos 30°=4_ =2'3
50%
'3
2
c
x
a
2단계
∴ △ABC=;2!;_AC”_AB”_sin 30°
∴ △ABC=;2!;_2'3_4_;2!;=2'3
50%
p
128~129
(cid:8857) (넓이)=;2!;ac sin x
원주각의 크기는 중심각
의 크기의 ;2!;배이다.
1단계
∠ACE : ∠ECB=μAE : μ EB=2 : 1
이때 ∠ACB=90°이므로
∠ECB=;3!;∠ACB=;3!;_90°=30°
40%
Ⅶ. 원의 성질 51
3하표준렉처해설Ⅶ(038~057) 2015.1.30 8:58 PM 페이지52 SinsagoHitec
BOOK
QQ BBooxx
2단계
∠CAB : ∠CBA=μ CB : μ AC=4 : 5이므로
∠CBA=90°_;9%;=50°
△CQB에서 ∠BQE=30°+50°=80°
40%
20%
3단계
유제 3
채점 기준
∠ACD의 크기 구하기
∠CAB의 크기 구하기
∠CEB의 크기 구하기
1단계
∠ACD : ∠DCB=μAD : μ DB=4 : 2=2 : 1
이때 ∠ACB=90°이므로
∠ACD=;3@;∠ACB=;3@;_90°=60°
∠ACD : ∠CAB=μAD : μ BC=4 : 3이므로
40%
∠CAB=
∠ACD=
;4#;
;4#;
△ACE에서 ∠CEB=45°+60°=105° 20%
_60°=45°
40%
2단계
3단계
예제 4
채점 기준
∠A에 대한 식 세우기
∠A의 크기 구하기
∠DCE의 크기 구하기
1단계
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
∠B+∠D=180°
즉
∠A+
∠A=180°
;3%;
;3$;
2단계
3단계
3∠A=180°(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=60°
∴ ∠DCE=∠A=60°
유제 4
채점 기준
∠D의 크기 구하기
∠A의 크기 구하기
∠C의 크기 구하기
(cid:9000) 80°
배점
40%
40%
20%
(cid:9000) 105°
배점
40%
30%
30%
40%
30%
30%
(cid:9000) 60°
배점
40%
30%
30%
원의 접선과 현이 이루
는 각의 크기는 그 각
의 내부에 있는 호에
대한 원주각의 크기와
같다.
원에 내접하는 사각형
의 한 외각의 크기는 그
내대각의 크기와 같다.
반원에 대한 원주각의
크기는 90°이다.
5∠A=3∠B이므로
∠B=
∠A
;3%;
4∠A=3∠D이므로
∠D=
∠A
;3$;
이등변삼각형의 두 밑각의
크기는 같으므로
∠BPC=∠BCP
삼각형의 외각의 성질에 의
하여
∠BPC+∠BCP=∠x
1단계
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
∠D=∠ABE=108°
∠A : ∠D=7 : 9이므로
∠A : 108°=7 : 9(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=84°
40%
30%
원 밖의 한 점에서 그
원에 그은 두 접선의
길이는 같다.
2단계
3단계
∠A+∠C=180°이므로
∠C=180°-84°=96°
30%
(cid:9000) 96°
CF”=CE”이므로
∠CFE=∠CEF
52
SOLUTION
3
원주각 ⑵
40
01 (cid:9000) ㈎ 90° ㈏ 90° ㈐ μDB ㈑ ∠BCA
p
130
01- 1⑴ ∠x=∠CAT=60°
⑵ ∠BAT=85°-50°=35°
∴ ∠x=∠BAT=35°
⑶ ∠CAB=90°이므로
∠x=∠BCA=180°-(90°+20°)=70°
⑷ ∠CAB=90°이므로
∠x=∠BCA=120°-90°=30°
(cid:9000) ⑴ 60° ⑵ 35° ⑶ 70° ⑷ 30°
01 ∠CBA=∠CAT=70°
∴ ∠COA=2∠CBA=2_70°=140°
01- 1∠BCP=∠BAC=35°
∠PBC=∠ADC=120°
∴ ∠x=180°-(120°+35°)=25°
02 AB”를 그으면
∠CAB=∠CBT
=63°
∠ABC=90°이므로
A
63æ
△ABC에서
∠x=180°-(90°+63°)=27°
P
p
131
(cid:9000) 140°
(cid:9000) 25°
C
O
x
63æ
B
T
(cid:9000) 27°
02- 1AB”를 긋고
∠CBT=∠CAB=∠x
라 하면 △CPB에서
∠BPC=∠BCP
P
∠BPC=;2!;∠x
이때 ∠ABC=90°이므로
C
A
x
O
x
B
T
△ABC에서 ∠x+90°+;2!;∠x=180°(cid:100)(cid:100)
∴ ∠x=60°
(cid:9000) 60°
03 PA”=PB”이므로 △ABP에서
∠ABP=;2!;_(180°-40°)=70°
∴ ∠ACB=∠ABP=70°
(cid:9000) 70°
03- 1△CFE에서 ∠CEF=;2!;_(180°-60°)=60°
3하표준렉처해설Ⅶ(038~057) 2015.1.30 8:58 PM 페이지53 SinsagoHitec
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이때 ∠DEB=∠DFE=70°이므로(cid:100)
∠DEF=180°-(60°+70°)=50°
(cid:9000) 50°
04 ∠BAP=∠BPT'=∠DPT=∠DCP=80°이
므로 △CDP에서
∠CDP=180°-(45°+80°)=55°
(cid:9000) 55°
04- 1∠BPT'=∠BAP=45°이므로
∠CPT=180°-(65°+45°)=70°
∴ ∠x=∠CPT=70°
(cid:9000) 70°
평각의 크기는 180°이다.
⑶ x¤ =(10-6)_(10+6)=64
∴ x=8 (∵ x>0)
⑷ (3'2 )¤ =2_(2+2x)이므로 4x=14
∴ x=;2&;
(cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 4 ⑶ 8 ⑷ ;2&;
B
O
O
K
p
135~137
41
p
132
01 (cid:9000) ㈎ 원주각 ㈏ ∠DPB ㈐ ∠PBC ㈑ △PCB
01- 1⑴ 3_8=4_x(cid:100)(cid:100)∴ x=6
⑵ x¤ =4_9=36(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0)
⑶ 4_(4+8)=6_x(cid:100)(cid:100)∴ x=8
⑷ 4_(4+5)=3_(3+x)(cid:100)(cid:100)∴ x=9
(cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 6 ⑶ 8 ⑷ 9
42
p
133
01 (cid:9000) ㈎ r+OP” ㈏ r¤ -OP”
¤ -r¤
㈐ OP”+r ㈑ OP”
01- 1⑴ 5_2=x¤ (cid:100)(cid:100)∴ x='1å0 (∵ x>0)
⑵ 4_2=(x+2)(x-2)이므로
x¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ x=2'3 (∵ x>0)
⑶ 4_(4+2)=(7-x)(7+x)이므로
x¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
(cid:9000) ⑴ '1å0 ⑵ 2'3 ⑶ 5
01- 2⑴ 4_(12-4)=x¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=4'2 (∵ x>0)
⑵ (4+x)(4-x)=3_4이므로
x¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
⑶ 5_(5+3)=x_(x+6)이므로
x¤ +6x-40=0, (x+10)(x-4)=0
∴ x=4 (∵ x>0)
(cid:9000) ⑴ 4'2 ⑵ 2 ⑶ 4
한 호에 대한 원주각의
크기는 같다.
43
p
134
01 (cid:9000) ㈎ ∠PBT ㈏ AA ㈐ PB” ㈑ PT”
01- 1⑴ x¤ =3_(3+9)=36(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵x>0)
⑵ 6¤ =x(x+5)이므로 x¤ +5x-36=0
(x-4)(x+9)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
원의 중심에서 현에 내
린 수선은 그 현을 이
등분한다.
△COP에서 피타고라스 정
리를 이용한다.
∴ x=20
다른풀이
(cid:9000) ④
반지름의 길이를 r cm라 하면
피타고라스 정리에 의하여
01 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
6_12=(CD”-18)_18, 18CD”=396
∴ CD”=22(cm)
(cid:9000) ②
01- 1PC”=3x cm라 하면 PD”=5x cm
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
5_(5+7)=3x_5x, 15x¤ =60
x¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
∴ PC”=3_2=6(cm)
(cid:9000) ④
02 ㈀ 2_6=3_4
㈁ 4_6+2_8
㈂ 3_(3+3)=2_(2+7)
㈃ 4_(4+3)+3_(3+4)
(cid:9000) ㈀, ㈂
02- 1(cid:8772)ACDB가 원에 내접하려면
PA”_PB”=PC”_PD”이어야 하므로
AB”=x cm라 하면
4_(4+x)=5_(5+7), 4x=44(cid:100)(cid:100)
∴ x=11
(cid:9000) ②
03 PA”=x cm라 하면 P’B’=(13-x)cm
PA”_PB”=PC”_PD”이어야 하므로
x(13-x)=6¤
x¤ -13x+36=0, (x-4)(x-9)=0
∴ x=4 (∵ PA”0)
따라서 원 O의 넓이는
p_r¤ =p_(4'3 )¤ =48p
B
P
12
A
T
O
(cid:9000) 48p
09 PT”
¤ =2_(2+6)=16(cid:100)(cid:100)
∴ PT”=4(cm) (∵ PT”>0)
△PAT와 △PTB에서
∠P는 공통, ∠PTA=∠PBT이므로
△PATª△PTB (AA 닮음)
PA” : PT”=AT” : TB”이므로
2：4=3：TB”(cid:100)(cid:100)∴ BT”=6(cm)
(cid:9000) 6 cm
두 원에서의 비례 관계는
한 원에서의 비례 관계를
각각 적용한다.
09- 1△PTA와 △PBT에서
∠P는 공통, ∠PTA=∠PBT이므로
△PTAª△PBT (AA 닮음)
따라서 PA”：PT”=TA”：BT”이므로
4：PT”=3：;2(;(cid:100)(cid:100)∴ PT”=6(cm)
6¤ =4_(4+AB”), 4AB”=20(cid:100)(cid:100)
PT”
¤ =PA”_PB”
∴ AB”=5(cm)
(cid:9000) 5cm
(cid:9000) ③
1 0 PA”_PB”=PT”
¤ =PC”_PD”이므로
원 O에서 PT”
원 O'에서 PT”
¤ =PA”_PB”
¤ =PC”_PD”
3_(3+3)=2_(2+CD”)
2CD”=14(cid:100)(cid:100)∴ CD”=7
(cid:9000) 7
BOOK
QQ BBooxx
PC”=4+OC”
=4+(x+4)
=x+8
(cid:9000) ③
r¤ =8¤ +(r-4)¤ , 8r=80(cid:100)(cid:100)∴ r=10
따라서 토기의 지름의 길이는 20cm이다.
04- 1PD”=x라 하면PA ”_PB”=PD”_PC”이므로
5_4=x(x+8), x¤ +8x-20=0
(x-2)(x+10)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
05 PA”=x라 하면 PC”_PD”=PA”_PB”이므로
3_(3+5)=x(x+10), x¤ +10x-24=0
(x+12)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
(cid:9000) ⑤
05- 1OA”=6cm이므로 △DOP에서
DP”="√6¤ +8¤ =10(cm)
CD”=x cm라 하면 PC”_PD”=PA”_PB”이므로
(10-x)_10=2_14
10x=72(cid:100)(cid:100)∴ x=;;£5§;;
(cid:9000) ;;£5§;; cm
06 PA”_PB”=PE”_PF”이고
PE”_PF”=PC”_PD”이므로
PA”_PB”=PC”_PD”
(9+3)_2=3_(2+x), 3x=18(cid:100)(cid:100)∴ x=6
06- 1PA”_PB”=PE”_PF”이고
PE”_PF”=PC”_PD”이므로
PA”_PB”=PC”_PD”
4_10=x(x+3), x¤ +3x-40=0
(x+8)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0) (cid:9000) 5
07 △ATP는 ∠T=90°인 직각삼각형이므로
AP”="√9¤ +12¤ =15(cm)
¤ =PB”_PA”이므로
PT”
12¤ =PB”_15(cid:100)(cid:100)∴ BP”=;;¢5•;; (cm) (cid:9000) ;;¢5•;; cm
원의 접선은 그 접점을
지나는 반지름과 수직
이다.
07- 1DC”_DT”=DA”_DB”이므로
3_6=DA”_9(cid:100)(cid:100)∴ DA”=2(cm)
¤ =PA”_PB”이므로
PA”=xcm라 하면 PT”
(2'1å5)¤ =x(x+2+9), x¤ +11x-60=0
(x-4)(x+15)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
(cid:9000) 4cm
08 지름의 길이를 x cm라 하면
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
6¤ =(12-x)_12, 12x=108(cid:100)(cid:100)
∴ x=9
(cid:9000) 9cm
원의 접선과 현이 이루
는 각의 크기는 그 각
의 내부에 있는 호에
대한 원주각의 크기와
같다.
54
SOLUTION
1 0- 1원 O에서 PT”
원 O'에서 PT'”
¤ =PA”_PB”이고
¤ =PA”_PB”이므로
PT”=PT'” (∵ PT”>0, PT'” >0)
따라서 PT”=PT'”=4(cm)이므로
4¤ =PA”_8(cid:100)(cid:100)∴ PA”=2(cm)
(cid:9000) 2cm
p
138~141
01 ④ 02 95° 03 ④ 04 50° 05 ③
06 ③ 07 ④ 08 4'3 09 ③ 10 ③
11 ② 12 9p cm¤
15 ② 16 ① 17 ① 18 ③ 19 ③
13 ③ 14 6 cm
20 8p 21 20° 22 8 cm 23 x=6, y=;2(;
24 8'2 cm
25 13
01 ∠ACB=∠ABT=72°
AB”=AC”이므로
∠BAC=180°-2_72°=36°
(cid:9000) ④
3하표준렉처해설Ⅶ(038~057) 2015.1.30 8:58 PM 페이지55 SinsagoHitec
QQ BBooxx
02 ∠DAC=∠ABC=∠x라 하면
∠BAC=∠CBE=40°이므로 △ABD에서
∠x+50°+(∠x+40°)=180°
2∠x=90°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=45°
∴ ∠ACB=45°+50°=95°
(cid:9000) 95°
03 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠CBA=180°-100°=80°
∴ ∠DAT=∠DBA
=80°-35°=45°
(cid:9000) ④
04 AB”를 그으면
∠CAB=∠CBT=70°
∠ABC=90°이므로
∠ACB=180°-(90°+70°)
=20°
△CPB에서
∠x=70°-20°=50°
O
A
P
70æ
70æ
x
B
T
(cid:9000) 50°
05 AC”를 그으면
B
∠DCA=35°,
∠DAC=90°이므로
∠ADC
=180°-(90°+35°)
=55°
∴ ∠ABC=∠ADC=55°
D
O
T
35æ
A
06 ∠x=∠CDT=60°
∠y=∠BAT=70°
C
C
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
07 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
8_BP”=4_(10-4)
∴ BP”=3(cm)
(cid:9000) ④
09 ① ∠DAB=∠DCE=130°
② ∠B+∠D=180°
③ 5_5+8_2
④ 5_(5+3)=4_(4+6)
⑤ 6_5=10_3
(cid:9000) ③
10 ∠EDA=∠EBA이므로 네 점 A, B, D, E는
한 원 위에 있다.
CB”_CA”=CD”_CE”이므로
3_(3+5)=4_(4+x)
4x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=2
(cid:9000) ③
11 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
CP”=DP”=6cm이므로
6¤ =(r-3)(r+3), r¤ =45
∴ r=3'5 (∵ r>0)
∴ AB”=2_3'5=6'5(cm)
12 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
(7-r)(7+r)=5_(5+3)
r¤ =9(cid:100)(cid:100)∴ r=3 (∵ r>0)
∴ (원 O의 넓이)=p_3¤ =9p(cm¤ )
(cid:9000) ②
B
O
O
K
(cid:9000) 9p cm¤
13 PA”_PB”=PE”_PF”이고
PE”_PF”=PC”_PD”이므로
PA”_PB”=PC”_PD”
8_5=4_PD”(cid:100)(cid:100)∴ PD”=10
(cid:9000) ③
14 PT”
¤ =PA”_PB”이므로 (4'6)¤ =PA”_16(cid:100)(cid:100)
∴ PA”=6(cm)
(cid:9000) 6 cm
15 PQ”=PT”=6cm
PT”
¤ =PA”_PB”이므로 6¤ =PA”_(6+3)(cid:100)(cid:100)
∴ PA”=4(cm)
(cid:9000) ②
16 ∠APT=∠ABT=∠ATP이므로 △APT는
PT”
¤ =PA”_PB”이므로 (4'3 )¤ =4_(4+AB”)
(cid:9000) ①
4AB”=32(cid:100)(cid:100)∴ AB”=8
17 PA”=x라 하면PT ”
6¤ =x(x+9)
¤ =PA”_PB”이므로
x¤ +9x-36=0, (x+12)(x-3)=0
∴ x=3 (∵ x>0)
△PATª△PTB (AA 닮음)이므로
AT” : TB”=PA” : PT”=3 : 6=1 : 2
(cid:9000) ①
18 원 O에서 PT”
원 O'에서 PT”
¤ =PA”_PB”이고
¤ =PC”_PD”이므로
PA”_PB”=PC”_PD”
4_(4+AB”)=5_(5+7), 4AB”=44
∴ AB”=11(cm)
(cid:9000) ③
∠DCA=∠DAT
원 밖의 한 점에서 그
원에 그은 두 접선의
길이는 같다.
한 호에 대한 원주각의
크기는 같다.
이등변삼각형이다.
