Q특강(렉처)3상해설Ⅰ(01~09)ok 2014.9.3 6:4 PM 페이지1 SinsagoHitec
우공비 중등 수학 (상) 특강편
3
SOLUTION
● LECTURE BOOK
● WORK BOOK
2
32
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LECTURE BOOK
Q BOX
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 7~9쪽
'∂A가 자연수
(cid:8857) A는 제곱수
(cid:8857) A를 소인수분해하
면 지수가 모두 짝수
Ⅰ
제곱근과 실수
LECTURE
01
제곱근의 뜻과 성질
LECTURE BOOK 6쪽
1 (cid:9000) ⑴ —2
⑵ 0
⑶ —6 ⑷ —7
2 (cid:9000) ⑴ 3
⑵ -0.2 ⑶ —8 ⑷
;2%;
3 (cid:9000) ⑴ —'6 ⑵ -'∂11 ⑶ '7
⑷ '∂15
4 (cid:9000) ⑴ 5
(cid:9000) ⑷ -8
⑵ 10
⑸ -7
⑶
;9@;
⑹ -2.1
5 (cid:9000) ⑴ < ⑵ < ⑶ < ⑷ > ⑸ >
01 (cid:9000) ②
02 ① 49의 음의 제곱근은 -7이다.
② '∂16=4의 제곱근은 —2이다.
③ 음수의 제곱근은 없다.
④ 0의 제곱근은 0이다.
⑤ 제곱근 9는 '9=3이다.
(cid:9000) ②
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) 4
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①, ③
(cid:9000) 11
03 제곱근 25는 '∂25=5이므로 a=5
{-;4!;}2 =;1¡6;의 양의 제곱근은 æ–;1¡6;=;4!;이므로
b=;4!;
∴ a-4b=4
04 ①, ②, ③, ④ 7(cid:100)(cid:100)⑤ -7
05 ① "√(-8)¤ =8
③ æ–;3¡6;=;6!;
06 (주어진 식)="ç12¤ _{-æ;4&; }
-"√(-10)¤
(주어진 식)=12_;4&;-10
(주어진 식)=11
2 `SOLUTION
07 (주어진 식)="≈2› +"√(-6)¤ _'ƒ0.25÷æ;9!;
(주어진 식)="≈4¤ +"√(-6)¤ _"√(0.5)¤ ÷æ≠{;3!;}
(주어진 식)=4+6_0.5÷;3!;
(주어진 식)=4+9=13
08 a>0, b<0이므로 2a>0, -3a<0, b<0
∴ (주어진 식)="√(2a)¤ -"√(-3a)¤ +"çb¤
=2a-{-(-3a)}-b
=-a-b
09 -10, a-2<0
∴ (주어진 식)=a+1-{-(a-2)}
=2a-1
10 ab<0, a0, a-b<0
∴ (주어진 식)=-a-b-(a-b)
=-2a
11 120a=2‹ _3_5_a이므로 제곱수가 되도록 하
는 가장 작은 자연수a는
a=2_3_5=30
12 59+x가 59보다 큰 제곱수이어야 하므로
59+x=64, 81, y(cid:100)(cid:100)∴ x=5, 22, y
따라서 가장 작은 자연수 x는 5이다.
(cid:9000) 5
(cid:9000) 13
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
… 3점
… 3점
(cid:9000) -2a
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①
제곱해서 음수가 되는 수는
없으므로 음수의 제곱근은
없다.
13 22-x가 22보다 작은 제곱수이어야 하므로
22-x=1, 4, 9, 16(cid:100)(cid:100)∴ x=21, 18, 13, 6
따라서 구하는 자연수 x의 개수는 4개이다.
a>0, b>0일 때
a>b이면
'a>'b, -'a<-'b
a>0일 때
('a)¤ =a, (-'a)¤ =a
"ça¤ =a, "√(-a)¤ =a
먼저 주어진 수를 근호를
사용하지 않고 나타낸 후
계산한다.
14 ⑤ '8<'∂10이므로 -'8>-'∂10
15 주어진 수를 큰 순서대로 나열하면
'∂0.5, ;2!;, æ;5!;, -'6, -3
따라서 두 번째에 오는 수는 ;2!;이다.
16 ① -"√(-4)¤ =-'∂16 ④ (-'7)¤ =7
(음수)<0<(양수)이므로 음수 ①,③, ⑤를 비교
하면
'∂16>'∂12>Æ;1˚
¡0;
∴ -'∂16 <-'∂12<-Æ;1˚
¡0;
¤
¤
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17 부등식의 각 변을 제곱하면
04 ① 정수가 아닌 유리수는 유한소수나 순환소수로
16…3x…25(cid:100)(cid:100)∴ :¡3§:…x…:™3∞:
따라서 이를 만족시키는 자연수 x는 6, 7, 8이므
로 그 합은
6+7+8=21
(cid:9000) ④
근호로 나타내어진 수 중에
서 근호를 없앨 수 있는 수
는 유리수이다.
나타낼수있다.
② 순환소수는 유리수이다.
③ '9=3은 유리수이다.
⑤ 순환하지 않는 무한소수는 무리수이다.
18 -3<-'ƒx-3<-2에서 2<'ƒx-3<3
부등식의 각 변을 제곱하면
40
∴ '5+3>'5+'6
⑷ (-'7+'2)-(-4+'2)=-'7+4>0
∴ -'7+'2>-4+'2
(cid:9000) ⑴ <(cid:100)⑵ <(cid:100)⑶ >(cid:100)⑷ >
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 11~13쪽
01 무리수：'∂24, p, '∂10
02 ① -;2#;(cid:100)(cid:100)③ 4(cid:100)(cid:100)④ 1.1
03 ① —'∂1.69=—1.3 ② —'8 ③ —'∂40
④ —æ≠;;™9∞;;=—;3%; ⑤ —'∂360
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
(cid:9000) ①, ④
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LECTURE BOOK
Q BOX
두 실수 a, b에 대하여
a-b>0 (cid:8857) a>b
a-b=0 (cid:8857) a=b
a-b<0 (cid:8857) a0(cid:100)(cid:100)
∴ 5>2+'8
② (4-'3)-(4-'7)=-'3+'7>0
(cid:100) ∴ 4-'3>4-'7
③ ('∂20-'6)-(5-'6)='∂20-5<0
(cid:100) ∴ '∂20-'6<5-'6
④ ('5-1)-(2+'5)=-3<0
(cid:100) ∴ '5-1<2+'5
⑤ (-3+'∂10)-(-'8+'∂10)=-3+'8<0
(cid:100) ∴ -3+'∂10<-'8+'∂10
(cid:9000) ③
14 ① 2-('∂10-1)=3-'∂10<0
∴ 2
<
'∂10-1
∴ -'6+'3
② (-'6+'3)-(2-'6)='3-2<0
<
③ ('7-3)-('7-'8)=-3+'8<0
'7-'8
∴ '7-3
2-'6
<
④ (4+'2)-('3+4)='2-'3<0
'3+4
∴ 4+'2
<
⑤ (1+'5)-3='5-2>0
>
∴ 1+'5
3
15 ① ('6-5)-('7-5)='6-'7<0
(cid:100) ∴ '6-5<'7-5
② ('3-1)-1='3-2<0
(cid:100) ∴ '3-1<1
③ 4-('∂10+1)=3-'∂10<0
(cid:100) ∴ 4<'∂10+1
④ ('6+'8)-(2+'8)='6-2>0
(cid:100) ∴ '6+'8>2+'8
⑤ {1-æ;2!; }-;2!;=;2!;-æ;2!;<0
(cid:100) ∴ 1-æ;2!;<;2!;
16 a-b=(-4+'6)-('6-'∂15)=-4+'∂15<0
∴ a0이므로
b>c
… 2점
∴ a0, b>0, m, n이
유리수일 때
m'a_n'b=mn'∂ab
m'a÷n'b=
:nM;æ;bA;
18 -'2, -'2-1은 음수이고, '7+1, 4, '∂10+1
은 양수이다.
⁄ -'2-1<-'2
¤ ('7+1)-4='7-3<0이므로 '7+1<4
4-('∂10+1)=3-'∂10<0이므로
4<'∂10+1
⁄, ¤에서
-'2-1<-'2<'7+1<4<'∂10+1
따라서 왼쪽에서 세 번째에 오는 수는 '7+1이다.
(cid:9000) ②
LECTURE
03
제곱근의 곱셈과 나눗셈
LECTURE BOOK 14쪽
1 (cid:9000) ⑴ '∂10 ⑵ '3
⑶ 2'∂21 ⑷ 12'∂30
2 (cid:9000) ⑴ '2
⑵ '6
⑶
'∂10
3
⑷ 2'5
3 (cid:9000) ⑴ 2'7 ⑵ 2'∂10 ⑶ 3'6 ⑷ 4'2
4 (cid:9000) ⑴
5 (cid:9000) ⑴
'5
3
'5
5
⑵
'2
10
⑶
'5
2
⑷
'∂17
6
⑵
4'3
3
⑶
'∂30
6
⑷
3'7
14
6 ⑴ '∂12÷'∂18_'2=2'3_
2'3
3
⑴ '∂12÷'∂18_'2=
1
3'2
_'2
⑵ 2'6_'3÷'∂30=2'6_'3_
⑵ 2'6_'3÷'∂30=
2'3
'5
=
2'∂15
5
1
'∂30
(cid:9000) ⑴
(cid:100)⑵
2'3
3
2'∂15
5
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 15~17쪽
01 ① '∂20÷'5='4=2
② 3'6_'7=3'∂42
⑤ æ≠:£4∞: ÷æ≠;2¶0;=æ≠:£4∞:_æ≠:™7º:='∂25=5
02 '3÷'8÷Æ;5^;='3_ _
'5
4
1
'8
'3÷'8÷Æ;5^;= =
'5
'∂16
'5
'6
(cid:9000) ③, ④
(cid:9000) '5
4
Q특강(렉처)3상해설Ⅰ(01~09)ok 2014.9.3 6:4 PM 페이지5 SinsagoHitec
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①
… 2점
… 2점
(cid:9000) ;5@;
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
03 2'3_'a_'5=2'∂15a
'∂15_2'∂10=2'∂150
즉 15a=150이므로 a=10
04 ⑤ Ƭ;5#0^;=Ƭ;2!5*;=
3'2
5
05 '∂80="√4¤ _5=4'5이므로 a=4
'∂75="√5¤ _3=5'3이므로 b=5
∴ '∂ab='ƒ4_5="√2¤ _5=2'5
06 'ƒ128="√8¤ _2=8'2
이므로 a=8
'ƒ0.005=æ≠;10∞00;=æ≠;10∞0º00;=
이므로 b=;2¡0;
∴ ab=8_;2¡0;=;5@;
… 2점
'2
20
5'2
100
=
07 'ƒ135="√3‹ _5=('3)‹ _'5=a‹ b
08 'ƒ1800="√30¤ _2=30'2=30a
'ƒ0.025=æ≠;10@0%0;=æ;≠10@0%0)0;=
5'∂10
100
=;2¡0;ab
∴ 'ƒ1800+'ƒ0.025=30a+;2¡0;ab
09 '∂10='ƒ3+7=øπ('3)¤ +('7)¤ ="√a¤ +b¤
10 ③ =
'8
'3
'8_'3
'3_'3
'∂24
= =
3
2'6
3
11
=
=
3
3
2'6
'∂24
이므로 a=;4!;
3_'6
2'6_'6
=
'6
4
=
20
2'5
이므로 b=2
20_'5
2'5_'5
=2'5
∴ a+b=;4!;+2=;4(;
,
=
=
=
'∂20
5
이므로
2'5
5
'∂125
5
2
, =
'5
5'5
5
'∂10
5
12 '5=
'2
'5
'2
5
따라서 세 번째에 오는 수는 이다. (cid:9000) '2
'5
<;5@;< < <'5
'2
'5
'2
'5
2
'5
Q BOX
a>0, b>0일 때
"ça¤ b=a'b
æ≠ = 'a
a
b¤
b
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
(cid:9000) ③
(cid:9000)
'∂30
4
13 4'2÷6'3_3'6=4'2_
4'2÷6'3_3'6=4
1
6'3
_3'6
14
_
÷
'5
'∂12
=
'∂27
'∂15
_
'8
'∂20
_
2'5
2'2
'5
2'3
3'5
2'6
3'3
'∂15
'∂30
4
=
=
15
÷3'2_
2'3
'∂32
_
2'3
4'2
1
3'2
'2
4
6'2
2'3
=
_
=
6'2
2'3
1
2'2
∴ a=;4!;
=
16 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
x¤ =48(cid:100)(cid:100)∴ x=4'3
따라서 정사각형의 둘레의 길이는
4_4'3=16'3 (cm)
(cid:9000) 16'3 cm
25_10
100¤
æ≠
=æ≠
5¤ _10
100¤
17 직육면체의 높이를 x라 하면
2'6_4'2_x=96(cid:100)(cid:100)∴ x=2'3
18 (삼각형의 넓이)=;2!;_'∂20_'∂12
(삼각형의 넓이)=2'∂15
직사각형의 세로의 길이를 x라 하면
2'3_x=2'∂15
∴ x='5
분모, 분자에 '6을 곱하여
분모를 유리화한다.
(cid:9000) ①
(cid:9000) ④
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) '5
LECTURE
04
제곱근의 덧셈과 뺄셈 ⑴
LECTURE BOOK 18쪽
1 (cid:9000) ⑴ 6'5 ⑵ 7'6 ⑶ 4'2+2'3
(cid:9000) ⑷ 6'3-5'∂10
Ⅰ. 제곱근과 실수` 5
Q특강(렉처)3상해설Ⅰ(01~09)ok 2014.9.3 6:4 PM 페이지6 SinsagoHitec
Q BOX
근호 안의 수가 제곱인 인
수를 갖는 경우에는 제곱인
인수를 근호 밖으로 빼낸
후 계산한다.
a>0, b>0, c>0일 때
'a+'b
= '∂ac+'∂bc
c
'c
분모가 무리수인 식은 분모
를 유리화하여 계산한다.
LECTURE BOOK
2 ⑴ '∂27+'∂75=3'3+5'3=8'3
⑵ '∂125-'∂20-'5=5'5-2'5-'5
=2'5
(cid:9000) ⑴ 8'3(cid:100)⑵ 2'5
3 ⑴ '2('3+'8)='6+'∂16='6+4
⑵ '3(2-'3)+'3=2'3-3+'3
=3'3-3
⑶ '2('3+2'6)+'3(3'2-5)
='6+2'∂12+3'6-5'3
='6+4'3+3'6-5'3
=4'6-'3
(cid:9000) ⑴ '6+4(cid:100)⑵ 3'3-3(cid:100)⑶ 4'6-'3
4 ⑴
⑴
⑵
=
=
'6+'5
'2
('6+'5)_'2
'2_'2
2'3+'∂10
2
4+2'∂40
'2-'5
'6
'3
('2-'5)_'3
'3_'3
+
+
'6-'∂15
3
+
4'6+8'∂15
6
=
=
='6+'∂15
(4+2'∂40)_'6
'6_'6
(cid:9000) ⑴
2'3+'∂10
2
(cid:100)⑵ '6+'∂15
5 ⑴ (주어진 식)=3'6+3'∂10-2'∂10
=3'6+'∂10
⑵ (주어진 식)=2'6-8'2+4'6+6'2
=6'6-2'2
(cid:9000) ⑴ 3'6+'∂10(cid:100)⑵ 6'6-2'2
6 ⑴ (주어진 식)=1+(-1+a)'2
유리수가 되려면
-1+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=1
⑵ (주어진 식)=3a+3'3+a'3-2a
=a+(3+a)'3
⑵ 유리수가 되려면
3+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-3
(cid:9000) ⑴ 1(cid:100)⑵ -3
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 19~21쪽
01 6'a-5=3'a+7에서 3'a=12
'a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=16
(cid:9000) ④
6 `SOLUTION
02 '∂48+'∂50-3'∂18+'∂12
=4'3+5'2-9'2+2'3=-4'2+6'3
따라서 a=-4, b=6이므로 a+b=2
03 (주어진 식)= - +
2
'3
-
2'3
3
9
3'3
+'3
4
'3
4'3
3
5'3
3
(주어진 식)=
(주어진 식)=
04 f(1)+f(2)+f(3)+y+f(99)
=('2-'1 )+('3-'2)+('4-'3)
=+y+('ƒ100-'∂99)
='ƒ100-'1=9
05 (주어진 식)=2'6-4'3-'6-3'3
='6-7'3
06 '2a-'7b='2('7-'2)-'7('7+'2)
='∂14-2-7-'∂14
=-9
(cid:9000) ②
(cid:9000)
5'3
3
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
(cid:9000) ①
07
2-5'6
3'2
=
(2-5'6)_'2
3'2_'2
=
2'2-10'3
6
=
'2-5'3
3
따라서 a=;3!;, b=-;3%;이므로
a-b=;3!;-{-;3%;}=2
(cid:9000) ⑤
08 (주어진 식)
-
(3'5+1)_'2
'2_'2
=
('∂10+5'2)_'5
2'5_'5
-
=
5'2+5'∂10
10
=-'∂10
3'∂10+'2
2
09 a=
('∂12-6)_'3
'3_'3
=
6-6'3
3
a=2-2'3
b=
('∂50-'6 )_'2
'2_'2
=
10-2'3
2
b=5-'3
∴ 2a-'3b=2(2-2'3)-'3(5-'3)
=4-4'3 -5'3+3
=7-9'3
(cid:9000) ②
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) 7-9'3
Q특강(렉처)3상해설Ⅰ(01~09)ok 2014.9.3 6:4 PM 페이지7 SinsagoHitec
10 (주어진 식)=2'3-6-2'3+4'3
=4'3-6
11 (주어진 식)=6'3-6'6-'3+2'6
=5'3-4'6
'2
'3
4
6
12 '6{2'2+ }- {'3- }
'3
'2
=4'3+4'2-'2+2'3
=3'2+6'3
따라서 A=3, B=6이므로 A+B=9
(cid:9000) 5'3-4'6
(cid:9000) ⑤
13 삼각형의 높이를 x cm라 하면
;2!;_2'3_x=3'6+3'2
x=(3'6+3'2)_ =3'2+'6
(cid:9000) ①
1
'3
14 (넓이)=;2!;_('3+'3+2)_'6
(넓이)=;2!;_(2'3+2)_'6
(넓이)=3'2+'6
(cid:9000) 3'2+'6
15 각 정사각형의 한 변의 길이는
'2, 2'2, 3'2
… 3점
∴ (둘레의 길이)=('2+2'2+3'2)_2+3'2_2
=12'2+6'2
=18'2
… 3점
(cid:9000) 18'2
16 (주어진 식)=3a-6'3+6-2a'3
=(3a+6)+(-6-2a)'3
따라서 유리수가 되려면
-6-2a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-3
(cid:9000) ①
17 (주어진 식)=2a'2+2+;2!;a-'2
(주어진 식)={2+;2!;a}+(2a-1)'2
따라서 유리수가 되려면
2a-1=0(cid:100)(cid:100)∴ a=;2!;
(cid:9000) ;2!;
18 A=2k'7-5'7-5+6'7-6k
=(-5-6k)+(2k+1)'7
따라서 유리수가 되려면
2k+1=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-;2!;
∴ A=-5-6_{-;2!;}=-2
(cid:9000) ③
Q BOX
분배법칙을 이용하여 괄호
를 풀고 분모를 유리화한
후 덧셈, 뺄셈을 한다.
