9-가발전(렉쳐)해설Ⅰ(01~13) 2014.9.3 8:2 PM 페이지1 SinsagoHitec
우공비
중등 수학 (상) 발전편
3
SOLUTION
LECTURE BOOK
WORK BOOK
Ⅰ
제곱근과 실수
Ⅰ 제곱근과 실수
1. 제곱근과 실수
2. 근호를 포함한 식의 계산
1. 제곱근과 실수
2. 근호를 포함한 식의 계산
Ⅱ 이차방정식
Ⅱ 이차방정식
1. 인수분해
2. 이차방정식과 그 풀이
3. 이차방정식의 활용
Ⅲ 이차함수
1. 이차함수와 그 그래프
2. 이차함수의 활용
1. 인수분해
2. 이차방정식과 그 풀이
3. 이차방정식의 활용
Ⅲ 이차함수
1. 이차함수와 그 그래프
2. 이차함수의 활용
2
7
14
20
26
34
40
50
54
59
65
70
75
81
SS II NN SS AA GG OO
9-가발전(렉쳐)해설Ⅰ(01~13) 2014.9.3 8:2 PM 페이지2 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
Ⅰ 제곱근과 실수
1
제곱근과 실수
필수유형 다지기
▶ 9쪽
"≈a¤ =|a|
"≈a¤ =[
a (aæ0)
-a (a<0)
01 (cid:9120) ④
01-1 a¤ =13, b¤ =15이므로 a¤ +b¤ =13+15=28
02 ① 0의 제곱근은 0이다.
② 양수의 제곱근은 양수와 음수 2개이다.
③, ⑤ 음수의 제곱근은 없다.
02-1 ③ 음수의 제곱근은 없다.
(cid:9120) 28
(cid:9120) ④
(cid:9120) ③
03
'∂16=4의 양의 제곱근은 2이므로 a=2
(-5)¤ =25의 음의 제곱근은 -5이므로
b=-5
∴ a+b=2+(-5)=-3
(cid:9120) - 3
1
03-1 a='∂36=6, {- }2 = 의 음의 제곱근은
3
1
9
16의 양의 제곱근은 4이
므로 '∂16=4
a>0일 때
a의 제곱근：—'a
제곱근 a：'a
- 이므로 b=-
1
3
1
3
∴ ab=6_{- }=-2
1
3
근호 안의 수가 제곱수이
면 근호를 없애고 자연수
로 나타낼 수 있다.
(cid:9120) -2
04 ① 7 ② 10 ④ 0.4 ⑤
(cid:9120) ③
2
3
02
(주어진 식)=8÷2-5-3
=4-5-3=-4
(cid:9120) ②
02-1 (주어진 식)=6_ +7÷
1
3
1
2
(주어진 식)=2+14=16
(cid:9120) 16
03 ① "≈a¤ =-a ② ('∂-a )¤ =-a
⑤ -"ç9a¤ =-"ç(3a)¤ =-(-3a)=3a
(cid:9120) ③, ④
03-1 a>0이므로 2a>0, -a<0
b<0이므로 3b<0
∴ (주어진 식)="ç(2a)¤ +"√(-a)¤ -"ç(3b)¤
=2a-(-a)-(-3b)
=3a+3b
(cid:9120) ④
04 -10
∴ (주어진 식)=-(a-1)+(a+1)
=-a+1+a+1=2
(cid:9120) ③
04-1 a-b>0, ab<0이므로 a>0, b<0
∴ (주어진 식)=a-(-b)-(b-a)
=a+b-b+a=2a
(cid:9120) 2a
05
126x=2_3¤ _7_x이므로 제곱수가 되도록 하
는 가장 작은 자연수 x는
x=2_7=14
(cid:9120) ④
05-1
360
x
=
2‹ _3¤ _5
x
이고, æ≠ 이 가장 큰 자연
360
x
수가 되려면 x는 가장 작은 자연수이어야 하므로
x=2_5=10
(cid:9120) 10
아야 하므로
45+a=49(cid:100)(cid:100)∴ a=4
이때 b='ƒ45+4=7
∴ a+b=11
04-1 ③ —
⑤ —0.1
5
4
(cid:9120) ③, ⑤
06
45+a의 값이 45보다 큰 제곱수 중에서 가장 작
필수유형 다지기
▶ 11~13쪽
01 ⑤ -"√(-5)¤ =-5
(cid:9120) ⑤
-"√(-5)¤ =-'∂25
=-5
06-1 38-x의 값이38보다 작은 제곱수이어야 하므로
38-x=1, 4, 9, 16, 25, 36
∴ x=37, 34, 29, 22, 13, 2
따라서 구하는 자연수 x의 개수는 6개이다.
a>0일 때
('a )¤ =(-'a )¤ =a
"ça¤ =øπ(-a)¤ =a
(cid:9120) ③
1
③ >Æ
2
1
6
07 ③ ;2!;=æ≠{
1
2
1
}2 =Æ 이고 > 이므로
4
1
6
1
4
01-1 ① -"ç7¤ =-7
② -('7 )¤ =-7
③ (-'7 )¤ =('7 )¤ =7
④ -(-'7 )¤ =-('7 )¤ =-7
⑤ -øπ(-7)¤ =-"ç7¤ =-7
2 | SOLUTION
(cid:9120) ④
(cid:9120) ④
(cid:9120) ③
9-가발전(렉쳐)해설Ⅰ(01~13) 2014.9.3 8:3 PM 페이지3 SinsagoHitec
Q BOX
'5>'4이므로
'5-2>0
'5<'9이므로
'5-3<0
'∂16>'∂15이므로
4-'∂15>0, '∂15-4<0
두 실수 a, b에 대하여
a-b>0 (cid:8857) a>b
a-b=0 (cid:8857) a=b
a-b<0 (cid:8857) a0, b>0일 때
a<'ßx0, '5-3<0이므로
(주어진 식)='5-2-('5-3)
='5-2-'5+3=1
08-1 4-'∂15>0, '∂15-4<0이므로
(주어진 식)=4-'∂15-{-('∂15-4)}-4+15
=4-'∂15+'∂15-4-4+15=11
(cid:9120) ③
(cid:9120) 11
09
3<'∂2n…4의 각 변을 제곱하면
9<2n…16 ∴ ;2(;0
∴ 3-'5>3-'7
③ 5-('∂10+2)=3-'∂10<0
∴ 5<'∂10+2
⑤ '8-4-('∂10-4)='8-'∂10<0
∴ '8-4<'∂10-4
(cid:9120) ①, ④
05
a-b=3-'∂10-(-'8+3)=-'∂10+'8<0
∴ a0
∴ a>c y ㉡
㉠, ㉡에서 c0
∴ a>b y ㉠
b-c=3+'3-('3+'7 )=3-'7>0
∴ b>c y ㉡
㉠, ㉡에서 c1이므로 a- <0
1
a
-10, -a<0
1
a
1
a
00이므로
(주어진 식)=-{a- }+{a+ }
(주어진 식)=-a+ +a+
(주어진 식)=
2
a
(cid:9120) ④
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
이므로
(주어진 식)=a- -[-{ -a}]-(-2a)
1
a
(주어진 식)=a- + -a+2a
4 | SOLUTION
02-1 -10, -a<0, 2a<0
<-1이므로
05
a=;2!;이라 하면
(주어진 식)=2a
(cid:9120) 2a
따라서 값이 가장 작은 것은 ⑤이다.
(cid:9120) ⑤
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Q BOX
00, x-y<0
∴ (주어진 식)=-(6-x)-(y-6)-(x-y)
=-6+x-y+6-x+y=0
(cid:9120) ①
Ⅰ. 제곱근과 실수 | 5
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LECTURE BOOK
10
'ƒ20-x가 자연수가 되려면 20-x의 값이 20보
다 작은 제곱수이어야 하므로
20-x=1, 4, 9, 16(cid:100)(cid:100)∴ x=19, 16, 11, 4
따라서 a=19, b=4이므로
Q BOX
'ƒA-x (A, x는 자연수)
가 자연수가 되려면
A-x는 A보다 작은 제
곱수이어야 한다.
(-7)¤ =49의 양의 제곱근은 7이므로
a=7
"√(-4)¤ =4의 음의 제곱근은 -2이므로
b=-2
a+b=19+4=23
(cid:9120) ④
∴ a-b=7-(-2)=9
•2점
•2점
•2점
(cid:9120) 9
점수
2
2
2
•2점
•2점
점수
2
2
2
18
채점 기준
(cid:8772)ABCD의 넓이 구하기
AB”의 길이 구하기
점 P가 나타내는 수 구하기
⑴ (cid:8772)ABCD=4_4-4_{ _3_1}=10
1
2
음수를 곱했으므로 부등
호의 방향이 바뀐다.
⑵ (cid:8772)ABCD=10이므로 AB”
¤ =10(cid:100)(cid:100)
∴ AB”='∂10
⑶ AP”=AB”='∂10이므로
점 P가 나타내는 수는 1+'∂10
•2점
(cid:9120) ⑴ 10 ⑵ '∂10 ⑶ 1+'∂10
19
채점 기준
A와 B의 크기 비교하기
A와 C의 크기 비교하기
A, B, C의 대소 관계 나타내기
A-B='∂30+4-('∂30+'∂17)=4-'∂17<0
∴ A0
∴ A>C
•2점
∴ C0, 2a>0이므로
1
a
1
a
1
(주어진 식)=-{a- }-{a+ }+2a
a
1
a
(주어진 식)=-a+ -a- +2a
1
a
1
a
(주어진 식)=0
(cid:9120) 0
두 실수 a, b에 대하여
a-b>0 (cid:8857) a>b
a-b=0 (cid:8857) a=b
a-b<0 (cid:8857) a0, b>0일 때
"ça¤ b=a'b
a>0, b>0일 때
a
Ƭ = 'a
b¤
b
근호 안의 수를 밖으로
꺼내기 위하여 분모, 분
자에 10을 곱하여 거듭제
곱의 꼴로 만든다.
'∂0.2=
2'5
10
=
'5
5
∴ k=;5!;
04-1 Ƭ;7!2);=Ƭ;3∞6;= 이므로 a=;6!;
'5
6
'0∂.0∂16 =Ƭ;10!0^0;=Ƭ;10!0^0)0;=æ≠
4¤ _10
100¤
4'1å0
100
=
'1å0
25
=
이므로 b=;2¡5;
∴ ;b!;-;a!;
=25-6=19
14='ƒ196, 15='ƒ225
이므로 14<'ƒ198<15
11='ƒ121, 12='ƒ144
이므로 11<'ƒ135<12
05
'∂252="√2¤ _3¤ _7
'∂252=2_('3)¤ _'7=2x¤ y
(cid:9120) ④
(cid:9120) ②
(cid:9120) ③
(cid:9120) ;5!;
(cid:9120) 19
(cid:9120) ④
Ⅰ. 제곱근과 실수 | 7
¤
9-가발전(렉쳐)해설Ⅰ(01~13) 2014.9.3 8:3 PM 페이지8 SinsagoHitec
Q BOX
'6
5
=
'2'3
5
=
ab
5
a>0, b>0일 때
'b
'b_'a
'a
'a_'a
=
= '∂ab
a
제곱근의 덧셈과 뺄셈은
근호 안의 수가 같은 것
끼리 묶어서 계산한다.
근호 안에 제곱인 인수가
있으면 먼저 제곱인 인수
를 근호 밖으로 꺼낸 후
계산한다.
① 분모의 근호 안에 제곱
인 인수가 있으면 a'b
의 꼴로 고친다.
② 유리수는 유리수끼리,
무리수는 무리수끼리
곱한다.
(cid:9120) ;6!;
(cid:9120) ②
(cid:9120) ①
'ßA=3'2-'2=2'2
LECTURE BOOK
05-1 '∂0.24=æ≠;1™0¢0;=
2'6
10
'6
= =
5
ab
5
(cid:9120) ④
06
3'∂15
2_15
'∂15
10
=
=
3
2'∂15
=
∴ a=
3_'∂15
2'∂15_'∂15
1
10
=
5'2
'3
5'2_'3
'3_'3
1
∴ ab= _;3%;=;6!;
10
5'6
3
= (cid:100)(cid:100)∴ b=;3%;
06-1 ① 'å
4'3
3
=4'3
=
∂48="√4¤ _3=4'3
4
4_'3
② =
'3
'3_'3
12_'3
12
③ =
'3
'3_'3
24
24
2'3
∂12
'å
4'6
'2
6
=4æ =4'3
2
④
=
=
⑤
24'3
2'3_'3
=4'3
07
(주어진 식)= _
_
'1å4
'3å0
'6
4'7
4'3
3'6
(주어진 식)=;3!;Æ…;3!0$;_;7^;_;6#;
(주어진 식)=
1
3'5
=
'5
15
07-1
_(-8'1å0)÷Ƭ;1∞8;
3
4'6
3
4'6
=
_(-8'1å0)_
3'2
'5
=-18æ≠;6!;_10_;5@;
=-18æ;3@; =-6'6
∴ a=-6
08 원뿔의 높이를 x cm라 하면
;3!;_p_(2'6 )¤ _x=36'∂12p
∴ x=
72'3
8
=9'3
(cid:9120) 9'3 cm
08-1 (삼각형의 넓이)=;2!;_'∂35_x=
'∂35
2
x
(직사각형의 넓이)='5å6_'2å4=2'1å4_2'6
=8'2å1
'∂35
2
x=8'2å1이므로
x=8'2å1_ =
2
'3å5
16'3
'5
=
16'1å5
5
(cid:9120)
16'1å5
5
8 | SOLUTION
필수유형 다지기
▶ 28~30쪽
01 ⑤ - - +
'5
2
'2
6
'5
4
'2
3
⑤ ={;2!;-;4!;}'5+{-;6!;+;3!;}'2
⑤ = + =
'2
6
'5
4
3'5+2'2
12
(cid:9120) ⑤
01-1 a+b=
a-b=
'3+'5
2
'3+'5
2
+
-
'3-'5
2
'3-'5
2
=
=
2'3
2
2'5
2
='3
='5
∴ (a+b)(a-b)='3_'5='∂15
(cid:9120) ②
02
6'5+ -'ß48+'ß80
9
'3
=6'5+3'3-4'3+4'5=-'3+10'5
따라서 a=-1, b=10이므로
b-a=11
(cid:9120) ⑤
02-1 'ß72-'ßA-'ß18=6'2-'ßA-3'2='2이므로
3'2-'ßA='2, 'ßA=2'2`='8 (cid:100)(cid:100)
∴ A=8
(cid:9120) 8
03
'3('2+'6 )+'2(1-2'3 )
='6+3'2+'2-2'6
=4'2-'6
(cid:9120) ③
03-1 '3('2+'1å2)-'8('5å0-'2å7)
='3('2+2'3 )-2'2(5'2-3'3 )
='6+6-20+6'6 =-14+7'6
이므로 a=-14, b=7
∴ a+b=-7
(cid:9120) - 7
04-1 (주어진 식)
6-3'6
'3
=
+
'∂15+2'1å0
'5
('∂15+2'∂10)_'5
'5_'5
+
=
(6-3'6 )_'3
'3_'3
6'3-9'2
3
+
=
5'3+10'2
5
=2'3-3'2+'3+2'2
=3'3-'2
(cid:9120) ④
(원뿔의 부피)
(cid:9120) - 6
=;3!;_(밑넓이)_(높이)
a>0, b>0, c>0일 때
'a-'b
= '∂ac-'∂bc
'c
c
04
3-2'1å5
'3
=
=
(3-2'1å5)_'3
'3_'3
3'3-6'5
3
='3-2'5
이므로 a=1, b=-2(cid:100)(cid:100)∴ a-b=3
(cid:9120) 3
9-가발전(렉쳐)해설Ⅰ(01~13) 2014.9.3 8:3 PM 페이지9 SinsagoHitec
05
'∂32 {'3- }+('∂18+2)÷'3
=4'2{'3- }+(3'2+2)_
3
'6
3
'6
1
'3
10'3
3
=4'6-4'3+'6+;3@;'3=-
+5'6
이므로 a=- , b=5
10
3
10
∴ =- _;5!;=-;3@;
3
a
b
05-1 (2-'3 )¤ -(4'2+1)(4'2-1)
=(4-4'3+3)-{(4'2 )¤ -1}
=7-4'3-31=-24-4'3
06
(주어진 식)=3a+8+(2a+4)'3
이므로 2a+4=0 ∴ a=-2
06-1 (주어진 식)=2'6-2-2+2a'6
(주어진 식)=-4+(2+2a)'6
이므로 2+2a=0 ∴ a=-1
(cid:9120) -;3@;
(cid:9120) ①
(cid:9120) ②
(cid:9120) - 1
07
(직사각형의 넓이)=('3+'∂10 )_('∂15+'2 )
(직사각형의 넓이)=3'5+'6+5'6+2'5
(직사각형의 넓이)=5'5+6'6
(cid:9120) ③
07-1 4('∂12+'8+'2+'3)
=4(2'3+2'2+'2+'3)
=12'2+12'3
08
=
1-'2
3-2'2
이므로 a=-1, b=-1
(1-'2 )(3+2'2 )
(3-2'2 )(3+2'2 )
=-1-'2
∴ a+b=-2
(cid:9120) ②
08-1 (주어진 식)
=
('1å0+3)¤
('1å0-3)('1å0+3)
('1å0-3)¤
('1å0+3)('1å0-3)
=10+6'1å0+9+10-6'1å0+9=38 (cid:9120) ⑤
+
09
x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy=(3'2)¤ -2_(-2)
=18+4=22
(cid:9120) 22
1
09-1 x¤ + ={x- }
x¤
1
x
+2=('5)¤ +2=7 (cid:9120) ③
10
x
+ =
y
x+y=2'5, xy=1이므로
y
x¤ +y¤
x
xy
(2'5 )¤ -2_1
1
=
=
(x+y)¤ -2xy
xy
=18
(cid:9120) ④
Q BOX
괄호가 있으면 분배법칙
을 이용하여 괄호를 푼다.
'a('b—'c )
='∂ab—'∂ac (복호동순)
제곱근을 문자로 생각하여
곱셈 공식을 이용한다.
(a—b)¤ =a¤ —2ab+b¤
(a+b)(a-b)=a¤ -b¤
계산 결과가 유리수이면
(무리수 부분)=0임을 이
용한다.
밑면의 가로, 세로의 길
이와 높이가 각각 a, b,
c인 직육면체의 모든 모
서리의 길이의 합
(cid:8857) 4(a+b+c)
곱셈 공식
(a+b)(a-b)=a¤ -b¤
을 이용하여 분모를 유리
화한다.
3-'3의 정수 부분은 1
이므로
(소수 부분)
=(3-'3)-1
10-1 x=2+'3, y=2-'3이므로
x+y=4, xy=1
∴ x¤ -xy+y¤ =(x+y)¤ -3xy
=4¤ -3_1=13
(cid:9120) ①
11
x=3-'5이므로 x-3=-'5
(x-3)¤ =(-'5 )¤ , x¤ -6x+9=5
∴ x¤ -6x=-4
∴ x¤ -6x+7=-4+7=3
(cid:9120) ②
11-1 x=
=
2(2-'6)
(2+'6 )(2-'6 )
2
2+'6
이므로 x+2='6
(x+2)¤ =('6)¤ , x¤ +4x+4=6
∴ x¤ +4x=2
=-2+'6
∴ x¤ +4x-2=2-2=0
(cid:9120) 0
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
필수유형 다지기
▶ 32쪽
01
a=7.842, b=7.975이므로
b-a=0.133
(cid:9120) 0.133
1000a-100b=2193-473=1720
(cid:9120) 1720
02 ⑤ '5∂00å0='ƒ100_50=10'5å0
⑤ 이므로 '5∂00å0의 어림한 값은
⑤ 10_7.071=70.71
(cid:9120) ⑤
02-1 ①
'7
10
'∂70
100
④
② 2'7 ③ 10'7
⑤ 100'7
(cid:9120) ④
03
2<'5<3에서 6<4+'5<7이므로
a=6, b=4+'5-6='5-2
30
'5
= =6'5
5a
b+2
∴
(cid:9120) 6'5
03-1 1<'3<2이므로
-2<-'3<-1, 1<3-'3<2
∴ a=(3-'3)-1=2-'3
∴ a(2+'3)=(2-'3)(2+'3)
=4-3=1
(cid:9120) 1
Ⅰ. 제곱근과 실수 | 9
(cid:9120) 12'2+12'3
01-1 a=2.193, b=4.73이므로
¤
9-가발전(렉쳐)해설Ⅰ(01~13) 2014.9.3 8:3 PM 페이지10 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
발전유형 익히기
▶ 33~35쪽
a는 네 자리 자연수이다.
('a+'b)n('a-'b)n
꼴의 계산
(cid:8857) 합·차 공식을 이용할
수 있도록 식을 변형
한다.
07
1
f(x)
1
'ßx +'ƒx+1
03
'3+'5=A로 놓으면
(주어진 식)=(2+A)(2-A)=2¤ -A¤
=2¤ -('3+'5)¤ =-4-2'∂15
이므로 a=-4, b=-2
∴ a¤ +b¤ =(-4)¤ +(-2)¤ =16+4=20
공통으로 들어 있는 항을
묶어 한 문자로 치환한
후 전개한다.
01
5=('2 )¤ +('3 )¤ =a¤ +b¤ 이므로
'5="a√
¤ +b¤
01-1 2=('7 )¤ -('5 )¤ =b¤ -a¤ 이므로
'2="b¤
√ -a¤
02
('5+'2 )› ('5-'2 )›
={('5+'2 )('5-'2 )}›
={('5 )¤ -('2 )¤ }› =3› =81
02-1 ('1å0+3)° ('1å0-3)·
=('1å0+3)° ('1å0-3)° ('1å0-3)
={('1å0+3)('1å0-3)}° ('1å0-3)
={('1å0)¤ -3¤ }° ('1å0-3)='1å0-3
따라서 x=-3, y=1이므로 y-x=4
(cid:9120) ④
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) 4
(cid:9120) 20
03-1 '2-2=A로 놓으면
(주어진 식)=('3-A)('3+A)=('3 )¤ -A¤
=('3 )¤ -('2-2)¤
=-3+4'2
(cid:9120) - 3+4'2
04 AB”='5å0=5'2(cm), BC”='1å8=3'2(cm)
∴ AC”=AB”+BC”=5'2+3'2=8'2(cm)
(cid:9120) ②
04-1 HF”=EF”='5(cm)이므로
FI”='∂15-'5(cm), FG”=2'5-'5='5(cm)
∴ (cid:8772)FGCI=FI”_FG”=('∂15-'5)_'5
=5'3-5(cm¤ ) (cid:9120) (5'3-5) cm¤
05
(주어진 식)=æ≠a¤ _
+æ≠b¤ _
;;•bÅ;
;;•aı;
(주어진 식)='8∂ab +'8∂ab`=2'2∂ab +2'2∂ab
(주어진 식)=4'2∂ab
이 식에ab=25를 대입하면
4'2∂ab =4'2ƒ_25 =4"√2_5¤ =20'2
(cid:9120) ④
05-1 (주어진 식)=
4ab-2ab
'aåb
=
2ab
'aåb
=2'aåb
(주어진 식)=2_6=12
(cid:9120) 12
10 | SOLUTION
(무리수의 소수 부분)
=(무리수)-(정수 부분)
08
A>0, B>0일 때
A'∂B="√A¤ B
06
1000…a<10000(cid:100)(cid:100)∴ '1∂00å0…'∂a <'1ƒ0000
이때 '1∂00å0=10'1å0>10, '1ƒ0000=100이므로
'a의 정수 부분은 두 자리의 수이다.
(cid:9120) ②
06-1 10…'a<100이므로 '1∂00 …'∂a <'1ƒ0000
∴ 100…a<10000
(cid:9120) 100…a<10000
=
=
=
=
=
=
'ßx -'ƒx+1
('ßx +'ƒx+1 )('ßx-'ƒx+1)
'ßx-'ƒx+1
x-(x+1)
='ƒx+1-'ßx
∴ (주어진 식)=('2-'1 )+('3-'2 )
∴ (주어진 식)=+('4-'3)+y+('2å5-'2å4)
∴ (주어진 식)=-'1+'2å5
∴ (주어진 식)=-1+5=4
(cid:9120) 4
07-1
1
f(x)
1
'ƒx+2+'ßx
'ƒx+2-'ßx
('ƒx+2+'ßx)('ƒx+2-'ßx)
'ƒx+2-'ßx
'ƒx+2-'ßx
=
x+2-x
2
'ß5-'ß3
2
'ß9-'ß7
2
'ß3-'ß1
2
'ß7-'ß5
2
}+{
}+{
}
∴ (주어진 식)={
∴ (주어진 식)=+{
∴ (주어진 식)=-;2!;+;2#;=1
}
(cid:9120) ①
07-2 F(x)=
1
'ƒx+1+'ßx
='ƒx+1-'ßx
∴ (주어진 식)=('2-'1 )+('3-'2 )
+('4-'3)+y+('3å6-'3å5)
∴ (주어진 식)=-'1+'3å6
=-1+6=5
(cid:9120) 5
6<'4å5<7이므로 f(45)='4å5-6=3'5-6
4<'2å0<5이므로 f(20)='2å0-4=2'5-4
∴ f(45)-f(20)='5-2
(cid:9120) ②
08-1 5<'3å2<6이므로 [32]=5
2<'8<3이므로 < 8>='8-2=2'2-2
∴ [32]-2_< 8>=5-2(2'2-2)
=9-4'2
(cid:9120) 9-4'2
08-2 F(x)=7이려면 7<'ßx <8이어야 한다.
'4å9<'ßx<'6å4 ∴ 490)
∴ ab=18
(cid:9120) ④
(cid:9120) 1
(cid:9120) ④
03-1 (x-2)(x-4)+m=x¤ -6x+8+m에서
8+m={
-6
2
}
2
=9(cid:100)(cid:100)∴ m=1
04 -10, x-1<0
∴ "√x¤ +2x+1+"√x¤ -2x+1
="√(x+1)¤ +"√(x-1)¤
=x+1-(x-1)=2
04-1 x+2>0, x-3<0
(주어진 식)="√(x+2)¤ -"√(x-3)¤
=x+2-{-(x-3)}
=2x-1
(cid:9120) 2x-1
05
9x¤ -49y¤ =(3x)¤ -(7y)¤
=(3x+7y)(3x-7y)
이므로 A=3, B=7
∴ A+B=3+7=10
(cid:9120) ③
14 | SOLUTION
05-1 27x¤ -48y¤ =3(9x¤ -16y¤ )
=3(3x+4y)(3x-4y)
(cid:9120) 3(3x+4y)(3x-4y)
06
x› -1=(x¤ +1)(x¤ -1)
=(x¤ +1)(x+1)(x-1)
(cid:9120) ⑤
06-1 x° -y° =(x› +y› )(x› -y› )
=(x› +y› )(x¤ +y¤ )(x¤ -y¤ )
=(x› +y› )(x¤ +y¤ )(x+y)(x-y)
(cid:9120) (x› +y› )(x¤ +y¤ )(x+y)(x-y)
필수유형 다지기
▶ 48~50쪽
01 ⑤ x¤ -6x-16=(x+2)(x-8)
(cid:9120) ⑤
01-1 x¤ +2x-24=(x-4)(x+6)이므로 두 일차식
의 합은
(x-4)+(x+6)=2x+2
(cid:9120) 2x+2
02
8x¤ -10xy+3y¤ =(2x-y)(4x-3y)
∴ abcd=2_(-1)_4_(-3)=24 (cid:9120) ⑤
02-1 ㈀ (x+4)(2x-5) ㈁ (x-2)(2x-1)
㈂ (x-4)(3x+2) ㈃ (x+4)(3x-1)
(cid:9120) ②
03
x¤ -x-12=(x+3)(x-4)
2x¤ +5x-3=(x+3)(2x-1)
따라서 공통인 인수는 x+3이다.
(cid:9120) ⑤
03-1 ① x¤ -4=(x+2)(x-2)
② x¤ +x-6=(x+3)(x-2)
③ 2x¤ -3x-2=(2x+1)(x-2)
④ 3x¤ +8x+4=(x+2)(3x+2)
⑤ 6x¤ -13x+2=(6x-1)(x-2)
(cid:9120) ④
04
x¤ +mx-8=(x+a)(x+b)
=x¤ +(a+b)x+ab
에서 a+b=m, ab=-8
즉 m은 곱이 -8인 두 정수의 합이다.
곱이 -8인 두 정수는 1, -8 또는 -1, 8 또는
2, -4 또는 -2, 4
따라서 m의 값이 될 수 있는 수는 -7, 7, -2, 2
이다.
(cid:9120) ④
x¤ +Ax+B가 완전제곱
식이 되려면
A
}2 ,
2
A=—2'∂B
(cid:8857) B={
a=2, b=-1, c=4,
d=-3 또는 a=4,
b=-3, c=2, d=-1
"çA¤ =|A|
=[
A (Aæ0)
-A (A<0)
근호 안의 식을 완전제곱
식으로 변형한 다음, 부
호에 주의하면서 근호를
없앤다.
x¤ +mx+n
=(x+a)(x+b)
(cid:8857) m=a+b, n=ab
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.3 8:6 PM 페이지15 SinsagoHitec
Q BOX
(직사각형의 넓이)
=(가로의 길이)
_(세로의 길이)
두 일차식의 곱이
2x¤ +ax+7이 됨을 이
용한다.
x¤ 의 계수가 1이므로 다
른 인수를 x+A로 놓을
수 있다.
x¤ 의 계수가 2이고 한 인
수가 x+3이므로 다른
인수를 2x+q로 놓을 수
있다.
(cid:9120) 7
x¤ 의 계수가 3이고 한 인
수가 x-2이므로 다른
인수를 3x+q로 놓을 수
있다.
공통 부분이 있으면 한
문자로 치환한다.
04-1 x¤ +kx+24=(x+a)(x+b)
=x¤ +(a+b)x+ab
에서 a+b=k, ab=24
즉 k는 곱이 24인 두 정수의 합이다.
곱이 24인 두 정수는 1, 24 또는 -1, -24 또는
2, 12 또는 -2, -12 또는 3, 8 또는 -3, -8
또는 4, 6 또는 -4, -6
따라서 k의 값이 될 수 있는 수는 25, -25, 14,
-14, 11, -11, 10, -10이다.
(cid:9120) ①
05
2x¤ +ax+7=(x-1)(2x+b)
=2x¤ +(b-2)x-b
이므로 a=b-2, 7=-b
∴ a=-9, b=-7
∴ a-b=-2
05-1 10x¤ +Ax-2=(2x-1)(5x+B)
=10x¤ +(2B-5)x-B
이므로 A=2B-5, -2=-B
∴ A=-1, B=2
∴ A+B=1
(cid:9120) ③
(cid:9120) 1
06
x¤ +ax-30=(x-5)(x+A)로 놓으면
(x-5)(x+A)=x¤ +(A-5)x-5A
이므로 A-5=a, -5A=-30
∴ A=6, a=1
(cid:9120) ③
06-1 2x¤ +px+3=(x+3)(2x+q)로 놓으면
(x+3)(2x+q)=2x¤ +(q+6)x+3q
이므로 q+6=p, 3q=3
∴ q=1, p=7
07
x¤ -4=(x+2)(x-2)
x¤ +3x-10=(x-2)(x+5)
따라서 두 다항식의 공통인 인수는 x-2이므로
3x¤ +ax-2는 x-2를 인수로 가진다.
3x¤ +ax-2=(x-2)(3x+q)로 놓으면
(x-2)(3x+q)=3x¤ +(q-6)x-2q
이므로 q-6=a, -2q=-2
∴ q=1, a=-5
(cid:9120) ①
07-1 3x¤ +6x+3=3(x¤ +2x+1)=3(x+1)¤
2x¤ -7x-9=(x+1)(2x-9)
따라서 두 다항식의 공통인 인수는 x+1이므로
x¤ +5x+k는 x+1을 인수로 가진다.
x¤ +5x+k=(x+1)(x+a)로 놓으면
(x+1)(x+a)=x¤ +(a+1)x+a
이므로 a+1=5, a=k(cid:100)(cid:100)∴ a=4, k=4
(cid:9120) 4
08 넓이가 x¤ 인 정사각형 1개, 넓이가 x인 직사각형
3개, 넓이가 1인 정사각형 2개의 넓이의 합은
x¤ +3x+2=(x+1)(x+2)
따라서 가로의 길이와 세로의 길이의 합은
(x+1)+(x+2)=2x+3
(cid:9120) ④
08-1 넓이가 x¤ 인 정사각형 2개, 넓이가 x인 직사각형
5개, 넓이가 1인 정사각형 3개의 넓이의 합은
2x¤ +5x+3=(2x+3)(x+1)
(cid:9120) (2x+3)(x+1)
09
5a¤ +14a-3=(5a-1)(a+3)
따라서 가로의 길이가 5a-1이므로 세로의 길이
는 a+3이다.
(cid:9120) a+3
09-1 4x¤ -4x-3=(2x+1)(2x-3)
따라서 가로의 길이가 2x+1이므로 세로의 길이
는 2x-3이다.
∴ (둘레의 길이)=2{(2x+1)+(2x-3)}
=2(4x-2)=8x-4
(cid:9120) 8x-4
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
필수유형 다지기
▶ 52~54쪽
01
x¤ (x+3)-y¤ (x+3)=(x+3)(x¤ -y¤ )
=(x+3)(x+y)(x-y)
(cid:9120) ②
01-1 (주어진 식)=x‹ (x-2)-x(x-2)
=(x-2)(x‹ -x)
=x(x-2)(x¤ -1)
=x(x-2)(x+1)(x-1)
∴ a+b+c=(-2)+1+(-1)=-2 (cid:9120) -2
02
x+y=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ -6A+9=(A-3)¤
=(x+y-3)¤
따라서 a=1, b=-3이므로
a-b=4
(cid:9120) 4
02-1 x+3=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ -2A-8=(A-4)(A+2)
=(x+3-4)(x+3+2)
=(x-1)(x+5)
(cid:9120) (x-1)(x+5)
Ⅱ. 이차방정식 | 15
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.3 8:6 PM 페이지16 SinsagoHitec
∴ a+bc=0
(cid:9120) 0
08-1 9.3¤ +2_0.7_9.3+0.7¤
a=9.3, b=0.7로 보면
a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤
을 이용할 수 있다.
LECTURE BOOK
03
x-2y=A로 놓으면
(주어진 식)=A(A-3)-10
=A¤ -3A-10=(A-5)(A+2)
=(x-2y-5)(x-2y+2) (cid:9120) ②
03-1 3x+y=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ +4(A-1)-8
=A¤ +4A-12=(A+6)(A-2)
=(3x+y+6)(3x+y-2)
따라서 두 일차식의 합은
(3x+y+6)+(3x+y-2)=6x+2y+4
(cid:9120) 6x+2y+4
04
x+1=A, y-1=B로 놓으면
(주어진 식)
=2A¤ +3AB-2B¤
=(A+2B)(2A-B)
={(x+1)+2(y-1)}{2(x+1)-(y-1)}
=(x+2y-1)(2x-y+3)
이므로 a=2, b=-1, c=2
04-1 3x-2=A, x-1=B로 놓으면
(3x-2)¤ -(x-1)¤
=A¤ -B¤ =(A+B)(A-B)
={(3x-2)+(x-1)}{(3x-2)-(x-1)}
=(4x-3)(2x-1)
이므로 a=2, b=-1
∴ a-b=3
(cid:9120) 3
05
x‹ -4x¤ -4x+16=x¤ (x-4)-4(x-4)
∴ (x-4)+(x+2)+(x-2)=3x-4 (cid:9120) ③
05-1 a¤ -ab-a+b=a(a-b)-(a-b)
=(a-b)(a-1)
ab+a-b-1=a(b+1)-(b+1)
=(b+1)(a-1)
따라서 공통인 인수는 a-1이다.
(cid:9120) a-1
06
(주어진 식)=(x¤ +4x+4)-y¤ =(x+2)¤ -y¤
=(x+y+2)(x-y+2)
(cid:9120) ②
06-1 (주어진 식)=(a¤ -6ab+9b¤ )-c¤
=(a-3b)¤ -c¤
=(a-3b+c)(a-3b-c)
(cid:9120) (a-3b+c)(a-3b-c)
16 | SOLUTION
Q BOX
문자가 여러 개 있을 때
는 차수가 낮은 문자에
대하여 내림차순으로 정
리한 다음 인수분해한다.
07 주어진 식을 y에 대하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=(x-2)y+(x¤ -5x+6)
=(x-2)y+(x-2)(x-3)
=(x-2)(x+y-3)
이므로 a=-2, b=1, c=-3
∴ a+b-c=2
다른 풀이
(cid:9120) ⑤
주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=x¤ +(y-5)x-2(y-3)
=(x-2)(x+y-3)
공통 부분이 2개이면 서
로 다른 문자로 치환한다.
07-1 주어진 식을 z에 대하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=(x+y)z+(x¤ -xy-2y¤ )
x, y, z 중 z의 차수가
가장 낮으므로 z에 대하
여 내림차순으로 정리한다.
=(x+y)z+(x+y)(x-2y)
=(x+y)(x-2y+z)
(cid:9120) (x+y)(x-2y+z)
08
197¤ -196¤ =(197+196)(197-196)
=197+196
(cid:9120) ③
=(9.3+0.7)¤ =10¤ =100
(cid:9120) 100
09
x+2=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ -10A+25=(A-5)¤
=(x+2-5)¤ =(x-3)¤
x=
1
'ß10-3
='ß10+3이므로
(주어진 식)=(x-3)¤ =('ß10+3-3)¤
=('ß10)¤ =10
(cid:9120) 10
=(x-1)¤ -y¤
=(x+y-1)(x-y-1)
=(2'3-1)(2-1)
=2'3-1
(cid:9120) ②
10
(주어진 식)=(a¤ -b¤ )-3(a+b)
=(a+b)(a-b)-3(a+b)
=(a+b)(a-b-3)
=3_(-2-3)=-15
(cid:9120) ①
10-1 (주어진 식)=(x+y)(x¤ -y¤ )
=(x+y)¤ (x-y)
={(x-y)¤ +4xy}(x-y)
={('2 )¤ +4_4}_'2
=18'2
(cid:9120) ④
a+b, a-b의 값을 이
용할 수 있도록 주어진
식을 인수분해하여 간단
히 한다.
항을 적당히 묶으면
A¤ -B¤ 의 꼴이 된다.
=(x-4)(x¤ -4)
=(x-4)(x+2)(x-2)
공통 부분이 생기도록 두
항씩 묶어서 인수분해한
다.
09-1 x+y=2'3, x-y=2
∴ (주어진 식)=(x¤ -2x+1)-y¤
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.3 8:6 PM 페이지17 SinsagoHitec
11
4x-4y=12(cid:100)(cid:100)∴ x-y=3
x¤ -y¤ =45, (x+y)(x-y)=45
∴ x+y=15
(cid:9120) 15
11-1 p_21.9¤ _;3!6@0);-p_8.1¤ _;3!6@0);
=;3!;p(21.9¤ -8.1¤ )
=;3!;p(21.9+8.1)(21.9-8.1)
=;3!;p_30_13.8
=138p(cm¤ )
(cid:9120) 138p cm¤
Q BOX
반지름의 길이가 r, 중심
각의 크기가 x°인 부채꼴
의 넓이
(cid:8857) pr¤ _
x
360
03
x에 대하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=x¤ +5x-(y¤ -y-6)
=x¤ +5x-(y+2)(y-3)
={x+(y+2)}{x-(y-3)}
=(x+y+2)(x-y+3)
(cid:9120) ②
03-1 x에 대하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=x¤ +(y+3)x-(2y¤ -3y-2)
=x¤ +(y+3)x-(2y+1)(y-2)
={x+(2y+1)}{x-(y-2)}
=(x+2y+1)(x-y+2)
(cid:9120) (x+2y+1)(x-y+2)
=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)
+(5-6)(5+6)+(7-8)(7+8)
+(9-10)(9+10)
=-(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)
=-55
(cid:9120) ①
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
제곱의 합·차의 꼴이 여
러 개 있을 때는 두 항씩
묶어 인수분해한다.