∴ PA”=TA”=4
¤ =PA”_PB”=PT'”
PT”
이므로 PT”=PT'”
(∵ PT”>0, PT'”>0)
19 PT”=PT'”=;2!; TT'”=6
원 O에서 PT”
¤ =PA”_PB”이므로
6¤ =x(x+5), x¤ +5x-36=0
(x+9)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
(cid:9000) ③
Ⅶ. 원의 성질 55
08 PC”=x라 하면PA ”_PB”=PC”_PD”이므로
6_(6+10)=x_2x, x¤ =48
∴ x=4'3 (∵ x>0)
(cid:9000) 4'3
∠PTA=∠PBT,
∠P는 공통
∴ △PATª△PTB
(AA 닮음)
¤
3하표준렉처해설Ⅶ(038~057) 2015.1.30 8:58 PM 페이지56 SinsagoHitec
BOOK
QQ BBooxx
20
채점
기준
원 O의 지름의 길이 구하기
원 O의 둘레의 길이 구하기
지름 A'T와 A'B”를 그으면
∠BA'T=∠BTT'=30°,
∠A'BT=90°이므로
4
sin 30°
∴ (원 O의 둘레의 길이)
=8 … 4점
A'T”=
=2p_4=8p
21
채점
기준
∠BPC의 크기 구하기
∠PCA의 크기 구하기
∠PBA의 크기 구하기
A'
30æ
O
4
B
T
30æ
T'
… 2점
(cid:9000) 8p
4점
2점
A
2점
2점
2점
B
PC”를 그으면
∠APC=90°이므로
∠BPC
=180°-(90°+55°)
A
Q
55æ
P
35æ
55æ
C
=35°
이때 ∠PCA=∠QPA=55°이므로
△PCB에서 ∠PBA=55°-35°=20° … 2점
(cid:9000) 20°
… 2점
… 2점
22 채점
기준
AM”의 길이에 대한 식 세우기
AM”의 길이 구하기
4점
2점
점 M은 CD”의 중점이므로 C’M”=D’M”=4(cm)
A’M”=x cm라 하면 B’M”=(10-x)cm
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면
AM”_BM”=CM”_DM”이어야 하므로
x(10-x)=4_4
x¤ -10x+16=0, (x-2)(x-8)=0
∴ x=8 (∵ AM”>BM”)
23
x의 값 구하기
채점
기준
△PATª△PTB임을 알기
y의 값 구하기
PT”
¤ =PA”_PB”이므로 x¤ =4_(4+5)=36
∴ x=6 (∵ x>0)
∠ATP=∠TBP, ∠P는 공통이므로
△PATª△PTB (AA 닮음)
따라서 PT” : PB”=AT” : TB”이므로
6 : 9=3 : y, 6y=27(cid:100)(cid:100)
∴ y=;2(;
(cid:9000) x=6, y=;2(;
… 4점
… 2점
(cid:9000) 8cm
2점
2점
2점
… 2점
… 2점
… 2점
56
SOLUTION
(원의 둘레의 길이)
=2p_(반지름의 길이)
24
AP”의 길이 구하기
채점
기준
△APO'ª△AQB임을 알기
AQ”의 길이 구하기
2점
2점
2점
AP”
¤ =AO”_AB”이므로
¤ =6_12
AP”
∴ AP”=6'2(cm)
(∵ AP”>0) … 2점
QP
A
O
6`cm
O'
B
PO'”, QB”를 그으면
∠APO'=∠AQB=90°, ∠A는 공통이므로
△APO'ª△AQB (AA 닮음)
… 2점
따라서 AP” : AQ”=AO'” : AB”이므로
6'2 : AQ” = 9 : 12
∴ AQ”=8'2(cm)
25
x의 값 구하기
y의 값 구하기
채점
기준
x+y의 값 구하기
원 O에서 PT”
¤ =PA”_PB”이므로
6¤ =x(x+5)
x¤ +5x-36=0, (x-4)(x+9)=0
∴ x=4 (∵ x>0)
… 2점
원 O'에서 PA”_PB”=PC”_PD”
”이므로
4_(4+5)=3_(3+y)
3y=27(cid:100)(cid:100)∴ y=9
∴ x+y=4+9=13
1단계
2단계
3단계
∠x=∠BAT=48°
∠DAB=180°-(15°+48°)=117°
∴ ∠y=180°-∠DAB
=180°-117°=63°
(cid:9000) ∠x=48°, ∠y=63°
원에 내접하는 사각형
의 한 쌍의 대각의 크
기의 합은 180°이다.
예제 1
채점 기준
∠x의 크기 구하기
∠DAB의 크기 구하기
∠y의 크기 구하기
유제 1
채점 기준
∠x의 크기 구하기
∠CDA의 크기 구하기
∠y의 크기 구하기
… 2점
(cid:9000) 8'2 cm
2점
2점
2점
p
142~143
… 2점
… 2점
(cid:9000) 13
배점
40%
30%
30%
40%
30%
30%
배점
40%
30%
30%
3하표준렉처해설Ⅶ(038~057) 2015.1.30 8:58 PM 페이지57 SinsagoHitec
QQ BBooxx
이등변삼각형의 두 밑
각의 크기는 같다.
AP” : BP”=4 : 1이므로
BP”=x라 하면
AP”=4x
원 밖의 한 점에서 그
원에 그은 두 접선의
길이는 같다.
AO” : OP”=3 : 5이고
AO”=BO”이므로
AO” : BP”=3 : 2
∴ OA”=;2#;PB”
1단계
2단계
3단계
DT”=DA”이므로 ∠DAT=∠DTA=35°
∴ ∠x=∠DAT=35°
∠CDA=∠DTA+∠DAT=70°
∴ ∠y=180°-∠CDA
=180°-70°=110°
(cid:9000) ∠x=35°, ∠y=110°
40%
30%
30%
배점
30%
40%
30%
30%
40%
30%
(cid:9000) 65°
배점
30%
40%
30%
30%
40%
30%
(cid:9000) 50°
배점
30%
40%
30%
예제 2
채점 기준
∠BED의 크기 구하기
∠DFE의 크기 구하기
∠DEF의 크기 구하기
1단계
△BDE에서 BD”=BE”이므로
2단계
3단계
∠BED=;2!;_(180°-70°)=55°
∴ ∠DFE=∠BED=55°
△DEF에서
∠DEF=180°-(60°+55°)=65°
유제 2
채점 기준
∠DEF의 크기 구하기
∠ADF의 크기 구하기
∠A의 크기 구하기
1단계
2단계
3단계
△DEF에서
∠DEF=180°-(40°+75°)=65°
∴ ∠ADF=∠DEF=65°
△ADF에서 AD”=AF”이므로
∠A=180°-2_65°=50°
예제 3
채점 기준
PA” : PB” 구하기
원 O의 반지름의 길이 구하기
원 O의 넓이 구하기
1단계
PA” : AO”=4 : 3이므로
PA” : PB”=4 : (4+3+3)
=4 : 10=2 : 5
30%
2단계
PA”=2x라 하면PA ”_PB”=PC”_PD”이므로
2x_5x=5_(5+3), x¤ =4
∴ x=2 (∵ x>0)
∴ OA”=;4#; PA”=;4#;_4=3
∴ (원 O의 넓이)=p_3¤ =9p
3단계
40%
30%
(cid:9000) ⑴ 2 : 5(cid:100)⑵ 9p
PA” : PB”=2 : 5이므로
PA”=2x라 하면
PB”=5x
배점
30%
40%
30%
B
O
O
K
유제 3
채점 기준
AP” : BP” 구하기
원 O의 반지름의 길이 구하기
원 O의 둘레의 길이 구하기
1단계
AO” : OP”=3 : 5이므로
AP” : BP”=(3+5) : (5-3)
=8 : 2=4 : 1
30%
2단계
PB”=x라 하면PB ”_PA”=PD”_PC”이므로
x_4x=4_(4+5), x¤ =9
∴ x=3 (∵ x>0)
∴ OA”=;2#; PB”=;2#;_3=;2(;
40%
3단계
∴ (원 O의 둘레의 길이)=2p_;2(;=9p 30%
(cid:9000) ⑴ 4 : 1(cid:100)⑵ 9p
예제 4
채점 기준
QC”의 길이 구하기
x에 대한 식 세우기
x의 값 구하기
1단계
QA”_QB”=QC”_QD”이므로
4_5=QC”_2
∴ QC”=10(cm)
¤ =PC”
PT”
”_PD”이므로
2단계
8¤ =(x-10)(x+2)
3단계
x¤ -8x-84=0, (x+6)(x-14)=0
∴ x=14 (∵ x>0)
유제 4
채점 기준
AB”의 길이 구하기
AQ”에 대한 식 세우기
AQ”의 길이 구하기
1단계
¤ =PA”_PB”이므로
PT”
(3'1å0)¤ =6_(6+AB”)
6AB”=54(cid:100)(cid:100)∴ AB”=9
2단계
AQ”=x라 하면
QA”_QB”=QT”_QC”이므로
x_(9-x)=9_2
3단계
x¤ -9x+18=0, (x-3)(x-6)=0
∴ x=6 (∵ AQ”>BQ”)
배점
40%
40%
20%
40%
40%
20%
(cid:9000) 14
배점
40%
40%
20%
40%
40%
20%
(cid:9000) 6
Ⅶ. 원의 성질 57
3하표준워크해설Ⅳ(058~061) 2015.1.30 9:1 PM 페이지58 SinsagoHitec
WORK BOOK
QQ BBooxx
통계Ⅳ
1
대푯값과 산포도
p
2~9
001 (평균)=
5+8+11+13+17+24+26+32+35
9
(평균)=
=19(초)
171
9
(cid:9000) 19초
최빈값은 2개 이상일 수도
있다.
002 (평균)=
8+15+20+16+23+26+32
7
(평균)=
=20(명)
140
7
(cid:9000) 20명
003 ⑴ 자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
11, 12, 13, 15, 17, 25
(cid:100) 따라서 중앙값은 3번째와 4번째 변량의 평균인
13+15
2
=14이다.
⑵ 자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
2, 3, 5, 6, 9, 10, 13
따라서 중앙값은 4번째 변량인 6이다.
⑶ 자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
7, 12, 16, 19, 25, 30, 33, 38
(cid:100) 따라서 중앙값은 4번째와 5번째 변량의 평균인
19+25
2
=22이다.
⑷ 자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
43, 46, 49, 50, 53, 54, 57, 60, 68
따라서 중앙값은 5번째 변량인 53이다.
(cid:9000) ⑴ 14 ⑵ 6 ⑶ 22 ⑷ 53
004 자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
중앙값은 8번째와 9번째 변량의 평균이므로
9+10
2
=9.5(회)
(cid:9000) 9.5회
005 도수분포표에서 작은 값부터 순서대로 나열하면
25번째 변량은 10권 이상 15권 미만인 계급에 속
하므로 구하는 중앙값은 이 계급의 계급값인 12.5
권이다.
(cid:9000) 12.5권
006 ⑴ 자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
(cid:100) 7, 9, 10, 12, 12
은 12이다.
(cid:100) 따라서 12의 도수가 2로 가장 크므로 최빈값
⑵ 자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
도수가 모두 같으므로 최빈값은 없다.
⑶ 자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
125, 125, 125, 130, 135, 140, 145, 150
58
SOLUTION
변량의 개수가 짝수이
면 중앙에 있는 두 값
의 평균이 중앙값이다.
변량의 개수가 홀수이
면 중앙에 있는 값이
중앙값이다.
x<25이면 중앙값은
25+32
2
=28.5
2546이면 중앙값은
32+46
2
=39
따라서 125의 도수가 3으로 가장 크므로 최빈
값은 125이다.
⑷ 자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
24, 27, 27, 34, 35, 35, 38
따라서 27과 35의 도수가 각각 2로 가장 크므
로 최빈값은 27과 35이다.
(cid:9000) ⑴ 12 ⑵ 최빈값은 없다.
⑶ 125 ⑷ 27, 35
007 줄기와 잎 그림에서 도수가 가장 큰 것은 255 mm
(cid:9000) 255 mm
이므로 최빈값은 255 mm이다.
008 도수분포표에서 도수가 가장 큰 계급은 5시간 이
상 7시간 미만인 계급이므로 최빈값은 이 계급의
계급값인 6시간이다.
(cid:9000) 6시간
009 6번째 시험에서 얻은 점수를 x점이라 하면
79_5+x
6
æ82(cid:100)(cid:100)∴ xæ97
따라서 최소한 97점을 얻어야 한다.
(cid:9000) ②
010 A반의 몸무게의 총합은 58_10=580(kg)
B반의 몸무게의 총합은 64_10=640(kg)
따라서 20명의 몸무게의 총합은
580+640=1220(kg)
이므로 두 반 전체의 평균은
=61(kg)
1220
20
(cid:9000) 61 kg
011 남학생의 키의 평균을 x cm라 하면
24x+16_155
40
=167
24x=4200(cid:100)(cid:100)∴ x=175
따라서 남학생의 키의 평균은 175 cm이다.
012
a+b+c
3
=3에서 a+b+c=9이므로
(평균)=
(2a+3)+(2b+3)+(2c+3)
3
=
=
2(a+b+c)+3_3
3
2_9+3_3
3
27
= =9
3
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 9
013 자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
25, 32, 46
252이므로 x+5>7이고
x+5>x+4이므로 가장
긴 변의 길이는 x+5이다.
직각삼각형을 모두 찾아 피
타고라스 정리를 이용한다.
053 ⑴ (x+1)¤ =x¤ +3¤ 이어야 하므로 2x=8
∴ x=4
⑵ (2x)¤ =x¤ +(5'3 )¤ 이어야 하므로 3x¤ =75
x¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
(cid:9000) ⑴ 4 ⑵ 5
054 x+5가 가장 긴 변의 길이이므로
(x+5)¤ =7¤ +(x+4)¤ , 2x=40
∴ x=20
(cid:9000) 20
055 (2x+3)¤ =12¤ +x¤ 이므로
x¤ +4x-45=0, (x+9)(x-5)=0
∴ x=5 (∵ x>0)
(cid:9000) 5
056 △ABD에서 AD”="√10¤ -8¤ =6(cm)
△ADC에서 CD”=øπ(6'2 )¤ -6¤ =6(cm)
(cid:9000) 6cm
057 △ABC에서 BC”="√12¤ -6¤ =6'3(cm)
∴ DC”=3'3(cm)
따라서 △ADC에서
AD”="√(3'3 )¤ +6¤ =3'7(cm)
058 AM”：GM”=3：1이므로 AM”=5
BM”=CM”=AM”이므로
BC”=2AM”=2_5=10
∴ AB”="√10¤ -6¤ =8
059 점 D를 지나면서 BC”와
평행한 직선이 AB”의
A
6 cm
(cid:9000) ③
(cid:9000) 8
연장선과 만나는 점을
8'2 cm
B
E라 하면
C
2 cm
BE”=CD”=2 cm
D
△AED에서 ED”="√(8'2 )¤ -8¤ =8(cm)
BC”=ED”=8 cm이므로 △ABC에서
AC”="√6¤ +8¤ =10(cm)
(cid:9000) ③
E
△ABC에서 AD”가
∠A의 이등분선이면
AB” : AC”=BD” : CD”
060 △ABC에서 BC”="√15¤ -12¤ =9(cm)
이때 AB”：AC”=BD”：CD”이므로
BD”：CD”=15：12=5：4
∴ CD”=9_;9$;=4(cm)
△ADC에서 AD”="√4¤ +12¤ =4'∂10(cm)
(cid:9000) ②
먼저 가장 긴 변의 길
이를 찾고
(긴 변의 길이의 제곱)
=(나머지 두 변의 길
이의 제곱의 합)
이면 직각삼각형이다.
061 AC”="√2¤ +2¤ =2'2(cm)
AD”="√(2'2 )¤ +2¤ =2'3(cm)
AE”="√(2'3 )¤ +2¤ =4(cm)
∴ △AEF=;2!;_2_4=4(cm¤ )
(cid:9000) 4 cm¤
(cid:9000) ⑴ 169 cm¤ ⑵ 21cm¤
⑶ 16cm¤ ⑷ 25cm¤
삼각형의 무게중심은
세 중선의 길이를 각
꼭짓점으로부터 각각
2：1로 나눈다.
3하표준워크해설Ⅴ(062~074) 2015.1.30 9:3 PM 페이지63 SinsagoHitec
QQ BBooxx
△AEH™△BFE
™△CGF
™△DHG
(SAS 합동)
(cid:8857) (cid:8772)EFGH는 정사각형
D
C
△AEH™△BAC
™△DBF
™△EDG
(RHA 합동)
(cid:8857) (cid:8772)CFGH는 정사각형
062 AB'”=BC'”=CD'”=DE'”=OA'”=1이므로
OB'”="√1¤ +1¤ ='2, OC'”=øπ('2)¤ +1¤ ='3,
OD'”=øπ('3)¤ +1¤ =2, OE'”="√2¤ +1¤ ='5
∴ OE”=OE'”='5
(cid:9000) ③
063 AB”=xcm라 하면
AC”="√x¤ +x¤ ='2x
AD”=øπ('2x)¤ +x¤ ='3x
AE”=øπ('3x)¤ +x¤ =2x
따라서 2x=6이므로 x=3
064 AC”를 그으면
△ACD에서
AC”="√8¤ +4¤
=4'5(cm)
△ABC에서
BC”="√(4'5)¤ -(4'3)¤
=4'2(cm)
(cid:9000) 3cm
D
8 cm
4 cm
C
A
4'3 cm
B
(cid:9000) ①
065 점 A에서 BC”에 내린 수
선의 발을 H라 하면
A
5 cm
6 cm
B
HC”=AD”=5 cm이므로
BH”=7-5=2(cm)
H
7 cm
△ABH에서
AH”="√6¤ -2¤ =4'2(cm)
DC”=AH”=4'2cm이므로 △DBC에서
BD”=øπ7¤ +(4'2 )¤ =9(cm)
(cid:9000) 9 cm
066 점 D에서 BC”에 내
린 수선의 발을 H'
4 cm
A
D
이라 하면
HH'”=AD”=4cm
6 cm
B
6 cm
C
H
H'
12 cm
067 △ABC에서 AB”
¤ =BC”
¤ +AC”
¤ 이므로
¤ =60-40=20
¤ =40이므로
AC”
∴ AC”=2'5(cm) (∵ AC”>0)
또 BC”
BC”=2'∂10(cm) (∵ BC”>0)
∴ △ABC=;2!;_2'5_2'∂10=10'2(cm¤ )
068 △ABC에서 BC”="√9¤ +12¤ =15(cm)
(cid:8772)ACHI=(cid:8772)LMGC이므로
9¤ =15_MG”(cid:100)(cid:100)∴ MG”=;;™5¶;;(cm)
(cid:9000) 10'2 cm¤
(cid:9000) ④
이므로 BH”=CH'”=;2!;_(12-4)=4(cm)
따라서 △ABH에서
AH”="√6¤ -4¤ =2'5(cm)
△ABH™△DCH'
(RHA 합동)
(cid:9000) ④
이므로 BH”=CH'”
W
O
R
K
B
O
O
K
069 △ABC에서 AB”
(cid:8772)BDGF=AB”
¤ =13¤ -5¤ =144이므로
¤ =144(cm¤ )
(cid:9000) 144cm¤
070 (cid:8772)EFGH는 정사각형이고
¤ =a¤ +b¤ =25이므로
EH”
(cid:8772)EFGH=EH”
¤ =25
(cid:9000) ③
071 (cid:8772)EFGH는 정사각형이므로 EF”='4ß1(cm)
△AFE에서 AF”=øπ('4ß1 )¤ -4¤ =5(cm)
즉 (cid:8772)ABCD는 한 변의 길이가 4+5=9(cm)
인 정사각형이므로
(cid:8772)ABCD=81(cm¤ )
(cid:9000) 81cm¤
072 AH”=x라 하면 △AEH에서
x¤ +x¤ =(2'6 )¤ , x¤ =12
∴ x=2'3 (∵ x>0)
따라서 AD”=4'3이므로 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길
(cid:9000) 16'3
이는 4_4'3=16'3
073 CF”='1ß6=4(cm)이므로 CB”=4+4=8(cm)
△ABC에서 AB”
∴ (cid:8772)ABDE=AB”
¤ =4¤ +8¤ =80
¤ =80(cm¤ )
(cid:9000) 80cm¤
074 AB”='∂20=2'5(cm)이므로 △ABC에서
BC”=øπ(2'5 )¤ -('2 )¤ =3'2(cm)
∴ CF”=3'2-'2=2'2(cm)
(cid:8772)CFGH는 정사각형이므로 둘레의 길이는
4_2'2=8'2(cm)
(cid:9000) ②
075 BC”='∂89, FG”=3이므로 △FBC에서
x¤ +(x+3)¤ =('∂89)¤ , x¤ +3x-40=0
(x+8)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
076 △ABE™△CDB (SAS 합동)이므로
EB”=BD”="√4¤ +3¤ =5, ∠EBD=90°
∴ △BDE=;2!;_5_5=:™2∞:
(cid:9000) 5
(cid:9000) ②
∠ACB+∠ECD
=∠ACB+∠CAB
=90°
이므로 ∠ACE=90°
(사다리꼴의 넓이)
=;2!;_{(아랫변의 길이)
+(윗변의 길이)}
=_(높이)
077 △ABC™△CDE이므로
AC”=CE”, ∠ACE=90°
즉 △ACE는 직각이등변삼각형이므로
¤ =58
¤ =29, CE”
;2!; CE”
∴ CE”='∂58(cm) (∵ CE”>0)
△CDE에서 DE”="√('∂58)¤ -7¤ =3(cm)
∴ (cid:8772)ABDE=;2!;_(7+3)_10=50(cm¤ )
(cid:9000) 50 cm¤
Ⅴ. 피타고라스 정리 63
3하표준워크해설Ⅴ(062~074) 2015.2.2 2:46 PM 페이지64 SinsagoHitec
WORK BOOK
QQ BBooxx
078 점 E에서 AB”에 내린
수선의 발을 H라 하면
A
H
7 cm
HE”=BD”=5+7
=12(cm)
E
5 cm
B
5 cm 7 cm
C
D
AH”=7-5=2(cm)
△AHE에서 AE”="√2¤ +12¤ =2'∂37 (cm)
△CEF는 ∠CEF=90°인
직각삼각형이다.
