E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지1 SinsagoHitec
우공비 중등 수학 (하) 특강편
3
SOLUTION
● LECTURE BOOK
● WORK BOOK
2
40
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LECTURE BOOK
Q BOX
통계Ⅳ
LECTURE
01
대푯값
LECTURE BOOK 6쪽
1 (cid:9000) 159 cm
2 (cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 9 ⑶ 58
3 (cid:9000) ⑴ 4 ⑵ 6, 7 ⑶ 없다.
4 (cid:9000) 평균：2.4권, 중앙값：2.5권, 최빈값：3권
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 7~9쪽
01 (평균)=
2+0+1+2+2+3+4
7
(평균)=:¡7¢:=2(시간)
(cid:9000) 2시간
02
a+b+c
3
=12에서 a+b+c=36
따라서 구하는 평균은
36+8+13
5
=:∞5¶:=11.4
03 B모둠의 평균 등교 시간을 x분이라 하면 두 모둠
전체의 평균 등교 시간이 24분이므로
10_27+15_x
25
=24
270+15x=600(cid:100)(cid:100)∴ x=22
(cid:9000) ⑤
04 잘못 계산한 수학 시험 점수의 총합은
10_91=910(점)
정확한 수학 시험 점수의 총합은
910-5=905(점)
따라서 수학 시험 점수의 정확한 평균은
905
10
=90.5(점)
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) 90.5점
05 ④ 변량의 개수가 짝수이면 변량을 작은 값부터
순서대로 나열할 때, 중앙에 있는 두 변량의 평
균이 중앙값이다.
(cid:9000) ④
06 A선수의 점수에서
7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10
∴ a=
9+9
2
=:¡2•:=9
2 SOLUTION
B선수의 점수에서
5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10
∴ b=
8+9
2
=:¡2¶:=8.5
∴ a+b=17.5
(cid:9000) 17.5
07 주어진 자료의 중앙값은 8이므로
4+7+8+9+x
5
=8
28+x=40(cid:100)(cid:100)∴ x=12
(cid:9000) 12
08 조건 ㈎`에서 중앙값이 18이므로 aæ18
조건 ㈏`에서 중앙값이 19이므로 a…18
∴ a=18
09 중앙값이 90점이므로 aæ90
평균이 90점 미만이므로
84+88+90+94+a
5
<90(cid:100)(cid:100)∴ a<94
따라서 90…a<94이므로 자연수 a는 90, 91, 92,
93의 4개이다.
18(정연이의 평균)이므로 인수가
정연이보다 팔굽혀펴기를 더 잘한다.
㈁ (인수의 표준편차)>(정연이의 표준편차)이므
로 정연이의 기록이 더 고르다.
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈁이다.
(cid:9000) ④
01
(2a+3)+(2b+3)+(2c+3)+(2d+3)
4
=7
이므로
2(a+b+c+d)+12=28
∴ a+b+c+d=8
따라서 a, b, c, d의 평균은
a+b+c+d
4
=;4*;=2
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
02 5과목의 점수의 총합은
87_5=435(점)
이므로 나머지 한 과목의 점수를 x점이라 하면
435+x
6
=89(cid:100)(cid:100)∴ x=99
03 남자 선생님의 수를 2x, 여자 선생님의 수를 8x
라 하면
남자 선생님의 근무 연수의 총합은
20_2x=40x
15_8x=120x
여자 선생님의 근무 연수의 총합은
따라서 전체 선생님의 평균 근무 연수는
40x+120x
2x+8x
=
160x
10x
=16(년)
기록이 좋은지를 알려면 평
균을 비교한다.
04
(-3)+5+a+8+(-1)+6+4
7
=4에서
기록이 고른지를 알려면 분
산, 표준편차를 비교한다.
19+a=28(cid:100)(cid:100)∴ a=9
변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
-3, -1, 4, 5, 6, 8, 9
이므로 중앙값은 5이다.
대단원별 기출문제 정복
LECTURE BOOK 14~17쪽
01 ① 02 ⑤ 03 16년 04 ③
05 53 kg 06 ④ 07 ③ 08 22개 09 ③
10 ④ 11 ⑤ 12 x=7, y=13, z=16
13 ① 14 ④ 15 ② 16 86
18 ② 19 9.2
17 ②
20 50'5 m
22 ;;¡3º;; cm
23 6
21 2'∂30 kg
24 ④
자료의 개수가 짝수이므로
중앙에 있는 두 변량의 평
균이 중앙값이다.
05 5번째 학생의 몸무게를 x kg이라 하면
51+x
2
=52(cid:100)(cid:100)∴ x=53
이때 몸무게가 54 kg인 학생을 추가해도 5번째
변량은 그대로이므로 중앙값은 53 kg이다.
(cid:9000) 53 kg
a16
06 [자료 A]의 중앙값이 16이므로 a=16
[자료 B]의 중앙값이 17이므로
16(A의 표준편차)이므로 A
의 연간 독서량의 분포가 B의 연간 독서량의
분포보다 더 고르다.
이상에서 옳은 것은 ㈁, ㈂이다.
(cid:9000) ④
Ⅳ. 통계 7
≠
≠
≠
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LECTURE BOOK
Q BOX
Ⅴ
피타고라스 정리
LECTURE
03
피타고라스 정리
1 (cid:9000) ⑴ 5 ⑵ 5'3
2 (cid:9000) 16 cm¤
3 (cid:9000) 169
4 (cid:9000) x=2, S=4
5 (cid:9000) 18
LECTURE BOOK 18쪽
보조선을 그어 2개의 직각
삼각형으로 나눈다.
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 19~21쪽
01 AC”="√7¤ -5¤ =2'6(cm)이므로
△ABC=;2!;_5_2'6=5'6(cm¤ )
BC”
¤ =AB”
AC”=øπBC”
¤ +AC”
¤ -AB”
¤ 이므로
(cid:9000) 5'6 cm¤
(cid:9000) ④
AB”=DC”,
∠AHB=∠DH'C
AH”=DH'”
∴ △ABH™△DCH'
(RHS 합동)
(cid:9000) 2 cm
△DEF=;2!;(cid:8772)ADEB
이므로 색칠한 부분의 넓이
는
(cid:8772)ADEB-△DEF
=;2!;(cid:8772)ADEB
02 (x+2)¤ =x¤ +8¤ 이므로
x¤ +4x+4=x¤ +64
4x=60(cid:100)(cid:100)∴ x=15
03 △BCD에서 BD”="√12¤ -10¤ =2'∂11(cm)
△ABD에서 AD”="√8¤ -(2'∂11)¤ =2'5(cm)
(cid:9000) 2'5 cm
04 DC”=x cm라 하면
△ABC에서 AC”
¤ =6¤ -(2+x)¤
¤ =(2'6 )¤ -x¤
즉 32-4x-x¤ =24-x¤ 이므로
△ADC에서 AC”
4x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=2
05 △ABC에서 AC”=øπ2¤ +2¤ =2'2
△ACD에서 AD”=øπ(2'2)¤ +2¤ =2'3
△ADE에서 AE”=øπ(2'3)¤ +2¤ =4
△AEF에서 AF”=øπ4¤ +2¤ =2'5
따라서 △AFG에서
AG”=øπ(2'5)¤ +2¤ =2'6
(cid:9000) 2'6
8 SOLUTION
(cid:9000) ③
D
4
C
(cid:9000) ①
(cid:9000) ③
… 2점
… 2점
06 BC¡”=BD”=øπ1¤ +1¤ ='2
BC™”=BD¡”=øπ('2 )¤ +1¤ ='3
BC£”=BD™”=øπ('3 )¤ +1¤ =2
∴ BD£”=øπ2¤ +1¤ ='5
07 BD”를 그으면
△ABD에서
BD”=øπ3¤ +(3'3)¤ =6
이므로 △BCD에서
BC”=øπ6¤ -4¤ =2'5
3Â3
A
3
B
08 꼭짓점 D에서 BC”에 내
린 수선의 발을 H라 하
A x
D
15
면 DH”=9이므로
△DHC에서
CH”="√15¤ -9¤ =12
∴ x=BH”=16-12=4
9
B
H
16
C
09 두 꼭짓점 A, D에서
BC”에 내린 수선의 발
을 각각 H, H'이라 하
면 HH'”=7 cm이므로
A
7`cm
D
6`cm
H
B
6`cm
H'
C
11`cm
BH”=CH'”=;2!;_(11-7)=2(cm)
△ABH에서
AH”=øπ6¤ -2¤ =4'2 (cm)
HC”=9 cm이므로 △AHC에서
AC”="√(4'2)¤ +9¤
AC='∂113(cm)
10 △ABC에서 AB”=øπ8¤ +6¤ =10(cm)
따라서 색칠한 부분의 넓이는
;2!;(cid:8772)ADEB=;2!;_10¤
;2!;(cid:8772)ADEB=50(cm¤ )
11 (cid:8772)ACDE=64-48=16(cm¤ )이므로
AC”=4(cm)
BC”='∂48=4'3(cm)이므로
△ABC=;2!;_4_4'3=8'3(cm¤ )
… 2점
(cid:9000) '∂113 cm
(cid:9000) 50 cm¤
(cid:9000) 8'3 cm¤
¤
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Q BOX
(cid:9000) ④
∠ACB=∠ECA (접은 각)이므로 △EAC는 이
18 ∠EAC=∠ACB (엇각),
(SAS 합동)
yy ㉡
∠EAB=90°+∠CAB
=∠CAF
12 EA”∥DB”이므로
△EAC=△EAB
E
yy ㉠
△EAB와 △CAF에서
EA”=CA”, AB”=AF”,
∠EAB=∠CAF
∴ △EAB™△CAF
AF”∥CK”이므로
D
A
F
I
C
BJ
G
K
H
△CAF=△JAF=;2!;(cid:8772)AFKJ
㉠, ㉡, ㉢에 의하여
△EAC=△EAB=△CAF=△JAF
yy ㉢
△EAC=;2!;(cid:8772)AFKJ
13 AE”=9-3=6(cm)이므로 △AEH에서
EH”
¤ =6¤ +3¤ =45
이때 △AEH™△BFE™△CGF™△DHG이
므로 (cid:8772)EFGH는 정사각형이다.
¤ =45(cm¤ )
∴ (cid:8772)EFGH=EH”
(cid:9000) ④
14 BQ”=CR”=9 cm이므로 △ABQ에서
AQ”="√15¤ -9¤ =12(cm)
∴ PQ”=12-9=3(cm)
4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로
PQ”=QR”=RS”=SP”
따라서 (cid:8772)PQRS는 정사각형이므로
(cid:8772)PQRS=3¤ =9(cm¤ )
(cid:9000) 9 cm¤
EH”=FE”=GF”=HG”,
∠HEF
=180°-∠AEH-∠BEF
=180°-∠AEH-∠AHE
=90°
한 내각의 크기가 90°인
마름모는 정사각형이므로
(cid:8772)EFGH는 정사각형이다.
이등변삼각형의 꼭짓점에
서 밑변에 내린 수선은 그
밑변을 이등분한다.
15 △AED™△BCE에서 DE”=EC”, ∠DEC=90°
이므로 △DEC는 직각이등변삼각형이다.
;2!;_DE”
¤ =26이므로 DE”
¤ =52
△AED에서 AD”="√52-6¤ =4(cm)
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(4+6)_(4+6)
∴ (cid:8772)ABCD=50(cm¤ )
∠AED+∠CEB
=∠AED+∠EDA
=90°
이므로 ∠DEC=90°
(cid:9000) ②
… 2점
16 AE”=AD”=10 cm이므로 △ABE에서
BE”="√10¤ -6¤ =8(cm)
∴ CE”=10-8=2(cm)
EF”=x cm라 하면 DF”=EF”=x cm이므로
CF”=(6-x)cm
△ECF에서 x¤ =2¤ +(6-x)¤
12x=40(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡3º:
… 4점
(cid:9000) :¡3º: cm
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
17 BD”=;2!; BC”=4(cm)
DE”=x cm라 하면AE ”=DE”=x cm이므로
EB”=(10-x)cm
△EBD에서 x¤ =(10-x)¤ +4¤
20x=116(cid:100)(cid:100)∴ x=:™5ª:
(cid:9000) ②
등변삼각형이다.
EC”=x cm라 하면 ED”=(8-x)cm이므로
△CDE에서 x¤ =(8-x)¤ +4¤
16x=80(cid:100)(cid:100)∴ x=5
△ABC에서 AC”="√8¤ +4¤ =4'5(cm)
CH”=;2!;AC”=2'5 (cm)이므로 △EHC에서
EH”=øπ5¤ -(2'5)¤ ='5(cm)
(cid:9000) '5 cm
[다른 풀이]
AC”="√8¤ +4¤ =4'5 (cm)이고 △EAC가 이등
변삼각형이므로
CH”=;2!;AC”=2'5 (cm)
△CAFª△CEH (AA 닮음)이므로
CF”：CH”=AF”：EH”
8：2'5=4：EH”
∴ EH”='5(cm)
LECTURE
04
피타고라스 정리와 도형
LECTURE BOOK 22쪽
1 (cid:9000) ㈂, ㈃
2 (cid:9000) ⑴ ;;™5¢;; ⑵ 3'6
3 (cid:9000) ⑴ 80 ⑵ 34
4 (cid:9000) ⑴ 8p cm¤ ⑵ 24 cm¤
Ⅴ. 피타고라스 정리 9
E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지10 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 23~25쪽
02 12¤ =6¤ +(6'3)¤ 이므로 주어진 삼각형은 빗변의
01 ㈀ 1¤ +('3)¤ =2¤
㈁ 2¤ +2¤ =(2'2)¤
㈃ 6¤ +8¤ =10¤
㈅ 5¤ +12¤ =13¤
길이가 12인 직각삼각형이다.
따라서 구하는 넓이는
;2!;_6_6'3=18'3
03 x¤ +(x+2)¤ =(x+4)¤ 에서
x¤ -4x-12=0, (x+2)(x-6)=0
∴ x=6 (∵ x>0)
04 BC”=x m라 하면
AC”=12-(5+x)=7-x(m)
△ABC에서 ∠C=90°이려면
x¤ +(7-x)¤ =5¤ , x¤ -7x+12=0
(x-3)(x-4)=0
∴ x=4 (∵ BC”>AC”)
(cid:9000) 4
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
(cid:9000) 4 m
05 추가하는 막대의 길이를 x cm라 하면
⁄ 가장 긴 막대의 길이가 x cm일 때
x="√6¤ +8¤ =10
¤ 가장 긴 막대의 길이가 8 cm일 때
x="√8¤ -6¤ =2'7
06 ① 세 변의 길이를2k, 3k, 4k ( k>0)라 하면
(cid:9000) 2'7 cm, 10 cm
(2k)¤ +(3k)¤ <(4k)¤ 이므로 둔각삼각형이다.
② 세 변의 길이를 3k, 4k, 5k ( k>0)라 하면
(3k)¤ +(4k)¤ =(5k)¤ 이므로 직각삼각형이다.
③ 세 변의 길이를 4k, 5k, 6k ( k>0)라 하면
(4k)¤ +(5k)¤ >(6k)¤ 이므로 예각삼각형이다.
④ 세 변의 길이를 5k, 5k, 8k ( k>0)라 하면
(5k)¤ +(5k)¤ <(8k)¤ 이므로 둔각삼각형이다.