04
(주어진 식)
발전유형 익히기
▶ 55~57쪽
01
x¤ +7x+A=(x+a)(x+b)
=x¤ +(a+b)x+ab
에서 a+b=7, ab=A
즉 A는 합이7인 두 자연수의 곱이다.
합이 7인 두 자연수는 1, 6 또는 2, 5 또는 3, 4
따라서 A의 최댓값은 12이다.
(cid:9120) ③
01-1 3x¤ +14x+k=(x+a)(3x+b)
=3x¤ +(3a+b)x+ab
에서 3a+b=14, ab=k
3a+b=14를 만족시키는 자연수 a, b의 순서쌍
(a, b)는 (1, 11), (2, 8), (3, 5), (4, 2)
따라서 k의 최댓값은 16, 최솟값은 8이므로 그
차는 16-8=8
(cid:9120) 8
02
(x+4)(x-7)=x¤ -3x-28에서
(x+2)(x-9)=x¤ -7x-18에서
x의 계수는 -3
상수항은 -18
∴ x¤ -3x-18=(x+3)(x-6)
(cid:9120) ④
02-1 (x-2)(x+16)=x¤ +14x-32에서
상수항은 -32
x의 계수는 -4
(x-6)(x+2)=x¤ -4x-12에서
∴ x¤ -4x-32=(x+4)(x-8)
x¤ +mx+n
=(x+a)(x+b)
(cid:8857) m=a+b, n=ab
04-1 (주어진 식)
={1-;2!;}{1+;2!;}_{1-;3!;}{1+;3!;}
_y_{1-;7!;}{1+;7!;}
a+b=7
=;2!;_;2#;_;3@;_;3$;_y_;7^;_;7*;
=;2!;_;7*;=;7$;
(cid:9120) ;7$;
05
a(a+1)-b(b-1)=a¤ +a-b¤ +b
=a¤ -b¤ +a+b
=(a+b)(a-b)+(a+b)
=(a+b)(a-b+1)
따라서 (a+b)(-5+1)=-8이므로
a+b=2
(cid:9120) ④
상미는 x의 계수를 바르
게 보았고, 승주는 상수
항을 바르게 보았다.
05-1 x¤ y+xy¤ -2(x+y)=xy(x+y)-2(x+y)
=(x+y)(xy-2)
따라서 (x+y)(4-2)=16이므로 x+y=8
∴ x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy
=8¤ -2_4=56
(cid:9120) 56
은영이는 상수항을 바르
게 보았고, 진우는 x의
계수를 바르게 보았다.
06 <2x, y>-<-x, y>+
=(2x+y)(2x-y)-(-x+y)(-x-y)
+(x+3y)(x-3y)
=4x¤ -y¤ -(x¤ -y¤ )+x¤ -9y¤
=4x¤ -9y¤
=(2x+3y)(2x-3y)
(cid:9120) (x+4)(x-8)
(cid:9120) (2x+3y)(2x-3y)
Ⅱ. 이차방정식 | 17
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.3 8:6 PM 페이지18 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
06-1
2x
y-3x
|
-5y
2x-3y
|
=2x(2x-3y)-(y-3x)_(-5y)
=4x¤ -6xy+5y¤ -15xy
=4x¤ -21xy+5y¤
=(4x-y)(x-5y)
(cid:9120) (4x-y)(x-5y)
07
(주어진 식)
={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}-3
=(x¤ +3x)(x¤ +3x+2)-3
=A(A+2)-3
=A¤ +2A-3=(A-1)(A+3)
x¤ +3x=A
=(x¤ +3x-1)(x¤ +3x+3)
(cid:9120) ①
07-1 (주어진 식)
={(x+1)(x-4)}{(x+2)(x-5)}+9
=(x¤ -3x-4)(x¤ -3x-10)+9
x¤ -3x=A
=(A-4)(A-10)+9
=A¤ -14A+49=(A-7)¤
=(x¤ -3x-7)¤
따라서 a=-3, b=-7이므로
a+b=-10
(cid:9120) ①
07-2 (주어진 식)
={x(x+1)}{(x-1)(x+2)}+k
=(x¤ +x)(x¤ +x-2)+k
x¤ +x=A
=A(A-2)+k
=A¤ -2A+k
∴ k=1
08
2›
‚ -1=(2¤
‚ +1)(2¤
‚ -1)
=(2¤
‚ +1)(2⁄
‚ +1)(2⁄
‚ -1)
=(2¤
‚ +1)(2⁄
‚ +1)(2fi +1)(2fi -1)
따라서 두 자연수는 2fi +1=33, 2fi -1=31이므
로 33+31=64
(cid:9120) ①
08-1 3⁄
¤ -1=(3fl +1)(3fl -1)
=(3fl +1)(3‹ +1)(3‹ -1)
따라서 두 자연수는 3‹ +1=28, 3‹ -1=26
08-2 2⁄
fl -1=(2° +1)(2° -1)
=(2° +1)(2› +1)(2› -1)
=(2° +1)(2› +1)(2¤ +1)(2¤ -1)
=(2° +1)(2› +1)(2¤ +1)(2+1)(2-1)
=3_5_17_257
따라서 구하는 약수의 개수는
18 | SOLUTION
전개했을 때, 일차항의
계수가 같아지도록 둘씩
짝을 짓는다.
(cid:9120) 1
A¤ -2A+k가 완전제곱
식이면
k={
-2
2
}2 =1
x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)
임을 이용하여 a« -1을
인수분해한다.
우변의 식을 전개하여 정
리한 다음 좌변의 식과
비교한다.
am_bn(a, b는 서로 다
른 소수, m, n은 자연수)
의 약수의 개수
(cid:8857) (m+1)(n+1)개
중단원 마무리
▶ 58~61쪽
01 ①, ④` 02 ③
06 ④
05 ⑤
10 (a+1)cm
09 ②
13 ②
12 ①
16 36p cm¤
18 (x-3)(x+8)
22 ③
21 ;1!5#;
24 2x¤ +6x-14
03 14
07 2
14 ②
17 2a
19 2x+3
23 -12
25 8
04 ③
08 ⑤
11 ⑤
15 ②
20 ③
01
02
03
(x+3)y-5(x+3)=(x+3)(y-5)
(cid:9120) ①, ④
x¤ -16xy+64y¤ =(x-8y)¤ (cid:100)(cid:100)
∴ A=-8y
(cid:9120) ③
25x¤ +(m-7)x+81=(5x)¤ +(m-7)x+9¤`
이므로 완전제곱식이 되려면
m-7=2_5_9 또는 m-7=-2_5_9
∴ m=97 또는 m=-83
따라서 모든 상수 m의 값의 합은
97-83=14
(cid:9120) 14
04
54x¤ -24y¤ =6(9x¤ -4y¤ )
=6(3x+2y)(3x-2y)
(cid:9120) ③
05 ① (x-1)(x+3) ② (x+3)(x-6)
③ (2x+1)(x+3) ④ (3x-4)(x+3)
⑤ (5x+2)(x-3)
(cid:9120) ⑤
06 ① 4x¤ -28x+49=(2x)¤ -2_2x_7+7¤
=(2x-7)¤
② 9a¤ -25b¤ =(3a)¤ -(5b)¤
=(3a+5b)(3a-5b)
③ x¤ +4x-21=(x-3)(x+7)
⑤ xy¤ +6xy+9x=x(y¤ +6y+9)
=x(y+3)¤
(cid:9120) ④
=2x¤ +(b+10)x+5b
이므로 b+10=2a-3, 5b=-15
∴ b=-3, a=5
∴ a+b=2
(cid:9120) 2
08
x¤ -5x-14=(x+2)(x-7)
3x¤ +4x-4=(x+2)(3x-2)
2_2_2_2=16(개)
(cid:9120) 16개
따라서 공통인 인수는 x+2이다.
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) 26, 28
07
2x¤ +(2a-3)x-15=(x+5)(2x+b)
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.3 8:6 PM 페이지19 SinsagoHitec
적당한 항끼리 짝지어 공
통인수로 묶어 낸다.
(x+4)(x-6)=x¤ -2x-24에서
a=5
b=-24
Q BOX
'ßA¤ =|A|
'ßA¤ =[
A (Aæ0)
-A (A<0)
다항식이 x-3으로 나누
어떨어지면 x-3을 인수
로 가진다.
공통 부분이 2개이면 서
로 다른 문자로 치환한다.
(큰 피자 한 조각의 넓이)
-(작은 피자 한 조각의
넓이)
09
3x¤ -8x+a=(x-3)(3x+b)로 놓으면
(x-3)(3x+b)=3x¤ +(b-9)x-3b
이므로 b-9=-8, -3b=a
∴ b=1, a=-3
(cid:9120) ②
10
a› -1=(a¤ +1)(a¤ -1)
=(a¤ +1)(a+1)(a-1)
따라서 높이는 (a+1)cm이다. (cid:9120) (a+1)cm
11
x+y=A, x-2y=B로 놓으면
(주어진 식)
=2A¤ -5AB-3B¤
=(2A+B)(A-3B)
={2(x+y)+x-2y}{x+y-3(x-2y)}
=3x(-2x+7y)
(cid:9120) ⑤
12
x¤ y+x¤ -y-1=x¤ (y+1)-(y+1)
=(y+1)(x¤ -1)
=(y+1)(x+1)(x-1)
따라서 보기에서 인수는 ㈀, ㈁, ㈅이다. (cid:9120) ①
13
(주어진 식)
=(x-2y)¤ -2(x-2y)-8
x-2y=A
=A¤ -2A-8
=(A-4)(A+2)
=(x-2y-4)(x-2y+2)
이므로 a=-2, b=-4, c=-2
∴ a+b+c=-8
(cid:9120) ②
14
2_31¤ -2_62+2
=2(31¤ -62+1) (cid:8856) ma+mb=m(a+b)
=2(31¤ -2_31_1+1¤ )
=2(31-1)¤ (cid:8856) a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤
=2_30¤
(cid:9120) ②
15
x=2-'3, y=2+'3이므로
x+y=4, x-y=-2'3, xy=1
∴ x‹ y-xy‹ =xy(x¤ -y¤ )=xy(x+y)(x-y)
=1_4_(-2'3)
=-8'3
(cid:9120) ②
16
;8!;_p_23.6¤ -;8!;_p_16.4¤
= (23.6¤ -16.4¤ )
= (23.6+16.4)(23.6-16.4)
p
8
p
8
p
8
= _40_7.2=36p(cm¤ )
(cid:9120) 36p cm¤
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
2
2
2
2
2
2
•2점
•2점
•2점
(cid:9120) 2a
점수
•2점
•2점
•2점
점수
1
3
2
17
채점 기준
점수
a+5, a-5의 부호 판별하기
근호 안의 식 인수분해하기
식 간단히 하기
a+5>0, a-5<0이므로
"√a¤ +10a+25-"√a¤ -10a+25
="√(a+5)¤ -"√(a-5)¤
=a+5-{-(a-5)}=2a
18
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
처음 이차식 인수분해하기
(x+6)(x-1)=x¤ +5x-6에서
∴ x¤ +5x-24=(x-3)(x+8)
(cid:9120) (x-3)(x+8)
19
채점 기준
㈎의 넓이를 x에 대한 식으로 나타내기
인수분해하기
㈏의 세로의 길이 구하기
㈎의 넓이는 (2x+5)¤ -2¤ 이므로
•1점
(2x+5)¤ -2¤ =(2x+5+2)(2x+5-2)
=(2x+7)(2x+3)
•3점
㈏의 가로의 길이가 2x+7이므로 세로의 길이는
2x+3이다.
•2점
(cid:9120) 2x+3
=x¤ -2x-(y-4)(y-2)
={x+(y-4)}{x-(y-2)}
=(x+y-4)(x-y+2)
(cid:9120) ③
21
(주어진 식)={1-;6!;}{1+;6!;}{1-;7!;}{1+;7!;}
(주어진 식)=_y_{1-;2¡5;}{1+;2¡5;}
(주어진 식)=;6%;_;6&;_;7^;_;7*;_y_;2@5$;_;2@5^;
(주어진 식)=;6%;_;2@5^;=;1!5#;
(cid:9120) ;1!5#;
22
212-1=(26+1)(26-1)
=(26+1)(23+1)(23-1)
=65_9_7=3¤ _5_7_13
따라서 약수가 아닌 것은 ③ 27이다.
(cid:9120) ③
Ⅱ. 이차방정식 | 19
x 또는 y에 대하여 내림
차순으로 정리한 다음 인
수분해한다.
20
x에 대하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=x¤ -2x-(y¤ -6y+8)
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.3 8:6 PM 페이지20 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
23
채점 기준
3(x+1)¤ -10(x+1)-8을 인수분해하기
각 경우의 a의 값 구하기
a의 모든 값의 합 구하기
점수
2
2
2
3(x+1)¤ -10(x+1)-8에서 x+1=A로 놓
으면
3A¤ -10A-8=(A-4)(3A+2)
=(x-3)(3x+5)
•2점
⁄ 공통인 인수가 x-3일 때
3x¤ +ax-30=(x-3)(3x+10)
=3x¤ +x-30
∴ a=1
•1점
¤ 공통인 인수가 3x+5일 때
3x¤ +ax-30=(3x+5)(x-6)
=3x¤ -13x-30
∴ a=-13
⁄, ¤에서 a의 모든 값의 합은
1-13=-12
24
채점 기준
주어진 식 인수분해하기
두 이차식의 합 구하기
(주어진 식)
={(x-2)(x+5)}{(x-1)(x+4)}+8
=(x¤ +3x-10)(x¤ +3x-4)+8
x¤ +3x=A
=(A-10)(A-4)+8
=A¤ -14A+48=(A-6)(A-8)
=(x¤ +3x-6)(x¤ +3x-8)
∴ (x¤ +3x-6)+(x¤ +3x-8)
=2x¤ +6x-14
(cid:9120) 2x¤ +6x-14
25
채점 기준
주어진 식 인수분해하기
x+y의 값 구하기
xy의 값 구하기
x(x+1)-y(y+1)
=x¤ +x-y¤ -y=x¤ -y¤ +x-y
=(x+y)(x-y)+(x-y)
=(x-y)(x+y+1)
따라서 -2(x+y+1)=10이므로
x+y=-6
∴ xy=
(x+y)¤ -(x-y)¤
4
∴ xy=
(-6)¤ -(-2)¤
4
=8
20 | SOLUTION
•1점
•2점
(cid:9120) -12
점수
4
2
•4점
•2점
점수
2
2
2
•2점
•2점
•2점
(cid:9120) 8
이차방정식을 찾는 방법
① 괄호를 푼다.
② 우변의 모든 항을 좌변
으로 이항하여 정리한다.
③ 좌변이 이차식인지 확
인한다.
01 ③ x¤ -2x-2=0
④ -x¤ -5x-4=0
⑤ -5x-2=0
x=1이 주어진 등식을
만족시키지 않으므로 해
가 아니다.
x=p가 이차방정식
ax¤ +bx+c=0의 근이다.
(cid:8857) ap¤ +bp+c=0
전개했을 때, 일차항의
계수가 같도록 둘씩 짝을
짓는다.
2
이차방정식과 그 풀이
필수유형 다지기
▶ 63쪽
01-1 ① 이차식
② -3x+4=0
③ 2x-3=0
④ 2x¤ =0
⑤ -1=0
02 ① 0¤ -3_0=0
② (-1)¤ -1=0
③ 1¤ +2_1-3=0
④ (-1+1)(-1-2)=0
⑤ 1¤ -4_1-5=-8+0
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ④
(cid:9120) ⑤
02-1 ① (-4)¤ -2_(-4)-8=16+0
② (-2)¤ -2_(-2)-8=0
③ (-1)¤ -2_(-1)-8=-5+0
④ 2¤ -2_2-8=-8+0
⑤ 4¤ -2_4-8=0
(cid:9120) ②, ⑤
03
a_(-5)¤ -(a-9)_(-5)+a-17=0이므로
31a=62(cid:100)(cid:100)∴ a=2
(cid:9120) ③
03-1 2¤ +a_2-18=0이므로 a=7
2_{;2#;}2 -5_;2#;+b=0이므로 b=3
∴ ab=21
(cid:9120) 21
04
p¤ +5p-2=0이므로 p¤ +5p=2
q¤ +5q-2=0이므로 q¤ +5q=2
∴ (p¤ +5p)(q¤ +5q+1)=2_(2+1)=6
(cid:9120) 6
04-1 2k¤ -8k+1=0의 양변을 2로 나누면
k¤ -4k+;2!;=0(cid:100)(cid:100)∴ 4k-k¤ =;2!;
(cid:9120) ;2!;
필수유형 다지기
▶ 65~67쪽
AB=0
(cid:8857) A=0 또는 B=0
01
x+3=0 또는 4x-3=0
∴ x=-3 또는 x=;4#;
(cid:9120) ②
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.3 8:6 PM 페이지21 SinsagoHitec
Q BOX
중근을 갖는 이차방정식
은 (완전제곱식)=0의 꼴
로 변형된다.
주어진 식을 정리하여
ax¤ +bx+c=0의 꼴로
나타낸 후 인수분해한다.
이차방정식이 중근 x=m
을 갖는다.
(cid:8857) k(x-m)¤ =0
(단, k+0)
(cid:9120) ;2#;
a=-1이면 주어진 방정
식은 0¥x¤ +2x+2=0이
되어 이차방정식이 아니다.
01-1 ① x=;2!; 또는 x=2 ② x=-;2!; 또는 x=2
③ x=;2!; 또는 x=-2 ④ x=1 또는 x=-2
⑤ x=-;2!; 또는 x=-2
(cid:9120) ③
02
6x¤ -7x-3=2x¤ -6이므로
4x¤ -7x+3=0, (4x-3)(x-1)=0
∴ x=;4#; 또는 x=1
(cid:9120) ④
02-1 x¤ +4x-12=33이므로 x¤ +4x-45=0
(x+9)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-9 또는 x=5
따라서 a=5, b=-9 (∵ a>b)이므로
2a-b=19
(cid:9120) ⑤
03
k¤ -2k+k=6이므로 k¤ -k-6=0
(k+2)(k-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-2 또는 k=3
k>0이므로 k=3
(cid:9120) 3
03-1 (a+1)_(-1)¤ +2a¤ _(-1)+2=0이므로
2a¤ -a-3=0, (a+1)(2a-3)=0
∴ a=-1 또는 a=;2#;
그런데 a=-1이면 x에 대한 이차방정식이 아니
므로 a=;2#;
04
x=1을 x¤ +ax+4=0에 대입하면
1+a+4=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-5
즉 x¤ -5x+4=0이므로 (x-1)(x-4)=0
∴ x=1 또는 x=4(cid:100)(cid:100)∴ b=4
∴ a+b=-1
(cid:9120) ③
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
05-1 2x¤ +3x-2=0에서 (x+2)(2x-1)=0
∴ x=-2 또는 x=;2!;
x¤ -4x-12=0에서 (x+2)(x-6)=0
∴ x=-2 또는 x=6
따라서 공통인 근은 x=-2이므로
x¤ +ax+4=0에 x=-2를 대입하면
4-2a+4=0, 2a=8 ∴ a=4
(cid:9120) ⑤
06 ① (x+6)(x-6)=0 ② (x-2)(x-4)=0
③ (3x-2)¤ =0
⑤ x¤ -12x+31=0
(cid:9120) ③
06-1 ㈀ 4(x+1)(x-1)=0
㈁ (x-1)¤ =0
㈂ (x-2)(x-6)=0
㈃ (x+3)¤ =0
㈄ (x+2)¤ =0
㈅ x¤ =0
따라서 중근을 갖는 것은 ㈁, ㈃, ㈄, ㈅의 4개이다.
(cid:9120) ④
07
x¤ +8x+16=0에서 (x+4)¤ =0
∴ x=-4 (중근)
4x¤ -24x+36=0에서 x¤ -6x+9=0
(x-3)¤ =0 ∴ x=3 (중근)
따라서 a=-4, b=3이므로
a+b=-1
(cid:9120) ②
07-1 x¤ +2x+1=5x-;4%;에서
x¤ -3x+;4(;=0, {x-;2#;}
¤ =0
∴ x=;2#; (중근)
(cid:9120) x=;2#; (중근)
04-1 x=4가 x¤ -2x+a=0의 해이므로
16-8+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-8
즉 x¤ -2x-8=0이므로
(x+2)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ b=2
∴ a-b=-10
(cid:9120) -10
이차방정식
x¤ +ax+b=0이 중근을
가질 조건
(cid:8857) b={;2A;}2
08
k-3={
-10
2
}2 =25
∴ k=28
즉 x¤ -10x+25=0에서 (x-5)¤ =0이므로
x=5 (중근) ∴ a=5
∴ k-a=23
(cid:9120) 23
05
x¤ -x-12=0에서 (x+3)(x-4)=0
∴ x=-3 또는 x=4
3x¤ -10x-8=0에서 (3x+2)(x-4)=0
∴ x=-;3@; 또는 x=4
따라서 공통인 근은 x=4이다.
(cid:9120) x=4
∴ mn=(-5)_(-4)=20
(cid:9120) ⑤
08-1 x¤ +8x-m+11=0에서
-m+11={;2*;}2 =16(cid:100)(cid:100)∴ m=-5
즉 x¤ +8x+16=0에서 (x+4)¤ =0이므로
x=-4 (중근)(cid:100)(cid:100)∴ n=-4
Ⅱ. 이차방정식 | 21
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.5 4:36 PM 페이지22 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
09
9={
-6a
2
¤ =9a¤ 이므로 a¤ =1
}
∴ a=—1
(cid:9120) ②, ③
09-1 2k+3={
}2 =k¤ 이므로
2k
2
k¤ -2k-3=0, (k+1)(k-3)=0
∴ k=-1 또는 k=3
(cid:9120) -1, 3
10
x¤ -3x-28=0에서 (x+4)(x-7)=0
∴ x=-4 또는 x=7
따라서 x=-4가 x¤ +ax-4=0의 근이므로
16-4a-4=0(cid:100)(cid:100)∴ a=3
(cid:9120) ④
음수인 근
10-1 x¤ -4x+4=0에서 (x-2)¤ =0(cid:100)(cid:100)
∴ x=2(중근)
따라서 x=1이 3x¤ -kx-5=0의 근이므로
3-k-5=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-2
즉 3x¤ +2x-5=0이므로 (3x+5)(x-1)=0
;2!;배인 근
∴ x=-;3%; 또는 x=1
(cid:9120) ①
필수유형 다지기
▶ 69~70쪽
04-1 (x-2)(2x+1)=4-x에서
2x¤ -3x-2=4-x
2x¤ -2x-6=0, x¤ -x-3=0
x¤ -x+;4!;=3+;4!;, {x-;2!;}2 =;;¡4£;;
따라서 A=-;2!;, B=;;¡4£;;이므로
A+2B=6
(cid:9120) 6
05
2x¤ +8x-6=0의 양변을 2로 나누면
x¤ +4x-3=0, x¤ +4x=
3
4
4
x¤ +4x+ =3+
(x+ )¤ = , x+2=—'7(cid:100)(cid:100)
∴ x=
7
-2—'7
2
(cid:9120) ⑤
05-1 x¤ +3x=-1에서 x¤ +3x+;4(;=-1+;4(;
{x+
;2#;}2 =
, x+
=—
;2#;
'5
2
;4%;
-3—'5
2
∴ x=
따라서 a=-3, b=5이므로
a-b=-8
(cid:9120) ①
01
2x¤ =16이므로 x¤ =8
∴ x=—2'2 (cid:9120) ③
발전유형 익히기
▶ 71~73쪽
01-1 -4x¤ +8x=8x-3이므로 -4x¤ =-3
x¤ =;4#; ∴ x=—
'3
2
따라서 두 근의 곱은 - _ =-
'3
2
'3
2
3
4
이차항의 계수가 0이 아
니다.
(cid:9120) ④
(cid:9120) ③
(cid:9120) ①
AB+0
(cid:8857) A+0이고 B+0
x=a가 이차방정식
ax¤ +bx+c=0의 근이다.
(cid:8857) aa¤ +ba+c=0
(x+p)¤ =q에서
① qæ0이면 해를 갖는다.
② q<0이면 해를 갖지
않는다.
02
(x-a)¤ =7이므로 x-a=—'7
∴ x=a—'7
따라서 a=4, b=7이므로 b-a=3
02-1 (x+4)¤ =k이므로 x+4=—'k
∴ x=-4—'k
따라서 두 근의 합은
(-4+'k)+(-4-'k)=-8
03 (cid:9120) ⑤
03-1
a+1
4
æ0에서 a+1æ0
∴ aæ-1 (cid:9120) ①
04
x¤ -6x+9=-7+9에서 (x-3)¤ =2
따라서 p=-3, q=2이므로
01
ax¤ -4x=2x¤ +7x-4
즉 (a-2)x¤ -11x+4=0이 이차방정식이 되
려면 a+2
(cid:9120) ④
01-1 (a¤ +2a-3)x¤ +(a+1)x+3=0이 이차방정식
이 되려면 a¤ +2a-3+0, (a+3)(a-1)+0
∴ a+-3이고 a+1
(cid:9120) ④
02
x¤ -2x-1=0에 x=a를 대입하면
a¤ -2a-1=0
a+0이므로 양변을 a로 나누면
a-2-
=0, a-
=2
;å!;
;å!;
1
∴ a¤ + ={a-
a¤
;å!;}
¤ +2
02-1 x¤ -3x+2=0에 x=a를 대입하면
a¤ -3a+2=0
a+0이므로 양변을 a로 나누면
a-3+
=0, a+
=3
;å@;
;å@;
4
∴ a¤ + ={a+
a¤
;å@;}
¤ -4
=2¤ +2=6
(cid:9120) ⑤
p+q=-1
(cid:9120) ②
=3¤ -4=5
(cid:9120) 5
22 | SOLUTION
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.5 4:36 PM 페이지23 SinsagoHitec
03
a¤ -6ab+9b¤ =0에서
(a-3b)¤ =0 ∴ a=3b
2a¤ -3b¤
ab
∴
∴
=
=
18b¤ -3b¤
3b¤
15b¤
3b¤
=5
03-1 2x¤ +3xy-2y¤ =0에서
(x+2y)(2x-y)=0
∴ x=-2y 또는 x=;2!;y
그런데 xy<0이므로 x=-2y
∴ ;[};+;]{;=
y
-2y
+
-2y
y
∴ ;[};+;]{;=-;2!;-2=-;2%;
(cid:9120) -;2%;
04
x=5가 x¤ -2ax+a+2=0의 근이므로
25-10a+a+2=0
-9a=-27 ∴ a=3
따라서 처음 이차방정식은 x¤ +5x-6=0이므로
(x+6)(x-1)=0
∴ x=-6 또는 x=1
(cid:9120) ①
04-1 x=12가 x¤ +(k-7)x-2k=0의 근이므로
따라서 처음 이차방정식은 x¤ +12x-13=0이
144+12k-84-2k=0
10k=-60 ∴ k=-6
므로
(x+13)(x-1)=0
∴ x=-13 또는 x=1
따라서 두 근의 합은 -13+1=-12
(cid:9120) ②
04-2 공통인 근을 x=a라 하면
a¤ +aa+b=0 y㉠
a¤ +ba+a=0 y㉡
㉠-㉡을 하면 (a-b)a-(a-b)=0
(a-b)(a-1)=0
그런데 a+b이므로 a=1
따라서 공통인 근은 x=1
(cid:9120) x=1
05
(2x-5)¤ -x¤ =4(x-5)이므로
4x¤ -20x+25-x¤ =4x-20
3x¤ -24x+45=0, x¤ -8x+15=0
(x-3)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 또는 x=5
따라서 모든 실수 x의 값의 곱은3_5=15
(cid:9120) ⑤
Q BOX
a-3b=0에서 a=3b
(cid:9120) ②
05-1 (5x-1)(2x-1)-(3x+1)¤ =0이므로
10x¤ -7x+1-(9x¤ +6x+1)=0
x¤ -13x=0, x(x-13)=0
∴ x=0 또는 x=13
(cid:9120) ③, ④
05-2 (x-2)(2x-3)-(x-2)+(2x-3)¤
=4x+5이므로
2x¤ -7x+6-x+2+4x¤ -12x+9=4x+5
6x¤ -24x+12=0, x¤ -4x+2=0
x¤ -4x+4=-2+4, (x-2)¤ =2
∴ x=2—'2
(cid:9120) 2—'2
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
3A=2B
06
x¤ -3x-10+0에서 (x+2)(x-5)+0(cid:100)(cid:100)
∴ x+-2이고 x+5
3(x¤ -3x-10)=2(x¤ -2x-8)에서
x¤ -5x-14=0, (x+2)(x-7)=0
∴ x=-2 또는 x=7
그런데 x+-2이므로 x=7
(cid:9120) ⑤
06-1 2(x+1)¤ -5+3에서 x¤ +2x-3+0
(x+3)(x-1)+0(cid:100)(cid:100)∴ x+-3이고 x+1
2x¤ -7x+5=0에서 (x-1)(2x-5)=0
∴ x=1 또는 x=;2%;
그런데 x+1이므로 x=;2%;
(cid:9120) ;2%;
x¤ +ax+b
=(x+m)(x+n)
(cid:8857) a=m+n, b=mn
07
a는 곱이 -18인 두 정수의 합이다. 곱이 -18인
두 정수를 순서쌍으로 나타내면
(1, -18), (2, -9), (3, -6), (6, -3),
(9, -2), (18, -1)
따라서 a의 값은 -17, -7, -3, 3, 7, 17의
6개이다.
(cid:9120) ⑤
일차항의 계수와 상수항
을 바꾸어 놓은 식
x¤ +bx+a=0에 x=a
를 대입한다.
주어진 이차방정식을 완
전제곱식의 꼴로 변형하
여 해를 구한다.
07-1 x¤ -6x+9=9-k에서 (x-3)¤ =9-k
∴ x=3—'ƒ9-k
해가 정수이려면 9-k가 0 또는 제곱수이어야
하므로
9-k=0, 1, 4, 9, y
∴ k=9, 8, 5, 0, y
그런데 k는 자연수이므로 k=5, 8, 9
(cid:9120) 5, 8, 9
Ⅱ. 이차방정식 | 23
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.3 8:6 PM 페이지24 SinsagoHitec
Q BOX
|A|=[
-A (Aæ0)
-A (A<0)
04
4p¤ +2p-1=0이므로 2p¤ +p=;2!;
q¤ -3q-4=0이므로 q¤ -3q=4
∴ (2p¤ +p+1)(q¤ -3q-2)
={;2!;+1}(4-2)=;2#;_2=3
(cid:9120) ④
AB=0
(cid:8857) A=0 또는 B=0
05 ①, ②, ④, ⑤ x=-;3!; 또는 x=;2!;
③ x=-;2!; 또는 x=;3!;
(cid:9120) ③
(cid:9120) x=5 또는 x=1-'6
절댓값 기호 안이 0이 되
는 수를 기준으로 나누어
방정식의 해를 구한다.
06
2(x+1)¤ =7-5x에서 2x¤ +4x+2=7-5x
2x¤ +9x-5=0, (2x-1)(x+5)=0
∴ x=;2!; 또는 x=-5
(cid:9120) ①
07
x¤ -7x+10=0에서 (x-2)(x-5)=0
∴ x=2 또는 x=5
x¤ +6x-16=0에서 (x+8)(x-2)=0
∴ x=-8 또는 x=2
따라서 공통인 근은 x=2이다.
(cid:9120) x=2
08
x¤ -2x-8=3x-2에서 x¤ -5x-6=0
(x+1)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=6
ab)이므로 •2점
a-b=;2!;
•2점
(cid:9120) ;2!;
제곱근을 이용하면
x+;4!;=—æ≠k+;1¡6;
=— 'ƒ16k+1
4
20
a¤ x¤ -5x+a=4(a+3)x¤ +x-9에서
(a¤ -4a-12)x¤ -6x+a+9=0
x에 대한 이차방정식이 되려면
a¤ -4a-12+0, (a+2)(a-6)+0
∴ a+-2이고 a+6
(cid:9120) ⑤
a=0이면
0¤ -5_0+1+0이므로
방정식을 만족시키지 않
는다.
21
x=a를 x¤ -5x+1=0에 대입하면
a¤ -5a+1=0
a+0이므로 양변을 a로 나누면
a-5+ =0 ∴ a+ =5
1
a
1
a
1
a¤
1
a
∴ a¤ + ={a+ }
1
a
1
a¤
∴ a¤ +a+ + ={a+ }+{a¤ + }
1
a
1
a¤
¤ -2=5¤ -2=23
=5+23=28
(cid:9120) 28
Ⅱ. 이차방정식 | 25
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.3 8:6 PM 페이지26 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
점수
2
2
2
•2점
•2점
•2점
(cid:9120) x=3
점수
3
2
1
•3점
•2점
•1점
(cid:9120) -10
점수
3
3
22
(세로의 합)=4x+1+5+1=4x+7
(대각선의 합)=x¤ +3x+5
4x+7=x¤ +3x+5이므로 x¤ -x-2=0
(x+1)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=2
이때 x는 자연수이므로 x=2
(cid:9120) 2
23
채점 기준
a에 대한 이차방정식 풀기
a의 값 구하기
다른 한 근 구하기
x=2를 대입하면
4(a-1)-2(a¤ +1)+2(a+1)=0
a¤ -3a+2=0, (a-1)(a-2)=0
∴ a=1 또는 a=2
이때 a=1이면 이차방정식이 아니므로 a=2이
다.
즉 x¤ -5x+6=0이므로 (x-2)(x-3)=0
∴ x=2 또는 x=3
따라서 다른 한 근은 x=3이다.
24
채점 기준
k의 값 구하기
처음 이차방정식 풀기
두 근의 곱 구하기
x=9가 x¤ -(4k-2)x+3k=0의 근이므로
81-36k+18+3k=0, -33k=-99
∴ k=3
즉 x¤ +9x-10=0이므로 (x+10)(x-1)=0
∴ x=-10 또는 x=1
∴ (-10)_1=-10
25
채점 기준
이차방정식으로 나타내기
x의 값 구하기
3(x¤ +2x+4)
=(9+3x+x¤ )+(4x¤ +2x+1)
•3점
2x¤ -x-2=0, x¤ -;2!;x=1
x¤ -;2!;x+;1¡6;=1+;1¡6;, {x-;4!;}
¤ =;1!6&;
∴ x=
1—'∂17
4
•3점
(cid:9120)
1—'∂17
4
26 | SOLUTION
a=1이면 주어진 방정식
은 0¥x¤ -2x+4=0이
므로 이차방정식이 아니
다.
⑤ x=
-5—"√5¤ -4_3_1
2_3
=
-5—"ç13
6
(cid:9120) ②
3
이차방정식의 활용
필수유형 다지기
▶ 79~80쪽
01 ① x=
-1—"√1¤ -4_1_(-1)
2_1
=
-1—"5
2
② x=
-1—"√1¤ -1_(-2)
1
=-1—"3
③ x=
-(-3)—"√(-3)¤ -4_1_√(-5)
2_1
④ x=
3—"ç29
2
④ x=
2—"2
2
④ x=
-(-2)—"√(-2)¤ -2_1
2
01-1 x=
-2—"√
√2¤ -5_(-3)
5
=
-2—'∂19
5
이때 4<'∂19<5이므로
-2-'∂19
5
<-1, -1<
-2+'∂19
5
<1
∴ x=
-2+'∂19
5
(cid:9120) x=
-2+'∂19
5
02
x=
-3—"√3¤ -√4_A_(-1)
2_A
-3—"ç9+4A
2A
x=
이므로 2A=4, 9+4A=B
∴ A=2, B=17
∴ A+B=19
02-1 x=
-(-4)—"√(-4)¤ -3_m
3
x=
4—'ƒ16-3m
3
이므로 4=n, 16-3m=13(cid:100)(cid:100)∴ m=1, n=4
∴ 9m-n=9-4=5
(cid:9120) 5
03 양변에 15를 곱하면 3x¤ -9x+5=0
∴ x=
-(-9)—"√(-9√)¤ -√4_√3_5
2_3
∴ x=
9—'2å1
6
이므로 A=9, B=21
∴ B-A=12
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ③
a=3, b'=-4, c=m
으로 생각하고, 일차항의
계수가 짝수일 때의 근의
공식을 이용한다.
계수가 분수이면 양변에
분모의 최소공배수를 곱하
여 계수를 정수로 고친다.
인수분해가 되지 않으면
완전제곱식을 이용하여
해를 구한다.
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.3 8:7 PM 페이지27 SinsagoHitec
공통 부분이 있으면 한
문자로 치환한다.
04 근과 계수의 관계에 의하여 m=5, n=6이므로
(cid:9120) ②
m-n=-1
Q BOX
계수가 소수이면 양변에
10의 거듭제곱을 곱하여
계수를 정수로 고친다.
이차방정식
ax¤ +bx+c=0에서
b
a
(두 근의 합)=-
(두 근의 곱)=
c
a
x-3=-3에서 x=0
x-3=6에서 x=9
x=k가 이차방정식
ax¤ +bx+c=0의 근이면
(cid:8857) ak¤ +bk+c=0
이차방정식
ax¤ +bx+c=0에서
b¤ -4ac>0
(cid:8857) 서로 다른 두 근
b¤ -4ac=0 (cid:8857) 중근
b¤ -4ac<0
(cid:8857) 근이 없다.