(cid:9000) ④
LECTURE
05
제곱근의 덧셈과 뺄셈 ⑵
LECTURE BOOK 22쪽
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B
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(사다리꼴의 넓이)
=;2!;_{(윗변)+(아랫변)}
_(높이)
넓이가 각각 2, 8, 18인 정
사각형의 한 변의 길이는
'2, '8, '∂18, 즉
'2, 2'2, 3'2이다.
a+b'∂m(a, b는 유리
수이고 '∂m은 무리수)
이 유리수가 될 조건
(cid:8857) b=0
1 (cid:9000) ⑴ 8-4'3
⑵ 1
2 (cid:9000) ⑴ 4-'∂15 ⑵
2+'2
2
⑶
'6+'2
2
3 (cid:9000) ⑴ 2.751 ⑵ 2.768 ⑶ 2.802 ⑷ 2.782
4 ⑴ 'ƒ627='ƒ100_6.27 =10'ƒ6.27 이므로
'ƒ627의 어림한 값은 10_2.504=25.04
⑵ 'ƒ6270='ƒ100_62.7 =10'ƒ62.7 이므로
'ƒ6270의 어림한 값은 10_7.918=79.18
⑶ 'ƒ0.627=æ≠
62.7
100
=
'ƒ62.7
10
이므로
⑶ 'ƒ0.627의 어림한 값은
7.918
10
=0.7918
⑷ 'ƒ0.0627=æ≠
6.27
100
=
'ƒ6.27
10
이므로
⑷ 'ƒ0.0627의 어림한 값은
2.504
10
=0.2504
(cid:9000) ⑴ 25.04(cid:100) ⑵ 79.18
⑶ 0.7918(cid:100)⑷ 0.2504
5 (cid:9000) ⑴ '2-1 ⑵ '5-2 ⑶ '∂10-3 ⑷ '∂17-4
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 23~25쪽
01 (2'3+3)¤ =12+12'3+9=21+12'3
따라서 a=21, b=12이므로
a-b=9
02 (주어진 식)=20+4'∂15-2'∂15-6-'∂15
=14+'∂15
03 A=15+6'5-'5-2=13+5'5
B=5+4'5+4=9+4'5
∴ A-B=4+'5
04 (2+'2)fi (2-'2)fi ={(2+'2)(2-'2)}fi
(cid:9000) ③
(cid:9000) 14+'∂15
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) 4+'5
={2¤ -('2)¤ }fi
=2fi
=32
(cid:9000) ④
Ⅰ. 제곱근과 실수` 7
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LECTURE BOOK
Q BOX
4('5+'3)
('5-'3)('5+'3)
(a+b)(a-b)=a¤ -b¤
을 이용하여 분모를 유리화
한다.
12 'ƒ0.0827=æ≠
8.27
100
=
'∂8.27
10
이므로 'ƒ0.0827의
어림한 값은
=0.2876
2.876
10
(cid:9000) ②
제곱근표에 없는 수의
어림한 값은 10의 거듭
제곱과의 곱을 이용하
여 제곱근표에 있는 수
로 변형한다.
A+B=1
(cid:9000) ④
05 (주어진 식)
-
=
4('5-'3)
('5+'3)('5-'3)
=2('5-'3)-2('5+'3)
=-4'3
06
'6-'2
'6+'2
=
=
('6-'2)¤
('6+'2)('6-'2)
6-4'3+2
6-2
=2-'3
따라서 A=2, B=-1이므로
07 x=
(2+'3)¤
(2-'3)(2+'3)
=
4+4'3+3
4-3
x=7+4'3
y=
(2-'3)¤
(2+'3)(2-'3)
=
4-4'3+3
4-3
y=7-4'3
∴ x+y=(7+4'3 )+(7-4'3 )=14
08 x+y=2'3, xy=-1
1
∴ + =
y
x+y
xy
1
x
=-2'3
09 x=
=3-2'2
3-2'2
(3+2'2)(3-2'2)
x=3-2'2에서 x-3=-2'2
(x-3)¤ =(-2'2)¤ , x¤ -6x+9=8
∴ x¤ -6x+10=8+1=9
2('6+2)
6-4
2('6-2)
6-4
='6+2
='6-2
10 x=
=
=
y=
2('6+2)
('6-2)('6+2)
2('6-2)
('6+2)('6-2)
x+y=2'6, xy=2이므로
x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy
=(2'6)¤ -2_2
=24-4=20
11 x=
('3+'2)¤
('3-'2)('3+'2)
=
3+2'6+2
3-2
x=5+2'6
y=
('3-'2)¤
('3+'2)('3-'2)
=
3-2'6+2
3-2
y=5-2'6
xy=(5+2'6)(5-2'6)=25-24=1
x+y=(5+2'6)+(5-2'6)=10
∴ xy(x+y)=1_10=10
8 `SOLUTION
(cid:9000) 14
(cid:9000) ②
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 10
13 262.1=10¤ _2.621이고 2.621은 'ƒ6.87의 어림한
값이므로
262.1은 10¤ _'ƒ6.87="√10› _6.87='ƒ68700의
어림한 값이다.
∴ a=68700
14 ① 'ƒ0.0302=æ≠
3.02
100
=
'ƒ3.02
10
② 'ƒ291='ƒ100_2.91=10'ƒ2.91
③ 'ƒ313='ƒ100_3.13=10'ƒ3.13
④ 'ƒ28000='ƒ10000_2.8=100'ƒ2.8
⑤ 'ƒ0.00293=æ≠
29.3
10000
=
'ƒ29.3
100
이므로 'ƒ29.3의
(cid:100) 어림한 값이 주어져야 한다.
15
'ƒ0.6
10
6
= æ– = æ–
10
1
10
60
100
1
= '∂60
10¤
1
10
'ƒ0.6
10
이므로
의 어림한 값은
1
10¤
_7.746=0.07746
17 2<'5<3에서 4<2+'5<5이므로 a=4 … 2점
1<'2<2에서 1<3-'2<2이므로
b=3-'2-1=2-'2
a-2b=4-4+2'2=2'2
∴
b
a-2b
=
2-'2
2'2
=
'2-1
2
18 2<'5<'7<3이므로 <5>='5-2, [7]=2
3<'∂10<4이므로 <10>='∂10-3
∴
<10>-2
<5>+[7 ]
=
'∂10-3-2
'5-2+2
('∂10-5)_'5
'5_'5
=
='2-'5
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
… 2점
… 2점
(cid:9000)
'2-1
2
(cid:9000) '2-'5
(cid:9000) ④
(소수 부분)
=(무리수)-(정수 부분)
16 4<3'2='∂18<5이므로 a=4
3<'∂15<4이므로 b='∂15-3
∴ a+b='∂15+1
Q특강(렉처)3상해설Ⅰ(01~09)ok 2014.9.3 6:4 PM 페이지9 SinsagoHitec
Q BOX
두 실수 a, b에 대하여
a-b>0 (cid:8857) a>b
a-b<0 (cid:8857) ab)이므로
a-b=2-(-8)=10
(cid:9000) ⑤
12 x¤ -10x+A=(x-4)(x+B)로 놓으면
-10=-4+B, A=-4B
∴ A=24, B=-6
(cid:9000) ⑤
13 x¤ +Ax+12=(x+a)(x+b)에서
A=a+b, 12=ab
즉 A는 곱이12인 두 정수의 합이므로 곱이 12인
두 정수를 순서쌍으로 나타내면
(1, 12), (-1, -12), (2, 6), (-2, -6),
따라서 A의 값이 될 수 있는 수는 13, -13, 8,
(3, 4), (-3, -4)
-8, 7, -7이다.
14 4x¤ +4x-3=(2x-1)(2x+3)
∴ (2x-1)+(2x+3)=4x+2
15 6x¤ +ax-20=(3x+b)(cx+5)
=3cx¤ +(bc+15)x+5b
따라서 3c=6, bc+15=a, 5b=-20이므로
a=7, b=-4, c=2
∴ a+b+c=5
16 x¤ +ax+6=(x+2)(x+c)로 놓으면
a=2+c, 6=2c(cid:100)(cid:100)∴ a=5, c=3
2x¤ -x+b=(x+2)(2x+d)로 놓으면
-1=d+4, b=2d
∴ b=-10, d=-5
∴ a+b=5+(-10)=-5
(cid:9000) ②
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) -5
17 (넓이)=2x¤ +5x+2=(2x+1)(x+2)
따라서 가로와 세로의 길이의 합은
(2x+1)+(x+2)=3x+3
(cid:9000) ④
18 (A의 넓이)=(x-4)¤ -2¤ =x¤ -8x+12
=(x-6)(x-2)
따라서 B의 가로의 길이는 x-2이다. (cid:9000) x-2
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LECTURE
07
인수분해 공식의 활용
LECTURE BOOK 34쪽
1 ⑴ 3x‹ +6x¤ +3x=3x(x¤ +2x+1)
=3x(x+1)¤
⑵ x+y=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ -4A+4=(A-2)¤
=(x+y-2)¤
⑶ (a-3b)¤ -25=(a-3b)¤ -5¤
=(a-3b+5)(a-3b-5)
⑷ xy+2x+2y+4=x(y+2)+2(y+2)
=(y+2)(x+2)
⑸ x¤ +xy+2x-y-3
=(x-1)y+x¤ +2x-3
=(x-1)y+(x-1)(x+3)
=(x-1)(x+y+3)
(cid:9000) 풀이 참조
2 ⑴ 45_15-25_15=(45-25)_15
=20_15=300
⑵ 23¤ -2_23_3+3¤ =(23-3)¤
⑶ 45¤ +2_45_5+5¤ =(45+5)¤
=20¤ =400
=50¤ =2500
⑷ 79¤ -21¤ =(79+21)(79-21)
=100_58=5800
(cid:9000) ⑴ 300(cid:100)⑵ 400(cid:100)⑶ 2500(cid:100)⑷ 5800
3 ⑴ x¤ +4x+4=(x+2)¤
=(38+2)¤ =40¤ =1600
⑵ x¤ -6x+9=(x-3)¤
=('5+3-3)¤ =5
⑶ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)
=(7.7+2.3)(7.7-2.3)
=10_5.4=54
⑷ a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤
=(2-'3+2+'3)¤ =16
(cid:9000) ⑴ 1600(cid:100)⑵ 5(cid:100)⑶ 54(cid:100)⑷ 16
Ⅱ. 이차방정식` 11
09 (주어진 식)=(2-x)y+x¤ -x-2
=(2-x)y+(x-2)(x+1)
=(x-2)(x-y+1)
(cid:9000) ①
y-3 → (y-3)x
x
(
x -(y-2) → -(y-2)x +
↗↘
10 (주어진 식)=x¤ -x-(y¤ -5y+6)
=x¤ -x-(y-3)(y-2)
=(x+y-3)(x-y+2)
a+b=-3
(cid:9000) ②
-x
따라서 다른 인수는 x-y+2
(cid:9000) x-y+2
Q특강(렉처)3상해설Ⅱ(10~21)ok 2014.9.3 6:5 PM 페이지12 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 35~37쪽
01 3x+1=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ -5A-24=(A+3)(A-8)
=(3x+4)(3x-7)
따라서 a=4, b=-7이므로
02 x-2y=A로 놓으면
(주어진 식)=A(A+1)-6=A¤ +A-6
=(A-2)(A+3)
=(x-2y-2)(x-2y+3)
(cid:9000) ④
03 x+2y=A, 3x-4y=B로 놓으면
(x+2y)¤ -(3x-4y)¤ =A¤ -B¤
=(A+B)(A-B)
=(4x-2y)(-2x+6y)
=-4(2x-y)(x-3y)
(cid:9000) ③
04 x(x-1)(x-2)(x-3)+1
={x(x-3)}{(x-1)(x-2)}+1
=(x¤ -3x)(x¤ -3x+2)+1
x¤ -3x=A로 치환
=A(A+2)+1
=A¤ +2A+1=(A+1)¤
=(x¤ -3x+1)¤
따라서 a=-3, b=1이므로
a-b=-4
05 a¤ +a-b-b¤ =a¤ -b¤ +(a-b)
=(a+b)(a-b)+(a-b)
=(a-b)(a+b+1)
a¤ -ab+a-b=a(a-b)+(a-b)
=(a-b)(a+1)
따라서 공통인 인수는 a-b이다.
(cid:9000) ③
06 x¤ -4y¤ -4x+4
=x¤ -4x+4-4y¤
=(x-2)¤ -(2y)¤
=(x+2y-2)(x-2y-2)
… 3점
∴ (x+2y-2)+(x-2y-2)=2x-4 … 3점
(cid:9000) 2x-4
07 (주어진 식)=x¤ -2xy+y¤ -6x+6y+9
=(x-y)¤ -6(x-y)+9
=(x-y-3)¤
(cid:9000) (x-y-3)¤
08 (주어진 식)=(a-b)c+(a¤ +3ab-4b¤ )
=(a-b)c+(a+4b)(a-b)
=(a-b)(a+4b+c)
(cid:9000) ⑤
12 `SOLUTION
A+B
=(x+2y)+(3x-4y)
=4x-2y
A-B
=(x+2y)-(3x-4y)
=-2x+6y
두 항씩 묶어 인수분해
공식
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
를 이용한다.
(cid:9000) ①
항이 여러 개이면 적당
한 항끼리 묶어 인수분
해한다.
먼저 x, y의 분모를 유리
화한다.
x-y=A로 놓으면
A¤ -6A+9
=(A-3)¤
=(x-y-3)¤
한 문자에 대하여 내림
차순으로 정리한 후 인
수분해한다.
11 12.5¤ +5_12.5+2.5¤ =12.5¤ +2_12.5_2.5+2.5¤
=(12.5+2.5)¤
=15¤ =225
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
12 "√82¤ -18¤ ='ƒ(82+18)(82-18)
='ƒ100_64=80
13 (주어진 식)=
2014_(2015+1)
(2015+1)(2015-1)
(주어진 식)=
2014_2016
2016_2014
=1
14 (주어진 식)
=(1¤ -2¤ )+(3¤ -4¤ )+y+(9¤ -10¤ )
=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+
=(-1)_(1+2)+(-1)_(3+4)+
y+(9-10)(9+10)
y+(-1)_(9+10)
=-(1+2+3+4+y+9+10)
=-55
(cid:9000) -55
15 (주어진 식)=x¤ -(y¤ -2y+1)
=x¤ -(y-1)¤
=(x+y-1)(x-y+1)
=(5-1)(2+1)=12
(cid:9000) ④
16 x=
2+'3
(2-'3)(2+'3)
2-'3
(2+'3)(2-'3)
=2+'3 ,
=2-'3
y=
이므로 xy=1, x+y=4, x-y=2'3
∴ (주어진 식)=xy(x¤ -y¤ )
=xy(x+y)(x-y)
=1_4_2'3=8'3
17 2<'6<3이므로 a='6-2
a-3=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ +10A+16
=(A+2)(A+8)
=(a-3+2)(a-3+8)
=(a-1)(a+5)
=('6-2-1)('6-2+5)
=('6-3)('6+3)=-3
(cid:9000) ⑤
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) -3
Q특강(렉처)3상해설Ⅱ(10~21)ok 2014.9.3 6:5 PM 페이지13 SinsagoHitec
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18 a(a-1)-b(b-1)=a¤ -a-b¤ +b
=a¤ -b¤ -(a-b)
=(a+b)(a-b)-(a-b)
=(a-b)(a+b-1)
즉 (a-b)(4-1)=-12이므로 a-b=-4
따라서 a=8, b=-10이므로
a+b=-2
(cid:9000) ②
03 3x¤ -x-2=ax¤ +x-1에서
(3-a)x¤ -2x-1=0이므로 a+3
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①
ax¤ +bx+c=0이 x에
대한 이차방정식이 되기
위한 조건 (cid:8857) a+0
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이차방정식과 그 풀이 ⑴
LECTURE BOOK 38쪽
LECTURE
08
1 (cid:9000) ②
2 (cid:9000) ⑴ ×
⑵ (cid:8776)
⑶ (cid:8776)
⑷ ×
3 (cid:9000) ⑴ x=-2 또는 x=3
(cid:9000) ⑵ x=;2!; 또는 x=4
4 ⑴ 2x¤ +6x=0에서 2x(x+3)=0
∴ x=0 또는 x=-3
⑵ x¤ -5x+4=0에서 (x-1)(x-4)=0
∴ x=1 또는 x=4
⑶ x¤ +2x-8=0에서 (x+4)(x-2)=0
∴ x=-4 또는 x=2
⑷ 2x¤ -5x+3=0에서 (x-1)(2x-3)=0
∴ x=1 또는 x=;2#;
⑸ 3x¤ +2x-1=0에서 (x+1)(3x-1)=0
∴ x=-1 또는 x=;3!;
⑹ 3x¤ +8x-3=0에서 (x+3)(3x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=;3!;
(cid:9000) ⑴ x=0 또는 x=-3(cid:100) ⑵ x=1 또는 x=4
(cid:9000) ⑶ x=-4 또는 x=2(cid:100) ⑷ x=1 또는 x=;2#;
(cid:9000) ⑸ x=-1 또는 x=;3!;
(cid:9000) ⑹ x=-3 또는 x=;3!;
04 ① 2¤ -3_2-5=-7+0
② 2_(-1)¤ -1-1=0
③ 3_(-2)¤ +2_(-2)-6=2+0
④ 3¤ -5_3+7=1+0
⑤ 6_1¤ -2_1+5=9+0
05 ① 2_2¤ -3_2-9=-7+0
② 2¤ +3_2-10=0
③ 3_2¤ -3_2-2=4+0
④ 2¤ +2-12=-6+0
⑤ 2_2¤ +5_2-3=15+0
06 x=-4를 2x¤ +ax-4=0에 대입하면
2_(-4)¤ -4a-4=0
4a=28(cid:100)(cid:100)∴ a=7
07 a¤ -4a-6=0이므로 a¤ -4a=6
∴ 2a¤ -8a=2(a¤ -4a)=12
08 a¤ +3a+1=0이므로 양변을 a로 나누면
a+3+
=0(cid:100)(cid:100)∴ a+
=-3
(cid:9000) ①
;a!;
;a!;
09 a¤ +2a-1=0, 2b¤ -b-5=0이므로
a¤ +2a=1, 2b¤ -b=5
∴ a¤ +2b¤ +2a-b=(a¤ +2a)+(2b¤ -b)
=1+5=6
(cid:9000) ②
(cid:9000) ②
(cid:9000) 7
(cid:9000) ⑤
… 3점
… 3점
(cid:9000) 6
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
AB=0
(cid:8857) A=0 또는 B=0
10 5(x+2)(2x-3)=0에서
x+2=0 또는 2x-3=0
∴ x=-2 또는 x=;2#;
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 39~41쪽
01 ① 2x¤ -2x+2=0
② 10x¤ -x=0
(cid:9000) ①, ②
x에 대한 이차방정식
(cid:8857) (x에 대한 이차식)=0
02 (x-2)¤ =2(x-1)(x+3)에서
x¤ -4x+4=2x¤ +4x-6
∴ x¤ +8x-10=0
a>b이므로
a=2, b=-;3!;
∴ x=-;3!; 또는 x=2
따라서 a=2, b=-;3!;이므로
a+3b=2-1=1
11 ①, ②, ③, ⑤ x=-;4!; 또는 x=;3!;
④ x=-;3!; 또는 x=;4!;
12 3x¤ -5x-2=0에서 (3x+1)(x-2)=0
Ⅱ. 이차방정식` 13
Q특강(렉처)3상해설Ⅱ(10~21)ok 2014.9.3 6:5 PM 페이지14 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
13 2x¤ -7x+3=0에서 (2x-1)(x-3)=0
∴ x=;2!; 또는 x=3
따라서 x=3이 x¤ -(a+1)x+a-8=0의 해이
므로
9-3(a+1)+a-8=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-1 (cid:9000) -1
14 x¤ -x-6=0에서 (x+2)(x-3)=0
∴ x=-2 또는 x=3
x¤ +3x+2=0에서 (x+2)(x+1)=0
∴ x=-2 또는 x=-1
따라서 공통인 해는 x=-2이므로
3_(-2)¤ -2a-2=0(cid:100)(cid:100)∴ a=5
(cid:9000) ⑤
15 x=3을 3x¤ -4x+a=0에 대입하면
3_3¤ -4_3+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-15
즉 3x¤ -4x-15=0이므로 (3x+5)(x-3)=0
∴ x=-;3%; 또는 x=3
따라서 다른 한 해는 x=-;3%;이다.