(cid:9000) 2'∂37 cm
079 가장 긴 변의 길이가 a+1이므로
a+1<(a-7)+a(cid:100)(cid:100)∴ a>8
직각삼각형이 되기 위한 조건에서
(a+1)¤ =(a-7)¤ +a¤ , a¤ -16a+48=0
(a-4)(a-12)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=12 (∵ a>8)
(cid:9000) ④
x="√3¤ +5¤ ='∂34
(cid:9000) ①, ⑤
080 ⁄ 가장 긴 변의 길이가 5이면
x="√5¤ -3¤ =4
¤ 가장 긴 변의 길이가 x이면
081 ⁄ 가장 긴 변의 길이가 x이면
x="√4¤ +6¤ =2'1ß3
¤ 가장 긴 변의 길이가 6이면
x="√6¤ -4¤ =2'5
⁄, ¤에서 a=2'∂13, b=2'5
∴ ab=4'∂65
082 RQ”=AQ”=xcm라
하면
QD”=(9-x)cm
△RQD에서
x¤ +6¤ =(9-x)¤
18x=45
∴ x=;2%;
(cid:9000) 4'∂65
R
6`cm
x`cm
Q
A
x`cm {9-x}`cm
D
B
P
C
9`cm
(cid:9000) ;2%; cm
6`cm
A
D
8 cm
083 BD”=;2!;AB”=4(cm)
BE”=xcm라 하면
DE”=CE”
=(8-x)cm
△DBE에서
4¤ +x¤ =(8-x)¤
(8-x) cm
F
B
C
x cm (8-x) cm
E
16x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=3
(cid:9000) ⑤
084
10 cm
A
E
(6-x) cm
x cm
10 cm
6 cm
D
C
F
x cm
B
EC”=BC”=10cm이므로
△ECD에서 ED”="√10¤ -6¤ =8(cm)
∴ AE”=10-8=2(cm)
64
SOLUTION
삼각형의 한 변의 길이
는 나머지 두 변의 길
이의 차보다 크고 합보
다 작다.
c¤ =a¤ +b¤
(cid:8857) 두 변의 길이가 a,
b이고 빗변의 길이
가 c인 직각삼각형
두 대각선이 직교하는
사각형에서 두 대변의
길이의 제곱의 합은 같
다.
EF”=BF”=x cm라 하면 AF”=(6-x)cm
△AFE에서 x¤ =(6-x)¤ +2¤ 이므로
12x=40(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡3º:
∴ △CEF=;2!;_10_:¡3º:=:∞3º: (cm¤ )
(cid:9000) :∞3º: cm¤
085 ⑴ ('1ß5)¤ +7¤ =8¤
⑶ ('3)¤ +5¤ <6¤
⑸ ('7)¤ +3¤ =4¤
⑵ 2¤ +4¤ <5¤
⑷ 9¤ +10¤ >13¤
⑹ 2¤ +('6)¤ >3¤
(cid:9000) ⑴ 직각삼각형 ⑵ 둔각삼각형
⑶ 둔각삼각형 ⑷ 예각삼각형
⑸ 직각삼각형 ⑹ 예각삼각형
086 ⑴ x>7이고 삼각형의 변의 길이 조건에 의하여
yy ㉠
20) yy ㉡
㉠, ㉡에 의하여 77이고 삼각형의 변의 길이 조건에 의하여
yy ㉠
290°이므로 x¤ >5¤ +7¤
x¤ >74(cid:100)(cid:100)∴ x>'∂74 (∵ x>0) yy ㉡
㉠, ㉡에 의하여 '7å40)
¤ =12_(12+3)=180
∴ AC”=6'5 (∵ AC”>0)
¤ =3_12=36
∴ AD”=6 (∵ AD”>0)
⑵ AC”
⑶ AD”
(cid:9000) ⑴ 3'5 ⑵ 6'5 ⑶ 6
088 ⑴ (4'2 )¤ =x_8(cid:100)(cid:100)∴ x=4
⑵ x¤ =5_8(cid:100)(cid:100)∴ x=2'1å0 (∵ x>0)
(cid:9000) ⑴ 4 ⑵ 2'1å0
089 ⑴ x¤ +11¤ =9¤ +8¤ 이므로 x¤ =24
∴ x=2'6 (∵ x>0)
⑵ 4¤ +10¤ =6¤ +x¤ 이므로 x¤ =80
∴ x=4'5 (∵ x>0)
(cid:9000) ⑴ 2'6 ⑵ 4'5
090 ⑴ x¤ +7¤ =10¤ +4¤ 이므로 x¤ =67
∴ x='6å7 (∵ x>0)
⑵ ('1å7)¤ +x¤ =2¤ +6¤ 이므로 x¤ =23
∴ x='2å3 (∵ x>0)
⑶ ('1å3)¤ +(2'å5 )¤ =(2'å2)¤ +x¤ 이므로
x¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
3하표준워크해설Ⅴ(062~074) 2015.1.30 9:3 PM 페이지65 SinsagoHitec
QQ BBooxx
⑷ 7¤ +x¤ =(2'1å5)¤ +5¤ 이므로 x¤ =36
∴ x=6 (∵ x>0)
(cid:9000) ⑴ '6å7 ⑵ '2å3 ⑶ 5 ⑷ 6
12-50)
⑶ 10¤ +5¤ =x¤ +8¤ 이므로 x¤ =61
∴ x='6ß1 (∵ x>0)
⑷ 2¤ +x¤ =('1å0)¤ +('2 )¤ 이므로 x¤ =8
∴ x=2'2 (∵ x>0)
(cid:9000) ⑴ '2å1 ⑵ 2'5 ⑶ '6ß1 ⑷ 2'2
092 ⑶ 두 변 AB, AC를 지름으로 하는 반원의 넓
이를 각각 S¡, S™라 하면
S¡+S™=25p
⑷ 세 변 AB, AC, BC를 지름으로 하는 반원
의 넓이를 각각 S¡, S™, S£이라 하면
S¡+S™=S£=;2!;_p_2¤ =2p
∴ (색칠한 부분의 넓이)=S¡+S™+S£
=2p+2p=4p
(cid:9000) ⑴ 14 cm¤ ⑵ 15 cm¤ ⑶ 25p ⑷ 4p
=;2!;_5_8=20(cm¤ )
(cid:9000) ⑴ 14cm¤ ⑵ 19cm¤
⑶ 18 cm¤ ⑷ 20cm¤
094 ① 5¤ +11¤ <14¤ 이므로 둔각삼각형이다.
② 6¤ +7¤ >8¤ 이므로 예각삼각형이다.
③ ('3å4)¤ +7¤ <10¤ 이므로 둔각삼각형이다.
④ 8¤ +15¤ =17¤ 이므로 직각삼각형이다.
⑤ (3'3)¤ +(3'5)¤ <9¤ 이므로 둔각삼각형이다.
(cid:9000) ②
093 ⑶ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC
⑷ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC
=;2!;_9_4=18(cm¤ )
AB”_AC”=AD”_BC”
097 x>12이고 삼각형의 변의 길이 조건에 의하여
70) yy ㉡
yy ㉠
㉠, ㉡에 의하여 1210이고 삼각형의 변의 길이 조건에 의하여
55¤ +10¤
a¤ >125(cid:100)(cid:100)∴ a>5'5(∵ a>0)
㉠, ㉡에 의하여 5'514¤
x¤ >115(cid:100)(cid:100)∴ x>'1∂15 (∵ x>0) yy ㉡
㉠, ㉡에 의하여 '1∂150)
△ABC에서 AC”="√8¤ -4¤ =4'3(cm)
(cid:9000) 4'3cm
095 ② a¤ +c¤ >b¤ 이면 ∠B<90°이지만 ∠A 또는
∠C의 크기가 90° 이상일 수도 있다.
△ABC의 세 내각이 모두
예각일 때 △ABC는 예각
삼각형이다.
(cid:9000) ②
096 세 변의 길이를 4k, 5k, 7k (k>0)라 하면
(7k)¤ =49k¤ , (4k)¤ +(5k)¤ =41k¤
∴ (7k)¤ >(4k)¤ +(5k)¤
따라서 주어진 삼각형은 둔각삼각형이다.
직각삼각형의 외심은
빗변의 중점이다.
103 △AMH에서 MH”="√6¤ -(4'2)¤ =2
점 M은 △ABC의 외심이므로
CM”=BM”=AM”=6
따라서 HC”=MC”-MH”=4이므로
(cid:9000) 둔각삼각형
△AHC=;2!;_4_4'2=8'2
(cid:9000) ③
Ⅴ. 피타고라스 정리 65
3하표준워크해설Ⅴ(062~074) 2015.1.30 9:3 PM 페이지66 SinsagoHitec
WORK BOOK
QQ BBooxx
114 S™=;2!;_p_{
AC”
2
}
=16p에서
AC”
¤ =128(cid:100)(cid:100)∴ AC”=8'2 (cm) (∵ AC”>0)
=26p-16p=10p에서
S¡=;2!;_p_{
AB”
2
}
AB”
¤ =80(cid:100)(cid:100)∴ AB”=4'5 (cm) (∵ AB”>0)
∴ △ABC=;2!;_4'5_8'2
∴ △ABC=16'∂10 (cm¤ )
(cid:9000) 16'∂10 cm¤
115 AC”="√13¤ -12¤ =5(cm)
따라서 색칠한 부분의 넓이는
△ABC=;2!;_12_5=30(cm¤ )
(cid:9000) 30cm¤
116 AB”="√10¤ -6¤ =8(cm)
따라서 색칠한 부분의 넓이는
2△ABC=2_{;2!;_8_6}=48(cm¤ )
(cid:9000) 48cm¤
△ABC=△ADC이므로
구하는 넓이는 2△ABC와
같다.
117 AC”를 그으면 색칠한
부분의 넓이는
등변사다리꼴은 평행하
지 않은 두 대변의 길
이가 같다.
D
A
9
B
12
C
2△ABC
=2_{;2!;_9_12}
=108
(cid:9000) ⑤
104 DE”를 그으면
△BED에서
DE”="√3¤ +4¤ =5
5¤ +10¤ =AE”
¤ +9¤ 이
A
D
3
B
5
10
9
4
E
C
므로
¤ =44
AE”
∴ AE”=2'1å1 (∵ AE”>0)
105 △ADE에서 DE”="5√
¤ +3¤ ='∂34
△ABE에서 BE”="√12¤ +3¤ =3'∂17
따라서 BE”
¤ -CD”
¤ =DE”
¤ +CD”
¤ =BE”
¤ -DE”
=(3'∂17 )¤ -('∂34)¤
=119
¤ +BC”
BC”
¤ 이므로
106 x¤ +2¤ =5¤ +y¤ 이므로
x¤ -y¤ =25-4=21
107 △APD에서 AD”="4√
8¤ +6¤ =5¤ +BC”
∴ BC”=5'3(cm) (∵ BC”>0)
¤ 이므로 BC”
¤ =75
¤ +3¤ =5(cm)
(cid:9000) 5'3 cm
108 AB”
¤ +CD”
¤ =('∂29)¤ +11¤ =150
이때 AB”=CD”이므로
¤ =150, AB”
2AB”
∴ AB”=5'3 (∵ AB”>0)
¤ =75
109 AO”
¤ +CO”
¤ +DO”
¤ =BO”
=7¤ +4¤ =65
(cid:9000) ③
(cid:9000) 119
(cid:9000) 21
(cid:9000) ①
(cid:9000) ⑤
110 4¤ +5¤ =3¤ +DP”
¤ 이므로 DP”
¤ =32
∴ DP”=4'2 (∵ DP”>0)
(cid:9000) 4'2
111 도서관의 위치를 P라 하면
AP”
¤ +DP”
¤ =BP”
¤ +CP”
¤ +5¤ =4¤ +7¤ , AP”
¤ 이므로
¤ =40
AP”
∴ AP”=2'∂10(km) (∵ AP”>0)
112 ;2!;_p_{
BC”
2
¤ =5p+2p이므로
}
BC”
¤ =56(cid:100)(cid:100)∴ BC”=2'1å4 (∵ BC”>0) (cid:9000) ④
113 AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이는
;2!;_p_{;2#;}
¤ =;8(;p(cm¤ )
∴ (색칠한 부분의 넓이)=;8(;p+4p=:¢8¡:p(cm¤ )
(cid:9000) :¢8¡:p cm¤
66
SOLUTION
(cid:9000) 2'∂10 km
BC”를 지름으로 하는 반원
의 넓이
¤
¤
¤
¤
3하표준워크해설Ⅴ(062~074) 2015.1.30 9:3 PM 페이지67 SinsagoHitec
2
피타고라스 정리의 활용
p
23~39
118 ⑴ x="‘6¤ +4¤ =2'1å3
⑵ x="√6¤ +7¤ ='8å5
⑶ x=øπ('∂17 )¤ -3¤ =2'2
⑷ x=øπ12¤ -(4'3 )¤ =4'6
119 ⑴ x='2_3=3'2
⑵ x='2_6'2=12
⑶ '2x=10에서 x=5'2
⑷ '2x=5'2에서 x=5
(cid:9000) ⑴ 2'1å3 ⑵ '8å5 ⑶ 2'2 ⑷ 4'6
(cid:9000) ⑴ 3'2 ⑵ 12 ⑶ 5'2 ⑷ 5
120 (cid:9000) ⑴ 4'3, 16'3(cid:100)⑵
3'2
2
,
3'3
2
121 ⑴ 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면
a=9(cid:100)(cid:100)∴ a=6'3
'3
2
⑵ 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면
'3
4
a¤ ='3, a¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ a=2 (∵ a>0)
(cid:9000) ⑴ 6'3 cm ⑵ 2cm
123 직사각형의 세로의 길이를 xcm라 하면 가로의
길이는 2x cm이므로
(2x)¤ +x¤ =(3'∂10)¤`, x¤ =18
∴ x=3'2 (∵ x>0)
(cid:9000) ②
124 정사각형의 한 변의 길이를 xcm라 하면
'2 x=16(cid:100)(cid:100)∴ x=8'2
이때 원의 반지름의 길이는 4'2cm이므로
(원의 넓이)=p_(4'2)¤ =32p(cm¤ ) (cid:9000) ②
125 정사각형의 한 변의 길이를 xcm라 하면
(2x)¤ +(3x)¤ =('∂26)¤ , x¤ =2
∴ x='2 (∵ x>0)
∴ AB”='2_'2=2(cm)
(cid:9000) 2 cm
126 △ABD에서 BD”="√9¤ +12¤ =15(cm)
AD”
¤ =DH”_DB”이므로
12¤ =DH”_15(cid:100)(cid:100)∴ DH”=:¢5•:(cm)
(cid:9000) :¢5•: cm
QQ BBooxx
한 변의 길이가 a인 정
삼각형에서
(높이)= a
(넓이)= a¤
'3
2
'3
4
무게중심은 중선을 꼭짓점
으로부터 2 : 1로 나눈다.
∠A=90°인 직각삼각
형 ABD에서 AH”⊥BD”
이면
(cid:8857) AB”
AD”
AB”_AD”
=BD”_AH”
¤ =BH”_BD”
¤ =DH”_DB”
122 (cid:9000) ⑴ 2, 4'2, 4'2, 8'2
⑵ 3, 6'2, 6'2, 18'2
9'3=3(PQ”+PR”)
127 △ABD에서 BD”="√6¤ +8¤ =10(cm)
AB”
¤ =BP”_BD”이므로
6¤ =BP”_10(cid:100)(cid:100)∴ BP”=:¡5•:(cm)
△ABP™△CDQ (RHA 합동)이므로
DQ”=BP”=:¡5•: (cm)
∴ PQ”=10-2_:¡5•:=:¡5¢:(cm)
(cid:9000) ③
128 정삼각형의 한 변의 길이를 a라 하면
a¤ =6'3, a¤ =24(cid:100)(cid:100)
'3
4
∴ a=2'6 (∵ a>0)
따라서 정삼각형의 높이는
'3
2
_2'6=3'2
W
O
R
K
B
O
O
K
(cid:9000) ③
129 AD”=3 GD”=3_2'3=6'3
정삼각형의 한 변의 길이를 a라 하면
'3
2
a=6'3(cid:100)(cid:100)∴ a=12
(cid:9000) ③
130 AP”를 그으면
△ABC=△ABP+△APC
이므로
'3
4
_6¤
A
P
6
Q
B
R
C
=;2!;_6_PQ”+;2!;_6_PR”
∴ PQ”+PR”=3'3
(cid:9000) 3'3
131 BE”=EC”=CF”=;2!;_2'2='2(cm)
△GEC는 한 변의 길이가 '2 cm인 정삼각형이
므로
△GEC= _('2)¤ = (cm¤ )
'3
4
'3
2
이때 △ABC= _(2'2)¤ =2'3(cm¤ )이므로
'3
4
색칠한 부분의 넓이는
'3
2_{2'3- }=3'3(cm¤ )
2
(cid:9000) 3'3 cm¤
B 60æ
D
A
120æ
60æ
60æ
C
132 AC”를 그으면
△ABC, △ACD는
정삼각형이므로
(cid:8772)ABCD
=2△ABC
=8'3(cm¤ )
∴ △ABC=4'3(cm¤ )
'3
즉 _AB”
4
¤ =4'3이므로 AB”
¤ =16
∴ AB”=4(cm) (∵`AB”>0)
(cid:9000) ④
Ⅴ. 피타고라스 정리 67
3하표준워크해설Ⅴ(062~074) 2015.1.30 9:3 PM 페이지68 SinsagoHitec
WORK BOOK
QQ BBooxx
140 BH”=x라 하면
CH”=6-x이므로
A
5¤ -x¤ =7¤ -(6-x)¤
5
7
12x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=1
따라서
AH”="√5¤ -1¤ =2'6
이므로
x
B
H
6-x
6
C
△ABC=;2!;_6_2'6=6'6
(cid:9000) 6'6
141 ⑴ x : 6=1 : 2이므로 2x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=3
y : 6='3 : 2이므로 2y=6'3(cid:100)(cid:100)∴ y=3'3
⑵ x : 4'2=1 : '2이므로 '2x=4'2
∴ x=4
x : y=1 : 1이므로 y=4
⑶ x : 5='2 : 1이므로 x=5'2
y : 5=1 : 1이므로 y=5
⑷ x : 9=2 : '3이므로 '3 x=18
∴ x=6'3
y : 9=1 : '3이므로 '3 y=9(cid:100)(cid:100)∴ y=3'3
(cid:9000) ⑴ x=3, y=3'3 ⑵ x=4, y=4
⑶ x=5'2, y=5 ⑷ x=6'3, y=3'3
142 ⑴ △BCD에서
BD” : 3='2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ BD”=3'2
△ABD에서
x : 3'2=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ x=2'6
y : 3'2=1 : '3(cid:100)(cid:100)∴ y='6
⑵ △ADC에서
4 : x=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ x=2'3
△ABC에서
y : 2'3='2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ y=2'6
⑶ △ABC에서
2 : x=1 : '3(cid:100)(cid:100)∴ x=2'3
△ABD에서
2 : y=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ y='3
⑷ △ABC에서
AC”：6=1：'2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=3'2
△ACD에서
x：3'2=1：'3(cid:100)(cid:100)∴ x='6
y：3'2=2：'3(cid:100)(cid:100)∴ y=2'6
(cid:9000) ⑴ x=2'6, y='6 ⑵ x=2'3, y=2'6
⑶ x=2'3, y='3 ⑷ x='6, y=2'6
직각이등변삼각형의 세
변의 길이의 비
(cid:8857) 1 : 1 : '2
세 내각의 크기가 30°,
60°, 90°인 삼각형의
세 변의 길이의 비
(cid:8857) 1 : '3 : 2
(cid:9000) ④
이등변삼각형의 꼭지각의
꼭짓점에서 밑변에 내린 수
선은 그 밑변을 이등분한다.