03-1 양변에 10을 곱하면 2x(x+1)=7x+3
2x¤ -5x-3=0, (2x+1)(x-3)=0
∴ x=-;2!; 또는 x=3
(cid:9120) x=-;2!; 또는 x=3
04 양변에 6을 곱하면
6(x¤ +x-2)-x¤ -1=18x-18
5x¤ -12x+5=0
∴ x=
-(-6)—"√(-6√)¤ -√5_5
5
=
6—'∂11
5
a=
6-'∂11
5
이므로
6-5a=6-(6-'∂11 )='∂11
(cid:9120) ④
04-1 양변에 4를 곱하면
x¤ -2(x+1)¤ +4=0
x¤ -2x¤ -4x-2+4=0, x¤ +4x-2=0
∴ x=-2—"√2¤ -1_(-2)=-2—'6
따라서 A=-2, B=6이므로
A+B=4
(cid:9120) 4
05
x-3=A로 놓으면
A¤ -3A-18=0, (A+3)(A-6)=0
∴ A=-3 또는 A=6
∴ x=0 또는 x=9
(cid:9120) x=0 또는 x=9
05-1 2x+y=A로 놓으면
A(A-8)+16=0, A¤ -8A+16=0
(A-4)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ A=4 (중근)
∴ 2x+y=4
(cid:9120) ③
필수유형 다지기
▶ 82~84쪽
01 ① (-2)¤ -4_1_(-1)=8>0(cid:100)
② 6¤ -4_1_9=0
③ (-1)¤ -4_2_3=-23<0
④ 5¤ -4_2_1=17>0
⑤ 2¤ -4_3_(-4)=52>0
(cid:9120) ③
01-1 (-6)¤ -4_1_10=-4<0이므로 a=0
(-4)¤ -4_3_1=4>0이므로 b=2
∴ a-b=-2
(cid:9120) -2
02
(k+3)¤ -4_2_;2!;=0이므로
k¤ +6k+5=0, (k+5)(k+1)=0
∴ k=-1 (∵ k>-2)
(cid:9120) -1
02-1 (m-4)¤ -4_3_(-m+1)=0이므로
m¤ -8m+16+12m-12=0
m¤ +4m+4=0, (m+2)¤ =0
∴ m=-2 (중근)
이때 3x¤ -6x+3=0이므로
3(x¤ -2x+1)=0, 3(x-1)¤ =0
∴ x=1 (중근)
(cid:9120) m=-2, x=1 (중근)
03
(-3)¤ -4_1_
<0이므로
k-1
4
k>10
(cid:9120) ④
03-1 (-4)¤ -4_3_(k+2)>0이므로
-8-12k>0(cid:100)(cid:100)∴ k<-;3@;
(cid:9120) ⑤
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
04-1 근과 계수의 관계에 의하여 x¤ -2x-2=0의 두
근의 곱은 -2이다.
x=-2가 x¤ -4x+m=0의 근이므로
(-2)¤ -4_(-2)+m=0
∴ m=-12
(cid:9120) -12
05 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-4, ab=-2
1
a
b
a
1
b
a
b
② + =
a+b
ab
-4
= =2
-2
③ + =
a¤ +b¤
ab
=
(a+b)¤ -2ab
ab
③ + =
(-4)¤ -2_(-2)
-2
=-10
④ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab
=(-4)¤ -4_(-2)=24
⑤ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
=(-4)¤ -2_(-2)=20
(cid:9120) ③
05-1 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2, ab=-;3!;
∴ a¤ -ab+b¤ =(a+b)¤ -3ab
∴ a¤ -ab+b¤ =2¤ -3_{-;3!;}=5
(cid:9120) 5
Ⅱ. 이차방정식 | 27
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.3 8:7 PM 페이지28 SinsagoHitec
Q BOX
① 두 근의 차가 m이면
(cid:100) (cid:8857) 두 근은 a, a+m
② 두 근의 비가 m : n
이면
(cid:100) (cid:8857) 두 근은 ma, na
(a+0)
③ 한 근이 다른 근의 k
배이면
(cid:100) (cid:8857) 두 근은 a, ak
(a+0)
4-14
4
10
=- =-
4
5
2
n-3>0이므로 n>3
(cid:9120) ④
6B=48이므로 B=8
두 근의 합이 m, 두 근
의 곱이 n이고, x¤ 의 계
수가 a인 이차방정식
(cid:8857) a(x¤ -mx+n)=0
(cid:9120) ④
LECTURE BOOK
06 두 근을 a, a+1이라 하면 근과 계수의 관계에
의하여
a+(a+1)=5 ∴ a=2
따라서 두 근이2, 3 이므로 2m=2_3
∴ m=3
(cid:9120) 3
06-1 두 근을 3a, 4a(a+0)라 하면 근과 계수의 관
계에 의하여
3a+4a=14(cid:100)(cid:100)∴ a=2
따라서 두 근이 6, 8이므로
7a-1=6_8(cid:100)(cid:100)∴ a=7
(cid:9120) ④
07
2{x-;2!;}(x+2)=0, 2{x¤ +;2#;x-1}=0
∴ 2x¤ +3x-2=0
(cid:9120) 2x¤ +3x-2=0
다른 풀이
두 근의 합：;2 !;+(-2)=-;2#;
두 근의 곱：;2 !;_(-2)=-1
2[x¤ -{-;2#;}x-1]=0 ∴ 2x¤ +3x-2=0
07-1 x¤ 의 계수가 3이고 중근 x=-4를 갖는 이차방
정식은
3(x+4)¤ =0 ∴ 3x¤ +24x+48=0
따라서 A=24, B=8이므로 A-B=16
08
3{x¤ -4x+;3@;}=0 ∴ 3x¤ -12x+2=0
08-1 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=5, ab=3이므로
+
=
;b!;
;a!;
a+b
ab
=;3%;,
;a!;
_
;b!;
1
= =;3!;
ab
따라서 구하는 이차방정식은
k{x¤ -;3%;x+;3!;}=0,
즉 k(3x¤ -5x+1)=0 (k+0)의 꼴이다.
09-1 다른 한 근은
이므로 두 근의 곱은
2+'1å4
2
2+'1å4
2
k
2
={
∴ k=-5
2-'1å4
2
} {
}=-;2%;
(cid:9120) ①
필수유형 다지기
▶ 86~87쪽
01
n(n-3)
2
=27, n¤ -3n-54=0
(n+6)(n-9)=0(cid:100)(cid:100)∴ n=9 (∵ n>3)
(cid:9120) ②
(cid:9120) 19
01-1
n(n+1)
2
=190, n¤ +n-380=0
(n+20)(n-19)=0(cid:100)(cid:100)∴ n=19 (∵ n>0)
02 연속하는 두 홀수를 x, x-2라 하면
x(x-2)=255, x¤ -2x-255=0
(x+15)(x-17)=0
∴ x=17 (∵ x는 자연수)
(cid:9120) ③
02-1 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면
(x-1)¤ +x¤ +(x+1)¤ =245
3x¤ +2=245, x¤ =81(cid:100)(cid:100)∴ x=9 (∵ x>1)
따라서 세 자연수는 8, 9, 10이므로
8+9+10=27
(cid:9120) ④
물체가 지면에 떨어지면
물체의 높이가 0이다.
구하는 이차방정식의
03
60x-5x¤ =0, x¤ -12x=0
x(x-12)=0 ∴ x=12 (∵ x>0)
따라서 물체가 지면에 떨어지는 것은 12초 후이다.
(cid:9120) ②
(cid:9120) ④
(두 근의 합)=;3%;,
(두 근의 곱)=;3!;
09 다른 한 근은-1-'2이므로
근과 계수의 관계에 의하여
(-1+'2 )+(-1-'2 )=a
(-1+'2 )(-1-'2 )=b
∴ a=-2, b=-1
∴ a-b=-1
(cid:9120) -1
높이가 h m가 될 때는
두 번 존재한다.
(단, 가장 높이 올라간 경
우는 한 번 존재한다.)
03-1 10+30t-5t¤ =50, t¤ -6t+8=0
(t-2)(t-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=2 또는 t=4
따라서 공의 높이가 50 m가 되는 것은 2초 후 또
는 4초 후이다.
(cid:9120) 2초 또는4초
04 색칠한 원의 반지름의 길이를 xcm라 하면
p(x+3)¤ =4px¤ , x¤ +6x+9=4x¤
28 | SOLUTION
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.3 8:7 PM 페이지29 SinsagoHitec
Q BOX
직사각형 모양의 땅에 폭
이 일정한 길을 만들면
길을 제외한 부분은 직사
각형이 된다.
이차방정식
ax¤ +bx+c=0이 근을
갖지 않는다.
(cid:8857) b¤ -4ac<0
이차방정식
ax¤ +bx+c=0이 중근
을 갖는다.
(cid:8857) b¤ -4ac=0
x¤ -2x-3=0, (x+1)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=3 (∵ x>0)
따라서 색칠한 원의 반지름의 길이는 3 cm이다.
(cid:9120) 3 cm
04-1 늘인 길이를 `xcm라 하면
(x+3)(x+9)=27+13, x¤ +12x-13=0
(x+13)(x-1)=0 ∴ x=1 (∵ x>0)
따라서 늘인 길이는 1 cm이다.
(cid:9120) ①
05 길의 폭을 x m라 하면
(40-x)(30-x)=875
x¤ -70x+325=0
(x-5)(x-65)=0
∴ x=5 (∵ 04)
따라서 처음 종이의 한 변의 길이는 9 cm이다.
(cid:9120) 9 cm
06-1 물받이의 높이를 `xcm라 하면
x(30-2x)=100, x¤ -15x+50=0
(x-5)(x-10)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 또는 x=10
따라서 물받이의 높이는 5 cm 또는 10 cm이다.
(cid:9120) 5 cm 또는 10 cm
발전유형 익히기
▶ 88~89쪽
01
a-b=A로 놓으면 A¤ -6A-16=0
(A+2)(A-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ A=-2 또는 A=8
∴ a-b=-2 (∵ ay>0)
(cid:9120) 10
02
x¤ -3x+2-k=0에서
(-3)¤ -4_1_(2-k)>0, 1+4k>0
∴ k>-;4!;(cid:100)(cid:100)… ㉠
x¤ +(2k-1)x+k¤ -1=0에서
(2k-1)¤ -4_1_(k¤ -1)>0, -4k+5>0
∴ k<;4%;(cid:100)(cid:100)(cid:100)… ㉡
㉠, ㉡에서 -;4!;b)
∴ a-b='3å
∴ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
=(-5)_'3å
=-5'3å
å7
å7
(cid:9120) ②
03-1 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=6, ab=2이므로
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=6¤ -2_2=32
b
a+1
a
b+1
b(b+1)+a(a+1)
(a+1)(b+1)
∴
∴
∴
+
+
+
=
=
=
a¤ +b¤ +a+b
ab+a+b+1
32+6
2+6+1
=:£9•: (cid:9120) :£9•:
04
(x+7)(x-3)=0, x¤ +4x-21=0에서
상수항을 바르게 보았으므로 b=-21
(x+2)(x-6)=0, x¤ -4x-12=0에서
x의 계수를 바르게 보았으므로 a=-4
Ⅱ. 이차방정식 | 29
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.3 8:7 PM 페이지30 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
두 근이 무리수일 때는
두 근의 합과 곱을 이용
하여 이차방정식을 구한
다.
(거리)=(속력)_(시간)
따라서 처음 이차방정식은 x¤ -4x-21=0이므로
(x+3)(x-7)=0 ∴ x=-3 또는 x=7
(cid:9120) x=-3 또는 x=7
04-1 (x+3)(x-8)=0, x¤ -5x-24=0에서
상수항을 바르게 보았으므로 상수항은 -24이다.
x=-1—'2의 두 근의 합은 -2, 곱은 -1이
므로 x¤ +2x-1=0
이때 x의 계수를 바르게 보았으므로 x의 계수는
2이다.
따라서 처음 이차방정식은 x¤ +2x-24=0이므로
(x+6)(x-4)=0 ∴ x=-6 또는 x=4
(cid:9120) x=-6 또는 x=4
05
t초 후에 AP”=2t (02)
∴ AD”=1+'5
(cid:9120) 1+'5
닮은 도형에서 대응변의
길이의 비는 모두 같다.
a>b이므로 a-b>0
∠B는 공통,
∠C=∠PQB=90°
06-1 QC”=x cm라 하면BQ” =(12-x) cm
△ABCª△PBQ (AA 닮음)이므로
BQ”=PQ”=RC”=(12-x) cm
따라서 ;2!;(12-x)¤ =x(12-x)이므로
x¤ -16x+48=0, (x-4)(x-12)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=4 또는 x=12
이때 0b이므로 a-b=5
(cid:9120) 5
05
2x¤ -2x+k-1=0에서
(-2)¤ -4_2_(k-1)=0이므로
-8k+12=0(cid:100)(cid:100)∴ k=;2#;
(cid:9120) ③
06
(4k-3)¤ -4_2_(2k¤ +1)>0에서
-24k+1>0(cid:100)(cid:100)∴ k<;2¡4;
(cid:9120) k<;2¡4;
07 ① a=1이면 x¤ -x+2=0에서
(-1)¤ -4_1_2=-7<0
이므로 근이 없다.
계수가 분수 또는 소수인
이차방정식은 양변에 적
당한 수를 곱하여 계수를
정수로 고쳐서 푼다.
03 양변에 20을 곱하면
4x(x+8)=5(x+1)(x+3)
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.3 8:7 PM 페이지31 SinsagoHitec
Q BOX
(cid:9120) ①
x팀이 모두 한 번씩 경기
를 치를 때, 총 경기 수
(cid:8857)
x(x-1)
2
② a=-1이면 x¤ +x-2=0에서
1¤ -4_1_(-2)=9>0
이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.
③ a=-1이면 두 근의 합은 -1이다.
④ a=-2이면 x¤ +2x-4=0이므로 두 근의 곱
은 -4이다.
⑤ a=-2이면
x=-1—"√1¤ -1_(-4)=-1—'5이다.
08 근과 계수의 관계에 의하여 x¤ +2x-5=0의 두
근의 합은 -2
x=-2가 x¤ -4x+k=0의 한 근이므로
(-2)¤ -4_(-2)+k=0 ∴ k=-12
(cid:9120) ④
09 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=5, ab=-1
∴ + =
b
a
a
b
a¤ +b¤
ab
=
(a+b)¤ -2ab
ab
∴ + =
=-27
(cid:9120) ①
5¤ -2_(-1)
-1
10 두 근을 a, 4a(a+0)라 하면 3a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=2
따라서 두 근은 2, 8이므로 근과 계수의 관계에
두 근의 차가 6
(cid:8857) 4a-a=6
의하여
m=-(2+8)=-10, n=2_8=16
∴ m+n=6
(cid:9120) ④
12 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-;2%;, ab=;2#;이므로
a+b+ab=-;2%;+;2#;=-1,
(a+b)_ab=-;2%;_;2#;=-;;¡4∞;;
따라서 4{x¤ +x-;;¡4∞;;}=0이므로
4x¤ +4x-15=0
(cid:9120) 4x¤ +4x-15=0
13 다른 한 근은3-' 5이므로
3a
2
(3+'5 )+(3-'5 )= (cid:100)(cid:100)∴ a=4
(3+'5 )(3-'5 )=
(cid:100)(cid:100)∴ b=9
b-1
2
∴ a-b=-5
(cid:9120) ②
이차방정식
ax¤ +bx+c=0 (a, b,
c는 유리수)의 한 근이
p+q'∂m 이면 다른 한
근은 p-q'∂m이다.
(단, p, q는 유리수, '∂m
은 무리수이다.)
14 세 짝수를 x-2, x, x+2라 하면
(x-2)¤ +x¤ =(x+2)¤ `, x¤ -8x=0
x(x-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x는 자연수)
따라서 세 짝수는 6, 8, 10이다. (cid:9120) 6, 8, 10
15 경기에 참가한 팀이 x팀이라 하면
총 경기 수는
x(x-1)
2
=45
x¤ -x-90=0, (x+9)(x-10)=0
∴ x=10(∵ x>0)
따라서 이 대회에 참가한 팀은 10팀이다. (cid:9120) ④
16 -4t¤ +40t+96=0, t¤ -10t-24=0
(t+2)(t-12)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=-2 또는 t=12
이때 t>0이므로 t=12
따라서 물체가 지면에 떨어지는 것은 12초 후이다.
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
(cid:9120) ④
점수
2
1
2
1
•2점
•1점
•2점
•1점
(cid:9120) 4
17
채점 기준
x¤ +6x+8=0의 해 구하기
mx¤ +nx-3=0의 해 구하기
m, n의 값 구하기
mn의 값 구하기
x¤ +6x+8=0, 즉 (x+2)(x+4)=0의
두 근이-2, -4 이므로
mx¤ +nx-3=0의 두 근은 -1, -3
mx¤ +nx-3=m(x+1)(x+3)
=mx¤ +4mx+3m
∴ mn=4
다른 풀이
n
m
-3
m
x¤ +6x+8=0의 두 근을 a, b라 하면
a+b=-6, ab=8
mx¤ +nx-3=0의 두 근은 a+1, b+1이므로
- =(a+1)+(b+1)=a+b+2=-4
=(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=3
∴ m=-1, n=-4(cid:100)(cid:100)∴ mn=4
18
채점 기준
주어진 이차방정식의 다른 한 근 구하기
a, b의 값 구하기
이차방정식 구하기
점수
1
2
3
Ⅱ. 이차방정식 | 31
11
(x+5)(x-7)=0, x¤ -2x-35=0
∴ p=2, q=35(cid:100)(cid:100)
∴ p+q=37
이차항의 계수가 1이고
-5, 7을 두 근으로 갖
는 이차방정식이다.
(cid:9120) ⑤
이므로 n=4m, -3=3m
∴ m=-1, n=-4
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.3 8:7 PM 페이지32 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
다른 한 근은
이므로
•1점
1-'2
2
근과 계수의 관계에 의하여
1+'2
1-'2
2
2
a
- ={
4
}+{
}=1
b
4
={
1+'2
2
1-'2
2
} {
}=-
1
4
따라서 구하는 이차방정식은
(x+4)(x+1)=0이므로
x¤ +5x+4=0
이므로 a=-4, b=-1
•2점
•3점
(cid:9120) x¤ +5x+4=0
19
채점 기준
이차방정식 세우기
이차방정식의 해 구하기
한 변의 길이 구하기
점수
2
2
2
•2점
•2점
잘라 내는 정사각형의 한 변의 길이를
x cm (04, 8-x>0이므로
40(cid:100)(cid:100)∴ k<;2(;
따라서 정수 k의 최댓값은 4이다.
x=4가 (m-1)x¤ -(m¤ +3)x+16=0의 근이
므로 (m-1)_4¤ -(m¤ +3)_4+16=0
m¤ -4m+3=0, (m-1)(m-3)=0
∴ m=1 또는 m=3
그런데 m+1이므로 m=3
(cid:9120) ③
점수
4
1
1
•2점
•2점
•1점
점수
2
1
3
•2점
•1점
•3점
(cid:9120) 3
점수
2
2
2
(X-3)(X-5)=0 ∴ X=3 또는 X=5
a+b=3을 만족시키는 순서쌍 (a, b)는
m=1이면
0¥x¤ -4x+16=0이 되
어 이차방정식이 아니다.
(1, 2), (2, 1)
a+b=5를 만족시키는 순서쌍 (a, b)는
(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)
따라서 순서쌍 (a, b)의 개수는 6개이다.
25
채점 기준
이차방정식 세우기
이차방정식의 해 구하기
∂CßE의 길이 구하기
(cid:9120) 6개
(cid:8772)ADEF가 평행사변형
이므로 AD”=EF”이고
△FEC가 직각이등변삼
각형이므로 EF”
”=CE”이
다.
AD”=EF”=CE”=x cm라 하면
BE”=(14-x)cm
(cid:8772)ADEF=48 cm¤ 이므로
x(14-x)=48
x¤ -14x+48=0, (x-6)(x-8)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=6 또는 x=8
이때 CE”>BE”이므로 CE”=8cm
•2점
•2점
•2점
(cid:9120) 8cm
21 근과 계수의 관계에 의하여
m+n=-k+1, mn=-k+3이므로
1
m
1
+ =
n
m+n
mn
=
-k+1
-k+3
=3
즉 -k+1=-3k+9이므로
2k=8 ∴ k=4
(cid:9120) ④
32 | SOLUTION
9-가발전(렉쳐)해설Ⅱ(14~33) 2014.9.5 4:38 PM 페이지33 SinsagoHitec
Q BOX
Ⅱ. 이차방정식
최고수준 정복하기
▶ 94~95쪽
02 (a-b)(a-c)(b-c)
01 11
03 -2…x<-1 또는 5…x<6
04 a=0, b=2 또는 a=-2, b=4
x¤ +px+q=0이 중근을
갖는다.
05 정삼각형
(cid:8857) q={;2P;}2
06 ;3!;
07 x¤ -2'6x+2=0
08 40 cm¤
3x¤ -2(a+b+c)x+ab+bc+ca=0
x¤ -;3@;(a+b+c)x+
이 이차방정식이 중근을 가지므로
ab+bc+ca
3
=0
a+b+c
3
¤ =
}
ab+bc+ca
3
{-
(a+b+c)¤ =3(ab+bc+ca)
a¤ +b¤ +c¤ +2ab+2bc+2ca=3ab+3bc+3ca
a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca=0
2a¤ +2b¤ +2c¤ -2ab-2bc-2ca=0
a¤ -2ab+b¤ +b¤ -2bc+c¤ +c¤ -2ca+a¤ =0
(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ =0
즉 a=b, b=c, c=a이므로 a=b=c
따라서 세 변의 길이가 같으므로 정삼각형이다.
(cid:9120) 정삼각형
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
소수는 1과 자기 자신만
을 약수로 갖는다.
(a-b)¤ æ0, (b-c)¤ æ0,
(c-a)¤ æ0이므로
a-b=0, b-c=0,
c-a=0
이차방정식
ax¤ +bx+c=0이 근을
갖지 않는다.
(cid:8857) b¤ -4ac<0
06
(-4a)¤ -4_1_8b=16a¤ -32b<0이어야 하
므로 a¤ <2b
이를 만족시키는 순서쌍 (a, b)는
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),
(1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 5), (3, 6)의 12가지
따라서 구하는 확률은 ;3!6@;=;3!;
(cid:9120) ;3!;
(|a|+|b|)¤ =|a|¤ +2|a|¥|b|+|b|¤
=a¤ +b¤ +2|ab|
=(a+b)¤ -2ab+2|ab|
=16+4+4=24
∴ |a|+|b|=2'6 (∵ |a|+|b|>0)
∴ |a|¥|b|=|ab|=2
따라서 구하는 이차방정식은 x¤ -2'6x+2=0
(cid:9120) x¤ -2'6x+2=0
08 직사각형 모양의 타일의 짧은 변의 길이를 x cm,
긴 변의 길이를 y cm라 하면
2y+4=4x에서 y=2x-2
… ㉠
6xy+4x=260에서 3xy+2x=130 … ㉡
3x(2x-2)+2x=130, 3x¤ -2x-65=0
(3x+13)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
x=5를 ㉠에 대입하면 y=8
따라서 타일 한 개의 넓이는 40 cm¤ 이다.
(cid:9120) 40 cm¤
Ⅱ. 이차방정식 | 33
두 근의 합이 m, 곱이 n
이고, x¤ 의 계수가 a인
이차방정식은
a(x¤ -mx+n)=0
가장 큰 직사각형의 넓이
가 260 cm¤ 이므로
㉠을 ㉡에 대입하면
01
n¤ -2n-24=(n+4)(n-6)이 소수가 되려면
n+4=1 또는 n-6=1
⁄ n+4=1일 때, n=-3
n은 자연수이므로 성립하지 않는다.
¤ n-6=1일 때, n=7, n+4=11
¤ ∴ n¤ -2n-24=(n+4)(n-6)
=11_1=11
(cid:9120) 11
02 ++
=a¤ (b-c)+b¤ (c-a)+c¤ (a-b)
=a¤ b-a¤ c+b¤ c-ab¤ +ac¤ -bc¤
=(b-c)a¤ -(b¤ -c¤ )a+b¤ c-bc¤
=(b-c)a¤ -(b-c)(b+c)a+bc(b-c)
=(b-c){a¤ -(b+c)a+bc}
=(b-c)(a-b)(a-c)
03
[x]=A로 놓으면
A¤ -3A-10=0, (A+2)(A-5)=0
∴ A=-2 또는 A=5
즉 [x]=-2 또는 [x]=5
[x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수를 나타내므로
⁄ [x]=-2일 때, -2…x<-1
¤ [x]=5일 때, 5…x<6
⁄, ¤에 의하여 -2…x<-1 또는 5…x<6
(cid:9120) -2…x<-1 또는 5…x<6
04
x¤ +a(b-3)x+b-3=0에 x=1을 대입하면
1+a(b-3)+b-3=0
a(b-3)+(b-3)=-1
(a+1)(b-3)=-1
이때 a, b는 정수이므로 a+1, b-3도 정수이다.
즉 a+1=1, b-3=-1
또는 a+1=-1, b-3=1
∴ a=0, b=2 또는 a=-2, b=4
(cid:9120) a=0, b=2 또는 a=-2, b=4
05
x¤ -(a+b)x+ab+x¤ -(b+c)x+bc
+x¤ -(a+c)x+ca=0
(cid:9120) (a-b)(a-c)(b-c)
[x]=a (a는 정수)이면
a…x0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감
(cid:9120) ②
필수유형 다지기
▶ 102~103쪽
01 ㈀ ⓒ ㈁ ⓑ ㈂ ⓔ ㈃ ⓐ ㈄ ⓓ (cid:9120) ③
01-1 주어진 이차함수의 그래프 중 위로 볼록한 것은
③ y=-x¤ , ④ y=-2x¤`, ⑤ y=-;3!;x¤``이고
|-2|>|-1|>|-;3!;|
이므로 폭이 가장 좁은 것은 ④ y=-2x¤```이다.
(cid:9120) ④
01-2 y=ax¤ 의 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
y=-;4!;x¤ 의 그래프보다 폭이 좁으므로
a>|-;4!;|(cid:100)(cid:100)∴ a>;4!;
또 y=2x¤ 의 그래프보다 폭이 넓으므로 a<2
∴ ;4!;0)
(cid:9120) 2
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
y=ax¤ 의 그래프를 x축
의 방향으로 p만큼 평행
이동한 그래프의 식은
y=a(x-p)¤ 이다.
04
y=-4x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼
평행이동한 그래프의 식은
y=-4(x+3)¤
(cid:9120) ②
(cid:9120) -6, 6
04-1 y=;3@;x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼 평행
03-1 ① 위로 볼록한 포물선이다.
② 점 (-4, -8)을 지난다.
③ y=-x¤ 의 그래프보다 폭이 넓다. (cid:9120) ④, ⑤
04
y=ax¤ 의 그래프가 점 (2, -2)를 지나므로
-2=a_2¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-;2!;(cid:100)(cid:100)
∴ y=-;2!;x¤
(cid:9120) ②
04-1 y=ax¤ 의 그래프가 점 (3, -3)을 지나므로
-3=a_3¤` ∴ a=-;3!;
즉 y=-;3!;x¤ 의 그래프가 점 (-6, k)를 지나
므로 k=-;3!;_(-6)¤ =-12
(cid:9120) ②
04-2 y=ax¤ 의 그래프가 점 (-2, 3)을 지나므로
3=a_(-2)¤ ∴ a=;4#;
즉 y=;4#;x¤ 의 그래프가 점 (m, 27)을 지나므로
27=;4#;m¤ , m¤ =36
∴ m=-6 또는 m=6
필수유형 다지기
▶ 105~106쪽
01
y=-3x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 7만큼 평
행이동한 그래프의 식은 y=-3x¤ +7
따라서 꼭짓점의 좌표는 (0, 7)이다.
(cid:9120) ④
y=ax¤ 의 그래프를 y축
의 방향으로 q만큼 평행
이동한 그래프의 식은
y=ax¤ +q이다.
01-1 y=;2!;x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -5만큼 평
행이동한 그래프의 식은 `y=;2!;x¤ -5
이 그래프가 점 (-4, k)를 지나므로
k=
_(-4)¤ -5=3
;2!;
(cid:9120) 3
02 ① y=-2x¤ 의 그래프를 평행이동한 것이다.
③ 축의 방정식은 x=0이다.
④ 위로 볼록한 포물선이다.
⑤ x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소
한다.
(cid:9120) ②
이동한 그래프의 식은 y=;3@;(x-p)¤
이 그래프가 점 (2, 6)을 지나므로
6=;3@;(2-p)¤ , (2-p)¤ =9, 2-p=—3
∴ p=-1 또는 p=5
(cid:9120) -1, 5
05 ⑤ x>1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가
(cid:9120) ⑤
한다.
05-1 그래프가 위로 볼록한 포물선이고, 꼭짓점의 좌
(cid:9120) ③
표가 (-3, 0)인 것은 ③이다.
06
y=a(x-p)¤ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표가
(-1, 0)이므로 p=-1
즉 y=a(x+1)¤ 의 그래프가 점 (1, -2)를 지나
므로 -2=4a
∴ a=-;2!;
(cid:9120) a=-;2!;, p=-1
06-1 축의 방정식이 x=-3이므로 p=3
즉 y=a(x+3)¤ 의 그래프가 점 (-2, 2)를 지나
므로
2=a(-2+3)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=2
∴ a-p=2-3=-1
(cid:9120) -1
Ⅲ. 이차함수 | 35
9-가발전(렉쳐)해설Ⅲ(34~49) 2014.9.3 8:11 PM 페이지36 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
필수유형 다지기
▶ 108~110쪽
01
y=-4x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼,
y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프의 식
은 y=-4(x-p)¤ +q이므로
a=-4, p=-1, q=-5
∴ a+p-q=0
(cid:9120) ⑤
01-1 y=-2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y
축의 방향으로 -4만큼 평행이동한 그래프의 식
은 y=-2(x-3)¤ -4
이 그래프가 점 (1, k)를 지나므로
k=-2_(1-3)¤ -4=-12
(cid:9120) -12
02
y=-2(x+3)¤ +1의 그래프의 꼭짓점의 좌표
는 (-3, 1), 축의 방정식은 x=-3이므로
p=-3, q=1, k=-3
∴ p+q+k=-5
02-1 축의 방정식은
① x=0 ② x=0 ③ x=-3
④ x=4 ⑤ x=-2
이므로 축이 가장 왼쪽에 있는 것은 ③이다.
(cid:9120) ②
(cid:9120) ③
03
y=;3!;(x-1)¤ +2의 그래
프는 오른쪽 그림과 같으
므로 x>1일 때, x의 값이
증가하면 y의 값도 증가한
다.
(cid:9120) ⑤
y
2
O
1
x
03-1 y=-(x+2)¤ +5의 그래
프는 오른쪽 그림과 같으
y
5
므로 x>-2일 때, x의 값
이 증가하면 y의 값은 감소
한다.
(cid:9120) ④
O-2
x
04 ① 축의 방정식은 x=-5이다.
③ 점 (-2, 1)을 지난다.
⑤ y의 값의 범위는yæ-2이다.
(cid:9120) ②, ④
04-1 ④ y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼,
y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
⑤ x=0일 때 y=-3이므
로 그래프는 오른쪽 그
림과 같다.
즉 제2사분면을 지나지
않는다.
(cid:9120) ④
y
1
O
-3
36 | SOLUTION
y=ax¤ 의 그래프를 x축
의 방향으로 p만큼, y축
의 방향으로 q만큼 평행
이동한 그래프의 식
(cid:8857) y=a(x-p)¤ +q
x축 위에 있는 점의 y좌
표는 0이다.
y=a(x-p)¤ +q의 그
래프
① 꼭짓점의 좌표
(cid:8857) (p, q)
② 축의 방정식
(cid:8857) x=p
05 주어진 이차함수의 그래프가 위로 볼록하므로
꼭짓점이 제1사분면 위에 있으므로
p>0, q>0
(cid:9120) ③
05-1 주어진 이차함수의 그래프가 아래로 볼록하므로
a<0
a>0
꼭짓점이 x축의 음의 방향 위에 있으므로
-p<0, q=0(cid:100)(cid:100)∴ p>0
(cid:9120) a>0, p>0, q=0
05-2 a<0이므로 위로 볼록한 포물선이고, p<0,
q<0이므로 꼭짓점이 제3사분면 위에 있다.
(cid:9120) ⑤
06 꼭짓점의 좌표가 (-1, -3)이므로
p=-1, q=-3
y=a(x+1)¤ -3의 그래프가 점 (0, -2)를 지
나므로
-2=a_1¤ -3(cid:100)(cid:100)∴ a=1
∴ a+p+q=-3
(cid:9120) ①
06-1 꼭짓점의 좌표가 (3, 4)이므로
p=3, q=4
나므로
y=a(x-3)¤ +4의 그래프가 점 (0, -5)를 지
-5=a_(-3)¤ +4(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
∴ 2a+p+q=5
(cid:9120) 5
07 평행이동한 그래프의 식은
y=2(x-2-3)¤ +2-3
∴ y=2(x-5)¤ -1
07-1 평행이동한 그래프의 식은
y=-(x-p+1)¤ +4+q이므로
꼭짓점의 좌표는 (p-1, 4+q)
따라서 p-1=2, 4+q=1에서
p=3, q=-3
∴ pq=-9
(cid:9120) ③
(cid:9120) -9
(cid:9120) ②
y=a(-x+5)¤ -1(cid:100)(cid:100)∴ y=a(x-5)¤ -1(cid:100)
이 그래프가 점 (4, 2)를 지나므로
2=a(4-5)¤ -1(cid:100)(cid:100)∴ a=3
(cid:9120) 3
그래프가 x축에 대칭
(cid:8857) y 대신 -y를 대입
08
x축에 대칭인 그래프의 식은
-y=-4(x-1)¤ +3
∴ y=4(x-1)¤ -3
2
x
그래프가 y축에 대칭
(cid:8857) x 대신 -x를 대입
08-1 y축에 대칭인 그래프의 식은
9-가발전(렉쳐)해설Ⅲ(34~49) 2014.9.3 8:11 PM 페이지37 SinsagoHitec
Q BOX
y가 x에 대한 이차함수
(cid:8857) (x¤ 의 계수)+0
03-2 y=a(x+p)¤ +q의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
A(-p, q)
이 그래프는 직선 x=-p에 대칭이고, OB”=6이
발전유형 익히기
▶ 111~113쪽
01
y=(a¤ +3a+2)x¤ -x에서 a¤ +3a+2+0이어야
하므로
(a+2)(a+1)+0
∴ a+-2이고 a+-1
(cid:9120) ②, ③
01-1 y=k(k-1)x‹ +(k¤ +k-2)x¤ -1에서
⁄ k(k-1)=0이어야 하므로
k=0 또는 k=1
¤ k¤ +k-2+0이어야 하므로
(k+2)(k-1)+0
∴ k+-2이고 k+1
⁄, ¤에서 k=0
x=0, y=0을 대입한다.
(x‹ 의 계수)=0이어야
한다.
(x¤ 의 계수)+0이어야
한다.
02
y=(x-2)¤ 의 그래프는 y=(x+1)¤ 의 그래프
를 x축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이므로
y=(x-3+1)¤
즉 y=(x-2)¤
AB”=3
(cid:9120) 0
(cid:9120) 3
02-1 y=-;3@;x¤ +3의 그래프는 y=-;3@;x¤ -1의 그
래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것이
므로 AB”=4
y=-;3@;x¤ -1+4
(cid:9120) 4
즉 y=-;3@;x¤ +3
02-2 y=;2!;(x-2)¤ 에서 x=0일 때 y=;2!;(0-2)¤ =2
이므로 점 B의 좌표는 (0, 2)이다.
오른쪽 그림의 색칠한
두 부분의 넓이가 서로
같으므로 구하는 넓이
A
는 5_2=10
y
2
O
B
(cid:9120) 10
-3
2
x
03 이차함수 y=-;2!;x¤ +k의 그래프는 y축에 대
칭이므로 점 A와 점 B의 x좌표의 절댓값은 같다.
이때 AB”=4이므로
A(-2, 0), B(2, 0)
y 대신 -y를 대입
가로의 길이가 5, 세로의
길이가 2인 직사각형의
넓이와 같다.
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
므로 -p=;2!;_6=3(cid:100)(cid:100)∴ p=-3
또 △AOB=;2!;_6_q=9(cid:100)(cid:100)∴ q=3
즉 y=a(x-3)¤ +3의 그래프가 원점을 지나므로
0=a(0-3)¤ +3(cid:100)(cid:100)∴ a=-;3!;
∴ apq=3
(cid:9120) 3
04
y=ax+b의 그래프에서 a<0, b>0
따라서 y=(x+a)¤ +b의
그래프는 오른쪽 그림과 같
으므로 제1, 2사분면을 지
난다.
(cid:9120) ①
y
O
x
04-1 y=ax+b의 그래프에서 a>0, b<0
따라서 y=ax¤ +b의 그래프는 아래로 볼록하고
꼭짓점이 원점의 아래쪽에 있다.
(cid:9120) ②
05
y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y
축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=3(x+2)¤ +3
이 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의
식은 -y=3(x+2)¤ +3
∴ y=-3(x+2)¤ -3
(cid:9120) ④
05-1 y=-2(x+1)¤ 의 그래프와 y축에 대칭인 그래
프의 식은
y=-2(-x+1)¤ , 즉 y=-2(x-1)¤
y=-2(x-1)¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 q
만큼 평행이동한 그래프의 식은
x 대신 -x를 대입
y=-2(x-1)¤ +q
∴ a=-2, p=1, q=3
∴ a+p+q=2
y=-;2!;x¤ +k에 x=2, y=0을 대입하면
0=-;2!;_2¤ +k(cid:100)(cid:100)∴ k=2
(cid:9120) 2
직선 x=1 위의 점이므
로 세 점의 x좌표는 모두
1이다.
06 A(1, 2), B(1, a), C(1, 0)이므로
2-a=a, 2a=2 ∴ a=1
AB”=BC”
06-1 점 R의 y좌표가 4이므로 4=x¤
(cid:9120) 2
(cid:9120) 1
03-1 AD”=BC”=6이고 y=ax¤ 의 그래프는 y축에 대
칭이므로 점 D의 x좌표는 3이다.
즉 점 D의 좌표는 (3, 6)이므로
6=a_3¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=;3@;
(cid:9120) ;3@
∴ x=2 (∵ x>0)(cid:100)(cid:100)∴ R(2, 4)
PQ”=QR”이므로 Q(1, 4)
y=ax¤ 의 그래프가 점 Q(1, 4)를 지나므로
4=a_1¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=4
(cid:9120) 4
Ⅲ. 이차함수 | 37
9-가발전(렉쳐)해설Ⅲ(34~49) 2014.9.3 8:11 PM 페이지38 SinsagoHitec
07 점 D의 좌표를 (a, a¤ )이라 하면 A(-a, a¤ ),
a>0
LECTURE BOOK
Q BOX
02
y=k(k+1)x¤ +3x-2x¤
=(k¤ +k-2)x¤ +3x
두 점 P, Q의 x좌표는
같다.
에서 k¤ +k-2+0이므로 (k+2)(k-1)+0
∴ k+-2이고 k+1
(cid:9120) -2, 1
06-2 점 P의 x좌표를 a라 하면
P(a, 2(a+3)¤ ), Q(a, -a¤ -3)
PQ”=2(a+3)¤ -(-a¤ -3)
=3a¤ +12a+21=57이므로
3a¤ +12a-36=0, a¤ +4a-12=0
(a+6)(a-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-6 또는 a=2
그런데 점 P는 제1사분면 위의 점이므로 a=2
∴ P(2, 50)
(cid:9120) (2, 50)
a, -;2!;a¤
C
{
}
이때 AD”=a-(-a)=2a,
CD”=a¤ -
-;2!;a¤
{
=;2#;a¤ 이고,
}
AD”=CD”이므로 2a=;2#;a¤ , 3a¤ -4a=0
a(3a-4)=0 ∴ a=;3$; (∵ a+0) (cid:9120) ;3$;
07-1 점 C의 좌표를 (a, a¤ )이라 하면
B(a, 9a¤ ), A(3a, 9a¤ ), D(3a, a¤ )
이때 BC”=9a¤ -a¤ =8a¤ , CD”=3a-a=2a이고,
BC”=CD”이므로 8a¤ =2a, 2a(4a-1)=0
∴ a=
(∵ a>0)
;4!;
∴ (cid:8772)ABCD={;2!;}2 =;4!;
(cid:9120) ;4!;
중단원 마무리
▶ 114~117쪽
01 ③, ④` 02 -2, 1
05 ②
09 ③
13 ②
03 ②
06 (0, -2) 07 ④
11 ④
10 ②
15 ②
14 6
04 ①
08 ④
12 ④
16 ⑤
17 ⑴ ;3$;(cid:100)⑵ 14
19 ⑴ (1, -1), (0, 1)(cid:100)⑵ 제3사분면
18 -1
20 ;3@;
24 2
21 ③
25 6
22 ②
23 12
01 ① y=
p_x¤ _3x=px‹
;3!;
;3$;
② y=
px‹
③ y=p_x¤ _
60
360
=
px¤
;6!;
④ y=(5-x)_x=-x¤ +5x
⑤ y=
x
60
38 | SOLUTION
y=ax¤ 의 그래프에서 a
의 절댓값이 클수록 그래
프의 폭이 좁아진다.