⑤ 세 변의 길이를 5k, 12k, 13k ( k>0)라 하면
08 ⁄ AC”가 가장 긴 변일 때,
AC”<9+12이므로 12…AC”<21
△ABC가 예각삼각형이므로
¤ <9¤ +12¤ 에서 03'7
12¤ 0)라 하면 BC”=2k
△ABC에서 AB”="√k¤ +(2k)¤ ='5k
'5k_2'3=2k_k
∴ k='∂15
따라서 AC”='∂15, BC”=2'∂15이므로
△ABC=;2!;_2'∂15_'∂15=15
가장 긴 변의 길이의 제곱
이 나머지 두 변의 길이의
제곱의 합과 같도록 하는 x
의 값을 구한다.
10 △ABC에서 BC”="√3¤ +4¤ =5
3_4=AD”_5(cid:100)(cid:100)∴ AD”=:¡5™:
3¤ =BD”_5(cid:100)(cid:100)∴ BD”=;5(;
∴ △ABD=;2!;_:¡5™:_;5(;=;2%5$;
DE”
11 △ABC에서 AB”
¤ +AB”
¤ =AD”
¤ +100=AD”
¤ -DE”
∴ AD”
DE”
¤ =20
¤ =8¤ +6¤ =100
¤ +BE”
¤ 이므로
¤ +(4'5)¤
삼각형의 세 변의 길이
가 a, b, c(cæa, cæb)
일 때
① c¤ a¤ +b¤
(cid:8857) 둔각삼각형
(5k)¤ +(12k)¤ =(13k)¤ 이므로 직각삼각형
A
이다.
07 x¤ =4¤ +(4'3)¤ =64
y¤ =17¤ -8¤ =225
2z¤ =(9'2)¤ 이므로 z¤ =81
이때 225>64+81 즉 y¤ >x¤ +z¤ 이므로 x, y, z
… 2점
… 2점
… 2점
를 세 변의 길이로 하는 삼각형은 둔각삼각형이다.
(cid:9000) ③
M
N
B
C
(cid:8857) MN”∥ BC”
(cid:8857) MN”=;2!; BC”
… 2점
(cid:9000) 둔각삼각형
x=8, y=15, z=9
9-8<15<9+8이므로
x, y, z는 삼각형의 변의
길이 조건을 만족시킨다.
BC”
¤ =9
△OBC에서 (cid:100)(cid:100)
x=øπ9-('3 )¤ ='6
13 (2'2)¤ +('5)¤ =2¤ +BC”
¤ 이므로
12 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에
의하여
DE”=;2!;AB”=;2!;_8=4
∴ AD”
¤ +BE”
¤ =DE”
¤ +AB”
¤ =4¤ +8¤ =80
10 SOLUTION
(cid:9000) ④
… 2점
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) ;2%5$;
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지11 SinsagoHitec
¤ =AD”
¤ +BC”
¤ 이므로
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 27~29쪽
Q BOX
등변사다리꼴의 성질
① 평행하지 않은 한
쌍의 대변의 길이가
같다.
② 두 대각선의 길이가
같다.
직각삼각형의 각 변을
지름으로 하는 반원을
각각 그리면 작은 두
반원의 넓이의 합은 가
장 큰 반원의 넓이와
같다.
한 변의 길이가 a인 정
사각형의 대각선의 길이
(cid:8857) '2 a
14 AB”=CD”이고 AB”
¤ +CD”
¤ =('6)¤ +4¤ , AB”
2AB”
∴ AB”='ß11(∵ AB”>0)
¤ =11
15 (3'3)¤ +x¤ =(2'5)¤ +(x+1)¤
2x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=3
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
16 S¡+S™=15p+10p=25p(cm¤ )
즉 BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이가 25p cm¤
이므로
;2!;_p_{
BC”
2
}2 =25p, BC”
¤ =200
∴ BC”=10'2(cm)(∵ BC”>0)
(cid:9000) ①
17 AB”=k, CA”='3k(k>0)라 하면
k
2
k¤
}2 = p
8
_p_{
S¡=
;2!;
S£=
_p_{
;2!;
'3k
2
3k¤
}2 = p
8
S™=S¡+S£= p이므로
k¤
2
k¤
S¡：S™：S£= p： p： p
8
3k¤
8
k¤
2
S¡：S™：S£=1：4：3
(cid:9000) 1：4：3
18 BD”=x라 하면(4'6) ¤ =x(x+4)
x¤ +4x-96=0, (x+12)(x-8)=0
∴ x=8 (∵ x>0)
△ABC에서 AC”=øπ12¤ -(4'6)¤ =4'3
∴ (색칠한 부분의 넓이)
=△ABC
=;2!;_4'6_4'3
=24'2
(cid:9000) 24'2
LECTURE
05
피타고라스 정리의 평면도형에서의 활용 ⑴
LECTURE BOOK 26쪽
AB”
¤ =BE”_BD”
1 (cid:9000) ⑴ 10 ⑵ 13
2 (cid:9000) ⑴ 9'2 ⑵ 6
3 (cid:9000) ⑴ 5 ⑵ 5'3 ⑶ 25'3
4 (cid:9000) ⑴ 2 ⑵ 4'2 ⑶ 8'2
△ABE™△CDF
(RHA 합동)
한 변의 길이가 a인 정
삼각형의 넓이
(cid:8857)
'3
4
a¤
01 (cid:8772)BEFD=BD”
¤ =8¤ +15¤ =289(cm¤ )
02 직사각형의 세로의 길이를 x cm라 하면 가로의
길이는 2x cm이므로
x_2x=32, x¤ =16
∴ x=4 (∵ x>0)
므로 대각선의 길이는
"√8¤ +4¤ =4'5(cm)
따라서 가로, 세로의 길이가 각각 8 cm, 4 cm이
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
03 OC”를 그으면
OC”=OA”=8 cm
CD”=EO”=4 cm
이므로 △ODC에서
”="√8¤ -4¤ =4'3(cm)
OD”
∴ (cid:8772)ODCE=4'3_4
=16'3 (cm¤ )
B
E
O
04 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
'2x=10(cid:100)(cid:100)∴ x=5'2
따라서 정사각형의 둘레의 길이는
4_5'2=20'2(cm)
05 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
pr¤ =16p, r¤ =16
∴ r=4 (∵ r>0)
정사각형의 대각선의 길이는 8 cm이므로 정사각
형의 한 변의 길이를x cm라 하면
'2x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=4'2
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
C
AD
8 cm
(cid:9000) 16'3 cm¤
(cid:9000) ②
… 3점
… 3점
(cid:9000) 4'2 cm
(cid:9000) ③
07 BD”="√3¤ +4¤ =5(cm)이므로 △ABD에서
3¤ =BE”_5(cid:100)(cid:100)∴ BE”=;5(;(cm)
DF”=BE”=;5(; cm이므로
EF”=5-2_;5(;=;5&;(cm)
(cid:9000) ③
08 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면
'3
4
a¤ =9'3, a¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ a=6(∵ a>0)
(cid:9000) ⑤
Ⅴ. 피타고라스 정리 11
AB”_AD”=AH”_BD”
06 AD”="√8¤ -6¤ =2'7 (cm)
△ABD에서 6_2'7=AH”_8
∴ AH”=
(cm)
3'7
2
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Q BOX
한 변의 길이가 a인 정
삼각형의 높이
a'3
2
(cid:8857)
무게중심은 중선을 꼭짓점
으로부터 2：1로 나누므로
AG”：GD”=2：1
삼각형의 높이 구하기
(cid:8857) 한 꼭짓점에서 대변에
수선을 그은 후 피타고
라스 정리를 이용한다.
세 내각의 크기가 45°,
45°, 90°인 삼각형의 세
변의 길이의 비
(cid:8857) 1：1：'2
세 내각의 크기가 30°,
60°, 90°인 삼각형의 세
변의 길이의 비
(cid:8857) 1：'3：2
LECTURE BOOK
'3
2
09 AD”= _12=6'3(cm)이므로
'3
4
△ADE= _(6'3)¤ =27'3(cm¤ )
(cid:9000) 27'3 cm¤
10 GD”=;3!;AD”이므로 AD”=6(cm)
정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면
'3
2
a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=4'3
∴ △ABC= _(4'3)¤ =12'3(cm¤ )
'3
4
11 AP”를 그으면
△ABC
=△ABP+△ACP
이므로
'3
4
_8¤
A
Q
B
P
=;2!;_8_PQ”+;2!;_8_PR”
16'3=4(PQ”+PR”)
∴ PQ”+PR”=4'3
(cid:9000) ③
8
R
C
(cid:9000) 4'3
12 BC”의 중점을 M이라 하면
(cid:8772)ABCD=3△ABM
A
D
AB”=a cm라 하면
'3
75'3=3_ a¤ , a¤ =100
4
∴ a=10 (∵ a>0)
B
M
C
따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는
5_10=50(cm)
(cid:9000) 50 cm
13 주어진 정육각형은 한 변의 길이가 6 cm인 6개의
정삼각형으로 이루어져 있으므로 구하는 넓이는
6_{ _6¤ }=54'3(cm¤ )
'3
4
(cid:9000) ②
14 꼭짓점 A에서 BC”에 내
린 수선의 발을 H라 하
A
7`cm
7`cm
B
C
H
10`cm
면
BH”=CH”=5(cm)
△ABH에서
AH”="√7¤ -5¤ =2'6(cm)
∴ △ABC=;2!;_10_2'6
∴ △ABC=10'6(cm¤ )
(cid:9000) ②
12 SOLUTION
… 4점
… 2점
(cid:9000) 2'7
15 AD”와 BC”가 만나는 점을 E라 하면
△BDC에서 DE”= _8=4'3
'3
2
∴ AE”=6'3-4'3=2'3
BE”=;2!;BC”=4이므로 △ABE에서
AB”=øπ4¤ +(2'3)¤ =2'7
16 (cid:9000) ㈎ 8-x ㈏ (8-x)¤ ㈐ 2 ㈑ 3'5
17 꼭짓점 A에서 BC”에 내린
수선의 발을 H라 하자.
BH”=x라 하면
CH”=14-x이므로
¤ =15¤ -x¤
=13¤ -(14-x)¤
AH”
A
15
13
B
C
x
H
14
28x=252(cid:100)(cid:100)∴ x=9
△ABH에서 AH”="√15¤ -9¤ =12
∴ △ABC=;2!;_14_12=84
(cid:9000) 84
18 BH”=x cm라 하면 CH”=(10-x)cm이므로
¤ =6¤ -x¤ =(4'6)¤ -(10-x)¤
AH”
20x=40(cid:100)(cid:100)∴ x=2
△ABH에서 AH”="√6¤ -2¤ =4'2(cm)
BM”=5 cm이므로 HM”
”=5-2=3(cm)
△AHM에서
AM”=ø(π4'2 )¤ +3¤ ='∂41(cm)
(cid:9000) ④
LECTURE
06
피타고라스 정리의 평면도형에서의 활용 ⑵
LECTURE BOOK 30쪽
1 (cid:9000) ⑴ x=4, y=4'2(cid:100)⑵ x=3'3, y=6
⑶ x=2, y=2'3
2 (cid:9000) ⑴ 2'5(cid:100)⑵ 5
3 (cid:9000) ⑴ 3'5(cid:100)⑵ 5'2(cid:100)⑶ 4'2(cid:100)⑷ 2'∂13
필수 유형 공략
01 △ABC에서
LECTURE BOOK 31~33쪽
4：BC”=1：'3(cid:100)(cid:100)∴ BC”=4'3(cm)
△DBC에서
DC”：4'3=1：'2(cid:100)(cid:100)∴ DC”=2'6(cm)
(cid:9000) ④
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Q BOX
AH”：CH”=1：1
(cid:9000) ③
두 점 (x¡, y¡), (x™, y™)
사이의 거리는
øπ(x™-x¡)¤ +(y™-y¡)¤
점 Q가 제1사분면 위의
점이므로 y좌표가 양수이
다.
x축 위의 점은 y좌표가
0이다.
정n각형의 한 내각의
크기
(cid:8857)
180°_(n-2)
n
이차함수
y=a(x-p)¤ +q의 그
래프의 꼭짓점의 좌표
(cid:8857) (p, q)
02 △ABC에서 16：x=2：'3(cid:100)(cid:100)∴ x=8'3
△ABD에서 8'3：y=2：1(cid:100)(cid:100)∴ y=4'3
∴ x+y=12'3
(cid:9000) ④
03 ∠ACH=180°-135°=45°이므로 △ACH에서
4'2：AH”='2：1(cid:100)(cid:100)
∴ AH”=4, CH”=AH”=4
BH”=6+4=10이므로 △ABH에서
AB”="√10¤ +4¤ =2'∂29
… 4점
… 2점
(cid:9000) 2'∂29
04 AC”=DC”=x cm라 하면 △ABC에서
(2+x)：x='3：1
'3 x=2+x, ('3-1)x=2
∴ x=
2
'3-1
='3+1
05 꼭짓점 A에서 BC”에 내
린 수선의 발을 H라 하
A
D
8`cm
면 △ABH에서
8：AH”=2：'3
∴ AH”=4'3 (cm)
∴ (cid:8772)ABCD=7_4'3=28'3 (cm¤ )
H
7`cm
60æ
B
C
(cid:9000) ④
06 정팔각형의 한 내각의 크기
는
180°_(8-2)
8
= 135°
∴ ∠ACB=45°
이때 잘라 낸 직각이등변삼
x
2
C
45æ
A
x
B
2
각형에서 빗변이 아닌 한 변의 길이를 x라 하면
x：2 = 1：'2 (cid:100)(cid:100)∴ x='2
따라서 정사각형의 한 변의 길이는 2+2'2이다.
(cid:9000) ④
07 꼭짓점 A에서 BC”에 내린
수선의 발을 H라 하면
A
6
B
60æ
△ABH에서
6：AH”=2：'3
∴ AH”=3'3
6：BH”=2：1(cid:100)(cid:100)∴ BH”=3
△AHC에서 CH”=AH”=3'3이므로
BC”=3+3'3
따라서 △ABC의 넓이는
H
;2!;_(3+3'3)_3'3=;2(; (3+'3)
45æ
C
(cid:9000) ;2(; (3+'3 )
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
08 원의 중심 O에서 O'B”
에 내린 수선의 발을
H, 원 O의 반지름의
길이를 r cm라 하면
OO'”=(r+6)cm,
O'H”=(6-r)cm
B
H
6`cm
60æ
O'
A
r`cm
O
△OO'H에서 (r+6)：(6-r)=2：1
r+6=12-2r, 3r=6(cid:100)
∴ r=2
O'H”=4 cm이므로 4：OH”=1：'3
∴ OH”=4'3 (cm)
따라서 구하는 넓이는
;2!;_(2+6)_4'3=16'3 (cm¤ )
(cid:9000) 16'3 cm¤
09 ① "√{-1-(-5)}¤ +√(0-3)¤ =5
② "√{1-(-3)}¤ +√{3-(-4)}¤
③ "√2¤ +7¤ ='∂53
④ "√(4-0)¤ +√(-1-3)¤ =4'2
⑤ "√(6-2)¤ +(4-2)¤ =2'5
¤ ='∂65
10 PQ”="√(5-1)¤ +√{a-(-2)}¤ =2'∂13
양변을 제곱하여 정리하면
a¤ +4a-32=0, (a+8)(a-4)=0
∴ a=4 (∵ a>0)
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
… 4점
… 2점
(cid:9000) 13
11 x축 위의 점의 좌표를(a, 0) 이라 하면
"√(a-3)¤ +√{0-(-2)}¤
="√{a-(-4)} ¤
√+(0-5)¤
(a-3)¤ +4=(a+4)¤ +25
14a=-28(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
따라서 구하는 점의 좌표는 (-2, 0)이다.