133 정육각형은 한 변의 길이가 3 cm인 정삼각형 6개
로 이루어져 있으므로
27'3
2
'3
6_{ _3¤ }=
4
(cm¤ )
(cid:9000)
27'3
2
cm¤
134 BC”의 중점을 M,
AB”=a cm라 하면
(cid:8772)ABCD
=3△ABM
A
D
a cm
B
M
C
이므로 27'3=3_ a¤ , a¤ =36
'3
4
∴a=6 (∵ a>0)
(cid:9000) 6 cm
135 △ABH에서
BH”="√10¤ -8¤ =6(cm)
∴ BC”=2BH”=2_6=12(cm)
136 BH”=CH”=;2!; BC”=2(cm)
△ABH에서
AH”="√8¤ -2¤ =2'1å5(cm)
∴ △ABC=;2!;_4_2'1å5=4'1å5(cm¤ )
(cid:9000) 2'1å5cm, 4'1å5cm¤
137 오른쪽 그림과 같이 점 A
에서 BC”에 내린 수선의
발을 H라 하면
BH”=CH”=8이므로
AH”="√17√
∴ △ABC=;2!;_16_15=120
¤ -8¤ =15
B
17
17
A
H
16
C
(cid:9000) ③
138 (cid:9000) 28-x, 17, x, 25, 28-x, x, 28-x, 8,
8, 15, 15, 210
139 BH”=xcm라 하면
CH”=(14-x)cm
A
15`cm
13`cm
H
B
xcm
C
14`cm
{14-x}cm
이므로
15¤ -x¤
=13¤ -(14-x)¤ (cid:100)
28x=252
∴ x=9
∴ AH”="√15¤ -9¤ =12(cm)
(cid:9000) 12cm
68
SOLUTION
두 점 (a, b), (c, d)
사이의 거리
(cid:8857) "√(c-a)¤ +(d-b)¤
143 ⑴ AB”="√(-4)¤ +3¤ =5
⑵ AB”="√(5-3)¤ +√{4-(-2)}¤ ='4å0=2'1å0
⑶ AB”="√(-1-4)¤ +5¤ ='5å0=5'2
⑷ AB”="√(9-6)¤ +√(14-13)¤ ='1å0
(cid:9000) ⑴ 5 ⑵ 2'1å0 ⑶ 5'2 ⑷ '1å0
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(사다리꼴의 넓이)
=;2!;_{(윗변의 길이)
= +(아랫변의 길이)}
=_(높이)
144 ⑴ AB”="√4¤ +(-1)¤ ='1å7
BC”="√1¤ +4¤ ='1å7
CA”="√(-5)¤ +(-3)¤
CA”
¤ +BC”
='3å4
∴ AB”=BC”,
¤ =AB”
⑵ AB”="√3¤ +(-6)¤ =3'5
BC”="√1¤ +5¤ ='2å6
CA”="√(-4)¤ +1¤ ='1å7
∴ AB”
¤ +CA”
¤ >BC”
y
2
O
C
2
x
-2
A
-2
B
A
y
2
C
-2
O
2
x
-2
B
(cid:9000) ⑴ ∠B=90°인 직각이등변삼각형
⑵ ∠C>90°인 둔각삼각형
145 △ABH에서
AB” : AH” : BH”='2 : 1 : 1이므로
AH”=BH”=4 (cm)
또 △AHC에서 CH”="√5¤ -4¤ =3(cm)
∴ BC”=BH”+CH”=4+3=7(cm) (cid:9000) 7cm
146 △ACD에서
20 : AC”=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ AC”=10'3(cm)
△ABC에서
AB” : 10'3=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ AB”=5'6(cm)
(cid:9000) ④
147 ∠B+∠DAB=60°이므로 ∠DAB=30°
∴ AD”=BD”=6(cm)
△ADC에서
6 : AC”=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ AC”=3'3(cm)
(cid:9000) 3'3cm
삼각형의 한 외각의 크
기는 그와 이웃하지 않
는 두 내각의 크기의
합과 같다.
148 점 A에서 BC”에 내린
수선의 발을 H라 하면
A
6 cm
△ABH에서
6 : AH”=2 : '3
∴ AH”=3'3(cm)
△AHC에서
3'3 : AC”=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=3'6(cm)
60æ
H
B
45æ
C
y=;2!;(x¤ -4x+4)-2-1
=;2!;(x-2)¤ -3
y=2(x¤ -2x+1)-2
=2(x-1)¤ -2
(cid:9000) ②
y=-(x¤ +6x+9)+9
-3
=-(x+3)¤ +6
149 정팔각형의 한 외각의 크기는
360°
8
=45°이므로
잘라낸 삼각형에서 직각을 낀 한 변의 길이를
x cm라 하면
x : 6=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ x=3'2
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는
6+2_3'2=6+6'2(cm) (cid:9000) (6+6'2)cm
W
O
R
K
B
O
O
K
150 두 점 A, D에서
BC”에 내린 수선
의 발을 각각H,
H'이라 하면
△ABH에서
A
3
D
4
60æ
B
H
H'
45æ
C
4 : BH”=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ BH”=2
4 : AH”=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ AH”=2'3
△DH'C에서 DH'”=AH”=2'3이므로
2'3 : H'C”=1 : 1(cid:100)(cid:100)∴ H'C”=2'3
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(3+2+3+2'3 )_2'3
=6+8'3
(cid:9000) 6+8'3
151 ① "√(7-2)¤ +(-1-1)¤ ='ß29
② "√{2√-(-3)}¤ +(5-2)¤ ='ß34
③ "√(0-1)¤ +(3-8)¤ ='ß26
④ "√(-2-5)¤ +(0-6)¤ ='ß85
⑤ "√(-1-4)¤
√+{-3-(-7)}¤ ='ß41 (cid:9000) ③
152 AB”="√(a-3)¤ +(4-2)¤ =2'5
양변을 제곱하여 정리하면
a¤ -6a-7=0, (a-7)(a+1)=0
∴ a=7 (∵ a>0)
(cid:9000) ④
153 x축 위의 점의 좌표를 (a, 0)이라 하면
"√(a-2)¤ +√{0-(-4)}¤ ="√(a-6)¤ +√{0-(-8)}¤
(a-2)¤ +4¤ =(a-6)¤ +8¤
8a=80(cid:100)(cid:100)∴ a=10
따라서 구하는 점의 좌표는 (10, 0)이다.
(cid:9000) (10, 0)
154 y=;2!;x¤ -2x-1=;2!;(x-2)¤ -3이므로
A(2, -3), B(0, -1)
∴ AB”="√(0-2)¤ +{-1√-(-3)}¤ =2'2
(cid:9000) 2'2
155 y=2x¤ -4x=2(x-1)¤ -2
y=-x¤ -6x-3=-(x+3)¤ +6
따라서 두 점 (1, -2), (-3, 6) 사이의 거리는
"√(-3-1)¤ +√{6-(-2)}¤ =4'5
(cid:9000) ⑤
156 x¤ -6x+5=x-5에서 x¤ -7x+10=0
(x-2)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=5
x=2일 때 y=-3이고 x=5일 때 y=0이므로
P(2, -3), Q(5, 0) 또는 P(5, 0), Q(2, -3)
∴ PQ”="√(5-2)¤ +√{0-(-3)}¤ =3'2 (cid:9000) 3'2
Ⅴ. 피타고라스 정리 69
¤
¤
3하표준워크해설Ⅴ(062~074) 2015.1.30 9:3 PM 페이지70 SinsagoHitec
WORK BOOK
157 AB”="√(-1√-5)√
¤ +√(-3√-3)¤ =6'2
BC”="√{2-(-1)}¤ +√{-2-(-3)}¤ ='1å0
CA”="√(5-2)¤ +{3√-(-2)}¤ ='3å4
따라서 가장 긴 변은 AB”이고 AB”
이므로 ∠C>90°인 둔각삼각형이다.
¤ >BC”
¤ +CA”
(cid:9000) ④
158 AB”="√{3-(-1)}¤ +√{2-(-6)}¤ =4'5
BC”="√(7-3)¤ +(0-2)¤ =2'5
CA”="√(-1-7)¤ +√(-6-0)¤ =10
CA”
¤ =AB”
¤ +BC”
¤ 이므로 ∠B=90°인 직각삼각
형이다.
∴ △ABC=;2!;_4'5_2'5=20
(cid:9000) 20
159 ① AB”="√(5-3)¤ +(0-4)¤ =2'5
② BC”="√(-1-5)¤ +(2-0)¤ =2'ß10
③ CA”="√{3-(-1)}¤ +√(4-2)¤ =2'5
¤ 이므로
¤ =AB”
④ AB”=CA”, BC”
∠A=90°인 직각이등변삼각형이다.
¤ +CA”
⑤ △ABC=;2!;_2'5_2'5=10
(cid:9000) ③
160
2 cm
A
C
C'
P
15 cm
6 cm
D
B
D'
점 C와 AB”에 대하여 대칭인 점을 C'이라 하면
CP”+DP”=C'P”+DP”æC'D”이고
C'D”="√(6+2)¤ +15¤ =17(cm)
따라서 CP”+DP”의 최솟값은 17cm이다. (cid:9000) ③
161 점 B와 y축에 대하여 대
칭인 점을 B'이라 하면
B'(-3, -2)
AP”+BP”=AP”+B'P”
æAB'”
y
4
P
A
-3
B'
-2
O
x5
3
B
이고
AB'”="√(-3-5)¤ +√(-2-4)¤ =10
따라서 AP”+BP”의 최솟값은 10이다. (cid:9000) 10
162
A
5 m
C
A'
P
12 m
B
4 m
D
B'
PA”+PB”=PA”+PB'”æAB'”이고
AB'”="√(5+4)¤ +12¤ =15(m)
따라서 PA”+PB”의 최솟값은 15 m이다.
(cid:9000) 15m
70
SOLUTION
QQ BBooxx
삼각형의 세 변의 길이
가 a, b, c일 때(단, c
는 가장 긴 변의 길이)
c¤ a¤ +b¤
(cid:8857) 둔각삼각형
밑면의 반지름의 길이
가 r, 높이가 h인 원뿔
의 부피 (cid:8857) ;3!;pr¤ h
163 ⑴ x="√(2'3 )¤ +4¤ +6¤ =8
⑵ x="√2¤ +4¤ +6¤ =2'1å4(cid:100)(cid:100)
⑶ "√x¤ +5¤ +4¤ =3'1å0이므로 x¤ =49
(cid:100) ∴ x=7 (∵ x>0)
⑷ "√3¤ +3¤ +x¤ =6이므로 x¤ =18
∴ x=3'2 (∵ x>0)
(cid:9000) ⑴ 8 ⑵ 2'1å4 ⑶ 7 ⑷ 3'2
164 ⑴ x='3_8=8'3
⑵ x='3_3'3=9
⑶ '3x=2'3에서 x=2
⑷ '3x=12에서 x=4'3
(cid:9000) ⑴ 8'3 ⑵ 9 ⑶ 2 ⑷ 4'3
165 (cid:9000) 10, 6, 8, 6, 8, 96p
166 ⑴ (높이)="√15¤ -9¤ =12(cm)
⑵ (부피)=;3!;_p_9¤ _12=324p(cm‹ )
⑵ (높이)="√(4'2 )¤ -(2'3)¤ =2'5(cm)
⑵ (부피)=;3!;_p_(2'3)¤ _2'5
⑵ (부피)=8'5 p(cm‹ )
(cid:9000) ⑴ 12 cm, 324p cm‹
⑵ 2'5 cm, 8'5 p cm‹
167 ⑴ 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
⑵ pr¤ =36p(cid:100)(cid:100)∴ r=6 (∵ r>0)
⑵ ∴ (높이)="√8¤ -6¤ =2'7(cm)
⑵ 밑면의 반지름의 길이는
⑵ "√12¤ -9¤ =3'7(cm)
⑵ ∴ (부피)=;3!;_p_(3'7)¤ _9=189p(cm‹ )
(cid:9000) ⑴ 2'7 cm ⑵ 189p cm‹
168 (cid:9000) 8'2, 4'2, 4'2, 4'2, 8, 4'2,
256'2
3
정사각뿔의 꼭짓점에서 밑
면에 내린 수선의 발은 밑
면인 정사각형의 두 대각선
의 교점이다.
169 ⑴ BD”='2_2=2'2
⑵ BH”=;2!;_2'2='2
⑶ OH”="√('6)¤ -('2)¤ =2
⑷ ;3!;_2¤ _2=;3*;
(cid:9000) ⑴ 2'2 ⑵ '2 ⑶ 2 ⑷ ;3*;
170 h="√5¤ -(2'2 )¤ ='∂17
V=;3!;_4¤ _'∂17=
16'∂17
3
(cid:9000) h='∂17, V=
16'∂17
3
¤
3하표준워크해설Ⅴ(062~074) 2015.1.30 9:3 PM 페이지71 SinsagoHitec
171 밑면의 가로, 세로의 길이와 높이를 각각 3k, 4k,
179 BD”=BG”=DG”=12'2
5k (k>0)라 하면
"√(3k)¤ +(4k√)¤ +(5k)¤ =5'2
50k¤ =50, k¤ =1(cid:100)(cid:100)∴ k=1
따라서 가로의 길이는 3이다.
(cid:9000) ①
172 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'2a='6(cid:100)(cid:100)∴ a='3
∴ AG”='3_'3=3(cm)
173 DH”=a cm라 하면
"√4¤ +6¤ +a¤ =6'2
a¤ =20(cid:100)(cid:100)∴ a=2'5 (∵ a>0)
이때 FH”="√4¤ +6¤ =2'1å3(cm)이므로
(cid:8772)BFHD=2'1å3_2'5=4'6å5(cm¤ )
(cid:9000) 4'6å5cm¤
174 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'3 a=4'6(cid:100)(cid:100)∴ a=4'2
따라서 구의 반지름의 길이는 2'2 cm이므로 겉
넓이는
4p_(2'2)¤ =32p(cm¤ )
(cid:9000) 32p cm¤
175 EG”='2_6=6'2(cm)
AG”='3_6=6'3(cm)
△AEG에서 AE”_EG”=AG”_EI”이므로
6_6'2=6'3_EI”(cid:100)(cid:100)∴ EI”=2'6(cm)
(cid:9000) ⑤
176 AF”="√4¤ +8¤ =4'5
DF”="√8¤ +8¤ +4¤ =12
△AFD에서 AF”_AD”=DF”_AI”이므로
4'5_8=12_AI”(cid:100)(cid:100)∴ AI”=
8'5
3
(cid:9000)
8'5
3
177 BD”=FH”="√(5'2)¤ +(5'2)¤ =10(cm)이므로
FO”=HO”=5(cm)
∴ BO”=DO”=øπ5¤ +(5'2)¤ =5'3(cm)
따라서 △BOD의 둘레의 길이는
10+2_5'3=10(1+'3)(cm)
178 AC”=AF”=CF”
AC”="√8¤ +8¤ =8'2(cm)
△AFC는 한 변의 길이가
8'2 cm인 정삼각형이므로
'3
FM”= _8'2
2
=4'6(cm)
(cid:9000) 10(1+'3)cm
A
8`cm
M
D
E
H
C
G
B
F
(cid:9000) 4'6cm
QQ BBooxx
(cid:9000) ②
(삼각뿔 C-BGD의 부피)
=;3!;_(△BGD의 넓이)
_CI”
즉 △BGD는 정삼각형이므로
'3
4
△BGD= _(12'2 )¤ =72'3
삼각뿔 D-BGC의 부피는
;3!;_{;2!;_12_12}_12=288
;3!;_72'3_CI”=288(cid:100)(cid:100)∴ CI”=4'3 (cid:9000) ①
180 원뿔의 모선의 길이는 øπ(4'2)¤ +2¤ =6(cm)
원뿔의 전개도에서 부채꼴의 중심각의 크기를
x°라 하면
2p_6_
=2p_2(cid:100)(cid:100)∴ x=120
x
360
W
O
R
K
B
O
O
K
(cid:9000) ④
181 회전체는 원뿔이고, 원뿔의 밑면의 반지름의 길
이는 "√17¤ -15¤ =8(cm)
따라서 구하는 부피는
;3!;_p_8¤ _15=320p(cm‹ )
(cid:9000) ⑤
반지름의 길이가 r인
구의 겉넓이 (cid:8857) 4pr¤
한 변의 길이가 a인 정
사각형의 대각선의 길이
(cid:8857) '2a
한 모서리의 길이가 a
인 정육면체의 대각선
의 길이
(cid:8857) '3a
원뿔의 전개도에서 부채꼴
의 호의 길이와 밑면인 원
의 둘레의 길이는 같다.
중심각의 크기가 x°이
고 반지름의 길이가 r
인 부채꼴의 호의 길이
x
360
(cid:8857) 2pr_
182 ;3!;
_p_('5 )¤ _h= p
25
3
∴ h=5
∴ AB”=øπ('5)¤ +5¤
='∂30(cm)
183 (높이)="√16¤ -4¤ =4'1å5(cm)
∴ (부피)=;3!;_p_4¤ _4'1å5
64'1å5
3
∴ (부피)=
p(cm‹ )
A
h cm
C
B
O
'5 cm
(cid:9000) '∂30 cm
(cid:9000) ④
2pr=2p_8_
184 밑면인 원의 반지름의 길이를 rcm라 하면
135
360
(높이)="√8¤ -3¤ ='∂55 (cm)이므로
(부피)=;3!;_p_3¤ _'∂55=3'∂55p(cm‹ )
(cid:100)(cid:100)∴ r=3
(cid:9000) 3'∂55p cm‹
185 옆면의 전개도인 부채꼴의 반지름의 길이를
r cm라 하면
90
360
2pr_
=2p_3(cid:100)(cid:100)∴ r=12
(높이)="√12¤ -3¤ =3'1å5(cm)이므로
(부피)=;3!;_p_3¤ _3'1å5=9'1å5 p(cm‹ )
(cid:9000) 9'∂15 p cm‹
Ⅴ. 피타고라스 정리 71
3하표준워크해설Ⅴ(062~074) 2015.1.30 9:3 PM 페이지72 SinsagoHitec
WORK BOOK
QQ BBooxx
186 AB”="“10¤ -8¤ =6
따라서 단면의 넓이는 p_6¤ =36p
(cid:9000) 36p
187 단면인 원의 반지름의 길이를 rcm라 하면
pr¤ =36p, r¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ r=6 (∵ r>0)
따라서 구의 반지름의 길이는
"√6¤ +4¤ =2'1å3(cm)
(cid:9000) ④
188 △OBH에서 OH”="√6¤ -(3'3 )¤ =3(cm)
∴ AH”=AO”+OH”=6+3=9(cm)
따라서 △ABH에서
AB”="√(3'3 )¤ +9¤ =6'3 (cm)
(cid:9000) 6'3 cm
189 AH”=øπ8¤ -(4'2 )¤ =4'2이므로
(부피)=2_{;3!;_8¤ _4'2}=
512'2
3
(cid:9000) ⑤
190 점 O에서 밑면에 내린
수선의 발을 H라 하면
ON”=OM”
'3
= _6=3'3
2
OH”="√(3'3 )¤ -3¤
=3'2
O
6
D
N
A
M
B
H
C
∴ △OMN=;2!;_6_3'2=9'2
(cid:9000) 9'2
191 ① AC”='2_10=10'2(cm)
② CH”=;2!;AC”=5'2(cm)이므로
② OH”="√10¤ -(5'2)¤ =5'2(cm)
② ∴ △OAC=;2!;_10'2_5'2=50(cm¤ )
④ (정사각뿔 O-ABCD의 부피)
② =;3!;_10_10_5'2
② =
500'2
3
(cm‹ )
⑤ (정사각뿔 O-ABCD의 겉넓이)
② =(cid:8772)ABCD+4△OAB
'3
4
② =100+4_{ _10¤ }
② =100(1+'3 )(cm¤ )
72
SOLUTION
구를 평면으로 자른 단면은
원이다.