(cid:9000) ②
16 x=-3을 x¤ +ax-15=0에 대입하면
(-3)¤ -3a-15=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
즉 x¤ -2x-15=0이므로 (x+3)(x-5)=0
∴ b=5
∴ a+b=-2+5=3
17 x=-2를 x¤ +bx-8=0에 대입하면
(-2)¤ -2b-8=0(cid:100)(cid:100)∴ b=-2
즉 x¤ -2x-8=0이므로 (x+2)(x-4)=0
∴ a=-4
∴ a+b=-4+(-2)=-6
(cid:9000) ④
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) -6
18 x=-6을 x¤ +ax-12=0에 대입하면
(-6)¤ -6a-12=0(cid:100)(cid:100)∴ a=4
즉 x¤ +4x-12=0이므로 (x+6)(x-2)=0
∴ x=-6 또는 x=2
따라서 x=2가 2x¤ -7x+b=0의 해이므로
2_2¤ -7_2+b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=6
∴ a-b=4-6=-2
(cid:9000) ①
LECTURE
09
이차방정식과 그 풀이 ⑵
LECTURE BOOK 42쪽
1 (cid:9000) ⑴ x=-2(중근)
⑵ x=6(중근)
14 `SOLUTION
2 ⑴ a={;2^;}2 =9
-10
2
⑵ a={
}2 =25
(cid:9000) ⑴ 9(cid:100)⑵ 25
3 ⑴ x¤ =6이므로 x=—'6
⑵ 3x¤ =15에서 x¤ =5(cid:100)(cid:100)∴ x=—'5
(cid:9000) ⑴ x=—'6(cid:100)⑵ x=—'5
4 ⑴ x-2=—'3(cid:100)(cid:100)∴ x=2—'3
⑵ x+1=—3(cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=-4
(cid:9000) ⑴ x=2—'3(cid:100)⑵ x=2 또는 x=-4
5 (cid:9000) 6, 4, 6, 4, 2, 10, -2—'∂10
6 ⑴ x¤ -5x=-3에서
⑴ x¤ -5x+{
-5
2
}2 =-3+{
-5
2
}2
13
⑴ {x- }2 = , x- =—
4
5
2
5
2
'∂13
2
⑴ ∴ x=
5—'∂13
2
⑵ 2x¤ +12x-4=0의 양변을 2로 나누면
⑴ x¤ +6x-2=0, x¤ +6x=2
6
2
}2 =2+{
6
⑴ x¤ +6x+{
2
⑴ (x+3)¤ =11, x+3=—'∂11
⑴ ∴ x=-3—'∂11
}2
(cid:9000) ⑴ x=
5—'∂13
2
(cid:100)⑵ x=-3—'∂11
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 43~45쪽
주어진 한 근이 x=-3이
므로 다른 한 근이 b의 값
이다.
두 이차방정식의 해가 서로
같으므로 x+2=0, 즉
x=-2는 x¤ +bx-8=0
의 해이기도 하다.
이차방정식이
(완전제곱식)=0의 꼴
로 나타내어진다.
(cid:8857) 중근을 갖는다.
01 ① (x+8)¤ =0
¤ =0
④ {x+;2!;}
② 2(x-2)¤ =0
⑤ (2x-5)¤ =0
(cid:9000) ③
02 ㈁ (x-3)¤ =0(cid:100)(cid:100)㈂ (x-1)¤ =0
(cid:9000) ②
03 x¤ -2x+1=x-;4%;이므로 x¤ -3x+;4(;=0
¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=;2#; (중근)
{x-;2#;}
(cid:9000) x=;2#; (중근)
x에 대한 이차방정식
x¤ +ax+b=0이 중근
을 갖는다.
(cid:8857) b={;2A;}
04 5k+1={
∴ k=7
-12
2
}
¤ 에서 5k=35
05 -4a+12={
2a
2
¤ 에서 a¤ +4a-12=0
}
(a+6)(a-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-6 또는 a=2
따라서 상수 a의 값의 합은
-6+2=-4
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
¤
Q특강(렉처)3상해설Ⅱ(10~21)ok 2014.9.3 6:5 PM 페이지15 SinsagoHitec
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) 48
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 13
(cid:9000) ①
(cid:9000) ④
06 a={
-8
2
}
¤ =16
x¤ +16x+b=0에서 b={:¡2§:}
∴ b-a=64-16=48
¤ =64
07 2x¤ =3x¤ -6이므로 x¤ =6(cid:100)(cid:100)
∴ x=—'6
08 3(x+2)¤ =15이므로 (x+2)¤ =5
x+2=—'5(cid:100)(cid:100)∴ x=-2—'5
따라서 a=-2, b=5이므로
a+b=3
09 (2x-5)¤ =8이므로 2x-5=—2'2
2x=5—2'2(cid:100)(cid:100)∴ x=
5—2'2
2
10 2(x+a)¤ =b에서 (x+a)¤ =
;2B;
x+a=—æ;2B;
(cid:100)(cid:100)∴ x=-a—æ;2B;
따라서 -a=-1,
=7이므로
;2B;
a=1, b=14
∴ b-a=13
11 해를 가지려면
a-1
4
æ0
∴ aæ1
12 a(x-p)¤ =q에서 (x-p)¤ =
;aQ;
따라서
>0이어야 하므로
;aQ;
aq>0
13 2x¤ -6x-2=0에서 x¤ -3x-1=0
x¤ -3x=1, x¤ -3x+;4(;=:¡4£:
∴ {x-;2#;}
¤ =
:¡4£:
따라서 p=
q=
이므로
;2#;,
:¡4£:
p-2q=-5
(cid:9000) -5
14 (x-5)(x+1)=2에서 x¤ -4x-5=2
x¤ -4x+4=11, (x-2)¤ =11
따라서 p=-2, q=11이므로
p+q=9
15 3x¤ -6x-12=0의 양변을 3으로 나누면
x¤ -2x-4=0, x¤ -2x=4
x¤ -2x+1=4+1
(x-1)¤ =5(cid:100)(cid:100)∴ x=1—'5
(cid:9000) ①
(cid:9000) ③
Q BOX
-7
2
{
}
=:¢4ª:
(x-p)¤ =q(qæ0)
(cid:8857) x=p—'q
49
4
'∂29
2
16 x¤ -7x=-5에서 x¤ -7x+ =:™4ª:
{x-;2&;}
∴ x=
=:™4ª:, x-;2&;=—
7—'∂29
2
(cid:100)(cid:100)∴ k=29
(cid:9000) ④
17 x¤ +8x=-a이므로 x¤ +8x+16=-a+16
(x+4)¤ =-a+16, x+4=—'ƒ-a+16
∴ x=-4—'ƒ-a+16
즉 -a+16=11이므로 a=5
(cid:9000) ⑤
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
18 9x¤ +12x-1=0에서
x¤ +;3$;x-;9!;=0, x¤ +;3$;x=;9!;
x¤ +;3$;x+;9$;=;9%;, {x+;3@;}
'5
x+;3@;=— (cid:100)(cid:100)∴ x=
3
=;9%;
-2—'5
3
… 3점
… 3점
(cid:9000) x=
-2—'5
3
LECTURE
10
이차방정식의 근의 공식
LECTURE BOOK 46쪽
제곱해서 음수가 되는 수는
없으므로 (x+p)¤ =q의
해가 존재하려면 qæ0이다.
1 ⑴ x=
⑵ x=
-3—"√3¤ -4_1_(-2)
2_1
-3—'∂17
2
-(-1)—"√(-1)¤ -4_1√_(-3)
2_1
=
-3
2
{
}
=;4(;
⑴ x=
3—'∂21
6
⑴ x=
1—'∂13
2
⑶ x=
⑷ x=
-5—"√5¤ -4_2_(-1)
2_2
-5—'∂33
4
-(-3)—"√(-3)¤ -4_3√_(-1)
2_3
=
(cid:9000) ⑴ x=
(cid:100)⑵ x=
-3—'∂17
2
-5—'∂33
4
1—'∂13
2
3—'∂21
6
(cid:9000) ⑶ x=
(cid:100)⑷ x=
2 ⑴ x=-1—"√1¤ -1_(-1)=-1—'2
⑵ x=-(-3)—"√(-3)¤ -1_3=3—'6
-2—'∂10
3
-2—"√2¤ -3_(-2)
3
⑶ x=
=
⑷ x=
-4—"√4¤ -2_7
2
=
-4—'2
2
(cid:9000) ⑴ x=-1—'2(cid:100) ⑵ x=3—'6
(cid:9000) ⑶ x=
(cid:100)⑷ x=
-2—'∂10
3
-4—'2
2
Ⅱ. 이차방정식` 15
¤
¤
¤
¤
Q특강(렉처)3상해설Ⅱ(10~21)ok 2014.9.3 6:5 PM 페이지16 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
3 ⑴ 괄호를 풀어 정리하면 x¤ +2x-15=0
(cid:100) (x+5)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-5 또는 x=3
⑵ 괄호를 풀어 정리하면 2x¤ -4x-1=0
-(-2)—"√(-2)¤ -2_(-1)
2
(cid:100) ∴ x=
(cid:100) ∴ x=
2—'6
2
⑶ 양변에 2를 곱하면 2x(x-1)=(x-2)¤
⑵ 괄호를 풀어 정리하면 x¤ +2x-4=0
⑵ ∴ x=-1—"√1¤ -1_(-4)=-1—'5
⑷ 양변에 12를 곱하면 2(3x+4)=9x¤
⑵ 괄호를 풀어 정리하면 9x¤ -6x-8=0
⑵ (3x+2)(3x-4)=0
⑵ ∴ x=-;3@; 또는 x=;3$;
(cid:9000) ⑴ x=-5 또는 x=3(cid:100)⑵ x=
2—'6
2
(cid:9000) ⑶ x=-1—'5(cid:100)⑷ x=-;3@; 또는 x=;3$;
4 ⑴ 양변에 10을 곱하면 x¤ -3x-18=0
⑵ (x+3)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=6
⑵ 양변에 10을 곱하면 2x¤ +5x-4=0
⑵ ∴ x=
-5—"√5¤ -4_2_(-4)
2_2
⑵ ∴ x=
-5—'∂57
4
⑶ 양변에 10을 곱하면 10x¤ -x-3=0
⑵ (2x+1)(5x-3)=0
⑵ ∴ x=-;2!; 또는 x=;5#;
⑷ 양변에 6을 곱하면 2x¤ +3x-1=0
-3—"√3¤ -4_2_(-1)
2_2
⑵ ∴ x=
⑵ ∴ x=
-3—'∂17
4
(cid:9000) ⑴ x=-3 또는 x=6(cid:100) ⑵ x=
(cid:9000) ⑶ x=-;2!; 또는 x=;5#;(cid:100)⑷ x=
-5—'∂57
4
-3—'∂17
4
01 x=
-(-5)—"√(-5)¤ -4_2_1
2_2
=
5—'∂17
4
따라서 A=4, B=17이므로
A+B=21
02 x=-3—"√3¤ -1_1=-3—2'2
따라서 A=-3, B=2이므로
AB=-6
(cid:9000) ②
(cid:9000) ①
16 `SOLUTION
03 x=
=
-2—'∂10
3
-2—"√2¤ -3_(-2)
3
-2-'∂10
3
-2-'∂10
3
3p+'∂10=3_
따라서 p=
이므로
+'∂10
3p+'∂10=-2-'∂10+'∂10=-2
(cid:9000) -2
04 x=
-(-4)—"√(-4)¤ -3_A
3
x=
4—'ƒ16-3A
3
따라서 16-3A=22이므로 A=-2
(cid:9000) -2
05 x¤ +5x-1-k=0에서
x=
-5—"√5¤ -4(-1-k)
2
x=
-5—'ƒ29+4k
2
따라서 29+4k=21이므로
k=-2
06 x=
-(-7)—"√(-7)¤ -4_A_4
2A
따라서 2A=4, 49-16A=B이므로
x=
7—'ƒ49-16A
2A
A=2, B=17
∴ B-A=15
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
07 괄호를 풀어 정리하면 x¤ -4x-1=0
∴ x=-(-2)—"√(-2)¤ -1_(-1)=2—'5
이때 2<'5<3이므로 양수인 근은 x=2+'5
(cid:9000) x=2+'5
08 괄호를 풀어 정리하면 5x¤ +3x-2=0
(x+1)(5x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=;5@;
따라서 a=-1, b=;5@;이므로
a+5b=-1+5_;5@;=1
(cid:9000) ④
(cid:100) ∴ x=
(cid:100) ∴ x=
(cid:100) ∴ p=
-3—"√3¤ -2_(-1)
2
-3—'ß11
2
-3+'ß11
2
, q=
⑵ p+q={
-3+'ß11
2
}+{
-3-'ß11
2
-3-'ß11
2
}
=-3
… 2점
… 2점
분배법칙, 곱셈 공식을
이용하여 괄호를 풀고
동류항끼리 정리한 후
근의 공식을 이용한다.
ay)
18 1-x=A로 놓으면 + -1=0
A¤
3
A
6
양변에 6을 곱하면
2A¤ +A-6=0, (A+2)(2A-3)=0
∴ A=-2 또는 A=;2#;
즉 1-x=-2 또는 1-x=;2#;이므로
x=3 또는 x=-;2!;
(cid:9000) x=-3 또는 x=;3$;
∴ 2ab=2_3_{-;2!;}=-3
(cid:9000) ②
LECTURE
11
이차방정식의 근과 계수의 관계
LECTURE BOOK 50쪽
1 ⑴ (-2)¤ -4_1_(-1)=8>0
⑵ (-2)¤ -4_1_1=0
⑶ (-2)¤ -4_1_2=-4<0
(cid:9000) ⑴ 2개(cid:100)⑵ 1개(cid:100)⑶ 0개
공통 부분을 A로 치환하여
A의 값을 구한 후 A 대신
원래 식을 대입하여 x의
값을 구한다.
2 ⑴ (-3)¤ -4k>0이므로
⑴ 9-4k>0(cid:100)(cid:100)∴ k<;4(;
⑵ (-3)¤ -4k=0이므로
⑴ 9-4k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=;4(;
⑶ (-3)¤ -4k<0이므로
⑴ 9-4k<0(cid:100)(cid:100)∴ k>;4(;
(cid:9000) ⑴ k<;4(;(cid:100)⑵ k=;4(;(cid:100)⑶ k>;4(;
3 (cid:9000) ⑴ 합：5, 곱：3
⑵ 합：-4, 곱：2
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ⑶ 합：2, 곱：-;3!;
Ⅱ. 이차방정식` 17
Q특강(렉처)3상해설Ⅱ(10~21)ok 2014.9.3 6:5 PM 페이지18 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
4 (cid:9000) ⑴ -6
⑵ 6
⑶ 24
5 ⑴ (x-2)(x+4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +2x-8=0
⑵ 3(x+2)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ 3x¤ -12=0
⑶ (x+3)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +6x+9=0
⑷ 2(x¤ -5x+7)=0(cid:100)(cid:100)∴ 2x¤ -10x+14=0
(cid:9000) ⑴ x¤ +2x-8=0(cid:100)⑵ 3x¤ -12=0
(cid:9000) ⑶ x¤ +6x+9=0(cid:100)⑷ 2x¤ -10x+14=0
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 51~53쪽
01 ① (-4)¤ -4_1_(-4)=32>0
② (-2)¤ -4_;5!;_5=0
-4_1_1=-;;£9™;;<0
③ {-;3@;}
④ x¤ -2x-1=0이므로
(-2)¤ -4_1_(-1)=8>0
⑤ 4x¤ +3x-1=0이므로
3¤ -4_4_(-1)=25>0
(cid:9000) ③
02 (-6)¤ -4(k+1)>0이므로
32-4k>0(cid:100)(cid:100)∴ k<8
03 x¤ +2ax-a+2=0이므로
(cid:9000) ③
(2a)¤ -4(-a+2)=0, a¤ +a-2=0
(a+2)(a-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-2 또는 a=1
⁄ a=-2일 때, x¤ -4x+4=0이므로
(x-2)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=2
¤ a=1일 때, x¤ +2x+1=0이므로
(x+1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1
⁄, ¤에서 a=1
(cid:9000) ③
04 양변에 2를 곱하면 3x¤ -6x-9=0이므로
a=-
-6
3
=2, b=
-9
3
=-3
∴ a+b=-1
(cid:9000) -1
(a-b)¤
=a¤ +b¤ -2ab
=a¤ +b¤ +2ab-4ab
=(a+b)¤ -4ab
이차방정식
ax¤ +bx+c=0에서
b¤ -4ac>0
(cid:8857) 서로 다른 두 근
b¤ -4ac=0 (cid:8857) 중근
b¤ -4ac<0
(cid:8857) 근이 없다.