(cid:9000) (-2, 0)
12 y=2x+3에 x=2, y=a를 대입하면
a=2_2+3=7
따라서 A(2, 7), B(-1, 1)이므로
¤ +(1-7)¤ =3'5
AB”="√(-1-2)√
13 y=-3x¤ +6x+4=-3(x-1)¤ +7
y=;2!;x¤ +4x+3=;2!;(x+4)¤ -5
두 함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(1, 7), (-4, -5)
따라서 두 꼭짓점 사이의 거리는
"√(-4-1)√
¤ +(-5-7)¤ =13
Ⅴ. 피타고라스 정리 13
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LECTURE BOOK
Q BOX
(cid:9000) ⑤
한 모서리의 길이가 a
인 정육면체의 대각선
의 길이 (cid:8857) '3a
(cid:9000) ①
점 A 또는 점 C와 BD”에
대하여 대칭인 점을 이용한
다.
점 (a, b)와 x축에 대
하여 대칭인 점의 좌표
(cid:8857) (a, -b)
14 ① AB”="√(8-2)¤ +√(-2-2)¤ =2'∂13
② BC”="√(6-8)¤ +{√-4-(-2)}¤ =2'2
③ AC”="√(6-2)¤
∴ AB”=AC”
¤ 0)
(cid:9000) ④
02 밑면의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를 각각
k cm, 2k cm, 5k cm (k>0)라 하면
"√k¤ +(2k)¤ +(5k)¤ =2'∂30, k'∂30=2'∂30
∴ k=2
따라서 밑면의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이는
각각 2 cm, 4 cm, 10 cm이므로 직육면체의 부
피는
2_4_10=80(cm‹ )
(cid:9000) 80 cm‹
03 밑면의 한 변의 길이를 x cm라 하면
"√x¤ +x¤ +90¤ =60'3
2x¤ +8100=10800, x¤ =1350
∴ x=15'6 (∵ x>0)
따라서 밑면의 한 변의 길이는 최소 15'6 cm이어
야 한다.
(cid:9000) 15'6 cm
04 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
6a¤ =150(cid:100)(cid:100)∴ a=5 (∵ a>0)
따라서 정육면체의 대각선의 길이는
'3_5=5'3 (cm)
05 정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
'3a=2'6(cid:100)(cid:100)∴ a=2'2
따라서 FH”='2_2'2=4이므로
△BFH=;2!;_4_2'2=4'2
(cid:9000) ②
… 3점
… 3점
(cid:9000) 4'2
06 AM”=MG”=GN”=NA”="√4¤ +2¤ =2'5(cm)
이므로 (cid:8772)AMGN은 마름모이다.
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AG”=4'3 cm, MN”=FH”=4'2 cm이므로
(cid:8772)AMGN=;2!;_4'2_4'3=8'6 (cm¤ )
두 대각선의 길이가 a,
b인 마름모의 넓이
DH”=øπ(4'5 )¤ -π(2'2 )¤ =6'2
∴ △DMN=;2!;_4'2_6'2=24
(cid:9000) ④
12 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
한 모서리의 길이가 a
인 정사면체의
4_ a¤ =12'3
'3
4
Q BOX
(cid:9000) ③
(cid:8857) ;2!;ab
(높이)= a
(부피)= a‹
'6
3
'2
12
07 구의 반지름의 길이를 r cm라 하면
4pr¤ =108p(cid:100)(cid:100)∴ r=3'3 (∵ r>0)
정육면체의 대각선의 길이가 구의 지름의 길이인
6'3 cm와 같으므로 정육면체의 한 모서리의 길이
를 a cm라 하면
'3a=6'3(cid:100)(cid:100)∴ a=6
08 사면체 A-BFC의 부피는
(cid:9000) ③
;3!;_{;2!;_6_6}_6=36(cm‹ )
한편 △AFC는 한 변의 길이가 6'2 cm인 정삼
각형이므로
△AFC= _(6'2 )¤ =18'3 (cm¤ )
'3
4
사면체 B-AFC의 부피는
;3!;_18'3_BP”=6'3 BP”
따라서 6'3 BP”=36이므로
BP”=2'3 (cm)
09 FH”
”="√4¤ +6¤ =2'∂13 (cm)이므로
”='∂13 (cm)
”=;2!; FH”
PH”
△DPH에서 DP”=øπ6¤ +('∂13 )¤ =7(cm)
7_HI”='∂13 _6이므로 HI”=
6'∂13
7
(cm)
(cid:9000)
6'∂13
7
cm
P
C
B
D
A
10 FR”를 그으면 △FGR에서
FR”="√4¤ +2¤ =2'5 (cm)
△QFR에서
QR”=øπ(2'5)¤ +2¤
QR”=2'6 (cm)
같은 방법으로
RP”=PQ”=2'6 cm
따라서 △PQR는 정삼각형이므로 구하는 넓이는
'3
4
_(2'6 )¤ =6'3 (cm¤ )
4`cm
H
G
R
Q
E
F
(cid:9000) ③
11 DM”=DN”="√4¤ +8¤ =4'5
MN”="√4¤ +4¤ =4'2
꼭짓점 D에서 MN”에 내린 수선
의 발을H 라 하면
MH”=;2!; MN”=2'2
이므로
D
4Â5
4Â5
M
H
4Â2
N
DH”：EH”=2：1이므로
DE”：DH”=3：2
△DMN은 이등변삼각형
이므로 꼭짓점 D에서 MN”
에 내린 수선의 발은 MN”
을 이등분한다.
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
(cid:9000) 32
… 2점
… 2점
a¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ a=2'3(∵ a>0)
따라서 정사면체의 높이와 부피는
'6
3
'2
12
x= _2'3=2'2
y= _(2'3 )‹ =2'6
∴ x¤ +y¤ =32
'3
13 ㈀ DM”= _6=3'3 (cm)
2
'6
3
㈁ AH”= _6=2'6 (cm)
㈂ 점 H는 △BCD의 무게중심이므로
DH”：HM”=2：1
'2
12
㈃ (부피)= _6‹ =18'2 (cm‹ )
14 점 H는 △BCD의 무게중심이므로
'3
EH”=;3!; DE”=;3!;_{ _2'6}='2 (cm)
2
∴ △AEH=;2!;_'2_4=2'2 (cm¤ ) … 2점
(cid:9000) 2'2 cm¤
15 점 H는 △BCD의 무게중심이므로
DE”=;2#; DH”=;2#;_4'3=6'3 (cm)
정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'3
2
a=6'3(cid:100)(cid:100)∴ a=12
따라서 정사면체의 부피는
'2
12
_12‹ =144'2 (cm‹ )
16 BN”을 그으면
AN”=BN”= _10
'3
2
AN”=5'3 (cm)
△NAB는 AN”=BN”인 이
등변삼각형이고 AM”=BM”
이므로 AB”⊥MN”
(cid:9000) 144'2 cm‹
M
B
A
10`cm
D
N
C
Ⅴ. 피타고라스 정리 15
(cid:9000) 2'3 cm
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈂이다.
(cid:9000) ②
DP”_HI”=PH”_DH”
AH”= _2'6=4 (cm)
'6
3
E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지16 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
A
M
N
B
C
(cid:8857) MN”∥BC”
MN”=;2!; BC”
AM”=;2!;AB”=5(cm)이므로 △AMN에서
MN”=øπ(5'3)¤ -5¤ =5'2 (cm)
∴ AN”：MN”=5'3 ：5'2
∴ AN”：MN”='3 ：'2
(cid:9000) ②
'3
17 CP”=CQ”= _12=6'3 (cm)
2
△ABD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선
분의 성질에 의하여
PQ”=;2!; BD”=6 (cm)
꼭짓점 C에서 PQ”에 내린
수선의 발을 H라 하면
CH”=øπ(6'3 )¤ -3¤
CH”=3'∂11 (cm)
∴ △CPQ=;2!;_6_3'∂11
∴ △CPQ=9'∂11 (cm¤ )
18 정사면체의 한 모서리의
길이를 2a cm라 하면
'3
BM”= _2a
2
BM”='3a(cm)
점 M에서 BC”에 내린 수
선의 발을 H라 하면
BH”=;2!; BC”=a(cm)
C
6Â3`cm
6Â3`cm
P
H
6`cm
Q
(cid:9000) 9'∂11 cm¤
A
M
D
B
H
C
∴ MH”=øπ('3a)¤ -a¤ ='2a(cm)
△MBC의 넓이가 4'2 cm¤ 이므로
;2!;_2a_'2a=4'2
a¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ a=2 (∵ a>0)
따라서 정사면체의 한 모서리의 길이는 4 cm이다.
(cid:9000) ③
3 (cid:9000) ⑴
⑵ 6'2
A
4
B
2
F
6
D
C
G
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 39~41쪽
01 꼭짓점 O에서 밑면에 내린
수선의 발을 H라 하면
O
12`cm
D
8`cm
A
DH”=;2!; BD”=;2!;_8'2
DH”=4'2 (cm)
△OHD에서
OH”=øπ12¤ -(4'2)¤ =4'7 (cm)
∴ △OBD=;2!;_8'2_4'7=16'∂14 (cm¤ )
H
8`cm
B
C
02 꼭짓점 O에서 밑면에 내
린 수선의 발을 H라 하면
BD”=;2!;_12
DH”=
;2!;
DH”=6(cm)
△OHD에서
OH”="√10¤ -6¤ =8(cm)
따라서 사각뿔의 부피는
_(6'2)¤ _8=192(cm‹ )
;3!;
(cid:9000) ⑤
O
A
10`cm
D
B
H
6Â2`cm
C
… 3점
… 3점
(cid:9000) 높이：8 cm, 부피：192 cm‹
03 꼭짓점 O에서 밑면에 내린
수선의 발을 H라 하면
O
2Â10Ê`cm
A
8`cm
D
HE”=ED”
HE”="√8¤ -(2'∂10)¤
HE”=2'6(cm)
△OHE에서 OH”="√(2'∂10)¤ -(2'6)¤ =4(cm)
따라서 정사각뿔의 부피는
H
E
B
C
;3!;_(4'6)¤ _4=128(cm‹ )
(cid:9000) 128 cm‹
D
3`cm
B
H
3`cm
C
BH”=;2!; BD”=;2!;_3'2
BM”=
(cm)
3'2
2
△OBH에서 OH”=æ≠3¤ -{
3'2
2
}2 =
3'2
2
(cm)
LECTURE
08
피타고라스 정리의 입체도형에서의 활용 ⑵
정팔면체는 모든 모서리의
길이가 같은 정사각뿔 2개
를 붙여 놓은 모양이다.
04 꼭짓점 O에서 사각형
ABCD에 내린 수선의
O
발을 H라 하면
3`cm
A
LECTURE BOOK 38쪽
1 (cid:9000) ⑴ 6'2 ⑵ 3'2 ⑶ 3'2 ⑷ 36'2
2 (cid:9000) ⑴ 6'2 ⑵ 18'2p
16 SOLUTION
E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지17 SinsagoHitec
Q BOX
08 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
OA”：BA”=OM”：BH”
따라서 정팔면체의 부피는
2_{;3!;_3¤ _
}=9'2 (cm‹ )
3'2
2
05 입체도형은 원뿔이므로 원뿔의 높이는
AC”=øπ(4'6 )¤ -6¤ =2'∂15 (cm)
따라서 구하는 부피는
;3!;_p_6¤ _2'∂15=24'∂15p (cm‹ )
(cid:9000) ①
(cid:9000) 24'∂15p cm‹
06 원뿔의 부피가 100p cm‹ 이므로
;3!;_p_5¤ _AO”=100p(cid:100)(cid:100)∴ AO”=12(cm)
△AOB에서
AB”="√5¤ +12¤ =13(cm)
∴ AO”+AB”=12+13=25(cm)
(cid:9000) 25 cm
07 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 모선
의 길이는 2r cm이므로 원뿔의 높이는
"√(2r)¤ -r¤ ='3 r(cm)
원뿔의 부피가 9'3p cm‹ 이므로
;3!;_p_r¤ _'3r=9'3p
r‹ =27(cid:100)(cid:100)∴ r=3
(cid:9000) ③
(cid:9000) ④
… 1점
2p_6_ =2pr(cid:100)(cid:100)∴ r=2
120
360
따라서 원뿔의 높이는
"√6¤ -2¤ =4'2 (cm)
09 '2 OA”=8'2이므로 OA”=8(cm)
밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2p_8_
=2pr(cid:100)(cid:100)∴ r=2
… 2점
90
360
따라서 원뿔의 높이는
"√8¤ -2¤ =2'∂15(cm)
이므로 원뿔의 부피는
;3!;_p_2¤ _2'∂15=
8'∂15
3
p(cm‹ )
… 3점
(cid:9000)
8'∂15
3
p cm‹
10 △AOB에서 AB”=øπ('∂55)¤ +3¤ =8(cm)
원뿔의 전개도에서 옆면인 부채꼴의 중심각의 크
기를 x°라 하면
2p_8_ =2p_3(cid:100)(cid:100)∴ x=135
x
360
(cid:9000) ③
11 ㈀ OB”：4=1：2(cid:100)(cid:100)∴ OB”=2(cm)
㈁ AO”：4='3：2(cid:100)(cid:100)∴ AO”=2'3 (cm)
㈂ 원뿔의 전개도에서 옆면인 부채꼴의 중심각의
원뿔의 전개도에서 옆면인
부채꼴의 호의 길이는 밑면
인 원의 둘레의 길이와 같다.
입체도형에서 최단 거리
(cid:8857) 선이 지나는 면의
전개도를 그려 본다.
원기둥의 전개도에서 옆면
인 직사각형의 가로의 길이
는 밑면의 둘레의 길이와
같다.
세 내각의 크기가 30°,
60°, 90°인 삼각형의
세 변의 길이의 비
(cid:8857) 1 : '3 : 2
크기를 x°라 하면
2p_4_
=2p_2(cid:100)(cid:100)∴ x=180
x
360
㈃ (부피)=;3!;_p_2¤ _2'3=
8'3
3
p(cm‹ )
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈃이다.