△ODC에서
OP”=PD”, OQ”=QC”이므
로 삼각형의 두 변의 중점
을 연결한 선분의 성질에
의하여
PQ”∥DC”, PQ”=;2!; DC”
192 AP”=BQ”= _4
'3
2
=2'3(cm)
PQ”=;2!; DC”=2(cm)
두 점 P, Q에서 AB”에
내린 수선의 발을 각각
H, H'이라 하면
O
P
D
4 cm
Q
C
A
H
H'
B
HH'”=PQ”=2 cm, AH”=BH'”=1cm이므로
△PAH에서 PH”=øπ(2'3 )¤ -1¤ ='1å1(cm)
∴ (cid:8772)PABQ=;2!;_(2+4)_'1å1=3'å1å1(cm¤ )
(cid:9000) 3'å1å1 cm¤
193 (cid:9000) 3'3, 2'3, 2'3, 2'6, 6, 2'6, 18'2
정팔면체는 모든 모서리의
길이가 같은 정사각뿔 2개
를 붙여 놓은 모양이다.
모든 모서리의 길이가 8인
정사각뿔의 부피
194 ⑴ DM”= _2'3=3
'3
2
⑵ DH”=;3@; DM”=;3@; _3=2
⑶ AH”="√(2'3 )¤ -2¤ =2'2
'3
⑷ △BCD= _(2'3 )¤ =3'3
4
⑸ ;3!;_3'3_2'2=2'6
(cid:9000) ⑴ 3 ⑵ 2 ⑶ 2'2 ⑷ 3'3 ⑸ 2'6
한 모서리의 길이가 a
인 정사면체에서
(높이)= a
(부피)= a‹
'6
3
'2
12
195 ⑴ 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'6
3
a=4'3(cid:100)(cid:100)∴ a=6'2
⑵ 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'2
12
a‹ =
16'2
3
, a‹ =64(cid:100)(cid:100)∴ a=4
(cid:9000) ⑴ 6'2 cm ⑵ 4 cm
196 ⑴
4
C
3
D
H
G
⑵ BH”="√(4+3)¤ +3¤ ='5å8
(cid:9000) ⑴ 풀이 참조 ⑵ '5å8
197 ⑴
6π
B
B
3
F
6π
A
원기둥의 전개도에서 옆면
의 가로의 길이는 밑면인
원의 둘레의 길이와 같다.
(뿔의 겉넓이)
=(밑넓이)+(옆넓이)
(cid:9000) ②
⑵ AB”="√(6p)¤ +(6p)¤ =6'2p
(cid:9000) ⑴ 풀이 참조 ⑵ 6'2p
3하표준워크해설Ⅴ(062~074) 2015.1.30 9:3 PM 페이지73 SinsagoHitec
QQ BBooxx
198 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'2
12
9'2
4
a‹ =
, a‹ =27(cid:100)(cid:100)∴ a=3
따라서 구하는 정사면체의 높이는
'6
3
_3='6(cm)
(cid:9000) ③
199 DM”=;2#; DH”=;2#;_2'6=3'6(cm)
정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'3
2
a=3'6(cid:100)(cid:100)∴ a=6'2
DH” : DM”=2 : 3에서
2DM”=3DH”
∴ DM”=;2#; DH”
따라서 구하는 부피는
'2
12
_(6'2)‹ =72(cm‹ )
'6
200 OH”= _9=3'6
3
(cid:9000) 72 cm‹
△ABC에서 CD”= _9=
이므로
'3
2
9'3
2
CH”=;3@;_
9'3
2
=3'3
△OHC에서 OC”_HE”=OH”_HC”이므로
9HE”=3'6_3'3(cid:100)(cid:100)∴ HE”=3'2
(cid:9000) 3'2
201 EH”=;3!; DE”=;3!;_{ _12}=2'3(cm)
'3
2
AH”= _12=4'6(cm)
'6
3
∴ △AEH=;2!;_2'3_4'6=12'2(cm¤ )
(cid:9000) 12'2 cm¤
202 CH”=;3@; CM”=;3@;_{ _4}=
'3
2
4'3
3
(cm)
'6
OH”= _4=
3
(cm)
4'6
3
4'3
3
∴ △OHC=;2!;_
_
4'6
3
=
8'2
3
(cm¤ )
(cid:9000) ②
203 점 H는 △BCD의 무게중심이므로
'3
4
△BMH=;6!;△BCD=;6!;_[ _(3'2)¤ ]
△BMH=
3'3
4
AH”= _3'2=2'3
'6
3
∴ (삼각뿔A-BMH의부피)=;3!;_
3'3
4
_2'3
∴ (삼각뿔A-BMH의부피)=;2#;
(cid:9000) ③
정사면체의 꼭짓점에서 밑
면에 내린 수선의 발은 밑
면의 무게중심이다.
삼각형의 무게중심은 세 중
선의 교점이고 세 중선에
의하여 삼각형의 넓이는 6
등분된다.
입체도형에서 최단 거리
(cid:8857) 선이 지나는 면의
전개도를 그려 본다.
W
O
R
K
B
O
O
K
204 MC”=MD”
'3
= _8
2
=4'3(cm)
A
M
B
D
H
C
점 M에서 CD”에 내린 수
8`cm
선의 발을 H라 하면
CH”=DH”=4(cm)이므로
MH”=øπ(4'3 )¤ -4¤
=4'2(cm)
∴ △MCD=;2!;_8_4'2
=16'2(cm¤ )
205 AN”, DN”을 그으면
△AND는 이등변삼각형
이므로
B
N
AN”=DN”
'3
= _6
2
=3'3(cm)
AM”=DM”=3(cm)
∴ MN”=øπ(3'3 )¤ -3¤ =3'2(cm)
(cid:9000) 16'2cm¤
6 cm
M
D
A
C
(cid:9000) ③
206 ⑴ 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에
의하여
MN”=;2!; BC”=2(cm)
'3
AM”=AN”= _4=2'3(cm)
2
따라서 △AMN의 둘레의 길이는
2+2'3+2'3=2+4'3(cm)
⑵ 점 A에서 MN”에 내린 수
A
2Â3`cm
M
1`cm
H
N
선의 발을 H라 하면
MH”=NH”=1(cm)
△AMH에서
AH”=øπ(2'3 )¤ -1¤
='1å1(cm)
따라서 △AMN의 넓이는
;2!;_2_'1å1='1å1(cm¤ )
(cid:9000) ⑴ (2+4'3 )cm ⑵ '1å1 cm¤
207 오른쪽 전개도에서 최단
거리는 DE”이므로
DE”="√8¤ +(3+4+3)¤
=2'∂41(cm)
A
B
F
E
8 cm
D
3 cm
C
4 cm
G
3 cm
H
(cid:9000) 2'4ß1cm
Ⅴ. 피타고라스 정리 73
3하표준워크해설Ⅴ(062~074) 2015.1.30 9:3 PM 페이지74 SinsagoHitec
WORK BOOK
QQ BBooxx
214 원뿔의 옆면의 전개도에서
중심각의 크기를 x°라 하면
x
360
2p_12_
=2p_3
∴ x=90
12
A
OO
6
M
A'
OM”=;2!; OA”=6이므로
(최단 거리)=AM”="√12¤ +6¤ =6'5
215 오른쪽 전개도에서
∠MAC=30°,
∠CAD=60°이므로
△AMD는 직각삼각형
이다.
4 cm
A
60æ
B
30æ
M
C
'3
2
AM”= _4=2'3(cm)이므로
(최단 거리)=MD”
=øπ(2'3 )¤ +4¤
=2'7(cm)
(cid:9000) ④
D
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
정사면체의 모든 면은 정삼
각형이다.
밑면인 원의 둘레의 길이는
전개도에서 AA'”의 길이와
같다.
208 AC”=øπ('5)¤ +2¤ =3(cm)
따라서 오른쪽 전개도
B
C
A
에서 최단 거리는 AE”
이므로
AE”="√(3+2)¤ +5¤
=5'2(cm)
5`cm
F
E
2`cm
D
3`cm
(cid:9000) 5'2cm
209 오른쪽 전개도에서 최단
거리는 AM”이므로
AM”="√(5+6)¤ +2¤
A
5
D
6
H
2
M
B
C
G
=5'5
2Â2π`cm
A'
B'
4π`cm
13`cm
(cid:9000) ⑤
A'
3`cm
M'
B'
(cid:9000) ③
E
3p cm
A
(cid:9000) 3'5p cm
210 오른쪽 전개도에서 최
단 거리는 A'B”이므로
A'B”
=øπ(4p)¤ +(2'2p)¤
=2'6p(cm)
211 오른쪽 전개도에서
A’M'”=MÚB'”
=13(cm)
∴ A’A'”="√13¤ -3¤
=4'∂10(cm)
A
B
A
M
B
212 오른쪽 전개도에서
CA”=;4#;E'E”
E'
8p cm
A'
C
DB
CE=;4#;_8p
CE=6p(cm)
∴ EC”="√(6p)¤ +(3p)¤ =3'5p(cm)
213 원뿔의 옆면의 전개도에서 부채꼴의 중심각의
크기를 x°라 하면
2p_15_
=2p_5(cid:100)(cid:100)∴ x=120
x
360
O
H
60æ
15cm
A
A'
△OHA에서
15 : HA”=2 : '3
∴ HA”=
(cm)
15'3
2
∴ (최단 거리)=A'A”
=2HA”
=15'3(cm)
(cid:9000) 15'3 cm
74
SOLUTION
3하표준워크해설Ⅵ(075~082) 2015.2.2 2:47 PM 페이지75 SinsagoHitec
Ⅵ
삼각비
1
삼각비
p
40~47
216 AC”="√8¤ +15¤ =17
(cid:9000) ⑴ ;1!7%; ⑵ ;1•7; ⑶ ;;¡8∞;; ⑷ ;1•7; ⑸ ;1!7%; ⑹ ;1•5;
217 ⑴ sin A=
= = (cid:100)(cid:100)∴ x=5'3
'3
2
⑵ cos A=
= (cid:100)(cid:100)∴ AC”=4
=
x
10
BC”
AC”
AC”
AC”
6
AB”
∴ x="√6¤ -4¤ =2'5
BC”
2
AB”
AB”
∴ x="√6¤ +2¤ =2'∂10
=
2
3
1
3
⑶ tan A=
= (cid:100)(cid:100)∴ AB”=6
(cid:9000) ⑴ 5'3 ⑵ 2'5 ⑶ 2'∂10
218 ⑴ (주어진 식)= - =0
'3
2
'2
2
'3
2
'2
2
⑵ (주어진 식)= + ='2
⑶ (주어진 식)=1+ =
1
2
3
2
⑷ (주어진 식)='3÷ =2'3
'3
2
⑸ (주어진 식)={
1
2
¤ +{
}
'3
2
219 ⑴ (주어진 식)= _'3÷ ='3
1
2
'3
2
⑶ (주어진 식)= + -1=0
1
2
'3
⑵ (주어진 식)= -1_ =0
2
1
2
'3
⑷ (주어진 식)= _ + ÷
3
1
2
'3
2
⑷ (주어진 식)= +'2
'3
2
'2
2
'3
2
1
2
⑸ (주어진 식)= _'3- _ =1
1
2
'3
3
1
2
(cid:9000) ⑴ '3 ⑵ 0 ⑶ 0 ⑷ +'2 ⑸ 1
220 (cid:9000) ⑴ 60°(cid:100)⑵ 30°(cid:100)⑶ 45°
⑷ 30°(cid:100)⑸ 60°(cid:100)⑹ 45°
cos 30°= = (cid:100)(cid:100)∴ y=
x
221 ⑴ sin 30°= =;2!;(cid:100)(cid:100)∴ x=;2&;
7
y
7
3
x
y
3
'3
2
'2
⑵ cos 45°= = (cid:100)(cid:100)∴ x=3'2
2
tan 45°= =1(cid:100)(cid:100)∴ y=3
7'3
2
QQ BBooxx
⑶ tan 60°= ='3(cid:100)(cid:100)∴ x=8'3
cos 60°= =;2!;(cid:100)(cid:100)∴ y=16
피타고라스 정리를 이용하
여 AC”의 길이를 구한다.
⑷ tan 45°=
=1(cid:100)(cid:100)∴ x=4'2
x
8
8
y
4'2
x
4'2
y
x
6'3
6'3
y
sin 45°=
= (cid:100)(cid:100)∴ y=8
⑸ tan 30°=
= (cid:100)(cid:100)∴ x=6
cos 30°=
= (cid:100)(cid:100)∴ y=12
'2
2
'3
3
'3
2
(cid:9000) ⑴ x=;2&;, y=
7'3
2
(cid:9000) ⑶ x=8'3, y=16 ⑷ x=4'2, y=8
(cid:9000) ⑸ x=6, y=12
⑵ x=3'2, y=3
W
O
R
K
B
O
O
K
피타고라스 정리를 이용하
여 나머지 한 변의 길이를
구한다.
222 AC”="√10¤ -6¤ =8
① sin A=;5#;
② sin B=;5$;
④ tanA=;4#;
⑤ tan B=;3$;
(cid:9000) ③
223 AB”='5k, AC”=k (k>0)라 하면
BC”="√('5k)¤ -k¤ =2k이므로
tan A=
BC”
AC”
AC”
AB”
2k
= =2
k
k
'5k
=
=
sin B=
∴ tan A_sin B=2_ =
'5
5
'5
5
2'5
5
224 △ABD에서 AB”="√13¤ -5¤ =12
△ABC에서 BC”="√20¤ -12¤ =16
∴ sin A=
16
= =
20
4
5
BC”
AC”
tan B=2를 이용하여 AB”
의 길이를 구한다.
225 tan B=
AC”
AB”
=
4
AB”
=2이므로
AB”=2
∴ BC”="√2¤ +4¤ =2'5
'3
sin A= 을 이용하여
3
BC”의 길이를 구한다.
226 sin A=
BC”
AB”
=
BC”
12
= 이므로
'3
3
BC”=4'3(cm)
∴ AC”=øπ12¤ -(4'3 )¤ =4'6(cm)
∴ △ABC=;2!;_4'3_4'6=24'2(cm¤ )
(cid:9000)
2'5
5
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
(cid:9000) 24'2 cm¤
Ⅵ. 삼각비 75
(cid:9000) ⑴ 0 ⑵ '2 ⑶ ⑷ 2'3 ⑸
3
2
¤ =
}
3
2
3
2
sin¤ 60°+cos¤ 30°
=(sin 60°)¤ +(cos 30°)¤
¤ +{
}
={
}
'3
2
'3
2
”
”
¤
”
3하표준워크해설Ⅵ(075~082) 2015.1.30 9:9 PM 페이지76 SinsagoHitec
WORK BOOK
227 cos A=
AB”
AC”
=
5
AC”
= 이므로
'5
3
AC”=3'5(cm)
∴ BC”=øπ(3'5 )¤ -5¤ =2'5(cm)
∴ cos C=
=
=;3@;
BC”
AC”
2'5
3'5
228 오른쪽 그림에서
AB”="√4¤ +3¤ =5이므로
BC”
AB”
sin A=
=;5$;
cos A=
AC”
AB”
=;5#;
B
4
∴ sin A-cos A=;5$;-;5#;=;5!;
(cid:9000) ;5!;
229 오른쪽 그림에서
AC”="√3¤ -1¤ =2'2
∴ tan A=
BC”
AC”
1
2'2
=
=
'2
4
3
90æ-A
B
C
1
(cid:9000) ①
230 △ABCª△EDC (AA 닮음)이므로
∠B=∠CDE=x
△ABC에서 AC”="√12¤ -6¤ =6'3
∴ tanx=tan B=
AC”
AB”
=
6'3
6
='3
(cid:9000) ④
A
3
C
A
(cid:9000) ⑤
QQ BBooxx
'5
cos A= 를 이용하여
3
AC”의 길이를 구한다.
cos B=cos(∠AED)
cos C=cos(∠ADE)
△DFH는 ∠DHF=90°
인 직각삼각형이다.
233 △ABCª△AED (AA 닮음)이므로
∠C=∠ADE
△ADE에서 AE”="√8¤ -4¤ =4'3이므로
4'3
cosB=
8
'3
2
=
=
AE”
DE”
AD”
DE”
cosC=
∴
cosB
cosC
=;8$;=;2!;
'3
2
= ÷;2!;='3
(cid:9000) ⑤
234 정육면체의 부피가 27=3‹ 이므로 한 모서리의 길
이는 3이다.
FH”="√3√
DF”="√3√
cos x=
tan x=
¤ +3¤ =3'2,
¤ +3¤ +3¤ =3'3이므로
3'2
FH”
3'3
DF”
3
DH”
3'2
FH”
=
=
=
=
'6
3
'2
2
'2
2
'6
3
∴ cos x_tan x= _ =
'3
3
(cid:9000) '3
3
한 변의 길이가 a인 정
삼각형의 높이
(cid:8857) a'3
2
∠A=∠DEC=90°,
∠C는 공통이므로
△ABCª△EDC
235 ON”을 그으면 △OAB, △ODC는 정삼각형이므로
'3
OM”=ON”= _4=2'3
2
점 O에서 MN”에 내린
수선의 발을 H라 하면
MH”=NH”=;2!; MN”
=2
O
2Â3
2Â3
M
x
2
H
2
N
(cid:9000) '3
(AA 닮음)
∴ 3 cosx=3_
2
2'3
='3
231 △ABC에서 BC”="1√2¤ +≈5¤ =13
∠C=90°-y=x, ∠B=90°-x=y이므로
cos x=cos C=
cos y=cos B=
AC”
BC”
AB”
BC”
=;1∞3;
=;1!3@;
∴ cos x+cos y=;1∞3;+;1!3@;=;1!3&;
(cid:9000) ②
정사면체의 꼭짓점에서
밑면에 내린 수선의 발
은 밑면의 무게중심과
일치한다.
'3
236 BM”= _6=3'3
2
점 A에서 BM”에 내린 수
선의 발을 H라 하면
BH”=;3@; BM”=;3@;_3'3
=2'3
∴ cos x=
∴ cos x=
BH”
AB”
2'3
6
=
'3
3
A
6
B
x
2Â3
M
H
Â3
(cid:9000) '3
3
237 (주어진 식)= _;2!;+ ÷
'3
2
'3
2
'3
3
'3
6
238 (주어진 식)= _'3-{ _ }÷;2!;
'2
2
'2
2
'3
2
¤ +8¤ =10이므로
(주어진 식)= +1
(cid:9000) ⑤
∴ cos x+sin x=;5$;+;5#;=;5&;
(cid:9000) ;5&;
=;2#;-1=;2!;
(cid:9000) ;2!;
232 △ABDª△HBA (AA 닮음)이므로
∠ADB=∠HAB=x
△ABD에서 BD”="√6√
AD”
cos x=
BD”
=;1•0;=;5$;
sin x=
AB”
BD”
=;1§0;=;5#;
76
SOLUTION
3하표준워크해설Ⅵ(075~082) 2015.1.30 9:9 PM 페이지77 SinsagoHitec
QQ BBooxx
예각의 삼각비의 값을 구할
때, sin, cos은 빗변의 길
이가 1인 직각삼각형을,
tan는 밑변의 길이가 1인
직각삼각형을 이용한다.