점 A는 점 D와 y축에
대칭인 점이므로 점 D와
y좌표는 같고 x좌표는
부호가 반대이다.
점 B는 점 C와 x좌표가
같고, 점 A는 점 B와 y
좌표가 같고, 점 D는 점
A와 x좌표가 같다.
y=a(x-p)¤ 의 그래프
의 축의 방정식은
(cid:8857) x=p
03
04
f(1)=-2_1¤ +a_1+3=-1
∴ a=-2
(cid:9120) ②
y=ax¤ 의 그래프는 아래로 볼록한 포물선이므로
또 y=ax¤ 의 그래프는 y=2x¤ `의 그래프보다 폭
05
y=ax¤ 의 그래프가 점 (-2, 7)을 지나므로
즉 y=;4&;x¤ 의 그래프가 점 (k, 28)을 지나므로
이 넓으므로 a<2
∴ 00)
(cid:9120) ①
(cid:9120) ②
06
y=2x¤ +q의 그래프가 점 (-1, 0)을 지나므로
0=2+q(cid:100)(cid:100)∴ q=-2
따라서 y=2x¤ -2의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(0, -2)
(cid:9120) (0, -2)
07
y=(x-p)¤ 의 그래프가 점 (3, 16)을 지나므로
16=(3-p)¤ , 3-p=—4(cid:100)(cid:100)
∴ p=-1`(∵ p<0)
따라서 y=(x+1)¤ 의 그래프의 축의 방정식은
x=-1
(cid:9120) ④
08 ㈀ 둘 다 이차항의 계수가 음수이므로 위로 볼록
한 포물선이다.
㈁ 꼭짓점의 좌표는 각각 (0, 2), (-2, 0)이다.
㈂ 축의 방정식은 각각 x=0, x=-2이다.
㈃ 이차항의 계수의 절댓값이 같으므로 두 그래
프의 폭이 같다.
㈄ y=-;2!;x¤ 의 그래프를 y=-;2!;x¤ +2의 그래
㉤ 프는 y축의 방향으로 2만큼, y=-;2!;(x+2)¤
㉤ 의 그래프는 x축의 방향으로 -2만큼 평행이
동한 것이다.
(cid:9120) ④
09 그래프가 아래로 볼록하고, 꼭짓점의 좌표가
(-2, -1)인 것은 ③이다.
(cid:9120) ③
반지름의 길이가 r, 중심
각의 크기가 x°인 부채꼴
의 넓이
(cid:8857) pr¤ _
x
360
(cid:9120) ③, ④
9-가발전(렉쳐)해설Ⅲ(34~49) 2014.9.3 8:11 PM 페이지39 SinsagoHitec
즉 y=a(x+2)¤ +3의 그래프가 점 (0, 1)을 지
19
13 그래프가 제1, 2`사분면을 지나지 않으려면 a<0
또 꼭짓점 (1, q)가 x축 또는 제4`사분면 위에
있어야 하므로 q…0
(cid:9120) ②
축 위의 점은 어느 사분
면에도 속하지 않는다.
10
y=-2(x+1)¤ +3의 그래
프는 오른쪽 그림과 같으므
로 x<-1일 때, x의 값이
증가하면 y의 값도 증가한
다. (cid:9120) ②
y
3
-1
O
x
11 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점 (-p, -q)가 제2사분면 위에 있으므로
-p<0, -q>0(cid:100)(cid:100)∴ p>0, q<0
(cid:9120) ④
12 꼭짓점의 좌표가 (-2, 3)이므로
p=-2, q=3
나므로 1=a(0+2)¤ +3(cid:100)(cid:100)∴ a=-;2!;
∴ apq=-;2!;_(-2)_3=3
(cid:9120) ④
14
y=-3(x-k+2)¤ -4+2의 그래프의 축의 방
정식이 x=4이므로
k-2=4(cid:100)(cid:100)∴ k=6
15
x축에 대칭인 그래프의 식은
-y=3(x-1)¤ -6 ∴ y=-3(x-1)¤ +6
② x=-1일 때, y=-3_(-2)¤ +6=-6
16 ⑤ ㈀과 ㈃은 이차항의 계수가 다르므로 그래프
의 모양이 다르다. 즉 평행이동하여 완전히 겹
쳐지지 않는다. ㈀을 평행이동하여 완전히 겹
쳐지는 것은 ㈂이다.
(cid:9120) ⑤
17
채점 기준
k의 값 구하기
f(-1)+f(0)+f(1)의 값 구하기
⑴ y=3x¤ +2k에 x=k, y=8을 대입하면
8=3k¤ +2k, 3k¤ +2k-8=0
(cid:9120) 6
(cid:9120) ②
점수
3
3
•3점
(k+2)(3k-4)=0
∴ k=;3$; (∵ k>0)
⑵ f(x)=3x¤ +;3*;이므로
f(-1)+f(0)+f(1)
={3+;3*;}+;3*;+{3+;3*;}=14
•3점
(cid:9120) ⑴ ;3$; ⑵ 14
Q BOX
이차함수의 그래프의 증
가, 감소
(cid:8857) 축을 기준으로 바뀐다.
18
점 (a, b)가 제``2`사분면
위의 점이다.
(cid:8857) a<0, b>0
이차함수 y=ax¤ 의 그래
프를 x축의 방향으로 p
만큼, y축의 방향으로 q
만큼 평행이동한 그래프
의 식은
y=a(x-p)¤ +q
① 꼭짓점의 좌표
(cid:8857) (p, q)
② 축의 방정식
(cid:8857) x=p
x축에 대칭
(cid:8857) y 대신 -y를 대입
그래프가 y축과 만나는
점의 x좌표는 0이다.
6 : OB”=3 : 2이므로
OB”=4
채점 기준
p, q의 값 구하기
a의 값 구하기
a+p+q의 값 구하기
꼭짓점의 좌표는 (-2, -1)이므로
p=-2, q=-1
y=;3!;(x+2)¤ -1의 그래프가 점 (1, a)를 지나
므로 a=;3!;(1+2)¤ -1=2
∴ a+p+q=-1
채점 기준
꼭짓점의 좌표 구하기
y축과 만나는 점의 좌표 구하기
그래프 그리기
그래프가 지나지 않는 사분면 구하기
점수
2
2
2
•2점
•2점
•2점
(cid:9120) -1
점수
1
1
2
2
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
⑴ 꼭짓점의 좌표는 (1, -1)
•1점
x=0일 때, y=2(0-1)¤ -1=1이므로
y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 1)
•1점
⑵ y=2(x-1)¤ -1의 그래
프는 오른쪽 그림과 같
다.
•2점
따라서 제`3사분면을 지
나지 않는다.
•2점
y
1
O
-1
1
x
(cid:9120) ⑴ (1, -1), (0, 1) ⑵ 제 3 사분면
20
y=ax¤ 의 그래프는 y축에 대칭이므로
B(-3, 0)
점 C와 점 D의 x좌표가 같으므로 D(3, 9a)
이때 BC”=CD”이므로 6=9a
∴ a=;3@;
(cid:9120) ;3@;
21
y=;2#;(x-2)¤```에 x=0을 대입하면
y=;2#;_(-2)¤ =6(cid:100)(cid:100)∴ A(0, 6)
OA”：OB”=3：2이므로 B(0, -4)
y=a(x-2)¤ 에 x=0, y=-4를 대입하면
-4=4a(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
(cid:9120) ③
22 평행이동한 그래프의 식은
y=-2(x-k+1-2)¤ +1+k
y=-2(x-k-1)¤ +k+1
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (k+1, k+1)
점 (k+1, k+1)이 직선 y=4x+3 위에 있으
k+1=4(k+1)+3, 3k=-6
므로(cid:100)(cid:100)
∴ k=-2
(cid:9120) ②
Ⅲ. 이차함수 | 39
9-가발전(렉쳐)해설Ⅲ(34~49) 2014.9.3 8:11 PM 페이지40 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
23
채점 기준
점수
2
이차함수의 활용
y=a(x-3)¤ 의 그래프가 점 (0, -9)를 지나므로
나므로
꼭짓점의 좌표는 (p, 0)
02-1 y=-2x¤ +ax-4의 그래프가 점 (1, 2)를 지
점 A의 좌표 구하기
점 B의 좌표 구하기
△AOB의 넓이 구하기
y=;2!;x¤ 에 x=-2를 대입
하면 y=2이므로
A(-2, 2)
•1점
y=;2!;x¤ 에 y=8을 대입하
면 x=—4이므로
B(4, 8)
y
8
A
-2
2
O
∴ △AOB=;2!;_(2+8)_6
∴ △AOB=-;2!;_2_2-;2!;_4_8
∴ △AOB=12
24
채점 기준
p의 값 구하기
a의 값 구하기
a+p의 값 구하기
이므로 p=3
y=a(x-p)¤ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (3, 0)
-9=a_(-3)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-1
∴ a+p=2
점 B는 제1사분면 위의
점이다.
사다리꼴의 넓이에서 두
삼각형의 넓이를 빼서 구
한다.
y=ax¤ +bx+c를
y=a(x-p)¤ +q의 꼴로
변형한다.
25
채점 기준
p, q의 값 구하기
a의 값 구하기
점 A, B의 x좌표 구하기
AB”의 길이 구하기
x축과 만나는 점
(cid:8857) y좌표가 0이다.
y축과 만나는 점
(cid:8857) x좌표가 0이다.
꼭짓점의 좌표가 (-2, 9)이므로
즉 y=a(x+2)¤ +9의 그래프가 점 (0, 5)를
p=-2, q=9
지나므로
5=4a+9 ∴ a=-1
•1점
y=-(x+2)¤ +9에 y=0을 대입하면
0=-(x+2)¤ +9, x¤ +4x-5=0
(x+5)(x-1)=0
∴ x=-5 또는 x=1
따라서 A(-5, 0), B(1, 0)이므로
AB”=1-(-5)=6
40 | SOLUTION
1
1
4
B
4
x
•1점
•4점
(cid:9120) 12
점수
2
2
2
•2점
•2점
•2점
(cid:9120) 2
점수
2
1
2
1
•2점
•2점
•1점
(cid:9120) 6
필수유형 다지기
▶ 119~121쪽
01
y=2x¤ -4x+7=2(x-1)¤ +5이므로
a=2, p=1, q=5
∴ a+p-q=-2
(cid:9120) ③
01-1 y=-;3!;x¤ +2x-5=-;3!;(x-3)¤ -2이므로
a=-;3!;, p=3, q=-2
∴ apq={-;3!;}_3_(-2)=2
(cid:9120) 2
02
y=;2!;x¤ +ax+5
y=;2!;(x¤ +2ax+a¤ )-;2!;a¤ +5
y=;2!;(x+a)¤ -;2!;a¤ +5
의 그래프의 축의 방정식은 x=-a이므로
-a=4 ∴ a=-4
(cid:9120) -4
2=-2+a-4 ∴ a=8
즉 y=-2x¤ +8x-4=-2(x-2)¤ +4
따라서 꼭짓점의 좌표는 (2, 4)이다.
(cid:9120) ⑤
03
y=x¤ -3x+2에 y=0을 대입하면
0=x¤ -3x+2, (x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x=2 ∴ p+q=3
y=x¤ -3x+2에 x=0을 대입하면
y=2(cid:100)(cid:100)∴ r=2
∴ p+q+r=5
(cid:9120) 5
03-1 y=-2x¤ +x+k에 x=-2, y=0을 대입하면
0=-8-2+k(cid:100)(cid:100)∴ k=10
즉 y=-2x¤ +x+10에 y=0을 대입하면
0=-2x¤ +x+10, 2x¤ -x-10=0
(x+2)(2x-5)=0
∴ x=-2 또는 x=;2%;
따라서 다른 한 점의 좌표는 {;2%;, 0}이다.
(cid:9120) {;2%;, 0}
9-가발전(렉쳐)해설Ⅲ(34~49) 2014.9.3 8:11 PM 페이지41 SinsagoHitec
Q BOX
이차함수의 증가, 감소
(cid:8857) 축을 기준으로 바뀐다.
08-1 y=-;2!;x¤ +2x+4=-;2!;(x-2)¤ +6
04
y=-3x¤ -12x-5=-3(x+2)¤ +7
따라서 x<-2일 때, x의 값이 증가하면 y의
값도 증가한다.
(cid:9120) ④
04-1 y=x¤ +2ax-7=(x+a)¤ -a¤ -7의 그래프의
축의 방정식은 x=-a
즉 -a=-5이므로 a=5
(cid:9120) 5
05
y=;3!;x¤ +2x+8=;3!;(x+3)¤ +5
따라서 꼭짓점의 좌표가 (-3, 5)이고 y절편이
8인 그래프는 ④이다.
(cid:9120) ④
05-1 y=-2x¤ +8x-5
y=-2(x-2)¤ +3
y
3
-5
꼭짓점의 좌표는 (2, 3)이고
O 2
x
y절편은 -5이므로 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
따라서 제``2``사분면을 지나지 않는다.
(cid:9120) ②
06
y=-x¤ -4x+k=-(x+2)¤ +k+4
이 그래프가 x축과 한 점에서 만나려면 꼭짓점의
06-1 y=3x¤ -6x+k=3(x-1)¤ +k-3
이 그래프는 아래로 볼록하므로 x축과 서로 다른
두 점에서 만나려면 꼭짓점이 x축의 아래쪽에 있
어야 한다.
즉 k-3<0이므로 k<3
(cid:9120) k<3
07
y=x¤ +4kx+4k¤ -3k-5=(x+2k)¤ -3k-5
꼭짓점의 좌표는 (-2k, -3k-5)이고, 제4사
분면 위에 있으므로 -2k>0, -3k-5<0
∴ -;3%;0에서 k<0
-3k-5<0에서
-3k<5(cid:100)(cid:100)∴ k>-;3%;
y좌표가 0이어야 하므로
k+4=0 ∴ k=-4
(cid:9120) ①
;2!;_AB”_CO”
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
① 축의 방정식은 x=2이다.
② 위로 볼록한 포물선이다.
③ 꼭짓점의 좌표는 (2, 6)이다.
④ 꼭짓점의 좌표가 (2, 6)이고 위로 볼록한 포
물선이므로 x축과 두 점에서 만난다.
(cid:9120) ⑤
09
;2!;x¤ -2x-6=0에서 x¤ -4x-12=0
(x+2)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=6
따라서 A(-2, 0), B(6, 0)이므로 AB”=8
y=;2!;x¤ -2x-6=;2!;(x-2)¤ -8이므로
C(2, -8)
∴ △ABC=;2!;_8_8=32
(cid:9120) ④
09-1 -x¤ +4x+5=0에서 x¤ -4x-5=0
(x+1)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=5
따라서 A(-1, 0), B(5, 0)이므로 ABÚ=6
x=0일 때, y=5이므로 C(0, 5)
∴ △ABC=;2!;_6_5=15
(cid:9120) 15
10
y=3x¤ +12x+6=3(x+2)¤ -6의 그래프는
y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼,
y축의 방향으로 -6만큼 평행이동한 것이다.
따라서 p=-2, q=-6이므로
pq=12
(cid:9120) ④
10-1 y=-x¤ +2x+4=-(x-1)¤ +5의 그래프를
x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼
평행이동하면 y=-(x-m-1)¤ +5+n
한편 y=-x¤ -8x-13=-(x+4)¤ +3이므로
-m-1=4, 5+n=3(cid:100)(cid:100)∴ m=-5, n=-2
∴ m+n=-7
(cid:9120) -7
꼭짓점의 좌표는 (k, k+3)이고, 제2사분면 위
에 있으므로
k<0이고 k+3>0에서 k>-3
∴ -30
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0 ∴ b>0
y축과 만나는 점이 원점의 아래쪽에 위치하므로
c<0
01-1 ㈁ c=0 ㈂ b=0, c=0 ㈃ b=0
(cid:9120) ②
(cid:9120) ㈀
Ⅲ. 이차함수 | 41
9-가발전(렉쳐)해설Ⅲ(34~49) 2014.9.3 8:11 PM 페이지42 SinsagoHitec
⑤ x=-1일 때, y=a-b+c>0
(cid:9120) ⑤
(cid:8857) x=-1일 때`` y의 값
즉 y=-3(x-1)¤ +12=-3x¤ +6x+9이므로
LECTURE BOOK
02
a<0, b<0, c>0이므로
① ab>0 ② ac<0 ③ bc<0
④ x=1일 때, y=a+b+c=0
Q BOX
y=ax¤ +bx+c (a+0)
의 그래프에서
① a+b+c
(cid:8857) x=1일 때 y의 값
② a-b+c
02-1 a>0, b<0, c>0이므로
① ab<0 ② bc<0
③ x=1일 때, y=a+b+c=0
④ x=-1일 때, y=a-b+c>0
⑤ x=2일 때, y=4a+2b+c<0
(cid:9120) ④
03
a>0, b>0, c=0일 때,
y=ax¤ +bx+c의 그래프는
오른쪽 그림과 같으므로
제4 사분면을 지나지 않는다.
03-1 x축과 두 점에서 만나고
a<0, b>0, c<0이므로
y
O
y=ax¤ +bx+c의 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
따라서 제``2`사분면을 지나지 않는다.
y
O
(cid:9120) ④
x
x
필수유형 다지기
▶ 125쪽
01 꼭짓점의 좌표가 (2, 0)이므로 y=a(x-2)¤ 으
로 놓으면 점 (0, 4)를 지나므로
4=a(0-2)¤ ∴ a=1
따라서 y=(x-2)¤ =x¤ -4x+4이므로
a=1, b=-4, c=4
∴ a+b+c=1
(cid:9120) 1
아래로 볼록,
축이 y축의 왼쪽,
y축과의 교점이 원점
위로 볼록,
축이 y축의 오른쪽,
y축과의 교점이 원점의 아
래쪽
x축과의 교점이
(a, 0), (b, 0)인 이차
함수의 그래프의 식
(cid:8857) y=a(x-a)(x-b)
로 놓는다.
꼭짓점의 좌표가 (p, q)인
이차함수의 그래프의 식
(cid:8857) y=a(x-p)¤ +q로
놓는다.
나므로
-5=a(2+2)¤ +3(cid:100)(cid:100)∴ a=-;2!;
따라서 y=-;2!;(x+2)¤ +3=-;2!;x¤ -2x+1의
그래프가 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 1)이다.
이차함수
y=ax¤ +bx+c의 최댓
값, 최솟값
(cid:8857) y=a(x-p)¤ +q의
꼴로 변형하여 구한다.
(cid:9120) ③
y=-;2!;x¤ -2x+1에
x=0을 대입하면 y=1
02-1 y=a(x-1)¤ +q로 놓으면 두 점 (3, 0), (0, 9)
를 지나므로
0=4a+q, 9=a+q(cid:100)(cid:100)∴ a=-3, q=12
a=-3, b=6, c=9
∴ =-2
ab
c
(cid:9120) -2
03
y=ax¤ +bx+c로 놓으면 세 점 (0, 1), (1, 3),
(3, -5)를 지나므로
1=c, 3=a+b+c, -5=9a+3b+c(cid:100)(cid:100)
∴ a=-2, b=4, c=1
따라서 이차함수의 식은 y=-2x¤ +4x+1
(cid:9120) y=-2x¤ +4x+1
03-1 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 세 점 (-1, 9), (0, 5),
(2, 3)을 지나므로
9=a-b+c, 5=c, 3=4a+2b+c
∴ a=1, b=-3, c=5
따라서 y=x¤ -3x+5의 그래프가 점 (1, k)를
지나므로 k=1-3+5=3
(cid:9120) 3
나므로
-4=a(0+1)(0-2) ∴ a=2
따라서 y=2(x+1)(x-2)=2x¤ -2x-4이므
로 a=2, b=-2, c=-4
∴ ab-c=0
(cid:9120) ③
04-1 y=a(x+4)(x-2)로 놓으면 점 (0, -8)을
지나므로
-8=a(0+4)(0-2) ∴ a=1
따라서 y=(x+4)(x-2)
=x¤ +2x-8=(x+1)¤ -9
(cid:9120) (-1, -9)
01-1 y=a(x+2)¤ +3으로 놓으면 점 (2, -5)를 지
이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-1, -9)
(cid:9120) 제``2`사분면
04
y=a(x+1)(x-2)로 놓으면 점 (0, -4)를 지
02
y=a(x-3)¤ +q로 놓으면 두 점 (2, -4),
(5, -1)을 지나므로
-4=a+q, -1=4a+q(cid:100)(cid:100)∴ a=1, q=-5
따라서 y=(x-3)¤ -5=x¤ -6x+4이므로
a=1, b=-6, c=4
∴ ac-b=10
축의 방정식이 x=p인
이차함수의 그래프의 식
(cid:8857) y=a(x-p)¤ +q로
놓는다.
01 ① y=-x¤ -5：최댓값 -5
② y=-(x+1)¤ -5：최댓값 -5
③ y=(x-1)¤ -6：최솟값 -6
④ y=2(x-2)¤ -5：최솟값 -5
(cid:9120) 10
⑤ y=3(x+1)¤ +2：최솟값 2
(cid:9120) ④
필수유형 다지기
▶ 127~128쪽
42 | SOLUTION
9-가발전(렉쳐)해설Ⅲ(34~49) 2014.9.3 8:11 PM 페이지43 SinsagoHitec
01-1 y=-x¤ -8x-6=-(x+4)¤ +10이므로
M=10
y=;3!;x¤ +2x-4=;3!;(x+3)¤ -7이므로
m=-7
∴ M+m=3
(cid:9120) 3
02
y=-;3!;x¤ +2x+a
y=-;3!;(x-3)¤ +a+3
따라서 a+3=2이므로 a=-1
(cid:9120) ②
02-1 y=4x¤ -8x+k
y=4(x-1)¤ +k-4
따라서 k-4=6이므로 k=10
(cid:9120) 10
03
y=-x¤ +ax+b가 x=3에서 최댓값 7을 가지
y=-(x-3)¤ +7=-x¤ +6x-2
따라서 a=6, b=-2이므로
ab=-12
(cid:9120) ②
03-1 y=;2!;x¤ -kx+3이 x=4에서 최솟값 m을 가지
므로
므로
y=;2!;(x-4)¤ +m=;2!;x¤ -4x+m+8
따라서 -k=-4, 3=m+8이므로
k=4, m=-5
∴ k-m=9
04
x=5에서 최댓값 1을 가지므로
y=a(x-5)¤ +1로 놓으면 이 그래프가
점 (3, -1)을 지나므로
-1=a(3-5)¤ +1(cid:100)(cid:100)∴ a=-;2!;
따라서 이차함수의 식은 y=-;2!;(x-5)¤ +1
(cid:9120) 9
(cid:9120) ④
04-1 이차항의 계수가 3이고, x=-1에서 최솟값 -2
를 가지므로
y=3(x+1)¤ -2=3x¤ +6x+1
x=0일 때, y=1이므로 y절편은 1이다. (cid:9120) 1
05
y=-x¤ +2kx+6k
y=-(x-k)¤ +k¤ +6k
∴ M=k¤ +6k=(k+3)¤ -9
따라서 M의 최솟값은 -9이다.
(cid:9120) ①
Q BOX
05-1 y=2x¤ -4ax+8a-3
y=2(x-a)¤ -2a¤ +8a-3
x=a일 때, 최솟값
-2a¤ +8a-3을 갖는다.
∴ m=-2a¤ +8a-3=-2(a-2)¤ +5
따라서 a=2일 때 m의 값이 최대이다. (cid:9120) ④
필수유형 다지기
▶ 130쪽
차가 a인 두 수
(cid:8857) x, x+a로 놓는다.
01 두 수를 x, x+16이라 하고, 두 수의 곱을 y라
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
두 수는 -8, 8이다.
꼭짓점의 좌표：(3, 7)
꼭짓점의 좌표：(4, m)
가로, 세로의 길이가 각
각 a, b인 직사각형의 둘
레의 길이
(cid:8857) 2(a+b)
x=p일 때 최댓값(또는
최솟값) q
(cid:8857) 꼭짓점의 좌표가
(p, q)
하면
y=x(x+16)=x¤ +16x
=(x+8)¤ -64
따라서 두 수의 곱의 최솟값은 -64이다.
01-1 y=24-3x이므로
xy=x(24-3x)=-3x¤ +24x
=-3(x-4)¤ +48
따라서 xy는 x=4일 때 최댓값 48을 갖는다.
(cid:9120) -64
(cid:9120) ④
02 가로의 길이를 x cm, 넓이를 ycm¤```라 하면
세로의 길이는 (20-x)cm이므로
y=x(20-x)=-x¤ +20x
=-(x-10)¤ +100
따라서 가로와 세로의 길이가 각각 10 cm, 10 cm
일 때, 직사각형의 넓이가 최대가 된다.
(cid:9120) 가로：10 cm, 세로：10 cm
02-1 닭장의 세로의 길이를 xm, 넓이를 ym¤ 라 하면
가로의 길이는 (28-2x)m이므로
y=x(28-2x)=-2x¤ +28x
=-2(x-7)¤ +98
따라서 닭장의 최대 넓이는 98m¤ 이다.
(cid:9120) 98m¤
03 새로운 삼각형의 넓이를 y cm¤ 라 하면 밑변의 길
이는 (14-x)cm, 높이는 (10+x)cm이므로
y=;2!;(14-x)(10+x)
y=;2!;(-x¤ +4x+140)
x=k일 때, 최댓값
k¤ +6k를 갖는다.
y=-;2!;(x-2)¤ +72
따라서 x=2일 때 삼각형의 넓이가 최대가 된다.
(cid:9120) 2
Ⅲ. 이차함수 | 43
9-가발전(렉쳐)해설Ⅲ(34~49) 2014.9.3 8:11 PM 페이지44 SinsagoHitec
LECTURE BOOK
Q BOX
03-1 x초 후의 직사각형의 넓이를 y cm¤ 라 하면
03
y=-x¤ -2x+3=-(x+1)¤ +4이므로
x축과의 교점
(cid:8857) y좌표는 0이다.
y=(16-x)(12+3x)
=-3x¤ +36x+192
=-3(x-6)¤ +300
따라서 직사각형의 넓이가 최대가 되는 것은 6초
후이다.
(cid:9120) 6초
04
y=-5x¤ +10x=-5(x-1)¤ +5
따라서 이 물체가 가장 높이 올라갔을 때 지면으
로부터의 높이는 5 m이다.
(cid:9120) ③
04-1 y=-4x¤ +24x=-4(x-3)¤ +36
따라서 야구공은 3초 후에 최고 높이에 도달한
다.
(cid:9120) 3초
발전유형 익히기
▶ 131~133쪽
01
y=x¤ +6x+2m+8=(x+3)¤ +2m-1
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-3, 2m-1)
이 점이 y=2x+3의 그래프 위에 있으므로
2m-1=2_(-3)+3, 2m=-2
∴ m=-1
(cid:9120) -1
01-1 y=-x¤ +2ax-a¤ -2a+1
=-(x-a)¤ -2a+1
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (a, -2a+1)
이 점이 직선 3x+y-4=0 위에 있으므로
3a-2a+1-4=0(cid:100)(cid:100)∴ a=3
(cid:9120) ④
02
y=-2x¤ +4x+k=-2(x-1)¤ +k+2
y=-2x¤ +4x+k에 x=-1, y=0을 대입하면
축의 방정식이 x=1이므로
A(-1, 0), B(3, 0)
0=-2-4+k ∴ k=6
따라서 꼭젓점은 C(1, 8)
∴ △ABC=;2!;_4_8=16
(cid:9120) 16
02-1 y=;2!;x¤ -2x+a=;2!;(x-2)¤ +a-2
축의 방정식이 x=2이므로
A(-2, 0), B(6, 0)
y=;2!;x¤ -2x+a에 x=-2, y=0을 대입하면
0=2+4+a ∴ a=-6
따라서 꼭젓점은 C(2, -8)
∴ △ABC=;2!;_8_8=32
(cid:9120) 32
44 | SOLUTION
꼭짓점 (p, q)가 직선
y=ax+b 위의 점이면
(cid:8857) q=a_p+b
03-1 x=0일 때 y=6이므로 A(0, 6)
y=;2!;x¤ -4x+6=;2!;(x-4)¤ -2이므로
A(-1, 4)
-x¤ -2x+3=0에서
x¤ +2x-3=0, (x+3)(x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=1(cid:100)(cid:100)∴ B(-3, 0)
x=0일 때 y=3이므로 C(0, 3)
∴ △ABC=△ABO+△AOC-△BOC
∴ △ABC=;2!;_3_4+;2!;_3_1-;2!;_3_3
(cid:9120) ①
∴ △ABC=3
다른 풀이
점 A에서 x축과 평행한 선분을 그어 y축과 만나
는 점을D 라 하면
△ABC=(cid:8772)ABOD-△ACD-△BOC
△ABC=;2!;_(1+3)_4-;2!;_1_1
△ABC=-;2!;_3_3
△ABC=3
B(4, -2)
∴ C(6, 0)
;2!;x¤ -4x+6=0에서 x¤ -8x+12=0
(x-2)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=6
∴ △ABC=△AOC+△OBC-△AOB
∴ △ABC=;2!;_6_6+;2!;_6_2-;2!;_6_4
(cid:9120) 12
∴ △ABC=12
다른 풀이
점 B에서 x축과 평행한 선분을 그어 y축과 만나
는 점을 D라 하면
△ABC=△AOC+(cid:8772)ODBC-△ADB
△ABC=;2!;_6_6+;2!;_(4+6)_2
△ABC=-;2!;_8_4
△ABC=12
04 주어진 이차함수의 그래프가 아래로 볼록하므로
a>0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 -ab>0 ∴ b<0
y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 있으므로 c<0
따라서 y=cx¤ +ab의 그래프는 c<0이므로 위
로 볼록하고, ab<0이므로 y축과의 교점이 원점
의 아래쪽에 있다.
두 점 A, B는 축에 대하
여 대칭이므로 축에서 같
은 거리만큼 떨어져 있다.
점 A의 x좌표
(cid:8857) 1-4_;2!;=-1
점 B의 x좌표
(cid:8857) 1+4_;2!;=3
점 A의 x좌표
(cid:8857) 2-8_;2!;=-2
점 B의 x좌표
(cid:8857) 2+8_;2!;=6
9-가발전(렉쳐)해설Ⅲ(34~49) 2014.9.3 8:11 PM 페이지45 SinsagoHitec
y=a(x-2)¤ +8에 x=0을
O 2
x
어야 한다.
대입하면
4a+8…0(cid:100)(cid:100)∴ a…-2
(cid:9120) ①
그래프가 원점을 지나도
제`2 사분면을 지나지 않
는다.
Q BOX
일차항의 계수가 0
(cid:8857) y축을 축으로 한다.
점 P의 좌표가 (2, 4)일
때 (cid:8772)OQPR의 넓이가
최대가 된다.
a=3일 때, a¤ -5a+8=2이므로 점 P의 좌표는
(3, 2)이다.
(cid:9120) (3, 2)
07 점 P의 좌표를 (x, -2x+8)이라 하고,
(cid:8772)OQPR의 넓이를 y라 하면
y=x(-2x+8)=-2x¤ +8x
=-2(x-2)¤ +8
따라서 (cid:8772)OQPR의 최대 넓이는 8이다. (cid:9120) ③
07-1 직선 l의 방정식은 y=-;2!;x+3이므로 점 P의
좌표를 {x, -;2!;x+3}이라 하고, △POA의 넓
이를 y라 하면
y=;2!;x {-;2!;x+3}=-;4!;x¤ +;2#;x
y=-;4!;(x-3)¤ +;4(;
따라서 x=3일 때 △POA의 넓이는 최대가 되므
로 점 P의 좌표는 {3, ;2#;}이다.
(cid:9120) {3, ;2#;}
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
07-2 점 C의 좌표를 (x, -x¤ +6)이라 하고,
(cid:8772)ABCD의 둘레의 길이를 y라 하면
y=2 {2x+(-x¤ +6)}=-2x¤ +4x+12
AB”=2x, BC”=-x¤ +6
=-2(x-1)¤ +14
따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이의 최댓값은 14
이다.
(cid:9120) 14
그래프가 원점을 지나면
제`4 사분면을 지나지 않
는다.
08 하루 판매 금액을 y원이라 하면
y=(1200+x){500-;4!;x}
y=-;4!;x¤ +200x+600000
y=-;4!;(x-400)¤ +640000
즉 y=cx¤ +ab의 그래프는
오른쪽 그림과 같으므로 제
y
O
x
3, 4 사분면을 지난다.
(cid:9120) 제3사분면, 제4사분면
04-1 주어진 이차함수의 그래프가 위로 볼록하므로
a<0
축의 방정식이 x=0이므로 b=0
y축과의 교점이 원점의 위쪽에 있으므로 c>0
따라서 y=cx¤ -ax+b의 그래프는 c>0이므로
아래로 볼록하고, -ac>0이므로 축이 y축의 왼
쪽에 있으며 b=0이므로 y절편이 0이다.
따라서 그래프로 적당한 것은 ③이다.
(cid:9120) ③
05
y=a(x-2)¤ +8로 놓으면
a<0이고, 그 그래프는 오른
쪽 그림과 같이 (y절편)…0이
y
8
05-1 y=ax¤ -2ax+a-1
y=a(x-1)¤ -1
의 그래프의 꼭짓점의 좌
표는 (1, -1)이고, 이 그
y
O
1
-1
x
래프가 모든 사분면을 지나려면 위의 그림과 같
이 a>0, (y절편)<0이어야 한다.
y=ax¤ -2ax+a-1에 x=0을 대입하면
a-1<0 ∴ a<1
∴ 00
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 b<0
y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 있으므로 c<0
④ x=1일 때, y=a+b+c<0
⑤ x=-1일 때, y=a-b+c>0
(cid:9120) ⑤
08 꼭짓점의 좌표가 (2, -1)이고, 점 (0, 2)를 지
나므로 y=a(x-2)¤ -1에 x=0, y=2를 대입
하면 2=a(0-2)¤ -1(cid:100)(cid:100)∴ a=
3
4
즉 y= (x-2)¤ -1= x¤ -3x+2이므로
3
4
b=-3, c=2
∴ 4a+b+c=3-3+2=2
(cid:9120) ④
09
y=a(x-3)¤ +q에 두 점 (-1, -9), (2, 6)
의 좌표를 각각 대입하면
-9=16a+q, 6=a+q(cid:100)(cid:100)∴ a=-1, q=7
즉 y=-(x-3)¤ +7에 x=0을 대입하면
y=-(0-3)¤ +7=-2
(cid:9120) ③
10
y=a(x+3)(x-2)라 하면 x=0일 때 y=6이
므로 6=-6a(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
따라서 y=-(x+3)(x-2)=-x¤ -x+6이므로
a=-1, b=-1, c=6
∴ a+b+c=4
11
y=- x¤ -4x+2=- (x+4)¤ +10
1
2
따라서 x=-4에서 최댓값 10을 가지므로
3
4
1
2
p=-4, q=10
∴ p+q=6
12
y=x¤ -2ax-2a=(x-a)¤ -a¤ -2a이므로
-a¤ -2a=-3, a¤ +2a-3=0
(a+3)(a-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=1 (∵ a>0)
(cid:9120) ③
(cid:9120) ②
(cid:9120) ①
13
y=-2x¤ +4mx+8m+10
y=-2(x-m)¤ +2m¤ +8m+10
이므로 M=2m¤ +8m+10=2(m+2)¤ +2
따라서 M의 최솟값은 2이다.
(cid:9120) ①
꼭짓점의 좌표가 (p, q)
인 이차함수의 그래프의
식
(cid:8857) y=a(x-p)¤ +q
두 점 (a, 0), (b, 0)
을 지나는 이차함수의 그
래프의 식
(cid:8857) y=a(x-a)(x-b)
로 놓는다.
이차함수
y=ax¤ +bx+c의 최댓
값, 최솟값
(cid:8857) y=a(x-p)¤ +q의
꼴로 변형한다.
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Q BOX
꼭짓점의 좌표가 (-1, 2)
이다.
12-2x
2
=6-x
y=-;1¡0;(x-300)¤ +7000
따라서 하루에 제품 300개를 생산했을 때 이익이
최대가 된다.
(cid:9120) 300개
b=2a-2이므로
-a¤ +b=-a¤ +2a-2
14 두 수를 x, 30-x라 하고, 두 수의 곱을 y라 하면
y=x(30-x)=-x¤ +30x=-(x-15)¤ +225
따라서 두 수의 곱의 최댓값은 225이다.
(cid:9120) ②
15 한 원의 반지름의 길이를 xcm, 두 원의 넓이의
합을 ycm¤ 라 하면 다른 원의 반지름의 길이는
(6-x)cm이므로
y=px¤ +p(6-x)¤ =p(2x¤ -12x+36)
=2p(x-3)¤ +18p
따라서 두 원의 넓이의 합의 최솟값은 18p cm¤ 이
다.
(cid:9120) ③
16 이익을 y만 원이라 하면
y=-;1¡0;x¤ +60x-2000
17
채점 기준
y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
평행이동한 그래프의 식 구하기
x의 값의 범위 구하기
점수
2
2
2
y=;2!;x¤ +4x+1=;2!;(x+4)¤ -7
이 그래프를 x축의 방향으로 3만큼 평행이동한
•2점
그래프의 식은
y=;2!;(x-3+4)¤ -7=;2!;(x+1)¤ -7 •2점
따라서 x<-1일 때, x의 값이 증가할 때 y의 값
은 감소한다.
•2점
(cid:9120) x<-1
18
채점 기준
이차함수의 식 구하기
표준형으로 변형하기
꼭짓점의 좌표 구하기
y=ax¤ +bx+c로 놓으면 세 점 (-1, 0),
(0, -5), (-2, 3)을지나므로
0=a-b+c, -5=c, 3=4a-2b+c
∴ a=-1, b=-6, c=-5
따라서 y=-x¤ -6x-5
=-(x+3)¤ +4
이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-3, 4)이다.
점수
2
2
2
•2점
•2점
•2점
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
19
채점 기준
y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
a, b, c의 값 구하기
a+b-c의 값 구하기
x=-1에서 최솟값 2를 가지므로
y=a(x+1)¤ +2
그래프가 점 (-2, 3)을 지나므로
3=a+2 ∴ a=1
즉 y=(x+1)¤ +2=x¤ +2x+3이므로
b=2, c=3
∴ a+b-c=0
점수
2
3
1
•2점
•3점
•1점
(cid:9120) 0
20
y=x¤ +2ax+b의 그래프가 점 (-1, -1)을
지나므로
-1=1-2a+b(cid:100)(cid:100)∴ b=2a-2
y=x¤ +2ax+b=(x+a)¤ -a¤ +b이므로
꼭짓점의 좌표는 (-a, -a¤ +2a-2)
이 점이y=4x+7 의 그래프 위에 있으므로
-a¤ +2a-2=-4a+7, a¤ -6a+9=0
(a-3)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ a=3
∴ b=2_3-2=4
∴ ab=12
(cid:9120) ①
21
y=-x¤ -4x=-(x+2)¤ +4
y=-x¤ +2x+3=-(x-1)¤ +4
∴ A(-2, 4)
∴ B(1, 4)
y=-(x-1)¤ +4의 그래프는
y=-(x+2)¤ +4의 그래프를 x축의 방향으로 3
만큼 평행이동한 것이므로
OC”=AB”=3
오른쪽 그림에서 색칠한 부
분의 넓이는 서로 같다. 즉
구하는 넓이는 평행사변형
AOCB의 넓이와 같으므로
3_4=12
y
A
B
O
C
x
(cid:9120) 12
-40
A
y
O
-20
40
B
x
Ⅲ. 이차함수 | 47
M을 원점, y축을 축으로
하는 포물선을 그린다.