이차방정식
ax¤ +bx+c=0의 두
근을 a, b라 하면
a+b
, ab
=-;aB;
=;aC;
05 2x¤ -8x+1=0의 두 근의 합이-
-8
2
=4이므로
x=4를 x¤ -5x+k=0에 대입하면
4¤ -5_4+k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=4
(cid:9000) ④
두 근이 a, b이고 x¤ 의
계수가 a인 이차방정식
은
a(x-a)(x-b)=0
06 두 근을a, a +3으로 놓으면
a+(a+3)=7 y ㉠
a(a+3)=-2k y ㉡
㉠에서 2a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=2
18 `SOLUTION
a=2를 ㉡에 대입하면 2_5=-2k
(cid:100)(cid:100)∴ k=-5
(cid:9000) ①
07 a+b=-2, ab=-;2%;이므로
(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab
=(-2)¤ -4_{-;2%;}=14
(cid:9000) ⑤
08 a+b=6, ab=3이므로
b
a
a
+ =
b
a¤ +b¤
ab
=
(a+b)¤ -2ab
ab
+ =
6¤ -2_3
3
=10
(cid:9000) 10
09 괄호를 풀어 정리하면 x¤ +5x-2=0
따라서 a+b=-5, ab=-2이므로
a¤ -ab+b¤ =(a+b)¤ -3ab
=(-5)¤ -3_(-2)
=25+6=31
(cid:9000) ③
10 다른 한 근은 -2-'5이므로
k=(-2+'5 )(-2-'5)=-1
(cid:9000) ②
11 다른 한 근은 - -1이므로
'2
2
-a={ -1}+{- -1}=-2
'2
2
'2
2
∴ a=2
'2
2
b={ -1}{- -1}=;2!;
'2
2
∴ ab=2_;2!;=1
(cid:9000) ④
… 2점
(cid:9000) -4
12
1
3+2'2
=
3-2'2
(3+2'2)(3-2'2)
=3-2'2
따라서 다른 한 근은 3+2'2이므로
… 2점
-(k-2)=(3-2'2 )+(3+2'2)=6 … 3점
즉 -k+2=6이므로 k=-4
… 1점
13 a=-3, b=-5이므로 구하는 이차방정식은
(x+3)(x+5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +8x+15=0
(cid:9000) x¤ +8x+15=0
14 a+b=4, ab=-2이므로
(a-1)+(b-1)=a+b-2=2
(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=-5
따라서 구하는 이차방정식은
x¤ -2x-5=0
(cid:9000) ①
¤
Q특강(렉처)3상해설Ⅱ(10~21)ok 2014.9.3 6:5 PM 페이지19 SinsagoHitec
Q BOX
중근이 a이고 x¤ 의 계
수가 a인 이차방정식은
a(x-a)¤ =0
2 연속하는 두 자연수를 x, x+1이라 하면
x¤ +(x+1)¤ =61
x¤ +x-30=0, (x-5)(x+6)=0
∴ x=5 (∵ x는 자연수)
따라서 두 수는5, 6이다.
(cid:9000) 5, 6
3 연속하는 두 홀수를 x, x+2라 하면
x(x+2)=143
x¤ +2x-143=0, (x-11)(x+13)=0
∴ x=11 (∵ x는 자연수)
따라서 두 홀수는 11, 13이므로 구하는 합은
11+13=24
(cid:9000) 24
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
4 늘인 길이를 x cm라 하면
(x+8)(x+6)=48+32
x¤ +14x-32=0, (x+16)(x-2)=0
∴ x=2 (∵ x>0)
따라서 늘인 길이는 2 cm이다.
(cid:9000) 2 cm
x의 계수를 잘못 보았으므로
상수항은 바르게 보았다.
상수항을 잘못 보았으므로
x의 계수는 바르게 보았다.
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 55~57쪽
15 x¤ 의 계수가 9이고 x=;3@;를 중근으로 갖는 이차
방정식은
A+B=1
¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ 9x¤ -12x+4=0
9{x-;3@;}
따라서 A=-3, B=4이므로
16 a+b=-2, ab=-3이므로
1
a
1
a
1
+ =
b
a+b
ab
=;3@;
1
_ = =-;3!;
ab
1
b
따라서 구하는 이차방정식은
k{x¤ -;3@;x-;3!;}=0 (k+0)의 꼴이다.
17 지용이는 상수항을 바르게 보았으므로
(x-1)(x-8)=0에서 x¤ -9x+8=0
∴ b=8
현석이는 x의 계수를 바르게 보았으므로
(x+2)(x-8)=0에서 x¤ -6x-16=0
∴ a=-6
∴ a+b=(-6)+8=2
18 처음에는 일차항의 계수를 바르게 보았으므로
(x-2)¤ =0, x¤ -4x+4=0에서
일차항의 계수는 -4
… 2점
두 번째는 상수항을 바르게 보았으므로
(x+1)(x+3)=0, x¤ +4x+3=0에서
상수항은 3
따라서 올바른 이차방정식은
x¤ -4x+3=0
(x-1)(x-3)=0
∴ x=1 또는 x=3
(cid:9000) x=1 또는 x=3
(cid:9000) 1
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
… 2점
… 2점
… 2점
01
n(n-3)
2
=65에서
n¤ -3n-130=0, (n+10)(n-13)=0
∴ n=13 (∵ n>0)
따라서 구하는 다각형은 십삼각형이다.
02
n(n+1)
2
=55, n¤ +n-110=0
(n+11)(n-10)=0(cid:100)(cid:100)∴ n=10 (∵ n>0)
따라서 구하는 삼각형은 10번째 삼각형이다.
03 n(n-1)=56에서
n¤ -n-56=0, (n+7)(n-8)=0
∴ n=8 (∵ n>0)
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
(cid:9000) 8
(cid:9000) 3초
(cid:9000) ②
Ⅱ. 이차방정식` 19
LECTURE
12
이차방정식의 활용
공이 지면에 떨어지는 순간
의 높이는 0 m이다.
04 3+2t-t¤ =0에서
t¤ -2t-3=0, (t-3)(t+1)=0
∴ t=3 (∵ t>0)
LECTURE BOOK 54쪽
따라서 공이 지면에 떨어지는 것은 3초 후이다.
1 -2t¤ +5t+3=0에서
2t¤ -5t-3=0, (2t+1)(t-3)=0
∴ t=3 (∵ t>0)
05 45t-5t¤ =90에서 t¤ -9t+18=0
(t-3)(t-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=3 또는 t=6
따라서 처음으로 90 m인 지점을 지나는 것은 3초
따라서 공을 친 지 3초 후에 지면에 떨어진다.
후이다.
(cid:9000) 3초
Q특강(렉처)3상해설Ⅱ(10~21)ok 2014.9.3 6:5 PM 페이지20 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
반지름의 길이가 r인
원의 넓이 (cid:8857) pr¤
다.
17 처음 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면
p(x+5)¤ =4_px¤ , 3x¤ -10x-25=0
따라서 x는 10 이하의 소수이므로 2, 3, 5, 7의 4
개이다.
(cid:9000) ③
자연수 x의 약수의 개수는
양수이다.
(x-5)(3x+5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
따라서 처음 원의 반지름의 길이는 5 cm이다.
06 50+30t-5t¤ =90에서 t¤ -6t+8=0
(t-2)(t-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=2 또는 t=4
따라서 90 m 이상인 지점을 지나는 것은 2초부터
4초까지이므로 2초 동안이다.
(cid:9000) 2초
07 x≠4=12에서 x¤ +4x+16=12이므로
x¤ +4x+4=0, (x+2)¤ =0
∴ x=-2
(cid:9000) ①
08 ¤ +3-10=0에서
(+5)(-2)=0
∴ =2 (∵ >0)
09 (2x-1)„(x+1)=-6에서
2(2x-1)+(x+1)-(2x-1)(x+1)=-6
x¤ -2x-3=0, (x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
(cid:9000) -1 또는 3
10 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면
(x-1)¤ +x¤ +(x+1)¤ =194이므로
3x¤ -192=0, 3(x+8)(x-8)=0
∴ x=8 (∵ x는 자연수)
따라서 가장 작은 자연수는 7이다.
(cid:9000) ③
11 어떤 수를 x라 하면
(x-2)¤ =3(x-2)이므로 x¤ -7x+10=0
(x-2)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=5
(cid:9000) 2 또는 5
12 연속하는 세 짝수를 x-2, x, x+2라 하면
(x+2)¤ =(x-2)¤ +x¤ -20이므로
x¤ -8x-20=0, (x-10)(x+2)=0
∴ x=10 (∵ x는 자연수)
따라서 가장 큰 수는 12이다.
(cid:9000) ④
13 영환이의 나이를 x살이라 하면 승후의 나이는
(x+6)살이므로
x¤ =4(x+6)+8, x¤ -4x-32=0
(x-8)(x+4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>0)
따라서 영환이의 나이는 8살이다.
(cid:9000) ②
14 학생 수를 x명이라 하면 한 사람이 받는 사탕의
… 2점
개수는 (x+5)개이므로
x(x+5)=126, x¤ +5x-126=0
… 2점
(x+14)(x-9)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=9 (∵ x>0)
따라서 학생 수는 9명이다.
20 `SOLUTION
사탕 126개를 남기지 않고
x명에게 (x+5)개씩 나누
어 주었다.
… 2점
(cid:9000) 9명
15 1000_{1+
;10{0;}_{1-
;10{0;}=1000-40이므로
10000-x¤ =9600, x¤ =400
∴ x=20 (∵ x>0)
(cid:9000) ③
16 작은 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
(12-x)¤ +x¤ =90이므로 x¤ -12x+27=0
(x-3)(x-9)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ 0≤ ≤ ≤ ≥ ≤
(y+4)x
(cid:9000) ②
x에 대한 이차방정식
(cid:8857) (x에 대한 이차식)=0
(x+2)(x+m)
=x¤ +(2+m)x+2m
(x-3)(2x+n)
=2x¤ +(n-6)x-3n
이다.
(x+1)(x-12)=x¤ -11x-12에서 일차항의
계수는 -11이다.
∴ x¤ -11x+24=(x-3)(x-8)
(cid:9000) (x-3)(x-8)
06 (주어진 식)=a¤ (b-1)-(b-1)
=(a¤ -1)(b-1)
=(a+1)(a-1)(b-1)
(cid:9000) ⑤
07 (주어진 식)=x¤ +(y+4)x-(2y¤ -5y-3)
=x¤ +(y+4)x-(2y+1)(y-3)
=(x+2y+1)(x-y+3)
08 x¤ -6x-y¤ +9=(x¤ -6x+9)-y¤
=(x-3)¤ -y¤
=(x+y-3)(x-y-3)
=(4-3)_(1-3)
=-2
(cid:9000) ②
09 (cid:9000) ①
10 x=a를 3x¤ -2ax+x-12=0에 대입하면
3a¤ -2a¤ +a-12=0, a¤ +a-12=0
(a+4)(a-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=3 (∵ a>0)
(cid:9000) ③
11 x¤ -6x+2a=0에서 x¤ -6x+9=-2a+9
(x-3)¤ =-2a+9, x-3=—'ƒ-2a+9
∴ x=3—'ƒ-2a+9
따라서 -2a+9=3이므로 a=3
(cid:9000) ④
12 양변에 10을 곱하면
6x¤ +7x-49=0, (2x+7)(3x-7)=0
∴ x=-
또는 x=
;2&;
;3&;
a>b이므로 a=
, b=-
;3&;
;2&;
∴ 3a-2b=14
13 x-2y=A로 놓으면 A(A-8)+16=0
A¤ -8A+16=0, (A-4)¤ =0(cid:100)(cid:100)
∴ A=4
따라서 x-2y=4이므로
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
a+4a=;2%;(cid:100)(cid:100)∴ a=;2!;
따라서 두 근이;2!;, 2이므로
;2!;_2=
k+1
2
(cid:100)(cid:100)∴ k=1
∴
∴
∴
하면
16 a+b=-6, ab=3이므로
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=(-6)¤ -2_3=30
b
a+1
+
a
b+1
=
b(b_1)+a(a_1)
(a+1)(b+1)
+
+
=
a¤ +b¤ +a+b
ab+a+b+1
=
30-6
3-6+1
=-12
17 연속하는 네 자연수를 x-1, x, x+1, x+2라
(x+2)¤ +(x-1)¤ =6{(x+1)+x}-1
x¤ -5x=0, x(x-5)=0
∴ x=5 (∵ x>0)
따라서가장큰수는 7이다.
18 x초 후에 처음 직사각형과 넓이가 같아진다고 하면
(12+2x)(15-x)=12_15이므로
x¤ -9x=0, x(x-9)=0
∴ x=9 (∵ 00, a-2<0
∴ (주어진 식)=a+1-(a-2)=3
23 (주어진 식)={x(x-1)}{(x-2)(x+1)}+k
=(x¤ -x)(x¤ -x-2)+k
x¤ -x=A로 놓으면
(주어진 식)=A(A-2)+k=A¤ -2A+k
따라서 A¤ -2A+k가 완전제곱식이 되려면
k={
-2
2
}
¤ =1
24 십의 자리의 숫자를 x라 하면 일의 자리의 숫자는
2x이므로
x_2x=10_x+2x-16
2x¤ -12x+16=0, x¤ -6x+8=0
(x-2)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=4
따라서 구하는 수는 24 또는 48이다.
(cid:9000) 24 또는 48
25 처음 잔디밭의 세로의 길이를 x m라 하면 가로의
길이는 3x m이므로
(3x+4)(x+4)=5_3x_x
3x¤ -4x-4=0, (3x+2)(x-2)=0
∴ x=2 (∵ x>0)
따라서 처음 잔디밭의 가로의 길이는 6 m이다.
(cid:9000) 6 m
(cid:9000) 3
이차방정식
ax¤ +bx+c=0이 중
근을 갖는다.
(cid:8857) b¤ -4ac=0
이차함수
(cid:8857) y=(x에 대한 이차식)
의 꼴로 나타내어진다.
(cid:9000) ③
(거리)=(속력)_(시간)
이차함수의 뜻과 그래프 ⑴
LECTURE BOOK 62쪽
LECTURE
13
1 (cid:9000) ③
2 (cid:9000) ④
3 (cid:9000) ⑴ ㈁, ㈂
⑵ ㈁
필수 유형 공략
01 ② y=x¤ -9
02 ① y=x¤
③ y=60x
⑤ y=6x+6
LECTURE BOOK 63~65쪽
③ y=-5x
(cid:9000) ②
② y=4px¤
④ y=;2!;x¤ +2x
(cid:9000) ③, ⑤
03 f(3)=2_3¤ -3+5=20
f(-1)=2_(-1)¤ -(-1)+5=8
∴ f(3)-f(-1)=20-8=12
(cid:9000) ②
04 f(2)=a_2¤ +3_2+1=-1
4a=-8(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
즉 f(x)=-2x¤ +3x+1이므로
f(1)=-2_1¤ +3_1+1=2
(cid:9000) ②
05 f(-1)=1-a-b=-6에서
y ㉠
a+b=7
f(2)=4+2a-b=0에서
2a-b=-4
y ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=6
∴ ab=6
06 ② 점 (-1, 1)을 지난다.
④ 아래로 볼록한 포물선이다.
⑤ y=-x¤ `의 그래프와 x축에 대칭이다.
… 1점
… 1점
… 2점
… 2점
(cid:9000) 6
(cid:9000) ①, ③
07 ㈁ x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가
㈃ 점 (-2, -4)를 지난다.
(cid:9000) ③
이차함수 y=ax¤ 의 그
래프와 x축에 대칭인
것은 y=-ax¤ 이다.
한다.
08 (cid:9000) ⑤
22 `SOLUTION
Q특강(렉처)3상해설Ⅲ(22~31)ok 2014.9.3 6:6 PM 페이지23 SinsagoHitec
Q BOX
이차함수 y=ax¤ 의 그
래프를 y축의 방향으로
q만큼 평행이동한 그래
프의 식
(cid:8857) y=ax¤ +q
09 주어진 이차함수의 그래프 중 위로 볼록한 것은
② y=-4x¤ (cid:100)③ y=-;2!;x¤ (cid:100)⑤ y=-;4!;x¤ (cid:100)(cid:100)
|-;4!;|<|-;2!;|<|-4|이므로 이 중에서 폭이
가장 넓은 것은 ⑤ y=-;4!;x¤ 이다.
(cid:9000) ⑤
10 ③ x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가
(cid:9000) ③
한다.
11 y=-;2!;x¤ 의 그래프는 위로 볼록하고 y=-x¤ 의
그래프보다 폭이 넓으므로 알맞은 것은 ㉣이다.
12 색칠한 부분을 지나는 이차함수의 식을 y=ax¤ 이
라 하면
-10)
18 A(3, 9), B(3, 9a), C(3, 0)이므로
9-9a=9a, 18a=9(cid:100)(cid:100)∴ a=;2!;
(cid:9000) ④
(cid:9000) 6
꼭짓점이 원점인 이차
함수의 그래프의 식
(cid:8857) y=ax¤ (a+0)
(cid:9000) ④
이차함수 y=a(x-p)¤
의 그래프의 증가, 감소
(cid:8857) 축을 기준으로 바뀐다.
… 3점
(cid:9000) 3
이차함수 y=ax¤ 의 그
래프를 x축의 방향으로
p만큼 평행이동한 그래
프의 식
(cid:8857) y=a(x-p)¤
점 A는 y=x¤ 의 그래프
위의 점이므로
x=3일 때, y=3¤ =9
∴ A(3, 9)
LECTURE
14
이차함수의 뜻과 그래프 ⑵
LECTURE BOOK 66쪽
1 (cid:9000) ⑴ y=3x¤ +4 ⑵ (0, 4)
⑶ x=0
2 (cid:9000) ⑴ y=-;4!;(x+2)¤
(cid:9000) ⑵ (-2, 0) ⑶ x=-2
3 (cid:9000) ⑴ y=-2(x+1)¤ +2
(cid:9000) ⑵ (-1, 2) ⑶ x=-1
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 67~69쪽
01 y=2x¤ -4에 x=-1, y=k를 대입하면
k=2_(-1)¤ -4=-2
02 ⑤ 위로 볼록한 포물선이다.
03 y=ax¤ +8의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, 8)
… 2점
이므로 AO”=8
△ABC=;2!;_BC”_8=16
∴ BC”=4
이때 두 점B, C는 y축에 대칭이므로
B(-2, 0), C(2, 0)
y=ax¤ +8에 x=2, y=0을 대입하면
0=4a+8(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
(cid:9000) ②
(cid:9000) ⑤
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) -2
y
04 y=3(x+5)¤ 의 그래프는 오
른쪽 그림과 같으므로
x<-5일 때x 의 값이 증가
하면 y의 값은 감소한다.