246 ⑴ sin x=
BC”
AC”
=
BC”
1
AB”
AC”
DE”
AD”
=
=
AB”
1
DE”
1
=BC”
=AB”
=DE”
⑵ cos x=
⑶ tan x=
242 △ADC에서 sin 60°=
AD”
8
'3
2
= 이므로
△AOB에서
∠OAB=90°-46°=44°
239 tan 45°=1이므로 x-15°=45°
∴ x=60°
∴ sin 60°_cos60°= _;2!;=
'3
2
'3
4
(cid:9000) ②
240 sin 30°=;2!;이므로 2x-30°=30°
2x=60°(cid:100)(cid:100)∴ x=30°
∴ sin x+cos2x=sin30°+cos60°
=;2!;+;2!;=1
(cid:9000) 1
241 △ACD에서 cos30°=
AC”=6'3(cm)
△ABC에서 cos30°=
= 이므로
AC”
12
AB”
6'3
'3
2
'3
2
= 이므로
AB”=9(cm)
(cid:9000) 9cm
AD”=4'3(cm)
△ABD에서 sin 45°=
AB”=4'6 (cm)
4'3
AB”
= 이므로
'2
2
(cid:9000) ⑤
243 △BCD에서 sin 45°=
= 이므로
△ABC에서 sin 60°=
= 이므로
BC”
10
5'2
AC”
'2
2
'3
2
BC”=5'2
AC”=
10'6
3
244 '3x-3y+6=0에서 y= x+2이므로 직선의
'3
3
기울기는
이다.
'3
3
'3
3
직선이 x축과 이루는 예각의 크기를 a라 하면
tan a= (cid:100)(cid:100)∴ a=30°
(cid:9000) ②
245 직선 y=2x+2의 x절편이
-1, y절편이 2이므로
y
B
2
오른쪽 그림에서
A(-1, 0), B(0, 2)
AB”="√1¤ +2¤ ='5
2
OB”
sin a=
= =
'5
AB”
1
OA”
= =
'5
AB”
∴ sin a-cos a=
cos a=
2'5
5
'5
5
A
a
O-1
y=2x+2
x
2'5
5
'5
- =
5
'5
5
(cid:9000) '5
5
(cid:9000) ②
직선 y=mx+n(m>0)
이 x축과 이루는 예각의
크기가 a이면
(cid:8857) tan a=m
y=2x+2에 y=0, x=0
을 각각 대입하면 x=-1,
y=2이므로 x절편은 -1,
y절편은 2이다.
(cid:9000) ⑴ BC” ⑵ AB” ⑶ DE”
y
1.0355
1
0.7193
C
A
44æ
O
46æ
B D
1
0.6947
x
W
O
R
K
B
O
O
K
247 ⑴ sin 46°=
AB”
OA”
=AB”
⑴ sin 46°=0.7193
⑵ cos 46°=
=OB”
⑵ cos 46°=0.6947
⑶ tan 46°=
=CD”
⑶ tan 46°=1.0355
OB”
OA”
CD”
OD”
OB”
OA”
⑸ cos 44°=
⑷ sin 44°=
=OB”=0.6947
=AB”=0.7193
AB”
OA”
(cid:9000) ⑴ 0.7193 ⑵ 0.6947 ⑶ 1.0355
⑷ 0.6947 ⑸ 0.7193
248 ⑴ (주어진 식)=0+0=0
'3
2
⑵ (주어진 식)=1_ =
'3
2
⑶ (주어진 식)=1÷1=1
⑷ (주어진 식)=1+1+1=3
'2
⑸ (주어진 식)= _ -0=;2!;
2
⑹ (주어진 식)='3_1÷1='3
'2
2
(cid:9000) ⑴ 0 ⑵
⑶ 1 ⑷ 3 ⑸ ;2!; ⑹ '3
'3
2
249 ⑴ (주어진 식)=0- -1_'3=-
3'3
2
'3
2
'3
3
⑵ (주어진 식)='3_ _1-1=0
'2
⑶ (주어진 식)= _'3-0+0=
2
'6
2
⑷ (주어진 식)=1_1+;2!;_;2!;=;4%;
⑸ (주어진 식)=(1+1)÷;2!;=4
⑹ (주어진 식)=0¤ +0¤ =0
3'3
2
(cid:9000) ⑴ -
⑵ 0 ⑶
'6
2
⑷ ;4%; ⑸ 4 ⑹ 0
250 ⑷ sin 49°+cos 46°=0.7547+0.6947=1.4494
⑸ tan 48°-sin 50°=1.1106-0.7660=0.3446
(cid:9000) ⑴ 0.7314 ⑵ 0.6561 ⑶ 1.0355
⑷ 1.4494 ⑸ 0.3446
Ⅵ. 삼각비 77
3하표준워크해설Ⅵ(075~082) 2015.1.30 9:9 PM 페이지78 SinsagoHitec
WORK BOOK
QQ BBooxx
251 (cid:9000) ⑴ 24° ⑵ 22° ⑶ 25° ⑷ 25° ⑸ 21° ⑹ 23°
2
삼각비의 활용
p
48~56
252 ① sin x=
=AB”
AB”
OA”
AB”
OA”
=
=
AB”
1
AB”
1
⑤ cos y=
=AB”
(cid:9000) ①, ⑤
253 tan x=
CE”
AE”
=
CE”
1
=CE”
(cid:9000) ④
밑변의 길이가 1인 직각삼
각형을 찾는다.
'3
2
254 ㈀ cos 30°=
㈂ tan 45°=1
㈄ cos 90°=0
㈁ sin 45°=
'2
2
㈃ tan 60°='3
(cid:9000) ②
피타고라스 정리에 의하여
AC”=»‘AH”
¤ +CH”
255 cos 70°tan 45°=sin 90°
∴ cos 70°0)
따라서 원 O의 둘레의 길이는
2p_6=12p(cm)
(cid:9000) ③
O
H
C
A
D
B
323 중심 O에서 AB”에 내린 수
선의 발을 H라 하면
AB”⊥OH”이므로
AH”=;2!;AB”=4
CD”⊥OH”이므로
CH”=;2!; CD”=;2&;
324 ∠OQA=90°이므로
△OAQ에서
AQ”="‘7¤ -3¤ =2'∂10
∴ AB”=2AQ”=4'∂10
325 현 AB와 작은 원의 접점
을 M이라 하면
OM”⊥AB”이므로
BM”=;2!; AB”=6(cm)
A
O
x cm
y cm
M
12 cm
B
84
SOLUTION
OB”=xcm, OM”=ycm라 하면
△OMB에서 x¤ -y¤ =6¤
∴ (색칠한 부분의 넓이)=p_x¤ -p_y¤
=p(x¤ -y¤ )
=36p(cm¤ )
(cid:9000) 36p cm¤
326 AM”=;2!; AB”=4(cm)
△OAM에서 OM”="√5¤ -4¤ =3(cm)
CD”=AB”이므로 ON”=OM”=3(cm) (cid:9000) ④
327 중심 O에서 CD”에 내린
수선의 발을 N이라 하면
AB”=CD”이므로
ON”=OM”=4
△OND에서
DN”="√8¤ -4¤ =4'3
CD”=2DN”=8'3이므로
△OCD=;2!;_8'3_4=16'3
B
A
D
M
4
O
N
8
C
(cid:9000) 16'3
328 OM”=ON”이므로 CD”
∴ DN”=;2!;CD”=6
”=AB”=12
△OND에서 OD”=
DN”
cos 60°
=12
따라서 원 O의 둘레의 길이는
2p_12=24p
329 OM”=ON”이므로 AB”=AC”
즉 △ABC는 이등변삼각형이므로
∠BAC=180°-2_65°=50°
(cid:8772)AMON에서 ∠OMA=∠ONA=90°이므로
∠MON=360°-(90°+90°+50°)=130°
(cid:9000) 24p
(cid:9000) ④
(cid:9000) 60°
331 (cid:8772)OMCN에서 ∠OMC=∠ONC=90°이므로
∠MCN=360°-(90°+90°+110°)=70°
OL”=ON”이므로 AB”=AC”
즉 △ABC가 이등변삼각형이므로
∠BAC=180°-2_70°=40°
(cid:9000) ③
∴ AC”=AH”-CH”=;2!;
(cid:9000) ;2!;
이등변삼각형의 두 밑
각의 크기는 같다.
7
A
O
3
Q
4
P
B
(cid:9000) ③
OA”=OP”=OQ”+PQ”
=3+4=7
330 OL”=OM”=ON”이므로 AB”=BC”=CA”
즉 △ABC는 정삼각형이므로 ∠ABC=60°
¤
”
3하표준워크해설Ⅶ(083~096) 2015.1.30 9:11 PM 페이지85 SinsagoHitec
QQ BBooxx
AE”=AF”=3
338 ⑴ CD”=CE”=11-3=8, BD”=BF”=9이므로
x=9+8=17
⑵ BD”=BF”=17-8=9이므로
x=CD”=15-9=6
(cid:9000) ⑴ 17 ⑵ 6
332 ⑴ ∠x=360°-(90°+90°+50°)=130°
⑵ ∠x=360°-(90°+90°+115°)=65°
⑶ ∠AOB=360°-210°=150°
∴ ∠x=360°-(90°+90°+150°)=30°
(cid:9000) ⑴ 130° ⑵ 65° ⑶ 30°
333 ⑴ x="√13¤ -5¤ =12
⑵ x="√2¤ +6¤ =2'∂10
⑶ x="√9¤ -5¤ =2'∂14
(cid:9000) ⑴ 12 ⑵ 2'∂10 ⑶ 2'∂14
334 ⑴ OT”=3, OP”=6이므로
x="√6¤ -3¤ =3'3
⑵ OT”=x이므로
(x+9)¤ =x¤ +15¤ , 18x=144
∴ x=8
⑶ OA”=4이므로
(x+4)¤ =(4'3)¤ +4¤ , x¤ +8x-48=0
(x+12)(x-4)=0
∴ x=4 (∵ x>0)
(cid:9000) ⑴ 3'3 ⑵ 8 ⑶ 4
335 ⑵ PA”=PB”=4이므로 △APO에서
x="√4¤ +3¤ =5
⑶ △OPB에서 PB”="√7¤ -5¤ =2'6
∴ x=PB”=2'6
(cid:9000) ⑴ 8 ⑵ 5 ⑶ 2'6
336 ⑴ PB”=PA”=x이므로 △OPB에서
x¤ +3¤ =8¤ (cid:100)(cid:100)∴ x='∂55 (∵ x>0)
⑵ PA”=PB”=2'∂14이므로 △AOP에서
(x+4)¤ =x¤ +(2'∂14 )¤ , 8x=40
∴ x=5
⑶ PB”=PA”=4'2이므로 △OPB에서
(x+7)¤ =(4'2)¤ +7¤ , x¤ +14x-32=0
(x+16)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
(cid:9000) ⑴ '∂55 ⑵ 5 ⑶ 2
337 ⑴ PA”=PB”이므로
∠x=180°-2_55°=70°
⑵ ∠OAB=30°이므로
∠BAP=90°-30°=60°
PA”=PB”이므로
∠x=180°-2_60°=60°
⑶ PA”=PB”이므로
(cid:8772)ABCD가 원에 외접
한다.
(cid:8857) AB”+CD”
=AD”+BC”
∠OEB=∠OFB
=∠EBF
=90°
이고 EB”=BF”이므로
(cid:8772)OEBF는 정사각형이다.
반지름의 길이가 r, 중
심각의 크기가 x°인 부
채꼴의 호의 길이
(cid:8857) 2pr_
x
360
⑶ ∠BAP=;2!;_(180°-50°)=65°
⑶ ∠OAP=90°이므로 ∠x=90°-65°=25°
(cid:9000) ⑴ 70° ⑵ 60° ⑶ 25°
삼각형의 한 외각의 크
기는 그와 이웃하지 않
는 두 내각의 크기의
합과 같다.
W
O
R
K
B
O
O
K
339 ⑴ CE”=CD”=x이므로
AF”=AE”=3-x, BF”=BD”=4-x
AB”="√3¤ +4¤ =5이므로
5=(3-x)+(4-x)에서
2x=2(cid:100)(cid:100)∴ x=1
⑵ AC”="√13¤ -5¤ =12
AF”=AE”=x이므로
BD”=BF”=13-x, CD”=CE”=12-x
5=(13-x)+(12-x)에서
2x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=10
(cid:9000) ⑴ 1 ⑵ 10
340 ⑴ 4'3+3'3=x+5'3(cid:100)(cid:100)∴ x=2'3
⑵ 7+x=3+(5+5)(cid:100)(cid:100)∴ x=6
(cid:9000) ⑴ 2'3 ⑵ 6
341 ⑴ AH”=AE”=EB”=BF”=OF”=4
AB”+CD”=AD”+BC”이므로
8+10=(4+x)+12(cid:100)(cid:100)∴ x=2
⑵ HD”=DG”=GC”=CF”=x
AB”+CD”=AD”+BC”이므로
13+2x=(4+x)+15(cid:100)(cid:100)∴ x=6
(cid:9000) ⑴ 2 ⑵ 6
342 OT”를 그으면
∠OTP=90°이므로
△OPT에서
OT”=øπ(5'3 )¤ -7¤
='∂26(cm)
따라서 원 O의 넓이는
p_('∂26 )¤ =26p(cm¤ )
O
5Â3`cm
P
7`cm
T
(cid:9000) 26p cm¤
343 ∠OAP=∠OBP=90°이므로
∠AOB=360°-(90°+90°+45°)=135°
따라서 구하는 μAB의 길이는
2p_4_
135
360
=2p_4_;8#;=3p(cm)
(cid:9000) 3p cm
A
O 6Â3
30æ
60æ
B
T
P
344 OT”를 그으면
OT”=OA”=3'3,
∠OTP=90°
△OAT에서
∠OTA=∠OAT=30°
이므로 ∠POT=60°
따라서 △OTP에서
TP”=OT”tan 60°=3'3_'3=9
(cid:9000) ④
Ⅶ. 원의 성질 85
3하표준워크해설Ⅶ(083~096) 2015.1.30 9:11 PM 페이지86 SinsagoHitec
WORK BOOK
QQ BBooxx
∠OAP=∠OBP=90°,
OP”는 공통, OA”=OB”
∴ △APO™△BPO
(RHS 합동)
345 직각삼각형 APO에서
∠APO=90°-46°=44°
△APO™△BPO (RHS 합동)이므로
∠APB=2_44°=88°
(cid:9000) ④
346 OA”, OB”를 그으면
∠OAP=∠OBP=90°
또 ∠P=90°, PA”=PB”
이므로 (cid:8772)APBO는 정사각
형이다.
A
5
P
O
B
따라서 원 O의 반지름의 길이는
OA”=PA”=5
(cid:9000) 5
P
A
60æ
2 cm
O
120æ
B
347 OP”를 그으면
△AOP™△BOP
(RHS 합동)
이므로
∠AOP=;2!;_120°
=60°
직각삼각형 AOP에서
AP”=2tan 60°=2'3(cm)
∠APB=360°-(90°+90°+120°)=60°이고
PA”=PB”이므로 △ABP는 정삼각형이다.
따라서 △ABP의 둘레의 길이는
3_2'3=6'3(cm)
(cid:9000) 6'3cm
348 DT”=DB”=6이므로
CA”=CT”=9-6=3
점 C에서 BD”에 내린
수선의 발을 H라 하면
DH”=6-3=3
C
A
△DCH에서
CH”="√9¤ -3¤ =6'2
AO”=;2!; AB”=;2!; CH”=3'2
9
T
D
H
6
O
B
△OAP™△OBP
(RHS 합동)
이므로
∠AOP=∠BOP
=;2!;∠AOB
∴ (반원 O의 넓이)=;2!;_p_(3'2 )¤ =9p
349 CP”=CA”=3 cm,
DP”=DB”=5 cm이므로
CD”=CP”+DP”=3+5
=8(cm)
점 C에서 BD”에 내린 수
선의 발을 H라 하면
(cid:9000) ②
A
3`cm
C
P
O
H
B 5`cm
D
350 AD”=DE”=x cm
x cm
A
D
x cm
E
12 cm
O
9 cm
B
x cm
H
C
(9-x)cm
라 하면
이므로
CE”=BC”=9cm
DC”=(x+9)cm
점 D에서 BC”에 내
므로
CH”=(9-x)cm
린 수선의 발을 H라 하면 BH”=AD”=x cm이
DH”=AB”=12 cm이므로 △DHC에서
(x+9)¤ =(9-x)¤ +12¤
36x=144(cid:100)(cid:100)∴ x=4
(cid:9000) ③
351 AD”=AE”=15(cm)이므로
BF”=BD”=15-12=3(cm)
CF”=CE”=5(cm)이므로
BC”=BF”+CF”=3+5=8(cm)
(cid:9000) ④
352 CF”=CD”, BE”=BD”이므로
(△ABC의 둘레의 길이)
=AB”+BC”+CA”
=AB”+(BD”+CD”)+CA”
=AB”+(BE”+CF”)+CA”
=AE”+AF”=2AE”=14(cm)
(cid:9000) 14cm
353 PO”를 그으면
∠AOP=;2!;_120°
∠AOP=60°
A
C
E
6`cm
O
60æ
120æ
P
△APO에서
AP”=6tan 60°=6_'3
AP”=6'3(cm)
CE”=CA”, DE”=DB”이므로 △PDC의 둘레의
D
B
길이는
PD”+DC”+CP”=PD”+(DE”+CE”)+CP”
=PD”+(DB”+CA”)+CP”
=PB”+PA”=2PA”
=2_6'3=12'3 (cm) (cid:9000) ③
354 AF”=AD”=4(cm)
BC”=AB”, BE”=BD”이므로
CF”=CE”=BC”-BE”=AB”-BD”=4(cm)
∴ AC”=AF”+CF”=4+4=8(cm)
(cid:9000) ④
DH”=2 cm이므로 △CHD에서
CH”="√8¤ -2¤ =2'∂15(cm)
∴ △CBD=;2!;_5_2'∂15=5'∂15(cm¤ )
BH”=AC”=3 cm이므로
DH”=BD”-BH”
=5-3=2(cm)
355 AD”=AF”
”=x cm라 하면
BE”=BD”=(8-x)cm,
CE”=CF”=(9-x)cm
(8-x)+(9-x)=11이므로
(cid:9000) 5'1ß5 cm¤
2x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=3
(cid:9000) ④
86
SOLUTION
3하표준워크해설Ⅶ(083~096) 2015.1.30 9:11 PM 페이지87 SinsagoHitec
356 AP”=AR”=x cm라 하면
BQ”=BP”=(14-x)cm,
CQ”=CR”=(6-x)cm
(14-x)+(6-x)=10이므로
2x=10(cid:100)(cid:100)∴ x=5
∴ (△ADE의 둘레의 길이)=AP”+AR”
=2AP”=10(cm)
(cid:9000) 10cm
357 AB”="√10¤ -6¤ =8(cm)
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
AF”=AD”=(8-r)cm,
CF”=CE”=(6-r)cm
(8-r)+(6-r)=10(cid:100)(cid:100)∴ r=2
∴ (원 O의 넓이)=p_2¤ =4p(cm¤ )
(cid:9000) 4p cm¤
다른풀이
;2!;_6_8=;2!;_r_(8+6+10)이므로
12r=24(cid:100)(cid:100)∴ r=2
A
3 cm 3 cm
D
F
O
9 cm
B
9 cm
x cm
C
3 cm
x cmE
358 AD”=AF”=3cm
BE”=BD”=9cm
CE”=CF”=xcm라
하면
△ABC에서
(x+9)¤ =(x+3)¤ +12¤
12x=72(cid:100)(cid:100)∴ x=6
∴ BC”=9+6=15(cm)
(cid:9000) ③
359 BD”=BE”=9cm, CF”=CE”=6cm
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
AD”=AF”=r cm
△ABC에서
(9+r)¤ +(6+r)¤ =15¤
r¤ +15r-54=0
(r+18)(r-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ r=3 (∵ r>0)
360 CF”=CG”=5 cm이므로
BC”=7+5=12(cm)
따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는
AB”+BC”+CD”+DA”
=2(AD”+BC”)
=2_(8+12)
=40(cm)
(cid:9000) ④
361 BC”=x cm, CD”=y cm라 하면
8+x+y+5=34(cid:100)(cid:100)∴ x+y=21 yy ㉠(cid:100)
QQ BBooxx
또 AB”+CD”=AD”+BC”이므로
8+y=5+x(cid:100)(cid:100)∴ x-y=3
yy ㉡(cid:100)
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
x=12, y=9
∴ BC”=12 cm, CD”=9 cm
(cid:9000) BC”=12 cm, CD”=9 cm
∠B=90°이므로 △ABC
에서 피타고라스 정리를 이
용한다.