22 오른쪽 그림에서 포물선의
식은 y=ax¤ -20
점 B의 좌표는 (40, 0)이
므로
0=a_40¤ -20 ∴ a=;8¡0;(cid:100)(cid:100)
(cid:9120) (-3, 4)
∴ y=;8¡0;x¤ -20
9-가발전(렉쳐)해설Ⅲ(34~49) 2014.9.3 8:12 PM 페이지48 SinsagoHitec
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Q BOX
따라서 `x=20일 때 y=;8¡0;_20¤ -20=-15이
므로 M에서 20m 떨어진 곳의 수심은 15 m이다.
23
채점 기준
세 점 A, B, C의 좌표 구하기
△ABC의 넓이 구하기
x=0일 때 y=6이므로
A(0, 6)
y=0일 때
•1점
0=-;2!;x¤ +2x+6에서
x¤ -4x-12=0
(x+2)(x-6)=0
∴ x=-2 또는 x=6
∴ B(6, 0)
C
y
D
A
O
2
B
6
x
또 y=-;2!;x¤ +2x+6=-;2!;(x-2)¤ +8이므로
•1점
C(2, 8)
∴ △ABC=(cid:8772)DOBC-△AOB-△ACD
∴ △ABC=;2!;_(2+6)_8-;2!;_6_6
∴ △ABC=-;2!;_2_2
∴ △ABC=12
(cid:9120) ④
점수
3
3
•1점
•3점
(cid:9120) 12
점수
2
2
2
24
채점 기준
y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 나타내기
제3사분면을 지나지 않을 조건 구하기
a의 값의 범위 구하기
(마름모의 넓이)
=
_(두 대각선의 길이
;2!;
의 곱)
x=2에서 최솟값 -3을 가지므로
y=a(x-2)¤ -3`(a>0)
•2점
그 그래프가 제 3 사분면을
y
지나지 않으려면 오른쪽 그
2
림과 같이 (y절편)æ0이어
O
x
두 점 A, B의 y좌표가
같다.
야 한다.
•2점
-3
따라서 x=0일 때
y=a(0-2)¤ -3æ0이므로 aæ;4#;
•2점
(cid:9120) aæ;4#;
점수
2
2
2
a, b 모두 자연수이므로
ab도 자연수이다.
25
채점 기준
넓이에 대한 식 구하기
직사각형의 최대 넓이 구하기
가로, 세로의 길이 구하기
⑴ 직사각형의 세로의 길이를 x cm, 넓이를
y cm¤ 라 하면 가로의 길이는 (28-2x)cm이
므로
48 | SOLUTION
y=x(28-2x)=-2x¤ +28x
=-2(x-7)¤ +98
따라서 직사각형의 최대 넓이는 98 cm¤ 이다.
•2점
•2점
⑵ x=7일 때 넓이가 최대이므로 이때의 세로의
길이는 7 cm, 가로의 길이는
28-2_7=14(cm)이다.
•2점
(cid:9120) ⑴ 98 cm¤ (cid:100)⑵ 14 cm, 7 cm
Ⅲ. 이차함수
최고수준 정복하기
▶ 138~139쪽
01 4
02 ;3¶6;
03 10
04 4
05 f(1), f(8), f(4)
06 12
07 -
1
4k
08 3
01
y=x¤ -a의 그래프와 x축에 대칭인 그래프의 식
C(0, -a)
D(0, a)
은 -y=x¤ -a
∴ y=-x¤ +a
두 그래프의 교점 A, B의 x좌표는
x¤ -a=-x¤ +a에서 x¤ =a ∴ x=—'a
∴ A(-'a, 0), B('a, 0)
AB”=2'a, CD”=2a이므로
(cid:8772)ACBD=;2!;_2'a_2a=16
a'a=8, a‹ =64 ∴ a=4
(cid:9120) 4
y=(-2)¤ =4이므로 A(0, 4)
그래프가 직선 x=2에 대칭이므로 B(4, 4)
직선 y=;2!;x+ab가 선분AB 와 만나므로
⁄ 직선 y=;2!;x+ab가 점 A(0, 4)를 지날 때
⁄ 4=0+ab ∴ ab=4
¤ 직선 y=;2!;x+ab가 점 B(4, 4)를 지날 때
⁄ 4=2+ab ∴ ab=2
⁄, ¤에서 2…ab…4 ∴ ab=2, 3, 4
따라서 이를 만족시키는 순서쌍 (a, b)는
(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1),
(1, 4), (4, 1), (2, 2)
의 7가지이므로 구하는 확률은 ;3¶6;이다.
(cid:9120) ;3¶6;
꼭짓점의 좌표가 (2, -3)
02
y=(x-2)¤ 에 x=0을 대입하면
9-가발전(렉쳐)해설Ⅲ(34~49) 2014.9.3 8:12 PM 페이지49 SinsagoHitec
03
y=-;3!;x+k의
그래프의 y절편은
k, x절편은 3k이
므로 A(0, k),
B(3k, 0)
y=x@
y
A
1
y=- x+k
3
C
O
D
B
x
Q BOX
한편 y=f(x)의 그래프는 아래로 볼록하므로
x<5에서 x의 값이 증가할 때, y의 값은 감소한다.
∴ f(1)>f(2)>f(4), 즉 f(1)>f(8)>f(4)
(cid:9120) f(1), f(8), f(4)
C(a, a¤ )(a>0)이라 하고, 점 C에서 x축에 내
06
y=;2!;x¤ -kx+4k를 k에 대하여 정리하면
린 수선의 발을 D라 하면D (a, 0)
△AOBª△CDB (AA 닮음)이므로
AC” : CB”=OD” : DB”
1 : 9=a : (3k-a), 9a=3k-a
∴ k=:¡3º:a
… ㉠
또 점 C(a, a¤ )은 y=-;3!;x+k의 그래프 위의
점 C는 제1사분면 위의
점이므로 a>0
∠AOB=∠CDB=90°,
∠B는 공통
ax+b=0이 x의 값에
관계없이 항상 성립
(cid:8857) a=0, b=0
(4-x)k+;2!;x¤ -y=0
이 식이k 의 값에 관계없이 항상 성립하므로
4-x=0, ;2!;x¤ -y=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4, y=8
따라서 y=;2!;x¤ -kx+4k의 그래프는 k의 값에
관계없이 항상 점 (4, 8)을 지난다.
∴ a+b=12
(cid:9120) 12
L
E
C
T
U
R
E
B
O
O
K
점이므로 a¤ =-;3!;a+k … ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
a¤ =-;3!;a+:¡3º:a, a(a-3)=0
∴ a=3 (∵ a>0)
∴ k=:¡3º:_3=10
(cid:9120) 10
c+ 0에서 k+ 0이므로
양변을 k로 나눌 수 있다.
04 점 C의 x좌표를 a라 하면
C{a, ;2!;a¤ }, B{-a, ;2!;a¤ }
D{a, 2a¤ +;2!;}, A{-a, 2a¤ +;2!;}
AD”=2a, AB”=2a¤ +;2!;-;2!;a¤ =;2#;a¤ +;2!;
점 A(0, k)가 원점의
아래쪽에 있으므로 k<0
07 OA”=OB”이므로 B(-k, 0)
y=ax¤ +bx+c의 그래프가 두 점 A(0, k),
B(-k, 0)을 지나므로
k=c, 0=a(-k)¤ +b(-k)+c에서
ak¤ -bk+k=0, bk=ak¤ +k
∴ b=ak+1 (∵ k+0)
∴ ab=a(ak+1)=ka¤ +a
1
∴ ab=k{a¤ + a+ }-
k
1
2k
∴ ab=k{a+ }2 -
1
4k¤
1
4k
1
4k
k<0이므로 ab의 최댓값은 -
(cid:9120) -
1
4k
1
4k
(cid:8772)ABCD는 정사각형이다.
y=-x¤ +6x+a=-(x-3)¤ +a+9
08
y=x¤ -6x-a=(x-3)¤ -a-9
AD”=AB”이므로 2a=;2#;a¤ +;2!;
3a¤ -4a+1=0, (3a-1)(a-1)=0
∴ a=;3!; 또는 a=1
따라서 (cid:8772)ABCD의 최대 넓이는
(2a)¤ =2¤ =4
(cid:9120) 4
05
f(5-x)=f(5+x)에서
(5-x)+(5+x)
2
=5
x=5
y
f{1}
f{2}
f{4}
이므로 y=f(x)의 그
래프의 축의 방정식
은 x=5이다.
점 (8, f(8))의 x=5
에 대한 대칭점은 점
(2, f(2))이므로
f(8)=f(2)
O
1
2
4
5
8
x
한 변의 길이가 2a인 정
사각형이다.
점 A와 점 D는 직선 x=3
에 대칭이므로 AD”=2t
이차함수의 그래프는 축
에 대칭이다.
점 A와 점 B는 x축에 대
칭이므로
AB”=2_(점 A의`` y좌표)
즉 두 그래프의 축의 방정식은 x=3이므로 직사
각형은 직선 x=3에 대칭이다.
직선 x=3에서 AB”까지의 거리를 t(00, '3-2<0이므로
(주어진 식)=2-'3-{-('3-2)}
Q BOX
'∂10-3='∂10-'9>0
'∂10-5='∂10-'∂25<0
a>0, b>0일 때
a<'∂x<'b이면
a¤ 2
∴ -'5<-2
032 ③ -{æ;2!; }2 =-;2!;=-æ–{;2!;}2 =-æ;4!;
④ -"√(-2)¤ =-'4
⑤ -0.2=-;5!;=-æ–{;5!;}2 =-æ–;2¡5;
∴ -"√(-2)¤ <-'3<-{æ;2!; }2 <-0.2<Æ;5!;
033 3="≈3¤ ='9, -5=-"≈5¤ =-'ß25
∴ -5<-'∂0.5<Ƭ:¡3¶:<3<'ß11
따라서 a='ß11, b=-5이므로
a¤ -b¤ =('ß11)¤ -(-5)¤ =11-25=-14
넓이가 a인 정사각형의
한 변의 길이 (cid:8857) 'a
(cid:9120) - 14
(음수)<0<(양수)이므로
음수끼리 비교한다.
수 있다.
W
O
R
K
B
O
O
K
=2-'3+'3-2=0
(cid:9120) ③
035 'ß10-3>0, 'ß10-5<0이므로
(주어진 식)='ß10-3-('ß10-5)
='ß10-3-'ß10+5=2
(cid:9120) 2
036 3<'∂5n<'∂26의 각 변을 제곱하면
9<5n<26 ∴ ;5(;5
② 5-'3-3=2-'3>0
∴ 5-'3>3
③ '5-1-('3-1)='5-'3>0
∴ '5-1>'3-1
⑤ -2-'5-(-2-'7 )=-'5+'7>0
∴ -2-'5>-2-'7
(cid:9120) ④
050 ② '2+'7-(3+'2 )='7-3<0
∴ '2+'7<3+'2
⑤ '8-'6-(2-'6 )='8-2>0
∴ '8-'6>2-'6
(cid:9120) ②, ⑤
051 ㈀ '8-2-1='8-3<0
∴ '8-2<1
㈂ 5-'ß10-('ß20-'ß10)=5-'ß20>0
∴ 5-'ß10>'ß20-'ß10
따라서 옳은 것은 ㈁, ㈃, ㈄이다.
(cid:9120) ④
052 A-B='3+'5-('3+2)='5-2>0
∴ A>B
A-C='3+'5-('5+2 )='3-2<0
∴ A0
∴ a>b
b-c='∂15+'∂10-('∂15+3)='∂10-3>0
∴ b>c
∴ c0 (cid:8857) a>b
② a-b<0 (cid:8857) a4(cid:100)㈃ Ƭ:•5£:>4
(D의 넓이)
=;2!;_(C의 넓이)
(C의 넓이)
=;2!;_(B의 넓이)
(B의 넓이)
=;2!;_(A의 넓이)
㈅ 3<'8+1<4(cid:100)(cid:100)∴ '8<'8+1<4
따라서 '8과 4 사이에 있는 수는 ㈀, ㈄, ㈅의 3
(cid:9120) ③
개이다.
061 (D의 넓이)=;2!;_;2!;_;2!;_(A의 넓이)
(D의 넓이)=;2!;_;2!;_;2!;_16
(D의 넓이)=2(cm¤ )
따라서 정사각형 D의 한 변의 길이는 '2 cm이다.
(cid:9120) '2 cm
닮음비가 1 : 3이면 대응
변의 길이의 비도 1 : 3
이다.
062 정사각형 P의 한 변의 길이를x cm라 하면 정사
각형 Q의 한 변의 길이는 3xcm이므로
x¤ +(3x)¤ =100, 10x¤ =100, x¤ =10
∴ x='1å0 (∵ x>0)
따라서 정사각형 P의 한 변의 길이는 '1å0cm이
(cid:9120) '1å0cm
다.
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지53 SinsagoHitec
063 00, a-1<0
;a!;
;a!;
069 a=-;2!;이라 하면
따라서 자연수 n은 12, 27, 48, 75의 4개이다.
071 120xy=2‹ _3_5_xy이므로 최소의 자연수가
(cid:9120) ④
되도록 하는 xy의 값은
2_3_5=30
Q BOX
"’a¤ =[
-a(aæ0)
-a(a<0)
-10
;a!;
'∂3n이 자연수가 된다.
(cid:8857) 3n이 제곱수가 되어
야 한다.
'ßA-'ßB가 가장 큰 자
연수
(cid:8857) 'ßA는 가장 큰 자연수,
'ßB 는 0 또는 가장
작은 자연수
모든 경우의 수가 n, 어
떤 사건이 일어나는 경우
의 수가 a이면
(어떤 사건이 일어날 확률)
8-4+1=5(개)
15-9+1=7(개)
20-16+1=5(개)
이므로
(주어진 식)=-{a-
;a!;}-{;a!;
-a}-{-(a-1)}
(주어진 식)=-a+
-
+a+a-1
;a!;
;a!;
(주어진 식)=a-1
(cid:9120) ④
064 -10,
;a!;
;a!;
-2a>0이므로
(주어진 식)=-{a+
;a!;}-{a-
;a!;}-(-2a)
(주어진 식)=-a-
-a+
+2a=0 (cid:9120) 0
;a!;
;a!;
065 '∂3n이 자연수가 되려면 n=3k¤ (k는 자연수)의
꼴이어야 하므로
10<3k¤ <100, :¡3º:0, b>0일 때
'a'b='∂ab
a>0, b>0일 때
'a
'b
=Ƭ
a
b
a>0, b>0, c>0일 때
'∂abc='a'b'c
WORK BOOK
075 ① '2'6='2∂_å6='1å2
③ 4'3_5'7=20'ƒ3_7=20'2å1
⑤ 2Æ;3%;_3Æ;5^;=6Æ;3%;¬_˚;Δ
˚5^;=6'2 (cid:9120) ②, ④
076 (주어진 식)=6æ≠15_;3™5;_7=6'6
(cid:9120) ③
077 '3_'a_'6_'∂2a='ƒ3_a_6_2a="√(6a)¤
"√(6a)¤ =24이므로 6a=24
∴ a=4
(cid:9120) 4
078 ①
=Ƭ:¢2™:='∂21
'ß42
'2
'ß30
'6
'ß70
'∂10
②
③
=Ƭ:£6º:='5
=Ƭ;1&0);='7
④ '∂75÷'5=
=Ƭ:¶5∞:='∂15
'ß75
'5
⑤ '∂60÷
='∂60_
=Æ…60_;1¢2;
'ß12
'4
'4
'ß12
⑤ '∂60÷
='∂20
(cid:9120) ①
079 (주어진 식)='∂45_2'∂18_
1
6'∂10
=;3!;Æ…45_18_;1¡0;
=;3!;"ç9¤ =3(cid:100)
(cid:9120) 3
080 ㈀ '1å5÷ ='1å5_ =Æ15¬_˚;Δ
˚3%;=5(cid:100)(cid:100)
'3
'5
'5
'3
(cid:100) ∴ x=5
㈁ Æ;3*;÷Æ;3@;=Æ;3*;_Æ;2#;=Æ…;3*;_;2#;=2(cid:100)(cid:100)
(cid:100) ∴ y=2
∴ xy=5_2=10
081 '∂108="‘
'∂60="‘
∴ a+b=8
‘6¤ _3=6'3이므로 a=6
‘2¤ _15=2'∂15이므로 b=2
a>0, b>0일 때
"ça¤ b=a'b
(cid:9120) 10
(cid:9120) ④
082 '∂48="√4¤ _3=4'3, 5'5='∂125, 7'2='∂98
이므로 a=4, b=125, c=98
∴ "√a(b-c)="√4_(125-98)
5'ß2k
3
=
5'ß10
3
이므로
="√4_27=6'3
(cid:9120) ③
2k=10
083 æ–:£3∞:_6'∂15=6æ≠:£3∞:_15=6"√5¤ _7=30'7
이므로 a=30, b=7
∴ a-b=23
(cid:9120) 23
54 | SOLUTION
=æ≠
4¤ _5
100¤
=
4'5
100
=
'5
25
(cid:9120) ①
085 æ≠;3&6%;=
'∂75
'∂36
=
5'3
6
이므로 a=;6%;
'ƒ0.12=æ≠;1¡0™0;=
= 이므로 b=;5!;
2'3
10
'3
5
∴ ab=;6%;_;5!;=;6!;
(cid:9120) ;6!;
086
'2
5
=Ƭ;2™5;, Æ;5!;=Ƭ;2∞5;, ;5!;=Ƭ;2¡5; ,
'ƒ0.12=Ƭ
¬;1¡0™0;=Ƭ;2£5;
∴ ;5!;< <'ƒ0.12<Æ;5!;
'2
5
따라서 두 번째에 오는 수는 이다. (cid:9120)
'2
5
'2
5
087 '∂180="√2¤ _3¤ _5=2_('3)¤ _'5=2a¤ b
088 '∂72="√2‹ _3¤ =('2 )‹ _3=3x‹
'∂80="√2› _5=('2)› _'5=x› y
∴ '∂72-'∂80=3x‹ -x› y
089 'ƒ
∂1.76=æ≠
176
100
=
4'∂11
10
=
2'∂11
5
=;5@;A
=
18'6
6
=3'6이므로 a=3
6
= =
'2
6_'2
'2_'2
=
6'2
2
=3'2
090
=
18
18_'6
'6
'6_'6
12
12
'8
2'2
이므로 b=3
=
∴ a+b=6
091 ④
5'3
'5
=
5'3_'5
'5_'5
=
5'∂15
5
='∂15 (cid:9120) ④
092
=
10'k_'2
10'k
3'2
3'2_'2
2k=10(cid:100)(cid:100)∴ k=5
=
10'∂2k
6
=
5'∂2k
3
이므로
(cid:9120) 5
093 ④ '8_'2÷'∂27=2'2_'2_
1
3'3
④ '8_'2÷'∂27=
④ '8_'2÷'∂27=
4
3'3
4'3
9
(cid:9120) ④
(cid:9120) ②
(cid:9120) ③
(cid:9120) ③
(cid:9120) ③
‘
‘
‘
‘
‘
‘
‘
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지55 SinsagoHitec
Q BOX
(기둥의 부피)
=(밑넓이)_(높이)
(뿔의 부피)
=;3!;_(밑넓이)_(높이)
넓이가 a인 정사각형의
한 변의 길이 (cid:8857) 'a
근호 안의 수가 다르면
더 이상 간단히 할 수 없다.
094 4'3÷'∂24_'∂45=4'3_
_3'5
1
2'6
4'3÷'∂24_'∂45=
=3'∂10
6'5
'2
∴ a=3
(cid:9120) ④
095 (주어진 식)=
2'7
'∂30
_
_
2'3
'7
'∂10
'3
=4æ≠;3¶0;_;7#;_:¡3º:
4
= =
'3
4'3
3
(cid:9120)
4'3
3
096 (사각기둥의 부피)='∂30_4_2'5=40'6
(사각뿔의 부피)=;3!;_6_4'3_x=8x'3
40'6=8x'3이므로
x=
40'6
8'3
=5'2
097 AB”='∂12=2'3, BC”='∂50=5'2이므로
(cid:8772)ABCD=AB”_BC”=2'3_5'2=10'6
098 구하는 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
p_(4'5 )¤ +p_(2'ß10)¤ =pr¤
pr¤ =120p, r¤ =120
∴ r=2'ß30(∵ r>0)
099 ① '7+'3+'∂10
② 8'7-3'7=(8-3)'7=5'7
③ 3'2+2'5-'2=(3-1)'2+2'5
=2'2+2'5
④ '3+'9-2'3=(1-2)'3+"ç3¤ =3-'3
⑤ 2'7-5'7+3'7=(2-5+3)'7=0 (cid:9120) ⑤
100
2'2
3
'3
+ +
2
4'2
3
-
3'3
2
=2'2-'3
이므로 a=2, b=-1
∴ a-b=3
(cid:9120) ⑤
101 A=5'2-3'3+2'2=7'2-3'3
B=2'3+3'2+6'3=3'2+8'3
∴ A-B=7'2-3'3-(3'2+8'3)
=4'2-11'3
(cid:9120) 4'2-11'3
(cid:9120) 5'2
(cid:9120) 10'6
(cid:9120) ①
102
24
-'∂54+ -'∂32
'6
14
'2
=7'2-3'6+4'6-4'2
=3'2+'6
이므로 a=3, b=1(cid:100)(cid:100)
∴ a+b=4
(cid:9120) 4
'6
'2
=Æ;2^; ='3
W
O
R
K
B
O
O
K
103 '∂125-'∂80+a'5=5'5-4'5+a'5
=(1+a)'5
(1+a)'5=-3'5이므로 1+a=-3(cid:100)(cid:100)
∴ a=-4
(cid:9120) ①
104
+'∂48-
15
'ß75
12
'ß12
=
15
5'3
+4'3-
12
2'3
='3+4'3-2'3
=3'3
(cid:9120) 3'3
105 '3('2+3'6)+'2(2'3-7)
='6+9'2+2'6-7'2
=2'2+3'6
(cid:9120) 2'2+3'6
106 '6('8+'6 )-'2('2-'∂54)
='6(2'2+'6 )-'2('2-3'6)
=4'3+6-2+6'3 =4+10'3
이므로 a=4, b=10(cid:100)(cid:100)
∴ a+b=14
(cid:9120) ⑤
107 '5a-'7b='5('5+'7)-'7('5-'7)
=5+'∂35-'∂35+7
=12
(cid:9120) 12
108
-
3'2-'6
4'3-2
'3
'2
(3'2-'6 )_'3
'3 _'3
=
-
(4'3-2)_'2
'2_'2
=
3'6-3'2
3
-
4'6-2'2
2
='6-'2-2'6+'2 =-'6
(cid:9120) ①
109 '∂50+
16-'ß24
'8
16-2'6
2'2
=5'2+
=5'2+
=5'2+
8-'6
'2
(8-'6)_'2
'2_'2
=5'2+
8'2-2'3
2
=5'2+4'2-'3=9'2-'3
따라서 a=9, b=-1이므로
ab=-9
(cid:9120) ②
110 x=
'3+1
'2
'3-1
'2
=
=
('3+1)_'2
'2_'2
('3-1)_'2
'2_'2
=
=
'6+'2
2
'6-'2
2
y=
이므로 x+y='6, x-y='2
'6
= ='3
'2
x+y
x-y
∴
(cid:9120) '3
Ⅰ. 제곱근과 실수 | 55
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지56 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
111 '5 {'3- }+
2
'5
'∂20-'∂48
'3
2'∂15-12
3
='∂15-2+
='∂15-2+
2'∂15
3
-4
=-6+
5'∂15
3
이므로 a=-6, b=;3%;(cid:100)(cid:100)
∴ ab=-10
(cid:9120) ②
112 (주어진 식)
=12'2-6+20-5'2-(8-4'2+1)
=5+11'2
(cid:9120) 5+11'2
113 A=(2'∂10-5'2)÷
'∂10
2
2
'∂10
A=(2'∂10-5'2)_
10
A=4- =4-2'5
'5
B=('5+1)(2'5-1)
=10-'5+2'5-1
=9+'5
∴ B-A=9+'5-(4-2'5)
=5+3'5
(cid:9120) 5+3'5
114 (주어진 식)=4a+18+(-12-2a)'3이므로
-12-2a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-6
(cid:9120) ①
115 (주어진 식)='3+2-2a'3-2
(주어진 식)=(1-2a)'3
이므로 1-2a=0 ∴ a=;2!;
(cid:9120) ③
116 A=8'3-6-2a'3+2a=2a-6+(8-2a)'3
이므로 8-2a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=4
∴ A=2_4-6=2
(cid:9120) a=4, A=2
117 ;2!;_('∂12+'8+'∂48)_'∂24
=;2!;_(2'3+2'2+4'3)_2'6
=;2!;_(2'2+6'3)_2'6
=4'3+18'2
(cid:9120) ②
118 ;3!;p_(2'3)¤ _2'∂10-;3!;p_('3)¤ _'∂10
=;3!;p_24'∂10-;3!;p_3'∂10
=7'∂10p(cm‹ )
(cid:9120) 7'∂10p cm‹
56 | SOLUTION
분모를 각각 유리화한 후
식을 계산한다.
a+b'ßm=c+d'ßm
(a, b, c, d는 유리수,
'ßm은 무리수)
(cid:8857) a=c, b=d
곱셈 공식
(a-b)¤ =a¤ -2ab+b¤
을 이용한다.
119 PC”=AC”='2, BQ”=BD”='2이므로 점 P, Q
가 나타내는 수는 각각 4-'2, 3+'2이다.
∴ PQ”=3+'2-(4-'2 )
=-1+2'2
(cid:9120) -1+2'2
120 (주어진 식)=
(2+'3 )¤
4-3
-
(2-'3 )¤
4-3
(주어진 식)=4+4'3+3-(4-4'3+3)
(주어진 식)=8'3
(cid:9120) ⑤
121
'2
2'3-3'2
=
=
'2(2'3+3'2)
(2'3-3'2)(2'3+3'2)
2'6+6
12-18
=-1-
'6
3
이므로 a=-1, b=-
1
3
∴ =-1_(-3)=3
(cid:9120) 3
a
b
+
1+'2
1-'2
(1+'2)¤
1-2
1-'2
1+'2
+
(1-'2)¤
1-2
122 x+
=
;[!;
x+
=
;[!;
x+
x+
;[!;
;[!;
=-(1+2'2+2)-(1-2'2+2)
=-6
(cid:9120) - 6
123 ;[};
+
;]{;
=
x¤ +y¤
xy
=
(x-y)¤ +2xy
xy
_
=
;]{;
;[};
('6)¤ +2_2
2
=:¡2º:=5
(cid:9120) ②
a=-6을 주어진 식에
대입하면 식의 값은 -6
이므로 유리수이다.
1
124 x¤ + ={x+
x¤
;[!;}2 -2=(2'3)¤ -2
x¤ + =12-2=10
(cid:9120) 10
125
'x+'y
'x-'y
=
=
('x+'y)¤
('x-'y)('x+'y)
x+y+2'∂xy
x-y
이때 (x-y)¤ =(x+y)¤ -4xy=5¤ -4_4=9
(사다리꼴의 넓이)
=;2!;_{(윗변의 길이)
+(아랫변의 길이)}
_(높이)
이므로 x-y=3 (∵ x>y)
∴
x+y+2'∂xy
x-y
=
=
5+2_'4
3
5+4
3
=3
(cid:9120) ①
(cid:100)
y=
126 x=
'3-1
'3+1
'3+1
'3-1
=
=
('3-1)¤
('3+1)('3-1)
('3+1)¤
('3-1)('3+1)
=2-'3
=2+'3
이므로 x+y=4, xy=1
∴ x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy
=4¤ -2_1=14
(cid:9120) ③
(원뿔대의 부피)
=(큰 원뿔의 부피)
-(작은 원뿔의 부피)
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Q BOX
(x+y)¤ =x¤ +2xy+y¤
(cid:8857) x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy
3<'ß10<4에서 각 변에
3을 더한다.
(cid:8857) 6<'ß10+3<7
127 x+y=2'ß10, xy=1이므로
(x+y)¤ -2xy
xy
y
x
x
+ =
y
=
x¤ +y¤
xy
(2'ß10)¤ -2_1
1
=
=38
(cid:9120) ⑤
128 x=
1
2-'5
1
2+'5
=
=
2+'5
(2-'5)(2+'5)
2-'5
(2+'5)(2-'5)
=-2-'5
=-2+'5
y=
이므로 x+y=-4, xy=-1
∴
∴
∴
3xy
x¤ +y¤
3xy
(x+y)¤ -2xy
3_(-1)
(-4)¤ -2_(-1)
=
=
=-;6!;
(cid:9120) -;6!;
129 x=2+'3이므로 x-2='3
(x-2)¤ =('3)¤ , x¤ -4x+4=3(cid:100)(cid:100)
∴ x¤ -4x=-1
∴ "√x¤ -4x+10='ƒ-1+10='9=3
130 x=
=
'2-1
('2+1)('2-1)
1
'2+1
이므로 x+1='2
(x+1)¤ =('2)¤ , x¤ +2x+1=2
∴ x¤ +2x=1
∴ "√x¤ +2x=1
131 x=
=
'5+2
'5-2
5+4'5+4
5-4
x=
('5+2)¤
('5-2)('5+2)
=9+4'5
이므로 x-9=4'5
(x-9)¤ =(4'5)¤ , x¤ -18x+81=80
∴ x¤ -18x=-1
∴ x¤ -18x+9=-1+9=8
(cid:9120) ④
132 a=3.041, b=3.089이므로
a+b=6.130
133 x=22.1, y=24.4이므로
y-x=2.3
(cid:9120) ②
(cid:9120) ⑤
134 a=3.701, b=12.9이므로
1000a+10b=3701+129=3830
(cid:9120) 3830
135 ① '∂371="√100_3.71=10'∂3.71
이므로 어림한 값은 10_1.926=19.26
W
O
R
K
B
O
O
K
② '∂3710="√100_37.1=10'∂37.1
이므로 어림한 값은 10_6.091=60.91
④ 'ƒ0.0371=Æ…
3.71
100
=
(cid:100) 이므로 어림한 값은
=0.1926
⑤ '∂0.371=Æ…
37.1
100
=
'∂3.71
10
1.926
10
'∂37.1
10
6.091
10
(cid:100) 이므로 어림한 값은
=0.6091 (cid:9120) ③
136 ② '∂712='ƒ100_7.12=10'ƒ7.12이므로 어림한
값은 10_2.668=26.68
⑤ 'ƒ0.0743=æ≠
7.43
100
=
'ƒ7.43
10
이므로 어림한 값
(cid:100) 은
=0.2726
2.726
10
(cid:9120) ②, ⑤
137 463.7=4.637_100이고
'ƒ21.5_100='ƒ21.5_10000='ƒ215000이므로
x=215000
(cid:9120) ⑤
138 2<'5<3이므로 3<1+'5<4(cid:100)(cid:100)∴ a=3
1<'2<2이므로 -2<-'2<-1
1<3-'2<2
∴ b=(3-'2 )-1=2-'2
∴ a-b=3-(2-'2)=1+'2
(cid:9120) ③
a
3a-2b
=
2
6-2(3-'6)
'6
1
= =
6
'6
(cid:9120)
'6
6
140
=
1
'∂10+3
('∂10-3)('∂10+3)
'∂10-3
3<'1å0<4이므로 6<'1å0+3<7
따라서 a=6, b='1å0+3-6='1å0-3이므로
='∂10+3
1
a+b
-
=
;b!;
-
1
1
'∂10+3
'∂10-3
'∂10-3-('∂10+3)
10-9
=
=-6
141 10=('∂13)¤ -('3 )¤ =b¤ -a¤ 이므로
'∂10="√b¤ -a¤
'∂11="√x¤ +y¤
142 11=('5 )¤ +('6 )¤ =x¤ +y¤ 이므로
(cid:9120) -6
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ④
Ⅰ. 제곱근과 실수 | 57
(cid:9120) 3
(무리수의 소수 부분)
=(무리수)-(정수 부분)
='2-1
(cid:9120) 1
부등식의 각 변에 음수를
곱하면 부등호의 방향이
바뀐다.
139 2<'6<3이므로 -3<-'6<-2
2<5-'6<3
따라서 a=2, b=(5-'6)-2=3-'6이므로
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Q BOX
a>0, b>0일 때
('a+'b)« ('a-'b)«
={('a+'b)('a-'b)}«
=(a-b)«
(cid:9120) ③
a>0, b>0, c>0일 때
a='ß18-4=3'2-4
7-6+4'2=1+4'2
WORK BOOK
143 ('7 -'5 )fl ('7 +'5 )fl
={('7 -'5 )('7 +'5 )}fl
={('7 )¤ -('5 )¤ }fl =2fl =64
144 (3+2'2 )⁄
° (3-2'2 )¤
° (3-2'2 )¤
° (3-2'2 )¤
° (3-2'2 )⁄
=(3+2'2 )⁄
={(3+2'2 )(3-2'2 )}⁄
={3¤ -(2'2 )¤ }⁄
=17-12'2
따라서 a=17, b=-12이므로
° (9-12'2+8)
a+b=5
(cid:9120) 5
145 '2-3=A로 놓으면
(주어진 식)=('6-A)('6+A)=('6 )¤ -A¤
=('6 )¤ -('2-3)¤ =-5+6'2
따라서 a=-5, b=6이므로
ab=-30
(cid:9120) - 30
146 '2-'3=A로 놓으면
(주어진 식)
=
1
1+A
+
1
1-A
1-A
(1+A)(1-A)
+
1+A
(1-A)(1+A)
=
=
=
=
2
1-('2-'3 )¤
1
'6-2
2
1-A¤
=
=
2
1-5+2'6
'6+2
('6-2)('6+2)
=
'6+2
2
(cid:9120)
'6+2
2
147 정사각형의 한 변의 길이는 각각
'3 cm, '∂12=2'3(cm), '∂27=3'3(cm)
∴ (둘레의 길이)
(cid:100) =('3+2'3+3'3)_2+3'3_2
=18'3(cm)
(cid:9120) 18'3 cm
148 (cid:8772)ABGE=32이므로 EG”='3å2=4'2
(cid:8772)FGCH=18이므로 FG”='1å8=3'2
∴ EF”=4'2-3'2='2
∴ (cid:8772)EFHD=EF”_FH”='2_3'2=6 (cid:9120) 6
149 (주어진 식)=æ≠a¤ _ +æ≠b¤ _
4b
a
9a
b
(주어진 식)='∂4ab+'∂9ab=2'∂ab+3'∂ab
(주어진 식)=5'∂ab
이 식에 ab=36을 대입하면
5'∂ab=5_6=30
(cid:9120) ⑤
58 | SOLUTION
150 (주어진 식)=
(주어진 식)=
(주어진 식)=
-
9'a
4'b
"ça¤ b
"çab¤
9'∂ab-4'∂ab
"√a¤ b¤
5'∂ab
ab
=
5'5
5
151 10000…n<100000(cid:100)(cid:100)
='5
(cid:9120) '5
∴ 'ƒ10000…'ßn<'ƒ100000
이때 'ƒ10000=100, 'ƒ100000=100'∂10<1000
이므로 'ßn의 정수 부분은 세 자리의 수이다.
(cid:9120) ③
152 1…'a<10이므로 '1…'a<'∂100
∴ 1…a<100
따라서 자연수 a의 개수는 100-1=99(개)
(cid:9120) 99개
153
1
F(x)
=
1
'x+'ƒx+1
=
'x-'ƒx+1
('x+'ƒx+1)('x-'ƒx+1)
='ƒx+1-'x
∴ (주어진 식)
=('2-'1 )+('3-'2)+('4-'3)
+y+('∂81-'∂80)
∴ =-'1+'∂81
∴ =-1+9=8
154 f(x)=
1
'ƒx+1+'x
f(x)=
'ƒx+1-'x
('ƒx+1+'x)('ƒx+1-'x)
f(x)='ƒx+1-'x
∴ (주어진 식)
=('2-'1 )+('3-'2)+('4-'3)
+y+('∂100-'∂99)
=-'1+'∂100
=-1+10=9
(cid:9120) 8
(cid:9120) 9
155 7<'∂50<8이므로 [50]=7
4<'∂18<5이므로 <18>=3'2-4
∴ [50]-'2_<18>=7-'2(3'2-4)
=1+4'2
(cid:9120) 1+4'2
156 f(x)=10이려면 10<'ßx<11이어야 한다.
'∂100<'ßx<'∂121(cid:100)(cid:100)∴ 1000
∴ (주어진 식)=3æ≠{a-;2!;}
-æ≠{a+;2!;}
∴ (주어진 식)=-3{a-;2!;}-{a+;2!;}
∴ (주어진 식)=-4a+1
(cid:9120) ①
169 36x¤ -y¤ =(6x+y)(6x-y)
이므로 A=6, B=1
∴ A-B=6-1=5
(cid:9120) 5
170 ① a¤ -4=(a+2)(a-2)
② 8x¤ -2=2(4x¤ -1)=2(2x+1)(2x-1)
③ 4a¤ -25b¤ =(2a+5b)(2a-5b)
④ 64x¤ -49y¤ =(8x+7y)(8x-7y)
(cid:9120) ⑤
W
O
R
K
B
O
O
K
공통인수로 묶어 낸 후
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
를 이용한다.
171 -4x¤ +100=-4(x¤ -25)
=-4(x+5)(x-5)
(cid:9120) ④
172 a› -16b› =(a¤ +4b¤ )(a¤ -4b¤ )
=(a¤ +4b¤ )(a+2b)(a-2b) (cid:9120) ③
x¤ +ax+b가 완전제곱
식이 될 조건
¤a
}
2
(cid:8857) b={
173 a° -1=(a› +1)(a› -1)
=(a› +1)(a¤ +1)(a¤ -1)
=(a› +1)(a¤ +1)(a+1)(a-1)
(cid:9120) (a› +1)(a¤ +1)(a+1)(a-1)
x¤ +(a+b)x+ab
=(x+a)(x+b)
"çA¤ =|A|
A (Aæ0)
-A (A<0)
=
[
174 x⁄
fl -1=(x° +1)(x° -1)
=(x° +1)(x› +1)(x› -1)
=(x° +1)(x› +1)(x¤ +1)(x¤ -1)
=(x° +1)(x› +1)(x¤ +1)(x+1)(x-1)
따라서 보기에서 인수인 것은 ㈂, ㈃, ㈅이다.