-5
O
x
(cid:9000) ①
05 y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼 평행
이동한 그래프의 식은
y=-(x-m)¤
이 그래프가 점 (2, -1)을 지나므로
-1=-(2-m)¤
(2-m)¤ =1, 2-m=—1
∴ m=1 또는 m=3
(cid:9000) ③, ⑤
Ⅲ. 이차함수` 23
Q특강(렉처)3상해설Ⅲ(22~31)ok 2014.9.3 6:6 PM 페이지24 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
06 꼭짓점의 좌표가 (-4, 0)이므로 p=-4
따라서 y=a(x+4)¤ 의 그래프가 점 (0, 8)을 지
그래프의 모양
(cid:8857) a의 부호
꼭짓점의 위치
(cid:8857) p, q의 부호
나므로
8=16a(cid:100)(cid:100)∴ a=;2!;
∴ ap=-2
07 ③ y=-;3!;(x+1)¤ +2에
(cid:100) 서 꼭짓점의 좌표는
(cid:100) (-1, 2)이고, x=0일
(cid:9000) ②
y
2
5
3
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) 4
(cid:100) 때 y=;3%;이므로 그래프
(cid:100) 는 오른쪽 그림과 같이 모든 사분면을 지난다.
O-1
x
08 y=a(x+p)¤ +3의 그래프가 직선 x=-2를 축
으로 하므로
-p=-2(cid:100)(cid:100)∴ p=2
따라서 y=a(x+2)¤ +3의 그래프가
점 (-4, -1)을 지나므로
-1=a(-4+2)¤ +3(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
∴ a+p=1
(cid:9000) ①
09 y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축
의 방향으로 1만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-(x-a)¤ +1
a=4, b=1
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (a, 1)이므로
따라서 y=-(x-4)¤ +1의 그래프가 점 (2, c)
를 지나므로
c=-(2-4)¤ +1=-3
∴ a+b+c=2
10 꼭짓점의 좌표가 (-3, -1)이므로 그래프가 나
타내는 이차함수의 식은
y=(x+3)¤ -1
(cid:9000) y=(x+3)¤ -1
12 y=a(x+p)¤ +q의 그래프에서 꼭짓점의 좌표는
y=a(x+2)¤ +3의 그래프가 점 (0, -1)을 지
11 y=-;3@; (x-3)¤ +6이므로
a=-;3@;, p=3, q=6
∴ apq=-12
(-p, q)이므로
-p=-2, q=3
∴ p=2, q=3
나므로
-1=4a+3(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
∴ a+p+q=4
24 `SOLUTION
y=a(x-p)¤ +q의 그
래프를 x축의 방향으로
m만큼, y축의 방향으
로 n만큼 평행이동한
그래프의 식
(cid:8857) y=a{x-(p+m)}¤
+(q+n)
13 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점이 제1사분면 위에 있으므로
p>0, q>0
(cid:9000) ⑤
14 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
꼭짓점이 y축 위에, x축 아래쪽에 있으므로
p=0, q<0
다.
따라서 y=q(x-a)¤ +p의
그래프는 오른쪽 그림과 같
y
O
x
(cid:9000) ②
15 y=;3!;(x+2-p)¤ -5+q의 그래프가 y=;3!;x¤ 의
그래프와 일치하므로
2-p=0, -5+q=0(cid:100)(cid:100)∴ p=2, q=5
∴ p+q=7
(cid:9000) ⑤
16 y=-2(x+p)¤ +q의 그래프를 y축의 방향으로
1만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-2(x+p)¤ +q+1
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-p, q+1)이므로
-p=-1, q+1=5
∴ p=1, q=4
따라서 y=-2(x+1)¤ +4의 그래프가
점 (-3, k)를 지나므로
k=-2_(-3+1)¤ +4=-4
∴ p+q+k=1
(cid:9000) 1
17 y=a(x-3)¤ +1과 x축에 대칭인 그래프의 식은
-y=a(x-3)¤ +1
∴ y=-a(x-3)¤ -1
다시 y축의 방향으로 6만큼 평행이동한 그래프의
식은 y=-a(x-3)¤ -1+6
∴ y=-a(x-3)¤ +5
이 그래프가 점 (2, 4)를 지나므로
4=-a+5(cid:100)(cid:100)∴ a=1
(cid:9000) ④
LECTURE
15
이차함수의 그래프의 성질
LECTURE BOOK 70쪽
⑴ y=-(x-2)¤ -1
⑵ y=2(x-3)¤ -7
⑶ y=-3(x+1)¤ +10
⑷ y=;5!; (x+5)¤ -6
1 (cid:9000) ⑴ (2, -1), x=2
(cid:9000) ⑵ (3, -7), x=3
(cid:9000) ⑶ (-1, 10), x=-1
(cid:9000) ⑷ (-5, -6), x=-5
Q특강(렉처)3상해설Ⅲ(22~31)ok 2014.9.3 6:6 PM 페이지25 SinsagoHitec
2 ⑴ y=0을 대입하면 0=x¤ -3x-4
(cid:100) (x+1)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴x=-1 또는 x=4
y=-;3!;x¤ +2kx-1
(cid:100) 따라서 x축과의 교점은 (-1, 0), (4, 0)이다.
Q BOX
=-;3!;(x¤ -6kx+9k¤ )
+3k¤ -1
=-;3!;(x-3k)¤ +3k¤ -1
(cid:100) 따라서 x축과의 교점은 (-2, 0), {;2#;, 0}이다.
∴ a+b=-5
(cid:100) x=0을 대입하면y=-4
(cid:100) 따라서 y축과의 교점은 (0, -4)이다.
⑵ y=0을 대입하면 0=-2x¤ -x+6
(cid:100) 2x¤ +x-6=0, (x+2)(2x-3)=0
(cid:100)∴ x=-2 또는 x=;2#;
(cid:100) x=0을 대입하면y=6
(cid:100) 따라서 y축과의 교점은 (0, 6)이다.
⑶ y=0을 대입하면 0=;3!;x¤ -2x+3
(cid:100) x¤ -6x+9=0, (x-3)¤ =0
(cid:100) ∴ x=3
(cid:100) 따라서 x축과의 교점은 (3, 0)이다.
(cid:100) x=0을 대입하면y=3
(cid:100) 따라서 y축과의 교점은 (0, 3)이다.
⑷ y=0을 대입하면 0=-6x¤ +7x-1
(cid:100) 6x¤ -7x+1=0, (6x-1)(x-1)=0
(cid:100) ∴ x=;6!; 또는 x=1
(cid:100) 따라서 x축과의 교점은 {;6!;, 0}, (1, 0)이다.
(cid:100) x=0을 대입하면y=-1
(cid:100) 따라서 y축과의 교점은 (0, -1)이다.
(cid:9000) ⑴ x축：(-1, 0), (4, 0), y축：(0, -4)
(cid:9000) ⑵ x축：(-2, 0), {;2#;, 0}, y축：(0, 6)
(cid:9000) ⑶ x축：(3, 0), y축：(0, 3)
(cid:9000) ⑷ x축：{;6!;, 0}, (1, 0), y축：(0, -1)
3 (cid:9000) ⑴ a>0, b<0, c<0
⑵ a<0, b<0, c>0
02 y=-;3!;x¤ +2kx-1=-;3!;(x-3k)¤ +3k¤ -1
에서 축의 방정식은 x=3k이므로
3k=-3(cid:100)(cid:100)∴ k=-1
(cid:9000) ②
03 y=x¤ -2ax+5=(x-a)¤ -a¤ +5의 그래프의
… 2점
꼭짓점의 좌표는 (a, -a¤ +5)
y=-2x¤ +8x+b=-2(x-2)¤ +8+b의 그래
프의 꼭짓점의 좌표는 (2, 8+b)
… 2점
따라서 a=2, -a¤ +5=8+b이므로 b=-7
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
… 2점
(cid:9000) -5
04 y=;4!;x¤ +x+4=;4!;(x+2)¤ +3
따라서 꼭짓점의 좌표는 (-2, 3)이고 y축과의
교점의 좌표는 (0, 4)인 아래로 볼록한 그래프이
다.
(cid:9000) ①
05 ③ y=x¤ -2x-3=(x-1)¤ -4
따라서 꼭짓점의 좌표는 (1, -4)이고, y축과
점 (0, -3)에서 만나는 아래로 볼록한 포물
선이므로 모든 사분면을 지난다.
(cid:9000) ③
06 y=x¤ +4x-k+1=(x+2)¤ -k-3
이므로 꼭짓점의 좌표는 (-2, -k-3)
이때 그래프가 아래로 볼록한 포물선이므로 x축
과 서로 다른 두 점에서 만나려면
-k-3<0(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴ k>-3
(cid:9000) k>-3
07 y=-3x¤ -6x+2=-3(x+1)¤ +5
⑤ x>-1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감
소한다.
(cid:9000) ⑤
08 y=2x¤ -8x=2(x-2)¤ -8
② 아래로 볼록한 포물선이다.
③ 꼭짓점의 좌표는 (2, -8)이다.
⑤ 축의 방정식은 x=2이다.
(cid:9000) ①, ④
09 y=ax¤ +bx+c=a{x+
¤ -
b¤ -4ac
4a
;2ıa;}
㈀ a<0이면 위로 볼록한 포물선이다.
(cid:9000) ㈁, ㈂, ㈃
10 y=-x¤ +x+6에 y=0을 대입하면
-x¤ +x+6=0, x¤ -x-6=0
(x+2)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=3
∴ A(-2, 0), B(3, 0)
y=-x¤ +x+6에 x=0을 대입하면 y=6이므로
Ⅲ. 이차함수` 25
y=ax¤ +bx+c
=a{x¤ +
x}+c
;aB;
b¤
- +c
4a
=a{x+
;2ıa;}
-
b¤ -4ac
4a
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 71~73쪽
=a[x¤ +
x+{;2ıa;}
;aB;
]
01 y=2x¤ -8x+3=2(x-2)¤ -5이므로 꼭짓점의
좌표는 (2, -5)
∴ p=2, q=-5
r=3
y=2x¤ -8x+3에 x=0을 대입하면 y=3이므로
∴ p+q+r=2+(-5)+3=0
(cid:9000) ③
∴ △ABC=;2!;_5_6=15
(cid:9000) ③
y축과의 교점
(cid:8857) x=0일 때의 y의 값
을 구한다.
C(0, 6)
¤
¤
Q특강(렉처)3상해설Ⅲ(22~31)ok 2014.9.3 6:6 PM 페이지26 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
11 y=x¤ +2x-8에 y=0을 대입하면
x¤ +2x-8=0
(x+4)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-4 또는 x=2
∴ A(-4, 0), B(2, 0)
… 4점
또 y=x¤ +2x-8=(x+1)¤ -9이므로 꼭짓점의
① 위로 볼록한 포물선이므
로 a<0
② 축이 y축의 왼쪽에 있으
므로 ab>0에서 b<0
③ y축과의 교점이 원점의
위쪽에 있으므로 c>0
좌표는 (-1, -9)
∴ C(-1, -9)
∴ △ABC=;2!;_6_9=27
… 2점
… 2점
(cid:9000) 27
c와 -b의 부호가 다르다.
이차함수의 그래프의 평
행이동
(cid:8857) 주어진 식을
y=a(x-p)¤ +q의
꼴로 고친다.
12 y=-x¤ -4x+5에 x=0을 대입하면 y=5이므
로 A(0, 5)
y=-x¤ -4x+5에 y=0을 대입하면
-x¤ -4x+5=0, x¤ +4x-5=0
(x+5)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-5 또는 x=1
∴ C(-5, 0)
또 y=-x¤ -4x+5=-(x+2)¤ +9이므로
꼭짓점의 좌표는 (-2, 9)(cid:100)(cid:100)∴ B(-2, 9)
∴ (cid:8772)OABC
=△ABO+△OBC
=;2!;_5_2+;2!;_5_9
y
B
A
=:∞2∞:
(cid:9000) :∞2∞:
C
O
x
13 y=2x¤ +4x-1=2(x+1)¤ -3
따라서 a=2, p=-1, q=-3이므로
a+p+q=-2
(cid:9000) ②
14 y=-;2!;x¤ -3x+;2!;=-;2!;(x+3)¤ +5의 그래
프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3
만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-;2!;(x+3-2)¤ +5-3=-;2!;(x+1)¤ +2
따라서 꼭짓점의 좌표는 (-1, 2) (cid:9000) (-1, 2)
15 y=;3!;x¤ -4x+5=;3!;(x-6)¤ -7의 그래프를 x
축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평
행이동한 그래프의 식은
y=;3!;(x-6-m)¤ -7+n
또 y=;3!;x¤ -2x+1=;3!;(x-3)¤ -2이므로
6+m=3, -7+n=-2
따라서 m=-3, n=5이므로 m+n=2 (cid:9000) ①
16 아래로 볼록한 포물선이므로 a>0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 b<0
y축과의 교점이 원점의 위쪽에 있으므로 c>0
(cid:9000) a>0, b<0, c>0
26 `SOLUTION
17 a<0, b<0, c>0이므로
③ a-c<0
④ x=1일 때, y=0이므로a+b+c=0
⑤ x=-2일 때, y>0이므로4a-2b+c>0
(cid:9000) ③
18 a<0, b>0, c>0이므로 y=cx¤ -bx-a의 그래
프에서
⁄ c>0이므로 아래로 볼록한 포물선이다.
¤ -bc<0이므로 축은 y축의 오른쪽에 있다.
‹ -a>0이므로 y축과 원점의 위쪽에서 만난다.
이상에서 구하는 그래프는 ①이다.
(cid:9000) ①
LECTURE
16
이차함수의 식 구하기
LECTURE BOOK 74쪽
1 ⑴ y=a(x-1)¤ +4로 놓으면 점 (3, 6)을 지나
므로
6=a(3-1)¤ +4(cid:100)(cid:100)∴ a=;2!;
∴ y=;2!;(x-1)¤ +4
⑵ y=a(x+2)¤ +1로 놓으면 점 (-1, 0)을 지
나므로
0=a(-1+2)¤ +1(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
∴ y=-(x+2)¤ +1
(cid:9000) ⑴ y=;2!;(x-1)¤ +4
(cid:9000) ⑵ y=-(x+2)¤ +1
2 ⑴ y=a(x-3)¤ +q로 놓으면 두 점(1, 9),
(2, 3)을 지나므로
9=4a+q, 3=a+q(cid:100)(cid:100)∴ a=2, q=1
∴ y=2(x-3)¤ +1
⑵ y=a(x+2)¤ +q로 놓으면 두 점 (-3, 4),
4=a+q, -4=9a+q(cid:100)(cid:100)∴ a=-1, q=5
(1, -4)를 지나므로
∴ y=-(x+2)¤ +5
(cid:9000) ⑴ y=2(x-3)¤ +1
⑵ y=-(x+2)¤ +5
3 ⑴ y=ax¤ +bx+c로 놓으면 세 점(1, 1),
(0, -4), (2, 4)를 지나므로
1=a+b+c, -4=c, 4=4a+2b+c
위의 식을 연립하여 풀면
a=-1, b=6, c=-4
∴ y=-x¤ +6x-4
Q특강(렉처)3상해설Ⅲ(22~31)ok 2014.9.3 6:6 PM 페이지27 SinsagoHitec
⑵ y=ax¤ +bx+c로 놓으면 세 점(0, 5),
(1, -1), (2, -3)을 지나므로
5=c, -1=a+b+c, -3=4a+2b+c
위의 식을 연립하여 풀면
a=2, b=-8, c=5
∴ y=2x¤ -8x+5
(cid:9000) ⑴ y=-x¤ +6x-4
⑵ y=2x¤ -8x+5
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 75~77쪽
01 y=a(x+2)¤ -1의 그래프가 점 (-4, 7)을 지
나므로
b=8, c=7
7=a(-4+2)¤ -1(cid:100)(cid:100)∴ a=2
y=2(x+2)¤ -1=2x¤ +8x+7이므로
∴ a+b+c=2+8+7=17
(cid:9000) ⑤
02 꼭짓점의 좌표가 (2, 0)이므로 y=a(x-2)¤
y=a(x-2)¤ 의 그래프가 점 (0, -4)를 지나므로
-4=a(0-2)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-1
따라서 y=-(x-2)¤ 의 그래프가 점 (-1, k)
k=-(-1-2)¤ =-9
(cid:9000) ②
03 y=a(x-2)¤ +7의 그래프가 점 (4, -1)을 지
를 지나므로
나므로
-1=a(4-2)¤ +7(cid:100)(cid:100)∴ a=-2(cid:100)(cid:100)
따라서 y=-2(x-2)¤ +7에 x=0을 대입하면
y=-2_4+7=-1
(cid:9000) ②
04 y=a(x+1)¤ +1의 그래프가 점 (0, 5)를 지나
5=a(0+1)¤ +1(cid:100)(cid:100)∴ a=4
… 3점
y=4(x+1)¤ +1=4x¤ +8x+5이므로
b=8, c=5
∴ a-2b+3c=4-16+15=3
05 y=(x-3)¤ +q의 그래프가 점 (6, 2)를 지나므
2=(6-3)¤ +q(cid:100)(cid:100)∴ q=-7(cid:100)(cid:100)
따라서 y=(x-3)¤ -7=x¤ -6x+2이므로
a=-6, b=2
∴ a+b=-4
… 2점
… 1점
(cid:9000) 3
(cid:9000) ②
므로
로
Q BOX
7=4a-1에서
4a=8(cid:100)(cid:100)∴ a=2
06 y=-(x+2)¤ +q의 그래프가 점 (0, 5)를 지나
므로
5=-4+q(cid:100)(cid:100)∴ q=9
는 (-2, 9)이다.
따라서 y=-(x+2)¤ +9이므로 꼭짓점의 좌표
07 y=a(x-1)¤ +q의 그래프가 두 점 (-1, -4),
(0, 5)를 지나므로
-4=4a+q, 5=a+q(cid:100)(cid:100)
∴ a=-3, q=8
∴ y=-3(x-1)¤ +8=-3x¤ +6x+5
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
08 y=a(x-4)¤ +q의 그래프가 두 점 (2, -2),
(5, 4)를 지나므로
-2=4a+q, 4=a+q(cid:100)(cid:100)
∴ a=-2, q=6
따라서 y=-2(x-4)¤ +6의 그래프가
점 (1, k)를 지나므로
k=-2_9+6=-12
09 y=a(x+2)¤ +q의 그래프가 두 점 (-6, -7),
(-1, 8)을 지나므로
-7=16a+q, 8=a+q(cid:100)(cid:100)
∴ a=-1, q=9
즉 y=-(x+2)¤ +9=-x¤ -4x+5이므로
x축과 만나는 점
(cid:8857) y=0을 대입한다.
y=0을 대입하면
0=-x¤ -4x+5, x¤ +4x-5=0
또는 A(1, 0), B(-5, 0)
AB”=6
(x+5)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-5 또는 x=1
따라서 A(-5, 0), B(1, 0)이므로
10 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 세 점 (0, 2),
(-1, -3), (5, -3)을 지나므로
2=c, -3=a-b+c, -3=25a+5b+c
위의 식을 연립하여 풀면
a=-1, b=4, c=2
∴ a+b+c=5
11 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 세 점 (0, 1),
(3, -5), (6, 1)을 지나므로
1=c, -5=9a+3b+c, 1=36a+6b+c
위의 식을 연립하여 풀면
a=;3@;, b=-4, c=1
따라서 y=;3@;x¤ -4x+1=;3@;(x-3)¤ -5이므로
축의 방정식은 x=3이다.