12 △ABO에서 AB”="√9¤ -6¤ =3'5 (cm)
따라서 단면인 원의 넓이는
p_(3'5)¤ =45p(cm¤ )
13 단면인 원의 반지름의 길이
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
(cid:9000) ②
(cid:9000) 45p cm¤
r`cm
A
B
15`cm
O
(cid:9000) ③
r`cm
M
10`cm
A
O
H
6`cm
B
를 r cm라 하면
2pr=24p(cid:100)(cid:100)∴ r=12
따라서 구하는 거리는
"√15¤ -12¤ =9(cm)
14 오른쪽 그림에서
AH”="√10¤ -6¤
AH=8(cm)
구의 반지름의 길이를
r cm라 하면
OA”=8-r(cm)
5
D
B
A
OM”⊥AB”이므로
△AOMª△ABH (AA 닮음)
(8-r)：10=r：6, 10r=48-6r
∴ r=3
(cid:9000) 3 cm
15 구하는 최단 거리는
오른쪽 전개도에서
AD'”의 길이와 같으
므로
AD'”="√(4+3+5)¤ +5¤
=13
A
B
C
A'
4
E
3
F
5
D'
16 오른쪽 전개도에서
AB'”=10p cm이므로
10π`cm
AA'”
="√(10p)¤ -(6p)¤
=8p(cm)
밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
2pr=8p(cid:100)(cid:100)∴ r=4
(cid:9000) 4 cm
O
30æ
6`cm
60æ
C
17 오른쪽 전개도에서
A
'3
OM”= _6
2
OM”=3'3 (cm)
구하는 최단 거리는 MC”
의 길이와 같고 ∠MOC=90°이므로
MC”=øπ(3'3 )¤ +6¤ =3'7 (cm)
M
B
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
6π`cm
B'
A'
Ⅴ. 피타고라스 정리 17
E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지18 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
18 원뿔의 전개도에서 옆면인 부채꼴의 중심각의 크
기를 x°라 하면
x
360
2p_12_ =2p_4(cid:100)(cid:100)∴ x=120
구하는 최단 거리는
오른쪽 전개도에서
AA'”의 길이와 같다.
A
꼭짓점 O에서 AA'”
12`cm
60æ
O
H
에 내린 수선의 발을 H라 하면
△OAH에서 12：AH”=2：'3
∴ AH”=6'3 (cm)
∴ AA'”=2AH”=12'3 (cm)
A'
(cid:9000) ④
△OAA'은 이등변삼각형
이므로 AH”=HA'”
대단원별 기출문제 정복
LECTURE BOOK 42~45쪽
01 ② 02 16'3 cm¤
05 ⑤ 06 ⑤ 07 8'3 cm¤
09 96
03 4 cm 04 ⑤
08 ③
10 ③ 11 ④ 12 3'3 13 ⑤
14 ② 15
8'3
3
cm
16
243'2
4
cm‹
17 ② 18 ① 19 ⑴ 8 ⑵ 3 ⑶ 3'5
20
23
336
25
3'6
2
cm¤
cm
24 10'2 cm
삼각형의 세 변의 길이
가 a, b, c(cæa, cæb)
일 때
c¤ a¤ +b¤
(cid:8857) 둔각삼각형
21 4+4'5
22 ④
AD”
¤ =BD”_CD”
01 △ADC에서
AD”="√10¤ -6¤ =8(cm)
△ABD에서
BD”="√17¤ -8¤ =15(cm)
(cid:9000) ②
(시간)=
(거리)
(속력)
02 꼭짓점 A에서 BC”에 내
린 수선의 발을 H라 하면
BH”=;2!;_(10-6)
BH”=2(cm)
A
H
4`cm
B
6`cm
D
10`cm
C
시속 2 km로 걷는다.
(cid:8857) 초속
2000
60_60
m로
걷는다.
△ABH에서
AH”="√4¤ -2¤ =2'3(cm)
∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(6+10)_2'3
∴ (cid:8772)ABCD=16'3(cm¤ )
(cid:9000) 16'3 cm¤
18 SOLUTION
03 (cid:8772)ACHI=40-24=16(cm¤ )
∴ AC”=4 (cm)
(cid:9000) 4 cm
04 AD”='∂58 (cm)이므로 △AED에서
AE”=øπ('∂58)¤ -3¤ =7(cm)
∴ FE”=7-3=4(cm)
(cid:8772)EFGH는 정사각형이므로
(cid:8772)EFGH=4¤ =16 (cm¤ )
(cid:9000) ⑤
05 DF”=DA”
15`cm
=15 cm
이므로 △DFC
에서
FC”="√15¤ -9¤
FC”=12(cm)
x`cm
A
E
B
F
{9-x}`cm
x`cm
15`cm
9`cm
D
C
∴ BF”=15-12=3 (cm)
EF”=AE”=x cm라 하면 EB”=(9-x)cm
따라서 △EBF에서 (9-x)¤ +3¤ =x¤
18x=90(cid:100)(cid:100)∴ x=5
(cid:9000) ⑤
06 CA”
¤ >AB”
¤ +BC”
∠B>90°인 둔각삼각형이다.
¤ 이므로 삼각형 ABC는
(cid:9000) ⑤
07 △ABD에서
AD”=øπ(4'3 )¤ -6¤ =2'3 (cm)
△ABC에서 (2'3 )¤ =6_CD”이므로
CD”=2 (cm)
∴ △ABC=;2!;_8_2'3=8'3 (cm¤ )
(cid:9000) 8'3 cm¤
08 학교의 위치를 P라 하면
¤ +DP”
¤ =BP”
¤ +CP”
AP”
¤ 이므로
200+800=100+DP”
¤ , DP”
∴ DP”=30(m)(∵ DP”>0)
¤ =900
시속 2 km로 걸으므로 걸리는 시간은
30_60_60
2000
=54(초)
09 AC”를 그으면
S¡+S™=△ABC
S£+S¢=△ACD
따라서 색칠한 부분의
넓이는
△ABC+△ACD
=(cid:8772)ABCD
=8_12=96
S¡
8
A
B
S¢
12
S™
(cid:9000) ③
D
C
S£
(cid:9000) 96
Q특강3하(해설)(001~019) 2015.4.15 5:41 PM 페이지19 SinsagoHitec
Q BOX
한 변의 길이가 a인 정
삼각형의 넓이
'3
4
(cid:8857)
a¤
10 △ABC의 한 변의 길이를 a cm라 하면
'3
4
a¤ =9'3, a¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ a=6 (∵ a>0)
AH”= _6=3'3 (cm)이므로
'3
2
AG”=;3@; AH”=2'3 (cm)
11 꼭짓점 A에서 BC”에
내린 수선의 발을 H,
BH”=x cm라 하면
A
5 cm
4Â2 cm
삼각형의 한 꼭짓점에서 대
변에 수선을 그은 후 피타
고라스 정리를 이용한다.
H
7 cm
x cm
B
AH”
AH”
CH”=(7-x)cm
¤ =5¤ -x¤
¤ =(4'2 )¤ -(7-x)¤
이므로 14x=42(cid:100)(cid:100)∴ x=3
따라서 AH”="√5¤ -3¤ =4(cm)이므로
△ABC=;2!;_7_4=14(cm¤ )
12 △ABC에서
3'2：BC”='2：1(cid:100)(cid:100)∴ BC”=3(cm)
△BCD에서
x：3=2：'3(cid:100)(cid:100)∴ x=2'3
y：3=1：'3(cid:100)(cid:100)∴ y='3
∴ x+y=3'3
(cid:9000) 3'3
세 내각의 크기가 45°,
45°, 90°인 삼각형의
세 변의 길이의 비
(cid:8857) 1：1：'2
세 내각의 크기가 30°,
60°, 90°인 삼각형의
세 변의 길이의 비
(cid:8857) 1：'3：2
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
△BGD= _(8'2 )¤ =32'3 (cm¤ )이므로
'3
4
;3!;_32'3_CI”=
256
3
∴ CI”=
(cm)
8'3
3
(cid:9000)
8'3
3
cm
16 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'6
3
a=3'6이므로 a=9
따라서 정사면체의 부피는
'2
12
243'2
4
_9‹ =
(cm‹ )
(cid:9000)
243'2
4
cm‹
17 주어진 전개도로 만든
정사각뿔은 오른쪽
그림과 같다.
HC”=;2!; AC”
O
5`cm
D
C
6`cm
A
H
6`cm
B
=;2!;_6'2=3'2 (cm)
△OHC에서 OH”=øπ5¤ -(3'2 )¤ ='7 (cm)
따라서 정사각뿔의 부피는
;3!;_6¤ _'7=12'7 (cm‹ )
18 △AHB에서
AH”：3='3：1(cid:100)(cid:100)∴ AH”=3'3 (cm)
따라서 원뿔의 부피는
;3!;_p_3¤ _3'3=9'3p(cm‹ )
12`cm
C
3`cm
D
13 △ABC에서
BC”="√12¤ -6¤ =6'3 (cm)
점 D에서 AB”의 연
A
장선에 내린 수선의
발을 E라 하면
BE”=CD”=3 cm
6`cm
B
E
ED”=BC”
ED”=6'3cm
이므로 △AED에서
AD”=øπ9¤ +(6'3 )¤ =3'∂21 (cm)
14 AD”=x cm라 하면AB” =2x cm
AC”=BC”="√3¤ +4¤ +x¤ ="√x¤ +25
△ACB에서 ∠ACB=90°이므로
2(x¤ +25)=(2x)¤`, x¤ =25
∴ x=5 (∵ x>0)
∴ AB”=10(cm)
15 사면체 D-BGC의 부피는
256
3
;3!;_{;2!;_8_8}_8=
(cm‹ )
삼각형의 내각의 이등분선
의 성질에 의하여
BD”：DC”=AB”：AC”
(cid:9000) ⑤
=5：3
19 ⑴ △ABC에서 BC”="√10¤ -6¤ =8
⑵ BD”：DC”=5：3이므로
DC”=8_;8#;=3
⑶ △ADC에서
AD”="√3¤ +6¤ =3'5
… 2점
(cid:9000) ⑴ 8 ⑵ 3 ⑶ 3'5
AB”
¤ =BP”_BD”
20 BD”="√6¤ +8¤ =10(cm)
△ABD에서 6¤ =BP”_10
∴ BP”=;;¡5•;; (cm)
같은 방법으로 QD”=;;¡5•;; cm이므로
PQ”=10-{2_;;¡5•;;}=;;¡5¢;; (cm)
△ABD에서 6_8=AP”_10이므로
AP”=;;™5¢;; (cm)
Ⅴ. 피타고라스 정리 19
(cid:9000) ②
(cid:9000) ①
… 2점
… 2점
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) ③
C
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
”
E0409_Q특강3하(정)(020-039) 2015.4.9 5:18 PM 페이지20 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
∴ (cid:8772)APCQ=2△APQ
=2_{;2!;_;;¡5¢;;_;;™5¢;;}
=
336
25
(cm¤ )
… 2점
(cid:9000)
336
25
cm¤
21 y=x¤ -2x-3=(x-1)¤ -4이므로
P(1, -4)
… 2점
x¤ -2x-3=0에서 (x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
즉 A(-1, 0), B(3, 0)이므로
AB”=4
AP”=øπ{1-(-1)}¤ +π(-4-0)¤ =2'5
BP”=øπ(1-3)¤ +(-4-0)¤ =2'5
따라서 △PAB의 둘레의 길이는
4+2'5 +2'5 =4+4'5
… 2점
… 3점
… 1점
(cid:9000) 4+4'5
22 꼭짓점 D에서 CE”에
내린 수선의 발을 H라
하면 ∠DCH=60°이
E
H
D
60æ
B
8`cm
A
C
6`cm
므로 △DCH에서
6：DH”=2：'3
∴ DH”=3'3 (cm)
∴ △DCE=;2!;_8_3'3=12'3 (cm¤ )
(cid:9000) ④
23 정사면체의 꼭짓점 A에서
밑면에 내린 수선의 발을 H
6`cm
A
O r`cm
D
H
C
라 하면
AH”= _6=2'6 (cm)
B
'6
3
DH”=;3@;_{ _6}
'3
2
DH”=2'3 (cm)
구의 반지름의 길이를 r cm라 하면
OH”=(2'6-r)cm이므로 △OHD에서
r¤ =(2'6-r)¤ +(2'3 )¤ , 4'6r=36
∴ r=
3'6
2
(cid:9000)
3'6
2
cm
24 오른쪽 전개도에서
O
∠AOD=3_30°=90°
10`cm
10`cm
실의 최소 길이는 AD”의 길
A
D
30æ30æ
75æ
75æ
B
30æ
C
이와 같으므로
AD”=øπ10¤ +10¤
AD”=10'2(cm)
(cid:9000) 10'2 cm
20 SOLUTION
Ⅵ
삼각비
LECTURE
09
삼각비의 뜻
LECTURE BOOK 46쪽
1 (cid:9000) ⑴ ;1!3@; ⑵ ;1∞3; ⑶ ;;¡5™;;
⑷ ;1∞3; ⑸ ;1!3@; ⑹ ;1∞2;
2 (cid:9000) ⑴ 2 ⑵ '5 ⑶
'5
3
⑷
'5
2
3 (cid:9000) ⑴ '2 ⑵ 0 ⑶ ;4!;
4 (cid:9000) ⑴ x=4, y=4'2 ⑵ x=4, y=2'3
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 47~49쪽
01 AC”="√9¤ -6¤ =3'5
① sinA=;3@;
④ sinB=
⑤ tanB=
(cid:9000) ③
'5
3
② cosA=
'5
3
'5
2
02 AB”='3 k, AC”=k(k>0)라 하면
BC”=øπ('3k)¤ +k¤ =2k
이므로 cosB= , cosC=;2!;
'3
2
∴
cosB
cosC
= _2='3
'3
2
03 sin A=
2'5
AC”
=;3@;에서 AC”=3'5이므로
AB”=øπ(3'5)¤ -(2'5)¤ =5
5
2'5
∴ sinC_tan C= _ =;6%;
5
3'5
04 tanA=;3$;이므로 오른쪽 그림과
같은 △ABC를 생각할 수 있다.
AC”="√3¤ +4¤ =5이므로
cosA+sinA=;5#;+;5$;=;5&;
A
3
cosA-sinA=;5#;-;5$;=-;5!;
∴
cosA+sinA
cosA-sinA
=;5&;_(-5)=-7
(cid:9000) '3
(cid:9000) ②
C
4
B
(cid:9000) ①
∠DCA=∠ECB=60°
이므로
∠DCE=180°-60°-60°
=60°
피타고라스 정리를 이용하
여 AC”의 길이를 구한다.
정사면체의 꼭짓점에서
밑면에 내린 수선의 발
은 밑면의 무게중심이
다.
E0409_Q특강3하(정)(020-039) 2015.4.9 5:18 PM 페이지21 SinsagoHitec
Q BOX
sin 30°=
cos30°=
1
2
'3
2
tan 30°= '3
3
△ABC에서
∠A+∠B=90°
△BCD에서
∠B+x=90°
∴ ∠A=x
05 17sinA-15=0에서 sin A=;1!7%;
따라서 오른쪽 그림과 같은
△ABC를 생각할 수 있다.