(cid:9120) ④
175 x¤ -x-20=(x-5)(x+4)
(cid:9120) ①, ④
176 x¤ +5x-14=(x-2)(x+7)
이때 a>b이므로 a=7, b=-2
∴ a-b=9
(cid:9120) ⑤
177 (주어진 식)=x¤ -x-2-4
=x¤ -x-6
=(x+2)(x-3)
(cid:9120) (x+2)(x-3)
Ⅱ 이차방정식
1
인수분해
157 4x¤ +12xy=4x(x+3y)
▶30~46쪽
(cid:9120) ⑤
161 ⑤ ;4!;x¤ -6xy+36y¤ ={;2!;x-6y}2
(cid:9120) ⑤
158 (cid:9120) (x-y)(2a-b+1)
159 mn(4m+3n)-mn(2m+n)
=mn(2m+2n)
=2mn(m+n)
160 25x¤ -30xy+9y¤ =(5x-3y)¤
162 64x¤ -4x+;1¡6;={8x-;4!;}2
따라서 a=8, b=-;4!;이므로
a+4b=8+4_{-;4!;}=7
163 k={-;2#;_;2!;}2 =;1ª6;
(cid:9120) ②
(cid:9120) ①
(cid:9120) 7
(cid:9120) ③
164 x¤ -10x+A=x¤ -2_x_5+A(cid:100)(cid:100)
∴ A=5¤ =25
∴ B=4¤ =16
Bx¤ +8x+1=Bx¤ +2_4x_1+1¤ (cid:100)(cid:100)
∴ A-B=25-16=9
(cid:9120) 9
165 3x¤ -2x+k=3{x¤ -
x+
;3@;
;3K;}
={-;3@;_;2!;}2 =;9!;(cid:100)(cid:100)∴ k=;3!;
;3K;
(cid:9120) ③
166 x+3>0, x-3<0
∴ (주어진 식)="√(x-3)¤ +"√(x+3)¤
=-(x-3)+x+3
=6
(cid:9120) ③
167 00, a-b<0
∴ "√a¤ +2ab+b¤ -"√a¤ -2ab+b¤
="√(a+b)¤ -"√(a-b)¤
=(a+b)-{-(a-b)}
=a+b+a-b=2a
(cid:9120) ③
(4x-5)+(x+3)=5x-2
(cid:9120) 5x-2
acx¤ +(ad+bc)x+bd
=(ax+b)(cx+d)
178 4x¤ +7x-15=(4x-5)(x+3)
이므로 두 일차식의 합은
Ⅱ. 이차방정식 | 59
¤
¤
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지60 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
179 ① (x-2)(2x+3) ② 2(x-2)¤
③ (x-2)(3x+5) ④ (x+2)(3x-4)
⑤ (x-2)(3x+2)
따라서 x-2를 인수로 갖지 않는 것은 ④이다.
두 일차식의 곱으로 인수
분해된다는 것은 두 일차
식의 곱을 전개한 식이
ax¤ -2x+b가 됨을 의
미한다.
(cid:9120) ④
다른 인수를 x+B로 놓
고 (x-2)(x+ B)를
전개하여 x¤ +Ax-24
와 비교한다.
x-3으로 나누어떨어진다.
(cid:8857) x-3을 인수로 가진다.
x¤ 의 계수가 2이고 한 인
수가 x+3이므로 다른
인수를 2x+a로 놓을 수
있다.
x¤ +mx+n
=(x+a)(x+b)
(cid:8857) m=a+b, n=ab
x¤ 의 계수가 3이고 한 인
수가 x+3이므로 다른
인수를 3x+b로 놓을 수
있다.
180 (주어진 식)=6x¤ +x-1-1=6x¤ +x-2
=(2x-1)(3x+2)
(cid:9120) (2x-1)(3x+2)
181 x¤ -2x-3=(x+1)(x-3)
2x¤ +5x+3=(x+1)(2x+3)
따라서 공통인 인수는 x+1이다.
(cid:9120) ③
182 2x¤ -9x-5=(x-5)(2x+1)
6x¤ +5x+1=(2x+1)(3x+1)
따라서 공통인 인수는 2x+1이다. (cid:9120) 2x+1
183 3a¤ +5a-2=(a+2)(3a-1)
6a¤ +a-1=(2a+1)(3a-1)
따라서 공통인 인수는 3a-1이므로
m=3, n=-1
∴ mn=3_(-1)=-3
(cid:9120) -3
184 A는 곱이-18인 두 정수의 합이다.
곱이 -18인 두 정수는 1, -18 또는 -1, 18
또는 2, -9 또는 -2, 9 또는 3, -6 또는 -3, 6
따라서 A의 값이 될 수 있는 수는
-17, 17, -7, 7, -3, 3이다.
(cid:9120) ②
185 m은 곱이 9인 두 정수의 합이다.
곱이 9인 두 정수는 1, 9 또는 -1, -9 또는 3, 3
또는 -3, -3
따라서 m은 10, -10, 6, -6의 4개이다.
(cid:9120) 4개
186 k는 곱이 -15인 두 정수의 합이다.
곱이 -15인 두 정수는 1, -15 또는 -1, 15
또는 3, -5 또는 -3, 5
따라서 k의 최댓값은 14이다.
(cid:9120) 14
187 x¤ +Axy-4y¤ =(x-y)(x+By)
=x¤ +(B-1)xy-By¤
이므로 A=B-1, -4=-B
60 | SOLUTION
188 ax¤ -2x+b=(2x-3)(4x+5)
=8x¤ -2x-15
이므로 a=8, b=-15
∴ a+b=-7
(cid:9120) - 7
189 12x¤ +(3a-2)x-5=(3x+1)(4x+b)
=12x¤ +(3b+4)x+b
이므로 3a-2=3b+4, -5=b(cid:100)(cid:100)
∴ a=-3, b=-5
∴ a-b=2
(cid:9120) ④
190 x¤ +Ax-24=(x-2)(x+B)로 놓으면
(x-2)(x+B)=x¤ +(B-2)x-2B
이므로 B-2=A, -2B=-24
∴ A=10, B=12
(cid:9120) ⑤
191 3x¤ -11x+k=(x-3)(3x+a)로 놓으면
(x-3)(3x+a)=3x¤ +(a-9)x-3a
이므로 a-9=-11, -3a=k
∴ a=-2, k=6
(cid:9120) ⑤
192 2x¤ +Ax-15=(x+3)(2x+a)로 놓으면
(x+3)(2x+a)=2x¤ +(a+6)x+3a
이므로 a+6=A, 3a=-15(cid:100)(cid:100)
∴ a=-5, A=1
3x¤ +7x+B=(x+3)(3x+b)로 놓으면
(x+3)(3x+b)=3x¤ +(b+9)x+3b
이므로 b+9=7, 3b=B(cid:100)(cid:100)
∴ b=-2, B=-6
∴ A+B=-5
(cid:9120) - 5
193 x¤ -9=(x+3)(x-3)
3x¤ +8x-3=(x+3)(3x-1)
따라서 두 다항식의 공통인 인수는 x+3이므로
2x¤ +12x+a는 x+3을 인수로 가진다.
2x¤ +12x+a=(x+3)(2x+k)로 놓으면
(x+3)(2x+k)=2x¤ +(k+6)x+3k
이므로 k+6=12, 3k=a(cid:100)(cid:100)
∴ k=6, a=18
(cid:9120) 18
194 2x¤ -2y¤ =2(x¤ -y¤ )=2(x+y)(x-y)
2x¤ +xy-3y¤ =(x-y)(2x+3y)
따라서 두 다항식의 공통인 인수는 x-y이므로
x¤ -kxy+5y¤ 은 x-y를 인수로 가진다.
x¤ -kxy+5y¤ =(x-y)(x+ay)로 놓으면
(x-y)(x+ay)=x¤ +(a-1)xy-ay¤
이므로 a-1=-k, -a=5(cid:100)(cid:100)
∴ A=3, B=4(cid:100)(cid:100)∴ AB=12
(cid:9120) ③
∴ a=-5, k=6
(cid:9120) ⑤
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지61 SinsagoHitec
x-3을 한 문자로 치환
한 다음 인수분해하고 다
시 x-3을 대입하여 정
리한다.
205 x-3=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ +4A-12
Q BOX
(직사각형의 둘레의 길이)
=2{(가로의 길이)
+(세로의 길이)}
넓이에 대한 다항식을 인
수분해하여 가로, 세로의
길이를 구한다.
(사다리꼴의 넓이)
=;2!;_{(윗변의 길이)
+(아랫변의 길이)}
_(높이)
공통인수로 묶어 낸 다음
인수분해한다.
195 2x¤ +x-6=(x+2)(2x-3)
4x¤ -9=(2x+3)(2x-3)
따라서 두 다항식의 공통인 인수는 2x-3이므로
a=2, b=-3
6x¤ +cx-3은 2x-3을 인수로 가지므로
6x¤ +cx-3=(2x-3)(3x+k)로 놓으면
(2x-3)(3x+k)=6x¤ +(2k-9)x-3k
이므로 2k-9=c, -3k=-3(cid:100)(cid:100)
∴ k=1, c=-7
∴ a+b-c=2-3-(-7)=6
(cid:9120) 6
196 x¤ +5x+6=(x+2)(x+3)
따라서 큰 직사각형의 한 변의 길이가 될 수 있는
것은 x+2, x+3이다.
(cid:9120) ②, ③
197 2x¤ +5x+2=(2x+1)(x+2)
∴ (둘레의 길이)=2{(2x+1)+(x+2)}
=6x+6
(cid:9120) 6x+6
198 넓이가 1인 정사각형이 a개 더 필요하고, 큰 직
사각형의 가로의 길이를 (x+b)라 하면
x¤ +6x+1+a=(x+2)(x+b)
=x¤ +(2+b)x+2b
이므로 2+b=6, 2b=1+a(cid:100)(cid:100)
∴ b=4, a=7
따라서 넓이가 1인 정사각형이 7개 더 필요하다.
(cid:9120) 7개
199 8x¤ +10x-3=(2x+3)(4x-1)
따라서 가로의 길이가 2x+3이므로 세로의 길이
는 4x-1이다.
(cid:9120) ④
200 사다리꼴의 높이를 h라 하면
;2!;_{(a+6)+(3a+4)}_h=6a¤ +11a-10
(2a+5)h=(2a+5)(3a-2)
∴ h=3a-2
(cid:9120) 3a-2
201 12x¤ +19x+5=(4x+5)(3x+1)
따라서 목장의 둘레의 길이는
2{(4x+5)+(3x+1)}
=2(7x+6)=14x+12
(cid:9120) 14x+12
202 (주어진 식)=(x-y)a¤ -(x-y)b¤
=(x-y)(a¤ -b¤ )
=(x-y)(a+b)(a-b)
(cid:9120) ④
203 (주어진 식)=(a+b)(x¤ -5x+6)
=(a+b)(x-2)(x-3)
(cid:9120) (a+b)(x-2)(x-3)
W
O
R
K
B
O
O
K
204 (주어진 식)=(x-1)(2x¤ +1)-3x(x-1)
=(x-1)(2x¤ -3x+1)
=(x-1)(2x-1)(x-1)
=(x-1)¤ (2x-1)
(cid:9120) ①, ③
=(A-2)(A+6)
=(x-3-2)(x-3+6)
=(x-5)(x+3)
∴ a+b=-2
(cid:9120) ③
206 x-1=A로 놓으면
(주어진 식)=A¤ +A-20
=(A+5)(A-4)
=(x-1+5)(x-1-4)
=(x+4)(x-5)
(cid:9120) ④
207 x+2=A로 놓으면
(주어진 식)=3A¤ +A-10
=(3A-5)(A+2)
={3(x+2)-5}{(x+2)+2}
=(3x+1)(x+4)
따라서 두 일차식의 합은
(3x+1)+(x+4)=4x+5
(cid:9120) 4x+5
208 x-y=A로 놓으면
(주어진 식)=A(A-8)+12
=A¤ -8A+12
=(A-6)(A-2)
=(x-y-6)(x-y-2) (cid:9120) ①, ③
209 x+4y=A로 놓으면
(주어진 식)=(A-3)(A+6)-10
=A¤ +3A-28
=(A-4)(A+7)
=(x+4y-4)(x+4y+7)
(cid:9120) (x+4y-4)(x+4y+7)
210 (x+1)(x+3)(x¤ +4x-1)-5
=(x¤ +4x+3)(x¤ +4x-1)-5
x¤ +4x=A로 놓으면
(주어진 식)=(A+3)(A-1)-5
=A¤ +2A-8=(A+4)(A-2)
=(x¤ +4x+4)(x¤ +4x-2)
=(x+2)¤ (x¤ +4x-2)
Ⅱ. 이차방정식 | 61
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지62 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
항을 적당히 묶어
A¤ -B¤ 의 꼴로 변형한
후 인수분해한다.
따라서 P=x+2, Q=x¤ +4x-2이므로
Q-P=x¤ +4x-2-(x+2)=x¤ +3x-4
217 (주어진 식)=a¤ -(b¤ -12b+36)
=a¤ -(b-6)¤
(cid:9120) x¤ +3x-4
=(a+b-6)(a-b+6)
(cid:9120) ④
공통 부분이 2개이면 서
로 다른 문자로 치환한다.
218 (주어진 식)=a¤ -(b¤ +2bc+c¤ )
211 4x-3y=A, x+2y=B로 놓으면
(주어진 식)
=A¤ -B¤
=(A+B)(A-B)
=(4x-3y+x+2y)(4x-3y-x-2y)
=(5x-y)(3x-5y)
따라서 a=5, b=-1이므로
ab=-5
(cid:9120) ②
212 a-3=A, a+1=B로 놓으면
(주어진 식)
=A¤ -2AB-8B¤
=(A-4B)(A+2B)
=(-3a-7)(3a-1)
=-(3a+7)(3a-1)
={a-3-4(a+1)} {a-3+2(a+1)}
(cid:9120) ③
213 x+2=A, y-2=B로 놓으면
(주어진 식)
=2A¤ -AB-6B¤
=(2A+3B)(A-2B)
={2(x+2)+3(y-2)} {(x+2)-2(y-2)}
=(2x+3y-2)(x-2y+6)
이므로 a=2, b=3, c=-2
∴ a+b+c=3
(cid:9120) 3
214 (주어진 식)=x¤ -y¤ -4x-4y
=(x+y)(x-y)-4(x+y)
=(x+y)(x-y-4)
이므로 a=1, b=-1, c=-4
∴ a-b+c=-2
(cid:9120) ①
215 xy-3x+y-3=x(y-3)+(y-3)
x¤ +x-xy-y=x(x+1)-y(x+1)
=(x+1)(y-3)
=(x+1)(x-y)
따라서 공통인 인수는 x+1이다.
(cid:9120) ②
216 (주어진 식)=(x-2y)¤ -3(x-2y)
=(x-2y)(x-2y-3)
62 | SOLUTION
=a¤ -(b+c)¤
=(a+b+c)(a-b-c)
(cid:9120) (a+b+c)(a-b-c)
219 (주어진 식)=(4x¤ -4xy+y¤ )-1
=(2x-y)¤ -1¤
=(2x-y+1)(2x-y-1)
따라서 두 일차식의 합은
(2x-y+1)+(2x-y-1)=4x-2y
(cid:9120) 4x-2y
220 주어진 식을 y에 대하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=2y(x-1)+(x¤ +3x-4)
=2y(x-1)+(x+4)(x-1)
=(x-1)(x+2y+4)
따라서 두 일차식의 합은
(x-1)+(x+2y+4)=2x+2y+3
(cid:9120) ⑤
다른 풀이
주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=x¤ +(2y+3)x-(2y+4)
(주어진 식)=(x-1)(x+2y+4)
221 주어진 식을 y에 대하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=-y(x+2)+(x¤ -x-6)
=-y(x+2)+(x+2)(x-3)
=(x+2)(x-y-3)
(cid:9120) ③
222 주어진 식을 y에 대하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=3y(x-2)+(x¤ -x-2)
=3y(x-2)+(x-2)(x+1)
=(x-2)(x+3y+1)
(cid:9120) ②
223 7.5¤ _51.2-2.5¤ _51.2
=51.2_(7.5¤ -2.5¤ )
=51.2_(7.5+2.5)(7.5-2.5)
=51.2_10_5=2560
(cid:9120) ④
224 2_105¤ -20_105+50
=2(105¤ -10_105+25)
=2(105¤ -2_105_5+5¤ )
=2(105-5)¤ =2_100¤
차수가 낮은 y에 대하여
내림차순으로 정리한 다
음 인수분해한다.
공통 부분이 생기도록 두
항씩 묶어 인수분해한다.
공통인수 51.2로 묶어 낸
후 a=7.5, b=2.5로 보면
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
를 이용할 수 있다.
a=105, b=5로 보면
a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤
을 이용할 수 있다.
(cid:9120) (x-2y)(x-2y-3)
=20000
(cid:9120) 20000
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지63 SinsagoHitec
Q BOX
225
2020_2021+2020
2021¤ -1
2020(2021+1)
(2021+1)(2021-1)
=
=
2020_2022
2022_2020
=1
226 x=4-2'3이므로
x¤ -8x+16=(x-4)¤
227 2<'7<3이므로 x='7-2
x+8=A로 놓으면
(cid:9120) ③
x=
2
'3+2
=
2('3-2)
('3+2)('3-2)
=4-2'3
(무리수의 소수 부분)
=(무리수)-(정수 부분)
=(-2'3)¤ =12
(cid:9120) ③
234 4x+4y=28(cid:100)(cid:100)∴ x+y=7
x>y라 하면 x¤ -y¤ =21
(x+y)(x-y)=21(cid:100)(cid:100)∴ x-y=3
따라서 두 정사각형의 둘레의 길이의 차는
4x-4y=4(x-y)
=4_3=12(cm)
(cid:9120) 12 cm
235 2pa+2pb=32p(cid:100)(cid:100)∴ a+b=16
pa¤ -pb¤ =64p, a¤ -b¤ =64
(a+b)(a-b)=64(cid:100)(cid:100)
∴ a-b=4
(cid:9120) 4
(주어진 식)=A¤ -12A+27=(A-3)(A-9)
=(x+5)(x-1)
=('7+3)('7-3)
=-2
(cid:9120) - 2
(가운데가 뚫린 원기둥의
부피)
=(큰 원기둥의 부피)
-(뚫린 원기둥의 부피)
236 p_7.5¤ _12-p_2.5¤ _12
=12p(7.5¤ -2.5¤ )
=12p(7.5+2.5)(7.5-2.5)
분모를 유리화하여 x, y
의 값을 간단히 한 다음
인수분해한 식에 대입한
다.
228 (주어진 식)=(x-y+x+y)(x-y-x-y)
=2x_(-2y)=-4xy
=-4_'6_'8=-16'3 (cid:9120) ①
229 x='5+2, y='5-2이므로
x-y=4, xy=1
∴ (주어진 식)=xy(x¤ -2xy+y¤ )
230 (주어진 식)=a(x+2y)+b(x+2y)
=xy(x-y)¤
=1_4¤ =16
=(x+2y)(a+b)
=(-3)_2=-6
(cid:9120) 16
(cid:9120) ①
231 (주어진 식)=
8a¤ b¤ -3ab(a-b)
(a-b)¤
(주어진 식)=
8a¤ b¤ -3ab_2ab
(2ab)¤
(주어진 식)=
2a¤ b¤
4a¤ b¤
=;2!;
232 (주어진 식)=x¤ (x-y)-y¤ (x-y)
=(x-y)(x¤ -y¤ )
=(x-y)¤ (x+y)
=(2'2 )¤ _2=16
(cid:9120) 16
233 b-c=-5, a-b=4를 변끼리 더하면
a-c=-1
∴ (주어진 식)=c(b-c)-a(b-c)
가은이는 상수항을 바르
게 보았고, 민국이는 x의
계수를 바르게 보았다.
=-(b-c)(a-c)
=-(-5)_(-1)=-5
(cid:9120) - 5
W
O
R
K
B
O
O
K
=12p_10_5=600p(cm‹ )
(cid:9120) 600p cm‹
237 x¤ +11x+A=(x+a)(x+b)
=x¤ +(a+b)x+ab
에서 a+b=11, ab=A
즉 A는 합이11인 두 자연수의 곱이다.
합이 11인 두 자연수는 1, 10 또는 2, 9 또는
3, 8 또는 4, 7 또는 5, 6
따라서 A의 최댓값은 30, 최솟값은 10이므로 그
차는 30-10=20
(cid:9120) ⑤
238 2x¤ +9x+k=(x+a)(2x+b)
=2x¤ +(2a+b)x+ab
에서 2a+b=9, ab=k
2a+b=9를 만족시키는 자연수 a, b의 순서쌍
(a, b)는 (1, 7), (2, 5), (3, 3), (4, 1)
따라서 k의 최솟값은 4이다.
(cid:9120) 4
(x-3)(x-4)=x¤ -7x+12에서
상수항은 12
∴ x¤ -8x+12=(x-2)(x-6)
(cid:9120) (x-2)(x-6)
240 (x+1)(2x-3)=2x¤ -x-3에서
상수항은 -3
x의 계수는 5
(x+2)(2x+1)=2x¤ +5x+2에서
∴ 2x¤ +5x-3=(x+3)(2x-1)
(cid:9120) (x+3)(2x-1)
Ⅱ. 이차방정식 | 63
(cid:9120) ③
영주는 x의 계수를 바르
게 보았고, 승희는 상수
항을 바르게 보았다.
239 (x-4)¤ =x¤ -8x+16에서
x의 계수는 -8
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.5 4:52 PM 페이지64 SinsagoHitec
WORK BOOK
241 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=x¤ -x-(y¤ +3y+2)
=x¤ -x-(y+1)(y+2)
={x+(y+1)}{x-(y+2)}
=(x+y+1)(x-y-2)
따라서 a=1, b=-1, c=-2이므로
a+b+c=-2
(cid:9120) -2
242 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면
(주어진 식)=x¤ +3yx+(2y¤ -y-1)
=x¤ +3yx+(2y+1)(y-1)
={x+(2y+1)}{x+(y-1)}
=(x+2y+1)(x+y-1)
따라서 두 일차식의 합은
(x+2y+1)+(x+y-1)=2x+3y
(cid:9120) ③
243 (주어진 식)
=(2-4)(2+4)+(6-8)(6+8)
+(10-12)(10+12)+(14-16)(14+16)
+(18-20)(18+20)
=-2(6+14+22+30+38)
=-2_110=-220
(cid:9120) ①
244 f(x)=1- ={1-
;[!;}{1+
;[!;}
1
x¤
∴ (주어진 식)
∴ ={1-;2!;}{1+;2!;}_{1-;3!;}{1+;3!;}
_{1-;4!;}{1+;4!;}_y_{1-;1¡0;}{1+;1¡0;}
∴ =;2!;_;2#;_;3@;_;3$;_;4#;_;4%;_y_;1ª0;_;1!0!;
∴ =;2!;_;1!0!;=;2!0!;
(cid:9120) ;2!0!;
245 x¤ -y¤ +2y-1=x¤ -(y¤ -2y+1)
=x¤ -(y-1)¤
=(x+y-1)(x-y+1)
따라서 (6-1)(x-y+1)=25이므로
x-y+1=5 ∴ x-y=4
(cid:9120) 4
246 (a+1)(b+1)=ab+a+b+1
따라서 -1+a+b+1=4이므로 a+b=4
∴ (주어진 식)=a¤ (a-b)-b¤ (a-b)
=(a-b)(a¤ -b¤ )
=(a-b)¤ (a+b)
={(a+b)¤ -4ab}(a+b)
=(4¤ +4)_4
=80
64 | SOLUTION
공통 부분이 나오도록 둘
씩 짝을 지어 전개한다.
249 (주어진 식)
={x(x-3)}{(x-1)(x-2)}+1
=(x¤ -3x)(x¤ -3x+2)+1
x¤ -3x=A
Q BOX
차수가 같을 때는 한 문
자에 대하여 내림차순으
로 정리한 다음 인수분해
한다.
1 y+1
3 ⁄3
1 -(y+2)
⁄
⁄
y+1
-y-2 +
(
-1
3개의 항이 완전제곱식
으로 인수분해되므로
A¤ -B¤ 을 이용할 수 있
도록 식을 변형한다.
주어진 조건의 식을 정리
한 다음 ab의 값을 대입
하여 a+b의 값을 구한
다.
247 [4x, y]-[x, -2y]-[x, y]
=(4x-y)¤ -(x+2y)¤ -(x-y)¤
={(4x-y)+(x+2y)}{(4x-y)-(x+2y)}
-(x-y)¤
=3(5x+y)(x-y)-(x-y)¤
=(x-y){3(5x+y)-(x-y)}
=(x-y)(14x+4y)
=2(x-y)(7x+2y)
(cid:9120) 2(x-y)(7x+2y)
248
3x-4y -y
±
9x-2y
±
2x
=(3x-4y)_2x-(-y)_(9x-2y)
=6x¤ -8xy+9xy-2y¤
=6x¤ +xy-2y¤
=(3x+2y)(2x-y)
(cid:9120) (3x+2y)(2x-y)
=A(A+2)+1
=A¤ +2A+1
=(A+1)¤
=(x¤ -3x+1)¤
250 (주어진 식)
(cid:9120) ⑤
={(x-2)(x+3)}{(x-1)(x+2)}+3
=(x¤ +x-6)(x¤ +x-2)+3
x¤ +x=A
=(A-6)(A-2)+3
=A¤ -8A+15
=(A-5)(A-3)
=(x¤ +x-5)(x¤ +x-3)
따라서 두 이차식의 합은
(x¤ +x-5)+(x¤ +x-3)=2x¤ +2x-8
(cid:9120) 2x¤ +2x-8
251 3¤
› -1=(3⁄
¤ +1)(3⁄
¤ -1)
=(3⁄
¤ +1)(3fl +1)(3fl -1)
=(3⁄
¤ +1)(3fl +1)(3‹ +1)(3‹ -1)
따라서 두 자연수는 3‹ +1=28, 3‹ -1=26이
므로 28+26=54
(cid:9120) 54
252 2¤
‚ -1=(2⁄
‚ +1)(2⁄
‚ -1)
=(2⁄
‚ +1)(2fi +1)(2fi -1)
=1025_33_31
=3_5¤ _11_31_41
(cid:9120) 80
따라서 약수가 아닌 것은 ④ 35이다.
(cid:9120) ④
⁄
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Q BOX
2
이차방정식과 그 풀이
▶47~59쪽
253 ① 2x¤ =0 ② -4x+3=0 ④ 이차식
⑤ 2x¤ +2x-9=0
(cid:9120) ②, ④
254 2x¤ -x-6=6x¤ +3x이므로 4x¤ +4x+6=0
따라서 a=4, b=4이므로
a-b=0
(cid:9120) ③
255 ㈀ 5x-5=0
㈁ 4x¤ +3x=0
㈂ 3x¤ -7x-3=0
㈃ 6x¤ +6x+1=0
㈄ x¤ -x-3=0
㈅ x+2=0
따라서 이차방정식인 것은 ㈁, ㈂, ㈃, ㈄의 4개
이다.
(cid:9120) 4개
256 ③ x=-3을 x¤ +7x+12=0에 대입하면
(-3)¤ +7_(-3)+12=0
(cid:9120) ③
257 ① (-2)¤ -2_(-2)+6=14+0
② (-4)¤ -(-4)-12=8+0
③ x¤ -x-2=0에서 1¤ -1-2=-2+0
④ 4x¤ -10x-6=0에서 4_3¤ -10_3-6=0
⑤ x¤ +3x+4=0에서 2¤ +3_2+4=14+0
(cid:9120) ④
258 x=-3일 때, (-3)¤ +5_(-3)+4=-2+0
x=-2일 때, (-2)¤ +5_(-2)+4=-2+0
x=-1일 때, (-1)¤ +5_(-1)+4=0
따라서 해는 x=-1이다.
(cid:9120) x=-1
259 x=5를 이차방정식에 대입하면
3_5¤ +3a_5+a+5=0, 16a=-80
∴ a=-5
(cid:9120) - 5
260 x=-3을 ax¤ +7x+a+1=0에 대입하면
a_(-3)¤ +7_(-3)+a+1=0(cid:100)(cid:100)∴ a=2
x=3을 2x¤ -bx-3b=0에 대입하면
2_3¤ -b_3-3b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=3
∴ ab=6
(cid:9120) ⑤
261 x=5를 x¤ -8x+a=0에 대입하면
5¤ -8_5+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=15
x=-;2!;을 2x¤ +bx-5=0에 대입하면
2_{-;2!;}
¤ +b_{-;2!;}-5=0, -;2!;b=;2(;
∴ b=-9
∴ a+b=6
(cid:9120) ④
262 m¤ +3m-1=0이므로 m¤ +3m=1
2n¤ -5n+2=0이므로 2n¤ -5n=-2
AB=0이면
A=0 또는 B=0
265 x+5=0 또는 3x-1=0
∴ x=-5 또는 x=;3!;
[ ] 안의 수를 주어진 이
차방정식에 대입하여 참
이 되는 것을 찾는다.
266 (x-2)(x+4)=0에서 x=2 또는 x=-4
따라서 두 근의 곱은 2_(-4)=-8 (cid:9120) -8
W
O
R
K
B
O
O
K
x=k가 이차방정식
ax¤ +bx+c=0의 근
(cid:8857) ak¤ +bk+c=0
주어진 식을 정리하여
ax¤ +bx+c=0의 꼴로
나타낸 후 인수분해한다.
∴ m¤ -2n¤ +3m+5n
=m¤ +3m-(2n¤ -5n)
=1-(-2)=3
(cid:9120) ⑤
263 a¤ +a-1=0이므로 a-1=-a¤ , 1-a¤ =a
a¤
-a¤
- =-1-2=-3
∴ (주어진 식)=
2a
a
264 a¤ +2a-1=0이므로 a¤ +2a=1
∴ (a-1)(a-2)(a+3)(a+4)
={(a-1)(a+3)}{(a-2)(a+4)}
=(a¤ +2a-3)(a¤ +2a-8)
=(1-3)_(1-8)
=(-2)_(-7)=14
(cid:9120) - 3
(cid:9120) 14
(cid:9120) ②
267 ① x=0 또는 x=4이므로 두 근의 합은4
② x=1 또는 x=4이므로 두 근의 합은5
③ x=2 또는 x=-3이므로 두 근의 합은-1
④ x=-2 또는 x=3이므로 두 근의 합은1
⑤ x=-1 또는 x=-4이므로 두 근의 합은 -5
268 x¤ +2x-15=0이므로 (x+5)(x-3)=0
∴ x=-5 또는 x=3
269 x¤ +x+3=4x¤ -4x+1이므로 3x¤ -5x-2=0
(cid:9120) ②
(cid:9120) ③
(3x+1)(x-2)=0
따라서 x=-;3!; 또는 x=2이므로
p=2, q=-;3!; (∵ p>q)
∴ p+3q=2+3_{-;3!;}=1
(cid:9120) 1
270 6x¤ +6x=5x+15이므로 6x¤ +x-15=0
(3x+5)(2x-3)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-;3%; 또는 x=;2#;
따라서 두 근 사이에 있는 정수는 -1, 0, 1의 3
개이다.
(cid:9120) ③
271 x=a를 x¤ +3ax-4a=0에 대입하면
a¤ +3a¤ -4a=0, 4a¤ -4a=0
4a(a-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=0 또는 a=1
a+0이므로 a=1
(cid:9120) 1
Ⅱ. 이차방정식 | 65
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이차방정식이
(완전제곱식)=0의 꼴이
면 중근을 갖는다.
a=2이면 주어진 방정식
은 0¥x¤ +4x-4=0이
되므로 이차방정식이 아
니다.
272 x=k를 2x¤ -x+6k=3에 대입하면
2k¤ -k+6k=3, 2k¤ +5k-3=0
(k+3)(2k-1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ k=-3 또는 k=;2!;
(cid:9120) ①, ③
273 x=1을 (a-2)x¤ +a¤ x-4=0에 대입하면
a-2+a¤ -4=0, a¤ +a-6=0
(a-2)(a+3)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=2 또는 a=-3
그런데 a=2이면 x에 대한 이차방정식이 아니므
로 a=-3
(cid:9120) -3
274 x=-2를 x¤ +ax-16=0에 대입하면
4-2a-16=0, 2a=-12(cid:100)(cid:100)∴ a=-6
즉 x¤ -6x-16=0이므로 (x+2)(x-8)=0
∴ x=-2 또는 x=8
(cid:9120) ②
275 x=-5를 x¤ +(a+1)x-5a=0에 대입하면
25-5a-5-5a=0이므로
-10a=-20(cid:100)(cid:100)∴ a=2
즉 x¤ +3x-10=0이므로
(x+5)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ b=2
∴ a-b=0
(cid:9120) 0
276 x=;3!;을 x¤ -2mx+1=0에 대입하면
;9!;-;3@;m+1=0(cid:100)(cid:100)∴ m=;3%;
즉 x¤ - x+1=0이므로
10
3
1
3
{x- }(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ n=3
∴ mn=5
(cid:9120) ①
-;3@;m+:¡9º:=0이므로
-;3@;m=-:¡9º:
∴ m=;3%;
277 x¤ +x-12=0에서 (x+4)(x-3)=0
∴ x=-4 또는 x=3(cid:100)(cid:100)
x¤ +5x+4=0에서 (x+4)(x+1)=0
∴ x=-4 또는 x=-1(cid:100)(cid:100)
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-4이
다.
(cid:9120) x=-4
278 (x+1)(x-4)=0에서 x=-1 또는 x=4
x¤ -2x-3=0에서 (x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
x¤ -1=0에서 (x+1)(x-1)=0
∴ x=-1 또는 x=1
따라서 세 이차방정식의 공통인 근은 x=-1이다.
(cid:9120) ②
66 | SOLUTION
두 이차방정식의 해를 각
각 구하여 공통인 것을
찾는다.
이차방정식
x¤ +ax+b=0이 중근을
가질 조건
(cid:8857) b={
¤a
}
2
279 5x¤ -22x+8=0에서 (5x-2)(x-4)=0
∴ x=;5@; 또는 x=4(cid:100)(cid:100)
3x¤ -7x-20=0에서 (3x+5)(x-4)=0
∴ x=-;3%; 또는 x=4(cid:100)(cid:100)
따라서 공통인 근은 x=4이므로 공통이 아닌 근
의 곱은;5 @;_{-;3%;}=-;3@;
(cid:9120) -;3@;
280 ① (x-1)(x-4)=0 ② (x-2)¤ =0
③ (x+4)(x-10)=0 ④ (3x+1)¤ =0
⑤ (x+2)(x-2)=0
(cid:9120) ②, ④
281 ① (x-1)¤ =0
③ x¤ =0
② (x-4)¤ =0
④ (2x+1)¤ =0
⑤ (3x+1)(x-1)=0
(cid:9120) ⑤
282 ㈀ {x+;2!;}2 =0
㈂ (x-4)¤ =0
㈁ (x+5)(x-5)=0
㈃ (2x+1)(2x+9)=0
㈄ (x-3)¤ =0
㈅ (x+5)(x-11)=0
따라서 중근을 갖는 것은 ㈀, ㈂, ㈄의 3개이다.
(cid:9120) 3개
283 x¤ -6x+9=4x-16에서
x¤ -10x+25=0, (x-5)¤ =0(cid:100)(cid:100)
∴ x=5 (중근)
(cid:9120) x=5 (중근)
284 4x¤ +8x=-4x¤ -2에서 8x¤ +8x+2=0
4x¤ +4x+1=0, (2x+1)¤ =0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-;2!; (중근)
(cid:9120) x=-;2!; (중근)
285 9x¤ -24x+16=0에서 (3x-4)¤ =0
∴ x=;3$; (중근)
(x-4)¤ =4(x-5)에서
x¤ -8x+16=4x-20
x¤ -12x+36=0, (x-6)¤ =0
∴ x=6 (중근)
따라서 a=;3$;, b=6이므로 ab=8
(cid:9120) 8
286 m-1={
-6
2
¤ =9이므로 m=10
}
(cid:9120) ④
287 k+5={
}2 =16(cid:100)(cid:100)∴ k=11
-8
2
즉 x¤ -8x+16=0에서 (x-4)¤ =0이므로
x=4 (중근)(cid:100)(cid:100)∴ a=4
∴ a+k=15
(cid:9120) 15
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289 4={
}2 =a¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=—2
2a
2
x¤ =k(kæ0)의 해
(cid:8857) x=—'k
295 -6x¤ =-30이므로 x¤ =5(cid:100)(cid:100)∴ x=—'5
(cid:9120) x=—'5
288 x¤ -12x+6a=2x-1에서 x¤ -14x+6a+1=0
-14
2
6a+1={
즉 x¤ -14x+49=0에서 (x-7)¤ =0이므로
}2 =49(cid:100)(cid:100)∴ a=8
x=7 (중근)(cid:100)(cid:100)∴ b=7
∴ a-b=1
(cid:9120) ①
(cid:9120) —2
290 1=[
-(m+3)
2
]2 =
(m+3)¤
4
이므로
m¤ +6m+9=4
m¤ +6m+5=0, (m+1)(m+5)=0
∴ m=-1 또는 m=-5
⁄ m=-1일 때,
⁄ x¤ -2x+1=0이므로 (x-1)¤ =0
⁄ ∴ x=1(중근)
∴ n=1
¤ m=-5일 때,
⁄ ∴ x=-1(중근)
∴ n=-1
⁄ x¤ +2x+1=0이므로 (x+1)¤ =0
⁄, ¤에서 mn=-1 또는 mn=5
(cid:9120) ③
291 x¤ -3kx+8k+4=0에서
-3k
2
}2 =
8k+4={
9k¤ =32k+16, 9k¤ -32k-16=0
9k¤
4
(9k+4)(k-4)=0 ∴ k=-;9$; 또는 k=4
따라서 구하는 곱은 {-;9$;}_4=-:¡9§:
(cid:9120) - :¡9§:
292 x¤ -4x+3=0에서 (x-1)(x-3)=0
∴ x=1 또는 x=3
따라서 x=1이 ax¤ +3x-2a=0의 근이므로
a+3-2a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=3
(cid:9120) ④
293 4x-17=x¤ -2x-8에서 x¤ -6x+9=0
(x-3)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (중근)
따라서 x=3이 x¤ +(a-1)x+a+2=0의 근이
므로 9+3a-3+a+2=0
4a+8=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
(cid:9120) -2
294 x=-5를 x¤ +ax+15=0에 대입하면
25-5a+15=0(cid:100)(cid:100)∴ a=8
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즉 x¤ +8x+15=0이므로 (x+5)(x+3)=0
∴ x=-5 또는 x=-3
따라서 x=-3이 bx¤ +(2b-1)x-b+1=0의
근이므로 9b-6b+3-b+1=0
2b=-4 ∴ b=-2
∴ ab=-16
(cid:9120) - 16
(m+3)¤ =4이므로
m+3=—2
m=-3—2
∴ m=-1 또는 m=-5
296 ① x=—'2
② x=2 (중근)
③ x¤ =8에서 x=—2'2
④ x¤ +2x-3=0에서 (x+3)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)
(cid:100) ∴ x=-3 또는 x=1
⑤ 2x¤ +10x=10x+8에서 2x¤ =8, x¤ =4(cid:100)(cid:100)
(cid:100) ∴ x=—2
(cid:9120) ⑤
297 x¤ -3x-18=-3x-10에서 x¤ =8
∴ x=—2'2
따라서 두 근의 곱은 (-2'2 )_2'2=-8
W
O
R
K
B
O
O
K
m=-1, n=1일 때,
mn=(-1)_1=-1
m=-5, n=-1일 때,
mn=(-5)_(-1)=5
k에 대한 이차방정식이므
로 인수분해하여 k의 값
을 구한다.
298 (x-3)¤ =7이므로 x-3=—'7
∴ x=3—'7
따라서 두 근의 곱은
(3+'7 )(3-'7)=9-7=2
299 ① x=—'∂12=—2'3
② x¤ =20에서 x=—'∂20=—2'5
③ x¤ =25에서 x=—5
④ x-1=—'6(cid:100)(cid:100)∴ x=1—'6
⑤ (x+2)¤ =3에서 x+2=—'3(cid:100)(cid:100)
∴ x=-2—'3
(cid:9120) ③
300 5(x-a)¤ =b에서 (x-a)¤ =
;5B;
x-a=—æ;5B;
(cid:100)(cid:100)∴ x=a—æ;5B;
따라서 a=-4, æ;5B;
=2'5이므로
=20(cid:100)(cid:100)∴ b=100
;5B;
∴ a+b=96
301 6-mæ0 ∴ m…6
302 ① x¤ =-;2!;에서 제곱해서 음수가 되는 수는 없
(cid:100) 으므로 해가 없다.