(cid:9000) ⑤
Ⅲ. 이차함수` 27
축의 방정식이 x=p
(cid:8857) 이차함수의 그래프
의 꼭짓점의 x좌표
는 p이다.
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
(cid:9000) ①
(cid:9000) 6
(cid:9000) ⑤
Q특강(렉처)3상해설Ⅲ(22~31)ok 2014.9.3 6:6 PM 페이지28 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
⑴ y=-2(x-3)¤ +6
⑵ y=;3!; (x-6)¤ +1
⑶ y=(x+1)¤ -3
⑷ y=-;2!; (x+2)¤ +2
그래프가 두 점 (-3, 0),
(4, 0)을 지난다.
y=ax¤ +bx+c의 최
댓값, 최솟값
(cid:8857) y=a(x-p)¤ +q의
꼴로 변형하여 구한
다.
LECTURE
17
이차함수의 활용
LECTURE BOOK 78쪽
1 (cid:9000) ⑴ x=0일 때 최솟값은 2이고, 최댓값은 없다.
(cid:9000) ⑵ x=-6일 때 최댓값은 0이고, 최솟값은 없
(cid:9000) ⑶ x=1일 때 최댓값은 4이고, 최솟값은 없다.
(cid:9000) ⑷ x=2일 때 최솟값은 -1이고, 최댓값은 없
2 (cid:9000) ⑴ x=3일 때 최댓값은 6이고, 최솟값은 없다.
(cid:9000) ⑵ x=6일 때 최솟값은 1이고, 최댓값은 없다.
(cid:9000) ⑶ x=-1일 때 최솟값은 -3이고, 최댓값은
(cid:9000) ⑷ x=-2일 때 최댓값은 2이고, 최솟값은 없
다.
다.
없다.
다.
3 (cid:9000) ⑴ y=x(x-6)
⑵ -9 ⑶ -3, 3
4 (cid:9000) ⑴ y=x(8-x)
(cid:9000) ⑶ 4 cm, 4 cm
⑵ 16 cm¤
필수 유형 공략
LECTURE BOOK 79~81쪽
01 y=;3!;x¤ +2x-4=;3!;(x+3)¤ -7
따라서 x=-3일 때 최솟값 -7을 가지므로
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
a=-3, b=-7
∴ a-b=4
M=-2
m=-13
∴ M-m=11
이다.
값은 3이다.
댓값은 2이다.
02 y=-x¤ +6x-11=-(x-3)¤ -2이므로
y=2x¤ -12x+5=2(x-3)¤ -13이므로
03 ① 최댓값은 -2이다.
② y=-x¤ -2x=-(x+1)¤ +1의 최댓값은 1
③ y=-2x¤ +4x+1=-2(x-1)¤ +3의 최댓
④ y=-3x¤ -12x-10=-3(x+2)¤ +2의 최
12 y=;2!;x¤ +ax+b의 그래프가 세 점(0, -2),
(1, 0), (2, c)를 지나므로
-2=b, 0=;2!;+a+b, c=2+2a+b
위의 식을 연립하여 풀면
a=;2#;, b=-2, c=3
∴ =-1
ab
c
(cid:9000) -1
13 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 세 점(-2, -2),
(0, 4), (2, -6)을 지나므로
-2=4a-2b+c, 4=c, -6=4a+2b+c
위의 식을 연립하여 풀면
a=-2, b=-1, c=4
를 지나므로
따라서 y=-2x¤ -x+4의 그래프가 점 (-3, k)
k=-2_(-3)¤ -(-3)+4=-11
(cid:9000) ①
14 y=-(x+1)(x-5)=-x¤ +4x+5
따라서 a=4, b=5이므로
a+b=9
(cid:9000) 9
15 y=a(x+3)(x-4)의 그래프가 점 (5, 8)을 지
따라서 y=(x+3)(x-4)=x¤ -x-12이므로
나므로
8=8a(cid:100)(cid:100)∴ a=1
b=-1, c=-12
∴ abc=12
나므로
8=4a(cid:100)(cid:100)∴ a=2
16 y=a(x+1)(x-2)의 그래프가 점 (3, 8)을 지
따라서 y=2(x+1)(x-2)=2x¤ -2x-4이므
로 y축과 만나는 점의 y좌표는 -4이다.
17 y=a(x+2)(x-6)의 그래프가 점 (0, -6)을
지나므로
-6=-12a(cid:100)(cid:100)∴ a=;2!;
… 2점
y=;2!;(x+2)(x-6)=;2!;x¤ -2x-6
y=;2!;(x-2)¤ -8
따라서 꼭짓점의 좌표가 (2, -8)이므로
… 2점
p=2, q=-8
∴ p+q=-6
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①
… 2점
(cid:9000) -6
28 `SOLUTION
18 y=(x+4)(x-4)=x¤ -16이므로
a=0, b=-16
∴ b-a=-16
두 점 사이의 거리가 8이고
y축을 축으로 하므로 두 점
은 (-4, 0), (4, 0)이다.
(cid:9000) ①
⑤ y=-;3!;x¤ -2x+2=-;3!;(x+3)¤ +5의 최댓
(cid:100) 값은 5이다.
(cid:9000) ⑤
Q특강(렉처)3상해설Ⅲ(22~31)ok 2014.9.3 6:6 PM 페이지29 SinsagoHitec
따라서 -3k-1=6k+8이므로
-9k=9(cid:100)(cid:100)∴ k=-1
(cid:9000) ②
최솟값과 최댓값이 같다.
13 x-y=6에서 y=x-6이므로
Q BOX
합이 28인 두 수이므로 하
나의 수를 x라 하면 다른
하나의 수는 28-x이다.
축의 방정식이 x=1이고
최솟값이 -7이므로 꼭짓
점의 좌표는 (1, -7)이다.
따라서 a=-4, b=5이므로
a-b=-9
(cid:9000) ①
04 y=2x¤ +ax+b
=2(x-1)¤ +3
=2x¤ -4x+5
05 y=;4!;x¤ -x-3k
y=;4!;(x-2)¤ -3k-1
y=-3x¤ -6x+6k+5
=-3(x+1)¤ +6k+8
06 y=4x¤ -4ax+b
=4(x-1)¤ -7
=4x¤ -8x-3
a=2, b=-3
∴ ab=-6
따라서 -4a=-8, b=-3이므로
07 y=a(x-6)¤ +6의 그래프가 점 (0, -3)을 지
나므로
-3=36a+6(cid:100)(cid:100)∴ a=-;4!;
따라서 y=-;4!;(x-6)¤ +6=-;4!;x¤ +3x-3
이므로 b=3, c=-3
∴ 4a+2b+c=-1+6-3=2
… 4점
… 2점
(cid:9000) -6
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
09 y=a(x+1)(x-3)=a(x¤ -2x-3)
=a(x-1)¤ -4a
이때 최솟값이 -4이므로(cid:100)(cid:100)
-4a=-4(cid:100)(cid:100)∴ a=1
∴ y=(x+1)(x-3)=x¤ -2x-3
따라서 이차함수의 식에 x=0을 대입하면
y=-3
(cid:9000) ①
10 y=-2x¤ -4ax+a¤ -6a
=-2(x+a)¤ +3a¤ -6a
∴ M=3a¤ -6a=3(a-1)¤ -3
따라서 M의 최솟값은 -3이다.
(cid:9000) ①
08 y=a(x-4)¤ +8의 그래프가 점 (0, 0)을 지나
므로
0=a_(-4)¤ +8(cid:100)(cid:100)∴ a=-;2!;
∴ y=-;2!;(x-4)¤ +8=-;2!;x¤ +4x
(부채꼴의 넓이)
=;2!;_(반지름의 길이)
_(호의 길이)
11 y=;4!;x¤ +mx+6m
y=;4!;(x+2m)¤ -m¤ +6m
∴ f(m)=-m¤ +6m=-(m-3)¤ +9
따라서 f(m)의 최댓값은 9이다.
(cid:9000) ⑤
12 두 수를 x, 28-x라 하고 두 수의 곱을y라 하면
y=x(28-x)=-x¤ +28x
=-(x-14)¤ +196
따라서 구하는 두 수는 14, 14이다.
(cid:9000) 14, 14
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
2x¤ +xy=2x¤ +x(x-6)=3x¤ -6x
=3(x-1)¤ -3
따라서 x=1일 때, 2x¤ +xy의 최솟값은 -3이다.
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
14 새로운 직사각형의 넓이를 y cm¤ 라 하면
y=(3+x)(7-x)=-x¤ +4x+21
=-(x-2)¤ +25
따라서 x=2일 때 직사각형의 넓이는 최대이다.
15 AP”=x cm, 두 도형의 넓이의 합을 y cm¤ 라 하면
BP”=(12-x)cm이므로
y=;2!;x¤ +(12-x)¤ =;2#;x¤ -24x+144 … 3점
y=;2#;(x-8)¤ +48
따라서 x=8일 때 두 도형의 넓이의 합의 최솟값
… 3점
은 48 cm¤ 이다.
… 2점
(cid:9000) 48 cm¤
16 부채꼴의 반지름의 길이를 x cm, 넓이를 y cm¤ 라
하면 부채꼴의 호의 길이는 (16-2x)cm이므로
y=;2!;x(16-2x)=-x¤ +8x
y=-(x-4)¤ +16
따라서 x=4일 때 부채꼴의 넓이는 최대이다.
(cid:9000) ③
17 h=-5t¤ +20t+14=-5(t-2)¤ +34
따라서 가장 높이 올라갔을 때의 지면으로부터의
높이는 34 m이다.
(cid:9000) 34 m
18 이익을 y만 원이라 하면
y=-;10!0;x¤ +10x-700
y=-;10!0;(x-500)¤ +1800
따라서 하루에 500개를 생산할 때 이익은 최대가
된다.
(cid:9000) ③
Ⅲ. 이차함수` 29
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LECTURE BOOK
Q BOX
대단원별 기출문제 정복
LECTURE BOOK 82~85쪽
01 ④ 02 ④ 03 ① 04 -12
05 ③ 06 ② 07 (-1, 8)
09 ④ 10 a<-9
13 ⑤ 14 ① 15 ① 16 20
21 4
18 ① 19 ① 20 -1
08 ⑤
11 ③ 12 7
17 ②
22 ⑴ y=p(2x¤ -30x+225) ⑵
225
2
p cm¤
23 5
24 ③ 25 ④
01 ㈂ y=x¤ -4x
㈅ y=-x‹ +5x¤
㈄ y=-x+7
02 f(a)=-6에서 -3a¤ +4a-2=-6
3a¤ -4a-4=0, (3a+2)(a-2)=0
∴ a=2 (∵ a는 정수)
03 a의 값이 큰 순서대로 나열하면
㉠, ㉡, ㉢, ㉥, ㉤, ㉣
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
04 원점을 지나는 포물선이므로 y=ax¤`
y=ax¤ 의 그래프가 점 (-2, -3)을 지나므로
-3=a_(-2)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-;4#;
따라서 y=-;4#;x¤ 의 그래프가 점 (4, k)를 지나
므로
k=-;4#;_4¤ =-12
05 ③ y=-2(x+1)¤ +3의 그래
프는 오른쪽 그림과 같으므
로 모든 사분면을 지난다.
(cid:9000) -12
y
3
1
(cid:9000) ③
-1
O
x
이차함수
(cid:8857) y=(x에 대한 이차식)
의 꼴로 나타내어진다.
09 y=;4!;x¤ -x+2
y
a의 절댓값이 클수록 그래
프의 폭이 좁아진다.
07 y=ax¤ -4x+6의 그래프가 점 (-2, 6)을 지나
므로
6=a_(-2)¤ -4_(-2)+6(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
따라서 주어진 함수는
y=-2x¤ -4x+6=-2(x+1)¤ +8
이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-1, 8)이다.
(cid:9000) (-1, 8)
08 y=2x¤ -8x+k=2(x-2)¤ +k-8
꼭짓점의 좌표는 (2, k-8)이고 이 점이 직선
y=x-5 위에 있으므로
k-8=2-5(cid:100)(cid:100)∴ k=5
(cid:9000) ⑤
y=;4!;(x-2)¤ +1
의 그래프는 오른쪽 그림과
같으므로 x>2일 때 x의 값
이 증가하면 y의 값도 증가
한다.
10 y=-x¤ -6x+a
y=-(x+3)¤ +a+9
꼭짓점의 좌표가
(-3, a+9)이므로 x축과
만나지 않으려면 오른쪽 그
림과 같아야 한다.
O
2
x
(cid:9000) ④
-3
y
O
x
a+9
a+9<0(cid:100)(cid:100)∴ a<-9
(cid:9000) a<-9
11 y=x¤ -4x-5=(x-2)¤ -9이므로
x=0일 때, y=-5이므로
B(2, -9)
A(0, -5)
∴ △OAB=;2!;_5_2=5
(cid:9000) ③
12 y=2x¤ -8x=2(x-2)¤ -8의 그래프를 x축의
방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 7만큼 평행이
동한 그래프의 식은
y=2(x-2+3)¤ -8+7=2(x+1)¤ -1
y=2x¤ +4x+1
따라서 a=2, b=4, c=1이므로
06 y=3(x-1)¤ -7의 그래프를 y축의 방향으로 5
만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=3(x-1)¤ -7+5=3(x-1)¤ -2
이 그래프와 x축에 대칭인 그래프의 식은
-y=3(x-1)¤ -2(cid:100)(cid:100)
∴ y=-3(x-1)¤ +2
(cid:9000) ②
a+b+c=7
13 a<0, b>0
일차함수 y=ax+b의 그
래프에서 오른쪽 아래로 향
하므로 a<0, y축과의 교
점이 원점의 위쪽에 위치하
므로 b>0이다.
y=ax¤ +bx-ab의 그래프에서 a<0이므로 위
로 볼록한 포물선이고, ab<0이므로 축이 y축의
오른쪽에 있으며, -ab>0이므로 y축과 만나는
x축에 대칭
(cid:8857) y 대신 -y를 대입
점이 원점의 위쪽에 위치한다.
따라서 그래프로 적당한 것은 ⑤이다.
(cid:9000) 7
(cid:9000) ⑤
30 `SOLUTION
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Q BOX
14 조건 ㈎, ㈏에서 그래프의 꼭짓점의 좌표는
꼭짓점의 y좌표가 0이다.
21 x=-2일 때 최댓값이 k이므로
y=-(x+2)¤ +k=-x¤ -4x-4+k
조건 ㈐에서 y=a(x-2)¤ 의 그래프가 점 (4, 2)
따라서 -5a+1=-4, -1=-4+k이므로
① ;2!;(-4-2)¤ =18+6
(cid:9000) ①
두 원의 지름의 길이의 합
이 30 cm이므로 반지름의
길이의 합은 15 cm이다.
22 ⑴ 두 원의 반지름의 길이의 합은 15 cm이므로
a=1, k=3
∴ a+k=4
원 O'의 반지름의 길이는
⑴ (15-x)cm
⑴ ∴ y=px¤ +p(15-x)¤
=p(2x¤ -30x+225)
⑵ y=p(2x¤ -30x+225)
⑵ y=2p{x-:¡2∞:}
¤ +
225
2
p
이차함수의 그래프를 평
행이동해도 이차항의 계
수는 변하지 않으므로
그래프의 모양과 폭은
변하지 않는다.
3- _10=-2
1
2
1
2
⑵ 따라서 두 원의 넓이의 합의 최솟값은
⑵
225
2
p cm¤ 이다.
(cid:9000) ⑴ y=p(2x¤ -30x+225) ⑵
p cm¤
225
2
23 y=(x-2)¤ 의 그래프는 y=(x+3)¤ 의 그래프를
x축의 방향으로 5만큼 평행이동한 것이므로
이때 이차항의 계수가 -2이므로 구하는 이차함
3+ _10=8
AB”=5
(2, 0)
를 지나므로
2=a(4-2)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=;2!;
∴ y=;2!;(x-2)¤
15 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 세 점(-1, -5),
(0, 1), (1, 3)을 지나므로
-5=a-b+c, 1=c, 3=a+b+c
위의 식을 연립하여 풀면
a=-2, b=4, c=1
∴ a-b-c=-2-4-1=-7
(cid:9000) ①
16 y=-2x¤ +ax+b의 그래프의 축의 방정식이
x=3이고 x축과 만나는 두 점 사이의 거리가 10
이므로 x축과의 교점의 좌표는
(-2, 0), (8, 0)
y=-2(x+2)(x-8)=-2x¤ +12x+32
수의 식은
∴ a=12, b=32
∴ b-a=20
(cid:9000) 20
17 y=x¤ -2x+k-2=(x-1)¤ +k-3의 최솟값은
k-3이므로
k-3=-7(cid:100)(cid:100)∴ k=-4
(cid:9000) ②
18 y=-x¤ +6kx+9k=-(x-3k)¤ +9k¤ +9k
∴ M=9k¤ +9k=9{k+;2!;}
¤ -;4(;
따라서 k=-;2!;일 때, M의 최솟값은-;4(;이다.
(cid:9000) ①
19 y=-;4!;x¤ +x+3=-;4!;(x-2)¤ +4
따라서 타자가 공을 친 지 2초 후에 공이 가장 높
24 x=2일 때 최댓값이 6이므로
y=a(x-2)¤ +6 (a<0)
이 함수의 그래프가 제 2사분면을 지나지 않으려
면 x=0일 때y…0이어야 하므로
4a+6…0(cid:100)(cid:100)∴ a…-;2#;
25 점 P의 좌표를 (x, -x+8)이라 하고,
(cid:8772)OQPR의 넓이를 y라 하면
y=x(-x+8)=-x¤ +8x
=-(x-4)¤ +16
따라서 (cid:8772)OQPR의 최대 넓이는 16이다.