AB”="√17¤ -15¤ =8이므로
tanA=;;¡8∞;;
C
15
B
17
A
x
D
E
B
06 ∠BCA=90°-∠B
∠BCA=∠BDE=x
△ABC에서
AB”
tanx= =;;¡5™;;
5
∴ AB”=12
∴ BC”="√12¤ +5¤ =13
07 ∠A=x, ∠B=y이고
△ABC에서
AB”=øπ5¤ +(5'3)¤ =10
이므로
y
B
5Â3
sin x=
5'3
10
'3
2
= , siny=;1∞0;=;2!;
∴
sinx
sin y
= _2='3
'3
2
08 △ABCª△AED이므로
∠C=∠ADE
△ADE에서 AE”="√10¤ -6¤ =8이므로
… 3점
∠ABC=∠AED,
∠CAB=∠DAE=90°
이므로 △ABCª△AED
(AA 닮음)
sinC=sin(∠ADE)= =;5$;
tanB=tan(∠AED)= =;4#;
∴ sin C_tanB=;5$;_;4#;=;5#;
AE”
DE”
AD”
AE”
09 EG”=2'2, CE”=2'3이므로 직각삼각형 CEG에서
cosx=
EG”
CE”
=
2'2
2'3
=
'6
3
10 OM”=ON”= _6=3'3
꼭짓점 O에서 MN”에 내린
'3
2
수선의 발을 H라 하면
NH”=;2!; MN”=3
△OHN에서
OH”=øπ(3'3)¤ -3¤ =3'2
O
3Â3
3Â3
M
H3
x
3
N
한 변의 길이가 a인 정
삼각형의 높이 (cid:8857) a'3
2
기울기가 양수인 직선이
x축과 이루는 예각의 크
기가 a일 때 직선의 기
울기 (cid:8857) tana
(cid:9000) ;;¡8∞;;
A
5
x
C
(cid:9000) 13
A
D
x
5
y
C
x
(cid:9000) ③
… 4점
… 1점
(cid:9000) ;5#;
(cid:9000) ④
(cid:9000)
'2
3
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
(cid:9000) 5'3-7
(cid:9000) ③
∴ cosx_sinx= _
3
3'3
3'2
3'3
=
'2
3
11 sin30°+cos30°=
,
1+'3
2
3+2'3
6
sin30°+tan 30°=
이므로
+
(주어진 식)=
2
6
1+'3
3+2'3
(주어진 식)='3-1+2(2'3-3)
(주어진 식)=5'3-7
12 4x¤ -4x+1=0에서
(2x-1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=;2!; (중근)
13 △ADC에서 sin 60°= =
AD”
4
'3
2
∴ AD”=2'3
△ABD에서 sin 45°=
∴ AB”=2'6
14 △ABC에서 cos30°=
∴ AC”=4'3
△ACD에서 cos30°=
2'3
AB”
=
'2
2
6
AC”
=
'3
2
4'3
AD”
=
'3
2
즉 sina=;2!;이므로 a=30°
(cid:9000) ②
∴ AD”=8
(cid:9000) ②
15 OC”=OA”=8이므로 △OBC에서
OB”
8
= (cid:100)(cid:100)∴ OB”=4'2
cos45°=
'2
2
BC”=OB”=4'2이므로 △ABC에서
tan x= =
BC”
AB”
4'2
8+4'2
='2-1
(cid:9000) '2-1
… 2점
16 △ABC에서 tan30°=
8
BC”
=
'3
3
∴ BC”=8'3 (cm)
△DBC에서 cos45°=
'2
= (cid:100)
2
BD”
8'3
∴ BD”=4'6 (cm)
CD”=BD”=4'6 cm이므로
△DBC=;2!;_4'6_4'6=48(cm¤ ) … 2점
(cid:9000) 48 cm¤
… 2점
17 5x-2y+10=0에서 y=;2%;x+5
∴ tan a=;2%;
(cid:9000) ⑤
Ⅵ. 삼각비 21
E0409_Q특강3하(정)(020-039) 2015.4.9 5:18 PM 페이지22 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
18 직선의 기울기는 tan60°='3
구하는 직선의 방정식을 y='3 x+b라 하면 x절
편이 2이므로
0=2'3+b(cid:100)(cid:100)∴ b=-2'3
따라서 구하는 직선의 방정식은
y='3x-2'3, 즉 '3x-y-2'3=0
(cid:9000) ①
LECTURE
10
삼각비의 값
LECTURE BOOK 50쪽
1 (cid:9000) ⑴ 0.6018 ⑵ 0.7986 ⑶ 0.7536
2 (cid:9000) ⑴ 2 ⑵
'2+'3
2
⑶ 0
3 (cid:9000) ⑴ 0.9781 ⑵ 0.1736 ⑶ 8.1443
4 (cid:9000) ⑴ 83° ⑵ 79° ⑶ 78°
LECTURE BOOK 51~53쪽
=
CE”
1
=CE”
(cid:9000) ③
필수 유형 공략
01 △ACE에서
CE”
AE”
tanx=
02 △ODC에서
CD”
OD”
tanx=
=
CD”
1
=CD”
∠OAB=y이므로 △OAB에서
sin y=
OB”
OA”
=
OB”
1
=OB”
(cid:9000) ④
03 △AOC에서 cos50°=
=OC”이므로
OC”
1
BC”=OB”-OC”=1-cos50°
(cid:9000) ⑤
04 ④ cos45°(sin90°-sin 30°)
④ = _{1-;2!;}=
'2
2
'2
4
05 p=cos90°-2cos30°_tan 30°
'3
p=0-2_ _ =-1
2
'3
3
q=cos0°-2cos0°_tan0°=1-0=1
∴ p-q=-2
(cid:9000) ①
22 SOLUTION
0°…x<90°인 범위에
서 x의 값이 증가하면
tan x의 값은 증가한다.
0°…x…90°인 범위에
서 x의 값이 증가하면
sin x의 값은 증가하고,
cosx의 값은 감소한다.
반지름의 길이가 1인 사분
원을 이용하면 한 예각의
삼각비의 값을 선분의 길이
로 나타낼 수 있다.
"≈a¤ =|a|
=[
-a(aæ0)
-a(a<0)
06 x-y+'3=0에서 y=x+'3이므로
tana=1(cid:100)(cid:100)∴ a=45°
… 3점
따라서 주어진 식의 값은
cos45°_sin90°-cos90°_tan 45°
= _1-0_1=
'2
2
'2
2
… 3점
(cid:9000)
'2
2
07 sin 0°=0, cos 60°=;2!;, tan 45°=1,
sin 60°= 이고 tan 70°>tan 45°=1
'3
2
이상에서 크기가 작은 것부터 나열하면 ㈀, ㈁,
㈃, ㈂, ㈄이다.
(cid:9000) ㈀, ㈁, ㈃, ㈂, ㈄
'3
08 ③ cos30°= , sin 70°>sin60°=
2
'3
2
③ ∴ cos30°cos50°
⑤ tan 45°=1, cos80°<1
③ ∴ tan 45°>cos80°
09 ① 0°…A…45°일 때, cosAæsin A
③ 0°…A…60°일 때, ;2!;…cosA…1
⑤ 45°…A<90°일 때, tan A>sinA
10 0°1이므로
cosA+1>0, 1-tan A<0
∴ (주어진 식)
∴ =cosA+1-cosA-{-(1-tan A)}
∴ =2-tan A
(cid:9000) 2-tan A
12 0°0
따라서 주어진 식을 간단히 하면
즉 1-sinA=;2!;이므로 sinA=;2!;
이때 0°0)
∴ AB”=2PA”=2_3'5=6'5 (cm)
02 x_(x+13)=3_(3+7), x¤ +13x-30=0
(x+15)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
03 PD”=2x, PC”=5x라 하면
5x_2x=4_10, x¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
∴ PD”=4
04 OP”=x cm라 하면
PA”=(9+x)cm, PB”=(9-x)cm
(9+x)(9-x)=4_8이므로
x¤ =49(cid:100)(cid:100)∴ x=7 (∵ x>0)
(cid:9000) ③
(cid:9000) 2
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
05 나머지 반원을 그리고 CD”
의 연장선과 원 O가 만나
는 점을 E라 하자.
DB”=6 cm이므로
O
D
4`cm
B
A
2`cm
C
E
CD”=DE”=x cm라 하면
x¤ =2_6=12(cid:100)(cid:100)
∴ x=2'3 (∵ x>0)
06 OA”의 연장선이 원 O와 만
나는 점을 D라 하면
PD”=8+4=12
4_12=6_PC”이므로
PC”=8
D
P
4
O
A
(cid:9000) ④
B
6
4
C
(cid:9000) 8
07 PA”=7-x, PB”=7+x이므로
(7-x)(7+x)=3_8
x¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
(cid:9000) ③
OD”⊥CE”이므로
CD”=DE”
E0409_Q특강3하(정)(020-039) 2015.4.9 5:18 PM 페이지37 SinsagoHitec
08 △OAB는 이등변삼각형이고
∠AOB=60°이므로 △OAB는 정삼각형이다.
OA”=OB”=AB”=10 cm
D
이므로 CO”의 연장선이 원
O와 만나는 점을 D라 하면
O
CD”=2OA”=20(cm)
PB”=x cm라 하면
C
60æ
10`cm
A
B
4`cm
P
x(x+10)=4_(4+20)이므로
x¤ +10x-96=0, (x+16)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=6 (∵ x>0)
09 원 O에서
원 O'에서
∴ x+y=26
7_(7+x)=9_(9+5)(cid:100)(cid:100)∴ x=11 … 2점
6_(6+y)=9_(9+5)(cid:100)(cid:100)∴ y=15 … 2점
(cid:9000) ③
… 1점
(cid:9000) 26
10 OC”=OO'”-CO'”=7-6=1이므로 PC”=x라 하면
PA”=AC”+PC”=5+x
PB”=OB”-(OC”+PC”)=4-(1+x)=3-x
PD”=CD”-PC”=12-x
원 O, O'에서
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
(5+x)(3-x)=x(12-x)
14x=15(cid:100)(cid:100)∴ x=;1!4%;
(cid:9000) ②
11 3_4=AD”_6이므로 AD”=2(cm)
PA”=x cm라 하면
(4'3)¤ =x(x+8)이므로
x¤ +8x-48=0, (x+12)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=4 (∵ x>0)
12 ∠PTA=∠ABT=∠P이므로 △APT는 이등
(cid:9000) 4 cm
변삼각형이다.
∴ AP”=AT”=4 cm
¤ =4_(4+6)=40이므로
PT”
PT”=2'ß10(cm) (∵ PT”>0)
13 AB”=x cm라 하면
4¤ =(8-x)_8, 8x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=6
14 AO”의 연장선이 원 O와 만나
B
는 점을B 라 하면
(2'5)¤ =x(x+8)
x¤ +8x-20=0
(x+10)(x-2)=0
∴ x=2 (∵ x>0)
(cid:9000) ③
(cid:9000) 6 cm
O
4
A
T 2Â5
x
P
(cid:9000) ④
Q BOX
∠OAB
=∠OBA
=;2!;_(180°-60°)
=60°
15 PA”=x라 하면
6¤ =x(x+9), x¤ +9x-36=0
(x+12)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0)
△PTA와 △PBT에서
∠P는 공통, ∠PTA=∠PBT
이므로 △PTAª△PBT`(AA 닮음)
3：6=AT”：10(cid:100)(cid:100)∴ AT”=5
(cid:9000) ④
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
16 PT”
¤ =2_(2+6)=16이므로(cid:100)(cid:100)
PT”=4 (∵ PT”>0)
△PTA와 △PBT에서
∠P는 공통, ∠PAT=∠PTB
이므로 △PTAª△PBT`(AA 닮음)
AT”：3=4：2(cid:100)(cid:100)∴ AT”=6
17 PT”
¤ =PC”_PD”=PA”_PB”
=4_(4+8)=48
∴ PT”=4'3 (∵ PT”>0)(cid:100)(cid:100)
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) 6
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
¤ =PA”_PB”
원 O에서
PT”
원 O'에서
PT'”
¤ =PA”_PB”
18 PT”
¤ =PT'”
¤ =6_(6+9)=90이므로
PT”=PT'”=3'∂10(cm) (∵ PT”>0, PT'”>0)
∴ TT'”=6'∂10(cm)
원 O에서
PA”_PB”=PE”_PF”
원 O'에서
PC”_PD”=PE”_PF”
PT”
¤ =PA”_PB”
대단원별 기출문제 정복
LECTURE BOOK 90~93쪽
01 ② 02 ② 03 ③ 04 3'7 cm
05 ⑤ 06 ③ 07 ⑤ 08 ③ 09 ④
10 ④ 11 ① 12 360° 13 ① 14 ②
15 ③ 16 ;;™2¶;; cm¤
19 2'∂85 cm
22 36'5 cm¤
20 50°
23 100° 24 ②
21 2'∂21
17 ③ 18 ⑤
원의 중심에서 현에 내
린 수선은 그 현을 이
등분한다.
A
C
O D
FHE
B
01 원의 중심 O에서 AB”에 내
린 수선의 발을 H라 하면
AH”=;2!; AB”=10(cm),
CH”=;2!; CD”=8(cm),
EH”=;2!; EF”=4(cm)
∴ AC”=AH”-CH”=2(cm)
FD”=CE”=CH”-EH”=4(cm)
(cid:9000) ②
Ⅶ. 원의 성질 37
E0409_Q특강3하(정)(020-039) 2015.4.9 5:18 PM 페이지38 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
02 원의 중심을 O라 하고
반지름의 길이를 x cm
C
3`cm
A
6`cm
H
B
x`cm
{x-3}`cm
O
라 하면
OA”=x cm,
OH”=(x-3)cm
이므로 △OAH에서
x¤ =(x-3)¤ +6¤ , 6x=45
∴ x=;;¡2∞;;
03 OL”=OM”이므로 AB”=BC”
△ABC에서 ∠ABC=180°-2_55°=70°
따라서 (cid:8772)LBMO에서
∠LOM=360°-(90°+70°+90°)=110°
04 ∠OTP=90°이고 OT”=OA”=9 cm이므로
△OTP에서 PT”="√12¤ -9¤ =3'7(cm)
(cid:9000) 3'7 cm
[다른 풀이]
AO”의 연장선과 원 O의 교점을 B라 하면
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =3_(3+9+9)=63
PT”
∴ PT”=3'7(cm) (∵ PT”>0)
05 ㈂ 점 A에서 원 O에 그은 두 접선의 길이는 같으
므로 AD”=AE”
㈃ BF”=BD”, CF”=CE”이므로
AB”+BC”+CA”=AB”+BF”+CF”+CA”
=AB”+BD”+CE”+CA”
=AD”+AE”
=2AD”
이상에서 옳은 것은 ㈂, ㈃이다.
06 BD”=BF”=x cm라 하면
AE”=AF”=(11-x)cm,
CE”=CD”=(8-x)cm
(11-x)+(8-x)=7이므로
2x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=6
(cid:9000) ③
07 μADC에 대한 중심각의 크
기는
360°-110°=250°
A
x
B
110æ
O
60æ
C
∴ ∠B=;2!;_250°=125°
(cid:8772)AOCB에서
∠x=360°-(110°+60°+125°) =65°
D
08 ∠DAC=∠DBC=42°, ∠ADC=90°이므로
△ADC에서 ∠x=180°-(90°+42°)=48°
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
38 SOLUTION
원의 중심에서 같은 거
리에 있는 현의 길이는
같다.
원의 접선은 그 접점을
지나는 반지름과 수직
이다.
원에 내접하는 사각형
의 한 외각의 크기는 그
내대각의 크기와 같다.
원의 접선과 현이 이루
는 각의 크기는 그 각
의 내부에 있는 호에
대한 원주각의 크기와
같다.