⑤ x¤ =-;3@;에서 제곱해서 음수가 되는 수는 없
(cid:9120) ①, ⑤
(cid:100) 으므로 해가 없다.
Ⅱ. 이차방정식 | 67
a(x-p)¤ =q에서
① a+0, æ0
q
a
(cid:100) (cid:8857) 해를 갖는다.
② a+0, <0
q
a
(cid:100) (cid:8857) 해를 갖지 않는다.
(cid:9120) ③
(cid:9120) ③
(cid:9120) ②
(cid:9120) ④
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306 (x-2)(3x-2)=x+1에서 3x¤ -8x+4=x+1
3x¤ -9x+3=0, x¤ -3x+1=0
2
a¤ + ={a- }
a
4
a¤
¤ +4
303 ① (x+3)¤ =1에서 x+3=—1(cid:100)(cid:100)
(cid:100) ∴ x=-4 또는 x=-2
② k+1>0이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.
③ (x+3)¤ =0이므로 x=-3 (중근)
④ k+1<0, 즉 k<-1이면 근이 없다.
⑤ (x+3)¤ =9에서 x+3=—3 (cid:100)(cid:100)
(cid:100) ∴ x=-6 또는 x=0
(cid:9120) ④
304 x¤ -10x+25=-20+25에서 (x-5)¤ =5
따라서 p=5, q=5이므로
p-q=0
(cid:9120) ①
305 3x¤ +12x-6=0에서 x¤ +4x-2=0
x¤ +4x+4=2+4, (x+2)¤ =6
따라서 p=2, q=6이므로
pq=12
(cid:9120) ④
x¤ -3x+;4(;=-1+;4(;, {x-;2#;}2 =;4%;
따라서 a=-;2#;, b=;4%;이므로
2a+4b=-3+5=2
(cid:9120) 2
307 양변을 2로 나누면 x¤ -;2#;x-2=0
상수항을 우변으로 이항하면 x¤ -;2#;x=
2
좌변이 완전제곱식이 되도록 양변에 ;1ª6;를 더하
면 x¤ -;2#;x+
;1ª6;
=2+
;1ª6;
{x-
;4#;
¤ =
}
;1$6!;
, x-;4#;=—
'∂41
4
∴ x=
3—'ß41
4
(cid:9120) ⑤
308 x¤ +10x+25=-a+25에서
(x+5)¤ =25-a, x+5=—'ƒ25-a(cid:100)(cid:100)
∴ x=-5—'ƒ25-a
따라서 -b=-5, 3=25-a이므로
a=22, b=5 ∴ a-b=17
(cid:9120) 17
이차방정식의 이차항의
계수는 0이 아님에 주의
한다.
AB+0
(cid:8857) A+0이고 B+0
310 (a-5)x¤ +5ax-7=0
이차방정식이 되려면 a+5
(cid:9120) ③
311 (a¤ -4a+3)x¤ +(a-2)x-1=0
이차방정식이 되려면 a¤ -4a+3+0
(a-1)(a-3)+0
∴ a+1이고 a+3
(cid:9120) ④
312 x¤ -4x-2=0에 x=a를 대입하면
a¤ -4a-2=0
a+0이므로 양변을 a로 나누면
a-4- =0(cid:100)(cid:100)∴ a- =4
2
a
2
a
¤ =4
{;2$;}
2
{a- }
a
이므로
¤ =a¤ -4+
4
a¤
4
a¤
2
∴ a¤ + ={a- }2 +4=4¤ +4=20
a
4
a¤
∴ a¤ +a- + ={a- }+{a¤ + }
4
a¤
2
a
2
a
=4+20=24
(cid:9120) 24
m>1이면 0< <1
이므로 m- >0
1
m
1
m
313 x¤ -6x+1=0에 x=m을 대입하면
m¤ -6m+1=0
m+0이므로 양변을 m으로 나누면
m-6+ =0(cid:100)(cid:100)∴ m+ =6
1
m
1
m
1
1
¤ ={m+ }
{m- }
m
m
1
∴ m- =—4'2
m
¤ -4=6¤ -4=32
그런데 m>1이면 m- >0이므로
1
m
1
m- =4'2
m
(cid:9120) 4'2
314 9a¤ -6ab+b¤ =0에서 (3a-b)¤ =0
∴ b=3a
∴
5a-b
b
=
5a-3a
3a
2a
= =
3a
2
3
(cid:9120)
2
3
315 3x¤ -4xy-4y¤ =0에서 (3x+2y)(x-2y)=0
∴ x=-;3@;y 또는 x=2y
그런데 xy>0이므로 x=2y
∴
2x¤ -xy+4y¤
x¤ +y¤
2_4y¤ -2y_y+4y¤
4y¤ +y¤
=
=
10y¤
5y¤
=2
(cid:100)
(cid:9120) ③
309 3x¤ -4x-3=0에서 x¤ -;3$;x-1=0
x¤ -;3$;x+;9$;=1+;9$;, {x-;3@;}2 =:¡9£:
x-;3@;=—
'∂13
3
(cid:100)(cid:100)∴ x=
(cid:9120) ④
2—'∂13
3
x¤ +(a-1)x-a=0의
일차항의 계수와 상수항
을 바꾸면
x¤ -ax+a-1=0이 된
다.
316 x=4가 x¤ -ax+a-1=0의 근이므로
16-4a+a-1=0
-3a=-15(cid:100)(cid:100)∴ a=5
68 | SOLUTION
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지69 SinsagoHitec
따라서 처음 이차방정식은 x¤ +4x-5=0이므로
(x+5)(x-1)=0
∴ x=-5 또는 x=1
(cid:9120) x=-5 또는 x=1
317 x=-9가 x¤ +(2k+2)x-3k=0의 근이므로
81-18k-18-3k=0
-21k=-63(cid:100)(cid:100)∴ k=3
따라서 처음 이차방정식은 x¤ -9x+8=0이므로
(x-1)(x-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=8
따라서 두 근의 곱은 1_8=8
(cid:9120) 8
318 (x+2)(4x-1)-2(x+2)+(4x-1)
=3x¤ +3x이므로
4x¤ +7x-2-2x-4+4x-1=3x¤ +3x
x¤ +6x-7=0, (x+7)(x-1)=0
∴ x=-7 또는 x=1
따라서 모든 실수 x의 값의 합은
(-7)+1=-6
(cid:9120) - 6
319 |
x-2 3x+1
-x 2
|
=(x-2)_2-(3x+1)_(-x)
=3x¤ +3x-4
이므로 3x¤ +3x-4=x+4
3x¤ +2x-8=0, (x+2)(3x-4)=0
∴ x=-2 또는 x=;3$;
(cid:9120) - 2 또는 ;3$;
320 (x+2)(x-5)+6+0에서
x¤ -3x-4+0, (x+1)(x-4)+0(cid:100)(cid:100)
∴ x+-1이고 x+4
x¤ -3x-4=3(x¤ -4x-5)에서
2x¤ -9x-11=0, (x+1)(2x-11)=0(cid:100)(cid:100)
∴ x=-1 또는 x=:¡2¡:
그런데 x+-1이므로 x=:¡2¡:
(cid:9120) ⑤
321 (x+2)¤ +16에서
x¤ +4x-12+0, (x+6)(x-2)+0(cid:100)(cid:100)
∴ x+-6이고 x+2
2(x¤ +4x+4)=-(x-2)(x+10)에서
2x¤ +8x+8=-x¤ -8x+20
3x¤ +16x-12=0, (x+6)(3x-2)=0
∴ x=-6 또는 x=;3@;
Q BOX
x¤ +ax+b
=(x+m)(x+n)
(cid:8857) a=m+n, b=mn
x¤ -3kx+2k+2=0의
일차항의 계수와 상수항
을 바꾸면
x¤ +(2k+2)x-3k=0
이 된다.
근호 안이 어떤 수의 제
곱이면 근호를 없앨 수
있다.
322 a는 곱이 -16인 두 정수의 합이다. 곱이 -16인
두 정수를 순서쌍으로 나타내면
(1, -16), (2, -8), (4, -4), (8, -2),
(16, -1)
따라서 a의 값을 구하면
-15, -6, 0, 6, 15
(cid:9120) - 15, -6, 0, 6, 15
323 x¤ +8x+16=16-m에서 (x+4)¤ =16-m
x+4=—'ƒ16-m
∴ x=-4—'ƒ16-m
정수인 해를 가지려면 16-m이 0 또는 제곱수이
어야 하므로
16-m=0, 1, 4, 9, 16, y
∴ m=16, 15, 12, 7, 0, y
그런데 m은 자연수이므로 m=16, 15, 12, 7
따라서 m의 모든 값의 합은
16+15+12+7=50
(cid:9120) 50
W
O
R
K
B
O
O
K
절댓값 기호 안이 0이 되
는 수를 기준으로 나누어
방정식의 해를 구한다.
324 x¤ -x=|x+1|+7에서
⁄ xæ-1일 때
x¤ -x=x+1+7
x-3æ0이면 xæ3
x-3<0이면 x<3
325 x¤ +2x-15=2|x-3|에서
⁄ xæ3일 때
x¤ -2x-8=0, (x+2)(x-4)=0
∴ x=-2 또는 x=4
그런데 xæ-1이므로 x=4
¤ x<-1일 때
x¤ -x=-(x+1)+7
x¤ =6 ∴ x=—'6
그런데 x<-1이므로 x=-'6
⁄, ¤에서 x=4 또는 x=-'6
(cid:9120) x=4 또는 x=-'6
x¤ +2x-15=2(x-3)
x¤ -9=0, (x+3)(x-3)=0
∴ x=-3 또는 x=3
그런데 xæ3이므로 x=3
¤ x<3일 때
x¤ +2x-15=-2(x-3)
x¤ +4x-21=0, (x+7)(x-3)=0
∴ x=-7 또는 x=3
그런데 x<3이므로 x=-7
⁄, ¤에서 x=3 또는 x=-7
Ⅱ. 이차방정식 | 69
그런데 x+-6이므로 x=;3@;
(cid:9120) ;3@;
따라서 두 근의 합은 3-7=-4
(cid:9120) - 4
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지70 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
3
이차방정식의 활용
▶60~72쪽
326 2x¤ -6x-5=0에서
x=
-(-3)—"√(-3)¤ -2_(-5)
2
x=
3—'∂19
2
(cid:9120) x=
3—'∂19
2
327 x=
-3—"√3¤ -1_3
1
=-3—'6
이므로 m=-3-'6
∴ m+'6=-3
328 2x¤ -5x-3=0에서 (2x+1)(x-3)=0
∴ x=-;2!; 또는 x=3(cid:100)(cid:100)∴ k=3
즉 3x¤ -4x-1=0에서
x=
-(-2)—"√(-2)¤ -√3_(-1)
3
x=
2—'7
3
329 x=
-(-5)—"√(-5√)¤ -√4_3√_A
2_3
5—'ƒ25-ß
∂12ßAå
=
6
=
B—'∂37
6
이므로 5=B, 25-12A=37
∴ A=-1, B=5
∴ A+B=4
330 x=
-7—"√7¤ -√4_√A_Ω1
2_A
=
-7—"√49-4A
2A
=
-7—'ßB
4
이므로 2A=4, 49-4A=B
∴ A=2, B=41
∴ B-A=39
331 x=
-2—øπ2π
¤ -π2_A
2
-2—øπ4-2A
2
=
=
-2—'6
B
이므로 4-2A=6, 2=B
∴ A=-1, B=2
∴ AB=-2
(cid:9120) ②
70 | SOLUTION
계수가 분수일 때는 분모
의 최소공배수를 양변에
곱하여 계수를 정수로 고
친다.
332 양변에 12를 곱하면
9x¤ -6x-10=0
∴ x=
-(-3)—"√(-3√)¤ -√9_(√-10)
9
∴ x=
1—'1å1
3
(cid:9120) ③
계수가 소수일 때는 10의
거듭제곱을 양변에 곱하여
계수를 정수로 고친다.
333 양변에 100을 곱하면
2x(x-8)+32=0, 2x¤ -16x+32=0
x¤ -8x+16=0, (x-4)¤ =0(cid:100)(cid:100)
∴ x=4 (중근)
(cid:9120) x=4 (중근)
(cid:9120) ③
334 양변에 10을 곱하면
분모 4와 3의 최소공배수
(cid:9120) ③
(cid:9120) ④
(cid:9120) 39
복잡한 이차방정식의 풀
이 방법
① 계수를 정수로 고친다.
② 괄호를 푼다.
③ 인수분해 또는 근의
공식을 이용하여 해를
구한다.
2x¤ +5=2-8x, 2x¤ +8x+3=0
∴ x=
-4—"4√
¤ -√2_3
2
=
-4—'1å0
2
따라서 A=-4, B=10이므로
A+B=6
(cid:9120) ④
335
x¤ -2x
4
-;3!;=0의 양변에 12를 곱하면
3x¤ -6x-4=0
∴ x=
-(-3)—"√(-3)¤ -√3_(-4)
3
0.5x¤ +0.3x-0.1=0의 양변에 10을 곱하면
∴ x=
-3—"√3¤ -4_5_(-1)
2_5
∴ x=
3—'∂21
3
∴ a=21
5x¤ +3x-1=0
∴ x=
-3—'2å9
10
∴ b=29(cid:100)(cid:100)
∴ a-b=21-29=-8
(cid:9120) - 8
336 양변에 12를 곱하면
2x(x-2)=3(x+1)(x-3), x¤ -2x-9=0
∴ x=-(-1)—"√(-1)¤ -1_(-9)
=1—'∂10
(cid:9120) x=1—'∂10
337 양변에 4를 곱하면
4(x-1)¤ -2x(x-1)=3, 2x¤ -6x+1=0
-(-3)—"√(-3)¤ -2_1
2
∴ x=
=
3—'7
2
따라서 두 근의 차는 {
3+'7
2
}-{
3-'7
2
}='7
(cid:9120) '7
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지71 SinsagoHitec
Q BOX
공통 부분이 있을 때는
치환하여 이차방정식을
푼 다음 원래의 식을 대
입하여 x의 값을 구한다.
338 양변에 10을 곱하면
2(2x+1)(x-1)-4x=(x+1)¤
4x¤ -2x-2-4x=x¤ +2x+1
3x¤ -8x-3=0, (3x+1)(x-3)=0
∴ x=-;3!; 또는 x=3
따라서 a=3, b=-;3!; (∵ a>b)이므로
a+3b=3+3_{-;3!;}=2
(cid:9120) ④
339 ;2!;x-3=A로 놓으면
2A¤ -5A+2=0, (2A-1)(A-2)=0(cid:100)(cid:100)
∴ A=;2!; 또는 A=2
즉 ;2!;x-3=;2!; 또는 ;2!;x-3=2이므로
x=7 또는 x=10
따라서 두 근의 합은 7+10=17
(cid:9120) ⑤
340 x-3y=A로 놓으면
(A-4)(A+2)+9=0, A¤ -2A+1=0
(A-1)¤ =0 ∴ A=1 (중근)
즉 x-3y=1이므로
6y-2x=-2(x-3y)=-2
(cid:9120) ②
k=-1이면 주어진 방정
식은 0¥x¤ -0¥x+2=0
이므로 이차방정식이 아
니다.
341 =A로 놓으면
1
x
2A¤ -9A-5=0, (2A+1)(A-5)=0
∴ A=-;2!; 또는 A=5
즉 =-;2!; 또는 =5이므로
1
x
1
x
x=-2 또는 x=;5!;
(cid:9120) x=-2 또는 x=;5!;
342 ㈀ (-5)¤ -4_1_(-4)=41>0
㈁ 4¤ -4_1_6=-8<0
㈂ 6¤ -4_3_2=12>0
㈃ (-3)¤ -4_2_;8(;=0
(cid:9120) ㈀, ㈂
343 (-8)¤ -4_3_4=16>0이므로 a=2
(-5)¤ -4_4_2=-7<0이므로 b=0
∴ a+b=2
(cid:9120) ③
344 ㈀ x¤ +3x+1=0에서 3¤ -4_1_1=5>0이므
로 서로 다른 두 근을 갖는다.
㈁ x¤ +5=0에서 x¤ =-5이므로 근이 없다.
이차방정식
ax¤ +bx+c=0이 근을
갖는다.
(cid:8857) b¤ -4acæ0
이차방정식
ax¤ +bx+c=0에서
두 근이 a, b일 때
(cid:8857) a+b=-
b
a
ab=
c
a
이차방정식
ax¤ +bx+c=0에서
b¤ -4ac>0
(cid:8857) 서로 다른 두 근
b¤ -4ac=0 (cid:8857) 중근
b¤ -4ac<0
(cid:8857) 근이 없다.
W
O
R
K
B
O
O
K
㈂ A=2, B=1이면 (x+1)¤ =0이므로 중근을
㈃ B<0이면 A¤ -4B>0이므로 서로 다른 두
갖는다.
근을 갖는다.
따라서 옳은 것은 ㈀, ㈃이다.
(cid:9120) ⑤
345 8¤ -4_2_(3k-1)=0이므로
3k-1=8(cid:100)(cid:100)∴ k=3
∴ 3k+4=13
(cid:9120) ②
346 (m-4)¤ -4_m_(-m+4)=0이므로
m¤ -8m+16+4m¤ -16m=0
5m¤ -24m+16=0
(5m-4)(m-4)=0(cid:100)(cid:100)
∴ m=4 (∵ m은 정수)
(cid:9120) ④
347 {-(k+1)}¤ -4_(k+1)_2=0이므로
k¤ -6k-7=0, (k+1)(k-7)=0
∴ k=-1 또는 k=7
그런데 k+-1이므로 k=7
(cid:9120) 7
348 (-4)¤ -4_2_(3k-1)>0이므로
24-24k>0(cid:100)(cid:100)∴ k<1
(cid:9120) k<1
349 (1+2k)¤ -4_1_(k¤ +4)<0이므로
4k-15<0(cid:100)(cid:100)∴ k<:¡4∞:
(cid:9120) ①
350 (-6)¤ -4_1_(4-k)æ0이므로
20+4kæ0(cid:100)(cid:100)∴ kæ-5
따라서 정수 k의 최솟값은 -5이다.
(cid:9120) ②
351 x¤ -2x-3=0에서 근과 계수의 관계에 의하여
A=2, B=-3
∴ A-B=5
(cid:9120) ⑤
352 x¤ -5x+1=0에서 근과 계수의 관계에 의하여
두 근의 합은 - =5
-5
1
즉 x=5가 2x¤ +kx-5=0의 근이므로
2_5¤ +k_5-5=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-9 (cid:9120) - 9
353 근과 계수의 관계에 의하여
;a^;
-
=-3,
=-;2%;
이므로 a=2, b=-5
;aB;
∴ a+b=-3
(cid:9120) ④
Ⅱ. 이차방정식 | 71
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지72 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
354 3x+6=x¤ -2x+1, x¤ -5x-5=0
근과 계수의 관계에 의하여
a+b=5, ab=-5
∴ a¤ +ab+b¤ =(a+b)¤ -ab
=5¤ -(-5)=30
(cid:9120) 30
355 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-6, ab=4
∴ + =
1
a¤
1
b¤
a¤ +b¤
a¤ b¤
(a+b)¤ -2ab
(ab)¤
(-6)¤ -2_4
4¤
=
=
356 근과 계수의 관계에 의하여
2
a+b= , ab=-
5
1
5
∴ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab
=;4&;
(cid:9120) ④
2
∴ (a-b)¤ ={
5
2'6
5
∴ a-b=
¤ -4_{- }=
}
1
5
24
25
(∵ a>b)
(cid:9120) ②
357 두 근을 2a, 3a(a+0)라 하면 근과 계수의 관
계에 의하여
2a+3a=;2%;(cid:100)(cid:100)∴ a=;2!;
따라서 두 근이 1, ;2#;이므로
1_;2#;=
a+4
2
∴ a=-1
(cid:9120) - 1
358 두 근을a, a +2'5라 하면
a+(a+2'5)=10에서 2a=10-2'5
∴ a=5-'5
a(a+2'5)=23-k에서
(5-'5)(5-'5+2'5)=23-k
(5-'5)(5+'5)=23-k, 25-5=23-k
∴ k=3
(cid:9120) ③
359 두 근을 a, 2a(a+0)라 하면
2a-a=3(cid:100)(cid:100)∴ a=3
따라서 두 근이3, 6 이므로
3+6=-a에서 a=-9
3_6=b에서 b=18
∴ a+b=9
(cid:9120) 9
360 x¤ 의계수가 2이고두근이 -1, 3인이차방정식은
2(x+1)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ 2x¤ -4x-6=0
따라서 m=-4, n=-6이므로
m-n=2
(cid:9120) ④
72 | SOLUTION
361 x¤ 의 계수가 5이고 두 근이 ;5@;, 2인 이차방정식은
5{x-;5@;}(x-2)=0, 5{x¤ -;;¡5™;;x+;5$;}=0
∴ 5x¤ -12x+4=0
따라서 a=-12, b=4이므로
a+b=-8
(cid:9120) - 8
362 x¤ 의 계수가 6이고 두 근이 -;2!;, ;3@;인 이차방정
식은
6{x+;2!;}{x-;3@;}=0, 6 {x¤ -;6!;x-;3!;}=0
∴ 6x¤ -x-2=0
따라서 a=-1, b=-2이므로
2x¤ -2x-1=0
∴ x=
-(-1)—"√(-1)¤ -2_(-1)
2
∴ x=
1—'3
2
(cid:9120) x=
1—'3
2
363 구하는 이차방정식은
두 근의 비가 m : n이면
두 근을 ma, na(a+0)
로 놓고 푼다.
2{x¤ -;2!;x-4}=0
2x¤ -x-8=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-1, b=-8
∴ a+b=-9
(cid:9120) ③
두 근이 무리수이면 두
근의 합과 곱을 이용하여
이차방정식을 구하는 것
이 편리하다.
364 두 근의 합은 (4+'3)+(4-'3)=8
두 근의 곱은 (4+'3)(4-'3)=13
따라서 구하는 이차방정식은
x¤ -8x+13=0
(cid:9120) x¤ -8x+13=0
365 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-3, ab=-2이므로
(a+1)+(b+1)=a+b+2=-3+2=-1
(a+1)(b+1)=ab+a+b+1
=-2-3+1=-4
따라서 구하는 이차방정식은
x¤ +x-4=0
(cid:9120) ④
366 다른 한 근은 4-'6이므로
근과 계수의 관계에 의하여
k+3=(4+'6)(4-'6)=10(cid:100)(cid:100)
∴ k=7
(cid:9120) 7
이차방정식
ax¤ +bx+c=0(a, b, c
는 유리수)의 한 근이
p+q'∂m이면 다른 한 근
은 p-q'∂m이다. (p, q
는 유리수, '∂m은 무리수)
이차항의 계수가 a이고 두
근이 a, b인 이차방정식
(cid:8857) a(x-a)(x-b)=0
367 다른 한 근은 -'2-3이므로
근과 계수의 관계에 의하여
-
5k+2
2
=('2-3)+(-'2-3)=-6
5k+2=12(cid:100)(cid:100)∴ k=2
(cid:9120) ④
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지73 SinsagoHitec
368 다른 한 근은
2+'∂10
6
이므로
근과 계수의 관계에 의하여
2-'∂10
6
}+{
2+'∂10
6
a
- ={
6
∴ a=-4
}=
4
6
2+'∂10
6
}{
}=-
1
6
2-'∂10
6
;6B;
={
∴ b=-1
∴ a+b=-5
Q BOX
올라갈 때와 내려올 때
80 m인 지점을 지난다.
375 -5t¤ +25t+50=80, t¤ -5t+6=0
(t-2)(t-3)=0 ∴ t=2 또는 t=3
따라서 물 로켓이 높이가 80m인 지점을 처음으
로 지나는 것은 2초 후이다.
(cid:9120) ②
4-10
36
=
-6
36
=-
1
6
(cid:9120) ②
376 60t-5t¤ =100, t¤ -12t+20=0
(t-2)(t-10)=0 ∴ t=2 또는 t=10
따라서 공이 높이가 100m인 지점을 지나는 것
은 2초 후 또는 10초 후이다.
(cid:9120) 2초 또는 10초
지면에 떨어지면
높이는 0이다.
377 5+9t-2t¤ =0, 2t¤ -9t-5=0
(2t+1)(t-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=5 (∵ t>0)
따라서 공이 지면에 떨어지는 것은 5초 후이다.
369
n(n-3)
2
=104, n¤ -3n-208=0
(n+13)(n-16)=0(cid:100)(cid:100)∴ n=16 (∵ n>3)
(cid:9120) 십육각형
370 n(n-1)=72이므로 n¤ -n-72=0
(n+8)(n-9)=0(cid:100)(cid:100)∴ n=9`(∵ n>0)
(cid:9120) ⑤
서로 다른 n장의 카드에
서 2장을 뽑아 만들 수
있는 두 자리 자연수의
개수
(cid:8857) n(n-1)개
371 n개의 도시를 직접 연결하는 항공로의 수는 n개
의 점 중 두 점을 연결하여 만드는 선분의 개수
와 같으므로
n(n-1)
2
=45, n¤ -n-90=0
(n+9)(n-10)=0(cid:100)(cid:100)∴ n=10 (∵ n>1)
따라서 연결할 도시는 10개이다.
(cid:9120) ③
순서를 생각하지 않고 n
개 중에서 2개를 뽑는 경
우의 수와 같다.
반지름의 길이가 r인 원
의 넓이
(cid:8857) pr¤
(늘어난 부분의 넓이)
=(반지름의 길이를 늘인
원의 넓이)
-(처음 원의 넓이)
372 두 자연수를 x, x+3이라 하면
x¤ =7(x+3)+9, x¤ -7x-30=0
(x+3)(x-10)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=10 (∵ x>0)
따라서 두 자연수는 10, 13이다.
(cid:9120) 10, 13
373 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면
(x+1)¤ =(x-1)¤ +x¤ -96
x¤ -4x-96=0, (x+8)(x-12)=0
∴ x=12 (∵ x>1)
따라서 세 자연수는 11, 12, 13이므로 가장 작
은 수는 11이다.
(cid:9120) ③
374 어떤 양수를 x라 하면
x(x-1)=272, x¤ -x-272=0
(x+16)(x-17)=0 ∴ x=17 (∵ x>0)
따라서 원래의 두 수는 17, 18이므로 두 수의 곱
은 17_18=306
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ②
W
O
R
K
B
O
O
K
378 처음 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
(x+9)(x+6)=2x¤ , x¤ -15x-54=0
(x+3)(x-18)=0 ∴ x=18 (∵ x>0)
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 18 cm
이다.
(cid:9120) 18 cm
379 x초 후에 넓이가 같아진다고 하면 x초 후의 가
로의 길이는 (30-2x)cm, 세로의 길이는
(24+3x)cm이므로
(30-2x)(24+3x)=30_24
x¤ -7x=0, x(x-7)=0
∴ x=7 (∵ 01)
따라서 색칠한 원의 넓이는 p_4¤ =16p(cm¤ )
(cid:9120) ③
381 꽃밭의 세로의 길이를 x m라 하면 가로의 길이
는 2x m이므로
x(2x-2)=60, x¤ -x-30=0
(x+5)(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ x>1)
따라서 꽃밭의 가로의 길이는 12 m이다.
(cid:9120) 12 m
Ⅱ. 이차방정식 | 73
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지74 SinsagoHitec
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382 도로의 폭을 x m라 하면
(30-x)(24-x)=520, x¤ -54x+200=0
(x-4)(x-50)=0 ∴ x=4 (∵ 00
A¤ -3A-18=0, (A+3)(A-6)=0
∴ A=-3 또는 A=6
a>2b이므로 a-2b=6
∴ 3a-6b=3(a-2b)=3_6=18
(cid:9120) 18
383 공원의 가로의 길이를 x m라 하면 세로의 길이
는 (x-12) m이고, 공원의 넓이와 산책로의 넓
389 x¤ +2(m-1)x+m¤ =0은 해가 없으므로
(m-1)¤ -m¤ <0, -2m+1<0
이차방정식
ax¤ +2b'x+c=0에서
서로 다른 두 근
(cid:8857) b'¤ -ac>0
중근
(cid:8857) b'¤ -ac=0
근이 없다.
(cid:8857) b'¤ -ac<0
∴ m>;2!;
2x¤ -2x+2m-3=0은 해를 가지므로
y ㉠
1-2_(2m-3)æ0, -4m+7æ0
∴ m…;4&;
y ㉡
(cid:9120) 36 m
㉠, ㉡에 의하여 ;2!;0
16-8k>0(cid:100)(cid:100)∴ k<2
y ㉠
2x=4 또는 2x=16
3x¤ +(4k-3)x+k¤ =0이 중근을 가지므로
6+3'3
2
>2
391 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=5, ab=1이므로
(4k-3)¤ -4_3_k¤ =0
4k¤ -24k+9=0(cid:100)(cid:100)
∴ k=
-(-12)—"√(-12)¤ -4_9
4
∴ k=
6—3'3
2
y ㉡
6-3'3
2
㉠, ㉡에 의하여 k=
(cid:9120) ③
=
+
∴
b
a+2
a
b+2
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=5¤ -2_1=23
b(b+2)+a(a+2)
(a+2)(b+2)
a¤ +b¤ +2(a+b)
ab+2(a+b)+4
33
11
= =
15
5
∴
+
=
∴
+
따라서 m=5, n=11이므로
m+n=16
(cid:9120) ③
a+b=8, ab=9이므로
('a-'b)¤ =a-2'∂ab+b=8-2'9=2
∴ 'a-'b='2 (∵ a>b)
(cid:9120) '2
x¤ 의 계수가 1이고 두 근
이 a, b인 이차방정식
(cid:8857) (x-a)(x-b)=0
393 (x+2)(x-16)=0, x¤ -14x-32=0에서
상수항을 바르게 보았으므로 b=-32
(x+1)(x-5)=0, x¤ -4x-5=0에서
x의 계수를 바르게 보았으므로 a=-4
(cid:9120) ①, ⑤
392 근과 계수의 관계에 의하여
이의 합은 공원의 넓이의 2배이므로
(x+12)(x-12+12)=2x(x-12)
x¤ +12x=2x¤ -24x, x¤ -36x=0
x(x-36)=0 ∴ x=36 (∵ x>0)
따라서 공원의 가로의 길이는 36 m이다.
384 잘라 낸 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
상자의 밑면은 한 변의 길이가 (10-2x) cm인
정사각형이므로
(10-2x)¤ =36, 10-2x=—6, 2x=10—6
∴ x=2 (∵ 012)
따라서 처음 종이의 가로의 길이는 20 cm이다.
(cid:9120) 20 cm
386 물받이의 높이를 x cm라 하면
x(40-2x)=168, 2x¤ -40x+168=0
x¤ -20x+84=0, (x-6)(x-14)=0(cid:100)
∴ x=6 또는 x=14 (∵ 0|;3$;|>|-;4#;|>|-;2!;|>|;4!;| (cid:9120) ①
y=ax¤ 의 그래프는 a의 절
댓값이 클수록 폭이 좁다.
419 a의 값이 큰 것부터 차례로 적으면
①, ②, ⑤, ④, ③
(cid:9120) ①
409 f(a)=3a¤ -2a=8이므로(cid:100)
3a¤ -2a-8=0, (3a+4)(a-2)=0(cid:100)(cid:100)
이차함수 y=ax¤ 의 그래
프는 y=-ax¤ 의 그래
프와 x축에 대칭이다.
420 y=;3@;x¤ 의 그래프와 x축에 대칭인 그래프의 식
은 y=-;3@;x¤ 이다.
(cid:9120) ③
-4-2a=-8(cid:100)(cid:100)∴ a=2
즉 f(x)=-3x¤ +2x+8이므로
f(3)=-3_3¤ +2_3+8=-13
∴ b=-13
∴ a+b=-11
(cid:9120) ②
(cid:9120) 2
410 f(-1)=-2_(-1)¤ +a_(-1)+1=1
∴ a=-;3$; 또는 a=2
그런데 a는 양수이므로 a=2
-1-a=1(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
즉 f(x)=-2x¤ -2x+1이므로
f(b)=-2b¤ -2b+1=-3
b¤ +b-2=0, (b+2)(b-1)=0
∴ b=-2 또는 b=1
그런데 b는 자연수이므로 b=1
(cid:9120) 1
411 ③ -3_0¤ =0+-2
(cid:9120) ③
412 y=-;2!;x¤ -7의 그래프가 점 (4, k)를 지나므로
k=-;2!;_4¤ -7=-15
(cid:9120) - 15
413 y=ax¤ 의 그래프가 점 (2, -1)을 지나므로
-1=a_2¤
∴ a=-;4!;
즉 y=-;4!;x¤ 의 그래프가 점 (-1, b)를 지나
므로
b=-;4!;_(-1)¤ =-;4!;
∴ a-b=-;4!;-{-;4!;}=0
414 ③ 제 3, 4 사분면을 지난다.
415 ㈁ 축의 방정식은 x=0이다.
㈃ y=-x¤ 의 그래프는 x>0일 때, x의 값이 증
가하면 y의 값은 감소한다.
(cid:9120) ②
416 x¤ 의 계수가 양수이면서 절댓값이 가장 작은 것
은 ③ y=;5@;x¤ 이다.
(cid:9120) ③
(cid:9120) ①
417 ;3!;0이면 모든 사분면을 지난다.
(cid:9120) ㈀, ㈃
434 그래프가 아래로 볼록한 포물선이고, 꼭짓점의
(cid:9120) ①
좌표가 (0, 2)인 것은 ①이다.
435 꼭짓점의 좌표가 (0, 4)이므로 q=4
y=ax¤ +4의 그래프가 점 (3, 0)을 지나므로
0=a_3¤ +4(cid:100)(cid:100)∴ a=-;9$;
∴
=q_
;aQ;
=4_{-;4(;}=-9
;a!;
(cid:9120) -9
436 조건을 모두 만족시키는 그래프를 나타내는 이차
(cid:9120) ②
함수의 식은 ② y=-x¤ +5이다.
나므로
-3=a-8(cid:100)(cid:100)∴ a=5
따라서 y=5x¤ -8의 그래프가 점 (2, k)를 지나
므로 k=5_4-8=12
(cid:9120) 12
438 y=-;2!;x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -5만큼
평행이동한 그래프의 식은 y=-;2!;(x+5)¤
이 그래프가 점 (-1, k)를 지나므로
k=-;2!;_4¤ =-8
(cid:9120) ①
이동한 그래프의 식은 y=3(x-a)¤
이 그래프가 점 (1, 3)을 지나므로
3=3(1-a)¤ , 1-2a+a¤ =1
a¤ -2a=0, a(a-2)=0(cid:100)(cid:100)
∴ a=2 (∵ a+0)
즉 y=3(x-2)¤ 의 그래프가 점 (-1, b)를 지
나므로 b=3(-1-2)¤ =27
∴ a+b=29
(cid:9120) 29
441 ① 축의 방정식은 x=-5이다.
② 아래로 볼록한 포물선이다.
③ y=;3!;x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -5만큼
③ 평행이동한 그래프이다.
⑤ 점 (-8, 3)을 지난다.
(cid:9120) ④
442 ㈀ 꼭짓점의 좌표는 (p, 0)이다.
㈃ 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으
로 p만큼 평행이동한 것이다.
(cid:9120) ③
443 y=-4(x-5)¤ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(5, 0), 축의 방정식은 x=5이므로
a+b+k=10
(cid:9120) 10
Ⅲ. 이차함수 | 77
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444 꼭짓점의 좌표가 (3, 0)이므로 p=3
451 y=2(x-3)¤ +1의 그래프의 축의 방정식은
y=a(x-3)¤ 의 그래프가 점 (2, -2)를 지나
x=3이므로 a=3
므로
-2=a_(2-3)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-2
∴ ap=-6
(cid:9120) - 6
y=-3(x+2)¤ -1의 그래프의 축의 방정식은
x=-2이므로 b=-2
∴ a+b=1
(cid:9120) 1
445 꼭짓점의 좌표가 (2, 0)이므로 p=2
y=a(x-2)¤ 의 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로
제3사분면 위의 점의 좌
표의 부호 (cid:8857) (-, -)
452 꼭짓점의 좌표는
① (0, 0)
② (0, -3) ③ (-1, 0)
2=a_(0-2)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=;2!;(cid:100)
따라서 그래프의 식은 y=;2!;(x-2)¤
② x=3일 때 y=;2!;이므로 점 {3, ;2!;}을 지난다.
(cid:9120) ②
446 꼭짓점의 좌표가 (-4, 0)이므로 p=-4
y=a(x+4)¤ 의 그래프가 점 (-1, 9)를 지나므로
9=a(-1+4)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=1
이차함수의 그래프에서
증가, 감소
(cid:8857) 축을 기준으로 바뀐다.
453 오른쪽 그림에서 x<-2일
때, x의 값이 증가하면 y의
값도 증가한다.
④ (2, 1)
⑤ (-4, -5)
이므로 그래프의 꼭짓점이 제3사분면에 있는 것
은 ⑤이다.
(cid:9120) ⑤
y
6
(cid:9120) ③
-2
O
x
즉 y=(x+4)¤ 의 그래프가 점 (k, 1)을 지나므
로 1=(k+4)¤ , k+4=—1(cid:100)(cid:100)
축의 방정식이 x=-4이
다.
∴ k=-3 또는 k=-5
(cid:9120) -3, -5
454 오른쪽 그림에서 x<-4일
때, x의 값이 증가하면 y의
값은 감소한다.
(cid:9120) ③
y
-4
O
x
-5
455 ① x<-3일 때는 x의 값이 증가하면 y의 값은
② -30일 때, x>p이면 x의 값이 증가할 때,
y의 값도 증가한다.
(cid:9120) ①
y=ax¤ 의 그래프를 x축
의 방향으로 p만큼, y축
의 방향으로 q만큼 평행
이동한 그래프의 식
(cid:8857) y=a(x-p)¤ +q
y=a(x-p)¤ +q의 그
래프
① 꼭짓점의 좌표
(cid:8857) (p, q)
② 축의 방정식
(cid:8857) x=p
447 y=;3!;x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축
의 방향으로 -3만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=;3!;(x-2)¤ -3
(cid:9120) ④
448 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축
의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=a(x-m)¤ +n
∴ a=-1, m=-3, n=-10
∴ amn=-30
(cid:9120) -30
449 y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼, y축
의 방향으로 k만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=2(x-4)¤ +k
이 그래프가 점 (2, 3)을 지나므로
3=2(2-4)¤ +k ∴ k=-5
(cid:9120) ①
450 y=-;5@;(x+3)¤ -1의 그래프의 꼭짓점의 좌표
는 (-3, -1)이고 축의 방정식은 x=-3이므
로 p=-3, q=-1, k=-3
∴ p+q-k=(-3)+(-1)-(-3)=-1
(cid:9120) -1
78 | SOLUTION
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지79 SinsagoHitec
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459 주어진 이차함수의 그래프가 위로 볼록하므로
꼭짓점이 y축의 양의 방향 위에 있으므로
p=0, q>0
(cid:9120) ④
460 주어진 이차함수의 그래프가 아래로 볼록하므로
a<0
a>0
꼭짓점이 제`4`사분면 위에 있으므로
-p>0, q<0(cid:100)(cid:100)∴ p<0
따라서 a-2=0, -4+b=0이므로
a=2, b=4 ∴ a+b=6
(cid:9120) ⑤
꼭짓점의 좌표 (p, q)
467 평행이동한 그래프의 식은
y=-;2!;(x-5-2)¤ +1-2
즉 y=-;2!;(x-7)¤ -1의 그래프가 점 (5, k)를
지나므로(cid:100)(cid:100)
(cid:9120) a>0, p<0, q<0
꼭짓점의 좌표 (-p, q)
k=-;2!;(5-7)¤ -1=-3
(cid:9120) -3
461 a>0이므로 아래로 볼록한 포물선이고 p<0,
q>0이므로 꼭짓점이 제2사분면 위에 있다.