362 (거리)=(속력)_(시간)이므로
AB”+BC”+CD”=50_30
=1500(m)
이때 BC”=50_12=600(m)이므로
AB”+CD”=1500-600=900(m)
AD”+BC”=AB”+CD”이므로(cid:100)
AD”+600=900(cid:100)(cid:100)∴ AD”=300(m)
W
O
R
K
B
O
O
K
△ABC
=△OAB +△OBC
+△OCA
(cid:8772)ADOF는 내각의 크기
가 모두 90°이고
AD”=AF”이므로 정사각형
이다.
363 BE”="√5¤ -4¤ =3
AD”=x라 하면 EC”=x-3
AE”+DC”=AD”+EC”이므로
5+4=x+(x-3)
2x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=6
(cid:9000) 300 m
(cid:9000) 6
(cid:9000) ;;™;5%;§;;
364 DE”=x라 하면
AB”+DE”=AD”+BE”이므로
12+x=16+BE”(cid:100)(cid:100)∴ BE”=x-4
∴ CE”=16-(x-4)=20-x
△DEC에서 x¤ =(20-x)¤ +12¤
40x=544(cid:100)(cid:100)∴ x=;;§5•;;
따라서 (cid:8772)ABED의 둘레의 길이는
2(AB”+DE”)=2_{12+;;§5•;;}=;;™;5%;§;;
(cid:9000) 3cm
원에 외접하는 사각형의
대변의 길이의 합은 같다.
365 원 O의 반지름의 길이
를 r cm라 하면
AB”=2r cm
2r`cm
A
6`cm
D
r`cm
O
점 D에서 BC”에 내린
수선의 발을 H라 하면
BH”=AD”=6 cm
∴ CH”=9-6=3(cm)
B
H
9`cm
C
AB”+DC”=AD”+BC”이므로
2r+DC”=6+9(cid:100)(cid:100)∴ DC”=15-2r(cm)
DH”=AB”=2r cm이므로 △DHC에서
(2r)¤ +3¤ =(15-2r)¤
60r=216(cid:100)(cid:100)∴ r=:¡5•:
(cid:9000) ③
Ⅶ. 원의 성질 87
3하표준워크해설Ⅶ(083~096) 2015.1.30 9:11 PM 페이지88 SinsagoHitec
WORK BOOK
QQ BBooxx
2
원주각 ⑴
p
68~77
366 ⑴ ∠x=;2!;_130°=65°
⑵ ∠x=2_35°=70°
⑶ ∠x=2_60°=120°
⑷ ∠x=;2!;_86°=43°
⑸ ∠x=;2!;_180°=90°
⑹ ∠x=;2!;_230°=115°
(cid:9000) ⑴ 65° ⑵ 70° ⑶ 120°
⑷ 43° ⑸ 90° ⑹ 115°
367 ⑴ ∠AOB=360°-220°=140°이므로
∠x=;2!;_140°=70°
⑵ μAQB에 대한 중심각의 크기는
2_116°=232°
∴ ∠x=360°-232°=128°
⑶ μAQB에 대한 중심각의 크기는
360°-90°=270°
(cid:100) ∴ ∠x=;2!;_270°=135°
⑷ μAPB에 대한 중심각의 크기는
2_98°=196°
(cid:100) ∴ ∠x=;2!;_(360°-196°)
=82°
(cid:9000) ⑴ 70° ⑵ 128° ⑶ 135° ⑷ 82°
368 ⑴ ∠AOB=2_70°=140°
∠PAO=∠PBO=90°이므로
∠x=360°-(90°+90°+140°)=40°
⑵ ∠PAO=∠PBO=90°이므로
∠AOB=360°-(90°+90°+60°)
=120°
∴ ∠x=;2!;∠AOB=60°
(cid:9000) ⑴ 40° ⑵ 60°
원주각의 크기는 중심
각의 크기의 ;2!;배이다.
삼각형의 한 외각의 크
기는 그와 이웃하지 않
는 두 내각의 크기의
합과 같다.
371 ⑴ ∠x=25°, ∠y=80°-25°=55°
⑵ ∠x=35°, ∠y=95°-35°=60°
⑶ ∠x=30°, ∠y=55°+30°=85°
⑷ ∠y=88°-40°=48°, ∠x=∠y=48°
(cid:9000) ⑴ ∠x=25°, ∠y=55°
⑵ ∠x=35°, ∠y=60°
⑶ ∠x=30°, ∠y=85°
⑷ ∠x=48°, ∠y=48°
372 ⑶ ∠ADB=90°이므로
∠DBA=180°-(50°+90°)=40°
∴ ∠x=∠DBA=40°
∴ ∠y=48°+40°=88°
⑷ ∠ADB=90°이므로
∠y=180°-(20°+90°)=70°
∠ADC=∠ABC=40°이므로
∠x=90°-40°=50°
(cid:9000) ⑴ ∠x=90°, ∠y=60°
⑵ ∠x=90°, ∠y=36°
⑶ ∠x=40°, ∠y=88°
⑷ ∠x=50°, ∠y=70°
373 ⑶ 2x=70(cid:100)(cid:100)∴ x=35
(cid:9000) ⑴ 7 ⑵ 32 ⑶ 35 ⑷ 6 ⑸ 20 ⑹ 8
호의 길이는 원주각의
크기에 정비례한다.
원의 접선은 접점을 지
나는 반지름에 수직이다.
374 ⑴ 8 : 2=x : 15(cid:100)(cid:100)∴ x=60
⑵ 12 : 4=60 : x(cid:100)(cid:100)∴ x=20
⑶ 3 : x=23 : 46(cid:100)(cid:100)∴ x=6
⑷ x : 10=20 : (50-20)(cid:100)(cid:100)∴ x=:™3º:
(cid:9000) ⑴ 60 ⑵ 20 ⑶ 6 ⑷ :™3º:
375 (cid:9000) ⑴ (cid:8776) ⑵ × ⑶ (cid:8776) ⑷ (cid:8776)
376 ㈁ ∠A=85°-25°=60°이므로
㈂ ∠D=90°-40°=50°이므로
∠A=∠D
∠A+∠D
㈃ ∠DBC=180°-(45°+85°)=50°이므로
∠DAC=∠DBC
(cid:9000) ㈁, ㈃
377 ⑶ ∠A=∠D=68°이어야 하므로
∠x=180°-(68°+32°)
=80°
⑷ ∠D=∠A=60°이어야 하므로
∠x=100°-60°=40°
(cid:9000) ⑴ 35° ⑵ 42° ⑶ 80° ⑷ 40°
369 (cid:9000) ⑴ 55° ⑵ 65°
370 ⑷ ∠y=30°+20°=50°
한 호에 대한 원주각의
크기는 같다.
(cid:9000) ⑴ ∠x=36°, ∠y=52°
⑵ ∠x=40°, ∠y=65°
⑶ ∠x=33°, ∠y=47°
⑷ ∠x=20°, ∠y=50°
88
SOLUTION
3하표준워크해설Ⅶ(083~096) 2015.1.30 9:11 PM 페이지89 SinsagoHitec
378 ∠BOC=2_55°=110°
∴ ∠x=;2!;_(180°-110°)=35°
(cid:9000) ③
반원에 대한 원주각의
크기는 90°이다.
386 ∠BCD=90°이므로
△OBC는 OB”=OC”인 이
등변삼각형이므로
∠OBC=∠OCB
∠ACB=90°-50°=40°
∠DBC=∠DAC=35°이므로
∠x=180°-(35°+40°)=105°
(cid:9000) 105°
QQ BBooxx
중심각의 크기는 원주
각의 크기의 2배이다.
W
O
R
K
B
O
O
K
387 BD”를 그으면
C
D
A
30æ
54æ
O
B
∠ADB=90°이므로
∠ABD
=180°-(30°+90°)
=60°
∠CBD=;2!;∠COD
=;2!;_54°=27°
이므로
∠ABC=60°-27°=33°
388 AD”를 그으면
∠CAD=;2!;∠COD
C
D
=;2!;_50°
=25°
25æ
A
이때 ∠ADB=90°
이므로
∠x=90°-25°=65°
P
x
50æ
O
(cid:9000) 33°
B
(cid:9000) ④
379 ∠AOB=2∠APB=2_75°=150°
150
360
따라서 구하는 넓이는 p_6¤ _
=15p
(cid:9000) ④
E
380 OC”를 그으면
∠BOC=2∠BAC
=2_36°=72°
이므로
∠COD=124°-72°=52°
A
36æO
124æ
B
C
D
∴ ∠CED=;2!;∠COD=;2!;_52°=26°
381 AO”, BO”를 그으면
∠AOB=2∠ACB
=2_67°
=134°
P
∠PAO=∠PBO
=90°
∴ ∠P=360°-(90°+134°+90°)=46°
(cid:9000) ⑤
A
C
67æ
O
B
(cid:9000) ④
382 AO”, BO”를 그으면
∠PAO=∠PBO=90°
이므로
=110°
∠AOB
=360°-(90°+70°+90°)
A
B
∴ ∠x=;2!;_(360°-110°)=125° (cid:9000) 125°
383 ∠DAP=180°-(40°+110°)=30°
∴ ∠PBC=∠DAC=30°
(cid:9000) ④
384 ∠x=∠ACB=32°
∠BDC=∠BAC=45°이므로
△BCD에서
∠y=180°-(45°+32°+48°)=55°
∴ ∠x+∠y=32°+55°=87°
385 BD”를 그으면
∠ADB=∠AEB=40°
이므로
∠BDC=65°-40°=25°
∴ ∠BOC=2∠BDC
E
40æ
65æ
O
A
=2_25°
=50°
(cid:9000) 87°
D
C
B
(cid:9000) ③
P
70æ x
O
삼각형의 외각의 성질
389 △APD에서 28°+∠ADP=65°이므로
∠ADP=37°
∴ ∠ABC=∠ADC=37°
(cid:9000) 37°
μAC에 대한 원주각
390 ∠ADC=∠ABC=35°
μCD에 대한 원주각
μAB에 대한 원주각
△APD에서 ∠BAD=45°+35°=80°
△AQB에서 ∠BQD=80°+35°=115°
다른풀이
△BPC에서 ∠BCD=45°+35°=80°
∠BAD=∠BCD=80°이므로
△AQB에서 ∠BQD=80°+35°=115°
(cid:9000) 115°
391 μAB=μAC=μ CD이므로 세 호에 대한 원주각의
크기는 각각 같고, 한 원에서 모든 호에 대한 원
주각의 크기의 합은 180°이므로
3∠ABC+30°=180°(cid:100)(cid:100)
∴ ∠ABC=50°
△BCP에서 ∠P=50°-30°=20°
(cid:9000) ③
Ⅶ. 원의 성질 89
3하표준워크해설Ⅶ(083~096) 2015.1.30 9:11 PM 페이지90 SinsagoHitec
WORK BOOK
QQ BBooxx
392 AB”가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90°
따라서 AC”="√6¤ -4¤ =2'5이므로
2'5
cos A=
6
'5
3
=
=
AC”
AB”
tan A=
BC”
AC”
=
4
2'5
=
2'5
5
∴ cos A_tan A= _
'5
3
2'5
5
=;3@;
(cid:9000) ③
393 AO”의 연장선이 원 O와
만나는 점을 B'이라 하면
∠ACB'=90°이고
∠AB'C=∠ABC이므로
B
O
tan B=tan B'
B'
=
AC”
B'C”
=;3$;
A
4
C
∴ B'C”=3
△AB'C에서 AB'”="√3¤ +4¤ =5
∴ (원O의 넓이)=p_{;2%;}
¤ =;;™4∞;;p (cid:9000) ;;™4∞;;p
394 ∠BOC=2∠BAC=2_75°=150°
∴ △OBC=;2!;_4_4_sin(180°-150°)
=;2!;_4_4_;2!;=4(cm¤ ) (cid:9000) ①
395 ∠ACB=90°이므로
∠ABC=180°-(90°+30°)=60°
μ BC : μAC=30 : 60=1 : 2이므로
3 : μAC=1 : 2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=6(cm)
396 ∠ACB：∠DBC=4：8=1：2이므로
∠DBC=48°
따라서 △PBC에서 ∠DPC=48°+24°=72°
(cid:9000) ⑤
D
40æ
A
C
x
O
B
397 BC”를 그으면
∠ACB=90°이므로
∠ABC
=180°-(90°+40°)
=50°
μAD=μ DC이므로
399 ∠ACB：∠BAC：∠ABC=4：5：3
∴ ∠ABC=180°_;1£2;=45°
(cid:9000) 45°
400 ∠ADC는 μAC에 대한
원주각이므로
∠ADC=;2!;∠AOC
B
O
D
A
C
한 원에서 모든 호에
대한 중심각의 크기의
합은 360°이다.
=;2!;_360°_;1∞2;
=75°
(cid:9000) 75°
μAC에 대한 원주각
△ABC는 BA”=BC”인 이
등변삼각형이므로
∠BCA=∠A=40°
c
x
a
(cid:8857) (넓이)
=;2!; ac sin(180°-x)
401 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면
∠C=∠D=20°
△APC에서 ∠x=55°+20°=75°
(cid:9000) ③
402 △ABC에서 ∠ABC=180°-2_40°=100°
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면
∠x=∠ABD=;2!;∠ABC=50°
(cid:9000) 50°
403 ∠DAC=∠DBC이므로 네 점 A, B, C, D는 한
원 위에 있다.
∠CAB=∠CDB=60°이므로 △ABP에서
∠APD=50°+60°=110°
(cid:9000) ③
404 (cid:9000) ⑴ ∠x=68°, ∠y=110°
⑵ ∠x=120°, ∠y=60°
⑶ ∠x=100°, ∠y=160°
⑷ ∠x=65°, ∠y=115°
(cid:9000) ②
호의 길이는 원주각의
크기에 정비례한다.
405 ⑶ △DBC에서 ∠x=180°-(65°+40°)=75°
∴ ∠y=∠x=75°
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하
므로 ∠EAD=∠C
⑷ ∠x=∠EAB=88°이므로 △BCD에서
∠y=180°-(47°+88°)=45°
(cid:9000) ⑴ ∠x=95°, ∠y=75°
⑵ ∠x=100°, ∠y=140°
⑶ ∠x=75°, ∠y=75°
⑷ ∠x=88°, ∠y=45°
406 ㈁ ∠DCE+∠A
㈄ △ABC에서
∠B=180°-(70°+60°)=50°
∴ ∠B+∠D=170°+180°
(cid:9000) ㈁, ㈄
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하려면
∠x=∠PBA=90°
⑷ ∠ABC+∠ADC=180°이어야 하므로
∠ABD=180°-(55°+95°)=30°
∴ ∠x=∠ABD=30°
(cid:9000) ⑴ 90° ⑵ 86° ⑶ 90° ⑷ 30°
∠ABD=∠DBC
407 ⑶ ∠PBA=120°-30°=90°이므로
∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_50°=25°(cid:100)
∴ ∠x=180°-(90°+25°)=65°
(cid:9000) ④
398 ∠ACB：∠BAC：∠ABC=1：2：3
∴ ∠ACB=180°_;6!;=30°
(cid:9000) ③
한 원에서 모든 호에
대한 원주각의 크기의
합은 180°이다.
90
SOLUTION
3하표준워크해설Ⅶ(083~096) 2015.1.30 9:11 PM 페이지91 SinsagoHitec
408 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠x=180°-102°=78°
∠AEC=∠ADC=78°이므로
∠y=112°-78°=34°
∴ ∠x-∠y=78°-34°=44°
409 BO”를 그으면 △OBC와
△OBA는 이등변삼각형
이므로
∠OBC=∠OCB=20°
∠OBA=∠OAB=65°
∴ ∠ABC=65°-20°
=45°
(cid:9000) ③
D
C
20æ
O
A
65æ
B
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
∠ADC=180°-45°=135°
(cid:9000) ④
410 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
(∠x+60°)+90°=180°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=30°
∠BDC=∠BAC=60° 이므로
∠y=∠ADC=40°+60°=100°
∴ ∠y-∠x=100°-30°=70°
(cid:9000) ③
411 ∠ADC=∠ABE이므로
∠ADB+55°=115°(cid:100)(cid:100)∴ ∠ADB=60°
∠BAD=90°이므로
∠ABD=180°-(90°+60°)=30°
∴ ∠ACD=∠ABD=30°
(cid:9000) 30°
412 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠DAB=180°-75°=105°
△APB에서 ∠ABP=105°-30°=75° (cid:9000) ③
413 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠ADC=180°-120°=60°
△PCD에서 ∠BCQ=∠x+60°
△BQC에서 26°+(∠x+60°)=120°
∴ ∠x=34°
414 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠ABC=180°-∠x
△PBC에서
∠DCQ=32°+(180°-∠x)=212°-∠x
△DCQ에서 ∠x=(212°-∠x)+42°
2∠x=254°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=127°
(cid:9000) 127°
415 BE”를 그으면
∠ABE=;2!;∠AOE
=;2!;_80°
=40°
A
x
B
E
80æ
C
O
y
D
QQ BBooxx
μAC에 대한 원주각
(cid:8772)EBCD가 원 O에 내접하므로
(∠x-40°)+∠y=180°
∴ ∠x+∠y=220°
(cid:9000) 220°
416 AD”를 그으면
(cid:8772)ABCD와 (cid:8772)ADEF가
B
원에 내접하므로
∠C+∠BAD=180°,
∠DAF+∠E=180°
∴ ∠A+∠C+∠E
A
D
C
F
E
W
O
R
K
B
O
O
K
이등변삼각형의 두 밑
각의 크기는 같다.
=(∠BAD+∠DAF)+∠C+∠E
=180°+180°=360°
(cid:9000) ③
보조선을 그어 두 원 O,
O'에 내접하는 사각형을
각각 만든다.
417 PQ”를 그으면
(cid:8772)PQCD가 원 O'에
내접하므로
∠PQB=∠PDC
=80°
A
B
O
P
Q
80æ
O'
85æ
D
C
(cid:8772)ABQP가 원 O에 내접하므로
∠PAB=180°-80°=100°
(cid:9000) ③
반원에 대한 원주각의
크기는 90°이다.