09 ∠ADB：∠x=μAB：μCD=1：3이므로
∠ADB=;3!;∠x
△DPB에서
∠x=;3!;∠x+38°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=57°
10 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠y=180°-105°=75°
∠AEC=∠y=75°이므로 △APE에서
∠x=118°-75°=43°
∴ ∠y-∠x=75°-43°=32°
11 △ABP에서
∠A=180°-(85°+22°)=73°
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠DCP=∠A=73°
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
12 BE”를 그으면 (cid:8772)ABEF가
A
F
원에 내접하므로
∠ABE+∠F=180°
(cid:8772)BCDE가원에내접하므로
∠CBE+∠D=180°
∴ ∠B+∠D+∠F
B
E
C
D
=∠ABE+∠CBE+∠D+∠F
=180°+180°=360°
(cid:9000) 360°
13 ∠AOB=;9!;_360°=40°
P
μAB를 제외한 원 O 위의 한 점
P에 대하여
∠APB=;2!;∠AOB=20°
∴ ∠BAT=∠APB=20°
[다른 풀이]
O
A
B
T
(cid:9000) ①
∠AOB=;9!;_360°=40°이고 △OAB는 이등변
삼각형이므로
∠OAB=;2!;_(180°-40°)=70°
∠OAT=90°이므로
∠BAT=∠OAT-∠OAB=20°
14 (cid:8772)ABCD가 원 O에 내접
하므로
∠A=180°-118°=62°
A
BD”를 그으면
∠ABD=90°이므로
∠ADB=180°-(90°+62°)=28°
∴ ∠ABT=∠ADB=28°
T
D
C
O
118æ
B
(cid:9000) ②
E0409_Q특강3하(정)(020-039) 2015.4.9 5:18 PM 페이지39 SinsagoHitec
Q BOX
15 DP”=x cm라 하면 CP”=(14-x)cm이므로
8_5=x_(14-x), x¤ -14x+40=0
(x-4)(x-10)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=4 또는 x=10
이때 DP”>CP”이므로 DP”=10(cm)
16 6¤ =4_(4+AB”)(cid:100)(cid:100)∴ AB”=5(cm)
∴ △ATP=;2!;_6_9_sin30°
∴ △ATP=;2!;_6_9_;2!;=;;™2¶;;(cm¤ )
[다른 풀이]
△ATPª△TBP이고 닮음비가
TP”：BP”=6：4=3：2
이므로 넓이의 비는 9：4
△TBP=;2!;_6_4_sin30°=6(cm¤ )이므로
△ATP：6=9：4(cid:100)(cid:100)∴ △ATP=;;™2¶;; (cm¤ )
(cid:9000) ③
(cid:9000) ;;™2¶;; cm¤
두 변의 길이가 a, b이
고 그 끼인 각의 크기
가 x인 삼각형의 넓이
(cid:8857) ;2!;absinx
∠TAP=∠BTP,
∠P는 공통이므로
△ATPª△TBP
△ABP에서
(∠x+27°)+(44°+27°)+32°=180°
∴ ∠x=50°
21 BP”=x라 하면AP”=20- x
(20-x)：x=7：3이므로 10x=60
∴ x=6
¤ =14_6=84이므로(cid:100)(cid:100)
PC”
PC”=2'∂21 (∵ PC”>0)
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
… 3점
(cid:9000) 50°
… 3점
… 3점
(cid:9000) 2'∂21
(단, 0°0)
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
11 △ABC™△CDE이므로 BC”=DE”=8 cm
△ABC에서 AC”="√6¤ +8¤ =10(cm)
이때 △ACE는 AC”=CE”=10 cm인 직각이등변
AB”
¤ =BC”
BC”=øπAB”
¤ +AC”
¤ -AC”
¤ 이므로
삼각형이므로
AE”="√10¤ +10¤ =10'2(cm)
(cid:9000) 10'2 cm
∠ACB+∠DCE
=∠ACB+∠BAC
=90°
이므로 ∠ACE=90°
12 BG”=x cm라 하면 FG”=CG”=(9-x)cm
BF”=DC”=6 cm이므로 △BFG에서
x¤ =6¤ +(9-x)¤ , 18x=117
∴ x=;;¡2£;;
∴ △BEG=;2!;_6_;;¡2£;;=;;£2ª;;(cm¤ )
(cid:9000) ;;£2ª;; cm¤
피타고라스 정리와 도형
WORK BOOK 8쪽
LECTURE
04
기본 UP
01 (cid:9000) ㈀, ㈁, ㈄, ㈅
02 (cid:9000) 4
03 (cid:9000) ⑴ 직 ⑵ 예 ⑶ 예 ⑷ 둔
04 (cid:9000) ⑴ 3…x<'∂13 ⑵ '∂396¤ +9¤
∴ x>3'∂13 (∵ x>0)
㉠, ㉡에 의하여 3'∂130)
따라서 정육면체의 부피는
6_6_6=216(cm‹ )
(cid:9000) 216 cm‹
Ⅴ. 피타고라스 정리` 45
¤
E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지46 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
08 AG”=3'3 cm이므로
△AEG에서 3¤ =AI”_3'3
∴ AI”='3 (cm)
AE”
¤ =AI”_AG”
(cid:9000) ②
09 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
AF”=FH”=HA”='2a cm
따라서 △AFH는 정삼각형이고 넓이가
12'3 cm¤ 이므로
'3
4
∴ a=2'6 (∵ a>0)
_('2a)¤ =12'3, a¤ =24
13 PB”=PC”= _12
'3
2
PB”=6'3 (cm)
점 P에서 BC”에 내린 수
선의 발을 Q라 하면
CQ”=;2!; BC”=6(cm)
A
P
D
12`cm
B
Q
C
△PQC에서
PQ”=øπ(6'3 )¤ -6¤ =6'2 (cm)
∴ △PBC=;2!;_12_6'2
∴ △PBC=36'2 (cm¤ )
(cid:9000) 36'2 cm¤
서 AG”에 내린 수선의 발
3Â5`cm
3Â5`cm
M
I
A
6Â3`cm
G
△MAG는 MA”=MG”인
이등변삼각형이므로
AI”=GI”
(cid:9000) ③
… 2점
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) 9'6 cm¤
10 AG”=6'3 cm
△AMD에서
AM”="√6¤ +3¤ =3'5(cm)
△MCG에서
MG”="√6¤ +3¤ =3'5(cm)
△AGM의 꼭짓점 M에
을 I라 하면
AI”=GI”=3'3 cm
이므로 △MAI에서
MI”=øπ(3'5)¤ -π(3'3 )¤
MI”=3'2(cm)
∴ △AGM=;2!;_6'3_3'2
∴ △AGM=9'6(cm¤ )
이가 8 cm이므로
'6
3
a=8(cid:100)(cid:100)∴ a=4'6
따라서 정사면체의 부피는
'2
12
_(4'6)‹ =64'3 (cm‹ )
11 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 높
12 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 높
이가 4'3 cm이므로
'6
3
a=4'3(cid:100)(cid:100)∴ a=6'2
△AHD에서
DH”=øπ(6'2)¤ -π(4'3 )¤ =2'6 (cm)
∴ △AHD=;2!;_2'6_4'3
∴ △AHD=12'2 (cm¤ )
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①
46 `SOLUTION
LECTURE
08
기본 UP
피타고라스 정리의 입체도형에서의 활용 ⑵
WORK BOOK 17쪽
01 (cid:9000) ⑴ h=2'7, V=
⑵ h=4, V=24
32'7
3
(cid:100)
02 (cid:9000) ⑴ h=8, V=96p(cid:100)
⑵ h=2'∂14, V=
50'∂14
3
p
03 (cid:9000) ⑴
4π
(cid:100)
B'
B
2π
A
⑵ 2'5 p
A'
내신 UP
WORK BOOK 17~18쪽
04 주어진 전개도로 만들어
지는 사각뿔은 오른쪽
그림과 같다.
BD”='2_2'6=4'3
이므로
BH”=;2!; BD”=2'3
O
6
D
A
H
2Â6
C
B
E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지47 SinsagoHitec
△OBH에서
OH”=øπ6¤ -(2'3 )¤ =2'6
따라서 사각뿔의 부피는
;3!;_(2'6 )¤ _2'6=16'6
(cid:9000) 16'6
05 ① AH”=;2!; AC”=;2!;_6'2=3'2 (cm)
② OH”=øπ(5'2 )¤ -(3'2 )¤ =4'2 (cm)
③ △OBH=;2!;_3'2_4'2=12 (cm¤ )
④ (부피)=;3!;_6¤ _4'2=48'2 (cm‹ )
⑤ △OBC의 꼭짓점 O에
O
서 BC”에 내린 수선의
발을 M이라 하면
5Â2`cm
5Â2`cm
BM”
”=;2!; BC”=3(cm)
B
M
6`cm
C
△OBM에서
OM”=øπ(5'2 )¤ -3¤ ='∂41 (cm)
∴ (겉넓이)=6¤ +4_{;2!;_6_'∂41}
∴ (겉넓이)=12(3+'∂41)(cm¤ )
(cid:9000) ②, ③
O
B
H
A 8`cm
… 2점
(cid:9000) 50 cm
O
D
C
A
5`cm
4`cm
B
8`cm
06 밑면인 원의 중심을 H라 하면
OH”는 원뿔의 높이이므로
;3!;_p_8¤ _OH”=320p(cid:100)
∴ OH”=15(cm)
OA”=OB”=øπ8¤ +15¤
… 2점
=17(cm) … 2점
따라서 △OAB의 둘레의 길이는
17+17+16=50(cm)
07 BA”의 연장선과 CD”의 연장
선의 교점을 O라 하면
OA”：(OA”+5)=4：8
4OA”+20=8OA”
∴ OA”=5(cm)
△OAD에서
OD”="√5¤ -4¤ =3(cm)
△OBC에서
OC”="√10¤ -8¤ =6(cm)
따라서 구하는 부피는
;3!;_p_8¤ _6-;3!;_p_4¤ _3=112p(cm‹ )
(cid:9000) 112p cm‹
08 ① (부채꼴의 호의 길이)
① =2p_8_
=6p(cm)
135
360
Q BOX
(부채꼴의 넓이)
=;2!;_(반지름의 길이)
=_(호의 길이)
② 밑면의 둘레의 길이는 부채꼴의 호의 길이
와 같으므로 밑면의 반지름의 길이를 r cm라
하면
2pr=6p(cid:100)(cid:100)∴ r=3
③ (부채꼴의 넓이)=;2!;_8_6p=24p(cm¤ )
④ (원뿔의 높이)="√8¤ -3¤ ='∂55 (cm)
⑤ (원뿔의 부피)=;3!;_p_3¤ _'∂55
=3'∂55p (cm‹ )
(cid:9000) ③, ⑤
09 △OAB에서
AB”="√6¤ -3¤ =3'3 (cm)
따라서 단면인 원의 둘레의 길이는
2p_3'3 =6'3p(cm)
10 오른쪽 그림에서
OP”="√5¤ -3¤ =4(cm)
OA”=OB”=5 cm이므로
AP”=5+4=9(cm)
따라서 원뿔의 부피는
;3!;_p_3¤ _9=27p(cm‹ )
(cid:9000) ②
A
O
5`cm
B
3`cm
P
(cid:9000) 27p cm‹
11 구하는 최단 거리는 오
른쪽 전개도에서 FM”
의 길이와 같으므로
FM”="√7¤ +(2'2)¤
='∂57(cm)
B
F
C
D
M
2Â2`cm
4`cm
3`cm
G
H
W
O
R
K
B
O
O
K
(cid:9000) '∂57 cm
4Â3`cm
D
A
60æ
M
C
△OADª△OBC
(AA 닮음)
의 길이와 같다.
B
12 구하는 최단 거리는 오
른쪽 전개도에서 BD”
AB”=BC”=CD”=DA”
이므로 (cid:8772)ABCD는 마름
모이다.
한 변의 길이가 a인 정
삼각형의 높이
a'3
2
(cid:8857)
이때 (cid:8772)ABCD는 마
름모이므로 AC”⊥BD”
AC”와 BD”의 교점을 M이라 하면 △ABC는 정
삼각형이므로
'3
BD”=2 BM”=2_{ _4'3}=12(cm)
2
(cid:9000) ⑤
Ⅴ. 피타고라스 정리` 47
E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지48 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
Ⅵ
삼각비
LECTURE
09
기본 UP
삼각비의 뜻
WORK BOOK 19쪽
01 (cid:9000) ⑴
2'5
5
⑵
'5
5
⑶
2'5
5
⑷ ;2!;
02 (cid:9000) ⑴ ;5$; ⑵ ;4#; ⑶ ;3$; ⑷ ;5#;
03 (cid:9000) ⑴ AC”, CD”
⑵ BC”, BC”
”, AC”
”, CD”
⑶ AC”, CD”
”, AD”
04 (cid:9000) ㈎
'2
2
㈏
'3
2
㈐
'3
2
㈑
'3
3
㈒ '3
05 (cid:9000) ⑴ ;2!; ⑵ '3 ⑶ '3 ⑷ -2 ⑸ -;4!;
06 (cid:9000) ⑴ x=2, y=1 ⑵ x=4'2, y=4'2
⑶ x=5, y=5'3 ⑷ x=6'2, y=6
내신 UP
WORK BOOK 20~21쪽
07 △ABC에서 AB”="√13¤ -12¤ =5
=;7%;
△ABD에서 cosx=
AB”
AD”
에서 BC”=2'5이므로
08 cosC= =
2'5
5
4
BC”
AB”=øπ(2'5 )¤ -4¤ =2
∴ △ABC=;2!;_2_4=4
09 sin A= =;5$;에서 AC”=10이므로
8
AC”
AB”="√10¤ -8¤ =6
④ cosA_tanA=;5#;_;3$;=;5$;, sinC=;5#;
④ ∴ cosA_tan A+sinC
10 ∠ABC=90°-∠BAD=∠CAD=x이므로
△ABC에서
tanx= ='3(cid:100)(cid:100)∴ AC”=10'3
AC”
10
∴ BC”="√10¤ +(10'3)¤ =20
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
48 `SOLUTION
11 BD”="√4¤ +6¤ =2'ß13
∠ABD=90°-∠BAH=∠DAH=x이므로
△ABD에서
sin x= =
AD”
BD”
6
2'∂13
=
3'ß13
13
(cid:9000)
3'ß13
13
sin C=
AB”
15
=;5$;에서
AB”=12
∴ BC”="√15¤ -12¤ =9
12 EG”="√3¤ +4¤ =5
AG”="√3¤ +4¤ +12¤ =13
이므로 △AEG에서
sin x-cosx=;1!3@;-;1∞3;=;1¶3;
(cid:9000) ③
(cid:9000) ④
(cid:9000) '3
(cid:9000) 2'6
(cid:9000) ③
13 (주어진 식)=;2!;÷{ _ }- _
'3
2
'3
3
'2
2
'2
2
(주어진 식)=;2!;
14 sin 45°= 이므로
'2
2
x-15°=45°(cid:100)(cid:100)∴ x=60°
따라서 구하는 값은
sin 60°+cos30°= + ='3
'3
2
'3
2
직각삼각형에서 두 변
의 길이를 알면 나머지
한 변의 길이를 구할
수 있다.
15 △BCD에서
BC”
12
sin 45°=
△ABC에서
= (cid:100)(cid:100)∴ BC”=6'2 … 3점
'2
2
tan60°=
='3(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2'6 … 3점
16 △ABD에서 ∠BAD=60°-30°=30°이므로
삼각형에서 한 외각의
크기는 이웃하지 않는
두 내각의 크기의 합과
같다.