제2사분면 위의 점의 좌
표의 부호 (cid:8857) (-, +)
468 x축에 대칭인 그래프의 식은
-y=3(x+2)¤ +5
(cid:9120) ③
y 대신 -y를 대입
∴ y=-3(x+2)¤ -5
(cid:9120) ②
462 꼭짓점의 좌표가 (-3, -6)이므로
p=-3, q=-6
y=a(x+3)¤ -6의 그래프가 점 (-2, -3)을
x 대신 -x를 대입
지나므로
-3=a_(-2+3)¤ -6(cid:100)(cid:100)∴ a=3
(cid:9120) ⑤
469 y축에 대칭인 그래프의 식은
y=-(-x-3)¤ +2
즉 y=-(x+3)¤ +2이므로
a=-1, p=-3, q=2
∴ a+p+q=-2
470 x축에 대칭인 그래프의 식은
-y=2(x+1)¤ -3
W
O
R
K
B
O
O
K
(cid:9120) - 2
를 지나므로
a=-2_(-3+1)¤ +3=-5
(cid:9120) ③
y=a(x+2)¤ +1의 그래프가 점 (0, -9)를 지
즉 y=-2(x+1)¤ +3의 그래프가 점 (-3, a)
463 꼭짓점의 좌표가 (-2, 1)이므로
p=-2, q=1
나므로
-9=a_2¤ +1(cid:100)(cid:100)∴ a=-;2%;
∴ apq={-;2%;}_(-2)_1=5
(cid:9120) 5
464 꼭짓점의 좌표가 (2, -3)이므로 p=2, q=-3
y=a(x-2)¤ -3의 그래프가 점 (0, 5)를 지나
므로
지나므로
5=a_(0-2)¤ -3(cid:100)(cid:100)∴ a=2
즉 y=2(x-2)¤ -3의 그래프가 점 (3, k)를
k=2_(3-2)¤ -3=-1
(cid:9120) - 1
465 평행이동한 그래프의 식은
y=2(x+3-1)¤ -1+6
즉 y=2(x+2)¤ +5이므로
p=-2, q=5, m=-2
∴ pqm=20
(cid:9120) 20
466 평행이동한 그래프의 식은
y=-3(x-a+2)¤ -4+b
이므로 꼭짓점의 좌표는 (a-2, -4+b)
471 y=(a¤ -4a-5)x¤ +7x+6에서
a¤ -4a-5+0이어야 하므로
AB+0
(cid:8857) A+0이고 B+0
(a+1)(a-5)+0
∴ a+-1이고 a+5
(cid:9120) ①, ⑤
(x‹ 의 계수)=0이어야
한다.
(x¤ 의 계수)+0이어야
한다.
472 y=k(k+1)x‹ +(k¤ -4k+3)x¤ -2x‹
=(k¤ +k-2)x‹ +(k¤ -4k+3)x¤
⁄ k¤ +k-2=0이어야 하므로
(k+2)(k-1)=0(cid:100)(cid:100)
∴ k=-2 또는 k=1
¤ k¤ -4k+3+0이어야 하므로
(k-1)(k-3)+0(cid:100)(cid:100)
∴ k+1이고 k+3
⁄, ¤에서 k=-2
(cid:9120) ①
473 y=;2!;(x-3)¤ 의 그래프는 y=;2!;(x+4)¤ 의 그
래프를 x축의 방향으로 7만큼 평행이동한 것이
므로 AB”=7
(cid:9120) 7
Ⅲ. 이차함수 | 79
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474 오른쪽 그림과 같이
y
y= x@+3
1
3
y=;3!;x¤ +3,
y=;3!;x¤ -2의
그래프와 직선
x=-2와의 교점
을 각각 A, B라 하
A
1
y= x@-2
3
C
3
B
O
x
-2
x=-2
D
x=1
고, 직선 x=1과의 교점을 각각 C, D라 하자.
y=;3!;x¤ +3의 그래프는 y=;3!;x¤ -2의 그래프를
y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 그래프이므로
빗금 친 부분의 넓이는 같다.
따라서 색칠한 부분의 넓이는 평행사변형 ABDC
의 넓이와 같으므로
5_3=15
(cid:9120) 15
475 y=-x¤ +q의 그래프는 y축에 대칭이고 AB”=6
이므로 A(-3, 0), B(3, 0)
y=-x¤ +q에 x=-3, y=0을 대입하면
0=-9+q ∴ q=9
즉 y=-x¤ +9이므로 C(0, 9)
∴ △ABC=;2!;_6_9=27
(cid:9120) 27
480 y=-x¤ +2의 그래프와 x축에 대칭인 그래프의
식은 -y=-x¤ +2(cid:100)(cid:100)∴ y=x¤ -2
y=x¤ -2의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼
평행이동한 그래프의 식은
y=(x+3)¤ -2
∴ a=1, p=-3, q=-2
∴ ap+q=-5
(cid:9120) -5
AB”=BC”=CD”=2k
481 점 C의 좌표를 (k, 9)(k>0)라 하면D (3k, 9)
점 D는 y=x¤ 의 그래프 위의 점이므로
9=9k¤` ∴ k=1(∵ k>0)
∴ C(1, 9)
a=9
점 C는 y=ax¤ 의 그래프 위의 점이므로
(cid:9120) 9
세 점 A, B, C의 x좌표
는 모두 같다.
482 A(k, 0)(k+0)이라 하면
B{k, ;3!;k¤ }, C(k, ak¤ )
AB”=;3!;k¤ , BC”=ak¤ -;3!;k¤
AB” : BC”=1 : 3이므로
476 점 A(a, 4)로 놓고 y=x¤ 에 x=a, y=4를 대
입하면 4=a¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-2(∵ a<0)
비례식에서
(외항의 곱)=(내항의 곱)
;3!;k¤ : {ak¤ -;3!;k¤ }=1 : 3, k¤ =ak¤ -;3!;k¤
;3$;k¤ =ak¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=;3$;
(cid:9120) ;3$;
따라서 BC”=AD”=2이고 y=x¤ 의 그래프는
y축에 대칭이므로 B(-1, 1), C(1, 1)
∴ (cid:8772)ABCD=2_3=6
(cid:9120) ⑤
477 y=ax+b의 그래프에서 a>0, b<0
따라서 y=-(x+a)¤ +b의 그
래프는 오른쪽 그림과 같으므
로 제``3, 4``사분면을 지난다.
(cid:9120) ②
y
xO
꼭짓점의 좌표는
(-a, b)이고, -a<0,
b<0이므로 꼭짓점은
제3사분면 위에 있다.
483 (cid:8641)ABCO가 정사각형이므로
AC”=BO”, AC”⊥BO”
점 A의 좌표를 (a, a)(a>0)라 하면 점 A는
y=;4!;x¤ 의 그래프 위의 점이므로
a=;4!;a¤ , a¤ -4a=0, a(a-4)=0
∴ a=0 또는 a=4
그런데 a>0이므로 a=4
478 y=ax-b의 그래프에서
a<0, -b<0(cid:100)(cid:100)∴ b>0
따라서 y=a(x+b)¤ 의 그래프는 위로 볼록하고
꼭짓점 (-b, 0)이 원점의 왼쪽에 있다. (cid:9120) ①
479 y=5x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축
의 방향으로 -6만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=5(x-2)¤ -6
이 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의
식은 y=5(-x-2)¤ -6
∴ y=5(x+2)¤ -6
(cid:9120) ②
80 | SOLUTION
AC”=BO”=8
∴ (cid:8641)ABCO=;2!;_8_8=32
(cid:9120) 32
484 점 A의 좌표를 {a, ;3!;a¤ }(a>0)이라 하면
B(a, a¤ )
AB”=AD”이므로 ;3@;a¤ =a, 2a¤ -3a=0
a(2a-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=;2#; (∵ a>0)
∴ A{;2#;, ;4#;}
(cid:9120) {;2#;, ;4#;}
x 대신 -x를 대입
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지81 SinsagoHitec
x축과의 교점
(cid:8857) y좌표는 0이다.
491 y=2x¤ +7x-4에 y=0을 대입하면
0=2x¤ +7x-4, (x+4)(2x-1)=0
2
이차함수의 활용
▶88~104쪽
485 y=ax¤ +bx+c
y=a{x¤ + x}+c
;aB;
y=a{x¤ + x+
;aB;
y=a{x¤ + x+
;aB;
b¤
4a¤
b¤
4a¤
-}
b¤
4a¤
+c
b¤
}- +c
4a
y=a{x+ }
-
b
2a
b¤ -4ac
4a
(cid:9120) ③
486 y=-;2!;x¤ +x-4
y=-;2!;(x¤ -2x+1)+;2!;-4
y=-;2!;(x-1)¤ -;2&;
이므로 a=-;2!;, p=1, q=-;2&;
∴ a+p+q=-3
(cid:9120) ④
487 y=3x¤ +12x+a
=3(x¤ +4x+4)-12+a
=3(x+2)¤ +a-12
따라서 2=-b, a-12=-5이므로(cid:100)(cid:100)
a=7, b=-2
∴ a-b=9
488 ① (0, 7)
② y=-(x+3)¤ +4 ∴ (-3, 4)
③ y=2(x-1)¤
∴ (1, 0)
④ y=3(x-2)¤ -5 ∴ (2, -5)
⑤ y=4(x+2)¤ -9 ∴ (-2, -9)
(cid:9120) 9
(cid:9120) ③
489 y=-;2!;x¤ -2ax
y=-;2!;(x¤ +4ax+4a¤ )+2a¤
y=-;2!;(x+2a)¤ +2a¤
의 그래프의 축의 방정식은 x=-2a이므로
-2a=2(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
따라서 꼭짓점의 좌표는 (2, 2)이다. (cid:9120) (2, 2)
490 y=-2x¤ +4ax-8
=-2(x¤ -2ax+a¤ )+2a¤ -8
=-2(x-a)¤ +2a¤ -8
의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (a, 2a¤ -8)
Q BOX
AB”=6-(-2)=8
먼저 y=ax¤ +bx+c를
y=a(x-p)¤ +q의 꼴
로 변형한다.
점 (a, b)를 지난다.
(cid:8857) 함수의 식에 x=a,
y=b를 대입하면 등
식이 성립한다.
W
O
R
K
B
O
O
K
y=
x¤ -2x+b
;3!;
y=;3!;(x¤ -6x+9)-3+b
y=
(x-3)¤ -3+b
;3!;
의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (3, -3+b)
따라서 a=3, 2a¤ -8=-3+b이므로 b=13
∴ a-b=-10
(cid:9120) -10
∴ x=-4 또는 x=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ pq=-2
y=2x¤ +7x-4에 x=0을 대입하면
y=-4(cid:100)(cid:100)∴ r=-4
∴ pqr=8
(cid:9120) ④
492 y=-;2!;x¤ +2x+6에 y=0을 대입하면
0=-;2!;x¤ +2x+6, x¤ -4x-12=0
(x+2)(x-6)=0
∴ x=-2 또는 x=6
즉 A(-2, 0), B(6, 0) 또는
A(6, 0), B(-2, 0)이므로
AB”=8
(cid:9120) ⑤
493 y=-x¤ +mx+n에 x=0, y=7을 대입하면
7=0+0+n(cid:100)(cid:100)∴ n=7
y=-x¤ +mx+7에 x=-1, y=0을 대입하면
0=-1-m+7(cid:100)(cid:100)∴ m=6
즉 y=-x¤ +6x+7에 y=0을 대입하면
0=-x¤ +6x+7, x¤ -6x-7=0
(x+1)(x-7)=0
∴ x=-1 또는 x=7
따라서 점 A의 x좌표는 7이다.
(cid:9120) 7
494 y=-x¤ -6x+1=-(x+3)¤ +10
따라서 x>-3일 때, x의 값이 증가하면 y의
값은 감소한다.
(cid:9120) ③
495 y=2x¤ +kx+3의 그래프가 점 (1, -3)을 지
나므로
-3=2+k+3(cid:100)(cid:100)∴ k=-8
따라서 y=2x¤ -8x+3=2(x-2)¤ -5의 그래
프는 x>2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도
증가한다.
(cid:9120) ④
Ⅲ. 이차함수 | 81
¤
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지82 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
y=;4!;(x¤ +4ax+4a¤ )
-a¤ +5
=;4!;(x+2a)¤ -a¤ +5
사분면 위의 점의 좌표의
부호
제 1 사분면 (cid:8857) (+, +)
제 2 사분면 (cid:8857) (-, +)
제 3 사분면 (cid:8857) (-, -)
제 4 사분면 (cid:8857) (+, -)
3
x
4k>0에서 k>0
-2k+6>0에서 k<3
496 y=;4!;x¤ +ax+5=;4!;(x+2a)¤ -a¤ +5
의 그래프의 축의 방정식은 x=-2a
즉 -2a=6이므로 a=-3
(cid:9120) - 3
497 y=-2x¤ +4x+1=-2(x-1)¤ +3
따라서 꼭짓점의 좌표가 (1, 3)이고 y절편이 1인
그래프는 ②이다.
(cid:9120) ②
498 y=-;3!;x¤ +2x-2=-;3!;(x-3)¤ +1
y
1
O
-2
그래프의 꼭짓점의 좌표
는 (3, 1)이고 y절편
은 -2이므로 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
따라서 제2사분면을 지
나지 않는다.
(cid:9120) ②
499 ① y=(x-3)¤ -2
y
② y=(x+2)¤ +3
3
x
-2
O x
③ y=-2(x+1)¤ +5 ④ y=;2!;(x-2)¤ -1
7
O
-2
y
5
3
y
7
3
y
1
2
O
-1
⑤ y=-(x-4)¤ +16
y
16
O
4
x
500 y=x¤ -6x+5k-1=(x-3)¤ +5k-10
이 그래프가 x축과 한 점에서 만나려면 꼭짓점의
y좌표가 0이어야 하므로
5k-10=0(cid:100)(cid:100)∴ k=2
(cid:9120) ③
(cid:9120) ④
501 y=-2x¤ +8x+k-3=-2(x-2)¤ +k+5
이 그래프는 위로 볼록하므로 x축과 만나지 않으
려면 꼭짓점이 x축의 아래쪽에 있어야 한다.
즉 k+5<0이므로 k<-5
(cid:9120) ①
82 | SOLUTION
-1
O
x
x
그래프가 원점을 지나도
제3사분면과 제4사분면
을 지나지 않는다.
이차함수
y=a(x-p)¤ +q의 그
래프가 x축과 한 점에서
만난다. (cid:8857) q=0
502 y=;2!;x¤ +x+2a+1=;2!;(x+1)¤ +2a+;2!;
이 그래프는 아래로 볼록하므로 x축과 서로 다른
두 점에서 만나려면 꼭짓점이 x축의 아래쪽에 있
어야 한다.
즉 2a+;2!;<0이므로 a<-;4!;
(cid:9120) a<-;4!;
503 y=-x¤ +8kx-16k¤ -2k+6
=-(x-4k)¤ -2k+6
꼭짓점의 좌표는 (4k, -2k+6)이고, 제1사분
면 위에 있으므로
4k>0, -2k+6>0
∴ 0-;3$;(cid:100)(cid:100)
∴ -;3$;0
위로 볼록：a<0
[
② b의 부호
(cid:8857) 축의 위치
y축의 왼쪽：ab>0
y축의 오른쪽：ab<0
[
(cid:8857) y축과의 교점의 위치
원점의 위쪽：c>0
원점의 아래쪽：c<0
[
-p-1=2, 5+q=-3(cid:100)(cid:100)
∴ p=-3, q=-8
∴ p+q=-11
(cid:9120) -11
514 y=-2x¤ -8x-3=-2(x+2)¤ +5의 그래프는
y=-2x¤ +4x+1=-2(x-1)¤ +3의 그래프
를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 2
만큼 평행이동한 것이다.
따라서 점 (3, -5)가 평행이동한 점은
점 (0, -3)이다.
(cid:9120) ③
515 위로 볼록하므로 a<0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로
ab>0(cid:100)(cid:100)∴ b<0
y축과 만나는 점이 원점의 위쪽에 위치하므로
c>0
(cid:9120) ⑤
516 a>0, b<0, c<0이므로
abc>0
(cid:9120) abc>0
517 y=ax+b의 그래프에서 a>0, b<0
y=ax¤ + bx의 그래프는 a>0이므로 아래로 볼
록하고, ab<0이므로 축이 y축의 오른쪽에 있으
며, y절편은 0이다.
따라서 y=ax¤ + bx의 그래프로 적당한 것은 ②
이다.
(cid:9120) ②
W
O
R
K
B
O
O
K
이차함수의 그래프는 축
에 대칭이므로 2+2=4
518 a>0, b>0, c<0
① ab>0(cid:100)(cid:100)② ac<0(cid:100)(cid:100)③ bc<0
④ x=-1일 때, y=a-b+c<0
⑤ x=1일 때, y=a+b+c>0
(cid:9120) ④
y=a(x-p)¤ +q의 그
래프를 x축, y축의 방향
으로 각각 m, n만큼 평
행이동한 그래프의 식은
(cid:8857) y=a(x-m-p)¤
+q+n
519 a<0, b>0, c>0
① ab<0
② x=1일 때, y=a+b+c>0
③ x=-1일 때, y=a-b+c=0
④ x=-2일 때, y=4a-2b+c<0
⑤ x=3일 때, y=9a+3b+c=0
(cid:9120) ③
㈀ bc>0(cid:100)(cid:100)㈁ ac<0(cid:100)(cid:100)㈂ a-c>0
㈃ x=1일 때, y=a+b+c<0
㈄ x=-1일 때, y=a-b+c=0
㈅ x=2일 때, y=4a+2b+c>0
(cid:9120) ㈀, ㈂, ㈅
Ⅲ. 이차함수 | 83
=;2!;x¤ +2x+2
(cid:9120) ④
520 a>0, b<0, c<0
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지84 SinsagoHitec
난다.
(cid:9120) ⑤
524 y=a(x-1)¤ +2로 놓으면 점 (2, 6)을 지나므로
6=a(2-1)¤ +2(cid:100)(cid:100)∴ a=4
따라서 y=4(x-1)¤ +2=4x¤ -8x+6이므로
a=4, b=-8, c=6
∴ a-b-c=6
꼭짓점의 좌표가 (p, q)인
이차함수의 그래프의 식
(cid:8857) y=a(x-p)¤ +q로
놓는다.
A(1, 0), B(5, 0) 또는
A(5, 0), B(1, 0)
(cid:9120) ②
530 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 세 점( -2, 2),
WORK BOOK
Q BOX
521 x축과 두 점에서 만나고
a>0, b<0, c>0이므로
y=ax¤ +bx+c의 그래프
는 오른쪽 그림과 같다.
y
O
따라서 제3사분면을 지나지 않는다.
(cid:9120) ③
x
x
x
y
O
y
O
522 a<0, b=0, c<0이므로
y=ax¤ +bx+c의 그래프는
오른쪽 그림과 같다. 따라서
제1 사분면과 제2 사분면을
지나지 않는다.
523 a>0, b>0, c<0이므로
y=ax¤ +bx+c의 그래프
는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 모든 사분면을 지
(cid:9120) 제1사분면, 제2사분면
위로 볼록 (cid:8857) a<0
축이 y축 (cid:8857) b=0
y축과 만나는 점이 원점
의 아래쪽에 위치
(cid:8857) c<0
525 꼭짓점의 좌표가 (3, 2)이므로 y=a(x-3)¤ +2
로 놓으면 점 (0, -1)을 지나므로
-1=a(0-3)¤ +2(cid:100)(cid:100)∴ a=-;3!;
따라서 y=-;3!;(x-3)¤ +2=-;3!;x¤ +2x-1
이므로 a=-;3!;, b=2, c=-1
526 y=-2x¤ -4x+3=-2(x+1)¤ +5의 그래프
의 꼭짓점의 좌표는 (-1, 5)
y=a(x+1)¤ +5로 놓으면 점 (-2, 6)을 지나
므로
6=a(-2+1)¤ + 5(cid:100)(cid:100)∴ a=1
따라서 이차함수의 식은
y=(x+1)¤ +5=x¤ +2x+6
(cid:9120) y=x¤ +2x+6
527 y=a(x+1)¤ +q로 놓으면
두 점 (-2, 6), (1, -6)을 지나므로
6=a+q, -6=4a+q(cid:100)(cid:100)
∴ a=-4, q=10
84 | SOLUTION
축의 방정식이 x=-1
따라서 이차함수의 식은
y=-4(x+1)¤ +10=-4x¤ -8x+6
(cid:9120) ④
528 y=a(x-2)¤ +q로 놓으면
두 점 (-2, 0), (0, -6)을 지나므로
0=16a+q, -6=4a+q(cid:100)(cid:100)
∴ a=;2!;, q=-8
따라서 y=;2!;(x-2)¤ -8=;2!;x¤ -2x-6
이므로 a=;2!;, b=-2, c=-6
∴ abc=6
(cid:9120) ④
529 y=a(x-3)¤ +q로 놓으면
두 점 (2, 3), (6, -5)를 지나므로
3=a+q, -5=9a+q(cid:100)(cid:100)
∴ a=-1, q=4
즉 y=-(x-3)¤ +4=-x¤ +6x-5에 y=0을
대입하면
0=-x¤ +6x-5, x¤ -6x+5=0
(x-1)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=5
∴ AB”=4
(cid:9120) 4
(0, -5), (6, -2)를 지나므로
2=4a-2b+c, -5=c, -2=36a+6b+c
∴ a=;2!;, b=-;2%;, c=-5
∴
:ıaÇ:
=25
(cid:9120) ⑤
0=a+b+c, -7=4a+2b+c, 3=c
∴ a=-2, b=-1, c=3
따라서 y=-2x¤ -x+3의 그래프가 점 (-1, k)
를 지나므로
k=-2+1+3=2
(cid:9120) 2
532 y=ax¤ +bx+c로 놓으면
그래프가 세 점 (-2, 9), (0, 1), (1, -6)을
지나므로
9=4a-2b+c, 1=c, -6=a+b+c
∴ a=-1, b=-6, c=1
따라서 y=-x¤ -6x+1=-(x+3)¤ +10의 그
래프의 꼭짓점의 좌표는 (-3, 10)이다.
(cid:9120) ④
∴ abc=;3@;
(cid:9120) ②
는다.
지나므로
세 점의 좌표가 주어진
이차함수의 그래프의 식
(cid:8857) y=ax¤ +bx+c로 놓
531 y=ax¤ +bx+c로 놓으면
그래프가 세 점 (1, 0), (2, -7), (0, 3)을
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지85 SinsagoHitec
533 y=2(x+3)(x-2)=2(x¤ +x-6)
541 y=-2x¤ +12x-a+1=-2(x-3)¤ -a+19
=2x¤ +2x-12
(cid:9120) ④
에서 최댓값은 -a+19
Q BOX
x축과의 교점이 (a, 0),
(b, 0)인 이차함수의 그
래프의 식
(cid:8857) y=a(x-a)(x-b)
로 놓는다.
536 y=-x¤ +10x-13=-(x-5)¤ +12
따라서 x=5에서 최댓값 12를 가지므로
이차함수 y=ax¤ +bx+c
의 최댓값, 최솟값
(cid:8857) y=a(x-p)¤ +q의
꼴로 변형하여 구한다.
이 이차함수의 그래프가 점 (-3, k)를 지나므
로 k=18-12+5=11
∴ mn-k=20-11=9
(cid:9120) ③
534 그래프가 x축과 두 점 (-1, 0), (3, 0)에서 만
나므로 y=a(x+1)(x-3)으로 놓으면
점 (0, 3)을 지나므로
3=-3a(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
따라서 y=-(x+1)(x-3)=-x¤ +2x+3
이므로 a=-1, b=2, c=3
∴ ab+c=1
(cid:9120) ②
535 y=a(x+1)(x-5)로 놓으면 점 (3, 4)를 지나
므로 4=-8a(cid:100)(cid:100)∴ a=-;2!;
따라서 y=-;2!;(x+1)(x-5)
(cid:100)(cid:100)(cid:100) y=-;2!;x¤ +2x+;2%;
(cid:100)(cid:100)(cid:100) y=-;2!;(x-2)¤ +;2(;
이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 {2, ;2(;}이다.
(cid:9120) {2, ;2(;}
(cid:9120) ③
a=5, b=12
∴ b-a=7
M=6
537 y=-4x¤ -8x+2=-4(x+1)¤ +6이므로
y=;2!;x¤ +4x+5=;2!;(x+4)¤ -3이므로
m=-3
∴ M+m=3
(cid:9120) 3
538 y=2x¤ +ax+b의 그래프가 두 점 (0, 6), (3, 0)
을 지나므로
6=b, 0=18+3a+b ∴ a=-8
즉 y=2x¤ -8x+6=2(x-2)¤ -2이므로
x=2에서 최솟값 -2를 갖는다.
539 y=x¤ -8x+k=(x-4)¤ +k-16
따라서 k-16=-5이므로 k=11
540 y=-;2!;x¤ +2x+m=-;2!;(x-2)¤ +m+2
따라서 m+2=7이므로 m=5
(cid:9120) ②
(cid:9120) - 2
(cid:9120) ③
x절편이 -4, 2
x=4일 때, 최솟값
k-16을 갖는다.
x=2일 때, 최댓값
m+2를 갖는다.
y=3x¤ -6x+2a-5=3(x-1)¤ -8+2a에서
최솟값은 -8+2a
-a+19=-8+2a이므로 3a=27(cid:100)(cid:100)
(cid:9120) 9
∴ a=9
므로
542 y=-x¤ +ax-b가 x=1에서 최댓값 3을 가지
y=-(x-1)¤ +3=-x¤ +2x+2
따라서 a=2, b=-2이므로 a+b=0 (cid:9120) ②
543 y=3x¤ -3ax+b가 x=-2에서 최솟값 -5를
가지므로
y=3(x+2)¤ -5=3x¤ +12x+7
-3a=12, b=7이므로 a=-4, b=7
∴ b-a=11
(cid:9120) 11
544 y=2x¤ +mx+n이 x=-1에서 최솟값 3을 가
지므로
y=2(x+1)¤ +3=2x¤ +4x+5(cid:100)(cid:100)
∴ m=4, n=5
W
O
R
K
B
O
O
K
545 x=-2에서 최댓값 6을 가지므로
y=a(x+2)¤ +6
이 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로
2=a(0+2)¤ +6(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
따라서 y=-(x+2)¤ +6=-x¤ -4x+2이므
로 a=-1, b=-4, c=2
∴ a-b+c=5
(cid:9120) ⑤
546 x=-1에서 최솟값 -9를 가지므로
y=a(x+1)¤ -9
이 그래프가 점 (1, -1)을 지나므로
-1=a(1+1)¤ -9(cid:100)(cid:100)∴ a=2
따라서 y=2(x+1)¤ -9=2x¤ +4x-7이므로
a=2, b=4, c=-7
∴ ab+c=1
(cid:9120) 1
547 y=a(x+4)(x-2)로 놓으면
y=a(x¤ +2x-8)=a(x+1)¤ -9a
최댓값이 27이므로 -9a=27(cid:100)(cid:100)∴ a=-3
따라서 y=-3(x+1)¤ +27=-3x¤ -6x+24
이므로 이 그래프의 y절편은 24이다. (cid:9120) 24
Ⅲ. 이차함수 | 85
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지86 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
합이 a인 두 수
(cid:8857) x, a-x로 놓는다.
따라서 x=2일때직사각형의넓이가최대가된다.
(cid:9120) 2
AP”=BP”=6 cm일 때
두 정사각형의 넓이의 합
이 최소가 된다.
548 y=-x¤ +4ax+8a+2
y=-(x-2a)¤ +4a¤ +8a+2
∴ M=4a¤ +8a+2=4(a+1)¤ -2
따라서 M은 a=-1에서최솟값 -2를가지므로
(-1)+(-2)=-3
(cid:9120) ②
549 y=x¤ +2kx+4k=(x+k)¤ -k¤ +4k
∴ m=-k¤ +4k=-(k-2)¤ +4
따라서 m은 k=2에서 최댓값 4를 갖는다.
(cid:9120) ④
550 y=-2x¤ +2mx-4m-1
+ -4m-1
y=-2{x- }
m
2
m¤
∴ f(m)= -4m-1
2
m¤
2
∴ f(m)=;2!;(m-4)¤ -9
따라서 f(m)은 m=4에서 최솟값 -9를 갖는다.
(cid:9120) - 9
551 두 수를 x, 24-x라 하고, 두 수의 곱을 y라 하면
y=x(24-x)=-x¤ +24x
y=-(x-12)¤ +144
따라서 두 수의 곱의 최댓값은 144이다. (cid:9120) ④
두 수는 12, 12이다.
552 두 수를 x, x+14라 하고, 두 수의 곱을 y라 하면
y=x(x+14)=x¤ +14x
=(x+7)¤ -49
따라서 두 수의 곱의 최솟값은 -49이다.
두 수는 -7, 7이다.
(cid:9120) ③
PB”=AB”-AP”
=10-x
553 y=4x-36이므로
xy=x(4x-36)=4x¤ -36x
xy=4{x-;2(;}2 -81
554 부채꼴의 반지름의 길이를 x cm, 넓이를 y cm¤
라 하면 호의 길이는 (24-2x) cm이므로
y=;2!;x(24-2x)=-x¤ +12x
=-(x-6)¤ +36
따라서 반지름의 길이가 6 cm일 때 부채꼴의 넓
이가 최대가 된다.
(cid:9120) ⑤
86 | SOLUTION
555 AP”=x cm, 두 도형의 넓이의 합을 ycm¤ 라 하
면 BP”=(12-x)cm이므로
y=x¤ +(12-x)¤ =2x¤ -24x+144
=2(x-6)¤ +72
따라서 x=6일 때 넓이의 합의 최솟값은 72cm¤
(cid:9120) 72 cm¤
556 물받이의 높이를 x cm, 단면의 넓이를 ycm¤ 라
이다.
하면
y=x(24-2x)=-2x¤ +24x
=-2(x-6)¤ +72
따라서 물받이의 높이가 6cm일 때 단면의 넓이
가 최대가 된다.
(cid:9120) 6 cm
557 새로운 직사각형의 넓이를 ycm¤ 라 하면 이 직
사각형의 가로의 길이는 (6+x)cm, 세로의 길
이는 (10-x)cm이므로
y=(6+x)(10-x)=-x¤ +4x+60
y=-(x-2)¤ +64
558 x초 후의 삼각형의 넓이를 y cm¤ 라 하면
y=;2!;(30-2x)(20+4x)
y=-4x¤ +40x+300=-4(x-5)¤ +400
따라서 삼각형의 넓이가 최대가 되는 것은 5초
후이다.
(cid:9120) ④
559 AP”=x라 하면 점 Q의 속도는 점 P의 속도의 2
배이므로 BQ”=2x
△PBQ의 넓이를 y라 하면
y=;2!;_BQ”_PB”
y=;2!;_2x_(10-x)
y=-x¤ +10x
y=-(x-5)¤ +25
560 y=-5x¤ +30x+5=-5(x-3)¤ +50
따라서 이 물체가 가장 높이 올라갔을 때 지면으
로부터의 높이는 50m이다.
(cid:9120) ②
561 h=-5t¤ +20t=-5(t-2)¤ +20
따라서 이 물체는 2초 후에 최고 높이에 도달한다.
(cid:9120) 2초
따라서 x=;2(;, y=-18일 때 두 수의 곱이 최소
가 된다.
(cid:9120) x=;2(;, y=-18
y=4_;2(;-36=-18
따라서 AP”=5일 때 △PBQ의 넓이가 최대가
된다.
(cid:9120) 5
¤
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지87 SinsagoHitec
562 y=-;6%;x¤ +5x=-;6%;(x-3)¤ +:¡2∞:
568 ;2!;x¤ -2x-6=0에서
Q BOX
점 (a, b)가 그래프 위의
점이다.
(cid:8857) 함수의 식에 x=a,
y=b를 대입하면 등식
이 성립한다.
꼭짓점의 좌표는
(4, k+2)이고 k=6이
므로 (4, 8)
-3+8=5
-3+8_;2!;=1
따라서 이 물체는 3초 후에 최고 높이 :¡2∞: m에
도달한다.
(cid:9120) 3초, :¡2∞: m
563 y=x¤ -4x+3a+5=(x-2)¤ +3a+1
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (2, 3a+1)
이 점이y=-4x+3의 그래프 위에 있으므로
3a+1=-5, 3a=-6
∴ a=-2
(cid:9120) - 2
564 y=2x¤ -4kx+1=2(x-k)¤ -2k¤ +1
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (k, -2k¤ +1)
이 점이 직선 y=3x-1 위에 있으므로
-2k¤ +1=3k-1, 2k¤ +3k-2=0
(k+2)(2k-1)=0
∴ k=-2 (∵ k는 정수)
(cid:9120) ③
565 y=-;8!;x¤ +x+k=-;8!;(x-4)¤ +k+2
축의 방정식이 x=4이므로
A(-4, 0), B(12, 0)
y=-;8!;x¤ +x+k에 x=-4, y=0을 대입하면
0=-;8!;_(-4)¤ -4+k(cid:100)(cid:100)∴ k=6
따라서 꼭짓점은 C(4, 8)
∴ △ABC=;2!;_16_8=64
(cid:9120) 64
566 △ABC=;2!;_BC”_16=64이므로 BC”=8
∴ C(5, 0), A(1, 16)
y=a(x+3)(x-5)에 x=1, y=16을 대입하면
16=-16a ∴ a=-1
즉 y=-(x+3)(x-5)=-x¤ +2x+15이므로
b=2, c=15
∴ 4ab+c=7
(cid:9120) 7
567 x=0일 때 y=5이므로 A(0, 5)
y=-x¤ -4x+5=-(x+2)¤ +9이므로
B(-2, 9)
-x¤ -4x+5=0에서 x¤ +4x-5=0
(x+5)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-5 또는 x=1
∴ C(-5, 0)
∴ △ABC=△BCO+△BOA-△ACO
(cid:100) △ABC=;2!;_5_9+;2!;_5_2-;2!;_5_5
(cid:9120) ③
(cid:100) △ABC=15
그래프가 원점을 지나도
제4 사분면을 지나지 않
는다.
W
O
R
K
B
O
O
K
x¤ -4x-12=0, (x+2)(x-6)=0
∴ x=-2 또는 x=6(cid:100)(cid:100)∴ A(6, 0)
x=0일 때, y=-6이므로 B(0, -6)
y=;2!;x¤ -2x-6=;2!;(x-2)¤ -8이므로
C(2, -8)
∴ △ABC=△AOC+△OBC-△AOB
(cid:100) △ABC=;2!;_6_8+;2!;_6_2-;2!;_6_6
(cid:9120) 12
(cid:100) △ABC=12
569 a>0, b<0, c>0
y=cx¤ +bx의 그래프는
c>0이므로 아래로 볼록하고
bc<0이므로 축이 y축의 오
른쪽에 있으며 원점을 지난다.
y
O
x
즉 y=cx¤ +bx의 그래프는 위의 그림과 같으므
로 제3사분면을 지나지 않는다.
(cid:9120) ③
y=bx¤ +ax+a-c에서 b<0이므로 위로 볼록
하고, ab>0이므로 축이 y축의 왼쪽에 있으며,
a-c<0이므로 y축과의 교점이 원점의 아래쪽
에 위치한다.
따라서 y=bx¤ +ax+a-c의 그래프의 개형은
③과 같다.
(cid:9120) ③
571 y=a(x-2)¤ +12로 놓으면
a<0이고, 그 그래프는 오른쪽
그림과 같이 (y절편)>0이어야
y
12
y=a(x-2)¤ +12에 x=0을
O 2
x
한다.
대입하면
4a+12>0(cid:100)(cid:100)∴ a>-3
∴ -30, (y절편)æ0이어야 한다.
y=ax¤ +4ax+4a-4에 x=0을 대입하면
4a-4æ0(cid:100)(cid:100)∴ aæ1
(cid:9120) aæ1
Ⅲ. 이차함수 | 87
4-16_;2!;=4-8=-4
4+16_;2!;=4+8=12
570 a<0, b<0, c>0
9-가발전-워크북정답(50~88)-ok 2014.9.3 8:15 PM 페이지88 SinsagoHitec
WORK BOOK
Q BOX
573 점 A의 좌표를 (a, a¤ +4)라 하면
B(a¤ +5, a¤ +4)
∴ AB”=(a¤ +5)-a={a-;2!;}2 +:¡4ª:
따라서 AB”의 길이의 최솟값은 :¡4ª:이다.
두 점 A, B의 y좌표가
같다.
(cid:9120) :¡4ª:
회원이 5명 늘어날 때이
므로 20+5=25(명)
578 늘어난 회원 수를 x명, 총 회비를 y원이라 하면
y=(30000-1000x)(20+x)
=-1000x¤ +10000x+600000
=-1000(x-5)¤ +625000
따라서 x=5일 때 최댓값이 625000이므로 회원
수가 25명일 때 총 회비가 최대가 된다. (cid:9120) 25명
574 점 A의 좌표를 (a, -a¤ -3a-4)라 하면
B(a¤ +3a+6, -a¤ -3a-4)이므로
AB”=(a¤ +3a+6)-a=a¤ +2a+6
=(a+1)¤ +5
따라서 a=-1일 때 AB”의 길이는 최소가 되므
로 점 A의 좌표는 (-1, -2)이다.
(cid:9120) (-1, -2)
A(a, -a¤ -3a-4)에
a=-1을 대입한다.
575 점 A의 좌표를 {x, -;2!;x+4}라 하고,
(cid:8772)OBAC의 넓이를 y라 하면
y=x{-;2!;x+4}=-;2!;x¤ +4x
y=-;2!;(x-4)¤ +8
따라서 (cid:8772)OBAC의 최대 넓이는 8이다.
OB”=x,
AB”=-;2!;x+4
(cid:9120) 8
576 y=-x¤ +6x=-(x-3)¤ +9의 그래프의 축의
방정식은 x=3
점 C의 x좌표를 k라 하면CD ”=-k¤ +6k
또 점 B는 직선 x=3에 대하여 점 C와 대칭이므
로 BC”=2(k-3)
∴ (직사각형 ABCD의 둘레의 길이)
∴ =2{-k¤ +6k+2(k-3)}
∴ =-2k¤ +16k-12
∴ =-2(k-4)¤ +20
따라서 직사각형의 둘레의 길이의 최댓값은 20
이다.
(cid:9120) 20
577 하루 판매 금액을 y원이라 하면
y=(2000-x){400+;2!;x}
=-;2!;x¤ +600x+800000
=-;2!;(x-600)¤ +980000
따라서 x=600일 때 최댓값이 980000이므로
1개당 가격이 1400원일 때 판매 금액이 최대가
된다.
(cid:9120) 1400원
가격을 600원 내릴 때이
므로
2000-600=1400(원)
88 | SOLUTION