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
… 4점
… 2점
(cid:9000) 4
… 2점
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) 5
(cid:9000) ③
(cid:9000) ④
20 꼭짓점의 좌표가 (-3, 2)이므로
즉 y=a(x+3)¤ +2의 그래프가 점 (-4, -5)를
y=ax¤ 의 그래프를 x
축의 방향으로 p만큼,
y축의 방향으로 q만큼
평행이동한 그래프의 식
(cid:8857) y=a(x-p)¤ +q
이 올라간다.
p=-3, q=2
지나므로
-5=a+2(cid:100)(cid:100)∴ a=-7
∴ a-pq=-7-(-3)_2=-1
(cid:9000) ①
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) -1
Ⅲ. 이차함수` 31
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WORK BOOK
Q BOX
Ⅰ
제곱근과 실수
제곱근의 뜻과 성질
LECTURE
01
기본 UP
01 (cid:9000) ⑴ —4
02 (cid:9000) ⑴ 10
03 (cid:9000) ⑴ '5
04 (cid:9000) ⑴ 15
05 (cid:9000) ⑴ 3a
06 (cid:9000) ⑴ <
WORK BOOK 2쪽
⑵ —9 ⑶ —11 ⑷ —0.5
⑵ -6 ⑶ 0.3
⑷ -;7@;
⑵ '∂17 ⑶ -Æ;2!; ⑷ —'∂10
⑵ 6
⑶ -12
`⑷ 9
(cid:9000) ⑸ -13 ⑹ -8 ⑺ -20 ⑻ 0.25
⑵ -a ⑶ -2a
⑵ >
⑶ <
⑷ >
내신 UP
WORK BOOK 2~3쪽
07 직사각형의 넓이는 4_5=20(cm¤ )
정사각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면
a¤ =20(cid:100)(cid:100)∴ a='∂20 (∵ a>0)
(cid:9000) ④
08 ① '∂169="ç13¤ =13
③ æ:¢
–9ª:=æ≠{;3&;}
=;3&;
④ 'ƒ0.64="√(0.8)¤ =0.8
⑤ '∂25="≈5¤ =5
09 ㈁ 36의 제곱근은 —6이다.
㈂ "√(-5)¤ =5의 제곱근은 —'5이다.
10 (주어진 식)=8_
;2!;-;5!;÷;1™0;
=4-1=3
11 a<0이므로 -4a>0, 3a<0, 5a<0
∴ (주어진 식)="√(-4a)¤ -"√(3a)¤ -"√(5a)¤
=-4a-(-3a)-(-5a)=4a
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
(cid:9000) 3
(cid:9000) ④
240
12 æ≠ =æ≠
a
2› _3_5
a
가 가장 큰 자연수가 되어
야하므로
가 가장 큰 제곱수이어야 한다.
2› _3_5
a
32 `SOLUTION
즉 a=3_5=15, b=æ≠
2› _3_5
3_5
=4 … 4점
∴ a+b=15+4=19
… 2점
(cid:9000) 19
13 32보다 작은 제곱수 중 가장 작은 수는 1이므로
32-x=1(cid:100)(cid:100)∴ x=31
32보다 작은 제곱수 중 가장 큰 수는 25이므로
32-x=25(cid:100)(cid:100)∴ x=7
따라서 m=31, n=7이므로
m-n=31-7=24
(cid:9000) 24
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
⑤ 4='∂16이므로 '∂15<4(cid:100)(cid:100)∴ -'∂15>-4
15 부등식의 각 변을 제곱하면
<16(cid:100)(cid:100)∴ 80, b>0일 때
a-'b
14 ① 6='∂36이므로 '∂30<6
② '∂12>'7이므로 -'∂12<-'7
③ ;3!;=æ;9!;이므로 ;3!;<æ;5!;
x=A¤ (A는 유리수)이면
x의 제곱근은 근호를 사용
하지 않고 나타낼 수 있다.
무리수와 실수
LECTURE
02
기본 UP
WORK BOOK 4쪽
01 (cid:9000) ⑴ 무(cid:100)⑵ 유(cid:100)⑶ 무(cid:100)⑷ 유(cid:100)⑸ 유(cid:100)⑹ 무
02 (cid:9000) -'∂11,
p
2
03 (cid:9000) ⑴ 2-'2 ⑵ 1+'2
04 (cid:9000) ⑴ <(cid:100)⑵ >(cid:100)⑶ >(cid:100)⑷ <(cid:100)⑸ >(cid:100)⑹ <
"√a¤ =|a|
=
[
-a(aæ0)
-a(a<0)
근호 안의 수를 소인수분해
하였을 때, 소인수의 지수
가 모두 짝수이어야 한다.
내신 UP
05 (cid:9000) ③
WORK BOOK 4~5쪽
06 (cid:8641) 안의 수는 순환하지 않는 무한소수이므로 무
리수이다.
① 20(cid:100)③ 1.5(cid:100)④ ;3@;
(cid:9000) ⑤
¤
Q특강(3년)해설(32~48)-ok 2014.9.3 6:7 PM 페이지33 SinsagoHitec
Q BOX
07 ① 순환하지 않는 무한소수도 있다.
③ 유리수는 분자와 분모가 정수인 분수로 나타낼
수 있다.
08 ① 점P 가 나타내는 수는 4-'2이다.
④ AQ”='2
(cid:9000) ①, ③
(cid:9000) ①, ④
09 ⑴ (cid:8772)ABCD=4_4-4_{;2!;_3_1}=10
¤ =10이므로 AB”='∂10
(cid:100) 즉 AB”
… 3점
⑵ BP”=BA”='∂10이므로 점 P가 나타내는 수는
… 3점
(cid:9000) ⑴ '∂10(cid:100)⑵ 2-'∂10
2-'∂10이다.
10 ① 0은 유리수이므로 무리수가 아니다.
② 2와 3 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다.
④ 정수1과 2 사이에는 정수가 존재하지 않는다.
⑤ 수직선은 실수를 나타내는 점들 전체로 완전히
메울 수 있다.
(cid:9000) ③
11 ① (2+'6)-('5+'6)=2-'5<0(cid:100)(cid:100)
(cid:100) ∴ 2+'6<'5+'6
② ('3+2)-4='3-2<0(cid:100)(cid:100)
∴ '3+2<4
③ (3-'2)-('8-'2)=3-'8>0(cid:100)(cid:100)
(cid:100) ∴ 3-'2>'8-'2
④ (-'∂10-1)-(-'∂10-'2)=-1+'2>0
(cid:100) ∴ -'∂10-1>-'∂10-'2
⑤ 2-('7-1)=3-'7>0(cid:100)(cid:100)
(cid:100) ∴ 2>'7-1
(cid:9000) ④
12 ㈀ 8-('∂15 +4)=4-'∂15 >0
(cid:100) ∴ 8>'∂15 +4
㈁ ('∂10-2)-(-2+'8)='∂10 -'8>0
(cid:100) ∴ '∂10 -2>-2+'8
㈂ ('5-3)-('6-3)='5-'6<0
(cid:100) ∴ '5-3<'6-3
㈃ {5-Æ;5!; }-{5-Æ;6!; }=-Æ;5!; +Æ;6!;<0
(cid:100) ∴ 5-Æ;5!; <5-Æ;6!;
13 a-b=(7-'5)-4=3-'5>0(cid:100)(cid:100)∴ a>b
b-c=4-('3+2)=2-'3>0(cid:100)(cid:100)∴ b>c
∴ c0 (cid:8857) a>b
a-b<0 (cid:8857) a0에서 8-4k>0
∴ k<2(cid:100)(cid:100)… ㉠
어야 하므로
k-1+0(cid:100)(cid:100)∴ k+1(cid:100)(cid:100)… ㉡
07 -
=-2, -;2#;=b
;2A;
따라서 a=4, b=-;2#;이므로
ab=-6
08 a+b=4, ab=k이므로
b
a
a
+ =
b
a¤ +b¤`
ab
=
(a+b)¤ -2ab
ab
=
4¤ -2k
k
=-6
즉 16-2k=-6k이므로 k=-4
09 양변에 6을 곱하여 정리하면 x¤ +3x-6=0
따라서 a+b=-3, ab=-6이므로
;å!; + ;∫!;=
a+b
ab
=;2!;
10 다른 한 근은4-2'3 이므로
-m=(4-2'3)+(4+2'3)=8(cid:100)(cid:100)∴ m=-8
n=(4-2'3)(4+2'3)=4
∴ m+n=-4
따라서 x¤ -4x+4=0이므로
(x-2)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (중근)
(cid:9000) x=2 (중근)
11 a+b=
;2#;
, ab=-
이므로
;2%;
4{x-;2#;}{x+;2%;}=0
∴ 4x¤ +4x-15=0
12 2(x+1){x-;2#;}=0에서
2{x¤ -;2!;x-;2#;}=0(cid:100)(cid:100)∴ 2x¤ -x-3=0
따라서 a=-1, b=-3이므로
4x¤ -3x-1=0에서 (4x+1)(x-1)=0
∴ x=-
또는 x=1
;4!;
(cid:9000) x=-
또는 x=1
;4!;
W
O
R
K
B
O
O
K
13 나영이는 상수항을 바르게 보았으므로
(x+6)(x+2)=0, x¤ +8x+12=0에서
승윤이는 일차항의 계수를 바르게 보았으므로
(x-1)(x-6)=0, x¤ -7x+6=0에서
따라서 처음 이차방정식은 x¤ -7x+12=0이므로
a=7, b=12
∴ a-b=-5
(cid:9000) ②
이차방정식의 활용
LECTURE
12
기본 UP
WORK BOOK 26쪽
01
n(n+1)
2
=210이므로 n¤ +n-420=0
(n+21)(n-20)=0(cid:100)(cid:100) ∴ n=20 (∵ n>0)
(cid:9000) 20
02 ⑴ 30t-5t¤ =0이므로 t¤ -6t=0
(cid:100) t(t-6)=0(cid:100)(cid:100)∴t=6 (∵ t>0)
⑵ 30t-5t¤ =40이므로 t¤ -6t+8=0
(cid:100) (t-2)(t-4)=0(cid:100)(cid:100)∴t=2 또는 t=4
(cid:100) 따라서 처음으로 40 m가 되는 것은2초 후이
다.
(cid:9000) ⑴ 6초(cid:100)⑵ 2초
03 ⑴ (x-3)¤ =3x+1이므로 x¤ -9x+8=0
⑵ x¤ -9x+8=0에서 (x-1)(x-8)=0
(cid:100) ∴ x=1 또는 x=8
(cid:9000) ⑴ x¤ -9x+8=0(cid:100)⑵ 1 또는 8
04 ⑴ (x-3)(x-5)=35이므로 x¤ -8x-20=0
⑵ x¤ -8x-20=0에서 (x+2)(x-10)=0
(cid:100) ∴ x=10 (∵ x>0)
(cid:9000) ⑴ x¤ -8x-20=0(cid:100)⑵ 10
내신 UP
WORK BOOK 26~27쪽
05
n(n-1)
2
=45에서 n¤ -n-90=0
(n-10)(n+9)=0(cid:100)(cid:100)∴ n=10 (∵ n>0)
따라서 이 동호회의 회원 수는 10명이다. (cid:9000) ③
Ⅱ. 이차방정식` 41
Q특강(3년)해설(32~48)-ok 2014.9.3 6:7 PM 페이지42 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
06 40t-5t¤ =0에서
t¤ -8t=0, t(t-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=8 (∵ t>0)
따라서 물로켓이 지면에 떨어지는 것은 8초 후이
물로켓이 지면에 떨어질 때
까지 걸린 시간은 높이가
0 m일 때의 t의 값이다.
다.
다.
(cid:9000) ③
(cid:9000) 2초
07 30+20t-5t¤ =50에서 t¤ -4t+4=0
(t-2)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ t=2
따라서 공의 높이가 50 m가 되는 것은 2초 후이
08 (x, -6)△(2x, x)=5에서(cid:100)(cid:100)
x_2x-(-6)_x=5
2x¤ +6x-5=0
따라서 주어진 식을 만족시키는 모든 실수 x의 값
의 합은 근과 계수의 관계에 의하여
-;2^;=-3
(cid:9000) ①
09 연속하는 두 홀수를 x, x+2라 하면
x¤ +(x+2)¤ =130이므로 2x¤ +4x-126=0
x¤ +2x-63=0, (x+9)(x-7)=0
∴ x=7 (∵ x는 자연수)
따라서 두 홀수는 7, 9이므로 구하는 곱은
7_9=63
(cid:9000) 63
10 3일간의 날짜를 각각 (x-1)일, x일, (x+1)일
이라 하면 (x-1)¤ +x¤ +(x+1)¤ =302
x¤ =100(cid:100)(cid:100)∴ x=10 (∵ x>1)
따라서 출발하는 날짜는 8월 9일이다.
(cid:9000) ①
11 정사각형 ABCD의 한 변의 길이를x cm라 하면
;2!;_(x+14)_x=60, x¤ +14x-120=0
(x-6)(x+20)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0)
따라서 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는6 cm
이다.
(cid:9000) 6 cm
12 AC”를 지름으로 하는 반원의 반지름의 길이를
x cm라 하면CB”를 지름으로 하는 반원의 반지름
의 길이는 (6-x)cm이므로
p_6¤`-
px¤ -
p(6-x)¤ =8p
;2!;
;2!;
x¤ -6x+8=0, (x-2)(x-4)=0
;2!;
∴ x=2 (∵ AC”6)
따라서 처음 종이의 한 변의 길이는 16 cm이다.
42 `SOLUTION
이차함수
(cid:8857) y=(x에 대한 이차식)
의 꼴로 나타내어진다.
y=
;10{0;
_500=5x
f(a)의 값
(cid:8857) f(x)에 x 대신 a를
대입한 값
AB”를 지름으로 하는 반원
의 반지름의 길이는 6 cm
이다.
Ⅲ
이차함수
LECTURE
13
기본 UP
이차함수의 뜻과 그래프 ⑴
WORK BOOK 28쪽
01 (cid:9000) ⑴ ◯
02 (cid:9000) ⑴ -8
⑵ ◯
⑶ ×
⑵ 0
⑶ -3 ⑷ 0
03 (cid:9000) ⑴ ㈀, ㈂, ㈃
⑵ ㈁, ㈂, ㈄
04 (cid:9000) ⑴ ㈀, ㈃ ⑵ ㈂
⑶ ㈁, ㈃
내신 UP
WORK BOOK 28~30쪽
05 ① y=x¤ +6x ③ y=2x¤ -3x ④ y=4x-1
06 ① y=px¤
② y=
80
x
③ y=8x+4
④ y=5x
⑤ y=6x¤
07 f(a)=2a¤ +5a-1=2이므로
2a¤ +5a-3=0, (a+3)(2a-1)=0
∴ a=-3 (∵ a는 정수)
(cid:9000) -3
08 f(2)=3_2¤ -a_2+1=9
∴ a=2
09 ㈃ y=2x¤ 의 그래프보다 폭이 넓다.
10 x¤ 의 계수의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁다.
(cid:9000) ⑤
11 ③ y축에 대칭이다.
⑤ y=-ax¤ 의 그래프와 x축에 대칭이다.
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①, ⑤
(cid:9000) 2
(cid:9000) 3개
(cid:9000) ③, ⑤
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
12 a의 값이 작은 것부터 나열하면
㉢, ㉣, ㉤, ㉡, ㉠
(cid:9000) ⑤
13 -10)
b=-3_2¤ =-12
∴ a+b=-11
즉 y=-3x¤ 의 그래프가 점 (2, b)를 지나므로
15 y=-2x¤ 의 그래프와 x축에 대칭인 그래프의 식
y=ax¤ 의 그래프와 x
축에 대칭인 그래프의 식
(cid:8857) y=-ax¤
은 y=2x¤
① 2_1¤ +-2
+;4!;
③ 2_{;2!;}2
⑤ 2_(-2)¤ =8
② 2_(-1)¤ +4(cid:100)
④ 2_2¤ +-8(cid:100)
… 2점
… 2점
… 2점
(cid:9000) -11
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
원점을 꼭짓점으로 하
는 포물선을 그래프로
하는 이차함수의 식
(cid:8857) y=ax¤ (a+0)
16 △APO=
;2!;
_8_b=36(cid:100)(cid:100)∴ b=9
즉 점 P(a, 9)가 y
x¤ 의 그래프 위의 점이므로
=;4!;
9
a¤ , a¤ =36
=;4!;
∴ a=6 (∵ a>0)
∴ a+b=15
17 y=ax¤ 의 그래프가 점 (-4, -6)을 지나므로
-6=a_(-4)¤ , 16a=-6
∴ a
=-;8#;
즉 y=-;8#;x¤ 의 그래프가 점 (-8, k)를 지나므로
k
=-;8#;
_(-8)¤ =-24
(cid:9000) -24
18 y=ax¤ 의 그래프가 점 (3, -12)를 지나므로
-12=a_3¤ (cid:100)(cid:100)∴ a
=-;3$;
b=
_3¤ =12
;3$;
∴ ab
=-;3$;
_12=-16
(cid:9000) ①
19 점 D는 점A 와 y축에 대칭이므로
D(-1, 0)
정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 AD”=2이므로
AB”=2(cid:100)(cid:100)∴ B(1, 2)
따라서 y=ax¤ 의 그래프가 점 B(1, 2)를 지나므로
2=a_1¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=2
(cid:9000) 2
따라서 y
x¤ 의 그래프와 x축에 대칭인 그
=-;3$;
래프의 식은 y
x¤
=;3$;
y
=;3$;
x¤ 의 그래프가 점 (3, b)를 지나므로
y=ax¤ 의 그래프를 x
축의 방향으로 p만큼
평행이동한 그래프의 식
(cid:8857) y=a(x-p)¤
W
O
R
K
B
O
O
K
LECTURE
14
기본 UP
이차함수의 뜻과 그래프 ⑵
WORK BOOK 31쪽
01 (cid:9000) ⑴ y=2x¤ -3, (0, -3), x=0
(cid:9000) ⑵ y=-3x¤ -1, (0, -1), x=0
(cid:9000) ⑶ y=5x¤ +2, (0, 2), x=0
(cid:9000) ⑷ y=-x¤ +4, (0, 4), x=0
02 (cid:9000) ⑴ y=2(x+1)¤ , (-1, 0), x=-1
(cid:9000) ⑵ y=-3(x+2)¤ , (-2, 0), x=-2
(cid:9000) ⑶ y=3(x-2)¤ , (2, 0), x=2
(cid:9000) ⑷ y=-(x-3)¤ , (3, 0), x=3
03 (cid:9000) ⑴ y=2(x-2)¤ -3, (2, -3), x=2
(cid:9000) ⑵ y=-3(x-1)¤ +2, (1, 2), x=1
(cid:9000) ⑶ y=;2!;(x+1)¤ +4, (-1, 4), x=-1
(cid:9000) ⑷ y=-;3@;(x+3)¤ -2, (-3, -2), x=-3
내신 UP
WORK BOOK 31~33쪽
04 꼭짓점의 좌표가 (0, -2)이므로 q=-2
y=ax¤ -2의 그래프가 점 (4, 6)을 지나므로
6=16a-2(cid:100)(cid:100)∴ a=;2!;
∴ 4a+q=4_;2!;-2=0
(cid:9000) ③
05 AB”=4이고 두 점A, B는 y축에 대칭이므로
A(-2, 0), B(2, 0)
y=3x¤ +k에 x=2, y=0을 대입하면
0=3_2¤ +k(cid:100)(cid:100)∴ k=-12
(cid:9000) -12
06 (cid:9000) ④
07 ① 축의 방정식은 x=-4이다.