AD”=BD”=6 cm
△ADC에서
6'2
AB”
DC”
6
AC”
6
cos60°=
=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ DC”=3(cm)
sin 60°=
= (cid:100)(cid:100)∴ AC”=3'3 (cm)
'3
2
∴ △ABC=;2!;_9_3'3=
27'3
2
(cm¤ )
sin 30°=
17 △ABC에서
3
AB”
3
BC”
tan30°=
=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ AB”=6
= (cid:100)(cid:100)∴ BC”=3'3
'3
3
∠BAD=30°-15°=15°이므로
DB”=AB”=6
0°…x…90°인 범위에
서 x의 값이 증가하면
① sin x의 값은 0에서
② cos x의 값은 1에서
1까지 증가
0까지 감소
③ tan x의 값은 0에서
무한히 증가
(단, x+90°)
내신 UP
WORK BOOK 22~23쪽
삼각형의 변의 길이
E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지49 SinsagoHitec
Q BOX
∴ tan 15°= =
AC”
DC”
3
6+3'3
=2-'3
"ça¤ =|a|
"a¤ =[
a(aæ0)
-a(a<0)
(cid:9000) 2-'3
18 직선의 기울기는 tan45°=1(cid:100)(cid:100)∴ a=1
직선 y=x+b의 x절편이 -6이므로
0=-6+b(cid:100)(cid:100)∴ b=6
∴ a-b=-5
(cid:9000) ②
삼각비의 값
LECTURE
10
기본 UP
WORK BOOK 22쪽
01 (cid:9000) ⑴ < ⑵ > ⑶ < ⑷ < ⑸ > ⑹ <
02 (cid:9000) ㈁, ㈄
03 (cid:9000) ⑴ 0.5736 ⑵ 0.7986 ⑶ 0.6494
⑷ 34 ⑸ 35 ⑹ 36
04 ⑤ cosz=cosy= =BC”
BC”
AC”
05 ④ sin 36°= =0.59
OB”
OA”
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
(cid:9000) 0
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
06 (주어진 식)=6_;2!;_1-'3_'3_1=0
07 ① cos0°=1
③ 0tan 45°=1
이상에서 가장 큰 것은 ④이다.
08 45°1이므로
cosA1이므로
tanA-cosA>0, sin A+cosA>0,
sin A-tan A<0
∴ (주어진 식)
=(tan A-cosA)+(sin A+cosA)
-{-(sin A-tanA)}
=2sinA
(cid:9000) 2sinA
10 sin15°=0.2588이므로 x=15°
tan 17°=0.3057이므로 y=17°
∴ x+y=32°
11 ⑴ sin56°+cos54°=0.8290+0.5878
=1.4168
⑵ tan 57°=1.5399이므로 x=57°
∴ sin 57°=0.8387
(cid:9000) ④
… 3점
… 2점
… 1점
(cid:9000) ⑴ 1.4168 ⑵ 0.8387
12 ∠COD=x라 하면
tan x=CD”=0.4877이므로 x=26°
△AOB에서
AB”=sin 26°=0.4384,
OB”=cos26°=0.8988
따라서 △AOB의 둘레의 길이는
1+0.4384+0.8988=2.3372
(cid:9000) 2.3372
W
O
R
K
B
O
O
K
LECTURE
11
기본 UP
WORK BOOK 24쪽
01 (cid:9000) ⑴ x=4'2 , y=4 ⑵ x=45.5, y=21
02 (cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 45° ⑶ 6'2
03 (cid:9000) 2('3 +1)
내신 UP
WORK BOOK 24~25쪽
04 △ABC에서 AB”=12 sin 30°=6
∠BAC=60°이므로 ∠BAD=;2!;_60°=30°
따라서 △ABD에서
BD”=6tan 30°=6_ =2'3
'3
3
(cid:9000) ①
05 AB”=
6'3
cos30°
2
=6'3 _ =12(m)
'3
AC”=6'3 tan30°=6'3 _ =6(m) … 2점
… 2점
'3
3
따라서 처음 이 나무의 높이는
AB”+AC”=18(m)
… 2점
(cid:9000) 18 m
Ⅵ. 삼각비` 49
E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지50 SinsagoHitec
WORK BOOK
06 꼭짓점 B에서 AC”에
내린 수선의 발을 H라
A
하면
BH”=4'3 sin30°
BH”=2'3(cm)
AH”=4'3 cos30°
=6(cm)
10`cm
30æ
H
4Â3`cm
B
C
CH”=10-6=4(cm)이므로 △HBC에서
BC”=øπ(2'3)¤ +4¤ =2'7(cm)
(cid:9000) ②
07 꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선
A
CH”=a sin B=AC”sinA
H
의 발을H 라 하면
∴ AC”=
asinB
sinA
Q BOX
특수한 각의 삼각비를 이용
할 수 있도록 2개의 직각삼
각형으로 나눈다.
②
asin C
sinA
=AB”
③`~`⑤는 한 변의 길이로
나타낼 수 없다.
AB”=øπ7¤ +3¤ ='∂58(m)
(cid:9000) '∂58 m
09 꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수
A
B
C
a
(cid:9000) ①
B
7Â2`m
A
H
10`m
45æ
C
B
45æ
60æ
H
8`m
30æ
C
(cid:9000) ③
A
45æ
30æ
(cid:9000) 9(3-'3)cm
A
45æ
30æ
45æ
B
120æ
3`cm
C
H
08 꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수
선의 발을 H라 하면
BH”=7'2 sin45°=7(m)
CH”=7'2 cos45°=7(m)
AH”=10-7=3(m)이므로
△AHB에서
선의 발을 H라 하면
BH”=8sin30°=4(m)
이므로 △AHB에서
AB”=
4
cos45°
=4'2(m)
10 AH”=h cm라 하면
BH”=h tan 45°=h(cm)
CH”=htan30°
'3
CH”= h(cm)
3
h+ h=18이므로
'3
3
h=18_
=9(3-'3)
3
3+'3
11 AH”=h cm라 하면
BH”=h tan45°=h(cm)
CH”=htan30°= h(cm)
'3
3
h- h=3이므로
'3
3
h=3_
3
3-'3
=
3(3+'3)
2
50 `SOLUTION
B
60æ
C
H
18`cm
△ABG=△BCG
=△CAG
=;3!;△ABC
BH”+CH”=18 cm
12 AD”=h m라 하면
BD”=htan 60°
BD”='3h(m)
CD”=htan 30°
'3
CD”= h(m)
3
'3
3
'3h- h=40이므로
2'3
3
h=40(cid:100)(cid:100)∴ h=20'3
A
60æ
30æ
B
30æ
40`m
60æ
D
C
(cid:9000) ⑤
삼각형의 넓이
LECTURE
12
기본 UP
WORK BOOK 26쪽
01 (cid:9000) ⑴ ;;¡4∞;; ⑵ 54'3 ⑶ 6'3 ⑷ 40'2
02 (cid:9000) ⑴ 15'2 ⑵ 48'3
03 (cid:9000) ⑴ 45'3 ⑵ 20'2
내신 UP
WORK BOOK 26~27쪽
04 ;2!;_8_AB”_sin45°=12이므로
2'2 AB”=12(cid:100)(cid:100)∴ AB” =3'2 (cm)
05 △ABC=;2!;_4_9_sin45°=9'2(cm¤ )이므로
△ABG=;3!;△ABC=3'2 (cm¤ )
06 ∠B=180°-(∠A+∠C)=150°이므로
△ABC=;2!;_12_9_sin(180°-150°)
△ABC=;2!;_12_9_;2!;
△ABC=27(cm¤ )
07 △AOC에서
∠AOC=180°-2_22.5°=135°
이므로 부채꼴 AOC의 넓이는
(cid:9000) ②
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
BH”-CH”=3 cm
(cid:9000) ②
p_4¤ _;3!6#0%;=6p(cm¤ )
… 2점
E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지51 SinsagoHitec
Q BOX
Ⅶ
원의 성질
현의 성질
LECTURE
13
기본 UP
01 (cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 2'5
02 (cid:9000) ⑴ 24 ⑵ 5
원의 중심에서 현에 내
린 수선은 그 현을 이등
분한다.
정십이각형은 12개의 합동
인 이등변삼각형으로 이루
어져 있다.
(cid:9000) ③
현의 수직이등분선은
원의 중심을 지난다.
△AOC=;2!;_4_4_sin(180°-135°)
'2
△AOC=;2!;_4_4_ =4'2(cm¤ ) … 2점
2
따라서 색칠한 부분의 넓이는 (6p-4'2 )cm¤
이다.
… 2점
(cid:9000) (6p-4'2)cm¤
08 AC”를 그으면
△ABC
A
2Â7`cm
D
120æ
2Â7`cm
=;2!;_10_AB”_sin60°
60æ
B
10`cm
C
=
5'3
2
AB”
△ACD=;2!;_2'7_2'7_sin(180°-120°)
△ACD=;2!;_2'7_2'7_ =7'3(cm¤ )
'3
2
(cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD이므로
5'3
2
AB”+7'3=27'3,
5'3
2
AB”=20'3
∴ AB”=8(cm)
(cid:9000) ②
09 오른쪽 그림에서
∠AOB=360°_
;1¡2;
이므로 구하는 넓이는
=30°
12_{;2!;_1_1_sin30°}
=12_{;2!;_1_1_;2!;}
=3(cm¤ )
10 오른쪽 그림에서
360°
8
=45°
x=
마름모 1개의 넓이는
'2_'2_sin45°='2
따라서 구하는 넓이는
8_'2=8'2
A
B
1`cm
O
Â2
x
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
11 (cid:8772)ABCD=8_8'3_sin60°
(cid:8772)ABCD=8_8'3_ =96(cm¤ )
'3
2
∴ △ABM=;4!; (cid:8772)ABCD=24(cm¤ )
12 AC”=BD”=6 cm이므로
(cid:8772)ABCD=;2!;_6_6_sin 60°
(cid:8772)ABCD=;2!;_6_6_
'3
2
(cid:8772)ABCD=9'3(cm¤ )
(cid:9000) 9'3 cm¤
OM”⊥AB”이므로
AM”=BM”
△ABM=;2!;△ABC
△ABM=;4!;(cid:8772)ABCD
등변사다리꼴의 두 대
각선의 길이는 서로 같
다.
△OAM™△OBM
(RHS 합동)이므로
∠AOM=∠BOM
WORK BOOK 28쪽
W
O
R
K
B
O
O
K
내신 UP
WORK BOOK 28~29쪽
03 AB”와 OE”의 교점을 M
A
B
E
M
x
O
C
D
이라 하면
AM”=;2!;AB”=9
OA”=15이므로 △OAM
에서
x="√15¤ -9¤ =12
(cid:9000) ②
04 OD”=;2!; OA”=4(cm)
△ADO에서 AD”="√8¤ -4¤ =4'3 (cm)
∴ AB”=2AD”=8'3(cm)
(cid:9000) ④
05 AM”=;2!;AB”=6(cm)
원의 중심을 O라 하면
△AOM에서
MO”="√10¤ -6¤ =8(cm)
∴ CM”=10-8=2 (cm)
A
10`cm
B
12`cm
C
M
O
06 OA”=2OM”=10(cm)
△OMA에서
AM”="√10¤ -5¤ =5'3(cm)
∴ AB”=2AM”=10'3 (cm)
07 원의 중심 O에서 AB”에 내린
수선의 발을 M이라 하고 반
지름의 길이를 r라 하면
OM”=
;2R;
△OAM에서
cos(∠AOM)=
OM”
OA”
=;2!;
따라서 ∠AOM=60°이므로
∠AOB=2∠AOM=120°
(cid:9000) ②
A
(cid:9000) ④
M
B
O
5`cm
O
M
A
B
(cid:9000) 120°
Ⅶ. 원의 성질` 51
E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지52 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
B
(cid:9000) 8'6
원의 접선은 그 접점을
지나는 반지름과 수직
이다.
한 원의 중심으로부터
같은 거리에 있는 두
현의 길이는 같다.
원 밖의 한 점에서 그
원에 그은 두 접선의
길이는 같다.
08 AO”를 그으면 OA”=OP”=11
△OAQ에서
AQ”="√11¤ -5¤ =4'6
∴ AB”=2AQ”=8'6
A
11
P
6
Q
5 O
09 원의 중심 O에서 AB”에 내린
수선의 발을 H라 하면
AH”=;2!; AB”=300(m)
C
A
D
B
O
H
CH”=;2!;CD”=250(m)
∴ AC”=AH”-CH”=300-250=50(m)
10 OM”=ON”이므로
AB”=CD”=4'3 cm
MB”=;2!;AB”=2'3 (cm)이므로
△OMB=;2!;_2'3_4=4'3 (cm¤ )
11 (cid:8772)OMCN에서
∠C=360°-(90°+110°+90°)=70°
… 2점
OM”=ON”이므로 BC”=AC”
즉 △ABC가 이등변삼각형이므로
∠B=;2!;_(180°-70°)=55°
12 OL”=OM”=ON”이므로 AB”=BC”=CA”
즉 △ABC는 정삼각형이므로
△ABC= _(4'3)¤ =12'3(cm¤ )
'3
4
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
… 2점
… 2점
(cid:9000) 55°
(cid:9000) 12'3 cm¤
한 변의 길이가 a인 정
삼각형의 넓이
'3
4
(cid:8857)
a¤
AD”=AF”, BE”=BD”,
CF”=CE”
원의 접선
LECTURE
14
기본 UP
WORK BOOK 30쪽
01 (cid:9000) ⑴ 50 ⑵ 55 ⑶ 13 ⑷ 15
02 (cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 5
03 (cid:9000) ⑴ 2 ⑵ 7
52 `SOLUTION
내신 UP
WORK BOOK 30~31쪽
04 OA”=OT”=r라 하면
OP”=4+r
∠OTP=90°이므로
△OPT에서
(4+r)¤ =r¤ +(4'2)¤
8r=16(cid:100)(cid:100)∴ r=2
O
A
r
4
P
4Â2
T
05 △APO에서
30æ
60æ
P
A
B
2`cm
O
120æ
PA”：2='3：1
∴ PA”=2'3 (cm)
∠APB=60°, PA”=PB”
이므로 △APB는 정삼각형이다.
∴ AB”=PA”=2'3 cm
06 BD”=BE”, CD”=CF”이므로 △ABC의 둘레의
길이는
AB”+BC”+CA”
=AB”+(BD”+CD”)+CA”
=AB”+(BE”+CF”)+CA”
=AE”+AF”=2AE”=24
07 반원 O와 CD”의 접점
을 E라 하면
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
(cid:9000) 24
C
H
B
CD”=CE”+DE”
E
12`cm
=CB”+DA”
=15(cm)
D
3`cm
A
O
점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
CH”=12-3=9(cm)
△DHC에서 DH”="√15¤ -9¤ =12(cm)
∴ AB”=DH”=12 cm
(cid:9000) ③
08 AD”+BE”+CF”=;2!;(AB”+BC”+CA”)
=;2!;_(7+10+9)
=13(cm)
(cid:9000) ③
09 BD”=BE”=3 cm, CF”=CE”=10 cm이므로
AD”=AF”=x cm라 하면
AB”=(x+3)cm, AC”=(x+10)cm
13¤ =(x+3)¤ +(x+10)¤ 이므로
… 3점
x¤ +13x-30=0, (x+15)(x-2)=0
∴ x=2 (∵ x>0)
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
5+13+12=30(cm)
… 2점
… 1점
(cid:9000) 30 cm
E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지53 SinsagoHitec
Q BOX
원에 외접하는 사각형
의 대변의 길이의 합은
서로 같다.