418 ∠BAP
A
B
O'
O
170æ
P
Q
D
C
=;2!;∠BOP
=;2!;_170°=85°
PQ”를 그으면
(cid:8772)ABQP가 원 O에 내접하므로
∠PQC=∠BAP=85°
(cid:8772)PQCD가 원 O'에 내접하므로
∠PDC=180°-85°=95°
(cid:9000) 95°
419 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하려면
∠BDC=∠BAC=45°
또 ∠ABE=∠ADC이어야 하므로
80°=∠x+45°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=35°
∠ACB=∠x=35°이어야 하므로
△PBC에서 ∠y=60°+35°=95°
(cid:9000) ∠x=35°, ∠y=95°
보조선을 그어 원에 내접하
는 사각형의 성질을 이용한
다.
420 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하려면
∠DBC=∠DAC=25°
△BDP에서 ∠BDA=25°+35°=60°
이때 ∠ABC+∠ADC=180°이어야 하므로
45°+25°+60°+∠x=180°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=50°
(cid:9000) ④
Ⅶ. 원의 성질 91
(cid:9000) ②
μ BC에 대한 원주각
3하표준워크해설Ⅶ(083~096) 2015.1.30 9:11 PM 페이지92 SinsagoHitec
WORK BOOK
QQ BBooxx
3
원주각 ⑵
p
78~87
421 ⑶ ∠x=180°-(48°+60°)=72°
⑷ ∠x=∠ACB=180°-(25°+55°)=100°
(cid:9000) ⑴ 52° ⑵ 47° ⑶ 72° ⑷ 100°
422 ⑴ ∠x=∠BCA=180°-(90°+28°)=62°
⑵ ∠x=∠CBA=180°-(90°+39°)=51°
⑶ ∠BCA=65°이므로
⑶ ∠x=180°-(90°+65°)=25°
⑷ ∠x=∠ABC=;2!;_(180°-90°)=45°
(cid:9000) ⑴ 62° ⑵ 51° ⑶ 25° ⑷ 45°
423 ∠ACB : ∠CAB : ∠ABC
=μAB : μBC : ®CDA
=1 : 3 : 5
∴ ∠CBT=∠CAB=180°_;9#;=60° (cid:9000) 60°
424 ∠BPT=∠PCB=30°이므로
∠x=∠CPT=2∠BPT=2_30°
=60°
(cid:9000) ④
425 (cid:8772)ABCD는 원 O에 내접하므로
∠BCD=180°-100°=80°
△BCD에서
∠DBC=180°-(80°+35°)=65°
∴ ∠DCT=∠DBC=65°
(cid:9000) 65°
426 ∠ATB=90°이므로
∠ABT=180°-(90°+65°)=25°
따라서 ∠ATP=∠ABT=25°이므로
△APT에서 ∠APT=65°-25°=40° (cid:9000) ②
427 AC”를 긋고
B
O
x
C
T
∠BCT=∠x라 하면
∠BAC=∠BCT
A x
28æ
P
=∠x
∠ACB=90°이므로
∠ABC=90°-∠x
△BPC에서 28°+(90°-∠x)=∠x
∴ ∠x=59°
428 ∠BAT=∠BTP
=30°
∠ATB=90°이므로
△ATB에서
AT”=12cos 30°
A
6`cm
O
B
P
30æT
=12_ =6'3(cm)
'3
2
92
SOLUTION
∠BAC=90°
원 밖의 한 점에서 그
원에 그은 두 접선의
길이는 같다.
원의 접선과 현이 이루
는 각의 크기는 그 각
의 내부에 있는 호에
대한 원주각의 크기와
같다.
삼각형의 외각의 크기
는 그와 이웃하지 않는
두 내각의 크기의 합과
같다.
△BAC에서
∠x+90°+∠ABC
=180°
(cid:9000) ④
이때 ∠ABT=90°-30°=60°이므로
△BTP에서 ∠P=60°-30°=30°
즉 △ATP는 AT”=PT”인 이등변삼각형이다.
∴ PT”=AT”=6'3(cm)
(cid:9000) 6'3 cm
429 (cid:8772)ABCD는 원에 내접
하므로
∠ADC=180°-115°
=65°
AC”를 그으면
∠ACP=∠ADC=65°
115æ
A
B
P
C
65æ
D
△APC에서 PA”=PC”이므로
∠P=180°-2_65°=50°
(cid:9000) ②
430 △ADF에서 AD”=AF”이므로
∠ADF=∠AFD=;2!;_(180°-80°)=50°
∠DEF=∠ADF=50°
∴ ∠x=180°-(65°+50°)=65°
(cid:9000) 65°
431 ∠ABC：∠BAC=μAC：μ CB=2：1이므로
∠BAC=;2!;∠x
△APB에서 PA”=PB”이므로
∠ABP=;2!;_(180°-66°)=57°
∴ ∠ACB=∠ABP=57°
따라서 △ABC에서
;2!;∠x+∠x+57°=180°, ;2#;∠x=123°
∴ ∠x=82°
(cid:9000) 82°
432 원 O에서 ∠BAP=∠BPT'
맞꼭지각이므로 ∠BPT'=∠DPT
원 O'에서 ∠DPT=∠DCP
(cid:9000) ③, ④
433 ∠BTQ=∠BAT=55°
∠CTQ=∠CDT=65°
∴ ∠DTC=180°-(55°+65°)=60° (cid:9000) 60°
434 ∠CTQ=∠CDT=180°-110°=70°
∠ATP=∠ABT=45°
∴ ∠ATB=180°-(70°+45°)=65° (cid:9000) 65°
435 ⑴ 4_10=x_8(cid:100)(cid:100)∴ x=5
⑵ x_9=3_6(cid:100)(cid:100)∴ x=2
⑶ x_4=2_(8-2)(cid:100)(cid:100)∴ x=3
⑷ 6_12=(x-9)_9(cid:100)(cid:100)∴ x=17
(cid:9000) ⑴ 5 ⑵ 2 ⑶ 3 ⑷ 17
3하표준워크해설Ⅶ(083~096) 2015.1.30 9:11 PM 페이지93 SinsagoHitec
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436 ⑴ 4_x=2_18(cid:100)(cid:100)∴ x=9
⑵ x_15=6_(6+4)(cid:100)(cid:100)∴ x=4
⑶ 2_(2+10)=3_(3+x)(cid:100)(cid:100)∴ x=5
⑷ (x-9)_x=4_9이므로 x¤ -9x-36=0
(x-12)(x+3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=12 (∵ x>0)
(cid:9000) ⑴ 9 ⑵ 4 ⑶ 5 ⑷ 12
437 ㈀ 2_9+4_6
㈁ 4_4=8_2
㈂ 3_8=4_6
㈃ 5_(5+3)+4_(4+7)
(cid:9000) ㈁, ㈂
438 ⑴ 8_x=12_6이어야 하므로 x=9
⑵ 7_x=6_10.5이어야 하므로 x=9
⑶ 6_(6+8)=7_(7+x)이어야 하므로
x=5
x=4
⑷ 3_(3+12)=5_(5+x)이어야 하므로
(cid:9000) ⑴ 9 ⑵ 9 ⑶ 5 ⑷ 4
439 (cid:9000) ⑴ 10, 2'5
⑶ 7, 2+2x, 6
⑵ 8, 8-x, 16, 4
440 ⑴ x_4=6¤ 이므로 4x=36(cid:100)(cid:100)∴ x=9
⑵ 4_(x-4)=8¤ 이므로
4x=80(cid:100)(cid:100)∴ x=20
⑶ (x-5)(x+5)=6_4이므로
x¤ =49(cid:100)(cid:100)∴ x=7 (∵ x>0)
⑷ 18_(20-18)=4_x이므로
4x=36(cid:100)(cid:100)∴ x=9
⑸ 5_(5+4)=(x-6)(x+6)이므로
x¤ =81(cid:100)(cid:100)∴ x=9 (∵ x>0)
⑹ (18-2x)_18=3_(3+9)이므로
36x=288(cid:100)(cid:100)∴ x=8
(cid:9000) ⑴ 9 ⑵ 20 ⑶ 7 ⑷ 9 ⑸ 9 ⑹ 8
441 ⑴ BO”=CO”=12
⑵ PB”="√16¤ +12¤ =20
⑶ PA”_PB”=PC”_PD”이므로
⑶ PA”_20=4_28(cid:100)(cid:100)∴ PA”=;;™5•;;
(cid:9000) ⑴ 12 ⑵ 20 ⑶ ;;™5•;;
442 ⑴ x_9=(3'3)¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=3
⑵ 4_(4+x)=(4'2 )¤ 이므로(cid:100)(cid:100)
4x=16(cid:100)(cid:100)∴ x=4
⑶ x¤ =6_(6+2)=48(cid:100)(cid:100)∴ x=4'3 (∵ x>0)
⑷ (3-x)_3=('6)¤ 이므로
3x=3(cid:100)(cid:100)∴ x=1
(cid:9000) ⑴ 3 ⑵ 4 ⑶ 4'3 ⑷ 1
PA”_PB”=PC”_PD”
445 P’A”=PB”=x cm라 하면
x¤ =8_4=32(cid:100)(cid:100)∴ x=4'2 (∵ x>0)
∴ AB”=2 PA”=2_4'2=8'2(cm)
W
O
R
K
B
O
O
K
443 ⑴ 4¤ =2_(2+2x)이므로 4x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=3
⑵ x¤ =2_(2+8)=20
∴ x=2'5 (∵ x>0)
⑶ 8¤ =4_(4+2x)이므로
8x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=6
⑷ x(x+12)=(3'5)¤ 이므로 x¤ +12x-45=0
(x+15)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0)
(cid:9000) ⑴ 3 ⑵ 2'5 ⑶ 6 ⑷ 3
444 (cid:9000) 12, 4, ∠TBP, ∠P, AA, 4, 12
446 PA”=3x-(2x+2)=x-2이므로
x(x+4)=(x-2)_3x
x¤ -5x=0, x(x-5)=0
∴ x=5 (∵ x>0)
447 4_(4+8)=3_(3+BC”), 3 BC”=39(cid:100)(cid:100)
∴ BC”=13
△APB와 △CPD에서
∠ABP=∠CDP, ∠P는 공통이므로
△APBª△CPD (AA 닮음)
PA” : PC”=AB” : CD”에서
4 : (3+13)=2 : CD”
4CD”=32(cid:100)(cid:100)∴ CD”=8
(cid:9000) ③
(cid:9000) 5
(cid:9000) 8
원에 내접하는 사각형
의 한 외각의 크기는 그
내대각의 크기와 같다.
448 ① 4_9=6_6
② (10-8)_8+6_3
③ 6_8=4_(16-4)
④ 6_(6+3)=3_(3+15)
⑤ 3_(3+4)+(8-6)_8
△POB는 ∠POB=90°
인 직각삼각형이다.
PD”=4+12+12=28
4_(4+5)=3_(3+y), 3y=27(cid:100)(cid:100)∴ y=9
449 2_x=3_6(cid:100)(cid:100)∴ x=9
(cid:9000) ②, ⑤
(cid:9000) x=9, y=9
BM”_DM”=AM”_CM”
450 AC”가 BD”를 수직이등분하므로 AC”는
(cid:8772)ABCD의 외접원의 지름이다.
∴ AC”=2_5=10
AM”=x라 하면
4_4=x(10-x), x¤ -10x+16=0
(x-2)(x-8)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=2 (∵ AM”0)
(cid:9000) ③
EA”=EC”+AC”
=2+x
(cid:9000) ③
∴ r=8
(cid:9000) ④
459 반지름의 길이를 r cm라 하면
2_(2+2r)=3_(3+9), 4r=32
PA”의 연장선이 원의 나머
지 부분과 만나는 점을 E
라 하면
PE”=PA”+AO”+OE”
=2+r+r
=2+2r(cm)
460 원 O에서 PC”_PD”=PA”_PB”이고
원 O'에서 PA”_PB”=PE”_PF”이므로
PC”_PD”=PE”_PF”
6_PD”=2_9(cid:100)(cid:100)∴ PD”=3(cm)
(cid:9000) ③
461 PA”_PB”=PE”_PF”이므로
4_(4+x)=3_(3+9), 4x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=5
PE”_PF”=PC”_PD”이므로
3_(3+9)=y(y+16), y¤ +16y-36=0
(y-2)(y+18)=0(cid:100)(cid:100)∴ y=2 (∵ y>0)
∴ x+y=5+2=7
(cid:9000) ③
462 원 O에서 EA”_EB”=EP”_EQ”이고
원 O'에서 EP”_EQ”=EC”_ED”이므로
EA”_EB”=EC”_ED”
AC”=x라 하면
(x+2)_1=2_(1+3)
x+2=8(cid:100)(cid:100)∴ x=6
(cid:9000) 6
463 ∠PTA=∠ABT=∠APT이므로 △APT는
이등변삼각형이다.
∴ AP”=AT”=4 cm
¤ =4_(4+8)=48이므로
즉 PT”
PT”=4'3(cm) (∵ PT”>0)
(cid:9000) 4'3cm
464 OH”⊥AB”이므로
BH”="√5¤ -3¤ =4(cm)
∴ AB”=2BH”=8(cm)
¤ =2_(2+8)=20
PT”
∴ PT”=2'5(cm)
(∵ PT”>0)
T
A
P
2cm
O
H
5cm
3cm
B
(cid:9000) 2'5 cm
465 원 O'에서 PT”=PQ”=x라 하면
PB”=x+3
원 O에서 PT”
¤ =PA”_PB”이므로
x¤ =4_(x+3), x¤ -4x-12=0
(x-6)(x+2)=0
∴ x=6 (∵ x>0)
(cid:9000) ②
466 OA”=x cm라 하면 PB”=(2x+9)cm
12¤ =9_(2x+9), 18x=63
∠DAP=∠BCP
(∵ μBD에 대한 원주각),
∠APD=∠CPB=90°
∴ △APDª△CPB
(AA 닮음)
△APD는 ∠APD=90°
인 직각삼각형이므로
x="√y¤ +4¤
=Ƭ{:¡3§:}
¤ +16
=Ƭ:;$9):); =:™3º:
451 8_(8+4)=x(x+10), x¤ +10x-96=0
(x+16)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=6 (∵ x>0)
452 DP”=2x cm라 하면PC ”=3x cm이므로
3_8=2x_3x, x¤ =4
∴ x =2 (∵x >0)
∴ CD”=5x =5_2=10(cm)
(cid:9000) 10 cm
453 ∠ABD=∠ACD
=90°
이므로 네 점 A, B, C,
D는 한 원 위에 있다.
3_(3+AB”)
=2_(2+7)
A
E
B
3
P
2
C
7
D
3AB”=9(cid:100)(cid:100)∴ AB”=3
(cid:9000) 3
454 CD”
CD”
¤ =D’A”_DB”이므로
¤ =2_8=16
∴ CD”=4 (∵ CD”>0)
(cid:9000) 4
456 CP”=PD”=4 cm이므로 △CBP에서
PB”="√5¤ -4¤ =3(cm)
이때 PD”
¤ =PA”_PB”이므로
4¤ =y_3(cid:100)(cid:100)∴ y=:¡3§:
한편 △APDª△CPB (AA 닮음)이므로
AD” : CB”=PD” : PB”
x : 5=4 : 3(cid:100)(cid:100)∴ x=:™3º:
∴ x+y=:™3º:+:¡3§:=12
(cid:9000) ④
457 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
PA”=(11+r)cm, PB”=(11-r)cm
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
(11+r)(11-r)=(6+6)_6
r¤ =49(cid:100)(cid:100)∴ r=7 (∵ r>0)
따라서 원 O의 둘레의 길이는
2p_7=14p(cm)
(cid:9000) 14p cm
458 PA” : AB”=1 : 4이므로
PA” : PB”=1 : 5
PA”=x라 하면 PB”=5x이므로
5_(5+4)=x_5x, x¤ =9
94
SOLUTION
∴ x=3 (∵ x>0)
(cid:9000) 3
∴ x=;2&;
3하표준워크해설Ⅶ(083~096) 2015.1.30 9:11 PM 페이지95 SinsagoHitec
QQ BBooxx
(cid:9000) 5cm
PB”=PA”+AO”+OB”
=x+5+5
=x+10(cm)
472 원 O에서 PC”_PD”=PA”_PB”이고
원 O'에서 PT”
¤ =PA”_PB”이므로
PT”
¤ =PC”_PD”
¤ =4_18=72
PT”
∴ PT”=6'2 (∵ PT”>0)
(cid:9000) 6'2
473 원 O에서 PT”
원 O'에서 PT'”
¤ =PA”_PB”이고
¤ =PA”_PB”이므로
PT”=PT'” (∵ PT”>0, PT'” >0)
¤ =4_(4+6)=40이므로
이때 PT”
PT”=2'1å0(cm)
∴ TT'”=2PT”=2_2'1å0=4'1å0(cm)
W
O
R
K
B
O
O
K
(cid:9000) 4'1å0cm
474 원 O에서 PT”
원 O'에서 PT”
¤ =PA”_PB”이고
¤ =PC”_PD”이므로
PA”_PB”=PC”_PD”
PA”=x cm라 하면
x(x+6)=5_(5+3), x¤ +6x-40=0
PC”=PB”+BO”+OC”
(x+10)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
(cid:9000) ③
(cid:9000) ④
=4+r+r
=4+2r
(cid:9000) ②
B
O
5 cm
A
P
5'3 cm
T
따라서 원 O의 둘레의 길이는
2p_;2&;=7p (cm)
467 PO”의 연장선이 원 O와
만나는 점을 B라 하고
PA”=x cm라 하면
(5'3 )¤ =x(x+10)
x¤ +10x-75=0
(x+15)(x-5)=0
∴ x=5 (∵ x>0)
468 QT”는 원 O의 접선이므로
¤ =QD”_QA”
QT”
¤ =6_(6+12)=108이므로
즉 QT”
QT”=6'3 (∵ QT”>0)
∴ PT”=QT”=6'3
또 PT”는 원 O의 접선이므로
PT”
¤ =PB”_PC”
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
(6'3 )¤ =4_(4+2r), 8r=92
∴ r=
23
2
469 PT”
¤ =3_(3+9)=36
∴ PT”=6(cm) (∵ PT”>0)
△PAT와 △PTB에서
∠P는 공통, ∠PAT=∠PTB이므로
△PATª△PTB (AA 닮음)
∴ AT” : TB”=PT” : PB”
=6 : 3=2 : 1
(cid:9000) ①
470 PA”=x라 하면
4¤ =x(x+6), x¤ +6x-16=0
(x+8)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
△PAT와 △PTB에서
∠P는 공통, ∠PTA=∠PBT이므로
△PATª△PTB (AA 닮음)
따라서 PA” : PT”=AT” : TB”이므로
2 : 4=AT” : 6(cid:100)(cid:100)∴ AT”=3
(cid:9000) 3
471 PT”
¤ =1_(1+3)=4
∴ PT”=2 (∵ PT”>0)
△PBT에서 PB”：PT”=BD”：TD”이므로
4：2=2：DT”(cid:100)(cid:100)∴ DT”=1
△PBT와 △PTA에서
∠P는 공통, ∠PBT=∠PTA이므로
△PBTª△PTA (AA 닮음)
따라서 BT”：TA”=PT”：PA”이므로
3：TA”=2：1(cid:100)(cid:100)∴ TA”=;2#;
(cid:9000) ;2#;
A
D
B
C
△ ABC에서 ∠ A의
이등분선이 BC”와 만나
는 점을 D라 하면
AB”：AC”=BD”：CD”
Ⅶ. 원의 성질 95
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