② y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼
평행이동한 것이다.
⑤ y=-2(x+4)¤ 의 그래프와 x축에 대칭이다.
(cid:9000) ③, ④
08 y=;3!;(x-p)¤ 의 그래프가 점 (0, 12)를 지나므로
12=;3!;(0-p)¤ , p¤ =36
∴ p=6 (∵ p>0)
;2!;_6_12=36
따라서 B(6, 0)이므로 △AOB의 넓이는
… 3점
… 3점
(cid:9000) 36
Ⅲ. 이차함수` 43
Q특강(3년)해설(32~48)-ok 2014.9.3 6:7 PM 페이지44 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
y=a(x-2)¤ -1의 그래프가 점 (1, 3)을 지나
프의 식은
∴ a+p+q=4+2-1=5
(cid:9000) ③
p+q+m=2
(cid:9000) 2
위로 볼록한 포물선
(cid:8857) (x¤ 의 계수)<0
17 y=3(x-p+1)¤ +q+2의 그래프가
④ y=-(x-3)¤ +2의 그래프의 꼭짓점의 좌표
y 대신 -y를 대입
09 꼭짓점의 좌표가 (2, -1)이므로
y=a(x-2)¤ -1에서 p=2, q=-1
므로
3=a(1-2)¤ -1(cid:100)(cid:100)∴ a=4
10 (x¤ 의 계수)<0인 것은 ①, ②, ④이다.
① y=-x¤ -1의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
② y=-2(x+3)¤ +3의 그래프의 꼭짓점의 좌
(0, -1)
표는 (-3, 3)
는 (3, 2)
따라서 조건을 만족시키는 것은 ②이다.
(cid:9000) ②
11 y=-;3@;(x-6)¤ -4에서 축의 방정식은 x=6이
고 위로 볼록한 그래프이다.
따라서 x>6일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은
감소한다.
(cid:9000) ③
12 꼭짓점의 좌표가 (-2, -4)이므로
p=-2, q=-4
따라서 y=a(x+2)¤ -4의 그래프가 점 (0, 0)
을 지나므로
0=4a-4(cid:100)(cid:100)∴ a=1
∴ apq=8
13 꼭짓점의 좌표가 (-2, 1)이므로
p=-2, q=1
y=a(x+2)¤ +1의 그래프가 점 (0, -7)을 지
나므로
-7=4a+1(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
∴ a+p+q=-3
14 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
꼭짓점이 제4사분면 위에 있으므로 p>0, q<0
(cid:9000) -3
(cid:9000) ②
15 a<0, b<0
록한 포물선이다.
이차함수 y=2(x-a)¤ -b의 그래프는 아래로 볼
꼭짓점의 좌표는 (a, -b)이고, a<0, -b>0이
므로 그래프의 꼭짓점은 제`2`사분면 위의 점이다.
따라서 y=2(x-a)¤ -b의 그래프는 제`1, 2`사분
면을 지난다.
(cid:9000) 제`1, 2`사분면
44 `SOLUTION
16 y=-(x-2)¤ -1의 그래프를 x축의 방향으로
-3만큼, y축의 방향으로5만큼 평행이동한 그래
y=-(x-2+3)¤ -1+5=-(x+1)¤ +4
따라서 p=-1, q=4, m=-1이므로
y=3(x-4)¤ +1의 그래프와 일치하므로(cid:100)(cid:100)
-p+1=-4, q+2=1(cid:100)(cid:100)∴ p=5, q=-1
∴ p+q=4
(cid:9000) ③
18 y=-;2!;(x+1)¤ +3의 그래프와 x축에 대칭인
그래프의 식은 -y=-;2!;(x+1)¤ +3
∴ y=;2!;(x+1)¤ -3
이 그래프가 점 (-5, k)를 지나므로
k=;2!;(-5+1)¤ -3=5
(cid:9000) ④
LECTURE
15
기본 UP
이차함수의 그래프의 성질
WORK BOOK 34쪽
02 (cid:9000) ⑴ x축 : (-3, 0), (1, 0), y축 : (0, 6)
(cid:9000) ⑵ x축 : (2, 0), y축 : (0, 4)
(cid:9000) ⑶ x축 : (-1, 0), {;9%;, 0}, y축 : (0, -5)
03 (cid:9000) ⑴ >, >, >, >
(cid:9000) ⑵ <, <, >, <
내신 UP
WORK BOOK 34~35쪽
04 y=-x¤ -6x+a
=-(x+3)¤ +a+9
즉 꼭짓점의 좌표는 (-3, a+9)이므로
-3=b, a+9=7(cid:100)(cid:100)∴ a=-2, b=-3
∴ a-b=1
(cid:9000) 1
y=ax¤ 의 그래프를 x
축의 방향으로 p만큼, y
축의 방향으로 q만큼
평행이동한 그래프의 식
(cid:8857) y=a(x-p)¤ +q
y=a(x-p)¤ +q의 그
래프에서
① 그래프의 모양
(cid:100) 위로 볼록 (cid:8857) a<0
(cid:100) 아래로 볼록 (cid:8857) a>0
② 꼭짓점의 위치
(cid:100) 제`1`사분면
(cid:8857) p>0, q>0
(cid:100) 제`2`사분면
(cid:8857) p<0, q>0
(cid:100) 제`3`사분면
(cid:8857) p<0, q<0
(cid:100) 제`4`사분면
(cid:8857) p>0, q<0
(cid:9000) ⑤
⑴ y=-(x+1)¤ +6
⑵ y=-;2!;(x-2)¤ +6
⑶ y=3(x-1)¤ -4
01 (cid:9000) ⑴ (-1, 6), x=-1
(cid:9000) ⑵ (2, 6), x=2
(cid:9000) ⑶ (1, -4), x=1
Q특강(3년)해설(32~48)-ok 2014.9.3 6:7 PM 페이지45 SinsagoHitec
또 y=-2x¤ +4x+6=-2(x-1)¤ +8이므로
WORK BOOK 36쪽
05 y=4x¤ -4x+k=4{x
-;2!;}2 +k-1
꼭짓점의 좌표는 {;2!;, k-1}이므로
k-1=0(cid:100)(cid:100)∴ k=1
(cid:9000) ④
06 y=x¤ -4x+2=(x-2)¤ -2
의 그래프는 오른쪽 그림과
같으므로 제`3`사분면을 지나
지 않는다.
(cid:9000) ③
y
2
O
-2
2
x
07 y=2x¤ +4x-5=2(x+1)¤ -7
② 축의 방정식은 x=-1이다.
(cid:9000) ②
08 y=-2x¤ +4x+6에 y=0을 대입하면
-2x¤ +4x+6=0
x¤ -2x-3=0, (x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
∴ A(-1, 0), B(3, 0)
꼭짓점의 좌표는 (1, 8)
∴ C(1, 8)
∴ △ABC
_4_8=16
=;2!;
… 4점
… 2점
… 2점
(cid:9000) 16
09 y=;2!;x¤ -2x+k=;2!;(x-2)¤ +k-2이므로
축의 방정식은 x=2이다.
이때 AB”=8이므로 A(-2, 0), B(6, 0)
y=;2!;x¤ -2x+k의 그래프가 점 (-2, 0)을 지나
므로
0=2+4+k(cid:100)(cid:100)∴ k=-6
따라서 y=;2!;x¤ -2x-6=;2!;(x-2)¤ -8이므로
꼭짓점의 좌표는 (2, -8)
∴ C(2, -8)
∴ △ABC=;2!;_8_8=32
(cid:9000) ③
10 y=-;3!;x¤ -2x-1
=-;3!;
(x+3)¤ +2의 그래프
를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동하면
y=-;3!;(x+3-2)¤ +2=-;3!;(x+1)¤ +2
이 그래프가 점 (1, m)을 지나므로
m=-;3!;_(1+1)¤ +2=;3@;
(cid:9000) ③
11 아래로 볼록한 포물선이므로 a>0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 b>0
y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 있으므로 c<0
ab>0
(cid:9000) ④
2-;2!;_8=-2
2+;2!;_8=6
Q BOX
꼭짓점이 x축 위에 있다.
(cid:8857) 꼭짓점의 y좌표가 0
이다.
12 ⁄ a<0이므로 위로 볼록하다.
¤ -ab<0이므로 축은 y축의 오른쪽에 있다.
‹ c>0이므로 y축과 원점의 위쪽에서 만난다.
이상에서 y=ax¤ -bx+c의
그래프는 오른쪽 그림과 같
으므로 꼭짓점은 제1사분면
위에 있다.
y
O
x
(cid:9000) 제1사분면
W
O
R
K
B
O
O
K
이차함수의 식 구하기
LECTURE
16
기본 UP
01 ⑴ y=a(x-1)¤ +2로 놓으면 점 (2, 5)를 지나
⑴ 5=a(2-1)¤ +2(cid:100)(cid:100)∴ a=3
⑴ ∴ y=3(x-1)¤ +2
⑵ y=a(x+1)¤ -1로 놓으면 점 (1, 0)을 지나
⑴ 0=a(1+1)¤ -1(cid:100)(cid:100)∴ a=;4!;
⑴ ∴ y=;4!;(x+1)¤ -1
⑶ y=a(x-3)¤ +1로 놓으면 점 (5, 3)을 지나
므로
므로
므로
⑴ 3=a(5-3)¤ +1(cid:100)(cid:100)∴ a=;2!;
⑴ ∴ y=;2!;(x-3)¤ +1
(cid:9000) 풀이 참조
02 ⑴ y=a(x+6)¤ +q로 놓으면 두 점 (-8, 5),
(-5, -1)을 지나므로
⑴ 5=4a+q, -1=a+q(cid:100)(cid:100)∴ a=2, q=-3
⑴ ∴ y=2(x+6)¤ -3
⑵ y=a(x-2)¤ +q로 놓으면 두 점(3, 3),
(4, 0)을 지나므로
⑴ 3=a+q, 0=4a+q(cid:100)(cid:100)∴ a=-1, q=4
⑴ ∴ y=-(x-2)¤ +4
⑶ y=a(x-4)¤ +q로 놓으면 두 점(1, 4),
(6, -1)을 지나므로
⑴ 4=9a+q, -1=4a+q(cid:100)(cid:100)∴ a=1, q=-5
⑴ ∴ y=(x-4)¤ -5
(cid:9000) 풀이 참조
Ⅲ. 이차함수` 45
Q특강(3년)해설(32~48)-ok 2014.9.3 6:7 PM 페이지46 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
-2=a(1-3)¤ +6(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
따라서 y=-2(x-3)¤ +6=-2x¤ +12x-12이
므로 b=12, c=-12
∴ a-b-c=-2
그래프가 두 점 (a, 0),
(b, 0)을 지난다.
(cid:8857) y=a(x-a)(x-b)
(cid:9000) ①
03 ⑴ y=ax¤ +bx+c로 놓으면 세 점 (-1, -6),
(0, -5), (2, 9)를 지나므로
⑴ -6=a-b+c, -5=c, 9=4a+2b+c
⑴ 위의 식을 연립하여 풀면 a=2, b=3, c=-5
⑴ ∴ y=2x¤ +3x-5
⑵ y=ax¤ +bx+c로 놓으면 세 점 (0, -2),
(1, -4), (3, 4)를 지나므로
⑴ -2=c, -4=a+b+c, 4=9a+3b+c
⑴ 위의 식을 연립하여 풀면
a=2, b=-4, c=-2
⑴ ∴ y=2x¤ -4x-2
지나므로
⑴ -2=2a(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
⑶ y=a(x-1)(x-2)로 놓으면 점 (3, -2)를
⑴ ∴ y=-(x-1)(x-2)=-x¤ +3x-2
(cid:9000) 풀이 참조
WORK BOOK 36~37쪽
04 y=a(x-3)¤ +6의 그래프가 점 (1, -2)를 지
내신 UP
나므로
05 꼭짓점의 좌표가 (0, 6)이므로 y=ax¤ +6
이 함수의 그래프가 점 (2, 0)을 지나므로
0=4a+6(cid:100)(cid:100)∴ a=-;2#;
따라서 y=-;2#;x¤ +6의 그래프가 점 (1, k)를 지
나므로
k=-;2#;_1¤ +6=;2(;
(cid:9000) ④
06 y=a(x+2)¤ +q의 그래프가 두 점 (0, -1),
(1, 4)를 지나므로
-1=4a+q, 4=9a+q(cid:100)(cid:100)
∴ a=1, q=-5
∴ y=(x+2)¤ -5=x¤ +4x-1
(cid:9000) y=x¤ +4x-1
07 y=a(x+1)¤ +q의 그래프가 두 점 (-3, 4),
(2, -1)을 지나므로
4=4a+q, -1=9a+q
∴ a=-1, q=8
따라서 y=-(x+1)¤ +8에 x=0을 대입하면
y=7
(cid:9000) ⑤
46 `SOLUTION
x=1을 축으로 한다.
08 y=a(x-1)¤ +q의 그래프가 두 점 (0, -2),
그래프 위의 세 점이 주어
지면 y=ax¤ +bx+c로
놓고 세 점의 좌표를 대입한
후 세 식을 연립하여 푼다.
축의 방정식이 x=p
(cid:8857) 이차함수의 그래프의
꼭짓점의 x좌표가 p
이다.
(4, 0)을 지나므로
-2=a+q, 0=9a+q
∴ a=;4!;, q=-;4(;
b=-;2!;, c=-2
∴ 4abc=1
`따라서 y=;4!;(x-1)¤ -;4(;=;4!;x¤ -;2!;x-2이므로
… 4점
… 2점
… 2점
(cid:9000) 1
09 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 세 점 (-1, -10),
(0, -5), (1, -6)을 지나므로
-10=a-b+c, -5=c, -6=a+b+c
위의 식을 연립하여 풀면 a=-3, b=2, c=-5
∴ y=-3x¤ +2x-5
(cid:9000) ②
10 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 세 점(0, 4),
(2, -4), (4, -4)를 지나므로
4=c, -4=4a+2b+c, -4=16a+4b+c
위의 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-6, c=4
따라서 y=x¤ -6x+4=(x-3)¤ -5이므로 꼭짓
점의 좌표는 (3, -5)
(cid:9000) (3, -5)
11 y=;2!;(x+4)(x-2)=;2!;x¤ +x-4
따라서 a=;2!;, b=1, c=-4이므로
2a+b-c=2_;2!;+1-(-4)=6
(cid:9000) ④
12 y=a(x+3)(x-2)의 그래프가 점 (0, 6)을 지
나므로
6=-6a(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
따라서 y=-(x+3)(x-2)=-x¤ -x+6이므
로 b=-1, c=6
∴ c-b-a=6-(-1)-(-1)=8
(cid:9000) ⑤
이차함수의 활용
LECTURE
17
기본 UP
WORK BOOK 38쪽
01 (cid:9000) ⑴ x=-3일 때 최솟값은 0이고, 최댓값은 없
다.
다.
없다.
(cid:9000) ⑵ x=0일 때 최댓값은 -6이고, 최솟값은 없
(cid:9000) ⑶ x=-1일 때 최솟값은 -5이고, 최댓값은
(cid:9000) ⑷ x=2일 때 최댓값은 8이고, 최솟값은 없다.
Q특강(3년)해설(32~48)-ok 2014.9.3 6:7 PM 페이지47 SinsagoHitec
(cid:9000) ⑷ x=1일 때 최솟값은 -4이고, 최댓값은 없
따라서 두 수의 곱의 최솟값은 -100이다.
11 두 수를x, x+20이라 하고 두 수의 곱을 y라 하면
두 수의 차가 20이므로 하
나의 수를 x라 하면 다른
하나의 수는 x+20이다.
y=x(x+20)=x¤ +20x
=(x+10)¤ -100
Q BOX
10 y=2x¤ +4kx+k=2(x+k)¤ -2k¤ +k
∴ m=-2k¤ +k=-2{k-;4!;}
+;8!;
따라서 m은 k=;4!;일 때 최댓값 ;8!;을 갖는다.
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
(cid:9000) ④
W
O
R
K
B
O
O
K
12 꽃밭의 넓이를 y m¤ 라 하면
y=x(28-2x)=-2x¤ +28x
=-2(x-7)¤ +98
따라서 x=7일 때 꽃밭의 넓이는 최대이다.
13 y=-4x¤ +24x=-4(x-3)¤ +36
따라서 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간은 3
초이다.
(cid:9000) 3초
y=ax¤ +bx+c의
최댓값, 최솟값
(cid:8857) y=a(x-p)¤ +q의
꼴로 변형하여 구한
다.
02 ⑴ y=(x-7)¤
⑵ y=-3(x+1)¤ +8
⑶ y=-4(x+2)¤ +1
⑷ y=2(x-1)¤ -4
(cid:9000) ⑴ x=7일 때 최솟값은 0이고, 최댓값은 없다.
(cid:9000) ⑵ x=-1일 때 최댓값은 8이고, 최솟값은 없
(cid:9000) ⑶ x=-2일 때 최댓값은 1이고, 최솟값은 없
다.
다.
다.
03 (cid:9000) ⑴ y=x(10-x)
04 (cid:9000) ⑴ y=x(20-x)
(cid:9000) ⑶ 10 cm, 10 cm
⑵ 25
⑶ 5, 5
⑵ 100 cm¤
내신 UP
WORK BOOK 38~39쪽
05 y=-5x¤ +10x+1=-5(x-1)¤ +6
따라서 x=1일 때 최댓값 6을 가지므로
a=1, b=6
∴ a+b=7
k-3이므로
06 y=3x¤ +6x+k=3(x+1)¤ +k-3의 최솟값은
k-3=-5(cid:100)(cid:100)∴ k=-2
(cid:9000) ②
07 y=-2x¤ -2x+m
=-2(x-n)¤ +4
m=;2&;, n=-;2!;
∴ mn=-;4&;
08 (cid:9000) ③
(cid:9000) ②
… 2점
… 2점
(cid:9000) -;4&;
09 y=a(x+2)(x-1)=a{x+;2!;}2 -;4(;a
이때 최댓값이 ;2(;이므로 -;4(;a=;2(;(cid:100)(cid:100)
∴ a=-2
따라서 y=-2(x+2)(x-1)=-2x¤ -2x+4
이므로
b=-2, c=4
∴ a+b+c=-2+(-2)+4=0
(cid:9000) ③
=-2x¤ +4nx-2n¤ +4
… 2점
따라서 -2=4n, m=-2n¤ +4이므로
축의 방정식이 x=n, 최댓
값이 4이다.
(cid:8857) y=a(x-n)¤ +4
Ⅲ. 이차함수` 47
¤