한 호에 대한 원주각의
크기는 모두 같다.
이웃하는 두 변의 길이
가 같은 직사각형은 정
사각형이다.
삼각형의 한 외각의 크
기는 그와 이웃하지 않
는 두 내각의 크기의
합과 같다.
10 DG”=DH”=5 cm이므로 DC”=13 cm
따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는
AB”+BC”+CD”+DA”=2(AB”+DC”)
=2_(9+13)
=44(cm)
(cid:9000) ①
11 AB”+CD”=AD”+BC”
이므로
5+AE”+8=6+11
∴ AE”=4(cm)
∠OEA=∠OHA=90°
A
6`cm
H
O
E
5`cm
B
D
G
8`cm
C
F
11`cm
이므로 (cid:8772)AEOH는 정사각형이다.
즉 OH”=4 cm이므로 원 O의 넓이는
p_4¤ =16p(cm¤ )
(cid:9000) 16p cm¤
12 BE”=x cm라 하면 (cid:8772)EBCD에서
x+8=DE”+12(cid:100)(cid:100)∴ DE”=x-4(cm)
AE”=12-(x-4)=16-x(cm)이므로
△ABE에서 8¤ +(16-x)¤ =x¤
32x=320(cid:100)(cid:100)∴ x=10
(cid:9000) ③
원주각의 성질
LECTURE
15
기본 UP
WORK BOOK 32쪽
01 (cid:9000) ⑴ 60° ⑵ 100°
02 (cid:9000) ⑴ 44° ⑵ 38°
03 (cid:9000) ⑴ 4 ⑵ 75
04 (cid:9000) ⑴ 28° ⑵ 28°
내신 UP
WORK BOOK 32~33쪽
05 ∠APB=;2!;∠AOB=55°
OP”를 그으면
∠OPA=∠OAP=22°
이므로
∠OPB=55°-22°=33°
∴ ∠x=∠OPB=33°
22æ
O
A
110æ
x
P
B
(cid:9000) ①
한 호에 대한 원주각의
크기는 그 호에 대한 중심
각의 크기의 ;2!;배이다.
W
O
R
K
B
O
O
K
… 2점
… 2점
(cid:9000) 18°
(cid:9000) ①
06 ∠AOB=2∠ACB
∠AOB=130°
∠OAP=∠OBP
=90°
A
C
65æ
O
이므로 (cid:8772)AOBP에서
∠x=360°-(90°+90°+130°)=50°
B
x
P
(cid:9000) ③
07 ∠AQB=∠APB=64°
… 2점
Q
P
64æ
24æ
O
x
B
22æ
A
OQ”를 그으면
∠OQA=∠OAQ=22°
이므로
∠OQB=64°-22°=42°
∠OBQ=∠OQB=42°이므로
∠x=42°-24°=18°
08 ∠BCD=∠x라 하면 ∠BAD=∠x
△ADP에서 ∠ADC=35°+∠x
△QCD에서 ∠x+(35°+∠x)=115°
2∠x=80°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=40°
09 CD”를 그으면
∠ACD=90°이므로
∠ADC=90°-26°=64°
∠BDC=64°-31°=33°
이므로
∠BOC=2∠BDC=66°
[다른 풀이]
26æ
O
A
D
31æ
B
C
(cid:9000) 66°
∠AOB=2∠ADB=62°
∠COD=2∠CAD=52°
∴ ∠BOC=180°-(62°+52°)=66°
10 지름 BA'에 대하여
∠BCA'=90°이고
∠A'=∠A=60°이므로
△A'BC에서
4'3
sin60°
A'B”=
A'B”=8(cm)
=4'3_
2
'3
따라서 원 O의 반지름의 길이는
A
60æ
60æ
O
A'
C
B
4Â3`cm
OB”=;2!; A'B”=4(cm)
(cid:9000) ②
B
A
11 ∠P=∠x라 하면
△BCP에서
∠ABC=∠x+24°
μAB=μAC=μ CD이므로
∠ACB=∠ABC=∠CAD=∠x+24°
이때 μ DB에 대한 원주각의 크기는
∠DAB=∠DCB=24°
△ABC에서 24°+3(∠x+24°)=180°
∴ ∠x=28°
24æ
D
C
P
(cid:9000) ③
Ⅶ. 원의 성질` 53
E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지54 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
12 BE”, CE”를 그으면
∠AEB=∠BEC
A
∠AEB=;1™2;_180°=30°
B
E
D
∠CED=;1£2;_180°=45°
∴ ∠AED=∠AEB+∠BEC+∠CED
C
=30°+30°+45°=105°
(cid:9000) ③
13 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠x=∠CAD=22°
△DBP에서 ∠y=22°+46°=68°
∴ ∠x+∠y=90°
(cid:9000) 90°
원에 내접하는 사각형
LECTURE
16
기본 UP
WORK BOOK 34쪽
01 (cid:9000) ⑴ 120° ⑵ 75°
02 (cid:9000) ⑴ (cid:8776) ⑵ (cid:8776) ⑶ × ⑷ (cid:8776)
03 (cid:9000) 85°
내신 UP
WORK BOOK 34~35쪽
04 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠BCD=180°-104°=76°
△DPC에서
∠DPC=180°-(22°+76°)=82°
05 ∠ABC=;2!;_(180°-36°)=72°
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠ADC=180°-72°=108°
06 ∠B+∠D=180°이므로
;3$;∠A+(2∠A-70°)=180°
;;¡3º;;∠A=250°(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=75°
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠DCE=∠A=75°
54 `SOLUTION
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
… 4점
… 2점
(cid:9000) 75°
07 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠DAB=180°-84°=96°
△APB에서 ∠ABP=96°-26°=70°
∠AEB：∠BEC：
∠CED：∠DCE：
∠ABE
=μAB：μ BC：μ CD：μDE
：μEA
=2：2：3：2：3
08 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠ADE=∠ABC=50°
△ABF에서 ∠EAD=50°+42°=92°
△ADE에서 50°+92°+∠x=180°
∴ ∠x=38°
(cid:9000) 70°
(cid:9000) ②
E
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
O'
D
C
(cid:9000) ①
09 AD”를 그으면
∠EAD=;2!;∠EOD=35°
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하
므로
∠BAD=180°-108°=72°
∴ ∠x=35°+72°=107°
A
x
O
108æ
C
B
70æ
D
10 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하려면
∠BAD=∠DCP=75°
∴ ∠x=∠DAC=75°-42°=33°
11 PQ”를 그으면 (cid:8772)ABQP
가 원 O에 내접하므로
∠QPD=∠ABQ
=88°
A
B
92æ
88æ
O
P
Q
(cid:8772)PQCD가 원 O'에 내접하므로
∠DCQ=180°-88°=92°
12 ∠PDC=;2!;∠PO'C
∠PDC=84°
PQ”를 그으면 (cid:8772)PQCD
가 원 O'에 내접하므로
∠PQB=∠PDC=84°
A
B
P
O
O'
168æ
Q
D
C
(cid:8772)ABQP가 원 O에 내접하므로
∠PAB=180°-84°=96°
(cid:9000) ③
원에 내접하는 사각형
의 한 쌍의 대각의 크
기의 합은 180°이다.
접선과 현이 이루는 각
LECTURE
17
기본 UP
원에 내접하는 사각형
의 한 외각의 크기는 그
내대각의 크기와 같다.
WORK BOOK 36쪽
01 (cid:9000) ⑴ 70° ⑵ 50° ⑶ 55° ⑷ 50°
E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지55 SinsagoHitec
02 (cid:9000) ⑴ ∠x=85°, ∠y=85°
⑵ ∠x=65°, ∠y=62°
⑶ ∠x=34°, ∠y=72°
⑷ ∠x=70°, ∠y=82°
내신 UP
WORK BOOK 36~37쪽
03 ∠CAB=;2!;∠COB=70°이므로
∠CBD=∠CAB=70°
04 직선 PT가 원의 접선이므로
∠ATP=∠ABT
∠CTA=∠CTB이므로
∠CTP=∠CTA+∠ATP
=∠CTB+∠ABT
=∠TCA=65°
05 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠DAB=180°-96°=84°
△ABD에서
∠ABD=180°-(54°+84°)=42°
∴ ∠ADP=∠ABD=42°
(cid:9000) ④
(cid:9000) 65°
06 BC”를 그으면
∠ACB=∠ABE=43°
∠ABC=90°이므로
∠CAB
=180°-(90°+43°)=47°
∴ ∠CDB=∠CAB=47°
07 AB”를 그으면
(cid:9000) ①
D
A
O
C
E
B43æ
(cid:9000) 47°
C
∠CAB=∠CBT=∠x
△CPB에서
2∠BCP=∠x이므로
P
O
A
x
x
B
T
∠BCP=;2!;∠x
이때 ∠ABC=90°이므로 △ABC에서
∠x+90°+;2!;∠x=180°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=60°
08 ∠ABP=90°, ∠BAP=∠BPT=60°이므로
△ABP에서
AB”=AP” cos60°=14_;2!;=7(cm)
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
Q BOX
원의 접선과 그 접점을
지나는 현이 이루는 각
의 크기는 그 각의 내
부에 있는 호에 대한
원주각의 크기와 같다.
09 ∠ACB=90°이므로
∠CAB=180°-(90°+60°)=30°
∠DCB=∠CAB=30°이므로 △CBD에서
∠BDC=60°-30°=30°
… 2점
… 1점
즉 △BDC가 이등변삼각형이므로
BD”=BC”=AB” cos60°
BD=10_;2!;=5(cm)
10 △ADF에서 AD”=AF”이므로
∠ADF=;2!;_(180°-54°)=63°
∠DEF=∠ADF=63°이므로 △DEF에서
∠FDE=180°-(40°+63°)=77°
11 ∠x=∠DPT'=∠TPC=∠CBP=54°
∠APD=∠CPB=70°이므로 △APD에서
∠y=180°-(54°+70°)=56°
… 3점
(cid:9000) 5 cm
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
W
O
R
K
B
O
O
K
원에 내접하는 사각형
에서 대각의 크기의 합
은 180°이다.
반원에 대한 원주각의
크기는 90°이다.
원과 비례
LECTURE
18
기본 UP
01 (cid:9000) ⑴ 10 ⑵ 4 ⑶ 8 ⑷ 7
02 (cid:9000) ⑴ 10 ⑵ 8
03 (cid:9000) ⑴ 8 ⑵ 6
04 (cid:9000) ⑴ 5 ⑵ 7
WORK BOOK 38쪽
PA”_PB”=PC”_PD”
05 x_4=3_8이므로 x=6
내신 UP
WORK BOOK 38~40쪽
12_(12+8)=y_(y+14)이므로
y¤ +14y-240=0, (y+24)(y-10)=0
∴ y=10 (∵ y>0)
∴ y-x=4
06 x_(x+x+8)=(x-1)_(x-1+3x+1)
이므로
2x¤ -12x=0, 2x(x-6)=0
∴ x=6 (∵ x>1)
(cid:9000) 4
(cid:9000) ③
Ⅶ. 원의 성질` 55
E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지56 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
∠ATP=∠B=30°이므
로 △BPT에서
∠APT
=180°-(30°+90°+30°)
=30°
13 PT”
¤ =5_(5+7)=60이므로(cid:100)(cid:100)
PT”=2'∂15(cm) (∵ PT”>0)
∠BTP=90°이므로 △BPT에서
BT”="√12¤ -(2'∂15)¤ =2'∂21(cm)
∴ △BPT=;2!;_2'∂21_2'∂15
∴ △BPT=6'∂35(cm¤ )
… 3점
… 2점
… 1점
(cid:9000) 6'∂35 cm¤
14 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
PB”=(2r+3)cm
(3'3 )¤ =3_(2r+3)(cid:100)(cid:100)∴ r=3
따라서 원 O의 둘레의 길이는
2p_3=6p(cm)
15 AT”를 그으면 △ATB는
직각삼각형이므로
AT”=4 sin30°=2(cm)
∠APT=30°이므로
AP”=AT”=2 cm
¤ =2_(2+4)=12이므로
PT”
PT”=2'3 (cm) (∵ PT”>0)
A
30æ
P
4`cm
O
30æ
T
16 PT”
¤ =3_(3+9)=36이므로(cid:100)(cid:100)
PT”=6(cm) (∵ PT”>0)
△PTA와 △PBT에서
∠PTA=∠PBT, ∠P는 공통
이므로 △PTAª△PBT`(AA 닮음)
(cid:9000) ②
B
30æ
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
(cid:9000) ④
PT”
”：PB”=AT”：BT”
즉 6：12=6：BT”이므로
BT”=12(cm)
(cid:9000) 12 cm
¤ =PA”_PB”=PT'”
PT”
∴ PT”=PT'”
17 PT”=PT'”=;2!; TT'”=4이므로
4¤ =x(x+6), x¤ +6x-16=0
(x+8)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
07 OA”=OB”=3+3=6(cm)이므로
AP”=6+3=9(cm)
PC”=PD”=x cm라 하면
x¤ =9_3=27(cid:100)(cid:100)
∴ x=3'3 (∵ x>0)
∴ △ABC=;2!;_12_3'3=18'3(cm¤ )
(cid:9000) ②
[다른 풀이]
AP”=9 cm, ∠ACB=90°이므로 △CAB에서
¤ =9_3=27
PC”
∴ PC”=3'3(cm) (∵ PC”>0)
∴ △ABC=;2!;_12_3'3=18'3(cm¤ )
08 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
PA”= cm, PB”=;2#;r cm
r
2
;2!;r_;2#;r=6_15이므로
r¤ =120(cid:100)(cid:100)∴ r=2'∂30 (∵ r>0)
따라서 원 O의 둘레의 길이는
2p_2'∂30=4'∂30p(cm)
… 2점
… 3점
… 1점
(cid:9000) 4'∂30p cm
09 PA”=x라 하면 PB”=x+12
x_(x+12)=4_(4+3)이므로
x¤ +12x-28=0, (x+14)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=2 (∵ x>0)
10 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
DP”=(14-2r)cm
7_(7+3)=(14-2r)_14이므로
28r=126(cid:100)(cid:100)∴ r=;2(;
따라서 원 O의 둘레의 길이는
2p_;2(;=9p(cm)
12 PT”
¤ =3_(3+9)=36이므로
PT”=6 (∵ PT”>0)
6¤ =4_(4+CD”)이므로 CD”=5
∴ CD”+PT”=11
56 `SOLUTION
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
(cid:9000) ①
11 PA”=x라 하면
x_(x+5)=2_(2+16)이므로
x¤ +5x-36=0, (x+9)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=4 (∵ x>0)
PC”_PD”=PT”
=PA”_PB”
PA”_PB”=PE”_PF”
=PC”_PD”
18 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
6_(6+6)=4_(4+2r), 8r=56
∴ r=7
따라서 원 O의 넓이는
p_7¤ =49p(cm¤ )
”
¤
¤
